
Thai: 
 
ตอนนี้ลองขยายสิ่งที่เราทำ
ในวิดีโอที่แล้วโดยทั่วไปกัน
ถ้านี่คือแกน y และนี่คือ -- มันไม่ตรงเท่าไหร่
เส้นนี่ตรงนี้คือแกน x
และสมมุติว่าผมมีฟังก์ชันสองตัว
ผมจะบอกในรูปทั่วไป
สมมุติว่าผมมีฟังก์ชันตรงนี้
สมมุติว่ามันเป็นแบบนี้
นั่นคือฟังก์ชันหนึ่ง
นี่คือ y เท่ากับ f ของ x
แล้วผมมีฟังก์ชันอีกตัว ว่า y เท่ากับ g ของ x
สมมุติว่ามันเป็นแบบนี้
เส้นสีฟ้าตรงนี้คือ y เท่ากับ g ของ x
และอย่างที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว
ผมอยากคิดถึงปริมาตรของทรงตันจากการหมุน
ที่เราได้ ถ้าเราหมุน
พื้นที่ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้ ถ้าเรา
หมุนมันรอบแกน x
เรากำลังพูดในรูปทั่วไปมากๆ
อันนี้เป็นอะไรก็ได้

Portuguese: 
Vamos generalizar o que
fizemos no último vídeo.
Então se este é meu eixo y e este é
-- (não ficou muito reto).
Este aqui é o eixo x.
E vamos ter
duas funções.
Então vou dizer
apenas em termos gerais.
Digamos que existe uma
função bem aqui.
Que se parece
com algo assim.
Então esta é uma função.
Então este é y é igual a f de x.
E então temos outra função
onde y é igual a g de x.
Então digamos que se
parece com algo assim.
A azul aqui é
y é igual a g de x.
E como fizemos
no último video,
Quero pensar sobre o volume
do sólido de revolução
que obteremos
se girarmos
a área entre estas
duas, e então se
nós girarmos isso
ao redor do eixo x.
Então dizemos em
termos bem gerais.
Pode ser qualquer coisa.

Bulgarian: 
Сега да обобщим какво
направихме в предходното видео.
Ако това е оста у, а това е...
това не е перпендикулярно.
Това тук е оста х.
Нека да имаме две функции.
Ще използвам общия случай.
Нека да имаме една функция тук.
Нека тя да изглежда така.
Това е графиката 
на едната функция.
Това е у = f(х).
После да имаме друга функция,
у = g(х).
Нека графиката ѝ 
да изглежда ето така.
Тази синя крива е у = g(х).
И както в предишното видео,
искам да намерим обема
на тяло, получено при ротацията,
получено при ротацията
на областта между пресичащите се 
графики на двете функции,
при въртенето им около оста х.
Използваме общия случай.

English: 
Let's now generalize what
we did in the last video.
So if this is my y-axis and this
is-- that's not that straight.
This right over
here is my x-axis.
And let's say I
have two functions.
So I'm just going to
say it in general terms.
So let's say I have a
function right over here.
So let's say it looks
something like this.
So that's one function.
So this is y is equal to f of x.
And then I have another function
that y is equal to g of x.
So let's say it looks
something like this.
So the blue one right over
here is y is equal to g of x.
And like we did
in the last video,
I want to think about the volume
of the solid of revolution
we will get if we
essentially rotate
the area between
these two, and if we
were to rotate it
around the x-axis.
So we're saying in
very general terms.
This could be anything, But.

Korean: 
그럼 저번 동영상에서 했던 것을
일반화 해봅시다
그럼 저번 동영상에서 했던 것을
일반화 해봅시다
이 선이 y축입니다
이건 조금 삐뚤죠
여기 이 선이 x축 입니다
이제 두 가지 함수가 있다고 해봅시다
일반적인 경우로 
이야기해보겠습니다
여기에 함수 하나가 있습니다
개형은 이렇게 생겼구요
이게 첫 번째 함수입니다
y=f(x) 꼴이죠
그리고 여기에 y=g(x)꼴의
함수가 있습니다
개형은 이렇다고 하죠
여기 파란색으로 표현된 것이
y=g(x)입니다
그리고 저번 영상에서 했던 것과 같이
회전체의 부피에 대해 생각해봅시다
회전체는 회전을 시켜서
얻을 수 있는데
이 두 함수 사이의 영역을
x축 중심으로 회전시킬 때의
부피를 알아볼 겁니다
우리는 매우 일반적인 경우를 
말하고 있습니다
이건 무슨 형태라도 될 수 있겠지만

Korean: 
지금 상황에서는 말그대로
버섯 머리 모양이 되겠죠
버섯 머리와 매우 비슷한
모양이 되겠죠
밖에서 봤을 때 그렇겠죠
밖에서 보면 회전체는 버섯 모양일거고
안 쪽은 원추형으로 깎여있을겁니다
당연하게도 이런 형태는
매우 특수한 겁니다
제가 그린 함수에만 적용되니까요
그러나 우리의 목적은 수학적으로
이를 일반화하는 것입니다
그렇다면 이떻게 부피를 찾을 수 있을까요?
원판을 생각해볼 수도 있습니다
하지만 그 대신
와셔 모양(가운데가 뚫린 원판)을
생각해봅시다
이 방법은 본질적으로 우리가
저번 영상에서 수학적으로
한 것과 같은데
개념화 하는 방법이
약간 다를 뿐입니다
이제 두 함수 사이에 있는
작은 영역을 취합니다
이렇게요
이 영역의 너비가 어떻게 될까요?
dx가 되겠죠
그리고 이것을 x축을
중심으로 회전시켜봅니다
x축을 중심으로 회전시켜보면

