
English: 
Professor Dave here, let’s talk about limits.
The development of calculus arose from discussing
limits.
We defined some activity and allowed a parameter
to either increase to infinity, like the number
of sides in a polygon, or decrease to zero,
like the amount of time elapsed between two
positions, so that we could see what happens
as we approach that value.
But the use of limits has been largely replaced
by a more modern framework, and we will be
operating out of that framework as we learn
about derivatives and integrals.
However, there are select moments where we
will be using limits, and we need to understand
what they mean and how to manipulate them,
so before moving forward, let’s talk a little
bit about limits, and the laws associated
with them.

Arabic: 
البروفيسور ديف معكم ، لنتحدث عن الحدود
تطور حساب التفاضل والتكامل نشأ من مناقشة الحدود
حددنا بعض النشاطات وسمحنا للمَعْلَمة إما أن ترتفع إلى ما لا نهاية
مثل عدد الأضلاع في المضلع ، أو تتناقص إلى صفر ، مثل مقدار الوقت المنقضي بين موضعين
حتى نتمكن من رؤية ما يحدث ونحن نقترب من تلك القيمة
لكن استخدام الحدود قد تم استبداله إلى حد كبير بإطار أكثر حداثة ، وسنعمل
على الخروج من هذا الإطار عندما نتعرف على المشتقات والتكاملات
ومع ذلك ، هناك لحظات مُختارة سنستخدم فيها الحدود ، ونحن سنحتاج إلى فهم
ما تعنيه وكيفية التلاعب بها ، لذلك قبل المضي قدمًا ، لنتحدث قليلاً
عن الحدود والقوانين المرتبطة بها

Arabic: 
بكل بساطة ، يمكننا أن ننظر إلى بعض الدوال ، ووصف الحد من هذه الدوال كما يقترب x
من بعض القيم
إذا كان لدينا f من x يساوي x تربيع ، وأردنا إيجاد الحد مع اقتراب x من اثنين
فسيكون ذلك ببساطة أربعة
سواء اقتربنا من الاتجاه السلبي أو الاتجاه الإيجابي ، نظرًا لأننا نقترب أكثر فأكثر
إلى قيمة x من اثنين ، فإننا نقترب أكثر فأكثر إلى قيمة أربعة للدالة
وبالتالي فإن الحد من f من x كما يقترب x يساوي أربعة
قد يتساءل المرء لماذا لا نقوم ببساطة بتقييم الدالة عند x تساوي اثنين ، ونحصل على أربعة ؟
هذا سؤال صحيح تمامًا ، وفي هذا المثال ، لا يوجد فرق
ذلك لأن هذه دالة مستمرة
الحد الأقصى للدالة مع اقتراب x من a هو f لـ A . لكن بعض الدوال لها خطوط تقاربية رأسية

English: 
Quite simply, we can look at some function,
and describe a limit of that function as x
approaches some value.
If we have f of x equals x squared, and we
want to find the limit as x approaches two,
that will simply be four.
Whether we approach from the negative direction
or the positive direction, as we get closer
and closer to an x value of two, we get closer
and closer to a value of four for the function.
So the limit of f of x as x approaches two
equals four.
One might wonder why we don’t simply evaluate
the function at x equals two, and get four.
This is a totally valid question, and in this
example, there is no difference.
That’s because this is a continuous function.
The limit of the function as x approaches
A is f of A. But some functions have vertical

Arabic: 
وسنعرف ما تقوم به دالة ما عندما تقترب من ذلك الخط المقارب
من أي جانب ، كن لا يُمكننا أن ندمج فقط القيمة التي يحدث فيها الخط المقارب
كما هو الحال بالنسبة لتلك المدخلات ، ستكون الدالة غير محددة
في حالات أخرى ، رُبما لا يوجد تقارب ، ولكن هناك نقطة إنقطاع
لنُزيل النقطة (اثنان ، أربعة) من مثالنا السابق
الآن ، ما وصفناه حد الدالة كـ x يقترب من اثنين لا يختلف
عما كان لدينا من قبل ، على الرغم من أن الدالة لم تعد تساوي أربعة في x تساوي اثنين
هذا لأن الدالة لا تزال تفعل الشيء نفسهُ كما اقتربنا من اثنين من أي من الإتجاهين
وعلى نحوٍ مُماثل ، قد نرغب في معرفة السلوك النهائي لدالةٍ ما ، حيث أن x تستمر بلا حدود
في أي من الإتجاهين ، وقد لا يكون دائمًا واضح من خلال النظر إلى الدالة
في شكل معادلة

