
Thai: 
กำหนดให้ r แทนขอบเขตของจตุภาคแรกที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ f ของ x เท่ากับ 8 x กำลังสาม,
และ g ของ x เท่ากับไซน์ของ ไพ x ดังแสดงในภาพข้างบน, แล้วเขาวาด
รูปไว้ตรงนี้. ข้อ A: จงเขียนสมการสำหรับเส้นสัมผัสกราฟของ f ถ้า x เท่ากับ 1/2. งั้นขอ
ผมวาดรูปใหม่ตรงนี้นะ, เพื่อจะได้, ผมชอบวาดรูปในกระดานดำมากกว่า, ผมว่านั่นคือสาเหตุที่ผม
ต้องวาดมันใหม่, งั้นฟังก์ชัน f ของ x คือ 8, เท่ากับ 8 x กำลังสาม, เป็นแบบนี้, มันดู
เป็นแบบนั้น, นี่คือ f ของ x นี่แกน x, และเราอยากได้สมการที่มีเส้นสัมผัสตรง
x เท่ากับ 1/2, แล้วนี่คือ x เท่ากับ 1/2, ขึ้นไปตรงนี้, ถ้าคุณหาค่า f ของ 1/2, คุณจะได้ f -- คุณ
จะได้ 8 คูณ 1/2 กำลังสาม, ซึ่งเท่ากับ 8 คูณ 1 ส่วน 8, ได้ 1, นั่น
พาเรามาตรงจุดนี้, ซึ่งก็คือ 1/2, ลูกน้ำ 1, และเราต้องหาสมการสำหรับเส้นสัมผัส
เส้นสัมผัสจะเป็นแบบนั้น, และเวลาหาสมการนั้น, เราต้องหา
ความชันของมัน, แล้วเรารู้จุดจุดหนึ่งที่มันลากผ่าน, เราจึงใช้รูปจุด-ความชัน, หรือคุณอาจใช่

German: 
lassen wir r dieRegion des ersten Quadranten sein, welches vom Graphen f von x gleich 8 hoch drei
und g von x gleich sin pi x eingeschlossen ist, so wie in der Graphik hier gezeigt wurde
Teil A: schreibe die Gleichung für die Tangente an der Graphik von f ist x gleich 1/2. Nun
lass uns das hier wieder zeichnen, wahrscheinlich mag ich es auf dem schwarzen Hintergrund besser, deswegen zeichne ich es wieder
also ist die Funktion f von x ist 8 gleich mit 8x hoch drei, es sieht so aus
so, das ist unsere f von x Achse, diese ist unsere X Achse und wir wollen eine Gleichung für die Tangente Gerade
in x gleich 1/2, also ist das x ist gleich 1/2, geh hier oben, wenn du einschätzt f von 1/2, so bekommst du f
bekommst du 8 mal 1/2 hoch drei, und das ist 8 mal 1/8, und das ist 1,
das schon in diesem Punkt, welches1/2 ist, Komma 1, und wir brauchen die Gleichung der Tangente zu finden
Die Tangente wird ungefähr so aussehen, und um diese Gleichung herauszufinden, müssen wir
ihre Steigung herausfinden und dann kennen wir einen Punkt drauf und wir können entweder die Punkt Steigung

Portuguese: 
Seja r a região do primeiro quadrante limitada pelos gráficos f de x é igal a 8 x ao cubo
e g de x é igual ao seno de pi x, como mostrado na figura acima, e eles desenharam a figura bem
aqui. Parte A: Escreva a equação para a linha tangente ao gráfico de f se x é igual a 1/2. Então deixe-me
redesenhar isso aqui porque, bem, eu gosto de desenhar em um plano de fundo preto, e é principalmente por isso que eu estou
redesenhando, então a função f de x é igual a 8x ao cubo se parece com
isto, isto é o nosso eixo f de x e este é o noxo eixo x, e nós queremos uma equação para a reta tangente em
x é igual a 1/2, então isto é x é igual a 1/2, você sobe aqui, se você calcular f de 1/2, você consegue - você
tem 8 vezes 1/2 ao cubo, que é 8 vezes 1 oitavo, que é 1, eles, na verdade, nós deram
isso neste ponto, que é 1/2 vírgula 1, e nós precisamos encontrar a equação para a reta tangente.
A reta tangente vai se parecer com isto, e para encontrar a equação, nós simplesmente achamos
a inclinação, e então nós sabemos um ponto em que está, e nós podemos usar tanto a forma ponto-inclinação, ou só

Bulgarian: 
 
Нека R е участък в първи квадрант,
ограден от
графиките на f(х) = 8х^3
и g(x) = sin π/х,
както е показано по-горе.
Начертали са фигурата ето тук.
Подточка а: "Състави уравнение
за допирателната
към графиката на f(х) за х = 1/2."
Ще начертая това отново тук,
за да мога...
обичам да чертая на черен фон,
предполагам, че
това е основната причина
да  го направя.
Значи функцията f(х) = 8х^3
изглежда ето така.
Това е оста х, а това
е оста у.
Трябва да съставим уравнение
за допирателната права
в точката, където х = 1/2.
Това тук е х = 1/2.
Ако отидем тук горе,
ако изчислим f(1/2),
ще получим 8 по 1/2 на 
трета степен,
което е 8 по 1/8, което е 1.
Те вече са ни го дали 
в тази точка.
Това е точката (1/2; 1).
Значи търсим уравнението
на тази допирателна.

