
English: 
We live in a complex, dynamic and unpredictable world
New technologies have upset our daily lives.
To apprehend the increasing sophistication of our surrounding,
mathematics have become a ubiquitous tool.
And yet, nowadays, many still regard mathematics as merely a student's chore
which mainly consists of spitting out facts established centuries ago.
Not only is that a huge misconception,
but I also believe that this negative image of mathematics
is the main cause of academic failures.
After all, as Steve Jobs once put it,
"The only way to do great work is to love what you do."
In this video, I propose to reveal you the magic of (French) undergrad mathematics.
Through their Historical roles, and their daily applications,
I invite you to undertake something you've never even dared to imagine...
To fall in love with mathematics.

French: 
Nous vivons dans un monde complexe, dynamique et imprévisible.
Les nouvelles technologies ont bouleversé notre quotidien.
Pour appréhender la sophistication croissante de notre environnement,
les mathématiques sont devenues un outil incontournable
Et pourtant, de nos jours, beaucoup voient encore les mathématiques comme une corvée d'étudiant
qui consiste uniquement à ressortir des faits établis depuis bien longtemps.
Voilà qui est non seulement un préjugé complètement faux
Mais je pense aussi que cette image négative des mathématiques
est la raison principale des échecs scolaires.
Après tout, comme Steve Jobs le disait,
"la seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que l'on fait."
Dans cette vidéo, je propose de vous révéler la magie des mathématiques des classes préparatoires aux Grandes Écoles.
À travers leurs rôles Historiques, et leurs applications à la vie quotidienne,
je vous invite à entreprendre ce que vous n'avez encore jamais osé imaginer...
Aimer les mathématiques.

English: 
The History of mathematics is closely related to that of great civilizations.
Through ages, mathematics have comforted the power of great civilizations,
by consolidating technological progress, commercial trades or monumental architectures.
Conversely, great civilizations have contributed to the mathematical edifice. 
For instance, Ancient Egyptians discovered 3-4-5 triangles.
Ancient Chinese excelled in modular arithmetics. 
Indians invented the number zero.

French: 
L'Histoire des mathématiques est intrinsèquement liée à celle des civilisations.
À travers les âges, les mathématiques ont consolidé les puissances des grandes civilisations,
que ce soit pour les progrès technologiques, les échanges commerciaux ou les architectures monumentales.
Et les grandes civilisations ont tour à tour apporté leurs pierres à l'édifice mathématique.
Ainsi, les égyptiens inventèrent les triangles 3-4-5,
les chinois excellèrent en arithmétique modulaire,
les indiens inventèrent le zéro 

English: 
Greeks constructed geometry foundations.
And Babylonians solved the first equations of History.
Really? Did Babylonians actually study equations?
Yes.
Like today's pupils, young Babylonian kids had homework assignments that consisted of solving equations.
Here's an example.
Let's imagine that an apple and 500 grams weigh as much as 3 apples and 200 grams.
What's the mass of a single apple?
Nowadays, any schoolboy knows that any answer must start with the phrase.
"Let x the mass of an apple."
Good.
This phrase may sound anecdotical
Yet, for me, it represents a major conceptual and philosophical breakthrough,
without which modern mathematics would be impossible.
Aren't you exaggerating?
No.

French: 
les grecs construisirent la géométrie,
et les babyloniens, eux, résolurent les premières équations de l'Histoire.
Ah ouais ? Ils faisaient des équations les babyloniens ?
Oui
Comme les collégiens d'aujourd'hui, les jeunes babyloniens avaient des devoirs qui consistaient à résoudre des équations.
En voici un example.
Imaginons qu'une pomme et 500 grammes pèsent autant que 3 pommes et 200 grammes.
Quelle est la masse d'une seule pomme ?
 De nos jours, tout collégien sait que la réponse se doit de commencer par la fameuse phrase...
C'est bien.
Cette phrase peut sembler bien anecdotique.
Mais pour moi, elle représente une énorme révolution conceptuelle et philosophique
sans laquelle les mathématiques modernes seraient impossibles
T'exagèrerais pas un peu, là ?
Non.

English: 
For thousands of years, the Egyptians, the Greeks, the Chinese and the Indians had no other way to solve such a problem and its variants
than by using terribly wordy sentences.
Explanations then end up being pages long,
hence making ideas confusing.
This inability of language to produce a rigorous and synthetic reasoning
is the reason why these great civilizations never made far in their understanding of mathematics.
Without the right language,
ideas are unclear.
Hence, for a long time,
mathematics were very not clear.
Students often complain about notations.
They are uncomfortable with saying
"Let a be a number satisfying something..."
This is usually what troubles them
it's the naming of variables by letters.
This is extremely useful
And it takes a bit of time to realize it.
Notations are a sort of initiatory journey.

French: 
Pendant des millénaires, les égyptiens, les grecs, les chinois et les indiens n'avaient d'autre manière de résoudre un tel problème et ses variantes
qu'en usant de longues phrases très verbeuses.
La démonstration tourne alors rapidement à la dissertation d'une page,
ce qui rend les idées confuses.
Cette incapacité de la langue à produire un raisonnement rigoureux et synthétique
est la raison pour laquelle ces grandes civilisations n'ont jamais su aller loin dans leur compréhension des mathématiques.
Quand on n'a pas le langage,
les idées sont confuses.
Et pendant longtemps,
les mathématiques étaient très confuses.
Les élèves se plaignent en général des notations.
Ils sont un peu rebutés par le fait de dire
"soit a un nombre qui vérifie quelque chose"
C'est surtout ça qui gêne en général
c'est le fait de nommer des variables par des lettres...
C'est extrêmement pratique
Et il faut un peu du temps pour s'en rendre compte.
Les notations, c'est un peu le parcours initiatique.

French: 
C'est pour pouvoir rentrer dans le monde des mathématiques, il faut passer par un certain rite de connaissances
et les notations, c'est ça
c'est l'étape obligée pour qu'ensuite on puisse se comprendre.
Souvent les bonnes notations, ça résout une partie du problème
Je ne parle que de la physique là, mais
Dirac, il a inventé les notations,
finalement c'est pour l'algèbre des matrices et des vecteurs
mais c'est tellement pratique que ça rend les calculs faciles
Les grandes avancées des mathématiques sont dues à ces types de changement de notations
Même les algarismes (les chiffres) de 0 à 9
ont été une révolution majeure qui a permis le peuple arabe
de développer des mathématiques très puissantes
qui dépendaient pas de la géométrie à 100%
comme les grecs, par exemple, qui faisaient rien finalement sans géométrie.
Au 9e siècle après Jésus-Christ,
Al-Khwarizmi entre en scène
Pour moi, Al-Khwarizmi est le symbole de l'âge d'or de l'Islam.

English: 
To enter the world of mathematics, one needs to go through a certain rite of wisdom
and notations are exactly that
it's the stage that cannot be avoided if we want to understand one another afterwards.
Quite often, using right notations solves part of problems
 
For instance, Dirac invented notations
for the algebra of matrices and vectors,
and they're so adequate that they make computations easy
The first major breakthroughs of mathematics are precisely due to changes in notations.
For instance, the digits from 0 to 9
were a major revolution that enabled Arabic people
to develop very powerful mathematics
that didn't rely entirely on geometry
as opposed to Greeks' mathematics, which were all about geometry only.
In the 9th Century A.C.
Al-Khwarizmi enters in play
For me, Al-Khwarizmi is the symbol of the Islamic Golden Age.

French: 
À cette époque, Bagdad est une plaque tournante du commerce.
La ville encourage les relations inter-ethniques
et les tolérances religieuses.
De plus, la jeune religion musulmane
encourage la recherche de la connaissance.
En 832, la Maison de la Sagesse y est fondée.
C'est là que les plus grands savants du monde entier s'empressent de se rendre.
Et Bagdad devient le pôle mondial du savoir.
Nourri de toutes les mathématiques des civilisations précédentes,
Al-Khwarizmi découvrit un lien profond
entre toutes celles-ci
Ceci lui garantit une place centrale
au Panthéon des mathématiques.
C'est quoi, ce lien profond ?
Revenons-en à notre problème de pommes.
La grande découverte d'Al-Khwarizmi
fut de se rendre compte
que notre problème de pommes...
 n'est pas un problème de pommes !
Il reste le même si je remplace les pommes par des poires, des patates ou des ballons de football.

English: 
At that time, Baghdad was a hub of trades.
The city encouraged inter-ethnic relations
and religious tolerance.
Moreover, the young Islamic religion
encouraged knowledge research.
In 832, it founded the House of Wisdom.
It was there that all the greatest scholars of the world were heading to.
And Baghdad soon became the world center of knowledge
Fed with all mathematics of previous civilizations,
Al-Khwarizmi unveiled a profound link
between them all.
This guaranteed him a central position
in the Pantheon of mathematics
What's that profound link?
Let's move back to our apple problem.
Al-Khwarizmi major discovery
was to realize
that our apple problem...
is not an apple problem!
It remains the same if I replace apples by pears, or potatoes of football balls.

French: 
C'est pourquoi Al-Khwarizmi appela les pommes "shin"
qui signifie "quelque chose" en arabe.
C'est ce mot qui, après plusieurs traductions approximatives,
deviendra finalement l'icône des mathématiques,
la lettre X.
Né sous X.
Porter plainte contre X, par exemple.
On dit en portugais souvent le X de la question,
ça veut dire le centre du sujet, la vraie chose que l'on veut résoudre
Et c'est une expression tout à fait courante
même les gens qui n'ont jamais fait de maths connaissent cette expression.
"Trouver le X de la question".
Si je dis, par exemple, demain je gagne 300 euros.
Et ben, on va me dire, mais non, mais pourquoi 300, pourquoi pas 250 ?
Si je veux canaliser le raisonnement sur autre chose,
je vais dire demain je gagne X euros,
si je veux les investir... voilà.
L'X, c'est aussi une très bonne école d'ingénieur française
donc c'est le surnom qu'on donne à l'école Polytechnique
Polytechnique et l'X, ça a un petit peu à voir avec l'inconnu mathématique
Il y en a qui disent ça
et d'autres qui disent que c'est lié au fait que sur l'emblème de l'X,
il y a des canons croisés

English: 
This is why Al-Khwarizmi called apples "shin"
which means "something" in Arabic.
It's actually this word that, after several approximate translations,
would eventually become the icon of mathematics,
the letter X.
Born under X (a French expression used for birth with unknown father).
To complain against X (a French expression a charge is pressed against an unknown person).
In Portuguese, we often talk about the X of a question,
it means the core of the problem, the actual thing we want to solve
and it's very common phrase
even people who've never done maths know this expression.
"Find the X of the question".
If I tell you, for instance, that tomorrow I win 300 euros.
You might say. Why 300? Why not 250?
If I want to drive focus towards something else,
I'd rather say "tomorrow I win X euros,
if I want to invest it... and so on"
X, it's also a very good French engineering school.
It's the nickname of the École Polytechnique
Polytechnique and X, it's a bit related to the mathematical unknown
some say that
but others say it's related to the emblem of Polytechnique
which pictures crossed cannons,

French: 
et donc, voilà, ça forme un X
Les élèves de prépa, quand ils sont en 1ère année,
surtout en prépa scientifique
on les appelle les 1/2
3/2 quand ils sont en 2ème année
et 5/2 quand ils redoublent leur 2ème année,
quand ils font une 3ème année.
Et la raison à ça, c'est parce que
un 3/2, c'est quelqu'un qui peut intégrer X entre sa 1e et sa 2e année
et que quand on intègre la fonction X entre 1 et 2,
ça fait 3/2
et quand on l'intègre entre de 2 et 3,
ça fait 5/2.
En utilisant une lettre symbolique,
Al-Khwarizmi réécrivit notre problème de pommes
en une équation d'une seule ligne
On peut réécrire cette équation
en remplaçant 500 par 200+300,
et 3X par X+X+X
Ensuite, Al-Khwarizmi créa un parallèle puissant
entre de réelles manipulations sur la balançoire
et des manipulations abstraites
des symboles de l'équation.

