
Korean: 
g(x)를 화면에 보이는
함수로 놓읍시다
g(x)를 화면에 보이는
함수로 놓읍시다
x가 어떤 값을 가질 때
g의 그래프가
변곡점을 가질까요?
g의 그래프가
변곡점을 가질까요?
우선 변곡점이 무엇인지
먼저 짚고 넘어갑시다
변곡점은 그래프의 개형이
오목에서 볼록,
또는 볼록에서 오목으로
변하는 지점입니다
아니면 이계도함수 g''(x)의
부호가 바뀌는 지점이라고
할 수도 있습니다
부호가 바뀌는 지점이라고
할 수도 있습니다
그럼 이계도함수를
분석해봅시다
우선 이계도함수를 찾아봅시다
함수 g(x)는
화면에 나온 것과 같습니다
함수 g(x)는
화면에 나온 것과 같습니다
 
g(x)가 이렇게 주어질 때
g'(x)를 구해봅시다
g(x)가 이렇게 주어질 때
g'(x)를 구해봅시다
거듭제곱 함수의
미분법을 적용합시다
4 × ¼ = 1 이므로

Thai: 
ให้ g ของ x เท่ากับ 1/4 x กำลังสี่
ลบ 4x กำลังสาม บวก 24x กำลังสอง
กราฟของ g มีจุดเปลี่ยนเว้า
ที่ค่าใด?
หรือมีจุดของความเว้าตรงไหน?
ลองทบทวนกันหน่อย
จุดเปลี่ยนเว้าคืออะไร
จุดเปลี่ยนเว้าคือเมื่อเราไปจากการเว้า
ตรงที่เราเปลี่ยนความเว้า
หรือจะบอกว่า ตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองของเรา
g ไพรม์ของ x เปลี่ยนเครื่องหมาย
เปลี่ยน เปลี่ยนเครื่องหมาย
ลองดูอนุพันธ์อันดับสองของเรากัน
เพื่อลองหามัน
เรารู้ว่า g ของ x เท่ากับ 1/4
x กำลังสี่ ลบ 4x กำลังสาม
บวก 24x กำลังสอง
จากค่านั้น ลองหา g ไพรม์ของ x กัน
g ไพรม์ของ x จะเท่ากับ
ผมจะใช้กฎยกกำลังหลายครั้ง
4 คูณ 1/4 ได้แค่ 1

Bulgarian: 
Нека функцията g от х да бъде равна
на 1/4 по х на четвърта степен,
минус 4 по х на трета степен, 
плюс 24 по х на квадрат.
За кои стойности на х
графиката на функцията g
има инфлексни точки?
Или има точки на инфлексия?
Нека само да си припомним
какво е инфлексна точка.
Инфлексна точка е място, 
където функцията
променя своята изпъкналост.
Казано по друг начин, това е място, 
където втората производна
g'' от х променя знака си.
Променя знака си.
Нека да изследваме 
втората производна на функцията.
За целта, нека първо да я намерим.
Знаем, че g от х е равно на 1/4
по х на четвърта степен, минус 
4 по х на трета степен,
плюс 24 по х на квадрат.
Като знаем това, нека 
да намерим g' от х.
g' от х ще бъде равно на...
Просто ще приложа правилото за намиране 
производна на степен няколко пъти.
4 по 1/4 е равно на 1.

English: 
- [Voiceover] Let G of X equal
one fourth X to the fourth,
minus four X to the third
power, plus 24 X squared.
For what values of X does the graph of G
have an inflection point?
Or have a point of inflection?
So let's just remind ourselves
what a point of inflection is.
A point of inflection is
where we go from being con,
where we change our concavity.
Or you can say where our second derivative
G prime of X switches signs.
Switches, switches signs.
So let's study our second derivative.
In order to study or
secondary, let's find it.
So we know that G of X
is equal to one fourth
X to the fourth, minus
four X to the third power,
plus 24 X squared.
So given that, let's
now find G prime of X.
G prime of X is going to be equal to,
I'm just going to apply the
power rule multiple times.
Four times one fourth is just one.

