
Thai: 
 
ลองเปรียบเทียบความเหมือน
และแตกต่างระหว่าง
ดอทโปรดักกับครอสโปรดักกัน
ขอผมสร้างเวกเตอร์สองตัว 
-- วาดพวกมันเป็นภาพ
บางทีถ้าเรามีเวลา เราจะหา
ดอทและครอสโปรดักกับเวกเตอร์จริงกัน
 
ลองเรียกอันแรก -- นั่นคือมุมระหว่างพวกมัน
โอเค
ลองไปยังนิยาม แล้วเราค่อย
คิดสัญชาตญาณกัน
หวังว่า คุณคงพอมีสัญชาตญาณบ้างแล้ว
a ดอท b คืออะไร?

Spanish: 
Veamos un poco comparar y contrastar entre el punto
producto y el producto cruzado.
Permítanme hacer dos vectores--sólo visualmente dibujarlos.
Y tal vez si tenemos tiempo, nos va, realmente averiguar
algunos puntos y productos cruzados con vectores reales.
Vamos a llamar el uno primera--que es el ángulo entre ellos.
Vale.
Así que vamos a ir sobre las definiciones y luego te
trabajar en la intuición.
Y ojalá, tiene ya un poco de ambos.
¿Qué es un punto b?

Turkish: 
-
Şimdi nokta çarpımı ile çapraz çarpımı karşılaştıralım ve bu ikisi arasındaki farklılıkları bulalım.
-

English: 
Let's do a little compare and
contrast between the dot
product and the cross product.
Let me just make two vectors--
just visually draw them.
And maybe if we have time,
we'll, actually figure out
some dot and cross products
with real vectors.
Let's call the first one--
That's the angle between them.
OK.
So let's just go over the
definitions and then we'll
work on the intuition.
And hopefully, you have a little
bit of both already.
So what is a dot b?

Korean: 
 
이번 동영상에서는
내적과 외적을 비교해 봅시다.
벡터 2개를 그려 볼게요.
그리고 두 벡터를 외적, 내적을 했을 때
어떻게 되는지 알아보도록 합시다.
 
각각을 벡터 a, 벡터 b 라고 하고, 
가운데 각은 Θ 라고 합시다.
 
먼저 정의를 살펴보도록 합시다.
그 후에 그림으로 살펴보도록 합시다.
 
a • b는 무엇일까요?

iw: 
נערוך השוואה בין המכפלה הסקלרית, והמכפלה
הווקטורית, ונבדיל ביניהן.
אני אצייר שני וקטורים.
אם יהיה לנו זמן, נעשה חישובים
של שתי המכפלות.
זאת הזווית שביניהם.
בסדר.
נכתוב קודם את ההגדרות, ולאחר
מכן ננתח אותן.
אני מקווה שאתם כבר מבינים אותן.
למה שווה המכפלה הסקלרית של a עם b?

Chinese: 
下面我们就向量点乘和叉乘
进行一下比较（说矢量 向量都可以）
首先我画出两个向量 这样形象点
待会还有时间的话
我们可以探讨一下
实际向量的点乘与叉乘
标记它们是a和b 这是它们的夹角
好
我们先复习一下它们的定义
然后再直观地看一下
希望你已经对两者有了一些了解
那么 向量a点乘向量b等于多少呢？

Chinese: 
下面我們就向量點乘和叉乘
進行一下比較（說向量 向量都可以）
首先我畫出兩個向量 這樣形象點
待會還有時間的話
我們可以探討一下
實際向量的點乘與叉乘
標記它們是a和b 這是它們的夾角
好
我們先複習一下它們的定義
然後再直觀地看一下
希望你已經對兩者有了一些了解
那麽 向量a點乘向量b等於多少呢？

Bulgarian: 
Нека да разгледаме приликите и разликите 
между скаларното
и векторното произведение.
Ще начертая два вектора.
Ако имаме време, ще решим няколко 
скаларни и векторни произведения
с истински вектори.
Така. Ще начертая и другия вектор. 
Винаги правя остър ъгъл.
Ще ги означа. Бавя се при смяната на цветовете. Това е ъгълът между тях.
Първо ще преговорим дефинициите,
а след това
ще разгледаме логиката.
Надявам се, че вече знаеш
част от това.
Какво е a.b?

Bulgarian: 
Първо, това е същото като b.a.
При скаларното произведение 
редът няма значение, защото
се получава число.
То е равно на дължината на a
по дължината на b, по косинус 
от ъгъла между тях.
Каква е дефиницията 
на векторното произведение?
Какво е a X b?
Първо, това не е равно на b X a,
а всъщност е равно на обратната посока.
Представи си го като
отрицателното на b X a.
Защото крайният вектор, 
който получаваш, е обърнат
в зависимост от реда.
a X b е равно на дължината
на вектор a
по дължината на вектор b – 
дотук прилича
на скаларното произведение, 
но следва разликата –

English: 
Well first of all, that's the
exact same thing as b dot a.
Order does not matter when you
take the dot product because
you end up with just a number.
And that is equal to the
magnitude of a times the
magnitude of b times cosine
of the angle between them.
Let's look at the definition
of the cross product.
What is a cross b?
Well first of all, that does
not equal b cross a.
It actually equals the opposite
direction, or you
could view it as the negative
of b cross a.
Because the vector that you end
up with ends up flipped,
whichever order you do it in.
But a cross b, that is equal to
the magnitude of vector a
times the magnitude of vector
b-- so far, it looks a lot
like the dot product, but this
is where the diverge is--

Korean: 
먼저, a•b는 b•a와 같은 값을 가지죠.
내적을 한 결과는 스칼라 값이기 때문에
순서는 상관이 없지요.
그리고 a•b는 |a|•|b|•cos(Θ)와 같은 값을 가지게 됩니다.
 
그러면 외적의 정의를 살펴 보도록 합시다.
a x b는 무엇일 까요?
먼저, a x b는 b x a와는 다른 값을 가지게 됩니다.
서로 반대방향이고,
a x b = - b x a라고 볼 수도 있습니다.
 
 
a x b = |a|•|b|•sin(Θ)와 같은 값을 가지게 됩니다.
|a|•|b| 까지는 내적과 똑같지만,
그 뒤에 붙는 식이

iw: 
קודם כל, זה אותו הדבר כמו המכפלה הסקלרית
של b עם a.
כשלוקחים את המכפלה הסקלרית, הסדר לא
משנה, כי התוצאה היא מספר.
זה שווה לערך המוחלט של a, כפול הערך
המוחלט של b, כפול קוסינוס הזווית שביניהם.
עכשיו, ההגדרה של מכפלה וקטורית.
מהי המכפלה הווקטורית של a עם b?
קודם כל, היא אינה שווה למכפלה הווקטורית
של b עם a.
התוצאה היא בדיוק בכוון ההפוך.
אפשר להסתכל עליה כמינוס המכפלה הווקטורית
של b עם a.
כי וקטור התוצאה הוא בכוונים הפוכים,
תלוי בסדר.
המכפלה הווקטורית של a עם b, שווה לערך
המוחלט של וקטור a,
כפול הערך המוחלט של וקטור b - עד עתה, זה
נראה כמו המכפלה הסקלרית, אבל עכשיו הן
נבדלות -

Thai: 
ก่อนอื่น มันเท่ากับ b ดอท a
ลำดับไม่สำคัญเวลาคุณหาดอทโปรดักเพราะ
คุณจะได้ตัวเลขออกมา
และมันเท่ากับขนาดของ a คูณ
ขนาดของ b คูณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ลองดูนิยามของครอสโปรดักกัน
a ครอส b คืออะไร?
ก่อนอื่น มันไม่เท่ากับ b ครอส a
มันเท่ากับค่าตรงข้าม หรือคุณ
เขียนมันเป็นลบ b ครอส a ได้
เพราะเวกเตอร์ที่คุณได้จะพลิกกลับ
ไม่ว่าคุณจะคิดลำดับแบบไหน
แต่ a ครอส b มันเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ a
คูณขนาดของเวกเตอร์ b -- ถึงตอนนี้ มันดู
เหมือนดอทโปรดักมาก 
แต่นี่คือจุดที่มันแตกต่าง --

Chinese: 
首先要知道 a点乘b就等于b点乘a
点乘的时候向量的顺序是可以变而不影响结果的
因为最后得到的是个数
结果等于a的模
乘以b的模
再乘以向量夹角的余弦
很好 下面复习叉乘的定义
a x b等于多少呢？
首先 不同于点乘 它不等于b x a
相反的 它的方向跟b x a相反
或者可以写成 它等于-b x a
因为最后的向量会由于两向量交换顺序而反向
不管你用什么顺序来做叉乘
a x b等于
a的模乘以b的模-
写到这看起来很像点乘对不对
不过接下来它们的差别就来了

Chinese: 
首先要知道 a點乘b就等於b點乘a
點乘的時候向量的順序是可以變而不影響結果的
因爲最後得到的是個數
結果等於a的模
乘以b的模
再乘以向量夾角的餘弦
很好 下面複習叉乘的定義
a x b等於多少呢？
首先 不同於點乘 它不等於b x a
相反的 它的方向跟b x a相反
或者可以寫成 它等於-b x a
因爲最後的向量會由於兩向量交換順序而反向
不管你用什麽順序來做叉乘
a x b等於
a的模乘以b的模-
寫到這看起來很像點乘對不對
不過接下來它們的差別就來了

