
Polish: 
Euler badał właściwości liczb,
zwłaszcza rozkład liczb pierwszych.
Zdefiniował ważną funkcję,
tzw. funkcję φ.
Mierzy ona „rozbijalność” liczby.
Dla danego N, funkcja φ określa,
ile jest liczb całkowitych
mniejszych od N lub równych N,
niemających z nią wspólnych dzielników.
Np. chcąc wyznaczyć
wartość funkcji φ dla 8,
sprawdzamy
wszystkie liczby od 1 do 8.
Patrzymy, ile liczb całkowitych
nie ma z 8 wspólnego dzielnika
większego niż 1.
Nie policzymy 6,
ze względu na wspólny dzielnik 2,
za to 3, 5 i 7 pasują,
bo wspólnym dzielnikiem jest tylko 1.
Zatem φ policzone
dla liczby 8 wynosi 4.
Co ciekawe,
obliczanie funkcji φ jest trudne
poza jednym przypadkiem.
Spójrzcie na wykres.
Naniesiono wartości tej funkcji

Bulgarian: 
Ойлер продължил да изследва
свойствата на числата, особено
разпределението на простите числа.
Една от важните функции, които дефинира,
се нарича функцията "фи" – φ(N).
Тя измерва делимостта на числото.
Така при дадено число N,
резултатът е колко са целите числа, по-малки или равни на N,
които нямат общ делител с N.
Например, ако искаме да намерим фи от 8,
разглеждаме всички стойности от 1 до 8,
след това броим с колко цели числа
8 няма общ делител, по-голям от 1.
Забележи, че 6 не се брои,
защото има общ делител 2,
докато 1, 3, 5 и 7 се броят,
защото общият им делител е само 1.
Следователно фи от 8 е 4.
Интересното е, че изчислението на
функцията фи е трудно, освен в един случай.
Погледни тази графика.
Тук са показани стойностите на фи

Thai: 
ออยเลอร์ได้สำรวจ
สมบัติของจำนวนต่อ โดยเฉพาะ
การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ
ฟังก์ชันสำคัญอันหนึ่งที่เขานิยาม
เรียกว่าฟังก์ชันฟาย
มันวัดการแยกได้ (breakability) ของจำนวน
กำหนดจำนวนเช่น N
มันให้ค่าจำนวนเต็มที่น้อยกว่าเท่ากับ N
ที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกับ N
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราอยากหาฟายของ 8
เราก็ดูค่าทั้งหมดจาก 1 ถึง 8
แล้วเรานับว่ามีกี่จำนวน
ที่ 8 ไม่ได้มีตัวประกอบที่มากกว่า 1 ร่วมด้วย
สังเกตว่า 6 ไม่นับ
เพราะมันมีตัวประกอบ 2 ร่วมกัน
ในขณะที่ 1, 3, 5 และ 7 นับด้วย
เพราะพวกมันมีตัวประกอบร่วมแค่ 1
เพราะฉะนั้น ฟายของ 8 เท่ากับ 4
สิ่งที่น่าสนใจคือว่า การคำนวณ
ฟังก์ชันฟายนั้นยาก ยกเว้นบางกรณี
ดูกราฟนี้
นี่คือพลอตของค่าฟาย

Portuguese: 
Euler continuou a investigar
as propriedades dos números,
especificamente
a distribuição dos números primos.
Uma função importante que ele definiu
é chamado de Função Fi (Phi).
Ele mede a capacidade de quebra 
de um número.
Assim, dado um número, digamos N,
ele mostra quantos números inteiros são
menores do que ou igual a N
que não compartilham qualquer
fator comum com N.
Por exemplo, se quisermos
encontrar o Fi de 8
e olharmos para todos os
valores de 1 a 8
então contamos quantos inteiros
o 8 não compartilha um fator
maior do que com 1.
Note que 6 não é contado,
porque compartilha um fator de 2,
enquanto 1, 3, 5 e 7 são todos contados,
porque apenas partilham um fator de 1.
Portanto, Fi de 8 é igual a 4.
O que é interessante é que o cálculo
da função Fi é difícil,
exceto em um caso.
Olhe para este gráfico.
É um gráfico de valores de 5,

