
English: 
- [Voiceover] Let's now
take the definite integral
from two to four
of six plus x squared
over x to the third power dx.
At first this might seem pretty daunting.
I have this rational expression.
But if we just rewrite this,
it might jump out at you
how this could be a little bit simpler.
So this is equal to the
integral from two to four
of six over x to the third power
plus x squared over x
to the third power dx.
I just separated this numerator out.
I just divided each of those
terms by x to the third power.
And this I could rewrite.
This is equal to the
integral from two to four
of six x to the negative three power,
that's that first term there.
And x squared divided by x to the third,
well that it going to be one over x.
So plus one over x dx.

Korean: 
이제 한번 정적분을 해봅시다
2에서 4까지
(6+x²)/x³을
정적분하는 문제군요
처음에는 꽤 어려워 보일 수 있어요
여기 유리수가 주어져 있죠
그런데 이걸 다시 쓰게 되면
이걸 조금 더 쉽게 풀 수 있는
방법을 알 수도 있을 거에요
그러니까 이건 2에서 4까지
6/x³ 에 x²/x³ 을 더한 것을
적분한 값이 되는 거죠
방금 제가 분자를 막 분리했는데요
그냥 각 항을 x³으로 나눈 거에요
이걸 또 다시 쓰면
2에서 4까지
6 × x의 -3제곱 이라는
첫번째 항과
그 다음 항인  x²/x³ 은
1/x 가 될 테니까
1/x 를 적분한 값이 되겠죠

Thai: 
ตอนนี้ลองหาอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก 2 ถึง 4
ของ 6 บวก x กำลังสอง
ส่วน x กำลังสาม dx กัน
ตอนแรก มันอาจดูยากเย็น
ผมมีพจน์ตรรกยะนี้
แต่ถ้าเราเขียนอันนี้ใหม่ คุณอาจเห็นทันที
ว่าอันนี้เขียนให้ง่ายลงได้
อันนี้เท่ากับอินทิกรัลจาก 2 ถึง 4
ของ 6 ส่วน x กำลังสาม
บวก x กำลังสองส่วน x กำลังสาม dx
ผมแยกตัวเศษนี้ออกได้
ผมแค่หารแต่ละเทอมด้วย x กำลังสาม
และอันนี้ผมเขียนใหม่ได้
อันนี้เท่ากับอินทิกรัลจาก 2 ถึง 4
ของ 6 x ยกกำลังลบสาม
และนั่นคือเทอมแรกนี้
และ x กำลังสองหารด้วย x กำลังสาม
มันจะเท่ากับ 1 ส่วน x
บวก 1 ส่วน x dx

iw: 
בוא עכשיו
נקח את האינטגרל המסוים
משתיים לארבע
של שש פלוס x בריבוע
חלקי x בשלישית dx.
בהתחלה זה אולי נראה די מרתיע.
יש לי ביטוי הרציונלי הזה.
אבל אם אנחנו משכתבים את זה,
זה יכול לבלוט לכם
איך זה יכול להיות קצת יותר פשוט.
אז זה שווה
לאינטגרל משתיים לארבע
של שש חלקי x בחזקת שלוש
בתוספת x בריבוע חלקי x
בשלישית dx.
אני פשוט מפריד את המונה החוצה.
אני רק מחלק כל אחד מאותם
ביטויים של x בחזקת שלוש.
ואת זה אני יכול לשכתב.
זה שווה
לאינטגרל משתיים לארבע
של שש x בחזקת מינוס שלוש,
וזה הביטוי הראשון שם.
ו- X בריבוע חלקי x בשלישית,
טוב זה הולך להיות אחד מעל x.
אז פלוס אחד חלקי dx x.

Czech: 
Spočítejme určitý integrál
od 2 do 4
6 plus x²
lomeno x³ dx.
Zpočátku to může vypadat hrozivě.
Máme tady lomený výraz.
Ale když to přepíšeme,
možná vás napadne,
jak by se to dalo zjednodušit.
Takže toto je rovno
integrálu od 2 do 4
6 lomeno x³
plus x² lomeno x³ dx.
Jen jsem rozdělil čitatel.
Vydělil jsem každý člen x³.
A toto můžeme přepsat.
Je to rovno integrálu od 2 do 4
6x⁻³, to je ten první člen.
A x² děleno x³,
to bude 1 lomeno x.

Bulgarian: 
Нека да изчислим определен 
интеграл от 2 до 4,
от 6 плюс х квадрат,
върху х на трета, dx.
На пръв поглед може да изглежда
доста сложно.
Имаме този рационален израз.
Може обаче просто го запишем по друг
начин. Може би се досещаш
как може малко да се опрости.
Този израз е равен на интеграл от
2 до 4,
от 6 върху х на трета,
плюс х квадрат върху х на трета, dx.
Просто разделих числителя на
събираеми,
като разделих всеки от тези членове
на х на трета.
А това мога да го запиша ето така.
Равно е на интеграл от 2 до 4,
от 6 по х на минус трета.
Това е първият член.
А х квадрат, разделено на х на трета,
ще бъде равно на 1/х.

