
Korean: 
주어진 함수는
y=(5-3x)/(x^2+3x)이고
이 함수의
x에 대한 도함수를 찾고자 합니다
바로 보이실 수도 있는 사실은
y가 두 개의 다른 식의 비율로
유리식으로 정의되어 있다는 것이죠
이들을 두 개의 
함수로도 볼 수 있겠습니다
분자에 이것을 u(x)
그러니까 이 식이 이것과 같게
분자를 u(x)로 적고
분모의 식을 v(x)로 적습니다
이것이 v(x)입니다
그리고 이런 형태로 표현되는
두 함수의 비율 꼴의
도함수를 구할 때는
몫의 미분법을 쓸 수 있습니다
잠시 부연설명을 하자면
몫의 미분법을 잊어버렸다면
곱의 미분법에서 유도할 수 있습니다
그 영상도 따로 있고요
곱의 미분법이 
좀 더 기억하기 쉬우니 도움이 될 겁니다
하지만 지금은

Thai: 
สมมุติว่า
y เท่ากับ 5 ลบ 3x ส่วน x กำลังสองบวก 3x
และเราอยากหาว่า
อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เป็นเท่าใด
ทีนี้ สิ่งที่อาจสะดุดตาคุณทันที
คือว่า y นิยามเป็นพจน์ตรรกยะตรงนี้
เป็นผลหารของพจน์ต่างกันสองตัว
เรามองอันนี้เป็นฟังก์ชันต่างกันสองตัวได้
คุณมองอันบนนี้ว่า u ของ x
คุณบอกได้ว่า อันนี้เหมือนกับ
อันนี้เหมือนกับ u ของ x ส่วน
คุณมองอันที่เป็นตัวส่วนว่า v ของ x ได้
อันนั้นตรงนั้นคือ v ของ x
แล้วถ้าคุณจะหาอนุพันธ์ของอะไรสักอย่าง
ที่เขียนแบบนี้ได้
เป็นผลหารของฟังก์ชันต่างกันสองตัว
คุณก็ใช้กฎผลหารได้
ผมจะบอกคุณไว้ข้างๆ อย่างที่ผมชอบทำ
กฎผลหาร ถ้าคุณลืม
มันสามารถพิสูจน์จากกฎผลคูณ
เรามีวิดีโอเรื่องนี้แล้ว
เพราะกฎผลคูณจำง่ายกว่า
แต่สิ่งที่ผมทำได้คือบอกว่า

English: 
- [Voiceover] Let's say that
y is equal to five minus three
x over x squared plus three x
And we want to figure out
what's the derivative
of y in respect to x.
Now it might immediately
jump out at you that look,
y is being defined as a
rational expression here
as the quotient of two
different expressions.
We could even view this as
two different functions.
You could view this one up here as u of x,
so you could say this is the same thing,
this is the same thing as u of x, over,
you could view the one in
the denominator as v of x.
That one right there is v of x
and so if you're taking
the derivative of something
that can be expressed in this way,
as the quotient of two
different functions,
well then you could use the quotient rule.
I'll give you my little
aside, like I always do
the quotient rule, if you ever forget it
it can be derived from the product rule
and we have videos there,
cause the product rule's
a bit easier to remember.
But what I can do is just say,

Czech: 
Nechť y je rovno 5 minus 3x,
to celé lomeno x na druhou plus 3x.
Chceme spočítat, kolik 
je derivace y podle x.
Všimněme si, že y je podílem 
dvou výrazů, tedy racionální funkcí.
Dané výrazy můžeme
vidět jako dvě funkce.
První označíme
jako u(x) a druhou v(x).
Proto derivace y je vlastně
derivací podílu dvou funkcí.
A tak použijeme pravidlo
o derivaci podílu.
Nezapomeňme, že pravidlo o derivaci podílu
lze zjistit z pravidla o derivaci součinu,
které je snáze
zapamatovatelné.

Bulgarian: 
Да кажем, че
у е равно на 5 – 3х върху
 х^2 + 3х.
Искаме да намерим
производната на у спрямо х.
Веднага може би 
ще забележиш, че
у е дефинирано като 
рационален израз,
като частно от
два различни израза.
Можем дори да разгледаме това
 като две различни функции.
Можем да разгледаме 
горната като u(x).
Можем да кажем, че това
е същото нещо като u(x) върху...
Можем да разгледаме това
 в знаменателя като v(x).
Това е v(x),
затова, ако търсим 
производната на нещо,
което може да е записано 
по този начин,
като частно от
 две различни функции,
тогава можем да използваме 
формулата за производна на частно.
Ще ти дам малко помощ, 
както винаги.
Формулата за производна на частно, 
ако някога я забравиш,
може да се изведе от формулата
 за производна на произведение,
за което имаме видеа,
защото формулата за произведение е 
малко по-лесно за помнене.
Но мога просто да кажа:

Korean: 
dy/dx=u(x)/v(x) 일 때
함수의 몫의 미분법을
적기만 하겠습니다
그 식은
분자 함수의 도함수
즉, du(x)/dx
곱하기 분모 함수 v(x)
v(x)
빼기 분자 함수 u(x)
곱하기 분모 함수의 도함수
dv(x)/dx
거의 다 썼습니다
아까까지가 분자이고 분모는
분모 함수의 제곱입니다
복잡해 보일 수 있지만
u(x)의 도함수와
v(x)의 도함수를 구해 보고

Thai: 
ดูนะ dy/dx ถ้า y คือ u ของ x ส่วน v ของ x
ผมจะบอกกฎผลหารอีกครั้ง
อันนี้จะเท่ากับ อันนี้จะเท่ากับ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันในตัวเศษ
d/dx ของ u ของ x
คูณฟังก์ชันในตัวส่วน
คูณ v ของ x ลบ ผมจะ
ลบฟังก์ชันในตัวเศษ u ของ x
คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในตัวส่วน
คูณ d/dx, v ของ x
เราใกล้ครบแล้ว
แล้ว ส่วน ส่วนฟังก์ชันในตัวส่วนกำลังสอง
ฟังก์ชันในตัวส่วนกำลังสอง
อันนี้อาจดูยุ่งหน่อย แต่ที่เราต้องทำตอนนี้
ก็แค่คิดว่า อนุพันธ์ของ u ของ x คืออะไร?
อนุพันธ์ของ v ของ x คืออะไร?

Czech: 
Použijme nyní pravidlo o derivaci 
podílu na nalezení derivace y podle x.
Máme derivaci u(x) krát v(x)
minus u(x) krát derivace v(x)
a to celé je vyděleno
v(x) na druhou.

Bulgarian: 
виж, dy/dx, ако 
у е просто u(x) върху v(x)...
Просто ще запиша формулата
 за производна на частно.
Това ще бъде
производната на функцията
 в числителя,
d/dx от u(x),
по функцията в знаменателя,
v(x), минус
функцията в числителя, u(x),
по производната на функцията
 в знаменателя,
d/dx от v(x).
Почти сме готови.
Накрая върху функцията в 
знаменателя на квадрат.
Функцията в знаменателя 
на квадрат.
Това може да ти изглежда сложно, 
но сега трябва
само да помислим 
каква ще е производната на u(x) и
каква е производната на v(x).

English: 
"look, dy dx, if y is
just u of x over v of x",
I'm just gonna restate the quotient rule.
This is going to be, this is going to be
the derivative of the
function in the numerator, so.
d, dx of u of x
times the function in the denominator
times v of x minus, I'll do the
minus the function in
the numerator, u of x,
times the derivative of the
function in the denominator
times d dx, v of x
and we're almost there
and then over, over the function
in the denominator squared
the function in the denominator squared.
So this might look messy
but all we have to do now
is think about what is
the derivative of u of x?
What is the derivative of v of x?

Bulgarian: 
И просто трябва да заместим
 тези неща
обратно в този израз, 
който написахме.
Хайде да го направим.
Производната спрямо х на u(x)
е равна на...Да видим. 
5 минус 3х.
Производната на 5 е 0.
Производната на –3х,
ами, това е просто –3.
Ако нещо от това ти изглежда
напълно непознато,
те насърчавам да прегледаш 
свойствата за диференциране
и може би правилото за 
производна от степен.
Сега нека помислим каква
 ще е производната
спрямо х на v(x).
Производната на
 х на квадрат:
просто изваждаме
 степента отпред.
Ще бъде 2 по х 
на степен 2 минус 1
или 2х на първа степен, 
или просто 2х.
Тогава производната на 3х
 е просто 3.
Следователно 2х плюс 3.

