
Bulgarian: 
Вече научихме какво е 
определен интеграл.
Ако търсим определен интеграл от
a до b,
от f от x, dx,
то мога просто да го разглеждаме като
площта
под функцията f.
Нека това да е оста у, а това оста х.
И у е равно на f от х, т.е. нещо такова.
у е равно на f от х.
Нека това да е a,
а това да е b.
Мога просто да разглеждам
този израз като равен на тази площ.
Какво обаче става, когато функцията
не се намира над оста х?
Какво се случва, ако е под оста х?
Площите ще бъдат еквивалентни.
Нека да изобразя един такъв случай.
Нека начертая такъв случай.
Това е оста х,
а това оста у.
Нека да имам

Korean: 
이미 정적분이
무슨 의미인지
생각해 보았습니다
만약 a에서 b까지
f(x) dx의 정적분을 구한다면
만약 a에서 b까지
f(x) dx의 정적분을 구한다면
이는 함수 f 아래의
넓이라고 생각할 수 있습니다
이는 함수 f 아래의
넓이라고 생각할 수 있습니다
이것은 y축
이것은 x축입니다
그리고 y = f(x)는
이렇다고 하죠
그리고 y = f(x)는
이렇다고 하죠
그리고 여기가 a고
여기가 b라면
이 방정식을
이 넓이와 같다고
볼 수 있습니다
하지만 함수가
x축 위에 있지 않다면 어떡할까요?
x축 밑에 있다면요?
이 둘은 같습니다
그런 경우를 그려보겠습니다
그런 경우를 그려보겠습니다
이건 x축
이건 y축입니다
이런 함수가 있다고 합시다

English: 
- [Instructor] We've already thought about
what a definite integral means.
If I'm taking the definite
integral from a to b
of f of x dx,
I can just view that as the area
below my function f.
So if this is my y-axis,
this is my x-axis,
and y is equal to f of x,
so something like that.
Y is equal to f of x.
And if this is a
and if this is b,
I could just view
this expression as being
equal to this area.
But what if my function
was not above the x-axis?
What if it was below the x-axis?
So these are going to be equivalent.
Let's say, let me just draw that scenario.
So let me draw a scenario where
that's my x-axis,
that is my y-axis.
And let's say I have,

Bulgarian: 
функция, която изглежда като нещо
такова.
Това е у равно на g от х.
Нека да кажем, че това тук е a,
а това тук е b.
И нека да кажем, че тази площ
ето тук е равна на 5.
Ако те попитам:
на какво е равен определеният
интеграл от a до b от g от х, dx,
на какво мислиш, че ще
бъде равен?
Може би се изкушаваш да кажеш
отново,
че е просто площта между кривата у и
оста х.
Може би се изкушаваш да кажеш,
че интегралът ще бъде равен на 5.
Трябва обаче да внимаваш.
Защото, ако гледаш площта над
кривата
и под оста х,
вместо под кривата и над оста х,
то този определен интеграл със
сигурност
ще бъде отрицателна площ.
По-късно ще видим защо 
това е логично,
заедно с още цял набор от свойства
на интегрирането.

Korean: 
이런 함수가 있다고 합시다
이건 y = g(x)입니다
여기가 a고
여기가 b라고 해 봅시다
여기의 넓이가
5와 같다고 해 보겠습니다
a에서 b까지
g(x) dx의 정적분이
a에서 b까지
g(x) dx의 정적분이
무엇이냐고 묻는다면
어떨 것이라 생각하시나요?
곡선과 x축 사이의 넓이라고
말하고 싶을 수 있습니다
곡선과 x축 사이의 넓이라고
말하고 싶을 수 있습니다
이건 그냥 
5라고 할 수도 있겠죠
이건 그냥 
5라고 할 수도 있겠죠
하지만 조심해야 합니다
곡선 위, x축 아래의
넓이를 볼 때와
곡선 위, x축 아래의
넓이를 볼 때와
곡선 아래, x축 위를
볼 때를 비교하면
이 정적분은
음의 넓이를 가집니다
이 정적분은
음의 넓이를 가집니다
나중에 왜 이 사실이
많은 적분의 성질에
도움이 되는지 보게 될텐데

English: 
let's say I have a function
that looks like that.
So that is y is equal to g of x.
And let's say that this
right over here is a,
and this right over here is b.
And let's say that this area
right over here is equal to five.
Well, if I were to ask you
what is the definite integral from a to b
of g of x dx, what do you
think it is going to be?
Well, you might be
tempted to say, hey, well,
it's just the area again
between my curve and the x-axis.
You might be tempted to say, hey,
this is just going to be equal to five.
But you have to be very careful.
Because if you're looking
at the area above your curve
and below your x-axis,
versus below your curve
and above the x-axis,
this definite integral
is actually going to be
the negative of the area.
Now, we'll see later on why
this will work out nicely
with a whole set of
integration properties.

