
Thai: 
สิ่งที่ผมอยากสำรวจในวิดีโอนี้ คือดูว่า
เราหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x ได้ไหม
ถ้า y เท่ากับอินเวอร์สไซน์ อินเวอร์สไซน์ของ x
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วลองหาคำตอบด้วยตนเองก่อน
และผมจะให้คำใบ้สองอย่าง
อย่างแรกคือว่า เราไม่รู้ว่าอินเวอร์สของ
ไซน์อินเวอร์สของ x เป็นเท่าใด
แต่เรารู้ว่าไซน์ อนุพันธ์ของไซน์
ของอะไรสักอย่างเป็นเท่าใด
และถ้าคุณ บางทีถ้าคุณเรียงอันนี้ใหม่และใช้
การหาอนุพันธ์โดยนัย 
คุณอาจหาได้ว่า dy/dx เป็นเท่าใด
นึกดู นี่คืออันนี้ตรงนี้
ตัวนี่ตรงนี้คือเป้าหมายของเรา
แต่เนื่องจากคุณอยากหา
อนุพันธ์ของตัวนี้เทียบกับ x
ถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ ลองทำไปด้วยกันเลย
ถ้า y เป็นอินเวอร์สไซน์ของ x นั่นก็เหมือน
กับบอกว่า มันก็เหมือนกับบอกว่าไซน์ของ y

Czech: 
V tomto videu bych rád zkusil
spočítat derivaci y podle x,
a to pro y rovná se
inverzní sinus v bodě x.
Jako vždy doporučuji, abyste si zastavili
video a zkusili to vyřešit sami.
Dám vám
dvě nápovědy.
První nápovědou je, že sice neznáme
derivaci inverzního sinu v bodě x,
ale víme, čemu se rovná
derivace sinu něčeho.
Když tohle tedy nějak upravíte
a zkusíte použít implicitní derivování,
tak možná budete schopni zjistit,
čemu se rovná dy lomeno dx.
Naším cílem je totiž
spočítat dy lomeno dx,
neboli chceme spočítat
derivaci tohoto podle x.
Předpokládám, že už jste si to zkusili,
teď to pojďme spočítat společně.
Když je y rovno
inverznímu sinu v bodě x,

English: 
What I would like to explore in this
video, is to see if
we could figure out the derivative of Y is
with respect to X.
If Y is equal to the inverse sine, the
inverse sine of X.
And like always, I encourage you to pause
this
video and try to figure this out on your
own.
And I will give you two hints.
First hint is, well, we don't know what
the derivative of sine inverse of x is,
but we do know what the si-, what the
derivative of the sine of something is.
And so if you, maybe if you rearrange this
and use
some implicit differentiation, maybe you
can figure out what dy, dx is.
Remember, this is right over here.
This right over here is our goal.
But, since you want to figure our the
derivative of this with respect to x.
So, assuming you've had a go at it, so
let's work through this together.
So, if y is the inverse sine of x, that's
just
like saying that, that's equivalent to
saying that sine of y.

Korean: 
이번 영상에서 할 것은
y가 sin의 역함수일 때
그 도함수를 구하는 것입니다
이 영상을 잠깐 멈추고
혼자 해보는 것을 추천합니다
두 개의 힌트를 드리겠습니다
우리는 sin 의 역함수의
도함수는 모르지만
sin 함수의 도함수는 구할 수
있습니다
여러분이 이 함수를 조금 정리해서
음함수의 도함수를 구하면
dy/dx를 구할 수 있을 것입니다
여기에 있는 것을 구하는 것이
저희의 목표입니다
이 함수의 도함수를
구해야 합니다
여러분들이 시도했다고 가정하고
같이 풀어봅시다
y가 sin x의 역함수라는 것은
sin y＝x 라고 하는 것과 같은 의미입니다

