
English: 
If you watched our last episode --
and really, if you haven’t, you should.
...you now know all about derivatives, and how to use them, to describe the way an equation is changing.
Which means that now we can talk about the
other main part of calculus -- basically,
the inverse of derivatives, called integrals.
Integrals are useful because they also tell
you a lot about an equation: if you plotted
an equation on a graph, the integral is equal
to the area between the curve and the horizontal axis.
Finding an integral is a little less straightforward
than finding a derivative, but, as with derivatives,
there are shortcuts we can use to make things
a little easier.
We’ll even be able to use integrals to talk
about how things move -- specifically, the
equation we’ve been calling the displacement
curve, and why it looks the way it does.
So let’s get started.
[Theme Music]
Say you want to know how high your bedroom
window is above the ground outside below.
But you don’t have anything to measure it with --

Croatian: 
Ako ste pogledali našu prošlu epizodu -- i stvarno, ako niste, trebali biste.
...sada znate sve o derivacijama i kako ih koristiti za opis načina na koji se jednadžba mijenja.
Što znači da sada možemo pričati o drugom glavnom dijelu računa -- u biti
o onome što je suprotno od derivacija, a to se zovu integrali.
Integrali su korisni jer vam također govore mnogo o jednadžbi: ako prikažete
jednadžbu grafom, integral je jednak površini između krivulje i horizontalne osi.
Nalaženje integrala je malo kompliciranije nego naći derivaciju, ali, kao i kod derivacija,
postoje prečaci koje možemo koristiti da si malo olakšamo stvari.
Čak ćemo moći koristiti integrale kako bismo pričali o tome kako se stvari kreću -- konkretno ćemo govoriti o
jednadžbi koju smo zvali krivulja pomaka i zašto ona izgleda tako kako izgleda.
Počnimo onda.
[Glazba]
Recimo da želite znati na kojoj je visini od tla vaš prozor.
Ali nemate ga čime mjeriti --

iw: 
אם צפיתם בפרק הקודם שלנו- ובאמת שאם לא, כדאי שתצפו.
אז כעת אתם יודעים הכל לגבי נגזרות, וכיצד להשתמש בהן כדי לתאר את הדרך בה משוואה משתנה.
מה שאומר שעכשיו אנחנו יכולים לדבר על החלק המרכזי השני של חדו"א-בפשטות
ההפך מנגזרות, שנקרא אינטגרלים.
אינטגרלים הם שימושים בגלל שהם גם אומרים לכם הרבה על משוואה: אם תשרטטו
משוואה על גרף , האינטגרל שווה לשטח בין העקומה והציר האופקי
מציאת אינטגרל היא טיפה פחות פשוטה ממציאה של נגזרת, אבל, כמו בנגזרות
ישנם קיצורי דרך בהם נוכל להשתמש כדי להפוך דברים לפשוטים יותר.
נוכל אפילו להשתמש באינטגרלים כדי לדבר על איך דברים זזים, ספציפית
המשוואה שקראנו לה "משוואת התנועה עם תאוצה משתנה", ומדוע היא נראית כמו שהיא נראית.
אז בואו נתחיל.
[מוזיקת נושא]
נניח ואתם רוצים לדעת מה גובהו של חלון חדר השינה שלכם מעל פני הקרקע.
אבל אין לכם עם מה למדוד אותו

German: 
Wenn du unsere letzte Folge gesehen hast -- und wirklich, das solltest du, wenn du es nicht hast...
... dann weißt du alles über Ableitungen, und wie sie zu benutzen sind um zu beschreiben, wie eine Gleichung sich ändert.
Was bedeutet, dass wir jetzt über den anderen wichtigen Teil der Analysis reden können -- im Prinzip
das Gegenteil von Ableitungen, genannt Integrale.
Integrale sind nützlich, weil sie uns auch viel über eine Gleichung verraten: wenn du
eine Gleichung als Graph zeichnest, ist das Integral gleich der Fläche zwischen der Kurve und der waagerechten Achse.
Ein Integral zu bestimmen ist ein bisschen weniger geradlinig als eine Ableitung zu bestimmen, aber genau wie bei Ableitungen
gibt es Tricks, die wir benutzen können, um es etwas leichter zu machen.
Wir werden sogar in der Lage sein, Integrale zu benutzen, um Dinge, die sich bewegen, zu beschreiben -- genauer gesagt,
die Gleichung, die wir Entfernungskurve genannt haben, und warum sie so aussieht, wie sie es tut.
Also lass uns anfangen.
[Titelmusik]
Sagen wir, du willst wissen, wie hoch dein Schlafzimmerfenster über dem Boden draußen ist.
Aber du hast nichts, womit du es messen kannst --

Thai: 
ถ้าคุณได้ชมรายการของเราตอนที่แล้ว... -- และถ้าคุณยังไม่ได้ชม คุณควรไปชมก่อนนะคะ
...ถึงตอนนี้คุณรู้เรื่องเกี่ยวกับอนุพันธ์ และการใช้มันเพื่อบอกว่าสมการเปลี่ยนแปลงอย่างไร
นั่นหมายความว่าตอนนี้เราสามารถพูดถึงอีกส่วนสำคัญของวิชาแคลคูลัสได้แล้ว ซึ่งโดยพื้นฐานแล้ว
ก็คือส่วนกลับของอนุพันธ์ เรียกว่าปฏิยานุพันธ์(อินทิกรัล)ค่ะ
ปฏิยานุพันธ์มีประโยชน์เพราะมันบอกคุณได้หลายอย่างเกี่ยวกับสมการ เช่นถ้าคุณสร้าง
กราฟของสมการ ปฏิยานุพันธ์ก็เท่ากับพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งนั้นกับแกนนอน
การจะหาปฏิยานุพันธ์นั้นค่อนข้างยุ่งยากกว่าการหาอนุพันธ์เล็กน้อยค่ะ แต่ก็เช่นเดียวกับอนุพันธ์
มันมีวิธีลัดที่เราสามารถใช้เพื่อทำให้อะไรๆง่ายขึ้นค่ะ
เรายังสามารถใช้ปฏิยานุพันธ์เพื่อบอกว่าสิ่งต่างๆเคลื่อนที่อย่างไร พูดให้เจาะจงก็คือ
สมการที่เราเรียกว่าสมการโค้งการกระจัด และเหตุใดมันจึงมีหน้าตาอย่างนั้น
งั้นเริ่มกันเลยค่ะ
 
สมมติว่าคุณอยากจะรู้ว่าหน้าต่างห้องนอนของคุณอยู่สูงจากพื้นที่อยู่ข้างนอกด้านล่างเท่าไร
แต่คุณไม่มีอะไรที่สามารถใช้วัดความสูงนี้ได้

Arabic: 
إن كنت قد شاهدت حلقتنا الماضية...
وإن لم تكن قد شاهدتها، فيجب أن تشاهدها.
... أنت تعرف الآن عن المشتقات، وكيفية
استخدامها، ووصف طريقة تغير المعادلة.
وهذا يعني أنه بإمكاننا الآن التحدث
عن الجزء الأساسي من الحساب... بشكل أساسي،
عالم المشتقات، تدعى التكاملات.
التكاملات مفيدة لأنها تخبرك الكثير أيضاً
عن معادلة ما: إن كنت قد
رسمت معادلة ما على رسم بياني، فالتكامل
يساوي المنطقة بين المنعطف والمحور الأفقي.
إيجاد تكامل عملية أقل بساطة
من إيجاد المشتق، ولكن كما في المشتقات،
هناك اختصارات يمكننا استخدامها
لجعل الأمور أبسط.
سنكون أيضاً قادرين على استخدام التكاملات
للتحدث عن كيفية تحرك الأشياء... بالتحديد،
المعادلة التي سميناها منعطف الإزاحة،
وكيف تبدو على ما تبدو عليه.
إذاً لنبدأ.
[موسيقى الافتتاحية]
لنقل أنك تريد معرفة مقدار علو النافذة عن
الأرض في غرفة نومك.
ولكن إن لم يكن لديك ما تقيس به...

Italian: 
Se hai guardato lo scorso episodio -- e, davvero, se non l'hai fatto, dovresti
Ora sai tutto sulle derivate e sul come usarle, per descrivere quanto un'equazione stia cambiando.
Il che significa che ora possiamo parlare dell'altra parte del calcolo infinitesimale -- in sostanza,
l'inverso delle derivate, gli integrali.
Gli integrali sono utili in quanto ti dicono molto su un'equazione: se hai disegnato
un'equazione su un grafico, l'integrale è uguale all'area tra la curva e l'asse orizzontale.
Trovare un integrale è un po' meno immediato di trovare una derivata, ma come con le derivate,
ci sono dei trucchi che possiamo usare per semplificarci la vita.
Saremo anche in grado di usare gli integrali per parlare di come le cose si muovano -- in particolare,
l'equazione che chiamiamo curva di movimento, e vedremo perché abbia un certa forma.
Quindi, iniziamo.
[Sigla]
Facciamo finta che tu voglia conoscere l'altezza della finestra della tua camera rispetto al terreno esterno.
Tuttavia, non hai nulla per misurarlo --

Slovak: 
Ak ste videli našu poslednú časť -
a ozaj, ak nie, mali by ste -
tak už viete všetko o deriváciách a ako ich používame
na opis spôsobu, ktorým sa mení rovnica.
Čo znamená, že teraz sa môžeme rozprávať o ďalšej časti kalkulu - v podstate
o opaku derivácií, nazvanej integrály.
Integrály sú tiež užitočné, pretože vám
povedia veľa o rovnici: ak zakreslíte
rovnicu do grafu, integrál je rovný
obsahu plochy medzi krivkou a horizontálnou osou.
Nájdenie integrálu je o trošku menej priame,
ako nájdenie derivácie, ale tak, ako s deriváciami,
existujú skratky ktoré môžeme použiť na zjednodušenie.
Dokonca budeme schopní používať integrály na určenie ako sa veci hýbu - presnejšie
o rovnici ktorú voláme ???
Takže poďme zažať.
 
Povedzme, že chcete vedieť, ako vysoko
je okno vašej spálne nad zemou.
Ale nemáte nič na meranie -

Spanish: 
Si miraste nuestro último episodio, y en serio, si no lo has hecho, deberías
tu ahora sabes todo sobre derivadas, y como usarlas, para describir la forma en que una ecuación está cambiando
lo que significa que ahora podemos hablar sobre la otra parte esencial del cálculo, básicamente
la inversa de las derivadas, llamadas integrales.
Las integrales son necesarias porque también te dicen mucho sobre una ecuación: si trazas
una ecuación en un gráfico, la integral es equivalente al área entre la curva y la linea axial horizontal
encontrar una integral es un poco más difícil que encontrar una derivada, pero, como las derivadas,
hay atajos que podemos usar para hacer las cosas un poco más fácil
incluso podremos usar las integrales para hablar de cómo las cosas se mueven, específicamente, en la
ecuación que hemos estado llamando la curva de desplazamiento y porqué luce como luce.
Así que comencemos.
(Música de introducción)
Di que quieres saber que tan alta está la ventana de tu cuarto sobre el suelo de abajo.
pero no tienes nada con que medirlo

Portuguese: 
Se você assistiu nosso último episódio -- e, por favor, se ainda não, por favor assista!
.... você agora sabe tudo sobre derivadas, e como usá-las, para descrever como uma grandeza varia.
Isto significa que agora podemos falar sobre a outra parte do cálculo - basicamente,
a inversa das derivadas, o que chamamos de integrais.
Integrais são úteis porque elas também nos dizem muito sobre uma equação: se você fizer o gráfico de
uma equação, a integral é igual a área entre a curva e o eixo horizonta.
Encontrar uma integral não é tão simples quanto encontrar a derivada, mas, assim como as derivadas,
existem atalhos que podemos usar para tornar as coisas um pouco mais fáceis.
Nós até poderemos usar integrais para falar como as coisas se movem, especificamente,
a equação que nós até agora chamamos de curva de deslocamento, e porque ela tem a aparência que conhecemos.
Então vamos começar!
[Música Tema]
Imagine que você queira saber o quão alto fica a sua janela a partir do solo do lado de fora.
Mas você não tem nada que possa usar para medir --

Dutch: 
Als je de vorige aflevering hebt gezien -- en als je die niet hebt gezien, dan zou je dat echt even moeten doen --
dan ben je nu bekend met afgeleiden en hoe je er mee verandering in een vergelijking kan beschrijven.
Wat betekent dat we het nu kunnen hebben over het andere hoofddeel van calculus -- in principe
het tegenovergestelde van afgeleiden, wat we integralen noemen.
Integralen zijn handig want ze vertellen je ook veel over een vergelijking: als je een vergelijking op
een grafiek tekent, dan is de integraal gelijk aan het gebied tussen de lijn en de horizontale as.
Een integraal vinden is minder makkelijk dan een afgeleide vinden, maar net als met afgeleiden
zijn er versimpelingen die we kunnen gebruiken om het wat makkelijker te maken.
We zullen zelfs in staat zijn om integralen te gebruiken om te praten over hoe dingen bewegen. -- specifiek,
de vergelijking die we de verplaatsingskromme noemen en waarom die er zo uit ziet.
Dus laten we beginnen.
 
Stel dat je wilt weten hoe hoog je slaapkamer raam boven de grond buiten is.
Maar je hebt niks om het mee te meten --

French: 
Si vous avez regardé notre dernier épisode -- et vraiment, si vous ne l'avez pas fait, vous devriez.
...vous savez tout sur les dérivés, et comment les utilisées pour décrire comment une équation change.
Ce qui veut dire que maintenant, nous pouvons parler de l'autre partie importante de l'algèbre -- fondamentalement
l'inverse des dérivés, appelées intégrales.
Les intégrales sont utiles parce qu'elles disent aussi beaucoup sur une équation: si on pose
une équation sur un graphe, l'intégrale est égale à l'aire entre la courbe de la fonction et l'axe horizontal.
Trouver une intégrale est un peu moins direct que de trouver une dérivé, mais comme pour les dérivés,
il y a des raccourcis que l'on peut utiliser pour rendre les choses plus simples.
On pourra même être capable d'utiliser des intégrales pour parler de comment les choses se déplacent -- plus spécialement,
l'équation qu'on appelle la courbe de déplacement, et pourquoi elle se présente de cette manière.
Alors commençons.
[Intro musical]
Disons que vous voulez savoir à quelle point la fenêtre de votre chambre est au-dessus du sol dehors.
Mais vous n'avez rien pour mesurer --

Russian: 
Если вы смотрела наш предыдущий эпизод - и правда, если нет, то вам стоит это сделать.
Вы знаете всё о производных и о том, как их использовать для описания изменения уравнения.
И это значит, что теперь мы можем поговорить о другой важной части исчисления,
обратной производным - интегралам.
Интегралы полезны, потому что в числе прочего они расскажут многое об уравнении: если вы представите
уравнение в виде графика, интеграл будет равен площади между кривой и горизонтальной осью.
Поиск интеграл - это чуть менее простой способ, чем нахождение производной, но, как и с производными,
есть наиболее рациональный способ, который мы можем использовать, чтобы сделать вещи немного проще.
Мы даже сможем использовать интегралы, чтобы сказать, как происходит движение - конкретно,
уравнение покажет смещение кривой, и почему она выглядит именно так.
Так давайте же начнем.
[Музыкальная тема]
Скажем, вы хотите узнать, как высоко окно вашей спальни расположено относительно уровня земли.
Но в вашем распоряжении нет ничего, чтобы измерить его,

German: 
nur einen Ball, die Stoppuhr-App auf deinem Handy und dein beeindruckendes Wissen über Physik.
Die Schwerkraft lässt den Ball fallen,
also weißt du, dass seine Beschleunigung g nach unten ist, 9,81 m/s^2.
Aber du versuchst, die Änderung seiner Position herauszufinden, wie WEIT er fällt.
Wir haben lange über die Verbindungen zwischen den Eigenschaften der Bewegung gesprochen:
Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung.
Aber bisher haben wir diese Verbindung nur in eine Richtung beschrieben: Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position
-- ein Maß für seine Änderung -- und Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.
Um herauszufinden, wie weit der Ball fällt, brauchst du das Gegenteil dieser Verbindung.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung ist
und Position das Integral der Geschwindigkeit.
In anderen Worten: Wenn du diese Gleichungen als Graph zeichnest, ist Geschwindigkeit gleich der Fläche
unter der Beschleunigungskurve, und Position ist gleich der Fläche unter der Geschwindigkeitskurve.
Diese Fläche zu ermitteln ist der schwierige Teil.
Es gibt einfache Wege, die Fläche von so ziemlich jeder Form zu bestimmen, so lange diese Form
nur aus geraden Linien und Ecken besteht.

iw: 
רק כדור, ישומון שעון עצר בפלאפון שלכם, והידע המרשים שלכם בפיזיקה.
כוח הכבידה הוא מה שגורם לכדור ליפול,
אז אתם יודעים שתאוצה שלו היא g, השווה ל-9.81m\s^2, כלפי מטה.
אבל אתם מנסים למצוא את השינוי שלו במיקום, כמה רחוק הוא נפל.
דיברנו רבות על החיבור בין מאפייני התנועה:
מיקום, מהירות, ותאוצה.
אבל עד כה, תיארנו את החיבור הזה בצורה ייחודית: מהירות היא הנגזרת של המיקום
שהיא כמות השינוי במיקומו, ותאוצה היא הנגזרת של המהירות.
כדי להבין כמה רחוק נפל הכדור, נצטרך להשתמש בקשר הזה בצורה הפוכה.
מבוטא מתמטית, זה אומר שמהירות היא האינטגרל של התאוצה,
ומיקום הוא האינטגרל של המהירות.
במילים אחרות: אם תשרטטו את המשוואות הללו על גרף, המהירות שווה לשטח
מתחת לעקומת התאוצה, והמיקום שווה לשטח מתחת עקומת המהירות.
מציאת שטח הזה, היא החלק הטריקי.
ישנם דרכים פשוטות למצוא את השטח של כמעט כל צורה, כל עוד שהצורה
מורכבת רק מקווים ישרים, ופינות.

Russian: 
только мяч, приложение-секундомер  телефоне и ваше впечатляющее знание законов физики.
Сила гравитации - вот что заставляет мяч падать,
и вы знаете, что ускорение падения равно маленькой g и составляет 9.81 мс^2, направлено вниз.
Но вы пытаетесь найти изменение положения - как далеко он упадет.
Мы потратили много времени, говоря о взаимосвязи между свойствами движения:
положением, скоростью и ускорением.
Но все это время мы описывали эту связь в конкретном направлении: скорость является производной положения
(это мера его изменения), а ускорение - это производная от скорости.
Чтобы выяснить, как далеко упадет мяч, нужно использовать эту связь в обратную сторону.
Если выражать математически, это значит, что скорость - это интеграл ускорения,
а положение - интеграл скорости.
Другими словами, если вы нарисуете это уравнение в виде графика, скорость будет равна площади
под кривой ускорения, а положение будет равно площади под кривой скорости.
Найти эту площадь - самая хитрая часть.
Есть простые способы найти площадь практически любой формы, но только пока эта площадь
состоит только и прямых линий и углов.

French: 
juste une balle, un chronomètre, et votre impressionnante connaissance de la physique.
La force gravitationnelle est ce qui fait tomber la balle,
alors vous savez que l'accélération est petit g 9.81 m/s^2, vers le bas.
Mais vous voulez savoir le changement de position -- jusqu'où elle tombe.
On a passé beaucoup de temps à parler des liens entre les attributs du mouvement:
position, vitesse, et accélération.
Mais jusqu'à maintenant, nous avons décris les liens dans une direction particulière: la vitesse est une dérivé de la position
-- c'est à dire, une mesure de son changement, et l'accélération est la dérivé de la vitesse.
Pour trouver jusqu'où tombe la balle, nous devons trouver l'inverse de ce lien.
Exprimé mathématiquement, cela signifie que la vitesse est l'intégrale de l'accélération,
et que la position est l'intégrale de la vitesse.
En d'autres mots: si vous dessiner ces équations sur un graphe, la vitesse est égale à l'aire
en dessous de la courbe de l'accélération, et la position est égale à l'aire en dessous de la courbe de la vitesse.
Trouver cette aire est la partie épineuse.
Il y a des manières simples de trouver l'aire en dessous de presque n'importe quelle forme, tant que cette forme
n'est faite de rien d'autre que des lignes droites et des coins.

