
Korean: 
저는 오늘 여기서 수리철학을 
개략적으로 소개하고자 합니다.
그리고 저는 여러분이 철학이나 수학에 대해 
잘 알고 있다고 가정하지 않겠습니다.
그래서 몇몇 분들에게는 
다소 기초적인 이야기가 될지도 모르겠습니다.
제가 처음으로 말씀드리고 싶은 것은 
수학과 철학이 보통 사람들의 생각처럼
완전히 따로 떨어져 있는 것이 아니라 
실제로는 매우 가깝다는 것입니다.
그리고 많은 위대한 철학자들은 
위대한 수학자이기도 합니다.
저는 이것이 우연이 아니라고 생각합니다.
그리고 몇몇 측면에서 두 학문 사이에 
밀접한 연관이 있다고 생각합니다.
가장 뚜렷한 특징은 두 학문 모두 
매우 추상적인 수준의 사고를 요구한다는 것이겠죠.
저는 오늘 강의에서 둘 사이에 
훨씬 더 많은 연관이 있다는 것을 말씀드리고자 합니다.

English: 
I'm going to talk about, give a general
introduction to, the philosophy of mathematics.
And I'm not going to assume
any knowledge at all of either
philosophy or mathematics. So I'm sorry
if it seems a bit basic to some of you.
Okay. I mean, the first thing to say, I
think, is that mathematics and philosophy
which I think most people tend to think
are poles apart, are actually closer than
you might think. And a lot of the great
philosophers have also been great
mathematicians. And I think that's not
an accident. I think there's a close affinity
actually between the two subjects in
several respects, the most noticeable
perhaps is that both require and
demand thinking on a very abstract level.
But as I hope to show today, there's a lot
more to the relationship between the two
than that, and in particular, that
mathematics has furnished philosophy

English: 
both with a model of a certain kind of
knowledge and with a set of deep and
interesting philosophical problems.
But the two go together.
Plato knew this. It's said that at 
the opening of Plato's, at the gate of
Plato's Academy, it said: "let no one
into here who knows no geometry."
Interesting, I think, that it's
geometry rather than arithmetic.
And there's a story there which I'm
going to tell which is to do with the fact
that the ancient Greeks regarded
geometry rather than arithmetic as
the more foundational, the superior
branch of mathematics. And one of the
main reasons for that was the unhappy
story of Pythagoras. Most of you I think will
know the name Pythagoras from his
famous theorem which we all learned at school

Korean: 
특히, 수학이 철학에 
특정한 종류의 지식에 대한 모범을 제공했으며
깊고 흥미로운 철학적 문제들을 
제기했다는 것을 말씀드리겠습니다.
플라톤은 수학과 철학이 함께 한다는 것을 알았습니다.
플라톤 학당의 입구에는 다음과 같은 
문구가 있었다고 언급되곤 합니다.
"기하학을 모르는 자, 이 문으로 들어오지 말라"
저는 여기서 산술이 아니라 기하학이 
언급된 점이 흥미롭다고 생각합니다.
그리고 제가 한 가지 이야기를 들려드릴 것인데,
고대 그리스 인들이 기하학을 산술보다
더 근본적이고 우월한 수학의 분야라고 
생각했다는 것입니다.
피타고라스의 안타까운 이야기는 
그 주된 이유 중 하나입니다.
여러분은 학교에서 배운 유명한 정리를 통해 
그의 이름을 들어보셨을 겁니다.

English: 
which says that the square on
the hypotenuse of a right angle triangle
is equal to the sum of the
squares on the other two sides.
Well, that very theorem presented a
problem to Pythagoras and his followers.
I don't know whether many of you know this
but Pythagoras was a sort of cult figure in
ancient Greece, and he had a band
of followers who were dedicated to
the mysticism of numbers.
It was one of their precepts that
everything in the world could be
expressed as number, and in particular,
as the ratio between two whole numbers.
Well now, if you go back
to Pythagoras's theorem,
it's a consequence of that theorem
actually that that belief is unsustainable.
And the reason for that is
that reflecting upon that theorem
leads you straight into what are called
irrational numbers, numbers that cannot be
expressed as the ratio between two
whole numbers. To see this, imagine a

