
Czech: 
Mějme funkci f takovou, že f(−1)
je rovno 3 a derivace f(−1) je rovna 5.
Dále funkce g je definovaná 
jako 2 krát x na třetí.
A konečně F 
je podíl f a g.
Zadáním je vypočítat
derivaci F(−1).
Nejprve vypočítáme derivaci F,
a pak ji vyčíslíme v −1.
Jelikož je F definována 
jako podíl dvou funkcí,
tak k jejímu derivování se bude 
hodit pravidlo o derivaci podílu.
Pravidlo o derivaci nyní bude velmi
užitečné, avšak pokud bychom ho zapomněli,
tak ho můžou zastoupit pravidla o derivaci
součinu a o derivaci složené funkce.
Napišme si nyní pravidlo
o derivaci podílu.

Thai: 
ให้ f เป็นฟังก์ชันโดยที่
f ของลบ 1 เท่ากับ 3
f ไพรม์ของลบ 1 เท่ากับ 5
ให้ g เป็นฟังก์ชัน g ของ x
เท่ากับ 2x ยกกำลัง 3
ให้ F ใหญ่เป็นฟังก์ชันที่นิยามว่า
F ใหญ่นิยามว่าเป็น f เล็กของ x
หารด้วย g เล็กของ x แล้วเขาอยากให้เรา
หาค่าอนุพันธ์ของ F ใหญ่
ที่ x เท่ากับลบ 1
วิธีที่เราทำได้คือว่า
ลองหาอนุพันธ์ของ F ใหญ่
แล้วหาค่ามันที่ x เท่ากับ 1
และวิธีที่เขาตั้ง F ใหญ่นั้น
นิยามฟังก์ชันนี้ เราเห็นได้ว่า
มันเป็นผลหารของฟังก์ชันสองตัว
ถ้าเราอยากหาอนุพันธ์ของมัน
คุณก็บอกว่า อืม บางที
กฎผลหารอาจสำคัญตรงนี้
และผมจะบอกไว้ข้างๆ
กฎผลหาร ผมจะบอกมันเดี๋ยวนี้
มันมีประโยชน์
แต่ถ้าคุณลืม
คุณก็พิสูจน์มันได้อย่างรวดเร็ว
จากกฎผลคูณ ถ้าคุณรู้จัก
รวมกับกฎลูกโซ่ คุณจะ
หากฎผลหารได้อย่างรวดเร็ว
แต่ขอผมบอกกฎผลหารก่อนตอนนี้

Korean: 
f를 f(-1) = 3 이고
f'(-1) = 5인 함수로 둡시다
f를 f(-1) = 3 이고
f'(-1) = 5인 함수로 둡시다
f를 f(-1) = 3 이고
f'(-1) = 5인 함수로 둡시다
x에 관한 함수 g는
g(x) = 2x³으로 표현됩니다
대문자 F는 g(x)/f(x) 로
정의되는 함수입니다
대문자 F는 g(x)/f(x) 로
정의되는 함수입니다
대문자 F는 g(x)/f(x) 로
정의되는 함수입니다
이제 F'(-1) 값을 찾아야합니다
이제 F'(-1) 값을 찾아야합니다
이를 위해서는 F'(x) 값을 구하고
이를 위해서는 F'(x) 값을 구하고
x에 -1을 대입하면 됩니다
F(x)가 정의된 형태를 보면
F(x)가 정의된 형태를 보면
F(x)가 두 함수의 몫임을 알 수 있습니다
따라서 F의 도함수를 구함에 있어
따라서 F의 도함수를 구함에 있어
몫의 규칙이 중요합니다
이것이 무엇인지 알려드리겠습니다
지금 언급할 몫의 규칙은
알면 유용하겠지만
잊어버린다고 해도
곱셈 법칙과 연쇄 법칙으로부터
빠르게 얻어낼 수 있습니다
곱셈 법칙과 연쇄 법칙으로부터
빠르게 얻어낼 수 있습니다
연쇄 법칙을 안다면 말입니다
연쇄 법칙을 안다면 말입니다
그렇지만 지금은
몫의 법칙을 바로 언급하겠습니다

