
Portuguese: 
Ei é o Professor Dave, eu quero te falar sobre cálculo.
Cálculo é uma matéria vestida em escuridão.
Muitos estudantes param de estudar matemática a esse ponto, principalmente de medo.
Mas no grande esquema das coisas, cálculo é na verdade considerado matemática intermediaria.
Existem dezenas de tópicos muito mais abstratos e complicados de se aprender.
Vamos chegar neles eventualmente também, mas enquanto nos preocuparmos com o cálculo,
contanto que você se aplique, não tem nenhuma razão pra você não aprender essa matéria.
Da mesma forma que trigonometria e álgebra antes disso, é apenas sobre aprender algumas novas
operações, junto com sua notação associada, que não vai ser tão assustadora quanto entendermo-as.
Então primeiro de tudo, sobre o que exatamente é o cálculo, e por que surgiu?
Lembre-se que no começo dessa série, aprendemos como humanos desenvolveram a aritmética

Spanish: 
Hey! soy el Profesor Dave, y quiero hablarles sobre el Cálculo.
El calculo es una materia escondida en la oscuridad.
Muchos estudiantes renuncian a la Matemática  cuando llegan a este punto, principalmente por el miedo.
Pero en la gran tabla de cosas, el Calculo es considerado matemática intermedia.
Existen docenas de topicos que son mas abstractos y mas dificiles de comprender.
Llegaremos a algunos de ellos a su debido tiempo también, pero en lo que se refiere al cálculo
en la medida que seas aplicado, no hay razón por que no puedas aprender esta materia.
Así como en Trigonometría o como en Álgebra, se trata de aprender algunas operacion nuevas.
con su respectiva Notación, que no sera tan aterradora una vez que la entendamos.
Entonces, primero lo primero,¿qué exactamente es el Cálculo?, y ¿por qué surgió?
Recordemos que al comienzo de esta serie, vimo como los humanos desarrollaron al Aritmética.

Arabic: 
مرحباً أنا الأستاذ ديف ، أريد أن أخبركم حول التفاضل والتكامل
حساب التفاضل والتكامل هو موضوع مخفي في الظلام
يترك العديد من الطلاب الرياضيات بشكل كامل عندما يصلون إلى هذه النقطة ، بشكل رئيسي بسبب الخوف منها
ولكن في المخطط الكبير للأشياء ، يعتبر حساب التفاضل والتكامل حسابًا رياضيًا وسيطًا
هناك العشرات من الموضوعات التي تكون أكثر تجريدًا وأكثر صعوبة على الفهم
سنصل إلى بعض من تلك المواضيع في الوقت المناسب أيضًا ، ولكن بقدر ما يتعلق الأمر بحساب التفاضل والتكامل
طالما أنك تُحسن من مستواك ، فلا يوجد سبب يمنعك من معرفة هذا الموضوع
تمامًا مثل علم المثلثات والجبر أمام هذا ، يتعلق الأمر فقط بتعلم بعض العمليات الجديدة
جنبًا إلى جنب مع الترميز المقترن بها ، والذي لن يكون مرعباً عندما نفهمه
إذاً أول الأشياء ، ما هي بالضبط حساب التفاضل والتكامل ، وحول أي من المواضيع تم تصميمه؟
تذكر أنه في بداية هذه السلسلة ، تعلمنا كيف أن البشر طوروا علم الحساب

English: 
Hey it’s Professor Dave, I wanna tell you
about calculus.
Calculus is a subject that is cloaked in darkness.
Many students quit math entirely when they
get up to this point, mainly out of fear.
But in the grand scheme of things, calculus
is actually considered intermediate math.
There are dozens of topics that are more abstract
and more difficult to comprehend.
We will get to some of those in due time as
well, but as far as calculus is concerned,
as long as you apply yourself, there is no
reason why you can’t learn this subject.
Just like trigonometry and algebra before
this, it’s just about learning some new
operations, along with the associated notation,
which won’t be so scary once we understand it.
So first things first, what exactly is calculus,
and why did it come about?
Remember that at the beginning of this series,
we learned how humans developed arithmetic

