
English: 
- [Voiceover] Hey everyone.
So in the last video I introduced
this thing called the second
partial derivative test,
and if you have some kind
of multivariable function
or really just a two variable function
is what this applies to, something that's
f of x, y and it outputs a number.
When you're looking
for places where it has
a local maximum or a local
minimum, the first step,
as I talked about a few videos ago,
is to find where the gradient equals zero
and sometimes you'll hear these called
critical points or stable points,
but inputs where the gradient equals zero
and that's really just a way of compactly
writing the fact that all the partial
derivatives are equal to zero.
Now when you find a point like this,
in order to test whether
it's a local maximum
or a local minimum or a saddle point
without actually looking at the graph,
'cause you don't always have the ability
to do that at your
disposal, the first step
is to compute this long value,
and this is the thing I
wanna give intuition behind.
Where you take all three
second partial derivatives,
the second partial
derivative with respect to x,
the second partial
derivative with respect to y
and the mixed partial derivative
where first you do it with respect to x,

Korean: 
안녕하세요
지난 영상에서는
이계 편미분 검사에 대해 배웠습니다
어떤 다변수 함수에 적용됩니다
예를 들어 이변수 함수
그러니까 x,y에 대해
함숫값을 출력하는 함수 말이죠
함수의 그래프에서
극대점이나 극소점을 찾을 때는
이전 영상에서 말했듯이
그래디언트가 0인 점
다시 말해
임계점을 찾으면 됩니다.
그리고 그때 변수의 값은
모든 편미분 값이
0이라는 사실을
말해주는 것이죠
이러한 점을 찾으면
이것이 극대 혹은 극소인지를
그래프를 보지 않고
판별할 수 있어야 합니다
항상 그래프를 볼 수 있는 것은 아니기 때문이죠
그러기 위해 처음으로 할 일은
이 긴 수식을 계산하는 것입니다
이 수식에 대한 직관을 말해드리고 싶군요
3가지 이계 편미분을 구하면
즉 x에 관한 이계 편미분과
y에 관한 이계 편미분,
x에 대해 한 번,
y에 대해 한 번 미분한

Korean: 
이계 편미분을 구하고
앞서 구한 임계점에서
이 값을 구하고
한 변수에 대해 두 번 미분한 것끼리 곱하여
한 번씩 미분한 값의
제곱을 빼 주면
이 이유에 대해서는
나중에 설명하기로 하고
이 값을 구하여
값을 H라 했을 때
H가 양수이면
그 임계점이
극대 혹은 극소라는 말이 됩니다
반드시 극대, 극소를 가집니다
이 둘 중 무엇인지 알아보기 위해서는
한쪽에서의 오목, 볼록만 판별하면 됩니다
예를 들어
x에 관한 이계 편미분을 보고
만약 이것이 양수이면
x축 방향에서 보았을 때
아래로 볼록이고, 음수이면
위로 볼록이라는 말입니다
다시 말해 이계 편미분이
양수이면
극대를, 음수이면
극소를 나타낸다는 말입니다
이것은 H값이
양수일 때의 이야기입니다

English: 
then you do it with respect to y.
And you compute this
value where you evaluate
each one of those at your critical point
and you multiply the two pure
second partial derivatives
and then subtract off the square
of the mixed partial derivative
and again, I'll give intuition
for that in a reason,
but right now we just kinda take it,
oh, alright, I guess
you compute this number
and if that value H, if that value H
is greater than zero, what it tells you,
what it tells you is
that you definitely have
either a maximum or a minimum.
So you definitely have either
a maximum or a minimum.
And then to determine which one
you just have to look at the
concavity in one direction.
So you'll look at the
second partial derivative
with respect to x for example,
and if that was positive
that would tell you
when you look in the x direction
there's a positive
concavity, if it was negative
it would mean a negative concavity.
And so that means a positive value
for that second partial derivative
would mean a local minimum
and a negative value
would mean a local maximum.
So that's what it means if this value H
turns out to be greater than zero.

