
Portuguese: 
Agora vou mostrar-vos o que provavelmente são as duas
derivadas mais fixes na matemática.
Pelo menos...
ainda não me lembrei de outras.
Mas estas são definitivamente algumas das mais elegantes.
Vamos, então, descobrir o que é a derivada do
logaritmo natural.
E recordando, o que é o logaritmo natural?
Bem, o logaritmo natural de um número é exactamente a mesma
coisa que dizer logaritmo de base e desse número.
Isto é apenas revisão.
Façamos a derivada disto.
Acho que vou precisar de muito espaço para isto.
Vou tentar ser o mais organizado que possível.
Portanto, a derivada do logaritmo natural de x é igual a - bem
Peguemos na definição de derivada.
Pegamos no declive num ponto e calculamos o limite à medida que
encurtamos para zero a diferença entre os dois pontos.

Korean: 
 
지금부터 보여드릴 것은
제가 미적분학에서 가장 멋지다고 생각한
두 도함수입니다
판단은 잠시 미뤄두죠
더 멋진 도함수들이 지금 떠오르지 않지만
그래도 제 기준에서 이들은
가장 깔끔한 도함수들 중 하나입니다
이제부터 자연로그의 도함수에 대해
알아보도록 합시다
자연로그가 무엇인지 복습해볼까요?
자연로그는 밑을 e로 갖는
로그와 완벽히 같습니다
간단한 복습이었습니다
이제 자연로그의 도함수를 구해봅시다
 
공간이 많이 필요할 거 같은데요
최대한 간결하게 하도록 노력하겠습니다
자연로그 x의 도함수를
도함수의 정의를 통해 구해봅시다
임의의 두 점사이의 기울기를 잡고
두 점 사이의 거리가 0에 무한히 가까워질 때
기울기의 극한값을 구하면 됩니다

Portuguese: 
Agora mostrarei o que
eu acho ser provavelmente as duas
derivadas mais legais
de todo o cálculo diferencial
E eu vou guardá-las.
Nenhuma outra me
vem à cabeça agora.
Mas essas são definitivamente
para mim as mais elegantes.
Então, vamos ver qual
é a derivada do
logaritmo natural.
E somente para relembrar,
o que é o logaritmo natural?
Bem, o logaritmo natural de
alguma coisa é exatamente o mesmo
que dizer logaritmo na
base e dessa coisa.
Isso é somente uma revisão.
Então, vamos calcular
a derivada disso.
Eu acho que precisarei
de muito espaço para isso.
Eu tentarei fazer isso o
mais claramente possível.
Então, a derivada do
log natural de x é igual --
vamos simplesmente tomar
a definição de derivada, certo?
Nós tomamos a inclinação em algum
ponto e achamos o limite quando nós
aproximamos de 0 a diferença
entre os dois pontos.

Estonian: 
Ma näitan nüüd ilmselt kahte
kõige vingemat tuletist.
Tõesti.
Ükski teine ei ole mulle praegu pähe tulnud.
Aga need on kindlasti ühed kaunimad.
Proovime teada saada, mis on
naturaalse logaritmi tuletis.
Ja kordamiseks, mis on naturaalne logaritm?
Naturaalne logaritm on sama mis
logaritm alusel e.
See on lihtsalt kordamiseks.
Võtame sellest tuletise.
Ma vajan selleks palju ruumi.
Ja ma proovin seda võimalikult puhtalt teha.
Naturaalse logaritmi x tuletis on -- niisiis
võtame tuletise definitsiooni.
Me võtame mingi punkti tõusul ja otsime piirväärtust
kui me vähendame kahe punkti vahet nullile.

Spanish: 
Ahora les voy a mostrar lo que yo creo que son probablemente las dos
derivadas más interesantes de todo cálculo
Me voy a reservar eso.
No se me ocurre ninguna otra en este momento.
Pero éstas son definitivamente para mí las más claras.
Averiguemos cuál es la derivada del
logaritmo natural (ln).
Y sólo para repasar, ¿Qué es el logaritmo natural?
Bueno, el logaritmo natural de algo es exactamente lo mismo
que decir el logaritmo en base e de algo.
Eso es sólo un repaso.
Entonces, derivemos esto.
Creo que voy a necesitar un monton de espacio para esto.
Voy a intentar hacerlo lo más claro posible.
Entonces, la derivada del logaritmo natural de x es igual a....
bueno, tomemos la definición de derivada, ¿no?
Sólo tomamos la pendiente en algún punto y hallemos el límite cuando
se lleva la diferencia entre los dos puntos a 0.

Finnish: 
Seuraavaksi aion näyttää teille kaksi
todennäköisesti makeintaderivaattaa.
Silläkin ehdolla,
ettei mikään muu ole tullut mieleeni
Mutta nämä kaksi ovat mielestäni ovelimmat.
Joten selvitetäänpä mikä on
luonnollisen logaritmin derivaatta.
Ihan vaan kertauksena mikä on luonnollinen logaritmi?
No luonnollinen logaritmi jostakin on täsmälleen sama kuin
e- kantainen logaritmi jostakin.
Se oli ihan vaan kertausta.
Joten derivoidaanpa tämä.
Tarvitsen paljon tilaa tätä varten.
Yritän tehdä tämän niin siististi kuin suinkin.
Siis luonnollisen logaritmin derivaatta on,
käytetään derivaatan määritelmä, jooko?
Laskeaksemme käyrän kulmakertoimen jossain pisteessa me annamme
kahden tarkastellun pisteen etäisyyden lähestyä rajatta nollaa.

Indonesian: 
...
Saat ini saya akan memperlihatkan kepada anda mengenai apa yang saya anggap
sebagai dua turunan paling keren dari semua turunan dalam kalkulus.
Dan saya akan menyimpannya.
Tidak satupun dari persamaan lainnya telah terjadi padaku saat ini.
Akan tetapi telah terjadi padaku beberapa yang paling rapi.
Oleh karena itu, marilah kita temukan apakah turunan dari
logaritma natural itu.
Dan hanya mengingatkan, apakah logaritma natural itu?
Logaritma natural adalah sesuatu yang sama persis
dengan logaritma dasar e dari sesuatu tersebut.
Tadi hanya mengingatkan.
Marilah kita ambil turunan dari persamaan berikut.
...
Saya kira saya akan membutuhkan ruang kosong yang lebih luas daripada ini.
Saya kan mencoba untuk membuatnya serapi mungkin.
Maka, turunan dari logaritma natural x adalah-- oke
marilah kita ambil pengertian dari turunan saja, bukan begitu?
Kita hanya mengambil lereng pada suatu titik dan menemukan limit saat kita
mengambil perbedaan dua titik terhadap 0.

Chinese: 
本节要讲微积分中
我认为最妙的两个导数
我想是这样的
此刻想不到其他的了
而这两个无疑是最为简捷的
那么算一下自然对数的
导数
复习一下 什么是自然对数？
自然对数就是
log以e为底的对数
这作为回顾
那么对它求导
这需要很多空间来算
尽量写得整洁点
那么对lnx求导
只需根据导数的定义 对吗？
列出某点处的斜率
求两点之差趋于0时的极限
那么求Δx趋于0时的极限
f(x+Δx)

Bulgarian: 
Сега искам да ти покажа това,
което смятам, че са вероятно
две от най-яките производни
в математическия анализ.
Може би малко пресилвам,
но за никоя друга
не се сещам сега.
За мен тези определено
са най-интересните.
Да видим сега коя е производната
на натурален логаритъм.
Само да преговорим
какво е натурален логаритъм.
Натурален логаритъм от нещо
е съвсем същото като
да кажем логаритъм с
основа "е" от това нещо.
Това е само преговор.
Да намерим производната.
Ще ми трябва много място
за това.
Ще се опитам да го направя
максимално прегледно.
Производната на натурален
логаритъм от х е равна на...
първо да видим определението
за производна.
Вземаме наклона в някаква точка
и намираме границата,
когато разликата между двете 
точки Δх клони към 0.

Russian: 
Теперь я покажу возможно две
самые крутые по моему мнению производные во всем математическом анализе.
Я гарантирую это.
Никакие другие не приходят мне на ум в данный момент.
Но эти производные для меня - определенно одни из наиболее изящных.
Что ж, давайте поймем что является производной
натурального логарифма.
Для проверки, что такое натуральный логарифм?

Hindi: 
मैं अब तुम्हें बताने जाता हूँ की मुझे लगता है कि शायद यह दो
सबसे अच्छे डेरिवेटिव हैं पुरे कैल्कुलस में
और मैं सुरक्षित रखते हूँ।
अन्य में से कोई भी अभी मेरे साथ नहीं हुआ है।
लेकिन ये निश्चित रूप से मेरे लिए सबसे अच्छे हैं।
तो चलो व्युत्पन्न निकालते हैं
प्राकृतिक लॉग का
और बस एक समीक्षा के लिए , प्राकर्तिक लॉग क्या है?
प्राकृतिक लॉग सटीक है वही
बात है जो लघुगणक आधार e ।
वोह सिर्फ एक समीक्षा है।
तो चलो इस व्युत्पन्न लेते हैं
मुझे लगता है कि मैं इस के लिए जगह की बहुत जरूरत पड़ने जा रही है।
मैं इसे सबसे साफ़ तरीके से करने की कोशिश करूँगा
तो व्युत्पन्न लॉग एक्स का बराबर है -
चलो व्युत्पन्न परिभाषा लेते हैं ,सही?
हम बस कुछ बिंदु पर ढलान लेते हैं और सीमा का पता लगाते हैं जैसे
हम अंतर पता करते हैं दोनों बिंदु से 0 का

Polish: 
Teraz pokażę Wam moim zdaniem dwie
najfajniejsze pochodne w całej analizie.
Z pewną dozą ostrożności.
Ale żadne inne pochodne nie przychodzą mi teraz do głowy.
Te z pewnością są jednymi z najbardziej eleganckich.
Sprawdźmy, co jest pochodną
logarytmu naturalnego z x.
I tak tylko dla powtórki, czym jest logarytm naturalny?
Logarytm naturalny z czegoś to dokładnie to samo,
co powiedzenie logarytm o podstawie e z czegoś.
To tylko przypomnienie.
Weźmy więc pochodną tego.
Myślę, że przyda mi się sporo miejsca.
Spróbuję to zrobić możliwie schludnie.
Pochodna z logarytmu naturalnego z x równa się,
weźmy po prostu definicję pochodnej, dobrze?
Weźmy nachylenie w jakimś punkcie i znajdźmy granicę
przy różnicy pomiędzy tymi dwoma punktami dążącej do 0.

English: 
I'm now going to show you what
I think are probably the two
coolest derivatives
in all of calculus.
And I'll reserve that.
None of the other ones have
occurred to me right now.
But these are definitely to
me some of the neatest.
So let's figure out
what the derivative of
the natural log is.
And just as a review,
what is the natural log?
Well the natural log of
something is the exact same
thing as saying logarithm
base e of that something.
That's just a review.
So let's take the
derivative of this.
I think I'm going to need
a lot of space for this.
I'm going to try to do it
as neatly as possible.
So the derivative of the
natural log of x equals-- well
let's just take the definition
of a derivative, right?
We just take the slope at some
point and find the limit as we
take the difference between
the two points to 0.

Czech: 
...
Nyní Vám ukážu, co jsou podle mě pravděpodobně dvě
nejzábavnější derivace ze všech výpočtů.
A trvám na tom.
Žádné další mě momentálně nenapadá.
Ale tyto jsou pro mě definitivně jedny z nejjasnějších.
Pojďme vyřešit, jak vypadá derivace
přirozeného logaritmu.
A pouze pro zopakování, co je to přirozený logaritmus?
Přirozený logaritmus něčeho je přesně to samé jako
říci logaritmus o základě "e" z toho něčeho.
To je pouze na zopakování.
Takže pojďme derivovat.
Takže derivace… Vlastně nechte mě…
Myslím, že budu potřebovat trochu více místa.
Budu se snažit udělat to nejjasnější, jak to jen půjde.
Derivace přirozeného logaritmu z "x" se rovná…
Pojďme si vzít definici derivace, dobře?
Vezmeme si sklon v nějakém bodě a najdeme limitu tak,
že si vezmeme rozdíl mezi dvěma body do 0.

Swedish: 
Jag kommer nu att visa vad jag tycker är de två
häftigaste derivaten i matematiken.
Jag reserverar mig för att
ingen av de andra kommer till mig just nu.
I alla fall är de här två av de smartaste.
Vad är derivatan av
den naturliga logaritmen?
Som repetition, vad är den naturliga logaritmen?
Den naturliga logaritmen är exakt samma
sak som att säga

Arabic: 
.
الان سوف أريكم ما أظنه على الارجح
المشتقتين الاروع في كل التفاضل والتكامل
وسوف استبقي ذلك
ولا واحدة من المشتقات الاخرى ظهرت امامي الآن
لكن بلا شك فإنه بالنسبة لي هؤلاء هما الاكثر اتقاناً
لذا دعونا نكتشف ما هي مشتقة
اللوغارثم الطبيعي
وفقط للمراجعة، ما هو اللوغارثم الطبيعي؟
حسناً، ان اللوغارثم الطبيعي لشيئ ما يعادل
ان نقول لوغارتم اساس e لذلك الشيئ
هذه فقط مراجعة
دعونا اذاً نأخذ مشتقة هذا
.
أنا اعتقد أنني سوف احتاج لمساحة كبيرة من أجل هذا
سوف أحاول ان أقوم بها بترتيب على قدر الامكان
اذاً مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x = --حسناً
دعونا نأخذ تعريف المشتقة، اليس كذلك؟
فقط نأخذ الميل عند نقطة ما ونجد النهاية كلما
نأخذ الفرق بين النقطتين للصفر

Turkish: 
.
Şimdi size bana göre matematikteki en ilginç
türevleri göstereceğim.
.
Diğerleri şu an için aklıma gelmedi.
Ama bunlar bana göre kesinlikle en iyiler.
Şimdi doğal logaritmanın
türevini bulalım.
Başlamadan önce doğal logaritmanın ne olduğunu hatırlayalım.
Bir değerin doğal logaritması o değerin e tabanlı doğal logaritmasıyla aynıdır.
.
Bu sadece başlamadan önce bir hatırlatmaydı.
Şimdi yazdığımızın türevini alalım.
.
Bunun için biraz daha boş alana ihtiyacım olacak.
Elimden geldiğince düzgünce yapmaya çalışacağım.
x'in doğal logartimasının türevi --
türevin tanımını hatırlayalım.
Bir noktada eğimi hesaplıyoruz ve
iki noktayla 0'ın arasındaki farkı bulurken limiti buluyoruz.

Thai: 
-
ผมจะแสดงสิ่งที่ผมคิดว่า คืออนุพันธ์สอง
ตัวที่เจ๋งที่สุดในแคลคูลัสแล้ว
และผมจะเก็บมันไว้
ไม่มีอันอื่นใดประทับใจผมกว่านี้อีกแล้ว
สำหรับนี่ สองอันนี้คืออันที่เนี้ยบที่สุด
งั้นมาลองหาอนุพันธ์ของ
ลอกธรรมชาติกัน
และเพื่อทบทวน ลอกธรรมชาติคืออะไรนะ?
ลอกธรรมชาติของอะไรก็สักอย่าง ก็เหมือนกับ
การบอกว่า ลอกการิทึมฐาน e ของอะไรสักอย่างนั้น
นั่นแค่ทบทวน
ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ของมันดู
-
ผมว่าผมจะต้องใช้ที่เยอะหน่อย
ผมจะเขียนมันให้เนี๊ยบที่สุดเท่าที่จะเป็นได้
งั้นอนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x เท่ากับ -- อืม
ลองเขียนนิยามของอนุพันธ์ก่อน ดีไหม?
เราก็แค่หาความชัน ณ จุดนึงแล้วหาลิมิต
เมื่อผลต่างระหว่างจุดสองจุดเป็น 0

Slovak: 
...
Teraz Vám ukážem, čo sú podľa mňa pravdepodobne dve...
najzábavnejšie derivácie zo všetkých výpočtov.
A trvám na tom.
Žiadne dalšie ma momentálne nenapadájú.
Ale tieto sú pre mňa definitívne jedny z najjasnejších.
Poďme vyriešiť ako vyzerá derivácia ...
prirodzeného logaritmu.
A iba pre zopakovanie, čo je to prirodzený logaritmus ?
Dobre, prirodzený logaritmus niečoho je presne to isté ako...
povedať logaritmus o základe "e" z toho niečoho.
To je iba na zopakovanie.
Takže poďme derivovať.
Takže derivácia, vlastne nechajte ma...
Myslím si, že budem potrebovať trochu viac miesta na to.
Budem sa snažiť spraviť to najjasnejšie ako to len pôjde.
Derivácia prirodzeného logaritmu z "x" sa rovná ...no
poďme si vziať definíciu derivácie, dobre ?
Zoberieme si sklon v nejakom bode a nájdeme limitu tak, že...
si vezmeme rozdiel medzi dvoma bodmi do 0.

