
Thai: 
 
สิ่งที่เราอยากทำในวิดีโอนี้คือ
พิสูจน์สูตรการเปลี่ยนฐานสำหรับลอการิทึม
ซึ่งบอกเรา -- ขอผมเขียนอันนี้นะ -- สูตร
ซึ่งบอกเราว่า ถ้าผมอยากหาลอการิทึมฐาน
a ของ x ผมหาค่ามันได้
โดยหาลอการิทึมอีกฐานหนึ่ง
มันจะเท่ากับลอการิทึมฐาน
b -- ฐานอีกฐาน -- 
ฐาน b ของ x หารด้วยลอการิทึม
ฐาน b ของ a
 
และนี่คือผลที่มีประโยชน์จริงๆ
ถ้าเครื่องคิดเลขของคุณมีลอการิทึมฐานธรรมชาติ

Tamil: 
இப்போ நாம மடக்கை அப்படின்னு சொல்லகூடிய logarithaத்தின்
base formulaவின் மாற்றத்தை நிருபிக்கபோறோம், base formula அப்படிங்கறது தமிழ்ல அடிமான சூத்திரம் ஆகும்.
மடக்கை x ன்  அடிமானம் a, இங்க log அப்படிங்கறது logarithmஓட குறுகிய வடிவம் தான்
இத வைத்து தான் நாம நிருபிக்கணும்.
இத எப்படி நிரூபிக்க போகிறோம் அப்படினா நாம இந்த மடக்கை யா எடுத்து வெவ்வேறு அடிமானதொடு வைத்து பார்க்க போகிறோம்
சமம் மடக்கை அடிமானம் b ன் x
வகுத்தல் மடக்கை அடிமானம் b ன் a
இது ஒரு அருமையான முறை
உங்கள்  கால்குலேட்டர் இயற்கை மடக்கை மட்டும் கொண்டு இருந்தாலோ அல்லது

Norwegian: 
Det jeg vil gjøre i denne videoen er
bevise forandring av base formelen for logaritmer,
som forteller oss-- la meg skrive dette-- formel.
Som forteller oss at hvis jeg ønsker å finne logaritme base
a av x, som jeg kan finne ut
ved å ta logaritmer med en annen base.
At dette ville være lik logaritme base
B-- så en annen base-- base b av x, dividert med logaritmen
basen b av a.
Og dette er et veldig nyttig resultat.
Hvis kalkulatoren kun har naturlig logaritme

Czech: 
V tomto videu bych chtěl
dokázat pravidlo 
o změně základu logaritmu,
které zní… Raději to napíšu…
Pokud chci najít logaritmus x 
o základu a,
mohu ho najít také pomocí logaritmu
o jiném základu.
Toto by se tedy rovnalo
logaritmu x o základu b,
tedy o jiném základu, logaritmu x
o základu b děleno
logaritmem a o základu b.
A to je velice užitečný
výsledek.
Pokud vaše kalulačka umí
pouze přirozený nebo

English: 
What I want to do
in this video is
prove the change of base
formula for logarithms,
which tells us-- let me
write this-- formula.
Which tells us that if I want
to figure out the logarithm base
a of x, that I can
figure this out
by taking logarithms
with a different base.
That this would be equal
to the logarithm base
b-- so some other base-- base b
of x, divided by the logarithm
base b of a.
And this is a really
useful result.
If your calculator only
has natural logarithm

Bulgarian: 
В това видео искам
да докажа формулата за смяна на основата при логаритмите,
която ни показва – нека го напиша.
Която ни показва, че ако искаме да намерим логаритъм от х
при основа а, мога да го направя
като имам логаритми с различна основа.
Това ще бъде равно на логаритъм при основа b –
някаква друга основа – логаритъм от х при основа b,
делено на логаритъм от а при основа b.
Като това е един наистина полезен резултат,
ако калкулаторът ти има само естествен логаритъм

Portuguese: 
O que eu quero fazer neste vídeo é
provar a mudança da fórmula de base para logaritmos,
que nos diz-- vou escrever isto-- a fórmula
que nos diz que se eu quero descobrir o logaritmo base 
a de x, eu posso descobrir isto 
pegando logaritmos com uma base diferente.
Que isto seria igual ao logaritmo base
b-- ou alguma outra base-- base b de x, dividido pelo logaritmo
base b de a.
E, este é um resultado muito útil.
Se sua calculadora só tem logaritmo natural

Korean: 
 
이 동영상에서는
로그에 대한 기본 공식의 변화를 증명하겠습니다
즉 공식을 증명합니다
만약 제가 로그의 밑을 찾고 싶어한다면
이렇게 찾을 수 있습니다
다른 밑을 가진 로그를 비교함으로써
log bx와
log ax는
같습니다
이것은 유용한 결과입니다
계산기가 자연로그 또는 로그의 밑이 10인 것만 가지고 있다면

