
Thai: 
 
ตรงนี้เรามีกราฟ หรือส่วนหนึ่งของกราฟ y
เท่ากับ x กำลังสองเหมือนเดิม
และผมอยากหาปริมาตรของทรงตัน
จากการหมุนอีกรอบ
แต่แทนที่จะหมุนรอบแกน x คราวนี้
ผมอยากหมุนรอบแกน y
และแทนที่จะไประหว่าง 0 ถึงจุดหนึ่ง
ผมจะไประหว่าง y เท่ากับ 1 ถึง y เท่ากับ 4
สิ่งที่ผมจะทำคือผมจะ
นำกราฟนี่ตรงนี้มา
ผมจะนำเส้นโค้งนี้มา
และแทนที่จะหมุนมันรอบแกน x อย่างที่เรา
ทำไปในวิดีโอก่อนๆ ผมจะ
หมุนมันรอบแกน y
ผมจะหมุนมันแบบนั้น
รูปที่เราได้จะเป็นอะไร?
ขอผมดูหน่อยว่าผมวาดมันได้ไหม
ฐานจะเป็น
แบบนั้นถ้าเรามองทะลุมัน
แล้วอันนี้บนนี้ ด้านบน

Korean: 
여기에 y=x^2의 그래프의 일부가 있습니다
저는 또다른 회전체의 부피를 구하고자 합니다
하지만 이번에는 x축을 중심으로 회전하지 않고,
y축을 중심으로 회전하려 합니다
그리고 0에서부터 시작하지 않고
y=1과 y=4 사이에서 시작하려 합니다
먼저 여기에서부터
그래프를 그립니다
이 곡선을 살펴볼 것 입니다.
저번 동영상과는 다르게
이번에는 x축을 중심으로 회전시키지 않고
y축을 중심으로 회전시킬 것입니다.
이 방향으로 회전시키겠죠.
그럼 어떤 모양이 나올까요?
이걸 한 번 시각적으로 나타내 봅시다
기본적인 모양은 아마
내부를 볼 수 있다면 이렇게 생겼을 것입니다
그리고 여기, 가장 윗부분은

Portuguese: 
Aqui temos o gráfico, ou
parte do gráfico, de y
igual a x ao quadrado.
E desejo achar o volume de
outro sólido de revolução.
Mas em vez de rotacionarmos
ao redor do eixo x, irei
rotacionar ao redor do eixo y.
E em vez de irmos de zero
até um determinado ponto,
Irei de y igual a um até y igual a quatro.
Então o que farei é pegar este
gráfico bem aqui.
Vou usar esta curva.
E em vez de rotacionar ao
redor do eixo x, como fizemos
nos últimos vídeos, eu irei
rotacionar ao redor
do eixo y.
Eu vou rotacioná-lo
desta forma.
Então, qual será a forma que obterei?
Deixe-me ver se consigo
visualizar isto.
A base parecerá com algo
deste tipo, se virmos
através dele.
E isto aqui em cima,
a parte de cima disto,

Czech: 
Máme tu graf funkce
y je rovno 'x na druhou'.
Chtěl bych zjistit objem tělesa
vzniklého rotací kolem osy.
Namísto rotace kolem osy x
provedeme rotaci kolem osy y.
Namísto toho, abychom začali v 0,
chci, aby šlo 'y' od 1 do 4.
Udělám tedy to, že vezmu tento graf…
Vezmu tuto křivku,
ale nebudu ji rotovat
kolem osy x jako minule,
ale kolem osy y.
Budu ji tedy rotovat takto.
Co je to za tvar, který dostaneme?
Uvidíme, zda si to dokážeme znázornit.
Základna bude vypadat nějak takto,
pokud bychom viděli skrz.

Bulgarian: 
Тук имаме част от графиката на 
у = х^2.
Искаме да намерим обема на друго ротационно
тяло, получено при въртене около дадена ос.
Но този път няма да
го въртим около оста х,
искам да го завъртим около оста у.
И вместо между 0 и някаква точка,
ще го завъртим 
между у = 1 и у = 4.
Сега ще направя 
една графика ето тук.
Ще взема тази крива.
И вместо да я завъртя
около оста х,
както в предишните няколко клипа,
ще я завъртя около оста у.
Ще я завъртя ето така.
Какво тяло получаваме?
Да видим дали мога
да го илюстрирам.
Тази основа ще изглежда
горе-долу така,
все едно можем да виждаме
през нея.
После тази част тук горе,
горната част

English: 
Here we have the graph,
or part of the graph, of y
is equal to x squared again.
And I want to find the volume
of another solid of revolution.
But instead of rotating
around the x-axis this time,
I want to rotate
around the y-axis.
And instead of going
between 0 and some point,
I'm going to go between y is
equal to 1 and y is equal to 4.
So what I'm going
to do is I'm going
to take this graph
right over here.
I'm going to take this curve.
And instead of rotating it
around the x-axis, like we
did in the last few
videos, I'm going
to rotate it around the y-axis.
So I'm going to rotate
it around just like that.
So what's the shape
that we would get?
So let me see if we
can visualize this.
So the base is going
to look something
like that if we
could see through it.
And then this up
here, the top of it,

Bulgarian: 
ще изглежда ето така.
Интересува ни обема
между тези двете.
Интересува ни тази част
ето тук, а не до самото дъно.
Малко ще го оцветя.
Изглежда горе-долу така.
Ще го нарисувам отделно,
за да можеш да си го представиш.
Ще използвам различна
гледна точка.
Ще го начертая така, все едно
оста у излиза тук отзад,
ще изглежда горе-долу ето така.
Ще изглежда така –
тук е малко по-тясно, ето така.
И после е отрязано ето тук.
Не знам как да нарека това тяло.
Но се надявам, че
си го представяш.
Ще го оцветя отново в жълто.
Това не е жълто.
Тази визуализация
вероятно е най-трудната част.
Но не стана толкова зле.
Изглежда горе-долу ето така.
Прилича малко на трюфел
или на чаша.
Ето тук е оста у, ще я 
начертая,
за да си представим
как е ориентирано.

