
English: 
Hello everyone. Today we're going to talk about the problem that some consider
to be the most important and most difficult
in mathematics. The Riemann Hypothesis.
This hypothesis was formulated in 1859
by the German mathematician Bernhard Riemann. And up until now,
no one has succeeded in proving it, even though
the majority of researchers think it is undoubtedly true.
You might know that in mathematics there exist quite a few situations like this:
conjectures that all mathematicians consider to be true,
but that no one has yet been able to demonstrate.
So why is the Riemann Hypothesis so special?
Already from a purely practical perspective, I should point out
that it is one of the seven Millennium Prize Problems
for which the Clay Mathematics Institute is offering a prize of $1 million
to whomever finds a solution. But real mathematicians
don't care at all about that. What fascinates them most
is that the Riemann Hypothesis offers a connection
between two fields of mathematics, which at first glance
have nothing to do with each other: prime numbers on the one hand,

French: 
Bonjour à tous
Aujourd'hui on va parler de ce que certains considèrent comme le problème le plus important
et le plus difficile des mathématiques :
l'hypothèse de Riemann
Cette hypothèse a été formulée en 1859
par le mathématicien allemand Bernhard Riemann
et jusqu'ici
personne n'a réussi à la démontrer
même si la plupart des chercheurs pensent qu'elle est très certainement vraie.
Vous avez peut-être qu'en mathématiques il existe un certain nombre de situations de ce type
des conjectures que tous les mathématiciens
considèrent comme vrai
mais que personne n'arrive à démontrer.
Alors pourquoi l'hypothèse de Riemann est-elle si particulière ?
Déjà d'un point de vue bassement matériel, il faut savoir qu'elle fait partie des sept problèmes dit "du millénaire"
pour lesquels l'institut Clay offre un prix d'un million de dollars à qui en trouvera une solution.
Mais ça, les vrais mathématiciens s'en fichent.
Ce qui les fascine avant tout,
c'est que l'hypothèse de Riemann
propose une connexion entre deux champs des mathématiques
qui à première vue n'ont pas grand chose à voir.
D'un côté, les nombres premiers

French: 
et de l'autre côté, un domaine qu'on appelle l'analyse complexe.
Et pour bien comprendre ce lien qu'établit l'hypothèse de Riemann
on va commencer par parler du plus simple de ces deux domaines : les nombres premiers.
Commençons par rappeler ce qu'est un nombre premier: il s'agit d'un nombre entier qu'on ne peut pas diviser
à part par 1 et par lui-même, évidemment.
Par convention on exclut le 1 et donc les nombres premiers on en connaît plein : 2 3 5 7 11 13 etc.
Depuis très longtemps les mathématiciens se posent plein de questions sur les nombres premiers :
Quelle quantité il y en a ?
Comment ils se répartissent ?
Où est-ce qu'on en trouve ?
Certaines de ces questions sont résolues depuis bien longtemps, par exemple il y a plus de 2000 ans
Euclide avait déjà démontré qu'il existe une infinité de nombres premiers.
On sait aussi que les nombres premiers se raréfient, on en trouve de moins en moins souvent à mesure qu'ils augmentent.
Par exemple entre 0 et 100 on en trouve 25, donc un quart des nombres sont premiers dans cet intervalle.

English: 
and the domain called complex analysis on the other.
In order to understand this link that the Riemann Hypothesis forms,
we're going to start by discussing the simpler of these two domains:
prime numbers.
 
Let's start by recalling what a prime number is.
It is a natural number that cannot be divided,
except by the number 1 and by itself, of course.
By convention, we exclude 1 as prime, and so the prime numbers,
of which there are many, include 2, 3, 5, ...
7, 11, 13, etc. For a very long time,
mathematicians have asked themselves many questions about prime numbers.
How many are there? How are they distributed?
Where do we find them? Many of these questions
were answered a long time ago. For example, more than two thousand years ago, Euclid already showed
that there exist an infinite number of prime numbers. We know as well
that the prime numbers thin out. We find
fewer and fewer as the numbers increase. For example,
between 0 and 100, we find 25, which means
one quarter of the numbers in this range are prime.