German: 
In diesem Video möchte ich den
Basiswechselsatz für Logarithmen beweisen.
Er sagt uns, dass, wenn wir
log_a (x) herausfinden wollen,
dies durch Logarithmen mit einer
anderen Basis erreichen kann.
Das ist gleich log_b (x) / log_b (a).
Das ist ein sehr nützliches Ergebnis.
Wenn dein Taschenrechner nur den
natürlichen Logarithmus oder die Basis 10 hat,

Romanian: 
Ce vreau sa fac in acest video este
sa dovedesc formula de schimbare a bazei 
pentru logaritmi,
care ne spune-- hai sa scriu asta--
formula.
Care ne spune ca daca vreau sa aflu
baza logaritmului
a din x, ca pot sa aflu asta
luand logaritmi cu o baza diferita.
Asta va fi egala cu logaritm in baza
b--deci alta baza-- baza b din x, 
impartit la logaritm
in baza b din a.
Si acesta este un rezultat foarte folositor.
Daca calculatorul dumenavoastra 
are doar logaritm natural

Tamil: 
மடக்கை 10 ன் அடிமானம் கொண்டு இருந்தாலோ,
இதை பயன்படுத்தி  எந்த மடக்கையின் அடிமானத்தையும் கண்டுபிடிக்கலாம்
இப்போ நாம மடக்கை அடிமானம் 3 அ எடுத்துகிட்டோம் அப்படினா ...
அத கீல எடுத்து எழுதிக்குவோம்
மடக்கை அடிமானம் 3
இங்க xக்கு பதிலாக ம்ம்ம்ம், 25 அ எடுத்துக்குவோம்
இத நாம கணிப்பான் ல பயன்பாடுதானும் அப்படினா நாம
இத log அடிமானம் 10 க்கு இல்லனா அடிமானம் 2 க்கு மாத்தனும்
அப்போ இத இப்படி எழுதலாம்
சமம் மடக்கை 25 ன் அடிமானம் 10
வகுத்தல்
மடக்கை 3 ன் அடிமானம் 10
எனவே இது தான்  அடித்தளம் சூத்திரத்தின் மாற்றத்தின் பயன்பாடு ஆகும்.
இத நம்பளால நிரூபிக்க முடியும்
இப்போ இத இப்படி சொல்லலாம்

German: 
kannst du das benutzen, um den Logarithmus
mit jeder beliebigen Basis herauszufinden.
Wenn du z.B. log_3 (25) herausfinden willst,
kannst du auf deinem Taschenrechner entweder
die Logarithmusbasis 10 oder 2 verwenden.
Wir können also sagen, dass das gleich log_10 (25) ist,
und die meisten Taschenrechner
haben eine Taste für Basis 10,
dividiert durch log_10 (3).
Das ist eine Anwendung des Basiswechselsatzes.
Jetzt wollen wir ihn beweisen.

Romanian: 
sau log in baza 10, acum puteti folosi asta
sa aflati
logaritmul folosind alta baza.
Daca vreti sa aflati log in baza
2-- hai s-o fac mai clar.
Daca vreti sa aflati log in baza,
sa spunem, baza 3 din, sa spunem, 25,
puteti utiliza calculatorul fie folosind log in baza 10
sau log in baza 2.
Deci puteti spune ca asta va fi
egala cu log in baza 10 din 25--
si majoritatea calculatoarelor au un buton
pentru asta-- impartit la log in baza 10 din 3.
cu log in baza 10 din 3.
Deci asta este o aplicatie la formula de
schimbare a bazei.
Dar hai sa o dovedim.
Sa spunem ca vrem -- hai

Thai: 
หรือล็อกฐาน 10 คุณก็ใช้สูตรนี้หา
ลอการิทึมโดยใช้ฐานใดๆ ได้
ถ้าคุณอยากหาล็อกฐาน
2 -- ขอผมบอกให้ชัดนะ
ถ้าคุณอยากหาลอการิทึมฐาน
สมมุติว่า ฐาน 2 ของ สมมุติว่า 25
คุณก็ใช้เครื่องคิดเลขของคุณใช้ล็อกฐาน 10
หรือล็อกฐาน 2
คุณก็บอกได้ว่า ค่านี้จะ
เท่ากับล็อกฐาน 10 ของ 25 --
และเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มีปุ่มสำหรับฐานนั้น --
หารด้วย
ล็อกฐาน 10 ของ 3
นี่ก็คือการใช้สูตรการเปลี่ยนฐาน
แต่ลองพิสูจน์มันดู
สมมุติว่าเราอยาก -- ลอง

English: 
or log base 10, you can
now use this to figure out
the logarithm using any base.
If you want to figure
out the log base
2-- let me make it clear.
If you want to figure
out the logarithm base,
let's say, base 3
of, let's say, 25,
you can use your calculator
either using log base 10
or log base 2.
So you could say
that this is going
to be equal to log
base 10 of 25--
and most calculators have
a button for that-- divided
by log base 10 of 3.
So this is an application of
the change of base formula.
But let's actually prove it.
So let's say that
we want to-- let's

