
Korean: 
이런 종류의 함수를 생각해봅시다
이런 종류의 함수를 생각해봅시다
이것은 분명하게 비선형 함수입니다
f(x) = 1/(x-1)
이것이 이 함수의 그래프 
혹은 그 일부분입니다
이것이 이 함수의 그래프 혹은 
그 일부분입니다
만약 특정한 값 근처에서
이 함수를 일차함수로 
근사하려고 합니다
우리가 할 것은
어떤 근사를 찾는 것입니다
우리는 이 함수에 대해 
근사를 구하고 싶습니다
좀더 정확히 말하자면
일차근사(선형근사)를 구하고 싶습니다
즉, 이 함수를 어떤 선으로 
근사하고자 합니다
우리는 어떤 일차근사를 
구하고자 합니다
또한 f의 일차근사를 하기 전에 
알아야 할 점은
어디 근처에서 근사하려는지 입니다
x=-1 근처에서 일차근사를 해봅시다
이게 무슨 뜻일까요?
여기 이 그래프를 봅시다
이 곡선에서 x가 -1일 때
f(-1)은 -1/2입니다

Bulgarian: 
Има ситуации,
в които имаш някакъв 
вид функция.
Ясно е, че това не е
линейна функция.
f(x) равно на 1 върху х минус 1.
Това е нейната графика 
или поне част от нея.
Но понякога искаш да приближиш 
до линейна функция,
особено около някоя 
определена стойност.
Това, което ще направим, е...
Искаме да намерим
приближение. Нека го запиша.
Търсим приближение за...
Търсим линейно приближение,
затова ще го направя с права.
Искам да намеря 
линейно приближение
на f около... трябва да знаем
къде искаме да е 
приближението...
около х равно на –1.
Какво искаме да кажем с това?
Да разгледаме графиката.
На тази крива, когато х = –1,

Czech: 
Občas se
ocitneme v situaci,
kdy máme
nějakou funkci,
v tomto případě jde o evidentně nelineární
funkci f(x) rovná se 1 lomeno (x minus 1),
jejíž graf, respektive
jeho část, je zde,
a chceme ji aproximovat
nějakou lineární funkcí,
zejména okolo nějakého
konkrétního bodu.
Chceme tedy
nalézt aproximaci...
Napíšu to.
Chceme nalézt
aproximaci...
Ještě to upřesním.
Chceme nalézt
lineární aproximaci,
což znamená, že chceme
aproximovat přímkou.
Chceme nalézt lineární
aproximaci funkce f okolo...
Musíme vědět, okolo kterého
bodu funkci budeme aproximovat.
...okolo bodu
x rovná se −1.
Co tím
přesně myslíme?
Podívejme se
na tento graf.

Thai: 
เรามีกรณี
ที่คุณมีฟังก์ชันแบบหนึ่ง
อันนี้เห็นได้ชัดว่าเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้น
f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x ลบ 1
นี่คือกราฟของมัน อย่างน้อยก็ส่วนหนึ่ง
ตรงนี้
แต่เมื่อคุณประมาณมันด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น
โดยเฉพาะรอบๆ ค่าค่าหนึ่ง
แล้วสิ่งที่เราจะทำคือว่า
เราอยากหาการประมาณ ขอผมเขียนลงไปนะ
ผมอยากหาการประมาณสำหรับ
ผมอยากบอกให้ชัด ผมอยากหา
การประมาณเชิงเส้น
ผมจะประมาณมันด้วยเส้นตรง
ผมอยากหาการประมาณเชิงเส้น การประมาณ
ของ f, ของ f, แถวๆ คุณต้องรู้
ว่าคุณจะประมาณมันตรงไหน
แถวๆ x เท่ากับลบ 1
เราหมายความว่าอะไร?
ลองดูกราฟนี่ตรงนี้
บนเส้นโค้งนี้ เมื่อ x เท่ากับลบ 1
f ของลบ 1 คือลบ คือลบ 1/2

