
French: 
Avant de vous montrer formellement
ce qu'est le rotationnel d'un champ de vecteur,
Essayons de comprendre avec notre intuition.
Ici, je ne dessine qu'un champ vectoriel
de dimension 2.
Vous pourrez extrapoler pour 3 dimensions,
mais ce sera plus facile dans un premier temps en deux dimensions pour notre intuition.
Alors, voyons voir.
Je n'ai même pas noté les axes x et y.
Ceci c'est x, ceci c'est y.
Quand y est relativement petit, le vecteur
pointe vers x, quand y augmente,
la norme du vecteur augmente toujours en pointant vers x.
Ainsi, sur ce dessin, nous représentons un champ de vecteurs pointant vers x
dont la norme augmente avec y.
Supposons aussi que leur norme ne dépend pas de x.
Ainsi, pour un certain y, la norme d'un vecteur pointant vers x
reste la même.
Le champ de vecteurs devrait donc ressembler à cela.
Je ne fais que créer un exemple.

Turkish: 
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Bir vektör alanının rotasyonelinin nasıl bulunduğunu göstermeden önce, rotasyonel kavramını biraz anlamaya çalışalım.
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Buraya iki boyutlu bir vektör alanı çiziyorum.
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3 boyuta da çıkabiliriz, ama kavramı oluşturmaya çalışırken iki boyutta çalışmak daha iyi olacaktır.
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Şimdi bakalım.
x ve y eksenlerini daha işaretlemedim.
Burası x, burası y.
y küçük iken, vektörümüz x yönünde gidiyor, y biraz artınca, vektör de biraz uzuyor.
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Gördüğümüz üzere, y yönünde gittikçe, vektörlerimizin x bileşeni büyüyor.
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Ve belki de, x yönünde vektörler sabit, x değeri ne olursa olsun, uzunluk değişmiyor.
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Buna göre, bir y değeri için, x bileşen vektörünün uzunluğu aynı kalabilir.
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Demek istiyorum ki, vektör alanı şuna benzeyebilir.
Sayıları uyduruyorum.
Belki denklemi, y kare i olabilir..
Böylece x yönündeki uzunluk, y değeri cinsinden bir fonksiyon olacaktır.
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Ve, y değerleri arttıkça, x yönündeki uzunluk, y yönündeki uzunluğun karesiyle orantılı olarak artacaktır.
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Ama bir x değeri için, x yönündeki uzunluk aynı kalacaktır.
Çünkü bu uzunluk y'ye bağımlıdır.
Dolayısıyla, x'i büyütsek bile, uzunluğumuz değişmez.
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Unutmayın ki, bunlar vektör alanımızda örnek olarak alınan bazı noktalar.
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Neyse, bu vektör alanını anlamak için bu kadar yeter.
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Size şimdi bir soru sorayım.
Diyelim ki, bu vektör alanı bir sıvının farklı noktalardaki hızını gösteriyor.
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Mesela, bir nehire bakıyoruz, gibi düşünebiliriz.
Küçük bir dal parçası alıp, sıvının içinde, mesela şöyle yerleştirsem,
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Dal parçamı çizeyim.
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Tam şuraya koydum diyelim.
Dal parçasına ne olacak?
Bu noktada, su sağa doğru hareket ediyor, dolayısıyla dal parçasının bu kısmını sağa itecek.
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Dal parçasının üst kısmında, su yine sağa doğru, ama daha hızlı olarak akıyor. Dolayısıyla, dal parçasının üstünü de sağa itecek.
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Ancak, üst kısım alttan daha hızlı itilecek, öyle değil mi?
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Peki o zaman ne olacak?
Dal parçası dönecek, öyle değil mi?
Bir süre sonra, dal parçası şöyle görünecek.
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Alt kısım birazcık sağa hareket edecek, ama üst kısım sağa çok hareket etmiş olacak.
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Dal parçasının tamamını sağa kaymış ama biraz da dönmüş olacak.
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Biraz daha zaman sonra, belki de böyle görünecek.
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Bunun sebebi vektörlerin hareket yönümüze dik bir yönde artıyor olması, anladınız mı?
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Bu basit örnekte, tüm vektörler x yönünde uzanıyor.
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Ama, vektörlerin uzunluğu y yönünde artıyor, öyle değil mi?
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Akış aynı yönde ama farklı büyüklükte olunca, her obje döner, değil mi?
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Şimdi bunu düşünelim.
Eğer, bu vektör alanının y'ye göre kısmi türevi değişiyorsa, bu, y değerimiz değiştikçe, vektörlerimizin x bileşeninin uzunluğu da değişiyor, demektir.
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Dolayısıyla, değişik y düzeyleri için farklı hızlar varsa, x yönünde hareket eden bir obje dönecektir, öyle değil mi?
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Suda duran objenin üzerinde bir tork etkisi gibi de düşünebiliriz.
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En çarpıcı örnek şu olurdu.
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Başka bir vektör alanı çizeyim.
Eğer durum şöyle olsaydı, aşağıda böyle, ve böyle, ve sonra, daha da küçülüyor.
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Belki yön değiştiriyor, şurada, ve vektör alanı böyle devam ediyor.
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Buna göre, şu yukarıdaki kısım, hızla sola gidiyor.
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Eğer buraya bir dal parçası koyarsanız, sağa doğru hareket etmekle birlikte, şu kısmının sola, şu kısmının da sağa çekileceğini de görebilirsiniz.
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Dal parçası dönecektir.
Ve, dal parçası üzerinde etki eden torku göreceksiniz.
Buradaki kavram nedir?
Bir anda, bir vektörün uzunluğunun hareket yönünde değil de, hareket yönüne dik yönde nasıl değiştiğiyle ilgilenir olduk.
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Skaler ve vektör çarpımı nasıl öğrenmiştik?
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İki vektörün skaler çarpımı, iki vektörün bir arada ne kadar hareket ettiğini söyler, vektör çarpımı ise, iki vektörün dik bileşenlerinin çarpımı gibidir.
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Bu, rotasyoneli anlamanizda yardımcı olmuştur.
Çünkü rotasyonel, dönme etkisini ölçer. Şöyle sorabiliriz: Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli nedir?
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Ve, bunu görselleyebilirsiniz.
Bir dal parçasını şuraya koyarsaniz, dal parçasına ne olur?
Dal dönerse ve rotasyonel varsa, dönme miktarı ne kadar fazlaysa, rotasyonel de o kadar fazladır.
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Diğer yönde dönerse, rotasyonelin yönü eksidir.
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Torkta olduğu gibi, şimdi yön bizim için önemli.
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Saat yönü veya saat yönü tersi önemli olduğu için, sonuçta vektörel bir miktar elde edeceğiz, değil mi?
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Bunlar artık sizin için bir bütünün parçaları haline gelmeye başlamalı.
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Bu del işlemcisini daha evvel de kullanmıştık.
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Bunu bir vektör işlemcisi olarak düşünüyoruz.
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i yönünde bir şeyin kısmi türevi artı j yönünde bir şeyin y'ye göre kısmi türevi artı, üç boyut varsa, k yönünde z'ye göre kısmi türev.
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Bu işlemi skaler veya vektör alana, üç boyutlu bir fonksiyon gibi, uyguladığımızda, bunu skaler fonksiyonla çarpıp gradyanı elde etmiştik. Vektör alanıyla iç çarpımını aldığımızda, vektör alanının diverjansını elde etmiştik.
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Bunu biraz anlamış olmanız lazım.
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Önceki videoları tekrar izleyip, skaler çarpım ile vektör çarpımının karşılaştırmasını hatırlamak isteyebilirsiniz.
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Skaler çarpım, iki vektörün birarada ne kadar hareket ettiğini ölçüyordu.
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Del işlemcisinin vektör alanıyla iç çarpımını aldığınızda, vektör alanının ne kadar değiştiğini buluyordunuz, öyle değil mi?
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Türev, zaten, kısmi de olsa, normal de olsa, değişim hızını belirtir.
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x'e göre kısmi türev, x yönünde değişim hızıdır.
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Skaler çarpım aldığınızda, hareket yönünde değişim hızının ne kadar arttığını bulmuş olursunuz.
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y yönündeki değişim hızım, y yönünde ne kadar artıyor?
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Diverjansı ölçmemize yardımcı olması gayet mantıklı.
Hatırlarsanız, bu vektör ise, x yönünde arttığında, vektörler artar.
Bir nokta alıp, bu noktadan çıkanlar girenlerden fazla, ve, buna göre, pozitif diverjans var, diyorduk.
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Bu mantığa uygun bir durum, çünkü x yönünde gittiğinizde, vektör uzunlukları da artar.
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Neyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.
Şimdi, vektör yönündeki değişim hızıyla ilgilenmiyoruz.
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Vektöre dik yöndeki vektörlerin uzunluklarındaki değişim hızını bulmaya çalışıyoruz.
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Buna göre, rotasyonelin del işlemcisi ile vektör alanının vektör çarpımı olduğunu tahmin edersiniz.
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Eğer tahmininiz bu yönde ise, doğru bildiniz.
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Vektör alanının rotasyoneli böyle bulunur.
Ve, rotasyonel, alanın ne kadar döndüğünü, veya alanda bir obje varsa, alanın tork uygulayarak o objeyi ne kadar döndürdüğünü ölçer.
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Çünkü, objenin farklı noktalarında, aynı yönde farklı büyüklüklerde vektörler var.
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Herneyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.
Umarım, gösterdiğim örnek, mantıklı gelmiştir.
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Neyse, 9 dakikayı doldurdum.
Bir sonraki videoda, rotasyoneli hesaplayacağım ve birkaç örnek daha çizeceğim.
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Bir sonraki videoda görüşürüz.

Portuguese: 
Antes de mostrar a mecânica do que um rotacional de
campo vetorial é, vamos tentar obter um
pouco de intuição.
Aqui eu desenhei, eu vou desenhar um
campo vetorial bi-dimensional.
Você pode extrapolar para 3, mas como estamos
na intuição, é melhor fazer com 2.
Então, vejamos.
Eu nem identifiquei os eixos x e y.
Este é o x, este é o y.
Então quando o y é relativamente baixo, a magnitude do vetor vai
na direção x, quando y aumenta um pouco,
o vetor fica um pouco maior.
podemos notar que, conforme incrementos na direção y,
a componente x do vetor
fica cada vez maior.
E talvez, na direção x a magnitude é constante
independente do x, a magnitude se mantém.
Então, para um dado y, a magnitude da componente x do vetor
se mantém a mesma.
Isso significa que, este campo vetorial deve se parecer com algo assim.
Eu vou fazer com alguns números.

Chinese: 
之前，我告诉你一个什么样的卷曲的力学
矢量场真的是，让我们尝试得到一个小
位的直觉
所以在这里我画，我只是要绘制二维
向量场
可以推断，但是当我们正在
直觉，这是很好做2
因此，让我们来看看
我什至没有标注X和Y轴
这是X，这是y
所以，当y是相对较低，或幅度的载体去
x方向时，它会增加一点点，
得长一点。
所以我们可以看到，我们在y方向上的变化，因为我们去
在y方向上，我们的向量x分量
变得越来越大
也许在x方向，他们不断，无论
你x的水平，幅度保持
所以给定的y，你的X分量向量的幅度
可能保持不变
所以我的意思是，这个载体可能是这个样子
我只是号码