Portuguese: 
O que eu gostaria de explorar neste vídeo,
é ver se conseguirmos determinar qual a 
derivada de Y em relação a X.
Se Y é igual ao arcoseno,
arcoseno de X.
E como sempre, te encorajo
a pausar este vídeo
e tentar você mesmo.
E eu te tarei duas dicas.
A primeira é, bem, nós não sabemos
qual é a derivada de arcoseno de X,
mas sabemos qual é a derivada
do seno de alguma coisa.
Então se você, talvez se você
rearranjar isto e usar
alguma diferenciação implícita, talvez
você consiga descobrir o que dy, dx é.
Lembre-se, disto aqui.
Isto aqui é nosso objetivo.
Essencialmente, queremos descobrir a 
derivada disto com relação a x.
Então, assumindo que você tentou, 
vamos trabalhar nisto juntos.
Se Y é o arcoseno de X, 
isto é apenas dizer,
é equivalente dizer que seno de Y,

Bulgarian: 
В настоящия урок искам да разгледам
дали може да се намери производната 
на функцията y спрямо х.
Функцията y е равна на синус от х на степен минус 1
 (обратната функция на синус)
Както винаги, насърчавам те 
да спреш видеото
и да се опиташ да решиш 
задачата самостоятелно.
Ще ти дам два съвета.
Първият е...Е, ние не знаем на какво е равна 
производната на синус от х на степен минус 1,
но знаем каква е производната 
на синус от нещо.
Ако представиш функцията 
по друг начин
и използваш неявно диференциране, може би
 ще намериш на какво е равно dy/dx.
Припомни си това ето тук.
Това ето тук е нашата цел.
Но ти искаш да намериш производната 
на функцията y спрямо x
Предполагам, че вече опита да я решиш. 
Нека го направим заедно сега.
Ако y е обратната функция на синус от х, 
т.е. синус от х на степен минус 1,
то това е еквивалентно на твърдението,

English: 
Sine of Y is equal to X.
Sine of Y is equal to X.
So now we have things that we're a little
bit more familiar
with, and now we can do a little bit of
implicit differentiation.
We can take the derivative of both sides
with respect to X.
So, derivative of the left-hand side with
respect to X
and the derivative of the right-hand side
with respect to X.
But what's the derivative of the left-hand
side with respect to X going to be?
And here we just apply the chain rule.
It's going to be the derivative of sine of
Y with respect to Y.
Which is going to be, which is going to be
cosine
of Y times the derivative of Y with
respect to X.
So times dy, dx, times dy,dx.
And the right-hand side, what's the
derivate of X with respect
to X, well that's obviously just going to
be equal to one.

Portuguese: 
seno de Y é igual a X.
Agora temos coisas que somos
um pouco mais familiarizados.
E agora podemos fazer uma
diferenciação implícita.
Podemos tirar a derivada de ambos
os lados em relação a X.
Então, a derivada do lado 
esquerdo em relação a X
e a derivada do lado
direito em relação a X.
Mas qual será a derivada do lado 
esquerdo com relação a X?
Apenas aplicamos a regra da cadeia.
Será a derivada de seno de Y 
com relação a Y.
Que será cosseno de Y,
vezes a derivada de Y
com relação a X.
Então, vezes dy, dx.
E o lado direito, qual a 
derivada de X em relação a X,
bem, obviamente isto será
apenas igual a um.

Korean: 
sin y＝x 라고 하는 것과 같은 의미입니다
sin y＝x
이제 좀 익숙해졌습니다
이제는 음함수 미분이 가능해 보입니다
양변을 x에 대해서 미분해야 합니다
좌변을 x에 대해 미분한 것과
우변을 x에 대해 미분해야 합니다
좌변을 x에 대해서 미분하면
어떻게 될까요?
합성함수의 미분을
사용해야 합니다
sin y의 y에 대한 도함수가 될 것 입니다
즉 cos y 곱하기 y의 x에 대한
도함수입니다
dy/dx 를 곱해줘야 합니다
우변에 있는 x를 x에 대해서
미분하면 1이 됩니다