Spanish: 
Bueno antes que nada, que es exactamente lo mismo como punto b una.
No importa el orden cuando llevas el producto escalar porque
terminas con sólo un número.
Y que es igual a la magnitud de una veces la
magnitud de b veces el coseno del ángulo entre ellos.
Echemos un vistazo a la definición del producto Cruz.
¿Qué es una cruz b?
Bueno antes que nada, que se cruza b no es igual un.
Realmente es igual a la dirección opuesta, o usted
podía ver como el negativo de b Cruz una.
Porque termina el vector que terminas con volteado,
cualquier orden que hacer.
Pero una cruz b, que es igual a la magnitud del vector de un
veces la magnitud del vector b--hasta ahora, se ve mucho
como el producto escalar, pero esto es donde está el diverge--

Chinese: 
（接前边算式）再乘以向量夹角的正弦
夹角正弦
这里是最大的不同之处
因为在做点乘的时候
最后得到的是数字 只是个数而已
它是没有方向的 只是一个标量
但是叉乘就不一样了
用a的模乘以b的模再
乘以夹角正弦
这得到的是向量的模 但这个向量是有方向的
这个方向由a b共同的法向量来决定
同时要注意这个法向量取的是单位向量
单位向量在表示的时候 在字母上边加一个小帽子
这是那个单位向量 它的方向是什么呢？
它的方向是由右手定则决定的
这是向量n
它跟a和b都正交
现在你可能会想 我画的a和b
它们都在视频界面所在平面里
或者你们的屏幕的平面里
所以如果要画
跟两向量都正交的向量
它不是垂直射出屏幕

Chinese: 
（接前邊算式）再乘以向量夾角的正弦
夾角正弦
這裡是最大的不同之處
因爲在做點乘的時候
最後得到的是數字 只是個數而已
它是沒有方向的 只是一個純量
但是叉乘就不一樣了
用a的模乘以b的模再
乘以夾角正弦
這得到的是向量的模 但這個向量是有方向的
這個方向由a b共同的法向量來決定
同時要注意這個法向量取的是單位向量
單位向量在表示的時候 在字母上邊加一個小帽子
這是那個單位向量 它的方向是什麽呢？
它的方向是由右手定則決定的
這是向量n
它跟a和b都正交
現在你可能會想 我畫的a和b
它們都在影片界面所在平面裏
或者你們的屏幕的平面裏
所以如果要畫
跟兩向量都正交的向量
它不是垂直射出屏幕

Spanish: 
veces en el seno del ángulo entre ellos.
El seno del ángulo entre ellos.
Y esto es donde realmente diverge.
Cuando tomamos el producto escalar, acabamos
terminó con un número.
Esto es sólo un número.
No hay ninguna dirección aquí.
Esto es sólo una cantidad escalar.
Pero el producto cruzado, tomamos la magnitud de una veces la
magnitud de b, a veces el seno del ángulo entre ellos, y
proporciona una magnitud, pero también tiene una dirección.
Y esa dirección es proporcionada por este vector normal.
Es un vector unitario.
Un vector unitario obtiene ese sombrero poco sobre ella.
¿Es un vector de unidad, y es qué dirección?
Bien, es definido por la regla de la mano derecha.
Esto es un vector.
Es perpendicular a ambos una y b.
Y, a continuación, usted podría decir, a y b, la forma que señala a ellos,
están sentado en el plano de esta pantalla de vídeo, o
su pantalla de vídeo.
Así para que algo sea perpendicular a ambas
Estos, cualquiera tiene que salir de la pantalla o pop en

English: 
times the sine of the
angle between them.
The sine of the angle
between them.
And this is where it
really diverges.
When we took the dot
product, we just
ended up with a number.
This is just a number.
There's no direction here.
This is just a scalar
quantity.
But the cross product, we take
the magnitude of a times the
magnitude of b, times the sine
of the angle between them, and
that provides a magnitude, but
it also has a direction.
And that direction is provided
by this normal vector.
It's a unit vector.
A unit vector gets that
little hat on it.
It's a unit vector, and
what direction is it?
Well, that's defined by
the right hand rule.
This is a vector.
It's perpendicular
to both a and b.
And then you might say, a and
b, the way I drew them,
they're both sitting in the
plane of this video screen, or
your video screen.
So in order for something to
be perpendicular to both of
these, it either has to pop out
of the screen or pop into

Korean: 
여기에서는 sin(Θ)가 붙게 된다는 점이 다릅니다.
 
그 다음으로 완전히 다른 게 더 추가 되는데,
내적을 계산하면
스칼라 값이 나오게 됩니다.
숫자로 나오게 됩니다.
방향성이 존재하지 않아요.
이를 스칼라라고 하죠.
그런데, 외적을 하게 되면
|a|•|b|•sin(Θ) 라는 크기 뿐 아니라
방향 또한 가지게 됩니다.
그리고 그 방향을 법선 벡터로 표시합니다.
이 벡터는 단위벡터로
위에 ^표시를 해주게 됩니다.
단위벡터면 크기는 1일텐데, 방향은 어디일까요?
방향은 오른손 법칙을 이용해서 정의합니다.
이 벡터는
a 벡터와 b 벡터에 모두 수직한 벡터입니다.
제가 그린 두 벡터가
모두 화면의 평면상에 존재하고 있다고
할 때,
두 벡터에 모두 수직이기 위해서는
화면 밖으로 나오는 방향이거나,

iw: 
כפול סינוס הזווית שביניהם.
הסינוס של הזווית שביניהם.
וכאן בא ההבדל.
כשמחשבים את המכפלה הסקלרית,
התוצאה היא מספר.
זה רק מספר.
אין פה כוון.
זה גודל סקלרי.
במכפלה הווקטורית, לוקחים את הערך המוחלט
של a, כפול
הערך המוחלט של b, כפול סינוס הזווית
שביניהם,
וזה נותן ערך מסוים, שיש לו גם כוון.
והכוון מוגדר על ידי הווקטור הנורמלי הזה.
זה וקטור יחידה.
לווקטור יחידה "מלבישים" כובע כזה.
זה וקטור יחידה. מהו כוונו?
הכוון מוגדר על ידי כלל יד ימין.
זה וקטור.
הוא מאונך גם ל- a, וגם ל- b.
הווקטורים a ו- b,
שניהם יושבים על
המסך שלכם.
כדי שמשהו יהיה מאונך לשניהם,
או שהוא יוצא החוצה מהמסך, או נכנס

Thai: 
คูณไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
และนี่คือจุดที่มันต่างกัน
เมื่อเราหาดอทโปรดัก เรา
ได้แต่ตัวเลขมา
นี่เป็นแค่ตัวเลข
มันไม่มีทิศตรงนี้
นี่ก็แค่ปริมาณสเกลาร์
แต่ครอสโปรดัก เราหาขนาดของ a คูณ
ขนาดของ b คูณไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
และมันจะให้ขนาด แต่มันยังให้ทิศด้วย
และทิศนั้นกำหนดโดยเวกเตอร์ตั้งฉากนี้
มันคือเวกเตอร์หน่วย
เวกเตอร์หน่วยมีหมวกข้างบน
มันคือเวกเตอร์หน่วย และทิศของมันคืออะไร?
มันกำหนดด้วยกฎมือขวา
นี่คือเวกเตอร์
มันตั้งฉากกับทั้ง a และ b
แล้วคุณอาจบอกว่า a กับ b วิธีที่ผมวาด
พวกมันอยู่บนระนาบของหน้าจอวิดีโอนี้
หน้าจอของคุณ
เพื่อให้มันตั้งฉากกับเวกเตอร์
ทั้งสอง มันต้องพุ่งออกจากหน้าจอ หรือพุ่งเข้า

Bulgarian: 
умножено по синуса 
на ъгъла между тях.
Синус на ъгъла между тях.
Тук разликата е съществена.
При скаларното произведение
се получава само едно число.
Имаме само едно число.
Тук няма посока.
Това е скаларна величина.
Но при векторното произведение 
умножаваме дължината на a
по дължината на b, по 
синус на ъгъла между тях,
и се получава дължина,
но също и посока.
Тази посока е представена 
от този нормален вектор.
Това е единичен вектор.
На него се поставя тази шапчица.
Каква е посоката на единичния вектор?
Това се определя чрез 
правилото на дясната ръка.
Това е вектор.
Той е перпендикулярен и на a, и на b.
По начина, по който 
съм ги начертал,
a и b лежат в равнината
на екрана ти.
За да може нещо 
да е перпендикулярно и на двете,

Bulgarian: 
трябва да сочи навън от екрана или
навътре в него.
Когато учихме векторното 
произведение, казах,
че има два начина за показване 
на вектор, сочещ навън.
Изглежда така, защото това е 
върхът на стрелката.
А това е вектор, сочещ
навътре в екрана,
защото това е краят на стрелката.
Задната част на стрелката.
Как да знаем дали сочи 
навън или навътре?
И двата вектора са 
перпендикулярни на a и b.
Ще използваш ръката си за
правилото на дясната ръка.
Показалецът ти трябва да сочи
в посоката на a,
средният ти пръст – 
в посоката на b, а палецът ти
сочи в посоката на n.
Да го направим.
Гледам ръката си.
Не е много лесно да се направи
дясната ръка,
но тя ще изглежда така.
Показалецът ти е в посоката на a,
средният ти пръст – в посоката на b.

