Un Fisquito de Matemáticas, cuarta temporada.
Primero quería darle las gracias a Edith, a Evelia y a Irene, por toda la colaboración en el
desarrollo del Fisquito. Y bueno, yo lo
que les vengo a hablar es de un problema
que se enseña en el colegio, y aún así
tiene a los matemáticos trabajando día y
noche para resolverlo. Y este problema es
el de saber si un número es primo o no.
Y cómo esto va de matemáticas, vamos a
definir adecuadamente a los
protagonistas del Fisquito, que son los
números primos. Un número entero, mayor o
igual que dos, se dice primo si sus únicos
divisores son el uno y él mismo.
En caso contrario, decimos que es un número
compuesto. Así, el 2 en un número primo,
sus únicos divisores son 1 y 2, y el 16
es un número compuesto. Porque además
da al 1 y al 16, tiene al 2, al 4 y al 
8. Y ahora yo les pregunto:
este número, ¿es primo o es compuesto? No
voy a molestarme ni en leerlo porque
sólo tengo diez minutos, pero yo quiero
que se queden con esa idea en la cabeza.
Dado un número, lo grande que
sea, ¿es primo o no? Y bueno, vamos a
ponernos un poco en situación. Estamos
en una rama de las matemáticas que se
llama teoría de números y que, entre
los problemas a los que se enfrenta,
está el problema de la factorización,
dado un número entero, conocer su
descomposición como producto de primos. Y
el problema de primalidad, que es el que
a nosotros nos importa, dado un entero
mayor o igual que 2, saber si es primo no.
Son problemas diferentes, pero están muy
relacionados, porque si yo consigo
descomponer un número en factores primos,
automáticamente estoy diciendo que no
es un número primo. Y bueno, ¿cómo abordan
los matemáticos este problema? Ellos
cogen sus teoremas, relacionados con ver
si los números son primos o no, e idean
algoritmos con los que poder
aplicarlo a este conjunto de teoremas
y algoritmos, lo llaman test de
primalidad. Y hay diversos tipos,
por un lado los deterministas, que nos
dicen con toda la seguridad del mundo si
el número que testeamos es primo y por
otro lado los estocásticos, que
sacrificando un poquito de rigurosidad
nos dicen con cierta probabilidad si el
número es primo no. Y bueno vamos a
hablar ya de lo que a nosotros nos
interesa, que son los métodos de primalidad. El primero de todos, que es la
criba de Erastótenes, viene desde la
antigua Grecia de mano de Erastótenes de Cirene.
Se considera el primer algoritmo para
detectar la primalidad de un número.
Y que nos ofrecen a los primos menores o
iguales que el número que nosotros le
pasemos, por ejemplo, vamos a verlo para
el 50. Lo que queremos obtener son todos
los primos menores o iguales que él.
Y empezamos listando todos los
números que hay entre el 2 y el 50.
Entonces, el 2 es el primo más pequeño,
todos lo sabemos. Lo que vamos a hacer es
tachar todos sus múltiplos. El 4, el 6, el 8,
el 10, el 12... y así hasta el final de la
tabla. Ahora bien, el siguiente número
que queda sin tratar es el 3, que es el
siguiente número primo y va en está
lista. Y nuevamente vamos a tachar sus
múltiplos, los que no han sido tachados
anteriormente, obviamente el 9, el 15, el 21... y
así hasta el final.
Ahora tocaría el 5, siguiente número
primo, que va a la lista. Y repetimos este
proceso tachando sus múltiplos: 25, 35,
el 7...
repetimos el proceso, y cuando llegamos
al 11,
nos damos cuenta que no hay ningún
múltiplo de once que podamos tachar.
Porque ya los hemos quitado todos antes,
lo mismo pasa con el 13, con el 17, con el
19... total con todos los que no hemos
tachado en la tabla, que son todos
números primos menores o iguales que
50. Y es que los matemáticos se
dieron cuenta que bastaba repetir este
proceso de tachado, en este caso hasta la
raíz cuadrada de 50. El salto
cualitativo en la búsqueda de la primalidad,
se consigue gracias a las ideas de Fermat,
reconocido matemático, sobre todo por eso de ir
dejando demostraciones en los márgenes
de los libros, y el test de Fermat se
basa en el pequeño Teorema de Fermat,
que dice lo siguiente: que P es un
número primo, y a su natural cuyo
máximo común divisor con P=1,
entonces al haber -1 es congruente con
uno módulo P. Para los que no son
de matemáticas,
esto viene a decir que si yo cojo A, lo
elevo a P-1, y lo divido entre P, el resto
que me va a quedar es 1. Por ejemplo, el
25, si yo lo divido entre 3 me cabe a
a 8 y me sobra 1. Entonces 25 es
congruente con 1 módulo 3.