English: 
And if this value H turns
out to be less than zero,
strictly less than zero,
then you definitely
have a saddle point, saddle point.
Which is neither a maximum, nor a minimum.
It's kind of like there's disagreement
in different directions over whether
it should be a maximum or a minimum.
And if H equals zero, the
test isn't good enough.
You would have to do something
else to figure it out.
So why does this work?
Why does this seemingly
random conglomeration
of second partial
derivatives give you a test
that let's you determine what type
of stable point you're looking at?
Well let's just understand
each term individually.
So this second partial
derivative with respect to x,
since you're taking
both partial derivatives
with respect to x,
you're basically treating
the entire multivariable function as if x
is the only variable and
y was just some constant.
So it's like you're only looking at
movement in the x direction.
So in terms of a graph,
let's say we've got like,
this graph here, you
can imagine slicing this
with a plane that represents movement
purely in the x direction, so that'll be
a constant y value slice,
and you take a look

Korean: 
만약 H값이 음수이면
0과 같지는 않습니다
이때는 안장점을 가집니다
극대나 극소는 아닙니다
보는 방향에 따라
극대와 극소가
달라지는 점이죠
H값이 0이면 쓸모가 없습니다
판별하기 위해선 다른 식을 써야 하죠
이것이 왜 될까요
그냥 이계 편미분을 대충
섞어놓은 듯한 식이
이 정류점이 어떤 점인지
알 수 있게 할까요
각 항을 떼어서 생각해봅시다
x에 대한 이계도함수를 보면
두 번 다 x에 대해
미분하는 것이기 때문에
이 다변수 함수 전체를
x에만 대한 함수로 생각하는 것입니다
x축 방향으로의
움직임만 보는 것이죠
그래프로 말하자면
x축 방향의 움직임만 보기 위하여
그래프를 평면으로
자르는 것을 생각할 수 있습니다
y가 상수인 평면 말이죠

Korean: 
이 평면과 그래프가 이루는 교선을 봅시다
이 그래프에서 보면
아래로 볼록인 것 같습니다
즉 이 항이 x 방향의 오목, 볼록을 나타내죠
다시 말해 x만을 변수로 했을 때
오목, 볼록이 어떻게 되는가를 보게 됩니다
마찬가지로
y에 대해서만 두 번
편미분을 하게 되면
x가 변수라는 사실을
고려하지 않고
y축 방향의 움직임만 보는 것입니다
이 그래프에서는
이쪽 교선도
아래로 볼록한 모양이군요
여기서 중요한 것은
y축 방향의 움직임을
y에 대해 두 번
편미분하기만 하면
알 수 있다는 것입니다
즉 이 항이 y의 오목, 볼록을 말해주는 것입니다
만약 이 둘이 다르다면
어떻게 될까요
예를 들어 x방향으로는 아래로 볼록인데
y방향으로는 위로 볼록인 상황이죠
여기에 다시 적어보면

English: 
at the curve where this
slice intersects your graph.
And in the one that I have pictured here
it looks like it's a positive concavity.
So this term right here kind
of tells you x concavity.
So it's kind of like the,
what is the concavity
as far as the variable x is concerned.
And then symmetrically, this over here,
when you take the partial derivative
with respect to y two times in a row,
it's like you're ignoring the fact
that x is even a variable
and you're looking
purely at what movement in
the y direction looks like.
Which on the graph that
I have pictured here,
also happens to give you kind of this
positive concavity parabola look,
but the point is that
the curve on the graph
that results from looking at movement
purely in the y direction can be analyzed
just looking at this partial derivative
with respect to y twice in a row.
So that term kind of tells
you y concavity, y concavity.
Now first of all, notice what happens
if these disagree.
If say, x thought there
should be positive concavity
and y thought there should
be negative concavity.
Here, I'll write that
down, what that means.

