
Thai: 
เรารู้อนุพันธ์
ของไซน์กับโคไซน์
เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x
ของไซน์ของ x เท่ากับโคไซน์ของ x
เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x
ของโคไซน์ของ x เท่ากับลบไซน์ของ x
และสิ่งที่เราอยากทำในวิดีโอนี้
คือหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณฯ อื่นๆ
โดยเฉพาะ ลองหา
อนุพันธ์เทียบกับ x
ลองทำแทนเจนต์ของ x กันก่อน
แทนเจนต์ของ x นี่ก็เหมือนกับ
การหาอนุพันธ์เทียบกับ x ของ
แทนเจนต์ของ x ก็แค่ไซน์ของ x
ไซน์ของ x ส่วนโคไซน์ของ x
และเนื่องจากมันเขียนได้
เป็นผลหารของฟังก์ชันสองตัว

English: 
- [Voiceover] We already
know the derivatives
of sine and cosine.
We know that the derivative
with respect to x
of sine of x is equal to cosine of x.
We know that the derivative
with respect to x
of cosine of x is equal
to negative sine of x.
And so what we want to do in this video
is find the derivatives of the
other basic trig functions.
So, in particular, we
know, let's figure out
what the derivative with respect to x,
let's first do tangent of x.
Tangent of x, well this is the same thing
as trying to find the
derivative with respect to x of,
well, tangent of x is just sine of x,
sine of x over cosine of x.
And since it can be expressed
as the quotient of two functions,

Korean: 
우리는 사인과 코사인의 미분을
이미 알고 있습니다
sin(x)의 도함수는
cos(x)라는 것을 알고 있습니다
또한 cos(x)의 도함수는
-sin(x)라는 것도 알고 있습니다
이번 영상에서 우리는
다른 기본적인 삼각함수의
도함수를 찾아보려고 합니다
그럼 한번 알아봅시다
먼저 tan(x)부터 알아봅시다
x에 대한 도함수란 무엇일까요
tan(x)도 마찬가지입니다
x에 대한 도함수를 찾으려면
우선 tan(x)는
cos(x)분의 sin(x)입니다
tan(x)는 두 함수의 비로
표현될 수 있기 때문에

Czech: 
Již známe derivace
sin(x) a cos(x).
Derivace sin(x) je cos(x) a
derivace cos(x) je −sin(x).
V tomto videu zjistíme, jak vypadají
derivace dalších trigonometrických funkcí.
Nejprve odvoďme
derivaci tan(x).
tan(x) si můžeme napsat
jako podíl sin(x) a cos(x).
Jelikož máme tan(x) popsán
jako podíl dvou funkcí,

Bulgarian: 
Вече знаем производните
на синус и косинус.
Знаем, че производната спрямо х
на sinx е равна на cosx.
Знаем, че производната спрямо х
на cosx е равна на –sinx.
В това видео искаме да намерим
производните на другите 
основни тригонометрични функции.
По-конкретно нека намерим
производната спрямо х,
на тангенс х.
Тангенс от х. Това е 
същото нещо, като
да търсим
 производната спрямо х на...
tgx е същото като sinx
върху cosx.
Тъй като може да се изрази
като частно от две функции,
можем да използваме правилото
за производна на частно

Czech: 
tak k nalezení derivace použijeme
pravidlo o derivaci podílu.
Derivace horní funkce, což je
cos(x), krát spodní funkce, což je cos(x).
Dále odečteme horní funkci, tedy sin(x),
krát derivace spodní funkce, tedy −sin(x).
Minus u sin(x) změní
toto znaménko na plus.
To celé vydělíme druhou mocninou spodní
funkce, tedy cos(x) na druhou.
Co jsme
to obdrželi?
Zde máme cos(x) na druhou
a sin(x) na druhou.

Bulgarian: 
и да пресметнем това,
т.е. да намерим на какво
 ще бъде равно.
Правилото за производна на частно
ни казва, че това ще бъде
производната на горната
 функция,
което знаем, че е cosx
 по долната функция,
която е cosx,
минус горната функция, 
която е sinx,
по производната на 
долната функция.
Производната на cosx е –sinx.
Следователно мога 
да сложа sinx там,
а минусите ще станат на плюс.
Цялото ще бъде върху
долната функция на квадрат.
Следователно cos квадрат х.
Какво е това?
Това тук е просто cos квадрат х.
Това е просто sin квадрат х.