Spanish: 
(pausa)
Comienzo del video
Fin del video
Antes de que en les muestre la mecánica de lo que el rotacional de un
campo vectorial en realidad es, vamos a tratar de tener un poco
de intuición.
Así que aquí he dibujado, voy sólo a dibujar un campo vectorial
de dos dimensiones.
Puedes extrapolar a 3, pero cuando estamos tomandolo
por intuicion, esta bien hacerlo en 2.
Y asi, veamos.
Yo no rotule los ejes de x y y.
Este es x, este es y.
Asi que cuando y es relativamente bajo, nuestra magnitud del vector va en
la direccion de x, cuando este aumenta un poquito, este
se hace un poquito mas largo.
Como podemos ver, mientras nuestro cambio en la direccion-y, mientras nos vamos
en la direccion-y, el componente-x de nuestros vectores
se hace mas grande y grande.
Y quizas en la direccion-x son constantes, independientemente
de tu nivel de x, la magnitud permanece.
Asi que para una y dada, la magnitud de tu vector componente-x
puede parmanecer igual.
Lo que estoy diciendo es, el campo del vector se debe ver algo asi.
Yo solo estoy inventando numeros.
Quiza es solo, no se, y cuadrado i.
Asi que la magnitud de la direccion-x es solo una
funcion de tu valor-y.
Muentras tus valores-y se hacen mas y mas grandes, la magnitud en
tu direccion-x se hara grande y grande, proporcional
al cuadrado de la magnitud en la direccion de y.
Pero para cada dada x, siempre va a ser lo mismo.
Solo depende le la y.
Aqui, aunque hagamos a x mas grande, todavia tendremos
la misma magnitud.
Y recuerda, estos son solo puntos de muestra
en nuestro campo vectorial.
Sin embargo.
Es suficiente de solo obtener la intuicion detras
del campo vectorial.
Pero dejame hacerte esta pregunta.
Si yo fuera a, digamos, que este campo vectorial muestra la
velocidad de un fluido a varios puntos.
Y para que lo puedas ver, estamos viendo un rio, quizas.
Si tomamos una ramita o algo, y yo fuera a
colocarla en este fluido, asi que dejame poner la ramita aqui.
Dejame dibujar la ramita.
Digamos que pongo la ramita, es una ramita que se ve graciosa,
pero eso ne es suficiente.
Digamos que coloco la ramita aqui.
Que le va a pasar a la ramita?
Bueno, a este punto en la ramita, el agua se esta moviendo a la
derecha, asi que empujare esta parte de la ramita a la derecha.
A la parte de arriba de la ramita, el agua tambien se esta moviendo a la
derecha, quiza con una velocidad mas rapida, pero tambien esta yendo
a empujar la parte de arriba de la ramita hacia la derecha.
Pero la parte de arriba de la ramita va a ser empujada para
la derecha mas rapido que la parte de abajo de la ramita, cierto?
Asi que que es lo que va a pasar?
La ramita va a rotar, cierto?
Despues de, no se, algun periodo de tiempo, la
ramita se va a ver algo asi.
La parte de abajo se movera u poquito a la derecha, pero la
parte de arriba se movera mucho mas a la derecha.
Cierto?
Y todo se moveria hacia la derecha.
Pero va a rotar un poco.
Y quiza despues de un poquito, quiza se vea
algo asi.
Asi que puedes ver que porque los vectores aumentan en su
direccion que es perpendicular a nuestra direccion
de movimento, cierto?
Esto es un ejemplo simple, todos los vectores apuntan
en la direccion-x.
Pero la magnitud de los vectores aumenta, estos aumentan
perpendicularmente, ellos aumenta en la dimension-y, cierto?
Y cuando esto ocurre, cuando el flujo se esta moviendo el la misma
direccion, pero esta llendo a una magnificacion diferente, puedes ver
que cualquier objeto en el puede rotar, cierto?
Asi que pensemos en esto.
Si el derivado, el derivativo parcial, de este
campo vectorail con respecto a y esta aumentando o reduciendo, si
esta solo cambiando, esto significa que mientras aumenta en y, o tanto como nosotros
disminuimos en y, la magnitud del componente-x de nuestros vectores,
cierto, la direccion-x de nuestros cambios vectoriales.
Y tienes diferentes velocidades para diferentes niveles de
y, mientras algo se mueve en la direccion-x, va a estar siendo
rotado, cierto?
Puedea casi verlo como si este tubiera un torque neto en un
objeto que se sienta en el agua aqui.
Y la ultima puede ser, dejame dibujar otro vector
la ultima puede ser si yo tengo esta situacion.
Dejame dibujar otro campo vectorial.
Si tibiera esta situacion, donde quiza aqui abajo es asi,
luego quizas es asi, y luego quizas se hace bien
pequeno, luego quiza cambia direcciones, aqui arriba, y luego
el campo vectorial es el siguiente.
Asi que te puedes imaginar aqui arriba que se esta yendo a la izquierda con
una magnitud bastante grande.
Asi que si ponemos una ramita aqui, espero puedas definitivamente ver
que la ramita, no solo no se va a mover a la derecha,
este lado se va a mover a la izquierda, este lado se va a
la derecha, este va a ser rotado.
Y puedes ver que ahi un torque neto en la ramita.
Asi que cual es la intuicion aqui?
De momento, nos preocupa cuanto mas es la magnitud de un
vector cambiante, no su direccion de moviviento, como en
el ejemplo de divergencia, pero nos preocupa cuanto es la magnitud
de un vectro cambiante mientras nos vamos perpendicular a su
direccion de su movimiento.
Asi que cuando aprendimos sobre el producto de punto y cruz,
que aprendimos?
Aprendimos que el priducto de punto de 2 vectores te dice cuanto mas
2 vectores se mueven juntos, y el producto de cruz dice cuanto
mas perpendicular, es como la multiplicacion
de componentes perpendiculares de un vector.
Asi que esto de debe dar u poco de intuicion sobre cual es el rizo.
Purque el rizo esencialmente mide que es el efecto
racional, o podria adivinar, cual es el rizo de un
campo vectorial a un punto dado?
Y puedes visualizarlo.
Puedes poner una ramita, que le pasara a la ramita?
La ramita rota y hay un poco de rizo, si la magnitud
de rotacion es mayor, entinces el rizo es mayor.
Rota en la otra direccion, tendras la
direccion negativa de rizo.
Y como hicimos con torque, ahora nos compete
la direccion.
Porque nos importa si va contra las manecillas del reloj o
en favor a las manecillas del reloj, asi que vamos a terminar con un vector
de cantidad, cierto?
Asi, y espero que todo esto enpieze a encajar
a este punto.
Hemos estado trabajando con este vector Dell
o esto, sabes, podriamos llamar a este notacion abusiva,
pero es intuitiva, a pesar de que en realidad
no hace ningun sentido cuando lo describe asi.
Tu puedes escribirlo como un vector operador, y luego
tiene un poquito de mas reunion.
Pero este operador Dell
lo usamos muchas veces.
Sabes, si la derivatiba parcial de algo en la
dirreccion-i, mas la derivativa parcial, algo con
respecto a y en la direccion - j, ademas de la derrivativa percial,
bueno, si hacemos esto en tres dimensiones
con respencto a z y la direccion de.
Cuando aplicamos esto justo al escalar o vector, tu
sabes, como una funcion tri-dimensional , la podemos multiplicar
estas veces la funcion escalar, tenemos el gradiente.
Cuando tomamos el producto de punto de esto con un campo vectorial,
tenemos la divergencia del campo vectorial.
Y esto debe ser un poquito mas intituitivo
a este punto
Porque cuando, queremos revizar nuestros videos originales
estariamos comparado por el producto de punto al producto de cruz.
Porque el prunto producto pueda, cuanto mas dos
vectores movemos juntos
Asi que cuando hables de este operador del Dell y se salpica con
el campo vectorial, dices, cuanto mucho es el vector
Cambio de la luz, cierto?
Todo lo que una derivada es, una derivativa parcial o una derivativa
normal, es solo la razon de cambio.
La derivativa parcial con respecto a x es la razon de cambio
en la dirraccion -x.
Asi que todo lo que dices es, cuando estas hablando de,
cuanto mas es la razon de cambio
de direccion de movimiento?
Cuanto mas es la razon de cambio en la dirreccion-y aumentando
en la dirreccion-y?
Y hazi hace sentifo que nos aude con la divergencia.
Porque recuerda, si esto es un vector, y luego mientras aumentamos
esta en la direccion-x, los vectores aumentan, miramos a
el punto pequeno, o, a este punto vamos a
tener mas saliendo que entrando, asi que tenemos
una divergencia positiva.
Pero eso hace sentido, y, porque mientras vays en la
direccion-x, las magnitudes de los vectores aumentan.
Sin embargo, yo no quiero confundirte mucho.
Asi que, la intuicion, porque no nos importa la
razon de cambio junto con la dirreccion del vector.
Nos importa la razon de cambio de las magnitudes de
los vectores perpendiculares a la dirreccion del vector.
Asi que el rizo, puedes adivinar, es igual que el producto cruz
de nuestro operador Dell y el campo vectorial.
Y si esto fue donde tu intuicion te llevo, y que
es lo que adivinaste, estarias correcto.
Este es el rizo del campo vectorial.
Y este es una medica de cuanto mas el campo esta rotando o
quiza si imaginas u objeto en el campo, cuanto mas es que
el campo causa algo rotar porque esta
ejerciendo torque neto?
Porque a diferentes puntos en el objeto, puedes tener
una magnitud diferente de un campo en la misma direccion.
Sin embargo no te quiero confundir mucho.
Espero que el ejempli que te mostre te haga un
poquito de sentido.
Sin embargo me doy cuenta que ya llemo mas de 9 minutos.
En el proximo video, yo computare el rizo y
quiza intente dibujar un par mas para darle
la intuicion hogar.
Nos vemos en el proximo video.

Estonian: 
Enne kui ma näitan teiele mehaanika mis on rootor
vektorväljas, proovime natuke
natuke intuitsiooni.
Nii siin ma olen joonistatud, ja nüüd ma lihtsalt joonistan kahemõõtmelise
vektorväli.
Võivad ekstrapoleerida 3-le, vaid siis, kui me Lähme
intuitsioon, on hea teha seda 2-le.
Nii, seega vaatame.
Ma ei teinud isegi sildi x- ja y-teljega.
See on x, see on y.
Nii kui y on suhteliselt madal, meie vektori suurus läheb
x suunasse, kui see suureneb natuke, siis see
saab veidi kauem.
Nii nagu me näeme, meie muutust y-suunas, nagu me lähme
y-suunas, x-osa meie vektorist
saab suuremaks ja suuremaks
Ja võib-olla x-suunas nad ei muutu, sõltumata
x taset , jääb suurus seisma.
Nii antud y-le, x-komponendit vektori suuruse arvestades
võib-olla jäävad samaks.
Nii ma mõtlen, et vektorväli võib näha välja nii.
Ma lihtsalt moodustan numbrid.

English: 
Before I actually show you the
mechanics of what the curl of a
vector field really is, let's
try to get a little
bit of intuition.
So here I've drawn, I'm going
to just draw a two-dimensional
vector field.
You can extrapolate to 3,
but when we're getting
the intuition, it's
good to do it in 2.
And so, let's see.
I didn't even label
the x and y axis.
This is x, this is y.
So when y is relatively low,
our magnitude vector goes in
the x direction, when it
increases a little bit, it
gets a little bit longer.
So as we can see, as our change
in the y-direction, as we go
in the y-direction, the
x-component of our vectors
get larger and larger.
And maybe in the x-direction
they're constant, regardless
of your level of x,
the magnitude stays.
So for given y, the magnitude
of your x-component vector
might stay the same.
So I mean, this vector field
might look something like this.
I'm just making up numbers.

Arabic: 
..
بداية قبل ان اريكم ميكانيكية التفاف المتجهات
دعونا نستخدم
قليلا من الحدس
لذلك سوف اقوم برسم بعدين
لحقول المتجهات
وانت تستطيع ان تستنتجها في 3ابعاد ولكن عندما
نستخدم الحدس من الافضل ان نعمل في بعدين
وهكذا هيا نرى
لازلت لم أعين محور السينات والصادات
هذا محور السينات وهذا محور الصادات
لذلك عندما تكون قيمة الصادات منخفضة فان متجهنايذهب
في اتجاه محور السينات وعندما تزداد قليلا
فان المتجه يصبح اطول قليلا
لذلك فإننا نلاحظ اننا عندما نغير في محور الصادات ونذهب
الى اعلى فإن المركب السيني في متجهنا
يصبح اكبر واكبر
وربما هناك في الاتجاه السيني ثابت مهمل
في مستواك السيني اهمية المتجه تبقى ثابتة
لذلك فإن لقيمة ص المعطية فإن قيمة س للمتجه
قد تبقى ثابتة
فأنا أعني في حقول المتجهات قد تظهر
انا هنا اقوم بإفتراض الارقام

German: 
Bevor ich Ihnen die Funktionsweise von einer Rolle zeige
Vektorfeld wirklich ist, lassen Sie uns versuchen, ein wenig
Vorahnung zu haben.
So hier ich gezeichnet habe, werde ich nur ein zweidimensionales zeichnen
Vektorfeld.
Sie können bis 3, aber wenn wir extrapolieren
die Intuition, ist es gut, tun Sie es in 2.
Also, mal sehen.
Ich nicht sogar Label die x und y Achse.
Dies ist X, y ist.
Also wenn y relativ niedrig ist, geht unsere Stärke Vektor
der X-Richtung, wenn es ein wenig, erhöht es
wird ein bisschen länger.
So wie wir, wie unsere Veränderung in y-Richtung, sehen können wie wir gehen
in y-Richtung, die X-Komponente der unsere Vektoren
Holen Sie sich größer und größer.
Und vielleicht in X-Richtung sie sind konstant, unabhängig
Ihr Niveau von x bleibt die Helligkeit.
Also für gegebene y, das Ausmaß Ihrer X-Komponenten-Vektor
könnte gleich bleiben.
Also ich meine, könnte dieses Vektorfeld wie folgt aussehen.
Ich mache nur Zahlen.