Czech: 
g(x) se rovná (1 lomeno 4) krát
(x na čtvrtou) minus 4 krát (x na třetí)
plus 24 krát (x na druhou).
Které body x jsou
inflexními body funkce g?
Připomeňme si,
co to je inflexní bod.
Inflexní bod je bod, ve kterém
se mění konvexita funkce.
To můžeme říci také tak, že druhá
derivace, tedy g(x) se dvěma čárkami,
mění znaménko.
Podívejme se tedy
na druhou derivaci.
Abychom se na ni mohli podívat,
musíme ji nejdřív spočítat.
Víme, že g(x) se rovná (1 lomeno 4) krát
(x na čtvrtou) minus 4 krát (x na třetí)
plus 24 krát (x na druhou).
Když tohle víme,
spočítejme si g(x) s čárkou.
g(x) s čárkou se rovná...
Jen několikrát použijeme
vzorec pro derivaci mocniny.
4 krát (1 lomeno 4) je 1,

Bulgarian: 
Няма да го записвам.
Ще се получи 1 по х на степен 4 минус 1,
т.е. на трета степен.
Минус 3 по 4, което е равно на 12,
по х на степен 3 минус 1,
т.е. х на втора степен, плюс 
2 по 24, което е равно на 48.
По х на степен 2 минус 1
или само х на първа степен.
Мога просто да го запиша като х.
Ето че я получихме.
Имаме първата производна.
Сега искаме да намерим 
втората производна.
g'' от х е просто производна 
на първата производна,
спрямо х – и още малко от правилото
 за намиране производна на степен –
3 по х на квадрат минус 24 по х на първа степен,
т.е. само 24 по х, плюс 48.
Нека помислим къде този израз 
променя знака си.
g'' от х е непрекъсната функция и
ще бъде дефинирана 
за всяка стойност на х.
Следователно единствените 
кандидати за това
къде производната сменя знака си,
са когато този израз е равен на 0.

English: 
I'm not going to write that one down,
it's going to be one times X
to the four minus one power.
So four to the third power,
minus three times four is 12,
X to three minus one power,
X to the second power,
plus two times 24, 48.
X to the two minus one,
or X to the first power,
I can just write that as X.
So there you have it.
I have our first derivative,
now we want to find our second derivative.
G prime prime of X is just the derivative
of the first derivative
of the first derivative
with respect to X, and some
more of the power rule,
three X squared minus 24 X
to the first, or just 24 X, plus 48.
So let's think about where
this switch is signed.
And this is, this is
a continuous function,
is going to be defined for all Xs,
so the only potential candidates
of where it could switch signs
are when this thing equals zero.

Thai: 
ผมจะเขียนมันลงไป
มันจะเท่ากับ 1 คูณ x กำลัง 4 ลบ 1
4 ยกกำลัง 3
ลบ 3 คูณ 4 ได้ 12
x ยกกำลัง 3 ลบ 1
x ยกกำลัง 2, บวก 2 คูณ 24 ได้ 48
x ยกกำลัง 2 ลบ 1, หรือ x กำลัง 1
ผมเขียนแค่ x ก็ได้
คุณก็ได้แล้ว
ผมมีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ตอนนี้เราอยากหาอนุพันธ์อันดับสอง
g ไพรม์ไพรม์ของ x ก็แค่อนุพันธ์
ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
เทียบกับ x เราใช้กฎยกกำลังอีก
3x กำลังสองลบ 24x
ยกกำลัง 1 หรือ 24x บวก 48
ลองคิดดูว่าพจน์นี้เปลี่ยนเครื่องหมายตรงไหน
และนี่คือ นี่คือฟังก์ชันต่อเนื่อง
จะนิยามสำหรับทุก x
ตัวเลือกเดียวที่น่าจะเป็นได้
โดยมันเปลี่ยนเครื่องหมายได้
เมื่อพจน์นี้เท่ากับ 0

Korean: 
¼×x⁴의 미분은
1 × (x의 4 - 1제곱)이 되므로
¼×x⁴의 미분은
1 × (x의 4 - 1제곱)이 되므로
x³이 됩니다
그 뒤는
3 × 4 = 12 이고
지수는 3 - 1이므로
-12 × x²이고,
24 × 2 = 48, 지수는 1이므로
48x가 됩니다
이렇게 도함수 g'(x)를
찾았습니다
이렇게 도함수 g'(x)를
찾았습니다
이제 이계도함수를
찾아봅시다
g''(x)는 도함수의
x에 대한 미분입니다
g''(x)는 도함수의
x에 대한 미분입니다
다시 거듭제곱의
미분법을 적용하면
g''(x) = 3x² - 24x + 48
g''(x) = 3x² - 24x + 48
이제 어디서 부호가
바뀌는지 찾아봅시다
이 g''(x)는 연속함수이고,
모든 x에 대해서 정의됩니다
따라서 부호가
바뀔 수 있는 후보는
따라서 부호가
바뀔 수 있는 후보는
g''(x) = 0인 점 밖에 없습니다

