
Thai: 
 
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน
f ที่ต่อเนื่องบนช่วง a ถึง b
ลองดูว่าเรามองภาพมันได้ไหม
นี่คือแกน y ของผม
 
ค่านี่ตรงนี้ ผมอยากให้มันเป็นแกน t
เราจะเก็บ x ไว้ใช้ทีหลัง
ผมจะเรียกอันนี้ว่าแกน t
แล้วสมมุติว่ารูปนี่ตรงนี้
คือกราฟของ y เท่ากับ f ของ t
 
และเรากำลังบอกว่ามันต่อเนื่อง
บนช่วงจาก a ถึง b
นี่คือ t เท่ากับ a
นี่คือ t เท่ากับ b
เรากำลังบอกว่า มันต่อเนื่อง
ตลอดช่วงทั้งหมดนี้
เพื่อความสนุก ลองกำหนดฟังก์ชัน 
F ใหญ่ของ x
ผมจะใช้สีฟ้าด้วย
ลองกำหนด F ใหญ่ของ x ว่าเท่ากับ
อินทิกรัลจำกัดเขต

English: 
Let's say that we've
got some function
f that is continuous
on the interval a to b.
So let's try to see if
we can visualize that.
So this is my y-axis.
This right over here, I
want to make it my t-axis.
We'll use x little bit later.
So I'll call this my t-axis.
And then let's say that
this right over here
is the graph of y
is equal to f of t.
And we're saying it's continuous
on the interval from a to b.
So this is t is equal to a.
This is t is equal to b.
So we're saying that
it is continuous
over this whole interval.
Now, for fun, let's define
a function capital F of x.
And I will do it in blue.
Let's define capital F of x as
equal to the definite integral

Polish: 
Dajmy pewną funkcję f, która jest ciągła
w przedziale [a,b], zobaczmy czy potrafimy to sobie wyobrazić
Więc, to jest moja oś Y
Ta tutaj
To będzie oś t
Użyjemy x nieco później, 
więc to będzie moja oś t
I powiedzmy, że tu jest
wykres y, który jest równy f(t)
Y jest równe f(t)
I mówimy, że funkcja jest ciągła
w przedziale [a,b]
Tu jest t równe a
Tu jest t równe b
Przyjmujemy, że funkcja jest ciągła
W całym tym przedziale
A teraz, dla zabawy, zdefiniujmy funkcję F(x)
i narysuję ją niebieskim

Bulgarian: 
Нека имаме дадена функция f,
която е непрекъсната в интервала
от a до b.
Нека да я онагледим.
Това е оста у.
А това тук ще бъде моята ос t.
Ще запазя х за малко по-късно.
Ще означа тази ос с t.
Нека това ето тук
да е графиката на у е равно на f от t.
 
Казваме, че е непрекъсната в интервала
от a до b.
Тази стойност е t равно на а.
Тази стойност е t равно на b.
Функцията е непрекъсната
в целия този интервал.
Нека дефинираме функцията
с главно F от х.
Ще го запиша със синьо.
Нека изберем главно F от х да е равно
на определен интеграл

Portuguese: 
Digamos que temos uma função f
contínua no intervalo de a até b
-veremos se conseguimos visualizar isso-
Este é o meu eixo y.
Quero fazer disso o meu eixo t.
Vamos usar x mais tarde,
então quero que este seja o eixo t.
E digamos que isto é o gráfico
de y igual a f de t.
Y igual a f de t.
E dizemos que o gráfico
é contínuo no intervalo de a a b.
Isto é t igual a a,
e isso é t igual a b.
Estamos dizendo que o gráfico é contínuo.
Contínuo em todo o intervalo.
Vamos definir uma função F de x
-farei isso em azul-

Korean: 
 
우리에게 함수가 있다고 해 봅시다
구간 a부터 b까지 연속인 함수 f죠
이제 그걸 시각화해 봅시다
이건 y축이고요
 
여기 오른쪽에 저는 t축을 그릴 겁니다
x는 조금 이따가 쓸거예요
그래서 전 이걸 t-축이라 부를 겁니다
그리고 여기 이건
t에 관한 함수 f의 함숫값 y의 그래프입니다
 
우리는 이것이 a에서 b까지의 구간에서
연속이라고 말하죠
이것은 t가 a일 때
이것은 t가 b일 때 입니다
그래서 우리는 이것이
이 구간 전체에서 연속이라고 하는 거죠
자, 재미를 위해 x에 관한 함수 F를 정의해 봅시다
파란색으로 쓸게요
x에 관한 함수 F를 이렇게 정의합시다

Portuguese: 
Definiremos F de x como sendo igual
a integral definida à partir de a.
Desde o limite inferior a
ao limite superior x de f de t
dt, onde x está no intervalo
a é menor ou igual a x
e x é menor ou igual a b.
É outro jeito de dizer que x
está neste intervalo.
Você pode dizer: "a integral definida
está relacionada com a diferenciação
e anti-derivadas,
mas não aprendemos isso ainda".
O que sabemos até agora,
é que essa é a área embaixo
da curva f entre a e x.
Digamos, entre a e x -
f de x é apenas esta área aqui.
É tudo o que sabemos.
Não sabemos se está relacionado
com as anti-derivadas.

Polish: 
Zdefiniujmy F(x) jako całkę określoną
od a,
Od a jako dolnej granicy do x, funkcji f(t),
całkujemy po t.

Bulgarian: 
от а като долна граница, до x,
от f от t.
От f от t, dt.
х се намира в интервала, където a
е по-малко или равно на х,
а х е по-малко или равно на b.
Това е просто начин да означим,
че х се намира в този интервал
ето тук.
Когато видиш този израз, може
да кажеш,
че определеният интеграл има връзка
с диференциране,
примитивна функция и всичко останало.
Но това все още не го знаем.
Знаем само, че този израз,
е равен на площта под кривата f,
между а и х.
Нека изберем ето тук да е х.
Тогава f от х е тази площ ето тук.
Това е всичко, което знаем за
функцията.
Все още не знаем, че има връзка
с примитивна функция.

English: 
from a is a lower
bound to x of f of t--
let me do that in--
of f of t dt, where
x is in this interval, where
a is less than or equal to x
is less than or equal to b.
Or that's just
another way of saying
that x is in this
interval right over here.
Now, when you see this,
you might say, oh,
the definite integral, this
has to do with differentiation
an antiderivatives and all that.
But we don't know that yet.
All we know right
now is that this
is the area under the curve f
between a and x, so between a,
and let's say this
right over here is x.
So f of x is just this
area right over here.
That's all we know about it.
We don't know it has anything
to do with antiderivatives just
yet.

