
Korean: 
함수를 시각화하는 또다른 방법입니다
입력이 t 하나뿐인
함수가 있다고 합시다
출력은 벡터이고요
벡터값이 t에 의존합니다
x성분은 tcost이고
y성분은 tsint입니다
이런 형태를 매개변수함수라고 부릅니다
매개변수가 하나인 경우죠
매개변수 하나입니다
'매개변수'는 입력을 어렵게 표현한 것일 뿐입니다
매개변수
여기서 t가 유일한 매개변수입니다
매개변수함수인 이유는
출력이 다차원인 함수를
곡선을 그리는 것으로 생각하기 때문입니다
이런 것을 시각화할 때
입력이 하나고
출력이 두 개니까
그려 보죠
이 세 숫자의 변화를 그릴 수 있겠죠
하지만 더 나은 방법은

English: 
- [Voiceover] More
function visualizations.
So let's say you have a function
that's got a single input t.
And then it outputs a vector.
And the vector's gonna depend on t.
So the x component will be
t times the cosine of t.
And then the y component will
be t times the sine of t.
This is what's called
a parametric function.
And I should maybe say
one-parameter parametric function.
One parameter.
And "parameter" is just kind
of a fancy word for input.
Parameter.
So in this case, t is
our single parameter.
And what makes it a parametric function
is that we think about
it as drawing a curve
and its output is multidimensional.
So you might think, when you
visualize something like this,
ah, it's got, you know, a single input.
And it's got a two-dimensional output.
Let's graph it.
You know, put those three
numbers together and plot them.
But what turns out to be even better

Korean: 
출력 공간만을 보는 것입니다
여기에서는 2차원이죠
여기에 좌표평면을 그리겠습니다
몇 개의 다른 t값에서
함숫값을 구한 다음
어떤 모양인지 살펴봅시다
구하기 가장 쉬운 값은
t=0일 때죠
f(0)는
두 성분 다
0에 무언가를 곱한 거니까
0sin0=0
0cos0=0이죠
출력은 둘 모두 0입니다
무한정 작은 크기의 벡터나
원점에 위치한 점으로
생각하시면 됩니다
다른 점을 골라서
어떤 일이 일어나는지 보죠
pi/2로 합시다
물론 pi/2로 정한 이유는
사인과 코사인값을
이미 알고 있기 때문이겠죠

English: 
is to look just in the output space.
So in this case, the output
space is two-dimensional.
So I'll go ahead and draw
a coordinate plane here.
And let's just evaluate this function
at a couple different points
and see what it looks like, okay.
So I might, maybe the easiest place
to evaluate it would be zero.
So f of zero
is equal to,
and then, in both cases,
it'll be zero times something.
So zero times cosine of zero is just zero.
And then zero times sine
of zero is also just zero.
So that input corresponds to the output.
You could think of it as a
vector that's infinitely small
or just the point at the origin,
however you want to go about it.
So let's take a different point,
just to see what else could happen.
And I'm gonna choose pi halves.
Of course, the reason
I'm choosing pi halves,
of all numbers, is that
it's something I know
how to take the sine and the cosine of.

English: 
So t is pi halves, cosine of pi halves.
And you start thinking, okay,
what's the cosine of pi halves?
What's the sine of pi halves?
And maybe you go off and
draw a little unit circle
while you're writing things out.
Whoops.
See the problem with
talking while writing.
Sine of pi halves.
And you know it's,
if you go off and scribble
that little unit circle.
And you say pi halves is gonna bring us
a quarter of the way around.
Over here.
And cosine of pi halves is measuring
the x component of that.
So that just cancels out to zero.
And then sine of pi halves
is the y component of that.
So that ends up equaling one.
Which means that the vector as a whole
is gonna be zero for the x component
and then pi halves for the y component.

Korean: 
t=pi/2이면 pi/2cos(pi/2)...
cos(pi/2)와
sin(pi/2)를
생각하실 때
값을 쓰면서 따로
단위원을 그리셔도 됩니다
 
말하면서 쓰다 실수를 했군요
sin(pi/2)
이렇게
따로 단위원을 그리면
pi/2는 한 바퀴의
1/4이니까
여기네요
cos(pi/2)는
그 x성분이니까
0이네요
sin(pi/2)는
그 y성분이고
1입니다
결국 전체 벡터가
x성분은 0
y성분은 pi/2가 됩니다