Georgian: 
ეილერმა რიცხვების
თვისებების შესწავლა განაგრძო,
კერძოდ, მარტივი
რიცხვების გადანაწილების შესწავლა.
მან ერთი მნიშვნელოვანი ფუნქცია განსაზღვრა,
სახელად phi ფუნქცია.
ეს ფუქნცია რიცხვის დაშლადობას ზომავს.
ესეიგი, ნებისმიერი
რიცხვისთვის, მაგალითად N
ის გვიჩვენებს თუ რამდენი
რიცხვია ნაკლები ან ტოლი N-ზე,
რომელთაც არ გააჩნიათ საერთო გამყოფი N-თან.
მაგალითად, თუ გვსურს phi 8-ის პოვნა,
ვნახულობთ ერთიდან
რვამდე ყველა მნიშვნელობას,
შემდეგ ვითვლით თუ რამდენ რიცხვს არ
აქვს ერთზე დიდი საერთო გამყოფი რვასთან.
დაუკვირდით, ექვსი არ შედის, რადგან
მას გამყოფი ორი აქვს საერთო რვასთან,
ერთი, სამი, ხუთი და
შვიდი კი შედის ჩამონათვალში,
რადგან მათ მხოლოდ
ერთიანი აქვთ საერთო გამყოფი.
ესეიგი, phi 8 უდრის ოთხს.
საინტერესო ისაა, რომ phi ფუნქციის გამოთვლა
ერთი შემთხვევის გარდა ყოველთვის რთულია.
დაუკვირდით გრაფიკს.
მოცემულია phi-ს მნიშვნელობები,

Korean: 
오일러는 수의 성질을
계속해서 연구했습니다
오일러는 수의 성질을
계속해서 연구했습니다
특히 소수의 분포를요
그가 정의한 중요한 함수는
파이 함수입니다
이 함수는 수를 쪼갤 수
있는지 판단합니다
N이라는 수가 있을 때
함수는 N보다 작거나 같은 숫자에서
N과 공통인수를 가지지 않는 수가
몇 개나 있는지를 알아냅니다
예를 들어 8의 파이를 찾고자 한다면
1부터 8까지 수를 모두 놓고
얼마나 많은 정수가
8과 한 개 이하의
공약수를 가지는지 셉니다
6은 포함되지 않았죠
왜냐하면 2개의 공약수를
가지기 때문입니다
하지만 1,3,5,7은 포함이 되었죠
왜냐하면 1만을
공약수로 가지기 때문입니다
그러므로 8의 파이는 4입니다
흥미로운 것은 파이 함수가
한 경우를 제외하고는
계산하기 어렵다는 점입니다
이 그래프를 보세요
이것은 1부터 1000사이의 숫자에

Japanese: 
オイラーは、数の性質（特に素数の分布）を
調査し続けました。
彼の扱った重要な関数の１つに
φ（ファイ）関数があります。
φ関数は、数字の分割性を示します。
例えば Nという数が与えられた時、
φ関数では N 以下の数のうち、
Nと公約数を持たない数の個数が解となります。
例えば、８のφを見てみましょう。
まず１から８までの数を並べます。
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。
たとえば６は数えることができません。
８と６は共に２で割ることができるからです。
一方、１、３、５、７は数えることができます。
これらは、８との公約数を１以外で持たないからです。
よって、 φ（８）＝４ です。
φ関数の面白いところは、
ある特別な場合に
簡単に計算ができることです。
このグラフは、

