
Thai: 
ในวิดีโอที่เราได้แนะนำ
การทดสอบอนุกรมสลับ เราได้ใช้อนุกรม
เราใช้อนุกรมอนันต์จาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของลบ 1
กำลง n บวก 1 ส่วน n
เราใช้อันนี้เป็นตัวอย่าง
เพื่อใช้การทดสอบอนุกรมสลับ
และเราพิสูจน์ไปว่าอนุกรมนี่ตรงนี้ลู่เข้า
อนุกรมนี้ ซึ่งก็คือ 1
ลบ 1/2 บวก 1/3
ลบ 1/4 และมัน
ยาวต่อไปเรื่อยๆ
เราใช้การทดสอบอนุกรมสลับในวิดีโอนั้น
เพื่อพิสูจน์ว่ามันลู่เข้า
อนุกรมนี้ลู่เข้า
อันนี้ลู่เข้าโดย
การทดสอบอนุกรมสลับ

English: 
- [Voiceover] In the
video where we introduced
the alternating series test,
we in fact used the series,
we used the infinite
series from n equals one
to infinity of negative one,
to the n plus one over n.
We used this as our example
to apply the alternating series test,
and we proved that this thing
right over here converges.
So this series, which is one,
minus 1/2, plus 1/3,
minus 1/4, and it just keeps
going on and on and on forever.
We used the alternating
series test in that video
to prove that it converges.
So this thing converges.
So this converges by
alternating series test.

Korean: 
교대급수판정법을 소개한 영상에서 사실
Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
n 분의 (-1) 의 n+1 승이라는 무한급수를 사용하였습니다
교대급수판정법을 적용하기 위해 
이 식을 예시로 사용하였고
이 식이 수렴한다는 것을 증명할 수 있었습니다
이 급수는
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4...로 무한히 이어집니다
그 영상에서 교대급수판정법을 사용하여
이 급수가 수렴한다는 것을 증명했었습니다
이 급수는 수렴하고요
교대급수판정법에 의해 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
(깔끔하지 않아서 다시 쓰겠습니다)

Bulgarian: 
Във видеото, посветено на критерия 
на Лайбниц за алтернативни редове
разгледахме реда 
–1 на степен (n + 1) върху n
за n от 1 до безкрайност
Използвахме това като пример,
за да приложим критерия
на Лайбниц
и доказахме, че това
тук е сходящо.
За този ред, 
който представлява
1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 и 
така нататък до безкрайност,
използвахме критерия на 
Лайбниц,
за да докажем, че е сходящ.
Този ред е сходящ.
Този ред е сходящ
съгласно критерия на Лайбниц
за алтернативни редове.

Portuguese: 
No vídeo em que introduzimos
o teste da série alternada,
na verdade usamos a série,
usamos a série infinita de n igual a um
até infinito de menos um,
elevado a n mais um sobre n.
Usamos isto como nosso exemplo
de aplicação do teste da série alternada,
e provamos que isto aqui converge.
Então esta série, que é um,
menos 1/2, mais 1/3,
menos 1/4, e ela continua
para sempre.
Usamos o teste da série 
alternada naquele vídeo
para provar que isso converge.
Então isto aqui converge.
Isto aqui converge pelo
teste da série alternada.
Pelo teste da série alternada.

English: 
Alternating series test, and
if you wanna review that,
go watch the video on the
alternating series test.
Now let's think a little bit
about what happens if we were
to take the absolute value
of each of these terms.
So if we were to take the absolute value
of each of these terms, so
if you were to take the sum
from n equals one to infinity
of the absolute value
of negative one to the
n plus one over n,
well what is this going to be equal to?
Well, this numerator is either gonna be
one or negative one, the
absolute value of that
is always gonna be one, so
it's going to be that over.
And n is always positive, we're
going from one to infinity,
so it's just going to be equal to the sum,
it's going to be equal to
the sum from n equals one
to infinity of one over n.
And this is just the
famous harmonic series.
And there's this video that we have,
and you should look it up on Khan Academy
if you don't believe
me, on the famous proof
that the harmonic series diverges.
So the harmonic series is one plus 1/2,

