
Bulgarian: 
Вече знаем, че производната спрямо х
на тангенс от х ще бъде равна на 
секанс на квадрат от х, което разбира се,
е равно на същото нещо като
 1 върху косинус на квадрат от х.
Това, което искам да направим 
в настоящия урок, както направихме
и в предните няколко, е да намерим 
производната на обратната функция
на тангенс от х. И по-конкретно
да проверим дали може да намерим
производната спрямо х на 
обратната функция на тангенс от х.
Насърчавам те да спреш видеото
и да използваш метод, който е 
подобен или много
близък до този, който използвахме
в предните два урока, 
за да намериш производната.
Нека да изберем у да е равно на 
обратната функция на тангенс от х.
у е равно на тангенс на степен минус 1
 от х (обратната функция на тангенс).
Това е същото като да заявим,

English: 
We already know that the derivative with
respect to x of
tangent of x is equal to the secant of x
squared, which is
of course the same thing of one over
cosine of x squared.
Now what we wanna do in this video, like
we've done in the last
few videos, is figure out what the
derivative of the inverse function of the
tangent of x is, or in particular, let's
see if we can figure out
what the derivative with respect to x of
the inverse tangent of x is.
And I encourage you to pause this video
and
use a technique similar to the one, or
very
close to the one that we've used in the
last two videos, to figure out what this
is.
Well let's set y equal to the inverse
tangent
of x, y is equal to inverse tangent of x.
That is the same thing as saying that the
tangent

Portuguese: 
Já sabemos que a derivada em função de x
da tangente de x é igual à secante de x ao
quadrado, que é naturalmente
a mesma coisa que um sobre cosseno
de x ao quadrado.
O que queremos agora neste vídeo, assim
como fizemos nos últimos vídeos,
é descobrir qual a derivada da função
inversa da tangente de x,
ou particularmente, vamos ver se 
conseguimos descobrir
qual é a derivada em função de x do
inverso da tangente de x.
Encorajo você a pausar este vídeo
e usar uma técnica similar, ou muito
próxima da que utilizamos nos últimos
dois vídeos, para calcular isto.
Bem, vamos dizer que y é igual
ao inverso da tangente de x,
y igual ao inverso da tangente de x.
Isso é o mesmo que dizer que a tangente

Thai: 
เรารู้แล้วว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ
แทนเจนต์ของ x เท่ากับเซคแคนต์ของ x
กำลังสอง ซึ่งก็คือ
1 ส่วนโคไซน์ของ x กำลังสอง
ทีนี้ สิ่งที่เราอยากทำในวิดีโอนี้
เหมือนที่เราทำในวิดีโอ
ก่อนๆ คือหาว่าอนุพันธ์ของ
อินเวอร์สฟังก์ชันของ
แทนเจนต์ของ x เป็นเท่าใด ลองดูว่าเราหา
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ
อินเวอร์สแทนเจนต์ของ x เป็นเท่าใด
และผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้แล้ว
ใช้เทคนิคคล้ายกับ หรือใกล้เคียง
กับที่เราใช้ใน
วิดีโอที่แล้วสองอัน เพื่อหาว่าค่านี้เป็นเท่าใด
ลองตั้ง y เท่ากับอินเวอร์สแทนเจนต์
ของ x, y เท่ากับอินเวอร์สแทนเจนต์ของ x
นั่นเหมือนกับบอกว่า แทนเจนต์

Czech: 
Už víme, že se derivace podle x
z funkce tangens v bodě x
rovná sekans na
druhou v bodě x,
což je samozřejmě to stejné jako
1 lomeno kosinus na druhou v bodě x.
V tomto videu, podobně jako
v posledních několika videích,
spočítáme derivaci inverzní funkce
k funkci tangens v bodě x,
neboli spočítáme, kolik je derivace podle
x z funkce inverzní tangens v bodě x.
Doporučuji vám zastavit si video
a vyzkoušet způsob velmi podobný tomu,
který jsme používali v minulých
dvou videích, abyste tohle spočítali.
Položme y jako
inverzní tangens v bodě x.
y se rovná inverzní
tangens v bodě x.