English: 
we can apply the quotient
rule here to evaluate this,
or to figure out what this is going to be.
The quotient rule tells us
that this is going to be
the derivative of the top function,
which we know is cosine of
x times the bottom function
which is cosine of x, so times cosine of x
minus, minus the top
function, which is sine of x,
sine of x, times the derivative
of the bottom function.
So the derivative of cosine
of x is negative sine of x,
so I can put the sine of x there,
but where the negative
can just cancel that out.
And it's going to be over, over
the bottom function squared.
So cosine squared of x.
Now, what is this?
Well, what we have here, this
is just a cosine squared of x,
this is just sine squared of x.

Thai: 
เราก็ใช้กฎผลหารได้เพื่อหาค่านี้
หรือหาว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร
กฎผลหารบอกเราว่า อันนี้จะเท่ากับ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันบน
ซึ่งเรารู้ว่าคือโคไซน์ของ x คูณฟังก์ชันล่าง
ซึ่งก็คือโคไซน์ของ x ได้คูณโคไซน์ของ x
ลบ ลบฟังก์ชันบน ซึ่งก็คือไซน์ของ x
ไซน์ของ x คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวล่าง
อนุพันธ์ของโคไซน์ของ x คือลบไซน์ของ x
ผมใส่ไซน์ของ x ได้ตรงนี้
แต่ลบตัดกับมันได้
และมันจะเป็นส่วน ส่วน
ฟังก์ชันล่างกำลังสอง
โคไซน์กำลังสองของ x
ทีนี้ อันนี้คืออะไร?
สิ่งที่เรามีตรงนี้ นี่ก็แค่โคไซน์กำลังสองของ x
นี่ก็แค่ไซน์กำลังสองของ x

Korean: 
몫의 미분법을 적용하여 
이것을 계산하거나
또는 이것이 무엇이
될 지 알아낼 수 있어요
함수의 몫의 미분법에 따라
이렇게 계산할 수 있습니다
분자 함수의 도함수는
cos(x) 에 분모 함수인 
cos(x)를 곱합니다
따라서 cos(x)의 제곱이 됩니다
여기에 분자 함수인 sin(x)를 빼고
sin(x) 에 분모 함수의 도함수를 곱합니다
분모 함수인 cos(x)의 도함수는
-sin(x)입니다
그래서 여기에 sin(x)를 대입하고
-를 앞으로 빼주어
+로 바꾸어 줍니다
그리고 그것을
분모 함수를 제곱한 값인
cos²x로 나눕니다
그럼 이게 뭘까요?
여기서 이것은 cos²x입니다
이것은  sin²x고요

Korean: 
우리는 피타고라스 정리를 
통해 알고 있어요
이것은 단위원의 정의에서
비롯된 것인데
cos²x와  sin²x를 더하면
어떤 x에 대해서도 답은 1이 됩니다
그래서 이것은 1이 되는 것이죠
그래서 우리는 1/cos²x라는
값을 얻게 됩니다
그리고 이는
sec²x과 같습니다
1/cos(x)은 sec(x)니까요
그래서 이는 sec²x가 됩니다
꽤 간단하죠
이제 tan(x)의 역수에 대한 
도함수를 구해봅시다
이제 tan(x)의 역수에 대한 
도함수를 구해봅시다
탄젠트함수의 역수는 코탄젠트입니다
탄젠트함수의 역수는 코탄젠트입니다
cot(x)의 도함수는
cos(x)가 아니라 cot(x)죠
같은 방식으로
x에 대한 도함수를 구합니다
좀 더 큰 괄호를 만들겠습니다

Bulgarian: 
Знаем от основното 
тригонометрично тъждество,
което просто следва,
което произлиза от
 определението за окръжност,
че cos квадрат х плюс
 sin квадрат х...
Това ще бъде равно на 
1 за всяко х.
Всичко това е равно на 1.
Получаваме 1 /cos квадрат х,
което е същото нещо като
secх на квадрат.
1 /cosx е секанс.
Това е просто секанс от х на квадрат.
Това беше доста лесно.
Сега нека направим обратното.
Можем да вземем и реципрочната
на функцията тангенс, 
която е котангенс.
Това беше забавно. 
Хайде да го направим.
d/dx от cotg,
не cos, а cotgx.
Същият принцип. Това е 
производната спрямо х...
Нека сега направя достатъчно 
големи скоби.