Thai: 
มีแค่ลูกบอล แอพนาฬิกาจับเวลาบนโทรศัพท์มือถือ และความรู้ทางฟิสิกส์อันน่าประทับใจของคุณ
แรงของความโน้มถ่วงคือสิ่งที่ทำให้ลูกบอลตก
ดังนั้นคุณรู้แล้วว่าอัตราเร่งของลูกบอลนี้คือค่า g เล็ก ซึ่งเท่ากับ 9.81 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง และมีทิศทางลงด้านล่าง
แต่ที่คุณพยายามจะหาคือการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งของลูกบอล -- มันตกลงไประยะทางเท่าใด
เราได้ใช้เวลาไปมากกับการพูดถึงความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะต่างๆของการเคลื่อนที่
ตำแหน่ง อัตราเร็ว และอัตราเร่ง
แต่ถึงตรงนี้ เราได้อธิบายถึงแค่ความเชื่อมโยงในทิศทางเดียว นั่นคืออัตราเร็วเป็นอนุพันธ์ของตำแหน่ง
ซึ่งก็คือการวัดการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งนั่นเอง และพูดถึงอัตราเร่งที่เป็นอนุพันธ์ของอัตราเร็ว
เพื่อจะหาว่าลูกบอลตกลงไปด้วยระยะทางเท่าใด คุณต้องใช้วิธีย้อนกลับกับความเชื่อมโยงที่ว่านั้นค่ะ
ถ้าพูดในทางคณิตศาสตร์แล้ว ก็หมายความว่าอัตราเร็วเป็นปฏิยานุพันธ์ของอัตราเร่ง
และตำแหน่งก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของอัตราเร็ว
พูดอีกแบบหนึ่งก็คือ ถ้าคุณสร้างเส้นกราฟของสมการ อัตราเร็วก็จะเท่ากับพื้นที่
ใต้เส้นโค้งของอัตราเร่ง และตำแหน่งก็จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งของอัตราเร็ว
การหาพื้นที่ที่ว่านั้นแหละค่ะที่เป็นส่วนที่ยุ่งยาก
มันมีวิธีง่ายๆที่จะหาพื้นที่ของรูปทรงอะไรก็ได้ ตราบใดที่รูปทรงนั้น
สร้างขึ้นจากเส้นตรงและมุม

Portuguese: 
somente uma bola, um aplicativo de cronômetro no seu celular, e seu impressionante conhecimento de física.
A força da gravidade é o que faz a bola cair,
então você sabe que a aceleração é g 9.81 m/s^2, para baixo.
Mas você está tentando encontrar a variação na posição - o quanto ela cai.
Nós já gastamos um bom tempo falando sobre a conexão entre as propriedades do movimento:
posição, velocidade, e aceleração.
Mas até agora, nós estamos descrevendo esta conexão em uma direção particular: velocidade é a derivada da posição
- isto é, uma medida da sua variação - e a aceleração é a derivada da velocidade.
Para determinar o quanto a bola cai, você precisa usar a inversa daquela conexão.
Expressando matematicamente, isto significa que a velocidade é a integral da aceleração,
e a posição é a integral da velocidade.
Em outras palavras: se você desenhar estas equações em um gráfico, a velocidade é igual à área
abaixo da curva de aceleração, e a posição é a área abaixo da curva de velocidade.
Encontrar esta área é a parte mais complicada.
Existem formas simples de encontrar a área de praticamente qualquer forma, na medida
em que ela for composta de linhas retas e  cantos.

Spanish: 
solo una pelota, un cronometro en tu celular, y tu impresionante conocimiento en física.
La fuerza de gravedad es lo que hace que la bola caiga,
así que sabes que su aceleración es g= 9.81 ms^2, hacia abajo.
Pero quieres saber su cambio de posición, que tan lejos cae.
Hemos pasado mucho tiempo hablando sobre la conexión entre las características del movimiento:
posición, velocidad y aceleración.
Pero hasta ahora, solo hemos descrito esa conexión en una partícula dirección: velocidad es la derivada de posición,
es decir, una medida de su cambio y aceleración es la derivada de velocidad.
Para descubrir que tan lejos cae la pelota, tienes que usar la inversa de esa conexión.
Expresado matematicamente, significa que la velocidad es la integral de la aceleración,
y la posición es la integral de la velocidad.
En otras palabras: si dibujaras estas ecuaciones en un gráfico, la velocidad es igual al área
debajo de la curva de la aceleración y la posición es igual al área debajo de la curva de velocidad.
Encontrando esa área es la parte difícil.
Hay maneras simples de encontrar el área de casi todas las formas, siempre que esa forma
este hecha solamente de lineas rectas y esquinas.

Croatian: 
imate samo lopticu, štopericu na mobitelu i impresivno znanje fizike.
Sila gravitacije je ono što tjera lopticu da pada,
tako da znate da je njena akceleracija malo g, 9.81 m/s^2 prema dolje.
Ali pokušavate naći njenu promjenu u položaju -- koliko daleko pada.
Puno smo pričali o povezanosti između sastavnica gibanja:
o položaju, brzini i akceleraciji.
Ali do sada smo opisivali tu povezanost u određenom smjeru: brzina je derivacija položaja
-- odnosno mjera njegove promjene -- i akceleracija je derivacija brzine.
Da biste shvatili koju je udaljenost loptica prešla, morate koristiti suprotno od te povezanosti.
Izraženo matematički, brzina je integral akceleracije,
a položaj je integral brzine.
Drugim riječima, ako nacrtate te jednadžbe na grafu, brzina je jednaka površini
ispod krivulje akceleracije, a položaj je jednak površini ispod krivulje akceleracije.
Nalaženje te površine je ono što je nezgodno.
Postoje jednostavni načini nalaženja površine više manje bilo kojeg lika, dokle god je taj oblik
sačinjen samo od ravnih linija i kuteva.

English: 
just a ball, the stopwatch app on your phone, and your impressive knowledge of physics.
The force of gravity is what makes the ball fall,
so you know that its acceleration is small g
9.81 ms^2, downward.
But you’re trying to find its change in
position -- how FAR it falls.
We’ve spent a lot of time talking about
the connection between the qualities of motion:
position, velocity, and acceleration.
But so far, we’ve been describing that connection in a particular direction: velocity is the derivative of position
-- that is, a measure of its change --
and acceleration is the derivative of velocity.
To figure out how far the ball falls, you
need to use the reverse of that connection.
Expressed mathematically, that means that
velocity is the integral of acceleration,
and position is the integral of velocity.
In other words: if you draw these equation
on a graph, velocity is equal to the area
under the acceleration curve, and position
is equal to the area under the velocity curve.
Finding that area is the tricky part.
There are simple ways to find the area of
pretty much any shape, as long as that shape
is made of nothing but straight lines and
corners.

Italian: 
solo una palla, il cronometro del tuo telefono, e una notevole conoscenza della fisica.
La forza di gravità è ciò che fa cadere la pallina,
quindi sai che la sua accelerazione è g minuscolo, 9.81 m/s^2, verso il basso.
Tuttavia, stai cercando la variazione della sua posizione -- Quanto distante cada.
Abbiamo speso molto tempo a parlare della relazione tra le grandezze del movimento:
posizione, velocità e accelerazione.
Tuttavia, fino ad ora abbiamo descritto questa relazione in una sola direzione: la velocità è la derivata della posizione
-- è una misurazione della sua variazione -- e l'accelerazione è la derivata della velocità.
Per riuscire a trovare quanto distante la palla cada, hai bisogno di usare l'inverso di questa relazione.
Espresso matematicamente, ciò significa che la velocità è l'integrale dell'accelerazione,
e la posizione è l'integrale della velocità.
In altre parole: se disegni questa equazione su un grafico, la velocità è uguale all'area
sotto alla curva dell'accelerazione, e la posizione è uguale all'area sotto alla curva della velocità.
Trovare questa area è la parte difficile.
Esistono semplici metodi per trovare l'area di quasi ogni figura, fintanto che questa figura
non è fatta che di linee dritte ed angoli.

Arabic: 
بل مجرد كرة، وتطبيق ساعة التوقيف على هاتفك
ومعرفتك الواسعة في الفيزياء.
قوة الجاذبية هي التي تدفع الكرة إلى السقوط.
لذا تعرف أن تسارعها يساوي g
9.81 م/ثا^2، إلى الأسفل.
ولكنك تحاول إيجاد تغير موضعها
ومدى بعد سقوطها.
أمضيت الكثير من الوقت تتحدث عن الرابط
بين أنواع الحركة:
الموضع، السرعة، والتسارع.
ولكن حتى الآن، كنا نصف هذه الحركة باتجاه
معين: السرعة هي مشتق الموضع
... أي، قياس تغيره...
والتسارع هو مشتق السرعة.
لمعرفة مدى سقوط الكرة، تحتاج
إلى استخدام عكس الترابط.
بتعبير رياضي، هذا يعني
السرعة هي تكامل التسارع،
والموضع هو تكامل السرعة.
بتعبير آخر: إن قمت برسم هذه المعادلات
على رسم بياني، فالسرعة تساوي المنطقة
الموجودة أسفل المنعطف، والموضع
يساوي المنطقة الموجودة أسفل منعطف السرعة.
إيجاد تلك المنطقة أمر صعب.
هناك طرق سهلة لمعرفة منطقة
أي شكل تقريباً، إن كان ذلك الشكل
مصنوعاً فقط من خطوط وزوايا مستقيمة.

Slovak: 
len loptičku, stopky na mobile
a pôsobivú znalosť fyziky.
Gravitačná sila spôsobuje, že loptička padá,
takže viete, že jej zrýchlenie
je malé g 9,81 m/s² smerom dole.
Ale snažíte sa urči jej zmenu polohy -
ako ĎALEKO dopadne.
Strávili sme veľa času rozprávaním
o prepojení medzi veličinami pohybu:
polohou, rýchlosťou a zrýchlením.
Avšak doteraz sme toto prepojenie
opisovali určitým smerom: rýchlosť je derivácia polohy -
čiže mierou jej zmeny - a zrýchlenie
je deriváciou rýchlosti.
Na zistenie ako ďaleko loptička dopadne,
potrebujete použiť opak toho prepojenia.
Vyjadrené matematicky to znamená,
že rýchlosť je integrálom zrýchlenia
a poloha je integrálom rýchlosti.
Inými slovami: ak nakreslíte graf týchto rovníc,
rýchlosť je rovná obsahu plochy
pod krivkou zrýchlenia a poloha je rovná
obsahu plochy pod krivkou rýchlosti.
Nájdenie obsahu tej plochy je ťažké.
Existujú jednoduché spôsoby nájdenia obsahu plochy
viacmenej akéhokoľvek tvaru, pokiaľ však ten tvar
je daný len rovnými čiarami a rohmi/uhlami.

Dutch: 
alleen een bal, een stopwatch app op je mobiel, en je indrukwekkende kennis van fysica.
De zwaartekracht zorgt er voor dat de bal valt,
dus dan weet je dat de acceleratie kleine g is, 9,81 m/s², neerwaarts.
Maar je wil de verandering in positie bepalen -- hoe ver het valt.
We hebben veel tijd besteed aan de connectie tussen de aspecten van beweging:
positie, snelheid, en acceleratie.
Tot nu toe hebben we die verbinding in één bepaalde richting beschreven: snelheid is de afgeleide van positie
-- oftewel, een mate van zijn verandering -- en acceleratie is de afgeleide van snelheid.
Om uit te vinden hoe ver de bal valt moet je het omgekeerde van die verbinding gebruiken.
Wiskundig uitgedrukt betekent dat snelheid 
een integraal is van acceleratie,
en positie een integraal van snelheid
In andere woorden: als je deze vergelijkingen als een grafiek zou tekenen dan is de snelheid gelijk aan
het oppervlak onder de acceleratie grafiek en positie gelijk aan het oppervlak onder de snelheid grafiek.
Die oppervlakte vinden is het lastige gedeelte.
Er zijn simpele manieren om het oppervlak van bijna elke vorm te vinden, zolang die vorm
gemaakt is van niks anders dan rechte lijnen en hoeken.

English: 
And when you think about it, a curve is just
a set of infinitely tiny lines.
So the area under a curve can be divided into
a set of infinitely tiny rectangles.
Integrals tell you what happens when you divide
the area under a curve into those infinitely
tiny rectangles, take the area of each of
them, and add up those areas.
So, how do you find that integral?
Well, you start by using the fact that integrals
are basically the OPPOSITE of derivatives.
If you know that your velocity is equal to twice time, for example, then you know that’s the derivative of the position.
So, to find the equation for your position,
you just have to look for an equation whose DERIVATIVE is 2t … like x = t^2, for example.
It’s kind of a roundabout way of doing things, compared to the neat equation we were able to use to find derivatives.
But there is no tidy equation that we can
use to calculate any integral we want.
But! As with derivatives, there ARE shortcuts
for finding certain, useful ones.
For instance, you can take the power rule
that we used for derivatives, and run it backward.

Russian: 
Но, если подумать, кривая - это просто набор бесконечно маленьких линий.
Таким образом, площадь под кривой может быть разделена на набор бесконечно маленьких прямоугольников.
Интегралы говорят, что произойдет, когда вы разделите площадь под кривой на эти бесконечно
маленькие прямоугольники, возьмете площадь каждого и них и сложите.
Так как вы найдете этот интеграл?
Ну, вы начнете с использования того факта, что интегралы по своей сути - противоположность производным.
Если вы знаете, что ваша скорость равна удвоенному времени, например, то вы знаете, что это производная положения.
Таким образом, чтобы составить уравнение вашего положения, нужно просто искать уравнение, производная которого равняется 2t ... например, x=t^2.
Это своего рода кружной путь, сравнимый с аккуратными уравнения, которые мы использовали, чтобы найти производные.
Но нет такого аккуратного уравнения, которое мы могли бы использовать для вычисления любого интеграла.
Но! Как и с производными, есть рациональные пути нахождения определенных, полезные в некоторых случаях.
Например, вы можете взять мощное правило, которое мы использовали для производных и повернуть его наоборот.

Thai: 
และเมื่อคุณคิดดูดีๆ เส้นโค้งก็คือชุดของเส้นตรงขนาดจิ๋วจำนวนไม่สิ้นสุด
ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งก็สามารถแบ่งได้เป็นชุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าของจิ๋วจำนวนนับไม่ถ้วนเช่นกัน
ปฏิยานุพันธ์บอกคุณว่าจะเป็นเช่นใดหากคุณตัดแบ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
เล็กจิ๋วจำนวนนับไม่ถ้วนนี้ หาพื้นที่ของแต่ละสี่เหลี่ยม แล้วเอาพื้นที่ทั้งหมดของมันมารวมกัน
แล้วคุณจะหาปฏิยานุพันธ์ได้อย่างไร?
คุณก็เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าโดยพื้นฐานแล้วปฏิยานุพันธ์คือสิ่งที่ตรงข้ามกับอนุพันธ์
ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณรู้ว่าอัตราเร็วของคุณเท่ากับสองเท่าของเวลา นั่นคือคุณรู้อนุพันธ์ของตำแหน่งของคุณแล้ว
ดังนั้น เพื่อจะหาสมการของตำแหน่งของคุณ คุณก็แค่หาดูว่ามีสมการใดที่มีอนุพันธ์เท่ากับ 2t เช่น x = t^2 เป็นต้น
มันเป็นเหมือนกับทำอะไรอ้อมๆน่ะค่ะ ถ้าเทียบกับสมการสวยๆที่เราสามารถหาอนุพันธ์ได้
เพียงแต่มันไม่มีสมการเรียบๆที่เราสามารถใช้เพื่อคำนวณหาปฏิยานุพันธ์ที่เราต้องการได้ตลอด
แต่! เช่นเดียวกับอนุพันธ์ค่ะ มันก็มีวิธีลัดที่จะหาปฏิยานุพันธ์ในสมการที่มีประโยชน์ได้
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้กฏยกกำลังที่เราเคยใช้ในการหาอนุพันธ์ แล้วทำแบบย้อนกลับ

Portuguese: 
E quando você pensa sobre isso, uma curva é somente um conjunto de infinitamente pequenas linhas retas.
Então a área abaixo de uma curva pode ser dividida em um conjunto de infinitamente pequenos retângulos.
Integrais lhe diz o que acontece quando você divide a área abaixo da curva em retângulos
infinitamente pequenos, pega a área de cada um deles, e as soma.
Então, como determinar a integral?
Bem, você começa usando o fato de que integrais são basicamente o OPOSTO das derivadas.
Se você sabe que a sua velocidade é igual a duas vezes o tempo, por exemplo, então você sabe a derivada da posição.
Então, para encontrar a equação para a sua posição, você precisa somente procurar por uma equação cuja derivada é 2t .... algo como x = t^2, por exemplo.
Nós meio que demos uma volta aqui, se compararmos com o caso das derivadas onde nós pudemos calcular diretamente de forma nítida.
Mas não há uma equação limpa que possamos usar para qualquer integral que quisermos.
Mas! Assim como com derivadas, EXISTEM alguns atalhos para determinar algumas, que sejão úteis.
Por exemplo, você pode pegar a regra do tombo que usamos em derivadas, e usá-la ao contrário.

French: 
Et quand vous y pensez, une courbe est juste une série de lignes infiniment petites.
Alors, l'aire en dessous d'une courbe peut être diviser en une infinité de de petits rectangles.
Les intégrales vous indiquent ce qui arrive quand on divise l'aire en-dessous d'une courbe en cette infinité
de petits rectangles, qu'on prend l'aire de chacun d'eux, et qu'on additionne ces aires.
Alors, comment trouve-t-on ces intégrales?
Et bien, on commence par utiliser le fait que les intégrales sont l'opposées des dérivés.
Si vous savez que votre vitesse est égale au temps fois deux, par exemple, et vous savez que c'est la dérivé de la position.
Alors, pour trouver l'équation, vous devez juste regarder l'équation dont la dérivé est 2t... comme x = t^2, par exemple.
C'est un peu une manière détourné pour trouver ce qu'on cherche, comparé à l'équation soigné qu'on a pu utiliser pour trouver les dérivés.
Mais il n'y a pas de joli équation que l'on peut utiliser pour calculer l'intégrale que l'on veut.
MAIS, comme pour les dérivés, il y a des raccourcis pour trouver certaines intégrales utiles.
Par exemple, on peut utiliser la règle des exposants que l'on a utilisé pour les dérivés, et l'inverser.

Croatian: 
A ako malo razmislite o tome, krivulja je samo niz beskonačno malih linija.
Tako da se površina ispod krivulje može podijeliti u niz beskonačno sitnih pravokutnika.
Integrali vam govore što se dogodi kada podijelite površinu ispod krivulje u te beskonačno
sitne pravokutnike i uzmete ih sve i zbrojite.
Dakle, kako naći taj integral?
Pa, počnete tako da iskoristite činjenicu da su integrali u biti suprotno od derivacija.
Ako znate da je vaša brzina jednaka dvaput vrijeme, na primjer, onda znate da je to derivacija položaja.
Pa ćete kako bi našli jednadžbu položaja, samo morati ptražiti jednadžbu čija je derivacija 2t ... to je na primjer x = t^2.
To je malo zaobilazni način računanja, u usporedbi sa zgodnim jednadžbama koje smo mogli koristiti kako bi našli derivacije.
Ali ne postoji uređena jednadžba za izračunati bilo koji integral.
Ali stanite, nemojte paničariti! Kao i kod derivacija, postoje prečaci za naći neke korisne.
Na primjer, možete uzeti pravilo potencije koje smo koristili za derivacije i obrnuti ga.

Spanish: 
Y cuando lo piensas, una curva es solo un conjunto de pequeñas lineas infinitas.
Así que el área debajo de una curva puede ser dividida en un conjunto de pequeños rectángulos.
Las integrales te dicen que pasa cuando divides el área debajo de la curva en esos infinitos
pequeños rectángulos, tomas el área de cada uno y sumas esas áreas.
Así que, ¿cómo hallas esas integrales?
Bueno, empiezas usando el hecho de que las integrales son básicamente lo contrario a las derivadas.
Si sabes que tu velocidad es igual a dos veces el tiempo, por ejemplo, entonces sabes que esa es la derivada de la posición.
Así que, para encontrar la ecuación de tu posición, solo debes buscar una ecuación cuya derivada sea 2t... por ejemplo x = t^2.
Puede ser una forma confusa de hacer las cosas, comparada con la fácil ecuación que pudimos usar para encontrar las derivadas.
Pero no hay una fácil ecuación que podamos usar para calcular ninguna integral que queramos.
¡Pero que no cunda el pánico! Como con las  derivadas, hay atajos para encontrar algunas, necesarias, integrales.
Por ejemplo, puedes utilizar la regla de la potencia que usamos en las derivadas pero al revés.

German: 
Und wenn du darüber nachdenkst, ist eine Kurve nur eine Aneinanderreihung von unendlich kleinen Linien.
Also kann die Fläche unter Kurve in viele infinitesimal kleine Rechtecke aufgeteilt werden.
Integrale sagen dir, was passiert, wenn du eine Fläche unter einer Kurve in diese infinitesimal kleinen
Rechtecke aufteilst, die Fläche von jedem bestimmst, und alle Flächen aufaddierst.
Also, wie bestimmt man ein Integral?
Also, du fängst an, indem du die Tatsache benutzt, dass sie im Prinzip das Gegenteil von Ableitungen sind.
Wenn du weißt, dass deine Geschwindigkeit gleich zweimal die Zeit ist, zum Beispiel, dann weißt du, dass das die Ableitung der Position ist.
Um also die Gleichung für die Position zum finden, muss du nur eine Gleichung suchen, deren Ableitung 2t ist, wie zum Beispiel x=t^2.
Das ist eine Art Umweg verglichen mit den eingängigen Gleichungen, mit denen wir Ableitungen bestimmt haben.
Aber es gibt keine richtige Gleichung, mit der wir jedes Integral, das wir wollen, bestimmen können.
Aber! Wie bei Ableitungen gibt es Abkürzungen für bestimmte, nützliche Gleichungen.
Du kannst zum Beispiel die Potenzregel, die wir für Ableitungen benutzt haben, umkehren.