Portuguese: 
por necessidade, de forma que pudêssemos trocar bens uns com os outros.
Então qual desafio possivelmente necessitou o desenvolvimento do cálculo?
Para responder isso, vamos visitar alguns momentos na história da matemática.
Como vimos nos nossos estudos de geometria, os gregos antigos foram responsáveis por desenvolver nossa
compreensão sobre as formas e suas características.
Uma das coisas que eles descobriram foi como descobrir a área dum polígono ao separa-lo em
triângulos.
Um polígono contém menos triângulos que seu número de lados, e eles sabiam como
calcular a área dum triângulo, então isso não era um problema.
O problema começou quando tentaram calcular a área de formas curvadas, como o círculo.
Aqui, não existem vértices onde podemos desenhar linhas, então isso não pode ser divido em triângulos.
Por essa razão, eles desenvolveram o chamado "método da exaustão".

English: 
out of necessity, in order to trade goods
with one another.
So what challenge could possibly have necessitated
the development of calculus?
To answer this, let’s visit a few moments
in the history of mathematics.
As we saw in our study of geometry, the ancient
Greeks were responsible for developing our
understanding of shapes and their characteristics.
One thing they figured out was how to find
the area of a polygon by splitting it up into
triangles.
A polygon contains two fewer triangles than
its number of sides, and they knew how to
get the area of a triangle, so this was no
problem at all.
The trouble came when trying to find the area
of a curved shape, like a circle.
Here, there are no vertices from which to
draw lines, so this can’t be split up into triangles.
For this reason, they developed something
called the method of exhaustion.

Arabic: 
بسبب الحاجة ، من أجل تجارة السلع مع بعضهم البعض
إذاً ما هو التحدي الذي ربما تَطَلَّبَ تطوير حساب التفاضل والتكامل؟
للإجابة عن هذا ، دعنا نذهب بضع لحظات في تاريخ الرياضيات
كما رأينا في دراستنا للهندسة ، كان اليونانيون القدماء مسؤولين عن تطوير
فهمنا للأشكال وخصائصها
فهموا شيءٌ واحد وهو كيفية إكتشاف مساحة مضلع عن طريق تقسيمه إلى
مثلثات
يحتوي المضلع على عددين من المثلثات أقل من عدد جوانبها ، وكانوا يعرفون كيفية الحصول
على مساحة المثلث ، لذلك لم تكن هذه مشكلة على الإطلاق
حدثت المشكلة عند محاولتهم العثور على مساحة شكل منحني ، مثل دائرة
هنا ، لا توجد قمم ليتم من خلالها رسم الخطوط ، لذلك لا يمكن تقسيم ذلك إلى مثلثات
لهذا السبب ، طوروا شيئًا يُسمى طريقة الإستنفاذ

Spanish: 
por una cuestion de necesidad, con el fin de poder intercambiar bienes entre sí.
Entonces, ¿qué desafío podría haber requerido el desarrollo del cálculo?
Para responder a esto, visitemos algunos momentos de la historia de las matemáticas.
Como vimos en nuestro estudio de la geometría, los antiguos griegos fueron responsables de desarrollar nuestra
comprensión de las figuras y sus características.
Una cosa que descubrieron fue cómo encontrar el área de un polígono dividiéndolo en
triángulos.
Un polígono contiene dos triángulos menos que su número de lados, y ellos sabían cómo
obtener el área de un triángulo, así que esto no fue un problema en absoluto.
El problema estuvo al tratar de encontrar el área de una forma curva, como un círculo.
Aquí, no hay vértices para dibujar líneas, por lo que no se pueden dividir en triángulos.
Por esta razón, desarrollaron algo llamado método de agotamiento.

English: 
This is where they would inscribe a triangle
into the circle, and then gradually increase
the number of sides of this polygon.
Four sides, then five, then six, and continuing
from there.
As we can see, the shape is starting to look
more and more like a circle, so the area of
the polygon must be getting closer and closer
to the area of the circle, though it will
never quite get there.
In fact, the polygon would need to have an
infinite number of sides in order to have
an area that is identical to that of the circle,
so we can say that in the limit of infinity,
the area of the polygon equals the area of
the circle, where n represents the number
of sides in the polygon.
Though the Greeks did not fully grasp the
concept of limits, they were able to conceive
of this rudimentary technique, and prove the
formula for the area of a circle this way.

