
English: 
- [Voiceover] Let's see
if we can find the limit
as theta approaches zero
of one minus cosine theta
over two sine squared theta.
And like always, pause
the video and see if you
could work through this.
Alright, well our first
temptation is to say,
"Well, this is going to be the same thing
"as the limit of one minus cosine theta
"as X approaches, or not X,
"as theta approaches zero.
"of theta, as theta approaches zero,
"over the limit,
"as theta approaches zero
"of two sine squared theta."
Now, both of these expressions
which could be used to define a function,
that they'd be continuous
if you graph them.
They'd be continuous at theta equals zero,
so the limit is going
to be the same thing,
as just evaluating them
at theta equals zero
So this is going to be equal
to one minus cosine of zero
over two sine squared of zero.

Bulgarian: 
Да опитаме да намерим границата
при тита, клонящо към 0,
на 1 минус косинус тита
върху 2 по синус квадрат от тита.
Както винаги, остави видеото
на пауза и се опитай
да разсъждаваш самостоятелно.
Е, първото ни предположение
е, че това може да е същото
като границата на едно
минус косинус от тита
при х, при нас х е тита,
клонящо към нула...
при тита, клонящо към нула,
делено на границата
при тита, клонящо към нула
на 2 по синус квадрат от тита.
И двата израза
могат да се използват
за определяне на функции,
и ще имат непрекъснати
графики.
По-точно, ще са непрекъснати
при тита равно на 0,
затова границата ще е равна
на тяхната стойност
при тита равно на нула.
И така, това ще е равно на
1 минус косинус от 0

Korean: 
이 극한을 찾아봅시다
θ가 0으로 접근할 때 1-cosθ 나누기
2sin²θ의 극한입니다
항상 하는 것처럼 동영상을 멈추고
이 문제를 먼저 풀어봅시다
이제 우리가 첫번째로 하고 싶은 것은
항상 하던 것처럼
lim(1-cosθ)
x가 접근할 때, 아 x가 아니고
θ가 0으로 접근하는 것입니다
θ가 0으로 접근할 때
나누기
θ가 0으로 접근할 때
2sin²θ의 극한입니다
이 두가지 표현 모두
함수를 정의할 때 사용되는데
그래프를 그렸을 때 모두 연속함수입니다
θ=0에서 모두 연속함수이고
그렇기 때문에 극한은
θ=0을 대입했을 때의 
계산값과 같습니다
그래서 이 식은 1-cos0
나누기 2sin²0이 됩니다.

Czech: 
Pojďme zjistit, jestli umíme
zjistit limitu θ (theta) jdoucí k 0
z 1 minus kosinus θ lomeno
2 sinus na druhou θ.
A jako vždy, pozastavte si video
a zkuste, jestli to dokážete vyřešit sami.
Svádí nás to říct,
že tohle je to samé jako
limita 1 minus kosinus θ
pro x jdoucí k... ne x,
pro θ jdoucí k 0
lomeno limita pro θ jdoucí k 0
z 2 sinus na druhou θ.
Teď oba výrazy, které by mohly
být předpisy nějakých funkcí,
by byly souvislé,
kdybychom je zanesli do grafu.
Byly by souvislé pro θ se rovná 0,
takže limita se bude rovnat tomu,
čemu se funkce rovnají v θ se rovná 0..
Toto se rovná 1 minus kosinus 0

Bulgarian: 
върху 2 по квадрата на синус от нула.
Знаем, че косинус от 0 е 1
и 1 минус 1 е нула,
а синус от 0 е 0,
и на квадрат
пак е нула,
умножено по 2
отново остава нула.
Получихме нула
върху нула.
Пак получихме неопределена форма.
И отново, тази
неопределена форма
като 0 / 0 не означава
да спрем дотук,
не означава, че границата
не съществува.
Означава само, че може би
има други начини,
които да използваме.
Ако имахме ненулево число
делено на 0,
тогава границата
нямаше да съществува
и отговорът ни щеше да е,
че няма граница.
Но нека помислим
какво да направим,
за да видоизменим
този израз.
Затова ще го запиша,
като използвам други цветове.
Нека обозначим
този израз
с f(x).
Значи, f(x) e равно на 1 минус
косинус от тита
върху 2 по синус квадрат
от тита.
Сега да опитаме
да го преобразуваме,

