
English: 
So we've explicitly defined
four different sequences here.
And what I want
you to think about
is whether these sequences
converge or diverge.
And remember,
converge just means,
as n gets larger and
larger and larger,
that the value of our sequence
is approaching some value.
And diverge means that it's
not approaching some value.
So let's look at this.
And I encourage you
to pause this video
and try this on your own
before I'm about to explain it.
So let's look at this first
sequence right over here.
So the numerator n plus 8 times
n plus 1, the denominator n
times n minus 10.
So one way to think about
what's happening as n
gets larger and larger is look
at the degree of the numerator
and the degree of
the denominator.
And we care about the degree
because we want to see, look,
is the numerator growing
faster than the denominator?
In which case this thing
is going to go to infinity
and this thing's
going to diverge.
Or is maybe the denominator
growing faster, in which case
this might converge to 0?
Or maybe they're growing
at the same level,
and maybe it'll converge
to a different number.

Portuguese: 
Definimos explicitamente quatro
diferentes sequências aqui.
E o que eu quero que você pense
é se essas sequências
convergem ou divergem.
Lembre-se, convergir significa que,
de forma que n aumenta,
o valor da nossa sequência está
se aproximando de algum valor.
E divergir significa que não está
se aproximando de algum valor.
Então vamos ver.
E eu encorajo você
a pausar o vídeo
e tentar fazer antes que
eu possa explicar.
Vamos dar uma olhada na
primeira sequência aqui.
O numerador n mais oito, vezes
n mais um e o denominador
n vezes n menos dez.
Uma forma de pensar
sobre o que acontece
quando n aumenta, é olhar
para o grau do numerador
e para o grau do denominador.
Nos importamos com o
grau porque queremos ver se
o numerador cresce mais
rápido que o denominador.
Nesse caso, o numerador
tende ao infinito
e, portanto, vai divergir.
Ou talvez o denominador
aumente mais rápido, o que
faria a sequência convergir para zero.
Ou talvez estejam aumentando
no mesmo ritmo,

Korean: 
그래서 우리는 이 네개의
다른 수열들을 명확히 정의했습니다
그래서 우리는 이 네개의
다른 수열들을 명확히 정의했습니다
이제 이걸 생각해봅시다
이 수열들이 수렴할까요 발산할까요
기억하세요 수렴의 뜻은
n이 점점 커질수록
수열의 값이 어떠한 값에 
가까이 가는 것입니다
그리고 발산의 뜻은 어떠한
 값으로 가까이 가지 않는 것입니다
이걸 살펴봅시다
그리고 이 영상을 멈춘 뒤에
스스로 시도해 보는 것을
권장합니다
이 첫번째 수열을 살펴봅시다
분자는 (n+8)×(n+1)이고
분모는 n×(n-10)입니다
n이 커짐에 따라
분모와 분자의 차수가 어떻게 되는지
살펴봅시다
우리는 이 차수에 관심을 가져야 합니다
분자가 분모보다 빨리 커지는가요?
이 경우에는 무한대로가서
발산하게 됩니다
혹은 분모가 더 빨리 커지면
0으로 수렴합니다
아니면 분자와 분모가 
같은 속도로 증가하는데요
그러면 다른 수로 수렴하게 됩니다

Thai: 
 
เราได้นิยามลำดับโดยตรงต่างกันสี่ชุด
และสิ่งที่ผมอยากคุณคิด
คือว่าลำดับเหล่านี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
และนึกดู ลู่เข้าหมายความว่า
เมื่อ n มากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
ค่าของลำดับจะเข้าใกล้ค่าๆ หนึ่ง
และลู่ออกหมายความว่ามันไม่เข้าใกล้ค่าๆ หนึ่ง
ลองดูอันนี้กัน
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วลองคิดเองก่อนที่ผมจะอธิบาย
ลองดูลำดับแรกตรงนี้กัน
ตัวเศษ n บวก 8 คูณ n บวก 1 ตัวส่วนคือ n
คูณ n ลบ 10
วิธีคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อ n
มากขึ้นเรื่อยๆ คือดูดีกรีของตัวเศษ
กับดีกรีของตัวส่วน
และเราสนใจดีกรีเพราะเราอยากดู
ว่าตัวเศษโตเร็วกว่าตัวส่วนหรือไม่?
ในกรณีที่ตัวนี้ไปหาอนันต์
และตัวนี้จะลู่ออก
หรือบางที ตัวส่วนโตเร็วกว่า ในกรณีนั้น
มันอาจจะลู่เข้าหา 0
หรือบางที มันโตขึ้นด้วยอัตราเท่าๆ กัน
มันก็ลู่เข้าหาค่าอีกค่าหนึ่ง