Slovak: 
Keď sa ale nad tým zamyslíte, krivka
je jednoducho súbor nekonečne malých čiar.
Takže plocha pod krivkou môže byť rozdelená
do súboru nekonečne malých obdĺžnikov.
Itegrály vám povedia, čo sa stane, keď rozdelíte
plochu pod krivkou do tých nekonečne
malých obdĺžnikov, zoberiete obsah
každého z nich a spočítate.
Takže ako nájdete ten integrál?
Nuž, začnete s faktom, že integrály
sú v skutočnosti OPAKOM derivácií.
Ak viete, že vaša rýchlosť je rovná, napríklad, dvojnásobku času, potom viete, že je to derivácia polohy.
Takže na nájdenie rovnice pre vašu polohu sa musíte len pozrieť na rovnicu, ktorej DERIVÁCIA je 2t.. ako napríklad t².
Je to typ nepriameho spôsobu robenia vecí oproti peknej rovnici, ktorú sme boli schopní použiť na nájdenie derivácií.
Tu však nie je žiadna úhľadná rovnica, ktorú môžeme
použiť na výpočet každého integrálu, ktorý chceme.
Ale, vydržte, nepanikárte! Tak, ako s deriváciami,
existujú skratky na nájdenie určitých osožných.
Napríklad, môžete vziať pravidlo pre mocniny,
ktoré sme použili pre derivácie a otočiť ho.

Italian: 
E, se ci pensi, una curva non è che una serie di linee infinitamente piccole.
Quindi l'area sotto ad una curva può essere divisa in una serie di rettangoli infinitamente piccoli.
Gli integrali ti dicono cosa succede quando dividi l'area sotto ad una curva in questi rettangoli infinitamente
piccoli, prendi l'area di ognuno di essi, e le sommi tra di loro.
Ora, come trovi questo integrale?
Ebbene, si inizia sfruttando il fatto che gli integrali siano sostanzialmente l'opposto delle derivate.
Se sai che la tua velocità è uguale al doppio del tempo, ad esempio, allora sai che è la derivata della posizione.
Quindi, per trovare l'equazione della tua posizione, non devi fare altro che considerare un'equazione che abbia come derivata 2t... Come x=t^2, per esempio.
Sembra che stiamo girando in tondo, vista la semplice formula che usavamo per trovare le derivate.
Tuttavia, non esistono formule semplici che possiamo utilizzare per calcolare un qualsiasi integrale.
Ma fermi tutti, niente panico. Come con le derivate, esistono dei trucchi per trovarne alcuni di utili.
Ad esempio, puoi considerare la regola delle potenze che abbiamo usato per le derivate, ed usarla al contrario.

Arabic: 
وعندما نفكر في الأمر، المنعطف هو
مجموعة من خطوط صغيرة لا تنتهي.
إذاً يمكن تقسيم المنطقة الموجودة أسفل منعطف
إلى مجموعة من المستطيلات الصغيرة.
تدلك التكاملات على ما يحدث عندما تقسم
منطقة أسفل منعطف إلى هذه
المستطيلات الصغيرة، نأخذ منطقة كل
منها، ونضيف إلى هذه المناطق.
إذاً، كيف نجد التكامل؟
حسناً، نبدأ باستخدام حقيقة أن التكاملات
هي في الحقيقة عكس المشتقات.
إن كنا نعرف أن السرعة تساوي ضعف الزمن، على
سبيل المثال، إذاً نعرف أنها مشتق الموضع.
إذاً، نجد المعادلة للموضع، ونبحث عن معادلة
مشتقها 2t مثل x = t^2، على سبيل المثال.
إنها طريقة ملتوية في فعل الأشياء، مقارنةً
بالمعادلة التي استخدمناها لإيجاد المشتقات.
ولكن لا توجد معادلة مرتبة يمكننا
استخدامها لحساب أي تكامل نريده.
لكن! عندما نشتق، هناك اختصارات
لإيجاد معادلات معينة ومفيدة.
على سبيل المثال، يمكننا أخذ قاعدة القوة
المستخدمة مع المشتقات، وتطبيقها بشكل عكسي

Dutch: 
En als je er over na denkt is een grafiek gewoon een stel oneindig kleine lijntjes.
Dus de oppervlakte onder een grafiek kan worden opgedeeld in een stel oneindig kleine driehoekjes.
Integralen vertellen je wat er gebeurd als je het oppervlak onder een grafiek opdeelt in die oneindig
kleine driehoekjes, het oppervlak van elke bepaalt en die oppervlaktes bij elkaar optelt.
Dus hoe vinden we die integraal?
Nou, je start met het feit dat integralen simpelweg het tegenovergestelde van afgeleiden zijn.
Als je weet dat je snelheid gelijk is aan tweemaal de tijd, dan weet je dat dat de afgeleide van de positie is.
Dus om de vergelijking voor je positie te vinden moet je zoeken naar een vergelijking waarvan de afgeleide 2t is.
Zoals x=t² bijvoorbeeld.
Het is een wat omslachtige manier vergeleken met de nette vergelijking die we voor afgeleiden gebruiken.
Maar er is geen nette vergelijking waarme we elke integrale die we willen kunnen berekenen.
Maar vrees niet! Net als met afgeleiden, zijn er wel trucjes om sommige, handige integralen te vinden.
Bijvoorbeeld, je kan de machtsregel voor afgeleiden nemen en die achtersevoren uitvoeren.

iw: 
וכשחושבים על זה, עקומה היא רק אוסף של אינסוף קווים קטנים.
כך שהשטח מתחת לעקומה, יכול להתחלק לאוסף של מלבנים קטנים בצורה אינסופית.
אינטגרלים אומרים לנו מה קורה כשמחלקים את השטח מתחת לעקומה למלבנים הקטנים אינסופית
הללו, קחו את השטח של כל אחד מהם, וסכמו אותם.
אז, כיצד אנחנו מוצאים את האינטגרלים הללו?
ובכן, אתם מתחילים מלהשתמש בעובדה שאינטגרלים הם למעשה ההפך מנגזרות.
אם אתם יודעים שהמהירות שלכם שווה לפי 2 מהזמן לדוגמה, אז אתם יודעים שזוהי הנגזרת של המיקום.
אז כדי למצוא את המשוואה של המיקום שלכם, אתם רק צריכים למצוא משוואה שהנגזרת שלה היא 2t...כמו למשל x=t^2.
זאת דרך די מסורבלת לעשות דברים, בניגוד למשוואות המסודרות בהן השתמשנו כדי למצוא נגזרות.
אבל אין שום משוואה מסודרת בה נוכל להשתמש כדי לחשב כל אינטגרל שנרצה.
אבל, חכו אל תילחצו! כמו בנגזרות, ישנם קיצורי דרך למציאת כמה שימושיים.
לדוגמה, אתם יכולים לקחת את כלל החזקות מכללי הגזירה, ולהריץ אותו לאחור.

Dutch: 
Simpelweg: je voegt één toe aan de exponent en deelt dan de variabele door dat nummer.
Dus de integraal van 2t -- die zo geschreven wordt -- wordt t².
Als je op diezelfde manier de integraal van 42t^5 doet, krijg je 7t^6.
Je kan goniometrische afgeleiden die we hebben besproken nemen en die ook omkeren.
De integraal van cos(x) is sin(x), enzovoorts.
En de integraal van e^x is gewoon e^x.
Maar er is één probleem waar we het nog niet over hebben gehad -- misschien zag je het al: constanten.
Een constante is simpelweg een nummer. Het kan letterlijk een nummer zijn -- zoals 2 of half of min 4.
Of het kan een vervanger van een nummer zijn, zoals de kleine g, die staat voor de valversnelling veroorzaakt door de zwaartekracht.
En constanten zijn een probleem als het op integralen aankomt want: de afgeleide van een constante is 0.
Een afgeleide is immers de mate van verandering, dus een constantie die per definitie niet veranderd,
en zal dus altijd een afgeleide van nul hebben.
Dit betekent dat veel vergelijkingen - een oneindig aantal, in feite - allemaal dezelfde afgeleide kunnen hebben.

Slovak: 
V podstate: pridáte jednotku k exponentu
a potom vydelíte premennú tým číslom.
Takže integrál 2t - zapíšeme takto - sa stane t².
Rovnakým spôsobom, integrál 42t⁵ je 7t⁶.
Tiež môžete vziať trigonometrické derivácie,
o ktorých sme hovorili a otočiť ich.
Integrál cos(x) je sin(x) a tak ďalej.
A integrál eˣ je jednoducho eˣ.
Avšak je tu jedna komplikácia, o ktorej sme ešte
nehovorili - možno ste si ju už všimli: konštanty.
Konštanta je v podstate len číslo. Skutočne
môže byť číslom - ako 2, alebo polovica, alebo mínus 4.
Alebo môže byť zástupným symbolom pre číslo, ako malé g, ktoré sme používali na zastúpenie zrýchlenia spôsobeného gravitáciou.
Konštanty predstavujú problém, keď ide o integrály,
pretože: derivácia konštanty je jednoducho 0.
Derivácia je miera zmeny, konieckoncov, takže konštanta, ktorá sa z definície
nemení, bude mať vždy deriváciu 0.
Čo znamená, že veľa rôznych rovníc - naozaj
nekonečné množstvo - môže mať tú istú deriváciu.

Arabic: 
بشكل أساسي: نضيف واحد إلى الأس، ثم
نقسم المتغير على ذلك الرقم.
لذا تكامل 2t... المكتوب هكذا... يصبح  t^2.
بالطريقة ذاتها، تكامل 42t^5 هو 7t^6.
يمكننا أخذ المشتقات المثلثاتية التي تحدثنا
عنها، وتطبيق هذا بشكل معكوس، أيضاً.
تكامل cos(x) هو sin(x )، وهكذا.
وتكامل e^x هو فقط e^x.
ولكن هناك تعقيد واحد لم نتحدث عنه بعد...
ربما قد لاحظتموه: الثوابت.
الثابت هو مجرد رقم... يمكن أن يكون رقماً
بشكل حرفي... مثل 2، أو نصف، أو 4 سلبي.
و يمكن أن يكون نائباً عن رقم، كـg، المستخدم
لتمثيل التسارع التي سببته الجاذبية.
تشكل الثوابت مشكلة فيما يتعلق بالتكاملات
لأن مشتق الثابت هو 0.
المشتق هو معدل التغيير، في النهاية،
لذا الثابت، الذي لا يتغير بالتعريف
سيكون مشتقه دائماً 0.
مما يعني الكثير من المعادلات المختلفة
أرقام لا تحصى، قد يكون لها المشتق ذاته.

Spanish: 
Basicamente: sumas uno al exponente, luego divides la variable por ese número.
Así que la integral de 2t (que se escribe así), se convierte en t^2.
En la misma forma que la integral de 42t^5 es 7t^6.
Puedes tomar las derivadas trigonométricas de las que hablamos y hacerlo al revés también.
La integral de cos(x) es sen(x) y así...
Y la integral de e^x es simplemente e^x.
Pero hay una complicación de la que no hemos hablado, quizás ya la hayas notado: constantes.
Una constante es basicamente solo un número. Puedo literalmente ser un número, como el 2, o 1/2 o -4.
O puede ser una representación de un número, como g, que hemos estado utilizando para representar la aceleración causada por la gravedad.
Y las constantes representan un problema cuando hablamos de integrales porque, la derivada de una constante es simplemente 0.
Una derivada es una medida de cambio, después de todo, una constante, por definición, no
cambia, y siempre tendrá una derivada igual a 0
Lo que significa que muchas ecuación, infinitas ecuaciones de hecho, pueden tener la misma derivada.

iw: 
בפשטות: אתם מוסיפים אחד למעריך, ואז מחלקים את המשתנה במספר הזה.
אז האינטגרל של 2t שכתוב ככה, הוא t^2.
באותה הדרך, האינטגרל של 42t^5 הוא 7t^6.
אתם יכולים גם לקחת את הנגזרות הטריגונומטריות שדיברנו עליהן, ולהריץ גם אותן לאחור.
האינטגרל של cos x הוא sin x, וכו'. והאינטגרל של e^x הוא פשוט e^x.
אבל ישנו עוד סיבוך אחד שעדיין לא דיברנו עליו, אולי כבר הבחנתם בו-קבועים.
קבוע הוא פשוט מספר. הוא יכול מילולית להיות מספר- כמו 2, או חצי, או 4-.
או שהוא יכול להיות מציין מקום למספר, כמו g בו השתמשנו לסימון התאוצה שנגרמת על ידי כוח הכבידה.
וקבועים מהווים בעיה כשמדובר באינטגרלים, בגלל שהנגזרת של קבוע היא רק 0.
נגזרת היא אחרי הכל קצב השינוי, אז לקבוע, שעל פי הגדרה
לא משתנה, תמיד תהיה נגזרת של 0.
מה שאומר שלכמות גדולה של משוואות- אינסוף משוואות למעשה, יכולה להיות אותה הנגזרת.

Thai: 
โดยพื้นฐานก็คือ คุณเอาเลขชี้กำลังมาบวกหนึ่ง แล้วหารตัวแปรด้วยเลขชี้กำลังนั้น
ดังนั้น ปฏิยานุพันธ์ของ 2t ซึ่งเขียนแบบนี้ ก็จะกลายเป็น t^2
แบบเดียวกันกับปฏิยานุพันธ์ของ 42t^5 ซึ่งก็คือ 7t^6
คุณสามารถใช้อนุพันธ์ของตรีโกณมิติที่เราได้พูดถึงไปก่อนนี้ มาทำย้อนกลับได้ด้วย
ปฏิยานุพันธ์ของ cos(x) ก็คือ sin(x) เป็นต้นค่ะ และปฏิยานุพันธ์ของ e^x ก็คือแค่ e^x ค่ะ
แต่มันยังมีความยุ่งยากอย่างหนึ่งที่เรายังไม่ได้พูดถึง แต่คุณอาจสังเกตได้แล้ว ก็คือค่าคงที่ค่ะ
โดยพื้นฐานแล้วค่าคงที่ก็เป็นแค่ตัวเลขหนึ่ง มันอาจเป็นตัวเลขจริงๆ เช่น 2 หรือหนึ่งส่วนสอง หรือลบสี่
หรือมันอาจเป็นตัวแทนของตัวเลขก็ได้ เช่นตัว g เล็ก ที่เราใช้เป็นตัวแทนของอัตราเร่งจากความโน้มถ่วง
และค่าคงที่กลายเป็นปัญหาเมื่อเราหาปฏิยานุพันธ์ เพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเป็นศูนย์
เพราะอนุพันธ์คืออัตราของการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นค่าคงที่ตามนิยามแล้วจะไม่เปลี่ยนแปลง
จึงมีอนุพันธ์เป็นค่าศูนย์เสมอ
ซึ่งนั่นก็หมายความว่าสมการที่ต่างกันจำนวนมาก ที่จริงต้องบอกว่าจำนวนนับไม่ถ้วน สามารถมีอนุพันธ์เดียวกันได้

Croatian: 
U biti: dodate jedan eksponentu i zatim podijelite varijablu tim brojem.
Dakle integral od 2t -- što pišemo ovako -- postaje t^2.
Na isti način, integral od 42t^5 je 7t^6.
Možete i uzeti trigonometrijske derivacije i njih isto napraviti obratno.
Integral od cos(x) je sin(x) itd.
I integral od e^x je samo e^x.
Ali postoji jedna komplikacija o kojoj još nismo pričali -- možda ste je već primjetili -- konstante.
Konstanta je u biti samo broj. Može doslovno biti broj -- na primjer 2 ili polovina ili negativno 4.
Ili može predstavljati broj, kao malo g koje smo koristili za akceleraciju koja je uzrokovana gravitacijom.
Konstante predstavljaju problem kod integrala jer je derivacija konstante samo 0.
Uostalom, derivacija je samo stopa promjene pa će derivacija pošto se po definiciji ne
mijenja, uvijek imati derivaciju nula.
Što znači da mnogo različitih jednadžbi -- zapravo beskonačno njih -- može imati istu derivaciju.

French: 
Basiquement: on ajoute un à l'exposant, puis divisez la variable par ce nombre.
Alors l'intégrale de 2t -- qui est écrite comme ça -- devient t^2
De la même manière, l'intégrale de 42t^5 est 7t^6.
On peut prendre les dérivés trigonométriques dont on a parlé, et les inverser aussi.
L'intégrale de cos(x) est sin (x), et ainsi de suite. Et l'intégrale de e^x est juste e^x.
Mais il y a une complication dont nous n'avons pas encore parlé -- peut être l'avez-vous déjà remarquée: les constantes.
Une constante est basiquement juste un nombre. Elle peut être LITTERALEMENT n'importe quel nombre -- comme 2, ou 1/2, ou -4.
Ou ça peut illustrer un nombre, comme petit g, que l'on utilise pour représenter l'accélération causée par la gravité.
Et les constantes pose un problème quand on arrive aux intégrales parce que: la dérivé d'une constante est juste 0.
Une dérivé est un changement, après tout, alors une constante, qui par définition ne change PAS,
aura toujours une dérivé qui vaut 0.
Ce qui veut dire que beaucoup d'équations différentes -- une infinité, en faite -- peuvent avoir la même dérivé.

Russian: 
Вот оно: вы добавляете один к показателю степени, затем делите переменную на это число.
Итак, интеграл 2t - который записывается таким образом - равен t^2.
Таким же образом, интеграл 42t^5 равен 7t^6.
Вы можете взять тригонометрические производные, о которых мы говорили, и сделать это обратное действие с ними тоже.
Интеграл cos(x) - это sin(x), и так далее. А интеграл e^x - это просто  e^x.
Но есть одно затруднение, о котором мы еще не говорили - может быть, вы уже заметили его: константы.
Константы - по сути просто числа. Они могут буквально быть числами, вроде 2 или 0,5 или -4.
Или могут быть обозначениями для чисел, как маленькая g, которую мы использовали для отражения ускорения, вызванного гравитацией.
И константы представляют проблему, когда дело касается интегралов, потому что производная константы равна просто нулю.
Производная - это скорость изменения в итоге, а константа, которая по определению
не изменяется, всегда будет иметь производную, равную нулю.
Это означает, что много разных уравнений (бесконечное число) по факту могут все иметь одинаковый интеграл.

Italian: 
In pratica: aggiungi 1 all'esponente, poi dividi la variabile per il numero così ottenuto.
Quindi l'integrale di 2t -- che si scrive così -- diventa t^2.
Allo stesso modo, l'integrale di 42t^5 è 7t^6.
Puoi prendere le derivate trigonometriche di cui abbiamo parlato, e anche qui ragionare a retrorso.
L'integrale di cos(x) è sin(x), e avanti così.
E l'integrale di e^x non è che e^x.
Tuttavia, c'è un'altra complicazione di cui non abbiamo ancora parlato -- forse ci hai già fatto caso: le costanti.
Una costante non è che un numero. Può letteralmente essere un numero -- come 2, o ½, o -4.
Oppure può rappresentare un numero, come g, che usiamo per indicare l'accelerazione causata dalla gravità.
E le costanti pongono un problema quando si studiano gli integrali, in quanto la derivata di una costante è 0.
La derivata è la quantità di variazione, dopotutto, quindi una costante, che per definizione non
cambia, avrà sempre derivata uguale a 0.
Il che significa che diverse equazioni -infinite, in realtà - possono avere la stessa derivata.

English: 
Basically: you add one to the exponent, then
divide the variable by that number.
So the integral of 2t -- which is written like this -- becomes t^2.
In the same way, the integral of 42t^5 is 7t^6.
You can take the trigonometric derivatives
that we talked about, and do those backward, too.
The integral of cos(x) is sin(x), and
so on. And the integral of e^x is just e^x.
But there’s one complication that we haven’t talked about yet -- maybe you’ve already spotted it: constants.
A constant is basically just a number. It can LITERALLY be a number -- like 2, or a half, or negative 4.
Or it can be a placeholder for a number, like the small g, we’ve been using to represent the acceleration caused
by gravity.
And constants pose a problem when it comes to integrals because: the derivative of a constant is just 0.
A derivative is a rate of change, after all,
so a constant, which by definition DOESN'T
change, will always have a derivative of zero.
Which means that lots of different equations - an infinite number, in fact - can all have the same derivative.

German: 
Im Grunde genommen: Du addierst 1 zum Exponenten und teilst die Variable durch diese Zahl.
Also wird das Integral von 2t -- was so geschrieben wird -- gleich t^2.
Und genauso ist das Integral von 42t^5 gleich 7t^6.
Du kannst die trigonometrischen Ableitungen, über die wir gesprochen haben, nehmen, und sie auch umkehren.
Das Integral von cos(x) ist sin(x) und so weiter. Und das Integral von e^x ist wieder e^x.
Aber es gibt eine Schwierigkeit, über die wir noch nicht gesprochen haben -- vielleicht hast du sie schon gesehen: Konstante.
Eine Konstante ist in Grunde nur eine Zahl. Sie kann tatsächlich eine Zahl sein - wie 2 oder 1/2 oder -4.
Oder es kann ein Platzhalter für eine Zahl sein, wie das kleine g, das wir benutzen, um die Beschleunigung durch die Schwerkraft auszudrücken.
Und Konstante sind ein Problem, wenn wir über Integrale reden, weil: die Ableitung einer Konstanten ist gleich Null.
Eine Ableitung ist schließlich ein Maß für die Änderung, und da eine Konstante sich per Definition nicht
verändert, ist die Ableitung immer Null.
Was bedeutet, dass viele verschiedene Gleichungen -- eine unendliche Anzahl -- alle die gleiche Ableitung haben können.