Es simple notación. Vamos a ver cómo
funciona este test. Por ejemplo, para
el 91, y vamos a hacer tres iteraciones. En
la primera,
elegimos un número aleatorio entre 1 y
90, por ejemplo el 3. Y el 3 lo elevamos a
90, y yo les aseguro que si divides ese
número entre 91, el resto que te da es 1.
En la segunda internación, cogemos otro
número aleatorio, por ejemplo 17, y
lo elevamos a 90. Que vuelve a
dar uno si divido entre 91. En la tercera, el
número aleatorio es el 13
la llevamos a 90, pero si divido entre 91,
el resto que me queda no es 1. Entonces,
lo que nos dice el test de Fermat es que a
91 es un número compuesto, de hecho esa es
su factorización. Sin embargo, para el
561 pasa otra cosa. Es un número
compuesto también, es 3 x 11 x 17.
Y vamos a ver tres iteraciones de este test.
En la primera, el número aleatorio que
escogemos es 237, lo elevamos a 560 y si
dividimos, nos da resto 1. En la segunda,
el número elegido es 337. Volvemos a elevar
y dividimos ente 561, resto 1.
Otra vez, que cosas. Y en la
tercera, 470. Lo elevamos a 560 y de verdad que
les aseguro que da resto 1 si divides entre 561. Entonces el test de Fermat
lo que no dice es que 561 es un posible
número primo, pero es que nosotros
sabemos que es
compuesto. Entonces hay una serie de
números compuestos que pasan el test de
Fermat,
independientemente del número e iteraciones que hagas y del número
aleatorio que cojas. Y esos números
se llaman números de Carmichael, 561 es primero de ellos.
Todas las ideas que
vienen después se basan en refinar la
que tuvo Fermat. Y así surge, por ejemplo,
el test de Luca, ideado por Edward Luca,
reconocido matemático en el campo de
teoría de números y aficionado a la
matemática recreativa. De hecho, creó el
problema de las Torres de Hanoi. Este de
pasar los disquitos entre las varillas,
¿qué requiere este test? Conocer los
factores primos de -1, siendo en el
número que nosotros queremos despejar,
por ejemplo para el 811, un número
pequeñito. Vamos a testear su primalidad:
811 - 1 = 810. Y podemos
factorizarlo como ahí se indica.
Lo que buscamos es un número que verifica esas
condiciones, que si y lo elevo a 810
y divido entre 811, el resto que me quede es 1, y que si lo
elevo 810 entre 2, entre 3 o entre 5 y divido entre 811, no de resto 1. Y 2, 3 y 5 no
están elegidos por casualidad, son los
factores primos en la composición de
810. Si podemos encontrar dicho A, 811
es un número primo, si probamos con
todos los A posibles y no encontramos,
tendrá que ser un número compuesto.
Y yo, como buen matemático me pongo a hacer
cuentas y me di cuenta que para el 3 vale,
así que el 811 es un número primo.
Y bueno, Fermat y Luca no fueron los
únicos que trabajaron en esta idea de
buscar la primalidad. Proth, Miller, Rabin, Lehmer, Pocklington... todos ellos
aportaron alguna idea, algún método para
resolver este problema de buscar la
primalidad, y no se crean ustedes que
esto es una frikada nuestra de los
matemáticos. Que venga vamos a buscar
números primos, porque sí, porque nos
divierte. Los números primos están
donde menos te lo esperas y tienen
aplicaciones por ejemplo en
criptografía. Los números primos nos
permiten construir criptosistemas muy
difíciles de romper lo cual mantiene al
dinero de nuestras cuentas corrientes
seguro, de momento.
Entonces yo les planteo: ¿Siguen
creyendo que la primalidad es un
problema del colegio?
Muchas gracias.
