
Bulgarian: 
В това видео ще разгледаме
границите на някои
тригонометрични функции.
Ще започнем с един по-лесен пример.
Да намерим границата на синус от х
при х, клонящо към π.
Остави видеото на пауза
и опитай самостоятелно.
Знаем, че функциите синус от х,
както и косинус от х
са определени
за всички реални числа.
Тяхното дефиниционно множество
са всички реални числа.
Можеш да заместиш
всяко реално число за х
и да получиш резултат.
Функцията ще е
определена за него.
Също така, те са непрекъснати
за цялото си дефиниционно множество.
Всъщност, всички тригонометрични
функции са непрекъснати
за целите си дефиниционни
множества.
И така, за синус от х,
тъй като е непрекъсната функция,
а също и синус от π,
е дефинирано,
то можем да кажем, че
тя е равна на
синус от π,
което вече знаем, 
че е равно на 0.
Сега можем да направим
подобен пример с косинус.

Korean: 
이번 영상에서는
삼각함수의 극한에
대해 생각해 볼 겁니다
직설적인 예부터 시작해 보죠
x가 𝛑에 한없이 가까워질 때
sin(x)의 극한값을 구해봅시다
영상을 정지하고 한 번
스스로 구해보세요
sin(x)와 cos(x)
두 함수 모두
모든 실수에 대해 정의되므로
두 함수의 정의역은
모든 실수입니다
즉 x에
어느 실수값을 집어넣어도
어떤 값을 내놓을 겁니다
함수가 정의되었다는 의미죠
이 함수들은 또한 정의역
전체에 걸쳐 연속됩니다
사실 모든 삼각함수들은
정의역 전체에 걸쳐 연속됩니다
따라서 sin(x)는 연속함수이고
x값이 𝛑일때 정의되므로
이것은 즉
𝛑의 사인값은
이미 알고 있다시피
0과 같습니다
이제 cos(x)에 대해서도 비슷한
연습을 해 볼 수 있겠죠

Czech: 
V tomto videu se podíváme na limity
z goniometrických funkcí.
Začněme s nějakou
poměrně přímočarou.
Zkusme spočítat limitu pro
x blížící se k π z funkce sin(x).
Zastavte si video a
zkuste si to spočítat.
Jak funkce sin(x), tak cos(x) jsou
definované na všech reálných číslech.
Definiční obor
jsou reálná čísla.
Za x můžete dosadit
libovolné reálné číslo
a dostanete nějaký
definovaný výsledek.
Tyto funkce jsou také spojité
na celém svém definičním oboru.
Všechny goniometrické funkce jsou
spojité na celém svém definičním oboru.
Protože sin(x) je spojitý
a je definovaný v bodě x rovno π,
limita se rovná sin(π).
A sin(π), jak už možná
víte, se rovná 0.
Podobný příklad
můžeme udělat s cos(x).

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is think about limits involving
trigonometric functions.
So let's just start with a
fairly straightforward one.
Let's find the limit as x
approaches pi of sine of x.
Pause the video and see if
you can figure this out.
Well, with both sine of x and cosine of x,
they are defined for all real numbers,
so their domain is all real numbers.
You can put any real number in here for x
and it will give you an output.
It is defined.
And they are also continuous
over their entire domain,
in fact, all of the trigonometric
functions are continuous
over their entire domain.
And so for sine of x,
because it's continuous,
and is defined at sine of pi,
we would say that this
is the same thing as
sine of pi,
and sine of pi, you might already know,
is equal to zero.
Now we could do a similar
exercise with cosine of x,

Czech: 
Takže čemu se rovná
limita pro x blížící se k…
Vezmu nějaký
libovolný úhel.
...pro x blížící se k
(π lomeno 4) z funkce cos(x)?
Kosinus je definovaný
pro všechna reálná čísla,
x může být libovolné reálné
číslo a je také spojitý,
takže pro cos(x) bude tato
limita rovna cos(π lomeno 4),
a to se rovná odmocnině
ze 2 lomené 2.
Jde o jeden
z těch úhlů,
jejichž hodnotu sinu či
kosinu je dobré umět.
Ve stupních je toto
úhel o velikosti 45 stupňů.
Obecně platí, že když pracujeme
se sinem nebo kosinem,
limita pro x blížící se k ‚a‘ z
funkce sin(x) je rovna sin(a).
Toto platí pro
libovolné reálné číslo ‚a‘.
Pro kosinus
platí to samé.