Bulgarian: 
или логаритъм при основа 10, можеш да използваш формулата,
за да намериш логаритъм при която и да е основа.
Ако искаш да намериш логаритъм
при основа 2 – нека го изясня.
Ако искаш да намериш колко е
логаритъм от 25 при основа 3,
можеш да използваш калкулатора си за логаритъм при основа 10
или логаритъм при основа 2.
Така че можеш да кажеш, че това ще бъде
равно на логаритъм от 25 при основа 10 –
като повечето калкулатори имат бутон за това нещо –
делено на логаритъм от 3 при основа 10.
Това е приложението на формулата за смяна на основата.
Но нека всъщност я докажем.
Нека кажем, че искаме – нека
имаме логаритъм от х при основа а

Norwegian: 
eller log base 10, kan du nå bruke dette til å finne ut
logaritmen ved hjelp av noen base.
Hvis du ønsker å finne ut log base
2-- la meg gjøre det klart.
Hvis du ønsker å finne ut av logaritme base,
la oss si, basen 3 av, la oss si, 25,
kan du bruke kalkulatoren enten vet base 10
eller logg base 2.
Så du kan si at dette kommer
til å være lik log base 10 av 25--
og de fleste kalkulatorer har en knapp for det-- delt
med log base 10 av 3.
Så dette er en anvendelse av endringen av base formelen.
Men la oss faktisk bevise det.
Så la oss si at vi ønsker å-- la oss

Czech: 
dekadický logaritmus,
můžete toto pravidlo
použít k vyčíslení logaritmu
o jakémkoli základu.
Pokud chcete vyčíslit 
logaritmus o základu 2…
Ujasním.
Pokud chcete vyčíslit
logaritmus o základu
například 3 třeba z 25,
můžete na kalkulačce
použít log o základu 10
nebo o základu 2.
Takže toto se bude rovnat
log 25 o základu 10…
A většina kalkulaček má 
pro něj tlačítko.
Děleno log 3 o základu 10.
Takže toto je aplikace
pravidla o změně základu logaritmu.
Ale nyní si ho pojďme dokázat.
Takže řekněme, že chceme…
Položme log x o základu a

Korean: 
이 방식을 사용할 수 있습니다
어떠한 밑을 이용함으로써
로그의 밑이 2인 함수를 찾고 싶어한다면
확실히 해봅시다
로그의 밑이
3이고 그것이 25라는 것을 알고 싶어 한다면
계산기를 이용할 수 있습니다
로그의 밑이 10 또는 2인 수를 사용하여
이것이
log 10 25와 같다고 말할 수 있습니다
대부분의 계산기들은 버튼을 가지고 있습니다
log 10 3을 구할 수 있는 버튼입니다
그래서 이것이 식의 밑을 바꾸는 공식입니다
증명해봅시다
log_a (x)가

Portuguese: 
ou log base 10, vocês podem usar isto agora para descobrir
o logaritmo usando qualquer base.
Se vocês quiserem descobrir o log base
2-- vou explicar.
Se vocês quiserem descobrir o logaritmo base,
digamos, base 3 de, digamos, 25, 
vocês podem usar a calculadora usando log base 10
ou log base 2.
Então, vocês poderiam dizer que isto será
igual a log base 10 de 25--
e a maioria das calculadoras têm um botão para isso-- dividido
por log base 10 de 3.
Portanto, esta é uma aplicação da mudança da fórmula de base.
Mas, vamos provar isto.
Digamos que eu quero-- vamos 

Romanian: 
sa punem log in baza a din x este egal cu 
o noua variabila.
Hai sa-I spunem acelei variabile, 
hai sa spunem ca asta este egal cu y.
Deci asta de aici, o punem sa fie egala cu y.
Ei bine, asta este un alt mod de a spune ca 
a la puterea y
este egal cu x.
Deci putem rescrie asta ca a la puterea y este egal cu x.
Voi scoate x in afara deoarece sunt
aproape sa -- aceste doua lucruri sunt egale.
Asta e un alt mod de a spune
ceea ce am scris aici.
Acum, hai sa introducem logarithm in baza b.
Si sa o introducem,
iau log in baza b
din ambele parti ale ecuatiei.
Hai sa luam log in baza b din partea stanga,
si log in baza b din partea dreapta.
Ei bine, stim din proprietatile logaritmilor
ca log din ceva la putere
este exact aceelasi lucru ca puterea

Portuguese: 
estabelecer o logaritmo base a de x como igual a alguma nova variável.
Vamos chamar esta variável, vamos chamá-la de igual a y.
Então, isto aqui, nós estamos apenas determinando isto como igual a y.
Bem, isto é apenas uma outra maneira de dizer que a elevado à potência de y
é igual a x.
Então, podemos reescrever isto como a elevado à potência de y é igual a x.
Vou escrever o x mais longe, porque 
vou-- estas duas coisas são iguais.
Esta é apenas uma outra maneira de reafirmar
o que escrevemos aqui em cima.
Vamos introduzir agora o logaritmo base b.
Para introduzi-lo, eu vou colocar o log base
b dos dois lados desta equação.
Então, vamos colocar o logaritmo base b do lado esquerdo,
e o logaritmo base b do lado direito.
Bem, nós sabemos com base nas propriedades logarítmicas
que o logaritmo de algo elevado a uma potência
é exatamente a mesma coisa que a potência

