
Portuguese: 
Citando Steven Strogatz: “Desde Newton, a humanidade chegou a perceber que as leis
da física são sempre expressas na linguagem das equações diferenciais ”. É claro que
esta língua é falada bem além dos limites da física, e ser capaz de comunicá-la
e entendê-la adiciona uma nova cor ao modo como você vê o mundo ao seu redor.
Nos próximos vídeos, eu quero dar uma espécie de tour neste tópico. O objetivo é dar uma
visão geral do que esta parte da matemática é,  ao mesmo tempo em que
nos aprofundamos nos detalhes de exemplos específicos à medida que eles aparecem.
Eu irei assumir que você conheça os fundamentos do cálculo, como derivadas e integrais.
Em vídeos posteriores precisaremos de alguma álgebra linear básica, mas não muito além disso.
Equações diferenciais surgem sempre que é mais fácil descrever as mudanças do que valores absolutos.
É mais fácil dizer por que as populações crescem ou diminuem do que descrever por que

Italian: 
Citando Steve Strogatz, "Da Newton in poi, l'umanità ha realizzato che le leggi
della fisica sono sempre espresse nel linguaggio delle equazioni differenziali". Ovviamente questo
linguaggio viene usato ben oltre i limiti della fisica e essere capaci di parlarlo
e di leggerlo aggiunge una nuova sfumatura alla tua visione del mondo circostante
Nei prossimi video, voglio darvi una sorta di viaggio in questo argomento. Lo scopo è dare
una visione generale di cosa si occupa questa parte della matematica, e allo stesso tempo essere
felici nell'esplorare i dettagli di esempi specifici man mano che emergono
Darò per scontato che tu conosca le basi dell'analisi, come le derivate e gli integrali
e nei video successivi avremo bisogno di un po' di algebra lineare di base, ma non molto oltre
ciò.
Le equazioni differenziali occorrono quando è più facile descrivere la variazione di una quantità che la quantità in sé
ad esempio, è più facile dire perchè la popolazione cresce o decresce rispetto a descrivere perchè

Russian: 
Как говорил Стивен Строгац,
«Со времен Ньютона человечество стало понимать, что законы физики всегда выражены
... на языке дифференциальных уравнений. "
Конечно, на этом языке говорят и за пределами физики.
И способность пользоваться  ими добавляет новые краски миру, на который вы смотрите.
В следующих нескольких видео я хочу рассказать об этом поподробнее.
Цель состоит в том, чтобы дать общее представление о том,
что представляет собой этот раздел математики,
в то же время будучи счастливым окунуться в детали конкретных примеров по мере их появления.
Я предполагаю, что вы знаете основы математического анализа,
например, что такое производные и интегралы.
И в следующих видео нам понадобятся некоторые основы линейной алгебры, но не более того.
Дифференциальные уравнения возникают всякий раз,
когда легче описать изменение какой-либо величины, нежели её саму.
Проще сказать, почему численность населения, например, растет или уменьшается,
чем описать, откуда у них эти конкретные значения,
которые они имеют в определенный момент времени.

Vietnamese: 
Steven Strogatz: "Kể từ thời của Newton,
nhân loại đã nhận ra rằng
các định luật vật lý luôn được thể hiện bằng ngôn ngữ của phương trình vi phân."
Thậm chí, ngôn ngữ này được dùng phổ biến cả bên ngoài vật lý.
Nếu có khả năng đọc và nói nó, bạn sẽ có thêm một lăng kính mới để nhìn thế giới xung quanh.
Trong vài video tới, tôi muốn giới thiệu về chủ đề này. Mục tiêu là một cái nhìn toàn cảnh
xem thứ toán này nói cái gì, đồng thời ta cũng sẽ lướt qua một vài ví dụ chi tiết.
Giả sử bạn đã nắm cơ bản về vi tích phân,
và trong các video sau ta cũng sẽ cần một chút đại số tuyến tính, nhưng chỉ một chút cơ bản thôi.
Phương trình vi phân hiện lên bất cứ khi nào ta có thể nói về sự thay đổi dễ hơn là nói về con số chính xác.
Sẽ dễ hơn để trả lời tại sao vào thời điểm đó dân số tăng hoặc giảm, so với tại sao dân số lại là chừng đó ở thời điểm đó.

Modern Greek (1453-): 
Όπως εἰπε ο Steven Strogatz
"Από τον Νεύτωνα και μετά, η ανθρωπότητα συνειδητοποίησε πως οι νόμοι της Φυσικής εκφράζονται πάντα με την γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων"
Φυσικά, αυτἠ η γλώσσα ομιλείται επίσης πολύ πιο πέρα από τα όρια της Φυσικής
και το να μπορείτε να την μιλήσετε και να την διαβάσετε
προσθέτει μια διαφορετική χροιά στο πώς βλέπετε τον κόσμο γύρω σας
Στα επόμενα βίντεο θα ήθελα να κάνω μια περιήγηση σε αυτό το θέμα
Σκοπός είναι να δώσω μια γενική εικόνα για τον σκοπό αυτού του κλάδου των μαθηματικών
ενώ ταυτόχρονα να εμβαθύνω με λεπτομέρεια σε συγκεκριμένα παραδείγματα καθώς τα συναντάμε
Θα υποθέσω ότι έχετε βασικές γνώσεις Απειροστικού Λογισμού, όπως τι είναι οι παραγώγοι και τα ολοκληρώματα,
και σε επόμενα βίντεο θα χρειαστούμε βασικές γνώσεις γραμμικής άλγεβρας
αλλά όχι πολλά περισσότερο από αυτά.
Οι διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται όταν είναι πιο εύκολο να περιγράψει κανείς
την μεταβολή παρά την απόλυτη ποσότητα.
Είναι πιο εύκολο να πείτε γιατί μέγεθη πληθυσμών για παράδειγμα, αυξάνονται ή μειώνονται
από το να περιγράψετε γιατί έχουν τις συγκεκριμένες τιμές που έχουν σε μια δεδομένη χρονική στιγμή.

Czech: 
Citujme Stevena Strogatze: "Již od dob Newtona lidem dochází, že fyzikální zákony
jsou vždy vyjádřeny jazykem diferenciálních rovnic."
Touto řečí se samozřejmě mluví i za hranicemi fyziky. Schopnost mluvit jí a umění ji číst
přidává celké barevné spektrum při pohledu na svět kolem.
V několika dalších videích se vás pokusím provést tímto tématem.
Chtěl bych vám ukázat širší význam této části matematiky, a zároveň ji demonstrovat
na konkrétních příkladech, na které narazíme.
Budu předpokládat, že ovládáte kalkulus, tedy co jsou derivace a integrace
a v pozdějších videích budeme potřebovat základní lineární algebru, ale nic moc víc.
Diferenciální rovnice se objevují vždy, když je jednodušší popsat změnu relativně.
Je jednoduší popsat proč populace rostou či klesají, než určit, proč mají v danou chvíli

English: 
Quoting Steven Strogatz, “Since Newton,
mankind has come to realize that the laws
of physics are always expressed in the language
of differential equations.” Of course, this
language is spoken well beyond the boundaries
of physics as well, and being able to speak
it and read it adds a new color to how you
view the world around you.
In the next few videos, I want to give a sort
of tour of this topic. To aim is to give a
big picture view of what this part of math
is all about, while at the same time being
happy to dig into the details of specific
examples as they come along.
I’ll be assuming you know the basics of
calculus, like what derivatives and integrals
are, and in later videos we’ll need some
basic linear algebra, but not much beyond
that.
Differential equations arise whenever it’s
easier to describe change than absolute amounts.
It’s easier to say why population sizes
grow or shrink than it is to describe why

Chinese: 
數學家史蒂芬·斯托加茨說“自牛頓以來，人類已經知曉物理定律總以微分方程作為語言表達。“
當然，這語言遠遠地跨越了物理學的疆界，
並能夠詮釋你周遭的世界，且為其增添色彩。
在接下來的幾個影片中，我想為這主題給出一系列的旅程。
為的是要來綜觀數學領域的這部分，
同時也享受於深入挖掘特例之細節。
我會假設你懂微積分的基本知識，如導數和積分。
在往後的影片，我們會用到一些基本的線性代數，但不會用到很多。
微分方程相較於絕對的數量更易於描述變化。
描述為何人口規模的成長或縮減相較於描述為何在特定的時間點具有特定的的數值來的更加容易。
 

Polish: 
Cytując Stevena Strogatza: "Od czasów Newtona, ludzkość zdała sobie sprawę z tego, że prawa
fizyki zawsze są wyrażone w języku równań różniczkowych'. Oczywiście, ten
język jest używany również daleko poza obszarem fizyki. Umiejętność posługiwania  się
oraz czytania tego języka sprawia, że zaczynasz inaczej postrzegać otaczający cię świat.
W kilku następnych filmach chcę dokonać przeglądu tego tematu. Celem jest zarysowanie
idei, która stoi za tą częścią matematyki, jednocześnie z radością
zagłębiając się w szczegóły poszczególnych przykładów, które pojawią się po drodze.
Będę zakładał, że znasz podstawy analizy, takie jak pochodne i całki,
ponadto w późniejszych filmach będziemy potrzebować trochę podstawowej algebry liniowej, ale niewiele poza tym.
Równania różniczkowe pojawiają się, gdy łatwiej jest opisywać zmiany niż bezwzględne ilości.
Łatwiej jest powiedzieć, dlaczego populacja rośnie lub kurczy się, niż wyjaśnić, dlaczego

German: 
Wie Steven Strogatz einmal sagte: "Seit Newton hat die Menschheit angefangen zu verstehen, dass die Gesetze
der Physik immer in der Sprache der Differentialgleichungen ausgedrückt werden."
Natürlich wird diese Sprache auch außerhalb der Grenzen der Physik gesprochen. Und diese Sprache sprechen
und lesen zu können fügt eine neue Farbe zur Wahrnehmung der Welt um dich herum hinzu.
In den nächsten paar Videos möchte ich eine Art Tour durch dieses Thema machen.
Das Ziel ist eine Übersicht zu geben, worum sich dieser Teil der Mathematik dreht, während ich gleichzeitig
mit Freude in die Details der spezifischen Beispiele einsteigen werde.
Ich nehme an, dass du die Grundlagen der Analysis kennst, wie bspw. Ableitungen und Integrale.
In späteren Videos werden wir auch noch einfache lineare Algebra brauchen, aber nicht viel mehr als das.
 
Differentialgleichungen tauchen immer dann auf, wenn es einfacher ist, Veränderungen statt absolute Werte zu  beschreiben.
Es ist einfacher zu sagen, warum eine Bevölkerung wächst oder schrumpft, als zu beschreiben,
warum sie genau diese speziellen Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt haben.

Modern Greek (1453-): 
Ίσως είναι πιο εύκολο να περιγράψετε γιατί η αγάπη που νιώθετε για κάποιον αλλάζει
από το γιατί είναι όση είναι αυτή τη στιγμή.
Στη Φυσική, και πιο συγκεκριμένα στη κλασσική (Νευτώνεια) μηχανική,
η κίνηση συχνά περιγράφεται με όρους δύναμης.
Η δύναμη καθορίζει την επιτάχυνση,
η οποία έχει την έννοια της αλλαγής.
Αυτές οι εξισώσεις έρχονται σε δύο μορφές:
οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, ή ΣΔΕ,
οι οποίες αφορούν συναρτήσεις με μία μεταβλητή, που συχνά συμβολίζει το χρόνο
και οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, ή ΜΔΕ,
οι οποίες αφορούν συναρτήσεις με πολλαπλές μεταβλητές.
Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις είναι κάτι που θα μελετήσουμε καλύτερα στο επόμενο βίντεο.
Συχνά τις φαντάζεστε να περιλαμβάνουν ένα ολόκληρο πλέγμα τιμών που αλλάζουν με το χρόνο,
όπως η θερμοκρασία κάθε σημείου σε ένα στερεό,
ή η ταχύτητα ενός υγρού σε κάθε σημείο στο χώρο.
Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, αυτές που θα εστιάσουμε τώρα,
περιλαμβάνουν ένα πεπερασμένο αριθμό τιμών που μεταβάλλονται με το χρόνο.
Και δεν χρειάζεται αναγκαστικά η μία ανεξάρτητη μεταβλητή να είναι ο χρόνος
μπορεί να είναι κάτι άλλο, αλλά τα μεγέθη που αλλάζουν με το χρόνο

Portuguese: 
elas assumem os valores que elas assumem em certo momento. Pode ser mais fácil descrever
por que seu amor por alguém está mudando do que tentar descrever em que nível ele está agora. Na física,
mais especificamente na mecânica Newtoniana, o movimento é frequentemente descrito em termos de força. E a força
determina a aceleração, que é algo associado com a mudança.
Essas equações vêm em dois tipos; Equações Diferenciais Ordinárias, ou EDOs, envolvendo
funções com uma única variável independente, muitas vezes imaginada como o tempo, e Equações Diferenciais Parciais,
ou EDPs, lidando com funções que possuem múltiplas variáveis independentes. Derivadas Parciais são algo
que nós veremos mais de perto no próximo vídeo; você costuma pensar nelas envolvendo todo um
contínuo de valores mudando com o tempo, como a temperatura de cada ponto em um corpo sólido,
ou a velocidade de um fluido em cada ponto no espaço. Equações diferenciais ordinárias,
nosso foco por enquanto, envolve apenas uma coleção finita de valores mudando com o tempo.
Não precisa ser necessariamente o tempo, sua variável independente poderia ser algo diferente,

English: 
the have the particular values they do at
some point in time; It may be easier to describe
why your love for someone is changing than
why it happens to be where it is now. In physics,
more specifically Newtonian mechanics, motion
is often described in terms of force. Force
determines acceleration, which is a statement
about change.
These equations come in two flavors; Ordinary
differential equations, or ODEs, involving
functions with a single input, often thought
of as time, and Partial differential equations,
or PDEs, dealing with functions that have
multiple inputs. Partial derivatives are something
we’ll look at more closely in the next video;
you often think of them involving a whole
continuum of values changing with time, like
the temperature of every point in a solid
body, or the velocity of a fluid at every
point in space. Ordinary differential equations,
our focus for now, involve only a finite collection
of values changing with time.
It doesn’t have to be time, per se, your
one independent variable could be something

Vietnamese: 
Tại sao tình yêu bạn dành cho ai đó lại thay đổi, thì dễ trả lời hơn là tại sao bạn lại yêu người đó vào đúng lúc này.
Trong vật lý, cụ thể là cơ học Newton, chuyển động thường được mô tả dựa vào khái niệm lực.
Lực quyết định gia tốc, mà gia tốc lại là về sự thay đổi của chuyển động.
Phương trình vi phân chia làm hai loại: 
phương trình vi phân thường (ODE)
liên quan tới hàm một biến (thường là biến thời gian), và phương trình vi phân từng phần (PDE),
(aka phương trình đạo hàm riêng) làm việc với hàm nhiều biến. DPE sẽ được nói kỹ hơn ở video sau,
ta thường hình dung chúng gồm vô hạn giá trị thay đổi liên tục theo thời gian,
ví dụ như nhiệt độ của mọi điểm trong một vật rắn,
hoặc vận tốc của một chất lỏng tại mọi
điểm trong không gian.
ODE, trọng tâm của ta bây giờ, chỉ liên quan đến một số hữu hạn giá trị thay đổi theo thời gian.
Không cứ phải là thời gian (/s), biến độc lập của bạn có thể là một cái gì khác,

German: 
Es ist einfacher zu beschreiben, warum sich deine Zuneigung zu jemandem im Moment verändert, als zu sagen, warum sie überhaupt gerade an dem bestimmten Punkt ist.
In der Physik, um genau zu sein in der newton'schen Mechanik, wird Bewegung oft in Form von Kraft beschrieben
und Kraft bestimmt Beschleunigung, welche eine Aussage über Veränderung macht.
Diese Gleichungen kommen in zwei verschiedenen Geschmacksrichtungen; gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs),
welche Funktionen beinhalten, die einen einzelnen Input haben (oft wird hier Zeit benutzt), und partielle Differentialgleichungen (PDEs),
welche sich mit Funktionen beschäftigen, die mehrere inputs haben. Partielle Ableitungen werden wir im nächsten Video genauer anschauen.
Oft denkt man bei ihnen an ein ganzes Kontinuum von Werten, welche sich über die Zeit verändern,
wie bspw. die Temperatur an jedem Punkt in einem Festkörper
oder die Geschwindigkeit eines Fluids an jedem Punkt im Raum.
Gewöhnliche Differentialgleichungen, auf die wir uns zuerst konzentrieren werden, umfassen nur eine endliche Menge von Werte, welche sich mit der Zeit ändern.
Und es muss nicht unbedingt Zeit sein. Deine eine unabhängige Variable könnte auch etwas anderes sein,

Chinese: 
而描述對某人喜愛的變化程度也比起在哪發生來的更易些。
在物理學，更特定地來說是牛頓力學，運動通常是用力來描述。
而力決定加速度，是一個對變化的陳述。
這些方程有兩種形式：常微分方程(Ordinary differential equations, ODEs)，為帶有單一輸入值的函數，通常以時間表示，
和偏微分方程(Partial differential equations, PDEs)，為帶有多重輸入值的函數。
 
至於偏微分我們會在下個影片中深入探討；
你會常需要用到它來思考整體隨時間變化的數值連續性問題，
如固體中每個點的溫度，或流體在空間中每個點的速度。
我們現在關注的常微分方程，只涉及一個隨時間變化之值的有限集。
它本身並不一定要是時間，自變量也可以是其他東西，

Polish: 
ma konkretną wartość w pewnej chwili czasu. Może być łatwiej opisać
dlaczego twoja miłość do kogoś się zmienia, niż dlaczego istnieje tu i teraz.
W fizyce, a dokładniej w mechanice Newtonowskiej, ruch często jest opisywany w języku siły.
Siła wyznacza przyspieszenie, które jest wyrażeniem dotyczącym zmiany.
Wyróżniamy dwa rodzaje tych równań: równania różniczkowe zwyczajne, zawierające
funkcję jednej zmiennej, o której często myśli się jako o czasie, oraz równania różniczkowe cząstkowe
dotyczące funkcji wielu zmiennych. Pochodnym cząstkowym
przyjrzymy się bliżej w kolejnym filmie; często myśli się o nich jako o zawierających całe
continuum wartości zmieniających się w czasie, jak temperatura w każdym punkcie ciała stałego
lub prędkość płynu w każdym punkcie przestrzeni. Równania różniczkowe zwyczajne,
którymi na razie się zajmiemy, dotyczą jedynie skończonej liczby wartości zmiennych w czasie.
Nie musi to być zresztą czas, twoją zmienną niezależną może być coś innego,

Czech: 
danou velikost.
Může být jednodušší popsat
proč se vaše láska mění než proč je teď taková, jaká je.
Ve fyzice, zvláště v Newtonské mechanice,
bývá síla popisována podle působících sil.
Síla určuje zrychlení, které popisuje změnu.
Tyto rovnice můžou mít dvě formy:
obyčejná diferenciální rovnice (ODR),
popisující funkce jedné neznámé, kterou bývá nejčastěji čas,
a parciální diferenciální rovnice (PDR), které mívají více nezávislých proměnných. Na parciální derivace
se blíže podíváme v příštím videu; často se v nich s časem mění další podmínky,
jako například teplota v každém bodě tělesa,
nebo rychlost kapaliny v každém bodě prostoru. Obyčejné diferenciální rovnice,
kterými se budeme zabývat nyní, popisují konečný počet hodnot, které se s časem mění.
Nemusí to být přímo čas, nezávislá proměnná může být něco jiného,

Italian: 
essa abbia un valore particolare in un certo istante di tempo, potrebbe essere più facile descrivere
perchè il tuo amore per qualcuno sta cambiando rispetto a capire perchè sia tale in questo momento. In fisica,
più nello specifico nella meccanica newtoniana, il moto è spesso descritto in termini di forza. La forza
determina un accelerazione:  una grandezza che riguarda una variazione.
Queste equazioni sono di due tipi: equazioni differenziali ordinarie, o EDO, che riguardano
funzioni a una variabile, spesso il tempo, e equazioni differenziali alle derivate parziali,
o EDP, che si occupano di funzioni a più variabili. Le derivate parziali sono operatori
dei quali ci occuperemo più dettagliatamente nel prossimo video, spesso si pensa ad esse come
una distribuzione continua di valori che cambiano nel tempo, come la temperatura di ogni punto in un solido
o la velocità di un fluido in ogni punto dello spazio. Le equazioni differenziali ordinarie
, sulle quali ci concentreremo per ora, includono solo un insieme finito di valori che cambiano nel tempo
In generale la variabile indipendente non deve essere per forza il tempo

Russian: 
Может быть проще описать, почему ваша любовь к кому-то меняется
чем, почему это происходит.
В физике, точнее, в ньютоновской механике, движение часто описывается в терминах силы.
И сила определяет ускорение, которое говорит об изменении.
Эти уравнения бывают двух разных видов:
обыкновенные дифференциальные уравнения или ОДУ,
включающие функции с одной переменной, в качестве которой часто рассматривают время,
и дифференциальные уравнения в частных производных,
имеющие дело с функциями, которые зависят от нескольких переменных.
Дифференциальные уравнения с частными производными мы рассмотрим
более подробно в следующем видео.
Вы часто думаете о них как о совокупности величин, меняющихся со временем,
как, например, температура в каждой точке твердого тела,
или скорость жидкости в каждой точке пространства.
Сфокусируемся сейчас на обыкновенных дифференциальных уравнениях,
возьмём только конечный набор значений, изменяющихся со временем.
И это не должно быть только время.
Ваша независимая переменная может быть чем-то другим.

Czech: 
ale věci měnící se s časem jsou nejčastější příklady diferenciálních rovnic.
Fyzika nám nabízí dobré hřiště. Můžeme s ní začít jednoduché příklady
bez toho, abysme něco vynechávali.
Pro rozehřátí: představme si trajektorii něčeho, co hodíte do vzduchu.
Grafitační síla u povrchu země přitahuje věci dolů rychlostí 9.8 m/s za vteřinu.
Nyní to rozeberme: pokud se podíváme na objekt, na který nepůsobí žádné další síly,
a změříme jeho rychlost každou vteřinu, těmto vektorům bude přirůstat
složka o velikosti 9.8 m/s každou vteřinu. Tato konstanta se nazývá "g" podle gravitace.
To je příklad diferenciální rovnice, i když relativně jednoduchý.
Zaměřte se na ypsilonovou složku jako funkci času.

German: 
aber Dinge, die sich über Zeit ändern, sind das prototypische und weitverbreitetste Beispiel für Differentialgleichungen.
 
Die Physik bietet uns hier eine spannende Spielwiese, mit einfachen Beispielen für den Start,
und keiner Knappheit an Komplexität und Nuancen, sobald wir tiefer eintauchen.
Zum Aufwärmen: Stell dir die Flugbahn vor, wenn du etwas in die Luft wirfst.
Die Gravitationskraft nahe der Erdoberfläche bewirkt, dass Dinge abwärts beschleunigt werden mit 9.8 m/s pro Sekunde.
Was bedeutet das genau? Wenn du das Objekt ohne den Einfluss von anderen Kräften betrachtest
und die Geschwindigkeit jede Sekunde misst, dann werden diese Vektoren jede Sekunde eine zusätzliche Abwärtskomponente von 9.8 m/s ansammeln.
Wir nennen diese Konstante 9.8 "g", für Gravitation.
Das gibt uns ein Beispiel für eine Differentialgleichung, wenn auch ein relativ einfaches.
Betrachte hier die y-Koordinate als eine Funktion der Zeit.

Chinese: 
但隨時間變化的例子在微分方程中是最典型且最為常見的。
物理為我們提供了一個好的遊樂場，使我們用簡單的例子來探討，
並且在當我們深入鑽研時，不會因而暈頭轉向，又或被誤導於毫釐之差。
讓我們小試身手一下，思考一下你投擲在空中的某物之軌跡。
地表附近的重力使某物以每秒增加 9.8 m/s 向下加速。
現在來解讀其真正的含義：
如果你觀測某些物體施加外力後，並記錄下每秒的速度，
這些向量每秒將會額外增加 9.8 m/s。我們稱此常數為 “ g ”。
雖然這是相對簡單的，但這也給出了一個微分方程的例子。
給定 y 坐標，作為時間的函數。

Portuguese: 
mas coisas mudando com o tempo são mais palpáveis e mais comuns em exemplos de equações diferenciais.
A física oferece um parquinho agradável para nós aqui, com exemplos simples para começar, e não
falta complexidade e sutileza à medida que nos aprofundamos.
Como um bom aquecimento, considere a trajetória de algo que você joga no ar. A força
da gravidade perto da superfície da terra faz com que as coisas acelerem para baixo a 9,8 m/s , por segundo.
Agora entendendo o que isso realmente significa: se você olhar para algum objeto livre de outras forças,
e registrar sua velocidade a cada segundo, essas velocidades irão acumular um
acréscimo de 9,8 m/s a cada segundo. Nós chamamos essa constante 9,8 de "g" de gravidade.
Isso nos dá um exemplo de uma equação diferencial, embora relativamente simples. Concentre-se na
coordenada y, como uma função do tempo. Sua derivada dá a componente vertical da

English: 
else, but things changing with time are the
prototypical and most common examples of differential
equations.
Physics (simple)
Physics offers a nice playground for us here,
with simple examples to start with, and no
shortage of intricacy and nuance as we delve
deeper.
As a nice warmup, consider the trajectory
of something you throw in the air. The force
of gravity near the surface of the earth causes
things to accelerate downward at 9.8 m/s per
second. Now unpack what that really means:
If you look at some object free from other
forces, and record its velocity every second,
these vectors will accrue an additional downward
component of 9.8 m/s every second. We call
this constant 9.8 “g”.
This gives an example of a differential equation,
albeit a relatively simple one. Focus on the
y-coordinate, as a function of time. It’s
derivative gives the vertical component of

Polish: 
ale zjawiska zmienne w czasie stanowią pierwowzór i najpowszechniejsze przykłady równań różniczkowych.
Fizyka zapewnia nam plac zabaw, zawierający proste przykłady na początek
oraz całe mnóstwo zawiłości i niuansów gdy sięgniemy głębiej.
W ramach rozgrzewki, rozważmy trajektorię czegoś, co rzucasz w powietrzu. Siła grawitacji
w pobliżu powierzchni Ziemi sprawia, że rzeczy przyspieszają ku dołowi z prędkością 9.8 m/s na sekundę
Zastanówmy się, co to właściwie oznacza: jeśli spojrzysz na jakieś ciało, wolne od innych sił
i zarejestrujesz jego prędkość w każdej sekundzie, wektory te zyskują dodatkową, skierowaną w dół
składową wynoszącą 9.8 m/s w każdej sekundzie. Stałą 9.8 nazywamy "g".
Stanowi to przykład równania różniczkowego, aczkolwiek stosunkowo prostego. Skupmy się na
współrzędnej y, jako funkcji czasu. Jej pochodna daje pionową składową

Russian: 
Но величины, изменяющиеся со временем,
являются наиболее распространенным примером дифференциальных уравнений.
В физике масса возможностей поиграться с дифференциальными уравнениями,
с простыми примерами для начала,
и не без хитросплетений и нюансов по ходу нашего продвижения.
В качестве приятной разминки рассмотрим траекторию чего-то, что вы бросаете в воздух.
Сила гравитации у поверхности Земли заставляет вещи ускоряться вниз
со скоростью 9,8 метра в секунду в секунду.
Теперь посмотрим, что это значит на самом деле.
Это означает, что если вы посмотрите на объект, свободный от других сил,
и будете записывать его скорость каждую секунду,
его векторы скорости будут накапливать дополнительную нисходящую
составляющую 9,8 м/с каждую секунду.
Мы называем эту константу 9,8 "g", что означает "гравитация".
Этого достаточно, чтобы дать нам понятие о дифференциальном уравнении,
хотя и относительно простом.
Сфокусируйтесь на координате y как функции времени.

Vietnamese: 
nhưng những thứ thay đổi theo thời gian là
những hình mẫu và ví dụ phổ biến nhất của ptvp.
Ở đây vật lý cung cấp một sân chơi rộng rãi cho chúng ta, với các ví dụ đơn giản để bắt đầu,
nhưng không kém phần phức tạp và sặc sỡ khi chúng ta tiến vào sâu hơn.
Ta hãy khởi động với ví dụ, xem xét quỹ đạo
của một cái gì đó được ném lên không trung.
Trọng lực gần bề mặt trái đất gia tốc (hướng xuống) cho vật một lượng là 9,8 m/s mỗi giây.
Nghĩa là: nếu vật không bị tác động bởi lực nào khác nữa, ta ghi lại (vector) vận tốc của nó mỗi giây,
ta sẽ thấy các vector này được cộng thêm một thành phần hướng xuống có giá trị là 9,8 m/s, mỗi giây.
Ta gọi lượng 9,8 không đổi này là g (gia tốc trọng trường).
Đây là một ví dụ (hơi quá) đơn giản về ptvp.

Modern Greek (1453-): 
είναι τα πρωτότυπα και πιο κοινά παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων.
Η Φυσική μας προσφέρει ένα ωραίο πεδίο πειραματισμού εδώ πέρα
με απλά παραδείγματα για να ξεκινήσουμε
αλλά χωρίς περιορισμό στην πολυπλοκότητα και την ποικιλία καθώς εμβαθύνουμε.
Σαν μια καλή αρχή,
φανταστείτε την τροχιά ενός αντικειμένου που πετάξατε στον αέρα.
Η δύναμη της βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της Γης,
προκαλεί τα αντικείμενα να επιταχύνονται προς τα κάτω
με 9.8 μέτρα το δευτερόλεπτο, το δευτερόλεπτο.
Τώρα, ας ξεδιπλώσουμε τί ακριβώς σημαίνει αυτό:
Σημαίνει πώς εάν δείτε αυτό το αντικείμενο χωρίς την επίδραση άλλων δυνάμεων
και καταγράψετε την ταχύτητά του κάθε δευτερόλεπτο,
σε αυτά τα διανύσματα της ταχύτητας
θα προστεθεί μία επιπλέον κάθετη συνιστώσα
με τιμή 9.8 μέτρα το δευτερόλεπτο, κάθε δευτερόλεπτο.
ονομάζουμε αυτή τη σταθερά (9.8) 
g από το 'gravity' (σταθερά της βαρύτητας)
Αυτό είναι αρκετό για να μας δώσει ένα παράδειγμα διαφορικής εξίσωσης
αν και είναι σχετικά απλό.
Εστιάστε στην συντεταγμένη y, ως συνάρτηση του χρόνου.

Italian: 
ma le grandezze che cambiano nel tempo sono gli esempi più comuni nelle equazioni differenziali.
La fisica offre una vasta gamma di esempi, con semplici esempi con cui partire ma
senza mancare di complessità e sottigliezze man mano che scaviamo a fondo
Come riscaldamento, consideriamo la traiettoria di un oggetto che lanciamo in aria.
La forza di gravità nei pressi della superficie terrestre accelera gli oggetti verso il basso a 9.8 m/s al secondo.
Ora analizziamo cosa significhi: se guardi a un oggetto libero
da altre forze, e registri la sua velocità ogni secondo, i vettori velocità avranno un incremento della componente verso il basso
di 9.8 m/s ogni secondo. Chiamiamo questa costante (9.8) "g"
Questo da un esempio di equazione differenziale, anche se relativamente semplice. Concetriamoci
sulla coordinata-y in funzione del tempo. La sua derivata è la componente verticale della velocità

Russian: 
Его производная дает вертикальную составляющую скорости,
чья производная в свою очередь дает вертикальную составляющую ускорения.
Для компактности запишем первую производную как ẏ, а вторую производную как ÿ.
Наше уравнение гласит, что ÿ = -g, просто постоянная.
Это то, что мы можем решить с помощью интегрирования,
что по сути работает над вопросом в обратном направлении.
Во-первых, чтобы найти скорость, вы спрашиваете: «Какая функция дает -g как производную?»
Ну, это -g на t. Или, более конкретно, -gt плюс начальная скорость.
Обратите внимание: есть много функций с такой же производной,
таким образом, у вас есть дополнительная степень свободы,
которая определяется начальными условиями.
Теперь, какая функция имеет это в качестве производной?
Ну, оказывается это  -(½) GT^2, плюс эта начальная скорость * t,

English: 
velocity, whose derivative in turn gives the
vertical component of acceleration. For compactness,
let’s write this first derivative as y-dot,
and the second derivative as y-double-dot.
Our equation is simply y-double-dot = -g.
This is one where you can solve by integrating,
which is essentially working backwards. First,
what is velocity, what function has -g as
a derivative? Well, -g*t. Or rather, -g*t
+ (the initial velocity). Notice that you
have this degree of freedom which is determined
by an initial condition. Now what function

Czech: 
Její derivace udává svislou komponentu rychlosti,
jejímž zderivováním získáme svislou složku zrychlení.
Popišme první derivaci jako y' a druhou derivaci jako y''.
Naše rovnice je jednoduchá funkce y''=-g.
Taková jde vyřešit pouhou integrací,
což je vlastně opačná cesta.
Co je vlastně rychlost, pro jakou funkci je -g derivace?
Přece -g*t. Respektive -g*t plus počáteční rychlost.
Existuje spousta funkcí s touto derivací. Všimněte si té míry volnosti, kterou určují počáteční podmínky.

