
Korean: 
이 둘은
미적분학에서 알아두면
가장 좋을
도함수 중 하나입니다
sin(x)의 x에 대한 도함수가
cos(x)이고
sin(x)의 x에 대한 도함수가
cos(x)이고
cos(x)의 x에 대한 도함수가
-sin(x)라는 것을 알면
cos(x)의 x에 대한 도함수가
-sin(x)라는 것을 알면
복잡한 도함수를
푸는데 도움이 됩니다
복잡한 도함수를
푸는데 도움이 됩니다
이번 동영상에서는
더 깊게 파고들어가
이 첫 번째 도함수를
증명해 보겠습니다
두 번째는
증명하지 않겠지만
이것을 증명할 때와
같은 방식을
사용하면 됩니다
확실하게
그냥 지어낸
것이 아니라
수학적으로
증명을 해보겠습니다
그러면 계산해 봅시다
sin(x)의 x에 대한
도함수는
정의에 따라 Δx가 0에
한없이 가까워질 때
정의에 따라 Δx가 0에
한없이 가까워질 때
sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의
극한값입니다
sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의
극한값입니다
sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의
극한값입니다

Bulgarian: 
Тук сме записали две
от най-полезните производни, които
 ти трябват в математическия анализ.
Ако знаеш, че производната на sinx
спрямо х е cosх
и че производната на cosx
спрямо х е –sinx,
това може да ти помогне
със смятането на други
много по-сложни производни.
В това видео
ще влезнем малко по-дълбоко
и всъщност ще докажем 
първата производна.
Няма да доказвам втората.
Всъщност можеш да я използваш,
използвайки информацията от това, 
което ще направим с тази.
Това е просто, за да сме сигурни, че
някой просто не го е измислил,
че има малко математически
замисъл зад всичко това.
Хайде да се опитаме да го сметнем.
Производната спрямо х на sinx
по дефиниция ще бъде границата
при Δх, клонящо към 0,

Czech: 
Zde máme napsány jedny
z nejužitečnějších derivací.
Pokud víme, že derivace
sin(x) podle x je cos(x)
a derivace cos(x) podle x je −sin(x),
můžeme počítat řadu těžších derivací.
V tomto videu ukážeme pořádný
důkaz první rovnosti.
Druhou zde dokazovat nebudeme, ale
platnost druhé lze ukázat pomocí první.
Hlavně je třeba se nebát toho, že
důkaz bude trochu technický.
Jdeme na to.
Derivace sin(x) podle x je 
podle definice následující limita.

English: 
- [Instructor] What we
have written here are two
of the most useful derivatives
to know in calculus.
If you know that the
derivative of sine of x
with respect to x is cosine of x
and the derivative of cosine of x
with respect to x is negative sine of x,
that can empower you to do many more,
far more complicated derivatives.
But what we're going to do in this video
is dig a little bit deeper
and actually prove this first derivative.
I'm not gonna prove the second one.
You can actually use it,
using the information we're
going to do in this one,
but it's just to make you feel good that
someone's just not making this up,
that there is a little bit of mathematical
rigor behind it all.
So let's try to calculate it.
So the derivative with
respect to x of sine of x,
by definition, this is
going to be the limit
as delta x approaches zero
of sine
of x plus
delta x minus
sine of x,

Korean: 
sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의
극한값입니다
sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의
극한값입니다
sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의
극한값입니다
이는 그저 점 (x, sinx)와
(x + Δx, sinx) 사이의
기울기일 뿐입니다
(x + Δx, sinx) 사이의
기울기일 뿐입니다
이건 어떻게 계산할까요?
sin(x + Δx)는
이미 배웠던
삼각함수 덧셈정리를
사용해 구할 수 있습니다
그래서 이것은
무엇과 같냐면
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
이걸 삼각함수 법칙으로
다시 써서
이걸 삼각함수 법칙으로
다시 써서

English: 
all of that over delta,
all of that over delta x.
This is really just the slope
of the line between the point
x comma sine of x and x plus delta x
comma sine of x plus delta x.
So how can we evaluate this?
Well, we can rewrite
sine of x plus delta x
using our angle addition formulas
that we learned during
our trig identities.
So this is going to be the same thing
as the limit
as delta x approaches zero.
I'll write, rewrite this using
our trig identity as cosine,
as cosine
of x
times sine
of delta x
plus sine