English: 
asymptotes, and we will want to know what
a function does as it approaches that asymptote
from either side, but we can’t just plug
in the value where the asymptote occurs, as
for that input, the function will be undefined.
In other cases, perhaps there is no asymptote,
but there is a point discontinuity.
Let’s remove the point (two, four) from
our previous example.
Now, what we described about the limit of
the function as x approaches two is no different
than what we had before, even though the function
no longer equals four at x equals two.
This is because the function still does the
same thing as we approach two from either direction.
Similarly, we may want to know about the end
behavior of a function, as x proceeds infinitely
in either direction, and it may not always
be obvious from looking at the function in
equation form.

English: 
So this is the realm where limits have their
application.
Say we are now looking at the function (x
minus one) over (x squared minus one).
As we may recall from algebra, this denominator
can be factored, and then this (x minus one)
term can cancel, so this function will look
exactly like one over (x plus one), which
we can graph quite easily.
But there is one difference.
The original function must have a discontinuity
at x equals one, because the denominator is
zero when x equals one, which makes the function
undefined.
This is an example where limits become useful,
because we want to know what the function
does all the way up until we get to one, from
either side, and we can’t just plug the
value directly into the function like we could
with the x squared function.

Arabic: 
لذلك هذا هو المجال حيث الحدود لها تطبيقها
لنفترض أننا ننظر الآن إلى الوظيفة (x ناقص واحد) على (تربيع x ناقص واحد)
كما قد نتذكر من الجبر ، يمكن أخذ هذا المقام في الحُسبان ، ومن ثم يُمكن إلغاء هذا المصطلح (× ناقص واحد)
لذا ستبدو هذه الدالة تمامًا مثل واحد على (x زائد واحد) ، والذي
يُمكننا رسمهُ بسهولة بالغة
لكن يوجد فرقٌ واحد
يجب أن يكون للدالة الأصلية انقطاع في x يساوي واحد ، لأن المقام
هو صفر عندما يساوي x واحد ، مما يجعل الدالة غير محددة
هذا مثال حيثُ تصبح الحدود مفيدة ، لأننا نريد أن نعرف ما تقوم به الدالة
على طول الطريق حتى نصل إلى واحدة ، من أي جانب ، ولا يُمكننا فقط توصيل القيمة مباشرةً
في الدالةكما يُمكننا مع الدالة x التربيعية

Arabic: 
عوضاً عن ذلك ، يُمكننا توصيل القيم التي تقترب أكثر من واحدة ، على حدٍ سواء أكبرها وأصغرها
ويمكننا أن نرى بوضوح أن الوظيفة تقترب من 0.5 أو نصف.
هذا هو الحد الأقصى لهذه الدالة مع اقتراب x من واحد
حتى وإن قمنا بتغيير هذه الدالة بحيث في x تساوي واحدًا بالضبط ، فإننا نعطي الدالة
بعض القيم الأخرى ، مثل اثنين ، وهذا لن يُغير الحد ، لأن الحد لا ينظر
إلى ما تقوم به الدالة في تلك المرحلة ، فقط ما تقوم به أثناء اقتراب هذه النقطة
وتبقى سلوك الدالة في كل مكان آخر كما هو
لننظر إلى شيء قد يكون أكثر صرامة في الرسم البياني
خذ شيئًا مثل جيب x على x
ما هي قيمة هذه الدالة مع اقتراب x من الصفر ، من كِلا الاتجاهين؟
حسنًا ، دعنا نُوصل بها بعض الأرقام

English: 
Instead, we can plug in values that get closer
and closer to one, both larger and smaller,
and we can clearly see that the function approaches
0.5, or one half.
So that’s the limit of this function as
x approaches one.
Even if we change this function so that at
precisely x equals one we give the function
some other value, like two, that won’t change
the limit, because the limit doesn’t look
at what the function is doing at that point,
only what it is doing while approaching that
point, and the behavior of the function everywhere
else has remained the same.
Let’s look at something that would be a
little tougher to graph.
Take something like sine of x over x.
What is the value of this function as x approaches
zero, from either direction?
Well let’s plug in some numbers.