Spanish: 
r पहले एक्स के च के रेखांकन से घिरा वृत्त का चतुर्थ भाग के क्षेत्र 8 तीसरे करने के लिए एक्स के लिए बराबर है,
और एक्स के छ अनुकरणीय एक्स के साइन के बराबर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया, और वे सही आंकड़ा आकर्षित किया
यहाँ.भाग एक: लाइन च के ग्राफ को स्पर्शरेखा के लिए समीकरण लिखें यदि x 1/2 के बराबर है. तो चलो
मुझे सिर्फ यह बदलाव ला, बस इतना है कि, मैं एक काले रंग की पृष्ठभूमि पर ड्राइंग पसंद है, मुझे लगता है कि मुख्य कारण IM के

English: 
Let R be the region in the
first quadrant enclosed
by the graphs of f
of x is equal to 8x
to the third and g of x
is equal to sine of pi x,
as shown in the figure above.
And they drew the
figure right over here.
Part a, write the equation
for the line tangent
to the graph of f at
x is equal to 1/2.
So let me just
redraw it here just
so that-- I like drawing on
the black background, I guess,
is the main reason
why I'm redrawing it.
So the function f of x is
equal to 8x to the third,
looks like this.
It looks like that.
This is our f of x-axis,
and this is our x-axis.
And we want the equation
for the line tangent
at x is equal to 1/2.
So this is x is equal to 1/2.
If you go up here, if
you evaluate f of 1/2,
you get 8 times
1/2 to the third,
which is 8 times
1/8, which is 1.
And they actually gave us
that already on this point.
This is the point 1/2 comma 1.
And we need to find the
equation for the tangent line.

Thai: 
รูปความชัน ค่าตัดแกน เพื่อหาสมการของเส้นตรงนั้นก็ได้, งั้นอย่างแรก,
ลองหาความชันของเราก่อน, ความชันของเส้นสัมผัส จะเท่ากับความชัน
ของฟังก์ชันตรงจุดนั้น, หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า, มันจะเป็น f ไพรม์, f ไพรม์ของ
1/2, หรืออนุพันธ์หาค่าที่ 1/2. อนุพันธ์นั้นให้ความชันของเส้นนั้น ณ จุดใดๆ,
แล้ว f ไพรม์ของ x เป็นเท่าไหร่? f ไพรม์ของ x ก็แค่อนุพันธ์ของเจ้านี่, ได้ 3 คูณ 8 เป็น 24, คูณ x กำลังสอง,
24 x กำลังสอง, f ไพรม์ของ 1/2 เท่ากับ 24 คูณ 1/2 กำลังสอง, เท่ากับ 24 คูณ 1/4, ซึ่ง

English: 
So the tangent line will
look something like that.
And to figure out
this equation, we just
need to figure out
its slope, and then
we know a point that it's on--
and you could use point-slope
or you could just use your kind
of standard slope-intercept
form to give an
equation for that line.
So the first part, let's
figure out its slope.
And the slope of
the tangent line
is going to be the
same slope as the slope
of our function at that point.
Or another way to
think about it,
it is going to be
f prime of 1/2,
or the derivative
evaluated at 1/2.
The derivative
gives us the slope
of that line at any point.
So what is f prime
of x? f prime of x
is just the derivative of this.
So 3 times 8 is 24
times x squared.
24 x squared.
f prime of 1/2 is equal
to 24 times 1/2 squared,
which is equal to 24 times
1/4, which is equal to 6.
So the slope of this
line is equal to 6.

Bulgarian: 
Допирателната изглежда
приблизително така.
За да намерим това уравнение,
трябва просто да намерим наклона ѝ,
като знаем една точка от правата –
и можем да я използваме
или може да използваме стандартно
уравнение на права,
за да отговорим на въпроса.
Най-напред да намерим 
наклона.
Наклонът на допирателната
е равен на наклона
на функцията в тази точка.
Друг начин да представим това е,
че f'(1/2),
производната, изчислена за 1/2.
Производната ни дава
наклона на правата в тази точка.
Колко е f'(х)? Това е
просто производната на това.
Значи 3 по 8 е 24х^2.
f'(1/2) е равно на
24 по 1/2 на квадрат,
което е равно на 24 по 1/4,
което е равно на 6.
Значи наклонът на тази
права е равен на 6.

Portuguese: 
usar o padrão de ax+b para dar uma equação àquela linha. Então a primeira parte,
vamos encontrar a sua inclinação, e a inclinação da reta tangente será a mesma inclinação daquela
nossa função naquele ponto, ou outro jeito de pensar, será f linha, f linha de
1/2, ou a derivada em 1/2. A derivada nos dá a inclinação daquela linha em qualquer ponto, então
o que é f linha de x? F linha de x é só a derivada disto, então 3 vezes 8 é 24, vezes x ao quadrado,
24 x quadrado, f linha de 1/2 é igual a 24 vezes 1/2 ao quadrado, que é igual a 24 vezes 1/4, que é

