En este video vamos a hablar de uno de los
principios más básicos de la mecánica de
fluidos, el principio de Arquímedes, y veremos
si las matemáticas pueden ayudarnos descubrir
su verdadera historia.
Pero antes que nada, ¿qué es el principio
de Arquímedes?
Bueno, el enunciado de este principio dice
que: “Todo cuerpo sumergido total o parcialmente
en un fluido en reposo experimenta una fuerza
hacia arriba igual al peso del volumen del
fluido que desaloja”.
A día de hoy, a esta fuerza vertical se la
conoce como empuje hidrostático o empuje
de Arquímedes.
Pero, ¿qué significa exactamente esa frase?
La idea es muy sencilla.
Imagina que cogemos un objeto y lo metemos
en un fluido, por ejemplo agua.
Ahora cogemos el volumen de nuestro objeto,
lo llenamos de agua y lo pesamos.
El principio de Arquímedes dice que nuestro
objeto original experimentará una fuerza
hacia arriba igual al peso de nuestro objeto
de agua.
Fácil, ¿verdad?
Este principio es bastante importante porque
permite explicar, por ejemplo, por qué flotan
los barcos aunque estén hechos de metal,
pero recordemos que también nos permite explicar
por qué vuelan los dirigibles y los globos
aerostáticos.
Esto se debe a que en el principio se habla
de “fluido en reposo” por lo que también
puede aplicarse para un gas como el aire.
La historia del descubrimiento de este principio
es controvertida.
La versión más famosa cuenta que el gobernador
italiano Hierón II encargó a Arquímedes
una compleja tarea.
Debía verificar si su nueva corona estaba
hecha realmente de oro macizo o si el orfebre
había realizado una aleación con un metal
más barato.
A Arquímedes se le ocurrió que podía coger
una masa de oro igual a la de la corona y
comprobar si tenían el mismo volumen, o lo
que es lo mismo, quería comprobar si tenían
la misma densidad.
El problema estaba en que medir el volumen
de la corona era algo prácticamente imposible,
sobre todo teniendo en cuenta que no podía
dañarla.
Según la historia, Arquímedes estaba un
día dándose un baño cuando se dio cuenta
que al entrar en la bañera, el agua rebosaba
y se le ocurrió que el volumen del agua que
se salía debía ser igual al volumen del
objeto que se introducía, que en este caso
era él mismo.
Al darse cuenta de esto, salió corriendo
del baño y se fue a la calle desnudo gritando
¡Eureka!
¡Eureka!
que traducido sería algo así como ¡Lo descubrí!
Acto seguido, bueno, después de vestirse,
fue a ver al rey, sumergió la corona en un
barreño con agua y luego sumergió el oro.
Al comprobar que en un experimento el agua
subía más que en el otro, Arquímedes había
demostrado que sus volúmenes eran diferentes
y por lo tanto, sus densidades también lo eran.
Podríamos decir que en en este caso, literalmente
no era oro todo lo que relucía.
A pesar de ser esta la historia más famosa,
existen varias razones para pensar que esto
no fue exactamente lo que pasó.
Lo primero es que Arquímedes nunca dejó
constancia de esta historia, si no que fue
recogida por un historiador 200 años después
de que sucediera.
Incluso a día de hoy con todos los sistemas
de comunicación actuales, la información
científica se distorsiona al pasar de una
persona a otra, ¿os imagináis lo que pudo
cambiar la historia tras 200 años pasando
de boca a boca?
Además de esto, otra razón que nos hace
pensar que la historia no sucedió de esta
forma, es que es curioso que siendo la historia
del descubrimiento del principio de Arquímedes,
en ningún momento se hace uso del empuje
de Arquímedes.
Es sospechoso cuanto menos.
Por último, tenemos los números.
Vamos a intentar estimar cuánto más hubiera
subido el nivel del agua si el orfebre hubiese
sido un tramposo.
Para ello vamos a realizar un problema de Fermi
que los más veteranos del canal conoceréis bien.
