
Portuguese: 
Digamos que estamos operando...
en três dimensões.
E tenho uma função, rho,
a qual é uma função de (x,y,z)...
...que nos da a densidade de massa...
...em qualquer ponto em três dimensões,
...de algum fluido.
Algum fluido em particular.
Talvez seja um gas, ou um fluido,
...água. Quem sabe o que é?
Algum tipo de substância.
Isso nos dá densidade de massa...
...em qualquer ponto em três dimensões.
E digamos que temos outra...
função.

Gujarati: 
સમજી લ્યો કે આપણે...
...ત્રણ પરિમાણોમા સંચાલન કરીએ છીએ.
અને મારી પાસે એક ફંક્શન છે, rho,
જે (x,y,z) નું ફંક્શન છે...
... અને તે આપણને કેટલાક પ્રવાહીના...
...ત્રણ ડાયમેન્શનના કોઈપણ બિંદુએ,
...સમૂહ ઘનતા આપે છે.
અમુક ચોક્કસ પ્રવાહી.
કદાચ તે વાયુ, અથવા પ્રવાહી,
પાણી છે. કોણ જાણે તે શું હોય?
અમુક પ્રકારનો પદાર્થ.
તે આપણને ત્રણ ડાયમેન્શનના...
...કોઈપણ બિંદુએ, સમૂહ ઘનતા આપે છે.
અને માનો કે આપણી પાસે બીજું...
...ફંક્શન છે. આ સ્કેલર ફંક્શન છે.
તે આપણને 3Dમા કોઈપણ બિંદુએ...
...એક નંબર આપે છે.
અને પછી માનો કે આપણી પાસે બીજું ફંક્શન છે, v,
...જે વેક્ટર ફંક્શન છે.
તે આપણને ત્રણ પરિમાણોના કોઈપણ બિંદુ...
...માટે સદ્રિશ આપે છે.
અને અહીં પર આ આપણને...
...તે જ પ્રવાહી અથવા ગેસ અથવા કંઈપણ વિશે...
...આપણે વાત કરી રહ્યા હોય...
...તેનો વેગ કહે છે.
હવે ચાલો અન્ય વિધેયની કલ્પના કરીએ.
અને આ બધું થોડું ઘણું જાણીતું લાગશે કેમ કે આપણે પહેલા કરી લીધું છે...
આપણે બે-પરિમાણોનું એક આવું જ સ્વાધ્યાય કરેલું...
...જ્યાં આપણે સંક્લ રેખાઓ વિષે વાત કરી હતી.
હવે અમે તેને ત્રણ પરિમાણો માટે વિસ્તરે છે.

Portuguese: 
Vamos supor que estamos trabalhando
em três dimensões.
E eu tenho uma função rô.
Função de x, y e z.
Ela nos dá a densidade em qualquer ponto
em três dimensões.
De algum fluido.
Algum em particular.
Pode ser um gás, um fluido ou água.
Qualquer coisa.
Algum tipo de substância.
A função nos dá sua densidade
em qualquer ponto em três dimensões.
Vamos supor que temos outra função...
Essa é uma função escalar.
Nos dá um número pra cada ponto em 3D.
Suponhamos uma outra função v.
Que é uma função vetorial.
Nos dá um vetor
pra cada ponto em três dimensões.
E isso aqui nos diz a velocidade
desse mesmo fluido ou gás.
Ou de qualquer outra coisa.
Imaginemos agora uma outra função.
Isso pode parecer familiar.
Fizemos um exemplo parecido
em duas dimensões
quando falamos sobre integrais de linha.
Vamos estender isso para três dimensões.
Vamos supor que temos uma função f.

Thai: 
สมมุติว่าเรากำลังทำ...
...ในสามมิติ
และผมมีฟังก์ชัน, โร,
...ซึ่งเป็นฟังกืชันของ (x,y,z)...
... และมันบอกเราถึงความหนาแน่นมวล...
... ณ จุดใด ๆ ในสามมิติ
... ของของไหล
ของไหลสักอย่าง
บางทีอาจเป็นแก๊ส, หรือของไหล,
... น้ำ ใครจะรู้ว่าคืออะไร?
เป็นสารอะไรสักอย่าง
มันบอกเราถึงความหนาแน่นมวล...
... ณ จุดใด ๆ ในสามมิติ
และสมมุติว่าเรามี...
ฟังก์ชันอีกอัน นี่คือฟังก์ชันสเกลาร์
มันบอกตัวเลขเรา...
ณ จุดใดใน 3 มิติ
แล้วก็, สมมุติว่าเรามีฟังก์ชันอีกตัว, v,
ซึ่งเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์
มันบอกเวกเตอร์เรา...
สำหรับจุดใด ๆ ในสามมิติ
และนี่ตรงนี้บอกเรา...
ถึงความเร็วของอันเดิม..
ความเร็วของของไหลหรือแก๊สเดิม...
หรืออะไรก็ตามที่เรากำลังพูดถึง
ทีนี้ลองจินตนการฟังก์ชันอีกอัน
และนี่อาจดูค้นเคยหน่อย, เพราะเราเคยทำมาแล้ว...
เราได้ทำแบบฝึกหัดคล้าย ๆ กันนี้...
ในสองมิติตอนเราพูดถึงอินทิกรัล
ทีนี้ ลองขยายมันมาในสามมิติ
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน, f
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน, f
และมันเท่ากับ...
ผลคูณ...

Korean: 
삼차원에서
작업한다고 합시다
그리고 ρ라는 함수가 있는데
(x,y,z)의 함수이고
3차원 공간 임의의 점에서
어떤 유체의 질량 밀도를 알려줍니다
어떤 유체의 질량 밀도를 알려줍니다
그저 어떤 특정 유체
기체나 액체
물일 수도 있습니다
어떤 물질일 겁니다
이 함수는 3차원 점에서의
밀도 함수입니다
다른 함수가 또 있다고 합시다
이건 스칼라 함수입니다
3D 공간에서 임의의 점에 대하여
숫자를 반환합니다
또다른 함수는 v라고 합시다
벡터 함수입니다
공간 안의 임의의 점에 대해
벡터를 반환합니다
이 함수는
언급했던 임의의 유체의
속도를 알려줍니다
속도를 알려줍니다
이제 다른 함수를 생각해봅시다
다소 익숙할 수도 있습니다
선적분에 대해 얘기할 때 2차원에서
비슷한 활동을 했기 때문입니다
지금은 그저 3차원으로 확장한 겁니다
함수 f가 있다고 합시다
함수 f가 있다고 합시다
F는
ρ와 v의 곱입니다

Spanish: 
Digamos que estamos trabajando en
tres dimensiones.
y tenemos una función rho
que es función de X,Y,Z
y nos dá la densidad de masa
en cualquier punto en las tres dimensiones,
de un fluido.
Un fluido en particular
tal vez es un gas, o un fluido,
...agua. Quién sabe?
Un tipo de sustancia.
Nos dá la densidad de masa
en cualquier punto en tres dimensiones.
y digamos que tenemos otra
funcion. Esta es una función escalar
y nos dá un número
para cualquier punto en 3D (tres dimensiones)
y luego, digamos que tenemos otra función V,
que es un vector función.
y nos dá un vector
para cualquier punto en tres dimensiones.
y esto de aquí, nos está diciendo
la velocidad del mismo,
la velocidad del mismo fluido o gas
o de lo que sea que estemos hablando.
Ahora imaginemos otra función
y esto nos lucira algo familiar, porque lo hicimos,
atravéz de un ejercicio muy similar
en dos direcciones cuando hablamos de las integrales.
Ahora solo nos estamos extendiendo a tres dimensiones.
Digamos que tenemos una función, F.
Digamos que tenemos una función, F.
y es igual a
el producto

Hindi: 
चलो कहना है कि हम काम कर रहे हैं...
... तीन आयाम mo me।
और मैं एक समारोह है rho,
... .which के एक समारोह है (x, y, z)...
... और ये कड़ियाँ यह हमें देता है बड़े पैमाने पर घनत्व...
... at में से किसी में तीन आयामों, बिंदु
... कुछ तरल पदार्थ ki।
कुछ विशेष रूप से तरल पदार्थ।
शायद यह एक गैस, या एक तरल पदार्थ है,
... पानी। कौन जानता है कि यह क्या है?
मादक द्रव्यों के कुछ प्रकार।
यह हमारे सामूहिक घनत्व देता है...
... किसी भी तीन आयामों में इंगित pe.
और हम कहते हैं कि हम एक और है...
... समारोह। यह एक अदिश समारोह है।
यह सिर्फ हमें कोई संख्या देता है...
... किसी भी 3D में बात .for.
और फिर, हम कहते हैं कि हम एक और है समारोह, v,
... .jo एक सदिश समारोह है।
यह हमें एक सदिश देता है...
... किसी भी तीन आयामों में बात ke liye
और यह सही यहाँ पर हमें बताता है...
... कि एक ही के वेग se...
... कि उसी द्रव या गैस के .the वेग...
... बात .or जो कुछ भी हम कर रहे हैं के बारे में।
अब चलो एक और समारोह की कल्पना करो।
और क्योंकि हम ऐसा किया था यह सब थोड़ा परिचित लग सकता है...
हम एक बहुत ही इसी तरह का प्रयोग के माध्यम से चला गया...
... जब हम के बारे में बात की थी. in दो आयामों समाकल्य लाइन।
अब हम सिर्फ यह तीन आयाम के लिए विस्तार कर रहे हैं।
हम कहते हैं कि हम एक समारोह में, है f.
चलो कहना है कि हमारे पास कोई फ़ंक्शन, एफ,
... और ये कड़ियाँ इसे बराबर करने के लिए है...
... .the उत्पाद...