English: 
and so, there, you have an X.
Students in prepratory classes (a excellence French undergrad cursus), during their first year,
especially in scientific preparatory classes
are called one half (1/2)
three halves (3/2) in their second year
and five halves (5/2) if they redo the 2nd year
if they do a 3rd year.
And the reason for that is that,
a 3/2 is someone who can integrate X between its 1st and 2nd year,
and when we integrate the X function between 1 and 2,
we obtain 3/2
and if we integrate it between 2 and 3,
we obtain 5/2.
By using a symbolic letter,
Al-Khwarizmi reformulated our apple problem
by using a single line equation
We can rewrite this equation
by replacing 500 by 200+300
and 3X by X+X+X
Next, Al-Khwarizmi drew a powerful parallel
between actual manipulations on the weighing device
and abstract manipulations
of the symbols of the equation

French: 
Par exemple, retirer une pomme de chaque côté de la balançoire
revient à retrancher un X de chaque côté de l'équation.
Et de même pour le retrait de 200 grammes.
On en déduit finalement que
2 pommes pèsent 300 grammes
et donc...
Qu'une pomme pèse 150 grammes !
Voilà qui suffit amplement pour finir le collège,
mais Al-Khwarizmi alla plus loin encore
Il se rendit compte que la méthode de résolution
demeurait la même
quelques soient les paramètres du problème.
Ainsi, il établit un pas de géant
en écrivant l'équation généralisée
Et ça, c'est une grande invention ?
Et comment !
Au lieu de s'attarder à notre petit problème de pommes,
Al-Khwarizmi résolut tous les problèmes de balançoire
d'un seul coup !
Il avait au passage

English: 
For instance, withdrawing an apple on each side of the weighing scale
boils down to subtracting an X on each side of the equation
Similarly, we can do the same thing with the 200 grams
We finally deduce that
two apples weigh 300 grams
and therefore...
that a single apple weighs 150 grams!
This is definitely sufficient to get through middle school,
but Al-Khwarizmi went further
He realized that the method to solve the problem
remains the same
no matter what the parameters of the problem are
By doing so, he established a giant's step
by stating the generalized equation
And that, is that an actual breakthrough?
It definitely is!
Instead of focusing on our small apple problem,
Al-Khwarizmi solved all the weighing problems
all at once!
Incidentally,

English: 
he also defined the language of mathematics we are still using today...
Algebra.
It's a language
and you need to know to how speak this language.
If you can't,
you're a dead person!
Whether you're facing a problem with the number 6, or with the number 8,
it will remain the same problem
so we might as well replace digits by the letters X or Y
and do the same exercise.
And, at a larger scale,
mathematicians ended up doing just that
to generalize what they discovered
with precise numbers
If we read "3 murders at such place"
many people will end up generalizing and say
"well, that place is dangerous"
this is an overhasty generalization
and we do that in mathematics too
we're able to take a particular case and try to generalize it
but the advantage of mathematics
is that we're also able
to prove that if generalization is right or not
Doctor's reasoning
is all about particular cases
about specific cases

French: 
défini le langage des mathématiques que nous utilisons encore aujourd'hui...
 L'algèbre.
C'est un langage,
et il faut savoir parler ce langage là.
Si tu sais pas parler,
t'es mort !
Faire un exercice avec le chiffre 6 ou avec le chiffre 8,
ça sera toujours le même,
alors autant le remplacer par la lettre X ou Y,
puis faire le même exercice.
Et, à plus grande échelle,
les mathématiciens ont été amenés à faire ça justement
pour pouvoir généraliser tout ce qu'ils avaient découvert
avec des chiffres précis
Si on lit 3 meurtres à tel endroit,
beaucoup de gens vont vite généraliser et se dire
bon bah, tel endroit est du coup dangereux
et donc c'est une généralisation très hâtive
et on fait ça aussi beaucoup en mathématiques
on est capable de prendre un cas particulier et essayer de le généraliser
mais l'avantage des mathématiques,
 c'est qu'on est aussi capables
de prouver si la généralisation est juste ou non
Tout le raisonnement des médecins
c'est un raisonnement qui est sur du particulier
sur du spécifique

English: 
about adapting general rules
to particular examples
and we're going the other way around
we're rather searching in the mass of particular cases
for whatever that is generalizable
Therefore, it's a very complementary reasoning.
It's hard to overstate the importance of algebra
Before its invention, the uncountable problems of Antiquity
correspond to isolated enigmas.
The magic of algebra
is to unify all these enigmas
by revealing their underlying common structure.
Thereby,
in the language of algebra,
Al-Khwarizmi managed to synthetically define
a unique method to solve
all these problems at once.
This principle has since become
the core principle of computer science.
We choose a set of instructions
and we may have variables at first
and our series of instructions can then be applied
for any values of variables

French: 
sur adapter des règles générales
à du particulier.
Et nous on va dans l'autre sens !
On cherche justement dans tout ce flux de particulier,
tout ce qui est généralisable.
Et donc, c'est hyper complémentaire comme raisonnement.
Il est difficile d'exagérer l'importance de l'algèbre.
Avant son invention, les innombrables problèmes de l'Antiquité
correspondaient à des énigmes isolées.
La magie de l'algèbre,
c'est d'unifier toutes ces énigmes
en en révélant la structure commune.
Ce faisant,
dans le langage de l'algèbre,
Al-Khwarizmi put synthétiquement définir
une unique méthode de résolution
pour tous les problèmes.
Ce principe est devenu depuis
le fondement de la programmation informatique.
On choisit un peu une série d'instructions.
Et on peut mettre des variables au début
et ensuite la série d'instructions est applicable
pour n'importe quel ensemble de variables

English: 
so if we have very similar problems
or if the problem has many subcases
we can do only one code
one group of instructions
and then tell the computer:
"Compute it with all these values of variables"
and the computer will do it a thousand times if needed
but this requires to have defined variables at first,
that is, abstract references
which shall be replaced by concrete values
like numbers or something like that
for the numerical applications
Sometimes, you want to be lazy and not do that
because you're going to need to spend one more hour to think
to obtain a code that will probably win you hundreds of hours of work
but the thinking process may be sometimes a diffficult stage
A good computational code, it's very important
extremely important
primordial
that the code is elegant
clear, clean, simple, 

French: 
donc si on a des problèmes qui sont très similaires
ou le même problème avec plusieurs sous-cas,
on peut se permettre de faire un seul code
donc un seul groupe d'instructions,
et ensuite, dire à l'ordinateur : 
"Applique avec tous ces cas de groupes de variables"
et l'ordinateur il va le faire mille fois si besoin
mais donc ça, ça demande d'avoir mis des variables,
c'est-à-dire des références abstraites
auxquelles après on applique des valeurs concrètes
comme des chiffres ou des choses comme ça
pour l'application numérique
Des fois, t'as tendance à avoir la flemme de faire ça
parce qu'il va falloir réfléchir une heure de plus,
pour pouvoir faire un code qui va t'en faire gagner sûrement des centaines
mais la réflexion est des fois un peu difficile
Un bon code informatique, il est très important
ultra-important
primordial
que le code soit élégant
clair, épuré, simple

French: 
qu'il soit pas confus
qu'il soit lisible
une bonne preuve mathématique, comme un bon code informatique,
doivent être faciles à décoder
Il aura fallu plusieurs siècles pour digérer les idées d'Al-Khwarizmi
mais leurs effets sur les mathématiques modernes sont spectaculaires.
En voici un exemple.
Les nombres réels sont parfois représentés par les points d'une droite infinie.
Ainsi, quand on prend un nombre inconnu X,
on peut repérer ce point quelque part sur cette droite.
Au 17e siècle,
le français René Descartes créa la sensation,
quand il inclut un autre nombre inconnu,
appelé Y,
sur une droite perpendiculaire.
Dès lors, Descartes pouvait représenter tous les points du plan.
par deux inconnues X et Y,
que l'on appelle coordonnées.

English: 
that it's not confusing
that it's readable.
A good mathematical proof like a good computational code
must be easy to decipher.
It will have taken centuries to digest Al-Khwarizmi's ideas
but their effect on modern mathematics are spectacular.
Here's an example.
Real numbers are often represented as points of an infinite line.
Indeed, if we take any unknown number X
we can locate it somewhere on the line
In the 17th century,
Frenchman René Descartes made a major contribution,
by adding another unknown number,
called Y,
on a perpendicular axis.
Next, Descartes could represent all points of the plane,
with 2 unknowns X and Y,
which we now call coordinates.

French: 
 et il y a mieux encore.
En liant X et Y par une équation,
Descartes se rendit compte que les solutions de l'équation
décrivaient des courbes géométriques.
Par exemple, l'équation
correspond à une droite.
tandis que l'équation
représente un cercle de rayon 1.
Ces exemples sont incontournables,
car ils sont particulièrement simples.
Mais on peut faire bien sûr plus compliqué
et déterminer, par exemple,
une équation algébrique pour
la courbe de Batman
Au fond, ce que Descartes avait découvert,
c'est un lien profond, mais absolument incontournable,
entre deux grandes disciplines des mathématiques
Il avait unifié la géométrie et l'algèbre.
Aujourd'hui, cette union appelée géométrie algébrique

English: 
But there's more.
By binding X and Y with an equation,
Descartes realized that solutions of the equation
described geometrical shapes.
For instance, the equation
corresponds to a line,
while the equation
represents a circle of radius 1.
These examples are ubiquitous,
because they're particularly simple.
But we can evidently make things more complicated
by determining, for instance,
an algebraic equation for
Batman's curve.
Basically, what Descartes discovered
was a profound and absolutely unavoidable link
between two great subfields of mathematics
he had unified geometry and algebra.
Nowadays, this union called algebraic geometry

English: 
is a vast and dynamic field of research
Studying numbers linked by a polynomial equation
boils down to studying objects
that live in high dimension space
and that are themselves of great dimension
but that can still be thought as geometrical objects
that live in a geometrical space.
We can solve algebraic problems
using geometry,
which is usually very elegant
and hence very satisfactory intellectually when we manage to do that.
Curves like y=ax^2,
we can look at them through real numbers
or through complex numbers
but, in the end, we can also consider other fields.
We can look at rational numbers for instance.
What are these equations with rational numbers?
Or with extensions of the set of rational numbers
Algebraic geometry is algebra,
and some people want to have us believing that it has anything to do with geometry

French: 
est un sujet de recherche extrêmement vaste et dynamique.
Étudier des nombres qui sont liés par une équation polynomiale
c'est étudier des objets
qui vivent dans un espace de dimension grande
et qui eux-même sont de dimension grande
mais qu'on peut quand même penser comme des objets géométriques
dans un espace géométrique.
On peut résoudre des problèmes d'algèbre
de façon géométrique
ce qui est généralement très élégant
et donc très satisfaisant intellectuellement quand on arrive à le faire.
Les courbes que j'ai y = ax^2,
on peut les regarder sur les réels
les complexes
mais au final on peut aussi prendre d'autres corps.
On peut regarder les rationnels
Quelles sont ces équations sur les nombres rationnels ?
Ou sur des extensions des nombres rationnels
La géométrie algébrique, c'est de l'algèbre,
et y a des gens qui font croire que c'est de la géométrie.

