
Chinese: 
大家好！我是其栋老师
欢迎来学习微积分的课程
在前面的单元我们介绍交错级数的判别技巧
不过有更多的级数虽然是正负参杂
却未必是交错级数
所以在这个单元我们将会介绍一个通盘的方法
来处理对应的问题
假设一个级数Σ a_k
它的项次部分为正值，部分又为负值的话
分析起来会复杂许多
纵使我们学过交错级数审敛法
不过未必这类级数都是交错级数的型式
于是我们自然会想到以下的方法
是否可以将该级数转化为每个项次皆为正值的新级数

Chinese: 
大家好！我是其棟老師
歡迎來學習微積分的課程
在前面的單元我們介紹交錯級數的判別技巧
不過有更多的級數雖然是正負參雜
卻未必是交錯級數
所以在這個單元我們將會介紹一個通盤的方法
來處理對應的問題
假設一個級數 Σ a_k 
它的項次部分為正值，部分又為負值的話
分析起來會複雜許多
縱使我們學過交錯級數審斂法
不過未必這類級數都是交錯級數的型式
於是我們自然會想到以下的方法
是否可以將該級數轉化為每個項次皆為正值的新級數

Chinese: 
大家好！我是其棟老師
歡迎來學習微積分的課程
在前面的單元我們介紹交錯級數的判別技巧
不過有更多的級數雖然是正負參雜
卻未必是交錯級數
所以在這個單元我們將會介紹一個通盤的方法
來處理對應的問題
假設一個級數 Σ a_k
它的項次部分為正值，部分又為負值的話
分析起來會複雜許多
縱使我們學過交錯級數審斂法
不過未必這類級數都是交錯級數的型式
於是我們自然會想到以下的方法
是否可以將該級數轉化為每個項次皆為正值的新級數

Chinese: 
如此一來，它的變異就不會太大
於是加上絕對值就是最簡單的手段
也就是分析 Σ |a_k| 這個新級數的行為
並希望可以從中得到一些資訊
反應到原級數 Σ a_k 上面
因此，我們就定義絕對收斂的概念
我們稱級數 Σ a_k 是絕對收斂的
就是指將該級數每個項次加上絕對值後，是個收斂的級數
我們可以舉一些範例
考慮級數 1- 1/4 + 1/9 - 1/16 等無窮和所形成的級數
亦即一般項為 (-1)^(k+1)/k^2 所對應的級數
由於逐項加上絕對值後，它是 p = 2 的 p 級數

Chinese: 
如此一来，它的变异就不会太大
于是加上绝对值就是最简单的手段
也就是分析Σ |a_k| 这个新级数的行为
并希望可以从中得到一些资讯
反应到原级数Σ a_k 上面
因此，我们就定义绝对收敛的概念
我们称级数Σ a_k 是绝对收敛的
就是指将该级数每个项次加上绝对值后，是个收敛的级数
我们可以举一些范例
考虑级数1- 1/4 + 1/9 - 1/16 等无穷和所形成的级数
亦即一般项为(-1)^(k+1)/k^2 所对应的级数
由于逐项加上绝对值后，它是p = 2 的p 级数

Chinese: 
如此一來，它的變異就不會太大
於是加上絕對值就是最簡單的手段
也就是分析 Σ |a_k| 這個新級數的行為
並希望可以從中得到一些資訊
反應到原級數 Σ a_k 上面
因此，我們就定義絕對收斂的概念
我們稱級數 Σ a_k 是絕對收斂的
就是指將該級數每個項次加上絕對值後，是個收斂的級數
我們可以舉一些範例
考慮級數 1- 1/4 + 1/9 - 1/16 等無窮和所形成的級數
亦即一般項為 (-1)^(k+1)/k^2 所對應的級數
由於逐項加上絕對值後，它是 p = 2 的 p 級數

Chinese: 
所以根据p 级数审敛法是收敛的
因此这个级数就是个绝对收敛的级数
在这个例子，我们可以体会到
如果要判断一个级数是否为绝对收敛
我们就会有较多的手法可以使用
因为先前所介绍的积分审敛法
比较审敛法和极限比较审敛法
都必须是每个项次皆为正值的时候，才可以利用的技巧
既然我们有较多的方法来判别逐项取绝对值后
亦即Σ |a_k| 的敛散性
也就期望可以将其反应在原来的级数Σ a_k 上
这就是我们现在要介绍的结果
如果级数Σ a_k 是绝对收敛的话
则原级数必然也是收敛的
换句话说，就是指逐项加上绝对值所得到的新级数