Portuguese: 
Basicamente: você adiciona um ao expoente, e divide a variáve por aquele número.
Então a integral de 2t - que é escrita assim - vira t^2.
Da mesma forma, a integral de 42t^5 é 7 7t^6.
Você também usar nas derivadas das funções trigonométricas de que falamos, e fazê-las ao contrário.
A integral de cos(x) é sen(x), e assim por diante. E a integral de e^x é somente e^x.
Mas há uma única complicação da qual ainda não falamos - talvez você até já tenha percebido: constantes.
Uma constante é somente um número. Pode ser LITERALMENTE um número - como 2, meio, ou menos 4.
Ou ela pode ser uma letra usada pra representar um número, como g minúsculo, que usamos para representar a aceleração causada pela gravidade.
E constantes trazem um problema quandofalamos de integrais porque: a derivada de uma constante é simplesmente "0".
Afinal de contas, uma derivada é a taxa da variação. Então uma constante, que, por definição NÃO
VARIA, sempre terá a derivada igual a zero.
O que significa que várias equações diferentes - na verdade, um número infinito delas - tem a mesma derivada.

Spanish: 
Por ejemplo, la derivada de t^2 es 2t. Pero puedes sumarle cualquier número, o cualquier letra representando
un número y la derivada seguiría siendo 2t. Así que la derivada de t^2 + 1
es también 2t. Y lo mismo es cierto para t^2 - 7.
Lo que significa que si estás buscando la integral de una ecuación, por ejemplo x = 22, tendrías una cantidad infinita
de opciones y todas serian correctas.
t^2 funcionaria, pero también lo haría t^2 + 1... o t^2 - 7... o t^2 + o.256.
En estos casos quizás sepamos la forma que la integral debería tener en un gráfico,
por ejemplo, si es una linea recta o una curva, pero no sabemos donde ponerla en el eje vertical de las abscisas.
Así que necesitamos saber que es la constante para así saber donde comenzar a dibujar su integral.
El resultado de la constante será donde la curva intercepta el eje vertical de las abscisas.
Así que t^2 interceptaría en 0, pero t^2 - 7 interceptaría en -7. Entiendes la idea.
Matemáticos tuvieron que descubrir como solucionar el problema de tener infinitas integrales

Thai: 
เช่น อนุพันธ์ของ t^2 คือ 2t แต่คุณใส่ตัวเลขอะไรก็ได้ หรือตัวอักษรที่แทน
ตัวเลข ลงในสมการ และอนุพันธ์ก็ยังเป็น 2t ดังนั้นอนุพันธ์ของ t^2 + 1
ก็ยังเป็น 2t เช่นเดียวกับ t^2 - 7
ซึ่งนั่นหมายความว่า ถ้าคุณกำลังหาปฏิยานุพันธ์ของสมการอย่าง x = 2t คุณจะมีตัวเลือก
นับไม่ถ้วนเลยค่ะ ซึ่งทุกสมการก็ถูกต้องเหมือนกัน
t^2 ก็ถูกต้อง แต่ t^2 + 1หรือ t^2 + 7 หรือ t^2 + 0.256 ก็ถูกเช่นกัน
ในกรณีเหล่านี้ เราอาจต้องทราบว่ารูปทรงของปฏิยานุพันธ์มีหน้าตาอย่างไรบนกราฟ
เช่นว่ามันเป็นเส้นตรงหรือโค้งอย่างไร แต่เราก็ไม่รู้ว่าจะวางมันไว้บนแกนดิ่งอย่างไรดี
ดังนั้นเราจำเป็นต้องทราบว่าค่าคงที่คืออะไร เพื่อจะหาว่าจะวาดปฏิยานุพันธ์อย่างไร
ไม่ว่าค่าคงที่จะมีค่าเป็นเท่าใด ค่านั้นจะเป็นจุดที่เส้นโค้งตัดกับแกนดิ่ง
ดังนั้น t กำลังสองจะตัดแกนที่ศูนย์ แต่ t^2 -7 จะตัดกับแกนดิ่งที่ -7 คุณพอเข้าใจแล้วนะคะ
นักคณิตศาสตร์ต้องหาว่าจะจัดการปัญหาที่เรามีปฏิยานุพันธ์จำนวนไม่สิ้นสุดให้เลือกนี้อย่างไร

Dutch: 
Bijvoorbeeld, de afgeleide van t² is 2t. Maar je kan elk nummer - of een letter die een nummer representeert --
er aan toe voegen en de afgeleide zal nog altijd 2t zijn. Dus de afgeleide van t² + 1
is ook 2t. En hetzelfde geldt voor t² - 7.
Wat betekend dat als je naar de integraal van een vergelijking als x = 2t zoekt, je een oneindig aantal
keuzes hebt die allemaal even correct zijn.
t² zou werken, maar ook t² + 1 ... or t² -7 ... of t² + 0,256.
In deze gevallen weten we misschien hoe de vorm van de integraal er uit zou zien op een grafiek
-- zoals of het een rechte lijn is of hoe het golft -- maar we weten niet waar die op de verticale as komt.
Dus moeten we weten wat de constante is om te weten waar we de integraal moeten beginnen te tekenen.
Waar de constante gelijk aan is, is waar de grafiek de verticale as zal snijden.
Dus t² zou op 0 snijden, maar t² - 7 zou op -7 snijden. Je snapt het vast al.
Wiskundigen moesten uitvinden hoe ze het probleem van oneindige keuze uit integralen konden oplossen.

Slovak: 
Napríklad derivácia t² je 2t. Avšak môžete k tomu pričítať ľubovoľné číslo - alebo písmeno zastupujúce
číslo - a derivácia bude stále 2t. Takže derivácia t² + 1
je tiež 2t. A to isté pre t² - 7.
Čo znamená: Ak hľadáte integrál rovnice
ako napríklad x = 2t, máte nekonečne veľa
možností, z ktorých sú všetky rovnako správne.
t² by bolo dobré, ale tiež t² + 1
alebo t² - 7 ... alebo t² + 0,256.
V týchto prípadoch by sme vedeli, ako by tvar integrálu na grafe mal vyzerať -
či je to rovná čiara alebo ako sa kriví - ale nevieme,
kde ju umiestniť na vertikálnej osi.
Takže potrebujeme vedieť, aká tá konštanta je, na to,
aby sme mohli začať so zakreslením integrálu.
Čomukoľvek je konštanta rovná, je to rovné miestu,
kde sa krivka pretne s vertikálnou osou.
Takže t² by ju preťalo v 0,
ale t² - 7 by ju preťalo v -7. Chápete.
Matematici museli vymyslieť spôsob, ako obísť
tento problém nekonečného počtu integrálov,

German: 
Wie die Ableitung von t^2 gleich 2t ist, aber du kannst jede Zahl hinzufügen -- oder einen Buchstaben, der
eine Nummer repräsentiert -- und die Ableitung wird immer noch 2t sein. Also die Ableitung von t^2 +1
ist auch 2t. Und das Gleiche gilt für t^2 -7.
Was bedeutet: Wenn du das Integral einer Gleichung wie x=2t suchst, gibt es eine unendliche
Auswahl, und alle davon sind gleichwertig richtig.
t^2 funktioniert, aber auch t^2 + 1 … oder t^2 - 7 … oder t^2 + 0.256.
In diesen Fällen wissen wir, wie die Form des Integrals in einem Graphen aussieht
-- ob es eine Gerade ist oder wie sich die Kurve biegt -- aber wir wissen nicht, wo wir sie auf der senkrechten Achse platzieren sollen.
Also müssen wir wissen, was die Konstante ist, um zu wissen, wo wir das Integral einzeichnen sollen.
Was auch immer die Konstante ist, das ist wo die Kurve die senkrechte Achse schneidet.
also t^2 würde bei 0 schneiden, aber t^2 -7 bei -7. Du verstehst die Idee.
Mathematiker mussten herausfinden, wie sie dass Problem der unendlichen Anzahl von Integralen lösen können,

Portuguese: 
Como, por exemplo, a derivada de t^2 é 2t. Mas você pode adicionar QUALQUER númer - ou uma letra
representando um número - e a a derivada continuará a ser 2t. Então a derivada de t^2 + 1
também é 2t.  O mesmo vale para t^2 - 7.
Isto significa: se você está olhando para a integral de uma equação como x = 2t, você tem
ESCOLHAS INFINITAS, todas igualmente corretas.
t^2 funcionaria, mas também t^2 + 1 ... ou t^2 - 7 .... ou t^2 + 0.256.
Nestes casos, em que nós precisemos saber qual a forma que a integral deve assumir em um gráfico
- como, quando é uma linha reta, ou como ela se curva - mas não sabemos onde colocá-la no eixo vertical.
Então precisamos conhecer qual o valor desta constante se quisermos saber onde devemos começar a desenhar a nossa integral.
Qualquer que seja a constante, elste é o ponto onde a curva deve interceptar o eixo vertical.
Então t^2 interceptaria em 0, mas t^2 - 7 interceptaria em -7. Essa é a ideia.
Matemáticos tiveram que descobrir como  contornar o problema de como escolher entre um

English: 
Like, the derivative of t^2 is 2t. But you
can add ANY number -- or a letter representing
a number -- to it, and the derivative will
STILL be 2t. So the derivative of t^2 + 1
is also 2t. And the same is true for t^2 - 7.
Which means: If you’re looking for the INTERGRAL
of an equation like x = 2t, you have INFINITE
CHOICES, all of which are equally correct.
t^2 would work, but so would t^2 + 1 … or
t^2 - 7 … or t^2 + 0.256.
In these cases, we might know what the SHAPE
of the integral should look like on a graph
-- like, whether it’s a straight line, or how it curves -- but we don’t know where to put it along the vertical axis.
So we need to know what the constant is, in
order to know where to start drawing its integral.
Whatever the constant is equal to, that’s
where the curve will intersect with the vertical axis.
So t^2 would intersect at 0, but t^2 - 7
would intersect at -7. You get the idea.
Mathematicians had to figure out how to get
around the problem of having infinite integrals

iw: 
כמו שהנגזרת של t^2 היא 2t. אבל אתם יכולים להוסיף כל מספר-או אות מייצגת
מספר אליו, והנגזרת עדיין תישאר 2t. כך שהנגזרת של t^2+1
היא גם 2t. וזה נכון גם לגבי t^2-7.
מה שאומר: אם אתם מחפשים את האינטגרל של משוואה כמו x=2t, יש לכם אינסוף
אפשרויות, שכולן נכונות באופן שווה.
המשוואה t^2 תעבוד, אבל כך גם t^2+1... או t^2-7... או t^2+0.256.
במקרים אלו, יתכן ונדע מה תהיה צורתו של גרף האינטגרל.
כמו למשל, האם הוא קו ישר, או איך הוא מתעקם. אבל לא נדע היכן לשים אותו לאורך הציר המאונך.
אז אנחנו צריכים לדעת מהו הקבוע כדי שנוכל לדעת היכן להתחיל לצייר את האינטגרל שלו.
ערכו של הקבוע, יהיה היכן שהעקומה תחתוך את הציר האנכי.
כך שt^2 יחתוך ב0, אבל t^2-7 יחתוך ב 7-. אתם מבינים את הרעיון.
מתמטיקאים היו צריכים להבין כיצד להתמודד עם הבעיה של אינסוף אינטגרלים

French: 
Par exemple, la dérivé de t^2 est 2t. Mais vous pouvez y ajouter N'IMPORTE quel nombre -- ou lettre représentant
un nombre -- et la dérivé sera TOUJOURS 2t. Ainsi la dérivé de t^2 + 1
vaut aussi 2t. Et la même chose est vrai pour t^2 - 7.
Ce qui veut dire que si vous cherchez l'INTEGRALE d'une équation comme x = 2t, vous avez un INFINITÉ
de choix, et tous sont corrects.
t^2 fonctionnerait, mais aussi t^2 + 1 ... ou t^2 - 7 ... ou t^2 + 0.256.
Dans ces cas, on pourrait savoir la forme que l'intégrale a dans un graphe
-- par exemple, si c'est une ligne droite ou si elle a des courbes -- mais on ne sait pas où la placer sur l'axe vertical.
Alors on a besoin de connaitre la constante pour savoir où commencer à dessiner l'intégrale.
Peu importe la constante, c'est l'endroit ou la fonction va couper l'axe vertical.
Ainsi, t^2 coupera à 0, mais t^2 - 7 coupera à -7. Vous comprenez le truc.
Les mathématiciens ont été forcés de comprendre comment résoudre le problème de devoir choisir

Italian: 
Ad esempio, la derivata di t^2 è 2t. Ma puoi aggiungergli un qualsiasi numero - o lettera che rappresenti
un numero -, e la derivata sarà sempre 2t. Quindi anche la derivata di t^2+1
è 2t. E la stessa cosa vale per t^2-7
Il che significa: se stai cercando l'integrale di un'equazione come x=2t, hai infinite
possibilità, tutte corrette.
t al quadrato va bene, ma lo stesso vale per t^2+1, o t^2-7, o t^+0.256.
In questi casi, possiamo farci un'idea della forma del grafico dell'integrale
-- ad esempio, se è una linea dritta, o quanto curvi --  ma non sappiamo dove posizionarlo lungo l'asse verticale.
Abbiamo quindi bisogno di sapere quale sia la costante, per capire dove cominciare a disegnare il suo integrale.
Qualsiasi sia la costante, essa rappresenta dove la curva si intersecherà con l'asse verticale.
Quindi t al quadrato si intersecherà a 0, ma t^2-7 si intersecherà a -7. Questa è l'idea.
I matematici hanno dovuto trovare un modo per ovviare il problema dell'avere infiniti integrali

Arabic: 
مثلاً، مشتق t^2 هو 2t... لكن يمكنك
إضافة أي رقم... أو حرف لتمثيل
الرقم... إليه، وسيبقى المشتق
2t... إذاً مشتق  t^2 + 1
هو أيضاً 2t... والأمر ذاته مع t^2 - 7.
هذا يعني: إن كنت تبحث عن تكامل
لمعادلة مثل x = 2t، لديك خيارات
كثيرة جداً، وكلها صحيح.
t^2 صحيحة، وكذلك  t^2 + 1... أو
t^2 - 7... أو t^2 + 0.256.
في هذه الحالات، قد نعرف ما الشكل الذي يجب
أن يبدو عليه التكامل على الرسم البياني.
... مثلاً، إن كان خطاً مستقيماً، كيف ينعطف،
ولا نعرف كيف نصعه على المحور العمودي.
لذا يجب أن نعرف ما هو الثابت، حتى نعرف
أين نبدأ برسم التكامل.
أياً كان ما يساوي الثابت، هنا
يتقاطع المنعطف مع المحور العمودي.
لذا تتقاطع t^2 عند 0، لكن t^2 - 7
تتقاطع عند -7... فهمتم الفكرة.
كان يجب أن يكتشف علماء الرياضيات كيف
يحتالون على مشكلة وجود تكاملات غير منتهية

Russian: 
Например, интеграл  t^2  -это 2t. Но вы можете добавить любое число (или букву, обозначающую
число) к нему, а интеграл все еще будет равен 2t. Таким образом, интеграл t^2 + 1
также равен 2t. И это же справедливо для  t^2 - 7.
Это означает, что если вы ищете интеграл такого уравнения, как x = 2t, у вас есть бесконечное количество
вариантов, каждый и которых в равной степени корректный.
t^2 будет работать, но также будет и t^2 + 1 … or t^2 - 7 … or t^2 + 0.256.
В таких случаях мы должны знать, какой формы будет интеграл на графике
(например, прямая ли это линия, или как она изгибается), но мы не знаем, где разместить ее на вертикальной оси.
Итак, нам надо узнать, что это за константа, чтобы понять, где начинать рисовать этот интеграл.
Чему бы не ровнялась константа, это будет тем местом, где кривая пересечет вертикальную ось.
Таким образом, t^2 пересечет ось в 0, а t^2 - 7 пересечет в точке -7. Вы поняли идею.
Математики выяснили, как обойти проблему с бесконечными интегралами,

Croatian: 
Primjerice, derivacija od t^2 je 2t. Ali možete tome dodati bilo koji broj, ili slovo koje predstavlja
broj, i derivacija će i dalje biti 2t. Dakle derivacija od t^2 + 1
je isto 2t. I isto je istinito za t^2 - 7.
Što znači da ako tražite integral jednadžbe kao što je x = 2t, imate beskonačno mnogo
izbora i svi su jednako točni.
t^2 bi odgovaralo, ali odgovaralo bi i t^2 + 1 ... ili t^2 - 7 ... ili t^2 + 0.256.
U ovim slučajevima možemo znati kako bi oblik integrala trebao izgledati na grafu
-- tipa je li to ravna linija, ili kako je zakrivljen -- ali ne znamo gdje da ga stavimo duž vertikalne osi.
Dakle trebamo znati kolika je konstanta kako bismo znali gdje da počnemo crtati integral.
Čemu god je konstanta jednaka je mjesto gdje će krivulja sjeći vertikalnu os.
Dakle t^2 će je sjeći u 0, ali t^2 - 7 će je sjeći u -7. Shvatili ste.
Matematičari su morali shvatiti kako da riješe problem beskonačno mnogo integrala

English: 
to choose from, so they came up with a way to represent ALL of them: just add a C at the end of the integral.
That C stands for all of the constants that
we know we COULD put there.
So if we say that the integral of 2t is t^2+ C,
then we’re including t^2 + 1 and t^2
- 7 and all those other infinite options --
every equation whose derivative is 2t.
But sometimes you don’t need the C at all,
because you CAN figure out where your integral
is supposed to be on the y axis. Like if you
have what’s known as the initial value.
In the case of a position graph, for instance,
the initial value would be where you started out,
so you’d know to draw the rest of
the graph’s shape from there.
If you started at the 2 meter mark, say, and
moved one meter every second, you’d put
the graph here. But if you started at the
4 meter mark, you’d shift it up a little.
Basically, it gives you the point where your integral intersects the vertical axis -- which is the value of C.
Let’s try it, and at the same time, we might
as well figure out the height of your bedroom window.
You’re standing in your room, holding a
tennis ball out the window with your arm resting on the sill.
Now you drop the ball and start your
stopwatch app at the same time.

Italian: 
da poter scegliere, quindi hanno inventato un metodo per rappresentarli tutti: basta aggiungere C alla fine dell'integrale.
Questa C rappresenta tutte le costanti che sappiamo poterci mettere.
Quindi, se diciamo che l'integrale di 2t è t^2+C,
allora stiamo includendo t^2+1, t^2-7 e tutte le altre infinite soluzioni --
ogni equazione la cui derivata sia 2t.
Tuttavia, a volte non c'è affatto bisogno di C, infatti puoi capire dove il tuo integrale
debba passare nell'asse delle y. Ad esempio, se hai quello che è noto come il valore iniziale.
Nel caso del grafico della posizione, ad esempio, il valore iniziale sarà dove hai iniziato,
quindi da qui sarai in grado di disegnare il resto del grafico.
Se, per esempio, hai iniziato a 2 m, e ti sei mosso per un metro ad ogni secondo, posizionerai
il grafico qui. Ma se hai iniziato a 4m, dovrai spostarti un po' più su.
In pratica, ti dice il punto in cui il tuo integrale interseca l'asse verticale -- che è il valore di C.
Facciamo una prova e, allo stesso tempo, dovremmo anche riuscire a trovare l'altezza della finestra della tua stanza.
Sei nella tua stanza che stringi una pallina da tennis fuori dalla finestra con il braccio immobile.
Ora, lasci andare la pallina e fai partire il cronometro nello stesso momento.

German: 
also haben sie einen Weg gefunden, alle davon darzustellen: addiere einfach ein C am Ende des Integrals.
Dieses c steht für alle Konstanten, die wie wir wissen dort stehen könnten.
Also wenn wir sagen, dass das Integral von 2t gleich t^2 +C ist,
dann schließen wir t^2 + 1 und t^2 - 7 und alle anderen unendlichen Möglichkeiten ein --
jede Gleichung, deren Ableitung 2t ist.
Aber manchmal brauchst du das C gar nicht, weil du herausfinden kannst, wo dein Integral
auf der Y-Achse ist. Zum Beispiel, wenn du den sogenannten Anfangswert kennst.
Im Fall eines Positionsgraphen, zum Beispiel, ist der Anfangswert die Position, von der du startest,
also weißt du, dass du den Rest des Graphen von da zeichnen musst.
Wenn du an der 2-Meter-Markierung startest, sagen wir, und dich mit einem Meter pro Sekunde bewegst, trägst du
den Graph hier an. Aber wenn du bei der 4-Meter-Markierung anfängst, verschiebst du ihn etwas nach oben.
Im Grunde gibt dir das den Punkt, an dem das Integral die senkrechte Achse schneidet -- was den Wert für C ergibt.
Lass es uns ausprobieren und gleichzeitig können wir herausfinden, wie hoch deinSchlafzimmerfenster ist.
Du stehst in deinem Zimmer und hältst einen Tennisball aus dem Fenster, wobei dein Arm auf der Fensterbank aufliegt.
Jetzt lässt du den Ball fallen und startest zur gleichen Zeit deine Stoppuhr.

Croatian: 
između kojih se može birati pa su smislili način da ih sve predstave: samo se doda C na kraj integrala.
To C predstavlja sve konstante koje znamo da tamo možemo staviti.
Tako da ako kažemo da je integral od 2t = t^2 + C,
onda smo uključili t^2 + 1, t^2 - 7 i sve druge beskonačne opcije --
svaku jednadžbu čija je derivacija 2t.
Ali nekada uopće ne trebate C jer možete shvatiti gdje bi vaš integral
trebao biti na y osi. Na primjer ako imate ono što se zove početna vrijednost.
U slučaju grafa položaja na primjer, početna vrijednost je tamo gddje ste počeli
pa biste znali nacrtati ostatak grafa od tamo nadalje.
Ako ste počeli na dva metra, recimo, i ako ste se kretali jedan metar svake sekunde, stavili bi
graf ovdje. Ali ako ste počeli na 4 metra, pomaknuli biste ga malo prema gore.
U biti, to vam daje točku gdje vaš integral sjeće vertikalnu os -- to je vrijednost C.
Iskušajmo to, i u isto vrijeme bismo mogli odrediti visinu na kojoj je prozor vaše sobe.
Stojite u svojoj sobi, držite lopticu za tenis vani tako da vam je ruka na prozorskoj dasci.
Sada ispustite lopticu i pokrenete štopericu u isto vrijeme.