Korean: 
그 내용은 직각 삼각형의 빗변의 길이의 제곱이
나머지 변들의 제곱의 합과 같다는 것입니다.
바로 이 정리는 피타고라스와 
그의 추종자들에게 문제가 되었습니다.
여러분이 알고계셨을지 모르겠지만, 
피타고라스는 고대 그리스에서 
컬트 집단을 이끄는 인물이었습니다.
그와 그를 따르는 추종자들은 
수의 신비로움에 헌신했습니다.
그들은 세계에 있는 
어떤 것이라도 수로 표현될 수 있다고
특히, 두 자연수의 비율로 
표현될 수 있다고 믿었습니다.
다시 피타고라스 정리로 되돌아가보죠
이 정리는 앞서 말한 믿음이 유지될 수 없다고 말합니다.
그 이유는 정리를 잘 살펴보면 드러나는데,
정리가 곧바로 우리가 무리수라 부르는 수
즉, 두 자연수의 비로 표현되지 않는 수와 
이어지기 때문입니다.

English: 
right angle triangle with length 1 here
and length 1 here. So you've got a square
on here of 1, a square on here of 1. 
The square on the hypotenuse therefore
is going to be the square root of 2.
And Pythagoras discovered to his horror
that the square root of 2 cannot be
expressed as a ratio of two numbers.
It's not a rational number.
Pythagoras was so horrified by this he
swore his followers to secrecy about it.
They weren't allowed to mention
the irrationality of the square root of 2.
But it did undermine the faith in
numbers as the foundational view of
mathematics. And that's why geometry is
regarded as superior because in geometry
you can express the hypotenuse,
you can draw it. But in numbers,
you can't express it as a ratio. Okay. So,
mathematics and philosophy have always
gone hand-in-hand. I said one reason
for that is that mathematics provides

Korean: 
이를 살펴보기 위해 직각을 이루는 
두 변의 길이가 각각 1인 직각 삼각형을 생각해 봅시다.
그러면 빗변의 길이는 √2가 되겠죠.
피타고라스는 √2가 두 수의 비로 표현될 수
 없다는 것을 깨닫고 경악했습니다.
√2는 유리수가 아닙니다. 
(유리수: rational number, 합리적인 수)
피타고라스는 공포에 질린 나머지 그의 추종자들에게 
이에 대해 함구할 것을 맹세토록 했습니다.
추종자들은 √2의 비합리성(무리수성)에 대해 
언급할 수 없었습니다.
그러나 이러한 사실은 수학의 기초를 이루는 
수에 대한 신념을 약화시켰습니다.
그리고 이것이 기하학이 우월하게 여겼졌던 이유인데,
기하학에서는 빗변을 그려서 표현할 수 있기 때문입니다. 그러나 수와 비율로는 이를 표현할 수 없습니다.
좋습니다. 이처럼 수학과 철학은 항상 함께합니다.

Korean: 
방금 수학이 지식의 모범을 제시했다는 
한 가지 근거를 말씀드렸습니다.
수학은 특정한 종류의 지식의 모범을 제공합니다.
다시 말해, 고대 그리스 이래로 2천년 동안 철학자들은
수학적 지식을 다소 특별한, 그리고 다른 모든 지식이 
지향할 수 있는 것으로 여겨왔습니다.
무엇이 수학적 지식을 특별한 것으로 만드는 걸까요?
글쎄요, 여러가지가 있겠습니다만 그 첫 번째는
다른 지식들과 달리 수학적 지식은 확실하다는 겁니다.
만약 어떤 것이 수학에 의해 참이고 
당신이 그것을 알고 있다면, 
당신은 그것을 의심하지 않을 것입니다.
당신이 이렇게 말할리는 없죠. 
"음, 나는 2 + 3 = 5가 꽤나 확실하다고 생각합니다."
당신은 2 + 3이 5라는 것을 
절대적으로 확실하게 알기 때문이죠.
이것이 첫번째 특징입니다. 두번째 특징은 수학의 지식이 수정될 것 같지는 않다는 것입니다.
다시 말해,  우리가 (수학) 이후에 배운 어떤 것도 
수학적 지식을 바꾸지는 않을 것이란 겁니다.