Polish: 
Powiedzmy że rozważamy
trójwymiarową przestrzeń.
I mamy funkcję ro,
która zależy od (x,y,z)
i daje nam gęstość
w dowolnym punkcie w trzech wymiarach
jakiegoś płynu.
Jakiegoś ustalonego płynu.
Może to gaz, może ciecz,
może woda. Kto wie?
Jakiś rodzaj substancji.
Funkcja daje nam gęstość
w dowolnym punkcie.
Ta funkcja jest skalarna,
każdemu punktowi przestrzeni
przypisuje jakąś liczbę.
Powiedzmy że mamy inną funkcję,
nazwijmy ją v,
która jest wektorowa.
Przypisuje ona wektor
każdemu punktowi przestrzeni.
I ta funkcja mówi nam
o prędkości tej
cieczy czy gazu
czy cokolwiek to jest.
Wyobraźmy sobie jeszcze jedną funkcję.
To wszystko może wyglądać znajomo,
bo robilismy coś bardzo podobnego,
w dwóch wymiarach gdy mówilismy
o całkach po krzywych.
Teraz tylko rozszerzamy to na 3 wymiary.
Powiedzmy że mamy funkcję f.
Powiedzmy, że
funkcja f jest równa
iloczynowi funkcji

English: 
Let's say we are operating...
...in three dimensions.
And I have a function, rho,
...which is a function of (x,y,z)...
...and it gives us the mass density...
...at any point in three dimensions,
...of some fluid.
Some particular fluid.
Maybe it's a gas, or a fluid,
...water. Who knows what it is?
Some type of substance.
It gives us the mass density...
...at any point in three dimensions.
And let's say we have another...
...function. This is a scalar function.
It just gives us a number...
...for any point in 3D.
And then, let's say we have another function, v,
...which is a vector function.
It gives us a vector...
...for any point in three dimensions.
And this right over here tells us...
...the velocity of that same...
...the velocity of that same fluid or gas...
...or whatever we're talking about.
Now let's imagine another function.
And this might all look a little bit familiar, because we did it...
We went through a very similar exercise...
...in two dimensions when we talked about line integrals.
Now we're just extending it to three dimensions.
Let's say we have a function, f.
Let's say we have a function, f,
...and it is equal to...
...the product...

Polish: 
ro oraz v.
Dla każdego punktu (x,y,z)
ta funkcja da nam wektor,
który potem pomnożymy przez
skalar dany przez tę funkcję,
dla tego samego punktu.
Czyli to jest równe
ro razy v.
Użyję tego samego koloru,
którego użyłem dla v wcześniej.
Jest kilka sposobów myślenia o tym.
Oczywiście takie
działanie zachowuje kierunek prędkości,
ale wartość się zmienia,
więc można powiedzieć
że to taka gęstość pędu.
Ale nie musicie się
tym specjalnie przejmować.
W miarę jak będziemy używać tych
dwóch fukcji i rozważać je
na jakiejś powierzchni,
powinniście oswoić się z tą koncepcją.
Na razie zajmijmy się
następującym zagadnieniem:
co to znaczy,
mając ustaloną funkcję f,
policzyć calkę powierzchniową,
tzn. całkę po jakiejś powierzchni.
Czyli liczymy po jakiejś powierzchni.

Hindi: 
... .the उत्पाद rho और v.
इतने में किसी भी बिंदु के लिए (x, y, z)...
... .ye हमें एक सदिश, देना होगा और फिर...
... हम इसे यहाँ पर टाइम्स इस अदिश अधिकार गुणा करेंगे...
... .कि वही तीन आयामों में बिंदु।
इसलिए यह बराबर करने के लिए है...
... .rho टाइम्स v.
मुझे एक ही रंग का उपयोग करते हैं...
... .that मैं पहले वी के लिए इस्तेमाल किया।
और वहाँ तरीके आप यह conceptualize सकता का एक जोड़ा है,
... .so तुम सकता देखें इस रूप में...
जाहिर है यह वेग की दिशा का कहना है,
... .but अब इसकी परिमाण...
इसके बारे में सोचने के लिए एक ही रास्ता है...
... गति घनत्व का .kind.
और अगर कि बहुत मायने नहीं पड़ता है,
... तुम इसके बारे में बहुत ज्यादा चिंता करने की ज़रूरत नहीं है।
उम्मीद है, जैसा कि हम इन दोनों कार्यों का उपयोग करें,
... और ये कड़ियाँ हम बात - थोड़ा बहुत ज्यादा लगता है...
... .about एक सतह के सापेक्ष उन्हें
... यह थोड़ा और अधिक संकल्पनात्मक समझ कर दूँगा।
अब, क्या मैं करना चाहता हूँ...
... is लगता है कि यह क्या मतलब है के बारे में...
... इसका मतलब है कि .what...
... .given इस समारोह, एफ,
... योग्य सतह अभिन्न का मूल्यांकन करें...
... .over कुछ सतह...
तो हम कुछ सतह पर मूल्यांकित करने के लिए जा रहे हैं।

Spanish: 
el producto de rho y V.
y por cualquier punto en (x,y,z)
nos dará un vector, y luego
lo multiplicaremos por este escalar, de aquí
por el mismo punto en tres dimensiones.
así que es igual a:
Rho veces V.
vamos a usar el mismo color
que usé antes para V
y hay varias formas en las que puedes conceptualizar esto,
así que podemos ver esto como,
Obviamente se mantiene la dirección y la velocidad,
pero ahora su magnitud
una manera de ver esto es
como la densidad del momento.
y si eso no tiene mucho sentido,
no tienes que preocuparte mucho de eso.
con suerte, como usamos estas dos funciones,
y hablamos y pensamos un poco más
acerca de sus superficies relativas,
esto tomará un poco mas de sentido conceptual.
Ahora, lo que quiero hacer es
pensar en lo que significa
lo que significa
dada esta función, F,
para evaluar la superficie integral
sobre alguna superficie.
así que vamos a evaluar sobre alguna superficie.

Portuguese: 
E ela é igual ao produto de rô e v.
Para cada ponto em xyz,
isso nos dará um vetor
e multiplicaremos por esse escalar aqui
para o mesmo ponto em três dimensões.
Então isso é igual a rô vezes v.
Deixe-me usar a mesma cor
que usei pra v anteriormente.
Rô vezes v.
Você pode entender isso de algumas formas
Obviamente mantém a direção da velocidade.
Mas agora sua magnitude...
Podemos pensar nisso
como momento de densidade
Isso não faz muito sentido.
Não se preocupe muito com isso.
Espero que à medida em que formos
usando essas funções
e discutindo suas relações
com superfícies,
isso faça mais sentido conceitualmente.
O que eu quero fazer
é pensar sobre o que significa,
dada essa função f,
calcular essa integral de superfície

English: 
...the product of rho and v.
So for any point in (x,y,z)...
...this will give us a vector, and then...
...we'll multiply it times this scalar right over here...
...for that same point in three dimensions.
So it's equal to...
...rho times v.
Let me use the same color...
...that I used for v before.
And there's a couple of ways you could conceptualize this,
...so you could view this as...
Obviously it maintains the direction of the velocity,
...but now its magnitude...
One way to think about it is...
...kind of the momentum density.
And if that doesn't make too much sense,
...you don't have to worry too much about it.
Hopefully, as we use these two functions,
...and we talk-- think a little bit more...
...about them relative to a surface,
...it'll make a little bit more conceptual sense.
Now, what I want to do...
...is think about what it means...
...what it means...
...given this function, f,
...to evaluate the surface integral...
...over some surface...
So we're going to evaluate over some surface.