Korean: 
이것은 결국
각 항을 부정적분해서
적분해서 4를 대입한 값과
적분해서 2를 대입한 값을 구해봅시다
그러고 나면 우리가 찾을 것은
원함수에 4와 2를
각각 대입한 값의 차가 되죠
그럼 6 × x의 -3제곱을
부정적분 한 값은 어떻게 구할까요?
여기에서 부정적분을 할 때 에는
원함수를 구하기 위해서
멱의 법칙을 쓸 수 있겠네요
즉 다항식의 미분과
반대로 하면 된다는 거죠
이미 전에 배웠듯이
xⁿ 을 적분하면
그 원함수는
x의 (n+1)제곱을
(n+1)로 나눈 값이 됩니다
그리고 이걸 부정적분이라고 한다면
C라는 상수가 더해지겠죠
여기에 C를 넣지 않는 이유는
적분 범위의 양 끝이 정해져 있으면
C가 무엇이든 소멸되기 때문이죠
그러니까 이렇게 정적분을 할 때에는
C에 그렇게 신경 쓸 필요가 없습니다

Thai: 
ทีนี้ อันนี้จะเท่ากับ
ลองหาปฏิยานุพันธ์ของแต่ละส่วน
แล้วเราจะหาค่าที่ 4
และเราจะหาค่าที่ 2
แล้วเราจะหาผลต่างระหว่าง
ค่าปฏิยานุพันธ์ที่ 4 กับที่ 2
ทีนี้ ปฏิยานุพันธ์
ของ 6 x กำลังลบ 3 เป็นเท่าใด?
ตรงนี้ เราก็แค่ใช้
เราใช้กฎยกกำลังเพื่อหาปฏิยานุพันธ์
หรือการย้อนกฎยกกำลังของอนุพันธ์ได้
เรารู้ว่า ถ้าเราหาอินทิกรัล
ของ x กำลัง n dx
ปฏิยานุพันธ์ของมัน
จะเท่ากับ x กำลัง n บวก 1 ส่วน n บวก 1
และถ้าเราหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
มันจะมีบวก c ด้วย
สาเหตุที่เราไม่ใส่บวก c ตรงนี้
คือเมื่อเราหาค่าขอบทั้งสองของการอินทิเกรต
c จะหักล้างกันไม่ว่ามันจะเป็นเท่าใด
เราจึงไม่ต้องคิดถึง c นัก
เมื่อเราหาอินทิกรัลจำกัดเขต

English: 
Now this is going to be equal to,
let's take the antiderivative
of the different parts
and we're going to evaluate that at four
and we're going to evaluate that at two.
And we're going to find
the difference between
the antiderivative valued
at four and at two.
Now what is the antiderivative
of six x to the negative three?
Well, here, once again we can just use,
we could use the power rule
for taking the antiderivative
or it's the reverse of
the derivative power rule.
We know that if we're taking the integral
of x to the n dx,
the antiderivative of that
is going to be x to the n
plus one over n plus one.
And if we were just taking
an indefinite integral
there would be sum pluc C.
The reason why we don't
put the plus Cs here
is when you evaluate at
both bounds of integration,
the C would cancel out
regardless of what it is.
So we don't really think about the C much
when we're taking definite integrals.

Czech: 
Takže plus 1 lomeno x dx.
Toto bude rovno...
Zintegrujeme každou část
a vyčíslíme to v bodě 4
a vyčíslíme to v bodě 2.
A pak je od sebe odečteme,
ty integrály vyčíslené ve 4 a ve 2.
Jaký je integrál 6x⁻³?
Tady můžeme zase použít
pravidlo integrace mocniny,
neboli obrácené pravidlo
derivace mocniny.
Víme, že když integrujeme xⁿ dx,
integrál toho výrazu
bude xⁿ⁺¹ lomeno n plus 1.
A kdybychom počítali neurčitý integrál,
bylo by tam ještě plus c.
My sem to plus c nedáváme,
protože když vyčíslíme
integrál v obou mezích,
ty konstanty "c" se vykrátí,
ať už jsou jakékoli.
Takže nás to "c" moc nezajímá,
když řešíme určité integrály.

iw: 
עכשיו זה הולך להיות שווה ל,
בואו ניקח את האנטינגזרת
של חלקים שונים
ואנחנו הולכים לחשב את זה בארבע
ואנחנו הולכים להעריך את זה בשתים.
ואנחנו הולכים למצוא את
ההפרש בינם
האנטינגזרת מוערכת
בארבע ובשתים.
עכשיו מה היא האנטינגזרת
של שש x בחזקת מינוס שלוש?
ובכן, כאן, שוב אנו יכולים שוב להשתמש,
נוכל להשתמש בכלל החזקה
למציאת אנטינגזרות
או שזה ההפך של
כלל השרשרת של הנגזרת.
אנחנו יודעים שאם אנחנו מחפשים את האינטגרל
של x אל DX n,
האנטינגזרת של זה
הולך להיות x אל n
פלוס אחד חלקי n פלוס אחד.
ואם אנחנו רק ניקח את
האינטגרל המסוים
יהיה איזשהו פלוס C.
הסיבה שבגללה אנחנו לא
נשים את הפלוס C כאן
היא כשאתם מחשבים בשני גבולות 
 האינטגרציה,
ה- C יתבטל
ולא משנה מה זה.
אז אנחנו לא באמת חושבים על C הרבה
כאשר אנו לוקחים אינטגרלים מסוימים.

