
Tamil: 
சாய்மானம் என்பதை மீண்டும் நினைவுக்குக் கொண்டுவருவோம்.
இதை நாம் இயற்கணித வகுப்பில் படித்துள்ளோம்.
சாய்மானம் என்பது ஒரு கோட்டில் உண்டாகும் மாற்ற விகிதம்.
அதாவது நாம் ஒரு கோட்டைத் தொடரும்பொழுது y யில்x க்கு ஏற்றாற்போல் உண்டாகும் மாற்றம்.
இந்த சாய்மானத்தின் அளவை கணக்கிட்டும் பார்க்கலாம்.
ஒரு கோட்டின் சாய்வு அதிகமிருந்தால் அதன் சரிவு அதிக அளவில் நேர்மத்தில் இருக்கும்.
ஆகவே,இங்குள்ளது நேர்மறை சாய்வு.
x ன் மதிப்பு அதிகரிக்க அதன் சாய்வும் அதிகரிக்கும்.
இங்குள்ளது போல் அதிகம் அந்தக் கோட்டிற்கு சாய்வு இருந்தால்,
x ன் மதிப்பு அதிகரிக்கும் பொழுது அதன் சாய்வும் அதிகமானால்
அதன் சரிவு அப்பொழுது மேலும் அதிகரிக்கும்.
இங்குள்ள இந்த சரிமானக் கோட்டை
நாம் ஞாபகத்தில் கொள்ள வேண்டும்.
அந்த சரிமானக் கோட்டில் நாம் இரு
புள்ளிகளை எடுத்துக் கொண்டு
y யின் மாற்றத்தை x க்கு கணக்கிடமுடியும்.
ஆகவே,கோட்டில் இரு புள்ளிகளை வைப்போம்.
ஆகவே, xவழியில் ஒரு புள்ளியைக்

Bulgarian: 
Нека преговорим понятието наклон
(ъглов коефициент),
което може би си спомняш 
от уроците по алгебра.
Наклонът е просто 
скоростта на изменение на права.
Или скоростта на изменение на y
спрямо x, когато 
се придвижваме по правата.
Може също така 
да го разглеждаш като мярка
за наклона на правата.
Колкото по-наклонена е правата, 
толкова повече положителен
ще бъде наклона.
Ето това тук има положителен наклон.
Функцията нараства с нарастването на x.
И ако това би имало дори 
по-голям наклон от този,
то ще нараства дори повече
 с нарастването на x.
Тогава би имало дори 
още по-голям наклон.
Така че това тук е някаква права.
Това е някаква права.
И само като напомняне, 
можем да намерим
наклона между две точки.
Две точки дефинират права.
И между тези две точки можем
да намерим скоростта 
на изменение на y спрямо x.
Нека да поставим две точки тук.
Нека да кажем, че тази точка 
ето тук, т.е. тази стойност за x,
е x нулево или x с долен индекс нула.

English: 
So let's review
the idea of slope,
which you might remember
from your algebra classes.
The slope is just the
rate of change of a line.
Or the rate of change
of y, with respect
to x, as we go along a line.
And you could also
view it as a measure
of the inclination of a line.
So the more incline the line
is, the more positive of a slope
it would have.
So this right over here,
this has a positive slope.
It's increasing as x increases.
And if this had an even
higher inclination like this,
if it increased even
more as x increased,
then it would even
have a higher slope.
So this right over
here is some line.
So that's some line.
And just as a reminder,
we can figure out
the slope between two points.
Two points define a line.
And between those
two points, we can
find the rate of change
of y, with respect to x.
So let's put two points on here.
So let's say that this point
right over here, this x value,
is x sub-- well, this
is pronounced x naught,

Portuguese: 
Vamos rever a ideia de 
coeficiente angular,
que você deve lembrar das 
aulas de Álgebra.
A inclinação não é nada mais que a taxa 
de variação de uma linha, ou a taxa de
variação de y em função de x conforme 
andamos ao longo de uma linha.
Você também pode ver isso como a
medida de inclinação de uma linha.
Então quanto mais inclinada uma linha for,
mais positivo será seu coeficiente angular.
Essa linha aqui tem um
coeficiente angular positivo.
Está crescendo conforme x cresce.
Agora se ela tivesse uma 
inclinação ainda maior,
se ela crescesse ainda mais 
conforme x cresce, então
ela teria um coeficiente 
angular ainda maior.
Só um lembrete, podemos imaginar
a inclinação entre dois pontos,
dois pontos definem uma linha
e entre estes dois pontos,
podemos encontrar a taxa de variação
de y em função de x.
Vamos inserir dois pontos aqui.
Então vamos dizer que este ponto aqui,
este valor de x é x índice....

Spanish: 
Repasemos el concepto de pendiente,
recordando lo aprendido en
clases de Algebra.
La pendiente es la rata de cambio
de una recta,
o la rata de cambio the y con respecto a x
a medida que recorremos la recta.
También podemos visualizar a la pendiente
como una medida de inclinación 
de la recta.
A mayor inclinación, la recta exhibirá
una pendiente más positiva.
Por ejemplo, la recta a continuación
exhibe una pendiente positiva.
Está incrementando a medida que
se incrementa x.
Ahora bien, si la pendiente exhibiese
mayor inclinación
creciendo aun más a medida que se
incrementa X, entonces tendría una
pendiente más elevada.
Por ejemplo, tomemos la recta a
continuación,
recordando que dos puntos 
definen una recta, y que la
pendiente de una recta puede ser calculada
entre dos puntos la cual
define la rata de cambio de y
con respecto a x.
A continuación tomemos dos punto.
Digamos que

Czech: 
Zopakujeme základní myšlenku směrnice,
kterou si možná
pamatujete z hodin algebry.
Směrnice je míra sklonu čáry,
nebo poměr změny hodnoty ‚y‘
ku změně ‚x' v každém místě na čáře.
Můžete to také chápat
jako míru sklonu čáry.
Čím více je čára nakloněná,
tím větší má směrnici.
Takže toto má kladnou směrnici,
‚y‘ se se zvyšujícím se ‚x‘ zvyšuje.
Kdyby se ‚y‘ zvyšovalo ještě rychleji s
rostoucím ‚x‘, měla by čára větší sklon.
Takže tohle je nějaká přímka.
Jen pro připomenutí:
dva body definují přímku
a mezi těmito dvěma body můžeme
zjistit míru změny ‚y‘ ku změně ‚x‘.
Nakresleme si zde dva body.