Korean: 
간단히 이해가 필요하다면
속도와 시간
그래프를 생각해 봅시다
그러니까
그러니까
가로축이 시간이고
세로축이 속도라고 합시다
속도의 단위는 m/s고
시간은 초단위입니다
시간은 초단위입니다
두 가지 경우를 보겠습니다
먼저 속도 시간
그래프가 있다고 해봅시다
v_1(t) = 3이라고 하죠
3m/s니까
1, 2, 3까지 가서
이럴 것입니다
이럴 것입니다
v_1(t)는 이렇습니다
1에서 5까지
v_1(t) dt의 정적분을 보면
1에서 5까지
v_1(t) dt의 정적분을 보면
이것은 무엇과 같을까요?
함수가 t축 위에 있습니다
그러니 1부터
5까지

Bulgarian: 
Но ако искаш да добиеш усещане за
него,
нека да разгледаме графика от вида
скорост-време.
И така,
нека
това е хоризонталната ос, т.е. времето.
Вертикалната ос е скоростта.
И скоростта ще бъде измервана в
метри в секунда.
Времето ще бъде измервано в
секунди.
Времето е в мерни единици секунди.
Всъщност ще представя два случая
тук.
Нека да кажем, че това е първата
графика скорост-време.
Нека да изберем v1 от t да е
равно на 3.
Ще бъде 3 метра в секунда, т.е. 1, 2, 3.
Следователно ще изглежда ето така.
Това е v1 от t.
Ако разгледам определения интеграл,
като тръгна от t = 1 до t = 5
от v1 от t, dt, то на какво ще бъде
равен?
Тук функцията се намира над
оста t.
Така че просто се придвижвам
от 1 до 5, което ще бъде някъде тук.

English: 
But if you want to get
some intuition for it,
let's just think about
velocity versus time graphs.
So,
if I,
in my horizontal axis, that is time.
My vertical axis, this is velocity.
And velocity is going to be
measured in meters per second.
Time is going to be measured in seconds.
Time is measured in seconds.
And actually, I'm going
to do two scenarios here.
So let's say that I have a
first velocity time graph.
Let's just call it v one of
t, which is equal to three.
And it would be three meters
per second, so one, two, three.
So it would
look like that.
That is v one of t.
And if I were to look
at the definite integral
going from time equals
one to time equals five
of v sub one of t dt, what
would this be equal to?
Well, here my function is above my t-axis.
So I'll just go from one to
five, which will be around there.

Korean: 
이 넓이를
생각해 볼 수 있습니다
그리고 이 넓이는
계산하기 꽤 간단합니다
3m/s와 4초의 곱입니다
이게 시간의 변화입니다
따라서 이는 12m입니다
12m와 같습니다
이렇게 이해해 볼 수 있습니다
이것이 위치의 변화를 나타낸다고요
속도가 3m/s고
이는 양수이므로
3m/s의 속도로
오른쪽으로 간다고 생각할 수 있습니다
위치가 얼마나 변하냐고요?
오른쪽으로 12m를
갔을 것입니다
미적분학도 필요 없습니다
3m/s에
4초를 곱하면
12m가 됩니다
만약 이 반대였다면 어떨까요?
다른 속도 함수는
v_2(t) = -2m/s라고 합시다
v_2(t) = -2m/s라고 합시다
단순히 상수 -2입니다
이게 v_2(t)입니다
이게 v_2(t)입니다
1부터 5까지 v_2(t)의 
정적분은 무엇과 같아야 할까요?

English: 
And I could just think
about the area here,
and this area is pretty easy to calculate.
It's going to be three meters
per second times four seconds.
That's my change in time.
And so this is going to be 12 meters.
And so this is going to be equal to 12.
And one way to conceptualize this
is this gives us our change in position.
If my velocity is three meters per second,
and since it's positive
you can conceptualize that
as it's going to the right
at three meters per second.
What is my change in position?
Well, I would have gone
12 meters to the right.
And you don't need calculus
to figure that out.
Three meters per second times four seconds
would be 12 meters.
But what if it were the other way around?
What if I had another velocity function,
;et's call that v sub two of t,
that is equal to negative
two meters per second?
And it's just a constant
negative two meters per second.
So this is
v sub two of t right over here.
What would or what should

