
Bulgarian: 
В това видео искам да представя една по-строга дефиниция за това
какво означава да имаме граница на една прогресия, когато n клони към безкрайност.
Ще видим, че тя е всъщност доста подобна на определението за всяка една
функция, когато границата достига безкрайност.
Това е така, защото прогресията може да бъде разглеждана просто
като функция от нейните индекси.
Ще начертая една произволна редица ето тук.
Всъщност неща я начертая по този начин, за да изясня
към какво ще клони границата. 
Нека начертая прогресия,
която просто подскача наоколо
малко. Ще кажем, че когато n е равно на 1, a(1) е там,
когато n е равно на 2, a(2) е там, когато n е равно на 3, a(3) е там,
когато n е равно на 4, a(4) е ето тук, когато n е равно на 5, a(5) е ето тук.

Portuguese: 
O que eu quero fazer neste vídeo 
é fornecer uma definição rigorosa
do que significa pegar o limite de uma 
sequência quando n se aproxima do infinito
e o que vamos ver é realmente parecido
com a definição de qualquer função
quando um limite se aproxima do infinito, 
e isto é porquê sequências
podem simplesmente ser vistas como uma 
função de seus índices
vou desenhar uma sequência arbitrária 
aqui
vou desenhar desta forma para ficar claro
mas o limite está se aproximando portanto
vou desenhar uma sequência
que está pulando um pouco
Digamos, quando n é igual a um, a 1
está ali
quando n é igual a dois, a 2 está ali, 
quando n é igual a três , a 3 está lá
quando n é igual a 4, a 4 está aqui,
quando n é igual a 5, a 5 está aqui

Thai: 
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือให้เรามีนิยามที่รัดกุม
ว่าการหาลิมิตของลำดับเมื่อ n เข้าหาอนันต์ว่าหมายความว่าอย่างไร
และสิ่งที่เราจะเห็นนั้นใกล้เคียงกับนิยาม
ของฟังก์ชันใดๆ เมื่อลิมิตเข้าหาอนันต์มาก และนี่เป็นเพราะลำดับสามารถมอง
เป็นฟังก์ชันของเลขบอกอันดับ, สมมุติว่า
ขอผมวาดลำดับตามใจตรงนี้หน่อย
ที่จริงขอผมวาดแบบนี้จะได้เห็นชัด
ลิมิตมันเข้าหา ขอผมวาดลำดับสักอัน
ขอผมวาดลำดับที่กระโดดไปมาหน่อย
แล้วสมมุติว่าเมื่อ n=1, a(1) อยู่ตรงนี้,
เมื่อ n=2, a(2) อยู่ตรงนี้, เมื่อ n=3, a(3) อยู่ตรงนั้น
เมื่อ n=4, a(4) อยู่ตรงนี้, เมื่อ n=5, a(5) อยู่ตรงนี้

Korean: 
이 영상에서 하려고 하는 것은
n이 무한으로 접근하는 수열의 극한을
엄격히 정의내리는 것입니다
지금부터 다룰것들은 함수와 유사한데
이러한 수열이
색인(index)에 대한 함수로
이해 될 수 있기 때문입니다
확실히 설명하기 위해 여기 오른쪽에
임의의 수열을 그리겠습니다
확실히 설명하기 위해 여기 오른쪽에
임의의 수열을 그리겠습니다
이렇게 다가가고 있는 수열입니다
값이 오르락 내리락 하는 수열인데요
n=1일때 a(1)여기있고
n=2일때 a(2)은 여기
n=3일때 a(3)은 이곳에
n=4일때 a(4)여기있고
n=5일때 a(5)여기있습니다

English: 
what i want to do in this video is to provide ourselves with a rigorous definition
of what it means to take the limit of a sequence as n approaches infinity
and what we'll see is actually very similar to the definition of any
function as a limit approaches infinity and this is because the sequences really can be just viewed
as a function of their indices, so let's say
let me draw an arbitrary sequence right over here
so actually let me draw like this just to make it clear
but the limit is approaching so let me draw a sequence
let me draw a sequence that is jumping around
little bit, so lets say when n=1, a(1) is there,
when n = 2, a(2) is there, when n = 3, a(3) is over there
when n=4, a(4) is over here, when n=5 a(5) is over here