English: 
would look something like that.
And we care about
the stuff in between.
So we care about this
part right over here,
not the very bottom of it.
And let me shade
it in a little bit.
So it would look
something like that.
So let me draw it separately,
just so we can visualize it.
So I'll draw it at
different angles.
So if I were to draw it with
the y-axis kind of coming out
the back, it would look
something like this.
It would look something like--
it gets a little bit smaller
like that.
And then it gets cut off right
over here, right over here
like that.
So it looks-- I don't know
what shape you could call it.
But I think hopefully
you're conceptualizing this.
Let me do it in that
same yellow color.
The visual-- that's not yellow.
The visualization here is
probably the hardest part.
But as we can see
it's not too bad.
So it looks something like this.
It looks like maybe a truffle,
an upside-down truffle.
So this right here, let
me draw the y-axis just
to show how we're oriented.

Czech: 
Tady nahoře by to vypadalo nějak takto.
Zajímá nás vše uvnitř.
Staráme se o tuto část,
ne o to úplně dole.
Trochu to vystínuji.
Bude to asi nějak takto.
Nakreslím to odděleně,
abychom si to dokázali představit.
Nakreslím to z různých úhlů.
Pokud bychom osu y nakreslili tak,
aby vycházela vzadu, vypadalo by to takto.
Vypadalo by to nějak…
Je to trochu menší.
V tomto místě se to odřeže,
asi nějak takto.
Vypadá to tedy…
Nevím, jak bych to pojmenoval.
Snad to chápete.
Udělám to tou stejnou žlutou barvou.
Představa…
To není žlutá.
Představit si to,
to je na tom to nejtěžší.
Jak vidíme, není to tak zlé.
Vypadá to tedy nějak takto.
Vypadá to jako pralinka.
Vzhůru nohama.
Nakreslím zde osu y,
abychom se orientovali v prostoru.

Thai: 
จะเป็นแบบนั้น
และเราสนใจสิ่งที่อยู่ตรงกลาง
เราสนใจส่วนนี่ตรงนี้
ไม่ใช่ข้างล่างนั้น
ขอผมแรเงามันหน่อย
มันจะเป็นแบบนั้น
ขอผมวาดแยกกันนะ เราจะได้มองภาพมันได้
ผมจะวาดอีกมุมหนึ่ง
ถ้าผมวาดให้แกน y ออกมา
ข้างหลัง มันจะเป็นแบบนี้
มันจะเป็นแบบ -- มันจะเล็กกว่าหน่อย
อย่างนั้น
และมันตัดออกตรงนี้ ตรงนี้
อย่างนั้น
มันดู -- ผมไม่รู้ว่าคุณเรียกมันว่าอะไร
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจนะ
ขอผมใช้สีเหลืองสีเดิม
ภาพ -- มันไม่ใช่สีเหลือง
การมองภาพตรงนี้น่าจะเป็นส่วนที่ยากที่สุด
แต่เราเห็นว่ามันไม่แย่นัก
มันเป็นแบบนี้
มันดูเหมือนขนมทรัฟเฟิล ขนมทรัฟเฟิลกลับหัว
อันนี้ตรงนี้ ขอผมวาดแกน y
เพื่อแสดงว่าเราวางตัวอย่างไร

Portuguese: 
se parecerá com algo assim.
E nos importamos
com o que está no meio.
Então nos importamos
com esta parte aqui,
não a parte inferior dele.
E deixe-me sombrear um pouco isto
Então ele pareceria com
algo deste tipo.
Vou desenhar isto separadamente
para que possamos visualizar.
Farei o desenho em
ângulos diferentes.
Se eu fosse desenhar com
o eixo y saindo da parte
de trás, ele se pareceria 
com algo deste tipo.
Se pareceria algo deste tipo --
ele fica um pouco menor,
desse jeito.
E é cortado bem 
aqui, desse jeito.
Então se parece -- não sei como
podemos chamar esta forma.
Mas espero que estejam conseguindo
visualizar a forma.
Deixe-me fazer na mesma cor.
Visualmente -- isto não é amarelo.
A visualização aqui é provavelmente
a parte mais difícil.
Mas podemos ver que não é tão difícil
Ele parecerá com algo
deste tipo.
Talvez se pareça com uma trufa,
uma trufa de cabeça pra baixo.
Isto bem aqui, deixe-me
desenhar o eixo y só
para entendermos nossa
orientação.