Czech: 
lomeno 2 sinus na druhou z 0.
Kosinus 0 je 1
a potom 1 minus 1 je 0.
Sinus 0 je 0, umocněno na druhou,
stále máme 0 krát 2,
to je stále 0.
Máme tedy 0/0.
A ještě jednou, máme tady neurčité výrazy.
A znovu, tento neurčitý výraz,
kdy máme 0/0 neznamená, že jsme skončili.
Neznamená to, že naše limita neexistuje.
Znamená to jen...
možná tu máme ještě jiné kroky,
které můžeme udělat.
Když máme nenulové číslo dělené 0,
pak si mužeme říct, že limita neexistuje.
Řeknete si prostě, že limita neexistuje.
Pojďme zjistit, co s tím můžeme dělat dál,
dívat se na to trošku z jiného úhlu.
Kdybychom řekli, že...
Řekněme... Použiju jinou barvu.
Řekněme, že tohle je f(x).
f(x) se rovná 1 minus kosinus θ
lomeno 2 sinus na druhou θ.

English: 
Now, cosine of zero is one and
then one minus one is zero,
and sine of zero is
zero, and you square it,
You still got zero and
you multiply times two,
you still got zero.
So you got zero over zero.
So once again, we have
that indeterminate form.
And once again, this indeterminate form
when you have zero over zero,
doesn't mean to give up,
it doesn't mean that
the limit doesn't exist.
It just means, well maybe
there's some other
approaches here to work on.
If you got some non-zero
number divided by zero,
then you say, okay that
limit doesn't exist
and you would say, well you
just say it doesn't exist.
But let's see what we can
do to maybe, to maybe think
about this expression in a different way.
So if we said,
so let's just say that this,
let me use some other colors here.
Let's say that this right over here
is F of X.
So, F of X is equal to
one minus cosine theta
over two sine squared theta,
and let's see if we can
rewrite it in some way

Korean: 
cos0=1이므로 1-1=0이고
sin0=0이므로 제곱해도
여전히 0이고, 두배를 하더라도
여전히 0입니다
그래서 0/0꼴입니다
불확정 형태를 얻었습니다
이 불확정 형태인 0/0꼴을 얻었을 때
그것은 포기하라는 것을 
의미하는 것이 아니고
극한이 존재하지 않는다는 것을 
의미하는 것도 아닙니다
이것은 아마도
우리가 해야할 다른 접근이 
있다는 의미입니다
만약 0이 아닌 어떤 수 
나누기 0의 형태를 얻었다면
극한이 존재하지 않다는 사실을 알고
극한이 존재하지 않는다고 
이야기하면 됩니다
그러나 이 문제에서는
이 표현에 대해 다른 방법으로 
생각해보아야 합니다
여기
이 표현에서는
다른 색을 사용해보겠습니다
이 식을
f(x)라고 합시다
f(x)는
1-cosθ 나누기 2sin²θ입니다
이 식을 우리는 다른 방법으로 
다시 적어본다면

Bulgarian: 
така че поне границата
при тита, клонящо към 0,
да бъде различна от 0 / 0.
Тук имаме някои
тригонометрични функции,
значи може да използваме
тригонометрични тъждества,
за да го опростим.
Веднага се сещам
за синус квадрат от тита
и знам за основното
тригонометрично тъждество:
то се извежда директно
от единичната окръжност
и определението
за синус и косинус.
Знаем, че синус на квадрат
от тита
плюс косинус на квадрат
от тита е равно на 1.
Това означава, че
синус на квадрат от тита
е 1 минус косинус на квадрат
от тита.
Тук замествам с
1 – косинус на квадрат от тита.
Можем да преобразуваме
този израз.
Той става 1 минус
косинус от тита
върху 2 по 
1 – косинус на квадрат от тита.
Виж, тук има 1 минус косинус тита,
а тук е 1 минус косинус
на квадрат от тита.