Korean: 
또는 화면 안으로 들어가는 방향이어야 하겠죠.
그리고, 여러분이 외적에 대해서 배웠을 때,
화면에서 나오는 방향이나 
들어가는 방향을 표시하는 방법을 배웠을 거에요.
화면에서 나오는 벡터를 표시할 때는
 화살촉 모양을 닮은 이 모양으로 표시하고
화면 안으로 들어가는 벡터는
이렇게 표시하는데
화살의 꼬리 부분을 닮았어요.
그러면, 둘 중 어느 것인지 어떻게 구별할 수 있을까요?
이 두 벡터가 모두 a와 b 벡터에 수직인데
오른손법칙을 통해서 그 방향을
알아낼 수 있다고 했죠.
검지는 a 벡터의 방향으로,
중지는 b 벡터의 방향을 가리키면
엄지는 법선 벡터의 방향을 가리킬거에요.
한 번 해 봅시다.
제 손을 좀 보고 그려야겠네요.
오른손을 보면서 오른손으로 그리는게 쉽지는 않은데,
여러분의 오른손은 아마 이렇게 보일거에요.
검지는 a 벡터의 방향을,
중지는 b 벡터의 방향을 가리키도록 합시다.

Spanish: 
¿la pantalla derecha?
Y cuando has aprendido sobre el producto cruzado, dije que hay
dos formas de mostrar un vector apareciendo fuera de la pantalla.
Parece que debido a es la punta de una flecha.
Y para mostrar un vector que va en la pantalla, es como
que debido a que es la parte de atrás de una flecha.
La parte trasera de una flecha.
Entonces, ¿cómo sabe usted cuál de estos dos es?
Porque ambos de estos vectores son perpendiculares a una y b.
Que es donde usted tomar la mano derecha y utiliza la
regla de la mano derecha.
Para tomar su dedo índice en la dirección de una, su
dedo medio en la dirección de b y luego el pulgar
apunta en la dirección de n.
Así que vamos a hacer eso.
Estoy mirando mi mano.
No es una cosa fácil de hacer con su mano derecha, pero su
mano derecha se va a ver algo como esto.
El dedo índice va en la dirección de un.
El dedo medio va en la dirección de b.

Chinese: 
就是要垂直射入
在之前学习叉乘的时候
我说有两种方法
这表示向量射出屏幕
这看起来像是箭的顶部
如果要表示垂直射入屏幕呢
就是这个样子的 因为这是箭的后部
箭的尾巴
那么怎么来确定到底是垂直射入还是射出呢？
如你所见 这两个都是与a b同时正交的
这就是拿出右手来
使用右手定则的时候了
将右手食指指向a的方向
中指指向b的方向
这时拇指的方向就是向量n的方向
来试一下
我先参考一下我的手
做起来不简单啊
你的右手应该是像这个样子的
你的食指 指向a
中指指向b

iw: 
אל תוך המסך, נכון?
כשלמדנו את המכפלה הווקטורית, ראינו
את הסימון של וקטור היוצא החוצה מהמסך.
זה נראה ככה, כי זה החוד של החץ.
ראינו גם איך לסמן וקטור הנכנס אל תוך המסך.
זה נראה ככה, כי זה הצד האחורי של החץ.
זה הקצה האחורי של החץ.
איך אנחנו יודעים לאיזה כוון מכוונת התוצאה?
שני הווקטורים האלה מאונכים, גם ל- a, וגם ל- b.
פה נכנס לפעולה
כלל יד ימין.
לוקחים את האצבע המורה בכוון של a,
את האמה בכוון של b, והאגודל
מכוון לכוון של n.
נעשה זאת.
אני מסתכל על יד ימיני.
זה לא כל כך קל לצייר את זה. יד ימין
שלכם תיראה משהו כזה.
האצבע המורה בכוון שלa.
האמה בכוון של b.

Chinese: 
就是要垂直射入
在之前學習叉乘的時候
我說有兩種方法
這表示向量射出屏幕
這看起來像是箭的頂部
如果要表示垂直射入屏幕呢
就是這個樣子的 因爲這是箭的後部
箭的尾巴
那麽怎麽來確定到底是垂直射入還是射出呢？
如你所見 這兩個都是與a b同時正交的
這就是拿出右手來
使用右手定則的時候了
將右手食指指向a的方向
中指指向b的方向
這時拇指的方向就是向量n的方向
來試一下
我先參考一下我的手
做起來不簡單啊
你的右手應該是像這個樣子的
你的食指 指向a
中指指向b

Thai: 
ไปในหน้าจอ จริงไหม?
และเมื่อคุณเรียนเกี่ยวกับครอสโปรดัก 
ผมบอกว่ามี
วิธีแสดงวิธีพุ่งเข้าออกจออยู่สองวิธี
มันหน้าตาอย่างนั้น เพราะมันคือหัวลูกศร
และเวลาแสดงเวกเตอร์เข้าไปในหน้าจอ มัน
จะเป็นแบบนั้นเพราะนั่นคือหางลูกศร
ด้านหลังของลูกศร
แล้วคุณรู้ได้อย่างไรว่ามันเป็นอันไหน?
เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งสองแบบนี้ตั้งฉาก
กับ a และ b
นั่นคือจุดที่คุณใช้กฎมือขวา และคุณใช้
กฏมือขวา
คุณก็นำนิ้วชี้มาวางในทิศของ a
นิ้วกลางอยู่ในทิศของ b แล้วนิ้วโป้ง
จะชี้ในทิศของ n
ลองทำกันดู
ผมกำลังดูมือผมอยู่
มันไม่ง่ายเวลาใช้มือขวา แต่
มือขวาจะเป็นแบบนี้
นิ้วชี้คุณจะไปในทิศของ a
นิ้วกลางคุณจะไปในทิศของ b

English: 
the screen, right?
And when you learned about the
cross product, I said there's
two ways of showing a vector
popping out of the screen.
It looks like that because
that's the tip of an arrow.
And to show a vector going into
the screen, it's like
that because that is the
back of an arrow.
The rear end of an arrow.
So how do you know which
of these two it is?
Because both of these vectors
are perpendicular to a and b.
That's where you take your right
hand and you use the
right hand rule.
So you take your index finger
in the direction of a, your
middle finger in the direction
of b, and then your thumb
points in the direction of n.
So let's do that.
I'm looking at my hand.
It's not an easy thing to do
with your right hand, but your
right hand is going to look
something like this.
Your index finger will go
in the direction of a.
Your middle finger goes
in the direction of b.

iw: 
זאת האמה שלי.
יתר שתי האצבעות מונחות כפי שצריך.
אני מקפל אותן.
הן מתקפלות סביב היד.
לאיזה כוון מכוון האגודל?
ציירתי את היד בזווית לא טובה.
האגודל שלי הולך בכוון הזה, נכון?
אל תוך המסך.
זה החלק העליון של היד שלי.
אלה הוורידים.
אצייר את זה יותר טוב,
במבט צד - זה ייראה ככה.
אתם רואים את הזרת.
כף היד והזרת שלכם ייראו ככה.
האצבע הנוספת תיראה ככה.
האמה הולכת בכוון של b,
האצבע המורה הולכת בכוון של a,
ואתם אפילו לא תראו את האגודל שלכם, כי
הוא מצביע פנימה.
אני מניח שהבנתם. במכפלה הווקטורית של a
עם b, וקטור n מכוון אל תוך המסך.
זה וקטור יחידה.
וזה נותן לנו את הערך המוחלט.
וקטור יחידה הוא בעל ערך מוחלט 1.

Chinese: 
這是我的中指
我的其他兩個手指就呆在需要呆的地方了
比較喜歡讓它們這麽蜷著
無名指和小指就蜷曲著吧
我的拇指是指向什麽方向呢？
我把拇指畫錯角度了
實際應該是這個方向的
是指向紙內的
這是手背 這些就當是血管吧
或者 如果我畫對了的話
你可以從側面看自己的手
看起來會像這樣
你可以看到你的小指
手掌和小指會是這樣的
還有其他的手指
中指指向b的方向
食指指向a的方向
你根本看不到你的拇指
因爲拇指指向垂直向下
不管怎樣 你應該能明白 a x b
向量n是垂直向下的
這是單位向量 前邊是所得向量的模
因爲單位向量模是1

Chinese: 
这是我的中指
我的其他两个手指就呆在需要呆的地方了
比较喜欢让它们这么蜷着
无名指和小指就蜷曲着吧
我的拇指是指向什么方向呢？
我把拇指画错角度了
实际应该是这个方向的
是指向纸内的
这是手背 这些就当是血管吧
或者 如果我画对了的话
你可以从侧面看自己的手
看起来会像这样
你可以看到你的小指
手掌和小指会是这样的
还有其他的手指
中指指向b的方向
食指指向a的方向
你根本看不到你的拇指
因为拇指指向垂直向下
不管怎样 你应该能明白 a x b
向量n是垂直向下的
这是单位向量 前边是所得向量的模
因为单位向量模是1

Spanish: 
Ese es mi dedo medio.
Y luego mis otros dos dedos hacer sólo lo que necesitan hacer.
Me gusta doblarlas justo fuera del camino.
Tan sólo curl alrededor de mi mano.
¿Y entonces qué dirección es mi pulgar en?
Mi pulgar--bien, realmente dibujó en el ángulo equivocado.
¿Mi pulgar realmente va en esta dirección, correcta?
En la página.
Esta es la parte superior de mi mano.
Estos son como mis venas.
O, si realmente dibujaba lo correctamente, donde verá
la mano de lado--de manera que se vería como este.
Se podría ver su pinky.
Su palma y su pinky sería así.
Y el otro dedo como este.
El dedo medio iría en la dirección de b.
El dedo índice va en la dirección de a y
incluso no veía el pulgar, porque está apuntando su dedo pulgar
recto hacia abajo.
Pero creo que obtendrá el punto.
a b Cruz, este vector n es
apuntando hacia abajo.
Es un vector unitario.
Y esto proporciona la magnitud.
Vector unitario sólo significa que tiene una magnitud de uno.

