
Bulgarian: 
В настоящия урок ще помислим
за това каква е производната спрямо x,
на ln(x) (естествен логаритъм от x).
И директно към съществената част.
Равно е на 1/x.
В следващ урок ще направя доказателство.
Тук е включено малко,
но засега ще приемем,
че това изглежда наистина вярно.
Ето тук е графиката
на y = ln(x).
И, за да добием усещане за твърдението,
нека да определим приблизително
какъв е наклонът (ъгловият коефициент)
на допирателната в различни точки.
Нека да помислим ето тук,
където x = 1,
как изглежда наклонът на допирателната?
Изглежда, че тук
наклонът е равен...
т.е. много близко е до 1,
което съответства на твърдението.
Ако x = 1, то 1/1 все още е 1,
а това изглежда точно като това, 
което виждаме тук.
Какво става обаче, когато x = 2?

English: 
- [Instructor] In this
video, we're going to think
about what the derivative
with respect to x
of the natural log of x's.
And I'm gonna go straight
to the punch line.
It is equal to one over x.
In a future video, I'm
actually going to prove this.
It's a little bit involved.
But in this one, we're
just going to appreciate
that this seems like it is actually true.
So right here is the graph
of y is equal to the natural log of x.
And just to feel good about the statement,
let's try to approximate
what the slope of the tangent
line is at different points.
So let's say right over here,
when x is equal to one,
what does the slope of the
tangent line look like?
Well, it looks like here,
the slope looks like it is equal,
pretty close to being equal to one,
which is consistent with the statement.
If x is equal to one, one
over one is still one,
and that seems like what
we see right over there.
What about when x is equal to two?

Czech: 
V tomto videu se
zamyslíme nad tím,
jak vypadá derivace podle x
z přirozeného logaritmu x.
Nahlédneme, že je 
rovna 1 lomeno x.
V některém z následujících 
videí to dokážeme pořádně.
Ale jak bylo řečeno, nyní půjde o to
získat určitý náhled na platnost tvrzení.
Nakresleme si graf přirozeného
logaritmu x.
Abychom si to intuitivně ošahali,
zkusme zjistit,
jak budou vypadat směrnice tečny
v různých bodech grafu.
Například zvolme
x rovno 1.
Jak bude vypadat
směrnice tečny?
Vypadá to, že velikost
směrnice tečny je rovna 1.
Což je v souladu
s naším tvrzením.
Neboť pro x rovno 1
je 1 lomeno 1 stále 1.
A to stejné zhruba
vidíme tady.
Co pro x rovno 2?

Korean: 
이번 영상에서는
ln x의 x에 대한
도함수가 무엇인지
생각해 보겠습니다
한번 봅시다
이 식은
1/x입니다
나중 영상에서
이를 증명하겠습니다
시간이 조금
걸리거든요
이번에는 이것이
참이라고 하겠습니다
이번에는 이것이
참이라고 하겠습니다
여기 y = ln x의
그래프가 있습니다
여기 y = ln x의
그래프가 있습니다
방금 한 말을
증명하기 위해
여러 점에서
접선의 기울기를
어림해 보겠습니다
x가 1일 때를 봅시다
x가 1일 때를 봅시다
접선의 기울기는
얼마인 것 같나요?
여기 쯤에
기울기는
1에 근접합니다
이 식과 일치하죠
x가 1이면
1/1은 1이니까요
이 점에서 보면
식과 일치하네요
x가 2일 때는 어떨까요?

Czech: 
Zde je přirozený
logaritmus 2.
Jak však vypadá
směrnice tečny?
Vypadá to, že směrnice by
mohla být jedna polovina.
Opět obdržíme jedna lomeno x,
neboli jednu polovinu.
Pokračujme.
Zvolme x rovno 4.
Zkoumejme směrnici tečny v bodě
[4, přirozený logaritmus 4].
Ta vypadá jako
1 lomeno 4.
Podívejme se na situaci
pro x menší než 1.
Pro x rovno jedné polovině 
nabude směrnice hodnoty 2.
Což opět
potvrzuje obrázek.
Čili derivace podle x z přirozeného
logaritmu x je rovna 1 lomeno x.
Snad je toto tvrzení
nyní jasnější.

Bulgarian: 
Тази точка тук е ln(2),
но по-интересното е
какъв е наклонът тук?
Изглежда, че
ако се опитам да начертая допирателна,
наклонът на допирателната 
изглежда много близо до 1/2.
Още веднъж, това е 1/x.
Една върху две е 1/2.
Нека да продължим по същия начин.
Ако дойда ето тук, където x = 4,
тази точка е (4; ln(4)),
но наклонът на допирателната тук
изглежда много близо до 1/4.
И ако приемеш това,
той действително е 1/4.
Може да избереш дори стойности,
които са по-малки от 1.
Ето тук, където x = 1/2,
1 върху 1/2 и наклонът 
следва да е 2.
И действително е така. 
Нека означа това
с малко по-различен цвят.
Наистина изглежда, че 
наклонът ето тук е 2.
Още веднъж, намираш производната
спрямо x на ln(x), която е 1/x.
Надявам се, че вече разбираш
защо това наистина е вярно.

Korean: 
이 점은 ln 2입니다
하지만 더 흥미로운 것은
기울기입니다
어떻게 보이냐면
접선을 그렸을 때
접선의 기울기가
1/2과 꽤 가까워 보입니다
다시 한 번
1/x이네요
1/2였습니다
계속 해보죠
여기 x가 4와 
같을 때는 어떨까요?
이 점은
(4, ln 4)이고
접선의 기울기는
1/4에 가깝습니다
이걸 믿는다면
정확히 1/4이라
할 수 있습니다
1 이하의 값을 보아도
x 가 1/2일 때
1/1/2이니
기울기는 2입니다
실제로 그렇습니다
약간 다른 색으로 할게요
실제로 기울기가
2인 것처럼 보입니다
따라서 ln x의
x에 대한 도함수는
1/x입니다
이게 맞다는
느낌이 왔길 바랍니다
이게 맞다는
느낌이 왔길 바랍니다

English: 
Well, this point right over
here is the natural log of two,
but more interestingly,
what's the slope here?
Well, it looks like,
let's see, if I try to
draw a tangent line,
the slop of the tangent line
looks pretty close to 1/2.
Well, once again, that is one over x.
One over two is 1/2.
Let's keep doing this.
If I go right over here,
when x is equal to four,
this point is four comma
natural log of four,
but the slope of the tangent line here
looks pretty close to 1/4
and if you accept this, it is exactly 1/4,
and you could even go
to values less than one.
Right over here, when x is equal to 1/2,
one over 1/2, the slope should be two.
And it does indeed, let me do this
in a slightly different color,
it does indeed look like
the slope is two over there.
So once again, you take the derivative
with respect to x of the natural
log of x, it is one over x.
And hopefully, you get a sense
that that is actually true here.

Czech: 
V některém z dalších 
videí ho dokážeme.

Korean: 
이후의 동영상에서
증명해보죠

English: 
In a future video,
we'll actually prove it.

Bulgarian: 
В следващ урок ще направим доказателство.