Bulgarian: 
 
Тук явно сме задали 4 различни редици.
Искам да помислим
дали тези редици са сходящи или разходящи.
Спомни си, че сходимостта означава просто,
че когато n става все по-голямо и по-голямо, и по-голямо,
стойността на редицата клони към някаква стойност.
Разходяща означава, че не клони към никаква стойност.
Нека ги разгледаме.
Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза
и да се опиташ самостоятелно да ги определиш, преди да ти го обясня.
Нека разгледаме първата редица тук.
Числителят е n плюс 8 по n плюс 1, 
знаменателят е n
по n минус 10.
Единият от начините да го разглеждаме, е какво се случва, когато n
става по-голямо и по-голямо, като разгледаме степента на числителя
и степента на знаменателя.
Интересува ни степента, защото искаме де видим,
дали числителят нараства по-бързо от знаменателя?
Като в този случай това ще клони към безкрайност
и ще имаме разходяща редица.
Или дали може би знаменателят нараства по-бързо, в който случай
това може да клони към 0?
Или може би те нарастват с еднакъв темп
и може би ще са сходящи към различни числа.

Portuguese: 
e talvez convergirá para 
um número diferente.
Vamos multiplicar o
numerador e o denominador
e descobrir o que ocorre.
Então, n vezes n é n ao quadrado.
n vezes um é n, mais oito n é nove n.
E oito vezes um é oito.
Então o numerador é n ao quadrado,
mais nove n, mais oito.
O denominador é n ao quadrado, 
menos dez n.
E uma forma de pensar sobre
isso é que se n for muito grande,
o que vai dominar no
numerador -- esse termo vai
representar maior parte 
do valor.
E esse termo vai representar
maior parte valor também.
Esses outros termos não vão aumentar.
Obviamente, esse oito não aumenta.
Mas os termos que tem n não vão
aumentar tão rápido quanto os
termos onde n está ao quadrado,
especialmente para n's maiores.
Então para grandes n's, isso
vai estar se aproximando a
n ao quadrado sobre n ao quadrado, ou um.
Então faz sentido dizer que essa converge.
Assim, essa converge.
E de novo, não estou provando nada aqui.

Bulgarian: 
Нека умножим числителя и знаменателя,
и го намерим.
n по n е n на квадрат.
n по 1 е 1n, плюс 8n е 9n.
И след това 8 по 1 е 8.
Числителят е n на квадрат плюс 9n плюс 8.
Знаменателят е n на квадрат минус 10n.
Единият от начините да го разглеждаме, е че n
става наистина, наистина, наистина, наистина голямо,
какво ще доминира в числителя -- този член ще
представя повечето стойности.
Този член ще представя повечето от стойностите
също.
Другите членове няма да нарастват.
Очевидно е, че това 8 не нараства изобщо.
Но членовете n няма да нарастват толкова бързо
като членовете n на квадрат, особено за големи n.
За много, много големи n това
наистина ще клони
към n на квадрат върху n на квадрат или 1.
Следователно е основателно да кажем, че това е сходяща редица.
Тази е сходяща редица.
Още веднъж няма усилено да го доказвам тук.

English: 
So let's multiply out the
numerator and the denominator
and figure that out.
So n times n is n squared.
n times 1 is 1n, plus 8n is 9n.
And then 8 times 1 is 8.
So the numerator is n
squared plus 9n plus 8.
The denominator is
n squared minus 10n.
And one way to
think about it is n
gets really, really, really,
really, really large,
what dominates in the
numerator-- this term is going
to represent most of the value.
And this term is going to
represent most of the value,
as well.
These other terms
aren't going to grow.
Obviously, this 8
doesn't grow at all.
But the n terms aren't going
to grow anywhere near as fast
as the n squared terms,
especially for large n's.
So for very, very
large n's, this
is really going
to be approaching
n squared over n squared, or 1.
So it's reasonable to
say that this converges.
So this one converges.
And once again, I'm not
vigorously proving it here.