Korean: 
교대급수판정법에 의해 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
복습해보고 싶으면 
교대급수판정법 영상을 다시 보시길 바랍니다
그러면 이번에는,
각 항에 절댓값을 취하면 어떻게 될지 생각해봅시다
각 항에 절댓값을 취한다면
Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
n 분의 (-1) 의 n+1 승의 절댓값은
어떤 값이 될까요?
분자는 1 혹은 (-1) 이기 때문에 절댓값은 1이 될 것입니다
그리고 n=1 부터 무한대로 증가하기 때문에 
분모는 항상 양의 값을 가지므로
이 무한급수는
Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
1/n 의 값과 같은 값을 가지게 됩니다
이는 곧 조화급수에 해당합니다
조화급수는 발산하게 되는데, 제 말을 못 믿으시겠다면
칸 아카데미에서 그 증명 영상을 찾아 보시기 바랍니다
조화급수는

Portuguese: 
Teste da série alternada, e se
você quiser revisar,
assista ao vídeo sobre
o teste da série alternada.
Pensemos agora sobre 
o que acontece se
pegarmos o valor absoluto
de cada um destes termos.
Se tomarmos o valor absoluto
de cada um destes termos, então
se fosse feita a soma
de n igual a um até infinito
do valor absoluto
de um negativo elevado a
n mais um sobre n,
bem, o que isto será igual a?
Bom, o numerador ou será
um positivo
ou um negativo,
o valor absoluto daquilo
sempre será um, logo
será aquilo sobre
E n sempre será positivo, estamos
indo de um a infinito,
logo será igual a soma,
será igual a soma
de n igual a um
até infinito de um sobre n.
E isto é nada mais que
a famosa série harmônica.
E existe este vídeo que temos,
e você deveria procurá-lo
na Khan Academy
se você não acredita,
na famosa prova
de que a série harmônica diverge.
Então a série harmônica é um mais 1/2,

Bulgarian: 
Критерий за алтернативни редове.
Ако искаш да го преговориш,
гледай видеото за критерия на Лайбниц.
Сега да помислим какво
се случва, ако
вземем абсолютната стойност
на всеки от тези членове
и ги сумираме, ако
вземем сумата
от абсолютната стойност
на ((–1)^(n + 1))/n
за n от 1 до безкрайност,
на колко ще е равно това?
Този числител ще бъде или
1, или –1, а абсолютната стойност
винаги ще бъде 1, така че
ще е върху това.
n е винаги положително,
то е от 1 до безкрайност.
Значи това ще е равно на сумата
от 1/n за n от 1 до безкрайност.
Това е просто известния
хармоничен ред.
Имаме видео, в което...
гледай го в Кан Академия,
ако не ми вярваш,
за прочутото доказателство,
че хармоничният 
ред е разходящ.

Thai: 
การทดสอบอนุกรมสลับ 
และถ้าคุณอยากทบทวน
ลองดูวิดีโอเรื่องการทดสอบอนุกรมสลับดู
ทีนี้ ลองคิดกันหน่อยว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเรา
หาค่าสัมบูรณ์ของแต่ละเทอม
ถ้าเราหาค่าสัมบูรณ์
ของแต่ละเทอมนี้ ถ้าคุณหาผลบวก
จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์ของค่าสัมบูรณ์
ของลบ 1 กำลัง
n บวก 1 ส่วน n
ค่านี้จะเท่ากับอะไร?
ตัวเศษนี้จะเป็น
1 หรือไม่ก็ลบ 1 ค่าสัมบูรณ์ของมัน
จะเท่ากับ 1 มันจะเป็นค่านั้น
n เป็นบวกเสมอ เราจะไปจาก 1 ถึงอนันต์
มันจะเท่ากับผลบวก
มันจะเท่ากับผลบวกจาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน n
และนี่คืออนุกรมฮาร์มอนิกชื่อดัง
และมีวิดีโอนี้ที่เรามี
คุณควรหาดูในคานอะคาเดมี่
ถ้าคุณไม่เชื่อผม -- เรื่องบทพิสูจน์ชื่อดัง
ว่าอนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก
อนุกรมฮาร์มอนิกคือ 1 บวก 1/2