Korean: 
θ가 0으로 접근할 때의 이 극한에서
0/0꼴을 다시 얻지는 않을 것입니다
0/0꼴을 다시 얻지는 않을 것입니다
여기에는 삼각함수가 있습니다
그렇기 때문에 삼각함수의 성질을 사용할 수 있습니다
이 식을 간단하게 하기 위해서는요
한가지 떠오른 것은
sin²θ가 있고
삼각법에서의 피타고라스 정리로부터
sin과 cos을 단위원에서 정의할 때 나오는
식을 알고 있습니다.
sin²θ와 cos²θ를 더하면 1
sin²θ+cos²θ=1 입니다.
즉, sin²θ는
sin²θ=1-cos²θ입니다
sin²θ=1-cos²θ
식을 다시 적어봅시다
이 식은 1-cosθ
나누기 2(1-cos²θ)입니다
분자는 1-cosθ이고
분모는 1-cos²θ

Czech: 
Zkusme to přepsat tak,
aby nám v limitě pro θ jdoucí k 0
nevyšla úplně stejná 0/0.
Můžeme to přepsat, máme tu
goniometrické funkce,
takže bychom mohli pro zjednodušení
výrazu použít goniometrické rovnice,
Teď mě napadá rovnice,
ve které máme sinus na druhou θ
a víme z Pythagorovy věty,
z Pythagorovy goniometrické věty,
vycházející z definice sinu a kosinu
na jednotkové kružnici.
Víme, že sinus na druhou θ
plus kosinus na druhou θ se rovná 1.
Neboli, víme že sinus na druhou θ
je 1 minus kosinus na druhou θ.
Můžeme to přepsat.
Tohle se rovná 1 minus kosinus θ
lomeno 2 krát
(1 minus kosinus na druhou θ) .
Tohle je 1 minus kosinus na druhou θ,

English: 
that at least the limit
as theta approaches zero
isn't going to, we're
not gonna get the same
zero over zero.
Well, we can, we got
some trig functions here,
so maybe we can use some
of our trig identities
to simplify this.
And the one that jumps out at me
is that we have the sine squared of theta
and we know from the
Pythagorean, Pythagorean Identity
in Trigonometry, it comes
straight out of the unit circle
definition of sine and cosine.
We know that, we know
that sine squared theta
plus cosine squared theta is equal to one
or, we know that sine squared theta
is one minus cosine squared theta.
One minus cosine squared theta.
So we could rewrite this.
This is equal to one minus cosine theta
over two times one minus
cosine squared theta.
Now, this is one minus cosine theta.
This is a one minus cosine squared theta,

Czech: 
takže to zatím není úplně zřejmé,
jak to můžeme zjednodušit.
Dokud si ale neuvědomíte, že na to
můžete nahlížet jako na rozdíl čtverců.
Když se na to díváte jako na ‚a‘ na druhou
minus ‚b‘ na druhou,
tak víme, že se na to můžeme dívat
jako na (a plus b) krát (a minus b).
Takže to můžu přepsat.
Toto se rovná 1 minus kosinus θ
lomeno 2 krát...
Mohl bych to zapsat
jako (1 plus kosinus θ)
krát (1 minus kosinus θ)
(1 plus kosinus θ)
krát (1 minus kosinus θ)
A teď tohle je zajímavé.
Mám tu (1 minus kosinus θ) v čitateli
a mám (1 minus kosinus θ) ve jmenovateli.
Může nás lákat říct,
tohle můžeme pokrátit s tímhle,
tím bychom to zjednodušili
a dostali f(x) se rovná 1 lomeno...
a mohli bychom roznásobit
jmenovatel krát 2.

Korean: 
아직 간단히 할 수 있는 방법이
완전히 명백하게 보이지는 않습니다
이것이 제곱의 차이로 볼 수 있다는 것을
깨닫기 전까지는 말입니다
이 식을
a²-b² 이렇게 볼 수 있다면
우리는 이 식이
(a+b)(a-b)로 인수분해 되는 것을 
알고 있습니다
그래서 이 식을 다시 써보겠습니다
이 식은 1-cosθ
나누기 2곱하기
이 식을 1+cosθ와
1-cosθ의 곱으로 쓸 수 있습니다
1+cosθ 곱하기
1-cosθ
이제 흥미로운 일이 펼쳐집니다
분자에 1-cosθ가 있고
분모에도
1-cosθ가 있습니다
이제 이렇게 하고 싶다는 생각이 들 것입니다
"이 식으로 약분하자"
이제 식을 간단히 적어보겠습니다
f(x)는 1 나누기
여기 2를 분배해서

English: 
so it's not completely obvious yet
of how you can simplify it,
until you realize that
this could be viewed
as a difference of squares.
If you view this as,
if you view this as A
squared minus B squared,
we know that this can
be factored as A plus B
times A minus B.
So I could rewrite this.
This is equal to one minus cosine theta
over two times,
I could write this as
one plus cosine theta
times one minus cosine theta.
One plus cosine theta
times one minus, one minus
cosine theta.
And now this is interesting.
I have one minus cosine theta
in the numerator and I have
a one minus cosine theta
in the denominator.
Now we might be tempted to say,
"Oh, let's just cross that out with that
"and we would get, we would simplify it
"and get F of X is equal to one over
"and we could distribute this two now."