Portuguese: 
Isso é onde eles iriam inserir um triângulo no círculo, e gradualmente aumentar
o número de lados desse polígono.
4 lados, então 5, depois 6, e continuando daí.
Como podemos ver, a forma está começando a aparecer mais e mais como um círculo, então a área do
polígono deve estar ficando mais e mais perto da área do círculo, mas nunca vai
chegar lá por completo.
De fato, o polígono deveria ter um número infinito de lados para ter
uma área idêntica a do círculo, então podemos dizer que está no limite do infinito,
a área do polígono é igual a área do círculo, onde n representa o número
de lados do polígono.
Mesmo que os gregos não entendessem de forma completa o conceito de limites, eles eram capazes de conceber
dessa técnica rudimentar, e provar a formula da área do círculo desta forma.

Arabic: 
هذا هو المكان الذي يقومون فيه بتخطيط مثلث في الدائرة ، ثم يزيدون تدريجياً
عدد جوانب هذا المضلع
أربعة أضلاع ، ثم خمسة ، ثم ستة ، وتستمر من هناك
وكما يُمكننا أن نرى ، بدأ الشكل يبدو وكأنه دائرة أكثر
لذا يجب أن تقترب منطقة المضلع من منطقة الدائرة وأقرب إلى منطقة الدائرة ، على الرغم
من أنها لن تصل إلى هذا الحد
في الواقع ، قد يحتاج المضلع إلى عدد لا نهائي من الجوانب من أجل الحصول
على مساحة مماثلة لتلك الموجودة في الدائرة ، لذلك يُمكننا القول أنه في حدود اللانهاية
فإن مساحة المضلع تساوي مساحة الدائرة ، حيث تمثل n عدد
الجوانب في المضلع
على الرغم من أن الإغريق لم يدركوا تماما مفهوم الحدود ، إلا أنهم كانوا قادرين
على تصور هذه التقنية البدائية وإثبات الصيغة لمنطقة الدائرة بهذه الطريقة

Spanish: 
Aquí es donde se inscribiría un triángulo en el círculo y luego aumentaría gradualmente
el número de lados de este polígono.
Cuatro lados, luego cinco, luego seis, y así sucesivamente.
Como podemos ver, la forma comienza a parecerse más y más a un círculo, por lo que el área de
el polígono se aproxima cada vez más al área del círculo, aunque
nunca llegará de manera definitiva.
De hecho, el polígono tendría que tener un número infinito de lados para tener
un área que es idéntica a la del círculo, por lo que podemos decir que en el límite del infinito,
el área del polígono es igual al área del círculo, donde "n" representa el número
de lados del polígono.
Aunque los griegos no entendieron completamente el concepto de límites, fueron capaces de concebir
esta técnica rudimentaria, y probar la fórmula para el área de un círculo de esta manera.

English: 
It is precisely this kind of logic that we
will use to do calculus, when we try to find
the area under a curve, meaning the area of
the section in between a function and the x-axis.
Just like with the circle, we can approximate
this area, only this time by drawing rectangles,
and to get a more accurate approximation,
we simply make them narrower,
and narrower still, to more closely follow
the curvature.
In the limit of infinitely thin rectangles,
we could find the precise area under this curve.
So clearly, there is something about curvature
that specifically requires calculus.
We can easily calculate the area of a rectangle,
because the distance between opposite sides is fixed.
But when a value such as the height of a figure
is changing from each point to the next, the

Portuguese: 
É precisamente esse tipo de lógica que vamos usar no cálculo, quanto tentamos achar
a área debaixo duma curva, significando a área debaixo da seção no meio da função e do axis-x.
Justamente como com o círculo, podemos aproximar essa área, dessa vez desenhando retângulos.,
e para termos uma aproximação mais acurada, simplesmente fazemos eles menores,
e menores ainda, para seguir a curva mais de perto.
No limite de infinitos retângulos finos, podemos achar a área precisa debaixo dessa curva.
Então claramente, tem algo sobre curvatura que especificamente requer o cálculo.
Podemos facilmente calcular a área desse retângulo, pois a distância entre os dois lados é fixa.
Mas quando o valor da altura da figura muda de ponto a ponto, as