Thai: 
ไซน์ของ y เท่ากับ x
ไซน์ของ y เท่ากับ x
ทีนี้ เรามีสิ่งที่เราคุ้นเคย
และตอนนี้เราใช้การหาอนุพันธ์โดยนัยได้
เราหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ x
อนุพันธ์ของทางซ้ายมือเทียบกับ x
และอนุพันธ์ของทางขวามือเทียบกับ x
แต่อนุพันธ์ของทางซ้ายมือ
เทียบกับ x จะเป็นเท่าใด?
ตรงนี้เราแค่ใช้กฎลูกโซ่
มันจะเท่ากับอนุพันธ์ของไซน์ของ y เทียบกับ y
ซึ่งจะเท่ากับ ซึ่งเท่ากับโคไซน์
ของ y คูณอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
คูณ dy/dx, คูณ dy/dx
และทางขวามือ อนุพันธ์ของ x เทียบกับ
x แน่นอนมันจะเท่ากับ 1

Bulgarian: 
че синус от у е равно на х.
синус от у е равно на х.
Сега разполагаме с неща, с които
 сме малко по-добре запознати,
и може да приложим 
диференциране на неявна функция.
Може да намерим производната на 
двете страни на равенството спрямо x.
Производна на лявата страна 
спрямо х.
И производната на дясната страна 
спрямо х.
На какво ще бъде равна производната
 на лявата страна спрямо х?
Тук просто ще приложим
верижното правило.
Ще бъде равна на производната 
на синус от у спрямо y,
което ще бъде равно на 
косинус от у
умножено по производната
 на y спрямо х.
Тоест по dy/dx.
А сега за дясната страна. На какво
 е равна производната спрямо x
на х? Е, очевидно 
ще бъде равна на 1.

Czech: 
tak je to totéž jako když řekneme,
že sin(y) se rovná x.
Tyto výrazy už nám
jsou více povědomé.
Nyní můžeme použít
implicitní derivování.
Obě strany
zderivujeme podle x,
takže derivace levé strany podle x
a derivace pravé strany podle x.
Čemu se rovná derivace
levé strany podle x?
Použijeme vzorec pro
derivaci složené funkce.
Je to derivace sin(y)
podle y, což je cos(y),
a tohle musíme vynásobit
derivací y podle x,
tedy krát
dy lomeno dx.
Na pravé straně máme
derivaci x podle x, což se rovná 1.
Nyní osamostatníme
dy lomeno dx.

Czech: 
Obě strany rovnice
vydělíme cos(y), čímž dostaneme,
že derivace y podle x
se rovná 1 lomeno cos(y).
Tohle ale ještě není úplně ono, protože
máme derivaci vyjádřenou pomocí y.
Zkusme ji tedy nějak
vyjádřit pomocí x.
Jak to
můžeme udělat?
Už víme, že
x se rovná sin(y).
Znovu to
napíšu.
Víme, že x se
rovná sin(y).
Když v tomto výrazu dole
namísto cos(y) napíšeme...
Když použijeme nějakou goniometrickou
identitu a přepíšeme to pomocí sin(y),
tak už budeme na dobré cestě,
protože x se rovná sin(y).
Tak jak to
uděláme?
Jednou z
goniometrických identit je,
že sinus na druhou v bodě y plus kosinus
na druhou v bodě y se rovná 1.
Když chceme vyjádřit cos(y), tak od obou
stran odečteme sinus na druhou v bodě y.

Korean: 
이것을 dy/dx 에 대해서 풀어야 하므로
양변을 cos y 로 나눕니다
y를 x에 대해 미분 한 것은
1/cos y 가 됨을 알 수 있습니다
근데 우변이 y로 나타나 있으므로
아직 불만족스럽습니다
x로 나타낼 수 있어야 합니다
어떻게 할까요?
x＝sin y 라는 것은 알고
있습니다
다시 적겠습니다
x＝sin y 입니다
이 밑에 있는 것을
다르게 표현해야 하므로
삼각함수의 성질을 사용해서
sin y로 나타내면 됩니다
x＝sin y 이므로
만족스러울 것입니다
어떻게 할까요?
우리가 알고 있는
삼각함수의 성질에 따르면
sin²y＋cos²y＝1 입니다
cos y에 대해 나타내려면
양변에서 sin²y 를 빼주면 됩니다