Os dejo un enlace en la descripción y una
tarjeta a un video que hicimos hace tiempo
donde hablábamos en profundidad sobre este
tipo de problemas por si luego queréis echarle
un vistazo.
En este caso, lo primero que tenemos que hacer
es suponer el peso de la corona.
Las coronas, en general no suelen ser muy
pesadas, ya que si no serían bastante incómodas
de llevar.
Buscando un poco, la corona más pesada que
he encontrado es la de San Eduardo que tiene
una masa de algo más de 2kg.
Si bien lo más probable es que una corona
de la época no fuera tan pesada, por ponernos
en el peor escenario posible supondremos que
la corona de Hierón era de 2kg.
También vamos a suponer que el diámetro
del cubo de agua era de unos 20cm que es un
poco más del diámetro medio de una cabeza
normal, así que probablemente la corona podría
entrar con un poco de holgura.
Para finalizar, vamos a suponer que la aleación
era un 70% oro y un 30% plata que sería algo
menos de pureza del actual oro de 18 kilates
y por eso, lo último que vamos a necesitar
es la densidad del oro y de la plata.
Ahora empezamos los cálculos.
Primero vemos cuánto volumen ocuparía el
oro puro.
Usando la definición de densidad es muy fácil.
Para calcular el volumen de la corona, lo
que haremos será calcular cuánta masa hay
de oro y cuánta de plata, usamos la densidad
para calcular el volumen de cada elemento
y por último los sumamos.
¡Ojo!
Como norma general, para calcular el volumen
de una mezcla no se pueden sumar los volúmenes
de las cosas que estamos mezclando.
Aquí vamos ha hacerlo porque estamos realizando
un cálculo aproximado pero esto no lo hagáis
en casa bajo ningún concepto y menos sin
la supervisión de un científico profesional.
Si esto ha quedado claro, continuamos.
Ahora dividimos los dos volúmenes entre la
superficie del recipiente, que lo calculamos
usando la fórmula del área de un círculo,
y obtenemos cuánto subiría el agua en cada caso.
Podemos ver que la diferencia entre los dos
experimentos es de algo menos de un milímetro
lo cual sería bastante complicado de detectar
con los instrumentos de la época.
Vale, queda claro que es improbable que la
historia sucediera de esta forma pero, ¿cómo
pudo suceder entonces?
Aquí vamos a plantear dos posibles alternativas.
La primera fue propuesta por el famoso astrónomo
Galileo Galilei, quien era un gran admirador
del trabajo de Arquímedes.
La idea de Galileo era que, tras equilibrar
la balanza con la misma masa de oro que la
corona, debían haberse sumergido en agua
los dos platillos a la vez.
De esta forma, aunque los pesos de ambos objetos
eran iguales, el empuje de aquel que tuviera
más volumen sería mayor y por lo tanto la
balanza se desequilibraría, demostrando así
que la densidad del oro era distinta que la
de la corona.
La otra posibilidad habla de un posible malentendido
con las palabras.
Según esta teoría, Hieron quería construir
un barco gigantesco, una especie de fortaleza
flotante.
El problema era que los constructores de la
época no estaban seguros de sí algo tan
grande y pesado sería capaz de flotar, así
que pidieron ayuda a Arquímedes para averiguarlo.
¿Te preguntarás entonces de dónde sale
lo de la corona?
Pues resulta que en griego esta palabra significa
tanto corona como quilla, que es una pieza
de la parte inferior del casco de los barcos.
En algún momento las dos acepciones se habrían
mezclado y 200 años pasando la historia de
boca en boca hicieron el resto.
Lo peor de todo esto es que quizás nunca
lleguemos a saber si la historia real es alguna
de estas o las cosas sucedieron de una forma
completamente diferente.
Mientras tanto todas estos relatos cumplen
una función y es conseguir que la gente se
acerque un poco más a la ciencia de una forma
amena y eso siempre es algo bueno.
Sea como fuere, hasta aquí ha llegado el
video de hoy, si te ha gustado puedes pasarte
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y también puedes buscarnos en las redes sociales.
Un saludo y hasta la próxima.