German: 
oder deine eigene Steigungsgleichungformel benützen um eine Gleichung zu dieser Gerade zu finden. Also der erste Teil
sollen wir die Steigung herausfinden und die Steigung und die Tangente werde die gleiche Steigung haben
wie die Funktionssteigung in diesem Punkt, oder anders ausgedrückt, es wird F Strich von
1/2 oder die Ableitung geschätzt für 1/2. Die Ableitung gibt uns die Steigung der Gerade in jedem Punkt, so das
was ist f Strich von x? F Strich von x ist bloss die Ableitung davon, so das 3 mal 8 ist 24, mal x quadrat
24 mal Quadrat, F Strich von 1/2 ist gleich 24 mal 1/2 im Quadrat, was gleich ist mit 24 mal 1/4, welches

Thai: 
เท่ากับ 6. ดังนั้นความชันของเส้นตรงนี้เท่ากับ 6, ผมจะใช้ m แทนความชันซึ่ง, เราบอก
ไว้ว่าเราจะใช้พีชคณิต, เราเรียนในวิชาพีชคณิตไปแล้ว, ความชันเป็น 6, แล้ว
สมการของเส้นตรงนี้ก็คือ y เท่ากับ mx บวก b, นี่คือความชัน, นี่คือค่าตัดแกน y,
เรารู้แล้วว่าความชันเป็น 6, แล้วเราสามารถใช้ความจริงที่ว่า เส้นลากผ่านจุด
1/2, 1 เพื่อหาค่า b ได้, แล้วเมื่อ y เท่ากับ 1, 1 เท่ากับความชันของเราคูณ x, x เท่ากับ 1/2, หรือวิธี
พูดอีกอย่างคือว่า เมื่อ x เป็น 1/2, y เป็น 1 บวก, บวก ค่าตัดแกน y, หรือถ้าผมใช้ x เป็น 1/2, ผมคูณ
มันด้วยความชัน, บวกค่าตัดแกน y, ผมควรได้ 1. ผมจึงได้ 1 เท่ากับ 3 บวก b, ผมลบ
3 จากทั้งสองข้างได้, และผมได้ ลบ 2 เท่ากับ b. สมการของเส้นตรงจึงเป็น y

English: 
I'll use m for slope.
That's the convention
that we used
when we first learned
it in algebra.
So the slope is going to be 6.
So the general
equation for this line
is y is equal to mx plus b.
This is the slope.
This is the y-intercept.
We already know
that the slope is 6,
and then we can use the
fact that the line goes
through the point 1/2, 1
to figure out what b is.
So when y is 1, 1 is equal to
our slope times x. x is 1/2.
Or another way to say
it, when x is 1/2,
y is 1 plus some y-intercept.
Or if I take x is
1/2, I multiply
it times the slope plus the
y-intercept, I should get 1.
And so I get 1 is
equal to 3 plus b.
I can subtract 3 from both
sides, and I get negative 2
is equal to b.
So the equation of the
line is going to be y
is equal to 6x minus 2.
That is the equation
of the tangent line.

Bulgarian: 
Ще означа наклона с m.
Така е прието, когато учихме
това в алгебрата.
Значи наклонът е 6.
Общото уравнение на тази права
е у = mх + b.
Това е наклонът, това е ординатата 
на пресечната точка с оста у.
Вече знаем, че наклонът е 6,
а сега ще използваме факта, 
че правата минава
през точката (1/2; 1), за да 
намерим колко е b.
Когато у е равно на 1,
1 е равно на наклона по х,
а х е равно на 1/2.
Можем също да кажем, 
че когато х = 1/2,
у е равно на 1 плюс b.
Ако  заместим х = 1/2,
умножаваме го по наклона,
плюс пресечната точка с оста у,
и ще получа 1 е равно на 3 + b.
Можем да извадим 3 от двете
страни и става –2 = b.
Уравнението на права е
у = 6х – 2.
Това е уравнението
на допирателната права.

German: 
gleich 6 ist. Also ist die Steigung der Gerade gleich 6, ich werde m für die Steigung, wie wir erwähnt haben
werden wir Algebra benützen, wir haben es in Algebra zum ersten Mal gelernt, also wird die Steigung 6 sein, also
die allgemeine Gleichung dieser Gerade ist mx + b, das die Steigung und das ist die Kreuzung mit der y Achse
wir wissen schon das die Steigung 6 ist und dann können wir die Tatsache brauchen, das die Gerade diesen Punkt durchquert
1/2, 1 umd b herauszufinden, also wenn y gleich 1 ist, so ist 1 gleich unsere Steigung mal x, x ist 1/2 or anders gesagt
wenn x 1/2 ist, y ist 1 plus etwas von dem Schnittpunkt mit der y Achse, und wenn ich x also 1/2 nehme, multipliziere
mit der Steigung, plus den y Achsenschnittpunkt, sollte ich 1 bekommen. Also bekomme ich 1 ist gleich 3 plus b, ich kann 3
von beiden Seiten subtrahieren und ich bekomme minus 2 ist gleich zu b. Also wird die Gleichung der Geraden

