
Bulgarian: 
В това видео
ще докажем, че
производната по отношение на х
на естествения логаритъм на х
е равна на 1/х.
Нека започваме.
Просто като използваме определението за производна,
ако кажа производната
по отношение на х
на естествен логаритъм на х,
това ще е границата,
докато делта х доближава 0
на естествен логаритъм х + делта х
минус естествения логаритъм на х.
Всичко това е върху делта х.
Можем да използваме няколко логаритмични свойства.
Знаем, че ако имам естествен логаритъм от а,
минус естествен логаритъм от b,
това е равно на
естествен логаритъм от a/b.
И можем да използваме това тук,
където имам естествен логаритъм от нещо,
минус естествения логаритъм на друго нещо.

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is prove to ourselves that the derivative
with respect to X
of natural log of X
is indeed, equal to
one over X.
So let's get started.
So just using the
definition of a derivative
if I were to say the derivative
with respect to X
of natural log of X
that is gonna be the limit
as delta X approaches zero
of the natural log of X plus delta X
minus the natural log of X.
All of that over
delta X.
So now we can use a few
logarithm properties.
We know that if I have
the natural log of A
minus the natural log of B
this is equal to the natural log
of A over B.
So we can use that right over here
where I have the natural
log over something
minus the natural log of something else.

Bulgarian: 
Всичко това ще е равно на
границата, докато делта х
доближава 0 от естествен логаритъм
на това, разделено на това.
Тоест х + делта х, върху х.
х + делта х, върху х
и всичко това върху делта х.
И нека го запиша по този начин.
Всичко това върху делта х.
И ако имам
естествения логаритъм на това минус естествения логаритъм на това,
то е същото като
естественият логаритъм на първия израз,
разделен на втория израз.
Това произлиза директно от логаритмичните ни свойства.
В самия логаритъм, х делено на х е 1.
И после делта х делено на х,
можем просто да запишем това като делта х върху х.
Това е друг начин да запишем това.
И после можем да поставим 1/делта х отпред.
Можем да кажем, че това е същото нещо като...
това е равно на

English: 
So all of this is going to be equal to
the limit as delta X
approaches zero
of the natural log
of this divided by that.
So X plus delta X
over X.
X plus delta X
over X
all of that over
delta X.
And actually, let me
just write it that way.
All of that over
delta X.
Well jee, all I did, if I have
natural log of that
minus natural log of that
that's the same thing as natural log
of this first expression
divided by that second expression.
It comes straight out of
our logarithm properties.
Well, inside of this logarithm
X divided by X is one.
And then delta X divided by X
just write that as delta X
over X.
So that's another way of writing that.
And then we could put a
one over delta X up front.
So we could say this is the same thing as
this is equal to
the limit

Bulgarian: 
границата, докато делта х
доближава 0 –
ще направя това в друг цвят.
Мога да преобразувам това като 1/делта х
по естествения логаритъм на
1 + (делта х върху х).
Нека затворя тези скоби.
Сега можем да използваме друго свойство на степенния показател.
Ще го запиша тук.
Ако имам а по естествен логаритъм b,
това е равностойно на
естествен логаритъм b^а.
Тук в този случай това ще е а.
Така че мога да извадя това и да го направя степенен показател на това.
Тоест всичко това ще е равно на
границата, докато делта х доближава 0,
на естествен логаритъм от – ще си дам малко пространство –

English: 
as delta X
approaches zero
of, I 'll do this in another color.
So this, I can rewrite as one over delta X
times the natural log
of
one plus
one plus delta X
over X.
Let me close that parenthesis.
So now we can use another
exponent property.
If I have, I'll write it out here.
If I have A times a natural log of B
that is equivalent to
the natural log of B
to the A.
And so here, this would
be the A in that case.
So I could bring that out and
make that an exponent on this.
So this is all going to be equal to
the limit
as delta X approaches zero
of the natural log
of, give myself some space,
one

Bulgarian: 
1 + делта х/х
на степен 1/делта х.
Това може да започне да ти изглежда познато,
може да започне да изглежда приблизително еднакво с определението на е.
И наистина се доближаваме към него.
За да стигнем напълно дотам
ще направя промяна на променливата.
Ще кажа:
"Нека поставим n = делта х/х."
Делта х/х.
В този случай,
ако после умножиш двете страни на х,
делта х е равно на nх.
Отново, просто умножавам двете страни на това уравнение по х
и премествам това тук встрани.
И после ако искаш 1/делта х,
1/делта х,
това ще е равно на
1/nx,
което можем да запишем и като

English: 
one plus delta X
over X
to the
one over delta X power.
One over delta X power.
Now this might start to
look familiar to you,
it might start to look close
to the definition of E.
And we are, indeed, getting close to that.
In order to get there fully
I'm gonna do a change of variable.
I'm going to say
let's let
let's let
N equal delta X over X.
Delta X
over X.
Well, in that case,
then if you multiply both sides by X
you get delta X is equal to NX.
Again, just multiply both
sides of this equation by X
and swap to the sides there.
And then if you want one over delta X
one over delta X
that would be equal to
one over NX