Thai: 
 
ลองทบทวนแนวคิดเรื่องความชัน
ที่คุณอาจจำได้จากวิชาพีชคณิต
ความชันก็แค่อัตราการเปลี่ยนแปลงของเส้นตรง
หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบ
กับ x เมื่อเราไปตามเส้นตรง
และคุณมองมันเป็นการวัด
ความเอียงของเส้นตรงได้
ยิ่งเส้นตรงเอียงมากเท่าใด ความชันยิ่งเป็นบวก
มากขึ้นเท่านั้น
เส้นนี่ตรงนี้ มันมีความชันเป็นบวก
มันเพิ่มขึ้นเมื่อ x เพิ่มขึ้น
และถ้าเส้นนี้มีความชันยิ่งกว่านี้
ถ้ามันเพิ่มขึ้นมากกว่านี้อีกเมื่อ x เพิ่มขึ้น
มันจะมีความชันมากขึ้น
เส้นนี่ตรงนี้คือเส้นตรงเส้นหนึ่ง
นั่นคือเส้นตรง
และเพื่อทบทวน เราหา
ความชันระหว่างสองจุดได้
จุดสองจุดกำหนดเส้นตรงได้
และระหว่างสองจุดนั้น เราสามารถ
หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ได้
ลองใส่ 2 จุดตรงนี้
สมมุติว่าจุดนี่ตรงนี้ ค่า x นี้
คือ x ห้อย -- นี่อ่านว่า x นอต

Korean: 
 
대수 시간에 배웠던
기울기에 대해 생각해봅시다
기울기는 변화율입니다
x에 대한 y의 변화율이요
또 선의 경사를 이용해서
직접 구할 수도 있습니다
경사가 커질수록
기울기도 커지는데요
여기서 기울기는 양의 값을 가지는데
x가 증가함에 따라 같이 증가합니다
더 큰 경사를 가진다면
x가 증가함에 따라 더 많이 증가하고
더 큰 기울기를 가지게 됩니다
이제 두 점 사이의 기울기를
구해봅시다
두 점은 선을 뜻합니다
x에 따른 y의 변화량을
이 두 점을 가지고 구할 수 있습니다
임의의 두 점을 잡아볼까요
이 점의 X 값을
X0 라 합시다

Thai: 
หรือ x ห้อย 0 ก็คือ x นอต -- และ
เมื่อ x เป็น x0 สำหรับเส้นตรงนี้
y เป็น y0
นี่ก็คือจุด (x0, y0)
และสมมุติว่าเรามีอีกจุดหนึ่งตรงนั้น
และสมมุติว่าค่า x นี้ ค่า x นี่ตรงนี้
คือ x ห้อย 1
และค่า y ตรงนี้คือ y ห้อย 1
นี่ก็คือจุด (x ห้อย 1, y ห้อย 1)
ทบทวนกันหน่อย ความชันของเส้นตรงนี้
และเส้นตรงตามนิยามแล้ว มันมีความชันคงที่
ระหว่างจุดสองจุดใดๆ ที่คุณเลือก
ความชันของเส้นตรงนี้ ซึ่งมักแทนด้วยตัว m
คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x
หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า
สำหรับการเปลี่ยนแปลงของ x ที่ให้มา 
คุณเปลี่ยน y ไปเท่าใด?
หรือการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วย
การเปลี่ยนแปลงของ x
เพื่อทบทวน สามเหลี่ยมนี้
มันคือตัวอักษรกรีกเดลต้า

Tamil: 
குறிப்போம்.இது x நாட் அல்லது xo ஆகும்.
x ல் xநாட் உள்ள பொழுது y யில் y நாட் இருக்கும்.
ஆகவே,இந்தப் புள்ளிகள் xநாட், y நாட் ஆகும்.
இங்கு நாம் இன்னொன்றைப் பார்ப்போம்.
அடுத்து x ன் மதிப்பு என்னவென்று பார்ப்போம்.
இங்குx ன் மதிப்பு X1அடுத்து y யின் மதிப்பு Y1.
ஆகவே,புள்ளிகள் இரண்டும் X1, Y1.
மீண்டும் நாம் இந்தக் கோட்டை ஆராயும் பொழுது இரண்டு புள்ளிகளுக்கிடையே
உள்ள சாய்மானமானது நிலையான சாய்மான இருக்கும்.
இந்தக் கோட்டின் சாய்மானம்' எம் 'என்ற எழுத்தால் பெரும்பாலும் குறிக்கப்படும்.
இது x க்கு தகுந்தாற்போல் y யின் மாற்ற விகிதத்தை தெரிவிக்கிறது.
அல்லது வேறு வழியிலும் இதை யோசிக்கலாம்.கொடுத்துள்ள x ன் மதிப்பிற்கு
எப்படி y மாறும் அல்லது yயின் மாற்றம் வகுத்தல் xன் மாற்றம் எவ்வளவு?
ஞாபகத்திற்காக இதைக் கூறுகிறேன்,இந்த முக்கோணம் கிரேக்க எழுத்தான டெல்டா.

Czech: 
Řekněme že tady máme bod.
Jeho x-ová souřadnice je ‚x 0‘ („x nula“)
a jeho y-ová souřadnice
je ‚y 0‘ („y nula“).
Takže to je bod (‚y 0‘ čárka ‚x 0‘).
A dejme tomu, že tady je další bod,
jehož x-ová souřadnice je
‚x 1‘ a y-ová souřadnice je ‚y 1‘.
Takže to je bod (‚y 1‘ čárka ‚x 1‘).
Jen pro připomenutí:
sklon této přímky…
Přímka má podle definice konstantní
sklon mezi libovolnými dvěma body.
Sklon přímky, který budeme
značit písmenem ‚n‘,
je míra změny ‚y‘ ku změně ‚x‘.
Neboli, jak moc se změní
‚y‘ při dané změně ‚x‘.
Takže změna ‚y‘ dělená změnou ‚x‘.
Pro připomenutí: tento trojúhelník,
řecké písmeno velké delta,

Bulgarian: 
x нулево е просто начална стойност 
за x.
И когато x e х нулево за тази права,
то y е y нулево.
Тогава това е точка (x нулево; y нулево).
Нека да кажем, че имаме 
и друга точка чак ето тук.
И нека да изберем 
тази стойност за x тук
да е x1 (долен индекс 1).
А стойността за y ето тук e y1 
(долен индекс 1).
И така, това е точката (x1; y1).
Само за преговор, наклонът на тази права,
а правата по дефиниция 
има постоянен наклон,
независимо кои две точки избираш.
Наклонът на тази права, който 
често се означава с буквата m,
е скоростта на изменение на y спрямо x.
Друг начин да мислиш за това е,
какво е изменението на y 
при дадено изменение на x.
Или изменението за y, разделено 
на изменението за x, т.е. Δy/Δx.
Само напомням за този триъгълник.
Това е гръцката буква делта.

