
German: 
Die 3 unten eingezeichneten Punkte
liegen auf dem Graphen von y = b^x.
Von diesen 3 Punkten ausgehend, trage durch
Anklicken die 3 entsprechenden Punkte ein,
die auf dem Graphen von y = log_b (x) liegen müssen.
Ich habe einen Screenshot von dieser Aufgabe gemacht,
damit ich darauf zeichnen kann.
Was ist mit der ersten Funktion?
Bei der ersten Funktion haben wir x und y = b^x.
Wenn x = 0, dann ist y = 1.
Das ist dieser Punkt hier.
Wenn x = 1, dann ist b^1 = 4.
y = 4.
Anders ausgedrückt: 4 = b^1.
Dadurch können wir ableiten, dass b = 4 sein muss.
Das ist dieser Punkt.

Korean: 
아래에 표시된 세 점들은
y=b^x 그래프 위에 있는 점들입니다
'이 세 점에 기초해서
y=로그 b의 x 그래프 위에 있는
세 점을 클릭해서
그래프 위에 표현하세요'
라는 문제입니다
필기하기 쉽게 이 그래프를
스크래치 패드 위에 놓겠습니다
스크래치 패드 위에 놓겠습니다
처음 함수는 무엇일까요?
여기 x와 y=b^x 을 놓고
여기 x와 y=b^x 을 놓고
x가 0일 때, y는 1이 됩니다
이 점입니다
x가 1일 때는
b의 1제곱은 4가 됩니다
다시 말하자면 y는 4 입니다
다르게 생각해 보면
y와 4 는 b의 1제곱과 같습니다
y와 4 는 b의 1제곱과 같습니다
여기 있는 점을 나타냅니다

English: 
Voiceover:The three points plotted below
are on the graph of y is
equal to b to the x power.
Based only on these three points,
plot the three corresponding points
that must be on the graph
of y is equal to log base b of x
by clicking on the graph.
I've actually copy and pasted this problem
on my little scratch
pad so I can mark it up
a little bit.
What is this first function?
This first function is telling us
so x, and this is y is
equal to b to the x power.
When x is equal to
zero, y is equal to one.
That's this point right over here.
When x is equal to one, b to the one power
or b to the first power is equal to four.
y is equal to four.
Another way of thinking of this
y or four is equal to b to the first power
and actually we can do
[said] must be four.
That's this point right over there.

Thai: 
จุดสามจุดที่พลอตข้างล่าง
อยู่บนกราฟ y เท่ากับ b ยกกำลัง x
จากจุดสามจุดนี้
พลอตจุดสามจุดที่คู่กัน
ซึ่งต้องอยู่บนกราฟ
ของ y เท่ากับล็อกฐาน b ของ x
โดยคลิกบนกราฟ
ผมได้ลอกและวางปัญหานี้
ลงบนกระดานทดเล็กๆ ของผม ผมจะได้เขียน
ลงไปได้
ฟังก์ชันแรกนี้คืออะไร?
ฟังก์ชันแรกนี้บอกเราว่า
x และนี่คือ y เท่ากับ b ยกกำลัง x
เมื่อ x เท่ากับ 0, y เท่ากับ 1
นั่นคือจุดนี่ตรงนี้
เมื่อ x เท่ากับ 1, b ยกกำลัง 1
b ยกกำลัง 1 จะเท่ากับ 4
y เท่ากับ 4
วิธีคิดอีกอย่างคือว่า y นี่
หรือ 4 เท่ากับ b ยกกำลัง 1
และที่จริง เราบอกได้ว่า b ต้องเป็น 4
นั่นคือจุดนี่ตรงนี้