Korean: 
아래끝 a부터 위끝 x까지
t에 관한 함수 f를 정적분한 값으로요
x는 이 구간 내에서 a 이상
b 이하의 값을 가집니다
다르게 표현하자면
x가 여기 있는 구간 내에 있다는 뜻이죠
자, 당신이 이걸 보면
오 정적분이 미분과
부정적분 등등과 관련이 있구나 하겠죠
그렇지만 우린 아직 몰라요
우리가 지금 아는 건
이것이 a부터 x까지 곡선 f 아래의 면적이라는 것이죠
a부터
여기가 x라고 합시다
그러니 F(x)는 딱 여기 영역의 넓이죠
우리가 아는 건 그게 다에요
우리는 이게 부정적분과 관련이 있는지를 모릅니다
아직까지는요

Thai: 
จาก a คือขอบล่างถึง x ของ f ของ t --
ขอผมทำ -- ของ f ของ t dt โดย
x อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ a น้อยกว่าเท่ากับ x
น้อยกว่าเท่ากับ b
นั่นก็แค่วิธีบอกอีกอย่าง
ว่า x อยู่ในช่วงนี่ตรงนี้
ทีนี้ เมื่อคุณเห็นอันนี้ คุณอาจบอกว่า โอ้
อินทิกรัลจำกัดเขต อันนี้ต้องเกี่ยวกับ
การหาอนุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์อะไรพวกนั้น
แต่เราไม่รู้ตอนนี้
ที่เรารู้ตอนนี้คือว่า นี่คือ
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f ระหว่าง a กับ x ระหว่าง a
และสมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือ x
f ของ x ก็แค่พื้นที่นี่ตรงนี้
นั่นคือที่เรารู้
เรายังไม่รู้ว่ามันเกี่ยวอะไรกับปฏิยานุพันธ์
 

Thai: 
นั่นคือสิ่งที่เราพยายามจะพิสูจน์ในวิดีโอนี้
เพื่อความสนุก ลองหาอนุพันธ์ของ f กัน
และเราจะทำโดยใช้
นิยามของอนุพันธ์แล้ว
สิ่งทีเราได้เวลาเราหาอนุพันธ์โดยใช้
นิยามของอนุพันธ์
อนุพันธ์ F ไพรม์ของ x -- นิยามนี้
ของอนุพันธ์ มันคือลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
0 ของ F ใหญ่ของ x บวกเดลต้า x ลบ F
ของ x ทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
นี่ก็แค่นิยามของอนุพันธ์
แล้ว อันนี้เท่ากับอะไร?
ขอผมเขียนมันใหม่
โดยใช้อินทิกรัลเหล่านี้ตรงนี้นะ
อันนี้จะเท่ากับลิมิต
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของ --
f ของ x บวกเดลต้า x คืออะไร?

Korean: 
그게 우리가 이 영상에서 증명하려는 거에요
심심하니까, F의 도함수를 구해 보죠
우리는 이것을 그냥
도함수의 정의를 사용해서 할거에요
그리고 도함수의 정의를 이용해
도함수를 구해 나온 결과를 볼 거에요
그래서 도함수 F'(x)는 도함수의 정의를 이용하면
Δx가 0으로 가는 극한을 취할 때
대문자 F에 x 더하기 Δx
빼기 F(x) 한 값을 Δx로 나눈 것이죠
이건 그냥 도함수의 정의에요
그래서 이게 뭐랑 같죠?
흠, 제가 바로 여기 위에 있는 적분을 사용해서
다시 써 볼게요
이것은 극한값과 같습니다
Δx가 0으로 갈 때요
F의 x 더하기 Δx 값이 뭐죠?

Portuguese: 
É isso que demonstraremos neste vídeo.
Vamos calcular a derivada de f
e faremos isso usando a definição
de derivadas para ver o que obtemos
quando calculamos a derivada
usando a definição.
A derivada F linha de x -
a definição de derivada
é o limite quando delta x
tende a zero de F de x mais delta x
menos F de x.
Tudo isso dividido por delta x.
Isto é apenas a definição de derivada.
E será igual a que?
Deixe-me reescrever
usando essas integrais.
Isso será igual ao limite
à medida que delta x tende a zero -
o que é f de x mais delta x?

Bulgarian: 
Именно това ще се опитаме да докажем
в настоящия урок.
За по-интересно нека намерим
производната на F.
За да го направим ще използваме
определението за производни.
И ще видим какво ще получим,
когато използваме
определението за производни.
Определението гласи, че F' от х
е равно на границата, когато
∆х клони към 0,
от главно F от х плюс ∆х
минус F от х, като всичко това
е върху ∆х.
Това е определението за производна.
На какво е равен този израз?
Нека го запиша с помощта на тези
интеграли тук горе.
Това ще бъде равно на граница,
когато ∆x клони към 0 от следното.
На какво е равно F от х плюс ∆х?

English: 
That's what we're going to
try to prove in this video.
So just for fun, let's
take the derivative of f.
And we're going to
do it just using
the definition of
derivatives and see
what we get when we take
the derivative using
the definition of derivatives.
So the derivative, f prime
of x-- well this definition
of derivatives, it's the
limit as delta x approaches
0 of capital F of x
plus delta x minus f
of x, all of that over delta x.
This is just the definition
of the derivative.
Now, what is this equal to?
Well, let me rewrite it using
these integrals right up here.
This is going to be
equal to the limit
as delta x approaches 0 of--
what's f of x plus delta x?

Korean: 
흠, 여기 x에다가 넣어 봐요
당신은 a에서 x 더하기 Δx까지
t에 관한 함수 f의 정적분 값을 얻을 거에요
그리고, 당신은
이 F(x)를 빼야죠, 우리가 이미 아는 값입니다
a부터 x까지 t에 관한 함수 f를 적분한 값이라고 써 놨죠
그리고 Δx로 다 나누어 줍니다
 
자, 이것이 뭘 의미하죠?
기억하세요, 우리는 정적분에 대해 아무것도 모릅니다
원시함수를 이용해
무언가를 하는 것 등등도 모르죠
우리는 그냥 이것이
a부터 x 더하기 Δx까지
곡선 f 아래의 면적이라는 것만 알아요
 

Bulgarian: 
Когато поставим х ето тук,
ще получим определен интеграл
от а до х плюс ∆х,
от f от t, dt.
От тази граница ще извадим
ето този член, т.е. F от х,
който вече записахме като определен
интеграл от а до х, от f от t, dt.
И всичко това е върху ∆х.
 
Какво представлява ето този израз?
Припомни си, че все още не знаем нищо
за определените интеграли,
или как да се справим
с нещо с примитивна функция и т.н.
Знаем само, че това е друг начин
да кажем,
че това е площта под кривата f, между а
и х плюс ∆х.

Thai: 
ใส่ x ในนี้ตรงนี้
คุณจะได้อินทิกรัลจำกัดเขตจาก a 
ถึง x บวกเดลต้า
x ของ f ของ t dt
แล้วจากนั้น คุณจะ
ลบตัวนี้ F ของ x ซึ่งเราเขียนไปแล้ว
ว่าเป็นอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก a ถึง x ของ f ของ t dt
แล้วทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
 
ทีนี้ อันนี้แสดงอะไร?
นึกดู เราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับอินทิกรัลจำกัดเขต
หรือการจัดการกับ
ปฏิยานุพันธ์อะไรพวกนั้นเลย
เราแค่รู้ว่า นี่คือวิธีบอก
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f ระหว่าง a กับ x บวกเดลต้า x
 

English: 
Well, put x in right over here.
You're going to get the definite
integral from a to x plus delta
x of f of t dt.
And then from
that, you are going
to subtract this business,
f of x, which we've already
written as the definite integral
from a to x of f of t dt,
and then all of that
is over delta x.
Now, what does this represent?
Remember, we don't know anything
about definite integrals
or somehow dealing
with something
with an antiderivative
and all that.
We just know this is
another way of saying
the area under the curve f
between a and x plus delta x.

