Tiếp theo video trước, chủ đề lần này là lý thuyết số.
Lý thuyết số là lĩnh vực nghiên cứu số nguyên - điều có vẻ là dễ dàng, thậm chí không cần thiết.
Ý tôi là, số nguyên chỉ gồm 0, 1, 2, -10, -49 và vân vân.
Không có dấu phẩy thập phân hay thứ gì tương tự,
nhưng nó cũng chẳng dễ tí nào.
90% những gì tôi nghiên cứu vì video này không được nhắc đến vì chúng thật sự khó.
Một ứng dụng quan trọng của lĩnh vực này là mã hóa.
Mỗi khi bạn mua hàng online hay nhập password vào một website.
Lý thuyết số giúp ta bảo mật chúng.
Đa số chúng ta học những khái niệm cơ bản của lý thuyết số ở trường tiểu học.
Ví dụ, ta biết 28 chia hết cho 7
Lý do ư?
Vì có thể nhân 7 với một số nguyên khác để được 28
Bạn cũng biết ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 24 và 40 là 8
Vì 8 là số lớn nhất có thể nhân thêm để được 24 và 40
Nhưng 24*9 + 40*7 có chia hết cho 8 hay không?
Nói cách khác, có tồn tại số nguyên n để 8 nhân n bằng số trên?
Có thể thấy, nếu ta chia cả hai vế cho 8
tương đương với việc chia mỗi số hạng cho 8, ta có thể tối giản chúng,
24 chia 8, 40 chia 8
Trên tử còn thương số nguyên và mẫu là 1
Ta được một số nguyên, trường hợp này là 62 nhưng ta không quan tâm điều đó.
Ta chỉ cần biết liệu vế trái có chia hết cho 8
và đúng là nó có.
Lý do là vì cả 24 và 40 đều chia hết cho 8
Không cần biết 2 số kia là gì.
Thật ra, 24 nhân m nguyên bất kỳ, cộng 40 nhân n nguyên bất kỳ luôn chia hết cho 8
và giờ bạn đã hiểu lý do.
Đây là một tổ hợp tuyến tính của hai số,
trường hợp này là 24 và 40
Sau đây là điều có thể bạn chưa biết:
Số nguyên dương nhỏ nhất bạn có thể có từ tổ hợp này là gì?
Nếu ta đặt m=-1 và n=1, làm phép cộng được 16
Nhưng nếu đặt m=2 và và n=-1, ta được 8, nhỏ hơn 16
nên 16 không phải đáp số.
Đặt m=5 và n=-3,
ta được 0
Nhưng ta đang cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất, do đó và 0 và số âm không được tính.
Câu trả lời cho bài toán là 8,
bạn sẽ không tìm thấy số nhỏ hơn.
Số nguyên dương nhỏ nhất này luôn là ƯCLN của 2 số cấu thành tổ hợp tuyến tính.
Hãy nhớ điều đó để giải bài toán sau:
Giả sử ta có một lượng vô hạn thước kẻ,
một nửa trong số chúng dài 7cm, nửa còn lại dài 5cm.
Đúng, tôi biết thế là ngắn nhưng cứ tiếp tục thôi.
Chúng không được chia độ, và ta không thể ước lượng những số như 1/2 hay 1/4 độ dài cái thước.
Ta chỉ biết là chúng đo được 7 và 5 cm.
Câu hỏi là liệu ta có thể dùng chúng để đo được đúng 2cm?
Khá dễ. Đặt thước 5cm lên trên thước 7cm sao cho đuôi của chúng chạm cùng một điểm.
Khoảng cách từ đầu thước 7cm đến đầu thước 5cm là 2cm.
Những gì ta cần làm là lấy thước 7cm, trừ đi 5 được 2.
Câu hỏi tiếp theo là liệu ta có thể đo được đúng 3cm?
Sau một hồi suy nghĩ, bạn có thể thấy là cần đặt hai thước 5cm cạnh nhau,
rồi đặt thước 7cm lên đầu sao cho các đuôi thước thẳng hàng.
Khoảng cách từ đầu thước 5cm thứ nhất đến đầu thước 7cm là 3cm.
Công thức là lấy 2 nhân 5, rồi trừ 7 để được 3cm.
Giờ câu hỏi khái quát là liệu ta có thể đo được mọi độ dài nguyên?
Liệu có thể đo được 71cm?
Hoặc nếu ta có một thước dài 87cm và một thước dài 39cm, thì có thể đo được những độ dài nào?
Well, trong ví dụ trên, ta biết có thể đo được 3cm bằng biểu thức 2*5 - 1*7
Vậy nếu muốn đo 6cm, ta có thể nhân cả hai vế với 2
Nếu ta phân phối số 2, thì 4 lần thước 5cm trừ 2 lần thước 7cm là 6cm.