Portuguese: 
igual a 6. Então a inclinaçã desta reta é igual a 6, eu vou usar m para representar a inclinação, que será, nós mencionamos
que nós usaríamos álgebra, nós primeiro aprendemos isto em álgebra, então a inclinação será 6, então a
equação geral para esta linha é y é igual a mx mais b, esta é a inclinação, este é o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y,
nós ja sabemos que a inclinação é 6, e então nós podemos usar o fato de que a linha passa pelo ponto
1/2, 1 para achar o q é b, então quando y é 1, 1 é igual à nossa inclinação vezes x, x é 1/2, ou outro jeito de se dizer,
quando x é 1/2, y é 1 mais algum ponto de intecepção ao eixo y, ou se eu pegar o x igual a 1/2, multiplicá-lo
pela inclinação mais um determinado b, eu devo conseguir 1. Então eu consigo 1 é igual a 3 mais b, eu posso subtrair
3 de ambos os lados, e eu tenho -2 é igual a b. Então a eqação da linha será y é

German: 
gleich 6 mal minus 2. Das ist die Gleichung der Tangente. Nun Teil B: Finde die Fläche von r heraus. Also r
ist der Bereich gleich hier, eingeschlossen oberhalb durch g von x, welcher
sin von pi x ist, und unterhalb von f von x angegrenzt, oder 8 hoch drei. Also die Fläche
wird sein, ich werde nur wenig runterrollen, ich möchte die Graphik noch sehen können
Teil B. Die Fläche von r wird das Integral von 0, das ist
dieser Schnittpunkt gleich hier bis 1/2 , also mache ich das hier nochmal 0 bis 1/2
und dann die Funktion darüber, also wir könnten diese Fläche nehmen, aber wir müssen sie aus der

English: 
Now part b, find
the area of R. So R
is this region right over here.
It's bounded above
by g of x, which
they've defined as sine of pi x.
It's bounded below by f
of x, or 8x to the third.
So the area is going
to be-- actually,
let me just do it-- I'll
scroll down a little bit.
I still want to be able to see
this graph right over here.
Part b.
The area of R is going to be
equal to the integral from 0,
that's this point of
intersection right over here,
to 1/2.
So let me make it clear.
This is 0 to 1/2.
And then the
function on the top--
so we could just take
the area of that,
but then we're going to
have to subtract from that
the area underneath
the function below.
Or one way to think about
it is the integral from 0

Bulgarian: 
Сега подточка b:
"Намери площта на участъка R."
R е този участък ето тук.
Той е ограден отгоре с
 графиката на g(х), която
е дефинирана като sinπх,
и отдолу от графиката 
на f(х) = 8х^3.
Значи тази площ ще бъде...
всъщност ще направя следното–
само да слеза малко надолу.
Все още се вижда тази графика.
Подточка b.
Площта на R e равна на 
интеграл от 0 –
това е точката на пресичане
ето тук, до 1/2 – искам да поясня:
Това е от 0 до 1/2.
После горната функция –
просто можем да намерим
площта на това,
но тогава трябва да извадим
от нея
площта под долната функция.
Единият начин да разсъждаваме е, 
че интеграл от 0 до 1/2

Thai: 
เท่ากับ 6x ลบ 2. นั่นคือสมการของเส้นสัมผัส ทีนี้ข้อ B: จงหาพื้นที่ของ r. แล้ว
r คือพื้นที่ตรงนี้, คือพื้นที่นี่ตรงนี้. มันมีขอบบนเป็น g ของ x, ซึ่ง
ก็คือไซน์ของ ไพ x. มันมีขอบล่าง, มันถูกล้อมข้างล่างด้วย f ของ x, หรือ 8 x กำลังสาม, ดังนั้นพื้นที่
พื้นที่จะเท่ากับ, ผมจะเลื่อนลงมาหน่อย, แต่ผมยังอยากเห็นกราฟนี้
ตรงนี้อยู่. ข้อ b, ข้อ b. พื้นที่ของ r จะเท่ากับอินทิกรัล, จาก 0, จาก 0,
นั่นคือจุดตัดตรงนี้, ที่ 1/2, ผมจะทำไว้ตรงนี้ นี่คือ 0 ถึง 1/2, 0 ถึง 1/2
แล้วฟังก์ชันข้างบน, เราก็หาพื้นที่มัน, แต่เราต้องลบ

Portuguese: 
igual a 6 x menos 2. Essa é a equação da reta tangente. Agora parte B: Encontre a área de r. Então r
é esta região aqui, esta região bem aqio, é limitada por cima por g de x, que é
seno de pi x, e é limitada por baixo por f de x, ou 8 x ao cubo. Então a área,
a área será, eu vou abaixar um pouco mas eu ainda quero ver este gráfico.
Parte B, parte B. a área de r será igual à integral, de 0, de 0, isso
é este ponto de intersecção aqui, até 1/2, então eu vou fazer isto aqui, isto é 0 até 1/2,
e então a função no topo, então nó poderíamos encontrar a área desta, mas nós teremos que subtraír

Bulgarian: 
от горната функция е g(х),
която е равна на sinπх.
Но ако  само изчислим
този интеграл...
ще сложа тук dx.
Ако просто изчислим това,
ще получим площта
на цялата тази област.
Но ние искаме да извадим площта 
под втората функция, под f(х).
Искаме да извадим
само площта под това.
Затова просто изваждаме от 
това f(х).
f(х), вече видяхме,
е 8х^3.
И сега можем просто да 
изчислим това.
Ще оградя това тук,
защото стана малко разхвърляно.
Ще го направя тук долу.
Търсим примитивната
функция на sin π x.
Производната на косинус х
е равна на –sin х.

