
English: 
Welcome to another Mathologer video. Today
we'll prove Fermat's Last Theorem. Well,
okay, not quite but we'll do something
pretty cool, we'll explain what Fermat
definitely did proof and we'll
investigate Euler's conjecture, a vast
and very natural but not very well known
generalization of Fermat's super theorem.
Just as a reminder, Fermat's Last Theorem
says that the equation over there has no
solutions in positive integers A, B, C as
long as the exponent n is an integer
greater than 2, so not possible if n is 3
or 4 or 5, etc. That's plenty to puzzle
over but Euler "outFermats" Fermat. His
conjecture goes further and also asserts
the impossibility of positive integer
solutions to lots of closely related

Russian: 
Добро пожаловать в новое видео от Mathologer'а.
Сегодня мы докажем Последнюю теорему Ферма!
Ну, хорошо, не совсем так, однако мы всё же
сделаем кое-что крутое: мы объясним, что Ферма
точно доказал сам, а также исследуем гипотезу Эйлера – широкое
и очень естественное обобщение супертеоремы Ферма.
В качестве напоминания: Последняя теорема Ферма
утверждает, что вот это уравнение (слева) не имеет
целых положительных решений A, B, C для
любой степени n, являющейся целым числом
больше 2. То есть, их нет для n = 3, 4, 5, и так далее. Этого уже много для раздумий,
однако Эйлер смог "переферматить" самого Ферма.
Его гипотеза пошла дальше и постулировала
невозможность подобных решений для множества родственных

Chinese: 
歡迎來到另一個 Mathologer 的影片
今天我們要來證明費馬最後定理
OK(笑) 這沒有那麼簡單
可是我們會做些很酷的事情
我們會解釋費馬實際上做了甚麼證明
還會探討歐拉猜想──
那是一個概念相當廣、但不那麼有名的猜想
也是費馬大定理的廣義版本
稍微解釋一下這個定理的內容
費馬最後定理表明 這一個等式中
如果 A B C 都是整數
那麼指數 n 不可能是大於 2 的整數
所以 n 不可能是 3  或 4 或 5 以此類推
這已經足夠使人覺得錯綜複雜了
但歐拉猜想包含更多複雜之處
這個猜測把原先定理的範圍更進一步推廣
並且斷言了許多類似之整數解是不可能的

Chinese: 
比如說像是這個
這就好像是在說費馬大定理還不夠難 是吧(笑)
其他細節等會再談 先來討論費馬
你可能有時會聽人說到這位知名的法國數學家
皮埃爾·德·費馬
並沒有真的證明了這個以他為名的定理
然而 事情不盡然如此
沒錯 費馬並沒有留下任何證明讓我們看到
而且他可能真的沒有成功證明它
然而 費馬的確有留下其特定情況的證明
── 次方數n為4的情況
這同時也證明了其他無限多個特殊情況
也就是次方數 n 是 4 的倍數的情況
像是 8 、 12 、 16 等等
我覺得告訴你們數學家會如何找出
歐拉猜想中的等式是否存在整數解
將會是不錯的事情

Russian: 
уравнений, таких как вот это. Как будто бы
Последней теоремы Ферма было
недостаточно, да? :) Как бы то ни было, об этом мы поговорим позже, а сейчас вернёмся к Ферма. Частенько можно слышать разговоры о том,
что знаменитый французский математик Пьер де Ферма, который дал имя
знаменитой теореме, на самом деле не имел её
доказательства. Однако это не совсем так.
Действительно, мы не знаем никакого полного
доказательства за авторством Ферма, и, вероятно,
его никогда не существовало. Тем не менее, Ферма всё же оставил нам доказательство
одного особого случая – когда степень равна 4. Оно также успешно расправляется с
бесконечным числом случаев теоремы. А именно, тех, в которых
степень чисел кратна четырём: то есть, 8, 12, 16, и так далее. И я решил, что
это хороший повод рассказать вам, как математик
подошёл бы к выяснению вопроса
о том, имеет ли одно из уравнений Ферма или
Эйлера решение в положительных целых числах.

English: 
equations like for example this one here.
As if Fermat's last theorem wasn't hard
enough, right? :) Anyway more details later
and back to Fermat. You often hear people
say that the famous French mathematician
Pierre de Fermat  who gave his name to the
famous theorem actually didn't have a
proof. However this is not exactly
correct. True, we don't know of any
complete proof by Fermat and probably none
ever existed.
However Fermat did leave us with a  proof
of a special case where the exponent is
4, which then also happens to take care
of infinitely many other cases of the
theorem, namely those corresponding to
the exponents being a multiple of 4 like
8, 12, 16, and so on. And so I thought it
would be nice to tell you how a
mathematician would go about figuring
out whether one of Fermat's of Euler's
equations has positive integer solutions,

Chinese: 
然後在影片的高潮 我們將用最簡單的、
Mathologer風格的證明來處理 n 為 4 的情況
也就是這邊這個
OK 讓我們來吧
我最新出的影片是有關於
A平方加上B平方等於C平方的
也就是畢氏定理
這等式值得注意的一點是
它可以找到正整數解 比如說
非常簡單的： 3、4、5
還有滿簡單的：5、12、13
或這是像畫面上這個不那麼簡單的整數解
有無窮多的這些正整數解存在
而它們被稱為「畢氏三元數」
就在不久前
3blue1brown出了一支非常棒的影片
教你如何用一個非常簡單的方式
來製造出所有的畢氏三元數
非常值得一看
回歸正題 畫面中列出的這組數字
還有其他許多長得跟它一樣嚇人的的三元數
早在3500年前就已經被某位古巴比倫人發現了
而他把它們都寫在這泥板上
就是箭頭指的那個地方

Russian: 
А закончу я тем, что покажу вам максимально
разъяснённое и доступное доказательство
случая, когда n = 4. Вот этого случая. Итак, поехали!
Моё последнее видео было на тему теоремы
Пифагора: A^2 + B^2 = C^2. Одним из замечательных
свойств этого уравнения является то, что существуют положительные
целые числа, удовлетворяющие этому уравнению, как, например,
простой пример 3, 4, 5, а также довольно простая комбинация 5, 12 и 13.
И куда менее простые примеры... На самом
деле, существует бесконечно много таких
так называемых "пифагоровых троек". Не так давно канал 3Blue1Brown снял
очень хорошее видео о том, как сконструировать
все эти решения при помощи очень
простого трюка. Очень даже достойно просмотра.
Так или иначе, вот этот пример сверху, а также
много других схоже безумных примеров, были известны людям,
жившим более чем 3500 лет назад в древнем Вавилоне и
написавшим его на глиняной табличке. Вот здесь, куда показывает стрелка. Довольно-таки

English: 
with the video culminating in the
simplest Mathologerized proof of the n
equals 4 case, that one here, right. Okay
here we go. My last video was about A
squared plus B squared equals C squared,
Pythagoras's theorem. One remarkable
property of this equation is that it's
actually possible to find positive
integers that
satisfy this equation like, for example,
the super easy 3, 4, 5 and the
pretty easy 5, 12, 13 and
the much less easy example up there.
In fact, there are infinitely many of these
so-called Pythagorean triples. Not too
long ago 3blue1brown did
a very nice video about how to
construct all of them using a very
simple trick, well worth checking out.
Anyway, the example up there together
with many other similarly crazy ones was
actually already known to someone who
lived over 3500
years ago in ancient Babylon and who
wrote it down on his clay tablet. There
where the arrows pointing. Pretty

English: 
mind-blowing isn't it?
This and other clay tablets show that
the Babylonians did know about
Pythagoras's theorem long before
Pythagoras was born and possibly also
knew in principle how to make all
possible Pythagorean triples. Once you
know that A squared plus B squared
equals C squared has positive integer
solution it's also natural to ask
whether the same is true for closely
related equations like this one here or
this one, so all cubed instead of squared,
or going even further like this. All
right, well the first equation has
infinitely many positive integer
solutions, the simplest one is this
beauty here: 1 squared plus 2 squared
plus 2 squared equals 3 squared. The last
equation also turns out to have
solutions. Here's one really
unforgettable one, 3 cubed plus 4 cubed

Russian: 
ошеломительно, не так ли? Эта и другие глиняные плиты демонстрируют, что
вавилоняне знали о теореме Пифагора задолго до того,
как сам Пифагор вообще был рождён, а также,
вероятно, в принципе знали, как построить
все возможные пифагоровы тройки. Как только вы узнали, что "A^2 + B^2
равно C^2" имеет решение в положительных целых
числах, возникает естественный вопрос:
верно ли то же самое для других, близко связанных с этим уравнений? Таких как вот это,
или вот это (то есть, кубы вместо квадратов),
или ещё более обобщённые варианты.
Что ж, первое уравнение имеет бесконечно много
положительных решений в целых числах.
Самое простое из них – это вот эта красота: 1^2 плюс 2^2
плюс 2^2 равно 3^2. Последнее уравнение
в списке тоже, оказывается, имеет
решения. Вот одно из них, совершенно незабываемое с того момента, как вы увидите его. 3^3 плюс 4^3

Chinese: 
相當令人出乎意料對吧
這幾塊泥板說明古巴比倫人
早在畢達哥拉斯之前就知道畢氏定理了
而且也很可能掌握了推導出所有畢氏三元數的方法
你一旦知道了A平方加上B平方等於C平方
是有正整數解的
產生更進一步的疑問是再自然不過的事
比如畫面中這個等式
或是這個
把平方換成立方
或者再多一點變化像這樣
第一個等式有無限多組正整數解
最簡單的一組是這邊這個美麗的東西：
一平方加二平方加二平方等於三平方
第三個等式也有這種解
其中有一個特別令人印象深刻：
三的立方加四的立方加五的立方
等於...
稍等一下...