Czech: 
což sem ani
psát nemusím.
Bude to 1 krát x na
(4 minus 1), tedy x na třetí,
minus...
3 krát 4 je 12, tohle 
krát x na (3 minus 1),
takže minus 12 krát (x na druhou),
plus 2 krát 24, což je 48,
tohle krát x na (2 minus 1),
tedy plus 48 krát (x na prvou),
což mohu napsat jako 48 krát x.
To byla první derivace, teď
spočítáme druhou derivaci.
g(x) se dvěma čárkami je
derivace první derivace podle x.
Podle vzorce pro
derivaci mocniny to bude:
3 krát (x na druhou)
minus 24 krát (x na prvou),
což můžeme napsat
jako 24 krát x, plus 48.
Zamysleme se tedy, kdy
tento výraz změní znaménko.
Jde o spojitou funkci
definovanou pro všechna x,
takže jediní kandidáti na body,
v nichž může dojít ke změně znaménka,
jsou body, pro které je
tento výraz rovný nule.

Czech: 
Podívejme se tedy,
kdy se tohle rovná nule.
Položme to rovno nule.
3 krát (x na druhou) minus
24 krát x plus 48 se rovná 0.
Každý člen je dělitelný 3,
takže vydělíme 3,
čímž dostaneme, že x na druhou
minus 8 krát x plus 16 se rovná 0.
Dokážeme tohle
rozložit na součin?
Ano, je to (x minus 4)
krát (x minus 4),
což můžeme taky napsat tak,
že (x minus 4) na druhou se rovná 0,
tedy že x minus 4 se rovná 0
neboli že x je rovno 4.
g se dvěma čárkami v
bodě 4 je tedy rovno 0.
Podívejme se, co se děje
po obou stranách tohoto bodu.
Podívejme se, zda skutečně
dojde ke změně znaménka.
Nakreslím si sem
číselnou osu.

English: 
So let's see where it equals zero.
So let's set that equal to zero.
Three X squared minus 24 X plus 48
is equal to zero, let's see,
everything is divisible by three
so let's divide everything by three.
So you get X squared minus eight X,
plus 16, plus 16 is equal to zero.
And let's see, can I factor this?
Yeah, this would be X minus
four X times X minus 4.
Or just you do this as
X minus four squared
is equal to zero, or X
minus four is equal to zero.
So, or where X equals four.
So G prime prime of four is equal to zero.
So let's see what's happening
on either side of that.
Let's see if G, if we're actually,
if we're actually switching signs or not.
So let me draw a number line here.
And so this is, so this is two, three,

Bulgarian: 
Нека да видим къде този израз 
е равен на 0.
Приравняваме го на 0.
3 по х на квадрат минус 
24 по х плюс 48
е равно на 0. Нека да видим.
Всичко се дели на три,
така че нека да разделим 
целия израз на 3.
Получава се х на квадрат минус 8 по х,
плюс 16 е равно на 0.
Нека да видим дали не може 
да го разложим.
Ще се получи х минус 4 по х минус 4.
Или просто може да се запише 
като х минус 4 на квадрат
е равно на 0. Тогава 
х минус 4 е равно на 0.
Следователно х е равно на 4.
g'' от 4 е равно на 0.
Нека да проверим какво се случва 
от всяка една страна на тази точка.
Просто да проверим дали
действително производната 
сменя знака си.
Нека да начертая една числова ос.
Това е 2, 3,

Thai: 
ลองดูตำแหน่งที่มันเท่ากับ 0
ลองให้มันเท่ากับ 0
3x กำลังสอง ลบ 24x บวก 48
เท่ากับ 0 ลองดู
ทุกอย่างหารด้วย 3 ลงตัว
ลองหารทุกอย่างด้วย 3
คุณจึงได้ x กำลังสองลบ 8x
บวก 16, บวก 16 เท่ากับ 0
ลองดู ผมแแยกตัวประกอบตัวนี้ได้ไหม?
ใช่ อันนี้จะเป็น x ลบ 4, x คูณ x ลบ 4
หรือคุณเขียนว่า x ลบ 4 กำลังสองก็ได้
เท่ากับ 0 หรือ x ลบ 4 เท่ากับ 0
หรือเมื่อ x เท่ากับ 4
g ไพรม์ไพรม์ของ 4 จึงเท่ากับ 0
ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นแต่ละข้าง
ลองดูว่า g ว่าเรา
ว่าเราจะสลับเครื่องหมายหรือไม่
ขอผมวาดเส้นจำนวนตรงนี้
แล้วนี่คือ นี่คือ 2, 3,