Thai: 
และเราควรแทนสิ่งเหล่านั้น
กลับไปในพจน์นี้ที่เราเพิ่งเขียนไปได้
ลองทำกันดู
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ u ของ x, ของ u ของ x
เท่ากับ ลองดู 5 ลบ 3x
อนุพันธ์ของ 5 เป็น 0
อนุพันธ์ของลบ 3x
มันจะเท่ากับลบ 3
นั่นก็แค่ลบ 3
ถ้าคุณไม่คุ้นพวกนี้เลย
ผมแนะนำให้คุณทบทวนสมบัติของอนุพันธ์
แล้วก็กฎยกกำลัง
ทีนี้ ลองคิดกันว่าอนุพันธ์
เทียบกับ x อนุพันธ์เทียบกับ x
ของ v ของ x, ของ v ของ x คืออะไร?
อนุพันธ์ของ x กำลังสอง
เราแค่นำเลขชี้กำลังมาไว้ข้างหน้า
มันจะเท่ากับ 2 คูณ x กำลัง 2 ลบ 1
หรือ 2x กำลัง 1 หรือแค่ 2x
แล้วอนุพันธ์ของ 3x ก็คือ 3
2x บวก 3

Korean: 
이제껏 쓴 식에
대입만 하면 됩니다
직접 해 보죠
u(x)가 5-3x니까
x에 대한 도함수는
5를 미분하면 0이고
-3x를 미분하면
-3이죠
전체를 미분하면 -3입니다
익숙하지가 않다면
도함수의 성질과 x^n의 도함수를
복습해 주세요
다음
v(x)의 x에 대한 도함수는
무엇일까요?
x^2을 미분하면
지수가 앞으로 튀어나오고
2x^(2-1)=2x^1
곧 2x이고
3x를 미분하면 3이죠
전체를 미분하면 2x+3입니다.

Czech: 
Nyní stačí zjistit derivace u(x) a v(x),
a pak vše dosadit do výrazu.
Derivace u(x), tedy 5 minus 3x, je rovna
derivace 5, což je 0, derivace -3x je -3.
Pokud je to nejasné, pak je vhodné
si připomenout pravidla pro derivování,
speciálně pravidlo o derivaci
mocninné funkce.
Nyní vypočítejme
derivaci v(x).
Nejprve zderivujme x na druhou. Vyndáme
2 ven a získáme x na první.
Takže 2x.
A konečně,
derivace 3x je 3.
Celkem máme
2x plus 3.

English: 
And we should just be able
to substitute those things
back into this expression
we just wrote down.
So let's do that.
So the derivative with respect
to x of u of x, of u of x
is equal to, let's see,
five minus three x.
The derivative of five is zero.
The derivative of negative three x,
well that's just gonna be negative three.
That's just negative three.
If any of that look
completely unfamiliar to you
I encourage you to review
the derivative properties
and maybe the power rule.
Now let's think about
what is the derivative
with respect to x,
derivative with respect to x,
of v of x, of v of x?
Well derivative of x squared,
we just bring that exponent out front,
it's gonna be two times
x to the two minus one
or two x to the first power or just two x
and then the derivative
of three x is just three.
So two x plus three.

Korean: 
저 식에 대입해야 할 것들을 
모두 구했습니다
u의 x에 대한 도함수
-3을 넣고
v(x)=x^2+3x
를 그대로 대입합니다
다음 u(x)=5-3x
이고
v의 x에 대한 도함수
2x+3을 넣습니다
분모는 v(x)=x^2+3x
그대로 대입해 주면
어떤 식이 나오죠?
좁 번잡스러운 모습이네요
식은 마이너스로 시작하고
분자에 이 부분부터 먼저 정리하죠

Bulgarian: 
Сега знаем всичко, което ни трябва, 
за да заместим обратно тук.
Производната на u спрямо х,
това тук е просто –3.
v(x), това знаем, че е 
х^2 + 3х.
Знаем, че това тук е v(x).
После знаем, че u(x) е 5 – 3х.
Производната на v спрямо х
знаем, че е 2х + 3.
Накрая знаем, че v(x) е
 х^2 + 3х.
Това е х на квадрат плюс 3х.
Какво получаваме?
Ще получим... Ще изглежда 
малко заплетено.
Ще е равно на минус...
Ще се фокусирам тук. 
Имаме тези неща.

Czech: 
Nyní již zbývá provést
dosazení do výrazu.
Derivace
u(x) je −3.
v(x) je 
x na druhou plus 3.
u(x) je
5 minus 3x.
Derivace v(x) je
2x plus 3.
Nakonec zde za v(x) dosaďme
x na druhou plus 3x.
Co jsme získali?
Trochu to upravíme.
Nejprve tuto část.