Thai: 
บวก 1/3 ค่านี่ตรงนี้
ตัวนี้จะลู่ออก
แล้วเมื่อคุณเห็นอนุกรมที่ลู่เข้า
ถ้าคุณหาค่าสัมบูรณ์
ของแต่ละเทอม แล้วมันลู่ออก
เราจะบอกว่าอนุกรมนี้ลู่ออกอย่างมีเงื่อนไข
คุณบอกได้ว่ามันลู่เข้า แต่คุณยัง
บอกได้ว่ามันลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข
และคำว่าเงื่อนไขหมายความว่า
เราจะไม่หาค่าสัมบูรณ์
ของแต่ละเทอม
และถ้ามันลู่เข้า
เมื่อคุณหาค่าสัมบูรณ์เช่นกัน
คุณจะบอกว่ามันลู่เข้าโดยสัมบูรณ์
แล้วลองดูตัวอย่างกัน
ถ้าผมหา --
อนุกรมนี้ ลองดูอนุกรมเรขาคณิตกัน
มันน่าสนุกดี
ที่จริง ผมใช้สีนี้บ่อยเกินไปแล้ว
ขอผมใช้สีอื่นนะ
สมมุติว่า สมมุติว่าผลบวก

Korean: 
1 + 1/2 + 1/3 로 무한히 이어져 발산하게 됩니다
이렇게 급수가 수렴하지만
각 항에 절댓값을 취했을 때 그 값이 발산한다면
이 급수를 조건부로 수렴한다고 할 수 있습니다
이 식이 수렴한다고 할 수 있겠지만
조건부로 수렴한다고도 할 수 있습니다
그러면 이 조건은
각 항에 절댓값을 취하지 않는 것이라고 할 수 있겠죠
만약 절댓값을 취한 값도 수렴한다면
그 식은 절대적으로 수렴하는 것입니다
그러면 그러한 예시를 살펴봅시다
등비급수로 예를 들어 봅시다
(이 색을 너무 많이 사용한 것 같아서)
(다른 색을 사용하겠습니다)
예를 들어

Bulgarian: 
Хармоничният ред е
1 + 1/2 + 1/3, това ето тук,
ето този ред е разходящ.
Когато видиш, че
един ред е сходящ,
но ако вземеш абсолютната
стойност на всеки от членовете му,
и тогава той е разходящ,
казваме, че този ред
е условно сходящ.
Казваме, че той е сходящ,
но казваме, че той
е условно сходящ.
Условието е, предполагам, че 
можеш да кажеш така,
че не взимаме абсолютната
стойност на членовете.
Ако един ред е сходящ, и когато
вземем и абсолютните
стойности на членовете му,
тогава казваме, че този ред
е абсолютно сходящ.
Да видим един пример
за това.
Ако имаме...
Да вземем една 
геометрична прогресия,
това ще е забавно.
Всъщност използвам 
тези цветове прекалено,
ще взема друг цвят.
Да кажем, че имаме сумата

Portuguese: 
mais 1/3, isto bem aqui,
isso aqui diverge.
Portanto quando você
encontra uma série que converge,
mas se você fosse tomar
o valor absoluto
de cada um dos seus termos,
e então a série diverge,
dizemos que a série
converge condicionalmente.
Podemos dizer que converge,
mas também podemos
dizer que converge
condicionalmente.
E a condição é,
acho que pode-se afirmar,
que não estamos tomando
o valor absoluto
de cada um dos termos.
E se algo converge quando
você toma seu valor absoluto também,
dizemos que converge absolutamente.
Vamos ver um exemplo disto.
Se tomássemos...
Esta série, vamos fazer
uma série geométrica,
isto pode ser divertido.
Na verdade estou usando
estas cores demais,
deixe-me usar outra cor.
Digamos, vamos tomar a soma

English: 
plus 1/3, this thing right over here,
this thing right over here diverges.
And so when you see a
series that converges,
but if you were to take the absolute value
of each of its terms,
and then that diverges,
we say that this series
converges conditionally.
You can say it converges,
but you could also
say it converges conditionally.
And the condition is,
I guess you could say,
that we're not taking the absolute value
of each of the terms.
And if something converges when
you take the absolute value as well,
then you say it converges absolutely.
And so let's look at an example of that.
If I were to take...
This series, let's do a geometric series,
that might be fun.
Actually I'm using these colors too much,
let me use another color.
Let's say, let's take the sum