Korean: 
이제 어디서
g''(x) = 0이 되는지 봅시다
g''(x) = 0으로 놓습니다
3x² - 24x + 48 = 0
3x² - 24x + 48 = 0
각 계수가 3의 배수이므로
양 변을 3으로 나눕시다
x² - 8x + 16 = 0
x² - 8x + 16 = 0
이 식의 좌변을
인수분해 할 수 있을까요?
(x - 4)(x - 4)로
인수분해 되겠네요
(x - 4)² = 0으로
나타낼 수도 있습니다
결국 x - 4 = 0이고,
x = 4입니다
따라서 g''(4) = 0입니다
이제 x = 4의 양쪽에서
어떻게 되는지 봅시다
정확히는 그 양쪽에서
부호가 바뀌는지 보는 것이죠
수직선을 하나 그립시다

Thai: 
4, 5, และผมทำต่อไปได้
และเรารู้ว่าสิ่งที่น่าสนใจ
เกิดขึ้นตรงนี้
g ไพรม์ไพรม์ของ 4 เท่ากับ 0
g ไพรม์ไพรม์ของ 4 เท่ากับ 0
ลองคิดดูว่าอนุพันธ์อันดับสองคืออะไร
เมื่อมันน้อยกว่า 4
ขอผมลอง g ไพรม์ไพรม์ของ 0
เพราะมันหาค่าได้ง่าย
g ไพรม์ไพรม์ของ 0
มันจะเท่ากับ 48
เมื่อเราน้อยกว่า 4
อนุพันธ์อันดับสองของเรา g ไพรม์
อนุพันธ์อันดับสอง
มากกว่า 0
เราจะได้เว้าขึ้น
ตรงช่วงนี้ ทางซ้ายของ 4
ทีนี้ ลองคิดถึงทางขวาของ 4
2 ใช้อีกสี
แล้วทางขวาของ 4 ล่ะ?
ลองหาค่า
อะไรหาค่าได้ง่าย?
ผมหาค่า g ไพรม์

Korean: 
여기서부터 2, 3, 4, 5, 6
 
여기서 우리가 알고 있는
흥미로운 사실은
g''(4) = 0이라는 점입니다
g''(4) = 0이라는 점입니다
이제 x < 4일때
이계도함수가 어떤지 봅시다
계산하기 쉽도록
g''(0)를 구해봅시다
g''(0) = 48입니다
g''(0) = 48입니다
따라서 x < 4일때
이계도함수 g''(x)는
0보다 큽니다
결과적으로 g의 그래프는
4의 왼쪽 구간에서
위로 오목입니다
이제 4의 오른쪽을 봅시다
이제 4의 오른쪽을 봅시다
이제 4의 오른쪽을 봅시다
 
어떤 값이 계산하기 쉬울까요?
어떤 값이 계산하기 쉬울까요?

English: 
four, five, and I could keep going.
And so we know that something interesting
is happening right over here,
G prime prime of four is equal to zero,
G prime prime of four is equal to zero.
So let's think about what
the second derivative is
when we are less than four.
And so, actually let me just
try G prime prime of zero,
since that will be easy to evaluate.
G prime prime of zero,
well it's just going to be equal to 48.
So when we are less than four,
our second derivative, G
prime, the second derivative,
is greater than zero.
So we're actually going
to be concave upwards
over this interval to the left of four.
Now let's think about
to the right of four.
Two, use a different color.
So what about to the right of four?
And so let me just evaluate,
what would be the easy thing to evaluate?
Well I could evaluate G prime,

Czech: 
Tady bude 2, 3, 4, 5
a mohl bych ještě pokračovat.
Víme, že zde se děje
něco zajímavého.
g se dvěma čárkami
v bodě 4 se rovná 0.
Zamysleme se nyní,
jaké má druhá derivace znaménko,
když je x menší než 4.
Spočítejme g se dvěma čárkami v bodě 0,
protože s tím se bude dobře počítat.
g se dvěma čárkami
v bodě 0 se rovná 48.
Když je tedy x menší než 4,
druhá derivace je větší než 0,
takže původní funkce bude na
tomto intervalu nalevo od 4 konvexní.
Nyní se podívejme na
čísla napravo od 4.
Udělám to
jinou barvou.
Jak to bude pro
čísla napravo od 4?
Dosadím třeba...
Co by se potom
dobře počítalo?