Bulgarian: 
Това е средният ми пръст.
Другите ми два пръста не правят нищо.
Обикновено ги свивам.
Старая се да ги нарисувам.
Свивам ги ето така.
В каква посока е палецът ми?
Нарисувах го под грешен ъгъл.
Палецът ми всъщност сочи в тази посока.
Навътре в страницата.
Това е опакото на ръката ми.
Това са вените ми.
Ако го нарисувам правилно, ще видиш
ръката си отстрани, ето така.
Ще виждаш кутрето си.
Дланта и кутрето ти ще стоят така.
А другият ти пръст ето така.
Средният ти пръст сочи в посоката на b.
Показалецът ти сочи в посоката на a.
Няма да виждаш палеца си,
защото той ще сочи надолу.
Мисля, че придоби представа. 
Този вектор n
сочи навътре.
Това е единичният вектор
и той предоставя дължината.
Нарича се единичен, защото 
дължината му е 1.

English: 
So that's my middle finger.
And then my other two fingers
just do what they need to do.
I like to just bend them
out of the way.
So they just curl
around my hand.
And then what direction
is my thumb in?
My thumb-- well, actually I drew
it at the wrong angle.
My thumb is actually going
in this direction, right?
Into the page.
This is the top of my hand.
These are like my veins.
Or, if I actually drew it
correctly, where you would see
your hand from side-- so it
would look like this.
You would see your pinky.
Your palm and your pinky
would be like that.
And your other finger
like this.
Your middle finger would go
in the direction of b.
Your index finger goes in the
direction of a, and you
wouldn't even see your thumb,
because your thumb is pointing
straight down.
But I think you get the point.
a cross b, this n vector is
pointing straight down.
It's a unit vector.
And this provides
the magnitude.
Unit vector just means it
has a magnitude of one.

Korean: 
이게 중지고,
나머지 두 손가락은 그냥 그리도록 할게요.
두 손가락은 그냥 구부러져 있다고 할게요.
 
 
그러면 엄지의 방향은 어디가 될까요?
그림의 방향이 약간 잘못 되었는데,
엄지는 이 방향을 향하겠네요.
화면 안쪽으로요.
이 곳이 제 손의 위쪽 입니다.
여기에 혈관이 보이겠네요.
정확하게 그리자면
손은 옆에서 보이겠죠. 이렇게 보일거에요.
여기에 새끼손가락이 보일거에요.
엄지손가락과 손바닥이 이렇게 보일거에요.
그리고 나머지 손가락은 이렇게 되겠네요.
중지는 b의 방향을 가리키고
검지는 a의 방향을 가리키고
엄지손가락은 보이지 않겠지만
아래쪽을 가리키고 있을 거에요.
그림은 조금 이상하지만, 
어느 정도 감은 잡으셨을 것 같아요.
a X b을 계산한 단위벡터인 n벡터는
아래 방향을 가리키겠네요.
이 식을 계산하면 크기를 구할 수 있어요.
단위벡터는 크기가 1인 벡터를 가리키죠.

Thai: 
นั่นคือนิ้วกลางของผม
แล้วนิ้วที่เหลือสองนิ้วจะวางตัวของมันไป
ผมแค่ต้องงอมันไป
 
มันโค้งรอบนิ้วมือผม
แล้วทิศของนิ้วโป้งล่ะ?
นิ้วโป้ง -- ที่จริง ผมวาดผิดมุม
นิ้วโป้งผมจะชี้ในทิศนี้ จริงไหม?
เข้าไปในหน้าจอ
นี่คือด้านบนของมือผม
พวกนี้คือเส้นเลือด
หรือถ้าผมวาดมันให้ถูกจริงๆ คุณจะเห็น
มือผมจากด้านข้าง -- มันจะเป็นแบบนี้
คุณจะเห็นนิ้วก้อยด้วย
ฝ่ามือและนิ้วก้อยจะเป็นแบบนั้น
และนิ้วที่เหลือเป็นแบบนี้
นิ้วกลางจะไปในทิศของ b
นิ้วชี้ไปในทิศของ a และคุณ
จะไม่เห็นนิ้วโป้ง เพราะนิ้วโป้งจะชี้
ลงไปตรงๆ
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ a ครอส b
เวกเตอร์ n นี้
กำลังชี้ลง
มันคือเวกเตอร์หน่วย
และอันนี้ให้ขนาด
เวกเตอร์หน่วยหมายความว่ามันมีขนาดเป็น 1

Spanish: 
Así parecen las magnitudes de la Cruz y los productos de punto
bastante cerca.
Ambos tienen la magnitud de ambos vectores allí.
Producto escalar, theta de coseno.
Seno de producto cruzado de theta.
Pero entonces, la gran diferencia es sine
de theta tiene una dirección.
Es un vector diferente que es
perpendicular a ambos.
Ahora, vamos a obtener la intuición.
Y si has visto los videos sobre el punto y la
producto cruzado, esperemos que tienes un poco intuición.
Pero revisarlo porque creo que se adapta a todos juntos
Cuando los ves uno con el otro.
En primer lugar, vamos a estudiar una, coseno b de theta.
Si vieron el coseno de video, producto escalar de theta, si usted
tomó, vamos a decir, b coseno de theta.
¿Qué es el coseno de b de theta?
coseno de b de theta--y usted podría work it out en su propio

Thai: 
ขนาดของครอสโปรดัก กับดอทโปรดัก
ดูใกล้เคียงกัน
พวกมันมีขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองในนั้น
ดอทโปรดัก โคไซน์เธต้า
ครอสโปรดัก ไซน์เธต้า
แต่ ความแตกต่างใหญ่หลวงคือว่าครอส
โปรดักนั้นมีทิศ
มันเป็นเวกเตอร์อีกอัน
ตั้งฉากกับสองตัวนี้
ทีนี้ ลองหาสัญชาตญาณกัน
และถ้าคุณได้ดูวิดีโอเรื่องดอทกับ
ครอสโปรดักแล้ว คุณคงได้สัญชาตญาณบ้าง
แต่ผมจะทบทวนเเพราะมันเข้ากันได้ลงตัว
เมื่อคุณดูสองอย่างไปด้วยกัน
 
อย่างแรก ลองดู a, b โคไซน์ของเธต้ากัน
ถ้าคุณดูวิดีโอเรื่องดอทโปรดัก 
โคไซน์ของเธต้า ถ้าคุณ
คิด สมมุติว่า b โคไซน์ของเธต้า
b โคไซน์ของเธต้าคืออะไร?
b โคไซน์ของเธต้า -- คุณหาเองได้

iw: 
הערכים של המכפלה הסקלרית, והמכפלה
הווקטורית,
נראים די קרובים.
בשניהם יש את הערכים המוחלטים של שני
הווקטורים.
במכפלה סקלרית, קוסינוס טטה.
במכפלה וקטורית, סינוס טטה.
אבל, ההבדל הגדול הוא שלמכפלה
הווקטורית יש כוון.
התוצאה היא וקטור אחר שהוא
מאונך לשני אלה.
עכשיו, ננסה להבין את זה יותר טוב.
אם ראיתם את הסירטונים בנושא מכפלה
סקלרית ומכפלה וקטורית, אני מניח
שהנושא מובן.
אני עורך כאן חזרה, כי אני חושב שכשרואים
את שתיהן ביחד, זה מחזק את ההבנה.
נטפל קודם ב- a, כפול b קוסינוס טטה.
אם ראיתם את הסירטון על מכפלה סקלרית,
שם דיברנו על b קוסינוס טטה.
מה זה b קוסינוס טטה?
אתם יכולים לחשוב על זה בעצמכם.

Bulgarian: 
Дължините на скаларното и векторното 
произведение изглеждат
доста сходни.
И двете имат дължините
на тези два вектора.
Скаларно произведение – 
косинус на тита.
Векторно произведение – 
синус на тита.
Разликата идва от там,
че синусът на тита
има посока.
Това е различен вектор,
перпендикулярен на тези двата.
Да придобием по-обща представа.
Надявам се, че ако си гледал/а
видеоклиповете за
скаларното и векторното произведение, 
имаш някаква представа.
Разглеждам ги отново, защото 
мисля, че всичко си идва на мястото,
когато ги разглеждаме заедно.
Ще ги изтрия по този начин.
Първо ще разгледаме a.b 
по косинус на тита.
Както във видеоклипа 
за скаларното произведение,
ще вземем b по косинус от тита.
Колко е b по косинус от тита?
Можеш да си го изчислиш 
самостоятелно.

English: 
So the magnitudes of the cross
and the dot products seem
pretty close.
They both have the magnitude
of both vectors there.
Dot product, cosine theta.
Cross product sine of theta.
But then, the huge difference
is that sine
of theta has a direction.
It is a different
vector that is
perpendicular to both of these.
Now, let's get the intuition.
And if you've watched the videos
on the dot and the
cross product, hopefully you
have a little intuition.
But I review it because I think
it all fits together
when you see them
with each other.
First, let's study a,
b cosine of theta.
If you watched the dot product
video, cosine of theta, if you
took, let's say, b
cosine of theta.
What is b cosine of theta?
b cosine of theta-- and you
could work it out on your own

Chinese: 
所以叉乘所得的向量模
和點乘看起來形式很像
都是兩向量模相乘
只不過點乘是乘夾角餘弦
叉乘是乘夾角正弦
不過 最大的區別是
夾角正弦是有方向的
這是一個和a b都
正交的向量
現在我們直觀看一下
如果之前點乘和叉乘的影片
你都看過的話
你應該會有一些直觀感受的
我會給大家複習一遍
因爲當把點乘和叉乘放在一起的時候
會看到它們是多麽完美的一對概念
首先來研究ab再乘以夾角餘弦
在單獨介紹點乘的影片中也提到過
如果把b和夾角餘弦相乘
會得到什麽呢？
當然你可以用自己課下時間
仔細想想--

Korean: 
외적과 내적의 크기는 
거의 비슷할 것이라고 생각이 됩니다.
 