Bulgarian: 
Това може да изглежда всякак,
но го начертах буквално
в същата форма на трюфел.
Това е много подобно на
трюфел,
външността му изглежда
като трюфел.
А отвътре на това
трюфелоподобно тяло
сме издълбали един конус.
Очевидно този чертеж е
много конкретен,
както начертах графиките на 
функциите, но
аз искам да обобщим
алгебрично.
Как ще намерим обема?
Можем да си представим дискове.
Но вместо да си 
представяме дискове,
сега ще си представим пръстени,
което принципно е
същото нещо, което
направихме в предходното видео
с математически средства,
но сега ще го обясним 
малко по-различно.
Представи си, че изрязваме
малко парченце между графиките
на тези две функции.
Каква ще бъде широчината
на това парченце?
Тя ще е равна на dх.
Сега да завъртим това нещо
около оста х.

Portuguese: 
Como desenhamos
agora, seria literalmente
da forma de um cogumelo.
Bem parecida
com um cogumelo,
onde por fora
parece um chapéu.
Um chapéu de
cogumelo por fora,
e por dentro, nós
escavamos um cone.
É óbvio que vemos
assim pela maneira
como desenhei essas
funções, mas o que
nós queremos é generalizar
a matemática disso.
Então, como encontramos
um volume?
Bem, nós podemos
pensar em discos.
Mas em vez de
pensar nisso,
vamos pensar em
arruelas agora,
que é essencialmente
a mesma coisa que
fizemos no último
vídeo,
mas de uma forma um
pouco diferente no conceito.
Então imagine um pedacinho
entre essas duas funções,
bem assim.
Qual vai ser a
largura deste pedaço?
Bem, vai ser
igual a dx.
E vamos girar tudo
ao redor do eixo x.
Se girarmos esta coisa
ao redor do eixo x,

Thai: 
ตามที่เราวาดมันตอนนี้ มัน
จะเป็นรูปขนมทรัฟเฟิลอันเดิม
มันจะมีรูปร่างคล้ายขนมทรัฟเฟิล
โดยขอบนอก มันดูเหมือนทรัฟเฟิล
ข้างนอก มันดูเหมือนทรัฟเฟิล
และข้างใน เราคว้านกรวยออกไป
แน่นอน ภาพนี้เป็นภาพเฉพาะ
ที่ผมวาดฟังก์ชันเหล่านี้ แต่
สิ่งที่ผมอยากทำคือขยายมันออกไปโดยทั่วไป
แล้วเราจะหาปริมาตรได้อย่างไร?
เราคิดถึงจานได้
แต่แทนที่จะคิดถึงจาน
เราจะคิดถึงวงแหวนตอนนี้
มันก็เหมือนกับที่เรา
ทำในวิดีโอที่แล้วในทางคณิตศาสตร์
แต่มันเป็นการมองหลักการต่างกันเล็กน้อย
นึกภาพว่าเราตัดชิ้นเล็กๆ 
ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้
อย่างนั้น
แล้วความกว้างของชิ้นนี้เป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับ dx
ลองหมุนทั้งหมดนี้รอบแกน x กัน
ถ้าเราหมุนตัวนี้รอบแกน x

English: 
In the way we've draw it
now, it would literally
be that same truffle shape.
It would be a very
similar truffle shape,
where on the outside it
looks like a truffle.
On the outside, it looks
something like a truffle,
and on the inside, we
have carved out a cone.
Obviously, this visualization
is very specific to the way
I've drawn these
functions, but what
we want to do is generalize at
least the mathematics of it.
So how do we find a volume?
Well, we could think of disks.
But instead of
thinking of disks,
we're going to think
about washers now,
which is essentially
the exact same thing we
did in the last
video mathematically,
but it's a slightly different
way of conceptualizing it.
So imagine taking a little chunk
between these two functions,
just like that.
What is going to be the
width of this chunk?
Well, it's going
to be equal to dx.
And let's rotate that whole
thing around the x-axis.
So if we rotate this
thing around the x-axis,

Bulgarian: 
Ако го завъртим около
оста х, ще получим пръстен.
Затова този метод
се нарича метод на пръстена.
Това е подобно на метода
с дисковете,
където вътрешността разрязваме
на дискове.
Това е вътрешността
на нашия пръстен.
Това външната част на пръстена.
Външната страна на пръстена 
изглежда приблизително така.
Надявам се, че виждаш логиката.
Повърхността на този пръстен
ще изглежда приблизително така.
Можеше да го нарисувам
и по-добре,
но се надявам, че ще свърши
работа и ще го разбереш.
Повърхността на пръстена
изглежда ето така.
И има дебелина dх.
Ще се опитам да
я нарисувам – дебелина dх.
Това е пръстенът, гледан 
отстрани.
Пръстенът, досещаш се, е
един вид изрязана монета.
Как да намерим обема му?
Отново, ако знаем площта,
ако знаем площта на основата
на този пръстен,