French: 
Mais entre 1000 et 1100 il n'y en a plus que 16
et entre 1 000 000 et 1 000 100, on en trouve seulement 6
Pour comprendre la manière dont se distribuent les nombres premiers et pour représenter où on en trouve
on peut définir une fonction très simple qu'on appelle la fonction de répartition.
C'est une fonction qui compte simplement la quantité de nombres premiers entre 0 et x
Si on cherche tous les nombres premiers, par exemple entre 0 et 200, et qu'on trace cette fonction
On voit qu'elle a évidemment une forme en escalier, à chaque nombre premier elle augmente de 1.
Ici on peut lire la valeur que je mentionnais tout à l'heure, il y a 25 nombres premiers entre 0 et 100
Et de façon générale
puisque les nombres premiers se raréfient, on va avoir des plateaux de plus en plus longs avec des marches d'escalier de moins en moins souvent.
Pour tracer cette fonction de répartition on n'a malheureusement pas de formule toute faite
on est obligé de chercher tous les nombres premiers dans un certain intervalle.
Puis à partir de la liste, de tracer la fonction.

English: 
But between 1000 and 1100, there are only 16,
and between one million and one million one hundred, we find only 6 of them.
To understand the way the prime numbers are distributed,
and to represent where they are located, we can define
a very simple function called the (cumulative) distribution function.
It is a function that simply counts the number of primes
between 0 and x.
If we look for all the primes,
for example, between 0 and 200, and we draw this function,
we can clearly see that it has the shape of a staircase.
At each prime number, the function increases by one.
Here we can see the value I mentioned earlier.
There are 25 primes between 0 and 100.
And in a general way, since the primes get more and more spread out
we are going to have longer and longer plateaus
with fewer and fewer steps up.
To graph this distribution function, we unfortunately
don't have a ready-made formula. We just have to search
for all the prime numbers within a certain range.
Then, we draw the graph according to the list.
And looking for all the primes
in an interval is rather tedious, because

French: 
Et chercher tous les nombres premiers dans un intervalle c'est assez fastidieux parce qu'on est forcé d'une façon ou d'une autre
de traiter tous les nombres afin d'éliminer ceux qui ne sont pas premiers.
Cette fonction de répartition on ne sait donc pas la tracer sans avoir préalablement la liste des nombres premiers.
Mais on en connaît quelques approximations.
La première c'est la fonction x/log(x)
C'est une fonction très simple dont la forme générale suit celle de la fonction de répartition
et qui permet comme ça de connaître en gros la quantité de nombres premiers dans un intervalle donné.
Même si, vous le voyez, elle est toujours un peu en dessous de la réalité.
Mais il existe une autre approximation un peu meilleure que ça,
c'est une fonction qu'on appelle le logarithme intégral, noté Li(x)
Ici elle est tracée entre 0 et 1000, et vous voyez que c'est pas trop mal
on est un peu au dessus de la fonction de répartition cette fois,
mais tracée entre 0 et 100 000 vous voyez que ça colle assez bien - mieux que la fonction précédente.
Alors une des choses qu'a faites Riemann c'est d'abord de proposer une approximation
encore meilleure que celle-ci, qui est une variante fabriquée à partir de la fonction Li(x)

English: 
we are forced somehow
to consider every single integer in order to eliminate the non-primes.
We therefore don't know how to graph the distribution function
without already having the list of primes beforehand.
But we do know a few approximations. The first is the function
x divided by the logarithm of x.
It's a very simple function, which generally follows
that of the distribution function, and which allows us
to roughly determine the number of primes
in a given interval. Although, as you can see,
it always underestimates the real value a bit. But there exists another
approximation that's somewhat better. It's called
the logarithm integral function, written Li(x). It's drawn here between 0 and 1000, and you can see
that it's not too bad, right? We're a little bit above the distribution function this time,
but drawn between 0 and one hundred thousand,
well, you can see that it tracks much better than the previous function.
So one of the things Riemann did was to first propose
an even better approximation than these two,
which is a variant built from the Li(x) function,

French: 
et qu'on note parfois Ri(x), en hommage à Riemann justement.
Si je trace cette fonction Ri(x) vous voyez que là
c'est vraiment une très bonne approximation de la fonction de répartition, elle passe vraiment bien au milieu.
Parfois elle est légèrement au dessus, parfois légèrement en dessous, mais dans l'ensemble c'est vraiment pas mal du tout
Le problème de cette approximation c'est qu'elle suit la tendance générale mais elle n'a pas du tout cette structure en escalier qu'a la fonction de répartition
et par conséquent, elle ne nous dit rien des endroits où se produisent les petits sauts, et où se trouvent précisément les nombres premiers.
On ne peut donc pas utiliser cette approximation pour deviner à l'avance où vont se trouver les nombres premiers.
Un truc qui fait rêver les mathématiciens, ce serait de posséder une expression,
une formule, une fonction de ce genre qui aurait la structure en escalier - de façon à pouvoir prédire précisément la localisation des nombres premiers.
L'idéal serait d'avoir la formule d'une fonction qui fasse un peu comme ça
Et bien c'est ça qu'a réussi à faire Riemann
enfin.. presque, et pour vous faire comprendre comment on va devoir faire un détour par quelque chose qui n'a en apparence rien à voir

