Vamos a tratar la función φ de Euler .
Definimos la función φ de Euler como
el número
de enteros menores o iguales a n
y coprimos con n,
dado un entero
positivo n.
Observad la definición como se ajusta a
lo que ahí nos ponemos,
φ de n
de un número entero positivo como todos
los enterró positivos
menores que él
y que el máximo común divisor sea 1.
Hemos puesto menores o iguales pero en
realidad el igual no va a coincidir
nunca
puesto que si no el máximo común
divisor no sería 1, podemos decir
perfectamente menores,
menores que el número n.
Propiedades
de φ  son éstas y son propiedades que
vamos a utilizar, muy importantes.
Si p es un número primo
φ de p es igual a p - 1
y
si p es un número primo  φ de p
elevado a a
va a ser igual
a p elevado a a - 1 por
p - 1.
Esas dos propiedades
junto con la siguiente,
ésta de aquí,
las vamos a utilizar mucho.
Ésta es lo que se denomina la propiedad
multiplicativa,
donde decimos que  φ es una función
multiplicativa
siempre y cuando el máximo común
divisor de m y n sean 1,
para
todo par de números
tales que su máximo común divisor, todo
par de números que sean coprimos entonces
φ del producto es igual al producto
de cada de las  φ.
Vamos a verlo en un ejemplo.
Vamos a calcular φ de 36,
atendiendo a las propiedades que antes hemos dicho podemos expresar
36 como 3 elevado a 2 por 2 elevado a 2
y como 3 y 2 son coprimos
podemos aplicar la propiedad
de tal modo que  φ
de 36 es lo mismo que  φ de 3 elevado a 2 por 2 elevado a 2
que es lo mismo que  φ
de 3 elevado a 2
por  φ  de 2 elevado a 2.
Y ahora aplico las propiedades a ser
3 y 2 primos
de manera de que tengo
que  φ de 36 se puede poner de esa
forma
y eso nos da
que  φ de 36
es igual a 12.
Observemos que las propiedades anteriores, y
como aquí hemos visto, nos da un
procedimiento para calcular
φ de cualquier número
utilizando
la descomposición de ese número en
factores primos.
La función  φ
se utiliza porque nos ayuda
en el teorema de Euler a resolver
ecuaciones como veremos a continuación
y el teorema de Euler
de la función φ nos dice que dados
dos
enteros
coprimos
entonces ocurre
de que a elevado a  φ de n es congruente
con 1 módulo n.
Ya nos está dando
un número con el cual
podemos encontrar
el inverso de cualquier número a
si son coprimos,
además
había un teorema anterior que se
conoce como el teorema pequeño de Fermat
que en realidad es equivalente al
teorema de Euler
cuando  φ
cuando n es un número primo.
Si utilizamos las propiedades anteriores
veríamos que si n esun número primo y
no divide a
entonces ocurre que a elevado a p -1 es congruente con 1 módulo p.
Curiosamente en el tiempo sucedió al
revés,
el teorema pequeño de Fermat salió antes
que el teorema de Euler,
fue Euler quien descubrió el segundo, el
primero que hemos expuesto
y como consecuencia se puede deducir el
teorema de Fermat.
Vamos a aplicarlo a esto,
a las ecuaciones de congruencia.
Dada una ecuación de congruencia
recordad que ésta tiene solución
si a y n
son coprimos,
si eso es así
aplicando
la función  φ de Euler podemos ver
que la solución de este sistema se
puede expresar simplemente
como a elevado a  φ
de n -1 por b,
esa va a ser la solución.
Veámoslo en un ejemplo.
Pretendemos resolver la
ecuación 13X congruente con 5
módulo 22,
lo primero que vemos es que tiene
solución porque el máximo común
divisor de 13 y 22 es 1, son coprimos,
13 es primo
y 22 no tiene
como 13
como divisor con lo cual son coprimos.
Ahora calculamos φ de 22
utilizando las propiedades que hemos dicho
anteriormente
22 se puede poner como 2 por 11
consecuentemente será  φ de 2
por  φ de 11, como son primos sería 1 por
10 es decir 10.
Ya tenemos ahora
la solución de nuestra ecuación 13X
congruente con 5 módulo 22 va a ser
equivalente, como hemos puesto anteriormente,
a X congruente con 13 elevado a
10
- 1
φ  - 1
φ de n,  φ de 22 - 1 por 5.
Por lo tanto,
sólo necesitamos encontrar ahora los restos
potenciales de 10
módulo 22.
Vamos a ello.
Si lo calculamos podemos ver que
repitiendo los procesos que conocemos con
llegar hasta 5 es suficiente
tenemos que llegar a
13 elevado a 10 -1
 9
tenemos que llegar a 13 elevado a 9
pero si nos paramos en 5 es suficiente
porque
13 elevado a 4
es congruente con 5
13 elevado a 5 es congruente con 21
en consecuencia el producto de los dos
sigue siendo congruente.
El producto de los dos 13 elevado a 4
por 13 elevado a 5 es equivalente a
13 elevado a 9
y sus congruencias entonces ahora
resultan de que 5 por 21
es congruente
con 13 elevado a 9.
El número que buscamos
13 elevado a 9 es congruente
como ahí vemos
con 17 módulo
22.
Eso era lo que íbamos buscando,
por lo tanto
tenemos que la ecuación X congruente
13X congruente con 5
módulo 22
se resuelve
calculando 13 elevado a 19 
13 elevado a 9 por 5.
Como hemos visto 13 elevado a 9 es
17
por lo tanto sólo tenemos que
multiplicar 17 por 5 y encontramos
que X es congruente con 19 módulo 22,
ésa es la solución que vamos buscando,
X congruente con 19 módulo 22. 
¿Cómo lo expresamos? Pues recordemos
expresamos que la X son
todas las combinaciones lineales, todo
el resultado de sustituir
cualquier número entero
en esa ecuación X es igual a19 + 22 por k
donde k es cualquier número entero.
Así encontraríamos las infinitas
soluciones que tenemos de esta ecuación
o como decimos
las soluciones congruentes módulo
22.