Thai: 
ผลคูณของ โร กับ v
ดังนั้นสำหรับจุดใด ๆ ใน (x,y,z)...
นี่จะบอกเราถึงเวกเตอร์, แล้วก็...
เราจะคูณนี่ด้วยเสกลาร์นี่ตรงนี้...
สำหรับจุดเดียวกันนั้นในสามมิติ
มันก็จะเท่ากับ...
โร คูณ v
ขอผมใช้สีเดียวกัน...
กับที่ผมใช้สำหรับ v มาก่อน
มันมีหลายวิธีที่คุณจะเข้าใจหลักการนี้,
คุณอาจมองนี่เป็น...
แน่นอนว่ามันรักษาทิศของความเร็ว,
แต่ตอนนี้ขนาดของมัน...
วิธีคิดอย่างนึงคือ...
ประมาณว่าเป็นความหนาแน่นโมเมนตัม
และหากมันไม่ช่วยให้เข้าใจนัก,
คุณไม่จำเป็นต้องกังวลมากนัก
หวังว่า, ตอนเราใช้ฟังก์ชันสองอันนี้,
และเราพูดถึง -- คิดถึงมันอีกหน่อย...
เกี่ยวกับมันเทียบกับผิว,
มันจะเข้าใจหลัการได้ง่ายขึ้น
ตอนนี้, สิ่งที่ผมอยากทำ...
คือคิดถึงว่ามันหมายความว่าอะไร..
มันหมายถึงอะไร...
หากกำหนดฟังก์ชันนี้, f,
ในการหาอินทิกรัลผิว...
ตลอดผิวสักอัน...
เรากำลังจะหาค่าตลอดผิวผิวนึง

Korean: 
ρ와 v의 곱입니다
따라서 임의의 점 (x,y,z)에서
이 함수가 벡터를 주면
동일한 점에 대한 여기 스칼라를
곱합니다
즉 이것은
Ρv입니다
아까 썼던 색깔을
사용합시다
이걸 이해하는 데에는 다양한 방법이 있습니다
이걸 이해하는 데에는 다양한 방법이 있습니다
속도의 방향은 유지가 되지만
크기는...
한 가지 생각해볼 수 있는 방법은
운동량 밀도입니다
잘 이해가 안 된다 해도
괜찮습니다
여기 2개의 함수를
면과 관련지어 생각하다 보면
좀더 이해가 될겁니다
좀더 이해가 될겁니다
좀더 이해가 될겁니다
이제 함수 F가
이제 함수 F가
임의의 표면에 대한
면적분을 구하는 것이
어떤 의미가 있는지 생각해봅시다
한 번 해봅시다

Hindi: 
हम एफ का मूल्यांकन करने के लिए जा रहे हैं...
हम एफ डॉट n का मूल्यांकन करने के लिए जा रहे हैं,
.. निर्माण n है यूनिट साधारण वेक्टर में हर -
... at एक बिंदु है कि सतह पर,
... डी एस।
डी-सतह।
तो चलो लगता है कि क्या इस बारे में कह रहा है।
तो सबसे पहले, मुझे अपनी कुल्हाड़ियों आरेखित करें।
तो मैं अपने z-अक्ष है।
z-अक्ष...
यह हो सकता है मेरी...
चलो कि बनाएँ...
चलो कि मेरा x-अक्ष बनाना।
और चलो कहना है कि यह ठीक है यहाँ...
... is मेरे y-अक्ष।
और चलो मेरे सतह कहते हैं...
...मैं एक ही है कि रंग का उपयोग करेंगे...
मेरे सतह कुछ उस तरह दिखता है।
इतना है कि मेरे सतह।
यह है कि प्रश्न में की सतह।
यही है एस
अब चलो इकाइयों के बारे में सोचो
... और ये कड़ियाँ उम्मीद है कि हम दे देंगे संकल्पनात्मक समझ...
... .of क्या सही यहाँ पर इस बात को मापने है।
यह पूरी तरह से करने के लिए अनुरूप है...
... हम दो आयामी के मामले में किया था .what...
... साथ लाइन समाकल्य।
तो हम एक डी एस।
एक डी एस क्षेत्र का एक छोटा सा हिस्सा है...
... .of कि सतह।
तो है कि डी एस।

Thai: 
เรากำลังจะหาค่า f...
เราจะกำลังจะหาค่า f ดอท n,
โดย n คือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉาก ณ จุดใด ๆ--
ณ จุดใด ๆ บนผิวนั้น
dS
d-ผิว
งั้นลองคิดดูว่านี่บอกอะไร
อย่างแรก, ขอผมวาดแกนหน่อยนะ
ผมมีแกน z
แกน z...
นี่คือ...
ลองทำให้มัน...
ลองทำให้มันเป็นแกน x นะ
แล้วสมมุติว่านี่ตรงนี้...
คือแกน y
และสมมุติว่าผิวของผม...
ผมจะใช้สีเดิมนะ..
ผิวของผมหน้าตาเป็นแบบนี้
นั่นก็คือผิวของผม
นั่นคือพิ้นผิวที่สนใจ
นั่นคือ S
ทีนี้ลองคิดถึงด้วย
หวังว่านั่นจะช่วยให้เราเข้าใจหลักการ...
ว่าสิ่งนี่ตรงนี้กำลังวัดอะไร
มันเปรียบเหมือนกับ..
สิ่งที่เราทำในกรณีสองมิติเลย...
ที่ใช้อินทิกรัลเส้น
งั้นเรามี dS
dS คือเสี้ยวเล็ก ๆ ของพื้นที่...
ของพื้นผิวนั่น
นั่นก็คือ dS

Polish: 
Chcemy całkować iloczyn skalarny
f oraz n,
gdzie n to wektor normalny
do każdego punktu powierzchni,
dS.

Spanish: 
vamos a evaluar F
vamos a evaluar F punto N,
donde N es una unidad normal al vector en
cada punto de su superficie,
dS.
d- Superficie.
Pensemos en lo que nos está diciendo.
Primero, permitanme dibujar mis coordenadas.
tengo mi
coordenada Z
esta puede ser...
vamos a hacer esta...
mi coordinada X
y vamos a decir que esta de aquí
es mi coordinada Y
y digamos que mi superfice
voy a usar el mismo color
Mi superficie se vé algo así.
así que esta es mi superficie.
esta es la superficie en cuestión.
Esta es S.
Ahora pensemos en las unidades,
y con suerte esto nos dará el entendimiento conceptual
de qué, esto de aqui esta midiendo.
es completamente análogo
a lo que hicimos en el caso de dos dimensiones
con la integral de una linea.
Así que tenemos a dS.
dS es este trozo de área
de la superficie.
así que esto es dS.

English: 
We're going to evaluate f...
We're going to evaluate f dot n,
...where n is the unit normal vector at every--
...at each point on that surface,
...dS.
d-surface.
So let's think about what this is saying.
So first, let me draw my axes.
So I have my z-axis.
z-axis...
This could be my...
Let's make that...
Let's make that my x-axis.
And let's say that this right over here...
...is my y-axis.
And let's say my surface...
...I'll use that same color...
My surface looks something like that.
So that is my surface.
That is the surface in question.
That is S.
Now let's think about the units,
...and hopefully that'll give us conceptual understanding...
...of what this thing right over here is measuring.
It's completely analogous to...
...what we did in the two-dimensional case...
...with the line integrals.
So we have a dS.
A dS is a little chunk of area...
...of that surface.
So that is dS.

Portuguese: 
Então sobre alguma superfície,
vamos calcular f ponto n,
onde n é o vetor unitário normal
em cada ponto da superfície,
dS.
dSuperfície.
Vamos pensar no que isso diz.
Primeiramente, deixe-me desenhar os eixos.
Tenho aqui o eixo z.
Esse seria o eixo x.
E esse aqui é o eixo y.
Suponhamos que a superfície--
usarei a mesma cor--
se pareça com isso.
Aqui está minha superfície.
A superfície em questão.
Essa é S.
Vamos pensar nas unidades.
Espero que isso nos dê
compreensão conceitual
sobre o que está sendo medido aqui.
É completamente análogo ao que fizemos
no caso bidimensional.
Com integrais de linha.
Temos um dS.
dS é um pequeno pedaço de área
dessa superfície.
Então esse é dS.