Bulgarian: 
Колко е границата
при х, клонящо към
един произволен ъгъл,
например π/4,
на косинус от х?
Отново,
косинус от х е дефинирано
за всички реални числа,
т.е. х може да е всяко
реално число.
Също е и непрекъсната.
За косинус от х отново имаме,
че границата е равна
на косинус от π/4.
Това е равно на
корен от 2 върху 2.
Това е един от често
срещаните ъгли
и е добре да знаем
неговите синус и косинус.
В градуси този ъгъл
е равен на 45 градуса.
В общия случай, когато търся
граници на функциите синус или косинус,
при х клонящо към а,
границата на синус от х
е равна на синус от а.
Повтарям, че това ще е вярно
за всяка стойност на а,
за всяко реално число а.
Аналогично твърдение
важи и за косинус от х.

English: 
so if I were to say what's
the limit as x approaches,
I'll just take an arbitrary
angle, x approaches pi over four
of cosine of x?
Well once again,
cosine of x is defined
for all real numbers,
x can be any real number.
It's also continuous.
So for cosine of x, this
limit is just gonna be cosine
of pi over four,
and that is going to be equal
to square root of two over two.
This is one of those useful angles
to know the sine and cosine of.
If you're thinking degrees,
this is a 45 degree angle.
And in general, if I'm dealing
with a sine or a cosine,
the limit as x approaches a of sine of x
is equal to sine of a.
Once again, this is going
to be true for any a,
any real number a.
And I can make a similar
statement about cosine of x.

Korean: 
x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때
극한값을 찾으려면
임의의 각 𝛑/4에
x가 한없이 가까워질 때
cos(x)의 극한값은 무엇일까요?
아까와 마찬가지로
cos(x)는 모든 실수에 대해
정의되므로
x는 어떤 실수이든 될 수 있습니다
cos(x)는 또한 연속함수입니다
따라서 cos(x)의 극한값은
𝛑/4의 코사인값일 거고
그 값은 곧
√(2)/2입니다
유용하게 쓰이는
사인 코사인 특수값 중 하나죠
도의 단위로는
45도와 같습니다
통상적으로 사인이나
코사인을 다룰 때
x가 a에 한없이 가까워질 때
sin(x)의 극한값은
sin(a)와 같습니다
다시 강조하지만 이 명제는
모든 실수 a에 대해 참입니다
비슷한 명제를 cos(x)에
대해서도 만들 수 있어요

Korean: 
x가 a에 한없이 가까워질 때
cos(x)의 극한값은
cos(a)와 같습니다
계속 강조했지만
이것은 두 함수의 정의역이
모든 실수이기 때문입니다
즉 두 함수들은 모든 실수에 대해
정의되어 있고
정의역 전체에 걸쳐
연속성을 갖기 때문입니다
이제 좀더 특징적인
삼각함수들
혹은 모든 실수에 대해
정의되지 않거나
정의역이 좀더 제한적인
함수들을 다뤄봅시다
아주 조금 더
제한이 생기는 거죠
x가 𝛑에
한없이 가까워질 때
tan(x)의 극한값을 구해봅시다
과연 극한값이 얼마일까요?
이것은 x가 𝛑에 한없이
가까워질 때의
극한값과 동일합니다
tan(x)는
sin(x) / cos(x)이죠
사인과 코사인 모두
파이에 대해 정의되므로

Czech: 
Limita pro x blížící se k ‚a‘ z funkce
cos(x) se rovná cos(a).
Už jsem to
několikrát říkal,
platí to proto, že jejich definiční
obory jsou všechna reálná čísla,
jsou definované pro jakékoliv
reálné číslo, které do nich dosadíte,
a na celém svém definičním
oboru jsou spojité.
Nyní se podívejme na
další goniometrické funkce,
na ty, které nejsou definované
pro všechna reálná čísla,
jejichž definiční obory
jsou nějak omezeny.
Zkusme spočítat limitu pro
x blížící se k π z funkce tan(x).
Čemu se to
bude rovnat?
Toto se rovná limitě
pro x blížící se k π,
tan(x) se rovná
sin(x) lomeno cos(x).
Oba tyto výrazy jsou
definované v bodě π,

