
Czech: 
Funkce f je spojitá na uzavřeném
intervalu od −2 do 1,
přičemž f v bodě −2 je 3
a f v bodě 1 je 6.
Které z následujících tvrzení je
splněno díky větě o nabývání mezihodnot?
Než se na to vrhneme, tak si připomeňme,
co o větě o nabývání mezihodnot víme.
Můžeme ji zde použít.
f je spojitá funkce
na uzavřeném intervalu.
Známe funkční
hodnotu v bodě −2.
Je to 3, napišme
si to sem.
f v bodě −2 je rovno 3
a f v bodě 1, jak nám říkají
v zadání, se rovná 6.
Věta o nabývání
mezihodnot nám říká...
pokud je toto pro vás úplně nové, 
podívejte se na naše video o této větě.
...tato věta říká, že každá spojitá funkce
na uzavřeném intervalu
nabývá všech hodnot mezi funkčními
hodnotami na krajích tohoto intervalu.

English: 
- [Voiceover] Let F be
a continuous function
on the closed interval
from negative two to one
where F of negative two is equal to three
and F of one is equal to six.
Which of the following is guaranteed
by the Intermediate Value Theorem?
So before I even look at this,
what do we know about the
Intermediate Value Theorem?
Well it applies here,
it's a continuous function
on this closed interval.
We know what the value of the
function is at negative two.
It's three so let me write that.
F of negative two is equal to three
and F of one, they tell
us right over here,
is equal to six
and all the Intermediate
Value Theorem tells us
and if this is completely
unfamiliar to you,
I encourage you to watch the video
on the Intermediate Value Theorem,
is that if we have a continuous function
on some closed interval,
then the function must take on every value
between the values at the
endpoints of the interval

Bulgarian: 
Нека f е непрекъсната функция
в затворения интервал [–2; 1],
където f(–2) = 3 и f(1) = 6.
Кое от следните твърдения следва
от Теоремата за междинните стойности?
Преди дори да погледна това,
какво знаем за 
Теоремата за междинните стойности?
Намира приложение тук,
това е непрекъсната функция 
в затворен интервал.
Знаем каква е стойността 
на функцията в точката –2.
Тя е 3, така че нека го запиша.
f(–2) = 3,
а f(1) ето тук ни казват,
че е равно на 6.
Всичко, което ни казва 
Теоремата за междинните стойности,
и ако това е напълно непознато за теб,
те окуражавам да изгледаш урока
за Теорема за междинните стойности,
е, че ако имаме непрекъсната функция 
в някакъв затворен интервал,
тогава функцията следва 
да преминава през всяка стойност
между стойностите
в крайните точки от интервала.

Korean: 
함수 f 가
닫힌구간 [ - 2, 1 ]에서 연속이고
f( -2) = 3
f( 1) = 6 이라고 합니다
다음 중 중간값 정리를
만족하는 것은 무엇일까요?
문제를 보기 전에
중간값 정리가 무엇이었죠?
먼저, 닫힌 구간에서 연속인 함수일 때
중간값 정리를 사용할 수 있습니다
그리고 x = -2 일 때의 
함수 값 3이라고 주어져 있네요
그리고 x = -2 일 때의 
함수 값 3이라고 주어져 있네요
f( -2) = 3 이에요
그리고 x = 1일 때는
나와있는 것처럼 6이에요
만약 중간값 정리에 대한 내용이
잘 생각이 나지 않거나 익숙하지 않다면
동영상을 보면서 다시 한 번
복습하시기 바랍니다
중간값 정리는
어느 닫힌 구간에서
연속인 함수는 닫힌 구간에서
모든 함수 값을 가져야 한다는 것이죠

Czech: 
Jinak řečeno, pro
libovolné L od 3 do 6
existuje alespoň
jedno ‚c‘
v uzavřeném
intervalu od -2 do 1
takové, že f v bodě
‚c‘ je rovno L.
Tohle přesně říká věta
o nabývání mezihodnot.
Jednodušeji řečeno,
tohle je spojitá funkce...
za chvilku si i
nějakou nakreslíme...
takže dává smysl, že
pokud je funkce spojitá,
a já tak při kreslení grafu nesmím
zvednout tužku z papíru,

