
Bulgarian: 
В това видео искаме
да намерим каква е границата
 при х, клонящо към 0,
на 1 – cosx върху х.
Ще приемем, че знаем нещо
 предварително.
Ще приемем, че границата
при х, клонящо към 0, на sinx върху х
е равна на 1.
Ще докажа отново това
в това видео,
но имаме друго цяло видео,
отдадено на доказването 
на тази известна граница.
Правим го, използвайки 
теоремата за двамата полицаи.
Да видим дали ще можем
 да го направим.
Първо нещо, което ще направим,
е алгебрично да преобразуваме
 този израз.
Сега ще умножа
числителя и знаменателя
по 1 + cosx.
В знаменателя трябва да направя
същото нещо.
1 + cosx.
Не променям стойността
на израза.
Просто умножавам по 1.
Какво ни помага това?

English: 
- [Instructor] What we
wanna do in this video
is figure out what the
limit, as x approaches zero,
of one minus cosine of
x over x is equal to.
And we're going to assume we
know one thing ahead of time.
We're going to assume
we know that the limit,
as x approaches zero, of sine of x over x,
that this is equal to one.
Now, I'm not gonna reprove
this in this video,
but we have a whole other video
dedicated to proving this famous limit,
and we do it using the squeeze,
or the sandwich theorem.
So, let's see if we can work this out.
So the first thing we're going to do
is algebraically
manipulate this expression.
What I'm going to do is
I'm going to multiply
both the numerator and the denominator
by one plus cosine of x.
So, times...
The denominator I have
to do the same thing,
one plus cosine of x.
I'm not changing the
value of the expression,
this is just multiplying it by one.
What does that do for us?

Czech: 
V tomto videu
si spočítáme,
čemu je rovna limita pro x blížící se
k 0 z (1 minus cos(x)) lomeno x.
A budeme předpokládat,
že jednu věc už víme.
Předpokládejme,
že víme,
že limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno x je rovna 1.
Já to tady nebudu
opět dokazovat,
protože máme jedno celé video
věnované důkazu této známé limity.
Důkaz se provádí pomocí
věty o dvou policajtech.
Tak se na
to podívejme.
Nejprve si algebraicky
upravíme výraz v limitě.
Udělám to tak, že čitatele i jmenovatele
vynásobím výrazem (1 plus cos(x)).
Ve jmenovateli
musím udělat totéž.
1 plus cos(x).
Tím nijak nezměním
hodnotu výrazu.
Pouze jsem vlastně
násobil jedničkou.
Ale jak nám
to pomůže?

Korean: 
이번 영상에서는
x가 0에 한없이 가까워질 때
1-cos(x) / x의 극한값이
무엇인지 구해볼 겁니다
여기서 한 가지 사실을 이미
알고있다고 가정할 겁니다
우리는 x가 0에
한없이 가까워질 때
sin(x) / x의 극한값이
1이라는 사실을 안다고
가정할 겁니다
이 사실을 이 영상에서는
증명하지 않을 거지만
이 유명한 극한값을
증명하는 데
할애된 영상이 따로 하나 있습니다
샌드위치 정리를 이용해
증명하는 영상입니다
자, 이제 이 문제를 풀어 봅시다
첫 번째로 할 일은
이 식을 대수적으로
조작하는 것입니다
먼저 분모와 분자를 모두
1 + cos(x)에
곱해볼 것입니다
분모에도
같은 것을 반복합니다
1 + cos(x)를 곱해줍니다
이 식의 값을
바꾸지는 않았습니다
1에 곱하는 것과
다를 바 없으니까요
이제 어떻게 될까요?

Bulgarian: 
Мога да запиша цялото
 нещо като
стойността при х, клонящо към 0...
(1 – cosx) по (1 + cosx),
това ще бъде...
Ще го направя с друг цвят.
Това ще е 1 на квадрат,
 което е просто 1,
минус cos квадрат х.
Имаме разлика на квадрати.
После в знаменателя 
ще имаме това,
което е просто х по 1 +  cosx.
На колко е равно 1 – cos квадрат х?
Това идва от
основното тригонометрично 
тъждество (питагоровата теорема).
Това е същото нещо като
sin квадрат х.
sin квадрат х.
Мога да запиша всичко това
 като равно на
границата при х, клонящо към 0...
Нека запиша това като...

