
Dutch: 
Ik heb net een paar video's over het binomium van Newton opgenomen,
dus ik denk dat, nu die klaar zijn, het een goed moment is om
de afgeleide van de algemene vorm te bewijzen.
We nemen de afgeleide van x tot de macht n.
Nu we het binomium van Newton kennen,
kunnen we dat.
Hoe bepalen we de afgeleide?
Nou, wat is de klassieke definitie van afgeleide?
Dat is het limiet met Δx dat naar nul loopt
van x plus Δx, toch?
f van x plus Δx is hier x+Δx
tot de n'de macht, toch?
Min f van x, en f van x is hier gewoon x tot de n'de.
Dat allemaal gedeeld door Δx.

Spanish: 
Acabo de completar unos videos sobre el teorema del binomio. Pues, pienso que--
Ahora, porque los he terminado, pienso que ahora mismo es un buen tiempo para hacer
la prueba de la derivada de la forma general.
Pues, tomamos la derivada de x al n.
Ahora, porque sabemos el teorema del binomio,
tenemos las herramientas para hacerlo.
¿Cómo tomamos la derivada?
Y bien, ¿Qué es la definición clásica de la derivada?
Es el límite cuando delta x tiende a cero de la función
f de x más delta x. ¿Claro?
Entonces, en esta situación, f de x más delta x es x más delta x,
todo al exponente n, ¿claro?
menos f de x, lo cual es x al exponente n.
Todo de eso sobre delta x.

Chinese: 
我之前錄了幾個關於二項式定理的視頻
我之前錄了幾個關於二項式定理的影片
現在我想 現在正是時候
證明一般形式的導數
讓我算算 x^n 的導數
現在我們了解了二項式定理
我們可以著手解決這題
我們是怎麽取導數的？
嗯 導數的定義是什麽？
它是當 delta x 趨近 0
f(x+delta x) 的極限 對嗎？
所以在這裡 f(x+delta x) 是
(x+delta x)^n 對嗎？
減去 f(x) 而在這個例子是 x^n
全部除以 delta x
我們可以算出 (x+delta x)^n 展開後會是怎樣

Korean: 
 
제가 방금 이항정리 강의를 몇 개 찍고 왔습니다
이제 이항정리 부분은 다 끝난 것 같으니
 제가 봤을 때 지금은
일반적 형태의 도함수를 구할 좋은 때인 것 같습니다
xⁿ의 도함수를 구해 봅시다
우리가 이미 이항정리를 알고 있기 때문에
그것을 이용할 수 있을 것입니다
도함수가 무엇인지
즉 도함수의 원래 정의가 무엇인지 떠올려 봅시다
Δx가 0으로 갈 때
f(x＋Δx)의 극한입니다
그러면 이 경우에는 f(x＋Δx)는
(x＋Δx)ⁿ이 됩니다
여기에 f(x)를 뺍니다
즉 xⁿ을 빼는 것입니다
이것들을 Δx로 나눠주면 됩니다
 

Turkish: 
Binom teoremi ile ilgili birçok video yaptım.
Bu yüzden şimdilik bu kadarının yeteceğini düşünüyorum.
Artık genel türev formülünün ispatına geçebiliriz.
"
n üssü x'in türevini alalım.
Artık binom teoremini de bildiğimize göre, türev almak için ihtiyacımız olan şeye sahibiz.
"
Nasıl alacağız türevi?
Türevin klasik tanımı neydi?
limit, delta x 0'a yaklaşırken, f(x)+Δx
Değil mi?
Yani, burada (x+Δx)^n-x^n / Δx
Değil mi?
"
"
"

English: 
I just did several videos on
the binomial theorem, so I
think, now that they're done, I
think now is good time to do
the proof of the derivative
of the general form.
Let's take the derivative
of x to the n.
Now that we know the
binomial theorem, we
have the tools to do it.
How do we take the derivative?
Well, what's the classic
definition of the derivative?
It is the limit as delta x
approaches zero of f of
x plus delta x, right?
So f of x plus delta x in this
situation is x plus delta
x to the nth power, right?
Minus f of x, well f of x
here is just x to the n.
All of that over delta x.

Polish: 
Zrobiłem kilka filmów na temat dwumianów Newtona i uważam,
że, kiedy już z nimi skończyliśmy, jest dobra pora na
dowód pochodnej funkcji w ogólnej postaci.
Weźmy pochodną z x do potęgi n.
Jeśli już umiemy posługiwać się dwumianem Newtona,
mamy narzędzia potrzebne do policzenia tego.
Jak liczymy tę pochodną?
Cóż, jaka jest klasyczna definicja pochodnej?
To granica przy delta x dążącym do 0 z f od
x plus delta x, prawda?
W tej sytuacji f od x plus delta x to x plus delta x
do potęgi n, racja?
Minus f od x, czyli tutaj po prostu x do potęgi n.
I to wszystko przez x.

Bulgarian: 
 
Направих няколко видеа
върху биномната теорема
и мисля, че сега като са готови, 
е добър момент да
докажем производната на 
общия вид.
Нека намерим производната
на х на степен n.
Тъй като вече познаваме 
биномната теорема,
можем да я използваме, 
за да намерим производната.
Как да намерим 
производната?
Каква е класическата дефиниция
 за производна?
Тя е границата при делта х, 
клонящо към 0,
на f от х плюс делта х, нали?
f от х плюс делта х 
в този случай  е
х плюс делта х на степен n, 
нали?
Минус f от х, което тук е просто
 х на степен n.
Всичко това върху делта х.

Portuguese: 
Eu fiz vários vídeos sobre o teorema binomial e penso que
agora que eles estão prontos, é uma boa hora para
fazer a demonstração da da derivada de um monômio da forma mais geral.
Considere a derivada de x elevado a n.
Agora que conhecemos o teorema binomial,
temos as ferramentas para calculá-la.
Como calculamos uma derivada?
Bem, qual é a definição clássica de derivada?
É o limite quando delta x tende a zero de
f de x mais delta x, certo?
Então, f de x mais delta x nesta situação é o mesmo que
x mais delta x elevado à n-ésima potência. Certo?
Menos f de x. Bem, f de x aqui é apenas x elevado a n.
Tudo isso dividido por delta x.

Hindi: 
अब हमने Binomial पे काफी विडियो कर लिए है
अब समय आ गया है की
हम derivative का general form प्रोवे करें
अब derivative of x to the n लीजिये
अब हमें क्यूंकि binomial theorem पता है इसलिए
हम यह कर सकते है
Derivative कैसे निकाला जाए ?
Derivative की आम परिभाषा क्या है ?

Czech: 
Dokončil jsem několik videí
na binomickou větu,
proto teď, když jsou hotová
si myslím, že je čas na
důkaz obecných derivací.
Spočítám derivaci
funkce x na n-tou.
Teď, když známe binomickou vétu,
máme k tomu potřebný aparát.
Jak spočítat tuto derivaci?
Podle definice je derivace
limita pro delta x jdoucí k nule
funkce f(x) plus delta x.
V tomto případě je f(x) plus delta x
rovno (x plus delta x) na n-tou.
Odečtu f(x), co je v tomto
případě x na n-tou,
a celé vydělím delta x.
.

German: 
Ich habe gerade einige Videos über den Binomischen Lehrsatz aufgenommen...
und nun denke ich dass es ein guter Zeitpunkt ist
um den Beweis für das Differential x^n zu erklären
d/dx (x^n)
Da wir den Binomischen Lehrsatz kennen,
haben wir alle Voraussetzungen, um das zu tun.
Wie leiten wir diese Funktion ab?
Was ist die klassische Definition des Differentials?
Es ist der Grenzwert wenn delta x sich 0 annähert, von
f(x) + delta x, richtig?
Also f(x) + delta x ist in diesem Fall x + delta x
hoch n, richtig?
minus f(x), naja, f(x) hier ist hier einfach x^n
Und das Ganze geteilt durch delta x

Portuguese: 
Acabei de fazer vários vídeos sobre o teorema do binomio, por isso eu
acho, agora que estão feitos, que agora é uma boa hora para
a prova da derivada de forma geral.
vejamos a derivada de x para n.
Agora que sabemos o teorema binomial, nós
temos as ferramentas para fazê-lo.
Como determinamos a derivada?
Bem, qual a definição clássica da derivada?
É o limite quando delta x se aproxima de xero para f de x
x mais delta x, certo?
Então f de x mais delta x nesta situação é x mais delta
x à enésima potência, certo?
Menos f de x, bem, f de x aqui é apenas x elevado a n.
Tudo isso sobre delta x.

Estonian: 
Ma tegin just mitu videot binoomteoreemi kohta, nii et nüüd
need on nüüd tehtud, on õige aeg
teha mõni tuletise tõestus.
Võtame tuletise x astmel n.
Nüüd kui me teame binoomteoreemi, meil
on tööriistad, et see lahendada.
Kuidas me võtame tuletise?
Mis on klassikaline tuletise definitsioon?
See on piirväärtus kui delta x läheneb nullile protsessis
f(x) pluss delta x, õigus?
F(x) pluss delta x selles situatsioonis on x pluss delta
x astmel n, õigus?
Miinus f(x), f(x) siin on lihtsalt x astmel n.
Kõik see jagatud delta x.

