
Korean: 
단일변수  미적분학에서는
함수 f(x)의
최댓값이나 최솟값을
찾고 싶을 경우,
주어진 함수를 
미분해서
0이 되는 값을
찾습니다
이를 그래프상에서
해석해보면,
함수 f 의 그래프가 있을 때,
미분값이
0이 되는 
순간을 찾는 것은
x축에 평행한 접선을
찾는 것입니다
여기 보이는
그래프의 경우에는
두개의 접선이
x축과 평행합니다
이 두 접점을 각각
왼쪽에 있는 접점의 
x좌표를 x1
오른쪽에 있는 접점의 
x좌표를 x2라 하면,
어떠한 값이 
최댓값/최솟값을 가질까?
라는 의문이 
생길 것입니다
두 접점 모두 x축과 
평행한 접선을 갖기 때문입니다
이렇듯 x축과 
평행한 접선을 찾고
그 접점이 최대인지 
최소인지 알고 싶은데
만일 그래프 개형을 
알고 있다면
왼쪽의 점이
극댓값을 가지고
오른쪽 점이 극솟값을 
가짐을 알 수 있습니다
하지만 그래프 개형을 
보고 있지 않더라도

English: 
- So in single variable calculus,
if you have a function f
of x and you want to find
the maximum or the
minimum of this function,
what you do is you find its
derivative and you set that
equal to zero.
And graphically, this has
the interpretation that,
you know, if you have the graph
of f, setting its derivative
equal to zero means that
you're looking for places where
its got a flat tangent line.
So in the graph that I drew,
it would be these two flat tangent lines.
And then once you find these
points, you know for example,
here you have one
solution that I'll call x1
and then here you have
another solution, x2,
you can ask yourself the
question are these maxima,
or are they minima, right?
Because both of these can
have flat tangent lines.
So when you do find this
and you want to understand
is it a maximum or a minimum,
if you're just looking at
the graph, we can tell.
You can tell that this point
here is a local maximum
and this point here is a local minimum.
But if you weren't looking at the graph

Korean: 
이를 알 수 있는
 방법이 있습니다
이차 미분계수를 
이용하는 것인데,
왼쪽점의 경우
아래로 오목이기 때문에
f''<0 일 것이고,
오른쪽 점의 경우
위로 오목이기 때문에
f''>0이 됩니다
오목성에 대한 정보를
얻게 되므로써
아래로 오목일 경우
극댓값을 가지고,
위로 오목일 경우
극솟값을 가짐을
알 수 있습니다
만일 f''=0 이라면
극솟값인지 극댓값인지
정할 수 없습니다
이 경우 다른 방법으로 
이를 알아내야 합니다
 
다변수 미적분학에서도
매우 비슷한 
상황에 놓입니다
지난 영상에서 말했듯이,
어떠한 함수가 존재하고
그 함수가 두 개의 
변수를 가질 경우
미분계수가 0이 되는 점을
찾는 대신
우리가 찾아야 할 것은
기울기(gradient) 가 영벡터가
되는 순간입니다
숫자 0이 아니라
영벡터임을 명심합시다
그리고 이는 평평한 
접평면을 찾는 것과 같습니다
만약 이 것이 
익숙치가 않다면

English: 
there's a nice test that
will tell you the answer.
You basically look for the
second, second derivative
and in this case because
the concavity is down,
that second derivative is
going to be less than zero,
and then over here, because
the concavity is up,
that second derivative
is greater than zero.
And by getting this
information about the concavity
you can make a conclusion that
when the concavity is down,
you're at a local maximum,
when the concavity is up,
you're at a local minimum.
In the case where the second,
second derivative is zero,
it's undetermined.
You'd have to do more
tests to figure it out.
It's unknown.
So in the multi-variable world,
the situation is very similar.
As I've talked about in
previous videos, what you'd do
is you'd have some kind of function
and let's say it's a
two variable function,
and instead of looking for where
the derivative equals zero,
you're gonna be looking for where the
gradient of your function
is equal to the zero vector,
which we might make bold to
emphasize that that's a vector.
And that corresponds with
finding flat tangent planes.
If that seems unfamiliar,

English: 
go back and take a look at
the video where I introduce
the idea of multi-variable
maxima and minima.
But the subject of this
video is gonna be on
what is analogous to this
second derivative test,
where in the single variable
world, you just find the second
derivative and check if it's
greater than or less than zero.
How can we, in the multi-variable world,
do something similar to
figure out if you have
a local minimum, a local
maximum, or that new possibility
of a saddle point, that I
talked about in the last video?
So there is another test and it's called
the second partial derivative test.
I'll get to the specifics of that
at the very end of this video.
To set the landscape, I want
to actually talk through
a specific example where we're finding
when the gradient equals zero,
just to see what that looks like
and just to have some concrete
formulas to deal with.
So, the function that
you're looking at right now
is f of xy is equal to x to the fourth,
minus four x squared, plus y squared.
Okay, so that's the function
that we're dealing with.
In order to find where
its tangent plane is flat,