Thai: 
ตอนนี้เรารู้ทุกอย่างที่เราต้องแทนลงไปแล้ว
อนุพันธ์ของ u เทียบกับ x
ตรงนี้ ก็แค่ลบ 3
v ของ x, อันนี้เรารู้ว่าคือ x กำลังสองบวก 3x
เรารู้ว่าค่านี่ตรงนี้คือ v ของ x
แล้ว u ของ x เรารู้ว่าคือ 5 ลบ 3x
5 ลบ 3x
อนุพันธ์ของ v เทียบกับ x
เรารู้ว่าคือ 2x บวก 3, 2x บวก 3
แล้วสุดท้าย v ของ x, เรารู้ว่าคือ 
x กำลังสองบวก 3x
นี่ก็คือ x กำลังสองบวก 3x
แล้วเราได้อะไร?
เราจะได้ มันจะค่อนข้างยุ่ง
มันจะเท่ากับลบ
ผมจะเน้นอันนี้ก่อน ที่เรามีข้างบนนี้

English: 
Now we know everything we need
to substitute back in here.
The derivative of u with respect to x,
this right over here
is just negative three.
V of x, this we know is
x squared plus three x.
We know that this right
over here is v of x.
And then u of x we know
is five minus three x.
Five minus three x.
The derivative of v with respect to x
we know is two x plus
three, two x plus three.
And then finally v of x, we
know is x squared plus three x.
So this is x squared plus three x
and so what do we get?
Well we are going to get, it's
gonna look a little bit hairy
It's going to be equal to negative
I'll focus this so first we
have this business up here.

Czech: 
Roznásobme −3 krát
(součet x na druhou a 3x).
Což je 
−3x na druhou minus 9x.
Od toho odečtěme součin
těchto dvou výrazů.
Roznásobením dostaneme 10x plus
15 minus (6x na druhou) minus 9x.
Zjednodušme výraz odečtením
10x a 9x, což je x.

English: 
Negative three times x
squared plus three x.
So I'm just gonna distribute
the negative three.
So it's negative three
x squared minus nine x
and then from that we
are going to subtract
the product of these two
expressions and so let's see,
what is that going to be?
Well, we have a five times two x,
which is ten x
a five times three which is 15
we have a negative three x times two x
so that is going to be
negative six x squared
minus six x squared, and then
a negative three x times three
so negative nine x.
And let's see we can
simplify that a little bit.
Ten x minus nine x,
well that's just going to leave us with x.
So ten x minus nine x
is just going to be x

Thai: 
ลบ 3 คูณ x กำลังสองบวก 3x
ผมจะแจกแจงลบ 3
มันจะได้ลบ 3x กำลังสองลบ 9x
แล้วจากนั้น เราจะลบ
ผลคูณของสองพจน์นี้ ลองดู
มันจะเท่ากับอะไร?
เรามี 5 คูณ 2x
ซึ่งก็คือ 10x
5 คูณ 3 ได้ 15
เรามีลบ 3x คูณ 2x
มันจะเท่ากับลบ 6x กำลังสอง
ลบ 6x กำลังสอง แล้วลบ 3x คูณ 3
ได้ลบ 9x
แล้วลองดู เราจัดรูปพจน์นั้นได้หน่อย
10x ลบ 9x
มันจะเหลือแค่ x
10x ลบ 9x จะเท่ากับ x

Bulgarian: 
–3 по х на квадрат плюс 3х.
Просто ще разкрия скобите.
–3х^2 – 9х.
После от това ще извадим
произведението на 
тези два израза.
Да видим какво 
ще получим?
Имаме 5 по 2х,
което е 10х.
5 по 3, което е 15.
Имаме –3х по 2х,
следователно това ще бъде
–6х на квадрат,
а после –3х по 3,
което е –9х.
Да видим дали можем
 да опростим малко.
10х минус 9х.
От това ще остане само х.
10х минус 9х е просто х.

Korean: 
-3(x^2+3x)
-3을 분배하면
-3x^2-9x
거기서 이 두 식의 곱을
빼야 하는데
어떤 식인지 볼게요
5*2x로
10x가 있고
5*3=15
-3x*2x
즉 -6x^2
또 -3x*3
즉 -9x가 있습니다
식을 정리해 보죠
10x-9x는
x가 되는군요
10x-9x=x

Thai: 
แล้วในตัวส่วน เราใกล้เสร็จแล้ว
ในตัวส่วน เราเขียนมันได้เป็น
x บวก 3x, x กำลังสองบวก 3x กำลังสอง
หรือถ้าต้องการ เราแจกแจงออกมาได้
ผมจะปล่อยไว้อย่างนั้น
x กำลังสองบวก 3x กำลังสอง
แล้วถ้าเราอยากเขียนให้ง่ายลง
หรือพยายามทำให้มันง่ายลงหน่อย
มันจะเท่ากับลบ 3x กำลังสองลบ 9x
แล้วคุณจะได้ลบ ลบ x
ลบ x แล้วก็ลบ 15
แล้วลบ ลบ 6x กำลังสอง
บวก 6x กำลังสอง ทั้งหมดนั้นส่วน
x กำลังสองบวก 3x กำลังสอง
หรือ x กำลังสองบวก 3x, กำลังสอง
ผมควรบอกอย่างนั้น
แล้วลองดู ตัวเศษนี้ ผมจัดรูปได้หน่อย