Chinese: 
我之前录了几个关于二项式定理的视频
现在我想 现在正是时候
证明一般形式的导数
让我算算 x^n 的导数
现在我们了解了二项式定理
我们可以着手解决这题
我们是怎么取导数的？
嗯 导数的定义是什么？
它是当 delta x 趋近 0
f(x+delta x) 的极限 对吗？
所以在这里 f(x+delta x) 是
(x+delta x)^n 对吗？
减去 f(x) 而在这个例子是 x^n
全部除以 delta x

Thai: 
-
ผมเพิ่งทำวิดีโอหลายอันเรื่องทฤษฏีบททวินาม (binomial theorem) งั้นผม
ว่า เมื่อเรารู้มันแล้ว ผมว่านี่เป็นเวลาดี
ที่จะพิสูจน์อนุพันธ์ของรูปทั่วไป
มาหาอนุพันธ์ของ x กำลัง n กัน
ตอนนี้เรารู้ทฤษฏีบททวินาม เรามี
เครื่องมือในการหามันแล้ว
เราจะหาอนุพันธ์ยังไง?
นิยามดั้งเดิมของอนุพันธ์คืออะไรนะ?
มันคือ ลิมิตเมื่อ เดลต้า x เข้าใกล้ศูนย์ ของ f ของ
x บวก เดลต้า x จริงไหม?
แล้ว f ของ x บวกเดลต้า x ในกรณีนี้คือ x บวก เดลต้า
x กำลัง n จริงไหม?
ลบ f ของ x แล้ว f ของ x ตรงนี้ ก็แค่ x กำลัง n
ทั้งหมดนั้นส่วน เดลต้า x
-

Arabic: 
.
لقد قمت بتصميم عدة عروض حول نظرية المعادلات ثنائية الحدود، لذا
اعتقد، انه تم توضيح الفكرة الآن، اعتقد الآن ان الوقت مناسب لنقوم بعرض
اثبات مشتقة الصيغة العامة
دعونا نأخذ مشتقة x^n
الآن بما اننا نعرف نظرية المعادلات ثنائية الحدود
اذاً لدينا الاداة للقيام بحلها
كيف نأخذ المشتقة؟
حسناً، ما هو التعريف الكلاسيكي للمشتقة؟
انها نهاية دلتا اقتراب x من الصفر لـ
f(x) + دلتا x، اليس كذلك؟
اذاً f(x) + دلتا x في هذه الحالة عبارة عن x + دلتا
x^9، اليس كذلك؟
- f(x)، حسناً، f(x) هنا عبارة عن x^n
وكل ذلك مقسوماً على دلتا x
.

Polish: 
Znając dwumian Newtona, możemy znaleźć
rozwinięcie x plus delta x do potęgi n.
A jeśli o dwumianie Newtona nie słyszeliście, to zapraszam do
moich filmów z kategorii "Pre-calculus" i obejrzenia
tych dotyczących właśnie dwumianu Newtona.
Dwumian Newtona mówi nam, że to jest równe,
będę potrzebował do tego trochę miejsca, granicy przy
delta x dążącym do 0.
Co mówi dwumian Newtona?
To będzie równe, zrobię tylko licznik,
x do potęgi n plus n nad 1.
Jeszcze raz, przejrzyjcie sobie materiały dotyczące dwumianu Newtona, jeśli
to wygląda dla Was jakby było napisane po łacinie, a Wy byście nie znali łaciny.

Bulgarian: 
След като знаем биномната теорема, 
можем да разкрием
скобите на 
х плюс делта х на степен n.
Ако не знаеш биномната теорема,
се върни на
плейлиста за въведение в математическия анализ
и гледай видеата
върху биномната теорема.
Биномната теорема ни казва, 
че това е равно на...
Ще ми трябва малко място
 за това... На границата
при х, клонящо към 0...
Какво ни казва 
биномната теорема?
Това ще бъде равно на... 
Ще направя числителя.
х на степен n плюс n над 1.
Отново казвам да си преговориш биномната
 теорема, ако това ти изглежда
като латински, а не знаеш
латински.

Chinese: 
现在我们知道二项式定理
我们可以算出 (x+delta x)^n 展开后会是怎样
假使你不太清楚什么是二项式定理
你可以去我的微积分预修的视频列表里
观看关于二项式定理的视频
二项式定理告诉我们这等于——
我需要多一点空间——
当 delta x 趋近 0 时的极限
而什么是二项式定理？
这将等于——我先只算分子——
x^n 加上 n 选 1
让我重复一次 如果你觉得我在对牛弹琴的话
快去温习二项式定理吧

Dutch: 
Nu we het binomium van Newton kennen, kunnen we uitvogelen
wat de

Portuguese: 
Agora que sabemos o teorema binomial nós podemos descobrir
qual é a expansão de x mais delta x é á 9a(nona) potência
E se você não sabe o teorema binomial, vá até a
playlist de pre-calculo e assita os videos no tópico
teorema binomial
O teorema binomial nós diz que isso é igual a.. Eu
vou precisar de mais espaço para isto- O limite como
delta x tende a zero
E qual é o teorema binomial?

Portuguese: 
Agora que sabemos o teorema binomial, podemos resolver
qual é a expansão de x mais delta x à n-ésima potência.
E se você não conhece o teorema binomial, vá para a minha
playlist de pré-cálculo e assista os vídeos sobre
o teorema binomial.
O teorema binomial diz que isto é igual à --
agora preciso de um espaço para isso -- o limite disto quando
delta x tende a zero.
E qual é o teorema binomial?
Isto será igual a --- Eu vou fazer apenas o
numerador --- x elevado a n vezes o binomial de n com 1.
Novamente, estude o teorema binomial se isto parece
latim e você não conhece latim.

Arabic: 
الآن بما اننا نعرف نظرية المعادلات ثنائية الحدود فيمكننا ان نجد
ما هو امتداد (x + دلتا x)^9
واذا لم تكونوا تعرفون نظرية المعادلات ثنائية الحدود، فاذهبوا الى
تسجيلات مقدمة التفاضل والتكامل وشاهدوا عروض
نظرية المعادلات ثنائية الحدود
نظرية المعادلات ثنائية الحدود توضح لنا ان هذا يساوي
--سوف احتاج لبعض المساحة لهذا-- نهاية
اقتراب دلتا x من الصفر
وما هي نظرية المعادلات ثنائية الحدود؟
هذا سيساوي --سوف اتعامل مع
البسط-- x^n + n اختار 1
مرة اخرى، قوموا بمراجعة لنظرية المعادلات ثنائية الحدود اذا كان هذا يبدو
غريباً ولا تعرفونه

Estonian: 
Nüüd, kui me teame binoomteoreemi, me saame lahendada
mis on x pluss delta x astmel n.
Ja kui sa ei tea binoomteoreemi, mine minu
matemaatilise analüüsile eelnevasse playlisti ja vaata videoid
bionomteoreemi kohta.
Binoomteoreem ütleb, et see on võrde -- ma
vajan natuke selle jaoks ruumi -- piirväärtusega, kui
delta x läheneb nullile.
Ja mis on binoomteoreem?
See on võrdne -- ma tegelen praegu ainult
lugejaga -- x astmel n pluss n 1.
Veelkord, vaadake binoomteoreem üle, kui see näib ladina keelena
ja te ei oska ladina keelt.

Czech: 
Teď, když už známe binomickou větu,
můžeme určit
rozvoj (x plus delta x) na n-tou.
Pokud neznáte binomickou větu,
podívejte se na můj
seznam videí k prerekvizitám kalkulu
a podívejte se na video
o binomické větě.
Binomická věta hovoří, že
tento výraz se rovná
(budu potřebovat víc místa)
limitě pro
delta x jdoucí k nule...
A binomická věta říká,
že čitatel tohoto zlomku
je roven x na n-tou
plus n nad jednou...
(Pokud je to pro vás španělská vesnice,
podívejte se na video o binomické větě.)

Chinese: 
現在我們知道二項式定理
我們可以算出 (x+delta x)^n 展開後會是怎樣
假使你不太清楚什麽是二項式定理
你可以去我的微積分預修的影片列表裏
觀看關於二項式定理的影片
二項式定理告訴我們這等於——
我需要多一點空間——
當 delta x 趨近 0 時的極限
而什麽是二項式定理？
這將等於——我先只算分子——
x^n 加上 n 選 1
讓我重覆一次 如果你覺得我在對牛彈琴的話
快去溫習二項式定理吧

Korean: 
우리는 이항정리를 알고 있기 때문에
(x＋Δx)ⁿ을 전개할 수 있습니다
만약 이항정리가 무엇인지 잘 모르겠다면
제 유튜브 pre-calculus 목록에 가서
이항정리 강의들을 시청하시기 바랍니다
이항정리에 따르면 이 식은
이항정리에 따르면 이 식은
Δx가 0으로 갈 때
자 이항정리를 쓸 때입니다
이 부분이 무엇과 같으냐 하면
xⁿ ＋ nC₁
(역자) nC₁과 화면에 나오는 표현은 같은 표현입니다
다시 한 번 말하지만 만약 제가 쓰는 것들이
여러분에게 외계어처럼 느껴진다면
이항정리를 복습하고 오십시오

Thai: 
ตอนนี้เรารู้ทฤษฏีบททวินามแล้ว เราก็หา
ว่าจะกระจาย x บวก เดลต้า x กำลัง n ยังไง
และหากคุณไม่รู้ทฤษฏีบททวินาม ลองไปที่
รายการพรี-แคลคูลัส (pre-calculus) และดูวิดีโอเรื่อง
ทฤษฏีบททวินาม (binomial theorem)
ทฤษฏีบททวินามบอกเราว่า นี่เท่ากับ --
ต้องใช้ที่หน่อยสำหรับเจ้านี่ -- ลิมิตเมื่อ
เดลต้า x เข้าใกล้ศูนย์
แล้วทฤษฏีบททวินามว่ายังไง?
นี่จะเท่ากับ -- ผมจะทำตัวเศษ
ก่อน -- x กำลัง n คูณ n เลือก 1
ลองกลับไปดูทฤษฏีบททวินามหากนี่ดู
เหมือนภาษาละตินและคุณไม่รู้ละติน

Spanish: 
Ahora, porque sabemos el teorema del binomio, podemos calcular
la expansión de x más delta x, todo al exponente n.
Y si no sabes el teorema del binomio, vaya a mi
lista de reproducción para precálculo y mira los videos sobre
el teorema del binomio.
Pues, el teorema del binomio nos muestra que esto es igual a--
Voy a requerir espacio para esto--
el límite cuando delta x tiende a cero--
y ¿qué es el teorema del binomio?
Esto va a ser igual a-- Sólo calculo el numerador,
x al n más las combinaciones de n en 1.
De nuevo, revisita el teorema del binomio si esto te parece como
latín y no sabes latín.