Chinese: 
沒錯 六的三次方
我已經把這組解烙印在你的腦裡了
相信你很難忘記它(笑)
那第二條等式呢
這就要回來談論一下費馬了
一個很著名的軼事是
他在閱讀一本書時心血來潮在書頁邊空白處寫道：
「我已經發現一個非常美妙的證明
只是書頁的空白處太小無法寫下來」
那證明指的是說以下這些等式都沒有正整數解：
大家當然都知道費馬大定理是什麼 對吧
嗯 至少有在看我們頻道影片的人應該都知道
但知道這位數學界超級巨星──李昂哈德·歐拉
──對這猜測有更進一步看法的人應該就沒那麼多了
歐拉知道某些正整數的三次方
可以被寫成三個正整數的立方和
像是妙極了的3、4、5、6
它就像是畢氏三元組3、4、5的兄弟一般

English: 
plus 5 cubed equals, wait for it,...  yes 6
cubed! I dare you to ever forget this
equation now that I've etched it into
your mind :) What about the middle equation?
Here we're back with Fermat. So
he famously wrote in the margin of one
of his maths books, claiming to have
found a marvelous proof too long to fit in
the margin that there are no positive
integer solutions to all these equations
here. Now of course everyone knows about
Fermat's Last Theorem, right? Well, at least
everyone who watches Mathologer videos.
However, not many people seem to know
that the mathematical superstar Leonhard
Euler suspected that there was much more
to all this. Euler knew that it is possible
to write certain cubes as the sum of
three cubes, like our fantastic 3, 4, 5, 6 example, the big brother of

Russian: 
плюс 5^3 равно... вот-вот... да, 6^3! Только попробуйте теперь забыть
это уравнение теперь, после того как я выгравировал его в вашей памяти :) А теперь, как насчёт среднего уравнения в списке?
Тут мы возвращаемся к Ферма и его теореме. Как
широко известно, он написал на полях одной
из своих математических книг утверждение о том, что он имел восхитительное доказательство, которое было слишком длинным
для вмещения в это поле, того факта, что у всех подобных уравнений нет решений в положительных целых числах.
Разумеется, все и так знают про Последнюю
теорему Ферма, верно? По крайней мере, все те,
кто смотрит видео Mathologer'а. Тем не менее, не
так много людей знакомы с тем фактом, что
математическая суперзвезда Леонард Эйлер (Leonhard Euler) предполагал, что об этой теме можно
сказать куда больше. Эйлер знал, что существуют
способы представить некоторые кубы целых чисел
в виде суммы трёх кубов, как это было в случае нашего фантастического примера 3,4,5,6, "старшего брата"

English: 
the 3, 4, 5 Pythagorean triple.
On the other hand, he was not able to
find any nice solutions to the
corresponding higher order equations.
Well what's in the next red box. Well
3, 4, 5;     3, 4, 5, 6 and
so, if there is a god, then surely 3, 4, 5, 6, 7 is next, right? Sadly
this equation is false, so there's
definitely something wrong with the
universe, right? However what we're
looking for in this spot does exist and
here's the smallest example. So 4 forth
powers adding to another fourth power.
Again Euler could not get any of the
higher order equations to work and this
very compelling overall pattern along
with this incredible intuition suggested
to Euler that none of the black
equations can be solved with positive
integers.This is known as Euler's
conjecture. So Euler's conjecture is really

Russian: 
пифагоровой тройки 3,4,5. С другой стороны, он никак не мог найти
никаких изящных решений к соответствующим
уравнениям более высоких порядков.
Хм, а что должно быть в следующей красной рамке? Сначала было 3,4,5, затем 3,4,5,6, и теперь,
если на свете есть Бог, дальше, разумеется, должно идти 3,4,5,6,7, верно? К сожалению,
это уравнение неверно, так что со вселенной явно что-то
не так, да? Тем не менее, уравнение для этой рамки существует, и
вот самый маленький пример. Четыре 4-ые степени,
дающие в сумме другую 4-ую степень числа.
Опять же, Эйлер не мог найти решений к подобным
уравнениям более высокого порядка, и эта
очень убедительная закономерность вкупе с интуицией подсказали
Эйлеру, что ни одно из чёрных уравнений не
может быть решено в положительных целых
числах. Это утверждение известно как гипотеза
Эйлера. Таким образом, эта гипотеза является

Chinese: 
另一方面 在將這種等式的次方變高後
歐拉就無法找到其整數解了
嗯... 下一個紅色框應該是甚麼呢
3,4,5、3,4,5,6 接下來是...
所以 如果這背後有個神在操縱
接下來的數組應該要是 3,4,5,6,7 是吧
相當遺憾 這條等式不成立
所以這宇宙的法則一定是出了甚麼問題 對吧
(笑)
然而 這一個等式依然是有整數解的
畫面上的這個是其中數字最小的
所以四個整數的四次方相加
可以變成另一個數的四次方
在一次地 歐拉無法找到這等式之更高次方的整數解
而這個吸引人的規律和一股強烈的直覺
驅使歐拉相信這些黑色粗體的等式
應該都沒有整數解
這就是歐拉猜想

English: 
a vast and very cool extension of what
Fermat claimed to be true. It's even
cooler if you flip the way you look at
it. To flip, we first focus just on the
equations involving cubes. Euler's
conjecture then says that at least three
positive integer cubes are required to
get a sum that is another integer cube.
Two cubes is definitely not enough.
Similarly, focusing on fourth powers
order, Euler says that at least four fourth
powers of positive integers are required
to get a sum that is another fourth
power. In general our conjecture says
that at least n positive nth powers
are required to get a sum that is
another nth
power. Does this sound like it must be
true? Well, no, perhaps not to us mere
mortals but the demigod Euler was
pretty convinced. For hundreds of years
after Fermat and Euler many of the

Russian: 
очень обширным и крутым обобщением того, что
заявлял Ферма в своей теореме. Оно будет звучать
ещё круче, если перевернуть наш взгляд на неё. Для этого давайте сконцентрируемся на
уравнениях с 3-ми степенями. Тогда гипотеза
Эйлера утверждает, что по крайней мере три
положительных целых куба необходимы для того,
чтобы получить в сумме другой целый куб.
Двух кубов для этого недостаточно. Похожим
образом, сфокусировавшись на 4-ых степенях,
Эйлер утверждает, что необходимо по меньшей мере четыре 4-ые степени положительных целых чисел для того,
чтобы в сумме они дали другое целое число в 4-ой степени.
В обобщённом виде, наша гипотеза утверждает,
что по меньшей мере n положительных n-ых
степеней необходимы для того, чтобы их сумма
равнялась другой n-ой степени. Похоже ли это на правду?
Ну, нет, наверное не для нас, простых
смертных, однако полубог Эйлер явно был
в немалой степени убеждён в этом. Спустя сотни
лет после времён Ферма и Эйлера, многие

Chinese: 
所以歐拉的猜想比起費馬
的確更加廣義 而且是非常酷的一個延伸
這猜想還可以更酷 如果你換個角度來看它的話
要怎麼換個角度呢 首先先聚焦在只有三次方的等式
歐拉猜想表明
至少需要三個正整數的立方和
才有可能得到另一個整數的立方
兩個正整數 很顯然是不夠的
類似地 如果只看四次方的情況
歐拉說至少需要四個正整數的四次方
其總和才有可能是另一個整數的四次方
總地來講 歐拉猜想表明
至少需要 n 個正整數的 n 次方相加
得到的結果才有可能會等於另一個整數的 n 次方
它聽起來像是正確的嗎
嗯... 不像
也許只是對我們這些凡人來說不像是真的
但那位有如神一般的歐拉可是相當確信

Chinese: 
在費馬和歐拉之後的數百年間
許多數學家嘗試證明這兩項猜想 但都失敗了
事實上 在這一連串嘗試的過程中
許多的數學分支因此被創造出來
在這一路上 費馬大定理
──奇怪的是比較少人講「歐拉猜想」
──從沒有人注意的一個小東西
進化成為幾乎是數學界最重要的未解之謎
之後在1993年 一位數學家安德魯·懷爾斯
終於發表了費馬最後定理的證明
他的證明非常長
這個證明的最終版本厚達上百頁
都是非常高深的數學
稍微看一下
有看得懂的地方嗎
沒有也別擔心
你不是唯一覺得這東西嚇人
而且完全難以理解的人
事實上 我敢打賭世界上只有大概30多位數學家

Russian: 
из великих математиков терпели крах в попытках найти доказательства этих
гипотез. Целые ответвления математики создавались в процессе этого поиска.
Таким образом, спустя много лет, Последняя теорема Ферма (но, как ни странно, не гипотеза
Эйлера) эволюционировала из неясной приписке из области "кому до этого есть дело" в одну из великих нерешённых задач математики.
В конечном счёте, в 1993 году математик Эндрю Уайлс (Andrew Wiles) заявил о наличии у него доказательства Последней
теоремы Ферма. Его доказательство оказалось
крайне длинным: когда его финальная
версия была опубликована, оно заняло более сотни страниц, полных воистину
мощной математики. Только взгляните. Что-нибудь выглядит знакомым?
Не волнуйтесь, если ваш ответ – "нет". Вы не единственный, кому это кажется устрашающим и абсолютно
непостижимым. На самом деле, я сомневаюсь, что на свете есть больше 30
математиков, очень умных и компетентных, которые подробно изучили и