English: 
No! That's not nice...
It's still geometry because we're looking at curves
we may study singularities of the curve
Does it have nodes?
Or is it rather a smooth curve?
But there's definitely many problems in algebraic geometry
that have not much left to do with geometry
in the sense where we usually think about it, in terms of triangles and geometric figures...
It's true that things have evolved a lot since then
Among simplest algebraic geometries are conics.
They correspond to 2nd degree equations
Well, I guess you can see the equation.
Depending on parameters a,b,c,d,e and f
conics are classified into 3 categories;
ellipses
parabolas
and hyperbolas
Each one has had a fascinating role in the History of science
Really? Aren't they merely ways to have students making horrible computations?
I must admit that conics do lead to disgusting computations
But they're also fundamental objects.

French: 
Non !  C'est méchant...
C'est encore de la géométrie car on regarde les courbes
on peut regarder les singularités de la courbe
est-ce qu'il y a des noeuds ?
est-ce que la courbe, au contraire, va être lisse ?
Mais il y a beaucoup de problèmes de géométrie algébrique
qui n'ont plus grand chose à voir avec la géométrie
au sens où on la représente avec des triangles ou des figures géométriques...
c'est vrai que ça a beaucoup évolué depuis
Parmi les géométries algébriques les plus simples, on trouve les coniques
elles correspondent à l'équation du second degré
Enfin, vous voyez l'équation.
En fonction des paramètres a,b,c,d,e et f,
les coniques se déclinent en 3 catégories :
l'ellipse
la parabole
et l'hyperbole
Chacune a eu un rôle fascinant dans l'Histoire des sciences.
Ah ouais ? C'est pas juste pour faire des exercices horribles pour les étudiants de prépa ?
J'avoue que ces coniques sont bien utiles pour faire faire des calculs dégoûtants
Mais elles sont aussi des objets fondamentaux

French: 
Par exemple,
c'est à partir du mouvement parabolique des projectiles
Et du mouvement elliptique des planètes
qu'Isaac Newton a découvert les lois fondamentales de notre univers.
Mais je vais vous parler d'une autre application plus amusante...
En 213 avant Jésus-Christ,
Rome assiège Syracuse
Archimède de Syracuse
doit redoubler d'ingéniosité
pour défendre sa ville
Il invente alors de nouvelles armes de guerre.
Parmi elles,
on trouve un énorme miroir courbé.
La géométrie de ce miroir n'a pas été laissée au hasard.
Archimède s'est assuré que ce miroir était parabolique

English: 
For instance,
it is by noticing parabolic motions of projectiles
and elliptic motion of planets
that Isaac Newton has discovered the fundamental laws of our universe
But I'm going to tell you about a funnier application...
In 213 B.C.
Roma besieged Syracuse
Archimedes of Syracuse
must redouble of genius
to defend its city
He then invented new war weaponries
Among them
is a large curved mirror
The geometry of this mirror was not chosen by chance
Archimedes made sur that the mirror was parabolic

French: 
Euh... pourquoi ?
Parce que les paraboles
possèdent une propriété qui en fait une vraie arme de guerre.
Quand les rayons parallèles du soleil frappent le miroir,
celui-ci les réflète tous
et les focalise
Ainsi, Archimède concentrait un large faisceau de lumière
en un seul point d'un navire ennemi
qui prenait alors feu !
Et les antennes paraboliques, c'est la même idée ?
Oui, c'est exactement le même principe.
Elles focalisent les signaux radios des satellites
en un point où est placé le récepteur
En fait, on aurait sans doute aujourd'hui des paraboles sur nos téléphones portables
si on n'avait pas découvert la géométrie des fractales
Ah ! Les fractales !
J'ai terriblement envie de vous en parler !
Mais ce n'est pas au programme de prépa
Maintenant que je vous ai parlé de Descartes,
il me faut aussi parler de son grand rival,

English: 
Hummm... why?
Because parabolas
have a property that make them a true war weapon
When parallel solar light beams touch the mirror,
the mirror reflect them
and focalize them
Thereby, Archimedes concentrated a large light beam
on a single point of a rival ship
that would then catch on fire!
And parabolic antenna, are they related to this idea?
Yes, they're based on the exact same principle
They focalize radio signals of satellites
on a single point, where the receiver is located.
In fact, we'd probably have parabolas on our handies
had we not discovered fractal geometry
Ah! Fractals!
I'm dying to tell you about them
but they're not in the syllabus of preparatory classes...
Now that I've talked to you about Descartes,
I also need to tell you about his great rival,

French: 
Pierre de Fermat.
Si Descartes utilisa l'algèbre pour révolutionner la géométrie,
Fermat, lui, l'utilisa pour révolutionner
la théorie des nombres.
Curieusement, Fermat n'était pas mathématicien de profession.
Magistrat de jour, les mathématiques n'étaient pour lui qu'une passion
qu'il aimait pratiquer la nuit.
Ceci lui a d'ailleurs valu le surnom de
"Prince des amateurs".
Son regard sur les mathématiques est aux antipodes de la plupart des étudiants.
Pour beaucoup, les mathématiques sont une entrave à leur passion.
Ils vont à l'école malgré les maths
et se plaignent de ne pas avoir de "facilités"
ou de "dons" pour la matière.
Pour moi, Fermat est l'exemple même de la bonne démarche
à suivre
pour acquérir ces dons ou ces facilités.
Elles ne viennent pas du bachotage,
mais du fait que la matière soit devenue
une véritable passion.
Si je devenais donner un conseil à ceux qui rentrent en prépa,
je leur dirais de s'attacher à ce qui leur plaît.
Dans toute science, c'est la recherche de la beauté finalement
et la beauté est là.

English: 
Pierre de Fermat.
While Descartes was using algebra to revolutionize geometry,
Fermat, instead, used it to revolutionize
number theory.
Curiously, Fermat was not a professional mathematician.
Magistrate by day, mathematics were for him a mere hobby
that he enjoyed practising by night.
This gave him the nickname
of "amateurs' prince".
His way of seeing mathematics is totally opposite to most students'
For many, mathematics is a hurdle to their passions.
They go to school despite maths
and complain about not having ease
or gifts for the field.
For me, Fermat is the right example of
how to
acquire these gifts or ease
They do not come from cramming,
but from the fact that the field has become
a true passion.
If I were to give advice to those who enter the preparatory classes,
I'd tell them to focus on what it is that they enjoy.
In any science, we're searching for beauty
and beauty is there.

French: 
C'est à un moment, on prend goût à ça
on comprend qu'on peut comprendre.
Je pense que j'ai énormément progressé depuis que je fais de la vulgarisation
parce que j'aime ça encore plus qu'avant
Il y a forcément, en maths, en physique,
une chose qui va nous plaire plus qu'une autre
et il faut s'accrocher à ça
pour prendre plaisir là où on peut prendre du plaisir
et pour que du coup, ça fasse passer plus facilement
les parties les moins agréables
Il y a plein d'expériences qui montrent que, quand on présente un problème de maths,
on peut le présenter soit d'une façon qui fait peur
comme on le fait à l'école
soit on peut le présenter d'une façon
où tu te rends pas compte que tu fais des maths
et du coup les gens le font
et ils arrivent très bien à le résoudre
parce qu'ils se sont pas dits avant :" Oh mon dieu, c'est des maths !"
Dans beaucoup de cas, il y a une espèce de blocage
qui est que, voilà, on s'intéresse à des objets qui sont compliqués à comprendre
c'est tout ce qui fait la beauté et l'intérêt des mathématiques
mais c'est aussi ce qui fait leur côté angoissant

English: 
At some point, we start to enjoy it
we understand that we can understand
I think that I've greatly improved since I started popularization
simply because I love maths more than before
There's always something in maths or physics
that will please us more than other things
and one must hang on it
to have pleasure where we can have pleasure
and so that, thereby, we can undergo more easily
less enjoyable parts of the syllabus
There are many experiments that show that, when we're given a math problems,
the problem can either be stated in a scary way
as is done in schools
or we can present it in a way
that doesn't feel like maths.
People then solve the problems
and they do so very well
because they haven't thought beforehand: "Oh my god, that's maths!"
In many cases, there's a sort of blocus,
due to facing complicated objects
which by the way is precisely what makes mathematics beautiful and interesting
but is also what makes mathematics scary

French: 
et qui crée parfois un manque de confiance en soi
qui fait dire à beaucoup de gens
"moi de toute façon les maths, ça n'a jamais été mon truc."
En fait, tout le monde fait des sudokus tout le temps et adore ça.
C'est juste et des maths, et on leur a pas dit !
C'est à toi de trouver et de finalement découvrir cette beauté cachée
Et surtout ne pas perdre courage
parce que c'est de l'endurance
et il y a toujours un moment où les choses s'éclairent
Fernat, lui, était terriblement passionné
et ses mathématiques sont d'une innovation rare
Entre autres, il a fameusement affirmé que l'équation
pour n >= 3
n'a aucune solution en nombres entiers
C'est ce qu'on appelle désormais le dernier théorème de Fermat.
Mais étrangement,
plutôt que de fournir une preuve comme il l'avait fait pour les autres théorèmes,
il avait écrit
"J'ai découvert une merveilleuse démonstration.

English: 
and creates a lack of confidence
hence having many people saying
"in any case maths have never been my thing."
In fact, people solve sudokus all the time, and love it
yet this is just maths, but no one told them!
It's up to you to find and discover hidden beauties
But above all, never lose hope
because it's stamina challenge
and there's always a time where things will become clearer
Fermat, hime, was terribly passionated
and his mathematics have a rare innovative taste
Among other things, he famously asserted that the equation
for n greater or equal to 3
has no solution in integers.
This is what is now famously known as Fermat's last theorem.
But curiously,
instead of giving a proof as he had for other theorems.
He merely wrote
"I've found a marvellous proof.