Romanian: 
Cele trei puncte reprezentate mai jos
pe graficul lui y egal cu b la puterea x.
Bazat numai pe aceste 3 puncte, reprezentati cele
3 puncte corespunzatoare ce trebuie sa fie
pe graficul lui y egal cu log in baza b din x,
doar apasand pe grafic.
Deci, de fapt am copiat si am alipit aceasta 
problema pe carnetelul meu
de ciorne ca sa o marchez un pic.
Deci ce este aceasta, aceasta prima functie?
Aceasta prima functie ne spune.
Deci, x si acesta este y este egal cu b la puterea x.
Deci cand x este egal cu 0, y este egal cu 1.
Cand x este egal cu 0, y este egal cu 1.
Acesta este chiar acest punct de aici.
Cand x este egal cu 1, cand ( nu se aude)
este egal cu 1, b la puterea
1 sau b la prima putere este egal cu 4,
y este egal cu 4.
Deci un alt mod de a gandi, acest y sau 4 este
egal cu bla
puterea 1 si de fapt le putem deduce si
b trebuie sa fie 4.
Deci aceasta este puntul de aici.

Bulgarian: 
"Трите точки, показани по-долу,
са от графиката на 'у, равно на b на степен х'.
Въз основа само на тези 3 точки
постави трите съответни точки,
които са на графиката на
'у, равно на логаритъм от х при основа b',
като кликваш на графиката."
Всъщност копирах и поставих тази задача
на малкия си бележник, така че да
мога да го маркирам тук-там.
Каква е първата функция?
Първата функция ни дава:
имаме х и това е 'у, равно на b на степен х'.
Когато х = 0, у = 1.
Това е тази точка тук.
Когато х = 1, b на степен 1
или b на първа е равно на 4.
у е равно на 4.
Друг начин да мислим за това е
у или 4 е равно на b на първа степен,
следователно b трябва да е равно на 4.
Това е тази точка ето тук.

Bulgarian: 
Тази точка ни казва, че b на втора степен
е равно на 16.
Когато х = 2,
b на втора степен, или у = 16.
Сега искаме да поставим трите съответни точки
на графиката на тази функция.
Нека начертая друга таблица.
Тя всъщност се състои от обратната функция,
където това ще е х
и искаме да изчислим 'у, равно на логаритъм от х при основа b'.
Какви са възможностите тук?
Искам да помислим...
Нека вземем тези стойности,
понеже това всъщност са взаимно обратни функции –
логаритъм е обратната функция на показателната функция.
Ако вземем точките 1, 4 и 16...
Колко ще е у тук?
у ще е логаритъм от 1 при основа b.

German: 
Dieser Punkt sagt uns, dass b^2 = 16 ist.
Wenn x = 2, dann haben wir b^2 und y = 16.
Jetzt wollen wir die 3 entsprechenden
Punkte dieser Funktion eintragen.
Ich zeichne noch eine Tabelle.
Wir haben quasi die Umkehrfunktion,
bei der das hier x ist,
und wir herausfinden wollen, was y = log_b (x) ist.
Welche Möglichkeiten gibt es hier?
Wir nehmen diese Werte, da diese
beiden Umkehrfunktionen voneinander sind.
log ist die Umkehrfunktion von Exponenten.
Wenn wir die Punkte 1, 4 und 16 nehmen,
was ergibt y dann?
y = log_b (1).

English: 
This point is telling us
that b to the second power
is equal to 16.
When x is equal to two,
b to the second power, y is equal to 16.
Now we want to plot the
three corresponding points
on this function.
Let me draw another table here.
Now it's essentially the inverse function
where this is going to be x
and we want to calculate y
is equal to log base b of x.
What are the possibilities here?
What I want to do is think ...
Let's take these values
because these are
essentially inverse functions
log is the inverse of exponents.
If we take the points one, four, and 16.
What is y going to be here?
y is going to be log base b of one.

