
Undetermined: 
Hãy bắt đầu ngay với những thứ mà chúng ta sẽ cần xem
trước khi ta có thể đi tới những thứ cao cấp hơn.
hy vọng ngày hôm qua trong buổi đọc, bạn đã nghe một chút
về vectơ. Có bao nhiêu bạn thực sự biết
về vectơ trước đây? OK, đa số.
Nếu bạn không phải là một trong những người này,
Hy vọng bạn sẽ học về vectơ ngay bây giờ.
Tôi xin lỗi vì việc học sẽ có một chút gấp gáp hơn trong
tuần đầu tiên. Nhưng hy vọng,
bạn sẽ quen. Nếu bạn gặp khó khăn với
vectơ, đi đến văn phòng của giáo viên hướng dẫn
nếu bạn cảm thấy cần phải thực hành thêm .

English: 
So let's start right away with
stuff that we will need to see
before we can go on to more
advanced things.
So, hopefully yesterday in
recitation, you heard a bit
about vectors.
How many of you actually knew
about vectors before that?
OK, that's the vast majority.
If you are not one of those
people, well,
hopefully you'll learn about
vectors right now.
I'm sorry that the learning
curve will be a bit steeper for
the first week.
But hopefully,
you'll adjust fine.
If you have trouble with
vectors, do go to your
recitation instructor's office

English: 
hours for extra practice if you
feel the need to.
You will see it's pretty easy.
So, just to remind you,
a vector is a quantity that has
both a direction and a magnitude
of length.
So -- So, concretely the way
you draw a vector is by some
arrow, like that,
OK?
And so, it has a length,
and it's pointing in some
direction.
And, so, now,
the way that we compute things
with vectors,
typically, as we introduce a
coordinate system.
So, if we are in the plane,
x-y-axis, if we are in space,

Undetermined: 
Bạn sẽ thấy nó khá dễ dàng. Vì vậy, chỉ để nhắc nhở bạn,
một vector là một đại lượng mà có cả một hướng và độ lớn
của chiều dài.
 
Vì vậy, - Vậy, cụ thể là cách bạn vẽ một vector bằng một
mũi tên, như thế này, OK?
Và như vậy, nó có chiều dài, và
hướng. Và, như vậy, bây giờ,
cách mà chúng ta tính toán mọi thứ với vectơ,
thường, khi chúng ta dùng một hệ toạ độ.
Vì vậy, nếu chúng ta đang ở trên mặt phằng, xy, nếu chúng ta đang ở trong không gian,
trục x-y-z. Vì vậy, thông thường tôi sẽ cố gắng để vẽ

English: 
x-y-z axis.
So, usually I will try to draw
my x-y-z axis consistently to
look like this.
And then, I can represent my
vector in terms of its
components along the coordinate
axis.
So, that means when I have this
row, I can ask,
how much does it go in the x
direction?
How much does it go in the y
direction?
How much does it go in the z
direction?
And, so, let's call this a
vector A.
So, it's more convention.
When we have a vector quantity,
we put an arrow on top to
remind us that it's a vector.
If it's in the textbook,
then sometimes it's in bold
because it's easier to typeset.
If you've tried in your
favorite word processor,
bold is easy and vectors are
not easy.
So, the vector you can try to
decompose terms of unit vectors
directed along the coordinate
axis.
So, the convention is there is

Undetermined: 
trục x-y-z của tôi luôn nhìn như thế này.
Và sau đó, tôi có thể biểu diễn vector của tôi về bằng các
thành phần dọc theo trục tọa độ.
có nghĩa là khi tôi có dòng này, tôi có thể hỏi,
bao nhiêu dọc theo hướng x?
Bao nhiêu dọc theo hướng y?
Bao nhiêu dọc theo hướng z?
Và, vì vậy, chúng ta hãy gọi đây là một vector A.
Vì vậy, để cho tiện. Khi chúng ta có một đại lượng véc tơ,
chúng ta đặt một mũi tên trên đầu để nhắc nhở rằng đó là một vector.
Nếu là trong các sách giáo khoa, thi đôi khi nó được in đậm
bởi vì nó dễ dàng hơn để sắp chữ. Nếu bạn đã thử với
trình xử lý văn bản yêu thích, in đậm rất dễ dàng và vectơ
thì không dễ như vậy. Vì vậy, với vector bạn có thể thử
phân tích về các vectơ đơn vị dọc theo các trục toạ độ
Vì vậy, quy ước là có
một vector mà chúng ta gọi là vector đơn vị ,i^

English: 
a vector that we call
***amp***lt;i***amp***gt;
hat that points along the x
axis and has length one.
There's a vector called
***amp***lt;j***amp***gt;
hat that does the same along
the y axis,
and the
***amp***lt;k***amp***gt;
hat that does the same along
the z axis.
And, so, we can express any
vector in terms of its
components.
So, the other notation is
***amp***lt;a1,
a2, a3 ***amp***gt;
between these square brackets.
Well, in angular brackets.
So, the length of a vector we
denote by, if you want,
it's the same notation as the
absolute value.
So, that's going to be a
number, as we say,
now, a scalar quantity.
OK, so, a scalar quantity is a
usual numerical quantity as
opposed to a vector quantity.

Undetermined: 
trỏ dọc theo trục x và có chiều dài là một.
Có một vector gọi là j^
dọc theo trục y,
và k^
dọc theo trục z.
Và, vì vậy, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ vector bằng các
thành phần. Vì vậy, một cách ký hiệu khác là
*** *** Amp lt; a1, a2, a3 *** *** amp gt;
giữa các dấu ngoặc vuông. Vâng, trong dấu ngoặc góc cạnh.
Vì vậy, chiều dài của một vector chúng ta biểu thị bởi, nếu bạn muốn,
đó là ký hiệu giống như giá trị tuyệt đối.
Vì vậy, đó sẽ là một số, như chúng ta nói,
Hiện tại, một số lượng vô hướng. OK, vì vậy, một số lượng vô hướng là một
số lượng số thông thường như trái ngược với một số lượng véc tơ.
Và, hướng của nó đôi khi được gọi là thư mục A,

English: 
And, its direction is sometimes
called dir A,
and that can be obtained just
by scaling the vector down to
unit length,
for example,
by dividing it by its length.
So -- Well, there's a lot of
notation to be learned.
So, for example,
if I have two points,
P and Q, then I can draw a
vector from P to Q.
And, that vector is called
vector PQ, OK?
So, maybe we'll call it A.
But, a vector doesn't really
have, necessarily,
a starting point and an ending
point.
OK, so if I decide to start
here and I go by the same
distance in the same direction,
this is also vector A.

