
Czech: 
Funkce f(x) se rovná (1 lomeno 2)
krát x na třetí plus 3 krát x minus 4
a h je inverzní
funkcí k f.
Všimněte si, že
f(−2) se rovná −14.
Máme zjistit, čemu se rovná 
h s čárkou v bodě −14.
Pokud nejste
obeznámeni s tím,
jak funkce a její derivace souvisí
se svou inverzní funkcí a její derivací,
tak vám tohle bude
připadat velmi obtížné.
Kdybyste totiž zkusili najít inverzní
funkci k f, abyste našli funkci h,
tak by bylo velmi těžké najít
inverzní funkci k funkci,
která je definovaná polynomem
třetího stupně jako je tento.
Hlavní vlastností, kterou je
třeba si vybavit,
nebo můžeme říct
hlavním faktem,
je to, že když jsou
f a h navzájem inverzní,

Bulgarian: 
Нека f(x) да бъде равна на 1/2 по x^3
плюс 3x минус 4.
Нека h да бъде обратната функция на f.
Забележи, че f(–2) е равно на –14.
А след това ни питат: на какво е равно h'(–14)?
Ако не ти е познато как функциите и
производните им се отнасят 
към своите обратни функции,
и производните на обратните функции, 
то тази задача
ще ти се стори много трудна за решение.
Защото ако се опитваш да намериш 
обратната функция на f,
за да разбереш на какво е равна h,
то е доста трудно да намериш
на какво е равна обратната функция 
на функция полином
от трета степен, която 
е дефинирана по този начин.
Предполагам,
че ключът тук е свойството, което 
да разбереш,
или ключовата истина, която да разбереш,
че ако f и h са обратни функции,
то тогава h'(x)...
h'(x)...
ще бъде равно на
1 върху
f'(h(x)).

Thai: 
ให้ f ของ x เท่ากับ 1/2 x กำลังสาม
บวก 3x ลบ 4
ให้ h เป็นอินเวอร์สของ f
สังเกตว่า f ของลบ 2 เท่ากับลบ 14
แล้วเขาถามเราว่า h ไพรม์ของลบ 14 คืออะไร?
และถ้าคุณไม่คุ้นว่าฟังก์ชัน
กับอนุพันธ์ของมันเกี่ยวข้องกับอินเวอร์ส
กับอนุพันธ์ของอินเวอร์สอย่างไร คำถามนี้
จะดูยากมาก
เพราะถ้าคุณพยายามหาอินเวอร์สของ f
เพื่อหาว่า h คืออะไร
มันยากที่จะหา
จะหาว่าอินเวอร์สของพหุนามดีกรีสาม
ฟังก์ชันที่นิยามแบบนี้
ประเด็น
ประเด็นคือ ผมว่าคือการสังเกต
หรือความจริงที่ควรสังเกต
คือถ้า f กับ h เป็นอินเวอร์สกัน
แล้ว h ไพรม์ของ x
h ไพรม์ของ x
จะเท่ากับ
จะเท่ากับ 1 ส่วน
f ไพรม์ของ h ของ x

English: 
- [Voiceover] Let F of X be
equal to one half X to the third
plus three X minus four.
Let H be the inverse of F.
Notice that F of negative
two is equal to negative 14.
And then they're asking us
what is H prime of negative 14?
And if you're not familiar
with the how functions
and their derivatives
relate to their inverses
and the derivatives of the
inverse, well this will
seem like a very hard thing to do.
Because if you're attempting
to take the inverse of F
to figure out what H is
well, it's tough to find, to take
to figure out the
inverse of a third degree
a third degree polynomial
defined function like this.
So, the key
the key, I guess property to realize,
or the key truth to realize
if F and H are inverses
then H prime of X
H prime of X
is going to be equal to
is going to be equal to one over
F prime of H of X.

