
Spanish: 
 
Lo que intenté dibujar aquí es un círculo unitario.
Lo llamo círculo unitario
porque tiene radio 1.
Así que la distancia desde el centro
(el centro está en el origen)
a cualquier punto del círculo, es 1.
¿Cuál será la coordenada en este punto
que intersecta el eje x?
Bueno, x será 1 y y será 0.
¿Cuál es la coordenada de este punto aquí arriba?
Bueno, hemos ido 1 sobre el origen,
pero no nos hemos movido ni a la izquierda o derecha.
Así que el valor de x es 0.
El valor de y es 1.
¿Qué hay de este?
Bueno, aquí el valor de x es 1.
Nos hemos movido 1 a la izquierda.
Y no nos hemos movido arriba o abajo, así que el valor en y es 0.
¿Qué hay del punto aquí abajo?
Bueno, hemos ido una unidad abajo o 1 por debajo del origen.

English: 
What I have attempted to
draw here is a unit circle.
And the fact I'm
calling it a unit circle
means it has a radius of 1.
So this length from
the center-- and I
centered it at the origin--
this length, from the center
to any point on the
circle, is of length 1.
So what would this coordinate
be right over there, right
where it intersects
along the x-axis?
Well, x would be
1, y would be 0.
What would this
coordinate be up here?
Well, we've gone 1
above the origin,
but we haven't moved to
the left or the right.
So our x value is 0.
Our y value is 1.
What about back here?
Well, here our x value is -1.
We've moved 1 to the left.
And we haven't moved up or
down, so our y value is 0.
And what about down here?
Well, we've gone a unit
down, or 1 below the origin.

Portuguese: 
O que eu tentei desenhar aqui é
um círculo unitário
e o fato de que eu estou chamando-o de
"círculo unitário" significa que o seu raio é 1.
O comprimento daqui do meio
para qualquer ponto no círculo é 1.
Então qual seria a coordenada bem ali? Na intersecção com eixo x?
Bem... X seria 1 e Y seria zero
Qual seria a coordenada ali em cima do círculo?
Nós temos 1 pra cima. E como não mexemos pra esquerda ou para direita...
o valor do nosso X é zero e do Y é 1.
E na esquerda?
O valor do nosso X é -1 porque movemos para a esquerda.
E como não movemos para cima ou para baixo, Y vale 0.
E ali em baixo?
Nós temos uma unidade para baixo. Porém...

Bulgarian: 
Опитах да начертая тук
единична окръжност.
Наричаме я "единична окръжност",
защото има радиус 1.
Тоест дължината от центъра до която
и да е точка от окръжността е равна на 1.
Какви ще са тези координати тук?
Където окръжността се пресича с оста х?
x ще е 1, а y ще е 0.
А какви ще са координатите тук горе?
Преместили сме се с 1 право нагоре 
от началото на координатната система.
Следователно стойността на х е 0, 
а стойността на у е 1.
Ами тук отзад?
Тук стойността на х е минус 1.
Придвижили сме се с 1 наляво, но не сме
се местили нагоре или надолу,
значи стойността на у е 0.
Ами тук долу?
Придвижили сме се с 1 право надолу,

Burmese: 
ကၽြန္ေတာ္အခု

Czech: 
Snažil jsem se tu
nakreslit jednotkovou kružnici.
A tím "jednotková" myslím
kružnici s poloměrem 1.
Vzdálenost mezi středem, který je
v počátku kartézské soustavy souřadnic,
a kterýmkoliv bodem na kružnici je 1.
Jaké budou souřadnice tohoto bodu,
kde dochází k protnutí s osou x?
No, "x" bude 1,
"y" bude 0. [1,0]
Jaké budou souřadnice tady nahoře?
Šli jsme o 1 nahoru a neposunuli
jsme se ani doprava, ani doleva.
Naše "x" bude 0, naše "y" bude 1.
Co tady vzadu?
Naše "x" bude -1,
protože jsme se posunuli o 1 doleva.
Nahoru ani dolů jsme se neposunuli,
takže "y" zůstane 0.
A jak to bude tady dole?

Thai: 
สิ่งที่ผมพยายามวาดตรงนี้คือ
วงกลมหน่วย
ที่จริง ผมจะเรียกมันว่า
"วงกลมหน่วย" แปลว่ามันมีรัศมีเป็นหนึ่ง
งั้นความยาวนี่ตรงนี้จากศูนย์กลาง, ผมวางศูนย์กลางไว้ที่จุดกำเนิด,
ความยาวนี้, จากจุดศูนย์กลางถึงจุดใด ๆ บนวงกลม ยาวหนึ่ง
แล้วพิกัดนี่ทางขวาตรงนี้คืออะไร? ตรงนี้ที่ตัดตามแกน x?
ตรงนี้ x เป็นหนึ่ง, y เป็นศูนย์ (1,0)
แล้วพิกัดตรงนี้บนนี้ล่ะ?
เราขึ้นเหนือจุดกำเนิดอยู่หนึ่ง, แต่เรายังไม่ได้ไปซ้ายหรือขวา
ดังนั้นค่า x เป็นศูนย์, ค่า y เป็นหนึ่ง
แล้วข้างหลังนี้ล่ะ?
ทีนี้ตรงนี้ ค่า x เราเป็นลบหนึ่ง, เราเคลื่อนไปทางซ้ายอยู่หนึ่ง
และเราไม่ได้ขึ้นหรือลง ดังนั้นค่า y เป็นศูนย์
แล้วข้างล่างนี้ล่ะ?
ตรงนี้, เราลงไปหนึ่งหน่วย (ใต้จุดกำเนิดอยู่หนึ่ง)

Hungarian: 
 
Amit megpróbáltam iderajzolni, az egy egységkör.
Az a tény, hogy egységkörnek nevezem,
azt jelenti, hogy a sugara 1 egység.
Tehát ez a távolság a középponttól
– a kör középpontját az origóba tettem –,
a középpont és a körvonal bármely pontjának a távolsága 1 egység.
Mik a koordinátái ennek a pontnak,
ahol a kör az x tengelyt metszi?
Az x koordináta 1, az y koordináta 0.
Mik a koordinátái ennek itt fenn?
Egyet léptünk felfelé az origóból,
de nem mozogtunk balra vagy jobbra,
tehát az x értéke 0, az y értéke 1.
Mi a helyzet itt?
Itt  az x értéke -1,
egy egységet balra léptünk,
és nem mozdultunk fel vagy
le, tehát y értéke 0.
És mi a helyzet itt lent?
Egyet léptünk le az origóból,

Korean: 
 
여기에 제가 그린 것은 단위원입니다
단위원은 주어진 원의 반지름이
1이라는 뜻입니다
즉, 원의 중심인 원점과
원 위의 임의의 점이 떨어진 거리가
항상 1이라는 것입니다
그럼 주어진 원이 x축과 교차하는
이 점의 좌표는 무엇일까요?
x값은 1, y값은 0일 것입니다
그럼 이 점의 좌표는 무엇일까요?
원점 위로 1만큼 갔지만
원점의 좌우로는 움직이지 않았으므로
x값은 0이 될 것이며
y값은 1일 것입니다
이 점의 좌표는요?
이번에는 원점에서
왼쪽으로 1만큼 갔으므로
x좌표는 -1이 될 것입니다
그리고 위아래로는 움직이지
않았으므로 y좌표는 0입니다
아래쪽의 이 점은 어떨까요?
원점에서 1만큼 내려갔지만

Portuguese: 
nós não movemos na direção do X... Então nosso X é zero, e nosso Y é -1.
Com isso já resolvido. Eu vou desenhar um ângulo...
E do jeito que eu vou desenhar o ângulo... Eu vou definir uma regra pra ângulos positivos.
O inicio do ângulo é no eixo X positivo.
Vocês podem pensar nesse lado, como o lado inicial do ângulo.
Para desenhar um ângulo positivo nós vamos no sentido anti-horário.
Então... Ângulo positivo = sentido anti-horário.
.
Essa é apenas uma convenção que eu vou usar, a qual é geralmente usada.
Você também pode imaginar que um ângulo negativo seria no sentido horário.
No sentido horário.
Deixe-me desenhar um ângulo positivo.