English: 
If x thinks there's positive concavity
we have here some kind of positive number
that I'll just write as like,
a plus sign in parenthesis.
And then this here, y concavity, would be
some kind of negative number,
so we'll just put like,
a negative sign in parenthesis.
So that would mean this very first term
would be a positive times a negative
and that first term would be negative.
And now the thing that
we're subtracting off,
I'll get to the intuition behind this
mixed partial derivative term in a moment,
but for now you can notice
that it's something squared,
it's something that's
always a positive term.
So you're always subtracting
off a positive term
which means if this
initial one is negative,
the entire term H is
definitely gonna be negative,
so it's gonna put you over into
this saddle point territory.
Which makes sense,
because if the x direction
and the y direction disagree on concavity
that should be a saddle point.
The quintessential example here
is when you have the function f of x, y
is equal to x squared minus y squared,
x squared minus y squared.
And the graph of that, by the way,
the graph of that would look like this
where, let's see, so
orienting myself here,

Korean: 
x 방향으로 아래로 볼록이라면
어떤 양수 값을 가지게 되고
(+)로 부호만 표시하겠습니다
y축 방향의 오목, 볼록은
음수 값을 가지게 되는데
(-)의 부호를 가지겠군요
즉 이 첫 번째 항은
양수에 음수를 곱했으니
음수일 것입니다
그리고 뒤에서 빼는 값을 보면
이것이 무엇인지는
나중에 설명하더라도
무언가의 제곱
즉 양수임을 알 수 있습니다
즉 양수를 빼게 되는데요
첫 항이 음수이면
H값은 당연히 음수일 것입니다
그러니 안장점이 되는 것이죠
직관적으로도
x와 y 방향의 오목, 볼록이 다르면
안장점이 생깁니다
이 예시는
x, y의 함수가
x제곱에서 y제곱을 뺀
즉 f(x,y)=x²-y²일 때입니다
그리고
그래프를 그려 보면
이쪽 방향에서 볼 때

Korean: 
x축 방향으로 움직이면
아래로 볼록임을 알 수 있고
이는 x²의 계수가 양수임에서 알 수 있습니다
y 방향에서 볼 때는 위로 볼록인데
y²의 계수가 음수인 것과
동일합니다
다시 말해 이 둘이 다르면
안장점이 생김을 알 수 있죠
만약 둘이 같다면
예를 들어 x 방향에서도
아래로 볼록이고
y 방향에서도 아래로 볼록일 때
아니면 둘 다 음수가 나올 때를
살펴보겠습니다
두 경우 모두에 대해서
이 둘을 곱하면 양수가 나옵니다
다시 말해
x만 고려했을 때랑 y만 고려했을 때
둘이 같다면 당연히
아래로 볼록이거나
위로 볼록이겠죠
즉 첫 항은 양수입니다
x와 y 방향으로 본
결과가 같은지 알아보는 방법이
상당히 잘 먹히는군요
하지만 이것이 다가 아닌 이유는
양수에서
양수를 빼고 있기 때문입니다
그러니 x와 y를 고려한 것이

English: 
moving in the x direction
you have kind of,
positive concavity which corresponds
to the positive coefficient
in front of x squared,
and in the y direction it
looks like negative concavity.
Corresponding to that negative coefficient
in front of the y squared.
So when there's disagreement among these,
the test ensures that we're
gonna have a saddle point.
Now what about if they agree, right,
what if either it's the case that x thinks
there should be positive concavity
and y thinks there should
be positive concavity,
or they both agree that there should be,
you know, negative concavity.
In either one of these cases,
when you multiply them
together they're positive.
So it's kind of like saying, if you look
purely in the x direction or
purely in the y direction,
they agree, that there
should be, you know,
definitely positive concavity
or definitely negative concavity.
So that entire first term
is going to be positive.
So it's kind of like a clever way
of capturing whether
or not the x directions
and y directions agree.
However, the reason that it's not enough
is 'cause in either case we're still
subtracting off something
that's always a positive term.
So when you have this agreement

English: 
between the x dicretion
and the y direction
it then turns into a battle between
this x, y agreement
and whatever's going on
with this mixed partial derivative term.
And the stronger that mixed
partial derivative term,
the bigger this negative number,
so the more it's pulling the entire value
H towards being negative.
So let me see if I can give a little
bit of reasoning behind why this
mixed partial derivative term is trying
to pull things towards
being a saddle point.
Let's take a look at
the very simple function
f of x, y, is equal to x times y.
So what that looks like graphically,
f of x, y equal x times y, is this.
It looks like a saddle point.
So let's go ahead and look
at it's partial derivatives.
So the first partial derivatives,
partial with respect to x and partial
with respect to y, well when you do it
with respect to x, x
looks like a variable,
y looks like a constant,
it's just that constant y.
And when you do it with respect to y
it goes the other way around.