Portuguese: 
Coloque um x aqui.
Você obterá a integral definida
de a a x mais delta x de f de t dt-
e depois irá subtrair f de x,
que já escrevemos na forma de integral
de a a x de f de t dt.
E tudo isso é dividido por delta x.
O que isso representa?
Lembre-se: não sabemos nada
sobre integrais definidas;
estamos lidando com anti-derivadas.
Sabemos que isto é outra forma de dizer
a área abaixo da curva f entre a
e x mais delta x.

Bulgarian: 
Това е цялата тази площ ето тук.
Това е ето тази част.
Вече знаем на какво е равен
ето този израз в синьо.
Нека го оградя със същия син цвят.
Този интеграл в синьо ето тук,
е равен на цялата тази площ тук.
Вече защриховахме тази площ.
Равно е на цялата тази площ ето тук.
Ако вземем цялата тази зелена площ,
която е от а до х плюс ∆х,
и от нея извадим
синята площ - което е точно това,
което правим в числителя - то какво
ще ни остане?
Ще ни остане следното.
Какъв цвят все още не съм използвал?
Може би ще използвам ето този
розов цвят.
О, този вече съм използвал.
Ще използвам ето този лилав цвят.
Ще ни остане тази площ ето тук.
Как по друг начина да го запишем?
Друг начин да означим тази площ тук,
е с определен интеграл
между х и х плюс ∆х, от f от t, dt.

Portuguese: 
É toda esta área.
Isso é essa parte.
Sabemos esta coisa em azul.
É igual a tudo isto aqui.
Se você pegasse toda esta área em verde,
que vai de a a x mais delta x
e subtraísse toda esta área em azul,
-que é o que calculamos-
com o que você ficaria?
Ficaríamos com -
que cor ainda não usei? -
Vou usar rosa.
Não. Já usei essa cor.
Usarei roxo.
Você ficaria com esta área.
Qual é outra forma de escrever isso?
Outra forma de escrever isso
é a integral definida
entre x e x mais delta x
de f de t dt.

Thai: 
มันก็คือพื้นที่นี่ทั้งหมดนี้
มันคือส่วนนี้
เรารู้ว่าส่วนสีฟ้าคืออะไร
ขอผมเขียนด้วยสีฟ้าเฉดเดิมนะ
ตัวสีฟ้านี่ตรงนี้
อันนี้เท่ากับทั้งหมดนี้
เราแรเงามันไปแล้ว
มันเท่ากับทั้งหมดนี่ตรงนี้
ถ้าคุณนำพื้นที่สีเขียวทั้งหมดมา
ซึ่งก็คือจาก a ถึง x บวกเดลต้า x แล้วลบ
พื้นที่สีฟ้าซึ่งก็คือสิ่งที่เรา
มีในตัวเศษพอดี แล้วคุณจะเหลืออะไร?
คุณจะเหลือ --
ผมยังไม่ได้ใช้สีอะไร?
บางที ผมจะใช้สีชมพูนี้
ไม่ ผมใช้ไปแล้ว
ผมจะใช้สีบานเย็นนี่แล้วกัน
คุณจะเหลือพื้นที่นี่ตรงนี้
วิธีเขียนมันอีกอย่างคืออะไร?
วิธีเขียนพื้นที่นี่ตรงนี้อีกอย่าง
คืออินทิกรัลจำกัดเขตระหว่าง x กับ x
บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt

English: 
So it's this entire
area right over here.
So that's this part.
We already know what
this blue stuff is.
Let me do it in that
same shade of blue.
So this blue stuff
right over here,
this is equal to all
of this business.
We've already shaded this in.
It's equal to all of this
business right over here.
So if you were to take all
of this green area, which
is from a to x plus
delta x, and subtract out
the blue area, which
is exactly what we're
doing in the numerator
what are you're left with?
Well, you're going to
be left with-- what
color have I not used yet?
Maybe I will use
this pink color.
Well, no, I already used that.
I'll use this purple color.
You're going to be left with
this area right over here.
So what's another
way of writing that?
Well, another way of writing
this area right over here
is the definite
integral between x and x
plus delta x of f of t dt.

Korean: 
그 총 면적은 여기가 될 거고요
이게 여기 부분이고요
우리는 이 파란 게 뭔지 이미 알아요
파란색으로 쓸게요
여기 있는 파란 것은
여기 이 부분과 같고요
아까 색칠했었죠
여기 부분과 같습니다
그래서 당신이 이 초록색 면적에서요
a부터 x 더하기 Δx까지요, 여기에서
분자에 쓰인 그대로 파란 부분을 빼면
뭐가 남아요?
바로 이게 남겠죠
무슨 색 안 썼죠?
분홍색으로 쓰겠습니다
아, 아니다 이미 썼군요
이 보라색을 쓸게요
딱 여기 있는 영역이 남을 거에요
이걸 다르게 어떻게 표현하죠?
흠 다르게 어떻게 쓰냐면
x부터 x 더하기 Δx까지
t에 관한 함수 f를 적분한 값이 되겠죠

Thai: 
เราเขียนพจน์ทั้งหมดนี้ใหม่ได้ อนุพันธ์
ของ F ใหญ่ของ x -- นี่คือ F ใหญ่
ไพรม์ของ x -- เราเขียนมันใหม่
ได้ว่าเท่ากับลิมิต
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 -- 
อันนี้ผมเขียนได้เป็น 1
ส่วนเดลต้า x คูณตัวเศษ
และเราหาตัวเศษไปแล้ว
พื้นที่สีเขียวลบพื้นที่สีฟ้า ก็แค่พื้นที่สีม่วง
หรือวิธีเขียนพื้นที่นั้นอีกอย่าง
คือพจน์นี่ตรงนี้
1 ส่วนเดลต้า x คูณอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก x ถึง x บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
ทีนี้ พจน์นี้น่าสนใจ
มันอาจดูคุ้นๆ จากทฤษฏีบท
ค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต
ทฤษฏีบทค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต

Portuguese: 
Podemos reescrever toda esta expressão.
A derivada de F de x, F linha de x, -
Podemos reescrevê-la como o limite
à medida que delta x tendendo a zero.
Posso escrever isso como um sobre delta x
vezes o numerador,
que já sabemos que é a área em verde
menos a área em azul, que é a área roxa.
Outra maneira de resolver isso
é denotar que a área é esta expressão.
Um sobre delta x vezes a integral definida
de x a x mais delta x de F de t dt.
Esta expressão é interessante.
Parece familiar ao teorema do valor
intermediário de integrais definidas.
O teorema do valor intermediário
de integrais definidas diz

Bulgarian: 
Може да преобразуваме целия този
израз, т.е. производната
от главно F от х. Това е главно F' от х.
Сега можем да запишем, че е равно
на граница
от ∆х клонящо към 0
от 1 върху ∆х по числителя.
А вече намерихме числителя.
Зелената площ минус синята площ,
е просто лилавата площ.
Друг начин да означим тази площ,
е с този израз ето тук.
1 върху ∆x по определен интеграл
от х до х плюс ∆х, f от t dt.
Този израз е интересен.
Може би ти изглежда познат
от Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли.
Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли гласи така.
Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли

English: 
So we can rewrite this entire
expression, the derivative
of capital F of x--
this is capital F
prime of x-- we can rewrite it
now as being equal to the limit
as delta x approaches
0-- this I can write as 1
over delta x times
the numerator.
And we already figured
out the numerator.
The green area minus the blue
area is just the purple area,
and another way of
denoting that area
is this expression
right over here.
So 1 over delta x times
the definite integral
from x to x plus
delta x of f of t dt.
Now, this expression
is interesting.
This might look familiar
from the mean value
theorem of definite integrals.
The mean value theorem
of definite integrals

