
English: 
Adapter tiles evolves the Girih tile set
Introduction
Hankin's polygons in contact
Bonner's polygonal technique
and Cromwell's modular design system,
all describe a way to tessellate a plane
with tiles where the motifs follow certain edge rules
for how the motifs are to interact with each other.
I refer to this concept as tiling
The most notable edge rule is the angle
by which the lines cross the edge.
A paper by Lu and Steinhardt
about the quasi-crystalline nature of islamic geometric patterns
also argues that tiling could have been a key method used
when these historical patterns was made.
To support their claim
they defined five tiles from the five-fold pattern in panel 28
of the Topkapı scroll as the tile set example

Swedish: 
Adapterbitar utvecklar Girih-settet
Introduktion
Hankins polygoner-i-kontakt
Bonners polygonal teknik
och Cromwells modulära designsystem,
alla beskriver ett sätt att tessellera ett plan
med bitar där motiven följer vissa kantregler
för hur motiven ska interagera med varandra.
Jag hänvisar till detta koncept som "tiling"
Den mest anmärkningsvärda kantregeln är vinkeln
där linjerna korsar kanten.
Ett akademiskt papper av Lu och Steinhardt
om den kvasikristallina naturen hos islamiska geometriska mönster
hävdar också att "tiling" kunde ha varit en nyckelmetod som använts
när de här historiska mönstrena gjordes.
För att stödja deras påstående
definierade de fem bitar från det femfaldiga mönstret i panel 28
från Topkapı-rullen som ett set-exempel

Swedish: 
De här bitarna har liksidiga sidor.
De döpte settet till Girih Tiles.
Analys av befintliga femfaldiga islamiska geometriska mönster
visar att de här fem bitarna endast möjliggör tessellering av en liten del av mönstren
så "Girih Tiles"-settet borde inkludera fler bitar.
Hädanefter hänvisar jag till de befintliga fem bitarna som "core 5"-bitar.
Behovet av ytterligare bitar är inte en ny idé
eftersom nya bitar har presenterats i tidigare artiklar
Jay Bonner publicerade "core 5"-bitarna
liksom ytterligare bitar i hans papper från 2003.
2016 nämnde Jean-Marc Castera samma bitar i sitt papper.
I sitt akademiska papper från 2010 visade Peter R. Cromwell också ett utökat Girih-set.

English: 
These tiles have equilateral sides.
They named the set Girih Tiles.
Analysis of existing five-fold islamic geometric patterns
shows that these five tiles only enable tessellation of a small portion of the patterns,
so the Girih Tiles tile set ought to include more tiles.
Hereafter, I refer to the existing five tiles as the core 5 tiles.
The need for additional tiles isn't a new revelation
as new tiles have been presented in earlier papers
Jay Bonner published the tiles of the core 5
as well as additional tiles in his paper from 2003.
In 2016 Jean-Marc Castera mentioned the same tiles in his paper.
In his paper from 2010, Peter R. Cromwell also provided an evolved Girih tile set.

Swedish: 
Hans bidrag med nyckelbitar var att specificera två versioner av linjemönstret
för biten han refererar till som "Barrel"-biten.
Det som dessa papper har gemensamt är att de inte fokuserar på själva settet.
Bitarna användes som delar för att kommunicera andra ämnen.
Här är ytterligare fem bitar från Sir Roger Penrose
P1
P2
och P3-bitar från 70-talet
Inte alla klarar att komma med i det utökade settet
på grund av skarpa vinklar i bitens form.
Matematiskt borde de göra det
men ur ett estetiskt perspektiv skulle en konstnär argumentera
att skarpa vinklar ger begränsningar i hur mönstret kan utvecklas på biten.
Motivet får inte tillräckligt med utrymme för att utvecklas i det smala området mellan kanterna
Avsaknaden av dessa bitar stöds
genom deras knappa förekomst i historiska islamiska geometriska mönster (IGP).
Formen på "Kite"-biten har inte skarpa vinklar

English: 
His key tile set contribution was to specify two versions of the line pattern depth
for the tile he refers to as the Barrel tile.
What these papers have in common is that they don't focus on the tile set
The tiles were used as parts to communicate other topics
Here are five additional tiles from Sir Roger Penrose
P1
P2
and P3 tile sets from the 70s
Not all of them pass the cut into the evolved tile set
due to acute angles of the tile shape.
Mathematically, they should
but from an aesthetic perspective, an artist would argue
that acute angles provide limitations in the way they carry the pattern lines
The motif won't get enough space to develop in the narrow area between the edges
The omittance of these tiles is supported
by their scarce occurrence in historical Islamic geometric patterns (IGP).
The shape of the Kite tile doesn't have acute angles