Czech: 
Euler pokračoval ve zkoumání
vlastností čísel.
Zvláště se věnoval rozložení prvočísel.
Definoval jednu důležitou funkci,
které se říká "funkce Fí".
Tato funkce je mírou
rozpadnutelnosti čísla.
Vezmeme-li například číslo 'N',
tak funkce vrátí počet celých čísel,
které jsou menší nebo rovna 'N'
a nemají společného prvočíselného dělitele s 'N'.
Pokud budeme chtít vědět,
kolik je například Fí(8),
tak se podíváme na všechny
hodnoty čísel od 1 do 8
a spočítáme počet celých čísel,
se kterými nemá 8 společného
dělitele většího než 1.
Vynecháme 6, neboť 6 a 8
mají společného dělitele 2,
ale 1, 3, 5 a 7 se započítají,
protože společným dělitelem je pouze 1.
Proto platí Fí(8) = 4.
Zajímavé je,
že výpočet funkce Fí je složitý
až na jediný případ.
Podívejte se na tento graf,

Bengali: 
##  আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##
ইউলার, সংখ্যার বৈশিষ্ট্য
বিশেষ করে মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস
নির্ণয়ের কাজ চালিয়ে গেলেন।
তিনি ফাই ফাংশন নামে
একটি গুরুত্বপূর্ণ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেন।
এটা একটি সংখ্যা কতটুকু ভাঙা যায় তা পরিমাপ করে।
তাহলে দেয়া আছে একটি সংখ্যা, ধরি N,
এর ফলাফল হল N এর সমান অথবা ছোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যা আছে
যাদের N এর সাথে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই।
উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা আটের ফাই খুঁজতে চাই
আমাদের এক থেকে আটের সকল মান দেখতে হবে,
এবং তারপর আমরা গণনা করি যে আট  সংখ্যাটি
এক এর চেয়ে বড় কতগুলো পূর্ণসংখ্যা শেয়ার করেনা।
লক্ষ্য কর ছয় বিবেচিত নয়,
কারণ এটা দুই এর উৎপাদক শেয়ার করে,
কিন্তু এক, তিন, পাঁচ, এবং সাত এগুলো বিবেচ্য,
কারণ তারা শুধুমাত্র এক এর উৎপাদক শেয়ার করে।
যার কারনে, আটের ফাই সমান হল চার।
মজার বিষয় হল, একটি ক্ষেত্র ছাড়া ,
ফাই ফাংশন হিসাব করা কঠিন।
এই গ্রাফটি দেখো।
এটা পাঁচের মানের প্লট,

English: 
- [Voiceover] Euler
continued to investigate
properties of numbers, specifically
the distribution of prime numbers.
One important function he defined
is called the phi function.
It measures the breakability of a number.
So, given a number, say N,
it outputs how many integers
are less than or equal to N
that do not share any
common factor with N.
For example, if we want
to find the phi of eight
we look at all values from one to eight,
then we count how many integers
eight does not share a
factor greater than one with.
Notice six is not counted,
because it shares a factor of two,
while one, three, five
and seven are all counted,
because they only share a factor of one.
Therefore, phi of eight equals four.
What's interesting is that calculating
the phi function is
hard, except in one case.
Look at this graph.
It is a plot of values of phi,

Italian: 
Eulero investigò la distribuzione dei numeri primi
Eulero investigò la distribuzione dei numeri primi
Eulero investigò la distribuzione dei numeri primi
Definì una funzione molto importante, detta PHI o TOZIENTE
Definì una funzione molto importante, detta PHI o TOZIENTE
È una misura della "frazionabilità" di un numero
Dato un numero N, PHI è uguale al numero di interi minori 
o uguali a N e che non hanno fattori in comune con N
Dato un numero N, PHI è uguale al numero di interi minori 
o uguali a N e che non hanno fattori in comune con N
Dato un numero N, PHI è uguale al numero di interi minori 
o uguali a N e che non hanno fattori in comune con N
Per es, per trovare PHI(8) consideriamo tutti i numeri da 1 a 8
Per es, per trovare PHI(8) consideriamo tutti i numeri da 1 a 8
determiniamo quanti di questi interi non abbiamo fattori 
in comune con 8 (a parte 1)
determiniamo quanti di questi interi non abbiamo fattori 
in comune con 8 (a parte 1)
Come vedete, 6 è escluso perché condivide il fattore 2 con 8
Come vedete, 6 è escluso perché condivide il fattore 2 con 8
mentre abbiamo 1, 3, 5, 7
(che condividono solo l'unità)
mentre abbiamo 1, 3, 5, 7
(che condividono solo l'unità)
Quindi PHI (8) = 4
È interessante notare che calcolare PHI è difficile, 
con un'unica eccezione
È interessante notare che calcolare PHI è difficile, 
con un'unica eccezione
Osservate questo grafico.
Illustra i valori di PHI per i numeri da 1 a 1000
Osservate questo grafico.
Illustra i valori di PHI per i numeri da 1 a 1000