Korean: 
이렇게 생겼을겁니다
이제 사이의 부분을 봅시다
이곳을 한 번 살펴봅시다.
너무 아랫쪽은 말고요
약간 그림자를 추가하겠습니다
이건 이렇게 생겼을 겁니다
이걸 시각적으로 알아볼 수 있도록
분리해서 그려봅시다
다른 각도에서 살펴보겠습니다.
y축이 뒤쪽에서 튀어나온다고 보면
이렇게 보일 것입니다
조금 작게 그리겠습니다
이렇게요
그리고 바로 여기서 자릅시다
이렇게 보일 것입니다.
이 모양을 뭐라고 불러야 할지 
저도 잘 모르겠습니다.
하지만 여러분이 이걸 이해하리라 생각합니다
노란색으로 똑같이 그림자를 넣어보겠습니다
이 도형을 시각화하는 것이 
아마 가장 어려운 부분일 것 입니다.
하지만 보다시피 그렇게 나쁘진 않네요
그래서... 이렇게 생겼을 것입니다.
이건 트러플(송로버섯)같이 생겼네요
뒤집인 트러플같아요
이제 여기에 y축을 그려보겠습니다
우리가 어디에 중심을 뒀는지 보기 위해서죠

Czech: 
Osa y tedy prochází takto.
Osa x vypadá takto.
Trochu jsem to naklonil.
Naklonil jsem to,
abychom to viděli z jiného úhlu.
Tato vrchní část
je tato vrchní část zde.
To vám znázorňuje,
jak to asi vypadá.
Ještě jsme ale nepřemýšleli nad tím,
jak zjistíme objem tohoto tělesa.
Namísto disků s výškou 'dx',
co kdybychom hledali disky s výškou 'dy'?
Zamysleme se nad tím.
Vytvořme…
Zamysleme se nad
konstrukcí disků v určitém 'y'.
Sestrojíme disk v tomto bodě takový,
že má stejný poloměr jako toto těleso.

Bulgarian: 
Значи оста у се подава
ето така в този пример.
После отива надолу.
А оста х минава ето така.
Малко го наклоних.
Малко го наклоних, за да може
да се вижда под различен ъгъл.
Горната част вдясно е 
тази горна част ето тук.
Това ти дава представа
как изглежда тялото.
Но още не сме помислили
как всъщност ще намерим обема му.
Тук можем, вместо дискове
с дебелина dх,
можем да вземем дискове
с дебелина dу.
Да поразсъждаваме върху това.
Да направим диск при 
определена стойност на у.
Да вземем дадена стойност у,
и да направим диск ето тук,
който има същия радиус
като тялото в тази точка.
Това е нашият диск.

Portuguese: 
Então o eixo y está indo para
fora neste exemplo.
E então vai para baixo.
Então o eixo x será desenhado
desse jeito.
Eu apenas inclinei o eixo.
O inclinei um pouco para que consigamos
observar um ângulo diferente.
Este topo da direita aqui é
este topo direito bem aqui.
Então isto lhes dá uma
ideia de como se parece.
Mas ainda não pensamos:
que forma realmente
achamos o volume disto?
Bem, o que podemos fazer,
em vez de criar
discos cuja profundidade é de
pequenos dx's, que tal criarmos
discos onde a profundidade é
medida em dy?
Pensemos nisto um pouco.
Criemos -- vamos 
pensar em construir
um disco em um certo valor y.
Então irei pensar em 
um certo valor y
e vamos construir um 
disco ali que
tem o mesmo raio da 
forma neste ponto.
Esse é o nosso disco.

Korean: 
이 예시에선 y축이 이 방향으로 튀어나옵니다
그리고 바로 여기를 향해 아래로 내려가죠
그리고 x축은 이렇게 그려집니다
전 이 도형을 기울였습니다(왼쪽->오른쪽)
다른 각도에서 본 모습을 보기 위해
약간 기울였죠
여기(왼쪽)의 윗면은 여기(오른쪽)의 윗면입니다
이건 여러분에게 이것이 어떻게 
생겼는지에 대한 아이디어를 줍니다
하지만 우린 아직 이 도형의 부피를 어떻게 구해야할지
생각을 하지 않았습니다
우리가 무엇을 할 수 있을까요?
dx의 폭을 가지는 원판을 만들 수 없다면
dy의 폭을 가지는 원판을 만들면 어떨까요?
그것에 대하여 조금 생각해 봅시다
특정 y값에서 원판을 만드는 것에 대해
한 번 생각해 봅시다
특정 y값을 생각해보죠
그리고 바로 여기에 원판을 만듭시다
그 지점의 모양과 같은 반지름을 가진 원판을 말입니다
그럼 이게 우리의 원판이죠

Thai: 
แกน y โผล่ออกมาในตัวอย่างนี่แบบนี้
แล้วมันลงไปตรงนี้
แล้วแกน x จะเป็นแบบนี้
ผมแค่เอียงมันไป
ผมเอียงมันหน่อย
จะได้เห็นมันอีกมุม
ด้านบนนี่ตรงนี้ คือด้านบนนี่ตรงนี้
มันช่วยให้เราเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้น
แต่เรายังไม่ได้คิดว่าเราจะ
หาปริมาตรรูปทรงนี้อย่างไร?
สิ่งที่เราทำได้ แทนที่จะสร้าง
จานที่ลึก dx เล็กๆ ถ้าเกิดเราสร้าง
จานที่ลึก dy ล่ะ?
ลองคิดกันสักหน่อย
ลองสร้าง -- ลองคิดสร้าง
จานที่ค่า y ค่าหนึ่ง
ลองคิดถึงค่า y ค่าหนึ่ง
และเราจะสร้างจานตรงนั้น
ที่มีรัศมีรูปที่จุดนั้น
นั่นก็คือจานของเรา
นั่นคือจานของเราตรงนี้

English: 
So the y-axis is popping out
in this example like that.
Then it goes down over here.
And then the x-axis
is going like this.
So I just tilted this over.
I tilted it over
a little bit to be
able to view it at
a different angle.
This top right over here is
this top right over there.
So that gives you an idea
of what it looks like.
But we still haven't thought
about how do we actually
find the volume of this thing?
Well, what we can do,
instead of creating
discs where the depth is in
little dx's, what if we created
discs where the depth is in dy?
So let's think about
that a little bit.
So let's create-- let's
think about constructing
a disc at a certain y-value.
So let's think about
a certain y-value,
and we're going to construct
a disc right over there that
has the same radius of
the shape at that point.
So that's our disc.
That's our disc right over here.