Thai: 
-
-
-
ก่อนที่ผมจะบอกคุณถึงกลไกว่าเคิร์ลของ
สนามเวกเตอร์คืออะไร ลองมาดู
สัญชาตญาณสักหน่อย
ตอนนี้ ผมวาด, ผมจะวาดแค่สนามเวกเตอร์
ในสองมิตินะ
คุณสามารถขยายเป็น 3, แต่ตอนเราหาสัญชาตญาณ
แค่ 2 ก็ดีแล้ว
งั้นลองดูกัน
ผมไม่อยากแม้แต่จะเขียนแกน x กับ y
นี่คือ x, นี่คือ y
แล้วตอนที่ y นั้นน้อย, ขนาดของเวกเตอร์เราที่ไป
ในทิศ x, เมื่อมันเพิ่มขึ้นหน่อย ๆ, มัน
จะยาวขึ้นอีกหน่อย
ดังนั้นอย่างที่เราเห็น, เมื่อเราเปลี่ยนในทิศ y, เมื่อเราไป
ในทิศ y, องค์ประกอบ x ของเวกเตอร์เรา
ยาวขึ้นและยาวขึ้น
และบางทีในทิศ x มันคงที่, ไม่ว่า
ระดับของ x เป็ฯอย่างไร, ขนาดยังเหมือนเดิม
สำหรับ y ที่กำหนดค่านึง, ขนาดของเวกเตอร์ตามแกน x
จะยังคงเดิม
ผมหมายถึง, สนามเวกเตอร์นี้มันอาจหน้าตาเป็นแบบนี้
ผมแค่ตั้งเลขขึ้นมา
บางทีมันอาจเป็นแค่, ไม่รู้สิ, y กำลังสอง i
ดังนั้นขนาดตามทิศ x ก็แค่
ฟังก์ชันของค่า y คุณ
และเมื่อค่า y เพิ่มขึ้นและเพิ่มขึ้น, ขนาดใน
ทิศ x คุณจะยิ่งโตขึ้นโตขึ้น เป็น
สัดส่วนกับกำลังสองของขนาดในทิศ y
แต่สำหรับ x ที่กำหนดใด ๆ, มันจะเท่าเดิมเสมอ
มันขึ้นอยู่กับ y เท่านั้น
ดังนั้นตรงนี้, แมว่าเราจะทำให้ x โตขึ้น, เราก็ยัง
ได้ขนาดเท่าเดิม
และจำไว้ พวกนี่เป็นแค่จุดตัวอย่าง
ในสนามเวกเตอร์ของเรา
แต่ช่างเถอะ
นั่นพอแล้วสำหรับการหาสัญชาตญาณ
เบื้องหลังสนามเวกเตอร์
แต่ขอผมถามคุณอย่างนึง
หากผม สมมุติว่าสนามเวกเตอร์นี้แสดง
ความเร็วของของไหล ณ จุดต่าง ๆ
และคุณอาจมองนี้, เรากำลังมองแม่น้ำก็ได้
หากผมเอากิ่งไม้น้อย ๆ หรืออะไรสักอย่าง, ผมวางมัน
ลงไปในของไหลนี้ งั้นขอผมวางกิ่งไม้ตรงนี้นะ
ขอผมวาดกิ่งไม้หน่อย
งั้นสมมุติว่าผมวางกิ่งไม้ลงไป, มันเป็นกิ่งไม้ขำ ๆ
แต่ก็ดีพอแหละ
สมมุติว่าผมวางกิ่งไม้อันนึงตรงนี้
จะเกิดอะไรขึ้นกับกิ่งไม้นั่น?
ณ จุดนี้ตรงกิ่งไม้, น้ำกำลังไหล
ไปทางขวา, ดังนั้นมันจะผลักกิ่งไม้ไปทางขวา
และส่วนบนกิ่งไม้, น้ำก็เคลื่อนไปทาง
ขวาเหมือนกัน, ด้วยความเร็วที่มากกว่า, แต่มันจะ
ยังคงผลักด้านบนของกิ่งไปทางขวา
แต่ด้านบนกิ่งจะถูกผลักไปทางขวา
เร็วกว่าด้านล่างของกิ่ง จริงไหม?
งั้นมันจะเกิดอะไรขึ้น?
กิ่งไม้จะหมุ่น, จริงไหม?
หลังจาก, ไม่รู้สิ, สักพักนึง,
กิ่งไม้จะมีหน้าตาแบบนี้
ส่วนล่างจะเคลื่อนที่ไปทางขวาหน่อย, แต่
ส่วนบนจะเคลื่อนไปทางขวามากกว่า
จริงไหม?
และทั้งหมดนั้นจะเลื่อนไปทางขวา
แต่มันจะหมุนนิดหน่อย
และบางทีหลังจากนั้นไป, บางทีมันอาจ
เป็นแบบนี้
ดังนั้นคุณเห็นเป็นแบบนี้เพราะเวกเตอร์เพิ่มขึ้น
ในทิศที่ตั้งฉากกับทิศของการ
เคลื่อนที่, จริงไหม?
ในตัวอย่างง่าย ๆ นี้, เวกเตอร์ทั้งหมด
ชี้ไปตามแกน x
แต่ขนาดของเวกเตอร์เพิ่มขึ้น, มัน
เพิ่มขึ้นในแนวฉาก, มันเพิ่มขึ้นในทิศ y, จริงไหม?
และเมื่อมันเกิดขึ้น, เมื่อการไหลไปในทิศเดียวกัน
แต่มันมีขนาดต่างกัน, คุณจะเห็น
ว่าวัตถุในนั้นเริ่มหมุน, จริงไหม?
ลองคิดดู
หากอนุพันธ์, อนุพันธ์ย่อย, ของสนาม
เวกเตอร์นี่เทียบกับ y เพิ่มขึ้นหรือลดลง, หาก
มันกำลังเปลี่ยน, นั่นหมายความว่า เมื่อเราเพิ่มค่า y, หรือลด
ค่า y, ขนาดขององค์ประกอบ x ของเวกเตอร์เรา,
ใช่, ทิศ x ของเวกเตอร์เราจะเปลี่ยน
และดังนั้น หากคุณมีความเร็วในแต่ละชั้นของ y
ต่างกัน, เมื่ออะไรสักอย่างเคลื่อนที่ในทิศ x, มันจะ
หมุน, จริงไหม?
คุณอาจมองมันราวกับว่ามันมีทอร์กกระทำ
กับวัตถุที่อยู่ในน้ำตรงนี้
และที่สุดจะเป็น, ขอผมวาดสนามเวกเตอร์อีกอัน
สุดท้ายจะเป็นว่า หากผมมีสถานการณ์นี้
ขอผมวาดสนามเวกเตอร์อีกอัน
หากผมมีสถานการณ์นี้, ตรงที่บางทีตรงนี้ มันเป็นอย่างนี้,
บางทีมันจะเป็นแบบนี้, แล้วก็เล็กมาก
,แล้วก็เปลี่ยนทิศ, ตรงนี้, แล้วก็
สนามเวกเตอร์ไปแบบนี้
คุณก็นึกภาพตรงนี้ว่ามันจะไปทางซ้าย,
ด้วยขนาดที่ใหญ่ทีเดียว
ดังนั้นหากคุณวางกิ่งไม้ตรงนี้, คุณจะเห็น
ว่าไม้นั่น, ไม่ใช่แค่เลื่อนไปทางขวา,
ด้านนี้จะเลื่อนไปทางซ้าย, ด้านนี้จะ
ไปทางขวา, มันก็จะหมุน
และคุณจะเห็นว่ามีทอร์กลัพธ์กระทำต่อกิ่งไม้
แล้วสัญชาตญาณตรงนี้คืออะไร?
ในทันใด, เราสนว่าขนาด
ของเวกเตอร์เปลี่ยนไปแค่ไหน, ไม่ใช่ในทิศของการเลื่อนที่, เหมือนกับ
ในเรื่องไดเวอร์เจนซ์, แต่เราสนใจว่าขนาดของเวกเตอร์
เปลี่ยนไปแค่ไหน เมื่อเราไปตั้งฉากกับ
ทิศของการเคลื่อนที่
ดังนั้นเมื่อเราเรียนเรื่องดอตกับครอสโปรดัค,
เรารู้อะไรมา?
เรารู้ว่าดอตโปรดัคของเวกเตอร์ 2 อันบอกเราว่า
เวกเตอร์ 2 อันไปด้วยกันแค่ไหน และครอสโปรดัคบอกเราว่า
มันตั้งฉากกันแค่ไหน, มันเหมือนกับการคูณ
องค์ประกอบตั้งฉากกันของเวกเตอร์
ดังนั้นนี่อาจทำให้คุณเข้าใจสัญชาตญาณว่าเคิร์ลคืออะไร
เพราะที่สุดแล้ว เคิร์ลเป็นตัววัด
ผลการหมุน, หรือผมเดาว่าคุณอาจบอกว่า เคิร์ลของสนาม
เวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ คืออะไร?
และคุณสามารถนึกภาพมันได้
คุณวางกิ่งไม้ลงไป, จะเกิดอะไรขึ้นกับมัน?
หากกิ่งไม้หมุน มันก็มีเคิร์ล, หากขนาดการหมุน
โตขึ้น, เคิร์ลก็โตขึ้นด้วย
หากมันหมุนไปอีกทาง, คุณจะได้
เคิร์ลเป็นลบ
และนั่นก็เหมือนกับตอนเราทำเรื่องทอร์ก, เราสน
แค่ทิศเท่านั้น
เพราะเราสนว่ามันหมุนทวนเข็มหรือ
ตามเข็มนาฬิกา, ดังนั้นเราจะได้เวกเตอร์
อันนึง, จริงไหม?
และทั้งหมดนั่นหวังว่าจะเริ่มประกอบกัน
ในตอนนี้แล้ว
เราเคยยุ่งกับเวกเตอร์ เดล
หรืออันนี้, คุณก็รู้, เราเรียกมันว่า สัญลักษณ์แบบ
ผิด ๆ, แต่มันตรงตามสัญชาตญาณ, แม้ว่ามัน
ไม่มีความหมายใด ๆ แบบที่ผมบรรยายมันอย่างนี้
คุณอาจเขียนมันเป็นเวกเตอร์โอเปอเรเตอร์, แล้วมันจะ
มีความหมายขึ้นหน่อย
แต่โอเปอเรเตอร์ เดล
นี่, เราใช้หลายครั้งแล้ว
คุณก็รู้, หากอนุพันธ์ย่อยของอะไรสักอย่างใน
ทิศ i, บวกอนุพันธ์ย่อย, อะไรสักอย่างเทียบกับ
y ในทิศ j, บวกอนุพันธ์ย่อย
ทีนี้, นี่คือตอนที่เราทำในสามมิติ
เทียบกับ z ในทิศ k
เมื่อเราใช้มันกับสนามสเกลาร์หรือเวกเตอร์, คุณก็รู้
เหมือนกับฟังก์ชันสามมิติ, เราก็แค่คูณ
มันกับฟังก์ชันสเกลาร์, เราจะได้เกรเดียน
หากเราหาดอตโปรดัคของอันนี้กับสนามเวกเตอร์, เรา
จะได้ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์
และนี่ควรเป็นไปตามสัญชาตญาณ
แล้ว, ณ จุดนี้
เพราะตอนเรา, คุณอาจอยากทบทวนวิดีโอเดิม
ตอนเราเปรียบเทียบดอตโปรดัคกับครอสโปรดัค
เพราะดอตโปรดัค คือ เวกเตอร์สองตัว
ไปด้วยกันแค่ไหน?
และตอนเราใช้ เดล โอเปอเรเตอร์ และดอตมันกับ
สนามเวกเตอร์, คุณก็บอกว่า, สนามเวกเตอร์เปลี่ยนไป
แค่ไหน, จริงไหม?
อนุพันธ์ทั้งหมดคือ, อนุพันธ์ย่อย หรืออนุพันธ์ทั่วไป,
ก็แค่อัตราการเปลี่ยนแปลง
อนุพันธ์ย่อเทียบกับ x คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง
ในทิศ x
ทั้งหมดที่คุณพูดคือ, ตอนคุณหาดอตโปรดัค
คุณหาว่าอัตราเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นเท่าไหร่ใน
ทิศการเคลื่อนที่ของผม?
อัตราการเปลี่ยนแปลงในทิศ y เมื่อเพิ่มขึ้น
ในทิศ y เป็นเท่าไหร่?
และความเข้าใจช่วยเราในเรื่องไดเวอร์เจนซ์
เพราะจำไว้, หากนี่คือเวกเตอร์, แล้วเมื่อเราเพิ่มขึ้น
ในทิศ x, เวกเตอร์ก็เพิ่มขึ้น, เราก็หา
จุดเล็ก ๆ, แล้วเราบอกว่า, โอ้, ณ จุดนี้เรากำลัง
มีออกมากกว่าเข้า, ดังนั้นเรามี
ไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก
แต่นั่นเข้าใจได้, เช่นกัน, เพราะเมื่อคุณไปในทิศ x,
ขนาดของเวกเตอร์เพิ่มขึ้น
เอาล่ะ, ผมไม่อยากทำคุณงงเกินไป
ดังนั้นตอนนี้, สัญชาตญาณ, เพราะตอนนี้เราไม่สนใจ
อัตราการเปลี่ยนตามทิศของเวกเตอร์
เราสนใจอัตราการเปลี่ยนแปลงขนาด
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทิศของเวกเตอร์นั้น
ดังนั้นเคิร์ล, คุณคงเดาได้, ว่าเท่ากับ ครอส
โปรดัคของ เดล โอเปอเรเตอร์ กับสนามเวกเตอร์
และหากนั่นคือสิ่งที่สัญชาตญาณพาคุณไป, และนั่น
คือการเดาของคุณล่ะก็, คุณถูกแล้ว
นี่คือเคิร์ลของสนามเวกเตอร์
และมันคือการวัดว่า สนามหมุนไปแค่ไหน,
หรือบางทีหากคุณนึกวัตถุในสนามขึ้นมา, มันจะบอกว่า
สนามทำให้วัตถุหมุนไปเท่าไหร่ เพราะ
มันก่อให้เกิดทอร์ก
เพราะ ณ จุดต่าง ๆ ของวัตถุ, คุณมี
ขนาดของสนามไม่เท่ากัน แต่ในทิศเดียวกัน
เอาล่ะ, ผมไม่อยากทำให้คุณงงเกินไป
หวังว่าตัวอย่างนั้นที่ผมแสดงให้ดู จะช่วย
ให้เข้าใจมากขึ้นนะ
เอาล่ะ, ผมเพิ่งรู้ว่าผมใช้เวลา 9 นาทีแล้ว
ในวิดีโอหน้า, ผมจะคำนวณเคิร์ล, และ
บางทีเราจะวาดเพิ่มอีกเพื่อ
ให้เข้าใจสัญชาตญาณจนสุด
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

Polish: 
Zanim faktycznie pokażę Ci
mechanikę tego czym rotacja
pola wektorowego tak naprawdę 
jest, spróbujmy nabrać
nieco intuicji.
No więc narysowałem tutaj...
Narysuję dwuwymiarowe
pole wektorowe.
Możesz odnosić się do trzech wymiarów,
jednak kiedy chcemy to wytłumaczyć
w intuicyjny sposób, dobrze jest
czynić to w dwóch wymiarach.
Zatem spójrzmy.
Nawet nie podpisałem
osi x-ów i y-ów.
To jest x, to jest y.
Jeśli zatem y jest względnie mały,
nasza długość wektora idącego
w kierunku x, kiedy 
go trochę zwiększymy,
nieco wzrośnie.
Więc widać, że wraz z naszą zmianą 
w kierunku y, z poruszaniem się
w kierunku y, składowe x
naszych wektorów
stają się coraz większe.
I być może są stałe 
w kierunku x, bez względu
na poziom x długość 
pozostaje ta sama.
Czyli dla zadanego y, wielkość
składowej x wektora
może pozostać bez zmian.
Chodzi mi o to, że nasze pole wektorowe 
może wyglądać mniej więcej tak.
Wyczaruję jakieś liczby.