Bulgarian: 
Следователно имаме плюс 1/х, dx.
А сега този израз ще бъде равен на
следното.
Нека намерим примитивните функции
на различните събираеми.
След това ще го изчислим за 4
и ще го изчислим за 2.
Ще намерим разликата между
примитивните функции 
(антипроизводните) от 4 и от 2.
На какво е равна 
примитивната функция
на 6 по х на минус трета?
Тук отново можем да използваме
правилото за намиране на
примитивната функция на производна от степен, 
за да намерим антипроизводната.
Тоест обратното правило на това
за намиране производна на степен.
Знаем, че ако търсим
интеграл от х на n-та степен, dx,
то примитивната функция на това
ще бъде равна на х на степен n плюс 1
върху n плюс 1.
Ако просто търсим примитивна функция на неопределен интеграл,
то тогава ще прибавим една
константа С.
Причината да не прибавяме константа
ето тук,
е, че когато изчисляваме за границите
на интегриране,
тогава С ще се унищожи, независимо на
какво е равно.
Тоест не е важно да мислим толкова
за С,
когато изчисляваме определени
интеграли.

Bulgarian: 
Нека приложим правилото към
6 по х на минус трета.
Ще се получи следното. Ще имаме
х на степен минус 3 плюс 1.
Получава се х на минус втора.
Тоест ще разделим също на минус 2.
И, разбира се, имаме 6 тук от
първоначалния израз.
Това е примитивната функция
на 6 по х на минус трета.
А каква е примитивната 
функция на 1/х?
Може би се изкушаваш да използваш
същата идея.
Може би се изкушаваш да приемеш,
че примитивната функция 
на х на минус първа,
което е същото като 1/х,
ще бъде равна на х на минус първа
плюс 1,
върху минус 1 плюс 1.
Но на какво е равно минус 1 плюс 1?
На нула!
Това не отговаря на това свойство ето
тук.
За щастие обаче, съществува друго
свойство.
А това с представянето като степен
вече сме го правили, когато търсихме
производна
на функции, съдържащи натурален
логаритъм.
Примитивната функция на 1/х или х
на минус първа
понякога ще видиш записана

Thai: 
แต่ลองใช้มันกับ 6x กำลังลบ 3 ดู
มันจะเท่ากับ เราจะนำ
x กำลังลบ 3 บวก 1 มา
มันก็คือ x กำลังลบ 2
แล้วเราจะหารมันด้วยลบ 2 เช่นกัน
และแน่นอน เรามี 6 ออกมาข้างหน้าแต่แรก
มันก็คือปฏิยานุพันธ์
ของ 6x กำลังลบ 3
แล้วปฏิยานุพันธ์ของ 1 ส่วน x เป็นเท่าใด?
คุณอาจจะใช้แนวคิดเดิมตรงนี้
คุณอาจจะบอกว่า เอาล่ะ
ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังลบ 1
ซึ่งเท่ากับ 1 ส่วน x
จะเท่ากับ x กำลังลบ 1 บวก 1
ส่วนลบ 1 บวก 1
แต่ลบ 1 บวก 1 เป็นเท่าใด?
มันคือ 0
มันจึงใช้สมบัตินี่ตรงนี้ไม่ได้
แต่โชคดีของเรา มันมีสมบัติอีกอย่าง
เราทำกลับกับ
เวลาเราหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันล็อกธรรมชาติ
ปฏิยานุพันธ์ของ 1 ส่วน x หรือ x กำลังลบ 1
เท่ากับ บางครั้งคุณจะเห็นเขาเขียน
ว่าล็อกธรรมชาติของ x บวก c

English: 
But let's apply that to six x
to the negative third power.
So it's going to be, we're going to take
x to the negative three plus one.
So it's x to the negative two.
And so we're gonna divide
by negative two as well.
And, of course, we had that
six out front from the get go.
So that's the antiderivative
of six x to the negative three power.
And what's the
antiderivative of one over x?
You might be tempted to use
the same idea right over here.
You might be tempted to say, all right,
well the antiderivative
of x to the negative one,
which is the same thing as one over x
would be equal to x to
the negative one plus one
over negative one plus one.
But what is negative one plus one?
It is zero.
So this doesn't fit this
property right over here.
But lucky for us, there
is another property.
And we went the other way
when we were first taking derivatives
of natural log functions.
The antiderivative of one over
x or x to the negative one
is equal to, sometimes
you'll see it written
as natural log of x plus C.

Czech: 
Ale pojďme použít to pravidlo na 6x⁻³.
Takže to bude...
Budeme mít x na -3 plus 1.
To je x⁻².
A potom ještě vydělíme -2.
A ještě jsme tam měli 6 vepředu.
To je tedy integrál 6x⁻³.
A jaký je integrál 1 lomeno x?
Možná byste rádi použili
tu samou myšlenku.
Svádí vás to říct,
že integrál x⁻¹,
což je to stejné jako 1 lomeno x,
bude roven x na -1 plus 1
lomeno -1 plus 1.
Ale kolik je -1 plus 1?
To je 0.
Takže toto pravidlo tady nelze použít.
Ale naštěstí pro nás
je tady jiné pravidlo.
A už jsme to dělali, když jsme se učili
derivovat přirozené logaritmy.
Integrál 1 lomeno x,
neboli x⁻¹, je roven...