Bulgarian: 
Друг начина да се изкаже, е,
че за всяко число L, 
което е между 3 и 6,
има поне едно число C,
има поне едно число C,
едно C,
между тях, или бих могъл да кажа,
че C е в интервала
от [–2; 1], т.е. в затворения интервал
и такова, че f(C) = L.
Това следва директно от Теоремата
за междинните стойности.
Казано на прост език,
е, виж, това е непрекъсната функция.
Всъщност, ще го покажа 
визуално след няколко секунди.
Но е логично, че ако е непрекъсната,
и ако исках да начертая графиката, 
не мога да повдигна молива си.
Следователно е логично,

Korean: 
다르게 이야기하면
3과 6사이의 값을 가지는
3과 6사이의 값을 가지는
L=f(C)가
적어도 하나 존재한다는 것이에요
적어도 하나 존재한다는 것이에요
다시 말하면
닫힌구간 [-1,2] 사이의 c 중에서
f(c)=L인
모든 함수 값을 가져야 한다는 것이죠
이 내용은 중간값 정리에서 바로 도출할 수 있고
정말 간단하게 이야기하면
끊어지지 않은 이어진 함수라고도 할 수 있어요
조금 있다가 그래프를 그려보겠지만
단순히 이어져 있다고 이해해도 됩니다
그래프를 그리는 동안에는 연필을 떼지 않고
그려야 한다는 말이기도 합니다
이는 3과 6

English: 
or another way to say it is
for any L
between three and six,
three and six,
there is at least one C,
there is at least one C,
one C,
between, or I could say
once C in the interval
from negative two to
one, the closed interval,
such that F of C is equal to L.
This comes straight out of
the Intermediate Value Theorem
and just saying it in everyday language
is look this is a continuous function.
Actually I'll draw it
visually in a few seconds.
But it makes sense that
if it's continuous,
if I were to draw the graph,
I can't pick up my pencil,
well that it makes sense
that I would have to

English: 
take on every value between three and six
or there's at least one
point in this interval
where I take on any given
value between three and six.
So let's see which of these
answers are consistent with that
and we only pick one.
So F of C equals four.
So that would be a case
where L is equal to four.
So there's at least one C
in this interval such that
F of C is equal to four.
We could say that.
But that's not exactly
what they're saying here.
F of C could be four for at least one C,
not in this interval,
remember the C is our X.
This is our X right over here.
So the C is going to be in this interval
and I'll take a look at
it visually in a second
so that we can validate that.
We're not saying for at least one C
between three and six F
of C is equal to four,
we're saying for at least
one C in this interval
F of C is going to be equal to four.

Korean: 
또는 이 문제에서 함수의 값인 3과 6 사이의 모든 값을
지나야 한다는 말이니까
처음의 중간값 정리에 대한 설명과 
비슷한 말이기도 하고요
그러면 이제 다음 문장 중에서
무엇이 맞는 문장인지를 살펴봅시다
f(c)=4 이네요
그러면 3과 6사이의 값이니까 
여기까지는 일치합니다
닫힌 구간 [ -2, 1]에서는
f(c) = 4인 c가 적어도 하나 존재한다고는
할 수 있습니다
하지만, 범위가 일치하지 않습니다
f(c)는 4가 될 수는 있지만
이 범위에서는 아니고
여기에 x가 들어갈 자리였는데
그러면, c는 이 범위 사이에 
들어가야 합니다
직접 그래프를 그려서
확인해보도록 합시다
현재 우리가 알 수 있는 것은
f(c)=4인 c가
-2에서 1 사이의 범위에
위치한다는 것입니다

Bulgarian: 
че трябва да премина през 
всяка стойност между 3 и 6,
или има поне една точка
в този интервал,
където преминавам през всяка
стойност между 3 и 6.
Нека да видим кои от отговорите
изпълняват това условие
и ще изберем само един.
И така, f(C) = 4.
Това ще бъде случай, когато L = 4.
Тоест има поне едно число C
в този интервал, такова,
 че f(C) = 4.
Може да кажем това.
Но това не е точно каквото
ни казват тук.
f(C) може да е 4 за поне едно C,
което не е в този интервал. 
Спомни си, че C е нашият x.
Това тук е нашият x.
C ще бъде в този интервал
и след няколко секунди ще го онагледя,
така че да може да го потвърдим.
Не казваме, че поне за едно C
между 3 и 6 f(C) = 4.
Казваме, че поне за едно C 
в този интервал ето тук
f(C) ще бъде равно на 4.