Korean: 
F·n 을 구합니다
F·n 을 구합니다
여기서 n은 표면 위 모든 점에서의
단위 법선 벡터입니다
표면은 dS입니다
표면은 dS입니다
무엇을 의미하는지 생각해봅시다
먼저 축을 그립시다
z축
z축
z축
여기가
x축
여기는
y축
그리고 표면은
그리고 표면은
이렇게 생겼습니다
이렇게 생겼습니다
문제의 표면입니다
표면 S입니다
이제 단위를 생각합시다
그러면서 이 식이 무엇을 의미하는지
이해해봅시다
2차원의 경우에서
선적분과 했던 것과
완전히 유사합니다
dS가 있습니다
dS는 표면에서 잡은 작은 면적입니다
dS는 표면에서 잡은 작은 면적입니다
dS는 표면에서 잡은 작은 면적입니다

Korean: 
dS는 면적이 될 겁니다
dS는 면적이 될 겁니다
dS는 면적이 될 겁니다
특정 단위를 고르자면
m^2이 될 수 있습니다
m^2이 될 수 있습니다
특정 단위를 생각하면
조금씩 더 구체적인 의미가
만들어지는 것 같습니다
dS에서의
법선 벡터는
바로 삐져나옵니다
바로 삐져나옵니다
말 그대로 평면에 수직합니다
말 그대로 평면에 수직합니다
크기는 1로써
단위 법석 벡터입니다
그리고 F는 3차원 공간 전체에서 정의되기 때문에
임의의 (x,y,z)가 주어진다면
밀도와
속도를 알 수 있습니다
F를 잡아봅시다
공간 안 아무데서나
잡을 수 있습니다
표면 위도 포함입니다
바로 여기에서
F를 잡는다면...
이렇게 생겼다 합시다
점 바로 위에 F가 있습니다
점 바로 위에 F가 있습니다
무슨 의미냐면
두 벡터를 내적한다는건
근본적으로
얼마나 같은 방향으로 가는지 알려줍니다
n이 크기가 1인
단위 벡터이므로
이게 말하는 바는
이게 말하는 바는

Thai: 
และนี่จะเป็นพื้นที่
และหากเราอยากแบ่ง...
นี่คือ...
เราอยากเลือกหน่วยเฉพาะ...
นี่อาจเป็นตาราง...
นี่อาจเป็นตารางเมตร
และผมว่าตอนเราทำ...
หน่วยเฉพาะ, มันเริ่มจะ...
ช่วยให้เห็นชัดเจนขึ้น
ทีนี้, เวกเตอร์หน่วย..ง
ที่ dS นั่น...
เวกเตอร์ตั้งฉากจะ...
ชี้ออกมาจากมัน
มันตั้งฉากกับแผ่นนั่นตามชื่อมัน
มันตั้งฉากกับแผ่นนั่นตามชื่อมัน
มันมีขนาดเป็น 1
นั่นก็คือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากของเรา
และ f นิยามทั่วสเปซสามมิตินี่
คุณให้ (x,y,z) ใด ๆ ผมมา
ผมจะรู้ความหนาแน่นมวล,
ผมจะรู้ความเร็วของมัน
และผมจะได้ f มา
ผมจะได้ f ณ จุดใด ๆ...
ณ จุดใด ๆ ในสเปซสามมิติ
รวมถึงบนผิวหน่วย
รวมถึงนี่ตรงนี้ด้วย
งั้นนี่ตรงนี้, f อาจดู...
f อาจดูเป็นแบบนี้
นั่นคือ f นั่น ณ จุดนั้น
ตรงจุดนั้นเลย
แล้วพวกนี้หมายความว่าอะไร?
ทีนี้ตอนคุณหาดอทโปรดัค...
ของเวกเตอร์สองตัว, นี่ก็บอกเราว่า.
"พวกมันไปด้วยกันขนาดไหน?"
และเนื่องจาก n เป็นเวกเตอร์หน่วย
เนื่องจกามันมีขนาดเป็น 1
มัน-- นี่จะบอกว่า..
"อะไร"

Portuguese: 
Isso será área.
Se quiser escolher uma unidade
em particular, pode ser metros quadrados.
Fazendo isso, acho que faz mais sentido.
O vetor normal nesse dS
apontará pra fora dele.
É literalmente normal àquele plano.
E tem magnitude um.
Esse é o nosso vetor unitário normal.
E f é definida ao longo desse espaço
tridimensional.
Você me dá qualquer xyz,
sei sua densidade,
sua velocidade
e terei algum f, em qualquer ponto
no espaço tridimensional.
Inclusive na superfície.
Inclusive aqui.
Aqui f pode parecer algo assim.
Essa é f bem nesse ponto.
O que isso significa?
Quando calculamos o produto interno
de dois vetores,
isso nos diz o quão junto eles vão.
Como n é um vetor unitário,
tem magnitude um,

Spanish: 
Esto va a ser el área.
y si queremos romper
esto es...
Queremos tomar tomar unidades particulares
esto podria ser metros cuadrados
metros cuadrados.
y creo que cuando tomamos
unidades particulares, comienza a tener
un poquito mas de sentido concreto.
ahora, el vector normal
en ese ds.
El vector normal va a
apuntar, justo aqui
es literalmente normal al plano.
es literalmente normal al plano.
y su magnitud es 1.
asi que esa es la unidad normal del vector.
y F esta definida atravez de este espacio tridimensional.
me das cualquier punto (X,Y,Z)
y voy a saber cual sera la densidad de su masa,
voy a saber su velocidad,
y voy a tener cualquier F.
y voy a tener cualquier F en cualquier punto
en un espacio tridimencional.
incluyendo dentro de la superficie.
incluyendo justo aquí.
justo aquí, F seria algo,
como esto.
así que este es F justo en este punto.
justo en este punto.
así que, Qué significa todo esto?
bueno cuando tomas el producto punto
de dos vectores, esto es escencialmente diciendo,
Qué tan juntos van?
y desde n es una unidad vector
hasta que tiene magnitud 1,
esto es, escensialmente diciendo
Cúal es?

English: 
So this is going to be area.
And if we want to break...
This is...
We want to pick particular units...
This could be square...
This could be square meters.
And I think when we do...
...particular units, it starts to make...
...a little bit more concrete sense.
Now, the normal vector...
...at that dS...
The normal vector is going to...
...point right out of it.
It's literally normal to that plane.
It's literally normal to that plane.
It has a magnitude 1.
So that is our unit normal vector.
And f is defined throughout this three-dimensional space.
You give me any (x,y,z),
...I'll know its mass density,
...I'll know its velocity,
...and I'll get some f.
I'll get some f at any point...
...at any point in three-dimensional space,
...including on the surface.
Including right over here.
So right over here, f might look...
...f might look something like this.
So that is f right at that point.
Right at that point.
So what does all of this mean?
Well when you take the dot product...
...of two vectors, this is essentially saying,
"How much do they go together?"
And since n is a unit vector,
...since it has a magnitude 1,
...it's-- this is essentially saying..
"What is..."

Hindi: 
तो यह क्षेत्र होने जा रहा है।
और अगर हम तोड़ने के लिए चाहते हैं...
यह है...
हम विशेष रूप से यूनिट लेने के लिए चाहते हैं...
इस वर्ग हो सकता है...
इस वर्ग मीटर की दूरी पर हो सकता है।
और मुझे लगता है कि जब हम क्या...
... .particular इकाइयों, यह करने के लिए शुरू होता है...
... .a थोड़ा और अधिक ठोस भावना।
अब, सामान्य सदिश...
... at कि डी एस...
सामान्य सदिश करने जा रहा है...
... सही इसे से बाहर .point.
यह वस्तुतः करने के लिए है कि विमान सामान्य है।
यह वस्तुतः करने के लिए है कि विमान सामान्य है।
यह एक परिमाण 1 गया है।
तो है कि हमारे यूनिट साधारण वेक्टर है।
और एफ इस तीन आयामी अंतरिक्ष भर में परिभाषित किया गया है।
तुम मुझे किसी भी दे (x, y, z),
...मैं अपने बड़े पैमाने पर घनत्व पता चल जाएगा,
...मैं अपनी वेग पता चल जाएगा,
... और ये कड़ियाँ मैं कुछ एफ प्राप्त करेंगे।
मैं किसी भी बिंदु पर कुछ एफ मिलेगा...
... at में से किसी में त्रि-आयामी अंतरिक्ष, बिंदु
... .including सतह पर।
ठीक है यहाँ पर भी शामिल है।
तो सही यहाँ पर, एफ लग सकता है...
... .f कुछ इस तरह लग रहे हो सकता है।
जिससे कि एफ सही उस बिंदु पर है।
उस बिंदु पर सही है।
तो क्या इसका मतलब है कि के सभी करता है?
अच्छी तरह से जब तुम डॉट के उत्पाद ले...
... .of दो वैक्टर, यह अनिवार्य रूप से कह रहा है,
"कितना वे एक साथ जाना?"
और के बाद से एक इकाई सदिश n है,
... यह है एक परिमाण के 1, .since
... यह है - यह अनिवार्य रूप से कह रहा है...
"क्या है..."