German: 
Wir setzen log_a (x) mit einer neuen Variablen gleich.
Wir nehmen einfach mal y.
Wir setzen das hier also mit y gleich.
Das ist nur eine andere Schreibweise für a^y = x.
Ich schreibe das x etwas versetzt.
Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig,
das ist nur eine andere Schreibweise hiervon.
Jetzt kommen wir zur Logarithmusbasis b.
Ich wende jetzt log_b auf
beide Seiten dieser Gleichung an.
Ich wende log_b also auf die linke Seite an,
und log_b auf die rechte Seite an.
Wir wissen durch unsere Logarithmuseigenschaften,
dass der Logarithmus von einem Wert
mit einem Exponenten genau dasselbe ist,

Bulgarian: 
да е равно на някаква нова променлива.
Нека наречем тази променлива 'у'.
Това тук го слагаме просто да е равно на у.
Това е просто друг начин да кажем, че а на степен у
е равно на х.
Можем да го напишем като 
а на степен у е равно на х.
Ще напиша х тук, защото ще –
тези две неща са равни.
Това е просто друг начин да заявим отново същото,
което току-що написахме тук горе.
Нека въведем сега логаритъм при основа b.
За да го въведа, трябва просто да взема
логаритъм при основа b от двете страни на уравнението.
Нека сложим логаритъм при основа b от лявата страна
и логаритъм при основа b от дясната страна.
От свойствата на логаритмите знаем,
че логаритъм от нещо на степен
е точно същото като степента

Czech: 
rovno nějaké nové proměnné.
Nazvěme ji y.
Takže zde pouze položíme y rovno
tomuto výrazu.
Toto je však pouze jiný způsob,
jak napsat, že a na y se rovná x.
Proto to můžeme přepsat:
a na y rovná se x.
Napíšu to x až sem,
protože chci…
Tyto dvě věci se rovnají.
Toto je pouze jiný způsob zápisu
toho, co jsme napsali výše.
Nyní použijeme logaritmus
o základu b.
A abychom to udělali,
prostě obě strany rovnice
zlogaritmujeme 
logaritmem o základu b.
Takže zlogaritmujeme levou
stranu logaritmem o základu b,
a pravou stranu logaritmem
o základu b.
Ale z vlastností logaritmu víme,
že logaritmus z něčeho
umocněného na nějakou
mocninu, je totéž
jako tato mocnina

Korean: 
어떤 변수와 같다고 가정해봅시다
그변수를 y 와 같다고 해봅시다
우리는 그것을 y와 같다고 했습니다
음, 이것은 a y가 x와 같다고 말하는 것의
다른방식입니다
우리는 이것을 a y는 x 와 같다고 다시 써볼수 있습니다
저는 x를 여기 밖에 쓰겠습니다
왜냐하면 이 두개가 같다고 할 것이기 때문입니다
이것은 또 다른 방식입니다
우리가 여기에 쓴 것을 다시 말하는 다른 방식입니다
그러면 log 의 밑이 b인 로그를 소개해봅시다
이것을 소개하기 위해서 저는 이 식의 양쪽에
log b 함수를 두겠습니다
왼쪽에도 log b를 두고
오른쪽에도 log b를 두겠습니다
우리는 로그의 특성상
어떤 것의 제곱은
어떤 것을 여러번 곱한 것과

Thai: 
ให้ลอการิทึมฐาน a ของ x เท่ากับตัวแปรตัวใหม่
ลองเรียกตัวแปรนั้น ลองเรียกมันว่า y
ค่านี่ตรงนี้ เราจะตั้งให้มันเท่ากับ y
นี่ก็คือวิธีบอกอีกอย่างว่า a กำลัง y
เท่ากับ x
เราก็เขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น a ยกกำลัง y เท่ากับ x
ผมจะเขียน x ข้างนอกตรงนี้ เพราะผม
จะ -- สองตัวนี้เท่ากัน
นี่ก็แค่วิธีบอก
สิ่งที่เราเขียนบนนี้ใหม่
ทีนี้ ลองใส่ลอการิทึมฐาน b กัน
เวลาใส่ ผมจะใส่ล็อกฐาน
b ทั้งสองข้างของสมการนี้
ลองหาลอการิทึมฐาน b ทางซ้ายมือ
และลอการิทึมฐาน b ทางขวามือ
ทีนี้ เรารู้จากสมบัติลอการิทึมของเรา
ว่าลอการิทึมของอะไรสักอย่างยกกำลังค่าหนึ่ง
จะเท่ากับกำลังตัวนั้น

