
English: 
- [Voiceover] So these are
both ways that you will see
limit-based definitions of derivatives.
This is usually if you're
thinking about the derivative
at a point, here if you're thinking about
the derivative in general,
but these are both equivalent.
They're both based on the
slope of a tangent line,
or the instantaneous rate of change,
and using these, I wanna establish some of
the core properties of derivatives for us.
And the first one that
I'm going to do will seem
like common sense, or maybe
it will once we talk about it
a little bit, so if f of x,
if our function is equal to
a constant value, well then, f prime of x
is going to be equal to zero.
Now why does that make intuitive sense?
Well, we could graph
it, we could graph it,
so if that's my y-axis, that's my x-axis.

Bulgarian: 
Това са двата начина, 
по които ще видиш,
да се определят
 производни с граници.
Ако тук разглеждаме 
производната на точка,
тук разглеждаме
производната като цяло,
 но двете са еквивалентни.
И двете се основават на 
наклона на допирателната
или моментната скорост 
на изменение,
и използвайки тези, 
искам да установя някои
от основните свойства на 
производните.
Първото, което ще направя, 
ще изглежда
много просто или поне ще изглежда, 
след като поговорим малко за това.
Ако f от х, ако нашата функция
 е равна на константа,
тогава f прим oт х
ще бъде равно на 0.
Защо това звучи 
логично?
Можем да го начертаем.
Нека това е оста у, 
а това е оста х.

Korean: 
이 두가지 표현은 모두
극한으로 표현된 도함수의 정의입니다
이 식은 한 점에서의 도함수를 표현한 것이고
이 식은 일반적인 도함수 표현입니다
하지만 이 두 식은 동등한 표현입니다
두 식 모두 접선의 기울기입니다
순간 변화율이라고도 합니다
이 식들을 사용해서
도함수의 핵심적인 성질 몇 가지를 증명해보겠습니다
첫 번째로 증명할 성질은
굉장히 당연한 성질입니다
함수 f(x)를
상수값 k라고 하면
f'(x)는 0입니다
왜 이것이 직관적으로 당연할까요?
그래프를 그려봅시다
이것이 y축이고, 이것이 x축입니다

Czech: 
Tohle jsou oba způsoby,
jak můžete vidět zapsanou
definici derivace pomocí limity funkce.
Tady uvažujeme derivaci v bodě,
tady uvažujeme derivaci obecně,
ale obě definice jsou ekvivalentní.
Obě jsou založeny na sklonu tangenty,
neboli na velikosti změny.
A s použitím těchto definic chci ustanovit
některé klíčové vlastnosti derivací.
A první, kterou ukážu,
bude vypadat přirozeně.
(Nebo možná bude, 
až si o ní trochu promluvíme.)
Takže mějme funkci f(x).
Když se naše funkce rovná konstantě,
tak první derivace f'(x)
bude rovna 0.
Proč tohle intuitivně dává smysl?
Mohli bychom si to nakreslit.
Takže tohle je moje osa y
a tohle je moje osa x...

English: 
If I wanted to graph y equals f of x,
it's gonna look like that,
where this is at the value
y is equal to k, so this
is y is equal to f of x.
Notice no matter what you
change x, y does not change.
The slope of the tangent
line here, well frankly,
is the same line, it has a slope of zero.
No matter how, y is
just not changing here,
and we could use either
of these definitions
to establish that even
further, establish it using
these limit definitions, so let's see,
the limit as h approaches
zero of f of x plus h,
well no matter what we
input into our function,
we get k, so f of x plus
h would be k minus f of x.
Well, no matter what we
put into that function,
we get k over h, well,
this is just going to be
zero over h so this limit is
just going to be equal to zero.
So f prime of x for any, for
any x, the derivative is zero,

Korean: 
y=f(x)를 그려본다면
이런 식으로 그려질 것입니다
이 식의 y=k가 되겠고, y=f(x)입니다
x가 아무리 변하더라도 y의 값은 변하지 않습니다
이 곳에서의 접선은
같은 선이 되며 경사는 0입니다
어떻게 하든지 y의 값은 전혀 변하지 않습니다
또한 도함수의 정의를 이용해서
더욱 엄밀하게 증명할 수도 있습니다
이 극한으로 표현된 정의를 이용해서 말입니다
h가 0으로 접근할 때, 먼저 f(x+h)는
어떤 x값이 들어가더라도 k이므로
f(h+h)=k입니다
마찬가지로 f(x)도 어떤 x값이 들어가더라도 k입니다
f(x)=k이므로 나누기 h하면
결국 극한값은 0이 됩니다
따라서 모든 x에 대해 f'(x)=0입니다