Portuguese: 
da área em baixo da função abaixo, ou outro jeito de pensar, a integral de 0 até
1/2 da função acima é g de x, que é seno de pi x, então o seno de pi x, o seno de pi x, mas
se nós somente encontrássemos essa integral, deixe-me por um dx aqui, se nós só encontrássemos isto nós
conseguiríamos esta área inteira aqui, mas o que nós precisamos é subtraír a área em baixo
da segunda, em baixo de f de x, deixe-me subtraír a área sob a
f de x, e f de x nós já vimos, é igual a 8 x ao cubo, é 8 x à terceira potencia. E agora nós podemos
calcular isto, então deixe-me desenhar uma linha aqui, está ficando um pouco bagunçado,
eu vou desenhar aqui, então nós temos que tirar a anti-derivada de seno de pi x. Bem, a derivada

German: 
Fläche der Funktion unter abziehen oder anders ausgedrückt, das Integral von 0 zu
1/2 der Funktion g von x, welche sin pi x ist, also sin von pi x aber
wenn wir nur dieses Integral einschätzen, lass uns hier ein dx eintragen, wenn wir nur das einschätzen
so würden wir die ganze Fläche dieses Bereiches bekommen wir die ganze Fläche, aber was wir noch machen müssen, wir müssen die Fläche darunter
unter der zweiten, unter f von x abziehen, lass uns also die Fläche darunter subtrahieren
f von x und f von x haben wir gesehen ist 8x hoch drei, ist 8 x hoch drei. Und nun können wir
das berechnen, also lasst mich hier eine Gerade zeichnen, es wird etwas unübersichtlich, etwas wirr
ich mach das hier unten, so also wir müssen die Stammfunktion von sin von pi x nehmen. nun, die Ableitung

Thai: 
จากพื้นที่ใต้ฟังก์ชันข้างล่างนี้, หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า, อินทิกรัลจาก 0
ถึง 1/2 ของฟังก์ชันบน คือ g ของ x, ซึ่งก็คือไซน์ของ ไพ x, ได้ ไซน์ของ ไพ x, ไซน์ของ ไพ x, แต่
เราต้องหาค่าอินทิกรัลนี้, ขอผมใส่ dx ตรงนี้นะ, ถ้าเราหาค่าเจ้านี่, เราจะได้
พื้นที่ทั้งหมดของเขตตรงนี้, แต่สิ่งที่เราต้องทำคือหักพื้นที่ข้างล่าง
อันที่สอง, ใต้ f ของ x ออก, ขอผมลบพื้นที่ข้างล่างออกนะ, เราก็แค่ลบมันจาก
f ของ x, และ f ของ x เราเห็นแล้วว่า คือ 8 x กำลังสาม, คือ 8x กำลังสาม. และตอนนี้เราสามารถ
หาค่ามันได้, ขอผมวาดเส้นเล็กๆ ตรงนี้หน่อย, มันเลอะหน่อยแล้ว, มันเลอะหน่อยแล้ว,
มันจะทำข้างล่างนี้นะ, ทีนี้เราต้องหาแอนติเดริเวทีฟของไซน์ x. แล้ว, อนุพันธ์ของ

English: 
to 1/2 of the top function is
g of x, which is sine of pi x.
But if we just evaluated
this integral--
let me just put a dx over here.
If we just evaluated
this, we would
get the area of
this entire region.
But what we need to
do is subtract out
the area underneath the
second, underneath f of x.
We just subtract out
the area under that.
So we just subtract
from that f of x.
And f of x, we already
saw, is 8x to the third.
Is 8x to the third power.
And now we can
just evaluate this.
So let me draw a
little line here.
It's getting a little bit messy.
I'll just do it down here.
So we need to take the
antiderivative of sine of pi x.
Well, the derivative of cosine
of x is negative sine x.

Thai: 
อนุพันธ์ของโคไซน์ของ x เท่ากับลบไซน์ x, อนุพันธ์ของโคไซน์ของ ไพ x เท่ากับ ลบ ไพ
โคไซน์ของ ไพ x. ดังนั้นอนุพันธ์ -- แอนติเดริเวทีฟของไซน์ของไพ x จะเป็น ลบ 1 ส่วน ไพ
โคไซน์, โคไซน์ของ ไพ x. แล้วคุณทดสอบได้ด้วยตัวนี้ คุณอาจบอกว่า "เธอรู้ได้ยังไง
ว่ามันเป็นลบ?" ตรงนี้, ผมใส่ลบไว้, เพราะเวลาผมหาอนุพันธ์ของโคไซน์ของ ไพ x
ผมจะได้เครื่องหมายลบ, แต่ลบจะตัดกับลบจนได้บวกตรงนี้, และ
คุณก็บอกว่า "ทำไมเธอถึงใสน่ 1 ส่วน ไพ ไว้ตรงนี้ด้วย?" ตรงนี้, เวลาคุณหาอนุพันธ์ของเจ้านี่, โดยใช้
กฎลูกโซ่, คุณก็หาอนุพันธ์ของ ไพ x, คุณจะได้ ไพ, แล้วคุณคูณทุกอย่างเข้าไป
แล้วคุณจะได้ ลบไซน์ของ ไพ x, และไพนั่นไม่ปรากฏตรงนี้, ผมจึง
ต้องมีอะไรสักอย่างไว้ตัดกับมัน, และมันก็คือ 1 ส่วน -- 1 ส่วน ไพ นี่จะตัดกับมัน
และคุณใช้การแทนตัว u ได้, และที่เหลือ, ถ้า, ถ้า, ถ้า, คุณเจอแล้ว, ถ้าคุณเจออะไรที่มีประโยชน์
มันเป็นนิสัยที่ดี ผมว่ามันดี -- มันดีที่สามารถทำของแบบนี้,