Bulgarian: 
Да намерим границата, когато
делта х клони към 0,
на f(х + Δх).
Ще намеря границата
на цялото това нещо.
Натурален логаритъм 
от (х + Δх)...
това е една точка, в която
ще оценя функцията,
минус натурален
логаритъм от х.
Цялото това върху Δх.
Ако си спомняш от
видеата за производни,
това е просто наклона, намирам
границата, когато намирам наклона
за все по-малко
и по-малко разстояние.
Надявам се, че
си спомняш това.
Да видим дали можем
да приложим свойствата на логаритмите
и да опростим малко това.
Надявам се, че си спомняш...
ако не си спомняш, преговори
свойствата на логаритмите...
но логаритъм от а минус 
логаритъм от b

Czech: 
Vezměme si limitu jako změnu (delta) x blížící se k 0
z funkce z "x" plus změna (delta) x.
Vezmu limitu z celé této věci.
Přirozený logaritmus ln z "x" plus delta "x"… Správně, to je jako
jeden bod. Jdu vyhodnotit funkci
minus přirozený logaritmus z "x".
Vše vydělím změna (delta) x.
A pokud si pamatujete z videí o derivaci, toto je pouze
sklon, a pouze beru limitu jako nalezení sklonu
mezi menší a menší vzdáleností.
Doufejme, že si to pamatujete.
Podívejme se, zda můžeme využít vlastností logaritmu na
zjednodušení tohoto o trochu.
Doufejme, že si to pamatujete a pokud ne na zopakování logaritmických
vlastností… Zapamatujte si, logaritmus "a" minus logaritmus "b" je

Arabic: 
اذاً دعونا نأخذ نهاية اقتراب دلتا x من الصفر
f(x) + دلتا x
انأ سوف أجد نهاية هذا الشيئ كله
اللوغارثم الطبيعي لـ x + دلتا x --اليس كذلك، ان هذه تشبه
نقطة سوف آخذها لأقيم الاقتران--
- ln لـ x
وكل ذلك مقسوماً على دلتا x
واذا كنت تتذكر عروض المشتقات، فإن هذا عبارة عن
الميل، وانا آخذ النهاية كلما اجد الميل
بين مسافة صغيرة ومسافة اصغر
اتمنى انكم تذكرون ذلك
اذاً دعونا نرى اذا كان يمكننا ان نستخدم بعض خصائص اللوغارتمات
لتبسيط هذا قليلاً
اتمنى انكم تتذكرون --واذا لم يكن كذلك، فقوموا بمراجعة خصائص اللوغارتمات--
لكن تذكروا ان لوغارتم a - لوغارتم b

Polish: 
Czyli granicę przy delta x dążącym do 0 z
f od x plus delta x.
Wezmę pochodną tej całej rzeczy.
Logarytm naturalny z x plus delta x, zgadza się, to jeden
z punktów, w których oszacuję wartość funkcji,
minus logarytm naturalny z x.
I to wszystko przez delta x.
Jeśli pamiętacie z filmów dotyczących pochodnych, to
jest po prostu nachylenie i biorę granicę z nachylenia
pomiędzy punktami oddalonymi od siebie o coraz, coraz mniej.
Mam nadzieję, że to pamiętacie.
Zobaczmy, czy możemy wykorzystać jakieś własności logarytmów,
aby to troszkę uprościć.
Mam nadzieję, że pamiętacie, a jeśli nie, to przypomnijcie sobie
własności logarytmów, że logarytm z a minus logarytm z b to

Turkish: 
Δ x'in 0'a yaklaşırken
f(x + Δx)'in limitini alalım.
Yani bütün bunların limitini alacağım.
f(x + Δ x)'in doğal logaritmasını ( doğal logaritma ln'le gösterilir) --
yani alacağım bir nokta fonksiyonu değerlendirmek için-
- ln(x).
Bütün bunları Δx'in üzerine yazılıyor.
Eğer türev dosyasından hatırlarsanız
bu sadece eğimdir ve gittikçe küçülen uzaklıklar arasındaki eğimi bulurken
limiti alıyorum.
Umarım bunu hatırlıyorsunuzdur.
Bakalım logaritma kullanarak bu ifadeyi
biraz sadeleştirebilir miyiz..
Şimdi yazacaklarımı umarım hatırlıyorsunuzdur ve hatırlamıyorsanız logaritmayı tekrar etmenizi öneririm.
log a- lob b = log (a/b).

Portuguese: 
Pequemos então no limite quando delta x se aproxima de zero de
f de x mais delta x.
Vou pegar no limite disto tudo.
O logaritmo natural ln de x mais delta x - isto é
um ponto que vou substituir na função--
menos ln de x.
Tudo sobre delta x.
E se se lembram dos vídeos de derivadas, isto é apenas
o declive, e eu estou apenas a fazer o limite à medida que descubro o declive
entre uma distância cada vez menor.
Espero que se lembrem disso.
Vamos, então, ver se podemos aplicar algumas propriedades dos
logaritmos de modo a simplificar isto um pouco.
Espero que se lembrem -- e se não, revejam as propriedades
dos algoritmos -- mas lembrem-se que log de a menos log de b é

Portuguese: 
Vamos calcular o limite quando
delta x se aproxima de 0 em
f de x mais delta x.
Eu irei calcular o
limite disso tudo.
O log natural ln de x mais
delta x -- certo, esse é
um ponto que eu pegarei
para calcular a função --
menos o ln de x.
E tudo isso sobre delta x.
E se você se lembrar dos
vídeos de derivadas, isso é
simplesmente a inclinação, e eu estou
calculando o limite achando a inclinação
entre uma distância cada vez menor.
Você deve se lembrar disso.
Vamos ver se nós conseguimos
aplicar alguma propriedade de algoritmos
para simplificar isso um pouco.
Você deve se lembrar -- e se não
se lembrar, revise as propriedades
dos algoritmos -- mas lembre-se que
log de a menos log b é

Korean: 
x의 증분이 0에 가까워지도록
함수의 극한을 취합니다
식 전체의 극한을 구하면
자연로그 x+Δx,
함수에서 고려하는 한 점이죠
자연로그 x를 빼준 뒤
그 값을 x의 증분으로 나눕니다
전의 도함수 영상들을 기억한다면
이는 함수의 기울기이고,
극한을 취함으로써
더 작은 거리 사이의 기울기를 구하게 되는 것이죠
기억했기를 바라요
로그의 성질을 사용해서
이를 간단히 만들 수 있을지 알아봅시다
기억하겠지만, 아니라면 로그의 성질을 복습하세요
log a - log b는

Finnish: 
Joten lasketaan raja-arvo kun delta x lähestyy nollaa
f (x) plus delta x.
Aion ottaa siis raja-arvon tästä koko hommasta.
Luonnollinen logaritmi: ln(x ) plus delta x:stä -- no se on.
Yksi kohta jossa aion laskea funktion
miinus luonnollinen logaritmi x:stå
Kaikki se jaettuna delta x:llä
Ja mikäli muistat derinvointi videoista, niin sehän on
kulmakerroin, ja minä siis lasken raja-arvon saadakseni kulmakertoimen
kahden pisteen väliltä, jotka lähestyvät toisiaan rajatta.
Toivottavasti muistat sen.
Katsotaanpa voimmeko käyttää joitain logaritmin ominaisuuksia.
sieventääksemme tätä hieman.
Toivottavasti muistat --ja jos et niin kertaa logaritmien ominaaisuuksia.
mutta muista että logaritmi a miinus logaritmi b on

Spanish: 
Tomemos el límite cuando delta x se aproxima a 0 de
f de x mas delta x.
Asi que voy a tomar el límite de todo ésto.
El logaritmo natural de x mas delta x --bien, ese es
un punto que voy a evaluar en la función--
menos el logaritmo natural de x.
Todo sobre delta x.
Y si recordás de los otros videos de derivadas, esto es
la pendiente, y yo sólo estoy hallando el límite mientras busco la pendiente
entre distancias cada vez más pequeñas.
Espero que recuerdes eso.
Entonces veamos si podemos realizar algunas propiedades del logaritmo
para simplificarlo un poco.
Espero que recuerdes --y si no, revisa las propiedades
del logaritmo-- pero recuerda que el logaritmo de a menos el logaritmo de b

Slovak: 
Takže, vezmime si limitu ako zmenu(delta) x blížiacej sa k 0 ...
z funkcie z "x" plus zmena(delta) x.
Vezmem limitu z celej tejto veci.
Prirodzený logaritmus ln z "x" plus delta "x"---správne, to je ako...
jeden bod , idem vyhodnotiť funkciu...
mínus prirodzený logaritmus z "x".
Všetko vydelím zmena(delta) x.
A ak si pamätáte z videí o deriváciach, toto je iba...
sklon, a iba beriem limitu ako nájdenie sklonu ...
medzi menšou a menšou vzdialenosťou.
Dúfajme, že si to pamätáte.
Pozrime sa, či môžme využiť vlastnosti logaritmu na...
zjednodušenie tohto o trochu.
Dúfajme, že si pamätáte...a ak nie na zopakovanie logaritmických...
vlastností...zapamätajte si, logaritmus "a" minus logaritmus "b" je...

Indonesian: 
Marilah kita ambil limit saat delta x mendekati 0 dari
f dari x ditambah delta x.
Jadi saya akan mengambil limit dari semua hal tersebut.
Logaritma natural ln dari x ditambah delta x -- benar, tepat seperti
satu titik yang akan saya ambil untuk mengevaluasi fungsi--
dikurangi dengan ln dari x
Semua itu di bagi delta x.
Dan jika anda ingat video tentang turunan, hal ini hanyalah
lereng, dan saya akan mengambil limit ketika saya menemukan lereng
antara jarak yang lebih kecil dengan yang lebih kecil.
Saya berharap bahwa anda dapat mengingatnya.
Berikutnya, marilah kita lihat jika kita dapat menggunakan beberapa sifat logaritma untuk
sedikit menyederhanakan persamaan berikut.
Saya harap anda ingat -- dan jika tidak, maka ulanglah materi sifat
logaritma-- tapi ingat bahwa log dari minus log dari b adalah

English: 
So let's take the limit as
delta x approaches 0 of
f of x plus delta x.
So I'm going to take the
limit of this whole thing.
The natural log ln of x plus
delta x-- right, that's like
one point that I'm going to
take evaluate the function--
minus the ln of x.
All of that over delta x.
And if you remember from the
derivative videos, this is just
the slope, and I'm just taking
the limit as I find the slope
between a smaller and
a smaller distance.
Hopefully you remember that.
So let's see if we can do some
logarithm properties to
simplify this a little bit.
Hopefully you remember-- and if
you don't, review the logarithm
properties-- but remember that
log of a minus log of b is

Estonian: 
Võtame piirväärtuse kui delta x läheneb nullile
funktsioonis f(x + delta x)
Ma võtan kogu selle piirväärtuse.
Nat log ln x pluss delta x --see on üks
punkt, kus ma väärtustan funktsiooni --
miinus ln x.
Jagatud delta x.
Ja kui te mäletade tuletiste videotest, siis see on lihtsalt
tõus, ja ma otsin lihtsalt piirväärtust
kui ma võtan kaks punkti üha väiksema vahega.
Loodetavasti see jääb meelde.
Vaatame kas saame kasutada mõnda logaritmi omadust,
et seda natukene lihtsustada.
Loodetavasti mäletate -- ja kui ei, vaadake logaritmi
omadused järgi -- aga hoidke meeles, et log a miinus log b on

Chinese: 
求这个整体的极限
ln(x+Δx)
这是求函数的值时
要取的一个点 -lnx
整体/Δx
如果还记得导数那集视频
这就是斜率 只是求
区间越来越小时的斜率的极限
但愿还记得
看能否根据对数运算性质
对它进一步化简
但愿还记得 如果不记得
请回顾对数运算性质
但请记住loga-logb
=log(a/b)

Hindi: 
तो चलो सीमा लेते हैं डेल्टा एक्स 0 की तरफ जाता है
एक्स के एफ प्लस डेल्टा एक्स।
तो मैं इस पूरी चीज़ की सीमा लेने जा रहा हूँ।
प्राकृतिक लॉग ln एक्स का जमा डेल्टा एक्स - सही है
यह एक पॉइंट की तरह है जिस पर मैं अपना फ्न्शन का मान लूँगा
मिनुस एक्स के ln
सब से बटा में डेल्टा क्ष
और अगर तुम को व्युत्पन्न वीडियो याद है, यह बस है
ढलान , और मैं अभी सीमा लेने जा रहा हूँ जैसे मैं ढलान खोजूंगा
एक छोटी और एक छोटी दूरी के बीच।
उम्मीद है कि तुम्हें याद है कि।
तो चलो देखते हैं अगर हम कुछ लघुगणक संपत्तियों के लिए कर सकते हैं
यह एक थोड़ा सा को आसान बनाने में।
उम्मीद है कि आप याद है - और अगर तुम नहीं, लघुगणक की समीक्षा
गुण - लेकिन याद है कि एक शून्य के लॉग इन करें बी का लॉग है

Thai: 
งั้นให้ลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของ
f ของ x บวก เดลต้า x
ผมจะใส่ลิมิตของทั้งหมดนี่
ลอกธรรมาชิต ln ของ x บวก เดลต้า x -- ใช่ มันก็เหมือน
จุดนึงที่ผมจะแทนค่าฟังก์ชัน --
ลบ ln ของ x
ทั้งหมดนั่นส่วนเดลต้า x
และหากคุณจำได้จากวิดีโอเรื่องอนุพันธ์ นี่ก็แค่
ความชัน และผมใส่ลิมิตเมื่อผมหาความชัน
ในระยะที่สั้นลง ๆ
หวังว่าคุณคงจำได้นะ
งั้นลองดูว่าเราจะใช้สมบัติลอการิทึม
จัดรูปมันหน่อยได้ไหม
หวังว่าคุณคงจำได้ -- และหากจำไม่ได้ กลับไปทบทวน
สมบัติลอการิทึมดู -- แต่จำไว้ว่า log ของ a ลบ log ของ b

Portuguese: 
igual ao log de a sobre b, e daí
vem o fato de que
expressões logarítmicas são
essencialmente expoentes, então
eles seguem as regras de exponenciação.
E se isso não fizer sentido
para você, você deveria
revisa-las também.
Vamos aplicar essa propriedade
dos algoritmos nessa equação.
Deixe-me reescrever isso
tudo, e eu ficarei trocando
de cores para não deixar
ficar monótono.
Então, temos o limite de delta x
tendendo a 0 dessa coisa grande.
Vamos lá.
O log de a menos b é igual a log
de a sobre b, então isso em cima,
o numerador, será igual ao
log natural de x mais
delta x sobre x.
Certo? a b a/b,
tudo isso sobre delta x.
Isso é igual ao limite de
delta x tendendo a zero -- eu acho

Slovak: 
rovný logaritmus(a / b) a to vychádza z faktu, že...
vlastností logaritmov sú v podstate mocnitele, takže ...
sa riadia pravidlami mocnenia.
A ak vám to nedáva zmysel, mali by ste si...
ich zopakovať tiež.
Ale poďme aplikovať túto vlastnosť logaritmov do našej rovnice.
Takže, prepíšem celý model a idem...
zmeniť farby, aby sme nezostali jednotvárny.
Máme limitu ako zmena(delta) x blížiacej sa k 0 z tohto veľkého modelu.
Pozrime sa.
Takže, logaritmus z "a" minus "b" sa rovná logaritmus(a lomeno b), takže na vrchu...
čitateľ, sa bude rovnať prirodzený logaritmus z x plus...
zmena(delta) x vydelené x.
Správne? a b a/b , všetko toto vydelíme zmenou(delta) x.
...
A to sa rovná limita zmeny(delta) x blížiacej sa k 0---Myslím si, že...

Czech: 
rovný logaritmus (a / b) a to vychází z faktu, že
vlastností logaritmů jsou v podstatě mocnitele,
takže se řídí pravidly mocněným.
A pokud vám to nedává smysl, měli byste si
jejich zopakovat také.
Ale pojďme aplikovat tuto vlastnost logaritmů do naší rovnice.
Přepíšu celý model a jdu
změnit barvy, abychom nezůstali jednotvární.
Máme limitu jako změna (delta) x blížící se k 0 z tohoto velkého modelu.
Podívejme se.
Takže, logaritmus z "a" minus "b" se rovná logaritmus (a lomeno b), takže na vrchu
čtenář, se bude rovnat přirozený logaritmus zx plus
změna (delta) x vydělené x.
Správně? aba / b, všechno toto vydělíme změnou (delta) x.
...
A to se rovná limita změny (delta) x blížící se k 0. Myslím, že

Arabic: 
= لوغارتم a / b، وهذا اتى من حقيقة ان
عبارات اللوغارتمات هي أسس في واقعها، لذا هي
تتبع قواعد الأسس
واذا لم يكن ذلك منطقياً بالنسبة لكم، فعليكم ان
تقوموا بمراجعتهم كذلك
لكن دعونا نطبق خاصية اللوغارتم هذه على هذه المعادلة
لذا دعوني اعيد كتابة كل شيئ، وسوف ابقى
اغير الالوان لكي لا يبدو الامر رتيباً
اذاً لدينا نهاية اقتراب دلتا x من الصفر لهذا الشيئ الكبير
دعونا نرى
لوغارتم a - لوغارتم b = لوغارتم a / b، اذاً هذا الجزء العلوي
اي البسط، يساوي اللوغارتم الطبيعي لـ x +
دلتا x / x
اليس كذلك؟ a b a/b، وكل ذلك مقسوم على دلتا x
كل ذلك مقسوم على دلتا x
وبذلك فإنه يساوي نهاية اقتراب دلتا x من الصفر --اعتقد

English: 
equal to log of a over b, and
that comes out of the fact that
logarithm expressions are
essentially exponents, so they
follow the exponent rules.
And if that doesn't make
sense to you, you should
review those as well.
But let's apply this logarithm
property to this equation.
So let me rewrite the whole
thing, and I'm going to keep
switching colors to keep it
from getting monotonous.
So we have the limit as delta x
approaches 0 of this big thing.
Let's see.
So log of a minus b equals log
a over b, so this top, the
numerator, will equal the
natural log of x plus
delta x over x.
Right? a b a/b, all of
that over delta x.
And so that equals the limit as
delta x approaches 0-- I think