English: 
and which we sometimes call
Ri(x) in honor of Riemann.
If I graph this function Ri(x), you can see that it is really
a very good approximation to the distribution function. It passes right through
the middle. Sometimes it's slightly above,
sometimes slightly below, but overall it's really quite good.
The problem with this approximation is that while it follows the general trend,
it doesn't have the same staircase shape that the distribution function does.
Consequently, it doesn't tell us anything about
where the little jumps occur, nor the precise
locations of the primes. We therefore cannot use this approximation
to guess in advance where the primes will be located.
Mathematicians dream of having
an expression, a formula, a function of this kind
that has the shape of a staircase. That way, they could precisely predict
the locations of the prime numbers.
The best case would be to have the formula for a function that looks kind of like this.
And indeed, that's exactly what Riemann accomplished.
Well, almost. And to help you understand how, we're going to need to
take a detour into something that at first seems totally unrelated:

English: 
infinite sums.
In mathematics, we can do addition.
We can add 2 numbers, 3 numbers,
or 29 numbers... as many as you like, actually. But more than that,
there are certain situations where we can add up
an infinite number of numbers. Let's take a simple example.
Consider the sum one half, plus one quarter, plus one eighth, plus one sixteenth,
plus one thirty-second, plus one sixty-forth, etc. to infinity.
It's a sum that we can calculate step by step,
and if you do it, you'll realize the result gets closer and closer to 1.
This becomes clearer if we represent the terms as slices of cake.
We have a sum with an infinite number of terms
but where the result is finite.
We say that it converges. Mathematicians call such infinite sums
"series". But yes, be careful, if a math student
invites you over to check out a series,
be aware that they're not actually talking about Netflix and chill.
To summarize, an infinite sum is a series,

French: 
les sommes infinies.
En mathématiques on peut faire des additions. On peut additionner deux nombres, trois nombres,
29 nombres.. autant que vous voulez en fait. Mais en plus de ça, il existe des circonstances
particulières dans lesquelles on peut faire la somme d'une infinité de nombres.
Prenons un exemple simple :
considérez la somme 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 etc. jusqu'à l'infini
C'est une somme qu'on peut calculer progressivement
et si vous le faites, vous allez vous rendre compte qu'on se rapproche de plus en plus de 1
Ça se voit très bien si on en fait une représentation comme des parts de gâteau
On a une somme, avec une infinité de termes, mais dont le résultat est un nombre fini : on dit qu'elle converge.
Ces sommes infinies, les mathématiciens appellent ça des séries.
Alors oui attention - si un matheux ou une matheuse vous propose de venir chez lui
"regarder des séries"
méfiez-vous ça va pas être exactement Netflix & chill

English: 
and sometimes, but not always, the series converges to a finite value.
We can make all kinds of series. For example, 1 plus one quarter
plus one ninth, plus one sixteenth, plus one twenty-fifth, etc.
You can see the pattern. In the denominator, we put
the squares of whole numbers. And this series converges toward 1.6449...
We can also do the same thing with cubes
instead of squares of whole numbers.
1 plus 1 over 2 cubed, plus 1 over 3 cubed, plus 1 over 4 cubed, etc.
And this series also converges toward 1.202...
We can try to generalize this principle to any power,
even to powers that are not whole numbers.
Like 6.3, say. Indeed, we can write 1 plus
1 over 2 to the power 6.3 plus 1 over
3 to the power 6.3 plus 1 over 4 to the power 6.3 etc.
You might see where we're going with this little game.
We can do it with any number x,
and so, in a general way, we can consider the following function.
1 plus 1 over 2 to the power x, plus
1 over 3 to the power x, plus 1 over 4 to the power x, etc.