Portuguese: 
teremos uma arruela.
É por isso que chamamos
este de método da arruela.
E é apenas
onde você vai abrindo
o interior do disco.
Então isso é o
interior da arruela.
E então isto é o
exterior da arruela.
O exterior da arruela
se parece assim.
Espero que faça sentido.
E então a superfície da arruela
se parece com algo assim.
Sei que poderíamos
desenhar um pouco melhor,
mas espero que
sirva ao propósito
e que dê para entender.
Então a superfície da arruela
se parece com isso.
E tem a profundidade de dx.
Então deixe-me ver quão
bem eu consigo desenhar isto.
Então a profundidade dx.
Esse é o lado da arruela.
Uma arruela, se você imaginar,
é tipo uma moeda furada.
Então como achamos o volume?
De novo, se
sabemos a superfície,
se sabemos a área da
face dessa arruela,

English: 
we end up with a washer.
That's why we're going to
call this the washer method.
And it's really just
kind of the disk method,
where you're gutting out
the inside of a disk.
So that's the inside
of our washer.
And then this is the
outside of our washer.
Outside of our washer
looks something like that.
Hopefully, that makes sense.
And so the surface of our washer
looks something like that.
I know I could have drawn
this a little bit better,
but hopefully it
serves the purpose
so that we understand it.
So the surface of our washer
looks something like that.
And it has depth of dx.
So let me see how
well I can draw this.
So depth dx.
That's the side of this washer.
So a washer, you can imagine,
is kind of a gutted out coin.
So how do we find the volume?
Well once again, if
we know the surface,
if we know the area of
the face of this washer,

Thai: 
เราจะได้วงแหวน
นั่นคือสาเหตุที่เราเรียกวิธีนี้ว่าวิธีแบบวงแหวน
จริงๆ แล้วมันก็แค่วิธีแบบจาน
โดยคุณเอาด้านในของจานออก
นั่นคือวงแหวนข้างใน
แล้วนี่ก็คือวงแหวนด้านนอก
ด้านนอกวงแหวนจะเป็นแบบนี้
หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
และพื้นผิวของวงแหวนเป็นแบบนั้น
ผมรู้ว่า ผมวาดมันให้ดีกว่าเดิมได้
แต่หวังว่ามันคงพอช่วย
ให้เราเข้าใจได้
พื้นผิวของวงแหวนจะเป็นแบบนั้น
และมันหนา dx
 
ขอผมดูหน่อยว่าผมวาดอันนี้ได้ไหม
หนา dx
นั่นคือด้านข้างของวงแหวนนี้
วงแหวน คุณคงนึกออก 
เป็นเหมือนเหรียญที่ถูกตัดออก
แล้วเราจะหาปริมาตรได้อย่างไร?
เหมือนเดิม ถ้าเรารู้พื้นผิว
ถ้าเรารู้พื้นที่ของหน้าวงแหวน

Korean: 
결국 와셔 모양이 되죠
그래서 이 방법을 와셔법이라고 합니다
이 방법은 디스크법의 일종인데
안 쪽이 도려내진 디스크법인거죠
그러니까 이게 와셔의 내부고
이게 와셔의 바깥쪽 부분이 되는 겁니다
와셔의 바깥쪽 부분은 이렇게 생겼겠죠
이해가 되셨으면 좋겠네요
그리고 와셔의 표면은
이런 모양일겁니다
제가 더 잘 그릴 수 있다면 좋겠지만
이 그림이 여러분이 이해하는데에
도움이 되었으면 좋겠네요
어쨌든 와셔의 표면은
이런 모양일겁니다
폭은 dx가 되겠죠
폭은 dx가 되겠죠
제가 얼마나 잘 그릴 수 있나 봅시다
여기가 폭 dx 입니다
이게 와셔의 측면이구요
와셔를 가운데가 도려내진 동전으로
생각하셔도 되겠네요
그럼 부피는 어떻게 구할까요?
다시 한 번 말하지만
우리가 표면을 안다면
와셔 표면 넓이를 안다면

Thai: 
เราก็คูณมันด้วยความหนาได้
มันจะเท่ากับพื้นที่หน้าของวงแหวน
พื้นที่หน้าของวงแหวน --
มันก็คือพื้นที่ถ้ามันไม่ถูกตัดออก
แล้วพื้นที่นั้นเป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับพายคูณทั้งหมด
รัศมีข้างนอกกำลังสอง
มันจะเป็นพายคูณรัศมีด้านนอกกำลังสอง
รัศมีข้างในจะเป็นเท่าใด?
รัศมีที่อยู่ข้างนอกวงแหวนเป็นเท่าใด?
มันคือ f ของ x
มันจะได้ f ของ x เป็นรัศมี
และเราจะยกกำลังสองมัน
พจน์นี่ตรงนี้
จะให้พื้นที่ของผิวทั้งหมด
ถ้ามันไม่ใช่วงแหวน ถ้ามันเป็นเหรียญ
แต่ตอนนี้เราต้องลบข้างในออก
พื้นที่ข้างในเป็นเท่าใด?
 
