
Chinese: 
大家好！我是其栋老师，欢迎来学习微积分的课程
在认识自然对数函数的基本概念和运算技巧之后
你是否感到好奇?为什么它称为对数函数呢？
它跟我们在高中数学所学的对数又有什么关联？
现在就赶快跟着本单元的介绍来认识这个答案吧！
我们已经认识自然对数的概念和运算技巧
本单元将承接这个主题，介绍它的重要性质
在此之前，我们先来回顾自然对数的定义与导数公式
自然对数ln x 就是以t 为变数的函数1/t
从1 到x 的定积分

Chinese: 
大家好！我是其棟老師，歡迎來學習微積分的課程
在認識自然對數函數的基本概念和運算技巧之後
你是否感到好奇?為什麼它稱為對數函數呢？
它跟我們在高中數學所學的對數又有什麼關聯？
現在就趕快跟著本單元的介紹來認識這個答案吧！
我們已經認識自然對數的概念和運算技巧
本單元將承接這個主題，介紹它的重要性質
在此之前，我們先來回顧自然對數的定義與導數公式
自然對數 ln x 就是以 t 為變數的函數 1/t
從 1 到 x 的定積分

Chinese: 
大家好！我是其棟老師，歡迎來學習微積分的課程
在認識自然對數函數的基本概念和運算技巧之後
你是否感到好奇?為什麼它稱為對數函數呢？
它跟我們在高中數學所學的對數又有什麼關聯？
現在就趕快跟著本單元的介紹來認識這個答案吧！
我們已經認識自然對數的概念和運算技巧
本單元將承接這個主題，介紹它的重要性質
在此之前，我們先來回顧自然對數的定義與導數公式
自然對數 ln x 就是以 t 為變數的函數 1/t
從 1 到 x 的定積分

Chinese: 
它的定義域是所有大於 0 的正數
緊接著，我們回顧它的導數公式
我們將藉由以下的公式進行本單元的介紹
透過自然對數 ln x 的定義，再搭配微積分第一基本定理
可以得知它的導數是 1/x
這個結果在它的定義域大於 0 的正數 x 是成立的
我們也可以將導數公式推廣
如果 u(x) 是大於 0 的可微分函數
則 ln u(x) 的導數就是 u'(x)/u(x)
亦即將原函數 u(x) 放在分母
分子則是它的導數 u'(x)
除了這兩個導數公式

Chinese: 
它的定义域是所有大于0 的正数
紧接着，我们回顾它的导数公式
我们将藉由以下的公式进行本单元的介绍
透过自然对数ln x 的定义，再搭配微积分第一基本定理
可以得知它的导数是1/x
这个结果在它的定义域大于0 的正数x 是成立的
我们也可以将导数公式推广
如果u(x) 是大于0 的可微分函数
则ln u(x) 的导数就是u'(x)/u(x)
亦即将原函数u(x) 放在分母
分子则是它的导数u'(x)
除了这两个导数公式

Chinese: 
它的定義域是所有大於 0 的正數
緊接著，我們回顧它的導數公式
我們將藉由以下的公式進行本單元的介紹
透過自然對數 ln x 的定義，再搭配微積分第一基本定理
可以得知它的導數是 1/x
這個結果在它的定義域大於 0 的正數 x 是成立的
我們也可以將導數公式推廣
如果 u(x) 是大於 0 的可微分函數
則 ln u(x) 的導數就是 u'(x)/u(x)
亦即將原函數 u(x) 放在分母
分子則是它的導數 u'(x)
除了這兩個導數公式

Chinese: 
我們在前一個單元也介紹搭配絕對值的結果
大家可以重新瀏覽加強印象
接下來我們要介紹這個單元的重點，也就是對數律
這為自然對數和我們在高中數學所學的對數函數
提供重要的連結，以下是對應的敘述
假設 x 和 y 都是大於 0 的正數
r 則是任意的實數
我們會有以下的結果
第一個公式說明 ln (xy) 會等於 ln x + ln y
就是先將 x 和 y 相乘再取自然對數
就相當於先分別取自然對數，再進行相加