English: 
so it manages to elevate into the set; but even though
the Dia (thin rhombus) is very much acute it still passes
as it does provide satisfactorily solutions for some edge rule angles.
The Topkapı scroll is a collection of instructional patterns from the Timurid era.
In some patterns the tile edges are visible.
They disclose and thus confirm
several of the additional tiles in the evolved tile set
including the Kite from the Penrose P2 tile set.
These patterns and many islamic geometric patterns cannot be tiled only with the core five tiles
As these additional six tiles have been acknowledged by multiple sources
stretching from the Timurid era and forward
their relevance for replicating historical five-fold patterns cannot be overlooked
It's time to give them the elevated status they deserve
It's time to evolve the Girih tile set

Swedish: 
så det lyckas kvalificera sig in i settet; men även om
"Dia" (tunn romb) har skarpa vinklar, passerar den fortfarande
eftersom det ger tillfredsställande lösningar för vissa kantregelvinklar.
Topkapı-rullen är en samling instruktionsmönster från Timurid-eran.
I vissa mönster är bitkanterna synliga.
De avslöjar och bekräftar därmed
flera av de ytterligare bitarna i det utökade settet,
inklusive "Kite"-biten från Penrose P2-settet
Dessa mönster och många islamiska geometriska mönster kan inte pusslas med endast de fem "core 5"-bitarna
Eftersom de här sex nya bitarna har bekräftats av flera källor
som sträcker sig från Timurid-eran och framåt.
kan deras relevans för att återskapa historiska femfaldiga mönster inte förbises.
Det är dags att ge dem den förhöjda status som de förtjänar.
Det är dags att utveckla Girih-settet.

English: 
Non-equilaterality
With its five tiles the core 5 tile set is easy to keep track on.
With more tiles added the evolved tile set would benefit to be more structured
The next step is to organize the tiles based on side length.
This will form the base for future development.
All the core 5 tiles have equilateral sides
but many Islamic geometric patterns require non-equilateral tiles.
The focus of this paper is the Φ-category
which is the most common non-equilateral category.
Tiles in this category have at least one side that is
1.618 times longer than the unit side that is the golden section or Φ.
Examples of these Φ-sided tiles can be seen in the pattern

Swedish: 
Icke-liksidighet
Med sina fem bitar är "core 5"-settet lätt att hålla reda på.
Med fler bitar skulle det gynnas av att vara mer strukturerad.
Nästa steg är att organisera bitarna baserat på sidlängden.
Det här kommer att utgöra basen för framtida utveckling.
Alla "core 5"-bitar är liksidiga
men många islamiska geometriska mönster kräver icke-liksidiga bitar.
Det här akademiska pappret fokuserar på Φ-kategorin
vilket är den vanligaste icke-liksidiga kategorin.
Bitar i denna kategori har minst en sida
som är 1,618 gånger längre än bas-sidan, som är det gyllene snittet (eller Φ).
Exempel på dessa Φ-sidiga bitar kan ses i mönstret

English: 
that Jules Bourgoin described in his publication from 1879.
Here the design has been tiled with tiles from the evolved tile set
including two of the tiles with non-equilateral sides the Cone and the Pyra tile.
In addition Bourgoin also depicted a tile from the core 5 Girih tile set
the Bow-tie where all sides have the length of Φ.
Bonner acknowledged this in his book from 2017
He specifies three all-Φ-sided tiles from the core 5 set.
I call these Φ-sized tiles the Golden Tiles.
As equilateral midpoint tiles
they fit into the chart next to the core 5 category.
The two Bourgoin patterns
are examples of historical Islamic geometric patterns that cannot be tiled with the core 5 tiles.

Swedish: 
som Jules Bourgoin beskrev i sin publikation från 1879.
Här har designen pusslats med bitar från det utökade settet
inklusive två av bitarna med icke-liksidiga sidor, "Cone"- och "Pyra"-bitarna.
Dessutom skildrade Bourgoin också en bit från "core 5"-Girih-settet
"Bow-tie" där alla sidor har längden Φ.
Bonner bekräftade dem i sin bok från 2017.
Han specificerar tre hel-Φ-sidiga bitar från "core 5"-settet.
Jag kallar de här Φ-sidiga bitarna "the golden tiles".
Som liksidiga bitar med mittpunktskorsning
passar de in i diagrammet bredvid "core 5"-kategorin.
De två Bourgoin-mönstren
är exempel på historiska islamiska geometriska m?nster som inte kan pusslas med bara "core 5"-bitarna.
De kräver bitar från en icke-liksidig kategori.

