이번 동영상에서는
조금 더 복잡한 예로
함수의 다른 부분이 다른 기울기를
가지는 경우를 살펴봅시다
다음은 f(a) = a²의 그래프입니다
여기에서도 a = 2인 경우를 살펴봅시다
그러면 a², f(a)는 4입니다
a를 오른쪽으로 밀어서
a가 2.001이 되도록 하면
f(a)는 a²이니까 
약 4.004입니다
사실 계산기로 계산해 보면
4.004001이지만
사실 계산기로 계산해 보면
4.004001이지만
4.004도 충분히 가까우니까
이렇게 하겠습니다
이것이 무슨 의미이냐면
a가 2일 때
먼저 그래프에 그려봅시다
a가 2일 때 f(a)는 4이고
x와 y축의 비율은
신경쓰지 않겠습니다
실제로는 세로 높이가 가로 길이보다 
훨씬 길어야 합니다
이제 a를 2.001까지 밀면
f(a)는 약 4.004가 됩니다
여기에 삼각형을 다시 그려보죠
a를 오른쪽을 0.001만큼 밀면
f(a)는 그것의 네 배인 0.004만큼
증가함을 알 수 있습니다
미적분의 관점에서 이는
a = 2일 때 f(a)의 기울기, 미분계수가
4라고 말합니다
미적분 표기법을 사용하면
a = 2일 때, (d/da)·f(a) = 4입니다
미적분 표기법을 사용하면
a = 2일 때, (d/da)·f(a) = 4입니다
이 함수 a²에서는 a값이 다르면
기울기도 다릅니다
지난 번에 본 예제와는 차이가 있죠
그러면 다른 점으로 가봅시다
a가 5이면 a², f(a)는 25입니다
a가 5이면 a², f(a)는 25입니다
그리고 a를 5.001이 되도록
오른쪽으로 아주 조금 밀면
그리고 a를 5.001이 되도록
오른쪽으로 아주 조금 밀면
f(a)는 약 25.010가 됩니다
f(a)는 약 25.010가 됩니다
여기서는 a를 0.001만큼만 밀어도
f(a)는 거의 열 배 증가합니다
따라서 a가 5일 때
(d/da)·(f(a))는 10입니다
a를 살짝 밀었을 때 f(a)가 a에 비해
열 배나 많이 증가하기 때문입니다
다른 점마다 미분계수가 다른 이유는
다른 위치에 이렇게 작은 삼각형을
그려보면 알 수 있습니다
곡선 위의 다른 위치마다
높이/밑변의 비율이 다 다르죠
곡선 위의 다른 위치마다
높이/밑변의 비율이 다 다르죠
이 경우엔 a가 2일 때의
기울기는 4이지만
a가 5일 때는 기울기가 10입니다
미적분 책에서
미적분 책에서
(d/da)·(f(a))
f(a)는 a²이니까
(d/da)·a²에 대한 공식을 보면
여기 있는 함수 a²의 기울기는
2a라고 나와 있습니다
여기서 증명까지 하진 않겠지만
미적분 책에서 공식 모음을 찾아보면
a²의 도함수는
2a라고 나와있을 것입니다
이는 방금 계산한 것들과도
맞아떨어집니다
a가 2일 때 함수의 기울기가
2a이므로 2 x 2를 하면 4가 나오고
a가 5일 때 함수의 기울기가
2a이므로 2 x 5를 하면 10이 나옵니다
a가 5일 때 함수의 기울기가
2a이므로 2 x 5를 하면 10이 나옵니다
언제라도 미적분 책에서
(d/da)·a² = 2a라는 공식을 보면
언제라도 미적분 책에서
(d/da)·a² = 2a라는 공식을 보면
이는 아무 값 a를 아주 작은 값
0.001만큼 밀었을 때
f(a)의 값은 2a만큼
증가한다는 뜻일 뿐입니다
기울기 혹은 도함수에
a를 민 정도를 곱한 것이죠
잠깐 짚고 넘어가자면 여기에
근사치를 의미하는 기호를 썼습니다
이것은 정확히 4.004가 아니라
끝에 001이 더 있었습니다
추가로 붙은 001은 a를 0.001만큼
밀었기 때문에 생긴 것입니다
추가로 붙은 001은 a를 0.001만큼
밀었기 때문에 생긴 것입니다
만약 a를 무한소만큼 밀었다면
이 오차는 없어지고
f(a)가 증가하는 양은 정확히
도함수에 a를 오른쪽으로 민 만큼을
곱한 값과 같습니다
이것이 정확히 4.004가 아닌 이유는
도함수의 정의는 a를 미는 값으로
0.001이 아니라
무한소를 사용하기 때문입니다
0.001은 작기는 하지만
무한소는 아닙니다
