
Portuguese: 
que não sabemos qual é. Usando um polinômio, a gente vai adicionando termos a esse polinômio.
Mas, para isso vamos supor que podemos avaliar que a função em zero nos dá um valor
e que podemos continuar derivando a função e avaliar a primeira, segunda e
terceira derivadas para zero. Por isso estamos a assumir que nós sabemos qual é o F(0),
estamos a assumir que sabemos qual é F'(0), qual é F''(0) e
qual é a F'''(0). Vou escrever terceira derivada como F'''
E assim por diante. Vamos então pensar como podemos aproximar essa função usando polinômios de tamanhos
arbitrários. Poderíamos por exemplo ter um polinômio de um termo. E esse termo poderia ser uma constante. Então

Urdu: 
Maine ek khudmukhtar function yahan banaya hai aur hum is ka andaaza lagayein ge
hamein nahi maloom ke ye kia hai. Ek polynomial ko istemaal karke usmein terms barhaate jayeinge
Magar ye karne ke liye hum ye farz kareinge ke hum iss function ko ZERO par andaza laga sakte hain taake ye hamein ek
value de aur hum uss function ka derivative nikaal kar first, second,
aur third aur uss se aage zero tak evaluate kar lein. 
Yahan hum ye farz kar rahe hain ke hamein maloom hai ke F(0) kya hai
hum ye bhi farz kar rahe hain ke hamein maloom hai ke F'(0) kya hai, aur ye farz kar rahe hain ke uska doosra derivative zero hai. Hum
farz karte hain ke hamein teesra derivative zero pe bhi pata hai. teesre derivative ko hum F prime prime at zero likheinge.

Russian: 
Я нарисовал здесь произвольную функцию и 
мы будем апроксимировать эту 
произвольную
функцию; мы не знаем пока что это. Используя 
полином (многочлен), мы будем добавлять члены к этому полиному.
Но для этого, мы предположим, что мы можем
оценить какое значение функция принимает в нуле, что даст нам какое-то
значение и что мы можем продолжать брать производное функции и определить первую, вторую
и третью производные, и т.д. и т.п. также в нуле.
Таким образом, мы предполагаем, что мы знаем чем является F(0),
мы полагаем, что мы знаем чем является F'(0), мы полагаем, что знаем, что вторая производная от этого является нулём, мы
полагаем, что мы знаем, что мы знаем третью производную в нуле. Я напишу третью производную как простое число в нуле
и т.д. и т.п. Давайте подумаем как мы можем апроксимировать это используя полиномы бесконечно возрастающей
длины. Так, чтобы мы могли иметь полином с единственным членом. И это будем просто постоянная.

French: 
J'ai dessiné une fonction arbitraire ici et nous allons essayer de faire une approximation de cette fonction arbitraire
comme nous ne savons pas ce qu'elle est. Utiliser un polynôme va continuer à ajouter des termes à ce polynomial.
Mais pour ce faire, nous allons supposer que nous puissions évaluer la fonction à zéro, ce qui nous donne une certaine
valeur, et nous pouvons continuer à prendre la dérivée de la fonction et l'évaluation de la première, la seconde,
la troisième dérivée, ainsi de suite à zéro aussi. Ainsi, nous supposons que nous connaissons ce que F(0) est,
nous assumons que sa seconde dérivée est zéro, nous
assumons que nous connaissons la troisième dérivée à zéro. Je vais écrire la troisième dérivée en tant que f exposant exposant zéro,
Ainsi de suite. Pensons maintenant à comment nous pourrions faire une approximation de cet usage de polynômes et de sa longueur croissante.
Ainsi, nous pourrions avoir un polynôme d'un seul terme, qui ne serait qu'un terme constant. Donc, ce

Indonesian: 
Saya telah menggambar sebuah fungsi yang berubah-ubah, dan yang kita lakukan sekarang adalah mencoba mendekati fungsi
berubah ini, kita tidak tahu apa fungsi ini. Penggunaan sebuah polinomial akan menjaga penambahan terminologi terhadap polinomial tersebut.
Tapi untuk melakukan hal ini, kita akan mengasumsikan bahwa kita bisa mengevaluasi fungsi tersebut pada saat nol, yang akan memberikan kita sejumlah
nilai dan kita bisa terus mengambil turunan dari fungsi kemudian mengevaluasi turunan pertama, kedua,
ketiga, dan seterusnya hingga pada nol juga. Dengan demikian, kita berasumsi bahwa kita tahu berapa F(0),
kita berasumsi bahwa kita tahu berapa F'(0), kita berasumsi bahwa turunan kedua adalah nol, kita
berasumsi bahwa kita tahu turunan ketiga pada nol. Saya akan menulis turunan ketiga sebagai f'' pada nol
begitu juga yang keempat dan seterusnya. Jadi, mari kita memikirkan bagaimana kita bisa mendekatinya dengan menggunakan polinomial yang panjangnya
selalu bertambah. Sehingga, kita bisa mempunyai sebuah polinomial yang dinyatakan dalam 1 persamaan. Dan persamaan tersebut harus konstan. Sehingga,

Thai: 
ผมได้วาดฟังก์ชันตามใจขึ้นมาหนึ่งอัน และสิ่งที่เราจะทำคือพยายามประมาณฟังก์ชันนี้ไ
เราไม่รู้ว่ามันคืออะไร. เราจะใช้พหุนามเพิ่มเทอมเข้าไปในพหุนามนั้น
แต่ถ้าจะทำอย่างนี้ เราต้องสมมุติว่าเราสามารถหาค่าฟังก์ชันที่ 0 ได้ โดยเราได้
ค่าค่าหนึ่ง แล้วเราก็คอยหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แล้วแทนค่าออกมา, อนุพันธ์อันดับหนึ่ง, สอง
สาม, ไปเรื่อยๆ ที่ค่า 0 เช่นกัน. แล้วเราสมมุติว่าเรารู้ค่า F(0)
เราสมมุติว่าเรารู้ค่า F'(0), เราสมมุติว่ารู้อนุพันธ์อันดับสองของมันที่ 0,
เราสมมุติว่าเรารู้อนุพันธ์อันดับสามที่ 0. ผมจะเขียนอนุพันธ์อันดับสาม เป็น f ไพรม์ ไพรม์ที่ 0
ไปเรื่อยๆ. ลองคิดดูว่าเราจะประมาณเจ้านี่โดยใช้พหุนามที่มี
ความยาวมากขึ้นนี่อย่างไร. ตอนนี้เรามีพหุนามแค่เทอมเดียว. และมันเป็นค่าคงที่.

Korean: 
 
여기에 임의의
함수를 그리고
저희가 해볼 것은
이 함수의 값을
가늠해보겠습니다
이 식이 뭔지 모릅니다
하지만 다항식을 사용하여
계속 항을
더해서 구해보겠습니다
이를 위해선
함수가 0에서
정의되고 어떤 값을
가져야 하며
해당 함수의
도함수를 계속 구하고
값을 구할 수 있어야 합니다
첫 번째, 두 번째
그리고 세 번째 이렇게 말이죠
그리고 0일 경우도요
따라서 여기선 f(0)의
값을 안다고 가정합니다
f'(0)의 값을
안다고도 가정하죠
0일 경우의 이계도함수의
값도 안다고 가정합니다
그리고 0일 경우의 삼계도함수의
값도 안다고 가정하죠
여기에 삼계도함수를 적어볼게요
f''(0) 그리고 더 많겠죠
그리고 계속 길이가 늘어나는
다항식의 값을 어떻게
어림할지 생각해봅시다
한 개의 항의 다항식을
가질 수도 있습니다
그게 상수항일 수도 있죠
따라서 차수가 0인
다항식이 될 수 있습니다
그리고 상수항을 가진다면

Chinese: 
我任意的在這裡畫了一個函式 我們現在要去逼近這個函式
我們還不知道這是什麼 用多項式會累加在這個多項式上面

Bulgarian: 
Ще начертая графика 
на една произволна функция.
Сега ще опитаме да апроксимираме
тази произволна функция...
не знаем каква е тя –да я представим
с многочлен (полином).
Ще добавяме членове
към този полином.
Но за да направим това,
трябва да приемем, че
можем да изчислим функцията
за х равно на нула,
че това ще ни даде някаква
стойност, и че
можем да продължим
да намираме производни от функцията,
и да пресметнем първата,
втората
и третата производна, четвъртата
производна и т.н. за ха равно на нула.
Допускаме, че знаем
колко е f(0).
Допускаме, че знаем
колко е f'(0).
Допускаме, че знаем
втората производна за 0.
Допускаме, че знаем
третата производна за 0.
Може би да запиша...
трета производна.
Просто ще запиша f'(0),
и така нататък.
Да видим как можем
да намерим приблизително това,
като използваме многочлени
с увеличаваща се дължина.
Да кажем, че имаме полином
само с един член.
И този член е константа.
Това е полином от нулева 
степен.
Ако имаме член, който е константа,
може да искаме

Polish: 
Narysowałem tu dowolną funkcję i tym czym chcemy się zająć jest przybliżenie tej przypadkowej
funkcji, której nie znamy. Używając wielomianu będziemy dodawać wyrażenia do tego wielomianu.
Jednak w tym celu musimy założyć, że możemy można obliczyć wartość funkcji w zerze, że przyjmuję ona jakąś
wartość i że możemy różniczkować tę funkcje i wyliczyć pierwszą, drugą
trzecią pochodną w zerze itd. itd. Więc zakładamy, że znamy wartość f(0)
Zakładamy, że wiemy jaka jest f'(0), zakładamy, że znamy drugą pochodną w zerze
zakładamy, że znamy trzecią pochodną w zerze. Więc może zapiszę ją jako f potrójne prim od zera
itd. itd. Zastanówmy się więc jak możemy przybliżyć funkcję za pomocą wielomianu o coraz większej
liczbie wyrazów. Jeśli moglibyśmy mieć wielomian z tylko jednym składnikiem i byłby to stały składnik. Więc to

German: 
Ich habe hier eine willkürliche Funktion gezeichnet und wir werden versuchen diese zu approximieren,
wir kennen sie dabei nicht, wir nutzen dafür Polynome und werden immer weitere Terme zu diesem Polynom addieren.
Aber um das zu tun, werden wir annehmen, dass wir sie in Null berechnen können. Das gibt uns einen
Wert und wir können weiterhin die Ableitungen der Funktion nehmen und die erste, die zweite
die dritte Ableitung, usw. in Null berechnen. Wir nehmen also an, dass wir wissen was f(0) ist,
wir nehmen an, dass wir wissen was f'(0) ist, wir nehmen an, dass wir die zweite Ableitung in Null kennen,
wir nehmen an, dass wir wissen was die dritte Ableitung in Null ist. Ich werde die dritte Ableitung als f Strich Strich Strich in Null schreiben.
und so weiter und so fort. Lasst uns also drüber nachdenken wir sie mit immer länger werdenden Polynomen approximieren
können.Wir könnten also ein Polynom mit nur einem Term nehmen. Und es wäre einfach nur ein konstanter Term. Es

Portuguese: 
Eu desenhei uma função arbitrária aqui
e nós iremos tentar aproximá-la,
não sabemos qual é a função. Usando
um polinômio, adicionaremos termos a ele.
Mas para isso, vamos supor
que podemos avaliá-la em zero
e que se tomarmos derivadas 
dessa função e avaliarmos
a primeira, segunda, terceira derivada 
e assim por diante em zero.
Supondo que sabemos qual é 
f de zero, e f linha de zero,
supondo que a segunda derivada é zero,
que sabemos a terceira derivada em zero.
Escreveremos a terceira derivada como
f duas linhas de zero e assim por diante.
Vamos pensar em como aproximá-la
usando polinômios de tamanho crescente.
Podemos ter um polinômio de um termo.
E seria somente um termo constante.
Seria um polinômio de grau zero. 
E se nós tivermos um termo constante,

Spanish: 
He dibujado una función arbitraria aquí y lo que vamos a hacer es tratar de aproximarme a esta función
arbitraria. No sabemos lo que es. Usando un polinomio, le seguiremos sumando términos.
Pero para hacer esto, vamos a suponer que se puede evaluar la función en cero, que nos da algún
valor y que también podemos seguir tomando la derivada de la función y evaluando la primera derivada, la segunda,
la tercera derivada, y así sucesivamente. Así que estamos suponiendo que sabemos que es F (0),
estamos suponiendo que sabemos que es F '(0), estamos suponiendo que sabemos que es la segunda derivada en cero, estamos
suponiendo que sabemos que es la tercera derivada en cero. Voy a escribir la tercera derivada, como F prima prima prima en cero
y así sucesivamente. Así que vamos a pensar en cómo podemos aproximar esta función utilizando polinomios de longitudes cada vez más
grandes. Así que podríamos tener un polinomio de un solo término. Y sólo sería un término constante. Así que este

Turkish: 
Buraya herhangi bir fonksiyon çizdim ve bu fonksiyona, polinom kullanarak, yaklaşık değerler bulmak istiyoruz.
-
Bunu yapmak için, fonksiyonun 0'daki değerini bulabileceğimizi varsayıyoruz. Ayrıca, birinci, ikinci, üçüncü ve diğer türevlerini alıp, bu türevlerin de 0 için değerlerini bulabileceğimizi varsayıyoruz.
-
Şimdi, f 0'ı, f üssü 0'ı, f'nin 0'daki ikinci ve üçüncü türevlerini bildiğimizi varsayıyoruz.
-
-
Şimdi, bu fonksiyona, artan terim sayılı polinomlarla nasıl yakınlaşacağımızı düşünelim.
Tek terimli bir polinomumuz olabilir. Bu terim, sabit bir terimdir. Yani, polinomumuzun derecesi 0'dır.

English: 
I've draw an arbitrary
function here.
And what we're
going to try to do
is approximate this
arbitrary function--
we don't know what it
is-- using a polynomial.
We'll keep adding terms
to that polynomial.
But to do this,
we're going to assume
that we can evaluate
the function at 0,
that it gives us some
value, and that we
can keep taking the
derivative of the function
and evaluating the
first, the second,
and the third derivative, so
on and so forth, at 0 as well.
So we're assuming that
we know what f of 0 is.
We're assuming that we
know what f prime of 0 is.
We're assuming that we know
the second derivative at 0.
We're assuming that we know
the third derivative at 0.
So maybe I'll write
it-- third derivative.
I'll just write f prime prime
at 0, and so forth and so on.
So let's think about how we
can approximate this using
polynomials of ever
increasing length.
So we could have a
polynomial of just one term.
And it would just
be a constant term.
So this would be a
polynomial of degree 0.
And if we have a constant
term, we at least

Turkish: 
Eğer sabit terimimiz varsa, bunu, en azından, f 0 olarak belirlemek isteriz.
Eğer polinomumuza P polinomu dersek, belki başlangıç olarak, f 0'a eşit bir sabit polinom seçmek isteriz. P 0'ı, f 0'a eşitleriz.
-

Russian: 
Это будет полином нулевой степени. И если мы имеем постоянный член, мы, как минимум, хотим иметь возможность сделать этот
полином, это просто постоянная функция, равная функции при нуле, F(0). Сперва, возможно мы просто
хотим P(0) где P является полиномом, который мы хотим построить. Мы хотим чтобы P(0) равнялся F(0).
Если мы хотим чделать это, мы можем просто установить P(x) равен F(0)
Если начертить это, это будет выглядеть вот так. Это будет просто горизонтальная линия при F(0).
И вы можете сказать: "Сал, это ужасная аппроксимация, это только аппроксимирует функцию в этой точке
Кажется нам повезло в паре других точек, но это никуда не годится во всех остальных местах"
И я попробую сказать вам: "Попробуйте сделать лучше используя горизонтальную прямую
По крайней мере, у нас сошлось в F(0) и это все, что мы можем сделать с одной только постоянной.