Polish: 
prędkości, której pochodna daje z kolei poziomą składową przyspieszenia. Dla ścisłości,
zapiszmy pierwszą pochodną jako y z kropką, a drugą pochodną jako y z dwiema kropkami.
Nasze równanie to po prostu y z dwiema kropkami = -g. Takie równania można rozwiązać poprzez całkowanie,
które w zasadzie jest pracowaniem od drugiej strony.
Po pierwsze, jaka jest prędkość? Jaka funkcja ma -g
jako pochodną? Cóż, jest to -g*t, lub raczej -g*t + początkowa prędkość. Zauważ, że masz
stopień swobody, który jest wyznaczany przez warunek początkowy. Teraz, jaka funkcja

Chinese: 
它的導數給出了速度的垂直分量，
再次取導數則給出了加速度的垂直分量。
為了簡潔，讓我們把一階導數寫成 y-dot，二階導數寫成 y-double-dot。
我們的方程式說明 y-double-dot = - g，是一個常數。
你可以透過積分解決這問題，基本上就是往回運算。
首先，你要先求速度，什麼樣的函數取導數後會變 - g ？
應該是 - g t，對吧？更準確來說，應該要是 - g t + Vo。
別忘了，不同的函數可產生同一個導數，`
所以你有額外的自由度取決於初始條件。
那現在有什麼函數取導數後可得到此？
是 -（½）g t ^ 2 + Vo t，對吧？

Vietnamese: 
Ta khảo sát tọa độ y là một hàm theo thời gian.
Đạo hàm của nó cho ta thành phần Oy của vận tốc,
và đạo hàm bậc hai cho ta thành phần Oy của gia tốc.
Ta viết đạo hàm bậc một là y',
và đạo hàm bậc hai là y''.
Phương trình ta có chỉ đơn giản là y'' = -g.
Ta có thể giải bằng phép lấy tích phân,
về cơ bản là tìm ngược lên. Đầu tiên,
ta tìm hàm vận tốc: hàm nào có đạo hàm là -g?
À thì, -g*t. Hay đúng hơn, -g*t + v0. Lưu ý rằng có vô số hàm có cùng đạo hàm như này,
nên ta có một bậc tự do được xác định
bởi một điều kiện đầu.

Modern Greek (1453-): 
Η παράγωγός της δίνει την κάθετη συνισταμένη της ταχύτητας,
της οποίας η παράγωγος με τη σειρά της δίνει την κάθετη συνισταμένη της επιτάχυνσης.
Για συντομία, ας γράψουμε την πρώτη παράγωγο ως y',
και την δεύτερη παράγωγο ως y''
Η εξίσωσή μας λέει ότι το y'' είναι ίσο με - g , μια απλή σταθερά.
Αυτός είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορείτε να την λύσετε ολοκληρώνοντας,
το οποίο στην ουσία είναι να δείτε το πρόβλημα αντίστροφα.
Αρχικά, για να βρείτε την ταχύτητα ρωτάτε, ποιά συνάρτηση έχει το - g ως παράγωγο.
Λοιπόν, η -g επί t
ή πιο συγκεκριμένα η -g επί t, συν την αρχική ταχύτητα.
Παρατηρείστε ότι υπάρχουν πολλές συναρτήσεις με την συγκεκριμένη παράγωγο,
άρα έχουμε έναν επιπλέον βαθμό ελευθερίας που προσδιορίζεται από μια αρχική συνθήκη.
Τώρα, ποιά συνάρτηση εχεί αυτήν ως παράγωγο.
Λοιπόν, φαίνεται να είναι -1/2 επί g επί t τετράγωνο, συν την αρχική συνθήκη επί t,

Portuguese: 
velocidade, cuja derivada, por sua vez, dá a componente vertical da aceleração. Para simplificar,
vamos escrever essa primeira derivada como y-ponto e a segunda derivada como y-dois-pontos.
Nossa equação é simplesmente y-dois-pontos = -g. Este é um caso no qual você pode resolver integrando,
que é essencialmente trabalhando de trás para fente. Primeiro, para encontrar a velocidade, você pergunta: qual função tem -g como
uma derivada? Bem, -g * t. Ou melhor, -g * t + (a velocidade inicial). Observe que você  tem várias funções com essa derivada.
Este grau de liberdade é determinado por uma condição inicial. Agora que função
tem isso como um derivada? Bom, descobre-se que a resposta é  - (½) g * t ^ 2 + v_0 * t.

Italian: 
, la cui derivata è a sua volta la componente verticale dell'accelerazione. Per brevità
scriviamo la derivata prima come y-pallino, e la seconda derivata come y-doppio pallino.
La nostra equazione dice che y-doppio pallino=-g. Questo è un esempio che possiamo risolvere integrando,
che è essenzialmente lavorare a ritroso. Prima per trovare la velocità ci chiediamo, quale funzione ha come
derivata -g? Beh, -gt oppure -gt+(la velocità iniziale). Notate che ci sono molte funzioni con questa proprietà
perciò si ha un grado di libertà che è determinato da una condizione iniziale. Ora quale funzione

German: 
Ihre Ableitung ergibt die vertikale Komponente der Geschwindigkeit.
Und die Ableitung davon ergibt die vertikale Komponente der Beschleunigung.
Lass uns für Kompaktheit die 1. Ableitung als y-Punkt und die 2. Ableitung als y-Doppelpunkt schreiben.
Unsere Gleichung ist einfach y-Doppelpunkt = -g. Hier kann man einfach durch Integrieren lösen,
dabei arbeitet man sozusagen rückwärts. Zuerst,
um die Geschwindikeit zu finden, fragst du: Welche Funktion hat -g als Ableitung?
Nun, es ist -g * t. Oder, um genau zu sein, -g * t
+ Anfangsgeschwindigkeit. Beachte, dass es viele Funktionen mit dieser Ableitung gibt.
Also hast du einen extra Grad an Freiheit, der durch einen Anfangszustand bestimmt wird.

Portuguese: 
Novamente podemos adicionar uma constante, sem mudar a derivada, baseada em
seja qual for a sua posição inicial.  E pronto! Você acabou de resolver uma equação diferencial, baseado apenas em informações sobre sua taxa de variação.
As coisas ficam mais interessantes quando as forças que atuam sobre um corpo dependem de onde esse corpo está.
Por exemplo, estudando o movimento de planetas, estrelas e luas, a gravidade não pode mais ser
considerada uma constante. Dados dois corpos, a atração de um está apontada na direção do outro,
com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
Como sempre, a taxa de variação da posição é a velocidade, mas agora a taxa de variação da
velocidade, a aceleração, é alguma função que depende posição. A dança entre essas variáveis ​​que interagem mutuamente
espelha-se na dança entre os corpos interagindo mutuamente que eles descrevem.

English: 
has this as a derivative? -(½)g*t^2 + v_0
* t. Or, rather, add in a constant based on
whatever the initial position is.
Things get more interesting when the forces
acting on a body depend on where that body
is. For example, studying the motion of planets,
stars and moons, gravity can no longer be
considered a constant. Given two bodies, the
pull on one is in the direction of the other,
with a strength inversely proportional to
the square of the distance between them.
As always, the rate of change of position
is velocity, but now the rate of change of
velocity is some function of position. The
dance between these mutually-interacting variables
is mirrored in the dance between the mutually-interacting
bodies which they describe.

Chinese: 
同樣地，要加一個常數，避免導數發生改變。
而常數則是由初始位置來決定。
現在你做到了，我們解決了一個有關變化率的微分方程。
當力的作用取決於物體的位置時，事情將變得更加有趣。
例如，研究行星，恆星和衛星的運行，重力加速度不再被視為常數。
給定兩個物體，其之間的力作用於同一直線上，
並且之間的力與彼此間的距離平方成反比。
同樣地，位置變化率是速度，但現在速度變化率則是加速度，是位置的某個函數。
所以你有了這些相互作用變量間的動作。
此敘述也反映著兩個移動中的物體相互作用的動作。

Italian: 
ha questa come derivata? Beh, - ½gt² + v₀t. E nuovamente possiamo aggiungere una costante
in base alla posizione iniziale.
Le cose si fanno più interessanti quando le forze agenti sul corpo dipendono da dove si trovi il corpo stesso.
Per esempio, studiando il moto dei pianeti, delle stelle e dei satelliti, la gravità non può più
essere considerata costante. Dati due corpi la forza su uno di essi agisce verso l'altro,
con un'intensità inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
Come sempre, il tasso di variazione della posizione è la velocità, ma ora il tasso di variazione della velocità(l'accelerazione)
è in funzione della posizione. La danza che risulta dall'interazione reciproca di queste due variabili
è riflessa nella danza dell'interazione reciproca tra i corpi che esse descrivono.

Polish: 
ma to jako pochodną? -(½)g*t^2 + v_0*t. Dodajmy jeszcze stałą opartą na tym,
jaki jest warunek początkowy.
Wszystko staje się bardziej interesujące, gdy siły działające na ciało zależą od tego, gdzie to ciało
się znajduje. Dla przykładu, rozważając ruchy planet, gwiazd i księżyców, grawitacja nie może być już
uznawana za stałą. Mając dwa ciała, siła, z jaką jedno jest przyciągane w kierunku drugiego,
jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.
Jak zwykle, tempem zmiany jest prędkość, ale tym razem tempem zmiany prędkości
jest jakaś funkcja zależna od położenia. Ten taniec pomiędzy wzajemnie oddziałującymi zmiennymi
znajduje swoje odbicie w tańcu pomiędzy wzajemnie oddziałującymi ciałami, które opisują.

Russian: 
и, опять же, мы можем добавить дополнительную константу без изменения производной,
и эта константа определяется, любой начальной позицией.
И вот, пожалуйста! Мы только что решили дифференциальное уравнение:
Выяснили, что такое функция, основываясь на информации о ее скорости изменения.
Вещи становятся более интересными, когда силы, действующие на тело,
зависят от того, где находится это тело.
Например, изучая движение планет, звезд и лун, гравитацию уже нельзя считать постоянной.
Возьмем два тела, одно тянет другое в направлении последнего
с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Как всегда, скорость изменения положения - это скорость.
Но теперь скорость изменения скорости (ускорение)
является некоторой функцией от координат.
Таким образом, у вас есть этот танец между двумя взаимодействующими переменными,
как танец между двумя движущимися телами, которые они описывают.

German: 
Nun, welche Funktion hat -g * t als Ableitung? Es ist 
- (1/2) g * t ^ 2 + Anfangsgeschwindigkeit * t. Und erneut können wir eine zusätzliche Konstante hinzufügen ohne die Ableitung zu verändern.
Und diese Konstante ist bestimmt durch die initiale Position.
Und da hast du es: Wir haben eine Differentialgleichung gelöst. Rausfinden, welche Funktion es ist, basierend auf Informationen über seine Änderungsrate.
Es wird interessanter, wenn die Kräfte, die
auf einen Körper zu wirken, davon abhängen, wo dieser Körper ist.
Zum Beispiel, wenn man die Bewegung von Planeten,
Sternen und Monden beobachtet, kann die Schwerkraft nicht mehr als konstant angenommen werden.
Hat man 2 Körper gegeben, dann ist die Anziehung des einen in die Richtung des anderen
mit einer Stärke umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen ihnen.
Wie immer ist die Änderungsrate der Position die Geschwindigkeit. Aber jetzt ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit (Beschleunigung) eine Funktion der Position.
Jetzt hat man diesen Tanz zwischen diesen miteinander wechselwirkenden Variablen
welche sich im Tanz der beiden, sich bewegenden Körper widerspiegeln, die sie beschreiben.

Modern Greek (1453-): 
και ξανά, μπορούμε να προσθέσουμε επιπλέον σταθερά χωρίς να αλλάξουμε την παράγωγο,
και αυτή η σταθερά καθορίζεται από οτιδήποτε είναι η αρχική θέση.
Και ορίστε!
Μόλις λύσαμε μια διαφορική εξίσωση.
Ανακαλύπτωντας ποιά είναι η συνάρτηση,
βασιζόμενοι σε πληροφορίες για τον ρυθμό μεταβολής της.
Τα πράγμα γίνονται πιο ενδιαφέροντα,
όταν οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα
εξαρτόνται από του πού βρίσκεται αυτό το σώμα.
Για παράδειγμα, μελετώντας τις τροχιές των πλανητών, αστέρων και φεγγαριών,
η βαρύτητα δεν μπορεί πλέον να θεωρείται σταθερά.
Δεδομένων δύο σωμάτων, το τράβηγμα στο ένα από αυτά, είναι στην κατεύθυνση του άλλου,
με δύναμη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης μεταξύ τους.
Όπως πάντα, ο ρυθμός μεταβολής της θέσης, είναι η ταχύτητα,
αλλά τώρα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας, η επιτάχυνση,
είναι κάποια συνάρτηση της θέσης.
Οπότε έχετε αυτό τον χορό, μεταξύ δύο μεταβλητών που αλληλεπιδρούν αμοιβαία,
αποτέλεσμα του χορού μεταξύ των δύο κινούμενων σωμάτων που περιέγραψαν.

Vietnamese: 
Giờ, hàm nào có đạo hàm là cái này? Là -(½)g*t^2 + v0*t. Và, lần nữa, ta được tự do thêm vào một hằng số
mà không làm thay đổi đạo hàm, và nó được xác định bởi vị trí đầu.
Vậy là ta vừa giải được một ptvp, tìm ra được hàm dựa vào thông tin về tốc độ biến thiên của hàm đó.
Sẽ thú vị hơn khi lực tác động lên vật phụ thuộc vào vị trí của vật đó.
Ví dụ, khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh, sao và mặt trăng,
trọng lực (lực hấp dẫn) không còn là hằng số.
Cho hai vật, lực hút lên vật này hướng theo chiều đến vật kia,
với độ lớn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách.
Như mọi khi, mức độ thay đổi vị trí
là vận tốc,
nhưng giờ đây mức độ thay đổi của vận tốc lại là một hàm theo vị trí.
Sự phụ thuộc và tương tác lẫn nhau giữa các biến này gợi lên điệu nhảy cùng nhau của các vật thể mà chúng mô tả.

Czech: 
Dál: jaká funkce má takovou derivaci?
 -(½)g*t^2 + v₀ * t. A ještě konstanta,
kterou můžeme měnit bez změny derivace, která je určená počáteční podmínkou.
A právě jsme vyřešili diferenciální rovnici: zjistitli jsme rovnici z informace o velikosti změny.
Vše začne být zajímavější, když se síly působící na těleso mění na pozici tělesa.
Například, pro pohyby planet, hvězd a měsíců, gravitace už nemůže být považována za konstantní.
Pro dvě tělesa platí, že na ně působí síla ve směru druhého tělesa
s velikostí inverzního poměru čtverce jejich vzdálenosti.
Jako vždy je rychlost změna místa, ale změna rychlosti
je teď nějaká funkce pozice. Tanec mezi těmito vzájemně působícími proměnnými
se odráží na tanci mezi dvěma tělesy, které popisují.

German: 
Dies zeigt, dass es bei Differentialgleichungen oft so ist, dass die Rätsel dich vor die Aufgabe stellen, eine Funktion zu finden, deren Ableitung
und / oder höhere Ableitungen
in der Funktion selbst definiert sind.
In der Physik arbeitet man meist mit
Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu, was bedeutet, dass die
die höchste Ableitung, die du in der Formel findest, die zweite Ableitung ist.
Differentialgleichungen höherer Ordnung wären welche mit dritten Ableitungen, vierten Ableitungen
und so weiter; Rätsel mit komplexeren Hinweisen.
Die Empfindung, die man bekommt, wenn man lange über solch eine Gleichung nachdenkt, ist wie zu versuchen ein unendliches, kontinuierliches Puzzle zu lösen.
Wenn man so will, muss man unendlich viele Zahlen finden, eine für jeden
Zeitpunkt t.
Aber diese Zahlen sind auf eine ganz bestimmte Weise beschränkt, da diese Werte mit ihren
eigenen Änderungsrate
und weiterhin mit den Änderungsraten dieser Änderungsraten verbunden sind.
Um ein besseres Gefühl zu bekommen, nimm dir etwas Zeit, um in folgendes, täuschend einfaches Beispiel einzutauchen: Ein Pendel.

English: 
So often in differential equations, the puzzles
you face involve finding a function whose
derivative and/or higher order derivatives
are defined in terms of itself.
In physics, it’s most common to work with
second order differential equations, which
means the highest derivative you find in the
expression here is a second derivative. Higher
order differential equations would be ones
with third derivatives, fourth derivatives
and so on; puzzles with more intricate clues.
The sensation here is one of solving an infinite
continuous jigsaw puzzle. In a sense you have
to find infinitely many numbers, one for each
point in time, constrained by a very specific
way that these values intertwine with their
own rate of change, and the rate of change
of that rate of change.
I want you to take some time digging in to
a deceptively simple example: A pendulum.

Chinese: 
在微分方程中，常反映出這樣的事實：
你面對的謎題是涉及找尋定義於自身的導數或更高階導數的函數之謎題。
在物理學中，最常見使用的是二階微分方程，
意思就是你找到的最高階導數是二階導數。
更高階微分方程則會帶有三階導數，四階導數等等；
謎題會更加地錯綜複雜。
當你深入思考這問題時，感覺就像是在解決無限連續的拼圖遊戲。
從某種感覺上來說，就是你必須找出無窮多個數字，每個數字對應到一個時間點。
但它們受到特定方法的限制：這些值與他們自己的變化率和變化率的變化率交織在一起。
為了更清楚的感受到這些在研究什麼，我希望你花點時間深思一下一個看似簡單的例子：鐘擺。

Polish: 
Tak więc często w równaniach różniczkowych, zagadki z którymi się spotykasz dotyczą znajdowania funkcji,
których pochodne (być może wyższych rzędów) są zdefiniowane w języku ich samych.
W fizyce zazwyczaj pracuje się z równaniami różniczkowymi drugiego rzędu, co oznacza,
że najwyższa pochodna w wyrażeniu jest drugiego stopnia. Równania różniczkowe
wyższych rzędów to te, zawierające trzecie pochodne, czwarte pochodne
i tak dalej; zagadki z bardziej zawiłymi wskazówkami.
Ogólne wrażenie to rozwiązywanie nieskończonej, ciągłej układanki. W pewnym sensie, musisz
znaleźć nieskończenie wiele liczb, jedna dla każdej chwili czasu, ograniczonych przez bardzo konkretny
sposób, w jaki te wartości przeplatają się ze swoim własnym tempem zmiany oraz tempem zmiany
tego tempa zmiany.
Chcę, żebyś poświęcił trochę czasu na zagłębienie się w pozornie prosty przyklad: wahadło.

Italian: 
Ciò è un buon esempio del fatto che spesso nelle equazioni differenziali, gli enigmi che affrontiamo includono il trovare una funzione
le cui derivate(prima o di ordine maggiore) siano definite in termini della funzione stessa.
In fisica, è più comune lavorare con equazioni differenziali del secondo ordine
Il che significa che la derivata di ordine più alto nell'equazione è la derivata seconda.
Equazioni differenziali di ordine più alto, sarebbero quelle con derivate terze, quarte
e così via, enigmi con indizi più intricati.
La sensazione nel risolvere questo tipo di equazioni è quella di risolvere un infinito gioco di incastri. Nel senso che
bisogna trovare infiniti numeri, uno per ogni istante di tempo, ma vincolati da una condizione
molto specifica sul modo in cui questi valori influenzano il proprio tasso di variazione e
il tasso di variazione del tasso di variazione
Per fare un esempio di ciò, voglio prendervi un po' di tempo per esplorare un esempio apparentemente semplice:un pendolo

Russian: 
Это отражает тот факт, что часто в дифференциальных уравнениях,
головоломки, с которыми вы сталкиваетесь
включают в себя поиск функции, производной и / или производных высшего порядка
которые определяются самой функцией.
В физике чаще всего работают с
дифференциальными уравнениями второго порядка,
что означает, что самая высокая производная, которую вы найдете
в этом выражении, является второй производной.
Дифференциальные уравнения высшего порядка будут включать в себя
третьи производные, четвертые производные и т.д.,
более запутанные головоломки.
Ощущение, которое вы получаете,
когда действительно размышляете над одним из этих уравнений
является одним из решения бесконечной непрерывной головоломки.
В каком-то смысле вы должны найти бесконечно много чисел,
по одному на каждый момент времени t.
Но они ограничены очень специфическим образом,
которым эти величины переплетаются с их собственной скоростью изменения,
и скоростью изменения этой скорости изменения.
Чтобы понять, на что это может быть похоже при изучении,
Я хочу, чтобы вы потратили некоторое время на изучение обманчиво простого примера:
маятника.

Modern Greek (1453-): 
Αυτό είναι αντανάκλαση του γεγονότος ότι, συχνά στις διαφορικές εξισώσεις,
τα προβλήματα που αντιμετωπίζετε, απαιτούν να βρείτε μια συνάρτηση, της οποίας η παράγωγος,
και/ή παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης,
καθορίζονται με όρους της ίδιας της συνάρτησης.
Στη φυσική, είναι πιο σύνηθες να δουλεύουν με δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις,
που σημαίνει ότι, η μεγαλύτερη παράγωγος που βρίσκετε σε αυτή την έκφραση,
είναι μια δεύτερη παράγωγος.
Μεγαλύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις,
είναι αυτές που περιλαμβάνουν τρίτες παραγώγους, τέταρτες παραγώγους, κλπ,
αινίγματα με πιο ενδιαφέροντα στοιχεία.
Η αίσθηση που παίρνετε όταν πραγματικά διαλογίζεστε μια από αυτές τις εξισώσεις,
είναι όπως αυτή που παίρνετε όταν λύνετε ένα 
άπειρα συνεχές παζλ.
Κατά μία έννοια, πρέπει να βρείτε άπειρους αριθμούς,
ένα για κάθε σημείο στον χρόνο t.
Αλλά περιορίζονται από ένα συγκεκριμένο τρόπο,
ότι αυτές οι τιμές είναι αλληλένδετες με το ρυθμό αλλαγής τους,
και το ρυθμό αλλαγής αυτού του ρυθμού αλλαγής.
Για να νιώσετε το πώς μοιάζει να τα μελετάτε αυτά,
θέλω να αφιερώσετε λίγο χρόνο να ψάξετε ένα παραπλανητικά απλό παράδειγμα.
Ένα εκκρεμές.

Czech: 
V diferenciálních rovnicích se často objevují takové skládačky,
kdy derivace bývají popsány samy sebou.
Ve fyzice je časté pracovat s diferenciálními rovnicemi druhého řádu,
nejvyšší řád derivací je tedy dvě.
Diferenciální rovnice vyšších řádů by byly s derivacemi třetího, čtvrtého řádu a tak dále;
byly by to ještě složitější skládačky.
Takhle vlastně řešíme nekonečné puzzle.
Musíme vlastně najít nekonečně čísel, pro každý bod v čase, omezené velmi specificky tak, že
se samy ovlivňují svojí změnou,
a změnou vycházející z té změny.
Chtěl bych vám ukázat jeden jednoduchý příklad: kyvadlo.

Vietnamese: 
Với ptvp, bạn thường phải tìm kiếm một hàm
mà đạo hàm và/hoặc các đạo hàm bậc cao được định nghĩa dựa vào chính hàm đó.
Trong vật lý, ta thường làm việc với ptvp cấp hai,
tức là trong pt chỉ có đạo hàm bậc một và bậc hai.
Các ptvp cấp cao hơn sẽ chứa cả đạo hàm bậc ba, bậc bốn...
câu đố với nhiều manh mối phức tạp hơn.
Cảm giác như bạn đang giải một trò chơi ghép hình với vô hạn các hình liên tục nhau.
Bạn phải tìm vô số các giá trị, mỗi số tại mỗi thời điểm, bị ràng buộc theo cách là
các giá trị này tương tác với độ biến thiên của chúng,
và độ biến thiên của độ biến thiên đó.
Tôi muốn bạn dành chút thời gian đào sâu vào một ví dụ tưởng chừng đơn giản: con lắc đơn.

Portuguese: 
Isto reflete o fato de que frequentemente os quebra-cabeças que você enfrenta envolvem encontrar uma função cuja
derivada (e/ou derivadas  de ordem superior) são definidas em termos da própria função.
Na física, é mais comum trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, que
significa que a derivada mais alta que você encontra na expressão é uma derivada de segunda ordem.
Equações diferenciais de ordem superior seriam aquelas com derivadas terceiras, derivadas quartas
e assim por diante; quebra-cabeças com pistas mais complexas.
A sensação aqui é de resolver um quebra-cabeça contínuo infinito. De certo modo você tem
que encontrar uma quantidade infinita de números, para cada instante de tempo t, de uma maneira bem específica
na qual esses valores se entrelaçam com sua própria taxa de variação, e a taxa de variação
dessa taxa de variação.
Quero que você dedique algum tempo a um exemplo ilusoriamente simples: um pêndulo.

German: 
Wie verändert sich der Winkel theta (zwischen Pendel und der Vertikalen) als Funktion der Zeit?
Dies wird in einführenden
Physik-Klassen oft als Beispiel einer harmonischen Bewegung angeführt,
was bedeutet, dass sie wie eine Sinuswelle oszilliert. Genauer, eine mit einer Periode von 2pi * L / g,
,wobei L die Länge des Pendels ist und g die Schwerkraft.
Aber: Diese Formeln sind jedoch tatsächlich Lügen.
Oder eher: Näherungen, die nur bei kleinen Winkeln funktionieren.
Wenn du ein echtes Pendel messen würdest, dann würdest du merken, dass das Pendel,
wenn du es weiter außen pendeln lässt, eine längere Periode hat, als die Physik-Formeln aus der Oberschule berechnen würden.
Und wenn man das Pendel wirklich weit zieht, 
dann sieht der Wert von Theta (geplotted gegen die Zeit) nicht mal mehr aus wie ein Sinus.
Um zu verstehen, was wirklich passiert, lass uns zuerst die Differentialgleichung aufschreiben.

Portuguese: 
Como este ângulo theta, entre o cabo e o eixo vertical, muda em função do tempo.
Isto é frequentemente dado como um exemplo em aulas introdutórias de física de movimento harmônico, mostrando
que ele oscila como uma onda senoidal. Mais especificamente, com um período de 2pi * (L / g)^(1/2), onde L é
o comprimento do pêndulo, e g é a gravidade.
No entanto, essas fórmulas são na verdade mentiras. Ou melhor, aproximações que só funcionam
quando o ângulo é muito pequeno. Se você medisse um pêndulo de verdade, descobriria que ao puxar
mais o pêndulo, o período é mais longo do que aquelas fórmulas de física do ensino médio sugeriria.
E quando você puxa ainda mais, descobre que o valor de theta (como função do tempo),
nem mesmo se parece mais com uma onda senoidal.
Para entender o que está se passando aqui,

Italian: 
Come cambia questo angolo θ ,che il pendolo forma con la normale, in funzione del tempo
Questo è spesso dato come esempio nelle lezioni introduttive di fisica sul moto armonico, perchè
oscilla come una sinusoide. Più nello specifico una col periodo di 2π sqrt(L/g) dove L è
la lunghezza del pendolo e g l'accelerazione di gravità
In ogni caso, queste formule sono bugie. O meglio approssimazioni che funzionano solo
nell'ambito di angoli piccoli. Se misurassimo un pendolo reale, osserveremmo che quando
l'angolo è grande, il periodo è più lungo di quello che le formule di fisica del liceo suggerirebbero
E quando l'angolo è veramente grande il valore di θ
non ha più l'aspetto di una sinusoide.

Polish: 
W jaki sposób ten kąt theta, który opisuje pionowe odchylenie, zmienia się jako funkcja czasu?
Często podaje się ten przykład przy wprowadzeniu do ruchu harmonicznego, co oznacza,
że oscyluje on niczym sinusoida. Mówiąc dokładniej - sinusoida o okresie 2π*L/g, gdzie L
jest długością wahadła, a g grawitacją.
Niemniej, te wzory są tak naprawdę kłamstwem. Lub, mówiąc dokładniej, przybliżeniem, które pracuje tylko
dla małych kątów. Gdybyś zmierzył prawdziwe wahadło, stwierdziłbyś, że gdy
wychylasz je dalej, okres jest dłuższy niż to, co sugerują wzory z licealnej fizyki.
A gdybyś wychylił je naprawdę daleko, wartość thety względem czasu
przestaje w ogóle wyglądać jak sinusoida.

English: 
How does this angle theta that it makes with
the vertical change as a function of time.
This is often given as an example in introductory
physics classes of harmonic motion, meaning
it oscillates like a sine wave. More specifically,
one with a period of 2pi * L/g, where L is
the length of the pendulum, and g is gravity.
However, these formulas are actually lies.
Or, rather, approximations which only work
in the realm of small angles. If you measured
an actual pendulum, you’d find that when
you pull it out farther, the period is longer
than what that high-school physics formulas
would suggest. And when you pull it really
far out, the value of theta vs. time doesn’t
even look like a sine wave anymore.

Chinese: 
與垂直線形成的夾角 θ 隨時間發生的變化為何？
這常在物理課中作為簡諧運動的例子，
意思就是它像正弦波一樣振盪。進一步來說，週期為2π√( L / g)，
其中 L 是鐘擺的長度， g 是重力加速度。
然而，這些公式其實是個謊言。或者更確切地說，它是小角度時的近似值。
如果你測量了一個實際的鐘擺，
你會發現當你把它拉得更遠時，週期會比高中提及的物理公式來的更長。
而當你把它拉得更遠時， θ(t) 的函數圖形就不再像正弦波了。
為了了解實際的發生情形，
首先，讓我們設一個微分方程。

Vietnamese: 
Góc θ hợp giữa con lắc và phương dọc phụ thuộc vào thời gian như thế nào?
Đây là một ví dụ thường thấy trong các lớp vật lý giới thiệu về dao động điều hòa.
nói rằng nó dao động như một sóng hình sin,
chu kỳ 2pi * sqrt(L/g),
với L là chiều dài của con lắc và g là gia tốc trọng trường.
Tuy nhiên, thật ra các công thức này không đúng.
Nó chỉ xấp xỉ đúng với góc θ rất nhỏ. Nếu bạn làm thí nghiệm đo đạc cẩn thận với một con lắc thiệt,
khi kéo nó ra nhiều hơn, bạn sẽ thấy chu kỳ dài hơn so với như công thức mô tả.
Và khi bạn kéo nó ra rất xa,
đồ thị của θ(t) thậm chí không còn giống với sóng hình sin nữa.

Czech: 
Jak se mění úhel θ s časem?
Toto je často příklad úvodních hodin fyziky v harmonickém pohybu,
protože kyvadlo při kývání popisuje sinosoidu, s periodou 2π * L/g,
kde L je délka kyvadla a g je gravitace.
Ale tyto vzorce jsou ve skutečnosti lži. Respektive spíše aproximace,
které platí pro malé úhly. Pokud byste změřili opravdové kyvadlo, zjistili byste,
že čím dál ho natáhnete, tím bude perioda delší vůči tomu, co by středoškolská fyzika určila.
A kdybyste ho natáhli ještě víc, hodnota thety podle času už vůbec nebude
vypadat jako sinusoida.

Russian: 
Как насчет угла θ, который он делает с изменением вертикали как функция времени?
Это часто дается в качестве примера во вводных классах физики гармонического движения,
то есть колеблется как синусоида.
Более конкретно, один с периодом, равным 2π квадратного корня из L/г,
где L - длина маятника, а g - сила тяжести.
Однако эти формулы на самом деле являются ложью.
Или, скорее, приближениями, которые работают только в области малых углов.
Если бы вы пошли и измерили реальный маятник, ,
то обнаружили бы, что, когда вы оттягиваете его дальше
этот период длиннее, чем можно предположить по физическим формулам средней школы.
И когда вы оттягиваете его очень далеко, это значение θ, отображаемое в зависимости от времени,
уже не выглядит как синусоида.
Чтобы понять, что здесь происходит, давайте сперва составим дифференциальное уравнение.

Modern Greek (1453-): 
Πώς αυτή η γωνία θ που δημιουργείται με την κάθετο,
αλλάζει ως συνάρτηση του χρόνου.
Αυτό δίνεται συχνά ως παράδειγμα σε εισαγωγικά μαθήματα φυσικής αρμονικής κίνησης,
που σημαίνει ότι ταλαντώνεται ημιτονοειδώς.
Πιο ειδικά, ένα με περίοδο 2π επί την τετραγωνική ρίζα του L/g
όπου L το μήκος του εκκρεμούς, και g η δύναμη της βαρύτητας.
Ωστόσο, αυτοί οι τύποι είναι στην πραγματικότητα ψέματα, ή καλύτερα προσεγγίσεις
οι οποίες δουλεύουν μόνο στη σφαίρα των μικρών γωνιών.
Αν πηγαίνατε να μετρήσετε ένα πραγματικό εκκρεμές,
αυτό που θα ανακαλύπτατε είναι ότι καθώς το τραβάτε μακρύτερα, η περίοδος είναι μεγαλύτερη
από αυτό που θα πρότειναν οι τύποι 
της λυκειακής φυσικής.
Και όταν το τραβάτε πολύ μακριά, αυτή η τιμή του θ σχεδιασμένη ως προς τον χρόνο
δεν μοιάζει πλέον με ημιτονοειδές.
Για να καταλάβετε τί πραγματικά σημβαίνει,
καταρχάς ας ορίσουμε τη διαφορική εξίσωση.

English: 
First thing’s first, let’s set up the
differential equation. We’ll measure its
position as a distance x along this arc. If
the angle theta we care about is measured
in radians, we can write x and L*theta, where
L is the length of the pendulum.
As usual, gravity pulls down with acceleration
g, but because the pendulum constrains the
motion of this mass, we have to look at the
component of this acceleration in the direction
of motion. A little geometry exercise for
you is to show that this little angle here
is the same as our theta. So the component
of gravity in the direction of motion, opposite
this angle, will be -g*sin(theta).
Here we’re considering theta to be positive
when the pendulum is swung to the right, and
negative when it’s swung to the left, and
this negative sign in the acceleration indicates

Polish: 
Po kolei - stwórzmy równanie różniczkowe. Będziemy mierzyć położenie wahadła
jako długość x wzdłuż tego łuku. Jeśli kąt theta, którym się interesujemy, jest mierzony
w radianach, możemy zapisać x jako L*theta, gdzie L to długość wahadła.
Jak zwykle, grawitacja przyciąga ku dołowi z przyspieszeniem g, ale ponieważ wahadło ogranicza
ruch tej masy, musimy patrzeć na składową tego przyspieszenia w kierunku ruchu.
Drobnym geometrycznym ćwiczeniem dla ciebie jest pokazanie, że ten mały kąt tutaj
to ten sam kąt, co theta. W związku z tym, składowa grawitacji w kierunku ruchu, naprzeciwko
tego kąta, wyniesie -g*sin(theta).
Zakładamy, że theta jest dodatnia, gdy wahadło jest wychylone na prawo,
zaś ujemna, gdy jest wychylona na lewo, oraz że ujemny znak przyspieszenia oznacza,

Portuguese: 
vamos montar a equação diferencial. Nós vamos medir a sua posição
como uma distância x ao longo deste arco. Se o ângulo theta com o qual nos importamos for medido
em radianos, podemos escrever x como L * theta, onde L é o comprimento do pêndulo.
Como de costume, a gravidade puxa para baixo com aceleração g, mas como o pêndulo restringe o
movimento dessa massa, temos que olhar para a componente dessa aceleração na direção
do movimento. Um pequeno exercício de geometria para você é mostrar que esse pequeno ângulo aqui
é o mesmo que o nosso theta.
Então, a componente da gravidade na direção do movimento,
oposto a este ângulo, será -g * sen(theta).
Aqui estamos considerando theta positivo quando o pêndulo está a direita, e
negativo quando está a esquerda, e este sinal negativo na aceleração indica

Chinese: 
我們將設沿著此弧線為距離 x 來測量鐘擺的位置。
而我們所關心的角度則是由弧度來測量，我們可以將 x 表示為 L θ，其中 L 是擺的長度。
像往常一樣，重力隨著加速度 g 下降，
但因為鍾擺可以限制此質量的運動，我們必須觀察這沿著運動方向的加速度分量。
這邊給了你一個小小的幾何習題，它告訴了你這邊有個小角度和我們的 θ 等同的。
所以在這角度對面的重力分量將會是
- g sin（θ）。
當鐘擺向右時，我們設θ為正，向左時為負，
並且加速度中的這個負號表示

Vietnamese: 
Để hiểu rõ hơn, ta hãy thiết lập một ptvp.
Ta xác định vị trí của con lắc theo độ dài cung.
Nếu θ  đo ở radian, ta sẽ có x = L * θ
Như thường lệ, trọng lực kéo xuống với gia tốc g,
và ta phải tính được thành phần của gia tốc này theo hướng chuyển động.
Một bài tập hình học nhỏ cho bạn, vì sao góc nhỏ này đây cũng chính bằng θ.
Thành phần của g theo hướng chuyển động,
sẽ là -g*sinθ.
Ta đang giả sử θ dương khi con lắc ở bên phải,
và ngược lại.