Korean: 
X = X0 일 때
Y = Y0 입니다
따라서 이 점의 좌표는 (X0, Y0) 이죠
다른 한 점을 잡아봅시다
이 좌표의 X 값은
X1 이라 합시다
그러면 Y 값은 Y1 입니다
따라서 이 점의 좌표는 (X1, Y1)가 되죠
지금까지는 복습이었습니다
두 점을 잡아 만든 선의 기울기는
일정하다는 정의 말입니다
직선의 기울기는 m으로 표현합니다
x에 따른 y의 변화량
x가 변화함에 따라
y는 얼마나 변하는지
즉, △y를 △x로 나눈 것입니다
이 삼각형 기호는
그리스 문자인 델타 입니다

Portuguese: 
bem isto é conhecido como x zero, ou
x índice zero.
E quando x é x zero para 
esta linha, y é y zero.
Então este ponto é x zero vírgula y zero.
Vamos dizer que temos 
outro ponto bem aqui.
E vamos dizer que esse valor de x bem aqui
é x índice um, e o valor 
de y aqui é y índice um.
Temos então um ponto x um, y um.
Como revisão, a inclinação desta linha,
e uma linha por definição
tem uma inclinação constante entre 
dois pontos que você escolha.
A inclinação desta linha, a qual é 
frequentemente denominada pela letra m,
é sua taxa de variação 
de y em função de x.
Ou outro modo de pensar sobre isso é para
uma determinada variação em x,
quanto você está variando em y, ou 
variação em y dividida pela variação em x?
Somente para lembrar, este triângulo é a 
letra grega "Delta".

English: 
or x sub 0 is just x naught--
and when x is x0 for this line,
y is y0.
So this is a point x0, comma y0.
And let's say we have another
point all the way over here.
And let's say that this x value,
this x value right over here
is x sub 1.
And the y value over
here is y sub 1.
So this is the point
x sub 1, y sub 1.
So just as a review,
the slope of this line,
and a line by definition,
has a constant slope
between any two
points that you pick.
The slope of this line, which is
often denoted by the letter m,
is your rate of change
of y with respect to x.
Or another way of
thinking about it,
for a given change in x,
how much are you changing y?
Or a change in y divided
by a change in x.
Just as a reminder,
this triangle,
that's the Greek letter delta.

English: 
It's shorthand for
change in whatever.
So change in y over change in x.
So let's think about what this
is going to be for this example
right over here.
Well, let's think about
change in x, first.
So we are moving from x0 to x1.
So our change in x.
So this is our change
in x, right over here.
We're starting at
x0 and going to x1.
That is our change in x.
I'll put that in
that pink color.
That is our change in x.
And what is it equal to?
Well if we're ending
here and we started here,
let's just do ending point
minus starting point.
So it is x1 minus x0.
And that way, doing
it this way, I
would have made sure that
I have a positive value.
I'm just assuming that
x1 is larger than x0.
And what is my change in y?
Well, once again,
ending point, ending
y value minus starting y value.
y1 minus y0.
Now, you might be
saying hey, could I

Czech: 
je značení pro změnu dané veličiny.
Takže změna ‚y‘ dělená změnou ‚x‘.
Podívejme se tedy, kolik
to bude pro naši přímku.
Nejdříve se zamysleme nad změnou ‚x‘.
Pohybujeme se od ‚x 0‘ k ‚x 1‘.
Takže toto je změna x-ové souřadnice.
Začínáme v ‚x 0‘ a končíme v ‚x 1‘.
To je změna ‚x‘, označím ji růžově.
Čemu se rovná?
No pokud jsme skončili tady a začali zde,
jen odečteme počáteční bod od koncového.
Takže ‚x 1‘ minus ‚x 0‘.
Tím si zajistíme, že to bude kladné číslo.
Předpokládáme, že
‚x 1‘ je větší než ‚x 0‘.
A jaká je změna ‚y‘?
Opět: koncová hodnota ‚y‘
minus počáteční hodnota ‚y‘.
‚y 1‘ minus ‚y 0‘.
Možná se ptáte, jestli
bychom to mohli udělat jako

Thai: 
มันย่อมาจาก การเปลี่ยนแปลงของอะไรก็ตาม
การเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x
ลองคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้นในตัวอย่างนี้
ตรงนี้
ลองคิดถึงการเปลี่ยนแปลงของ x ก่อน
เราเลื่อนไปจาก x0 ถึง x1
การเปลี่ยนแปลงของ x
นี่คือการเปลี่ยนแปลงของ x ตรงนี้
เราเริ่มด้วย x0 และไปยัง x1
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของ x
ผมจะใช้สีชมพูนะ
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของ x
แล้วมันเท่ากับอะไร?
ถ้าเราจบตรงนี้ และเราเริ่มตรงนี้
ลองนำจุดปลายมา ลบด้วยจุดตั้งต้น
มันคือ x1 ลบ x0
และเมื่อทำตามนี้
ผมจะมั่นใจได้ว่า ผมได้ค่าบวก
ผมแค่สมมุติว่า x1 มากกว่า x0
แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y เป็นเท่าใด?
เหมือนเดิม จุดปลาย
ค่า y ตอนปลายลบค่า y ตอนต้น
y1 ลบ y0
ทีนี้ คุณอาจบอกว่า เฮ้ ฉัน

Portuguese: 
É um símbolo para 
qualquer tipo de variação.
Então variação em y sobre variação de x.
Vamos pensar no que isso será para 
nosso exemplo aqui em cima.
Vamos pensar primeiro na variação em x.
Estamos nos movendo de x zero para x um.
Então nossa variação em x está bem aqui.
Estamos iniciando em x zero 
e vamos para x um.
Esta é nossa variação em x.
Vou colocá-la em rosa.
Esta é nossa variação em x.
E ela é igual a?
Se terminamos aqui e iniciamos aqui,
vamos fazer somente ponto
final menos ponto inicial.
Então fazemos x um menos x zero,
deste modo terei certeza que
terei um valor positivo.
Estou somente assumindo que 
x um é maior que x zero.
Agora qual minha variação em y?
Mais uma vez, ponto final de
y menos ponto inicial de y.
Ou seja, y um menos y zero.
Agora você pode dizer:
eu poderia ter feito

Bulgarian: 
Представлява означение за
 изменение на каквото и да е.
И така, имаме Δy/Δx.
Нека да помислим какво
ще получим за дадения пример
точно ето тук.
Нека първо да помислим 
за изменението в x.
Придвижваме се от x нулево до x1.
Ето нашето изменение за x.
Ето това е нашето изменение 
за x точно ето тук.
Започваме от x нулево и стигаме до x1.
Това е нашето изменение на x.
Ще го направя с розов цвят.
Това е нашето изменение на x.
И на какво е равно то?
Ако завършваме тук 
и сме започнали тук,
нека просто да напишем 
крайна точка минус начална точка.
Така че то е (x1 - x0).
По този начин, като го записвам така,
съм сигурен, че ще имам
 положителна стойност.
Просто приемам, че x1 > x нулево.
А какво е изменението на y?
Още веднъж, крайна точка,
т.е. крайна стойност y минус начална стойност y.
y1 - y нулево.
Сега може би се питаш: Хей, не можеше ли

