
Turkish: 
Bugün devam edeceğiz
özyineleme hikayesi biraz daha fazla. Çoğu
sen, umarım ilk çabamı gördün
özyineleme olan bu yönde
video. Yığın kare çerçeveli - nasıl
özyineleme aslında yapılır - ve
'faktoring' tarafından geri gönderilen cevap
tamsayı bir cevap olmak. Yani ne düşündüm
bugün yapardık başka bir yere gitmek
Brady [Haran] 'a çok sevilen bir örnek.
Buna Fibonacci dizisi denir. O bir
İtalyan beyefendi - bu onun gerçek değil
ona verilen takma addı -
Matematiksel notalamaya devam edeceğim
Burada n + 1 Fibonacci sayısı
n Fibonacci sayısı artı n - 1.
Fibonacci numarası. İle birlikte
faktoring sadece kendini takip etti
özyinelemeli yuvarlak bir iplikçik bir özyineleme

English: 
Today we're going to carry on the
recursion story a little more. Many of
you, I hope, have seen my initial effort
in this direction which is the Recursion
video. It's featured stack frames - how
recursion is actually done - and the
answer delivered back by 'factorial' will
be an integer answer. So, I thought what
we'd do today is move on to another
example much beloved of Brady [Haran]. 
It's called the Fibonacci sequence. He was an
Italian gentleman - that's not his real
name that was the nickname he was given -
I'll try and stick to mathematical notation
here the n+1 Fibonacci number is defined to be the
nth Fibonacci number plus the n - 1th
Fibonacci number. Whereas with
factorial it just followed itself
recursively round one strand a recursion

English: 
here you're adding in a second strand of
recursion.  So this is sometimes called
Multiply Recursive, whereas 'factorial'
will be called Singly Recursive. But like
all recursive definitions of functions
you do need an escape route at the
bottom. If you keep on calling yourself
you could go on to infinity. But as you
can see here, everything's fine
so long as you write down what the first
Fibonacci number is and the second one.
The second Fibonacci number and the
first Fibonacci number are both defined
to be 1, We can now write down the
Fibonacci sequence because it starts off
with a 1 for the first number, a 1 for
the second number. So if I want F(3)
then I'm got to make n be 2 there.  2 + 1
is 3. So Fibonacci of 3 [F(3)]is the same as
Fibonacci of 2 [F(2)] plus Fibonacci of 1 [F(1),] 

Turkish: 
burada ikinci bir iplikçik ekliyorsunuz
özyineleme. Yani bu bazen denir
Çoğaltıcı özyinelemeli iken, 'faktörlü'
Singly Recursive olarak adlandırılacak. Ama gibi
fonksiyonların tüm özyinelemeli tanımları
bir kaçış yoluna ihtiyacınız var
alt. Kendini aramaya devam edersen
Sonsuza kadar gidebilirsin. Ama senin gibi
burada görebilirsiniz, her şey yolunda
ilk ne yazdığın sürece
Fibonacci sayısı ve ikincisi.
İkinci Fibonacci sayısı ve
İlk Fibonacci sayısı hem tanımlanmıştır
1 olmak, şimdi yazabiliriz
Fibonacci dizisi başladığı için
ilk numara için 1, için 1
ikinci sayı. Öyleyse eğer F (3)
o zaman orada 2 olmak zorundayım. 2 + 1
3. Fibonacci 3 [F (3)] ile aynı
2 [F (2)] Fibonacci artı 1 [F (1),] Fibonacci