Bulgarian: 
Нека f е такава функция, че
f(-1) да е равно на 3,
а f прим от -1 да е равно на 5.
Нека g е функцията g(x)
равно на 2х на трета.
Нека главно F да е функция, дефинирана като...
Главно F е дефинирана като малко f от х,
разделено на малко g от х. Искат
да пресметнем производната на главно F
за х равно на -1.
Можем да го направим като...
Нека просто намерим производната на главно F
и после да пресметнем за х равно на -1.
Както са написали дефиницията
за функцията главно F, можем да видим, че
тя е частно от две функции.
Ако искаме да намерим нейната производна,
може да си кажеш: "Ами, май
правилото за частно ще е важно тук".
И аз винаги ще те подкрепя.
Ще запиша правилото за частно.
Добре ще е да го знаеш,
но в случай, че го забравиш,
можеш да го изведеш доста бързо
от правилото за произведение, и ако знаеш
верижното правило. С тези двете
можеш да намерим правилото за частно доста бързо.
Но нека го запиша тук сега.

English: 
- [Voiceover] Let f be
a function such that
f of negative one is equal to three,
f prime of negative one is equal to five.
Let g be the function g of x is
equal to two x to the third power.
Let capital F be a function defined as,
so capital F is defined
as lowercase f of x
divided by lowercase g
of x, and they want us
to evaluate the derivative of capital F
at x equals negative one.
So the way that we can do that is,
let's just take the
derivative of capital F,
and then evaluate it at x equals one.
And the way they've set up capital F,
this function definition, we can see that
it is a quotient of two functions.
So if we want to take it's derivative,
you might say, well, maybe the
quotient rule is important here.
And I'll always give you my aside.
The quotient rule, I'm
gonna state it right now,
it could be useful to know it,
but in case you ever forget it,
you can derive it pretty quickly
from the product rule, and if you know it,
the chain rule combined, you can
get the quotient rule pretty quick.
But let me just state the
quotient rule right now.

English: 
So if you have some function defined as
some function in the numerator
divided by some function
in the denominator,
we can say its derivative, and this is
really just a restatement
of the quotient rule,
its derivative is going to
be the derivative of the
function of the numerator, so d, dx,
f of x, times the function
in the denominator,
so times g of x, minus the
function in the numerator,
minus f of x, not taking its derivative,
times the derivative in the
function of the denominator,
d, dx, g of x, all of that over,
so all of this is going to be over
the function in the denominator squared.
So this g of x squared,
g of x, g of x squared.
And you can use different
types of notation here.

Czech: 
Máme funkci F s funkcí f v čitateli
a s funkcí g ve jmenovateli.
Pak derivace F(x) bude, podle 
pravidla o derivaci podílu, následující:
derivace f(x) krát g(x) minus
f(x) krát derivace g(x)
a to celé je vyděleno
g(x) na druhou.
Můžeme použít různé
způsoby zápisu derivace.

Bulgarian: 
Ако имаме функция, дефинирана като
някаква функция в числител,
разделена на някаква функция в знаменател,
можем да кажем, че...и това е
просто правилото за частно...
производната ще бъде производната на
функцията числител, d/dx
f(x), по функцията в знаменателя,
следователно по g(x) минус функцията в числителя,
минус f(x), без да взимаме нейната производна,
по производната на функцията в знаменателя,
d/dx g(x),
всичко това върху
функцията в знаменателя на квадрат.
Това g(x) на квадрат.
Можеш да използваш различен запис.

Thai: 
ถ้าคุณมีฟังก์ชันที่นิยามเป็น
ฟังก์ชันหนึ่งในตัวเศษ
หารด้วยฟังก์ชันอีกตัวในตัวส่วน
เราก็บอกได้ว่า อนุพันธ์ของมัน และนี่คือ
การบอกกฎผลหารซ้ำอีกรอบ
อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันตัวเศษ d/dx
f ของ x คูณฟังก์ชันของตัวส่วน
คูณ g ของ x ลบฟังก์ชันในตัวเศษ
ลบ f ของ x ไม่ได้หาอนุพันธ์
คูณอนุพันธ์ในฟังก์ชันของตัวส่วน
d/dx g ของ x ทั้งหมดนั้นส่วน
ทั้งหมดนี้จะมีส่วน
ฟังก์ชันในตัวส่วนกำลังสอง
g ของ x นี่กำลังสอง g ของ x, 
g ของ x กำลังสอง
และคุณใช้สัญลักษณ์อื่นได้ตรงนี้

