
Thai: 
เรามีฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตรงนี้
และเวลาผมบอกว่ามีค่าเป็นเวกเตอร์
มันหมายความว่า คุณให้ค่า t ผมมา
มันเป็นฟังก์ชันของ t
คุณก็ให้ค่า t ผมมา
ผมจะได้บอกค่าให้คุณเป็นตัวเลข
ผมจะให้เวกเตอร์คุณ
อย่างที่เราจะเห็น
คุณจะได้เวกเตอร์สองมิติ
คุณมองอันนี้เป็นองค์ประกอบ x ของเวกเตอร์
และองค์ประกอบ y ของเวกเตอร์ได้
และคุณอาจคุ้นเคยแล้ว
ว่ามันมีสัญลักษณ์สำหรับ
เวกเตอร์สองมิติหลายอย่าง
ตัวอย่างเช่น คุณใช้สิ่งที่มักเรียกว่า
สัญลักษณ์ทางวิศวกรรมตรงนี้ได้
โดยองค์ประกอบ x จะคูณกับ
เวกเตอร์หน่วยแนวนอน
คุณอาจเห็นอะไรแบบนั้น
นั่นคือเกวเตอร์หน่วย บวกองค์ประกอบ y
4t กำลัง 4, บวก 2t, บวก 1,
คูณด้วยเวกเตอร์หน่วยแนวตั้ง
พวกมันแสดงถึงปริมาณเดียวกัน
มันแค่มีสัญลักษณ์ต่างกัน
บางครั้งคุณจะเห็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
มีลูกศรข้างบนเพื่อให้ชัดเจน

Czech: 
Mám tu
vektorovou funkci h.
Když říkám vektorovou funkci,
znamená to, že se jedná o funkci t.
Tedy, když mi dáte t,
nevrátím vám nějaké číslo,
vrátím vám
vektor.
A jak uvidíte, dostanete
dvou dimenzionální vektor.
Můžete se na to podívat jako na x-ovou
složku vektoru a y-ovou složku vektoru.
Pravděpodobně už víte, že existuje
několik zápisů i pro dvou rozměrný vektor.
Můžete například použít
často vídaný inženýrský zápis,
kde je x-tá složka vynásobena
řádkovým jednotkovým vektorem.
Můžete tedy vidět
něco takovéhoto.
Tedy jednotkový vektor
plus y-ová složka.
4 krát t na čtvrtou
plus 2 krát t plus 1,
to celé násobeno vertikálním
jednotkovým vektorem.
Obojí tedy popisuje
stejnou věc,
jedná se jen
o jiný zápis.
Někdy vidíte vektorové funkce
se šipkou nahoře, aby se zdůraznilo,

Korean: 
여기에 함수 h 가 있습니다
이 함수를 벡터함수라고 하는데요
그 이유를 설명할게요
t값을 대입하면
이건 t의 함수가 됩니다
따라서 여러분이
t값을 대입하시면
함숫값으로 숫자값이 
나오는 것이 아니라
벡터가 나오게 됩니다
지금 보다시피
여기에는 두 개의
이차원 벡터가 있는데요
여러분은 이걸
벡터의 x성분으로 여기고
여러분은 이걸
벡터의 x성분으로 여기고
그리고 여러분은 아마도
이차원 벡터에 다양한
표기법이 있다는 것에
익숙하실 텐데요
예를 들면, 여러분들은
종종 이 함수가
공학식 표기법으로 
표기되어 있는 것을
보신 적 있을 겁니다
x성분이 수평 단위벡터가
곱해져 있고
이처럼
y성분  (4t⁴＋2t＋1)가
곱해진 수평단위벡터로
더해진 것을요
이 둘은 모두
같은 것을 표현하지만
다른 표기법을 가지고
있습니다
그리고 때때로 여러분은
벡터 함수에 이렇게
함수를 더 명확하게 
하기 위해서