Undetermined: 
và có thể đạt được chỉ bằng cách nhân rộng các vector xuống
đơn vị chiều dài, ví dụ,
bằng cách chia nó bằng chiều dài của nó. Vì vậy, - Vâng, có rất nhiều
ký hiệu để thể học được. Vì vậy, ví dụ,
nếu tôi có hai điểm, P và Q, sau đó tôi có thể rút ra một
vector từ P đến Q. Và, vector được gọi là
vector PQ, OK? Vì vậy, có lẽ chúng ta sẽ gọi nó là A.
Nhưng, một vector không thực sự có, nhất thiết,
một điểm khởi đầu và điểm kết thúc.
OK, vì vậy nếu tôi quyết định bắt đầu ở đây và tôi đi theo cùng
khoảng cách trong cùng một hướng, điều này cũng là vector A.
Đó là những điều tương tự. Vì vậy, rất nhiều vectơ chúng ta sẽ vẽ

Undetermined: 
bắt đầu từ nguồn gốc, nhưng chúng tôi không phải.
Vì vậy, chúng ta hãy kiểm tra và xem cách mọi thứ đã đi trong buổi đọc kinh.
Vì vậy, chúng ta hãy nói rằng tôi cung cấp cho bạn các vector
*** *** Amp lt; 3,2,1 *** *** amp gt ;. Và như vậy, những gì bạn suy nghĩ về
độ dài của vector này? OK, tôi nhìn thấy một câu trả lời hình thành.
Vì vậy, rất nhiều bạn đang trả lời những điều tương tự.
Có lẽ nó không nên làm hỏng nó cho những người đã không cho nó được nêu ra.
OK, tôi nghĩ rằng số phiếu rất là có lợi cho câu trả lời
số hai. Tôi thấy một số sixes, tôi không biết.

English: 
It's the same thing.
So, a lot of vectors we'll draw
starting at the origin,
but we don't have to.
So, let's just check and see
how things went in recitation.
So, let's say that I give you
the vector
***amp***lt;3,2,1***amp***gt;.
And so, what do you think about
the length of this vector?
OK, I see an answer forming.
So, a lot of you are answering
the same thing.
Maybe it shouldn't spoil it for
those who haven't given it yet.
OK, I think the overwhelming
vote is in favor of answer

English: 
number two.
I see some sixes, I don't know.
That's a perfectly good answer,
too, but hopefully in a few
minutes it won't be I don't know
anymore.
So, let's see.
How do we find -- -- the length
of a vector three,
two, one?
Well, so, this vector,
A, it comes towards us along
the x axis by three units.
It goes to the right along the
y axis by two units,
and then it goes up by one unit
along the z axis.
OK, so, it's pointing towards
here.
That's pretty hard to draw.
So, how do we get its length?
Well, maybe we can start with
something easier,
the length of the vector in the

Undetermined: 
Đó là một câu trả lời hoàn toàn tốt, quá, nhưng hy vọng trong một vài
phút nó sẽ không được Tôi không biết nữa.
Vì vậy, chúng ta hãy xem. Làm thế nào để chúng ta tìm thấy - - Độ dài
của một vector ba, hai, một trong những?
Vâng, vì vậy, vector này, A, nói về phía chúng tôi cùng
trục x của ba đơn vị. Nó đi về bên phải theo các
trục y của hai đơn vị, và sau đó nó đi lên của một đơn vị
dọc theo trục z. OK, vì vậy, nó chỉ tay về phía
ở đây. Đó là khá khó khăn để vẽ.
Vì vậy, làm thế nào để chúng ta có được chiều dài của nó? Vâng, có lẽ chúng ta có thể bắt đầu với
một cái gì đó dễ dàng hơn, chiều dài của vector trong
máy bay. Vì vậy, quan sát rằng A thu được

English: 
plane.
So, observe that A is obtained
from a vector,
B, in the plane.
Say, B equals three (i) hat
plus two (j) hat.
And then, we just have to,
still, go up by one unit,
OK?
So, let me try to draw a
picture in this vertical plane
that contains A and B.
If I draw it in the vertical
plane,
so, that's the Z axis, 
that's not any particular axis, 
then my vector B will go here, 
and my vector A will go above
it.
And here, that's one unit.
And, here I have a right angle.
So, I can use the Pythagorean
theorem to find that length A^2
equals length B^2 plus one.

Undetermined: 
từ một vector, B, trong mặt phẳng.
Say, B bằng ba (i) hat cộng hai (j) hat.
Và sau đó, chúng tôi chỉ cần có để, vẫn còn, đi lên một đơn vị,
OK? Vì vậy, hãy để tôi cố gắng vẽ một
hình ảnh trong mặt phẳng thẳng đứng này có chứa A và B.
Nếu tôi vẽ nó trong mặt phẳng thẳng đứng,
như vậy, đó là trục Z, đó không phải bất kỳ trục đặc biệt,
sau đó tôi vector B sẽ đi ở đây, và tôi vector A sẽ đi trên
nó. Và ở đây, đó là một đơn vị.
Và, ở đây tôi có một góc vuông. Vì vậy, tôi có thể sử dụng các Pythagore
định lý để thấy rằng chiều dài A ^ 2 bằng chiều dài B ^ 2 cộng với một.
Bây giờ, chúng tôi phải giảm để tìm chiều dài của B.

English: 
Now, we are reduced to finding
the length of B.
The length of B,
we can again find using the
Pythagorean theorem in the XY
plane because here we have the
right angle.
Here we have three units,
and here we have two units.
OK, so, if you do the
calculations,
you will see that,
well, length of B is square
root of (3^2 2^2),
that's 13.
So, the square root of 13 -- --
and length of A is square root
of length B^2 plus one (square
it if you want) which is going
to be square root of 13 plus one
is the square root of 14,
hence, answer number two which
almost all of you gave.
OK, so the general formula,

Undetermined: 
Chiều dài của B, người ta lại có thể tìm thấy bằng cách sử dụng
Định lý Pythagore trong mặt phẳng XY vì ở đây chúng tôi có
góc bên phải. Ở đây chúng tôi có ba đơn vị,
và ở đây chúng tôi có hai đơn vị. OK, vì vậy, nếu bạn làm việc
tính toán, bạn sẽ thấy rằng,
tốt, chiều dài của B là căn bậc hai của (3 ^ 2 2 ^ 2),
đó là 13. Vì vậy, các căn bậc hai của 13 - -
và chiều dài của A là căn bậc hai của chiều dài B ^ 2 + một (vuông
nó nếu bạn muốn) mà là có được căn bậc hai của 13 cộng với một
là căn bậc hai của 14, vì thế, câu trả lời thứ hai mà
hầu như tất cả các bạn đã cho. OK, vì vậy các công thức chung,
nếu bạn làm theo nó với nó, nói chung nếu chúng ta có một vector

Undetermined: 
với các thành phần a1, a2, a3,
sau đó chiều dài của A là căn bậc hai của a1 ^ 2 + a2 ^ 2
cộng với a3 ^ 2. OK, bất kỳ câu hỏi về điều đó?
Có? Vâng.
Vì vậy, nói chung, chúng tôi thực sự có thể xem xét các vectơ
trong không gian trừu tượng mà có bất kỳ số lượng các tọa độ.
Và rằng bạn có các thành phần khác.
Trong lớp học này, chúng ta sẽ thấy hầu hết là vectơ với
hai hoặc ba thành phần, vì họ là dễ dàng hơn để vẽ,
và bởi vì rất nhiều môn toán mà chúng ta sẽ thấy các công trình chính xác
cùng một cách cho dù bạn có ba biến hoặc một triệu
biến. Nếu chúng tôi đã có một yếu tố với hơn
thành phần, sau đó chúng ta sẽ có rất nhiều rắc rối bản vẽ nó.
Nhưng chúng ta vẫn có thể xác định độ dài của nó trong cùng một cách,
bằng cách tổng hợp các ô vuông của các thành phần.