Korean: 
분자에 어떤 함수가 있고
분모에 어떤 함수가 이를 나누는 형태로
정의되는 함수가 있다면
이것의 도함수는
사실 이 식 자체가 몫의 규칙인데
분자에 있던 함수 f(x)의 도함수
즉  df(x)  / dx
곱하기 분모에 있던 함수 g(x)
빼기 분자에 있던
도함수가 아니라 함수 f(x)
빼기 분자에 있던
도함수가 아니라 함수 f(x)
곱하기 분모에 있던 
수 g(x)의 도함수
즉 dg(x) / dx
이후에는 이 전체 식을
분모에 있던
함수 g(x)의 제곱으로 나눕니다
분모에 있던
함수 g(x)의 제곱으로 나눕니다
이 식을 다른 표기로
간단하게 적을 수 있습니다

English: 
You could say, instead
of writing this with
a derivative operator,
you could say this is
the same thing as g
prime of x, and likewise,
you could say, well that is
the same thing as f prime of x.
And so now we just want
to evaluate this thing,
and you might say, wait, how
do I evaluate this thing?
Well, let's just try it.
Let's just say we want to evaluate F prime
when x is equal to negative one.
So we can write F prime of
negative one is equal to,
well everywhere we see an x,
let's put a negative one here.
It's going to be f prime of negative one,
lowercase f prime, that's
a little confusing,
lowercase f prime of negative
one times g of negative one,
g of negative one minus f of negative one
times g prime of negative one.

Czech: 
Místo tohoto zápisu to můžete zapsat jako
g(x) s čárkou, stejně tak f(x) s čárkou.
Nyní budeme chtít vyčíslt
derivaci F(x) v bodě −1.
Jak na to?
Pojďme to
nějak zkusit.
Derivace F(−1) bude
rovna tomuto…
Všude za x
dosadíme -1.
Derivace f(−1) krát g(−1)
minus f(−1) krát derivace g(−1)

Bulgarian: 
Вместо да го записваш
със знак за производна, можеш да кажеш,
че това е същото като g прим от х, и обратно.
Можеш да кажеш, че това е същото нещо като f прим от х.
Сега искаме просто да сметнем това нещо.
Може да кажеш: "Чакай, как да пресметна това нещо?"
Ами, хайде да опитаме.
Да кажем, че искаме да сметнем F прим,
когато х е равно на -1.
Можем да запишем F прим от -1 е равно на...
Навсякъде където има х, заместваме с -1.
Ще бъде f прим от -1,
малко f прим, това е малко объркващо,
малко f прим от -1 по g(-1),
минус f(-1) по g прим от -1.

Korean: 
도함수 연산자 대신에
도함수 연산자 대신에
이 식은 g'(x)로
이 식은 f'(x)로 나타낼 수 있습니다
이제 식을 계산하기만 하면 됩니다
어떻게 계산할까요?
지금 해봅시다
F'(-1)을 구하고 싶습니다
F'(-1)을 구하고 싶습니다
그러면 F'(-1)은
이 식의 x 값에
-1을 대입한 값이 됩니다
소문자 f'(-1)에
소문자 f'(-1)에
g(-1)을 곱하고
여기에 f(-1) 곱하기 g(-1)을 합니다
여기에 f(-1) 곱하기 g(-1)을 합니다

Thai: 
คุณบอกได้ว่า แทนที่จะเขียนอันนี้ด้วย
ตัวดำเนินการอนุพันธ์ คุณก็บอกว่า อันนี้
เหมือนกับ g ไพรม์ของ x และเช่นเดียวกัน
คุณบอกได้ว่า นั่นเหมือนกับ f ไพรม์ของ x
แล้วตอนนี้ เราก็แค่หาค่าสิ่งนี้
คุณอาจถามว่า ฉันจะหาค่าตัวนี้ได้อย่างไร?
ลองหามันดู
ลองสมมุติว่า เราอยากหาค่า F ไพรม์
เมื่อ x เท่ากับลบ 1
เราเขียน F ไพรม์ของลบ 1 เท่ากับ
ทุกที่ที่เราเห็น x เราจะใส่ลบ 1 ลงไป
มันจะเป็น f ไพรม์ของลบ 1
f เล็กไพรม์ มันชวนงงนิดหน่อย
f เล็กไพรม์ของลบ 1 คูณ g ของลบ 1
g ของลบ 1 ลบ f ของลบ 1
คูณ g ไพรม์ของลบ 1