Finnish: 
yhtä kuin logaritmi a jaettuna b:llä. Tämä on seurausta siitä
että logaritmit ovat oikeasti eksoponentteja.
ja siksi ne noudattaa eksponentti sääntöjä.
Ja mikäli tämä ei tunnu järjevältä, niin sinun kannattaa
kerrata myös ne.
Mutta käytetään logaritmin ominaisuuksia tähän yhtälöön.
Joten kirjoitan uudelleen koko homman.
Vaihdan värejä koko ajan
ettei tästä tulee liian yksitoikkoista.
Tutkimme siis raja-arvoa kun delta x lähestyy nollaa.
Tästä isosta jutusta tässä.q
Katsotaanpa.
Eli siis logaritmi a miinus b on yhtä kuin logaritmi a/b. 
Joten tämä yläosa
osoittaja, on yhtä kuin luonnollinen logaritmi x plus
delta x jaettuna x:llä
Eikö niin? a b a/b 
ja se kaikki jaettuna x:llä.
Ja se siis on yhtä kuin raja-arvo kun delta x lähestyy nollaa--

Estonian: 
log a/b ja see tuleb faktist et
logaritmid on põhimõtteliselt eksponendid, niisiis nad
järgivad eksponendi reegleid.
Ja kui sa ei mõista seda, siis sa peaks
need ka järele vaatama.
Aga kasutame seda logaritmi omadust selles võrrandis.
Las ma kirjutan selle kogu asja ümber ja ma
vahetan värve, et ei muutuks liiga monotoonseks.
Meil on piirväärtus, kui delta x läheneb nullile selles suures funktsioonis.
Vaatame.
Niisiis logaritm a miinus b on log a/b,
see ülemine osa võrdub ln x pluss
delta x jagatud x.
Õigus? a, b, a jagatud b, ja see kõik jagatud delta x.
Ja see võrdub piirväärtus protsessis kui delta x läheneb nullile -- ma arvan

Spanish: 
es igual al logaritmo de a sobre b, y eso sale del hecho de que
el logaritmo es escencialmente exponentes, asique siguen
las reglas de la función exponencial.
Y si eso no tiene sentido para vos, deberías
revisarlas tambien.
Apliquemos las propiedades del logaritmo a ésta ecuación.
Déjame reescribir todo, voy a continuar
cambiando de colores para evitar que se torne monótono.
Asi que tenemos el límite cuando x se aproxima a 0 de ésta gran cosa.
Veamos.
Logaritmo de a menos b es igual a logaritmo de a sobre b, asi que éste de arriba
,el numerador, va a ser igual al logaritmo natural de x mas
delta x sobre x
Bien? a b a/b, todo eso sobre delta x
Entonces eso equivale al límite cuando delta x se aproxima a 0 --creo que

Thai: 
เท่ากับ log ของ a ส่วน b และนั่นมาจากความจริงที่ว่า
พจน์ลอการิทึมที่สุดแล้วก็คือ เลขชี้กำลัง ดังนั้น
มันเลยเป็นไปตามหลักเลขชี้กำลัง
และหากคุณไม่เข้าใจ คุณควรกลับไปดู
เรื่องพวกนั้นด้วย
แต่ลองใช้สมบัติของลอการิทึมกับสมการนี้ดู
ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ใหม่ และผมจะเปลี่ยนสี
ไปเรื่อยเพื่อไม่ให้มันน่าเบื่อ
เราก็มีลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของก้อนใหญ่นี่
ลองดู
งั้น log ของ a ลบ b เท่ากับ log a ส่วน b งั้นข้างบนนี่
ตัวเศษ จะเท่ากับลอกธรรมชาติของ x บวก
เดลต้า x ส่วน x
จริงไหม? a b a/b, ทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
-
และนั่นเท่ากับลิมิตเมื่อ เดลต้า x เข้าใกล้ 0 -- ผมว่า

Indonesian: 
sama dengan log dari a di bagi b, dan dari situ telah terlihat fakta bahwa
ekspresi logaritma sangatlah penting untuk eksponen, maka mereka
mengikuti aturan eksponen.
Dan jika hal tersebut tidak dapat anda mengerti, maka anda harus
mengulang materi tersebut juga.
Tapi, marilah mengaplikasikan sifat logaritma berikut ke dalam persamaan ini.
Maka, ijinkanlah saya untuk menulis ulang semuanya dan saya akan terus
mengganti warna untuk mencegahnya menjadi monoton.
Jadi, kita memiliki limit saat delta x mendekati 0 dari hal besar ini.
Mari kita lihat.
Jadi log dari a dikurangi b sama dengan log a dibagi b, jadi yang di atas,
adalah numerator, akan sama dengan logaritma natural dari x ditambah
delta x dibagi x.
Benar kan? a b a/b, semua itu dibagi delta x
...
Oleh karena itu sama dengan limit saat delta x mendekati 0 -- Saya kira

Turkish: 
Bu logaritmaların aslında üsteller olasından
yani üstel kurallarına uymasından gelir.
.
Eğer bu mantıklı gelmiyorsa
bunların hepsini tekrar etmeniz gerekir.
Bu logaritmik özelliği denkleme uygulayalım.
Hepsini baştan yazayım.
Karışmasını önlemek için farklı renkler kullanacağım.
Δx 0'a yaklaşırken ki limiti alıyoruz.
Bakalım.
log a - log b = log (a/b) yani kırmızıyla yazılan denklemin payı
ln ( (x + Δx)/ x) olacak.
.
Değil mi a, b, a/b. Ve bunların hepsi Δx'in üstünde.
.
Δx 0'a yaklaşırken ki limit- bu arada

Hindi: 
लॉग ऑन करने के लिए बराबर के एक से अधिक बी, और कि आता है इस तथ्य से बाहर कि
लघुगणक का भाव हैं अनिवार्य रूप से exponents, तो वे
घातांक नियमों का पालन करें।
और अगर जो आप के लिए मतलब नहीं है, तुम चाहिए
उन लोगों के रूप में अच्छी तरह की समीक्षा करें।
लेकिन चलो यह लघुगणक गुण लागू करने के लिए इस समीकरण।
तो मुझे सब कुछ फिर से लिखना है, और मैं रखने जा रहा हूँ
इसे नीरस हो रहा से रखने के लिए और रंग स्विचन।
तो हम डेल्टा के रूप में सीमा एक्स 0 इस बड़ी बात का दृष्टिकोण।
चलो देखते हैं।
एक से अधिक प्रवेश करें ताकि लॉग एक शून्य बी के बराबर है बी, तो इस शीर्ष,
अमेरिका, प्राकृतिक लॉग एक्स प्लस के बराबर होगा
डेल्टा एक्स एक्स पर।
है ना? एक बी एक / b, डेल्टा से अधिक है कि सभी एक्स।
और इसलिए कि डेल्टा के रूप में सीमा के बराबर होती है एक्स दृष्टिकोण 0 - मुझे लगता है कि

Chinese: 
这是由
“对数式本质上是指数”得来的
因此遵循指数法则
如果不理解这点
也要再去回顾一下
将对数运算性质用于这个式子
改写这个整体
不断变换颜色
不至于单调
那么求Δx趋于0时
这个整体的极限
loga-logb=log(a/b) 所以上面这部分
分子=ln
((x+Δx)/x) 对吗？
a b a/b 整体/Δx
它=Δx趋于0时的极限

Korean: 
log a/b 와 같습니다
이는 로그로 표현된 식들이
근본적으로 지수를 나타내므로
지수법칙을 따른다는 사실로부터 기인합니다
만약 이해가 되지 않는다면,
이 역시 복습을 해야겠죠
로그의 성질을 이 식에 적용하도록 합시다
위 식을 다시 적도록 하겠습니다
단조로움을 피하기 위해 색을 바꾸면서요
x의 증분이 0에 가까워지는 이 식의 극한을
봅시다
log a - log b가 log a/b와 같으므로,
식의 분자는
ln x+Δx/x와 같습니다
이는 각각 a, b, a/b에 해당하고,
이를 Δx 로 나눕니다
 
이는,

Portuguese: 
igual a log de a sobre b, e isso deve-se ao facto de que
expressões logarítmicas são, essencialmente, expoentes, logo
respeitam as regras dos expoentes.
E se isto não fizer sentido, deverão
rever essas também.
Mas vamos aplicar esta propriedade algorítmica a esta equação.
Vou reescrever esta coisa toda, e continuarei
alternando cores para que não fique monótono.
O limite quando delta x tende para zero disto tudo.
Vejamos.
Log de a menos log de b é igual a log de a sobre b, logo
o numerador, é igual ao log natural de x mais
delta x sobre x.
Certo? a b a/b, tudo sobre delta x.
E, portanto, isto é igual ao limite quando delta tende para 0-- penso

Bulgarian: 
е равно на логаритъм от а/b
и това следва от факта, че
логаритмите са всъщност
изрази на степен, така че
те се подчиняват на
правилата за степените.
Ако това не ти звучи познато,
трябва да си го преговориш.
Сега да приложим свойството
на логаритмите в това равенство.
Ще преработя целия израз,
и ще продължа
да сменям цветовете, за да
не става еднообразно.
Нека да имам границата на 
този израз, когато делта х клони към 0.
Да видим.
Логаритъм от (а – b) е равно
на log(а) – log(b), значи тук отгоре,
изразът в числителя е равен
на натурален логаритъм от
х плюс Δх, върху х.
Нали? а, b, а/b, всичко
това върху Δх.
Това е равно на границата,
когато Δх клони към 0,

Polish: 
logarytm z a przez b, i to wynika z faktu, że
wyrażenia z logarytmami to w gruncie rzeczy funkcje wykładnicze i
podlegają tym samym zasadom.
Jeśli to co mówię nie ma dla Was sensu, powinniście
to także sobie odświeżyć.
Zastosujmy własności logarytmów w tym równaniu.
Pozwólcie, że przepiszę tę całą rzecz i będę
zmieniał kolory, aby nie stało się to monotonne.
Czyli mamy granicę przy delta x dążącym do 0 z tej dużej rzeczy.
Zobaczmy.
Logarytm z a minus b równa się logarytm z a przez b, czyli góra,
licznik, będzie równy logarytmowi naturalnemu z x plus
delta x przez x.
Prawda? a/b, to wszystko przez delta x.
I to jest równe granicy przy delta x dążącym do 0, myślę, że

Hindi: 
यह समय फिर से - रंग स्विच करने के लिए है डेल्टा एक्स 0 दृष्टिकोण
के - अच्छी तरह से मुझे सिर्फ इस 1 से अधिक डेल्टा लिखें हैं
सामने में बाहर एक्स।
तो यह डेल्टा से अधिक 1 एक्स, और हमें लेने के लिए जा रहे हैं
सब कुछ की सीमा।
ln एक्स एक्स से विभाजित किया है 1 प्लस डेल्टा एक्स एक्स पर।
मेले काफी है।
अब मैं एक और लघुगणक संपत्ति बाहर फेंक करने के लिए जा रहा हूँ और
उम्मीद है कि तुम्हें याद है कि - और मुझे गुण डाल
तो तुम्हें पता है कि यह सबूत - का हिस्सा नहीं है को अलग कि एक लॉग
बी बी करने के लॉग ऑन करने के बराबर है एक।
और जब तुम कुछ करने के लिए घातांक लेना कि से आता है,
और फिर एक और घातांक को निर्दिष्ट करने के लिए तुम सिर्फ गुणा करने के लिए
उन दो exponents.
मैं तुम्हें, लेकिन उम्मीद है कि आप को भ्रमित नहीं चाहता
यह याद रखना चाहिए।
तो कैसे यहाँ लागू करें?

English: 
it's time to switch colors
again-- delta x approaches 0
of-- well let me just write
this 1 over delta
x out in front.
So this is 1 over delta x,
and we're going to take
the limit of everything.
ln x divided by x is 1
plus delta x over x.
Fair enough.
Now I'm going to throw out
another logarithm property, and
hopefully you remember that--
and let me put the properties
separate so you know it's not
part of the proof-- that a log
b is equal to log
of b to the a.
And that comes from when you
take something to an exponent,
and then to another exponent
you just have to multiply
those two exponents.
I don't want to confuse
you, but hopefully you
should remember this.
So how does apply here?

Korean: 
x의 증분이 0에 가까워질 때,
분모를 앞으로 빼내어 1/Δx로
쓰겠습니다
1/Δx가 되고, 이제 이 식 전체의
극한을 구하도록 하겠습니다
x/x는 1이므로, 이는 ln(1 + Δx/x)가 됩니다.
 
이제 로그의 다른 성질을 또 적용할 것인데
기억이 난다면 좋겠습니다
성질은 따로 쓰겠습니다
증명의 일부가 아님을 알게요
a log b는 b의 a제곱에 로그를 씌운것과 같습니다
이는 어떤 수의 지수에
또 다른 지수를 씌우면 그 결과는
두 지수를 곱한 것과 같다는 것에서 비롯됩니다
헷갈리게 하고 싶지는 않지만,
이것을 기억했으면 합니다
그럼 이것을 어떻게 적용할까요

Slovak: 
že je čas zmeniť opäť farby--- zmena(delta) x blížiacia sa k 0...
z nechajte ma napísať 1 / zmena(delta)...
x na začiatok.
Takže, toto je 1/ zmena(delta) x a vezmeme ...
limitu zo všetkého.
Logaritmus x vydelený x je (1 plus zmena(delta) x ) / x.
No dobre.
Teraz idem využiť ďalšiu vlastnosť logaritmov a ...
dúfajme, že si ju pamätáte...a nechajte ma vlastnosti...
rozdeliť, aby ste vedeli že to nie je časť dôkazu---takže logaritmus...
">"a" krát logaritmus b je rovný logaritmus ( b umocnený a).
Vychádzame z toho, že keď niečo vezmeme na exponent...
a potom na ďalší exponent, musíte len vynásobiť...
tieto dva exponenty.
Nechcem vás zmiasť, ale mali by ste si...
to zapamätať.
Takže, ako to využiť tu ?

Spanish: 
es momento para cambiar de colores nuevamente-- delta x se aproxima a 0
de --bueno, permitime escribir este 1 sobre delta x
adelante.
Asi que esto es 1 sobre delta x, y vamos a tomar
el límite de todo.
logaritmo natural de x dividido por x es 1 más delta x sobre x.
Me parece bien.
Ahora voy a utilizar otra propiedad del logaritmo
y con suerte vos también lo recordás --dejame colocar las propiedades
separadas, asi entendés que no es parte de la justificación-- de que a por
el logaritmo de b es igual a a b a la a.
Y eso viene de cuando tomás algo a una exponente,
y luego a otro exponente, sólo hay que mutiplicar
esos dos exponentes
No quiero confundirte, pero espero
que lo recuerdes.
Cómo se aplica acá?

Estonian: 
et on aeg jälle värvi vahetada -- delta x läheneb nullile
-- las ma kirjutam selle 1 jagatud delta
x siia ette.
See on 1 jagatud delta x ja me võtame
sellest kõigest piirväärtuse.
ln x jagatud x on 1 pluss delta x jagatud x.
Õiglane.
Nüüd ma kasutan veel ühte logaritmi omadust.
Ja loodetavasti hoiate seda meeles -- las ma panen selle omaduse eraldi, et te
teaks, et see ei ole tõestuse osa -- see on
a korda log b võrdub log b astmel a.
Ja see tuleb kui sa võtad eksponendi
ja teise eksponendi, siis tuleb
need kaks eksponenti lihtsalt korrutada.
Ma ei taha teid segadusse ajada, aga loodetavasti
see jääb meelde.
Kuidas seda siin kasutada?

Indonesian: 
saatnya mengganti warna lagi-- delta x mendekati 0
dari-- ijinkanlah saya untuk menulis 1 dibagi delta
x di luar di depan.
Jadi ini adalah 1 dibagi delta x dan kita akan mengambil
limit dari semuanya.
ln x dibagi dengan x adalah 1 ditambah delta x dibagi x.
Cukup adil.
Sekarang saya akan mengeluarkan sifat lain logaritma, dan
saya harap anda mengingatnya-- dan ijinkan saya menaruh sifat
secara terpisah sehingga anda tahu bahwa hal itu bukan lah bagian dari contoh-- itu adalah log
b sama dengan log dari b menuju ke a
Dan hal itu terlihat dari saat anda mengambil sesuatu ke dalam eksponen,
ke eksponen lain sehingga anda harus mengalikan
dua eksponen tersebut.
Saya tidak ingin membingungkan anda, tapi saya harap anda
harus mengingat hal ini.
Maka, bagaimana mengaplikasikannya di sini?

Thai: 
ถึงเวลาเปลี่ยนสีอีกแล้ว -- เดลต้า x เข้าใกล้ 0
ของ -- ขอผมเขียนนี่เป็น 1 ส่วนเดลต้า
x ข้างหน้าแล้วกัน
งั้นนี่คือ 1 ส่วนเดลต้า x และเราจะใส่
ลิมิตของทุกอัน
ln x หารด้วย x ได้ 1 บวก เดลต้า x ส่วน x
ใช้ได้
ทีนี้ผมจะใช้สมบัติลอการิทึมอีกอัน
หวังว่าคุณคงจำได้ว่า -- ขอผมเขียนสมบัติ
แยกกัน เพื่อให้คุณรู้ว่ามันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของบทพิสูจน์ -- ว่า a log
b เท่ากับ log ของ b กำลัง a
และนั่นมาจากตอนที่คุณเอาอะไรสักอย่างยกกำลังสักเลขนึง
แล้วก็ยกกำลังอีกที คุณก็ต้องคูณ
เลขชี้กำลังทั้งสองเข้าด้วยกัน
ผมไม่อยากทำให้คุณงง แต่หวังว่าคุณ
จะจำมันได้
แล้วใช้ยังไงกับตรงนี้ล่ะ?