Korean: 
예전의 동영상으로 
돌아가서
다변수 함수의 최댓값/최솟값 
아이디어를 보길 바랍니다
이번 영상에서의 목표는
이차 미분계수 
판정법과 유사하게,
단일 변수를 
다루는 경우에
이계 미분계수가 
0보다 큰지 작은지를 확인하듯이,
다변수 세계에서
비슷한 방법을 이용해서
극솟값, 극댓값, 혹은
지난 시간에 배운 안장점을 구
분하는 방법을 배우겠습니다
이차 미분계수 판정법과
유사한,
이계 편미분계수 판정법을
이용해서 말입니다
이 영상의 끝에서
더 자세한 사항을
다루도록 하겠습니다
전체적인 흐름을
 알기 위해서
기울기(gradient) 가 
0이 되는
구체적인 예시를  들어
설명하겠습니다
그 과정에서 나오는
구체적인 수식들을 다룹시다
지금 보이는 
그래프의 함수는
변수 x,y 에 대한 함수로
f(x,y)= x⁴ - 4x² + y² 입니다
이 것이 우리가 다룰
함수입니다
xy 평면에 평행한
접평면을 찾기 위해서

English: 
we're looking for where
the gradient equals zero.
And remember, this is just
really a way of unpacking
the requirements that
both partial derivatives,
the partial derivative
of f with respect to x,
at some point, and we'll
kind of write it in as we're
looking for the x and
y where this is zero,
and also where the partial
derivative of f with respect to y
at that same point, xy is equal to zero.
So the idea is that this is
gonna give us some kind of
system of equations that
we can solve for x and y.
So let's go ahead and actually do that.
In this case, the partial
derivative with respect to x,
we look up here and the only
places where x shows up,
we have x to the fourth
minus four x squared,
so that x to the fourth,
turns into four times x cubed,
minus four x squared, that
becomes minus eight x,
and then y, y just looks like a constant.
So we're adding a constant
and nothing changes here.
So the first requirement is
that this portion is equal to zero.
Now the second part, where we're looking

Korean: 
기울기(gradient)가 0이 
되는 점을 찾아야 합니다
이 과정이 
편도함수들의 정보를
나열해 놓은 것임을 
기억합시다
함수 f 의 특정한 점
(x,y) 에서
x 에 대한 편도함수는 
0 이 되고
마찬가지로 
y에 대한 편도함수도
0이 됩니다
여기서 얻을 수 있는 
아이디어는
x 와 y 로 이루어진
방정식들을 얻을 수 있다는 것입니다
이제 위의 함수로 
실제로 해 봅시다
여기 적힌 함수 f 의 
x에 대한 편도함수의 경우
x 가 등장하는 항은
x⁴ 과 -4x² 항입니다
x⁴을 미분하면 4x³ 이 되고,
-4x²를 미분하면 -8x 가 됩니다
y는 상수로 취급합니다
따라서 x 에 대한 편도함수를
다 적었습니다
아까 말했듯이 평평한 접평면이
 만족하는 첫번째 조건은
x 에 대한 편도함수가 
0이 되는 것입니다
두번째 조건은

Korean: 
y에 대한 편도함수가 
0이 되는 것입니다
y 가 등장하는 항은 
y² 항이 유일하기 때문에
y² 을 미분하면 
2y 가 됩니다
그리고 이 값은 
0이 되어야 합니다
매우 쉬운 함수를 예로 들어 
설명하고 있습니다
위의 방정식은 
오직 변수 x 만을 가지며
밑의 방정식도 
오직 변수 y 만을 가집니다
하지만 모든 경우에
이렇게 깔끔하게 나오지는 않습니다
두 변수가 곱해져 있는 항이
원래 함수에 존재했다면
두 편도함수에도 x와 y 가 
섞여 있었을 것이고
더 풀기 어려웠을 것입니다
하지만 계산의 편의를 위해서
이 함수를 예로 
들어 설명하겠습니다
이 방정식을 
풀어 보면
2y=0 이므로
y=0 이 됩니다
깔끔합니다
그리고 여기,
4x³ -8x=0 을
다시 적어서
4x 를 공통인수로 묶어주면
 