Korean: 
이 전체 표현을 다시 쓸 수 있게 됩니다
F의 도함수, F 프라임 x를
다시 써 볼게요
Δx가 0으로 가는 극한을 취할 때
Δx 분의 1에 분자를 곱하고
우리는 이미 분자가 뭔지 찾아 냈습니다
초록색 면적 빼기 파란색 면적을 한 보라색 영역이죠
그 영역을 표현하는 다른 방법이
바로 여기 있는 표현입니다
Δx 분의 1 에
t에 관한 함수 f를 x 부터
x 더하기 Δx까지 적분한 값을 곱해 줍니다
자, 이 표현 재밌네요
이건 정적분의 평균값 정리와
비슷하게 생겼군요
정적분의 평균값 정리는

English: 
tells us there exists
a c in the interval
see where-- I'll
write it this way--
where a is less than or equal
to c, which is less than--
or actually, let
me make it clear.
The interval that we care
about is between x and x
plus delta x--
where x is less than
or equal to c,
which is less than
or equal to x plus delta x,
such that the function evaluated
at c-- so let me draw this c.
So there's a c
someplace over here--
so if I were take the
function evaluated at this c--
so that's f of c
right over here.
So if I were to take
the function evaluated
at this c, which
would essentially
be the height of this line,
and I multiply times the base,
this interval, if I multiply
it times the interval--
and this interval
is just delta x. x

Portuguese: 
que existe um c no intervalo -
Escreverei deste jeito.
onde a é menor ou igual a c
que é menor ou igual a b.
Deixe-me esclarecer isso.
O intervalo que nos interessa
é entre x e x mais delta x,
onde x é menor ou igual a c,
que é menor ou igual a x mais delta x,
tal que f de c -
Deixe-me desenhar c.
Há um c por aqui.
Se eu calculasse f de c -
f de c está aqui-
Se eu calculasse f de c,
que seria a altura desta linha,
e multiplicasse pela base
- este intervalo- que é delta x -

Korean: 
구간에 어떤 c가 존재한다는 것을 알려 줘요
언제 그렇냐면- 이렇게 써 볼게요
c가 a 이상일 때,
더 분명하게 짚고 가자면
우리가 신경 쓰는 구간은 x부터 x 더하기 Δx까지죠
x가 c보다 작거나
c랑 같아야 해요
c는 x 더하기 Δx 이하여야 하고요
그러면 c에서의 함숫값이 - 그려 볼게요
여기 어딘가 c가 있고요
c에서의 함숫값이
이렇게 나오죠
c에서의 함숫값을 표시하자면
여기일 수밖에 없겠죠
이 선의 길이니까요, 여기에 구간의 길이를 곱하면요
구간의 길이를 곱하면요
구간의 길이는 Δx겠죠

Bulgarian: 
гласи, че съществува такова число `с`
в интервала -
ще го запиша по следния начин -
където `а` е по-малко от или равно на `с`.
Добре, нека да го изясня.
Интервалът, който ни интересува,
се намира между
х и ∆х, където х е по-малко
или равно на `с`, което е по-малко
или равно на х плюс ∆х, така че
стойността на функцията
в точка `с` - нека да означа къде е `с` -
т.е. има едно място с ето тук
и изчисляваме стойността на
функцията в `с`,
така че това ето тук, е f от `c`
Искаме да изчислим функцията
в точка` `с, което действително
е височината на ето тази отсечка,
и я умножаваме по основата,
т.е. по ето този интервал,
който е просто ∆х,

Thai: 
บอกเราว่ามี c ในช่วง
-- ผมจะเขียนแบบนี้นะ --
เมื่อ a น้อยกว่าเท่ากับ c ซึ่งน้อยกว่า --
ที่จริง ขอผมบอกให้ชัด
ช่วงที่เราสนใจคือระหว่าง x กับ x
บวกเดลต้า x -- โดย x น้อยกว่า
เท่ากับ c ซึ่งน้อยกว่า
เท่ากับ x บวกเดลต้า x โดยที่ฟังก์ชันหาค่า
ที่ c -- ขอผมเขียน c นี่นะ
มันมี c สักแห่งในนี้ --
ถ้าผมหาค่าฟังก์ชันที่ c นี้ --
นั่นคีอ f ของ c ตรงนี้
ถ้าผมหาค่าฟังก์ชันที่
c นี้ ซึ่งก็คือ
ความสูงของเส้นนี้ แล้วผมคูณด้วยฐาน
ช่วงนี้ ถ้าผมคูณมันด้วยช่วง --
และช่วงนี้ก็แค่เดลต้า x

Portuguese: 
x mais delta x menos x é apenas delta x.
Se multiplicarmos a altura vezes a base,
obteremos a área abaixo da curva.
Será igual à área abaixo da curva,
que é a integral definida de x
a x mais delta x,
f de t, dt.
Isso é o que o teorema
do valor intermediário nos diz.
Se f é uma função contínua, existe um c
neste intervalo entre o limite inferior
e o limite superior, onde f de c
é a altura média.
E se você calcular
esse valor médio da função
e multiplicar pela base,
você obterá a área da curva.
Outra maneira de escrever isso
é dizer que existe um c
no intervalo onde f de c
é igual a um sobre delta x.
Estou apenas dividindo
ambos lados por delta x.

Bulgarian: 
защото х плюс ∆х минус х, е само ∆х.
Ако просто умножим височината
по основата,
то това ще бъде равно на площта
под кривата.
Тоест това е определеният интеграл
от х до х плюс ∆х, f от t dt.
Това ни казва Теоремата за крайните
нараствания.
Ако f е непрекъсната, то съществува
стойност `с` в интервала между двете
крайни точки,
където стойността на функцията в `с`
действително е средна стойност
на височината.
И ако намерим средната стойност
на функцията
и я умножим по основата,
то ще получим площта под кривата.
Друг начин да разглеждаме това,
можем да кажем, че съществува `с`
в този интервал такова,
че f от `c` е равно на 1 върху ∆х -
просто разделям двете страни на ∆х -
умножено по интеграл

Thai: 
x บวกเดลต้า x ลบ x ก็แค่เดลต้า x
ถ้าเราคูณความสูงด้วยฐาน
อันนี้จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ซึ่งก็คืออินทิกรัลจำกัดเขตจาก x บวกเดลต้า x
ของ f ของ t dt
นี่คือสิ่งที่ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
ของอินทิกรัลบอกเรา
ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
จะมี c ในช่วงนี้ระหว่างจุดปลายสองจุด
ที่ฟังก์ชันหาค่าที่ c
คุณมองมันเป็นความสูงเฉลี่ยก็ได้
ถ้าคุณหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
และคุณคูณมันด้วยฐาน
คุณจะได้พื้นที่ของเส้นโค้ง
หรือวิธีเขียนอีกอย่าง
คุณบอกได้ว่า มี c ในช่วงนั้น
ที่ f ของ c เท่ากับ 1 ส่วนเดลต้า x -- ผมแค่
หารทั้งสองข้างด้วยเดลต้า x -- 
คูณอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x