English: 
Now we can’t just plug in zero, because
the sine of zero is zero, and the denominator
would also be zero.
Having zero over zero is a big problem, because
we have no idea what the function is doing
at this point from this information alone,
it could be doing anything.
Instead, let’s plug in values approaching
zero from either direction, and we will see
that the function is approaching one, so the
limit of this function as x approaches zero, is one.
This is an impressive achievement, because
using limits, we are able to see that something
that initially looked like zero over zero,
was actually equal to one, so we ought to
see the utility of this method.
Let’s also point out that the limit of a
function may depend on the direction one is moving.
Take this function, which is defined to be
equal to zero if x is less than zero, and

Arabic: 
الآن لا يُمكننا سد العجز في الصفر ، لأن جيب الصفر يساوي صفر ، والمقام
سيكون أيضًا صفر
يُمثل وجود صفر على الصفر مشكلة كبيرة لأنه ليس لدينا أي فكرة عما تقوم به الدالة
في هذه المرحلة من هذه المعلومات وحدها ، يُمكن أن تفعل أي شيء
بدلاً من ذلك ، دعنا نُوصل القيم التي تُقارب الصفر من أيٍّ من الاتجاهين ، وسنرى
أن الدالة تقترب من واحد ، وبالتالي فإن الحد الأقصى لهذه الدالة مع اقتراب x من الصفر ، هو واحد
هذا إنجاز مُثير للإعجاب لأنه باستخدام الحدود ، يُمكننا أن نرى أن شيئًا ما
بدا في البداية وكأنه صفر فوق الصفر ، كان في الواقع يساوي واحدًا ، لذلك يجب
أن نرى فائدة هذه الطريقة
دعنا نُشير أيضًا إلى أن حد الدالة قد يعتمد على الإتجاه التي تتحرك فيه
أستخدم هذه الدالة ، والتي تم تعريفها على أنها تساوي الصفر إذا كانت x أقل من الصفر

Arabic: 
وتساوي واحد إذا كانت x أكبر من أو تساوي صفر
ما هو الحد الأقصى لهذه الدالة مع اقتراب x من الصفر؟
حسنًا ، نحصل على قيمة مختلفة إذا وصلنا إلى الصفر من الجانب الإيجابي أو الجانب السلبي
لذلك لا يوجد حد لهذه القيمة
ولكن يمكننا بدلاً من ذلك وصف حدين مختلفين من جانب واحد
حد f من x مع اقتراب x من الصفر من الجانب السلبي ، والذي يُشار إليه
بعلامة سالب في علامة أعلى من الصفر ، هو الصفر
نحن نقترب أكثر فأكثر من الصفر ، أو بالأحرى في هذه الحالة ، تبقى الدالة عند مستوى الصفر
الحد f من x مع اقتراب x من الصفر من الجانب الموجب ، والذي يُشار إليه
بعلامة إيجابية في الرمز العلوي فوق الصفر ، هو الحد
نحن نقترب أكثر فأكثر من واحد ، أو مرة أخرى ، في هذه الحالة ، تبقى الدالة في واحد

English: 
equal to one if x is greater than or equal
to zero.
What is the limit of this function as x approaches
zero?
Well we get a different value if we are coming
at zero from the positive side or negative
side, so there is no limit at this value.
But we can instead describe two different
one-sided limits.
The limit of f of x as x approaches zero from
the negative side, which is indicated by a
negative sign in superscript over the zero,
is zero.
We are getting closer and closer to zero,
or rather in this case, the function remains at zero.
The limit of f of x as x approaches zero from
the positive side, which is indicated by a
positive sign in superscript over the zero,
is one.
We are getting closer and closer to one, or
again, in this case, the function remains at one.