Chinese: 
所以根據 p 級數審斂法是收斂的
因此這個級數就是個絕對收斂的級數
在這個例子，我們可以體會到
如果要判斷一個級數是否為絕對收斂
我們就會有較多的手法可以使用
因為先前所介紹的積分審斂法
比較審斂法和極限比較審斂法
都必須是每個項次皆為正值的時候，才可以利用的技巧
既然我們有較多的方法來判別逐項取絕對值後
亦即 Σ |a_k| 的斂散性
也就期望可以將其反應在原來的級數 Σ a_k 上
這就是我們現在要介紹的結果
如果級數 Σ a_k 是絕對收斂的話
則原級數必然也是收斂的
換句話說，就是指逐項加上絕對值所得到的新級數

Chinese: 
所以根據 p 級數審斂法是收斂的
因此這個級數就是個絕對收斂的級數
在這個例子，我們可以體會到
如果要判斷一個級數是否為絕對收斂
我們就會有較多的手法可以使用
因為先前所介紹的積分審斂法
比較審斂法和極限比較審斂法
都必須是每個項次皆為正值的時候，才可以利用的技巧
既然我們有較多的方法來判別逐項取絕對值後
亦即 Σ |a_k| 的斂散性
也就期望可以將其反應在原來的級數 Σ a_k 上
這就是我們現在要介紹的結果
如果級數 Σ a_k 是絕對收斂的話
則原級數必然也是收斂的
換句話說，就是指逐項加上絕對值所得到的新級數

Chinese: 
Σ |a_k| 是收敛的
则它本身也会是收敛的级数
其实这个结果是利用比较审敛法推导而来
假设级数Σ a_k 是绝对收敛的
根据定义，就是级数Σ |a_k| 是收敛的
显然对于所有的项次
我们有- |a_k| ≤ a_k ≤ |a_k| 的不等式
全部都加上|a_k| 的话会得到后方的式子
由于级数Σ |a_k| 是收敛的
所以乘以2 倍后，当然也会是收敛的
接着我们聚焦在上方不等式
中间a_k + |a_k| 这个和所对应的级数
因为它是非负值

Chinese: 
Σ |a_k| 是收斂的
則它本身也會是收斂的級數
其實這個結果是利用比較審斂法推導而來
假設級數 Σ a_k 是絕對收斂的
根據定義，就是級數 Σ |a_k| 是收斂的
顯然對於所有的項次
我們有 - |a_k| ≤ a_k ≤ |a_k| 的不等式
全部都加上 |a_k| 的話會得到後方的式子
由於級數 Σ |a_k| 是收斂的
所以乘以 2 倍後，當然也會是收斂的
接著我們聚焦在上方不等式
中間 a_k + |a_k| 這個和所對應的級數
因為它是非負值

Chinese: 
Σ |a_k| 是收斂的
則它本身也會是收斂的級數
其實這個結果是利用比較審斂法推導而來
假設級數 Σ a_k 是絕對收斂的
根據定義，就是級數 Σ |a_k| 是收斂的
顯然對於所有的項次
我們有 - |a_k| ≤ a_k ≤ |a_k| 的不等式
全部都加上 |a_k| 的話會得到後方的式子
由於級數 Σ |a_k| 是收斂的
所以乘以 2 倍後，當然也會是收斂的
接著我們聚焦在上方不等式
中間 a_k + |a_k| 這個和所對應的級數
因為它是非負值

Chinese: 
而另一個較大的級數 2 倍的 Σ |a_k| 是收斂的
所以藉由比較審斂法
級數 Σ (a_k + |a_k|) 就是收斂的級數
不過我們留意到原級數 Σ a_k 可以寫為後方的表示法
也就是兩個收斂級數的差
所以透過級數的基本運算性質，它亦是收斂的
這個定理的重要性，在於我們可以利用較多的方法
對逐項加絕對值後的新級數進行分析
如果新級數 Σ |a_k| 是收斂的
就可以斷言原級數也是收斂的
不過可惜的是
如果逐項加上絕對值後的新級數是發散的
則無法從中判斷出原級數是收斂或是發散的
因為兩者皆有可能發生
於是我們可以考慮下面特殊的級數