Korean: 
서로 잘 맞으면
이 둘과
한 번씩 미분한 편미분값 사이의
경쟁이 됩니다
한 번씩 미분한 쪽이 커지면
더 큰 음수값을 지니므로
H값이 음수가 되게끔
만들 것입니다
왜 이런 현상이
한 번씩 미분한 편미분이
안장점이 되게 하는지
이유를 설명하도록 하겠습니다
f(x)=xy라는
간단한 함수를 보겠습니다
그래프로 이 식을
표현하고 보면
안장점 같습니다
여기에 편미분을 계산해 봅시다
일계 편미분을 먼저 하자면,
x와 y에 대한 편미분을 볼 때
x에 대한 편미분은
x를 변수, y를 상수로 취급하여
값은 y가 됩니다
y에 대해서 편미분하면
반대로 됩니다

English: 
Y looks like the variable,
x looks like the constant
so the derivative is that constant x.
Now when you take the
second partial derivatives,
if you do it with respect
to x twice in a row
you're differentiating
this with respect to x,
that looks like a
constant, so you get zero.
And similarly, if you
do it with respect to y
twice in a row, you're doing this
and the derivative of x with respect to y,
x looks like a constant, goes to zero.
But the important term, the one that we're
getting an intuition about here,
this mixed partial derivative,
first with respect to x
then with respect to y, well
you can view it in two ways.
Either you take the
derivative of this expression
with respect to y, in which case it's one,
or you think of taking the
derivative of this expression
with respect to x, in
which case it's also one.
So it's kind of like this
function is a very pure
way to take a look at what this
mixed partial derivative term looks like.
And the higher the coefficient here,
if I had put a coefficient
of, you know, three here
that would mean that the
mixed partial derivative
would ultimately end up being three.

Korean: 
y가 변수, x가 상수이기 때문에
값은 x가 됩니다
이계 편미분을 구할 때는
x에 대해 연속 두 번 하면
이것을 x로 미분하기 때문에
0이 나옵니다
마찬가지로 y에 대해 두 번 하면
x를 y에 대해 미분하는데
x가 상수이므로
값이 0이 나옵니다
하지만 직관을 얻을
중요한 점은
x와 y에 대해 미분한 편미분을
두 가지 방법으로 봐서
이것을 y로 미분하여
1이 나오거나
이쪽을 x로 미분하여
마찬가지로 1이 나옵니다
두 변수에 대해 각각 한 번씩 미분한
값이 어떤 모양인지
알아볼 수 있는 예입니다
또한 계수가 높으면
예를 들어 여기 계수가 3이라면
한 번씩 미분한 값은
3이라는 결과가 나옵니다

English: 
So notice, the reason that
this looks like a saddle
isn't because the x and
y directions disagree,
in fact if you take a
look at pure movement
in the x direction it just
looks like a constant.
The height of the graph along this plane,
along this line here is just a constant
which corresponds to the fact that the
second partial derivative
with respect to x
is equal to zero.
And then likewise, if
you cut it with a plane
representing a constant x value,
meaning movement purely
in the y direction,
the height of the graph doesn't
really change along there,
it's constantly zero which corresponds
to the fact that this other
partial derivative is zero.
The reason that the whole
thing looks like a saddle
is 'cause when you cut it
with a diagonal plane here,
a diagonal plane, it looks
like it has negative concavity.
But if you were to chop it,
you know, in another direction
it would look like it
has positive concavity.
So in fact, this xy term
is kind of like a way
of capturing whether there's disagreement
in the diagonal directions.
And one thing that might
be surprising at first
is that you only need one of these
second partial derivatives in order