English: 
- [Voiceover] So there are situations
where you have some type of a function,
this is clearly a nonlinear function.
F of x is equal to one over x minus one,
this is its graph or at
least part of its graph
right over here.
But where you wanna approximate
it with a linear function
especially around a certain value,
and so what we're going to do is,
we wanna find an approximation,
let me write this down,
I wanna find an approximation for,
actually meant to be clear, I wanna find
a linear approximation
so I'm gonna approximate it with a line.
I wanna find a linear
approximation, approximation
of f, of f, around, and you need to know
where you're going to be approximating it,
around x equals negative one.
So what do we mean by that?
Well let's look at this graph over here,
on this curve, when x is
equal to negative one,
f of negative one is
negative, is negative 1/2,

Thai: 
ซึ่งพาเรามาตรงนี้ ขอผมใช้สีดีๆ หน่อย
มันก็คือตรงนี้ และสิ่งที่เราอยากทำ
คือประมาณมันด้วยเส้นตรงแถวๆ นั้น
และสิ่งที่เราจะทำ
คือเราจะประมาณมัน
ด้วยสมการเส้นสัมผัส
เส้นสัมผัสจะเป็น
เป็นแบบนั้น และอย่างที่เราเห็นได้
เมื่อเราไปไกลจาก
x เท่ากับลบ 1 มากขึ้นเรื่อยๆ
การประมาณจะแย่ลง แย่ลง
แต่ถ้าเรายังคงอยู่ใกล้ๆ x เท่ากับลบ 1
มันจะดี มันยังถือว่าดีเท่าที่ได้
สำหรับการประมาณเชิงเส้น 
อย่างน้อยก็ในตัวอย่างนี้
มันเป็นการประมาณเชิงเส้นที่ดีมาก
เวลาคนบอกว่า เฮ้ หาการประมาณเชิงเส้น
ของ f รอบ x เท่ากับลบ 1 หน่อย
หรือเขาบอกว่า ข้อใดต่อไปนี้คือ
การประมาณที่ดีที่สุด
และตัวเลือกทุกอันเป็น เป็นเส้นตรง
ที่สุดแล้ว เขากำลังบอกให้คุณหา
สมการเส้นสัมผัสที่ x เท่ากับลบ 1
ลองทำดู

Bulgarian: 
f(–1) е –1/2,
което ни води ето тук. Нека 
използвам по-добър цвят.
Искаме да направим
приближение с права 
около това.
По същество ще направим 
приближение
с уравнението за допирателна.
Допирателната ще изглежда
ето така и виждаме, че
колкото се отдалечаваме
от х равно на –1,
приближението става по-зле
 и по-зле,
но ако стоим около х = –1,
е добре. Колкото е възможно
за линейно приближение или
 поне в този пример
това е доста добро 
линейно приближение.
Когато някой ти каже да намериш
 линейното приближение
на f около х равно на –1,
или те питат какво е 
най-доброто приближение
и всичките ти варианти 
са прави,
тогава всъщност се иска
 да намериш
уравнението на допирателната 
при х равно на –1.
Хайде да го направим.

Korean: 
여기에 표시를 합시다
다른 색깔로 표시하겠습니다
우리가 하고싶은 것은
이 주변을 어떤 직선으로 
근사하는 것입니다
따라서 우리가 본질적으로 
하고자 하는 것은
이 부분을
접선의 방정식으로 근사하는 것입니다
접선은 이렇게 생겼을 것입니다
보시는 것과 같이
x=-1에서 점점 멀어질수록
x=-1에서 점점 멀어질수록
근사한 값은 점점 차이가 납니다
만약 우리가 x=-1 주변을 본다면
꽤 괜찮은 근사값을 얻을 수 있습니다
적어도 이 예시에서는
굉장히 좋은 일차근사값입니다
x=-1 근처에서
일차 근사를 구하라는 것은
혹은 직선들 중에서 
가장 좋은 근사를 찾는 것은
혹은 직선들 중에서 
가장 좋은 근사를 찾는 것은
본질적으로
 x=-1에서
접선의 방정식을 구하라는 것입니다
이제 해봅시다