Chinese: 
而另一個較大的級數 2 倍的 Σ |a_k| 是收斂的
所以藉由比較審斂法
級數 Σ (a_k + |a_k|) 就是收斂的級數
不過我們留意到原級數 Σ a_k 可以寫為後方的表示法
也就是兩個收斂級數的差
所以透過級數的基本運算性質，它亦是收斂的
這個定理的重要性，在於我們可以利用較多的方法
對逐項加絕對值後的新級數進行分析
如果新級數 Σ |a_k| 是收斂的
就可以斷言原級數也是收斂的
不過可惜的是
如果逐項加上絕對值後的新級數是發散的
則無法從中判斷出原級數是收斂或是發散的
因為兩者皆有可能發生
於是我們可以考慮下面特殊的級數

Chinese: 
而另一个较大的级数2 倍的Σ |a_k| 是收敛的
所以藉由比较审敛法
级数Σ (a_k + |a_k|) 就是收敛的级数
不过我们留意到原级数Σ a_k 可以写为后方的表示法
也就是两个收敛级数的差
所以透过级数的基本运算性质，它亦是收敛的
这个定理的重要性，在于我们可以利用较多的方法
对逐项加绝对值后的新级数进行分析
如果新级数Σ |a_k| 是收敛的
就可以断言原级数也是收敛的
不过可惜的是
如果逐项加上绝对值后的新级数是发散的
则无法从中判断出原级数是收敛或是发散的
因为两者皆有可能发生
于是我们可以考虑下面特殊的级数

Chinese: 
一個級數 Σ a_k 稱為是條件收斂的
就是指它本身是收斂的
不過並不是絕對收斂
簡而言之，就是原級數 Σ a_k 是收斂的
但是逐項加上絕對值的新級數 Σ |a_k| ，卻是發散的
現在我們來考慮以下的實例
試分析 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 等無窮和對應的級數
從先前的單元，藉由交錯級數審斂法
我們知道它是個收斂的級數
不過若逐項取絕對值後
就變成 p=1 的 p 級數
根據 p 級數審斂法，它是發散的
所以由上方的定義，這是個條件收斂的級數

Chinese: 
一个级数Σ a_k 称为是条件收敛的
就是指它本身是收敛的
不过并不是绝对收敛
简而言之，就是原级数Σ a_k 是收敛的
但是逐项加上绝对值的新级数Σ |a_k| ，却是发散的
现在我们来考虑以下的实例
试分析1- 1/2 + 1/3 - 1/4 等无穷和对应的级数
从先前的单元，藉由交错级数审敛法
我们知道它是个收敛的级数
不过若逐项取绝对值后
就变成p=1 的p 级数
根据p 级数审敛法，它是发散的
所以由上方的定义，这是个条件收敛的级数

Chinese: 
一個級數 Σ a_k 稱為是條件收斂的
就是指它本身是收斂的
不過並不是絕對收斂
簡而言之，就是原級數 Σ a_k 是收斂的
但是逐項加上絕對值的新級數 Σ |a_k| ，卻是發散的
現在我們來考慮以下的實例
試分析 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 等無窮和對應的級數
從先前的單元，藉由交錯級數審斂法
我們知道它是個收斂的級數
不過若逐項取絕對值後
就變成 p=1 的 p 級數
根據 p 級數審斂法，它是發散的
所以由上方的定義，這是個條件收斂的級數

Chinese: 
我們來考慮這個提問
試判斷指標 k 從 2 開始起算
一般項為 (-1)^k / k ln k 所對應的級數
到底是絕對收斂、條件收斂還是發散的
值得留意的是
顯然一個級數必然會滿足這三種情況之一
我們先測試該級數是否為絕對收斂的
因為這個級數的一般項加上絕對值後
是 1 / k ln k
所以考慮定義為 1 / x ln x 的函數 f 
顯然它在大於等於 2 的區間是連續
輸出值為正值且遞減的函數
不僅如此，如果我們計算它所對應的瑕積分
依照定義，即為後方的式子