Turkish: 
Her ikisi de [1]. Yani, F (3) 'ün cevabı 2.
Her Fibonacci sayısı,
hemen ondan önce iki tane. Böylece
sonraki, o zaman, 2 + 1 [yani] 3 olacak.
Bundan sonraki 3 + 2
5, 8, 13, 21. Düşünebilirsiniz: "Pekala, çok
ilginç ama bu ne için geçerli?
Bu neden bu kadar büyüleyici olmalı? "
Her şeyden önce büyüleyici, çünkü
Computerphile / bu basit nedeni
Numberphile ailesi, bazılarınız
biliyorum ki harika 'Vaftiz babası' Brady
zaten yaptı ve önünde
oyun, Fibonacci hakkında bir video. O aslında
bir Fibonacci Tartan tasarladı ve yaptı!
[video ekle]
>> Brady: ... ve sıralar ve dişler
bunu oluşturmak için kullanılmış olan
tasarım Fibonacci dizisine dayanır.
>> DFB: Cennet, ona ulaşmanın ne kadara mal olduğunu biliyor
yapılmış! Ama işte orada. 
>> Sean: Bilgisayar olarak
bilim adamları neden Fibonacci'yi önemsiyoruz ?! 
>> DFB: Bunu ile yapmamın nedeni

English: 
Both [are] 1. So, the answer for F(3) is 2.
Every Fibonacci number is the sum of the
two that immediately precede it. So the
next one, then, is going to be 2 + 1 [i.e.] 3.
The one after that 3 + 2
5, 8, 13, 21. You might think: "Well, very
interesting but what does that apply to?
Why should that be so fascinating?"
Well, it's fascinating first of all, for
the simple reason that in the Computerphile /
Numberphile family, some of you will
know that the wonderful 'Godfather' Brady
has already made and got ahead of the
game, a video about Fibonacci. He actually
had a Fibonacci Tartan designed and had it made up!
[video insert]
>> Brady: ...  and the rows and the threads
that have been used to create this
design are based on the Fibonacci sequence.
>> DFB: Heaven knows how much it cost him to get
it made up! But there it is. 
>> Sean: As computer
scientists why do we care about Fibonacci?! 
>> DFB: The reason I'm doing this with

English: 
you is the following:
Like 'factorial',  'Fibonacci' is a recursive
function that can be de-recursed. You
could do it in 'for' loops - things that can
be de-recursed are called Primitive
Recursive, so Fibonacci is just another
one. It enables us also to draw pretty
pictures, which we'll do in a minute and
I rather like doing that. But having done
Fibonacci and factorial - but this will have to
be in a separate video - you then want to
say: "Well, not everything can have the
recursion taken out of it. Some things
really are recursive. I've actually
written a PostScript program that will
print out the Fibonacci numbers for you
up to the value of 'fib(10)' being 55. We'll
put out a link to this program and those
of you who've got Ghostview, or Ghostscript 
set up, try running it. You should
get this coming out all right.
I can only apologize it I've done it in
Helvetica. The thing you've got to be
prepared for in PostScript is you're at

Turkish: 
aşağıdaki gibidir:
'Faktoring' gibi, 'Fibonacci' özyinelemeli
özyinelemeli olan işlev. Sen
'döngüleri' içinde yapabilirdi
özyinleşmek İlkel olarak adlandırılır
Özyinelemeli, yani Fibonacci bir başka
bir. Ayrıca güzel çizmek için bize sağlar
Bir dakika içinde yapacağımız resimleri
Bunu yapmayı tercih ederim. Ama yapmış
Fibonacci ve faktoring - ancak bu
ayrı bir videoda olun - sonra
De ki: "Eh, her şey olamaz
özyinelemeden çıkarıldı. Bazı şeyler
gerçekten özyinelemeli. Ben aslında
bir PostScript programı yazacak
Fibonacci numaralarını sizin için bastırın
'fib (10)' değerinin 55 olması.
Bu programa ve
Ghostview veya Ghostscript'e sahip olanlardan 
Kur, çalıştırmayı dene. Malısın
Bunun yolunda gitmesini sağla.
Sadece bunu yaptığım için özür dileyebilirim
Helvetica. Olman gereken şey
PostScript'te hazırsınız

English: 
the mercy of the fonts you have
available in your interpreter. Don't
blame me if it comes out in boring
Courier. That tends to be the default
when it doesn't have access to the font
that's asked for.  
>> Sean: Comic Sans! 
>> DFB: It's more likeely to be Courier actually!
When you look inside the program for that and
I will do, very briefly, but absolutely
not in detail ... First of all, here is my
definition of Fibonacci '/fib'
is going to end 'def'. That's the
definition of the Fibonacci function. To
head off trouble at the pass I've even
put error messages in it. What I made it
do, to get those numbers to come out, is
go round a 'for' loop ten times and every
time it goes around it calls up 'fib' but
every time it goes into 'fib' it calls
itself recursively. It gets straight back
inside itself and, there we are, out it
comes. It does work absolutely fine but

