
Thai: 
ลองดูว่าเรานึกภาพ
รูปทรงสามมิติ
ที่มีฐานเป็นรูป
ดังที่แรเงา เป็นเขตระหว่าง
กราฟของ y เท่ากับ f ของ x
กับ y เท่ากับ g ของ x ได้ไหม
นั่นคือฐานของ --
สีม่วง อันนี้เรียกว่าสีชมพูหรือสีม่วงก็ได้
คือฐานของมัน
มันโผล่ขึ้นมาออกจากหน้าจอ
สิ่งที่ผมวาดสีฟ้านี้
คุณมองมันเป็นขอบบน
ของรูปก็ได้
ถ้าคุณหาหน้าตัดของรูป
นั่นคือเส้นสีเหลืองนี้
ถ้าคุณหาหน้าตัดของรูปนี้
แนวตั้ง
ตั้งฉากกับแกน x
หน้าตัดเหล่านั้นจะ
เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก
หน้าตัดนี้
จะเป็นแบบนี้
ถ้าคุณแบมันออก
ตรงนี้ มันตั้งอยู่
มันโผล่ขึ้นมาจากหน้ากระดาษ 
หรือหน้าจอของคุณ

Portuguese: 
Vamos ver se podemos imaginar
uma figura tridimensional
em que a base pode ser vista como
essa região sombreada entre
os gráficos y igual a f de x
e y igual a g de x.
Essa é a base do nosso...
esse roxo, ou cor de malva
é a base dela.
Está meio que saindo da nossa tela.
O que desenhei em azul,
você poderia ver como o topo
da figura.
Se fosse tirar os cortes
transversais da figura,
essa seria a linha amarela.
Se fosse tirar cortes
transversais da figura,
a nossa vertical, eu diria,
nosso perpendicular ao eixo x,
esses cortes seriam
triângulos retângulos isósceles.
Esse corte transversal
vai parecer com isso,
se fôssemos achatá-lo.
Então aqui temos.
Está saindo da sua página, ou da sua tela.

Korean: 
자 우리가 상상할 수 있는지 봅시다
3차원 입체도형을 말이죠
그 밑면으로 보이는 것이
이 색칠된 영역인데
y=f(x)의 그래프와
y=g(x)의 그래프 사이의 영역이죠
이것은 밑면인데
그러니까 이 보라색이
연보라색 아니면 보라색같은
이것이 그 입체의 밑면입니다
이것이 화면 위로 튀어나왔다고 보면
제가 여기 파란색으로 그린 것처럼
이러한 종류의 산마루를
입체적으로 볼 수 있는 것이죠
만약 당신이 이것의 단면을 자른다면
지금 이 노란선이 단면인데
만약 단면을 자른다고 하면
세로로
정확하게 말하자면
x축에 수직으로 자른다고 하면
이 단면적들은
직각이등변삼각형이 될 것입니다
이 단면적은
이런 식으로 생겼습니다
눕혀서 본다면 말이죠
그래서 여기에 세워져 있는데
이것은 당신의 종이나 스크린 위로
튀어나와 있습니다

Bulgarian: 
Да си представим
тримерно тяло, чиято основа
е тази защрихована област
между графиките на у = f(х)
и у = g(х).
Това е основата на тялото,
в този лилав или цикламен цвят
е основата на тялото,
което един вид се подава
през равнината на екрана.
Тук в синьо съм начертал
нещо, което можеш
да си представиш като
горната част на тялото.
Ако направим сечение
на това тяло,
ето тук при тази жълта черта,
ако направим сечения
на тялото,
които са вертикални, или
може би трябва да кажа
перпендикулярни на оста х,
тези сечения ще бъдат
равнобедрени
правоъгълни триъгълници.
Това сечение ще изглежда ето така,
ако си го представим.
То се намира ето тук.
Излиза от страницата
на екрана ти.

English: 
- [Voiceover] Lets see if we can imagine
a three-dimensional shape
whose base could be viewed as
this shaded in region between
the graphs of Y is equal to F of X
and Y is equal G of X.
That's the base of our ...
this purple, this I guess
mauve or purple color
is the base of it.
It's kind of popping out of our screen.
What I've drawn here in blue,
you could view this kind of the top ridge
of the figure.
If you were to take cross
sections of the figure,
that's what this yellow line is.
If you were to take cross
sections of this figure,
that our vertical, I should say
our perpendicular to the X axis,
those cross sections are going to be
isosceles right triangles.
This cross section
is going to look like this,
if you were going to flatten it out.
So over here it's sitting.
It's popping out of your
page or out of your screen.