French: 
Mais la marge est trop étroite pour la contenir."
Pourquoi cette équation, elle a pas de solution ?
C'est un résultat très surprenant,
et très difficile à démontrer.
Après tout, l'équation très similaire pour n=2
a elle une infinité de solutions.
Plus étrange encore,
pendant 350 ans,
aucun mathématicien
ni Gauss, ni Euler, ni Poincaré,
n'a su suivre les pas de Fermat
En fait, ce n'est qu'en 1994
que l'anglais Andrew Wiles
a réussi à conclure des siècles de recherche
en fournissant enfin une preuve complète
au théorème.
Mais il est clair que cette preuve,
qui utilise à foison des mathématiques du 20e siècle,
était hors de portée de Fermat.
Fermat avait-il une preuve ?
Sa preuve était-elle juste ?
On ne le saura jamais.
Le dernier théorème de Fermat, il a une histoire très très belle
Celui qui a vraiment prouvé le théorème, son histoire est aussi incroyable,
tout comme celle de Fermat
La beauté de l'arithmétique,
c'est que des équations simples

English: 
but the margin is too narrow to contain it."
Why does this equation not have any solution?
It's a surprising result,
and one that is very hard to prove.
After all, the very similar equation for n=2
has a infinite number of solutions.
Even weirder,
is the fact that for 350 years,
no mathematician,
not Gauss, not Euler, not even Poincaré,
was able to follow Fermat's footsteps.
In fact, it was only in 1994
that Englishmen Andrew Wiles
managed to conclude centuries of research
by giving a complete proof
to the theorem
But i's clear that this proof
that makes wide use of 20th century mathematics,
was out of reach of Fermat.
Did Fermat have an actual proof?
Was his proof correct?
We will never know.
Fermat's last theorem has a wonderful story
The one that actually proved the theorem also has an incredible story,
just like Fermat.
The beauty of arithmetics
is that simple equations

French: 
ont des résolutions compliquées
Andrew Wiles, qui a réussi à résoudre ce problème,
a passé 7 années
à travailler en solitude
et de façon secrète
sur ce problème.
Un des aspects de la beauté des mathématiques
qu'un problème simple
puisse mener à autant de développements mathématiques
Ce qui est encore plus amusant,
enfin pas pour lui à ce moment-là,
c'est qu'il y avait une faute dans sa preuve
du coup, il était censé être le héro
et puis du jour au lendemain,
il devient un moins que rien
et pendant un an,
il s'est échiné à essayer de trouver un moyen d'arranger sa preuve
si ça a mis tant de temps, c'est probablement qu'on s'est rendu compte en plus que
cette équation-là était vraiment difficile.
Cette année devait être très très très dure
parce que tout le monde le regardait
tout le monde le pointait du doigt
c'était le mec qui avait cru réussir
ce que personne d'autre n'avait réussi
mais en fait il avait fait une erreur
donc après un an de recherche
il a réussi à trouver

English: 
have complicated proofs.
Andrew Wiles, who succeeded in solving this problem,
has spent 7 years
working alone
and secretly
on this problem
One of the aspects of the beauty of mathematics
is the fact that a simple problem
has led to so much mathematics developments.
What's even more amusing,
not for him at that time,
is that there was a mistake in the proof.
So, all of sudden, while he was supposed to be a heroes
the next day,
he became less than nothing
and for an entire year,
he has tried to fix his proof
If it's taken so much time, it's probably because we've realized
that this particular equation was especially hard.
This year must have been very, very, very tough
because everyone was looking at him
everyone was pointing at him
as the man who thought he'd solved something
that no one else ever could
but in fact there was a mistake in his proof
and after a year of research
he succeded

French: 
une façon d'arranger son erreur
de contourner le problème
et ça a devait être un moment incroyable pour lui
La preuve de Fermat
de la conjecture de Fermat
maintenant, théorème de Fermat-Wiles,
était fausse.
enfin, tout le monde pense cela
on pense très probablement que la preuve qu'il avait
marchait seulement pour certains entiers n
mais qu'elle était malheureusement fausse
dans le cas général
on sait que tout nombre entier se factorise en produits de nombres premiers
et qu'il a ses bonnes propriétés là-dessus
on pense que Fermat avait attribué ces propriétés-là
à des nombres plus généraux que les nombres entiers
et malheureusement, ça marche dans certains cas, pas dans d'autres
donc ça preuve n'était pas correcte.
De prime abord, les mathématiques de Fermat
semblent totalement déconnectées de toute réalité
et de toute application
D'ailleurs, le mathématicien et pacifiste anglais Godfrey Hardy
s'en félicitait
peu après les catastrophes d'Hiroshima et Nagasacki
Ainsi, affirmait-il
"les mathématiques ne m'intéressent qu'en tant que création artistique".

English: 
he found a way to fix his error
to get around the problem
and this must have been an incredible moment for him
Fermat's proof
of Fermat's conjecture,
now called Fermat-Wiles' theorem
was mistaken.
At least, that's what everybody thinks
we believe that his proof was very likely to work
only for certain integers n
but unfortunately was wrong
for more general cases
We know that every integer can factorize as a product of primes
and that there's some nice properties about this
we think that Fermat assumed these properties
for more general numbers that integers
and unfortunately, it works in some cases but not in others
hence the proof was wrong.
At first glance, Fermat's mathematics
seemed totally disconnected from any kind of reality
and from any application
Besides, Englishman mathematician and pacifist Godfrey Hardy
celebrated this
shortly after Hiroshima and Nagasaki's catastrophes
Indeed, he used to say:
"I am interested in mathematics only as a creative art."

English: 
However, in the 90s,
some businessmen started to offer millions of dollars
for solving problems
in number theory
millions of dollars?
but why?
In the last decades, 
the power of computational power,
the explosion of the Internet, and the protection of private information
have led to the increase of the importance
of cryptography
Yet, the principle of cryptography
is to create a lock that a key can easily open
but that a hacker without the key cannot crakc
even after advanced analysis of the lock
Here's something that look quite similar to equations with integers.
In fact, there's no need to go very far to find integer equations that are very hard to solve
Take 2 primes.
Say, 163 and 613.
And let's multiply them.
We obtain equation
The public lock is then the equation
and solutions to the equation are keys.

French: 
Pourtant, dans les années 90
certains hommes d'affaire se sont mis à offrir des millions de dollars
pour la résolution de problèmes
en théorie des nombres
des millions de dollars ?
mais pourquoi ?
Au cours des dernières décennies,
la puissance des calculs des ordinateurs,
l'explosion d'Internet, et la protection des informations privées
ont vu le recrudescence de l'importance
de la cryptographie.
Or, le principe de la cryptographie,
c'est de créer une serrure qu'une clé peut facilement ouvrir,
mais qu'un hacker sans la clé aura bien du mal
même après analyse poussée de la serrure.
Voilà qui ressemble beaucoup à une équation en nombres entiers...
En fait, pas besoin d'aller chercher loin pour trouver des équation en nombres entiers difficiles à résoudre
Prenons 2 nombres premiers.
Disons, 163 et 613.
Et multiplions-les.
On obtient l'équation
La serrure publique est alors l'équation
et ses solutions sont les clés.

French: 
Il est alors facile de vérifier que 163 et 613 ouvrent la serrure,
mais un hacker qui ne connaîtrait que la serrure
aura bien du mal à trouver les clés.
Ben il pourrait essayer de diviser 99 919 par tous les nombres qui lui sont inférieurs, non ?
Ah ouais c'est vrai
en plus avec un ordinateur, il pourrait faire ça... en une fraction de seconde !
Mais si les nombres premiers que je choisis sont maintenant de l'ordre de 10^100
c'est-à-dire s'ils ont 100 chiffres
alors le hacker devra faire pas loin de 10^50 divisions
pour arriver au but
sachant qu'un ordinateur ne peut faire que 10^15 opérations par an, environ,
cela lui prendrait bien plus
que l'âge de l'univers !
Cette remarque a rassuré les banques
qui sécurisent aujourd'hui notre argent
avec de telles équations
Pourtant, je dois vous l'admettre
les mathématiciens n'ont pas prouvé que le hacker
ne saurait pas trouver des méthodes astucieuses
pour craquer la serrure en un temps raisonnable.
  Du coup, certains hommes d'affaire ne dorment pas des deux oreilles
Il n'est pas si surprenant qu'ils soient prêts à offrir des millions

English: 
It's then easy to check that 163 and 613 open the lock,
but a hacker who only knows the lock
will have great trouble to find the keys.
Well, couldn't he try to divide 99,919 by all smaller numbers?
Oh yes. He could indeed.
Plus, using nowaday's computers, he could do that in a fraction of a second.
But if the primes that I now choose are about 10^100,
that is, if they have about 100 digits,
then the hacker will have to do about 10^50 divisions
to reach its goal
Given that computers can hardly do more than 10^15 operations per year
it will take them more time
than the age of the universe!
This remark reassured banks
which now secure our money
using such equations.
Yet, I must admit,
mathematicians have not proved that the hacker
couldn't find clever methods
to crack the lock in a reasonable amount of time.
Therefore, some business do not sleep tight,
it is then not surprising that they're willing to offer millions of dollars

French: 
à qui prouverait que leur fortune est mathématiquement assurée
ou pourrait l'être avec des équations plus compliquées
Un des grands problèmes des mathématiciens,
c'est de se dire
est-ce que P=NP ?
Ou autrement dit,
tout les problèmes difficiles que l'on a à résoudre,
finalement, en étant un petit peu malin
et en les reformulant autrement,
je peux pas les résoudre comme des problèmes de P
ça, ce que je sais faire.
Et c'est d'ailleurs je crois un des problèmes à 1 million de dollars,
c'est de prouver
si ces deux ensembles sont égaux ou non
on pense très fortement qu'ils sont différents
mais on aimerait bien qu'ils soient égaux
Actuellement, en cryptographie,
on se base sur l'idée que nos problèmes sont certes résolubles
mais ils sont tellement durs à résoudre
que, avec la puissance de calcul actuel,
de toute façon, on n'y arrivera pas.
Si jamais on arrive à montrer que P=NP,
et qu'on arrive à reformuler ces problèmes difficiles en des problèmes faciles
dans ce cas-là, on sera bien embêté
parce que du coup, on aura un moyen facile
de résoudre des problèmes de cryptographies.
Le test de primalité, donc c'est un problème assez similaire,
on vous donne un nombre.
Est-ce que ce nombre est premier ou pas ?
Et ça pendant longtemps, on a pensé que ce problème
n'était pas résoluble en temps polynomial
parce qu'on y arrivait pas.
Mais en 2002

English: 
to whoever proves that their wealth is mathematically secured
pr that it could be using more sophisticated equations.
One of the major problems in mathematics,
is the question
Does P equal NP?
In other words,
all these difficult problems we have to solve,
can't we be a bit shrewd
and reformulate them
so that they can be solved like P problems
which I know how to solve.
and in fact, this is one of the 1 million dollar problems of the millenia
it's about proving
whether the two sets P and NP are equal or not
we strongly believe that they're not
but we kind of wish they are
Right now, in cryptography
we assume that some problems, granted, are solvable,
but they're so hard to solve
that with today's computer power,
for sure, we won't be able to solve them.
But if we manage to prove P=NP,
and if we manage to restate these difficult problems as easy problems
then in this case, we'd be quite embarassed
as we'd then have an easy way
to crack cryptography
The primality test problem is quite similar
if you're given a number,
can you tell whether it is prime or not?
For a long time, we've thought that this problem
could not be solved in polynomial time
because we hadn't succeeded.
But in 2002

English: 
three Indian researchers
found an algorithm that this problem in polynomial time.
And what's very troubling,
is that the primality test
ends up looking a lot like the factorization problem.
When we do operations in a classical computer,
we play with a series of bits made of 0s or 1s.
A quantum computer would play with a set of qubits
that are in a superposition of 0s and 1s
which would enable more simultaneous transformations
and more simultaneous computations
In fact, it enables to factorize numbers because in some sense it tries a bunch of them at once
Quantum computers can crack today's cryptography in polynomial time
so if quantum computers start developping
we will have to change our cryptography system
otherwise we'll all be screwed.
There's a company
that sells quantum computers
There was researcher who ran tests to determine whether the computer could really be quantum

French: 
trois chercheurs indiens
ont donné un algorithme pour résoudre ce problème en temps polynomial.
et ce qui est vraiment troublant,
c'est que le test de primalité
ressemble finalement beaucoup au test de factorisation en nombres premiers
Quand on veut faire une opération dans un ordinateur classique,
on joue sur une série de bits qui valent 0 ou 1.
un ordinateur quantique jouerait sur un ensemble de qubits.
qui seraient dans une superposition de 0 et de 1
et ça permettrait de faire plus de transformations
et plus de calculs en même temps
En fait, ça permet de factoriser les nombres parce que ça en teste plein d'un coup quelque part
Les ordinateurs quantiques sont capables de craquer la cryptographie actuelle en temps polynomial
donc si les ordinateurs quantiques commencent à se développer
il faut absolument qu'on change de système de cryptographie
sinon on va tous se faire avoir
mais l'ordinateur quantique, il y a une entreprise
qui vend un ordinateur quantique
Il y avait un chercheur qui avait fait des tests pour savoir si cet ordinateur pouvait vraiment être quantique.