Italian: 
Per capire cosa sta succedendo, per prima cosa impostiamo l'equazione differenziale. Misureremo
la posizione come la distanza x lungo questo arco e se l'angolo θ di nostro interesse è misurato
in radianti, possiamo scrivere x come Lθ dove L è la lunghezza del pendolo
Come sempre, la gravità attrae verso il basso con accelerazione g, ma poichè il pendolo vincola
il moto di questa massa, dobbiamo guardare alla componente di tale accelerazione nella direzione
del moto. Un piccolo esercizio di geometria per voi è mostrare che questo piccolo angolo qui
è congruo a θ. Dunque la componente della gravità nella direzione del moto
opposta a questo angolo sarà -g sin(θ)
Qui stiamo considerando θ positivo, quando il pendolo oscilla a destra e
negativo quando oscilla a sinistra, il segno negativo dell'accelerazione indica

Czech: 
Nejdřív ale sestavme diferenciální rovici. Budeme měřit pozici
jako vzdálenost x podél tohoto oblouku. Pokud je úhel θ v radiánech,
můžeme x popsat jako L*θ.
Gravitace, jako vždy, působí směrem dolů, ale protože kyvadlo omezuje kam se hmotný bod může pohybovat,
musíme se zaměřit na složku zrychlení, která je rovnoběžná se směrem pohybu.
Malé geometrické cvičení: ukažte, že tento malý úhel je stejný jako naše θ.
Gravitační složka rovnoběžná se směrem pohybu
bude -g*sin(θ).
Předpokládáme, že θ je kladná, když je kyvadlo vychýlené vpravo, a
záporná když je vychýlené vlevo. To minus ve značí, že zrychlení má směr
vždy proti směru, ve kterém je kyvadlo vychýlené.

Russian: 
Измерим положение маятника, как расстояние х вдоль этой кривой
Если угол θ, который нас интересует, измеряется в радианах,
мы можем записать х как L*θ, где L — длина маятника
Как обычно, гравитация притягивает вниз с ускорением g,
но, так как маятник замедляется под действием собственной массы,
мы должны посмотреть на компоненту этого ускорения в плоскости движения
Небольшой геометрический пример для вас — показать, что этот маленький угол вот здесь
такой же, как наш θ.
Итак, компонента силы тяжести в направлении движения, противолежащего этому углу, будет
-g*sin(θ)
Здесь мы принимаем  θ положительным, когда маятник совершает колебание вправо
и отрицательным, когда он колеблется влево
и этот знак минус в ускорении показывает,
что оно всегда указывает в противоположном направлении от движения.

Modern Greek (1453-): 
Θα μετρήσουμε τη θέση του βάρους του εκκρεμούς
ως απόσταση Χ πάνω σε αυτό το τόξο, και αν 
η γωνία θ που μας ενδιαφέρει
μετριέται σε ακτίνια (rad), 
μπορούμε να γράψουμε το Χ ως L επί θ
όπου L είναι το μήκος του εκκρεμούς.
Όπως πάντα, η βαρύτητα τραβά προς τα κάτω με επιτάχυνση g,
αλλά επειδή το εκκρεμές περιορίζει την κίνηση αυτής της μάζας,
πρέπει να κοιτάξουμε τη συνιστώσα αυτής της επιτάχυνσης στην κατεύθυνση της κίνησης.
Μια μικρή άσκηση γεωμετρίας για εσάς, είναι να δείξετε ότι αυτή η μικρή γωνιά εδώ πέρα,
είναι ίση με το θ.
Άρα η συνιστώσα της βαρύτητας στην κατεύθυνση της κίνησης, απέναντι από αυτή τη γωνιά,
θα είναι - g * ημ(θ) .
Θεωρούμε εδώ το θ να είναι θετικό όταν το εκκρεμές ταλαντεύετεται στα δεξιά,
και αρνητικό όταν ταλαντεύεται στα αριστερά.
Και αυτό το μείων στην επιτάχυνση,
υποδηλώνει ότι πάντα δείχνει στην αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση

German: 
Wir werden die Position als Abstand x entlang dieses Bogens messen. Falls der Winkel in Radiant gemessen ist,
können wir x als L * theta schreiben, wo
L ist die Länge des Pendels.
Wie üblich zieht die Schwerkraft mit der Beschleunigung g nach unten, aber weil das Pendel die Bewegung der Masse einschränkt,
müssen wir uns die Komponente dieser Beschleunigung in Richtung der Bewegung ansehen.
Eine kleine Geometrieübung für
dich: Zeige, dass dieser kleine Winkel hier
der Gleiche ist wie unser Theta.
Die Komponente der Schwerkraft in Richtung der Bewegung (dessen Vektor dem Winkel Theta gegenüber liegt) ist also
-g * sin(Theta).
Hier betrachten wir Theta als positiv
wenn das Pendel nach rechts geschwenkt wird und
negativ, wenn es nach links geschwenkt wird, und
dieses negative Vorzeichen in der Beschleunigung zeigt an,

Czech: 
Takže druhá derivace x, zrychlení,
je -g*sin(θ).
Vždy je dobré udělat si kontrolu, že naše rovnice dává fyzikálně smysl.
Když θ=0, sin(0)=0
a neexistuje tedy zrychlení ve směru pohybu.
Když θ=90°, sin(θ)=1
a zrychlení má stejnou velikost, jako kdyby šlo o volný pád.
Takže to sedí.
Protože x je L*θ,
θ'' je -(g/L) * sin(θ).
Abysme byli víc realističtí, přidejme odpor vzduchu, který můžeme popsat ve vztahu k rychlosti.
Popíšeme ho jako -μ * θ', kde μ je konstanta určující
jak rychle bude kyvadlo ztrácet energii.

Portuguese: 
que está sempre apontando na direção oposta ao deslocamento.
O que temos então é que a segunda derivada de x, a aceleração, é -g*sen(theta). Como sempre, é bom verificar se nossas contas fazem sentido.
Quando theta=0º, sen(0)=0, logo não há aceleração na direção do movimento.
Quando theta=90º, sen(theta)=1, logo a aceleração é a mesma que a de uma queda livre. Bom, isso faz sentido. Como x = L*theta,
isso significa que a segunda derivada de theta é - (g / l) * sen(theta). Para ser um pouco mais realista, vamos adicionar
um termo para levar em consideração a resistência do ar, que nós iremos assumir como sendo proporcional a
velocidade. Nós escrevemos isso como -mu * theta-ponto, onde -mu é uma constante que depende da resistência do ar
e de quão rapidamente o pêndulo perde energia.

Vietnamese: 
Dấu trừ ở đây ý là vector gia tốc ngược hướng với chuyển động.
Vậy ta có đạo hàm bậc hai của x, tức a, là -g*sinθ.
Ta kiểm lại xem công thức có khớp với thực tế không,
Khi θ = 0, a = 0, nghĩa là không có gia tốc theo phương chuyển động.
Khi θ = 90, a = 1, gia tốc lúc đó cũng giống như khi con lắc rơi tự do. Ok tốt.
Mà x = L*θ, vậy hóa ra đạo hàm bậc hai
 của θ là  -(g/L)*sinθ.
Để thực tế hơn chút, ta có thể thêm vào một đại lượng mô tả lực cản không khí,
mà ta có thể giả sử là tỉ lệ với vận tốc. Ta viết -μ*θ',
với μ là một tham số cho biết vì không khí mà con lắc mất năng lượng nhanh đến thế nào.

Chinese: 
它始終指向位移的相反方向。
所以我們得到一個加速度是 x 的二階導數
是 - g sin（θ）。
同樣地，我們可以簡單地檢視一下這公式，來感受其物理意義。
當 θ = 0 ，sin（θ）= 0，
所以此時沒有加速度分量。
當 θ = 90° ，sin（θ）= 1，
所以此時的加速度分量和自由落體一樣。
好的，就讓我們看一下，因為 x = L θ ，
這就表示 x 的二階導數是 - g/L sin (θ) 。
為了更加接近真實條件，讓我們把空氣阻力的因素加進去，可以把它設為與速度成比例。
我們把它寫成 - μ θ-dot，而 μ 是一個常數，決定於鐘擺流失能量的快慢。
 

German: 
dass es immer entgegen der Richtung der Verschiebung zeigt.
Wir wissen also, dass die 2. Ableitung von x (die Beschleunigung) -g * sin(Theta) ist. Wie immer ist es eine gute Idee, einen kleinen Test zu machen, ob unsere Formel physikalisch Sinn ergibt.
Wenn Theta 0 ist, ist sin(Theta) = 0, es gibt also keine Beschleunigung in die Richtung der Bewegung.
Wenn Theta 90° ist, ist sin(Theta) = 1. Die Beschleunigung ist also wie beim freien Fall (wie erwartet).
Und da x = L * Theta, ist die zweite Ableitung von Theta 
- (g / L) * sin(Theta)
Um etwas realistischer zu sein,
fügen wir einen Term für den Luftwiderstand hinzu, den
wir als proportional zur Geschwindigkeit modellieren.
Wir schreiben dies als -mu * Theta-Punkt.
Dabei ist -mu eine Konstante, die bestimmt,
wie schnell das Pendel aufgrund von Reibung und Luftwiderstand Energie verliert.

English: 
that it’s always pointed in the opposite
direction from displacement.
So the second derivative
of x, the acceleration, is -g*sin(theta).
Since x is L*theta, that means the second
derivative of theta is -(g/L) * sin(theta).
To be somewhat more realistic, let’s add
in a term to account for air resistance, which
perhaps we model as being proportional to
the velocity. We write this as -mu * theta-dot,
where -mu is some constant determining how
quickly the pendulum loses energy.

Italian: 
che il suo verso è opposto a quello del moto.
Dunque la derivata seconda di x
l'accelerazione è -g sin(θ). Dato che x è Lθ, ciò significa che la derivata seconda
di θ è -g/L sin(θ) . Per essere realistici aggiungiamo un termine
per tener conto dell'attrito dell'aria, che tra l'altro consideriamo proporzionale alla
velocità. Lo scriviamo come μ θ-pallino dove μ è una costante che indica
quanto velocemente il pendolo perde energia.

Russian: 
Итак, у нас есть вторая производная от х — ускорение
которое равно -g*sin(θ)
Как всегда, было бы классно  по-быстрому проверить,
имеет ли наша формула физический смысл.
Когда θ равен 0, sin(0) - тоже 0
так что тут нет ускорения в направлении движения
Когда θ = 90°, sin(θ) = 1,
то ускорение такое же, которое было бы при свободном падении.
Хорошо, это мы проверили.
Так как х = L*θ, это означает, что вторая производная от θ равна (-g/L)*sin(θ)
Чтобы быть чуть более реалистичными, примем также в расчет сопротивление воздуха
которое, вероятно, мы смоделируем пропорциональным скорости.
Запишем это как -μ*θ с точкой,
где μ - какая-то константа, выражающая всё сопротивление воздуха, трение и т.п.
которое определяет, как быстро маятник теряет энергию.

Modern Greek (1453-): 
Οπότε αυτό που έχουμε είναι ότι η δεύτερη παράγωγος του Χ, η επιτάχυνση,
ισούται με - g * ημ(θ) .
Όπως πάντα, είναι καλά να κάνουμε ένα γρήγορο πνευματικό έλεγχο
ότι οι εξισώσεις μας έχουν χειροπιαστό νόημα.
Όταν το θ είναι 0, το ημίτονο του 0 ισούται με 0,
άρα δεν υπάρχει επιτάχυνση στην κατεύθυνση της κίνησης.
Όταν το θ είναι 90 μοίρες, το ημίτονο του θ είναι 1,
άρα η επιτάχυνση είναι η ίδια όπως της 
ελεύθερης πτώσης.
Εντάξει, αυτό ταιριάζει, και επειδή το Χ ισούται με L*θ,
αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος του θ ισούται με -g/L επί ημ(θ)
Για να είμαστε λίγο πιο ρεαλιστικοί, ας προσθέσουμε έναν όρο που αντιπροσωπεύει την αντίσταση του αέρα,
την οποία μπορούμε να την θέσουμε ανάλογη της ταχύτητας.
Θα το γράψουμε ως -μ*θ', όπου το μ είναι μια σταθερά που περιλαμβάνει όλη την αντίσταση του αέρα και την τριβή και τα σχετικά,
που καθορίζουν πόσο γρήγορα χάνει ενέργεια το εκκρεμές.

Polish: 
że zawsze jest ono skierowane przeciwnie do swojego położenia.
W związku z tym, druga pochodna x, czyli przyspieszenie, to -g*sin(theta).
Jak zwykle, warto szybko sprawdzić, czy nasz wzór ma fizyczny sens. Gdy theta wynosi 0,
sin(0)=0, więc nie ma przyspieszenia w kierunku ruchu.
Gdy theta wynosi 90 stopni, sin(90)=1, więc przyspieszenie jest takie samo, jak byłoby
dla swobodnego spadku. W porządku, zgadza się.
Skoro x=L*theta, możemy wyrazić drugą pochodną
thety jako -(g/L)*sin(theta). By być bardziej realistycznym, dodajmy
wyraz odpowiadający za opór powietrza, które - czemu nie - modelujemy jako proporcjonalne do prędkości.
Zapisujemy je jako -mu*theta kropka, gdzie -mu jest pewną stałą, opisującą
jak szybko wahadło wytraca energię.

Italian: 
Questa è un'equazione differenziale particolarmente interessante. Non è facile da risolvere, ma nemmeno così difficile
da non poterne avere una comprensione significativa.
A una prima impressione potreste pensare che questa funzione seno è legata al modello sinusoidale per il pendolo.
Ironicamente, ciò che scoprirete è che il contrario è vero.
La presenza del seno in questa equazione è precisamente il motivo per il quale un pendolo reale non oscilla
secondo una sinusoide
Se ciò suona strano, considerate il fatto che qui, la funzione seno ha come argomento θ.
Ma la soluzione approssimata vede θ stesso oscillare come una sinusoide.
Chiaramente qui gatta ci cova.
Una cosa che apprezzo di tale esempio è che pur essendo relativamente semplice
trasmette un importante verità sulle equazioni differenziale con la quale dovrete fare i conti:
Sono incredibilmente difficili da risolvere
In questo caso, anche rimuovendo il termine di smorzamento, possiamo a malapena scrivere

Vietnamese: 
Giờ, ta có đây một ptvp hơi bị đẹp, nhưng không dễ nuốt đâu nhé.
Nhưng cũng không quá khó để ta tìm cách lấy được vài hiểu biết ý nghĩa từ nó.
Bạn có thể nghĩ là hàm sin này liên quan đến dạng sóng của con lắc.
Thật ra ngược lại thì đúng hơn.
Hàm sin nằm như vậy là lý do tại sao con lắc đơn thực tế không dao động với sóng hình sin.
Nhìn nè, ở đây hàm sin nhận θ như là một đối số.
Còn ở nghiệm xấp xỉ lúc nãy, θ chính là hàm sin luôn (hay cos cũng được).
Rõ ràng có gì đó mờ ám đây rồi.
Một điều tôi thích về ví dụ này là
mặc dù nhìn nó tương đối đơn giản,
nhưng nó phơi bày một sự thật quan trọng về các ptvp mà bạn phải chấp nhận:
Chúng thực sự khó giải kinh dị!
Với pt này, nếu ta tạm thời bỏ qua thành phần tắt dần của dao động, thì ta cũng có thể vỏn vẹn viết ra được một nghiệm giải tích

Portuguese: 
Esta é uma equação diferencial particularmente suculenta. Não é fácil de resolver, mas não é tão difícil
a ponto de não podermos ter uma compreensão razoável dela.
A princípio, você pode pensar que essa função senoidal está relacionada ao padrão de onda senoidal do pêndulo.
Ironicamente, no entanto, o que você acabará descobrindo é que o oposto é verdadeiro. A presença
do seno nesta equação é precisamente 
 o porquê do pêndulo real não oscilar com
o padrão de onda senoidal.
Se isso soa estranho, considere o fato de que aqui, a função seno toma theta como
variável independente, mas a solução aproximada (vista em aulas de física) diz que theta, por si só, oscila como uma onda senoidal.
É evidente que algo suspeito está acontecendo.
Uma coisa que eu gosto neste exemplo é que, embora seja comparativamente simples,
expõe uma verdade importante sobre equações diferenciais com as quais você precisa lidar:
Elas são REALMENTE muito difíceis de resolver.
Neste caso, se removermos o termo de amortecimento, podemos escrever uma solução analítica,

Czech: 
Tohle, přátelé, je zvlášť šťavnatá diferenciální rovnice. Řešení není jednoduché,
ale pořád ji můžeme nějak pochopit.
Na první pohled se může zdát, že funkce sinus určuje sinosoidu pohybu kyvadla.
Ale ve skutečnosti je to naopak.
Přítomnost sinosoidy je důvod, proč kyvadla neoscilují
se sinosoidickým průběhem.
Pokud se vám to zdá zvláštní, uvědomte si, že proměnná funkce sinus je θ,
ale v přibližném řešení má sama θ průběh sinu.
Dostali jsme se k něčemu zvláštnímu.
Mám rád tento příklad, protože i když je v porovnání s jinými jednoduchý,
odhaluje důležitou pravdu o diferenciálních rovnicích, se kterou se budete muset popasovat:
Jsou fakt těžké na vyřešení.
V tomto případě, pokud odebereme tlumení, můžeme sotva napsat analytické řešení,

Modern Greek (1453-): 
Τώρα, αυτή, φίλοι μου, είναι μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα διαφορική εξίσωση.
Δεν είναι εύκολο να λυθεί, αλλά δεν είναι και τόσο δύσκολο ώστε να μην μπορούμε να πάρουμε μια ουσιαστική κατανόησή του.
Με μια ματιά, μπορεί να θεωρήσετε ότι το ημίτονο που βλέπετε εδώ
σχετίζεται με το ημιτονοειδές μοτίβο του εκκρεμούς.
Ειρονικά, αυτό που θα ανακαλύψετε σύντομα, είναι ότι ισχύει το αντίθετο.
Η παρουσία του ημιτόνου σε αυτή την εξίσωση είναι ακριβώς το γιατί τα πραγματικά εκκρεμή
δεν ταλαντεύονται ημιτονοειδώς.
Αν αυτό σας ακούγετε παράξενο,
σκεφτείτε το γεγονός ότι εδώ, το ημίτονο δέχεται το θ ως δεδομένο εισόδου
αλλά στη προσεγγιστική λύση, που μπορεί να δείτε σε μάθημα φυσικής,
το ίδιο το θ ταλαντώνεται ως δεδομένο εξόδου μιας συνάρτησης ημιτόνου.
Προφανώς, κάτι ύποπτο συμβαίνει.
Ένα πράγμα που μου αρέσει σε αυτό το παράδειγμα είναι ότι,
παρόλο που είναι σχετικά εύκολο,
αποκαλύπτει μια σημαντική αλήθεια σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις
την οποία οφείλετε να αντιμετωπίσετε.
Είναι πραγματικά πολύ δύσκολο να λυθούν.
Σε αυτή τη περίπτωση, αν αφαιρέσουμε αυτόν τον ηλίθιο όρο
μόλις που μπορούμε να γράψουμε την αναλυτική λύση.
Αλλά είναι υπερβολικά περίπλοκη.

Russian: 
И вот, друзья, это действительно замечательное дифференциальное уравнение!
Его нелегко решить,
но и не так тяжело, чтобы мы не могли осознать заложенный в нём смысл
На первый взгляд, как вы можете подумать, что функция синуса, которую вы здесь видите
относится к синусоиде, описывающей движение маятника.
Однако, иронично, что в итоге вы обнаружите, что верно обратное —
Присутствие синусоиды в этом уравнении — именно то,
почему реальные маятники не колеблются по синусоиде.
Если это звучит странно, то учтите, что здесь функция синуса принимает значение θ на входе
но приблизительное решение, которое вы можете увидеть в классе физики:
θ сама по себе колеблется, как значение функции синуса.
Здесь явно есть что-то странное.
Одна вещь, о которой я думаю в этом примере — это даже если здесь всё сравнительно просто?
это раскрывает одну важную истину про дифф. уравнения, которую вам необходимо уловить:
Их действительно чертовски сложно решить.
Поэтому, если мы уберём элемент затухания,
мы сможем — лишь кое-как — записать аналитическое решение.
но это будет очень сложно, так как включает все вот эти функции,

Polish: 
To równanie różniczkowe jest wyjątkowo soczyste. Nie jest łatwe do rozwiązania, ale nie jest też na tyle trudne
abyśmy nie mieli rozsądnego zrozumienia, co ono opisuje.
Z początku może ci się wydawać, że funkcja sinus odpowiada sinusoidzie dla ruchu wahadła.
Jednak, o ironio, wkrótce odkryjesz, że jest wprost przeciwnie. Obecność
sinusa w tym równaniu to dokładny powód, dla którego wahadło nie oscyluje
w sinusoidalny sposób.
Jeśli to brzmi dziwnie, zauważ, że tutaj sinus przyjmuje kąt theta jako
argument, ale przybliżone rozwiązanie zawiera theta oscylującą podobnie do sinusoidy.
Z pewnością dzieje się tu coś podejrzanego.
To, za co lubię ten przykład, to to, że mimo swojej relatywnej prostoty,
przedstawia ważną prawdę o równaniach różniczkowych, z którą musisz się zmagać:
Są naprawdę strasznie trudne do rozwiązania.
W tym przypadku, jeśli wyrzucimy tłumiący wyraz, ledwo jesteśmy w stanie wypisać analityczne

Chinese: 
這是一個特別耐人尋味的微分方程。不容易解決，但也沒有難到無法給出任何一個合理的解釋。
 
起初你可能會認為正弦函數和鐘擺的正弦波模式相關。
但說來諷刺，你最終將會發現情況恰好相反。
帶有正弦的方程式正是為什麼真實的鐘擺不會隨正弦波的模式震盪的原因。
 
如果這聽起來很玄，思考一下這個情形，正弦函數將 θ 視為一個輸入值，
但在近似的解答中，你可以看到輸出值有 θ 值作為正弦波的振盪。
顯然有些可疑的事正在醞釀。
這是我喜歡的一個例子，即便它相對簡單，
但這暴露了一個微分方程的重要事實，而你所面對的正是：
天下無敵爆炸難的問題！
以這個例子來說，如果我們去除阻尼項，我們可以勉強地寫下出解析解，

English: 
This is a particularly juicy differential
equation. Not easy to solve, but not so hard
that we can’t reasonably get some meaningful
understanding of it.
At first you might think that this sine function
relates to the sine wave pattern for the pendulum.
Ironically, though, what you'll eventually
find is that the opposite is true. The presence
of the sine in this equation is precisely
why the real pendulum doesn't oscillate with
the sine wave pattern.
If that sounds odd, consider the fact that
here, the sine function takes theta as an
input, but the approximate solution has the
value theta itself oscillating as a sine wave.
Clearly something fishy is afoot.
One thing I like about this example is that
even though it’s comparatively simple, it
exposes an important truth about differential
equations that you need to be grapple with:
They’re really freaking hard to solve.
In this case, if we remove the damping term,
we can just barely write down an analytic

German: 
Und dies, mein Freund, ist eine besonders spannende Differentialgleichung. Nicht leicht zu lösen, aber auch nicht so schwer,
dass wir kein tiefergehendes Verständnis von ihr bekommen können.
Zunächst könnte man denken, dass der Sinus, den du hier sieht, für das Sinuswellenmuster des Pendels verantwortlich ist.
Ironischerweise wirst du rausfinden, dass das Gegenteil der Fall ist.
Die Präsenz des Sinus in dieser Gleichung ist genau, warum echte Pendel nicht in einem Sinuswellenmuster schwingen.
Wenn das merkwürdig klingt, bedenke die Tatsache, dass die Sinusfunktion hier Theta als Input nimmt.
Aber in der schätzenden Lösung, die du in der Oberschule sehen könntest, oszilliert Theta selbst als ein Output einer Sinusfunktion.
Es ist klar, dass etwas faul ist.
Eine Sache, die ich an diesem Beispiel mag:
Auch wenn es vergleichsweise einfach ist
deckt es eine wichtige Wahrheit über Differentialgleichungen auf, mit der du dich auseinandersetzen musst:
Sie sind wirklich schwer zu lösen.
In diesem Fall, wenn wir den Dämpfungsausdruck entfernen, können wir gerade so noch eine analytische Lösung aufschreiben.

English: 
solution, but it’s hilariously complicated,
involving all these functions you’re probably
never heard of written in terms of integrals
and weird inverse integral problems.
Presumably, the reason for finding a solution
is to then be able to make computations, and
to build an understanding for whatever dynamics
your studying. In a case like this, those
questions have just been punted off to figuring
out how to compute and understand these new
functions.
And more often, like if we add back this dampening
term, there is not a known way to write down
an exact solution analytically. Well, for
any hard problem you could just define a new
function to be the answer to that problem.
Heck, even name it after yourself if you want.
But again, that’s pointless unless it leads
you to being able to compute and understand
the answer.
So instead, in studying differential equations,
we often do a sort of short-circuit and skip
the actual solution part, and go straight
to building understanding and making computations

Italian: 
una soluzione analitica, ma è ridicolmente complicata: include tutte queste funzioni
delle quali non hai probabilmente mai sentito parlare, scritte in termini di integrali e strani problemi di integrazione inversa.
E presumibilmente, lo scopo di una soluzione è quello di essere capaci di fare una computazione e
di costruire una comprensione per qualsivoglia dinamica tu stia studiando. In questo caso
tali domande sono state solo trasformate nel capire come computare e comprendere queste nuove
funzioni.
E più spesso, come quando riaggiungiamo il termine di smorzamento, non esiste nessun modo conosciuto di scrivere
una soluzione analitica esatta. Beh , per ogni problema complicato potremmo semplicemente definire una nuova funzione
come risposta a tale problema. Cavolo, dagli anche il tuo nome se vuoi
Ma di nuovo, ciò è inutile se non ti permette di ottenere computazioni o una comprensione
della risposta
Perciò, invece di studiare le equazioni differenziali, spesso usiamo una scorciatoia saltando
lo step della soluzione(perchè inconcludente) e andando dritti alla costruzione di una comprensione e alle computazioni

Modern Greek (1453-): 
Περιλαμβάνει όλες αυτές τις συναρτήσεις που πιθανότατα δεν ακούσατε ποτέ,
γραμμένες με όρους ολοκληρωμάτων, και περίεργα αντίστροφα προβλήματα ολοκληρωμάτων,
και όταν κάνετε ένα βήμα πίσω
πιθανότατα ο λόγος να βρείτε λύση, είναι ώστε να μπορείτε μετά να κάνετε υπολογισμούς
και να αναπτύξετε κατανόηση για οτιδήποτε σπουδάζετε.
Σε αυτή τη περίπτωση, αυτές οι ερωτήσεις έχουν μόλις απομακρυνθεί
στο να ανακαλύψετε πώς να υπολογίσετε, και ιδιαίτερα
να καταλάβετε αυτές τις καινούργιες συναρτήσεις.
Και πιο συχνά, όπως αν προσθέταμε πίσω αυτόν τον ηλίθιο όρο,
δεν υπάρχει γνωστός τρόπος να γράψουμε μια ακριβή αναλυτική λύση.
Δηλαδή, για κάθε δύσκολο πρόβλημα θα μπορούσατε απλώς να ορίσετε μια νέα συνάρτηση
να είναι η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα.
Ακόμα και να της δώσετε το όνομά σας αν θέλετε,
αλλά και πάλι αυτό δεν έχει νόημα, εκτός και αν σας επιτρέπει να κάνετε υπολογισμούς
και να αναπτύξετε κατανόηση.
Άρα αντ' αυτού, στην μελέτη των διαφορικών εξισώσεων,
συνήθως κάνουμε κάτι σαν βραχυκύκλωμα,
και αφήνουμε πίσω το κομμάτι της πραγματικής λύσης, αφού είναι ανεπίτευκτο,
και πηγαίνουμε κατευθείαν στην ανάπτυξη κατανόησης και εφαρμογή υπολογισμών
μόνο από τις εξισώσεις.

Polish: 
rozwiązanie, które jest absurdalnie skomplikowane i zawiera wszystkie te funkcje, o których pewnie
nigdy nie słyszałeś, zapisane w języku całek i dziwnych zagadnień całek odwrotnych.
Przypuszczalnie, powód, dla którego szukamy rozwiązań to dążenie do możliwości wykonania jakichś obliczeń
które mają pomóc osiągnąć zrozumienie dla dynamiki, którą badasz. W takich przypadkach jak ten,
te pytania zostały po prostu odroczone do pojęcia, jak obliczać i rozumieć te nowe funkcje.
Z kolei jeszcze częściej, jak na przykład gdy dodamy ten tłumiący wyraz, nie istnieje znany sposób by wypisać
dokładne rozwiązanie w sposób analityczny. Jasne, dla każdego trudnego zagadnienia mógłbyś po prostu
zdefiniować nową funkcję jako rozwiązanie tego zagadnienia. Ba, możesz nawet nazwać ją na swoją cześć, jeśli chcesz.
Znowu jednak - to bezcelowe, o ile nie prowadzi to do zrozumienia, jak obliczać i rozumieć odpowiedź.
Tak więc, w badaniu równań różniczkowych, często wykonujemy pewien skrót i omijamy
część właściwego rozwiązania, i przeskakujemy prosto do analizy i obliczeń wprost z samych równań.

Vietnamese: 
nhưng nó rất phức tạp,
dính tới những hàm có thể bạn chưa bao giờ thấy,
biểu diễn bằng một đống kì quặc những dấu tích phân và tích phân ngược.
Nói cho cùng, nếu việc giải pt chỉ là để rồi dùng nó cho việc tính toán,
và xây dựng một hiểu biết cho những hiện tượng bạn đang nghiên cứu,
trong trường hợp này, bài toán trở thành:
làm sao để tính toán,
và quan trọng hơn, làm sao để hiểu được chúng?
Và thường thì, nếu ta thêm vào các tham số thực tế, sẽ chưa có một nghiệm giải tích chính xác nào mà các nhà toán học tìm được cho những pt này.
Cứ nghĩ ra một pt khó khó nào đó rồi định nghĩa một hàm là nghiệm của nó, thậm chí đặt theo tên bạn nếu muốn.
Nhưng, nó sẽ vô nghĩa trừ khi nó giúp bạn tính toán và diễn giải được ý nghĩa.
Nên thay vì vậy, khi nghiên cứu ptvp,
ta thường đi tắt không cần tìm nghiệm chính xác,
mà thẳng tới việc tìm cách hiểu và cách tính từ chính pt đó luôn.

Portuguese: 
mas é ridiculamente complicada, envolvendo todas essas funções que você provavelmente
nunca ouviu falar em termos de integrais e estranhos problemas de integrais inversas.
A razão para encontrarmos uma solução é para fazermos os cálculos e
construir uma compreensão para a dinâmica que estamos estudando. Em um caso como esse, aquelas
perguntas foram apenas para descobrir como calcular e compreender essas novas funções.
Se adicionarmos novamente esse termo de amortecimento, não há uma maneira conhecida de anotar
uma solução exata analiticamente. Bem, para qualquer problema difícil, você poderia simplesmente definir uma nova
função para ser a resposta para esse problema. Até mesmo nomeá-la com seu próprio nome se você quiser.
Mas, novamente, isso é inútil, a menos que leve você a ser capaz de calcular e entender a resposta.
Então, ao estudar equações diferenciais, muitas vezes fazemos uma espécie de atalho e pulamos
a parte da solução real, indo direto para a construção da compreensão e dos cálculos

Chinese: 
只是它真的有夠醜，這些函數會牽扯到你從來沒聽過的積分和詭異的反積分問題。
而當你再往回看，就邏輯來說，要找到解答就是要能夠進行計算，
並建立一個可讓人理解和研究的動態模型。
以此例來說，如何計算和理解這些新的函數的問題就被打臉了。
再來，如果我們加回阻尼項，就沒有任何一個已知的寫法可以寫下正確的解析解了。
好吧，對於任何一個新的難題，你可以定義一個新的難題函數去解問題。
如果你願意的話，甚至可以自己說出來。
但同樣，除非它能讓你計算和理解答案，否則這是毫無意義的。
因此，在研究微分方程時，我們常要取捷徑和跳過真的答案，因為我們並無法真的取得它。
然後直接依方程式建立可理解和計算的模型。

Russian: 
о которых вы, вероятно, никогда не слышали,
записанные в виде интегралов и замысловатых обратных интегральных задач.
Вероятно, вы ищете решение для того
чтобы затем иметь возможность сделать вычисление
и прийти к пониманию динамики какого-либо процесса, который вы изучаете.
В таком случае, лучше отбросить эти вопросы до выяснения того,
как вычислить и, что более важно,  понять эти новые функции
И чаще всего, когда мы возвращаем этот элемент затухания,
не существует известного способа записать точное аналитическое решение.
Но для каждой сложной задачи вы можете просто
ввести новую функцию, которая была бы ответом для этой самой задачи.
Хей, вы можете даже назвать её своим именем, если хотите!
Но опять же, это бессмысленно, если только это не позволит вам вычислить решение и понять суть.
Так что вместо этого в изучении дифференциальных уравнений
мы сделаем нечто вроде короткого замыкания и пропустим
пункт фактического решения, так как это неосуществимо
и перейдём непосредственно к формированию понимания
и процессу вычислений из уравнений самих по себе.