Korean: 
당신이 이것을 눕혀서 본다면
그 단면적들은 이렇게 보이겠죠
직각이등변삼각형이 될 것입니다
직각이등변삼각형의 빗면이
밑면 위에 있습니다
밑면에 있죠
이건 이등변입니다
두 개의 길이가 같구요
직각삼각형입니다
그리고 이 거리는
저 점과 이 점 사이의 거리는
f(x)와 g(x) 사이의
거리와 같습니다
여기 이 x값에 해당하는
f(x)와 g(x)에 대해서 말이죠
우리가 이 x값을 변화시킴에 따라
그 값도 변화함에 틀림없구요
여기 이 모양을
시각화하는 것을 돕기 위해서
좌표 평면 위에 그림을 그려보았습니다
여기서 우리가 각이
위쪽에 있다고 보면
당신은 이제 보이기 시작할겁니다
이 입체가 어떻게 생겼는지를 말입니다
다시 한 번 말하지만
저는 밑면을 그렸습니다
평면 위에 밑면을 그렸죠

Bulgarian: 
Ако трябва наистина
да ги извадим,
тези сечения ще изглеждат
ето така.
Това е равнобедрен
правоъгълен триъгълник,
като хипотенузата на този
правоъгълен триъгълник
лежи върху основата на тялото.
Той е равнобедрен, това
е равно на това.
Това е правоъгълен триъгълник,
а това разстояние,
разстоянието между тази точка
и тази точка е равно 
на разстоянието между
f(х) и g(х).
f(х) и g(х) за тази стойност
на х ето тук.
Очевидно е, че това се променя,
когато се променя стойността на х.
За да си представим
по-добре това тяло,
нарисувах нашата 
координатна равнина.
Ако я погледнем под ъгъл,
като сме един вид над нея,
може да започнеш да виждаш
как изглежда това тяло.
Отново, начертал съм основата.

Portuguese: 
Se fosse realmente achatá-lo,
o corte ficaria parecendo com isso.
Aqui temos um triângulo
retângulo isósceles
com a hipotenusa
estando na base.
Estando na base.
Como é isósceles, isso é igual a isso.
É um triângulo retângulo,
então essa distância
essa distância entre esse ponto
e esse ponto é a mesma distância
entre f de x e g de x.
f de x e g de x para esse valor de x aqui.
Obviamente isso muda quando mudamos x.
Para melhorar a visualização dessa figura,
eu desenhei uma do nosso quadrante plano.
Se víssemos como um ângulo,
se estivéssemos por cima,
você pode começar a
perceber como ela é.
De novo, desenhei a base.
Desenhei a base dela.

English: 
If you were to actually flatten it out,
the cross sections would look like this.
It's going to be an
isosceles right triangle
with a hypotenuse of the
isosceles right triangle
sits along the base.
Sits along the base.
So, it's isosceles. So
that's equal to that.
It's a right triangle,
and then this distance
this distance between that point
and this point is the same as the distance
between F of X and G of X.
F of X and G of X for this
X value right over there.
Now obviously that changes
as we change our X value.
To help us visualize this shape here,
I've kind of drawn a picture
of our coordinate plane.
If we've viewed as an angle,
if we're kind of above it,
you can kind of start to see
how this figure would look.
Once again, I've drawn the base.
I've drawn the base of it.

Thai: 
ถ้าคุณทำมันแบบมันออก
หน้าตัดจะเป็นแบบนี้
มันจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก 
ของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
วางอยู่บนฐาน
วางอยู่บนฐาน
มันเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 
ด้านนั้นจึงเท่ากับด้านนั้น
มันคือสามเหลี่ยมมุมฉาก
แล้วระยะนี้
ระยะระหว่างจุดนั้น
กับจุดนี้จะเท่ากับระยะ
ระหว่าง f ของ x กับ g ของ x
f ของ x ของ g ของ x สำหรับค่า x นี่ตรงนี้
แน่นอนว่า มันเปลี่ยนไปเมื่อเราเปลี่ยนค่า x
เพื่อช่วยมองภาพรูปทรงนี่ตรงนี้
ผมจะวาดภาพในระนาบจตุภาคของเรา
ถ้าเรามองทำมุม
ถ้าเรามองเหนือมัน
คุณจะเริ่มเห็น
ว่ารูปจะเป็นอย่างไร
ย้ำอีกครั้ง ผมได้วาดฐานไป
ผมวาดฐานของมันไป

Portuguese: 
Bem aqui.
Talvez eu devesse, para deixar claro.
Deixa eu fazer assim.
Sombrear de forma paralela
aos cortes transversais.
Então, desenhei a base aqui.
Há outros dois lados.
Tem o lado em cima... Desenhei aqui.
Você poderia vê-lo como o de cima
ou o lado esquerdo bem aqui.
E nessa figura seria essa parte.
Quando olhamos de cima.
Aí você tem esse outro lado.
Acho que nessa vista
você poderia chamá-lo de lado direito.
Aqui vemos como se fosse...
quando vemos por aqui é o lado de baixo.
O motivo de eu ter feito isso,
é para tentarmos visualizar a figura.
Quando ver se você pode
pensar em uma integral
definida que descreva
o volume dessa figura.
É quase como se fosse a metade de uma bola
de futebol americano, ou rugby.
É um pouco distorcida também.
Que expressão, que integral definida