Chinese: 
我们在前一个单元也介绍搭配绝对值的结果
大家可以重新浏览加强印象
接下来我们要介绍这个单元的重点，也就是对数律
这为自然对数和我们在高中数学所学的对数函数
提供重要的连结，以下是对应的叙述
假设x 和y 都是大于0 的正数
r 则是任意的实数
我们会有以下的结果
第一个公式说明ln (xy) 会等于ln x + ln y
就是先将x 和y 相乘再取自然对数
就相当于先分别取自然对数，再进行相加

Chinese: 
我們在前一個單元也介紹搭配絕對值的結果
大家可以重新瀏覽加強印象
接下來我們要介紹這個單元的重點，也就是對數律
這為自然對數和我們在高中數學所學的對數函數
提供重要的連結，以下是對應的敘述
假設 x 和 y 都是大於 0 的正數
r 則是任意的實數
我們會有以下的結果
第一個公式說明 ln (xy) 會等於 ln x + ln y
就是先將 x 和 y 相乘再取自然對數
就相當於先分別取自然對數，再進行相加

Chinese: 
第二個公式則是 ln (x/y) 會等於 ln x - ln y
就是先將 x 和 y 相除再取自然對數
就相當於先分別取自然對數，再進行相減的動作
最後則是第三個公式，涉及次方的計算
ln x^r 會等於 r 再乘以 ln x
也就是我們可以將自然對數裡面的次方 r 提到外面
作為係數進行係數乘法
前面的第一個和第二個公式具有重要的意義
告訴我們可以透過自然對數的運算
將裡面的乘除法展開變成自然對數的加減法
因此自然對數有將乘除法轉換為加減法的效果
現在就讓我們來瞭解對應的推導流程，先看第一個公式

Chinese: 
第二個公式則是 ln (x/y) 會等於 ln x - ln y
就是先將 x 和 y 相除再取自然對數
就相當於先分別取自然對數，再進行相減的動作
最後則是第三個公式，涉及次方的計算
ln x^r 會等於 r 再乘以 ln x
也就是我們可以將自然對數裡面的次方 r 提到外面
作為係數進行係數乘法
前面的第一個和第二個公式具有重要的意義
告訴我們可以透過自然對數的運算
將裡面的乘除法展開變成自然對數的加減法
因此自然對數有將乘除法轉換為加減法的效果
現在就讓我們來瞭解對應的推導流程，先看第一個公式

Chinese: 
第二个公式则是ln (x/y) 会等于ln x - ln y
就是先将x 和y 相除再取自然对数
就相当于先分别取自然对数，再进行相减的动作
最后则是第三个公式，涉及次方的计算
ln x^r 会等于r 再乘以ln x
也就是我们可以将自然对数里面的次方r 提到外面
作为系数进行系数乘法
前面的第一个和第二个公式具有重要的意义
告诉我们可以透过自然对数的运算
将里面的乘除法展开变成自然对数的加减法
因此自然对数有将乘除法转换为加减法的效果
现在就让我们来了解对应的推导流程，先看第一个公式

Chinese: 
为了方便起见，我们引入一个正数a
接着计算ln (ax) 的导数
套用刚才回顾的导数公式，这个结果是个分式
分母为自然对数里面的函数ax
分子则是它的导数，显然是a
上下约去常数a，得到1/x
我们知道这也是原来的基本函数，ln x 的导数
既然ln (ax) 和ln x 的导数都是1/x
也就是它们都是1/x 的反导函数
因此透过反导函数的性质
这两个函数会相差一个常数
亦即存在一个常数C
使得ln (ax) 会等于ln x + C

Chinese: 
為了方便起見，我們引入一個正數 a
接著計算 ln (ax) 的導數
套用剛才回顧的導數公式，這個結果是個分式
分母為自然對數裡面的函數 ax
分子則是它的導數，顯然是 a
上下約去常數 a，得到 1/x
我們知道這也是原來的基本函數，ln x 的導數
既然 ln (ax) 和 ln x 的導數都是 1/x 
也就是它們都是 1/x 的反導函數
因此透過反導函數的性質
這兩個函數會相差一個常數
亦即存在一個常數 C
使得 ln (ax) 會等於 ln x + C