French: 
Bref, une somme infinie c'est une série, et parfois -mais pas toujours- la série converge vers une valeur finie.
Les séries on peut en fabriquer plein, par exemple
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 etc.
Vous remarquez le motif : au dénominateur on met le carré des nombres entiers.
Et cette série converge vers 1,6449 et des brouettes
On peut aussi faire la même avec des cubes au lieu des carrés des nombres entiers.
1 + 1 sur 2 au cube + 1 sur 3 au cube + 1 sur 4 au cube etc... et la série converge aussi vers
1,202 et quelques
Et ce principe on peut essayer de le généraliser avec n'importe quelle puissance
même des puissances de nombres qui ne sont pas des entiers
Disons.. 6,3
Et bien on peut écrire
1 + 1 sur 2 puissance 6.3
+ 1 sur 3 puissance 6,3
+ 1 sur 4 puissance 6,3 etc...
Vous voyez peut-être où je veux en venir : ce petit jeu on peut le faire avec n'importe quel nombre x
et donc, de façon générale, on peut considérer la fonction suivante
1 + 1 sur 2 puissance x + 1 sur 3 puissance x + 1 sur 4 puissance x etc

English: 
And we can show that as long as x is strictly greater than one,
the series converges, and the function makes sense.
Normally at this stage, you might be wondering why I introduced this function f(x)
with such a convoluted definition, and what it
has to do with prime numbers. The reason is actually
due to a strange relation discovered before Riemann
by the Swiss mathematician, Leonard Euler.
This function f(x) is exactly equal to
this expression, which this time is an infinite product.
And if you look closely, you can see that within this infinite product
we don't find a term for each whole number,
but rather only a term for each of the primes.
Euler's formula might seem strange to you
with the whole infinite product thing. But it shows us that there exists
a deep connection with the prime numbers.
And it's this connection that Bernhard Riemann pushed much, much further.
I told you that the function f(x) is only defined
for values of x strictly greater than one.
What Riemann did was to show that we can extend
the definition of this function to be much more general,

French: 
Et on peut montrer que dès que x est strictement plus grand que 1, et bien la série converge et la fonction a un sens.
Alors normalement à ce stade vous vous demandez pourquoi j'ai introduit la fonction f(x) à la définition si alambiquée
et quel rapport ça peut avoir avec les nombres premiers. Et bien la raison c'est une drôle de relation
découverte avant Riemann par le mathématicien suisse Leonhard Euler :
Cette fonction f(x) est exactement égale à cette expression, qui est cette fois un produit infini.
Et si vous la regardez de près, vous remarquez que dans ce produit infini on ne trouve pas un terme pour chaque nombre entier
mais seulement chaque nombre premier.
La formule d'Euler peut vous sembler étrange avec cette histoire de produits infinis
mais elle nous montre qu'il existe une connexion profonde avec les nombres premiers.
Et ce lien, Bernhard Riemann l'a poussé beaucoup plus loin.
Je vous j'ai dit, la fonction f(x) n'est définie que pour des nombres x strictement plus grands que 1.
Ce qu'a fait Riemann, c'est de montrer qu'on peut prolonger la définition de cette fonction
de façon beaucoup plus large
notamment pour les nombres complexes.

English: 
notably, to include complex numbers. Small digression,
complex numbers are those that we can write in the form
z equals x plus i times y, where i is the
imaginary number such that i squared is negative one.
A complex number z therefore requires two real numbers,
x and y, to describe it.
The easiest way to visualize the complex numbers
is to imagine them representing points on the plane
with coordinates x and y. We call the set
of all such points the complex plane, in which the real numbers make up just a line.
And as I mentioned, what Riemann found was a way to extend the definition
of this function from this part of a line to
the entire complex plane.
This extension process is not at all obvious, and
I'm not going to get into the details. For those who are curious, there's a video
by El Jj, and another by 3blue1brown, which explain it very well.
What you should understand, though, is that this extension is somehow unique,
meaning Riemann found
the one and only way to define this function over all the complex numbers.
This extended function is called the Riemann zeta function,

French: 
Alors petite parenthèse, les nombres complexes ce sont ceux qu'on peut écrire sous la forme
z = x + i * y
où i est le nombre imaginaire, tel que i carré égale -1
Un nombre complexe z, il faut donc deux nombres réels x et y pour le décrire
Le moyen le plus simple de visualiser les nombres complexes
c'est de se dire qu'il se représentent comme des points du plan, de coordonnées x et y. On appelle l'ensemble le plan complexe
là où les nombres réels ne sont qu'une droite.
Et comme je l'ai dis, ce qu'a trouvé Riemann c'est un moyen de prolonger la définition de la fonction
depuis cette portion de droite
jusqu'à l'ensemble du plan des nombres complexes.
Cette opération de prolongement, elle a rien d'évident et je vais pas rentrer dans les détails
Pour les curieux, il y a une vidéo de El Jj et une autre de 3Blue1Brown qui l'expliquent très bien.
Ce qu'il faut retenir, c'est que ce prolongement est en quelque sorte unique
et donc Riemann a trouvé la seule façon de définir cette fonction sur tous les nombres complexes.