German: 
Und da wir ja den Binomischen Lehrsatz kennen, können wir herausfinden...
...was x + delta x hoch n als Polynom erweitert ist
Wenn du den Binomischen Lehrsatz nicht kennst, findest
du videos zu dem Thema "binomial theorem"
in "pre-calculus".
Der Binomische Lehrsatz besagt, dass das hier gleich...
-dazu brauche ich etwas mehr platz hier - Der Limes
für delta x gegen 0
Durch den Binomische Lehrsatz wissen wir...
dass das hier gleich - Ich mache mal nur den Nenner --
x hoch n plus n über 1
Und noch mal, wenn du hier nur Bahnhof verstehst
dann schau dir die Videos zum "Binomial Theorem" an

Turkish: 
Artık binom teoremini bildiğimize göre (x+Δx)^n'i açabiliriz.
"
Eğer binom teoremini bilmiyorsanız, önceki sunumlarından binom teoremini bulup izleyebilirsiniz.
"
"
Binom teoremi bize bunun şuna eşit olduğunu söyler:
lim, Δx->0, ...
"
Peki binom teoremi neydi?
Sadece payı yapıyorum.
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...
Tekrar söylüyorum.
Bu size latince gibi geliyorsa ki latince bilmiyorsunuz, binom teoremini tekrar gözden geçirin.

English: 
Now that we know the binomial
theorem we can figure out
what the expansion of x plus
delta x is to the nth power.
And if you don't know the
binomial theorem, go to my
pre-calculus play list
and watch the videos on
the binomial theorem.
The binomial theorem tells us
that this is equal to-- I'm
going to need some space for
this one-- the limit as
delta x approaches zero.
And what's the
binomial theorem?
This is going to be equal to--
I'm just going to do the
numerator-- x to the
n plus n choose 1.
Once again, review the binomial
theorem if this is looks like
latin to you and you
don't know latin.

Bulgarian: 
n над 1 от х на степен n минус 1 Δх
плюс n над 2 х на степен
n минус 2Δх квадрат.
После плюс... Имаме
разни цифри и в това
доказателство няма нужда 
да минаваме през всичките, но
биномната теорема ни казва
какви са те и разбира се,
последната цифра, която
добавяме, ще бъде 1.
n над n, което е 1.
Нека само запиша това.
n над n.
Ще бъде х^0 по Δх^n.
Това е биномното разкриване.
Нека се върна до минуса. 
Зеленото е x плюс Δх
на степен n. Следователно
минус х^n.
Това е х на степен n. 
Знам, че го смачках.
Всичко това върху Δх.
Да видим дали можем
 да опростим.

Korean: 
nC₁×(x의 n－1제곱)×(Δx) 더하기
nC₂×(x의 n－2제곱)×(Δx)²입니다
그리고 엄청나게 많은 항들이 나올 것입니다
사실 이 증명에서 
이 모든 항들을 계산할 필요는 없습니다
물론 이항정리를 통해 계산할 수는 있지만 말입니다
마지막에 더할 항은 1에다가
nCn과 1이 같기 때문입니다
nCn 에다가
(x의 0제곱)과 (Δx)ⁿ을 곱합니다
자 이게 바로 이항정리로 식을 전개한 모습입니다
이제 뺄셈 부분을 해 봅시다
초록색 부분은 (x＋Δx)ⁿ입니다
그러니 여기다 xⁿ을
빼 주면 되겠습니다
저것은 xⁿ이라고 쓴 겁니다
약간 짓눌려져서 이상하게 쓰였지만
이 모든 것들을 Δx로 나눠줍니다
이 식을 좀 더 단순화할 수 있는지 보겠습니다

Thai: 
n เลือก 1 x กำลัง n ลบ 1 เดลต้า x บวก n เลือก 2 x กำลัง
n ลบ 2, นั่นคือ x n ลบ 2, เดลต้า x กำลังสอง
แล้วก็บวก และเราก็ได้เทอมอีกเพียบ และใน
การพิสูจน์นี้เราไม่ต้องเขีียนทุกตัว แต่
ทฤษฏีบททวินามบอกเราว่าพวกมันมีอะไรบ้าง แน่นอน
ตัวสุดท้ายที่เราจะเพิ่มเข้าไปคือ 1 -- มัน
คือ n เลือก n ซึ่งเท่ากับ 1
ขอผมเขียนมันลงไปนะ n เลือก n
มันจะเป็น x กำลังศูนย์ คูณ เดลต้า x กำลัง n
นั่นคือการกระจายทวินาม
ขอผมเเปลี่ยนเป็น ลบ สีเขียว นั่นคือ x บวก เดลต้า x
กำลัง n แล้วก็ ลบ x กำลัง n
นั่นคือ x กำลัง n ผมรู้ว่าผมบีบมันไปหน่อย
ทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
ลองดูว่าเราจะจัดรูปมันได้ไหม

Czech: 
... n nad jednou krát x na n mínus první
krát delta x plus n nad dvěma krát
x na n mínus druhou
krát delta x na druhou
plus několik dalších členů,
které není třeba rozepisovat,
ale postupují dle binomické věty
až k poslednímu členu,
který je roven jedné,
neboli n nad n.
Rozvoj tedy končí členem n nad n
krát x na nultou
krát delta x na n-tou.
Tohle je tedy binomický rozvoj.
Celý tenhle řádek zelenou barvou
je vlastně rozvoj (x plus delta x) na n-tou,
takže teď odečtu x na n-tou.
(Je to x na n-tou, i když natěsno.)
Všechno vydělím delta x.
Můžu něco zjednodušit?

Chinese: 
n 选 1 的 x^(n-1)*(delta x)
加上 n 选 2 的 x^(n-2)*(delta x)^2
加上接下来的很多项
在这个证明 我们不需要全部都算出来
二项式定理可以告诉我们 它们等于什么
当然最后一个号码是 1
n 选 n 会是等于 1
让我把它写下来吧 n 选 n
这是 x^0 * (delta x)^n
所以这就是二项式展开式
让我们回到前面这儿 算算这用绿色字写的项
那将是 (x+delta x)^n 所以减去 x^n
这是 x^n 我知道我把它写得很扁
这全部除以 delta x
瞧瞧我们能不能简化这个式子

Portuguese: 
binomial de n com 1, x elevado n menos 1, delta x.
binomial de n com 2, x elevado a n menos 2, isso é x, n menos 2, delta x ao quadrado.
Agora um mais, e temos um monte de números, e nesta
prova nós não precisamos de ir em todos os termos, mas o
teorema binomial nos diz o que eles são e, é claro, o
o último termo que nós adicionamos é 1 -- seria o
binomial de n com n que é 1.

Arabic: 
n اختار 1 لـ x^n - 1 دلتا x + n اختار 2
x^n - 2، ذلك يساوي x n - 2، دلتا x^2
ثم + --ولدينا مجموعة من المنازل، وفي هذا
الاثبات لا يتوجب علينا ان نأخذ جميع المنازل لكن
نظرية المعادلات ثنائية الحدود تخبرنا عن ماهيتها، وبالطبع
ان المنزلة الاخيرة --نستمر بالجمع-- تصبح 1
ستكون n اختار n، والذي يساوي 1
دعوني اكتب ذلك، n اختار n
سوف تصبح x^0 × دلتا x^n
اذاً هذا هو امتداد المعادلة ثنائية الحدود
--دعوني اعود من جديد الى-- سالب --اللون الاخضر-- ذلك يساوي x + دلتا x^n
اذاً - x^n
ذلك x^n، اعلم انني قد سحقته هنا
كل ذلك مقسوماً على دلتا x
دعونا نرى اذا كان بالامكان ان نبسطه

Turkish: 
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...
Ve ardından bir dizi sayı daha geliyor.
Bunların hepsini yazmak zorunda değiliz.
Binom teoremi bize bunların ne olduğunu söylüyor.
Ekleyeceğimiz son rakam 1 olacak.
Yani (n¦n) ki bu da 1'e eşit.
O zaman devam edersek şöyle bir şey olacak:
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...+(n¦n)x^0
Bu binom açılımı.
Devam edelim.
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...+(n¦n)x^0-x^n / Δx
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...+(n¦n)x^0-x^n / Δx
x^n+ (n¦1)x^n-1.Δx +(n¦2)x^n-2.(Δx )^2+...+(n¦n)x^0-x^n / Δx
Bakalım sadeleştirebilecek miyiz.

English: 
n choose 1 of x to the n minus
1 delta x plus n choose 2 x to
the n minus 2, that's x n
minus 2, delta x squared.
Then plus, and we have a bunch
of the digits, and in this
proof we don't have to go
through all the digits but the
binomial theorem tells us what
they are and, of course, the
last digit we just keep adding
is going to be 1-- it would
be n choose n which is 1.
Let me just write that
down. n choose n.
It's going to be x to the
zero times delta x to the n.
So that's the
binomial expansion.
Let me switch back to minus,
green that's x plus delta x
to the n, so minus
x to the n power.
That's x to the n, I know
I squashed it there.
All of that over delta x.
Let's see if we can simplify.

Polish: 
n nad 1 razy x do potęgi n-1 delta x plus n nad 2 x do potęgi
n-2, czyli x do n-2 razy delta x do kwadratu.
Potem plus, mamy tutaj pełno cyfr i w tym
dowodzie nie musimy przechodzić przez nie wszystkie, ale
dwumian Newtona mówi nam ile one wynoszą, i oczywiście
ostatni wyraz, który dodajemy to 1, bo tam by było
n nad n, czyli właśnie 1.
Pozwólcie, że to zapiszę, n nad n.
To będzie x do potęgi 0 plus delta x do potęgi n.
To właśnie jest rozwinięcie z dwumianu.
Teraz z powrotem minus, na zielono, to x plus delta x
do potęgi n, czyli minus x do potęgi n.
Tam jest x do potęgi n, wiem, wcisnąłem to tam.
I to wszystko przez delta x.
Sprawdźmy, czy uda się coś uprościć.