Bulgarian: 
Всичко това върху...ще направим това в същия цвят.
Подхождай сериозно към моите цветове.
Добре, всичко това върху g(-1) на квадрат.
Сега можем ли да намерим колко са f прим от -1,
f(-1), g(-1)
и g прим от -1?
Някои от тях са ни дадени вече.
Дадени са ни f и f прим от -1.
А за g, всъщност можем да ги сметнем.
Да видим. Нека първо
сметнем g(-1).
g(-1) ще е равно на 2
по -1 на степен 3.
-1 на трета е просто -1,
по 2, следователно това е -2.
А g прим от х ще го направя тук.
Хайде да използваме правилото за степента. Изваждаме това 3 отпред.
3 по 2 е 6, по х... намаляваме степента.
3 минус 1 е 2, следователно g прим от -1

Thai: 
ทั้งหมดนั้นส่วน เราจะทำด้วยสีเดิมนะ
ใช้สีจริงจังหน่อย
เอาล่ะ ทั้งหมดนั้นส่วน g ของลบ 1 กำลังสอง
ทีนี้ เราหาได้ว่า f ไพรม์ของลบ 1
f ของลบ 1, g ของลบ 1,
และ g ไพรม์ของลบ 1 พวกมันเป็นเท่าใด?
บางตัว เขาบอกเรามาเลย
เขาบอก f กับ f ไพรม์ที่ลบ 1 มา
และสำหรับ g เราแก้หาค่าเหล่านั้นได้
ลองดู ถ้านี่คือ ลอง
หาค่า g ของลบ 1 ก่อน
g ของลบ 1 จะเป็น 2
คูณลบ 1 กำลังลบ 3
ลบ 1 ยกกำลัง 3 ก็แค่ลบ 1
คูณ 2 นี่ก็คือลบ 2
และ g ไพรม์ของ x ผมจะทำตรงนี้
g ไพรม์ของ x
ลองใช้กฎยกกำลัง นำ 3 นั่นมาไว้ข้างหน้า
3 คูณ 2 ได้ 6, x ลดเลขชี้กำลังลง
3 ลบ 1 ได้ 2 แล้ว g ไพรม์ของลบ 1

Korean: 
위의 식과 같은색으로 적겠습니다
위의 식과 같은색으로 적겠습니다
그 후 나누기 g(-1)의 제곱을 합니다
f'(-1), f(-1), g'(-1), g(-1)의 값은
모두 구할 수 있습니다
f'(-1), f(-1), g'(-1), g(-1)의 값은
모두 구할 수 있습니다
f'(-1), f(-1), g'(-1), g(-1)의 값은
모두 구할 수 있습니다
어떤 건 바로 값을 알려주기도 합니다
f(-1)과 f'(-1) 값은 주어졌고
g(x)에 대해서는 값을 구하면 됩니다
g(-1)부터 구해봅시다
g(-1)부터 구해봅시다
g(-1)은 2 곱하기 (-1)³이므로
g(-1)은 2 곱하기 (-1)³이므로
값은 -2가 됩니다
값은 -2가 됩니다
g'(-1)의 경우에는
먼저 g'(x)를 구합니다
다항식의 미분법을 이용하면
g'(x)는 3 곱하기 2인 6이 계수이고
차수는 3에서 1 감소한 2인

Czech: 
a to celé děleno
g(−1) na druhou.
Nyní je třeba zjistit jakou hodnotu
mají jednotlivé členy výrazu.
Některé z nich
už známe.
V zadání je popsána
f a její derivace v −1.
Vyčíslení pro funkci g
musíme ještě dopočítat.
g(−1) je rovno
2 krát −1 na třetí.
Jelikož −1 na třetí je rovno −1,
tak g(−1) je rovno −2.
Na zjištění derivace g(x) použijeme
pravidlo o derivaci mocninné funkce.
Vyndáme 3 ven a 
dostaneme 6 krát x na druhou.