Czech: 
To je tedy náš disk.
Jeho výška je…
Řekněme, že namísto výšky 'dx'
má výšku 'dy'.
Tato výška je tedy 'dy'.
Jaký je objem disku v proměnné 'y'?
Jak asi tušíte,
spočítáme tento integrál,
přičemž jde o určitý integrál
vzhledem k 'y'.
Jaký je tedy objem?
Tak jako v předchozím videu,
musíme najít obsah podstav těchto disků.
Podstav těchto válců.
Obsah kruhu je π krát 'r na druhou'.
Pokud bychom našli poloměr,
zjistíme i obsah.
Jaký je tedy poloměr?
Abychom našli poloměr jako funkci y,
musíme vyřešit tuto rovnici v proměnné y.
Namísto tvrzení y je rovno 'x na druhou',
odmocníme obě strany rovnice
a řekneme, že x je rovno odmocnině z 'y'.

Thai: 
 
แล้วมันลึก -- แทนที่
จะบอกว่ามันลึก dx สมมุติมันลึก dy
ความลึกนี่ตรงนี้คือ dy
ปริมาตรของจานในรูปของ y คืออะไร?
คุณคงนึกออก เราจะ
หาอินทิกรัลจำกัดเขต 
และมันคืออินทิกรัลจำกัดเขต
เทียบกับ y
แล้วปริมาตรของรูปนี้คืออะไร?
อย่างที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว
เราต้องหาพื้นที่หน้าตัด
ของจานเหล่านี้
คุณจะเรียกว่าหน้าเหรียญนี่ก็ได้
เวลาหาพื้นที่ มันคือพาย r กำลังสอง
ถ้าเราหารัศมีนี่ตรงนี้
เราจะรู้พื้นที่
แล้วรัศมีนั่นเป็นเท่าใด?
เวลาคิดถึงรัศมีในรูปของ y
เราแค่ต้องแก้สมการโดยตรง
ในรูปของ y
แทนที่จะบอกว่า y เท่ากับ x กำลังสอง
เราก็หารากที่สองที่เป็นบวกทั้งสองข้าง
เราก็บอกได้ว่า รากที่สองของ y เท่ากับ x

English: 
And then it has
a depth-- instead
of saying it has a depth of dx,
let's say it has a depth of dy.
So this depth right
over here is dy.
So what is the volume of
this disc in terms of y?
And as you could
imagine, we're going
to do this definite integral,
and it is a definite integral,
with respect to y.
So what's the volume
of this thing?
Well, like we did
in the last video,
we have to figure out the
area of the top of each
of these discs.
Or I guess you could say
the face of this coin.
Well, to find that
area it's pi r squared.
If we can figure out this
radius right over here,
we know the area.
So what's that radius?
So to think about that
radius in terms of y,
we just have to solve
this equation explicitly
in terms of y.
So instead of saying it's
y is equal to x squared,
we can take the principal
root of both sides,
and we could say that the
square root of y is equal to x.

Portuguese: 
Esse é o nosso disco logo aqui.
E então ele tem uma 
profundidade -- ao invés
de dizer que tem uma profundidade de dx, 
digamos que tem uma profundidade de dy.
Então essa profundidade aqui é dy.
O que é o volume desse 
disco em termos de y?
E como você poderia 
imaginar, faremos
essa integral definida 
e é uma integral definida
em relação a y.
Qual é o volume disso?
Bom, como fizemos 
no último vídeo,
tivemos que descobrir qual era a área
no topo de cada um desses discos
Ou acho que poderia dizer 
nas superfícies dessa moeda.
Bom, para encontrar a área 
usamos pi r ao quadrado.
Se descobrirmos o raio logo aqui,
saberemos qual será a área.
Então, qual é o raio?
Para pensar no raio 
em termos de y,
nós somente temos que resolver 
essa equação explicitamente
em termos de y.
Então, ao invés de dizer que 
y é igual a x ao quadrado,
podemos calcular a raiz 
quadrada dos dois lados
e podemos dizer que a raiz 
quadrada de y é igual a x.

Bulgarian: 
Ето го нашият диск.
Той има дебелина –
вместо dх, дебелината е dу.
Значи тази дебелина тук е dу.
Какъв е обемът на този диск
изразен чрез у?
Вероятно се досещаш,
че ще използваме определен 
интеграл спрямо у.
И какъв е обемът на това нещо?
Както и в последното видео,
ще намерим площта на тази страна 
за всеки от тези дискове.
Предполагам, че можем
да кажем лицето на тази монета.
Това лице е πr^2.
Ако намерим този радиус ето тук,
ще намерим лицето.
Колко е този радиус?
Можем да изразим радиуса чрез у,
просто трябва да преработим
това и да изразим у.
Вместо у = x^2,
можем да коренуваме двете страни,
и ще получим корен
квадратен от у е равно на х.