Polish: 
byłoby wielomian stopnia zerowego. I jeśli mielibyśmy stały wyraz to tym co przynajmniej możemy zrobić z tym stałym
wielomianem (tak naprawdę jest to funkcja stała) to zrównać ją z funkcją w punkcie f(0). Więc najpierw chcemy tylko
p(0), gdzie p jest wielomianem, który chcemy skonstruować. Chcemy, żeby p(0) była równa f(0).
Więc jeśli chcemy to zrobić używając wielomianu p z tylko jednym składnikiem, możemy po prostu określić p(x) = f(0)
Jak narysowałbym go wykresie będzie wyglądał tak; będzie on po prostu linię poziomą w f(0).
I możesz powiedzieć Sal, to jest okropne przybliżenie, jest ono poprawne jedynie w tym punkcie
wygląda też, że mamy szczęście jeszcze co do paru punktów, ale poza tym jest naprawdę kiepsko wszędzie indziej
i ja wtedy zaproponuje Ci, abyś znalazł(a) jakieś lepsze przybliżenie używając poziomej linii.
Przynajmniej mamy poprawność w f(0) i to jest po prostu najlepsze co możemy zrobić ze stałą.

Korean: 
해당 상수항 다항식이
그냥 상수함수죠
f(0)와 같게 만들고 싶습니다
따라서 처음엔
p(0)을 구해야 합니다
p는 저희가 만들 다항식입니다
p(0)이 f(0)과 같아야 하죠
따라서 하나의
항으로 이루어진
다항식을 사용하여
하고싶다면
p(x)가 f(0)와
같다고 정하면 됩니다
이 그래프를 그리면
이렇게 생겼을 것입니다
f(0)에 수평선이죠
그리고 이게 안좋은
어림값이라 할 수 있습니다
오직 이 점에서의
값만 어림하기 때문이죠
몇 개의 점에서의
값도 알려주지만
다른 곳에서의 값은 모릅니다
따라서 이 수평선보다
더 좋은 그래프를
찾아야 합니다
적어도 f(0)에
값은 구했네요
따라서 이게 상수항으로
구할 수 있는 부분입니다
하지만
제가 복습하고 싶은 것은
이게 상수항으로 안 보일
수도 있다는 것입니다

Portuguese: 
este seria um polinômio de grau zero. E se temos uma constante, nós queremos que pelo menos,
esse polinômio, que é só uma constante, seja igual à função em f(0). Então inicialmente
nós queremos P(0), aonde "P" é o polinômio que queremos construir, seja P(0) igual a f(0).
Se quisermos fazer isso, basta definir P(x) sendo igual a F(0).
Então se eu fosse desenhar o gráfico, ele ficaria assim. Seria somente uma linha horizontal passando por F(0).
E você pode dizer: "Essa é uma aproximação horrível! Ela só se aproxima na função em um ponto."
Parece que tivemos sorte em alguns outros pontos, mas é realmente muito ruim em todos os outros lugares...
Aí eu te digo: "tente fazer algo melhor usando uma linha horizontal"
pelo menos nós acertamos em F(0) e isso é o melhor que conseguimos fazer com uma constante.

Portuguese: 
nós faríamos esse polinômio,
na verdade uma função constante,
igual à função em f de zero. 
Primeiro, nós calculamos p de zero onde
p é o polinômio que queremos construir.
Queremos p de zero igual a f de zero.
Para isso, simplesmente
igualamos p de x é igual a f de zero.
Desenhando o gráfico, ele fica assim.
Seria uma linha horizontal em f de zero.
E você pode dizer: 
Sal, essa é uma aproximação horrível.
Só se aproxima nesse ponto.
Demos sorte em alguns outros pontos,
mas é muito ruim em qualquer outro lugar.
Você pode tentar algo melhor com
uma linha horizontal.
Pelo menos acertamos em f de zero, é o
melhor que conseguimos com uma constante.

Bulgarian: 
да направим тази константа 
полином...
или константна функция –
равна на функцията за f(0).
Значи, първо искаме
р(0),
където р е полином, който
ще съставим,
искаме р(0) да е равен на f(0).
Ако искаме да направим това,
като използваме полином от само един член,
само един постоянен член,
можем да поставим р(х) 
да е равно на f(0).
Ако го начертаем, това
ще изглежда ето така.
Това ще бъде една хоризонтална
права за f(0).
Тук може да кажеш, че това
е ужасно приближение.
Това е приближение на функцията 
само в тази точка.
Изглежда, че имаме 
съвпадение в още няколко точки,
но на повечето места нямаме.
И сега аз ще ти кажа,
че няма как да има
по-добро съвпадение
с хоризонтална права.
Поне имаме в f(0).
Това е максималното, което можем 
да постигнем с една константа.
И даже – искам да ти припомня,
че това може да не изглежда
като константа,

Indonesian: 
persamaan ini akan menjadi sebuah polinomial pangkat nol. Dan jika kita mempunyai sebuah nilai konstan, paling tidak kita mau membuat polinomial
tersebut, itu benar-benar hanya sebuah fungsi konstan, sama dengan fungsi pada F(0). Jadi, pertama kali kita hanya
ingin P(0) dimana P adalah polinomial yang ingin kita bangun. Kita ingin P(0) sama dengan F(0).
Jika kita ingin melakukannya kita bisa melakukannya dengan hanya mengatur bahwa P(x) sama dengan F(0)
sehingga, jika saya menggambarkannya, akan terlihat seperti ini. Grafiknya akan berbentuk seperti sebuah garis horizontal pada F(0).
Dan kamu bisa mengatakannya, bahwa hal ini adalah pendekatan yang buruk, hanya mendekatkan pada fungsi di titik ini.
sepertinya kita beruntung pada beberapa pasang titik lain namun sangat buruk di titik-titik lainnya dimanapun.
Dan saya akan mencoba untuk memberitahumu untuk mencoba cara lain yang lebih baik dibandingkan garis horizontal
setidaknya kita benar pada F(0) dan hal ini sebaik sebagaimana kita bisa melakukannya pada sebuah nilai konstan

German: 
wäre also ein Polynom vom Grad Null. Und wenn wir einen konstanten Term haben, dann soll wenigstens das
Polynom, eigentlich ist es nur eine konstante Funktion, gleich der Funktion in f(0) sein. Zuerst wollen wir also
nur p(0) wobei p das Polynom ist, dass wir konstruieren wollen. Wir wollen, dass p(0) gleich f(0) ist.
Wenn wir wollen können wir einfach p(x) gleich f(0) setzen.
Wenn wir es also zeichnen wollen, sieht es so aus. Es wird einfach eine horizontale Linie durch f(0) sein.
Und ihr könnt sagen: Sal, das ist eine furchtbare Approximation, sie approximiert die Funktion nur in diesem Punkt
Sieht so aus als ob wir noch an einigen anderen Punkten Glück hätten, aber sonst ist es ziemlich schlecht.
Und ich werde euch dann sagen, versucht es besser zu machen mit einer horizontalen Linie.
Zumindest stimmt es in f(0) und besser wird es nicht mit einer einfachen Konstanten.

Thai: 
เจ้านี่คือพหุนามดีกรี 0. และถ้าเรามีค่าคงที่, อย่างน้อยเราอยากให้มัน
เท่าพหุนามนั้น, ที่จริงมันก็แค่ฟังก์ชันค่าคงที่, เท่ากับค่าฟังก์ชันที่ F(0). ดังนั้นอย่างแรกบางทีเรา
ควรให้ P(0) โดย P เป็นพหุนามที่เราสร้างขึ้นมา. เราอยากให้ P(0) เท่ากับ F(0)
ถ้าเราอยากให้เป็นอย่างนั้น เราก็แค่จับ P(x) เท่ากับ F(0)
แล้วถ้าผมวาดกราฟมัน มันจะออกมาเป็นแบบนี้. มันจะเป็นเส้นนอนที่ F(0)
แล้วคุณก็บอกว่า ซาล, นี่มันเป็นการประมาณที่แย่มาก, มันประมาณค่าแค่ตรงจุดนี้
ดูเหมือนว่าเราจะเดาถูกตรงค่าอื่นบ้าง, แต่มันประมาณได้แย่มากแทบทุกที่
และผมพยายามบอกคุณว่า พยายามลองใช้เส้นนอนอื่นดูสิ
อย่างน้อยเราก็ได้ F(0) ถูก และนี่ก็ดีที่สุดเท่าที่เราจะได้จากฟังก์ชันคงที่แล้ว

Spanish: 
sería un polinomio de grado cero. Y si tenemos un término constante, por lo menos queremos hacer a ese polinomio,
que es realmente una función constante, igual a la función F (0). Así, al principio tal vez sólo
queremos P(0), donde P es el polinomio que queremos contruír. Queremos que P(0) sea igual a F(0).
Si queremos hacer con un polinomio de un sólo término, de un sólo término constante, podemos poner que P(x) es igual a F (0).
Así que si la quisiéramos representar gráficamente se vería así. Será sólo una línea horizontal en F (0).
Y se puede decir de Sal, que es una aproximación horrible que sólo se aproximan a la función a éste punto
Parece que tuvimos la suerte en un par de otros puntos, pero es realmente mala en todas partes
Y voy a tratar de decirle que trate de hacer un mejor uso de una línea horizontal
por lo menos nos salió bien en F (0) y esto es sólo tan bueno como podemos hacerlo con solo una constante.

English: 
might want to make that constant
polynomial-- it really is just
a constant function-- equal
the function at f of 0.
So at first, maybe
we just want p of 0,
where p is the polynomial
that we're going to construct,
we want p of 0 to
be equal to f of 0.
So if we want to do that
using a polynomial of only one
term, of only one
constant term, we
can just set p of x
is equal to f of 0.
So if I were to graph it,
it would look like this.
It would just be a
horizontal line at f of 0.
And you could say, Sal, that's
a horrible approximation.
It only approximates the
function at this point.
Looks like we got lucky at
a couple of other points,
but it's really bad
everywhere else.
And now I would
tell you, well, try
to do any better using
a horizontal line.
At least we got it
right at f of 0.
So this is about as good as we
can do with just a constant.
And even though-- I just
want to remind you--
this might not look
like a constant,

French: 
serait un polynôme de degré zéro. Si nous avons un terme constant, nous voulons au moins le faire devenir
polynomial, ce n'est vraiment qu'une fonction constante, égalant la fonction à F (0). Premièrement, peut-être que nous
voudrions P(0) où P est le polynôme que nous voulons construire. Nous voulons que P(0) égale F(0).
Si nous voulons faire ceci, n'avons qu'à rendre P(x) égal à F(0).
Si je le dessinais graphiquement, cela ressemblerait à ceci. Ce ne serait qu'une ligne horizontale à F (0).
Vous pouvez dire que c'est une approximation terrible; cela ne fait qu'estimer la fonction, à ce point.
Nous avons été chanceux à quelques points, mais le reste est très mauvais.
Je vais essayer de vous montrer à faire un meilleur usage de cette ligne horizontale.
Au moins, nous avons raison avec F(0) et ce n'est que bon si nous pouvons le faire avec une constante.

Thai: 
และแม้ว่านี่อาจดูไม่เหมือนฟังก์ชันค่าคงที่ เราสมมุติว่าฟังก์ชันที่กำหนด
เราสามารถหาค่ามันที่ 0 ได้ และนั่นให้เลขนั้นแก่เรามา. ดังนั้นไม่ว่าเลขนั้น
จะเป็นเท่าไหร่ เราก็ใส่มันตรงนี้. แล้วเราบอกว่า P(x) เท่ากับค่านั้น. มันจะเป็นเส้น
นอนตรงนี้ที่ F(0). แต่มันไม่ค่อยดีเท่าไหร่ งั้นลองเพิ่มเงื่อนไขดู
นอกจากที่เราอยากได้ p(0) เท่ากับ f(0) แล้ว สมมุติเราอยากได้ p'(0) = f'(0) ด้วย
ขอผมใช้สีใหม่นะ. เราอยากได้, สีใหม่นะ, เราอยากได้, นี่ยังไม่ใช่สีใหม่
เรายังอยากได้ p', เราอยากได้อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันเรา ตอนเราแทนค่าที่ 0 ให้มันเท่ากับ
อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันตอนแทนค่า 0. และเราไม่อยากเสียเจ้านี่

Korean: 
하지만 함수가 주어졌을 경우
0에서의 값을 구할 수 있고
이는 상수를
결과로 줍니다
따라서 어떤
수가 되었든 간에
p(x)는 해당 값과 같습니다
여기 수평선의
f(0)값과 같습니다
하지만 이는
충분하지 않습니다
다른 조건을
더 붙여봅시다
p(0)가 f(0)가 되어야
한다는 것 외에
p'(0)의 값이
f'(0)의 값과
같아야 한다고 합시다
새로운 색을 사용할게요
새로운 색으로
이는 새로운 색이 아니네요
p'의 값도 원합니다
다항식의 일계도함수는
0에서의 값이
함수의 일계도함수의
0에서의 값과 동일합니다
그리고 이 조건도 잊으면 안되죠

Russian: 
И хотя это может не выглядит как постоянная, мы предполагаем, что мы имея функцию,
мы можем оценить ее при нуле и это даст нам просто значение. Какое ьы это ни было значение,
мы бы положили его прямо здесь. И мы бы сказали 
P(x) равно этому значению. Это будет просто 
горизонтальная
линия, прямо здесь, при F(0). Но это очевидно не очень здорово, так что давайте добавим больше постоянных.
Кроме того факта, что мы хотим приравнять p(0) к f(0), скажем мы также хотим чтобы p'(0) = f'(0)
Давайте я использую другой цвет для этого. Мы хотим другой цвет, и мы также хотим, чтобы не другой цвет.
Мы также хотим p', мы хотим первую производную нашего полинома при нуле быть тем же
что и первая производная функции при нуле. И мы не хотим потерять это прямо

Portuguese: 
E embora não se pareça uma constante,
estamos supondo que dada uma função
nós podemos calculá-la em zero
e nos dará um número.
Qualquer que seja o número colocamos aqui.
E fazemos p de zero igual a esse número.
Será apenas uma linha horizontal
aqui em f de zero.
Mas isso não é bom obviamente.
Então vamos adicionar mais restrições.
Além do fato que se quisermos
p de zero igual a f de zero,
digamos que também queremos
p linha de zero é igual a f linha de zero.
--Vou escrever em outra cor.
--Nós também queremos,
Queremos também p linha, que a primeira
derivada do nosso polinômio em zero
seja a mesma coisa que a primeira derivada
da função avaliada em zero.
E não queremos perder isso bem aqui aqui.

English: 
but we're assuming that
given the function,
we could evaluate
it at 0 and that
will just give us a number.
So whatever number that was, we
would put it right over here.
We'd say p of x is
equal to that number.
It would just be a horizontal
line right there at f of 0.
But that obviously
is not so great.
So let's add some
more constraints.
Beyond the fact that we want
p of 0 to be equal to f of 0,
let's say that we
also want p prime at 0
to be the same thing
as f prime at 0.
Let me do this in a new color.
So we also want,
in the new color,
we also want-- that's
not a new color.
We also want p prime.
We want the first derivative
of our polynomial,
when evaluated at 0,
to be the same thing
as the first derivative of the
function when evaluated at 0.
And we don't want to lose
this right over here.