Slovak: 
z ktorých si musia vyberať, a tak prišli so spôsobom, ako ich všetky zastúpiť: jednoducho pričítať C na koniec integrálu.
To C zastupuje všetky konštanty, o ktorých vieme,
že by sme tam mohli dať.
Takže keď hovoríme, že integrál 2t je t² + C
potom zahŕňame t² + 1 a t² - 7 a všetky
tie ostatne nekonečné možnosti -
každú rovnicu, ktorej derivácia je 2t.
V niektorých prípadoch ale C vôbec nepotrebujete,
pretože môžete zistiť, kde váš integrál
má byť na y osi. Ako napríklad keď máte
niečo známe ako začiatočné podmienky.
V prípade grafu polohy, napríklad,
začiatočná podmienka by bola kde ste začali,
takže by ste vedeli, že zvyšok krivky
máte nakresliť odtiaľ.
Povedzme, že ak by ste začali na značke 2 metrov
a pohybovali sa jeden meter každú sekundu, graf by ste
umiestnili tu. Ak by ste ale začali na značke 4 metrov,
posunuli by ste ho trošku hore.
V podstate vám dáva bod, kde váš integrál
pretína vertikálnu os - čo je hodnota C.
Poďme to vyskúšať a zároveň môžeme zistiť
výšku vášho okna v spálni.
Stojíte vo vašej izbe, držíte tenisovú loptičku
vystrčenú z okna s rukou položenou na parapete.
Teraz, pustíte loptičku a odštartujete stopky
v tom istom momente.

Portuguese: 
número infinito de integrais, então eles vieram com uma forma de representar TODAS elas. É só adicionar um C no fim dela.
Este C representa todas as constante que poderíamos colocar lá.
Então, se dizemos que a integral de 2t é t^2 + C,
então estamos incluindo t^2 + 1 e t^2 - 7 e todas as outras infinitas opções -
ou seja, toda equação cuja derivada é 2t.
Mas de vez em quando você  não precisa de C nenhum, porque você pode determinar onde sua integral
deve estar no eixo y. Como se você tem o que é conhecido por VALOR INICIAL.
No caso do gráfico da posição, por exemplo, o valor inicial seria onde você começou,
então você saberia onde desenhar o restante do gráfico dali mesmo.
Digamos que você começou na marca de 2 metros,  e se moveu um metro a cada segundo, você teria
que colocar o gráfico aqui. Mas se você comeou na marca de 4 metros, você teria que deslocar um pouco isto tudo para cima
Basicamente, ela te dá o ponto onde a sua integral intercepta o eixo vertical - que é o valor C.
Vamos tentar isso, e, ao mesmo tempo, nós poderemos determinar a altura da sua janela.
Você está parado na janela, segurando uma bola de tênis de fora da janela com seu braço paradinho.
Agora você solta a bola e aciona o cronômetro do seu celular ao mesmo tempo.

Thai: 
ดังนั้นพวกเขาจึงคิดหาทางที่จะแทนค่าคงที่นี้ทั้งหมด ก็แค่เติมค่า C ปิดท้ายปฏิยานุพันธ์
ค่า C นี้แทนค่าคงที่ทั้งหมดที่เราทราบที่เราสามารถใส่ลงในปฏิยานุพันธ์นี้ได้
ดังนั้นถ้าเราบอกว่าปฏิยานุพันธ์ของ 2t คือ t^2 + C
นั่นคือเรารวมไปถึง t^2 + 1 และ t^2 - 7 และสมการอื่นๆจำนวนนับไม่ถ้วน
ที่มีอนุพันธ์เป็น 2t
แต่บางครั้งคุณก็ไม่จำเป็นต้องใส่ C เลยค่ะ เพราะคุณหาได้ว่าสมการปฏิยานุพันธ์ของคุณ
ควรจะตัดกับแกน y ที่จุดไหน เป็นต้นว่าถ้าคุณทราบค่าเริ่มต้นแล้ว
ตัวอย่างเช่นในกรณีของกราฟแสดงตำแหน่ง ค่าเริ่มต้นก็คือจุดเริ่มต้นของคุณ
ดังนั้นคุณก็จะรู้ว่าจะวาดกราฟที่เหลืออย่างไรจากจุดนั้น
เช่น ถ้าคุณเริ่มต้นที่จุด 2 เมตร และเคลื่อนไป 1 เมตรทุกวินาที คุณก็จะเขียนกราฟได้แบบนี้
แต่ถ้าคุณเริ่มที่ 4 เมตร กราฟของคุณจะเลื่อนขึ้นไปนิดหน่อย
โดยพื้นฐานแล้ว มันบอกคุณว่าสมการปฏิยานุพันธ์นี้จะตัดกับแกนดิ่งที่จุดไหน ซึ่งนั่นคือค่า C นั่นเอง
ลองดูนะคะ และเราอาจคำนวณหาความสูงของหน้าต่างห้องนอนของคุณก็ได้
คุณกำลังยืนอยู่ในห้องนอนของคุณ ถือลูกเทนนิสออกมานอนหน้าต่างโดยแขนของคุณอยู่นิ่ง
ทีนี้คุณปล่อยลูกเทนนิสแล้วเริ่มจับเวลาในเวลาเดียวกัน

Dutch: 
Dus kwamen ze met een manier om ze allemaal tegelijk op te schrijven: voeg C toe achteraan de integraal.
Die C staat voor alle constanten waarvan we weten dat we ze daar zouden kunnen schrijven.
Dus als we zeggen dat de integraal van 2t , t² + C is
dan horen daar t² + 1 en t² - 7 en alle oneindig andere opties bij --
elke vergelijking waarvan de afgeleide 2t is.
Maar soms heb je de C helemaal niet nodig, omdat je wel kan bepalen waar je integraal
op de y-as zou moeten staan. Bijvoorbeeld als je wat we de startwaarde noemen hebt.
In het geval van een positiegrafiek, bijvoorbeeld, is de startwaarde waar je bent begonnen,
dus weet je dat je de rest van de grafiek vanaf daar moet tekenen.
Als je op, zeg, het 2 meter punt begon en je één meter per seconde bewoog,
dan zet je de grafiek hier weg. Maar als je bij het 4 meter punt begon, dan schuif je hem een beetje omhoog.
Het geeft dus het punt waar je integraal met de verticale as snijd -- wat de waarde van C is.
Laten we het proberen en tegelijkertijd kunnen we ook de hoogte van je slaapkamerraam bepalen.
Je staat in je kamer en houdt een tennisbal uit het raam met je arm steunend op de vensterbank.
Nu laat je de bal vallen en start je je stopwatch app op hetzelfde moment.

Spanish: 
de las cuales elegir, así que descubrieren una manera de representar todas las integrales: solo súmale una C al final de todas las integrales.
Esa C representa todas las constantes que sabemos que podríamos escribir ahí.
Así que si decimos que la integral de 2t es t^2 + c,
estamos incluyendo t^2 + 1 y t^2 - 7 y todas esas otras opciones infinitas,
todas las ecuaciones cuya derivada es 2t.
Pero a veces no necesitas poner una C, porque puedes descubrir donde tu integral
se supone que debe estar en tu eje y. Por ejemplo si tienes lo que se conoce como el valor inicial.
En el caso de un grafico de posición, por ejemplo, el valor inicial sería donde empezaste,
así que sabrías donde dibujar el resto del gráfico desde ahí.
Si empezaste en la marca de 2 metros, por ejemplo y te moviste un metro cada segundo, pondrías
el gráfico aqui. Pero si empezaste en la marca de 4 metros, lo moverías un poco.
Basicamente, te da el punto donde tu integral intercepta el eje vertical, que es el valor de C
Vamos a intentarlo y al mismo tiempo, quizás descubramos la altura de la ventana de tu habitación.
Estas parado en tu habitación, sosteniendo una pelota de tenis afuera de la ventana con tu brazo descansando en el alféizar.
Ahora dejas caer la pelota y empiezas a correr el cronómetro al mismo tiempo.

iw: 
שצריך לבחור מהם, והם עלו על דרך לייצג את כולם: פשוט להוסיף C בסוף האינטגרל.
הC מייצג את כל הקבועים שאנחנו יודעים שיכלנו (Could) לשים שם.
אז אם אנחנו אומרים שהאינטגרל של 2t הוא t^2+C,
אנחנו כוללים את t^2+1 וגם את t^2-7 ואת כל שאר אינסוף האפשרויות.
כל משוואה שהנגזרת שלה היא 2t.
אבל לפעמים אתם לא צריכים את C בכלל, בגלל שאתם יכולים להבין היכן ממוקם האינטגרל שלכם
על ציר הy. כמו כשיש לכם את מה שנקרא "הערך ההתחלתי".
במקרה של גרף מיקום, לדוגמה, הערך ההתחלתי יהיה היכן שהתחלתם,
אז תדעו לשרטט את שאר צורת הגרף משם.
כך שאם התחלתם ב2 מטרים, נניח, וזזתם מטר אחד כל שנייה, הייתם שמים את
הגרף כאן. אבל אם הייתם מתחילים ב4 מטרים, הייתם מזיזים את הגרף טיפה למעלה.
בעצם, זה נותן לכם את הנקודה היכן שהאינטגרל שלכם חותך את הציר האנכי- שהיא הערך של C.
בואו ננסה את זה, ובאותו הזמן, נוכל להבין את הגובה של החלון של חדר השינה שלכם.
אתם עומדים בחדרכם, ומחזיקים כדור טניס מחוץ לחלון, והזרוע שלכם נחה על אדן החלון.
עכשיו אתם מפילים את הכדור ומפעילים את יישומון שעון העצר באותו הזמן.

Arabic: 
ليختاروا منها، لذا وجدوا طريقة لتمثيلها
كلها: بإضافة C في نهاية التكامل.
تمثل C الثوابت التي
نعرف أننا نستطيع وضعها هناك.
لذا نقول أن تكامل 2t هو t^2+ C،
ثم نتضمن t^2 + 1 و t^2
- 7 وكل الخيارات الغير منتهية...
لكل معادلة مشتقها 2t.
ولكن أحياناً لا تحتاج إلى C على الإطلاق،
لأنك تستطيع معرفةأين يجب أن يكون التكامل
على محور y... كما لو كان
معك ما يعرف بالقيمة الأصلية.
في حالة الرسم البياني للموضع، مثلاً،
القيمة الأصلية تكون موضع البداية،
لذا ستعرف كيف ترسم باقي
الرسم البياني من هناك.
إن بدأت عند علامة المترين، لنقل،
وتحركت متراً واحداً في الثانية، يمكن أن تضع
الرسم البياني هنا... ولكن إن بدأت عند علامة
4 أمتار، يمكنك أن تغيرها قليلاً.
بشكل أساسي، تعطيك النقطة حيث يتقاطع
التكامل مع محور الأفق... أي قيمة C.
لنجرب هذا، وفي الوقت ذاته، يمكننا أيضاً
معرفة ارتفاع نافذة غرفة النوم.
أنت تقف في غرفتك، تحمل كرة تنس
خارج النافذة وذراعك مسندة إلى حافة الشباك.
الآن يمكنك أن تسقط الكرة وتبدأ التوقيت
على تطبيق ساعة التوقيف في الوقت ذاته.

Russian: 
среди которых нужно выбирать, и они нашли способ представить все их сразу: просто добавить С в конец интеграла.
Эта С представляет все константы, которые мы знаем и могли бы быть здесь.
Таким образом, если мы скажем, что интеграл 2t - это t^2+ C,
то включим t^2 + 1 и t^2 - 7, а также все остальные бесконечные варианты -
каждое уравнение, чья производная равна 2t.
Но иногда вам вовсе не нужна С, потому что вы можете выяснить, где ваш интеграл
должен быть по оси y. Например, как в том случае, когда вы знаете то, что называется начальным значением.
В случае графика положения, допустим, начальное положение будет там, где вы начали,
и вы знаете, как нарисовать оставшуюся часть графика отсюда.
Если вы начнете с отметки в 2 метра, например, и будете двигаться на один метр каждую секунду, то получите
вот такой график. Но если вы начнете с отметки в четыре метра, сдвиг немного поднимется вверх.
По сути, это дает вам точку, в которой интеграл пересекает вертикальную ось, что соответствует значению С.
Давайте попробуем, и в то же время мы могли бы также удачно выяснить высоту окна вашей спальни.
Вы стоите в своей комнате, держа теннисный мяч за окном и опирая руку на подоконник.
Теперь вы бросаете мяч и запускаете приложение-секундомер в тот же момент.

French: 
une infinité d'intégrales, alors ils sont arrivés à trouver un moyen de TOUTES les représenter: on ajoute juste C à la fin de l'intégrale.
Ce C représente toutes les constantes qu'on aurait pu mettre à la place.
Ainsi, on dit que l'intégrale de 2t est t^2 + C,
Et on inclut donc t^2 + 1 et t^2 - 7 et toutes les infinités d'options --
toutes les équations qui ont 2t comme dérivé.
Mais parfois nous n'avons pas besoin du C, parce qu'on PEUT trouver où l'intégrale
est supposée se trouver sur l'axe des y. Par exemple si vous savez quelle est censée être la valeur initial.
Dans le cas d'un graphe de position, la valeur initiale est là où l'on a commencé,
donc on sait dessiner le reste du graphe à partir de là.
Si vous avez commencé à 2 mètre, par exemple, et que vous avez bougé d'un mètre par seconde, vous allez commencer
le graphe là. Mais si vous avez commencé à 4 mètre, vous monteriez un petit peu.
Basiquement, ça vous donne l'endroit où l'intégrale coupe l'axe vertical -- qui est la valeur de C.
Essayons ça, et en même temps, on pourrait peut être trouver la hauteur de notre fenêtre.
Vous êtes dans votre chambre, tenant une balle de tennis au delà de la vitre avec votre bras se reposant sur le rebord.
Maintenant vous lâchez la balle et commencez à chronométrer en même temps.

Slovak: 
Ukázalo sa, že loptičke trvá
1,7 sekundy kým narazí na zem.
Ako sme povedali predtým - poznáme zrýchlenie
loptičky - 9,81 m/s² - a vieme, že čas je tiež zapojený.
Musíme sa nejako posunúť odtiaľto,
k rovnici pre polohu loptičky.
Takže, najprv, nájdime jej rýchlosť - ako medzikrok -
tým, že zintegrujeme zrýchlenie.
Pozrime sa na tento graf zrýchlenia loptičky v čase.
Je to len rovná čiara, čo znamená, že by malo byť celkom jednoduché nájsť obsah plochy medzi ňou a horizontálnou osou.
Je to obdĺžnik! A obsah obdĺžnika je
jednoducho jeho základňa (dĺžka) krát výška.
V tomto prípade je základňa "t",
množstvo času, ktorý loptičke trvá kým padá.
A výška je "a", zrýchlenie.
Takže obsah plochy medzi grafom zrýchlenia
a horizontálnou osou je jednoducho "a" krát "t".
A integrál je "a" krát "t" plus tá konštanta,
ktorú pridávame, "C".
Nateraz potrebujeme C, pretože poznáme
všeobecný tvar grafu rýchlosti:
je to diagonálna čiara, taká, že každú sekundu
stúpne o množstvo rovné zrýchleniu.
Ale stále nevieme, kde máme tú čiaru umiestniť
na vertikálnej osi. Rozhodne len zatiaľ nie.

iw: 
מתברר שלכדור לוקח 1.7 שניות להגיע לקרקע.
כמו שאמרנו קודם, אנחנו יודעים מהי תאוצת הכדור-9.81 מטר לשנייה בריבוע, ואנחנו יודעים את הזמן שלוקח לו.
איכשהו, אנחנו צריכים להגיע משם למשוואה של מיקום הכדור.
אז, קודם בואו נמצא את המהירות שלו- שלב הביניים- על ידי הוצאת האינטגרל של התאוצה שלו.
הביטו על הגרף הזה של תאוצת הכדור לאורך זמן.
הוא רק קו ישר, מה שאומר שיהיה קל ביותר למצוא את השטח בינו לבין הציר האופקי.
הוא מלבן! והשטח של מלבן הוא הבסיס שלו כפול הגובה שלו.
במקרה הזה הבסיס הוא t, כמות הזמן שלקח לכדור ליפול.
והגובה הוא a, התאוצה שלו.
אז השטח שבין גרף התאוצה והציר האופקי הוא רק a כפול t.
והאינטגרל הוא a כפול t, ועוד הקבוע שאנחנו מוסיפים-C.
כרגע אנחנו צריכים את C, כי אנחנו יודעים את הצורה הכללית של גרף המהירות.
הוא ישר אלכסוני המשופע בצורה כזאת כך שבכל שנייה, הוא עולה בכמות השווה לתאוצה.
אבל אנחנו עדיין לא יודעים היכן להניח את הישר הזה לאורך הציר המאונך. לא כרגע, בכל מקרה.

English: 
Turns out that the ball takes 1.7
seconds to hit the ground.
Like we said earlier, we know the ball’s acceleration -- 9.81 ms^2 -- and we know the time involved.
Somehow, we have to get from
there to the equation for the ball’s position.
So, first, let’s find its velocity -- the
middle step -- by taking the integral of its acceleration.
Take a look at this graph of the ball’s
acceleration over time.
It’s just a flat line, which means that it should be pretty easy to find the area between it and the horizontal axis.
It’s a rectangle! And the area of a rectangle
is just its base times its height.
In this case, the base is t, the amount of
time the ball took to fall.
And the height is a, the acceleration.
So, the area between the acceleration graph and the horizontal axis is just (a) times (t).
And the integral is (a) times (t), plus that constant
we add -- C.
For now, we need the C, because we know the
general shape of the velocity graph:
It’s a diagonal line slanted in such a way that every second, it rises by an amount equal to the acceleration.
But still we don’t know where to PUT that
line on the vertical axis. Not yet, anyway.

French: 
Il apparaît que la balle met 1.7 secondes pour toucher le sol.
Comme on le disait plus tôt, on sait l'accélération de la balle  -- 9.81 m/s^2 -- et on sait le temps pris en compte.
D'une manière ou d'une autre, on doit partir de là pour trouver l'équation de la position.
Alors, d'abord, trouvons la vitesse -- le premier pas -- en prenant l'intégrale de l'accélération.
Regardez ce graphe de l'accélération en fonction du temps.
C'est une ligne droite, ce qui signifie que ça devrait être assez simple de trouver l'aire entre celle-ci et l'axe horizontal.
C'est un rectangle! Et l'aire en dessous d'un rectangle est juste sa base fois sa hauteur.
Dans ce cas, la base est t, le temps qu'a pris la balle pour tomber.
Et la hauteur est a, l'accélération.
Ainsi, l'aire entre le graphe de l'accélération et l'axe horizontal est juste (a) fois (t).
Et l'intégrale est juste (a) fois (t), plus la constante qu'on ajout -- C.
Pour l'instant, on a besoin du C, parce qu'on connait la forme générale du graphe de la vitesse:
c'est une ligne diagonale penchée de tel manière que pour chaque seconde, on augmente d'un montant égal à l'accélération.
Mais on ne sait toujours pas où METTRE cette ligne sur l'axe vertical. Pas encore, en tout cas.

Thai: 
ปรากฏว่าลูกเทนนิสใช้เวลา 1.7 วินาทีเมื่อตกลงสู่พื้น
อย่างที่เราพูดกันไปแล้ว เราทราบว่าอัตราเร่งของลูกเทนนิสนี้คือ 9.81 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง และเราทราบเวลาที่มาเกี่ยวข้อง
อย่างไรก็ดี เราต้องเอาของพวกนี้ไปถึงสมการที่หาตำแหน่งของลูกบอล
ดังนั้นอย่างแรก เรามาหาอัตราเร็วกันก่อน โดยการหาปฏิยานุพันธ์ของอัตราเร่ง
ลองดูกราฟอัตราเร่งของลูกเทนนิสเมื่อเทียบกับเวลา
มันเป็นแค่เส้นราบ ซึ่งก็หมายความว่ามันน่าจะง่ายทีเดียวที่จะหาพื้นที่ระหว่างแกนดิ่งกับแกนนอน
มันคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าค่ะ! และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็คือด้านฐานคูณกับด้านสูง
ในกรณีนี้ ด้านฐานก็คือค่า t คือเวลาที่ลูกเทนนิสนี้ตกลงถึงพื้น
และด้านสูงก็คือค่า a คืออัตราเร่ง
ดังนั้น พื้นที่ระหว่างกราฟอัตราเร่งกับแกนนอน ก็คือค่า a คูณด้วยค่า t
และสมการปฏิยานุพันธ์ก็คือ a คูณ t บวกด้วยค่าคงที่ที่เราเติมลงไป คือค่า C
ตอนนี้ เราต้องการค่า C แต่เพราะเรารู้รูปปกติของกราฟอัตราเร็ว
ซึ่งเป็นเส้นเฉียงที่เอียงขึ้นในลักษณะที่ทุกๆวินาที อัตราเร็วจะเพิ่มขึ้นเท่ากับอัตราเร่ง
แต่ตอนนี้เรายังไม่รู้ว่าจะวางเส้นเฉียงนี้บนแกนตั้งอย่างไร

Arabic: 
يتضح أن الكرة تتطلب 1.7 ثانية
حتى ترتطم بالأرض.
كما قلنا سابقاً، نعرف تسارع الكرة...
 9.81 ms^2... ونعرف الوقت.
بطريقة ما، يجب أن نصل من هنا
إلى معادلة موضع الكرة.
إذاً، أولاً، لنعرف سرعتها... الخطوة الوسطى
عن طريق أخذ تكامل التسارع.
لنلقِ نظرة على هذا الرسم البياني
لتسارع الكرة مع الوقت.
إنه خط مسطح، ويعني أنه يجب أن يكون من السهل
معرفة المنطقة بينه وبين المحور الأفقي.
إنه مستطيل! ومنطقة المستطيل
تساوي القاعدة ضرب الارتفاع.
في هذه الحالة، القاعدة t، مقدار الوقت الذي
تطلب الكرة حتى تسقط.
والارتفاع هو a، التسارع.
إذاً، المنطقة بين الرسم البياني للتسارع
والمحور الأفقي هي (a) ضرب (t).
والتكامل هو (a) ضرب (t)، زائد
الثابت الذي أضفناه... C.
الآن، نحتاج إلى C، لأننا نعرف الشكل
العام للرسم البياني للسرعة:
إنه خط قطري مائل بطريقة تجعله في كل ثانية
يرتفع بمقدار يساوي التسارع.
ولكننا لازلنا لا نعرف أين نضع هذا الخط على
المحور العمودي... ليس بعد، على أي حال.