English: 
They require tiles from a non-equilateral category.
The Φ-category is one of two categories that can tile them.
The non-equilateral tiles make up a large part of the additional tiles
as they'e crucial for recreating many Islamic geometric patterns.
They are interesting enough to be defined as their own class and discussed in detail.
I call these adapter tiles or Adapters for short
as they can adapt from one edge rule angle to another.
In his publication from 1925
Hankin describes a way in which the tile pattern interacts with each other.
For sides with equal length lines cross over to the other tile seamlessly
that is, the rule is that they have to cross at the same point and with the same angle.
This is the polygon-in-contact method or PIC for short.

Swedish: 
Φ-kategorin är en av två kategorier som kan pussla dem.
De icke-liksidiga bitarna utgör en stor del av de nya bitarna
eftersom de är avgörande för att återskapa många islamiska geometriska mönster.
De är tillräckligt intressanta för att kunna definieras som sin egen klass och diskuteras i detalj.
Jag kallar dem "adapter"-bitar eller förkortat, "adaptrar"
eftersom de kan anpassa sig från en kantregelvinkel till en annan.
I sin publikation från 1925
beskriver Hankin ett sätt på vilket mönstret på bitarna interagerar med varandra.
För sidor som är lika långa korsar linjerna sömlöst till den andra biten
det vill säga, regeln är att de måste korsa vid samma punkt och med samma vinkel.
Det här är "polygon-in-contact"-metoden eller förkortat, PIC.

Swedish: 
Inom islamisk geometrisk konst är den viktigaste regeln att två linjer korsar mittpunkten.
För 5-faldiga mönster är vinkeln mellan linjerna mestadels 36 grader eller 72 grader.
I sin bok från 2017
berättar Bonner om olika mönsterfamiljer.
Det innebär att bitar med en annan kantregelvinkel tillhör en annan familj.
Han definierar fyra mönsterfamiljer som dominerar de befintliga mönstren inom islamisk geometrisk konst.
Eftersom adaptrar har mer än en kantregelvinkel tillhör de mer än en mönsterfamilj.
Adaptrar möjliggör för ett mönster att ha en mer dynamisk design.
Det här mönstret har bitar från två mönsterfamiljer
Huvuddelen av mönstret (yttre området)
har bitar med Median-vinklar (i svart och blått).
Ringen med adaptrar som omger det Akuta stjärnmänstret i mitten
fungerar som en medlare när de här två mönsterfamiljerna möts.

English: 
In Islamic geometric art, the main edge rule has two lines crossing at midpoint.
For 5-fold patterns the angle between the lines mostly is 36 degrees or 72 degrees.
In his book from 2017
Bonner talks about different pattern families.
This means that tiles with a different edge rule angle belong to a different family.
He defines four pattern families that dominate the existing patterns in Islamic geometric art.
As adapters have more than one edge rule angle, they belong to more than one pattern family.
Adapters allow a pattern to have a more dynamic design.
This pattern is populated with tiles from two pattern families
The main part of the pattern (outer area)
has tiles with median angles (in black & blue).
The ring of adapters surrounding the acute star tiling in the center
acts like a mediator when these two pattern families meet.

Swedish: 
Här är ett diagram över kantregelvinklar för liksidiga bitar.
För adaptrar behöver vi en tabell som visar kombinationerna av vinklar
Jag har separerat den Trubbiga mönsterfamiljen i
en 108-graders och en 144-graders kolumn.
Jag visar också en annan tabell för bitarna med en dubbel korsning av Φ-sidan.
Inte alla kombinationer resulterar i ett motiv
och de flesta möjliga kombinationer är inte estetiskt tilltalande.
men det finns några kombinationer som kan användas för att återskapa traditionella mönster.

