Olá, obrigado por assistir,
e hoje eu gostaria de fazer uma visão geral
do belo mundo do cálculo vetorial
do qual eu gosto de chamar "MULTI
MULTIVARIABLE CALCULUS" e vocês verão o porquê.
A propósito, esse vídeo
foi feito por improviso então,
por favor, me perdoem se
eu travar ou algo do tipo mas,
ainda acho que é muito
importante falar sobre isso tudo.
Então, há muito tempo, na nossa aventura
em cálculo com múltiplas variáveis,
nós falamos sobre funções escalares, como:
(Escrevendo função no quadro)
Por exemplo. Muito fácil.
E essas são o que chamamos de funções escalares,
porque aqui você tem três entradas,
mas apenas uma sáida.
E o que eu quero dizer com uma saída
é que o resultado é apenas um número.
O resultado não é algo como
três valores de saída, por exemplo.
E isso você escreve como: (Quadro)
F vai de R3 para R, e de
novo, o resultado é um escalar,
e as funções escalares são
chamadas assim por isso.
E agora o que gostariamos
de fazer é generalizar
isso para o caso onde
o resultado é R2 ou R3
Então, em outras palavras, em cálculo
vetorial o que você realmente faz é estudar
funções que vão de R2 para R2 ou de R3
para R3.
Por exemplo, podemos estudar: (Quadro)
uma função de X e Y que é igual a f(x,y)=(-y,x), e o que acontece aqui,
desculpa, eu vou escrever com notações angulares em um segundo,
o que acontece aqui é que em F ele tem duas
entradas, então dois números como entrada,
e fornece duas saídas.
Em outras palavras, a função toma
um par de números como entrada
e fornece outro par de números como saída.
Isso é muito legal, mas
aqui temos um problema.
Bem, esse aqui nós podemos visualizar,
pelo menos de um gráfico do R3 para R1,
mas já esse aqui é meio
que impossível de visualizar,
você não pode visualizar algo vindo do R2 para R2.
Ou será que podemos?
Há um jeito interessante de pensar sobre isso.
Em vez de pensar sobre isso como a entrada
ser dois números e a saída ser dois números,
pense sobre essa função como a entrada
ser dois números, mas a saída é um vetor.
E é aqui que o Cálculo Vetorial entra no jogo.
Em outras palavras, isso se torna no que nós
chamamos de campo de vetores ou campo vetorial.
O que acontece aqui é que para todo ponto
em  R2 você assimila a ele um certo vetor.
Então, por exemplo, vejamos
o que acontece no ponto (1,0).
Bem, F de 1 e 0 se torna -1 e 0 (Ele Errou).
Desculpa, F de 1 e 0... O X é 1 e
Y é 0, foi mal, isso se torna .
Então, no ponto (1,0), F é o vetor .
Então você pode pensar nisso como um vetor
partindo desse ponto e indo uma unidade acima.
E você pode continuar, o
que acontece no ponto (0,1)?
Bem, F(0,1) deve ser .
Então deve se parecer com isso.
E você pode fazer o similar
para (-1,0) e também para (0,-1)
e perceberá que F basicamente
se torna alguma coisa rotativa.
E isto é o que é chamado de
campo vetorial de F(x,y)=.
Isso é muito legal, pois
mesmo não podendo visualizar
funções que vão de R2
para R2 estritamente falando,
se pensarmos nelas como vetores nós
podemos visualizar esse tipo de função.
E, particularmente, se você pensar
nelas em temos de números complexos,
também nos fornece
uma maneira de visualizar
funções que vão de números
complexos para números complexos.
Então podemos dizer que essa foi
a primeira parte. Essa foi a parte um:
O que é um campo
vetorial e agora ao invés de
estudarmos funções que vão
de R2 para R2 ou R3 para R3,
estaremos estudando funções que
vão de R2 e nos fornecem vetores.
Mas eu quero enfatizar que
estudar funções vetoriais é
muito mais do que estudar
cada componente separadamente.
Porque você poderia dizer "Opa, eu
posso fazer cálculo de multiplas variáveis
em -Y, posso fazer cálculo de multiplas
variáveis em X, e colocá-los juntos".
Não, não, não, há na verdade uma
estrutura geométrica muito mais profunda
aqui, e eu quero convencê-los
disso nas etapas que estão por vir.
E, por exemplo,
E por exemplo, claro, você pode colocar três funções juntas e ter um campo vetorial, okay.
Mas há algumas que são muito
mais interessantes que outras,
principalmente - Vocês se lembram
que, seja uma função uma função escalar,
você pode construir um
vetor chamado gradiente.
Então o gradiente de F
que é, se vocês desejarem,
, e as vezes
também Fz em três variáveis,
por exemplo, se F(x,y)=x²+y²,
então o gradiente de F se torna .
E o legal disse é, note o que isso
faz, ele pega entradas como X e Y,
fornece um vetor, e particulamente
isso é um campo vetorial.
E esse particularmente é
um campo vetorial muito
interessante, vocês
verão o porquê em breve.
Então, particularmente, podemos perguntar "Todo campo vetorial tem essa forma?".
Se eu fornecer, por
exemplo, o campo vetorial
anterior , podemos
escrever como um gradiente.