French: 
Y avait un aspect où il était pas assez rapide
mais une autre batterie de tests
où il se comportait plutôt comme quantique
Le problème de factorisation en nombres premiers,
on sait que c'est pas les problèmes les plus durs de la classe NP,
donc il est possible qu'on trouve d'autres problèmes très semblables à RSA,
donc c'est possible qu'on n'ait pas tout à changer
et qui soient en fait eux,
pas résolubles en temps polynomial
par une machine quantique
donc il y a encore moyen de s'en sortir
en cryptographie même s'il y a des ordinateurs quantiques dans le monde
Comme les systèmes quantiques, ils sont très sensibles à toute perturbation,
on peut pas les observer sans les modifier
si jamais on fait de la cryptographie quantique, et que quelqu'un écoute la ligne,
normalement,
on peut le savoir
donc on sait qu'on ne peut pas faire confiance aux informations
et qu'il faut arrêter de transmettre des informations.
Donc le jour où on aura les ordinateurs quantiques,
on aura sûrement la cryptographie quantique
et du coup, ça ira pour les transactions...

English: 
In some aspects, it didn't seem fast enough
but on other tests,
it seemed to behave quantumly
The factorization problems,
we know that it's not the hardest of the class NP,
so it's possible that we shall find other problems very similar to RSA,
so it's possible that we won't have to upset everything,
so that these other problems
cannot be solved in polynomial time
even by a quantum computer.
So it's possible that there's still a way out
in cryptography even if quantum computers fill the world
As quantum systems are very sensitive to any perturbation,
I mean, we cannot observe them without affecting them
if we do quantum cryptography, and if someone spies on the communication
normally,
we should be able to find it out
and we'd know that we cannot trust this information
and that we must stop transmit information.
So, the day when we'll have quantum computers
we'll probably have quantum cryptography as well
hence, it'll be okay for transactions...

French: 
Bon, il faudrait pas que l'un arrive avant l'autre !
Le 29 mai 1832,
un révolutionnaire républicain est en duel dans les rues de Paris
À 20 ans, il vient tout juste de sortir de 4 mois de prison
des coups de feu retentissent !
Le duel est perdu
Le jeune homme meurt le lendemain des suites de ses blessures.
Son nom est... Évariste Galois.
Et l'Histoire aurait pu être bien différente
si ce jour-là,
Galois n'avait pas rendu l'âme
ou si, la veille du duel,
il n'avait pas passé toute la nuit à expliquer dans une lettre
toute l'importance des secrets qu'il venait de dévoiler
des secrets qui portent...
sur le coeur des mathématiques

English: 
Granted, there'd be troubles if one comes before the other!
On May 29, 1832,
a Republican revolutionary is in dual in Paris' streets
At 20 years of age, he has just come out of 4 months of imprisonment.
Gunshots are fired!
The dual is lost
The young man dies the next day because of his injuries
His name is... Évariste Galois,
And History might have been very different,
if, on that day,
Galois had not died,
or if, the day before,
he had not spent the whole night explaining in a letter
all the importance of the secrets he had just unveiled
secrets about...
the core of mathematics

French: 
Galois est l'archétype du génie incompris
Dès 18 ans, il envoyait des manuscrits de ses découvertes
à l'Académie des Sciences
mais l'Académie les rejeta tous
et la raison saute aux yeux
quand on voit la tête des manuscrits
Pourtant, Galois y avait réellement révolutionné les mathématiques
en en offrant une toute nouvelle perspective
Avec Galois, les nombres ne sont plus des quantités
mais des entités abstraites
qui se définissent par leurs interactions
à travers l'égalité et les 4 opérations classiques
l'addition, la multiplication, la soustraction et la division
en particulier,
Galois fit fi du fait "racine carré de 2"
est un nombre à peu près égal à 1,41
Pour Galois, "racine carré de 2" n'a rien à voir avec 1,41.
En revanche, "racine carré de 2" est intimement lié à 2
à travers la relation algébrique
C'est cette relation qui le définit

English: 
Galois is the typical example of misunderstood genius
At 18, he was sending manuscripts of his discoveries
to the Academy of Science
but the Academy rejected them all
and the reason becomes quite obvious
when one sees the look of manuscripts
Yet, somehow Galois really had revolutionized mathematics in these manuscripts
by giving a whole new perspective on maths
With Galois, numbers were no longer quantities
but rather abstract entities
that defined themselves by interactions
through equality and the 4 classical operations
addition, multiplication, subtraction and division
In particular,
Galois ignored the fact that "square root of 2"
was approximately 1.41
For Galois, "square root of 2" had nothing to do with 1.41.
However, "square root of 2" was intimately linked to 2
through the algebraic equation
It is actually this equation that defines the square root of 2

French: 
ce qui étrange, c'est que dès lors,
il n'y a plus aucune différence entre
"+ Racine de 2" et "- Racine de 2"
 À tel point que, pour Galois, nommer l'un des deux "+ racine carré de 2"
est ambigü
Ben, y en a un qui est positif et pas l'autre...
Sauf que la positivité d'un nombre
dépend du signe "supérieur ou égal"
dont Galois avait abstraction
un peu comme Al-Khwarizmi avait fait abstraction de la nature de la pomme
dans notre problème de balançoire.
Ça peut sembler réducteur
mais en fait,
c'est terriblement puissant
Par exemple, le fameux nombre imaginaire i
n'est qu'un objet abstrait
relié à -1
à travers la relation algébrique
et il n'y a plus lieu de se poser la question de son signe.
c'est alors que l'algèbre ne devint plus simplement la symbolisation des nombres
elle devint avant tout l'étude d'objets abstraits
et des opérations liant ces objets
Ce formalisme révolutionnaire,
que l'on appelle aujourd'hui algèbre pure,

English: 
but what's now weird,
is that there is no longer any difference
between "+ root of 2" and "- root of 2"
In fact, Galois even considered that merely naming one "+ root of 2"
was ambiguous.
Isn't one positive while the other is negative?
Except that the positivity of a number
depends on the sign "greater or equal to"
that Galois ignored
quite like Al-Khwarizmi ignored the nature of apples
in the apple problem.
This may sound reducer
but in fact,
it's terribly powerful.
For instance, the famous imaginary number i
is now simply an abstract object
related to -1
through the algebraic equation
and there's no more reason to ask what sign it has.
As a result, algebra was no longer the symbolization of numbers,
it rather became the study of abstract objects
and of operations binding these objects.
This revolutionary formalism,
now called pure algebra,

English: 
led Galois to treat in a similar fashion
objects way more complex
than numbers
There came a time when I told myself: "Wow! I love algebra!"
Because it enlightened much
It gave a universal aspect 
to many structures we already saw in secondary school.
We see them really everywhere
Even in middle school, we use them
rational numbers or real numbers have such structures
The set of transformations of the plane, it's a group
The set of vectors in the plane, it's a vector space
There's many things like that,
The set of integers modulo 10 is a ring
and modulo 11 is even a field!
In the first year, we started with groups
and it's a bit of a way to say
"Everything you've learned so far, it's good
but we're going to reexplain maths from zero"
At that time, I told myself
"F***! They're just annoying us! What the hell is that about?
We understand nothing!"
But then, a posteriori, you realize that,

French: 
amena Galois à traiter de la même manière
des objets autrement plus complexes
que des nombres
Il y a un moment où je me suis dit : " Ah ! J'adore l'algèbre !"
Parce que ça a éclairé
Ça donnait un côté un côté universel
à beaucoup de structures que l'on voyait déjà un peu au lycée
On en rencontre vraiment partout
Même au collège, on les utilise
les nombres rationnels ou réels sont munis de ces structures
L'ensemble des transformations du plan, c'est un groupe
L'ensemble des vecteurs du plan, c'est un espace vectoriel
Il y a plein de choses comme ça
L'ensemble des entiers modulo 10, c'est un anneau
et modulo 11, c'est même un corps
En sup, on a commencé par les groupes
et c'est un peu une façon de dire
"Tout ce vous connaissiez avant, c'est bien
mais on va vous réexpliquer les maths à partir de zéro
Alors, sur le moment, quand j'étais en sup, je me suis dit
"P***** ! Ils veulent tous nous faire trop chier ! Qu'est-ce que c'est que cette histoire ?"
"On comprend rien !"
En fait, a posteriori, tu te rends compte

French: 
que non,
ça permet de construire toutes les maths
à partir d'une base, à partir de rien
et après on s'est rendu compte aussi que
il y avait d'autres objets mathématiques qui jouissaient des mêmes propriétés
ça tissait des liens entre plein de choses
Toutes les démonstrations qui sont valables dans un anneau,
on peut prendre des ensembles hyper-compliqués
tant que c'est un anneau, ça marche aussi !
Il y a quelque chose de très abstrait
On manipule des objets dont on ne sait même pas ce qu'ils sont
on a le droit de faire des opérations avec
mais il y a pas le côté palpable et concret de l'analyse
On prend un anneau
on peut faire des additions des multiplications, faire plein de choses avec
sans avoir aucune hypothèse de savoir
dans quel monde ça vit, ce que c'est
Finalement, j'aime toujours
la beauté de l'abstraction algébrique
mais j'aime particulièrement quand on peut l'appliquer à des choses un peu concrètes
donc étudier les anneaux
pour le plaisir, ça m'intéresse moins que

English: 
no,
it's in fact a way to construct all of maths
starting from nothing
and then we've realized that
there were other mathematical objects that had the same properties
it created bridges between many things
All proofs true in a ring
you can then take highly complex sets
as long as they're a ring, proofs still apply!
There's something highly abstract
We're manipulating objects whose nature is unknown to us
we're allowed to do some operations
but there's not the palpable and concrete aspect of calculus
If we take a ring,
we can do additions and multiplications, do many things
without ever having any hypothesis about
the world things live in or what they are
In the end, I still love
the beauty of algebraic abstraction
but I love it particularly when we can apply it to more concrete stuffs
so studying rings
for pleasure interests me less 

French: 
que d'étudier la géométrie
Et en géométrie, on fait de la théorie de l'homologie
donc on associe à un objet géométrique
des anneaux
des groupes
des espaces vectoriels
qui codent un peu sa topologie
on crée une structure algébrique
sur quelque chose qui a priori était plus analytique
c'est un peu ça l'algèbre que j'aime bien
Parmi les concepts que Galois traita comme des nombres,
les plus importants sont sans conteste les symétries
dont l'étude forme la théorie des groupes
Prenons ce Rubik's cube.
Les déformations que l'on peut en faire obéissent parfaitement aux lois de Galois.
Tout d'abord les déformations peuvent être combinées
si j'enchaîne 2 déformations
j'obtiens une autre déformation.
Ensuite, il existe une déformation qui consiste à ne rien faire

English: 
than studying geometry
and in geometry we do homology theory
where we associate to a geometrical object
rings
groups
vector spaces
that encode their topologies
so we're creating an algebraic structure
upon something that was more analytic at first
this is the kind of algebra I enjoy...
Among other concepts that Galois treated as numbers,
the most important ones are without a doubt symmetries
whose study forms group theory
Consider a Rubik's cube.
Deformations I can do to it perfectly obey Galois' laws.
First of all, deformations can be combined
if I chain 2 deformations
I get, well, another deformation.
Next, there exists a deformation that consist of doing nothing...