English: 
Here is a chart of edge rule angles for equilateral tiles.
For adapters, we need a table, showing the combinations of angles
I've separated the obtuse pattern family into
a 108 degrees and a 144 degrees column.
I also provide a second table for the tiles with a double crossing of the Φ-side.
Not all combinations result in a motif
and most possible combinations, are not aesthetically pleasing.
But there are a few combinations that can be used to replicate traditional patterns

English: 
For creating new patterns, any angle can be used, and the number of crossings can vary.
The edge rule of the tiles here have five symmetrical line crossings
with eight lines crossing as pairs or single lines, with three different angles.
To optimize the tiling options, the lines at the edge have to be symmetrical around the midpoint
that is, each side of the midpoint has to be a reflection of the other.
For Penrose tilings, where the matching rules are enforced to obtain
quasi-crystalline patterns, the lines are not symmetrical from midpoint.
The edge rule doesn't have to specify lines, it can be curves.
Here the edge rule angle is 72 degrees
but the lines are curved, giving the final pattern a more organic look.
Curved lines are not so common in traditional Islamic geometric patterns
Here is an example in which the motifs are more elaborated

Swedish: 
För att skapa nya mönster kan valfri vinkel användas och antalet korsningar kan variera.
Kantregeln för den här biten har fem symmetriska linjekorsningar
med åtta linjer som korsar som par eller enstaka linjer, med tre olika vinklar.
För att optimera pusslingsmöjligheterna måste linjerna vid kanten vara symmetriska runt mittpunkten
det vill säga, varje sida av mittpunkten måste återspegla den andra.
För Penrose-mönster där matchningsreglerna tillämpas för att säkerställa
quasi-kristallina mönster, är inte linjerna symmetriska från mittpunkten.
Kantregeln behöver inte ange bara linjer, det kan vara kurvor också.
Här är kantregelvinkeln 72 grader
men linjerna är böjda, vilket ger det slutliga mönstret ett mer organiskt utseende.
Böjda linjer är inte så vanliga i traditionella islamiska geometriska mönster
Här är ett exempel där motiven är mer utvecklade.

English: 
Here are examples of Golden Tiles from the core 5 category
with several motif variations of each tile.
The evolved Girih tile set
Lu and Steinhardt's core 5 tile set, aim to support the idea of
quasi-crystallinity in islamic patterns and for that, it was sufficient.
In this paper the purpose of a tile set differs as it includes a broader scope.
The objective is to create a set that can provide the ability to replicate
a wider range of existing historical patterns, as well as, create new interesting patterns.
This requires an evolved Girih tile set
The six new tiles qualify due to either their ability to meet this objective
or their adherence to their historical mathematical relevance, like the Penrose tiles.

Swedish: 
Här är ett exempel på "golden tiles" från "core 5"-kategorin
med flera motivvariationer av varje bit.
Det utvecklade Girih-settet
Lu och Steinhardts "core 5"-settet, syftar till att stödja idén om
kvasi-kristallinitet i islamiska mönster, och för det var det tillräckligt.
I det här dokumentet skiljer sig syftet med ett bit-set eftersom det har ett bredare mål.
Målet är att skapa en uppsättning som kan ge möjlighet att återskapa
ett större utbud av befintliga historiska mönster samt att skapa nya intressanta mönster.
Detta kräver ett utvecklat Girih-bit-set.
De sex nya bitarna kvalificerar sig tack vare, antingen deras förmåga att uppfylla det målet
eller deras koppling till deras historiska matematiska relevans, som Penrose-bitarna.

English: 
The range of possible 5-fold tiles is more than can be covered in this paper
so tiles have to meet other criteria too, like their ability to provide diversity in the pattern.
One way to provide clarity is to organize the tiles in groups based on usefulness.
We already have the first group, the core 5, as the main Girih tile group.
I've added three levels of usefulness
I call them G+
G++
and G+++.
The closer to the core 5 set, the higher level of usefulness.
The further away from it, the classification becomes more difficult and more arbitrary.
Level G+++ isn't as fixed as the other levels.
It contains three tiles that i've found to be useful to create compelling patterns
The Coil tile and two adapters, the Sub and the Helix tile.

Swedish: 
Utbudet av möjliga 5-faldiga bitar är mer än vad som kan täckas i det här pappret
så bitarna måste också uppfylla andra kriterier, som deras förmåga att skapa mångfald i mönstret.
Ett sätt att göra det tydligare är att organisera bitarna i grupper baserat på användbarhet.
Vi har redan den första gruppen, "core 5", som den viktigaste Girih-bit-gruppen.
Jag har lagt till tre användbarhetsnivåer
Jag kallar dem G +
G ++
och G +++.
Ju närmare "core 5", desto högre användbarhetsnivå.
Ju längre bort från det desto svårare blir klassificeringen och mer godtycklig.
Nivå G +++ är inte lika fast som de andra nivåerna.
Den innehåller tre bitar som jag har funnit vara användbara för att skapa intressanta mönster
"Coil"-biten och två adaptrar, "Sub"- och "Helix"-bitarna.