Hindi: 
"क्या... परिमाण है
... .of च के घटक...
... कि एन की दिशा में जा रहा है? "
या घटक - या...
"क्या की भयावहता है...
... है कि एफ के .component...
... .normal सतह के लिए? "
या "एफ का कितना सामान्य है...
... योग्य सतह? "
तो एफ के घटक है कि...
... .normal सतह के लिए...
... .might की तरह कुछ लग रहे...
... .might कुछ देखो...
... तरह कि।
कुछ है कि ऐसा लग सकता है।
और यह ठीक है यहाँ...
... .will अनिवार्य रूप से बस दे...
... कि की भयावहता के .the.
और यह सिर्फ करने के लिए जा रहा है...
यह सिर्फ इकाईयों एफ से रखने जा रहा है।
एन, सही यहाँ पर, सिर्फ निर्दिष्ट करता है...
... .a दिशा। यह कोई इकाइयां इसके साथ जुड़े हैं।
यह आयामरहित है।
f's इकाइयों होने जा रहे हैं...
... बड़े पैमाने पर घनत्व, के .units
तो यह हो सकता है...
यह होने जा रहा है...
हम कहते हैं कि यह हो सकता है...
.. मीटर cubed प्रति .kilogram.
यह है...
खैर यह वास्तव में सिर्फ rho हिस्सा है।
तो यह बड़े पैमाने पर घनत्व टाइम्स वेग है।
समय मीटर प्रति सेकंड।
मुझे यह उन रंगों में लिखते हैं...
... हम है .so...
... .clear क्या यहाँ क्या हो रहा है।
तो एफ की यूनिटों...
... .are rho की यूनिटों जा रहा...
... .which होना करने के लिए जा रहे हैं...

Korean: 
F의 성분 중
n의 방향으로 가는 성분의
크기가 얼마인지 묻습니다
아니면
F의 성분 중
표면과 수직인 성분의 크기가 얼마인지
표면과 수직인 성분의 크기가 얼마인지
아니면 F가 표면에 대해 얼마나 수직인지
묻습니다
그래서 표면에 수직한
F의 성분은
이렇게 생겼습니다
이렇게 생겼습니다
이렇게 생겼습니다
이렇게 생겼습니다
그리고 여기 이건
본질적으로 그 크기를
부여해줍니다
그리고 F의 단위는
그대로 유지됩니다
n은 방향만을 나타내지
단위와 관련 없습니다
차원이 없습니다
F의 단위는
밀도의 단위가 됩니다
밀도의 단위가 됩니다
밀도의 단위가 됩니다
말하자면
kg/m^3 정도가 됩니다
kg/m^3 정도가 됩니다
사실 저건 ρ부분 뿐입니다
밀도 곱하기 속도이므로
곱하기 m/s
명확하게 색을 입힙시다
명확하게 색을 입힙시다
명확하게 색을 입힙시다
F의 단위는
ρ의 단위인
ρ의 단위인

Spanish: 
Cúal es la magnitud?
de la componente de F.
que va en dirección n?
o la componente... o..
Cúal es la magnitud?
de la componente F eso es
Normal a la superficie?
o, Qué tanto es normal a la
superficie?
así que la componente de F que es
normal a la supercie
se verá algo como...
algo como...
Como esto.
Se vera algo como esto
y esto de aquí
será escensialmente la
magnitud de esto.
y va a tomar
va a tomar las unidades de F,
N, justo aqui, solo especifica
una dirección. no tiene unidades asociadas con ella.
sus dimensiones.
F's unidades van a ser
unidades de densidad de masa,
asi que podria ser
va a ser
digamos que va a ser
Kilogramos por metro cúbicos.
eso es...
bueno esto es solo la parte de Rho.
así que su densidad de masa veces la velocidad.
veces metros por segundo
dejame escribirlos en estos colores...
así que tenemos
claro lo que esta pasando aqui.
así que las unidades de F
va a ser unidades de Rho,
que seran

Portuguese: 
isso nos diz a magnitude
da componente de f
que vai na direção de n.
Ou qual a magnitude
da componente de f
que é normal à superfície.
Ou o quanto de f é normal à superfície.
A componente de f
que é normal à superfície
seria mais ou menos assim.
Isso aqui dará essencialmente
a magnitude disso.
Mantendo as unidades de f.
Isso aqui especifica apenas a direção.
Não há unidades associadas.
É sem dimensão.
As unidades de f
serão unidades de densidade.
Poderia ser quilograma por metro cúbico.
Na verdade essa parte
só diz respeito a rô.
É densidade vezes velocidade.
Vezes metro por segundo.
Deixe-me usar aquelas cores
pra ficar mais claro.
As unidades de f
serão as unidades de rô--

English: 
"What is the magnitude...
...of the component of f...
...that's going in the direction of n?"
Or the component-- Or...
"What is the magnitude of the...
...component of f that is...
...normal to the surface?"
Or "How much of f is normal...
...to the surface?"
So the component of f that is...
...normal to the surface...
...might look something like...
...might look something...
...like that.
Might look something like that.
And this right over here...
...will essentially just give...
...the magnitude of that.
And it's just going to...
It's just going to keep the units of f.
n, right over here, just specifies...
...a direction. It has no units associated with it.
It's dimensionless.
f's units are going to be...
...units of mass density,
So it could be...
It's going to be...
Let's say it could be...
...kilogram per meter-cubed.
That's...
Well that's actually just the rho part.
So it's mass density times velocity.
Times meters per second.
Let me write it in those colors...
...so we have...
...clear what's happening here.
So the units of f...
...are going to be the units of rho...
...which are going to be...

Thai: 
"ขนาดคืออะไร
..องค์ประกอบของ f...
ที่ไปในทิศของ n เป็นเท่าไหร่?"
หรือ องค์ประกอบ -- หรือ..
"ขนาดของ..
องค์ประกอบของ f ที่..
ตั้งฉากกับผิวเป็นเท่าไหร่?"
หรือ "f ที่ตั้งฉาก...
กับผิวเป็นเท่าไหร่?"
ดังนั้นองค์ประกอบของ f ที่...
ตั้งฉากกับผิว...
อาจดูเป็นอะไรแบบ..
อาจดูเป็น...
อะไรแบบนั้น
อาจดูเป็นอะไรแบบนั้น
และนี่ตรงนี้...
ที่สุดแล้วบอก...
ขนาดของนั่น
และมันจะ...
มันจะมีหน่วยตาม f
n, นี่ตรงนี้, แค่ระบุ...
ทิศ มันไม่มีหน่วยคู่กับมัน
มันไม่มีหน่วย
หน่วยของ f จะ...
เป็นหน่วยของความหนาแน่น,
มันอาจเป็น...
มันจะเป็น...
สมมุติว่ามันเป็น...
... กิโลกรัมต่อ เมตร กำลังสาม
นั่น...
นั่นก็คือแค่หน่วยของโร
มันก็คือความหนาแน่นมวลคูณความเร็ว
คูณ เมตรต่อวินาที
ขอผมเขียนด้วยสีพวกนั้นนะ...
เราจะได้...
เห็นชัดว่าเกิดอะไรขึ้น
งั้นหน่วยของ f...
จะเป็นหน่วยของโร...
ซึ่งเป็น...

Portuguese: 
que são quilograma por metro cúbico,
isso é densidade--
vezes as unidades de v,
que são metro por segundo.
E vamos multiplicar isso
por metros quadrados.
Temos metro e metro quadrado no numerador.
Ficará então metros cúbicos.
Tem um também no denominador.
Podemos cortá-los.
As unidades disso
serão quilograma por segundo.
O jeito de conceituar isso
dada a forma como f é definida,
o que f representa,
é...isso diz o quanto de massa,
dadas sua densidade e sua velocidade,
vai diretamente pra fora desse pequeno dS.
Esse pequeno pedaço de superfície.
Num dado intervalo de tempo.
Se somarmos todos os dS's,
que é o que essa integral de superfície é,
essencialmente.
Estamos dizendo o quanto de massa,
em quilogramas por segundo,
está viajando através dessa superfície.