4x(x² - 2)=0 이 됩니다

English: 
for the partial derivative
with respect to y,
the only place where y shows
up is this y squared term,
so the partial derivative with
respect to y is just two y.
And we're setting that equal to zero.
I chose a simple example
where these partial derivative
equations, you know this
one nicely only includes x
and this one nicely only includes y
but that's not always the case.
You can imagine if you
intermingle the variables
a little bit more, these
will actually intermingle Xs
and Ys and it'll be a
harder thing to solve.
But I just want something where we can
actually start to find the solutions.
So if we actually solve this
system, this equation here,
the two y equals zero,
just gives us the fact
that y has to equal zero.
So that's nice enough, right?
And then this second equation,
that four x cubed minus
eight x equals zero, let's
go ahead and rewrite that
where I'm going to
factor out one of the Xs
and factor out a four, so
this is four x multiplied
by x squared, minus
two, has to equal zero.

Korean: 
위의 방정식은 
세 개의 해를 가집니다
그렇죠?
x=0 이거나,
 
x²-2=0, 
풀어서 적으면
x= ±√2 가 됩니다
x= +√2 이거나, x= -√2
의 두 해가 생기는 것입니다
따라서 이 연립방정식의 해는
y=0 인 상황에서
세 개의 해를 가집니다
x=0, x= +√2
x= -√2 가 그 해입니다
이 세개의 해를
각각 적어보겠습니다
여기에 말입니다
순서쌍의 형태로 
해를 표시하면
(x,y)=(0,0),
(√2,0),
(-√2,0) 입니다
이 서로 다른 세 점은,
세 값은,
위에 적혀있는 조건인

English: 
So there's two different ways
that this can equal zero, right?
Either x itself is equal to zero,
so that would be one
solution, x is equal to zero,
or x squared minus two
is zero, which would mean
x is plus or minus the square root of two.
So we have x is plus or
minus the square root of two.
So the solution to the
system of equations,
we know that no matter
what, y has to equal zero,
and then one of three
different things can happen.
X equals zero, x equals
positive square root of two,
or x equals negative square root of two.
So this gives us three separate solutions,
and I'll go ahead and write them down.
Our three solutions as ordered
pairs are gonna be either
zero, zero; for when x
is zero and y is zero.
You have square root of two, zero.
And then you have negative
square root of two, zero.
These are the three different points,
the three different values,
for x and y that satisfy
the two requirements

English: 
that both partial derivatives are zero.
What that should mean on the graph then
is when we look at those
three different inputs,
all of those have flat tangent planes.
So the first one, zero, zero,
if we kind of look above,
I guess we're kind of
inside the graph here,
zero, zero, is right at the origin.
We can see, just looking at the graph,
that that's actually a saddle point.
You know, this is neither a local maximum
nor a local minimum.
It doesn't look like a
peak or like a valley.
Then the other two, where we
kind of move along the x axis,
and that guess it turns out
that this point here is directly
below x equals positive
square root of two,
and this other minimum is directly below
x equals negative square root of two.
I wouldn't have been able
to guess that just looking
at the graph but we just figured it out.
We can see visually that both
of those are local minima.
But the question is, how could
we have figured that out,
once we find these solutions,
if you didn't have the graph
to look at immediately, how
could you have figured out
that zero, zero corresponds
to a saddle point,
and that both of these other solutions
correspond to local minima?
Well following the idea
of the single variable
second derivative test,

Korean: 
x 와 y 에 대한 편도함수가 0인
조건을 만족시킵니다
이 것이 그래프 상에서
의미하는 바는
이 세 지점을 
그래프 상에서 보았을 때,
접평면들이 모두
xy평면에 평행하다는 것입니다
(0,0) 을 위에서 보면,
이 점이 되고,
바로 원점이 됩니다
그래프를 바라보았을 때
직관적으로
이 점은 '안장점' 이 됨을
알 수 있습니다
극솟값도, 
그렇다고 극댓값도 아닌
그러한 점 말입니다
정상처럼 생기지도 않았고,
계곡처럼 생기지도 않았습니다
나머지 두 점의 경우
x 축을 따라 움직여보면
여기 있는 이 점이
x= +√2 이고,
여기 있는 또 다른 극솟점이
x= -√2 입니다
그래프 개형만을 
이용해서는 알 수 없는 사실을
우리는 방금 알아냈습니다
그래프의 개형을 통해서
두 점이 모두 극솟점임을 알 수 있습니다
하지만 우리가 궁금한 것은,
만일 그래프 개형이 없다면
(0,0)이
안장점에 해당되고
나머지 두 점이
극솟점에 해당되는지를
어떻게 알까요?
이를 해결하는 방법은
단일 변수에서의
이계미분 판정법과 유사합니다.