Czech: 
které je komicky komplikované, protože využívá spoustu různých funkcí,
o kterých jste nejspíš nikdy neslyšeli, ve formě integrálních a divných inverzně integrálních problémů.
Důvod k hledání řešení je možnost počítat s nimi
a pochopení daného probému. V tomto případě byly
všechny otázky odloženy za účelem nalezení a pochopení
těchto nových funkcí.
A ještě častěji, například při vrácení tlumících sil, neznáme způsob, jak přesně sepsat analytické řešení.
No, pro každý problém bysme mohli definovat novou funkci odpovídající problému.
Mohli bysme ji i pojmenovat po nás.
Ale tohle všechno by bylo zbytečné, pokud by to nevedlo k možnosti počítat a pochopit odpověď.
Při studiu diferenciálních rovnic místo toho často jdeme zkratkou
rovnou k pochopení a výpočtům, a přeskakujeme samotné řešení.

German: 
Aber es ist total kompliziert. 
Mit all diesen Funktionen, von denen du wahrscheinlich noch nie etwas gehört hast,
geschrieben als Integrale und seltsamen inversen Integralproblemen.
Und wenn man sich noch einmal vor Augen führt, warum man eine Lösung finden möchte, dann doch deswegen, weil man Berechnungen durchführen können will
und man ein Verständnis für die Dynamik entwickeln möchte.
Falls das der Fall ist, müssen wir uns fragen, wie wir die Funktion berechnen und, noch wichtiger, verstehen können.
Und oft, z.B. wenn wir die Dämpfung wieder hinzufügen, gibt es keine bekannte Art und Weise eine exakte analytische Lösung aufzuschreiben.
Nun, bei jedem harten Problem könnte man einfach eine neue Funktion als die Lösung dieses Problems definieren.
Du kannst sie sogar nach dir selbst bennenen, wenn du willst.
Aber das ist sinnlos, wenn es nicht dazu führt, dass du Berechnungen machen und Verständnis für das Problem erhalten kannst.
Stattdessen machen wir beim Studium von Differentialgleichungen oft so eine Art Kurzschluss
und Überspringen den eigentlichen Lösungsteil (da er unmöglich ist), und gehen direkt dazu,
Verständnis aufbauen und Berechnungen durchführen

Polish: 
Pozwól, że wyjaśnię ci, co mogłoby to oznaczać na przykładzie wahadła.
Przestrzeń fazowa. O czym myślisz, lub jaki obraz
mógłbyś stworzyć w jakimś programie, by zrozumieć wiele możliwych sposobów, w jakie
wahadło rządzone tymi prawami może ewoluować w zależności od warunków początkowych?
Możesz odczuwać pokusę by wyobrazić sobie wykres theta(t) i jakoś interpretować,
jak jego położenie, nachylenie i krzywizna ze sobą oddziałują. Niestety, okaże się,
że zarówno prościej i zachowując większą ogólność jest zacząć od wyobrażenia sobie
wszystkich możliwych stanów w przestrzeni dwuwymiarowej.
Stan wahadła może być w pełni opisany przez dwie liczby: kąt oraz prędkość kątową.
Możesz swobodnie zmieniać obie te wartości, niekoniecznie zmieniając drugą z nich,
ale przyspieszenie jest funkcją jedynie tych dwóch parametrów. Tak więc każdy punkt

English: 
from the equations alone. Let me walk through
what that might look like with the Pendulum.
Phase space
What do you hold in your head, or what visualization
could you get some software to pull up for
you, to understand the many possible ways
a pendulum governed by these laws might evolve
depending on its starting conditions?
You might be tempted to try imagining the
graph of theta(t), and somehow interpreting
how its position, slope, and curvature all
inter-relate. However, what will turn out
to be both easier and more general is to start
by visualizing all possible states of the
system in a 2d plane.
The state of the pendulum can be fully described
by two numbers, the angle, and the angular
velocity. You can freely change these two
values without necessarily changing the other,
but the acceleration is purely a function
of these two values. So each point of this

Czech: 
Projděme si náš příklad s kyvadlem.
Co si představujete, nebo jakou vizualizaci
si přes software vytvoříte, abyste pochopili
všechny možné způsoby, jakými se kyvadlo může pohybovat, vzhledem k počátečním podmínkám?
Mohli byste si zkusit představit graf θ(t) a všechny kombinace
pozice, směru a zakřivení, které jsou všechny provázány.
Ale je mnohem jednodušší zobrazit si všechny možné stavy
tohoto systému v dvourozměrné rovině.
Stav kyvadla může být popsán dvěma čísly: úhlem a úhlovou rychlostí.
Tyto dvě proměnné se mohou nezávisle měnit,
zrychlení je potom funkce těchto dvou hodnot.
Každý bod této roviny plně popisuje stav kyvadla v určitý čas.

Russian: 
Позвольте мне показать, как бы это выглядело в случае с маятником.
Что вы можете представить у себя в голове, или какую визуализацию
можете получить с помощью программы?
чтобы понять всё то множество путей, по которым маятник,
подчиненный этим законам, может эволюционировать
в зависимости от начальных условий?
У вас может появиться искушение попытаться представить график θ(t)
и интерпретировать, каким образом этот наклон,
положение и кривизна взаимосвязаны друг с другом.
Однако, мы вернемся к более простому и общему —
начать визуализировать все возможные состояния системы
в плоскости двух измерений.
Я имею в виду, что состояние маятника можно описать двумя числами —
это угол и угловая скорость.
Вы можете свободно изменять одно из этих значений без необходимости изменять другое.
Но ускорение — это функция, зависящая лишь от этих переменных.
Так что каждая точка на этой 2d плоскости
полностью описывает состояния маятника в конкретный момент.

Modern Greek (1453-): 
Επιτρέψτε μου να εξηγήσω πώς μοιάζει αυτό, με το εκκρεμές.
Το τί έχετε στο μυαλό σας ή τί απεικόνιση μπορείτε να βάλετε ένα πρόγραμμα να κατασκευάσει για εσάς
για να κατανοήσετε τους πολλούς πιθανούς τρόπους
που το εκκρεμές, κυβερνόμενο από αυτούς τους νόμους, μπορεί να εξελιχθεί
εξαρτώμενο από τις αρχικές του συνθήκες,
μπορεί να μπείτε στον πειρασμό να προσπαθήσετε να φανταστείτε το γράφημα του θ(t)
και με κάποιο τρόπο να ερμηνεύσετε πώς αυτή η κλίση, η θέση και η κυρτότητα
σχετίζονται όλα μεταξύ τους.
Ωστόσο, αυτό που τελικά θα φανεί ευκολότερο και πιο γενικό, είναι να ξεκινήσετε με το να οπτικοποιήσετε
όλες τις πιθανές καταστάσεις στο 
δισδιάστατο επίπεδο.
Τί εννοώ με την κατάσταση του εκκρεμούς, είναι ότι μπορείτε να το περιγράψετε με δύο αριθμούς:
την γωνιά και την γωνιακή ταχύτητα.
Μπορείτε ελεύθερα να αλλάξετε οποιαδήποτε από από αυτές τις τιμές,
χωρίς απαραίτητα να αλλάξετε την άλλη,
αλλά η επιτάχυνση είναι καθαρά μια συνάρτηση των δύο αυτών τιμών.
Άρα κάθε σημείο αυτού του διδιάστατου επιπέδου,
περιγράφει πλήρως το εκκρεμές σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή.

Portuguese: 
das equações. Deixe-me mostrar como isso funciona, com o pêndulo.
O que há na sua cabeça?
O que um software poderia fazer por você, para que você possa entender todas as possíveis
formas que um pêndulo governado por essas leis pode evoluir dependendo de suas condições iniciais?
Você pode ser tentado a tentar imaginar o gráfico de theta(t), e de alguma forma interpretar
como sua posição, inclinação e curvatura se inter-relacionam. No entanto, o que vai acontecer
ser mais fácil e mais geral é começar visualizando todos os estados possíveis do
sistema em um plano de duas dimensões.
O estado do pêndulo pode ser totalmente descrito por dois números, o ângulo e a velocidade
angular. Você pode alterar livremente esses dois valores sem necessariamente mudar o outro,
mas a aceleração é puramente uma função desses dois valores. Então, cada ponto desse

Chinese: 
讓我們去看看鐘擺會是怎樣。
在你腦海中它是長什麼樣子？
又或者你有沒有可視化的軟體讓你直接觀察，
以幫助你了解鐘擺的各種可能的移動方式？而定律又是如何從一開始支配整個過程的發展？
你可以嘗試想像一下θ（t）的圖形，
稍微了解一下坡度和曲率彼此的交互關係。
而透過在2D平面上，可視化所有可能的狀態，可以觀察出什麼單純且普遍存在的規律嗎？。
 
單擺的狀態你可以用兩種數值來完整呈現：角度和角速度。
你可以隨意地選擇改變任一個數值，且不會影響到另一個，
但加速度純粹是這兩個數值的函數。
所以2D平面上的每一點都完整地描述了擺錘的每個時刻。

Italian: 
dall'equazione soltanto. Lasciate che vi mostri come funzioni col pendolo.
Cosa vedi nella tua mente, o quale visualizzazione
potresti far calcolare a un software, per capire i molti modi possibili
nei quali un pendolo governato da tali leggi potrebbe evolversi a seconda delle condizioni iniziali.
Potresti essere tentato nel provare ad immaginare il grafico di θ(t) e in qualche modo interpretare
come la posizione, la pendenza e la curvatura interagiscono tra loro. In ogni caso, risulterà
più facile e generale cominciale a visualizzare tutti i  possibili stati del
sistema in un piano 2D.
lo stato del pendolo può essere descritto da 2 numeri, l'angolo e la velocità angolare
Puoi liberamente cambiare uno di questi valori senza necessariamente influenzare l'altro
Ma l'accelerazione è puramente una funzione di questi due valori. Ne consegue che ogni punto

Vietnamese: 
Để tôi lấy ví dụ với con lắc đơn.
Hãy thử hình dung trong đầu một cách minh họa, rồi dùng phần mềm để vẽ ra,
để làm sao hiểu được nhiều nhất có thể về cách mà
một con lắc được điều khiển bởi các định luật vật lý có thể tiến hóa tùy theo điều kiện đầu?
Bạn có thể thử vẽ đồ thị của θ(t),
và bằng cách nào đó minh họa
vị trí, vận tốc và gia tốc của nó liên quan nhau như thế nào.
Tuy nhiên, có một cách dễ hơn, tốt hơn, tổng quát hơn,
đó là tìm cách biểu diễn tất cả trạng thái có thể trong mặt phẳng 2D.
Trạng thái của con lắc có thể được mô tả đầy đủ bằng hai thứ, góc và vận tốc góc.
Bạn có thể thay đổi một trong hai mà không đụng đến cái còn lại.
Còn gia tốc thì đã phụ thuộc hoàn toàn vào hai thứ này.
Vậy nên, mỗi điểm trên mp có thể biểu diễn đầy đủ cho một trạng thái của con lắc tại bất kỳ thời điểm cho trước.

German: 
allein aus den Gleichungen. Lass mich dir zeigen,
wie das mit dem Pendel aussehen könnte.
Was kannst du dir vorstellen oder welche Visualisierung
kannst du mit etwas Software bekommen, um die vielen möglichen Wege zu verstehen,
nach denen sich ein von diesen Gesetzen geregeltes Pendel entwickeln könnte,
abhängig von den Ausgangsbedingungen?
Sie könnten versucht sein, sich das als
Graph von Theta (t) vorzustellen und irgendwie Interpretieren
wie die Position, Neigung und Krümmung 
sich alle aufeinander beziehen. Was sich jedoch herausstellt ist,
dass es einfacher und allgemeiner ist, mit einer Visualisierung aller möglichen Zustände des Systems in der 2D-Ebene zu beginnen.
Was ich mit dem Zustand des Pendels meine ist,  dass man es mit 2 Zahlen vollständig beschreiben kann: der Winkel und die Winkelgeschwindigkeit.
Du kannst jeweils einen dieser beiden Werte frei ändern
ohne notwendigerweise den anderen zu verändern,
aber die Beschleunigung ist nur eine Funktion dieser beiden Werte.
Jeder Punkt dieser zweidimensionalen Ebene beschreibt das Pendel vollständig an jedem möglichen Zeitpunkt.

German: 
Du kannst es dir als alle möglichen Anfangszustände des Pendels vorstellen.
Wenn du den anfänglichen Winkel und die initiale Winkelgeschwindigkeit kennst,
dann ist das genug, um vorherzusagen, wie 
das System sich verhält während die Zeit vorwärts läuft.
Wenn du noch nicht mit ihnen gearbeitet hast, können diese Arten von Diagrammen gewöhnungsbedürftig sein.
Was du jetzt siehst, diese nach innen laufende Spirale, ist eine ziemlich typische Flugbahn für unser Pendel,
also nimm dir einen Moment Zeit, um sorgfältig darüber nachzudenken, was hier dargestellt wird.
Beachte wie zu Beginn, wenn Theta abnimmt, Theta-Punkt (die y-Koordinate)
negativer wird, was Sinn ergibt,
da das Pendel sich schneller nach links
bewegt, während es sich dem Boden nähert.
Behalte im Hinterkopf: Obwohl der Geschwindigkeitsvektor des Pendels nach links gerichtet ist,
wird der Wert dieser Geschwindigkeit immer dargestellt durch die vertikale Komponente unseres Raumes.

Polish: 
tej płaszczyzny w pełni opisuje wahadło w danej chwili. Możesz o tym myśleć jako o
wszystkich możliwych warunkach początkowych wahadła. Jeśli znasz jego początkowy kąt oraz
prędkość kątową, wystarczy to do przewidzenia, jak układ będzie ewoluował z upływem czasu.
Jeśli spotykasz je po raz pierwszy, tego typu wykresy wymagają chwili, by się do nich przyzwyczaić.
Zwijająca się spirala, którą widzisz, jest dość typową trajektorią dla
naszego wahadła, więc pomyśl chwilę dokładnie, co jest tu przedstawione. Zauważ jak
na początku, ze wzrostem thety, theta z kropką jest coraz bardziej ujemna, co ma sens
ponieważ wahadło porusza się szybciej w lewo gdy zbliża się do dołu.
Pamiętaj, nawet pomimo tego, że wektor prędkości wahadła jest skierowany w lewo,
wartość tej prędkości jest reprezentowana przez pionową składową naszej przestrzeni.

Chinese: 
你可以把這些當作是鐘擺所有可能的初始條件。
如果你知道初始角度和初始角速度，這就足以預測系統如何隨著時間推移的發展情形。
如果你還沒用過它們，可以好好地參考一下這圖表。
你現在正在看的這個向內轉的螺旋，是一個相當典型的鐘擺軌跡。
所以花點時間仔細思考一下這些代表什麼。
注意在開始時，隨著 θ 減小，則 y 軸上的 θ-dot 變負，
這看起來是有道理的，因為鐘擺向左移動時，愈接近底部會移動的愈快。
請記住，即便這個鐘擺的速度向量指向左邊，該速度的數值代表的是空間中的垂直分量。

Modern Greek (1453-): 
Μπορείτε να τις σκεφτείτε ως όλες τις πιθανές αρχικές συνθήκες αυτού του εκκρεμούς.
Αν γνωρίζετε την αρχική γωνιά και την αρχική γωνιακή ταχύτητα,
είναι αρκετά για να προβέψετε, πώς θα εξελιχθεί το σύστημα όσο περνά ο χρόνος.
Αν δεν έχετε δουλέψει ξανά με αυτά,
αυτών των ειδών τα διαγράμματα μπορεί να χρειαστούν λίγη συνήθεια.
Αυτό που βλέπετε τώρα, αυτή η εσωτερική σπείρα,
είναι μια αρκετά τυπική τροχιά για το εκκρεμές μας.
Γι' αυτό πάρτε λίγο χρόνο να σκεφτείτε προσεκτικά το τί παριστάνεται.
Παρατηρήστε πώς στην αρχή, καθώς το θ μειώνεται, το θ', η y συντεταγμένη, γίνεται περισσότερο αρνητική.
Το οποίο έχει νόημα, αφού το εκκρεμές κινείται γρηγορότερα προς τα αριστερά
καθώς πλησιάζει στο κατώτερο σημείο.
Κρατήστε στο μυαλό σας ότι παρόλο που το διάνυσμα ταχύτητας στο εκκρεμές δείχνει προς τα αριστερά,
η τιμή αυτής της ταχύτητας παρουσιάζεται πάντα από την κάθετη συνιστώσα του χώρου μας.
Είναι σημαντικό να θυμίζετε στον εαυτό σας ότι ο χώρος αυτής της κατάστασης είναι κάτι το αφηρημένο

Portuguese: 
plano descreve completamente o pêndulo em um dado momento. Você pode pensar neles como
todas as condições iniciais possíveis do pêndulo. Conhecer o ângulo inicial e a velocidade
angular inicial, é o suficiente para prever como o sistema evoluirá à medida que o tempo avança.
Se você não trabalhou com isso, esses tipos de diagramas podem demorar um pouco para se acostumar.
O que você está vendo agora, esta espiral, é uma trajetória bastante típica para
nosso pêndulo, então reserve um momento para pensar cuidadosamente sobre o que está sendo representado.
Note como no começo, conforme theta diminui, theta-ponto fica mais negativo, o que faz sentido porque
o pêndulo se move mais rápido na direção à esquerda quando se aproxima do fundo. Mantenha
em mente, mesmo que o vetor velocidade neste pêndulo esteja apontado para a esquerda, o
valor dessa velocidade está sendo representado pela componente vertical do nosso espaço.

Vietnamese: 
Bạn có thể hình dung đây như tất cả các trạng thái đầu có thể có của con lắc.
Nếu bạn biết θ(0) và θ'(0), là đã đủ để tiên đoán được con lắc sẽ ở đâu tại một thời điểm bất kỳ trong tương lai.
Nếu bạn chưa từng làm việc với cách biểu diễn này, sẽ phải tốn một lúc để làm quen đó.
Cái bạn đang xem, cái đường
xoắn ốc vào trong này, là một quỹ đạo điển hình
cho con lắc của chúng ta, nên hãy dành một chút thời gian để suy nghĩ và cảm nhận.
Để ý là, lúc bắt đầu, khi θ giảm, θ' sẽ càng âm, cũng hợp lý vì
con lắc đang di chuyển nhanh dần về phía đáy.
Nhớ là, mặc dù vector vận tốc của
con lắc hướng về bên trái,
độ lớn (có dấu) của nó mới chính là tung độ trong mp của ta.
Và, không gian trạng thái này là trừu tượng,

Czech: 
Můžeme s nimi popsat všechny možné počáteční podmínky. Pokud víme počáteční úhel a počáteční úhlovou rychlost,
víme dost na to, abysme mohli předpovědět, jak se systém bude vyvíjet v čase.
Pokud jste s takovými diagramy ještě nikdy nepracovali, může chvíli trvat, než si na ně zvyknete.
Ta spirála, kterou teď vidíme, je typická trajektorie kyvadla.
Zamyslete se nad tím, co přesně reprezentuje.
Všimněte si, že na začátku je s klesající thetou je θ' čím dál zápornější. To dává smysl, protože
se kyvadlo pohybuje čím dál rychleji ve směru vlevo s tím, jak se blíží dolů.
Pamatujte, že i když je vektor rychlosti kyvadla ve směru vlevo, hodnota rychlosti
je reprezentována jako svislá komponenta tohoto prostoru.

Italian: 
di questo piano 2D descrive a pieno il pendolo in un dato momento. Potresti pensare a questi come
a tutte le possibili condizioni iniziali del pendolo. Se conosci l'angolo iniziale e
la velocità angolare , ciò è sufficiente a predire come il sistema evolverà nel tempo
Se non hai mai lavorato con essi,  ci vorrà un po' per abituarsi a questi diagrammi.
Ciò che stiamo osservando, questa spirale verso l'interno è una traiettoria tipica per il
nostro pendolo, perciò prendetevi un momento per pensare attentamente a cosa rappresenti. Notate come
all'inizio mentre θ decresce, θ-pallino diviene più negativa, il che ha senso dato
che il pendolo si muove più velocemente verso sinistra man mano che raggiunge il punto più basso.
Ricordate, anche se il vettore velocità in questo pendolo va verso sinistra
il valore di tale velocità viene rappresentaot dalla componente verticale del nostro piano.

Russian: 
Вы можете думать об этом как о всех возможных начальных состояниях маятника.
Если вам известны эти изначальные угол и угловая скорость,
этого достаточно, чтобы предсказать, как система будет эволюционировать во времени.
Если вы не работали с ними ранее, к этому типу диаграмм нужно будет немного привыкнуть.
То, на что вы смотрите сейчас, эта внутренняя спираль —
довольно типичная траектория для нашего маятника.
Итак, остановитесь на минутку и внимательно обдумайте, что именно здесь представлено.
Обратите внимание, что в начале, по мере того как θ уменьшается,
θ-точка (y-координата) становится более отрицательной.
Что имеет смысл, поскольку маятник движется влево быстрее
по мере приближения к нижней точке
Обратите внимание, даже в то время когда вектор скорости маятника направлен влево,
значение этой скорости представлено вертикальной компонентой нашего пространства.
Важно помнить, что это состояние в пространстве — абстракция,

English: 
2d plane fully describes the pendulum at a
given moment. You might think of these as
all possible initial conditions of the pendulum.
If you know this initial angle and angular
velocity, that’s enough to predict how the
system will evolve as time moves forward.
If you haven’t worked with them, these sorts
of diagrams can take a little getting used
to. What you’re looking at now, this inward
spiral, is a fairly typical trajectory for
our pendulum, so take a moment to think carefully
about what’s being represented. Notice how
at the start, as theta decreases, theta-dot
gets more negative, which makes sense because
the pendulum moves faster in the leftward
direction as it approaches the bottom. Keep
in mind, even though the velocity vector on
this pendulum is pointed to the left, the
value of that velocity is being represented
by the vertical component of our space. It’s

Chinese: 
有個觀念特別重要，這個狀態空間是個抽象的概念，與存在於物理世界的鐘擺是不同的。
 
由於我們的建模因為空氣阻力而失去一些能量，這軌跡會螺旋式的向內發展，
意思就是速度和位移的峰值隨著每次的擺動都會逐漸下降。
而我們所要說的就是，當 θ 和 θ-dot 歸零時，鐘擺會回歸到原點。
有了這個空間，我們就可以想想微分方程在向量場中所扮演角色。
讓我告訴你我的意思。
鐘擺狀態是一個向量 [θ，θ-dot]。也許你把它想成是一個箭頭，又或是一個點。
管它是什麼，反正它有兩個座標，每個座標都是時間函數。
取該向量的導數，你會得到變化率，代表著圖中點上的方向和速率。
這個導數是一個新的向量 [θ-dot，θ-double-dot]，

Polish: 
Ważne jest, aby przypominać samemu sobie, że ta przestrzeń stanów jest abstrakcyjna, inna od fizycznej
przestrzeni, w której żyje i porusza się wahadło.
Skoro modelujemy je jako tracące energię ze względu na opór powietrza, ta trajektoria zwija się
do środka, co oznacza, że szczytowa prędkość i wychylenia maleją trochę z każdym wahnięciem.
Nasz punkt jest, w pewnym sensie, przyciągany do źródła, gdzie theta i theta z kropką obie wynoszą 0.
Mając tę przestrzeń, możemy przedstawić równanie różniczkowe jako pole wektorowe. Pozwólcie, że pokażę
co mam na myśli.
Położenia wahadła jest tym wektorem [theta, theta z kropką]. Możesz myśleć o nim jako o strzałce
lub jako o punkcie; to co jest ważne to fakt, że ma dwie współrzędne, z których każda jest funkcją czasu.
Różniczkując ten wektor, dostajesz tempo jego zmian; kierunek oraz
prędkość, z jaką będzie się poruszał na naszym wykresie. Ta pochodna jest nowym wektorem,

English: 
important to remind yourself that this state
space is abstract, and distinct from the physical
space where the pendulum lives and moves.
Since we’re modeling it as losing some energy
to air resistance, this trajectory spirals
inward, meaning the peak velocity and displacement
each go down by a bit with each swing. Our
point is, in a sense, attracted to the origin
where theta and theta-dot both equal 0.
With this space, we can visualize a differential
equation as a vector field. Here, let me show
you what I mean.
The pendulum state is this vector, [theta,
theta-dot]. Maybe you think of it as an arrow,
maybe as a point; what matters is that it
has two coordinates, each a function of time.
Taking the derivative of that vector gives
you its rate of change; the direction and
speed that it will tend to move in this diagram.
That derivative is a new vector, [theta-dot,

Portuguese: 
É importante lembrar a si mesmo que esse espaço é abstrato e distinto do físico
espaço onde o pêndulo vive e se move.
Já que modelamos isso de tal maneira que o sistema perde um pouco de energia para a resistência do ar, essa trajetória espirala
para dentro, o que significa que o pico de velocidade e o deslocamento diminuem um pouco a cada oscilação.
Nosso ponto é, em certo sentido, atraído para a origem, onde theta e theta-ponto são ambos iguais a 0.
Com esse espaço, podemos visualizar uma equação diferencial como um campo vetorial.
Deixe-me mostrar o que eu quero dizer.
O estado do pêndulo é este vetor, [theta, theta-ponto]. Talvez você pense nisso como uma flecha,
talvez como um ponto; o que importa é que tem duas coordenadas, cada uma como uma função do tempo.
A derivada desse vetor nos dá a sua taxa de variação; a direção e a
velocidade que tenderá a se mover neste diagrama. Essa derivada é um novo vetor, [theta-ponto, theta-dois-pontos],

Czech: 
Je důležité myslet na to, že tento prostor je abstraktní, a odlišný od prostoru,
ve kterém kyvadlo existuje a ve kterém se pohybuje.
Protože uvažujeme ztrátu energie kvůli odporu vzduchu, trajektorie se spirálovitě přibližuje středu,
maximální rychlost a výchylka se tedy s každým kyvem snižují.
Náš bod je v určitém smyslu přitahován ke středu, kde jsou θ i θ' rovny nule.
V tomto prostoru si můžeme diferenciální rovnici představit jako vektorové pole.
Tedy takhle.
Stav kyvadla je tento vektor: [θ, θ']. Můžete si ho přestavit jako šipku,
nebo jako bod; záleží na tom, že má dvě souřadnice, které jsou obě funkce času.
Derivací tohoto vektoru získáme velikost změny: směr a rychlost,
se kterými se bude v tomto diagramu posouvat. Tato derivace je nový vektor,

German: 
Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass dieser Zustandsraum abstrakt ist und sich unterscheidet vom physischen Raum,
in dem das Pendel lebt und sich bewegt.
Da wir hier modellieren, dass Energie aufgrund von Luftwiderstand verloren geht, verläuft diese Flugbahn in einer nach innen laufenden Spirale,
was bedeutet, 
dass die Spitzengeschwindigkeit und -verschiebung mit jedem Schwung etwas sinken.
Unser Punkt ist gewissermaßen vom Ursprung angezogen, wobei Theta und Theta-Punkt beide gleich 0 sind.
Mit diesem Raum können wir eine Differentialgleichung als ein Vektorfeld visualisieren.
Komm, ich zeig dir was ich meine.
Der Pendelzustand ist dieser Vektor:
[Theta, Theta-Punkt]. 
Vielleicht stellst du es dir als Pfeil vom Ursprung aus vor,
oder vielleicht als Punkt; was zählt ist, dass er zwei Koordinaten hat, beide jeweils eine Funktion der Zeit.
Wenn man die Ableitung dieses Vektors nimmt, ergibt sich seine Änderungsrate; die Richtung und Geschwindigkeit,
mit der es sich in diesem Diagramm bewegen wird.
Diese Ableitung ist ein neuer Vektor: 
[Theta-Punkt, Theta-Doppelpunkt],

Italian: 
è importante ricordarsi che questo spazio degli stati è astratto e distinto dallo spazio fisico
nel quale il pendolo esiste e si muove.
Dato che stiamo tenendo conto dell'attrito dell'aria, tale spirale
va verso l'interno, ciò significa che i picchi della velocità e dello spostamento decrescono a ogni oscillazione.
Il nostro punto è in un certo senso attratto verso l'origine dove θ e θ-pallino sono entrambi uguali a 0.
Con questo spazio, possiamo visualizzare le equazioni differenziali come un campo vettoriale. Lasciate che vi mostri
cosa intendo.
Lo stato del pendolo è questo vettore [θ,θ-pallino]. Magari pensi ad esso come a una freccia
magari come un punto, ciò che importa è che ha due coordinate, entrambe in funzione del tempo
La derivate di quel vettore è il suo tasso di variazione , la direzione
e la velocità con le quali tenderà a muoversi in questo diagramma. Tale derivata è un nuovo vettore

Vietnamese: 
phân biệt với không gian vật lý nơi có con lắc đang tồn tại và di chuyển.
Vì ta đang mô hình nó có bị mất dần năng lượng do sức cản không khí,
nên quỹ đạo xoắn ốc này tiến dần vào trong, nghĩa là độ lớn của vận tốc và góc sẽ giảm dần theo mỗi nhịp lắc.
Điểm biểu diễn này sẽ tiến dần về gốc tọa độ,
nơi mà θ và θ' đều bằng 0.
Với không gian này, chúng ta có thể minh họa ptvp dưới dạng một trường vector.
Trạng thái con lắc là vector này, [θ, θ'].
Có thể bạn nghĩ về nó như một mũi tên,
có thể như một điểm; quan trọng là nó
có hai tọa độ, mỗi tọa độ là một hàm theo thời gian.
Đạo hàm của vector này cho
bạn mức độ thay đổi của nó:
hướng và tốc độ mà nó có xu hướng di chuyển trong mp này.

Russian: 
оно отлично от физического пространства,
в котором существует сам маятник.
Поскольку мы моделируем его так, что он теряет энергию на сопротивление воздуха,
его траектория закручивается вовнутрь,
обозначая пик скорости и небольшое снижение смещения с каждым колебанием.
Нужная нам точка, в некотором смысле, притягивает к началу, где θ и θ-точка оба равны 0.
Используя это пространство, мы можем отобразить дифф. уравнение как векторное поле.
Теперь позвольте, я покажу, что имею в виду.
Положение маятника - это вектор [θ; θ-точка]. Можете думать о нём как о стрелке или как о точке.
Важно то, что он имеет две координаты, каждая из которых - функция от времени.
Взяв производную от этого вектора, вы получите его скорость изменения;
направление и скорость, с которой он будет передвигаться по этой диаграмме.
Эта производная — новый вектор [θ-точка; θ-две точки],

Modern Greek (1453-): 
και είναι διακριτός από τον φυσικό χώρο όπου το ίδιο το εκκρεμές ζει και κινείται
Αφού το μεντελοποιούμε αυτό με το να χάνει κάποια από την ενέργειά του από την αντίσταση του αέρα,
αυτή η τροχιά γίνεται σπείρα προς τα μέσα,
που σημαίνει ότι η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη μετατόπιση μειώνονται κατά λίγο σε κάθε ταλάντωση.
Η κουκκίδα μας, κατά κάποιο τρόπο, ελκύεται στην αρχή των αξόνων,
όπου το θ και το θ' ισούνται και τα δύο με 0.
Σε αυτό το χώρο μπορούμε να οπτικοποιήσουμε μια διαφορική εξίσωση ως διανυσματικό πεδίο.
Ορίστε, επιτρέψτε μου να σας δείξω τι εννοώ.
Η κατάσταση του εκκρεμούς είναι 
ένα διάνυσμα [ θ , θ' ].
Ίσως το φανταστείτε ως ένα βέλος από την αρχή των αξόνων ή ίσως το φανταστείτε ως ένα σημείο.
Αυτό που έχει σημασία είναι ότι έχει δύο συντεταγμένες, η κάθε μια ως συνάρτηση του χρόνου.
Παίρνοντας την παράγωγο αυτού του διανύσματος, σας δίνει τον ρυθμό μεταβολής του,
την κατεύθυνση και την ταχύτητα με την οποία θα τίνει να κινηθεί σε αυτό το διάγραμμα.
Αυτή η παράγωγος είναι ένα νέο διάνυσμα, [ θ' , θ'' ],

German: 
den wir als an den relevanten Punkt in diesem Raum angehängt visualisieren.
Nimm dir einen Moment, um zu interpretieren, was das bedeutet.
Die erste Komponente für diese Änderungsraten-Vektor ist Theta-Punkt, was auch eine Koordinate in unserem Raum ist.
Umso höher wir auf dem Digramm sind, neigt der Punkt dazu, sich nach rechts zu bewegen. 
Und je tiefer wir sind, desto mehr neigt er dazu, sich nach links zu bewegen.
Der vertikale Bestandteil ist Theta-Doppelpunkt, welchen wir mit unserer  Differentialgleichung umschreiben können
vollständig ausgedrückt in Theta und Theta-Punkt. 
Mit anderen Worten,
die erste Ableitung unseres Zustandsvektors ist eine
Funktion dieses Vektors selbst, wobei die meiste Komplexität in der 2. Koordinate versteckt ist.
Wenn wir dasselbe an allen Punkten dieses Raums tun, wird sich zeigen, wie sich der Zustand in jeder Position ändert.
Typischerweise verkleinert man die Vektoren künstlich, wenn wir sie zeichnen, um Unordnung zu vermeiden,
aber verwenden Farbe , um die Größe lose anzuzeigen.

