
Czech: 
Zadání úlohy zní: 'První derivace h 
v bodě x rovno −4 má hodnotu 0.
Dokažte pomocí diferenciálního počtu, že
v bodě x rovno −4 má h lokální maximum.'
Graf funkce h je na obrázku modrý, nemáme
první derivaci, ale máme druhou, oranžově.
Ze zadání víme, že první derivace, neboli
sklon tečny, se rovná 0 v bodě x rovno −4.
Nakreslím vám ji sem, sklon tečny je
v bodě x rovno −4 skutečně nulový.
Jak dokážeme pomocí diferenciálního počtu,
že lokální maximum h je v bodě x rovno −4?

English: 
- [Instructor] We're told
that given that h prime
of negative four is equal to zero,
what is an appropriate
calculus-based justification
for the fact that h has a relative maximum
at x is equal to negative four?
So right over here,
we actually have the
graph of our function h.
This is the graph y is equal to h of x.
And we don't have graphed
the first derivative,
but we do have graphed
the second derivative
right here in this orange
color, h prime prime.
So they're telling us,
given that h prime of negative
four is equal to zero,
so that's saying that given
that the first derivative
at x equals negative
four is equal to zero,
and you can see that the
slope of the tangent line
when x is equal to negative
four does indeed equal zero.
So given that, what is a calculus-based,
let me underline that, a
calculus-based justification
for the fact that h has a relative maximum
at x equals negative four?
So this first one says
that the second derivative

Bulgarian: 
Известно е, че производната h'(–4) = 0.
Какво е  подходящото математически
обосновано доказателство,
че h има локален максимум
в точката x = -4?
Ето тук е изобразена трафично
функцията h.
Това е графиката на y = h(x).
Първата производна h'
не е изобразена графично,
но имаме изобразена 
втората производна h'',
която е с оранжев цвят.
В задачата ни казват, 
че h'(–4) = 0,
т.е., че първата производна 
за x = –4 e равна на 0.
Действително можеш да видиш, че наклонът
(ъгловият коефициент)
на допирателната, когато x = –4, е 0.
Като разполагаме с тази информация,
се изисква да открием какво е
математическо обоснованото 
доказателство
за факта, че h има 
локален максимум за x = –4.

Korean: 
h'(-4) = 0이
주어졌을 때
x = -4일 경우 h가
극댓값을 가진다는
미적분학적
증명이 무엇인가요?
여기를 보면
함수의 h의
그래프가 있습니다
다음 그래프는
y = h(x)의 그래프입니다
그리고 일계도함수의
그래프는 그리지 않았지만
여기에 오랜지색으로 h''(x)
이계도함수의
그래프를 그렸습니다
여기서 묻는 것은
h'(-4) = 0이 주어졌을 경우
일계도함수가 4일 때의 값이
0이라고 주어진 것이죠
그리고 x = -4일 경우
접선의 기울기가
0이라는 뜻입니다
따라서 이 보기 중
미적분학적 증명
여기에 밑줄을 칩니다
x = -4일 경우
최솟값을 가진다는
미적분학적 증명이 무엇인가요?
첫 번째 보기는
이계도함수가 x = -4일 경우

Bulgarian: 
Първата възможност e, че втората 
производна "h''(–4) е отрицателна"
в точката x = –4.
Какво ни казва това?
Ако втората производна
е отрицателна,
то това означава, че първата
производна намалява,
което е друг начин да се каже,
че се намираме в ситуация, 
където поне за x = –4
функцията е вдлъбната.
Последното означава, че
основната част на кривата
би изглеждала по този начин 
около x = –4.
Ако наклонът при x = –4 e 0
това ни казва, че наистина
там има локален максимум.
Ако втората производна в тази точка
беше положителна,
тогава функцията би била изпъкнала.
Ако производната там е равна на 0,
бихме казали, че в тази точка
има локален минимум.
Това действително е вярно.
Втората производна е отрицателна
при x = –4,
което означава, че функцията
е вдлъбната.
Последното означава, че имаме
обърната парабола

English: 
at x equals negative four is negative.
Now, what does that tell us?
If the second derivative is negative,
that means that the first
derivative is decreasing,
which is another way of
saying that we are dealing
with a situation where, at
least at x equals negative four,
we are concave downwards,
downwards, which means that
the general shape of our curve
is going to look something like this
around x equals negative four.
And if the slope at x equals
negative four is zero,
well, that tells us that,
yes, we indeed are dealing
with a relative maximum point.
If the second derivative
at that point was positive,
then we would be concave upwards.
And then if our derivative is zero there,
we'd say, okay, that's a
relative minimum point.
But this is indeed true.
The second derivative is negative
at x equals negative four,
which means we are concave downwards,
which means that we are a upside U,