iw: 
אבל בואו ננסה ליישם את זה לשישה x
בחזקת מינוס שלוש.
אז זה הולך להיות, אנחנו הולכים לקחת
את x לחזקת שלוש ועוד אחד.
אז זה x בחזקת מינוס שתיים.
וככה אנחנו מחלקים
על ידי מינוס שתיים גם כן.
וגם, כמובן, היה לנו כאן את
השש הזה מקדימה מההתחלה.
אז זה האנטינגזרת
של שש x בחזקת מינוס שלוש.
ומהי האנטינגזרת של אחד חלקי x?
אתם עשויים להתפתות להשתמש
באותו רעיון ממש כאן.
ייתכן שאתם מתפתים לומר, בסדר,
טוב האנטינגזרת
של x בחזקת מינוס אחד,
וזה אותו הדבר כמו אחד חלקי x
יהיה שווה ל x בחזקת מינוס אחד פלוס אחד
חלקי מינוס אחד פלוס אחד.
אבל מה זה מינוס אחד פלוס אחד?
וזה אפס.
אז זה לא מתאים זה
לדבר הזה כאן.
אבל למזלנו, יש לנו
עוד נכס.
והלכנו לכיוון השני
כאשר אנחנו לוקחים את הנגזרת הראשונה
של פונקציות הלוגריתם הטבעיות.
האנטינגזרת של אחד חלקי x
או x בחזקת מינוס אחד
שווה ל, לפעמים
תראו את זה כתוב
כמו הלוגריתם הטבעי של x ועוד C

Korean: 
어쨌든 이 공식에 첫째항을 대입합니다
그러면 그 값은 일단
x의 (-3 + 1)제곱
즉 x의 -2 제곱이 되죠
이것을 같은 값 (-2)로 나눕니다
거기다 처음부터 있었던 6도 곱합니다
이게 바로
6 × x의 -3제곱의 원함수 입니다
그럼 1/x의 원함수는 뭘까요?
여러분은 아마
x의 -1제곱의 원함수
즉 1/x의 원함수는
x의 (-1+1)제곱을
(-1+1)로 나눈 값이 되겠다고
생각하실지도 몰라요
하지만 (-1+1)은 뭐죠?
0 입니다
한마디로 말해서
여기에 이 공식은 맞지 않다는 거죠
그러나 다행히도 다른 공식이 있습니다
달리 생각해보면
우리가 자연로그가 포함된 함수를
처음 미분할 때
1/x 혹은 x의 -1제곱의 원함수는
가끔씩 보면 알겠지만
ln(x) + C 입니다

Thai: 
และบางครั้ง ผมชอบอันนี้มากกว่า
เพราะคุณหาค่ามันสำหรับค่าลบได้ด้วย
คือใส่ค่าสัมบูรณ์ด้วย
ล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ x
และอันนี้มีประโยชน์ เพราะอันนี้นิยาม
สำหรับค่าลบ ไม่ใช่แค่ค่าบวก
ล็อกธรรมชาติของ x นิยามแค่
ค่า x ที่เป็นบวก
แต่เมื่อคุณหาค่าสัมบูรณ์
x จะเป็นลบหรือบวกก็ได้ตอนนี้
และมันใช้ได้ อนุพันธ์ของตัวนี้คือ 1 ส่วน x จริง
ทีนี้ มันไม่เกี่ยวนักตรงนี้
เพราะขอบการอินทิเกรตของเราทั้งคู่เป็นบวก
แต่ถ้าขอบการอินทิเกรตทั้งคู่เป็นลบ
คุณก็ยังใช้อันนี้บอกตัวเองได้
ว่านี่คือล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ x
อันนี้ เราบอกได้ว่า คือบวกล็อกธรรมชาติ
ของค่าสัมบูรณ์ของ x
ไม่ใช่เรื่องแย่ที่จะใส่
และถ้าทุกอย่างเป็นบวก
ค่าสัมบูรณ์ของ x ก็จะเท่ากับ x
และตัวนี้จะเท่ากับอะไร?

Korean: 
그리고 저 같은 경우에는
x의 값이 음수인 경우도 있기 때문에
이 값을 절댓값으로 표현하기도 해요
그래서 이것을
ln(x의 절댓값)이라고 써보겠습니다
이건 양의 값뿐만 아니라 음의 값도
정의할 수 있어서 아주 유용합니다
ln(x)는
x의 양의 값만을 정의하지만
여기에 절댓값을 넣으면
양의 값이든 음의 값이든
모두 정의할 수 있으니까요
그리고 실제로도 맞죠
이걸 미분하면 1/x가 나오니까요
물론 절댓값은 이거와는 관계가 없죠
적분 범위의 양 끝값이 모두 양수니까요
그러나 만약
적분 범위의 끝 값이 모두 음수였다면
이게 ln(x의 절댓값)이라는 것을 상기하면
충분히 혼자서도 풀 수 있을 겁니다
그래서 결국 이 값은
ln(x의 절댓값)이 되는 것이죠
평소에 ln(x의 절댓값)을
많이 써보는 게 좋을 것 같아요
그런데 둘 다 양수라면
절댓값  x는 x의 값과 같겠죠
그럼 이 식은 어떻게 될까요?

Czech: 
Někdy to uvidíte napsané jako
přirozený logaritmus x plus c.
A někdy,
a to mám já osobně radši,
protože pak to můžeme vyčíslit
i pro záporné hodnoty,
používáme absolutní hodnotu,
přirozený logaritmus absolutní hodnoty z x.
Je to užitečné,
protože pak je to definováno
i pro záporné hodnoty,
nejen pro ty kladné.
Přirozený logaritmus x je definován
pouze pro kladné hodnoty x,
ale když použijeme absolutní hodnotu,
můžou tady být záporné i kladné hodnoty x.
A funguje to, derivace tohoto
je skutečně 1 lomeno x.
Není to tady tak podstatné,
jelikož máme obě meze integrace kladné.
Ale pokud by meze integrace
byly záporné,
stále to jde,
když si vzpomeneme,
že tady je přirozený logaritmus
absolutní hodnoty z x.
Takže toto bude
plus přirozený logaritmus
absolutní hodnoty z x.
Není špatné to tam napsat
a pokud jsou meze kladné,
absolutní hodnota z x
bude rovna x.
Takže čemu se bude toto rovnat?

