
English: 
- [Voiceover] So in the
last video, I introduced
transformations and how you
can think about functions
as moving points in one
space to points in another,
and here I want to show an
example of what that looks like
when the input space is two-dimensional.
So this over here is the input space.
It's just a copy of the XY plane,
and the output space is also
two-dimensional, so the output
space, in this case, also
a two-dimensional plane.
And what I'm gonna do,
I'm just gonna first play
an example of one of these transformations
and then go through the details
of the underyling function
and how you can understand the
transformation as a result.
So here's what it looks like.
Here's what we're gonna be going towards.
Very complicated, a lot of points moving.
Lots of different things happening here,
and what's common with this sort of thing,
when you're thinking about moving from
two dimensions to two dimensions,
given that it's really the
same space, the XY plane,
you often just think about
the input and output space
all at once, and instead just watch
a copy of that plane move onto itself.

Korean: 
지난 영상에서는
함수를 한 공간의 점에서 다른 공간의 점으로
옮기는 것으로 생각하는 변환을 소개하였고
이번에는 입력 공간이 2차원일 때
어떤 모습인지 예를 보여 주고 싶습니다
이곳이 입력 공간이고
xy평면과 같은 모양입니다
출력 공간도 2차원이니까
마찬가지로 평면이 되겠죠
제가 하려고 하는 것은
변환 하나를 보여 주고
해당하는 함수를 자세히 살펴보아서
변환을 이해하는 것입니다
변환의 모습은 이렇습니다
이것이 우리가 살펴볼 변환입니다
점이 많이 움직이는 난잡한 꼴이죠
많은 일이 일어나고 있고
2차원에서 2차원으로 가는
이런 변환을 이해할 때
편리한 사고는
둘 다 같은 xy평면이니까
입력과 출력 공간을 겹쳐서
평면이 복사되어 이동하는 것으로
나타내는 것입니다

Korean: 
나타난다는 말이 항상
애니메이션을 반복해서
관찰한다는 것은 아닙니다
변환 관점으로 생각하는 것은
머릿속의 아주 추상적인 생각으로
함수가 어떤 것인지를
이해하는 데 도움이 됩니다
나중에 더 이야기하겠지만
먼저 이 함수가 무엇인지 알아보죠
제가 애니메이션을 실행한 함수는
입력 x, y를 f(x, y) =
x^2+y^2가
출력의 x성분이고
x^2-y^2이
출력의 y성분인 것입니다
이해를 돕기 위해
원점의 예를 듭시다
원점의 (0, 0)이
어디로 옮겨가는지 살펴봅시다
f(0, 0)
x와 y가 모두 0이니까 위에 이건 0
아래도 같이 0이네요
점 (0, 0)은 자기 자신으로 가고

English: 
And by the way, when I
say watch, I don't mean
that you'll always have
an animation like this
just sort of sitting in front of you.
When I think about transformations,
it's usually a very
vague thought in the back
of my mind somewhere,
but it helps to understand what's
really going on with the function.
I'll talk about that more at the end,
but first let's just go
into what this function is.
So, the one that I told the
computer to animate here
is f of x,y is the input, is equal to
x squared plus y squared,
as the x component of the output,
and x squared minus y squared
is the y component of the output.
So just to help start understanding this,
let's take a relatively
simple point like the origin.
So here, the origin, which is zero, zero,
and let's think about
what happens to that.
f of zero, zero.
Well, x and y are both
zero, so that top is zero.
And same with the bottom,
that bottom also equals zero.
Which means, it's taking
the 0.00 to itself,

Korean: 
변환을 보시면 (0, 0)이
핀을 꽂은 것처럼
그대로 있는 것이 보입니다
이런 점은 해당 함수의 고정점이라 부르고
변환 관점이니까
'고정'점이라는 말이
사용되겠죠
다른 점을 보죠
(1, 1)입니다
f(1, 1)을요
이 점만 보기 위해
잠시 변환을 치워 두죠
입력 공간에서 (1, 1)은 여기 있고
어디로 갈지 알아보려고 합니다
값을 넣어 보면 x^2+y^2은
1^2+1^2이 되고
아래쪽에는 x^2-y^2이
1^2-y^2이 되겠죠
앗, 1^2-1^2이요
다 넣은 결과는
[2 0] 이군요