Chinese: 
為了方便起見，我們引入一個正數 a
接著計算 ln (ax) 的導數
套用剛才回顧的導數公式，這個結果是個分式
分母為自然對數裡面的函數 ax
分子則是它的導數，顯然是 a
上下約去常數 a，得到 1/x
我們知道這也是原來的基本函數，ln x 的導數
既然 ln (ax) 和 ln x 的導數都是 1/x
也就是它們都是 1/x 的反導函數
因此透過反導函數的性質
這兩個函數會相差一個常數
亦即存在一個常數 C
使得 ln (ax) 會等於 ln x + C

Chinese: 
將當中的變數 x 用 1 代入
得到 ln a = ln 1 + C
因為 ln 1 的數值是 0，所以我們得到 ln a 就是常數 C
將這個結論代入上面的式子
我們得到 ln (ax) = ln x + ln a
將 a 以一般的變數 y 替換，就得到所需的結論
ln (xy) = ln x + ln y，驗證了第一個公式
緊接著來看第二個公式
我們可以利用剛剛的第一個公式
計算 ln (1/y) + ln y 的數值
它就是先將自然對數內的函數 1/y 和 y 相乘
再取自然對數

Chinese: 
將當中的變數 x 用 1 代入
得到 ln a = ln 1 + C
因為 ln 1 的數值是 0，所以我們得到 ln a 就是常數 C
將這個結論代入上面的式子
我們得到 ln (ax) = ln x + ln a
將 a 以一般的變數 y 替換，就得到所需的結論
ln (xy) = ln x + ln y，驗證了第一個公式
緊接著來看第二個公式
我們可以利用剛剛的第一個公式
計算 ln (1/y) + ln y 的數值
它就是先將自然對數內的函數 1/y 和 y 相乘
再取自然對數

Chinese: 
将当中的变数x 用1 代入
得到ln a = ln 1 + C
因为ln 1 的数值是0，所以我们得到ln a 就是常数C
将这个结论代入上面的式子
我们得到ln (ax) = ln x + ln a
将a 以一般的变数y 替换，就得到所需的结论
ln (xy) = ln x + ln y，验证了第一个公式
紧接着来看第二个公式
我们可以利用刚刚的第一个公式
计算ln (1/y) + ln y 的数值
它就是先将自然对数内的函数1/y 和y 相乘
再取自然对数

Chinese: 
显然里面相乘的结果是1
这个数值就会是0
移项之后我们可以得到下面的结果
ln (1/y) = - ln y
现在我们来计算ln (x/y)
可以先将里面的分式拆开，写成x 和1/y 的乘积
套用原先的第一个公式
相当于先分别将x 和1/y 取自然对数，再进行相加
由于后项的ln (1/y) 等于是- ln y
代入后得到ln x - ln y，就验证了第二个公式
至于第三个公式相当特别
现阶段我们可以仿照第一个公式的验证方法

Chinese: 
顯然裡面相乘的結果是 1
這個數值就會是 0
移項之後我們可以得到下面的結果
ln (1/y) = - ln y
現在我們來計算 ln (x/y)
可以先將裡面的分式拆開，寫成 x 和 1/y 的乘積
套用原先的第一個公式
相當於先分別將 x 和 1/y 取自然對數，再進行相加
由於後項的 ln (1/y) 等於是 - ln y
代入後得到 ln x - ln y，就驗證了第二個公式
至於第三個公式相當特別
現階段我們可以仿照第一個公式的驗證方法

Chinese: 
顯然裡面相乘的結果是 1
這個數值就會是 0
移項之後我們可以得到下面的結果
ln (1/y) = - ln y
現在我們來計算 ln (x/y)
可以先將裡面的分式拆開，寫成 x 和 1/y 的乘積
套用原先的第一個公式
相當於先分別將 x 和 1/y 取自然對數，再進行相加
由於後項的 ln (1/y) 等於是 - ln y
代入後得到 ln x - ln y，就驗證了第二個公式
至於第三個公式相當特別
現階段我們可以仿照第一個公式的驗證方法