Indonesian: 
dan meskipun ini mungkin tidak seperti sebuah konstan, kita berasumsi bahwa dari fungsi yang diberikan
kita bisa mengevaluasinya pada titik nol dan hal tersebut akan memberikan kita angka. Jadi, berapapun angka yang ada
akan kita masukkan ke titik itu. Dan anggaplah P(x) sama dengan angka tersebut. Nilai tersebut hanya akan menjadi garis
horizontal pada F(0). Tapi, hal tersebut jelas tidak terlalu hebat. Jadi, mari tambah beberapa tantangan.
diluar fakta bahwa kita ingin P(0) sama dengan F(0), anggaplah bahwa kita juga ingin P'(0) = F'(0)
Izinkan saya melanjutkan dengan warna baru. Jadi kita ingin, dalam warna baru, kita juga ingin, itu dengan bukan warna baru
ku juga ingin P', kita ingin turunan pertama dari polinomial saat nol punya
nilai yang sama dengan turunan pertama fungsi ketika nol. Dan kita tidak mau hal ini menjadi sia-sia.

Bulgarian: 
но ние приемаме, че
като ни е дадена тази функция,
можем да я сметнем за 0
и ще получим просто това число.
Каквото и да е това число,
ще го сложим тук.
Ще кажем, че р(х)
е равно на това число.
Това ще бъде хоризонтална
права ето тук в f(0).
Но и това не е много добре.
Затова да добавим
още условия.
Освен фактът, че искам
р(0) да е равно на f(0),
да кажем, че искаме
също и р' за 0
да е равно на f'(0).
Ще използвам различен цвят.
Искаме – с новия цвят,
искаме – това не е 
нов цвят.
Искаме и р',
първата производна
на нашия полином,
когато я изчислим за 0,
да бъде равна на
първата производна на функцията,
изчислена за 0.
Не искаме да изгубим това
ето тук.

Spanish: 
Y a pesar de que esto no se ve como una constante que estamos suponiendo que, dada la función
podemos evaluarla a cero y eso nos dará el número. Así que cualquier número que sea
ponemos por aquí. Y diríamos P (x) es igual a ese número. Sólo será un eje horizontal
allí mismo, en la línea F (0). Pero eso obviamente no es tan grande, así que añadiremos más restricciones.
Más allá del hecho de que queremos que p (0) es igual a f (0) y queremos también que p '(0) = f' (0)
Lo haré en un color nuevo; ese no es un color nuevo.
También queremos que p ', queremos que la primera derivada de nuestro polinomio evaluado en cero, que sea la misma
cosa como el primer derivado de la función cuando fué evaluada a cero. Y, no queremos perder esto

German: 
Und obwohl es vielleicht nicht wie eine Konstante aussieht, nehmen wir an, dass wir bei gegebener Funktion
sie in Null berechnen können und das gibt uns einfach eine Zahl. Was auch immer das für eine Nummer war,
wir setzen sie einfach da hin. Und wir sagen, dass p(x) gleich dieser Zahl ist. Es wird einfach eine hoirzontale
Linie hier in f(0) sein. Aber das ist offensichtlich nicht so toll, also lasst uns ein paar mehr Teile hinzufügen.
Neben der Tatsache, das wir wollen, dass p(0) gleich f(0) ist, lasst uns annehmen, dass wir auch p'(0) = f'(0) wollen.
Lasst mich das in einer neuen Farbe machen. Also, wir wollen auch, in der neuen Farbe, wir wollen auch, das ist keine neue Farbe.
Wir wollen auch, dass p', wir wollen, dass die erste Ableitung unserer Polynoms in Null das gleiche ist
wie die erste Ableitung der Funktion, ausgewertet in Null. Und wir wollen das hier drüben nicht

Polish: 
I mimo, że (chce tylko przypomnieć) może nie wyglądać to na stałą, ale zakładamy, że z danej funkcji
możemy obliczyć jej wartość w zerze i to da nam liczbę. Więc niezależnie tej liczby
możemy wstawić ją tutaj. Tak, że p(x) jest równy liczbie. To po prostu będzie pozioma
linia dokładnie tutaj na f(0). Ale to oczywiście nie jest takie super więc może dodajmy trochę wymogów
Poza faktem, że chcemy, aby p(0) była równa f(0) powiedzmy, że chcemy również równość p'(0) = f'(0)
Napiszę to innym kolorem. Więc chcemy także, w nowym kolorze, chcemy także, to nie nowy kolor.
Chcemy również p', chcemy pierwszą pochodną naszego wielomianu podczas podczas wyliczania jej w zerze, aby była
taka sama jak pierwsza pochodna funkcji w zerze. I nie chcemy stracić tego

French: 
Même si ça ne ressemble pas à une constante, nous assumons que vu la fonction,
nous pouvons l'évaluer à zéro et cela nous donnera le nombre, Peu importe ce que ce nombre était,
nous l'aurions mis juste ici. Nous pourrions dire que P(x) est égal à ce nombre, Ce ne sera qu'une ligne horizontale
ici à F(0). Mais ce n'est évidemment pas si bon, ajoutons donc des contraintes supplémentaires.
Malgré le fait que nous voulons que p(0) soit égal à f(0), disons que nous voulons aussi p'(0) = f'(0).
J'utiliserai une autre couleur. Nous voulons aussi, avec la nouvelle couleur, ce n'est pas une nouvelle couleur.
Nous voulons aussi p', la première dérivative de notre polynomial pendant que nous l'avions évalué à 0, la même chose que
la première dérivative de la fonction lorsqu'évaluée à 0. Nous ne voulons pas perdre cela, n'est-ce pas?

Portuguese: 
E apesar disso não se parecer uma constante, nós estamos assumindo que na função dada
nós podemos descobrir seu valor em zero, e isso vai ser somente um número. Então qualquer que seja esse número
nós colocamos ele aqui. E dizemos que p(x) é igual a esse número. Isso vai ser somente uma linha
horizontal em f(0). Mas isso é obviamente não muito bom, então vamos adicionar mais restrições.
Além de querer que p(0) seja igual a f(0), digamos que também queremos que p'(0) = f'(0).
Vou fazer isso com outra cor. Então também queremos, na nova cor, queremos que não seja uma nova cor.
Queremos que p'(0), a primeira derivada do nosso polinômio avaliada em zero, seja igual
à primeira derivada da função quando avaliada em zero. E não queremos perder isso

Korean: 
p(x) = f(x)라고 하면
어떻게 되나요?
이 이전 항 p(x)를 놔두며
새로운 항을 더하여
도함수의 값이 같도록 하겠습니다
더하기 f'(0)x
이에 관하여 생각해봅시다
새로운 다항식으로
이를 사용하면 어떻게 되나요?
p(0)는 무엇인가요?
p(0)의 값은
이는 f(0) 더하기
이 값이 무엇이 되었든 간에
곱하기 0입니다
x에 0을 대입하면
이 값은 0이 됩니다
따라서 p(0)는 f(0)가 성립되죠
좋아요
첫 번째 규칙과 동일하네요
이제 여기서
도함수는 무엇인가요?
도함수는 p'(x)
이 식의 도함수를 구합니다
이는 그저 상수항입니다
따라서 도함수는 0입니다
계수의 도함수 곱하기 x는
그저 계수일 뿐이죠
따라서 이는 f'(0)가 됩니다

Portuguese: 
E se, fizermos p de x igual a f de zero,
estamos pegando nosso p de x
e adicionando outro termo
para que as derivadas se igualem.
Mais f linha de zero vezes x. 
Vamos pensar um pouquinho nisso.
Se usarmos esse novo polinômio,
o que acontece? Quanto é p de zero?
Teremos f de zero mais qualquer valor
que seja f linha de zero vezes zero.
Se colocarmos um zero para x,
esse termo será zero.
Ficaremos com p de zero igual a f de zero.
Isso é legal! :- )
É tão boa quanto nossa primeira versão.
Agora qual a derivada aqui?
A derivada é p linha de x igual a,
pegue a derivada disso,
e isso é uma constante então
a derivada é zero.
E a derivada de um coeficiente
vezes x será o coeficiente.
Assim, será f linha de zero. 
Se calcularmos em zero,

Indonesian: 
Lalu, bagaimana jika, bagaimana jika kita menentukan P(x) sama dengan F(0), sehingga kita mengambil P(x) jadi kita
akan menambah nilai lain sehingga turunannya akan cocok. Tambah F'(0) dikali x. Lalu, mari pikirkan tentang hal ini
sedikit. Jika kita menggunakan ini sebagai polinomial baru, apa yang terjadi? P(0), apa itu P(0)? P(0) akan menjadi
sama dengan, kamu akan mempunyai F(0) + apapun F kutip (0) kali nol. Jika kamu memasang sebuah nol untuk
x, persamaan ini akan menjadi nol. Sehingga, jika kamu akan membiarkan dengan P(0)=F(0). Itu keren ;)
hal ini menjadi sama baiknya dengan versi pertama kita. Sekarang apa turunan pertama di sana?
jadi, turunannya adalah P'(x) =, ambil turunan dari ini, dan ini hanya sebuah konstan sehingga
turunannya adalah nol. Dan turunan dari sebuah koefisien dikali x akan menjadi koefisien.

French: 
Et si nous réglions p(x) à = f(0)? Nous prendrions notre p(x), nous ajouterons donc
un autre terme, pour que les dérivatives correspondent. Pensons à ceci un peu

Polish: 
tutaj. To co zrobić, jeśli ustalimy p(x) jako równe f(0), więc bierzemy nasze stare p(x), ale teraz
dodamy nawy składnik, tak aby pochodne się zgadzały, dodać f'(0) razy x. Pomyślmy o tym
trochę, zatem jeśli używamy tego jako naszego nowego wielomianu-co się dzieje? p...co to jest p(0)? p(0) będzie
równe, będziemy mieć f(0) dodać niezależnie od tego czym ta pochodna jest razy zero. Jeśli umieścisz zero zamiast
x to ten wyraz stanie się, po prostu, zerem. Tak więc zostaniesz z p(0) = f(0). To spoko;)
Jest tak dobrze, jak przy naszej pierwszej wersji. Teraz to, co jest pochodną tutaj?
Pochodną jest p'(x) = (weźmy pochodną tego, to jest tylko stała więc
pochodna wynosi zero i pochodną współczynnika razy x będzie współczynnik)

German: 
verlieren. Was wäre denn, wenn wir p(x) gleich f(0) setzen, wir nehmen also unser p(x) und wir werden
einen weiteren Term hinzufügen, sodass die Ableitungen übereinstimmen. Plus f'(0) mal x. Lasst uns darüber ein wenig
nachdenken, wenn wir das also als unser neues Polynom benuten, was passiert? p(0), was ist p(0)? p(0) wird
gleich sein, man hat dann f(0) plus was auch immer f Strich von 0 ist, mal 0. Wenn man hier Null für
x einsetzt, wird dieser Term Null. Euch bleibt also nur p(0) = f(0). Das ist cool.
Das ist genauso gut wie unsere erste Version. Was ist jetzt die Ableitung hier drüben?
Die Ableitung ist also p'(x) =, leite das hier ab, und das ist nur eine Konstante, also ist die
Ableitung Null. Und die Ableitung eines Koeffizienten mal x ist der Koeffizient selbst.

Russian: 
тут. Таким образом, что если... что если мы примем, что p(x) равно f(0), мы берем нашу p(x), мы
добавим еще один член, чтобы производные совпали.
Плюс f'(0) умножить на x. Давайте подумаем об этом
немножко, что если мы используем это как наш новый полином, что случится? p(0) что есть p(0)? p(0) будет
равно чему? вы получите f(0) + любое значение

Bulgarian: 
Какво ще стане, ако сложим
р(х) да е равно на f(0)?
Взимаме нашето старо р(х),
но сега ще добавим
още един член, за да бъдат
равни производните.
Плюс f'(0) по х.
Да помислим малко за това.
Ако това е нашият нов полином,
какво се случва?
Колко е р от 0?
р(0) е ще бъде равно на
f(0) плюс каквото
и да е това, f'(0) по нула е нула.
Ако заместим х с нула,
този член ще стане нула.
Така че ще ни остане р(0) = f(0).
Това е яко.
Връщаме се в първия вариант.
Но колко е тази производна тук?
Производната на р'(х)
е равна на...
намираме производната от това.
Това е просто константа,
така че производната ѝ ще е 0.
Производната на коефициент
по х
ще бъде просто коефициентът.
Значи ще бъде f'(0).

English: 
So what if we set p of x
as being equal to f of 0?
So we're taking our old
p of x, but now we're
going to add another term so
that the derivatives match up.
Plus f prime of times x.
So let's think about
this a little bit.
If we use this as our new
polynomial, what happens?
What is p is 0?
p of 0 is going to
be equal to-- you're
going to have f of 0 plus
whatever this f prime of 0
is times 0.
If you put a 0 in for x, this
term is just going to be 0.
So you're going to be left
with p of 0 is equal to f of 0.
That's cool.
That's just as good
as our first version.
Now what's the
derivative over here?
So the derivative is p
prime of x is equal to-- you
take the derivative of this.
This is just a constant,
so its derivative is 0.
The derivative of a
coefficient times x
is just going to
be the coefficient.
So it's going to
be f prime of 0.

Portuguese: 
aqui. Então, se definirmos p(x) igual a f(0), temos p(x) e vamos
acrescentar mais um termo de modo que a as derivadas sejam iguais. Mais f'(0) vezes x. Vamos pensar um pouco
sobre isso, se usarmos esse novo polinômio, o que acontece? p(0)... o que é p(0)? p(0) será
igual a f(0) a onde quer que f seja 0. Se pusermos o 0 em
x o termos será igual a 0. Assim será p(0)=f(0). Porreiro ;)
É tão bom como a primeira versão. Agora quais são as derivadas aqui?
A derivada é p'(x)= , faz

Spanish: 
aquí. ¿Y qué si, y si ponemos p (x) como igual a f (0), por lo que estamos tomando nuestro p (x) estamos
añadiendo otro término a los derivados pareados. Además f '(0) x veces. Así que vamos a pensar en esto un
poquito, por lo que si usamos esto como nuestro nuevo polinomio que pasa? p (0) lo que es p (0)? p (0) va a
sera igual a, vas a tener f (0) + f lo que sea este f primo (0) multiplicado por cero. Si usted pone un cero en la
x este término se va simplemente a ser cero. Así que te vas a quedar con p (0) = f (0). Eso está bien;)
Eso es sólo tan bueno como la primera versión. Ahora, ¿qué es el derivado por aquí?
Así que el derivado es p '(x) =, el derivado de esta, y esto es sólo una constante por lo que su
derivado es cero. Y el derivado de un coeficiente de veces x va a ser el coeficiente.

Thai: 
ตรงนี้ไป. แล้วจะเกิดอะไรขึ้น, เกิดอะไรขึ้นถ้าเราให้ p(x) เท่ากับ f(0), เราก็เอา p(x) มาแล้วเรา
ก็บวกเทอมอีกเทอมเข้าไป แล้วอนุพันธ์ตรงกัน บวก f'(0) คูณ x. ทีนี้ลองคิดกัน
ดูหน่อย, ถ้าเราให้นี่เป็นพหุนามใหม่ของเรา จะเกิดอะไรขึ้น? p(0). p(0) เป็นเท่าไหร่? p(0) จะ
เท่ากับ, คุณจะได้ f(0) + f ไพรม์ (0) เป็นอะไรก็ช่างคูณ 0. ถ้าคุณใส่ 0 ลงไป
ใน x เทอมนี้จะเท่ากับ 0. คุณเลยเหลือแค่ p(0) = f(0). เจ๋งมาก ;)
นั่นมันดีเท่ากับเวอร์ชั่นก่อนแล้ว. แล้วอนุพันธ์ตรงนี้เป็นเท่าไหร่?
อนุพันธ์คือ p'(x) =, หาอนุพันธ์ของเจ้านี่, และนี่ก็แค่ค่าคงที่
อนุพันธ์ของมันเป็น 0. และอนุพันธ์ของค่าคงที่ คูณ x จะเท่ากับสัมประสิทธิ์

Portuguese: 
p linha de zero ou a derivada
do nosso polinômio em zero.
Sei que é estranho porque
não estamos usando--
estamos fazendo p linha de x, 
f linha de zero.
Mas lembre-se qual a variável e
qual a constante, com sorte fará sentido.
Será obviamente f linha de zero.
A derivada é uma constante.
Essa constante bem aqui.
Supondo que podemos calcular
a derivada da nossa função e calculá-la
em zero para obter um valor constante.
Se p linha de x é igual a esse
valor constante, então, obviamente,
p linha de x calculado em zero
será esse valor. Olha que legal isso.
Esse polinômio tem um termo de grau zero
e um termo de primeiro grau,
e esse polinômio é igual a nossa
função em x igual a zero
e também tem a mesma primeira derivada.
Tem a mesma inclinação em x igual a zero!