Czech: 
Když je na této křivce x rovno −1,
tak f(−1) se rovná minus (1 lomeno 2).
Jde o tento bod.
Zvýrazním to
nějakou lepší barvou.
Je to tento bod.
Okolo tohoto bodu chceme zadanou
křivku aproximovat pomocí přímky.
Uděláme to tak, že funkci
aproximujeme rovnicí tečny k jejímu grafu.
Tato tečna bude
vypadat nějak takhle.
Vidíme, že jak jsme víc a víc
vzdáleni od bodu x rovno −1,
tak je tato aproximace
čím dál tím horší,
ale když jsme blízko
bodu x rovno −1,
tak je to vlastně ta nejlepší lineární
aproximace, jakou můžeme vymyslet,
nebo jde přinejmenším o velmi
dobrou lineární aproximaci.
Když tedy
někdo řekne,
ať najdete lineární aproximaci
funkce f okolo bodu x rovná se −1,
nebo když se někdo zeptá, která z
daných možností je nejlepší aproximací,
a na výběr
budou jen přímky,
tak po vás v podstatě chtějí, abyste
našli rovnici tečny v bodě x rovno −1.
Tak to
pojďme udělat.

English: 
which sticks us right over
there, let me use a better color,
so it's right over there
and what we wanna do
is approximate it with a line around that.
And what we're essentially going to do
is we're gonna approximate it
with the equation of the tangent line.
The tangent line is
going to look something,
something like that and as we can see,
as we get further and further from,
from x equals negative one,
the approximation gets worse and worse
but if we stay around
x equals negative one,
what's a decent, it is
a, as good as you can get
for a linear approximation
or at least in this example
is a very good linear approximation.
So when people say, hey,
find the linear approximation
of f around x equals negative one
or they say, what is the following
is the best approximation
and all of your choices are, are lines,
well essentially, they're
asking you to find
the equation of the tangent
line at x equals negative one.
So let's do that.

Czech: 
Abychom našli
rovnici tečny...
Přímka má rovnici y rovná
se ‚m‘ krát ‚x‘ plus ‚b‘,
kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová
souřadnice průsečíku s osou y.
Mohli byste na
to ale jít i jinak.
Mohli byste hledat rovnici
v rozšířeném směrnicovém tvaru,
tedy ve tvaru y minus y-ová souřadnice
nějakého bodu ležícího na přímce rovná se:
směrnice krát (x minus příslušná
x-ová souřadnice x₁).
Bod [x₁; y₁] je tedy
nějaký bod ležící na dané přímce.
Tento rozšířený směrnicový
tvar občas přepisuji takto:
(y minus y₁) lomeno
(x minus x₁) se rovná b.
Tohle totiž pochází z toho, že pokud jsou
x₁ a y₁ souřadnice bodu na přímce,
tak směrnice úsečky spojující libovolný
jiný bod na přímce a tento bod
bude směrnice
dané přímky.
Můžeme na to jít
kterýmkoliv z těchto způsobů.
Nejprve určeme
směrnici naší tečny.

Bulgarian: 
За да намерим уравнението 
на допирателната...
Уравнението на права е 
у = mx + b,
където m е наклонът, 
а b е ордината на пресечната точка с Оу.
Това може да се разгледа 
и по други начини.
Може да се разгледа и като
 права, минаваща през точка,
където у минус друго у, 
което лежи
на тази права, е равно
 на наклона по х минус
съответното х едно. 
Следователно (х1; у1)
лежи някъде на тази права.
Всъщност понякога записвам 
този вариант
по този начин:
 у – у1 върху х – х1
равно на b, защото това излиза
от тази идея.
Виж, ако х1 и у1 са от правата,
наклонът между всяка 
друга точка от правата
и тази точка ще бъде 
наклонът на нашата права.
Можем да го разгледаме 
по всеки от тези начини.
Нека първо намерим
 наклона на допирателната