Então, claro, a próxima questão é -
Primeiramente, vamos escrever a definição.
F é conservativo (eles chamam campos vetoriais
conservativos de "nice" ou "conservative")
se F é o gradiente de alguma função f.
Por exemplo, esse campo vetorial é
conservativo porque ele é o gradiente de x²+y².
Mas, acontece que nem todos eles são. Por exemplo,
deixe-me mostrar que  não é dessa forma.
Então, um não-exemplo.
F(x,y)=.
Bem, suponha que F é o
gradiente de alguma função f.
(Quadro)
Nessa caso, comparando as
componentes, você terá que:
E como a derivada de fx é -y:
(Quadro)
E se torna -yx + alguma
coisa, algo dependente de x.
Por outro lado, se você comparar
a segunda componente de F:
(Quadro)
E se torna xy + alguma coisa.
E perceba que essa função f é,
ao mesmo tempo, -yx e +xy.
E isso não é possível.
Não é possível que
você tenha um f sendo
ao mesmo tempo xy e -xy.
Então, isso, e em particular esse campo
vetorial, não é um campo conservativo.
Ele não é "nice" (conservativo).
E, claro, a próxima pergunta é "Como
determinamos se um campo vetorial
é conservativo?" E voltaremos
para essa questão em alguns minutos.
Então essa é a primeira coisa que temos que
saber: O que é um campo vetorial, se ele é
conservativo ou não, e
claro, a próxima etapa é:
Precisamos executar
cálculo nos campos vetoriais.
E, em particular, a questão é "Como
integramos um campo vetorial?".
O que é uma pergunta meio estranha,
porque um campo vetorial é meio
que um monte de vetores, e como
que nós somamos valores de vetores e,
particularmente, onde nós
somamos os valores dos vetores?
Antes, em cálculo à uma
variável, tinhamos uma função
de um intervalo, e
somávamos F desse intervalo.
Mas a questão é "O que nós
fazemos neste caso?" O que
é o análogo de um intervalo,
mas para campos vetoriais?
Essa é a parte dois.
A motivação para isso é - vamos
conversar sobre funções novamente.
Funções escalares e
particularmente o que gostaríamos de
fazer é definir a integral de
linha de uma função f(x,y).
Em outras palavras,
aqui está o que queremos
fazer. Dada uma curva
C, em duas dimensões,
e uma função f que se
pareça com isso, meio insana,
nós queremos somar os
valores de f sobre essa curva C.
Em outras palavras,
nós queremos encontrar a
área sob esta cerca que
está ligada entre C e f.
E claro, isso é meio
difícil de se fazer e
a questão "bem, como
podemos falar sobre C?"
Bem, C é unidimensional, ela é tipo
uma linha mas meio que curvada, e
particularmente você já aprendeu
que curvas podem ser parametrizadas.
Com x(t) e y(t).
E a questão é que - Ok, nós parametrizamos
ela, e isso faz sentido, essas
curvas são unidimensionais, então
você as parametriza com uma variável,
e então o problema é nós
podemos integrar apenas
sobre coisas retas e aqui
nós temos um caminho curvo
Mas uma coisa legal é que - eu não sei se
vocês já olharam o Microsoft Paint ou algo do
gênero, mas se você tem uma linha curva e
der um zoom nela, sabe, dar zoom insanamente,
ela acaba se tornando uma linha
reta. Então você pode pensar na
sua curva como se ela fosse esse
caminho poligonal bem pequenino.
E o legal é que nós meio
que podemos integrar sobre
esse pequenino caminho
poligonal, e como fazemos isso?
Novamente, dê zoom neste parte e questão
é "Qual é o comprimento desse segmento?"
Bem, pense nisso como o seguinte: Se você
aumentar x um pouquinho e fizer o mesmo com y,
então pelo Teorema de Pitágoras o comprimento
desse segmento é a raíz de (dx)² + (dy)².
E a integral de linha de f
é simplesmente chamada
de a área onde a base
é dS, e a altura é f(x,y).
Então a integral de linha de f(x,y)
em relação a dS, e isso é, novamente,
a área abaixo da cerca f, mas
agora nós queremos utilizar o fato
de que C está parametrizada com
x(t) e y(t), então isso tudo é igual a:
(Quadro)
E isso se torna na integral que
começa no ponto de partida, onde:
(Quadro)
E quem gostaria de expressar dx e dy
em termos de t? Como fazemos isso?
E acredite ou não, use a
regra da cadeia! Eu não to
brincando, ela é muito
importante. Então ela fica:
(Quadro)
E o mesmo aqui:
(Quadro)
E eu nem estou
brincando, isso é o que faz
cálculo vetorial funcionar,
você verá em breve,
e se você utilizar essas duas fórmulas e
colocá-las aqui dentro, você vai terminar com
(Quadro)
E essa é a integral de linha de uma função
sobre uma curva. E novamente, estritamente
falando, essa parte
não tem nada a ver com
campos vetoriais. Isso
é só pra qualquer função.
Mas, como eu disse, a coisa mais importante aqui é que essa parte,
novamente, vai fazer os casos
com campos vetoriais funcionarem, e
usando isso, vamos falar sobre
integrais de linha de campos vetoriais.