Romanian: 
Si acest punct ne spune ca b la puterea 
a doua este egal cu 16.
Deci cand x este egal cu 2, b la puterea a doua,
y este egal cu 16.
Acum vrem sa reprezentam graphic cele 
trei puncte coresunzatoare ale acestei
functii, hai sa desenez un alt table aici.
Deci acum, este esentiala functia inversa, unde
aceasta va fi x, si vom calcula
y este egal cu log in baza b din x,
si deci, care sunt posibilitatile aici?
Ce am de gand sa fac , 
hai sa luam aceste
valori, acestea sunt de fapt functiile inverse.
Log este inversul exponentialului.
Deci, daca luam punctul 1, 4, 1, 4 si 16.
1, 4, si 16.
1,4, si 16.
Deci cat va fi y aici?
Y va fi log in baza b din 1.

Korean: 
이 점은 b의 제곱이
16이라는 것을 나타냅니다
이 점은 b의 제곱이 16이라는 것을 나타냅니다
x가 2라면
b 제곱, 즉 y 는 16이 됩니다
그러면 이 함수 위에 세 점에 대응하는
점을 표시해야 합니다
그러면 이 함수 위에 세 점에 대응하는
점을 표시해야 합니다
아래쪽에 또다른 표를 그려봅시다
역함수를 표현해 보면
왼쪽은 x가 될 것이고
우리가 계산하고자 하는 y는 로그 b의 x 입니다
가능한 것은 어떤 것이 있을까요?
생각해 봅시다
이 y 값들은 역함수에 필수적이기 때문에
이 y값들을 취합니다
로그는 지수함수의 역함수입니다
만약 우리가 1, 4, 16을 가져오면
y에는 어떤 값이 올 수 있을까요?
y는 로그 b의 1가 될 것입니다

Thai: 
จุดนี้บอกเราว่า b ยกกำลัง 2
เท่ากับ 16
เมื่อ x เท่ากับ 2
b ยกกำลัง 2, y เท่ากับ 16
ทีนี้ เราอยากพลอตจุดสามจุดที่คู่กัน
บนฟังก์ชันนี้
ขอผมเขียนตารางอีกอันตรงนี้
ทีนี้ มันเป็นฟังก์ชันอินเวอร์ส
โดยอันนี้จะเป็น x
และเราอยากคำนวณ y เท่ากับล็อกฐาน b ของ x
จุดที่เป็นไปได้ตรงนี้คืออะไร?
สิ่งที่ผมอยากทำคือคิด --
ลองนำค่าเหล่านี้มา
เนื่องจากนี่คือฟังก์ชันอินเวอร์ส
ล็อก คืออิเนวอร์สของการยกกำลัง
ถ้าเรานำจุด 1, 4 และ 16 มา
y จะเป็นเท่าใด?
y จะเป็นล็อกฐาน b ของ 1

German: 
Die Frage ist, welchen Exponenten
b haben muss, um 1 zu erhalten.
Wenn wir annehmen, dass b ≠ 0 ist,
was eine vernünftige Annahme ist,
da b mit verschiedenen Exponenten nicht 0 ergibt,
dann ergibt das 0 für jeden b-Wert, der nicht 0 ist.
Das ergibt 0.
Wir haben den Punkt (1|0),
das ist dieser Punkt hier.
Du siehst, dass diese Punkte einander entsprechen,
wir haben im Grunde die x- und y-Werte getauscht.
Wenn wir eine Umkehrfunktion haben,
dann spiegeln wir immer entlang der Geraden y = x,
und hier haben wir eine eindeutige
Spiegelung entlang dieser Geraden.
Jetzt haben wir x = 4,
und schauen uns an, was log_b (4) ergibt.
Welchen Exponenten braucht b, um 4 zu erhalten?
Wir sehen hier drüben, dass b^1 = 4 ist.
Wir wissen also bereits, dass b^1 = 4 ist.
Das hier drüben ergibt also 1.
Wenn x = 4 ist, dann ist y = 1.