Chinese: 
又该换颜色了
Δx趋于0 把这个
1/Δx写在前面
这是1/Δx
求这全部的极限
ln( x/x=1 +Δx/x
没错
现在要给出另一个对数性质
希望大家还记得
把运算性质隔开 就知道
这不是证明过程
a・logb=log(b^a)
是这样得来的：某值的某一指数次幂
再取另一指数次幂时 只需
将两指数相乘
不想把大家说糊涂
希望大家记住它

Arabic: 
انه قد حان الوقت لتبديل الالوان-- اقتراب دلتا x من الصفر
لـ --حسناً، دعوني اكتب هذا الـ 1 اعلى دلتا
x الموجودة في الامام
اذاً هذا 1 / دلتا x، وسوف ناخذ
نهاية كل شيئ
ln x ÷ x = 1 + دلتا x / x
هذا كافي
الآن سوف اعطيكم خاصية لوغارتم اخرى، و
اتمنى انكم تتذكرون ان --ودعوني اضع الخصائص
منفصلة كي تعرفون انها ليست جزءاً من الاثبات-- ان لوغارتم
b = لوغارتم b^a
وهذا اتى عندما نرفع شيئ ما لأس معين
ومن ثم نرفعه لأس آخر، عليكم ان تضربوا
الاقترانين
لا اريد ان اربككم، لكن اتمنى انه
يجب عليكم تذكر هذا
اذاً كيف يطبق هنا؟

Turkish: 
renk değiştirelim-
Bu arada 1/ Δ x'i öne yazayım,
daha kolay anlaşılacak.
Yani 1/Δx ve her şeyin
limitini alacağız.
ln -- x/x= 1-- ln ( 1+(Δx/x))
Bu kısım tamamlandı.
Şimdi başka bir logaritmik özellik kullanacağım.
Umarım hatırlıyorsunuzdur. Yazacağım özellikleri ayrı bir kenara koyayım ki
bunların sorunun cevaplanmasıyla ilgili olmadığını anlayalım.
a log (b) = log(b^a).
Bu özellik bir sayıyı üstele taşıdığımızda ve sonra bir başka üstele taşıdığımızda
iki üstelin çarpılmasından
gelir.
Kafanızı karıştırmak istemiyorum
ama bunları hatırlıyor olmanız gerekiyor.
Peki bu denkleme nasıl uygulayacağız.

Finnish: 
Taas on aika vaihtaa väreja -- delta x lähestyy nollaa.
Kirjoitanpa tämä 1 jaettuna deltalla x:llä
koko logaritmilausekkeen eteen.
joten tämä on 1 jaettuna delta x:llä, 
ja me aiomme
ottaa raja-arvon koko hommasta.
ln(x) jaettuna x:llä plus delta x jaettuna x:llä
No niin.
No niin nyt muistellaan toista logaritmeihin
liittyvää ominaisuutta.
toivottavasti muistat tämän. -- laitanpa sen
erikseen tänne sivuun. jotta tiedät ettei se ole osa tätä todistusta
a kertaa logaritmi b:sta on yhtä kuin logaritmi b korotettuna potenssiin a.
Ja se tulee siitä kun korotat jonkun potenssiin
ja sitten sen uudelleen potenssiin, niin se on sama kuin
noiden kahden eksponentin tulo
En halua sekoittaa sinua, mutta toivottavasti
muistat tämän.
No mitenkäs sitä sovelletaan tässä?

Czech: 
je čas změnit opět barvy. Změna (delta) x blížící se k 0
z nechte mě napsat 1 / změna (delta)
x na začátek.
Takže, toto je 1 / změna (delta) xa vezmeme ...
limitu ze všeho.
Logaritmus x vydělený x je (1 plus změna (delta) x) / x.
No dobře.
Teď jdu využít další vlastnost logaritmů
a doufejme, že si ji pamatujete. A nechte mě vlastnosti
rozdělit, abyste věděli že to není část důkazu. Takže logaritmus
">" a "krát logaritmus b je roven logaritmus (b umocněný a).
Vycházíme z toho, že když něco vezmeme na exponent
a pak na další exponent, musíte jen vynásobit
tyto dva exponenty.
Nechci vás zmást, ale měli byste si
to zapamatovat.
Takže, jak to využít tady?

Bulgarian: 
пак ще сменя цветовете –
когато Δх клони към 0,
от... тук просто ще напиша
1/Δх тук отпред.
Значи това е 1/Δх,
и ще намерим
границата на всичко това.
ln от... х делено на х е 1,
плюс Δх/х.
Добре.
Сега ще използвам друго
свойство на логаритмите,
надявам се, че си спомняш...
ще сложа свойствата
отделно, те не са част
от доказателството –
а по log(b) е равно на log(b^a).
Това следва от факта,
че когато повдигаш нещо на степен,
и после на друга степен,
трябва просто да умножиш
тези две степени.
Не искам да те обърквам,
но се надявам,
че си спомняш това.
Как прилагаме това тук?

Polish: 
czas by znów zmienić kolory, przy delta x dążącym do 0
z, napiszę to 1 przez delta x
z przodu.
To jest 1 przez delta x i weźmiemy
granicę tego wszystkiego.
Logarytm naturalny z x przez x to 1 plus delta x przez x.
Dobrze.
Teraz skorzystam z kolejnej własności logarytmu,
mam nadzieję, że to pamiętacie, napiszę te własności
osobno, żebyście wiedzieli, że nie jest to część dowodu, że
a razy logarytm z b to logarytm z b do potęgi a.
A to wynika z tego, że jeśli coś potęgujemy raz,
a potem drugi, to należy po prostu
przemnożyć te dwie potęgi.
Nie chcę Wam tego pomieszać, ale mam nadzieję,
że to pamiętacie.
Więc jak to tutaj wykorzystamy?

Portuguese: 
que é altura de mudar cores de novo-- delta x aproxima-se de 0
de-- bem deixem-me só escrever isto-- 1 sobre delta
x no início.
Portanto, isto é 1 sobre delta x, e vamos pegar
no limite de tudo.
ln, x a dividir por x é 1, mais delta x sobre x.
Muito bem.
Agora vou usar outra propriedade dos algoritmos, e
espero que se lembrem disto-- e deixem-me separar as
propriedades para que saibam que não faz parte da demonstração-- que a log
b é igual a log de b elevado a a.
E isto vem de quando se eleva algo a um expoente,
e, em seguida, a outro expoente só tem que multiplicar
esses dois expoentes.
Não quero confundir-vos, mas espero que
se lembrem disto.
Então, como se aplica aqui?

Portuguese: 
que é hora de trocar de cor novamente --
delta x tendendo a zero de
-- bem, vou escrever 1 sobre delta x
na frente.
Então, temos 1 sobre delta x,
e nós calcularemos
o limite de tudo.
ln x dividido por x é 1
mais delta x sobre x
Muito bem.
Agora, vou usar outra
propriedade dos algoritmos, e
você deve se lembrar que --
vou anotar as propriedades
em separado para saber que
isso não faz parte da demonstração
a log b é igual
a log de b elevado a a.
E isso vem de quando você
eleva alguma coisa a um expoente,
e então a outro expoente você
simplesmente tem que multiplicar
esses dois expoentes.
Eu não quero confundir você,
mas você deve se lembrar disso.
Como aplicamos isso aqui?

English: 
Well this would be a log b.
So this expression is the
same thing as the limit.
The limit as delta x approaches
0 of the natural log of 1 plus
delta x over x to the
1 over delta x power.
And remember all this
is the natural log of
this entire thing.
And then we're going
to take the limit as
delta x approaches 0.
If you've watched the compound
interest problems and you know
the definition of e, I think
this will start to
look familiar.
But let me make a substitution
that might clean things
up a little bit.
Let me make the substitution,
let me call it n-- no, no, no,

Korean: 
이 식은 a log b의 꼴입니다
이 식은 다음과 같은데
x의 증분이 0에 가까워질 때
1 + Δx/x의 1/Δx제곱의 자연로그 값이 됩니다
기억할 것은 이 식이
이 전체의 자연로그 값이라는 것입니다
이제 x의 증분이 0에 가까워지도록
극한값을 구할 것입니다
복리 계산 문제들을 보았다면
e의 정의를 알겠죠
점점 익숙하게 보일 것입니다
치환을 통해서 식을 조금 더
깔끔하게 만들어 보죠
치환을 하겠습니다

Spanish: 
Bueno, esto deberia ser a por logaritmo de b.
Asi que esta expresión es la misma que el límite.
El límite cuando delta x se aproxima a 0 del logaritmo natural de uno
más delta x sobre x elevado a 1 sobre delta x
Y recuerda todo esto es el logaritmo natural de
esta cosa.
Y luego vamos a tomar el límite cuando
delta x se aproxima a 0.
Si has visto los problemas de interés compuesto y sabés
la definición de e, creo que te va a
resultar familiar.
Pero permitime hacer una sustitución que debería aclarar las cosas
un poco más.
Hagamos la sustitución, permíteme llamarlo n --no, no, no,

Arabic: 
حسناً، هذا يساوي لوغارتم b
ان هذه العبارة تعادل النهاية
اي نهاية اقتراب دلتا x من الصفر للوغارتم الطبيعي لـ (1 +
دلتا x / x)^1/دلتا x
وتذكروا ان كل هذا عبارة عن اللوغارتم الطبيعي لـ
هذا الشيئ كله
ومن ثم سوف ناخذ نهاية
اقتراب دلتا x من الصفر
اذا كنت قد شاهدت مسائل الفائدة المركبة وتعرف
تعريف e، فأنا اعتقد ان هذا
سيبدو مالوفاً
لكن دعوني اجري تعويضاً بحيث ربما يوضح الاشياء
قليلاً
دعوني اجري التعويض، دعوني اسميه n --لا، لا، لا

Estonian: 
See oleks a log b.
See avaldis on sama mis piirväärtus.
Piirväärtus kui delta x läheneb nullile protsessis ln 1 pluss
delta x jagatud x astmel 1 jagatud delta x.
Ja jätke meelde, et see on nat log
kogu sellest asjast.
Ja siis me võtame piirväärtuse
kui delta x läheneb nullile.
Kui sa oled vaadanud liitintressi probleeme, siis sa tead
et e definitsiooni.
See hakkab sarnasena paistma.
Las ma teen asenduse mis võib asju
selgemaks teha.
Teeme asenduse, nimetame seda n -- ei ei ei,

Polish: 
To by było a razy logarytm z b.
Czyli to wyrażenie jest takie samo, jak granica.
Granica przy x dążącym do 0 z logarytmu naturalnego z 1 plus
delta x przez x do potęgi 1 przez delta x.
I pamiętajcie, że to wszystko to logarytm naturalny z
całej tej rzeczy.
I potem weźmiemy granicę przy
delta x dążącym do 0.
Jeśli znacie problemy oprocentowania składanego i znacie
definicję e, to myślę, że zacznie to
wyglądać znajomo.
Ale pozwólcie, że dokonam zamiany, która być może
coś nieco rozjaśni.
Zamienię to, nazwę to n, nie, nie, nie,

Thai: 
นี่ก็คือ a log b
งั้นพจน์นี้ ก็เหมือนกับ ลิมิต
ลิมิตเมื่อ เดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของลอกธรรมชาติของ 1 บวก
เดลต้า x ส่วน x ยกกำลัง 1 ส่วน เดลต้า x
และจำไว้ว่าทั้งหมดนี่คือลอกธรรมชาติ
ของก้อนทั้งหมดนี่
แล้วเราก็ใส่ลิมิตเมื่อ
เดลต้า x เข้าใกล้ 0
หากคุณดูโจทย์ดอกเบี้ยทบต้น คุณจะรู้
นิยามของ e และผมว่านี่เริ่มดู
คุ้นแล้ว
แต่ขอผมแทนค่าให้ทุกอย่าง
ดูสะอาดหน่อย
ขอผมแทนค่า ขอผมเรียกมันว่า n -- ไม่ ไม่ ไม่

Hindi: 
खैर इस एक लॉग बी होगा।
तो इस अभिव्यक्ति सीमा के रूप में एक ही बात है।
डेल्टा के रूप में सीमा एक्स 0 1 प्लस के प्राकृतिक लॉग का दृष्टिकोण
डेल्टा डेल्टा से अधिक 1 एक्स पर एक्स पावर एक्स।
और याद है यह सब का प्राकृतिक लॉग है
इस पूरी बात है।
और फिर हम सीमा के रूप में लेने के लिए नहीं जा रहे हैं
डेल्टा एक्स 0 दृष्टिकोण।
चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याओं और तुम्हें पता है अगर तुमने देखा है
ई की परिभाषा, मुझे लगता है कि यह करने के लिए शुरू कर देंगे
देखो परिचित।
लेकिन मुझे चीजों साफ हो सकता है एक प्रतिस्थापन
थोड़ा सा ऊपर।
मुझे प्रतिस्थापन बनाने, मुझे यह n - नहीं, नहीं, नहीं कहते हैं,

Turkish: 
Bu a log(b) olur.
Yani bu ifade limitle aynı şey olur.
Δx 0'a yaklaşırken ln(1+ (Δx/x)^(1/Δx))
.
Hatırlayın, bütün bunlar doğal logaritma.
.
Ve sonra
Δx 0'a yaklaşırken limiti alacağız.
Eğer bileşik faiz sorularını izlediyseniz ve
e'nin tanımını biliyorsanız
tahminimce bunlar tanıdık gelmeye başlayacaktır.
Ama bir değiştirme yaparak
biraz daha açık olayım.
Değiştirmeyi yapayım.... n olarak adlandırayım... Yok hayır, vazgeçtim.

Chinese: 
这里怎么运用它呢？
这是a・logb
那么这个式子相当于
Δx趋于0时的极限
ln(1+Δx/x)^(1/Δx))
记住 是这个整体的
自然对数
然后求Δx趋于0时
的极限
如果看过复利问题的视频
就知道e的定义
这一步就开始看着熟悉
但这里用换元法
会更为清楚

Czech: 
Toto bude "a" krát logaritmus b.
Tento výraz je stejný jako limita.
Limita změny (delta) x blížící se nule z přirozeného logaritmu (1 plus
změna (delta) x / x) to celé na (1 / změna (delta) x).
Zapamatujte si, že všechno je to přirozený logaritmus
celého tohoto modelu.
A teď si vezmeme limitu jako
změnu (delta) x blížící se k 0.
Pokud jste sledovali složení zajímavých problémů a znáte
definici "e", myslím si, že by vám to mělo
být důvěrně známé.
Ale nechte mě udělat substituci, která objasní věci
alespoň trochu.
Takže, uděláme substituci, nazveme ji "n". Ne, ne, ne.

Slovak: 
Toto bude "a" krát logaritmus b.
Takže, tento výraz je rovnaký ako limita.
Limita zmeny(delta) x blížiacej sa k nule z prirodzeného logaritmu (1 plus ...
zmena(delta) x/ x ) to celé na (1/ zmena( delta) x ).
Zapamätejte si, všetko je to prirodzený logaritmus...
celého tohoto modelu.
A teraz si vezmeme limitu ako...
zmena( delta) x blížiaca sa k 0.
Ak ste sledovali zloženie zaujímavých problémov a poznáte...
definíciu "e", myslím si , že by vám to malo ...
byť dôverne známe.
Ale nechajte ma spraviť substitúciu, ktorá objasní veci...
aspoň trochu.
Takže, spravíme substitúciu, nazveme ju "n" ..nie, nie,nie ...

Bulgarian: 
Това ще бъде а по log(b).
Значи този израз е равен
на границата.
Границата, когато Δх клони към нула,
от натурален логаритъм...
от ln((1 + Δх/х) на степен 1/ Δх).
И си спомни, че това е натурален 
логаритъм от това цялото.
После намираме тази граница,
когато Δх клони към нула.
Ако си гледал/а задачи със сложно
взаимодействие и знаеш
определението на "е", тогава
мисля, че това ще ти се стори познато.
Но ще направя заместване, което
може да поизчисти малко нещата.
Ще направя полагане ,
ще използвам n, не, не, всъщност

Finnish: 
No tämä on a kertaa logaritmi b:stä
Joten kirjoitetaan, että tämä on sama kuin raja-arvo.
Raja-arvo siitä kun x lähestyy nollaa
luonnollinen logaritmi
1 plus delta x jaettuna x korotettuna
1/delta x:nteen potenssiin
Ja muista tästä kaikesta
otetaan luonnollinen logaritmi
Ja sitten me otamme raja-arvon
kun delta x lähestyy nollaa.
Jos olet katsonut korkoa-korolle tehtäviä
niin silloin tiedät
mikä on e:n määritelmä . Uskonpa että tämä
alkaa näyttää tutulta.
Mutta tehdään sijoitus joka saa asiat näyttämään sievemmältä
ainakin jonkin verran.
Tehdäänpä sijoitus, määrittelen sen - ei ei.