English: 
if you follow it with it,
in general if we have a vector
with components a1,
a2, a3,
then the length of A is the
square root of a1^2 plus a2^2
plus a3^2.
OK, any questions about that?
Yes?
Yes.
So, in general,
we indeed can consider vectors
in abstract spaces that have any
number of coordinates.
And that you have more
components.
In this class,
we'll mostly see vectors with
two or three components because
they are easier to draw,
and because a lot of the math
that we'll see works exactly the
same way whether you have three
variables or a million
variables.
If we had a factor with more
components, then we would have a
lot of trouble drawing it.
But we could still define its
length in the same way,

Undetermined: 
Vì vậy, tôi rất tiếc phải nói rằng ở đây, đa biến,
đa sẽ có nghĩa là chủ yếu hai hoặc ba.
Nhưng, yên tâm rằng nó hoạt động chỉ cách nhau nếu bạn có
10.000 biến. Chỉ cần, tính toán được lâu hơn.
OK, câu hỏi nhiều hơn? Vì vậy, những gì khác chúng ta có thể làm gì với
vectơ? Vâng, một điều mà tôi
chắc chắn rằng bạn biết làm thế nào để làm với vectơ là để thêm chúng vào quy mô
chúng. Vì vậy, vector Ngoài ra,
vì vậy, nếu bạn có hai vectơ, A và B, sau đó bạn có thể hình thành,
số tiền của họ, cộng với A B. Làm thế nào để chúng tôi làm điều đó?
Vâng, đầu tiên, tôi sẽ cho bạn biết,
vectơ, họ có cuộc sống hai mặt này.
Họ đang có, đồng thời, các đối tượng hình học mà chúng ta có thể
vẽ như thế này trong hình ảnh, và cũng có

English: 
by summing the squares of the
components.
So, I'm sorry to say that here,
multi-variable,
multi will mean mostly two or
three.
But, be assured that it works
just the same way if you have
10,000 variables.
Just, calculations are longer.
OK, more questions?
So, what else can we do with
vectors?
Well, another thing that I'm
sure you know how to do with
vectors is to add them to scale
them.
So, vector addition,
so, if you have two vectors,
A and B, then you can form,
their sum, A plus B.
How do we do that?
Well, first,
I should tell you,
vectors, they have this double
life.
They are, at the same time, 
geometric objects that we can

English: 
draw like this in pictures,
and there are also
computational objects that we
can represent by numbers.
So, every question about
vectors will have two answers,
one geometric,
and one numerical.
OK, so let's start with the
geometric.
So, let's say that I have two
vectors, A and B,
given to me.
And, let's say that I thought
of drawing them at the same
place to start with.
Well, to take the sum,
what I should do is actually
move B so that it starts at the
end of A, at the head of A.
OK, so this is, again, vector B.
So, observe,
this actually forms,
now, a parallelogram,
right?
So, this side is,
again, vector A.
And now, if we take the
diagonal of that parallelogram,
this is what we call A plus B, 

Undetermined: 
đối tượng tính toán rằng chúng tôi có thể đại diện bởi số.
Vì vậy, mọi câu hỏi về vector sẽ có hai câu trả lời,
một hình học, và một số.
OK, vì vậy chúng ta hãy bắt đầu với hình học.
Vì vậy, chúng ta hãy nói rằng tôi có hai vectơ, A và B,
trao cho tôi. Và, chúng ta hãy nói rằng tôi nghĩ
vẽ chúng ở cùng một nơi để bắt đầu.
Vâng, để lấy tiền, tôi phải làm gì thực sự là
di chuyển B để nó bắt đầu vào cuối của A, ở phần đầu của A.
OK, vì vậy đây là, một lần nữa, vector B. Vì vậy, quan sát,
điều này thực sự tạo thành, bây giờ, một hình bình hành,
phải không? Vì vậy, bên này là,
một lần nữa, vector A. Và bây giờ, nếu chúng ta đi
đường chéo của hình bình hành đó, đây là những gì chúng ta gọi là A + B,
OK, vì vậy, ý tưởng là để di chuyển dọc A cộng với B,

English: 
OK, so, the idea being that to
move along A plus B,
it's the same as to move first
along A and then along B,
or, along B, then along A.
A plus B equals B plus A.
OK, now, if we do it
numerically,
then all you do is you just add
the first component of A with
the first component of B,
the second with the second, 
and the third with the third.
OK, say that A was
***amp***lt;a1,
a2, a3***amp***gt;
B was ***amp***lt;b1,
b2, b3***amp***gt;,
then you just add this way.
OK, so it's pretty
straightforward.
So, for example,
I said that my vector over
there, its components are three,
two, one.
But, I also wrote it as 3i 2j k.
What does that mean?
OK, so I need to tell you first

Undetermined: 
nó giống như để di chuyển đầu tiên cùng A và sau đó cùng B,
hoặc cùng B, sau đó dọc A. A cộng với B bằng B cộng với A.
OK, bây giờ, nếu chúng ta làm điều đó bằng số,
sau đó tất cả các bạn làm là bạn chỉ cần thêm các thành phần đầu tiên của A với
các thành phần đầu tiên của B, lần thứ hai với thứ hai,
và thứ ba với thứ ba. OK, nói rằng A là
*** *** Amp lt; a1, a2, a3 *** *** amp gt;
B là *** *** amp lt; b1, b2, b3 *** *** amp gt ;,
sau đó bạn chỉ cần thêm cách này. OK, vì vậy nó khá
đơn giản. Vì vậy, ví dụ,
Tôi nói rằng vector của tôi ở đó, các thành phần của nó là ba,
hai, một. Nhưng, tôi cũng đã viết nó như 3i 2j k.
Điều đó có nghĩa là gì? OK, vì vậy tôi cần phải nói với bạn đầu tiên
về nhân với một vô hướng. Vì vậy, đây là về bổ sung.

Undetermined: 
Vì vậy, nhân của một vô hướng, nó rất dễ dàng.
Nếu bạn có một vector, A, sau đó bạn có thể tạo thành một vector
2A chỉ bằng cách làm cho nó đi xa gấp đôi trong cùng một hướng.
Hoặc chúng ta có thể làm một cách khiêm tốn nửa A hơn.
Chúng tôi thậm chí có thể làm cho âm A, và như vậy.
Vì vậy, bây giờ, bạn thấy, nếu tôi làm phép tính,
3i 2j k, tốt, điều đó có nghĩa là gì?
3i chỉ là sẽ đi dọc theo trục x, nhưng do khoảng cách
ba thay vì một. Và sau đó, 2j đi hai đơn vị
dọc theo trục y, và k đi lên bằng một đơn vị.
Vâng, nếu bạn thêm này lại với nhau, bạn sẽ đi từ
nguồn gốc, sau đó dọc theo trục x, sau đó song song với trục y,
và sau đó lên. Và, bạn sẽ kết thúc,

English: 
about multiplying by a scalar.
So, this is about addition.
So, multiplication by a scalar,
it's very easy.
If you have a vector,
A, then you can form a vector
2A just by making it go twice as
far in the same direction.
Or, we can make half A more
modestly.
We can even make minus A,
and so on.
So now, you see,
if I do the calculation,
3i 2j k, well,
what does it mean?
3i is just going to go along
the x axis, but by distance of
three instead of one.
And then, 2j goes two units
along the y axis,
and k goes up by one unit.
Well, if you add these
together, you will go from the
origin, then along the x axis,
then parallel to the y axis,

Undetermined: 
thực sự, tại điểm cuối của một vector.
OK, bất kỳ câu hỏi vào thời điểm này? Có?
Chính xác. Để thêm vectơ hình học,
bạn chỉ cần đặt đầu của vector đầu và đuôi của
vector thứ hai trong cùng một vị trí. Và sau đó, nó đầu đến đuôi
Ngoài ra. Bất kỳ câu hỏi khác?
Có? Đó là chính xác.
Nếu bạn trừ hai vectơ, mà chỉ có nghĩa là bạn thêm
đối diện của một vector. Vì vậy, ví dụ,
nếu tôi muốn làm A trừ B, đầu tiên tôi sẽ đi cùng A và
sau đó trừ đi cùng B, trong đó sẽ đưa em tới nơi
qua đó, OK? Vì vậy, A trừ B,
nếu bạn muốn, sẽ đi từ đây đến đây.