(Integrais de linha de campos vetoriais)
Então lembre que o
que queríamos era somar
valores de vetores, ok,
mas a dúvida era sobre
o quê nós somaríamos
eles. Bem, se baseando na
analogia para integrais
de linha de funções,
uma ideia seria simplesmente pegar uma
dada curva e somar valores de f sobre essa
curva. Então suponha que f é o seu
campo vetorial, parecido com algo do tipo,
a pergunta é "Como podemos
somar todas essas flechas sobre toda
a curva?" Isso é o que chamamos
de integral de linha. F vezes dr.
Ok, legal, e lembre que nós temos
uma curva, podemos parametrizá-la
com x(t) e y(t), se você
pensar em termos de vetores,
você também pode pensar em
termos desse vetor. Podemos chamar
 de r(t), em cada ponto
que nos dá o vetor ,
e o legal é que ele é
baseado na ideia de utilizar
a regra da cadeia. Bem,
você pode simplesmente:
(Quadro)
E o que você obtém é:
(Quadro)
E f de quê? f no ponto r(t).
Assim como antes, nós temos essa coisa:
(Quadro)
E algo com dt. É a mesma coisa
aqui, plugamos em f no ponto r(t).
Ok, e o que isso significa? Então, ela
é baseada nesse truque estranho com a
regra da cadeia, mas na verdade ela é
uma interpretação geométrica interessante
Suponha que você está nesse
ponto r(t) e você tem seu vetor F(r(t))
Bem, se você se lembrar de cálculo a
múltiplas variáveis, se você parametrizar
a curva C com r'(t), então r'(t) é
um vetor tangente a essa curva.
Vetor tangente/direcional.
E o que você faz? Você tem esses
dois vetores, o vetor tangente e o
campo vetorial F, e a cada ponto
você multiplica F com o vetor tangente.
E o que acontece é que esse F.r'(t) mede
se F está na mesma direção da curva ou não.
Então isso é so um número que mede
- E, de novo, é um número porque
estamos multiplicando (produto escalar)
mede se F vai na mesma direção da curva.
Estou dizendo isso porque
conheço pessoas que ficam
"Ah, é só o trabalho ao
longo da curva" mas, como eu
disse, eu não gosto do fato
que usam física em cálculo
vetorial, eu prefiro usar uma
descrição mais geométrica.
Então, suponha que você tem 3 cenários:
Em um, suponha que nós
temos esse vetor direcional r'(t) e F
de fato aponta na direção da
curva, parecendo com algo do tipo.
Então, F.r'(t) é positivo.
Isso é bom, meio que F
flui ao longo da curva. Mas
e se F na verdade estivesse
perpendicular a curva?
Bem, por estar perpendicular, F.r'(t)=0.
Em outras palavras, F tem nenhum
efeito sobre a curva. Agora suponha
que F aponta na direção contrária.
Então F.r'(t) é negativo,
então, como se estivesse
oferecendo resistência
à curva ou algo do tipo.
Pense, por exemplo,
como se F fosse o vento,
e você está correndo
na direção de C, então
nessa direção o vento
torna correr mais difícil,
porque o vento estaria
soprando contra você.
Então, o ponto é que F.r'(t) é esse número
que, de novo, mede se F está na mesma
direção da curva ou não, e a integral é
simplesmente você somando estes números.
Então, o que eu quero
convencer a vocês é que essa é
uma boa analogia de
somatório de valores de vetores
sobre uma curva. Porque
estritamente falando, nós
não podemos somar
vetores, isso não faz sentido,
mas somando todos esses
números, porque eles são
funções, e assim podemos
utilizar cálculo comum. E isso
já é bastante impressionante,
ok, nós temos nosso
campo vetorial, nós definimos
alguma coisa f sobre ele,
e claro, vocês podem se perguntar
se já que definimos essa integral, será
que não existe um teorema fundamental
de cálculo para campos vetoriais?
E, de fato, existe. E não há apenas
um, existem quatro deles. 4 Teoremas
Fundamentais de Cálculo. Eu não
sei qual é o plural correto neste caso.
Acho que podemos chamar de Parte 3.
Acho que podemos chamar de
Parte 3. Temos um TFC (Teorema
Fundamental do Cálculo) - Lembre,
em uma dimensão, o TFC diz que:
(Quadro)
E o legal é que nós podemos
generalizar isso facilmente porque
o análogo de f' em múltiplas
variáveis é, claro, o gradiente.
Beleza, temos um gradiente, que é um
vetor, e antes não sabíamos como somá-lo,
mas agora sabemos, porque agora sabemos somar
valores de vetores sobre uma curva, então
a analogia correta
seria a integral de linha
de um gradiente vezes
dr sobre uma curva C,
então novamente suponha
que parametrizamos C com r(t),
então no que isso se torna?
É importante notar
que b é o ponto final do
intervalo e a também é
o ponto final do intervalo.
Neste caso é a mesma
coisa, a integral do gradiente
se torna f(ponto
final) - f(ponto inicial).
E nesse caso, se quiser
escrever mais rigorosamente:
(Quadro)
E aí vem a parte mais
importante da parte 3:
Se você integra um
gradiente, se torna fácil de
cálcular a integral de
linha. Porque em geral, se
você calcula a integral
de linha, é um sofrimento,
você tem que parametrizar, tem
que resolver uma integral complicada.