English: 
And sometimes and I
actually prefer this one,
because you could actually
evaluate it for negative values,
is to say the absolute value,
the natural log of the
absolute value of x.
And this is useful,
because this is defined
for negative values, not
just positive values.
The natural log of x is only defined
for positive values of x,
but when you take the absolute value,
now it could be negative
or positive values of x.
And it works, the derivative
of this is indeed one over x.
Now it's not so relevant here,
because our bounds of
integration are both positive.
But if both of our bounds of
integration were negative,
you could still do this
by just reminding yourself
that this is a natural log
of absolute value of x.
So this, we could say
is plus the natural log
of the absolute value of x.
It's not a bad habit to do it,
and if everthing's positive, well,
the absolute value of x is equal to x.
And so what is this going to be equal to?

iw: 
ולפעמים ואני
דווקא מעדיף את זה,
כי אתם באמת יכולים
לחשב אותו עבור ערכים שליליים,
כלומר הערך המוחלט,
הלוגריתם הטבעי של
ערך מוחלט של x.
וזה שימושי,
בגלל שזה מוגדר
עבור ערכים שליליים, לא
רק ערכים חיוביים.
הלוגריתם הטבעי של x מוגדר רק
עבור ערכים חיוביים של x,
אבל כאשר אתם לוקחים את הערך המוחלט,
עכשיו הם יכולים להיות ערכים שלילים
או חיוביים של x.
וזה עובד, הנגזרת של
זה היא אכן אחד חלקי x.
עכשיו זה לא כל כך רלוונטי כאן,
בגלל שתחום האינטגרציה שלנו
חיובי.
אבל אם גם אם תחום
האינטגרציה שלנו היה שלילי,
אתם עדיין יכולים לעשות את זה
רק על ידי להזכיר לעצמכם
שמדובר בלוגריתם הטבעי
של הערך המוחלט של x.
אז זה, יכולנו לומר
פלוס הלוגריתם הטבעי
של הערך המוחלט של x.
זה לא הרגל רע לעשות את זה,
ואם הכל כבר חיובי, טוב,
הערך המוחלט של x שווה ל- x.
וככה למה זה הולך להיות שווה?

Bulgarian: 
като натурален логаритъм от х плюс С.
Понякога предпочитам една друга
възможност,
защото можеш да я изчислиш за
отрицателни стойности,
и това е модул (абсолютна стойност),
или натурален логаритъм от модул от х.
Това е полезно, защото така функцията
е дефинирана
за отрицателни стойности, а не само
за положителни.
Натурален логаритъм от х е дефинирана
само за положителни стойности на х,
когато обаче имаме модул,
може да изберем положителни
или отрицателни стойности.
И това работи. Производната на този
израз наистина е 1/х.
В настоящия пример не е толкова
важно,
защото границите на интегриране
са положителни.
Ако и двете граници на интегриране
обаче са отрицателни,
отново може да използваме този вид
на функцията, и да си припомним,
че това е натурален логаритъм от
модул от х.
Така че може да кажем, че това
е натурален логаритъм
от модул от х.
Не е лош навик да го записваш така,
а ако всички стойности в интервала
са положителни,
то абсолютната стойност от х,
е равна на х.
На какво ще е равна сега тази функция?

Korean: 
4를 대입해봅시다
그런데 그 전에
6을 (-2)로 나누면 (-3)이 되겠죠
그래서 4를 대입하면
(-3)/4² 이 되겠죠
4의 -2 제곱은 1/4² 이니까요
그 다음에는 자연로그에
4의 절댓값을 대입한 것인데
4의 절댓값은 그냥 4니까
ln(4)가 되겠죠
그리고 거기에서
식에 2를 대입한 값을 빼야합니다
해보죠
여기에 2를 대입하면
(-3)/2² 이 되겠죠
2의 -2 제곱은 1/2² 이니까요
거기에 자연로그에
2의 절댓값을 대입한 것을 더하면
방금과 같이 2의 절댓값은
그냥 2가 되니까 ln(2)가 되겠죠
이게 어떤 값이 나올까요?

Bulgarian: 
Нека да изчислим всичко за числото 4.
Но преди да го направим, нека
намерим на какво е равно 6,
разделено на минус 2? На минус 3.
Тогава за 4 ще се получи
минус 3 върху 4 на квадрат.
4 на минус втора е равно на 1
върху 4 на квадрат,
а след това имаме плюс натурален
логаритъм
от модул от 4.
Модул от 4 обаче е равно просто на 4.
Така че тук имаме само натурален
логаритъм от 4.
След това от тук ще извадим
този израз, изчислен за 2.
Нека го направим.
Изчислено за 2 ще получим минус 3
върху 2 на квадрат.
2 на минус втора е равно на 1 върху 2
на квадрат.
Върху 2 на квадрат, плюс натурален
логаритъм
от модул от плюс 2.
Което отново е равно на 2.
Тогава какво се получава за тази
разлика?