Bulgarian: 
4, 5 и т.н.
Знаем, че нещо интересно 
се случва точно ето тук.
g'' от 4 е равно на 0.
g'' от 4 е равно на 0.
Нека да помислим каква е 
втората производна, когато х е по-малко от 4.
Действително, нека да опитаме с g'' от 0,
защото това ще бъде 
много лесно за изчисление.
g'' от 0 просто ще бъде равно на 48.
Когато х е по-малко от 4,
втората производна g''
е по-голяма от 0.
Следователно функцията 
ще бъде изпъкнала
в рамките на този интервал, наляво от 4.
Сега да разгледаме случая отдясно на 4.
Ще използвам различен цвят.
Какво се случва отдясно на 4?
Нека просто да го изчисля.
С кое число ще бъде лесно 
да се изчисли?
Може да изчисля g',

Korean: 
한 번 g''(10)을 계산해봅시다
한 번 g''(10)을 계산해봅시다
 
 
 
g''(10) = 3 × 10² - 24 × 10 + 48
g''(10) = 3 × 10² - 24 × 10 + 48
즉, g''(10) = 300 - 240 + 48
 
 
계산하면 108입니다
이것 역시 양수입니다
따라서 4의 양쪽에서
g''(x)는 0보다 큽니다
x = 4에서
g''(x) = 0임에도 불구하고
x = 4에서
g''(x) = 0임에도 불구하고
그 양쪽에서 그래프는
위로 오목합니다
양쪽 모두에서
이계도함수가 양수인 것이죠
x = 4는 단지 변곡점의
후보였을 뿐입니다

Bulgarian: 
или по-скоро втората производна g''.
Например g'' от 10?
Ще го запиша ето тук.
Нека да го направя.
Не ми стига мястото, затова 
ще сляза малко по-надолу.
g'' от 10 ще бъде равно на 3
по 10 на квадрат, което е равно 
на 300, минус 24 по 10.
Тоест, минус 240 плюс 48.
Нека да видим. Това е равно на 60.
Това е 300 минус 240, което 
е равно на 60, плюс 48.
Следователно g'' от 10 е равно на 108.
Все още е положителна стойност.
От коя да е страна на 4 
втората производна g'' от х
е по-голяма от 0.
Тогава, въпреки че втората производна
в точката х = 4 е равна на 0,
от всяка страна на 4 функцията е изпъкнала.
От всяка от двете страни втората 
производна е положителна.
Това число е единственият 
потенциален кандидат.

Czech: 
Mohli bychom spočítat
g se dvěma čárkami v bodě...
Proč nezkusit třeba druhou derivaci,
tedy g se dvěma čárkami, v bodě 10?
Takže g...
Napíšu to sem.
Raději sjedu trochu dolů,
abych měl víc místa.
g se dvěma čárkami v
bodě 10 se bude rovnat:
3 krát (10 na druhou),
což je 300,
minus 24 krát 10,
tedy minus 240, plus 48.
Tohle je 60.
300 minus 240 je 60
a k tomu přičítáme 48,
takže to bude 108.
Vyšlo nám
to zase kladné.
Po obou stranách bodu 4 je tak
g(x) se dvěma čárkami větší než 0.
I když se tedy druhá derivace
v bodě x rovno 4 rovná nule,
funkce je na obou stranách
tohoto bodu konvexní,
druhá derivace je na
obou stranách kladná.
Protože to byl jediný možný
kandidát na inflexní bod,

Thai: 
ทำไมไม่ลอง หาอนุพันธ์อันดับสอง
g ไพรม์ไพรม์ของ 10 ล่ะ?
g ผมจะทำตรงนี้นะ
ขอผมทำ
ผมไม่มีที่เหลือแล้ว ผมจะเลื่อนลงนะ
g ไพรม์ไพรม์ของ 10 จะเท่ากับ 3 คูณ
10 กำลังสอง มันก็คือ 300 ลบ 24 คูณ 10
ได้ลบ 240 บวก 48
ลองดู นี่คือ 60
นี่คือ 300 ลบ 240 ได้ 60 บวก 48
นี่จึงเท่ากับ 108
มันยังเป็นบวก
ไม่ว่าทางไหนของ 4, g ไพรม์ไพรม์ของ x
จะมากกว่า 0
ถึงแม้ว่า ถึงแม้ว่าอนุพันธ์อันดับสอง
ที่ x เท่ากับ 4 จะเท่ากับ 0
ทั้งสองข้าง เราได้เว้าขึ้น
ไม่ว่าด้านไหน อนุพันธ์อันดับสองก็เป็นบวก
แล้ว นั่นคือจุดเดียวที่พอเป็นไปได้