Korean: 
이 기호는 변화량을 의미합니다
생각해봅시다
이 부분을
x의 이동 경로를 보면
X0 에서 X1로 이동 중입니다
여기가 x의 이동 범위입니다
X0 에서 시작해 X1으로 갑니다
이게 x의 변화입니다
이 핑크색은
x 의 변화를 의미합니다
식으로 표현하면 어떻게 될까요
끝나는 점에서
시작하는 점을 빼줍시다
따라서 X1 - X0 입니다
그리고 양의 값을 만들기 위해
X1 > X0 라 합시다
그럼 y는 어떻게 표현할까요?
다시 반복해서
끝에서 처음을 빼줍시다
Y1 - Y0
그러면 궁금할 수 있는데

Tamil: 
மாற்றத்தைக் குறிக்க சுருக்கமாக பயன்படுத்துவது.
ஆகவே,yயின் மாற்றத்தின் கீழ் xன் மாற்றம். Δy/ Δx.
இந்த உதாரணம் விளக்குவதைப் பற்றி யோசிப்போம்.
முதலில் x ன் மாற்றம் என்னவென்று பார்ப்போம்.
நாம் இங்குx நாட் இதில் இருந்து X1 க்குப் போகிறோம்.
இது xசம்பந்தப்பட்டதில் உண்டாகும் மாற்றம்.
நாம் இங்கு xநாட் இதில் இருந்து X1 க்குச் சென்றுள்ளோம்.
இது x சம்பந்தப்பட்டவரை ஏற்பட்டுள்ள மாற்றம்.
இதை இளஞ்சிவப்பு கொடுத்து எழுதுகிறேன்.
இது நம் xக்கு ஏற்பட்டுள்ள மாற்றம்.
இது எதற்குச் சமமாகிறது?
நல்லது.இதை இங்கு முடித்துள்ளோம்.இங்கு ஆரம்பித்துள்ளோம்.
முடித்த இடத்தில் இருந்து ஆரம்பித்த இடத்தைக் கழிப்போம்.
ஆகவே,இது X1 கழித்தல் xநாட் ஆகும்.
நமக்கு மதிப்பு நேர்மறையில்தான் வரும் என்பது நிச்சயமாகத் தெரியும்.
இங்கு X1என்பது x நாட் என்பதைவிட அதிகம் என்று வைத்துக் கொள்கிறோம்.
இப்பொழுது y யின் மாற்றம் என்ன?
நல்லது.இதற்கும் முடியும் இடத்தையும் ஆரம்பித்த இடத்தையும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
ஆகவே Y1 கழித்தல் y நாட்.
y,z ஐசெய்து முடித்து விட்டேனா என்று நீங்கள் கேட்கலாம்.

Tamil: 
Y1 கழித்தல் y நாட் இதன் கீழ் X1 கழித்தல் xநாட் என்ன?
இப்பொழுது முற்றிலும்
நீங்கள் இதை செய்திருக்கலாம்.
அதில் உங்களுக்கு பகுதி தொகுதிகளில்
எதிர்மத்தில் மதிப்புகள் வந்திருக்கலாம்.
ஆனால் அவைகள் நீங்கி விடும்.
இதில் முக்கியமான விசயம் என்னவென்றால் மதிப்புகள் முரணற்று சீராக இருக்கும்.
ஆரம்ப மதிப்பை முடிவில் உள்ள மதிப்பில்
இருந்து தொகுதியில் கழிக்கிறீர்கள்.
அதே போல் ஆரம்ப மதிப்பை முடிவில் உள்ள மதிப்பில்
இருந்து பகுதியில் கழிக்கிறீர்கள்.
இயற்கணிதத்தில் படித்ததில் இது உங்களுக்கு ஞாபகத்திற்கு வரலாம்.
சாய்மானத்தின் வரையறை என்னவென்றால்
xக்கு ஏற்ப yயின் மாற்றமாகும்.
ஆகவே,செங்குத்து அச்சில் கிடைமட்ட அச்சுக்கு ஏற்ப உண்டாகும் மாற்ற விகிதம்
yயின் மாற்றம் அல்லது நம் செங்குத்துக் கோட்டின் அணுகலில் உண்டாகும்
மாற்றம்,அல்லது நாம் கிடைமட்டக் கோட்டு அணுகலில் உண்டாகும் மாற்றம் இவற்றைச் சார்ந்தது ஆகும்.
இங்கு உங்களுக்கு ஒரு சிறிய புதிரை கொடுக்கப்போகிறேன்.
இங்கு மற்றொரு அச்சைப் போடுகிறேன்.கொஞ்சம் வளைவாக, அப்பொழுது
நமக்கு இதை விளக்க இடமிருக்குமாறு போடுகிறேன்.
ஆகவே,இது அந்தக் கோடு.
இந்தக் கோட்டின் வரையறையை எடுத்துக் கொண்டால் அதற்கு நிலையான சாய்மானம் உண்டு.
இதில் எந்த இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்து கணக்கிட்டாலும்
அந்தக் கோட்டிற்கு அது நிலையானதாக இருக்கும்

Portuguese: 
y zero menos y um sobre x zero menos x um?
Com certeza, você poderia ter feito isso.
Você encontraria o negativo tanto no
numerador quanto no denominador
mas eles iram se cancelar.
O importante é ser consistente.
Se você está subtraindo seu valor inicial
do seu valor final no numerador, você
deve subtrair o seu valor inicial do
seu valor final no denominador também.
Então isso aqui vocês provavelmente 
se recordam das aulas de álgebra
a definição de inclinação é a taxa 
de variação de y em relação a x,
então é a taxa de variação
do nosso eixo vertical em relação 
ao nosso eixo horizontal.
Variação de nosso eixo vertical sobre
variação de nosso eixo horizontal.
Agora vou apresentar um enigma.
Deixe-me desenhar outro eixo bem aqui.
Vou movimentar um pouco para termos espaço
Então isto era uma reta
E uma reta tem inclinação
constante por definição.
Se você calcular a inclinação entre
qualquer dois pontos,
ela será constate para aquela linha.

Czech: 
(y_0 minus y_1) děleno (x_0 minus x_1).
Klidně bychom to udělat mohli,
dostali bychom záporné hodnoty v 
čitateli i jmenovateli a ty by se vyrušily.
Důležité je, abychom
to dělali všude stejně.
Když odečítáte počáteční
hodnotu od koncové v čitateli,
musíte to tak udělat i ve jmenovateli.
Tohle si možná pamatuje z dřívějška.
Směrnice je míra změny ‚y‘ ku změně ‚x‘.
Neboli, míra změny na svislé ose
ku změně na vodorovné ose.
Teď vám dám takovou hádanku.
Nakreslím sem další osy,
abychom měli víc místa.
Tady jsme měli přímku.
Přímka má podle definice
konstantní směrnici.
Ať směrnici vypočítáte z kterýchkoliv
dvou bodů na přímce, bude vždy stejná.