Spanish: 
Es precisamente este tipo de lógica que usaremos para hacer cálculos, cuando intentemos encontrar
el área bajo una curva, es decir, el área de la sección entre una función y el eje x.
Al igual que con el círculo, podemos aproximar esta área, solo que esta vez dibujando rectángulos,
y para obtener una aproximación más precisa, simplemente los hacemos más estrechos,
y aún más estrecho, para seguir más de cerca la curvatura.
En el límite de rectángulos infinitamente delgados, podríamos encontrar el área precisa debajo de esta curva.
Claramente, hay algo acerca de la curvatura que específicamente requiere cálculo.
Podemos calcular fácilmente el área de un rectángulo, porque la distancia entre los lados opuestos es fija.
Pero cuando un valor como la altura de una figura cambia de un punto a otro,

Arabic: 
هذا النوع من المنطق بالضبط هو الذي سنستخدمه في حساب التفاضل والتكامل عندما نحاول إيجاد
المساحة تحت المنحنى ، وهذا يعني مساحة المقطع بين الدالة والمحور السيني
وكما هو الحال مع الدائرة ، يُمكننا تقريب هذه المساحة ، فقط هذه المرة من خلال رسم مستطيلات
والحصول على تقدير أكثر دقة ، فنحن ببساطة نجعلها أضيق
وأضيق ، لتتبع الانحناء بشكل أكثر دقة
في حدود المستطيلات الرفيعة اللامحدودة ، يُمكن أن نجد المساحة الدقيقة تحت هذا المنحنى
بكل وضوح ، هناك شيء حول الإنحناء يتطلب تحديدًا حساب التفاضل والتكامل
يُمكننا بسهولة حساب مساحة المستطيل لأن المسافة بين الجانبين المعاكسين ثابتة
ولكن عندما تتغير قيمة مثل ارتفاع الشكل الهندسي من كل نقطة إلى أخرى

English: 
techniques that we learned in algebra and
geometry just don’t work any longer, and
we need something more sophisticated.
During the 17th century, this more sophisticated
branch of mathematics finally came about.
The first to make considerable progress with
this was French mathematician Pierre de Fermat,
but everything truly came together with Isaac
Newton, who along with Gottfried Leibniz,
is credited with developing modern calculus.
The interesting thing is that Newton developed
calculus simply out of necessity, in order
to have the tools he needed to solve problems
in physics regarding celestial motion.
Leibniz did similar work just a few years
later, independently of Newton, and it is
actually his notation that we still use today.
So what was it that Newton understood that
changed everything?

Spanish: 
las técnicas que aprendimos en álgebra y geometría ya no funcionan,
y necesitamos algo mas sofisticado.
Durante el siglo XVII, esta rama más sofisticada de las matemáticas finalmente surgió como tal.
El primero en hacer un progreso considerable con esto fue el matemático francés Pierre de Fermat,
pero todo realmente se unificó con Isaac Newton, quien junto con Gottfried Leibniz,
se les atribuye el desarrollo del cálculo moderno.
Lo interesante es que Newton desarrolló el cálculo simplemente por necesidad, en  el sentido
de tener las herramientas que necesitaba para resolver problemas en física con respecto al movimiento celeste.
Leibniz hizo un trabajo similar pocos años después, independientemente de Newton,
y es en realidad su notación la que todavía utilizamos hoy.
Entonces, ¿qué fue lo que Newton entendió que cambió todo?

Portuguese: 
técnicas que aprendemos em álgebra e geometria não vai mais funcionar, e
precisamos de algo mais sofisticado.
Durante o século 17, essa parte mais sofisticada da matemática finalmente se desenvolveu.
O primeiro a fazer progresso considerável com isso foi o matemático Francês Pierre de Fermat,
mas tudo realmente floresceu quando Isaac Newton, que junto com Gottfried Leibniz,
é creditado em desenvolver o cálculo moderno.
A coisa interessante é que Newton desenvolveu o cálculo simplesmente como necessidade, de forma que
ele tivesse as ferramentas necessárias para resolver problemas em física como o movimento celestial.
Leibniz fez trabalho similar alguns anos depois, independente de Newton, e é na
verdade sua notação que usamos até hoje.
Então o que foi que Newton entendeu que mudo tudo?