French: 
Tadaaaaa !!!!
C'est ce qu'on appelle l'identité
Par ailleurs, on peut toujours revenir en arrière après une déformation
il suffit de faire les mouvements dans l'autre sens
et attention !
dans l'ordre opposé
Enfin, il y a l'associativité qui est un poil moins simple à expliquer
Bref, ce qui est important,
c'est que combiner des déformations,
c'est un peu comme additionner des nombres
C'est quand même pas tout à fait pareil, non ?
Non, en effet,
en particulier, l'algèbre des déformations et des symétries
est bien plus évasive
notamment car les déformations ne sont pas forcément commutatives
Euh... ça veut dire quoi ?
Ça veut dire que l'ordre dans lequel j'effectue les déformations compte
Par exemple, si je fais ce mouvement, puis celui-là,
je n'obtiens pas la même chose que si je fais les mouvements dans l'autre ordre

English: 
Tadaaaaa!!!!
This is what we call identity
Moreover, we can always move back after a deformation
it suffices to do moves in the other direction
and careful!
in the opposite order
Finally, there's associativity that is slightly harder to explain
Anyways, what's important,
is that combining deformations
is a bit like adding numbers
Well it's not really the same, is it?
No, indeed.
In particular, the algebra of deformations and of symmetries
is much more evasive
mainly because deformations are not necessarily commutative
Hummm.... What does that mean?
It means that the order in which deformations are chain counts
For instance, if I do this move then this one
I'm not getting the same thing as if I had done moves in the other order

English: 
Well, on other note, can you solve the Rubik's cube?
In principle, by understanding the algebra of Rubik's cube deformations,
I should be able to solve it myself
at least, that's what I'm told...
Yes I use symmetries a lot
because a rocket is more or less of a huge cylinder
thus it has quite an obvious revolution symmetry
We use symmetries all the time
because it's a small logical argument that  suddenly simplifies a problem
We're always searching for models
that have a huge number of symmetries
to simplify computations
because that's what symmetries usually do
and yet, we try to keep
the fundamental characteristics of the initial problem
For instance, if we have two producers of a same good
and they have the same costs
we can switch the two
and they should thus have the same values

French: 
Bon, sinon, tu sais le résoudre ce Rubik's cube ?
En principe, en comprenant l'algèbre des déformations du Rubik's cube,
je devrais être en mesure de le résoudre moi-même
enfin, c'est ce qu'on m'a dit...
Oui j'utilise beaucoup les symétries
parce qu'une fusée, c'est à peu près un gros cylindre
donc ça a le bon goût une d'avoir une symétrie de révolution assez évidente
On utilise tout le temps des symétries
parce que c'est un petit argument logique qui permet tout à coup de simplifier un problème
On cherche toujours un modèle
qui possède le plus grand nombre de symétries
pour simplifier les calculs
parce que c'est d'habitude ça que les symétries font
et pourtant, on essaie de garder
les caractéristiques fondamentales du problème initial
Par exemple, si on est deux producteurs du même bien
avec les mêmes coûts
on peut interchanger les 2 normalement
et ils doivent avoir la même valeur

French: 
et ça c'est quand même très pratique
Ne serait-ce que si on a un axe de symétrie
on n'a besoin de travailler que sur la moitié du problème
et puis l'autre moitié en découle automatiquement
et quand on a des symétries de révolution c'est encore plus simple
Par exemple, si on pense aux matrices d'inertie
ce genre de choses, y a plein de choses qui se simplifient
c'est toujours important de penser à quelles symétries on fait
sur le moment, c'est un peu ennuyeux de déterminer la symétrie
mais une fois qu'on l'a, ça simplifie la vie
L'importance des symétries réside dans leur omniprésence
que ce soit dans la nature
le monde industriel
ou l'art
Le langage qui les décrit est tellement puissant
que le plus grand mathématicien français de tous les temps,
Henri Poincaré
déclara un jour
"Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes."

English: 
and that's very useful to know!
If we only have an axial symmetry
we can work on half of the problem
and then the other half can be derived immediately
and when we have revolution symmetries, it's even simpler
For instance, if we thin of inertial matrices
for this kind of things, there are many simplifications
so it's always important to think about symmetries
at first it may seem boring to determine symmetries
but once we've done that, everything gets simpler
The importance of symmetries lies in their ubiquity
in nature 
in industry 
or in arts 
The language that describes them is so powerful 
that the greatest French mathematician of all times, 
Henri Poincaré, 
once said 
"Mathematics is merely a matter of groups." 

French: 
Après avoir utilisé les symétries de la géométrie hyperbolique
pour résoudre des équations différentielles
et les groupes d'homotopie pour classifier les formes topologiques
Henri Poincaré découvrit un groupe primordial de notre univers
qui porte aujourd'hui son nom
le groupe de Poincaré
C'est quoi, le groupe de Poincaré ?
Le groupe de Poincaré est au coeur du principe de relativité d'Albert Einstein
Introduit des siècles plus tôt par Galilée,
ce principe affirme que les lois de la physique
se doivent d'être les mêmes
pour deux observateurs en translation uniforme l'un par rapport à l'autre
En d'autres termes, il doit y avoir une symétrie des lois de l'univers
à travers l'espace
le temps
et le mouvement.
Par exemple, si je lance une pomme en l'air,
celle-ci doit retomber tout droit
que je sois sur un quai
ou dans un train à pleine allure
Là où les choses se compliquent,

English: 
After his use of symmetries of hyperbolic geometric
to solve differential equations 
and of homotopy groups to classify topological shapes 
Henri Poincaré discovered a primordial group of our universe 
that now carries his name,
the Poincaré group.
What's the Poincaré group? 
The Poincaré group is at the heart of Albert Einstein's relativity principle. 
Introduced centuries earlier by Galileo 
this principle asserts the laws of physics 
must be the same 
for any two observers in uniform motion 
In other words, there must a symmetry of the laws of the universe 
through space 
time 
and motion 
For instance, if I throw an apple upwards, 
the apple must then fall straight 
whether I'm on a platform 
or in a train at full speed 
Now, here's where things get interesting... 

English: 
Experimental results of late 19th century 
assert that the speed of light 
must be the same 
for all observers! 
and THAT is very weird! 
Among the most troubling aftermaths, 
there's the fact that 
if I throw an apple at 50 km/h on a platform 
a man in a train going at 300 km/h 
will see the apple moving at slightly less than 350 km/h 
because speeds do not add up! 
Even weirder, 
from the platform's standpoint 
time within the train is slowed down 
while lengths get contracted 
You're kidding, right? 
Not at all!
Granted, these phenomena are way too weak to be observed directly 
Yet, if our trains were moving at speeds close to light speed 
they'd be obvious facts to us! 
In any case 
the relationships between any two observers' perceptions 

French: 
c'est quand on intègre les résultats d'expériences de la fin du 19e siècle
qui affirment que la vitesse de la lumière
est la même
pour tout observateur
Et ça, c'est vraiment bizarre !
Parmi les conséquences les plus troublantes
il y a le fait que
si je lance une pomme à 50 km/h sur un quai
un homme dans un train allant à 300 km/h
verrait la pomme aller à un peu moins de 350 km/h
car les vitesses ne s'additionnent pas !
Plus étrange encore,
du point de vu d'un homme à quai
le temps à l'intérieur du train est ralenti
tandis que les distances se rétrécissent
Tu plaisantes là, j'espère...
Pas du tout !
Certes, ces phénomènes sont beaucoup trop faibles pour qu'on s'en aperçoive
mais si nos trains allaient à des vitesses proches de celle de la lumière,
ils nous paraîtraient évidents !
Quoiqu'il en soit,
les relations entre les perceptions des différents observateurs

French: 
forment ce que l'on appelle
le groupe de Poincaré
En lui réside
les symétries fondamentales
de notre espace-temps
On croit à ces symétries-là
à la relativité restreinte
Il faut qu'elles marchent dans ta théorie
Si tu conçois une théorie qui n'a pas ces symétries-là,
elle est très probablement fausse.
Toutes les histoires de groupe de symétrie, ça a donné naissance
à une branche complète de la physique
C'est impossible d'être un physicien des particules
sans savoir la théorie des groupes
L'électrodynamique quantique,
la chromodynamique quantique
c'était à partir d'intuitions qu'on avait sur les symétries globales d'un système
on les a ramenés à un niveau local
et c'est ça qui a fait qu'on a bien compris
les interactions entre les particules élémentaires
L'une des difficultés de la théorie de la relativité d'Einstein et Poincaré

English: 
form precisely 
the Poincaré group. 
Within it lies
the fundamental symmetries 
of space-time. 
We believe in these symmetries 
these symmetries of special relativity 
They must be in your theories
If you conceive a theory that does not satisfy these symmetries, 
it's very likely to be wrong. 
All these symmetry group stuffs actually gave birth
to entire fields of physics 
It's impossible to be a particle physicist 
without a good grasp on group theory 
Quantum electrodynamics, 
quantum chromodynamics,
it was by using intuitions we had about global symmetries 
and then stating them at a local level 
that we finally understood well 
the interactions between elementary particles. 
One of the difficulties of Einstein and Poincaré's relativity 

French: 
est qu'en incluant le temps,
il nous faut maintenant travailler dans un espace-temps
de dimension 4
Mais comment tu fais pour visualiser la 4e dimension ?
La visualisation de l'espace-temps de dimension 4
a fasciné bon nombre d'artistes
Par exemple, la grande Arche de la Défense
est une représentation d'un hypercube de dimension 4
dans notre espace à 3 dimensions
Mais personnellement, j'ai les pires difficultés
à visualiser géométriquement
un monde de dimension 4
Cependant, grâce à la magie de la géométrie algébrique de Descartes,
on n'a pas besoin de visualisations alambiquées
pour faire de la géométrie
L'algèbre suffit
à décrire et comprendre la géométrie
Ainsi, si la 4e dimension m'est hors de portée géométriquement,
j'en conçois parfaitement son sens algébrique
Puisqu'une inconnue décrit une dimension,
que deux en décrivent deux
que trois en décrivent trois
il me suffit, vous l'aurez compris,

English: 
is that by including time, 
we now have to work with a space-time 
of dimension 4
But how do you visualize the 4th dimension? 
Visualizing 4-dimensional space-time 
has been fascinating many artists. 
For instance, the grande Arche of La Défense 
is a representation of a 4-dimensional hypercube 
in our 3-dimensional space 
But, frankly, I have the biggest troubles 
to visualize geometrically 
a 4-dimensional world 
Yet, thanks to the magic of Descartes' algebraic geometry, 
there is no need of complicated visualizations 
to do geometry. 
Algebra suffices 
to describe and understand geometry.
Hence, while the 4th dimension is out of my reach geometrically, 
I perfectly conceive its algebraic meaning. 
Since one unknown describes one dimension 
since two describe two, 
since three describe three, 
it suffices, as you've guessed it, 

English: 
to take four unknowns to describe a 4-dimensional space. 
And the magic of algebra 
is that I can go even further 
and discuss without ambiguity spaces of dimension n. 
For me, the nth dimension, I think it exists.
Dimension 183, yes, it exists 
Yes in my life, I often have problems of dimension 183! 
A particle with 183 internal states 
has an internal space of dimension 183 
What I do is reasoning about spaces of dimension greater or equal to 3 
things that cannot be directly visualized 
but using the power of abstraction and analogy, 
one can actually create a mental picture 
and reason about them 
and, in some ways, 
promenade in these spaces... 
Very high dimension spaces are extremely useful to me! 
When we have optimization questions, 