English: 
I've drawn the base of
it right over there.
Maybe I should to make it clear.
Let me get like this.
Shade it in kind of parallel
to these cross sections.
So, I've drawn the base right over there.
There's two other sides.
There the side that's on
... I've drawn it here.
I guess you could view it on its top side
or the left side right over there.
Over on this picture that would be this.
When we're looking at it from above.
Then you have this other side.
I guess on this view
this one you could call
kind of the right side.
Over here this is kind of the ...
when you viewed over here
this is the bottom side.
The whole reason why I set this up,
and we tempting to visualize this figure.
I want to see if you can
come up with a definite
integral that describes
the volume of this figure.
That kind of almost looks like a football
if you cut it in half or a rugby ball.
It's skewed a little bit as well.
What's an expression a
definite integral that

Thai: 
ผมวาดฐานของมันตรงนี้
บางทีผมควรทำให้ชัด
ขอผมทำแบบนี้นะ
แรเงามันให้ขนาน
กับหน้าตัดพวกนี้
ผมได้วาดฐานตรงนี้แล้ว
มันมีด้านอีกสองด้าน
มีด้านที่อยู่บน -- ผมวาดมันตรงนี้ไป
คุณจะมองมันเป็นด้านบน
หรือด้านซ้ายตรงนี้ก็ได้
ตรงรูปนี้ มันจะเป็นแบบนี้
เมื่อเราดูมันจากข้างบน
แล้วคุณมีอีกด้านนี่
บนด้านนี้
อันนี้ คุณจะเรียกว่าด้านขวาก็ได้
ตรงนี้ อันนี้ดู --
เมื่อคุณมองตรงนี้ อันนี้คือข้างล่าง
สาเหตุที่ผมตั้งมันขึ้นมา
และพยายามมองภาพนี้
ผมอยากดูว่าคุณจะตั้งอินทิกรัล
จำกัดเขตที่บรรยายปริมาตรของรูปนี้ได้ไหม
มันดูเหมือนลูกอเมริกันฟุตบอล
ถ้าคุณตัดครึ่ง หรือลูกรักบี้
มันบิดไปหน่อยด้วย
พจน์อินทิกรัลจำกัดเขตที่

Korean: 
바로 여기에 말입니다
이걸 명확하게 할 필요가 있겠군요
이렇게 하겠습니다
단면을 칠하는데
저 단면들과 평행하게 칠합시다
자 이렇게 밑면을 그렸을 때
여기에는 두 개의 면이 있습니다
제가 여기 그려놓은 곳에
면이 있습니다
당신은 아마 이 위쪽
또는 왼쪽 편에서 볼 수 있을 겁니다
바로 여기죠
이 그림에서 보면 여기가 될 것입니다
우리가 이 입체를
위에서 봤을 때 말이죠
다음으로 당신은 다른 면이 있는데
이 그림에서는
나름 오른쪽에 있다고 볼 수 있는
이 면입니다
여기서 그 면은 좀 더
우리가 여기서 볼 수 있듯이
그 면은 아래쪽입니다
제가 이 입체를 설정하고
시각화한 궁극적인 이유는
당신이 이 입체의 부피를 설명하는
정적분을 알아낼 수 있는지
보기 위해서 입니다
뭐 거의 반으로 잘린
미식축구 공이나
혹은 조금 찌그러진
럭비볼을 닮은 이 입체를 말이죠
이 입체의 부피를 나타내는

Bulgarian: 
Начертах основата на тялото
точно ето тук.
Може би трябва да поясня.
Нека да го направим така.
Ще оцветя успоредно
на тези сечения.
Тук съм начертал основата.
Това са другите две страни.
Това е страната, която...
начертах я тук.
Това е поглед отгоре
или от лявата страна 
точно ето тук.
Отгоре на тази рисунка е ето тук.
Когато го гледаме отгоре.
След това е тази друга страна.
От тази гледна точка
можем да я наречем дясната страна.
Тук това е един вид...
когато гледаме отгоре
това е долната страна.
Цялата причина да правя това,
защо се изкушавам
да представя тялото,
е че искам да опиташ 
да съставиш определен интеграл,
който описва обема на тялото.
Това доста прилича на
топка за американски футбол,
ако го срежем, или
на топка за ръгби.
Но то е и малко изкривено.
Какъв е определеният интеграл,

English: 
expresses the volume of this.
I encourage you to use the fact
that it intersects at the points.
These functions intersect
at the point zero zero
and (c,d).
Can you come up with some expression
a definite in row of terms of zeros,
and Cs, and Ds, and Fs, and Gs
that describe the volume of this figure?
Assuming you've paused the video,
and have had a go at it,
let's think about it.
If we want to find the volume,
one way to think about it is
we could take the volume of,
we could approximate the volume
as the volume of these
individual triangles.
That would be the area of
each of these triangles
times some very small depth.
Some very small depth.
I'll just shade it in to show the depth.
Some very small depth
which we could call DX.
Once again we could find
the volume of each of these
by finding the area,
the cross sectional area there,