Korean: 
f(x)=1/2 x³+3x-4일 때
 
h를 f의 역함수라고 합시다
f(-2)=-14일 때
h'(-14)의 값을 구하는 문제입니다
만일 함수와 그 도함수
역함수와 역함수의 도함수와의 관계를
알지 못하면
어려울 수도 있습니다
이유는 함수 f의 역함수인
함수 h가 무엇인지 구해야하는데
그 과정은 매우 복잡합니다
이와 같이 정의된 3차 다항식의
역함수를 구해야하기 때문입니다
 
문제를 해결하기 위해 중요한 점은
 
f와 h가 역함수 관계라면
h'(x)는
h'(x)는
 
1/f'(h(x))와 같습니다
h'(x)=1/f'(h(x))

Bulgarian: 
1 върху f'(h(x)).
Сега може да използваш това,
за да намериш на какво е равно
h'(–14).
Сега знам какво може би си мислиш,
защото същото бих си помислил и аз,
ако някой просто извади това 
отнякъде, а то е
откъде идва този резултат.
Ще ти кажа, че това идва направо
от верижното правило.
Знаем, че ако една функция и обратната ѝ,
т.е. знаем, че имаме функция 
и нейната обратна.
Тогава за функцията f от 
обратната функция се получава
f(h(x))...
Знаем, че това ще е равно на x.
Това буквално
следва от това, че двете функции 
са обратни една на друга.
Можехме също да кажем, че h(f(x))
също ще бъде равно на x.
Не забравяй, че функцията f ще преобразува стойността
или функцията h ще преобразува стойността на дадено число x в h(x).
А след това функцията f връща тази стойност в първоначалното число x.
Така правят обратните функции.
Това е защото са обратни 
една на друга.
Следва  от дефиницията. Това е, което

Korean: 
 
이 식을 이용하여
h'(-14)의 값을 구할 수 있습니다
 
무슨 생각을 하고 있을지
저는 알고 있습니다
도대체 이 식이
어디에서 어떻게 나온 식인가 
생각하고 있을 것 같습니다
이 식은 연쇄법칙에서 나온 식입니다
 
함수와 그 역함수의 관계에서
 
f와 f의 역함수인 h에 대해
 
f(h(x))는
f(h(x))=x임을 알고 있습니다
문자 그대로
f와 h는 서로의 역함수라는
성질에서 나오는 식입니다
그렇기 때문에 h(f(x))도
마찬가지로 h(f(x))=x입니다
f가 정의역 X에서 맵핑되면
h는 h(X)에서 X로 맵핑됩니다
그리고 나서 f가 다시 맵핑되면 
원래 X가 됩니다
그것이 역함수이고
역함수이기 때문에 일어나는 일들입니다
정의에 의해서

Thai: 
1 ส่วน f ไพรม์ของ h ของ x
และคุณใช้อันนี้
เพื่อหาว่า h ไพรม์ของ
ลบ 14 คืออะไร
ตอนนี้ผมรู้ว่าพวกคุณบางคนอาจคิดว่า
เพราะผมคิดอย่างนั้นเหมือนกัน
ถ้าจู่ๆ มีคนถามผมว่า
อันนี้มาจากไหน?
ผมก็จะตอบว่า มันตรงมาจาก
กฎลูกโซ่
เรารู้ว่าถ้าฟังก์ชันกับอินเวอร์สของมัน
เรารู้ว่าถ้าเรามีฟังก์ชันกับอินเวอร์สของมัน
ว่า f ของ, f ของอินเวอร์สของฟังก์ชัน
f ของ h ของ x
f ของ h ของ x
เรารู้ว่าอันนี้จะเท่ากับ x
อันนี้ ตรงมาจาก
การที่พวกมันเป็นอินเวอร์สของกันและกัน
เรายังบอกได้ว่า h ของ f ของ x
เท่ากับ x เช่นกัน
นึกดู f จะโยง
หรือ h จะโยงจาก x ตัวหนึ่งไปยัง h ของ x
แล้ว f จะโยงกลับไปยัง x เดิม
นั่นคือสิ่งที่อินเวอร์สทำ
นั่นเป็นเพราะพวกมันเป็น
อินเวอ์สของกันและกัน
อันนี้ ตามนิยามแล้ว นี่คือสิ่งที่อินเวอร์ส