Arabic: 
فإن الأساليب التي تعلمناها في الجبر والهندسة لن تعمل بعد الآن
ونحن بحاجة إلى شيء أكثر تطوراً
خلال القرن السابع عشر ، نشأ هذا الفرع الفائق التطور أخيراً من الرياضيات
أول من حقق تقدماً كبيراً في هذا الفرع هو عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات
ولكن كل شيء جاء بالفعل مع إسحاق نيوتن ، الذي ساهم مع جوتفريد لايبنتز
في تطوير حساب التفاضل والتكامل الحديث
الشيء المثير للإهتمام هو أن نيوتن طور حساب التفاضل والتكامل ببساطة بدافع الضرورة ، من أجل
الحصول على الأدوات التي يحتاجها لحل المشاكل في الفيزياء فيما يتعلق بالحركة السماوية
قام ليبنيز بعمل مماثل بعد بضع سنوات ، بشكل مستقل عن نيوتن
وهو في الواقع تدوينه الذي ما زلنا نستخدمه اليوم
إذن ما الذي فهمه نيوتن وغير من كُل شيء؟

English: 
Well one realization came from looking at
falling bodies.
He understood that if you drop an object,
its speed will increase every single instant
until it hits the ground.
But during that time, the object must have
some definite speed at any given instant.
He knew of no mathematics that could adequately
calculate these instantaneous velocities,
as something had to be developed that could
describe the difference between the value
of a function, in this case position, and
the rate of change for that function, in this
case velocity.
So as we can see, this concept of rate of
change was the other of the two important
paths that would bring about this mathematical
revolution, as its exploration comprised the
development of differential calculus.

Portuguese: 
Bem, uma realização veio de olhar corpos em queda.
Ele entendeu que se você largar um objeto, sua velocidade vai aumentar a cada instante
até que bata no chão.
Mas durante esse período, todos objeto tem que ter alguma velocidade finita em algum instante.
Ele não conhecia nenhuma matemática que poderia adequadamente calcular essas velocidades instantâneas,
como algo deveria ser desenvolvido para que se pudesse descrever a diferença de valor
duma função, nesse caso de posição, e a taxa de mudança daquela função, nesse
caso, velocidade.
Então como podemos ver, esse conceito de taxa de mudança foi outro dos dois importantes
caminhos que levariam a essa revolução matemática,  já que sua exploração compreende
o desenvolvimento do cálculo diferencial.

Arabic: 
حسناً ، لقد تحقق إدراك واحد من النظر إلى الأجسام المتساقطة
لقد فهم أنه إذا أسقطت شيئًا ما ، فستزداد سرعته كل لحظة
حتى تصل إلى الأرض
ولكن خلال هذا الوقت ، يجب أن يكون للكائن سرعة محددة في أي لحظة
كان يعلم أنه ليس هناك رياضيات يُمكنها حساب هذه السرعات الإتجاهية بشكل كافٍ
حيث كان لابد من تطوير شيء يُمكن أن يصف الفرق بين قيمة الدالة
في هذه الحالة ، والموضع ، ومعدل التغيير لهذه الدالة ، في هذه الحالة
للسرعة الإتجاهية
كما يمكننا أن نرى ، كان مفهوم معدل التغيير هذا هو الآخر للطريقتين المهمتين
اللتين من شأنهما تحقيق هذه الثورة الرياضية ، حيث شمل استكشافها
تطوير حساب التفاضل والتكامل

Spanish: 
El primer descubrimiento se produjo gracias a mirar los cuerpos que caen.
Comprendió que si sueltas un objeto, su velocidad aumentará a cada instante
hasta que finalmente toque el suelo.
Pero durante ese tiempo, el objeto debe tener una velocidad definida en cualquier momento dado.
El sabía que no había matemáticas que pudieran calcular adecuadamente estas velocidades instantáneas,
y que algo tenía que desarrollarse que pudiera describir la diferencia entre el valor
de una función, en este caso la posición, y la tasa de cambio para esa función, es decir
la velocidad.
Como podemos ver, este concepto de tasa de cambio fue el otro de los dos importantes
caminos que llevarían a esta revolución matemática, ya que su exploración permitió el
desarrollo del Cálculo Diferencial.