Korean: 
이 식을 이제
x가 0에
한없이 가까워질 때
(1 - cos(x)) (1+ cos(x))이니까
다른 색깔로 한 번 적어볼게요
이것은 1²
혹은 1 - cos²(x)이 됩니다
이것은 1²
혹은 1 - cos²(x)이 됩니다
인수분해 공식에 따른 것이죠
분모는 다음과 같이 됩니다
x (1 + cos(x))이죠
이제 1 - cos²(x)이 무엇일까요?
이 식의 값은 피타고라스 정리를
이용해 구할 수 있습니다
따라서 sin²(x)과
같은 값을 가집니다
sin²(x)으로 고쳐 씁시다
이제 이 식을 새로 써 봅시다
x가 0에 한없이 가까워집니다

Czech: 
Celé to nyní mohu přepsat jako
limita pro x blížící se k 0...
Tedy (1 minus cos(x)) krát
(1 plus cos(x)) je rovno...
To je rovno 1 na druhou,
což je opět 1,
minus cos(x)
na druhou.
Je to rozdíl
druhých mocnin.
A ve jmenovateli
budeme mít tohle,
což je jen x
krát (1 plus cos(x)).
Čemu se rovná 1 minus
cos(x) umocněný na druhou?
Toto můžeme upravit
díky goniometrické jedničce.
Rovná se to
sin(x) na druhou.
Celý tento výraz tak mohu přepsat
jako limita pro x blížící se k 0...
A tohle si nyní přepišme.

English: 
Well I can rewrite the whole thing as
the limit, as x approaches zero,
so one minus cosine of x
times one plus cosine of x,
well that is just going to be...
Put this in another color.
That is going to be one
squared, which is just one,
minus cosine squared of x.
Cosine squared of x,
difference of squares.
And then in the denominator,
I am going to have
these, which is just x
times 1 plus cosine of x.
Now what is one minus cosine squared of x?
Well, this comes straight out of the
Pythagorean identity, trig identity.
This is the same thing
as the sine squared of x.
So, sine squared of x.
And so, I can rewrite all
of this as being equal to
the limit, as x approaches zero,
and let me rewrite this as...

Bulgarian: 
Вместо sin квадрат х,
това е същото като 
sinx по sinx.
Нека го запиша по този начин.
sinx по sinx.
Ще взема първия sinx,
ще взема този тук
и ще го поставя върху този х.
sinx върху х
по втория sinx, този,
върху 1 + cosx
по sinx върху 1 + cosx.
Просто използвах основното 
тригонометрично тъждество
и направих малко
алгебрични преобразувания.
Тук границата на произведението
на тези два израза ще бъде
същото нещо
като произведението на
границите.
Мога да запиша това
като равно на
границата при х, клонящо към 0,
на sinx върху х

Czech: 
Namísto sin(x) na druhou
napišme sin(x) krát sin(x).
A já nyní vezmu první
sin(x), vezmu tenhle sin(x)
a vydělím
ho tímto x,
tedy sin(x) lomeno x krát (druhý
sin(x) lomeno 1 plus cos(x)).
Krát sin(x) lomeno
1 plus cos(x).
Použil jsem jen goniometrickou
jedničku a algebraické úpravy.
Limita součinu těchto dvou výrazů
bude rovna součinu limit.
Tohle si tedy
můžu přepsat jako:
limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno x krát

English: 
Instead of sine squared of x,
that's the same thing as
sine of x times sine of x.
Let me write it that way.
Sine x times sine x.
So, I'll take the first sine of x,
so I'll take this one right over here,
and put it over this x.
So, sine of x over x
times the second sine of x, this one,
over one plus cosine of x
times sine of x over one plus cosine of x.
All I've done is I've leveraged
a trigonometric identity,
and I've done a little bit
of algebraic manipulation.
Well here, the limit of the product
of these two expressions, is
going to be the same thing
as the product of the limits.
So I can rewrite this as being equal to
the limit, as x approaches
zero, of sine of x over x
times the limit, as x approaches zero,

Korean: 
sin²(x) 대신에
sin(x) sin(x)로 써 봅시다
첫 번째 sin(x)를 가져와
분모의 여기 이 x와
같이 묶어 봅시다
따라서 sin(x) / x가 됩니다
이제 두 번째 sin(x)를 가져와
1 + cos(x)와 묶어 봅시다
묶은 두 식은 이렇게 서로 곱해지겠죠
여기서 제가 한 일은
삼각함수 정리 하나를 사용하고
대수적으로 식을 조금 조작한
것이 전부입니다
이 두 식의 곱의 극한값은
각 식의 극한값을 곱한 것과
동일할 것입니다
따라서 이것을 이렇게 다시
적어볼 수 있습니다
x가 0에 가까워질 때
sin(x) / x의 극한값에