Có thể dùng cách này để đo mọi bội số của 3
Còn nhớ tôi đã nói: Số nguyên dương nhỏ nhất có thể có là ƯCLN của hai số.
Ở trường hợp này chúng là độ dài của hai cái thước.
ƯCLN(5,7) = 1
Vậy ta có thể đo được 1cm
hoặc mọi bội số của nó.
Cơ bản là mọi số nguyên dương mà ta muốn.
Muốn đo 833cm? Được luôn.
Và đó là lời giải cho bài toán.
Độ dài nhỏ nhất có thể đo là ƯCLN của các độ dài thước đo.
Hơn nữa, bạn có thể đo mọi bội số của nó.
Nếu ta có một thước dài 91cm và một thước dài 26cm,
ƯCLN(91,26) = 13
Vậy ta có thể đo 13, 26, 39, 52 cm
và mọi bội số của 13, nhưng không thể đo những số giữa chúng.
Đây là một ví dụ đơn giản về Lý thuyết số, nhưng dễ tiếp cận.
Về ứng dụng của nó đến mã hóa:
Nền tảng của bảo mật thông tin là số nguyên tố lớn.
Rất khó để phân tích nhân tử một số lớn thành hai số nguyên tố (dù là với máy tính).
Ví dụ: 13 và 19 là các số nguyên tố.
Nhân chúng với nhau được 247
Nếu bạn đưa con số này cho một người khác,
người đó sẽ không dễ dàng mà bẻ được nó thành hai thừa số nguyên tố.
Thật ra thì sẽ không mất quá lâu,
nhưng nếu nó là một số dài hàng trăm chữ số,
thì dù có là siêu máy tính cũng không thể làm việc đó trong một khoảng thời gian hợp lý.
Thuật toán nhanh nhất mà ta biết được gọi là General Field Number Sieve (Sàng lọc trường số chung).
Nhưng với số có hàng trăm chữ số, thuật toán này là vô dụng.
Như đã nói ở các video KHMT khác,
nếu muốn mã hóa từ "HELLO",
ta có thể mã hóa nó thành một số nguyên tố,
bằng cách: chuyển mỗi chữ thành số thứ tự của nó trong bảng chữ cái.
H là chữ thứ 8, E là 5, v.v.
rồi ta thêm đuôi vào nó để biến nó thành số nguyên tố.
Bạn và bạn của bạn - người bạn muốn gửi tin
có thể trao đổi một chìa khóa mật - cũng là một số nguyên tố rất lớn.
Khi bạn muốn gửi "HELLO", nhân nó với chìa khóa mật và gửi nó cho bạn mình.
Nếu có ai can thiệp vào, họ không thể phá mã.
Muốn tìm hai số nguyên tố lớn đến như này,
họ sẽ phải tốn rất nhiều thời gian dù có máy tính hỗ trợ.
Vì những số đó rất lớn,
nên họ sẽ không biết nội dung thông điệp là gì.
Nhưng bạn của bạn thì chỉ cần chia số đó cho chìa khóa mật,
rồi khôi phục lại thông điệp.
Không may là cách này tồn tại một lỗ hổng lớn.
Nếu ai đó chặn được tin nhắn - chính là tích số của chìa khóa mật với thông điệp gốc,
rồi họ lại chặn được một tin nhắn khác - là tích số của chìa khóa mật với một thông điệp khác,
thì họ có thể dễ dàng tìm được chìa khóa mật của bạn.
Vì nó là ƯCLN của hai số mà họ chặn được.
Và có những cách để tính được nó một cách hiệu quả.
Trong lúc nghiên cứu cho video này và video trước,
tôi đã đọc những bài giảng, những vấn đề thực tế, v.v.
để biết nên thêm vào thứ gì cho lý tưởng.
Nhưng 90% những gì tôi đọc được là quá khó để giải thích,
sẽ tốn nhiều thời gian, bạn cần nhiều kiến thức nền để hiểu, v.v.
Nên video này và video trước là không đủ để mô tả lĩnh vực khổng lồ này của toán học và KHMT.
Tôi đã nói nhiều hơn về lý thuyết số ở các video KHMT khác,
ví dụ như Thuật toán Euclid để tìm ƯCLN của hai số lớn.
Do vậy tôi sẽ không nói sâu hơn.
Đó là vài ví dụ thú vị cho thấy toán học có thể khác biệt đến thế nào, đặc biệt là ở trình độ đại học,
so với những gì bạn nghĩ.
Kết thúc video rồi, nếu bạn thích hãy  like và subscribe,
đừng quên follow tôi trên Facebook và Twitter.
Ta sẽ gặp lại ở những video lần sau.
