
French: 
C'est le jour de π !
Le jour de π !
« Je vais m'éclater, le jour de π »
C'est donc la seconde année d'affilée où je vais essayer de calculer les décimales de π
sans utiliser de machine à calculer d'aucune sorte.
Et par là, je veux dire techniquement, et selon la tradition annuelle.
Cette fois, je vais utiliser une série infinie
Je vais additionner et soustraire un grand nombre de fractions
pour tenter d'obtenir de plus en plus de décimales de π.
Il y a la traditionnelle série infinie qui nous a été offerte par Leibniz
Si l'on part de toutes les fractions impaires, 
donc 1÷1, 1÷3, 1÷5, 1÷7 et ainsi de suite…
Et si maintenant on les soustrait et additionne à tour de rôle, et bien on se retrouve avec…
… π÷4 ! J'adore !
Une suite infinie de fractions impaires et on obtient π÷4 !
Ou alors, grâce à Euler, si l'on prend TOUTES les fractions
pour que les fractions paires nous rejoignent à leur tour,
Si on les élève toutes au carré…

English: 
It's... π day! π day.
Gotta get down on pi day. So for the second year in a row I'm going to try and calculate the digits of pi without using
any kind of calculation device.
In what is now I guess technically
an annual tradition. (Don't judge!)
This time I'm going to use
an infinite series. (Yay!)
I'm going to add and subtract
a lot of fractions to try and get more and more digits of π
There's the classic infinite series that Leibnids(?) gave us-

French: 
… et qu'on les additionne :
« π au carré sur six » ! Incroyable !
Toutes les fractions, élevées au carré, donnent π au carré sur six !
Je trouve formidable qu'il y ait des séries infinies qui donnent π sans qu'il y ait un cercle dans les parages.
Même si je suis bien conscient qu'il y a des mathématiciens aguerris qui doivent en être blasés
et se dire « évidemment que π apparaît. C'est probablement… je ne sais pas… une série de Taylor » ou
« Il y a quelque chose de trigonométrique qui se déroule en arrière-plan »
Et bien, si vous avez près de vous un cynique matheux comme ceux-ci, vous feriez bien de le retenir
car ce qui va suivre… est un peu plus effrayant !
Prenez… les nombres premiers !
Oui, les premiers ! Nous allons trouver π à partir des nombres premiers !
Prenez tous les nombres premiers, retirez le 2 (il ne compte pas vraiment, pour être entièrement honnête)
Changez-les en fractions
Si la fraction première vaut 1 de plus qu'un multiple de 4 (donc, ici, on aurait 17, 13 et 5)

French: 
Alors on en fait une fraction positive.
Si elle ne vaut PAS un de plus qu'un multiple de quatre, elle devient une fraction négative.
Si on les associe avec tout un tas de « 1 »
et que l'on multiplie tous les termes résultants en une sorte d'immense produit infini, on arrive à :
… « 2 ÷ π » ! J'aime le fait que même les nombres premiers, si vous en utilisez une infinité
peuvent nous donner les décimales de π.
Je vais travailler sur tout cela à la main. Je vais faire le premier en effectuant à tour de rôle
des soustractions et des additions de fractions impaires. Mais pour faire cela…
…il me faut un tableau noir !
Ici même, se trouvent nos fractions impaires. J'ai mis les dix premières, je les ai numérotées de 0 à 9
Et ce que je vais faire, c'est commencer ici avec la fraction impaire numéro 0 : « 1÷1 »
Je vais tâcher de savoir quelles sont ses décimales. Celle-ci devrait être assez rapide.

French: 
Puis, je vais faire 1÷3, 1÷5… et ainsi de suite en descendant jusqu'à 1÷19.
Une fois que je les aurai toutes, je vais simplement les additionner et soustraire de haut en bas,
J'obtiendrai un total, je multiplierai alors ce total par 4…
… et cela me donnera π !
Quelle difficulté cela représente-t-il ?
Commençons par le début : 1÷1. Assez direct, mais on va le faire pour être exhaustifs.
Cela donne 1 virgule zéro… zéro… zéro…
… zéro, zéro ! Bien ! Cela nous donne vingt décimales et ça, c'est une bonne précision pour 1÷1.
Avançons maintenant jusqu'à 1÷3. Là, je pourrais juste écrire « 0,3333… ». On sait que ce sera ça, mais…
D'une part, parce que les fractions vont se compliquer dans un instant
et d'autre part, parce que j'ai en fait envie de voir comment on calcule tout cela
Je vais faire « un tiers » en version longue.