English: 
And so we could solve for dy,dx, divide
both sides by cosine of Y.
And we get the derivative of Y with
respect
to X is equal to one over cosine of Y.
Now this still isn't that satisfying cuz I
have the derivative in terms of Y.
So let's see if we can re-express it in
terms of X.
So, how could we do that?
Well, we already know that X is equal to
sine of Y.
Let me rewrite it.
We already know that X is equal to sine of
Y.
So, if we could rewrite this bottom
expression in terms, instead of cosine of
Y.
If we could use our trigonometric
identities
to rewrite it in terms of sine of
Y, then we'll be in good shape because X
is equal to sine of Y.
Well, how can we do that?
Well, we know from our trigonometric
identities, we know
that sine squared of Y plus cosine squared
of Y is equal to one.
Or, if we want to solve for cosine of
Y, subtract sine squared of Y from both
sides.

Bulgarian: 
Можем да решим уравнението за dy/dx. 
Разделяме двете страни на косинус от у.
И получаваме, че производната 
на y спрямо x
е равна на 1 върху косинус от у.
Това все още не е задоволителен резултат, 
защото имам производната спрямо y.
Нека да видим дали може 
да я изразим спрямо x.
Как може да го направим?
Е, вече знаем, че x е равно 
на синус от у.
Нека да го запиша.
Вече знаем, че x е равно 
на синус от у.
Ако може да запишем 
този израз най-долу
по друг начин, а не чрез косинус от у.
Може да използваме 
тригонометричните тъждества,
за да го запишем чрез синус от у.
Тогава ще ни бъде удобно, защото 
x е равно на синус от у.
Добре, как може да направим това?
От тригонометричните тъждества знаем,
че синус от y на квадрат плюс 
косинус  от y на квадрат е равно на 1.
Ако искаме да го решим 
за косинус от у,
то ще извадим синус от x на квадрат 
от двете страни на уравнението.

Thai: 
แล้วเราก็แก้หา dy/dx ได้ หาร
ทั้งสองข้างด้วยโคไซน์ของ y
แล้วเราได้อนุพันธ์ของ y เทียบกับ
x เท่ากับ 1 ส่วนโคไซน์ของ y
ทีนี้ มันยังไม่น่าพอใจเพราะผมมีอนุพันธ์
ในเทอมของ y
ลองดูว่าเราเขียนมันใหม่ในรูปของ x ได้ไหม
เราทำได้อย่างไร?
เรารู้แล้วว่า x เท่ากับไซน์ของ y
ขอผมเขียนมันใหม่นะ
เรารู้แล้วว่า x เท่ากับไซน์ของ y
ถ้าเราเขียนพจน์ข้างล่างนี้
ใหม่ในรูป แทนที่จะเป็นโคไซน์ของ y
ถ้าเราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
เขียนมันใหม่ในรูปของไซน์ของ
y แล้วเราจะได้ผลที่ต้องการ 
เพราะ x เท่ากับไซน์ของ y
แล้วเราทำได้อย่างไร?
เรารู้จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เรารู้
ว่าไซน์กำลังสองของ y 
บวกโคไซน์กำลังสองของ y เท่ากับ 1
หรือ ถ้าเราอยากแก้หาโคไซน์ของ
y, ลบไซน์กำลังสองของ y จากทั้งสองด้าน

Portuguese: 
Então, podemos resolver para dy, dx,
divida ambos os lado por cosseno de Y.
E teremos que a derivada
de Y em relação a X
é igual a um sobre cosseno de Y.
Mas isto ainda não é satifatório
pois tenho a derivada em termos de Y.
Então vejamos se conseguimos 
re-expressar ela em termos de X.
Então, como poderíamos fazer isto?
Bem, já sabemos que X
é igual a seno de Y.
-- deixe-me reescrever --
Já sabemos que X
é igual a seno de Y.
Então, se pudermos reescrever
esta expressão debaixo
ao invés de cosseno de Y,
se pudéssemos usar nossas
identidades trigonométricas
para reescrever em
termos de seno de Y,
então estaria em uma boa forma
porque X é igual a seno de Y.
Bem, como podemos fazer isto?
Sabemos das nossas
identidades trigonométricas
que seno ao quadrado de Y mais cosseno
ao quadrado de Y é igual a um.
Ou, se quisermos resolver para
cosseno de Y,
subtraia seno de Y
de ambos os lados.