Mas se você tem um
gradiente, então é fácil
de calcular a integral
de linha, e na verdade
não importa muito que tipo de curva você
utilize. Enquanto tivermos dois pontos finais,
ele só depende desses dois pontos,
não importa que curva você escolha, se
elas tiverem os mesmos pontos partida e de
chegada, você chega na mesma resposta.
E isso se chama indepedência de caminho,
se você integrar um gradiente, ele
se torna independente do caminho.
Então dado um campo
vetorial F, se você puder
escrever F como o
gradiente de alguma função,
então a integral de linha se torna a integral
de linha do gradiente da função vezes dr,
e ela se torna fácil de cálcular.
Então SE F for o gradiente de alguma função,
então essa integral de linha é fácil,
e ela não é somente fácil como também
é independente do caminho e tudo mais.
Mas na verdade nós já
fizemos essa pergunta antes, lá
no começo eu disse que um
campo vetorial é conservativo
se ele tem esse formato, e
agora nós podemos ver porque
eles são chamados de
campos vetoriais conservativos,
porque a integral de linha se torna
fácil de calcular (por isso é "nice").
Em outras palavras, se F é
conservativo, então isso é verdade.
Agora podemos perceber porque ele é
tão legal, mas a próxima questão é "Como
podemos determinar se um campo vetorial
é conservativo?" Bem, ainda nessa parte 3.
Acontece que há um critério
muito fácil para determinar campos
vetoriais não-conservativos.
Se F for gradiente de alguma
função, e agora vamos fazer
em duas dimensões, depois em
três. Então, suponha que você
escreva as componentes como:
(Quadro)
Então obtemos: fx=P, fy=Q,
e lembre que se isso for
suave e tudo mais, pelo
teorema de Schwarz, ou
teorema de Clairaut, temos que:
(Quadro)
E eu gosto de chamar isso de "QuiXotic
PeYams", pois se torna mais fácil de lembrar.
Veja, se um campo vetorial é
conservativo, então Py=Qx, em
particular se Py não for igual a
Qx, então F é não-conservativo.
Por exemplo, lembre-se
daquele campo vetorial do qual
falamos antes, F=, se
fizermos a derivada em relação
a y da primeira componente
obtemos -1, mas se fizermos a
derivada em relação a x do
segundo componente obtemos 1,
e como não são iguais, já podemos afirmar
que não são conservativos. E lembre que
se são conservativos, F seria igual a
-yx e também igual a yx, ao mesmo tempo.
E o que fazer em seguida? Bem, encontramos
o critério que determina funções
não-conservativas, mas se Py for igual
Qx, isso não implica que F é conservativo.
E a resposta é meio que "sim", e
eu gosto de chamar isso de "Nim"
(Não/Sim) ou em alemão "Jein"
(Ja/Nein), porque é sim ou não,
e o segundo ponto é
que para campos vetoriais
conservativos é fácil de
calcular a integral de linha, mas
o que nós fazemos se F
for não-conservativo? E isso
nos leva para o que é
chamado de Teorema de Green,
que é o nosso segundo
TFC para integrais de linha.
Então, parte 4. Teorema de Green.
Primeiro, ele só funciona para
curvas fechadas, onde o ponto
inicial é igual ao ponto final.
Então, suponha que você
tenha uma curva fechada C, o
interessante é que, uma vez que
você tem uma curva fechada,
você tem uma região dentro dela.
Então acaba que a integral de linha
ainda é possível de ser
avaliada, mas eu quero
enfatizar uma coisa. Veja,
suponha que F é conservativo
e é o gradiente de alguma
função. Então a integral
de linha de F seria a
integral de linha do gradiente,
que seria f(ponto
final) - f(ponto inicial).
Mas se você tem um
ponto inicial aqui, então o
ponto final seria o ponto
inicial. Isso seria zero.
Então, para campos vetoriais
conservativos isso não é
uma questão, a integral de
linha é zero, e isso é o que é
mais interessante para campos
vetoriais não conservativos.
E ocorre que o seguinte,
deixe-me colocar cálculo nisso.
Em cálculo nós dizemos
que a integral de f é igual a
integral dupla de f'. Então
queremos ver que a integral de
f é igual a integral dupla
de alguma derivada de f, e
o legal é que o resultado é
exatamente QuiXotic PeYams:
(Quadro)
Então uma integral de linha
F é igual a integral dupla de
QuiXotic PeYams, e deixe-me
explicar um pouco sobre isso.
Esse número mensura o que
chamamos de rotação microscópica de F.
Deixe-me colocar um típico exemplo
onde F=. Neste caso, QuiXotic PeYams
é 2, se você olhar para o desenhor
que estou desenhando, F parece com
isso. Note que isso gira. Então o
que isso diz é que a rotação de F é 2.
Por outro lado, se você pegar um campo
vetorial conservativo, no caso F(x,y)=,
que se parece com algo do tipo, cada ponto
meio que expande, então QuiXotic PeYams é 0.
Se você calcular isso se torna
yx-xy e isso é 0. E de fato isso
realmente não gira. Ele
simplesmente expande em cada ponto.
Então esse número - Eu gosto de
chamá-lo de número rotacional ou algo do
tipo - é um número que diz como seu
campo vetorial rotaciona localmente.