Chinese: 
我們來考慮這個提問
試判斷指標 k 從 2 開始起算
一般項為 (-1)^k / k ln k 所對應的級數
到底是絕對收斂、條件收斂還是發散的
值得留意的是
顯然一個級數必然會滿足這三種情況之一
我們先測試該級數是否為絕對收斂的
因為這個級數的一般項加上絕對值後
是 1 / k ln k
所以考慮定義為 1 / x ln x 的函數 f
顯然它在大於等於 2 的區間是連續
輸出值為正值且遞減的函數
不僅如此，如果我們計算它所對應的瑕積分
依照定義，即為後方的式子

Chinese: 
我们来考虑这个提问
试判断指标k 从2 开始起算
一般项为(-1)^k / k ln k 所对应的级数
到底是绝对收敛、条件收敛还是发散的
值得留意的是
显然一个级数必然会满足这三种情况之一
我们先测试该级数是否为绝对收敛的
因为这个级数的一般项加上绝对值后
是1 / k ln k
所以考虑定义为1 / x ln x 的函数f
显然它在大于等于2 的区间是连续
输出值为正值且递减的函数
不仅如此，如果我们计算它所对应的瑕积分
依照定义，即为后方的式子

Chinese: 
利用積分代換法，令變數 u = ln x 
則當中的定積分可以化為後方的型式
利用微積分第二基本定理
這就是後面的差值，再取無限大結果
不過這顯然為無限大，所以這個瑕積分是發散的
因此藉由積分審斂法
逐項加上絕對值後的新級數就是發散的
亦即原級數並非絕對收斂
另一方面，如果令 b_k 為 1 / k ln k
則當指標 k ≥ 2 時，它是個正數
而且原級數就是一般項為 (-1)^k b_k 所對應的交錯級數
由於第 k+1 項 b_(k+1) 

Chinese: 
利用积分代换法，令变数u = ln x
则当中的定积分可以化为后方的型式
利用微积分第二基本定理
这就是后面的差值，再取无限大结果
不过这显然为无限大，所以这个瑕积分是发散的
因此藉由积分审敛法
逐项加上绝对值后的新级数就是发散的
亦即原级数并非绝对收敛
另一方面，如果令b_k 为1 / k ln k
则当指标k ≥ 2 时，它是个正数
而且原级数就是一般项为(-1)^k b_k 所对应的交错级数
由于第k+1 项b_(k+1)

Chinese: 
利用積分代換法，令變數 u = ln x
則當中的定積分可以化為後方的型式
利用微積分第二基本定理
這就是後面的差值，再取無限大結果
不過這顯然為無限大，所以這個瑕積分是發散的
因此藉由積分審斂法
逐項加上絕對值後的新級數就是發散的
亦即原級數並非絕對收斂
另一方面，如果令 b_k 為 1 / k ln k
則當指標 k ≥ 2 時，它是個正數
而且原級數就是一般項為 (-1)^k b_k 所對應的交錯級數
由於第 k+1 項 b_(k+1)

Chinese: 
會小於分母以較小的數 k ln k 取代後的數值
亦即第 k 項 b_k 
而且 b_k 數列的極限
顯然會是 0
所以透過交錯級數審斂法，它就是個收斂的級數
綜合以上的結論，我們判定原級數是條件收斂的
在這個單元我們介紹絕對收斂和條件收斂的概念
而絕對收斂必導致原級數收斂的結果
為我們判斷級數的收斂性提供另一個解決管道
是處理這類問題的好方法

Chinese: 
会小于分母以较小的数k ln k 取代后的数值
亦即第k 项b_k
而且b_k 数列的极限
显然会是0
所以透过交错级数审敛法，它就是个收敛的级数
综合以上的结论，我们判定原级数是条件收敛的
在这个单元我们介绍绝对收敛和条件收敛的概念
而绝对收敛必导致原级数收敛的结果
为我们判断级数的收敛性提供另一个解决管道
是处理这类问题的好方法

Chinese: 
會小於分母以較小的數 k ln k 取代後的數值
亦即第 k 項 b_k
而且 b_k 數列的極限
顯然會是 0
所以透過交錯級數審斂法，它就是個收斂的級數
綜合以上的結論，我們判定原級數是條件收斂的
在這個單元我們介紹絕對收斂和條件收斂的概念
而絕對收斂必導致原級數收斂的結果
為我們判斷級數的收斂性提供另一個解決管道
是處理這類問題的好方法