Modern Greek (1453-): 
το οποίο οπτικοποιούμε σαν να είναι συνδεδεμένο με το σχετικό σημείο στο χώρο.
Τώρα, πάρτε λίγο χρόνο να ερμηνεύσετε τι λέει αυτό.
Η πρώτη συνιστώσα σε αυτό το διάνυσμα ρυθμού μεταβολής, είναι το θ',
που είναι επίσης συντεταγμένη στο χώρο μας.
Άρα, όσο πιο ψηλά είμαστε στο διάγραμμα, τόσο το σημείο τίνει να κινείται προς τα δεξιά,
και όσο πιο χαμηλά είμαστε, τόσο περισσότερο τίνει να κινείται προς τα αριστερά.
Η κάθετη συνιστώσα είναι το θ'',
την οποία η διαφορική μας εξίσωση μας επιτρέπει να την ξαναγράψουμε
εξ ολοκλήρου με όρους του θ και θ' μόνο.
Με άλλα λόγια, η πρώτη παράγωγος του διανύσματος κατάστασής μας,
είναι μια συνάρτηση του ίδιου του διανύσματος,
με την περισσότερη περιπλοκότητα να συνδέεται με αυτή τη δεύτερη συντεταγμένη.
Κάνοντας το ίδιο για όλα τα σημεία αυτού του χώρου,
θα δείξει πώς αυτή η κατάσταση τίνει να μεταβάλλεται από κάθε θέση.
Όπως συμβαίνει με τα διανυσματικά πεδία,
σμικρύνουμε τεχνητά τα διανύσματα όταν τα σχεδιάζουμε για να αποφύγουμε την ακαταστασία,
αλλά χρησιμοποιούμε χρώμα για να δείξουμε χαλαρά το μέγεθος.

Vietnamese: 
Đạo hàm đó là một vectơ mới, [θ', θ''] gắn liền với điểm [θ, θ'] trong không gian này.
Rồi, dừng lại chút để hiểu rõ hơn.
Thành phần ngang của vector đạo hàm này là θ',
cũng chính là một trục trong mp,
vậy thì, điểm càng ở trên cao thì nó sẽ càng muốn đi sang phải, và ngược lại.
Thành phần dọc là θ'', mà dựa vào ptvp ta viết lại theo θ và θ'.
Nói cách khác, đạo hàm của vector trạng thái là một hàm phụ thuộc vào chính vector đó.
Làm tương tự với mọi điểm trong mp, 
ta sẽ thấy được trạng thái dịch chuyển như thế nào
từ bất kỳ điểm bắt đầu nào (ở đây ta thu ngắn các vector lại để tránh chúng chiếm hết mp,
và sử dụng màu sắc để minh họa cho độ lớn).

English: 
theta-double-dot], which we visualize as being
attached to the relevant point in this space.
Take a moment to interpret what this is saying.
The first component for this rate-of-change
vector is theta-dot, so the higher up we are
on the digram, the more the point tends to
move to the right, and the lower we are, the
more it tends to move to the left. The vertical
component is theta-double-dot, which our differential
equation lets us rewrite entirely in terms
of theta and theta-dot. In other words, the
first derivative of our state vector is some
function of that vector itself.
Doing the same at all points of this space
will show how the state tends to change from
any position, artificially scaling down the
vectors when we draw them to prevent clutter,
but using color to loosely indicate magnitude.

Polish: 
[theta z kropką, theta z dwiema kropkami], który przedstawiamy jako przyczepiony do odpowiedniego punktu w przestrzeni.
Zastanów się chwilę, o czym to mówi.
Pierwsza składowa wektora tempa zmiany to theta z kopką, więc im wyżej jesteśmy
na wykresie, tym bardziej punkt porusza się na prawo, a im niżej jesteśmy,
tym bardziej porusza się na lewo. Pozioma składowa to theta z dwiema kropkami, którą nasze równanie
różniczkowe pozwala zapisać w języku theta i theta z kropką. Innymi słowy,
pierwsza pochodna wektora stanu sama jest funkcją tego wektora, gdzie główną rolę gra druga współrzędna.
Czyniąc to samo w każdym punkcie przestrzeni, zobaczymy, jak położenie zmienia się
z każdej pozycji, sztucznie kurcząc wektory w trakcie rysowania by uniknąć nieładu,
ale korzystając z kolorów by z grubsza wskazać ich długość.

Portuguese: 
que visualizamos como sendo anexado ao ponto relevante neste espaço.
Tome um momento para interpretar o que isso está dizendo.
A primeira componente deste vetor é theta-ponto, então quanto mais alto estivermos
no digrama, mais o ponto tende a se mover para a direita, e quanto mais baixo estivermos,
mais ele tende a se mover para a esquerda.
A componente vertical é theta-dois-pontos, que no caso nossa equação
diferencial nos permite reescrever inteiramente em termos de theta e theta-ponto. Em outras palavras,
a primeira derivada do nosso vetor é uma função que depende do próprio vetor, onde a maior parte do problema está na segunda coordenada.
Fazendo o mesmo em todos os pontos deste espaço mostrará como o estado tende a mudar de
qualquer posição. Reduziremos artificialmente os vetores quando os desenhamos para evitar confusão,
mas usaremos cores para indicar vagamente a magnitude.

Czech: 
[θ', θ''], který můžeme "připnout" k danému bodu v prostoru.
Zamyslete se nad tím, co to znamená.
První složka tohoto vektoru změny je θ': čím výše v diagramu jsme,
tím víc se bod bude chtít pohybovat vpravo, a čím níž,
tím víc se bude chtít pohybovat vlevo.
Svislá složka vektoru je θ'', kterou nám diferenciální rovnice
umožňuje přepsat do složek θ a θ'. Jinými slovy:
První derivace našeho stavového vektoru je nějaká funkce toho vektoru samotného,
a většinu problémů v sobě drží druhá souřadnice.
Když tento proces provedeme pro všechny body prostoru, zjistíme, jak se libovolný stav
bude měnit. Vektory jsou zmenšené, aby úplně nezaplnily prostor,
jejich velikost se ale dá naznačit barvou.

Italian: 
[θ-pallino,θ-doppio pallino], che visualizziamo come fissato a un punto rilevante in questo spazio
Prendetevi un momento per interpretare cosa ciò significhi
La prima componente per questo vettore tasso di variazione è θ-pallino, perciò più in alto
siamo nel diagramma, più il punto tende a muoversi verso destra, e più in basso siamo
più esso tende a muoversi verso sinistra. La componente verticale è θ-doppio pallino,. e la nostra
equazione differenziale consente di riscriverlo interamente in termini di θ e θ-pallino, In altre parole
la derivata prima del nostro vettore stato è in funzione del vettore stesso
Facendo lo stesso su tutti i punti dello spazio vi mostrerà come lo stato tende a cambiare
da ogni posizione, rimpicciolendo i vettori quando li disegniamo per evitare sovrapposizioni
e usando i colori per indicare l'intensità.

Chinese: 
而我們把它當作附在這空間上相關點的位置。
我們花點時間來解釋這是什麼意思。
這變化率的第一部分是 θ-dot ，它也是空間上的一個座標。
所以位於圖中愈高的位置，點愈傾向右移，
反之，在愈低的位置，點愈傾向左移。
垂直分量是 θ-double-dot ，而我們可以用 θ 和 θ-dot 重寫微分方程。
換句話說，我們狀態向量的一階導數是某些向量的函數並且與第二座標有複雜的聯繫。
對空間上的所有點做同樣的事，可以看到不同點的狀態變化傾向。
為了不要讓你眼花，我們適當地縮小這些向量，然後用不同的顏色來表示它的幅度。
 

Russian: 
который мы представим прикреплённым к соответствующей точке в этом пространстве.
Подумайте немного о смысле того, что сейчас было сказано
Первая компонента этого вектора "скорости изменения" — это θ-точка,
и это также координата в пространстве
Итак, чем выше мы поднимаемся по диаграмме, тем больше точка стремится к движению вправо
и чем мы ниже, тем сильнее она стремится двигаться влево.
Вертикальная компонента — θ-две точки,
которую наше дифф. уравнение позволяет выразить в полной мере через сами θ и θ-точка.
Иными словами, первая производная нашего вектора состояния —
какая-то функция самого вектора,
каким-то запутанным образом связанная со второй координатой.
Делая то же самое со всеми точками пространства, мы можем понять,
каким образом может изменяться состояние из любого положения
Как уже принято для векторных полей, мы искусственно уменьшаем
отображаемые вектора, чтобы избежать захламления.
но используем цвет, чтобы условно отобразить их величину

Portuguese: 
Observe que dividimos efetivamente uma única equação de segunda ordem em um sistema
de duas equações de primeira ordem. Você pode até dar um nome diferente para theta-ponto, para enfatizar
que estamos pensando em dois valores separados, entrelaçados por esse efeito mútuo que um tem
sobre a taxa de variação do outro. Este é um truque comum no estudo das equações
diferenciais. Em vez de pensar em mudanças de ordem superior de um único valor, muitas vezes
é preferível pensar na primeira derivada de valores vetoriais.
Desta forma, temos uma ótima maneira visual de pensar sobre o que significa resolver nossa equação:
confome o nosso sistema evolui de algum estado inicial, o nosso ponto neste espaço irá se mover ao longo de alguma
trajetória de tal forma que a cada momento, a velocidade desse ponto coincide com o vetor
deste campo vetorial. Tenha em mente que esta velocidade não é a mesma coisa que a velocidade
física do nosso pêndulo. É uma taxa de mudança mais abstrata que codifica as mudanças em ambos
theta e theta-ponto.

Chinese: 
請注意，我們已經將一個二階方程轉化為一個由兩個一階方程組成的系統。
你甚至可以把 θ-dot 這個名字換掉，
來強調它們是兩個獨立的值，且它們相互影響著彼此間的變化率。
這是微分方程研究中常見的技巧，
與其苦思單一值在更高階的變化，
我們更喜歡把它想成一階導數的向量值。
在這樣的形式下，我們得到一個超棒的視覺呈現方式來幫助我們想方程的意義。
隨著我們系統從初始狀態開始的持續演變，我們的點會在這空間中隨著軌跡持續移動。
此點的速度與這個場中的向量一致。
再次強調，這裡的速度與物理世界鐘擺的速度是不一樣的概念。
這是個更抽象的 θ 和 θ-dot 之變化率。
 
你可能會覺得這有點神奇，

Italian: 
Notate che abbiamo effettivamente spezzato un' equazione differenziale del secondo ordine in un sistema
di due equazioni differenziali di primo ordine. Potreste anche dare a θ-pallino un nome diverso per enfatizzare
il fatto che siano due variabili separate, interconnesse attraverso l'effetto reciproco che hanno
l'una sull'altra e sui propri tassi di variazione. Questo è un trucco comune nello studio di equazioni differenziali
invece di pensare a ordini di variazione più alti di un singolo valore, spesso
preferiamo pensare alla derivata prima di un vettore
In questa forma, abbiamo una buona visualizzazione per capire cosa significhi risolvere la nostra equazione differenziale.
Man mano che il nostro sistema evolve da un certo stato iniziale, il nostro punto nello spazio si muoverà
secondo una certa traiettoria tale che in ogni momento, la velocità di quel punto corrisponda al vettore
di questo campo vettoriale. Ricordate, questa velocità non è la velocità fisica
del nostro pendolo, è un tasso di variazione più astratto che racchiude la variazione sia di
θ che di θ-pallino

Modern Greek (1453-): 
Παρατηρήστε ότι έχουμε επιτυχώς σπάσει μια απλή εξίσωση δεύτερης τάξης,
σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων πρώτης τάξης.
Μπορείτε ακόμα να δώσετε στο θ' διαφορετικό όνομα,
για να τονίσετε ότι πραγματικά σκεφτόμαστε δύο διαφορετικές τιμές,
αλληλένδετες μέσω αυτής της αμοιβαίας επίδρασης που έχουν, στο ρυθμό μεταβολής της άλλης.
Αυτό είναι ένα συχνό κόλπο στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων.
Αντί να σκεφτόμαστε μεταβολές μεγαλύτερης τάξης μιας τιμής,
συχνά προτιμούμε να σκεφτόμαστε την πρώτη παράγωγο των διανυσματικών τιμών.
Σε αυτή τη μορφή, έχουμε ένα υπέροχο οπτικό τρόπο να σκεφτούμε το τί σημαίνει να λύνουμε την εξίσωση.
Καθώς εξελίσσεται το σύστημά μας, από κάποια αρχική κατάσταση,
το σημείο μας στο χώρο θα κινηθεί πάνω σε μια τροχιά, με τέτοιο τρόπο ώστε
σε κάθε στιγμή, η ταχύτητα αυτού του σημείου να ταιριάζει με το διάνυσμα σε αυτό το πεδίο.
Και πάλι, να θυμάσατε ότι, αυτή η ταχύτητα δεν είναι το ίδιο πράγμα με τη φυσική ταχύτητα του εκκρεμούς.
Είναι ένας πιο αφηρημένος ρυθμός μεταβολής,
κωδικοποίηση, για τους ρυθμούς μεταβολής
 των θ και θ' ταυτόχρονα.

Vietnamese: 
Để ý là ta đã tách một ptvp cấp hai thành hệ hai ptvp bậc nhất.
Bạn có thể đổi kí hiệu cho θ' để dễ thấy hơn, là chúng ta đang có hai biến,
phụ thuộc lẫn nhau thông qua đạo hàm của chúng.
Đây là một kĩ thuật thường dùng khi làm việc với các ptvp,
thay vì với ptvp bậc cao, ta thường đưa về ptvp bậc nhất của một hàm vector.
Bây giờ, ta đã có một cách để quan sát đặc tính của ptvp: khi hệ tiến hóa từ một trạng thái ban đầu,
điểm tương ứng trong không gian trạng thái sẽ di chuyển theo một quỹ đạo
sao cho tại mọi thời điểm, vận tốc của điểm đó chính là vector của trường vector này.
Đừng nhầm lẫn, vận tốc này không phải là vận tốc của con lắc.
Nó trừu tượng hơn, mã hóa độ biến thiên của cả θ và θ'.

Russian: 
Заметьте, мы успешно разбили одно уравнение второго порядка
на систему из двух уравнений первого порядка.
Вы даже можете дать переменной  θ-точка другое название, чтобы подчеркнуть, что мы думаем о них,
как о двух разных величинах, которые сплетены одним взаимным эффектом,
влияющим на скорость изменения одного и другого.
Это распространённая хитрость в изучении дифференциальных уравнений:
вместо того чтобы думать о изменении высших порядков одной величины,
мы часто предпочитаем думать о первой производной компонент вектора.
В этой форме у нас есть замечательный визуальный способ размышлять о том,
что означает решение нашего уравнения:
так как наша система эволюционирует из какого-то начального состояния,
наша точка в этом пространстве будет двигаться
вдоль какой-то траектории таким образом в каждый момент времени;
скорость этой точки отображает вектор в векторном поле.
И опять же, не забывайте, что эта скорость — не то же самое, что и физическая скорость маятника.
Это более абстрактная скорость изменения, описывающая скорости изменений θ и θ-точки.
А сейчас можете поставить видео на паузу и немного поразмыслить,

Polish: 
Zauważ, że z powodzeniem rozbiliśmy nasze równanie różniczkowe drugiego stopnia na układ
dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu. Możesz nawet nadać thecie z kropką inną nazwę,
by podkreślić, że myślimy o dwóch oddzielnych wartościach, związanych poprzez wzajemny efekt
jaki mają na tempo zmiany swoje i drugiej. To częsta sztuczka w badaniu równań różniczkowych;
zamiast myśleć o zmianach wyższego rzędu jednej zmiennej, często
wolimy myśleć o pierwszych pochodnych wartości wektorowych.
W tej formie możemy ładnie przedstawić sposób myślenia o tym, co znaczy rozwiązanie równania:
Gdy nasz układ ewoluuje od jakichś warunków początkowych, nasz punkt porusza się wzdłuż pewnej
trajektorii w taki sposób, że w każdej chwili prędkość punktu jest zgodna z wektorem
z przedstawionego pola wektorowego. Pamiętaj, ta prędkość nie jest tym samym, co fizyczna
prędkość naszego wahadła. Jest to bardziej abstrakcyjne tempo zmian opisujące zmianę zarówno
thety jak i thety z kropką.

Czech: 
Všimněte si, že jsme rozbili jednu rovnici druhého řádu na systém dvou
rovnic prvního řádu. Můžeme dát θ' jiný symbol, abysme ji ještě více odlišili jako samostatnou hodnotu,
i když provázanou tímto vzájemným efektem, kterým na sebe vzájemně působí.
Tohle je častý trik při studiu diferenciálních rovnic;
místo počítání s vyšším řádem jedné proměnné
počítáme první derivaci vektorových hodnot.
Touto formou jsme získali dobrou vizuální cestu k uvažování o tom, co znamená řešení naší rovnice:
Jak se náš systém vyvíjí od počátečního stavu, náš bod se bude pohybovat prostorem
danou trajektorií tak, že v každý moment bude jeho rychlost odpovídat
rychlosti vektorového pole. Tato rychlost není ta samá jako fyzická rychlost kyvadla.
Je to abstraktnější popis změny, "zakódovaný" změnami
θ a θ'.

English: 
Notice that we’ve effectively broken up
a single second order equation into a system
of two first order equations. You might even
give theta-dot a different name to emphasize
that we’re thinking of two separate values,
intertwined via this mutual effect they have
on one and other’s rate of change. This
is a common trick in the study of differential
equations, instead of thinking about higher
order changes of a single value, we often
prefer to think of the first derivative of
vector values.
In this form, we have a nice visual way to
think about what solving our equation means:
As our system evolves from some initial state,
our point in this space will move along some
trajectory in such a way that at every moment,
the velocity of that point matches the vector
from this vector field. Keep in mind, this
velocity is not the same thing as the physical
velocity of our pendulum. It’s a more abstract
rate of change encoding the changes in both
theta and theta-dot.

German: 
Beachte, dass wir eine einzelne Gleichung zweiter Ordnung in ein System von 2 Gleichungen erster Ordnung aufgebrochen haben.
Du könntest Theta-Punkt sogar einen anderen Namen geben, um zu betonen,
dass wir an zwei verschiedene Werte denken,
welche durch die gegenseitige Wirkung miteinander verbunden sind, die sie auf ihre Änderungsraten haben.
Die ist ein üblicher Trick bei der Untersuchung von Differentialgleichungen.
Anstatt über Änderungen eines einzigen Werts höherer Ordnung nachzudenken,
denken wir lieber an die erste Ableitung von
Vektorwerten.
In dieser Form haben wir einen wunderbaren visuellen Weg darüber nachdenken, was das Lösen unserer Gleichung bedeutet:
Während sich unser System aus einem Anfangszustand entwickelt, wird sich unser Punkt in diesem Raum entlang einer Bahn bewegen,
sodass in jedem Moment
die Geschwindigkeit dieses Punktes mit dem Vektor des Feldes übereinstimmt.
Und nochmal: 
Denk daran, dass diese Geschwindigkeit nicht dieselbe ist wie die physische Geschwindigkeit unseres Pendels.
Es ist eine abstraktere Änderungsrate, die sowohl die Änderung in Theta und Theta-Punkt kodiert.

Polish: 
Możesz zechcieć zatrzymać na chwilę i pomyśleć, co w zasadzie niektóre z tych
trajektorii mówią o sposobach, w jakie może poruszać się wahadło dla różnych warunków początkowych.
Dla przykładu, w obszarach, gdzie theta z kropką jest dość duża, wektory nakazują punktowi
podróżować dość daleko na prawo, nim wpadnie w zwijającą się spiralę. Odpowiada to
wahadłu z dużą prędkością początkową, wykonującemu kilka razy pełen obrót nim
wpadnie w słabnący ruch w przód i w tył.
Jeśli dla zabawy poruszę wskaźnikiem oporu powietrza mu, powiedzmy podwyższę go,
od razu zauważysz jak prowadzi to do trajektorii, które szybciej się zwijają,
co odpowiada powiedzeniu, że wahadło szybciej hamuje. Wyobraź sobie, że zobaczyłbyś te równania wyrwane z kontekstu,
nie wiedząc, że opisują one wahadło; nie jest oczywiste na pierwszy rzut oka, że zwiększenie wartości

Modern Greek (1453-): 
Ίσως θεωρείσετε καλό να πατήσετε παύση για μια στιγμή και να σκεφτείτε τι ακριβώς
λένε κάποιες από αυτές τις τροχιές, σχετικά με τους πιθανούς τρόπους που εξελίσσεται το εκκρεμές,
από διαφορετικές αρχικές συνθήκες.
Για παράδειγμα, σε περιοχές που το θ' βρίσκεται σχετικά ψηλά,
τα διανύσματα καθοδηγούν το σημείο να ταξιδέψει προς τα δεξιά με πολλούς τρόπους,
προτού παραμείνει σε μια εσωτερική σπείρα.
Αυτό αντιστοιχεί σε ένα εκκρεμές με αρκετά μεγάλη αρχική ταχύτητα,
που περιστρέφεται πλήρως μερικές φορές,
προτού παραμείνει σε ένα αποσβετικό μπρος-πίσω.
Περνώντας λίγο καλύτερα, όταν αλλάξω αυτόν τον όρο της αντίστασης του αέρα, το μ,
π.χ. τον αυξάνω, μπορείτε αμέσως να δείτε πώς αυτό θα οδηγήσει σε τροχιές,
που κάνουν σπείρα προς τα μέσα, γρηγορότερα.
Δηλαδή, το εκκρεμές επιβραδύνεται γρηγορότερα.
Αυτό είναι προφανές όταν το ονομάζω τον όρο της αντίστασης του αέρα,
αλλά φανταστείτε ότι βλέπατε αυτές τις εξισώσεις εκτός πλαισίου,
χωρίς να γνωρίζετε ότι περιγράφουν το εκκρεμές.
Δεν είναι προφανές απλά κοιτάζοντάς τες,
ότι αυξάνοντας αυτή την τιμή του μ, σημαίνει ότι το όλο σύστημα

Czech: 
Zkuste video na chvíli pozastavit a zamyslete se na tím,
co všechny tyto trajektorie říkají o možném vývoji pohybu kyvadla vzhledem k počítečním podmínkám.
Například tam, kde je θ' velká, vektory ukazují doprava
než začnou směřovat do spirály. To odpovídá pohybu kyvadla
při vysoké počáteční rychlosti - několikrát se otočí dokola,
než se začne kývat tam a zpět.
Když ještě upravíme odpor vzduchu μ, například když ho zvýšíme,
hned uvidíme, jak se se do spirály dostaneme mnohem rychleji,
tedy že kyvadlo bude rychleji zpomalovat. Kdybychom ty rovnice viděli mimo kontext,
aniž bysme věděli, že popisují kyvadlo, nejspíš bysme nevěděli, že zvýšení hodnody μ

English: 
You might find it fun to pause for a moment
and think through what exactly some of these
trajectory lines say about possible ways the
pendulum evolves for different starting conditions.
For example, in regions where theta-dot is
quite high, the vectors guide the point to
travel to the right quite a ways before settling
down into an inward spiral. This corresponds
to a pendulum with a high initial velocity,
fully rotating around several times before
settling down into a decaying back and forth.
Having a little more fun, when I tweak this
air resistance term mu, say increasing it,
you can immediately see how this will result
in trajectories that spiral inward faster,
which is to say the pendulum slows down faster.
Imagine you saw the equations out of context,
not knowing they described a pendulum; it’s
not obvious just-looking at them that increasing

Portuguese: 
Você pode achar divertido parar por um momento e pensar no que exatamente essas
linhas de trajetória dizem sobre as possíveis maneiras que o pêndulo evolui a partir de diferentes condições iniciais.
Por exemplo, em regiões onde theta-ponto é bem alto, os vetores guiam o ponto para
viajar bastante para a direita, antes de se estabelecer em uma espiral. Isso corresponde
a um pêndulo com uma velocidade inicial elevada, dando várias voltas antes
de entrar num ciclo decadente de vai-e-vem.
Tendo um pouco mais de diversão, quando eu ajustar esse termo de resistência do ar mu,  aumentando-o,
você pode ver imediatamente como isso irá resultar em trajetórias que espiralam para dentro mais rápido,
o que quer dizer que o pêndulo desacelera mais rápido. Isso é óbvio pois é o termo da resistência do ar.
Mas imagine que você viu essas equações fora de contexto,
não sabendo que elas descrevem um pêndulo; não é óbvio perceber, apenas olhando para elas, que o aumento

German: 
Es mag interessant sein, einen Moment innezuhalten und darüber nachdenken, was genau einige
dieser Bahnlinien über mögliche Wege aussagen, nach denen sich das Pendel für unterschiedliche Startbedingungen entwickelt.
Zum Beispiel in Regionen, wo Theta-Punkt ziemlich hoch ist, leiten die Vektoren den Punkt ziemlich weit nach rechts,
bevor er sich in einer nach innen laufenden Spirale niederlässt.
Die entspricht einem Pendel mit einer so hohen Anfangsgeschwindigkeit, dass es mehrmals vollständig rotiert,
bevor es in einem langsamer werdenden Hin und Her endet.
Um noch weiter rumzuprobieren: 
Wenn ich Luftwiderstandsausdruck mu ändere, 
z.B. erhöhe ich ihn jetzt,
kannst du sofort sehen, wie das Bahnen ergibt, die sich schneller nach innen winden.
Das heißt, das Pendel verlangsamt sich schneller. 
Das ist offensichtlich, wenn ich es den Luftwiderstand nenne, aber stell dir vor, du hättest Gleichungen ohne Kontext gesehen,
nicht wissend, dass sie ein Pendel beschrieben haben; 
Es ist nicht offensichtlich wenn man nur die Formeln betrachtet, dass eine Erhöhung des Wertes mu dazu führt,

Italian: 
Potreste divertivi a mettere in pausa per un momento e pensare a cosa ci dicano esattament
alcune di queste traiettorie sulle possibili evoluzioni del pendolo a partire da diverse condizioni iniziali
Ad esempio, nelle regioni dove θ-pallino è molto alto, i vettori fanno spostare il punto
verso destra per molto prima di farlo entrare in una spirale verso l'interno. Ciò corrisponde
a un pendolo con velocità iniziale alta , che compie rotazioni complete alcune volte prima
di decadere in un'oscillazione avanti e indietro.
Per divertirci ancora di più, quando faccio variare la costante di smorzamento μ, incrementandolo ad esempio
potete vedere immediatamente come ciò crei delle traiettorie a spirale che vanno più velocemente verso l'interno
che equivale a dire che il pendolo rallenta più velocemente. Immagine di vedere le equazioni fuori dal contesto
non sapendo che descrivono un pendolo; non è ovvio semplicemente guardandole che

Russian: 
что именно  некоторые из этих кривых траекторий говорят о возможных путях,
по которым может двигаться маятник из разных начальных положений.
Например, в областях, где значения θ-точки достаточно высоки ,
векторы двигают точку вправо довольно далеко,
прежде чем она осядет во внутренней спирали
Это соответствует состоянию маятника с такой высокой начальной скоростью,
что он делает несколько полных оборотов, прежде чем замедлиться и начать качаться назад-вперёд.
Для забавы я подрегулирую значение сопротивления воздуха μ, несколько увеличив его
и вы сразу можете увидеть, как это влияет на траектории, которые закручиваются внутрь быстрее,
что говорит о том, что маятник замедляется быстрей.
И очевидно, это именно то, что мы называем сопротивлением воздуха.
Но представьте, что вы увидели бы это в виде уравнений без контекста
не зная того, как они описывают маятник.
Это не очевидно просто при взгляде на них,

Vietnamese: 
Bạn sẽ thấy thú vị hơn khi tạm dừng một lát
và suy nghĩ xem những đường quỹ đạo này nói gì
về những cách một con lắc có thể dao động từ những trạng thái đầu khác nhau.
Ví dụ: ở khu vực có θ' khá cao, trường vector điều hướng điểm đi về bên phải một lúc
trước khi lọt vào một vòng xoắn ốc. Điều này tương ứng với khi con lắc có vận tốc đầu lớn,
nó sẽ quay tròn nhiều vòng trước khi bắt đầu dao động qua lại và tắt dần.
Nghịch thêm chút nữa, khi tôi điều chỉnh độ cản không khí μ, ví dụ tăng nó lên,
bạn có thể thấy ngay là các đường quỹ đạo xoắn ốc vào nhanh hơn,
đồng nghĩa với con lắc tắt dần nhanh hơn. Cũng dễ hiểu vì tôi đang gọi nó là độ cản của không khí,
nhưng giả như bạn chỉ nhìn thấy một mình ptvp, ko biết đến hiện tượng nó đang mô tả,

Chinese: 
好好想一下這些軌跡線到底說明了些什麼？而這又代表著鐘擺怎樣的移動方式？
例如，在 θ-dot 較高的區域，
向量引導著點向右移動接著便掉進漩渦中。
這對應了具有高初始速度的鐘擺，在完全旋轉幾次後，接著來回擺動的過程。
 
來點更好玩的，當我調整空氣阻力 μ 時，比如增加它，
你可以很快的看到軌跡向螺旋內的發展更快了，也就是說擺錘減速得更快。
這樣感覺很清楚，好像不怎麼樣。
但請好好想一下，當你只盯著方程式，沒有座標圖，也沒有鐘擺。

Vietnamese: 
thật ko dễ để thấy ngay là tham số μ lại ảnh hưởng đến hệ, làm nó tiến tới những điểm cân bằng nhanh hơn.
Hãy nhờ một phần mềm nào đó vẽ những trường vector này cho bạn,
đó có thể là một cách tuyệt vời để có được một cảm giác về hành vi của hệ.
Điều tuyệt vời là bất kỳ hệ ptvp nào cũng có thể được mô tả bởi
một trường vector như thế này, nên đây là một cách tổng quát để tìm hiểu về chúng.
Mặc dù thường thì chúng có nhiều chiều hơn. Ví dụ như, bài toán 3 vật thể nổi tiếng,
tiên đoán chúng sẽ di chuyển như thế nào khi bị hấp dẫn bởi nhau,
cho trước vị trí đầu và vận tốc đầu.
Mỗi vật cần ba biến miêu tả tọa độ, và thêm ba biến nữa miêu tả động lượng (p = m*v).
Vậy là hệ này có đến 18 biến độc lập, và tương ứng một không gian trạng thái 18 chiều.
Thật kỳ thú phải ko? Một điểm lạ lùng nào đó lượn lờ trong một không gian 18 chiều

Czech: 
by znamenalo zrychlení ustalování systému;
nechat software nakreslit tato vektorová pole může pomoci
rychleji pochopit jak se chovají.
Nádherné je zde to, že jakýkoliv systém obyčejných diferenciálních rovnic může být popsaný
nějakým vektorovým polem, je to tedy velmi univerzální způsob jak je pochopit.
Normálně ale pracujeme s více dimenzemi. Například známý problém tří těles,
ve kterém se počítá vývoj systému tří hmotných bodů v trojrozměrném prostoru,
které se navzájem ovlivňují, a kde znáte počáteční pozice a rychlosti těchto bodů.
Každý bod má tři souřadnice popisující pozici a tři popisující pohyb,
máme tedy systém osmnácti proměnných:
osmnáctidimenzionální prostor možných stavů. Celkem bizarní představa.
Jediný bod pohybující se osmnáctidimenzionálním prostorem, který nemůžeme zobrazit, poslušně následující nějaký vektor,

German: 
dass das gesamte System dazu neigt, schneller an einem anziehenden Status anzukommen.
Software zu benutzen, um diese Vektorfelder für dich zu zeichnen, kann eine großartige Möglichkeit sein, um eine Intuition für zu gewinnen, wie sie sich verhalten.
Das Wunderbare ist, dass jedes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen durch so ein Vektorfeld beschrieben werden kann.
Es ist also ein sehr
allgemeiner Weg, um ein Gefühl für sie zu bekommen.
Normalerweise haben sie jedoch viel mehr Dimensionen.
Betrachte z.B. das berühmte Dreikörper-Problem.
Man soll vorhersagen, wie drei Massen in einem 3D-Raum sich entwickeln werden, wenn sie aufeinander durch Schwerkraft wirken,
sofern du ihre Anfangspositionen und -geschwindigkeiten kennst.
Jede Masse hat drei Koordinaten, welche seine Position beschreiben, und drei weitere beschreiben sein Momentum.
Damit hat das System 18 Freiheitsgrade und somit einen 18-dimensionalen Raum von möglichen Stadien.
Es ist ein bizarrer Gedanke, oder?
Ein einzelner Punkt, der durch einen 18-dimensionalen Raum wandert (den wir nicht visualisieren können),
und dabei gehorsam Schritte durch die Zeit geht,

Modern Greek (1453-): 
τίνει να προσελκύεται γρηγορότερα σε μια κατάσταση.
Οπότε, βάζοντας κάποιο λογισμικό να ζωγραφίσει αυτά τα διανυσματικά πεδία για σας,
μπορεί να είναι ωραίος τρόπος να αναπτύξετε αίσθηση για το πώς συμπεριφέρονται.
Το ωραίο είναι ότι κάθε σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων,
μπορεί να περιγραφεί από ένα διανυσματικό πεδίο
σαν κι αυτό
Άρα είναι ένας πολύ γενικός τρόπος για να πάρετε μια αίσθηση από αυτές.
Εντούτοις, συνήθως έχουν πολύ περισσότερες διαστάσεις.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε το γνωστό πρόβλημα τριών σωμάτων,
το οποίο προβλέπει το πώς τρεις μάζες εξελίσσονται στον τρισδιάστατο χώρο
εαν επιδράσουν μεταξύ τους βαρυτικά,
και αν γνωρίζετε τις αρχικές τους θέσεις και ταχύτητες.
Η κάθε μάζα έχει τρεις συνταταγμένες που περιγράφουν τη θέση της,
και τρεις ακόμα που περιγράφουν την ορμή της.
Άρα το σύστημα έχει 18 βαθμούς ελευθερίας συνολικά,
και ως εκ τούτου 18 χωρικές διαστάσεις πιθανών καταστάσεων.
Είναι μια αλλόκοτη σκέψη έτσι δεν είναι;
Ένα μοναδικό σημείο να ελίσσεται μέσα σε 18 χωρικές διαστάσεις,
τις οποίες δεν μπορούμε να οπτικοποιήσουμε,
να ακολουθά υπάκουα βήματα στο χρόνο,