German: 
n über 1 x hoch n-1 mal delta x + n über 2 x hoch n -2
mal delta x^2
Dann wieder plus, und so geht das noch weiter
aber für diesen Beweis müssen wir uns keine Gedanken über jede Ziffer machen

Estonian: 
kombinatsioon n 1 korda x astmel n miinus 1 korda delta x pluss kombinatsioon 2 x
astmel n miinus 2, see on siin x astmel n miinus 2, delta x ruudus.
Siis pluss, ja veel hunnik numbreid, aga selles
tõestuses me ei pea kõik numbrid läbi käima, aga
binoomteoreem ütleb meile, mis nad on, ja muidugi viimane
number, mis me lisame, on 1 -- see oleks
kombinatsioon n n, mis on 1.
Las ma kirjutan selle üles. Kombinatsioon n n.
See on x astmel 0 korda delta x astmel n.
See on binoomi laiendamine.
Nüüd läheme miinuse juurde. Roheline on x pluss delta x
astmel n, ja siis veel miinus x astmel n.
See on x astmel n, ma tean, et see on natukene kokku surutud.
Ja see kõik jagatud delta x.
Vaatame, kas saame seda lihtsustada.

Spanish: 
Las combinaciones de n en 1 por x al n menos 1 por delta x más las combinaciones de n en 2 por x al n menos 2--
eso es x al exponente n menos 2 por delta x cuadrado.
Luego mas, y ahora tenemos un monton de digitos, y esto es
prueba de que no tenemos que ir a traves de todos los digitos pero el
teorema de binomio nos dice lo que son, por supuesto, el
ultimo digito que seguimos añadiendo sera 1--- seria
n al exponente de las combinaciones de n que a su vez es 1.
Denme un momento para escribir eso. n escoge n
Va a ser x exponente zero multiplicado por delta x exponente n
Esa es la expansion del teorema del binomio
Permitame volver a menos, verde eso es x mas delta x
exponente n, menos x a la potencia n
Esto es x a la n, se que lo he empujado allí
Esto es todo sobre delta x.
Vamos a ver si podemos simplificarlo.

Chinese: 
n 選 1 的 x^(n-1)(delta x)
加上 n 選 2 的 x^(n-2)(delta x)^2
加上接下來的很多項
在這個證明 我們不需要全部都算出來
二項式定理可以告訴我們 它們等於什麽
當然最後一個號碼是 1
n 選 n 會是等於 1
讓我把它寫下來吧 n 選 n
這是 x^0 (delta x)^n
所以這就是二項式展開式
讓我們回到前面這兒 算算這用綠色字寫的項
那將是 (x+delta x)^n 所以減去 x^n
這是 x^n 我知道我把它寫得很扁
這全部除以 delta x
瞧瞧我們能不能簡化這個式子

Thai: 
เริ่มต้นเรามี x กำลัง n ตรงนี้ และตอนท้าย
เราลบมันออกด้วย x กำลัง n งั้นสองตัวนี้จะหักล้างกัน
หากเราดูทุกเทอมตรงนี้ ทุกเทอมในตัวเศษจะมี
เดลต้า x อยู่ตัวนึง เราจึงสามารถหาทั้งเศษและ
ส่วนด้วยเดลต้า x ด้วย
นี่ก็เหมือนกับ 1 ส่วนเดลต้า x คูณ
ทั้งหมดนี่
งั้นนั่นจะเท่ากับ ลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ศูนย์ของ
เราก็หารทั้งบนและล่างด้วยเดลต้า x หรือเรา
คูณตัวเศษด้วย 1 ส่วนเดลต้า x
เราจะได้ n เลือก 1 x กำลัง n ลบ 1
เดลต้า x หารด้วยเดลต้า x ก็แค่ 1
บวก n เลือก 2, x กำลัง n ลบ 2
นี่คือ เดลต้า x กำลังสอง แต่เราหารด้วยเดลต้า x เรา
เลยได้ เดลต้า x หนึ่งตัวตรงนี้
เดลต้า x

Arabic: 
اولاً لدينا x^n هنا، وفي النهاية
نطرح x^n، اذاً هذان يتم حذفهما
اذا نظرنا الى كل عبارة لدينا هنا، كل عبارة في البسط تحتوي على
دلتا x، اذاً بامكاننا ان نقسم البسط و
المقام على دلتا x
ان هذا يعادل 1 / دلتا x ×
كل هذا الشيئ
ان هذا مساوياً لنهاية اقتراب دلتا x من الصفر
اذاً نقسم الاعلى والاسفل على دلتا x، او
نضرب البسط والمقام بـ 1 / دلتا x
ونحصل على n اختار 1 x^n - 1
ما هو ناتج x ÷ دلتا x، وهذا يساوي 1
+ n اختار 2، x^n - 2
هذا يساوي دلتا x^2، لكننا نقسم على دلتا x
ونحصل على دلتا x هنا
دلتا x

Bulgarian: 
Първо имаме х на степен n, 
а в края
изваждане x на степен n, следователно 
тези двете се съкращават.
Ако разгледаме всеки член, 
всеки член в числителя има
делта х, следователно можем 
да разделим числителя и
знаменателя на Δх.
Това е същото като 
1/Δх по
цялото това нещо.
Това е равно на границата при Δх, 
клонящо към 0, от...
Разделяме горното и долното
 на Δх или
умножаваме числителя 
по 1/Δх.
Получаваме n над 
1 по х на степен n –1.
Колко е Δх делено на
 Δх? Просто 1.
Плюс n над 2 х 
на степен n – 2.
Това е Δх квадрат, но 
тъй като делим на Δх,
тук получаваме Δх.
Δх.

English: 
First of all we have an x to
the n here, and at the very end
we subtract out an x to the
n, so these two cancel out.
If we look at every term here,
every term in the numerator has
a delta x, so we can divide
the numerator and the
denominator by delta x.
This is the same thing
as 1 over delta x times
this whole thing.
So that is equal to the limit
as delta x approaches zero of,
so we divide the top and the
bottom by delta x, or we
multiply the numerator
times 1 over delta x.
We get n choose 1 x
to the n minus 1.
What's delta x divided by
delta x, that's just 1.
Plus n choose 2, x
to the n minus 2.
This is delta x squared, but
we divide by delta x we
just get a delta x here.
Delta x.

Estonian: 
Meil on x astmel n siin ja kõige lõpus
me lahutame x astmel n, nii et need kaks taandavad üksteist.
Kui me vaatame igat termi siin, siis iga term lugejas kaasab
delta x, nii et me saame jagada lugeja ja
nimetaja delta x.
See on sama kui 1 jagatud delta x korda
kogu see asi.
See on võrdne piirväärtusega protsessis kui delta x läheneb nullile.
Me jagame ülemise ja alumise osa delta x, nii et me
korrutame lugeja 1 jagatud delta x.
Meile jääb kombinatsioonid n 1 korda x astmel miinus 1.
Mis on delta x jagatud delta x, see on lihtsalt 1.
Pluss kombinatsioon n 2, x astmel n miinus 2.
See on delta x ruudus, aga me jagame delta x, seega
meile jääb lihtsalt delta x siia.
Delta x.

Korean: 
자 먼저 이 부분에 xⁿ이 있고 
맨 끝에도 xⁿ이 보입니다
저 두 항이 상쇄되어 없어질 것입니다
이제 남은 항들을 보면 분자에 모든 항들이
Δx를 가집니다 그러면 이 분자 전체랑
분모를 똑같이 Δx로 나누면 됩니다
같은 표현으로 1/Δx를
분자에도 곱하고 분모에도 곱할 수도 있습니다
그러므로 이 식은 정리가 됩니다
Δx가 0으로 갈 때
위쪽과 아래쪽을 모두 Δx로 나눠줍니다
1/Δx를 곱한다고 생각해도 됩니다
이렇게 정리됩니다
nC₁ × x^(n-1)
여기 Δx를 Δx로 나눴기 때문에 
1이 되어 사라졌습니다
nC₂ × x^(n－2) 를 더하고
여기에는 (Δx)²이었는데
우리가 Δx로 나눴으니
Δx가 됩니다
Δx가 됩니다

Czech: 
Na začátku máme x na n-tou
a úplně na konci také,
takže tyto dva se vzájemně vyruší.
Každý zbývající člen v čitateli
obsahuje delta x, které se vyruší
s delta x ve jmenovateli.
Je to to samé, jako jedna lomeno x krát
"zelený" výraz.
To je rovno limitě pro delta x jdoucí k nule...
Vydělíme čitatel a jmenovatel delta x,
neboli vynásobíme čitatel členem
jedna lomeno delta x
a dostaneme n nad jednou
krát x na n mínus první,
protože delta x děleno delta x
je prostě jedna.
Plus n nad dvěma krát x na n mínus druhou...
Tady je delta x na druhou,
ale dělíme delta x,
takže zůstane jenom
delta x.

Turkish: 
İlk olarak, burada bir x^n var ve payın en sonunda -x^n var.
Bunlar birbirini götürürler.
Eğer paydaki her terime bakarsanız, hepsinde bir Δx olduğunu göreceksiniz.
O zaman hem payı hem paydayı Δx'e bölebiliriz.
"
Yani aslında pay 1/Δx ile çarpılmış gibi.
"
O zaman şöyle yazalım.
Hem payı hem paydayı Δx'e böldük.
"
İlk terim (n¦1)x^n-1 olur.
Δx / Δx nedir? 1.
2. terim (n¦2)x^n-2
Burada (Δx )^2 var.
Δx'e bölünce Δx elde ediyoruz.
Δx

Spanish: 
En primer lugar tenemos una x para la n aquí, y al final
sustraemos una x de n, de manera que se cancelan
Si nos fijamos en cada término aquí, cada término en el numerador tiene
un delta x, por lo que podemos dividir el numerador y el
denominador por delta x.
Esto es lo mismo que 1 sobre delta x veces
todo esto.
Por lo que es igual al límite como delta x acerca a cero,
por lo que dividimos la parte superior e inferior por delta x, o nos
multiplica el numerador veces 1 sobre delta x.
Obtenemos n Elija 1 x al n menos 1.
¿Qué es delta x dividido por delta x, que es sólo 1.
Plus n Elija 2, x a la n menos 2.
Se trata de delta x al cuadrado, pero dividimos por delta x nosotros
acaba de obtener un delta x aquí.
Delta x.