Bulgarian: 
на sinx + Δх минус sinx,
цялото върху Δх.
Това е просто наклонът на правата
между точката
(х; sinx) и (х + Δх; sinx + Δх).
Как можем да сметнем това?
Можем да запишем 
sin(x + Δх),
използвайки формулата 
за събиране на ъгли,
която научихме от 
тригонометричните свойства.
Това ще бъде същото нещо като
границата
при Δх, клонящо към 0...
Ще запиша това, използвайки 
тригонометричното тъждество,
като cos  от х

Czech: 
Limita z sin(x plus delta x) minus sin(x)
děleno delta x pro delta x jdoucí k 0.
Jde o směrnici přímky mezi [x, sin(x)]
a [x plus delta x, sin(x plus delta x)].
Jak tuto limitu vypočítat?
Přepíšeme sin(x plus delta x)
pomocí součtového vzorce.
Tento vzoreček známe jako jednu
z goniometrických identit.
Tedy upravíme naší limitu pro delta x
jdoucí k 0 následujícím způsobem.
Tento výraz přepíšeme pomocí
goniometrické identity.

Czech: 
A to jako cos(x) krát sin(delta x)
plus sin(x) krát cos(delta x).
Od toho odečteme sin(x) a
vydělíme to delta x.
Což můžeme přepsat jako limitu pro delta x
jdoucí k 0 z následujícího součtu.
A to červené části.
cos(x) krát sin(delta x) děleno
delta x plus oranžová část.

English: 
of x
times cosine
of delta x.
And then we're going to
subtract this sine of x up here
minus sine of x,
all of that over,
let me see if I can draw a
relatively straight line,
all of that over
delta x.
So this can be rewritten
as being equal to the limit
as delta x approaches zero of,
let me write this part in red,
so that would be cosine of x, sine
of delta x,
all of that over delta x.
And then that's going to be plus,
I'll do all of this in orange,
all I'm doing is
I have the sum of things
up here divided by delta x,
I'm just breaking it up
a little bit, plus sine
of x,
cosine of delta x
minus sine of x,

Bulgarian: 
по sin от  Δх + sinx
по cos от Δх.
После ще извадим този sinx.
Минус sinx,
цялото върху...
Да видим дали ще мога да начертая 
сравнително права линия.
Цялото върху Δх.
Това може да се запише като
 равно на границата
при Δх, клонящо към 0...
Нека запиша тази част в червено.
Това ще е cosx, sin
от Δх,
цялото върху Δх.
После това ще бъде плюс...
Ще направя това в оранжево.
Имаме сбора от нещата отгоре,
делено на Δх.
Просто ги разбивам малко.
Плюс sinx,
cos от Δх
минус sinx,

Korean: 
cos(x) sin(Δx) + sin(x) cos(Δx)
라 하고
그리고 sin(x)를 빼 줍니다
그리고 sin(x)를 빼 줍니다
이 모두를
선을 그리고요
선을 그리고요
Δx로 나눈 것의
극한값입니다
이것을 다시 쓰면
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
이 부분을
빨간색으로 하겠습니다
cos(x) sin(Δx)/Δx입니다
그리고 오렌지 색 모두를
더해 줍니다
그리고 오렌지 색 모두를
더해 줍니다
지금 하는 건
어떤 것의 합을
Δx로 나눈 것을
나눈 것 뿐입니다

Korean: 
(sin(x) cos(Δx) - sin(x))/Δx를
더해 줍니다
이 방정식 전체의 극한값을
구하는 것임을 기억하세요
이 방정식 전체의 극한값을
구하는 것임을 기억하세요
이 합의 극한값은
극한값들의 합과 같습니다
따라서 이것은
첫 번째 부분은 
빨간색으로 할게요
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
cosx(sin(Δx)/Δx)의
극한값에
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
Δx가 0에
한없이 가까워질 때
sin(x)를 인수로
뺄 수 있겠네요
sin(x)를 밖으로 빼고
sin(x) (cosΔx -1)/Δx의
극한값을 더해 줍니다
더 간단히 할 수
있는지 보죠
내려가겠습니다