English: 
and then up.
And, you will end up,
indeed, at the endpoint of a
vector.
OK, any questions at this point?
Yes?
Exactly.
To add vectors geometrically,
you just put the head of the
first vector and the tail of the
second vector in the same place.
And then, it's head to tail
addition.
Any other questions?
Yes?
That's correct.
If you subtract two vectors,
that just means you add the
opposite of a vector.
So, for example,
if I wanted to do A minus B,
I would first go along A and
then along minus B,
which would take me somewhere
over there, OK?
So, A minus B,

Undetermined: 
OK, vì vậy hy vọng bạn đã loại thấy rằng thứ hai trước khi vào
cuộc sống của bạn, hoặc ít nhất là ngày hôm qua.
Vì vậy, tôi sẽ sử dụng như là một cái cớ để di chuyển nhanh về phía trước.
Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu một vài thao tác thêm về
vectơ. Và, các hoạt động này sẽ được
hữu ích cho chúng tôi khi chúng tôi bắt đầu cố gắng để làm một chút về hình học.
Vì vậy, tất nhiên, tất cả các bạn đã làm được một số hình học.
Nhưng, chúng ta sẽ thấy rằng hình học có thể được thực hiện bằng cách sử dụng
vectơ. Và, bằng nhiều cách,
đó là ngôn ngữ đúng cho rằng,
và đặc biệt là khi chúng ta tìm hiểu về chức năng, chúng tôi thực sự sẽ
muốn sử dụng vectơ hơn, có thể, các loại khác
hình học mà bạn đã nhìn thấy trước.
Tôi có nghĩa là, tất nhiên, nó chỉ là một ngôn ngữ theo một cách.
Tôi có nghĩa là, chúng ta chỉ cần định dạng lại những điều mà bạn
đã nhìn thấy, bạn đã biết từ thời thơ ấu.

English: 
if you want,
would go from here to here.
OK, so hopefully you've kind of
seen that stuff either before in
your lives, or at least
yesterday.
So, I'm going to use that as an
excuse to move quickly forward.
So, now we are going to learn a
few more operations about
vectors.
And, these operations will be
useful to us when we start
trying to do a bit of geometry.
So, of course,
you've all done some geometry.
But, we are going to see that
geometry can be done using
vectors.
And, in many ways,
it's the right language for
that,
and in particular when we learn
about functions we really will
want to use vectors more than,
maybe, the other kind of
geometry that you've seen
before.
I mean, of course,
it's just a language in a way.
I mean, we are just
reformulating things that you

English: 
have seen, you already know
since childhood.
But, you will see that notation
somehow helps to make it more
straightforward.
So, what is dot product?
Well, dot product as a way of
multiplying two vectors to get a
number, a scalar.
And, well, let me start by
giving you a definition in terms
of components.
What we do, let's say that we
have a vector,
A, with components a1,
a2, a3, vector B with
components b1,
b2, b3.
Well, we multiply the first
components by the first
components, the second by the
second, the third by the third.
If you have N components,
you keep going.
And, you sum all of these
together.
OK, and important:
this is a scalar.
OK, you do not get a vector.
You get a number.

Undetermined: 
Tuy nhiên, bạn sẽ nhìn thấy các ký hiệu đó bằng cách nào đó giúp làm cho nó nhiều hơn
đơn giản. Vì vậy, chấm sản phẩm là gì?
Vâng, chấm sản phẩm như là một cách nhân hai vectơ để có được một
số lượng, một vô hướng. Và, tốt, hãy để tôi bắt đầu bằng
đem lại cho bạn một định nghĩa về thành phần.
Những gì chúng tôi làm, chúng ta hãy nói rằng chúng tôi có một vector,
A, với các thành phần a1, a2, a3, vector B với
thành phần b1, b2, b3.
Vâng, chúng ta nhân các thành phần đầu tiên của đầu tiên
thành phần, thứ hai do thứ hai, thứ ba của các nhóm thứ ba.
Nếu bạn có N thành phần, bạn tiếp tục đi.
Và, bạn tổng hợp tất cả với nhau.
OK, và quan trọng: đây là một vô hướng.
OK, bạn không nhận được một vector. Bạn nhận được một số.
Tôi biết nó có vẻ hoàn toàn rõ ràng từ các định nghĩa

English: 
I know it sounds completely
obvious from the definition
here,
but in the middle of the action
when you're going to do
complicated problems,
it's sometimes easy to forget.
So, that's the definition.
What is it good for?
Why would we ever want to do
that?
That's kind of a strange
operation.
So, probably to see what it's
good for, I should first tell
you what it is geometrically.
OK, so what does it do
geometrically?
Well, what you do when you
multiply two vectors in this
way,
I claim the answer is equal to
the length of A times the length
of B times the cosine of the
angle between them.
So, I have my vector, A, 

Undetermined: 
ở đây, nhưng ở giữa hành động
khi bạn đang đi làm vấn đề phức tạp,
đôi khi nó dễ dàng để quên. Vì vậy, đó là định nghĩa.
Đó là những gì tốt không? Tại sao chúng ta không bao giờ muốn làm
điều đó không? Đó là một loại kỳ lạ
hoạt động. Vì vậy, có lẽ là để xem những gì nó
tốt cho, đầu tiên tôi sẽ cho bạn biết những gì nó là hình học.
OK, vì vậy nó làm gì về mặt hình học?
 
Vâng, những gì bạn làm khi nhân hai vectơ trong này
cách nào, tôi khẳng định câu trả lời là bằng
chiều dài của A lần chiều dài của B lần cosin của
góc giữa chúng. Vì vậy, tôi có vector của tôi, A,
và nếu tôi có vector của tôi, B, và tôi có một số góc giữa

Undetermined: 
họ, tôi nhân chiều dài của A
lần chiều dài của thời gian B cosin của góc đó.
Vì vậy, có vẻ như một hoạt động rất nhân tạo.
Ý tôi là, tại sao lại muốn làm điều đó nhân phức tạp?
Vâng, câu trả lời cơ bản là nó cho chúng ta cùng một lúc về
độ dài và khoảng góc độ. Và, điều thưởng thêm là
rằng nó rất dễ dàng để tính toán nếu bạn có các thành phần,
thấy, công thức đó thực sự là khá dễ dàng.
Vì vậy, OK, có lẽ tôi nên nói với bạn, làm thế nào để chúng ta có được điều này
từ đó? Bởi vì, bạn biết,
trong toán học, người ta cố gắng biện minh cho tất cả mọi thứ để chứng minh định lý.
Vì vậy, nếu bạn muốn, đó là các định lý.
Đó là định lý đầu tiên tại 18.02.
Vì vậy, làm thế nào để chúng ta chứng minh định lý? Làm thế nào để chúng tôi kiểm tra xem đây là,
quả thật, đúng bằng định nghĩa này?
Vì vậy, trong ngôn ngữ phổ biến hơn, những gì hiện hình học này

English: 
and if I have my vector, B, 
and I have some angle between
them,
I multiply the length of A
times the length of B times the
cosine of that angle.
So, that looks like a very
artificial operation.
I mean, why would want to do
that complicated multiplication?
Well, the basic answer is it
tells us at the same time about
lengths and about angles.
And, the extra bonus thing is
that it's very easy to compute
if you have components,
see, that formula is actually
pretty easy.
So, OK, maybe I should first
tell you, how do we get this
from that?
Because, you know,
in math, one tries to justify
everything to prove theorems.
So, if you want,
that's the theorem.
That's the first theorem in
18.02.
So, how do we prove the theorem?
How do we check that this is,
indeed, correct using this
definition?