Korean: 
주어진 함수의 
이차 편도함수를 구해서
오목성을 관찰하는 것입니다
그 예시로, 여기
주어진 함수 f(x,y)의
x 에 대한 
이계 편도함수를 구하면,
(쓰는 중)
(쓰는 중)
다음과 같이 
표기할 수 있습니다
이계 편도함수를
직접 계산해보면
x⁴ 을 두 번 편미분하면
12x² 이 되고
-4x² 을 두 번 편미분하면
-8 이 됩니다
이 것이 
의미하는 바는,
왼쪽에 보이는 그래프를
x 축 방향으로만
 움직였을 때,
다시 말해
y=0 의 평면으로 
자른 후
단면의 그래프 개형을
관찰한다면
방금 적은
x에 대한 이계 편도함수는
잘린 단면의 모든 점에서의
오목성을 알려주게 됩니다
지금 마우스가 가리키는
이 두 점의 x 좌표는
x=±√2에 해당되고

English: 
what you might do is take the
second partial derivatives
of our function and see how
that might influence concavity.
For example, if we take the
second partial derivative
with respect to x, and I'll
try to squeeze it up here.
Second partial derivative of the function,
with respect to x, and
we're doing that twice,
we're taking the second
derivative of this expression,
with respect to x, so we
bring down that three,
and that's gonna become 12
because three times four
times x squared, 12 times
x squared minus eight,
minus eight.
So what this means, woah,
kind of moved that around.
What this means in terms
of the graph is that
if we move purely in the x direction,
which means we kind of
cut it with a plane,
representing a constant y value,
and we look at the slice
of the graph itself,
this expression will tell us the concavity
at every given point.
So these bottom two
points here correspond to
plus and minus x equals
the square root of two.

English: 
So if we go over here
and think about the case
where x equals the square root of two,
and we plug that in to the expression,
what are we gonna get?
Well, we're gonna get 12 multiplied by,
if x equals square root of two,
then x squared is equal to two,
so that's 12 times two, minus eight.
So that's 24 minus eight.
We're gonna get 16.
Which is a positive number,
which is why you have positive
concavity at each of these points.
So as far as the x direction
is concerned it feels like
oh yes, both of these
have positive concavity,
so they should look like local minima.
Then if you plug in zero,
if instead we went over here
and we said x equals zero,
then when you plug that in,
you'd have 12 times zero, minus eight.
And instead of 16, you would
be getting negative eight.
So because we have a negative
amount that gives you this
negative concavity on
the graph, which is why,
as far as x is concerned, the origin looks
like a local maximum.
So let's actually write that down.
If we kind of go down
here and we're analyzing

Korean: 
다시 이계 편도함수로 
돌아가 생각해보면
이계 편도함수 식에
 x=±√2를
대입하였을 때,
어떠한 값이 
나오는지 생각해봅시다
주어진 식에
x=±√2 를 대입하면
x² = 2 가 되고
12 x 2 - 8 이 되므로
24 - 8 이 되어
16이 나옵니다
이는 양수이므로,
x=±√2 에서 그래프 개형이
위로 오목임을 알 수 있습니다
이 두 점을 x 축 방향에서 
바라보았을 때
위로 오목이므로
극솟값이 되어야 함을
알 수 있습니다
그 다음에는 x=0 을 대입하면
(쓰는 중)
12 x 0 - 8 이 되므로
-8 이라는 값을 
얻게 됩니다
x에 대한 이계 편도함수가 
음수가 나오므로
아래로 오목임으로
 알 수 있고
x 축 방향 상에서 
바라봤을 때
극댓값임을
알 수 있습니다
이를 한 번 
적어봅시다
주어진 세 개의 점을

Korean: 
x와 y 변수에 대하여
이계편도함수를 구하면
어떻게 나타날까요?
방금 했듯이 
x 축 방향 상에서는
원점은 극대가 되고
나머지 두 점은 
극소임을 알 수 있습니다
이는 x 축 방향의 
관점에서 바라본 것입니다
마찬가지로 y 축 상에서
비슷한 방법으로
y에 대한 
이계 편도함수를 구하면,
여기에 적는 것이 좋겠군요
 
y 에 대한 
이계 편도함수는
이 표현을 가져다 
쓸 것이고
상숫값으로 
2 가 나옵니다
 
이 값은 양수이므로,
y 축 방향에서 
바라보았을 때,
모든 지점에서 
위로 오목임을 알 수 있습니다
그래프 개형 상에서
이 것이 의미하는 바는
순수한 y 축 방향의 
움직임을 보기 위해서
주어진 그래프를
x=0 으로 잘랐을 때,
항상 위로 오목이라는 것입니다
왼쪽에 지금 보이는 
평면의 경우
x=0 의 평면으로 
자른 것이지만
x= c 의 어떠한 평면에 
대해서 자르든지