English: 
This is saying what power
I need to raise b to
to get to one.
If we assume that b is non zero
and that's a reasonable assumption
because b to different
powers are non zero,
this is going to be
zero for any non zero b.
This is going to be zero
right there, over here.
We have the point one comma zero,
so it's that point over there.
Notice this point
corresponds to this point,
we have essentially
swapped the x's and y's.
In general when you're taking an inverse
you're going to reflect over
the line, y is equal to x
and this is clearly
reflection over that line.
Now let's look over here,
when x is equal to four
what is log base b of four.
What is the power I need to raise b to
to get to four.
We see right over here,
b to the first power is equal to four.
We already figured that out,
when I take b to the first
power is equal to four.
This right over here is
going to be equal to one.
When x is equal to
four, y is equal to one.

Bulgarian: 
Това пита на каква степен трябва да повдигнем b,
за да получим 1.
Ако приемем, че b не е 0
и това е логично предположение,
понеже b на други степени не е 0,
това ще е 0 за всяко b, различно от 0 .
Това тук ще е 0.
Имаме точката (1; 0).
Това е тази точка ето тук.
Забележи, че тази точка съответства на тази точка,
като цяло "обърнахме" всички х и у.
По принцип когато имаш обратна функция,
графиката ѝ ще е симетрична на графиката на първоначалната функция
спрямо правата у=х.
А това определено е симетрично спрямо тази права.
Нека сега погледнем ето тук –
когато х = 4, колко е логаритъм от 4 при основа b?
На каква степен трябва да повдигна b,
за да получа 4?
Виждаме го ето тук –
b на първа е равно на 4.
Вече открихме това –
открихме, че b на първа степен е равно на 4.
Това тук ще е равно на 1.
Когато х = 4, тогава у = 1.

Romanian: 
Deci asta spune la ce putere am nevoie sa
ridic b ca sa obtin 1 ?
Ei bine, daca asumam ca b este diferit de zero 
si aceasta este
o presupunere rezonabila, pentru ca b la 
puteri diferite sunt diferite de zero.
Aceasta va fi 0 pentru orice b diferit de zero.
Deci aceasta va fi 0 chiar aici.
Deci avem 1,0 , este puctul de aici.
Si observati, acest punct corespunde la
acest punct.
Am schimbat x si y intre ele..
Si in general, cand luati o inversa, se va
reflecta peste, peste linie, Y este egal cu X.
Si acesta este clar o reflexie peste acea linie.
Acum sa ne uitam aici.
Cand x=4, cat este log in baza b din 4 ?
Care este puterea la care il ridic pe b, 
ca sa obtin 4 ?
Ei bine, vedem chiar aici.
b la puterea 1 este egal cu 4.
Deja stiam asta.
Cand iau b la puterea 1, b la prima putere 
este egal cu 4.
Deci aceasta de aici va fi egala cu 1.
Deci, cand x e egal cu 4, y e egal cu 1.

Thai: 
นี่บอกว่า ผมต้องยกกำลัง b เท่าใด
จึงจะได้ 1
ถ้าเราสมมุติว่า b ไม่เท่ากับศูนย์
และนั่นคือข้อสมมุติที่สมเหตุสผล
เพราะ b ยกกำลังใดๆ นั้นไม่เป็นศูนย์
อันนี้จะเท่ากับ 0 สำหรับ b ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ
อันนี้จะเท่ากับ 0 ตรงนี้ ตรงนี้
เรามีจุด (1, 0)
มันก็คือจุดนั่นตรงนั้น
สังเกตว่าจุดนี้ตรงกับจุดนี้
เราได้สลับค่า x กับ y กัน
โดยทั่วไป เวลาคุณหาอินเวอร์ส
คุณจะสะท้อนข้ามเส้นตรง y เท่ากับ x
และนี่คือการสะท้อนข้ามเส้นตรงจริงๆ
ทีนี้ ลองดูตรงนี้
เมื่อ x เท่ากับ 4 ล็อกฐาน b ของ 4 คืออะไร
ผมต้องยกกำลัง b ด้วยอะไร
จึงจะได้ 4
เราเห็นตรงนี้
b ยกกำลัง 1 เท่ากับ 4
เราหาได้ไปแล้ว
เมื่อผมหา b ยกกำลัง 1 เท่ากับ 4
ค่านี่ตรงนี้จะเท่ากับ 1
เมื่อ x เท่ากับ 4, y เท่ากับ 1