Hindi: 
.. क्यूबिक मीटर प्रति .kilogram...
कि बड़े पैमाने पर घनत्व है।
... .times वी की यूनिटों...
... .which मीटर की दूरी पर प्रति सेकंड है।
मीटर प्रति सेकंड।
और हम कि चुकता मीटर टाइम्स गुणा करने के लिए जा रहे हैं।
तो क्या तुम्हारे पास है...
तुम एक मीटर है और फिर...
... .a मीटर में अमेरिका चुकता...
यह है कि अमेरिका में cubed मीटर है।
और मीटर में भाजक cubed.
कि, कि, कि रद्द बाहर।
और इतना इकाइयों है कि हम इस बात के लिए मिल...
इस यूनिट... कि हम इस बात के लिए मिल
... .are किलोग्राम प्रति सेकंड।
और ऐसा तरीका है इसे conceptualize...
हम कैसे परिभाषित किया गया है को देखते हुए च...
... हम कहते हैं कि हम क्या कहते हैं .when एफ का प्रतिनिधित्व करता है...
तरीका यह conceptualize है...
यह कह रही है, "कैसे ज्यादा बड़े पैमाने पर..."
"इस मास घनत्व को देखते हुए कितना जन,
... .this वेग, सीधे जा रहा है...
... इस छोटे डी एस, के .out
... .this थोड़ा...
... 'infinitesimally' सतह का हिस्सा...
... in समय की एक दी गई राशि? "
और फिर अगर हम जोड़ने के ऊपर थे...
.. डी एस-es, के .all
... और ये कड़ियाँ यह वही अनिवार्य रूप से उस सतह अभिन्न है, है
... हम अनिवार्य रूप से कह रहे हैं,
"कितना जन,
... in किलोग्राम प्रति सेकंड,
... है कि क्या हम चुना...
कितना बड़े पैमाने पर...
... is इस सतह भर में यात्रा...

Thai: 
กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร...
นั่นคือความหนาแน่นมวล
คูณหน่วยของ v...
ซึ่งก็คือ เมตรต่อวินาที
เมตรต่อวินาที
และเราจะคูณนั่นด้วย เมตรกำลังสอง
สิ่งที่คุณมีก็คือ...
คุณมีเมตรแล้วก็...
เมตรกำลังสองเป็นตัวเศษ...
นั่นคือเมตรกำลังสาม ในตัวเศษ
และเมตรกำลังสามในตัวส่วน
นั่น, นั่น, นั่น ตัดกัน
แล้วหน่วยที่เราได้จากนี่...
หน่วยที่เราได้จ่ากนี่...
เป็นกิโลกรัมต่อเมตร
แล้ววิธีที่เราเข้าใจมัน...
ตามที่เรากำหนด f...
ตอนเราบอกว่า สิ่งที่เราให้ f แสดง...
วิธีที่มองหลักการนี่...
นี่บอกว่า "มีมวลเท่าไหร่..."
"มีมวลเท่าไหร่, เมื่อกำหนดความหนาแน่นมวลนี่,
ความเร็วนี่, ที่กำลัง...
ออกจาก dS เล็ก ๆ นี่ตรง ๆ
เล็ก ๆ...
ผิวส่วนเล็กจิ๋ว...
ในช่วงเวลาที่กำหนด?"
แล้วหากเรารวม...
dS ทั้งหมด
และนี่ที่สุดแล้วก็จะบอกว่า อินทิกรัลผิวคืออะไร
เรากำลังบอกว่า
"มีมวลเท่าไหร่
ในหน่วยกิโลกรัมต่อวินาที,
นั่นคือสิ่งที่เราเลือก
มีมวลเท่าไหร่
ที่กำลังข้ามผ่านผิวนี้..ง

Korean: 
kg/m^3
밀도에다가
v의 단위를 곱하면
m/s
m/s
그리고 곱하기 m^2
식을 살펴보면
m와 m^2이 분자에 있으므로
m와 m^2이 분자에 있으므로
m^3이 분자에 있고
m^3이 분모에 있으므로
서로 소거됩니다
따라서 단위는
따라서 단위는
kg/s 입니다
이해하자면 이는
F를 어떻게 정의했는지
생각한다면
생각한다면
얼마큼의 질량이
밀도가 주어지고 속력이 주어질 때
얼마큼의 질량이
작은 dS를 곧장 나오는지
작은 dS를 곧장 나오는지
이 미소면적을 곧장 나오는지
주어진 시간에 대해 알려줍니다
만약 dS들을
모두 모아 더한다면
본질적으로 면적분이 됩니다
본질적으로
얼마큼의 질량이
kg/s 단위로
kg/s 단위로
얼마큼의 질량이
주어진 시간동안

Spanish: 
Kilogramos por Metro cúbico
Eso es densidad de masa.
veces las unidades de V
que es metros por segundo
Metros por segundo.
y vamos a multiplicar esto veces metros cuadrados
así que lo que tenemos es
tenemos un metro luego
un metro cuadrado en el numerador
eso es metros cúbicos en el numerador.
y metros cúbicos en el denominador.
que se cancelan entre sí.
y las unidades que tenemos de esto
la unidades que tenemos de esto es
Kilogramos por Segundo
y la manera de conceptualizarlo
dado que hemos definido F
cuando decimos lo que F representa
La manera de conceptualizarlo
es diciendo,
Cuanta masa dada dá la densidad de masa,
esta velocidad va directamente
fuera de esta pequeña dS,
esta pequeña
"infinitesimal" trozo de supercie
en un momento dado de tiempo?
y luego, si añadimos a esto
todo ds
y es escencialmente lo que la superficie integral es,
estamo diciendo escencialmente,
"Cuanta masa
en kilogramos por segundo,
hemos tomado...
Cuanta masa
esta viajando atravez de la superficie

English: 
...kilogram per cubic meter...
That's mass density.
...times the units of v...
...which is meters per second.
Meters per second.
And we're going to multiply that times meters squared.
So what you have is...
You have a meter and then...
...a meter squared in the numerator...
That's meters cubed in the numerator.
And meters cubed in the denominator.
That, that, that cancels out.
And so the units that we get for this...
The units that we get for this...
...are kilogram per second.
And so the way to conceptualize it...
Given how we've defined f...
...when we say what we say f represents...
The way to conceptualize this...
This is saying, "How much mass..."
"How much mass, given this mass density,
...this velocity, is going directly...
...out of this little dS,
...this little...
...'infinitesimally' chunk of surface...
...in a given amount of time?"
And then if we were to add up...
...all of the dS-es,
...and this is what essentially that surface integral is,
...we're essentially saying,
"How much mass,
...in kilograms per second,
...that's what we picked...
How much mass...
...is traveling across this surface...

Portuguese: 
Em qualquer instante de tempo dado.
É a mesma ideia das integrais de linha.
Isso é o fluxo
através de uma superfície bidimensional.
Isso não é uma coisa louca ou abstrata.
Você poderia imaginar algo
como vapor d'água no seu banheiro.
Gosto de imaginar isso
pois é de fato visível.
Especialmente quando há raios de sol
passando através deles.
Quando isso acontece podemos ver
as partículas viajando
Vemos que elas têm uma certa densidade
em pontos distintos.
Você pode imaginar que se importa
com a superfície da sua...
Talvez você tenha uma janela no banheiro.
Então se a superfície for a janela
e ela estiver aberta

Spanish: 
en cualquier momento de tiempo dado?
y esto es realmente la misma idea que tenemos con
la linea de integrales.
esto es escensialmente el flujo atravez de una superfice de dos dimensiones
asi que esto es
el flujo atraves de una superficen 2D
y no es como
algo loco, algo abstracto.
o digo, puedes imaginarte,
tu sabes, puedes imaginarte
algo como vapor de agua en tu baño
vapor de agua en tu baño.
y me gusta imaginarlo de ese modo,
porque es actualmente visible,
especialmente cuando los rayos de sol lo atraviezan.
y todos hemos visto el vapor de agua
atravez...
vapor de agua en nuestro baño cuando
hay rayos de sol, y puedes ver
como las particulas
como las particulas estan viajando.
y tu ves que tienen cierta densidad
en puntos distintos.
asi que te puedes imaginar
puedes imaginarte
que te importa esa superficie...
la superficie de tu...
talvez tienes una ventana.
quizas tienes una ventana en tu baño
así que tienes una ventana
y entonces, si tu...
si la superfice fuera una ventana,
y la ventana
y digamos que la ventana esta abierta
así que es como