Chinese: 
說明當自然對數內的次方 r 是有理數的時候
這個公式是正確的，有興趣的話可以大家自行推導看看
不過當 r 是無理數的時候
必須先延伸 x^r 的定義才能驗證這個公式
我們在這裡則是直接呈現，展示這個結果
現在讓我們藉由下面的例子，示範以上公式的運用技巧
請將 ln 600 拆解為加減法的簡易組合
我們先將 600 進行因式分解，寫成後面的式子
接著利用上方的第二個公式，將自然對數裡面的乘積
分別取自然對數再進行相加，得到後面的組合
透過第三個公式

Chinese: 
說明當自然對數內的次方 r 是有理數的時候
這個公式是正確的，有興趣的話可以大家自行推導看看
不過當 r 是無理數的時候
必須先延伸 x^r 的定義才能驗證這個公式
我們在這裡則是直接呈現，展示這個結果
現在讓我們藉由下面的例子，示範以上公式的運用技巧
請將 ln 600 拆解為加減法的簡易組合
我們先將 600 進行因式分解，寫成後面的式子
接著利用上方的第二個公式，將自然對數裡面的乘積
分別取自然對數再進行相加，得到後面的組合
透過第三個公式

Chinese: 
说明当自然对数内的次方r 是有理数的时候
这个公式是正确的，有兴趣的话可以大家自行推导看看
不过当r 是无理数的时候
必须先延伸x^r 的定义才能验证这个公式
我们在这里则是直接呈现，展示这个结果
现在让我们藉由下面的例子，示范以上公式的运用技巧
请将ln 600 拆解为加减法的简易组合
我们先将600 进行因式分解，写成后面的式子
接着利用上方的第二个公式，将自然对数里面的乘积
分别取自然对数再进行相加，得到后面的组合
透过第三个公式

Chinese: 
可以將第一項裡面的次方 3 提到前面
改寫為係數的乘法
同樣地，也可以將第三項裡面的次方 2 提到前面
寫成 2 ln 5
於是就順利地把 ln 600 拆解為後方的加減法組合
接下來我們考慮逆向的問題
請將 ln 10 - ln 5 + ln 4 合併為單一項的自然對數表示法
首先套用公式 1 和公式 2
將涉及加法和減法的部分
裡面對應的數字分別進行相乘和相除
再取自然對數，改寫為後面的式子
經過簡易的計算，這個結果會是 ln 8
然後再利用因式分解，將 8 寫為 2^3

Chinese: 
可以将第一项里面的次方3 提到前面
改写为系数的乘法
同样地，也可以将第三项里面的次方2 提到前面
写成2 ln 5
于是就顺利地把ln 600 拆解为后方的加减法组合
接下来我们考虑逆向的问题
请将ln 10 - ln 5 + ln 4 合并为单一项的自然对数表示法
首先套用公式1 和公式2
将涉及加法和减法的部分
里面对应的数字分别进行相乘和相除
再取自然对数，改写为后面的式子
经过简易的计算，这个结果会是ln 8
然后再利用因式分解，将8 写为2^3

Chinese: 
可以將第一項裡面的次方 3 提到前面
改寫為係數的乘法
同樣地，也可以將第三項裡面的次方 2 提到前面
寫成 2 ln 5
於是就順利地把 ln 600 拆解為後方的加減法組合
接下來我們考慮逆向的問題
請將 ln 10 - ln 5 + ln 4 合併為單一項的自然對數表示法
首先套用公式 1 和公式 2
將涉及加法和減法的部分
裡面對應的數字分別進行相乘和相除
再取自然對數，改寫為後面的式子
經過簡易的計算，這個結果會是 ln 8
然後再利用因式分解，將 8 寫為 2^3

Chinese: 
最后使用公式3，将次方3 提前改写为3 ln 2
就得到我们需要的答案
我们也可以将对数律的技巧应用在导数的计算
如以下的范例
请试求以下函数f 的导数f'(x)
大家可以先自行尝试看看
如果直接使用自然对数的导数公式
解题过程会变得相当繁杂
所以先使用上方的对数律将问题化简
也许是可行的办法
于是先利用上方的公式1 和公式2
将自然对数内涉及乘法与除法的项目
先分别取自然对数再进行加减法的计算
写成后面的组合