Korean: 
바로 여기에 우리의 원판이 있습니다
그리고 이건 폭을 가집니다
폭 dx를 가지지 않고, 폭 dy를 가진다고 해봅시다
따라서 바로 여기의 폭은 dy입니다
이 원판의 부피를 y에 대한 식으로 
어떻게 나타낼 수 있을까요?
여러분들이 상상하시다시피,
우린 지금부터 정적분을 할 것이고
그리고 그 정적분은
y에 대한 정적분입니다
그럼 이것의 부피는 무엇일까요?
우리가 저번 영상에서 한 것처럼
우린 각 원판들의 윗면의 넓이를
알아야 합니다
또는 이 동전의 면이라고 할 수도 있겠죠
이것의 면적을 구하려면 pi × r^2이므로
여기의 반지름을 구할 수 있다면
우린 면적을 구할 수 있습니다
그럼 반지름은 무엇일까요?
반지름을 y에 대한 식으로 생각해 보면
우린 이 방정식(y=x^2)을 y에 대한 식으로
풀어야 합니다
y=x^2이라고 나타내지 말고
우린 양변에 주제곱근을 적용할 수 있고,
우린 루트y=x라고 나타낼 수 있습니다

Portuguese: 
E isso aqui é definido somente 
por y's não-negativos,
mas isto está bem, 
porque nós estamos
no lado positivo 
de x logo aqui.
Podemos também chamar 
essa função aqui de
x igual à raiz quadrada de y.
E estamos olhando para 
este lado da função.
E não estamos olhando 
para estas coisas aqui.
Somente estamos olhando 
para este lado aqui.
Agora expressamos este 
gráfico, essa curva,
como x sendo uma função de y.
E se fizermos isso desta 
maneira, qual será o raio aqui?
Bom, o nosso raio 
aqui será f de y.
Será a raiz quadrada de y.
Nosso raio será a 
raiz quadrada de y.
Será uma função de y.
Não quero confundi-lo se 
achou que isso fosse f de x,
mas isso é f de y.
Não, seria uma função de y.
Podemos chamá-la de g de y.
Será a raiz quadrada de y.
A área é igual a pi r 
ao quadrado, o que

Bulgarian: 
Като това е дефинирано само
за положителните стойности на у,
но това не е проблем, защото сме
над положителната част на оста х.
Значи тази функция тук
можем да представим като
х е равно на квадратен корен от у.
Всъщност ние гледаме тази 
част от нея.
Това тук не ни интересува.
Интересува ни само тази част.
Сега изразихме тази графика,
тази крива като
х е функция от у.
Ако го направим по този начин,
тогава колко е този радиус?
Радиусът тук ще бъде f(у).
Той е корен квадратен от у.
Радиусът е корен квадратен от у.
Той е функция от у.
Не искам да те обърквам,
ако си помислил, че е f(х),
всъщност е f(у).
Радиусът е функция от у.
Ще го означа с g(у).
Това е квадратен корен от у.
Значи лицето ще е равно на πr^2,

Korean: 
그리고 이것(루트y)은 음수가 아닌 y에 대해서만 정의되지만
그건 괜찮습니다, 왜냐하면 이 도형은 양의 y축에
있기 때문이죠
따라서 우린 이 그래프를
x=루트y라고 나타낼 수 있습니다
또한 우리는 이쪽(양의 x축)에 대해 생각하죠
이쪽(왼쪽)은 신경쓰지 않습니다
따라서 우린 오른쪽 면만 생각합니다
우린 이 그래프를
y에 대한 x의 함수로 나타내었습니다
그럼 이 곳의 반지름은 무엇일까요?
이 반지름은 y에 대한 함수가 될 것입니다
반지름은 루트y가 되겠죠
루트y를 반지름으로 가질 것입니다
따라서 이건 y에 대한 함수가 되겠죠
y=x^2은 x에 대한 f 함수이고
그래프는 y에 대한 f 함수라고 생각해서
혼란스러워하지 않았으면 합니다
이건 그저 y에 대한 함수에요
이걸 y에 대한 g 함수라고 부릅시다
이건 루트y가 되겠죠
면적은 pi × r^2과 같습니다. 이것은

Czech: 
To je definováno pouze pro nezáporná y,
ale to je v pohodě,
neboť jsme na kladné části osy y.
Tuto rovnici zde můžeme tedy
přepsat jako x je rovno odmocnině z 'y'.
V podstatě se díváme na tuto stranu.
Nedíváme se tady na to.
Díváme se na tuto stranu.
Tento graf, tuto křivku
jsme vyjádřili jako funkci y.
Uděláme-li to tak, jaký je tedy poloměr?
Poloměr zde bude f(y).
f(y) je rovno odmocnině z 'y'.
Poloměr bude roven odmocnině z 'y'.
Bude to funkce y.
Nechci vás mást, pokud jste si mysleli,
že je to f(x), a teď je to f(y).
Ne, bude to funkce proměnné y.
Mohli bychom ji nazvat g(y).
Bude to odmocnina z 'y'.
Obsah je roven π krát 'r na druhou'.