Polish: 
dlatego to będzie f'(0). Jeśli wyznaczymy ją w zerze to p'(0) czy pochodna
z naszego wielomianu wyznaczona w zerze. Wiem, że to trochę dziwne ponieważ nie używamy
wiesz, bierzemy p'(x) i f'(0), ale po prostu zapamiętaj czym tu jest zmienna
a czym stała, wtedy nabierze to sensu. Więc to oczywiście będzie f'(0). Jej pochodna
jest wartością stałą. To tutaj jest stałą wartością. Zakładamy, że możemy różniczkować
naszą funkcje i wyznaczyć jej wartość w 0, aby nadać jej stałą wartość. A więc jeśli p'(x) jest równe
tej stałej wartości to, oczywiście, p'(x) wyznaczone w 0 będzie tą wartością.
Ale to co jest tutaj fajne to to, że ten wielomian ma wyraz stopnia zerowego
i wyraz stopnia pierwszego, a także jest teraz równy naszej funkcji w punkcie x = 0
i posiada także taką samą pierwszą pochodna! Posiada także takie same naczylenie w x = 0.

German: 
Also ergibt das f'(0). Wenn man es also in Null berechnet, also p' von Null oder die Ableitung
unserer Polynoms berechnet in Null. Ich weiß, es ist ein wenig komisch, weil wir nicht
ihr wisst schon, wir sagen, oh, p'(x), f'(0), aber erinnert euch einfach, was die Variable ist
was die Konstante ist und hoffentlich ergibt es Sinn.
Also das hier wird offensichtlich f'(0). Seine Ableitung
ist ein konstanter Wert. Das ist ein konstanter Wert hier. Wir nehmen an, dass wir die Ableitung
unserer Funktion nehmen können und berechnen das Ding in Null, damit es einen konstanten Wert ergibt. Also wenn p'(x) gleich
diesem konstanten Wert ist, dann ist p'(x) offensichtlich das gleiche in Null ausgewertet.
Aber was cool daran ist, dieses Polynom, das einen Term vom Grad Null hat
und einen vom Grad Eins, ist jetzt, das Polynom ist gleich unserer Funktion in x = 0
und es hat außerdem die gleiche erste Ableitung. Es hat also die Gleiche Steigung in x = 0!

Thai: 
มันจึงเท่ากับ f'(0). ดังนั้นถ้าคุณแทนค่ามันที่ 0 แล้ว p' ของ 0 หรืออนุพันธ์
ของพหุนามเราแทนค่าที่ 0. ผมรู้ว่ามันแปลกเพราะเราไม่ได้ใช้,
คุณก็รู้, เรากำลังใช้, โอ้, p'(x), f'(0), แต่จำไว้ว่าตัวไหนคือตัวแปร
ตัวไหนคือค่าคงที่, หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ. แล้วนี่, แน่นอน, เท่ากับ f'(0). อนุพันธ์ของมัน
เป็นค่าคงที่. นี่คือค่าคงที่ตรงนี้. เราสมมุติไว้ว่าเราหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันนี้ได้ แล้วหาค่ามันได้ที่ 0 แล้วเราได้ค่าคงที่มา. ดังนั้น, ถ้า p'(x) เท่ากับ
ค่าคงที่นี้แล้ว, แน่นอน, p'(x) แทนค่าที่ 0 จะได้ค่านั้น
แต่สิ่งทีเจ๋งตรงนี้คือว่า, พหุนามนี้ที่มีเทอมดีกรี 0
กับเทอมดีกรี 1, ตอนนี้, พหุนามนี้เท่ากับฟังก์ชันเราที่ x=0
และมันยังมีอนุพันธ์อันดับแรกเท่ากันด้วย. มันมีความชันเท่ากันที่ x=0 ด้วย!

Bulgarian: 
Ако сметнем това за 0 –
значи р'(0).
Или производната на
нашия полином, изчислена за 0...
Знам, че това е малко странно,
защото не използваме...
намираме р' от х от f(0) и всичко това.
Но само си спомни, какво
е променлива, какво е константа,
и се надявам, че
това ще ти се стори логично.
Това очевидно ще бъде f'(0).
Производната е постоянна стойност.
Това е тази константа тук.
Допускаме, че можем да намерим 
производната на нашата функция
и да я изчислим за 0,
за да получим константа.
Така че, ако p'(х) е равно
на тази постоянна стойност,
очевидно p'(х),
изчислено за 0
ще бъде тази стойност.
Но хубавото за това е, че
този полином, който има член 
от нулева степен и от първа степен,
сега е този полином, който
е равен на нашата функция за х = 0.
И има същата първа производна.
Има същия наклон за х = 0.
Така че това ще изглежда,
този полином с два члена...

English: 
So if you evaluate it
at 0-- so p prime of 0.
Or the derivative of
our polynomial evaluated
at 0-- I know it's a little
weird because we're not using--
we're doing a p prime of x
of f of 0 and all of this.
But just remember, what's the
variable, what's the constant,
and hopefully, it'll make sense.
So this is just obviously
going to be f prime of 0.
Its derivative is
a constant value.
This is a constant
value right here.
We're assuming that we can take
the derivative of our function
and evaluate that thing at
0 to give a constant value.
So if p prime of x is equal
to this constant value,
obviously, p prime
of x evaluated at 0
is going to be that value.
But what's cool about
this right here,
this polynomial that has a 0
degree term and a first degree
term, is now this polynomial
is equal to our function at x
is equal to 0.
And it also has the
same first derivative.
It also has the same
slope at x is equal to 0.
So this thing will look,
this new polynomial

Spanish: 
Así que va a ser f '(0). Así que si usted lo evalúe en cero "para p igual a cero o un derivado de la
de nuestro polinomio evaluado en cero. Sé que es un poco raro porque no estamos utilizando
usted sabe, que estamos haciendo, oh, p '(x), f' (0), pero recuerda, lo que es la variable
¿Cuál es la constante, y es de esperar que va a tener sentido. Así que esta es, obviamente, va a ser f '(0). Su derivado
es un valor constante. Este es un valor constante aquí. Estamos asumiendo que podemos tomar el derivado
de nuestra función y evaluar esa cosa a 0 para dar un valor constante. Así, si p '(x) es igual
a este valor constante, entonces, obviamente, p '(x) evaluada a 0 va a ser ese valor.
Pero lo bueno de esto de aquí, este polinomio que tiene un término de cero grados
y un término de primer grado, es ahora, este polinomio es igual a nuestra función en x = 0
y también tiene la primera derivada misma. También tiene la misma pendiente en x = 0!

Indonesian: 
Jadi, ini akan menjadi F'(0). Jadi, jika kamu mengevaluasinya di titik nol, maka P' dari nol atau turunannya
dari polinomial kita akan dievaluasi pada nol. Saya tahu hal ini agak aneh karena kita tidak menggunakan
kamu tahu, kita melakukan, oh, P'(x), F'(0), tapi ingatlah, yang mana variabel
yang mana konstanta, dan semoga itu membuat jelas.
Jadi, ini, jelas, akan menjadi F'(0). Turunannya
adalah sebuah nilai konstan. Ini adalah sebuah nilai konstan di sini. Kita berasumsi kita bisa mengambil turunan
dari fungsi kita dan mengevaluasinya di nol untuk memberikan sebuah nilai konstan. Jadi, jika P'(x) sama
dengan nilai konstan ini, lalu, dengan jelas, P'(x) yang dievaluasi pada nol akan menjadi nilai itu
tapi yang membuat keren di situ, polinomial ini yang mempunyai persamaan dengan pangkat tidak nol
dan pada persamaan pangkat satu, sekarang, polinomial ini sama dengan fungsi kita pada x=0
dan itu juga mempunyai turunan pertama yang sama. Itu juga memiliki gradien/kemiringan yang sama pada x=0!

Korean: 
0에서의 값을 구하면
p'(0)의 값을 구하면
0에서 다항식의
도함수의 값을 구하면
이게 조금 이상하다고
느낄 것입니다
p'(x), f(x)와 같은
것들이 말이죠
변수와 상수가
무엇인지 생각을 한다면
이해가 될 것입니다
따라서 이는 f'(0)이 됩니다
이 도함수는
상수값을 가집니다
여기 이 값은 상수값입니다
이 함수의 도함수를 찾아
0일 때의 값이
상수라는 것을 구할 수 있습니다
p'(x)가 이 상수값과 같다면
p'(x)가 0일 때의 값은
이 값이 됩니다
여기서 중요한 것은
이 다항식의 0차 항과
1차 항은, 이 다항식의 값은
x가 0일 경우의
함숫값과 같습니다
그리고 일계도함수의
값도 같습니다
x=0일 경우에 같은
기울기를 가집니다
따라서 이 새로운 다항식은

Portuguese: 
Esse polinômio de dois termos
será um pouco melhor.
Ele parecerá algo como isso.
Ele essencialmente parecerá
uma linha tangente em f de zero,
em x igual a zero. Estamos melhor,
mas ainda não é uma boa aproximação. 
Está indo geralmente na mesma direção
que a nossa função em torno de zero,
mas talvez possamos melhorar garantindo
que tenha a mesma segunda derivada.
E tentar a mesma segunda derivada
enquanto continua tendo a mesma
primeira derivada e o mesmo valor em zero.
Vamos tentar algo interessante.
Vamos definir p de x, vamos deixar claro.
Essa foi nossa primeira tentativa.
Essa é a nossa segunda, bem aqui.
E estou perto de embarcar
na terceira tentativa.
Na terceira, meu objetivo é que
o valor do meu polinômio seja o mesmo
que o valor da função em zero, que
tenham as mesmas derivadas em zero,

Polish: 
To będzie tak wyglądać, ten nowy wielomian z dwoma wyrazami staje się trochę lepszy
Będzie on wyglądał jakoś jak to. (Będzie
zdecydowanie mieć), będziesz wyglądać jak styczna w f(0), przy x = 0. Tak więc radzimy sobie lepiej,
ale nadal nie jest to super dobre przybliżenie. W pewnym sensie zmierza ono w tym samym kierunku
co nasza funkcja w okolicy 0, ale być może osiągniemy coś lepszego upewniając się, że funkcję mają
takie same drugie pochodne. I spróbujmy mieć te same drugie pochodne
nie tracąc takiej samej pierwszej pochodnej oraz tej samej wartości w zerze. Spróbujmy zrobić coś interesującego.
Zdefiniujmy p(x), niech będzie jasne, to było nasze pierwsze podejście
To jest nasze drugie podejście, tutaj, a ja zaraz rozpocznę naszą trzecią próbę.
Więc, w naszym trzecim podejściu, moim celem jest, aby wartość mojego wielomianu była taka sama jak
wartość funkcji na 0, żeby miały tę samą pochodną w zerze,

English: 
with two terms-- getting
a little bit better--
it will look
something like that.
It will essentially have--
it'll look like a tangent line
at f of 0, at x is equal to 0.
So we're doing better, but still
not a super good approximation.
It kind of is going in
the same general direction
as our function around 0.
But maybe we can do
better by making sure
that they have the
same second derivative.
And to try to have the same
second derivative while still
having the same first derivative
and the same value at 0,
let's try to do
something interesting.
Let's define p of x.
So let's make it clear.
This was our first try.
This is our second
try right over here.
And I'm about to embark
on our third try.
So in our third try, my goal is
that the value of my polynomial
is the same as the value
of the function at 0.
They have the same
derivative at 0.

Thai: 
เจ้านี่จึงออกมา, พหุนามที่มี 2 เทอมนี้ ดูดีขึ้นหน่อยแล้ว
มันจะออกมาเป็นแบบนั้น. มันจะ
มี, มันดูเหมือนเส้นสัมผัสที่ f(0), ที่ x=0. แล้ว, เราทำได้ดีขึ้นอีก,
แต่ยัง, ยังไม่ใช่การประมาณที่ดีนัก. มันจะมีทิศทั่วไปเหมือนกัน
กับฟังก์ชันของเราใกล้ๆ 0, แต่บางทีเราอาจทำได้ดีกว่าเดิม โดยทำให้แน่ใจว่าพวกมัน
มีอนุพันธ์อันดับสองเหมือนกัน. และเวลาลองทำให้มีอนุพันธ์อันดับสองเหมือนกัน
โดยยังมีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง และค่าฟังก์ชันเท่ากันที่ 0 นั้น, เรามาลองทำอะไรที่น่าสนใจกัน
ลองนิยาม p(x), เขียนให้ชัด, นี่คือสิ่งแรกที่เราลองไป
นี่ก็คือการลองครั้งที่สอง, ตรงนี้, และผมกำลังจะลองอันที่สามแล้ว
ในการลองครั้งที่สาม, เป้าหมายผมคือค่าของพหุนามยังเท่ากับ
ค่าฟังก์ชันที่ 0 เหมือนเดิม, พวกมันมีอนุพันธ์เท่ากันที่ 0,

German: 
Also wird dieses Teil aussehen, dieses neue Polynom mit zwei Termen ist ein wenig besser.
Es wird irgendwie so aussehen. Es wird
hauptsächlich, es wird wie eine Tangente in f(0) aussehen.
Wir werden also besser,
Aber immer noch keine super gute Approximation. Es geht irgendwie noch in die ungefähr gleiche Richtung
wie unsere Funktion um 0, aber vielleicht können wir es besser machen, indem wir sicher gehen, dass sie
die gleiche zweite Ableitung haben. Und um zu versuchen, dass sie die gleiche zweite Ableitung haben während
sie noch die gleiche erste Ableitung und den gleichen Wert in 0 haben, lasst uns was interessantes versuchen.
Lasst uns p(x) definieren, wir stellen klar, das war unser erster Versuch.
Das ist unser zweiter Versuch, gleich hier und ich werde unseren dritten Versuch angehen.
Also, in unserer dritten Versuch ist es mein Ziel, dass der Wert meines Polynoms der gleiche ist
wie der Wert der Funktion in 0, dass sie die gleiche Ableitung in 0 haben,

Bulgarian: 
започва да става по-добре –
ще изглежда нещо подобно, ето така.
Ще има принципно...
ще изглежда като допирателна
в f(х) за х = 0.
Нещата се подобряват, но все още
нямаме добро приближение.
Един вид отива в същата
посока като нашата функция около 0.
Но може би ще е по-добре, ако
се уверим, че
те имат една и съща втора
производна.
И да се опитаме да имаме
същата втора производна, когато
имаме една и съща първа
производна и еднаква стойност за 0,
да се опитаме да направим
нещо интересно.
Нека да дефинираме р(х).
Искам да поясня.
Това беше първият ни опит.
Това тук е вторият ни опит.
И съм готов да започна
третия опит.
При третия ни опит целта ми е
стойността на моя полином
да е същата като стойността
на функцията за 0.
Те имат еднакви
първи производни за 0.