그래서 f(a)가 증가한 값이
정확히 공식과 같지 않고
근사치인 것입니다
예제 몇 개만 더 보고 
동영상을 마무리 하겠습니다
방금 f(a) = a²이면
미적분 책에 나오는 공식에 따라
방금 f(a) = a²이면
미적분 책에 나오는 공식에 따라
방금 f(a) = a²이면
미적분 책에 나오는 공식에 따라
방금 f(a) = a²이면
미적분 책에 나오는 공식에 따라
그 도함수는 2a라고 했습니다
그 예제로 a가 2이면 f(a)는 4이고
a를 살짝 크게 만들면 
f(a)는 약 4.004라는 것을 확인했습니다
f(a)는 a보다 네 배 증가했죠
그리고 역시 a가 2이면
미분계수는 4가 맞습니다
그럼 다른 예제를 살펴봅시다
f(a)가 a³이라고 해보죠
미적분 책에서 공식을 찾아보면
기울기, 그러니까 이 함수의 도함수는
3a²이라고 나와있을 것입니다
이것이 무엇을 의미하는지는
이렇게 하면 알아볼 수 있습니다
다시 a가 2일 때를 보면
f(a)는 a³이고
2³이 8이므로 8입니다
a를 아주 조금 밀면
f(a)는 약 8.012입니다
실제로 계산해 보세요
값이 8.012와 거의 같을 것입니다
역시 a가 2일 때
3 x 2²는 12이니까
역시 a가 2일 때
3 x 2²는 12이니까
역시 a가 2일 때
3 x 2²는 12이니까
도함수의 식은 a를 조금 밀면
f(a)는 그것의 12배만큼
증가한다고  말하는데
이것과 맞아 떨어집니다
a가 0.001 증가하니
f(a)는 그 12배인
0.012 증가하였습니다
마지막으로 예제 하나만 
더 보겠습니다
f(a)가 로그 함수 
log(a)라고 해 봅시다
밑이 e인 로그입니다
ln(a)라고 쓰기도 하죠
미적분 책을 보면
log(a)의 도함수는
이렇게 생긴 함수의
기울기는 1/a입니다
이게 무슨 의미일까요?
아무 a의 값에 대해서
일단 a가 2일 때를 살펴보죠
a를 오른쪽으로 0.001만큼 움직이면
f(a)는 1/a만큼 증가합니다
도함수에 a를 증가시킨 만큼을
곱한 것이죠
계산기로 계산해보면 a가 2일 때
f(a)는 약 0.69315이고
a를 2.001로 증가시키면
f(a)는 약 0.69365입니다
0.0005만큼 증가했죠
역시나 도함수의 식을 보면
a가 2일 때 (d/da)·(f(a))는 1/2이고
따라서 이 도함수의 식은
a를 0.001만큼 증가시켰을 때
f(a)는 그것의 절반만
증가한다고 말하고 있고
0.001의 반은 0.0005입니다
여기서 구한 것과 맞아 떨어집니다
a가 0.001 증가해
2에서 2.001이 되었을 때
f(a)는 그것의 절반인
약 0.0005만 증가했습니다
f(a)는 그것의 절반인
약 0.0005만 증가했습니다
다시 작은 삼각형을 그려보면
가로축이 0.001 증가할 때
log(a)는 그것의 반인 
0.0005만 증가합니다
따라서 1/a, 이 경우 1/2은
a가 2일 때 이 선의 기울기입니다
따라서 1/a, 이 경우 1/2은
a가 2일 때 이 선의 기울기입니다
도함수에 관한 내용은 여기까지입니다
기억해야 할 것이 두 가지 있습니다
첫 번째, 함수의 도함수는
함수의 기울기를 의미할 뿐이고
함수의 기울기는 함수의 위치에 따라
다른 값을 가질 수 있다는 것입니다
첫 예제였던 f(a) = 3a는 직선이었고
미분계수는 모든 곳에서 3으로 같았습니다
하지만 f(a) = a²이나 
f(a) = log(a) 같은 경우
선의 기울기가 다르기 때문에
위치가 달라지면
도함수의 값이 달라집니다
도함수는 선의
기울기일 뿐이라는 것이 첫 번째이고
도함수는 선의
기울기일 뿐이라는 것이 첫 번째이고
두 번째는 함수의
도함수를 찾아야 할 때
미적분 관련 책이나
위키피디아를 보면
여러 위치의 기울기에 대한
공식을 찾을 수 있다는 것입니다
선의 기울기, 도함수에 대한
직관적인 이해를 얻으셨길 바라며
다음 동영상에서는
계산 그래프를 사용해
더 복잡한 함수의 도함수를
구하는 방법에 대해 알아보겠습니다