English: 
since of course Greek letters sound a bit fancier.
So there you go, now you're familiar with the famous Riemann zeta function,
and thanks to the relation that Euler had discovered before him,
you understand that it indeed has, at least vaguely, a connection to the prime numbers.
Okay, let's get back to our original problem:
the distribution of these prime numbers.
I mentioned already that this function Ri, introduced by Riemann, is a very good
approximation to the distribution function.
However, it completely lacks the stair-step behavior.
What Riemann discovered is a function that has this shape
and which is a simple modification of the function Ri.
For that, we start from the function Ri, and
we're going to add some small distortions to correct it.
What's nice is that these small corrections are also expressed in terms of the function Ri,
but by evaluating x to the power z
for all the complex numbers z where the zeta function vanishes.
Okay, let's explain that slowly just so we're clear.
We can imagine that the zeta function is zero
at a certain number of points in the complex plane.
We call these points the "zeros" of the zeta function.

French: 
Cette fonction prolongée on l'appelle la fonction zêta
(ben oui parce que les lettres grecques ça fait quand même plus chic)
Voilà, vous connaissez maintenant 
la fameuse fonction zêta de Riemann
et grâce à la relation 
qu'avait découvert Euler avant lui
vous comprenez qu'elle a certainement un vague lien avec les nombres premiers.
Bien, alors revenons maintenant 
à notre problème d'origine :
la répartition de ces nombres premiers.
Je vous l'ai déjà, dit la fonction Ri(x) introduite par Riemann
est une très bonne approximation de la fonction de répartition, mais elle n'a pas du tout le comportement en marche d'escalier.
Et ce qu'a découvert Riemann, c'est une fonction qui a cette forme et qui est une simple modification de la fonction Ri(x)
Pour ça, on part de la fonction Ri
et on va lui apporter 
des petites déformations, des corrections.
Ce qui est génial c'est que ces corrections s'expriment aussi à partir de la fonction Ri
mais en l'évaluant au point x puissance z
pour tous les points complexes z où la fonction zêta s'annule.
Alors expliquons ça tranquillement pour être bien clair. On peut imaginer que la fonction zêta
s'annule en un certain nombre de points du plan complexe.
Ces points là, on les appelle les Zéros de la fonction zêta.

French: 
Supposons qu'on les connaisse, et appelons Z1, Z2, Z3 etc ...
Pour faire les corrections dont je parlais, vous partez de la fonction Ri(x) et vous lui retirez Ri(x puissance z)
pour chacun des Zéros
on fait donc Ri(x) - Ri(x) puissance Z1 - Ri(x) puissance Z2  - Ri(x) puissance Z3, etc...
Chaque Zéro de la fonction zêta fournit une petite correction.
Ce qu'a démontré Riemann, c'est que si on connaît tous les Zéros de la fonction zêta, 
 alors en faisant toutes les corrections
on tombe exactement sur la fonction de répartition des nombres premiers, avec sa structure en escalier.
Alors ok très bien, mais maintenant il va falloir les trouver ces Zéros - et je vous rappelle qu'on doit ler chercher
parmi les nombres complexes, donc dans le plan complexe.
Alors pour ça, sur ce dessin, j'ai représenté en niveaux de gris ce qu'on appelle le module de la fonction zêta
plus cette valeur est faible plus le gris est clair, et les Zéros correspondent donc aux points blancs de cette image.
On peut observer deux choses :

English: 
Suppose we know them and we call them
z1, z2, z3, etc. To make the corrections I was talking about,
start from the function Ri(x) and remove from it
Ri(x^z) for each one of the zeros.
We therefore do RI(x) minus Ri(x^z1)
minus Ri(x^z2)
minus Ri(x^z3) etc.
Each zero of the zeta function brings a small correction.
What Riemann demonstrated is that if we know
all of the zeros of the zeta function, then by making all the corrections,
we land exactly on the distribution function of the prime numbers
with its staircase structure.
Okay great, so now we just have to find these zeros.
I'll remind you that we have to look for them among the complex numbers,
and hence over the complex plane. For that, on this figure,
I'm showing in greyscale what's called the modulus
of the zeta function. The lower its value is,
the lighter the grey is, and the zeros correspond
therefore to the white points in the image.
We can notice two things. First, we have zeros at -2, -4,