Korean: 
처음에서 끝을 빼면 틀린걸까요?
전혀
그렇게 해도 됩니다
분자와 분모 모두
음수가 나오지만
무시할 수 있습니다
일관성을 가지는게 중요합니다
끝에서 처음을 빼던지
처음에서 끝을 빼던지
일관성을 가져야 합니다
이 식은 대수 시간에 봤을 것입니다
기울기의 정의인
x 변화량에 따른 y 변화량은
x 축과 y 축 상에서
변화율로도 구할 수 있습니다
그럼 이제 새로운 문제를 풀어봅시다
지금까지는 직선에서 다뤘습니다
일정한 기울기를 가진 직선
선 위에 두 점을 찍어 계산하면
일정한 상수가 나옵니다

Bulgarian: 
да го запиша (y нулево - y1) 
върху (x нулево - x1)?
Абсолютно!
Можеше да го направиш.
Тогава просто щеше 
да получиш отрицателно число
за всяка от тези стойности
в числителя и знаменателя,
но те взаимно ще се унищожат.
Важно е записът да е еднакъв.
Ако изваждаш началната стойност
 от крайната стойност
в числителя, следва също така
да извадиш началната стойност
от крайната стойност в знаменателя.
Това тук може би си спомняш 
от уроците по алгебра.
Определението за наклон е: скоростта
на изменение на y спрямо x.
Или скоростта на изменение 
по вертикалната ос
спрямо това по хоризонталната ос.
Или изменението по y, 
т.е. изменението по вертикалната ос,
върху изменението по хоризонталната ос.
Сега ще въведа малко 
една главоблъсканица.
Нека ето тук да начертая друга ос.
Ще я преместя само малко,
за да имаме място за работа.
И така, това беше за права.
А правата по дефиниция 
има постоянен наклон.
Ако го изчислиш между 
две произволни точки от правата
ще бъде постоянен за тази права.

English: 
have done y0 minus y1
over x0 zero minus x1?
Absolutely.
You could have done that.
Then you would have just
gotten the negative of each
of these values in the
numerator and denominator,
but they would
have canceled out.
The important thing is
that you're consistent.
If you're subtracting you're
starting value from your ending
value in the numerator, you have
to subtract your starting value
from your ending value in
the denominator as well.
So this right here you probably
remember from algebra class.
The definition of
slope is the rate
of change of y
with respect to x.
Or it's the rate of change
of our vertical axis,
I should say, with respect
to our horizontal axis.
Or change in y, or change
in our vertical axis
over change in a
horizontal axis.
Now I'm going to introduce
a little bit of a conundrum.
So let me draw another
axis right over here.
Scroll over a little
bit just so we
have some space to work with.
So that was for a line.
And a line, by definition,
has a constant slope.
If you calculate this between
any two points on the line,
it's going to be
constant for that line.

Thai: 
ทำ y0 ลบ y1 ส่วน x0 ลบ x1 ได้ไหม?
แน่นอน
คุณทำได้
แล้วคุณก็ใส่ค่าลบ
ของแต่ละตัวในตัวเศษกับตัวส่วน
แต่พวกมันจะหักล้างกัน
สิ่งสำคัญคือว่า คุณทำให้เหมือนกัน
ถ้าคุณลบค่าเริ่มต้นด้วยค่าปลาย
ในตัวเศษ คุณก็ต้องลบค่าเริ่มต้น
ด้วยค่าปลายในตัวส่วนเช่นกัน
เรื่องนี้คุณน่าจะจำได้จากวิชาพีชคณิต
นิยามของความชันคืออัตรา
การเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x
หรือมันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของแกนตั้ง
จะว่าอย่างนั้นก็ได้ เทียบกับแกนนอน
หรือการเปลี่ยนแปลงของ y หรือการเปลี่ยนแปลงในแกนตั้ง
ส่วนการเปลี่ยนแปลงในแกนนอน
ทีนี้ ผมจะนำเสนอปริศนาอย่างหนึ่ง
ขอผมวาดแกนอีกอันตรงนี้นะ
เลื่อนไปหน่อย เราจะได้
มีที่ไว้เขียน
นั่นคือเส้นตรง
และเส้นตรง ตามนิยามแล้ว มีความชันคงที่
ถ้าคุณคำนวณค่านี้ระหว่างสองจุดใดๆ บนเส้นตรง
มันจะคงที่ตลอดเส้นตรงนั้น

Korean: 
그럼 곡선일때는 어떻게 할까요?
이제 비선형 곡선을 생각해봅시다
그 곡선이 이렇게 생겼다고 합시다
그럼 여기서
x에 대한 y의 변화량은 어떻게 될까요?
다른 시점에서 생각해봅시다
적어도 근사는 할 수 있을 것입니다
임의의 한 점을 잡아봅시다
이 점의 좌표는 (X1, Y1) 입니다
곡선 위의 다른 점을 잡아
(X2, Y2) 이라 합시다
(X1, Y1), (X2, Y2) 두 점을 잡습니다
아직은 할 수 있는게 없습니다
이 점에서 기울기는
어떻게 구할까요?

Bulgarian: 
Но какво става, когато 
започнем да работим с криви?
Когато започнем да работим с криви
 или не-линейни функции.
Нека да си представим крива, 
която изглежда ето така.
Изглежда по този начин.
Каква е скоростта на изменение на y
спрямо x за тази крива?
Нека да разгледаме различни точки.
Поне може да се опитаме 
с приближение да видим,
как ще изглежда 
във всеки един момент.
Нека да кажем, че това е 
една точка от кривата.
Нека да я наречем x1 
и тогава това е y1.
И нека това тук да е друга точка
от кривата x2.
А тази нека да е y2.
И така това е точка (x1; y1), 
а това е (x2; y2).
Все още не разполагаме
с инструментите.
И това е, което е вълнуващо в анализа,
че скоро ще имаме инструменти, 
за да намерим
каква е скоростта на изменение на y
спрямо x точно в тази точка.
Но все още не разполагаме 
с такъв инструмент.

Czech: 
Ale co se stane, když
na scénu přijdou křivky?
Když budeme mít něco, co není
přímka, není to lineární křivka.
Představme si nějakou takovou křivku.
Jaká je míra změny ‚y‘
ku změně ‚x‘ pro tuto křivku?
Podívejme se na to v různých bodech.
Mohli bychom aspoň odhadnout, jaká
bude směrnice v daném okamžiku.
Dejme tomu, že tady máme jeden bod.
Bod (x_1,y_1)
A tady budeme mít další bod.
Bod (x_2,y_2)
Takže tady je bod (x_1,y_1)
a tady (x_2,y_2).
Zatím to neumíme, ale brzy
budeme mít prostředky k tomu,
abychom zjistili, jaká je moc se mění
‚y‘ při změně ‚x‘ přesně v tomto bodě.
To ještě neumíme.