French: 
de prendre 4 inconnues pour représenter un espace de dimension 4
et la magie de l'algèbre,
c'est que je peux aller plus loin encore
et parler sans ambiguité d'espaces de dimension n.
Pour moi, la dimension n, je pense que ça existe
La dimension 183, oui, ça existe
Ouais dans ma vie j'ai souvent des problèmes de dimension 183 !
Une particule avec 183 états internes
son espace interne est un espace de dimension 183
Ce que je fais, c'est raisonner sur des espaces de dimension supérieure à 3
des choses qu'on peut pas directement visualiser
Par le pouvoir de l'abstraction et de l'analogie,
on peut arriver à se faire une image mentale dans la tête
au point d'être capable de réfléchir dessus
et donc d'une certaine façon,
de se promener dans des espaces...
Ah mais les espaces des grandes dimension me sont très utiles !
Quand on a des questions d'optimisation,

English: 
when we want to make things more efficient, 
when we want to make things more profitable,  
quite often, factors that enter in play are numerable 
and so we're in high dimensions 
and we must satisfy criteria along many dimensions 
In dimension 3, 
the polyhedron, the extension of the polygon, that is the simplest 
is the tetrahedron 
because it only has 4 corners. 
In dimension 4, 
we have a very natural generalization of the tetrahedron 
that now has 5 corners. 
and we can go up to dimension 5 
now, what's funny 
is that in my research 
on voting systems 
I had to study the geometry 
of the 5-dimensional tetrahedron! 
There are other ways to visualize dimensions 
we can use colours 
For instance, a temperature map of France 
uses 2 dimensions 
we need another dimension for temperature 
so we use colours 

French: 
de rendre les choses plus efficaces,
de rendre les choses plus rentables,
souvent, les facteurs qui influencent ça sont multiples,
et on est à plein de dimensions
et il faut satisfaire des critères sur plein de dimensions
En dimension 3,
le polyhèdre, l'extension du polygone le plus simple,
c'est le tétrahèdre
parce qu'il a que 4 coins
En dimension 4
on a une généralisation très naturelle du tétrahèdre
qui a du coup 5 coins
et on peut monter aussi jusqu'à la dimension 5
ce qui est amusant
c'est que dans ma recherche
pour étudier les systèmes de votes
j'ai été amené à étudié la géométrie
du tétrahèdre de dimension 5
Il y a d'autres façons d'essayer de visualiser des dimensions
On peut utiliser les couleurs
Une espace de carte de température de France
on utilise 2 dimensions
Il faut une dimension supplémentaire pour la température
on utilise les couleurs

English: 
I work on environmental problems among others 
If I want to represent everything 
I'll need an infinite number of variables 
so yes, I need spaces of very high dimensions. 
Well, dimension 3, 
we think we know it well
but in fact, all we know about dimension 3 
is the Euclidean space 
which is something very straight and rigid 
As soon as we want to imagine other 3-dimension shapes 
spaces that, as you said earlier, are curved 
well, now, we can already no longer  visualize these
as to visualize such a space 
we'd need to look at it within a space of dimension 4 or more 
and therefore, there's always some anxiety, 
but excitement as well, 
to know that 
we're reasoning
about a space that we cannot really see 
of which we can only glance at some small aspects 
by reflecting the right way 

French: 
Je m'occupe des problèmes liés à l'environnement entre autres
si je veux vraiment tout représenter
j'ai besoin d'une infinité de variables
j'ai besoin d'avoir des espaces de très grandes dimensions
Déjà, la dimension 3, comme ça,
on a envie de dire qu'on la connaît
mais nous, tout ce qu'on connaît en dimension 3
c'est l'espace euclidien
c'est-à-dire un truc bien carré
dès qu'on veut imaginer d'autres formes de dimension 3
des espaces qui, comme tu disais tout à l'heure, sont courbés
déjà ça on n'arrive plus trop à l'imaginer
parce que pour visualiser un tel espace,
il faudrait le voir à l'intérieur d'un espace de dimension 4 ou plus grande
et donc, il y a toujours ce côté un peu angoissant
mais plaisant,
de savoir qu'on 
est en train de réfléchir
dans un espace qu'on ne voit pas vraiment
dont on ne peut voir qu'un tout petit aspect
en réfléchissant de la bonne façon

French: 
Tout ceci peut sembler être de la magie noire pour mathématiciens
Et en fait, il a bien fallu des siècles
pour que les mathématiciens eux-mêmes
adoptent ces idées
Pourtant,
dès lors que l'on traite d'une quantité faramineuse de données,
vous savez, quand on fait du "Big Data",
on se place naturellement dans des espaces de grandes dimensions
Tu peux donner un exemple ?
Prenons l'exemple d'Air France
La planification de ses vols,
la gestion de sa flotte
et l'affectation de son personnel
sont autant de problèmes difficiles à gérer
Comprendre, choisir et orchestrer toutes les décisions
devient vite un enfer.
Il nous faut structure le problème.
En d'autres termes, il nous faut imposer une géométrie simple
à un espace de grande dimension.
Et les ingénieurs d'Air France ont choisi la géométrie affine
Euh... J'ai rien compris !
Ne t'inquiète pas, je vais tout expliquer.
Une géométrie affine est gouvernée par des inégalités du type

English: 
All of it may sound like black magic for mathematicians only 
In fact, it took centuries
for mathematicians to get along 
with these ideas themselves 
Yet,  
as soon as we deal with huge amounts of data,
well, you know, when we're doing "Big Data", 
we're naturally working in high dimension spaces 
Can you give an example? 
Sure, let's take the example of Air France! 
Flight planification, 
fleet management 
employee scheduling 
are all difficult problems to deal with 
To understand, make and orchestrate all decisions
quickly become a nightmare. 
To go further, we need to structure the problem. 
In other words, we need to impose a simple geometry 
to a high dimensional space. 
And Air France engineers have chosen affine geometry 
Hummmm.... I'm lost! 
Don't worry, I'll explain everything. 
Affine geometry is governed by inequalities like 

English: 
where unknowns X1, X2, ..., Xn describe a n-dimension space 
Each unknown models a decision
about a itinerary 
a plane 
or a crew member 
while each inequality states a constraint 
 that our decisions must satisfy  
 By now compiling all constraints of our problem
we obtain a geometrical shape 
that describes exactly
the set of satisfactory decisions 
In dimension 2, affine algebra is that of polygons 
like triangles and squares 
In dimension 3, we obtain polyhedra 
like tetrahedra and cubes 
This may sound restrictive 
but in higher dimension spaces 
it's rather a very rich structure 
that models a huge variety of problems 
enables powerful geometrical insights 
and is perfectly adapted 

French: 
où les inconnues X1, X2, ..., Xn décrivent un espace de dimension n
Chaque inconnue modélise une prise de décision
sur un trajet
un avion
ou un personnel navigant
tandis que chaque inégalité exprime une contrainte
que nos décisions doivent satisfaire
En compilant toutes les contraintes du problème
on obtient une géométrie
qui décrit exactement
l'ensemble des décisions satisfaisantes
En dimension 2, l'algèbre affine est celle des polygones
comme les triangles ou les carrés
En dimension 3, on obtient des polyhèdres
comme des tétrahèdres et des cubes
Ça peut sembler restrictif
mais en dimensions supérieures,
il s'agit d'une structure très riche
qui modélise une incroyable variété de phénomènes
permet des raisonnements géométriques puissants
et se prêtent parfaitement

French: 
aux calculs par ordinateur
Pour cette raison des techniques dites de programmation linéaire,
sont aujourd'hui massivement déployées
dans les entreprises qui souhaitent tirer parti du Big Data
que ce soit en finance
en marketing
ou en logistique
Par exemple, pour modéliser
des services hospitaliers ou des systèmes de santé,
on peut modéliser les patients comme des flux
On a des outils pour ça qui utilisent la programmation linéaire
pour justement dans des questions d'optimisation
arriver avec des ressources contraintes, des lieux contraints, des flux contraints
à la meilleure solution possible
Il y a beaucoup de problèmes qui peuvent en fait être exprimés
avec des fonctions linéaires
et aussi des contraintes linéaires
et ça on sait très bien le résoudre
La programmation linéaire a la propriété importante
d'être ce qu'on appelle P-complète
Ça veut dire que tout problème que l'on peut résoudre en temps polynomial

English: 
to calculations by computers 
For these reasons, technics of linear programming 
are now massively deployed
in companies that wwant to benefit from Big Data 
whether it's in finance 
in marketing 
or in logistics. 
For instance, to model
 hospitals and healthcare systems, 
we can model patients as flows 
We then have tools for this that use linear programming 
to obtain, in optimization, 
with constrained resources, constrained locations and constraints flows,
the best possible solution  
 There are many problems that can be stated
with linear functions 
and with linear constraints 
and we know very well how to solve these 
Linear programming has the major property 
of being P-complete 
This means that any problem that can be solved in polynomial time 

English: 
can be reduced to a linear program problem 
It's a field that enables to do many things 
and manages to solve many allocation problems... 
For instance, how can we best 
design plane itineraries between different airports 
Maybe this plane  
will fly Paris-Nice, 
and then Nice-Bordeaux, 
and then Bordeaux-Paris. 
But it might be more relevant to have it waiting a bit more in Nice 
and have it flying to Venice 
and that I'll have another plane going to Bordeaux
All these problems are generally linear 
and can thus be solved by linear programming 
It's amusing how it can help 
in problems that seem very remote from maths 
Now, linear programs are even more useful, because they perform very well
when approximating problems 
that, a priori, cannot be solved in polynomial time 
Applied maths is a lot like that, 
it's all about trying to model a real life problem,
something that's very complicated, 

French: 
peut se réduire à un problème de programmation linéaire
C'est en fait déjà une discipline qui permet de faire beaucoup de choses
et qui permet de résoudre beaucoup de problèmes d'affectation etc...
Par exemple, comment faire passer au mieux
des avions entre différents aéroports en fait
Peut-être que cet avion-là
il va prendre le vol Paris-Nice
et ensuite il va faire le Nice-Bordeaux
et ensuite Bordeaux-Paris
Mais peut-être que c'est plus intéressant qu'il attende un tout petit peu plus longtemps à Nice
pour prendre un vol vers Venise
et que je fasse prendre un vol ensuite vers Bordeaux par un autre avion
Donc tous ces problèmes-là sont des problèmes en général linéaires
qui se résolvent grâce à la programmation linéaire
C'est rigolo comme ça peut aider
dans des problèmes qui paraissent très très loin des maths
Après c'est encore plus utile la programmation linéaire, parce que ça marche aussi très bien
pour faire des approximations de problèmes
qui a priori ne sont pas résolubles en temps polynomial
Les mathématiques appliquées, c'est beaucoup ça,
c'est essayer modéliser un problème de la vie courante,
donc qui est très compliqué,

French: 
en quelque chose qu'on sait résoudre
De temps en temps, ça aide à trouver des vraies solutions
et faire des prédictions
et de temps en temps, ça s'applique pas
et c'est la limite et il faut aussi l'accepter
Ça fait parti de la chose...
Au 19e siècle,
les mathématiciens se sont rendus compte petit à petit
de l'importance de l'algèbre linéaire,
c'est-à-dire l'algèbre des espaces de grande dimension
gouvernée par l'addition et l'élongation
Ils en ont trouvé la représentation la plus compacte
Celle-ci correspond à un tableau
à deux entrées
rempli de nombres
Ces tableaux qui peuvent être incroyablement longs
sont ce que l'on appelle des matrices.
Des matrices ??? Comme dans le film ?
Dans les années 1930,
le physicien Erwin Schödinger
esquisse une révolution dans le monde de la physique
Il écrit l'équation fondamentale