Italian: 
incrementare il valore di μ velocizza l'attrazione del sistema verso un certo stato, perciò far
disegnare tali campi vettoriali a un software può essere un ottimo modo per avere un' intuizione sul loro
comportamento
Ciò che è meraviglioso è che qualsiasi sistema di equazioni differenziali ordinarie può essere descritto da
campi vettoriali come questi, perciò è un modo molto generale per avere un' idea su come funzionino.
Di solito però hanno molte più dimensioni. Per esempio, considerate il famoso problema
dei tre corpi, che consiste nel predire come 3 masse nello spazio 3D evolveranno se
interagiscono tra loro con la gravità, conoscendo le velocità e le posizioni iniziali
Ogni massa ha 3 coordinate che descrivono la sua posizione e 3 ulteriori che ne descrivono
il momento, dunque il sistema ha 18 gradi di libera, e quindi uno spazio a 18 dimesnioni
dei possibili stati. Che pensiero bizzarro, no? Un singolo punto che vaga
in uno spazio a 18 dimensioni che non possiamo visualizzare, che si muove nel tempo

Polish: 
mu oznacza, że układ dąży do jakiegoś stanu przyciągającego szybciej, więc użycie jakiegoś
programu do rysowania takich pól wektorowych może być świetnym sposobem na zyskanie pewnej intuicji
dotyczącej ich zachowań.
Wspaniałe jest to, że każdy układ równań różniczkowych zwyczajnych może być opisany przez
pole wektorowe takie jak to, więc jest to bardzo ogólny sposób na ich poznawanie.
Zwykle jednak mają one dużo więcej wymiarów. Rozważmy na przykład słynny problem trzech ciał,
polegający na przewidywaniu, jak trzy masy w przestrzeni trójwymiarowej poruszają się, gdy
wpływają wzajemnie na swoje grawitacje, znając ich początkowe położenie i prędkość.
Każda masa ma trzy współrzędne położenia i trzy dodatkowe opisujące jej pęd,
więc układ ma 18 stopni swobody i potrzebna jest 18 wymiarowa przestrzeń
możliwych stanów. Dziwaczna myśl, nieprawdaż? Pojedynczy punkt wędrujący przez
18-wymiarową przestrzeń, której nie sposób sobie wyobrazić, posłusznie kroczący przez czas zgodnie z

Russian: 
что увеличение значения μ заставляет всю систему приходить в какое-то положение быстрее.
Итак, использование программы для изображения векторных полей
может стать для вас отличным способом интуитивно понять, как они работают
Замечательно то, что любая система обыкновенных дифференциальных уравнений
может быть описана векторным полем, подобным этому.
Так что это весьма распространенный способ прочувствовать их суть.
Однако, обычно они имеют намного больше измерений.
Например, рассмотрим знаменитую задачу трёх тел.
Она о том, как предсказать движение трёх массивных тел в трёхмерном пространстве,
если они влияют друг на друга своей гравитацией,
если вы знаете их начальные положения и скорости
Масса каждого тела имеет три координаты, описывающие их положение в пространстве,
и еще три, описывающие их импульсы.
Итого, система имеет 18 степеней свободы
и, следовательно, представлена 18-мерным пространством всех возможных положений.
Звучит дико, не правда ли?
Одна точка, блуждающая в 18-мерном пространстве, которое мы не можем изобразить,
послушно продвигается сквозь время, согласно какому-то вектору,

Portuguese: 
do valor de mu significa que o sistema tende para alguma espiral mais rápido. Ter um
software para desenhar esses campos de vetores para você pode ser uma ótima maneira de ganhar uma intuição para
como eles se comportam.
O que é maravilhoso é que qualquer sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser descrito por
um campo vetorial como esse, então é uma maneira muito geral de ter uma ideia para eles.
Normalmente, porém, eles têm muito mais dimensões. Por exemplo, considere o famoso problema dos
três-corpos, que é prever como três massas no espaço 3D irão evoluir se cada um age
sobre o outro com gravidade, e você sabe suas posições iniciais e velocidades.
Cada massa tem três coordenadas descrevendo sua posição e mais três descrevendo seu
momento (grandeza física), então o sistema tem 18 graus de liberdade e, portanto, um espaço de 18 dimensões
de estados possíveis. É um pensamento bizarro, não é? Um único ponto caminhando
em um espaço de 18 dimensões que não podemos visualizar, obedientemente tomando passos através do tempo com base

Chinese: 
什麼是隨 μ 值增加而系統向漩渦的移動會加快？你什麼也看不出來。
所以用軟體來繪製這些向量場可以讓你更直覺地觀察它們。
這真的很神奇，任何常微分方程的系統都可以用像這樣的向量場來描述。
所以這方法也被用的很頻繁。
不過，它們通常有更多的維度。
例如，有名的三體問題，
這問題是在討論三個質量在3D空間中的運動方式，
而它們的重力是相互影響的，然後你有它們的初始位置和速度。
每個質量都有三個坐標描述它的位置和另外三個描述它的動量，
所以這系統有18個自由度，因此這些可能的狀態是18維空間。
這不是很詭異嗎？
漫遊的單點和和無法想像的18維空間，

English: 
the value of mu means the system tends towards
some attracting state faster, so getting some
software to draw these vector fields for you
can be a great way to gain an intuition for
how they behave.
What’s wonderful is that any system of ordinary
differential equations can be described by
a vector field like this, so it’s a very
general way to get a feel for them.
Usually, though, they have many more dimensions.
For example, consider the famous three-body
problem, which is to predict how three masses
in 3d space will evolve if they act on each
other with gravity, and you know their initial
positions and velocities.
Each mass has three coordinates describing
its position and three more describing its
momentum, so the system has 18 degrees of
freedom, and hence an 18-dimensional space
of possible states. It’s a bizarre thought,
isn’t it? A single point meandering through
and 18-dimensional space we cannot visualize,
obediently taking steps through time based

Portuguese: 
em seja lá qual for o vetor que esteja anexado a ele, de momento a momento, completamente codificando
as posições e momentos de 3 massas no espaço comum, físico e 3d.
(Na prática, a propósito, você pode reduzir esse número de dimensões aproveitando
as simetrias em sua configuração, mas o ponto de ter mais graus de liberdade, resultando em um
espaço de estado de maior dimensão permanece o mesmo).
Em matemática, muitas vezes chamamos um espaço como este de “espaço de fase”. Você vai me ouvir usar este
termo amplamente para espaços de todos os tipos de sistemas que mudam com o tempo, mas você deve
saber que, no contexto da física, especialmente da mecânica hamiltoniana, o termo é frequentemente reservado
para um caso especial. Ou seja, um espaço cujos eixos representam posição e momento.
Então, um físico concordaria que o espaço de 18 dimensões que descreve o problema dos três corpos é um espaço de fase.
Mas eles podem pedir que façamos algumas modificações em nosso pêndulo
para merecer o termo corretamente. Para aqueles que assistiram os vídeos de colisão de blocos,

Chinese: 
隨著向量一步一步地依著自然法則移動，
都是由3D物理空間中的3個質量之位置和動量來決定的。
（順便說一下，在應用方面，你可以在你的設置上，利用其對稱性來減少維數
而有更多自由度的點，在更高維狀態空間中仍保持一樣）。
 
在數學中，我們稱此空間為“相空間”。
你會常聽到我在所有種類的狀態改變系統廣泛地使用這術語，
但你應該知道在物理學中，特別是哈密頓力學，這個詞經常被保留。
也就是，以軸表示位置和動量的空間。
所以物理學家會同意用來描述三體問題的18維空間是一個相空間，
但他們可能會要求我們為鐘擺的設置做些修改以符合此術語的使用。
對於你在方塊碰撞影片看到的那些，

Czech: 
na kterém se v daném čase nachází, kompletně popisující
pozice a hybnosti všech tří těles v normálním, fyzickém, 3D prostoru.
(V praxi můžeme trochu redukovat počet těchto dimenzí,
ale pointa zůstane stejná: zůstane nám bod
plující prostorem o více dimenzích.)
V matematice se takové prostory nazývají fázorové prostory. Tento termín budu používat
pro všechny možné prostory popisující všemožné změny nestacionárních sytémů,
ale v kontextu fyziky, zvlášť v Hamiltnovské mechanice, je tento termín
rezervován pro speciální stav: kdy osy reprezentují pozici a pohyb.
Fyzik by souhlasil, že osmnáctidimenzionální prostor popisující problém tří těles je fázorový prostor,
ale mohli by chtít udělat pár úprav na našem kyvadle, aby si to označení zasloužil.
Kdo viděl videa zabývající se srážkami bloků:

Vietnamese: 
mà ta ko tài nào hình dung nổi, ngoan ngoãn lần theo những vector trong trường đó,
lại có thể miêu tả toàn diện về vị trí và vận tốc của 3 vật thể trong không gian 3 chiều của chúng ta.
Trong toán học, không gian này có tên là
Không gian pha. Bạn sẽ nghe tôi sử dụng
thuật ngữ này để gọi chung cho những không gian biểu diễn trạng thái của các hệ thống động,
nhưng trong vật lý, đặc biệt là Cơ học Hamilton, thuật ngữ thường chỉ được dùng cụ thể
để gọi tên không gian với các trục biểu diễn tọa độ và động lượng.
Vì vậy, một nhà vật lý sẽ đồng ý rằng không gian 18 chiều mô tả bài toán 3 vật thể là một không gian pha,
nhưng họ có thể yêu cầu chúng ta chỉnh sửa một chút với không gian mô tả con lắc, để thuật ngữ được bảo toàn.
Với những bạn đã xem video "block collision" của tôi,

Russian: 
на котором она "сидит" время от времени,
полностью описывает положения и импульсы трёх массивных тел
в нашем физическом 3-мерном пространстве.
Кстати, на практике вы можете уменьшить количество измерений,
используя симметрию системы,
Но проблема большого количества степеней свободы, и, как результат
многомерного пространства состояний, остаётся такой же.
В математике мы часто называем пространство, подобные этому, "фазовым пространством"
Вы еще услышите, что я использую этот термин часто, в отношении пространств,
описывающих все виды состояний для изменчивых систем
Но вы должны знать, что в контексте физики, особенно в гамильтоновой механике
этот термин часто зарезервирован для более специфичных случаев.
А именно в тех случаях, когда пространство представлено осями расположения и импульса
Так что физик согласится, что 18-мерное пространство,
описывающее задачу трёх тел - это фазовое пространство.
Но можно было бы попросить нас внести пару модификаций в систему нашего маятника,
которые заслуживают того, чтобы их назвать.
Для тех из вас, кто посмотрел видео про сталкивающиеся блоки,
плоскости, с которыми мы там работали,

German: 
basierend auf welchem ​​Vektor auch immer er gerade sitzt von Moment zu Moment.
Dieser Vektor kodiert die Positionen und den Impuls der 3 Massen im gewöhnlichen, physischen 3D-Raum.
Nebenbei: In der Praxis kannst du übrigens Anzahl der Dimensionen reduzieren
durch Ausnutzen der Symmetrien im System.
Aber der Punkt, dass mehr Freiheitsgraden in einem höherdimensionalen Zustandsraum resultieren, bleibt der Gleiche.
In der Mathematik nennen wir einen solchen Raum oft einen "Phasenraum". Du wirst hören, wie ich dieses Wort oft benutze für Räume,
die alle möglichen Arten von Zuständen für sich ändernde Systeme kodieren, aber du solltest wissen,
dass dieser Begriff im Zusammenhang mit der Physik (insbesondere Hamiltonsche Mechanik), oft für einen speziellen Fall reserviert ist.
Nämlich ein Raum, dessen Achsen für Position und Impuls stehen.
Ein Physiker würde also zustimmen, dass der 18-dimensionale Raum, der das 3-Körper-Problem beschreibt, ein Phasenraum ist.
Aber sie fragen vielleicht, dass wir ein paar Modifikationen an unserem Pendel machen,
damit es den Begriff wirklich verdient.
Für diejenigen von euch, die die Blockkollisionsvideos angesehen haben:

English: 
on whatever vector it happens to be sitting
on from moment to moment, completely encoding
the positions and momenta of 3 masses in ordinary,
physical, 3d space.
(In practice, by the way, you can reduce this
number of dimension by taking advantage of
the symmetries in your setup, but the point
of more degrees of freedom resulting in a
higher-dimensional state space remains the
same).
In math, we often call a space like this a
“phase space”. You’ll hear me use the
term broadly for spaces encoding all kinds
of states for changing systems, but you should
know that in the context of physics, especially
Hamiltonian mechanics, the term is often reserved
for a special case. Namely, a space whose
axes represent position and momentum.
So a physicist would agree that the 18-dimension
space describing the 3-body problem is a phase
space, but they might ask that we make a couple
of modifications to our pendulum set up for
it to properly deserve the term. For those
of you who watched the block collision videos,

Modern Greek (1453-): 
βασιζόμενο σε οποιοδήποτε διάνυσμα τυγχάνει να βρίσκεται από στιγμή σε στιγμή,
κωδικοποιώντας πλήρως τις θέσεις και τις ορμές των τριών μαζών που βλέπουμε
στον συνηθισμένο, φυσικό, τρισδιάστατο χώρο.
Πρακτικά, παρεμπιπτόντως, μπορείτε να μειώσετε τον αριθμό των διαστάσεων εδώ πέρα,
εκμεταλλευόμενοι τις συμμετρίες 
της κατασκευής σας, αλλά το γεγονός ότι
περισσότεροι βαθμοί ελευθερίας οδηγούν σε μεγαλύτερης διάστασης χώρους κατάστασης,
παραμένει το ίδιο.
Στα μαθηματικά, συχνά ονομάζουμε ένα τέτοιο χώρο, φασματικό χώρο.
Θα με ακούτε να χρησιμοποιώ αυτό τον όρο γενικά,
για χώρους που κωδικοποιούν όλων των ειδών τις καταστάσεις μεταβαλλόμενων συστημάτων,
αλλά πρέπει να γνωρίζετε ότι στα πλαίσια της φυσικής, και ειδικά της Χαμιλτονιανής μηχανικής,
ο όρος συνήθως φυλάγεται για μια πιο ειδική περίπτωση,
ονομαστικά ο χώρος του οποίου οι άξονες αντιπροσωπεύουν τη θέση και την ορμή.
Άρα ένας φυσικός θα συμφωνούσε ότι 
o 18-διάστατος χώρος,
που περιγράφει το πρόβλημα τριών σωμάτων, είναι ένας χώρος φάσεων.
Αλλά θα μπορούσαν να ζητήσουν να κάνουμε μερικές τροποποιήσεις στη διάταξη του εκκρεμούς μας,
ώστε να αξίζει σωστά αυτό τον όρο.
Για όσους από εσάς που έχουν παρακολουθήσει το βίντεο σύγκρουσης μπλοκ,
τα επίπεδα με τα οποία δουλέψαμε εκεί,

Polish: 
tym, na jakim siedzi wektorze, od chwili do chwili, w zupełności kodując
pozycję i pęd trzech mas w zwykłej, fizycznej przestrzeni trójwymiarowej.
(swoją drogą, w praktyce możesz zredukować liczbę wymiarów korzystając na początku
z pewnych symetrii, ale fakt zwiększenia liczby stopni swobody skutkującego
przestrzenią stanów wyższego wymiaru jest ten sam).
W matematyce, taką przestrzeń często nazywa się "przestrzenią fazową". Będę używał tego pojęcia
często, dla przestrzeni opisujących wszelkiego rodzaju stany zmieniającego się układu, ale powinieneś
wiedzieć, że w kontekście fizyki, a zwłaszcza mechaniki Hamiltonowskiej, termin ten jest często zarezerwowany
dla specjalnych wypadków, to jest przestrzeni, których osie przedstawiają położenie i pęd.
Tak więc fizyk zgodziłby się, że 18-wymiarowa przestrzeń opisująca problem trzech ciał jest
przestrzenią fazową, ale mógłby poprosić o kilka poprawek w naszym zagadnieniu wahadła
by w pełni zasługiwało na tę nazwę. Dla tych, którzy obejrzeli filmy o zderzających się klockach,

Italian: 
seguendo qualsiasi vettore si trovi lì momento dopo momento
e ciò regola la posizione e il momento di 3 masse nell'ordinario spazio fisico a 3 dimensioni
(Nella pratica, si può ridurre il numero di dimensioni tenendo conto
delle simmetrie nello stato, ma il punto che più gradi di libertà si traducono
in uno spazio degli stati a più dimensioni alta rimane lo stesso)
In matematica, spesso chiamiamo questo spazio "spazio delle fasi". Mi sentirete usare questo
termine ampiamente per spazi che regolano tutti i tipi di stati per sistemi che variano, ma dovreste sapere
che in fisica specialmente nella meccanica hamiltoniana, il termine è spesso riservato
per un caso speciale. Più di preciso, uno spazio i cui assi rappresentano posizione e momento.
Dunque un fisico sarebbe d'accoro nel dire che lo spazio a 18 dimensioni che descrive il problema dei tre corpi è uno spazio delle fasi
ma potrebbe chiederci di modificare il nostro spazio per il pendolo
in modo da rientrare nella definizione. Per quelli di voi che hanno guardato il video sulla collisione dei blocchi,

Czech: 
roviny, se kterými jsme pracovali, by matematiky byly klidně prohlášeny za fázorové prostory,
fyzikové by nejspíš preferovali jinou terminologii. Jen si zapamatujte, že význam
může záviset na kontextu.
Může to vypadat jako jednoduchý nápad, podle toho, jak jste vzdělaní v moderním vnímání matematiky,
lidstvu ale trvalo dost dlouho, než přijalo tento
prostorový pohled na dynamiku, zvlášť při vyšším počtu dimenzí.
V knize Chaos James Gleick popisuje fázorový prostor jako
"jeden z nejmocnějších vynálezů moderní vědy."
Jeden z důvodů je fakt, že se nemusíme ptát na jeden počáteční stav,
ale celé spektrum možných stavů. Množina všech možných trajektorií
je podobná pohybu tekutin, proto tomu říkáme fázorový tok.
Jeden příklad prospěšnosti fázového toku: otázka stability.
Počátek souřadné soustavy
odpovídá kyvadlu v klidu, ale to i bod zde,

Russian: 
математики с радостью назвали бы фазовым пространством,
однако физики предпочитают другую терминологию. Просто знайте, что
специфическое значение может зависеть от контекста.
Это может показаться простой идеей, зависящей от того, насколько хорошо
вы знакомы с современными подходами мышления в математике.
Но стоит помнить, что человечеству потребовалось какое-то время,
чтобы воспринять динамику в пространственном аспекте, как здесь.
Особенно, когда измерений становится много.
В своей книге «Хаос» автор Джеймс Глейк описывает фазовое пространство как
"Одно из наиболее значительных изобретений в современной науке."
Одна из причин — то, что вы можете задать вопрос не только об одном начальном состоянии,
но о целом спектре начальных состояний.
Совокупность всех возможных траекторий напоминает подвижную жидкость
потому мы называем её фазовым потоком.
Для примера, почему "фазовый поток" - удачная формулировка, подумайте о вопросе стабильности.
Начало координат в нашем пространстве соответствует состоянию покоя маятника

German: 
Die Ebenen, mit denen wir dort gearbeitet haben, würden von Mathematikern ohne mit der Wimper zu zucken als Phasenräume bezeichnet werden.
Ein Physiker könnte eine andere Terminologie vorziehen.
Nimm einfach zur Kenntnis, dass die spezifische Bedeutung vom Kontext abhängen kann.
Es mag nach einer einfachen Idee erscheinen, je nachdem wie gut du indoktriniert bist, moderne Denkweisen über Mathematik anzuwenden.
Aber es lohnt sich zu bedenken, dass es die Menschheit ziemlich lange brauchte,
um sich wirklich der Idee anzunehmen, über Dynamik räumlich nachzudenken. Insbesondere wenn die Dimensionen sehr groß werden.
In seinem Buch 'Chaos' bezeichnet der Autor James Gleick den Phasenraum als „eine der mächtigsten Erfindungen der modernen Wissenschaft. "
Ein Grund dafür ist, dass er so mächtig ist liegt darin, dass man nicht nur Fragen nach einem einzelnen Anfangszustand stellen kann,
sondern nach einem ganzen Spektrum von Ausgangszuständen. Die Sammlung aller möglichen Bahnen
erinnert an eine sich bewegende Flüssigkeit, nennen wir
es Phasenfluss.
Ein Beispiel dafür, warum Phasenfluss eine
sinnvolle Idee ist, ist die Frage nach der Stabilität.
Der Ursprung unseres Raumes entspricht dem stillstehenden Pendel;

English: 
the planes we worked with there would happily
be called phase spaces by math folk, though
a physicist might prefer other terminology.
Just know that the specific meaning may depend
on your context.
It may seem like a simple idea, depending
on how well indoctrinated you are to modern
ways of thinking about math, but it’s worth
keeping in mind that it took humanity quite
a while to really embrace thinking of dynamics
spatially like this, especially when the dimensions
get very large. In his book Chaos, James Gleick
describes phase space as “one of the most
powerful inventions of modern science.”
One reason it’s powerful is that you can
ask questions not just about a single initial
state, but a whole spectrum of initial states.
The collection of all possible trajectories
is reminiscent of a moving fluid, so we call
it phase flow.
To take one example of why phase flow is a
fruitful formulation, the origin of our space
corresponds to the pendulum standing still;
and so does this point over here, representing

Modern Greek (1453-): 
θα ονομάζονταν ευχαρίστως χώροι φάσεων από ένα κλασσικό μαθηματικό.
Τώρα ένας φυσικός ίσως να προτιμά άλλη ορολογία.
Απλά να γνωρίζετε ότι το συγκεκριμένο νόημα μάλλον εξαρτάται από τα συμφραζόμενά σας.
Μπορεί να μοιάζει απλή ιδέα,
που εξαρτάται από το πόσο καλά επηρεασμένοι είστε από το σύγχρονο τρόπο να σκέφτεστε μαθηματικά,
αλλά αξίζει να κρατάτε στο μυαλό σας ότι
πήρε αρκετό καιρό στην ανθρωπότητα να αγκαλιάσει πραγματικά τη σκέψη της δυναμικής,
προχωρημένη όπως αυτή,
ειδικά όταν οι διαστάσεις γίνονται πολύ μεγάλες.
Στο βιβλίο του "Χάος", ο συγγραφέας Τζέιμς Γκλικ (James Gleick) περιγράφει τον χώρο φάσεων ως:
"Μια από τις ισχυρότερες εφευρέσεις 
της σύγχρονης επιστήμης".
Ένας λόγος που είναι ισχυρή, 
είναι διότι μπορείτε να κάνετε ερωτήσεις,
όχι σχετικά με μια μοναδική αρχική κατάσταση, αλλά ένα ολόκληρο φάσμα αρχικών καταστάσεων.
Η συλλογή όλων των πιθανών τροχιών θυμίζει κινούμενο υγρό,
οπότε το ονομάζουμε φασματική ροή.
Για να πάρετε ένα παράδειγμα γιατί η φασματική ροή είναι καρποφόρα ιδέα,
θεωρήστε την ερώτηση της σταθερότητας.
Η αρχή του χώρου μας, αντιστοιχεί στο εκκρεμές να μένει ακίνητο,
και το ίδιο και αυτό το σημείο εδώ πέρα,

Italian: 
i piani sui quali abbiamo lavorato erano felicemente chiamati spazi delle fasi dai matematici, ma
un fisico potrebbe preferire un' altra terminologia. Sappi semplicemente che il significato specifico potrebbe dipendere
dal tuo contesto.
Potrebbe sembrare un idea semplice, a seconda di quanto sei abituato ai modi moderni
di pensare alla matematica, ma è degno di nota ricordarsi che all'umanità
c'è voluto molto tempo per abbracciare questo modo di pensare alla dinamica, specialmente quando
le dimensioni diventano molte. Nel suo libro "Chaos", James Gleick descrive lo spazio delle fasi come "Una delle più
potenti invenzioni della scienza mdoerna"
Una delle ragioni di tale potenza è che puoi fare domande non solo su un singolo stato iniziale
ma su un' intera gamma di stati iniziali. L'insieme d tutte le possibili traiettorie
sembra quasi un flusso semovente, perciò lo chiamiamo flusso di fase.
Per fare un esempio del perchè il flusso di fase sia una formulazione fruttuosa, l'origine del nostro spazio
corrisponde al pendolo immobile, proprio come questo punto qui su che rappresenta

Portuguese: 
os planos com os quais trabalhamos lá seriam alegremente chamados de espaços de fase pelos matemáticos, embora
um físico pode preferir outra terminologia. Apenas saiba que o significado específico pode depender
do seu contexto.
Pode parecer uma idéia simples, dependendo de quão bem doutrinado você é para os jeitos modernos
de pensar sobre matemática, mas vale a pena ter em mente que a humanidade demorou
um bom tempo para realmente abraçar e pensar em dinâmica, especialmente quando as dimensões
ficam muito grandes. Em seu livro Chaos, James Gleick descreve o espaço de fases como “uma das mais
poderosas invenções da ciência moderna ”.
Uma razão pela qual é poderosa é que você pode fazer perguntas não apenas sobre uma única condição inicial,
mas sim sobre todo um espectro de condições iniciais. A coleção de todas as trajetórias possíveis
é uma reminiscência de um fluido em movimento, por isso chamamos de espaço de fluxos.
Para dar um exemplo do porquê o espaço de fluxos é uma ideia frutífera,
considere perguntar sobre a estabilidade. A origem do nosso espaço
corresponde ao pêndulo parado; e este ponto aqui, representa

Chinese: 
我們在那裡工作會被數學家稱為相空間，
但物理學家可能更喜歡其它術語。只要知道其具體含義。
 
這似乎是一個簡單的想法，取決於你多善於吸取現代思考數學的方法，
但值得注意的是，這需要一段時間的人性化，
才能讓人們真正的擁抱動態空間的思考方式，特別是當維度變得非常巨大時。
James Gleick在他的書Chaos中，將相空間描述為“最強大的一個現代科學發明。“
它強大的一個原因在於你不只可以問單一初始狀態的問題，還能知道整個初始狀態的光譜。
所有被收集起來的可能軌跡讓人聯想到流動的液體，所以我們稱它為相流。
舉一個例子說明為什麼相流是一個思考穩定性的有效方式，
我們空間的起始對應於擺錘的靜止狀態，

Vietnamese: 
mặt phẳng ta xem xét đó cũng có thể được dân toán gọi là không gian pha,
dù dân lý có thể thích thuật ngữ khác.
Ý nghĩa cụ thể thường phụ thuộc vào ngữ cảnh.
Nhìn thì có vẻ như đây chỉ là một ý tưởng đơn giản, dĩ nhiên còn tùy thuộc vào cách bạn được học toán và cách bạn suy nghĩ về toán,
nhưng nên biết là nhân loại đã phải mất khá lâu để thực sự xây dựng được cách nhìn về hệ động lực như thế này,
đặc biệt là khi số chiều rất lớn.
Trong cuốn sách Chaos, James Gleick đã viết
"không gian pha là một trong những phát minh mạnh mẽ nhất của khoa học hiện đại."
Không chỉ những câu hỏi về một trạng thái đầu, bạn có thể đặt vấn đề cho cả một dải các trạng thái đầu.
Tập hợp tất cả các quỹ đạo trông như một chất lỏng chuyển động, nên ta gọi nó là dòng chảy pha.
Thử lấy một ví dụ xem tại sao dòng chảy pha là một ý tưởng thú vị.
Gốc tọa độ trong không gian pha này tương ứng với trạng thái cân bằng của con lắc.

Polish: 
płaszczyzny z którym pracowaliśmy matematycy z radością nazwaliby przestrzenią fazową, jednak
fizyk mógłby preferować inną terminologię. Wiedz po prostu, że konkretne znaczenie może zależeć
od kontekstu.
Cały pomysł może wydawać się prosty, w zależności od tego jak przyzwyczajony jesteś do współczesnych
sposobów myślenia o matematyce, ale warto pamiętać, że ludzkości zajęło dość długą
chwilę by w pełni ogarnąć myślenie o dynamice w sposób przestrzenny, jak tutaj, zwłaszcza
gdy wymiary stają się duże. W swojej książce "Chaos", James Gleick opisuje przestrzeń fazową jako
"jedno z najpotężniejszych odkryć współczesnej nauki".
Jednym z powodów, dla których jest ono potężne, jest możliwość pytania nie tylko o poszczególne położenie
początkowe, ale o całe spektrum takich stanów. Zbiór wszystkich możliwych trajektorii
przypomina ruchomą ciesz, więc nazywamy go potokiem.
By wziąć jeden przykład, dlaczego potok jest owocnym sformułowaniem, początek naszej przestrzeni
odpowiada wahadłu, które stoi nieruchomo, i tak samo ten punkt tutaj odpowiada

Italian: 
il pendolo perfettamente bilanciato all'insù. Questi sono chiamati punti stazionari del sistema.
una domanda naturale da farsi è se essi siano stabili. Ovvero, se piccoli cambiamenti sul
sistema risultano in uno stato che tende a quello originario o va via da esso.
L'intuizione fisica del pendolo rende la risposta ovvia qui, ma come pensereste
alla stabilità solo guardando alle equazioni, immaginando che esse emergano da un contesto completamente differente
e meno intuitivo?
Ci occuperemo di questo argomento nei prossimi video,
e l'intuizione dietro queste rilevanti computazioni sono molto legate al pensiero di osservare
una piccola regione dello spazio attorno al punto stazionario e chiedersi se il flusso
si contrae o si espande in quel punto.
Parlando di attrazione e stabilità, facciamo un passo indietro per parlare d'amore
La citazione di Strogatz a cui ho fatto riferimento prima viene da un articolo stravagante sul New York Times
su i modelli matematici dell'amore, un esempio degno di nota per far capire

Portuguese: 
quando o pêndulo está equilibrado na vertical. Estes são chamados pontos fixos do sistema, e
uma pergunta natural a ser feita é se eles são estáveis. Isto é, após pequenas perturbações
no sistema o ponto tende a voltar para sua condição inicial ou não? A intuição física
do pêndulo torna a resposta óbvia, mas como você pensaria sobre
estabilidade apenas olhando para as equações, digamos, se elas surgissem  fora
de contexto.
Vamos ver como calcular a resposta para uma pergunta como esta nos vídeos seguintes,
e a intuição para os cálculos relevantes são guiados fortemente pelo pensamento de olhar
em uma pequena região neste espaço em torno do ponto fixo e perguntar se o fluxo
se contrai ou se expande.
Falando de atração e estabilidade, vamos abrir um breve parênteses para falar sobre amor.
A citação do Strogatz que mencionei anteriormente vem de uma coluna caprichosa no New York Times
sobre modelos matemáticos do amor, vale a pena roubar um exemplor para ilustrar que

Russian: 
а вот здесь точка, соответствующая маятнику в идеально вертикальном положении
Это — так называемые фиксированные точки нашей системы
И естественный вопрос, который может возникнуть — стабильны ли они, или нет?
Это крохотные толчки в системе, которые приводят к состоянию, когда
маятник стремится вернуться к фиксированной точке или двигаться от неё.
Физическая интуиция в случае я маятником делает ответ очевидным,
но что бы вы подумали о стабильности, просто глядя на эти уравнения?
Если бы они произошли из совершенно другого, менее интуитивного контекста?
В следующих видео мы ещё рассмотрим то, как вычислить ответ в вопросах, подобных этому.
И интуиция для соответствующих вычислений в значительной мере полагается на
мысль о наблюдении за небольшой областью пространства вокруг фиксированной точки.
и вопроса о том, сужается или расширяется поток в этой точке.
Говоря о притяжении и стабильности, давайте сделаем
небольшой шаг в сторону и поговорим о любви
Цитата Строгаца, на которую я ссылался ранее,
взята из одной причудливой статьи в New York Times
она о математическом моделировании привязанности, пример стоящего воровства, чтобы

English: 
when the pendulum is balanced upright. These
are called fixed points of the system, and
one natural question to ask is whether they
are stable. That is, will tiny nudges to the
system result in a state that tends back towards
the stable point or away from it. Physical
intuition for the pendulum makes the answer
here obvious, but how would you think about
stability just by looking at the equations,
say if they arose from some completely different
and less intuitive context?
We’ll go over how to compute the answer
to a question like this in following videos,
and the intuition for the relevant computations
are guided heavily by the thought of looking
at a small region in this space around the
fixed point and asking about whether the flow
contracts or expands its points.
Speaking of attraction and stability, let’s
take a brief sidestep to talk about love.
The Strogatz quote I referenced earlier comes
from a whimsical column in the New York Times
on mathematical models of love, an example
well worth pilfering to illustrate that we’re

Modern Greek (1453-): 
αναπαριστά όταν το εκκρεμές είναι τέλεια ισορροπημένο όρθια.
Αυτά είναι τα λεγόμενα σταθερά σημεία του συστήματός μας,
και μια φυσική ερώτηση να ρωτήσετε είναι κατά πόσο είναι σταθερά.
Δηλαδή αν μικροσκοπικές ωθήσεις στο σύστημα θα έχουν ως αποτέλεσμα μια κατάστατση,
που τίνει πίσω προς αυτό το σταθερό σημείο, 
ή μακριά από αυτό.
H φυσική διαίσθηση για το εκκρεμές κάνει την απάντηση εδώ πέρα κάπως προφανή,
αλλά πώς θα σκεφτόσασταν την σταθερότητα απλά κοιτόντας τις εξισώσεις,
ας πούμε αν προέκυπταν από κάποιο τελείως διαφορετικό, λιγότερο διαισθητικό πλαίσιο.
Θα δούμε το πώς να υπολογίσετε τις απαντήσεις σε τέτοιες ερωτήσεις σε επόμενα βίντεο,
και η διαίσθηση για τους σχετικούς υπολογισμούς καθοδηγείται σε μεγάλο βαθμό
από τη σκέψη του να κοιτάζουμε 
μικρές περιοχές στο χώρο,
γύρω από ένα σταθερό σημείο,
και να ρωτάμε κατά πόσο η ροή τίνει 
να συσταλεί ή να διασταλεί.
Και μιλώντας για έλξη και σταθερότητα,
ας ξεφύγουμε για λίγο 
για να μιλήσουμε για την αγάπη.
Το  παράθεμα του Strogatz που ανέφερα νωρίτερα,
προέρχεται από μια φαντασιώδης στήλη 
στο New York Times,
στα μαθηματικά μοντελα της αγάπης,