외적과 내적 모두 각각의 벡터크기를 곱하고
내적은 cosΘ를 곱하고
외적은 sinΘ를 곱하니까요.
하지만 외적과 내적의 가장 큰 차이점은
sinΘ는 방향을 가지고 있다는 점입니다.
이 벡터는
두 벡터에 모두 수직인 방향을 가리키고 있습니다.
이제, 그림을 통해서 살펴봅시다.
만약 여러분이 외적과 내적에 관련된 비디오를 보셨다면
어느 정도는 알고 계실 거에요.
하지만 한번 다시 짚고 넘어가려고 해요.
 
 
먼저, |a|*|b|*cos(Θ)를 살펴봅시다.
만약 여러분이 내적에 관한 비디오를 보셨다면
cos(Θ) 가 아닌 b*cos(Θ)의 의미를 아실 거에요.
b*cos(Θ)의 의미는 어떻게 될까요?
직접 알아보실 수도 있어요.

Chinese: 
所以叉乘所得的向量模
和点乘看起来形式很像
都是两向量模相乘
只不过点乘是乘夹角余弦
叉乘是乘夹角正弦
不过 最大的区别是
夹角正弦是有方向的
这是一个和a b都
正交的向量
现在我们直观看一下
如果之前点乘和叉乘的视频
你都看过的话
你应该会有一些直观感受的
我会给大家复习一遍
因为当把点乘和叉乘放在一起的时候
会看到它们是多么完美的一对概念
首先来研究ab再乘以夹角余弦
在单独介绍点乘的视频中也提到过
如果把b和夹角余弦相乘
会得到什么呢？
当然你可以用自己课下时间
仔细想想--

Chinese: 
余弦是等于直角三角形中邻边比斜边
如果你在这作一条垂线
b的模乘以夹角余弦其实是-
在这用个不同的颜色
如果在这作垂线
这个长度 这是b乘以θ余弦
我另外画一个吧
不想让这个图看起来太乱
这是b
这是a 标记一下这是b
这是a
这是夹角θ
如果从这向a作一条垂线
这是直角符号
bcosθ
cosθ就是邻边比斜边
所以bcosθ其实是
b在a方向上的投影

English: 
time-- if you say cosine is
adjacent over hypotenuse, the
magnitude of b cosine theta is
actually going to be the
magnitude of, if you dropped a
perpendicular-- I'll use a
different color here-- if you
dropped a perpendicular here,
this length right here--
that's b cosine theta.
Let me draw it separately.
I don't want to mess up
this picture too much.
So if that's b.
If that's a-- And that's b.
That's a.
This is theta.
b cosine theta, if you drop a
line perpendicular to a, this
is a right angle.
b cosine theta, adjacent
over hypotenuse is
equal to cosine theta.
So it would be the projection
of b going in the same
direction as a.
So it would be this magnitude.

Thai: 
-- ถ้าคุณบอกว่าโคไซน์คือชิดส่วนฉาก
ขนาดของ b โคไซน์เธต้าจะเป็น
ขนาดของ ถ้าคุณลากเส้นตั้งฉาก -- ผมจะใช้
สีอีกสีตรงนี้ -- ถ้าคุณลากเส้นตั้งฉากตรงนี้
ความยาวนี่ตรงนี้ -- นั่นคือ b โคไซน์เธต้า
ขอผมวาดมันแยกกันนะ
ผมอยากทำภาพนี้เลอะเกินไป
ถ้านั่นคือ b
 
ถ้านั่นคือ a -- นั่นคือ b
นั่นคือ a
นี่คือเธต้า
b โคไซน์เธต้า ถ้าคุณลากเส้นตั้งฉากกับ a
นี่คือมุมฉาก
b โคไซน์เธต้า ชิดส่วนฉาก
เท่ากับโคไซน์เธต้า
มันจะเท่ากับโปรเจกชันของ b ไปในทิศ
เดียวกับ a
มันจะเท่ากับขนาดนี้

Spanish: 
tiempo--si dices coseno es adyacente sobre hipotenusa, el
magnitud de theta de coseno b realmente va a ser el
magnitud de, si usted deja caer una perpendicular--usaré un
color diferente aquí--si usted deja caer una perpendicular aquí,
Esta longitud correcta aquí--que es theta de coseno de b.
Permítanme dibujarlo por separado.
No quiero lío esta imagen demasiado.
Eso si es b.
Si eso s--Y que es b.
Esta es la una.
Esto es theta.
theta de coseno de b, si se le cae una línea perpendicular a,
es un ángulo recto.
theta de coseno de b, adyacente sobre hipotenusa es
igual a theta de coseno.
Así que sería la proyección de b va en el mismo
dirección como una.
Por lo que sería esta magnitud.

iw: 
קוסינוס זה ניצב ליד, חלקי היתר.
למה שווה b קוסינוס טטה?
אם אתם מציירים קו מאונך - אשתמש
בצבע אחר - אם אתם מציירים קו מאונך כאן,
האורך הזה כאן, הוא b קוסינוס טטה.
אצייר את זה בנפרד.
אני לא רוצה לקלקל את הציור הזה.
אם זה b.
אם זה a, וזה b.
זה a.
זאת טטה.
אם מורידים אנך ל- a, זאת
זווית ישרה.
ניצב ליד חלקי היתר שווה
לקוסינוס של טטה.
ההיטל של b בכוון של a,
הוא b קוסינוס טטה.
זה הגודל הזה.

Bulgarian: 
Косинусът е равен на прилежащия 
катет към хипотенузата.
На колко е равно дължината
на b по косинус от тита?
Ще начертая перпендикуляр.
Ще използвам различен цвят.
Тази дължина тук е b 
по косинус от тита.
Ще го направя отделно.
Не искам да претоварвам чертежа.
Това е b.
Ще използвам инструмента 
за чертане на линии.
Това е вектор a. За останалото ще използвам 
един и същ цвят, за да спестя време.
Това е b, а това – a.
Това е тита.
b по косинус от тита... Ще спусна 
перпендикуляр към a.
Това е прав ъгъл.
Прилежащият катет към хипотенузата е
равно на косинус на тита.
b по косинус от тита е 
проекцията на b
в посоката на a.

Korean: 
cos이 아랫변/빗변 이니까
|b|*cosΘ는
a 벡터에 수직으로 내린
길이가 될거에요.
이 값이 |b|*cosΘ가 되겠죠.
따로따로 그려야 겠네요.
한 그림에 너무 많이 그리면 복잡해 보이겠어요.
이 벡터가 b 벡터에요.
 
그리고 이 벡터가 a 벡터에요.
 
여기가 Θ고요.
|b|*cosΘ는, b 벡터를 a 벡터에 수직으로
내렸을 때,
cos이 아랫변/빗변이니까
 
b를 a 방향으로 정사영한 것과 같은
크기일 거에요.
그러면 이 길이가 크기가 되겠네요.

Chinese: 
餘弦是等於直角三角形中鄰邊比斜邊
如果你在這作一條垂直線
b的模乘以夾角餘弦其實是-
在這用個不同的顏色
如果在這作垂直線
這個長度 這是b乘以θ餘弦
我另外畫一個吧
不想讓這個圖看起來太亂
這是b
這是a 標記一下這是b
這是a
這是夾角θ
如果從這向a作一條垂直線
這是直角符號
bcosθ
cosθ就是鄰邊比斜邊
所以bcosθ其實是
b在a方向上的投影

Thai: 
 
นั่นคือ b โคไซน์เธต้า
ขนาดของเวกเตอร์ตรงนั้น
คือขนาดของ b โคไซน์ของเธต้า
เมื่อคุณหาดอทโปรดัก อย่างน้อยตัวอย่าง
ที่ผมทำ ถ้าคุณมองมันเป็นขนาดของ a คูณ
ขนาดของ b โคไซน์เธต้า คุณกำลังบอกว่า b
ส่วนใดชี้ไปในทิศเดียวกับ a บ้าง?
และขนาดนั้นไม่ว่าเป็นเท่าใด ผมจะคูณ
มันกับขนาดของ a
และผมได้ดอทโปรดักนี้
ลองนำส่วนที่ไปในทิศเดียวกันมา
แล้วคูณพวกมัน
พวกมันไปด้วยกันมากแค่ไหน?
หรือพวกมันชี้ไปด้วยกันไหม?
หรือคุณมองมันกลับกันก็ได้
คุณมองดอทโปรดักเป็น -- ผมทำอันนี้ไปใน
วิดีโอเรื่องดอทโปรดัก -- 
คุณมองมันเป็น a โคไซน์ของเธต้า b ได้
เพราะลำดับไม่สำคัญ
มันเป็นปริมาณสเกลาร์หมด มันจึง
ไม่เกี่ยวว่าคุณจะคูณลำดับยังไง
และโคไซน์เธต้าก็เหมือนเดิม

iw: 
זה b קוסינוס טטה.
הגודל של הווקטור כאן, הוא
הערך המוחלט של b קוסינוס טטה.
כשלוקחים את המכפלה הסקלרית,
לפחות בדוגמה
שאני עשיתי, כשמסתכלים על הערך המוחלט
של a, כפול
הערך המוחלט של b קוסינוס טטה, מסתכלים על
החלק של b שהולך בכוון של a.
מה שלא יהיה הערך המוחלט הזה, מכפילים אותו
בערך המוחלט של a.
זאת המכפלה הסקלרית.
לוקחים את החלקים שהולכים באותו הכוון
ומכפילים אותם.
בכמה הם נעים ביחד,
או בכמה הם מצביעים לאותו כוון.
אפשר גם להסתכל על זה בצורה השנייה.
כפי שעשיתי זאת בסירטון על המכפלה הסקלרית,
אפשר להסתכח עליה כ- a קוסינוס טטה,
כפול b.
כי הסדר לא משנה.
כל אלו הם גדלים סקלרים, כך שלא
משנה באיזה סדר מכפילים.
אותו דבר עם a קוסינוס טטה.