Korean: 
tan x를 x에 대해서
미분하면 sec²x 또는 1/cos²x가
된다는 것은 일반적인 사실입니다
이번 영상에서 할 것은 지난
몇 영상에서 했듯이
tan의 역함수의
도함수를 구하는 것입니다
저는
지난 두 영상에서
사용했던 방법을 이용해서
먼저 시도를 해보라고
권하고 싶습니다
y를 tan의 역함수 x 라고 합시다
y를 tan의 역함수 x 라고 합시다
이것은 tan y＝x 라고 하는 것과
같은 말입니다

Portuguese: 
de y é igual a x.
Você pode pensar no que eu fiz como
se eu tivesse pegado a 
tangente de cada lado aqui,
e agora podemos derivar ambos lados
em relação, derivar ambos
lados em relação à x.
No lado esquerdo, podemos aplicar
a regra da cadeia.
A derivada da tangente de y em relação a
y, será secante ao quadrado de y,
que é o mesmo que um sobre cosseno
de y ao quadrado.
Gosto de escrever dessa forma.
Isto deixa um pouco mais simples,
pelo menos na minha cabeça, mas quando
estamos aplicando a regra da cadeia
teremos a derivada da tangente de y em
relação a y vezes a derivada de y em
relação a x -- vezes a derivada de
y em relação a x --
E no lado direito, a derivada 
de x em relação a x,
bem, isto será igual a um.

Thai: 
ของ y, แทนเจนต์ของ y เท่ากับ x
ที่ผมทำ คุณคิดได้ว่า
ผมแค่หาแทนเจนต์ของทั้งสองข้าง
ตรงนี้ แล้วตอนนี้เราหาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง
เทียบกับ อนุพันธ์ของทั้งสองข้างเทียบกับ x ได้
แล้วทางซ้ายมือ เราแค่ใช้กฎลูกโซ่
อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ y เทียบกับ y
จะเท่ากับเซคแคนต์
กำลังสองของ y ซึ่งก็เหมือนกับ 1 ส่วน
โคไซน์ของ y กำลังสอง
ผมชอบเขียนมันแบบนี้
มันจะ มันจะง่ายกว่า
อย่างน้อยในหัวผม แต่เมื่อเราใช้
กฎลูกโซ่ มันจะเท่ากับอนุพันธ์ของแทนเจนต์
ของ y เทียบกับ y คูณอนุพันธ์ของ
y เทียบกับ x คูณอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
แล้วทางขวา
มือนั้น อนุพันธ์ของ x เทียบกับ
x มันจะเท่ากับ 1

English: 
of y, the tangent of y is equal to x.
All I've done, now you can kind of think
of it
as I've just taken the tangent of both
sides right over
here, and now we can take the derivative
of both sides
with respect, the derivative of both sides
with respect to x.
And on the left hand side, we can just
apply the chain rule.
Derivative of tangent of y with respect to
y, is going to be secant
squared of y, which is the same thing as
one over cosine of y squared.
I like to write it this way.
It's it'll, keeps it a little bit simpler
at
least in, in my brain, but when we're
applying
the [INAUDIBLE], it's gonna be the
derivative of tangent
of y with respect to y times the
derivative of
y with respect to x, times the derivative
of y with respect to x, and on the right
hand side, the derivative of x with
respect to
x, well that's just going to be equal to
one.

Bulgarian: 
че тангенс от у е равно на х.
За това, което направих, 
може да мислиш като
за намиране на производната на 
двете страни на уравнението
ето тук. Сега може да намерим 
производните на двете страни
спрямо...Производните на двете
страни спрямо х.
В лявата страна може просто 
да приложим верижното правило.
Производната на тангенс от у спрямо у
 ще бъде равно на секанс
на квадрат от у, което е същото нещо
 като 1 върху косинус на квадрат от у.
Предпочитам да го записвам 
по този начин.
Мисля, че така изглежда поне 
малко по-просто
в съзнанието ми. Когато обаче прилагаме
верижното правило, то ще получим 
производната на тангенс
от у спрямо у, умножено по производната
на у спрямо х...По производната на у 
спрямо х,
а от дясната страна, производната 
на х спрямо х,
което просто ще бъде равно на 1.