Czech: 
kde jsou vyneseny hodnoty Fí
pro celá čísla od 1 do 1000.
Vidíte nějaký předvídatelný vzor?
Rovná čára bodů kolem vrcholu
představuje všechna prvočísla.
Prvočísla nemají žádného společného
dělitele, kromě čísla 1,
takže Fí jakéhokoliv prvočísla 'p'
je (p mínus 1).
Abychom spočetli Fí(7),
což je prvočíslo,
tak spočítáme všechna
celá čísla kromě 7,
protože žádné nemá společného
prvočíselného dělitele se 7.
Fí(7) = 6.
Takže když máte najít Fí(21 377),
což je prvočíslo,
tak pouze odečtete 1
a máte výsledek: 21 376.
Fí jakéhokoliv prvočísla
je jednoduché spočítat.
To má zajímavé důsledky díky faktu,
že funkce Fí je 'multiplikativní'.

Polish: 
dla liczb całkowitych od 1 do 1000.
Widzicie jakąś prawidłowość?
Linia prosta punktów u góry
to wszystkie liczby pierwsze.
Ponieważ nie mają one
czynników pierwszych większych od 1,
to wartość φ
dla każdej liczby pierwszej P
wynosi po prostu P minus 1.
Wartość funkcji φ dla 7,
liczby pierwszej,
to wszystkie liczby całkowite prócz 7,
bo nie mają wspólnego dzielnika z 7.
Zatem wartość
funkcji φ dla 7 wynosi 6.
Jeśli każą wam wyznaczyć wartość φ
dla 21377, liczby pierwszej,
wystarczy odjąć 1, by uzyskać
rozwiązanie: 21376.
Łatwo jest obliczyć wartość funkcji φ
dla każdej liczby pierwszej.
A to prowadzi do czegoś ciekawego,
bo funkcja φ jest multiplikatywna.
Czyli wartość funkcji φ
policzona dla (A razy B)

Bengali: 
এক থেকে ১০০০ এর বেশী পূর্ণসংখ্যা ক্ষেত্রে।
এখন কোন প্যাটার্ন কি লক্ষ্য করেছো?
সরলরেখার বিন্দু উপরের দিকে সকল
মৌলিক সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে।
যেহেতু মৌলিক সংখ্যার এক এর বড় অন্য উৎপাদক নেই,
যে কোন মৌলিক সংখ্যার ফাই, P,
হল সাধারণ P বিয়োগ এক।
মৌলিক সংখ্যা, সাত এর ফাই হিসাব করতে,
আমরা সাত ছাড়া সব পূর্ণসংখ্যা বিবেচনা করি,
যেহেতু তাদের কোনটিই সাতের উৎপাদক হবে না।
সাতের ফাই সমান হল ছয়।
তাহলে, যদি তোমাকে একটি মৌলিক সংখ্যা, ২১৩৭৭ এর ফাই খুঁজতে বলা হয়,
২১৩৭৬ এর সমাধান পেতে তোমাকে
শুধু এক বিয়োগ করতে হবে।
যে কোন মৌলিক সংখ্যার ফাই হিসাব করা সহজ।
ফাই ফাংশন গুণনশীল, এই অবস্থার উপর ভিত্তি করে
এটা একটা মজার ফলাফল দেয়।
সেটা হল ফাই A গুণ B সমান হল ফাই A গুণ ফাই B।

English: 
over integers from one to 1,000.
Now, notice any predictable pattern?
The straight line of points along the top
represent all the prime numbers.
Since prime numbers have no
factors greater than one,
the phi of any prime number, P,
is simply P minus one.
To calculate phi of seven, a prime number,
we count all integers, except seven,
since none of them share
a factor with seven.
Phi of seven equals six.
So, if you're asked to find
phi of 21,377, a prime number,
you would only need to subtract one
to get the solution, 21,376.
Phi of any prime is easy to compute.
This leads to an interesting
result based on the fact
that the phi function
is also multiplicative.
That is, phi A times B
equals phi A times phi B.