Arabic: 
وتُسمى هذه الحدود حدود اليسار واليمين
الآن ، ماذا عن التلاعب بالحدود جبريًا؟
يُمكن القيام بذلك ، وهناك بعض القوانين المهمة التي يمكننا تعلمها
أولاً ، يساوي حد مجموع الدوال مجموع الحدود
يجب أن يبدو هذا معقولًا ، كما لو كانت إحدى الدوال تقارب ستة وأخرى تقارب خمسة
ثم يجب أن يقترب مجموع هذه الدوال من أحد عشر ، وهو مجموع الحدود الفردية
كما هو واضح هكهذا يبدو ، من المهم فهم هذه الأشياء بعناية
وبالتالي فإن حد المجموع يساوي مجموع الحدود
الأمر نفسه ينطبق على حد الإختلاف ، فنحن نبدل العلامة فقط
يُمكننا أيضًا أن نفعل الشيء نفسه بالنسبة إلى حد منتج الدوال ، فضلاً عن الحاصل

English: 
These are called left-hand and right-hand
limits.
Now what about manipulating limits algebraically?
This can be done, and there are some important
laws that we can learn.
First, the limit of a sum of functions is
equal to the sum of the limits.
This should sound reasonable, as if one function
approaches six and another approaches five,
then the sum of these functions should approach
eleven, which is the sum of the individual limits.
As obvious as this sounds, it’s important
to make careful sense of these things.
So the limit of a sum is equal to the sum
of limits.
The same goes for the limit of a difference,
we just switch the sign.
We can also do the same thing for the limit
of a product of functions, as well as a quotient,

Arabic: 
بشرط ألا يكون الحد الأدنى مساويًا للصفر
وأخيرًا ، يكون الحد الأقصى لعدد مرات ثابت الدالة مساوياً لعدد مرات ثابت الحد
لذلك يُمكننا النظر في دالتين على مستوى الإحداثيات ، ووصف حدود معينة في النقاط الرئيسية
مثل النقاط مع الإنقطاع
نحن نعلم بالفعل كيفية العثور على هذه الحدود لدالة فردية ، لذلك لا يختلف هذا التطبيق
فنحن فقط نؤدي الجبر بحدود
إذا تمكنا من العثور على الحد الأقصى لكل دالة  منفصلة مع اقترابها من دالتين ، فيمكننا إيجاد
الحد من f لـ x plus g من x مع اقتراب x من اثنين
أو f من x ناقص ثلاثة g من x
أو f من x مراتg من x

English: 
provided that the bottom limit does not equal
zero.
And lastly, the limit of a constant times
a function equals the constant times the limit.
So we could look at two functions on the coordinate
plane, and describe particular limits at key
points, such as points with discontinuities.
We already know how to find these limits for
an individual function, so this application
is no different, we are just doing algebra
with limits.
If we can find the limit of each separate
function as it approaches two, then we can
find the limit of f of x plus g of x as x
approaches two.
Or f of x minus three g of x.
Or f of x times g of x.

English: 
Or f of x over g of x.
To these laws we can add just a couple more,
all of which require that n be a positive integer.
The limit of a function raised to some power,
n, is equal to the limit raised to that power.
Similarly, the limit of some nth root of a
function is equal to that root of the limit.
The limit of x to the n as x approaches A,
is A to the n, and the limit of the nth root
of x as x approaches A, is the nth root of
A. And the last two laws we will mention,
the limit of a constant is equal to that constant,
regardless of the parameters of the limit,
and the limit of x as x approaches a particular
value is that value.

Arabic: 
أو f من x على g من x
في هذه القوانين ، يُمكننا إضافة المزيد فقط ، وكلها تتطلب أن تكون n عددًا صحيحًا إيجابيًا
حد دالة مرفوعة لبعض القدرة ، n ، يساوي الحد الذي تم رفعه لتلك القوة
وعلى نحوٍ مُماثل ، فإن الحد من بعض الجذر n للدالة يساوي ذلك الجذر من الحد
الحد من x إلى n مع اقتراب x من A ، هو A إلى n ، والحد من الجذر n
لـ x كما يقترب x من A ، هو الجذر التاسع لـ A. والقانونين الأخيرين التي سنذكرها
الحد قيمة ثابتة تساوي ذلك الثابت ، بغض النظر عن معلمات الحد
والحد الأقصى x كما يقترب من x قيمة معينة هي تلك القيمة