English: 
All of that over, we'll
do that in the same color,
so take my color seriously.
Alright, all of that over
g of negative one squared.
Now can we figure out what
F prime of negative one
f of negative one, g of negative one,
and g prime of negative
one, what they are?
Well some of them, they tell us outright.
They tell us f and f
prime at negative one,
and for g, we can
actually solve for those.
So, let's see, if this is, let's
first evaluate g of negative one.
G of negative one is going to be two
times negative one to the third power.
Well negative one to the third
power is just negative one,
times two, so this is negative two,
and g prime of x, I'll
do it here, g prime of x.
Let's use the power rule,
bring that three out front,
three times two is six, x,
decrement that exponent,
three minus one is two, and
so g prime of negative one

Czech: 
Tedy derivace g(−1) je rovna
6 krát −1 na druhou.
-1 na druhou
je prostě 1.
Tedy derivace g(−1)
je rovna 6.
Nyní známe všechny
potřebné členy.
Ze zadání derivace
f(−1) je rovna 5.
g(−1) je rovno −2.
f(−1), známe ze
zadání, je 3.
Derivace
g(−1) je 6.

English: 
is equal to six times
negative one squared.
Well negative one squared is just one,
so this is going to be equal to six.
So we actually know what
all of these values are now.
We know, so first we wanna figure out
f prime of negative one.
Well they tell us that right over here.
F prime of negative one is equal to five.
So that is five.
G of negative one, well we
figured that right here.
G of negative one is negative two.
So this is negative two.
F of negative one, so f of negative one,
they tell us that right over there.
That is equal to three.
And then g prime of negative one,
just circle it in this green color,
g prime of negative
one, we figured it out.
It is equal to six.
So this is equal to six.

Thai: 
เท่ากับ 6 คูณลบ 1 กำลังสอง
ลบ 1 กำลังสองก็คือ 1
อันนี้จะเท่ากับ 6
เราจึงรู้ค่าทั้งหมดแล้วตอนนี้
เรารู้ อย่างแรก เราอยากหา
f ไพรม์ของลบ 1
เขาบอกเรามาตรงนี้แล้ว
f ไพรม์ของลบ 1 เท่ากับ 5
นั่นคือ 5
g ของลบ 1 เราหาไปแล้ว
g ของลบ 1 คือลบ 2
นี่คือลบ 2
f ของลบ 1, f ของลบ 1
เขาบอกเราตรงนี้
นั่นเท่ากับ 3
แล้ว g ไพรม์ของลบ 1
วงกลมมันด้วยสีเขียว
g ไพรม์ของลบ 1 เราหาไปแล้ว
มันเท่ากับ 6
ค่านี้เท่ากับ 6

Bulgarian: 
е равно на 6 по -1 на квадрат.
-1 на квадрат е просто 1,
следователно това ще е равно на 6.
Сега знаем стойностите на тези функции.
Първо искаме да намерим
f прим от -1.
Тук ни е дадено.
f прим от -1 е равно на 5.
Следователно това е 5.
g(-1), това го намерихме.
g(-1) e -2.
Това е -2.
f(-1)
ни е дадено тук.
Равно е на 3.
После g прим от -1...
Заграждам в зелен цвят.
g прим от -1 го намерихме.
Равно е на 6.
Това е равно на 6.

Korean: 
6x²이 됩니다
(-1)²은 1이므로
g'(-1)은 6이 됩니다
이제 모든 값을 알아냈습니다
먼저 f'(-1)에는
이미 주어진 값을 대입합니다
먼저 f'(-1)에는
이미 주어진 값을 대입합니다
먼저 f'(-1)에는
이미 주어진 값을 대입합니다
f'(-1) = 5 입니다
f'(-1) = 5 입니다
g(-1)은 여기 계산했듯이 -2입니다
g(-1)은 여기 계산했듯이 -2입니다
g(-1)은 여기 계산했듯이 -2입니다
f(-1)도 역시 주어졌습니다
f(-1) = 3 입니다
f(-1) = 3 입니다
g'(-1)의 값은
초록색으로 표시하도록 하죠
g'(-1) = 6 였습니다
g'(-1) = 6 였습니다
g'(-1) = 6 였습니다