Bulgarian: 
Дадена е векторната функция h,
и когато казвам векторна функция,
означава, че за избрано t...
 h е функция на t...
за избрано t,
резултатът няма да бъде някакво число,
а ще бъде вектор.
И, както ще видим,
ще се получи двумерен вектор.
Може да разглеждаш този израз като 
х-компонента на вектора,
а този израз като у-компонента 
на вектора.
Може би досега знаеш,
че има няколко означения
за двумерен вектор.
Например, може да използваш това,
което често е определяно като
 инженерно означение,
където х-компонентата е умножена
по хоризонталния единичен вектор.
Може да видиш нещо като това,
където това i е единичният вектор 
плюс у-компонентата.
4 по t на четвърта степен, 
плюс t, плюс 1,
е умножено по вертикалния 
единичен вектор j.
Дадено и по двата начина 
значението е еднакво,
просто записът е различен.
Понякога ще забележиш 
векторни функции
със стрелка отгоре, за да бъде ясно,

English: 
- [Voiceover] So I have a
vector valued function h here,
and when I say vector value,
it means you give me a
t, it's a function of t,
and so you give me a t,
I'm not just going to give you a number,
I'm going to give you a vector.
And as we'll see,
you're going to get a
two dimensional vector.
You could view this as the
x component of the vector
and the y component of the vector.
And you are probably familiar by now,
that there is multiple notations for
even a two dimensional vector.
For example, you could
use what's often viewed
as engineering notation here,
where the x component is being multiplied
by the horizontal unit vector.
So you might see something like that,
where that's the unit
vector, plus the y component.
Four t to the fourth,
plus two t, plus one,
is multiplied by the vertical unit vector.
So these are both
representing the same thing,
it just has a different notation.
And sometimes you'll see
vector valued functions
with an arrow on top to make it explicit

English: 
that this is a vector valued function.
Sometimes you'll just hear people say,
well, let h be a vector valued function,
and they might not
write that arrow on top.
So now that we have that out of the way,
what we're interested in is,
well let's find the first
and second derivatives
of h with respect to t.
So, let's first take, let's
take the first derivative,
h prime of t, was as you'll see,
it's actually quite straight forward.
You're just going to take
the respective components,
with respect, take the
derivative of the respective
components with respect to t.
So the x component, with respect to t,
if you were to take the derivative,
with respect to t, what
are you going to get?
Well we're going to use the
power rule right over here,
five times the negative
one or times the negative.
You're going to get negative
five times t to the five,
minus one power, so t to the fourth power.
The derivative with respect
to t of negative six,
well that's just zero,
so that's the rate of
change of the x component,
with respect to t.

Czech: 
že se jedná
o vektorovou funkci.
Někdy jen uslyšíte lidi říkat,
"nechť h je vektorová funkce"
a nenapíšou
šipku nahoru.
Teď, když to
máme vyřešené,
to, co nás zajímá, je najít první
a druhou derivaci h vzhledem k t.
Pojďme na
první derivaci.
Derivace h vzhledem k t je velmi
jednoznačná, jak hned uvidíte.
Vezmete si jen derivaci příslušné
složky vzhledem k příslušné složce.
Toto je x-tá složka
vzhledem k t,
vezmete její derivaci
vzhledem k t.
Co dostanete?
Použijeme vzorec na derivaci
mocniny, tedy 5 krát (-1).
Dostanete -5 krát t na (5 - 1),
tedy t umocněno na 4.
Derivace -6
vzhledem k t je 0.
Toto je tedy míra
změny složky x.
Vzhledem k t.