Korean: 
정적분의 표현 방식은
무엇일까요
이 점에서 교차한다는 사실을
이용하는 것을 권장합니다
이 두 개의 함수는
점 (0,0)과 (c,d)에서
교차합니다
그럼 당신은 표현법을
생각해 낼 수 있나요
용어들로 정의되는 표현법을요
0 그리고 c, d
그리고 f나 g와 같이
이 입체의 부피를 설명하는
용어들로 말이죠
당신이 이 영상을 멈추고
이것에 대해 열심히 생각해봤다고 보고
계속 진행하겠습니다
만약 우리가 부피를
구하고 싶다고 한다면
이를 구하는 한가지 방법은
다른 부피를 구하는 것입니다
우리는 이 부피를 이 삼각형들의
각각의 부피로 근사할 수 있습니다
그것은 이 삼각형들
각각의 넓이에
아주 작은 깊이를 곱한 것이죠
매우 작은 깊이를 말이죠
깊이를 표현하기 위해
그냥 음영을 넣겠습니다
우리는 이를 dx라고 부르겠습니다
다시 말하면 우리는
각각의 부피를 구할 수 있습니다
영역을 찾음으로써요
그리니까 이 단면적을 찾아

Portuguese: 
expressa o volume disso.
Eu o encorajo a usar o fato de que
se interceptam nesse ponto.
Essas funções se interceptam
no ponto zero zero
e C.
Então você pode inventar uma
expressão direta em termos de zeros,
C's, D's, F's e G's
que descreva o volume dessa figura?
Assumindo que pausou o vídeo,
e tentou continuar, vamos pensar sobre.
Se queremos encontrar o volume,
uma forma de pensar sobre isso
é que podemos tirar o volume de,
podemos aproximar o volume
como o volume desses
triângulos individuais.
Essa seria a área desses triângulos
vezes uma pequena profundidade.
Uma pequena profundidade.
Vou sombrear para mostrar
essa profundidade. Tal que
possamos chamá-la de dx.
De novo, podemos achar o
volume de cada um desses
achando a área,
a área do corte transversal,

Thai: 
แสดงปริมาตรรูปนี้คืออะไร
ผมแนะนำให้คุณใช้ความจริง
ที่ว่ามันตัดที่จุดต่างๆ
ฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกับที่จุด (0, 0)
กับ (c,d)
คุณหาพจน์
อินทิกรัลจำกัดเขตในรูปของ 0
c, d, f, และ g
ที่บรรยายปริมาตรของรูปทรงนี้ได้ไหม?
ถือว่าคุณได้หยุดวิดีโอแล้ว
และได้ลองทำแล้ว ลองมาคิดกัน
ถ้าเราอยากหาปริมาตร
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า
เราหาปริมาตรของ
เราประมาณปริมาตร
เป็นปริมาตรของสามเหลี่ยมแต่ละอันพวกนี้ได้
มันจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูป
คูณความลึกบางมากๆ
ความลึกที่น้อยมากๆ
ผมจะแรเงาเพื่อแสดงความหนา
ความลึกน้อยมากๆ ซึ่งเราเรียกว่า dx
เหมือนเดิม เราหาปริมาตรของแต่ละรูป
ได้โดยหาพื้นที่
พื้นที่หน้าตัดตรงนี้

Bulgarian: 
който представя обема на това тяло?
Препоръчвам ти да използваш
това, че сечението е в тези точки.
Тези функции се пресичат
в точката (0; 0) и (с; d).
Можеш ли да запишеш
определен интеграл, като използваш
0, с, d, f и g,
за да опишеш обема на тялото?
Предполагам, че спря видеото
и опита, а сега да
помислим заедно.
Търсим обема, като
един начин да разсъждаваме,
е, че можем да намерим обема,
можем да намерим 
приблизително обема,
като обем на тези
отделни триъгълници.
Това ще бъде площта на
всеки от тези триъгълници,
по някаква много
малка дебелина.
Някаква много малка дебелина.
Ще защриховам, 
за да покажа дебелината.
Някаква много малка
дебелина, която ще означим с dх.
Повтарям, можем да намерим
обема на всеки от тях,
като намерим лицето,
площта на сечението,

Thai: 
แล้วคูณมันด้วย
dx เล็กๆ
dx เล็กๆ ที่จะให้
นี่คือ dx เล็กๆ
ซึ่งจะให้รูปสามมิติ
นั่นคือ dx ของเรา ผมเขียนมันสวยขึ้นหน่อยได้
dx จะให้ความลึกเป็นสามมิติหน่อย
แล้วเรา -- ปริมาตรของ
รูปเหล่านี้จะเป็นอย่างไร?
ถ้าเราบอกว่า ลองเรียกความสูงนี้ว่า h
เรารู้ว่า h จะเท่ากับ f ของ x ลบ g ของ x
นั่นคือระยะนี่ตรงนี้
ลองเรียกมันว่า h
เรารู้ว่า h จะเท่ากับ
ผมควรเรียกว่า h ของ x
มันจะเป็นฟังก์ชันของ x
h ของ x จะเท่ากับ f ของ x
f ของ x ลบ g ของ x, ลบ g ของ x
เมื่อให้ h มา
พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเป็นเท่าใด?
นี่คือสามเหลี่ยม 45, 45, 90