Thai: 
เวลาหาสมการเส้นสัมผัส
สมการเส้นตรงคือ y เท่ากับ mx บวก b
เมื่อ m คือความชันและ b คือค่าตัดแกน y
มันมีวิธีอื่นที่คุณคิดได้
คุณคิดมัน ในรูปจุด ความชัน
โดยคุณบอกว่า y ลบ y ค่าหนึ่งที่อยู่บน
เส้นตรง เท่ากับความชันคูณ x ลบ
ค่า x คู่กัน (x1, y1)
อยู่บนเส้นตรงสักแห่ง
ที่จริง ผมชอบเขียนในรูปจุด ความชันนี้
แบบนี้บางที y ลบ y1 ส่วน x ลบ x1
เท่ากับ b เพราะอันนี้มาจาก
ตรงมาจากแนวคิดความชันเลย
ดูนะ ถ้า x1 กับ y1 อยู่บนเส้นตรง
ความชันระหว่างจุดอื่นใดบนเส้นตรง
กับจุดนั้นจะเท่ากับความชันของเส้นตรงคุณ
เราก็คิดได้ แบบไหนก็ได้
ลองหาความชันของเส้นสัมผัสก่อน

Korean: 
접선의 방정식을 구하기 위해서는
직선의 방정식은 y=mx+b입니다
이 때, m이 기울기이고 b가 y 절편입니다
이것 말고도 다른 표현 방법을 
생각해 볼 수도 있습니다
표준형으로 표현하는 
방법을 생각해보면
y 빼기 어떤 직선 위의 점의 y좌표 y₁
이 기울기 곱하기 x 빼기
그 점의 x좌표 x₁과 같다고 
쓸 수도 있습니다
여기서 (x₁, y₁)은 어떤 직선위의 점입니다
저는 이런 표준형을 
이런 형태로 쓰는걸 더 선호합니다
(y - y₁) / (x - x₁) = b
(y - y₁) / (x - x₁) = b
이 형태가 조금 더 직관적이기 때문입니다
만약 (x₁, y₁)이 직선 위의 점이라면
직선 위의 다른 임의의 점과의 기울기가
그 직선의 기울기가 될 것입니다
이 표현들 중 어떤 것을 
사용해도 괜찮습니다
먼저 접선의 기울기를 구해봅시다

English: 
So in order to find the
equation of the tangent line,
the equation of a line is
y is equal to mx plus b
where m is a slope and
b is the y intercept.
There's other ways that
you could think about it.
You could think about it,
in terms of point slope
where you could say, y
minus some y that sits on
that line is equal to
the slope times x minus
the corresponding x one,
so x one comma y one
sits on that line some place.
Actually, I like to write
this point slope form
like this sometimes, y minus
y one over x minus x one
is equal to b because this comes as
straight out of the idea.
Look, if x one and y one are on the line,
the slope between any
other point on the line
and that point is going to
be your slope of your line.
So we could think about
it, any of these ways.
So let's first find the
slope of the tangent line

Korean: 
이 때, 도함수가 유용하게 사용됩니다
여기에 f(x)를 다시 적어봅시다
이를 (x-1)의 -1제곱으로 쓰겠습니다
이를 (x-1)의 -1제곱으로 쓰겠습니다
이렇게 쓴다면
조금 더 명확히 거듭제곱의 법칙과
연쇄법칙을 사용할 수 있습니다
f를 x로 미분한 도함수는
즉, (x-1)의 -1제곱의 도함수를 구하기 위해
x-1로 먼저 미분하겠습니다
여기서 거듭제곱법칙을 사용하면
-1 곱하기 (x-1)의 -2제곱이 됩니다
그리고 여기에
x-1을 x로 미분한 값을 곱해야 합니다
이는 그냥 1입니다
x를 x로 미분하면 1이고
-1을 x로 미분하면 0입니다
따라서 이 뒤에 1이 곱해진다고 
할 수 도 있고
혹은 이것이 값을 
변화시키지는 않기 때문에
그냥 쓰지 않을 수도 있습니다
그럼 이제 x가 -1일때 계산해봅시다

Bulgarian: 
и тук производната
 ще ни е полезна.
Нека запиша пак f(x).
Ще го запиша като х минус 1
на степен –1. 
Така ни става по-ясно,
че можем да използваме 
формулата за производна от степен
и малко верижното правило.
Производната на f спрямо х 
е равна на:
производната на х – 1
 на степен –1
спрямо х минус 1 ще бъде просто...
Ще използвам формулата 
за производна от степен.
Ще бъде –1 по х минус 1
на степен –2 и после 
ще умножим това
по производната на
 х минус спрямо х,
което ще бъде просто 1.
Производната на х е 1.
Производната на –1 е 0.
Тук можем да кажем по 1,
 ако искаме,
а може и да не го записваме,
защото стойността 
не се променя.
Нека пресметнем това 
при х равно на –1.

