
Czech: 
V tomto videu použijeme grafickou 
online kalkulačku Desmos k tomu,
abychom objevili vztahy mezi
vodorovnými a svislými asymptotami
a našli nějaké souvislosti s tím,
co víme o limitách.
Znázorněme si nejprve graf
funkce 2 lomeno (x minus 1).
Hned si můžeme všimnout,
že v bodě x rovno 1 se
děje něco zajímavého.
Pokud do předpisu naší
funkce za x dosadíme 1,
obdržíme výraz
2 děleno 0.
Kdykoliv vám vyjde nenulové
číslo dělené nulou,
tak je dost možné, že máte co
do činění se svislou asymptotou.
V našem případě si tuto svislou asymptotu
v bodě x rovno 1 můžeme nakreslit.
Zamysleme se nad tím,
jak to souvisí s limitami.
Co kdybychom chtěli určit
limitu pro x blížící se k 1
z funkce f(x) rovná se
2 lomeno (x minus 1)?

Bulgarian: 
В това видео предстои
да използваме
онлайн калкулатора
за графики Desmos
и да разгледаме свойствата
на вертикалните
и хоризонталните асимптоти,
за да видим каква е връзката им
с нашите познания
за границите.
Най-напред да начертаем
2/(х – 1).
Аз ще покажа
графиката на този израз,
за да можеш веднага
да видиш какво интересно
поведение има
при х = 1.
Ако просто заместиш
с х = 1 в този израз,
ще получиш 2/0
и винаги, когато получиш
ненулево число върху нула,
това е знак, че може би има
вертикална асимптота.
В нашия случай
можем да начертаем
вертикалната асимптота
при х = 1.
Но да помислим
каква е връзката с границите.
Да изследваме границата
при х, клонящо към 1
на f(x) = 2 / (х - 1).
Можем да помислим
за лявата

Korean: 
이번 영상에서는
온라인 그래프 계산기인
Desmos를 이용해서
수직점근선과 수평점근선의
관계에 대해 알아보고
우리가 극한에 대해
기존에 알고 있던 지식과
어떤 관련이 있는지
알아볼 겁니다
먼저 1/x-1을
그래프로 그려봅시다
이 식을 그래프로 그려보면
x값이 1인 지점에서
흥미로운 일이 일어나는
것을 볼 수 있습니다
이 식에서
x에 1을 치환하면
2/0가 나오는데
0이 아닌 숫자가 분자고
0이 분모인 분수가 나오면
수직점근선이 생길
가능성이 높습니다
x가 1인 지점에
수직점근선을 그릴 수 있습니다
이것이 극한과 어떤 관련이
있는지 생각해 봅시다
x가 1에 가까워질 때
f(x)의 극한값이
2/x-1라면
이것에 대해 왼쪽과 오른쪽

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is use the online graphing
calculator Desmos,
and explore the relationship
between vertical
and horizontal asymptotes, and think about
how they relate to what we know
about limits.
So let's first graph two over x minus one,
so let me get that one graphed,
and so you can immediately
see that something interesting
happens at x is equal to one.
If you were to just
substitute x equals one
into this expression, you're going to get
two over zero, and whenever
you get a non-zero thing,
over zero, that's a
good sign that you might
be dealing with a vertical asymptote.
In fact we can draw
that vertical asymptote
right over here at x equals one.
But let's think about how
that relates to limits.
What if we were to explore
the limit as x approaches one
of f of x is equal to
two over x minus one,
and we could think about it from the left