English: 
-6, -8, etc.
Actually, the zeta function vanishes for all negative even numbers.
This can be proven, and they are what mathematicians call
the "trivial" zeros of the function.
You'll notice as well that there are other zeros here, and they all lie along this vertical line,
which corresponds to the set of complex numbers
whose real part is one half. This line is called
the "critical line". If we graph
the zeta function specifically along this critical line,
ignoring the rest of the plane, here's what we observe.
You can see there are lots of zeros. That's good, huh?
But for one, there's nothing obviously special about them. They're not integers
or half-integers or something else like that. They seem
rather random. What's more, we can't identify any
particular regular pattern in their distribution.
Sometimes there's a lot of space between two. Sometimes they're right next to each other.
And the question Riemann asked himself was
apart from -2, -4, -6, etc., are all the zeros of the zeta function
on this critical line, or do others exist elsewhere?
This is important, since knowing these zeros allows us to make all the corrections we need

French: 
Tout d'abord on a des Zéros en -2, -4, -6, -8 etc...
en fait pour tous les nombres pairs négatifs, la fonction zêta s'annule.
On sait le démontrer, et c'est ce que les mathématiciens appelle les zéros triviaux de la fonction.
Mais vous voyez qu'on a d'autres Zéros ici, et ils semblent tous alignés sur cette droite verticale
qui est celle qui correspond aux nombres complexes de partie réelle 1/2
On appelle cette droite : la droite critique.
Si on trace spécifiquement la fonction zêta 
 le long de cette droite critique,
en oubliant tout le reste du plan,
voici ce qu'on observe. Vous voyez qu'on trouve plein de zéros, alors c'est bien
mais d'une part ils n'ont rien de remarquables
ce ne sont pas des nombres entiers ou demi entiers ou autre chose de ce genre, ils ont l'air un peu aléatoires, et en plus
on ne distingue pas de régularité particulière dans leur répartition. Parfois on a beaucoup d'espace entre deux, parfois ils s'enchaînent presque immédiatement.
Et la question que s'est posée Riemann c'est,
à part -2, -4, -6 etc ..
Est ce que tous les zéros de la fonction zêta sont sur cette droite critique, ou bien est-ce qu'il en existerait d'autres ailleurs ?
Et c'est important, puisque la connaissance de ces zéros

English: 
to find the distribution function of the primes.
And so that is what we mean by the Riemann hypothesis,
the claim that all of the non-trivial zeros lie along the critical line.
We have very good reasons for thinking it is true, since we have now
found more than 10 trillion on this line
and not a single one off of it. But you know that in maths
this doesn't guarantee that it's always true. To illustrate the importance of this hypothesis,
look what it allows us to do. Here I have
the distribution function of primes in blue, with its staircase shape,
and the function Ri in red. And now,
I'm going to progressively add corrections by taking,
one by one, the zeros found on the critical line.
So you can see that this adds small oscillatory corrections,
which, once we've added enough, end up
tracing the stairs of the distribution function very well.
This in turn tells us exactly where to find the prime numbers.
It even looks like that, at some point,
we no longer need to add any more corrections.
But unfortunately, the farther out we want to draw this curve,

French: 
permet de faire toutes les corrections dont on a besoin pour retrouver la fonction de répartition des nombres premiers.
Et bien c'est ça qu'on appelle
l'hypothèse de Riemann
L'affirmation selon laquelle
tous les zéros (non triviaux)
se trouvent sur la droite critique.
Alors on a de très bonnes raisons de penser que c'est vrai puisque pour l'instant on en a trouvé plus de dix mille milliards sur cette droite
et jamais aucun en dehors. Mais vous savez qu'en maths, ça ne garantit pas que ce soit vrai tout le temps.
Pour vous illustrer l'intérêt de cette hypothèse, regardez ce qu'elle permet de faire :
Ici, j'ai la fonction de répartition des nombres premiers en bleu,
avec sa structure en escalier, et la fonction Ri en rouge.
Et maintenant, je vais au fur et à mesure
ajouter des corrections
en prenant successivement les zéros 
qu'on trouve sur la droite critique.
Et bien vous voyez que ça ajoute des petites corrections en oscillations
qui, quand on en a ajouté suffisamment, finissent par très bien suivre les escaliers de la fonction de répartition
et nous disent donc exactement où trouver les nombres premiers.
On a même l'impression qu'au bout d'un moment, on n'a même plus besoin d'ajouter des corrections supplémentaires
Alors malheureusement plus on veut aller loin dans le tracé de la courbe plus il va falloir ajouter de corrections