Bulgarian: 
Все още не е съвсем очевидно
как да го опростим,
докато не представим това
като разлика от квадрати.
Този израз има формата
на А на квадрат
минус В на квадрат
и знаем, че това се разлага
до А + В
по А – В.
Мога да преобразувам това.
Равно е на 1 минус косинус тита
върху 2 по...
мога да го напиша като
1 + косинус тита
по 1 – косинус тита.
Тук долу е (1 + косинус тита)
по (1 – косинус тита).
Това вече е интересно.
Имам (1 – косинус тита)
в числителя, но също
го имам и в знаменателя.
Сега може да се изкушим
направо да зачеркнем
този множител
и просто да получим
f(x) равно на 1 върху
2 по това,

English: 
We could say, "Two plus two cosine theta."
We could say,
"Well, aren't these the same thing?"
And we would be almost right,
because F of X, this one right over here,
this, this is defined
this right over here is defined
when theta is equal to zero,
while this one is not defined when theta
is equal to zero.
When theta is equal to zero,
you have a zero in the denominator.
And so what we need to do in order
for this F of X or in order
to be, for this to be the same thing,
we have to say, theta
cannot be equal to zero.
But now let's think about the limit again.
Essentially, what we want
to do is we want to find
the limit as theta approaches zero
of F of X.
And we can't just do direct substitution
into, if we do, if we
really take this seriously,
'cause we're gonna like,
"Oh well, if I try to put zero here,
"it says theta cannot be equal to zero
"F of X is not defined at zero."
This expression is defined at zero
but this tells me,

Czech: 
Mohli bychom říct 2 plus 2 kosinus θ.
Můžeme se ptát: Jsou toto stejné věci?
A měli bychom vlastně pravdu.
Protože f(x), tady tohle je definováno,
právě toto je definováno
pro θ se rovná 0,
Zatímco toto není definováno
pro θ se rovná 0.
Když se θ rovná 0,
máme 0 ve jmenovateli.
A aby bylo toto f(x)
to stejné jako to předtím,
musíme říct, že θ se nesmí rovnat 0.
Ale pojďme se znovu zamyslet
nad naší limitou.
V podstatě chceme dosáhnout toho,
že zjistíme, jaká je limita f(x)
pro θ jdoucí k 0.
A nemůžeme substituovat přímo,
pokud tohle bereme vážně,
protože když sem dáme 0,
a tohle nám říká, že
θ (theta) se nesmí rovnat 0,
f(x) není v 0 definovené.
Tenhle výraz je definován pro 0,
ale tohle mi říká,

Korean: 
2+2cosθ가 됩니다
2+2cosθ가 됩니다
이 두 식은 같은 것이 아니라고 생각할 수 있습니다
이 두 식은 같은 것이 아니라고 생각할 수 있습니다
왜냐하면 여기 정리된 이 f(x)는
이 식은 정의됩니다
이 식은 θ=0일 때
정의됩니다
반면에 이 식은 θ=0일 때에는
정의되지 않습니다
θ=0일 때
분모는 0이기 때문입니다
우리가 얻은
이 f(x)를 사용하기 위해서
즉 이 두가지가 같기 위해서
θ는 절대 0과 같을 수 없습니다
다시 극한에 대해 생각해봅시다
우리가 찾고자 하는 것은
θ가 0으로 접근할 때
f(x)의 극한입니다
우리는 이것을 직접 치환할 수는 없습니다
이것을 진지하게 받아들인다면 말입니다
왜냐하면 우리는
0을 이곳에 대입하려고 했는데
f(x)는 0에서 정의되어있지 않기 때문에
θ는 0이 될 수 없다고 생각할 수 있습니다
이 식 자체는 0에서 정의되어있지만
이 식은