Korean: 
이 면을 지나는지 말합니다
그리고 이 아이디어는 선적분과도
매우 유사합니다
기본적으로 2차원 표면을 지나는 선속입니다
따라서 이 식은
2차원 표면을 지나는 선속입니다
그리고 막 이상하고 추상적인 개념이 아닙니다
그리고 막 이상하고 추상적인 개념이 아닙니다
그리고 막 이상하고 추상적인 개념이 아닙니다
화장실에 있는 수증기를
한 번 상상해봅시다
한 번 상상해봅시다
실제로 보이기 때문에
특히 햇빛이 비출 때 보이기 때문에
상상하기 좋습니다
상상하기 좋습니다
상상하기 좋습니다
햇빛이 있을 때
화장실의 수증기를 보면
입자들이 어떻게 움직이는지 보입니다
입자들이 어떻게 움직이는지 보입니다
그리고 서로 다른 지점에서
일정한 밀도를 갖는 게 보입니다
그리고 여러분은
상상할 수 있습니다
표면의 경우
표면의 경우
화장실에 창문이 있다고 생각해봅시다
화장실에 창문이 있다고 생각해봅시다
창문이 있습니다
창문이 있습니다
만약 표면이 창문이고
만약 표면이 창문이고
창문은 열려 있다고 합시다
창문은 열려 있다고 합시다

Thai: 
ณ ขณะใด ๆ ในเวลา?"
และนี่เป็นแนวคิดเดียวกับที่เราทำกับ...
อินทิกรัลเส้น
นี่ที่สุดแล้วคือฟลักซ์ผ่านผิวในสองมิติ
แล้วนี่คือ...
ฟลักซ์ผ่านผิว 2 มิติ
นี่ไม่ใช่...
สิ่งที่เป็นนามธรรมไร้สาระ
ผมหมายถึง, คุณจินตนาการได้..
คุณก็รู้, คุณสามารถจินตนาการ...
อะไรเช่นไอน้ำในห้องน้ำคุณ
ไอน้ำในห้องน้ำคุณ
ผมอยากจินตนการว่า
เพราะมันเห็นได้
โดยเฉพาะตอนที่มีแสงอาทิตย์ฉายผ่านมัน
และเราเคยเห็นไอน้ำกันทั้งนั้น...
ผ่าน..
ไอน้ำในห้องน้ำตอน...
คุณมีแสงอาทิตย์ คุณเลยเห็น...
ว่าอนุภาค...
ว่าอนุภาคเคลื่อนที่ยังไง
และคุณเห็นมันมีความหนาแน่น...
ณ จุดต่าง ๆ
แล้วคุณก็นึกได้..ง
คุณจินตนาการได้...
คุณสนใจพื้นผิว...
พื้นผิวของ...
บางทีคุณมีหน้าต่าง
บางทีคุณมีหน้าต่างในห้องน้ำ
คุณมีหน้าต่าง
แล้วทีนี้ หากคุณ...
หากผิวคือหน้าต่าง
และหน้าต่าง..
สมมุติว่าหน้าต่างเปิด
มันเหมือนกับ...

Hindi: 
... at समय में किसी भी पल? "
और यह वास्तव में एक ही विचार हम के साथ करना है...
... .the लाइन समाकल्य।
यह अनिवार्य रूप से प्रवाह के एक दो आयामी सतह के माध्यम से है।
तो यह है...
... .the प्रवाह के माध्यम से एक 2 डी सतह।
और यह पसंद नहीं है...
... .some पागल, अमूर्त बात।
मेरा मतलब है, तुम सोच सकता है...
तुम्हें पता है, तुम सोच सकता है...
... अपने बाथरूम में पानी भाप की तरह .something.
अपने बाथरूम में पानी भाप।
और मैं कि कल्पना की तरह,
... .because है कि वास्तव में दिख रहा है
... जब सूरज की रोशनी इसे माध्यम से चमक रहा है .especially.
और हम सब पानी भाप देखा है...
... .through एक...
... .water भाप अपने बाथरूम में जब...
... तुम सूरज की रोशनी की एक किरण है, और आप देख सकते हैं...
... कैसे कणों...
... कैसे कणों यात्रा कर रहे हैं।
और आप देखते हैं वे एक निश्चित घनत्व है...
... at अलग अंक।
और तुम सोच सकता है तो...
तुम सोच सकता है...
तुम सतह के बारे में कोई परवाह...
... .the की सतह के अपने...
शायद तुम एक खिड़की है।
शायद तुम बाथरूम में एक खिड़की है।
तो तुम एक खिड़की है।
और हां, तो अगर तुम थे...
अगर खिड़की सतह था,
... और ये कड़ियाँ खिड़की...
और चलो खिड़की खुली कहते हैं,
... .so यह है की तरह एक...

English: 
...at any given moment in time?"
And this is really the same idea we do with...
...the line integrals.
This is essentially the flux through a two-dimensional surface.
So this is...
...the flux through a 2D surface.
And this isn't like...
...some crazy, abstract thing.
I mean, you could imagine...
You know, you could imagine...
...something like water vapor in your bathroom.
Water vapor in your bathroom.
And I like to imagine that,
...because that's actually visible,
...especially when sunlight is shining through it.
And we've all seen water vapor...
...through a...
...water vapor in our bathroom when...
...you have a ray of sunlight, and you can see...
...how the particles...
...how the particles are traveling.
And you see they have a certain density...
...at different points.
And so you could imagine...
You could imagine...
You care about the surface...
...the surface of your...
Maybe you have a window.
Maybe you have a window in the bathroom.
So you have a window.
And so, if you were...
If the surface was the window,
...and the window...
And let's say the window's open,
...so it's kind of a...

Hindi: 
वहाँ शारीरिक कुछ भी नहीं है।
बस बात ये है की तरह एक...
... .a आयताकार सतह कि...
... .things से स्वतंत्र रूप से माध्यम से गुजारें कर सकते हैं
... if - और एफ था अनिवार्य रूप से...
... .the बड़े पैमाने पर घनत्व पानी भाप टाइम्स के...
... पानी भाप के .the वेग
... .then इस बात पर अभी यहाँ अनिवार्य रूप से आप बता देंगे...
... पानी भाप कि यात्रा है की .the बड़े पैमाने पर...
... .through समय के किसी भी पल में उस खिड़की।
एक और तरीका है इसके बारे में सोचने के लिए है...
कल्पना कीजिए एक...
एक नदी की कल्पना करो।
और मैं इस नदी conceptualize करने जा रहा हूँ...
... as की तरह एक...
... .just नदी के किसी अनुभाग।
और मैं यह conceptualizing कर रहा हूँ...
इस तरह से है...
... .a नदी।
जाहिर है यह सतह हो जाएगा...
... हम आम तौर पर देख .that.
लेकिन जाहिर है यह कुछ गहराई है।
यह प्रकृति में तीन आयामी है।
और इसलिए हम घनत्व पता होगा।
शायद यह स्थिर है।
तुम्हें पता है घनत्व, और तुम्हें पता है वेग...
... at किसी बिंदु।
यह है कि क्या एफ हमें देता है।
इसलिए कि हमें बताता है...
जैसा कि हमने कहा, हम कि के रूप में देखना सकता...
... समय में किसी भी बिंदु पर .momentum घनत्व।
और शायद हमारे सतह एक जाल के कुछ प्रकार है।
हमारे सतह एक जाल के कुछ प्रकार है।
और शुद्ध भी आयताकार होना नहीं है।
यह कुछ अजीब आकार का शुद्ध हो सकता है।
लेकिन मैं इसे में आयताकार करता हूँ, क्योंकि यह है
... .easier आकर्षित करने के लिए।

Korean: 
물리적인 것이 아니라
그저
네모난 표면이 있고
물질이 자유롭게 지나다닙니다
그리고 만약 F가 원래
수증기의 밀도 곱하기
수증기의 속도였다면
이 식은 본질적으로
임의의로 주어진 시간에 창문을 지나는
수증기의 질량을 말합니다
다른 예를 들자면
강을 생각해봅시다
강을 생각해봅시다
강의 일부를 개념화합시다
강의 일부를 개념화합시다
강의 일부를 개념화합시다
강의 일부를 개념화합시다
강의 일부를 개념화합시다
강의 일부를 개념화합시다
알다시피 이 표면이
평소에 보던 표면입니다
하지만 당연히 깊이도 있습니다
현실에서는 3차원입니다
그리고 밀도를 압니다
상수일 수도 있는데
임의의 점에서 밀도를 알고 속도를 알고 있습니다
임의의 점에서 밀도를 알고 속도를 알고 있습니다
F에서 얻어냈습니다
F에서 얻어냈습니다
말했다시피 주어진 시간에 대한
운동량 밀도라고 생각할 수 있습니다
그리고 표면이 어떤 그물일 수도 있습니다
그리고 표면이 어떤 그물일 수도 있습니다
꼭 네모일 필요 없이
이상하게 생겼을 수도 있지만
네모가 그리기 편하므로 이렇게 그리겠습니다
네모가 그리기 편하므로 이렇게 그리겠습니다

English: 
There's nothing physical there.
It's just kind of a...
...a rectangular surface that...
...things can pass freely through,
...if-- and f was essentially...
...the mass density of the water vapor times...
...the velocity of the water vapor,
...then this thing right over here will essentially tell you...
...the mass of water vapor that is traveling...
...through that window at any given moment of time.
Another way to think about it is...
Imagine a...
Imagine a river.
And I'm going to conceptualize this river...
...as kind of a...
...just a section of the river.
And I'm conceptualizing it...
This is kind of...
...a river.
Obviously this would be the surface...
...that we normally see.
But obviously it has some depth.
It's three-dimensional in nature.
And so we would know the density.
Maybe it's constant.
You know the density, and you know the velocity...
...at any point.
That's what f gives us.
So that tells us...
As we said, we could view that as the...
...momentum density at any given point in time.
And maybe our surface is some type of a net.
Our surface is some type of a net.
And the net doesn't even have to be rectangular.
It could be some weird-shaped net.
But I'll do it in rectangular, just because it's...
...easier to draw.

