Điều tôi muốn làm trong video này là cho ta một định nghĩa chặt chẽ
về việc lấy giới hạn của một dãy số khi n tiến đến vô cực.
Và điều ta sẽ thấy rất giống với định nghĩa của giới hạn
một hàm bất kỳ khi tiến đến vô cực và đó là vì dãy số thực sự có thể xem như
một hàm số theo chỉ số của nó. Vậy giả sử
tôi vẽ một dãy bất kỳ ra đây.
Tôi sẽ vẽ như thế này để làm rõ
giới hạn mà nó tiến đến, tôi sẽ vẽ một dãy số,
tôi sẽ vẽ một dãy số mà nó sẽ nhảy qua nhảy lại
một chút. Vậy giả sử khi n là 1, a_1 ở đó.
Khi n là 2, a_2 ở đó. Khi n là 3, a_3 ở đó.
Khi n là 4, a_4 ở đây. Khi n là 5, a_5 ở đây.
Và nó có vẻ là-- đây là 1, 2, 3, 4, 5.
Vậy có vẻ như là khi n càng ngày càng lớn
thì a_n có vẻ như tiến gần đến giá trị nào đó.
Nó có vẻ như tiến lại càng ngày càng gần, có vẻ là hội tụ
đến một giá trị L nào đó ở đây. Điều ta cần là tìm ra định nghĩa của việc
hội tụ tại L.
Vậy giả sử với mọi-- vậy ta sẽ nói rằng bạn hội tụ tại L khi với mọi,
với mọi epsilon lớn hơn 0, với mọi số dương epsilon, bạn có thể,
bạn có thể tìm ra, bạn có thể có được, tồn tại--
để tôi viết lại thế này, với mọi số dương epsilon tồn tại một số dương,
số dương M, M in hoa, sao cho,
sao cho nếu, nếu, n lớn hơn M,
thì khoảng cách giữa a_n đến giới hạn của ta, giá trị L ở đây,
khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn epsilon.
Nếu bạn có thể làm điều này với mọi epsilon, với mọi epsilon,
lớn hơn 0, tồn tại một số dương M sau đó nếu n lớn hơn M,
khoảng cách giữa a_n và giới hạn của ta bé hơn epsilon
thì ta có thể nói, thì ta có thể nói rằng
giới hạn của a_n khi n tiến đến vô cực bằng L và
ta có thể nói rằng a_n hội tụ, hội tụ, hội tụ tại L.
Vậy hãy áp dụng điều này, vậy ở đây tôi đang khẳng định rằng
a_n tiến đến giá trị L ở đây,
tôi đã vẽ một đường ngang ở đây.
Định nghĩa này về sự hội tụ của dãy số
nói rằng với mọi epsilon lớn hơn 0.
Vậy tôi sẽ chọn một epsilon lớn hơn 0, tôi sẽ đi đến L cộng epsilon,
tôi sẽ viết nó ở đây, L, đây là L cộng epsilon
và giả sử ở đây là L trừ epsilon.
Vậy tôi sẽ vẽ 2 giới hạn đó ra ở ngay đây.
Và như vậy tôi đã chọn một epsilon ở đây, vậy với bất kỳ,
với mọi epsilon bất kỳ, bất kỳ số dương epsilon tùy ý mà tôi chọn, ta có thể tìm một số dương M,
ta có thể tìm một số dương M, để khi,
giả sử đó là M của ta.
Để khi n của ta lớn hơn M, thì a_n của ta,
a_n của ta sẽ cách L trong khoảng epsilon, cách trong khoảng epsilon,
cách L trong khoảng epsilon chính là nằm trong khoảng này.
Cái này ở đây chỉ đang nói rằng, khoảng cách giữa a_n và L nhỏ hơn epsilon,
vậy nó có thể là bất kỳ giá trị nào trong này, trong khoảng này, giữa L trừ epsilon và L cộng epsilon.
Khoảng cách giữa cái đó và giới hạn của ta sẽ nhỏ hơn epsilon.
Và ta thấy ở đây, ít nhất là một cách trực quan,
nếu ta chọn M ở đó và nếu bạn có thể lấy n nào đó lớn hơn M đó,
nếu bạn chọn n lớn hơn M, nếu M bằng 3, a_n có lẽ
đã đủ gần. Nếu M bằng 4, a_n thậm chí còn gần hơn. Nó nằm trong khoảng epsilon.
Vậy nếu ta có thể nói, nếu ta có thể nói là nó đúng, với mọi epsilon mà ta chọn, thì ta có thể nói,
ta có thể nói là giới hạn tồn tại, rằng a_n hội tụ tại L.
Trong video tiếp theo ta sẽ sử dụng định nghĩa này để thực sự chứng minh một dãy số hội tụ.