English: 
Limit as x approaches a of cosine of x
is equal to cosine of a.
Now, I've been saying it over and over,
that's because both of their
domains are all real numbers,
they are defined for all
real numbers that you put in,
and they're continuous
on their entire domain.
But now, let's do slightly more involved
trigonometric functions,
or ones that aren't defined
for all real numbers, that
their domains are constrained
just a little bit more.
So let's say if we were to take the limit
as x approaches pi of tangent of x.
What is this going to be equal to?
Well, this is the same thing as the limit
as x approaches pi.
Tangent of x is sine
of x over cosine of x.
And so both of these are defined for pi
and so we could just substitute pi in.

Bulgarian: 
Границата на косинус от х,
когато х клони към а,
е равна на косинус от а.
Отново ще повторя,
че това е така, защото
и двете функции са дефинирани
за всички реални числа
и са непрекъснати в целите си
дефиниционни множества
А сега да опитаме
с малко по-сложни
тригонометрични функции:
такива, които не са определени
за всички реални числа,
т.е. техните дефиниционни множества
са малко по-ограничени.
Нека за пример вземем границата
на тангенс от х,
когато х клони към π.
На колко ще е равно това?
Това всъщност е равно
на границата
при х, клонящо към π,
на тангенс от х, което е синус от х
върху косинус от х.
И за двете функции
знаем, че са дефинирани за π
и затова можем да заместим с π.

Bulgarian: 
Трябва само да внимаваме
да не получим нула
в знаменателя, защото това
ще води до неопределеност.
Получаваме синус от π
върху косинус от π,
което е нула върху –1,
и това е съвсем наред.
Ако имахме –1 върху 0,
щяхме да имаме неопределеност.
Но в нашия случай
границата е равна на нула.
Това сработи.
Но ако търся границата
на тангенс от х
при х, клонящо към π/2?
Остави на пауза
и опитай да я намериш.
Помисли за това.
Тази граница се разлага до границата
при х, клонящо към π/2
на синус от х върху косинус от х.
Сега имаме синус
от π/2, което е 1,
но косинус от π /2
е нула.
Ако заместим х с π/2,
ще получим 1 върху 0.

Czech: 
takže stačí
dosadit π,
jen se musíme ujistit, že ve
jmenovateli nedostaneme 0,
jinak by limita
neexistovala.
Dosazením dostaneme
sin(π) lomeno cos(π),
což se rovná 0 lomeno −1,
a to je v pořádku.
Když to bylo −1 lomeno 0,
byl by problém,
ale tohle se
jednoduše rovná 0.
Ale když se zeptám,
čemu se rovná limita pro x blížící
se k (π lomeno 2) z funkce tan(x)?
Zastavte si video a
zkuste si to spočítat.
Toto je rovno limitě pro x blížící se
k (π lomeno 2) ze sin(x) lomeno cos(x).
Sin(π lomeno 2) je 1,
ale cos(π lomeno 2) je 0.
Takže kdybychom
jen dosadili,
tohle by se rovnalo
1 lomeno 0.

Korean: 
그냥 𝛑를 치환하면 됩니다
분모에 0이 생기지 않도록
주의해야 합니다
그러면 함수가 정의되지
않으니까요
sin(𝛑) / cos(𝛑)는
0 / -1입니다
이건 상관없습니다
만약 -1 / 0이었다면
골치 아픈 일이었겠죠
하지만 이 경우
나눗셈의 값은 0입니다
그러니 상관없습니다
하지만 x가 𝛑/2에
한없이 가까워질 때
tan(x)의
극한값은 무엇일까요?
영상을 정지하고 스스로
한 번 구해보세요
생각해 보세요
이것은 x가 𝛑/2에
한없이 가까워질 때
sin(x) / cos(x)의
극한값입니다
𝛑/2의 사인값은 1이지만
𝛑/2의 코사인값은 0입니다
따라서 이 값들을 치환한다면
1 / 0이 나옵니다