Thai: 
และค่านี่ตรงนี้ นิยามสำหรับ y 
ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น
แต่มันไม่เป็นไร เพราะเราอยู่ในแกน y เป็นบวก
ตรงนี้
เราจึงใช้ฟังก์ชันนี่ตรงนี้ได้
x เท่ากับรากที่สองของ y
และเราดูที่ด้านนี้
เราไม่ได้ดูอันนี้ตรงนี้
เรากำลังดูด้านนี่ตรงนี้เท่านั้น
เราได้แสดงกราฟนี้ เส้นโค้งนี้ว่า
x เป็นฟังก์ชันของ y แล้ว
ถ้าเราทำแบบนั้น รัศมีของเราตรงนั้นคืออะไร?
รัศมีของเราตรงนี้จะเป็น f ของ y
มันจะเท่ากับรากที่สองของ y
มันจะเท่ากับรากที่สองของ y เป็นรัศมีของเรา
มันจะเป็นฟังก์ชันของ y
ผมไม่อยากให้คุณงง ถ้าคุณคิดว่านี่คือ f ของ x
และนี่คือ f ของ y
ไม่ มันจะเป็นฟังก์ชันของ y
เราเรียกมันว่า g ของ y
มันจะเป็นรากที่สองของ y
พื้นที่จึงเท่ากับพาย r กำลังสอง

English: 
And this right over here is only
defined for non-negative y's,
but that's OK, because we are
in the positive x-axis right
over here.
So we can also call of this
function right over here
x is equal to the
square root of y.
And we're essentially
looking at this side of it.
We're not looking at this
stuff right over here.
So we're only looking at
this side right over here.
We've now expressed
this graph, this curve,
as x as a function of y.
So if we do it that way, what's
our radius right over here?
Well, our radius right over
here is going to be f of y.
It's going to be the
square root of y.
It's going to be the square
root of y is our radius.
So it's going to
be a function of y.
I don't want to confuse you if
you thought this was f of x,
and actually this is f of y.
No, it would be a function of y.
We could call it g of y.
It's going to be the
square root of y.
So area is equal to
pi r squared, which

Portuguese: 
significa que a área disso
será pi vezes o nosso 
raio, raio ao quadrado.
Nosso raio é a raiz quadrada de y.
Isso será igual a pi --
a raiz quadrada de y ao 
quadrado é somente pi vezes y.
Agora, se quisermos 
o volume, temos que
multiplicar a área dessa 
superfície vezes a profundidade,
vezes dy.
O volume de cada um desses discos
será pi y vezes dy.
Isso lhe dá o volume do disco.
Agora, se quisermos o 
volume de tudo isso,
teremos que somar 
todos esses discos
para todos os valores de 
y entre y igual a um
e y igual a quatro.
Façamos isso.
Temos apenas que calcular a 
integral definida de y igual a um
e igual a quatro.
Só um lembrete, 
a integral definida
é um tipo bem 
especial de soma.

English: 
means that the
area of this thing
is going to be pi times
our radius, radius squared.
Our radius is square root of y.
So this thing is going
to be equal to pi--
the square root of y
squared is just pi times y.
Now, if we want
the volume, we just
have to multiply the area of
this surface times the depth,
times dy.
So the volume of
each of those discs
is going to be pi y times dy.
This gives you the
volume of a disc.
Now, if we want the volume
of this entire thing,
we just have to sum
all of these discs
for all of the y-values
between y is equal to 1
and y is equal to 4.
So let's do that.
So we just take the definite
integral from y is equal to 1
and y equals 4.
Just as a reminder,
definite integral
is a very special type of sum.

Bulgarian: 
което означава, че
лицето на тази част
е π по радиуса на квадрат.
Радиусът е квадратен корен от у.
Значи това е равно на...
пи по корен квадратен от 
у на квадрат, което е просто πу.
За да намерим обема, 
трябва просто
да умножим площта на това лице
по дебелината, по dу.
Обемът на всеки от тези дискове
е равен на πу по dу.
Това е обемът на един диск.
За да намерим обема
на цялото тяло,
просто трябва да сумираме
всички тези дискове,
за всички стойности на у между
у = 1 до у = 4.
Да го направим.
Това е определен интеграл
от у = 1 до у = 4.
Само да припомня, определеният 
интеграл е много специален сбор.

Czech: 
To znamená, že obsah této části je roven
π krát 'poloměr na druhou'.
Poloměr je odmocnina z 'y'.
Bude to rovno π krát
'(odmocnina z 'y') na druhou'
Tedy π krát y.
Chceme-li objem, musíme vynásobit
obsah tohoto povrchu výškou 'dy'.
Objem každého disku
bude π krát y krát dy.
To je objem každého disku.
Chceme-li objem celého tělesa,
musíme sečíst objemy každého disku
pro všechna 'y' mezi 1 a 4.
Udělejme to tedy.
Bude to určitý integrál od 1 do 4.
Jen pro připomenutí,
určitý integrál je velmi zvláštní suma.