ส่วนนี้ใช่ไหม?
เราจะลบมันออก
มันจะเป็นพายคูณรัศมีข้างในกำลังสอง
 
รัศมีข้างในกำลังสองเป็นเท่าใด?
ข้างใน ในกรณีนี้ คือ g ของ x

Portuguese: 
podemos multiplicá-la
vezes a profundidade.
Então será a área
da face da arruela.
Então a área da face
da arruela--
bem, poderia ser a área
se ela não fosse furada.
E qual seria essa área?
Bem, ela seria pi
vezes todo
o raio externo ao quadrado.
Seria pi vezes o 
raio exterior ao quadrado.
Bem, qual é o raio exterior?
O raio que cobre
o exterior da arruela?
Bem, este é f de x.
Então o raio será
f de x.
E vamos elevar
ele ao quadrado.
Então esta
expressão bem aqui
nos dará a área
total da face
se não fosse uma arruela,
se fosse uma moeda.
Mas agora nós temos
que subtrair o interior.
Qual a área
do interior?
Esta parte bem aqui?
Bem, nós vamos
subtrai-la.
Será pi vezes o
raio interior ao quadrado.
Bem, qual é o raio
do interior ao quadrado?
Bem, o interior, neste
caso, é g de x.

Bulgarian: 
можем да я умножим 
по дебелината.
Това е площта на
основата на пръстена.
Площта на основата на пръстена...
това е областта, която
не е изрязана.
Колко е тази площ?
Тя е равна на π по външния
радиус на квадрат,
Равна е на π по квадрата
на външния радиус.
Колко е външният радиус?
Радиусът на външната страна
на пръстена?
Това е f(х).
Външният радиус е f(х).
И само ще го повдигнем 
на квадрат.
Това е този израз,
който ще ни даде площта
на цялата основа,
ако това не беше пръстен,
а беше монета.
А сега трябва да извадим
вътрешността.
Колко е площта
на изрязаната част?
На тази част ето тук?
Това трябва да го извадим.
Това е π по квадрата на радиуса на
вътрешността.
Колко е квадратът на
радиуса на вътрешността?
Вътрешността, в този
случай, е g(х).

English: 
we can just multiply
that times the depth.
So it's going to be the area
of the face of the washer.
So the area of the
face of the washer--
well, it could be the area
if it wasn't gutted out.
And what would that area be?
Well, it would be pi
times the overall,
the outside radius squared.
It would be pi times the
outside radius squared.
Well, what's the outside radius?
The radius that goes to
the outside of the washer?
Well, that's f of x.
So it's going to be
f of x is the radius.
And we're just going
to square that.
So this expression
right over here
would give us the area
of the entire face
if it wasn't a washer,
if it was a coin.
But now we have to
subtract out the inside.
So what's the area
of the inside?
This part right over here?
Well, we're going
to subtract it out.
It's going to be pi times the
radius of the inside squared.
Well, what's the radius
of the inside squared?
Well, the inside, in
this case, is g of x.

Korean: 
그냥 폭만큼 곱하면 됩니다
이게 와셔 표면의 넓이가 될텐데요
와셔 표면의 넓이는
일단 가운데를 도려내지
않았을 때의 넓이를 구해봅시다
넓이가 어떻게 되죠?
전반적으로 바깥쪽 반지름의 제곱에
π배가 될겁니다
π*(바깥쪽 반지름)² 이 되겠죠
그런데 바깥쪽 반지름이 뭘까요?
와셔 바깥쪽으로 항하는 반지름 말이예요
바깥쪽 반지름은 f(x)와 같습니다
그러니까 바깥쪽 반지름은 
f(x)라 할 수 있죠
그리고 우리는 그냥 이걸 제곱할겁니다
그러니까 여기 이 식은
전체 면적의 넓이를 
의미합니다
와셔가 아닌 꽉 찬 동전의 
면적 말이죠
이제 내부 면적을 제거해야 합니다
내부 면적은 뭘까요?
내부 면적은 뭘까요?
내부 면적이란 여기를 말합니다
우리는 이 면적을 뺄겁니다
이 면적은 π*(안쪽 반지름)²입니다
이 면적은 π*(안쪽 반지름)²입니다
그럼 (안쪽 반지름)²은 뭘까요?
이 경우에 안쪽 반지름은  g(x)가 됩니다

Thai: 
มันจะเท่ากับพายคูณ g ของ x กำลังสอง
นั่นคือฟังก์ชันใน อย่างน้อยบนช่วง
ที่เราสนใจ
พื้นที่ของวงแหวนนี้ เราปล่อยแบบนี้ได้
หรือเราแยกพายออกมาได้
เราบอกได้ว่าพื้นที่เท่ากับ -- ถ้าเราแยก
พายออกมา -- พายคูณ f ของ x กำลังสอง
ลบ g ของ x กำลังสอง
ผมไม่อยากเขียนวงเล็บตรงนี้
เราเขียน f ของ x กำลังสอง
ลบ g ของ x กำลังสองได้
แล้วถ้าเราอยากได้ปริมาตร -- ใช้สีเหลืองเดิม
ถ้าเราต้องการปริมาตรของตัวนี้
เราก็คูณมันด้วยความหนา
ของวงแหวนแต่ละอัน
ปริมาตรของวงแหวนแต่ละอัน
จะเท่ากับพายคูณ f ของ x กำลังสอง
ลบ g ของ x กำลังสอง
ฟังก์ชันนอกกำลังสองตลอดช่วงของเรา
ลบฟังก์ชันในกำลังสองตลอดช่วง