English: 
and if you watch the
transformation, what this means
is that the 0.0 stays fixed,
it's like you can hold
your thumb down on it, and
nothing really happens to it.
And in fact, we call this a
fixed point of the function
as a whole, and that kind of terminology
doesn't really make sense unless
you're thinking of the
function as a transformation.
So let's look at another example here.
Let's take a point like one, one.
f of one, one.
So in the input space, let's just kind of
start this thing over so we're
only looking at the input.
In the input space, one,
one, is sitting right here,
and we're wondering
where that's gonna move.
So when we plug it in,
x squared plus y squared
is gonna be one squared plus one squared,
and on the bottom, x
squared minus y squared,
one squared minus y squared.
Woop, (laughs) minus one squared.
I'm plugging things in here.
So that's two, zero.

English: 
Two, zero.
Which means we expect this point to move
over to two, zero in some way.
So if we watch the
transformation, we expect
to watch that point move over to here,
and again, it can be hard to follow
because there's a lot of moving parts,
but if you're careful as you watch it,
the point will actually land right there.
And you can, in principle,
do this for any given point
and understand how it
moves from one to another,
but you might ask, hey Grant,
what is the point of all of this?
We have other ways of
visualizing functions that are
more precise, and kinda less
confusing, to be honest.
Factor fields are a great
way for functions like this,
graphs were a great way for functions
with one input and one output.
Why think in terms of transformations?
And the main reason is conceptual.
It's not like you'll have an
animation sitting in front
of you, and it's not
like you're gonna by hand
evaluate a bunch of points
and think of how they move.
But there's a lot of different
concepts in math, and with
functions, where when you
understand it in terms of
a transformation, it gives you
a more nuanced understanding.

Korean: 
[2 0]
그러니까 이 점이 어떻게 이동해서
(2, 0)으로 갈 겁니다
변환을 보면 이 점이
이 점으로 이동해야 하고
점이 매우 많아서
따라가기 힘들 수 있지만
주의깊게 살펴보면
점이 그곳으로 가는 게 보입니다
이렇게 많은 점들의 이동을
계속 살펴볼 수 있겠지만
이게 무슨 목적인지
감이 안 오시겠죠?
사실 함수를 시각화하는
더 간단하고 덜 난잡한 방법이 많습니다
이 경우엔 벡터장이 좋은 방법이고
입력 하나와 출력 하나가 있으면
그래프가 좋겠죠
그러면 왜 변환으로 생각할까요?
주 이유는 개념적인 것입니다
눈앞의 애니메이션에서
하나하나씩 점들을 관찰해서
어디로 이동하는지 보기 위해서가 아닙니다
하지만 함수를 변환으로 이해하면
다양한 수학적 개념들을
더 정교하게 이해할 수 있죠

Korean: 
다변수 미적분학에서 배우게 될
도함수나 그 다양한 활용 연산은
공간의 늘어남과 찌그러짐
같은 것으로 이해할 수 있고
이런 것들은 그래프나 벡터장에서
의미를 찾기 쉽지 않습니다
그래서 변환은 이해의 한 관점을 추가해 주죠
또한 변환은 선형대수에서
매우 중요한 부분입니다
언젠가 선형대수와
다변수 미적분학의 연관성을
배우는 날이 올 겁니다
변환에 대한 개념이 선형대수와
다변수 미적분학 관점에서
모두 확고한 것은
두 분야의 연결을 이해하는 데
좋은 기반이 될 것입니다

English: 
Things like derivatives, or the
variations of the derivative
that you're gonna learn with
multi-variable calculus,
there's different ways of understanding it
in terms of stretching or squishing space
and things like this, that doesn't really
have a good analog in terms
of graphs or vector fields.
So it adds a new color
to your understanding.
Also, transformations are a super
important part of linear algebra.
There will come a point
when you start learning
the connection between linear algebra
and multi-variable calculus.
And if you have a strong
conception of transformations,
both in the context of linear algebra
and in the context of
multi-variable calculus,
you'll be in a much better
position to understand
the connection between those two fields.