Chinese: 
首先我们在这有个 x^n
而在后面这儿我们减去 x^n 所以这两项抵消
如果我们仔细看这儿的每一项 在分子的每一项
都有个 delta x 所以我们可以把分子和分母
同时除以 delta x
这和 1/delta x 乘于这整项
是同样的东西
所以这等于当 delta x 趋近 0 时的极限
因此我们上下除以 delta x 换句话说
把分子乘于 1/delta x
我们得到 n 选 1 乘于 x^(n-1)
delta x/delta x 等于什么？很简单 是 1
加上 n 选 2，x^(n-2)
这是 delta x 的平方 但是之前我们除以 delta x 了
所以我们只剩下 delta x
Delta x

Polish: 
Po pierwsze, tutaj mamy x do potęgi n, a na samym końcu
odejmujemy x do potęgi n, czyli te dwie rzeczy się skrócą.
Jeśli przyjrzymy się każdemu wyrazowi, każdy wyraz w liczniku zawiera delta x,
czyli możemy podzielić licznik
i mianownik przez delta x.
To jest to samo, co 1 przez delta x razy
to wszystko.
To będzie równe granicy przy delta x dążącym do 0 z,
jeśli podzielimy górę i dół przez delta x, albo
przemnożymy licznik przez 1 przez delta x,
dostaniemy n nad 1 razy x do potęgi n-1.
Czym jest delta x podzielone przez delta x? To wynosi 1.
Plus n nad 2 razy x do potęgi n-2.
Tam było delta x do kwadratu, ale podzieliliśmy przez delta x,
więc tutaj dostaniemy samo delta x.
Delta x.

Chinese: 
首先我們在這有個 x^n
而在後面這兒我們減去 x^n 所以這兩項抵消
如果我們仔細看這兒的每一項 在分子的每一項
都有個 delta x 所以我們可以把分子和分母
同時除以 delta x
這和 1/delta x 乘於這整項
是同樣的東西
所以這等於當 delta x 趨近 0 時的極限
因此我們上下除以 delta x 換句話說
把分子乘於 1/delta x
我們得到 n 選 1 乘於 x^(n-1)
delta x/delta x 等於什麽？很簡單 是 1
加上 n 選 2，x^(n-2)
這是 delta x 的平方 但是之前我們除以 delta x 了
所以我們只剩下 delta x
Delta x

Polish: 
Tutaj mamy całe mnóstwo wyrazów, wszystkie dzielimy
przez delta x.
A ostatni składnik to delta x do potęgi n, ale to też
dzielimy przez delta x.
Czyli ostatni wyraz staje się n nad n, x do potęgi 0 to 1,
możemy to pominąć, delta x do potęgi n podzielone przez delta x.
Czyli to jest delta x do potęgi n-1.
Co robimy teraz?
Pamiętajcie, mówimy o granicy przez delta x
dążącym do 0.
Jeśli delta x dąży do 0, praktycznie każdy wyraz
zawierając delta x staje się 0.
Mnożąc przez 0, dostaje się 0.
Pierwszy składnik nie zawiera delta x, ale wszystkie
pozostałe już tak.
Każdy inny wyraz, nawet po podzieleniu przez delta x,
zawiera w sobie delta x.
Czyli to będzie 0.
Wszystkie składniki to 0, wszystkie z pozostałych
n-1 wyrazów się zerują.
A to, z czym zostaliśmy jest równe n nad 1

Czech: 
Teď pokračují další členy a
každý z nich dělíme delta x.
Poslední člen obsahuje delta x na n-tou,
ale i ten vydělíme delta x.
Poslední člen bude tedy
n nad n krát x na nultou, tedy jedna,
což můžeme ignorovat a
delta x na n-tou děleno delta x.
To je delta x na n mínus první.
Pro zopakování:
počítáme limitu pro delta x
jdoucí k nule.
Když delta x jde k nule, každý člen
obsahující delta x se změní na nulu.
Při násobení nulou je výsledek nula.
První člen sice neobsahuje delta x,
ale všechny ostatní ano.
I po dělení delta x v nich
zústalo delta x.
Takže to je nula.
Každý z dalších n mínus jedna členů
se změní v nulu.
Zůstane jenom n nad jednou krát

Spanish: 
Y entonces nosotros seguimos teniendo un montón de términos, vamos a dividir
todos ellos por delta x.
Y entonces el último término es delta x a la n, pero luego
vamos a dividir que por delta x.
Por lo que se convierte en el último término n Elija n, x al cero es 1,
podemos ignorar. Delta x a la n dividido por delta x.
Bueno, eso es delta x a n menos 1.
¿Entonces qué hacemos ahora?
Recuerde, estamos tomando el límite como delta
x acerca a cero.
Como delta x acerca a cero, bastante mucho cada término que
tiene un delta x, éste se convierte en cero.
Cuando multiplicas pero cero, obtendrá cero.
Este primer término no tiene ningún delta x, pero
hace cada otro término.
Cada otro término, incluso después de que hemos dividido por delta x
tiene un delta x.
Eso es un cero.
Cada término es cero, todos los otro n menos 1
términos, son todos ceros.
Todos estamos salimos con es que esto es igual a n elegir

Chinese: 
然後我們會有一堆項在這兒
我們統統除以 delta
最後一項是 (delta x)^n
但因爲我們除以 delta x 了
所以最後一項是 n 選 n，x^0 = 1
我們可以不管它 (delta x)^n 除以 delta x
嗯 就等於 (delta x)^(n-1)
這式子的極限
我們到底在做什麽呢？
記住 我們在取當 delta x 趨近 0 時
這式子的極限
當 delta x 趨近 0 時 幾乎每一項都有 delta x
所以這等於 0
當你乘任何東西以 0 的時候 結果都是 0
第一項沒有 delta x
但其余的項都有
其余的每一項 即使我們都除以 delta x 了
都還會有 delta x
所以等於 0
每一項都是 0
這 n-1 個項都是等於 0
我們只剩下這項

Bulgarian: 
После продължаваме да имаме много
елементи, като ще разделим
всичките на Δх.
Последният член е 
Δх на степен n,
който ще разделим на
Δх.
Последният член става 
n над n х на степен 0, което е 1.
Можем да пренебрегнем това.
 Δх на степен n делено на Δх.
Това е Δх на степен n – 1.
Какво правим сега?
Запомни, че търсим 
границата при Δх,
клонящо към 0,
горе-долу всеки член, който
има Δх в него, става 0.
Когато умножим по 0,
 получаваме 0.
Първият член няма 
Δх в него, но
всеки друг член има.
Всеки друг член, дори след като
разделим на Δх,
съдържа Δх.
Това е 0.
Всеки член е 0, всичките
елементи n – 1,
всички са нули.
Остава ни само, че това
е равно на n над 1

Turkish: 
Ve böyle devam ediyor.
Sırayla bütün terimleri Δx'e bölmemiz gerekiyor.
Son terimde, yani (n¦n)x^0Δx^n'de ne oluyor?
Onu da Δx'e bölüyoruz.
Böylece (n¦n)x^0=1 olduğu için Δx^n'i Δx'e bölmemiz yeterli.
Δx^n / Δx =?
Δx^n-1.
(n¦1)x^n-1+(n¦2)x^n-2(Δx )+...+Δx^n-1.
Şimdi ne yapacağız?
Δx 0'a yaklaşırken limit aldığımızı hatırlayın.
"
Nerdeyse her terimin içinde Δx olduğu için, Δx 0'a yaklaşırken bu da 0 olur.
"
0 ile çarparsanız 0 elde edersiniz.
İlk terimde Δx yok.
Ancak diğer bütün terimlerde Δx var.
İlki dışındaki diğer her terimin, Δx ile bölündükten sonra bile bir Δx'i var.
"
O zaman bu 0'a eşittir.
Bütün bunlar sıfır.
Hepsi 0'a eşit.
Elimizde tek kalan (n¦1)x^n-1.

Korean: 
여기서부터 엄청나게 많은 항들이 있습니다
이 모든 항들을
Δx로 나눠주면 됩니다
이제 마지막 항을 보면 원래 (Δx)ⁿ을 가졌습니다
그런데 Δx로 나누기 때문에
마지막 항은 이렇게 됩니다
nCn에 x의 0제곱을 곱하는데
1이니까 무시해도 되죠
그리고 (Δx)ⁿ을 Δx로 나눕니다
그러므로 Δx의 n－1제곱이죠
 
우리의 목표가 뭔지 다시 떠올려 봅시다
기억하십시오
우리는 극한을 구하고 있습니다
Δx를 0으로 보내서 말입니다
Δx가 0으로 접근하기 때문에
여기 많은 항들이
Δx를 가지므로 모두 0이 됩니다
무언가에 0을 곱하면 0이기 때문입니다
이 첫 번째 항에는 Δx가 없지만
다른 모든 항들에는 Δx가 있습니다
다른 모든 항들은 위에서 Δx로 나눴음에도
Δx를 여전히 가지고 있습니다
그러므로 0이 됩니다
다 0이 됩니다 
여기 n－1제곱 항도
모두 0이 됩니다
그러고 나서 남은 딱 하나의 항은