Thai: 
ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของรูปนี้
จะเท่ากับพายคูณรัศมี, รัศมีกำลังสอง
รัศมีของเราคือรากที่สองของ y
รูปนี้จะเท่ากับพาย --
รากที่สองของ y กำลังสองก็แค่พายคูณ y
ทีนี้ ถ้าเราอยากหาปริมาตร เราก็
แค่คูณพื้นที่ของพื้นผิวนี้กับความลึก
คูณ dy
ปริมาตรของจานแต่ละอัน
จึงเท่ากับพาย y คูณ dy
 
มันจะให้ปริมาตรของจาน
 
ทีนี้ ถ้าเราต้องการปริมาตรของทั้งรูปนี้
เราก็แค่บวกจานทั้งหมด
สำหรับค่า y ทุกค่าระหว่าง y เท่ากับ 1
กับ y เท่ากับ 4
ลองทำดู
เราแค่หาอินทิกรัลจำกัดเขตจาก y เท่ากับ 1
ถึง y เท่ากับ 4
ลองทบทวนหน่อย อินทิกรัลจำกัดเขต
คือผลบวกในรูปพิเศษ

Korean: 
이 원판의 면적이
반지름의 제곱에 pi를 곱한 것과 같다는 뜻이죠
우리의 반지름은 루트y입니다
따라서 이 면적은 pi 곱하기
루트y의 제곱인데 이건 pi × y와 같죠
이제, 우리는 부피를 구하고 싶으므로
우린 단지 면적을 폭만큼, 즉
dy만큼 곱해주면 됩니다
따라서 각 원판들의 부피는
pi 곱하기 y 곱하기 dy가 됩니다
이 식이 원판 하나의 부피를 
구하는 식입니다.
이제, 우리는 이 도형 전체의 부피를 원하므로
우린 단지 이 원판들을 전부 더해주면 됩니다
1과 4 사이의 모든 y값에 대해서요
그럼 한 번 해봅시다
y=1부터 y=4까지에 대해서
정적분을 만듭시다
다시 말하지만, 정적분은
굉장히 특별한 방식의 덧셈입니다

Portuguese: 
Estamos somando 
todas essas coisas.
Mas estamos usando 
o limite daquela soma
onde esses dy's ficam 
menores ou ficam, eu acho,
menores e menores
e temos uma quantidade 
cada vez maior desses discos.
Sério, conforme esses ficam 
infinitamente pequenos
temos um número 
infinito destes discos,
então a nossa soma não 
somente se aproxima do volume,
ela é realmente 
o volume no limite.
Para calcular o 
volume disso tudo,
temos somente que calcular 
essa integral definida
em termos de y.
E como fazemos isso?
Qual será o resultado?
Bom, poderíamos 
colocar pi fora da integral.
Isso será pi vezes 
a antiderivada de y, que
é somente y ao quadrado sobre 
dois, y ao quadrado sobre dois
calculado de um a quatro, 
que é igual a pi vezes --
bom, se calcularmos isso em quatro,
teremos dezesseis dividido por dois.
Deixe-me escrevê-lo assim.
Quatro ao quadrado sobre dois 
menos um ao quadrado sobre dois,

Thai: 
เรากำลังบวกทั้งหมดนี้
แต่เราจะหาลิมิตของผลบวกนั้น
เมื่อ dy เหล่านั้นสั้นลง และ
บีบลง บีบลง เล็กลง เล็กลง
และเรามีจำนวนจานมากขึ้น มากขึ้น
เมื่อจานเหล่านี้บางเฉียบ
และเรามีจำนวนจานนับไม่ถ้วน
แล้วผลบวกของเรา
จะไมได้ประมาณแค่ปริมาตร
แต่มันคือปริมาตรที่ลิมิตเลย
เวลาหาปริมาตรของทั้งรูปนี้
เราแค่ต้องหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต
ในรูปของ y
แล้วเราจะทำได้อย่างไร?
มันจะเท่ากับอะไร?
ตรงนรี้ เราดึงพายออกมาได้
มันจะเท่ากับพายคูณปฏิยานุพันธ์ของ y ซึ่ง
ก็แค่ y กำลังสองส่วน 2, 
y กำลังสองส่วน 2 หาค่า
จาก 1 ถึง 4 ซึ่งเท่ากับพายคูณ --
ถ้าคุณหาค่ามันที่ 4 คุณจะได้ 16 ส่วน 2
ขอผมเขียนออกมาแบบนี้นะ
4 กำลังสองส่วน 2 ลบ 1 กำลังสองส่วน 2

English: 
We're summing up
all of these things.
But we're taking the
limit of that sum
as these dy's get
shorter or get, I guess,
squatter and squatter
or smaller and smaller,
and we have a larger and
larger number of these discs.
Really, as these
become infinitely small
and we have an infinite
number of discs,
so that our sum doesn't
just approximate the volume,
it actually is the
volume at the limit.
So to figure out the volume
of this entire thing,
we just have to evaluate
this definite integral
in terms of y.
And so how do we do that?
What's it going to be equal to?
Well, we could take
the pi outside.
It's going to be pi times the
antiderivative of y, which
is just y squared over 2,
y squared over 2 evaluated
from 1 to 4, which is
equal to pi times--
well, if you evaluate it
at 4, you get 16 over 2.
Let me just write
it out like this.
4 squared over 2 minus
1 squared over 2,

Korean: 
우린 이 모든 것(pi × y × dy)을 더할 겁니다
하지만 우린 dy에 대해
극한을 적용할 겁니다
작게, 더 작게 말이죠
그리고 우린 더 많은 수의 원판을 
가지고 있다고 가정할 것입니다.
확실히, 만약 dy가 무한히 작아진다면
우리는 무한한 수의 원판을 가질 겁니다
따라서 이 합의 결과는 단지 부피에 가까워지지 않습니다
이 자체가 극한에서는 확실하게 부피가 되는거죠
이제 이 도형 전체의 부피를 구하려면
우린 그저 y에 대한 정적분을
풀면 되는 것이죠
그럼 그건 어떻게 해야 할까요?
이 식은 무엇과 같아질까요?
일단, 우리는 pi를 밖으로 꺼낼 수 있습니다
그 결과는 pi 곱하기
'y에 대한 적분식'이 됩니다
그 값은 2분의 y^2이고, 범위는
1부터 4까지가 됩니다.
결과는 pi 곱하기, 만약 4에 대해서 계산하면 
2분의 16을 얻을 수 있겠죠
이걸 이렇게 한 번 써 보겠습니다.
(4^2)/2-(1^2)/2