Russian: 
Оказалось, что мячу понадобилось 1.7 секунд, чтобы удариться об землю.
Как сказали ранее, мы знаем ускорение мяча - 9.81 мс^2 и затраченное время.
Каким-то образом мы должны добраться отсюда до уравнения, описывающего положение мяча.
Итак, во-первых, давайте найдем его скорость (промежуточный этап), взяв интеграл его ускорения.
Взгляните на этот график ускорения мяча в течение всего времени.
Просто прямая линия, и это означает, что должно быть очень просто найти площадь между ней и горизонтальной осью.
Это прямоугольник! И площадь прямоугольника - это просто основание, умноженное на высоту.
В этом случае основание - это t, количество времени, которое затратил мяч на падение.
А высота - это а, ускорение.
Таким образом, площадь между графиком ускорения и горизонтальной осью  - это просто at.
А интеграл - это at плюс та константа, которую мы добавили, С.
Теперь нам нужна С, потому что мы знаем общую форму графика скорости:
Это диагональная линия, наклоненная таким образом, что каждую секунду она возрастает на число, равное ускорению.
Но мы все еще не знаем, где поместить эту линию относительно вертикальной оси. Пока нет, по крайней мере.

German: 
Es stellt sich heraus, dass der Ball 1,7 Sekunden braucht, bis er auf dem Boden aufschlägt.
Wie wir vorher gesagt haben, kennen wir die Beschleunigung des Balls -- 9,81 m/s^2 -- und wir kennen die Zeit.
Jetzt müssen wir von hier irgendwie zu der Gleichung für die Position des Balls kommen.
Also, lass uns zuerst seine Geschwindigkeit bestimmen -- die Zwischenschritt -- indem wir das Integral seiner Beschleunigung bestimmen.
Schau dir den Graphen der Beschleunigung des Balls über die Zeit an.
Er ist eine flache Gerade, was bedeutet, dass es ziemlich einfach sein sollte, die Fläche zwischen dem Graph und der waagerechten Achse zu finden.
Es ist ein Rechteck! Und die Fläche eines Rechtecks ist einfach die Grundlinie mal die Höhe.
In diesem Fall ist die Grundlinie t, die Zeit, die der Ball für den Fall gebraucht hat.
Und die Höhe ist a, die Beschleunigung.
Also ist die Fläche zwischen dem Beschleunigungsgraphen und der waagerechten Achse a mal t.
Und das Integral ist a mal t, plus die Konstante, die wir addieren -- C.
Jetzt brauchen wir das C, weil wir die grundsätzliche Form des Geschwindigkeitsgraphen kennen:
Es ist eine diagonale Gerade, die so geneigt ist, dass sie jede Sekunde um einen Betrag gleich der Beschleunigung ansteigt.
Aber wir wissen noch nicht, wo wir die Gerade auf der senkrechten Achse positionieren sollen. Noch nicht, jedenfalls.

Croatian: 
Ispada da loptici treba 1.7 sekundi da padne na tlo.
Kao što smo rekli ranije, znamo akceleraciju loptice -- 9.81 m/s^2 -- i znamo vrijeme.
Nekako trebamo odatle doći do jednadžbe položaja loptice.
Dakle idemo prvo naći njenu brzinu -- srednji korak -- tako što ćemo uzeti integral njene akceleracije.
Pogledajmo ovaj graf akceleracije loptice kroz vrijeme.
To je samo ravna linija, što znači da bi trebalo biti poprilično jednostavno naći površinu između linije i horizontalne osi.
To je pravokutnik! A površina pravokutnika je samo baza puta visina.
U ovom slučaju, baza je t, iznos vremena koje je trebalo loptici da padne.
A visina je a, akceleracija.
Dakle, površina između grafa akceleracije i horizontalne osi je samo a puta t.
A integral je a putat plus ona konstanta koju dodajemo -- C.
Za sada trebamo C jer znamo osnovni oblik grafa brzine,
to je dijagonalna linija takvog nagiba da se svake sekunde podigne za iznos akceleracije,
Ali ne znamo gdje da stavimo tu liniju na vertikalnoj osi. Bar ne još.

Italian: 
Ne risulta che la pallina impiega 1.7 secondi per colpire il suolo.
Come abbiamo detto precedentemente, sappiamo l'accelerazione della pallina - 9.81 m/s^2 - e conosciamo il tempo impiegato.
in qualche modo, da qui dobbiamo arrivare ad avere l'equazione della posizione della pallina.
Per prima cosa, troviamo la sua velocità -il passaggio intermedio - prendendo l'integrale della sua accelerazione.
Diamo uno sguardo al grafico dell'accelerazione della pallina nel tempo.
È solo una linea piatta, il che significa che dovrebbe essere abbastanza semplice trovare l'area tra di essa e l'asse orizzontale.
È un rettangolo! E l'area di un rettangolo non è che base × altezza.
In questo caso, la base è t, la quantità di tempo impiegata dalla pallina per cadere.
E l'altezza è a, l'accelerazione.
Quindi, l'area tra il grafico dell'accelerazione e l'asse orizzontale è semplicemente a×t.
E l'integrale è a×t più la costante che aggiungiamo, C.
Al momento, abbiamo bisogno di C in quanto conosciamo l'andamento generale del grafico della velocità:
È una linea inclinata in maniera tale che, per ogni secondo, aumenti tanto quanto indicato dall'accelerazione.
Tuttavia, ancora non sappiamo dove mettere questa linea rispetto all'asse verticale. Almeno, non ancora.

Portuguese: 
Você descobre que a bola leva 1.7 segundos para atingir o chão.
Como disse anteriormente, sabemos que a aceleração da bola - 9.81 m/s^2 - e sabemos o tempo envolvido.
De alguma forma, nós temos que partir daí para a equação da posição da bola.
Então, primeiro, encontremos sua velocidade - o passo do meio - ao tomarmos a integral da sua aceleração.
Dê uma olhada neste gráfico da aceleração da bola em função do tempo.
Ela é somente uma linha reta paralela a x, o que significa que é bem fácil encontrar a área entre ela e o eixo x.
É um retângulo! E a área de um retângulo é somente sua base vezes sua altura.
Neste caso, a base vale t, o tanto de tempo que a bola levou para cair.
E a altura é a, a aceleração.
Então, a área entre o gráfico de aceleração e o eixo horizontal é somente (a) vezes (t).
E a integral é (a) vezes (t), mais uma constante que adicionamos -- C.
Agora, nós precisamos de C, porque sabemos a forma geral do gráfico de velocidade:
É uma reta diagonal inclinada de tal forma que, a cada segundo, ela cresce pelo mesmo tanto que a aceleração.
Mas ainda não sabemos ONDE COLOCAR aquela linha no eixo vertical. Não ainda.

Dutch: 
De bal doet er 1,7 seconden over om op de grond te vallen.
Zoals we eerder zeiden weten we dat de acceleratie van de bal 9,81 m/s² is en we weten de tijdsduur.
We moeten daarmee op de een of andere manier een vergelijking voor de positie van de bal opstellen.
Dus laten we eerst de snelheid vinden -- de tussenstap -- door de integraal van de acceleratie te nemen.
Kijk naar deze grafiek van de acceleratie van de bal gedurende de tijd.
Het is een platte lijn, dus zal het vrij makkelijk zijn om de oppervlakte tussen de lijn en de horizontale as te vinden.
Het is een rechthoek. En de oppervlakte van een rechthoek is gewoon de basis maal de hoogte.
In dit geval is de basis t, de hoeveelheid tijd die de bal over zijn val deed.
En de hoogte is a, de acceleratie.
Dus het gebied tussen de acceleratie grafiek en de horizontale as is a maal t.
En de integraal is a maal t, plus die constante die we erbij moeten optellen, C
Voorlopig gebruiken we C, want we weten ongeveer de vorm van de snelheidsgrafiek:
Het is een diagonale lijn die zo loopt dat hij elke seconde hij een hoeveelheid gelijk aan de acceleratie stijgt.
Maar we weten nog steeds niet waar we hem moeten plaatsen op de verticale as. Nog niet in ieder geval.

Spanish: 
Resulta que esa pelota toma 1.7 segundos en golpear el suelo.
Como dijimos antes, sabemos que la aceleración de la pelota es 9.81 ms^2, y sabemos el valor del tiempo.
De alguna manera, tenemos que partir de ahí hacia la ecuación de la posición de la pelota.
Así que, primero vamos a descubrir su velocidad, el paso medio, tomando la integral de su aceleración.
Mira este gráfico de la aceleración de la pelota en el tiempo.
Es solo una linea horizontal, lo que significa que debe ser muy fácil descubrir el área entre la linea y el eje horizontal.
¡Es un rectángulo! Y el área del rectángulo es simplemente base por altura.
En este caso, la base es t, la cantidad de  tiempo que la pelota tomó para caer.
Y la altura es a, la aceleración.
así que, el área entre el gráfico de la aceleración y el eje horizontal es simplemente (a) por (t).
Y la integral es (a) por (t) más esa constante que agregamos, C.
Por ahora, necesitamos C, porque sabemos la forma que debería tener el gráfico de velocidad:
Es una linea diagonal de manera que cada segundo, aumenta de forma igual a la aceleración.
Pero aun así no sabemos donde poner esa linea en el eje vertical. No todavía.

Italian: 
Ora, possiamo trovare l'integrale dell'accelerazione semplicemente usando la regola delle potenze.
l'accelerazione, a, è una costante, ma potremmo anche dire che è a×t^0 --
dal momento che un qualsiasi valore elevato a 0 fa 1.
Quindi, per la regola delle potenze, l'integrale dell'accelerazione -- che è la velocità -- è
uguale all'accelerazione, moltiplicata per il tempo, più C.
È la stessa risposta ottenuta prima!
Ed ecco dove il valore iniziale spunta fuori. Il grafico della velocità ti dice quale sia la
velocità in ogni istante del tempo. Tuttavia, dobbiamo aggiungere C, dal momento che non sappiamo
dove posizionarlo sull'asse verticale, quando il tempo è uguale a 0.
Quindi, l'integrale dell'accelerazione potrebbe essere semplicemente accelerazione × tempo, o
a×t. Ma potrebbe anche essere a×t+4, o a×t-6.
Meglio quindi aggiungere una C, per rappresentare tutte queste opzioni.
Tuttavia, ci possiamo sbarazzare di questa C se troviamo la velocità quando il tempo è uguale a 0.
Ciò che chiamiamo v0.
E se scriviamo questa equazione con questo v0, che rappresenta la velocità quando

English: 
Now, we could have figured out the integral
of acceleration just as easily by using the power rule:
The acceleration, a, is a constant, but we
could also say that it’s (a) x (t^0) --
because anything raised to the power 0 is just 1.
So, according to the power rule, the integral
of acceleration -- which is the velocity -- would
be equal to the acceleration, multiplied by
time, plus C.
That’s the same answer we got earlier!
Now, here’s where the initial value comes
in. The velocity graph tells you what the
velocity is for each moment in time. But we
had to add the C, because we didn’t know
where to place it on the vertical axis -- when
time equals zero.
So, the integral of the acceleration COULD
have just been (acceleration) x (time), or
(a)(t). But it could also have been (at) +
4. Or (at) - 6.
So we put a C in the integral instead, to
represent all those options.
But we can get rid of that C if we can figure
out the velocity, when time equals zero --
what we’ve been calling v(0).
And if we write our equation with that v(0)
in it, as a placeholder for the velocity when

French: 
Maintenant, on aurait pu trouver l'intégrale de l'accélération aussi facilement en utilisant la règle des exposants:
L'accélération, a, est une constante, mais on peut aussi dire que c'est (a) x (t^0) --
parce que n'importe quoi exposant 0 vaut juste 1.
Ainsi, suivant la règle des exposants, l'intégrale de l'accélération -- qui est la vitesse -- devrait
être égale à l'accélération, multiplié par le temps, plus C.
C'est la même réponse qu'on a eu plus tôt!
Maintenant, voilà où la valeur initiale rentre en jeu. Le graphe de la vitesse nous dit quelle
est la vitesse pour chaque moment donné. Mais on a du ajouter C, parce que nous ne savions pas
où placer la courbe sur l'axe vertical -- quand le temps vaut zéro.
Ainsi, l'intégrale de l'accélération aurait PU juste être (accélération) x (temps), ou
(a)(t). Mais elle aurait aussi pu être (at) + 4. Ou (at) - 6.
Alors on met un C dans l'intégrale à la place, pour représenter toutes ces options.
Mais on peut se débarrasser de ce C si on peut trouver la vitesse, quand le temps vaut zéro --
ce qu'on a appelé v(0).
Et si on écrit notre équation avec v(0), comme valeur de la vitesse quand

Slovak: 
Teraz by sme mohli určiť integrál zrýchlenia jednoducho tým, že len použijeme pravidlo pre mocniny.
Zrýchlenie "a" je konštantné, ale zároveň
by sme mohli povedať, že je "a" krát t⁰,
pretože čokoľvek umocnené na 0 je jednoducho 1.
Takže, podľa pravidla pre mocniny,
integrál zrýchlenia - čo je rýchlosť - by bol
rovný zrýchleniu vynásobenému časom plus C.
To je rovnaká odpoveď, ako sme dostali predtým!
Toto je teraz miesto, kde prichádza začiatočná
podmienka. Graf rýchlosti vám hovorí, aká je
rýchlosť pre každý moment v čase.
Ale musíme pridať C, pretože nevieme,
kde ho máme umiestniť na vertikálnej osi  -
keď sa čas rovná nule.
Takže integrál zrýchlenia BY MOHOL byť
len zrýchlenie krát čas - at.
Ale taktiež by mohol byť at + 4.
Alebo at - 6.
Takže do integrálu doplníme C,
aby sme zastúpili všetky možnosti.
Ale mohli by sme sa toho C zbaviť, ak vieme
zistiť našu rýchlosť, keď sa čas rovnal 0,
čo nazývame v₀.
A ak napíšeme našu rovnicu obsahujúcu toto v₀
ako zástupný symbol pre rýchlosť, keď

Dutch: 
Welnu, we hadden de integraal van de acceleratie ook kunnen bepalen door de machtsregel te gebruiken.
De acceleratie, a, is constant, maar we kunnen ook zeggen dat het a maal t^0 is --
want alles wat tot macht 0 wordt verheven
is simpelweg 1.
Dus, volgens de machtsregel zal de integraal van de acceleratie -- wat de snelheid is --
gelijk zijn aan de acceleratie vermenigvuldigd met tijd, plus C.
Dat is hetzelfde antwoord dat we al eerder hadden gevonden!
Dan komen we nu aan bij de startwaarde. De snelheidsgrafiek laat je zien wat de
snelheid is voor elk moment in de tijd. Maar we moesten C er bij optellen, omdat we niet wisten
waar we hem op de verticale as moesten zetten -- op het tijdstip nul.
Dus, de integraal van de acceleratie kon gewoon acceleratie maal tijd zijn,
oftewel a * t. Maar het kon ook a * t + 4, of a * t - 6 zijn.
Dus we kunnen in plaats daarvan een C in de integraal zetten om al die mogelijkheden te representeren.
Maar we kunnen van die C afkomen als we de snelheid kunnen vinden als de tijd gelijk is aan nul,
wat we v(0) hebben genoemd.
En als we onze vergelijking schrijven met die v(0) erin, als vervanging voor de snelheid op het punt waar

Spanish: 
Ahora, podríamos haber descubierto la integral de aceleración fácilmente utilizando la regla de la potencia:
La aceleración, a, es una constante, pero también podríamos haber dicho que es (a) por (t^0),
porque todo elevado a cero es uno.
Así que, de acuerdo a la regla de la potencia, la integral de la aceleración, la velocidad, sería
igual a la aceleración, multiplicada por el tiempo, más C.
¡Es la misma respuesta que obtuvimos antes!
Ahora, aquí es donde el valor inicial interviene. El gráfico de la velocidad te dice que la
velocidad es para cada momento en el tiempo. Pero tenemos que sumarle la C, porque no sabemos
donde ponerla en el eje vertical, donde el tiempo es igual a cero.
Así que, la integral de la aceleración podría simplemente ser (aceleración) por (tiempo), o
(a)(t). Pero también podría ser (at) + 4. O (at) - 6.
Así que ponemos C en la integral, para representar todas esas opciones.
Pero podemos deshacernos de esa C si podemos descubrir la velocidad, cuando el tiempo equivale a 0,
lo que hemos estado llamando v(0).
Y si escribimos nuestra ecuación con v(0) en ella, como representación de la velocidad cuando

Croatian: 
Mogli smo naći integral akceleracije jednako lako koristeći pravilo potencije:
Akceleracija, a,  je konstanta, ali mogli smo reći i da je at^0
jer je bilo što na 0 samo 1.
Dakle po pravilu potencije, integral akceleracije, brzina, bi
bio jednak akceleraciji pomnoženoj vremenom plus C.
To je isti odgovor koji smo dobili ranije!
Sada evo gdje početna vrijednost nastupa. Graf brzine vam govori kolika
je brzina za svaki trenutak u vremenu. Ali morali smo dodati C jer nismo znali
gdje da ga smjestimo na vertikalnoj osi -- kada je vrijeme jednako nula.
Dakle integral akceleracije bi mogao biti samo akceleracija puta vrijeme, odnosno
at, ali također je mogao biti at + 4, ili at - 6.
Zato stavljamo C u integral umjesto toga, kako bismo predstavili sve te opcije.
Ali možemo se riješiti tog C ako saznamo brzinu kada je vrijeme jednako nula --
ono što smo zvali  v0.
I ako napišemo našu jednadžbu sa v0 što je brzina kada je

iw: 
עכשיו, יכולנו לחשב את האינטגרל של התאוצה באותה קלות על ידי שימוש בכלל החזקות
התאוצה a היא קבוע, אבל אנחנו יכולים גם לומר שהיא בעצם שווה (a*(t^0.
בגלל שכל דבר בחזקת 0 שווה ל-1.
לכן, על פי כלל החזקות, האינטגרל של התאוצה-שהוא המהירות, יהיה
שווה לתאוצה כפול הזמן, ועוד C.
וזאת אותה התשובה כמו שקיבלנו מקודם!
עכשיו, הנה הערך ההתחלתי נכנס לתמונה. גרף המהירות אומר לך מהי
המהירות בכל רגע בזמן. אבל היינו להוסיף את הC, כי לא ידענו
היכן למקם אותו על הציר האנכי-כשהזמן שווה ל-0.
אז האינטגרל של התאוצה יכל פשוט להיות תאוצה כפול זמן
או a*t. אבל הוא גם יכל להיות at+4 או at-6.
אז במקום זאת אנחנו שמים C באינטגרל, כדי לייצג את כל האפשרויות האלו.
אבל אנחנו יכולים להיפטר מהC הזה אם נגלה את המהירות, כשהזמן שווה ל-0.
מה שאנחנו מכנים (v(0.
ואם נרשום את המשוואה שלנו עם ה(v(0 בתוכה, כמציין מקום של המהירות

Russian: 
Теперь мы можем выяснить интеграл ускорения очень просто, используя мощное правило:
Ускорение, а - это константа, но мы также можем сказать, что это (a) x (t^0)  -
потому что любое число, возведенное в степень 0 равно 1.
Таким образом, согласно правилу, интеграл ускорения (скорость) будет
равен ускорению, умноженному на время, плюс С.
Это такой же ответ, как то, что мы получили ранее!
Теперь вот где начальное значение появляется. График скорости говорит вам, какова
скорость в каждый момент времени. Но мы должны добавить С, потому что не знаем,
где поместить его относительно вертикальной оси - там, где время равняется нулю.
Таким образом, интеграл ускорения может быть просто (скорость) * (время) или
(a)(t). Но также он может равняться (at) + 4. Или (at) - 6.
Мы ставим С в интеграл вместо этого, чтобы представить таким образом все эти возможности.
Но мы можем избавиться от этой С, если сможем выяснить скорость в тот момент, когда время равняется нулю -
будем называть это v(0).
Если мы запишем наше уравнение с этой v(0), как обозначением скорости в том момент, когда