Chinese: 
所以這就是那個長度
這就是bcosθ
所以剛作出的這個向量的長度
就是bcosθ
當你做點乘運算的時候
如果你把點乘的式子看成a乘
b乘cosθ
至少我剛做的例子是這樣
你其實是在求
b的哪一部分跟a的方向相同
不管那部分是多長
就把它跟a的模相乘
這樣就得到了點乘的結果
就找到方向相同的部分
然後相乘
其實就是求 兩個向量方向相同的部分有多少？
或者共同指向某方向的部分有多少？
或者可以用另一種方式看
我在點乘影片裏也說過了
可以把點乘看成
（acosθ ）b
交整流乘順序是沒關係的
因爲這些都是純量
不管按什麽順序乘
都是可以的
acosθ 也是一樣的
就是a跟b同向

Bulgarian: 
Значи ще бъде тази дължина.
Това е b по косинус на тита.
Дължината на този вектор...
дължината на b по косинус от тита.
При скаларното произведение
в моя пример,
ако разгледаме дължината на a по
дължината на b по косинус от тита,
виждаме коя част от b
е в посоката на a.
Получената дължина се умножава по
дължината на a
и се получава 
скаларното произведение.
Ще вземем частите 
с една и съща посока,
и ще ги умножим.
Доколко имат обща посока,
т.е. сочат в една и съща посока.
Може да се разгледа и по друг начин.
Това го направих във видеоклипа 
за скаларното произведение.
Може да се разгледа като 
a по косинус от тита по b.
Защото няма значение.
Това са скаларни величини, така че
няма значение в какъв ред 
ги умножаваме.
a по косинус от тита е същото.

English: 
That is b cosine theta.
So the magnitude of that vector
right there is the
magnitude of b cosine
of theta.
So when you're taking the dot
product, at least the example
I just did, if you view it as
the magnitude of a times the
magnitude of b cosine theta,
you're saying what part of b
goes in the same
direction as a?
And whatever that magnitude is,
let me just multiply that
times the magnitude of a.
And I have the dot product.
Let's take the pieces that
go the same direction and
multiply them.
So how much do they
move together?
Or do they point together?
Or you could view it
the other way.
You could view the dot product
as-- and I did this in the dot
product video-- you could view
it as a cosine of theta, b.
Because it doesn't matter.
These are all scalar quantities,
so it doesn't
matter what order you take
the multiplication in.
And a cosine theta is
the same thing.

Korean: 
 
이 길이가 |b|*cosΘ가 되겠네요.
바로 이 벡터의 크기가
|b|*cosΘ에요.
그래서, 만약 여러분이 내적에 관해 공부할 때,
제가 했던 것처럼 여러분이
내적을 |a|*|b|*cosΘ로 본다면,
b의 어떤 성분이 a와 같은 방향으로 향하게 될까요?
크기가 어떻게 되든지 간에
a 와 같은 방향의  b벡터의 성분을 a 벡터의 크기과 곱해주면 됩니다.
그러면 내적의 값이 나오게 됩니다.
같은 방향의 성분을 구하고
이를 곱해봅시다.
 
 
아니면 다른 방식으로 살펴볼 수도 있어요.
내적에 관련된 비디오에서 그랬던 것처럼
|a|*cosΘ * |b|로 볼 수도 있어요.
cosΘ가 어디에 붙는지는 별로 상관이 없기 때문이죠.
모두 스칼라 양이기 때문에
곱하는 순서는 전혀 상관이 없겠죠.
그리고 cosΘ는 값이 일정하니까요.

Chinese: 
所以这就是那个长度
这就是bcosθ
所以刚作出的这个向量的长度
就是bcosθ
当你做点乘运算的时候
如果你把点乘的式子看成a乘
b乘cosθ
至少我刚做的例子是这样
你其实是在求
b的哪一部分跟a的方向相同
不管那部分是多长
就把它跟a的模相乘
这样就得到了点乘的结果
就找到方向相同的部分
然后相乘
其实就是求 两个向量方向相同的部分有多少？
或者共同指向某方向的部分有多少？
或者可以用另一种方式看
我在点乘视频里也说过了
可以把点乘看成
（acosθ ）b
交换相乘顺序是没关系的
因为这些都是标量
不管按什么顺序乘
都是可以的
acosθ 也是一样的
就是a跟b同向

Spanish: 
Es theta de coseno de b.
Por lo que es la magnitud de ese vector allí la
magnitud del coseno b de theta.
Así que cuando usted está tomando el producto escalar, por lo menos el ejemplo
Lo acabo de hacer, si lo ve como la magnitud de una veces la
magnitud de theta de coseno de b, usted está diciendo qué parte de b
¿va en la misma dirección como un?
Y sea de esa magnitud, déjame solo multiplicar
veces la magnitud de una.
Y tengo el producto escalar.
Tomemos las piezas que van en la misma dirección y
multiplicar en ellos.
¿Cuánto se mueven juntos?
¿O que apunten juntos?
O podría ver el otro lado.
Podría ver el producto escalar como--y lo hice en el punto
video de producto--podría verlo como un coseno de theta, b.
Porque no importa.
Estas son todas las cantidades escalares, por lo que no
importa qué orden que llevas la multiplicación en.
Y un theta de coseno es lo mismo.

Spanish: 
Es la magnitud de la un vector que va en el
misma dirección de b.
O la proyección de un a b.
Por lo que este vector aquí es un theta coseno; la magnitud de
un theta de coseno.
Y son realmente el mismo número.
Si llevas la cantidad de b va en la dirección de a, y
que se multiplican con la magnitud de una, que le da
el mismo número que la cantidad de una va en la dirección de b,
y luego multiplicar las dos magnitudes.
Ahora, ¿qué es un, theta de seno b?
a, b, theta sinusoidal.
Bueno si este vector aquí es un coseno theta--y usted
aprendí esto cuando aprendió a tomar la
componentes de vectores.
Este vector aquí es la magnitud de un theta sinusoidal.
Se podría reescribir esto como la magnitud de un theta sine
veces la magnitud de b en esa dirección del vector normal.
Así que si usted toma un seno theta veces b, usted está diciendo lo que
parte de un no va en la misma dirección que b.

Chinese: 
的部分的長度
或者說是a在b上的投影
所以這個向量（長度）就是
acosθ
這跟之前運算結果是一樣的
如果用b跟a同向的部分
跟a的模相乘
跟用b的模乘以
a跟b同向的部分
得到的數字是一樣的
那麽 absinθ是什麽呢？
absinθ
如果這個向量（長度）是acosθ
在學向量分解的時候
你學過這個的
這個向量（長度）就是asinθ
所以可以把這個式子重新寫成a的模乘以sinθ 再
乘以b的模再乘以法向量n
所以 如果用asinθ去乘以b
其實是在求
a的哪一部分跟b是不同向的

Bulgarian: 
Равно е на дължината
на вектор a в посоката
на вектор b.
Т.е. проекцията на a върху b.
Този вектор тук е дължината на
a по косинус на тита.
И те са едно и също число.
Ако изчислиш дължината
на b в посоката на a
и го умножиш по дължината 
на a, получаваш
същото число като дължината
на a в посоката на b,
умножена по другата дължина.
Колко е a по b по синус на тита?
a по b по синус от тита.
Ако този вектор е a 
по косинус от тита –
това сме го учили, 
когато определяхме
елементите на вектори.
Този вектор тук е дължината
на a по синус от тита.
Може да се напише и като 
дължината на а,
по синус от тита, по дължината на b 
в посоката на този нормален вектор.
При a по синус от тита, по b, определяме
каква част от a не е в посоката на b.

Chinese: 
的部分的长度
或者说是a在b上的投影
所以这个向量（长度）就是
acosθ
这跟之前运算结果是一样的
如果用b跟a同向的部分
跟a的模相乘
跟用b的模乘以
a跟b同向的部分
得到的数字是一样的
那么 absinθ是什么呢？
absinθ
如果这个向量（长度）是acosθ
在学向量分解的时候
你学过这个的
这个向量（长度）就是asinθ
所以可以把这个式子重新写成a的模乘以sinθ 再
乘以b的模再乘以法向量n
所以 如果用asinθ去乘以b
其实是在求
a的哪一部分跟b是不同向的

iw: 
זה הערך המוחלט של וקטור a, שהולך
בכוון של b.
או, ההיטל של a על b.
הווקטור כאן הוא a קוסינוס טטה, הערך המוחלט
של a קוסינוס טטה.
ואלה הם שניהם אותו מספר.
אם לוקחים את ההיטל של b על a,
ומכפילים אותו בערך המוחלט שך a, מקבלים
אותו מספר אם לוקחים את ההיטל של a על b,
ומכפילים אותו בערך המוחלט של b.
עכשיו, מה זה b, a סינוס טטה?
המכפלה של a, כפול b סינוס טטה.
אם הווקטור הזה, כאן, הוא a קוסינוס טטה - אתם
למדתם כבר מה זה רכיבים של
וקטורים - גודל הווקטור הזה
הוא a סינוס טטה.
אפשר לכתוב את זה מחדש, כערך המוחלט
של a סינוס טטה,
כפול הערך המוחלט של b, בכוון שך הווקטור
הנורמלי הזה.
אם לוקחים a סינוס טטה כפול b, מדברים על
החלק של a שאינו הולך בכוון של b.