Korean: 
안장처럼 보이는 이유는
x와 y 방향이 달라서가 아닙니다
사실 x축 방향으로는
상수처럼 움직입니다
이 평면을 따른 그래프의 높이
이 선을 따른 높이가 상수인 것은
x에 대해 두 번 편미분하였을 때
그 값이 0인 것과
대응됩니다
마찬가지로
고정된 x좌표를 갖는 평면으로 자르면
y축에 관련된 움직임이 나오는데
여기서 그래프의 높이는 변하지 않습니다
값이 항상 0인데, 이는
다른 편미분 값이 0인 것과 일치합니다
이것이 안장처럼 보이는 이유는
비스듬하게 평면을 잘라보면
위로 볼록해 보이지만
다른 방향으로 잘라 보면
아래로 볼록하기 때문입니다
즉 xy항은
대각선 방향으로 잘랐을 때
일치하는지를 보는 것입니다
처음 들으면 놀랄 만한 사실이 있는데
이계 편미분에 대한 정보가 하나여도
다른 대각선 방향의

Korean: 
정보를 파악하기에
충분하다는 것입니다
왜나하면 두 가지 벡터를 따라
움직일 때가 서로 다르면
무수한 방향에 대해 일일이
찾아야 하지 않나 하는
상상을 할 수도 있기 때문입니다
또한 이것은
한 번씩 미분한 것을 살펴보아야 하는
유일한 경우입니다
당연히
한 변수를 두 번씩 미분한
값과 함께 말이죠
하지만 세 값을 본다고
수많은 방향에서의 불일치를
해결할 수 있다는 것은
여전히 놀라워 보입니다
이것이 어떻게 작용하는지에 대한
엄밀한 증명
즉 왜 이 판정법이 성립하는지에 대한
완전한 증명에 대해서는
관심있는 사람들을 위해
자세한 것까지 하나하나 정리한
것이 있습니다
하지만 직관만을 원한다면
여기서 했던 것처럼
한 번씩 편미분한 값이
함수 f(x,y)가
f(x,y)=xy와 얼마나 닮았는지를
나타낸다고 생각해도 됩니다
대각선 방향에 대한

English: 
to determine all of the information
about the diagonal directions.
'Cause you can imagine,
you know, maybe there's
disagreement between movement
along one certain vector
and movement along
another and you would have
to account for infinitely many directions
and look at all of them.
And yet evidently, it's
the case that you only
really need to take a look at this
mixed partial derivative term.
You know, along with the original pure
second partial derivatives with respect
to x twice and with respect to y twice.
But still, looking at
only three different terms
to take into account possible disagreement
in infinitely many directions actually
feels like quite the surprise.
And if you want the full,
rigorous justification
for why this is the case, why this
second partial derivative test works
and kind of, an airtight argument.
I've put that in an
article that you can find
that kind of, goes into the dirty details
for those who are interested.
But if you just want the intuition,
I think it's fine to think about
the fact that this
mixed partial derivative
is telling you how much your function
looks like the graph of f
of x, y equal x times y.
Which is the graph that kind of captures

English: 
all of the diagonal disagreement.
And then when you let that term,
that mixed partial derivative term,
kind of compete with the agreement
between the x and y directions,
you know, if they agree very strongly,
you have to subtract
off a very strong amount
in order to pull it
back to being negative.
So this battle back and
forth, if it's pulled
to be very negative that
will give you a saddle point,
if it doesn't pull hard
enough, then the agreement
between the x and y directions wins out
and it's either a local
maximum or a local minimum.
So hopefully that sheds
a little bit of light
on why this term makes sense
and why it's a reasonable way
to combine the three different
second partial derivatives
available to you, and
again, if you want the full
details, I've written that
up in an article form.
I'll see you next video.

Korean: 
모든 불일치를 잡아낼 수 있게요
그리고 한 번씩 편미분한 그 항을
x와 y에 대해
각각 편미분한 항과
경쟁시키면
x와 y가 매우 잘 맞으면
이 값을 음수로 만들기 위해서는
매우 큰 값을 빼야 합니다
즉 이 공방전에서 매우 큰 값을 빼면
안장점이 나타나고
적당히 작은 값이 빠지면
처음 항이 우세하여
극대나 극소가 나타납니다
이 공식이 왜 성립하는지에 대한
직관적인 이유가 될 수 있을 것입니다
또 왜 세 가지 세 가지 편미분 값을
수식으로 만들면 성립하는지는
다른 곳에 정리해 두었습니다
다음 영상에서 뵙겠습니다