Italian: 
Osservate questo grafico.
Illustra i valori di PHI per i numeri da 1 a 1000
Notate regolarità?
La linea a circa 45 gradi più in alto rappresenta l'insieme 
di tutti i numeri primi (minori di 1000)
La linea a circa 45 gradi più in alto rappresenta l'insieme 
di tutti i numeri primi (minori di 1000)
Un numero primo P non ha fattori in comune (eccetto 1)
quindi PHI (P) = P-1 (sempre)
Un numero primo P non ha fattori in comune (eccetto 1)
quindi PHI (P) = P-1 (sempre)
Un numero primo P non ha fattori in comune (eccetto 1)
quindi PHI (P) = P-1 (sempre)
Calcoliamo PHI (7), che è un numero primo
nessuno degli interi ha un fattore in comune (eccetto 1 e 7)
Quindi PHI (7) = 6
nessuno degli interi ha un fattore in comune (eccetto 1 e 7)
Quindi PHI (7) = 6
nessuno degli interi ha un fattore in comune (eccetto 1 e 7)
Quindi PHI (7) = 6
Quindi se vi si chiedesse di trovare PHI (21377) basta sapere che 21377 è un numero primo per calcolare la risposta: 21376
Quindi se vi si chiedesse di trovare PHI (21377) basta sapere che 21377 è un numero primo per calcolare la risposta: 21376
Quindi se vi si chiedesse di trovare PHI (21377) basta sapere che 21377 è un numero primo per calcolare la risposta: 21376
PHI di un qualsiasi numero primo è banale da calcolare
Da questa considerazione deriviamo una notevole proprietà
Se si considera che la funzione PHI è moltiplicativa
[ovvero, se N=a*b => PHI(N) = PHI(a) x PHI(b)]

Bulgarian: 
за целите числа от 1 до 1000.
Забелязваш ли предвидима схема?
Правата линия от точки в горната част
представлява всички прости числа.
Тъй като простите числа нямат делител, по-голям от 1,
фи на всяко просто число P
е P - 1.
За да изчислим фи от 7, просто число,
броим всички цели числа освен 7,
тъй като никое от тях няма общ делител със 7.
фи от 7 е 6.
Затова, ако трябва да намериш фи на 21377, просто число,
трябва само да извадиш 1,
за да получиш решението – 21376.
Лесно е да се изчисли фи на всяко просто число.
Това води до интересен резултат, основан на факта,
че функцията фи е мултипликативна.
Това означава, че фи от А, умножено по В,
е равно на фи от А, умножено по фи от В.

Georgian: 
ერთიდან ათასამდე მთელი რიცხვებისთვის.
ამჩნევთ რამე კანონზომიერებას?
ზემოთ მოცემული სწორი ხაზი
ყველა მარტივ რიცხვს წარმოადგენს,
რადგან მარტივ რიცხვებს ერთზე
მაღალი გამყოფები არ გააჩნიათ,
ნებისმიერი მარტივი P რიცხვისთვის
phi-ს მნიშვნელობაა P მინუს ერთი.
phi 7-ის გამოსათვლელად შვიდის
გარდა ყველა მთელ რიცხვს ვთვლით,
რადგან არც ერთი მათგანი
არ იზიარებს გამყოფს შვიდთან.
phi 7 უდრის ექვსს.
ესეიგი, თუ გვეკითხებიან phi 21 377-ს,
სადაც ეს რიცხვი მარტივია,
მაშინ საკმარისია რიცხვს ერთი
გამოვაკლოთ და მივიღებთ ამოხსნას: 21 376.
ნებისმიერი მარტივი რიცხვის
phi მარტივი გამოსათვლელია.
ამას საინტერესო შედეგამდე მივყავართ,
რადგან phi ფუნქცია
გამრავლების წესებს ექვემდებარება.