Korean: 
x 더하기 Δx에서 x를 빼면 Δx가 남겠죠
그래서 우리가 길이에 구간 길이를 곱해 주면
곡선 아래 면적과 같아져요
x부터 x 더하기 Δx까지 t에 관한 함수 f를 적분한 값이요
이것이 적분의 평균값 정리지요
만약 f가 연속인 함수라면,
두 개의 양끝점을 가지는 구간 내 어떤 c가 하나 존재해서
c에서의 함숫값이
평균 높이가 되어 주죠
그 평균 높이를 취해서
구간의 길이를 곱해 주면
곡선 아래 넓이를 얻게 됩니다
이걸 다르게 쓰는 방법은
구간 내 어떤 c가 존재해서
f(c)가 Δx분의 1에다가 - 그냥 양변을 Δx로
나눈 거에요 - t에 관한 함수 f를

English: 
plus delta x minus
x is just delta x.
So if we just multiply
the height times the base,
this is going to be equal to
the area under the curve, which
is the definite integral from x
to x plus delta x of f of t dt.
This is what the mean value
theorem of integrals tells us.
If f is a continuous
function, there
exists a c in this interval
between our two end points
where the function evaluated
at the c is essentially,
you could view it
as the mean height.
And if you take that mean
value of the function
and you multiply
it times the base,
you're going to get
the area of the curve.
Or another way of
rewriting this,
you could say that there exists
a c in that interval where
f of c is equal to 1 over
delta x-- I'm just dividing
both sides by delta x-- times
the definite integral from x

Thai: 
ถึง x บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
และอันนี้มักถูกมองว่าเป็นค่าเฉลี่ย
ของฟังก์ชันบนช่วงนั้น
ทำไมล่ะ?
ส่วนนี่ตรงนี้ให้พื้นที่
แล้วคุณหารพื้นที่ด้วยฐาน
คุณจึงได้ความสูงเฉลี่ย
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า
ถ้าคุณหาความสูงนี่ตรงนี้ แล้วคูณมัน
ด้วยฐาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากที่
มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งพอดี
อันนี้มีประโยชน์ เพราะมัน
คือสิ่งที่เราได้เป็นอนุพันธ์ของ, F ไพรม์ของ x
มันจึงต้องมี c โดยที่ f ของ c
เท่ากับตัวนี้
หรือเราบอกได้ว่าลิมิต -- 
ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ใหม่
ด้วยสีใหม่นะ
มันจะมี c ในช่วง
x ถึง x บวกเดลต้า x เมื่อ f ไพรม์ของ x
ซึ่งเรารู้

Korean: 
x부터 x 더하기 Δx까지 정적분한 값을 곱해 준 것과 같다고 말할 수 있겠죠
이것이 보통
구간 내 함수의 평균값으로 여겨집니다
왜일까요?
여기 이 부분이 면적을 의미하는데
구간의 길이로 나눠 주면
평균 높이가 나올 테니까요.
또 다르게 표현하는 방법은
여기 높이를 취해서
구간의 길이를 곱해 주면
곡선 아래 면적과 같은 넓이의
직사각형이 나온다고 할 수 있죠
흠, 이것은 유용합니다
왜냐면 이것이 바로 F의 도함수 값이기 때문이죠
그러므로 분명 c가 존재할 거에요
F(c)가 이것과 일치하는 c가요
새로운 색깔로
다시 다 써 보도록 하죠
구간 내 어떤 c 하나가 존재합니다
x에서 x 더하기 Δx까지의 구간에서요

English: 
to x plus delta x of f of t dt.
And this is often
viewed as the mean value
of the function
over the interval.
Why is that?
Well, this part right over
here gives you the area,
and then you divide
the area by the base,
and you get the mean height.
Or another way you
could say it is,
if you were to take the height
right over here, multiply it
times the base, you
get a rectangle that
has the exact same area as
the area under the curve.
Well, this is
useful, because this
is exactly what we got as the
derivative of f prime of x.
So there must exist
a c such that f of c
is equal to this stuff.
Or we could say that the limit--
and let me rewrite all of this
now in a new color.
So there exists a
c in the interval
x to x plus delta x where
f prime of x, which we know

Portuguese: 
Vexes o intervalo definido
de x a x mais delta x f de t dt.
Geralmente, isso é visto como a valor
intermediário da função no intervalo.
Por que?
Esta parte aqui é a área,
e dividindo a área pela base
você obtém a altura média.
Outro jeito de dizer isso é:
se você calculasse a altura aqui
e multiplicasse pela base,
obteria um retângulo
que tem a mesma área
que a área abaixo da curva.
Isto é útil, pois é exatamente
o que obtivemos
como a derivada de F linha de x.
Deve haver um c, tal que f de c
é igual a isso.
Deixe-me reescrever isso em outra cor.
Existe um c
no intervalo x mais x mais delta x
onde F linha de x, que sabemos
que é igual a isso,

Bulgarian: 
от х до х плюс ∆х, f от t dt.
Това често се приема като средна
стойност
на функцията в дадения интервал.
Защо се получава така?
Ето тази част тук ни дава площта,
а след това разделяме площта
на основата,
и получаваме средната стойност
на височината.
Друг начин да го формулираме,
е, ако вземем височината ето тук,
умножим я по основата, то получаваме
правоъгълник,
който има абсолютно същата площ
като площта под кривата.
Това е полезно,
защото това е точно каквото получихме
за производната f' от х.
Следователно трябва да съществува
такова f от `c`,
което е равно на ето този израз.
Може да използваме и границата.
Нека препиша всичко това
сега с нов цвят.
Съществува стойност `с` в интервала
х до х плюс ∆х, където F' от х - което
знаем,

English: 
is equal to this, we can now
say is now equal to the limit
as delta x approaches 0.
And instead of
writing this, we know
that there's some c that's
equal to all of this business,
of f of c.
Now we're in the home stretch.
We just have to figure out
what the limit as delta x
approaches 0 of f of c is.
And the main realization is
this part right over here.
We know that c is always
sandwiched in between x and x
plus delta x.
And intuitively, you
can tell that, look,
as delta x approaches 0, as
this green line right over here
moves more and more to
the left, as it approaches
this blue line, the c
has to be in between,
and so the c is
going to approach x.
So we know intuitively
that c approaches
x as delta x approaches 0.

Thai: 
ว่าเท่ากับอันนี้ เราบอกได้แล้วว่า เท่ากับลิมิต
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
และแทนที่จะเขียนอันนี้ เรารู้
ว่ามันมี c ที่เท่ากับทั้งหมดนี้
f ของ c
เรามาถึงเส้นชัยแล้ว
เราต้องหาว่าลิมิตเมื่อเดลต้า x
เข้าใกล้ 0 ของ f ของ c คืออะไร
ข้อสังเกตสำคัญคือส่วนนี่ตรงนี้
เรารู้ว่า c ถูกประกบระหว่าง x กับ x
บวกเดลต้า x
โดยสัญชาตญาณแล้ว คุณบอกได้ว่า ดูสิ
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 เส้นสีเขียวนี่ตรงนี้
เลื่อนไปทางซ้ายมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อมันเข้าใกล้
เส้นสีฟ้านี้ c ต้องอยู่ระหว่างกลาง
c จึงเข้าหา x
เรารู้โดยสัญชาตญาณว่า c เข้าใกล้
x เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Portuguese: 
é igual ao limite
quando delta x tende a zero - em vez
de escrever isso, sabemos
que há um c que é igual a tudo isso,
de f de c.
Já estamos acabando.
Apenas temos que calcular o limite
à medida que delta x tende a zero
de f de c,
e a maior realização é isto daqui.
Sabemos que c está sempre entre x
e x mais delta x.
Intuitivamente você pode dizer
que à medida que delta x
se aproxima de zero,
a linha verde se move mais
e mais para a esquerda.
E à medida que se aproxima da linha azul,
c tem que estar no meio,
então c se aproxima de x.
Sabemos isso intuitivamente.
Sabemos intuitivamente que c
se aproxima de x