Portuguese: 
Será pi vezes
g de x ao quadrado.
Esta é a função interior,
pelo menos no intervalo
em estudo.
Então a área desta arruela,
podemos deixar como está,
ou podemos fatorar um pi.
Poderíamos dizer que
a área é igual a -- se fatorarmos
um pi-- pi vezes f de x
ao quadrado menos g de x ao quadrado.
Não temos que escrever
parênteses aqui.
Então escrevemos f de x ao quadrado
menos g de x ao quadrado.
E então se quisermos o volume--
vou pôr no mesmo amarelo.
Se quisermos o
volume desta coisa,
só multiplicamos ela vezes a
profundidade de cada arruela.
Então o volume de cada
uma dessas arruelas
será pi vezes f de x ao quadrado
menos g de x ao quadrado.
A função exterior ao quadrado
sobre o intervalo,
menos a função interior
ao quadrado sobre o intervalo,

English: 
It's going to be pi
times g of x squared.
That's the inner function,
at least over the interval
that we care about.
So the area of this washer, we
could just leave it like this,
or we could factor out a pi.
We could say the area is
equal to-- if we factor out
a pi-- pi times f of x
squared minus g of x squared.
I don't really have to
write a parentheses there.
So we could write f of x
squared minus g of x squared.
And then if we want the volume--
put that in the same yellow.
If we want the
volume of this thing,
we just multiply it times the
depth of each of those washers.
So the volume of
each of these washers
are going to be pi times f of
x squared minus g of x squared.
The outer function
squared over our interval,
minus our inner function
squared over the interval,

Korean: 
안쪽 면적은 π*g(x)²이 되겠죠
g(x)는 안쪽에 있는함수 입니다
적어도 우리가 고려하는 
범위 내에서는요
그러니까 와셔의 넓이는 
이렇게 둘 수도 있고
이 식을 π로 묶을 수도 있습니다
만약 이 식을 π로 묶으면
π*{f(x)²-g(x)²}이 됩니다
여기에 굳이 괄호를 쓸 필요가 없군요
그러면 π*{f(x)²-g(x)²}  이렇게 쓸 수 있겠네요
만약 부피를 구하고 싶다면
같은 노란색으로 써야겠네요
만약 우리가 이것의 부피를 
구하고 싶다면
그냥 와셔 각각의 폭을  곱하면 됩니다
따라서 각 와셔들의 부피는
π*{f(x)²-g(x)²}
즉 이 구간에서 바깥쪽 함수의 제곱에
이 구간에서 안쪽 함수의 
제곱을 빼준 식에

Bulgarian: 
Тя е равна на 
π по квадрата на g(х).
Това е вътрешната функция, поне в този
интервал, който разглеждаме.
Площта на този пръстен,
можем да оставим израза така,
или можем да изнесем 
пред скоби π.
Площта е равна на...
ако изнесем π пред скобите,
π по квадрата на f(х) 
минус квадрата на g(х).
Тук няма нужда от скоби.
Значи f(х)^2 – g(х)^2.
За да намерим обема...
ще използвам същото жълто,
за да намерим обема на
този пръстен,
просто умножаваме
по дебелината на тези пръстенчета.
Обемът на всяко пръстенче
е равен на π по (f(х)^2 – g(х)^2).
Квадратът на външната
функция в интервала
минус квадрата на
вътрешната функция в интервала,

Bulgarian: 
после по дебелината.
Това е обемът на
всяко такова пръстенче.
И това ще бъде определено
за дадено х в този интервал,
за всяко х в този интервал
можем да дефинираме нов пръстен.
Може да има пръстен тук
и пръстен тук.
Ще съберем всички
тези пръстени,
ще вземем границата, когато
те стават все по-тънки,
а броят на пръстените
клони към безкрайност.
Ще вземем интеграл в
нашия интервал в точките,
където графиките на двете функции
се пресичат, именно той ни интересува.
Не е задължително да е в
точките на пресичане, но в този случай
ще направим точно това.
Нека да е от х = а до х = b.
Макар че а и b могат
да са тук и тук.
Но това е нашият интервал, в
който определяме общия случай,
от а до b.
И това е равно на търсения обем.
Това точно тук е равно
на обема на всеки пръстен.
После събираме обемите
на тези пръстенчета
и взимаме границата, когато
броят им клони към безкрайност.
Да видим дали това важи
за примера от предходното видео,
дали ще получим същия отговор.

English: 
and then times our depth.
That'd be the volume of
each of these washers.
And that's going to be defined
at a given x in our interval,
but for each x at
these interval,
we can define a new washer.
So there could be a washer out
here, and a washer out here.
And so we're going to take
the sum of all those washers,
and take the limit as we have
smaller and smaller depths.
And we have an infinite number
of infinitely thin washers.
So we're going take the integral
over our interval from where
these two things intersect, the
interval that we care about.
It doesn't have to be where they
intersect, but in this case,
that's what we'll do.
So let's say x equals
a to x equals b.
Although this could have been
a, that could have been b.
But this is our interval
we're saying in general terms,
from a to b.
And this will give our volume.
This right over here is
the volume of each washer.
And then we're summing
up all of the washers
and taking the limit, as we
have an infinite number of them.
So let's see if we apply this
to the example in the last video
whether we get the
exact same answer.