Czech: 
tak dává smysl, že funkce
musí nabýt všech hodnot mezi 3 a 6,
neboli že v alespoň jednom bodě tohoto
intervalu nabude danou hodnotu mezi 3 a 6.
Podívejme se, která z
odpovědí s tímto souhlasí.
Vybíráme pouze jednu.
f v bodě ‚c‘ je rovno 4,
což odpovídá tomu,
že L je rovno 4,
a tak existuje alespoň jedno ‚c‘ z tohoto
intervalu takové, že f v bodě ‚c‘ je 4.
To můžeme říci.
Avšak to není totéž,
co se tvrdí zde.
f v bodě ‚c‘ může být 4 pro alespoň
jedno ‚c‘, ale ne na tomto intervalu.
‚c‘ je teď naše x.
Proto musí být ‚c‘
z tohoto intervalu.
Za chvilku si situaci
znázorníme i na obrázku.
Věta neříká, že pro alespoň jedno ‚c‘
mezi 3 a 6 se f v bodě ‚c‘ rovná 4,
ale říká, že pro aspoň jedno ‚c‘ z tohoto
intervalu bude f v bodě ‚c‘ rovno 4.

Korean: 
4가 3과 6의 사이에
있다는 것은 맞는 표현이지만
c는 x 축에서의
이 범위안에 있어야 합니다
이 문장은 잘못된 문장이네요. 
지워버립시다
오히려 헷갈리게 하고 있어요
자, 다음 문장으로 넘어가 봅시다
f(c)=0인 c가
-2와 1 사이에 있다고 합니다
c가 위치하고 있는
x 축상의 범위는 일치하지만
c가 3과 6 사이에 있지 않기 때문에
f(c)=0인 c가
이 범위 사이에 존재한다고는 
말할 수 없습니다
그러면 이 것도 
지워버리도록 하겠습니다
이것도 마찬가지로
f(c)=0이라고 하고 있으니까 
지워버리도록 하겠습니다
이제 하나만 남았는데
이건 맞는 것이면 좋겠네요
f(c)=4인 c라고 하고 있네요
이 부분은 잘 맞는 설명이네요
4는 3과 6 사이에 있으니까 말이에요
그리고 c는 -2와 1 사이에 있다고 하네요
이 범위 또한 문제에 
주어진 범위와 일치하니까
일치한다고 할 수 있겠네요
이건 맞는 문장이겠네요
중간값 정리는

Bulgarian: 
Важно е, че това 4 е между 3 и 6,
защото това е стойността на функцията,
а C трябва да бъде
в нашия затворен интервал
по оста x.
Така че ще изключа тази възможност.
Опитват се да ни заблудят.
Добре.
f(C) = 0 за поне едно число C
между –2 и 1.
Тук взимат верния интервал по оста x,
където числото C ще се намира,
но от Теоремата за междинните 
стойности не следва,
че f(C) ще бъде равно на 0,
защото 0 не се намира между 3 и 6.
Следователно ще изключа
тази възможност.
Изключвам и тази възможност,
защото казва, че f(C) = 0.
Нека да видим сега. Останахме
само с тази възможност,
така че се надявам да проработи.
f(C) е равно на 4...
това изглежда приемливо, защото
4 се намира между 3 и 6...
за поне едно число C между –2 и 1.
О, да, защото това е 
в интервала точно тук.
Имам добро усещане за този вариант
и може също 
да си го представим визуално.