Thai: 
อันนี้เท่ากับ ลองหาค่าทุกอย่างที่ 4
ก่อนที่ผมจะหาค่ามันที่ 4
6 หารลบ 2 เป็นเท่าใด มันเท่ากับลบ 3
ถ้าเราหาค่ามันที่ 4 มันจะได้
ลบ 3 ส่วน 4 กำลังสอง
4 กำลังลบ 2 คือ 1 ส่วน 4 กำลังสอง
แล้วบวกล็อกธรรมชาติของ
เราบอกได้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของ 4
แต่ค่าสัมบูรณ์ของ 4 ก็แค่ 4
ล็อกธรรมชาติของ 4
แล้วจากนั้น เราจะลบ
ทุกอย่างอย่างหาค่าที่ 2
ลองทำดู
ถ้าเราหาค่าที่ 2 มันจะเท่ากับลบ 3
ส่วน 2 กำลังสอง
2 กำลังลบ 2 คือ 1 ส่วน 2 กำลังสอง
ส่วน 2 กำลังสอง บวกล็อกธรรมชาติของ
ค่าสัมบูรณ์ของบวก 2
เหมือนเดิม ก็แค่ 2
แล้วมันจะให้อะไรเรา?

English: 
This is equal to, let's
evaluate everything at four.
And actually before I
even evaluate it at four,
what's six divided by negative
two, that's negative three.
So if we evaluate it at
four, it's going to be
negative three over four squared.
Four to the negative two
is one over four squared
and then plus the natural log of the,
we could say the absolute value of four,
but the absolute value
of four is just four.
So the natural log of four.
And from that we're going to subtract
everything evaluated at two.
So let's do that.
So if we evaluate it at two,
it's going to be negative three
over two squared.
So two to the negative two
is one over two squared,
over two squared, plus the natural log of,
the absolute value of positive two is,
once again, it's just two.
And so what does this give us?

Czech: 
Je to rovno...
Vyčísleme to v bodě 4.
Ale než to vyčíslím ve 4,
kolik je 6 lomeno -2, to je -3.
Takže když to vyčíslíme ve 4,
bude to -3 lomeno 4².
4⁻² je 1 lomeno 4².
A pak plus přirozený logaritmus
absolutní hodnoty ze 4,
ale absolutní hodnota ze 4
je prostě 4.
Takže přirozený logaritmus 4.
A od toho odečteme
všechno vyčíslené v bodě 2.
Pojďme na to.
Pokud to vyčíslíme pro 2,
bude to -3 lomeno 2².
2⁻² je 1 lomeno 2²,
plus přirozený logaritmus
absolutní hodnoty z +2,
což je opět prostě 2.

iw: 
זה שווה ל, בואו
נעריך הכל בארבע.
וזה בעצם לפני שאני
אפילו מחשב אותו בארבע,
מה זה שש מחולק במינוס שתיים
, זה מינוס שלוש.
אז אם אנחנו מעריכים את זה
בארבע, זה הולך להיות
מינוס שלוש חלקי ארבע בריבוע.
ארבע בחזקת מינוס שתיים זה
אחד חלקי ארבע בריבוע
ואז ועוד הלוגריתם הטבעי של ה,
נוכל לומר הערך המוחלט של ארבע,
אבל הערך המוחלט
ארבע הוא רק ארבע.
אז הלוגריתם הטבעי של ארבע.
ומאותו אנחנו הולכים לחסר
הכל מוערך בשתים.
אז בואו נעשה את זה.
אז אם אנחנו מעריכים את זה בשניים,
זה הולך להיות מינוס שלוש
חלקי שתיים בריבוע.
אז שתיים בחזקת מינוס שתיים
הוא אחד חלקי שתיים בריבוע,
מעל שתיים בריבוע, פלוס הלוגריתם הטבעי של,
הערך המוחלט של שתיים חיובי הוא,
שוב, רק שתיים.
ולכן מה זה נותן לנו?

Czech: 
A kolik nám to dává?
Pojďme to trochu zjednodušit.
Toto je -3/16.
Uděláme to stejnou barvou.
To bude tedy rovno -3...
Pardon, ne 3/16, pozor na to.
Ale ano, pardon,
je to -3/16.
Z nějakého důvodu můj mozek
začal myslet na 4³.
-3/16 plus přirozený logaritmus 4.
A pak tady máme -3/4.
Udělám to stejnou barvou.
Toto je -3/4.
Máme tady znaménko minus,
kterým to musíme roznásobit.
Takže zápor z -3/4 je +3/4.
+3/4.
A pak odečteme,
nezapomeňte na to znaménko minus,
přirozený logaritmus 2.
A čemu se to rovná?

Korean: 
조금 더 간단히 만들어 보죠
이 값은 (-3/16)입니다
같은 색깔로 써보죠
이게 어떤 값과 같냐면
미안합니다 (-3/16)이 아니군요
조심해야겠어요
아니 잠깐 (-3/16)이 맞네요
왠지 모르겠지만 뇌가 계속
4³이라 생각하고 있었어요
(-3/16) + ln(4) 가 되는군요
그 다음으로 여기 있는 것은 (-3/4)네요
같은 색깔로 하기로 했었죠
이게 (-3/4) 입니다
그런데 지금 괄호 앞에
음수 표시가 되어있으니 없애야겠죠
(-3/4)의 음의 값은 (+3/4)가 되네요
그러고 나서 뺄 것이 하나가 있죠
여기 음수 표시를
없애야 한다는 것을 기억하세요
ln(2)를 빼야 합니다
이게 뭐와 같을까요?
보면 이것은 뭐와 같냐면