English: 
why not do, or of the second derivative,
G prime prime, I should say, of 10?
So, G, I'll do it right over here,
Let me do it, well,
I'm running a little bit of
space, so I'll just scroll down.
So G prime prime of 10 is going
to be equal to three times
10 squared, so it's 300 minus 24 times 10.
So minus 240, plus 48.
So let's see, this is 60.
This is, so 300 minus 240 is 60 plus 48,
so this is equal to 108.
So it still positive.
So on either side of
four, G prime prime of X
is greater than zero.
So even though even though
the second derivative
at X equals four is equal to zero,
on either side we are concave upwards.
On either side, the second
derivative is positive.
And so, and that was the
only potential candidate.

Thai: 
มันจึงไม่มี ไม่มีค่า x ใด
ที่ g มีจุดเปลี่ยนเว้า
x เท่ากับ 4 น่าจะเป็นค่า x
ที่ g มีจุดเปลี่ยนเว้า
ถ้าเราเปลี่ยน ถ้าอนุพันธ์อันดับสอง
เปลี่ยนเครื่องหมายตรงนี้ ถ้ามันเปลี่ยน
จากบวกเป็นลบ
หรือลบเป็นบวก
แต่ถ้ามันยังคงอยู่ จากบวกเป็นบวก
อนุพันธ์อันดับสองนี้เป็นบวก
มันแตะ 0 ตรงนี้
แล้วมันเป็นบวกอีก
เรากลับไปที่คำถาม
ว่ากราฟของ g
มีจุดเปลี่ยนเว้าที่ x ใด?
ไม่มีค่า x ใด
ผมจะใส่เครื่องหมายตกใจ
เพื่อให้ดูน่าตื่นเต้นด้วย

Korean: 
따라서 g의 변곡점은
존재하지 않습니다
만약 x = 4 주변에서
이계도함수의 부호가 변했다면
이계도함수의 부호가 변했다면
x = 4는 g의
변곡점이 되었겠죠
x = 4는 g의
변곡점이 되었겠죠
하지만 부호는
양수에서 양수로 유지되었죠
이계도함수는 양수였다가
x = 4에서 0에 접했고,
다시 양수가 되었습니다
다시 문제로 돌아가서,
어떤 x에서 g의 그래프가
변곡점을 가질까요?
이러한 x는 없습니다
이러한 x는 없습니다

English: 
So there are no, there are no values of X
for which G has a point of inflection.
X equals four would have been a value of X
at which G had a point of inflection,
if we switch, if the secondary derivative
switched signs here, if it
went from positive to negative,
or negative to positive,
but it's just staying
from positive to positive.
So this second derivative was positive,
it just touches zero right here,
and then it goes positive again.
So we're going back to the question,
for what X values does the graph of G
have a point of inflection?
No X values.
I'll put an exclamation
mark there just more drama.

Czech: 
tak žádný bod x není
inflexním bodem funkce g.
x rovno 4 by byl
inflexní bod funkce g,
kdyby v něm druhá
derivace změnila znaménko,
ať už z kladného na záporné
nebo ze záporného na kladné.
V našem případě ale druhá
derivace zůstává kladná.
Druhá derivace
je kladná,
zde nabývá 0 a
pak je zase kladná.
Když se tedy vrátíme
k zadané otázce,
jaké jsou inflexní
body funkce g,
tak odpověď je:
„Funkce nemá žádné inflexní body!“
Pro dramatičnost
tam přidám vykřičník.

Bulgarian: 
Следователно няма стойности х,
за които функцията g има инфлексна точка.
х = 4 беше стойност за х,
в която функцията g можеше 
да има инфлексна точка,
ако втората производна
сменя знака си, т.е. ако премине 
от положителна към отрицателна,
или от отрицателна към положителна,
В случая обаче производната 
остава положителна.
Втората производната е положителна,
просто достига до 0 ето в тази точка, 
след което отново е положителна.
Отново се връщаме 
на поставения въпрос.
За кои стойности на х
графиката на функцията g
има инфлексна точка?
Не съществуват такива стойности за х.
Ще поставя и удивителен знак, 
за да наблегна на това.