Thai: 
ลองคูณตัวเศษและตัวส่วน
แล้วหาคำตอบดู
n คูณ n ได้ n กำลังสอง
n คูณ 1 ได้ 1n, บวก 8n เป็น 9n
แล้ว 8 คูณ 1 ได้ 8
ตัวเศษก็คือ n กำลังสองบวก 9n บวก 8
ตัวส่วนคือ n กำลังสองลบ 10n
และวิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า n
มีค่ามากๆๆๆ
สิ่งที่นำในตัวเศษ -- เทอมนี้จะ
แทนค่าที่มากที่สุด
และเทอมนี้จะแทนค่าที่มากที่สุด
เช่นกัน
เทอมอื่นๆ จะไม่โตเร็วเท่า
แน่นอน 8 นี้จะไม่โตขึ้นเลย
แต่เทอม n จะไม่โตเร็วเท่า
เทอม n กำลังสอง ยิ่งถ้า n โตมากๆ
สำหรับ n ที่โตมาก
อันนี้จะเข้าใกล้
n กำลังสองส่วน n กำลังสองหรือ 1
มันจึงสมเหตุสมผลที่จะบอกว่าลำดับนี้ลู่เข้า
อันนี้ลู่เข้า
ย้ำอีกครั้ง ผมไม่ได้พิสูจน์อย่างรัดกุม

Korean: 
그러면 분자와 분모를 각각 곱해봅시다
해봅시다
n×n은 n²
n×1은 1n
8n을 더하면 9n
8×1은 8
그래서 분자는 n² + 9n +8입니다
분모는 n² - 10n
우리가 생각해야 하는 것은 n입니다
이것은 매우 매우 커질것입니다
그래서 분자를 지배할 것인데요
이 n제곱이
가장 큰 값을 가질 것입니다
이 항이 가장 클 뿐만 아니라
모든 항을 대표할 것입니다
이 항이 가장 클 뿐만 아니라
모든 항을 대표할 것입니다
다른 항들은 커지지 않습니다
분명히, 이 8은 더 커지지 않습니다
n항은 n² 항보다 특히 n이 커질수록
더 빠른속도로 커지지 않습니다
그래서 매우매우 큰 n일수록
n² /n²에 근접하여
1이 될 수 있습니다
그래서 이 수열이 
수렴한다는 것은 타당합니다
그래서 이 수열은 수렴합니다
나는 여기서 이것을 수학적으로

English: 
Or I should say
I'm not rigorously
proving it over here.
But the giveaway is that
we have the same degree
in the numerator
and the denominator.
So now let's look at
this one right over here.
So here in the numerator
I have e to the n power.
And here I have e times n.
So this grows much faster.
I mean, this is
e to the n power.
Imagine if when you
have this as 100,
e to the 100th power is a
ginormous number. e times 100--
that's just 100e.
Grows much faster than
this right over here.
So this thing is just
going to balloon.
This is going to go to infinity.
So we could say this diverges.
Now let's look at this
one right over here.
Well, we have a
higher degree term.
We have a higher
degree in the numerator
than we have in the denominator.
n squared, obviously, is going
to grow much faster than n.
So for the same reason
as the b sub n sequence,
this thing is going to diverge.

Korean: 
엄밀하고 엄격하게
증명할 수는 없습니다
하지만 진실은 
우리가 분자와 분모에서
같은 차수를 가진다는 것입니다
2번째 식을 살펴봅시다
여기서 분자는 eⁿ
분모에는 e×n이 있습니다
그래서 이것이 더 빨리 증가합니다
내 말은, eⁿ이 더 빨리
증가한다는 것입니다
n이 100이라고 생각해 봅시다
e의 100제곱은 어마어마하게
큰 수입니다 하지만 e×100은
단지 100e입니다
eⁿ이 훨씬 더 빨리 증가합니다
그래서 이것이 더 많이 커집니다
이것은 무한대까지 갈 것입니다
그래서 우리는 이걸 발산한다고 합니다
그래서 우리는 이걸 발산한다고 합니다
그럼 세번째 식을 봅시다
더 높은 차수 항이 있네요
분모의 차수가 
분자의 차수보다 큽니다
분모의 차수가 
분자의 차수보다 큽니다
n²은 명백히 n보다
더 빠른 속도로 증가할 것입니다
그래서 bn 수열과 같은 이유로
이 수열도 발산합니다