Czech: 
Můžeme si spočítat limitu
zleva a limitu zprava.
Když se k 1 blížíme zleva...
trochu si to tu přiblížím...
Vidíme, že jak
se blížíme zleva...
Když je x rovno 0, funkce
nabývá hodnoty −2.
Když je x rovno 0,5,
funkce nabývá hodnoty −4,
a jak jsme zleva čím dál tím blíže k 1,
dostáváme zápornější a zápornější čísla.
Pokud za x dosadíme 0,91,
což je pořád o 9 setin méně než 1,
tak už dostaneme
hodnotu -22,222,
a tak limita pro x blížící se k 1 zleva
nabývá neomezeně velké záporné hodnoty.
Někdo by řekl, že je to minus nekonečno,
ale jde spíše o nedefinovanou limitu,
nabývá neomezeně velkých
záporných hodnot.
Podobně se podíváme na to,
jak se blížíme zprava.
Zjistíme, že funkce nabývá neomezeně
velkých kladných hodnot.
Technicky vzato tak řekneme,
že tato limita neexistuje.

English: 
and from the right, so if we approach one
from the left, let me zoom in a little bit
over here, so we can see as
we approach from the left
when x is equal to zero, the f of x
would be equal to negative two,
when x is equal to point five, f of x
is equal to negative of
four, and then it just gets
more and more negative the closer we get
to one from the left.
I could really, so I'm
not even that close yet
if I get to let's say 0.91,
I'm still nine hundredths
less than one, I'm at
negative 22.222, already.
And so the limit as we
approach one from the left
is unbounded, some people would say
it goes to negative
infinity, but it's really
an undefined limit, it is unbounded
in the negative direction.
And likewise, as we
approach from the right,
we get unbounded in the
positive infinity direction
and technically we would
say that that limit
does not exist.

Korean: 
두 가지 방향으로
생각해 볼 수 있습니다
좀 더 확대해 볼게요
만약 왼쪽으로부터
1에 가까워진다면
x가 0일 때
f(x)는 -2가 됩니다
그리고 x가 0.5일때
f(x)는 -4가 됩니다
그리고 x가 왼쪽 방향에서
1에 가까워질수록
함수값은 음의 방향으로
점점 더 커집니다
아직 함수 곡선이 점근선에
그리 가깝지도 않네요
만약 x가 0.91이 되면
1보다 0.09만큼 작은데
벌써 함수값은
-22.222가 되었습니다
따라서 왼쪽 방향에서
1에 가까워질 때
함수값은 음의 방향으로
무한히 커지며
즉 좌극한값은
음의 무한대인데
사실 이것은 정의되지
않는 극한이라고 봐야 하고
음의 방향으로 무한히
커지는 극한입니다
마찬가지로 오른쪽 방향에서는
양의 무한대 방향으로
무한히 커지며
기술적으로 봤을 때
극한값이 존재하지 않는다고
봐야 합니다

Bulgarian: 
и за дясната граница.
Да започнем с лявата.
Виждаме, че когато х
приближава към 1 отляво,
за х=0 функцията
ще е равна на –2,
а за х = 0,5
функцията f(x)
е равна на –4,
и после отива все по-надолу,
когато се доближаваме
до 1 отляво.
Мога и да продължа
да се доближавам:
за х=0,91
съм все още на 9 стотни от 1,
а f(x) вече е равна
на 22,222.
И така, лявата граница
при х, клонящо към 1
е неограничена,
и някои твърдят, че
е равна на минус безкрайност,
но всъщност
е неопределена граница,
тя е неограничена
в отрицателна посока.
Аналогично за дясната граница
получаваме, че е неограничена
в положителна посока.
На практика
можем да кажем,
че границата
не съществува.

Czech: 
Tohle byl tedy případ, kdy pracujeme
se svislou asymptotou,
jak vidíme zde.
Když to nyní porovnáme
s vodorovnou asymptotou,
tak zjistíme, že limita
klidně může existovat.
Podívejme se na tuto funkci,
což je poměrně pěkná funkce,
vytvořil jsem ji přímo před tímto videem
a myslím, že vypadá docela hezky.
Zkoumejme její chování
pro x jdoucí do nekonečna.
Když jde x do nekonečna,
tak to vypadá,
že hodnota y, tedy hodnota našeho výrazu,
kdybychom ho označili jako y,
vypadá to, že je čím
dál tím blíž ke 3.
Proto můžeme říci, že funkce
má vodorovnou asymptotu y rovná se 3.
Matematicky řečeno je limita funkce
pro x jdoucí do nekonečna rovna 3.