French: 
Donc, ce qu'il faut en fait trouver ici, est « un tiers égale 1 divisé 3 ».
Nous allons donc faire la division appropriée. Je vais en fait faire de moi-même une division raccourcie.
Une façon paresseuse de faire une division longue, pour être honnête…
…pour savoir combien de fois on trouve « 3 » dans « 1 virgule zéro, zéro… »
…et autant de zéros qu'il va en falloir tout au long du calcul,
Donc : « 3 » ne rentre pas du tout dans « 1 »…
…MAIS il rentre bien dans « 10 ». Donc, si je retiens ce 1, « 3 » entre trois fois dans « 10 » et il reste « 1 », que je mets ici.
Très bien. « 3 » entre à présent dans… Oh ! nous avons « 10 » à nouveau.
Donc, il y rentre trois fois avec un reste de 1.
Oh ! Bon : « 3 » entre trois fois dans…
Et on voit ce qu'il se passe ici : à chaque fois, « 3 » va entrer trois fois dans « 10 », avec un reste de « 1 ».
La raison pour laquelle « un tiers » vaut « 0,3333… » et ainsi de suite, ainsi de suite, ainsi de suite…
est parce que nous utilisons des nombres en base 10. Il y a toujours un reste de 1 à retenir tout du long.

French: 
Donc, ce que je peux en fait mettre ici, c'est « 0,333… 33…
…3…3 » et j'ai mes vingt « 3 » dont je vais avoir besoin.
Très bien ! En 2 : « un cinquième », à présent.
Si en le fait en version longue pour être exhaustifs… pourquoi pas :
« 5 dans 1 virgule… »
Il y a encore tous ces zéros, juste au cas où…
5 ne rentre pas dans 1.
5… euh, zéro virgule… 5 rentre dans ceci deux fois,
avec… rien du tout ! Cinq va dans dix avec un reste de zéro.
Donc, ce sera… et bien, on peut retenir le « rien du tout » ! Retenir le zéro.
Ce qui fait… je veux dire : c'est tout ! Cela s'arrête.
Tout le reste, jusqu'ici, va être un zéro.
Et c'est pourquoi « un cinquième » vaut simplement 0,2 et cela s'arrête.
Cinq rentre exactement dans dix quand on utilise des nombres en base 10 et donc, boum ! C'est terminé.
Même si comme toujours, pour être exhaustifs, on va écrire tous ces zéros en bonus

French: 
dont on n'a en fait pas besoin.
Et on peut passer à « un septième ».
Celui-ci va devenir intéressant car 1÷7, ça ne s'arrête pas en un joli nombre
ni ne reproduit indéfiniment le même chiffre comme ce que l'on a vu avant.
Mais jouons le jeu, et voyons ce qu'il se passe.
7 ne rentre pas dans 1,
donc il y entre zéro fois et il reste 1.
7 entre bien dans 10. Il y entre une seule fois et nous avons un reste de 3.
Ici un reste de 2, je le mets par là,
un reste de 6,
un reste de 4,
un reste de 5,
un reste de seulement 1…
Un instant ! On est revenu au départ !
Car, à présent, j'ai 10 !
Et donc, une fois encore, ce 7 y entre une fois avec un reste de 3
ce qui bizarrement nous rappelle quelque chose :
C'est ce qui se passe par ici.
Et donc, maintenant, j'ai cette partie là
qui répète exactement ce qui se passe ici.
Et donc, je vais avoir 3, et une fois encore il y entrera quatre fois, je vais avoir ce même reste de 2

