
English: 
- [Voiceover] Let's say that
we have an infinite series S
so that's the sum from n = 1
to infinity of a sub n.
We could write it out a sub 1 plus a sub 2
and we're just going to go on
and on and on for infinity.
We're going to go on
and on and on forever.
So, let's say, and I've written
it in very general terms
let's say we have a formula
for the partial sums of S.
We know that S sub n is equal
to 2n to the third
over n plus 1
times n plus 2.
Now, my question to you is,
based on what I've just told you
S is the sum in a very general way written
this infinite series but
I have the partial sum.
The sum of the first n terms of S is given
by this formula right over here does
this series converge or diverge?
Does this thing converge
to some finite value

Korean: 
우리에게 무한한 수열 S가 있다고 합시다
그 합은 n=1부터
무한까지입니다
우리는 이것을 a1+a2
그리고 무한까지 계속할 것입니다
우리는 계속 계속 계속 영원히 할 것입니다
그래서, 이것을 매우 일반적인 형태로 쓰고
우리에게 S의 부분합의 공식이 있다고 말합시다
우리는 Sn이
2n의 세제곱을
n+1과
n+2와 곱한 것으로 나눈 것과 같음을 알고 있습니다
이제, 여러분에 대한 저의 질문은, 여러분에게 말한 것에 기초하여
S는 아주 일반적인 방법으로 쓰인 합입니다

Thai: 
สมมุติว่าเรามีอนุกรมอนันต์ S
นั่นคือผลบวกจาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ a ห้อย n
เราเขียนมันออกมาได้เป็น 
a ห้อย 1 บวก a ห้อย 2
และเราจะไปเรื่อยๆ ถึงอนันต์
เราจะไปเรื่อยๆ ตลอดไป
สมมุติว่า ผมเขียนมันในรูปทั่วไปมาก
สมมุติว่าเรามีสูตรสำหรับผลบวกย่อยของ S
เรารู้ว่า S ห้อย n เท่ากับ
2n กำลังสาม
ส่วน n บวก 1
คูณ n บวก 2
ทีนี้ คำถามให้คุณคือว่า 
จากสิ่งที่ผมเพิ่งบอกคุณ
S คือผลบวกที่เขียนแทนอนุกรมอนันต์
โดยทั่วไป แต่ผมมีผลบวกย่อย
ผลบวกของ n เทอมแรกของ S
กำหนดโดยสูตรนี่ตรงนี้
อนุกรมนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก?
อนุกรมนี้ลู่เข้าหาค่าจำกัด

Bulgarian: 
Дадена е безкрайна сума
от членовете на редица S,
това е сумата от n = 1
до безкрайност от a с индекс n (а_n).
Можем да го запишем като
а_1 + a_2+...
и така продължава 
до безкрайност.
Продължава до безкрайност.
Да кажем, че сме
записали в общия случай,
че имаме формула
за частичната сума S.
Знаем, че S_n е равно на
((2n)^3)/((n + 1)(n + 2)).
Въпросът ми е,
въз основа на тази информация,
че S_n е общият вид
на сумата
на този безкраен числов ред,
но имам и частична сума.
Сумата на първите n
члена S_n
е дадена с тази формула тук,
тогава дали този ред
е сходящ или не?
Дали това клони към
някаква крайна стойност

Thai: 
หรือมันไม่มีขอบเขต มันลู่ออกไหม?
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือ
แนวคิดที่ว่าอนุกรมอนันต์ S
คือลิมิตเมื่อ n เข้าหา
อนันต์ของผลบวกย่อย
แล้ว เราหมายความว่าอะไร?
คุณมีลำดับของผลบวกย่อยตรงนี้ได้
คุณมี S ห้อย 1, S ห้อย 2, S ห้อย 3
และคุณเขียนต่อไปเรื่อยๆ
จะเป็นผลบวกของเทอมแรก
อันนี้จะเป็นผลบวกของ 2 เทอมแรก
อันนี้จะเป็นผลบวกของ 3 เทอมแรก
แล้วคิดดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับลำดับนี้
เมื่อ n ตรงนี้
เข้าหาอนันต์
เพราะนั่นคืออนุกรมนี้
มันคือผลบวกของ
จะเรียกว่าเทอมแรกถึงอนันต์เทอมแรกได้
มันก็คือผลบวกทั้งหมด
คุณมีเทอมจำนวนนับไม่ถ้วนตรงนี้
ลองคิดดูว่ามันคืออะไร
ลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์ของ S ห้อย n