Portuguese: 
Antes de vermos o que é de fato
o rotacional de um campo vetorial,
vamos ver intuitivamente.
Desenhei aqui um campo vetorial
bidimensional.
Poderíamos fazer em um tridimensional
mas pra termos a intuição é melhor assim.
Vejamos...ainda não fiz os eixos.
Aqui estão eles.
Quando y é relativamente baixo,
nosso vetor vai na direção x.
Quando cresce um pouco, fica mais longo.
Como podemos ver, à medida que avançamos
na direção y
nossa componente x fica cada vez maior.
Talvez na direção x eles sejam constantes,
independente de x, a magnitude é a mesma.
Para um y dado, a magnitude da componente
x do vetor permanece igual.
Esse campo vetorial será mais ou menos
assim.
Estou chutando números.

Estonian: 
Võib-olla see on lihtsalt, ma ei tea, y ruudus i.
Nii suurus x-suunda on lihtsalt a
funktsioon y-väärtuse.
Ja y-väärtused saavad suuremaks ja suuremaks,
x-suunas lähevad suuremaks ja suuremaks, proportsionaalne
y suunas suurusjärku ruudus.
Kuid mis tahes antud x, see on alati sama.
See sõltub ainult y.
Nii et siin, isegi siis, kui me teeme x suuremaks me endiselt saame
saame samast suurust
Ja pidage meeles, need on vaid vaatluspunktid
meie vektorväljas.
Kuid ikkagi.
Sellest piisab, et lihtsalt saada intuitsioon taga
vektorväljas.
Aga lubage mulle küsida teilt ühe küsimuse.
Oletame, et vektorväli näitab
vedeliku kiirust erinevatel ajahetkedel.
Ja te saate seda vaadata, me otsime alla jõe, võib-olla.
Kui ma peaks võtma oksake või midagi, ja ma
pean seda panema vedelikku, nii lubage mulle panna seda oksake siia.

Portuguese: 
Talvez seja só, sei lá, y ao quadrado î.
Então a magnitude na direção x é apenas uma
função dos valores de y.
Conforme os valores em y aumentam, a magnitude na
direção x também aumenta, na proporção
do quadrado da magnitude da direção y.
Mas para um dado x, a magnitude será sempre a mesma.
é dependente apenas de y.
Aqui, mesmo que façamos x maior, continuamos com
a mesma magnitude.
Lembre-se, estas são apenas algumas amostras de pontos
em nosso campo vetorial.
De qualquer forma.
É o suficiente para dar uma intuição sobre
esse campo vetorial.
Deixe-me fazer uma pergunta.
Se eu fosse, digamos que este vetor representa a
velocidade de um fluido em diversos pontos.
Então você pode ver isso, estamos observando um rio, talvez.
Se eu pegasse um graveto ou algo assim, e o colocasse
nesse fluido, deixe-me colocar um graveto bem aqui.

Arabic: 
أي ارقام ربما نأخذ ص مربع ع
لذلك فإن اهمية محور السينات هو في كونه
اقتران في قيمة ص
لذلك فكلما كبرت قيمة ص فإن اهمية
الاتجاه السيني تزداد وتزداد بشكل يتناسب
مع مربع قيمة الاتجاه الصادي
لكن لاي قيمة ل س دائما تبقى نفسها
انها فقط تعتمد على قيمة ص
لذلك حتى لو اخذنا قيمة اكبر ل س سوف نحصل على
نفس الاهمية والقيمة
وتذكر دائما انها مجرد عينة من النقاط
في حقل متجهنا
على كل حال
هذا كفاية لكي نحصل على فكرة او تصور
عن حقل المتجهات
لكن دعني اسالك سؤال
اذا اردت ان افترض ان حقل المتجه هذا يرينا
سرعة السائل عند عدة نقاط
وانت تستطيع رؤية هذا كأنك تنظرالى تدفق نهر مثلا
اذا اخذت مثلا غصن صغير او أي شئ
ووضعته في هذا السائل لذلك دعني اضع الغصن هنا
الان سوف ارسم غصني

Chinese: 
也许这只是我不知道，Y的平方我
所以x方向的幅度仅仅是一个
y值的功能
y值越做越大，幅度
x方向将得到越来越大，比例
y方向的幅度平方
但对于任何给定的x，它总是是相同的
它仅依赖于y
所以在这里，即使我们做X更大，我们仍然得到
一些幅度
请记住，这些只是采样点
我们的矢量场。
但无论如何。
这足够刚开直觉背后
向量场
但让我问你一个问题
如果我是，我们只是说，这个矢量场显示

Portuguese: 
Talvez seja apenas y ao quadrado i.
A magnitude na direção x é a função
do seu valor y.
Quanto maior for o valor de y,
a magnitude na direção x aumentará.
Proporcionalmente ao quadrado da magnitude
da direção y.
Mas pra qualquer x dado será sempre igual,
depende apenas de y.
Mesmo aumentando x
ainda obtemos a mesma magnitude.
Lembre-se, estes são apenas pontos
aleatórios.
Mas enfim, é o suficiente para termos
uma intuição.
Deixe-me te perguntar uma coisa.
Digamos que esse campo vetorial
mostre a velocidade de um fluido
em vários pontos.
Podemos ver isso como se estivéssemos
olhando para um rio.
Se pegasse um galho ou algo assim
e colocasse nesse fluido--
deixe-me colocá-lo aqui.

Polish: 
Może... sam nie wiem... y^2 i.
W takim razie długość
w kierunku x jest po prostu
funkcją od y.
I kiedy wartość y się 
zwiększy, wtedy długość
w kierunku x także się 
zwiększy, proporcjonalnie
do kwadratu wartości y.
Jednak dla zadanego x, 
zawsze będzie taka sama.
Zależy wyłącznie od y.
Więc tutaj, nawet jeśli weźmiemy
większy x, to wciąż dostaniemy
tę samą długość.
Pamiętaj, to są tylko
przykładowe punkty
naszego pola wektorowego.
Zresztą nieważne.
Wystarczy już tych 
dociekań co stoi za
tymi polami.
Pozwól tylko, że zapytam.
Jeżeli miałbym... Załóżmy, że
to pole wektorowe przedstawia
prędkość płynu
w różnych punktach.
Może wyobraź sobie, że 
patrzymy w dół na rzekę.
Jeżeli wziąłbym niewielki 
patyk czy coś innego i
umieścił go w tym płynie. 
Powiedzmy, że umieszczę go tutaj.

German: 
Vielleicht es ist nur, ich weiß nicht, y kariert ich.
Also nur die Größe von der X-Richtung eine
Funktion der y-Wert.
Und als Ihre y-Werte erhalten immer größer und größer, die Helligkeit in
Ihre X-Richtung zu erhalten, größer und größer, proportional
um das Quadrat der Höhe der y-Richtung.
Aber für jedes angegebene X, es wird immer die gleiche sein.
Es hängt nur von y.
Also hier, auch wenn wir x größer, erhalten wir noch
der gleichen Größenordnung.
Und denken Sie daran, dies sind nur Beispiel Punkte
auf unsere Vektorfeld.
Aber trotzdem.
Das ist genug, der gerade erst die Intuition hinter
das Vektorfeld.
Aber lassen Sie mich Ihnen eine Frage stellen.
Würde ich, sagen wir, dass diese Vektorfeld zeigt die
die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit an verschiedenen Punkten.
Und um diese anzeigen zu können, suchen wir nach unten am Fluss, vielleicht.
Wenn ich zu waren ein wenig Zweig oder etwas, und ich
Legen Sie sie in diese Flüssigkeit, so lassen Sie mich hier platzieren Sie den Zweig.

French: 
Disons peut-être : y au carré rapporté au vecteur unitaire x (ou i)
Donc la norme du vecteur pointant vers x
n'est qu'une fonction de y.
Et plus vous augmentez y,
plus la norme du vecteur pointant vers x augmente,
cette norme étant proportionnelle à y.
Si on ne fait varier que x, la norme ne change pas.
Elle ne dépend que de y.
Par exemple, en augmentant x,
la norme reste la même.
N'oubliez pas, ce qui est dessiné ici,
ce ne sont que quelques vecteurs parmi l'ensemble du champ vectoriel.
Cela suffira pour nous représenter
le champ de vecteurs.
Laissez-moi vous poser une question?
Imaginons que soit représenté par ce champ de vecteurs
la vitesse des particules d'un fluide à certains points.
Nous observons par exemple une rivière.
Si je prenais une brindille
Et que je la plaçais comme ceci dans le fluide...

English: 
Maybe it's just, I don't
know, y squared i.
So the magnitude of the
x-direction is just a
function of your y-value.
And as your y-values get bigger
and bigger, the magnitude in
your x-direction will get
bigger and bigger, proportional
to the square of the magnitude
of the y direction.
But for any given x, it's
always going to be the same.
It's only dependent on y.
So here, even if we make
x larger, we still get
the same magnitude.
And remember, these are
just sample points
on our vector field.
But anyway.
That's enough of just getting
the intuition behind
that vector field.
But let me ask you a question.
If I were to, let's say that
this vector field shows the
velocity of a fluid
at various points.
And so you can view this, we're
looking down on a river, maybe.
If I were to take a little twig
or something, and I were to
place it in this fluid, so let
me place the twig right here.

Arabic: 
لقد وضعت غصني انه غصن جميل
وهذا جيد كفاية
لنقل بأنني وضعت الغصن هنا
ماذا سوف يحصل للغصن؟
حسنا عند هذه النقطة عند الغصن فإن المياه سوف تتحرك نحو
اليمين لذلك سوف تدفع هذا الجزءمن الغصن نحو اليمين
عند اعلى الغصن فإن المياه سوف تتحرك ايضا إلى
اليمين ربما بسرعة اكبر ولكنها ايضا سوف تقوم
بدفع قمة الغصن إلى اليمين
ولكن الجزء العلوي من الغصن سوف يدفع إلى
اليمين بشكل اسرع من الجزء الاسفل من الغصن أليس هذا صحيح؟
إذن ماذا سوف يحصل؟
إن الغصن سوف يقوم بالدوران أليس هذا صحيح؟
بعد ذلك ,انا لا أعرف ,بعد فترة من الزمن فإن
الغصن سوف يبدو على هكذا
إن أسفل الغصن سوف يتحرك ببطء نحو اليمين ولكن
الجزء العلوي يتحرك بسرعة اكبر نحو اليمين
اليمين؟
وجميع الاشياء سوف تتحرك نحو اليمين
ولكن سوف يدور الغصن قليلا
وربما بعد فترة وجيزة قد يظهر
بهذا الشكل
لذلك تستطيع ان ترى ان هذا يحصل لأن قيمة المتجه تزداد
في الاتجاه العامودي على اتجاه

French: 
Je la dessine ici.
Donc je place la brindille ici, quelle drôle de brindille d'ailleurs,
mais elle fera l'affaire.
Donc je place la brindille ici,
Que va-t-il lui arriver?
À ce point, l'eau la pousse sur la droite,
donc cette partie de la brindille sera poussée sur la droite.
Mais, en haut de la brindille, l'eau se déplace aussi vers la droite
et encore plus vite,
elle va donc pousser le haut de la brindille aussi vers la droite,
mais plus vite que la partie inférieure de la brindille,
n'est-ce pas?
Que va-t-il donc se passer?
La brindille va se mettre à tourner, n'est-ce pas?
Après un certain temps, je ne sais pas,
la brindille va se retrouver dans cette position.
Le bas va aller vers la droite.
Mais le haut encore bien plus.
Non?
L'ensemble aura été déplacé sur la droite.
Mais avec une certaine rotation.
Et encore plus loin,
on peut imaginer que la brindille sera dans cette position.
Cela parce que la norme des vecteurs augmente avec