Czech: 
K tomu se nám
bude hodit derivace.
Tedy f...
Zatím jen přepíšu
předpis funkce f(x).
Napíšu to jako
(x minus 1) na minus prvou.
Teď už jde lépe vidět, že můžeme
použít pravidlo pro derivaci mocniny
a pak vzorec pro
derivaci složené funkce.
Derivace funkce f
podle x se rovná...
Derivace z (x minus 1) umocněné
na minus prvou podle (x minus 1) je...
Když použijeme vzorec
pro derivaci mocniny,
tak to bude −1 krát (x minus 1)
umocněné na minus druhou,
což teď musíme vynásobit
derivací (x minus 1) podle x,
což je 1, že?
Derivace x podle x je 1
a derivace −1 podle x je 0,
takže sem můžeme napsat
krát 1, pokud chceme.
Nebo to tam ani psát nemusíme,
protože to nijak nezmění hodnotu výrazu.
Nyní derivaci vyčísleme
v bodě x rovno −1.

Thai: 
และนั่นคือจุดที่อนุพันธ์มีประโยชน์
f ที่จริงขอผมเขียนว่า f ของ x อีกที
ผมจะเขียนมันว่า x ลบ 1
กำลังลบ 1 นั่นทำให้
เห็นได้ชัดขึ้นว่าเราใช้กฎยกกำลังได้
กับกฎลูกโซ่นิดหน่อย
อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x เท่ากับ
อนุพันธ์ของ x ลบ 1 กำลังลบ 1
เทียบกับ x ลบ 1 นั่นก็แค่
ผมจะใช้กฎยกกำลังตรงนี้
มันจะเป็นลบ 1 คูณ x ลบ 1
กำลังลบ 2 แล้วเราจะคูณมัน
ด้วยอนุพันธ์ของ x ลบ 1 เทียบกับ x
นั่นก็แค่ 1 ใช่
อนุพันธ์ของ x เทียบกับ x คือ 1
อนุพันธ์ของลบ 1 เทียบกับ x คือ 0
เราบอกได้ว่า คูณ 1 ตรงนี้ถ้าต้องการ
หรือเราไม่เขียนก็ได้
เพราะมันไม่เปลี่ยนค่า
แล้วลองหาค่ามันเมื่อ x เท่ากับลบ 1

English: 
and that's where the derivative is useful.
So f, actually let me
just write f of x again,
so I'm gonna write it as x minus one
to the negative one power, that makes it
a little bit clearer that
we can use the power rule
and a little bit of a chain rule,
so the derivative of f with
respect to x is equal to,
so the derivative of x minus
one of the negative one
with respect to x minus one,
well that's just going to be,
I'm just gonna use the power rule here,
it's gonna be negative
one times x minus one
to the negative two and then
we're gonna multiply that
times the derivative of x
minus one with respect to x,
well that's just going to be one, right.
The derivative of x with
respect of x is one,
the derivative of negative
one with respect to x is zero,
so we could say times one here if we like
or we could just not write that
'cause it don't change the value.
And so let's evaluate that when
x is equal to negative one.

English: 
So f prime of negative one is equal to,
I could just write this is, negative,
all right like this way,
negative one over negative one
minus one squared and so this
is going to be negative two
down here, so this is equal
to negative, negative 1/4.
So, the slope of our tangent line is,
so I could write this way,
m is equal to negative one,
negative 1/4 and so now,
we just have to write
its equation down.
So we already know, an x one and a y one
that sits on the line,
in fact we want to use
the point when x is equals negative one
so we know that the
point negative one comma,
we could just input it right over here,
f of negative one is negative 1/2,
one over negative one
minus one, negative 1/2.