German: 
das gleiche repräsentiert auch dieser Punkt, der anzeigt, dass das Pendel perfekt aufrecht balanciert ist.
Diese werden Fixpunkte unseres Systems genannt und
eine natürliche Frage ist, ob diese Punkte stabil sind. Das heißt, werden winzige Anstöße des Systems zu einem Zustand führen, der zurück zum Ausgangsfixpunkt führt, oder davon weg?
Die Intuition für das Pendel macht die Antwort hier offensichtlich, aber was würdest du über die Stabilität denken,
wenn du nur die Gleichungen sehen würdest. Zum Beispiel, wenn sie aus einem völlig anderem und weniger intuitivem Kontext kämen?
Wir werden in den nächsten Videos zeigen, wie man solche Fragen beantwortet.
Und die Intuition für die relevanten Berechnungen sind stark vom Gedanken geleitet,
sich kleine Regionen im Raum um einen
Fixpunkt anzusehen und sich zu fragen, ob die Strömung eher kontrahiert oder expandiert.
Apropos Anziehungskraft und Stabilität:
Machen wir einen kurzen Schritt, um über die Liebe zu sprechen.
Das Strogatz-Zitat, auf das ich zuvor Bezug genommen habe, kommt aus einer skurrilen Kolumne in der New York Times

Polish: 
wahadłu, które jest zrównoważone do góry. Są to tak zwane punkty stałe układu,
i naturalnym jest spytać, czy są stabilne, to znaczy czy małe wychylenia
układu będą skutkować stanem, który wraca do położenia stacjonarnego, czy się od niego oddala.
Fizyczna intuicja dla wahadła czyni odpowiedź oczywistą, ale jak myślałbyś o stabilności
patrząc tylko na równania, na przykład gdyby wyniknęły z jakiegoś zupełnie innego
i mniej intuicyjnego kontekstu?
Powiemy, jak wyliczyć odpowiedź na takie pytania w następnych filmach,
ale intuicja dla stosownych obliczeń jest silnie kierowana poprzez pomysł patrzenia
na małe obszary tej przestrzeni w otoczeniu punktów stałych i pytanie czy potok
zwęża czy rozszerza jego punkty.
Skoro mowa o przyciąganiu i stabilności, zróbmy krótki krok w bok i pomówmy o miłości.
Cytat ze Strogatza, który przywołałem, pochodzi z humorystycznego artykułu w New York Timesie
odnośnie matematycznych modeli miłości, przykładu z pewnością wartego podkradnięcia by pokazać,

Chinese: 
而在這裡的這個點代表著擺錘直立平衡的狀態。
這些就是所謂的不動點，
而一個自然要問的問題是它們是否穩定？
也就是在問說，微小的推動會導致趨向回歸穩定點還是遠離它？
物理上的直覺告訴我們這答案很顯然，
但你要怎麼只透過方程式就看出這些？
如果它們是在講完全不一樣的故事要怎麼辦？
我們會在下個影片討論如何計算這個問題的答案，
以及相關計算上的直覺，並思考在不動點周遭空間的小範圍，
並探討相流在其點上的收縮或擴大。
 
而說到吸引和穩定，讓我們來簡短地聊聊愛情吧。
我早先提到的斯托加茨的引用是來自“紐約時報”的一個令人跌破眼鏡的專欄，提及關於愛的數學模型，

Czech: 
když je kyvadlo v poloze vzhůru. Tyto body jsou stacionární,
můžeme se ale také zeptat, jestli jsou stabilní. Jinými slovy: jestli malinké posunutí způsobí
pohyb zpátky, nebo pryč.
Představa fyzického kyvadla dělá takovou otázku triviální, ale kdybysme se dívali jen na rovnice,
pokud by se k nám dostaly z úplně jiné
a méně intuitivní strany?
K tomu, jak vypočítat odpověď na tyto otázky se dostaneme v budoucích videích,
intuice pro relevantní výpočet bude hodně záležet na malé oblasti totoho prostoru
kolem fixního bodu a kolem otázky, jestli
fázorový proud zmenšuje nebo zvětšuje body tohoto prostoru.
Když už se bavíme o přitahování a stabilitě, odběhněme na chvilku k lásce.
Strogatzův citát, který jsem citoval na začátku, pochází z energického sloupku v New York Times
o matematickém modelování lásky, z příkladu, který se vyplatí vykrást, abysme mohli

Vietnamese: 
Và cả điểm này nữa, cũng tương ứng với khi con lắc đứng thăng bằng tuyệt đối.
Chúng được gọi là các điểm cố định của hệ.
Một câu hỏi tự nhiên là liệu chúng có bền hay ổn định?
Liệu một tác động nhỏ lên hệ có làm hệ trở lại được trạng thái cân bằng đó, hay tiến hóa khác xa so với nó.
Trực giác vật lý với con lắc giúp bạn dễ dàng trả lời, nhưng bạn sẽ nghĩ về tính ổn định như thế nào
nếu chỉ bằng cách nhìn vào các phương trình, giả như chúng đến từ những vấn đề ít trực quan hơn nhiều?
Ta sẽ tìm hiểu cách tính đáp án cho một câu hỏi như thế này trong các video sau,
và ý tưởng cho các tính toán đó đến từ việc nhìn vào một vùng nhỏ quanh điểm cố định,
và xem dòng pha sẽ lan rộng ra hay co lại.
(đoạn về tình yêu này mình ko dịch :3)

German: 
über die mathematische Modellierung der Liebe. 
Ein Beispiel, um zu zeigen, dass wir hier nicht nur über Physik reden.
Stell dir vor, du hast mit jemandem geflirtet,
aber es gab einige frustrierende Unstimmigkeiten, wie gegenseitig eure Zuneigung erscheint.
Und vielleicht,in einem Moment, in dem du dich auf die Physik konzentriest, um dich von der romantischen Unruhr abzulenken,
über die aufgebrochenen Pendelgleichungen grübelnd, verstehst du plötzlich die Dynamik deines Hin-und-Her-Flirtes.
Du hast gemerkt, dass deine eigene Zuneigung dazu neigt zuzunehmen, wenn dein Partner an dir interessiert scheint, aber abnimmt, wenn sie kühler wirken.
Dass heißt, die Änderungsrate deiner Zuneigung ist proportional zu ihrer Zuneigung zu dir.
Aber dein Schatz ist genau das Gegenteil: Seltsam angezogen, wenn du uninteressiert wirkst; aber abgestoßen, wenn du zu begierig wirst.
Der Phasenraum für diese Gleichungen sieht sehr ähnlich zum mittleren Teil des Pendeldiagramms aus.
Ihr beide werdet hin und her gehen zwischen Zuneigung und Abstoßung in einem endlosen Zyklus.

Portuguese: 
não estamos falando apenas sobre física.
Imagine que você está flertando com alguém, mas há algo estranho e frustrante
sobre como os sentimentos estão funcionando. E talvez enquanto você vira sua atenção
para a física para manter sua mente fora deste tumulto romântico, se remoendo com
as equações do pêndulo, você de repente entende a dinâmica do seu flerte.
Você notou que seus próprios sentimentos tendem a aumentar quando seu companheiro parece
interessado ​em você, mas diminuem quando parecem mais frios. Ou seja, a taxa de mudança para
seu amor é proporcional aos sentimentos dele por você.
Mas esse seu amor é exatamente o oposto: estranhamente atraído por você quando
você parece desinteressado, mas se desinteressa quando você fica muito meloso.
O espaço de fase para estas equações é muito semelhante à parte central do diagrama do seu pêndulo.
Vocês dois vão e voltam entre carinho e repulsa em um ciclo infinito.

Czech: 
mluvit i o něčem jiném než o fyzice.
Představte si, že s někým flirtujete, ale dochází k frustrujícím změnám
vašeho cítění. A třeba za chvilku, když se vnoříte do fyziky, abyste si odpočinuli
od romantického zmatku, do rozpadaných rovnic kyvadla,
budete moci pochopit ano-ne-ano dynamiku vašeho vztahu.
Všimli jste si, že vaše city sílí, pokud to vypadá, že se vašemu protějšku líbíte,
ale klesají, když působí vlažně. Nebo jinak:
změna vaší lásky je úměrná jejich pocitům vůči vám.
Ale to zlatíčko to má úplně naopak: přitahujete je,
když neprojevujete zájem, ale nic moc se neděje, když působíte vášnivě.
Fázorový prostor těchto rovnic vypadá velmi podobně hlavní části diagramu kyvadla.
Skáčete tam a zpátky mezi přitahováním a odpuzováním v nekonečném cyklu.

Italian: 
che non stiamo parlando solo di fisica.
Immagina di star flirtando con qualcuno, ma vi è stata un po' di frustrazione
riguardo a quando mutevole sembri il tuo affetto. E magari durante un momento in cui hai spostato la tua attenzione
alla fisica per dimenticarti di questo tormento romantico, rimuginando sulle tue
incasinate equazioni sul pendolo, improvvisamente comprendi le dinamiche acceso-spento del tuo flirtare.
Hai notato che il tuo affetto aumenta quando la tua fiamma sembra
interessata a te, ma decresce quando sembra fredda. Ecco, il tasso di variazione del
tuo amore è proporzionale ai sentimenti che prova la tua fiamma per te.
Ma quel tenerone dall'altra parte è precisamente il contrario, stranamente attratto da te
quando sei disinteressato, ma freddo quando sembri troppo premuroso
Lo spazio delle fasi per queste equazioni  è molto simile alla parte centrale del diagramma del pendolo.
Voi due andrete avanti e indietro tra affetto e repulsione in un ciclo

Polish: 
że nie mówimy jedynie o fizyce.
Wyobraź sobie, że z kimś flirtujesz, jednak jest irytująca niespójność odnośnie tego,
jak wzajemne wydają się być uczucia. Być może w momencie, gdy przeniesiesz swoją uwagę
w stronę fizyki by oderwać się od tego miłosnego zamieszania, rozmyślając nad rozbitymi
równaniami wahadła, nagle zrozumiesz zmienną dynamikę swoich podbojów miłosnych.
Zauważyłeś, że twoje własne uczucie rośnie, gdy twój partner wydaje się być
tobą zainteresowany, ale maleje gdy wygląda na obojętnego. To znaczy, że tempo zmian
twojej miłości jest proporcjonalne do ich uczuć względem ciebie.
Jednak twoja sympatia jest dokładnie przeciwna; o dziwo, wabi ją, gdy
wydajesz się być obojętny, jednak zniechęcają ją przejawy twojego zainteresowania.
Przestrzeń fazowa tych równań wygląda bardzo podobnie do centralnej części twojego
wykresu wahadła. Wasza dwójka będzie wahać się między przywiązaniem a niechęcią w niekończącym się

Modern Greek (1453-): 
ένα παράδειγμα που αξίζει να κλέψουμε για να διευκρινίσουμε ότι δεν μιλάμε μόνο για φυσική εδώ.
Φανταστείτε ότι φλερτάρετε με κάποιον, αλλά γίνεται κάποια απογοητευτική ασυνέπεια
στο πόσο αμοιβαία φαίνεται η αγάπη σας.
Και ίσως κάποια στιγμή που στρέφετε 
την προσοχή σας στη φυσική
για να κρατήσετε το μυαλό σας μακριά από αυτή τη ρομαντική αναταραχή,
διαμαρτύρεστε για τις διαλυμένες 
εξισώσεις του εκκρεμούς,
ξαφνικά καταλαβαίνετε τη μη συνεχή δυναμική του φλερταρίσματός σας.
Έχετε παρατηρήσει ότι η αγάπη σας τίνει να αυξάνεται όταν ο σύντροφός σας ενδιαφέρεται για εσάς,
αλλά μειώνεται όταν φαίνεται απόμακρος.
Αυτό σημαίνει, ο ρυθμός μεταβολής της αγάπης σας είναι ανάλογος των αισθημάτων τους για εσάς.
Αλλά ο/η αγαπημένος/η σας είναι 
ακριβώς το αντίθετο:
παραδόξως τον ελκύετε όταν φαίνεστε αδιάφοροι,
αλλά απαξιεί όταν φαίνεστε να ενδιαφέρεστε.
Ο χώρος φάσεων για αυτές τις εξισώσεις,
μοιάζει πολύ με το κεντρικό μέρος 
του διαγράμματος του εκκρεμούς σας.
Οι δυο σας θα πηγαινοέρχεστε μεταξύ αγάπης και απέχθειας σε ένα αέναο κύκλο.

Russian: 
показать, что мы здесь говорим не только лишь о физике.
Представьте, что флиртуете с кем-то, но есть некая разочаровывающая противоречивость в том,
насколько взаимными выглядят эти чувства
Возможно, в тот момент, когда вы обращаете внимание на физику,
чтобы отстраниться от этих любовных неурядиц, обдумывая разбитые дифф. уравнения маятника,
то внезапно понимаете колеблющуюся динамику вашего флирта.
Вы заметили, что ваша собственная симпатия склонна увеличиваться, когда
ваш партнёр выглядит заинтересованным в вас.
И уменьшается, когда он выглядит "охладевшим".
Таким образом, скорость изменения вашей любви пропорциональна к чувствам по отношению к вам.
Но ваш возлюбленный — прямая противоположность:
странным образом его притягивает к вам
когда вы выглядите равнодушным, но теряет интерес, когда вы проявляете сильные чувства.
Фазовое пространство для этих уравнений выглядит очень похожим на центральную часть
диаграммы для маятника.
Вы двое будете двигаться взад-вперед, между симпатией и отвращением, в бесконечном цикле.

English: 
not just talking about physics.
Imagine you’ve been flirting with someone,
but there’s been some frustrating inconsistency
to how mutual the affections seem. And perhaps
during a moment when you turn your attention
towards physics to keep your mind off this
romantic turmoil, mulling over your broken
up pendulum equations, you suddenly understand
the on-again-off-again dynamics of your flirtation.
You’ve noticed that your own affections
tend to increase when your companion seems
interested in you, but decrease when they
seem colder. That is, the rate of change for
your love is proportional to their feelings
for you.
But this sweetheart of yours is precisely
the opposite: Strangely attracted to you when
you seem uninterested, but turned off once
you seem too keen.
The phase space for these equations looks
very similar to the center part of your pendulum
diagram. The two of you will go back and forth
between affection and repulsion in an endless

Chinese: 
這個例子很值得拿來聊聊，我們可不是只會聊物理而已。
想像一下，你一直在追求一個心儀的對象，但這過程總是令人很喪志。
此時也許你可以轉過頭來看看物理這邊，
也許就能讓你的心思遠離這個浪漫的扯事，
深思一下那令你心碎的擺鐘方程式，你會對那永無止盡追求的深淵的動態突然大澈大悟。
當你覺得對象好像對你有好感時，你自己對他們的喜好程度也會上升，
但當他們看起來很冷淡時，你對他們的喜好程度也會跟著下降。
也就是說，你感情的變化率與他們的感覺成正比。
但你的甜心卻恰好相反：
當你對他們不感興趣，他們反而會被受吸引，但一旦你有興致了，他們又不理你了。
這方程式的相空間看起來和鍾擺圖的中心部分相當相似。
你們兩個會在無盡的吸引與相斥之間來回徘徊。

English: 
cycle. A metaphor of pendulum swings in your
feelings would not just be apt, but mathematically
verified. In fact, if your partner’s feelings
were further slowed when they feel themselves
too in love, let’s say out of a fear of
being made vulnerable, we’d have a term
matching the friction of your pendulum, and
you two would be destined to an inward spiral
towards mutual ambivalence. I hear wedding
bells already.
The point is that two very different-seeming
laws of dynamics, one from physics initially
involving a single variable, and another from...er...chemistry
with two variables, actually have a very similar
structure, easier to recognize when looking
at their phase spaces. Most notably, even
though the equations are different, for example
there’s no sine in your companion’s equation,
the phase space exposes an underlying similarity
nevertheless.
In other words, you’re not just studying
a pendulum right now, the tactics you develop
to study one case have a tendency to transfer
to many others.

German: 
Eine Metapher eines Pendels, das in deinem Herzen schwingt, wäre nicht nur passend, sondern mathematisch belegt.
Falls die Gefühle deines Partners
sich weiter verlangsamen würden, wenn sie sich zu verliebt fühlen,
sagen wir aus Angst, zu verwundbar zu werden,
hätten wir einen Begriff passend zur Reibung des Pendels und ihr zwei wäret für eine sich nach innen windende Spirale bestimmt
in Richtung gegenseitiger Ambivalenz.
Ich höre schon die Hochzeitsglocken.
Der Punkt ist, dass zwei sehr unterschiedlich scheinende
Gesetze der Dynamik, eine aus der Physik mit einer einzigen Variable,
und einer anderen aus ... äh ... 
der Chemie mit zwei Variablen
haben eine ziemlich ähnliche Struktur, einfacher zu erkennen, wenn du dir das Phasendiagramm ansiehst.
Am Wichtigsten: Obwohl die Gleichungen unterschiedlich sind (z.B. gibt es keinen Sinus in der Romantik-Gleichung),
zeigt der Phasenraum eine zugrundeliegende Ähnlichkeit dennoch an.
Mit anderen Worten, du studierst gerade nicht nur ein Pendel. 
Die Taktik, die du für die Analyse eines Fall entwickelst,
neigen dazu, auf andere Fälle übertragbar zu sein.

Czech: 
Metafora pohybů kyvadla vašich citů by nebyla jen přiléhavá, ale i matematicky ověřená.
Pokud by city vašeho partnera byly ještě víc zpomalené, pokud by se cítili až moc zamilováni,
třeba z důvodu pocitu zranitelnosti, měli bychom rovnici
shodnou s odporem kyvadla, a byli byste na spirálovité cestě
vzájemné ambivalence. Už slyším svatební zvony.
Pointou je to, že dva dynamické systémy, které spolu vzájemně nesouvisí:
jeden z fyziky s jednou proměnnou, a druhý... ehm.. z chemie s dvěma proměnnými, mají ve výsledku
dost podobnou strukturu, která je lépe rozpoznatelná, když se na ni podíváme ve fázorovém prostoru.
I když jsou ty rovnice rozdílné, například že v romantické rovnici není žádný sinus,
fázorový prostor ukáže skrytou podobnost.
Jinými slovy: teď nestudujete jen kyvadlo, taktika pro studium jednoho případu
lze použít i na spoustu dalších.

Italian: 
infinito. Un pendolo metaforico oscilla nelle tue emozioni: non è solo un paragone adatto, ma matematicamente verificato.
Infatti se le sensazioni del tuo partenere fossero rallentate quando di sentono troppo
"innamorate", ad esempio per la paura di diventare vulnerabili, avremmo il termine
corrispondente all'attrito del pendolo e voi due sarete destinati a una spirale verso l'interno
verso l'ambivalenza reciproca. Sento già le campane del matrimonio.
Il punto è che due leggi apparentemente diversi della dinamica, una della fisica
che include una sola variabile e l'altra dalla .. ehm.. chimica con due variabili, hanno una struttura molto simile
più facile da riconoscere guardando ai loro spazi delle fasi. Ancor più notevole, anche
se le equazioni sono differenti, per esempio non vi è il seno nell'equazione dell'amore
lo spazio delle fasi presenta delle somiglianze nonostante tutto.
In altre parole non stai studiando solo il pendolo adesso, le tatti che che sviluppi
per studiare un caso hanno la tendenza a trasfrirsi in molti altri

Modern Greek (1453-): 
Μια μεταφορά της ταλάντωσης του εκκρεμούς
ως τα αισθήματά σας
δεν θα ήταν απλώς κατάλληλη, αλλά 
μαθηματικά επιβεβαιωμένη.
Κατ' ακρίβεια, αν τα αισθήματα των συντρόφων σας επιβραδύνονται περαιτέρω
όταν νιώθουν τον εαυτό τους πολύ ερωτευμένο,
ας πούμε από φόβο να γίνουν ευάλωτοι,
θα έχουμε ένα όρο που αντιστοιχεί στην τριβή 
στο εκκρεμές,
και εσείς οι δύο θα προορίζεστε σε μια εσωτερική σπείρα προς την αμοιβαία αμφιβολία.
Ήδη ακούω γαμήλιες καμπάνες.
Το θέμα είναι ότι δύο φαινομενικά 
πολύ διαφορετικοί νόμοι δυναμικής,
ένας από τη φυσική, 
που περιλαμβάνει μια μεταβλητή,
και ο άλλος από... εμμ... την χημεία, 
με δύο μεταβλητές,
έχουν στην πραγματικότητα πολύ όμοια δομή,
που είναι ευκολότερο να την αναγνωρίσετε όταν κοιτάζετε στο διάγραμα φάσεων τους.
Κυρίως, παρόλο που οι εξισώσεις 
είναι διαφορετικές,
για παράδειγμα δεν υπάρχει συνάρτηση ημιτόνου
στις ρομαντικές εξισώσεις,
ωστόσο ο χώρος φάσεων φανερώνει μια
υποκειμενική ομοιότητα.
Με άλλα λόγια, δεν μελετάτε απλά ένα εκκρεμές
αυτή τη στιγμή,
η τακτικές που αναπτύσσετε για 
να μελετήσετε μια περίπτωση,
έχουν την τάση να μεταφέρονται σε πολλές άλλες.

Polish: 
cyklu. Metafora wahadła w twoich uczuciach byłaby nie tylko trafna, ale matematycznie
potwierdzona, W rzeczywistości, gdyby uczucia twojego partnera słabły bardziej, gdy czułby się
za bardzo zakochany, powiedzmy ze strachu przed staniem się podatnym na zranienie, mielibyśmy
czynnik odpowiadający za tarcie twojego wahadła i wasza dwójka byłaby skazana na zwijającą się spiralę
zmierzającą do wzajemnej obojętności. Już słyszę ślubne dzwony.
Chodzi o to, że dwa pozornie bardzo różne prawa dynamiki, jedno z fizyki, początkowo zawierające
jedną zmienną, oraz drugie, z... ee... chemii z dwiema zmiennymi, w rzeczywistości mają bardzo podobną
strukturę, którą łatwiej rozpoznać patrząc na ich portrety fazowe. Przede wszystkim, nawet
mimo tego, że równania są inne, na przykład nie ma sinusa w równaniu twojego partnera,
portrety fazowe przejawiają mimo wszystko zasadnicze podobieństwo.
Innymi słowy, badasz w tym momencie nie tylko wahadło, sposoby, które wypracowałeś
do pracy nad jednym przypadkiem mają tendencję do przenoszenia się na wiele innych.

Chinese: 
這不僅僅只適用於鐘擺的擺動和你的感情之間，而這也是有獲得數學上的驗證的。
事實上，當彼此之間的關係進展太快，你的對象會想要放慢腳步。
這就是所謂的既期待又怕受傷害。
這就好比擺錘的摩擦力，而你們兩也就注定要陷入內心的螺旋走向彼此的矛盾。
我已經聽到了婚禮的鐘聲。
重點是這是兩個截然不同的動力學定律，一個來自涉及一個變量的物理，
而另一個來自......呃...化學的兩個變量，實際上他們的結構相當相似，
從他們的相空間很輕易的就看的出來。
最值得注意的是，雖然兩方程式不同，例如你的追求方程式中沒有正弦，
但其相空間暴露了其潛在的相似性。
換句話說，你現在學的不是只是一直盯著鐘擺看，
你所研究的一小部分也有機會用到其它地方上。

Portuguese: 
Uma metáfora de oscilações de pêndulo em seus sentimentos não seria apenas adequada, mas matematicamente verificado.
Na verdade, se os sentimentos de repulsa do seu parceiro desaceleram quando se sentem
mais apaixonados, digamos, por não ter medo de se tornar mais vulnerável, teríamos um termo
que se comporta como o atrito do seu pêndulo, e vocês dois seriam destinados a uma espiral
em direção ao amor mútuo. Eu ouço os sinos do casamento já.
O ponto é que duas leis de dinâmica aparentemente muito diferentes, uma da física inicialmente
envolvendo uma única variável, e outra de ... er ... química com duas variáveis, na verdade possuem estruturas muito familiares.
Mais fácil de reconhecer quando se olha para os seus espaços de fase. Mais notavelmente, mesmo
embora as equações sejam diferentes, por exemplo, não há um seno na equação do seu companheiro,
o espaço de fase expõe uma semelhança implícita, no entanto.
Em outras palavras, você não está apenas estudando um pêndulo, as táticas que você desenvolveu
para estudar um caso tem uma tendência a se transferir para muitos outros.

Russian: 
Метафора колебаний маятника в ваших чувствах не только удачна, но и математически проверяема.
Фактически, если бы чувства вашего партнёра замедлились,
когда он чувствует себя "слишком влюблённым"
(давайте назовём это страхом быть уязвимым)
мы имели бы параметр трения для маятника
И вы оба неизбежно двигались бы по внутренней спирали ко взаимным двойственным чувствам.
Я уже слышу свадебные колокольчики.
Дело в том, что два очень непохожих закона динамики,
один из физики, включая единственную переменную
а другой из...эм... химии, с двумя переменными,
на самом деле имеют очень похожую структуру
которую легче оcознать, когда вы смотрите на их фазовую диаграмму.
И что самое важное, даже когда уравнения разные,
как, например, наше "любовное" уравнение, где нет функции синуса
фазовое пространство, тем не менее, проявляет базовое подобие .
Иными словами, сейчас вы не только изучаете маятник,
принцип, который вы осваиваете, чтобы изучить один случай,
может быть перенесён на многие другие.

Russian: 
Окей, фазовые диаграммы хороши для того чтобы получить понимание, но что насчет вычисления
ответа наших уравнений?
Ну, один из способов сделать это —
непосредственно симулировать, что будет делать вселенная
но используя конечные временные шаги вместо бесконечно малых и пределов,
описываемых в мат. анализе.
Основная идея — если у вас есть некая точка на этой фазовой диаграмме,
сделайте шаг на основе любого вектора, на котором она сидит, на какой-то малый временной шаг Δt.
Например, возьмите шаг, равный Δt * этот вектор.
Помните, на схеме этого векторного поля размеры каждого вектора искусственно уменьшены,
чтобы избежать захламления.
Когда мы повторим это несколько раз, ваше конечное положение будет приближением θ(t),
где t — сумма всех ваших временных шагов.
Если вы подумаете о том, что было только что показано, и что бы это означало для
движения маятника, вы бы, наверное, согласились, что это весьма грубо и неточно.
Но это лишь потому что шаг Δt = 0.5 слишком большой.

Modern Greek (1453-): 
Εντάξει, άρα τα διαγράμματα φάσεων είναι ένας καλός τρόπος να αναπτύξετε κατανόηση,
αλλά τι συμβαίνει στην πραγματικότητα με τον υπολογισμό της απάντησης στην εξίσωσή μας;
Λοιπόν, ένας τρόπος να το κάνουμε αυτό,
είναι να προσομοιώσουμε ουσιαστικά το
τι θα έκανε το σύμπαν,
αλλά χρησιμοποιόντας πεπερασμένα βήματα χρόνου
αντί για τις απειροελάχιστες ποσότητες και τα όρια που καθορίζουν τον απειροστικό λογισμό.
Η βασική ιδέα, είναι ότι αν βρίσκεστε σε κάποιο σημείο σε αυτό το διάγραμμα φάσεων,
κάντε ένα βήμα βασιζόμενοι
στο διάνυσμα στο οποίο βρίσκετστε,
για ένα μικρό χρονικό βήμα, Δt.
Ειδικότερα, κάντε ένα βήμα ίσο με
Δt επί αυτό το διάνυσμα.
Ως υπενθύμιση για το σχεδιασμό αυτών
των διανυσματικών πεδίων,
το μέγεθος του κάθε διανύσματος έχει μειωθεί τεχνητά με κλίμακα,
για να αποφύγουμε την ακαταστασία.
Όταν το κάνετε αυτό επανειλημμένα,
η τελική σας τοποθεσία θα είναι
μια προσέγγιση του θ(t),
όπου το t είναι το άθροισμα όλων αυτών
των χρονικών βημάτων.
Ωστόσο, αν σκεφτείτε το τι παρουσιάζεται
αυτή την στιγμή,
και τι αυτό υποδηλώνει για την κίνηση του εκκρεμούς,
πιθανότατα θα συμφωνήσετε ότι αυτό είναι υπερβολικά ανακριβές.
Αλλά αυτό σημβαίνει γιατί το χρονικό βήμα Δt του 0,5 είναι πάρα πολύ μεγάλο.

German: 
Okay, Phasendiagramme sind ein guter Weg Verständnis aufbauen.
Aber was ist damit, tatsächlich eine Antwort auf unsere Gleichung zu berechnen? 
Nun ja, eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, im Wesentlichen zu simulieren
was das Universum tun würde, aber mit endlichen Zeitschritten, statt der infinitesimalen Zahlen und Grenzwerte,
welche die Analysis definieren.
Die Grundidee ist: Wenn du an einem Punkt in diesem Phasendiagramm bist, mache einen kleinen Zeitschritt Delta-t basierend auf dem Vektor, auf dem du gerade sitzt.
Genauern, mache einen Schritt von Delta-T multipliziert mit diesem Vektor. Zur Erinnerung, die Größe jedes Vektors im Vektorfeld
wurde künstlich nach unten skaliert, um Unordnung zu vermeiden.
Wenn du das immer weiter wiederholst, wird dein endgültiger Standort eine Annäherung von Theta (t) sein, wobei t die Summe aller dieser Zeitschritte ist.
Wenn du darüber nachdenkst, was gerade gezeigt wird, und was das für die Begung des Pendels bedeuten würde,
würdest du wahrscheinlich zustimmen, dass es total unzutreffend ist.

Polish: 
Ok, więc portrety fazowe są ładnym sposobem na budowanie intuicji, ale co z właściwym
wyliczaniem rozwiązania naszego równania? No cóż, jednym sposobem jest w zasadzie symulacja tego,
co zrobi świat, ale korzystając ze skończonych chwil czasu zamiast nieskończenie małych chwil i granic.
definiujących całą analizę.
Główny pomysł jest taki, że jeśli jesteś w jakimś punkcie wykresu fazowego, to zrób krok zgodnie z tym
na jakim siedzisz wektorze, przez jakąś krótką chwilę czasu delta-t. Dokładniej, zrób
krok delta-t razy ten wektor. Pamiętaj, że przy rysowaniu pola wektorowego, długość
każdego wektora została sztucznie przeskalowana dla zachowania porządku. Powtarzając ten schemat,
twoje ostateczne położenie stanowić będzie przybliżenie theta(t), gdzie t jest sumą wszystkich kroków w czasie.
Gdy pomyśleć o tym, co jest w tej chwili rysowane i co oznaczałoby to dla ruchu
wahadła, zgodziłbyś się zapewne, że jest mocno niedokładne. Dzieje się tak jednak tylko dlatego,

Czech: 
No dobře, fázorové diagramy jsou pěkný způsob vedoucí k pochopení, ale co když budeme chtít
vypočítat řešení naší rovnice? Způsob řešení je
simulovat co by dělal svět, ale pomocí konečných časových rozdílů místo
nekonečně malých kousíčků a limit definujících kalkulus.
V zásadě stačí v nějakém bodě fázového diagramu
udělat takový krok, jaký dělá vektor, na kterém stojíme, Δt.
Konkrétně krok Δt krát ten vektor.  Mějme na paměti, že vektorový prostor jsme kreslili tak,
abysme v něm měli pořádek, a vektory jsme uměle zmenšovali.
Ten krok opakujme, dokud se nedostaneme do konce, což je aproximace θ(t), kde t je součet
všech kroků v čase.
To, co nyní vidíme, by rozhodně nepopisovalo pohyb kyvadla.
To je proto, že krok Δt o hodnotě 0.5 je moc velký.

Chinese: 
好的，所以相圖是一個建立理解策略的一個好方法，
但實際來計算我們的方程式答案又會是如何？
好，一個方法是模擬世界的運作方式，但使用的是有限的時間步驟，而不是以微積分中的無窮小和極限做定義。
基本的想法是，如果你有在這相圖上的某點，
取其相圖上的向量和一小段時間 Δt 。
具體來說，是拿 Δt 乘上該向量。
和之前一樣，在繪製此向量場時，為了避免混亂每個向量都會被人為的縮小。
反覆這樣做之後，最終的位置將會是 θ(t) 之近似值，而 t 是你所有一小段時間的總和。
如果你看著圖現在的樣子然後思考其鐘擺運動的的內涵。
你一定會覺得這很不準確。
但那只是因為將 Δt 取值為 0.5 太大的關係。

English: 
Okay, so phase diagrams are a nice way to
build understanding, but what about actually
computing the answer to our equation? Well,
one way to do this is to essentially simulate
what the world will do, but using finite time
steps instead of the infinitesimals and limits
defining calculus.
The basic idea is that if you’re at some
point on this phase diagram, take a step based
on whatever vector your sitting on for some
small time step, delta-t. Specifically, take
a step of delta-T times that vector. Remember,
in drawing this vector field, the magnitude
of each vector has been artificially scaled
down to prevent clutter. Do this repeatedly,
and your final location will be an approximation
of theta(t), where t is the sum of all your
time steps.
If you think about what’s being shown right
now, and what that would imply for the pendulum’s
movement, you’d probably agree it’s grossly
inaccurate. But that’s just because the

Italian: 
Ok, dunque i diagrammi di fase sono un buon modo per costruire la comprensione, ma cosa possiamo dire
sulla computazione della risposta esatta alla nostra equazione? Beh, un modo per fare ciò è essenzialmente simulae
ciò che il modo farà, ma usante step finiti invece di infinitesimali e limiti
che definiscono l'analisi.
L'idea di base è che a un certo punto del diagramma delle fasi, fai un passo in base
a quale vettore corrisponde al tuo punto, per un piccolo intervallo temporale Δt
e di lunghezza pari a Δt moltiplicato per il vettore. Ricordate che nel disegno
l'intensità dei vettori è indicata dal colore per prevenire sovrapposizioni. Fate ciò ripetutamente
e troverete un' approssimazione di  θ(t), dove t è la somma di tutti gli intervalli
di tempo
Se pensi a ciò che sto mostrando ora, e ciò che implicherebbe per il movimento
del pendolo, penseresti probabilmente che è grossolanamente inaccurato. Ma questo perchè

Portuguese: 
Ok, os diagramas de fase são uma boa maneira de construir entendimento, mas e quanto a
computação da resposta para nossa equação? Bem, uma maneira de fazer isso é essencialmente simular
o que o mundo fará, mas usando passos de tempo finitos em vez dos infinitesimais e limites
definidos em cálculo.
A ideia básica é que, se você estiver em algum ponto deste diagrama de fase, dê um passo com base
em qualquer vetor em que você estiver, por algum pequeno intervalo de tempo, delta-t. Especificamente, dê
um passo de delta-t vezes esse vetor. Lembre-se, ao desenhar este campo vetorial, a magnitude
de cada vetor foi reduzido artificialmente para evitar desordem. Faça isso repetidamente
e sua localização final será uma aproximação de theta(t), onde t é a soma de todos os seus passos.
Se você pensar sobre o que está sendo mostrado agora, e o que isso implicaria no movimento do pêndulo,
você provavelmente concordaria que é grosseiramente impreciso. Mas isso é só porque o

Vietnamese: 
Ok, không gian pha là một cách hay để hiểu về pt, nhưng còn việc tính toán cụ thể thì sao?
Có một cách là, về cơ bản ta sẽ giả lập lại như vũ trụ đã làm, nhưng chỉ dùng hữu hạn các khoảng thời gian,
thay vì những khoảng vô cùng nhỏ, hay khái niệm giới hạn trong vi tích phân.
Ý tưởng là nếu bạn đang ở một điểm nào đó trên sơ đồ pha này, thực hiện một bước nhảy,
hướng theo vector tại điểm đó, trong một khoảng thời gian nhỏ Δt.
Cụ thể là, bước một bước dài bằng v*Δt. Nhớ là các vector đã được thu ngắn lại tránh lộn xộn.
Lặp lại các bước này, vị trí cuối cùng chính là một xấp xỉ của θ(t), với t là tổng tất cả Δt.
Nếu bạn nhìn các bước đang được tính ở đây, và so sánh với chuyển động thực của con lắc,
bạn sẽ đồng ý là tính như này trật lất rồi.