Czech: 
To je totéž jako říct,
že tan(y) se rovná x.
Můžete si to představit tak, že jsem
na obě strany použil funkci tangens.
Nyní můžeme obě strany
zderivovat podle x.
Na levé straně použijeme
pravidlo pro derivaci složené funkce.
Derivace tan(y) podle y je
sekans na druhou v bodě y,
což je totéž jako 1 lomeno
kosinus na druhou v bodě y.
Raději to
píši takto.
Alespoň pro můj mozek je to
o něco jednodušší.
Když použijeme vzorec pro derivaci složené
funkce, tak to je derivace tan(y) podle y
krát derivace y
podle x.
Na pravé straně je
derivace x podle x, což se rovná 1.

Korean: 
이것은 tan y＝x 라고 하는 것과
같은 말입니다
제가 지금까지 한 것은 그냥 양변에
tan 를 취해준 것입니다
이제 양변을
x에 대한 도함수로 바꿔봅시다
좌변에서는 합성함수의
미분법을 사용해야 합니다
tan y를 y에 대해서 미분하면
sec² y 즉 1/cos² y 가 됩니다
저는 이 방법을 더 선호합니다
저한테는 이 방법이
조금 더 간단하게 느껴집니다
합성함수의 미분을 사용하면
tan y를 y 에 대해 미분한 것과
y를 x에 대해 미분한 것을
곱해야 합니다
우변에서 x를 x에 대해 미분하면
1이 됩니다

Thai: 
แล้วเราได้ ถ้าเราแก้หาอนุพันธ์ y
เทียบกับ x เราแค่คูณทั้งสองข้าง
ด้วยโคไซน์ของ y กำลังสอง
แล้วเราได้อนุพันธ์ของ y เทียบ
กับ x เท่ากับโคไซน์ของ y กำลังสอง
และอย่างที่เราเห็นในวิดีโอก่อน
อันนี้ไม่น่าพอใจนักเพราะ คุณก็รู้
ผมเขียนอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เป็น
เป็นฟังก์ชันของ y
แต่สิ่งที่เราสนใจจริงๆ คือเขียนมัน
เป็นฟังก์ชันของ x
และเวลาทำ เราจะเขียนพจน์นี้ในรูป
ของแทนเจนต์ของ y
และสาเหตุที่แทนเจนต์ของ y นั้นน่าสนใจ
เพราะเรารู้แล้วว่าแทนเจนต์ของ y เท่ากับ x
เราเขียนอันนี้ใหม่โดยใช้
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติได้
แล้วเราก็ ถ้าใช้แทนเจนต์ของ y เราสามารถ
แทนแทนเจนต์ของ y ทุกตัวด้วย x ได้
ลองดูว่าเราทำได้ไหม
และอันนี้ต้องใช้กลเม็ดนิดหน่อย
เขาให้แทนเจนต์ของ y เราจะได้ไซน์หารด้วย
โคไซน์ นั่นคือแทนเจนต์ นี่คือ
โคไซน์กำลังสอง y

Portuguese: 
E então obtemos, se quisermos resolver
para a derivada de y em relação a x,
multiplicamos ambos os lados por cosseno
de y ao quadrado.
Concluímos que a derivada
de y em relação a x
é igual ao cosseno de y ao quadrado.
E como vimos em vídeos anteriores,
isto não é muito satisfatório, pois
eu escrevi a derivada de y em relação a x
como uma função de y.
Mas o que realmente estamos interessados é
em escrever isto como uma função de x,
e para isto, precisamos expressar de
alguma forma em termos de tangente de y.
O motivo pelo qual a tangente
de y é interessante
é porque já sabemos que a
tangente de y é igual a x.
Então podemos reescrever isso usando
um pouco de indentidade trigonométrica.
Com tangente de y, podemos
substituir todas as tangentes de y por x.
Vamos ver se podemos fazer isso.
Parece um pouco complicado.
Ao introduzir tangente de y, teríamos
um seno dividido por cosseno,
que corresponde a uma tangente, e isso é 
simplesmente cosseno ao quadrado de y.