Bulgarian: 
f прим от –1 е равно на:
Мога да запиша този
 минус така.
–1 върху –1
минус 1 на квадрат. 
Това долу ще бъде –2,
следователно това 
е равно на –1/4.
Наклонът на допирателната е...
Мога да го запиша така:
 m е равно на –1/4.
Сега само трябва
 да запишем уравнението му.
Вече знаем, че х1 и у1 
лежат на правата.
Всъщност искаме 
да използваме точката,
в която х е равно на –1.
Знаем, че точката (–1;...
Можем да го запишем тук.
f(–1) е –1/2,
1 върху –1 минус 1,
 което е –1/2.

Korean: 
f'(-1)은
여기에 쓰겠습니다
분자는 -1이고
분모는 (-1-1)²가 됩니다
따라서 이는 -1/4가 됩니다
즉, 우리의 접선의 기울기는
m = -1/4입니다
m = -1/4입니다.
이제 우리는 
전체 방정식을 구해야 합니다
우리는 이미 직선 위의 
점 (x₁, y₁)을 알고 있습니다
우리가 사용할 직선위의 점은
x가 -1일 때의 직선위의 점입니다
우리는 그점의 x좌표가 
-1이라는 것을 알고있고
여기에 -1을 대입하면
f(-1)은 -1/2 입니다
f(-1)은 -1/2 입니다

Czech: 
f s čárkou
v bodě −1 se rovná...
Můžu to napsat
jen jako minus...
Nebo raději jako −1 lomeno
((−1 minus 1) na druhou).
Tady dole budeme mít −2, takže
výsledek je minus (1 lomeno 4).
Směrnice naší
tečny je tedy...
Mohu to napsat tak, že m se
rovná minus (1 lomeno 4).
Teď už jen zbývá
napsat rovnici tečny.
Už známe nějaký bod [x₁; y₁],
který leží na této tečně.
Použijeme bod
s x-ovou souřadnicí −1.
Víme, že bod [−1;...
Můžeme dosadit
přímo sem.
f(−1) se rovná
minus (1 lomeno 2),
protože 1 lomeno (−1 minus 1)
je minus (1 lomeno 2).

Thai: 
f ไพรม์ของลบ 1 เท่ากับ
ผมเขียนว่านี่คือ ลบ
แบบนี้ ลบ 1 ส่วนลบ 1
ลบ 1 กำลังสอง แล้วอันนี้จะเท่ากับลบ 2
ข้างล่างนี้ นี่จึงเท่ากับลบ ลบ 1/4
ความชันของเส้นสัมผัสเรา
ผมเขียนแบบนี้ได้ m เท่ากับลบ 1
ลบ 1/4 และตอนนี้ เราแค่ต้องเขียน
สมการของมันลงไป
เรารู้แล้ว x1 กับ y1
อยู่บนเส้นตรง ที่จริงเราอยากใช้
จุดที่ x เท่ากับลบ 1
เรารู้ว่าจุดลบ 1 จุลภาค
เราใส่ค่านำเข้าตรงนี้ได้
f ของลบ 1 เท่ากับลบ 1/2
1 ส่วนลบ 1 ลบ 1 ได้ลบ 1/2

English: 
So we know that this negative
one comma negative 1/2,
that that is on our curve
and it is on our line,
that's the point at which the tangent
and the curve actually intersect.
And so we can use any of these,
to now write the equation of our line,
we could say, y, under right here,
y minus y one, so minus negative 1/2
is going to be equal
to, is going to be equal
to our slope, negative 1/4,
I'm just using the point's
slope version of our equation,
is equal to our slope times x minus x one,
so x minus or x squared
that we know sits on this,
so minus negative one.
And so let me now write all
of this in a neutral color,
this will be y plus 1/2
is equal to, and I can,
so this is gonna be plus
one right over there,
so I can distribute the negative 1/4.

Czech: 
Víme tedy, že bod [−1; −(1 lomeno 2)]
leží na křivce i naší tečně k ní,
protože jde o bod průniku
křivky a její tečny.
Nyní můžeme využít libovolný z těchto
tvarů a napsat rovnici naší tečny.
Můžeme napsat,
že y...
Napíšu to sem.
...y minus y₁, tedy
y minus (−(1 lomeno 2)),
se rovná směrnici,
tedy minus (1 lomeno 4)...
Používám rozšířený
směrnicový tvar rovnice přímky.
...se rovná směrnici
krát (x minus x₁),
tedy x minus x-ová souřadnice
známého bodu ležícího na přímce,
což bude
x minus −1.
Teď to celé přepíšu
nějakou jinou barvou.
Bude to y plus (1 lomeno 2)
se rovná...
Tady to můžu
napsat jako +1
a teď roznásobím číslem
minus (1 lomeno 4).