English: 
or is it unbounded and does it diverge?
Well, one way to think about this is
the idea that our infinite series S
is just the limit as n approaches
infinity of our partial sums.
So, what do we mean by that?
Well, you could a sequence
of partial sums here.
You have S sub 1, S sub 2, S sub 3
and you keep going so this
would be the sum of the first term.
This would be the sum
of the first 2 terms.
This would be the sum of the first 3 terms
and just think about what
happens to this sequence
as n right over here
approaches infinity
because that's what this series is.
It's the sum of the first, I guess
you could say the first, infinite terms.
It's the sum of all, you have
an infinite number of terms here.
Well, let's think about what this.
The limit is n approaches
infinity of S sub n.

Bulgarian: 
или е неограничена и разходяща?
Един начин 
да помислим за това е
представата, че
безкрайният числов ред S
е просто граница за нашите частични 
суми, когато n клони към безкрайност.
Какво означава това?
Нека да имаме редица
от частични суми.
Имаме S_1, S_2, S_3
и така нататък,
това са сумите на 
първите членове.
Това е сумата на
първите два члена.
Това е сумата на
първите три члена
и сега да помислим
какво се случва с тази редица,
когато n клони към безкрайност,
защото това означава
числов ред.
Това е сумата от първите,
ако мога да кажа така,
първите безкрайно много членове.
Това е сумата от всички
безкрайно много членове.
Да помислим какво е това.
Границата на S_n, когато
n клони към безкрайност.

Bulgarian: 
Това е границата, когато
n клони към безкрайност,
за този израз ето тук.
((2n)^3)/((n + 1)(n + 2)).
Има няколко начина
да намерим това.
Единият е да си кажем:
"Тук отдолу това е 
полином от втора степен."
Тук отгоре имаме
трета степен, така че
числителят ще нараства
по-бързо от знаменателя,
значи това ще нараства
неограничено.
Това веднага ти подсказва,
че когато това клони към безкрайност,
S ще е разходящо.
Но ако искаш да бъдем
малко по-точни, тогава
можем да го преработим
алгебрично.
Границата, когато n
клони към безкрайност,
2n^3 върху...
нека да разкрием скобите тук –

English: 
That's just going to be
the limit as n approaches
infinity of this business right over here.
2n to the third power over n plus 1
times n plus 2 and there's
several ways you could evaluate this.
One way is you could just realize,
"Hey, look in the bottom this is going
"to be a second degree polynomial."
On up here, you have a third degree
so the numerator is gonna grow faster
than the denominator so this
is going to be unbounded.
So that will immediately tell you
well this is gonna approach infinity
so S is going to
diverge
but if you wanna do it a little bit
less hand wavy than that we can
actually do a little bit more algebra.
Limit as n approaches infinity, 2n
to the third power
over, let's multiply this out,

Thai: 
นั่นจะเท่ากับ
ลิมิตเมื่อ n เข้าหา
อนันต์ของตัวนี้ตรงนี้
2n กำลังสามส่วน n บวก 1
คูณ n บวก 2 มันมี
วิธีหาค่านี้ได้หลายวิธี
วิธีหนึ่งคือคุณสังเกตว่า
เฮ้ ดูตัวล่าง อันนี้จะ
เป็นพหุนามดีกรีสอง
บนนี้ คุณมีดีกรีสาม
ตัวเศษจึงโตเร็วกว่า
ตัวส่วน พจน์นี้จึงไม่มีขอบเขต
มันบอกคุณได้ทันที
ว่าตัวนี้จะเข้าหาอนันต์
S จึงจะ
ลู่ออก
แต่ถ้าคุณอยากทำให้
รัดกุมกว่านั้น เราก็
คิดพีชคณิตนิดหน่อย
ลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์ 2n
กำลังสาม
ลองคูณอันนี้มา

English: 
n squared plus 3n
plus 2
and, let's see, we can
divide the numerator
and the denominator by n squared.
So, this is going to be the limit
as n approaches infinity of, if we divide
the numerator by n squared, you're going
to have, actually, let's
divide the numerator
and, well yeah let's
divide it by n squared
so, if we divide the
numerator by n squared,
we're gonna have 2n and
then the denominator
divided by n squared you're gonna have
1 plus 3 over n
plus 2 over n squared.
Now, when you look at it like this,
it becomes pretty clear this thing
as n approaches infinity,
this thing is gonna
towards infinity but this thing down here
the denominator this
is gonna go towards 0.
This is gonna go towards 0
so the denominator's gonna go towards 1.
So, this whole thing, is the limit
is gonna go to infinity
and since the limit