Bulgarian: 
Ако искаме да решим уравнението 
за производната на у
спрямо х, то просто умножаваме двете страни 
на уравнението по косинус на квадрат от у.
И получаваме, че производната 
на у спрямо х
е равна на косинус на квадрат от у.
И както видяхме в предните уроци,
това не е задоволителен резултат. Знаеш,
че записах производната 
на у спрямо х като функция на у.
Но всъщност искаме
 да я запишем като функция на х.
И за да направим това, ще изразим косинус  на квадрат от у чрез тангенс от у.
Причината, поради която тангенс от у 
представлява интерес,
е защото вече знаем, че 
тангенс от у е равно на х.
Можем да запишем уравнението, като 
използваме тригонометричните тъждества.
Тогава с тангенс от у... можем
да заместим тангенс от у навсякъде, 
където се среща, с х.
Нека да видим дали можем
 да го направим.
Изглежда малко подвеждащо.
Предоставят ни тангенс от у, но 
бихме предпочели да имаме синус
върху косинус. Това е, на което е равен тангенсът. 
А тук имаме просто косинус на квадрат от у.

Korean: 
y의 x에 대한 도함수를 구하기 위해서는
양변에 cos² y 를 곱하면
될 것 같습니다
그러면 y를 x에 대해 미분했을 때
cos² y 가 나온다는 것을
알 수 있습니다
앞선 영상에서와 마찬가지로
별로 만족스럽지 않습니다
x에 대한 y의 도함수를 나타낼 때
식이 y로 나타났습니다
우리는 그 식이 x로
표현하고자 하는데
그러기 위해선 이것을
 tan y로 나타내야합니다
그리고 tan y＝x 라는 사실을
이용하면 됩니다
그리고 tan y＝x 라는 사실을
이용하면 됩니다
삼각함수의 성질을 이용해야 합니다
그렇게 하면
tan y 대신
x를 쓸 수 있습니다
한 번 해보겠습니다
조금 어려워보입니다
tan y가 주어져서 사실
sin/cos 꼴이 있으면
좋겠지만 여기는 그냥
cos² y 가 있습니다

English: 
And so we get, if we wanna solve for the
derivative y with
respect to x, we just multiply both sides
times the cosine of y squared.
And we get the derivative of y with
respect
to x is equal to cosine of y squared.
And like we've seen in previous videos,
this isn't that satisfying because, you
know, I've
written the derivative of y with respect
to x as a, as a function of y.
But what we're really interested in is
writing it as a function of x,
and to do that, we'd express this somehow
in terms of the tangent of y.
And the reason why the tangent of y is
interesting is
because we already know that tangent of y
is equal to x.
So we can rewrite this using a little bit
of trigonometric identities.
Then we can, with tangent of y, we can
substitute all the tangent of y's with an
x.
So let's see if we can do that.
And this seems a little bit tricky.
They introduce a tangent of y, we'd wanna
have a sine, divided by a
cosine, that's what tangent is, and this
is just a straight up cosine squared y.

Czech: 
Nyní chceme osamostatnit
derivaci y podle x,
takže obě strany vynásobíme
kosinem na druhou v bodě y.
Vyjde nám, že derivace y podle x
se rovná kosinus na druhou v bodě y.
Už v předchozích videích jsme viděli,
že tohle nám ještě nestačí,
protože derivaci y podle x
máme vyjádřenou jako funkci y.
My ji ale chceme
napsat jako funkci x.
Abychom toho dosáhli, musíme
tohle vyjádřit pomocí tan(y).
tan(y) se nám
bude hodit proto,
protože už víme,
že tan(y) se rovná x,
takže když tohle pomocí goniometrických
vzorečků nějak přepíšeme na výraz,
který obsahuje tan(y), můžeme
všude místo tan(y) napsat x.
Tak to pojďme zkusit.
Vypadá to obtížně.
Abychom dostali tan(y), tak bychom tu
rádi měli sinus dělený kosinem,
taková je definice
funkce tangens.
Tady je ale jen kosinus
na druhou v bodě y.