English: 
So, in more common language,
what does this geometric
definition mean?
Well, the first thing it means,
before we multiply two vectors,
let's start multiplying a
vector with itself.
That's probably easier.
So, if we multiply a vector,
A, with itself,
using this dot product,
so, by the way,
I should point out,
we put this dot here.
That's why it's called dot
product.
So, what this tells us is we
should get the same thing as
multiplying the length of A with
itself, so, squared,
times the cosine of the angle.
But now, the cosine of an
angle, of zero,
cosine of zero you all know is
one.
OK, so that's going to be
length A^2.
Well, doesn't stand a chance of
being true?
Well, let's see.

Undetermined: 
nét nghĩa là gì? Vâng, điều đầu tiên nó có nghĩa là,
trước khi chúng ta nhân hai vectơ, chúng ta hãy bắt đầu nhân một
vectơ với chính nó. Đó có thể là dễ dàng hơn.
Vì vậy, nếu chúng ta nhân một vector, A, với chính nó,
sử dụng dấu chấm sản phẩm này, vì vậy, bằng cách này,
Tôi phải chỉ ra, đặt dấu chấm này ở đây.
Đó là lý do tại sao nó được gọi là chấm sản phẩm.
Vì vậy, điều này nói với chúng tôi là chúng tôi sẽ nhận được điều tương tự như
nhân chiều dài của A với chính nó, vì vậy, bình phương,
lần cosin của góc. Nhưng bây giờ, cosin của một
góc, bằng không, cô sin của tất cả các bạn không biết là
một. OK, vì vậy đó là sẽ được
chiều dài A ^ 2. Vâng, không đứng một cơ hội
là đúng? Vâng, chúng ta hãy xem.
Nếu chúng ta sử dụng công thức này AdotA, chúng ta sẽ có được a1 a2 ^ 2 ^ 2

English: 
If we do AdotA using this
formula, we will get a1^2 a2^2
a3^2.
That is, indeed,
the square of the length.
So, check.
That works.
OK, now, what about two
different vectors?
Can we understand what this
says, and how it relates to
that?
So, let's say that I have two
different vectors,
A and B, and I want to try to
understand what's going on.
So, my claim is that we are
going to be able to understand
the relation between this and
that in terms of the law of
cosines.
So, the law of cosines is
something that tells you about
the length of the third side in

Undetermined: 
a3 ^ 2. Đó là, thực sự,
bình phương của chiều dài. Vì vậy, hãy kiểm tra.
Điều đó làm việc. OK, bây giờ, những gì về hai
vector khác nhau? Chúng ta có thể hiểu được điều này
nói, và làm thế nào nó liên quan đến điều đó không?
Vì vậy, chúng ta hãy nói rằng tôi có hai vector khác nhau,
A và B, và tôi muốn cố gắng hiểu những gì đang xảy ra.
Vì vậy, yêu cầu của tôi là chúng ta sẽ có thể hiểu được
mối quan hệ giữa điều này và rằng trong điều khoản của luật
cosin. Vì vậy, pháp luật của cosin là
một cái gì đó cho bạn biết về độ dài của các bên thứ ba
tam giác như thế này trong các điều khoản của hai bên này,

Undetermined: 
và góc ở đây. OK, vì vậy luật cosin,
mà hy vọng bạn đã thấy trước, nói rằng,
vì vậy hãy để tôi cung cấp cho một tên bên này.
Hãy gọi cho bên C này, và như là một vector,
C là A trừ B. Đó là trừ đi B cộng với A.
Vì vậy, nó nhận được một chút lộn xộn ở đây.
Vì vậy, pháp luật của cosin nói rằng độ dài của ba
bên trong tam giác này là tương đương với chiều dài cộng với chiều dài A2 B2.
Vâng, nếu tôi dừng lại ở đây, đó sẽ là Pythagoras,
nhưng tôi không có một góc vuông. Vì vậy, tôi có một nhiệm kỳ thứ ba mà

English: 
the triangle like this in terms
of these two sides,
and the angle here.
OK, so the law of cosines,
which hopefully you have seen
before, says that,
so let me give a name to this
side.
Let's call this side C,
and as a vector,
C is A minus B.
It's minus B plus A.
So, it's getting a bit
cluttered here.
So, the law of cosines says
that the length of the third
side in this triangle is equal
to length A2 plus length B2.
Well, if I stopped here,
that would be Pythagoras,

English: 
but I don't have a right angle.
So, I have a third term which
is twice length A,
length B, cosine theta,
OK?
Has everyone seen this formula
sometime?
I hear some yeah's.
I hear some no's.
Well, it's a fact about,
I mean, you probably haven't
seen it with vectors,
but it's a fact about the side
lengths in a triangle.
And, well, let's say,
if you haven't seen it before,
then this is going to be a
proof of the law of cosines if
you believe this.
Otherwise, it's the other way
around.
So, let's try to see how this
relates to what I'm saying about
the dot product.
So, I've been saying that
length C^2, that's the same
thing as CdotC,
OK?

Undetermined: 
là chiều dài gấp đôi A, chiều dài B, cosin theta,
OK? Tất cả mọi người đã nhìn thấy công thức này
đôi khi? Tôi nghe một số vâng của.
Tôi nghe một số không có của. Vâng, đó là một thực tế về,
Tôi có nghĩa là, bạn có lẽ đã không nhìn thấy nó với vectơ,
nhưng đó là một thực tế về độ dài bên trong một hình tam giác.
Và, tốt, chúng ta hãy nói rằng, nếu bạn không nhìn thấy nó trước,
thì đây sẽ là một bằng chứng của pháp luật nếu cosin
bạn tin này. Nếu không, nó là cách khác
xung quanh. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng để xem cách này
liên quan đến những gì tôi đang nói về các sản phẩm chấm.
Vì vậy, tôi đã nói rằng độ dài C ^ 2, đó là cùng
điều như CdotC, OK?
Điều đó, chúng tôi đã kiểm tra. Bây giờ, CdotC, tốt,

English: 
That, we have checked.
Now, CdotC, well,
C is A minus B.
So, it's A minus B,
dot product,
A minus B.
Now, what do we want to do in a
situation like that?
Well, we want to expand this
into a sum of four terms.
Are we allowed to do that?
Well, we have this dot product
that's a mysterious new
operation.
We don't really know.
Well, the answer is yes,
we can do it.
You can check from this
definition that it behaves in
the usual way in terms of
expanding, vectoring,
and so on.
So, I can write that as AdotA
minus AdotB minus BdotA plus
BdotB.
So, AdotA is length A^2.
Let me jump ahead to the last
term.

