
English: 
the topics in this mosaic will be active, during or at the end of the video, with
more information relevant to the channel, and the video you are going to watch.
In the previous video, I intuitively told you what a logarithm is. From
that when they talk to you about logarithms, an idea quickly comes to your mind
clear what it is. In this video we are going to go a little deeper. Let's study
what is the formal definition and what are its limits.
This is the formal definition of what a logarithm is. As in all
mathematical definitions, you will see that there is a lot of information,

Spanish: 
los tópicos en este mosaico estarán
activos, durante o al final del vídeo, con
más información relevante al canal, y al
vídeo que vas a a ver.
en el vídeo anterior, te hablé
intuitivamente de que es un logaritmo. De
que cuando te hablen de logaritmos, 
rápidamente venga a tu mente una idea
clara de lo que es. En este vídeo vamos a
ir un poco más profundo. Vamos a estudiar
cuál es la definición formal y cuáles
son sus límites.
Esta es la definición formal de lo que
es un logaritmo. Como en todas las
definiciones matemáticas, vas a ver que
hay una gran cantidad de información,

Spanish: 
compactada en muy poco espacio.
Aprenderte esa definición, en realidad no
sirve de nada. Hay que entenderla, y saber cuáles son los límites. En el vídeo
anterior explicamos todo lo que
necesitaba saber sobre estas dos
relaciones. Ahora, nos enfocaremos en cuáles son los límites,
cuando aplica, cuando no, y por qué.
Empecemos nuestro análisis de la
definición con el caso que me indica que
"b", la base, no puede ser 1. Veamos estos
casos. Tengo el logaritmo base 1, de 64, igual a
un número "a", el de 32, igual al número "b" y el de 16, igual a un número "c". ¿Cuál es el
problema? idealmente, 1 elevado a la "a" debería ser
igual a 64. 1 elevado a la "b" debería ser
igual a 32,
y un elevado al ac debería ser igual a
16. Ahora, sabemos que 1, elevado

English: 
compacted in very little space. Learn that definition, not really
no use. You have to understand it, and know what the limits are. In the video
above we explained everything you needed to know about these two
relations. Now, we will focus on what the limits are,
when it applies, when it doesn't, and why. Let's start our analysis of
definition with the case that tells me that "b", the base, cannot be 1. Let's see these
cases. I have the base 1 logarithm of 64, equal to
a number "a", that of 32, equal to the number "b" and that of 16, equal to a number "c". What is
trouble? ideally 1 raised to "a" should be
equal to 64. 1 raised to "b" should equal 32,
and a rise to ac should equal 16. Now we know that 1, raised

Spanish: 
a cualquier número, siempre será 1.
Así que no hay manera en que yo pueda
obtener unos números, a, b y c, que
cuando la base sea 1 resulten en  64, 32 y 16.
por lo tanto, la definición no aplica
cuando la base es 1. Ahora veamos el
próximo caso, la restricción en que "b" tiene que ser mayor de cero. Nota que
la definición no solamente dice que "b"
no puede ser 1, sino que tiene que ser
mayor de 0. Lo que eso implica es que
"b" no puede ser cero, ni puede ser
negativo. Así que, analicemos esto usando unos
números similares a los anteriores: 64, 32 y 16. El logaritmo de esos números, base 0,
implicando que voy a obtener unos
números, a, b y c, de tal forma, que 0^a

English: 
to any number, it will always be 1. So there is no way I can
obtain numbers, a, b and c, that when the base is 1 result in 64, 32 and 16.
therefore the definition does not apply when the base is 1. Now let's look at
In the next case, the constraint that "b" must be greater than zero. Note that
the definition not only says that "b" cannot be 1, but must be
greater than 0. What that implies is that "b" cannot be zero, nor can it be
negative. So, let's analyze this using a
numbers similar to above: 64, 32, and 16. The logarithm of those numbers, base 0,
implying that I am going to obtain some numbers, a, b and c, in such a way that 0 ^ a

Spanish: 
sea igual a 64, 0^b sea igual a 32, y 0^c
sea igual a 16. el problema es
que 0 elevado a cualquier número siempre va a ser cero, excepto el caso especial
de 0^0, que es una forma
indeterminada. Entonces, ¿qué sucede? sucede que no
hay manera en que yo consiga números, a, b y c, que sean el exponente de una base
cero, y que resulten en los números: 64, 32 y 16. Por lo tanto, queda evidenciado que
la definición tampoco funciona para b=0. Por eso, es que existe esta
restricción. Analicemos ahora, el
caso cuando la base es negativa. Este
caso requiere un poquito más de
suspicacia, porque podría dar la falsa
impresión de que funciona en algunos
casos.

English: 
equals 64, 0 ^ b equals 32, and 0 ^ c equals 16. the problem is
that 0 raised to any number will always be zero, except the special case
0 ^ 0, which is an indeterminate form. So what happens it happens not
is there a way for me to get numbers, a, b and c, that are the exponent of a base
zero, and that result in the numbers: 64, 32 and 16. Therefore, it is evident that
the definition does not work for b = 0 either. So there is this
restriction. Let us now analyze the case when the base is negative. East
case requires a little more suspicion, because it could give the false
impression that it works in some cases.