English: 
greatest mathematicians tried and failed
to come up with proofs of these
conjectures. In fact whole branches of
mathematics were created in the process.
In this way, over time, Fermat's Last
Theorem, but strangly not so much Euler's
conjecture
evolved from an obscure who-really-gives-a-damn footnote into one of the great
unsolved problems of mathematics. Now,
finally, in 1993 the mathematician Andrew
Wiles announced a proof of Fermat's
Last Theorem. His proof turned out to be
anything but short and when the final
version was published his proof amounted
to over a hundred pages of really
high-powered mathematics. Have a look.
Alright, anything look familiar?
Don't worry if not. You're not the only
one who finds this all scary and totally
incomprehensible. Actually, I doubt that
there's more than about 30
mathematicians worldwide, all incredibly
smart people who would have studied and

Chinese: 
都是些絕頂聰明的人
有認真研究過這份證明 並能完全理解它的每一個細節
當然我不是其中的一員(笑)
當時這個證明發表的時候
是全世界的一個非常、非常大的新聞
但之後 當世界正要開始接受
費馬最後定理已經被破解這項事實時
辛普森家庭的觀眾們被當時播出的一集給戲弄了
在那集 荷馬靈機一動想到了費馬最後定理的反例
左邊的那道等式在荷馬的腦海中盤旋著
這有可能是真的嗎
那是1995年的事了
所以很多當時的觀眾拿起他們的口袋計算機
結果算出等號左邊和右邊的值是一樣的
費馬是錯的 而懷爾斯的證明是胡說八道 :)
別這麼快下結論(笑)
用我們2018年的計算機可以發現
這等式裡的數字展開後會變成這樣的怪物

English: 
really understood every detail of
Wiles's proof, and I'm definitely not one
of them. His proof was really, really big
news worldwide at the time it was
announced. But then, just as the world was
moving on from learning that Fermat's Last
Theorem had finally been cracked Simpsons
fans were treated to a great episode in
which Homer Simpson stumbled across what
appeared to be a counterexample to
Fermat's Last Theorem, the equation on
the left hovering menacingly over Homer's
head. Could it be true? Well this was 1995
and so many viewers who checked with
their 1995 pocket calculators concluded
that the left and right sides of this
equation were equal. Fermat was false and
Wiles's  proof was clearly rubbish,
right? Well, not so fast,
using our 2018 calculators we find that
the left and right sides of the equation
pan out to be these monster numbers here.

Russian: 
действительно поняли каждую строчку в
доказательстве Уайлса, и я точно не один
из них. Его доказательство было огромной новостью для всего мира в момент объявления.
Но затем, когда мир только начал приходить
в себя от знания, что Последняя теорема
Ферма наконец-то была доказана, фанаты "Симпсонов" были одарены отличным эпизодом,
в котором Гомер Симпсон (Homer Simpson) наталкивается на нечто, что похоже на контрпример к
Последней теореме Ферма. Речь идёт об уравнении
слева, грозно нависающим над головой Гомера.
Возможно ли это? Ну, дело было в 1995 году, так что
многие зрители, проверившие его на своих
карманных калькуляторах того же года,
заключили, что левая и правая части этого
уравнения равны друг другу. Следовательно, Ферма был неправ, а доказательство Уайлса, очевидно, полный бред.
Верно? Но-но, не так быстро. Используя наши
калькуляторы из 2018 года, можно увидеть, что
левая и правая части уравнения оборачиваются
вот такими монструозными числами.

Chinese: 
這兩個數字的數量級是一樣的
但仔細看就會發現 兩者只有前八位是一樣的
這顯然已經足以騙過1995年時大多數計算機了
做得好 辛普森:)
其實 就如同許多聰明的辛普森粉絲所注意到的
可以輕易地一眼看穿這個等式不可能是對的
為什麼 因為等式第一項是偶數
第二項是奇數
偶數加奇數一定是奇數
也就是說左邊是奇數
但是右側的數很明顯是偶數
所以這個等式不可能是正確的
然而 辛普森的製作者們並不打算放棄
在幾集之後 我們看到荷馬在黑板上寫了另一個
用以推翻費馬的等式
這時候 奇偶數的判斷法就派不上用場了
因為這等式中 奇數加奇數 是偶數沒錯
這方面沒有矛盾
辛普森這次也幹得不錯 :)
然而 遊戲還沒結束

English: 
The two monsters have the same number of
digits but on close inspection only
coincide in the first eight digits, which
of course was enough to fool many 1995
calculators. Nicely played Simpsons :) Actually, as many cluey Simpsons fans
noted, it's easy to see at a glance that
this equation cannot possibly be true.
Why? Because the first term is even, the
second one is odd, even plus odd is odd
which means that the left side is odd.
However, the right side is clearly even
and so the equation cannot be true.
However the Simpsons writers weren't
quite ready to give up. In a later
episode we see Homer scribbling another
would be Fermat buster on a blackboard.
There it is. In this case the odd-even trick
doesn't help since Homer's equation
reduces to odd plus odd is equal to even,
no contradiction. Again nicely played
Simpsons :) However the game isn't over yet.

Russian: 
Эти два монстра имеют одинаковое число цифр, но 
при близком рассмотрении оказывается, что
они совпадают лишь в первых восьми цифрах, чего,
конечно, было достаточно для того, чтобы обмануть
многие калькуляторы из 1995 года. Неплохо сыграно, "Симпсоны" :) На самом деле, как многие сообразительные фанаты "Симпсонов"
заметили, невозможность этого уравнения
очень легко увидеть с первого взгляда.
Как именно? Заметьте, что первое слагаемое слева нечётно, а второе – чётно. Нечётное плюс чётное равно нечётному,
что означает, что левая сторона уравнения нечётна.
Однако правая часть уравнения явно чётная,
и поэтому это уравнение никак не может быть верным.
Однако сценаристы "Симпсонов" не желали так
легко сдаваться. В более позднем эпизоде мы
можем увидеть, как Гомер выводит ещё одно
будто бы опровергающее теорему Ферма уравнение на доске. Вот оно. В этом случае, трюк с чётно-нечётно
уже не работает, поскольку гомерово уравнение превращается в "нечётное плюс нечётное равно чётному",
что не является противоречием. Опять же, хорошо сыграно, "Симпсоны" :) Тем не менее, игра ещё не окончена.

Chinese: 
要記得 目前為止的介紹都是為了
用比較簡單的方式帶出今天影片的主題
也就是用最簡單的方式來證明費馬定理中
最簡單的部分
在某些巧合下 這個能用「被 4 整除」的方法來判斷
讓我們現在來為這部影片最難的部分來暖身一下
用 4 的整除規則來證明
為什麼辛普森的等式不可能是對的
首先 如果你把一個整數用 4 去除
得到的餘數可能是什麼
嗯 你們都知道的
如果那個整數是偶數 那餘數會是 0 或 2
而如果是奇數的話 餘數則會是 1 或 3
很簡單 對吧
那如果是這整數的四次方 或其他偶數次方
比如說原式的那個十二次方呢
這些整數偶數次方除以 4 的餘數可能是多少呢

Russian: 
Помните, что всё это – лишь мягкое вступление
к моей основной сегодняшней цели:
показать простейшее доказательство самого
простого случая теоремы Ферма. В нескольких
местах это доказательство использует трюк
делимости на 4. Поэтому, в качестве
небольшой разминки перед сложной частью видео, давайте, используя
делимость на 4, покажем, что это симпсоново
уравнение не может быть правдой. Во-первых,
каковы возможные остатки от деления целого числа на 4? Вы все
знаете это. Если число чётно, то остаток равен 0 или 2, а если
оно нечётно, то остаток равен либо 1, либо 3. А как насчёт
квадратов, или четвёртых степеней, или более
высоких чётных степеней, таких как 12-ая степень,
которую мы только что видели в "Симпсонах"? Каковы возможные остатки от числа, возведённого в подобную чётную
степень? Когда вы возводите чётное число
в чётную степень, результат, очевидно,

English: 
Remember all this is a gentle
introduction to my main goal today to
show the simplest possible proof for the
simplest case of Fermat.  In a couple of
spots this proof makes use of a
divisibility by 4 trick. So let's now
have a bit of a warm-up for the hard
core part of this video, by using
divisibility by 4 to show that this
Simpsons equation cannot be true. First,
when you divide an integer by 4 what
are the possible remainders? Well you all
know this. If the number is even then the
remainder is either 0 or 2 and if
the number is odd the remainder's either
1 or 3, easy right? Now what about
squares of fourth powers or other even
powers such as the 12th powers that just
appeared in the Simpsons clip. What are
the possible remainders of such an even
power? When you take an even power of an
even number the result is obviously

English: 
divisible by 4 and so 0 is the
only possible remainder. What about an
even power of an odd number. This will
give us an odd number and so the only
possible
remainders are still 1 and 3. However, it turns
out that for an even power of an odd
number
the only possible remainder is 1. I leave
it as an easy puzzle for you to show
that this is the case in the comments.
Okay with this divisibility weapon in
hand let's have another look at the
second Simpsons equation. So we have two
even powers of odd numbers on the left
which both have remainder 1. This means
that the sum on the left has remainder 1
plus 1 is 2. However we also know that
the even power on the right side has
remainder of 0. This leads to 2  equals

Russian: 
будет делиться на 4, так что единственным 
возможным остатком в этом случае является 0.
Как насчёт чётной степени нечётного числа? Это
даст нам нечётное число, так что возможными
остатками по-прежнему являются 1 и 3, казалось бы. Однако
на самом деле чётная степень нечётного числа
может иметь лишь один остаток – 1. Я оставлю этот
факт в качестве лёгкой задачки для вас.
Покажите, что это так, в комментариях. Хорошо,
и теперь, с этим оружием делимости [на 4] в руках,
давайте ещё раз взглянем на второе уравнение из "Симпсонов". У нас есть две
чётные степени нечётных чисел слева, обе из
которых должны иметь остаток 1. Это значит,
что сумма слева имеет остаток 1+1 = 2. Однако нам также известно, что
чётная степень справа должна иметь остаток 0.
Это приводит к противоречию вида 2 = 0,