Polish: 
Niechże go narysuję.
No więc umieściłem patyk. 
Wygląda trochę śmiesznie,
ale tak jest dobrze.
Umieściłem patyk 
dokładnie w tym miejscu.
Co się z nim stanie?
Cóż, w tym punkcie na patyku,
woda porusza się
w prawo, wobec tego popchnie 
tę część patyka w prawo.
Na górze patyka, woda 
porusza się także
w prawo, możliwe, że z większą 
prędkością, jednak też
popchnie górę patyka w prawo.
Z tym, że góra patyka 
będzie popychana
w prawo szybciej niż 
jego dół, prawda?
Zatem co się wydarzy?
Patyk zacznie się 
obracać, czyż nie?
Po... Nie wiem... 
Po pewnym czasie
patyk będzie 
wyglądał jakoś tak.
Dół przesunie się 
nieco w prawo, ale
jego góra przesunie się 
w prawo dużo bardziej.
Prawda?
I cały mógłby zostać 
przesunięty w prawo,
ale zacznie się 
lekko obracać.
I być może trochę 
dalej będzie wyglądać
jakoś tak.
Dzieje się tak, ponieważ 
wektory wydłużają się w

German: 
Lassen Sie mich meine Zweig zu zeichnen.
Also lassen Sie uns sagen, Stelle ich ein Zweig, es ist ein lustig aussehenden Zweig,
aber das ist gut genug.
Lassen Sie uns sagen, dass ich ein Zweig direkt dort zu platzieren.
Was wird passieren, um den Zweig?
Nun, an dieser Stelle auf den Zweig, das Wasser der Umzug in die
rechts, so dass push es diesen Teil der Zweig auf der rechten Seite.
An der Spitze der den Zweig, bewegt sich das Wasser auch auf die
Recht, vielleicht mit einer schnelleren Geschwindigkeit, aber es geht auch
oben auf den Zweig rechts schieben.
Aber oben auf den Zweig geht zu geschoben werden
das Recht schneller als den Zweig, rechts unten?
Was wird also geschehen?
Der Zweig gehend nach rechts drehen?
Nachdem ich nicht, einige Zeit weiß, die
Zweig wird wie folgt aussehen.
Unten bewegt sich ein wenig nach rechts, aber die
oben wird viel mehr nach rechts bewegen.
Richtig?
Und die ganze Sache wäre nach rechts verschoben.
Aber es geht um ein wenig zu drehen.
Und vielleicht doch ein bisschen weiter, vielleicht sieht es
so etwas wie dieses.
So Sie, dass sehen können da die Vektoren erhöhen einem

Estonian: 
Lubage mulle joonistada oksake.
Nii ma panen oksake ,see on naljakas oksake,
kuid see on piisavalt hea.
Oletame, et seda oksake ma paigutan siia.
Mis toimub selle oksaga?
Noh, sel hetkel on oksaraag, vesi liikub
paremale, nii et see lükab käesoleva osa selle oksake paremale.
Selle oksake tippus ,vesi liikub
paremale, võib-olla kiire tempoga, kuid ka
surub ülemise oksa paremale.
Aga oksake tippu viiakse
paremale kiiremini kui põhja oksa?
Nii mis toimub?
Pööra paremale ning oksake läheb?
Pärast seda, ma ei tea, teatud aja jooksul,
oksake välja näeb midagi sellist.
Põhi liigub veidi paremale, kuid selle
tip liigub rohkem paremale.
Eks?
Ja kogu asja tuleb nihutada paremale.
Aga see läheb veidi pööramiseks.
Ja võib-olla pärast ,see võib välja näha
midagi sellist.
Nii et saate vaadata, sest suurenenud vektorid a-s

Portuguese: 
Deixe-me desenhá-lo.
É um galho estranho mas vai servir.
Colocamos ele aqui.
O que acontecerá a ele?
Neste ponto dele
a água se move pra direita.
Logo, empurrará essa parte pra direita.
Na parte de cima do galho
a água também vai pra direita.
Talvez com uma velocidade maior
mas também empurrará o galho pra direita.
Mas neste caso a parte de cima se moveria
mais rapidamente que a parte de baixo.
O que acontecerá?
Ele girará, certo?
Depois de um tempo ele estará
mais ou menos acima.
A parte de baixo irá pra direita.
Mas a parte de cima estará muito mais
pra direita.
Tudo se deslocará pra direita
mas girando um pouco.
Talvez um pouco depois fique assim.

Portuguese: 
vou desenhar um graveto aqui.
Digamos que eu tenha um graveto, esse é bem esquisito,
mas serve.
Digamos que eu colloque o graveto aqui.
O que acontecerá com o graveto?
Bem, nesse ponto, a água move-se para a
direita, então vai empurrar essa parte para a direita.
Na ponta do graveto, a água também move-se para a
direita, talvez com uma velocidade maior, mas também vai
empurrar a ponta do graveto para a direita.
Mas a ponta do graveto será empurrada para
a direita mais rápido do que na base do graveto, certo?
Então, o que vai acontecer?
O graveto vai rotacionar, certo?
Depois, sei lá, um tempo depois, o
graveto se parecerá com algo assim.
a base se moverá um pouco para a direita, mas a
ponta se deslocará muito mais para a direita.
Certo?
E ele todo será deslocado para a direita.
Mas rotacionando um pouco.
Talvez lá na frente, talvez se pareça
com algo assim.
Então você pode perceber que por conta do incremento do vetor

English: 
Let me draw my twig.
So let's say I place a twig,
it's a funny-looking twig,
but that's good enough.
Let's say I place a
twig right there.
What's going to
happen to the twig?
Well, at this point on the
twig, the water's moving to the
right, so it'll push this part
of the twig to the right.
At the top of the twig, the
water is also moving to the
right, maybe with a faster
velocity, but it's also going
to push the top of the
twig to the right.
But the top of the twig is
going to be being pushed to
the right faster than the
bottom of the twig, right?
So what's going to happen?
The twig's going
to rotate, right?
After, I don't know, some
period of time, the
twig's going to look
something like this.
The bottom will move a little
bit to the right, but the
top will move a lot
more to the right.
Right?
And the whole thing would have
been shifted to the right.
But it's going to
rotate a little bit.
And maybe after a little bit
further, maybe it looks
something like this.
So you can see that because the
vectors increasing in a

German: 
Richtung, die senkrecht zur Richtung ist
der Bewegung, richtig?
Diesem relativ einfachen Beispiel zeigen alle Vektoren
in X-Richtung.
Aber die Größe der Vektoren erhöhen, erhöhen Sie
erhöhen senkrecht, sie in der y-Dimension, richtig?
Und wenn dies geschieht, wenn die Strömung wird in der gleichen
Richtung, aber es geht um eine andere Helligkeit, sehen Sie
Das wird jedes Objekt im es rechts drehen?
Also lassen Sie uns denken.
Also, wenn die Ableitung, partielle Ableitung, dies
Vektorfeld in Bezug auf y ist erhöhen oder verringern, wenn
es gerade geändert wird, bedeutet, dass wir in y oder als wir erhöhen
Abnahme der y, das Ausmaß der die X-Komponente der unsere Vektoren,
Recht, die X-Richtung der Vektoren Veränderungen.
Und so haben Sie eine andere Geschwindigkeit für die verschiedenen Ebenen der
y, wenn sich etwas bewegt in X-Richtung, es wird
werden gedreht, nicht wahr?
Sie konnten es fast ansehen, als gäbe es ein net Drehmoment auf einen

Portuguese: 
Porque o vetor cresce na direção
perpendicular à do movimento.
Certo?
É um exemplo bem simples.
Todos os vetores apontam na direção x.
Mas a magnitude dos vetores aumenta
perpendicularmente, na direção y.
Quando o fluxo vai na mesma direção
mas com uma magnitude diferente,
você vê que qualquer objeto girará.
Vamos pensar nisso.
Se a derivada parcial deste campo vetorial
em relação a y cresce ou decresce.
Se ela varia, a magnitude da componente x
muda.
Se tivermos velocidades diferentes
pra diferentes y's.
Quando algo se mover na direção x,
fatalmente girará.

Portuguese: 
na direção que é perpendicular à direção
do movimento, certo?
Neste simples exemplo, todos os vetores apontam
na direção de x.
Mas a magnitude dos vetores aumenta, eles aumentam
perpendicularmente, eles aumentam na dimensão y, certo
quando isso acontece, quando o fluxo segue a mesma
direção, mas está seguindo em uma magnitude diferente, você percebe
que qualquer objeto nele irá rotacionar, certo?
Vamos pensar um pouco.
Se a derivada, a derivada parcial, deste
campo vetorial em relação a y é crescente ou decrescente, se
está apenas variando, isso significa que ao incrementarmos y, ou
decrementarmos y, a magnitude da componente x de nossos vetores,
certo, na direção x de nossos vetores varia.
Então se temos velocidades diferentes para diferentes y,
conforme algo se move na direção x, ele será
rotacionado, certo?
Você poderia ver isso como se houvesse um torque no

Polish: 
kierunku prostopadłym 
do naszego kierunku
poruszania się, prawda?
To dość prosty przykład, 
wszystkie wektory wskazują
w kierunku x.
Jednak długość wektorów 
wzrasta, wydłużają się
prostopadle. Wydłużają się
w kierunku y, prawda?
I kiedy tak się dzieje, kiedy
przepływ ma ten sam
kierunek, ale różne prędkości, 
to zauważysz,
że dowolny obiekt zacznie 
się w nim obracać, prawda?
Zastanówmy się więc nad tym.
Jeśli pochodna, 
pochodna cząstkowa tego
pola wektorowego po y jest 
rosnąca lub malejąca, jeśli
po prostu się zmienia, to znaczy, że
przy zwiększaniu y lub przy
zmniejszaniu y, wielkość 
składowej x naszych wektorów...
Tak? Kierunek x naszych 
wektorów zmienia się.
I jeśli wówczas masz różne prędkości
dla różnych poziomów
y. Jak coś porusza się 
w kierunku x, to będzie
się obracać, tak?
Można by spojrzeć na to 
jako na moment obrotowy

English: 
direction that is perpendicular
to our direction
of motion, right?
This fairly simple example,
all of the vectors point
in the x-direction.
But the magnitude of the
vectors increase, they increase
perpendicular, they increase
in the y-dimension, right?
And when this happens, when the
flow is going in the same
direction, but it's going at a
different magnitude, you see
that any object in it
will rotate, right?
So let's think about that.
So if the derivative, the
partial derivative, of this
vector field with respect to y
is increasing or decreasing, if
it's just changing, that means
as we increase in y, or as we
decrease in y, the magnitude of
the x-component of our vectors,
right, the x-direction
of our vectors changes.
And so if you have a different
speed for different levels of
y, as something moves in the
x-direction, it's going
to be rotated, right?
You could almost view it as if
there's a net torque on an

French: 
la direction y qui est perpendiculaire à la direction de déplacement du fluide.
N'est-ce pas?
Dans cet exemple,
tous les vecteurs pointent vers x.
Mais leur norme augmente perpendiculairement à leur direction,
c'est-à-dire selon y, n'est-ce pas?
Et quand cela arrive, quand le flux va dans la même direction
mais avec des intensités, des vitesses différentes,
tout objet pris dans ce flux tourne, non?
Réfléchissons à cela maintenant.
Si la dérivée, la dérivée partielle
de ce champ de vecteurs par rapport à y augmente ou décroît
si elle varie, je veux dire : si j'augmente ou diminue y
la norme du vecteur orienté selon x
sa composante selon x, sa norme change aussi.
Ainsi, si vous avez des vitesses différentes
pour différents niveaux y, si quelque chose se déplace
selon x, ce quelque chose va aussi tourner, non?
On pourrait le voir comme un couple

Estonian: 
suunas, need on risti meie suunas
algatusel, eks?
See on lihtne näidis, vektorite punktid
x-suunas.
Aga vektorite suurus kasv, nad suurendavad
ristsirge, nad suurendavad y-mõõde ,eks?
Ja kui see juhtub, kui vool toimub samas
suunas,aga läheb teises suuruses,siis te näete
et iga objekti pööratakse, eks?
Nii mõtleme sellest.
Nii et kui derivaat, osatuletise käesoleva
vektorväli y suhtes suureneb või väheneb, kui
see lihtsalt vahetab, see tähendab, kui me suurendame y, või me
vähendame y, suurusjärku x-komponent meie vektorid,
paremale, x-suunas vektori muutused.
Ja juhul, kui teil on erinevad kiirused erinevatele tasemele
y, nagu midagi liigub x-suunas, ta
pöörab, eks?
Sa võiks peaaegu seda vaadelda kui seal on pöördemoment