Czech: 
pak se h s čárkou v bodě x rovná
1 lomeno f s čárkou v bodě h(x).
Tohle teď můžeme použít k tomu,
abychom spočítali h s čárkou v bodě −14.
Vím, co si někteří
z vás teď myslí,
protože přesně to bych si já myslel,
kdyby na mě tohle někdo najednou vybalil,
a to: „Odkud
se tohle vzalo?“
Mohu vám prozradit, že to plyne z
pravidla pro derivaci složené funkce.
Víme, že když funkce
a její inverzní funkce...
Víme, že když máme funkci
a funkci k ní inverzní,
tak f použitá na svou inverzní funkci,
tedy f v bodě h(x), se rovná x.
Tohle plyne přímo z toho, že jsou
to navzájem inverzní funkce.
Také jsme mohli říct,
že h v bodě f(x) se rovná x.
Připomeňme,
že f zobrazí...
Funkce h zobrazí x na nějaké h(x) a funkce
f tohle zobrazí zpět na původní x.
Tak fungují
inverzní funkce.
Tohle tedy platí, protože
jsou to inverzní funkce

English: 
One over F prime of H of X.
And you could now use this
in order to figure out what H prime of
negative 14 is.
Now I know what some of you are thinking,
because it's exactly
what I would be thinking
if someone just sprung this on me is
where does this come from?
And I would tell you,
this comes straight out
of the chain rule.
We know that if a function and its inverse
we know that if we have a
function and its inverse
that F of F of the
inverse of our function.
So F of H of X.
F of H of X.
We know that this is going to be to X.
This literally, this is
comes out of them being
each others inverses.
We could have also said H of F of X
will also be equal to X.
Remember, F is going to map
or H is going to map
from some X to H of X.
And then F is going to map
back to that original X.
That's what inverses do.
So that's because they are inverses.
This is by definition,
this is what inverses

Czech: 
a protože podle definice takto
navzájem inverzní funkce fungují.
Když nyní obě strany této rovnice
zderivujeme, co dostaneme?
Pojďme na to.
Když obě strany
rovnice zderivujeme,
tedy d lomeno dx levé strany
a d lomeno dx pravé strany...
Asi už vidíte,
k čemu směřuji.
Dostaneme verzi
tohoto vzorce.
Použijeme vzorec pro
derivaci složené funkce
a dostaneme f s čárkou v
bodě h(x) krát h s čárkou v bodě x.
Tak vypadá
derivace složené funkce.
Tohle se rovná
derivaci x, což je 1.
Když nyní obě strany vydělíme
f s čárkou v bodě h(x),
tak nám vyjde tento
vzorec ze začátku videa.
Když už jsme si tento vzorec odvodili,
pojďme ho také použít.
Zajímá nás hodnota
funkce h s čárkou v bodě 14...
Pardon, h s čárkou
v bodě −14.

Bulgarian: 
обратните функции правят 
една с друга.
След това ако намериш производната
на двете страни на това равенство,
то какво ще получиш?
Нека да го направя.
Ако търсим производната
на двете страни на уравнението.
d/dx от лявата страна.
d/dx от дясната страна.
Мисля, че усещаш накъде отива това,
Действително ще получиш 
вариант на ето това.
От лявата страна прилагаме 
верижното правило.
Ще получиш f'(h(x)).
f'(h(x)) по h'(x)
е резултат директно от верижното правило.
Това е равно на производната на x,
която просто ще бъде равна на 1.
След това разделяш двете страни
на f'(h(x))
и получаваш първоначалното
свойство ето там.
Сега, подготвени с това,
нека действително да го приложим.
Искаме да изчислим 
на колко е равно h'(14).
О, извинявам се, става дума за h'(–14).
h'(–14) ще бъде равно на

Thai: 
ทำกัน
แล้วถ้าคุณหาอนุพันธ์ของ
ทั้งสองข้างนี้
คุณจะได้อะไร?
ขอผมทำนะ
ถ้าเราหาอนุพันธ์
ของทั้งสองข้างนี้
d/dx ทางซ้ายมือ
d/dx ทางขวามือ
ผมว่าคุณคงเห็นว่าจะเป็นยังไงต่อ
คุณจะได้แบบนั้น
ทางซ้ายมือใช้กฎลูกโซ่
คุณจะได้ f ไพรม์ของ h ของ x
f ไพรม์ของ h ของ x
คูณ h ไพรม์ของ x
ตรงมาจากกฎลูกโซ่
เท่ากับ เท่ากับอนุพันธ์ของ x
จะเท่ากับแค่ 1
แล้วคุณหาร คุณหารทั้งสองข้างด้วย
f ไพรม์ของ h ของ x
แล้วคุณเห็นสมบัติเดิมตรงนี้
ทีนี้ พักการพิสูจน์ไว้
ลองนำมันมาใช้จริงกัน
เราอยากหาค่า h ไพรม์ของ 14
โทษที h ไพรม์ของลบ 14
จะเท่ากับ
1 ส่วน f ไพรม์ของ
h ของลบ 14