Portuguese: 
Sabemos que cosseno ao quadrado de Y é
igual a um menos seno ao quadrado de Y.
Ou que cosseno de Y, tome apenas
a raíz principal de ambos os lados,
é igual a raiz de um menos
seno ao quadrado de Y.
Então, podemos reescrever isto como,
igual a um sobre, ao invés de cosseno de Y
podemos reescrever como raíz
de um meno seno ao quadrado de Y.
Agora, por que isto é útil?
Bem, seno de Y é apenas X.
Então isto é o mesmo;
se apenas substituirmos,
--vou escrever dessa forma
para ficar mais claro--
Eu poderia escrever como
seno de Y ao quadrado.
Sabemos que isto aqui é X.
Então isto será igual a
-- e merecemos um rufar de tambores --
um sobre a raíz quadrada
de um menos,
ao invés de seno de Y, sabemos
que X igual a seno de Y.
Então, um menos x ao quadrado.
Então aí está.

Korean: 
cos²y＝1－sin²y 입니다
cos y 를 구하려면
양변에 루트를 씌우면 됩니다
즉 √(1－sin²y) 입니다
이것을 다시 쓰기 위해서
1/cos y 대신에
1/√(1－sin²y) 라고 쓸 수 있습니다
이것을 왜 해야 할까요?
sin y 는 그냥 x 입니다
헷갈리지 않도록
다시 쓰겠습니다
(sin y)² 으로 적었습니다
이 괄호 안에 있는 것이 x 입니다
그래서 이 식은
sin y＝ x 이므로 
1/√(1－x²) 이 됩니다
sin y＝ x 이므로 
1/√(1－x²) 이 됩니다
sin y＝ x 이므로 
1/√(1－x²) 이 됩니다
완성되었습니다

Thai: 
เรารู้ว่าโคไซน์กำลังสองของ y เท่ากับ
1 ลบไซน์กำลังสองของ y
หรือโคไซน์ของ y นั้น 
แค่หารากที่เป็นบวกทั้งสองข้าง
เท่ากับรากที่เป็นบวกของ 1 
ลบไซน์กำลังสองของ y
เราจึงเขียนอันนี้ใหม่ได้เท่ากับ 1 ส่วน, 1 ส่วน
แทนที่จะเป็นโคไซน์ของ y เราเขียนมันใหม่
เป็น 1 ลบไซน์กำลังสองของ y
ทำไมอันนี้ถึงมีประโยชน์?
ไซน์ของ y ก็แค่ x
นี่ก็เหมือนเดิม ถ้าเราแทนมันกลับเข้าไป ขอ
ผมเขียนมันแบบนั้น มันจะได้ชัดเจนหน่อย
ผมเขียนมันได้เป็นไซน์ y กำลังสอง
เรารู้ว่าสิ่งนี้ตรงนี้คือ x
อันนี้จะเท่ากับ เราเตรียมตีกลองต้อนรับได้เลย
1 ส่วนรากที่สองของ 1 ลบ แทนที่จะเป็นไซน์
ของ y เรารู้ว่า x เท่ากับไซน์ของ y
1 ลบ x กำลังสอง
แล้ว คุณได้แแล้ว