Thai: 
มันคือขนาดของ a ที่ไปใน
ทิศเดียวกับ b
หรือโปรเจกชันของ a ลงบน b
เวกเตอร์นี่ตรงนี้จึงเป็น a โคไซน์เธต้า 
ขนาดของ
a โคไซน์เธต้า
และพวกมันมีค่าเท่ากัน
ถ้าคุณนำปริมาณ b ที่ไปในทิศของ a
แล้วคูณมันกับขนาดของ a มันจะให้
จำนวนเท่ากับปริมาณของ a ที่ไปในทิศของ b
แล้วคูณขนาดสองตัวนั้น
ทีนี้ a, b ไซน์เธต้าคืออะไร?
a, b ไซน์เธต้า
ถ้าเวกเตอร์นี่ตรงนี้คือ a โคไซน์เธต้า --
คุณรู้อันนี้ตอนที่คุณเรียนวิธีหา
องค์ประกอบของเวกเตอร์
เวกเตอร์ตรงนี้คือขนาดของ a ไซน์เธต้า
คุณเขียนมันใหม่ได้เป็นขนาดของ a ไซน์เธต้า
คูณขนาดของ b ในทิศเวกเตอร์ตั้งฉากนั้น
ถ้าคุณหา a ไซน์เธต้าคูณ b คุณกำลังบอกว่า
ส่วนของ a ที่ไม่ไปในทิศเดียวกับ b เป็นเท่าใด

English: 
It's the magnitude of the a
vector that's going in the
same direction of b.
Or the projection of a onto b.
So this vector right here is a
cosine theta; the magnitude of
a cosine theta.
And they're actually
the same number.
If you take how much of b goes
in the direction of a, and
multiply that with the magnitude
of a, that gives you
the same number as how much of
a goes in the direction of b,
and then multiply the
two magnitudes.
Now, what is a, b sine theta?
a, b, sine theta.
Well if this vector right here
is a cosine theta-- and you
learned this when you learned
how to take the
components of vectors.
This vector right here is the
magnitude of a sine theta.
You could rewrite this as the
magnitude of a sine theta
times the magnitude of b in that
normal vector direction.
So if you take a sine theta
times b, you're saying what
part of a doesn't go the
same direction as b.

Korean: 
|a|*cosΘ는
a 벡터 중 b 벡터와 같은 방향의 성분,
또는 a를 b로 정사영한 벡터이고
이 벡터가 a*cosΘ이고
크기가 |a|*cosΘ가 되겠네요.
값은 당연히 같을 거에요.
만약 여러분이 b를 a로 정사영해서
a의 크기에 곱한 것은
a를 b로 정사영해서 b의 크기에 곱한 것과 같은 값이겠죠.
 
그러면, a*b*sinΘ는 무엇일까요?
 
여러분이 벡터의 성분을 구할 때 배웠던 것인데요,
 
 
이 벡터의 크기가 바로 |a|*sinΘ가 됩니다.
외적의 식을 |a|*sinΘ * |b| * n으로 쓸 수 있겠죠.
 
그러면 여기에서 여러분이 |a|*sinΘ *|b|를 구할 때
a의 성분인 a*sinΘ는 
b의 벡터와는 다른 방향으로 향하고 있어요.

English: 
What part of a is completely
perpendicular to b-- has
nothing to do is b.
They share nothing in common.
It goes in a completely
different direction.
That's a sine theta.
And so you take the product of
this with b and then you get a
third vector.
And it almost says,
how different
are these two vectors?
And it points in a different
direction.
It gives you this-- sometimes
it's called a pseudo vector,
because it applies
to some concepts
that are pseudo vectors.
But the most important of these
concepts is torque, when
we talk about the magnetic
field; the force of a magnetic
field on electric charge.
These are all forces, or these
are all physical phenomena,
where what matters isn't the
direction of the force with
another vector, it's the
direction of the force
perpendicular to
another vector.
And so that's where the cross
product comes in useful.
Anyway, hopefully, that gave
you a little intuition.
And you could have done
it the other way.
You could have written
this as b sine theta.
And then you would have said
that's the component of b that
is perpendicular to a.
So b sine theta actually would
have been this vector.

Bulgarian: 
Каква част от a 
е перпендикулярна на b –
няма нищо общо с b.
Нямат нищо общо.
Сочи в изцяло друга посока.
Това е a по синус от тита.
Взимаш произведението на това по b
и получаваш трети вектор.
Все едно питаме: „колко различни
са тези два вектора?“.
Сочи в различна посока.
Получава се т.нар. псевдовектор.
Това е свързано с псевдовекторите,
които се прилагат в някои случаи.
Най-важният от тях е този 
за въртящия момент.
Използва се при магнитните полета 
– силата им
върху електрическия заряд.
Това са сили или физически явления,
при които няма значение посоката на силата
с друг вектор, а посоката на силата,
перпендикулярна на друг вектор.
И тогава векторното произведение 
е полезно.
Надявам се, че придоби 
представа за това.
Може да се направи 
и по друг начин.
Може да се напише като 
b по синус от тита.
И тогава ще кажем, че това е 
проекцията на b, която
е перпендикулярна на a.

Spanish: 
¿Qué parte de una es completamente perpendicular a b--tiene
nada que ver es b.
Comparten nada en común.
Va en una dirección completamente diferente.
Es un theta sinusoidal.
Y así tomar el producto de ello con b y, a continuación, obtendrá una
tercer vector.
Y casi dice, cómo diferentes
¿son estos dos vectores?
Y apunta en una dirección diferente.
Te da esto--a veces se llama un vector de pseudo
porque se aplica a algunos conceptos
son vectores de pseudo.
Pero lo más importante de estos conceptos es par, cuando
hablamos sobre el campo magnético; la fuerza de un magnético
campo de carga eléctrica.
Estas son todas las fuerzas, o estos son todos los fenómenos físicos,
donde lo que importa no es la dirección de la fuerza con
otro vector, es la dirección de la fuerza
perpendicular a otro vector.
Y lo que es donde el producto cruzado viene útil.
De todos modos, ojala, te dio un poco intuición.
Y usted podría hacerlo al revés.
Usted podría haber escrito esto como theta de seno b.
Y, a continuación, habría dicho que es el componente de b que
es perpendicular a una.
Por eso theta de seno b realmente hubiera sido este vector.

Korean: 
a의 성분 중에서 b의 벡터와는 수직인 방향을 의미하고 있죠.
 
 
완전히 수직인 방향을 향하고 있어요.
이 벡터가 바로 a*sinΘ이죠.
이 두 벡터를 곱하면
또 다른 제 3의 벡터가 나오게 되죠.
 
이 두 벡터는 무엇이 다를까요?
서로 다른 방향을 가리키는데요,
이 벡터는 유사 벡터라고도 불리는데
유사 벡터의 개념을 조금 활용하고 있기 때문이에요.
 
하지만, 가장 자주 쓰이는 것은 바로 돌림힘으로,
자기장 안에서 움직이는 전하에 관해서 이야기 하게 됩니다.
 
이 벡터는 모두 힘벡터로, 
모두 물리적인 현상을 나타내는데,
중요한 것은 두 벡터의 방향이 아니라
두 벡터에 수직인 벡터의 방향이에요.
 
자기장 속에서 움직이는 전하에서 외적이
실제로 사용되죠.
이 내용이 여러분에게 어느정도의 직관을 주었으면 좋겠네요.
또 다른 방법으로도 살펴볼 수 있는데요,
이 식을 |b|*sinΘ로 볼 수도 있어요.
그렇게 되면
b벡터의 성분 중 a벡터와 수직인 성분을 가지고 계산하게 됩니다.
그러면 |b|*sinΘ는 이 벡터가 될 겁니다.

Chinese: 
哪部分是跟b正交的
跟b完全无关的
没有相同之处
因为完全是不同的方向
这是asinθ
如果用它与b相乘
就得到了第三个向量
这就好像在求
这两个向量到底有多不同？
而且求出的向量是另一个完全不同的方向
有时候这叫伪向量
因为这应用于一些伪向量的概念中
但这些概念中最重要的是力矩
当我们讨论磁场的时候
磁场对电荷的磁场力
这些都是力 或者说是物理现象
这些现象里 重要的不是跟某向量平行
的力的方向
而是与之垂直的力
的方向
这就是叉乘很有用的地方
不管怎样 希望这能给你一点直观认识
或者可以用另一种方法做
可以写成bsinθ
这样其实是向量b
与a垂直的分向量
那么bsinθ 就是这个向量

Chinese: 
哪部分是跟b正交的
跟b完全無關的
沒有相同之處
因爲完全是不同的方向
這是asinθ
如果用它與b相乘
就得到了第三個向量
這就好像在求
這兩個向量到底有多不同？
而且求出的向量是另一個完全不同的方向
有時候這叫僞向量
因爲這應用於一些僞向量的概念中
但這些概念中最重要的是力矩
當我們討論磁場的時候
磁場對電荷的磁場力
這些都是力 或者說是物理現象
這些現象裏 重要的不是跟某向量平行
的力的方向
而是與之垂直的力
的方向
這就是叉乘很有用的地方
不管怎樣 希望這能給你一點直觀認識
或者可以用另一種方法做
可以寫成bsinθ
這樣其實是向量b
與a垂直的分向量
那麽bsinθ 就是這個向量