English: 
And we just wanna ensure
that we don't get a zero
in the denominator, because
that would make it undefined.
So we get sine of pi
over cosine of pi which is
equal to zero over negative one,
which is completely fine.
If it was negative one over
zero, we'd be in trouble.
But this is just gonna be equal to zero.
So that works out.
But if I were to ask
you, what is the limit
as x approaches pi over
two of tangent of x?
Pause the video and try to work that out.
Well, think about it.
This is the limit as x
approaches pi over two
of sine of x over cosine of x.
Now sine of pi over two is one,
but cosine of pi over two is zero.
So if you were to just substitute in,
this would give you one over zero.

Bulgarian: 
Можем да кажем, че
π/2
не е в дефиниционното множество
на тангенс от х.
Така излиза, че тази граница
не съществува.
В общия случай,
за синус, косинус,
секант, косекант, тангенс или котангенс,
ако говорим за граница
при точка,
която е в тяхното
дефиниционно множество,
то границата е равна на
стойността
на функцията в тази точка.
Но ако търсим граница
в точка, която не е
в тяхното дефиниционно
множество,
то най-вероятно тази граница
няма да съществува.
В този случай
границата не съществува.
Причината е, че π/2
не е в дефиниционното
множество на π/2.
На графиката на
тангенс от х се вижда
вертикална асимптота
при π/2.
Да направим още един
подобен пример.
Търсим границата на котангенс от х
при х, клонящо към π.
Остави видеото на пауза
и опитай самостоятелно
да намериш тази граница.

Korean: 
즉 𝛑/2는
tan(x)의 정의역에
포함되지 않습니다
따라서 이 극한값은 존재하지 않습니다
통상적으로, 사인, 코사인
탄젠트, 코시컨트, 시컨트 혹은
코탄젠트를 다룰 때
만약 우리가 극한을
정의역 안의
어떤 점으로 정한다면
어떤 함수의 극한값은
정한 그 점에서의
함수값과 동일합니다
만약 극한을
정의역 밖의 점으로 정한다면
만약 극한을
정의역 밖의 점으로 정한다면
극한값이 존재하지 않을
확률이 큽니다
따라서 이 경우에도 극한값은
존재하지 않습니다
이것을 예측하는 방법은
𝛑/2가
tan(x)의 정의역 밖에 있다는
사실을 알아내는 거죠
tan(x)를 그래프로 그려보면
𝛑/2에서 수직점근선이
존재한다는 것을 알게 될 겁니다
한 번 더 연습해보죠
x가 파이에 한없이 가까워질 때
cot(x)의 극한값을 구해봅시다
영상을 정지하고 스스로
한 번 구해보세요

English: 
And one way to think
about it is pi over two
is not in the domain of tangent of x.
And so this limit actually
turns out, it doesn't exist.
In general, if we're
dealing with the sine,
cosine, tangent, or cosecant,
secant, or cotangent,
if we're taking a limit to a point
that's in their domain,
then the value of the limit
is going to be the same thing as the value
of the function at that point.
If you're taking a limit to a point
that's not in their domain,
there's a good chance that
we're not going to have a limit.
So here, there is no limit.
And the way to do that is that pi over two
is not in tangent of x's domain.
If you were to graph
tan of x, you would see
a vertical asymptote at pi over two.
Let's do one more of these.
So let's say the limit as x
approaches pi of cotangent of x,
pause the video and see
if you can figure out
what that's going to be.

Czech: 
Také se na to
můžeme dívat tak,
že bod (π lomeno 2) není v
definičním oboru funkce tangens.
Tato limita tak
nakonec neexistuje.
Obecně platí, že když pracujeme
se sinem, kosinem, tangentou
nebo kosekansem,
sekansem či kotangentou,
tak když počítáme limitu blížící se
k bodu v jejich definičním oboru,
hodnota limity se rovná
funkční hodnotě v tomto bodě.
Když počítáme limitu v bodě
mimo jejich definiční obor,
je velká šance, že
limita nebude existovat.
V tomto případě
limita neexistuje.
A poznáme to tak,
že bod (π lomeno 2) není
v definičním oboru funkce tangens.
Kdybychom měli graf
funkce tangens,
viděli bychom, že bodem (π
lomeno 2) prochází svislá asymptota.
Udělejme ještě
jeden příklad.
Limita pro x blížící se
k π z funkce cotan(x).
Zastavte si video a zkuste
zjistit, čemu se to rovná.