Spanish: 
Así que esta cosa se ​​verá, este nuevo polinomio con dos términos es cada vez un poco mejor.
Se verá algo así. Tendrá
esencialmente, se verá como una recta tangente a f (0), en x = 0. Por lo tanto, estamos haciendo mejor,
pero todavía no, una buena aproximación super. En cierto modo va en la misma dirección general
como nuestra función de alrededor de 0, pero a lo mejor que podemos hacer mejor asegurarse de que tengan
el mismo segundo derivado. Y de hacerlo mientras
tengan el mismo primer derivado y el mismo valor a 0, tratemos de hacer algo interesante.
Vamos a definir p (x), vamos a dejar en claro, este fue nuestro primer intento.
Este es nuestro segundo intento, por aquí, y estoy a punto de embarcarnos en nuestro tercer intento.
Así, en nuestro tercer intento, mi objetivo es que el valor de mi polinomio es el mismo
como el valor de la función a 0, tienen el mismo derivado a 0,

Korean: 
두 개의 항을 가지고
더 나아졌습니다
이와 같이 생겼습니다
이 함수는 접선을
x = 0일 경우, f(0)에서
다음과 같이 접선을 가집니다
이전보다 나아졌지만
아직 부족합니다
함수가 0일 경우와
비슷한 방향으로 갑니다
이계도함수의
값이 같게
만들어야 합니다
이계도함수가 같게 만들고
일계도함수의 값과 0일 때의
값도 같게 만들어야 합니다
흥미로운 것을 해봅시다
p(x)를 정의해 봅시다
한번 해봅시다
이는 첫 번째 풀이입니다
이는 두 번째 풀이입니다
이제 세 번째 풀이를 적겠습니다
세 번째 풀이에선
다항식의 값이
함수의 값과 0일
경우에 같게 합니다
0일 경우 도함수의
값이 같게 합니다

Indonesian: 
jadi, hal ini akan terlihat, polinomial baru ini dengan dua persamaan akan membuat sedikit lebih baik.
ini akan terlihat seperti itu. Ini akan
secara esensial memiliki, itu akan terlihat seperti garis tangen pada F(0), pada x=0. Jadi, kita melakukan lebih baik,
tapi masih, bukan pendekatan yang super baik. Ini seperti akan berada pada arah umum yang sama
sebagaimana fungsi kita pada sekitar 0, tapi mungki kita bisa melakukan lebih baik dengan memastikan mereka punya
turunan kedua yang sama. Dan mencoba untuk mempunyai turunan kedua yang sama saat
masih memiliki turunan pertama yang sama dan nilai yang sama pada 0, mari kita coba untuk mencoba sesuatu yang menarik.
Mari kita definisikan P(x), mari membuat ini jelas, ini adalah percobaan pertama kita.
Ini adalah percobaan kedua kita, di situ, dan saya akan mencoba untuk naik ke percobaan ketiga kita.
Jadi, pada percobaan ketiga kita, goal saya adalah bahwa nilai dari polinomial saya adalah sama
dengan nilai pada fungsi saat 0, mereka punyai turunan yang sama pada 0,

Polish: 
i aby miały taką samą drugą pochodną w zerze. Zdefiniujmy wielomian
jako równy: na początku spełnię pierwsze dwa warunki tych chłopaków tutaj
Tak więc to będzie f(0) dodać f'(0) razy x
to dokładnie to co zrobiliśmy tutaj, ale teraz pozwól mi dodać kolejny wyraz.
(Narysuję kolejny składnik w innym kolorze) Dodać, dam tu jedną drugą
i miejmy nadzieję, że zaraz nabierze sensu czemu chce to zrobić
Dodać 1/2 razy f" - druga pochodna naszej funkcji wyliczona w zerze x^2
A kiedy wyliczymy pochodną z tego, myślę, że okaże się czemu tutaj jest 1/2.
Ponieważ teraz obliczmy to i pochodną tego w 0. Więc, jeśli obliczymy p(0)
czemu będzie równe p(0)? Będziesz miał ten stały składnik
jeśli wyliczysz go w 0, ten x oraz x^2 - oba będą równe zero

Indonesian: 
dan mereka juga punya turunan kedua yang sama saat 0.
Jadi, meri kita definisikan polinomial saya
untuk sama terhadap, jadi saya akan melakukan persamaan pertama dari dua di sana.
Jadi, ini akan menjadi, F(0) tambah F'(0) kali x.
jadi, persis dengan yang kita lakukan di sini, tapi sekarang izinkan saya tambahkan persamaan lain.
Saya akan melakukan persamaan lain dengan warna lain. Tambah, saya akan menjadi 1 setengah di sana,
dan semoga menjadi jelas kenapa saya akan melakukan hal ini.
Tambah satu setengah kali F turunan kedua dari fungsi kita yang dievaluasi pada 0 kali kuadrat.
dan ketika kita mengevaluasi turunan ini, saya pikir kamu akan melihat kenapa satu setengah ada di sana.
Karena sekarang, mari kita evaluasi ini dan turunannya pada 0. Jadi, jika kita evaluasi P(0),
P(0) akan menjadi sama dengan apa? kamu akan memiliki persamaan konstan ini
jika kamu mengevaluasi ini pada 0, x ini dan x kuadrat ini kedua-duanya akan menjadi 0, jadi

Bulgarian: 
Имат и еднакви втори
производни за 0.
Да дефинираме моя полином
да е равен на...
ще направя първите два члена ето тук.
Значи ще бъде f(0) плюс f'(0) по х,
точно същото, което
направихме тук.
Сега обаче ще добавя
още един нов член.
Ще добавя новия член
с нов цвят.
И тук ще сложа 1/2.
Надявам се, че е логично
защо го правя.
Плюс 1/2 от втората
производна
на нашата функция, изчислена
за нула по х на квадрат.
Когато сметнем производната
на това,
ще разбереш защо
слагам тук 1/2.
Хайде сега да сметнем това
и производната му за 0.
Ако сметнем р(0), 
на колко ще е равно?
Имаме този постоянен член.
Ако го сметнем за 0, това х 
и това х на квадрат ще са нули.
Значи тези членове изчезват.

Thai: 
และพวกมันยังมีอนุพันธ์อันดับสองเท่ากันที่ 0 อีกด้วย. งั้นลองนิยามพหุนามของผม
ให้เท่ากับ, ผมจะทำสองเทอมแรกของเจ้านี่ตรงนี้
มันจะเป็น f(0), บวก f'(0) คูณ x
แล้ว, เหมือนกับที่เราทำมาก่อนเป๊ะ, แต่ตอนนี้ผมเพิ่มอีกเทอมเข้าไป
ผมจะทำอีกเทอมด้วยอีกสีนึงนะ บวก, ผมจะเขียน 1 ส่วน 2 ตรงนี้,
และหวังว่าคุณจะเข้าใจว่าทำไมผมถึงทำอย่างนี้
บวก 1/2 คูณ f อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเรา แทนค่าที่ 0 x กำลังสอง
แล้วเวลาเราหาค่าอนุพันธ์ของเจ้านี่, ผมว่าคุณจะเห็นเองว่าทำไมถึงมี 1 ส่วน 2 ตรงนี้ด้วย
เพราะตอนนี้, ลองหาค่าเจ้านี่ กับอนุพันธ์ที่ 0 กัน. ทีนี้, ถ้าเราหาค่า p(0),
p(0) จะเท่ากับอะไร? ตรงนี้, คุณมีค่าคงที่นี่
ถ้าคุณหาค่ามันที่ 0, x นี่ กับ x^2 นี่จะเป็น 0 ทั้งคู่, แล้ว

German: 
und dass sie auch die gleiche zweite Ableitung in 0 habe. Also lasst uns mein Polynom definieren
soll gleich sein zu, ich nehme die ersten beiden Terme dieser beiden dort drüben.
Es wird also sein, f(0) plus f'(0) mal x
Also genau das, was wir hier gemacht habe, aber lasst mich jetzt einen anderen Term hinzufügen.
Ich werde den anderen Term in einer anderen Farbe schreiben. Und ich werde hier einhalb hinsetzen
und hoffentlich ergibt das dann Sinn warum ich das tue.
Plus ein halb mal die zweite Ableitung unserer Funktion f in Null mal x zum Quadrat.
Und dann berechnen wir die Ableitung hiervon, ich denke ihr werdet sehen warum dieses Einhalb da ist.
Denn jetzt, lasst uns das berechnen und seine Ableitungen in 0. Also wenn wir p(0) berechnen,
p(0) ist dann gleich was? Naja, man hat diesen konstanten Term,
wenn man den in 0 berechnet, dieses x und dieses x^2 sind beide 0, also

Portuguese: 
e tenham também a mesma segunda
derivada em zero.
Vamos definir meu polinômio igual a,
eu farei os dois primeiros termos
desses caras bem aqui. Será f de zero
mais f linha de zero vezes x.
Exatamente o que fizemos aqui.
Agora vou adicionar outro termo.
Eu farei o outro termo em outra cor.
Mais meio bem aqui
e com sorte isso fará sentido
do porquê estou fazendo isso.
Mais meio vezes a segunda derivada de f,
nossa função em zero x ao quadrado.
E quando avaliamos a derivada disso, você
verá o porquê do meio estar lá.
Porque agora, vamos avaliar isso e suas
derivadas em zero.
Se avaliarmos p de zero, p de zero
será igual a o que?
Bem, teremos esse termo constante,
se avaliarmos em zero,
esse x e o x ao quadrado serão ambos zero,
então esses termos vão embora.

Korean: 
0일 경우 이계도함수의
값이 같게 합니다
따라서 다항식을
여기 이 두 항을
첫 두 항으로 적겠습니다
따라서 이는 f(0) 더하기
f'(0)x 입니다
여기서 풀었던 것이죠
다른 항도 더해봅시다
다른 색으로 적어보겠습니다
그리고 여기에
1/2을 적겠습니다
왜 이렇게 적는지
이해가 될 것입니다
더하기 1/2 곱하기
0일때의 함수의
이계도함수 곱하기 x^2입니다
이 도함수의 값을 구하면
1/2이 왜 여기에
있는지 알 것입니다
이 값을 구하고 0일 경우
이 도함수의 값을 구해봅시다
p(0)을 구하면
p(0)의 값은 얼마인가요?
상수항을 가질 것입니다
0일 경우의 값을 구하면
여기 x 와 x^2은
0이 됩니다
따라서 이 항들은 없어집니다

Spanish: 
y también tienen el segundo derivado igual a 0. Así que vamos a definir mi polinomio
a ser igual, así que voy a hacer los dos primeros términos de estos chicos por aquí.
Por lo tanto, va a ser, f (0), además de f '(0) multiplicado x veces.
Por lo tanto, exactamente lo que hicimos aquí, pero ahora quiero añadir otro término.
Voy a hacer el otro término en otro color. Además, voy a ser la mitad de aquí,
y espero que tenga sentido por eso que estoy a punto de hacerlo.
Más la mitad de veces f del segundo derivado de nuestra función evaluada en x 0 al cuadrado.
Y cuando se evalúa el derivado de esta, creo que se verá por qué esto de la mitad está ahí.
Porque ahora, vamos a evaluar esta y sus derivados a 0. Así pues, si evaluar de forma p (0),
p (0) va a ser igual a qué? Bueno, usted tiene este término constante,
si la evaluación a 0, este xyx este ^ 2 son a la vez va a ser 0, por lo

English: 
And they also have the same
second derivative at 0.
So let's define my
polynomial to be
equal to-- so I'm going
to do the first two
terms of these guys
right over here.
So it's going to be
f of 0 plus f prime
of 0 times x, so exactly
what we did here.
But now let me add another term.
I'll do the other
term in a new color.
And I'm going to
put a 1/2 out here.
And hopefully it might make
sense why I'm about to do this.
Plus 1/2 times the
second derivative
of our function
evaluated at 0 x squared.
And when we evaluate
the derivative of this,
I think you'll see
why this 1/2 is there.
Because now let's evaluate
this and its derivatives at 0.
So if we evaluate p of 0, p of
0 is going to be equal to what?
Well, you have
this constant term.
If you evaluate it at 0,
this x and this x squared
are both going to be 0.
So those terms are
going to go away.

Spanish: 
esos términos se va a desaparecer. Así que p (0) sigue siendo igual a f (0).
Si usted toma la derivada de p (x), así que me tome el derivado por la derecha aquí, lo haré en amarillo.
Por lo tanto el derivado de mi nuevo p (x) va a ser igual a, por lo que este término va a desaparecer,
es un término constante, que va a ser igual a f '(0), que es el coeficiente de esto,
mas, este es la regla de la potencia aquí, dos veces y media
es sólo uno, además de f'' (0) x veces. Tomar los dos, se multiplica por la mitad, y decremento de que dos a la derecha
allí. Y creo que ahora tengo una idea de por qué ponemos la mitad allí.
que lo está haciendo para que no terminen con un coeficiente de dos en el frente.
Ahora, que es p'(0)? p'(0) es qué?
Pues bien, este derecho término aquí va a ser 0, por lo que te queda este valor constante aquí.

Korean: 
따라서 p(0)은
f(0)과 아직 같습니다
p(x)의 도함수를 구하면
요가애 도함수를 적겠습니다
노란색으로 적겠습니다
새로운 p(x)의 도함수는
이 항은 사라집니다
이는 상수항입니다
이는 f'(0)과 같습니다
이는 계수입니다
더하기 멱의 법칙을 사용하여
1/2 곱하기 2는
1이죠, 더하기
f''(0) 곱하기 x
2에 1/2을 곱하기
2를 1만큼 줄입니다
이제 1/2을 왜
넣었는지 이해가 되겠죠
이는 계수가 2가 되지
않기 위함입니다
p'(0)의 값은 무엇인가요?
여기에 적어봅시다
p'(0)의 값은 무엇인가요?
이 항은 0과 같으므로
여기 이 상수항만 남습니다
이는 f'(0)과 같습니다

Bulgarian: 
Значи р(0) пак е равно на f(0).
Ако намерим производната
от р(х)...
ще намеря първата 
производна ето тук.
Ще използвам жълто.
Първата производна на
новата ми р(х)
ще е равна на...
този член изчезва.
Това е постоянен член.
Ще е равно на f'(0).
Това е коефициентът на това.
Плюс – това е правилото за производна
от степен – 2 по 1/2
е просто 1, плюс f''(0) по х.
Взимаме 2, умножаваме
го по 1/2,
и намаляваме степента,
това 2 ето тук.
Мисля, че сега ти е ясно
защо сложих това 1/2 тук.
То не позволява да получим
коефициент 2 отпред.
Колко е р'(0)?
Ще го запиша ето тук.
р'(0) колко е?
Този член тук ще стане нула,
така че остава тази постоянна
стойност ето тук.
Значи ще бъде f'(0).

English: 
So p of 0 is still
equal to f of 0.
If you take the derivative
of p of x-- so let
me take the
derivative right here.
I'll do it in yellow.
So the derivative
of my new p of x
is going to be equal to-- so
this term is going to go away.
It's a constant term.
It's going to be
equal to f prime of 0.
That's the coefficient on this.
Plus-- this is the power
rule right here-- 2 times 1/2
is just 1, plus f prime
prime of 0 times x.
Take the 2, multiply
it times 1/2,
and decrement that
2 right there.
I think you now have a sense
of why we put the 1/2 there.
It's making it so that we don't
end up with the 2 coefficient
out front.
Now what is p prime of 0?
So let me write it right
here. p prime of 0 is what?
Well, this term right here
is just going to be 0,
so you're left with this
constant value right over here.
So it's going to
be f prime of 0.