Portuguese: 
Bem, isso é a log b.
Então, essa expressão é
a mesma coisa que o limite.
O limite de delta x tendendo
a 0 do log natural de 1 mais
delta x sobre x elevado
a 1 sobre delta x.
E lembre-se, tudo isso
é o log natural
dessa coisa toda.
E então nós
calcularemos o limite
de delta x tendendo a 0.
Se você assistiu aos problemas de
juros compostos e você sabe
a definição de e, eu acho que
isso começará a
ficar familiar.
Deixe eu fazer uma substituição
que simplificará as coisas
um pouco.
Deixe-me fazer uma substituição,
vamos chamar de n -- não, não, não,

Portuguese: 
Bem, isso seria a log de b.
Assim, esta expressão é a mesma coisa que o limite.
O limite quando delta x tende para 0 de log natural de 1 mais
delta x sobre x elevado a 1 sobre delta x.
E lembrem-se que tudo isto é o log natural
desta coisa toda.
E, em seguida, fazemos o limite quando
delta x tende para 0.
Se assistiram aos problemas de juros compostos e sabem
a definição de e, acho que isto vai começar a
parecer familiar.
Mas deixem-me fazer uma substituição que pode limpar as coisas
um pouco.
Deixe-me substituir, chamemos-lhe n-- não, não, não,

Indonesian: 
Baiklah, hal ini akan menjadi a log b.
Maka ekspresi ini adalah sama dengan limit.
Limit saat delta x mendekati 0 dan logaritma natural dari kurung buka 1 ditambah
delta x dibagi x kurung tutup pangkat 1 dibagi delta x.
Dan ingat, semua ini adalah logaritma natural
dari semua hal ini.
Kemudian kita akan mengambil limit saat
delta x mendekati 0.
Jika anda melihat gabungan dari masalah-masalah yang menarik dan anda tahu
definisi dari e, saya kira hal ini akan mengawali untuk
menjadi familiar.
Akan tetapi, ijinkan saya untuk membuat pergantian yang mungkin akan menjelaskan semuanya
menjadi sedikit lebih jelas,
Ijinkan saya untuk membuat pergantian, ijinkan saya menyebut n-- bukan, bukan, bukan,

Czech: 
Nazvu ji "u". A ta je rovná změna (delta) x / x.
A pokud je to pravda, pak můžeme vynásobit obě
strany "x" a dostaneme "x * u" je rovný změně (delta) x.
nebo bychom také mohli vědět, že 1 / změna (delta) x je
rovná 1 / (x * u).
Jsou to ekvivalenty.
Takže uděláme substituci.
Pokud bereme, že limita je změna (delta) x blížící se k 0, v tomto
výrazu pokud je změna (delta) x blížící se k 0, k čemuž se
"u" přibližuje?
"u" se přibližuje k 0.
Takže, změna (delta) x se blíží k 0 je stejná věc jako když vezmeme
limitu "u" blížící se k 0.
Můžeme to tedy napsat jako limita "u" blížící se k 0 z
přirozených logaritmů 1 plus… Dobře, udělali jsme substituci, změna (delta) x
lomeno x je nyní u na 1 / změna (delta) x, a stejná

Portuguese: 
Vamos chamar de u -- é igual a
delta x sobre x.
E depois, se isso é verdade,
nós podemos multiplicar os dois
lados por x e nós temos que
xu é igual a delta x.
Ou podemos ter também que
1 sobre delta x é
igual a 1 sobre xu.
Tudo isso é equivalente.
Então, vamos fazer a substituição.
Se nós calcularmos o limite de
delta x tendendo a 0, nessa
expressão se delta x
tende para 0,
u tende a o que?
u tende a zero.
Então, delta x tendendo a zero é
a mesma coisa que calcular
o limite de u tendendo a zero.
Nós podemos escrever isso como
o limite de u tendendo a zero do
log natural de 1 mais -- bem, nós
fizemos a substituição, delta x
sobre x é agora u elevado a 1
sobre delta x, e essa mesma

Korean: 
Δx/x를 u라고 하면
식의 양변에
x를 곱할 수 있고
xu = Δx 라는 결과가 나오게 됩니다
이를 다르게 쓰면
1/Δx = 1/xu 라고도 할 수 있겠죠
이는 모두 같은 뜻입니다
치환을 이어서 하면
x의 증분이 0으로 접근하면,
 
u는 어떤 값으로 접근할까요?
u도 0으로 접근합니다
따라서 x의 증분을 0으로 접근시키는 것은
u를 0으로 접근시키는 것과 같은 말입니다
따라서 이 식을 u가 0으로 접근할 때
자연로그 1에
치환을 하였으므로
Δx/x 가 u고,  같은 방식으로

Turkish: 
u olarak adlandırayım. u= Δx/x
Eğer bu doğruysa iki tarafı da
x'le çarpabiliriz. xu= Δx'i elde ederiz.
Ya da 1/Δx = 1/xu.
İkisi de aynı şey.
Hepsi aynı.
Şimdi değiştirmeyi yapalım.
Şİmdi Δx 0'a yaklaşırken limiti alacaksak
u neye yaklaşacak?
.
u 0'a yaklaşıyor.
Yani Δx'in 0'a yaklaşmasıyla
u'nun 0'a yaklaşırken limitini almak aynı şey.
Yani bunu u 0'a yaklaşırken ki limit olarak yazabiliriz.
Δx/x artık u. ln((1 + u)^(1/xu))
.

Hindi: 
मुझे फोन यू-डेल्टा के लिए बराबर है एक्स एक्स पर।
और अगर यह सच है तो उसके बाद हम दोनों गुणा कर सकते हैं
एक्स द्वारा पक्षों और हम मिल xu डेल्टा के लिए बराबर है एक्स।
या हम भी पता होता है कि 1 x डेल्टा से अधिक है
xu पर 1 के बराबर।
इन सब के बराबर हैं।
तो चलो स्थानापन्न कमाएँ।
तो अगर हम ले रहे हैं सीमा डेल्टा है x 0, इस दृष्टिकोण
अभिव्यक्ति अगर डेल्टा x 0, दृष्टिकोण क्या
क्या यू दृष्टिकोण?
यू 0 दृष्टिकोण।
तो लेने के रूप में एक ही सटीक बात डेल्टा x 0 आ रहा है
यू के रूप में सीमा 0 दृष्टिकोण।
तो हम यह यू के दृष्टिकोण 0 के रूप में सीमा के रूप में लिख सकते हैं
प्लस - 1 का प्राकृतिक लॉग अच्छी तरह से हमने किया प्रतिस्थापन, डेल्टा एक्स
एक्स पर अब यू-1 करने के लिए डेल्टा x, और वह उसी से अधिक है

Chinese: 
换元 设为n
不了 设u=Δx/x
这样的话 两边同乘以x
得到xu=Δx
还能得出1/Δx
=1/(xu)
它们都是等价的 那么换元
求的是Δx趋于0时的极限
这个式子中 如果Δx趋于0
u趋于什么？ u趋于0
所以Δx趋于0相当于
求u趋于0时的极限
那么可以写成 当u趋于0时的极限
ln(1+ 已做了换元
现在Δx/x=u 1/Δx
由这换元可知

Finnish: 
määrittelen sen u:ksi --se on siis yhtä kuin delta x jaettuna x:llä.
Ja sitten jo se pitää paikkansa niin voin kertoa
molemmat puolet x:llä ja saamme xu on yhtä kuin delta x.
Tai me tiedämme myös että 1 jaettuna delta x:llä on
yhtä kuin 1 jaettuna xu:lla.
Nämä kaikki ovat sama asia.
Joten tehdäänpä sijoitus.
Jos siis olemme ottamassa raja-arvoa
delta x lähestyy nollaa, niin
tämä lauseke lähestyy nollaa, mitä
silloin u lähestyy?
u lähestyy nollaa.
Joten delta x lähestyy nollaa on ihan sama kuin
u:nraja-arvo kun u lähestyy nollaa.
Joten voimme kirjoittaa tämän u lähestyy nollaa
luonnollinen logaritmi 1 plus -- no me sijoitimme
delta x per x tilalle u -- sijoitimme sen siis 1/ x:n tilalla
ja se sama sijoitus

Spanish: 
llamémoslo u-- es igual a delta x sobre x.
Y luego si eso es correcto, podemos multiplicar ámbos
lados por x y luego obtener xu es igual a delta x.
O deberíamos saber también que 1 sobre delta x es
igual a 1 sobre xu.
Todas son equivalentes.
Hagamos la sustitución.
Asi que si vamos a tomar el límite cuando delta x se aproxima a 0, en ésta
expresión si delta x se aproxima a 0, ¿a qué
se aproxima u?
u se aproxima a 0.
Por lo que delta x aproximándose a 0 es exactamente lo mismo que tomar
el límite cuando u se aproxima a 0.
Asi que podemos escribirlo como el límite cuando u se aproxima a 0 del
logaritmo natural de 1 más --realizamos la sustitución, delta x
sobre x es ahora u-- elevado a 1 sobre delta x, y la misma

English: 
let me call u-- is equal
to delta x over x.
And then if that's true
then we can multiply both
sides by x and we get
xu is equal to delta x.
Or we would also know
that 1 over delta x is
equal to 1 over xu.
These are all equivalent.
So let's make the substitution.
So if we're taking the limit is
delta x approaches 0, in this
expression if delta x
approaches 0, what
does u approach?
u approaches 0.
So delta x approaching 0 is the
same exact thing as taking
the limit as u approaches 0.
So we can write this as the
limit as u approaches 0 of the
natural log of 1 plus-- well we
did the substitution, delta x
over x is now u-- to the 1
over delta x, and that same

Indonesian: 
ijinkan saya menyebutkan u-- sama dengan x dibagi x.
Dan jika hal tersebut benar maka kita dapat mengalikan kedua
sisi dengan x dan kita dapati xu sama dengan delta x.
Atau kita juga mengetahui bahwa 1 dibagi delta x adalah
sama dengan 1 dibagi xu.
Semua hal tersebut adalah ekuivalen.
Oleh karena itu, marilah kita membuat pengurangan.
Jadi, jika kita mengambil limit sebagai delta x mendekati 0, dalam
persamaan ini jika x mendekat 0, maka
pada variabel apakah u mendekat?
u mendekati 0.
Jadi delta x mendekati 0 adalah hal yang persis sama seperti
mengambil limit u mendekati 0.
Jadi kita dapat menulis ini sebagai limit saat u mendekati 0 dari
logaritma natural dari 1 ditambah-- kita telah membuat pergantian, delta x
dibagi x sekarang adalah u-- untuk menjadi 1 dibagi delta x, dan itu adalah

Bulgarian: 
ще използвам u = Δх /х.
Тогава, ако това е вярно,
можем да умножим двете страни
по х и да получим, че
хu е равно на Δх.
Също знаем, че 1/Δх
ще е равно на 1/хu.
Всички тези са 
еквивалентни.
Да направим заместването.
Ако вземем границата, когато
Δх клони към нула,
в този израз, ако 
Δх клони към нула,
към какво клони това?
u клони към 0.
Значи Δх, клонящо към 0,
е същото нещо като
границата, когато u
клони към 0.
Значи можем да напишем това
като границата, когато u клони към 0,
границата от натурален логаритъм
от 1 плюс... заместваме,
Δх/х сега е u, на степен
1/Δх , същото заместване

Estonian: 
las see olla u -- võrdub delta x jagatud jagatud x.
Ja kui see kehtib, siis saame korrutada
mõlemad pooled x-ga ja me saame xu võrdub delta x.
Või me teame, et 1 jagatud delta x on
1 jagatud xu.
Need on võrdsväärsed.
Teeme asenduse.
Kui me võtame piirväärtuse kui delta x läheneb nullile, siis kui
selles avaldises delta x läheneb nullile, siis
millele u läheneb?
u läheneb nullile.
Delta x läheneb nullile mis on sama kui võtta
piirväärtuse kus u läheneb nullile.
Seega me võime kirjutada piirväärtuse kus u läheneb nullile
ln 1 pluss -- me tegime asenduse, delta x
jagatud x on nüüd u -- astmel 1 jagatud delta x ja

Polish: 
nazwę to u, jest równe delta x przez x.
I teraz, jeśli to założymy, to możemy przemnożyć obie
strony przez x i otrzymamy, że x razy u jest równe delta x.
Dostaniemy też, że 1 przez delta x jest
równe 1 przez x razy u.
To wszystko jest równoważne.
Zróbmy takie podstawienie.
Jeśli bierzemy granicę przy delta x dążącym do 0,
w tym wyrażeniu, jeśli delta x dąży do 0, do czego
dąży u?
u dąży do 0.
Czyli delta x dążąca do 0, to dokładnie to samo, co branie
granicy przy u dążącym do 0.
Czyli możemy zapisać to jako granicę przy u dążącym do 0 z
logarytmu naturalnego z 1 plus, dokonaliśmy podstawienia, delta x
przez x to teraz u, do potęgi 1 przez delta x, i to samo

Thai: 
เรียกมันว่า u -- เท่ากับเดลต้า x ส่วน x
แล้วหากมันเป็นเช่นนั้น เราสามารถคูณทั้งสอง
ข้างด้วย x และเราได้ xu เท่ากับ เดลต้า x
หรือเรารู้ว่า 1 ส่วนเดลต้า x เท่ากับ
1 ส่วน xu
มันเหมือนกันหมด
งั้นแทนค่ากัน
หากเราใส่ลิมิต คือ เดลต้าเข้าใกล้ 0 ในรูปนี้
หากเดลต้า x เข้าใกล้ 0
u จะเข้าใกล้ค่าใด?
u เข้าใกล้ 0 เหมืนอกัน
ดังนั้น เดลต้า x เข้าใกล้ 0 ก็เหมือนกับการให้
ลิมิตเมื่อ u เข้าใกล้ 0
งั้นเราก็สามารถเขียนมันเป็น ลิมิตเมื่อ u เข้าใกล้ 0 ของ
ลอกธรรมชาติของ 1 บวก -- ตอนนี้เราทำการแทนค่า, เดลต้า x
ส่วน x คือ u -- กำลัง 1 ส่วนเดลต้า x และแทนค่า

Slovak: 
nazvem ju "u"--- je rovná zmena(delta) x / x .
A ak je to pravda, potom môžeme vynásobiť obe...
strany "x" a dostaneme "x*u" je rovný zmene(delta) x .
alebo by sme tiež mohli vedieť, že 1 / zmena(delta) x je...
rovná 1 / (x*u).
Sú to ekvivalenty.
Takže, vytvoríme subsitúciu.
Ak berieme, že limita je zmena(delta) x blížiaca sa k 0, v tomto...
výraze ak je zmena(delta) x blížiaca sa k 0, k čomu sa...
"u" približuje ?
"u" sa približuje k 0.
Takže, zmena(delta) x sa blíži k 0 je rovnaká vec ako keď vezmeme...
limitu " u" blížiace sa k 0.
Takže, to môžeme napísať ako limita "u" blížiace sa k 0 z...
prirodzeného logaritmu 1 plus---dobre, spravili sme substitúciu, zmena(delta) x...
lomeno x je teraz u --- na 1 / zmena( delta) x, a rovnaká...

Portuguese: 
chamemos-lhe u-- é igual a delta x sobre x.
E, se for verdade, podemos multiplicar ambos
os lados por x e temos que xu é igual a delta x.
Ou também saberíamos que 1 sobre delta x é
igual a 1 sobre xu.
Estes são todos equivalentes.
Então, vamos fazer a substituição.
Então, se nós estamos tomando o limite é delta x se aproxima de 0, nesta
expressão se delta x se aproxima de 0, o que
faz u abordagem?
u se aproxima de 0.
Portanto, delta x aproximando-se 0 é a mesma coisa exata como tendo
o limite como u se aproxima de 0.
Assim podemos escrever isto como o limite como u abordagens 0 da
log natural de 1 plus - bem fizemos a substituição, delta x
sobre x é agora-u-a 1 sobre delta x e nesse mesmo

Arabic: 
دعوني اسميه u-- يساوي دلتا x / x
ومن ثم اذا كان ذلك صحيحاً، بالتالي يمكننا ان نضرب كلا
الطرفين بـ x ونحصل على xu = دلتا x
او اننا ايضاً نعرف ان 1 / دلتا x
= 1 / xu
كلاهما متعادلان
اذاً دعونا نجري التعويض
فاذا اخذنا نهاية اقتراب دلتا x من الصفر، في هذه
العبارة اذا كان دلتا x تقترب من الصفر، فما
الذي يقترب منه u؟
u يقترب من الصفر
اذاً اقتراب دلتا x من الصفر يعادل اخذ
نهاية اقتراب u من الصفر
اذاً بامكاننا ان نكتب هذا كالتالي: نهاية اقتراب u من الصفر
للوغارتم الطبيعي لـ 1 + --حسناً، لقد اجرينا التعويض، دلتا x
/ x عبارة عن u الآن-- مرفوع للقوة 1 / دلتا x، وذلك

Turkish: 
.
.
.
Bunun bir üstel özellik olduğunu biliyoruz.
Ayrı bir renkte yazacağım.
a^bc = (a^b)^c
.
Bu bize bunun u 0'a yaklaşırken ki limitini gösterir. ln(1+u).
Yeşille gösterilen kısımda üstel olarak 1/xu vardı değil mi?
O zaman burada da 1/u var. Ve onunda üstünde 1/x var.
.
Nasıl yaptım bunu?
Üstel özelliğinden değil mi?

Chinese: 
它=1/(xu)
记住 是对整体求自然对数
已知道这个指数性质
用另一种颜色表示
已知道a^(bc)=
(a^b)^c
由此可知 它=
u趋于0时的极限ln((1+u)^(1/u)
因为这是1/(xu) 对吗？
然后 整体^(1/x)
怎么算出它的呢？
只是根据这个指数性质 对吗？
如果化简它 可得(1/x)・(1/u)

Bulgarian: 
означава, че тук 
ще бъде 1/хu.
Спомни си, че това е натурален 
логаритъм от целия израз.
Знаем свойството за степените,
което ще напиша с различен цвят.
Знаем, че а на степен bc
е равно на а на степен b, на степен с.
Това означава, че това
е равно на границата, когато
u клони към нула, от натурален
логаритъм от (1 + u) на степен 1/u,
това е 1върху xu, нали?
1/u, и после цялото това
е на степен 1/х.
Как направих това?
Само от това свойство
на степените, нали?

Polish: 
podstawienie mówi nam, że to to samo, co 1 przez x razy u.
Pamiętajcie, bierzemy logarytm naturalny całości.
I znamy tę własność funkcji wykładniczych, którą
napiszę innym kolorem.
Wiemy, że a do potęgi b razy c, to a do potęgi b
do potęgi c.
To mówi nam, że to jest równe granicy przy u
dążącym do 0 z logarytmu naturalnego z 1 plus u do potęgi 1/u, ponieważ
to jest jeden przez x razy u, zgoda?
1/u i to wszystko do potęgi 1/x.
Jak to zrobiłem?
Korzystając tylko z tej własności funkcji wykładniczej, prawda?