Czech: 
Cotan(x) je roven
1 lomeno tan(x),
a to se rovná cos(x)
lomeno sin(x).
A z tohohle hledáme
limitu pro x blížící se k π.
Leží π v definičním
oboru funkce cotan(x)?
Neleží.
Kdybychom do
výrazu jen dosadili π,
dostaneme −1 lomeno 0,
takže π neleží v
definičním oboru kotangensu.
Kdybychom měli graf, viděli
bychom zde svislou asymptotu.
Takže limita neexistuje.
Limita neexistuje.
π neleží v definičním
oboru tohohle,
takže je velká šance,
že limita neexistuje.
Když bod, k němuž se blížíme,
leží v definičním oboru
dané goniometrické funkce,
limita bude existovat.
Speciálně sinus a kosinus jsou
definované pro všechna reálná čísla
a ve všech reálných
bodech jsou spojité,

Korean: 
다음과 같이 생각해 볼 수 있습니다
cot(x)는 1 / tan(x)이므로
cos(x) / sin(x)입니다
x가 𝛑에 한없이 가까워질 때
여기 이 함수의 극한값을
구해야 합니다
𝛑가 cot(x)의
정의역 안에 있나요?
그렇지 않습니다
𝛑를 치환해 보면
-1 / 0이 나오죠
따라서 cot(x)의
정의역 밖에 있습니다
그래프를 그려보면 이 지점에
수직점근선을 볼 수 있습니다
따라서 극한값이 존재하지 않습니다
아까와 같이 이 값은
정의역에 포함되지 않으니
극한값이 없을 확률이 큽니다
한없이 가까워지는 값이
삼각함수의
정의역에 포함된다면
함수의 극한값이 정의됩니다
사인과 코사인은 특히
모든 실수에 대해 정의되며 또한
모든 실수에 대해 연속됩니다
극한을 어느 실수로 정해도

Bulgarian: 
Един начин на мислене е
да представим котангенс от х
като 1 върху тангенс от х.
Това е косинус от х
върху синус от х.
Нашата граница е при
х, клонящо към π.
На това.
Дефиниран ли е за π
котангенс от х?
Явно не: когато заместим х с π,
получаваме –1 върху 0.
Следователно π не е от дефиниционното
множество на котангенс от х.
На графиката ще видим
вертикална асимптота
точно там, за х = π.
Следователно границата
не съществува.
Нямаме граница.
Отново причината е,
че функцията не е дефинирана тук
и има голяма вероятност
да няма граница за тази стойност.
Когато числото, за което търсим граница,
е в дефиниционното множество
на тригонометричната функция,
то тя ще има определена граница.
В частност, синус и косинус
са определени
за всички реални числа
и са непрекъснати
за всички реални числа.
Затова тяхната граница
при произволно реално число

English: 
Well, one way to think about it,
cotangent of x is one over tangent of x,
it's cosine of x over sine of x.
This is a limit as x approaches pi
of this.
And is pi in the domain of cotangent of x?
Well, no, if you were
just to substitute pi in,
you're gonna get negative one over zero.
And so that is not in the
domain of cotangent of x.
If you were to plot it, you
would see a vertical asymptote
right over there.
And so we have no limit.
We have no limit.
So once again, this is
not in the domain of that,
and so good chance that we have no limit.
When the thing we're taking the limit to
is in the domain of the
trigonometric function,
we're going to have a defined limit.
And sine and cosine in
particular are defined
for all real numbers
and they're continuous
over all real numbers.
So you take the limit
to anything for them,

Korean: 
극한값이 정의될 것이고
극한값은 해당 극한에서의
함수값과 동일합니다

English: 
it's going to be defined
and it's going to be
the value of the function at that point.

Czech: 
takže limita v jakémkoliv
bodě bude existovat
a bude se rovnat funkční
hodnotě v tom bodě.

Bulgarian: 
ще бъде определена
и ще е равна
на стойността на функцията
в тази точка.