English: 
do to each other.
And then if you took the derivative of
both sides of this
what would you get?
Let me do that.
So if we took the derivative
of the both sides of this
D D X on the left hand side.
D D X on the right hand side.
I think you see where this is going.
You are essentially gonna
get a version of that.
The left hand side used the chain rule.
You're going to get F prime of H of X.
F prime of H of X
times H prime of X
comes straight out of the chain rule
is equal to, is equal
to the derivative of X
is just going to be equal to one.
And then you derive,
you divide both sides by
F prime of H of X
and you get our original property there.
So now with that out of the way
let's just actually apply this.
So, we want to evaluate H prime of 14.
Or sorry, H prime of negative 14.
Is going to be equal to
one over F prime of
H of negative 14.

Korean: 
서로 역함수 관계가 됩니다
이 식의 양변에서 각각
도함수를 구하면
무엇을 얻을 수 있을까요?
해봅시다
식의 양변에서 x에 대한 도함수를
구해봅시다
좌변을 x에 대하여 미분하고
우변을 x에 대하여 미분합니다
이것이 어떻게 될지 알고 있을 듯 합니다
 
좌변에 연쇄법칙을 사용합니다
f'(h(x))
f'(h(x))
곱하기 h'(x)
f'(h(x))·h'(x)는 
연쇄법칙에서 나오는 식입니다
이 식은 x의 도함수와 같습니다
즉 f'(h(x))·h'(x)=1입니다
이제 양변을
f'(h(x))로 나누면
위의 성질을 얻게 됩니다
이렇게 얻은 식을
이제 실제로 적용해봅시다
h'(14)를 계산하고자 합니다
14가 아니라 -14이네요
h'(-14)는
1/f'(h(-14))과 같습니다
h'(-14)=1/f'(h(-14))

Korean: 
 
우리는 h(-14)의 값을 알고 있습니다
정확하게 우리에게 
그 값을 주지는 않았지만
f와 h는 서로 역함수 관계에 있기 때문에
값을 구할 수 있습니다
f(-2)=-14이기 때문에
h는 반대 방향으로 가게 됩니다
h에 -14를 대입하면
-2를 얻게 됩니다
즉 h(-14)는
-2와 같습니다
h(-14)=-2
그들은 역함수 관계에 있기 때문입니다
그래서 h(-14)는
-2입니다
다시 한번 정리하면 
이 두가지를 서로 바꾼 것입니다
그것이 역함수의 기능인 것입니다
f가 -2에서 -14로 맵핑된다면
 
h는 거꾸로 -14에서 -2로 맵핑됩니다
 
이제 f'(-2)를 계산하는 일만 남았습니다
이제 f'(x)를 구해봅시다
f'(x)는

Bulgarian: 
1 върху f'(h(–14)).
h(–14)
Дадено е на колко е равно h(–14).
Но не е дадено явно
и следва да си спомним, 
че f и h са обратни
функции една на друга.
f(–2) = –14
За h ще се получи обратното.
Ако въведеш –14 във функцията h,
ще получиш –2.
Следователно h(–14)
ще бъде равно на –2.
Още веднъж, двете функции 
са обратни една на друга.
Следователно h(–14) 
е равно на –2.
Пак повтарям, просто размених 
тези две стойности.
Това е, което прави обратната функция.
Ако разглеждаш обратното. 
Тоест ако f превръща
–2 в –14,
то h ще върне –14 
обратно в –2.
Искаме да изчислим f'(–2).
Нека да намерим на какво е равно f'(x).
f'(x) е равно на...