Undetermined: 
C là A trừ B. Vì vậy, nó là A trừ B,
dot sản phẩm, A trừ B.
Bây giờ, những gì chúng tôi muốn làm trong một tình huống như vậy?
Vâng, chúng tôi muốn mở rộng này thành một tổng của bốn học kỳ.
Có phải chúng ta được phép làm điều đó? Vâng, chúng tôi có chấm sản phẩm này
đó là một hoạt động bí ẩn mới.
Chúng tôi thực sự không biết. Vâng, câu trả lời là có,
chúng ta có thể làm điều đó. Bạn có thể kiểm tra từ này
nghĩa là nó hành động theo cách thông thường về
mở rộng, vectơ, và như vậy.
Vì vậy, tôi có thể viết rằng như AdotA trừ AdotB trừ BdotA cộng
BdotB. Vì vậy, AdotA là chiều dài A ^ 2.
Hãy để tôi nhảy đến hạn cuối cùng.
BdotB là chiều dài B ^ 2, và sau đó hai thuật ngữ này,

English: 
BdotB is length B^2,
and then these two terms,
well, they're the same.
You can check from the
definition that AdotB and BdotA
are the same thing.
Well, you see that this term,
I mean, this is the only
difference between these two
formulas for the length of C.
So, if you believe in the law
of cosines, then it tells you
that, yes, this a proof that
AdotB equals length A length B
cosine theta.
Or, vice versa,
if you've never seen the law of
cosines, you are willing to
believe this.
Then, this is the proof of the
law of cosines.
So, the law of cosines,
or this interpretation,
are equivalent to each other.

Undetermined: 
tốt, họ đang như nhau. Bạn có thể kiểm tra từ
định nghĩa rằng AdotB và BdotA được điều tương tự.
 
Vâng, bạn thấy rằng thuật ngữ này, tôi là, đây là chỉ
Sự khác biệt giữa hai công thức cho chiều dài của C.
Vì vậy, nếu bạn tin vào pháp luật của cosin, sau đó nó nói với bạn
rằng, có, đây là một bằng chứng cho thấy AdotB bằng chiều dài Một chiều dài B
cosin theta. Hoặc ngược lại,
nếu bạn đã bao giờ nhìn thấy các luật cosin, bạn sẵn sàng để
tin này. Sau đó, đây là bằng chứng của
pháp luật của cosin. Vì vậy, pháp luật của cosin,
hoặc giải thích này, tương đương với nhau.
OK, bất kỳ câu hỏi? Có?

Undetermined: 
Vì vậy, trong điều thứ hai không có một cosin theta vì tôi
chỉ mở rộng một sản phẩm dot. OK, vì vậy tôi chỉ viết C
bằng A trừ B, và sau đó tôi đang mở rộng này
đại số. Và sau đó, tôi nhận được một câu trả lời
rằng có một AB Vì vậy, sau đó, nếu tôi muốn bày tỏ
rằng nếu không có một sản phẩm dấu chấm, sau đó tôi sẽ phải giới thiệu
một cô sin. Và, tôi sẽ nhận được giống như
rằng, OK? Vì vậy, yeah, nếu bạn muốn,
các bước tiếp theo để nhớ lại những luật cosin sẽ được cắm ở đây
công thức cho AdotB. Và sau đó bạn sẽ có một
cos. OK, chúng ta hãy tiếp tục đi.
OK, vậy là tốt này để làm gì? Bây giờ chúng ta có một định nghĩa,

English: 
OK, any questions?
Yes?
So, in the second one there
isn't a cosine theta because I'm
just expanding a dot product.
OK, so I'm just writing C
equals A minus B,
and then I'm expanding this
algebraically.
And then, I get to an answer
that has an A.B.
So then, if I wanted to express
that without a dot product,
then I would have to introduce
a cosine.
And, I would get the same as
that, OK?
So, yeah, if you want,
the next step to recall the law
of cosines would be plug in this
formula for AdotB.
And then you would have a
cosine.
OK, let's keep going.

Undetermined: 
chúng ta nên tìm ra những gì chúng ta có thể làm gì với nó.
Vì vậy, các ứng dụng của dấu chấm sản phẩm là gì?
Vâng, điều này sẽ khám phá các ứng dụng mới chấm sản phẩm
trong suốt học kỳ, nhưng hãy để tôi nói cho bạn biết tại
ít nhất là về những người có thể dễ dàng nhìn thấy được.
Vì vậy, một là để tính toán độ dài và góc độ, đặc biệt là các góc.
Vì vậy, chúng ta hãy làm một ví dụ. Hãy nói rằng,
Ví dụ, tôi có trong không gian,
Tôi có một điểm, P, mà là ở (1,0,0).
Tôi có một điểm, Q, mà là ở (0,1,0).
Vì vậy, nó ở khoảng cách một ở đây, ai ở đây.
Và, tôi có một điểm thứ ba, R tại (0,0,2),

English: 
OK, so what is this good for?
Now that we have a definition,
we should figure out what we
can do with it.
So, what are the applications
of dot product?
Well, will this discover new
applications of dot product
throughout the entire
semester,but let me tell you at
least about those that are
readily visible.
So, one is to compute lengths
and angles, especially angles.
So, let's do an example.
Let's say that,
for example,
I have in space,
I have a point,
P, which is at (1,0,0).
I have a point,
Q, which is at (0,1,0).
So, it's at distance one here,
one here.

English: 
And, I have a third point,
R at (0,0,2),
so it's at height two.
And, let's say that I'm
curious, and I'm wondering what
is the angle here?
So, here I have a triangle in
space connect P,
Q, and R, and I'm wondering,
what is this angle here?
OK, so, of course,
one solution is to build a
model and then go and measure
the angle.
But, we can do better than that.
We can just find the angle
using dot product.
So, how would we do that?
Well, so, if we look at this
formula, we see,
so, let's say that we want to
find the angle here.
Well, let's look at the formula
for PQdotPR.
Well, we said it should be
length PQ times length PR times
the cosine of the angle,
OK?

Undetermined: 
vì vậy nó ở độ cao hai. Và, chúng ta hãy nói rằng tôi
tò mò, và tôi tự hỏi các góc ở đây là gì?
Vì vậy, ở đây tôi có một hình tam giác trong không gian kết nối P,
Q và R, và tôi tự hỏi, góc này ở đây là gì?
OK, vì vậy, tất nhiên, một trong những giải pháp là xây dựng một
mô hình và sau đó đi và đo góc.
Nhưng, chúng ta có thể làm tốt hơn thế. Chúng tôi chỉ có thể tìm thấy những góc
sử dụng dấu chấm sản phẩm. Vì vậy, làm thế nào chúng tôi sẽ làm điều đó?
Vâng, vì vậy, nếu chúng ta nhìn vào công thức này, chúng ta thấy,
như vậy, chúng ta hãy nói rằng chúng tôi muốn tìm thấy những góc đây.
Vâng, chúng ta hãy nhìn vào công thức cho PQdotPR.
Vâng, chúng tôi đã nói nó phải là chiều dài lần PQ dài lần PR
cosin của góc, OK?
Bây giờ, những gì chúng ta biết, và làm những gì chúng ta không biết?

Undetermined: 
Vâng, chắc chắn vào thời điểm này, chúng tôi không biết các cô sin của
góc. Đó là những gì chúng tôi muốn
tìm. Độ dài,
chắc chắn chúng ta có thể tính toán. Chúng tôi biết làm thế nào để tìm thấy những
độ dài. Và, chấm sản phẩm này, chúng tôi biết
làm thế nào để tính toán bởi vì chúng tôi có một công thức dễ dàng ở đây.
OK, vì vậy chúng tôi có thể tính toán tất cả mọi thứ khác và sau đó tìm thấy
theta. Vì vậy, tôi sẽ cho bạn biết những gì chúng ta sẽ
làm là chúng tôi sẽ tìm theta - - theo cách này.
Chúng tôi sẽ lấy số điểm trong PQ với PR, và sau đó chúng tôi sẽ
phân chia theo độ dài.
 