Thai: 
ผมไม่ได้
พิสูจน์อย่างรัดกุมตรงนี้
แต่บทเรียนคือว่า เรามีดีกรีเท่ากัน
ในตัวเศษและตัวส่วน
ทีนี้ ลองดูอันนี้ตรงนี้กัน
ตรงนี้ในตัวเศษ ผมมี e ยกกำลัง n
และตรงนี้ผมมี e คูณ n
อันนี้โตเร็วกว่ามาก
ผมหมายควาามว่า นี่คือ e กำลัง n
นึกดู ถ้าคุณมีอันนี้เป็น 100
e กำลัง 100 จะเป็นเลขมโหฬาร 
e คูณ 100 --
มันก็แค่ 100e
โตเร็วกว่าตัวนี้ตรงนี้มาก
อันนี้จะโตเร็วสุดๆ
อันนี้มีค่าไปถึงอนันต์
เราจึงบอกได้ว่ามันลู่ออก
 
ทีนี้ ลองดูอันนี้ตรงนี้
เรามีเทอมดีกรีสูงกว่า
เรามีเทอมดีกรีสูงกว่าในตัวเศษ
เทียบกับที่มีในตัวส่วน
n กำลังสองแน่นอนว่าโตเร็วกว่า n มาก
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับลำดับ b ห้อย n
ตัวนี้จะลู่ออก

Bulgarian: 
Или би трябвало да кажа, че няма строго
да го доказвам тук.
Но даденото е, че имаме една и съща степен
в числителя и знаменателя.
Сега нека разгледаме тази тук.
Тук в числителя имам е на степен n.
А тук имам е по n.
Това нараства много по-бързо.
Имам предвид, че това е е на степен n.
Представи си, че ако имаш тук 100,
е на степен 100 ще бъде доста голямо число. 
е по 100 --
е просто 100е.
Нараства много по-бързо от това тук.
Това нещо просто ще се надуе като балон.
Това ще отиде към безкрайност.
Следователно можем да кажем, че това е разходяща редица.
Това е разходяща редица.
Сега нека разгледаме тази тук.
Имаме член с по-висока степен.
Имаш по-висока степен в числителя
отколкото в знаменателя.
n на квадрат очевидно ще нараства по-бързо от n.
Поради същата причина като редицата b с индекс n,
това нещо ще бъде разходяща редица.

Portuguese: 
Ou deveria dizer, não estou provando
nada rigorosamente aqui.
Mas a ideia é que temos o mesmo grau
no numerador e no denominador.
Agora vamos dar uma olhada nesse outro.
Nesse numerador, eu tenho e elevado a n.
E aqui eu tenho e vezes n.
Assim, esse cresce muito mais rápido.
Quero dizer, esse e elevado a n.
Imagine se n fosse cem,
e elevado a centésima potência
é um número enorme.
Isso é apenas 100e.
Aumenta muito mais rápido que esse aqui.
Essa parte aqui só vai inflar.
Essa vai tender ao infinito.
Então, podemos dizer que diverge.
Agora vamos olhar neste aqui.
Bom, temos um termo de maior grau.
Temos um maior grau no numerador
do que no denominador.
n ao quadrado, obviamente, vai
aumentar mais rápido que n.
Pela mesma razão da sequência bn,
isso aqui vai divergir.

Portuguese: 
O numerador vai aumentar mais rápido
que o denominador.
Ou outra forma de pensar sobre isso, o
limite onde n tende ao
infinito será infinito.
Isso tudo vai tender ao infinito.
Agora vamos ver esse aqui.
De forma que aumentamos
n -- poderíamos até
pensar sobre como a sequência é.
Quando n for zero, um negativo
elevado a zero é um.
Quando n for um, teremos menos um.
Quando n for dois, teremos um.
Então isso só vai ficar
oscilando entre menos um e um.
Assim, não é ilimitada.
Não vai para infinito ou menos infinito
ou algo do gênero.
Apenas oscila entre esses dois valores.
Então não converge para
um valor em particular.
Mesmo que ela não
seja ilimitada -- não vai
tender a infinito -- ela
ainda vai divergir.
Não vai para um valor apenas.
Então deixa eu escrever.
Essa aqui diverge.
[Revisado por Jonny Oda]