Swedish: 
"Coil"- och "Sub"-bitarna har motiv med former som inte är vanliga i historiska mönster
men utan dem kommer tessellering av nya 5-faldiga mönster att vara begränsande.
Jag ser också behovet av ett kriterium som täcker hur användbar en bit är för vissa mönsterfamiljer
Vissa bitar är mer användbara för en mönsterfamilj, men fungerar inte alls med andra
"Bow-tie"-biten är till exempel avgörande för Median-mönster
men ger ett udda utseende för Akuta mönster.
medan det är motsatsen
för "Pyra"-biten.
Sammanfattning och slutsatser
Det här nya settet har nu utvecklats till att vara 14 bitar
från en liten fast uppsättning bitar med bara ett syfte i åtanke, till ett set som fyller flera olika funktioner
med mer komplex och generaliserad komposition.

English: 
The Coil and Sub carries motifs with shapes that isn't common in historical patterns
but without them tessellating new 5-fold patterns will be limiting.
I also see the need for a criterion that covers how useful a tile is for certain pattern families
Some tiles are more useful for one pattern family, but don't work at all with others
For example, the Bow-tie is crucial for median patterns
but gives an odd appearance for acute patterns.
while for the Pyra
it is the opposite.
Summary and conclusions
This new tile set has now evolved into 14 tiles
from a small fixed set with one purpose in mind, to a set with a multi-purpose function
and a more complex and generalized composition.

Swedish: 
Det kommer att göra definitionen av ett set svår
och det kommer att avgöras av kriterierna för att sortera de bitar som kan inkluderas.
Med bitarna i nivåerna G + och G ++ kan man återskapa
mer historiska islamiska mönster än vad "core 5"-settet möjliggör.
Det här nya settet kommer att uppdatera Lu och Steinhardts "Girih Tiles" till version 2.0
vilket kommer att vara en bra utgångspunkt för alla att bygga, skapa och pussla sina egna mönster
experimentera med nya mönster och verifiera befintliga historiska mönster.
Bit-paletten är färdig.
Börja pussla!
Den stora frågan för framtiden är, vad annat kommer icke-liksidighet att ge?
Finns det andra sidlängder som passar in i det femfaldiga sammanhanget?
Användbarheten, för bitar och olika bit-set, för
varje mönsterfamilj skulle vara andra intressanta områden att undersöka

English: 
This will make the definition of a set hard,
and it comes down to the criteria by which one use to sort out the tiles eligible to be included.
With the tiles in levels G+ and G++ one is able to replicate
more historical islamic patterns than the core 5 tile set allows.
This new tile set will update Lu and Steinhardt's Girih Tiles to version 2.0
which will be a good starting point for everybody to build, create, and puzzle their own patterns
experimenting with new designs, and verifying existing historical patterns.
The tile palette is set.
Start puzzling!
The big question for the future is, what else will non-equilaterality bring.
Are there other side lengths that fit into the five-fold context?
The usefulness of tiles, and different tile sets for
each pattern family, would be other fields of interest to investigate

English: 
Perhaps it is possible to classify tiles so they can be used to calculate how "pure" a pattern is?
Who knows, we might even have pattern top lists?
The initial evolved tile set is set.
Start investigating!
Acknowledgement
Thanks to Craig S. Kaplan for great support and review
and thank you for watching.
Author, Lars Eriksson, lars@rixn.se
for the Bridges Conference 2020
Voice: www.fromtexttospeech.com
Music: Azam Ali - Phantoms, Hope, Shallow then Halo

Swedish: 
Kanske är det möjligt att klassificera bitar så att de kan användas för att beräkna hur "rent" ett mönster är?
Vem vet, vi kanske till och med ha mönstertopplistor?
Den uppgraderade bit-settet är redo.
Börja fundera!
Erkännande
Tack till Craig S. Kaplan för bra stöd och recension.
och tack för att du tittade.
Författare: Lars Eriksson. lars@rixn.se
för Bridges-konferensen 2020
Berättarröst: www.fromtexttospeech.com
Musik: Azam Ali - Phantoms, Hope, Shallow then Halo