Vietnamese: 
Nhưng đó là chỉ vì Δt = 0.5 là quá lớn. Nếu ta cho nó nhỏ xuống còn 0.01,
bạn sẽ có được một xấp xỉ chính xác hơn nhiều, chỉ có điều phải tính rất nhiều.
Ví dụ muốn tính θ(10) ta cần phải lặp 1000 bước nhỏ.
May mắn là ta đang sống trong một thế giới có máy tính, nên việc lặp lại một phép tính 1000 lần
sẽ dễ như là thực hiện phép tính đó với một ngôn ngữ lập trình.
Nè, ta hãy cùng viết một đoạn code python ngắn để tính θ(t).
Trước tiên ta phải viết ptvp, trả về θ'', được tính dựa vào θ và θ'.
Ta bắt đầu bằng việc khởi tạo
hai biến, θ và θ', với giá trị đầu là θ(0) và θ'(0)
Giờ tôi đang cho θ bắt đầu ở pi/3 (60 độ), và θ' bắt đầu với 0 (rad/s).
Tiếp, ta viết một vòng lặp tương ứng với nhiều bước nhỏ từ 0 đến t,
mỗi bước là Δt, và đây tôi đang đặt bằng 0.01.

German: 
Aber das ist nur so, da der Zeitschritt Delta-t von 0,5 viel zu groß ist. Wenn wir ihn kleiner machen, sagen wir zu 0.01, dann bekommst du eine viel genauere Schätzung.
es braucht nur viel mehr wiederholte Schritte, das ist alles.
In diesem Fall erfordert das Berechnen von Theta (10) tausend kleine Schritte.
Zum Glück leben wir in einer Welt mit Computern, also ist die 1.000-malige Wiederholung einer Aufgabe so einfach wie das Artikulieren dieser Aufgabe mit einer Programmiersprache.
Lass uns das tatsächlich als Abschluss machen, schreiben wir ein kleines Python-Programm, das theta (t) für uns berechnet.
Dafür muss es die Differentialgleichung verwenden, welche die zweite Ableitung von Theta als Funktion von Theta und Theta-Punkt zurückgibt.
Du startest damit, zwei Variablen zu definieren:
Theta und Theta-Punkt,
beide  ausgedrückt von einigen Anfangswerten. 
In diesem Fall werde ich Theta bei pi / 3 (60 Grad) starten lassen
für 0 Theta-Punkt (dieWinkelgeschwindigkeit).
Als nächstes schreibe ich eine Schleife, die vielen kleinen Zeitschritte zwischen 0 und der Zeit t entspricht,

Italian: 
l'intervallo di tempo 0.5 secondi è troppo grande, se lo abbassiamo a 0.01 possiamo ottenere
un' approssimazione più accurata, che richiederà più passi ripetuti.
In questo caso computare  θ(10) richiede 1000 piccoli passi. Fortunamente
viviamo in un mondo con i computer e ripetere un compito semplice 1000 volte
è semplice quanto scrivere tale compito in un linguaggio di programmazione.
Infatti, scriviamo un piccolo programma in python che computa  θ(t) per noi.
Farà uso di equazioni differenziali che riscrive la derivata seconda di  θ
in funzione di  θ e  θ -pallino.Si comincia definendo due variabili  θ e  θ-pallino in termini
di alcuni valori iniziale. In questo caso sceglierò π/3 ovvero 60° e 0 per la
velocità angolare
Poi, scrivo un ciclo che corrisponde a quanti passi temporali devo fare da 0 a 10

Czech: 
Když ho zmenšíme, například na 0.01, získáme mohem přesnější výsledek,
je tam ale třeba spočítat mnohem více kroků.
V tomto případě θ(10) vyžaduje tisíc malých krůčků. Naštěstí žijeme ve světě
s počítači, takže opakovat jednoduchý krok tisíckrát je stejné,
jako popsání tohoto kroku programovacím jazykem.
Zkusme napsat jednoduchý program v pythonu, který nám bude θ(t) počítat.
Použijeme diferenciální rovnici, která bude vracet druhou derivaci θ jako funkci θ a θ'.
Začneme definicí dvou proměnných, θ a θ'',
které popíšou počáteční podmínky.
Zde to je θ rovna π/3, asi 60°, a nula pro počáteční rychlost, θ'.
Pak vytvoříme smyčku, která projde mnoha malými krůčky mezi nulou a deseti

Portuguese: 
intervalo de tempo delta-t de 0.5 é muito grande. Se nós o diminuirmos, digamos para 0,01, você pode obter
uma aproximação muito mais precisa, apenas com muito mais passos.
Neste caso, o cálculo de theta(10) requer mil pequenos passos. Felizmente vivemos em
um mundo com computadores, então repetir uma tarefa simples mil vezes é tão simples quanto articular
essa tarefa com uma linguagem de programação.
De fato, vamos escrever um pequeno programa em python que calcule theta(t) para nós. Tudo o que temos que fazer é
usar a equação diferencial, que retorna a segunda derivada de theta como uma função
de theta e theta-ponto. Você começa definindo duas variáveis, theta e teta-ponto, em termos
de alguns valores iniciais. Nesse caso, escolherei pi / 3, que é de 60 graus e 0
para a velocidade angular.
Em seguida, escreva um loop que corresponde a muitos pequenos intervalos de tempo entre 0 e 10, cada um

Polish: 
że krok w czasie delta-t=0.5 jest zdecydowanie za duży. Jeśli go zmniejszymy, powiedzmy do 0.01, dostajesz
znacznie dokładniejsze przybliżenie, które po prostu wykorzystuje dużo więcej powtórzonych kroków.
W tym przypadku, obliczenie theta(10) wymaga tysiąca małych kroków. Na szczęście żyjemy w
świecie z komputerami, więc powtórzenie prostego zadania 1000 razy jest tak proste, jak zapisanie
tego zadania w języku programowania.
W zasadzie, zapiszmy mały program w pythonie, który liczy dla nas theta(t). Będzie korzysta
z równania różniczkowego, które zwraca drugą pochodną thety jako funkcję
thety i thety z kropką. Zaczynasz od zdefiniowania dwóch zmiennych, theta i theta-kropka, w języku
pewnych wartości początkowych. W tym przypadku wybiorę π/3, czyli 60 stopni, oraz 0
jako prędkość kątową.
Następnie, napiszmy pętlę, która odpowiada temu, jak wiele małych kroków czasu jest pomiędzy 0 i 10, każdy

Modern Greek (1453-): 
Αν το μειώσουμε, έστω στο 0,01 , μπορείτε να πάρετε μια πολύ πιο ακριβή προσέγγιση,
απλά παίρνει περισσότερα επαναλαμβανόμενα βήματα.
Σε αυτή την περίπτωση, ο υπολογισμός του θ(10), απαιτεί 1000 μικρά βήματα.
Ευτυχώς ζούμε σε ένα κόσμο με υπολογιστές,
άρα η επανάληψη μιας απλής πράξης 1000 φορές,
είναι όσο απλό όσο το να υλοποιήσουμε αυτή την πράξη με μια γλώσσα προγραμματισμού.
Κατ' ακρίβεια, ας τελειώσουμε τα πράγματα,
με το να γράψουμε ένα μικρό πρόγραμμα στην python που υπολογίζει το θ(t) για εμάς.
Αυτό που πρέπει να κάνει, είναι να χρησιμοποιήσει
τη διαφορική εξίσωση,
η οποία επιστρέφει τη δεύτερη παράγωγο του θ ως συνάρτηση των θ και θ'.
Αρχίζετε με το να ορίσετε δύο μεταβλητές, 
τις θ και το θ',
την κάθε μια με όρους κάποιων αρχικών συνθηκών.
Σε αυτή τη περίπτωση, θα θέσω το θ να ξεκινά στο π/3, που ισούται με 60 μοίρες,
και το θ' να ξεκινά στο 0.
Έπειτα, θα γράψω ένα βρόγχο που αντιστοιχεί στο να παίρνετε πολλά μικρά χρονικά βήματα
μεταξύ του μηδέν και του χρόνου σας t, το καθένα μεγέθους Δt, το οποίο θέτω εδώ να είναι 0,01.

Chinese: 
如果我們取值到 0.01 ，你就能得到更準確的近似值。
只是需要多重複幾次。
以這個案例來說，計算 θ(10) 需要1000步。
幸虧我們活在一個有電腦的時代，所以一個需要重複1000次的工作只要簡單的幾行程式語言就能做到。
所以就讓我們來寫一小段python的程式來計算 θ(t) 。
所要做的就是設計一個可以回傳 θ 的二階導數的 θ 和 θ-dot 函數。
先從定義 θ 和 θ-dot 兩個變量的初始值開始，
我會將 θ 等於 π/3，即60°，而 θ-dot 等於 0 。
接下來，寫一個在 0 到 10 之間的迴圈，並將 Δt 設為 0.01 。

Russian: 
Если мы его уменьшим, скажем, до 0.01, то
то сможем получить намного более точное приближение
это просто потребует больше повторенных шагов в целом.
В этом случае, вычисление θ(10) потребует тысячу маленьких шагов.
К счастью, мы живём в мире, где есть компьютеры, так что выполненить простую задачу 1 000 раз
так же просто, как и сформулировать эту задачу на языке программирования.
Действительно, давайте напишем небольшую программу на Python, которая вычислит за нас θ(t).
Что нужно сделать, так это использовать дифференциальное уравнение,
которое возвращает вторую производную от θ как функцию от θ и θ-точка.
Начинайте с определения двух переменных —  θ и θ-точка, выражая их в каких-то начальных условиях.
В нашем случае я выбираю θ нач. = π/3, то есть 60 градусов и θ-точка нач. = 0 (угловая скорость).
Далее, напишем цикл, который соответствует множеству маленьких временных шагов
между 0 и вашим t, каждый размером Δt, который я здесь поставил 0.01

English: 
timestep delta-t of 0.5 is way too big. If
we turn it down, say to 0.01, you can get
a much more accurate approximation, it just
takes many more repeated steps is all. In
this case, computing theta(10) requires a
thousand little steps. Luckily, we live in
a world with computers, so repeating a simple
task 1,000 times is as simple as articulating
that task with a programming language.
In fact, let’s write a little python program
that computes theta(t) for us. It will make
use of the differential equation, which returns
the second derivative of theta as a function
of theta and theta-dot. You start by defining
two variables, theta and theta-dot, in terms
of some initial values. In this case I’ll
choose pi / 3, which is 60-degrees, and 0
for the angular velocity.
Next, write a loop which corresponds to many
little time steps between 0 and 10, each of

Polish: 
rozmiaru delta-t, którą tu ustawiam na 0.01. W każdym wykonaniu pętli, zwiększamy thetę
o wartość theta-kropka*delta-t, oraz zwiększamy theta-kropka o theta-dwie kropki * delta-t, gdzie
theta-dwie kropki może być wyliczone w oparciu o równanie różniczkowe. Po wszystkich małych krokach,
po prostu zwracamy wartość theta.
Ten proces nazywa się rozwiązywaniem równań różniczkowych numerycznie. Metody numeryczne mogą
być dużo bardziej wyszukane i zawiłe by lepiej zbalansować kompromis pomiędzy dokładnością
a wydajnością, jednak ta pętla pokazuje główną ideę.
Tak więc nawet mimo tego, że jest do bani, że nie możemy zawsze znaleźć dokładnych rozwiązań, wciąż
są znaczące sposoby by badać równania różniczkowe mimo tej niemożliwości.
W następnych filmach przyjrzymy się kilku metodom szukania dokładnych rozwiązań gdy jest to
możliwe. Jednak jednym z motywów na których chciałbym się skupić jest to, jak te dokładne rozwiązania
mogą również pomóc nam badać bardziej ogólne, nierozwiązywalne przypadki.
Jednak z czasem będzie gorzej. Tak samo jak jest granica, jak daleko dokładne analityczne rozwiązania

German: 
jeweils mit der Größe Delta-T, welche ich hier auf 0.01 setze. Erhöhen Sie in jedem Schritt der Schleife Theta
um Theta-Punkt mal Delta-t, und erhöhen Sie Theta-Punkt durch Theta-Doppelpunkt mal Delta-t, wobei Theta-Doppelpunkt
basierend auf der Differentialgleichung berechnet werden kann. Nach all diesen kleinen Schritten
gib einfach den Wert von Theta zurück.
Dies nennt man das numerische Lösen einer Differentialgleichung.
Numerische Methoden können noch viel anspruchsvoller und komplizierter werden, 
um den Kompromiss zwischen Genauigkeit und Effizienz besser zu balancieren.
Aber diese Schleife gibt dir die Grundidee.
Auch wenn es blöd ist, dass wir nicht immer exakte Lösungen finden können,
gibt es doch sinnvolle Wege zur Untersuchung von Differentialgleichungen im
Gesicht dieser Unfähigkeit.
In den folgenden Videos werden wir einige 
Methoden betrachten, um exakte Lösungen zu finden, wenn es möglich ist.
Aber ein Thema, auf das ich mich konzentrieren möchte ist, wie diese exakten Lösungen uns auch helfen können,
die allgemeineren, unlösbaren Fälle zu studieren.
Aber es wird schlimmer. So wie es ein Limit gibt, wie weit genaue analytische Lösungen kommen können,

Portuguese: 
tamanho delta-t, que estou configurando para ser 0,01 aqui. Em cada etapa do loop, aumente theta
por theta-ponto vezes delta-t e aumente theta-ponto por theta-dois-pontos vezes delta-t, onde theta-dois-pontos
pode ser calculado com base na equação diferencial. Depois de todos esses pequenos passos, simplesmente
retorne o valor de theta.
Isso é chamado de resolver a equação diferencial numericamente. Métodos numéricos podem ser muito
mais sofisticados e intricados para equilibrar melhor a troca entre precisão e eficiência.
Mas este loop dá a idéia básica.
Então, mesmo que seja uma droga nem sempre encontrar soluções exatas, ainda há
maneiras de estudar equações diferenciais diante dessa incapacidade.
Nos vídeos a seguir, veremos vários métodos para encontrar soluções exatas quando possível.
Mas um tema que eu gostaria de focar é como essas soluções exatas também podem
nos ajudar a estudar os casos insolúveis mais gerais.
Mas fica pior. Assim como há um limite para o quanto as soluções analíticas podem chegar,

Czech: 
o délce Δt, zde 0.01. Při každém průchodu zvýšíme θ o θ'*Δt,
a zvýšíme θ' o θ''*Δt, kde θ'' bude vypočítána
diferenciální rovnicí. Po všech těch malých krocích
vrátíme hodnotu θ.
Tohle se nazvývá řešení diferenciální rovnice numericky. Numerické metody
mohou být sofistikovanější a mohou lépe vyvažovat
přesnost a efektivitu, ale tato smyčka je pro náš příklad dostačující.
I když je na nic, že nemůžeme najít přesná řešení, existují rozumné cesty
studia diferenciálních rovnic.
V příštích videích se podíváme na několik metod hledání přesných řešení, kde to bude možné.
Rád bych se ale zaměřil na to, jak by nám tyto konkrétní řešení
mohly pomoci u obecnějších neřešitelných úloh.
Ale může to být ještě horší. Stejně, jako existují limity analytických řešení,

Russian: 
В каждом шаге этого цикла увеличивая θ на величину θ-точка * Δt
и увеличивая θ-точку на θ-две точки * Δt,
где θ-две точки может быть вычислена на основе дифференциального уравнения.
После всего проделанного просто возвращаем значение θ.
Это называется решением дифференциального уравнения в числовом виде.
Числовые методы могут быть гораздо более сложными и изощрёнными, чем этот
для улучшения баланса , оптимизации между большей точностью и производительностью
но этот цикл закладывает основную идею.
Итак, даже когда мы не можем найти точное решение, все еще существуют эффективные методы
изучения дифференциальных уравнений, не смотря на их нерешаемость.
В следующих видео мы посмотрим на несколько методов получения точного решения,
когда это возможно. Но одна тема, на которой я хотел бы сосредоточиться — то
как это точные решения могут также помочь нам в  более общих нерешаемых случаях.
Но всё ещё хуже. Так как существует предел того, насколько точное аналитическое решение
мы можем получить,

Chinese: 
在迴圈的每個步驟中，藉由 θ-dot 乘以 Δt 增加 θ 值，和用 θ-double-dot 乘以 Δt 增加 θ-dot 值。
而 θ-double-dot 可藉由計算微分方程得出。
經過所有這些小步驟，簡單返回 θ 值。
這稱為微分方程的數值解。
數值方法可以更加的複雜且精緻，並能在準確性和效率之間取得平衡，
但這迴圈也給出了一個基本的觀念。
所以即便找不出精準答案的感覺很糟糕，
在這樣束手無策的情況之下，他們仍具有研究微分方程的意義。
在接下來的影片中，我們會說幾個找準確解的解法，
但我想關注的主題是這些準確解的解法是否也可以幫我們研究更普遍的無解問題。
但它變得更糟了。
因為要取得精確的解析解是有限制的。

Modern Greek (1453-): 
Σε κάθε βήμα αυτού του βρόγχου,
αυξάνω το θ κατά θ' επί Δt,
και αυξάνω το θ' κατά θ'' επί Δt,
όπου το θ'' μπορεί να υπολογιστεί βάση της διαφορικής εξίσωσης.
Μετά από όλα αυτά τα μικρά χρονικά βήματα, απλά επιστρέφει την τιμή του θ.
Αυτό ονομάζεται αριθμητική επίλυση
διαφορικής εξίσωσης.
Οι αριθμητικές μεθόδοι μπορεί να γίνουν πολύ πιο πονηρές και περίπλοκες από αυτή,
για την καλύτερη εξισορρόπηση της ανταλλαγής μεταξύ ακρίβειας και αποδοτικότητας,
αλλά αυτός ο βρόγχος δίνει τη βασική ιδέα.
Άρα, ακόμα κι αν είναι χάλια που δεν μπορούμε πάντα να βρίσκουμε ακριβείς λύσεις,
υπάρχουν ακόμα σημαντικοί τρόποι να μελετήσετε διαφορικές εξισώσεις,
ενόψει αυτής της ανικανότητας.
Στα επόμενα βίντεο, θα δούμε διάφορες μεθόδους για την εύρεση ακριβών λύσεων όπου είναι δυνατόν.
Αλλά ένα θέμα στο οποίο θέλω να εστιάσω, είναι το πως αυτές οι ακριβείς λύσεις
μπορούν επίσης να μας βοηθήσουν να μελετήσουμε τις πιο γενικές, άλυτες περιπτώσεις.
Αλλά γίνεται χειρότερο.
Όπως υπαρχει όριο του πόσο μακριά μπορούν να μας πάρουν οι ακριβείς αναλυτικές λύσεις,

Italian: 
ognuno grande Δt che abbiamo impostato uguale a 0.01. A ogni passo del ciclo, θ aumenta
di θ-pallino moltiplicato t , e θ-pallino aumenta di θ-doppio pallino moltiplicato t dove θ-doppio pallino
può essere computato in base all'equazione differenziale. Dopo questi piccoli passi
il programma restituisce il valore di θ.
Questo si chiama risolvere numericamente l'equazione differenziale. I metodi numerici possono divenire
più sofisticati per bilanciare il rapporto accuratezza-efficienza
ma questo ciclo da l'idea generale.
Perciò anche se è un peccato non poter trovare sempre soluzioni esatte, vi sono comunque
metodi significativi per studiare le equazioni differenziali in risposta a questa impossibilità.
Nel prossimo video, analizzeremo alcuni metodi per trovare soluzioni esatte quando
possibile. Ma un argomento su cui vorrei focalizzarmi è come queste soluzioni esatte possono
aiutarci a studiare casi più generali e non risolvibili.
Ma la cosa peggiora quando vi è un limite su quanto lontano le soluzioni numeriche possono portarci

Vietnamese: 
Trong mỗi bước lặp này, tăng θ lên một lượng bằng θ'*Δt, và tăng θ' lên một lượng bằng θ''*Δt,
trong đó θ'' được tính bằng ptvp. Sau hết vòng lặp này, chỉ cần trả về giá trị của θ.
Đây gọi là giải ptvp bằng phương pháp số. Phương pháp số có thể được cải tiến rất tinh vi
để đạt được cân bằng hơn giữa độ chính xác và hiệu quả.
Nhưng vòng lặp đơn giản này đã cho ta một ý tưởng cơ bản.
Vậy ngay cả khi thật tệ là chúng ta ko thể tìm được nghiệm chính xác,
ta cũng có những cách hay ho khác để nghiên cứu ptvp, đối diện với sự bất khả này.
Trong các video sau, ta sẽ xem qua nhiều cách để tìm nghiệm chính xác khi nó khả thi.
Nhưng một chủ đề tôi muốn tập trung
là: những nghiệm chính xác này cũng có thể
giúp ta nghiên cứu về những trường hợp tổng quát ko thể giải được.
Đáng buồn là, cũng như có một giới hạn trong việc giải ptvp,

English: 
size delta-t, which I’m setting to be 0.01
here. In each step of the loop, increase theta
by theta-dot times delta-t, and increase theta-dot
by theta-double-dot times delta-t, where theta-double-dot
can be computed based on the differential
equation. After all these little steps, simple
return the value of theta.
This is called solving the differential equation
numerically. Numerical methods can get way
more sophisticated and intricate to better
balance the tradeoff between accuracy and
efficiency, but this loop gives the basic
idea.
So even though it sucks that we can’t always
find exact solutions, there are still meaningful
ways to study differential equations in the
face of this inability.
In the following videos, we will look at several
methods for finding exact solutions when it’s
possible. But one theme I’d like to focus
is on is how these exact solutions can also
help us study the more general unsolvable
cases.
But it gets worse. Just as there is a limit
to how far exact analytic solutions can get

English: 
us, one of the great fields to have emerged
in the last century, chaos theory, has exposed
that there are further limits on how well
we can use these systems for prediction, with
or without exact solutions. Specifically,
we know that for some systems, small variations
to the initial conditions, say the kind due
to necessarily imperfect measurements, result
in wildly different trajectories. We’ve
even built some good understanding for why
this happens. The three body problem, for
example, is known to have seeds of chaos within
it.
So looking back at that quote from earlier,
it seems almost cruel of the universe to fill
its language with riddles that we either can’t
solve, or where we know that any solution
would be useless for long-term prediction
anyway. It is cruel, but then again, that
should be reassuring. It gives some hope that
the complexity we see in the world can be
studied somewhere in the math, and that it’s
not hidden away in some mismatch between model
and reality.

German: 
gibt es einen großen Bereich, der im letzten Jahrhundert entstanden ist:
Chaos-Theorie
Die Chaos-Theorie enthüllt, dass es weitere Grenzen gibt, wie gut wir diese Systeme zur Vorhersage verwenden können, mit oder ohne Lösung.
Wir wissen, dass bei manchen Systemen kleine Abweichungen bei den Anfangsbedingungen,
bspw. wegen zwangsläufig unvollkommenen Messungen,
zu völlig verschiedenen Bahnen führt.
Wir wissen sogar, warum das passiert. 
Vom Drei-Körper-Problem, zum Beispiel, ist bekannt, dass es Samen des Chaos in sich enthält.
Zurückblickend auf das Zitat von früher,
es scheint fast grausam vom Universum zu sein
seine Sprache mit Rätseln zu füllen, die wir entweder nicht lösen können, oder von denen wir wissen, dass jede Lösung für eine langfristige Vorhersage sowieso unbrauchbar wäre.
Es ist grausam, aber gleichzeitig ist es auch beruhigend.
Es gibt Hoffnung, dass die Komplexität, die wir in der Welt sehen,
irgendwo in dieser Mathematik studiert werden kann,
und das es nicht versteckt ist in einem Missverhältnis zwischen Modell und Wirklichkeit.

Polish: 
mogą nas zaprowadzić, tak samo jedna z dziedzin, które pojawiły się w ostatnim stuleciu, teoria chaosu,
pokazała, że są dalsze granice co do tego, jak dobrze możemy używać tych układów do przewidywań
z jak i bez dokładnych równań. Dokładniej, wiemy, że dla niektórych układów małe zaburzenia
warunków początkowych, powiedzmy ze względu na konieczną niedoskonałość pomiaru, skutkują
w zupełnie innych trajektoriach. Udało nam się nawet dość dobrze zrozumieć, dlaczego
tak się dzieje. Problem trzech ciał, na przykład, jest znany z posiadania cech chaosu.
Tak więc patrząc wstecz na cytat z początku, wydaje się niemal okrutne ze strony wszechświata by wypełniać
swój język zagadkami, których albo nie umiemy rozwiązać, albo wiemy, że każde rozwiązanie
byłoby i tak bezużyteczne dla długofalowych przewidywań. Jest to okrutne, ale z drugiej strony,
powinno być uspokajające. Daje bowiem jakąś nadzieję, że złożoność, jaką obserwujemy w świecie może być
badana przez matematykę i że nie jest ukryta w jakiejś nieścisłości pomiędzy modelami i rzeczywistością.

Chinese: 
一個從上世紀以來的偉大領域–混沌理論，
透露出哪些限制可以使我們用這些系統進行預測，並得知有無準確解。
對於某些系統，經由一些不嚴謹的測量，
我們得知即便初始條件有些許的不同，將導致出現截然不同的軌跡。
我們甚至已經對其為何發生有充分的理解。
例如，有名的三體問題就有混亂的概念在其中。
所以回顧前面的那句引用，用這語言來填補宇宙所得出的結果似乎相當殘忍，
我們要麼不能解決它，要麼就是我們知道解答但對長期預測卻毫無用處。
這確實很殘酷，但卻也讓人很放心。
它給了我們希望去觀測這複雜的世界且在數學中呈現出來，
並能夠在模型與現實之間毫無遮掩的表露無遺。

Czech: 
jeden velký obor, teorie chaosu, nám ukázal, že
existují limity v předpovídání stavu sytému,
s přesnými řešeními i bez nich. Například víme o některých systémech,
ve kterých malinké odchylky, vzniklé třeba nedokonalým měřením,
jsou v počátku zcela odlišných trajektorií. Dokonce už celkem dobře víme proč se to děje.
Problém tří těles, například, v sobě má semínka chaosu.
Když si vzpomeneme na zmiňovaný citát, je to od vesmíru téměř kruté,
naplnit svou řeč hádankami, které neumíme vyřešit, nebo které nelze vyřešit
v rozumném čase. Je to kruté, ale zároveň
ubezpečující. Dává nám to naději, že komplexita, kterou vidíme ve světě,
může být studována matematicky,
ale není skrytá někde mezi modelem a realitou.

Modern Greek (1453-): 
ένα από τα μεγάλα πεδία που προέκυψαν τον περασμένο αιώνα, η θεωρία του χάους,
έχει αποκαλύψει ότι υπαρχουν επιπλέον όρια,
στο πόσο καλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά τα συστήματα για πρόβλεψη,
με ή χωρίς ακριβείς λύσεις.
Συγκεκριμένα, γνωρίζουμε ότι για κάποια συστήματα, μικρές μεταβολές στις αρχικές συνθήκες,
έστω στο είδος που οφείλεται σε αναγκαστικά ατελείς μετρήσεις,
έχουν ως αποτέλεσμα ακραία διαφορετικές τροχιές.
Έχουμε ήδη αναπτύξει κάποια καλή κατανόηση για το γιατί συμβαίνει αυτό.
Το πρόβλημα τριών σωμάτων, για παράδειγμα, είναι γνωστό πως έχει σπόρους του χάους μέσα του.
Άρα, κοιτάζοντας πίσω στο παράθεμα από νωρίτερα,
φαίνεται σχεδόν σκληρό από το σύμπαν να γεμίσει τη γλώσσα του με αινίγματα που
είτε δεν μπορούμε να λύσουμε, ή που ξέρουμε ότι
οποιαδήποτε λύση θα ήταν άχρηστη για μακροπρόθεσμες προβλέψεις όπως και να 'χει.
Είναι σκληρό, αλλά από την άλλη, αυτό θα πρέπει επίσης να είναι καθησυχαστικό.
Δίνει μια κάποια ελπίδα ότι η περιπλοκότητα που βλέπουμε στον κόσμο γύρω μας,
μπορεί να μελετηθεί κάπου μέσα σε αυτά
τα μαθηματικά,
και ότι δεν κρύβεται πίσω από την αναντιστοιχία μεταξύ μοντέλου και πραγματικότητας.

Portuguese: 
um dos grandes campos que surgiram no século passado, a teoria do caos, expôs
que existem outros limites sobre o quão bem podemos usar esses sistemas para previsão, com
ou sem soluções exatas. Especificamente, sabemos que para alguns sistemas, pequenas variações
nas condições iniciais, como por exemplo medições imperfeitas, resultam
em trajetórias totalmente diferentes. Nós até construímos uma boa compreensão do porquê
isto acontece. O problema dos três corpos, por exemplo, é conhecido por ter sementes de caos.
Então, olhando para trás, a citação de antes, parece quase crueldade do universo preencher
sua linguagem com enigmas que não podemos resolver, ou que qualquer solução nossa
seria inútil para previsões de longo prazo. É cruel, mas, novamente,
deve ser reconfortante. Isso dá alguma esperança de que a complexidade que vemos no mundo pode ser
estudada em algum lugar na matemática, e que não está escondido em alguma incompatibilidade entre o modelo e realidade.

Russian: 
одно из наиболее великих направлений, которые появились в прошлом веке: Теория хаоса
выявила, что существуют дальнейшие ограничения того,
как хорошо мы можем использовать эти системы для предсказания с или без точных решений.
Точнее, мы знаем, что для некоторых систем небольшие отклонения от начальных условий,
cкажем, вследствие неизбежной погрешности измерений,
приводит к очень разным траекториям.
Мы даже смогли понять, почему так происходит.
О задаче трёх тел, например, известно, что она содержит в себе зачатки хаоса.
Итак, вернемся к той цитате из начала.
Звучит почти жестоко, что язык вселенной
наполняет её загадками, которые мы или не можем решить,
или знаем, что любое решение будет бесполезным для какого-либо долговременного предсказания.
Да, это жестоко, но опять же, это также должно и обнадёживать.
Это даёт некоторую надежду, что та сложность, которую мы видим вокруг себя,
может быть как-то изучена  с помощью математики, и она не спрятана
в каком-то расхождении между моделью и реальностью.

Vietnamese: 
một trong những lĩnh vực quan trọng nổi lên trong thế kỷ trước, thuyết hỗn mang,
đã chỉ ra rằng có những giới hạn trong việc chúng ta dùng những hệ thống này để tiên tri về thực tại,
có hay ko có sự hỗ trợ của nghiệm chính xác.
Đặc biệt, ta biết rằng với một số hệ thống, những tác nhân nhỏ tới các điều kiện đầu,
vd như sai số của phép đo (điều ko thể tránh khỏi), sẽ cho ra những quỹ đạo khác nhau một trời một vực.
Ta thậm chí đã có một số hiểu biết khá tốt về những hiệu ứng này.
Bài toán ba vật thể, được biết là cũng chứa trong nó hạt giống của sự hỗn độn.
Và, nhìn lại câu trích ngôn ở đầu video,
dường như thật tàn nhẫn khi vũ trụ đã lấp đầy
ngôn ngữ của nó với những câu đố mà chúng ta đã không thể giải quyết,
còn đau lòng hơn khi biết rằng bất cứ đáp án nào cũng sẽ vô nghĩa cho các dự đoán xa xôi.
Tàn nhẫn thật đấy, nhưng nghĩ lại, nó cũng làm ta cảm thấy yên lòng.
Nó cho ta hy vọng rằng sự phức tạp ta thấy trong thế giới này
có thể được tìm hiểu đâu đó trong thứ toán này,
chứ không phải bị chôn vùi trong sự bất tương đồng giữa mô hình và thực tế.

Italian: 
uno dei più grandi campi emerso in questo secolo, la teoria del caos, ha esposto
che ci sono dei limiti alla possibilità di usare tali sistemi per la predizione, con
o senza soluzioni esatte. Specificatamente, sappiamo che in certi sistemi, piccole variazioni
nelle condizioni iniziali, ad esempio per l'imperfezione della misurazione (inevitabile), implicano
traiettorie completamente differenti. Abbiamo costruito una buona comprensione sul perchè
ciò avvenga. Il problema dei tre corpi ad esempio ha i semi del caos all'interno
Perciò tornando a quella citazione di prima, sembra quasi crudele che l'universo riempa il suo
linguaggio con enigmi che o non possiamo risolvere o che presentano soluzioni
inutili per previsioni a lungo termine; è crudele, ma ancora, ciò
dovrebbe essere rassicurante. Da la speranza che la complessità che vediamo nel mondo
può essere studiata in qualche modo in matematica e che non è nascosta da qualche parte nel divario tra il modello
e la realtà.