Korean: 
다시 말하자면 b를 얼마나 곱해야
1을 얻을 수 있을까 라는 것입니다
b를 거듭제곱 했을 때
0이 아닌 값이 나오므로
b 또한 0이 아니라고
가정할 수 있습니다
여기 오는 수는 0이 됩니다
(0,1)의 점을 얻었으므로
이곳에 그리면 됩니다
이 점은 문제의 (0,1)에 대응되는데
x와 y를 바꾼 것 입니다
일반적으로 역함수에서
y=x 의 그래프에 대해서
완전히 대칭되게 됩니다
이제 여길 봅시다
x가 4 일 때 즉 로그 b의 4 를
구하는 것입니다
b를 만들기 위해 4를 얼마나
제곱해야 하는지를 구해야 합니다
b를 만들기 위해 4를 얼마나
제곱해야 하는지를 구해야 합니다
여기서 볼 수 있듯이
b의 1제곱은 4 입니다
아까 보았듯이
b의 1제곱은 4 입니다
여기 들어갈 숫자는 1입니다
x가 4 일 때, y는 1이 됩니다

Thai: 
สังเกตอีกครั้ง มันคือการสะท้อนข้ามเส้นตรง
y เท่ากับ x
เมื่อ x เท่ากับ 16
เมื่อ y เท่ากับล็อกฐาน b ของ 16
กำลังที่ผมต้องยก b เพื่อให้ได้ 16
เรารู้อยู่แล้ว
ถ้าเราหา b กำลังสอง เราจะได้ 16
ค่านี้จึงเท่ากับ 2
เมื่อ x เท่ากับ 16, y เท่ากับ 2
สังเกตว่าเราได้สลับค่า x กับ y
สำหรับแต่ละจุด
นี่คือ y, นี่คือการสะท้อน
ข้ามเส้นตรง y เท่ากับ x
ทีนี้ ลองทำบนแบบฝึกหัดจริงกัน
สาเหตุที่เราทำเพื่อให้คุณซาบซึ้ง
ว่าพวกมันเป็นฟังก์ชันอินเวอร์สของกันและกัน
ลองพลอตจุดกัน
จุดนั้นตรงกับจุดนั้น
x เป็น 0, y เป็น 1
คู่กับ x เป็น 1, y เป็น 0
นี่คือ x เป็น 1, y เป็น 4
มันตรงกับ x เป็น 4, y เป็น 1

English: 
Notice once again, it is
a reflection over the line
y is equal to x.
When x is equal to 16
then y is equal to log base b of 16.
The power I need to
raise b to, to get to 16.
Well we already know,
if we take b squared, we get to 16,
so this is equal to two.
When x is equal to 16, y is equal to two.
Notice we essentially just
swapped the x and y values
for each of these points.
This is y, this is a reflection
over the line y is equal to x.
Now, let's actually do that
on the actual interface.
The whole reason is to
give you this appreciation
that these are inverse
functions of each other.
Let's plot the points.
That point corresponded to that point,
so x zero, y one
corresponds to x one, y zero.
Here x is one, y is four
that corresponds to x four, y one.