English: 
But we haven't moved
in the xy direction.
So our x is 0, and
our y is negative 1.
Now, with that out of the way,
I'm going to draw an angle.
And the way I'm going
to draw this angle--
I'm going to define a
convention for positive angles.
I'm going to say a
positive angle-- well,
the initial side
of the angle we're
always going to do along
the positive x-axis.
So you can kind of view
it as the starting side,
the initial side of an angle.
And then to draw a positive
angle, the terminal side,
we're going to move in a
counterclockwise direction.
So positive angle means
we're going counterclockwise.
And this is just the
convention I'm going to use,
and it's also the convention
that is typically used.
And so you can imagine
a negative angle
would move in a
clockwise direction.
So let me draw a positive angle.
So a positive angle might
look something like this.

Spanish: 
Pero no nos hemos movido en la dirección de x.
Así que x es 0 y y es 1 negativo.
Ahora que sabemos eso, voy a dibujar un ángulo.
La forma en la que voy a dibujar el ángulo--
Voy a definir una convención para los ángulos positivos.
Diré que un ángulo es positivo
Antes, el lado inicial de un ángulo
siempre estará sobre el eje positivo de x.
Entonces podemos considerar este, como el lado inicial
el lado inicial de un ángulo.
Ahora, para dibujar un ángulo positivo, el lado final
lo moveremos en una dirección contra las manecillas del reloj.
Así que ángulos positivos significan que vamos contra las manecillas del reloj.
 
Esta es la convención que voy a usar.
Además es la convención más usada.
Ahora pueden imaginar un ángulo negativo
que se mueve en dirección de las manecillas del reloj.
Así que déjenme dibujar un ángulo positivo.
Así que un ángulo positivo se verá así.

Korean: 
x방향으로는 움직이지 않았으므로
x값은 0, y값은 -1입니다
이번에는 각을 하나 그리겠습니다
각을 그리기 전에 우선
양의 각에 대해 정의합시다
우선 각의 한쪽 끝은
양의 x축 방향으로
설정하도록 하겠습니다
즉, 이 분홍색 선이 각의
출발선이라고 생각하면 됩니다
그리고 양의 각도는 이 선을
기준으로 시계 반대 방향으로
회전한 각으로 정의하겠습니다
즉 양의 각을 측정하기 위해선
반시계 방향으로
각을 재면 됩니다
이 정의는 제가 임의로 정한
것이 아닌 널리 통용된 방법입니다
반대로 음의 각은
시계 방향으로 잰 각입니다
이제 양의 각을 그려 봅시다
다음은 제가 임의로 잡은 각입니다

Czech: 
No, posunuli jsme se o 1 dolů,
ve směru x jsme se nehnuli,
takže "x" je 0 a "y" v tomto případě -1.
To bychom měli. Teď si nakreslím úhel.
Ještě si rozdělíme úhly na dva druhy.
Počáteční rameno úhlu umístím
vždy na kladné straně osy x.
Můžete o ní uvažovat jako
o počátečním rameně úhlu.
Jeden druh úhlu vytvoříme tak, že ho odtud
povedeme proti směru hodinových ručiček.
To je kladný směr.
Jdeme proti směru hodinových ručiček.
Tento postup je nejběžnější.
Já se jím budu také řídit.
Druhý typ úhlu, záporný směr,
půjde po směru hodinových ručiček.
Nakreslíme si úhel v kladném směru.

Thai: 
แต่เรายังไม่ได้เลื่อนไปตามทิศ x... ดังนั้น x เป็นศูนย์ และ y เราเป็นลบหนึ่ง
หลังจากนั้น, ผมจะวาดมุม...
วิธีที่ผมจะวาดมุมนี้ - ผมจะนิยามมุมเป็นบวก
ผมจะบอกว่ามุมเป็นบวก, ทีนี้ ด้านเดิมของมุม, เราจะวาดตามแกนบวก x เสมอ
นี่ก็คื... คุณอาจมองมันเป็นด้านเริ่มต้นของมุม (ด้านแรกของมุม)
แล้วก็วาดมุมบวกไปยังด้านจบ เราจะเคลื่อนไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา
ดังนั้นมุมบวก - หมายถึงเรากำลังทวนเข็มนาฬิกา
...ทวนเข็มนาฬิกา...
นี่เป็นแค่ข้อตกลงที่ผมจะใช้, มันเป็นข้อตกลงที่ใช้กันทั่วไป,
และคุณคงนึกภาพออกว่า ค่าลบ จะไปตามเข็มนาฬิกา
...ตามเข็มนาฬิกา
ขอผมวาดมุมเป็นบวกหน่อย

Bulgarian: 
но не сме се движили по оста х,
следователно х тук е 0, а у е -1.
Готови сме с това, 
така че сега ще начертая един ъгъл.
За да го начертая, ще създам условие 
за положителни ъгли.
Първото (долното) рамо на ъгъла винаги 
чертаем по положителната част на оста х.
Можем да си го представим 
като началното рамо на ъгъла –
там, откъде започваме да го чертаем.
И за да начертаем положителен ъгъл,
ще начертаем второто (горното) рамо на 
този ъгъл в посока,
обратна на 
часовниковата стрелка.
Положителен ъгъл означава,
че се движим обратно на 
часовниковата стрелка.
Това е условие, което аз ще използвам 
и което по принцип се използва.
Можеш да се досетиш, че 
отрицателен ъгъл ще се движи
в посока по часовниковата стрелка.
Нека начертая един положителен ъгъл.

Hungarian: 
de nem mozogtunk
x irányban,
tehát az x értéke 0 és az y értéke -1.
Most pedig rajzolok egy szöget,
mégpedig egy pozitív szöget.
Elmondom, hogy megállapodás szerint mit nevezünk pozitív szögnek.
Az a szára, ahol a szög kezdődik, 
mindig az x tengely pozitív irányába mutat.
Úgy tekinthetsz erre, mint a kiindulási oldalra, itt kezdődik a szög.
Utána felrajzoljuk a pozitív szög másik szárát, 
ahol végződik a szög.
Az óramutató járásával ellentétes irányban fogunk haladni.
Tehát a pozitív szög azt jelenti, hogy
az óramutató járásával ellentétes irányban haladunk.
Ez csak egy megállapodás, amely általánosan elterjedt, és én is ezt fogom használni.
Ez után elképzelheted, hogy negatív szög esetén
az óramutató járásával megegyező irányban haladnánk.
Hadd rajzoljak egy pozitív szöget!
Tehát a pozitív szög valami ilyesmi lehet.

Hungarian: 
Ez a szár a szög kezdete, és
az óramutató járásával ellentétes irányban felmérjük a szöget,
ez pedig a szög másik szára.
Ez egy pozitív théta szög.
Szeretném, ha erről a pontról,
a  másik szögszár és az egységkör metszéspontjáról gondolkodnánk,
s megmondanánk, mik az (a; b) koordinátái.
A metszéspont x koordinátája 'a',
y koordinátája b.
Amit most csinálok, azért fontos,
mert majd látni fogjuk, hogy az egységkör segítségével
kiterjeszthetjük a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióit.
Egy olyan derékszögű háromszöget akarok rajzolni,
amelynek az egyik szöge théta.
Tehát théta legyen benne egy derékszögű háromszögben.
Hadd rajzoljak ide egy merőlegest!
Tehát ez itt 90 fokos szög,
így théta ennek a derékszögű  háromszögnek az egyik szöge.

Thai: 
มุมเป็นบวก จะเป็น, แบบนี้ (นี่เป็นด้านเริ่มต้น)
แล้วจากนั้น ผมก็ไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา กระทั่งผมวาดมุม...
นี่คือด้านจบ
นี่คือมุมบวก - "ทีต้า"
และสิ่งที่ผมอยากทำ คือ ตรงจุดตัดนี้
ระหว่างด้านจบของมุมนี้กับวงกลมหน่วยของผม
สมมุติว่ามันมีพิกัดเป็น (a,b)
ค่า x (ตรงจุดตัด) คือ "a", ค่าอ y (ตรงจุดตัด) คือ "b"
ผมจะ, ประเด็นที่ผมทำตรงนี้คือ
ผมอยากเห็นว่าวงกลมหน่วยจะช่วยเราขยายนิยามของฟังก์ชันตรีโกณฯ เดิมได้อย่างไร
งั้นสิ่งที่ผมจะทำคือ.. ผมอยากให้ "ทีต้า" เป็นส่วนหนึ่งของ "สามเหลี่ยมมุมฉาก"
ให้มันเป็นส่วนหนึ่งของ "สามเหลี่ยมมุมฉาก" ขอผมวาดความสูง...
นี่ตรงนี้, ทำให้ชัดว่า -
นี่คือมุม 90 องศา
"ทีต้า" นี่เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉาก

Bulgarian: 
Може да изглежда така.
Това е първото му рамо.
После отивам в посока, обратна на 
часовниковата стрелка,
докато измеря ъгъла си.
Това е второто рамо.
Така, това е положителен ъгъл 'тита'.
Сега да помислим за тази пресечна точка –
на второто рамо на ъгъла 
с единичната окръжност.
Да кажем, че тя има координати (a;b).
Стойността на х при пресечната точка 
е 'а',
а стойността на у при пресечната точка 
е 'b'.
Правя всичко това, за да видя как
единичната окръжност може ни помогне
да обогатим традиционните определения 
на тригонометричните функции.
Сега искам да направя този ъгъл тита 
част от правоъгълен триъгълник.
За да го направя, ще спусна
височина ето тук –
така че този ъгъл е 90 градуса.
Така ъгъл тита е част от 
правоъгълен триъгълник.

Czech: 
Kladný směr by mohl vypadat nějak takto.
Tady je jeho počáteční rameno.
Odtud jdu proti směru hodinových ručiček,
dokud nenaměřím potřebný úhel.
A tady je koncové rameno.
Máme úhel v kladném směru, θ (theta).
Zamysleme se nad tímto průsečíkem
koncového ramena s jednotkovou kružnicí.
Řekněme, že má souřadnice [a,b].
"a" značí hodnotu "x"
a "b" vyjadřuje hodnotu "y".
Účelem je pomocí jednotkové kružnice
zlepšit znalosti trigonometrických funkcí.
K tomu potřebujeme, aby byl náš úhel θ
součástí pravoúhlého trojúhelníku.
Toho docílíme tak,
že si tady dokreslíme výšku.
A aby bylo jasné, že jde o pravý úhel,
označím si ho.
θ je součástí tohoto trojúhelníku.

Spanish: 
Este es el lado inicial
Y de ahí, voy en dirección contraria a las manecillas del reloj
hasta medir el ángulo
Y este es el lado final.
Así que éste es un ángulo positivo theta.
Quiero pensar en este punto como
la intersección entre el lado final
del ángulo y mi círculo unitario.
Diremos que tiene las coordenadas a,b
El valor de x es a
El valor de y es b
El objetivo de todo esto
es usar este círculo unitario
para entender las definiciones tradicionales de las funciones
trigonométricas.
Ahora lo que quiero hacer
es hacer theta parte de un triángulo rectángulo.
Para hacerlo parte de un tríangulo rectángulo,
dibujaré una línea vertical aquí.
Dejaré claro que este ángulo es de 90 grados.
Así que esta theta es parte de este triángulo.

Portuguese: 
Um ângulo positivo seria mais ou menos assim. Esse é o lado inicial
e de lá eu vou sentido anti-horário até que eu tenha o ângulo.
E esse é o lado final.
Então esse é um ângulo positivo "theta".

Korean: 
여기가 출발선입니다
이 선에서 시작해 반시계
방향으로 돌면서 도착선까지의
각을 재면 됩니다
여기가 도착선입니다
이 각의 크기를 양수 θ라 합시다
이제 각과 단위원의
교점에 대해서 생각해
보도록 하겠습니다
이 교점의 좌표를 (a,b)라 하겠습니다
교점의 x좌표가 a가 되고
y좌표가 b가 되는 것입니다
오늘 강의에서는 이 단위원을
이용하여 기존의 삼각함수의
정의를 확장해 보려 합니다
정의를 확장해 보려 합니다
이를 위해서 이 θ가
직각삼각형의 일부가
되도록 만들어 보겠습니다
그러기 위해 우선 이 점에서
수직선을 하나 긋겠습니다
우선 이 각이 90º라는
것을 표시하겠습니다
이제 θ는 직각삼각형의 일부입니다

English: 
This is the initial side.
And then from that, I go in
a counterclockwise direction
until I measure out the angle.
And then this is
the terminal side.
So this is a
positive angle theta.
And what I want to do is
think about this point
of intersection
between the terminal
side of this angle
and my unit circle.
And let's just say it has
the coordinates a comma b.
The x value where
it intersects is a.
The y value where
it intersects is b.
And the whole point
of what I'm doing here
is I'm going to see how
this unit circle might
be able to help us extend our
traditional definitions of trig
functions.
And so what I want
to do is I want
to make this theta part
of a right triangle.
So to make it part
of a right triangle,
let me drop an altitude
right over here.
And let me make it clear that
this is a 90-degree angle.
So this theta is part
of this right triangle.

English: 
So let's see what
we can figure out
about the sides of
this right triangle.
So the first question
I have to ask
you is, what is the
length of the hypotenuse
of this right triangle that
I have just constructed?
Well, this hypotenuse is just
a radius of a unit circle.
The unit circle
has a radius of 1.
So the hypotenuse has length 1.
Now, what is the length of
this blue side right over here?
You could view this as the
opposite side to the angle.
Well, this height is
the exact same thing
as the y-coordinate of
this point of intersection.
So this height right over here
is going to be equal to b.
The y-coordinate
right over here is b.
This height is equal to b.
Now, exact same logic--
what is the length
of this base going to be?
The base just of
the right triangle?

Czech: 
Podívejme se, co se dá zjistit o stranách
našeho pravoúhlého trojúhelníku.
Nejprve se vás chci zeptat
na délku jeho přepony.
Je to poloměr jednotkové kružnice.
A ten se rovná 1.
Délka přepony je tedy 1.
Jaká je délka této modré strany?
Jinak o ní můžeme uvažovat
jako o protilehlé straně k úhlu θ.
Velikost výšky je stejná jako
hodnota y-ové souřadnice průsečíku [a,b].
Tato výška se bude rovnat "b".
Y-ová souřadnice je vyjádřena "b",
i výška rovná "b".
Teď použijeme stejný postup ke zjištění
základny trojúhelníku.

Spanish: 
Veámos que podemos obtener
sobre los lados de este triángulo.
La primera pregunta que tengo
es, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa
del triángulo que acabo de construir?
Bueno, la hipotenusa es el radio del círculo unitario.
El círculo unitario tiene un radio de 1.
Así que la hipotenusa tiene longitud 1.
Ahora, ¿cuál es la longitud del lado azul?
Podemos ver este lado como el lado opuesto al ángulo.
Bueno, esa altura es exactamente
la coordenada y de este punto
Así que la altura es igual a b.
La coordenada y es b.
La altura es b.
Ahora, usando la misma lógica, ¿cuál es la longitud
de la base?
¿de la base del triángulo?

Thai: 
ทีนี้ ลองดูว่าเราจะหาด้านของ "สามเหลี่มมุมฉาก" นี่ได้ไหม
คำถามแรกที่ผมถามคุณคือว่า -
ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ของ "สามเหลี่ยมมุมฉาก" ที่ผมเพิ่งสร้าง) เป็นเท่าไหร่?
ด้านตรงข้ามมุมฉากนี่ก็แค่รัศมีของวงกลมหน่วย!
วงกลมหน่วยมีรัศมียาวหนึ่ง
ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากยาวหนึ่ง!
ทีนี้ความยาวของด้านสีฟ้านี่ตรงนี้ล่ะ?
ด้านสีฟ้าซึ่งคุณอาจมองเป็นด้านตรงข้ามมุม...
ความสูงนี่ก็เหมือนกับพิกัด y ของจุดตัด
ความยาวนี่ตรงนี้จะเท่ากับ "b"
(พิกัด y ตรงนี้คือ "b" ความสูงนี่คือ "b")
ทีนี้, ด้วยตรรกะเดียวกัน: ความยาวของฐานเป็นเท่าไหร่?
ฐานเป็นอะไรของ "สามเหลี่ยมมุมฉาก"?

Bulgarian: 
Да видим какво можем да открием
за страните на този 
правоъгълен триъгълник.
Първият ми въпрос към теб е:
"Каква е дължината на хипотенузата 
в нашия правоъгълен триъгълник?"
Хипотенузата е просто радиус 
в единичната окръжност.
Единичната окръжност има радиус 1.
Следователно хипотенузата има дължина 1.
А каква е дължината на тази синя страна 
ето тук?
Можем да я разглеждаме като 
срещулежаща страна за този ъгъл.
Тази дължина е същата като координатата у 
на тази пресечна точка.
Следователно тази дължина ще е 
равна на b –
координатата у тук е b, тази дължина е b.
И по същата логика, каква ще е дължината 
на основата на правоъгълния триъгълник?

Hungarian: 
Nézzük,  hogy mit tudunk ennek a derékszögű háromszögnek az oldalairól!
Az első kérdés, amit fel kell tennem, 
hogy milyen hosszú az átfogója
ennek derékszögű háromszögnek, amit éppen most rajzoltam.
Az átfogó éppen az egységkör sugara,
az egységkör sugara 1 egység,
tehát az átfogó hossza 1.
Milyen hosszú itt ez a kék oldal?
Ez a szöggel szemközti befogó.
Ez a merőleges szakasz éppen akkora, mint a metszéspont y koordinátája.
Tehát ez a merőleges b-vel egyenlő,
az y koordináta b,
ez oldal is egyenlő  b-vel.
Ugyanezzel a logikával, milyen hosszú ez a szakasz,
a derékszögű háromszögnek a másik befogója?

Korean: 
이제 삼각형의 변을 이용해
알아낼 수 있는 정보를 파악해 봅시다
우선 방금 만든 삼각형의
빗변의 길이가 얼마인지에 대해
생각해 보도록 합시다
사실 빗변의 길이는 원의
반지름의 길이와 같습니다
단위원은 반지름이 1이므로
빗변 역시 길이가 1일 것입니다
이번에는 파란색 변의 길이에
대해 생각해 봅시다
이 변은 θ의 반대편에 있는 변입니다
이 변의 길이는 조금 전 언급한
교점의 y좌표의 값과 같습니다
그러므로 이 변의 길이는 b입니다
이 점의 y좌표값이 b이기 때문에
삼각형의 높이도 b인 것입니다
이 논리를 응용해 봅시다
삼각형의 밑변의 길이는 얼마일까요?
주어진 삼각형의 밑변의 길이를

Czech: 
Bude se rovnat hodnotě
x-ové souřadnice průsečíku [a,b].
Tady najdeme bod x rovná se "a".
Vzdálenost mezi počátkem
a tímto bodem je délka "a".
To bychom měli.
Čemu se bude rovnat kosinus našeho úhlu
s použitím "a" a "b"?
K tomu potřebujeme
definice goniometrických funkcí.
Nic víc než jejich definice zatím neznáme.
Brzy ale své znalosti rozšíříme.
Pro kosinus úhlu platí, že ho vypočítáme
jako přilehlá strana lomeno přepona.
Takže kolik to bude?
K tomuto úhlu je přilehlá strana "a".

Hungarian: 
Ez a metszéspont x koordinátája.
Ha levetítjük az x tengelyre, a pont x koordinátája 'a',
vagyis ez a távolság 'a'.
Most, hogy megvannak az oldalak,
mennyi a koszinusz – hadd használjam ugyanazt a zöldet –
mi a szög koszinusza  'a'-val és b-vel kifejezve,
ahol ezek bármilyen számot jelenthetnek.
Ahhoz,  hogy ezt átgondoljuk,
szükségünk lesz a  szisza-koma-taszem definíciónkra.
Egyelőre ezt tudjuk.
Valójában éppen ezt fogjuk kiterjeszteni –  a szögfüggvények  szisza-koma-taszem  definícióját.
A koma rész segít a koszinuszban.
Azt mondja, hogy a szög koszinusza
a szög melletti befogó ás az átfogó  hányadosa.
Mi lesz ez?
A szög melletti befogó, 
ennek a szögnek a szomszédos oldala 'a',

Bulgarian: 
Това ще е координатата х 
на тази пресечна точка
или това ще е с дължина 'а'.
Дължината между началото на координатната 
система и тази точка ще е 'а'.
Готови сме с това.
И сега, какъв е косинусът на нашия ъгъл,
като използваме а, b и всякакви други числа, 
които може да се появят.
За да си го представим, ни трябват 
дефинициите на тригонометричните фунцкии.
Само с тях разполагаме в момента
и всъщност се опитваме да ги разширим.
На английски дефинициите на 
тригонометричните функции са 'soh-cah-toa',
Частта 'cah' е тази, 
която ни помага с косинусите.
Тя ни казва, че косинусът на ъгъл (c от cah)
е равен на
дължината на прилежащата страна (а от cah) 
върху хипотенузата (h от cah).
Какво се получава?
За този триъгълник дължината на 
прилежащия катет е а,

Spanish: 
Bueno, es la coordenada x
del punto de intersección.
Si bajamos esta línea,
el punto x es igual a a.
La distancia entre el origen y el punto es de longitud a.
Ahora que hemos establecido esto,
¿cuál es el coseno (usaré el mismo verde)
del ángulo en función de a y b?
y cualquier otro número que aparezca
Bueno, si lo piensan, sólo necesitamos
la definición sohcahtoa
Es la única que tenemos ahora.
Estamos en el proceso de extenderla -- soh cah toa
la definición de las funciones trigonométricas.
Y la parte cah es la que nos ayuda con el coseno.
Nos dice que el coseno del ángulo
es igual a la longitud del lado adyacente
sobre la hipotenusa.
¿Cuánto será?
La longitud del lado adyacente
para este ángulo, es a.

English: 
Well, this is going
to be the x-coordinate
of this point of intersection.
If you were to drop
this down, this
is the point x is equal to a.
Or this whole length between the
origin and that is of length a.
Now that we have
set that up, what
is the cosine-- let me
use the same green-- what
is the cosine of my angle going
to be in terms of a's and b's
and any other numbers
that might show up?
Well, to think
about that, we just
need our soh cah toa definition.
That's the only one we have now.
We are actually in the process
of extending it-- soh cah toa
definition of trig functions.
And the cah part is what
helps us with cosine.
It tells us that the
cosine of an angle
is equal to the length
of the adjacent side
over the hypotenuse.
So what's this going to be?
The length of the
adjacent side--
for this angle, the
adjacent side has length a.

Korean: 
구하기 위해서는 교점의 x좌표의
값을 확인하면 됩니다
이 점에서 수선을 내리면
x값이 a인 x축 위의 점이 됩니다
즉 원점과 수선의 발 사이의
거리가 a라는 의미입니다
이제 길이 표시가 끝났습니다
이제 주어진 각의 코사인 값을
a와 b, 그리고 상수만으로
나타내어 봅시다
우선 저번 강의에서 배웠던
삼각함수의 정의를 떠올려 봅시다
아직 우리가 아는 것은
그것 뿐이니 말입니다
이 정의를 통해 기존의 삼각함수의
정의를 확장시켜 보겠습니다
우선 코사인의 정의를 떠올려 봅시다
코사인은 각과 인접한 변의 길이를
빗변의 길이로 나눈 값을
의미했습니다
그 값은 얼마인가요?
주어진 각에 인접한 변의
길이는 a였습니다

Thai: 
นี่จะเป็นพิกัด x ของจุดตัดนี้
และหากคุณปล่อยนี่ลงมา... นี่คือจุด x เท่ากับ "a"
หรือความยาวทั้งหมดระหว่างจุดกำเนิดกับจุดนั้น, เท่ากับ "a"
ทีนี้เราได้สร้างทุกอย่างแล้ว -
โคไซน์ของมุมผมจะเป็นเท่าไหร่? (ในเทอมของ a กับ b และเลขอื่น ๆ ที่ปรากฏ)
มื่อคิดดู เราต้องใช้นิยาม "SOH CAH TOA"
นั่นคือสิ่งที่เรามีตอนนี้ (เราจะขยายมันต่อไป)
... นิยาม "SOH CAH TOA" ของฟังก์ชันตรีโกณ ฯ...
ส่วน "CAH" บอกเราถึงโคไซน์ มันบอกเรา...
ว่าโคไซน์ของมุม เท่ากับความยาวของด้านประชิด ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
นี่จะเป็นเท่าไหร่?
ความยาวด้านประชิด, สำหรับมุมนี้... ด้านประชิดยาว "a"

English: 
So it's going to be
equal to a over-- what's
the length of the hypotenuse?
Well, that's just 1.
So the cosine of theta
is just equal to a.
Let me write this down again.
So the cosine of theta
is just equal to a.
It's equal to the x-coordinate
of where this terminal
side of the angle
intersected the unit circle.
Now let's think about
the sine of theta.
And I'm going to do it in-- let
me see-- I'll do it in orange.
So what's the sine
of theta going to be?
Well, we just have to look at
the soh part of our soh cah toa
definition.
It tells us that sine is
opposite over hypotenuse.
Well, the opposite
side here has length b.
And the hypotenuse has length 1.
So our sine of
theta is equal to b.
So an interesting
thing-- this coordinate,

Hungarian: 
így ennek az átfogóval való hányadosa lesz a koszinusz,
Az éppen 1 egység.
Tehát a théta szög koszinusza
pontosan megegyezik 'a'-val.
Hadd írjam le újra!
Tehát a théta koszinusza
éppen egyenlő 'a'-val,
annak a pontnak az x koordinátájával,
ahol a szög szára metszi az egységkört.
Most gondolkodjunk el a théta szög szinuszán!
Ezt – hadd lássam – narancssárgával fogom csinálni.
Mi lesz a théta szög szinusza?
Nézzük meg a  szisza-koma-taszem definíciók szisza részét!
Azt mondja nekünk, hogy a szinusz
a szöggel szemközti befogó per az átfogó.
A szemközti befogó b hosszúságú,
az átfogó hossza 1,
tehát a szinusz théta egyenlő b-vel.
Érdekes dolog – ennek a pontnak a koordinátái,

Czech: 
Bude se to tedy rovnat "a" děleno...
Jaká je délka přepony?
No přece 1...
Kosinus θ se tedy rovná jen "a"...
Napíšu si to...
Kosinus θ se rovná "a".
Je roven x-ové souřadnici bodu,
kde se koncové rameno úhlu
protíná s jednotkovou kružnicí.
Zamysleme se nad sinem θ.
Ten udělám... Oranžově.
Čemu se bude rovnat sinus θ?
Podle definice ho vypočítáme
jako protihlehlá strana lomeno přepona.
Protilehlá strana má délku "b",
délka přepony je 1.
Sinus θ se tedy rovná "b".

Bulgarian: 
следователно косинус от тита 
е равен на а върху –
колко е дължината на хипотенузата?
Тя е просто 1.
Тогава косинус от тита е равен на а.
Нека запиша това отново.
Косинус от тита е равен на а.
Равен е на тази координата х,
където второто рамо на ъгъла
се пресича с единичната окръжност.
Нека помислим за синус от тита.
Ще направя това в оранжев цвят.
Така, какъв ще е синусът на тита?
Просто трябва да погледнем частта 'soh' 
от нашето 'soh-cah-toa'.
Tя ни казва на какво е равен синусът (s) – 
на срещулежащия катет (о) към хипотенузата (h).
Тук срещулежащият катет е b, 
а хипотенузата е с дължина 1.
Следователно синус от тита е равно на b.
Интересно! Това е точката, в която 
второто рамо на ъгъла

Korean: 
이제 빗변의 길이로 나눠야 합니다
빗변의 길이는 얼마였나요?
1이었습니다
그러므로 θ의 코사인값은 a입니다
이를 다시 적어보겠습니다
cosθ의 값은 a입니다
이는 각이 단위원과 만나는
교점의 x좌표 값이었습니다
이제 θ의 사인값을 구해봅시다
이번에는 주황색으로 해보겠습니다
sinθ는 얼마인가요?
우선 사인의 정의에 대해 다시
떠올려 봅시다
사인은 각의 반대쪽 변 길이를
빗변 길이로 나눈 것이었습니다
각의 반대편 변 길이는 b였습니다
그리고 빗변의 길이는 1이었습니다
그러므로 sinθ는 b입니다
즉, 주어진 각과 단위원이

Thai: 
มันจะเท่ากับ "a" ส่วน...
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากล่ะ?
นั่นก็แค่หนึ่ง...
ดังนั้นโคไซน์ของ "ทีต้า" ก็แค่ "a"
... ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ...
โคไซน์ของ "ทีต้า"... เท่ากับ "a"...
มันเท่ากับพิกัด x ของด้านจบมุมนี้ ตัดกับวงกลมหน่วย
ทีนี้ลองคิดถึงไซน์ของ "ทีต้า" กันบ้าง
... ผมจะใช้ (ขอดูหน่อย)... ผมจะใช้สีส้มแล้วกัน!
ไซน์ของ "ทีต้า" จะเป็นเท่าไหร่?
เราก็ดูที่ ส่วน "SOH" ของนิยาม "SOH CAH TOA"
มันบอกเราว่าไซน์คือ: ตรงข้าม, ส่วน ฉาก
ด้านตรงข้ามตรงนี้ยาว "b" และด้านตรงข้ามมุมฉากยาวหนึ่ง...
ดังนั้นไซน์ของ "ทีต้า" เท่ากับ "b"

Spanish: 
Así que será igual a a sobre -- ¿cuál
es la longitud de la hipotenusa?
Bueno, es 1.
Así que el coseno de theta es igual a a.
Déjenme escribir esto de nuevo.
Así que el coseno de theta es igual a a.
Es igual a la coordenada x del lado
final del ángulo que intersecta el círculo unitario.
Ahora pensemos en el seno de theta
Lo haré en naranja.
¿Cuánto será el seno de theta?
Bueno, tenemos que ver la parte soh de nuestra definición "soh cah toa"
 
Dice que el seno es el lado opuesto sobre la hipotenusa.
Bueno, el lado opuesto tiene longitud b.
Y la hipotenusa longitud 1
Así que el seno de theta es igual a b.
Una cosa interesante, esta coordenada,

Hungarian: 
ahol a másik szögszár metszi az egységkört
(a; b) –, ezt úgy is tekinthetjük, hogy
'a' ugyanaz, mint a théta szög koszinusza,
és b ugyanaz, mint a théta szög szinusza.
Ez érdekes,
csak a szisza-koma-teszem definíciót használtuk.
Kiterjeszthetjük-e a sziasza-koma-taszem definíciót valahogyan?
Mert a szisza-koma-taszem definícióval
van egy probléma.
Akkor működik, ha a szögünk nagyobb, mint 0 fok,
és 90 foknál kisebb.
Ezt mindig ki tudjuk egészíteni derékszögű háromszögre.
De a szisza-koma-taszem nem működik,
ha a szög nulla, negatív, 90° vagy még nagyobb,
a derékszögű háromszögnek nem lehet
két 90 fokos szöge,
a definíció már nem működik.
Hadd világítsam ezt meg!
Biztos, hogy ez
egy derékszögű háromszög, a szög elég nagy.
Tudok még nagyobb szöget rajzolni és még

Spanish: 
este punto donde el lado final del ángulo
intersecta el círculo unitario,
el punto (a,b) lo podemos ver como
a = coseno de theta
 
Y b como seno de theta
Bueno, eso es interesante.
Hemos usado nuestro soh cah toa
Ahora, podemos usar esto para extender nuestro soh cah toa?
Porque el soh cah toa tiene un problema.
Funciona bien si el ángulo es mayor a 0 grados
y si es
menor a 90 grados.
Siempre podemos hacerlo parte de un triángulo rectángulo.
Pero soh cah toa deja de funcionar
si el ángulo es 0 o si se vuelve negativo,
o si el ángulo es mayor a 90 grados.
No puedes tener un triángulo rectángulo con dos ángulos de 90 grados.
en él.
Empieza a fallar.
Dejaré esto claro.
Este es un triángulo rectángulo,
con un ángulo grande.
puedo hacer el ángulo aún más grande y aún así

Bulgarian: 
пресича единичната окръжност.
Можем да разгледаме това и така –
'а' е същото като косинус от тита,
а 'b' е същото като синус от тита.
Това е интересно, току-що използвахме 
дефинициите на тригонометричните функции.
Сега можем ли някак да използваме това, 
за да разширим 'soh-cah-toa'?
Защото 'soh-cah-toa' има един проблем.
Работи чудесно при ъгъл по-голям от 
0 градуса и по-малък от 90 градуса,
тъй като винаги можем да го направим 
част от правоъгълен триъгълник.
Но определението 'soh-cah-toa' не работи, 
когато ъгълът ни е 0, или отрицателен,
или когато е по-голям или равен 
на 90 градуса.
Няма правоъгълен триъгълник 
с два ъгъла от по 90 градуса в него.
Определението ни спира да работи. 
Нека изясня.
Това е правоъгълен триъгълник, 
значи този ъгъл тук е доста голям.

Korean: 
만나서 생기는 점의 좌표인
(a,b)는 사실
삼각함수로도 나타낼 수 있습니다
a는 cosθ와 같으며
a는 cosθ와 같으며
b는 sinθ입니다
단순히 삼각함수의 정의를
조금 응용했을 뿐인데
매우 흥미로운 결과를 얻었습니다
이제 삼각함수의 정의를 확장해 봅시다
기존의 정의에는 문제가
있기 때문입니다
주어진 각도가 0º보다 크고
90º보다 작으면
항상 직각삼각형의 일부로
생각할 수 있었으므로
문제가 없었습니다
하지만 주어진 각도가
0º 이하의 값을 가지거나
90º 이상의 각을 가지면
문제가 생깁니다
두 내각이 90º인 직각삼각형은
불가능하기 때문입니다
즉 더이상 기존의 정의를
쓸 수 없게 됩니다
즉 더이상 기존의 정의를
쓸 수 없게 됩니다
다시 한 번 정리해 보겠습니다
이것은 직각삼각형입니다
이 각은 좀 큰 편입니다
하지만 이 각이 더 커져도
직각삼각형을 그리는 데는

Thai: 
นั่นน่าสนใจทีเดียว! จุดนี้ตรงที่ด้านจบของมุมตัดกับวงกลมหน่วย ณ จุด (a,b)
เราอาจมองนี่เป็น...
"a" ก็เหมือนกับ โคไซน์ของ "ทีต้า"
และ "b" ก็เหมือนกับ "ทีต้า"
นั่นน่าสนใจ, เราใช้นิยาม "SOH CAH TOA"
แล้ว, ทีนี้เราจะใช้นี่ขยายผลจาก "SOH CAH TOA" ได้ไหม?
เพราะ "SOH CAH TOA" มีปัญหาอยู่...
มันใช้ได้ตราบใดที่มุมเรามากกว่าศูนย์องศา (หากเราใช้หน่วยองศา)
และน้อยกว่า 90 องศา เราสามารถทำมันให้เป็นส่วนหนึ่งของ "สามเหลี่ยมมุมฉาก"
แต่ "SOH CAH TOA" เริ่มใช้ไม่ได้ เมื่อมุมเป็นศูนย์ หรือแม้กระทั่งเป็นลบ
หรือมุมเราเป็น 90 องศา หรือมากกว่า
คุณไม่สามารถสร้าง "สามเหลี่ยมมุมฉาก" ที่มีมุม 90 องศาสองมุมได้!
มันเริ่มใช้ไม่ได้... ขอผมพูดให้ชัดหน่อย...
แน่นอน! นี่คือ "สามเหลี่ยมมุมฉาก", มุมนี้ใหญ๋ -

English: 
this point where our
terminal side of our angle
intersected the
unit circle, that
point a, b-- we could
also view this as a
is the same thing
as cosine of theta.
And b is the same
thing as sine of theta.
Well, that's interesting.
We just used our soh
cah toa definition.
Now, can we in some way use
this to extend soh cah toa?
Because soh cah
toa has a problem.
It works out fine if our angle
is greater than 0 degrees,
if we're dealing with
degrees, and if it's
less than 90 degrees.
We can always make it
part of a right triangle.
But soh cah toa
starts to break down
as our angle is either 0 or
maybe even becomes negative,
or as our angle is
90 degrees or more.
You can't have a right triangle
with two 90-degree angles
in it.
It starts to break down.
Let me make this clear.
So sure, this is
a right triangle,
so the angle is pretty large.
I can make the angle even
larger and still have

Czech: 
Zajímavé je, že bod [a,b], kde se protíná
koncové rameno s jednotkovou kružnicí,
můžeme vyjádřit jako...
"a" je to samé jako kosinus θ
a "b" je to samé jako sinus θ.
To je zajímavé, ke zjištění nám
stačily definice goniometrických funkcí.
Teď, můžeme to nějakým způsobem použít?
Protože je v těchto definicích háček.
Fungují v případě, že máme
úhel větší než 0°
a menší než 90°. Pak bude úhel
v našem pravoúhlém trojúhelníku.
Definice se hroutí,
jakmile se náš úhel rovná 0,
je v záporném směru,
nebo má více než 90°.
Nemůžete mít pravoúhlý trojúhelník
se dvěma 90° úhly.
Přestává to fungovat...
Trochu si to vyjasníme.
Tady máme pravoúhlý trojúhelník.
Tento úhel je poměrně velký.

Korean: 
문제가 없습니다
각을 더 증가시킬 순 있지만
이 각이 절대 90º가 될 순 없습니다
이 각이 90º가 되면 더 이상
직각삼각형이 생기지 않습니다
즉 삼각함수를 정의할 수 없습니다
각이 90º보다 큰 경우도
마찬가지입니다
이번에는 단위원 그림을 통해
이 문제점을 해결해 봅시다
삼각함수의 기존 정의를 확장시켜
새로운 정의를 만들되 기존 정의에
위배되지 않게 하는 것입니다
지금까지 코사인은
직각삼각형에서 밑변의 길이를
빗변 길이로 나눈 것으로 정의했습니다
사인은 각 대변을 빗변으로
나눈 것이었습니다
탄젠트는 대변을 밑변으로
나눈 것이었습니다
하지만 임의의 각이 주어졌을 때
그 각을 방금 전 규칙에
맞게 단위원 위에
그린다면 어떨까요?
그 후에 주어진 각의 코사인 값은
각과 단위원의
교점의 x좌표값으로 정의하면

Czech: 
Můžu ho ještě zvětšit
a stále mít pravoúhlý trojúhelník.
Dokonce ještě víc...
Ale nemůžu jít až na 90°.
Tam už není zřejmé,
že jde o pravoúhlý trojúhelník.
Zdá se,
že definice selhávají.
Hlavně v případě,
kdy jdeme až za 90°.
Podívejme se, jestli to můžeme použít
k vytvoření nových definic.
Ve skutečnosti jde jen o rozšíření
těch původních. Jsou s nimi v souladu.
Místo definic typu
"Když máme pravoúhlý trojúhelník,
kosinus je přilehlá strana ku přeponě,
sinus je protilehlá strana ku přeponě
a tangens je protilehlá strana
ku přilehlé",
proč jen neřekneme, že jakýkoliv úhel
můžu vepsat do jednotkové kružnice
na základě tohoto pravidla,
kosinus toho úhlu je pak
roven x-ové souřadnici

Bulgarian: 
Мога да направя ъгълa още по-голям 
и пак е правоъгълен триъгълник.
И дори още по-голям, но никога не мога 
да стигна до 90 градуса.
При 90 градуса вече нямам правоъгълен 
триъгълник и всичко се разпада.
Какво става, когато имам ъгъл, 
по-голям от 90 градуса?
Да видим дали можем да използваме това, 
което открихме преди малко.
Нека съставим ново определение 
за тригонометричните функции,
което ще е разширение на 'soh-cah-toa' 
и ще използва същата логика.
Вместо да дефинираме косинус като
прилежащ катет към хипотенуза
в правоъгълен триъгълник;
синус като срещулежащ към хипотенуза, а
тангенс като срещулежащ към прилежащ,
защо просто не кажа:
"Мога да начертая всеки ъгъл 
в единичната окръжност,
като използвам това условие, 
което току-що създадох."
Тогава косинусът на този ъгъл ще е равен 
на координатата х на пресечната точка,

English: 
a right triangle.
Even larger-- but I can never
get quite to 90 degrees.
At 90 degrees, it's
not clear that I
have a right triangle any more.
It all seems to break down.
And especially the
case, what happens
when I go beyond 90 degrees.
So let's see if we can
use what we said up here.
Let's set up a new definition
of our trig functions
which is really an
extension of soh cah toa
and is consistent
with soh cah toa.
Instead of defining cosine as
if I have a right triangle,
and saying, OK, it's the
adjacent over the hypotenuse.
Sine is the opposite
over the hypotenuse.
Tangent is opposite
over adjacent.
Why don't I just
say, for any angle,
I can draw it in the unit circle
using this convention that I
just set up?
And let's just say that
the cosine of our angle
is equal to the x-coordinate
where we intersect,
where the terminal
side of our angle

Thai: 
ผมทำให้ใหญ่กว่านี้และยังเป็น "สามเหลี่ยมมุมฉาก" ได้
หรือใหญกว่านี้ก็ได้ - แต่ผมทำให้เป็น 90 องศาไม่ได้!
หรือที่ 90 องศา, มันไม่ชัดว่าผมมี "สามเหลี่ยมมุมฉาก" อีกต่อไป, มันดูเหมือนจะใช้ไม่ได้แล้ว...
โดยเฉพาะกรณีที่ - เกิดอะไรขึ้นถ้าผมใช้มุมเกิน 90 องศา..ง
ลองดูว่าเราจะใช้สิ่งที่เราพูดถึงบนนี้ได้ไหม
ลองตั้งนิยามฟังก์ชันตรีโกณฯ ใหม่กัน
ซึ่งเป็นการขยายนิยาม "SOH CAH TOA" มันยังตรงกับ "SOH CAH TOA"
แทนที่จะนิยาม โคไซน์ ว่า "โอ้ ถ้าผมมีสามเหลี่ยมมุมฉาก, มันคือ ด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก"
และบอกว่า "ไซน์คือ ข้ามส่วนฉาก, แทนเจนต์ คือ ข้ามส่วนชิด"
ทำไมผมไม่บอกอย่างนี้: สำหรับมุมใด ๆ, ผมวาดมุมในวงกลมหน่วยโดยใช้ข้อตกลงที่ผมตั้งขึ้นได้
แล้วบอกว่า, โคไซน์ของมุมนั้น เท่ากับพิกัด x ตรงจุดตัด

