各位同學大家好在這一小節我們要介紹
非常有名的李亞普諾夫穩定定理
我們都知道一個非線性系統
如果我們要去分析它的穩定性是非常困難的
但是如果能夠藉由李亞普諾夫穩定定理來去分析的話
就變得容易多了
它的概念就是如果一個系統它的能量是在衰減的
則這個系統是趨於穩定
所以接下來就讓我們來了解李亞普諾夫穩定定理的奧秘
李亞普諾夫函數是非常有效的
對於控制系統的穩定性分析
在微分方程裡面李亞普諾夫函數是一個純量的函數
它可以被使用去證明一個微分方程平衡點的穩定性
一個李亞普諾夫函數它必須要是正的
除了在平衡點以外
而且它沿著微分方程的軌跡
它必須要是減少的或者是沒有增加的
也就是李亞普諾夫函數必須要是大於0
而且它的微分必須要是小於0
但是李亞普諾夫穩定定理它只是一個充分條件
去證明系統的穩定性
它並不是一個必要條件
一個矩陣P我們說它是正定的必須要滿足第一個
這個矩陣的所有特徵值都是正的
第二個這個矩陣的左上方的子系統行列式都必須要是正的
第三個對於任何非0的向量X
它的二次式也就是XT乘上P乘上X一定大於0
這三個條件都是可以去確保系統矩陣P是正定的
接著我們來介紹李亞普諾夫穩定定理
如果一個正定函數V of x是存在的
而且V的微分是半負定則這個系統
我們稱之為李亞普諾夫穩定
而V of x我們稱之為李亞普諾夫函數
第二個如果V的微分是負定則系統是漸進穩定
因此若是將李亞普諾夫穩定定理
用在連續的模糊系統我們可以得到
若V大於0而且V的微分小於0
則這個模糊系統是穩定的
如果用在離散的模糊系統我們可以得到
若V大於0而且ΔV也就是V的變化量小於0則系統是穩定的
這邊的ΔV指的就是下一個時刻的V
減掉現在這個時刻的V它是小於0
接著我們對平衡點做定義
所謂的平衡點它就是在相位平面上的一個點
而且它的狀態能夠一直保持
從時間一開始當輸入訊號等於0的時候
也因此一個系統的平衡點
它必須要滿足下面的方程式
當系統x微分等於Ax加Bu的時候
如果x是平衡點的話則xe的微分必須要等於0
接著我們來介紹利用李亞普諾夫穩定定理
來分析非線性系統的穩定性
假設有一個非線性系統如下所示
x1的微分會等於2x2減掉x1乘上x1的平方加x2的平方
x2的微分會等於負2x1減掉x2乘上x1平方加x2的平方
而原點也就是x1等於0 x2等於0是這個系統的平衡點
請判斷這個系統的穩定性
假設我們定義一個純量函數V of x等於
x1的平方加上x2的平方
當然V of x是一個正定的函數
則它的微分沿著系統的軌跡會等於
我們可以得到V的微分會等於2x1乘上x1的微分
加上2x2乘上x2的微分
這邊我們再把系統的非線性微分方程代入
也就是x1的微分我們代入2x2減掉x1
乘上x1的平方加x2的平方
而x2的微分我們代入負2x1減掉x2
乘上x1的平方加上x2的平方
則V的微分我們經過計算跟化簡後可以得到
V的微分會等於負2乘上x1的平方加上x2的平方再平方
當然我們知道x1的平方加上x2的平方再平方
一定永遠是正的
也因此V的微分等於負2乘上一個正數代表
V的微分一定是負的
根據以上的分析我們可以得到
V of x這個函數它是沿著系統的軌跡會減少
也就是V的微分會小於0
所以V的of x這個函數它是一個李亞普諾夫函數
第二個因為V的of x這個函數當x越大的時候
它會變成無窮大
所以在原點的這個平衡點
它是一個漸進穩定的性質
接著我們來介紹如何利用李亞普諾夫穩定定理
來進行線性系統的穩定性分析
假設有一個線性系統x微分等於Ax
則這個線性的系統它是李亞普諾夫穩定
它的充分與必要條件是對於每一個半正定的矩陣Q
都存在一個正定的矩陣P
使得下面這個方程式A*乘上P加上PA等於負Q
這個方程式非常有名我們稱之為李亞普諾夫方程式
也就是說如果對於一個Q大於等於0的矩陣
我們可以找到一個P大於0的矩陣
滿足這個李亞普諾夫方程式
我們就說這個系統是穩定的
而剛剛李亞普諾夫方程式中的A*
我們稱之為漢米頓矩陣
在數學上這個漢米頓Hermition矩陣
它是一個複數的方塊矩陣
它會等於自己的共軛再加上轉置的矩陣
這個共軛加轉置的矩陣
通常我們用AH或者是A*來表示
例如假設A矩陣是2 1減i 1加i 0
則A矩陣的漢米頓矩陣會等於A*就是A bar再轉置
所以剛好它會等於2 1減i 1加i 0
會跟原來的A矩陣一樣
接著我們來證明李亞普諾夫方程式的穩定定理
首先我們證明必要條件
也就是說如果系統滿足李亞普諾夫方程式
則系統是穩定的
我們令V等於x*乘上P乘上x
則V的微分就會等於x dot*乘上Px
加上x*乘上P乘上x的微分
這邊要特別注意P是不用對時間微分的
因為P是一個常數矩陣
而狀態x是時間函數
因此V的微分的時候必須要對狀態做微分
接著我們再把系統矩陣的狀態方程式代入
也就是x的微分等於Ax代入
所以原方程式會等於Ax*乘上Px加上x*乘上P乘上Ax
Ax*它會等於x*乘上A*
而原來的方程式就會等於V的微分等於x*乘上A*
乘上Px加上x*乘上P乘上A乘上x
我們再把x*跟x分別提出來
所以中間變成A*P加上PA
而左右兩邊分別乘上x*跟x
接著我們再把李亞普諾夫方程式代入
也就是A*P加上PA會等於負Q
因此我們得到V的微分會等於負x*乘上Q乘上x
由於我們已經知道Q是一個半正定的矩陣
因此V的微分等於負的x*乘上Q乘上x一定會小於等於0
也就是說系統是穩定的
接著我們證明充分條件
我們令P等於eA*t乘上Q乘上eAt的積分項
則A*P加上PA會等於A*乘上eA*t乘上Q乘上eAt
加上eA*t乘上Q乘上eAt乘上A的積分項
這兩個積分我們可以合併成一個微分
也就是它會等於eA*t乘上Q乘上eAt對時間的微分
而dt對dt約掉了所以我們得到原函數
eA*t乘上Q乘上eAt我們再把時間分別代入
上限無窮大以及下限0最後的結果就會等於負Q
在這一小節裡面我們首先學習到
李亞普諾夫定理以及它的應用
接著我們比較了李亞普諾夫穩定
跟漸進穩定兩者之間的差異
其實一個就是V的微分會小於0
以及V的微分會小於等於0這兩者之間的差異
最後我們也介紹了在連續時間
以及離散時間兩個不同型態的模糊系統
它的李亞普諾夫定理的表示式
同時我們也學習到一個平衡點的定義
最後我們證明了李亞普諾夫穩定定理
也可以應用在線性系統
而且它的充分條件跟必要條件
我們都有介紹給各位同學知道
這個就是我們在這一小節的總結