Arabic: 
حركتنا ,صحيح؟
هذا مثال بسيط وجميل,كل نقاط المتجهات
في الاتجاه السيني
ولكن اهمية المتجه تزداد وتزداد
عموديا انها تزداد في البعد الصادي,أليس كذلك؟
وعندما يحصل هذا .عندما يكون التدفق ثابت في نفس
الاتجاه,ولكن قد يختلف في القيمة,انت ترى
أن أي جسم هناك سوف يدور,أليس كذلك؟
لذلك دعنا نفكر حول ذلك
اذا اخذنا المشتقة,,المستقة الجزئية,لهذا
المتجه بالنسبة إلي ص سواء اذا كانت تزداد ام تتناقص,اذا
تغيرت قيمتها ,فهذا يعني اننا اذا كبرنا قيمة ص ,أو إذا
صغرنا قيمة ص ,فإن قيمة المركب السيني في متجهاتنا
صحيح,الاتجاه السيني في متجهاتنا سوف يتغير
لذلك إذا كان عندنا سرعات مختلفة لمستويات مختلفة من
ص,فإذا كان هناك شئ يتحرك في الاتجاه السيني ,سوف يقوم
بالدوران ,صحيح؟
انك تستطيع ان ترى انه إذا كانت هناك شبكة تحيط
بالجسم الموجود في المياه هنا

Estonian: 
objektile, mis asub siin vees.
Lubage mulle joonistada tesist vektorväli
lõppeesmärk oleks, kui ma oleks selles olukorras.
Lubage mulle joonistada teist vektorväli.
Kui mul oleks selline olukord, kui võib-olla siin see on nagu see,
seejärel võib-olla see niimoodi ja pärast see saab tõesti
väikeks, siis võib-olla ta lülitub suunas, siin üleval ja seejärel
vektorväli läheb niimoodi.
Nii te võite kujutada ette, et see läheb vasakule,koos
üsna suure mõõtmega.
Nii, et kui te panete oksake siia, siis te loodetavasti näete
et oksake, mitte ainult see et ta ei nihkunud paremale, kas
see külg läheb vasakule, see külg on
õige, veel on vaja pöörata.
Ning te näete,et on kasulik pöördemoment oksake kohta.
Mis on intuitsioon?
Meile on oluline, kui palju on suurus
vektori muutus, ei oma liikumise suunas,nagu

Arabic: 
وبشكل نهائي دعني ارسم ارسم حقل متجه اخر
الوضع النهائي قد يكون إذا كان عندي هذا الوضع
دعني ارسم متجه أخر
إذا كان عندي هذا الوضع ربما الهبوط هنا يكون مثل هذا
ثم مثل هذا,ثم قد يكون حقيقة
صغير,,وقد يحول اتجاهه,يرتفع هنا,ثم
يسير المتجه هكذا
وهكذا تستطيع ان تتخيل بأنه سوف يسير إلى اليسار,مع
قيمة كبيرة
لذلك سوف نستنتج انك إذا وضعت غصنا هنا فإنك بشكل واضح سوف ترى
بأن الغصن ليس فقط لن يتحرك نحو اليمين
هذا الجانب سوف يتحرك نحو اليسار,هذا الجانب سوف يتحرك نحو
اليمين,لذلك سوف يدور
وسوف ترى دوامة حول الغصن
إذن, اين الحدس هنا؟
برغم كل المفاجآت,نحن نهتم بمقدار
التغير في قيمة المتجه,وليس في إتجاه الحركة,مثل في
المثال السابق,ولكن نحن نهتم كم قيمة

English: 
object that sits in
the water here.
And the ultimate would be, let
me draw another vector field,
the ultimate would be if
I had this situation.
Let me draw another
vector field.
If I had this situation, where
maybe down here it's like this,
then maybe it's like this, and
then maybe it gets really
small, then maybe it switches
directions, up here, and then
the vector field
goes like this.
So you could imagine up here
that's going to the left, with
a fairly large magnitude.
So if you put a twig here, you
would definitely hopefully see
that the twig, not only will it
not be shifted to the right,
this side is going to be moved
to the left, this side is going
to be the right, it's
going to be rotated.
And you'll see that there's
a net torque on the twig.
So what's the intuition there?
All of a sudden, we care about
how much is the magnitude of a
vector changing, not in its
direction of motion, like in

French: 
appliqué sur l'objet flottant dans cette eau.
Un cas extrême serait... Laissez-moi dessiner
un autre champ de vecteurs... Dans cette situation extrême.
Voilà, je dessine un autre champ de vecteurs.
Si j'étais dans cette situation, ou par exemple en bas c'est comme ceci,
alors peut-être ça sera comme ça jusqu'à
ce que la direction s'inverse ici en haut
et alors le champ de vecteur est ainsi.
En haut, le vecteur pointe à gauche
avec une norme assez grande.
Alors, si une brindille se situe ici, vous verrez clairement
non seulement que la brindille ne se déplace plus à droite
car cette partie est poussée à gauche et cette partie
à droite, mais qu'elle va tourner sur elle-même.
On observe un couple sur la brindille.
Alors, quelle intuition avons-nous là?
Nous avons pris conscience de l'importance
de la variation de la norme des vecteurs non pas dans la direction où ils pointent,

German: 
Objekt, das in das Wasser hier sitzt.
Und die ultimative wäre, lassen Sie mich ein weiteres Vektorfeld, zeichnen
die ultimative wäre, hätte ich diese Situation.
Lassen Sie mich ein anderes Vektorfeld ziehen.
Wenn ich diese Situation, wo vielleicht hier unten wie dieser ist es,
dann vielleicht ist es so, und dann wird es vielleicht wirklich
klein, dann vielleicht schaltet es Richtungen, hier, und dann
das Vektorfeld geht so.
So könnten Sie hier vorstellen, die auf der linken Seite, geht mit
eine ziemlich große Helligkeit.
Also wenn Sie einen Zweig hier setzen, würden Sie auf jeden Fall hoffentlich sehen
dass der Zweig, nicht nur wird es nicht nach rechts verschoben werden
Diese Seite soll verschoben werden auf der linken Seite dieser Seite geht
um das Recht zu sein, wird es gedreht werden.
Und Sie werden sehen, dass es ein net Drehmoment auf den Zweig.
Was ist die Intuition gibt?
Plötzlich, wir kümmern uns darüber, wie viel das Ausmaß ist eine
Vektor ändern, nicht in die Richtung der Bewegung, wie in

Portuguese: 
objeto que está aqui na água.
Exemplificando melhor, deixe-me desenhar outro campo vetorial,
melhor seria se eu tivesse a seguinte situação.
Deixe-me desenhar outro campo vetorial.
Se eu tivesse essa situação, onde talvez aqui seja assim,
aqui seja assim, e então pode ficar bem pequeno aqui
e então muda de direção, por aqui e então
o campo vetorial fica assim.
Você poderia pensar, aqui está indo para a esquerda com
uma magnitude consideravelmente grande.
Se colocarmos um graveto aqui, definitivamente veríamos
que o graveto, não só não será deslocado para a direita,
este lado se moverá para a esquerda, este lado vai
se mover para a direita, ele está sendo rotacionado.
E você perceberá que há um torque no graveto.
Então o que é intuição aqui?
De repente, queremos saber qual é a magnitude
de um vetor variando, não em sua direção de movimento, como no

Polish: 
obiektu zanurzonego 
w wodzie w tym miejscu.
I ostatecznie byłoby... Pozwól,
że narysuję inne pole wektorowe,
ostatecznie byłoby... Jeśli 
miałbym taką sytuację...
Pozwól, że narysuję 
osobne pole wektorowe.
Jeśli miałbym taką sytuację, gdzie
może tu na dole coś takiego,
wtedy może coś takiego, i wtedy 
może staje się to naprawdę
małe, wówczas może zmienia
kierunki, tu na górze, i wtedy
pole wektorowe biegnie tak.
Zatem mógłbyś wyobrazić sobie tu, 
na górze, że biegnie ono na lewo,
z dość dużą prędkością.
Więc jeśli położyłbyś tu patyk,
to możliwe, że zobaczylibyście,
że ten patyk nie tylko 
przesunie się w prawo,
ta strona będzie posuwana 
w lewo, a ta strona
w prawo.
Zacznie się obracać.
W takim razie widzisz, że to jest 
moment główny na tym patyku.
Co podpowiada nam intuicja?
Ku zaskoczeniu, patrzymy
na to, jaka jest wielkość
zmiany wektora, nie w jego 
kierunku, jak to było

Portuguese: 
Podemos ver isso como um torque de rede
no objeto sobre a água.
O último seria--deixe-me desenhar
outro campo vetorial--
se eu tivesse essa situação.
Deixe-me desenhar outro campo vetorial.
Talvez aqui embaixo fosse assim.
Aqui assim. Ficando menor.
Ou trocando de direção.
Assim.
Indo pra esquerda.
É uma magnitude bem grande.
Se você colocar um galho aqui, verá que
ele não só não girará pra direita--
este lado irá pra esquerda,
esse pra direita. Ele será rotacionado.
Verá que há uma rede torque no galho.
Qual a intuição aqui?
De repente nos importamos
com quanto é a magnitude
de uma variação do vetor,
não na direção do movimento

Arabic: 
المتجه تغيرت عندما نذهب عموديا على
إتجاه الحركة
لذلك عندما نتعلم الضرب النقطي والضرب الديكارتي
ماذا نتعلم؟
نحن نتعلم الضرب النقطي لمتجهين يخبرنا كم
يتحرك متجهين معا,اما الضرب الديكارتي يخبرنا كيف
ان التعامد,هو نوع من انواع ضرب
المركبات العمودية للمتجه
لذلك من الممكن ان يعطيك هذا فكرة عن الالتفاف
لأنه من الضروري عند أخذ قياسات الاتفاف ان نعرف ماهو تأثير الدوران
واستطيع ان اتوقع انك قد تقول, ما هو التفاف
المتجه عند نقطة معطاة؟
وانت تستطيع ان تتخيل ذلك
انت وضعت الغصن هنا,ماذا حصل للغصن؟
إذا دار الغصن وكان هناك بعض الالتفاف,اذا كانت قيمة
الدوران تكبر فإن الالتفاف يكبر
إذا كان الدوران في اتجاه أخر,فسوف تحصل على
اتجاه سالب في الالتفاف
ومثلما عملنا في الطوق,نحن نهتم
بالاتجاه
للأننا نهتم اذا كانت سوف تتحرك عكس عقارب الساعة أم
مع عقارب الساعة,لهذا سوف نتطلع الىه
كمية المتجه ,صحيح؟
لذلك,,يجب ان نطلق الاحكام

Portuguese: 
exemplo de divergente, mas desejamos saber qual é a magnitude
do vetor variando conforme seguimos na perpendicular à
sua direção de movimento.
Então, como vimos nos produtos escalares e vetoriais,
o que aprendemos?
Nós vimos que o produto escalar de 2 vetores nos diz o quanto
os 2 vetores se movem juntos, enquanto o produto vetorial nos diz o quanto
está na perpendicular, é um tipo de multiplicação
das componentes perpendiculares de um vetor.
Isso deve dar uma pequena ideia do que seja um rotacional.
O rotacional essencialmente mede o efeito rotacional,
você também pode perguntar, qual é o rotacional de um
vetor em um dado ponto?
E você pode visualizar isso.
Basta colocar um graveto aqui, o que acontecerá com o graveto?
Se o graveto rotacionar e há um rotacional, quanto maior
a magnitude da rotação, maior será o rotacional.
Se rotacionar na direção oposta, você terá
a direção negativa do rotacional.
E assim como fizemos com o torque, agora fazemos
com a direção.
Porque queremos saber se está no sentido anti-horário ou
horário, então acabamos com uma
quantificação do vetor, certo?

English: 
the divergence example, but we
care how much is the magnitude
of a vector changing as we go
perpendicular to its
direction of motion.
So when we learned about
dot and cross product,
what did we learn?
We learned that the dot product
of 2 vectors tells you how much
2 vectors move together, and
the cross product tells you how
much the perpendicular, it's
kind of the multiplication
of the perpendicular
components of a vector.
So this might give you a little
intuition of what is the curl.
Because the curl essentially
measures what is the rotational
effect, or I guess you could
say, what is the curl of a
vector field at a given point?
And you can you
can visualize it.
You put a twig there, what
would happen to the twig?
If the twig rotates and there's
some curl, if the magnitude
of the rotation is larger,
then the curl is larger.
If it rotates in the other
direction, you'll have the
negative direction of curl.
And so just like what we did
with torque, we now care
about the direction.
Because we care whether it's
going counterclockwise or
clockwise, so we're going to
end up with a vector
quantity, right?

German: 
Das Beispiel Divergenz, aber uns interessiert wieviel der Betrag ist
eines Vektors ändern, wie wir gehen senkrecht zu seiner
Richtung der Bewegung.
Also, wenn wir über die Punkt- und Kreuzprodukt, gelernt
Was haben wir gelernt?
Wir haben gelernt, dass das Skalarprodukt der Vektoren 2 Ihnen wie viel sagt
2 Vektoren zusammen verschieben, und das Cross-Produkt erfahren Sie, wie
viel der senkrechten, es ist irgendwie der Multiplikation
Komponenten eines Vektors senkrecht.
So könnte dies Ihnen ein wenig Intuition dessen, was die locken.
Da die Rotation im wesentlichen Maßnahmen was die rotatorischen ist
Effekt, oder ich denke, man könnte sagen, was ist die Rotation des einen
Vektorfeld zu einem bestimmten Zeitpunkt?
Und Sie können es visualisieren können.
Stellen Sie einen Zweig gibt, was passieren würde, um den Zweig?
Wenn der Zweig dreht und es einige locken, gibt wenn das Ausmaß
der Drehwinkel ist größer, dann die Rotation größer ist.
Wenn es in die andere Richtung dreht, müssen Sie die
negativer Richtung über Curl.
Und so wie was wir getan mit Drehmoment haben, wir kümmern uns jetzt
über die Richtung.
Denn wir kümmern uns ob es geht gegen den Uhrzeigersinn oder
im Uhrzeigersinn, also wir werden am Ende mit einem Vektor
Menge, richtig?