Korean: 
마지막으로 g(-1)이 남았네요
이것도 이미 계산해두었습니다
g(-1) = 2 였습니다
이제 식을 계산하면
5 곱하기 -2, 즉 -10
뺴기 3 곱하기 6, 즉 18
나누기 (-2)²입니다
즉 4 입니다
따라서 전체 식은
-28 나누기 4인 -7이 됩니다
-28 나누기 4인 -7이 됩니다
이제 답을 얻었습니다
처음에는 어려워 보였겠지만
이 식을 보고
몫의 규칙을
적용할 수 있다는 것만 알면
이를 적용했을 때
g(-1), g'(-1)은 바로 구할 수 있고
g(-1), g'(-1)은 바로 구할 수 있고
f(-1)과 f'(-1)은 주어집니다
도움이 되었기를 바랍니다

English: 
And then finally, g of
negative one right over here.
We already figured that out.
That was equal to negative two.
So this is all going to simplify to...
So you have five times negative two,
which is negative 10,
minus three times six,
which is 18, all of that
over negative two squared.
Well negative two squared is
just going to be positive four.
So this is going to be equal to
negative 28 over positive four,
which is equal to negative seven.
And there you have it.
It looks intimidating at first,
but just say, okay, look.
I can use the quotient
rule right over here,
and then once I apply the quotient rule,
I can actually just directly figure out
what g of negative one,
g prime of negative one,
and they gave us f of negative one,
f prime of negative one, so
hopefully you find that helpful.

Thai: 
แล้วสุดท้าย g ของลบ 1 ตรงนี้
เราหาไปแล้ว
มันเท่ากับลบ 2
นี่จึงลดรูปเหลือ --
คุณมี 5 คูณลบ 2
ซึ่งก็คือลบ 10 ลบ 3 คูณ 6
ซึ่งก็คือ 18 ทั้งหมดนั้นส่วนลบ 2 กำลังสอง
ลบ 2 กำลังสองจะเท่ากับบวก 4
อันนี้จึงเท่ากับ
ลบ 28 ส่วนบวก 4
ซึ่งเท่ากับลบ 7
คุณก็ได้แล้ว
มันดูน่ากลัวตอนแรก
แต่เราแค่บอกว่า ดูสิ
ฉันใช้กฎผลหารตรงนี้ได้
แล้วเมื่อฉันใช้กฎผลหาร
ฉันก็หาได้โดยตรง
ว่า g ของลบ 1, g ไพรม์ของลบ 1 คืออะไร
แล้วเขาให้ f ของลบ 1
f ไพรม์ของลบ 1 มาโดยตรง หวังว่า
คุณคงได้ประโยชน์จากแบบฝึกหัดนี้นะ

Bulgarian: 
Накрая g(-1) тук.
Вече го намерихме.
Беше равно на -2.
Всичко това ще се опрости до:
Имаме 5 по -2,
което -10, минус 3 по 6,
което е 18, цялото върху -2 на квадрат.
-2 на квадрат ще бъде 4.
Това ще бъде равно на
-28 върху 4,
което е равно на -7.
И сме готови.
Изглежда страшно в началото,
но просто си казвай: "Добре,
мога да използвам правилото за частно тук
и щом използвам правилото за частно,
всъщност мога директно да намеря
колко са g(-1), g прим от -1,
а f(-1) и f прим от -1 са ни дадени".
Надявам се, че това ти е било полезно.

Czech: 
A konečně, g(−1) 
ještě doplnit sem.
Zbývá výraz
zjednodušit.
5 krát −2 je −10.
Od toho odečteme 3 krát 6, tedy 18,
a to celé vydělíme −2 na druhou, tedy 4.
Celkem dostaneme −28
děleno 4, tedy −7.
Z počátku vypadá
příklad obtížně.
Avšak nejprve je třeba si všimnout, že je
třeba použít pravidlo o derivaci podílu.
A jeho části buďto přímo
vypočteme, jako v případě g,
a nebo už známe ze
zadání, jako v případě f.
Nic složitého.