Chinese: 
最後使用公式 3，將次方 3 提前改寫為 3 ln 2
就得到我們需要的答案
我們也可以將對數律的技巧應用在導數的計算
如以下的範例
請試求以下函數 f 的導數 f'(x)
大家可以先自行嘗試看看
如果直接使用自然對數的導數公式
解題過程會變得相當繁雜
所以先使用上方的對數律將問題化簡
也許是可行的辦法
於是先利用上方的公式 1 和公式 2
將自然對數內涉及乘法與除法的項目
先分別取自然對數再進行加減法的計算
寫成後面的組合

Chinese: 
最後使用公式 3，將次方 3 提前改寫為 3 ln 2
就得到我們需要的答案
我們也可以將對數律的技巧應用在導數的計算
如以下的範例
請試求以下函數 f 的導數 f'(x)
大家可以先自行嘗試看看
如果直接使用自然對數的導數公式
解題過程會變得相當繁雜
所以先使用上方的對數律將問題化簡
也許是可行的辦法
於是先利用上方的公式 1 和公式 2
將自然對數內涉及乘法與除法的項目
先分別取自然對數再進行加減法的計算
寫成後面的組合

Chinese: 
为了方便起见，我们把第二项自然对数内的三次方根
改写为1/3 次方
接着利用上方的第三个公式
分别将这三项里面的次方提前，改写为系数乘法
得到下面的式子
现在进行微分求导数f'(x)
这就相当于对改写后的组合进行微分
藉由基础的导数公式
我们可以先求自然对数的导数
再乘回对应的系数，亦即下面的式子
使用一开始所回顾的导数公式
第一项ln x 导数是1/x
第二项ln (x+1) 的导数则是下方对应的分式

Chinese: 
為了方便起見，我們把第二項自然對數內的三次方根
改寫為 1/3 次方
接著利用上方的第三個公式
分別將這三項裡面的次方提前，改寫為係數乘法
得到下面的式子
現在進行微分求導數 f'(x)
這就相當於對改寫後的組合進行微分
藉由基礎的導數公式
我們可以先求自然對數的導數
再乘回對應的係數，亦即下面的式子
使用一開始所回顧的導數公式
第一項 ln x 導數是 1/x 
第二項 ln (x+1) 的導數則是下方對應的分式

Chinese: 
為了方便起見，我們把第二項自然對數內的三次方根
改寫為 1/3 次方
接著利用上方的第三個公式
分別將這三項裡面的次方提前，改寫為係數乘法
得到下面的式子
現在進行微分求導數 f'(x)
這就相當於對改寫後的組合進行微分
藉由基礎的導數公式
我們可以先求自然對數的導數
再乘回對應的係數，亦即下面的式子
使用一開始所回顧的導數公式
第一項 ln x 導數是 1/x
第二項 ln (x+1) 的導數則是下方對應的分式

Chinese: 
分母是該函數 x+1，分子則是它的導數，也就是 1
同樣地，第三項 ln (2x-3) 的導數則是 2/(2x-3)
最後再經過整理，得到後面的結果
就是我們所要的答案
自然對數函數符合我們在高中數學所學對數函數的性質
滿足對數律的法則
正因如此
也許我們可以從相關的角度切入來認識自然對數函數
讓我們的學習更加容易喔

Chinese: 
分母是該函數 x+1，分子則是它的導數，也就是 1
同樣地，第三項 ln (2x-3) 的導數則是 2/(2x-3)
最後再經過整理，得到後面的結果
就是我們所要的答案
自然對數函數符合我們在高中數學所學對數函數的性質
滿足對數律的法則
正因如此
也許我們可以從相關的角度切入來認識自然對數函數
讓我們的學習更加容易喔

Chinese: 
分母是该函数x+1，分子则是它的导数，也就是1
同样地，第三项ln (2x-3) 的导数则是2/(2x-3)
最后再经过整理，得到后面的结果
就是我们所要的答案
自然对数函数符合我们在高中数学所学对数函数的性质
满足对数律的法则
正因如此
也许我们可以从相关的角度切入来认识自然对数函数
让我们的学习更加容易喔