Norwegian: 
sette logaritme base a av x til lik en ny variabel.
La oss kalle den variabelen, la oss kalle det lik y.
Så dette rett over her, vi setter den lik y.
Vel, dette er bare en annen måte å si at a til y potens
er lik x.
Så vi kan skrive dette som a til y potens er lik x.
Jeg skal skrive x ut her, fordi jeg er
skal til å-- disse to ting er like.
Dette er bare en annen måte å omskrive
det vi nettopp skrev opp her.
Nå, la oss introdusere logaritme base b.
Og for å innføre det, skal jeg bare ta log base
b til begge sider av denne ligningen.
Så la oss ta logaritme base b på venstre side,
og logaritmen base b på høyre side.
Vel, vi vet fra våre logaritme egenskaper
at logaritmen av noe av potens
er akkurat det samme som potens

Tamil: 
log x ன்  அடிமானம் a சமம் ஒரு புது மாறி
அத நாம y அப்படின்னு சொல்லலாம் சரியா
அப்போ இங்க இருக்கற இது y க்கு சமம் அப்பின்னு நாம எடுத்து இருக்கோம்
இது ஒன்னும் இல்ல a வின் அடுக்கு y சமம் x அப்படிங்கறத நிருபிக்கரதுக்கு இன்னொரு வழிமுறை அவ்வளவு தான்
அப்போ இத நாம இப்படி மாற்றி எழுதலாம் a வின் அடுக்கு y சமம் x
x கொஞ்சம் தள்ளி எழுதறேன்
இது இரண்டும் சமம்
இது இங்க இருக்கற இதோட இன்னொரு வடிவம் அவ்வளவு தான்
இப்போ நாம இதுல மடக்கையின் அடிமானம் b அ அறிமுகப்படுத்தலாம்
அத அறிமுகப்படுத்த இரண்டுபக்கமும்
மடக்கையின் அடிமானம் b அ இரண்டுபக்கமும் எடுத்துக்கலாம்
மடக்கையின் அடிமானம் b வலதுபக்கம்
மடக்கையின் அடிமானம் b இடதுபக்கம்
நமக்கு இந்த மடக்கையின் பண்புகள் நல்லவே தெரியும் தானே
அதாவது ஏதாவது ஒன்றின் மடக்கை மற்றும் அதன் அடுக்கானது
அடுக்கு முறை அந்த ஒன்றின் மடக்கை க்கு சமம். இது தான் அந்த மடக்கை பண்பு

English: 
set logarithm base a of x to
be equal to some new variable.
Let's call that variable,
let's call that equal to y.
So this right over here, we are
just setting that equal to y.
Well, this is just another way
of saying that a to the y power
is equal to x.
So we can rewrite this as a
to the y power is equal to x.
I'll write the x out
here, because I'm
about to-- these two
things are equal.
This is just another
way of restating
what we just wrote up here.
Now, let's introduce
the logarithm base b.
And to introduce it, I'm
just to take log base
b of both sides
of this equation.
So let's take logarithm base
b of the left-hand side,
and logarithm base b
of the right-hand side.
Well, we know from our
logarithm properties
that the logarithm of
something to a power
is the exact same
thing as the power

Tamil: 
அப்போ மடக்கை a வின் அடுக்கு y ன் அடிமானம் b அப்படிங்கறது
y மோய் மடக்கை a வின் அடிமானம் b க்கு சமம்
இது தான் பாரம்பரிய மடக்கை பண்பு
இத நாம முந்தைய காணொளிகளிலேயே பார்த்து இருக்கிறோம்
சரி இது சமம் வலதுபக்கம்
அதாவது சமம் log x அடிமானம் b
இப்போ நாம இந்த y அ தீர்க்க பார்க்கலாம்
இது கொஞ்சம் ச்வாரசியமாவே இருக்கு ஏன்னா y ஆனது இங்க இருக்க இது
ஆனா நாம இபோ இங்க y அ தீர்க்கணும்,
அதாவது மடக்கை அடிமானம் b ன் y அ நாம இங்க தீர்க்கணும்
y அ தீர்க்க நாம சமன்பாட்டின் இரண்டுபக்கமும் மடக்கையின் a வின் அடிமானம் b  அ வகுக்கனும்
அப்போ இடதுபக்கம்  வகுத்தல்  மடக்கையின் a வின் அடிமானம் b

English: 
times the logarithm
of that something.
So logarithm base
b of a to the y
is the same thing as y times
the logarithm base b of a.
So this is just a traditional
logarithm property.
We prove it elsewhere.
And we already know
it's going to be
equal to the right-hand side.
It's going to be equal
to log base b of x.
And now, let's just solve for y.
And this is exciting, because y
was this thing right over here.
But now if we solve
for y, we're going
to be solving for y in
terms of logarithm base b.
To solve for y, we
just have to divide
both sides of this equation
by log base b of a.
So we divide by log base b
of a on the left-hand side,

Bulgarian: 
по логаритъма от това нещо.
Логаритъм от а при основа b на степен у
е същото като у по логаритъм от а при основа b.
Това е просто традиционно логаритмично свойство.
Доказвали сме го преди.
Вече знаем, че това ще бъде
равно на дясната страна.
То ще бъде равно на логаритъм от х при основа b.
Сега нека просто намерим колко е у.
Това е вълнуващо, защото у беше това нещо тук.
Но сега ако търсим у, ще
го намерим по отношение 
на логаритъм при основа b.
За да намерим у, трябва само да разделим двете страни на това уравнение
на логаритъм от а при основа b.
Разделяме на логаритъм от а при основа b от лявата страна