Turkish: 
Bu videoda n sonsuza yaklaşırken bir dizinin limitinin kapsamlı bir tanımını göstermek istiyorum.
-
Ve bu tanımın bir fonksiyonun sonsuzdaki limitine çok benzediğini göreceksiniz, çünkü bir dizi indis cinsinden fonksiyon olarak düşünülebilir.
-
-
Şimdi buraya herhangi bir dizi çizeyim.
-
-
Böyle oradan oraya hareket eden bir dizi çizeyim
n 1'e eşit olduğunda, a 1 burada olsun.
n 2'ye eşit olduğunda a 2 şurada ve n 3'e eşit olduğunda a 3 burada.
n 4 olduğunda a 4 burada, n eşittir 5 için. A 5 şurada.

Portuguese: 
e parece que é n, portanto isto é
1, 2, 3, 4, 5
parece que quando n fica maior e maior
a n parece estar aproximando-se 
de um valor
parece estar chegando mais e mais perto,
parece estar convergindo
para um valor L bem aqui. 
O the precisamos fazer é determinar
o que realmente significa convergir para L.
Digamos que vamos convergir para L
para qualquer epsilon maior que zero,
para qualquer epsilon positivo
você pode determinar -
vou re-escrever desta forma, 
para cada epsilon positivo, existe
um M positivo, M maiúsulo,

Thai: 
และมันออกมา n นี่ก็คือ 1 2 3 4 5
มันดูเหมือนว่าเมื่อ n มากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
a(n) ดูจะเข้าหา, มันดูเข้าหาค่าค่าหนึ่ง
มันเข้าหาค่าหนึ่งมากขึ้นและมากขึ้น มันลู่เข้า
หาค่า L นี่ตรงนี้ สิ่งที่เราต้องทำคือ ตั้งนิยาม
ว่าการลู่เข้าหาค่า L หมายความว่าอย่างไหร
สมมุติว่าค่าใดก็ตาม, เราจะบอกว่า คุณลู่เข้าหาค่า L เมื่อ
สำหรับค่า ε > 0 ใด, สำหรับเอปซิลอนเป็นบวกใดๆ, คุณสามารถ,
คุณสามารถหา, คุณหาได้, หรือคุณสามารถ, มี
ขอผมเขียนแบบนี้ดีกว่า, สำหรับเอปซิลอนเป็นบวกใดๆ, จะมี M
เป็นบวก, M พิมพ์ใหญ่, ที่

Korean: 
n의 값이 1 2 3 4 5 로
이렇게 n이 점점 커지는게 보일겁니다
이에따라 a(n)이
특정 값에 가까워지는것이 보입니다
점점 가까워져서 L이라는 어떤 값에
수렴하는 것처럼 보입니다
여기서 정의를 내려야 하는 부분은
L로 수렴하는것이 진정
무엇을 의미하느냐는 부분입니다
이제 L에 수렴하는 어떤 수에 대하여
0보다 큰 어떤 양의 ε에 대해서
그 어떤 수가 주어진다 하더라도
어떤 양의 ε에 대해서도
양수인 M
대문자 M에 대하여

Turkish: 
n değerleri 1, 2, 3, 4, 5.
n büyüdükçe a n'nin değerleri bir sayıya yakınsıyor.
-
Gittikçe yaklaşıyor ve bu L değerine yakınsıyor gibi görünüyor.
Şimdi ise L'ye yakınsamanın tanımını bulalım.
-
L'ye yakınsamanın matematiksel anlamı şudur.
Herhangi bir pozitif epsilon değeri için öyle bir pozitif büyük M sayısı bulurum ki, n M'den büyük ise, a n'nin bu limitten, L'den, uzaklığı epsilondan küçüktür.
-
-
-