Czech: 
Tohle bude trošku složitější než naše dva
předchozí příklady, které jsme udělali.
Můžeme to třeba
vydělit 1.
Dělení 1 ničemu
neuškodí.
Můžeme říct, že toto se rovná
kosinus na druhou v bodě y...
Tohle dělám proto, abych to mohl
vyjádřit jako nějaký racionální výraz,
který by nakonec obsahoval
sinus dělený kosinem, tedy tangens.
Vydělme to
tedy 1.
Identita známá jako goniometrická
jednička nám však říká,
že 1 se rovná sinus na druhou v bodě y
plus kosinus na druhou v bodě y.
Tak to napišme.
Sem tedy můžeme napsat kosinus na druhou
v bodě y plus sinus na druhou v bodě y.
Ještě jednou, proč jsem to
mohl vydělit tímto výrazem?
Podle goniometrické
jedničky,
jež plyne z definice goniometrických
funkcí na jednotkové kružnici,
se tohle rovná 1, takže jsme nezměnili
hodnotu našeho výrazu.

English: 
So this is really gonna take a little bit
more experimentation than at
least some of the other, the, than the
last two examples we've done.
So one thing we could do is we could say
hey, let's just divide by one.
Dividing by one never hurt anyone.
So we could say this is the same thing,
this is the same thing as cosine squared
y.
And I'm really doing this to, to see if I
can in, start to express it as some type
of a
rational, a rational expression which
might involve, at some point,
a sine divided by cosine and it could have
a tangent.
So, let's divide by one.
But we know from the Pythagorean, the
Pythagorean identity that one
is equal to sine squared of y plus cosine
squared of y, and so let's
try that or we could write cosine squared
of y plus sine squared of y.
Once again, why was I able to divide by
this expression?
Well, this expression by the Pythagorean
identity, which
really comes out of the unit circle
definition of
trig functions, this is equal to one, so
I have not changed the value of this
expression.

Thai: 
และนี่เป็นการทดลองมากกว่า
อย่างน้อยก็มากกว่าตัวอย่าง
สองอันล่าสุดที่เราทำมา
สิ่งหนึ่งที่เราทำได้คือ เราบอกว่า เฮ้
ลองหารด้วย 1 กัน
หารด้วย 1 ไม่ผิดอะไร
เราบอกได้ว่าอันนี้เท่ากับ
อันนี้เท่ากับโคไซน์กำลังสอง y
และผมจะทำอย่างนี้ เพื่อดูว่าผม
เริ่มเขียนมันเป็น
พจน์ตรรกยะ พจน์ตรรกยะที่เกี่ยวข้องกับ
ไซน์หารด้วยโคไซน์ แล้วมันจะได้แทนเจนต์
ลองหารด้วย 1 กัน
แต่เรารู้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
เอกลักษณ์พีทาโกรัสว่า 1
เท่ากับไซน์กำลังสองของ y 
บวกโคไซน์กำลังสองของ y งั้น
ลองดู เราเขียนโคไซน์กำลังสองของ y
บวกไซน์กำลังสองของ y
ย้ำอีกครั้ง ทำไมผมถึงหารด้วยพจน์นี้ได้?
พจน์นี้ โดยเอกลักษณ์พีทาโกรัสแล้ว
ซึ่งมันมาจากนิยามวงกลมหน่วย
ของฟังก์ชันตรีโกณฯ พจน์นี้เท่ากับ 1
ผมยังไม่ได้เปลี่ยนค่าของพจน์นี้ไป

Portuguese: 
Então será necessário um pouco mais de
experimentação para este caso,
pelo menos mais que para os dois
últimos exemplos que fizemos.
Uma coisa que poderíamos fazer é
dividir tudo por um.
Dividir por um nunca faz mal a ninguém.
Podemos dizer que isso é a mesma coisa
que cosseno ao quadrado de y.
Estou fazendo isso para ver se
posso começar a expressar isso
de alguma forma
racional, uma expressão racional que
possa em algum ponto envolver
um seno dividido por cosseno e assim
poderia obter uma tangente.
Então vamos dividir por um.
Mas sabemos por Pitágoras, pela 
identidade de Pitágoras que um
é igual a seno ao quadrado de y mais
cosseno ao quadrado de y, e então
vamos tentar escrever como
cosseno ao quadrado de y 
mais seno ao quadrado de y.
Mais uma vez, por que posso
dividir por essa expressão?
Essa expressão de acordo com a 
identidade de Pitágoras,
que vem da definição de um
círculo unitário de
funções trigonométricas, isto é
igual a um,
logo não modifiquei o valor
desta expressão.