Portuguese: 
Isso está em contraste com a primeira ideia que discutimos, com a área debaixo duma curva
e os retângulos.
Isso é chamado de cálculo integral.
Mas seja diferencial ou integral, os dois conceitos envolvem a ideia de que podemos fazer algo
infinitamente muitas vezes e conseguir um resultado finito que seja útil, e os dois conceitos envolvem
lidar com coisas que são infinitamente pequenas ou infinitamente perto uma das outras.
Mesmo que tenha levado até o século 17 para se chegar nessa forma rigorosa e formal,
é basicamente a mesma ideia que era ponderada desde da Grécia antiga.
Mesmo na época, uma forma do "Paradoxo de Zeno" dizia que uma pessoa nunca pode andar para
uma parede e toca-la, por que eles teriam que primeiro chegar na metade de lá.
E depois metade daquele ponto.
E depois metade de novo.
E etc.

Arabic: 
هذا على النقيض من النهج الأول الذي ناقشناه ، مع المساحة تحت المنحنى
والمستطيلات
وهذا ما يُسمى بحساب التفاضل والتكامل
ولكن سواء كانت تفاضل أو تكامل ، فإن كلا المفهومين ينطويان على فكرة أننا نستطيع القيام بشيء
ما لا نهاية له مراتٍ عديدة وأن نحصل على إجابة محددة مفيدة  ، وكلا المفهومين يتضمنان
التعامل مع أشياءصغيرة  لا حدود لها أو قريبة إلى حد ما من بعضها البعض
على الرغم من أن الأمر استغرق حتى القرن السابع عشر للحصول على ذلك بطريقة صارمة ورسمية
إلا أنه لا يزال إلى حد كبير نفس الفكرة التي كان يُفكر فيها طوال الوقت في اليونان القديمة
حتى في ذلك الوقت ، قال من شكل مفارقة زينو إن الشخص لا يستطيع المشي أبداً بإتجاه الجدار
ولمسه ،  لأن عليه أولا أن يصل إلى منتصف الطريق هناك
ثم في منتصف الطريق من تلك النقطة
ثم في منتصف الطريق مرة أخرى
وهكذا دواليك ..

English: 
This is in contrast with the first approach
we discussed, with the area under a curve
and the rectangles.
That is called integral calculus.
But whether differential or integral, both
concepts involve the idea that we can do something
infinitely many times and get a finite answer
that is useful, and both concepts involve
dealing with things that are infinitely small
or infinitely close together.
Although it took until the 17th century to
get this down in a rigorous and formal way,
it’s still pretty much the same idea that was being pondered all the way back in ancient Greece.
Even back then, a form of Zeno’s paradox
said that a person can never walk towards
a wall and touch it, because they would first
have to get halfway there.
And then halfway from that point.
And then halfway again.
And so on.

Spanish: 
Esta es la contrparte del primer enfoque que discutimos, respecto al área bajo una curva
y los rectángulos.
Eso se llama cálculo integral.
Pero ya sea Diferencial o Integral, ambos conceptos implican la idea de que podemos hacer algo
infinitas veces, y aún así obtener una respuesta finita que nos sea útil, y ambos conceptos implican
tratar con cosas que son infinitamente pequeñas o están infinitamente juntas.
Aunque se tardó hasta el siglo XVII en llegar a esto de una manera rigurosa y formal,
sigue siendo prácticamente la misma idea que se estaba reflexionando desde la antigua Grecia.
Incluso en ese entonces, una forma de la paradoja de Zenón decía que una persona nunca puede caminar hacia
una pared y tocarla, porque primero tendrían que llegar hasta la mitad.
Y luego a la mitad desde ese punto.
Y luego a mitad de camino otra vez.
y así.