English: 
And this would be the
case when we're dealing
with a vertical asymptote
like we see over here.
Now let's compare that
to a horizontal asymptote
where it turns out that the limit
actually can exist.
So let me delete these or
just erase them for now,
and so let's look at this function
which is a pretty neat
function, I made it up
right before this video started
but it's kind of cool
looking, but let's think
about the behavior as
x approaches infinity.
So as x approaches infinity,
it looks like our y value
or the value of the
expression, if we said y
is equal to that expression, it looks like
it's getting closer and
closer and closer to three.
And so we could say that we
have a horizontal asymptote
at y is equal to three, and we could also
and there's a more rigorous
way of defining it,
say that our limit as
x approaches infinity
is equal of the expression
or of the function,
is equal to three.

Bulgarian: 
Такъв е случаят, когато
имаме вертикална асимптота,
както е тук.
Сега да направим сравнение
с хоризонталната асимптота,
където се оказва, че границата
може да съществува.
Засега ще махна
тази графика,
за да разгледаме
друга функция.
Тя е добра за целта,
измислих я малко
преди да започнем с видеото
и графиката ѝ ми харесва.
Да помислим за поведението ѝ,
когато х клони към безкрайност.
Когато х се стреми към безкрайност,
нашето у
или стойността на израза,
ако кажем, че у е равен на него,
отива все по-близко до 3.
Затова можем да кажем,
че имаме хоризонтална асимптота
при у = 3,
но има и по-точен начин
да я определим:
да кажем, че границата
при х, клонящо към безкрайност,
е равна на израза
или на самата функция
при х=3.

Korean: 
이것이 바로
수직점근선이 존재하는
경우입니다
이제 수평점근선이
생기는 경우와 비교해 봅시다
이 경우에는 극한값이
존재할 수 있습니다
그렸던 것들을 일단 지울게요
이제 이 함수를
한 번 살펴봅시다
상당히 깔끔한 함수인데
영상을 시작하기 전
제가 만든 함수입니다
꽤 멋지게 생겼네요
x가 무한대에 수렴하면서
어떤 일이 생기는지 생각해 봐요
x가 무한대에 수렴하면서
y값 혹은
함수식의 값이
3에 점점 가까워지는
것처럼 보입니다
따라서 이 경우에
y가 3이 되는 지점에서
수평점근선이 생깁니다
이를 좀 더 엄격하게 정의하자면
x가 무한대로 수렴할 때
극한값은 함수값과 같은
3이 됩니다

Bulgarian: 
Забележи, че
когато х става
все по-голямо,
у е все по-близо до 3.
Всъщност се доближаваме
толкова много,
че може да видиш как стигаме
почти до 3.
Може да помислиш
и какво се случва,
когато х отива
към минус безкрайност;
тук се приближаваме
все по-близо до три отдолу.
Интересното при
хоризонталните асимптоти,
е, че както виждаш тук,
функцията може да ги пресича.
Тя пресича тази
хоризонтална асимптота
ето тук по средата,
и дори в околностите
на +/– безкрайност
може да се движи като вълна
около своята хоризонтална
асимптота.
Нека сега умножа това
по синус от х.
Ето, тук виждаме
как графиката прави вълна
около хоризонталната асимптота.
При тази функция също
границата съществува,
макар да пресича
хоризонталната асимптота,
тя се доближава все повече до нея,
колкото по-голямо става х.
Това е и основната разлика
между хоризонталната
и вертикалната асимптота.

