A soma dos quadrados dos N primeiros inteiros é:
Mas de onde vem isso?
Vamos analisar os termos individuais dessa soma
O primeiro termo é 1 ao quadrado,  que é igual a 1
Vamos representar esse número como um cubo
O próximo termo é 2 ao quadrado
E 2 ao quadrado é igual a 4
Então nós temos 4 cubos
3 ao quadrado é 9, então temos 9 cubos
E 4 ao quadrado é 16, e temos 16 cubos
Vamos imaginar esse processo ate um número arbitrário N ao quadrado
Agora, vamos arrumar esses cubos em forma de uma pirâmide
Logo, essa pirâmide é uma representação geométrica da soma dos quadrados desses N números inteiros
Note que a altura dessa pirâmide vale N
E a base é um quadrado de lado N
Agora, vamos criar dois clones dessa pirâmide
De forma que o total de cubos agora é 3 vezes a soma dos quadrados nos N inteiros
Vamos organizar essas três pirâmides para tentar formar um bloco retangular
A configuração formada é quase um prisma retangular
Apesar disso, vamos tentar encontrar seu volume medindo suas dimensões
Primeiramente podemos ver que a largura vale N
Agora o comprimento vale N + 1
Já a altura, por um lado é N + 1, e por outro lado é N
Após análise, vemos que a camada superior contém a metade de cubos das outras
Então podemos escrever a altura como (N + 1/2)
Portanto, o volume das três pirâmides é igual a esse produto
E isso vale três vezes a soma dos quadrados nos N primeiros inteiros
Vamos manipular esse termo (N + 1/2)
Tirando o mínimo...
Logo, 3 vezes a soma dos quadrados desses N inteiros é igual a:
Agora basta dividir ambos os lados da equação por 3
Cancelamos os fatores 3 do lado esquerdo
E do lado direito, fica 6
Portanto, a soma dos quadrados dos N primeiros números vale:
