
Korean: 
비교판정법에 대한 기억을 되살려봅시다
비교판정법이 유용한 경우와
유용하지 않은 경우를 봅시다
다행히 우리는
 극한비교판정법도 알아볼 것입니다
극한비교판정법은 더 넓은 범주의
상황에서 쓰일 수 있습니다
우린 이미 이것을 본 적이 있습니다
무한급수 ∑1/(2^n+1)이 수렴한다는 것을
 어떻게 보일까요?
무한급수 ∑1/(2^n+1)이 수렴한다는 것을
 어떻게 보일까요?
각 항들은 모두 0보다 크거나 같습니다
우리는 대응되는 항들이
기존의 항들보다 큰
새로운 무한급수를 만들 수 있습니다
그리고 그 새로운 급수로는 보통
그리고 그 새로운 급수로는 보통
∑1/2^n을 쓸 것입니다
이것은 상대적으로 큽니다
정확히는 크거나 같다고 해야합니다
정확히는 크거나 같다고 해야합니다
다시 고쳐 쓰겠습니다

Thai: 
ลองทบทวน ลองทบทวนกัน
เรื่องการทดสอบเปรียบเทียบ 
ลองดูว่ามันใช้ได้ตอนไหน
และมันใช้ไม่ค่อยได้ตอนไหน แต่โชคดี
เราจะได้รู้จักการทดสอบเปรียบเทียบลิมิต
ซึ่งใช้ได้กับกรณีที่กว้างขวางกว่า
เราเห็นอันนี้ไปแล้ว เราอยากพิสูจน์
ว่าอนุกรมอนันต์จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์ของ
1 ส่วน 2 กำลัง n บวก 1 ลู่เข้า 
เราทำได้อย่างไร?
แต่ละเทอมมากกว่าเท่ากับ 0
และเราสร้างอนุกรมอีกตัวที่
แต่ละเทอมที่คู่กันมากกว่า
เทอมที่คู่กันแต่ละเทอมได้
และอนุกรมอื่นๆ ตัวที่น่าจะเห็น
ที่น่าจะเห็นได้ทันที
คือ 1 ส่วน 2 กำลัง n, 1 ส่วน 2 กำลัง n
มากกว่า มากกว่า ที่เรา
ต้องบอกจริงๆ คือว่ามากกว่าเท่ากับ แต่
เราบอกได้โดยตรงว่า มันคือ โอ้
ผมจะเขียนว่ามันมากกว่าเท่ากับ

English: 
- Let's remind ourselves,
give ourselves a review
of the Comparison Test,
see where it can be useful,
and maybe see where it might
not be so useful, but luckily
we'll also see the Limit Comparison Test,
which can be applicable in a
broader category of situations.
So we've already seen
this, we want to prove
that the infinite series from
n equals one to infinity of
one over two to the n plus one
converges how can we do that?
Well, each of these terms are
greater than or equal to zero,
and we can construct another series where
each of the corresponding
terms are greater than
each of these corresponding terms.
And that other series,
the one that jumps out at,
that will likely jump out
for most folks would be
one over two to the n,
one over two to the n is
greater than, is greater
than, and all we would
have to really say is
greater than or equal to, but
we could actually explicitly say it's, oh
I'll just write it's
greater than or equal to,

Portuguese: 
-Vamos nos relembrar, 
nos dar uma revisão
do teste de comparação, 
ver onde ele pode ser útil,
e talvez vermos onde ele pode 
não ser tão útil, mas com sorte
também vamos ver o teste
da comparação de limites,
que pode ser aplicado em um
número maior de situações.
Nós já vimos isso, 
queremos provar que
séries infinitas de n igual
um até o infinito de
um sobre dois até n mais convergem. 
Como podemos fazer isso?
Todos esses termos são 
maiores ou iguais a zero, e podemos
construir outras 
séries onde cada um dos
termos correspondentes
são maiores que
cada um desses termos correspondentes.
E que outras séries, 
a que se destaca,
que se destacará para a 
maioria das pessoas seria
um sobre dois elevado a n,
um sobre dois elevado a n é
maior que, e tudo que teríamos que
dizer é maior ou igual a, mas
poderíamos explicitamente dizer,
Vou apenas escrever maior ou igual que,

Portuguese: 
Vamos agora fazer revisão
do Teste de Comparação e ver
onde ele pode ser útil
e talvez ver onde ele não será tão util,
mas felizmente
tambem veremos o
Teste de Comparação dos Limites
o qual pode ser útil
em um numero maior de situações
Nós ja vimos algo desse tipo.
queremos provar que
uma série infinita de n igual a 1
até n igual a infinito
de 1 dividido por 2 elevado a n mais 1
converge. Como chegamos a esse resultado?
Bom, cada um dos termos
são maiores ou iguais a zero,
e nós podemos construir outra série onde
cada um dos termos correspondentes
são maiores que seus correspondentes
E essa outra série
será
1 sobre 2 elevado a n,
que é
maior que... maior que... e nós teríamos
que dizer que
é maior ou igual a, mas...
vou só dizer que é maior ou igual

Bulgarian: 
Да си припомним изследването
за сходимост чрез сравнение,
за да видим къде
може да ни е полезно,
или може да не е толкова 
полезно, но за късмет,
ще видим, че изследването
за сходимост чрез сравнение
е приложимо
в много широк кръг случаи.
Искаме да докажем, че
този безкраен ред с общ член 1/(2^n + 1) 
за n = 1 до безкрайност е сходящ,
как можем да го докажем?
Всеки от тези членове
е по-голям или равен на нула,
и можем да съставим 
друг ред, в който
всеки от съответните членове
е по-голям от
всеки от тези съответни
членове.
Този друг ред, например
ми хрумва, че
повечето хора се сещат за
1/(2^n), което е
по-голямо от 1/(2^n + 1).
Това е по-голямо от това,
и можем да кажем, че
е по-голямо или равно,
категорично можем да кажем, че...
ще го запиша, че е
по-голямо или равно на

Korean: 
1/2^n ≥ 1/(2^n+1)
이는 n이 1에서 무한대로 갈 때까지 항상 성립합니다
왜 그럴까요?
왜냐하면 이 분모는 항상 1만큼 더 크고
분모가 더 크면
전체 수식은 값이 더 작아집니다
그리고 각각의 항들이 모두 양의 값이므로
대응되는 항이 기존의 항보다 더 크고
비교판정법에 의해서
1/2^n이 수렴하므로
이것은 일종의 상한선을 제공합니다
1/2^n이 수렴하므로
이것은 일종의 상한선을 제공합니다
따라서 우리는 ∑1/2^n이 수렴하므로
∑1/(2^n+1)이 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
이제 약간 다른 급수에서
유사한 논리를 적용시킬 수 있는지 봅시다
∑1/(2^n-1)의 경우를 따져봅시다
∑1/(2^n-1)의 경우를 따져봅시다
∑1/(2^n-1)의 경우를 따져봅시다
이 경우에 단순히 비교판정법을
적용해도 될까요?

English: 
one over two to the n plus one for,
n is equal to one, two, all
the way to infinity - why?
Because this denominator
is always going to be
greater by one if you're
denominator is greater,
the overall expression
is going to be less,
and because of that, because
each of these terms are,
they're all positive, this
one, each corresponding term is
greater than that one, and
by the Comparison Test,
because this one converges,
this kinda provides an
upper bound, because this series
we already know converges,
we can say, so because this one converges,
we can say that this one converges.
Now, let's see if we can
apply a similar logic
to a slightly different series.
Let's say we have the series
the sum from n equals one to infinity of
one over two to the n minus one.
In this situation can we do just
the straight up Comparison Test?

Bulgarian: 
1/(2^n + 1) в интервала
n = 1 до безкрайност. Защо?
Защото знаменателят
винаги е по-голям с единица,
а ако знаменателят
е по-голям,
тогава целият израз
е по-малък,
заради което всички тези членове
са положителни, този
съответстващ член е
по-голям от този и чрез критерия
за сравнение,
щом този е сходящ, това
представлява един вид
горна граница, защото този ред
винаги е сходящ,
можем да кажем, че понеже
този е сходящ,
то следва, че и 
този е сходящ.
Сега да видим дали мога
да приложа сходна логика
за малко по-различни редове.
Да кажем, че имаме реда,
сумата от n = 1 до безкрайност
от 1/((2^n) – 1).
В този случай можем ли директно 
да използваме критерия за сравнение?

Thai: 
1 ส่วน 2 กำลัง n สำหรับ
n เท่ากับ 1, 2, ไปเรื่อยๆ ถึงอนันต์ -- ทำไมล่ะ?
เพราะตัวส่่วนนี้มากกว่า
1 เสมอ ถ้าตัวเศษของคุณมากกว่า
พจน์โดยรวมจะน้อยกว่า
ด้วยเหตุนั้น เนื่องจากแต่ละเทอมเหล่านี้
พวกมันเป็นบวกทั้งหมด 
ตัวนี้ เทอมที่คู่กันแต่ละตัว
จะมากกว่านั้น แล้วด้วย
การทดสอบแบบเปรียบเทียบ
เนื่องจากตัวนี้ลู่เข้า มันจะให้
ขอบบน เพราะอนุกรมนี้เรารู้ว่ามันลู่เข้า
เราจึงบอกได้ว่า เนื่องจากตัวนี้ลู่เข้า
เราบอกได้ว่าตัวนี้ลู่เข้า
ทีนี้ ลองดูว่าเราใช้เหตุผลเดียวกัน
กับอนุกรมที่ต่างออกไปได้ไหม
สมมุติว่าเรามีอนุกรม
ผลบวกจาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์ของ
1 ส่วน 2 กำลัง n ลบ 1
ในกรณีนี้ เราใช้การทดสอบ
การเปรียบเทียบได้โดยตรงไหม?

Portuguese: 
um sobre dois elevado a n mais um para,
n igual a um, dois, até o infinito -
por quê?
Porque o denominador sempre será
maior que um. Se o denominador
é maior que,
a expressão geral será menor que,
e por causa disso, cada um 
desses termos serão,
positivos, cada termo correspondente é
maior que um, e pelo
teste de comparação,
porque esse aqui converge,
provém um
limite superior, porque essa
série já sabemos que converge,
porque essa série converge,
podemos dizer que esta aqui converge.
Vamos ver se podemos aplicar
uma lógica parecida
com uma série um pouco diferente.
Temos a série
a soma de n igual a um ate infinito de
um sobre dois elevado a n menos um.
Nessa situação, podemos apenas
usar o teste de comparação?

Portuguese: 
a 1 dividido por 2 elevado a n mais 1
para n = 1,2,3... até o infinito.
Por que?
Porque o denominador sempre será
maior que o numerador
se o denominador é maior
então toda a expressão será menor
e por isso, por todos esses termos
serem positivos,
cada termo correspondente é
maior que o outro
e pelo Teste de Comparação
porque esse aqui converge
isso me fornece um limite superior
porque nós já sabemos que
essa série converge
Assim, podemos dizer:
Por essa convergir,
essa outra também converge.
Vamos ver agora se conseguimos
aplicar uma lógica similar
a uma série um pouco diferente
Suponha que temos a série
Somatório de n=1 até n=infinito
de 1 sobre 2 elevado a n, menos 1
Nessa situação, será que podemos
aplicar diretamente
o Teste de Comparação?

Thai: 
ไม่ เพราะคุณบอกไม่ได้ว่า
1 ส่วน 2 กำลัง n มากกว่าเท่ากับ
1 ส่วน 2 กำลัง n ลบ 1
ตรงนี้ ตัวส่วนน้อยกว่า นั่น
หมายความว่าพจน์นี้มากกว่า หมายความว่า
แต่ละเทอมนี้ไม่ได้เป็นขอบบนให้อนุกรมนี้
อันนี้มากกว่าเล็กน้อย
แต่ถึงอย่างนั้น คุณอาจบอกว่า โอเค ฉันเข้าใจ
แต่ดูสิ เมื่อ n มากขึ้น 2 กำลัง n จะ
มีค่านำลบ 1 หรือบวก 1
อันนี้ไม่มีเลย อันนี้ก็แค่ 2 กำลัง n
2 กำลัง n จะบรรยาย
พฤติกรรมของสิ่งที่เป็นจริงๆ
และผมเห็นด้วยกับคุณ แต่เรา
ยังไม่ได้พิสูจน์ว่ามันใช้ได้จริง
และนั่นคือจุดที่การเปรียบเทียบลิมิต
นั้นมีประโยชน์
ขอผมเขียนมันลงไปนะ ลิมิต 
การทดสอบเปรียบเทียบลิมิต
การทดสอบเปรียบเทียบลิมิต 
ผมจะเขียนมันลงไป
เป็นทางการหน่อย แต่เราจะใช้มัน
กับอนุกรมอนันต์นี่ตรงนี้
สิ่งที่การทดสอบเปรียบเทียบลิมิตบอกเรา

Korean: 
안 됩니다
1/2^n ≥ 1/(2^n-1)라고
할 수 없기 때문입니다
1/2^n ≥ 1/(2^n-1)라고
할 수 없기 때문입니다
이것의 분모가 더 작아서
전체 수식은 더 커지고
각 항들은 이것의 상한선이 될 수 없습니다
1/(2^n-1)이 조금 더 큽니다
한편 여러분은 이렇게 생각할 수도 있습니다
n이 엄청나게 커지면 2^n은
+1이나 -1을 압도할 것이고
2^n밖에 없는 것처럼 취급될 것이며
그러므로 2^n만으로도 충분히
값의 변화 양상을 설명할 수 있다고 말입니다
그것은 저도 인정합니다
하지만 이것은 확실한 증명이 아닙니다
이 부분에서 극한비교판정법이
유용하게 사용됩니다
극한비교판정법'을 쓰겠습니다
우선 정석대로 쓰고 나서
바로 위에 있는 무한급수에
적용해볼 것입니다
비교판정법에 의하면

Bulgarian: 
Не, защото не можем да кажем, че
1/(2^n) е по-голямо
или е равно на
1/(2^n – 1).
Тук знаменателят е по-малък,
което означава, че
изразът е по-голям,
което означава, че не можем,
всеки от тези членове не
представлява горна граница за тези.
Този е малко по-голям,
но от друга страна, това
вече ти е ясно,
но когато n нараства, 2^n
ще бъде
наистина по-голямо
от –1 или +1,
значи това, което няма нищо,
това тук, което е 2^n.
2^n наистина ще описва
поведението на знаменателя.
Ще се съглася с теб, но ние
не сме доказали как
това работи практически,
и тук може да ни помогне граничната
форма на критерия за сравнение.
Ще го напиша: "Изследване за сходимост
чрез граничната форма на критерия за сравнение",
ще го запиша малко по-формално,
но това сега ще го приложим
за безкрайни редове.
Изследването за сходимост чрез 
граничната форма на критерия за сравнение, че

English: 
Well no, because you cannot say that
one over two to the n is
greater than or equal to
one over two to the n minus one.
Here, the denominator is lower, means
the expression is greater,
means that this can't,
each of these terms can't provide
an upper bound on this one.
This one is a little bit larger,
but on the other hand you're
like, 'Ok, I get that.'
But look, as n gets large,
the two to the n is going to
really dominate the minus
one or the plus one, or
this one has nothing there,
this one just has two to the n.
The two to the n is
really going to describe
the behavior of what this thing does.
And I would agree with you, but we just
haven't proven that it actually works,
and that's where the Limit
Comparison Test comes in helpful.
So let me write that down,
'Limit, Limit Comparison Test,
'Limit Comparison Test',
and I'll write it down
a little bit formally,
but then we'll apply it to
this infinite series right over here.
So what Limit Comparison Test tells us,

Portuguese: 
Bom...não. Porque você não pode dizer
que 1 dividido por 2 elevado a n
é maior ou igual a
1 dividido por 2 elevado a n, menos 1
Aqui o denominador é menor,
o que significa que
a expressão é maior,
portanto, cada um dos termos
não nos fornece
um limite superior nesse caso.
Esse é um um pouco maior,
Por outro lado, você deve estar
"ah sim, entendi"
Mas olhe, a medida que n aumenta,
2 elevado a n vai, aos poucos,
dominando o -1 ou o +1,
esse não tem nada a mais
esse outro só tem 2 elevado a n
O 2 elevado a n tende a descrever
o comportamento que essa
expressão terá
Eu até concordaria com você, 
mas nós ainda
não provamos que isso
realmente funciona
E é ai que o Teste de Comparação
dos Limites tem grande utilidade
Deixe-me escrever isso aqui:
"Teste de comparação dos limites"
E vou escrever isso aqui
um pouco formal,
mas então iremos aplicar isso
a essa serie infinita aqui em cima
O que o Teste de Comparação dos limites
nos diz?

Portuguese: 
Não, porque não se pode dizer que
um sobre dois elevado a n é
maior ou igual a
um sobre dois elevado a n
menos um.
Aqui, o denominador é menor, significando
que é a expressão é maior,
significando que
cada um desses termos não
podem prover um limite superior.
Este aqui é um pouco maior,
mas você pode pensar,
"Ok, eu dou conta".
Mas veja, quanto mais n cresce, 
o dois elevado a n vai
dominando o menos um ou
o mais um, ou
este aqui tem nada ali, este
aqui tem apenas dois elevado a n.
O dois elevado a n vai
realmente descrever
o comportamento sobre o
que essa coisa tem.
E eu concordaria com você, mas nós
não provamos que isso funciona,
e é agora que o teste
de comparação é útil.
Deixe-me escrever aqui, 
"Limite, teste de limite de comparação"
E escreverei aqui
um pouco mais formal, 
então aplicamos isso
a essa série infinita aqui.
O que o teste de comparação
de limites nos diz,

English: 
that if I have two infinite series,
so this is going from n equals
k to infinity, of a sub n,
I'm not going to prove it here,
we'll just learn to apply it first.
This one goes from n equals
k to infinity, of b sub n.
And we know that each of
the terms, a sub n, are
greater than or equal to zero,
and we know each of
the terms, b sub n, are
actually we're just going
to say, greater than zero,
because it's actually
going to show up in the
denominator of an expression,
so we don't want it to be equal to zero,
for all the n's that we care about.
So for all n equal to k, k plus one,
k plus two, on and on, and on and on, and,
and this is the key, this
is where the limit of
the Limit Comparison Test comes into play,
and, if the limit, the limit
as n approaches infinity,

Thai: 
คือว่า ถ้าผมมีอนุกรมอนันต์สองตัว
อันนี้จะไปจาก n เท่ากับ k 
ถึงอนันต์ของ a ห้อย n
ผมจะไม่พิสูจน์มันตรงนี้
เราจะเรียนวิธีใช้มันก่อน
อันนี้ไปจาก n เท่ากับ k ถึงอนันต์ ของ b ห้อย n
และเรารู้ว่าแต่ละเทอม a ห้อย n
มากกว่าเท่ากับ 0
และเรารู้ว่าแต่ละเทอม b ห้อย n
ที่จริงเราจะบอกแค่ว่า มากกว่า 0
เพราะมันจะโผล่เป็น
ตัวส่วนของพจน์
เราไม่อยากให้มันเท่ากับ 0
สำหรับทุก n ที่เราสนใจ
สำหรับ n เท่ากับ k, k บวก 1,
k บวก 2, ไปเรื่อยๆๆ แล้ว
นี่คือประเด็น นี่คือจุดที่ลิมิต
ของการทดสอบเปรียบเทียบลิมิตเข้ามา
ถ้าลิมิต ลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์

Bulgarian: 
ако имаме два безкрайни реда,
този е от n = k до безкрайност,
от a_n,
тук няма да го доказвам,
първо ще се научим 
да го прилагаме.
Този е от n = k до безкрайност,
от b_n.
Знаем, че всеки от членовете a_n
е по-голям или равен на нула,
и знаем, че всеки от
членовете b_n
са, да кажем, по-големи от нула,
което ще проличи в
знаменателя на израза,
но не искаме да е равно на нула,
за всички n, които ни интересуват.
За всички n = k; k + 1;
k + 2 и така нататък,
това е ключовото –
тук използваме
изследването за сходимост чрез граничната 
форма на критерия за сравнение,

Portuguese: 
que se eu tiver duas séries infinitas
que vai de n = k até o infinito
de a subscrito n
Eu não vou provar isso aqui,
iremos somente
aprender como aplicá-lo
Essa outra, vai de n = k até o infinito
de b subscrito n
E nós sabemos que
cada um desses termos
são maiores ou iguais a

Portuguese: 
é que se temos duas séries infinitas,
então fica n igual a k
até n igual a infinito, de an,
Não vou provar isso aqui,
Inicialmente, vamos só aprender
a aplicar
Essa outra vai de n igual a k
até o infinito, de bn
E nós sabemos que cada um
desses termos, an
são maiores ou iguais a zero,
e também sabemos que
cada um dos termos bn, são
iremos apenas dizer,
que são maiores que zero
porque esse termo vai
acabar aparecendo
no denominador de
uma fração
então não queremos que
ele seja igual a zero
para todos os n's que
estamos considerando
para todo n igual a k
k mais 1,
k mais 2, e assim por diante
e esse é o ponto chave,
onde o limite...
O teste de comparação dos limites
pode nos ser útil
e se o limite,
quando n se aproxima de infinito

Korean: 
두 개의 무한급수를 가지고 있다면
다음이 성립합니다
이것은 n이 k에서 무한대까지
 갈 때 ∑an입니다
여기서 증명을 할 것은 아니고
적용하는 것 먼저 해봅시다
여기서 증명을 할 것은 아니고
적용하는 것 먼저 해봅시다
이것은 n이 k에서 무한대까지
갈 때 ∑bn입니다
우리는 an의 각 항들이 모두
0보다 크거나 같다는 것을 압니다
우리는 an의 각 항들이 모두
0보다 크거나 같다는 것을 압니다
또 bn의 항들도 0보다 크다는 것을 압니다
또 bn의 항들도 0보다 크다는 것을 압니다
수식의 분모에 나타날 것이므로
우리가 다룰 모든 n에 대해 bn이
0과 같지 않다고 하겠습니다
우리가 다룰 모든 n에 대해 bn이
0과 같지 않다고 하겠습니다
우리가 다룰 모든 n에 대해 bn이
0과 같지 않다고 하겠습니다
n들은 k, k+1, k+2부터 차례대로
끝없이 대응됩니다
이 부분이 중요합니다
여기서 극한비교판정법의
 '극한' 부분이 등장합니다
만약 n이 무한대로 갈

Thai: 
ของ a ห้อย n ส่วน b ห้อย n, b ห้อย n
เป็นบวกและจำกัด คือบวกและจำกัด
ลิมิตทั้งคู่จะลู่เข้า
หรือไม่ก็ทั้งคู่จะลู่ออก ขอผมเขียนนะ
แล้ว อันนี้บอกเราว่า
อนุกรมทั้งคู่จะลู่เข้า
หรือไม่ก็ทั้งคู่จะลู่ออก ซึ่งมันมีประโยชน์จริงๆ
มันเป็นวิธีทางการที่บอกว่า
เฮ้ ดูสิ เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ถ้าพวกนี้มีพฤติกรรม
คล้ายกัน แล้วเราจะ
ลู่เข้าทั้งคู่ หรือเราจะลู่ออกทั้งคู่
ลองใช้มันตรงนี้ดู
ถ้าเราบอกว่า b ห้อย n
คือ 1 ส่วน 2 กำลัง n อย่าง
ที่เราทำตรงนี้ 1 ส่วน 2 กำลัง n
แล้วเราจะเปรียบเทียบ
อนุกรมสองชุดนี่ตรงนี้ สังเกตว่ามันเป็นไป
ตามเงื่อนไขทั้งหมดนี้ ลองหาลิมิต

Bulgarian: 
ако границата на a_n/b_n,
когато n клони
към безкрайност,
е положително и крайно число,
тогава и двата реда
са сходящи
или и двата реда са разходящи,
ще го запиша.
Този критерий ни казва, че
или и двата реда са сходящи,
или и двата реда са разходящи,
което е много полезно.
По-формален начин
на изразяване е да кажем, че
ако n клони към безкрайност,
ако общите членове имат сходни свойства,
то или и двата реда са сходящи,
или и двата реда са разходящи.
Хайде да го приложим.
Ако кажем, че нашето b_n
е 1/(2^n), както направих тук,
нека направим сравнение,
нека тези два реда ето тук,
да отговарят на всички условия, 
така че нека да напишем границата,

English: 
of a sub n over b sub n, b sub n
is positive and finite,
is positive and finite,
that either both series converge,
or both series diverge,
so let me write that.
So then, that tells us that either,
either both series converge,
or both diverge, which
is really really useful.
It's kind of a more
formal way of saying that,
'Hey look, as n approaches
infinity, if these have similar
'behaviors then they are either going to
'converge, or they're
both going to diverge.'
Let's apply that right over here.
Well if we say that our b sub n
is one over two to the n, just like
we did up there, one over two to the n,
so we're going to compare, so these
two series right over
here, notice it satisfies
all of these constraints,
so let's take the limit,

Korean: 
lim(an/bn)이 유한한 양의 값을 가진다면
lim(an/bn)이 유한한 양의 값을 가진다면
두 급수가 모두 수렴하거나
모두 발산합니다
정리해보겠습니다
두 급수가 모두 수렴하거나
모두 발산할 겁니다
매우 유용합니다
더 쉽게 말로 설명하면 이렇습니다
n이 무한대로 발산할 때
이런 비슷한 양상을 보이면
두 급수가 모두 수렴하거나
모두 발산한다는 것입니다
두 급수가 모두 수렴하거나
모두 발산한다는 것입니다
바로 이 식에 적용시켜봅시다
아까 했던 것처럼 bn은
1/(2^n)이라고 합시다
1/(2^n)이라고 합시다
비교를 시작합시다
여기 두 가지 식은
이런 조건들을 모두 만족하므로
이런 조건들을 모두 만족하므로

Portuguese: 
de an dividido por bn,
bn é positivo e finito
que as duas séries convergem
ou as duas séries divergem
deixe-me escrever isso
Então, isso nos diz que
ou ambas as séries
convergem
ou ambas divergem,
o que é muito útil
Esse é um modo mais forma
de dizer que
"Olha! quando n se aproxima
de infinito, essas séries
têm comportamento similar
então ambas irão convergir,
ou divergir
Vamos aplicar isso nesse exemplo:
Bom, se dissermos que bn
é 1 sobre 2 elevado a n,
como já fizemos,
1 sobre 2 elevado a n
Iremos comparar
essas duas séries
perceba que elas satisfazem
todas essas condições de contorno
vamos usar o limite

Portuguese: 
O limite quando n se aproximo de infinito
de an dividido por bn,
esse limite será
1 sobre 2 elevado a n, menos 1
dividido por 1 sobre 2 elevado a n
E qual será o resultado disso?
Bom, isso será igual a
O limite quando n
se aproxima do infinito
de 2... se você dividir por 1 sobre 2 elevado a n
Isso será o mesmo
que multiplicar
por 2 elevado a n,
então 2 elevado a n, sobre
2 elevado a n, menos 1.
dividido por 2 elevado a n, menos 1
e isso é claramente,
o que está acontecendo com
o numerador e o denominador
Eles estão se aproximando
da mesma quantidade,
bom, nós podemos, inclusive
escrevê-lo assim
dividir o numerador
e o denominador
por 2 elevado a n,
embora soe
estranho agora
O limite, quando n se aproxima de infinito
deixe-me rolar para a direita
um pouco

English: 
the limit as n approaches infinity
of a sub over b sub n, so it's going to be
one over two to the n minus one over
one over two to the n, and
what's that going to be equal to?
Well that's going to be equal to
the limit as n approaches infinity, of
two, if you divide by
one over two to the n
that's just going to be the
same thing as multiplying
by two to the n, so it's going to be
two to the n over two to the n minus one.
Over two to the n minus
one, and this clearly,
what's happening in the
numerator and the denominator,
these are approaching the
same, well we can even
write it like, we can
even write it like this,
divide the numerator and
denomiator by two to the n,
if you want, although it's probably
going to jump out at you at this point.
So, limit as n approaches infinity,
let me just scroll over
to the right a little bit.

Thai: 
ลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์
ของ a ห้อย n ส่วน b ห้อย n มันจะ
เป็น 1 ส่วน 2 กำลัง n ลบ 1 ส่วน
1 ส่วน 2 กำลัง n แล้วมันจะเท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับ
ลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์ของ
2 ถ้าคุณหารด้วย 1 ส่วน 2 กำลัง n
มันจะเหมือนกับการคูณ
ด้วย 2 กำลัง n มันจึง
ได้ 2 กำลัง n ส่วน 2 กำลัง n ลบ 1
ส่วน 2 กำลัง n ลบ 1 และอันนี้
สิ่งที่เกิดขึ้นกับตัวเศษและตัวส่วน
พวกมันเข้าหาค่าเดียวกัน เรา
เขียนมันได้ เราเขียนมันได้แบบนี้
หารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 กำลัง n
ถ้าคุณต้องการ ถึงแม้คุณ
อาจจะเห็นได้ทันทีอยู่แล้ว
ลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์
ขอผมเลื่อนมาทางขวาหน่อย

Bulgarian: 
границата от a_n/b_n, 
когато n клони към безкрайност,
това ще бъде 
1/((2^n) – 1) върху
1/(2^n), и на колко 
ще е равна тя?
Това ще бъде равно на
границата, когато n
клони към безкрайност,
2, ако разделим на 1/2^n,
това е все едно да умножим по
2^n, тогава ще получим
(2^n)/((2^n) – 1).
И очевидно и числителят,
и знаменателят
клонят към едно и също,
можем даже да запишем ето така,
да разделим числителя
и знаменателя на 2^n,
ако искаш, макар че вероятно
това ще ти хрумне в този момент.
Значи границата, когато
n клони към безкрайност,
само ще превъртя малко надясно.

Korean: 
n이 무한대로 갈 때
lim(an/bn), 즉lim( [1/{(2^n)-1}]/(1/2^n) )은
lim(an/bn), 즉lim( [1/{(2^n)-1}]/(1/2^n) )은
얼마일까요?
식을 정리하면
n이 무한대로 갈 때
1/(2^n)으로 나누면
2^n을 곱하는 것과 같으므로
2^n을 곱하는 것과 같으므로
lim ( (2^n)/{(2^n)-1} )이 됩니다
이제 분모와 분자에서 어떤 일이 일어나는지
명확해졌습니다
이제 분모와 분자에서 어떤 일이 일어나는지
명확해졌습니다
원한다면 더 정리할 수도 있습니다
분자와 분모를 또 2^n으로 나누면 됩니다
분자와 분모를 또 2^n으로 나누면 됩니다
원한다면 그렇게 해도 됩니다
아마 안 해도
지금쯤이면 답이 보일 것입니다
그래서 n이 무한대로 갈 때
분자를 2^n으로 나누면