French: 
et donc plus il sera important d'être certain qu'on n'a pas loupé des zéros de la fonction zêta.
Si l'hypothèse de Riemann est vraie
on peut se contenter de les chercher sur la droite critique,
mais dans le cas contraire, on est cuit : on risque d'en louper.
En résumé la fonction zêta contient donc en elle la clé de la répartition des nombres premiers.
Alors en pratique utiliser les zéros de la fonction zêta n'est peut-être pas le moyen le plus simple de trouver des nombres premiers
mais l'intérêt théorique de l'hypothèse de Riemann réside surtout dans le pont qu'elle établit entre ces deux domaines si éloignés
l'arithmétique et l'analyse complexe
Aujourd'hui on l'a dit, la plupart des mathématiciens considèrent que l'hypothèse de Riemann est vraie, et qu'il doit être possible d'en trouver une démonstration.
Mais ça semble pour le moins.. velu, comme problème
D'ailleurs il y a un siècle le mathématicien
David Hilbert disait déjà que s'il se réveillait d'un sommeil de 1000 ans
la première question qu'ils poseraient serait est-ce que l'hypothèse de Riemann a été démontrée.
Alors évidemment, certains mathématiciens essayent de la trouver cette démonstration.

English: 
the more corrective terms we need to add, and thus the more important
it is that we are certain we haven't missed any zeros of the zeta function.
If the Riemann hypothesis is true, we can settle for just
looking for them along the critical line. But in the opposite case,
we're cooked. We risk missing some.
To sum up, the zeta function itself contains the key
to the distribution function of the prime numbers. Now, in practice, using the zeros
of the zeta function is maybe not the easiest way
to find prime numbers. But the theoretical interest
of the Riemann hypothesis lies, above all, within the bridge that
it establishes connecting two very remote fields:
arithmetic and complex analysis.
Today, we've said that most mathematicians consider the Riemann hypothesis to be true
and that it should be possible to find a proof.
But it seems like a tricky problem, to say the least.
Besides, a century ago, the mathematician David Hilbert had said already that
if he woke up after sleeping for a thousand years,
the first question he would ask is,
"Has the Riemann hypothesis been proven?"
Okay, of course some mathematicians are trying to find this proof, while others

English: 
are doing what we sometimes do in mathematics, which is to assume that
the Riemann hypothesis is true and then see what can be proven using it.
I'll give you a slightly crazy example.
Remember my approximation functions from the beginning?
There was the function x over logarithm of x, which appears
to always be below the distribution function
and then the function Li(x), which seems to be closer,
but is always above. Well, we have known
for over about a century that no, it is not actually always above.
There is a point where it crosses below,
then after it goes back above, then goes below again, etc.
And actually, one can show that the two lines cross an infinite number of times.
The problem is that we've never observed it yet.
We have looked up to the billions of billions
and not seen a single crossing. We can therefore legitimately wonder,
at what point does the first crossing happen?
The mathematician Stanley Skewes was able to prove that
it necessarily occurs before
10 to the 10 to the 10 to the 964.
Recall that there are 10 to the 80 atoms in the observable universe,
a number that we couldn't even write down if we wanted to, but no matter.

French: 
Mais d'autres font ce qu'on fait parfois en mathématiques : ils partent du principe que l'hypothèse est vraie, et regardent ce qu'on peut démontrer avec.
Je vous donne un exemple un peu fou : vous vous souvenez de mes fonctions d'approximation, au début ?
Il y avait la fonction x/log(x), qui semble toujours en dessous de la fonction de répartition, et puis la fonction Li(x)
qui elle semblait plus proche, mais toujours au dessus.
Et bien, on sait depuis environ un siècle que non, elle n'est pas toujours au dessus : il y a un moment où elle passe en dessous
puis après elle revient au dessus et repasse en dessous etc...
Et en fait, on peut démontrer que les deux courbes se croisent une infinité de fois. Le problème c'est qu'on n'a jamais pu l'observer
on a regardé jusqu'à des milliards de milliards, pas de croisement.
On peut donc légitimement se demander à partir de quel moment va se produire le premier croisement.
Le mathématicien Stanley Skewes a pu démontrer qu'il devait forcément se produire avant 10 puissance 10 puissance 10 puissance 964
Alors sachant qu'il y a 10 puissance 80 atomes dans l'univers visible, c'est un nombre qu'on pourrait même pas écrire si on voulait, mais bon