Thai: 
ส่วนของ a ที่ตั้งฉากกับ b โดยสมบูรณ์ --
ไม่เกี่ยวกับ b เลย
พวกมันไม่มีอะไรร่วมกันเลย
มันไปคนละทิศโดยสมบูรณ์
นั่นคือ a ไซน์เธต้า
แล้วคุณก็หาผลคูณของตัวนี้กับ b แล้วคุณจะได้
เวกเตอร์ที่สาม
มันเกือบบอกว่า เวกเตอร์สองตัว
นี้ต่างกันแค่ไหน?
และมันชี้ไปอีกทางหนึ่ง
มันบอก -- บางครั้งมันเรียกว่า เวกเตอร์เทียม
เพราะมันใช้หลักการ
ที่เป็นเวกเตอร์เทียม
แต่หลักการสำคัญที่สุดในนี้คือทอร์ก เมื่อ
เราพูดถึงสนามแม่เหล็ก แรงของสนามแม่เหล็ก
กระทำต่อประจุไฟฟ้า
พวกนี้คือแรง หรือปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ
โดยผลที่ได้ ไม่ใช่แรงที่มีทิศเดียว
กับเวกเตอร์อีกตัว แต่เป็นแรงที่มีทิศ
ตั้งฉากกับเวกเตอร์อีกตัว
และนั่นคือตอนที่ครอสโปรดักมีประโยชน์
เอาล่ะ หวังว่า คุณคงได้สัญชาตญาณบ้างนะ
และคุณทำอีกแบบได้
คุณเขียนมันเป็น b ไซน์เธต้าได้
แล้วคุณก็บอกว่า มันคือองค์ประกอบของ b ที่
ตั้งฉากกับ a
b ไซน์เธต้าจะเป็นเวกเตอร์นี้

iw: 
החלק של a שהוא לגמרי מאונך ל- b - אין לו
שום קשר עם b.
אין להם שום דבר במשותף.
הם הולכים בכוונים שונים לחלוטין.
זה a סינוס טטה.
לוקחים את המכפלה של זה עם b, ומקבלים
וקטור שלישי.
זה כאילו שאומרים, עד כמה
הווקטורים האלה שונים.
הוא מצביע בכוון שונה.
זה נותן את זה, שלפעמים קוראים לו
פסוידו-וקטור,
כי הוא מתייחס למושגים מסוימים
שהם פסוידו-וקטורים.
החשוב ביותר מבין המושגים האלה הוא המומנט,
כשמדברים על שדה מגנטי, על הכוח שמפעיל
שדה מגנטי על מטען בתנועה.
כל אלה כוחות, או תופעות פיזיקליות, שעבורן
מה שחשוב הוא כוון הכוח המאונך
לווקטור אחר, ולא כוון הכוח באותו
כוון של וקטור אחר.
אלה המקרים בהם המכפלה הווקטורית מועילה.
אני מקווה שזה עוזר לכם להבין.
יכולתם לעשות את זה בדרך השנייה.
יכולתם לכתוב את זה כ- b סינוס טטה,
שזה הרכיב של b
המאונך ל- a.
אז, b סינוס טטה הוא הווקטור הזה.

English: 
Or let me draw it here.
That would make more sense.
This would be b sine theta.
So you could switch orders.
You could visualize
it either way.
You could say this is the
magnitude of b that is
completely perpendicular to a,
multiply the two, and use the
right hand rule to get
that normal vector.
And we just decided that we're
going to use the right hand
rule to have a common
convention.
But people could have used the
left hand rule, or they might
have used it a different way.
It's just a way that we have a
consistent framework, so that
when we take the cross product
we all know what direction
that normal vector
is pointing in.
Anyway.
In the next video I'll show you
how to actually compute
dot and cross products when
you're given them in their
component notation.
See you in the next video.

Chinese: 
或者我把它画在这
这就好看多了
可以交换顺序
可以用任何一种方法来看
可以说这个b跟a完全正交
的那部分的长度
乘以a的模
使用右手定则得到法向量的方向
刚才确定了-
使用右手定则
是物理惯例
但是也有人用左手定则的
应用方式不同而已
右手定则不过是我们一直使用的方法而已
所以在做叉乘的时候
每个人都知道法向量指向的方向
好吧
下段视频我会给大家展示
在题给出分量表示的情况下
怎么进行点乘与叉乘运算
下段视频见

Korean: 
 
여기에 그려보도록 할게요.
이게 더 이해하기 쉽겠네요.
이 벡터가 b*sinΘ입니다.
즉, 여러분은 순서를 마음대로 바꿀 수 있어요.
둘 중 어느 방법으로도 그려볼 수 있어요.
이 b벡터의 성분은
a 벡터와 완전히 수직이고, a벡터의 크기를 곱해서 크기를 구하고
오른손 법칙을 사용해 방향 벡터를 구할 수 있습니다.
여러분은 오른손 법칙을 사용해서
외적한 벡터의 방향을 구했지만
다른 사람들은 또 다른 방법으로
왼손 법칙을 사용할 수도 있습니다.
두 방법 모두
외적한 벡터의 방향을 구하는 것으로
큰 차이점은 없다고 할 수 있습니다.
어쨌든 말이죠.
다음 비디오에서는
내적과 외적을 성분을 통해서 어떻게
구할 수 있는지 알아보겠습니다.
다음 비디오에서 봐요.

Spanish: 
O déjame dibujar aquí.
Tendría más sentido.
Esto sería theta de seno b.
Así se podrían cambiar órdenes.
Se puede visualizar de cualquier manera.
Se podría decir que esta es la magnitud de b es
completamente perpendicular a, multiplicar los dos y utilizar la
regla de la mano derecha para obtener ese vector normal.
Y hemos decidido que vamos a utilizar la mano derecha
regla para tener una convención común.
Pero la gente pudo haber utilizado la regla de la mano izquierda, o que ellos podrían
han utilizado una diferente manera.
Es sólo una forma que tenemos un marco coherente, para que
Cuando tomamos el producto cruzado todos sabemos en qué dirección
apunta en ese vector normal.
De todos modos.
En el siguiente vídeo les mostraré cómo calcular realmente
punto y productos de Cruz cuando les está dado su
notación de componentes.
Nos vemos en el siguiente vídeo.

iw: 
אצייר אותו כאן.
ככה זה יובן יותר טוב.
זה b סינוס טטה.
אפשר לשנות את הסדר.
אפשר להסתכל על זה בשתי הצורות.
ניתן להגיד שזה הרכיב של b, שהוא
לגמרי מאונך ל- a, להכפיל את שניהם ולהפעיל
את כלל יד ימין כדי למצוא את הכוון של
הווקטור הנורמלי.
אנו החלטנו להשתמש בכלל יד ימין,
כדי שתהיה לנו מוסכמה מקובלת.
אבל יכולנו להשתמש בכלל יד שמאל,
או בכלל מסוג אחר.
זאת דרך להסכים על מסגרת מקובלת, כך
שכשלוקחים את המכפלה הווקטורית, כולנו יודעים
לאיזה כוון מצביע הווקטור הנורמלי.
בסירטון הבא, אראה לכם איך לחשב מכפלה
וקטורית וסקלרית, כשהווקטורים נתונים
לפי רכיבים.
להתראות בסירטון הבא.

Thai: 
 
ขอผมวาดมันตรงนี้นะ
มันจะดูเข้าท่ามากกว่า
นี่ก็คือ b ไซน์เธต้า
คุณสลับลำดับได้
คุณมองมันแบบไหนก็ได้
คุณบอกได้ว่า นี่คือขนาดของ b ที่
ตั้งฉากกับ a โดยสมบูรณ์ คูณกับตัวที่สองแล้ว
ใช้กฎมือขวาได้เวกเตอร์ตั้งฉาก
และเราเลือกว่าเราจะใช้กฎมือขวา
เพื่อให้มีทิศตามธรรมเนียมที่ตกลงกัน
แต่คนอาจใช้กฎมือซ้าย หรืออาจ
นิยามวิธีอื่นก็ได้
มันเป็นแค่วิธีที่เราสร้างกรอบคิดเดียวกัน
เวลาเราหาครอสโปรดัก 
เราจะได้รู้เหมือนกันหมดว่า
เวกเตอร์ตั้งฉากชี้ไปทิศใด
เอาล่ะ
ในวิดีโอหน้า ผมจะแสดงวิธีคำนวณ
ดอทและครอสโปรดัก เมื่อคุณได้ค่าพวกมัน
ในรูปสัญลักษณ์องค์ประกอบนะ
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

Bulgarian: 
Така че b по синус от тита всъщност 
щеше да бъде този вектор.
Ще го начертая тук.
Така ще е по-ясно.
Това може да бъде b по синус от тита.
Редът може да се сменя.
И двата начина стават.
Можеш да кажеш, че това е 
дължината на b,
която е напълно перпендикулярна на a, 
да умножиш двете стойности и да използваш
правилото на дясната тъка,
за да получиш нормалния вектор.
Използвахме това правило,
за да имаме обща рамка.
Но хората може да използват 
правилото на лявата ръка или
друг начин.
Това е начин да имаме 
някаква постоянна рамка,
за да може да знаем посоката 
на нормалния вектор
при векторните произведения.
Така.
В следващия видеоклип 
ще ти покажа как да изчисляваш
скаларни и векторни произведения, когато
са записани чрез компонентите им.
Ще се видим в следващия видеоклип.

Chinese: 
或者我把它畫在這
這就好看多了
可以交換順序
可以用任何一種方法來看
可以說這個b跟a完全正交
的那部分的長度
乘以a的模
使用右手定則得到法向量的方向
剛才確定了-
使用右手定則
是物理慣例
但是也有人用左手定則的
應用方式不同而已
右手定則不過是我們一直使用的方法而已
所以在做叉乘的時候
每個人都知道法向量指向的方向
好吧
下段影片我會給大家展示
在題給出分量表示的情況下
怎麽進行點乘與叉乘運算
下段影片見