Portuguese: 
Então não há nada físico lá.
É apenas uma superfície retangular
que as coisas podem passar através.
E f é apenas a densidade do vapor d'água
vezes sua velocidade.
Então isso aqui te dirá a massa
de vapor d'água que está viajando
através dessa janela
em qualquer instante de tempo.
Outra forma de pensar
é imaginando um rio.
Vou pensar usando uma parte do rio.
Isso aqui seria obviamente a superfície
que vemos normalmente.
Obviamente tem uma profundidade.
É tridimensional na natureza.
Então, saberíamos sua densidade.
Talvez seja constante.
Sabemos a densidade e a velocidade
em qualquer ponto.
É o que f nos dá.
Nos diz, como mencionei anteriormente,
o momento de densidade
em qualquer instante de tempo.
Ou talvez nossa superfície
seja uma espécie de rede.
E ela pode ter qualquer formato.
Farei retangular
por ser mais fácil de desenhar.

Spanish: 
si no hubiera nada fisico alli.
y es como
una superfice rectangular
que para libremente atravez
si... y F es escencialmente
la densidad de masa del el vapor de agua
veces la velocidad del vapor de agua,
luego esto de aqui te dirá,
la masa del vapor de agua que esta viajando
atravez de esa ventana en cualquier momento dado de tiempo.
y otra manera de pensarlo seria...
imagina
imagina un rio
y voy a conceptualizar un rio
es como
solo la sección de un rio
y voy a conceptualizarlo
es como...
un rio.
obviamente esta es la superficie...
que normalmente vemos,
pero obviamente no tiene profundidad.
esta es naturalmente en tres direcciones.
y podemos saber la densidad.
quizas es constante.
tu sabes la densidad, y sabes la velocidad...
en cualquier punto
eso es lo que F no dá.
y eso nos dice...
como decimos, podemos ver eso como el
momento de densidad en cualquier punto de tiempo dado.
y quizas nuestra superficie es algun tipo de malla.
nuestra superficie es un tipo de malla.
y la malla no tiene que ser necesariamente rectangular.
podria ser una forma rara de malla.
pero yo lo haré rectangular, porque es
mas facil de dibujar.

Thai: 
ไม่มีอะไรจับต้องได้ตรงนี้
มันเป็นแค่...
พื้นผิวสี่เหลี่ยมที่...
สิ่งต่าง ๆ ผ่านได้โดยอิสระ
หาก... และ f ก็แค่...
ความหนาแน่นมวลของไอน้ำ คูณ...
ความเร็วของไอน้ำ
แล้วส่งนี้ตรงนี้ จะบอกคุณ...
ถึงมวลของไอน้ำที่เคลื่อนผ่าน..ง
ผ่านหน้าต่างนั่น ณ เวลาใด ๆ ที่กำหนด
วิธีคิดถึงมันอีกอย่างคือ...
จินตนาการ...
จินตนาการแม่น้ำ
ผมกำลังนึกถึงแม่น้ำนี่...
เป็ฯเหมือน...
ส่วนนึงของแม่น้ำ
ผมกำลังมองภาพมัน...
นี่คือ...
แม่น้ำ
แน่นอนนี่อาจเป็นพื้นผิว...
ที่เราเห็นโดยทั่วไป
แต่แน่นอนมันมีความลึกอยู่
มันเป็นสามมิติโดยธรรมชาติของมัน
และเราก็รู้ความหนาแน่น
บางทีมันคงที่
คุณรู้ความหนาแน่น, และคุณรู้ความเร็ว...
ณ จุดใด ๆ
นั่นคือสิ่งที่ f บอกเรา
งั้นนั่นบอกเรา...
อย่างที่เราบอก, เราอาจมองนั่นเป็น...
ความหนาแน่นโมเมนตัม ณ จุดใด ๆ ในเวลา
บางทีผิวของเราเป็นเหมือนตาข่าย
พื้นผวของเราเป็นเหมือนตาข่าย
และตาข่ายไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยม
มันอาจเป็นตาข่ายรูปร่างประหลาดก็ได้
แต่ผมจะใช้สี่เหลี่ยม, เพราะมัน..
วาดง่าย

Korean: 
유체의 흐름을 전혀 방해하지 않는 그물입니다
다시 한 번 말하자면
다시 한 번 말하자면
이 적분을 계산했을 때
주어진 시간에 그물을 통과하는
유체의 질량을 구할 수 있습니다
유체의 질량을 구할 수 있습니다
이제 좀 이해가 되셨기를 바랍니다
이제 좀 이해가 되셨기를 바랍니다
다음 몇 개의 영상에서는
실제로 이 식을 어떻게 계산하는지
실제로 이 식을 어떻게 계산하는지
실제로 어떻게 여러 방법으로
표현할 수 있는지 알아보겠습니다
표현할 수 있는지 알아보겠습니다
커넥트 번역 봉사단 | 정재진

Spanish: 
es un tipo de malla que no impide el flujo en ningun sentido...
de el fluido
una vez mas,
cuando evaluas esta integral,
te dirá la masa del fluido que está fluyendo
atravez de la malla.
a cada momento de tiempo dado.
y con suerte, esto tiene
un poco de sentido conceptual ahora.
en los proximos videos,
vamos a pensar acerca
de como
como calcular esto,
como podemos representarlo
en diferentes maneras.

English: 
It's some type of net that in no way impedes the flow...
...of the fluid.
Then once again,
...when you evaluate this integral,
...it would tell you the mass of fluid that is flowing...
...through that net...
...at any given moment of time.
So hopefully this makes...
...a little bit of conceptual sense now.
In the next few videos,
...we'll actually think about...
...how to...
...how to calculate this,
...and how we can actually represent it...
...in different ways.

Hindi: 
यह नेट कि में कोई रास्ता नहीं प्रवाह में बाधा उत्पन्न के कुछ प्रकार है...
... .of तरल पदार्थ।
तो एक बार फिर,
... आप इस इंटीग्रल मूल्यांकन .when
... it आप बह रहा है तरल पदार्थ के जन बताना होगा...
... .through कि शुद्ध...
... at समय के किसी भी क्षण।
तो उम्मीद है कि इस बनाता है...
... .a थोड़ा की संकल्पनात्मक समझ अब।
अगले कुछ वीडियो में
... हम वास्तव में के बारे में सोचता हूँ...
... कैसे करने के लिए...
... इस है, परिकलित करने के लिए कैसे
... और ये कड़ियाँ कैसे हम वास्तव में यह प्रतिनिधित्व कर सकते हैं...
... in विभिन्न तरीकों।

Thai: 
มันเป็นตาข่ายที่ไม่ขวางการไหล...
ของของไหลเลย
และอีกครั้ง,
ตอนคุณหาค่าอินทิกรัลนี่,
มันจะบอกคุณถึงมวลของไหลที่ไหล..
ผ่านตาข่าย..
ณ ขณะใด ๆ ในเวลา
งั้นหวังว่านี่คง..
ทำให้เข้าใจมากขึ้นหน่อยนะ
ในวิดีโอต่อ ๆ ไป
เราจะเริ่มคิดถึง...
วิธี...
วิธีคำนวณนี่
และวิธีที่เราสามารถแสดงนี่...
ในหลาย ๆ วิธี

Portuguese: 
Uma rede que de forma alguma
impeça o fluxo do fluido.
Mais uma vez, ao calcular essa integral
você obterá a massa de fluido
que passa por essa rede
em qualquer instante de tempo.
Espero que isso faça mais sentido agora,
conceitualmente.
Nos próximos vídeos
veremos como calcular isso.
E como podemos representar isso
de diferentes formas.
[legendado por: Vitor Tocci]
[Revidado por: Thales Azevedo]