English: 
But what happens when we
start dealing with curves?
' When we start dealing with
non-line or non-linear curves.
So let's imagine a curve that
looks something like this.
So what is the
rate of change of y
with respect to x of this curve?
Well, let's look at it
at different points.
And we could at least
try to approximate what
it might be in any moment.
So let's say that this
is one point on a curve.
Let's call that x1,
and then this is y1.
And let's say that this is
another point on a curve
right over here, x2.
And let's call this y2.
So this is a point x1, y1,
this is a point x2, y2.
So we don't have the tools yet.
And this is what's
exciting about calculus,
we will soon have the
tools to figure out,
what is the rate of
change of y with respect
to x at exactly this point?
But we don't have that tool yet.

Tamil: 
இப்பொழுது வளைவுகளை எடுத்துக் கொண்டால் அதில் மாற்றம் எவ்வாறு இருக்கும்?
எப்பொழுது நாம் கோடு அல்லாத அல்லது தொகையற்ற வளைவுகளை
செய்கிறோம்?இப்பொழுது ஒரு வளைவுக் கோட்டை கற்பனை செய்வோம்.
அது இவ்வாறு தோற்றமளிக்கும்.
ஆகவே,yயின் மாற்றம் இந்த வளைவில் xக்கு ஏற்றாற்போல் என்ன?
பல புள்ளிகளில் இதன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்து தோராயமாக ஒரு
இடத்தில் எவ்வாறு இருக்கும் எனக் கணக்கிடலாம்.
வளைவுக் கோட்டில் இந்தப் புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்.
குறித்துள்ள இடங்களைx1 ஆகவும் y1ஆகவும் எடுத்துக் கொள்வோம்.
அடுத்து வேறு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்.
இவற்றை x2ஆகவும் y2ஆகவும் வைத்துக் கொள்வோம்.
படத்தில் x1 y1,மற்றும் x2 y2 உள்ளன.
இவை நுண்கணிதத்தைப் பொருத்தவரை இம்மாதிரியானவை
மிகவும் ஆவலைத் தூண்டுபவையாக இருக்கும்.
yயின் மாற்ற விகிதம் x க்கு ஏற்றாற்போல்
என்ன? என்று கண்டுபிடிக்கும் வழிகளைப் பார்ப்போம்.

Portuguese: 
Mas o que acontece quando
começamos a lidar com curvas?
Quando começamos a lidar 
com curvas não-lineares?
Então imagine uma curva que se
assemelhe a algo assim.
Qual é a taxa de variação de y em 
relação a x desta curva?
Bem, vamos olhar isso em diferentes pontos
para ao menos tentar aproximar do 
que possa ser em qualquer momento.
Vamos dizer que este é um 
ponto em uma curva.
Vamos chamá-lo de x um, e este de y um.
E vamos dizer que este aqui
seja outro ponto na curva:
x dois, e este aqui denominaremos y dois.
Então este é x um, este y um, este 
é x dois e este y dois.
Não temos as ferramentas ainda, e este
é o emocionante de cálculo, 
teremos em breve
ferramentas para descobrir qual é
a taxa de variação
de y em relação a x
exatamente neste ponto?
Não temos ainda a ferramenta, mas usando

Thai: 
แต่เกิดอะไรขึ้นถ้าเราคิดถึงเส้นโค้ง?
เมื่อเราเริ่มยุ่งกับเส้นโค้งที่ไม่ใช่แบบเชิงเส้น
ลองนึกภาพเส้นที่เป็นแบบนี้
 
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y
เทียบกับ x ของเส้นโค้งนี้คืออะไร?
ลองดูที่จุดต่างๆ กัน
เราอาจลองประมาณ
ว่ามันเป็นเท่าใด ณ จุดใดๆ
สมมุติว่านี่คือจุดหนึ่งบนเส้นโค้ง
ลองเรียกมันว่า x1 แล้วนี่คือ y1
และสมมุติว่านี่คืออีกจุดบนเส้นโค้ง
ตรงนี้ x2
ลองเรียกค่านี้ว่า y2
นี่ก็คือจุด (x1, y1) นี่คือจุด (x2,y2)
เราไม่มีเครื่องมืออะไรตอนนี้
และนี่คือสิ่งที่น่าตื่นเต้นในแคลคูลัส
เราจะมีเครื่องมือเพื่อหา
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ
x ที่จุดนี้ได้
แต่เรายังไม่มีเครื่องมือนั้นในตอนนี้

Czech: 
Ale použitím toho, co už umíme,
můžeme aspoň uvažovat nad tím,
jaká je průměrná míra změny
‚y‘ na intervalu od ‚x 1‘ do ‚x 2‘.
Jaká je tedy průměrná změna?
Je to, jak moc se mi změnilo ‚y‘ -tohle
je změna ‚y‘- při takovéto změně ‚x‘.
Vypočítáme to úplně stejně:
(y_2 minus y_1) děleno (x_2 minus x_1).
Takže změna ypsilonu
na tomto intervalu je (y_2 minus y_1)
a změna ‚x‘ je (x_2 minus x_1).
Takto se tedy dá spočítat průměrná
míra změny mezi těmito dvěma body.
Tedy průměrná míra změny
sklonu křivky mezi body
‚x‘ rovná se ‚x 1‘ a ‚x‘ rovná se ‚x 2‘.

Bulgarian: 
Но използвайки 
познанията си по алгебра,
може поне да започнем 
да мислим за това
каква е средната скорост на изменение
в интервала от x1 до x2.
Каква е средната скорост 
на изменение?
Това показва просто как 
се е променилa стойността y,
така че това е изменението по y, 
съответно за това изменение по x.
За това Δx.
Бихме го изчислили по същия начин.
(y2 – y1)/(x2 – x1)
Δy в този интервал
е равно на (y2 – y1),
а Δx ще бъде равно на (x2 – x1).
Ето по този начин успяхме да намерим
скоростта на изменение 
между тези две точки.
Друг начин да мислиш за това,
е, че това е средната скорост 
на изменение за кривата между
x = x1 и x = x2.
Това е средната скорост на изменение

English: 
But using just the
tools from algebra,
we could at least
start to think about,
what is the average
rate of change
over the interval from x1 to x2?
Well, what's the
average rate of change?
Well, that's just how
much did my y change--
so that's my change in
y-- for this change in x.
And so we would calculate
it the same way.
y2 minus y1 over x2 minus x1.
So our change in y
over this interval
is equal to y2 minus
y1, and our change
in x is going to be
equal to x2 minus x1.
So just like that we
were able to figure out
the rate of change
between these two points.
Or another way of
thinking about it
is, this is the average rate of
change for the curve between x
equals x1, and x is equal to x2.
This is the average
rate of change