Portuguese: 
e multiplicando
por um pequeno dx.
Um pequeno dx que nos daria três --
esse é o pequeno dx --
que nos daria três dimensões.
Esse é o nosso dx. Poderia
escrever de forma mais clara.
dx para termos uma
profundidade tridimensional.
Como poderíamos ... qual é o volume
de uma dessas figuras?
Bem, digamos, deixa eu
só chamar a altura de h.
Sabemos que h vai ser f de x menos g de x.
Essa distância aqui.
Vamos chamar de h.
Sabemos que h vai ser,
talvez eu devesse dizer h de x.
Pois vai ser uma função de x.
h de x vai ser f de x
menos g de x. Menos g de x.
Dado h, qual será a área do triângulo?
Esse é um triângulo 45, 45, 90.

Bulgarian: 
а после да го умножим по dх.
По dх, което ще ни даде...
това е dх, което представлява
третото измерение.
Това е dх. Мога да го 
напиша по-прегледно.
dх ни дава малко
дълбочина в третото измерение.
Как можем... Какъв е обемът
на едно от тези триъгълни тела?
Нека да означим тази
височина като h.
Знаем, че h е равна на
f(х) – g(х).
Това е разстоянието ето тук.
Да го означим с h.
Знаем, че h е равно...
може би трябва да кажа h(х).
То е функция от х.
h(х) е равно на f(х) – g(х).
Като знаем h, колко ще бъде
площта на този триъгълник?
Това е триъгълник с ъгли
45:45:90.

English: 
and then multiplying that times
a little DX.
A little DX which would give us three,
so this is a little DX,
which would give us three-dimensional.
That's our DX. I could write
that a little bit neater.
DX to give us a little bit
of three-dimensional depth.
How could we ... what is the volume of
one of these figures going to look like?
Well, if we say, let me
just call this height H.
We know that H is going
to be F of X minus G of X.
That's this distance right over here.
Let's call that H.
We know that H is going to be,
maybe I should say H of X.
It is going to be a function of X.
H of X is going to be F of X.
F of X minus G of X. Minus G of X.
Given a H, what is going to
be the area of this triangle?
This is a 45, 45, 90 triangle.

Korean: 
곱하면 되는 겁니다
작은 dx와 말이죠
이 dx는 우리에게 3차원
그러니까 이게 작은 dx인데
이것이 3차원적으로
생각할 수 있도록 해줍니다
이것이 dx이죠
더 반듯하게 쓰겠습니다
dx는 우리에게 약간의 3차원적인
깊이를 제공합니다
우리는 어떻게
입체들 중 하나의 부피가
무엇인 것 처럼 보여질까요
음 만약 우리가
그냥 이 높이를 h라고 합시다
우리는 이 h가
f(x)-g(x)인 것을 압니다
그것은 바로 여기의 거리와 같죠
이것을 h라고 부릅시다
우리는 h가
h(x)라고 불러야 할 것 같군요
x에 관한 함수가 될 것이니까요
h(x)는
f(x)-g(x)입니다
h가 주어졌을 때
이 삼각형의 넓이는 어떻게 될까요
이것은 45도, 45도, 90도의
각을 가진 삼각형입니다

Korean: 
이 각이 90도이고
이것은 45도가 될 것입니다
이것 또한 45도가 되어야 하구요
우리는 이 삼각형에서 두 변의 길이에
제곱근 2을 곱하면
빗변의 길이인 것을 알고 있습니다
따라서 이 길이는 빗변 길이의
2분의 제곱근 2일 것입니다
(√(2)/2)*h이죠
피타고라스의 정리를 통해서
바로 구할 수도 있습니다
만약 이 변이
길이가 a라고 합시다
그러면 이 변도 길이가 a이고
당신은 a²+a²이
h²과 같다는 식 또는
2a²=h² 라는 식 또는
a²=h²/2 라는 식 또는
a=h/√(2) 라는 식을 얻을 수 있는데
이는 √(2)h/2 와 같습니다
그냥 분모를 유리화 하면 되는데
분모와 분자에
√(2)를 곱해주면 됩니다
이렇게 변의 길이를 구했습니다
그럼 이 넓이는 어떻게 될까요
그냥 밑변의 길이에 높이를 곱하고
거기에 ½을 곱하면 넓이가 됩니다
이걸 적어보도록 합시다

English: 
This is 90, then this is going
to have to be 45 degrees.
That's going to have to be 45 degrees.
We know that the sides
of a 45, 45, 90 triangle
or squared of two times the hypotenuse.
This is going to be
squared of two over two
times the hypotenuse.
Squared two over two time the hypotenuse.
You could get that straight
from the pythagorean theorem.
If the side, let's say it's length A,
then this side has length A.
You're going to have A
squared plus A squared
is equal to the hypotenuse squared,
or two A squared is equal
to the hypotenuse squared.
A squared is equal to the
hypotenuse squared over two,
or that A is equal to H
over the squared of two,
which is the same thing as
a squared of two H over two.
I just rationalized the denominator,
multiplied by open numerator,
and then denominator by squared of two.
That's where I got this from.
What is the area going to be?
The area is just going
to be your base times
your height times one-half.
Let me write that down.