Bulgarian: 
Производната на cos πх е
равна на –π cos πx.
Значи примитивната функция
на sin πх е равна на
–1/π cos πх.
Можеш да направиш
проверка самостоятелно.
Но може да кажеш:
"Сал, откъде разбра, 
че е отрицателно?"
Поставих знак минус тук, така че
когато намираме производната
на косинус от πх,
тя ще бъде със знак минус, но
с този минус ще се унищожат,
така че тук ще стане плюс.
После може да попиташ защо
тук слагам 1/π.
Когато намираме производната
на този израз с помощта
на правилото за диференциране на
сложна функция, производната на πх
дава π, по което трябва 
да умножим всичко,
и после ще получим –sin πх.
Но тук нямаме π.
Така че ми трябва нещо, с което
да се съкратят.
И 1/π ще се съкрати с това π.
Можеш да използваш заместване
и всичко останало,
ако ти се струва удобно.
Но по принцип е добър навик,

Portuguese: 
de, a derivada de cosseno de x é seno negativo de x, a derivada de cosseno de pi x é o seno negativo de pi x,
então a derivada - a anti-derivada de seno de pi x será -1/pi
coseno de pi x. E você pode verificar isso por você mesmo, e você pode dizer "como você sabe que era
negativo?" Bem, eu ponho o negativo aqui para que, quando eu tire a derivada de cosseno de pi x,
eu teria um sinal negativo, mas aquele negativo vai cancelar aquele outro sinal negativo para conseguir um positivo, e
você diz "por que você pôs um 1/pi aqui?" Bem, quando você encontra a derivada disto, usando
a regra da cadeia, você encontra a derivada de pi x, você consegue pi, e você multiplicaria tudo
por, e então você teria o seno negativo de pi x, e pi não aparece aqui, então eu preciso de algo
com que cancelar, e isto é o que este 1 sobre -1 sobre pi é com o que vai ser cancelado. E
você pode fazer uma substituição por u, e o resto, se, se, se você encontrou aquilo, você encontrou algo
útl, mas isto é, no geral, um bom hábito, ou, eu acho, é umbom, é bom ser capaz de fazer isto quase

English: 
The derivative of cosine of pi
x is negative pi cosine of pi x.
So the antiderivative
of sine of pi
x is going to be negative
1 over pi cosine of pi x.
And you can verify
it for yourself.
And you might say, wait.
Sal, how did you know
it was a negative.
Well, I put the
negative there so
that when I take the derivative
of the cosine of pi x,
I would get a negative sign, but
that negative will cancel out
the negative to give
me a positive here.
And you say, why do you
put a 1 over pi here.
Well, when you take the
derivative of this thing using
the chain rule, you take
the derivative of the pi x,
you'll get pi, that you
would multiply everything by,
and then you would get
negative sine of pi x.
And that pi doesn't
show up here.
So I need something for
it to cancel out with.
And that's what this 1 over pi
is going to cancel out with.
And you could do use
substitution and all the rest,
if you found something
like that useful.
But it's in general,
a good habit

German: 
die Ableitung von cosinus von x ist minus sin x, die Ableitung von cosinus von pi x ist minus pi
cosinus von pi x, also die Ableitung- die Stammfunktion von sinus pi x ist minus 1 durch pi
cosinus, cosinus von pi x. Und du kannst es selber überprüfen und vielleicht sagst du: 'wie weisst du es war
eine Negative Zahl?' Nun, ich habe die Negative Zahl genommen, so dass wenn ich die Ableitung von cosinus von pi x
ich eine minus Zeichen erhalte, aber das Minus wird das Minus ausgleichen, so dass ich ein Plus bekomme und
du sagst: 'Warum hast du ein pi hier gestellt?' Bun, wenn du die Abeitung von dem nimmst
mit der Kettenregel, nimmst du die Ableitung von pi x und du bekommst pi und du würdest alles multiplizieren
und du bekommst minus sin von pi x, und dieses Pi ist hier nicht zu sehen, also brauche ich etwas
womit ich es kürzen kann und das ist warum das über pi sich kürzen lassen wird, und
du kannst u Substitution machen und all den Rest und wenn, wenn , wenn du so etwas
nützlich findest, aber es ist keine gute Gewohnheit, oder ich glaube es ist gut das schon auf einem Blick zu machen

Bulgarian: 
или бих казал, че е добре да можеш
да правиш това от пръв поглед.
Така че можеш да провериш, че
тази производна е равна на sin πх.
Значи примитивната функция
на синус от πх е това.
Примитивната функция на –8х^3
е –8, което ще разделя на 4,
става –2х^4.
Просто увеличих степенния
показател от 3 на 4,
и после разделих 8 на 4.
Можеш да намериш производната
на това,
за да се увериш, че е равна
на –8x^3.
И сега трябва да сметна това
от 0 до 1/2.
Когато го изчисляваме за 1/2,
получавам –1/π
по косинус от π/2 минус 2 по 
1/2 на четвърта степен, което е 1/16.
Това е равно на 1/2.
После от това ще извадя
–1/π по косинус от 0.