Korean: 
음수라고 합니다
이 보기는 무엇을 말해주나요?
이계도함수가 음수라면
일계도함수가 감소하고
이는 적어도 x = -4인
상황이라는 것을 증명하죠
이 경우 오목성이
아래로 향합니다
아래로 향하는 것은
다음과 같은
그래프의 모습을 띕니다
x = -4에서요
그리고 x = -4일
경우 기울기가 0이라면
이 경우는
극솟값을 가지게 됩니다
이계도함수가 여기서 양수라면
오목성이 위로 향합니다
도함수의 값이 0이라면
이는 극솟값을 가집니다
하지만 이는 참입니다
이계도함수는 x = -4일
경우 음수입니다
이는 아래로 오목하다는 것이고

Czech: 
První možnost zní: 'Druhá derivace
je v bodě x rovno −4 záporná.'
Pojďme si to rozebrat.
Kde je druhá derivace záporná, tam první
derivace klesá a funkce je tedy konkávní.
To znamená, že křivka bude v bodě
x rovno −4 vypadat nějak takto.
A pokud je sklon v tomto bodě roven 0,
tento bod je skutečně lokálním maximem.
Kdyby byla druhá derivace v tomto bodě
kladná, funkce by tu byla konvexní,
a v bodě x rovno −4 by
bylo lokální minimum.
Ano, druhá derivace je v bodě x rovno −4
záporná, takže funkce je tu konkávní,

Czech: 
neboli připomíná tvarem kopec, a bod, ve
kterém je sklon 0, je lokálním maximem.
Takže máme správnou odpověď,
ale stejně si projdeme i ty ostatní.
Odpověď B: 'Funkce h stoupá do bodu
x rovno −4, a dále po něm zase klesá.'
To je pravda a je to možné zdůvodnění,
pokud je funkce h v tomto bodě spojitá.
Ukazuje to, proč je na x rovno −4 lokální
maximum, ale bez diferenciálního počtu.
Odpověď B nesplnila zadání,
takže ji můžeme vyřadit.
Možnost C: 'Druhá derivace h dosahuje
lokálního minima v bodě x rovno −4.'
To je pravda, jenže to není důvod, proč se
v bodě x rovno −4 nachází lokální maximum.

Bulgarian: 
и точката, в която производната е 0,
действително е локален максимум.
Това е верният отговор. Готови сме,
но нека да обясним
и другите възможности.
"h нараства преди x = –4."
Това действително е вярно.
Преди x = –4 функцията нараства,
а след това намалява.
Това е вярно и това е причина
да смятаме, че
там следва да има локален максимум,
като предположим,
че функцията е 
непрекъсната за x = –4.
Това е вярно. Доказателство е за
локален максимум,
но не е математически обосновано.
Следователно може да го изключим.
"Втората производна има
локален минимум в точката x = –4."
Това изглежда, че е вярно.
Там има локален минимум,
но това не е доказателство,
което обяснява защо в точката x = –4
h има локален максимум.
Например за x = –4
втората производна h''

Korean: 
U모양을 띈다는 것이죠
도함수가 0인 경우
이는 극댓값을 가집니다
따라서 이는 정답입니다
문제를 풀었지만
다른 보기를 봅시다
x = -4이기 전에
h는 증가합니다
이는 참입니다
x = -4이기 전에
함수는 증가합니다
그리고 이 점을
지나면 감소합니다
이는 참이며
이와같은 정보는
극댓값을 가진다는
것을 알려줍니다
x = -4일 경우 함수가
연속한다면 말이죠
이는 참입니다
이는 극댓값을 가지는 정의이지만
미적분학적 증명이 아닙니다
이 보기는 지울 수 있겠네요
x = -4일 경우 이계도함수가
극솟값을 가집니다
이 보기도 참입니다
여기에 극솟값을 가지겠죠
하지만 이는 h'(-4)가
하지만 이는 h'(-4)가
혹은 왜 x = -4에서 극솟값을
가지는지 증명하지 않습니다
예를 들어

English: 
and that point where
the derivative is zero
is indeed a relative maximum.
So let me, so that is the answer.
And we're done, but let's
just rule out the other ones.
H increase before x equals negative four.
That is indeed true.
Before x equals negative
four, we are increasing,
and h decreases after it.
That is true, and that is one
rationale for thinking that,
hey, we must have a maximum point,
assuming that our function is continuous
at x equals negative four.
So this is true.
It is a justification
for a relative maximum,
but it is not calculus-based.
And so that's why we
can rule this one out.
The second derivative
has a relative minimum
at x equals negative four.
Well, it does indeed seem to be true.
There's a relative minimum there,
but that's not a justification for why
this is why h of negative four
or why we have a relative maximum
at x equals negative four.
For example, this,