Bulgarian: 
Знаем, че косинус от у на квадрат е равно на 
1 минус синус от у на квадрат.
Или, че косинус от у... просто намираме квадратен 
корен от двете страни на уравнението...
е равно на квадратен корен от 
1 минус синус от у на квадрат.
Може да запишем това като 
равно на 1 върху... вместо косинус от у
може да запишем... квадратен корен 
от 1 минус синус от у на квадрат.
А защо това е полезно?
Е, синус от у е просто равно на х.
Следователно това е същото като 
да заместим...Нека просто
да го запиша по следния начин, 
за да стане малко по-ясно.
Мога да го запиша като 
синус от у на квадрат.
Знаем, че това нещо ето тук е х.
Това ще бъде равно на... ето тук 
заслужаваме поздравления...
1 върху квадратен корен от 1 минус х на квадрат, 
защото знаем, че х е равно на синус от у.
Знаем, че х е равно на синус от у.
Тогава записваме квадратен корен
 от 1 минус х на квадрат.
Ето, че решихме задачата.

Czech: 
Dostaneme, že kosinus na druhou v bodě y
se rovná 1 minus sinus na druhou v bodě y,
tedy že cos(y), když na obě strany
použijeme druhou odmocninu,
se rovná odmocnina z
(1 minus sinus na druhou v bodě y).
Tento výraz tedy můžeme
přepsat jako 1 lomeno…
Namísto cos(y) napíšeme odmocninu z
(1 minus sinus na druhou v bodě y).
Proč to takto
přepisujeme?
Víme, že sin(y)
se rovná x,
takže tohle se bude rovnat,
když dosadíme...
Zapíšu to jinak,
ať je to trošku jasnější.
Tohle můžeme zapsat
jako sin(y) to na druhou.
Víme, že tohle je x,
takže tohle
se rovná…
Teď bychom si zasloužili
menší oslavnou fanfáru.
...se rovná 1 lomeno
odmocnina z (1 minus…
Namísto sin(y) napíšeme x,
protože víme, že x se rovná sin(y).
...1 minus x na druhou.
A je to.

English: 
We know that cosine squared of Y is equal
to one minus sine squared of Y.
Or that cosine of Y, just take the
principal root of both sides,
is equal to the principal root of one
minus sine squared of Y.
So, we could rewrite this as being equal
to one over, one over, instead
of cosine of Y, we could rewrite it as one
minus sine squared of Y.
Now why is this useful?
Well, sine of Y is just X.
So this is the same if we just substitute
back in, let
me just write it that way so it's a little
bit clear.
I could write it as sine Y squared.
We know that this thing right over here is
X.
So this is going to be equal to, and we
deserve a little bit of a drumroll.
One over the square root of one minus,
instead of sin
of Y, we know that X is equal to sin of Y.
So, one minus X squared.
And so, there you have it.

Thai: 
อนุพันธ์เทียบกับ x ของอินเวอร์สไซน์ของ x
เท่ากับ 1 ส่วน
รากที่สองของ 1 ลบ x กำลังสอง
ขอผมบอกให้ชัดนะ
ถ้าคุณหาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้าง
ของอันนี้ คุณจะได้ dy/dx เท่ากับค่านี้
ทางขวามือ
หรือเราบอกได้ว่า อนุพันธ์เทียบกับ x 
ของอินเวอร์สไซน์
ของ x เท่ากับ 1 ส่วนรากที่สอง
ของ 1 ลบ x กำลังสอง
ทีนี้ คุณพิสูจน์สูตรนี้ใหม่ได้ถ้าคุณเริ่มลืม
และที่จริงแล้ว นั่นคือวิธีการที่คุณจะซึมซับจริงๆ
แต่นี่คือสิ่งที่น่ารู้แล้ว ยิ่งถ้าเรา
เริ่ม ถ้าเราเริ่มเรียนแคลคูลัส
มากขึ้นเรื่อยๆ คุณอาจ
เห็นตัวนี้ในพจน์แล้วบกว่า โอ้ โอเค นั่นคือ
อนุพันธ์ของอินเวอร์สไซน์ของ x
ซึ่งอาจมีประโยชน์ในอนาคต