Thai: 
จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์ของ
ลบ 1/2 กำลัง
n บวก 1
เรารู้ว่านี่คืออนุกรมเรขาคณิต
เมื่อค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม
น้อยกว่า 1 เรารู้ว่ามันลู่เข้า
และถ้าคุณหาค่าสัมบูรณ์
ของแต่ละเทอม ถ้าคุณหาผลบวก
ขอผมใช้อีกสีนะ
ผสมสักหน่อย
ถ้าคุณหาค่าสัมบูรณ์
ของแต่ละเทอม ค่าสัมบูรณ์
ของลบ 1/2
กำลัง n บวก 1
อันนี้จะเท่ากับผลบวก
จาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ 1/2
กำลัง n บวก 1

Portuguese: 
de n igual a um até infinito de
1/2 negativo elevado a
n mais um.
Sabemos que é uma série geométrica
onde os valores absolutos
do nosso fator comum
é menor que um, sabemos 
que converge.
Se fôssemos tomar o
valor absoluto
de cada um destes termos,
então se somarmos,
Deixe-me fazer isto numa
cor diferente,
só pra variar um pouco.
Se tomássemos o valor absoluto
de cada um destes termos,
então o valor absoluto
de 1/2 negativo,
elevado a n mais um,
isto será o mesmo que a soma,
de n igual a um
a infinito de 1/2
elevado a n mais um.

English: 
from n equals one to infinity of
negative 1/2 to
the n plus one power.
We know this is a geometric series
where the absolute value
of our common ratio
is less than one, we
know that this converges.
And if we were to take the absolute value
of each of these terms, so
if you were to take the sum,
Let me do that in a different color,
just to mix things up a little bit.
If you were to take the absolute value
of each of these terms,
so the absolute value
of negative 1/2,
to the n plus one power,
this is going to be the
same thing as the sum,
from n equals one
to infinity of 1/2
to the n plus one.

Korean: 
Σ(시그마) n=1 에서 무한대로 증가할 때
(-1/2) 의 n+1 제곱인 무한급수라고 합시다
등비급수의 공비의 절댓값이 1 보다 작을 경우
그 급수는 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
그러면 만약 각 항에 절댓값을 취한다고 한다면
(색깔을 골고루 사용하기 위해 색을 바꾸겠습니다)
만약 각 항에 절댓값을 취한다고 하면,
(-1/2) 의 n+1 제곱의 절댓값을 취한다면
이 식은 Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
1/2의 n+1 제곱의 값과 같을 것입니다

Bulgarian: 
от (–1/2)^(n + 1)
за n от 1 до безкрайност.
Знаем, че ако за тази
геометрична прогресия
абсолютната
стойност на частното
е по-малка от 1, тогава
тя е сходяща.
Взимаме абсолютната стойност
на всеки от тези членове,
и ако ги сумирам...
ще използвам различен цвят,
само да смесим малко нещата.
Ако вземем абсолютната стойност
на всеки от тези членове,
абсолютната стойност на –1/2,
на степен (n + 1),
това ще е същото
като сумата от
1/2 на степен (n + 1)
за n от 1 до безкрайност.

Korean: 
이 급수 또한 공비의 절댓값이 1보다 작으므로
이전에 등비급수에서 배웠듯이
이 또한 수렴하게 됩니다
그러므로 각 항에 절댓값을 취했음에도 불구하고
여전히 수렴하게 되었습니다
즉 이 무한급수는 절대적으로 수렴한다고 할 수 있습니다
이미 수렴과 발산에 대해서는 많이 살펴 보았고
모두 참 좋았습니다
이 영상에서는 수렴 사이에서 존재하는 
미묘한 차이를 보여주려고 하는 것입니다
즉 수렴할 수 있지만
각 항에 절댓값을 취했을 때에도 수렴할지 
살펴 본 것입니다
만약 급수 자체는 수렴하지만
절댓값을 취했을 때 수렴하지 않는다면
조건부로 수렴한다고 할 수 있습니다
반면 급수 자체가 수렴하고
절댓값을 취했을 때에도 수렴한다면
절대적으로 수렴한다고 할 수 있습니다
왜냐하면 각 항에 절댓값을 취하게 되더라도
수렴하기 때문입니다