Chinese: 
如果是一個偶數的偶數次方
出來的結果顯然會是 4 的倍數
所以被 4 除的餘數只可能是 0
那奇數的偶數次方呢
這算出來的結果必是奇數
所以除以 4 會餘 1 或 3
不過 實際上奇數的偶數次方被 4 除之後
唯一可能的餘數只會是 1
這現象的原因就當成我留給你的簡單小問題
可以在留言欄寫下你的解法
OK 有了這個整除的武器在手
讓我們再看一次那個辛普森的第二個等式
所以我們在左邊有兩個奇數的偶數次方
它們除以 4 都餘 1
這意味著兩者相加後的餘數
等於1 + 1 也就是 2
然而我們知道等式右邊的餘數是 0
這個等式也就代表 2 = 0
所以荷馬的等式是不成立的

Chinese: 
另一個留給你的問題：
試試看如何用 3 的整除規則破解這個等式
我接下來要做的是告訴你數學家是如何分析
像這邊這個等式
或這個
或這個
證明它們的整數解是否存在的
當然 我們已經知道第二個等式有一卡車的整數解
而第一個等式完全沒有
雖然我們還沒看到第一個等式沒有整數解的證明
為了營造一點... 懸疑氣氛
讓我們先來分析這個等式
這是那兩個等式的融合體
我們的次方都還是偶數的
但左邊的是四次方 而右邊的是平方
這個等式有整數解嗎
為了建立一點直覺 還有... 運氣?(笑)
讓我從試錯法開始
先用一些比較小的數字代入 X 與 Y
然後來看看總和會不會是整數的平方

English: 
0 and so Homer's equation must be
false. Another puzzle for you: Show how
the second Simpsons equation can also be
torpedoed using divisibility by 3.  What I
want to do now is to show you how
mathematicians would go about analyzing
whether equations like this one or this
one, or this one have integer solutions.
Of course we already know that the
second equation has tons of solutions
but the first equation doesn't have any
although we have not seen a proof that
the first is impossible. To build a bit
of suspense let's analyze this equation
here which is a mix of both. We still
have all even exponents but there are
4th powers on the left and a square on
the right. Does this equation have
integer solutions? Well to build some
intuition and to perhaps luck out I'd
start with a bit of trial and error, just
substitute some small numbers for X and

Russian: 
и поэтому уравнение Гомера должно быть ложным.
Вот ещё одна загадка для вас: покажите, как
это уравнение из "Симпсонов" можно торпедировать
при помощи делимости на 3. А сейчас
мне хотелось бы показать вам, как математики
обычно подходят к анализу
подобных уравнений, как это или это, а именно --
имеют ли они решение в целых числах.
Разумеется, мы уже знаем, что второе уравнение
на экране имеет множество решений,
однако у первого уравнения их ноль, хотя мы с вами
ещё не видели доказательства того, что найти
решение для него невозможно. Чтобы сохранить
интригу, давайте сначала проанализируем вот это
уравнение, этакую смесь двух предыдущих.
Все степени по-прежнему чётные, но слева
мы наблюдаем 4-ые степени, а справа -- 2-ую.
Имеет ли это уравнение решения в
целых числах? Что ж, чтобы разработать интуицию
(и, возможно, нам даже улыбнётся удача в процессе),
давайте начнём с метода проб и ошибок: подставим
несколько небольших чисел в качестве X и Y и

Russian: 
посмотрим, будет ли эта сумма равняться квадрату
целого числа. На самом деле, как только мы начнём,
то немедленно заметим, что есть решения,
в которых одно (или оба) из X и Y
равно 0. Например, 0^4 плюс 1^4 равно,
естественно, 1^2. На самом деле, такое решение
подходит для всех уравнений Ферма,
которые мы рассматриваем сегодня.
Конечно, эти решения не слишком
интересны, и мы обычно исключаем их
требованием положительных чисел.
Что дальше? Ну, мы живём в 21-м веке, так что
давайте попробуем компьютерный поиск.
Мы попросим компьютер сделать, по сути,
то же самое, что только что делали сами,
но более систематично. Давайте решим уравнение относительно Z: возьмём квадратный корень от обеих сторон. Теперь
систематически попробуем все возможные
пары X и Y, начиная с небольших чисел.
Первая -- не подходит. Так что X=1 и Y=1 не являются

English: 
Y and let's see whether this sum becomes
an integer square. In fact, once you do
this you immediately notice that we do
get solutions if one or both of X and Y
are equal to 0 for example 0 to the
power of 4 plus 1 to the power of 4 is equal
to, obviously, 1 squared. Actually this
works for all the Fermat like
equations that we are considering today.
Of course these solutions aren't terribly
exciting and we usually exclude them by
requiring solutions in positive integers.
What's next? Well this is the 21st
century and so let's do a computer search.
What we ask the computer to do is
basically the same as what we just did
but more systematically. Let's solve for Z, so square roots on both sides. Now
systematically try all possible choices
for X and Y starting with small numbers.
First, okay not an integer so X is equal
to 1 and Y is equal to 1 are not

Chinese: 
事實上 在開始用這方法後
你會馬上注意到可以設 X 或 Y 其中一個等於 0
舉例來說 0 的四次方加 1 的四次方
等於 1 的平方
事實上 這可以適用於如今所有的費馬定理中之方程式
當然這種解並不能使人太振奮
而我們為了排除它們 把解的範圍限制在正整數
接下來呢?
現在已經是21世紀了 所以讓我們來用電腦搜尋答案
我們要讓電腦做的事跟我們剛剛所做的大同小異
但是會更有系統地做
讓我們從 Z 開始下手 所以兩邊同取平方根
現在一個個地代入 X 與 Y 所有可能的值試試
先從較小的數字開始下手
首先
OK 不是整數
所以 X = 1、Y = 1不會是我們要的解
下一個... 也不是
下一個
下一個

English: 
part of a solution. Next, doesn't work
either. Next, next, next, next, next, and so
on. Obviously if there exists an integer
solution, then this procedure will
eventually find it, though it may take a
zillion years or so. In fact, as soon as
computers became available people tried
this sort of computer search for many of
the equations that Fermat and
Euler were interested in, and they struck
gold. Here's one of the shortest papers
in the history of mathematics, a counter-
example to one of the cases that make up
Euler's conjecture, appearing about 200
years after Euler began pondering. Now
let's see where it fits in. Okay right
there in the lower right corner four 5th
powers adding to a  5th power and so
the full Euler conjecture is dead it
really only takes one counterexample to

Russian: 
частью решения. Следующая: тоже не работает.
Дальше, дальше, дальше, следующая, дальше...
Очевидно, что если у этого уравнения существует
целое решение, то эта процедура рано или поздно
найдёт его, хотя на это могут уйти миллионы
лет. На самом деле, как только
компьютеры стали доступными, люди начали пробовать подобные процедуры компьютерного поиска для многих
уравнений, в которых были заинтересованы Ферма и Эйлер, и напали на
след "золота". Вот одна из самых коротких статей
в истории математики: контрпример
к одному из случаев гипотезы Эйлера,
найденный спустя примерно 200
лет после того, как Эйлер начал задумываться об этой теме.
Посмотрим, как этот пример вписывается в нашу схему.
Вон там, в левом нижнем углу: четыре 5-ые степени
в сумме дают 5-ую степень, и поэтому
гипотеза Эйлера в своей полной форме мертва;
хватает всего лишь одного контрпримера, чтобы

Chinese: 
下一個
下一個
下一個
以此類推
很明顯地如果整數解真的存在
持續這個動作最後一定能把它找出來
可是那可能要花上無數年來計算
但其實 隨著電腦逐漸普及
人們開始嘗試讓電腦用這種方式來計算
以研究費馬和歐拉的那些方程式
而他們收穫頗豐
有一份論文 幾乎是數學史上最短的論文之一
那是歐拉猜想的其中一個反例
它在歐拉提出猜想的200餘年後才終於出現
我們來看看它對應的是什麼地方
就是右下角的那裏
四個數的五次方相加成為了另一個數的五次方
所以歐拉猜想的完整版已經宣告破滅了
真的只需要僅僅一個反例 就能擊倒一個猜想

English: 
kill a conjecture. And how about the
handsome hero who discovered it? Here he
is
the first supercomputer, the CDC6600.
Those were the times :) However, as far as I
know the CDC 6600 and it's successors
only managed to kill off one more
instance of Euler's conjecture and so
there's still plenty of room for the
next Andrew Wiles to stake their claim
to greatness. Anyway, back to our analysis.
So let's suppose we've had the computer
running for a year or two and still no
solution has appeared. Perhaps it's time
to start suspecting that
maybe just maybe there may not be a
solution after all. Now if you are a
mathematical consultant for the Simpsons
you're probably beginning to panic what
with the deadline for the episode looming
and still no solution to our equation. In
which case the best alternative is to go
for a prank solution like the ones I
showed you. So amongst all the computer

Chinese: 
那位發現它的帥氣英雄在哪裡呢
就是這位
世界上第一台超級電腦 CDC6600
曾有這麼一件事*
然而 據我所知 這臺CDC6600 還有它的繼任者們
只再推翻了另一個歐拉猜想的方程式
所以... 依然存在許多空間
可以讓下一個安德魯·懷爾斯來爭取證明這猜想的榮耀
回歸正題 回來看到我們的分析
假設我們已經用一臺電腦運算了一兩年
卻依然無法找到解
那可能才要開始想 有可能
只是有可能
可能根本就沒有整數解存在
現在 如果你是辛普森家庭節目的數學顧問
你可能開始覺得著急了
因為節目下一集製作的截止線快要到了
可是還沒有找到等式的整數解
這種時候 最好的替代方案就是偽造一個假的整數解
就像我之前給你看的那個一樣
所以你從所有電腦找到的解當中