Arabic: 
الآن، كان من الممكن أن نكتشف تكامل
التسارع بنفس السهولة باستخدام قاعدة القوة:
التسارع، a، ثابت، ولكن يمكننا
أيضاً قول أن (a) x (t^0)...
لأن أي شيء يرفع لقوة الـ 0 هو فقط 1.
لذا، وفقاً لقاعدة القوة، تكامل
التسارع... وهو السرعة... يمكن
أن يساوي التسارع، ضرب
الزمن، زائد C.
هذه هي الإجابة ذاتها التي
حصلنا عليها سابقاً!
الآن، هنا تأتي القيمة الأصلية.
الرسم البياني للسرعة يخبرنا ما قيمة
السرعة في كل لحظة من الزمن... ولكننا
يجب أن نضيف C، لأننا لا نعرف
أين نضعها على المحور الأفقي... عندما
يكون الزمن صفر.
إذاً، تكامل التسارع يمكن أن يكون
التسارع × الزمن، أو
(a) (t)... ولكن يمكن أن يكون أيضاً
(at) + 4. Or (at) - 6.
إذاً نضع C في التكامل بدل ذلك، لتمثيل
كل هذه الخيارات.
ولكن يمكن أن نتخلص من الـ C إن تمكنا
من إيجاد السرعة، عندما يساوي الزمن صفر...
ما كنا نطلق عليه v(0).
وإن قمنا بكتابة معادلتنا مع v(0)
فيها، كنائب عن السرعة عندما

German: 
Wir hätten das Integral der Beschleunigung genauso einfach auch über die Potenzregel bestimmen können:
Die Beschleunigung a ist eine Konstante, aber wir können sie auch ausdrücken als axt^0 --
weil alles potenziert mit Null 1 ergibt.
Also ist das Integral der Beschleunigung -- die Geschwindigkeit -- nach der Potenzregel
gleich der Beschleunigung mal der Zeit plus C.
Das ist die gleiche Lösung wie vorher!
Nun, hier kommt der Anfangswert zum Einsatz. Der Geschwindigkeitsgraph sagt dir, was die
Geschwindigkeit in jedem Moment ist. Aber wir mussten C addieren, weil wir nicht wussten,
wo der Graph auf der senkrechten Achse hingehört -- wenn die Zeit Null ist.
Also könnte das Integral der Beschleunigung nur Beschleunigung mal Zeit sein, oder
at. Aber es könnte auch at +4 sein. Oder at -6.
Also setzen wir stattdessen ein C in das Integral, um all diese Möglichkeiten zu repräsentieren.
Aber wir können das C loswerden, wenn wir die Geschwindigkeit für Zeit gleich Null herausfinden --
das nennen wir v(0).
Und wenn wir unsere Gleichung mit v(0) schreiben, als Platzhalter für die Geschwindigkeit für

Portuguese: 
Agora, nós poderíamos ter determinado a integral da aceleração igualmente simples ao usar a regra do tombo:
A aceleração, a, é uma constante, mas nós poderíamos dizer que é (a)x(t^0) -
porque qualquer coisa elevada à potência 0 é 1.
Então, de acordo com a regra do tombo, a integral da aceleração - que é igual a velocidade - seria
igual a aceleração, multiplicada pelo tempo, mais C.
Esta é a mesma resposta que nós obtivemos anteriormente!
Agora, aqui é onde o valor inicial aparece. O gráfico de velocidade te diz qual é a
velocidade para cada instante de tempo. Mas nós tivemos que adicionar C, porque nós não sabíamos
onde colocá-la no eixo vertical - quando o tempo vale zero!
Então, a integral da aceleração PODERIA ter sido somente (aceleração)x(tempo), ou
(a)(t). Mas também poderia ter sido (at) + 4. Ou (at) - 6.
Então, ao invés disso, colocamos C para representar todas estas opções.
Mas podemos nos livrar daquele C se soubermos a velocidade no instante de tempo igual a zero -
o que chamamos de v_0.
E se escrevermos nossa equação com aquele v_0 nela, como uma representação para a velocidade quando

Thai: 
ถึงตอนนี้ เราสามารถคำนวณหาปฏิยานุพันธ์ของอัตราเร่งได้ง่ายๆ โดยใช้กฏยกกำลัง
อัตราเร่ง a เป็นค่าคงที่ แต่เราสามารถเขียนว่าเป็น (a) x (t^0) ก็ได้
เพราะทุกอย่างที่ยกกำลังด้วย 0 จะมีค่าเท่ากับ 1
ดังนั้นตามกฏยกกำลังแล้ว ปฏิยานุพันธ์ของอัตราเร่ง ซึ่งก็คืออัตราเร็ว จะเท่ากับ
อัตราเร่งคูณด้วยเวลา บวกค่าคงที่ C
ซึ่งนั่นก็คือคำตอบที่เราได้มาก่อนหน้านี้เองค่ะ
ตรงนี้คือจุดที่ค่าเริ่มต้นจะเข้ามาค่ะ กราฟของอัตราเร็วบอกคุณถึง
อัตราเร็วในแต่ละชั่วขณะเวลา แต่เราต้องเพิ่มค่า C เพราะเราไม่ทราบว่า
จะวางเส้นกราฟนี้บนแกนตั้งอย่างไรเมื่อเวลาเท่ากับศูนย์
ดังนั้น ปฏิยานุพันธ์ของอัตราเร่งอาจเป็นแค่ (อัตราเร่ง) x (เวลา) หรือ
(a)(t) แต่มันก็อาจจะเป็น (at) + 4 หรือ (at) - 6 ก็ได้
เราจึงใส่ค่า C ลงในสมการปฏิยานุพันธ์เข้าไปแทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดนี้
แต่เราสามารถกำจัดค่า C ออกไปได้ถ้าเราทราบอัตราเร็วที่เวลาเท่ากับศูนย์
ซึ่งเราจะเรียกว่า v(0)
และถ้าเราเขียนสมการของเราโดยแทนที่ค่า c ด้วย v(0) เพื่อบ่งบอกอัตราเร็วเมื่อ

German: 
Zeit gleich Null, erhalten wir die vollständige Gleichung für die Geschwindigkeit.
Das sollte bekannt aussehen, weil das eine unserer kinematischen Gleichungen ist -- die Definition der Beschleunigung!
Nett, wie alles zusammenpasst.
Diese Gleichung sagt uns, dass die finale Geschwindigkeit unseres fallenden Tennisballs, als er den
Boden getroffen hat, 16,9 ms nach unten war.
Aber wir sind noch nicht fertig. Wir wollen Beschleunigung und Position verbinden,
also müssen wir mit dem Integral einen Schritt weiter gehen.
Es gibt mehrere Wege, das zu tun, aber lass uns einfach wieder die Potenzregel verwenden.
Das Integral von at ist 1/2 at^2,
und das Integral von v(0) ist v(0)t.
Setz' sie zusammen und du erhältst das, was anfangt, wie eine
andere kinematische Gleichung auszusehen -- die, die wir Entfernungskurve genannt haben.
Nun, was ist mit C?
Also, genau wie vorher bei der Anfangsgeschwindigkeit, wird uns die Anfangsposition sagen, wo
die Gleichung auf der senkrechten Achse ist. Also setzen wir C gleich der
Anfangsposition, die wir mit x(0) bezeichnen.
Und das ist unser Integral -- die Gleichung der Entfernungskurve.
Was bedeutet, dass wir jetzt alles haben, was wir brauchen, um herauszufinden, wie hoch unser Fenster ist.

Italian: 
il tempo è uguale a 0, riusciamo a ricavare per intero l'equazione della velocità.
Questa ci dovrebbe risultare familiare, dal momento che è una delle nostre formule della cinematica -- la definizione di accelerazione.
È incredibile come tutto torni.
Questa equazione ci dice che la velocità finale della nostra pallina da tennis, una volta aver raggiunto
terra, era di 16.7 m/s verso il basso.
Ma non è ancora finita. Stiamo cercando di collegare accelerazione e posizione,
quindi avremo bisogno di compiere un ulteriore passo, integrando ancora una volta.
Esistono diversi metodi con i quai potremmo farlo, ma riusiamo direttamente la regola della potenze.
L'integrale di a×t è ½a×t^2,
e l'integrale di v0 è v0×t.
Mettendoli insieme, si ottiene questo, che inizia a sembrare
un'altra equazione della cinematica -- quella che abbiamo chiamato curva di movimento.
Ora, cosa facciamo con questa C?
Proprio come nel caso precedente con la velocità iniziale, la posizione iniziale ci dirà dove
attaccare questa equazione all'asse verticale. Quindi porremo semplicemente C uguale alla posizione
iniziale, che scriveremo come x0.
E questo è il nostro integrale -- l'equazione della curva di posizione.
Il che significa che ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per trovare quanto alta sia la tua finestra.

Dutch: 
tijd nul is, krijgen we de volledige vergelijking voor de snelheid.
Dat zou er bekend uit moeten zien, want dat is één van de bewegingsvergelijkingen - de definitie van acceleratie!
Mooi hoe alles zo op zijn plaats valt.
De vergelijking vertelt ons dat de uiteindelijke snelheid van onze vallende tennisbal, wanner die de
grond raakt, 16,7 m/s neerwaarts was.
Maar we zijn nog niet klaar. We zijn opzoek naar de link tussen acceleratie en positie,
dus moeten we nog een stap verder gaan door nogmaals te integreren.
Er zijn verschillende manieren waar we dat kunnen doen, maar laten we de machtsregel nog een keer gebruiken.
De integraal van a * t is 1/2 * a * t²
en de integraal van v_0 is gewoon v_0 * t
Voeg ze samen en je krijgt dit, wat al erg op een andere
bewegingsvergelijking lijken --  degene die we de verplaatsingskromme noemde.
Dus hoe zit het met die C?
Nou, net als eerder met de startsnelheid, zal de startpositie ons vertellen waar we
deze vergelijking op de verticale as moeten plaatsen. Dus laten we C gelijk maken aan de startpositie,
die we noteren als x_0.
En dat is onze integraal -- de verplaatsingskromme vergelijking.
Wat betekent dat we nu alles hebben om uit te vinden hoog hoog je raam is.

Slovak: 
sa čas rovnal nule, dostaneme
úplnú rovnicu pre rýchlosť.
Mala by vyzerať povedomo, keďže je to jedna
z našich pohybových rovníc - definícia zrýchlenia.
Krása, ako všetko sedí.
Táto rovnica nám hovorí, že konečná rýchlosť
našej padajúcej tenisovej loptičky v momente nárazu
do zeme bola 16,7 m/s smerom dolu.
Ešte sme ale neskončili. Snažíme sa
prepojiť zrýchlenie a polohu,
takže musíme ísť o krok ďalej a opäť integrovať.
Je niekoľko spôsobov, akými by sme to mohli spraviť,
ale poďme opäť použiť pravidlo pre mocniny.
integrál at je polovica at na druhú
a integrál v₀ je v₀ krát t.
Dajme to dokopy a dostaneme toto,
čo sa začína úplne podobať
na ďalšiu pohybovú rovnicu -
tú čo nazývame polohová krivka.
A teraz, čo s C?
Nuž, tak isto ako predtým s počiatočnou rýchlosťou,
počiatočná poloha nám určí, kde
dať rovnicu na vertikálnej osi.
Takže jednoducho položíme C rovné počiatočnej
polohe, ktorú zapíšeme ako x₀.
A to je náš integrál - rovnica polohovej krivky.
Čo znamená, že teraz máme všetko, čo potrebujeme na zistenie ako vysoko vaše okno je.

Arabic: 
يساوي الزمن صفر، يكون بين أيدينا
المعادلة الكاملة للسرعة.
قد يبدو هذا مشابهاً، لأنه إحدى معادلاتنا
الكينماتية... تعريف التسارع!
نرى كيف يبدو كل شيء هكذا!
تخبرنا المعادلة أن السرعة النهائية
لكرة التنس، عندما ترتطم بالأرض
هي 16.7 م/ثا إلى الأسفل.
ولكن لم ننتهِ بعد... نحن نتطلع إلى
ربط التسارع مع الموضع،
لذا يجب أن نتحرك خطوة إلى الأمام
عن طريق التسارع مجدداً.
هناك عدة طرق مختلفة لفعل ذلك،
ولكن لنستخدم قاعدة القوة مجدداً.
تكامل (a * t) هو (نصف) (a t) (مربع)،
وتكامل  v_0 هو v_0 * t.
نضعهما معاً، ويكون معنا هذا،
الذي يبدو كثيراً
كمعادلة كينماتية أخرى... التي أطلقنا
عليها منعطف الإزاحة.
الآن، ماذا عن C؟
حسناً، تماماً كقبل سرعة البداية،
يدلنا موضع البداية أين
نضع هذه المعادلة على محور عمودي.
فنصنع C يساوي موضع
البداية، الذي نكتبه x_0.
وهذا هو التكامل... معادلة
منعطف الإزاحة.
وهذا يعني أننا الآن، لدينا كل ما نحتاجه
لمعرفة، كم علو النافذة.

iw: 
כשהזמן שווה ל-0, אנחנו מקבלים את המשוואה המלאה למהירות.
זה צריך להראות מוכר, כיוון וזוהי אחת מהמשוואות הקינמטיקה, משוואת התנועה האופקית!
נהדר איך שהכל מסתדר ככה.
משוואה זו אומרת לנו שהמהירות הסופית של כדור הטניס כשהוא
פוגע בקרקע, היא 16.7 מטר לשנייה לכיוון מטה.
אבל עדיין לא סיימנו. אנחנו מחפשים חיבור בין תאוצה ומיקום,
אז אנחנו צריכים לקחת עוד צעד, ולהוציא אינטגרל נוסף.
ישנם מספר דרכים בהן נוכל לעשות זאת, אבל בואו נשתמש שוב בכלל החזקות.
האינטגרל של at הוא חצי כפול a כפול t^2.
והאינטגרל של (v(0 הוא פשוט (v(0 כפול t
שימו אותם ביחד, ואתם מקבלים את זה, מה שמתחיל להראות לגמרי כמו
עוד משוואה קינמטית אחרת, זו שקראנו לה "משוואת התנועה עם תאוצה משתנה".
עכשיו, מה לגבי הC?
ובכן, ממש כמו מקודם עם המהירות ההתחלתית, המיקום ההתחלתי יגיד לנו היכן
לתקוע את גרף המשוואה על הציר האנכי. אז פשוט נשווה את C לערך
המיקום ההתחלתי, שאותו נכתוב כ(x(0.
וזה האינטגרל שלנו-משוואת התנועה עם תאוצה משתנה.
מה שאומר שכעת יש לנו את כל הדרוש כדי לקבוע מהו גובהו של החלון שלכם.

Spanish: 
el tiempo equivale a cero, terminamos con la completa ecuación para velocidad.
Eso debería parecer familiar, porque en una de nuestras ecuaciones cinematecas, ¡La definición de aceleración!
Que bien como todo funciona al final.
Esta ecuación nos dice que la velocidad final de nuestra pelota de tenis cuando toco el
piso ero de 16.7 ms hacia abajo.
Pero no hemos terminado todavia. Estamos buscando por un vinculo entre la aceleración y la posición,
así que necesitaremos ir un paso más hacia integración otra vez.
hay diferentes maneras en que podríamos hacerlo, pero vamos simplemente a utilizar la regla de la potencia otra vez.
La integral de (a * t) is (1/2)(a t^2),
y la integral de v(o) es simplemente v(0) * t.
Ponlas juntas y terminarás con esto, que está empezando a aparecerse mucho a
otra ecuación cinemática, la que hemos estado llamando curva del desplazamiento.
Ahora, ¿Qué pasa con C?
Bueno, igual que antes con el comienzo de velocidad, el punto inicial nos dirá donde
poner esta ecuación en el eje vertical. Así que haremos a C igual a la posición
inicial, la cual escribiremos com x(0).
Y esa es nuestra integral, la ecuación del desplazamiento de la curva.
Lo que significa que ahora, tenemos todo lo que necesitamos para descubrir, que tan alta está tu ventana.

Russian: 
время равняется нулю, мы закончим с полным уравнением скорости.
Оно должно выглядеть знакомым, потому что это одно и наших уравнений кинематики - определение ускорения!
Как же изящно все это работает.
Это уравнение говорит нам, что окончательная скорость нашего падающего теннисного мяча, когда он ударился
о землю, была равна 16.7 мс и направлена вниз.
Но мы пока не закончили. Мы ищем связь ускорения и положения,
поэтому нам надо пройти на еще один шаг дальше, интегрируя снова.
Есть пара различных способов, как мы можем сделать это, но давайте просто используем правильно снова.
Интеграл (a * t) равен половине (a t) в квадрате,
а интеграл v_0 - это просто v_0 * t.
Соедините их вместе, и вы покончите с этим, но то, что получилось начинает казаться очень похожим
на другое уравнение кинематики - то, которое мы называли уравнением смещенной кривой.
Теперь, что на счет С?
Ну, прямо как до этого с начальной скорость, начальное положение покажет нам, где
держится это уравнение на вертикальной оси. Таким образом, мы просто сделаем С равной начальному
положению, которое запишем как х_0.
И вот он наш интеграл - уравнение смещенной кривой.
Что означает, теперь у нас есть все, что нужно, чтобы выяснить, как высоко располагается ваше окно.

Thai: 
เวลาเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้สมการเต็มสำหรับอัตราเร็ว
นี่ดูคุ้นๆนะคะ นั่นก็เพราะมันคือหนึ่งในสมการจลนศาสตร์ของเรา สมการนิยามอัตราเร่งนั่นเองค่ะ
เลิศใช่มั้ยล่ะคะที่อะไรๆลงตัวกันพอดี
สมการนี้บอกเราถึงอัตราเร็วสุดท้ายของลูกเทนนิสของเราที่ตกลงถึงพื้น
ซึ่งเท่ากับ 16.7 เมตรต่อวินาที ในทิศทางลง
แต่เรายังทำไม่เสร็จนะคะ เพราะเรากำลังหาความเชื่อมโยงระหว่างอัตราเร่งกับตำแหน่ง
ดังนั้นเราต้องเดินต่ออีกก้าวโดยการหาปฏิยานุพันธ์อีกครั้ง
มีหลายวิธีการที่เราจะหาได้ค่ะ แต่เราลองมาใช้กฏยกกำลังกันดูอีกครั้ง
ปฏิยานุพันธ์ของ (a*t) ก็คือครึ่งหนึ่งของ (at) ยกกำลังสอง
และปฏิยานุพันธ์ของ v(0) ก็คือ v(0) * t
เอามารวมกัน คุณก็จะได้สมการนี้ ซึ่งทั้งหมดนี้เริ่มจะดูเหมือน
สมการจลนศาสตร์อีกสมการหนึ่ง ซึ่งก็คือสมการที่เราเรียกว่าสมการโค้งการกระจัดนั่นเอง
ทีนี้ แล้วค่า C ล่ะ
ก็เหมือนกับที่เราใช้อัตราเร็วเริ่มต้นค่ะ ตำแหน่งเริ่มต้นจะเป็นตัวบอกเรา
ว่าจะวางสมการนี้ไว้บนแกนตั้งอย่างไร ดังนั้นเราก็แค่ให้ค่า C เท่ากับตำแหน่งเริ่มต้น
ซึ่งเราจะเขียนเป็น x(0)
และนั่นก็คือสมการปฏิยานุพันธ์ของเราค่ะ สมการโค้งการกระจัดน่ะเอง
ซึ่งหมายความว่าตอนนี้เรามีทุกอย่างที่เราต้องการเพื่อจะคำนวณหาว่าหน้าต่างของคุณอยู่สูงเท่าใด

English: 
time equals zero, we end up with the the full
equation for velocity.
That should look familiar, because it’s one of our kinematic equations -- the definition of acceleration!
Neat how everything works out like that.
This equation tells us that the final velocity
of our falling tennis ball, when it hit the
ground, was 16.7 ms downward.
But we aren’t done yet. We’re looking
to link acceleration and POSITION,
so we’ll need to go one step further
by integrating again.
There are a couple of different ways we could
do it, but let’s just use the power rule again.
The integral of (a * t) is (half)(a t)(squared),
and the integral of v_0 is just v_0 * t.
Put ‘em together, and you end up with this,
which is starting to look a whole lot like
ANOTHER kinematic equation -- the one we’ve
been calling the displacement curve.
Now, what about that C?
Well, just like before with the starting velocity,
the starting position will tell us where to
stick this equation on the vertical axis.
So we’ll just make C equal to the starting
position, which we’ll write as x_0.
And that’s our integral -- the displacement
curve equation.
Which means that now, we have everything we
need to figure out, how high your window is.

Portuguese: 
o tempo vale zero, nós terminamos com a equação completa para a velocidade.
Aquilo deveria parecer familiar, porque é uma das equações cinemáticas - a definição de aceleração!
Olha como as coisas funcionam de forma  elegante.
Esta equação nos diz que a velocidade final da nossa bola de tênis que estava caindo,
quando ela atinge o chão, era de 16.7 m/s para baixo.
Mas ainda não acabamos. Estamos atrás de uma forma para conectar a aceleração com a POSIÇÃO.
Então precisaremos dar mais um passo integrando tudo de novo.
Existem algumas formas diferentes de fazer isso, mas vamos usar somente a regra do tombo.
A integral de (a*t) é (1/2)(a t)^2
e a integral de v_0 é somente v_0*t.
Juntando tudo, você acaba com isso, o que começa a parecer muito com
OUTRA equação cinemática - a que viemos chamando de curva de deslocamento.
Agora, e sobre aquele C?
Bem, assim como antes na velocidade inicial, a posição inicial nos dirá onde
colocar esta equação no eixo vertical. Então nós faremos C igual a posição
inicial, o que chamaremos de x_0.
E esta é nossa integral - a equação da curva de deslocamento.
O que significa que, agora, nós temos tudo o que precisamos para determinar, o quão alto sua janela é.