French: 
et cela continuera sans s'arrêter.
C'est pourquoi un septième, c'est juste cette partie-là. C'est 1 4 2 8 5 7, et qui se répète sans arrêt.
Très bien ! Donc, un septième, pas de problème du tout.
Voyons maintenant… un neuvième.
Ça va nous paraître très familier comparé à un tiers
Ce neuf ne rentre pas dans 1 : zéro virgule… Oh ! Il rentre dans 10 ! Il y entre une fois, avec un reste de 1.
Et il rentre ici une fois, avec un reste de 1.
C'est du gâteau !
1, 1, 1, 1…
…1 !
Ok ! Maintenant on va faire « un onzième ». Quelle difficulté 1÷11 peut-il avoir ?
Ok, ça ne rentre pas dans… 10 ! Oh, c'est ennuyeux. Parfait, pas de problème, je vais remettre zéro ici
et on va retenir le 10 entier sur le chiffre suivant, qui devient à présent un 100.
Oh, d'accord. Donc 99, ça fait 9×11. Donc, sans hésitation, ça y entre neuf fois avec un reste de 1.
Attendez… on y est !
Ça va se répéter avec deux chiffres car à présent, il y entre zéro fois

French: 
et donc on passe au chiffre suivant, où il rentre neuf fois !
…0, 9, 0, 9.
Très bien. Un treizième. Voyons quelles surprises sont encore en réserve.
Oui, sept « 13 » font 91
Neuf d'entre eux (bon sang, c'est pénible) : 117
Quatre zéros ici et on finit avec un 1
et… Eh ! On est revenu au départ !
…ça va être zéro.
Donc, en gros, c'est juste ce petit morceau qui se répète.
Même si on est un peu ennuyé car si on place la barre au-dessus d'eux, comme le zéro de départ en fait partie
alors, pour ce genre de motif, on n'a qu'à dire que c'est zéro-là qui se répète
et maintenant, on les reporte jusqu'au bout, donc ça va être…
Sept… six… oh, devrais-je arrondir ? Je pense que je devrais arrondir tout ça ! Bon, je vais arrondir.
Donc « 7 6 », qui nous donnerait « 8 ». Pourquoi pas ?
Six fois 15 font 90. On pose donc 6 ici et il reste 10.
On met le 10 ici et c'est exactement la même chose que ce que l'on avait ici.

French: 
Et ça, c'est bien. On met un zéro au départ et ensuite, on a simplement des 6 jusqu'au bout.
Et j'arrondis à 7.
« Un dix-septième ». J'ai bizarrement un mauvais sentiment à son sujet.
… 5 fois, reste 15 !
…ça donne 50 sur 17…
…30, ça va être…
Bien, il reste 12. Donc sept fois 17 : 119.
Ça fait un reste de 1. Il me faut plus de zéros…
Un moment, attendez, c'est… c'est ce dernier-là !
Très bien !
Donc, ICI, j'obtiens ce que j'avais par LÀ.
Donc ces seize chiffres sont la partie de « un dix-septième » qui se répète.
Et en fait, c'est un bel exemple de la raison pour laquelle tous les nombres rationnels
auront soit un développement décimal fini ou auront une partie qui se répétera encore et encore.
Ça DOIT se répéter car, comme vous le voyez, le long de ma progression,

French: 
Ces petits morceaux, dans les retenues, font toujours deux chiffres.
Ils ne seront jamais plus grands que 17. Ce sera forcément quelque chose EN DESSOUS de 17.
Et il n'y a pas trente-six options.
C'est le « principe des tiroirs », en mathématiques.
Il y a un nombre fini d'options que ces retenues peuvent prendre sous 17.
Tôt ou tard, j'en utiliserai la totalité, et quand je les aurai toutes utilisées, je devrai me répéter.
Dans le cas présent, il nous les faut toutes les seize avant qu'elles se répètent mais après la dernière,
Je pourrai continuer simplement en répétant le même bloc encore et encore.
Et pour finir, la dernière : 19 dans 1.
Là encore, c'est un nombre rationnel. Les morceaux que je retiendrai à chaque fois doivent être inférieurs à 19
« Nos dix-huit options »
D'une manière ou d'une autre, elle doivent se répéter après dix-huit décimales au maximum.
Espérons qu'il ne les faille pas toutes… Donc : ce…
Uuuun… Non ! Un ! Un !
…y entre quatre fois, avec un reste de 14…