Portuguese: 
Esse é 90, então esse vai ser 45.
E esse vai ter que ser 45.
Sabemos que os lados de
um triângulo 45, 45, 90
ou raiz de dois vezes hipotenusa.
Aqui vai ser raiz de dois sobre dois
vezes a hipotenusa.
Raiz de dois sobre dois vezes a hipotenusa
Podemos tirar isso direto
do teorema de Pitágoras.
Se o lado, tem comprimento a,
então esse lado tem comprimento a.
Você terá a ao quadrado mais a ao quadrado
igual a hipotenusa ao quadrado,
ou duas vezes a ao quadrado
é igual a hipotenusa ao quadrado.
a ao quadrado é igual a hipotenusa
ao quadrado sobre dois,
ou a é igual a h sobre raiz de dois,
que é a mesma coisa que
raiz de dois h sobre dois.
Apenas racionalizei o denominador,
multiplicando numerador
e denominador por raiz de dois.
Daí que tirei isso.
Qual será a área?
A área vai ser a base vezes
a altura vezes um meio.
Deixa eu escrever isso.

Bulgarian: 
Това е 90 градуса,
този тук ще е 45 градуса.
Този ще е 45 градуса.
Знаем, че страните на 
триъгълник с ъгли 45:45:90
на квадрат са равни
на хипотенузата на квадрат върху две.
Това на квадрат е равно на 
хипотенузата на квадрат върху две.
Или страната ще бъде равна на корен квадратен 
от две върху две по хипотенузата.
Това следва директно
от питагоровата теорема.
Ако тази страна има
дължина а,
тогава и тази страна
има дължина а.
а^2 + a^2 е равно на 
хипотенузата на квадрат.
Или 2а^2 е равно на
квадрата на хипотенузата.
а^2 е равно на хипотенузата
на квадрат върху 2,
или а е равно на h върху 
корен квадратен от 2.
Което е същото като корен 
квадратен от 2 по h върху 2.
Просто рационализирах
знаменателя,
умножих числителя
и знаменателя
по корен квадратен от 2.
Ето откъде получих това.
И колко ще бъде площта?
Площта ще бъде
основата по височината, по 1/2.
Ще го запиша.

Thai: 
นี่คือ 90 แล้วอันนี้จะต้องเท่ากับ 45 องศา
มันจะต้องเท่ากับ 45 องศา
เรารู้ว่าด้านของสามเหลี่ยม 45, 45, 90
หรือรากที่สองของ 2 ส่วน 2
คูณด้านตรงข้ามมุมฉาก
อันนี้จะเท่ากับรากที่สองของ 2 ส่วน 2
คูณด้านตรงข้ามมุมฉาก
รากที่สองของ 2 ส่วน 2 
คูณด้านตรงข้ามมุมฉาก
คุณได้มันมาจากทฤษฎีบทพีทากอรัส
ถ้าด้าน สมมุติว่ามันยาว a
แล้วด้านนี้ยาว a
คุณจะได้ a กำลังสองบวก a กำลังสอง
เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง
หรือ 2a กำลังสองเท่ากับ 
ด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง
a กำลังสองเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากส่วน 2
หรือ a นั่นเท่ากับ h ส่วนรากที่สองของ 2
ซึ่งเท่ากับรากที่สองของ 2 h ส่วน 2
ผมแค่ทำตัวส่วนให้เป็นตรรกยะ
คูณตัวเศษ
แล้วก็ตัวส่วนด้วยรากที่สองของ 2
นั่นคือที่มาของรูปนี้
แล้วพื้นที่จะเท่ากับอะไร?
พื้นที่จะเท่ากับฐานของคุณคูณ
ความสูง คูณ 1/2
ขอผมเขียนมันลงไปนะ

English: 
The area
the area there
the area is just going to be the base,
which is squared of two over
two times our hypotenuse,
times the height which is
squared of two over two
time our hypotenuse, times one-half.
Times one-half.
If we didn't do that one-half,
we'd be figuring out the
area of this entire square.
This is obviously where
were concerned with
the triangle.
What's this going to be?
This is going to be
squared of two over two
times squared of two
over two is going to be
one-half and then you're going to have
another one-half.
So, it's one-fourth, one-fourth H square.
Did I do that right?
This is ... yes it's
going to be two over four,
which is one-half, and then
times another one-half.
This one-fourth H squared is the area.
Now, what's going to be the volume
of each of these triangles?
Well the volume of each of
these triangles right over here,