Bulgarian: 
Отново, частното,
абсолютната стойност на 
частното е по-малко от 1,
а ние разгледахме това
при геометричните прогресии.
Това също е сходящо.
Когато вземем абсолютната 
стойност на членовете,
то също е сходящо.
За този ред можем
да кажем, че
е абсолютно сходящ.
Вече доста говорихме
за сходимост и разходимост.
В това видео искам да видим
различните видове
сходимост.
Може да има сходимост, но
може да е интересно да се определи
дали има сходимост и когато
разгледаме абсолютните
стойности на членовете.
Ако имаме сходящ ред, 
но нямаме сходимост
за абсолютните стойности
на членовете на реда,
тогава казваме, че
редът е условно сходящ.
За един сходящ ред, за който
имаме сходимост
и при абсолютните стойности
на членовете му,
тогава казваме, че
този ред е абсолютно сходящ.
Защото дори когато вземем
абсолютните стойности
на членовете му, той е сходящ.
Надявам се, че това
ти беше интересно.

English: 
And here once again, the common ratio,
the absolute value of the
common ratio is less than one,
and we've studied this when we looked
at geometric series.
This also converges.
So when we took the
absolute value of the terms,
it still converged.
So for this one, we can
say that this converges
absolutely.
So we've talked a lot already
about convergence or divergence,
and that's all been good.
And what we're doing in this video is
we're introducing a nuance
or flavors of convergence.
So you can converge, but it
might be interesting to say
well, would it still converge if we
took the absolute value of the terms?
If it won't, if you converge,
but it doesn't converge
when you take the absolute
value of the terms,
then you say it converges conditionally.
If it converges, and
it still converges when
you take the absolute value of the terms,
then we say it converges absolutely.
Because even if you
take the absolute value
of the terms, it converges.
Hopefully you find that interesting.

Thai: 
แล้วตรงนี้ เหมือนเดิม อัตราส่วนร่วม
ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมนั้นน้อยกว่า 1
และเราเรียนไปแล้ว ตอนที่เราดู
อนุกรมเรขาคณิต
อันนี้ก็ลู่เข้าด้วย
แล้วเมื่อคุณหาค่าสัมบูรณ์ของเทอม
มันยังลู่เข้า
สำหรับอันนี้ เราบอกได้ว่าตัวนี้ลู่เข้า
โดยสัมบูรณ์
เราพูดถึงหลายครั้งแล้ว
เรื่องการลู่เข้าหรือลู่ออก
และเราเข้าใจมันดีแล้ว
และสิ่งที่เราจะทำในวิดีโอนี้
คือเราพูดถึงประเภทของการลู่เข้า
คุณลู่เข้าได้ แต่มันจะน่าสนใจหากบอกว่า
มันจะลู่เข้าไหมถ้าเรา
หาค่าสัมบูรณ์ของเทอมนั้น?
ถ้ามัน ถ้ามันลู่เข้า แต่มันไม่ลู่เข้า
เมื่อคุณหาค่าสัมบูรณ์ของเทอมนั้น
คุณก็บอกว่ามันลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข
ถ้ามันลู่เข้า และมันยังลู่เข้าเมื่อ
คุณหาค่าสัมบูรณ์ของเทอม
คุณก็บอกว่ามันลู่เข้าโดยสัมบูรณ์
เพราะถึงแม้คุณจะหาค่าสัมบูรณ์
ของเทอม มันก็ยังลู่เข้า
หวังว่ามันจะน่าสนใจนะ

Portuguese: 
E aqui mais uma vez, o fator comum,
o valor absoluto do fator
comum é menor que um,
e estudamos isto quando vimos
séries geométricas.
Isto também converge.
Logo quando tomamos o valor
absoluto dos termos
ainda assim convergiu.
Para este caso, podemos
dizer que converge
absolutamente.
Já falamos bastante
sobre convergência ou divergência,
e foi tudo muito bem.
O que estamos 
fazendo neste vídeo é
introduzir nuances de convergência.
Você pode convergir, mas pode ser
interessante dizer
bem, ainda convergiria se
tomássemos o valor absoluto dos termos?
Se não, se converge, mas não converge
quando tomamos o valor absoluto
dos termos,
então dizemos que converge
condicionalmente.
Se converge, e ainda converge quando
tomamos o valor absoluto dos termos,
nesse caso dizemos que converge
absolutamente.
Pois mesmo que você tome
o valor absoluto
dos termos, ainda converge.
Tomara que você tenha 
achado isso interessante.

Korean: 
이 사실을 흥미롭게 생각하신다면 좋겠습니다