Japanese: 
１から１０００までの整数の
φ（N）の値を図にしたものです。
さて、なにか予測可能なパターンに気づくでしょうか？
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。
素数は１以外に公約数を持たないので、
どんな素数（P）でも φ関数の値は（P-1）となります。
φ（７）を計算してみましょう。
７は素数なので、７以外の数は数えることができます。
７以外は公約数がないですからね。
φ（７）＝６になります。
だから、もし素数である21377のφを求めよ
といわれたら、
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。
どんな素数でもφを計算することは簡単です。
他にも、応用可能な面白い性質があります。
それはφ関数はかけ算もできるということです。

Portuguese: 
sobre números inteiros de um a 1.000.
Você nota qualquer padrão previsível?
A reta de pontos ao longo do topo
representa todos os números primos.
Desdes números primos, não tem nenhum
fator maior que 1,
o Fi de qualquer número primo, P,
é simplesmente P menos 1.
Para calcular o Fi de 7, um número primo,
contamos todos os inteiros, exceto 7,
uma vez que nenhum deles compartilha
um fator com 7.
Fi de 7 é igual a 6.
Então, se você está procurando encontrar
o Fi de 21.377, um número primo,
você só precisa subtrair 1
para obter a solução: 21.376.
O Fi de qualquer primo 
é fácil de calcular.
Isto leva a um resultado interessante
baseado no fato
que a função Fi também é multiplicativa.
Ou seja, Fi A vezes B é igual a Fi A
vezes Fi B. (Fi A x B = Fi A x Fi B)

Thai: 
สำหรับจำนวนเต็มจาก 1 ถึง 1,000
สังเกตรูปแบบที่ชัดเจนไหม?
เส้นตรงของจุดข้างบน
แสดงจำนวนเฉพาะทุกตัว
เนื่องจากจำนวนเฉพาะ
ไม่มีตัวประกอบอื่นนอกจาก 1
ฟายของจำนวนเฉพาะ P ใดๆ
ก็คือ P ลบ 1
เวลาคำนวณฟายของ 7 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ
เรานับจำนวนเต็มทุกตัวยกเว้น 7
เนื่องจากไม่มีตัวใดมีตัวประกอบร่วมกับ 7
ฟายของ 7 เท่ากับ 6
ถ้าคุณถามหาฟายของ 21,377
ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ
คุณก็แค่ลบ 1
แล้วได้คำตอบคือ 21,376
ฟายของจำนวนเฉพาะใดๆ นั้นหาง่าย
มันนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าสนใจว่า
ที่ว่าฟังก์ชันพายมีสมบัติการคูณด้วย
นั่นคือ ฟาย A คูณ B เท่ากับฟาย A คูณฟาย B

Korean: 
파이 함수를 적용한 그래프입니다
예상되는 규칙이 있는 살펴보세요
맨 위에 있는 점들이 모인 직선은
모든 소수를 나타냅니다
소수는 1보다 큰 인수를
가지지 않기 때문에
P인 어떤 소수의 파이함수 값은
P에서 1을 빼기만 하면 됩니다
소수인 7의 파이를 계산하려면
7을 제외한 모든 정수를 세면 됩니다
왜나하면 7과 공통인수를
가지는 수는 없기 때문이죠
7의 파이는 6이 됩니다
그래서 여러분이 소수인 21377의 
파이를 찾고자 한다면
그저 1만 빼면 됩니다
그럼 값은 21376이 나오는 것이죠
소수의 파이는 계산하기 쉽습니다
이것은 파이 함수가
곱의 법칙을 따른다는
흥미로운 사실을 말해줍니다

Czech: 
To znamená, že
Fí(A krát B) = Fí(A) krát Fí(B).
Pokud víme, že nějaké číslo 'N'
je součinem dvou prvočísel P1 a P2,
tak Fí(N) je jen součin hodnot Fí
daných prvočísel
neboli (P1 mínus 1) krát (P2 mínus 1).