Portuguese: 
Se eu dividir o numerador
por 2 elevado a n,
Eu só terei 1.
Se
eu dividir o denominador
por 2 elevado a n
Eu terei 1 menos
1 sobre 2 elevado a n.
E agora tudo fica claro
isso aqui
tenderá a zero
e você terá 1 sobre 1.
O mais importante é que
esse limite é positivo e finito
porque isso aqui...
então isso aqui,
é positivo e finito
O limite é 1... que é positivo e finito,
Se essa parte converge e,
essa parte converge,
ou essa parte diverge e isso diverge
Bom, já sabemos
isso aqui converge.
Essa é uma série geométrica onde
a taxa comum é menor que 1,
portanto, isso deve convergir.

Bulgarian: 
Ако разделим числителя
на 2^n, ще получа 1...
Ако разделя знаменателя на 2^n,
ще получа 1/(1 – 1/2^n).
И сега става ясно, че това тук
ще бъде просто нула,
остава 1 върху 1.
Важното е, че тази граница
е положителна и крайна, защото
това ето тук е положително
и крайно,
границата 1 е положителна
и крайна,
ако това е сходящо и това
е сходящо,
ако това нещо е разходящо
и това е разходящо,
но ние вече знаем, че
това е сходящо,
геометричните прогресии, в които
частното е по-малко от 1,
така че
това също трябва да е сходящо.

Thai: 
ถ้าผมหารตัวเศษด้วย 2 กำลัง n
ผมจะได้ 1
ถ้าผมหารตัวส่วนด้วย 2 กำลัง n
ผมจะได้ 1 ลบ 1 ส่วน 2 กำลัง n
และตอนนี้มันเห็นได้ชัด ตัวนี่ตรงนี้
จะเท่ากับ 0 แล้วคุณ
จะได้ 1 ส่วน 1
สิ่งสำคัญคือว่า
ลิมิตเป็นบวกและมีค่าจำกัด เนื่องจากตัวนี้
ค่านี้ตรงนี้เป็นบวกและมีค่าจำกัด
ลิมิตคือ 1 เป็นบวกและจำกัด
ถ้าตัวนี้ลู่เข้า แล้วตัวนี้ลู่เข้า
ตัวนี้ลู่ออก แล้วตัวนี้ลู่ออก
เรารู้แล้วว่าตัวนี้ลู่เข้า
มันเป็นอนุกรมเรขาคณิตโดย
อัตราส่วนร่วมน้อยกว่า 1 เพราะฉะนั้น
ตัวนี้ต้องลู่เข้าเช่นกัน มันจึงลู่เข้าด้วย

Korean: 
분자를 2^n으로 나누면
1만 남게 되고
분모를 2^n으로 나누면
1-{1/(2^n)}이 됩니다
이제부터는 쉽습니다
여기 있는 {1/(2^n)}의 값이 0으로 가기 때문에
1/1이 됩니다
중요한 것은
이 극한은 유한한 양의 값을 가진다는 겁니다
이 극한은 유한한 양의 값을 가진다는 겁니다
극한값은 1이고, 이는 양수이며 유한합니다
만약  ∑1/{(2^n)-1}이 수렴하면
∑1/(2^n)도 수렴하고
만약 ∑1/{(2^n)-1}이 발산하면
∑1/(2^n)도 발산합니다
우리는 이미 이 식이 수렴한다는 것을 압니다
이것은 공비가 1보다 작은 기하급수이고
이가 수렴하므로 ∑1/{(2^n)-1}도 수렴합니다
이가 수렴하므로 ∑1/{(2^n)-1}도 수렴합니다
커넥트 번역 봉사단 | 류한준

English: 
If I divide the numerator by two to the n,
I'm just going to have one.
If I divide the denominator
by two to the n,
I'm going to have one minus
one over two to the n.
And now it becomes clear,
this thing right over here
is just going to go to zero, and you're
going to have one over one.
The important thing is that
this limit is positive and
finite because this thing is
so this thing right over
here, is positive and finite,
the limit is one is positive and finite,
if this thing converges and
this thing converges, or
this thing diverges, and this diverges,
well, we already know
this thing converges,
it's a geometric series where the
common ratio is less than
one, and so therefore
this must converge as well,
so that converges as well.