Korean: 
화살표가 있는 것을 
보시게 될 것입니다
그때 사람들은
h가 벡터 함수라고
가정하고
저 화살표를 위에
쓰지 않을 것입니다
그리고 이제 이건
제쳐두고 여러분께서
흥미 있어 하는 것을
알아보도록 할게요
이제 t에 관한 h의
1차, 2차 함수를
찾아보겠습니다
그럼 1차 함수부터 
찾아보세요
그럼 1차 함수부터 
찾아보세요
꽤 간단합니다
여러분들께서 그냥
각각의 성분을
t에 관한 성분을
미분해 주시면 됩니다
t에 관한 x성분을
미분하면
어떤 값이 나올까요?
여기서 저는 다항식에서
쓰이는 미적분을 적용해 볼건데요
지수인 5를 
(-1)에 곱해주고
지수에서 1을 빼주면
-5t⁴가 나옵니다
그리고 -6를 미분하면
그냥 0이 나오죠
따라서 이것이 t에 관한
x성분을 미분한 값입니다

Thai: 
ว่านี่คือฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
บางครั้ง คุณจะได้ยินคนบอกว่า
ให้ h เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
และเขาอาจไม่ได้เขียนลูกศรข้างบน
ตอนนี้ เราพักเรื่องนั้นไว้
สิ่งที่เราสนใจคือว่า
ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง
ของ h เทียบกับ t กัน
อย่างแรกลองหา ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
h ไพรม์ของ t เท่ากับ อย่างที่คุณจะเห็น
มันค่อนข้างตรงไปตรงมาทีเดียว
คุณจะหาองค์ประกอบ
เทียบกับ หาอนุพันธ์ขององค์ประกอบ
เทียบกับ t
องค์ประกอบ x, เทียบกับ t,
ถ้าคุณหาอนุพันธ์
เทียบกับ t คุณจะได้อะไร?
เราจะใช้กฎยกกำลังตรงนี้
5 คูณลบ 1 หรือคูณลบ
คุณจะได้ลบ 5 คูณ t กำลัง 5
ลบ 1 ได้ t ยกกำลัง 4
อนุพันธ์เทียบกับ t ของลบ 6
มันก็แค่ 0
นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลง
ขององค์ประกอบ x
เทียบกับ t

Bulgarian: 
че става дума за векторна функция.
Понякога просто ще чуеш
 хората да казват,
нека h е векторна функция.
И може и да не запишат 
тази стрелка отгоре.
След като изяснихме означенията, 
това, което ни интересува,
е да намерим първата 
и втора производни
на h спрямо t.
Нека първо да намерим 
първата производна.
h' от t, както ще видиш,
се получава много лесно.
Просто следва да вземеш 
съответните членове,
и да намериш производната
 на съответните членове спрямо t.
х-компонентата спрямо t.
Ако трябваше да намериш
 производната
спрямо t, то какво щеше да получиш?
Ето тук ще приложим правилото 
за намиране производна на степен.
5 по минус 1, или по знак минус.
Ще се получи –5 по t на степен (5 – 1),
 т.е. t на четвърта степен.
Производната спрямо t на –6, 
е просто равна на 0.
Това е скоростта на изменение 
на х-компонентата.
спрямо t.

Thai: 
ทีนี้ เราไปยังองค์ประกอบ y
เราจะทำเหมือนเดิม
อนุพันธ์เทียบกับ t
จะเท่ากับ เหมือนเดิม
เราแค่ใช้กฎยกกำลัง
4 คูณ 4 ได้ 16t กำลัง 3
อนุพันธ์ของ 2t ก็แค่ 2
แล้วอนุพันธ์ของค่าคงที่
นั่นคือ 0 เราเห็นไปแล้ว
คุณได้แล้ว
นี่คืออัตราการเปลี่ยนปลงขององค์ประกอบ x
เทียบกับ t
นี่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงขององค์ประกอบ y
เทียบกับ t
วิธีทำอย่างหนึ่งคือว่า
เวกเตอร์แทนอะไรได้หลายอย่างมาก
แต่เวกเตอร์สองมิติแบบนี้
คุณจินตนการได้ว่า
h ของ t เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งในสองมิติ
แล้วถ้าคุณดูอัตราการเปลี่ยนแปลง
ของตำแหน่งเทียบกับเวลา
แล้วอันนี้จะเป็นเวกเตอร์ความเร็ว
แล้วถ้าเราหาอนุพันธ์
ของอันนี้เทียบกับเวลา
เราจะได้เวกเตอร์ความเร่ง
ถ้าเราบอกว่า h ไพรม์ ไพรม์ของ t