Bulgarian: 
1/n по 1/х.
Или нека го запиша така.
Това е начинът, по който искам да го запиша.
Всички тези са замествания,
които искам да направя, когато променям променлива.
Също искаме да кажем...
Докато делта х доближава 0,
колко ще доближи n?
Докато делта х доближава 0,
n също ще доближи 0.
0/х ще е просто 0
за всяко х, което не е равно на 0.
И това е добре, понеже
0 дори не е в дефиниционното множество
на естествен логаритъм от х.
Това ще върши работа за нашето дефиниционно множество.
Делта х доближава 0,
n доближава 0.
И можеш да помислиш за това и по обратния начин –
докато n доближава 0, делта х доближава 0.
Нека направим промяната на променливата си.
Ако направим заместванията,
вместо да взимаме границата, докато делта х доближава 0,
сега ще вземем границата,

English: 
which we could also write as one over N
times one over X.
Or actually, let me write it this way.
Actually, that's the way
I do want to write it.
So these are all the substitutions
that I want to do when
I change a variable.
And we also want to say, well look.
As delta X is approaching zero
what is N going to approach?
Well, as delta X approaches zero
we have N will approach zero, as well.
Zero over X, well that's
just gonna be zero
for any X that is not equal to zero.
And that's okay because
zero is not even in the domain
of the natural log of X.
So, this is going to be,
for our domain, it works.
That is, delta X approaches zero
N approaches zero.
And you could think about
it the other way around
as N approaches zero,
delta X approaches zero.
So now let's do our change of variable.
So if we make the substitutions
instead of taking the limit
as delta X approaches zero
we are now going to take the limit as
N approaches zero

English: 
of
the natural log
of
give myself some parenthesis.
And I'll say, one plus
and now this is the same thing as N.
One plus N.
And then all of that is going to be
raised to
the one over N times one over X
that's what one over delta X is equal to.
This is one over delta X right over here.
Which we have over here.
And it's the same thing as one over N
times one over X.
So let me write that down.
So this is the same thing
as one over N times
one over X.
Now we can use this same exponent property
to go the other way around.
Well actually, let me just
rewrite this another time.
So this is going to be the same thing
as the limit
as N approaches zero
of the natural log
of
one plus, I'll just write this in orange.
One plus N

Bulgarian: 
докато n доближава 0,
на естествения логаритъм от –
нека сложа скоби.
И ще кажа – 1 плюс –
и това сега е същото нещо като n.
1 + n.
И после всичко това ще е
повдигнато на
степен (1/n по 1/х),
на толкова е равно делта х.
Това тук е 1/делта х –
това, което имаме тук.
И това е същото нещо като
1/n по 1/х.
Нека запиша това.
Това е същото нещо
като 1/n по 1/х.
Сега можем да използваме същото правило на степенния показател,
за да направим това по обратния начин.
Нека просто препиша това още веднъж.
Това ще е същото нещо
като границата, докато n доближава 0,
на естествения логаритъм от
1 + – ще запиша това в оранжево.

Bulgarian: 
(1 + n)^(1/n).
Ако повдигна нещо на степенен показател,
а това е по нещо друго,
това е същото нещо като да го повдигна
на първия степенен показател.
И после да повдигна това на втората стойност.
Това, отново, произлиза от свойствата на степенния показател.
И сега можем да използваме това свойство по обратния начин,
за да извадим това 1/х отпред.
Но всъщност самото 1/х не бива засегнато,
докато n доближава 0.
Така че можем да го извадим напълно извън границата.
Можем да го извадим ето тук.
И сега трябва да започнеш да се вълнуваш.
Това ще е равно на
1/х по границата, докато n доближава 0,
на естествения логаритъм от 1 + n...
Ще направя това в оранжево.
(1 + n)^(1/n).

English: 
to the one over N.
If I raise something to the exponent
and that's times something else,
I can that's the same thing as raising
it to the first exponent.
And then raising that to the second value.
This comes, once again,
straight out of our
exponent properties.
And now we can use this
property the other way
to bring this one over X out front.
But in fact, the one over
X itself is not affected
as N approaches zero.
So we can even take it
completely out of the limit.
So we could take it
all the way over there.
And this is when you
should be getting excited.
This will be equal to
one over X
times the limit
as N approaches zero
of the natural log
of
one
one plus N.
We do that in orange color.
One plus N to the one over N.

Bulgarian: 
Всъщност бива повлияно това,
което се случва в естествения логаритъм.
Там се намират всички n.
Нека извадим границата.
Всичко това ще е равно на –
нека си дам малко място.
Малко допълнително място на дъската.
Това ще е равно на
1/х по естествения логаритъм на
границата, докато n доближава 0,
на (1 + n)^(1/n).
Затваряме скобите.
Това е вълнуващо.
Какво имаме тук в естествения логаритъм?
Всичко това тук е
определение на числото е.
Това е равно на е.
Какъв е естественият логаритъм от е?
Това е просто 1.
Така че това е 1/х по 1.
Това наистина е равно на 1/х.

English: 
And now, what really gets affected
is what's going on inside
of the natural log.
That's where all of the Ns are.
And so let's bring the
limit inside of that.
So this is all going to be equal to
give myself some space.
A little bit of extra chalk board space.
This is going to be equal to
one over X
times the natural log
times the natural log of
the limit
as N approaches zero
of
one plus N
to the one over N.
Close those parenthesis.
Now this is exciting.
What is inside the natural log here?
Well, this business
right over here, this is
a definition of the number E.
So that is equal to E.
Well, what's the natural log of E?
Well that's just one.
So it's one over X times one.
Well, that is indeed equal to
one over X.
Which is exactly

Bulgarian: 
Това е точно резултатът, който търсехме.
Това е производната по отношение на х
на естествения логаритъм от х –
1/х.
Много вълнуващо.

English: 
the result that we were looking for.
That the derivative
with respect to X of natural log of X,
is one over X.
Very exciting.