Turkish: 
sahip olduğunuz fontların merhameti
tercümanınızda bulunur. Yapma
sıkıcı çıkarsa beni suçla
Kurye. Bu varsayılan olma eğilimindedir
yazı tipine erişemediğinde
bunun için istedi.  
>> Sean: Komik Sans!
>> DFB: Aslında Courier olmak daha kolay!
Bunun için programın içine baktığınızda ve
Çok kısaca ama kesinlikle yapacağım
detaylı değil ... Her şeyden önce, işte benim
Fibonacci '/ fib' nedir?
'def' bitecek. İşte
Fibonacci fonksiyonunun tanımı. için
başım belaya girdi bile
içine hata mesajları koyun. Ne yaptım
yapmak, bu sayıları ortaya çıkarmak için
on kez her döngü için bir 'yuvarlak' git
Etrafta dolaştığı zaman 'fib' diye çağırıyor ama
her zaman 'fib' içine gittiğinde çağırıyor
özyinelemeli kendisi. Düz geri alır
kendi içinde ve biz varız
geliyor. Kesinlikle iyi çalışıyor ama

English: 
if you're going to start doing recursive
stuff in PostScript then, by definition,
you've got to have something that
corresponds to stack frames, right? And we
now have C and Java and things to do it;
they do it automatically. What about in
PostScript? Well,  PostScript is wonderful it makes
you make your own stack frames but it
gives you a fabulously - what's the word -
versatile, way of doing it. Basically in
the second line here this thing '10 dict begin'
and what that means is: "Get me a
dictionary with ten spaces in it". And if
you think that that '10 dict' is [also] like
saying: "Give me a stack frame with 10
spaces in it because I'm going to use it
and put values in it - to manipulate them
all on my own". You'll remember when you
look back at the stack frame story in
the Recursion video. It's great C does
it for you.
But the penalty, if you like, is you've
got to accept the way it handles the

Turkish: 
özyinelemeli yapmaya başlayacaksan
PostScript'teki sayfalar sonra
bir şeye sahip olmalısın
yığın çerçevelerine karşılık gelir, değil mi? Ve biz
Şimdi C ve Java ve yapacak şeyler var;
otomatik olarak yaparlar. Ne hakkında
PostScript? Peki, PostScript harika yapar
kendi yığın çerçevelerini kendin yarat
size muhteşem bir şekilde verir - kelime nedir -
çok yönlü, bunu yapmanın yolu. Temelde
Buradaki ikinci satır bu şey '10 dict başlar'
ve bunun anlamı: "Bana bir
İçinde on boşluk bulunan sözlük.
Sizce '10 dict' [aynı zamanda]
diyerek: "Bana 10'luk bir yığın çerçeve ver
boşluklar çünkü kullanacağım
ve değerleri koymak - onları manipüle etmek
tek başıma ". Ne zaman hatırlarsın
yığın çerçeve hikayesine bakın
Özyineleme videosu. Bu harika C yapar
senin için.
Ama ceza, eğer istersen,
ele alma şeklini kabul etmeliyim