English: 
The numerator is going
to grow much faster
than the denominator.
Or another way to think
about it, the limit as
n approaches infinity
is going to be infinity.
This thing's going
to go to infinity.
Now let's think about
this right over here.
So as we increase
n-- so we could even
think about what the
sequence looks like.
When n is 0, negative
1 to the 0 is 1.
When n is 1, it's
going to be negative 1.
When n is 2, it's going to be 1.
And so this thing is
just going to keep
oscillating between
negative 1 and 1.
So it's not unbounded.
It's not going to go to
infinity or negative infinity
or something like that.
But it just oscillates
between these two values.
So it doesn't converge
to one particular value.
So even though this one
isn't unbounded-- it doesn't
go to infinity-- this
one still diverges.
It doesn't go to one value.
So let me write that down.
This one diverges.

Thai: 
ตัวเศษจะโตเร็วกว่า
ตัวส่วนมาก
หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า ลิมิตเมื่อ
n เข้าหาอนันต์ จะเท่ากับอนันต์
อันนี้จะเข้าหาอนันต์
ทีนี้ ลองคิดถึงตัวนี้ตรงนี้บ้าง
เมื่อเราเพิ่ม n -- เรา
คิดถึงลำดับว่ามันเป็นอย่างไร
เมื่อ n เป็น 0, ลบ 1 กำลัง 0 ได้ 1
เมื่อ n เป็น 1, มันจะเท่ากับลบ 1
เมื่อ n เป็น 2, มันจะเท่ากับ 1
แล้วตัวนี้จะ
สลับค่าระหว่างลบ 1 กับ 1 ไปเรื่อยๆ
มันไม่ได้มีค่าไม่จำกัด
มันไม่ได้ไปถึงอนันต์หรือลบอนันต์
อะไรอย่างนั้น
แต่มันแกว่งไปมาระหว่างค่าสองค่า
มันจึงไม่ได้ลู่เข้าหาค่าใดค่าหนึ่ง
ถึงแม้ว่าค่านี้จะไม่ได้ไม่มีขีดจำกัด --
มันไม่ได้ไปถึงอนันต์ -- แต่อันนี้ยังนับว่าลู่ออก
มันไม่ได้เข้าหาค่าค่าเดียว
ขอผมเขียนลงไปนะ
อันนี้ลู่ออก
 

Bulgarian: 
Числителят ще нараства много по-бързо
от знаменателя.
Или друг начин да го разглеждаме, е че границата,
когато n клони към безкрайност, ще бъде безкрайност.
Това нещо ще отива към безкрайност.
Сега нека помислим върху тази редица тук.
Когато n се увеличава -- можем дори
да помислим как ще изглежда редицата.
Когато n е 0, минус 1 на нулева е 1.
Когато n е 1, ще имаме минус 1.
Когато n е 2, ще имаме 1.
Така че това просто ще продължи
да варира между минус 1 и 1.
Следователно няма граница.
Няма да стига до плюс или минус безкрайност
или нещо подобно.
А ще варира между тези две стойности.
Следователно няма да е сходяща до една определена стойност.
Така че въпреки, че тази редица не е ограничена --
не отива до безкрайност -- тя е разходяща.
Не отива до една стойност.
Нека го запиша.
Това е разходяща редица.
 

Korean: 
분모가 분자보다
더 빨리 커집니다
분모가 분자보다
더 빨리 커집니다
혹은 다르게 생각하면
n이 무한대로 갈때
무한대 값이 되기 때문입니다
이 것이 무한대가 될 것입니다
이제 마지막 수열을 봅시다
n이 증가할수록
우리는 이 수열이 어떻게 
생겼는지를 봐야합니다
n이 0일때, -1의 0제곱은 1입니다
n이 1일때, 이 수열은 -1이 됩니다
n이 2일때, 이 수열은 1이 됩니다
그리고 이것은 계속해서
-1과 1사이를 진동합니다
그래서 이것은 무한이 아닙니다
이것은 무한대나 음의 무한대로
가지 않습니다
하지만 이것은 
두 값 사이를 진동합니다
그래서 이것은 특정한 
값으로 수렴하지 않습니다
그래서 이 것이 무한이 아니더라도
무한대로 가지 않아도
여전히 발산합니다
이 수열은 하나의 
값을 가지지 않습니다
그럼 적어 봅시다
이 수열은 발산합니다
커넥트 번역 봉사단 | 구재건