Bulgarian: 
Като изглежда, че n -- това е 1, 2, 3, 4, 5 --
изглежда, че когато n става все по-голямо и по-голямо, и по-голямо
изглежда, че a(n) клони към някаква стойност.
Изглежда, че се приближава все повече, изглежда че се съсредоточва
в някаква стойност L ето тук. Като ние трябва да стигнем до дефиниция за
това, какво всъщност означава да имаме сходимост към L?
Нека кажем, че за да имаме сходимост 
към L за всяко,
за всяко ε по-голямо от 0, за всяко епсилон,
което можеш да получиш или
нека го напиша по този начин. За всяко положително епсилон има положително
М, главна буква М, при което

English: 
and it looks like is n is so this is 1 2 3 4 5
so it looks like that as n gets bigger and bigger and bigger
a(n) seems to be approaching, seems to be approaching some value
it seems to be getting closer and closer, seems to be converging
to some value L right over here. What we need to do is come up with a definition of
what is it really mean to converge to L.
So let's say for any, so we're gonna say that you converge to L for any,
for any ε > 0, for any positive epsilon, you can,
you can come up, you can get or you can, there is
let me rewrite it this way, for any positive epsilon there is a positive,
positive M, capital M, such that,

Thai: 
ที่, ถ้า, n พิมพ์เล็กมากกว่า M พิมพ์ใหญ่แล้ว
ระยะห่างระหว่าง a(n) กับลิมิตของเรา, คือ L นี่ตรงนี้
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดนั้นจะน้อยกว่าเอปซิลอน
ถ้าคุณทำแบบนี้ได้กับเอปซิลอนใดๆ, สำหรับเอปซิลอนใดๆ,
ที่มากกว่า 0, จะมีค่า M เป็นบวก ที่ทำให้ ถ้า n มากกว่า M แล้ว,
ระยะห่างระหว่าง a(n) กับลิมิตของเราจะน้อยกว่าเอปซิลอน
แล้วเราจะบอกได้ว่า, เราบอกว่า
ลิมิตของ a(n) เมื่อ n เข้าหาอนันต์เท่ากับ L
และเราบอกว่า a(n) ลู่เข้า, ลู่เข้า, ลู่เข้าหา L
งั้นลอง, ลอง, ลองวิเคราะห์เจ้านี่ดู, ตรงนี้ผมอ้างว่า
a(n) เข้าใกล้ค่า L นี่ตรงนี้,

Portuguese: 
tal que, se n minúsculo for maior que
M maiúsculo,
a distância entre a n e nosso
limite, este L bem aqui,
a distância entre estes dois pointos
será menor que epsilon
Se você puder fazer isto para qualquer
epsilon
maior que zero, há um M positivo, tal que
se n for maior que M,
a distância entre a n e nosso limite
será menos que epsilon
então podemos dizer,
o limite de a n quando n se aproxima
do infinito é igual a L
e podemos dizer que a n converge para L.
Vamos analisar isto - 
aqui eu estava declarando
que a n está se aproximando de L bem aqui,

Bulgarian: 
ако малко n е по-голямо от главно М,
тогава разстоянието между a(n) и границата, 
това L ето тук,
разстоянието между две точки е по-малко от епсилон.
Ако имаш това за всяко епсилон,
по-голямо от 0, ако има положително М, при което ако n е по-голямо от М,
разстоянието между a(n) и границата е по-малко от епсилон.
Можем да кажем,
че границата на a(n), когато n клони към безкрайност, е равна на L.
И можем да кажем, че a(n) се съсредоточва, сходява се към L.
Нека направим разбор на това. Тук правя твърдението,
че a(n) клони към това L тук,

Turkish: 
-
-
-
Bunu herhangi sıfırdan büyük bir epsilon için yapabilirsek, a n ile limitimiz arasındaki uzaklığı, n büyüktür M için, epsilondan küçük yapan bir pozitif M sayısı bulabilirsek, o zaman n sonsuza giderken a n'nin limiti L'dir diyebiliriz.
-
-
-
-
a n'nin L'ye yakınsadığını söyleyebiliriz.
Şimdi bunu ayrıştıralım. Burada a n'nin bu L'ye yaklaştığını iddia ediyordum.
-