French: 
le temps vaut zéro, on finit par obtenir l'équation complète de la vitesse.
Ca devrait sembler familier, parce que c'est une de nos équations du mouvement -- la définition de l'accélération!
C'est sympa comme tout s'arrange comme ça.
Cette équation nous dis que la vitesse finale de notre balle de tennis, quand elle touche le
sol, était de 16.7 m/s vers le bas.
Mais nous n'avons pas encore fini. On cherche à lier l'accélération et la POSITION,
alors on a juste besoin de faire un pas plus loin en intégrant à nouveau.
Il y a plusieurs manières que l'on pourrait utilisées, mais utilisons juste la règle des exposant à nouveau.
L'intégrale de (a * t) est (1/2)*(at)^2,
et l'intégrale de v_0 est juste v_0 * t.
Assemblez les ensemble, et on finit par avoir ça, ce qui ressemble beaucoup à
une AUTRE équation du mouvement -- celle qu'on appelait la courbe du déplacement.
Maintenant, que faire de C?
Et bien, juste comme avant avec la vitesse de départ, la position de départ va nous dire où
Mettre cette équation sur l'axe vertical. Ainsi, on rendra juste C égal à la position
de départ, que l'on écrira x_0.
Et voilà notre intégrale -- l'équation de la courbe de déplacement.
Ce qui veut dire que maintenant on a tout ce qu'il nous faut pour trouver la hauteur de notre fenêtre.

Croatian: 
vrijeme jednako nula, dobijemo punu jednadžbu za brzinu.
To bi vam trebalo izgledati poznato jer je to jedna od naših jednadžbi gibanja -- definicija akceleracije!
Lijepo je kako se sve tako riješi.
Ova nam jednadžba govori da je konačna brzina naše padajuće loptice za tenis pri kontaktu s
tlom bila 16.7 m/s prema dolje.
Ali još nismo gotovi. Želimo povezati akceleraciju i položaj
pa ćemo morati otići korak dalje opet integrirajući.
Postoji nekoliko različitih načina na koje bi to mogli učiniti, ali idemo samo opet koristiti pravilo potencije.
Integral od at je pola at na kvadrat,
a integral od v0 je samo v0 puta t.
Stavimo do zajedno i dobijemo ovo, što počinje izgledati kao
još jedna jednadžba gibanja -- ona koju smo zvali krivulja pomaka.
Sada, što je sa onim C?
Pa kao ranije sa početnom brzinom, početni položaj će nam reći gdje da
stavimo ovu jednadžbu na vertikalnoj osi. Zato ćemo za C samo uzeti da je jednak početnom
položaju, što ćemo zapisati kao x0.
I to je naš integral -- krivulja pomaka.
Što znači da sada imamo sve što trebamo za otkriti koliko je visoko naš prozor.

French: 
La vitesse initiale est 0, parce que on a juste lâché la balle sans la jeter.
L'accélération est de 9.81 m/s^2. Et elle a mis 1.7 secondes pour atterrir.
Et vous savez maintenant tout ce qu'il y a a savoir sur l'algèbre. (longue pause) Non pas du tout.
Comme vous pouvez l'imaginer, nous avons à peine gratter la surface -- il y a une
raison pour laquelle cela prend normalement deux semestres d'université, juste pour apprendre les bases.
Et vous savez, certaines personnes passent leur vie à étudier ces choses.
Mais on a établi assez de base pour que quand ces choses arriveront dans ce
cours, vous serez habitués à utiliser ce qu'on a vu ici, et à en parler.
Aujourd'hui, vous avez appris que les intégrales étaient l'aire entre l'équation sur un graphe et l'axe horizontal.
Vous avez aussi appris quelques raccourcis pour aider à les trouver, et comment trouver C en utilisant une valeur initiale.
Crash Course Philosophy est produit en association avec PBS Digital Studios. Vous pouvez aller sur
leur chaine pour voir des émission géniales comme Shanks FX, Gross Science, and PBS Game Show.
Cette épisode de Crash Course a été filmé dans le studio du Docteur Cheryl C. Kinney
avec l'aide de ces personnes incroyables et notre tout aussi incroyable équipe graphique est Thought Cafe.

Croatian: 
Početna brzina je nula jer ste samo ispustili  lopticu bez bacanja,
akceleracija je 9.81 m/s^2 i pad je trajao 1.7 sekundi.
I sada znate sve što trebate znati o računu... Ma ne znate.
Kao što vjerojatno možete i zamisliti, jedva smo zagrebali površinu ovdje -- postoji
razlog zašto obično trebaju dva semestra sveučilišta da bi se samo prošle osnove.
I znate, neki ljudi provedu cijeli život proučavajući ove stvari.
Ali barem smo uspostavili dosta osnovnih stvari da kada se ovakve stvari pojave u ovom
tečaju možemo koristiti što smo ovdje naučili kako bismo pričali o njima.
Danas ste naučili da su integrali površina između jeandžbe na grafu i horizontalne osi.
Također ste naučili nekoliko prečaca koji vam mogu pomoći da ih nađete te kako naći C koristeći početnu vrijednost.
Crash Course Physics se proizvodi u suradnji sa PBS Digital Studios. Možete otići
na njihov kanal kako biste vidjeli nevjerojatne emisije kao što su Shanks FX, Gross Science i PBS Game Show.
Ova epizoda Crash Coursa je snimana u Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studiju
uz pomoć ovih nevjerojatnih ljudi i naš jednako toliko nevjerojatan tim za grafiku je Thought Cafe.

Russian: 
Начальная скорость равна нулю, потому что вы только  что отпустили мяч без броска.
Ускорение равно 9.81 мс^2. И потребовалось 1.7 секунд на то, чтобы приземлиться.
И теперь вы знаете все, что нужно знать об исчислении. (долгая пауза) Нет, ничего подобного.
Как вы, наверное, представляете, мы лишь слегка поцарапали поверхность -
вот почему обычно нужно учиться два семестра в университете только чтобы пробежаться по основам.
И, знаете, некоторые люди тратить всю свою жизнь, изучая подобные вещи.
Но мы, по крайней мере, разобрались достаточно, чтобы когда такие вещи появятся в этом
курсе, мы могли использовать то, что узнали сегодня, для того, чтобы поговорить о них.
Сегодня вы узнали, что интегралы - это площадь между уравнением, представленным в виде графика и горизонтальной осью.
Вы также узнали несколько рациональных путей, которые помогут найти их, а также, как узнать С, используя начальное значение.
Crash Course Philosophy создана в сотрудничестве с PBS Digital Studios. Вы можете подписаться
на их канал, чтобы посмотреть удивительные шоу вроде Shanks FX, Gross Science и PBS Game Show.
Этот эпиод Crash Course был снят the Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
при помощи вот этих чудесных людей и в равной степени чудесной Graphics Team Thought Cafe.

Portuguese: 
A velocidade inicial é zero. Porque você somente soltou a bola sem a jogar.
A aceleração é 9.81 m/s^2. E ela levou 1.7 segundos para atingir o chão.
E agora você sabe tudo o que precisa de cálculo! ... Não, não sabe!
Como vc pode imaginar, nós nem arranhamos a superfície aqui - existe
uma razão pela qual normalmente leva-se dois semestre de universidade, só para cobrir o básico.
E, você sabe, algumas pessoas passam a vida inteira estudando este tipo de coisa.
Mas nós pelo menos estabelecemos material o suficiente, para quando de fato essas coisas aparecerem no curso,
conseguir usar o que cobrimos aqui, para falar sobre eles.
Hoje, aprendemos que integrais são a área entre a curva de uma equação num gráfico com o eixo horizontal.
Nós também aprendemos alguns atalhos para ajudar a achá-las, e como encontrar C usando o valor inicial.
Crash Course Física é produzido em associação com PBS Digital Studios. Você pode
visitar o seu canal para checar shows maravilhosos como Shanks FX, Gross Science e PBS Game Show.
Este episódio de Crash Course foi filmado no Estúdio Cheryl C. Kinney Crash Course
com a ajuda de todo esse pessoal maravilhoso e nosso igualmente excelente Time Gráfico  é Thought Cafe.

German: 
Die Anfangsgeschwindigkeit ist Null, weil du den Ball fallen lassen hast und nicht geworfen.
Die Beschleunigung ist 9,81 m/s^2. Und er brauchte 1,7 Sekunden bis zur Landung.
Und jetzt weißt du alles, was es über Analysis zu wissen gibt. (lange Pause)
Nein, weißt du nicht.
Wie du dir wahrscheinlich vorstellen kannst, haben wir nur an der Oberfläche gekratzt -- es gibt
Gründe, warum es normalerweise zwei Semester an der Universität braucht, um die Grundlagen zu lernen.
Und, weißt du, manche Leute verbringen ihr ganzes Leben damit, dieses Zeug zu studieren.
Aber wir haben dir genug Hintergrundwissen gegeben, damit wenn diese Dinge in diesem
Kurs auftauchen, du anwenden kannst, was du hier gelernt hast, um darüber zu reden.
Heute hast du gelernt, dass Integrale die Fläche zwischen einer Gleichung in einem Graphen und der waagerechten Achse sind.
Du hast auch ein paar Tricks gelernt, um sie zu bestimmen, und wie man C mit einem Anfangszeit finden kann.
Crash Course Physics wird in Zusammenarbeit mit PBS Digital Studios produziert. Du kannst zu ihrem Kanal wechseln
und großartige Sendungen ansehen wie Shanks FX, Gross Science und PBS Game Show.
Diese Folge von Crash Course wurde in den Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studios gedreht
mit Hilfe dieser erstaunlichen Menschen und unser ebenso erstaunliches Grafik-Team ist Thought Cafe.

Thai: 
อัตราเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ เพราะคุณแค่ปล่อยลูกเทนนิสลงมาโดยไม่ได้ขว้าง
อัตราเร่งคือ 9.81 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง และใช้เวลา 1.7 วินาทีกว่าจะตกถึงพื้น
และเพราะคุณรู้ทุกอย่างที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับแคลคูลัส (เงียบ) ...ไม่หรอกค่ะ
อย่างที่คุณคงนึกออก เราแค่แตะที่พื้นผิวของวิชาแคลคูลัสเท่านั้น และ
มันมีเหตุผลอยู่ค่ะที่วิชานี้ใช้เวลาถึงสองภาคเรียนถึงจะครอบคลุมพื้นฐาน
และคุณก็คงรู้ว่าบางคนก็ใช้เวลาทั้งชีวิตศึกษาวิชานี้
แต่อย่างน้อยตอนนี้เราก็มีพื้นฐานมากพอ ที่เมื่อเรื่องพวกนี้โผล่เข้ามาใน
คอร์สนี้ เราก็สามารถใช้สิ่งที่เราได้อธิบายไปมาพูดถึงกันได้ค่ะ
วันนี้คุณได้เรียนรู้ว่าปฏิยานุพันธ์คือพื้นที่ระหว่างเส้นสมการบนกราฟกับแกนนอน
คุณยังเรียนรู้วิธีลัดนิดๆหน่อยๆที่ช่วยหาปฏิยานุพันธ์ และการหาค่า C โดยใช้ค่าเริ่มต้น
รายการ Crash Course ฟิสิกส์ผลิตโดยความร่วมมือกับ PBS ดิจิตอลสตูดิโอ คุณสามารถเข้าไปดู
ที่ช่องนี้เพื่อดูรายการที่น่าตื่นตาตื่นใจได้อีกเช่น Shanks FX, Gross Science และ PBS Game Show
รายการตอนนี้ของ Crash Course ถ่ายทำใน Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
ด้วยความช่วยเหลือจากกลุ่มคนที่เยี่ยมยอดเหล่านี้ และทีมกราฟฟิคที่เยี่ยมยอดเช่นเดียวกันของเราคือ Thought Cafe ค่ะ

Italian: 
La velocità iniziale è 0, dal momento che hai lasciato cadere la pallina senza lanciarla.
L'accelerazione è di 9.81 m/s^2, e ci sono voluti 1.7 secondi per arrivare a terra.
E ora sai tutto ciò che c'è da sapere sul calcolo infinitesimale. E invece no.
Come potrai immaginare, abbiamo solo esaminato la parte più superficiale della questione -- c'è un
motivo se solitamente ci vogliono due semestri universitari solo per apprendere le basi.
E alcune persone impiegano tutta la loro vita a studiare queste cose.
Ma almeno abbiamo un'infarinatura, di modo che, quando nel corso ritroveremo questi
argomenti, saremo in grado di usare quanto imparato e parlarne.
Oggi, hai imparato che gli integrali sono l'area tra l'equazione di un grafico e l'asse orizzontale.
Hai anche imparato alcuni trucchi che ti aiutano a trovarli, e come trovare C usando un valore iniziale.
Crach Course Physics è prodotto in associazione con PBS Digital studios. Sul loro canale
potrai trovare degli incredibili show come Shanks FX, Gross Science e PBS Game Show.
Questo episodio di Crash Course è stato girato nel Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
con l'aiuto di queste fantastiche persone, e il nostro altrettanto fantastico team grafico è Thought Cafe.

Spanish: 
La velocidad inicial es cero, porque tiraste la pelota sin lanzarla.
la aceleración es 9.81 ms^2. Y tomó 1.7 segundos en aterrizar.
Y ahora sabes todo lo que hay que saber sobre calculo. (Larga pausa) No no sabes
Como puedes imaginarte, apenas hemos tocado la superficie, hay una
razón por lo que normalmente toma dos semestres de universidad, solo cubrir lo básico.
Y, sabes que algunas personas pasan su vida entera estudiando esto.
Pero por lo menos hemos establecido lo suficiente, que cuando estas cosas aparezcan en este
curso, podremos utilizar lo que hemos cubierto aquí, para hablar sobre ellos.
Hoy, haz aprendido que las integrales son el área entre una ecuación en un gráfico y el eje horizontal.
También aprendiste algunos atajos que te pueden ayudar a descubrirlas y como encontrar C utilizando un valor inicial.
Curso Intensivo Física es producido en asociación con PBS Estudios Digitales. Puedes dirigirte
a su canal y chequear increíbles programas como Shanks FX, Gross Science y PBS Game Show.
Este episodio de Curso Intensivo fue filmado en el Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
con la ayuda de estas increíbles personas y nuestro igualmente increíble equipo de diseño gráfico Thought Café.

iw: 
המהירות ההתחלתית היא 0, בגלל שרק הפלתם את הכדור בלי לזרוק אותו.
התאוצה היא 9.81 מטר לשנייה בריבוע, וזה לקח לו 1.7 שניות לנחות.
ועכשיו אתם יודעים את כל מה שיש לדעת על חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. (שתיקה ארוכה) לא אתם לא.
כמו שאתם בטח יכולים לדמיין, בקושי גירדנו את פני השטח כאן. ישנה סיבה
שזה בדרך כלל לוקח שני סמסטרים באוניברסיטה רק כדי ללמוד את הבסיס.
ואתם יודעים, יש אנשים שמתעסקים בנושא הזה במהלך כל חייהם.
אבל לפחות בנינו מספיק רקע, כך שכשהדברים האלו יגיעו
בקורס זה, תוכלו להשתמש במה שלמדנו כאן, כדי לדבר עליהם.
היום, למדתם שאינטגרלים הם השטח בין גרף המשוואה והציר האופקי.
למדתם גם כמה קיצורי דרך שעוזרים למצוא אותם, וכיצד למצוא את C בעזרת "הערך התחלתי".
פיזיקה של Crash Course מופקת בשיתוף עם PBS Digital Studios. אתם יכולים ללכת
לערוץ שלהם, ולראות תוכניות מדהימות כמו Shanks FX, Gross Science ו-PBS Game Show.
פרק זה של Crash Course צולם באולפני Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio.
עם העזרה של האנשים המדהימים האלה, וצוות הגרפיקה המדהים של Thought Cafe.
כתוביות בעברית: KK

Dutch: 
De startsnelheid is nul, want je laat de bal vallen zonder hem te gooien.
De acceleratie is 9,81 m/s². En het duurde 1,7 seconden tot de landing.
En nu je alles weet wat er te weten valt over calculus.
[lange pauze] Nee dat is niet waar.
Zoals je wel kan voorstellen, hebben we pas een beginnetje gemaakt -- het is niet voor niets dat
het normaal twee semesters duurt op de universiteit, om alleen al de basis helemaal te behandelen.
En weet je, sommige mensen besteden hun hele leven aan het bestuderen van deze dingen.
Maar we hebben op z'n minst genoeg achtergrond vergaard, dat wanneer we die dingen wel tegenkomen
in deze lessen, we ze kunnen bespreken met wat we hier hebben behandeld.
Vandaag heb je geleerd dat integralen de oppervlakte tussen de grafiek en de horizontale as zijn.
Ook heb je een aantal trucjes geleerd om ze te vinden en hoe C te vinden met behulp van een startwaarde.
Crash Course Physics is geproduceerd in samenwerking met PBS Digital Studios. Je kan naar
hun kanaal gaan om geweldige programma's als Shanks FX, Gross Science en PBS Game Show te kijken.
Deze aflevering van Crash Course is gefilmd in de Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
met de hulp van deze fantastische mensen en ons net zo fantastische Graphics Team is Thought Cafe.
[ondertiteling/vertaling: Gijs Welten]

Slovak: 
Počiatočná rýchlosť je nula,
keďže loptičku ste len pustili ale nehodili.
Zrýchlenie je 9,81 m/s².
A trvalo 1,7 sekundy, kým dopadla.
A teraz už viete všetko, čo sa len dá o kalkule.
Nie neviete.
Ako si pravdepodobne viete predstaviť,
len sme sa dotkli povrchu - dáva teda
zmysel, že bežne trvá dva semestre
na univerzite, kým sa pokryjú základy.
A, viete, niektorí ľudia strávia
celé životy študovaním tohoto.
My sme ale aspoň založili dostatočný podklad pre to, aby keď sa tieto veci objavia v tomto
kurze, budeme schopní použiť čo sme tu pokryli
aby sme o nich vedeli rozprávať.
Dnes ste sa naučili, že integrály sú obsahom plochy
medzi grafom rovnice a horizontálnou osou.
Tiež ste sa naučili zopár skratiek na ich nájdenie
a ako nájsť C použitím začiatočnej podmienky.
"Crash Course Physics" je produkovaná v spolupráci s PBS Digital Studios. Môžete prejsť
na ich kanál a vyskúšať úžastné relácie, ako Shanks FX, Gross Science a PBS Game Show.
Táto epizóda Crash Course bola natočená v štúdiu Crash Course doktora Cheryl C. Kinneyho
s pomocou týchto úžasných ľudí
a rovnako úžasného grafického tímu Thought Cafe.

English: 
The starting velocity is zero, because you
just dropped the ball without throwing it.
The acceleration is 9.81 ms^2. And it took
1.7 seconds to land.
And now you know everything there is to know
about calculus. (long pause) No you don’t.
As you can probably imagine, we’ve barely
scratched the surface here -- there’s a
reason it normally takes two semesters of
university, just to cover the basics.
And, you know some people spend their
whole lives studying this stuff.
But we’ve at least established enough background,
that when those things do come up in this
course, we’ll be able to use what we’ve
covered here, to talk about them.
Today, you learned that integrals are the area between an equation on a graph and the horizontal axis.
You also learned a few shortcuts to help find them, and how to find C using an initial value.
Crash Course Philosophy is produced in association
with PBS Digital Studios. You can head over
to their channel to check out amazing shows
like Shanks FX, Gross Science, and PBS Game Show.
This episode of Crash Course was filmed in
the Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
with the help of these amazing people and
our equally amazing Graphics Team is Thought Cafe.

Arabic: 
السرعة الأولية هي صفر، لأننا أسقطنا
الكرة دون رميها.
التسارع 9.81 م/ثا^2. واستغرق الأمر
1.7 ثانية حتى تهبط.
والآن تعرفون كل ما يجب معرفته
عن الحساب... لا ليس صحيحاً.
كما يمكنكم التخيل، نحن بالكاد
بدأنا هنا... هناك
سبب حتى يتطلب الأمر فصلين في
الجامعة، فقط لتغطية الأساسيات.
كما أن هناك أناساً يمضون حياتهم
بأكملها في دراسة هذه الأشياء.
ولكننا قمنا بتأسيس المعلومات الكافية،
بحيث إن ظهرت هذه الأشياء في صفنا
سنكون قادرين على استخدام
ما تعلمناه هنا، والتحدث عنه.
اليوم، تعلمنا أن التكاملات هي المنطقة
بين المعادلة على رسم بياني والمحور الأفقي.
كما تعلمنا بعض الاختصارات إيجادها
وكيفية إيجاد C باستخدام قيمة أصلية.
Crash Course Physics ينتج بالتعاون مع
PBS Digital Studios. تستطيعون الذهاب
لقناتهم لمشاهدة برامجهم مثل Deep Look و
The Good Stuff, و PBS Space Time.
هذه الحلقة من Crash Course صورت في إستديو
Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio
بمساعدة هؤلاء الأشخاص الرائعين 
وفريق رسوماتنا الرائع هو Thought Cafe.