French: 
…il y entre huit fois avec un reste de 8…
Maintenant, il y entre quatre f…
Il y entre une fois — Ouiiii — avec un reste de 1.
On est revenu ICI. Et dis-moi combien on en a fait. 1, 2, 3, 4…
…17, 18 ! Espèce de filou !
Et tout ce qu'il reste, c'est mettre un 0 et un 5 à la fin.
Oh mon dieu, la longueur de ma ligne…
Bon. J'ai fait du sale boulot en essayant d'aligner tout ça proprement, mais tous les chiffres sont là.
On a tout ce qu'il nous faut. Tout ce que je dois faire à présent est les passer en revue et me mettre à…
…additionner et soustraire !
…un grand nombre de chiffres !
En faisant sûrement quelques erreurs !
(incroyable)
C'est le problème quand on utilise de la craie bleue : on finit avec des doigts de schtroumpf.

French: 
Très bien ! On va commencer et tricher un peu : je sais que si on a 1 et l'on soustrait 1÷3, on obtient 2÷3
Alors je vais remplacer ceci par 0,66…
Ce qui m'amène à 0 virgule, euh… en fait juste celui-ci plus ça ! Ce qui fait : 8
…six, six…
Maintenant, pour la première ligne qui ressemblait à un vrai défi, nous avons 0.866666… jusqu'au bout
On doit en soustraire 1÷7.
J'entends par là, en version longue et de cette façon : commencer par la fin et remonter vers le début.
On y va ! 6 moins 4 font 2…
Ça aurait pu être bien pire. On va faire remonter tout ça
Et on va appliquer ça à « un neuvième », lequel n'est que des uns. Mon dieu !
Je suis ravi de vous voir, 1÷9.
Ça fait 0 mais qui devient 1, ce qui nous donne 2…
9… 4…
3… 8… zéro virgule.
Est-ce qu'ils peuvent battre ce que l'on a écrit au dessus du tableau ?

French: 
Ce n'est pas si mal. À présent, nous sommes à mi-chemin. Continuons !
Le problème quand on utilise de la craie rouge après de la craie bleue, c'est qu'à présent on dirait
que j'ai ASSASSINÉ un schtroumpf !
En revanche, on est presque à la fin.
Je crois que je suis doucement en train de devenir fou mais j'ai mon résultat au tableau
Il me reste à le multiplier par 4 et en théorie, on devrait obtenir π.
J'espère vraiment que ça va marcher.
Très bien. Pas de place à l'erreur. Je vais diviser ça au tableau et le faire proprement.
Donc : multiplier ça par 4.
Ok, 4 fois 8, 32…
…donc je retiens 3 et je pose 2 dans la réponse.
La première décimale de π que nous ayons.
Euh, 4 × 7, 28 et 3, 31. Je pose le 1 en bas.
Ok, on y va.

French: 
4 × 6 = 24,
Le 2 va là,
Le 4 vient ici,
Je commence à être excité,
« 4 × 3 = 28 »… plus 2, trente.
C'est bien.
Et enfin, le trois !
Donc, comme vous pouvez le voir,
π vaut exactement 3,0418…
Il semblerait donc que π ne vaille pas 3,14… comme on vous a amené à le croire !
Il vaut en fait 3,04… !
Je devrais le faire savoir !
Bon, écoutez, voila l'affaire : je suis à peu près sûr que mes calculs sont corrects.
Si j'ai bien fait une erreur quelque part là-dedans, merci de me le faire savoir aussi vite que possible…
…pour que je puisse corriger cette vidéo !
Mais, en admettant que je n'aie pas fait d'erreur, je ne suis en fait pas surpris que ce ne soit pas proche de π
C'est une très mauvaise série.