Bulgarian: 
Лицето ще бъде равно на
на основата, която е
корен квадратен от две
върху 2, по хипотенузата,
по височината, което е
корен квадратен от 2 върху 2,
по хипотенузата, по 1/2.
Ако изпуснем това 1/2,
ще получим лицето на целия квадрат.
Това показва, че имаме
триъгълник.
И какво ще получим?
Това е квадратен корен
от 2 върху 2,
по квадратен корен от две
върху две, което
е 1/2, и после имаме
още една 1/2.
Значи получихме
1/4 h^2.
Вярно ли го направих?
Това ще бъде 2 върху 4,
което е 1/2, после 
още веднъж по 1/2.
1/2h^2 е площта.
Сега, колко ще бъде обемът 
на всеки от тези триъгълници?
Обемът на всеки от тези
триъгълници ето тук,

Korean: 
넓이는
여기
이 넓이는 그냥 밑변
그러니까 √(2)h/2
에 높이 √(2)h/2 를 곱해주고
½를 곱해준 것과 같습니다
½을 곱합시다
만약 우리가 ½을 곱해주지 않으면
우리는 이 사각형의 넓이를
구하게 될 것입니다
우리는 삼각형을 다루고 있기 때문에
½을 해줍시다
그럼 이 넓이는 어떻게 될까요
√(2)/2에 √(2)h/2를 곱하면
½이 될 것이고
그리고 여기 ½이
하나 더 있습니다
그러니 그 값은 ¼이 될 것이고
넓이는 h²/4 이 될 것입니다
제가 맞게 했나요
이것은 봅시다
이 둘은 4분의 2가 될 것인데
곧 ½이 되고 여기에
또다른 ½을 곱했으니
h²/4은 이것의 넓이가 됩니다
이제 이 각각의 삼각형의
부피는 어떻게 될까요
여기에 있는 각 삼각형의 부피는

Portuguese: 
A área
a área aqui
vai ser a base,
que é raiz de dois sobre
dois vezes a hipotenusa,
vezes a altura que é raiz
de dois sobre dois
vezes a hipotenusa, vezes um meio.
Vezes um meio.
Se não fizermos o meio,
estaríamos tirando a área do quadrado todo
Isso é o que nos importa,
o triângulo.
Qual vai ser?
Isso vai ser raiz de dois sobre dois
vezes raiz de dois sobre dois
metade, e aí temos
outra metade.
Então temos um quarto, um
quarto de h ao quadrado.
Fiz isso certo?
Isso é ... vai ser dois sobre quatro,
que é um meio, e aí vezes outro um meio.
Esse um quarto h ao quadrado é a área.
Agora, qual será o volume
de cada um desses triângulos?
O volume de cada triângulo aqui

Thai: 
พื้นที่
พื้นที่
พื้นที่จะเท่ากับฐาน
ซึ่งก็คือรากที่สองของ 2 ส่วน 2 
คูณด้านตรงข้ามมุมฉาก
คูณความสูงซึ่งก็คือรากที่สองของ 2 ส่วน 2
คูณด้านตรงข้ามมุมฉาก คูณ 1/2
คูณ 1/2
ถ้าเราไม่คูณ 1/2
เราจะได้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งรูป
นี่คือค่าที่เราสนใจ
สามเหลี่ยม
อันนี้จะเท่ากับอะไร?
อันนี้จะเท่ากับรากที่สองของ 2 ส่วน 2
คูณรากที่สองของ 2 ส่วน 2 จะเท่ากับ
1/2 แล้วคุณจะได้
อีก 1/2
มันคือ 1/4, 1/4 h กำลังสอง
ผมทำถูกไหม?
นี่คือ -- ใช่ มันจะเท่ากับ 2 ส่วน 4
ซึ่งก็คือ 1/2 แล้วคูณอีก 1/2
1/4 h กำลังสองนี่คือพ้นที่
ทีนี้ ปริมาตรของสามเหลี่ยม
เหล่านี้แต่ละรูปจะเป็นเท่าใด?
ปริมาตรของสามเหลี่ยมแต่ละรูปนี่ตรงนี้

Portuguese: 
vai ser nossa área vezes dx.
Vai ser um quarto de h ao quadrado
vezes a profundidade. Vezes dx.
Se integrarmos vários desses,
de x indo de zero até x igual a c,
teremos o volume da nossa figura.
Então como podemos escrever isso?
Queremos escrever.
Queremos achar o volume da figura.
Estamos no final aqui.
Deixa eu escrever volume.
Esse é o volume do corte.
Volume do corte transversal.
Então qual é o volume total?
O volume
volume da figura
da figura
vai ser a integral definida,
a integral definida de x igual a zero