Thai: 
เทอมพวกนี้จะหายไป. ดังนั้น p(0) จะยังเท่ากับ f(0)
ถ้าคุณหาอนุพันธ์ของ p(x), ขอผมเขียนอนุพันธ์ตรงนี้นะ, ผมจะใช้สีเหลืองแล้วกัน
อนุพันธ์ของ p(x) ตัวใหม่ของผม จะเท่ากับ, เทอมนี้จะหายไป,
มันคือค่าคงที่. มันจะเท่ากับ f'(0), นั่นคือสัมประสิทธิ์ของเจ้านี่
บวก, นี่คือกฏเลขยกกำลัง, 2 คูณ 1 ส่วน 2
ได้เป็น 1, บวก f''(0) คูณ x. เอา 2 คูณกับ 1 ส่วน 2, และตัด 2
ตรงนี้. ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้วว่าทำไมเราถึงมี 1 ส่วน 2 ตรงนี้
มันทำให้เราไม่ต้องมาใส่สัมประสิทธิ์ 2 ข้างหน้าอีก
ทีนี้, p'(0) เป็นเท่าไหร่, p'(0) คืออะไร?
ทีนี้, เทอมนี่ตรงนี้จะเป็น 0, คุณจึงเหลือค่าคงที่นี่ตรงนี้

German: 
fallen diese Terme weg. Also ist p(0) immer noch gleich f(0)
Bestimmt man die Ableitung von p(x), lasst mich die Ableitung hierhin setzen, ich werde es gelb machen.
Also, die Ableitung meines neuen p(x) wird gleich, dieser Term fällt dann weg,
es ist ein konstanter Term, es wird gleich f'(0) sein, dass ist der Koeffizient da dran,
plus, das ist die Ableitungsregel hier, 2 mal einhalb
ist schlicht eins, plus f''(0) mal x. Nehmt die zwei, multipliziert sie mit ein halb und kürzt die beiden gegeneinander.
Und ich denke jetzt merkt ihr warum wir die ein halb da hingeschrieben haben.
Das sorgt dafür, dass wir nicht mit zwei Koeffizienten davor enden.
Gut, was ist jetzt p'(0)? p'(0) ist was?
Naja, dieser Term hier wird 0, also bleib dieser konstante Wert hier.

Polish: 
Te składniki znikną, więc p(0) jest wciąż równe f(0)
Jeśli zróżniczkujesz p(x), pozwól mi wziąć pochodną tego tutaj. Zrobię to na żółto.
Tak więc pochodna mojego nowego p(x) będzie się równać; ten składnik zniknie,
jest on stały, będzie więc równość z f'(0) - to współczynnik tego -
dodać, według zasad różniczkowania , 1/2 razy 2
to jest po prostu jeden dodać f''(0) razy x. Tę dwójkę pomnóż przez 1/2 i obniż tę dwójkę tutaj
myślę, że już nabrało to dla Ciebie sensu czemu daliśmy tu 1/2
powoduję to, że nie kończymy z '2' tutaj z przodu.
Teraz, co to jest p'(0)? p'(0) to co?
Dobrze, ten składnik tutaj będzie zerem, zostajemy z tą tutaj stałą wartością

Indonesian: 
persamaan-persamaan tersebut akan menghilang. Jadi P(0) masih sama dengan F(0).
Jika kamu mengambil turunan dari P(x), jadi izinkan saya mengambil turunannya di sini, saya akan melakukannya dengan warna kuning.
Jadi, turunan dari P(x) baru saya akan menjadi sama dengan, jadi persamaan ini akan menghilang,
ini adalah persamaan konstan, ini akan menjadi sama dengan F'(0), itu adalah koefisien pada ini,
tambah, ini adalah aturan pangkat di sini, 2 dikali satu setengah
adalah hanya 1, tambah F''(0) kali x. Ambil 2 nya, kalikan dengan satu setengan, dan menurunkan 2 itu ke
sini. Dan saya pikir kamu sekarang memiliki kejelasan kenapa kita menaruh satu setengah di sana.
ini adalah membuat supaya kita tidak berakhir dengan dua koefisien hilang.
Sekarang, apa itu P'(0)? P'(0) apaan sih?
Well, persamaan ini di sini akan menjadi 0, jadi kamu membiarkan nilai konstan ini di sini.

Portuguese: 
Assim, p de zero será igual a f de zero.
Se tomar a derivada de p de zero.
Vou tomar a derivada. Em amarelo.
A derivada do meu novo p de zero
será igual a, esse termo vai embora,
é um termo constante. 
Será igual a f linha de zero,
esse é o coeficiente disso, mais,
essa é a regra da exponenciação,
duas vezes meio vale um, mais
f duas linhas de zero vezes x.
Pegue o dois, multiplique por meio,
e decremente o dois bem aqui.
E agora vai perceber o porquê
coloquei o meio lá.
Está servindo para que não fiquemos
com um coeficiente dois na frente.
Agora, quanto é p linha de zero?
p linha de zero é quanto?
Bem, esse termo aqui será zero.
Assim ficamos com essa constante bem aqui.

Indonesian: 
Jadi, ini akan menjadi F'(0). Jadi, sejauh ini, polinomial generasi ketiga kita memiliki semua kondisi dari
kedua yang pertama. Dan mari kita lihat bagaimana ini dilakukan pada turunan ketiganya.
Jadi, mari kita lihat, saya harus mengatakan, turunan kedua. P''(x) sama dengan,
ini adalah sebuah konstan, sehingga turunannya adalah 0, jadi kemudian kamu hanya mengambil koefisien
dari persamaan kedua ini, yang sama dengan F''(0). Jadi, apa itu turunan kedua dari P
yang dievaluasi di 0? well, itu hanya akan menjadi nilai konstan ini, F''(0).
Jadi, perhatikan, dengan menambahkan persamaan ini, tidak hanya nilai polinomial sama dengan nilai
fungsi kita pada 0, turunannya di 0 sama dengan turunan dari fungsi kita pada 0,
dan turunan kedua pada 0 sama dengan dengan turunan kedua dari fungsi pada 0.
Dan kamu mungkin menebak adanya sebuah pola disini - setiap persamaan yang kita tambah akan mengizinkan kita

Portuguese: 
Será f linha de zero. Então, até aqui
nosso polinômio tem todas as propriedades
dos dois primeiros. E vamos ver
como fica a sua terceira derivada.
Vamos ver, quer dizer, a segunda derivada
p duas linhas de x é igual a
essa constante, então a derivada é zero.
Assim pegamos apenas o coeficiente
do segundo termo que é igual a
f duas linhas de zero.
Qual a segunda derivada de p
avaliada em zero?
Bem, será esse valor constante,
f duas linhas de zero.
Perceba que, adicionando esse termo,
não apenas o valor polinomial tem
o mesmo valor que a nossa função em zero,
mas sua derivada em zero é a mesma coisa
que a derivada da nossa função em zero,
e a sua segunda derivada em zero é o mesmo
que a segunda derivada da função em zero.
Você pode adivinhar que tem um padrão--
cada termo que adicionamos nos permite

Thai: 
มันจะเท่ากับ f'(0). ดังนั้น, ถึงตอนนี้, พหุนามรุ่นที่สามของเรา มีสมบัติทุกอย่าง
เหมือนสองตัวแรก. และลองดูว่ามันจะเป็นอย่างไร เมื่อคิดอนุพันธ์อันดับ 3
สมมุติว่า, ผมควรบอกว่า, อนุพันธ์อันดับสอง. p''(x) เท่ากับ
นี่คือค่าคงที่, อนุพันธ์ของมันเป็น 0, แล้วเราก็เอาค่าคงที่
ของเทอมที่สองนี้มา, เท่าากับ f''(0). แล้วอนุพันธ์อันดับสองของ p
หาค่าที่ 0 เป็นเท่าไหร่? มันก็แค่ค่าคงที่นี้, f''(0)
สังเกตว่า, เมื่อเพิ่มเทอมนี้เข้ามา, ค่าของพหุนามไม่เพียงเท่ากับ
ฟังก์ชันที่แทนค่า 0 เท่านั้น, อนุพันธ์ของมันที่ 0 ก็เหมือนกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราที่ 0,
แถมอนุพันธ์อันดับสอง ที่ 0 ยังเท่ากับอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่ 0 อีกด้วย
และคุณอาจเดาได้ว่ามีรูปแบบอยู่ในนี้ -- ทุกครั้งที่เราเพิ่มเทอมเข้าไป มันทำให้เรา

Spanish: 
Por lo tanto, va a ser f '(0). Por lo tanto, hasta ahora nuestro polinomio de tercera generación tiene todas las propiedades
de los dos primeros. Y vamos a ver cómo lo hace en su tercer derivado.
Por lo tanto, vamos a ver, diría yo, la segunda derivada. p'' (x) es igual a,
esto es una constante, asi que el derivado es 0, por lo que sólo tenemos que escoger el coeficiente de
en este segundo término, es igual a f'' (0). ¿Cuál es la segunda derivada de p
evaluada a 0? Bueno, sólo va a ser este valor constante, f'' (0).
Así noten que la adición de este término, no sólo es el valor del polinomio lo mismo que nuestra cosa
valor de la función a 0, su derivado es 0 es lo mismo que el derivado de nuestra función a 0,
y su segundo derivado es 0 es lo mismo que el segundo derivado de la función en 0.
Y puede suponer que hay un patrón aquí - cada término que se va a añadir nos permitirá

Polish: 
Tak więc będzie to f'(0). Jak dotąd nasza trzecia generacja wielomianów zachowywała wszystkie właściwości
dwóch pierwszych. I zobaczmy jak się zachowuję trzecia pochodna
zobaczmy - powinienem powiedzieć - że druga pochodna p"(x) jest równa
to jest stałą, więc jego pochodnych wynosi 0 w skutek tego bierzemy sam współczynnik
drugiego wyrazu równy f"(0). Czym właściwie jest druga pochodna p"(0)
Po prostu będzie to ta stała wartość f''(0).
Zauważ, że dodając te składniki, nie tylko wartość wielomianu jest taka sama jak naszej
funkcja w 0, ale również jego pochodne w zerze są takie same jak naszej funkcji w zerze.
Jego druga pochodna 0 jest taka sama jak druga pochodna funkcji w zerze - więc stajemy się coraz lepsi :)
i teraz możesz zgadnąć, że jest pewien wzorzec tutaj, każdy składnik który dodamy pozwoli nam

English: 
So so far, our third
generation polynomial
has all the properties
of the first two.
And let's see how it does
on its third derivative,
or I should say the
second derivative.
So p prime prime of
x is equal to-- this
is a constant, so
its derivative is 0.
So you just take the
coefficient on the second term
is equal to f prime prime of 0.
So what's the second
derivative of p evaluated at 0?
Well, it's just going to
be this constant value.
It's going to be f
prime prime of 0.
So notice, by adding
this term, now,
not only is our polynomial value
the same thing as our function
value at 0, its derivative
at 0 is the same thing
as the derivative of
the function at 0.
And its second derivative
at 0 is the same thing
as the second derivative
of the function at 0.
So we're getting
pretty good at this.
And you might guess that
there's a pattern here.
Every term we add, it'll allow
us to set up the situation so

Bulgarian: 
Дотук нашият трети полином
има всички свойства 
на първите два.
Да видим какво става
с третата производна,
или трябва да кажа
втората производна.
р''(х) е равна на...
това е константа, така че
производната ѝ е нула.
Просто взимаме коефициента
от втория член,
който е равен на f''(0).
Колко е втората производна
на р, изчислена за 0?
Тя ще бъде просто тази
постоянна стойност.
Тя ще бъде f''(0).
Забележи, като
добавим този член,
не само стойността на полинома
е равна на функцията за 0,
неговата производна 
за 0 е равна
на производната 
на функцията за 0.
И втората производна за 0 е равна на 
втората производна на функцията за 0.
Доста добре се получава.
И вероятно се досещаш, че
тук има някаква закономерност.
Всеки член, който добавим,
ни позволява да коригираме ситуацията,

German: 
Also wird es f'(0). Also, bis jetzt hat unser drittes Polynom alle Eigenschaften
der ersten beiden. Und lasst uns mal sehen wie es sich mit der dritten Ableitung verhält.
Also, lasst mal sehen. Ich sollte sagen, die zweite Ableitung p''(x) ist gleich
das ist eine Konstante, also die Ableitung gleich 0, also nimmt man einfach den Koeffizienten
von diesem zweiten Term, ist gleich f''(0). Also was ist die zweite Ableitung von p
ausgewertet in 0? Naja, es ist einfach dieser konstante Wert, f''(0)
Bemerkt also, durch hinzufügen dieses Terms, ist der Wert unserer Polynoms in 0 der gleiche
wie der Wert der Fuktion, seine Ableitung in 0 ist die gleiche wie die unserer Funktion in 0,
und seine zweite Ableitung in 0 ist die gleiche wie die zweite Ableitung unserer Funktion in 0.
Und ihr erkennt hier wahrscheinlich ein Muster-- jeder Term, den wir hinzufügen wird es uns erlauben

Korean: 
따라서 세 번째 다항식은
두 번째 다항식의
성질을 모두 가지고 있습니다
그리고 이제
삼계도함수를 구해봅시다
혹은 이계도함수죠
p''(x)는
이는 상수항입니다
따라서 도함수가 0입니다
따라서 두 번째 항의 계수는
f''(0)과 같습니다
그러면 p(0)의
이계도함수는 얼마인가요?
이는 상수항일 것입니다
이는 f''(0)와 같습니다
이 항을 더함으로써
0일 경우 다항식의 값이
함수의 값과 같아지고
0일 경우 도함수의 값이
함수의 도함수
값과 같아집니다
그리고 다항식이 0일때
이계도함수의 값이
함수의 이계도함수의
값과 같습니다
잘했네요
이미 규칙을 눈치 챘을 것입니다
항을 더할 때마다
상황이 맞으며

Polish: 
sprawić, aby n-ta pochodna naszego przybliżenia była taka sama
jak n-ta pochodna naszej funkcji w 0. Z tej przyczyny jeśli chcielibyśmy to dalej robić, jeśli mielibyśmy dużo czasu
i chcielibyśmy po prostu dodawać wyrazy do naszego wielomianu - moglibyśmy - pozwól mi to zrobić nowym kolorem(wcześniej używanym)
moglibyśmy uczynić nasze przybliżenie wielomianem takim, że naszym pierwszym składnikiem byłby f(0)
następnym byłby f'(x) razy x. Później byłby f"(0) razy 1/2 razy x^2 - po prostu przepisałem to w troszkę innym porządku.
Dalej następny składnik (jeśli trzecie pochodne mają być takie same w 0) byłby to
f'''(0), trzecią pochodna funkcji w 0, razy 1/2 razy 1/3 razy x^3.