Bulgarian: 
цялото върху Δх.
Запомни, че смятам границата
на целия този израз.
Границата на сбор е равна на
 сбора от границите.
Това ще бъде равно на...
Ще направя тази част в червено.
Границата
при Δх, клонящо към 0...
Мога да запиша това като cosx
по sin от Δх
върху Δх плюс границата
при Δх, клонящо към 0...
Мога да извадя пред скоби sinx.
По sinx...
Изкарах това
и ми остава cos
от Δх – 1,
цялото върху Δх.
Това е тази граница.
Да видим дали мога да опростя
 това още повече.
Нека превъртя надолу малко.

English: 
all of that over delta x.
And remember, I'm taking the limit
of this entire expression.
Well, the limit of a sum is
equal to the sum of the limits.
So this is going to be equal to,
I'll do this first part in red,
the limit
as delta x approaches zero of,
let's see I can rewrite
this as cosine of x
times sine
of delta x
over delta x
plus
the limit
as delta x approaches zero
of, and let's see I can
factor out a sine of x here.
So it's times
sine
of x.
I factor that out,
and I'll be left with a cosine
of delta x minus one,
all of that over
delta x.
So that's this limit.
And let's see if I can
simplify this even more.
Let me scroll down a bit.

Czech: 
Plus sin(x) krát cos(delta x)
minus sin(x) děleno delta x.
Připomeňme, že počítáme
limitu celého výrazu.
Využijeme toho, že limita
součtu je rovna součtu limit.
Celkem tedy
máme následující.
Nejprve přepíšeme limitu pro x
jdoucí k 0 z červené části,
kde červený výraz napíšeme jako 
cos(x) krát podíl sin(delta x) a delta x.
K tomu přičteme limitu pro delta x jdoucí
k 0 z výrazu, kde můžeme vytknout sin(x).
V závorce nám zbude cos(delta x)
minus 1 a to celé děleno delta x.
Zkusíme limity ještě
trochu zjednodušit.

Bulgarian: 
Мога да запиша лявата страна
на израза като...
Този cosx няма нищо общо с
границата при Δх, клонящо към 0,
затова можем да го сложим
извън границата.
Имаме cosx по границата
при Δх, клонящо към 0,
на sin от Δх върху Δх.
Сега трябва да добавим 
това нещо.
Да видим как ще запиша това.
Имаме sinx тук.
Всъщност нека запиша това
малко по-различно.
cos Δх – 1,
това е същото като 
1 – cos от Δх по –1.
Следователно имаме sinx по –1,
и тъй като Δх няма нищо общо
със sinx,
нека изкарам това, минусът и sinx.
Следователно имаме –sinx
по границата
при Δх , клонящо към 0,

English: 
So this left-hand
expression I can rewrite.
This cosine of x has nothing to do with
the limit as delta x approaches zero,
so we can actually take
that outside of the limit.
So we have the cosine of x times the limit
as delta x approaches zero
of sine of delta x
over delta x.
And now we need to add this thing,
and let's see how I could write this.
So I have a sine of x here.
But actually, let me rewrite
this a little bit differently.
Cosine of delta x minus one,
that's the same thing as
one minus cosine of delta x
times negative one.
And so you have a sine of
x times a negative one.
And since the delta x has
nothing to do with the sine of x,
let me take that out, the
negative and the sine of x.
So we have minus sine of x
times the limit
as delta x approaches zero of,
what we have left over is
one minus cosine of delta x

Czech: 
Přepíšeme limitu nalevo.
Cos(x) se nijak nezmění
s delta x jdoucím k 0.
Proto ho vytkneme
ven z limity.
Tedy máme cos(x) krát limita pro delta x
jdoucí k 0 z sin(delta x) děleno delta x.
Nyní je třeba přičíst
a upravit tuto věc.
Cos(delta x) minus 1 je stejné jako
−1 krát 1 minus cos(delta x).
Jelikož −1 a sin(x) nemá nic co do činění
s delta x, vytkneme −sin(x) ven.
Celkem máme −sin(x) krát limita
pro delta x jdoucí 0 z následujícího.