English: 
H of negative 14.
Now had they given us H of negative 14.
But they didn't give it to us explicitly,
we have to remember that
F and H are inverses
of each other.
So F of negative two is negative 14.
Well, H is gonna go from
the other way around.
If you input negative 14 into H
you're going to get negative two.
So H of negative 14
well, this is going to be equal to
negative two.
Once again, they are
inverses of each other.
So H of negative 14 is equal to
negative negative two.
And once again, I just
swapped these two around.
That's what the inverse function will do.
If you're wrapping from if F goes from
negative two to negative 14
H is going to go from negative 14
back to negative two.
So now we want to evaluate
F prime of negative two.
Well, let's figure out
what F prime of X is.
So, F prime of X is equal to

Thai: 
h ของลบ 14
ตอนนี้เขาให้ h ของลบ 14 เรามา
แต่เขาไม่ได้ให้เรามาโดยตรง
เราต้องนึกว่า f กับ h เป็นอินเวอร์สของกัน
และกัน
f ของลบ 2 จึงเป็นลบ 14
ทีนี้ h จะกลับกัน
ถ้าคุณนำเข้าค่าลบ 14 ไปใน h
คุณจะได้ลบ 2
h ของลบ 14
อันนี้จะเท่ากับ
ลบ 2
เหมือนเดิม พวกมันเป็นอินเวอร์สของกันและกัน
h ของลบ 14 จึงเท่ากับ
ลบ ลบ 2
เหมือนเดิม ผมแค่สลับสองตัวนี้กัน
นั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชันอินเวอร์สทำ
ถ้าคุณสลับ จาก f ไป
จากลบ 2 เป็นลบ 14
h จะไปจากลบ 14
กลับไปยังลบ 2
ทีนี้ เราอยากหาค่า f ไพรม์ของลบ 2
ลองหากันว่า f ไพรม์ของ x คืออะไร
f ไพรม์ของ x จึงเท่ากับ

Czech: 
...což se rovná 1 lomeno
f s čárkou v bodě h(−14).
Víme, kolik je h(−14)?
V zadání to explicitně
řečené není,
ale nesmíme zapomenout, že f a h
jsou navzájem inverzní funkce,
takže pokud se f(−2) rovná −14,
tak pro funkci h to bude platit naopak.
Když do funkce h dosadíme −14,
dostaneme −2.
h(−14) se tudíž
rovná −2.
Tohle víme z toho, že jsou to
navzájem inverzní funkce.
h(−14) se tedy
rovná −2.
Jen jsem prohodil tato dvě čísla,
protože takto funguje inverzní funkce.
Pokud f zobrazí −2 na −14,
tak h zobrazí −14 zpět na −2.
Nyní potřebujeme spočítat
f s čárkou v bodě −2.
Nejprve zjistěme, čemu se rovná
f s čárkou v bodě x.
f s čárkou
v bodě x se rovná...

Bulgarian: 
Спомни си правилото за намиране 
производна на степен. Следователно
се получава 3/2
по x^(3 – 1),
което е равно на х на втора степен.
Плюс производната на 3x
спрямо x, която просто ще бъде 
равна на 3.
Можеш да намериш производната. Просто прилагаш 
правилото за намиране производна на степен.
А това е x на първа степен,
т.е. ще бъде равно на 1 по 3, 
по x на нулева степен.
x на нулева степен е равно на 1, 
така че остава само 3.
А производната на константа 
просто ще бъде 0.
Ето това се получава за f'(x).
Тогава f'(–2)
ще бъде равно на 3/2 по
(–2)^2, което е равно на 4, плюс 4.
Плюс 3.
Следователно това ще бъде равно на
2 пъти по 3 плюс 3.
Резултатът е 6 плюс 3, 
което е равно на 9.
Този числител тук 
ще бъде равен на 9.
Цялото това нещо, т.е. h'(–14), 
ще бъде равно на 1/9.
Условието h'(–14) не е нещо, 
с което се срещаш всеки ден.
Това не е стандартната задача 
в твоя курс по анализ.