Thai: 
และเรารู้จากเอกลักษณ์พีทาโกรัส
และนี่ก็มาจาก
มาจากนิยามวงกลมหน่วย
โคไซน์กำลังสองของ x 
บวกไซน์กำลังสองของ x
มันจะเท่ากับ 1 สำหรับ x ใดๆ
ทั้งหมดนี้จึงเท่ากับ 1
และเราได้ 1 ส่วนโคไซน์กำลังสอง x
ซึ่งเท่ากับ ซึ่งเท่ากับ
เซคแคนต์ของ x กำลังสอง
1 ส่วนโคไซน์ของ x คือเซคแคนต์
นี่ก็แค่เซคแคนต์ของ x กำลังสอง
มันค่อนข้างตรงไปตรงมา
ทีนี้ ลองหาอินเวอร์สของ
หรือผมควรเรียกว่า ส่วนกลับ
ของฟังก์ชันแทนเจนต์ ซึ่งก็คือโคแทนเจนต์
โอ้ มันสนุกดี ลองทำดู
d/dx ของโคแทนเจนต์
ไม่ใช่ โคไซน์ โคแทนเจนต์ของ x
แนวคิดเดิม มันคืออนุพันธ์เทียบกับ x
และคราวนี้ ขอผมใส่วงเล็บเหลี่ยมให้ใหญ่พอ

English: 
And we know from the Pythagorean identity,
and this is really just out of,
comes out of the unit circle definition,
the cosine squared of x
plus sine squared of x,
well that's gonna be
equal to one for any x.
So all of this is equal to one.
And so we end up with one
over cosine squared x,
which is the same thing as,
which is the same thing as,
the secant of x squared.
One over cosine of x is secant,
so this is just secant of x squared.
So that was pretty straightforward.
Now, let's just do the inverse of the,
or you could say the
reciprocal, I should say,
of the tangent function,
which is the cotangent.
Oh, that was fun, so let's do that,
d dx of cotangent,
not cosine, of cotangent of x.
Well, same idea, that's the
derivative with respect to x,
and this time, let me make some
sufficiently large brackets.

Czech: 
Podle Pythagorovy věty, nebo definice
jednotkové kružnice platí,
že cos(x) na druhou 
sin(x) na druhou je 1.
Celkem máme 
1 lomeno cos(x) na druhou.
Což je stejné jako sec(x) na druhou,
neboť 1 lomeno cos(x) je sec(x).
Nyní se zaměřme na převrácenou
funkci k tangentě, což je kotangenta.
Počítejme tedy
derivaci cot(x).

Thai: 
ทีนี้ นี่คือโคไซน์ของ x ส่วนไซน์ของ x
ส่วนไซน์ของ x
เหมือนเดิม เราใช้กฎผลคูณได้ตรงนี้
นี่จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันบน
ซึ่งเป็นลบ ใช้สีบานเย็นนั่น
นั่นคือลบไซน์ของ x
คูณฟังก์ชันล่าง
คูณไซน์ของ x, ไซน์ของ x
ลบ ลบ
ฟังก์ชันบน โคไซน์ของ x
โคไซน์ของ x คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันล่าง
ซึ่งก็คือโคไซน์ของ x อีกตัว
แล้วทั้งหมดนั้นส่วนฟังก์ชันล่างกำลังสอง
ไซน์ของ x กำลังสอง
แล้วอันนี้ลดรูปได้อะไร?
บนนี้ ลองดู นี่คือไซน์กำลังสองของ x

Korean: 
이제 cos(x)를
sin(x)로 나눕니다
다시 여기에 몫의 미분법을
사용할 수 있습니다
분자 함수의 도함수를 계산해봅시다
마이너스, 이것은 자홍색으로 표시할게요
-sin(x)에
분모 함수에 해당하는
sin(x)를 곱하고
빼기
분자 함수인 cos(x)에
분모 함수의 도함수인
또 다른 cos(x)를 곱합니다
그리고 분모 함수의 
제곱값으로 나눕니다
sin²x가 되었죠
이제 간단하게 바꿔보죠
이것은 sin²x이고