Spanish: 
tengo un triángulo rectángulo.
Incluso más grande, pero no puedo llegar a 90 grados.
a los 90 grados, no queda claro si
tengo un triángulo.
Parece que todo deja de funcionar.
Especialmente, ¿qué pasa
cuando voy más allá de 90 grados?
Veámos si puedo usar lo que he dicho.
Hagamos una nueva definición de nuestras funciones trigonométricas
que en realidad será una extensión de "soh cah toa"
y es consistente con "soh cah toa"
En lugar de definir coseno como si tuviera un triángulo rectángulo,
y decir, ok, es el adyacente sobre la hipotenusa.
seno es el opuesto sobre la hipotenusa.
tangente es el opuesto sobre adyacente
por qué no mejor decimos, para cualquier ángulo,
que podemos dibujarlo en el círculo unitario usando esta convención
que acabo de desarrollar?
Y sólo digamos que el coseno del ángulo
es igual a la coordenada x en donde intersecta,
en donde el lado final del ángulo

Hungarian: 
mindig kiegészíthető derékszögű háromszöggé.
Lehet még nagyobb, de nem érheti el a 90 fokot.
90 foknál nem lehet derékszögű háromszöggé  kiegészíteni.
Úgy tűnik, hogy már nem működik a definíció.
Mi történik abban az esetben, ha 90 fok fölé megyünk?
Tehát lássuk, tudjuk-e
használni azt, amit itt mondtunk.
Fogalmazzuk meg a szögfüggvények új definícióját,
ami valójában a szisza-koma-taszem
kiterjesztése, és összhangban van vele.
Ahelyett, hogy a koszinuszt úgy definiáljuk, hogy egy derékszögű háromszögben
a szög melletti  befogó per átfogó,
a szinusz a szemközti befogó per átfogó,
a tangens a szemközti befogó per a melletti befogó,
miért nem értelmezzük bármely szög szögfüggvényeit az egységkörben,
az előző megállapításunkat felhasználva?
Mondjuk azt, hogy a szögünk koszinusza
egyenlő annak a pontnak az x koordinátájával,

Korean: 
될 것입니다
이 새로운 정의를 적어두겠습니다
또한, sinθ값은 각과
단위원의 교점의 y좌표의
값으로 정하면 될 것입니다
그러므로 임의의 각에 대하여
각과 원의 교점은 cosθ와
sinθ를 결정하는 역할을 합니다
그럼 tanθ는 어떻게
정의해야 할까요?
탄젠트는 기존의 정의를 살펴봐도
단순히 sinθ를 cosθ로
나눔으로써 얻어짐을 알 수 있습니다
이 경우에는 교점의 y좌표값을
x좌표값으로 나누면 될 것입니다
다음 강의들은 단위원을 통해
삼각비를 정의하는 몇 가지

Hungarian: 
ahol a szög szára az egységkört metszi.
És miért nem definiáljuk úgy a théta szinuszát úgy,
hogy az egyenlő annak a pontnak az y koordinátájával,
ahol a szög szára metszi az egységkört?
Tehát lényegében bármilyen szög esetén ez a pont fogja meghatározni
a théta szinuszát és koszinuszát.
S mi lenne a logikus definíciója a tangens thétának?
A tangens théta – még a szisza-koma-taszem definícióval is –
meghatározható lenne,
mint a szinusz théta per koszinusz théta,
ami a mi esetünkben a metszéspont y koordinátája per az x koordináta.
A következő néhány videóban megmutatok néhány példát,

Czech: 
průsečíku jeho koncového ramena
s jednotkovou kružnicí.
X-ová souřadnice bodu,
kde se koncové rameno úhlu
protíná s jednotkovou kružnicí.
Sinus θ se pak rovná y-ové souřadnici
průsečíku koncového ramena
s jednotkovou kružnicí.
V podstatě pro jakýkoliv úhel platí,
že je jeho sinus a kosinus určen bodem.
Jak bychom mohli definovat tangens θ?
Původní definice
goniometrických funkcí nám říká,
že ho vypočítáme jako sinus ku kosinu.
V tomto případě to bude y-ová souřadnice
průsečíku s jednotkovou kružnicí
dělená jeho x-ovou souřadnicí.
V příštích videích si ukážeme
příklady využití jednotkové kružnice

Spanish: 
intersecta el círculo unitario.
 
Y por qué no definimos seno de theta
igual a la coordenada y donde el lado final
del ángulo intersecta el círculo unitario?
En resumen, para cualquier ángulo, este punto
va a definir el coseno y el seno de theta
Cuál será entonces la definición
de tangente de theta?
Bueno, tangente de theta, incluso con "soh cah toa"
puede definirse como seno de theta
sobre coseno de theta, que en este caso
será solo la coordenada y del punto de intersección
con el círculo unitario sobre la coordenada x.
En los siguiente videos, les mostraré algunos ejemplos.
en donde usamos la definición del círculo unitario para empezar

English: 
intersects the unit circle.
And why don't we
define sine of theta
to be equal to the
y-coordinate where the terminal
side of the angle
intersects the unit circle?
So essentially, for
any angle, this point
is going to define cosine
of theta and sine of theta.
And so what would be a
reasonable definition
for tangent of theta?
Well, tangent of theta--
even with soh cah toa--
could be defined
as sine of theta
over cosine of theta,
which in this case
is just going to be the
y-coordinate where we intersect
the unit circle over
the x-coordinate.
In the next few videos,
I'll show some examples
where we use the unit
circle definition to start

Thai: 
หรือตรงที่ด้านจบของมุมตัดกับวงกลมหน่วย
ผมจะเขียน... ตรงที่ด้านจบของมุมตัดกับวงกลมหน่วย...
แล้วทำไมเราไม่นิยามไซน์ของ "ทีต้า" ว่าเท่ากับพิกัด y
ตรงที่ด้านจบของมุม ตัดกับวงกลมหน่วย
ที่สุดแล้ว สำหรับมุมใด ๆ - จุดนี้จะนิยามโคไซน์ของไซน์ของทีต้า
แล้วนิยามที่เข้าท่าสำหรับแทนเจนต์ของทีต้าคืออะไร?
แทนเจนต์ของทีต้า (แม้กระทั่งใน SOH CAH TOA) สามารถนิยามว่า "ไซน์ของทีต้า ส่วนโคไซน์ของทีต้า"
ซึ่งในกรณีนี้จะเป็น พิกัด y, ตรงที่เราตัดกับวงกลมหน่วย, ส่วนพิกัด x

Bulgarian: 
където второто рамо на нашия ъгъл 
пресича единичната окръжност.
Ще го запиша: "където второто рамо на
ъгъла пресича единичната окръжност."
И нека дефинираме синус от тита 
като координатата у,
където второто рамо на ъгъла 
пресича единичната окръжност.
Следователно за всеки ъгъл – тази точка 
ще определи косинус и синус от тита.
А какво ще е добро определение 
за тангенс от тита?
Тангенс от тита, дори чрез 'soh-cah-toa',
може да се дефинира като 
"синус от тита върху косинус от тита".
Което в този случай ще бъде 
просто координатата у,
където пресичаме единичната окръжност, 
върху координатата х.
В следващите няколко видеа ще ти покажа
примери с единичната окръжност

Korean: 
예를 보여드리겠습니다
 

Bulgarian: 
и ще започнем да изчисляваме 
тригонометрични отношения.

Hungarian: 
ahol az egységkört használjuk fel 
néhány szögfüggvény meghatározásához.

Spanish: 
a evaluar algunas razones trigonométricas.
 

English: 
evaluating some trig ratios.

Czech: 
k výpočtu goniometrických funkcí.

Thai: 
ในวิดีโอต่อ ๆ ไป ผมจะยกตัวอย่างที่เราใช้นิยามวงกลมหน่วย หาอัตราส่วนตรีโกณฯ กัน...