English: 
substitution told us that's the
same thing as one over xu.
Remember we're taking the
natural log of everything.
And we know this is an exponent
property, which I'll now
do in a different color.
We know that a to the bc
is equal to a to the
b to the c power.
So that tells us that this me
is equal to the limit as u
approaches 0 of the natural log
of 1 plus u to the 1/u, because
this is one over xu, right?
1/u, and then all of
that to the 1/x.
And how did I do that?
Just from this exponent
property, right?

Indonesian: 
pergantian yang sama dengan 1 dibagi xu.
...
Ingatlah, kita mengambil logaritma natural dari semuanya.
Dan kita tahu bahwa ini adalah sifat eksponen, dimana saya akan
melakukannya dengan warna yang berbeda.
Sekarang kita tahu bahwa a ke bc adalah sama dengan a ke
b ke c pangkat.
Jadi, hal tersebut memberitahukan pada kita bahwa me ini adalah sama dengan limit saat u
mendekati 0 dari logaritma natural dari 1 ditambah u ke 1/u, karena
ini adalah 1 dibagi x, benar kan?
1/u dan setelah itu semua menjadi 1/x.
Dan bagaimana saya melakukannya?
Hanya dari sifat eksponen, benar?

Arabic: 
التعويض نفسه اخبرنا ان ذلك يعادل 1 / xu
.
تذكروا اننا ناخذ اللوغارتم الطبيعي لكل شيئ
ونحن نعلم ان هذه خاصية أسس، والتي سوف
اضعها بلون مختلف الآن
نعلم ان a^bc =
(a^b)^c
اذاً هذا يوضح لنا ان هذا يساوي نهاية
اقتراب u من الصفر للوغارتم الـ (1 + u)^1/u، لأن
هذا 1/xu، اليس كذلك؟
1/u، ومن ثم كل ذلك مرفوع للقوة 1/x
وكيف فعلت ذلك؟
عن طريق خاصية الأسس هذه، اليس كذلك؟

Hindi: 
प्रतिस्थापन xu पर एक के रूप में एक ही बात है कि हमें बताया।
याद है हम सब कुछ की प्राकृतिक प्रवेश ले जा रहे हैं।
और हम जानते हैं कि यह एक प्रतिपादक गुण, जो मैं अब हूँ है
किसी भिन्न रंग में करते हैं।
हम जानते हैं कि किसी को ई. पू. के बराबर है एक करने के लिए
कॉट शक्ति को बी।
इसलिए कि हमें यह मुझे बताता है कि यू के रूप में सीमा के बराबर
0 1 प्लस यू के प्राकृतिक लॉग का 1/u करने के लिए, क्योंकि दृष्टिकोण
यह एक से अधिक xu, सही है?
1/u, और उस के तत्कालीन अखिल 1 / एक्स।
और कैसे मैंने ऐसा किया था?
बस इस प्रतिपादक संपत्ति से, है ना?

Portuguese: 
substituição nos dá que é
a mesma coisa que 1 sobre xu.
Lembre-se: nós estamos calculando
o log natural de tudo isso.
E nós sabemos que essa é uma propriedade
da exponenciação, que eu farei agora
em uma cor diferente.
Nós sabemos que a elevado a bc
é igual a a elevado a
b elevado a c.
Com isso, temos que isso
é igual ao limite de u
tendendo a 0 do log natural
de 1 mais u elevado a 1/u, porque
isso é 1 sobre xu, certo?
1/u, e depois tudo
elevado a 1/x
E como eu fiz isso?
Direto dessa propriedade
da exponenciação, certo?

Thai: 
แบบเดียวกันนี้ ทำให้มันเหมือนกับ หนึ่ง ส่วน xu
-
จำไว้ว่าเราใส่ลอกธรรมชาติของทุกอย่าง
และเรารู้ว่านี่คือสมบัติของเลขชี้กำลัง ซึ่งผมจะ
เขียนด้วยสีใหม่
เรารู้ว่า a กำลัง bc เท่ากับ a กำลัง b
ยกกำลัง c
นั้นเลยบอกเราว่า เจ้านี่เท่ากับลิมิตเมื่อ u
เข้าใกล้ 0 ของลอกธรรมชาติของ 1 บวก u กำลัง 1/u เพราะ
นี่คือ 1 ส่วน xu จริงไหม?
1/u แล้วทั้งหมดนั่นกำลัง 1/x
ผมทำได้ยังไง?
ก็มาจากสมบัติของเลขชี้กำลัง จริงไหม?

Slovak: 
substitúcia nám hovorí, že je to rovnaké ako 1/(x*u).
...
Zapamätajte, si že berieme prirodzený logaritmus všetkého.
A vieme že toto je pravidlo mocnenia, takže to teraz ...
napíšem v inej farbe.
Vieme, že "a" na " b*c" je rovné "a" na...
"b" a to celé na "c".
To nám hovorí, že je to rovné limite u...
blížiace k 0 z prirodzeného logaritmu z (1 plus u) to celé na 1/u, pretože...
toto je 1 / (x*u), správne ?
1/u, a potom to všetko na 1/x.
Ako som to spravil ?
Iba z pravidla mocnenia, správne?

Estonian: 
see sama asendus ütles meile, et see sama asi on üks jagatud xu.
Me võtame ln kõigest.
Ja me teame et se on eksponendi omadus, mida ma teen
nüüd teise värviga.
Me teame et a astmel bc võrdub a astmel
b astmel c.
See ütleb meile, et see on võrde piirväärtusega kui u läheneb
nullile ln 1 pluss u astmel 1/u,
kuna see on 1 jagatud xu, õigus?
1/u, ja see kõik astmel 1/x.
Kuidas ma seda tegin?
Kasutades seda eksponendi omadust, õigus?

Portuguese: 
substituição disse-nos que é a mesma coisa que um em detrimento de xu.
Lembre-se, que nós estamos tomando o log natural de tudo.
E sabemos que esta é uma propriedade de expoente, que eu vou agora
fazer em uma cor diferente.
Sabemos que um para o bc é igual a um para o
b o poder c.
Assim que nos diz que isto me é igual ao limite como u
abordagens 0 do log natural de 1 mais u 1/u, porque
Isto é um sobre xu, certo?
1/u e, em seguida, tudo do que o 1 / x.
E como posso fazer isso?
Só a partir dessa propriedade expoente, certo?

Spanish: 
sustitución nos dice que es lo mismo que uno sobre xu.
recuerda que estamos realizando el logaritmo natural de todo.
Y sabemos que esta es una propiedad de las potencias, la cual ahora
voy a hacer en un color diferente.
Sabemos que a elevado a bc es igual a a elevado a
b elevado a c
Asi que esto nos dice que me es igual al límite cuando u
se aproxima a 0 del logaritmo natural de 1 mas u elevado a 1/u,
porque este es 1 sobre xu, verdad?
1/u, y luegeo todo eso elevado a 1/x.
¿Y cómo lo hice?
Simplemente por esta propiedad de las potencias, no?

Finnish: 
voitiin myös kirjoittaa muotoon 
yksi jaettuna xu:lla
Mustai me olemme ottamassa luonnollista logaritmia kaikesta.
Ja me tiedämme että tämä on eksponenttien ominaisuus
jonka teen nyt eri värillä.
.
Me tiedämme että a korotettuna bc:n
on yhtä kuin a korotettuna b:n ja se korotettuna c:n
Joten sen perusteella tämä raja-arvo
kun u lähestyy
nollaa luonnollinen logaritmi 1 plus u korotettuna 1/u:n
koska tämä on korotettuna 1/xu:n, eikö?
ja se kaikki korotettuna 1/x:n
No mitenkä minä sen sain aikaiseksi?
Vain soveltamalla eksponentti sääntöjä, eikö niin?

Czech: 
substituce nám říká, že je to stejné jako 1 / (x * u).
...
Zapamatujte, si že bereme přirozený logaritmus všeho.
A víme že toto je pravidlo mocněným, takže to teď
napíšu v jiné barvě.
Víme, že "a" na "b * c" je rovné "a" na
"b" a to celé na "c".
To nám říká, že je to rovné limitu u
blížící k 0 z přirozeného logaritmu z (1 plus u) to celé na 1 / u, protože
toto je 1 / (x * u), správně?
1 / u, a pak to vše na 1 / x.
Jak jsem to udělal?
Pouze z pravidla mocněným, správně?

Korean: 
지수는 1/xu와 같습니다
 
식 전체의 자연로그를 구하는 것임을 기억하고
지수의 성질을 쓸 수 있는데
 
a의 bc제곱은
a를 b제곱한 것의 c제곱과 같습니다
따라서 이 식은
u가 0의 접근할 때 자연로그 1+u를 1/u제곱한 뒤
원래 지수가 1/xu 이므로
그 값을 또 1/x제곱한 것의 극한입니다
이를 어떻게 했죠?
지수의 성질을 사용했을 뿐입니다

Korean: 
이를 다시 간단히 쓴다면 
지수가 1/x와 1/u이므로
여기 이 1/xu가 지수가 됩니다
이 로그의 성질을 역으로 적용할 수 있습니다
로그 안에 b의 a 제곱이 있다면
a을 로그 바깥으로 빼낼 수 있습니다
따라서 이 1/x를 빼서
자연로그 앞에 쓸 수 있습니다
이제 남은 것이 무엇일까요?
거의 다 되었습니다
u가 0에 접근하는 극한에서
1/x를 자연로그 앞에 쓴 후
1+u의 1/u 제곱의 자연로그를 써줍니다
 
u가 0으로 접근하는 극한을 다루고 있는데, 
x를 포함한 이 부분은
u를 포함하고 있지 않습니다
이를 극한 밖에 쓸 수 있습니다
이를 극한 밖에 쓸 수 있습니다
이제 알아보고자 하는 것은
u가 0으로 접근함에 따라 이 식이 어떻게 되는지입니다

Portuguese: 
Se eu fosse para simplificar isso, eu teria 1 / x vezes 1/u, e
Isso é onde eu recebo este 1 sobre xu.
Bem, então apenas podemos fazer essa propriedade de logaritmo na ordem inversa.
Se eu tiver b para o um que posso colocar que uma frente para fora.
Assim que eu poderia tomar este 1 / x e colocá-lo na frente
do log natural.
Portanto, agora o que eu tenho?
Estamos quase lá.
Nós temos o limite como abordagens u 0.
Tomar esse 1 / x, colocá-lo na frente do sinal de registro natural.
1 / x vezes o natural log de 1 mais u a 1/u.
Favoravelmente bastante.
Quando nós estamos tomando o limite como u se aproxima de 0, x, este termo
não envolve-lo em tudo.
Assim nós poderia tirar isso na frente, porque o limite
não afeta este termo.
E, em seguida, estamos basicamente dizendo o que acontece a este
expressão como o limite como u se aproxima de 0.

Finnish: 
Jos sieventäisin tämän, niin saisin 1/x kertaa 1/u
ja siitä sain 1 jaettuna xu:lla.
No me voimme käyttää tätä logaritmi ominaisuuttaa kääntäen.
Jos olen korottamassa b:ta a:n, niin
silloin voin ottaa tämän tänne eteen.
Joten voin ottaa tämän 1/x ja laittaa sen
tämän luonnollisen logaritmin eteen.
No mitäs meillä nyt on?
Me olemme melkein valmiit.
Meillä on raja-arvo kun u lähestyy nollaa.
Otetaan 1/x luonnollisenlogaritmin eteen.
1/x kertaa luonnollinenlogaritmi 1 plus 1/u
Siistii
Kun me otamme raja-arvoa u:sta,
x:n arvo on u:sta riippuimaton
Joten se voidaan ottaa eteen
sillä u ei vaikuta siihen termiin.
Ja sitten me pääsemme näkemään mitä
tälle termille tapahtuu kun u:n raja-arvo lähestyy nollaa.

Chinese: 
即这里得出的1/(xu)
现在只需逆用对数运算性质
如果是b^a 可以把a前置
那么可以把这1/x
放到ln前面
得到什么呢？ 快证明出来了
得到u趋于0时的极限
把1/x放到ln前面
1/x・ln((1+u)^(1/u))
没错
求u趋于0时的极限时 x
这项没牵涉到
可以把它放前面
因为求极限不影响这一项
然后实质上也就是问
u趋于0时 这个式子是什么？
所以它等价于1/x・ln
u趋于0时(1+u)^(1/u)的极限

Estonian: 
Kui ma seda lihtsustaks, siis mul oleks 1/x korda 1/u ja
see on kust ma selle 1 jagatud xu sain.
Siis me võime teha selle logaritmi omaduse tagurpidi.
Kui mul on b astmel a, siis võib selle a ette panna.
Siis ma võin võtta selle 1/x ja panna selle
ln ette.
Mis mul siin nüüd on?
Me oleme peaaegu valmis.
Meil on piirväärtus kui u läheneb nullile.
Võta see 1/x ja pane see ln ette.
1/x korda ln 1 plus u astmel 1/u.
Õiglane.
Kui me võtame piirväärtuse kui u läheneb nullile, x, siis see term
ei muuda midagi.
Me võime selle siia ette võtta kuna piirväärtus
ei mõjuta seda termi.
Ja seda me ütlemegi siin
avaldises juhtuvat kui u läheneb nullile.

Polish: 
Jeśli chciałbym to uprościć, miałbym 1/x razy 1/u
i właśnie tutaj dostaję 1 przez x razy u.
Teraz możemy skorzystać z własności logarytmu w drugą stronę.
Jeśli mam b do potęgi a, to mogę wyciągnąć a przed całe wyrażenie.
Czyli mogę wziąć to 1/x i napisać przed
logarytmem naturalnym.
Co mamy teraz?
Jesteśmy już prawie na miejscu.
Mamy granicę przy u dążącym do 0.
Weźmy to 1/x i napiszmy przed symbolem logarytmu naturalnego.
1/x razy logarytm naturalny z 1 plus u do potęgi 1/u.
Dobra.
Kiedy bierzemy granicę przy u dążącym do 0, x,
ten wyraz w ogóle tego nie zawiera.
Możemy więc wyciągnąć to przed całe wyrażenie, bo granica
nie ma wpływu na ten składnik.
I teraz po prostu mówimy, co dzieje się z tym
wyrażeniem, kiedy u dąży do 0.

English: 
If I were to simplify this, I
would have 1/x times 1/u, and
that's where I get
this 1 over xu.
Well then we can just do this
logarithm property in reverse.
If I have b to the a I can
put that a out front.
So I could take this 1/x
and put it in front
of the natural log.
So now what do I have?
We're almost there.
We have the limit
as u approaches 0.
Take that 1/x, put it in front
of the natural log sign.
1/x times the natural log
of 1 plus u to the 1/u.
Fair enough.
When we're taking the limit as
u approaches 0, x, this term
doesn't involve it at all.
So we could take this out in
front, because the limit
doesn't affect this term.
And then we're essentially
saying what happens to this
expression as the limit
as u approaches 0.

Spanish: 
Si fuese a simplificar esto, tendría 1/x por 1/u,
y de eso es de donde obtengo este 1 sobre xu
Entonces podemos realizar esta propiedad del logaritmo al revés.
Si tengo b a la a, puedo sacar el a afuera.
Entonces puedo tomar este 1/x y colocarlo adelante
del logaritmo natural
¿Y ahora que tengo?
Ya casi llegamos.
Tenemos el límite cuando u se aproxima a 0.
Tomo ese 1/x, lo coloco adelante del signo del logaritmo natural.
1/x por el logaritmo natural de 1 mas u elevando a 1/u
Parece bien.
Cuando estamos calculando el límite cuando u se aproxima a 0, x, este término
no se involucra para nada.
Por lo que podríamos sacarlo, porque el límite
no le afecta a este término.
Y estamos escencialmente diciendo lo que sucede a esta
expresión cuando el límite se aproxima a 0.

Slovak: 
Ak by som zjednodušoval toto, musel by som 1/x násobit 1/u,a...
to je to ako dostanem 1/(x*u).
Potom môžeme využiť pravidlo logaritmov spätne.
Ak máme "b" na "a" , môžeme "a" napísať na začiatok.
Potom môžem vziať 1/x a dať ho na začiatok...
prirodzeného logaritmu.
Čo sme dostali teraz ?
Už sme skoro na konci.
Máme limitu u, ktoré sa blíži k 0.
Zoberieme 1/x, položíme ho na začiatok prirodzeného logaritmu...
1/x krát prirodzený logaritmus z ( 1 + u) to celé na 1/u.
No dobre.
Keď si vezmeme limitu ako u blížiace sa k 0, x, v tomto prípade...
to nezahrňuje vôbec.
Takže môžeme toto vybrať úplne na začiatok, pretože limita...
nemá vplyv na tento výraz.
A potom v podstate hovoríme, čo sa stalo tomuto...
výrazu ako limita z u, ktoré sa blíži k 0.

Bulgarian: 
За да опростя това, имам
1/х по 1/u, и от тук
дойде това 1/хu.
И сега прилагаме свойството 
на логаритъма наобратно.
Ако имам b^a, просто
изнасям а отпред.
Значи изнасям 1/х пред
натуралния логаритъм.
Какво получаваме?
Почти сме готови.
Имаме граница за
u, клонящо към 0.
Взимаме 1/х и го изнасяме пред
означението за натурален логаритъм.
1/х по натурален логаритъм
от (1 + u) на степен 1/u.
Добре.
Границата, когато
u клони към 0,
х, този член изобщо
не участва.
Значи изнасяме това отпред, защото 
границата не влияе на този член.
И сега гледаме какво
се случва с този израз
като граница, когато
u клони към 0.