E eu gosto de chamar de
"Hastes brilhantes com pequenos
furacões". Então suponha
que você tem uma curva
C, então QuiXotic PeYams
ou nossos pequenos furacões,
eles medem como nosso
campo vetorial rotaciona.
E o que o teorema de Green
diz é que se você somar estes
pequenos furacões, essas
pequenas rotações, você obtém a
rotação global de F sobre a
curva C. Então, uma interpretação
da integral de linha é que
ela mede a circulação global.
(Quadro)
Em outras palavras, se você
somar essas microrotações de F, você
consegue de fato a rotação de
F. Se você somar esses pequenos
furacões, você obterá um
grande furacão. Essa estrutura faz
sentido, certo, e esse é o porque
do teorema de Green fazer sentido.
Esse é um teorema muito
útil que nos permite calcular
integrais de linha em campos
vetoriais não-conservativos,
e também nos permite
responder questões questões que
fizemos no começo. Eu
disse que se Py=Qx, desculpa.
Eu disse que se F é
conservativo, então Py = Qx.
Também disse que se Py=Qx,
então QuiXoric PeYams=0.
Então, pelo teorema de
Green, integral de linha
de F.dr é igual a
integral dupla de 0 dxdy.
E isso significa que a integral de
linha sobre toda curva fechada é 0.
E isso implica que F é conservativo.
Implica que se você tem uma
integral de linha sobre qualquer curva
fechada, ela é zero, e isso implica
que o campo vetorial é conservativo,
e essencialmente, a razão é que se
toda integral de linha sobre qualquer curva
fechada é 0, isso implica independência
de caminho, porque, digamos, ela é
independente de caminho, e você quer calcular
F sobre uma curva fechada, então você
pode também dar a volta e tudo mais
e isso te retornar a integral de linha de F
ou você pode simplesmente
fazer nada, permanecer nesse
ponto, e claro a integral de
linha sobre esse ponto é zero,
mas por causa da sua independencia
de caminho, você percebe
que ela também é igual a
integral de F sobre uma curva.
Isso é uma coisa, e inversamente,
se a integral de linha sobre
qualquer linha fechada é zero,
ela é independente de caminho
simplesmente porque se você tem
dois caminhos, com o mesmo ponto
de partida e de chegada, você
pode considerar o caminho a seguir,
(Uiiir)
Você pode ir por C, e -C',
então por ela ser fechada,
a integral de linha é
zero, portanto basicamente
essa integral de linha
menos aquela integral de
linha é igual a 0 e você
percebe que elas são iguais.
Portanto, essa propriedade
implica independencia de caminho,
que por sua vez implica
campos vetoriais conservativos,
porque basicamente - neste caso
você pode simplesmente definir que F tem
essa propriedade de independencia de
caminho, então você pode simplesmente
definir f como uma antiderivada de F
no qual você pode pensar como a integral
de linha de qualquer ponto (a,b),
para qualquer outro ponto (x,y), F.dr,
Portanto, (a,b) até (x,y)
E claro não faz sentido se
for dependente de caminho,
mas como nós podemos
escolher qualquer caminho,
nós simplesmente definimos para a integral
de linha qualquer caminho de (a,b) para
(x,y), e com algumas contas você pode mostrar
isso se o gradiente de f for igual a F.
Então F é conservativo.
Ok, isso foi um parênteses,
o que eu quero dizer é se
F for conservativo e Py =
Qx, logo F é conservativo.
Pequeno detalhe técnico:
Você precisa garantir que não
haja buracos na região para
aplicar o teorema de Green.
Se houver buracos haverá
um problema e isso não
se torna mais
necessariamente verdade. Legal,
fizemos o teorema de
Green, que é um TFC em duas
dimensões, e agora o que
fazemos em três dimensões?
O que nos leva a outro
tópico, chamado integrais
de superfície. Parte 5.
Integrais de superfície.
Você viu anteriormente que em duas
dimensões e até em três dimensões
nós tinhamos linhas, mas a novidade
é que agora em 3 dimensões nós temos
superfícies. Então suponha que
você tem uma superfície S e, como S é
bidimensional, agora podemos
parametrizá-la com duas variáveis. r(u,v).
Antes tinhamos uma linha, que
parametrizavamos com uma variável e, também
anteriormente, nós tinhamos um vetor
tangente à linha, direcionado por r'(t),
e nesse caso o que nós temos é um
plano tangente, e como nós encontramos a
equação desse plano tangente? Bem,
perceba que há dois vetores nesse plano:
(Quadro)
E aqui vem a parte mais importante
na minha opinião Sobre isso.
Antes nós utilizamos a linha
tangente que apontava para r’(t), Então
para linhas nós usamos o vetor
tangente, Agora para encontrar a
equação do plano tangente, usamos
o que chamamos de Vetor normal,
e eu chamo de “n chapéu”=ru x
rv.Então nós temos esse novo personagem
que acabou de aparecer que é n
chapéu. E de novo ele é muito importante
pois o análogo de r’(t) para linhas
é o vetor normal para planos. Então,
o que o vetor tangente é para
linhas o vetor normal É para um plano.