Korean: 
이 부피는 그냥 이 넓이에
dx를 곱한 것이 될 것입니다
그러니까 h²/4에다가
깊이 dx를 곱한 것이 되겠죠
만약 우리가 이렇게 생긴 도형 다발을
x=0부터 x=c까지 쭉 더한다고 하면
우리는 결국에는 이 입체 전체의
부피를 구할 수 있습니다
그럼 이것을 어떻게 적으면 될까요
이걸 적고 싶습니다
우리는 이 입체의 부피를
구하는 방법을 이해하고 싶습니다
여기서부터 확장해서 말이죠
이제 부피를 적어봅시다
이것은 부분의 부피입니다
단면의 부피이죠
그럼 전체의 부피는 무엇일까요
부피는
이 입체의 부피는
이 입체의 부피는
정적분이 될 것입니다
x=0에서부터 x=c까지

English: 
the volume is just going
to be our area times DX.
It's just going to be one-fourth H squared
times our depth. Times our depth DX.
If we just integrated a bunch of these,
from our X equals zero
all the way to X equals C,
we essentially have our
volume of the entire figure.
So how could we write that?
We want to write.
We want to essentially to
find the volume of the figure.
We're kind of in the home stretch here.
Actually let me write volume.
This is volume of a section.
Volume of a cross section.
So, what's the volume of the
entire thing going to be?
The volume
volume of the figure
of the figure
is going to be the definite integral,
the definite integral from X equals zero

Bulgarian: 
обемът ще бъде лицето по dХ.
Това е 1/4 h^2 по дебелината,
по dх.
И ако интегрираме
куп от тези триъгълници,
от х = 0 до х = с,
всъщност ще получим
обема на тялото.
Как ще запишем това?
Търсим обема на тялото.
Почти стигнахме до финала.
Сега ще запиша обема.
Това е обемът на една секция.
Обемът на един такъв срез.
Тогава колко ще
бъде обемът на цялото тяло?
Обемът на тялото
ще бъде определен интеграл
от х = 0 до х = с,

Thai: 
ปริมาตรจะเท่ากับพื้นที่คูณ dx
มันจะเท่ากับ 1/4 h กำลังสอง
คูณความลึก คูณความลึก dx
ถ้าเราอินทิเกรตพวกนี้หลายตัว
จาก x เท่ากับ 0 ไปจนถึง x เท่ากับ c
เราก็ได้ปริมาตรของทั้งรูป
แล้วเราเขียนได้อย่างไร?
เราอยากเขียน
เราอยากหาปริมาตรของรูปนั้น
เรามาถึงเส้นชัยแล้ว
ขอผมเขียนปริมาตรนะ
นี่คือปริมาตรของหน้าหนึ่ง
ปริมาตรของหน้าตัดหนึ่ง
ปริมาตรของทั้งรูปจะเป็นเท่าใด?
ปริมาตร
ปริมาตรของรูป
ของรูป
จะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก x เท่ากับ 0

Thai: 
ถึง x เท่ากับ c. x เท่ากับ 0 ถึง c
ของ 1/4 h กำลังสอง
1/4
เรารู้ว่า h เท่ากับ f ของ x ลบ g ของ x
แทนที่จะเป็น h ผมจะเขียนเป็น
f ของ x ลบ g ของ x กำลังสอง
กำลังสอง dx
dx แล้วเราก็เสร็จ
เราหาพจน์สำหรับ
พจน์อินทิกรัลจำกัดเขต
จะเรียกว่า
ปริมาตรของรูปประหลาดนี้ก็ได้
ที่เรากำหนดขึ้นมาได้แล้ว

Korean: 
h²/4을 정적분한 값이죠
¼ 그리고
우리는 h가
h(x)=f(x)-g(x)인 것을 압니다
따라서 h 대신
f(x)-g(x)를 적어줍니다
{f(x)-g(x)}²dx 이네요
dx를 적어주면 끝났습니다
우리는 방금 막 찾았습니다
부피를 표현하는
정적분의 표현법을요
우리가 정의한 이 이상한
입체의 부피를 말이죠

Bulgarian: 
от 1/4 h^2.
1/4.
Знаем, че h = f(х) – g(х).
Вместо h тук ще напиша
(f(х) – g(х))^2 по dх.
По dх и сме готови.
Намерихме израз,
израз за определен интеграл,
ако мога да кажа така,
за обема на това
странно тяло, което определихме.

Portuguese: 
até x igual a c. x igual a zero até x
igual a c de um quarto de h ao quadrado.
Um quarto.
Sabemos que h é igual a
f de x menos g de x.
Ao invés de h, vou escrever
f de x menos g de x ao quadrado
dx.
E terminamos.
Encontramos a expressão para,
a integral definida,
poderíamos dizer,
para o volume dessa figura estranha
que definimos.

English: 
to X equals C. X equals zero
to C of one-fourth H squared.
One-fourth.
We know that H is equal
to F of X minus G of X.
Instead of H, I'm going to write
F of X minus G of X squared
squared DX.
DX and we're done.
We just found an expression for,
a definite integral expression
I guess you could say,
for the volume of this strange figure
that we have defined.