Russian: 
уничтожить гипотезу. А кто же тот умелый
герой, открывший этот пример? Вот он,
первый в мире суперкомпьютер по имени CDC6600.
Эх, были же времена :) Тем не менее, насколько
я знаю, CDC6600 и его потомки
смогли "убить" лишь ещё один из случаев гипотезы Эйлера, так что
у нас ещё вполне хватает места на пьедестале
славы для грядущего Эндрю Уайлса, чтобы
вписать имя в историю. Как бы то ни было, вернёмся к нашему анализу. Предположим, что у нас был бы компьютер,
работавший в течение года или двух, и он по-прежнему
не находил бы ни одного решения. Возможно, это было бы время
начать подозревать, что может быть, лишь может быть, решения вовсе
не существует? Если вы к тому же ещё и
математический консультант для "Симпсонов",
то наверняка начали бы паниковать: дедлайн
сдачи очередного эпизода уже нависает,
а никакого решения к уравнению нет. В этом случае
наилучшей альтернативой было бы взять
какое-нибудь розыгрышное решение, наподобие тех,
что я уже показывал вам. Достаточно посмотреть на

Russian: 
компьютерные результаты и найти убедительное
"почти" решение этого уравнения, и затем
попытаться протолкнуть его как настоящее.
И вот моя попытка помощи "Симпсонам" в этом отношении. Оставлю вам
проверку этого решения на своих калькуляторах
самостоятельно. С другой стороны,
математик, у которого есть целая жизнь на
борьбу с этой задачей, может всерьёз
попробовать показать, что чистого решения не существует вовсе. Для таких случаев есть общая стратегия
для составления доказательства от противного.
Мы начнём с предположения, что
существует хотя бы одно решение для нашего
уравнения и что конкретные числа,
синие X, Y и Z, формируют первое решение, которое наша компьютерная
программа бы в итоге нашла. Начиная с этого,
предположительно самого маленького,
решения, мы попробуем следовать своей математической интуиции и исследовать свойства подобного
решения, а также последствия существования такого решения.
В случае конкретно этого уравнения, математик
Джон Касселс (John Cassels) придумал

Chinese: 
找出最接近正確的數字
然後試著把它當成真的一樣送上去
這是我在這方面做的嘗試
我可以讓你用計算機
算算看這組數字到底有多像是正確的
但另一方面 那些畢生都在解決數學問題的數學家們
應會用更為正經的方法來證明它是沒有整數解的
有一個常見的數學方法
可以利用找出矛盾的方式來拼湊出證明
我們首先假設這算式至少有一組整數解
而這組數字
藍X、藍Y和藍Z
是我們的電腦所發現的第一組整數解
從這組理應是最小的整數解開始著手
我們忠於自己對於數學靈敏的嗅覺
設法發掘這組解本身帶有什麼特性
還有它能帶來什麼值得注意的結果
對於這組解 數學家約翰·卡斯爾斯想出了一組

English: 
printouts you find a convincing
near-miss solution for this equation and
attempt to pass it off as the real thing.
Okay
here is my attempt at helping out the
Simpsons in this respect. I'll leave you
to power up your calculators and see how
close I got. On the other hand, a
mathematician who has a whole lifetime to
play with this problem might have a
serious go at showing that there is no
solution, and there's a common strategy
for trying to piece together a proof by
contradiction. We begin by assuming that
there is at least one solution to our
equation and that the specific numbers
blue X, blue Y and blues Z form the
first of the solutions that our computer
program would eventually discover.
Starting with this supposedly smallest
solution we now follow our mathematical
nose and explore the properties of such
a solution and also what noteworthy
consequences follow from this solution. In
the case of this particular equation the
mathematician John Cassels came up with

Chinese: 
非常短 且非常聰明的證明
*這裡有個小錯誤
倒數第三行的等式其中一個減號應改成加號*
這些算式導出了一個比原本那組還要更小的整數解
然而 這正是最妙的地方
更仔細想想 如果這組比較小的解 r s u 存在
我們的電腦應該會先找到它才對
而不是先找到 X Y Z 的那一組
這裡顯然出現了不可能的情況
而解決這項矛盾的唯一方法
就是判斷這個等式本就沒有整數解
反證法完成
姑且不詳細講解這七行嚇人的算式
我們很快會回來處理它*
但在那之前 我要先來坦承一件事
我拿來製造懸疑的這個等式沒有整數解的這事實
其實就是費馬當時所證明的東西

English: 
this very short and very elegant chain
of implications. So here we go.
Right. Now this chain culminates in a
second, smaller solution to our equation
down there. However, and this is the
punchline, on closer inspection it also
becomes clear that our computer search
would have revealed this second smaller r s u
solution before the supposedly first X Y Z
solution. Obviously this is completely
impossible and the only way to resolve
this contradiction is to conclude that
there's no solution to our equation to
begin with. Tada, proof by contradiction
complete! Well complete except for
justifying the seven scary implication
in the proof. We'll get to that but first
it's time for a
little confession :) The fact that my building-suspense equation has no positive

Russian: 
вот такую очень короткую и элегантную цепочку выводов. Поехали.
Вот. Эта цепочка заканчивается выводом о существовании второго, меньшего решения к нашему уравнению.
Однако, и в этом заключается суть, при близком взгляде оказывается
ясно, что наш компьютерный поиск тогда нашёл бы это второе решение (r, s и u)
ДО находки предположительно самого первого
подобного решения (X, Y и Z). Очевидно, это совершенно
невозможно, и единственный способ разрешить
это противоречие -- сделать вывод, что
у этого уравнения попросту нет (целых) решений.
Та-да! Доказательство от противного
закончено. Ну, закончено с небольшой оговоркой: надо
ещё обосновать эти семь устрашающих выводов
на экране. До этого мы ещё дойдём, но сначала -- пришло время
небольшого признания :) Тот факт, что моё державшее
интригу уравнение не имеет положительных

Chinese: 
不過他當時用了更迂迴的證明方法
費馬也發現了
 這個對於我們真正想證明的東西來說
只是微不足道的一小步罷了
也就是說 X的四次方+Y的四次方=Z的四次方
沒有正整數解存在
在回到長篇大論的說明之前
讓我講解一下證明這等式沒有正整數解
的最後一小步驟
然後我們會進入影片中較簡單的部分
OK 如果這個等式有解
也就是這個
那我們就可以把它重寫成這樣 是吧
然後把括弧內的Z平方改寫成U
如此一來 我們就製造出了
先前那個我用來製造懸疑氣氛的等式
而那個等式是沒有正整數解的
而這就表示
我們先前假設的
X的四次方+Y的四次方=Z的四次方之解
也不能存在

Russian: 
целых решений -- это именно то, что
доказал Ферма, хотя он следовал
куда более запутанной тропой. Также он заметил, что доказательство
этой невозможности находится всего в одном крохотном шаге от того, что мы на самом деле хотим доказать. А именно,
то, что "X^4 плюс Y^4 равно Z^4" не имеет
положительных целых решений. Теперь, прежде,
чем мы вернёмся к той длинной цепочке
выводов, позвольте мне обозначить этот финальный маленький шажок, который потребуется для демонстрации того, что это уравнение
не имеет положительных целых решений.
И этим мы закончим лёгкую часть этого видео.
Итак, если бы у этого уравнения существовало
подобное решение, то мы могли бы, переписав
его вот таким образом, заменив Z^2 в скобках на
U, и тем самым получив решение к изначальному
интриговавшему нас уравнению,
у которого на самом деле решений нет. А это
означает, что гипотетическое решение
уравнения X^4+Y^4 = Z^4, с которого мы
начали, тоже существовать не может. Иными
словами, это значит, что этот особый случай

English: 
integer solutions is actually exactly
what Fermat proved, although he followed
a much windier path. Fermat
also noticed that proving this
impossibility is just one baby step away
from what we really want to prove namely
that X to the power 4 plus Y to the
power 4 is equal to Z to the power 4 has no
positive integer solutions. Before
returning to the long chain of
implications, let me indicate the final
baby step to show that this equation has
no positive integer solutions and we'll
round off the easier part of the video.
Okay, if there was a solution to this
equation, that one, then we could rewrite
it like this, right?
Rename the Z squared in the brackets
U and in this way we would have produced
a solution to my building-suspense
equation with no solutions and this
means that the hypothetical solution of
X to the power of 4 plus Y to the power
4 equals Z to the power 4 that we
started with cannot exist either. In
other words this special case of

Russian: 
Последней теоремы Ферма не может иметь
положительных целых решений. В качестве
лёгкой загадки для вас -- докажите, используя тот
же самый трюк, что тот же вывод будет верен для
всех ферматовских уравнений со степенью, кратной
4-м. В общем случае, как только получилось
доказать верность Последней теоремы Ферма
для какой-то конкретной степени n,
то можно также вычеркнуть все случаи со степенью, кратной n.
К примеру, Эйлер смог доказать Последнюю
теорему Ферма для случая n=3, и таким
образом моментально расправился со случаями
n = 6, 9, 12, 15, и т.д. Это также означает, что для полного
доказательства Последней теоремы Ферма достаточно
доказать её для всех нечётных простых чисел
в степени, и степени n=4. На самом деле, в
тот момент, когда Уайлс объявил о своём
доказательстве, теорема уже была доказана для
всех простых чисел в степени вплоть до 125000.
То есть, уже довольно много работы было
проделано на этом поприще. Так или иначе,