English: 
Notice my mouse is
covering it a little bit
as we get larger and larger, we're getting
closer and closer to three,
in fact we're getting
so close now, well here
you can see we're
getting closer and closer
and closer to three.
And you could also
think about what happens
as x approaches negative infinity and here
you're getting closer
and closer and closer
to three from below.
Now one thing that's
interesting about horizontal
asymptotes is you might
see that the function
actually can cross a horizontal asymptote.
It's crossing this horizontal asymptote
in this area in between and
even as we approach infinity
or negative infinity, you can oscillate
around that horizontal asymptote.
Let me set this up, let me
multiply this times sine of x.
And so there you have it,
we are now oscillating
around the horizontal asymptote,
and once again this limit can exist
even though we keep crossing
the horizontal asymptote,
we're getting closer and
closer and closer to it
the larger x gets.
And that's actually the
key difference between
a horizontal and a vertical asymptote.

Korean: 
제 마우스의 경로를 보세요
x값이 커질수록
함수값은 점점 3에 가까워집니다
이제 정말 가까워졌습니다
보시는 것처럼
x값이 커질수록
y값은 3에 가까워집니다
이제 x가 음의 무한대에
가까워질 때
무슨 일이 일어나는지
생각해 봅시다
아래에서 위 방향으로
함수값이 3에 점점
가까워지고 있습니다
수평점근선의
흥미로운 점 중 하나는
함수가 수평점근선을
지나갈 수도 있다는 사실입니다
여기 보이는 것처럼
함수 그래프가 이 지점에서
수평점근선을 지납니다
양의 무한대나 음의 무한대를
향해 가까워지면서도
수평점근선을 중심으로
파동을 가질 수도 있습니다
이 식을 sin(x)에
곱해 볼게요
여기 보이는 것처럼
이제 함수가 수평점근선을
중심으로 파동을 가지게 됩니다
다시 강조하지만
극한값은 존재합니다
수평점근선을 계속
지나가면서도
x가 커질수록
파동이 점근선에
점점 가까워지고 있습니다
이것이 바로
수평점근선과 수직점근선의
중요한 차이입니다

Czech: 
Všimněme si, jak se
se zvětšujícím se x blížíme ke 3.
Ve skutečnosti se dostáváme
tak blízko, že...
vidíme, že se dostáváme
blíže a blíže ke 3.
Můžeme si také rozmyslet, 
co se stane,
pokud se x bude blížit
k minus nekonečnu.
Funkce se také bude blížit
k hodnotě 3, a to zespoda.
Na vodorovné asymptotě je zajímavé to,
že ji funkce může protnout.
Tady uprostřed
ji funkce protíná.
A když se blížíme k plus
nebo minus nekonečnu,
funkce okolo vodorovné
asymptoty může kmitat.
Toho lze docílit například
vynásobení funkce sinem.
Funkce nyní kmitá okolo
vodorovné asymptoty.
Připomeňme, že tato
limita může existovat,
i když vodorovnou asymptotu
protínáme mnohokrát,
stále se více a více
blížíme k hodnotě 3.
To je hlavní rozdíl mezi
vodorovnou a svislou asymptotou.

Czech: 
Jelikož pracujeme s funkcemi, 
svislá asymptota nemůže být protnuta.
Vodorovnou asymptotu
funkce protnout může,
přičemž se k této asymptotě s x jdoucím do
plus nebo minus nekonečna stále víc blíží.

English: 
Vertical asymptotes if you're
dealing with a function,
you're not going to cross
it, while with a horizontal
asymptote, you could,
and you are just getting
closer and closer and closer to it
as x goes to positive infinity or as x
goes to negative infinity.

Korean: 
수직점근선은 함수의 그래프가
절대로 지날 수 없지만
수평점근선의 경우에는
x가 양의 무한대나
음의 무한대로 진행하면서
점근선에 점점
가까워지게 됩니다

Bulgarian: 
Вертикалните асимтоти
на дадена функция
не могат да се пресичат
от нейната графика,
докато хоризонталните
асимптоти могат да се пресичат,
и все пак графиката
се доближава все повече до тях,
когато х клони към
плюс безкрайност
или към минус безкрайност.