E a partir disso você pode teoricamente
encontrar a equação do plano
tangente e tudo mais. Mas não é
para isso que estamos aqui hoje,
há um vídeo separado para isso se
vocês quiserem, E o próximo passo
é simplesmente definir o que é
chamado de integral de superfície.
E assim como para integrais de
linha de funções onde nós somamos
F sobre uma linha, Dessa vez nós
podemos somar F sobre um plano.
Então, novamente, Isso
é em três dimensões,
(x,y,z), E assuma que, de
alguma maneira, na quarta
dimensão você tem uma
função que flutua no topo
da sua superfície.É
impossível de visualizar,
mas novamente Suponha que
nós temos um ponto (x,y,z) e temos
f(x,y,z), mas S é bidimensional,
então vamos usar parametrização.
(Quadro)
Então a integral de
superfície o que ela faz é
medir o volume Abaixo
de F e acima da superfície
S. E como nós encontramos
isso?  basicamente
base vezes altura.
Aqui a altura é f(r(u,v)),
e o que é a base? “It’s all
about the base, about the base…”.
Portanto, antes a nossa base era apenas
esse pequeno segmento ds. Agora o que nós
queremos é um segmento bidimensional, Nesse
caso é apenas um pequeno paralelogramo dS.
Bem, como podemos encontrar esse
paralelogramo simplesmente utilizando
essa ideia do plano tangente?
Suponha que você tem um ponto r(u,v),
Então considere o seguinte paralelogramo
medido por ru e rv, Talvez seja
essa coisa aqui, O problema que ele
está muito grande, e nós gostaríamos de
colocá-lo em escala. Então, ao invés
de encontrar r(u,v), nós temos nosso ru
multiplicado por um pequeno número du e
rv multiplicado por um pequeno número dv,
e assim conseguimos esse
pequenino paralelogramo dS
E como nós encontramos a área de tal
paralelogramo? Ocorre que você aprendeu em cálculo
a várias variáveis que Ela é dada pelo
cumprimento deste vetor vezes Este vetor.
Então, dS=(ru.du)x(rv.dv),
E você encontra o comprimento
disso, podemos tirar du e dv, e ficar com:
(Quadro)
Então o que nós temos?  A base é isso,
a altura é aquilo, então você
faz simplesmente base vezes
altura, que é simplesmente
f(r(u,v)) vezes ||ru x rv||.
Então definimos simplesmente uma
integral de superficie de f(x,y,z).dS
como a integral dupla
de f(r(u,v)).||ru x rv||.dudv,
E de novo, é base vezes altura.
e os limites de integração são simplesmente
o domínio de U e V, e o chamamos de D.
E é assim que nós fazemos
integrais de superfície
de funções, E como
nós generalizamos isso
para Campos vetoriais?
Vocês verão que não é
exatamente a mesma
coisa mas é meio que similar,
então meio que desperdicei
o seu tempo com isso,
mas agora já está feito.
Por quê a coisa mais
importante que nós falamos
anteriormente é a ideia do
vetor normal, então antes,
talvez como uma analogia
a integral de linha de F.dr era a
integral de a até b de F(r(t)).r’(t)
e a ideia era que tínhamos uma
curva C, e com um vetor tangente
r’(t) e tudo que fizemos foi
multiplicar F com r’(t). Então esta
quantidade mede o quanto, em
qual direção, F aponta para a curva.
Bem, acontece que é a mesma
coisa aqui, só que não exatamente.
Suponha que você tem uma superfície
S, e vamos dizer, um ponto r(u,v),
e por um lado nós temos F
nesse ponto, F(r(u,v)), e veja,
lembram que eu disse que a parte
mais importante numa linha é o vetor
tangente? Aqui, a coisa mais importante
sobre um plano é o seu vetor normal.
N chapéu. Então, antes nós multiplicávamos
F com o vetor tangente porque nós tínhamos
linhas, agora que nós temos um plano,
nós multiplicamos F com o vetor normal.
483
00:49:20,733 --> 00:49:14,733
(Quadro)
Ok, pode ser um pouco
estranho, mais novamente, a
razão que faz isso funcionar
é que, para curvas,  nós
podemos descrever isso
com um vetor r’(t). Em planos,
nós também podemos
descrevê-los com um vetor: N chapéu.
É por isso que
conseguimos fazer isso. Outro
problema é qual direção
de S você escolhe? Você
pega ru, rv, alguma outra
coisa? Não, precisamos
de algo mais sistemático
e ela é N chapéu.
E se você fizer cálculos
perceberá que ele
funciona porque a
codimensão de um plano é 1,
então meio que podemos
pegar um plano e colocar
um vetor para encontrar
todos os outros três.
Esse é o porque de nós conseguirmos definir
integrais de superfícies. E novamente
ainda é a mesma ideia, você deseja somar
número, mas desta vez o número mede o
quanto F aponta para fora da sua superfície,
então por exemplo, se você tem essa
superfície aqui, e um vetor normal aqui,
e F meio que flui para fora da superfície.
Então F.N chapéu é positivo.
Pense em termos de
física, como se F fosse um
fluido que flui para
fora de sua superfície.
Suponha nesse caso que agora F flui para
dentro da sua superfície, talvez assim.
Então F.Nchapéu é negativo.