Czech: 
Je důležité, že 4 je mezi 3 a
6, protože to je naše funkční hodnota.
‚c‘ pak musí ležet v našem 
uzavřeném intervalu na ose x.
Tohle můžeme škrtnout,
jen se nás tu snaží zmást.
f v bodě ‚c‘ je rovno 0 pro alespoň
jedno ‚c‘ mezi −2 a 1.
V tomto případě je správně
zvolen interval na ose x,
v němž má
ležet ‚c‘,
ale věta o nabývání mezihodnot nám
neříká, že f v bodě ‚c‘ bude rovno 0,
jelikož 0 není
v intervalu od 3 do 6.
Proto tuto možnost
můžeme také škrtnout.
Následující můžeme ze stejného
důvodu také škrtnout.
Zbývá nám už
jen poslední možnost.
f v bodě ‚c‘
se rovná 4...
To vypadá dobře, jelikož
4 je mezi 3 a 6.
...pro alespoň
jedno ‚c‘ mezi −2 a 1.
To vypadá také dobře, protože
to je přesně tento interval.
Takže tohle
je správně.
Také se na to
můžeme dívat graficky.

English: 
It's important that four
is between three and six
because that's the value of our function
and the C needs to be
in our closed interval
along the x-axis.
So I'm gonna rule this out.
They're trying to confuse us.
Alright.
F of C equals zero for at least one C
between negative two and one.
Well here they got the interval
along the x-axis right,
that's where the C would be between,
but it's not guaranteed by
the Intermediate Value Theorem
that F of C is going to be equal to zero
because zero is not between three and six.
So I'm gonna rule that one out.
I'm going to rule this one out,
it's saying F of C equals zero,
and let's see, we're
only left with this one
so I hope it works.
So F of C is equal to four,
well that seems reasonable because
four is between three and six,
for at least one C between
negative two and one.
Well yeah because that's in
this interval right over here.
So I am feeling good about that
and we could think about
this visually as well.

English: 
The Intermediate Value Theorem
when you think about it
visually makes a lot of sense.
So let me draw the x-axis first actually
and then let me draw my y-axis
and I'm gonna draw them
at different scales
'cause my y-axis, well let's see.
If this is six, this is three.
That's my y-axis.
This is one, this is negative one,
this is negative two
and so we're continuous
on the closed interval
from negative two to one
and F of negative two is equal to three.
So let me plot that.
F of negative two is equal to three.
So that's right over there
and F of one is equal to six.
So that's right over there
and so let's try to draw
a continuous function.
So a continuous function
includes these points
and it's continuous so an
intuitive way to think about it
is I can't pick up my
pencil if I'm drawing

Czech: 
Věta o nabývání mezihodnot
dává graficky dobrý smysl.
Nejprve nakreslím
osu x,
nyní nakreslím
osu y,
kterou nakreslím v jiném
měřítku, protože osa y...
Pokud je tady 6,
zde bude 3.
To je osa y.
Tady bude 1,
zde bude -1,
tady bude -2.
Máme tedy spojitou funkci
na uzavřeném intervalu od −2 do 1
a f v bodě −2 je rovno 3.
Tak to zakreslíme.
f v bodě -2
se rovná 3.
To bude tento bod.
f v bodě 1 se rovná 6.
To je tento bod.
Nyní zkusme nakreslit
spojitou funkci.
Tato spojitá funkce musí
projít našimi dvěma body,
a protože je spojitá, tak na
ni intuitivně nahlížíme tak,

Bulgarian: 
Теоремата за междинните стойности,
когато мислиш за нея визуално, 
има много логика.
Нека да начертая оста x първо,
а след това оста y.
Ще ги направя в различни мащаби,
поради оста y. Нека да видим.
Ако това е 6, то това е 3.
Това е моята ос y.
Това е 1, това е –1.
Това е –2.
Функцията е непрекъсната в
затворения интервал [–2; 1],
а f(–2) = 3.
Нека да го отбележа.
f(–2) = 3.
Това е точно ето тук, а f(1) = 6.
Това е точно там.
Нека да се опитам да начертая
непрекъсната функция.
Една непрекъсната функция 
включва тези точки
и понеже е непрекъсната, един 
интуитивен начин да мисля за нея, е
че не мога да повдигна молива си,