Bulgarian: 
А сега стигаме до у-компонентата.
Тук ще направим същото нещо.
Производната спрямо t,
ще бъде равна на следното:
още веднъж просто
прилагаме правилото за 
намиране производна на степен.
4 по 4 е равно на 16 по 
t на трета степен.
Производна от 2t е равна на 2,
а производната на константа
е равна на 0, както вече видяхме.
Ето, че я намерихме!
Този израз е скоростта на изменение 
на х-компонентата спрямо t.
А този израз е скоростта на изменение
 на у-компонентата спрямо t.
Това е възможен начина 
да го направиш.
Векторите могат да означават
 много, много неща.
С двумерен вектор като този обаче
можеш да си представиш,
че h от t е радиус-вектор.
Ако разглеждаш скоростта 
като изменение
на позицията спрямо времето,
то това ще бъде векторът
на изменението.
Ако искахме да намерим 
производната
на този израз спрямо времето,
щяхме да получим 
вектора на ускорението.
Ако искаме да намерим h'' от t,

Czech: 
Teď pojďme
na složku y.
Uděláme
to stejně.
Derivace vzhledem
k t bude...
Použijeme opět vzorec
na derivaci mocniny.
4 krát 4 je 16 krát
t umocněno na 3.
Derivace 2 krát t
je rovno 2.
A derivace konstanty
je pouze 0, to už jsme viděli.
Tady to
tedy máte.
Toto je míra změny
složky x vzhledem k t.
A toto je míra změny
složky y vzhledem k t.
Vektory mohou reprezentovat
mnoho různých věcí.
Dvoudimenzionální vektory představíme jako
polohový vektor h(t) ve dvou rozměrech.
A potom, když se podíváte na míru
změny pozice vzhledem k času...
Pak toto bude vektor
udávající rychlost.
Dále když vezmeme derivaci
tohoto vzhledem k času,
dostaneme vektor
udávající zrychlení.
Pokud tedy uvažujeme
druhou derivaci h vzhledem k t,

Korean: 
그리고 이젠 y성분을
해보도록 할게요
x성분과 똑같은 방식으로
해볼텐데요
t에 관해서 미분한 값은
다시 한번
다항식에 쓰이는 미적분을
적용하면 됩니다
4를 4에 곱해서 
16t³이 나오고
2t 를 미분하면 그냥
2가 나옵니다
그리고 이어서 미분하면
그냥 0이 나오게 됩니다
우리가 이미 했었던 내용이죠
여기를 보세요
이것은 t에 관한 x성분을
변환시킨 값이고
이것은 t에 관한 y성분을
변환시킨 값입니다.
그리고 한가지 해야할
것이 있습니다
벡터는 정말 많은 것을
표현할 수 있는데요
그러나 이처럼 
이차원 벡터와 같은 경우에는
이것만을 상상할
수 있습니다
h(t)가 2차원에서의 위치벡터가 
될 수 있다는 것을요
그리고 여러분께서
t에 관한 이 변환이
보인다면
속도벡터라고
볼 수 있습니다
그리고 t에 관한
미분을 보인다면
가속도 벡터라고
볼 수 있죠
그러면 h′′(t)는

English: 
And now we go to the y component.
So we're going to do the same thing,
the derivative with respect to t,
is going to be, and once again,
we just use the power rule,
four times four is 16t to the third power.
Derivative of two t is just two,
and then derivative of a constant,
well that's zero, we've already seen that.
So there you have it.
So this is the rate of
change of the x component
with respect to t,
this is the rate of
change of the y component,
with respect to t.
And one way to do it,
vectors can represent many,
many, many different things,
but the type of, a two
dimensional vector like this,
you can imagine this being,
h of t being a position
vector in two dimensions.
And then if you're looking
at the rate of change
of position with respect to time,
well then this would
be the velocity vector.
And then if we were to take the derivative
of this with respect to time,
well we're going to get
the acceleration vector.
So if we say h prime, prime of t,