Spanish: 
Debido a que esta distancia restante se puede dividir por la mitad infinitamente, nunca se podría lograr
llegar a la pared.
Por supuesto, sabemos que una persona puede ir y tocar una pared, por lo que esta paradoja era
un presagio de nuestra comprensión moderna de que podemos hacer algo infinitamente muchas veces
y obtener un resultado finito, como algunas de las series infinitas que vimos que en realidad
tienen sumas finitas, o calcular el área bajo una curva, en el caso de los rectángulos infinitos.
Esta noción de ver lo que hace algo en el límite del infinito es la idea central
del Cálculo.
Nos llevó al desarrollo de nuevas operaciones, Diferenciación(Derivación) e Integración, lo que permitirá
focalizar sobre los objetos de nuestro estudio.
Pero no se dejen intimidar, desde la exponenciación hasta los logaritmos, hemos aprendido muchas nuevas

Arabic: 
لأنه يمكن تقسيم هذه المسافة المتبقية إلى نصف غير محدود مرات عديدة ، من دون أن يستطيعوا
الوصول إلى الجدار
بالطبع نعرف أن الشخص يستطيع بالفعل أن يلمس حائطاً ،  لذا فإن هذا التناقض كان مجرد
إنذار بفهمنا الحديث بأننا نستطيع أن نفعل شيئًا لا نهائيًا عدة مرات
ونحصل على نتيجة محدودة ،  مثل بعض السلسلة اللانهائية التي نظرنا إلى ذلك في الواقع
لديها كمياتٍ محدودة ، أو تحسب المنطقة تحت المنحنى ، في حالة المستطيلات اللانهائية
هذا المفهوم لرؤية ما يفعله شيء ما في حدود اللانهائية هي الفكرة المركزية
لحساب التفاضل والتكامل
لقد قادنا إلى تطوير عمليات جديدة ، وتفاضل وتكامل
والتي ستكون نقاط التركيز الرئيسية في دراستنا
ولكن لا تخافوا ، من الأسس إلى اللوغاريتمات ، لقد التقطنا عمليات جديدة تمامًا

Portuguese: 
Já que essa distância que sobrou vai ser divida em infinitas vezes, eles nuncam
vão chegar a parede.
Claro que sabemos que uma pessoa pode ir e tocar uma parede, então esse paradoxo apenas era
uma visão do nosso entendimento moderno de que podemos fazer algo infinitas vezes
e chegar a um resultado finito, como uma das séries infinitas que olhamos que tem
somas finitas, ou calcular a área debaixo duma curva, no caso dos infinitos retângulos.
Essa noção de ver o que algo faz no limite do infinito é a ideia central
do cálculo.
Ela levou-nos ao desenvolvimento de novas operações, diferenciação e integração, que serão
os maiores pontos focais de nosso estudo.
Mas não fique intimidade, da exponenciação aos logaritmos, achamos operações

English: 
Because this remaining distance can be split
in half infinitely many times, they will never
get to the wall.
Of course we know that a person can indeed
go and touch a wall, so this paradox was just
a foreshadowing of our modern understanding
that we can do something infinitely many times
and get a finite result, like some of the
infinite series we looked at that actually
have finite sums, or calculating the area
under a curve, in the case of the infinite rectangles.
This notion of seeing what something does
in the limit of infinity is the central idea
of calculus.
It led us to the development of new operations,
differentiation and integration, which will
be the major focal points of our study.
But don’t be intimidated, from exponentiation
to logarithms, we’ve picked up totally new

Spanish: 
operaciones hasta ahora, es solo una cuestión de definir las operaciones y aprender
los símbolos que usamos para ejecutarlos.
Así que abróchate el cinturón, respira hondo y ¡aprendamos algo de cálculo!

Portuguese: 
totalmente novas muitas vezes por agora, é só uma questão de definir as operações e aprender
os símbolos que usamos para executa-las.
Então se prepare, respire fundo, e vamos aprender cálculo!

English: 
operations many times by now, it’s just
a matter of defining the operations and learning
the symbols we use to execute them.
So buckle up, take a deep breath, and let’s
learn some calculus!

Arabic: 
عدة مرات في الوقت الحالي ، إنها مجرد مسألة تحديد العمليات وتعلم
الرموز التي نستخدمها لتنفيذها
لذا استعد ، خذ نفسًا عميقًا ، ودعنا نتعلم بعض الحسابات التفاضلية!
نفذ الترجمة : شوان حميد 
تويتر : shwan_hamid@