Bulgarian: 
така че n-тата производна
на нашето приближение за нула
ще е същата като n-тата 
производна на функцията за 0.
И принципно, ако искаме
да продължим с това,
ако разполагаме с много
свободно време,
и искаме да продължим
да добавяме членове към полинома,
можем – ще използвам
нов цвят –
може би с някой цвят, който
вече съм използвал.
Можем да направим 
приближение на нашия полином.
Първият член, постоянният член,
ще бъде просто 0.
Следващият член ще бъде
f'(0) по х.
Следващият член ще бъде
f''(0) по 1/2 по х^2.
Преписах това в малко
по-различен ред.
Следващият член, ако искаме 
третата производна
да е еднаква за 0, ще бъде
f'''(0).
Третата производна на функцията за 0,
по 1/2 по 1/3, значи по 1 върху
2 по 3,

Portuguese: 
ter uma situação na qual a enésima
derivada da nossa aproximação em zero
será o mesmo que a enésima derivada
da nossa função em zero.
Em geral, se continuarmos fazendo isso,
adicionando termos ao nosso polinômio,
--vou fazer em outra cor-- nós poderemos
fazer nossa aproximação polinomial,
nosso primeiro termo seria f de zero,
e o próximo seria f linha de zero vezes x.
O próximo termo seria f duas linhas
de zero vezes meio vezes x ao quadrado.
O próximo termo, se quiséssemos fazer
a sua terceira derivada o mesmo em zero,
seria f três linhas de zero,
terceira derivada da função em zero,

Korean: 
0일 경우 n번째 도함수의 값이
0일 경우 함수의 n 번째 도함수
값과 같습니다
따라서 이를 계속해서 하면
시간이 많다면
다항식에 계속
항을 더하고 싶다면
새로운 색으로 적어볼게요
이미 사용한 색을 사용하죠
다항식의 근사값을
구할 수 있습니다
다항식의 근사값을
구할 수 있습니다
따라서 첫 번째 항은
상수항이고 f(0)입니다
다음 항은 f'(0)x입니다
다음 항은 f''(0)
곱하기 1/2 곱하기 x^2입니다
순서가 약간 다르네요
다음 항은, 삼계도함수가
0일 경우에
같은 값을 가지게 하고 싶다면
f'''(0)이 됩니다
함수의 삼계도함수는
0일 경우 1/2 곱하기 1/3
1/2x3 곱하기

German: 
die Situation so zu verändern, dass die n-te Ableitung unserer Approximation in das gleiche sein wird
wie die n-te Ableitung unserer Funktion in 0. Also, im Allgemeinen, wenn wir das weiter machen wollten,
wenn wir weitere Terme zu unserem Polynom hinzufügen wollten, könnten wir, lasst mich das in einer neuen Farbe machen,
könnten wir unsere polynomielle Approximation so machen, dass der erste nur f(0) sein wird,
der nächste Term wird f'(0) mal x sein. Dann der nächste Ter wird f''(0) mal ein halb mal x^2 sein.
Der Term dann, wenn wir ihre dritten Ableitungen identisch haben wollen in 0, wäre
f'''(0), die dritte Ableitung der Funktion in 0 mal ein halb, mal ein drittel mal x^3.

English: 
that the n-th derivative
of our approximation at 0
will be the same thing
as the n-th derivative
of our function at 0.
So in general, if we
wanted to keep doing this,
if we had a lot of
time on our hands
and we wanted to just keep
adding terms to our polynomial,
we could-- and let me
do this in a new color.
Maybe I'll do it in a
color I already used.
We could make our
polynomial approximation.
So the first term, the constant
term, will just be f of 0.
Then the next term will
be f prime of 0 times x.
Then the next term
will be f prime
prime of 0 times
1/2 times x squared.
I just rewrote that in a
slightly different order.
Then the next term, if we want
to make their third derivative
the same at 0, would be
f prime prime prime of 0.
The third derivative
of the function
at 0, times 1/2 times 1/3,
so 1 over 2 times 3 times x

Indonesian: 
untuk mengatur situasi sehingga turunan ke-n dari pendekatan kita pada 0 akan sama
dengan turunan ke-n dari fungsi kita di 0. Jadi, secara umum,
jika kita ingin untuk melakukan hal ini,
jika kita ingin terus menambah persamaan ke polinomial kita, kita bisa, izinkan saya melakukan dengan warna yang baru,
kita bisa membuat pendekatan polinomial kita, jadi persamaan pertama akan hanya F(0),
dan persamaan selanjutkan akan menjadi F'(0) kali x. Lalu persamaan selanjutnya akan menjadi F''() kali satu setengah kali x kuadrat.
lalu persamaan selanjutnya, jika kita ingin membuat turunan ketiganya sama pada 0, akan menjadi
F'''(0), turunan ketiga dari fungsi pada 0, kali satu setengah kali 1/3 kali x pangkat 3.

Thai: 
สร้างสถานการณ์ที่อนุพันธ์อันดับ n ของการประมาณที่ 0 ออกมาเท่ากับ
อนุพันธ์อันดับ n ของฟังก์ชันเราที่ 0 ได้. ดังนั้น, โดยทั่วไปแล้ว, ถ้าเราอยากทำต่อไป,
ถ้าเราเพิ่มเทอมเข้าไปในพหุนาม, เราสามารถ, ขอผมใช้สีใหม่นะ,
เราสามารถใช้พหุนามเพื่อการประมาณของเรา, เทอมแรกจะเป็น f(0),
เทอมต่อไปจะเป็น f'(0) คูณ x. แล้วเทอมต่อไปจะป็น f''(0) คูณ 1 ส่วน 2 คูณ x^2.
แล้วเทอมต่อไป, ถ้าเราอยากได้อนุพันธ์อันดับ 3 เท่ากันที่ 0, มันจะ
เป็น f'''(0), อนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่ 0, คูณ 1/2 คูณ 1/3 คูณ x^3

Spanish: 
para establecer la situación para que el enésimo derivado de nuestra aproximación a 0 será lo mismo
como el derivado enésimo de nuestra función a 0. Así que, en general, si queremos seguir haciendo esto,
si queremos seguir añadiendo términos a nuestro polinomio, podemos, vamos a hacer esto en un nuevo color,
podemos hacer que nuestra aproximación polinómica, por lo que el primer término sólo será f (0),
y la próximo término será f '(0) x veces. Entonces el próximo término será f'' () una vez y media veces x ^ 2.
Entonces el próximo término, si queremos hacer de sus derivados terceros los mismos a 0, serían
f'' '(0), la tercera derivada de la función a 0, las veces de una media veces un tercio veces x ^ 3.

English: 
to the third.
And we can keep going.
Maybe you you'll start
to see a pattern here.
Plus, if we want to make
their fourth derivatives
at 0 coincide, it would
be the fourth derivative
of the function.
I could put a 4 up
there, but this is really
emphasizing-- it's the fourth
derivative at 0 times 1 over--
and I'll change the order.
Instead of writing it
in increasing order,
I'll write it as 4 times 3
times 2 times x to the fourth.
And you can verify
it for yourself.
If we just had this
only, and if you
were to take the fourth
derivative of this,
evaluate it at 0,
it'll be the same thing
as the fourth derivative of
the function evaluated at 0.
And in general, you
can keep adding terms
where the n-th term
will look like this.
The n-th derivative of your
function evaluated at 0 times
x to the n over n factorial.
Notice this is the same
thing as 4 factorial.

Indonesian: 
Dan kita bisa terus, mungkin kamu akan mulai melihat sebuah pola di sini.
tambah, jika kita ingin membuat turunan keempat pada 0 secara tepat, ini akan menjadi
turunan keempat dari fungsi, ini adalah turunan keempat pada 0 dikali
satu per empat kali tiga kali dua, kali x pangkat 4. Dan kamu bisa memeriksa sendiri,
Jika kita hanya punya ini saja, dan jika kamu mengambil turunan keempat dari ini pada 0,
ini akan sama dengan turunan keempat dari fungsi pada 0.
Dan secara umum, kamu bisa terus menambahkan persamaan, dimana persamaan ke-n akan terlihat seperti ini:
turunan ke-n dari fungsimu yang dievaluasi pada 0, kali x pangkat n per n faktorial

Korean: 
x^3입니다
이렇게 계속
적을 수 있습니다
이제 규칙이 보이겠죠
더하기 사계도함수가
0일 경우
같은 값을 가진다면
이는 함수의
사계도함수가 됩니다
4를 여기에 넣을 수 있습니다
이는 1일 경우
사계도함수의 값 곱하기
1 나누기
늘어나는 순으로
적는 대신에
4x3x2 곱하기 x^4입니다
이를 혼자
계산할 수 있겠죠
이 항만 있고
0일 경우의 사계도함수를
구하고 싶다면
이는 0일 경우
함수의 사계도함수의
값과 같습니다
그리고 계속 항을
더할 수 있습니다
n 번째 항은
다음과 같습니다
0일 경우의 n계도함수 곱하기
x^n 곱하기 1/n!입니다
이는 4!과 같습니다

Spanish: 
Y podemos seguir adelante, tal vez usted comenzará a ver un patrón aquí.
Además, si queremos hacer de sus derivados cuarto a 0 coinciden, serían
el cuarto derivado de la función, es el cuarto derivado a 0 veces
uno sobre cuatro veces tres veces dos, las veces de x ^ 4. Y usted puede verificar por sí mismo,
Si tuviéramos esto solo, y, si usted fuera a tomar el cuarto derivado de este a 0,
sería lo mismo que el cuarto derivado de la función a 0.
Y en general, puede seguir añadiendo términos, donde el enésimo término se verá así:
La derivada enésima de su función evaluada a 0, veces de x ^ n sobre n factorial.

Bulgarian: 
по х на трета степен.
И можем да продължим.
Вероятно започваш
да виждаш закономерност тук.
Плюс, ако искаме техните
четвърти производни
за 0 да съвпадат, това ще бъде
четвъртата производна
на функцията.
Мога да напиша тук 4, но това
всъщност подчертава...
това е четвъртата производна
за 0 по 1 върху...
ще променя реда.
Вместо да ги записвам
във възходящ ред,
ще запиша знаменателя като 4 по 3, по 2, 
и после ще умножа дробта по х^4.
Можеш да го провериш
самостоятелно.
Ако имахме само това и искахме 
четвъртата производна на това,
изчислена за 0,
щеше да е равно на
четвъртата производна на
функцията, изчислена за 0.
И принципно можеш да
продължиш да добавяш членове,
и n-ия член ще изглежда така.
n-ата производна на нашата
функция, изчислена за 0 по
х^n върху n! (n факториел).
Обърни внимание, че това
е същото като 4!

Portuguese: 
vezes meio vezes um terço vezes x ao cubo.
E seguimos assim, talvez
vejamos algum padrão aqui.
Se quisermos fazer a quarta
derivada em zero coincidir,
seria a quarta derivada da função,
é a quarta derivada em zero vezes
um sobre quatro vezes três
vezes dois vezes x à quarta.
E você pode verificar por conta própria.
Se tivéssemos somente isso,
e tomarmos a quarta derivada em zero,
seria a mesma coisa que a quarta
derivada da nossa função em zero.
Em geral, se continuarmos acrescentando
termos, onde o enésimo termo seria:
a enésima derivada da nossa função
avaliada em zero,
vezes x elevado a n sobre n fatorial.

German: 
Und wir können so weiter machen, vielleicht sehr ihr schon das Muster hier.
Plus, wenn ihre vierten Ableitungen in 0 übereinstimmen sollen, wäre es
die vierte Ableitung der Funktion, die vierte Ableitung der Funktion in 0 mal
1 durch 4 mal 3 mal 2, mal x^4. Und ihr könnt es selbst überprüfen,
wenn wir nur das hätten, und wenn ihr die vierte Ableitung davon in 0 nehmen würdet,
wäre es das gleiche wie die vierte Ableitung der Funktion in 0.
Und allgemein kann man immer weiter Terme hinzufügen, wobei die Terme wie folgt aussehen:
Die n-te Ableitung unserer Funktion, ausgewertet in 0, mal x^n durch n Fakultät.

Thai: 
แล้วเราก็ทำอต่ไป, บางทีคุณคงเริ่มเห็นรูปแบบแล้ว
บวก, ถ้าเราอยากให้อนุพันธ์อันดับ 4 ที่ 0 ตรงกัน, มันจะ
เป็นอนุพันธ์อันดับ 4 ของฟังก์ชัน, มันคืออนุพันธ์อันดับ 4 ที่ 0 คูณ
1 ส่วน 4 คูณ 3 คูณ 2, คูณ x^4. แล้วคุณสามารถทดสอบได้ด้วยตัวเอง
ถ้าเรามีแค่เทอมนี้อย่างเดียว, ถ้าคุณหาอนุพันธ์อันดับ 4 ของเจ้านี่ที่ 0,
มันจะออกมาเหมือนกับอนุพันธ์อันดับ 4 ของฟังก์ชันนี้ ที่ 0
และโดยทั่วไป, คุณสามารถเพิ่มเทอมได้เรื่อยๆ, โดยเทอมที่ n จะเป็นแบบนี้
อนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันคุณแทนค่าที่ 0, คูณ x^n ส่วน n แฟคทอเรียล

Polish: 
Moglibyśmy tak w nieskończoność, może zaczniesz dostrzegać wzorzec
dodać (jeśli czwarte pochodne mają być takie same w 0)
czwarta pochodna naszej funkcji (o tutaj mógłbym napisać 4 ) w zerze razy
1 przez - zmienię kolejność - 4 razy 3 razy 2 razy x^4 - możesz sprawdzić to samemu
Jeśli mieliśmy jedynie to i musiałbyś policzyć czwartą pochodną w 0
byłoby ona taka sama jak czwarta pochodna funkcji(f) w 0.
I ogólnie, można tak ciągle dodawać wyrazy, a n-ta pochodna będzie wyglądać tak:
n-ta pochodna funkcji w 0 razy x^n podzielić przez n silnia.

Korean: 
4!은 4x3x2x1입니다
1을 적을 필요가 없지만
적어도 됩니다
여기 이 값은
3!과 같습니다
3x2x1과 같죠
1을 안적었네요
여기 이 값은 2!입니다
2x1입니다
이는 같은 것입니다
아무 것도 적지 않았지만
이를 1!로
나눌 수 있습니다
이는 1과 같습니다
0!로 나누면
또 1로 나눈것과 같겠죠
너무 많은 것을 배우려
하지 않아도 됩니다
하지만 여기서 사용한 급수는
매클로린 급수입니다
매클로린 급수입니다
다항식을 어림할 수 있죠
그리고 이를 이용해
유용한 식을
구할 수 있습니다
그래프를 그릴 만큼
제가 똑똑하지 않지만
함수가 같을 경우
수평선을 가지게 됩니다
수평선을 가지게 됩니다
함수가 0일 경우
그리고 일계도함수가
0일 경우

Thai: 
สังเกตดว่า, นี่เหมือนกับ 4 แฟคทอเรียล -- 4 แฟคทอเรียล คือ 4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
เจ้านี่, ตรงนี้, คือ 3 แฟคทอเรียล, 3 คูณ 2 คูณ 1, เจ้านี่ตรงนี้คือ 2 แฟคทอเรียล, 2 คูณ 1
นี่ก็เหมือนกับ 1 แฟคทอเรียล, เท่ากับ 1
และคุณหารนี่ด้วย 0 แฟคทอเรียลได้เหมือนกัน, มันก็เท่ากับ 1
แต่อนุกรมทั่วไปนี้, ที่ผมสร้างขึ้นมาตรงนี้เรียกว่า อนุกรมแมคลอริน
และคุณสามารถประมาณฟังก์ชันด้วยพุหนามได้. และเราจะเห็นผลอันทรงพลังต่อไป
แต่เกิดอะไรขึ้น, ผมไม่มีพลังคำนวณพอในหัวที่จะวาดกราฟนี้ให้ดี,
แต่ถ้าค่าฟังก์ชันเท่ากันเฉยๆ, คุณจะได้เส้นนอน. เวลาคุณให้ฟังก์ชัน

Polish: 
Zauważ, to jest takie samo jak cztery silnia czyli 4!= 432*1.
to tutaj to 3!=321, a to tu 2!=2*1
To jest to samo, ale tego nie napisaliśmy, ale można było to podzielić przez 1!, co jest tym samym co 1
i mógłbyś podzielić to przez 0! co również jest tym samym co 1 - nie będziemy rozwodzić się tutaj czemu tak jest.
Ten ogólny szereg, który tutaj stworzyłem jest nazywany szeregiem Maclaurin`a
Dzięki niemu można przybliżać wielomianem, później zobaczymy jakie potężne efekty on daję.
Ale zobaczmy co się stanie (ciężko mi będzie narysować wykres odpowiednio)
gdy tylko funkcja jest równa - otrzymujemy poziomą linie. Kiedy powodujemy, że