Tamil: 
இதற்கான செய்முறைகள் என இல்லை,
இதை இயற்கணிதத்தில் இருந்து எடுத்துக் கொள்கிறோம்.
சராசரியாகx1 ல் இருந்து x2 வரை ஏற்பட்டுள்ள
மாற்றம் என்ன ? நம்மால் யோசிக்க முடியும்.
நல்லது.இப்பொழுது சராசரி மாற்ற விகிதம் என்ன?
நாம் y யின் மாற்றம் பற்றிப் பார்ப்போம்.
இங்கு y எவ்வளவு மாற்றம் அடைந்திருக்கிறது.
இதற்கு X ன் மாற்றம் பற்றிப் பார்க்க வேண்டும்.
அதை இதேபோல் கணக்கிட வேண்டும்.
Y2 -Y1 இதன் கீழ் X2 - X1.
ஆகவே,Yயின் மாற்றம் இந்த இடைவெளியில்
Y2 -Y1 மற்றும் X ன் மாற்றமான
X2 - X1 இதற்குச் சமம்.
எனவே,நாம் இவ்வாறு இரண்டு புள்ளிகளுக்கிடையே ஏற்படும்
மாற்ற விகிதத்தைக் கணக்கிடமுடியும்.
இதை வேறு வழியிலும் யோசிக்கலாம்.
இந்த சராசரி மாற்றம் X இந்த வளை கோட்டில் எதற்குச் சமமென்றால்X1,X = X2

Thai: 
แต่ถ้าใช้แค่เครื่องมือจากพีชคณิต
เราก็คิดว่า
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
ตลอดช่วง x1 ถึง x2 เป็นเท่าใด?
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเป็นเท่าใด?
นั่นก็คือค่า y ที่เปลี่ยนไป --
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของ y -- 
สำหรับการเปลี่ยนแปลงของ x นี้
 
แล้วเราก็คำนวณมันได้เหมือนเดิม
y2 ลบ y1 ส่วน x2 ลบ x1
การเปลี่ยนแปลงของ y ในช่วงนี้
เท่ากับ y2 ลบ y1 และการเปลี่ยนแปลงของ x
จะเท่ากับ x2 ลบ x1
เหมือนกับที่เราหา
อัตราการเปลี่ยนแปลงระหว่างสองจุดนี้
หรือวิธีคิดอีกอย่าง
คือว่า นี่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
สำหรับเส้นโค้งระหว่าง x
เท่ากับ x1 กับ x เท่ากับ x2
นี่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย

Korean: 
대수적으로 생각해보면
X1 에서 X2 까지 간격의
평균 변화량은 얼마일까요?
평균 변화량이 무엇일까요
y 변화량을 △y 라 하고
x 변화량을 △x 라 합시다
이제 같은 방법으로 계산 가능합니다
분모는 X2 - X1 이고
분자는 Y2 - Y1 입니다
△y = Y2 - Y1
△x = X2 - X1
두 점 사이의 변화량만 알면
기울기를 구할 수 있습니다
이 값은
X1과 X2에서의 평균 변화율과 같습니다
이 값은

Portuguese: 
somente as de álgebra, podemos 
pelo menos começar
a pensar sobre qual é a taxa média
da variação durante o 
intervalo de x um a x dois?
Qual é a taxa média de variação?
Bem, será somente quanto meu y variou,
ou seja, a variação em y
para esta variação em x.
Então vamos calcular isto do mesmo jeito,
y dois menos y um sobre 
x dois menos x um.
Nossa variação em y 
durante este intervalo é igual
a y dois menos y um, e nossa variação x
será igual a x dois menos x um.
Então, deste modo, poderemos descobrir
a taxa de variação entre 
estes dois pontos.
Outra maneira de pensar sobre isso,
é que esta é a taxa de variação média
para a curva entre 
x um e x dois.

Korean: 
x 에 따른 y의 평균변화율과도 같습니다
이 직선의 기울기를 알고 있으니
두 점을 연결해봅시다
곡선과 2개의 교점이 있는
이 직선을 뭐라고 부를까요?
외선이라 부릅시다
기울기의 개념을 확장한 아이디어
알고 있던 직선의 기울기
구하는 방법으로
곡선의 기울기를 구했습니다
이제 적어도 곡선의
평균변화량은 구할 수 있습니다
외선의 기울기를 구하는 방법과 같습니다
약간의 설정으로
모든 것이 해결됩니다
결과적으로 평균 뿐 아니라
순간변화량도 구할 수 있습니다

Thai: 
ของ y เทียบกับ x ตลอดช่วงนี้
แต่เรายังหาอะไรได้ตรงนี้?
เราได้หาความชันของเส้นตรง
ที่เชื่อมสองจุดนี้เข้าด้วยกัน
 
และเราเรียกเส้นตรงที่ตัด
เส้นโค้งสองจุดนี้พอดีว่าอะไร?
เราเรียก เราเรียกมันว่าเส้นตัด (secant line)
เส้นนี่ตรงนี้คือเส้นตัด
แนวคิดสำคัญตรงนี้คือว่า เรากำลังขยาย
แนวคิดเรื่องความชัน
เราบอกว่า โอเค เรารู้วิธีหาความชันของเส้นตรง
เส้นโค้งเรายังไม่รู้วิธี
แต่แคลคูลัสกำลังจะบอกวิธีให้เรา
แต่ลองใช้เครื่องมือพีชคณิตไปก่อน
อย่างน้อย เราหาอัตราการเปลี่ยนแปลง
เฉลี่ยของเส้นโค้ง หรือฟังก์ชัน ตลอดช่วงหนึ่ง
มันเท่ากับความชันของเส้นตัด
ทีนี้ เพื่อบอกใบ้สิ่งที่จะเกิดขึ้นต่อไป
มันจะเป็นยังไงต่อไป?
เราจะได้เครื่องมือ
ที่เราหาอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะ

English: 
of y with respect to
x over this interval.
But what if we have we
also figured out here?
Well, we figured out
the slope of the line
that connects these two points.
And what we call a
line that intersects
a curve in exactly two places?
Well, we figured out, we
call that a secant line.
So this right over
here is a secant line.
So the big idea here is we're
extending the idea of slope.
We said, OK, we already knew
how to find the slope of a line.
A curve, we don't
have the tools yet,
but calculus is about
to give it to us.
But let's just use
our algebraic tools.
We can at least figure
out the average rate
of change of a curve, or a
function, over an interval.
That is the same exact thing
as the slope of a secant line.
Now just as a little
bit of foreshadowing,
where is this all going?
How will we eventually
get the tools, so
that we can figure out the
instantaneous rate of change,

Portuguese: 
Esta é a taxa de variação média de y em 
relação a x neste intervalo.
Mas o que mais descobrimos aqui?
Descobrimos que a inclinação da reta 
que conecta estes dois pontos.
A inclinação da reta que 
une estes dois pontos.
E como chamamos uma linha que intersecta
uma curva em exatamente dois pontos?
Bem, nós a chamamos de secante.
Então esta se trata de uma secante.
O ponto aqui é que estamos 
extendendo a ideia de inclinação.
Ok, já sabemos como encontrar
a inclinação de uma reta.
Para uma curva ainda não temos as 
ferramentas, o cálculo nos dará em breve,
mas vamos usar nossas 
ferramentas de álgebra.
Podemos pelo menos descobrir
a taxa de variação média
de uma curva ou função 
em um intervalo.
Isto é exatamente a mesma coisa 
que a secante de uma linha.
Agora somente um pouco de antecipação,
para onde isso está nos levando?
Como iremos chegar às ferramentas para 
descobrir a taxa de variação instantânea?