Thai: 
แล้วคูณความหนา
 
มันจะเป็นปริมาตรของวงแหวนแต่ละอัน
และมันจะนิยามที่ x ใดๆ ในช่วงของเรา
แต่สำหรับ x แต่ละค่าที่ช่วงนี้
เรานิยามวงแหวนใหม่ได้
มันจะมีวงแหวนตรงนี้ได้ และวงแหวนตรงนี้ได้
เราจะหาผลบวกของวงแหวนเหล่านั้นทั้งหมด
หาลิมิตเมื่อเรามีความหนาน้อยลงเรื่อยๆ
และเรามีวงแหวนจำนวนนับไม่ถ้วน
เราจะหาอินทิกรัลตลอดช่วงนี้จาก
จุดที่ฟังก์ชันสองตัวนี้ตัดกัน ช่วงที่เราสนใจ
มันไม่จำเป็นต้องเป็น
จุดที่กราฟตัดกัน แต่ในกรณีนี้
นั่นคือสิ่งที่เราจะทำ
สมมุติว่า x เท่ากับ a ถึง x เท่ากับ b
ถึงแม้ว่าอันนี้จะเป็น a อันนี้จะเป็น b ก็ได้
แต่นี่คืออินทิกรัลของเรา ที่เราพูดถึงโดยทั่วไป
จาก a ถึง b
และอันนี้จะให้ปริมาตร
ค่านี่ตรงนี้คือปริมาตรของวงแหวนแต่ละวง
แล้วเราก็บวกวงแหวนทั้งหมด
หาลิมิต เมื่อเรามีจำนวนวงแหวนนับไม่ถ้วน
ลองดูว่าเราใช้มันกับตัวอย่างในวิดีโอที่แล้ว
ว่าเราได้คำตอบเหมือนเดิมพอดีไหม

Korean: 
깊이를 곱한 것이 됩니다
깊이를 곱한 것이 됩니다
이게 각 와셔들의 부피입니다
그리고 이는 구간 내에서 
주어진 x로 정의될 수 있습니다
구간 내의 각 x에서
우리는 새로운 와셔를 
정의할 수 있습니다
그러니까 와셔가 여기에도 있을 수 있고
저기에도 있을 수 있는거죠
이제 우리는 이 모든 
와셔를 더할겁니다
그리고 점점 더 작은 깊이에 대한 
극한값을 구할겁니다
그러면 무한히 많은 무한히 얇은 와셔들을
구할 수 있겠죠
이제 이 구간에서 적분을 할 겁니다
적분 구간은 두 함수가 교차하는 구간입니다
꼭 교차하는 구간이어야할 필요는 
없지만 이 경우에서는
교차하는 구간만을 
고려해볼겁니다
그럼 x 가 a x가 b라고 해봅시다
물론 이게 a가 될 수도 있고 
이게 b가 될 수도 있습니다
하지만 우리가 정한 구간에서
이를 일반적으로 말하면
a에서 b까지가 됩니다
그리고 이 식이 회전체의 
부피를 나타냅니다
이것이 각 와셔의 부피를 의미합니다
우리는 모든 와셔의 부피를 더한 후
와셔의 수를 무한히 늘려  극한을 취합니다
만약 이를 저번 영상의 예시에 
대입한다면
같은 답을 얻을 수 있을 겁니다

Portuguese: 
e vezes a profundidade.
Esse seria o volume de
cada uma das arruelas.
E esse será definido
num dado x no intervalo,
e para cada x
nesse intervalo,
definimos uma arruela.
Poderia existir uma arruela
aqui, e outra aqui.
E então obteríamos
a soma de todas as arruelas,
e tomar o limite em cada
vez menores profundidades.
E teríamos um número infinito
de arruelas infinitamente finas.
Então tomamos a integral
sobre o intervalo de onde
estas duas se interseccionam, o
intervalo que nos importa.
Não precisa ser onde
interseccionam, mas
é o que faremos.
Então vamos dizer de x igual
a a para x igual a b.
Embora que isto poderia ser
a, e aquilo poderia ser b.
Mas é o intervalo
que dizemos em termos gerais,
de a para b.
E isto nos dará nosso volume.
Isto bem aqui é o
volume de cada arruela.
E então nós somamos
todas as arruelas
e tomando o limite,
tendo um infinito número delas.
Então se aplicarmos isto
ao exemplo do último vídeo
se obteremos a mesma resposta.

Thai: 
ในวิดีโอที่แล้ว y เท่ากับ
g ของ x เท่ากับ x และ y เท่ากับ f
ของ x เท่ากับรากที่สองของ x
ลองหาค่ามันเมื่อกำหนดสิงที่เรา
เพิ่งพิสูจน์มาให้
ปริมาตรของเรา -- ทำบนนี้นะ
ปริมาตรจะเท่ากับอินทิกรัล --
จุดตัดสองจุดมีอะไรบ้าง?
ตรงนี้ เหมือนเดิม เรา
กำหนดช่วงที่อื่นก็ได้
อย่างเช่นระหว่างตรงนี้กับตรงนี้
และเราจะได้รูปคนละรูป
แต่จุดที่เราสนใจ ตามที่เรามองภาพ
คือระหว่าง x เท่ากับ 0 กับ x เท่ากับ 1
นั่นคือจุดที่สองตัวนี้ตัดกัน
เราเห็นไปแล้วในวิดีโอก่อน
พายคูณ -- f ของ x กำลังสองคืออะไร?
f ของ x กำลังสอง
รากที่สองของ x กำลังสองก็แค่ x 
ลบ g ของ x กำลังสอง
g ของ x คือ x, กำลังสองได้ x กำลังสอง
แล้วเราก็คูณ dx

Portuguese: 
Bem, no último vídeo,
y é igual a
g de x igual a x,
e x é igual a f
de x igual à
raiz quadrada de x.
Então vamos avaliar
dado que nós apenas
conseguimos derivar.
Então nosso volume-- faça aqui.
O volume será
a integral-- e quais
são os pontos de intersecção?
Bem, por aqui,
mais uma vez, nós
poderíamos definir o
intervalo em outro lugar,
como daqui até aqui.
E nós poderíamos
obter uma forma diferente.
Mas os pontos que nos
importam na visualização
são entre x igual a 0
e x igual a 1.
São onde essas duas
coisas interseccionam.
Nós vimos isto no último vídeo.
De pi vezes-- qual é f
de x ao quadrado? f de x ao quadrado,
a raiz quadrada de x ao quadrado é x,
menos g de x ao quadrado.
g de x é x, isto ao
quadrado é x ao quadrado.
E então multiplicamos vezes dx.