English: 
a model of knowledge. It provides a
model of knowledge of a particular kind.
That's to say, philosophers since the
ancient Greeks, for over 2,000 years,
have regarded mathematical knowledge as
somehow special and something to which
all knowledge could possibly aspire. What
makes mathematical knowledge special?
Well, several things. One is,
unlike other knowledge, it's certain.
If something is true in mathematics and
if you know it, you're not going to doubt it.
You're not going to say, "well, I'm fairly sure
that 2 + 3 = 5",
you know that 2 + 3 = 5
with absolute certainty.
That's the first thing. The second thing is
that knowledge in mathematics seems to be
incorrigible, that's to say, it's not
going to be corrected by anything

English: 
you might subsequently learn. 2 + 3 = 5
now, 2 + 3 = 5 two thousand years ago,
and you might say, even if
there weren't any people on earth,
it would still be the case that if 2 apples
fell to the ground and 3 more apples fell
to the ground, then you would have
5 apples on the ground altogether.
So mathematical knowledge is certain,
it's incorrigible. Another thing is, that's
related to its incorrigibility, it's eternal.
It's always true. If something is
true in mathematics, it's not true
for the time being. It's always true and
always has been true. And a fourth thing
about mathematical knowledge is that it
seems that mathematical truths seem to be
not just contingently true,
but necessarily true.
Southampton happens to be on the coast
of England. But that's not a necessary truth,
it doesn't have to be.
I happen to be wearing black trousers.
But again, that's not necessary.

Korean: 
2 + 3 는 지금 5이며 이는 2천년 전에도 그러했습니다.
이렇게 말할수 있을지도 모르겠습니다. 
만약 지구에 사람이 아무도 없어도,
사과 2개가 땅으로 떨어지고 사과 3개가 더 떨어진다면
땅에는 모두 5개의 사과가 있다는 것은 
사실이라고 말이죠.
이처럼 수학적 지식은 확실하며 수정되지 않습니다.
또 다른 특징은, 이는 수정되지 않는다는 특징과 
관련된 것인데,  영원하다는 것입니다.
수학적 지식은 언제나 참입니다. 
어떤 것이 수학에 의해 참이라면,  
이는 시간에 대한 것은 아닙니다.
수학적 지식은 언제나 참이며 언제나 참이어왔습니다.
네번째 특징은 수학적 참이 단지 우연적으로 참인 것이 
아니라 필연적으로 참인 것처럼 보인다는 것입니다.
사우스햄튼은 잉글랜드의 해안에 있는데, 
이는 필연적 참은 아닙니다.
사우스햄튼이 해안에 있을 필요가 있는 것은 아닙니다.
저는 검은 바지를 입고 있게 되었는데 
마찬가지로 이것도 필연적이지는 않습니다.

English: 
But 2 + 3 could not equal anything
but 5, it's necessarily equal to 5.
So, philosophers have looked at this example
of mathematical knowledge and they've
thought two things, one is: How is it that
knowledge in mathematics has those
characteristics? What is it about
mathematics that gives its knowledge
those characteristics? And the
second thing that's occurred to several
philosophers including Plato, Hobbes,
Russell was: Why can't other kinds of
knowledge be like that? 
Maybe we could have
a system of physics, for example, 
that made our knowledge of physics as
incorrigible, eternal, certain & so on
as our knowledge of mathematics.
So, mathematics has provided a
model of knowledge. On the other hand,

Korean: 
그러나 2 + 3은 5가 아닌 
다른 어떤 것과도 같았을 수 없습니다. 
2 + 3은 5와 필연적으로 같습니다.
그래서 철학자들은 
이와 같은 수학적 지식의 예를 살펴본 후
 다음의 두 질문을 제기했습니다.
첫 번째, 어떻게 수학의 지식들은 
그러한 특징들을 가지게 되는가?
이러한 특징을 가지는 지식을 제공하는 
수학이라는 학문은 무엇에 대한 것인가?
두 번째 질문은 플라톤, 홉스, 러셀과 같은 
철학자들에 의해 제시되었습니다.
왜 다른 종류의 지식은 수학적 지식처럼 될 수 없는가?
어쩌면 우리는, 예를 들면 
물리학 지식을 수학의 지식처럼
수정불가능하고 영원하며 확실한 지식으로 만들어줄 
물리학 체계를 가질 수도 있을지도 모른다.
이처럼 수학은 지식의 모범을 제시해왔습니다.
한편 수학은 본질적으로 우리를 당혹스럽게 합니다.