English: 
Fermat's Last Theorem cannot have any
positive integer solutions. I'll leave it
as an easy puzzle for you to show, using
the same trick, that the same is true for
all equations with exponents that are
multiples of 4. In general, once you
succeed in showing Fermat's Last Theorem
for some particular number in the
exponent, all the multiples of this
exponent are also taken care of. So, for
example, Euler proved Fermat's Last
Theorem for the exponent 3 and in this
way also disposed of the cases 6, 9, 12, 15,
etc. This also means that for a complete
proof of Fermat's Last Theorem it's
enough to take care of all the odd prime
power exponents and exponent 4. In fact
at the time that Wiles announced his
proof, all prime number exponents up to
125000 had already been taken care
of. So quite a bit had been done. Anyway, as

Chinese: 
換句話說 這個費馬最後定理的特殊情況
無法找到正整數解
我留給你們一個簡單的功課：
利用相同的方法
證明這可以推展至
所有次方數為4的倍數之情況
總體來說 你一旦成功證明
費馬大定理在某個特定次方數沒有正整數解
等於同時證明了
所有次方數為那個特定數之倍數的情況
所以舉例來說
歐拉證明了費馬最後定理的次方數為3的情況
這就同時解決了次方數為6, 9, 12, 15...的情況
這也就表示費馬最後定理的證明
要能夠適用於所有次方為質數的情況
還有次方為4的情況
事實上 在懷爾斯發表他的證明時
到約125000為止的質數都已經被解決了
人們已經做了不少努力
回歸正題 如我所承諾的

English: 
promised, I did show you the simplest
proof of this impossibility by showing
you THIS :):)
But, obviously, if this was really all I
did, I'd be in for lots of downvotes, hell
I'd downvote the video myself. Anyway to
give this video some real substance, let
me now explain this argument to you as
best as I can. If that all looks too
scary a trip that's cool. Just  push the
YouTube eject button now and  find an easier
maths video to watch for the moment and
I'll see you next time. ++++++Intermission+++++++++
For you brave souls willing to take the
trip, good on you :)
Buckle your mathematical seatbelts and
let's get going. Ready? To begin let me
introduce you to the three main weapons
that will help us with the proof. First
we'll be using our Simpson's fact that
after dividing by 4 any even power of

Russian: 
как обещано, я показал вам самое простое доказательство невозможности этого уравнения, когда
показал вам ЭТО :)
Но, разумеется, если бы я сделал только это, то мог бы
справедливо ожидать массу отрицательных голосов.
Да я бы и сам "заминусовал" это видео. Так что, чтобы
добавить больше реального содержания этому видео
давайте я теперь детально, как можно лучше объясню
вот этот аргумент. Если пока он выглядит чересчур
пугающе чтобы даже пытаться, ничего страшного.
Просто выключите это видео и найдите какое-нибудь
математическое видео полегче, чтобы расслабиться, а мы с вами увидимся в следующий раз.
[на экране: "Ну что, считаете, что готовы к этому?"]
["Давайте выясним :)"]
Тем смелым, кто решился на это путешествие, -- молодцы :)
Пристегните свои математические ремни безопасности и давайте начнём. Готовы? Для начала, позвольте
мне познакомить вас с тремя основными орудиями,
которые будут полезны для построения доказательства.
Первое: мы будем использовать симпсоновский факт
о том, что после деления на 4 любая чётная степень

Chinese: 
我已經給你們看了這東西最簡單的證明法
──也就是剛給你們看的...這個
可是很明顯地 如果我準備的只有這麼多
這部影片大概會被很多人按不喜歡吧
就連我自己也會想按下不喜歡
不論如何 為了讓這部影片能有個重點
讓我盡我所能地解釋這一個論證
如果這東西對你來說太難的話 太棒了
那你趕快按下左上角YouTube的緊急彈射按鈕
去找個適合你程度的簡單數學影片吧
我們下部影片見
能鼓起勇氣踏上征途的英勇靈魂啊 祝福你們
扣好你們的數學安全帶 我們出發吧
首先 讓我教教你們能幫助進行證明的三大武器
第一個是剛剛談到辛普森時介紹的
任何偶數的奇數次方被4除的餘數都餘1

Russian: 
нечётного числа имеет остаток 1. Второе орудие
тоже довольно простое. Предположим,
что у нас есть вот такое уравнение из трёх
слагаемых. Если любые два из них
имеют общий делитель, то третье слагаемое тоже
должно иметь такой же делитель. К примеру,
если D и E оба делятся на 3, то F тоже должно
делиться на 3. Вполне очевидно, да? Наше третье
и последнее оружие будет немного сложнее
объяснить. Давайте начнём с аккуратного рассмотрения
какой-нибудь 4-ой степени, такой как вот эта.
Тогда довольно легко заметить, что в разложении
этого числа на простые множители все
его делители тоже будут возведены в 4-ую
степень. В этом примере, это 2^4 и 5^4
явно являются числами в 4-ой степени.
3^8 тоже является таковым, так как
мы можем записать его вот так.

Chinese: 
第二個武器比較簡單一些
假設有一個像這樣的只有三個項之等式：
那麼如果其中有兩個數有公因數
那麼第三個數必然也會有著一樣的公因數
舉例來說
如果等式左邊的D和E都可以被3給整除
那麼F一定也能被3整除
淺顯易懂 是吧?
第三個 也是最後的武器解釋起來比較棘手一點
讓我們先小心地假設一個四次方的數
就像是... 這一個
可以輕易看出它的質因數分解中
每個因數也都成了原本的四次方
比如說現在的情況 2變成了四次方
然後... 5也是四次方
這些是能一眼看出來的
而中間的那個3的八次方也是
因為我們能把它整理成這樣：

English: 
an odd number must have remainder 1.
The second weapon is an easy one. Suppose
you have a three-term equation like this.
Then if any two of the terms have a
common factor, the third term must also
have the same common factor. For example,
if both D and E on the left are
divisible by 3 then F also has to be
divisible by 3. Pretty obvious, right?
Our third and final weapon is tricker to
explain.
Let's begin by carefully considering
some fourth power such as this one here.
Then it's pretty easy to see that in its
prime factorization all the powers of
the individual primes have to be fourth
powers themselves. In this example 2 to
the power of 4 and 5 to the power
of 4 are obviously numbers that are
fourth powers themselves. 3 to the
power of 8 in the middle is, too
because we can write it like this. Now

Russian: 
Теперь предположим, что кто-то даёт нам два
загадочных числа, чьё произведение равно
нашему первоначальному числу в 4-ой степени, и кроме
того, оба данных нам числа являются взаимно простыми,
то есть, не имеют общих делителей за исключением 1.
Тогда мы можем сделать вывод, что эти два
загадочных числа тоже являются 4-ыми степенями каких-то целых чисел. Почему? Потому что простые множители
одного вида, такие как двойки в нашем
изначальном числе, должны все попадать лишь
в одно из двух загадочных чисел. Например, вот
так, или вот так. Разумеется, это, в свою
очередь, означает, что P и R сами являются 4-ыми
степенями. К сожалению, нам придётся
использовать несколько усложнённую версию этого принципа, в которой наибольший
общий делитель P и R будет в точности равен 2.
Что тогда мы можем сказать о P и R? Ну,
то, что их наибольший общий делитель равен 2,
значит, что нечётные простые множители должны

English: 
suppose that somebody gives you two
mystery numbers whose product is equal
to our fourth power and very important
those two numbers are relatively prime,
so have no common factor apart from 1.
Then we can conclude that our two
mystery numbers are also both fourth
powers. Why because the prime factors of
one kind, say all the 2s in our
original number must all go into just
one of our mystery numbers, for example,
like this, or like that. Of course, this in
turn implies that both P and R are fourth
powers themselves. Unfortunately we will
need to use a slightly trickier version
of this principle, where the highest
common factor of P and R is exactly 2.
What can we then say about P and R? Well,
the highest common factor being 2
implies that the odd primes must split

Chinese: 
現在假設有某個人給了你兩個神密的數字
它們乘起來等於我們的90的四次方
而且更重要的是 這兩個神祕數字互質
所以他們除了1之外沒有其它的公因數
那麼我們就能確知這兩個神秘數字
必然都是整數的四次方
為什麼?
比如說其中一種情況
假設原數字的所有2好了
一定要全都屬於其中一個神秘數字
舉例來說 像這樣
或這樣
當然 這也就解釋了P和R都會是四次方的數
但是不幸地 我們要使用的是這個原理更困難一點的版本
──先設定P和R有一個最大公因數2
那麼我們要怎麼處理P和R的關係?
最大公因數是2就表示

English: 
up just as before, with all the primes of
one type in either P or R, for example
like this. Now what about the 2s. Hmm
because the highest common factor is 2
both P and R must have a factor of 2 but
then one of P and R must have exactly one
2, otherwise the highest common factor
would be at least 4. Now it follows
that one of our factors let's say P must
be of the form 2 times a fourth power
and the other factor R is 8 times a
fourth power and this is true in general.
Oh and there are two more things that we
can say for certain about these new
fourth powers, the solid red and the
solid green bits. First, the two new
fourth powers are relatively prime.
Second the red fourth power that goes

Russian: 
разделиться так же, как раньше, -- все множители
одного вида в одно и то же число. К примеру,
вот так. Что насчёт двоек? Хм, поскольку
наибольший общий делитель равен в точности 2,
и P, и R должны иметь 2 как множитель, однако
одно из них должно иметь в точности единичную
степень двойки, иначе наибольший общий делитель
был бы равен по меньшей мере 4. Отсюда следует,
что одно из чисел (допустим, P) должно иметь
форму "2 умноженное на 4-ую степень",
а второе число (R) должно быть "8 умноженное на
4-ую степень", и этот принцип верен и в общем случае.
О, и есть ещё два факта, которые точно верны для этих новых
4-ых степеней -- красного и зелёного чисел
на экране. Во-первых, эти две новые
4-ые степени должны быть взаимно просты.
Во-вторых, красная четвёртая степень, которая