Bulgarian: 
Събираме обемите
на всички тези дискове.
Но взимаме границата
на тази сума,
тъй като те стават все
по-малки,
все  по-малки и по-малки,
а броят на тези дискове
става все по-голям и по-голям.
И когато тези стават
безкрайно малки,
и имаме безкраен брой дискове,
тогава тази сума 
се приближава до обема,
всъщност обемът е границата.
За да намерим обема 
на това тяло,
просто трябва да изчислим
определения интеграл спрямо у.
Как ще направим това?
На колко е равно това?
Можем да изнесем пи отпред.
Става пи по примитивната 
функция на у,
която е просто у^2/2,
изчислена в интервала от 1 до 4,
което е равно на π по...
Да я сметнем за у = 4,
получаваме 16/2.
Ще го напиша по този начин.
(4^2)/2 – (1^2)/2,

Czech: 
Sčítáme všechny tyto věci.
Bereme však limitu tohoto součtu.
'dy' je stále menší a máme více disků.
Jak se 'dy' stane „nekonečně malé“,
máme „nekonečně mnoho“ disků.
Naše suma není objem jen přibližně,
v limitě jsou si rovny.
Abychom zjistili objem celého tělesa,
musíme vypočítat tento určitý integrál.
Jak to uděláme?
Čemu to bude rovno?
Můžeme vytknout π.
Bude to π krát primitivní funkce k 'y',
což je 'y na druhou' lomeno 2.
To vyčísleno v 'y' rovno 1
a 'y' rovno 4.
To je rovno…
Vyčísleno v 'y' rovno 4
je to 16 lomeno 2.
Napíšu to takto.
'4 na druhou' lomeno 2
minus ('1 na druhou' lomeno 2),

Korean: 
그 결과는 pi곱하기--
16/2는 8이고, 1/2를 빼죠
그럼 16/2-1/2이므로
15/2와 같다는 걸 알 수 있습니다
따라서 이것은 15/2 pi와 같습니다
다르게 생각하면 7과 1/2 × pi입니다.
하지만 이게 좀 더 깔끔하죠(15/2 pi)
이제 끝났습니다
우린 x축이 아니라 y축을 중심으로 회전한
회전체의 부피를 구했습니다,
아주 재미있는 방법이죠.

Czech: 
což je rovno π krát [(16 lomeno 2),
což je 8, minus (1 lomeno 2)].
Můžeme to brát jako
(16 lomeno 2) minus (1 lomeno 2),
což je rovno (15 lomeno 2).
Je to tedy rovno 15π lomeno 2.
Nebo také jinak:
(7 a jedna polovina) krát π.
Toto je však jasnější.
Jsme hotovi.
Našli jsme objem tělesa,
vzniklého rotací ne kolem osy x,
ale rotací kolem osy y,
což je vzrušující.

Portuguese: 
que é igual a pi vezes dezesseis
sobre dois, oito, menos meio
Então poderíamos ver isso como
dezesseis sobre dois menos meio
que é igual a quinze sobre dois.
Isso é igual a quinze sobre dois vezes pi.
Outra maneira de pensar 
nisso é sete e meio vezes pi.
Mas isso é mais claro.
E terminamos.
Encontramos o volume sem
rotacionar ao redor do eixo x,
mas ao redor do eixo 
y, o que é bem legal.
Legendado por: [Musa Morena Marcusso Manhães]
Revisado por : [Rodrigo Melges]

Thai: 
ซึ่งเท่ากับพายคูณ 16 ส่วน 2 ได้ 8, ลบ 1/2
เราก็มองอันนี้ได้เป็น 16/2 ลบ 1/2
ซึ่งเท่ากับ 15/2
ค่านี้จึงเท่ากับ 15/2 คูณพาย
หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า มันคือ 7 1/2 คูณพาย
แต่อันนี้ชัดขึ้นหน่อย
เราเสร็จแล้ว
เราหาปริมาตร ไม่ใช่จากการหมุนแกน x
แต่หมุนรอบแกน y ซึ่งน่าตื่นเต้นทีเดียว
 

English: 
which is equal to pi times
16 over 2 is 8, minus 1/2.
And so we could view
this as 16/2 minus 1/2,
which is equal to 15/2.
So this is equal
to 15/2 times pi.
Or another way of thinking
of it is 7 and 1/2 times pi.
But this is a
little bit clearer.
So we're done.
We found our volume not
rotating around the x-axis,
but rotating around the y-axis,
which is kind of exciting.

Bulgarian: 
което е равно на π по...
16/2 е 8, минус 1/2.
Значи това е 16/2 – 1/2,
което е 15/2.
Значи това е равно на 15/2 по π.
Можем да го запишем
като 7 и 1/2.
Но това е малко по-ясно.
И сме готови.
Намерихме обема на нашето тяло,
когато го завъртим не около оста х,
а го завъртяхме около оста у,
което беше доста интересно.
 