Thai: 
แล้วเราก็ได้เทอมอื่นอีก เราจะหาร
ทั้งหมดนั่นด้วยเดลต้า x
แล้วเทอมสุทด้ายก็คือ เดลต้า x กำลัง n แต่
เราจะหารมันด้วยเดลต้า x
ดังนั้นเทอมสุดท้ายจะกลายเป็น n เลือก n, x กำลังศูนย์ได้ 1
เราลืมมันไปได้ เดลต้า x กำลัง n หารด้วย เดลต้า x
นั่นคือ เดลต้า x กำลัง n ลบ 1
-
แล้วเราจะทำอะไรกันต่อ?
จำไว้ เรากำลังหาลิมิตเมื่อเดลต้า
x เข้าใกล้ศูนย์
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ศูนย์ ทุกเทอมที่มี
เดลต้า x อยู่ตัวนึง มันจะกลายเป็นศูนย์
เมื่อคุณอะไรก็ตามด้วยศูนย์ คุณจะได้ศูนย์
เทอมแรกนี่ไม่มีเดลต้า x อยู่ข้างใน แต่
เทอมอื่นทุกตัวมี
ทุกเทอมอื่น แม้ว่าเราจะหารมันด้วยเดลต้า x ไปแล้ว
ยังมีเดลต้า x อยู่
นั่นคือศูนย์
ทุกเทอมเป็นศูนย์ ทุกตัวยกเว้นเทอม n ลบ 1
พวกมันเป็นศูนย์
ที่เราเหลือก็คือ นี่เท่ากับ n เลือก

Estonian: 
Ja siis meile jääb veel hunnik terme, mida me jagame
delta x.
Ja siis see viimane term on delta x astmel n, aga
me jagame ka seda delta x.
Seega viimane term jääb kombinatsioon n n, x astmel 0, mis on 1.
Me võime seda ignoreerida. Delta x astmel n jagatud delta x.
See on delta x astmel n miinus 1.
Mis me nüüd siis teeme?
Me võtame piirväärtuse, kui delta x
läheneb nullile.
Kui delta x läheneb nullile, peaaegu iga term, mis omab
delta x, läheneb nullile.
Kui sa korrutad nulliga, sa saad nulli.
See esimene term ei oma delta x, aga
iga teine term omab.
Iga teine term, peale seda kui me jagasime seda delta x
omab delta x endas.
Seega see on null.
Iga term on null, kõik teise n miinus 1
termid, nad on kõik nullid.
Ja meile jääb järgi, et see on võrdne kombinatsiooniga n 1

English: 
And then we keep having a bunch
of terms, we're going to divide
all of them by delta x.
And then the last term is
delta x to the n, but then
we're going to divide
that by delta x.
So the last term becomes n
choose n, x to the zero is 1,
we can ignore that. delta x
to the n divided by delta x.
Well that's delta x
to the n minus 1.
Then what are we doing now?
Remember, we're taking
the limit as delta
x approaches zero.
As delta x approaches zero,
pretty much every term that
has a delta x in it,
it becomes zero.
When you multiply but
zero, you get zero.
This first term has no
delta x in it, but
every other term does.
Every other term, even after
we divided by delta x
has a delta x in it.
So that's a zero.
Every term is zero, all
of the other n minus 1
terms, they're all zeros.
All we're left with is that
this is equal to n choose

Chinese: 
然后我们会有一堆项在这儿
我们统统除以 delta
最后一项是 (delta x)^n
但因为我们除以 delta x 了
所以最后一项是 n 选 n，x^0 = 1
我们可以不管它 (delta x)^n 除以 delta x
嗯 就等于 (delta x)^(n-1)
我们到底在做什么呢？
记住 我们在取当 delta x 趋近 0 时
这式子的极限
当 delta x 趋近 0 时 几乎每一项都有 delta x
所以这等于 0
当你乘任何东西以 0 的时候 结果都是 0
第一项没有 delta x
但其余的项都有
其余的每一项 即使我们都除以 delta x 了
都还会有 delta x
所以等于 0
每一项都是 0
这 n-1 个项都是等于 0
我们只剩下这项

Arabic: 
ومن ثم نستمر بالحصول على مجموعة من العبارات، سوف نقسمهم
جميعاً على دلتا x
ومن ثم العبارة الاخيرة هي دلتا x^n، لكن لاحقاً
سوف نقسم ذلك على دلتا x
اذاً العبارة الاخيرة تصبح n اختار n، 
x^0 = 1
يمكننا تجاهل ذلك، دلتا x^n ÷ دلتا x
حسناً، ذلك يساوي x^n - 1
.
ثم ماذا نفعل الآن؟
تذكروا، اننا نأخذ نهاية
اقتراب دلتا x من الصفر
كلما اقترب x من الصفر، فإن كل عبارة
تحتوي على دلتا x، تصبح 0
عندما تضرب بصفر، تحصل على صفر
العبارة الاولى لا تحتوي على دلتا x، لكن
كل عبارة اخرى تحتوي على ذلك
كل عبارة اخرى --حتى بعد ان نقسم على دلتا x--
تحتوي على دلتا x بداخلها
اذاً ذلك يساوي 0
كل عبارة هي 0، كل عبارات n - 1 الاخرى
جميعهم اصفار
كل ما تبقى لدينا هو ان ذلك يساوي n اختار

Polish: 
razy x do potęgi n-1.
A ile wynosi n nad 1?
To jest równe n silnia przez 1 silnia, podzielone przez n-1 silnia,
razy x do potęgi n-1.
1 silnia to 1.
Jeśli mamy 7 silnia podzielone przez 6 silnia, to jest 7.
Albo jeśli mamy 3 silnia podzielone przez 2 silnia, to
po prostu 3, można to wyliczyć.
10 silnia przez 9 silnia, to 10.
Czyli n silnia podzielone przez n-1 silnia,
wynosi n.
Czyli to jest równe n razy x do potęgi n-1.
To jest pochodna x do potęgi n.
n razy x do potęgi n-1.
Właśnie policzyliśmy pochodną dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej z
x do potęgi n, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią.
A jak zobaczymy później, ten sposób działa dla wszystkich liczb

Bulgarian: 
по х на степен n – 1.
А какво е n над 1?
Това е равно на n факториел върху
1 факториел делено на n – 1
факториел по х на степен n – 1.
1 факториел е 1.
Ако имаме 7 факториел делено на
6 факториел, това е просто 7.
Или ако имаме 3 факториел 
делено на 2 факториел, това е
просто 3, виждаш логиката.
10 факториел делено на 
9 факториел е 10.
n факториел делено на
n – 1 факториел,
това е просто n.
Това е равно на n по 
х на степен n – 1.
Това е производната на 
х на степен n.
n по х на степен n – 1.
Току що доказахме производната за 
всяко положително цяло число за
х на степен n, където n е
всяко положително цяло число.
А по-нататък ще видим, че 
действа за всички реални

Turkish: 
(n¦1)x^n-1
(n¦1) neye eşit peki?
[n! / 1!(n-1)!]x^n-1
[n! / 1!(n-1)!]x^n-1
[n! / 1!(n-1)!]x^n-1
Eğer 7!/6! olsaydı 7'e eşit olurdu.
Ya da 3!/2! olsaydı 3'e eşit olurdu.
Bunu halledebilirsiniz.
10!/9!=10
Yani n!/(n-1)! n'e eşit olacak.
n!/(n-1)!=n
Yani [n! / 1!(n-1)!]x^n-1= n.x^n-1.
Bu da x^n'in türevine eşit.
n çarpı x^n-1.
x^n, n herhangi bir pozitif bir sayı, herhangi bir pozitif tamsayının türevini ispatladık.
"
Daha sonra bütün reel sayılar ve üssü sayılarda geçerli olduğunu göreceğiz.

Korean: 
nC₁×(x의 n－1제곱)이네요
이제 nC₁의 값을 찾아야 합니다
nC₁은 n!을 1!(n－1)!로 나눈 것입니다
여기다가 (x의 n－1제곱)을 곱합니다
1!=1이니 지워 줍시다
예를 들어 만약 7!을 6!로 나눈다면? 7입니다
또 다른 예로 3!을 2!로 나누면
3이라는 것을 쉽게 구할 수 있습니다
또 10!을 9!로 나누면 10이 됩니다
그러므로 n!을 (n－1)!로 나눈다면
n과 같아진다고 유추할 수 있습니다
그러므로 이 식은 n×(x의 n－1제곱)이 됩니다
이것이 바로 xⁿ의 도함수입니다
바로 n×(x의 n－1제곱)
우리는 방금 임의의 양의 정수 n에 대해서
xⁿ의 도함수를 유도했습니다
그리고 나중에 이 식이

English: 
1 of x the n minus 1.
And what's n choose 1?
That equals n factorial over 1
factorial divided by n minus 1
factorial times x
to the n minus 1.
1 factorial is 1.
If I have 7 factorial divided
by 6 factorial, that's just 1.
Or if I have 3 factorial
divided by 2 factorial, that's
just 3, you can work it out.
10 factorial divided by
9 factorial that's 10.
So n factorial divided
by n minus 1 factorial,
that's just equal to n.
So this is equal to n
times x to the n minus 1.
That's the derivative
of x to the n. n times
x to the n minus 1.
We just proved the derivative
for any positive integer when
x to the power n, where n
is any positive integer.
And we see later it actually
works for all real

Spanish: 
1 de x el n menos 1.
¿Y lo n Elija 1?
Es igual a n factorial más 1 factorial dividido por n menos 1
factoriales veces x a n menos 1.
factorial de 1 es 1.
Si tengo 7 factorial dividido por 6 factorial, que es sólo 1.
O si tengo factorial 3 dividido por 2 factorial, que
sólo 3, usted puede resolverla.
factorial 10 dividido por 9 factorial que es 10.
Por lo tanto n factorial dividido por n menos 1 factorial,
es simplemente igual a n.
Así que esto es igual a n veces x a n menos 1.
Es la derivada de x a las n veces n.
x a la n menos 1.
Sólo demostramos la derivada de cualquier número entero positivo cuando
x a la potencia n, donde n es cualquier número entero positivo.
Y después vemos que realmente funciona para todos los reales