Korean: 
이것은 지난 두 영상에서 한 것보다
조금 더 난이도가 있습니다
일단 1로 나눠보겠습니다
1로 나누는 건 아무런
영향을 주지 않습니다
이것은
cos² y 를 1로 나눈 것과
같습니다
저는 이것을
혹시 sin 나누기 cos
꼴로 나타낼 수 있는지 보기 위해서
하는 것입니다
그러면 tan 로 나타낼 수 있을 것입니다
1로 나눠보겠습니다
삼각함수 제곱 공식에 의해서
1＝sin² y＋cos² y 입니다
1대신에 sin² y＋cos² y로
적겠습니다
이것은 삼각함수 제곱 공식을
이용한 것인데 사실 그 공식은
단위 원으로부터
유도할 수 있습니다
아무튼 이 식 자체에는
영향을 주지 않습니다

Bulgarian: 
Решението ще отнеме 
малко повече експериментиране,
отколкото имаше  в предните два урока.
Едно нещо, което може да направим, 
е да разделим на 1.
Разделянето на 1 не променя израза.
Следователно може да кажем, 
че това е същото уравнение.
Тоест същото нещо като косинус 
на квадрат от у...
Наистина ще го направя, 
за да проверя дали
мога да го изразя като някакъв вид
рационален израз, който 
в някакъв момент може да включва
синус, разделен на косинус, 
така че да съдържа тангенс.
Нека да разделим уравнението на 1.
От основното тригонометрично тъждество знаем, че
1 е равно на синус на квадрат от у 
плюс косинус на квадрат от у. Нека
да опитаме по този начин, или може да запишем 
косинус на квадрат от у плюс синус на квадрат от у.
Още веднъж, защо мога
да разделя на този израз?
Получихме този израз чрез 
основното тригонометрично тъждество,
което произлиза от единичната
окръжност и определението за
тригонометрични функции, 
и ето това е равно на 1.
Не съм променял стойността 
на този израз.

Czech: 
Teď už to bude zajímavější, protože když
tu chci mít sinus dělený kosinem,
tak čitatel i jmenovatel můžu
vydělit kosinem na druhou.
Pojďme to udělat.
Vynásobme to
1 lomeno kosinus...
Čitatel vydělme kosinem
na druhou v bodě y
a také jmenovatel vydělme
kosinem na druhou v bodě y,
neboli oboje vynásobíme výrazem
1 lomeno kosinus na druhou v bodě y.
Co nám vyjde?
V čitateli se nám tohle pokrátí
a zbyde nám pouze 1.
Ve jmenovateli se
toto krát tohle rovná 1
a pak tam máme sinus na druhou v bodě y
lomeno kosinus na druhou v bodě y,
což je to, čeho jsme se
celou dobu snažili dosáhnout.
Nyní tu máme sinus na druhou
dělený kosinem na druhou.
Tohle je
totéž jako...
Raději to
napíšu takto.

English: 
Now what makes this interesting is if I
wanted to introduce a sine divided by a
cosine,
I could just divide the numerator and the
denominator by cosine square, so lets do
that, lets
multiply one over cosine or else divide
the
numerator by cosine square of y and divide
the
denominator, by cosine square of y, or
multiply each
of them by one over cosine square of y.
What's that going to give us?
Well the numerator, these characters are
going to
cancel you're just going to have a one.
And the denominator this time this this,
that's going to be equal to one.
And then you're gonna have sine squared,
sine squared y over,
over cosine squared y, and this is, this
is the goal that I was
trying to achieve, I have a sine divided
by cosine squared.
So this right over here, this is the same
thing, actually let me
just write it this way, let me, let me
write it this way.