Bulgarian: 
Може просто да помисля за площта
тук,
която е сравнително лесно да се
изчисли.
Ще бъде 3 метра в секунда, умножено
по 4 секунди.
Това е изменението във времето.
Това ще бъде равно на 12 метра.
Ще бъде равно на 12.
Може да го разглеждаш като нещо,
което представлява изменението
в позицията.
Ако скоростта е 3 метра в секунда,
и поради това, че е положителна,
можеш да го разглеждаш,
че обектът се придвижва надясно
с 3 метра в секунда.
На какво е равно изменението
в позицията?
Ще съм се придвижил 12 метра
надясно.
И не се нуждаеш от математически
анализ, за да го изчислиш.
3 метра в секунда, умножено по 4
секунди
ще бъде равно на 12 метра.
Какво ще стане обаче, ако беше
обратното?
Ако имам друга функция на скоростта,
която ще означа с v2 от t,
и която е равна на минус 2 метра
в секунда.
И е просто константа от минус 2 метра
в секунда.
Това ето тук
е v2 от t.
На какво е равен или 
на какво следва да е равен

English: 
the definite integral from one
to five of v sub two of t be,
dt be equal to?
Well, it should be equal
to my change in position.
But if my velocity is negative,
that means I'm moving to the left.
That means my change in
position should be to the left,
as opposed to to the right.
And so we can just look at
this area right over here.
When if you just look
at it as the rectangle,
it's going to be two times
four, which is equal to eight.
But you have to be very careful.
Since it is below my horizontal
axis and above my function,
this is going to be negative.
And this should make a lot of sense.
If I'm going two meters
per second to the left
for four seconds, or another
way to think about it,
if I'm going negative
two meters per second
for four seconds, then
my change in position
is going to be negative eight meters.
I would have moved eight
meters to the left,
if we say the convention is
negative means to the left.
So the big takeaway is,

Korean: 
1부터 5까지 v_2(t)의 
정적분은 무엇과 같아야 할까요?
1부터 5까지 v_2(t)의 
정적분은 무엇과 같아야 할까요?
위치의 변화와 같아야 합니다
하지만 속도가 음수라면
그건 왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다
위치의 변화도
왼쪽이어야 합니다
오른쪽이 아닙니다
이 넓이를 보면 됩니다
이걸 직사각형으로 보면
2 · 4이므로 8입니다
하지만 조심해야 합니다
수평축 아래
함수 위에 있기 때문에
이건 음수입니다
말이 됩니다
2m/s로 왼쪽으로
4초동안 가면
또는
-2m/s로 
4초를 가면
위치의 변화는 -8m입니다
위치의 변화는 -8m입니다
왼쪽으로 8m를 가는 것이죠
일반적으로 음수면
왼쪽으로 간다고 생각합니다
여기서 가져가야 할 점음

Bulgarian: 
определеният интеграл от 1 до 5,
от v2 от t, dt? На какво е равен?
Следва да е равен на изменението
в позицията на обекта.
Ако скоростта обаче е отрицателна,
то това означава, че се придвижвам
наляво.
Това означава, че изменението в
позицията следва да бъде наляво,
а не наобратно, т.е. надясно.
Може просто да погледнем тази площ
ето тук.
Ако го разглеждаш просто като правоъгълник,
то ще бъде равно на 2 по 4, което е
равно на 8.
Но трябва да бъдеш много
внимателен.
След като се намира под
хоризонталната ос и над функцията,
то резултатът ще бъде отрицателен.
И това би трябвало да има смисъл.
Ако се придвижвам с 2 метра в
секунда наляво,
в продължение на 4 секунди, или
казано по друг начин,
ако се движа с минус 2 метра в
секунда
за 4 секунди, то изменението в
позицията ми
ще бъде равно на минус 8 метра.
Ще съм се придвижил 8 метра наляво,
ако изберем означението "минус" да
означава "наляво".
Основният извод е,

English: 
if it's below your function
and above the horizontal axis,
the definite integral, and
if your a is less than b,
then your definite integral
is going to be positive.
If your a is less than b,
but your function over that interval is
below the horizontal axis,
then your definite integral
is going to be negative.
And in the future, we'll also look
at definite integrals
that are a mix of both,
but that's a little bit more complicated.

Korean: 
함수 밑에 있고
수평축 위에 있고
a가 b보다 작다면
정적분은 양수입니다
a가 b보다 작지만
그 구간에서 함수가
수평축 밑에 있다면
정적분은 음수가 됩니다
추후에
둘 다인 정적분도
살펴볼 것입니다
그건 약간 더 복잡합니다

Bulgarian: 
че ако се намираме под функцията и над
хоризонталната ос,
определеният интеграл - и ако а е
по-малко от b -
то определеният интеграл ще бъде
положителен.
Ако а е по-малко от b,
но функцията в рамките на този
интервал
се намира под хоризонталната ос,
то определеният интеграл ще бъде
отрицателен.
В следващи уроци ще разгледаме
определени интеграли, при които
има и двата случая,
но това е малко по-сложно.