Korean: 
소문자 n이 대문자 M보다 크다면
a(n)과 극한 L 사이의 거리는
ε보다 작습니다
a(n)과 극한 L 사이의 거리는
ε보다 작습니다
여러분이 ε을
0보다 큰 그 어떤 수로 놓는다고 해도
만약 M보다 n이 크면
a(n)과 극한 사이의 거리는
ε보다 작습니다
그렇다면 이제
a(n)의 극한은 무한히
L로 수렴한다는 것을 알 수 있고
a(n)이 L로 수렴한다고
할 수 있습니다
이를 분석해보면
a(n)이 L에 접근한다고 선언하고
이를 분석해보면
a(n)이 L에 접근한다고 선언하고

English: 
such that if, if, lower case n is greater than capital M,
then the distance between a(n) and our limit, this L right over here
the distance between those two points is less than epsilon.
If you can do this for any epsilon, for any epsilon,
greater than 0, there is a positive M, such that if n is greater than M,
the distance between a(n) and our limit is less than epsilon
then we can say, then we can say
that the limit of a(n) as n approaches infinity is equal to L and
we can say that a(n) converges, converges, converges to L.
So let's, let's, let's parse this, so here I was making the claim
that a(n) is approaching this L right over here,

Thai: 
ผมพยายามวาดให้มันเป็นเส้นราบแล้วนะ
นิยามนี่ ว่าการลู่เข้าของลำดับ การลู่เข้าหมายความว่าอย่างไร
มันบอกให้เราดูค่าเอปซิลอนใดๆ ที่มากกว่าศูนย์
ขอผมเลือกเอปซิลอนมากกว่าศูนย์ค่าหนึ่ง, งั้นผมจะไปที่ L บวกเอปซิลอน
ที่จริง ขอผมทำตรงนี้นะ, L, แล้วดูว่านี่คือ L บวกเอปซิลอน
และสมมุติว่าเจ้านี่ตรงนี้คือ L ลบเอปซิลอน
ขอผมลากเส้นขอบสองเส้นนี่, ตรงนี้
และผมเลือกเอปซิลอนค่าหนึ่งตรงนี้, สำหรับ
เอปซิลอนใดๆ, เอปซิลอนเป็นบวกที่ผมเลือกขึ้นมาตามใจ, เราสามารถหาค่า
M เป็นบวก, เราหา M เป็นบวกตัวหนึ่งได้, โดยที่ตราบใด,
สมมุติว่านั่นคือ M ของเราตรงนั้น
โดยที่ตราบใด n ของเรามากกว่า M, แล้ว a(n)
a(n) ของเราอยู่ในช่วงเอปซิลอนของ L, มันอยู่ในเอปซิลอน
อยู่ในเอปซิลอนของ L หมายความว่าอยู่ในช่วงนี้

Korean: 
이것을 수평선처럼 그리려고 했는데요
이것이 바로
수열의 수렴에 대한 정의입니다.
어떤 ε이 0보다 크다고 해봅시다
이제 L과 ε을 더합니다
여기를
L+ε이라고 해 봅시다
그리고 여기를
L-ε이라고 해봅시다
그리고 두 경계선을 그리겠습니다
여기서 어떤 ε을 골랐는데요
어떤 임의의 양의 ε에 대해서도
어떤 양수 M을 찾을 수 있는데
M이 저기에 있다고 해 봅시다
n이 M보다 크기만 하면
a(n)은 L로부터
ε의 범위안에 있게됩니다
ε 범위 안에 있다는것은
이 범위 안에 있다는 것입니다

Bulgarian: 
опитах да го начертая като хоризонтална права.
Тази дефиниция на това, какво означава да имаме сходимост
гласи, че за всяко епсилон, по-голямо от 0 --
нека избера епсилон, по-голямо от 0. Ще имам L плюс епсилон,
всъщност нека го направя тук. Това е L плюс епсилон
и нека кажем, че това тук е L минус епсилон.
Ще начертая тези две граници ето тук.
Избрах епсилон така, че за всяко
произволно положително епсилон, можем да намерим положително
М, при което стига да --
нека кажем, че това там е М.
Стига n да е по-голямо от М, тогава a(n)
ще се намира в границите на епсилон от L, ще бъде в обхвата на епсилон.
Да бъде в рамките на епсилон от L по същество означава, да бъде в този обхват.