Spanish: 
Noten que, esto es lo mismo que el cuarto factorial - cuatro factorial es de 4 * 3 * 2 * 1.
Esto, aquí, es factorial de tres, 3 * 2 * 1, esto de aquí es factorial dos, 2 * 1.
Esto es lo mismo que un factorial, lo mismo que uno.
Y se podría dividir esta por cero factorial, que también pasa a ser uno,
pero esta serie general, que he configurado aquí, se llama la serie de Maclaurin.
Y se puede aproximar un polinomio y vamos a ver algunos resultados muy poderosos más adelante.
Pero, ¿qué pasa, y no tengo el poder de computación en mi cerebro para dibujar la gráfica apropiadamente,
sólo cuando la función es igual, se obtiene la línea horizontal. Al realizar las funciones

Portuguese: 
Perceba que isso é a mesma coisa que
quatro fatorial - que é igual a
quatro vezes três vezes dois vezes um.
Isso, bem aqui, é três fatorial,
três vezes dois vezes um.
Isso aqui é dois fatorial,
dois vezes um.
Isso é o mesmo que um fatorial,
o mesmo que um.
E você poderia dividir por
fatorial de zero, que também é um,
e essa série genérica, que eu montei aqui,
é chamada de série de Maclaurin.
E você pode aproximar um polinômio e
verá resultados bem poderosos depois.
Eu não tenho o poder computacional no meu
cérebro para desenhar apropriadamente,
quando a função é igual,
você tem a linha horizontal.
Quando você faz a função igual a zero,
e sua primeira derivada igual a zero,

Indonesian: 
perhatikan, ini sama dengan 4 faktorial; empat faktorial adalah 432 kali 1
ini, di sini, adalah tiga factorial, 321, ini disini adalah 2 faktorial, 2 kali 1.
ini adalah sama dengan 1 faktorial, sama dengan 1.
dan kamu bisa membagi ini dengan 0 faktorial, yang juga menjadi 1,
tapi deret umum ini, yang saya telah siapkan di sini, disebut derte Maclaurin.
Dan kamu bisa mendekatkan sebuah polinomial dan kita akan melihat beberapa hasil powerful nantinya.
Tapi, apa yang terjadi, dan saya tidak punya kemampuan komputasi di otak saya untuk menggambar grafik dengan baik,
hanya saat fungsinya sama, kamu mendapat garis lurus tersebut. Ketika kamu membuat fungsi

English: 
4 factorial is equal to 4
times 3 times 2 times 1.
You don't have to
write the 1 there,
but you could put it there.
This right here is the same
thing as 3 factorial-- 3 times
2 times 1.
I didn't put the 1 there.
This right here is the same
thing as 2 factorial, 2 times
1.
This is the same thing.
We didn't write anything,
but you could divide this
by 1 factorial, which
is the same thing as 1.
And you can divide
this by 0 factorial,
which also happens to be 1.
We won't have to study
it too much over here.
But this general series that
I've kind of set up right here
is called the Maclaurin series.
And you can approximate
a polynomial.
And we'll see it leads to
some pretty powerful results
later on.
But what happens-- and I
don't have the computing power
in my brain to draw
the graph properly--
is that when only
the functions equal,
you get that horizontal line.
When you make the
function equal 0
and their first
derivatives equal at 0,

German: 
Beachtet, das ist gleiche wie 4 Fakultät - 4 Fakultät ist 432*1.
Das hier ist 3 Fakultät, 321, das hier ist 2 Fakultät, 2*1.
Das hier das gleiche wie Eins Fakultät, das gleiche wie EIns.
Und man könnte das hier durch Null Fakultät teilen, was zufälligerweise auch eins ist,
aber diese allgemeine Reihe, die ich hier irgendwie aufgestellt habe, nennt man Maclaurin Reihe.
Und man kann ein Polynom approximieren und wir werden später einige mächtige Resultate sehen.
Aber, was passiert, und ich hab nicht die nötige Rechenkapazität in meinem Gehirn um einen ordentlichen Graphen zu zeichnen,
wenn nur die Funktion gleich ist, bekommt man dieses horizontale Gerade. Wenn man die Funktionen

Bulgarian: 
4! е равно на 4 по 3 по 2 по 1.
Не е нужно да пишеш
това 1 тук,
но можеш и да го сложиш.
Това тук е равно на 3! –
3 по 2 по 1.
Не съм сложил 1 тук.
Това тук е равно на 2!,
равно е на 2 по 1.
Тук не сме написали нищо, но
можеш да разделиш това
на 1!, което е равно на 1.
А това можеш да разделиш
на 0!, който също е 1.
Няма да обяснявам сега защо.
Но този обобщен числов ред, който
един вид съставихме тук,
се нарича ред на Маклорен.
Можем да го представим
като многочлен.
И това ни води до някои
много важни резултати по-късно.
Какво се случва – аз нямам
компютър в главата си,
за да направя графиката
правилно,
но само когато функциите са равни,
се получава хоризонтална права.
Когато направим функциите
равни при х равно на нула
и първите им производни
равни при х = 0,

Korean: 
접선과 같은 것이
그려집니다
다른 차수를 더한다면
다항식은 다음과
같이 생겼겠죠
다은 차수를 더하면
이와 같이 생겼습니다
더 많은 차수를 더할 수록
더 많은 항을 더할 수록
더더욱 가까워집니다
x=0에 가까워질수록 말이죠
하지만 무한대
개수의 항을 더하면
증명을 하진 않았지만
그래서 말해주는 것입니다
아직 증명을 하지 않았습니다
무한한 갯수의 항을 더하면
모든 도함수의
값이 같습니다
그리고 함수가 서로
같은 형태를 띕니다
다음 영상에서
실제 함수로 보여드리겠습니다
이해가 더 잘되겠죠
따라서 매클로린 급수는
테일러 급수의
특별한 경우입니다
0을 중심으로 말이죠
그리고 테일러
급수를 사용하면
어떤 중심이라도
고를 수 있습니다
지금은 매클로린
다항식에 집중합시다

English: 
then you have something that
looks like the tangent line.
When you add another
degree, it might
approximate the polynomial
something like this.
When you add another degree, it
might look something like that.
And as you keep adding
more and more degrees, when
you keep adding
more and more terms,
it gets closer
and closer around,
especially as you get
close to x is equal to 0.
But in theory, if you add
an infinite number of terms,
you shouldn't be able to do--
I haven't proven this to you,
so that's why I'm saying that.
I haven't proved it yet to you.
But if you add an
infinite number of terms,
all of the derivatives
should be the same.
And then the function
should pretty much
look like each other.
In the next video, I'll do
this with some actual functions
just so it makes a
little bit more sense.
And just so you know,
the Maclaurin series
is a special case
of the Taylor series
because we're centering it at 0.
And when you're doing
a Taylor series,
you can pick any center point.
We'll focus on the
Maclaurin right now.

Polish: 
funkcja w 0 jest równa i pochodne także się zgadzają w zerze, wtedy dostajemy
coś co w przybliżeniu wygląda jak linia styczna. Kiedy dodamy kolejny stopień to można przybliżać
wielomianem w ten sposób. Po dodaniu kolejnego stopnia może to wyglądać jakoś tak:
I tak dodając kolejne i kolejne wyrazy zbliżamy się coraz bliżej, szczególnie
przy punkcie x = 0, ale w teorii, jeśli dodasz nieskończenie wiele wyrazów,
Jeszcze tego Ci nie dowiodłem, dlatego mówię 'teoretycznie', ale jeśli dodasz nieskończoną
liczbę wyrazów to wszystkie pochodne powinny być takie same, a wtedy
funkcje powinny być do siebie bardzo podobne
W następnym filmiku, przetestujemy tę metodę na konkretnej funkcji, tak aby lepiej to zrozumieć
Pamiętaj, że szereg Maclaurina jest tylko specjalnym przypadkiem szeregu Taylora jak rozwiniemy go
wokół zera. Kiedy stosujesz szereg Taylora, możesz wybrać jakikolwiek punkt jako centralny

German: 
und, wenn man die Funktion angleicht in 0, und ihre ersten Ableitungen sind gleich in 0, dann hat man
etwas, das wie eine Tangente aussieht. Wenn man einen weitern Grad hinzufügt, approximiert es
das Polynom irgendwie so. Wenn man noch einen Grad hinzufügt, sieht es in etwa so aus.
Und, während man mehr und mehr Terme hinzufügt, kommt es näher und näher ran, besonders
wenn man nahe x = 0 ist, aber theoretisch, wenn man unendlich viele Terme hinzufügt,
Ich habe euch das noch nicht bewiesen, also ist das was ich sage nur theoretisch, aber wenn ihr unendlich viele
Terme hinzufügt, sollte es passieren, alle Ableitungen sollten gleich sein, und dann
sollten die Funktionen ziemlich gleich aussehen.
Im nächsten Video, ich werde das mit einigen Funktionen tatsächlich machen, nur damit es etwas mehr Sinn ergibt.
Und nur damit ihr es wisst, die Maclaurin Reihe ist ein Spezialfall der Taylor Reihe, da wir uns
in der 0 festlegen. Und wenn man eine Taylor Reihe nimmt, kann man um jeden Punkt entwickeln,

Indonesian: 
dan, ketika kamu membuat fungsi sama di 0, dan turunannya sama di 0, maka kamu memiliki
sesuatu yang kelihatannya seperti garis tangen. Ketika kamu menambahkan derajat lain, ini mungkin mendekati
polinomial seperti ini. Ketika kamu menambah, derajat lain, ini mungkin tampak seperti itu.
dan, sebagaimana kamu terus menambah dan menambah persamaan, bentuknya akan semakin mendekat dan mendekat, terkhusus
saat kamu mendekati x=0, tapi secara teori, jika kamu menambah sebuah nilai tak hingga dari persamaan,
Saya belum membuktikan ini untukmu, itulah kenapa saya mengatakan itu ada dalam teori, tapi jika kamu menambah sebuah angka
tak hingga pada persamaan, seharusnya, semua turunan akan sama, dan kemudian
fungsinya akan sangat mirip satu sama lain.
Di video selanjutanya, saya akan melakukan ini dengan beberapa fungsi aktual, hanya itu membuat ini sedikit lebih jelas.
dan, sebagaimana kamu tahu, deret Maclaurin adalah sebuah kasus khusus dari deret Taylor, sejak kita
mem-pas-kan-nya pada 0. Dan saat kamu mengerjakan sebuah deret Taylor, kamu bisa memilih di titik tengah manapun,

Thai: 
เมื่อคุณทำให้ค่าฟังก์ชันเท่ากันที่ 0, และอนุพันธ์อันดับหนึ่งตรงกันที่ 0, คุณจะ
ได้อะไรที่ออกมาเหมือนเส้นสัมผัส. แล้วคุณเพิ่มดีกรีขึ้นอีก, มันจะ
ประมาณด้วยพหุนามแบบนี้. เวลาคุณเพิ่มดีกรีขึ้น, มันจะออกมาเป็นแบบนั้น
แล้ว, เมื่อคุณเพิ่มเทอมมากขึ้น มากขึ้น, มันจะเหมือนมากขึ้น มากขึ้น, โดยเฉพาะ
เมื่อคุณเข้าใกล้ x=0, แต่ในทฤษฎีแล้ว, ถ้าคุณบวกเทอมนับไม่ถ้วน,
ผมยังไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู, นั่นคือสาเหตุที่ผมบอกว่า ในทางทฤษฎี, แต่ถ้าคุณเพิ่มเทอม
ไปเป็นจำนวนอนันต์, มันควรได้ว่า, อันุพันธ์ทั้งหมดเท่ากัน, แล้ว
ฟังก์ชันจะออกมาเหมือนกัน
ในวิดีโอหน้า, ผมจะลองฟังก์ชันจริง, เพื่อให้เราเข้าใจมากขึ้น
และให้คุณรู้ไว้ว่า, อนุกรมแมคลอริน เป็นกรณีพิเศษของอนุกรมเทย์เลอร์, เนื่องจากเราเลือก
ศูนย์กลางอยู่ที่ 0. และเมื่อคุณใช้อนุกรมเทย์เลอร์, คุณสามารถเลือกจุดศูนย์กลางตรงไหนก็ได้

Spanish: 
y, cuando usted hace que la función sea igual a 0, y sus primeros derivados iguales a 0, entonces usted tiene
algo que se parece a la línea de tangente. Cuando se agrega otro grado, se podría aproximar
el polinomio de algo así. Cuando se agrega otro grado, podría ser algo así.
Y al seguir añadiendo más y más términos, se acerca más y más alrededor, especialmente
medida que se acercan a x = 0, pero en teoría, si se añade un número infinito de términos,
No le he probado esto a usted, así que por eso estoy diciendo que es en teoría, pero si se añade un infinito
número de términos, que debía ser, todos los derivados deberían ser los mismos y luego,
las funciones deben parecerse la una a la otra.
En el siguiente video, voy a hacer esto con algunas de las funciones reales, sólo lo que tendrá más sentido.
Y, para que lo sepan, la serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor, dado que
estamos centralizando en 0. En la serie de Taylor podemos centralizar en cualquier punto.

Bulgarian: 
тогава получаваме
нещо като допирателна.
Ако добавим още една степен,
може да изчислим приблизително
полинома ето така.
Когато добавим още една степен,
може да изглежда нещо като това.
И като добавяме все повече
и повече степени,
когато добавяме все повече
и повече членове,
тя става все по-близка и по-близка,
особено в околността на х = 0.
На теория, ако
добавим безкраен брой членове,
трябва да можем...
не съм доказал това,
но го казвам.
Още не съм го доказал.
Но ако добавим безкраен
брой членове,
всички производни
трябва да са равни.
И тогава функцията трябва
да изглежда много подобно на това.
В следващото видео ще направя
това с реални функции,
за да ти стане още по-логично.
И само за информация,
редовете на Маклорен
са частен случай на 
редове на Тейлър,
защото тук използваме за
център 0.
При ред на Тейлър можем
да изберем произволна централна точка.
Но сега ще се фокусираме
върху реда на Маклорен.

Portuguese: 
terá algo que parece a tangente da linha.
Quando você adiciona um outro grau,
ele aproxima o polinômio algo como isso.
Quando você adiciona outro grau,
ele fica parecido com isso. E, se você
continua adicionando mais e mais termos,
ele fica mais próximo, especialmente
quando se aproxima de x igual a zero,
mas em teoria, se você adiciona
um número infinito de termos,
não provei isso para você, estou dizendo
a teoria. Se você adicionar
um número infinito de termos,
e termos as mesmas derivadas,
então as funções devem se parecer
muito uma com a outra.
No próximo vídeo, farei isso com funções
de verdade para que faça mais sentido.
E para que saiba, a série de Maclaurin é
um caso especial da série de Taylor,
dado que estamos centralizando em zero.
Quando está fazendo a série de Taylor,
você pode escolher qualquer ponto.
Mas nós focaremos na de Maclaurin agora.
[ Legendado por Igor Gomes
Revisado por Rosana Cabral ]

Polish: 
ale w tym momencie skupmy się na szeregu Maclaurina.

Thai: 
แต่เราจะสนใจแค่แมคลอรินไปก่อนตอนนี้

Spanish: 
Por ahora nos enfocaremos en la de Maclaurin.

German: 
aber wir fokussieren uns im Moment auf die Maclaurin Reihe.

Indonesian: 
tapi kita akan fokus pada Maclaurin sekarang.