Chinese: 
其他奇質數的分法還是像剛剛一樣
也就是同一種質因數必須全部屬於P或R
舉例來說 像這個
那現在 我們該怎麼處理那些2？
因為最大公因數是2
所以P和R都得要有2這個因數
可是其中之一必須只能有一個2
要不然的話 最大公因數將至少會變成__
要不然的話 最大公因數將至少會變成 4
總而言之 其中一個數 假設是P好了 他的形式應該是
一個2 乘上一個四次方的數
然後另一個數字R會是8乘上一個四次方的數
這結論一般而言都是正確的
噢 對於這些新的四次方數我們還能確定兩件事情
──我指的是填滿的紅框框跟填滿的綠框框
首先
這兩個數字互質

Chinese: 
再來 紅色的那個被2乘的四次方數必然是個奇數
那麼先來總結一下 如果一個整數的四次方
是另兩個最大公因數是2的整數的乘積
那麼其中一個數會是一個奇數的四次方數乘上2
而另一個會是8乘上一個四次方數
而且 兩個四次方數必然互質
那就是最難的部分了 (笑)
我們剛介紹完了三個必要的武器
現在該開始建構我們的歸謬法證明了
我們所假想的這個藍色的方程式解的第一個性質是
X Y Z之中的任兩個數字都是互質的
所以X和Y互質
X和Z互質
然後Y和Z也互質
為何? 因為其中某兩個數有非1的公因數
比如說3好了  這種情況是不可能成立的

English: 
with the 2 must be odd. So to summarize,
if an integer fourth power is the
product of two integers with highest
common factor 2, then one of the
numbers is of the form 2 times an odd
fourth power and the other is of the
form 8 times a fourth power.
Furthermore both new 4th powers are
relatively prime. Okay, so that was the
hardest bit. We just have to carefully
apply all three weapons now to construct
our proof by contradiction. The first
thing that follows from our hypothetical
blue solution being the smallest
solution is that any two of the numbers
X, Y and Z are relatively prime, so X
and Y are relatively prime, X and Z are
relatively prime and Y and Z  are relatively prime. Why?
Because if this was not the case and two
of the numbers had a non-trivial common

Russian: 
идёт в паре с 2, должна быть нечётным числом.
Обобщая: если целое число в 4-ой степени равно
произведению двух целых чисел с наибольшим
общим делителем, равным 2, то одно из
этих чисел имеет форму "2 умножить на нечетное
число, представляющее собой 4-ую степень", а другое
число имеет форму "8 умножить на 4-ую степень".
Более того, обе получившиеся 4-ые степени
взаимно просты. Хорошо. Что ж, это была самая
сложная часть. Теперь мы должны всего лишь
применить все эти принципы и факты для сооружения
нашего доказательства от противного. Первое, что
следует из нашего предположения, что синее решение является наименьшим
из всех решений, -- любая пара чисел из синих X, Y
и Z является взаимно простой. То есть,
X и Y взаимно просты, X и Z взаимно просты,
и Y и Z тоже взаимно просты. Почему?
Потому что если бы это было иначе и двое
из них имели нетривиальный общий

Chinese: 
不然的話 這麼一來
這三個項都必須可以被3的四次方給整除
那麼我們就能夠
把整個等式同除以這個公因數的四次方
像這樣
滿容易懂的 是吧
然後這會讓你得到一組新的解
那個新的解
比我們起始的那個最小解還要小了
這當然是不合理的
言歸正傳 讓我再重複一次
我們一開始假設的假想解X、Y和Z中
任兩個數都一定是互質的
OK 第二步 注意這三項不可能同時為奇數
為什麼? 因為如果三個都是奇數的話
等號左邊奇數加奇數等於偶數
但等式右邊則是奇數 這是不可能的
這就表示至少其中一個數必須是偶數
事實上也只能有一個項是偶數
因為三個項必須兩兩互質
OK 所以可以見得
這三項的奇偶數分配有三種可能

Russian: 
делитель (скажем, 3), то все три слагаемых
должны были бы делиться на 3 в степени 4.
И тогда мы могли бы разделить всё уравнение
на этот общий делитель в степени 4. Хорошо, пока что всё
довольно просто, верно? И это дало бы нам
новое решение, которое меньше, чем то
наименьшее решение, с которого мы начали, что,
разумеется, невозможно. Так или иначе,
давайте повторим: любые два числа из X, Y и Z
нашего гипотетического наименьшего решения
должны быть взаимно просты. Хорошо, шаг второй.
Заметьте, что все три числа не могут быть
нечётными. Почему? Потому что, если бы все три были нечётными,
мы имели бы выражение вида "нечётное плюс нечётное" слева, что равно чётному, и что-то нечётное справа, что, конечно, невозможно.
А это означает, что хотя бы одно из этих слагаемых
должно быть чётным. На самом деле,
лишь одно из этих слагаемых и может быть чётным, так как мы уже установили, что они должны быть взаимно простыми.
Итак, логически возможно всего три
распределения чётности и нечётности

English: 
factor, say 3, then all three terms would
have to be divisible by 3 to the power
of 4.
Then we could divide the whole equation
by this common factor to the power of
4 like this. Okay, it's all pretty
obvious, right? And this would give a new
solution that is smaller than the
smallest solution we started with, which
of course is impossible. Anyway
let's say it again, any two of X, Y, and Z  in
the hypothetical solution we started
with have to be relatively prime. Okay,
step two. Notice that not all three terms
can be odd. Why? Because if all three were
odd
we have odd plus odd is even on the left
and odd on the right which is impossible
of course. And this means that at least
one of the terms has to be even. In fact,
only one of the terms can be even since
the three terms are relatively prime.
Okay, so conceivably there are three
different distributions of odd and even

English: 
among these terms. The first distribution
is exactly the same as that in the
second Simpsons pseudo counterexample
but then we can conclude in the same way
as earlier, using our division by a 4
weapon, that this distribution of odd and
even is impossible. This leaves us with
two possibilities. Are you already regretting
following me on this number theory
quest? Well it's too late now, you
can't leave :) In the following I'll assume
that X is even. If Y is even, we just have
to exchange the roles of X and Y in
everything that follows. Okay, anyway
let's color code X, Y and Z. So yellow for
even and orange for odd.  Now let's solve for
X to the power of 4 and, like we
learned in high school, write the
difference of squares on the left side
as a product like this. Now I want to
show that the two components Z minus Y
squared and Z plus Y squared have

Chinese: 
其中第一種就是辛普森偽造的第二個反例的情況
但我們可以用跟之前一樣的方法來處理它
用我們除4的規則當作武器
就能知道這樣的奇偶數分配法是不可能的
這樣我們就只剩下另外兩種可能了
你已經後悔跟我踏上這趟數學征途了嗎
現在太遲了~ 你沒有退路了
下一步 我先設X是偶數
如果Y是偶數 你只要把XY前後交換就好
OK 我們來用顏色區分X、Y和Z
黃色代表偶數 橘色代表奇數
現在讓我們來解X
然後正如我們在中學學過的
把等式左邊的平方差改寫成這樣的乘積
現在我想要讓你們知道Z減Y平方和Z加Y平方
這兩者間有最大公因數2

Russian: 
среди этих слагаемых. Первое распределение точно такое же, как во
втором симпсоновском псевдо-контрпримере, но тогда мы можем сделать вывод, основываясь на той же логике,
что и тогда (используя делимость на 4), что это
распределение чётности и нечётности
не может быть. Остаётся ещё две возможности.  Уже жалеете,
что последовали за мной по этому извилистому пути в теорию чисел? Увы, возвращаться уже поздно, вы
не можете уйти :) В последующем аргументе я буду предполагать, что чётным числом является X. Если на самом деле Y является чётным, то нам достаточно
поменять X и Y местами, чтобы последующий аргумент сохранил силу. Итак,
давайте покрасим X, Y и Z в жёлтый цвет, если
число чётное, и оранжевый, если нечётное. Теперь
решим уравнение относительно X^4, как вас учили в школе, и запишем
разность квадратов в левой части как
произведение, вот так. Теперь я хочу
показать, что два множителя, (Z-Y^2) и (Z+Y^2), имеют

Chinese: 
讓我們剛剛鍛造的武器能派上用場
2是一個公因數這件事情是很明顯的
因為橘色的Z和Y都是奇數
現在 來說明沒有其他更大的公因數
要記得 兩個數之間的任何公因數
同時也會是他們兩數和的因數
在這裡 兩個數的和是這個東西
所以 Y平方消掉 而Z+Z等於... 2Z
也就是說 兩個數之間的任何公因數
同時必是2Z的因數
然而 兩個數之間的任何公因數
同時必須是他們的乘積──X四次方的因數
但是 同時X和Z是互質的
這也就代表左式兩個括弧間的公因數最大只會是2
非常巧妙的解法! :)

English: 
highest common factor 2 to be able to
apply the fancy weapon that we forged
earlier. It's clear that 2 is a common
factor since the orange Z and Y are
both odd. Now to show that there is no
higher common factor remember that any
common factor of two numbers is also a
factor of their sum. In this case the sum
of our two components is this. So the Y
squared's cancel and the Z plus Z is
2 Z. This means that any common
factor of our two components also has to
be a factor of 2 Z. However any common
factor of the two components also has to
be a common factor of their product X to
the power 4 on the right. But at the
same time X and Z are relatively prime
which means that the highest common
factor of the two components is 2.
pretty tricky ! :) Okay and this is