Korean: 
F의 도함수가 이것과 같을 때요
이제 Δx가 0으로 갈때의
극한이라고 표현할 수 있죠
이걸 쓰는 대신
우리는 이것과 같은 함숫값 f(c)가
어떤 c에 대해 존재함을 압니다
거의 다 왔어요
우리는 Δx가 0으로 갈 때
함숫값 f(c)가 어디로 가는지만 알면 됩니다
그리고 중요한 부분이 여기 있죠
우리는 c가 x와 x 더하기 Δx 사이에
늘 끼어 있다는 것을 압니다
직관적으로 봤을 때
Δx가 0으로 가면, 이 초록 선이
계속 왼쪽으로 가서
파란 선을 만나면, c가 그 사이에 있어야 합니다
그러니까 c는 x를 향해 갈 거에요
우리는 직관적으로 c가
Δx가 0으로 가면 x로 간다는 것을 알아요

Bulgarian: 
че е равно на ето това - можем сега
да заявим, че е равно на границата,
когато ∆х клони към 0.
И вместо да записваме това,
знаем, че има такова с, което отговаря
на ето това условие за f от c.
Почти сме на финала.
Просто следва да намерим каква
е границата,
когато ∆х клони към 0, от f от c.
Основното, което да научим, е тази
част ето тук.
Знаем, че с винаги е затворено
между х и х плюс ∆х.
Интуитивно можеш да заявиш,
че, когато ∆х клони към 0, то тази
зелена линия ето тук
се приближава все повече и повече
наляво,
т.е. към ето тази синя линия,
а с следва да се намира
между тях, така че с клони към х.
Интуитивно се досещаме,
че с` клони към х, когато ∆х клони към 0.

English: 
Or another way of
saying it is that f of c
is going to approach f of
x as delta x approaches 0.
And so intuitively,
we could say that this
is going to be equal to f of x.
Now, you might say,
OK, that's intuitively,
but we're kind of working
on a little bit of a proof
here, Sal.
Let me know for sure that
x is going to approach c.
Don't just do this little thing
where you drew this diagram
and it makes sense
that c's going
to have to get closer
and closer to x.
And if you want
that, you could just
resort to the squeeze theorem.
And to resort to
the squeeze theorem,
you just have to view c
as a function of delta x.
And it really is.
Depending on your delta x, c's
going to be further to the left
or to the right, possibly.
And so I can just
rewrite this expression
as x is less than or equal to c
as a function of delta x, which
is less than or equal
to x plus delta x.
So now you see that c is always
sandwiched between x and x
plus delta x.
But what's the limit of x
as delta x approaches 0?

Portuguese: 
à medida que delta x se aproxima de zero,
ou podemos dizer que f de c
se aproxima de f de x
quando delta x tende a zero.
Podemos dizer, intuitivamente,
que isso é igual a f de x.
Você pode dizer: "isso é intuitivo,
mas estamos trabalhando com demonstrações.
Diga como posso saber
que x se aproxima de c.
Não faça apenas este diagrama
onde c tem que se aproximar
cada vez mais de x".
Se quiser, podemos usar
o teorema do confronto.
Para usar o teorema do confronto,
você deve ver c
como uma função de delta x.
E realmente é.
Dependendo do delta x, c se aproximará
da esquerda ou da direita,
então posso reescrever a expressão
como x menor ou igual a c,
c sendo uma função de delta x,
que é menor ou igual a x mais delta x.
Agora você vê que c
está sempre entre x e x mais delta x.
Mas qual o limite de x
à medida que delta x tende a zero?

Thai: 
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า f ของ c
เข้าใกล้ f ของ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
โดยสัญชาตญาณแล้ว เราบอกได้ว่า
อันนี้จะเท่ากับ f ของ x
ทีนี้ คุณอาจบอกว่า โอเค มันคือสัญชาตญาณ
แต่เรากำลังพิสูจน์อยู่นะซาล
 
ฉันอยากรู้ให้แน่ชัดว่า x จะเข้าใกล้ c
ไม่ใช่ทำแค่วาดแผนภาพนี้
และบอกว่า c จะ
ต้องเข้าใกล้ x มากขึ้นเรื่อยๆ
และถ้าคุณต้องการอย่างนั้น คุณก็แค่
อ้างทฤษฏีบทประกบ
และเวลาใช้ทฤษฎีบทประกบ
คุณแค่ต้องมอง c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
และมันเป็นจริงๆ
ขึ้นอยู่กับเดลต้า x, c จะห่างไปทางซ้าย
หรือทางขวาก็ได้
และผมเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น
x น้อยกว่าเท่ากับ c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ x บวกเดลต้า x
ตอนนี้คุณเห็นว่า c ถูกประกบระหว่าง x กับ
x บวกเดลต้า x เสมอ
แต่ลิมิตของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 เป็นเท่าใด?

Bulgarian: 
Друг начин да го изкажем, е,
че f от c
клони към f от x, когато ∆х клони към 0.
Тогава интуитивно можем да заявим,
че този израз ще бъде равен на f от х.
Може би сега си мислиш, че това
следва интуитивно,
но все пак работим с доказателства
в математиката.
Нека със сигурност знаем, че х клони
към `с.
Недей просто да правиш тази малка
диаграма,
която показва, че с се приближава
все по-близо и по-близо до х.
Ако искаш да го докажеш, то
можеш просто
да прибегнеш до Теорема
за двамата полицаи.
За да използваш Теоремата за двамата
полицаи,
то следва да приемеш, че `с` е функция
на ∆х.
И то наистина е.
В зависимост от ∆х, с ще се намира
все повече наляво,
или може би надясно.
Тогава мога просто да препиша
този израз,
х по-малко или равно на `с`,
като функция на ∆х,
е по-малко или равно на х плюс ∆х.
Сега вече виждаш, че `с` винаги
е затворено между х и х плюс ∆х.
Каква обаче е границата от х,
когато ∆х клони към 0?

Korean: 
이걸 다르게 표현하자면
Δx가 0으로 갈 때 f(c)가 f(x)에 간다고 할 수 있죠
그러므로 직관적으로
우리는 이것이 f(x)와 같을 것을 압니다
자 이제 당신은 말하겠죠
직관적인 것도 좋지만 증명을
좀 해 봐, Sal
x가 c로 다가간다는 걸 확실히 이해시켜줘
이 작은 것을 단순히 그림을 그려서 하지 말란 말이야
c가 점점
x로 다가간다는 것이 말이 되긴 하는데
그걸 원하신다면, 당신은
Squeeze theorem (압축 정리, 샌드위치 정리)를 써도 됩니다
압축 정리를 쓰려면
c를 Δx에 대한 함수로 보면 됩니다
실제로 그렇고요
Δx에 의존해서, c는 왼쪽으로
또는 오른쪽으로 갈 거에요
그러므로 저는 이 표현을
c가 x 이상
x 더하기 Δx 사이에 있을 때라고 써도 되겠죠
그럼 이제 c가 언제나 x와
x 더하기 Δx 사이에 끼어 있음을 알 수 있죠
그런데 Δx가 0으로 갈 때 x의 그간이 뭐였죠?