Bulgarian: 
Това, което прави този резултат
 интересен, е, че ако
исках да съдържа синус, 
разделен на косинус,
можех просто да разделя числителя
и знаменателя на косинус на квадрат, 
така че нека да го направим.
Нека да умножим по 1 върху косинус...
Или казано по друг начин,
да разделим числителя на косинус на 
квадрат от у, и да разделим
знаменателя на косинус на квадрат 
от у. Същото е като да умножим
всеки от тях по 1 върху косинус
 на квадрат от у.
Какво ще ни даде това?
В числителя ето тези членове ще
се съкратят, така че ще остане само 1.
А в знаменателя - това по ето това 
ще бъде равно на 1.
След това ще ти останат синус на квадрат, 
т.е. синус на квадрат у
върху косинус на квадрат от у. 
Това е точно целта, която
исках да постигна. Разполагам със синус на 
квадрат, разделен на косинус на квадрат.
Така че, това ето тук е същото 
нещо като...Всъщност нека
просто да го запиша по следния начин.

Thai: 
ทีนี้ สิ่งที่ทำให้มันน่าสนใจคือว่า ถ้าผม
อยากได้ไซน์หารด้วยโคไซน์
ผมก็แค่หารทั้งเศษและ
ส่วนด้วยโคไซน์กำลังสอง ลองทำดู ลอง
คูณ 1 ส่วนโคไซน์ หรือหาร
ตัวเศษด้วยโคไซน์กำลังสองของ y และหาร
ตัวส่วน ด้วยโคไซน์กำลังสองของ y 
หรือคูณแต่ละตัว
ด้วย 1 ส่วนโคไซน์กำลังสองของ y
มันจะให้อะไรเรา?
ตัวเศษ ตัวเหล่านี้จะ
หักล้างกัน คุณจะได้แค่ 1
และตัวส่วน อันนี้คูณอันนี้
มันจะเท่ากับ 1
แล้วคุณจะได้ไซน์กำลังสอง
ไซน์กำลังสอง y ส่วน
ส่วนโคไซน์กำลังสอง y และนี่คือ นี่คือเป้าหมายที่ผม
พยายามทำ ผมมีไซน์หารด้วยโคไซน์กำลังสอง
ค่านี่ตรงนี้ อันนี้เหมือนกับ ขอผม
เขียนแบบนี้นะ ขอผม ขอผมเขียนมันแบบนี้

Portuguese: 
Agora o que deixa isso interessante é
que se eu quisesse introduzir um seno 
dividido por cosseno,
eu poderia dividir o numerador e o
denominador por cosseno ao quadrado,
então vamos
multiplicar um sobre cosseno
ou ainda dividir
o numerador por cosseno ao quadrado de y
e dividir o
denominador por cosseno ao quadrado
de y, ou multiplicar cada um
por um sobre cosseno ao quadrado de y.
O que isso nos dará?
O numerador, esses caracteres, irão se
cancelar e você terá somente um.
E no denominador, isto vezes isto será
igual a um.
E então você terá seno ao
quadrado de y sobre,
cosseno ao quadrado de y, e isto
é o objetivo que eu estava
tentando alcançar, tenho um seno
dividido por um cosseno ao quadrado.
Então isso aqui é a mesma coisa,
na verdade deixe-me escrever
isso dessa forma.

Korean: 
신기하게도
제가 sin 나누기 cos 꼴을 원한다면
그냥 분자와 분모를
cos² y 로 나누면 됩니다
분자에 1/cos² y를 곱하거나
cos² y로 나눠주고 분모를
cos² y로 나누거나
1/cos² y 를 곱해주면 됩니다
그럼 어떻게 될까요?
분자는 위 방법대로 하면
1이 될 것입니다
분모에서는 이것은 1이 될 것이고
sin² y 는 위 방법대로 하면
sin² y/cos² y 가 될 것인데
이것은 제가 원하던 꼴입니다
좀 다르게 적겠습니다
좀 다르게 적겠습니다

Korean: 
이것은 sin y/cos y 를
전체 제곱한 것입니다
tan² y 와 같습니다
tan² y 와 같습니다
왜 이렇게 해야 할까요?
x＝tan² y 임을 이용하면
1/(1＋tan² y)는
1/(1＋tan² y)는
1/(1＋x²) 이 됩니다
이제 우리는 x에 대한 y의 도함수를
찾아냈습니다
그 도함수는
1/(1＋x²) 입니다
여기 위에 적을 수 있습니다
이것은 1/(1＋x²)가 됩니다