Korean: 
이 점은
y값이 약 pi/2=1.7이고
x성분은 0이니까
이쯤이겠군요
이 벡터입니다
다른 입력 점에서
이것들을 계속 구하다 보면
서로 다른 많은 벡터가
나오게 되겠죠
하나로 그릴 때는
화살표들을 그리진 않죠
그림이 난잡해지니까요
벡터의 끝인 출력에 해당하는 점만
따라가는 것이 낫습니다
이제 애니메이션을 보여 드립니다
일단 화면을 정리하고요
0과 10 사이의 t값에
대한 애니메이션입니다
여기 적어 보면
t값이 0에서 시작해서
10으로 올라가죠
출력 값이 어떤 벡터로
나타나는지 봅시다
그 벡터 끝을 이으면 어떤 곡선이 될까요?
해 봅시다

English: 
And what that would look like,
you know, the y component of pi halves
is about 1.7 up there.
There's no x component.
So you might get a vector like this.
And if you imagine doing this
at all the different input points,
you might get a bunch of different vectors
off doing different things.
And if you were to draw it,
you don't want to just
draw the arrows themselves.
Because that'll clutter
things a whole bunch.
So we just want to trace the points
that correspond to the output,
the tips of each vector.
And what I'll do here, I'll
show a little animation.
Let me just clear the board a bit.
An animation where
I'll let t range between zero and 10.
So let's write that down.
So the value t is gonna start at zero.
And then it's gonna go to 10.
And we'll just see what values,
what vectors does that output.
And what curve does the tip
of that vector trace out?
So there it goes.

English: 
All of the values just kind
of ranging, zero to 10.
And you end up getting this spiral shape.
And you can maybe think about why
this cosine of t, sine of t
scaled by the value t itself
would give you this spiral.
But what it means is that when you,
you know, we saw that zero goes here.
Evidently, it's the case
that 10 outputs here.
And a disadvantage of
drawing things like this,
you're not quite sure of
what the interim values are.
You know, you could kind of guess.
Maybe one goes somewhere here.
Two goes somewhere here.
And you're kind of hoping
that they're evenly spaced
as you move along.
But you don't get that information.
You lose the input information.
You get the shape of the curve.
And if you just want, you know,
an analytical way of describing curves,
you find some parametric
function that does it.
And you don't really care about the rate.
But just to show where it might matter,
I'll animate the same thing again,
another function that
draws the same curve.
But it starts going really quickly.
And then it slows down as you go on.
So that function is not quite
the t cosine t, t sine of t

Korean: 
값이 0부터 10까지 변하면서
결국 이런 나선 모양이 됩니다
(cost, sint)에 t를 곱한 게
이런 모양과 연결되는 이유를
생각할 수 있습니다
그리고
0은 여기고
10은 여기로 출력이 되는 걸 알지만
이런 그림 형태의 단점은
중간의 t값을 확실히 모른다는 겁니다
대강 추측할 순 있겠죠
1은 이쯤이겠고
2는 이 정도
움직이면서 같은 간격으로 떨어져 있다고
가정하면서 말이죠
실제로 그런지는 모르는데도요
입력에 관한 정보는 사라집니다
곡선의 모양만 남죠
곡선을 기술하는
해석적인 방법으로
매개변수함수를 쓸 수 있습니다
그려지는 속도와는 무관하게요
하지만 속도 효과를 보기 위해
같은 곡선을 나타내는
다른 함수로 다시 그리겠습니다
처음에는 아주 빨리 시작하지만
진행하면서 느려지죠
사용한 함수는 원래 쓴 (tcost, tsint)와는

English: 
that I originally had written.
And in fact, it would mean that,
let's just erase these guys.
When it starts slowly,
you can interpret that
as saying, okay maybe...
Well, actually, it started
quickly, didn't it?
So one would be really far off here.
And then two, we kind
of zipped along here.
And three, you know,
still going really fast.
And then maybe by the
time you get to the end,
it's just going very slowly,
just kind of seven is here, eight is here,
and it's hardly making any
progress before it gets to 10.
So you can have two different functions
draw the same curve.
And the fancy word here is "parameterize."
So functions will parameterize a curve
if, when you draw just
in the output space,
you get that curve.
And in the next video,
I'll show how you can have functions
with a two-dimensional input
and a three-dimensional output
draw surfaces in three-dimensional space.

Korean: 
다른 것입니다
그 의미는
일단 숫자를 지우고
느리게 시작하는 것을
이렇게, 아
처음에 빠르게 시작했죠?
그러면 1은 저 멀리 가 있고
2는 이쯤이고
3까지 여전히 빨리 가다가
끝까지 도달했을 때쯤
느리게 진행하니까
7은 여기, 8은 여기
10에 가까울 때는 거의 움직이지 않는 거 같죠
두 개의 다른 함수가
같은 곡선을 그립니다
이걸 어려운 말로 '매개화'라고 합니다
이런 함수는 곡선을 매개화시켜
출력 공간에 그리면
그 곡선을 얻죠
다음 영상에서는
2차원 입력과
3차원 출력을
가진 함수가
출력 공간의 곡면이 되는 것을 보이겠습니다