Thai: 
เราจึงรู้ว่า (-1, -1/2) นี้
มันคือเส้นโค้ง และมันอยู่บนเส้นตรง
นั่นคือจุดที่เส้นสัมผัส
กับเส้นโค้งตัดกัน
เราใช้อันไหนก็ได้
เพื่อเขียนสมการเส้นตรง
เราบอกได้ว่า y ข้างล่างตรงนี้
y ลบ y1 คือลบลบ 1/2
จะเท่ากับ จะเท่ากับ
ความชันของเรา ลบ 1/4
ผมแค่ใช้ความชันของจุดของสมการเรา
เท่ากับความชันของเราคูณ x ลบ x1
x ลบ หรือ x กำลังสองที่เรารู้ นั่งอยู่บนนี้
ลบลบ 1
แล้วตอนนี้ ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ด้วยสีกลางๆ
อันนี้จะเป็น y บวก 1/2 เท่ากับ ผมก็
อันนี้จะเป็นบวก 1 ตรงนี้
ผมก็แจกแจงลบ 1/4 ได้

Bulgarian: 
Следователно знаем, 
че (–1; –1/2)
лежи на кривата и че 
е част от нашата права.
Това е точката, в която 
допирателната
и кривата се пресичат.
Сега можем да използваме
 някое от тези,
за да запишем 
уравнението на правата.
Можем да запишем
у минус у1, следователно
 минус –1/2
ще бъде равно на
нашия наклон –1/4...
просто използвам уравнението за
 права, минаваща през точка...
равно на наклона по х – х1.
х минус нашата х координата,
 която знаем, че лежи тук.
Следователно минус –1.
Нека сега запиша всичко това
 с неутрален цвят.
Това ще бъде у плюс 1/2
 равно на...
Това тук ще бъде плюс
и мога да разкрия скобите.

Korean: 
우리는 (-1, -1/2)가
우리의 곡선 위에도 있고
직선 위에도 있는
접선과 곡선이 만나는 점임을 
알고 있습니다.
접선과 곡선이 만나는 점임을 
알고 있습니다
따라서 우리는 이것들 중 
하나의 방법을 이용하여
직선의 방정식을 쓸 수 있습니다
y
y 빼기 y₁, 즉 -1/2
이 다음과 같습니다
기울기 -1/4
여기서는 표준형을 사용하겠습니다
기울기 곱하기 x - x₁
x - x₁ 혹은 x좌표
즉, -1
이 전체를 다른 색으로 써보겠습니다
y +1/2 =
여기 이것이 +1이 되고
이 -1/4를 분배법칙을 사용하면

English: 
So it's negative 1/4 x minus 1/4 minus 1/4
and then I can subtract
1/2 from both sides
so I'm gonna get y is
equal to negative 1/4 x
and then if I already am subtracting 1/4
and I subtract another half
is gonna be negative 3/4
so minus three, minus 3/4.
So, and that's actually pretty
close to what I drew up here,
this should be intersecting
the y-axis at negative 3/4.
So there you have it, this, this line,
or you could even say, this equation,
is going to be a very
good linear approximation,
about as good as you can get
for a linear approximation
for that nonlinear function
around x equals negative one.
You might say, well why
didn't they just ask me
to find the equation of the tangent line
at x equals negative
one, well they could have

Czech: 
Vyjde mi minus (1 lomeno 4) krát x
a pak minus (1 lomeno 4).
Nyní mohu od obou
stran odečíst 1 lomeno 2,
díky čemuž dostanu, že y se rovná
minus (1 lomeno 4) krát x a pak...
Když tady odečítám 1 lomeno 4
a pak odečtu ještě 1 lomeno 2,
tak to bude
minus (3 lomeno 4).
To je vlastně docela blízko
tomu, co jsem tady namaloval.
Osu y by tahle tečna měla protínat v bodě
y rovná se minus (3 lomeno 4).
A máme hotovo.
Tato přímka, respektive tato rovnice,
je velmi dobrou lineární aproximací,
v podstatě nejlepší
možnou lineární aproximací,
pro naši nelineární funkci
okolo bodu x rovno −1.
Možná si říkáte, proč se prostě nezeptají
na rovnici tečny v bodě x rovno −1.