Pense em algo como alguma coisa
fluindo para dentro de uma bola, e
finalmente se F é tangente a sua
superfície, então F.Nchapéu é 0.
Então F flui nem pra fora nem para
dentro. E o que você está fazendo,
essencialmente, é somar esses
número sobre D, que é o domínio de u e v.
Então isso provém de um número
que mede o quanto um fluxo entra ou sai.
E você pode na verdade escrever
isso em termos de dS, então:
(Quadro)
E note a similaridade, você está
multiplicando F com algum tipo de derivada,
aqui você multiplicou com r’(t), aqui
você multiplicou com ||ru x rv||, então:
(Quadro)
Bem, essa é simplesmente o tamanho
da área desse paralelogramo, então
isso é dS, e junte com o que
restou, porque você está integrando
sobre a superfície, a integral é
na verdade integral dupla de S,
F vezes um vetor normal dividido
pelo comprimento do vetor normal,
mas sempre que você
divide um vetor pelo seu
comprimento, você
obtém um vetor unitário.
(Quadro)
Então novamente, você tem sua
superfície S, seu campo vetorial F, e
o N é apenas o que chamamos
de vetor unitário normal à superfície.
Então, isso realmente explica
como isso soma os valores de F sobre
a superfície. Então, isso se
torna a sua integral de superfície:
(Quadro)
O que relaciona os dois tópicos
que nós conversamos sobre
Tudo bem, agora espero que
tenhamos uma boa ideia de como nós
somamos valores de um campo
vetorial sobre uma superfície,
e agora queremos saber se há
TFC para isso. E em particular,
podemos generalizar o teorema
de Green para três dimensões?
Porque teorema de Green é incrível, nos permite por exemplo calcular integrais de linha de campos vetoriais não-conservativos.
Bem, veremos.
Eu diria que estamos na parte 6.
Isso nos levará para o
que chamamos de Teorema
de Stokes, que é uma
analogia bem natural do
teorema de Green.
Primeiro, precisamos definir
uma nova operação de
campos vetoriais porque, para
o teorema de Green,
tínhamos o QuiXoric PeYams.
Qual o análogo para 3
dimensões? Bem, sem
problemas, vamos nos
perguntar novamente que se um
campo vetorial é conservativo,
então o que temos?
Então suponha que F é
conservativo. Então suponha que
F é o gradiente de uma
função, mas agora em 3D, então:
(Quadro)
Então temos P=fx, Q=fy,
R=fz. Portanto, vamos aplicar
novamente o teorema de
Schwarz-Clairaut de novo:
(Quadro)
Que nos fornece QuiXoric PeYams,
(Quadro)
Então, se um campo vetorial é
conservativo, essas três identidades
se mantém, mas existe alguma
coisa que combinam as três juntas?
E sim, é o que chamamos de
Rotacional, e definiremos ele.
Tudo que precisamo é
desse -  “All we need is
love… E claro, essas
3 identidades.” Então,
Então, o rotacional de F é simplesmente
definido como o gradiente vezes F:
(Quadro)
E isso se torna:
(Quadro)
Que é precisamente, mais ou menos, as
três identidades que nós temos, nossos:
(Quadro)
E, se F é conservativo,
você verá que o Rotacional é .
Então se o Rotacional
não for , já podemos
dizer que é não-conservativo.
E o que ele mede?
Eu gostaria de pensar nele
como um análogo de QuiXoric
PeYams, e isso é um vetor
que mede a micro rotação de F,
mas em três dimensões.
E você deve perguntar
porque eles são 3 números,
e é porque há na verdade
3 planos aqui na origem.
Suponha que o seu campo
vetorial se pareça com
isso, então seu gradiente
seria algo do tipo,
mas você pode observar
que o que acontece é
que QuiXoric PeYams
mede a rotação no plano xy.
Por outro lado, Pz-Rx
mede a rotação no plano xz.
E por último, você tem Ry-Qz
que mede a rotação no plano yz.
Então porque você tem esses 3
eixos de rotação, você tem um vetor com
3 componentes, então por exemplo,
se você tem esse campo vetorial aqui
XYZ,
e se pareça com isso,
mas meio que constante
e as rotações não dependem
de x, não variam ao longo de x,
deve ser algo como  ou algo do
tipo, veja que no plano xy não há rotação.
Então algo Qx-Py que deveria
ser 0. E nesse plano também não há
rotação. Então Pz-Rx=0. Mas, no
plano yz há uma grande rotação.
Então Ry-Qz é positivo. E para
esse campo vetorial em particular,
se você calcular o rotacional,
ele deveria ser .
Porque Ry-Qz é positivo, o
que explica como ele rotaciona
no plano yz e essa direção
você obtém da regra da
mão direita de física. Se
dedo aponta nessa direção.
Então a rotação realmente
é perpendicular ao eixo x.
Então, isso mede a micro
rotação e, porque mede
isso, deve haver um
análogo do teorema de Stokes,
que é bem arrumado,
então Teorema de Stokes.
Gostaria de lembrar que
o teorema de Green é:
(Quadro)
E novamente a
interpretação era que se você
tem uma curva fechada
C, então a rotação global
de F é a soma das
micro rotações, que nesse
caso é a mesma coisa,
estes pequenos furacões,
então suponha que você tem uma superfície
como essa, com uma curva de contorno C,
então a integral de linha F.dr é a
integral dupla do rotacional de F vezes dS.