Arabic: 
1 من x^n - 1
وما هو ناتج n اختار 1؟
ذلك يساوي مضروب n / مضروب 1 ÷ n - مضروب 1
× x^n - 1
مضروب الـ 1 هو 1
اذا كان لدي مضروب الـ 7 ÷ مضروب الـ 6، فإن ذلك يساوي 1
او اذا كان لدي مضروب الـ 3 ÷ مضروب الـ 2، فإن ذلك
يساوي 3، يمكنك ان تجرب ذلك
مضروب الـ 10 ÷ مضروب الـ 9 = 10
اذاً مضروب n ÷ مضروب n - 1
= n
اذاً هذا يساوي n × x^n - 1
تلك هي مشتقة x^n، وهي n ×
x^n - 1
لقد قمنا باثبات مشتقة اي عدد صحيح موجب عندما
x^n، حيث ان n عبارة عن اي عدد صحيح موجب
وسنرى لاحقاً انه ينجح لجميع

Estonian: 
korda x astmel n miinus 1.
Ja mis on kombinatsioon n 1?
See on võrdne n faktoriaaliga jagatud 1 faktoriaal korda (n miinus 1) faktoriaal
korda x astmel n miinus 1.
1 faktoriaal on 1.
Kui mul on 7 faktoriaal jagatud 6 faktoriaaliga, siis see on lihtsalt 1.
Või kui mul on 3 faktoriaal jagatud 2 faktoriaaliga, siis see on
lihtsalt 3.
10 faktoriaaliga jagatud 9 faktoriaaliga on lihtsalt 10.
Seega n faktoriaal jagatud n miinus 1 faktoriaaliga
võrdub n.
Seega see on n korda x astmel n miinus 1.
See on x astmel n tuletis.
n korda x astmel n miinus 1.
Me just tõestasime tuletise kõigi positiivsete arvude puhul funktsioonis
x astmel 4, kui n on positiivne number.
Ja me hiljem näeme, et see tegelikult kehtib kõigi reaalarvuliste

Chinese: 
n 选 1 乘于 x^(n-1)
而 n 选 1 等于什么？
这等于 n!/1!
再除以 (n-1)! 整项乘于 x^(n-1)
1 阶乘是 1
如果我有 7!/6! 那等于 7
或者说如果 3!/2! 结果是 3
你可以算算看
10!/9! = 10
所以 n!/(n-1)!
那将等于 n
所以这等于
这就是 x 的 n 次方的导数
n*x^(n-1)
我们刚证明了这导数 当 n 为任意正整数时
x^n 当 n 是任意正整数
在之后的视频 我们来看看

Chinese: 
n 選 1 乘於 x^(n-1)
而 n 選 1 等於什麽？
這等於 n!/1!
再除以 (n-1)! 整項乘於 x^(n-1)
1 階乘是 1
如果我有 7!/6! 那等於 7
或者說如果 3!/2! 結果是 3
你可以算算看
10!/9! = 10
所以 n!/(n-1)!
那將等於 n
所以這等於
這就是 x 的 n 次方的導數
nx^(n-1)
我們剛證明了這導數 當 n 爲任意正整數時
x^n 當 n 是任意正整數
在之後的影片 我們來看看

Thai: 
1 ของ x กำลัง n ลบ 1
แล้ว n เลือก 1 เป็นเท่าไหร่?
นั่นเท่ากับ n แฟคทอเรียล ส่วน 1 แฟคทอเรียล หารด้วย n ลบ 1
แฟคทอเรียล คูณ x กำลัง n ลบ 1
1 แฟคทอเรียล ได้ 1
หากผมมี 7 แฟคทอเรียล หารด้วย 6 แฟคทอเรียล นั่นก็แค่ 7
หรือหากผมมี 3 แฟคทอเรียล หารด้วย 2 แฟคทอเรียล นั่นก็คือ
3 คุณลองทำดูก็ได้
10 แฟคทอเรียลหารด้วย 9 แฟคทอเรียล นั่นคือ 10
ดังนั้น n แฟคทอเรียลหารด้วย n ลบ 1 แฟคทอเรียล
นั่นก็จะเท่ากับ n
งั้นนี่เท่ากับ n คูณ x กำลัง n ลบ 1
นั่นคืออนุพันธ์ของ x กำลัง n. n คูณ
x กำลัง n ลบ 1
เราเพิ่งพิสูจน์ได้ว่า อนุพันธ์สำหรับจำนวนเต็มบวกใด ๆ
เมื่อ x ยกกำลัง n เมื่อ n คือจำนวนเต็มบวกใด ๆ
และเราจะเห็นต่อไปว่ามันใช้ได้สำหรับทุก

Czech: 
x na n mínus první.
Kolik je n nad jednou?
To je rovno n faktoriál lomeno
jedna faktoriál krát n mínus jedna
faktoriál, krát x na n mínus první.
Jedna faktoriál je jedna.
Napŕíklad sedm faktoriál děleno
šest faktoriál je sedm.
Nebo tři faktoriál děleno
dva faktoriál je tři.
Dá se to spočítat.
Nebo deset faktoriál děleno
devět faktoriál je deset,
Takže n faktoriál děleno
n mínus jedna faktoriál
je rovno n.
Takže tento výraz je roven
n krát x na n mínus první.
To je derivace x na n-tou:
n krát x na n mínus první.
Dokázal jsem, čemu je rovna derivace
x na n-tou pro každé pŕirozené číslo n.
Později uvidíme, že to platí i pro

Turkish: 
"
Bir dahaki videoda yapacağız.
Bahsetmek istediğim bir nokta daha var.
Binom teoremini bilmemiz gerektiğini söyledim.
Ama aslında düşünürseniz hiç de gerek yok.
Yani biraz bilmeniz gerekiyor.
Binom açılımını bilmeniz gerek mesela.
Yani biraz tecrübe edinirseniz, şunu fark edersiniz:
(a+b)^n açılımını yaparken 1. terimin a^n ve 2. terimin n.a^n-1.b olacağını ve diğer terimlerin de böyle devam edeceğini görürsünüz.
(a+b)^n açılımını yaparken 1. terimin a^n ve 2. terimin n.a^n-1.b olacağını ve diğer terimlerin de böyle devam edeceğini görürsünüz.
(a+b)^n açılımını yaparken 1. terimin a^n ve 2. terimin n.a^n-1.b olacağını ve diğer terimlerin de böyle devam edeceğini görürsünüz.
(a+b)^n açılımını yaparken 1. terimin a^n ve 2. terimin n.a^n-1.b olacağını ve diğer terimlerin de böyle devam edeceğini görürsünüz.
Ama bunlar sadece bu ispatla ilgili terimler.
Diğer bütün terimler Δx 0'a yaklaşırken silindi.
"
Tabii binom teoremini bilmeniz gerekse de, böyle de yapabilirsiniz.
"
Son söylediklerim aklınızı karıştırdıysa duymazdan gelin.
Sadece bu geri kalan terimlerin hepsinin sıfıra yaklaştığını söylemeye çalışıyordum.
"
Her neyse, umarım tatmin edici olmuştur.

Spanish: 
los números y el exponente.
Nos vemos en un video futuro.
Otra cosa que quería señalar es, sabes dije
hemos tenido que conocer el teorema del binomio.
Pero si pones a pensar, realmente no incluso tenemos que saber
el teorema del binomio porque sabíamos que en cualquier binomial
expansión--o sea, tendría que saber un poco--pero si
hiciste una pequeña experimentación que lo haría
conscientes de que siempre ampliar a más b a la n-ésima
potencia, primer trimestre va a ser un a n y el segundo
plazo va a ser más n un a n menos 1 b.
Y, a continuación, va a seguir teniendo un montón de términos.
Pero estos son los únicos términos que son relevantes para esta prueba
porque todos los otros términos se canceló cuando delta
x acerca a cero.
Así que si usted solamente sabía que podría haber hecho esto, pero es
mucho mejor que hacerlo con el teorema del binomio.
Ignorar lo que decir si se le confunde.
Sólo estoy diciendo que nosotros podríamos acaba de decir el resto de
estos terminos terminan en zero
De todos modos, esperemos que encontraste ese cumplimiento.

Estonian: 
numbritega.
Ma näen teid hilisemas videos.
Veel üks asi, mida ma tahtsi välja tuua. Ma ütlesin, et
me pidime binoomteoreemi teadma.
Aga kui sa sellele mõtled, siis me ei pidanud tegelikult teadma
binoomteoreemi kuna me teadsime, et igas binoom laiendamises
-- ma mõtlen, et peate väga vähe teadma --
aga kui te natuke eksperimenteerite, siis
näeksitem et kui natuke laiendate a pluss b astmel n,
siis esimene term tuleb a astmel n ja teine
term tuleb pluss n korda a astmel n miinus 1 korda b.
Ja siis tuleb veel hunnik terme.
Aga need on ainukesed termid, mis on selle tõestuse jaoks olulised
kuna kõik ülejäänud termid tühistatakse, kui delta
x läheneb nullile.
Kui te oleks seda teadnud, oleksite võinud ka ise sellega hakkama saada, aga
seda on palju parem teha binoomteoreemiga.
Ignoreerige, mis ma just ütlesin, kui see teid segadusse ajab.
Ma lihtsalt ütlesin, et me oleks võinud lihtsalt öelda,
et kõik need termid muutuvad nulliks.
Loodetavasti see aitas teid.

English: 
numbers and the exponent.
I will see you in
a future video.
Another thing I wanted to point
out is, you know I said that
we had to know the
binomial theorem.
But if you think about it, we
really didn't even have to know
the binomial theorem because we
knew in any binomial
expansion-- I mean, you'd have
to know a little bit-- but if
you did a little
experimentation you would
realize that whenever you
expand a plus b to the nth
power, first term is going to
be a to the n, and the second
term is going to be plus n a to
the n minus 1 b.
And then you are going to keep
having a bunch of terms.
But these are the only terms
that are relevant to this proof
because all the other terms get
canceled out when delta
x approaches zero.
So if you just knew that you
could have done this, but it's
much better to do it with
the binomial theorem.
Ignore what I just said
if it confused you.
I'm just saying that we could
have just said the rest of
these terms all go to zero.
Anyway, hopefully you
found that fulfilling.