Korean: 
왼쪽 방정식은
다시 쓸 수 있습니다
이 cos(x)는 Δx가 0에
한없이 가까워지는 것과
아무 상관이 없습니다
따라서 극한 밖으로
빼낼 수 있습니다
cos(x) ᐧ lim(Δx->0) (sin(Δx)/Δx)
가 됩니다
그리고 이제
이것을 더해야 합니다
어떻게 쓸 수 있을지 보죠
여기 sin(x)가 있습니다
조금 다르게 적어보죠
(cos(Δx) -1)은
-(1 - cos(Δx))와 같습니다
-(1 - cos(Δx))와 같습니다
그래서 sin(x)와
-(1 - cos(Δx))가 있는데
Δx는 sin(x)와
아무 관련이 없으므로
음수와 sin(x)를
밖으로 꺼낼 수 있습니다
-sin(x)에

Korean: 
lim (Δx->0) (1 - cos(Δx) / Δx)를
곱한 것이 됩니다
이 동영상에선
하지 않겠지만
다른 영상에서
증명을 살펴보겠습니다
다른 영상에서
보았듯이
샌드위치 정리라고도 
알려져 있는 조임정리를 사용해
샌드위치 정리라고도 
알려져 있는 조임정리를 사용해
Δx가 0에 한없이
가까워질때
sin(Δx)/Δx의 극한값은
1입니다
sin(Δx)/Δx의 극한값은
1입니다
또 다른 영상에서
볼 수 있는데
이 정리에 따르면
이 극한값이 1일 때
이 극한값은 0입니다
그러면 남는 것은
이 둘을 증명하는
영상을  시청하는
것을 추천합니다
미적분학에서
아주 유용한 극한입니다
미적분학에서
아주 유용한 극한입니다
cos(x) ᐧ 1 - sin(x) ᐧ 0이 남습니다
cos(x) ᐧ 1 - sin(x) ᐧ 0이 남습니다
이건 다 없어지고
cos(x)가 남습니다
cos(x)가 남습니다
다 끝났습니다

Czech: 
1 minus cos(delta x)
děleno delta x.
V jiném videu jste viděli, jak najít tuto
limitu za pomoci věty O dvou policajtech.
Dostaneme, že limita pro delta x jdoucí
0 z sin(delta x) děleno delta x je 1.
Obdobně, v jiném videu jsme ukázali,
že když tato limita je 1, tak tato je 0.
Podívejme se,
co nám zůstalo.
Předtím vám doporučuji se podívat
na videa dokazující tyto limity.
Zůstalo nám cos(x) krát 1 minus 0,
jelikož to celé napravo zmizelo.
Celkem tedy
máme pouze cos(x).
A jsme hotovi.

Bulgarian: 
на това, което ни остава: 
(1 – cosΔх) /Δх.
Няма да го направя в това видео,
но в други ведеа ще направя
 доказателството.
В други видеа сме показали,
използвайки теоремата 
за двамата полицаи,
позната понякога и като
теоремата сандвич,
че границата при Δх, клонящо към 0,
на sin от Δх върху Δх
е равно на 1.
От друго видео също знаем нещо,
което е базирано на идеята,
че тази граница е равна на 1,
че тази граница тук е равна на 0.
Какво ни остава тогава?
Насърчавам те да гледаш видеата,
които доказват това и това,
макар че е много полезно 
като цяло да знаеш
тези граница за математическия анализ,
че това, което ще ни остане, е просто
cosx по 1 минус sinx по 0.
Всичко това просто ще изчезне
и ще ни остане...
Това ще бъде равно на cosx.
И сме готови.

English: 
over
delta x.
Now, I'm not gonna do it in this video.
In other videos, we will
actually do the proof.
But in other videos we have shown,
using the squeeze theorem,
or sometimes known as
the sandwich theorem,
that the limit is delta x approaches zero
of sine of delta x over delta x,
that this is equal to one.
And we also show in another video,
and that's based on the idea
that this limit is equal to one,
that this limit right over
here is equal to zero.
And so what we are then left with,
and I encourage you to watch the videos
that prove this and this,
although these are really useful limits
to know in general in calculus,
that what you're gonna be
left with is just cosine of x
times one minus sine of x times zero.
Well, all of this is just gonna go away,
and you're gonna have,
that is going to be equal to cosine of x.
And you are done.