Bulgarian: 
В предишното видео
у = g(х) беше равно на х,
и у = f(х) беше равно на 
квадратен корен от х.
Сега да го сметнем, като
заместим в получената формула.
Нашият обем –
ще го сметна тук горе.
Обемът е равен на интеграл...
между двете точки на пресичане?
Тук, отново, можехме
да дефинираме и друг интервал,
например от тук до тук.
Тогава щяхме да имаме друго тяло.
Но точките, които ни интересуват,
както съм го начертал,
са от х = 0 до х = 1.
Тук се пресичат графиките
на двете функции.
Видяхме го в предходното видео.
Интеграл от пи по... колко
е квадрата на f(х) –
квадратен корен от х е просто х,
минус квадрата на g(х).
g(х) е просто х, на квадрат
е х^2.
И това умножаваме по dх.

English: 
Well, in the last
video, y equals
g of x was equal to
x, and y is equal to f
of x was equal to
the square root of x.
So let's evaluate that
given what we just
were able to derive.
So our volume-- do it up here.
The volume is going to
be the integral-- what
are the two intersection points?
Well, over here,
once again, we could
have defined the
interval someplace else,
like between there and there.
And we would have gotten
a different shape.
But the points that we care
about the way we visualize
it is between x is equal
to 0 and x is equal to 1.
That's where these
two things intersect.
We saw that in the last video.
Of pi times-- what's f of
x squared? f of x squared,
square root of x squared is
just x, minus g of x squared.
g of x is x, that
squared is x squared.
And then we multiply times dx.

Korean: 
저번 영상에서
g(x)=x였고
f(x)=√x였습니다
그럼 그 경우를 우리가 
유도했던 것을
이용해서 생각해봅시다
그러면 부피는 여기 써볼까요
부피는 적분값이 될겁니다
두 교점의 값이 어떻게 되죠?
여기서 다시 한 번 우리는
다른 곳에서도 구간을 
정의할 수 있습니다
여기라던가 여기 사이에서요
그리고 다른 모양을 
얻을 수도 있을 겁니다
하지만 우리가 이를 
시각화할 때 고려할 점은
x=0에서 x=1 사이라는 것입니다
두 함수가 교차하는 점이죠
저번 영상에서도 보셨죠?
π배를 해주는데 f(x)²이 뭐죠? f(x)²에
√x의 제곱은 그냥 x이고  여기에 g(x)²을 빼줍니다
g(x)=x 이고 제곱하면 x²입니다
그리고 dx를 곱해줍니다

Portuguese: 
Então será igual a
-- fatoramos o pi.
0 a 1, x menos x quadrado dx,
que é igual a pi vezes--
vejamos, a antiderivada de
x é x quadrado sobre 2.
A antiderivada de x ao quadrado
é x ao quadrado sobre 3-- perdão, x
à terceira potência sobre 3.
E vamos avaliar
isto de 0 a 1.
Então será igual a--
estou ficando sem
espaço por aqui.
Deixe-me rolar para
a direita um pouco.
Então isto será
igual a pi vezes-- bem,
quando você avalia
a coisa toda em 1,
você obtém-- vejamos,
obtém 1/2 menos 1/3.
E quando subtrai,
avalia no 0,
mas isso será 0 apenas.
0 ao quadrado sobre 2 menos
0, 0 à terceira potência.
Vai ser tudo 0.
Então quando
subtrai 0, você
fica com esta
expressão aqui.
Quando é 1/2 menos 1/3?
Bem, é 1/6.

Thai: 
อันนี้จึงเท่ากับ -- เราแยกพายออกมาได้
0 ถึง 1, x ลบ x กำลังสอง dx
ซึ่งเท่ากับพายคูณ --
ลองดู ปฏิยานุพันธ์ของ x คือ 
x กำลังสองส่วน 2
ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสองคือ 
x กำลังสองส่วน 3 -- โทษที x
กำลังสามส่วน 3
และเราจะหาค่าตัวนี้จาก 0 ถึง 1
อันนี้จะเท่ากับ -- ผมไม่มี
ที่เขียนแล้ว
ขอผมเลื่อนไปทางขวาหน่อย
อันนี้จะเท่ากับพายคูณ --
เวลาคุณหาค่าทั้งหมดนี้ที่ 1
คุณจะได้ -- ลองดู คุณได้ 1/2 ลบ 1/3
 
แล้วคุณลบพจน์นี้หาค่าที่ 0
แต่มันจะเท่ากับ 0
0 กำลังสองส่วน 2 ลบ 0, 0 กำลังสาม
ทั้งหมดนั้นจะเท่ากับ 0
เมื่อคุณลบ 0 ออก คุณจะ
เหลือแค่พจน์นี่ตรงนี้
1/2 ลบ 1/3 เป็นเท่าใด?
นั่นคือ 1/6