Korean: 
한편 분모는
거의 다 했습니다
분모에는 그대로
(x^2+3x)^2이라고 써도 되고
원한다면 전개해서
써도 되지만
저는 (x^2+3x)^2로 남겨 두겠습니다
분자의 식을
마저 정리해 보죠
-3x^2-9x
- 기호를 분배하면
-x-15
그리고 -(-6x^2)은
6x^2이고
아까 분모는 x^2+3x 제곱이었습니다
x^2+3x 전체의 제곱이요
이렇게 말해야 정확하죠
분자를 간단히 해 봅시다

English: 
and then in our denominator,
we're almost there.
In our denominator we
could just write that as
x plus three x, x squared
plus three x squared
or if we want we could expand it out,
I'll just leave it like that
x squared plus three x squared
and so if we wanna simplify
or attempt to simplify this a little bit.
It's going to be negative
three x squared minus nine x
and then you're gonna
have a negative minus x
minus x and then minus 15
and then minus negative six x squared
so plus six x squared, all of that over
x squared plus three x squared
or x squared plus three x, squared.
I should say it that way.
Now let's see this numerator
I can simplify a little bit.

Bulgarian: 
Сега знаменателя и 
сме почти готови.
В знаменателя можем 
да запишем
х^2 плюс 3х на квадрат.
Ако искаме можем 
да разкрием скобите.
Ще го оставя така.
х^2 + 3х, цялото на квадрат.
Ако искаме да опростим
или да се опитаме 
да опростим малко,
ще стане –3х^2 минус 9х.
Тогава ще имаме минус х
и после –15.
После минус –6х^2,
следователно плюс 6х^2,
 цялото върху
х^2 плюс 3х на квадрат
или х^2 плюс 3х, цялото на квадрат.
Трябва да го кажа така.
Нека сега опростим
 малко числителя.

Czech: 
Podívejme se
na jmenovatel.
Můžeme roznásobit, ale nechme ho v tomto
tvaru, druhá mocnina x na druhou plus 3x.
Zjednodušme výraz
ještě o kousek.
V čitateli je −3x na druhou minus 9x minus
x minus 15 plus 6x na druhou.
A ve jmenovateli pak je druhá
mocnina součtu x na druhou a 3x.
Nakonec zjednodušme čitatel.

Bulgarian: 
–3х^2 плюс 6х на квадрат.
Това ще бъде 3х^2.
После имаме в оранжево
–9х минус х.
Това ще бъде –10х.
После имаме –15.
Остава –15.
Готови сме. Най-накрая 
сме готови.
Това ще бъде равно на
3х^2 минус 10х минус 15
върху х^2 плюс 3х, цялото на квадрат.
И сме готови.

Thai: 
ลบ 3x กำลังสองบวก 6x กำลังสอง
มันจะเท่ากับบวก 3x กำลังสอง
แล้วเรามีสีส้ม
เรามีลบ 9x ลบ x
มันจะเท่ากับลบ 10x, ลบ 10x
แล้วเราได้ลบ 15
ลบ 15
คุณก็ได้แล้ว เราทำเสร็จแล้ว
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ
อันนี้จะเท่ากับ
3x กำลังสองลบ 10x ลบ 15
ส่วน x กำลังสองบวก 3x, กำลังสอง
เราเสร็จแล้ว

English: 
Negative three x squared
plus six x squared
that's going to be
positive three x squared
and then we have in orange,
we have negative nine x minus an x,
well that's gonna be
minus ten x, minus ten x
and then we have minus 15.
So minus 15.
So there you have it, we
finally have finished.
This is all going to be equal to
this is all going to be equal to
three x squared minus ten x minus 15
over x squared plus three x, squared
and we are done.

Czech: 
−3x na druhou plus 6x na druhou
je 3x na druhou.
A dále, −9x 
minus x je −10x.
A nakonec máme −15.
Celkem tedy máme 3x na druhou
minus 10x minus 15
a to celé děleno druhá mocnina
ze součtu x na druhou a 3x.
A jsme hotovi.

Korean: 
-3x^2+6x^2는
3x^2이고
주황색으로 표시할게요
-9x-x는
-10x가 되고
-15는 그대로
-15입니다
드디어 끝났습니다
이 전체 유리식의
도함수는
(3x^2-10x-15) 나누기
(x^2+3x)^2 입니다
(x^2+3x)^2 입니다