Portuguese: 
x não depende de delta x,
então será igual a x.
Qual o limite de x mais delta x,
à medida que delta x tende a zero?
À medida que delta x se aproxima
de zero, isto será igual a x.
Se delta x se aproxima de zero
e é menor que essa função,
e se isso se aproxima de x
à medida que delta x se aproxima de zero,
e é sempre maior do que isso,
então sabemos pelo teorema do confronto,
que o limite com delta x tendendo a zero
de c como uma função de delta x
é igual a x.
Tem que se aproximar da mesma coisa
na qual está no meio.
Por isso usamos o teorema do confronto.
É um pouco mais rigoroso
de obter este resultado.
À medida que delta x se aproxima
de zero, c se aproxima de x.
Se c se aproxima de x, então f de c

English: 
Well, x isn't dependent
on delta x in any way,
so this is just going
to be equal to x.
What's the limit of x plus
delta x as delta x approaches 0?
Well, as delta x
approaches 0, this
is just going to be equal to x.
So if this approaches
as delta x approaches 0,
and it's less than
this function,
and if this approaches x
as delta x approaches 0,
and it's always
greater than this,
then we know from the squeeze
theorem or the sandwich theorem
that the limit as
delta x approaches
0 of c as a function
of delta x is
going to be equal to x as well.
It has to approach the same
thing that that and that is.
It's sandwiched in between.
And so that's a slight--
we resort to the sandwich
theorem-- it's a little
bit more rigorous--
to get to this exact result.
As delta x approaches
0, c approaches x.
If c is approaching x, then f of
c is going to approach f of x.

Bulgarian: 
х не зависи от ∆х по никакъв начин,
така че тази граница просто
ще бъде равна на х.
Каква е граница от х плюс ∆х,
когато ∆х клони към 0?
Когато ∆х клони към 0,
то тази граница просто ще бъде
равна на х.
Границата клони към х, когато ∆х
клони към 0,
но е по-малка от функцията,
И ако този израз клони към х, когато
∆х клони към 0 -
но е винаги по-голяма от тази стойност -
то от Теоремата за двамата полицаи
знаем,
че границата на `с` като функция на ∆х,
когато ∆х клони към 0,
също ще бъде равна на х.
Следва да клони към същото като
тази и тази стойност.
Затворена е между тях.
Малко се отклонихме към Теоремата
за двамата полицаи,
за да докажем строго,
че се получава именно този резултат.
Когато ∆х клони към 0, то `с` клони към х.
Ако `с` клони към х, то f от c клони
към f от х.

Korean: 
x는 Δx와 관련이 없으니까,
그냥 x가 되겠죠
그럼 x 더하기 Δx의 극한은 뭐죠?
흠, Δx가 0으로 가면,
이건 그냥 x가 되겠죠
그러니가 만약 이것이 Δx가 0으로 갈때
이 함수보다 작으면서
이것이 Δx가 0으로 갈 때 x로 갈 때
항상 이것보다 크다면,
우리는 압축 정리 또는 샌드위치 정리로부터
Δx가 0으로 갈 때
Δx에 대한 함수 c 역시
x가 된다는 것을 알 수 있습니다
이것은 양쪽과 같은 값으로 다가가야 해요
사이에 끼어 있으니까요
그래서 압축 정리에 따라
더 엄격한 방식으로
결과를 얻어 냈습니다
Δx가 0으로 가면, c는 x로 갑니다
만약 c가 x로 가면 f(c)는 f(x)로 다가갑니다

Thai: 
x ไม่ขึ้นอยู่กับเดลต้า x อยู่แล้ว
อันนี้จึงเท่ากับ x
แล้วลิมิตของ x บวกเดลต้า x 
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ล่ะ?
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
อันนี้จะเท่ากับ x
ถ้าอันนี้เข้าใกล้ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
และมันน้อยกว่าฟังก์ชันนี้
และถ้าอันนี้เข้าใกล้ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
และมันมากกว่าตัวนี้เสมอ
เราก็จะรู้จากทฤษฎีประกบ หรือทฤษฎีแซนด์วิช
ว่าลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
0 ของ c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
จะเท่ากับ x เช่นกัน
มันต้องเข้าใกล้ค่าเดียวกันกับตัวนั้นและตัวนั้น
มันถูกประกบอยู่ตรงกลาง
และนั่นคือ -- เราใช้ทฤษฎีประกบ
-- มันจะรัดกุมขึ้น --
เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0, c จะเข้าใกล้ x
ถ้า c เข้าใกล้ x, แล้ว f ของ c 
จะเข้าใกล้ f ของ x

Korean: 
그러면 우리는 증명을 얻어냈습니다
F는 연속인 함수입니다
우리는 이렇게 F를 정의했고
우리는 도함수의 정의를 통해서
F의 도함수가
f(x)임을 알아냈습니다
한 번더 묻죠, 이게 왜 중요하죠?
흠, 이것은 어떤 연속 함수
f 에서든 - 우리가 가정했듯이요
우리는 f가 구간 내에서 연속이라 했었죠-
어떤 함수가 존재하여
-이 어떤 함수는 이런 방식으로
구간의 양 끝점의 넓이나
시작점 a부터 x까지의 면적을 정의하도록 하면 됩니다-
만약 그런 식으로 어떤 함수를 정의하면, 그것의 도함수는
연속 함수 f와 같게 됩니다
이걸 다르게 표현하는 방법은
모든 연속 함수는
부정적분을 가진다는 것입니다
이거 좀 멋있는 거에요

Bulgarian: 
И действително направихме
доказателството.
F е непрекъсната функция.
Дефинирахме главно F по този начин
и успяхме да използваме просто
определението за производна,
за да открием, че производната
от главно F от х,
е равно на f от x.
И още веднъж, защо това е толкова
важно?
Гласи следното. Дадена е една
непрекъсната функция f.
Това е, което приемаме за дадено.
Приемаме, че f е непрекъсната
в интервала -
там съществува някаква функция -
която може просто да дефинираме
като площта
под кривата, заключена между някакви
крайни точки. Тоест между началото
на интервала и някаква сума от х.
Ако дефинираме функцията така,
то производната на тази функция,
ще бъде равна на тази непрекъсната
функция.
Друг начин да го изразим, е, че винаги
имаме примитивна функция, т.е. всяка
непрекъсната функция
притежава примитивна функция.
Тук има няколко хубави неща.