German: 
wie der Exponent, der mit dem
Logarithmus von diesem Wert multipliziert wird.
log_b (a^y) ist also dasselbe wie y ⋅ log_b (a).
Das ist eine traditionelle Logarithmuseigenschaft.
Wir beweisen sie woanders.
Und wir wissen bereits, dass es mit
der rechten Seite gleichwertig ist.
Es ergibt log_b (x).
Und jetzt lösen wir einfach nach y auf.
Das ist aufregend, da y dieser Ausdruck hier war.
Wenn wir jetzt aber nach y auflösen, lösen wir
nach y in Bezug auf die Logarithmusbasis b auf.
Um nach y aufzulösen, müssen wir nur beide
Seiten dieser Gleichung durch log_b (a) dividieren.
Wir dividieren also auf der linken Seite durch log_b (a),

Czech: 
krát log z toho něčeho.
Takže logaritmus 'a na y' o základu b
je totéž co y krát logaritmus a
o základu b.
Toto je pouze klasická
vlastnost logaritmu.
Důkaz ještě uděláme.
Tedy víme, že se to bude rovnat
pravé straně.
Tedy bude se to rovnat
log x o základu b.
A nyní rovnici vyjádřeme y.
A je to opravdu vzrušující
díky této věci.
Pokud nyní vyjádříme y,
bude to pomocí
logaritmů o základu b.
Takže abychom vyjádřili y,
pouze vydělíme
obě strany rovnice
log a o základu b.

Portuguese: 
vezes o logaritmo desta alguma coisa.
Assim, o logaritmo base b de a elevado a y
é a mesma coisa que y vezes o logaritmo base b de a.
Esta é apenas uma propriedade logarítmica tradicional.
Nós já a provamos em outro vídeo.
E, nós já sabemos que isto será 
igual ao lado direito.
Será igual a log base b de x.
Vamos agora resolver o y.
E, isto é interessante porque y era esta coisa logo aqui.
Mas, agora, se resolvermos o y, nós iremos 
resolver o y em termos do logaritmo base b.
Para resolver o y, precisamos apenas dividir 
os dois lados desta equação por log base b de a.
Então, nós dividimos por log base b de a no lado esquerdo,

Norwegian: 
ganger logaritmen til det noe.
Så logaritme med grunntall b for a til y
er det samme som y ganger logaritme base b av a.
Så dette er bare en tradisjonell logaritme egenskap.
Vi beviser det andre steder.
Og vi vet allerede at det kommer til å være
lik den høyre side.
Det kommer til å være lik log base b av x.
Og nå, la oss bare løse for y.
Og dette er spennende, fordi y var denne tingen rett over her.
Men nå hvis vi løser for y, kommer vi
til å løse for y i form av logaritme base b.
Å løse for y, vi må bare dele
begge sider av denne ligningen med log basen b av a.
Så vi deler med log base b av a på venstre side,

Romanian: 
ori log din acel lucru.
Deci log in baza b din a la y
este la fel ca y ori log in baza b din a.
Deci asta este proprietatea traditionala 
a logaritmului.
Deci am dovedit-o.
Si stim deja ca va fi
egala cu partea dreapta.
Va fi egala cu log in baza b din x.
Si acum, hai sa rezolvam pentru y.
Si asta este imbucurator, pentru ca y era 
lucrul chiar de aici.
Dar acum, daca rezolvam pentru y,
vom rezolva pentru y in functie de log in baza b.
Sa rezolvam pentru y, trebuie doar sa 
impartim
ambele parti ale ecuatiei la log in baza b din a.
Deci impartim cu log in baza b din a in partea stanga,

Thai: 
คูณลอการิทึมของค่านั้น
ลอการิทึมฐาน b ของ a ยกกำลัง y
เท่ากับ y คูณลอการิทึมฐาน b ของ a
นี่ก็แค่สมบัติลอการิทึมดั้งเดิม
เราพิสูจน์ไว้ที่อื่นแล้ว
และเรารู้แล้วว่ามันจะ
เท่ากับทางขวามือ
มันจะเท่ากับล็อกฐาน b ของ x
และตอนนี้ ลองแก้หา y กัน
และอันนี้น่าตื่นเต้น เพราะ y คือค่านี่ตรงนี้
แต่ตอนนี ถ้าเราแก้หา y เราจะ
แก้หา y ในรูปของลอการิทึมฐาน b
เวลาแก้หา y เราแค่ต้องหาร
ทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยล็อกฐาน b ของ a
เราก็หารด้วยล็อกฐาน b ของ a ทางซ้ายมือ