Bulgarian: 
по границата при х, 
клонящо към 0,
на sinx върху 1 + cosx.
Казахме, че в това видео
ще приемем, че знаем
 колко е това.
Доказвали сме го в
други видеа.
Каква е границата при х, 
клонящо към 0,
на sinx върху х?
Тя е равна на 1.
Цялата тази граница 
ще зависи
от това.
Това е доста лесно.
Когато х клони към 0, 
числителят ще клони към 0,
т.е. sin от 0 е 0.
Знаменателят клони...
cos от 0 е 1.
Следователно знаменателят
клони към 2.
Това клони към 0 върху 2,
което е просто 0.
Това клони към 0.
1 върху 0, което ще бъде
равно просто на 0.
И сме готови.
Използвайки този факт и малко
тригонометрични свойства,
и малко алгебрични преобразувания,
успяхме да покажем, че 
първоначалната ни граница,
границата при х, клонящо на 0,
на 1 – cosx върху х е равна на 0.

English: 
of sine of x over one plus cosine of x.
Now, we said, going into this video,
that we're going to assume
that we know what this is.
We've proven it in other videos.
What is the limit, as x approaches zero,
of sine of x over x?
Well, that is equal to one.
So, this whole limit is
just going to be dependent
on whatever this is equal to.
Well, this is pretty
straight forward, here.
As x approaches zero, the
numerator's approaching zero,
sine of zero is zero.
The denominator is approaching...
Cosine of zero is one,
so the denominator is approaching two.
So this is approaching zero
over two, or just zero.
That's approaching zero.
One times zero, well this is
just going to be equal to zero.
And we're done.
Using that fact, and a little
bit of trig identities,
and a little bit of
algebraic manipulation,
we were able to show
that our original limit,
the limit, as x approaches zero,
of one minus cosine of x
over x is equal to zero.

Czech: 
limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno 1 plus cos(x).
Na začátku videa
jsme se dohodli,
že můžeme předpokládat,
že tuto limitu známe.
V jiném videu už
jsme si dokázali,
čemu se rovná limita pro x blížící
se k 0 ze sin(x) lomeno x.
Tato limita se rovná 1.
Takže původní limita je
závislá pouze na tom,
čemu se rovná
tato limita.
A ta je poměrně
jednoduchá.
Když se x blíží k 0, čitatel jde k 0,
protože sin(0) je 0 a jmenovatel se blíží…
Cos(0) je 1, takže
jmenovatel se blíží ke 2.
Tohle se tedy blíží
k 0 lomeno 2 neboli k 0.
Tohle je rovno 0.
1 krát 0 se
jednoduše rovná 0.
A máme hotovo.
Díky tomuto faktu, goniometrickým vzorcům
a algebraickým úpravám jsme ukázali,
že původní limita pro x blížící se k 0
z (1 minus cos(x)) lomeno x je rovna 0.

Korean: 
x가 0에 가까워질 때
sin(x) / 1 +cos(x)의 극한값을
곱한 값입니다
영상 초반에 이야기했듯이
이 극한값을 알고 있다고
가정하기로 했습니다
다른 영상에서 이미
증명한 내용이니까요
x가 0에 가까워질 때
sin(x) / x의
극한값은 무엇일까요?
답은 1입니다
따라서 이 식 전체의 극한값은
여기 이 부분이 어떤
값일지에 결정되겠죠
이제 여기부터는 쉽습니다
x가 0에 가까워질 때
분자는 0에 가까워집니다
sin(0)은 0이니까요
분자는 어디에 가까워지나요?
cos(0)은 1이므로
분모는 2에 가까워지네요
따라서 이 극한값은
0 / 2, 즉 0입니다
이 식의 극한값은 0이네요
1 x 0은 0입니다
끝났습니다
sin(x) / x의 극한값과
약간의 대수적 조작을 통해
우리는 처음의 극한값
x가 0에 가까워질 때
1 - cos(x) / x의 극한값이
0이라는 것을 구했습니다

English: 
And I encourage you to graph it.
You will see that that makes sense
from a graphical point of view, as well.

Korean: 
그래프를 그려보시길 추천할게요
그러면 이 내용이
그래프적 관점에서도
맞아떨어진다는 것을
볼 수 있을 겁니다

Czech: 
Doporučuji vám
udělat si graf.
Uvidíte, že graficky vám to
také bude dávat smysl.

Bulgarian: 
Насърчавам те да го 
начертаеш.
Ще видиш, че е логично
от графична гледна точка също.