Korean: 
-1/4 x 빼기 1/4 입니다
양변에서 1/2을 뺀다면
y = -1/4 x
여기 이미 1/4를 뺐기 때문에
여기서 1/2을 더빼게 되면 -3/4입니다
-3/4
이는 여기에 그린것과 꽤 비슷합니다
이 직선은 y축과 -3/4에서 
교차할 것입니다
따라서 이 직선은
혹은 이 방정식은
굉장히 좋은 일차 근사가 됩니다
x=-1 근처에서 이 비선형 함수를
일차 근사한 것중엔 
가장 좋은 근사일 것입니다
처음부터 x=-1에서 접선의 방정식을
구하라고 하면 되는것 아니냐는 
의문을 가질 수도 있습니다
그럴 수도 있겠지만

Bulgarian: 
Получаваме –1/4х минус –1/4
После мога да извадя
 1/2 от двете страни
и получавам, че
 у е равно на –1/4х...
После, щом вече 
изваждам 1/4
и извадя още 1/2, 
ще получа –3/4.
–3/4.
Това доста се доближава до това, 
което начертах тук горе.
Това би трябвало да пресича
 оста у в –3/4.
Готово, тази права,
а можем да кажем
 и това уравнение
ще бъде едно много добро
линейно приближение,
колкото е възможно 
за линейно приближение,
на тази нелинейна функция
около х равно на –1.
Може да си кажеш: 
"Ами, защо просто не искаха
да намеря уравнението на 
допирателната
при х равно на 1". Можеха,

Thai: 
มันก็คือลบ 1/4 x ลบ 1/4 ลบ 1/4
แล้วผมก็ลบ 1/2 ทั้งสองข้าง
แล้วผมจะได้ y เท่ากับลบ 1/4 x
แล้วถ้าผมลบ 1/4
ผมลบอีก 1/2 จะได้ลบ 3/4
ลบ 3, ลบ 3/4
และมันใกล้กับสิ่งที่ผมวาดตรงนี้
อันนี้ควรตัดแกน y ที่ลบ 3/4
คุณก็ได้แล้ว เส้นตรงนี้
หรือคุณบอกได้ว่า สมการนี้
จะเป็นการประมาณเชิงเส้นที่ดีมาก
ดีเท่าที่คุณจะได้สำหรับการประมาณเชิงเส้น
ของฟังก์ชันไม่เป็นเชิงเส้นนั้น
รอบ x เท่ากับ 1
คุณอาจถามว่า ทำไมเขาไม่ถามฉัน
ว่าให้หาสมการเส้นสัมผัส
ที่ x เท่ากับลบ 1 ไปเลย เขาถามได้

Korean: 
여기에는 약간 다른 뉘앙스가 존재합니다
다만 여기에서는
접선의 방정식을 사용하여
x=-1 근처에서 이 함수를
근사 할 수 있는 것으로 생각합시다

Bulgarian: 
но има малко допълнителна 
мисловна дейност така.
Добре, можем да използваме
уравнението
на допирателната, 
за да намерим приближение
на тази функция около
 х равно на –1.

Thai: 
แต่มันมีกระบวนการคิดเพิ่มนิดหน่อยตรงนี้
เราบอกว่า โอเค เราใช้สมการ
เส้นสัมผัสเพื่อประมาณ
ฟังก์ชันนี้รอบๆ x เท่ากับลบ 1 ได้

Czech: 
To by sice mohli, ale takhle nad tím
musíte víc přemýšlet a říct si:
„K aproximaci této funkce okolo bodu
x rovno −1 můžu využít rovnici tečny.“

English: 
but there's a little bit of
extra cognitive processing here,
we say, okay, I can
actually use the equation
of the tangent line at to approximate
this function around
x equals negative one.