Czech: 
Pokud bych zjednodušoval toto, musel bych 1 / x násobit 1 / u, a
to je to jako dostanu 1 / (x * u).
Pak můžeme využít pravidlo logaritmů zpětně.
Pokud máme "b" na "a", můžeme "a" napsat na začátek.
Pak mohu vzít 1 / xa dát ho na začátek
přirozeného logaritmu.
Co jsme dostali teď?
Už jsme skoro na konci.
Máme limitu u, které se blíží k 0.
Vezmeme 1 / x, položíme ho na začátek přirozeného logaritmu
1 / x krát přirozený logaritmus z (1 + u) to celé na 1 / u.
No dobře.
Když si vezmeme limitu jak u blížící se k 0, x, v tomto případě
to nezahrnuje vůbec.
Takže můžeme toto vybrat úplně na začátek, protože limita
nemá vliv na tento výraz.
A pak v podstatě říkáme, co se stalo tomuto
výrazu jako limita zu, které se blíží k 0.

Thai: 
หากผมจัดรูปเจ้านี่ ผมก็ได้ 1/x คูณ 1/u และ
นั่นคือที่ที่ผมได้ 1 ส่วน xu
แล้วเราก็ใช้สมบัติลอการิทึมย้อนกลับ
หากผมมี b กำลัง a ผมสามารถดึง a มาข้างหน้า
งั้นผมก็เอา 1/x มาไว้ข้างหน้า
ลอกธรรมชาติได้
แล้วตอนนี้เรามีอะไร?
เราใกล้ได้แล้ว
เรามีลิมิตเมื่อ u เข้าใกล้ 0
เอา 1/x มา วางไว้ข้างหน้าเครื่องหมายลอกธรรมชาติ
1/x คูณลอกธรรมชาติของ 1 บวก u กำลัง 1/u
ใช้ได้
เมื่อเราหาลิมิตเมื่อ u เข้าใกล้ 0, x, เทอมนี้
ไม่เกี่ยวกับที่เหลือ
เราก็เลยดึงมันออกมาข้างหน้า เพราะลิมิต
ไม่มีผลต่อเทอมนี้
แล้วในที่สุด เราก็บอกว่าเกิดอะไรขึ้นกับ
เทอมนี้เมื่อลิมิต u เข้าใกล้ 0

Indonesian: 
Jika saya akan menyederhanakan persamaan ini, Saya akan mempunyai 1/x dikali 1/u, dan
dari sanalah saya mendapatkan 1 dibagi xu.
Baiklah, sekarang kita dapat melakukan sifat logaritma ini secara berkebalikan.
Jika saya mempunyai b ke a saya dapat menaruh a di depan.
Jadi saya mencoba mengambil 1/x dan menaruhnya di depan
dari logaritma natural.
Jadi sekarang, apakah yang saya punya?
Kita hampir sampai ke sana.
Kita mempunyai limit saat u mendekati 0.
Mengambil 1/x, menaruhnya di depan tanda logaritma natural.
1/x dikali dengan logaritma natural dari 1 ditambah u menuju ke 1/u.
Cukup adil.
Saat kita mengambil limit saat u mendekati 0, x, pernyataan ini
tidak melibatkan semua hal tersebut.
Jadi kita dapat menaruh hal ini ke depan, karena limit
tidak mempengaruhi pernyataan ini.
Dan kemudian, kita penting untuk mengatakan apa yang terjadi pada
ekspresi dari limit saat u mendekati 0.

Turkish: 
Bunu sadeleştirecek olsaydım 1/x ile 1/u'yu çarpardım
ve 1/xu elde ederdim.
Bu logaritmik özelliği tersten de yapabiliriz.
Eğer b üzerinde a varsa a'yı ön tarafa çıkartabilirim.
Yani 1/x'i
doğal logaritmanın önüne koyabilirim.
Şimdi elimde ne var?
Bitirmek üzereyiz.
u 0'a yaklaşırken ki limit var.
1/x'i alıp doğal logaritma işaretinin önüne koyun.
1/x(ln(1+u)^(1/u)).
Yeterince iyi.
u 0'a yaklaşırken ki limiti alırken bu terim
hiç bir işe yaramıyor.
O yüzden onu ön tarafa çıkartabiliriz
çünkü etki yapmayacak.
Ve sonra bu ifadeye
u 0'a yaklaşırken ne olduğunu söylüyoruz.

Arabic: 
اذا اردت ان ابسط هذا، فسوف احصل على 1/x × 1/u، و
من هنا قد حصلت على 1 / xu
حسناً، ومن ثم يكون بامكاننا ان ان نعود لخاصية اللوغارتمات هذه
اذا كان لدي b^a فيمكنني ان اضع a تلك في المقدمة
اذاً بامكاني ان آخذ 1/x هذا واضعه في مقدمة
اللوغارتم الطبيعي
ماذا لدي الآن؟
انني هنا
لدينا نهاية اقتراب u من الصفر
نأخذ 1/x ذلك، ونضعه امام رمز اللوغارتم الطبيعي
1/x × اللوغارتم الطبيعي للـ (1 + u)^1/u
هذا كافي
عندما نأخذ نهاية اقتراب u من الصفر، فإن عبارة x هذه
لا تنطوي عليها
اذاً بامكاننا ان نأخذ هذا الى الامام، لأن النهاية
لا تؤثر على هذه العبارة
ومن ثم نقول ماذا يحدث لهذه
العبارة كلما اقتربت نهابة u من الصفر

Portuguese: 
Se eu quisesse simplificar isso, eu
teria 1/x vezes 1/u e
daí eu chegaria
nesse 1 sobre xu.
Bem, depois nos podemos aplicar
reversamente essa propriedade dos logaritmos
Se eu tenho b elevado a a, eu posso
colocar esse a na frente.
Assim, eu poderia pegar esse
1/x e coloca-lo na frente
do log natural.
Daí, o que temos?
Nós estamos quase terminando.
Nós temos o limite de
u tendendo a 0.
Pegue esse 1/x, coloque na frente
da função log natural.
1/x vezes o log natural
de 1 mais u elevado a 1/u.
Muito bem.
Quando nós calculamos o limite
de u tendendo a 0, x, esse termo
não está relacionado.
Com isso, nós podemos trazer
isso para a frente, por que o limite
não afeta esse termo.
E nós estamos analisando
o que acontece com
essa expressão quando o
limite de u tende a 0.

Hindi: 
अगर मैं थे यह को सरल करने के लिए, मैं 1 होता है / एक्स 1/u, बार और
कि जहां मैं खत्म xu इस 1 मिलता है।
तो ठीक है हम सिर्फ यह लघुगणक गुण रिवर्स में कर सकते हैं।
अगर मैं करने के लिए बी है एक मुझे लगा सकते हैं कि एक बाहर सामने।
तो मैं ले सकता है इस 1 / एक्स और यह सामने रखा
प्राकृतिक लॉग की।
तो अब क्या मैं क्या है?
हम लगभग वहाँ रहे हैं।
हम यू दृष्टिकोण 0 के रूप में सीमा है।
ले लो कि 1 / एक्स, यह प्राकृतिक लॉग हस्ताक्षर के सामने रख दिया।
/ प्राकृतिक लॉग इन 1 से अधिक 1/u पर यू के टाइम्स x 1।
मेले काफी है।
जब हम यू के रूप में सीमा ले जा रहे हैं 0, एक्स, इस शब्द का दृष्टिकोण
यह सब शामिल करता है।
तो हम यह सामने, क्योंकि ले सकता सीमा
इस शब्द को प्रभावित नहीं करता।
और फिर हम अनिवार्य रूप से कह रहे हैं क्या होता है यह करने के लिए
यू के रूप में सीमा के रूप में अभिव्यक्ति 0 दृष्टिकोण।

Portuguese: 
Então esta coisa é equivalente a 1 / x vezes o natural log de
0 de 1 se aproxima do limite como u mais u a 1/u.
E agora Esperemos que você reconheceria que
Esta é a definição.
Esse limite vem à e, se você se lembra de nada
de juros compostos.
Você pode se lembrar como o limite-como abordagens n
infinito de 1 mais 1 sobre n à n.
Mas estas coisas são equivalentes.
Se você só teve o u de substituição é igual a
1/n, youd ' obter isso.
Você apenas deseja obter isso.
Portanto, essa expressão aqui é e essa expressão é e.
Então estamos chegando perto.

Slovak: 
Tento model je ekvivalentný s 1/x krát prirodzený logaritmus z...
limita u blížiace sa k 0 z ( 1 + u) to celé na 1/u.
A teraz dúfajme, že rozoznávate, že...
toto je definícia.
Táto limita je "e", ak si pamätáte niečo..
zo zaujímavých problémov.
Mali by ste si to pamätať ako limitu z n ktoré ide ...
do nekonečna z (1 + 1/n) to celé na n.
Ale tieto veci sú ekvivalentné.
Ak si vyzmeme substitúciu u je rovné...
1/n, tak by ste to mali chápať.
Proste by ste to mali chápať.
Takže tento výraz tu "e" , tento výraz je "e".
Takže už sme blízko.
...

Estonian: 
See on võrdne 1/x korda ln
piirväärtusega kui u läheneb nullile 1 pluss u astmel 1/u.
Ja loodetavasti nüüd näete, et
see ongi definitsioon.
See piirväärtus on e ja kui sa mäletad midagi
liitintressidest, siis
sul võib see meeles olla kui piirväärtus -- kui n läheneb
lõpmatusele protsessis 1 pluss 1 jagatud n astmel n.
Aga need asjad on võrdväärsed.
Kui sa võtsid lihtsalt u asenduse võrdseks
1/n, siis sa saad selle.
Siis sa saad selle.
Siis see avaldis siin on e. See avaldis on e.
Me jõuame lähedale.

Hindi: 
तो यह बात 1 / एक्स टाइम्स प्राकृतिक लॉग इन के बराबर है
यू के रूप में सीमा दृष्टिकोण 0 1 का 1/u करने u प्लस।
और अब तक उम्मीद है कि आप पहचान होती है कि
इस परिभाषा है।
अगर तुम्हें याद है कुछ भी इस सीमा को ई, आता है
चक्रवृद्धि ब्याज से।
आप यह सीमा-n दृष्टिकोण के रूप में के रूप में याद हो सकता है
1 से अधिक 1 n n पर खत्म की अनंत।
लेकिन इन बातों के बराबर हैं।
अगर आप बस ले लिया प्रतिस्थापन यू के बराबर है
1/n, तुम यह मिल जाएगा।
तुम सिर्फ इस मिल जाएगा।
तो इस अभिव्यक्ति यहीं ई ई कि अभिव्यक्ति है।
तो हम करीब हो रही है।

Korean: 
이 부분은 1/x에
1+u의 1/u 제곱의 u가 0으로 갈 때의 극한값에
자연로그를 씌운 것을 곱한 것이 됩니다
이제 이 식을 보면
이것이 정의와 같음을 알 수 있습니다
이 극한은 e가 됩니다
복리 계산에 대한
기억이 난다면 말이죠
n이 무한대로 접근할 때
1+1/n 의 n 제곱의 극한 값의 꼴로 기억날 수도 있는데
이 두 표현방식은 서로 같습니다
u를 치환하여 u의 자리에
1/n을 대입하면 이해가 될 것입니다
 
따라서 이 식은 e가 됩니다
거의 다 와갑니다
 

Spanish: 
Asi que esta cosa es equivalente a 1/x por el logaritmo natural del
límite cuando u se aproxima a 0 de 1 más u elevando a 1/u.
Y por ahora con suerte reconocerás que
esta es la definición.
Este límite es e, si recordás algo
de interés compuesto.
Probablemente lo recuerdes como el límite cuando n se aproxima a
infinito de 1 más 1 sobre n elevado a la n.
Pero estas cosas son equivalentes.
Si tomás la sustitución u es equivalente a
1/n, obtendrías esto.
Obtendría esto.
Entonces esta expresión de acá es e. Esa expresión es e.
Nos estamos acercando.

Portuguese: 
Então, isso aqui é equivalente a
1/x vezes o log natural do
limite de u tendendo a
0 de 1 mais u elevado 1/u.
E, a partir de agora, você deve
estar percebendo que
essa é a definição.
Esse limite tende a e, se
você lembrar de alguma coisa
de juros compostos.
Você pode se lembrar disso como o
limite -- quando n tende ao
infinito de 1 mais
1 sobre n elevado a n.
Mas essas expressões
são equivalentes.
Se você simplesmente
substitui u por
1/n, você chega nisso.
Você chega exatamente nisso.
Então, essa expressão aqui
é e. Essa expressão é e.
Então, estamos chegando perto.

Czech: 
Tento model je ekvivalentní s 1 / x krát přirozený logaritmus z
limita u blížící se k 0 z (1 + u) to celé na 1 / u.
A teď doufejme, že rozeznáváte,
že toto je definice.
Tato limita je "e", pokud si pamatujete něco
ze zajímavých problémů.
Měli byste si to pamatovat jako limitu zn které jde
do nekonečna z (1 + 1 / n) to celé na n.
Ale tyto věci jsou ekvivalentní.
Pokud si vyzmeme substituci u je rovné
1 / n, tak byste to měli chápat.
Prostě byste to měli chápat.
Takže tento výraz zde "e", tento výraz je "e".
Takže už jsme blízko.
...

English: 
So this thing is equivalent to
1/x times the natural log of
the limit as u approaches
0 of 1 plus u to the 1/u.
And by now hopefully you
would recognize that
this is the definition.
This limit comes to e, if
you remember anything
from compound interest.
You might remember it as the
limit-- as n approaches
infinity of 1 plus
1 over n to the n.
But these things
are equivalent.
If you just took the
substitution u is equal to
1/n, you would get this.
You would just get this.
So this expression right here
is e That expression is e.
So we're getting close.

Chinese: 
现在希望大家能认出
这是定义
这个极限为e
如果还记得复利的知识
或许还记得
n趋于无穷时 (1+1/n)^n的极限=e
但这两个是等价的
只需换元u=1/n
就得到它
所以这个式子=e
快证明出来了
那么这个整体=1/x
・ln 这部分已知道
这是能得出e的式子之一
所以u趋于0时(1+u)^(1/u)的极限

Bulgarian: 
Това тук е еквивалентно
на 1/х по натурален логаритъм
от границата на (1 + u) на степен 1/u
за u, клонящо към 0.
Сега се надявам, че
разпознаваш,
че това е определението.
Тази граница е "е", ако си спомняш
нещо от сложните зависимости.
Може би си го спомняш
като граница...
когато n клони към безкрайност,
граница на (1 + 1/n)^n.
Но тези двете са еквивалентни.
Ако положим u = 1/n, 
ще получим това.
Получаваме това.
Значи този израз тук е
равен на е.
Приближаваме се.

Arabic: 
اذاً هذا يعادل 1/x × اللوغارتم الطبيعي
لنهاية اقتراب u من الصفر لـ (1 + u)^1/u
والآن اتمنى انكم تدركون ان
هذا هو التعريف
ان هذه النهاية تصبح e، اذا كنتم تذكرون اي شيئ
من الفائدة المركبة
ربما انك تذكرها بصورة نهاية --اقتراب n
من ما لا نهاية لـ (1 + 1 / n)^n
لكن هذه الاشياء متعادلة
اذا نظرت الى التعويض u =
1/n، فسوف تدرك هذا
سوف تدركه
اذاً هذه العبارة هنا هي e، تلك العبارة هي e
لقد اقتربنا اذاً
.

Turkish: 
Bu ifade 1/x ln ( lim u-0 (1+u)^(1/u))'e eşit.
.
Bu zamanda umarım bunun tanım olduğunu fark etmişsinizdir.
.
Bu limit e'ye gelir.
Bileşik faizleri hatırlıyorsanız tanıdık gelecektir.
Bileşik faizden lim n→∞ (1+(1/n)^n den hatırlayabilirsiniz.
.
Ama bu ikisi denktir.
Değiştirme yaparsanız u = 1/n.
Bunu elde edersiniz.
Sadece bunu elde edersiniz.
Yani bu ifade e.
Yani sonuca yaklaşıyoruz.
.

Indonesian: 
Jadi hal ini ekuivalen dengan 1/x dikali logaritma natural dari
limit saat u mendekati 0 dari 1 ditambah u untuk menuju ke 1/u.
Dan sekarang saya berharap anda dapat mengenali bahwa
ini adalah sebuah definisi.
Limit ini menuju ke e, jika anda mengingat sesuatu
dari persamaan majemuk.
Anda akan mengingatnya sebagai limit-- saat n mendekati
tidak terbatas dari 1 ditambah 1 dibagi n menuju n.
Tapi hal tersebut adalah ekuivalen.
Jika anda hanya mengambil pergantian u adalah sama dengan
1.n, maka anda akan memahami ini.
Anda baru saja dapat memahami ini.
Jadi ekspresi ini adalah e. Ekspresi itu adalah e.
Jadi kita akan semakin dekat.
...

Polish: 
Ta rzecz jest więc równa 1/x razy logarytm naturalny
z granicy przy u dążącym do 0 z 1 plus u do potęgi 1/u.
I do tego momentu mam nadzieję, że rozpoznajecie, że
to jest definicja.
Granica zbiega do e, jeśli pamiętacie cokolwiek
z oprocentowania składanego.
Możecie to pamiętać jako granicę przy n dążącym
do nieskończoności z 1 plus 1 przez n do potęgi n.
Ale to są równoważne rzeczy.
Jeśli podstawilibyście zamiast u
1/n, to właśnie byście dostali.
Otrzymalibyśmy to.
Tak więc to wyrażenie tutaj to e.
Jesteśmy już coraz bliżej.