French: 
comme dans le cas de la divergence, mais de l'importance
d'une variation de la norme dans une direction perpendiculaire
à celle des vecteurs.
Donc quand on étudie le produit scalaire ou vectoriel,
qu'append-t-on?
Le produit scalaire indique à quel point
deux vecteurs pointent dans la même direction et le produit vectoriel
indique à quel point ils sont perpendiculaires, c'est une sorte de
multiplication des composantes perpendiculaires des vecteurs.
Cela devrait donc vous donner une intuition de ce qu'est le rotationnel.
Si le rotationnel mesure l'effet de rotation,
vous pourrier demander : comment définir le rotationnel
d'un champ de vecteur à un point donné?
Vous devriez pouvoir le visualiser.
Si on place une brindille là, que se passe-t-il?
Si elle tourne, il y a un rotationnel, si l'effet de rotation
est plus important, alors le rotationnel est plus grand.
Si ça tourne dans la direction opposé, vous aurez
la direction négative du rotationnel.
Et comme nous l'avions fait avec le couple, on en vient maintenant
à la direction.
Puisqu'il importe de savoir si ça tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre
ou inversement, nous obtiendrons finalement une
quantité vectorielle, non?

Polish: 
na przykładzie dywergencji, 
ale jaka jest wielkość
zmiany wektora kiedy idziemy 
w prostopadłym do niego
kierunku ruchu.
Kiedy uczyliśmy się o iloczynie 
skalarnym i wektorowym,
czego się dowiedzieliśmy?
Dowiedzieliśmy się, że iloczyn skalarny 
dwóch wektorów mówi jak bardzo
dwa wektory razem się przesuwają,
zaś iloczyn wektorowy mówi jak
bardzo prostopadle, 
to jest rodzaj mnożenia
prostopadłych składowych wektora.
Zatem może to dać pewien wgląd 
w to, czym jest rotacja.
Bo rotacja istotnie mierzy jaki jest
efekt wirowania. Albo można też
powiedzieć, jaka jest rotacja
pola wektorowego w danym punkcie.
I możesz to sobie uzmysłowić.
Kładziesz tam patyk, 
co się z nim stanie?
Jeśli patyk obraca się i jest tam 
jakaś rotacja, jeśli szybkość
obracania się jest większa, 
wówczas rotacja jest większa.
Jeśli obraca się w innym 
kierunku, to masz
ujemny kierunek rotacji.
I podobnie jak robiliśmy to z momentem 
obrotowym, teraz zwracamy uwagę
na kierunek.
Ponieważ dbamy czy porusza się 
przeciwnie do wskazówek zegara
czy zgodnie z nimi, 
więc otrzymamy wielkość
wektorową, prawda?

Estonian: 
lahknevuse näide, kuid me hooldada, kui palju on suurus
vektorei muutusi, kui me läheme risti selle
liikumise suunas.
Juhul, kui oleme õppinud punkti ja ristkorrutis,
mida me õpisime?
Oleme õppinud, et punkt toote 2 vektorite ütleb kui palju
2 vektorit liiguvad koos ja risti toote ütleb meile kuidas
palju ristisirge on, see on selline korrutamine
ristisirge vektori osade
Nii see võiks sulle anda veidi intuitsiooni, mis on rootor.
Sest rootori mõõtmed , mis on ka pöörlemise
effekt või ma arvan, te võite öelda, mis on rootor,
vektorväli konkreetses punktis?
Ja te võite vaadata seda.
Te panete oksakesinna , mis juhtub selle oksaka?
Kui see oksake pöörab ja on mõned rootorid, kui
pöörangu suurus on suurem, siis on rootor on suurem.
Kui ta pöörab teises suunas, siis
tootor liikub negatiivse suunda
Ja nii nagu mida me tegime pöördmomendi kasutamisega, nüüd me teeme
kasutaja suunas
Sest me vaatame kas ta läheb vastupäeva või
päripäeva, nii et me lõpetame vektori
kogus,eks?

Portuguese: 
como no exemplo da divergência,
mas perpendicularmente ao movimento.
O que aprendemos sobre produto escalar
e vetorial?
O escalar nos diz quão junto
vão os vetores.
E o vetorial é como se fosse
a multiplicação
das componentes perpendiculares do vetor.
Isso pode te dar uma intuição
do que é o rotacional.
Ele mede qual a rotação
de um campo vetorial num ponto qualquer.
Você pode visualizar.
Colocando um galho lá
o que acontece a ele?
Se o galho gira e há alguma ondulação,
quanto maior for a magnitude da rotação
maior será a ondulação.
Se girar na direção contrária,
a ondulação será negativa.
Como fizemos com o torque,
agora nos importamos com a direção.
Se gira no sentido horário ou não,
pois acabaremos com uma quantidade
de vetores, certo?

English: 
So, and all of this should
hopefully start fitting
together at this point.
We've been dealing
with this Dell
vector or this, you know, we
could call this abusive
notation, but it kind of is
intuitive, although it really
doesn't have any meaning when
I describe it like this.
You can kind of write it as a
vector operator, and then it
has a little bit more meeting.
But this Dell
operator, we use it
a bunch of times.
You know, if the partial
derivative of something in the
i-direction, plus the partial
derivative, something with
respect to y in the
j-direction, plus the partial
derivative, well, this is if we
do it in three dimensions
with respect to z
in the k-direction.
When we applied it to just a
scalar or vector field, you
know, like a three-dimensional
function, we just multiplied
this times that scalar
function, we got the gradient.

Portuguese: 
Então, a essa altura as peças devem
estar se encaixando.
Estivemos usando esse Nabla,
esse vetor, tipo, poderíamos abusar da notação,
mas é meio intuitivo, na verdade
não tem um sentido quando descrevo assim.
Você pode escrevê-lo como um operador vetorial, então
assim passa a fazer mais sentido.
Mas esse operador
Nabla, usamos algumas vezes.
Tipo, se a derivada parcial de alguma coisa
na direção i, mais a derivada parcial, algo com
relação a y na direção j, mais a derivada
parcial, bem, isto se fizermos nas 3 dimensões
com relação a z na direção k.
Quando aplicamos isso a um escalar ou um campo vetorial,
como uma função tridimensional, nós apenas multiplicamos
isso por uma função escalar, nós obtemos o gradiente.

Polish: 
Tak, miejmy nadzieję, że to 
wszystko zacznie do siebie
pasować w tym momencie.
Mamy do czynienia z wektorem
nabla albo z tym... No wiesz, 
moglibyśmy nazwać to nadużyciem
notacji, ale to niby intuicyjne, 
chociaż tak naprawdę
nie ma żadnego znaczenia, 
kiedy piszę w ten sposób.
Niby można zapisać to jako 
operator wektorowy i wtedy
Ale ten operator nabla,
używamy go kilka razy.
Wiesz, jeśli pochodna 
cząstkowa czegoś
w i-tym kierunku plus 
pochodna cząstkowa czegoś
po y w j-tym kierunku 
plus pochodna
cząstkowa... Tak jest jeśli 
robimy to w trzech wymiarach.
... po z w k-tym kierunku.
Kiedy zastosowaliśmy to przy 
polu skalarnym albo wektorowym,
wiesz, przy trójwymiarowej funkcji, 
to po prostu mnożyliśmy
to razy ta funkcja skalarna, 
dostaliśmy gradient.

Arabic: 
معا عتد هذه النقطة
يجب ان نتعاطى مع هذا الواد
المتجه أوكما تعلم ,اننا نستطيع ان نسمي هذه مشكلة
بالرموز,ولكنه نوع من التخمين والحدس,كذلك
تصبح بلا معنى إذا وصفتها هكذا
لك الحق في كتابتها كعامل للمتجه,وهكذا يصبح
له القليل من الاجتماع
ولكن عامل هذا الواد
نحن نستخدم حزمة من الازمان
انت تعرف واذا كانت المشتقة الجزئية لشئ في
الاتجاه ع,بالاضافة الى المشتقة الجزئية ,شئ مع
بالنسبة إلى ص في الاتجاه ج,بالاضافة إلى
المشتقة الجزئية,حسنا,هذا ان عملنا في ثلاثة ابعاد
هذا بالنسبة ال زفي الاتجاه ك
عندما نطبقه

French: 
Bon, tout devrait normalement commencer
à faire sens maintenant.
Nous avons eu à faire à ce vecteur "nabla"

German: 
Also, und all dies sollte hoffentlich starten, passend
zusammen an diesem Punkt.
Wir haben mit diesem Dell beschäftigt
Vektor oder dies, Sie wissen, wir nennen dies könnte beleidigend
Schreibweise, aber es ist ziemlich intuitiv, obwohl es wirklich
nicht haben irgendeine Bedeutung, wenn ich es wie folgt beschreiben.
Sie können Art der es als ein Vektor-Operator, und dann schreiben.
hat ein bisschen mehr treffen.
Aber diese Dell
Operator, verwenden wir es ein Bündel Zeiten.
Sie wissen, wenn die partielle Ableitung von etwas, das
i-Richtung sowie die partielle Ableitung, etwas mit
in Bezug auf y in der j-Richtung sowie die teilweise
Derivative, ist gut, wenn wir es, in drei Dimensionen tun
Zusammenhang mit z in der k-Leitung.
Wenn wir es auf nur einen Skalar oder Vektorfeld angewendet Sie
wissen Sie, wie eine dreidimensionale Funktion, wir nur multipliziert
Dieses Mal die Skalarfunktion, haben wir den Farbverlauf.

Portuguese: 
Espero que as coisas estejam
fazendo sentido até aqui.
Temos lidado com esse vetor Dell.
É um abuso de notação, apesar de ser
intuitivo.
Não tem muito sentido escrevendo assim.
Podemos reescrever como um operador
vetorial, assim faz mais sentido.
Mas usamos esse operador Dell
em muitas oportunidades.
É a derivada parcial de alguma coisa.
Direção i mais a derivada parcial
de alguma coisa em relação a y
na direção j
mais a derivada parcial--isso se fizermos
em três dimensões--
em relação a z na direção k.
Quando aplicávamos a um escalar
ou um campo vetorial--
uma função tridimensional, apenas
multiplicamos isso pela função escalar
e obtemos o gradiente.

Estonian: 
Nii siis, kõik see peab nüüd loodetavasti paigaldama
koos selles puncties.
Me tegime koos Delliga
vektor-või see, tead, me nimetaksime seda kuritahtlik
märk, kuid on liiki intuitiivsemad, kuigi tõesti
pole mingit tähendust, kui ma kirjeldan niimoodi.
Võid omamoodi kirjutada seda vektor operaatorina ja siis tal
on natuke rohkem koosolekut
Kuid see Dell
tehtemärk, me kasutame seda kamp
Sa tead, kui osaline derivaat millestki on
i-suunas, pluss osaline derivaat, midagi koos
Seoses y y-suunas, pluss osaline
derivaay, hästi, see on kui me teeme kolm mõõdet
seoses z k-suunas.
Kui me seda lihtsalt rakendame skalaar või vektorväljas, te
teate, kolmemõõtmelise funktsioonile, me lihtsalt korrutame
seda skalaar funktiooni,we saame gradient

Portuguese: 
Quando fazemos o produto escalar
disso com um campo vetorial
obtemos a divergência do campo.
Isso deve ser intuitivo pra você aqui.
Quando comparamos o produto escalar
com o vetorial,
o escalar é o quão junto se movem
dois vetores.
Ao calcular o produto escalar
desse operador Dell com o campo vetorial,
isso nos dirá o quanto esse campo
vetorial está variando.
Qualquer derivada, parcial ou não,
é uma taxa de variação.
Derivada parcial em relação a x
é a variação na direção x.
Calcular o produto escalar nos diz
o quanto a taxa de variação aumenta
na direção do meu movimento.
Quanto a taxa de variação em relação a y
aumenta na direção de y.
Faz sentido nos ajudar com divergência.