English: 
Now, what do we know,
and what do we not know?
Well, certainly at this point
we don't know the cosine of the
angle.
That's what we would like to
find.
The lengths,
certainly we can compute.
We know how to find these
lengths.
And, this dot product we know
how to compute because we have
an easy formula here.
OK, so we can compute
everything else and then find
theta.
So, I'll tell you what we will
do is we will find theta -- --
in this way.
We'll take the dot product of
PQ with PR, and then we'll
divide by the lengths.

Undetermined: 
OK, vì vậy hãy xem. Vì vậy, chúng tôi đã nói cosin theta là
PQdotPR hơn chiều dài chiều dài PQ PR.
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng tìm ra những gì vector này,
PQ, tốt, để đi từ P đến Q,
Tôi nên đi trừ đi một đơn vị dọc theo hướng x cộng với một
đơn vị theo hướng y. Và, tôi không di chuyển trong z
hướng. Vì vậy, để đi từ P đến Q,
Tôi phải di chuyển bằng cách *** *** amp lt; -1,1,0 *** *** amp gt ;.
Để đi từ P đến R, tôi đi -1 dọc theo trục x và 2
dọc theo trục z. Vì vậy, PR, tôi khẳng định, là điều này.

English: 
OK, so let's see.
So, we said cosine theta is
PQdotPR over length PQ length
PR.
So, let's try to figure out
what this vector,
PQ,
well, to go from P to Q, 
I should go minus one unit
along the x direction plus one
unit along the y direction.
And, I'm not moving in the z
direction.
So, to go from P to Q,
I have to move by
***amp***lt;-1,1,0***amp***gt;.
To go from P to R,
I go -1 along the x axis and 2

Undetermined: 
OK, sau đó, độ dài của các vectơ, tốt, (- 1) ^ 2 (1) ^ 2
(0) ^ 2, căn bậc hai, và sau đó cùng một điều với
một khác. OK, vì vậy, mẫu số sẽ
trở thành các căn bậc hai của 2, và có một căn bậc hai của 5.
Những gì về tử số? Vâng, vì vậy, hãy nhớ,
để làm các sản phẩm dot, chúng ta nhân này bằng cách này,
và rằng bằng cách đó, mà bằng cách đó.
Và, chúng ta thêm. Minus 1 lần trừ 1 làm 1
cộng với 1 lần 0, đó là 0.
Bằng không lần 2 là 0 một lần nữa. Vì vậy, chúng ta sẽ có được 1 trên vuông
gốc của 10. Đó là cosin của góc.
Và, tất nhiên, nếu chúng ta muốn các góc độ thực tế,

English: 
along the z axis.
So, PR, I claim, is this.
OK, then, the lengths of these
vectors, well,(-1)^2 (1)^2
(0)^2, square root,
and then same thing with the
other one.
OK, so, the denominator will
become the square root of 2,
and there's a square root of 5.
What about the numerator?
Well, so, remember,
to do the dot product,
we multiply this by this,
and that by that,
that by that.
And, we add.
Minus 1 times minus 1 makes 1
plus 1 times 0,
that's 0.
Zero times 2 is 0 again.
So, we will get 1 over square
root of 10.
That's the cosine of the angle.

Undetermined: 
tốt, chúng ta phải mất một máy tính, tìm nghịch đảo
cos, và bạn sẽ thấy nó khoảng 71,5 °.
Trên thực tế, chúng tôi sẽ được sử dụng chủ yếu là radian, nhưng đối với ngày hôm nay,
đó là nói chắc chắn hơn. OK, bất kỳ câu hỏi về điều đó?
Không có? OK, vì vậy đặc biệt,
Tôi phải chỉ ra một điều đó là thực sự gọn gàng về
trả lời. Tôi có nghĩa là, chúng tôi đã nhận con số này.
Chúng tôi không thực sự biết những gì nó có nghĩa là chính xác bởi vì nó pha trộn
cùng độ dài và góc.
Nhưng, có một điều đó là thú vị ở đây,
đó là dấu hiệu của câu trả lời, một thực tế mà chúng tôi đã nhận một tích cực
số. Vì vậy, nếu bạn nghĩ về nó,
độ dài luôn tích cực.
Vì vậy, các dấu hiệu của một sản phẩm là dấu chấm giống như một dấu hiệu của cosine
theta. Vì vậy, trên thực tế,

English: 
And, of course if we want the
actual angle,
well, we have to take a
calculator, find the inverse
cosine, and you'll find it's
about 71.5°.
Actually, we'll be using mostly
radians, but for today,
that's certainly more speaking.
OK, any questions about that?
No?
OK, so in particular,
I should point out one thing
that's really neat about the
answer.
I mean, we got this number.
We don't really know what it
means exactly because it mixes
together the lengths and the
angle.
But, one thing that's
interesting here,
it's the sign of the answer,
the fact that we got a positive
number.
So, if you think about it,
the lengths are always
positive.
So, the sign of a dot product
is the same as a sign of cosine

English: 
theta.
So, in fact,
the sign of AdotB is going to
be positive if the angle is less
than 90°.
So, that means geometrically,
my two vectors are going more
or less in the same direction.
They make an acute angle.
It's going to be zero if the
angle is exactly 90°,
OK, because that's when the
cosine will be zero.
And, it will be negative if the
angle is more than 90°.
So, that means they go,
however, in opposite
directions.
So, that's basically one way to
think about what dot product
measures.
It measures how much the two
vectors are going along each
other.

Undetermined: 
các dấu hiệu của AdotB sẽ là tích cực nếu góc đó ít
hơn 90 °. Vì vậy, có nghĩa là hình học,
hai vectơ tôi đang có nhiều hơn hoặc ít hơn trong cùng một hướng.
Họ làm cho một góc nhọn. Nó sẽ là zero nếu
góc chính xác là 90 °, OK, vì đó là khi các
cosin sẽ bằng không. Và, nó sẽ được tiêu cực nếu
góc độ là hơn 90 °. Vì vậy, có nghĩa là họ đi,
Tuy nhiên, ở chiều ngược nhau.
Vì vậy, về cơ bản đó là một cách để suy nghĩ về những gì chấm sản phẩm
biện pháp. Nó đo lường bao nhiêu hai
vectơ đang đi cùng nhau.
OK, và đó thực sự khiến chúng ta ứng dụng tiếp theo.

Undetermined: 
Vì vậy, chúng ta hãy xem, tôi đã có một số một đó?
Vâng. Vì vậy, nếu tôi đã có một số một,
Tôi phải có số hai. Các ứng dụng thứ hai là để
phát hiện trực giao. Đó là để tìm ra khi hai
điều này vuông góc. OK, vì vậy trực giao chỉ là một
từ phức tạp từ tiếng Hy Lạp để nói những điều này vuông góc.
Vì vậy, chúng ta hãy lấy một ví dụ. Hãy nói rằng tôi cung cấp cho bạn
phương trình x 2y 3z = 0. OK, để xác định một số
thiết lập các điểm trong không gian, và làm những gì bạn nghĩ tập
các giải pháp như thế nào nếu tôi cung cấp cho bạn phương trình này?
Vì vậy, đến nay tôi nhìn thấy một, hai, ba câu trả lời,

English: 
OK, and that actually leads us
to the next application.
So, let's see,
did I have a number one there?
Yes.
So, if I had a number one,
I must have number two.
The second application is to
detect orthogonality.
It's to figure out when two
things are perpendicular.
OK, so orthogonality is just a
complicated word from Greek to
say things are perpendicular.
So, let's just take an example.
Let's say I give you the
equation x 2y 3z = 0.
OK, so that defines a certain
set of points in space,
and what do you think the set
of solutions look like if I give
you this equation?