Korean: 
다항식의 미분법에 의해
3/2 곱하기
3에서 1을 뺀 수인
제곱이 됩니다
x에 대한 3x의 도함수인
3을 더합니다
이것도 다항식의 미분법에 의한 것인데
x는 1제곱이므로
1과 3을 곱하고
x의 0제곱이 되는데
x의 0제곱은 1입니다
그래서 3인 것입니다
이러한 방법으로 -4를 미분하면 0이 됩니다
따라서
f'(x)=3/2 x² +3입니다
f'(-2)는
 
3/2과 (-2)²=4를 곱하고 3을 더하면 됩니다
 
이 식은 3과 2를 
곱한 값인 6과 같게 되고
6+3=9입니다
여기 분모가 9이므로
구하고자 하는 답은 1/9입니다
이와 관련한 것은 매일 볼 수 있는 것은
아닙니다
미적분 수업에서도 
전형적인 문제는 아니지만

English: 
remember the power rule,
so three times one half
is three halves
times X to the three minus one power
which is the second power.
Plus the derivative of three X
with respect to X which
that's just going to be three.
And you could do that,
it's just the power rule.
But this was X to the first power,
one times three,
X to the zero power,
but X to the zero is just one
so you're just left with three.
And derivative of a concept
that's just gonna be zero.
So that's F prime of X.
So F prime of, F prime of negative two
is going to be three halves
times negative two squared
is four, positive four.
So plus three.
So, this is going to be equal to
two times three plus three.
So, six plus three is equal to nine.
So this denominator here is
going to be equal to nine.
So this whole thing is
equal to one over nine.
So this involved, this
was something you're not
going to see every day.
This isn't that typical
problem in your calculus class.

Thai: 
นึกดู กฎยกกำลัง 3 คูณ 1/2
ได้ 3/2
คูณ x กำลัง 3 ลบ 1
ซึ่งก็คือกำลัง 2
บวกอนุพันธ์ของ 3x
เทียบกับ x ซึ่งจะเท่ากับ 3
คุณทำอย่างนั้นได้ มันก็แค่กฎยกกำลัง
แต่นี่คือ x กำลังหนึ่ง
1 คูณ 3
x ยกกำลัง 0
แต่ x กำลัง 0 ก็แค่ 1
คุณจะเหลือแค่ 3
และอนุพันธ์ของค่าคงที่ก็แค่ 0
นั่นคือ f ไพรม์ของ x
f ไพรม์, f ไพรม์ของลบ 2
จะเท่ากับ 3/2
คูณลบ 2 กำลังสองได้ 4, บวก 4
บวก 3
อันนี้จึงเท่ากับ
2 คูณ 3 บวก 3
6 บวก 3 ได้ 9
ตัวส่วนนี้ตรงนี้่จึงเท่ากับ 9
ค่านี่ทั้งหมดจึงเท่ากับ 1 ส่วน 9
อันนี้ค่อนข้างยุ่ง มันเป็นสิ่งที่คุณจะไม่
ได้เจอทุกวัน
นี่ไม่ใช่ปัญหาที่พบบ่อยในวิชาแคลคูลัส

Czech: 
Použijeme pravidlo
pro derivaci mocniny.
3 krát (1 lomeno 2) je (3 lomeno 2), tohle
krát x na (3 minus 1), tedy x na druhou,
plus derivace 3 krát x
podle x, což jsou 3...
Můžeme opět říct, že jde
o derivaci mocniny.
Tady máme
x na prvou,
takže to bude
1 krát 3 krát x na nultou,
a protože x na nultou
je 1, vyjde nám 3.
A nakonec derivace
konstanty, což je 0.
Tak vypadá
f s čárkou v bodě x,
takže f s čárkou
v bodě −2 se rovná
(3 lomeno 2) krát (−2) na druhou,
což je +4, a ještě plus 3.
Tohle se rovná (2 krát 3)
plus 3 a 6 plus 3 nám dá 9.
Jmenovatel tohoto zlomku je tedy 9,
takže výsledná hodnota je 1 lomeno 9.
Takže jsme
museli...
Není to typ příkladu, se kterým
se budete denně potkávat.
Není to typický příklad
z hodin diferenciálního počtu,

Czech: 
ale i tak je to
zajímavá úloha.

Bulgarian: 
Но е интересна.

English: 
But it's interesting.

Thai: 
แต่มันน่าสนใจดี

Korean: 
흥미로운 문제였습니다