Tamil: 
இது Xக்கு ஏற்ப Yயில் ஏற்படும் சராசரி மாற்ற விகிதமாகும்.
வேறு எதை நாம் இங்கு கணக்கிட்டுள்ளோம் ?
கோட்டின் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள சாய்மானத்தையும் கணக்கிட்டுள்ளோம்.
ஆகவே,நாம் இங்கு இந்தக் கோட்டின் சாய்மானம்,அந்த இருபுள்ளிகளையும்
இணைக்கும் சாய்மானக்கோடு இவற்றைக் கணக்கிட்டுள்ளோம்.
ஒரு வளை கோட்டை இருஇடங்களில் வெட்டும் ஒரு கோட்டிற்கு என்னவென்று பெயர்?
அதை நாம் வெட்டுக் கோடு எனக் கூறலாம்.
ஆகவே,இங்குள்ளது வெட்டுக் கோடு ஆகும்.
சாய்மானத்தைப் பற்றிப் பற்றி கொஞ்சம் விரிவாகப் போகிறோம்.
சரி,ஒரு கோட்டின் சரிமானத்தை எப்படிக் கணக்கிடுவது என்று நமக்குத் தெரியும் எனக் கூறுகிறோம்.
இதைக் கணக்கிடுவதற்கான தனி வழிகள் எதுவும் இல்லை.
இதற்கான வழிகள் நுண்கணிதத்தில் இருந்தாலும் நாம் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
இதை வைத்து நம்மால் சராசரி மாற்ற விகிதத்தை
ஒரு வளைக்கோட்டில் குறிப்பிட்ட இடைவெளிக்குக் கணக்கிட முடியும்.
இது இடைவெட்டிக் கோட்டின் சாய்மானம்.
இவை எங்கு இட்டுச் செல்கிறது?
இறுதியாக நமக்கு எவ்வாறு வழி கிடைத்தது
உடனடி மாற்று விகிதத்தைக் கணக்கிட முடிந்தது?

Czech: 
Průměrná změna ‚y‘
podél ‚x‘ na tomto intervalu.
Ale zároveň jsme tedy vypočítali
směrnici přímky mezi těmito dvěma body.
Zjistili jsme směrnici přímky
definované těmito dvěma body.
A jak říkáme přímce, která
protíná křivku v právě dvou bodech?
Říkáme ji sečna.
Takže toto je sečna.
Hlavní myšlenka je
rozšíření pojmu směrnice.
Už víme, jak najít směrnici přímky,
pro křivku to ještě neumíme,
to se naučíme později, v kalkulu,
ale pomocí toho, co umíme,
můžeme vypočítat průměrnou změnu sklonu
křivky či funkce na daném intervalu.
Což je to samé jako směrnice sečny
procházející koncovými body intervalu.
Jen abych trochu nastínil,
kam směřujeme
a jak dostaneme nástroj pro určení
okamžité změny, ne jen průměru…

Bulgarian: 
на y спрямо x в този интервал.
Но какво още научихме
и открихме тук?
Намерихме наклона на правата,
която свързва тези две точки.
Намерихме наклона на правата, 
която свързва тези две точки.
А как наричаме права, която
пресича една крива 
точно на две места?
Както знаеш, това е секуща права.
Следователно това тук е секуща.
Основната идея тук е 
да разширим понятието за наклон.
Казахме: Добре, вече знаем как 
да намираме наклон на права.
За крива все още 
не разполагаме с инструментите,
но ще ги вземем от анализа.
Но нека да използваме 
инструментите от алгебрата.
Може поне да намерим средната
скорост на изменение за крива,
или функция, в даден интервал.
Това е същото нещо като 
наклона на секущата.
Просто, за да загатнем 
малко какво предстои,
т.е. накъде отива всичко това.
Как ще се сдобием с инструментите,
с които ще намираме 
моментната скорост на изменение,

Tamil: 
இங்கு சராசரி விகிதத்தை எடுத்துக் கொள்ளக் கூடாது.
இங்கு இரண்டு புள்ளிகளும் நெருங்குகிறது.
இப்பொழுது இந்த வெட்டுக்கோடு உடனடி
மாற்ற விகிதத்தைக் காட்டுகிறது.
இதை தொடுகோட்டின் சாய்மானமாகக் கூட யோசிக்கலாம்.

Korean: 
임의의 점을 잡고
그 점과 매우 가까운 다른 점을 잡아
연결하면 외선이 생기는데
이건 이 점에서의
순간 속도 변화라 볼 수 있습니다
혹은 접선의 기울기라 볼 수 있습니다
 

Thai: 
ไม่ใช่แค่ค่าเฉลี่ยได้อย่างไร?
ลองนึกดูว่าเกิดอะไรขึ้น ถ้าจุดนี่ตรงนี้
ใกล้เข้าหาจุดนี้มากขึ้นเรื่อยๆ
แล้วเส้นตัดจะประมาณ
อัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะ
ของการเปลี่ยนแปลงตรงนี้ได้ดีขึ้น
หรือคุณคิดว่ามันเป็นความชันของเส้นสัมผัสก็ได้
 

Portuguese: 
Não apenas a média, mas imagine 
o que acontece se este ponto
ficasse cada vez mais próximo 
deste outro ponto
então a secante se 
aproximará cada vez mais
da taxa instantânea de variação aqui,
você pode até pensar nela como a
inclinação da linha tangente.
[Legendado por: Sérgio Fleury]

English: 
not just the average?
Well just imagine what happens
if this point right over here
got closer and
closer to this point.
Then the secant line is
going to better and better
and better approximate
the instantaneous rate
of change right over here.
Or you could even think of it as
the slope of the tangent line.

Bulgarian: 
а не само средната?
Просто си представи какво 
се случва, ако тази точка тук
се приближава все повече
 и повече до другата.
Тогава секущата все повече и повече
ще се доближава до 
моментната скорост
на изменение ето тук.
Дори може да мислиш за това 
като за наклона на допирателната.

Czech: 
Představte si, co se stane, když se budeme
tímto bodem přibližovat k tomuto bodu.
Pak směrnice té sečny bude čím dál lepším
odhadem okamžité změny v tomto bodě.
Nakonec se to změní ve směrnici tečny.