Portuguese: 
A derivada em relação a X do
arcoseno de X é igual a
um sobre a raíz quadrada de um
menos x ao quadrado.
Vou deixar isso bem claro.
Se você tomar a derivada de ambos 
os lados em relação a X,
você terá dy, dx é igual
a isto do lado direito.
Ou poderíamos dizer, a derivada
em relação a X do arcoseno de X,
é igual a um sobre a raíz quadrada
de um menos X ao quadrado.
Agora você pode sempre provar
isto novamente se sua memória falhar
e de fato este é o melhor jeito de
realmente internalizar isto.
Mas é sempre bom saber isto, 
especialmente quando
formos mais e mais pra dentro do cálculo,
você pode ver esta expressão,
e talvez você dirá, "ah ok, esta é a 
derivada de arcoseno de X"
o que pode provar ser útil.
[traduzido por: Khallil Fernandes]

Korean: 
sin 역함수 x 의 x에 대한 도함수는
1/√(1－x²) 가 됩니다
양변을 x에 대해서 미분하게 되면
dy/dx 와 이 우변에 있는 것이
같다고 나올 것입니다
또는 sin 역함수 x 의 도함수가
1/√(1－x²) 가 된다고
할 수도 있습니다
이것을 언제나 유도할
수 있어야 하고
그래야 완전히 자기것으로
만들 수 있습니다
그런데 그냥 이것을
알고 있는 것도 좋습니다
미적분학을 점점 공부하면서
이것을 보고 sin 역함수 x의
도함수라는 것을 바로 알 수 있으면
매우 유용할 것입니다

Czech: 
Derivace podle x z inverzního
sinu v bodě x se rovná
1 lomeno odmocnina z
(1 minus x na druhou).
Ještě jednou
to objasním.
Kdybyste obě strany této
rovnosti zderivovali podle x,
dostali byste, že
dy lomeno dx se rovná tomuto.
Tohle by bylo
na pravé straně.
Nebo můžeme říct, že derivace podle x 
z inverzního sinu v bodě x se rovná
1 lomeno odmocnina z
(1 minus x na druhou).
Tohle si vždy můžete znovu odvodit,
kdyby vám paměť přestávala sloužit.
Vlastně je to nejlepší způsob,
jak to opravdu vstřebat.
Tohle je ale
zkrátka dobré znát,
obzvlášť až půjdeme hloub
a hloub do diferenciálního počtu,
tak můžete vidět tento
výraz a jen si řeknete:
„Vida, tohle je přece
derivace inverzního sinu,“
což se vám bude
hodit vědět.

English: 
The derivative with respect to X of the
inverse sine of X is equal to one over
the square root of one minus X squared, so
let me just make that very clear.
If you were to take the derivative with
respect to X of both sides of
this, you get dy,dx is equal to this on
the right-hand side.
Or we could say the derivative with
respect to X of the inverse sine
of X is equal to one over the square root
of one minus X squared.
Now you could always reprove this if your
memory starts to fail
you, and actually, that is the best way to
really internalize this.
But this is also just a good thing to
know, especially as we
start, as we go into more and more
calculus and you see, you might
see this in expression and you might say,
oh, okay, you know, that's
the derivative of the inverse sine of X,
which might prove to be useful.

Bulgarian: 
Производната спрямо х на обратната
 функция на синус от х е равна
на 1 върху квадратен корен от 1 минус
 х на квадрат. Нека да го поясня.
Ако търсеше производната 
спрямо х на двете страни
на това уравнение, то ще получиш, че dy/dx 
е равно на ето това от дясната страна.
Или може да заявим, че производната спрямо х 
на обратната функция на синус от х,
е равна на 1 върху квадратен корен 
от 1 минус х на квадрат.
Винаги може да докажеш 
този резултат, ако го забравиш.
И всъщност това е най-добрият начин 
наистина да го разбереш.
Това също е добре да го знаеш, особено 
в началото на курса по анализ.
Когато уроците се задълбочават все повече
 и повече и видиш този израз,
може да си кажеш следното:
Знаеш ли, това
е производната на обратната функция на синус от х, 
което може би ще е полезно.