English: 
I tried to draw it as a horizontal line.
This definition of the of what it means to converge for sequence to converge
says look for any epsilon greater than zero.
So let me pick an epsilon greater than zero, so I am gonna go to L plus epsilon,
actually let me do it right over here, L, so see this is L plus epsilon
and let's say this is right here this is L minus epsilon.
So let me draw those two bounds, right over here.
And so I picked an epsilon here so for any,
for any arbitrary epsilon, any arbitrary positive epsilon I pick, we can find a positive
M, we can find a positive M, so that as long as,
so let's say that is our M right over there.
So that as long as our n is greater than our M, then our a(n)
our a(n) is within epsilon of L, so being within the epsilon,
being within epsilon of L is essentially being in this range.

Turkish: 
Bunu yatay bir doğru olarak çizmeye çalıştım.
Yakınsamanın tanımı, sıfırdan büyük herhangi bir epsilon seçmemizi söyler.
-
Şimdi sıfırdan büyük bir epsilon seçeyim, L artı epsilonu bulacağım, bunu burada yapayım. Bu, L artı epsilon.
-
Ve şurası da L eksi epsilon diyelim.
Bu iki sınırı çizeyim, şöyle.
Burada bir epsilon seçtim.
Şimdi herhangi bir epsilon için, pozitif bir M değeri bulabilmeliyim. M değerimiz şu olsun.
-
-
n, M'den büyük olduğu sürece a n L'nin epsilon komşuluğu içinde olmak zorundadır.
-
L'nin epsilon komşuluğu, şu aralıktır.

Portuguese: 
Eu tentei desenhá-lo como uma 
linha horizontal
Esta definição do que significa 
convergência de uma sequência
diz, olhe para cada epsilon 
maior que zero.
Vou pegar um epsilon maior que zero,
portanto vou a L mais epsilon,
na verdade, vou fazer isto deste lado, L,
portanto veja que este é
L mais epsilon, e digamos que este aqui é 
L menos epsilon
Vou desenhar estes dois limites bem aqui
Eu peguei um epsilon aqui
para qualquer epsilon arbitrário,
para qualquer epsilon positivo
que eu selecionar, podemos encontrar
um M positivo, de forma que,
digamos, que este seja nosso M bem aqui.
Contanto que o nosso a n seja maior 
que nosso M,
nosso a n estará dentro do epsilon de L,
o que essencialmente significa estar
dentro desta faixa.

Thai: 
เจ้านี่ตรงนี้แค่บอก่วา, ดูว่าระยะทางระหว่าง a(n) กับ L อยู่ในเอปซิลอน,
แล้วตัวใดก็ตามในนี้, อะไรก็ตามที่อยู่ในนี้, ระหว่าง L ลบเอปซิลอน กับ L บวกเอปซิลอน
ระยะห่างระหว่างเจ้านั่นกับค่าลิมิตเรา จะน้อยกว่าเอปซิลอน
และเราเห็นตรงนี้, อย่างน้อยก็ด้วยภาพแล้ว,
ว่าถ้าผมเลือก M ตรงนี้ และถ้าคุณเลือกค่า n ใดๆ ที่มากกว่า M นั่น,
ถ้าคุณเลือก n ที่มากกว่า M มา, ถ้า M เท่ากับ 3, a(n) ก็
ใกล้พอแล้ว ถ้า M เป็น 4, a(n) จะยิ่งใกล้เข้าไปอีก มันอยู่ในเอปซิลอนของเรา
แล้วถ้าเราบอกได้ว่า, ถ้าเราได้บอกว่า, มันเป็นจริง, สำหรับเอปซิลอนใดๆ ก็ตามที่เราเลือก, เราก็บอกได้ว่า,
เราบอกได้ว่าลิมิตมีจริง, ว่า a(n) ลู่เข้าหา L
ในวิดีโอหน้าเราจะใช้นิยามนี้พิสูจน์จริงๆ ว่าลำดับลู่เข้าหรือไม่