Bulgarian: 
Това е cosx върху sinx.
Отново можем да използваме 
правилото за производна на частно.
Това ще бъде производната
 на горната функция,
което е... Ще използвам 
пурпурния цвят.
Това е –sinx
по долната функция,
т.е. по sinx,
минус
горната функция, т.е. cosx,
по производната на долната
 функция,
което ще бъде просто 
още един cosx,
тогава цялото върху 
долната функция на квадрат.
Следователно sinx на квадрат.
До какво се опростява 
това?
Тук горе... да видим. 
Това е sin квадрат х.

English: 
So now this is cosine of x over sine of x,
over sine of x.
But once again, we can use
the quotient rule here,
so this is going to be the
derivative of the top function
which is negative, use that magenta color.
That is negative sine of x
times the bottom function,
so times sine of x, sine of x,
minus, minus
the top function, cosine of x,
cosine of x, times the
derivative of the bottom function
which is just going to
be another cosine of x,
and then all of that over
the bottom function squared.
So sine of x squared.
Now what does this simplify to?
Up here, let's see, this
is sine squared of x,

Czech: 
Opět počítejme derivaci jako podíl dvou
funkcí, v tomto případě cos(x) a sin(x).
Opět použijme pravidlo
o derivaci podílu.
Mějme tedy derivace horní funkce, tedy
−sin(x), krát spodní funkce, tedy sin(x).
Pak odečtěme horní funkci, tedy cos(x),
krát derivace spodní funkce, tedy cos(x).
To celé vydělíme čtvercem spodní
funkce, tedy sin(x) na druhou.
Jak výraz zjednodušit?

Thai: 
เรามีลบตรงนี้
ลบโคไซน์กำลังสองของ x
แต่เราแยกลบได้
และอันนี้จะเป็นลบไซน์กำลังสองของ x
บวกโคไซน์กำลังสองของ x
นี่ก็แค่ 1 ตามเอกลักษณ์พีทาโกรัส
และนี่คือลบ 1 ส่วนไซน์กำลังสอง x
ลบ 1 ส่วนไซน์กำลังสอง x
และมันเหมือนกับ
ลบโคเซคแคนต์กำลังสอง
ผมไม่มีที่เหลือแล้ว ของ x
ได้แล้ว

Bulgarian: 
Тук имаме минус,
минус cos квадрат х.
Можем да извадим 
минусите пред скоби
и ще получим
 минус sin квадрат х
плюс cos квадрат х.
Това е просто 1 според 
основното тригонометрично тъждество.
Това ще е –1 върху sin квадрат х.
–1 върху sin квадрат х.
Това е същото нещо като
–cosec квадрат...
свършва ми мястото... от х.
Готово.

English: 
we have a negative there,
minus cosine squared of x.
But we could factor out the negative
and this would be
negative sine squared of x
plus cosine squared of x.
Well, this is just one by
the Pythagorean identity,
and so this is negative
one over sine squared x,
negative one over sine squared x.
And that is the same thing as
negative cosecant squared,
I'm running out of space, of x.
There you go.

Czech: 
Všimněme si sin(x) na druhou
a cos(x) na druhou.
Vytkněme minusy.
V závorce dostaneme sin(x)
na druhou plus cos(x) na druhou.
Opět použitím Pythagorovy věty
dostaneme v čitateli −1.
Celkem tedy máme −1
lomeno sin(x) na druhou.
Což je to stejné jako
−csc(x) na druhou.
Tím jsme hotovi.

Korean: 
여기 앞에 -를 붙여야죠
cos²x를 빼줍니다
이 마이너스를 앞으로 빼고
괄호안에서 sin²x와
cos²x 를 더해줄 수 있습니다
이것은 피타고라스 정리에 의해 1이 되므로
이것은 - 1/sin²x로 나눈 값과 같습니다
- 1/sin²x이 되는거죠
이것은 -csc²x와
같습니다
뒤에 x를 쓸 자리가 모자라네요
이제 됐습니다