Italian: 
Se si considera che la funzione PHI è moltiplicativa
[ovvero, se N=a*b => PHI(N) = PHI(a) x PHI(b)]
Se sappiamo che N è il prodotto di due numeri primi P1 e P2,
allora PHI (N) = PHI(P1) * PHI(P2) = (P1-1) x (P2-1)
Se sappiamo che N è il prodotto di due numeri primi P1 e P2,
allora PHI (N) = PHI(P1) * PHI(P2) = (P1-1) x (P2-1)
Se sappiamo che N è il prodotto di due numeri primi P1 e P2,
allora PHI (N) = PHI(P1) * PHI(P2) = (P1-1) x (P2-1)
Se sappiamo che N è il prodotto di due numeri primi P1 e P2,
allora PHI (N) = PHI(P1) * PHI(P2) = (P1-1) x (P2-1)

Bengali: 
যদি আমরা জানি কোন সংখ্যা N হল দুইটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল,
P এক এবং P দুই, এরপর N এর ফাই হল শুধু
প্রত্যেক মৌলিক সংখ্যার একসাথে গুণফলের ফাইয়ের মান,
অথবা P এক বিয়োগ এক, গুণ P দুই বিয়োগ এক।
##  আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##

Thai: 
ถ้าเรารู้ว่าจำนวน N เป็น
ผลคูณของจำนวนเฉพาะสองตัว
P1 กับ P2 แล้วฟายของ N
จะเท่ากับค่าฟายของจำนวนเฉพาะ
แต่ละตัวคูณกัน
หรือ P1 ลบ 1 คูณ P2 ลบ 1 นั่นเอง

Portuguese: 
Se sabemos que um número N é o produto
de dois números primos,
P1 e P2, então Fi de N
é apenas o valor de Fi para cada primo
multiplicados juntos,
ou P1 menos 1, vezes P2 menos 1.
Traduzido por [Fernando dos Reis]
Revisado por [Gabriel Mello Fernandes]

Japanese: 
つまりは、φ（A×B）＝φ（A)×φ（B）という関係です。
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。
つまり、（P１−１）×（P２−１）です。

Polish: 
równa się φ policzona dla A
razy φ policzona dla B.
Jeśli wiemy, że N jest iloczynem
dwóch liczb pierwszych, P1 i P2,
to wartość funkcji φ dla N
jest po prostu iloczynem
wartości dla każdej z liczb.
Czyli (P1 minus 1) razy (P2 minus 1).

Korean: 
즉 파이 A 곱하기 B는
파이 A 곱하기 파이 B와 같습니다
만약 어떤 숫자 N이 
P1과 P2, 두 소수의
곱임을 안다면 N의 파이는
P1과 P2에 파이를 한 뒤
곱한 값과 같습니다
즉 P1 빼기 1의 값과 P2 빼기 1의 값을
곱한 값이죠

Bulgarian: 
Ако знаем, че числото N е произведение на две прости числа,
P1 и Р2, тогава фи от N е равно на произведението
от стойностите на фи за всяко от простите числа,
или Р1 - 1, умножено по Р2 - 1.

Georgian: 
ანუ phi A-ჯერ B-სი იგივეა,
რაც phi A გამრავლებული phi B-ზე.
თუ ვიცით რომ N
რაიმე ორი რიცხვის ნამრავლია,
P ერთისა და P ორის, მაშინ phi N
ტოლი იქნება თითოეული მარტივი
რიცხვის phi მნიშვნელობის ნამრავლის,
ანუ P ერთს მინუს
ერთჯერ P ორს მინუს ერთის.

English: 
If we know some number N is
the product of two primes,
P one and P two, then phi of N
is just the value of phi for
each prime multiplied together,
or P one minus one, times P two minus one.