Undetermined: 
OK. Vì vậy, tôi thấy khác nhau cạnh tranh
câu trả lời, nhưng, yeah, tôi thấy rất nhiều người dân
bỏ phiếu cho câu trả lời số bốn. Tôi cũng nhìn thấy một số tôi không biết,
và một số thứ khác. Tuy nhiên, đa số có vẻ
có một chiếc máy bay. Và, thực sự đó là đúng
trả lời. Vì vậy, làm thế nào để chúng ta thấy rằng đó là một
máy bay?
 
Vì vậy, tôi cần phải nói, đây là phương trình của một
máy bay. Vì vậy, có rất nhiều cách để xem
đó, và tôi sẽ không cung cấp cho bạn tất cả trong số họ.
Nhưng, đây là một cách để suy nghĩ về nó.
Vì vậy, hãy suy nghĩ về hình học như thế nào để thể hiện điều này

English: 
So far I see one,
two, three answers,
OK.
So, I see various competing
answers, but,
yeah, I see a lot of people
voting for answer number four.
I see also some I don't knows,
and some other things.
But, the majority vote seems to
be a plane.
And, indeed that's the correct
answer.
So, how do we see that it's a
plane?
So, I should say,
this is the equation of a
plane.
So, there's many ways to see
that, and I'm not going to give
you all of them.
But, here's one way to think
about it.

Undetermined: 
điều kiện về vectơ. Vì vậy, chúng ta hãy nguồn gốc O,
theo quy ước là điểm (0,0,0).
Và, chúng ta hãy điểm, P, mà sẽ đáp ứng điều này
phương trình trên nó, vì vậy, tại tọa độ x,
y, z. Vì vậy, những gì hiện tình trạng này
ở đây nghĩa là gì? Vâng, nó có nghĩa là sau
điều. Vì vậy, chúng ta hãy vector, OP.
OK, vì vậy vector OP, tất nhiên, có thành phần x,
y, z. Bây giờ, chúng ta có thể nghĩ về điều này như
thực sự là một điểm giữa OP và một vector bí ẩn
sẽ không còn bí ẩn cho rất dài,
cụ thể là, một trong những vector, hai, ba.
OK, vì vậy, tình trạng này cũng giống như OP.A bằng không,
phải không? Nếu tôi đưa sản phẩm dot

English: 
So, let's think geometrically
about how to express this
condition in terms of vectors.
So, let's take the origin O,
by convention is the point
(0,0,0).
And, let's take a point,
P, that will satisfy this
equation on it,
so, at coordinates x,
y, z.
So, what does this condition
here mean?
Well, it means the following
thing.
So, let's take the vector, OP.
OK, so vector OP,
of course, has components x,
y, z.
Now, we can think of this as
actually a dot product between
OP and a mysterious vector that
won't remain mysterious for very
long,
namely, the vector one,
two, three.
OK, so, this condition is the
same as OP.A equals zero,

Undetermined: 
OPdotA tôi nhận được x lần một cộng với y lần hai cộng z lần ba.
Nhưng bây giờ, những gì nó có nghĩa là những điểm giữa OP và A
là số không? Vâng, nó có nghĩa là OP và A
vuông góc. OK, vì vậy tôi có vector này, A.
Tôi sẽ không để có thể vẽ nó thực tế.
Hãy nói rằng nó đi theo cách này. Sau đó, một điểm,
P, giải quyết phương trình này một cách chính xác khi các vector từ O đến P là
vuông góc với A. Và, tôi cho rằng định nghĩa một
máy bay. Ví dụ,
nếu nó giúp bạn nhìn thấy nó, mất một vector theo chiều dọc.
Có nghĩa là gì để được vuông góc với phương thẳng đứng
vector? Nó có nghĩa là bạn đang ngang.
Đó là mặt phẳng nằm ngang. Ở đây, nó là một chiếc máy bay mà đi
qua gốc và vuông góc với vector này,

English: 
right?
If I take the dot product
OPdotA I get x times one plus y
times two plus z times three.
But now, what does it mean that
the dot product between OP and A
is zero?
Well, it means that OP and A
are perpendicular.
OK, so I have this vector, A.
I'm not going to be able to
draw it realistically.
Let's say it goes this way.
Then, a point,
P, solves this equation exactly
when the vector from O to P is
perpendicular to A.
And, I claim that defines a
plane.
For example,
if it helps you to see it,
take a vertical vector.
What does it mean to be
perpendicular to the vertical
vector?
It means you are horizontal.
It's the horizontal plane.
Here, it's a plane that passes

English: 
through the origin and is
perpendicular to this vector,
A.
OK, so what we get is a plane
through the origin perpendicular
to A.
And, in general, 
what you should remember is
that two vectors have a dot
product equal to zero if and
only if that's equivalent to the
cosine of the angle between them
is zero.
That means the angle is 90°.
That means A and B are
perpendicular.
So, we have a very fast way of
checking whether two vectors are

Undetermined: 
A. OK, vì vậy những gì chúng ta có được một chiếc máy bay là
qua gốc vuông góc với A.
Và, nói chung, những gì bạn nên nhớ là
rằng hai vectơ có một dấu chấm sản phẩm bằng không nếu và
chỉ khi đó là tương đương với cosin của góc giữa chúng
là số không. Điều đó có nghĩa là góc 90 °.
Điều đó có nghĩa là A và B vuông góc.
Vì vậy, chúng ta có một cách rất nhanh chóng kiểm tra xem hai vectơ
vuông góc. Vì vậy, một trong những ứng dụng bổ sung

Undetermined: 
Tôi nghĩ rằng chúng ta sẽ thấy thực sự ngày mai là để tìm ra
các thành phần của một vector dọc theo một hướng nhất định.
Vì vậy, tôi khẳng định chúng tôi có thể sử dụng trực giác này tôi đã về tích
vô hướng cho chúng ta biết bao nhiêu vectơ đi theo cùng một hướng
để thực sự mang lại ý nghĩa chính xác về khái niệm
thành phần của vector, không chỉ dọc theo trục x,
y, hoặc z, nhưng dọc theo bất kỳ hướng nào
trong không gian. Vì vậy, tôi nghĩ rằng tôi nên có lẽ
dừng lại ở đây. Nhưng, tôi sẽ nhìn thấy bạn ngày mai lúc
02:00 tại đây, và chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về điều đó và về tích
hữu hướng.
 

English: 
perpendicular.
So, one additional application
I think we'll see actually
tomorrow is to find the
components of a vector along a
certain direction.
So, I claim we can use this
intuition I gave about dot
product telling us how much to
vectors go in the same direction
to actually give a precise
meaning to the notion of
component for vector,
not just along the x,
y, or z axis,
but along any direction in
space.
So, I think I should probably
stop here.
But, I will see you tomorrow at
2:00 here, and we'll learn more
about that and about cross
products.
 