Thai: 
งั้นก้อนนี้จะเท่ากับ 1/x คูณลอกธรรมชาติของ
ลิมิตเมื่อ u เข้าใกล้ 0 ของ 1 บวก u กำลัง 1/u
และถึงตอนนี้ หวังว่าคุณคงจำได้ว่า
นี่คือนิยาม
ลิมิตนี่กลายเป็น e หากคุณจำมันได้
จากดอกเบี้ยทบต้น
คุณอาจจำได้เมื่อลิมิต -- เมื่อ n เข้าใกล้
อนันติของ 1 บวก 1 ส่วน n กำลัง n
แต่พวกนี้เทียบเท่ากันหมด
หากคุณแทนค่า u เท่ากับ
1/n, คุณจะได้เจ้านี่
คุณจะได้อันนี้มา
ดังนั้นพจนนี้คือ e พจน์นั่นเท่ากับ e`
เราใกล้แล้ว
-

Finnish: 
Joten tämä termi on sama kuin 1/x kertaa
luonnollinenlogaritmi
u:n raja-arvosta sen lähestyessä nollaa plus u korotettuna 1/u:n
Ja nyt sinä toivottavasti huomaat
että kyseessä on määritelmä
Tämä raja-arvo on e, ja jos muistat yhtään
korkoa korolle laskuista.
saatat muistaa että raja-arvo --n:n lähestyessä
ääretöntä; 1 plus p jaettuna n korotettuna n:n
mutta tämähän on sama
kun huomioit että sijoitus u vastaa
1/n, joten saat
tämän
tämä lauseke tässä on yhtä kuin e
Joten alemme päästä loppuun

Bulgarian: 
Цялото това нещо е
еквивалентно на 1/х
по натурален логаритъм,
а знаем, че това е
един от начините
да получим "е".
Значи границата на (1 + u)^1/u,
когато u клони към 0, е числото "е".
А какво е натурален
логаритъм?
Това е логаритъм
с основа числото "е".
Значи знаем, че това е равно
на 1/х по логаритъм с основа е от е.
Значи това ни казва
на каква степен е "е".
"е" на първа степен 
е равно на "е", нали?
Това е равно на 1.
Значи 1 по 1/х е равно на 1/х.
Това е.
Производната на натурален
логаритъм от х е равна на 1/х,
което е много интересно, защото
всяка степен води до друга степен.
Но изведнъж тук се
появява натурален логаритъм,
чиято производна е равна
на х на степен –1 или 1/х.
Изумително.

Portuguese: 
Então essa coisa toda é
equivalente a 1/x vezes
o log natural, e nós sabemos,
essa é uma das formas
para se chegar a e.
Então, o limite de u tendendo a
0 de 1 mais u elevado a 1/u.
Isso é e.
E o que é o log natural?
Bem, é o log na base e.
Nós sabemos que isso é igual a
1/x vezes o log na base e de e.
Isso quer dizer que e elevado
a qualquer potência é e.
Bem, e elevado a primeira
potência é e, certo?
Isso é igual a 1.
Então, 1 vezes 1/x é igual a 1/x.
E assim terminamos.
A derivada do log natural
de x é igual a 1/x,
que eu acho elegante, porque
todos os outros expoentes
levam a outro expoente.
E vindo repentinamente de toda
essa confusão você tem o log natural
e a derivada dele que é
igual a
x elevado a menos 1 ou 1/x.
Fascinante.
[ Legendado por Igor Gomes ]

Korean: 
따라서 이 전체는 1/x에
자연로그를 곱하는데,
이 식이 e가 나오는 식들 중
하나임을 알고 있으므로
u가 0으로 접근할 때 1+u의 1/u 제곱이
e와 같고
자연로그는
밑이 e인 로그이므로
이 식은 1/x에 
밑과 진수가 모두 e인 로그를 곱한 것이므로
e를 몇 제곱해야 e 인지를 생각하면
e의 지수가 1일 때가 e이므로
이 로그 값은 1이 됩니다.
1에 1/x를 곱하면 1/x이므로
다 되었습니다.
자연로그 x의 도함수는 1/x입니다
개인적으로 하나의 지수가 다른 지수로 연결되는 것이
깔끔하다고 생각하는데
그 과정 속에서 갑자기 자연로그와
그 도함수가 x의 -1제곱, 즉 1/x와 같다는 것이 나옵니다
 
흥미롭죠
 

Arabic: 
كل هذا الشيئ يعادل 1/x ×
اللوغارتم الطبيعي، وهذا نعرفه، انها واحدة من
الطرق للحصول على e
اذاً نهاية اقتراب u من الصفر لـ (1 + u)^1/u
ذلك هو e
وما هو اللوغارتم الطبيعي؟
حسناً، انه لوغارتم اساس الـ e
اذاً تعلمون ان هذا يساوي 1/x × لوغارتم اساس الـ e لـ e
وهذا مضمونه ان e مرفوع لأي قوة يساوي e
حسناً، e^1 = e، اليس كذلك؟
هذا يساوي 1
اذاً 1 × 1/x = 1/x
لقد حصلنا عليها
مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x تساوي 1/x، وهو
ما وجدته منظماً نوعاً ما، لأن جميع الأسس الاخرى
تقودنا لأس آخر
لكن جميع ما هو موجود هنا هو ان لدينا اللوغارتم الطبيعي
ومشتقة ذلك تساوي
x^-1 او 1/x
مذهل
.

Portuguese: 
Por tudo isto é equivalente a 1 / x vezes
o log natural e este nós sabemos, este é um dos
os modos de chegar ao e.
Assim o limite como u aproxima 0 1 acrescido de u para 1/u.
Que é e.
E o que é o registro natural?
Bem, é o e de base de registro.
Assim que você sabe que isso é igual a 1 / x vezes o log de base e de e.
Para que está dizendo e para o que poder é e.
Bem e para o primeiro poder é e, certo?
Isso é igual a 1.
Assim 1 vezes 1 / x é igual a 1 / x.
Lá nós tê-lo.
A derivada do log natural de x é igual a 1 / x, que
Eu acho tipo de puro, porque todos de outros expoentes
levar a outro expoente.
Mas de repente na mistura aqui você tem o log natural
e a derivada que é igual a x para a
negativos 1 ou 1 / x.
Fascinante.

Chinese: 
为e
自然对数是什么？
是log以e为底
那么它=1/x・log以e为底e的对数
也就是说 e的几次方是e
e^1=e 对吗？
它=1
所以1・(1/x)=1/x
证明出来了
lnx的导数是1/x
比较简捷
因为所有指数得出另一个指数
但在这混搭中突然
得到ln的导数
为x^(-1) 或1/x
神奇

Turkish: 
Yani bütün bu ifade 1/x ln e 'ye eşit.
ve bunun e'ye ulaşmanın bir yolu olduğunu biliyoruz.
.
Yani bu ifade e'ye eşit.
e.
Peki doğal logaritma nedir?
e tabanlı logaritmadır.
O zaman bunun 1/x e tabanlı log e olduğunu biliyoruz.
O zaman e'nin hangi üst kuvveti e eder?
e'nin birinci kuvveti e eder, değil mi?
Bu ifade 1'e eşittir.
1 . 1/x = 1/x.
Sonuca ulaştık.
ln x'in türevi 1/x'tir.
Bu türevi seviyorum çünkü genellikle
diğer bütün üsteller başka bir üstele gider.
Ama bütün bu işlemler arasında
doğal logaritma var ve türevi x^-1 veya 1/x'e eşit oluyor.
.
Mükemmel.
.

Indonesian: 
Jadi semua hal ini adalah ekuivalen dengan 1/x dikali
dengan logaritma natural, dan dengan ini ktia tahu, ini adalah satu dari
berbagai cara untuk mendapat e.
Jadi limit adalah u mendekati 0 dari 1 ditambah u menuju ke 1/u.
Itu adalah e.
Dan apakah logaritma natural?
Itu adalah logaritma dasar e.
Jadi anda tahu bahwa hal ini sama untu 1/x dikali dengan logaritma dsar e dari e.
Jadi hal itu mengatakan e ke apakah pangkat dari e.
Jadi e menuju ke pangkat pertama adalah e, bukankah begitu?
Jadi hal ini sama dengan 1.
Jadi 1 dikali 1/x sama dengan 1/x.
Begitulah kita mempunyainya.
Turunan dari logaritma natural x sama dengan 1/x, dimana
saya menemukannya rapi, karena semua dari eksponen yang lain
menuju ke eksponen yang lain.
Tapi semua kebetulan di dalam campuran di sini, anda mempunyai logaritma natural.
dan turunan dari hal tersebut sama dengan x menuju ke
negatif 1 atau 1/x.
Mengesankan.
...

English: 
So this whole thing is
equivalent to 1/x times
the natural log, and this
we know, this is one of
the ways to get to e.
So the limit as u approaches
0 of 1 plus u to the 1/u.
That is e.
And what is the natural log?
Well it's the log base e.
So you know this is equal to
1/x times the log base e of e.
So that's saying e
to what power is e.
Well e to the first
power is e, right?
This is equal to 1.
So 1 times 1/x is equal to 1/x.
There we have it.
The derivative of the natural
log of x is equal to 1/x, which
I find kind of neat, because
all of the other exponents
lead to another exponent.
But all of a sudden in the mix
here you have the natural log
and the derivative of that
is equal to x to the
negative 1 or 1/x.
Fascinating.

Spanish: 
Entonces todo esto es equivalente a 1/x por
el logaritmo natural, y esta la sabemos, esta es una de
las formas de obtener e.
Asi que el límite cuando u se aproxima a 0 de 1 mas u elevando a 1/u.
Eso es e.
¿Y cual es el logaritmo natural?
Bueno, es el logaritmo en base e.
Sabés que esto es equivalente a 1/x por el logaritmo en base e de e.
Y eso es decir e elevando a qué es igual a e.
Bueno, e elevado a la 1 es e, no?
Esto es igual a 1.
Entonces 1 por 1/x es igual a 1/x.
Y ahí lo tenemos.
La derivada del logaritmo natural de x es equivalente a 1/x, la cual
yo la veo más clara, por que todos los otros exponentes
llevan a otro exponente.
Pero derrepente en el desorden tenés el logaritmo natural
y la derivada que es igual a x elevado
a -1, ó 1/x
Fascinante.

Estonian: 
See kogu asi võrdub 1/x korda
ln, ja me teame et se on
üks viis saamaks e.
Seega piirväärtus kui u läheneb nullile protsessile 1 pluss u astmel 1/u.
See on e.
Ja mis on ln?
See on log alusega e.
Sa tead et see võrdub 1/x korda log alusega e e-st.
See on sama kui öelda, et e astmel mis on e.
e astmel 1 on e, õigus?
See võrdub 1.
Niisiis 1 korda 1/x võrdub 1/x.
Siin ta meil on.
Ln x tuletis on 1/x, mis on
üsnagi vinge kuna kõik teised eksponendid
juhatavad teise eksponendini.
Aga ootamatult leidub naturaalne logaritm
ja selle tuletist võrdub x astmel miinus
1 või 1/x.
Meeliülendav.

Hindi: 
तो यह पूरी बात 1 / एक्स गुना के बराबर है
प्राकृतिक लॉग इन करें, और यह हम जानते हैं, इस में से एक है
ई के लिए पाने के लिए तरीके।
तो यू के रूप में सीमा 0 1 का दृष्टिकोण यू 1/u करने के लिए इसके अलावा।
कि ई है।
और क्या वह प्राकृतिक लॉग है?
खैर यह लॉग आधार e है।
तो तुम्हें पता है कि यह 1 / बार लॉग ई ई का आधार एक्स के बराबर है।
तो है कि ई ई क्या शक्ति है करने के लिए कह रहा है।
पहली शक्ति को अच्छी तरह से ई ई, सही है?
यह करने के लिए 1 के बराबर है।
तो 1 बार 1 / एक्स 1 / एक्स के बराबर है।
वहाँ हम यह है।
व्युत्पन्न एक्स के प्राकृतिक लॉग का 1 / एक्स, जो के बराबर है
मैं साफ है, की तरह सभी मिल क्योंकि अन्य उस्तादों को
एक अन्य घातांक को निर्दिष्ट करने के लिए सीसा।
लेकिन अचानक मिश्रण में यहाँ तुम प्राकृतिक लॉग इन किया है
और उस के व्युत्पन्न के लिए एक्स के बराबर है
नकारात्मक 1 या 1 / एक्स।
आकर्षक।

Czech: 
Takže celý tento model je ekvivalentní 1 / x krát
přirozený logaritmus, a jak víme, toto je jedna z
cest jak se dostat k "e".
Takže, limita su, které se blíží k nule z (1 + u) to celé na 1 / u.
To je "e".
A co je přirozený logaritmus?
To je logaritmus o základě "e".
Takže víme, že je to rovné 1 / x krát logaritmus o základě "e" z "e".
Takže mluvíme o "e", které mocné na "e".
Umocněním "e" na první dostaneme "e", správně?
Takže to je rovné 1.
Takže, 1 krát 1 / x je rovna 1 / x.
Takže tady to máme.
Derivace přirozeného logaritmu zx je rovna 1 / x,
což mi přijde zcela jasné, protože všechny ostatní exponenty
vedou k dalším exponentem.
Ale najednou máme kombinaci kde se vyskytuje přirozený logaritmus
a derivace z něj, je rovna x
na minus 1 nebo 1 / x.
Fascinující.
...

Thai: 
งั้นทั้งหมดนี่เทียบเท่ากับ 1/x คูณ
ลอกธรรมชาติ และนี่เรารู้ มันคือ วิธีนึง
ที่จะได้ค่า e
ดังนั้นลิมิตเมื่อ u เข้าใกล้ 0 ของ 1 บวก u กำลัง 1/u
นั่นคือ e
แล้วลอกธรรมชาติคืออะไร?
มันคือลอกฐาน e
คุณรู้ว่านี่เท่ากับ 1/x คูณ ลอกฐาน e ของ e
นั่นบอกว่า e ยกกำลังอะไรได้ e
e ยกกำลังหนึ่งได้ e จริงไหม?
นี่เท่ากับ 1
งั้น 1 คูณ 1/x เท่ากับ 1/x
ได้แล้ว
อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติอขง x เท่ากับ 1/x ซึ่ง
ผมว่ามันเนี๊ยบ เพราะเลขชี้กำลังอื่น ๆ
นำไปสู่เลขชี้กำลังอีกอัน
แต่ในทันใด ตรงนี้คุณมีลอกธรรมชาติ
และอนุพันธ์ของมัน เท่ากับ x ยกกำลัง
ลบ 1 หรือ 1/x
น่าตะลึงมาก
-

Slovak: 
Takže celý tento model je ekvivalentný 1/x krát ..
prirodzený logaritmus, a ako vieme, toto je jedna z...
ciest ako sa dostať k "e".
Takže, limita s u, ktoré sa blíži k nule z ( 1 + u) to celé na 1/u.
To je "e".
A čo je prirodzený logaritmus ?
To je logaritmus o základe "e".
Takže vieme, že je to rovné 1/x krát logaritmus o základe "e" z "e".
Takže hovoríme o "e", ktoré mocníme na "e".
Umocnením "e" na prvú dostaneme "e", správne ?
Takže to je rovné 1.
Takže, 1 krát 1/x je rovná 1/x .
Takže tu to máme.
Derivácia prirodzeného logaritmu z x je rovná 1/x,čo..
mi príde celkom jasné, pretože všetky ostatné exponenty..
vedú k ďalším exponentom.</
Ale zrazu máme kombináciu kde sa vyskytuje prirodzený logaritmus...
a derivácia z neho, je rovná x...
na mínus 1 alebo 1/x.
Fascinujúce.
...

Polish: 
Czyli całość jest równa 1/x razy
logarytm naturalny, i jak wiemy, to jeden
ze sposobów na otrzymanie e.
Czyli granica przy u dążącym do 0 z 1 plus u do potęgi 1/u.
To jest e.
A czym jest logarytm naturalny?
To logarytm o podstawie e.
Czyli wiemy, że to jest równe 1/x razy logarytm o podstawie e z e.
To jak powiedzieć, e do jakiej potęgi daje e?
Cóż, e do pierwszej potęgi to e, prawda?
To jest równe 1.
I 1 razy 1/x wynosi 1/x.
Proszę bardzo.
Pochodna logarytmu naturalnego z x jest równa 1/x, co
wydaje mi się eleganckie, ponieważ wszystkie inne funkcje wykładnicze
prowadzą do kolejnych funkcji wykładniczych.
A tutaj nagle, mamy w tym wszystkim logarytm naturalny,
którego pochodna to x do potęgi
minus 1, czy też 1/x.
Fascynujące.

Finnish: 
Joten tämä koko lause on yhtä kuin 1/x kertaa
luonnollinenlogaritmi, ja me tiedämme että tämä eräs
tapa ilmaista e
joten raja-arvo kun u lähestyy nollaa; 1plusu korotettuna 1/u
se on e
Ja mitä luonnollinenlogaritmi tarkoittaa?
No sehän on logaritmi jonka kantaluku on e
Joten metiedämme että tämä on
yhtä kuin 1/x kertaa e kantainen logaritmi e:stä
Joka siis tarkoittaa että mihin potenssiin e pitää korottaa
jotta saadaan e.
No e korotettuna ensimmäiseen potenssiin on e, 
eikö?
Tämä on siis yhtä kuin 1.
Joten 1 kertaa 1/x on yhtä kuin 1/x
Siinä se siis oli.
x:n luonnolllisenlogaritmin derivaatta on 1/x 
joka
on minun mielestäni aika näpsäkkää, kun kaikki muut
eksponentit
johtavat aina johonkin muuhun eksponenttiin
Mutta yhtäkkiä kaiken keskellä sinulla
onkin luonnolllisenlogaritmi
ja sen derivaatta on x korotettuna miinus yhteen
tai se voidaan merkitä 1/x
Kiehtovaa.