English: 
So, let's try to simplify it a little bit.
So this is negative 3/16.
We'll do that same color.
So this is going to be equal to negative,
negative, sorry, not negative 3/16,
it's gotta be very careful,
oh, sorry, yes, it is negative 3/16.
For some reason my brain started thinking
four to the third power.
Negative 3/16 plus natural log of four.
And then this right over here
is negative 3/4, negative 3/4,
do that same color.
This right over here is negative 3/4.
We have this negative sign out front
that we're going to have to distribute.
So the negative of negative
3/4 is plus 3/4, plus 3/4,
and then we're going to subtract,
remember we're distributing
this negative sign,
the natural log, the natural log of two.
And what does this equal to?
All right, so this is
going to be equal to,

iw: 
אז, בואו ננסה לפשט את זה קצת.
אז זה מינוס 3/16.
נצטרך לעשות את זה באותו הצבע.
אז זה הולך להיות שווה למינוס,
מינוס, מצטער, לא מינוס 3/16,
זה חייב להיות מאוד זהיר,
אה, סליחה, כן, זה הוא מינוס 3/16.
מסיבה כלשהי המוח שלי התחיל לחשוב
על ארבע בחזקת שלוש.
מינוס 3/16 פלוס הלוגריתם הטבעי פלוס של ארבע.
ואז כאן זה מינוס
 3/4, מינוס 3/4,
לעשות את זה באותו צבע.
כאן הנה  מינוס 3/4 .
יש לנו סימן של מינוס בחזית
כי אנחנו הולכים צריכים לחלק.
אז השלילה של מינוס
3/4 היא פלוס3/4, פלוס3/4,
ואז אנחנו הולכים לחסר,
לזכור שאנחנו מחלקים
את הסימן השלילי הזה,
הלוגריתם הטבעי, הלוגריתם הטבעי של שתים.
ולמה זה שווה?
בסדר, אז זה
הולך להיות שווה ל,

Bulgarian: 
Нека се опитаме да го опростим малко.
Това е минус 3/16.
Ще го запиша със същия цвят.
Ще бъде равно на минус...
О, извинете! Не е минус 3/16.
Трябва да внимавам тук.
О, съжалявам! Минус 3/16 е.
По някаква причина си мислех
за 4 на трета степен.
Минус 3/16 плюс натурален
логаритъм от 4.
Тогава този израз тук е равен на
минус 3/4.
Ще го запиша със същия цвят.
Това ето тук е равно на 3/4.
Имаме този знак минус отпред,
с който ще трябва да умножим израза.
Минус от минус 3/4 е равно на плюс 3/4.
А след това трябва да извадим –
тъй като умножаваме с отрицателно
число –
натурален логаритъм от 2.
А сега на какво е равен този израз?
Това ще бъде равно на следното.

Thai: 
ลองพยายามจัดรูปหน่อย
นี่ก็คือลบ 3/16
เราจะทำด้วยสีเดิมนะ
อันนี้จะเท่ากับลบ
ลบ โทษที ไม่ใช่ลบ 3/16
มันสำคัญมาก
โอ้ โทษที ใช่ มันคือลบ 3/16
ไม่รู้เป็นอะไร สมองผมถึงคิด
4 ยกกำลัง 3
ลบ 3/16 บวกล็อกธรรมชาติของ 4
แล้วค่านี่ตรงนี้คือลบ 3/4, ลบ 3/4,
ใช้สีเดียวกัน
อันนี้ตรงนี้คือลบ 3/4
เรามีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า
ที่เราต้องแจกแจง
ลบของลบ 3/4 จึงเป็นบวก 3/4, บวก 3/4,
แล้วเราจะลบ
นึกดู เราแจกแจงเครื่องหมายลบนี้
ล็อกธรรมชาติ ล็อกธรรมชาติของ 2
แล้วอันนี้เท่ากับอะไร?
เอาล่ะ อันนี้จะเท่ากับ

Thai: 
ผมจะสลับเป็นสีกลางๆ นะ
ลองบวกสองเทอมนี้
ที่ไม่เกี่ยวกับล็อกธรรมชาติ
ลองดู ถ้าเรามีตัวส่วนร่วม
3 ส่วน 4 จะเท่ากับ มันเหมือนกับ
เราคูณตัวเศษและส่วน
ด้วย 4 มันก็คือ 12 ส่วน 16
แล้วคุณได้ลบ 3/16
ลบ 3/16 บวก 12/16
จะให้ค่า 9/16, 9/16
แล้วเรามีอัน
ที่เกี่ยวกับล็อกธรรมชาติ
ล็อกธรรมชาติของ 4 ลบล็อกธรรมชาติของ 2
เราเขียนอันนี้ได้เป็นบวกล็อกธรรมชาติของ 4
ลบล็อกธรรมชาติของ 2
และคุณนึกได้จากสมบัติของลอการิทึม
ว่าตรงนี้ อันนี้เท่ากับ
ล็อกธรรมชาติของ 4 หารด้วย 2
อันนี้ตรงมาจากสมบัติลอการิทึม
อันนี้จึงเท่ากับล็อกธรรมชาติของ 2

Bulgarian: 
Сега ще избера неутрален цвят.
Нека съберем тези два члена,
които не съдържат логаритъм.
Нека да видим дали имаме общ
знаменател.
3/4 е същото нещо като
да умножим числителя и знаменателя
по 4, т.е. това е равно на 12/16.
Тогава се получава минус 3/16.
Минус 3/16 плюс 12/16
ще ни даде 9/16.
След това ще съберем тези,
които съдържат натурален логаритъм.
Натурален логаритъм от 4 минус
натурален логаритъм от 2.
Може да запишем това като плюс
натурален логаритъм от 4,
минус натурален логаритъм от 2.
Може би си спомняш от свойствата на
логаритъма,
че ето това тук е същото нещо
като натурален логаритъм от 4 върху 2.
Това следва директно от свойствата
на логаритъма.
Тогава това ще бъде равно на
натурален логаритъм от 2.