Korean: 
정확히 일치한다고 알고 있습니다
lob b a y는
y 곱하기 log ba와 같습니다
이것은 전통적인 로그의 특성입니다
다른 곳이에서도 이것을 증명해보았습니다
그리고 우리는 이미 이것이
오른쪽과 같아질 것이라는것을 알고 있습니다
이것은 lob b x와 같습니다
그리고 y의 해답을 찾아봅시다
흥미로운 점은 y는 여기있는점이라는 것입니다
우리가 y에 대한 해답을 찾는다면 우리는
밑이 b인 log의 관계 속에서 y를 찾아야 한다는 것입니다
y에 대한 해답을 찾기 위해서는 우리가
식의 양쪽 모두를 log b a로 나누어야 합니다
왼쪽을 log b a로 나누고

Romanian: 
si impartim la log in baza b din a in partea dreapta.
Deci in partea stanga , aceste doua caractere
sunt egale deci le putem elimina.
Si am ramas in partea stanga cu--si meritam
sa bata tobele acum--
ca y este egal cu log in baza b din x 
impartit la log in baza b din a.
Hai sa o scriu.
Doar copies si alipesc deci
nu trebuie sa schimb culorile.
Hai sa o alipesc.
Deci o aveti.
Aveti formula de schimbare a bazei.
Tineti minte, y este aceelasi lucru precum
acest lucru de aici.
y este log din a.
De fapt, hai sa o clarific.
y, care e egal cu log din a,
car este egal cu log in baza a din x-- deci copez si alipesc--
y, care este egal cu acest lucru,
care este cum il definim
chiar aici, y este egal cu log in baza a din x
tocmai
am aratat, este egal cu asta, daca o scriem in functie 
de baza b.
Si avem formula de schimbare a bazei.

German: 
und dividieren auf der rechten Seite durch log_b (a).
Links kürzen sich diese beiden weg.
Übrig bleibt: y = log_b (x) / log_b (a).
Ich füge es hier ein.
Das ist unser Basiswechselsatz.
Denk daran: y ist dasselbe wie das hier drüben.
Zur Verdeutlichung: y = log_a (x) = log_b (x) / log_b (a).
Und das ist unser Basiswechselsatz.

English: 
and we divide by log base b
of a on the right-hand side.
And so on the left-hand
side, these two characters
are going to cancel out.
And we are left with-- and
we deserve a drum roll now--
that y is equal to log base b
of x divided by log base b of a.
So let me write it.
Just copy and paste
this so I don't
have to keep switching colors.
So let me paste this.
So there you have it.
You have your change
of base formula.
Remember, y is the same thing
as this thing right over here.
y is log of a.
Actually, let me make it clear.
y, which is equal to log of a,
which is equal to log base
a of x-- so copy and paste--
y, which is equal to this thing,
which is how we defined it
right over here, y is equal
to log base a of x, we've just
shown, is also equal to this, if
we write it in terms of base b.
And we have our change
of base formula.

Norwegian: 
og vi deler med log base b av a på høyre side.
Også på venstre side, disse to tegnene
kommer til å utligne hverandre.
Og vi sitter igjen med-- og vi fortjener en trommevirvel nå--
at y er lik log base b av x dividert med log base b av a.
Så la meg skrive det.
Bare kopier og lim inn denne så jeg ikke
må bytte farger.
Så la meg lime dette.
Slik.
Du har din endring av base formelen.
Husk, y er det samme som denne tingen rett over her.
y er loggen av a.
Egentlig, la meg gjøre det klart. y, som er lik log av a,
som er lik log base a av x- så kopiere og lime--
y, som er lik denne saken, som er hvordan vi definerte det
rett over her, y er lik log base a av x, vi har bare
vist, er også lik dette, hvis vi skriver det i form av base b.
Og vi har vår endring av base formel.

Korean: 
오른쪽을 log b a로 나눕니다
왼쪽에서 이 두 특징은
사라지게 됩니다
그리고 우리는 왼쪽을 보면
y는 logb x를 log b a로 나눈것이랑 같다는 것을 알 수 있습니다
여기에 써봅시다
단순히 복사해봅시다
그래서 제가 색깔을 바꾸지 않아도 될수 있도록
이것을 섞어봅시다
여기있습니다
당신은 식의 밑을 바꾸어주어야 합니다
기억합시다. y는 여기 있는 것이랑 같다는 것을
y는 log a입니다
사실 정확히 하자면 y 즉 log a 랑 같은 것은
log a x랑 같습니다
y 즉, 이것이랑 같은 것은
우리가 여기서 정의한 것이고 y 는 log a x와 같습니다
우리가 여기서 보여주었듯이 y는 또한 이것과 같습니다
그리고 우리는 log의 밑을 바꿀 수 있습니다.

Portuguese: 
e dividimos por log base b de a no lado direito.
Do lado esquerdo, estes dois caracteres 
vão se cancelar.
E, temos-- e merecemos agora um rufar de tambores--
que y é igual a log base b de x dividido por log base b de a.
Vou escrever isto.
Vou copiar e colar isto para não
ter que ficar trocando de cor.
Vou colar isto.
E, pronto, terminamos.
Temos a mudança da fórmula de base.
Lembrem-se, y é a mesma coisa que isto aqui em cima.
y é log de a.
Na verdade, deixe-me explicar: y, que é igual a log de a,
que é igual a log base a de x-- vou copiar e colar--
y, que é igual a isto aqui, que é como nós o definimos
aqui em cima, y é igual a log base a de x, acabamos de 
mostrar, também é igual a isto, se o escrevermos em termos de base b.
E, temos nossa mudança da fórmula de base.