English: 
each one of these, and we think
about what does it look like
from the perspective of each variable?
As far as x is concerned,
that origin should look like a max,
and then each of these two
points should look like minima.
This is kind of what
the variable x thinks.
And then the variable y,
if we do something similar,
and we take the second partial
derivative with respect to y,
I'll go ahead and write that over here
because this'll be pretty quick,
second partial derivative
with respect to y,
we're taking the derivative
of this expression,
with respect to y, and
that's just a constant.
That's just two.
And because it's positive,
it's telling you that
as far as y is concerned,
there's positive concavity every where.
And on the graph, what that would mean,
what that would mean, if you
just look at things where you
kind of slicing with a constant x value
to see pure movement in the y direction,
there's always going to
be positive concavity.
And here I've only drawn the plane
where x is constantly equal to zero,
but if you imagine kind of
sliding that plane around

English: 
left and right, you're always
getting positive concavity.
So as far as y is concerned,
everything looks like a local minimum.
So we kind of go down here
and you'd say everything
looks like a local minimum.
Minimum, minimum, and minimum.
So it might be tempting here
to think that you're done,
to think you found all the
information you need to.
Because you say well in the x
and y direction, they disagree
about whether that origin should
be a maximum or a minimum,
which is why it looks like a saddle point,
and then they agree, they
agree on the other two points,
that both of them should
look like a minimum,
which is why, which is why you could say,
you think you might
say, both of these guys
look like a minimum.
However, that's actually not enough.
There are cases, there are
examples that I could draw
where doing this kind of
analysis would lead you
to the wrong conclusion.
You would conclude that
certain points are, you know,
a local minimum when in
fact they're a saddle point.
And the basic reason is that
you need to take into account
information given by that other
second partial derivative.
Because in the multi-variable world,

Korean: 
항상 위로 오목인
개형을 보일 것입니다
따라서 y 축 방향에서 
바라보면
(0,0), (√2,0), (-√2,0) 는 모두
극솟값이 됩니다
한번 더 적어줍시다
(쓰는 중)
(쓰는 중)
이제 끝났다고 
생각할 수 있습니다
모든 정보를 
다 찾았다고 생각할 수도 있습니다
(0,0)  의 경우 
x 축 상에서는 극대가,
y 축 상에서는 극소가 되므로
안장점이라고 
생각할 수 있습니다
나머지 두 점은
어느 방향에서 바라보든 
극소가 되므로
그래프 상에서 바라보았을 때
이 두 점이
극소가 된다고 
생각할 수 있습니다
하지만 사실 이는 
충분하지 않습니다
몇 가지 반례가,
이러한 분석이 
잘못된 결론을 도출함을
보여줄 것입니다
특정 점의 경우 
안장점인데도 불구하고
극솟값이라는 잘못된 결론을
내릴 수 있습니다
이러한 결론이
 나오는 이유는
우리가 미처  다루지 않은 
이계 편도함수가 있기 때문입니다
다변수 세계에서는

English: 
you can take the partial derivative
with respect to one variable,
and then with respect to another.
And you have to take into
account this mixed partial
derivative term in order
to make full conclusions.
And I'm a little bit
afraid that this video
might be running long,
so I'll cut it short here
and then I will give you the
second partial derivative test
in it's full glory, accounting for this
mixed partial derivative
term in the next video.
I'll also, you know, give
intuition for where this comes in,
why this comes in, why
this simple analysis that
we did in this case is close
and it does give intuition
but it's not quite full
and it won't give you
the right conclusion always.
All right, I will see you then.

Korean: 
하나의 변수로 
편도함수를 구하고
다른 변수로
편도함수를 
다시 구할 수 있습니다
올바른 결론을
도출하기 위해서는
이러한 혼합 편도함수를
다루어야 합니다
이것마저 설명하면
이번 영상이 
너무 길어질 것 같으니
여기서 설명을 마치고
다음 영상에서
이계 편도함수 판정법을
혼합 편도함수와 함께
설명하도록 하겠습니다
이 혼합 편도함수가
어디서 나오고
왜 나오고,
우리가 사용한 예시의 경우
아무런 문제가 없는데
왜 충분하지 않다는 것인지를
설명하도록 하겠습니다
다음 영상에서 만납시다