Bulgarian: 
2 плюс 2 по косинус тита.
Може да си помислим,
не е ли това същото?
И щяхме да сме
почти прави,
защото ето това f(x)
е определено,
то има определена стойност,
когато тита е равно на 0,
но предишното не е определено
за тита равно на 0.
Когато тита е равно на 0,
в знаменателя му ще има 0.
Тогава какво да направим,
за да направим
това f(x) да е равно на това?
Трябва да уточним,
че тита не може да е 0.
Но сега нека се върнем на границата.
При нея всъщност търсим
границата при тита,
клонящо към 0
на f(x).
Видяхме, че не става с
директно заместване,
защото при по-внимателен поглед
ще сме в ситуация
да поставим нула тук,
а имаме условието, че тита
не може да е равен на нула,
защото f(x) не е определена
за нула.
Този израз пък е определен
при нула,
но това ни говори,

Korean: 
이 f(x) 식에 0을 대입할 수 
없다는 것이기 때문입니다
하지만 우리는 다른 함수를 
생각해볼 수 있습니다
0을 제외한 곳에서 정확히 일치하는
함수를 생각해봅시다
그 함수는 0에서 연속입니다
그러면
g(x)를 1 나누기
2+2cosθ라고 합시다
그러면 이 극한은
정확히 θ가 0으로 갈때
g(x)의 극한과 같게 됩니다
다시 말하면
이 두 함수는 같습니다
f(x)는 정의되지 않았지만
g(x)는 정의된 θ=0을 제외하면 말입니다
그러나 θ가 0으로 접근할 때 극한은
같게 됩니다
이전 동영상에서 이미 본 적이 있습니다
많은 생각을 하고 있을 거라는 것을 압니다
Sal이 여기서
왜 대수적인 계산을 하지 않는지
이 식을 약분하고
θ에 0을 대입하고
물론 이렇게 하면서 답을 구할 수 있습니다
그렇지만 지금 하는 과정은
수학적으로 굉장히 중요한 과정입니다

Bulgarian: 
че не бива да изчисляваме
тази функция за нула.
Но знаем, че има друга функция,
което е почти същата като f(x),
освен, че за нула
тя е непрекъсната.
Затова можем да кажем,
че g(x) е равна на 1
върху 2 + 2 по
косинус от тита.
Знаем, че тази граница
ще е равна на границата
на g(x) при тита, клонящо към 0.
Използваме, че тези две функции
са идентични навсякъде, освен
при тита равно на 0,
където f(x) не е определена,
а g(x) е определена.
Но границите има при тита,
клонящо към 0,
ще бъдат едни и същи.
Видяхме как става това
в предишните клипове.
Знам какво може би
си мислиш сега:
„Сал, това тук
изглежда излишно,
защо просто не пресметна
този израз?
Можеше да зачеркнеш
тези множители,
да заместиш тита с 0
и да получиш
търсения отговор!“
Но винаги трябва да сме точни,
в математиката е много важно
да сме точни в твърденията си.

Czech: 
že bych opravdu neměl
dosazovat 0 do této funkce.
Ale víme, že když dokážeme
najít jinou funkci,
která je definovaná...
Která je úplně stejná jako f(x) kromě 0,
a je v 0 spojitá.
Můžeme tedy říct,
že g(x) se rovná 1 lomeno
(2 plus 2 kosinus θ).
A pak víme, že tato limita je stejná
jako limita g(x) pro θ jdoucí k 0.
Ještě jednou, tyhle
dvě funkce jsou identické
kromě toho, že f(x) není definována
pro θ se rovná 0,
zatímco g(x) definována je.
Ale limity pro θ jdoucí k 0 budou stejné.
To jsme si již ukázali
v předchozích videích.
A je mi jasné, co si většina z vás myslí.
Sale, tohle vypadá jako...
Proč neuděláš tuhle algebru?
Proč nepokrátíš tyto věci?
Nenahradíš nulou všechny θ.
To sice můžete udělat
a dostali byste správnou odpověď,
ale je potřeba, aby bylo
matematicky jasné, co děláte.

English: 
"Well, I really shouldn't
apply zero to this function."
But we know that if we
can find another function
that is defined, that is
the exact same thing as
F of X except at zero,
and it is continuous at zero.
And so we could say,
"G of X is equal to one over two plus two
"cosine theta."
Well then we know this
limit is going to be the
exact same thing as the limit
of G of X, as theta approaches zero.
Once again, these two functions
are identical except F of X is not defined
at theta equals zero,
while G of X is.
But the limits as theta approaches zero
are going to be the same.
And we've seen that in previous videos.
And I know what a lot of you are thinking.
Sal, this seems like a very, you know,
why don't I just, you
know, do this algebra here.
Cross these things out of this.
Substitute zero for theta.
Well you could do that and
you would get the answer,
but you need to be clear
if, or it's important
to be mathematically clear
of what you are doing.