Bulgarian: 
и разделяме на логаритъм от а при основа b от дясната страна.
От лявата страна тези двете
ще се съкратят.
И оставаме с – сега заслужаваме аплодисменти –
получаваме у е равно на логаритъм от х при основа b, делено на логаритъм от а при основа b.
Нека го запиша.
Просто ще го копирам, за да не трябва
да сменям цветовете.
Ще го поставя тук.
Ето, че го получихме.
Имаме формулата за смяна на основата.
Не забравяй, че у е същото като това нещо тук.
у е логаритъм от а.
Всъщност нека го изясня. Имаме у, което е равно на
логаритъм от х при основа а – така че ще го копирам –
у, което е равно на това нещо, което е начинът, по който го определихме
ето тук – у е равно на логаритъм от х при основа а.
Току-що показахме, че е също равно и на това,
ако го напишем с основа b.
И получаваме формулата за смяна на основата.

Tamil: 
அப்பறம்  வலதுபக்கம்  வகுத்தல்  மடக்கையின் a வின் அடிமானம் b
அப்போ இடதுபக்கம் இது இரண்டும் அடிபட்டு விடும்
இப்போ நம்மகிட்ட இருக்கறது
y சமம் மடக்கை என்கின்ற log x ன் அடிமானம் b வகுத்தல் மடக்கை a அடிமானம் b
அத நான் எழுதறேன்
இல்ல நான் அத பிரதி எடுத்து இங்க அச்சிடுறேன்
ரொம்ப சுலபமா இருக்கும்
சரி அச்சிடறேன்
நம்கிட்ட நம்முடைய மாற்றத்தின் அடிமான சூத்திரம் இருக்குது
y அப்படிங்கறது இங்க இருக்கற இதே தான் இத மறந்துட கூடாது
இத இன்னும் தெளிவா எழுதிகறேன்
y சமம்
மடக்கை என்கின்ற log x ன் அடிமானம் a இத பிரதி இட்டு இங்க அச்சிடுறேன்
y சமம் இது, அதாவது இங்க இருந்து படி படியா கண்டுபிடிதடு தான் இது
y சமம் log x ன் அடிமானம் a
அடிமானம் b இன் அடிப்படையில் எழுதுனா  இதும் 
 இதற்கும் சமம் தான்
சரி நமக்கு அடித்தளம் சூத்திரம் கிடைத்துவிட்டது, அவ்வளவு தான் இந்த உத்திக்கணக்கு முடிந்தது

Czech: 
Takže log a o základu b 
vydělíme levou i pravou stranu.
A tak se nám na levé straně tyto
dva výrazy vykrátí.
A zbyde nám…
A zasloužíme si fanfáry…
Že y je rovno log x o základu b
děleno log a o základu b.
Napíšu to…
Pouze to zkopíruji, ať pořád nemusím
měnit barvy.
Vložím toto.
Tak tady to máte.
Máme pravidlo pro 
změnu základu logaritmu.
Uvědomte si, že y je totéž
co tamhleta věc.
Y je logaritmus a.
Ujasním.
Y, které se rovná log a, který se rovná 
log x o základu a…
Vložím to…
Y se rovná této věci,
tak jsme si ho přece definovali
přesně tady, y je log x o základu a,
právě jsme ukázali, že se to rovná
tomuto, kde je v základu b.
A máme pravidlo o změně základu logaritmu.

Thai: 
และเราหารด้วยล็อกฐาน b ของ a ทางขวามือ
แล้วทางซ้ายมือ สองตัวนี้
จะตัดกัน
แล้วเราจะเหลือ -- เราพร้อมตีกลองฉลองแล้ว --
y เท่ากับล็อกฐาน b ของ x หารด้วย
ล็อกฐาน b ของ a
ขอผมเขียนนะ
แค่ลอกแล้ววาง ผมจะได้ไม่
ต้องค่อยเปลี่ยนสี
ขอผมวางอันนี้ลงไปนะ
คุณได้แล้ว
คุณได้สูตรการเปลี่ยนฐานแล้ว
นึกดู y เท่ากับค่านี่ตรงนี้
y คือล็อกฐาน a
ที่จริง ขอผมบอกให้ชัดดีกว่า
y ซึ่งเท่ากับล็อกฐาน a
ซึ่งเท่ากับล็อกฐาน a ของ x -- ลอกแล้ววาง --
y เท่ากับอันนี้ ซึ่งเรากำหนดไว้
ตรงนี้ y เท่ากับล็อกฐาน a ของ x, เราเพิ่ง
แสดงไป ว่ามันเท่ากับค่านี้ ถ้าเราเขียนมัน
ในรูปฐาน b
และเราได้สูตรการเปลี่ยนฐานแล้ว