E eu quero convencer vocês que isso é a mesma
coisa que o teorema de Green, mas em 3D,
porque de novo, a integral de linha de
F.dr é a circulação global de F sobre C,
e essa coisa é apenas a
soma das micro rotações.
Se você pensar em pequenos
furacões dentro de C, se
você somar esses pequenos
furacões, você obtém o furacão
global ao redor de C. E
era a mesma coisa aqui, se
você somasse em D, você
obtinha o furacão global em C.
Então, de certa maneira, existem dois jeitos
de pensar sobre isso: Você pode pensar
no teorema de Green como uma versão plana
do teorema de Stokes, ou pensar no teorema
de Stokes como uma versão curvada do
teorema de Green. Pense no teorema de Stokes
como um carpete curvado, e o teorema de
Green é simplesmente plano ou algo do tipo.
Então essa é, na verdade,
uma boa generalização
que explica que - antes
nós falarmos disso, temos
que se F é conservativo,
então o Rotacional é
zero, e em particular,
se o Rotacional é zero,
nós temos a conversão
agora, a integral de linha de
F.dr é a integral de superfície
do rotacional de F.dS.
Mas se isso é zero, então temos que a
integral de linha sobre C é zero, e esqueci de
mencionar que isso
é para qualquer curva
fechada, ao contrário
isso não faria sentido, e
portanto temos que a integral de linha de F
sobre qualquer curva fechada é zero, então
pelo outro fato curioso
que foi mencionado no
teorema de Green, temos
que F é conservativo.
Então conservativo é similar, equivalente,
ao rotacional de F ser zero, e que
nos dá um critério claro e limpo de
saber se um campo vetorial é conservativo.
Então ótimo, nós temos o teorema de
Green, temos essa generalização, mas há
outra generalização interessante que eu
acho que é mais fácil de utilizar, então,
é definitivamente mais fácil
de usar, acho que não é tão
intuitiva como as outras, ele se
chama teorema do Divergente.
Então parte 7. Teorema do
Divergente. Eu gosto de chamar de
Teorema de Gauss, porque tudo
que tem haver com Gauss é incrível.
E essa é a ideia: O
teorema de Green relaciona
uma integral de linha
com uma integral dupla
Este foi Green.
Em 2D.
Em 2D. Bem, em 3D, o análogo a uma integral
de linha é uma integral de superfície.
E o análogo a uma integral
dupla seria uma tripla.
E acontece que o teorema
do Divergente relaciona esses
dois. E lembre que o teorema
de Stokes relaciona esses dois.
Não esquecendo que o teorema
de Fubini relaciona esses dois.
Fubini diz que se você
integrar uma integral dupla, você
acaba obtendo uma tripla, mas
não é por isso que estamos aqui
hoje. Então o que eu gostaria
de dizer é que, de algum modo,
é que a integral dupla de F.dS é igual
a integral tripla de algo. E o que seria
isso? Primeiro, S tem que ser uma
superfície fechada, feita de um pedaço só,
tipo uma sacola plástica
que não saia ar, o legal
sobre superfícies fechadas
é que há um interior e um
exterior. Então se a integral
dupla de F.dS é igual a
integral tripla de algo, então
precisamos de um número
com derivativas de F,
e acaba que isso é
chamado de divergente é:
(Quadro)
Você pega a primeira derivada
do primeiro componente,
a segunda derivada do
segundo, e a terceira do
terceiro. E se você sabe
algebra linear, você sabe
que essa é diagonal principal
da matriz de derivação.
E por isso que a escolhemos. E
o teorema do divergente diz que a
integral dupla de F é igual a
integral tripla do divergente de F.
Então o que isso
significa fisicamente? O
divergente é como se
fosse uma expansão de F.
Pense como se você um
gás que está expandindo.
Em outras palavras, usando um típico
exemplo, então o divergente de F é:
(Quadro)
Então nesse caso, o campo
vetorial F em 3D talvez
se pareça com isso, e na
verdade F está expandindo.
Então o divergente explica a expansão de F,
e basicamente o que o
teorema do Divergente diz
é que se você somar as
pequenas expansões de F,
se você somar as pequenas expansões de F,
você obterá a expansão
global de F sobre a
superfície S, e isso faz
sentido porque lembre-se
como nós definimos
integrais de superfície, nós
as definimos como o
quanto F sai da superfície.
Então isso aqui é um fluxo resultante, o
quanto que ele sai da superfície, e de fato se
você somar todas essas
micro expansões, você
obterá a macro expansão
do seu campo vetorial.
E isso é muito útil para
calcular integrais de
superfície, porque com o
teorema de Stokes você precisa
que seu campo vetorial
seja rotativo, e esse serve
para qualquer campo
vetorial, o que é muito legal.
Ok, e isso oficialmente termina o nosso
"Cálculo Vetorial Extravaganza", vocês verão
que é bastante coisa, e eu espero que vocês
tenham gostado, e se vocês estão estudando
cálculo vetorial, boa sorte, ele é muito
excitante, e se vocês gostaram e querem ver
mais matemática, por
favor se inscreva no meu
canal do YouTube Dr
Peyam. Muito obrigado.