English: 
Let's see, for example, the logarithm base-2, of minus 8, equal to 3. That is
equivalent to saying-2 ^ 3 =-8. Therefore, it complies
with the definition, and it apparently works. Now what if instead of
be the base logarithm-2, of-8
off the logarithm, base-2, of 8. The problem with this is that there is no form
where I can get an exponent, x, where minus 2 ^ x
result in +8. So in this case it doesn't work; but the thing becomes a
slightly more critical when you're working with fractional exponents
why? because when you work with fractional exponents there is always the
case of an even radical, and that implies complex numbers, as in this case. The logarithm,

Spanish: 
veamos, por ejemplo, el logaritmo base
-2, de menos 8, igual a 3. Eso es
equivalente a decir que -2^3 = -8. Por lo tanto, cumple
con la definición, y aparentemente
funciona. Ahora, qué pasaría si en vez de
ser el logaritmo base -2, de -8
fuera el logaritmo, base -2, de 8.  El problema con esto es que no hay forma
en que yo pueda conseguir un exponente, x,  donde menos 2^x
resulte en +8. Así que, para este
caso, no funciona; pero la cosa se hace un
poquito más crítica cuando estás
trabajando con exponentes fraccionales
¿por que? porque cuando trabajas con
exponentes fraccionales, siempre está el
caso de un radical par, y eso implica números complejos, como en este caso. El logaritmo,

Spanish: 
base -2, de x igual a un 1/2
implica que x es igual a la raíz
cuadrada de -2. Eso, no está
definido en el dominio de los reales. Si
está definido en el dominio de los
complejos pero, en lo que respecta a esta
definición, en el dominio de los reales,
sencillamente, no funciona. Claro,
según vayas avanzando en las matemáticas,
y estudies números complejos,
pues, verás muy buenos argumentos respecto a
logaritmos con base negativa, y como
funcionaría en el mundo de los complejos.
Por ahora, logaritmos con
base negativa están excluidos. Probados
entonces cada uno de los casos de
valores de "b" que excluye la definición,
movámonos al próximo, relacionado a que x tiene que ser mayor

English: 
base-2, of x equal to 1/2 implies that x is equal to the root
square of-2. That is not defined in the realm domain. Yes
is defined in the domain of the complexes but, in regards to this
definition, in the realm domain, it just doesn't work. Sure,
as you advance in mathematics, and study complex numbers,
Well, you will see very good arguments regarding
logarithms with a negative base, and how it would work in the complex world.
For now, negative-based logarithms are excluded. Tested
then each of the value cases of "b" that the definition excludes,
let's move to the next one, related to that x has to be greater

English: 
from scratch. To do this, we are going to use this part of the definition, x = b ^ y,
to analyze if in any way x could turn out to be zero or negative. There are three
cases. The case where it is either greater than zero, equal to zero, or less than cero. Already
we have proven that b must be greater than zero, so that is already given. Let's see
to this first case. Ask yourself the following: for a value, "y", greater than zero, and
obviously b is greater than zero, is there any way this exponent is zero, or
negative. The truth is, no; because it doesn't matter
how small the value of "y" is, provided that "y" is positive, and knowing that b is
positive, this exponent will be positive. So I have no problems
in this case. Now what would happen when y = 0. Well i know b

Spanish: 
de cero. Para ello, vamos a usar esta parte de la definición, x = b^y,
para analizar si de alguna forma, x, pudiera resultar ser cero, o negativo.  Hay tres
casos. El caso en que ya sea mayor de
cero, igual a cero, o menor de cero. Ya
hemos probado que b tiene que ser mayor de cero, así que ya eso está dado. Veamos
a este primer caso. Pregúntate lo
siguiente: para un valor, "y", mayor de cero, y
obviamente, b es mayor de cero, hay alguna forma de que este exponente sea cero, o
negativo. La verdad es que no; porque no importa
cuán pequeño sea el valor de "y", siempre 
que "y" sea positivo, y  sabiendo que b es
positivo, este exponente será
positivo. Por lo tanto, no tengo problemas
en este caso. Ahora, qué pasaría cuando
y=0. Bueno, yo sé que b

Spanish: 
es mayor de cero. Así que, si "y" fuera
cero, todo número elevado a la cero es 1
Por lo tanto, en este caso, x sería igual
a 1. El caso que es, quizás, un poquito
menos claro, es este, cuando y0
Si y<0, esta expresión va a
ser equivalente a x = b^(-y), que es lo mismo que 1 sobre b^y
donde, aquí, "y" va a ser
positivo. Sé que b también es positivo,
por lo tanto,
esta expresión va a ser siempre
positiva. Lo que quiere decir que se
cumple la condición de que x siempre
sea mayor de 0. Ahora que ya tienes claros todos los
elementos de la definición, ya eres capaz
de resolver muchos problemas de

English: 
is greater than zero. So if "y" were zero, every number raised to zero is 1
Therefore, in this case, x would be equal to 1. The case is, perhaps, a little bit
less clear, is this, when y  0
If y <0, this expression goes to
be equivalent to x = b ^ (-y), which is the same as 1 over b ^ y
where, here, "and" will be positive. I know that b is also positive,
therefore this expression will always be
positive. Which means that the condition that x is always met
is greater than 0. Now that you are clear on all
elements of the definition, you are already able to solve many problems of

Spanish: 
logaritmos. Eso es lo que vamos a empezar a hacer a partir del próximo vídeo. A la
vez que vamos a ir incorporando otras
propiedades de los logaritmos. Recuerda,
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English: 
logarithms. That is what we are going to start doing from the next video. At
time that we are going to incorporate other properties of the logarithms. Remember,
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