Korean: 
그래프를 통해
눈으로 확인해 볼 수도 있어요
먼저 x 축을 그려볼게요
그리고 y 축을 그려볼게요
그리고 x 축과 y 축의 간격은 
다르게 설정해서 그려야겠네요
그리고 x 축과 y 축의 간격은 
다르게 설정해서 그려야겠네요
여기가 6이고 여기가 3
이점은 y 축에 있었고
여기가 1 여기가 -1
그리고 여기가 -2가 되겠네요
그러면 이제 닫힌구간 [ -2, 1 ]에서
그러면 이제 닫힌구간 [ -2, 1 ]에서
f( -2) = 3이네요
그러면 이 점을 표시할게요
f( -2) = 3입니다
이 점은 여기에 있겠네요
그리고 f( 1)=6입니다
그러면 이 점은 여기에 있겠네요
이제, 연속인 함수를 그려봅시다
이 점을 지나면서 연속인 함수는
간단하게 생각했을 때
이 두 점을 있는 그래프를

Korean: 
화면에서 손을 떼지 않고 그리면 될거에요
이렇게 그러면 안되겠죠
이렇게 하면 화면에서 손을 뗀 것이니까요
연속인 함수니까요
그러면 이 사이의 점을 전부 지나게 되겠네요
그래프에서 볼 수 있듯이
3과 6 사이의 모든 점을 지난다는 것을 알 수 있어요
다른 값을 가질 수도 있지만
3과 6 사이의 모든 값을 지난다고 
확실하게 이야기할 수 있어요
만약 4라는 값을 생각해본다면
4는 여기에 위치해 있을 거에요
그래프를 이렇게 그려서
y 절편에 있는 것 같기도 하네요
여기 x 축이라고 표시하는 것을 잊어버렸네요
이 그래프에서 볼 수 있듯이
f( c)=4를 만족하는 c가 
-2와 1 사이에 있음을 알 수 있어요
그래프를 다르게 그려볼 수도 있어요
지금 그린 그래프와는 
다르게도 그려도 상관은 없어요
지금 그린 그래프와는 
다르게도 그려도 상관은 없어요
일단 이 그래프에서는
4라는 값을 가지는 x가 
여러 개 존재하네요
이 값이 c가 될 수도 있는데
이 c도 -2와 1 사이에 위치하고 있어요
이 값도 c가 될 수 있는데
-2과 1 사이에 위치하고 
있는 것을 볼 수 있어요
이 점도 c가 될 수 있는데

Czech: 
že při kreslení grafu funkce procházející
těmito body nesmím zvedat tužku z papíru.
Nemůžu udělat něco takového,
protože bych musel zvednout tužku.
Jde o spojitou funkci.
Jak vidíme, tak opravdu nabývá
všech hodnot mezi 3 a 6.
Může pak nabývat i jiné hodnoty,
ale s jistotou víme,
že nabývá všech
hodnot mezi 3 a 6.
Zajímá nás hodnota
4, ta je zde.
Tak, jak jsem to nakreslil, to vypadá,
že této hodnoty nabývá přesně na ose y.
Zapomněl jsem
označit osu x.
Můžeme tedy vidět, že hodnotu 4
funkce nabyla pro toto ‚c‘ mezi -2 a 1.
Graf jsem mohl nakreslit
mnoha jinými způsoby.
Mohl jsem ho
nakreslit třeba...
hodnotu 4 funkce dokonce
nabývá několikrát.
Takže i tohle by
mohl být náš bod ‚c‘,
protože leží
v intervalu od -2 do 1.
Také tohle by
mohl být náš bod ‚c‘,
opět leží v intervalu
od -2 do 1.