Korean: 
이곳의 오른쪽 위의 경우에
L과 a(n)의 거리를 봅시다
즉 이 중 어떤 것이라도
L-ε과 L+ε 사이입니다.
이것과 우리의 극한 사이의 거리는
ε보다 작아질 것입니다
그리고 우리는 바로 여기서
최소한 시각적으로라도
M을 뽑고
어떤 n이 M보다 크다고 한다면
M보다 큰 N을 있고 그 M이 3이라면
a(n)이 꽤나 가까워보입니다
만약 그 M이 4라면 a(n)은
더 가까우며 ε 범위 안에 있습니다
어떤 ε에 대해서도
이것을 참이라고 말할 수 있다면
극한은 존재하고 그것은
L에 수렴한다고 말할 수 있습니다
다음 영상에서는 수열의 수렴의 증명에
본 정의를 사용할 것입니다

Portuguese: 
Isto está dizendo, veja que a distância 
entre a n e L é menor que epsilon,
de forma que seria qualquer um desses
entre L menos epsilon e L mais epsilon.
A distância entre aquilo e nosso limite 
vai ser menor que epsilon.
E vemos bem aqui, pelo menos visualmente,
que se pegarmos M lá e você puder pegar
um n que seja maior que aquele M,
se você pegar um n que for maior que M, 
se M for igual a 3, a n parece estar
perto o suficiente. Se M for 4, a n
chega ainda mais próximo, dentro do nosso
epsilon. Portanto podemos dizer que é 
verdade, para qualquer epsilon que
pegarmos, podemos dizer que estes limites
existem, que a n converge para L.
No próximo vídeo vou usar esta definição 
para provar que uma sequência converge.
Legendado por: Marcia Yu

Bulgarian: 
Това тук просто означава, че казваме, че разстоянието между a(n) и L е по-малко от епсилон.
Това ще бъде всяко от тези, които се намират между L минус епсилон и L плюс епсилон.
Разстоянието между това и границата ще бъде по-малка от епсилон.
Виждаме го точно ето тук, поне визуално,
че ако изберем там да е М и ако имаме n, което е по-голямо от М,
ако изберем n, което е по-голямо от М, ако М е равно на 3, изглежда че
a(n) се приближава достатъчно. Ако М е 4, a(n) е дори още по-близо. То се намира в епсилон.
Ако кажем, че това е вярно за всяко епсилон, което избираме, тогава можем да кажем,
че границата съществува, че a(n) е сходящо към L
В следващото видео ще използваме това определение, за да докажем в действителност,
че дадена редица е сходяща.

English: 
This right over here is just saying, look that the distance between a(n) and L is less than epsilon,
so that would be any of these, anything that is in this, between L minus epsilon and L plus epsilon.
The distance between that and our limit is going to be less than epsilon.
And we see right over here, at least visually,
if we pick M there and if you can take an n that's larger than that M,
if you pick an N that's larger than M, if M is equal to 3, a(n) seems to be
close enough. If M is 4, a(n) is even getting closer. It's within our epsilon.
So if we can say, if we can say that it is true, for any epsilon that we pick, then we can say,
we can say that the limit exists, that a(n) converges to L.
In the next video we will use this definition to actually prove that a sequence converges.

Turkish: 
Yani burada söylenen şu. a n ile L arasındaki uzaklık, epsilondan küçük, yani buradaki değerlerden söz ediyorum, L eksi epsilon, L artı epsilon aralığından.
-
Bununla limitimizin arasındaki uzaklık epsilondan az olacak.
Ve şurada görsel olarak, şu M'yi seçersek ve bu M'den büyük bir n değeri alırsak...
-
M 3'e eşit olsun. a n yeterince yakın olacak gibi. M 4 olduğunda a n daha da yakınlaşıyor. Epsilon komşuluğunda bulunuyor.
-
Eğer bu, seçtiğimiz her epsilon değeri için doğruysa, limitin var olduğunu ve a n'nin L'ye yakınsadığını söyleriz.
-
Bir sonraki videoda bu tanımı kullanarak bir dizinin yakınsadığını ispatlayacağız.