English: 
But so, supposing that the Riemann hypothesis is true,
Skewes was able to improve the result, showing that
the crossing should occur before
10 to the 10 to the 10 to the 34,
a number much, much smaller than the former,
but one that we're still unable to write down.
Even better, making approximations using the zeros of the zeta function,
which we know and assume we have as well,
we've been able to strengthen the result, and now it is thought
that the first real crossing ought to happen around 10 to the power 316.
That's still pretty far away.
One thing I mentioned at the beginning of the video,
which I'm sure some of you noticed,
is that the Riemann hypothesis is one of the seven Millennium Prize Problems worth $1 million.
But okay, given the difficulty of the puzzle,
trying to prove the Riemann hypothesis can probably be considered one of the most
ineffective and uncertain ways there is
to try to earn a million dollars.
Unless...
unless it is false.
But in that case it's simple. Find one zero,
just a single one, which isn't on the critical line

French: 
Et bien en supposant que l'hypothèse de Riemann soit vraie,
Skewes a pu améliorer le résultat en montrant que l'inversion devait se produire en fait avant 10 puissance 10 puissance 10 puissance 34.
Un nombre incroyablement plus petit que le précédent
mais qu'on peut toujours pas écrit non plus.
Et mieux, en faisant des approximations
avec les zéros de la fonction zêta qu'on connaît, et en supposant qu'il n'y en a pas ailleurs,
on a pu resserrer le résultat, et on pense maintenant que la première inversion devrait se produire autour de 10 puissance 316
... ça fait loin quand même.
Une chose que j'ai mentionné au début de la vidéo, et qui n'a peut-être pas échappé à certains, c'est que
l'hypothèse de Riemann fait partie des sept problèmes du millénaire à 1 million de dollars.
Mais bon, vu le calibre de l'énigme on peut considérer que tenter de démontrer l'hypothèse de Riemann est
probablement la manière la plus inefficace et la plus incertaine qui soit d'essayer de gagner un million de dollars.
À moins que...
.. à moins qu'elle soit fausse !
Dans ce cas c'est simple : trouver 1 point d'annulation,

French: 
un seul qui ne soit pas sur la droite critique et vous êtes bon,  à vous le magot.
Alors une piste si c'est ça votre stratégie,
On sait montrer que les zéros non triviaux ne peuvent exister que dans la bande entre 0 et 1 de partie réelle
C'est ce qu'on appelle la bande critique. Et en plus de ça, l'immense majorité des zéros se trouve tout près de la droite critique
Donc voilà vous savez où chercher si vous voulez trouver un contre-exemple à l'hypothèse de Riemann
Mais.. je sais pas, je ne parierais pas trop dessus quand même. Alors sachez tout de même que fin
2018, le mathématicien Michael Atiyah a proposé une démonstration de l'hypothèse de Riemann
qui malheureusement ne semble pas du tout convaincre la communauté.
Et pour en savoir plus, je vous renvoie à cette vidéo de Professeur Culture Précieuse
Voilà c'est tout pour aujourd'hui. Merci d'avoir suivi la vidéo, comme toujours le blog pour les compléments, facebook et twitter pour l'actu de la chaîne,
Abonnez-vous la cloche tout ça, et on se retrouve très vite pour une nouvelle vidéo. A bientôt.

English: 
and you're good. The money's yours.
So, here's a lead if that's your strategy.
It can be shown that the non-trivial zeros can only exist
within the strip such that their real part is between zero and one.
This is called the critical strip. Moreover, the vast majority of zeros
are located very close to the critical line.
There you go, you know where to look if you want to find a counterexample
to the Riemann hypothesis. But I don't know...
I wouldn't bet too much on that anyway.
Anyhow, you should know that at the end of 2018, the mathematician Michel Atiyah
put forward a proof of the Riemann hypothesis,
which, unfortunately, doesn't seem totally convincing to the community.
To learn more, I recommend this video by Professeur Culture Précieuse.
Okay, that's it for today. Thanks for watching this video.
As always, supplemental material is in the blog. Facebook and Twitter for news about the channel, subscriptions, notifications, and all that.
And I'll see you back here shortly with a new video. See you soon.