French: 
Donc, quand on essaie d'en tirer π, elle converge incroyablement lentement.
Elle fait en fait le yoyo de haut en bas, au dessus et en dessous de π tout du long.
Si j'avais calculé le terme suivant, je serai passé au dessus de 3,2 puis repassé en dessous, puis au dessus,
puis en dessous, et ainsi de suite.
En fait, si j'avais fait cent termes — oubliez les dix, une centaine ! — dans cette séquence,
elle serait toujours en train d'osciller entre 3,13 et 3,15 !
Imaginons qu'ici, j'aie le nombre de termes que j'ai écrits au tableau en calculant cette séquence
Vers le haut ici, nous avons les valeurs qui en sortent de l'autre côté
Je veux obtenir π ! π est juste ici,
voici la ligne représentant π et au fur et à mesure qu'on la parcourt,
La séquence démarre à 4 et plonge tout en bas jusqu'à 2,666… puis rebondit vers le haut, et ainsi de suite.
Et progressivement, elle se rapproche bel et bien de plus en plus en plus en plus… de π
mais cela prend beaucoup… beaucoup de temps !

French: 
Vous savez quoi, en fin de compte, je suis assez fier de tout ça !
Ce n'est pas un résultat si mauvais pour une quantité aussi ridicule de calcul.
Donc on a maintenant le résultat final, bien que cela m'ait rendu un peu dingue
et qui est que les décimales de π sont 3,04 !
Techniquement, je ne me suis pas trompé de plus de 0,1. Ce n'est pas mal…
Bien que, parce que les valeurs rebondissent de haut en bas autour de la véritable valeur de π
si j'avais fait la moyenne de deux des termes, j'aurais obtenu un bien meilleur résultat.
Donc, si je m'étais arrêté un cran plus tôt, si je m'étais arrêté après en avoir fait neuf
J'aurais obtenu π = 3,25… bla… bla… bla…bla
…ce qui est trop loin. D'un autre côté, si j'avais fait la moyenne de celui-ci avec celui que j'ai eu,
J'aurais obtenu π = 3,147… et des poussières.
Donc, j'aurais pu faire un petit peu mieux que ça mais je voulais juste additionner et soustraire les fractions,
et multiplier par 4.
Je pense que vous en conviendrez : ce n'est pas génial, mais ce n'est pas affreux.

French: 
Cela me satisfait bien.
Une dernier mot : l'actuel record du monde concernant le plus grand nombre de décimales de π calculées,
Étant entendu que c'est en utilisant un vrai ordinateur,
dépasse 13 000 milliards !
Et cela se fait toujours en utilisant une série infinie. Simplement une qui converge vers la vraie valeur de π
autrement plus rapidement que celle que j'ai utilisée.
On peut écrire celle que j'ai utilisée comme cela et, comme on le sait,
on obtient peu de décimales pour une grande quantité de calculs.
Pour celles qui sont en fait réellement utilisées dans les programmes, je pense qu'il y a :
En bien, l'algorithme de Chudnovsky. Regardez un peu ça ! Si vous commenciez à compiler cette série infinie,
vous obtiendriez π autrement plus vite,
et bien sûr, la somme de Ramanujan. Une formule fantastique. Là aussi, si vous compilez cette série infinie
(quelle beauté), vous finiriez avec les décimales de π.
Comme toujours, un grand merci d'avoir regardé et partagé ces vidéos, et de vous être abonnés,
Soyez assurés que j'apprécie grandement.

French: 
Si vous voulez me voir essayer de calculer π dans d'autres vidéos, j'en ai fait deux :
Au dernier jour de π, il avait moi en train de calculer les décimales de π en pesant un cercle
Et bien sûr, moi avec une tarte et un morceau de ficelle, en train de calculer π avec un π-endule.
Si vous voulez vous y mettre et calculer les décimales de π vous-mêmes,
Vous pouvez le faire comme je l'ai fait : à la main. Ou alors, il y a des programmes qui le feront pour vous.
Il y a le y-cruncher, je mettrai le lien dans la description ci-dessous,
mais surtout, surtout, je souhaite un joyeux jour de π à chacun d'entre vous !