Turkish: 
yığın çerçevesi içine girmek istemediğin sürece
bazı en korkunç hack sen daha iyi olur
yığın çerçevelerinizi karıştırmayın. Sen
korkunç bir karmaşa içinde sonuçlanabilir. Buna karşılık
PostScript temelde olağan bir şey yapıyor.
Biliyorsun: "Sen ciddi bir programsın
tonlarca tecrübe. Eğer karışırsan
yakında kendini halledeceksin, izin vereceğim
yığın çerçevesini değiştirirsiniz
özyinelemeli olarak 'fib' olarak geçtiğimiz zaman
Temelde '10 dikt başlangıcına' isabet ediyor
diyor ki: "Bana başka bir yığın çerçeve yap". Demek istediğim
Fibonacci.W başka bir özyinelemeli örneği
başka ne yapabiliriz
Fibonacci, onu ilginç kılan
matematikçiler yanı sıra bilgisayar
Bilim adamları? Benim yaptığım şeylerden biri.
yıllar önce
Dijital Belgeler kursunda
takip etme. Fibonacci boyutunda koyarsanız
birlikte kutuları ve düzgün bir şekilde gruplandırmak
ve sonra onlara katılırsın
Bazı en şaşırtıcı şekiller. Bu
Fibonacci spiral ve buraya bakarsanız

English: 
stack frame. unless you want to get into
some most appalling hacking you'd better
not mess with your stack frames. You
could end up in an awful mess. Whereas 
PostScript is basically doing its usual thing.
Y'know:  "You're a serious program with
tons of experience. If you get messed up
you'll soon sort yourself out I'll let
you manipulate the stack frame every
time we go around recursively into 'fib' "
It basically hits '10 dict begin' which
says: "Make me another stack frame". I mean
another recursive instance of Fibonacci.W
what other things can we do with
Fibonacci that make it interesting for
mathematicians as well as computer
scientists? Well, one of the things that I
set many years ago,
in a Digital Documents course, was the
following. If you put Fibonacci-sized
boxes together and group them properly
and then you join them up you can draw
some most amazing shapes. This is the
Fibonacci spiral and if you look here

Turkish: 
ne yaptığımı görebilirsin. Bir zamanlar var
temel Fibonacci özyinelemeli işlevi
Ben üstüne inşa ettik çalışma ekstra
rutinleri. Ve bu da güzelliği
PostScript. Sadece yığını almak değil
özyinelemeyi aldın,
çerçeveler yığını ... ancak iki tane çizebilirsiniz
boyutlu resimler de! Peki ben ne
yapmam gereken etrafa dolanmaktı
'fib' ziyaret ettiği ve cevap aldığı zaman
like 1 [bunu yorumla]: "birim boyutunda bir kutu çiz". 
Ve sonra bir sonraki kutu, sadece solunda
ayrıca 1. tarafın Ve tabii ki
sırrı nereye takacağını bilmektir
sonraki kutu. Karesini iliştirdim
2. taraf, olduğu gibi güneye doğru doğrudan
1. yandaki iki kutudan sonra
3 kutu doğuya bağlı
yan. Ve sonra kuzeye gider ve sonra
batıya gidiyor. Ve etrafınızda dolaşırken
1, 1, 2, 3'ü aldığınızda
kutularını doğru şekilde istifledin

English: 
you can see what I'm doing. Once I've got
the basic Fibonacci recursive function
working I've built on top of it extra
routines. And this is the beauty of
PostScript. You not only get the stack,
you get the recursion, you get the
stack frames ... but you can draw two
dimensional pictures as well!  So, what I
got it to do was to go round and every
time it visited 'fib' and got an answer
like 1 [interpret this as]: "draw a box of unit size". 
And then the next box along, just to its left, is
also of side 1. And of course the
secret is knowing where to attach the
next box. I have attached the square of
side 2  direct to the south,as it were,
of the two boxes of side 1 and then
the 3 box gets attached to the east
side. And then it goes up north and then
it goes west. And as you go around you
get 1, 1, 2, 3 When you've
stacked your boxes correctly you go into

English: 
them and you draw an arc across each of
the boxes and I've chosen to do it, at
this time, in an anti-clockwise direction
And you end up with this beautiful
looking spiral - known as the Fibonacci
spiral. It's an approximation to a
well-known mathematical object called
the logarithmic spiral

Turkish: 
onlar ve her birine yay çizer
kutuları ve ben de yapmayı seçtim
bu sefer saat yönünün tersine
Ve sonunda bu güzel
görünümlü sarmal - Fibonacci olarak bilinen
spiral. Bu bir yaklaşık
iyi bilinen matematiksel nesne denir
logaritmik spiral