Bulgarian: 
когато чертая графиката ѝ, 
която съдържа тези две точки.
Така че, не мога да направя ето това.
Това би било повдигане на молива ми,
а имаме непрекъсната функция.
Следователно минава
през всяка стойност.
Както можем да видим, 
определено го прави.
Минава през всяка стойност 
между 3 и 6.
Може да минава и през други
 стойности, но със сигурност знаем,
че трябва да минава през всяка
стойност между 3 и 6.
Ако мислим за 4, то 4 е точно ето тук.
Така както го начертах изглежда, 
че почти минава
през тази стойност върху оста y.
Забравих да означа оста x ето тук.
Но можеш да видиш, че 
минава през тази стойност
за C, което в този случай 
е между –2 и 1.
Можех да начертая графиката
по много различни начини.
Можех да я начертая както сега, 
така че да минава през тази точка.
Има много начини, така че 
да мине през стойността 4 тук.
Това може да е нашето число C, 
но още веднъж,
то се намира в интервала 
между –2 и 1.
Това може да е нашето число C
в интервала между –2 и 1

English: 
the graph of the function,
which contains these two points.
So I can't do that.
That would be picking up my pencil.
So it is a continuous function.
So it takes on every value.
As we can see, it definitely does that.
It takes on every value
between three and six.
It might take on other
values, but we know for sure
it has to take on every
value between three and six
and so if we think about
four, four is right over here.
The way I drew it, it looks
like it's almost taking on
that value right at the y-axis.
I forgot to label my x-axis here.
But you can see it took on that value
in for a C in this case
between negative two and one
and I could have drawn that
graph multiple different ways.
I could have drawn it something
like I could have done it
and actually it takes on,
there's multiple times it
takes on the value four here.
So this could be our C, but once again
it's between the interval
negative two and one.
This could be our C once again
in the interval between
negative two and one
or this could be our C in between

Czech: 
Nebo by tohle mohl být bod
‚c‘ ležící v intervalu od -2 do 1.
Tak se mi to zrovna
podařilo nakreslit.
Mohl jsem taky
jednoduše nakreslit přímku.
Mohl jsem to
udělat takto.
Pak funkce hodnotu
4 nabude pouze jednou,
a to zhruba někde tady.
Tohle nutně
pravda být nemusí,
že funkce nabývá hodnotu 4
pro aspoň jedno ‚c‘ mezi 3 a 6.
Body 3 a 6 ani
nemáme v grafu.
Musel bych jít až do...
2, 3...
Nemáme žádnou záruku, že funkce nabude
hodnotu 4 pro nějaké ‚c‘ mezi 3 a 6.
O chování funkce, když je
x mezi 3 a 6, nevíme vůbec nic.

Korean: 
마찬가지로 -2와 1 사이에 위치하고 있고
이렇게 여러 값이 나온 것은 
단지 그래프를 이렇게 그렸기 때문이에요
그냥 직선으로도 그래프를 그릴 수 있었어요
이렇게 그래프를 그리면
f(c)=4를 만족하는 c의 값이
단 하나만, 여기에서 존재하게 되겠죠
이 문장은 맞다고는 할 수 없어요
c가 3과 6 사이에 있어야 하는데
c가 3과 6 사이에 있어야 하는데
3과 6은 범위가 이 그래프와 일치하지도 않아요
3은 여기에 표시되어야 할 텐데
이 함수가 3과 6 사이에서
4라는 값을 가진다는 보장이 전혀 없어요
함수가 3과 6 사이에서 
정의되어 있는지조차
알 수 없어요

English: 
the interval of negative two and one
and that's just the way
I happen to draw it.
I could have drawn this thing
as just a straight line.
I could have drawn it like this
and then it looks like
it's taking on for only one
and it's doing it right around there.
This isn't necessarily
true that you take on,
that you become four for at least one C
between three and six.
Three and six aren't
even on our graph here.
I would have to go all
the way to two, three.
There's not guarantee that
our function takes on four
for one C between three and six.
We don't even know what the function does
when X is between three and six.

Bulgarian: 
или това може да е C 
в интервала –2 и 1.
Просто така се получи на чертежа.
Можех да начертая това нещо
просто като права линия.
Можех да го начертая по този начин
и тогава изглежда, че минава 
през 4 само за x = - 1,
и го прави около това място.
Не е задължително вярно това, 
че минаваш
или че стойността на функцията 
е 4 за поне едно C между 3 и 6.
3 и 6 дори не са на графиката ни тук.
Следва да мина по целия път 
до 2 и до 3.
Не е сигурно, че функцията 
минава през 4
за едно число C между 3 и 6.
Дори не знаем какво прави функцията,
когато x e между 3 и 6.