Chinese: 
这推算的结果是不是适用于任何实数和指数
我们会在未来的视频见
另外一件事情 我刚说了
我们需要先了解二项式定理
但是如果你仔细想想 我们其实不需要知道那个定理
因为我们知道在任何的二项式展开中
嗯 我是说你当然需要知道一点点
但是如果你做些小实验的话
你会发现每当你展开 (a+b)^n 时
第一项是 a^n
第二项是 na^(n-1)b
你会得到一堆的项
但是这些是和这个证明相关的项
因为其它项都会互相抵消
当 delta x 趋近 0
所以如果你只是知道这个 你可以这么做
当然有了二项式定理 证明会比较方便
如果你感到混淆的话 别管我刚才说的
我只是说我们可以把这些其余的项
当成是 0
无论如何 希望你能觉得我的解释周全

Chinese: 
這推算的結果是不是適用於任何實數和指數
我們會在未來的影片見
另外一件事情 我剛說了
我們需要先了解二項式定理
但是如果你仔細想想 我們其實不需要知道那個定理
因爲我們知道在任何的二項式展開中
嗯 我是說你當然需要知道一點點
但是如果你做些小實驗的話
你會發現每當你展開 (a+b)^n 時
第一項是 a^n
第二項是 na^(n-1)b
你會得到一堆的項
但是這些是和這個證明相關的項
因爲其它項都會互相抵消
當 delta x 趨近 0
所以如果你只是知道這個 你可以這麽做
當然有了二項式定理 證明會比較方便
如果你感到混淆的話 別管我剛才說的
我只是說我們可以把這些其余的項
當成是 0
無論如何 希望你能覺得我的解釋周全

Czech: 
všechny reálné čísla a exponent.
Nashledanou v dalším videu.
Ještě bych zdůraznil, že na začátku jsem říkal,
že je třeba znát binomickou větu.
Ale když se nad tím zamyslíte,
není ji třeba znát, protože pro každý
binomický rozvoj po chvilce
experimentování
zistíte, že když rozvinete a plus b na n-tou,
první člen bude a na n-tou,
druhý člen bude plus n krát
a na n mínus první krát b
a takhle to pokračuje pro další členy.
Ale pro tento důkaz stačí jen prvních
pár členů, protože všechny ostatní
se vyruší, když delta x
jde k nule.
Takže to jde i bez binomické věty,
ale je lepší, když ji znáte.
Nechci vás zmást,
říkám jen, že si stačilo uvědomit,
že všechny další členy jdou k nule.
Doufám, že se vám důkaz líbil.

Korean: 
모든 실수 지수에 대해서도 
성립한다는 것을 알게 될 것입니다
다음 영상에서 뵙겠습니다
빼먹을 뻔 했는데
또 하나 짚고 넘어가고 싶었던 내용은
제가 여러분들께
이항정리를 알아야 된다고 말씀드렸는데
잘 생각해 보시면 꼭 그럴 필요도 없습니다
왜냐하면 어떤 이항전개에서도
여러분이 아주 약간의 배경지식은 있어야 하는데
여러분이 직접 이항전개를 몇 번 해 보셨다면 아시겠지만
어떤 경우든 (a－b)ⁿ을 구할 때는
첫 항은 aⁿ이고
둘째 항은 n×(a의 n－1제곱)×b입니다
그리고 이후에 많은 항들이 있습니다
그렇지만 이 두개의 항만이 
이번 증명과 영향을 주는 항인데
다른 모든 항들은 0이 되어 없어지기 때문입니다
Δx가 0으로 가기 때문입니다
혹시 방금 이렇게도 생각할 수 있다는 것을 아셨지만
이항정리를 써서 푸는 것이 훨씬 간편하다고 느껴지시면
방금 여러분들을 혼란스럽게 했던 말들은 
무시하셔도 좋습니다
제 의도는 이 나머지 항들이
어차피 0이 될 것이라는 것을 말하고 싶었습니다
이 강의가 만족스러우셨기를 바랍니다

Polish: 
rzeczywistych i funkcji wykładniczej.
Zobaczycie to w jednym z kolejnych filmów.
Kolejna rzecz, na którą chcę zwrócić uwagę jest to, że
mówiłem, że potrzebna nam była znajomość dwumianu Newtona.
Ale jeśli się nad tym zastanowić, nie musieliśmy tak
naprawdę znać dwumianu Newtona, bo potrafilibyśmy to
rozwinięcie... Mamy na myśli to, że troszkę trzeba wiedzieć, ale
po małych eksperymentach zdalibyśmy sobie sprawę,
że rozwijając a plus b do potęgi n,
pierwszym wyrazem będzie a do potęgi n, a drugim
n razy a do potęgi n-1 razy b.
I potem będziemy mieli kolejne wyrazy.
Ale te są jedynymi, które odgrywają w tym dowodzie jakąś rolę,
bo wszystkie inne się kasują, gdy delta x
osiąga 0.
Także, jeśli tylko wiedzielibyśmy, że możemy tak robić,
ale jednak lepiej to liczyć dysponując już dwumianem Newtona.
Zignorujcie to, co powiedziałem, jeśli trochę zamieszałem.
Mam na myśli tylko to, że mogliśmy powiedzieć, że
reszta tych wyrazów to zera.
Tak czy owak, mam nadzieję, że to spełniło Wasze oczekiwania.

Thai: 
จำนวนจริง ทุกเลขชี้กำลัง
ผมจะพบคุณใหม่ในวิดีโอหน้า
อีกอย่างนึงที่ผมอยากบอกคือว่า คุณก็รู้ ผมบอก
ว่าเราต้องรู้ทฤษฏีบททวินาม
แต่หากคุณคิดดี ๆ เราไม่จำเป็นต้องรู้
ทฤษฏีบททวินาม เพราะเราว่าในการกระจาย
ทวินามใด ๆ -- ผมหมายความว่า คุณต้องรู้นิดหน่อย -- แต่หาก
คุณทดลองสักหน่อย คุณจะ
รู้เองว่าเมื่อใดที่คุณกรจาย a บวก b ยกกำลัง n
เทอมแรกจะเป็น a กำลัง n และ
เทอมที่สองจะเป็น บวก n a กำลัง n ลบ 1 b
แล้วคุณก็นับเทอมที่เหลือ
แต่พวกนี้คือเทอมที่ใช้ในการพิสูจน์
เพราะเทอมอื่นจะหายไปเมื่อเดลต้า
x เข้าใกล้ศูนย์
งั้นหากคุณรู้ว่าคุณทำอย่างนี้ได้ แต่
มันดีกว่าที่จะใช้ทฤษฏีบททวินาม
ลืมที่ผมพูดไปเถอะหากมันทำให้คุณงง
คุณแค่บอกว่า เราสามารถบอกได้ว่า
เทอมที่เหลือทั้งหมดจะกลายเป็นศูนย์
เอาล่ะ หวังว่าคุณคงพอใจแล้ว

Arabic: 
الاعداد الحقيقية والأسس
سوف اراكم في عروض قادمة
شيئ آخر اردت ان اشير اليه هو، تعلمون انني قلت ان
علينا ان نعرف نظرية المعادلات ثنائية الحدود
لكن اذا فكرتم بها، فإنه في الحقيقة لا يتوجب علينا ان نعرف
نظرية المعادلات ثنائية الحدود لاننا نعلم انه في اي
امتداد ثنائي الحدود --اعني، انه يبكون عليكم ان تعرفوا قليلاً-- لكن اذا
قمتم ببعض الاختبارات بأنفسكم فسوف
تدركون انه عندما تجدون امتداد (a + b)^n
فإن اول عبارة ستكون a^n، و
العبارة الثانية تكون + na^n - 1b
ومن ثم تستمرون بالحصول على مجموعة من العبارات
لكن هذه هي العبارات الوحيدة التي ترتبط بهذا الاثبات
لأن جميع العبارات الاخرى يتم حذفها عندما
يقترب دلتا x من الصفر
فاذا عرفتم انه بامكانكم اتمام هذا، لكنه
افضل بكثير عندما تقومون به باستخدام نظرية المعادلات ثنائية الحدود
تجاهلوا ما قلته اذا كان قد اربككم
انني اقول انه يمكنكم ان تقولوا ان باقي
العبارات جميعها ستصبح 0
على اي حال، اتمنى انكم وجدتم ذلك وافياً

Bulgarian: 
числа и степени.
Ще се видим в бъдещо видео.
Друго нещо, което исках
да отбележа, е че казах,
че трябва да знаеш
биномната теорема.
Но ако се замислиш, всъщност 
не ни се налагаше
да я знаем, защото знаем, 
че във всяко биномно
разкриване... Е, трябва поне 
малко да знаеш... Но ако
експериментираш малко, 
ще разбереш,
че когато и да разкриваш
(a + b) на степен n,
първият член ще бъде 
а на степен n, а вторият
член ще бъде 
плюс n a на степен n –1 b.
После ще продължаваш 
да имаш още елементи.
Но това са единствените елементи, 
които са важни за това доказателство,
защото всички останали 
се съкращават, когато
Δх клони към 0.
Така че, ако знаеше, можеше
да го направиш така, макар че
е много по-добре да го направиш
с биномната теорема.
Игнорирай това, което току-що казах, 
ако те обърквам.
Просто казвам, че можехме
да кажем, че останалите
елементи стават нули.
Надявам се, че това е 
удовлетворяващо за теб.

Polish: 
Do zobaczenia w następnych filmach.

Korean: 
다음 강의에서 뵙겠습니다
 

Arabic: 
سأراكم في العروض اللاحقة
.

English: 
I will see you in
future videos.

Chinese: 
我們在之後的影片再見

Bulgarian: 
Ще се видим в бъдещи видеа.

Turkish: 
Bir dahaki videoda görüşmek üzere.
"

Czech: 
Nashledanou příště.

Estonian: 
Näeme tulevastes videotes.

Spanish: 
los vere en futuros videos

Chinese: 
我们在之后的视频再见

Thai: 
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-