Estonian: 
Kui me võtsime sellest skalaarkorrutist vektorväljaga, me
saime vektorvälja hajuvuse.
Ja see peaks olema natuke intuitiivne
teile, sel hetkel.
Võib olla te tahate vaadat meie algseid videot
kus me võrdleme punkt toodet risti toodele
Sest see punkt toode oli,kui palju teevad 2
vektorid liiguvad koos?
Nii kui te võtate seda Dell operaatorid ja ......
vektori väli, kui palju on vektor
välja muutuv väli, eks?
Kõik tuletised on osalise tuletisinstrumendi või on tavalised
tuletisinstrumendid, lihtsalt kiiruse muutumiseks.
Osaline tuletise x muutus
x-suunas.
Kui te võtate punkt toode
kui palju on minu muutuse kasvamine minu
sõidusuunas?
Kui palju on minu muutus y-suunas kasvamise
y-suunas?
Ja nii on loogiline, et see aitab meil lahknemisega.
Kui see on vektor, ja kui me suurendame

Polish: 
Kiedy wzięliśmy iloczyn skalarny 
tego z polem wektorowym,
to dostaliśmy dywergencję 
tego pola.
W tym momencie powinno to być
dla Ciebie trochę intuicyjne.
Ponieważ kiedy... Możesz 
przejrzeć nasze nagranie,
w którym porównywaliśmy iloczyn 
skalarny do iloczynu wektorowego.
Ponieważ przy iloczynie skalarnym 
było: jak bardzo dwa
wektory pokrywają się?
Więc biorąc operator nabla 
i mnożąc go przez
pole wektorowe, wyrażamy 
jak bardzo to pole
wektorowe się zmienia, tak?
Wszystkie pochodne są... 
Pochodna cząstkowa lub normalna
pochodna, są one wskaźnikiem zmian.
Pochodna cząstkowa po x 
mierzy tempo zmian
w kierunku x.
Więc wszystko co mówisz, kiedy 
bierzesz iloczyn skalarny, to:
jak moje bardzo tempo 
zmian wzrasta w moim
kierunku poruszania się?
O ile moje tempo zmian 
w kierunku y wzrasta
w kierunku y?
Tak więc, to ma sens, że pomaga 
nam przy dywergencji,
bo, jak pamiętasz, jeśli to jest wektor, 
a następnie zwiększamy

English: 
When we took the dot product of
this with a vector field, we
got the divergence of
the vector field.
And this should be a
little bit intuitive
to you, at this point.
Because when we, you might want
to review our original videos
where we compared the dot
product to the cross product.
Because the dot product
was, how much do two
vectors move together?
So when you're taking this Dell
operator and dotting it with a
vector field, you're saying,
how much is the vector
field changing, right?
All a derivative is, a partial
derivative or a normal
derivative, it's just
a rate of change.
Partial derivative with respect
to x is rate of change
in the x-direction.
So all you're saying is, when
you're taking a dot product,
how much is my rate of
change increasing in my
direction of movement?
How much is my rate of change
in the y-direction increasing
in the y-direction?
And so it makes sense that it
helps us with divergence.
Because remember, if this is a
vector, and then as we increase

Portuguese: 
Quando pegamos o produto vetorial disso com um campo vetorial,
nós obtemos o divergente do campo vetorial.
e isso deveria ser um pouco intuitivo
par você a essa altura.
Porque quando nós, você deve rever nossos vídeos originais
onde comparamos o produto escalar com o produto vetorial.
Porque o produto escalar representa o quanto
2 vetores se movem juntos.
Então quando você está usando este operador Nabla e multiplicando
por um campo vetorial, você está obtendo o quanto o
campo vetorial está variando, certo?
Uma derivada é, uma derivada parcial ou
derivada normal, é apenas uma taxa de variação.
Derivada parcial com relação a x é a taxa de variação
na direção x.
Resumindo, quando você faz um produto escalar, você está perguntando,
quanto a minha taxa de variação está incrementando
em minha direção de movimento?
Quanto minha taxa de variação na direção y está incrementando
na direção y?
E faz sentido que isso nos ajude com o divergente.
Porque lembre-se, se isso é um vetor, e conforme incrementamos

German: 
Wenn wir das Skalarprodukt dieser mit einem Vektorfeld, nahmen wir
bekam die Divergenz des Vektorfeldes.
Und dies sollte ein wenig intuitiv
Ihnen an dieser Stelle.
Denn wenn wir, vielleicht möchten Sie unsere original Videos überprüfen
wo wir das Skalarprodukt, das Cross-Produkt im Vergleich.
Da das Skalarprodukt war, wie viel sind zwei
bewegen Vektoren zusammen?
Also, wenn du diese Dell nimmst-Operator und Punktierung mit einem
Vektorfeld, du sagst, wieviel ist des Vektors
Feld ändern, nicht wahr?
Ein Derivat ist, eine partielle Ableitung oder eine normale
Derivative, ist es nur eine Veränderungsrate.
Partielle Ableitung nach x ist Änderungsrate
in X-Richtung.
Also alles, was du sagst, ist, wenn Sie ein Skalarprodukt nimmst,
wie viel ist meine Rate ändern zu erhöhen, meinem
Richtung der Bewegung?
Wie viel ist mein Änderungsrate in der Erhöhung der y-Richtung
in y-Richtung?
Und so es Sinn macht, dass es uns, mit Divergenz hilft.
Denn denken Sie daran, ist dies ein Vektor, und dann als wir erhöhen

Portuguese: 
isso na direção x, o vetor aumenta, pegamos um
pequeno ponto, e dizemos, olha, nesse ponto, nós vamos
ter mais saindo do que entrando, assim nós temos
um divergente positivo.
Mas isso faz sentido também, porque se você seguir na
direção x, a magnitude do vetor aumenta.
De qualquer forma, não quero complicar muito.
Agora por intuição, porque nós não nos importamos com
a taxa de variação na direção do vetor.
Estamos interessados na taxa de variação da magnitude
do vetor perpendicular à direção do vetor.
Então o rotacional, você deve supor, é igual ao produto vetorial
de nosso operador Nabla com o campo vetorial.
E se isso foi onde sua intuição o levou,
e se esse é seu palpite, você está correto.
Esse é o rotacional de um campo vetorial.
E isso é a medida de quanto o campo está rotacionando
ou talvez, se imaginar um objeto nesse campo, quanto de

Portuguese: 
Se temos um vetor e ao aumentarmos
na direção x, o vetor aumenta.
Se olharmos em um ponto específico
e tivermos mais saída que entrada
temos uma divergência positiva.
Isso faz sentido também pois na direção x
a magnitude do vetor aumenta.
Enfim, não quero confundi-lo.
Agora não nos importamos com
a taxa de variação na direção do vetor.
E sim com a taxa de variação de magnitudes
perpendiculares à direção do vetor.
O rotacional é igual ao produto vetorial
do operador Dell com o campo vetorial.
Se essa era sua intuição
você estava certo.
Esse é o rotacional do campo vetorial.
Ele mede o quanto o campo está girando,
ou imaginando um objeto no campo,

German: 
Diese Vektoren in der X-Richtung, zu erhöhen, haben wir eine
wenig Sinn, und wir sagte, Ach, an dieser Stelle wir gehen zu
haben mehr verlassen als betreten, so dass wir eine
positive Divergenz.
Aber, dass, auch, weil Sinn, wie Sie in gehen die
X-Richtung, erhöhen die Größenordnungen der Vektoren.
Wie auch immer, ich will nicht, Sie zu verwirren, zu viel.
So jetzt, die Intuition, da jetzt nicht wir uns um kümmern die
Änderungsrate zusammen mit der Richtung des Vektors.
Wir kümmern uns um die Änderungsrate der Größenordnung der
die Vektoren senkrecht die Richtung des Vektors.
Also die Curl, Sie sich vorstellen könnten, entspricht das Cross-Produkt
Unser Dell-Operator und dem Vektorfeld.
Und wenn das war Ihre Intuition geleitet Sie, und dass
ist, was Ihre Vermutung ist, Sie wäre korrekt.
Das ist die Rotation des Vektorfeldes.
Und es ist ein Maß wie viel ist dieses Feld drehen, oder
vielleicht wenn Sie ein Objekt im Feld vorstellen, wie viel ist die

Estonian: 
seda x-suunas, vektorid suurendavad,
sel hetkel me kavatseme
rohkem lahkumise kui sisenemisel, nii et meil on
positiivne erinevused.
Aga see tundub,et kui sa lähed
x-suunas, suurus suurundab vektorid.
Igatahes, ma ei taha viia teid segadusse.
Nüüdseks, intuitsioon, sest nüüd me ei hooli nende
koos vektori suuna muutmise määra.
Me hoolime kiiruse muutmise suurust
vektorite ristsirge vektori suunas.
Nii et rootor, võib-olla võrdne toote risti
meie Dell operaatoriga ja vektori väli.
Ja kui see oli teie intuitsioon tulemusena ning see
oli see mida te arvasite, siis teil on õige.
See on vektorvälja rootor.
Ja see on selle välja pöörlemise määr või
võib-olla kui suudate ette kujutada objekti väljas,

English: 
this in the x-direction, the
vectors increase, we took a
little point, and we said, oh,
at this point we're going to
have more leaving than
entering, so we have a
positive divergence.
But that makes sense, also,
because as you go in the
x-direction, the magnitudes
of the vectors increase.
Anyway, I don't want to
confuse you too much.
So now, the intuition, because
now we don't care about the
rate of change along with the
direction of the vector.
We care about the rate of
change of the magnitudes of
the vectors perpendicular
the direction of the vector.
So the curl, you might guess,
is equal to the cross product
of our Dell operator
and the vector field.
And if that was where your
intuition led you, and that
is what your guess is,
you would be correct.
That is the curl of
the vector field.
And it is a measure of how much
is that field rotating, or
maybe if you imagine an object
in the field, how much is the

Polish: 
go w kierunku x, wektory 
wydłużają się. Wzięliśmy
mały punkcik i powiedzieliśmy: 
o, w tym punkcie będzie
więcej wychodziło niż 
wchodziło, zatem mamy
dodatnią dywergencję.
Ale ma to sens także dlatego, 
że gdy idziesz
w kierunku x, długości 
wektorów rosną.
W każdym razie nie chcę 
Ci zbytnio poplątać.
Więc teraz, zdrowy rozsądek, ponieważ 
nie przejmujemy się teraz
tempem zmian wraz z kierunkiem wektora.
Interesuje nas tempo zmiany wielkości
wektorów prostopadłych do 
kierunku naszego wektora.
Czyli rotacja, jak można się domyślić, 
jest równa iloczynowi wektorowemu
naszego operatora nabla 
i pola wektorowego.
A jeśli tak podpowiadała 
Ci intuicja, jeśli
tak przypuszczałeś, 
to miałeś rację.
To jest rotacja pola wektorowego.
I jest to miara tego, jak bardzo 
to pole obraca się, bądź też
jeśli wyobrazisz sobie przedmiot 
w tym polu, jak bardzo

English: 
field causing something
to rotate because it's
exerting a net torque?
Because at different points
in the object, you have a
different magnitude of a
field in the same direction.
Anyway, I don't want to
confuse you too much.
Hopefully that example I
just showed you will make
a little bit of sense.
Anyway, I realize I've
already pushed 9 minutes.
In the next video, I'll
actually compute curl, and
maybe we'll try to draw
a couple more to hit
the intuition home.
See you in the next video.

German: 
Feld verursacht etwas zu drehen, weil es hat
ausüben ein net Drehmoment?
Da an verschiedenen Punkten im Objekt, Sie haben eine
unterschiedliche Helligkeit eines Feldes in die gleiche Richtung.
Wie auch immer, ich will nicht, Sie zu verwirren, zu viel.
Hoffentlich wird das Beispiel, das ich gerade Sie zeigte machen
ein wenig Sinn.
Wie auch immer, erkenne ich, dass ich bereits 9 Minuten gedrückt haben.
In dem nächsten Video, werde ich tatsächlich berechnen, Rotation, und
Vielleicht werden wir versuchen, ein paar mehr zu treffen ziehen
die Intuition Zuhause.
Sehen Sie in der nächsten Video.

Portuguese: 
o quanto o campo causa a rotação
por exercer torque de rede.
Em diferentes pontos do objeto,
tem-se diferentes magnitudes do campo
na mesma direção.
Enfim, não quero confundi-lo.
Espero que o exemplo tenha sido claro.
Agora que vi que já passei
de nove minutos.
No próximo vídeo vou calcular o rotacional
e talvez farei mais desenhos pra ajudar
sua intuição.
Até lá.
[legendado por: Vitor Tocci]

Chinese: 
也许我们会试着画一对夫妇更打
回家的直觉
看到你在未来的视频

Estonian: 
kuidas väli paneb midagi pöörlema,
sest ta tekitab pöördemomenti?
Sest keha erinevates punktides on
erineva suurusega ühesuunaline väljatugevus
Igatahes, ma ei taha teid viia segadusse.
Loodetavasti see näide, mille ma teile just tõin,
lõi teie peas uusi seoseid.
Igatahes, ma olen juba ületanud 9 minuti piiri.
Järgmises videos me arvutame ja
äkki teha veel paar joonistusi
kodu intuitsiooni.
Kohtumiseni järgmises videos.

Polish: 
nasze pole powoduje, 
że coś obróci się,
wywierając moment obrotowy?
Ponieważ w różnych punktach 
przedmiotu, masz
różną wielkość pola 
w tym samym kierunku.
Tak czy owak, nie chcę 
za bardzo namieszać.
Mam nadzieję, że przykład, 
który właśnie pokazałem
ma trochę sensu.
Zresztą zdałem sobie sprawę, że 
przekroczyłem już dziewięć minut.
W kolejnym nagraniu policzę 
rotację jak należy
i może spróbujemy narysować 
trochę więcej, by dotrzeć
do sedna zrozumienia.
Do zobaczenia w następnym nagraniu!

Portuguese: 
rotação o campo está causando nesse objeto
com imposição de torque?
Porque em diferentes pontos do objeto, você tem
diferentes magnitudes de campo na mesma direção.
OK, não quero complicar demais.
Espero que esse exemplo que mostrei a você,
faça um pouco de sentido.
De qualquer forma, percebi que levei 9 minutos.
No próximo vídeo, vou na verdade calcular o rotacional
e talvez tentar desenhar um pouco mais para
fixar mais o conceito.
Até o próximo vídeo.