Korean: 
이 두 식을 약분하면서
이 표현은 갑자기
0에서 정의되는 식이 되었고,
우리는 다른 표현이나
다르게 정의된 함수를 다루게 된 것입니다
명확하게 이 함수를
우리가 극한을 찾는 함수라고 
이야기하려면
우리는 이 제약 조건을 
넣어주어야만 합니다
정확히 같은 정의역을 갖도록 
하기 위해서 입니다
하지만 운좋게도
우리가 놓은 이 함수 g(x)는 
그 점에서 연속입니다
그 점에서 구멍을 가지지 않기 때문입니다
불연속인 점이 없습니다
그렇기에 극한값은 같습니다
θ가 0으로 접근할 때
g(x)의 극한은
0에서 연속이기 때문에
우리는
치환할 수 있고
g(0)과 같다고 할 수 있습니다
1나누기
2+2cos0 입니다
2+2cos0 입니다
cos0=1입니다
따라서 1나누기
2 더하기 2
2 더하기 2
1/4 입니다

Czech: 
Pokud to uděláte, pokrátíte tyto závorky
a najednou váš výraz
bude definován v 0,
budete mít jiný výraz.
Nebo předpis jiné funkce.
Aby bylo jasno, pokud chcete říct,
že tohle je ta funkce, jejíž limitu hledáte,
musíte sem dát toto omezení,
abyste měli jistotu, že
má stejný definiční obor.
Naštěstí pro nás můžeme říct...
Kdybychom měli jinou funkci
spojitou bez této mezery,
která by neměla tuto bodovou nespojitost,
limity by byly stejné.
Limita pro θ jdoucí k 0 z g(x),
protože je v nule spojitá,
řekněme, že to se rovná...
Můžeme substituovat.
Tohle se rovná g(0),
což se rovná 1 lomeno (2 plus 2 krát kosinus 0).
Kosinus 0 je 1,
takže je to 1 lomeno (2 plus 2),
což se rovná...
Sem by se hodilo víření bubnů.
Rovná se to 1/4.

Bulgarian: 
Ако бяхме зачеркнали тези двете,
и изведнъж нашият израз
беше станал
определен за нула,
щяхме да имаме
съвсем друг израз
или съвсем друга функция.
За да сме точни,
трябва да знаем, че това е функцията,
за която търсим границата;
като сложим това ограничение,
тя ще има същото
дефиниционно множество.
За наш късмет, тук е вярно,
че ако имаме друга функция,
която е непрекъсната в тази точка,
която няма тази точка на прекъсване,
границите им ще са еквивалентни.
А границата на g(x),
когато тита клони към 0,
тъй като тази функция
е непрекъсната в нулата,
може да се намери
с директно заместване.
Тя ще е равна на
g(0),
което е равно на 1 върху
2 + 2 по косинус
от нула.
косинус от 0 е 1,
затова тя е равна
на 1 върху 2 + 2,
което е равно на...
...обявяваме отговора...
което е равно на 1/4.

English: 
If you do that, if you
just crossed these two out
and all of a sudden you're expression
becomes defined at zero,
you are now dealing with
a different expression
or a different function definition.
So to be clear, if you want
to say this is the function
you're finding the limit of,
you have to put this constraint in
to make sure it has the exact same domain.
But lucky for us, we can say,
if we've had another, another
function that's continuous
at that point that doesn't
have that gap there,
that doesn't have that
point discontinuity out,
the limits are going to be equivalent.
So the limit as theta
approaches zero of G of X,
well, that's just going to be
since it's continuous at zero.
We could say that's just going to be,
we can just substitute.
That's going to be equal to G of zero
which is equal to one over two plus
cosine two, one over two
plus two times cosine
of zero.
Cosine of zero is one,
so it's just one over two plus two,
which is equal to,
deserve a little bit of a drum roll here.
Which is equal to one fourth.

Korean: 
마치겠습니다

Bulgarian: 
И сме готови.

English: 
And we are done.

Czech: 
A máme hotovo.