Russian: 
наибольший общий делитель, равный 2, чтобы затем
применить тот изящный принцип, который мы вывели
ранее. Очевидно, что 2 является их общим
делителем, так как оранжевые Z и Y
оба нечётны. Теперь надо показать, что у них нет
большего общего делителя. Вспомним, что любой
общий делитель двух чисел также является
делителем их суммы. В данном случае, сумма
двух наших компонентов равна этому. Y^2
сократились, и остаётся только Z+Z, что равно
2*Z. Это значит, что любой общий делитель
этих двух скобок также должен
быть множителем числа 2*Z. Однако любой
общий делитель этих скобок также должен
быть делителем их произведения, X^4 в правой
части уравнения. Но в то же время,
X и Z являются взаимно простыми, что
означает, что наибольший общий
делитель двух скобок может быть только 2.
Искусно, не правда ли :) Хорошо, и это

Russian: 
как раз та ситуация, к которой мы готовились.
Мы смотрим на 4-ую степень, которая равна
произведению двух целых чисел с наибольшим
общим делителем, равным 2. Следовательно, одно
из этих чисел равно "2 * 4-ая степень", а второе равно "8 * другая 4-ая степень",
или наоборот (см. экран). Установленный ранее
принцип также гарантирует, что числа u и v
взаимно просты, а также что u, 4-ая степень рядом
с 2, является нечётным числом. Поэтому закрасим
u оранжевым цветом, т.к. оно нечётно. В результате,
у нас есть два возможных случая. Изящный переход :)
Давайте сконцентрируемся на первой
рамке. Вычтя второе уравнение из
первого, мы сократим Z и получим вот это.
Разделив это уравнение на 2, получим
вот это. Отлично. Если сделать то же самое со
второй рамкой, то мы получим вот такое уравнение.
Легко заметить, что второе уравнение невозможно. Почему? Вспомните,

English: 
exactly the situation we prepared for. We
are looking at a fourth power which is a
product of two integers with highest
common factor 2. So one of the factors
is 2 times the fourth power and the
second factor is 8 times another
fourth power or the other way around. Our
weapon also guarantees that U and V are
relatively prime and that u the power
following the 2 is odd, so let's color
u orange for odd. Summarizing we have
the following two cases. Fancy transition :)
Okay let's focus on the first box.
Subtracting the second equation from the
first the Zs disappear and we're left
with this. Then dividing by 2 gives this
here. Alright, nice. If you do the same
with the other box we get that one here.
Now it's easy to see that the second
equation is impossible. Why, well remember

Chinese: 
OK 這就是我們一直在試圖營造的情況：
可以拆解成兩個最大公因數是2的整數之乘積的四次方數
所以其中之一是2乘上一個四次方數
而另一個是8乘上一個四次方數
或是兩者顛倒過來
我們的武器同時也使我們確定了u和v是互質的
然後跟在2後面的那個四次方數是個奇數
所以讓我們為u漆上代表奇數的橘色
總而言之 我們有了以下的兩種情況
花式轉場ヽ（・∀・）ノ
OK 先討論第一個框起來的部分
把兩個等式相減以消掉Z 然後會得到這個結果
然後除以2會變成這個
如果在剛才的其它框框處也做一樣的動作
可以得到那一個式子
可以輕易看出第二個等式是不可能的
為什麼呢 要記得 因為Y是奇數

English: 
since Y is odd, then after division by
4, Y squared leaves a remainder of 1
and the same is true for u to the power
of 4. On the other hand, 4 times v to the
power 4 in the middle is divisible by 4
and so it gives a remainder of 0. And so
in total we get remainder 1 on division
by 4 is equal to remainder minus 1 which
is impossible. The only way to avoid a
contradiction is for the first equation
to be true. Again
pretty much following our nose, we solve
for 4v to the power of 4, write  the left side as a product again.
Now since u and v are relatively prime,
remember that one, we can argue as before
that the two factors in the product on
the left have highest common factor 2,
and then that both factors necessarily
have to be of the form 2 times a
fourth power. Okay consider nutting out
the details to be your, don't know,

Chinese: 
所以除以4之後 Y平方的餘數必定是1
然後u的四次方也是一樣
另一方面 中間的4倍v四次方能被4整除
所以餘數是0
所以最後可以看到 某個被4除於1的數
等於一個被4除餘(-1)的數
這是不可能的
避免這矛盾的唯一方法就是第一條等式
再來就一樣地 看起來似曾相識的過程*
我們來解4v^4
再一次地把左邊化為兩式的乘積
現在 因為u和v互質 還記得這點吧
我們可以推得左邊的兩個括弧有最大公因數2
然後再得出兩個括弧都必然可以寫成
2乘上某個四次方數這樣的形式
OK 你可以把這裡的細節當成你的...
不知道耶 我不記得了
...第三個 還是第四個回家作業吧
隨便啦:)

Russian: 
что поскольку Y нечётно, то, после деления на 4, Y^2 даёт остаток 1,
и то же самое верно для u^4. С другой стороны, 4*v^4
в середине делится на 4 нацело, и поэтому даёт остаток 0.
В результате мы получаем, в терминах остатков, 1 = -1, что
невозможно. Единственный способ избежать противоречия
здесь -- это предположить, что тогда первое уравнение
должно быть истинным. Вновь следуя нашей интуиции, решим его
относительно 4v^4 и запишем левую часть как произведение.
Поскольку u и v взаимно просты (как вы помните из
предыдущих выводов), мы можем заключить, как прежде,
что два множителя в левой части уравнения имеют
наибольший общий делитель, равный 2,
и тогда оба этих множителя обязательно должны
иметь форму "2 умножить на 4-ую степень".
Ну, и пускай выяснение деталей этих
выводов будет вашим, не знаю,

English: 
don't remember, probably your third or fourth puzzle :) Anyway great! And believe it or
not we're almost there. Add the bottom
equation to the top. This gets rid of the
Y's. Divide by 2 and we've got our
second equation and so our hypothetical
first solution on top implies the
existence of a second solution. It's also
not hard to see that both r and s have
to be smaller than the X at the top. And
that's the punchline. Our computer
program would have come across the
second solution before the first
solution. That isn't possible and
completes the proof by contradiction. And
this is real sweat, you know :) So, anyway
this is very slick, very pretty and
also very tricky, right? Now this was the
simplest proof of the simplest case of 
Fermat Last Theorem, explained as simply as
possible. Still very tricky to understand.
Now multiply this by at least a

Russian: 
уже не помню, наверное, третьим или четвёртым
пазлом :) Так или иначе, отлично! Как ни удивительно,
мы почти закончили. Прибавим нижнее уравнение
на экране к верхнему. Это избавит нас от
Y-ков. Разделим на 2 и получим второе ключевое
уравнение. И получается, что наше предполагаемое
первое решение означает существование
второго решения, на экране. Также
несложно заметить, что r и s должны быть меньше, чем X сверху.
И вот она, суть аргумента. Наша компьютерная
программа непременно нашла бы это
второе решение прежде, чем нашла
бы первое. А это невозможно, и
тем самым мы закончили доказательство от противного. Фух... А это -- настоящий пот, чтоб вы знали :) Итак,
всё это очень и очень хитро, красиво и
немного запутанно. При этом это было
простейшее доказательство самого простого случая
Последней теоремы Ферма, объяснённое так просто,
как возможно. И всё равно не так уж просто его
понять. Теперь умножьте сложность этого хотя бы на

Chinese: 
很好
然後信不信由你 我們已經快完成了
把上下兩式相加 讓我們能把Y消掉
再把結果除以2 然後我們得到了第二條的等式
所以 我們原先假定的第一條等式
造成了第二條等式能被推導出來
而且不難看出r和s都一定比X還要小
這就是最妙的地方
我們的電腦程式在發現上式之前 應該會先找到下式才對
這不可能
所以我們利用矛盾完成了證明
我是真的流汗了
這真的非常聰明、非常美麗、也非常巧妙 是吧
這就是費馬大定理最簡單的命題之最簡單的證明法
然後盡可能地把它解釋得非常的簡單
還是覺得很難懂 是吧?

English: 
million and you get an idea of the
trickiness of Wiles's proof.
Well maybe I'll do that next week. No, just
kidding, maybe in a million years. Anyway
I hope you enjoyed this video as much as
I enjoyed putting it together. If there's
anything you did not understand please
leave a comment. Even if I don't get
around to answering, there are a lot of very
cluey people roaming the comment sections
of these videos who will be very happy
to help you. Anyway this is it for today.

Chinese: 
把你這個難懂的感覺乘個上百萬倍
然後你就可以稍微知道懷爾斯的證明有多難了
唔 我可能下個禮拜會試試看
...不 開玩笑的
我大概一百萬年內都不會想做
希望你喜歡這部影片
我也很開心能把這影片給整理出來
如果有任何不懂的地方 請在底下留言
就算我沒有回答到你的留言
評論區也有很多很強的高手樂意幫助你
總之 今天就先這樣 :)

Russian: 
миллион -- и приблизительно поймёте степень
сложности и запутанности доказательства Уайлса.
Может быть, я поговорю о нём на следующей
неделе. О нет, шучу, минимум через миллион лет.
В общем, я надеюсь, что вам понравилось это видео
так же сильно, как мне нравилось его создавать. Если
осталось что-то, что вам пока непонятно, -- пожалуйста,
оставьте комментарий. Даже если я не смогу
ответить на него, в комментариях скитается
много очень информированных людей,
которые будут рады вам помочь. Как бы то
ни было, с этим у меня всё на сегодня.