Czech: 
...tohle je totéž jako
sin(y) lomeno cos(y), to celé na druhou,
což je to samé co 1 lomeno
(1 plus tan(y) na druhou).
Tenhle výraz se
rovná tomuhle.
K čemu je
to užitečné?
Víme, že x se
rovná tan(y),
takže tohle se rovná
1 lomeno (1 plus...
tan(y) se rovná x.
...x na druhou),
což je poměrně vzrušující, protože jsme
právě spočítali derivaci y podle x.
Derivace tohoto podle x je tedy
1 lomeno (1 plus x na druhou).
Můžeme to napsat
sem nahoru.
Toto se rovná 1 lomeno
(1 plus x na druhou).

Portuguese: 
Isso é a mesma coisa que seno 
de y sobre cosseno de y.
Tudo ao quadrado, que é naturalmente
a mesma coisa que
um sobre um mais tangente 
de y ao quadrado.
Isto é igual a isso.
Por que isso é útil?
Sabemos que x é igual à tangente de y.
Então isso será igual a um sobre
um mais -- tangente de y é
igual a x -- x ao quadrado,
o que é bem emocionante.
Calculamos a derivada de y
em relação a x.
Então a derivada disso em relação a x
é um sobre um mais x ao quadrado.
Podemos escrever isso aqui em cima.
Isso será igual a um sobre
um mais x ao quadrado, e terminamos.

English: 
This is the same thing as sine of y over
cosine of y, cosine of y.
Whole thing squared, which is of course
the same thing
as one over one plus tangent of y, tangent
of y squared.
This is equal to this.
Now why is that useful?
Well we know that x is equal to tangent of
y.
So this is going to be equal to, this is
going to be equal
to one, one over, one plus tangent of y is
equal to x,
x squared, x squared, which is pretty
exciting.
We just figured out the derivative of y
with respect to x.
So the derivative of this thing with
respect
to x is one over one plus x squared.
So we could write that right up here.
So this is going to be equal to one over

Bulgarian: 
Това е същото нещо като 
синус от у върху косинус от у.
И цялото е на квадрат, което 
разбира се, е същото нещо
като 1 върху 1 плюс тангенс 
на квадрат от у.
Този израз е равен на този.
Защо това е полезно?
Е, знаем, че х е равно на тангенс от у.
Тогава това ще бъде равно на...
1 / 1 плюс тангенс на квадрат от у, 
което е равно на х^2.
Това е доста вълнуващо!
Току-що намерихме
 производната на у спрямо х.
Производната на този израз спрямо х
е равна на 1 върху (1+ х^2).
Следователно може да го запишем 
ето тук горе.
И така, това ще бъде равно на 1/(1+ х^2).

Thai: 
นี่ก็เหมือนกับไซน์ของ y ส่วนโคไซน์ของ y
โคไซน์ของ y
ทั้งหมดนี้กำลังสอง ซึ่งแน่นอนว่าเหมือนกับ
1 ส่วน 1 บวกแทนเจนต์ของ y
แทนเจนต์ของ y กำลังสอง
อันนี้เท่ากับอันนี้
ทีนี้ ทำไมมันถึงมีประโยชน์?
เรารู้ว่า x เท่ากับแทนเจนต์ของ y
อันนี้จึงเท่ากับ อันนี้จะเท่ากับ
1, 1 ส่วน, 1 ส่วนแทนเจนต์ของ y เท่ากับ x
x กำลังสอง, x กำลังสอง, มันน่าตื่นเต้นดี
เราเพิ่งหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x ไป
อนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ
x คือ 1 ส่วน 1 บวก x กำลังสอง
เราจึงเขียนมันบนนี้ได้
อันนี้จึงเท่ากับ 1 ส่วน

Czech: 
A máme hotovo.

English: 
one plus x squared, and we are done.

Bulgarian: 
И сме готови.

Portuguese: 
[Legengado por: Sérgio Fleury]

Korean: 
이것은 1/(1＋x²)가 됩니다

Thai: 
1 บวก x กำลังสอง แล้วเราก็เสร็จ