Romanian: 
Si observati din nou, este o reflexie peste
linie, y egal cu x.
Si deci cand x este egal cu 16, cand x este
egal cu 16 atunci y este egal cu
log in baza b din 16.
Puterea de care am nevoie sa ridic b ca sa obtin 16.
Ei bine, stim deja.
Daca luam, b la patrat, obtinem 16, 
deci acesta este egal cu 2.
Deci cand x este egal cu 16, y este egal cu 2.
Observati de fapt am schimbat valorile x si y intre
ele pentru fiecare dintre aceste puncte,
acesta este de ce acesta este reflexia peste linie, y este egal cu x.
Acum hai sa facem asta pe o interfata
reala si motivul este,
sa va dea imaginea ca acestea
sunt functii inverse una pentru alta.
Deci hai sa reprezentam aceste puncte.
Deci acel punct corespunde la acel punct.
Deci, x 0 y 1 corespunde la x 1 y 0.
Aici, x e 1, y e 4, corespunde la x 4 y 1.

German: 
Du siehst wieder, dass wir eine Spiegelung
entlang der Geraden y = x haben.
Wenn x = 16 ist,
dann ist y = log_b (16).
Welchen Exponenten braucht b, um 16 zu erhalten?
Wir wissen bereits, dass b^2 = 16 ist,
also ergibt das 2.
Wenn x = 16 ist, dann ist y = 2.
Wir haben im Grunde nur die x- und y-Werte
für jeden dieser Punkte getauscht.
Deshalb haben wir eine
Spiegelung entlang der Geraden y = x.
Jetzt machen wir das auf der eigentlichen Website.
Du sollst durch die Aufgabe lernen,
dass es sich um Umkehrfunktionen handelt.
Ich zeichne die Punkte ein.
Dieser Punkt entspricht diesem,
x = 0, y = 1 entspricht x = 1, y = 0.
Hier ist x = 1, y = 4 und entspricht x = 4, y = 1.

Bulgarian: 
Забележи, че това отново е
симетрично спрямо правата у = х.
Когато х = 16,
тогава у е равно на логаритъм от 16 при основа b.
Тоест степента, на която трябва да повдигна b, за да получа 16.
Вече знаем,
че ако вземем b на квадрат, получаваме 16,
тоест това е равно на 2.
Когато х = 16, у = 2.
Забележи, че "обърнахме" х и у стойностите
за всяка от тези точки.
Това е у, това е симетричното изображение
спрямо правата у = х.
Сега нека направим това на първоначалния екран.
Цялото нещо е за да осъзнаеш,
че това са обратни функции.
Нека поставим точките.
Тази точка е съответна на тази точка,
тоест точката (0; 1)
съответства на точката (1; 0).
Тук х е 1, у е 4,
което съответства на х = 4, у = 1.

Korean: 
다시 한번 말하자면, y=x에 대해
대칭 된 점입니다
x가 16일 때
y는 로그 b의 16입니다
16을 얻기 위해서 b를
얼마나 제곱하냐는 것이죠
아까 보았듯이
b를 제곱하면, 16을 얻고
이 값은 2가 됩니다
x가 16일 떄, y는 2입니다
이 점들의 x와 y 좌표를 바꿔주면
얻을 수 있다는 것을 알아두세요
y=x 에 대해 대칭시킨 것입니다
y=x 에 대해 대칭시킨 것입니다
그러면, 실제로 풀어봅시다
사실 이 함수들은 각각 역함수라는 것을
알려주고 싶었습니다
점을 표시해봅시다
각각의 점들은
(0,1)에서
(1,0)로 대응됩니다
여기 (1,4)는
(4,1)에 대응됩니다

English: 
Here x is two, y is 16
that corresponds to x 16, y is two.
We got it right.

Romanian: 
Aici x e 2, y e 16, corespunde la x e 16, y e 2.
Si am obtinut-o correct.

Korean: 
(2,16)은
(16,2)에 대응됩니다
맞았네요

Bulgarian: 
Тук х е 2, у е 16
и това съответства на х = 16, у = 2.
И сме готови.

Thai: 
ตรงนี้ x เป็น 2, y เป็น 16
ซึ่งตรงกับ x เป็น 16, y เป็น 2
เราตอบถูกด้วย

German: 
Hier ist x = 2, y = 16, das entspricht x = 16, y = 2.
Unsere Lösung ist richtig.