Czech: 
Takže toto bude rovno...
A teď to napíšu neutrální barvou.
Sečtěme tyto dva členy,
které neobsahují přirozený logaritmus.
Zkusíme najít společného jmenovatele,
3/4 je stejné jako...
Když vynásobíme čitatel i jmenovatel 4,
je to 12 lomeno 16.
Takže máme -3/16 plus 12/16,
to nám dá 9/16.
A pak máme ty členy,
které obsahují přirozený logaritmus.
Přirozený logaritmus 4
minus přirozený logaritmus 2.
To můžeme napsat jako
plus přirozený logaritmus 4
minus přirozený logaritmus 2.
A možná si vzpomínáte
na vlastnosti logaritmu,
že toto je stejné jako
přirozený logaritmus 4 děleno 2.
Jen používám vlastnosti logaritmu.

Korean: 
안 겹치는 색으로 바꾸어 볼게요
자연로그를 가지고 있지 않은
이 두 항을 더해보죠
공통분모가 있는지 일단 봅시다
3/4를 공통으로 가지고 있네요 그렇죠?
여기에 있는 분모와 분자에 각각
4를 곱해주면 12/16이 되죠
이제 (-3/16)과
(12/16)을 더하면 되겠군요
더하면 (9/16)이 됩니다
그리고 나서 자연로그를 포함한 것들도
계산을 해보면
ln(4)와｛-ln(2)｝가 있으니까
다시 쓰면
ln(4) - ln(2) 가 되겠죠
기억하실지 모르겠지만
여기 있는 이 식 말이죠
이 식을 ln(4/2)로
바꿀 수 있다고 배웠을 겁니다
로그 함수의 공식에서 나와있죠
그래서 결국 이 식은 ln(2)가 되죠

iw: 
ואני עכשיו הולך
לעבור לצבע ניטרלי.
אז בואו נוסיף את שני הביטויים האלו
שאינם כרוכים בלוגריתם טבעי.
ובואו נראה, אם 
יש לנו מכנה משותף
שלוש חלקי ארבע זה אותו
הדבר, הוא אותו הדבר
כמו שנכפיל את המונה
והמכנה
על ידי ארבעה, כי זה12 חלקי 16.
וכך אתם צריכים מינוס 3/16,
מינוס 3/16 פלוס 12/16
יתנו לכם 9/16, 9/16.
ואז אנחנו נצטרך את אלה
כי אין לערב את הלוגריתם הטבעי.
הלוגריתם הטבעי של ארבע מינוס
הלוגריתם הטבעי של השתים.
אז נוכל לכתוב את זה בתוספת 
ללוגריתם הטבעי של ארבע
מינוס הלוגריתם הטבעי של השתים.
ואתם אולי זוכרים 
ממאפייני הלוגריתם
שזה כאן,
זה אותו הדבר
כמו הלוגריתם הטבעי של ארבע חלקי שתיים,
זה מגיע היישר מתוך
מאפייני הלוגריתם.
וכך זה הולך
להיות הלוגריתם הטבעי של שתיים,

English: 
and I'm now going to
switch to a neutral color.
So let's add these two terms
that don't involve a natural log.
And let's see, if we
have a common denominator
three over four is the same
thing, that is the same thing
as we multiply the numerator
and the denominator
by four, that is 12 over 16.
And so you have negative 3/16,
negative 3/16 plus 12/16
will give you 9/16, 9/16.
And then we're gonna have the ones
that do involve the natural log.
Natural log of four minus
the natural log of two.
So we could write this plus
the natural log of four
minus the natural log of two.
And you might remember from
your logarithm properties
that this over here,
this is the same thing
as the natural log of four divided by two,
this comes straight out of
your logarithm properties.
And so this is going to
be the natural log of two,

Czech: 
Takže toto bude
přirozený logaritmus 2.
Teď si zasloužíme
trochu oslavných fanfár.
Toto celé bude rovno...
Bude to rovno
přirozenému logaritmu...
Pardon, 9 lomeno 16
plus přirozený logaritmus 2.
Plus přirozený logaritmus 2.
A máme hotovo.

Korean: 
ln(2)요
거의 끝이 보이는군요
모두 합하면
자연로그의
아 미안합니다 (9/16) + ln(2)가 되겠네요
9/16 + ln(2)
이게 답입니다

Thai: 
ล็อกธรรมชาติของ 2
เราพร้อมตีกลองต้อนรับแล้ว
อันนี้จะเท่ากับ
อันนี้จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ
9 ส่วน 16 บวกล็อกธรรมชาติของ 2
บวกล็อกธรรมชาติของ 2
เราก็เสร็จแล้ว

English: 
natural log of two.
So, we deserve a little
bit of a drum roll now.
This is all going to be equal to,
this is going to be
equal to the natural log,
nine over 16 plus the natural log of two,
plus the natural log of two.
And we are done.

iw: 
הלוגריתם הטבעי של שתיים.
אז, מגיע לנו קצת
קצת תופים עכשיו.
כל זה עתיד להיות שווה ל,
זה הולך להיות
שווה ללוגריתם הטבעי,
תשע חלקי 16 פלוס הלוגריתם הטבעי של שתים,
פלוס הלוגריתם הטבעי של שתיים.
ואנחנו סיימנו.

Bulgarian: 
Натурален логаритъм от 2.
И тук заслужаваме поздрав.
Всичко това ще бъде равно на
натурален логаритъм...О, извинявам се!
На 9/16 плюс
натурален логаритъм от 2.
Плюс натурален логаритъм от 2.
И сме готови.