Bulgarian: 
Това е равно на...
можем да изнесем пи.
от 0 до 1, х – х^2, dх,
което е равно на пи по...
да видим, примитивната функция
на х е х^2 / 2.
Примитивната функция на х^2
е х^2 върху 3... извинявам се,
х^3 върху 3.
И ще изчислим това от 0 до 1.
Това е равно на...
свършва ми мястото.
Ще превъртя малко надолу.
Това е равно на пи по...
ще сметнем това цялото за 1,
получаваме, да видим,
получаваме 1/2 минус 1/3.
И от това ще извадим
изчисленото за 0,
но то ще е просто 0.
о^2 /2 минус 0,
0^3.
Всичко това е нула.
И когато извадим 0,
оставаме само с този
израз ето тук.
Колко е 1/2 минус 1/3?

Korean: 
π로 묶을 수 있겠네요
그럼 이 식은
0에서 1까지 (x-x²)dx에  π를 곱한게 되죠
x를 적분하면 (x²)/2가 됩니다
x²을 적분하면
(x³)/3이 되죠
그리고 이를 0에서 1까지
적분해봅시다
이를 계산하면
쓸 공간이 부족하네요
잠깐 오른쪽으로 옮겨갈까요
계산 결과는 π 곱하기
이 식에 1을 대입해보면
1/2-1/3이 되겠네요
1/2-1/3이 되겠네요
이제 0을 대입해서 빼야하는데
0을 대입하면 그냥 0이 되죠
{(0²)/2}-{(0³)/3}
계산하면 0이 됩니다
식에서 0을 빼면
그냥 여기 있는 식이 남죠
(1/2)-(1/3)이 뭐죠?
1/6이죠

English: 
So this is going to be equal
to-- we can factor out the pi.
0 to 1, x minus x squared dx,
which is equal to pi times--
let's see, the antiderivative
of x is x squared over 2.
The antiderivative of x squared
is x squared over 3-- sorry, x
to the third over 3.
And we're going to
evaluate this from 0 to 1.
So this is going to be
equal to-- I'm running out
of my real estate a little bit.
Let me scroll over to
the right a little bit.
So this is going to be
equal to pi times-- well,
when you evaluate
this whole thing at 1,
you get-- let's see,
you get 1/2 minus 1/3.
And then you subtract
it, evaluate it at 0,
but that's just going to be 0.
0 squared over 2 minus
0, 0 to the third power.
That's just all going to be 0.
So when you subtract
out 0, you're
just left with this
expression right over here.
What's 1/2 minus 1/3?
Well, that's 1/6.

Portuguese: 
Isto é 1/6.
E então ficamos com
isto igual a pi sobre 6,
que é a mesma coisa
que obtivemos no último vídeo.
Isso é porque 
fizemos o mesmo
que no último vídeo.
Apenas conceitualizamos
de um modo diferente.
Nós generalizamos em termos
de f de x e g de x.
E essencialmente
conceitualizamos como uma arruela,
em vez de fazer o método
do disco para a forma externa
e uma forma interna como
fizemos no último vídeo.
[legendado por tinyprog.tk]

Thai: 
นี่คือ 1/6
แล้วเราจะเหลือแค่ อันนี้เท่ากับพายส่วน 6
ซึ่งเท่ากับที่เราได้ในวิดีโอที่แล้วพอดี
และนั่นเป็นเพราะเราทำสิ่งเดียวกัน
ในวิดีโอที่แล้ว
เราแค่มองหลักการต่างออกไปเล็กน้อย
เราคิดโดยทั่วไปในรูปของ f ของ x กับ g ของ x
และเรามองหลักการว่ามันเป็นวงแหวน
แทนที่จะเป็นตามวิธีแบบจานของรูปด้านนอก
และรูปด้านใน อย่างที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว
 

Bulgarian: 
Това е 1/6.
И получаваме, че
е равно на пи върху 6,
което е същият резултат,
който получихме в предходното видео.
Това е така, защото направихме 
същото нещо като тогава.
Само разсъждавахме
малко по-различно.
Обобщихме го за f(х) и g(х).
Представихме си един пръстен,
за разлика от метода с
дисковете за външната част
и за вътрешната част, както
в предходното видео.

English: 
This is 1/6.
And so we're left with
this is equal to pi over 6,
which is the exact same thing
that we got in the last video.
And that's because we
did the exact same thing
that we did in the last video.
We just conceptualized it
a little bit differently.
We generalized it in terms
of f of x and g of x.
And we essentially
conceptualized it as a washer,
as opposed to doing the disk
method for an outer shape
and an inner shape like
we did in the last video.

Korean: 
이건 1/6입니다
그럼 이 식의 결과는 
π/6이 됩니다
저번 영상에서 구한 값과 
완전히 같죠
우리가 저번 영상에서 했던 것과
완전히 같은 것을 
했기 때문입니다
다른 방법으로 개념화했을 뿐이죠
우리는 그것을 f(x)와 g(x)를 통해  일반화한 것입니다
그리고 와셔를 이용해
근본적으로 개념화했죠
저번 영상에서 바깥쪽 모양에 대해
디스크법으로 부피를 구하고
안쪽 모양의 부피를 구한 것과는
대조적으로 말이에요
커넥트 번역 봉사단 | 김현수