Thai: 
แค่มองเฉยๆ แล้ว...
คุณทดสอบได้ว่า อนุพันธ์นี้เท่ากับไซน์ของ ไพ x จริง
ดังนั้นแอนติเดริเวทีของ ไซน์ ของ ไพ x คือเจ้านี่,
แอนติเดริเวทีฟของ ลบ 8x กำลัง 3 คือ ลบ 8
ผมจะหารมันด้วย 4, ได้ลบ 2x กำลัง 4
และผมแค่, ที่ผมทำคือผมเพิ่มเลข 3 เป็น 4
แล้วผมหาร 8 ด้วย 4
แล้วคุณก็หาอนุพันธ์ของเจ้านี่
เพื่อทดสอบว่ามันเหมือนกับ ลบ 8x กำลัง 3 หรือเปล่าได้
ทีนี้ เราต้องหาค่ามันจาก 0 ถึง 1/2
เวลาคุณแทนค่าที่ 1/2 -- ผมจะได้ -- ผมจะได้
ลบ 1 ส่วน ไพ, โคไซน์ของ ไพ ส่วน 2
โคไซน์ของ ไพ ส่วน 2 ลบ 2 คูณ 1/2 กำลัง 4 ได้ 1/16
นั่นคือค่าแทนที่ 1/2
แล้วจากนั้นผมจะลบ ลบ 1 ส่วน ไพ โคไซน์ของ 0

English: 
or I guess it's good to be able
to do this almost by sight.
So, and you can verify
that this derivative is
equal to sine of pi x.
So the antiderivative
of sine of pi x is this.
The antiderivative of
negative 8x to the third power
is negative 8-- I'm going to
divide it by 4-- so negative 2x
to the fourth power.
And all I did is I
incremented the 3 to a 4,
and then I divided
by 8 by the 4.
And you could take
the derivative of this
to verify this it is the
same thing as negative 8x
to the third power.
And we're going to have to
evaluate that from 0 to 1/2.
When you evaluated 1/2,
I'm going to get negative 1
over pi cosine of pi
over 2 minus 2 times 1/2
to the fourth power is 1/16.
So that's evaluated at 1/2.
And then from that, I'm
going to subtract negative 1
over pi cosine of 0.

German: 
fast auf einem Blick
und du kannst überprüfen, dass die Ableitung sin von pi x ist
also der Stammbruch von sin von pi x ist das
der Stammbruch von minus 8 x hoch drei ist minus 8
ich werde es durch 4 teilen, so dasminus 2 x hoch vier
und alles was ich gemacht habe, ich bin von 3 auf 4 gestiegen
und dann die 8 durch die 4 geteilt
und du kannst die Ableitung davon nehmen
um zu überprüfen, dass das das gleiche ist wie minus 8 x hoch drei
Nun werden wir das von 0 bis 1/2 einschätzen müssen
wenn du bei 1/2 berechnest...so...also werde ich
minus 1 durch pi cos von pi durch 2
cos von pi durch 2 minus 2 mal 1/2 hoch vier ist 1/16
so das ist nun berechnet bei 1/2
und von hier werde ich minus 1 durch pi cos von 0 subtrahieren

Portuguese: 
à vista, então...
E você pode verificar que esta derivada é igual ao seno de pi x
então a anti-derivada de seno de pi x é isto,
a anti-derivada de -8 x à terceira potência é -8
Eu vou diivdir isto por 4, então -2 x à quarta potência
e eu só, tudo o que eu fiz foi eu eu aumentei o 3 para um 4
e então dividi o 8 pelo 4
e você pode tirar a derivada disto
para verificar que isto é a mesma coisa que -8x ao cubo.
Agora nós vamos ter que calcular aquilo de 0 a 1/2.
Quando você calcula em 1/2... então eu vou conseguir... eu vou conseguir
-1 sobre pi, cosseno de pi sobre 2
cosseno de pi sobre 2 menos 2 vezes 1/2 à 4 potência é 1/16
então isto em 1/2
e então daquilo, eu vou subtraír -1 sobre pi cosseno de 0

German: 
lasst mich das ausschreiben
also minus minus 1 durch pi, minus 1 durch pi cos von pi mal 0
cosinus von pi, lasst mich das ausschreiben, cosinus von 0 pi kann ich als pi mal 0 schreiben
minus 2 mal 0 hoch vier
so das wird minus 0 sein
lasst uns das ausrechnen
um es zu vereinfachen, wir haben ein cosinus von pi durch 2
cosinus von pi durch 2 wird 0 sein, also ist das Ganze 0
und dann hast du eine minus 2 geteilt durch 16, das gibt minus 1/8
minus 1/8
und davon werde ich das da subtrahieren
cos von 0, das ist 1. Also ist das minus 1 durch pi, eine minus 1 durch pi
und dann haben wir eine 0 dort, also kann ich das ignorieren
also das ist gleich minus 1 durch 8, plus, plus 1 durch pi
und wir sind fertig
Der Teil wo du kein Rechner benützen darfst

Bulgarian: 
Само да го запиша.
Минус –1/π по косинус
от π по 0.
Ще запиша косинус от 0π,
или може да напишем π по 0,
минус 2 по 0 на четвърта степен.
Това си е минус 0.
Сега да сметнем това.
За да го опростим, имаме
косинус от π/2, което е нула,
така че всичко това става нула.
И после имаме –2 
делено на 16.
Това е равно на –1/8.
После от това ще извадим
това тук.
Косинус от нула е 1.
Това става просто –1/π.
После тук имаме 0,
което ще игнорираме.
Значи това е равно на –1/8
плюс 1/π.
И сме готови.
В тази част на изпита не е позволено 
да се използва калкулатор.