Arabic: 
يبدو هذا كأنه جمعٌ من القوانين ، لكنها تأتي مفيدة جدًا عند محاولة تقييم الحد الأقصى
لدالة أكثر تعقيدًا
خذ شيئًا مثل (x مكعب زائد اثنين تربيع × ناقص واحد) على (خمسة ناقص ثلاثة ×)
لنفترض أننا نريد العثور على حد هذه الدالة مع اقتراب x من سالب إثنان
الآن بعد أن أصبحت لدينا هذه القوانين ، لا يتعين علينا رسم بياني لهذه الدالة وفحصها بصريًا
لأن ذلك سيستغرق بعض الوقت
بدلاً من ذلك ، لنطبق القوانين
لدينا حاصل ، حتى نتمكن من تقييم حد البسط
وحد المقام بشكل منفصل ، بسبب القانون الذي نعرفه بشأن الحواصل
علاوةً على ذلك ، يُمكننا تقسيم كل واحد من هؤلاء إلى مصطلحات فردية ، بسبب القوانين
المتعلقة بالمجموع والإختلافات
وأخيرًا ، يمكن سحب أي ثوابت تعمل على المتغيرات خارج الحد

English: 
That seems like a lot of laws, but they come
in very handy when trying to assess the limit
of a more complex function.
Take something like (x cubed plus two x squared
minus one) over (five minus three x).
Say we want to find the limit of this function
as x approaches negative two.
Now that we have these laws, we don’t have
to graph the function and inspect it visually,
as that would take a while.
Instead let’s apply the laws.
We have a quotient, so we can just evaluate
the limit of the numerator and the limit of
the denominator separately, because of the
law we know regarding quotients.
Furthermore, we can split each of those up
into individual terms, because of the laws
regarding sums and differences.
And lastly, any constants operating on variables
can be pulled outside of the limit, because

English: 
of the law we know regarding constants.
We may be left with lots of limits, but all
of them are easy to evaluate.
For x cubed, we get negative eight.
For x squared, we get four, times two is eight.
And one is a constant, so that remains one.
On the bottom, five remains five, and x is
negative two, times three is negative six,
so after doing some arithmetic, we end up
with negative one eleventh.
Now it is true that in this case, we could
have just evaluated the function at x equals
negative two to get this answer, but this
won’t always be the case, so we should get
used to using limit laws in this manner.
Furthermore, we may also have to do some algebra
to an expression first, in order to be able
to use the limit laws, which may involve cancelling
terms, or some other manipulation.

Arabic: 
بسبب القانون الذي نعرفه بشأن الثوابت
قد نترك الكثير من الحدود ، لكن يسهل تقييمها جميعًا
بالنسبة إلى x مكعب ، نحصل على ثمانية سالب
بالنسبة إلى x تربيع ، نحصل على أربع مرات ، والمرتان هي الثامنة
واحد ثابت ، بحيث يبقى واحدًا
في الأسفل ، لا يزال خمسة ، خمسة ، و x سالبة مرتين ، ثلاث مرات سالب ستة
لذلك بعد القيام ببعض العمليات الحسابية ، ينتهي بنا المطاف بالسالب 11/1
الآن صحيح أنه في هذه الحالة ، كان بإمكاننا تقييم الدالة في x تساوي اثنين سلبيين
للحصول على هذه الإجابة ، ولكن هذا لن يكون دائمًا ، لذلك يجب أن نعتاد
على استخدام قوانين الحد بهذه الطريقة
فضلاً عن ذلك ، قد يتعين علينا أيضًا القيام ببعض الجبر للتعبير أولاً ، حتى نتمكن
من استخدام قوانين الحد ، والتي قد تتضمن إلغاء المصطلحات ، أو بعضاً من التلاعب الآخر

English: 
So with that, we have a reasonable idea of
what limits are and how to calculate them.
We will continue to see limits from time to
time, but we will now switch gears a bit in
order to understand differentiation outside
of the context of limits, so let’s move
forward and learn about derivatives.

Arabic: 
لذلك ، الآن لدينا فكرة معقولة عن ماهية الحدود وكيفية حسابها
سنستمر في رؤية الحدود من وقت لآخر ، لكننا سنقوم الآن بتبديل التروس قليلاً
لفهم التفاضل خارج سياق الحدود ، لذلك دعنا نتقدم
ونتعرف على المشتقات
نفذ الترجمة : شوان حميد