Thai: 
แล้วเราก็พิสูจน์เสร็จแล้ว
F เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
เรานิยาม F ใหญ่แบบนี้
และเราสามารถใช้นิยามของอนุพันธ์
เพื่อหาได้ว่าอนุพันธ์ของ F ใหญ่ของ x
เท่ากับ f ของ x
ย้ำอีกครั้ง ทำไมมันถึงสำคัญ?
มันบอกเราว่า ถ้าคุณมีฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
f -- นั่นคือสิ่งที่เราสมมุติ
เราสมมุติว่า f ต่อเนื่องสำหรับช่วงนั้น --
มันจะมีฟังก์ชัน -- คุณแค่
นิยามฟังก์ชันแบบนี้ ว่าเป็นพื้นที่
ใต้เส้นโค้งระหว่างจุดปลายจุดหนึ่ง 
หรือจุดเริ่มต้น
ของช่วงกับ x ค่าหนึ่ง -- ถ้าคุณนิยาม
ฟังก์ชันแบบนั้น แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้
จะเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นของคุณ
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า คุณจะ
ได้ปฏิยานุพันธ์เสมอ ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
มีปฏิยานุพันธ์
และมันเป็นสิ่งที่เจ๋งทีเดียว

English: 
And then we essentially
have our proof.
F is a continuous function.
We defined capital
F in this way,
and we were able to use just
the definition of the derivative
to figure out that the
derivative of capital F of x
is equal to f of x.
And once again, why
is this a big deal?
Well, it tells you that if you
have any continuous function
f-- and that's what we assume.
We assume that f is continuous
over the interval-- there
exists some function--
you can just
define the function
this way as the area
under the curve between some
endpoint, or the beginning
of the interval, and
sum x-- if you define
a function in that way, the
derivative of this function
is going to be equal to
your continuous function.
Or another way of saying
it is that you always
have an antiderivative, that
any continuous function has
an antiderivative.
And so it's a couple
of cool things.

Portuguese: 
se aproxima de f de x.
E temos a nossa demonstração.
F é uma função contínua.
Definimos F deste jeito,
e conseguimos usar a definição de derivada
para calcular a derivada de F de x,
que é igual a f de x.
Mais uma vez, por que isso é importante?
Isso noz diz que se você tem
qualquer função contínua f -
assumimos que f
é contínua no intervalo-
existe uma função-
você pode definir a função
como a área embaixo da curva
entre o começo do intervalo e um delta x-
Se você definir a função dessa forma,
a derivada da função será igual
a sua função contínua.
Ou você pode dizer
que sempre terá uma anti-derivada.

English: 
Any continuous function
has an antiderivative.
It's going to be
that capital F of x.
And this is why it's called
the fundamental theorem
of calculus.
It ties together
these two ideas.
And you have
differential calculus.
You have the idea
of a derivative.
And then in integral
calculus, you
have the idea of an integral.
Before this proof, all
we viewed an integral
as is the area under the curve.
It was just literally
a notation to say
the area under the curve.
But now we've been able to
make a connection that there's
a connection between the
integral and the derivative,
or a connection between the
integral and the antiderivative
in particular.
So it connects all of calculus
together in a very, very, very
powerful-- and we're
so used to it now,
and now we can say almost
a somewhat obvious way,
but it wasn't obvious.
Remember, we always
think of integrals
as somehow doing
an antiderivative,
but it wasn't clear.
If you just viewed an
integral as only an area,
you would have to go
through this process
to say, wow, no, it's connected
to the process of taking
a derivative.

Korean: 
어떤 연속 함수든 부정적분을 가진다니요
그것은 F(x)가 될 거에요
이것이 미적분의 기본 정리라고 불리는
이유입니다
그 두 가지 개념을 연결해주니까요
미분학에서
당신은 미분을 배웠죠
그리고 적분학에서는
적분에 대해 배웠습니다
이 증명 전까지, 우리는 적분을 모두
곡선 아래 면적으로만 봤어요
이것은 그냥 곡선 아래 면적을
표시하는 기호였습니다
그러나 우리는 이제 연결고리를 찾았죠
적분과 미분 사이의
또는 적분과 부정적분간의 관계도
특별히 알게 되었죠
그래서 이것은 모든 미적분학을
통합하는 강력한 도구입니다
 -우린 여기 너무 익숙해져서
너무 당연하게 말할 수 있지만
당연한 게 아닙니다
기억하세요, 우린 언제나
적분을 부정적분 비슷하게 생각했지만
명확하지는 않았어요
만약 당신이 적분을 면적으로만 봤다면,
당신은 이 과정을 거쳐
와, 이게 미분과 연결이 되는구나
알아 냈겠죠.

Portuguese: 
Qualquer função contínua
tem uma anti-derivada.
Será F de x.
Por isso é chamado
de Teorema Fundamental do Cálculo.
Junta essas duas ideias.
E você tem o Cálculo Diferencial.
Você tem a ideia de derivada
e no cálculo integral
você tem a ideia de integral.
Antes desta demonstração, vimos a integral
como a área embaixo da curva.
Era apenas uma notação
para dizer "área embaixo da curva".
Mas agora fizemos uma relação.
Existe uma relação
entre a integral e a derivada.
Ou uma relação entre a integral
e a anti-derivada.
Isso conecta todo o Cálculo.
E estamos tão acostumados agora,
que podemos dizer isso de maneira óbvia,
mas antes não era assim.
Lembre-se, vemos as integrais
como uma anti-derivada,
mas isso não estava claro.
Se você visse a integral
apenas como a área,
você iria por este processo e diria:
"isso está relacionado".
Está relacionado com a derivação.
Legendado por: [Pilar Dib]

Bulgarian: 
Всяка непрекъсната функция
притежава примитивна функция.
Това ще бъде главно F от x.
Ето затова се нарича Фундаментална
теорема на анализа.
Осъществява връзка между
тези две идеи.
Имаме Диференциално смятане.
Имаме идеята за производна.
А след това в Интегралното смятане
имаме идеята за интеграл.
Преди това доказателство
разглеждахме интеграла просто
като площта под кривата.
Беше само начин да кажем,
че това е площта под кривата.
Сега обаче успяхме да направим
връзка
между интеграл и производна.
И по-точно, връзка между интеграл
и примитивна функция.
Свързва всичко в анализа по един
много силен начин
и сега можем да го използваме.
Можем да кажем, че е по един очевиден
начин,
но не беше очевиден.
Спомни си, че винаги мислим
за интеграли,
като за примитивни функции.
Това обаче не е много ясно.
Ако разглеждаш един интеграл
само като площ,
то ще трябва да преминаваш през
този процес.
Обаче това не е така! Интегралът е
свързан
с процеса на намиране на производна.

Thai: 
ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ มีปฏิยานุพันธ์
มันจะเท่ากับ F ใหญ่ของ x
และนี่คือสาเหตุที่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐาน
ของแคลคูลัส
มันเชื่อมโยงแนวคิดสองอย่างนี้เข้าด้วยกัน
คุณมีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
คุณมีแนวคิดเรื่องอนุพันธ์
แล้วในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์
คุณมีแนวคิดเรื่องอินทิกรัล
ก่อนบทพิสูจน์นี้ เรามองอินทิกรัล
เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
มันคือสัญลักษณ์เพื่อบอกว่า
พื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นเท่าใด
แต่ตอนนี้เราได้หาความเชื่อมโยงว่า
มันมีความเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัลกับอนุพันธ์
หรือพูดให้เจาะจงคือ 
ความเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัล
กับปฏิยานุพันธ์
มันเชื่อมโยงแคลคูลัสทั้งหมดอย่าง
แน่นหนา -- และเราคุ้นเคยกับมัน
จนตอนนี้เราบอกได้ว่ามันก็ใช่อยู่แล้ว
แต่มันไม่ได้ชัดเจนแต่แรก
นึกดู เรามักคิดถึงอินทิกรัล
ว่าคือการหาปฏิยานุพันธ์
แต่มันไม่ชัดเจน
ถ้าคุณมองอินทิกรัลเป็นแต่พื้นที่
คุณจะต้องคิดผ่านกระบวนการนี้
แล้วบอกว่า โอ้ มันไม่ง่ายเลย 
การเชื่อมโยงกับการ
หาอนุพันธ์นี้