Bulgarian: 
Ако искам да начертая 
у = f(х),
ще изгледа така, където
 това е при стойност
у = к, следователно 
това е у = f(х).
Забележи, че както и да промениш х, 
у не се променя.
Наклонът на допирателната тук... 
ами всъщност,
тя е същата права...
наклонът е 0.
Тук у просто не се променя
и можем да използваме
и двете дефиниции,
за да установим това допълнително.
 Да го установим, използвайки
тези дефиниции за граница. 
Да видим.
Границата при h клонящо към 0
 на f от х плюс h,
без значение какво въведем
 в нашата функция,
получаваме к. Следователно f от x плюс h 
ще бъде k минус f от х.
Без значение какво въведем
 в тази функция,
получаваме k върху h. 
Това ще бъде просто
0 върху h, следователно тази 
граница ще бъде равна на 0.
Следователно f прим от х за всяко х, 
производната ще е 0.

Czech: 
Když nakreslím
y se rovná f(x),
bude to vypadat takto.
Tohle je hodnota, kde 'y' se rovná 'k',
takže tohle znamená 'y' se rovná f(x).
Všimněte si, že jakkoli změníme 'x',
'y' se nezmění.
Sklon tangenty této funkce,
upřímně řečeno,
je ta samá funkce,
má sklon 0.
Hodnota 'y' se prostě nezmění.
A mohli bychom použít
obě tyto definice,
abychom to dokázali ještě více.
Pojďme to dokázat pomocí
těchto definic limity.
Limita, když 'h' se blíží 0
f(x plus h)...
Ať vložíme do funkce cokoli,
dostaneme 'k', 
takže f (x plus h) bude 'k'.
Minus f(x)...
Ať bude 'x' jakékoli,
dostaneme 'k', děleno 'h'. 
Takže tohle bude
0 děleno 'h', 
takže tato limita bude rovna 0.
Takže první derivace f'(x)
bude pro jakékoli 'x' rovna 0.

Czech: 
A můžete to vidět tady,
že sklon tangenty pro jakékoli 'x' je 0.
Takže když k vám přijde
někdo na ulici
a zeptá se: "h(x) se rovná pí,
jaká je první derivace funkce h?"
Tak si řeknete,
pí je přece jen konstanta.
Hodnota naší funkce
se nezmění.
Když změníme naše 'x',
sklon tangenty
a velikost změny
budou rovny 0.

Bulgarian: 
Виждаш, че наклонът на 
допирателната
за всяко х е равен на 0.
Затова ако някой дойде при теб
на улицата и те пита:
"Добре, h от х е равно на пи,
колко е h прим от х?"
Ти ще отвърнеш: "Пи е просто 
константна стойност,
стойността на нашата функция 
не се променя,
когато променяме х, 
наклонът на допирателната,
моментната скорост 
на изменение
ще бъде равна на 0.

Korean: 
그래프에서도 볼 수 있듯이 접선의 기울기는
모든 x값에서 0입니다
누군가 길에서 당신에게 걸어와서 이런 질문을 합니다
h(x)=π일 때
h'(x)는 무엇인가요?
π는 상수이기 때문에
함수 h의 값은 x의 값에 따라 달라지지 않습니다
그러므로 그곳에서의 접선의 기울기인
순간 변화율 h'(x)는
0이 됩니다 라고 대답하면 됩니다

English: 
and you see that here, that
the slope of the tangent line
for any x is equal to zero.
So if someone walks up to
you on the street and says,
"Okay, h of x, h of x,
h of x, is equal to pi,
"what is h prime of x?"
Well, you say, well, pi,
that's just a constant value
that the value of our
function is not changing
as we change our x, the slope
of the tangent line there,
the instantaneous rate of change,
it is going to be equal to zero.