Thai: 
h ไพรม์ ไพรม์ของ t มันจะเท่ากับอะไร?
เราแค่ใช้กฎยกกำลังอีกครั้ง
4 คูณลบ 5 เท่ากับลบ 20t
ยกกำลัง 4 ลบ 1 ได้ t ยกกำลัง 3
แล้วเราได้ 3 คูณ 16 เป็น 48t กำลังสอง
แล้วอนุพันธ์ของ 2 ก็แค่ 0
คุณก็ได้แล้ว
ถ้าคุณมอง t ว่าเป็นเวลา
ที่เวลาใดๆ ถ้าคุณมองอันนี้เป็นตำแหน่ง
อันนี้คือความเร็ว และอันนี้คือความเร่ง
คุณก็ อันนี้จะให้
ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง
สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าเวกเตอร์เหล่านี้
ใช้แทนอะไรก็ได้ที่เป็นสองมิติโดยธรรมชาติ

English: 
what is that going to be
equal to, h prime, prime of t?
Well, we just apply the power rule again.
So four times negative five
is equal to negative 20t
to the four minus one,
so t to third power.
And then we have three
times 16 is 48t squared,
and then the derivative
of two is just zero.
And so there you have it,
for any, if you view t as time,
for any time, if you view
this one as position,
this one as velocity and
this is acceleration,
you could, this would now give you the
position, velocity and acceleration.
It's important to realize
that these vectors
could represent anything of
a two dimensional nature.

Czech: 
čemu to bude rovno?
Prostě jen znovu použijeme
pravidlo na derivaci mocniny.
Tedy 4 krát (-5)
je rovno -20,
krát t umocněno na (4 minus 1),
tedy t umocněno na 3.
A potom máme 3 krát 16,
což je 48 krát t umocněno na 2.
A derivace 2
je opět jen 0.
Takže zde
to máte.
Pokud t je čas, pak pro jakýkoli čas
můžete použít toto jako pozici,
toto jako vektor rychlosti
a toto jako vektor zrychlení.
Toto vám nyní udává pozici,
rychlost a zrychlení.
Je důležité si uvědomit, že tyto vektory
jinak mohou reprezentovat cokoli.

Bulgarian: 
то на какво ще бъде равно?
Просто отново ще приложим правилото 
за намиране производна на степен.
4 по –5 е равно на –20 по t
на степен (4 – 1), т.е.
 t на трета степен.
След това се получава 3 по 16, което 
е равно на 48 по t на квадрат,
а след това производната на 2, 
която е равна на 0.
Ето, че я намерихме!
За всеки момент от време t, 
ако го разглеждаш така,
първоначалната функция 
описва позицията,
и тогава този израз е скоростта, 
а този ускорението.
От тези изрази ще намериш
позицията, скоростта и ускорението.
Важно е да разбереш, че 
тези вектори
могат да представляват всичко, 
което има две измерения.

Korean: 
어떤 형태와 같은 걸까요?
음, 우리는 정해진 규칙을
또 다시 적용하면 됩니다
따라서 -5와 지수인 4를 곱하고
지수는 4에서 1을 빼서
-20t³이 나오고
3을 지수인 16과 곱하여
48t²이 나옵니다
그리고 2를 미분하면
그냥 0이 나옵니다
이제 다 되었습니다
여러분이 이 t 를 시간으로
보고
이것을 위치로
이것을 속도로
그리고 이건 가속도로 본다면
여러분은 이 함수를 통해
위치, 속도, 가속도
모두를 알아낼 수 
있으실 겁니다
벡터함수가 이차원의
다양한 특성을
표현할 수 있다는 것을
알 수 있겠죠