Bulgarian: 
n^2 + 3n + 2.
Да видим, можем
да разделим числителя
и знаменателя на n^2.
Тогава това е границата,
когато n клони към безкрайност,
от ... ако разделим
числителя и знаменателя
на n^2, тогава...
нека да разделим
числителя,
делим числителя на n^2,
получаваме 2n,
а знаменателят, разделен
на n^2 става 1 + 3/n + 2/(n^2).
Сега, когато го разглеждаме така,
става много ясно, че
когато това доближава безкрайност,
това нещо
клони към безкрайност,
но този израз долу
в знаменателя клони към 0.
Това клони към 0,
така че знаменателят
клони към 1.
Така целият израз е
равен на границата,
когато n клони към безкрайност,
тъй като границата

Thai: 
n กำลังสองบวก 3n
บวก 2
แล้วลองดู เราหารทั้งเศษ
และส่วนด้วย n กำลังสองได้
อันนี้จะเท่ากับลิมิต
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ของ ถ้าเราหาร
ตัวเศษด้วย n กำลังสอง คุณจะ
ได้ ลองหารตัวเศษ
ใช่ ลองหารด้วย n กำลังสอง
ถ้าเราตัวเศษด้วย n กำลังสอง
เราจะได้ 2n แล้วตัวส่วน
หารด้วย n กำลังสอง คุณจะได้
1 บวก 3 ส่วน n
บวก 2 ส่วน n กำลังสอง
ทีนี้ เวลาคุณดูมันแบบนี้
มันเห็นได้ชัดว่า ตัวนี้
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ตัวนี้จะ
เข้าหาอนันต์ แต่ตัวนี้ข้างล่าง
ตัวส่วน พจน์นี้จะเข้าหา 0
อันนี้จะเข้าหา 0
ตัวส่วนจึงเข้าหา 1
ทั้งหมดนี้ คือลิมิต
ไปยังอนันต์ และเนื่องจากลิมิต

Bulgarian: 
на частичната сума клони
към безкрайност,
това означава, че този
безкраен числов ред
не клони към конкретна стойност.
Той е разходящ.
Значи този израз тук
е разходящ.
За да бъде сходящ,
това нещо тук, тази граница,
трябва да е някакво
крайно число.
Надявам се, че
разбираш логиката.
Просто казваме, че за
безкрайните редове,
имаме формула
за частичната сума
на първите n члена и 
че тези безкрайни редове
могат да бъдат разглеждани като
граница на частичната сума S_n,
когато n клони към безкрайност.
Ако тази граница
клони към безкрайност,
тогава редът е разходящ.

English: 
of the partial sums goes to infinity
that mean that this infinite series
is not going to be a finite value.
It's just going to diverge.
So, this character right over here
is going
to diverge.
In order for it to have converged,
this thing should have come, this limit
should have been some finite value.
So, hopefully, that makes sense.
All we say is, "Look, infinite series,
"we had a formula for the partial sum
"of the first n terms
and then we said oh look
"the series itself, the infinite series,
"you could view it as a limit of,
"as n approaches infinity,
of the partial sum
"S sub n and we said hey,
that approach infinity
"this thing is diverging."

Thai: 
ของผลบวกย่อยเข้าหาอนันต์
นั่นหมายความว่าอนุกรมอนันต์นี้
จะไม่มีค่าจำกัด
มันจะลู่ออก
ตัวนี่ตรงนี้
จะ
ลู่ออก
เพื่อให้มันลู่เข้า
ค่านี้ควรมี ลิมิตนี้
ควรมีค่าจำกัด
หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
ที่เราบอกคือว่า ดูสิ อนุกรมอนันต์
เรามีสูตรสำหรับผลบวกย่อย
ของ n เทอมแรก แล้วเราบอกว่า โอ้ ดูสิ
อนุกรมเอง อนุกรมอนันต์
คุณมองมันเป็นลิมิต
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ของผลบวกย่อยนี่
S ห้อย n แล้วเราบอกว่า เฮ้ มันเข้าหาอนันต์
ตัวนี้จึงลู่ออก