Korean: 
이계도함수에서
극솟값을 가질 수 있지만
이계도함수가
양수일 것입니다
이계도함수가
이렇다면 어떨까요?
이는 그래도
극솟값을 가집니다
하지만 이 점에서 양수라면
오목성의 위를 향하며
이는 x = -4일 경우
원래의 함수가 극댓값을 가지지
않는다는 것을 의미합니다
극솟값을 가지죠
따라서 극솟값이라는
정의는 충분하지 않습니다
극댓값을 다룬다고
하기 위해선
이계도함수가 이 점에서
음수여야 합니다
이 네 번째 보기는 h''의
오목성이 위를 향한다고 합니다
이는 이계도함수의 오목성이
위를 향한다고 하네요
하지만 이 증명은
원래 함수의 오목성이 위를
향한다는 것을 증명하지 않습니다
예를 들어 이 보기를
사용할 수 있습니다
이는 오목성이 위를 향하는
이계도함수입니다
하지만 항상 양수이죠
그리고 이계도함수가
항상 양수라면
일계도함수가
항상 증가하는 것이며

English: 
you could have a relative minimum
in your second derivative,
but your second derivative
could still be positive there.
So what if the second
derivative was like that?
That would still be a relative minimum.
But if it was positive at that point,
then you would be concave upwards,
which would mean that at
x equals negative four,
your original function
wouldn't have a maximum point,
it would have a minimum point.
And so just a relative
minimum isn't enough.
In order to know that you are dealing
with a relative maximum,
you would have to know
that the second derivative
is negative there.
Now, this fourth choice, h
prime prime is concave up,
it does indeed look like
the second derivative
is concave up, but that,
by itself, does not justify
that the original function is concave up.
For example, well, I could
use this example right here.
This is a potential second derivative
that is concave upwards,
but it is positive the entire time.
And if your second derivative
is positive the entire time,
that means that your first derivative
is increasing the entire time,

Czech: 
Kdyby bylo lokální minimum druhé derivace
kladné, pak by tu funkce h byla konvexní
a nedosahovala by tak v tomto bodě
lokálního maxima, ale minima.
Takže lokální minimum derivace nestačí,
odpověď C by musela říct, že je i záporné.
Odpověď D: 'h se dvěma
čarami je konvexní.'
Druhá derivace je skutečně konvexní, to
ale neznamená, že funkce h je konkávní.
Kdyby byla druhá derivace konvexní, ale
kladná, třeba takto, to by znamenalo,

Bulgarian: 
може да има локален минимум,
но втората производна
все пак може да е положителна.
Какво означава, ако именно това е
случаят с втората производна?
Това би могло да е
локален минимум,
но ако тя беше положителна
в тази точка,
защото тогава би била изпъкнала.
Това означава, че при x = –4
първоначалната функция
няма да има локален максимум,
а ще има локален минимум.
Следователно само локален
минимум не е достатъчен.
За да твърдим, че функцията има
локален максимум, трябва да знаем,
че там втората производна
е отрицателна.
Четвъртият избор е "h'' е изпъкнала".
Втората производна наистина 
изглежда изпъкнала,
но това само по себе си не доказва,
че първоначалната функция
е изпъкнала.
Мога да използвам следния пример.
Това е възможна втора производна,
която е изпъкнала,
но има положителни стойности
през цялото време.
Ако втората производна е
положителна през цялото време
това означава, че първата производна
нараства през цялото време,

Bulgarian: 
което означава, че
първоначалната функция
ще бъде изпъкнала
през цялото време.
Следователно, ако една функция е
изпъкнала през цялото време,
тогава няма да има
локален максимум в точката x = –4.
Ще изключим и този отговор.

Czech: 
že první derivace stále stoupá, takže 
původní funkce zůstává stále konvexní.
A kdyby byla funkce h stále konvexní,
nebylo by bodě x rovno −4 lokální maximum.
Odpověď D je špatně.

Korean: 
이는 원래 함수의
오목성이 항상 위를 향합니다
오목성이 항상 위를 향한다면
x = -4일 경우
극댓값을 가지지 않습니다
이 보기도 지웁시다

English: 
which means that your original function
is going to be concave
upwards the entire time.
And so if you're concave
upwards the entire time,
then you would not have a relative maximum
at x equals negative four.
So we would rule that one out as well.