Thai: 
ขอผมเขียนมันออกมานะ...
ลบ ลบ 1 ส่วน ไพ, ลบ 1 ส่วน ไพ โคไซน์ของ ไพ คูณ 0
โคไซน์ของ ไพ, ขอผมเขียนนะ, โคไซน์ของ 0 ไพ ผมเขียนได้เป็น ไพ คูณ 0
ลบ 2 คูณ 0 ยกกำลัง 4
นั่นจะเท่ากับ ลบ 0
ลองหาค่าเจ้านี่กัน...
ลดรูปมันดู, เรามีโคไซน์ของ ไพ ส่วน 2
โคไซน์ของ ไพ ส่วน 2 จะเท่ากับ 0. เจ้านี่ทั้งหมดจะกลายเป็น 0
แล้วคุณมีลบ 2 หารด้วย 16, นั่นก็คือ ลบ 1/8
ลบ 1/8...
แล้วจากนั้น ผมจะลบเจ้านี่ตรงนี้
โคไซน์ของ 0, นี่คือ 1. นี่ก็คอื ลบ 1 ส่วนไพ, ลบ 1 ส่วน ไพ
แล้วผมมี 0 ตรงนี้, ผมก็ทิ้งมันไปได้
นี่จึงเท่ากับ ลบ 1 ส่วน 8, บวก, บวก 1 ส่วน ไพ
แล้วเราได้คำตอบแล้ว
ของข้อนี้, เขาไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลข

Portuguese: 
deixe-me escrever isto aqui...
Então menos menos 1 sobre pi, menos 1 sobre pi cosseno de pi vezes 0
cosseno de pi, deixe-me eescrever aqui, cosseno de 0 pi eu poderia escrever, ou pi vezes 0
menos 2 vezes 0 à quarta
então aquilo será menos 0
Então vamos calcular isto...
então, para simplificar isto, nós temos um cosseno de pi sobre 2
cosseno de pi sobre 2 , isto será 0. Então esta coisa inteira vai ser igual a 0
e então você tem um menos 2 dividido por 16, isso é -1/8
1/8 negativo...
e então daquilo eu vou subtraír este negócio aqui
cosseno de 0, isto é 1, então isto é só um menos 1 sobre pi, um menos 1 sobre pi
e então eu tenho um 0 aqui, então eu posso ignorar aquilo
então isto é igual a menos 1 sobre 8, mais, mais 1 sobre pi
e nós terminamos.
Esta parte disso, você não tem permissão para usar uma calculadora

English: 
Let me just write it out.
So minus negative 1 over
pi cosine of pi times 0.
Let me just write
cosine of 0 pi,
I could write, or pi times 0,
minus 2 times 0 to the fourth.
So that's just
going to be minus 0.
So let's evaluate this.
So to simplify it, we have
a cosine of pi over 2.
Cosine of pi over 2
is just going to be 0,
so this whole thing
just becomes zero.
And then you have a
negative 2 divided by 16.
That's negative 1/8.
And then from that, I'm going
to subtract this business here.
Cosine of 0, this is 1.
So this is just a
negative 1 over pi.
And then I have a 0 there.
so I can ignore that.
So this is equal to negative
1 over 8 plus 1 over pi.
And we are done.
This part of it, you're not
allowed to use a calculator.

English: 
So this is about
as far as I would
expect them to
expect you to get.
And so I'll leave you there.
In the next video,
we will do part c.

Bulgarian: 
Така че това е максималното,
което очакват да направиш.
Спирам до тук.
В следващото видео 
ще решим подточка с.
 

Thai: 
นี่จึงเป็นคำตอบที่ผมว่าเขาคงอยากได้
จาก จาก จาก เอ่อ... นี่คือที่ผมว่าเขาคงอย่างได้จากคุณ
งั้นผมจะปล่อยคุณไปแล้วกัน

German: 
also ist das das Weiteste, das ich erwarte, dass sie erwarten dass ihr gehen werden
also das ich erwarte, dass du kommen wirst
also lass ich dich hier

Portuguese: 
entao isto é tudo sobre o quão longe eu esperaria eles chegarem
para, para, para, eh... aproximadamente o quão longe eu esperaria que eles chegassem, que esperaria que vocês chegassem, hã, para conseguir
e então eu vou deixá-los aqui

Thai: 
ในตอนหน้า เราจะมาทำตอน.. เราจะมาทำตอน C กัน

German: 
im nächsten Video werden wir Teil C durchnehmen

Portuguese: 
no próximo video nós faremos a parte... nós faremos a parte C

Spanish: 
en el siguiente video haremos la parte... Haremos la parte C