English: 
into something that we know how to solve. 
Sometimes, it helps to find real solutions 
and to make predictions 
but sometimes, it doesn't apply 
and there's a limit we need to acknowledge 
it's part of the thing.... 
In the 19th century, 
mathematicians have slowly realized
the importance of linear algebra, 
that is, the algebra of high dimension spaces 
governed by addition and stretching 
They found the most compact way to represent these
This corresponds to an array 
with double entries 
filled with numbers. 
These arrays, which can be incredibly long, 
are what we call matrices. 
Matrices? Like in the movie? 
In the 1930s, 
physicist Erwin Schrödinger 
sketched a revolution in the world of physics 
He wrote the fundamental equation 

French: 
où E et Psi sont les inconnues
et H est une espèce de matrice infinie
Les solutions de cette équation
que l'on appelle valeurs et vecteurs propres,
correspondent exactement à ce que l'on peut observer dans notre univers
Ces solutions sont la cause de la structure des atomes
et elles expliquent pourquoi les atomes se lient entre eux pour former des molécules
ensuite ces molécules forment nos tissus
nos corps
et nos cerveaux
donc je ne pense pas trop exagérer
en disant que la matrice infinie H
est celle qui gouverne
notre univers...
La plupart des choses on trouve bizarre en physique quantique
On peut pas décrire infiniment précisément la position et la vitesse
l'effet tunnel, la délocalisation, l'intrication quantique
le fait que deux particules qui sont très éloignées peuvent s'affecter de façon immédiate
Ce qui est drôle avec la mécanique quantique,

English: 
where E and Psi are unknowns 
and H is a sort of infinite matrix. 
The solutions to this equation 
called eigenvalues and eigenvectors 
correspond exactly to what can be observed in our universe 
These solutions explain the structure of atoms, 
and they explain as well why atoms bind together to form molecules 
Next, molecules form our tissues 
our bodies 
and our brains 
Thus I don't think I'm exaggerating too much 
when I say that the infinite matrix H 
is what governs 
our universe... 
Most things in quantum physics are weird 
We cannot describe infinitely precisely position and speed 
the tunnel effect, delocalization, quantum intrication
the fact that two particles very far away can affect one another instantly 
The funny thing about quantum mechanics

English: 
is that it's anti-intuitive
I mean that there's no intuition possible. 
There are many concepts 
that are completely aliens 
for common sense
When we try to observe a particle, 
the particle will undergo a probabilistic event 
The position is more likely at some locations 
and less likely at others 
This is the most accepted interpretation... 
What disturbs me deeply, 
is that it's when we measure it 
that the probabilistic event is triggered 
Everything is a vector space, all transformations are unitary... 
except measure 
that's a bit weird 
Meanwhile, the concept of measure 
is defined nowhere 
we don't really know what a measure is 
there's no mathematical object to define what a measure is 
It has the observer intervening... 
So the triggering of the probabilistic event in quantum mechanics 
seems very poorly defined to me 

French: 
c'est anti-intuition
ça veut dire qu'il y a pas d'intuition possible
Il y a pas mal de concepts
qui sont complètement extra-terrestres
pour notre conception
Quand on essaie d'observer une particule,
la particule va subir un événement probabiliste
La position est plus probable dans certains endroits
et moins probables à d'autres endroits
C'est l'interprétation la plus acceptée...
Moi ce qui me dérange beaucoup,
c'est que c'est au moment de mesurer
que l'événement probabiliste est déclenché
Tout est un espace vectoriel, toutes les transformations sont unitaires
sauf la mesure
ça c'est un peu bizarre
Alors que le concept même de mesure,
est défini nul part
on sait pas vraiment ce que c'est une mesure
il y a pas un objet mathématique pour définir ce que c'est, une mesure
Ça fait un peu intervenir l'observateur...
Donc le déclenchement de l'événement probabiliste en mécanique quantique
est très mal défini à mon goût

French: 
Je sais pas si j'ai réfléchi assez au sens de cette question
Je sais que là il y a le noeud d'un problème
mais j'ai l'impression qu'y répondre serait pas vraiment de la physique
La mécanique quantique est clairement l'une des plus abstraites et les plus contre-intuitives
qu'on n'ait jamais inventé
À ses débuts,
Niels Bohr, l'un des pères fondateurs, affirmait
"Nous sommes tous d'accord pour dire que cette théorie est farfelue,
la question qui nous divise,
c'est de savoir si elle est suffisamment farfelue
pour avoir une chance d'être correcte."
Aujourd'hui, aussi étrange que la mécanique quantique puisse paraître,
elle demeure néanmoins la théorie la plus précise,
la plus testée,
et la plus utile que l'on n'ait jamais inventée
Toutes les nouvelles technologies reposent sur les équations du monde quantique
Pour moi, ce succès représente mieux que tout
la magie de l'algèbre
Je suis convaincue que les mathématiques ont un avenir énorme en santé
parce qu'il y a plein de questions à résoudre

English: 
I don't know if I've given it enough thoughts 
I know that here, we're hitting the nail on the head
but I feel that answering it wouldn't really be physics 
Quantum mechanics is clearly one of the most abstract and counter-intuitive theory 
we've ever come up with 
At its beginning, 
Niels Bohr, one of its founding fathers, claimed 
"We are all agreed that [the] theory is crazy. 
The question that divides us 
is whether it is crazy enough
to have a chance of being correct." 
Today, as weird as quantum physics may sound, 
it still remains the most precise, 
the most tested 
and the most useful theory ever invented 
All new technologies rely on quantum equations 
For me, this success symbolizes better than anything 
the magic of algebra. 
I'm convinced that mathematics have a huge future in healthcare 
because there are plenty of questions to solve 

English: 
and we have the data! 
What I love even more about maths 
is that, yes, we can do beautiful abstract stuffs 
but, moreover, it is very useful to the every day life 
and this is interesting. 
Both on a medical level, 
indeed medical research uses more and more maths, 
to make prediction models, 
about kid's or foetus' growths 
It's being done more and more, and I think it will become a huge thing,
to use mathematical models 
to explain human behavior 
because in fact, 
we often behave similarly even though we don't know it 
It's intellectually very pleasing 
to realize that we have all these different topics that work together 
to form a coherent whole 
I'm even going further 
and wonder: 
"How many of today's mathematics 
will be central to physics in the future?" 
and both in the organization of systems
for question like how to build a hospital, how to organize a department

French: 
et on a les données
Ce que j'aime encore mieux des maths,
c'est que certes, on peut faire des choses très jolies d'un point de vu abstrait,
mais en plus ça sert vachement dans la vie de tous les jours
et ça c'est intéressant
Aussi bien au niveau médical,
la recherche médicale utilise de plus en plus les mathématiques
on fait des modèles de prévision,
de croissance des enfants, des embyons
Et ça se fait de plus en plus, et à mon avis, ça va prendre vraiment une grosse ampleur,
d'utiliser des modèles mathématiques pour
expliquer des comportements humains
parce qu'en fait,
on fonctionne souvent pareil et on le sait pas
C'est intellectuellement vachement agréable
de se rendre compte qu'on a plein de sujets différents qui marchent tous ensembles
et que ça fait un tout cohérent
Et je vais encore plus loin
je me pose la question:
"Combien d'outils mathématiques aujourd'hui
vont devenir centraux en physique dans le futur ?"
Et à la fois dans l'organisation des systèmes
dans comment construire un hôpital, comment organiser un service

English: 
"And how much progress in physics have we not made simply because we don't have the right mathematical tools yet?" 
It's an intellectual tool 
when you have, you suddenly understand a lot of things 
about a lot of areas of society 
Maths seem to be that thing that describe incredibly well all physical phenomena that we observe 
We don't know why, that's another question, 
but it turns out that the two marry beautifully 
For all of that, we need much more maths! 
Mathematics is often blamed for its excess  of abstraction
many want them to be more concrete, more applied,
and I'm not denying the existence of uncountable opportunities 
in applying maths to concrete problems 
After all, I am myself an applied mathematician  
 But, while in the short run,
abstraction seems doomed 
to be restricted to mathematical elegance, 
in the longer run, 
it seems that only abstraction 
can have a profound impact on our visions of the world
and our ability to change it

French: 
"Et combien de progrès en physiques on n'a pas fait parce qu'on n'a pas encore les outils mathématiques nécessaires ?"
C'est un outil intellectuel
 quand tu l'as, tu comprends plein de choses
dans plein de domaines de la société
Les maths, ça paraît être le truc qui décrit vachement bien les phénomènes physiques qu'on observe
On sait pas pourquoi, ça c'est une autre question
mais il se trouve que les deux se marient assez bien
Pour tout ça, on a beaucoup besoin des maths !
On reproche souvent aux mathématiques un excès de zèle en termes d'abstraction
beaucoup demandent à ce qu'elles soient plus concrètes, plus appliquées
et je ne nie pas qu'il existe d'innombrables opportunités
dans cette interaction des mathématiques avec problèmes concrets
Après tout, je suis moi-même un mathématicien appliqué
Mais si sur le court terme,
l'abstraction semble vouée
à se restreindre à l'élégance mathématique
sur les moyens et longs termes,
il semble qu'elle seule
permette un changement profond de notre vision du monde
et de notre capacité à le changer

French: 
L'Histoire de l'algèbre l'illustre parfaitement
Initiée il y a plus d'un millénaire par Al-Khwarizmi,
l'algèbre a connu des premiers pas assez restreints
mais petit à petit,
elle nous a révélé des secrets
sur les nombres
la géométrie
et les symétries
Mieux encore,
elle a permis la découverte des espaces de grandes dimensions
qui aujourd'hui forment le coeur du Big Data
et les fondements de la physique moderne
Mais si les algèbres d'Al-Khwarizmi, Descartes, Fermat
Galois, Poincaré et Schrödinger
nous ont déjà révélé d'innombrables secrets,
nous sommes encore loin d'avoir su en exploiter tous leurs potentiels
En fait, je dirai qu'on vient à peine d'en gratter la surface
l'Univers mathématique reste
mystérieux et stupéfiant,
fécond et contre-intuitif,
confus et élégant.
C'est une terre encore très mystérieuse
où les mathématiciens comme moi ne cessent de s'engager plus en profondeur
car même s'il n'est pas garanti que nous en revenions avec des trésors,
nous savons que c'est un voyage

English: 
The History of algebra is a perfect illustration of that 
Invented more than a thousand year ago by Al-Khwarizmi, 
algebra's first steps were quite restricted 
but, slowly but surely, 
algebra ended up unveiling secrets 
about numbers, 
geometry 
and symmetries. 
Even better, 
it enabled the discovery of high dimension spaces 
that are now at the heart of Big Data 
and the foundations of modern physics 
But, while the algebras of Al-Khwarizmi, Descartes, Fermat, 
Galois, Poincaré and Schrödinger 
have already unveiled uncountable secrets 
we're still far from having exploited their full potentials 
In fact, I'd say we've barely scratched the surface 
The mathematical universe remains 
mysterious and surprising, 
fertile and counter-intuitive, 
confusing and elegant. 
It's still a largely unknown land, 
where mathematicians like me keep exploring in greater depth 
because, while we're not guaranteed to find treasures,
we know that it's a journey 

French: 
qui ne fera que nous rendre plus fort

English: 
that can only make us stronger. 