Korean: 
수학은 철학자들에게 2천년 넘게 
머리를 긁적거릴 퍼즐들을 던져왔습니다.
그중 가장 중심적이고 기본이 되는 
질문은 다음과 같습니다.
수학은 무엇에 대한 것인가? 
당신이 2 + 3 = 5를 안다고 할 때, 
당신은 이것을 확실히 안다.
그런데 당신이 무언가에 대해 안다고 할 때, 
그 앎의 대상은 무엇인가?
앞서 말씀드렸듯이, 
3개의 사과에 2개의 사과를 더하면 5개의 사과가 되며
레몬 3개에 레몬 2개를 더하면 5개의 레몬이 됩니다.
그러나 2 + 3 = 5는 사과나 레몬에 대한 것이 아닙니다.
사과나 레몬에 적용되기는 하지만 
사과나 레몬에 대한 것은 아닙니다.
그렇다면 무엇에 대한 것인가? 
아마도 수에 대한 것이겠죠. 그런데 수란 무엇인가?
당신이 이 질문을 물으면, 이는 철학적 질문 중 하나인데,

English: 
it's inherently puzzling. Mathematics
has provided philosophers with a number
of deep puzzles that we have been 
scratching our heads over for over 2,000 years.
The central one of which, is the
most basic of which, which is:
What is mathematics about? So, if
you know that 2 + 3 =5, you know with
certainty, incorrigibility, and so on. But
what is it that you know something about?
As I said if you add 3 apples to 2
apples, you'll get 5 apples. If you add
3 lemons to 2 lemons, you'll
get 5 lemons. But 2 + 3 = 5 is
not about apples, and it's not about
lemons. It's applicable to those things,
but it's not about those things.
So, what is it about? Well, it's about
numbers. But what are numbers? It's when
you ask that question--it's one of those
philosophical questions that, the more

Korean: 
이에 대해 생각할수록 더 알 수 없게 됩니다. 
수란 무엇일까?
수는 객관적 참(진리)의 내용인 것처럼 보입니다.  
제가 2 + 3 = 5라고 말하면 
이는 제가 만들어 낸 것이 아니고
누군가에게서 얻은 것도 아닙니다. 
이는 객관적인 참입니다.
그리고 우리가 가진 객관적(objectively) 참의 
대부분은 대상(object)에 대한 것입니다. 
그렇다면 수는 대상일까요?
글쎄요.. 사과와 레몬과 달리 우리는 수를 볼 수 없습니다. 수는 빛을 굴절시키지 않으니까요.
수는 냄새도 없고 만질 수도 없습니다.
그래서 만약 수가 대상이라면,  시공간 속에
 존재하지 않는 독특한 종류의 대상일 겁니다.
부식하지도 않고 나이먹지도 않습니다.
수의 물리적 크기와 같은 것을 묻는 것은 무의미합니다.

English: 
you think about it, the less clear it gets.
What are numbers? Numbers seem to be
the content of objective truths. If I say
that 2 + 3 = 5, I haven't just made it up,
I'm not getting it from anybody. It is
objectively true. And most of the things
that we have objective truths of
are objects. So are numbers objects?
Well, unlike apples and lemons, you can't
see a number, a number does not reflect light.
You can't smell a number, you can't
touch a number. So if a number is an object
it's a peculiar kind of object.
It doesn't exist in space and time,
it doesn't corrode,
it doesn't get old,
it makes no sense to ask what its
physical size is and so on. So if it is

Korean: 
그래서 수가 만약 대상이라면, 기이한 종류의 
대상일 것이며 시공간에 존재하지 않을 겁니다.
수는 시공간적 세계의 부분이 아닙니다.
플라톤에게 이를 설명할 이론이 있었는데,  
바로 그 유명한 형상(Form) 이론입니다.
플라톤에 따르면 수는 형상인데,
 형상은 추상적이며 객관적으로 존재하는 대상입니다.
그리고 이것들이 시공간적이 않다는 점,
다시 말해 시공간의 세계에 속해 있지 않다는 사실은 
플라톤에게 문제가 되지 않았습니다.
오히려 이는 실재가 형상적이라는
그의 의견을 지지했습니다.
플라톤에 따르면, 형상의 세계가 실재이며 
시공간적인 세계는 단지 실재의 그림자에 불과합니다.
그리고 그에 따르면, 형상과 실재에 대한 그의 이론은 
우리가 감각하는 모든 것,

English: 
an object, it's a peculiar kind of object.
It's an object that doesn't exist in space
and time. It's not part of our spatial-
temporal world. Plato had a theory
to account for this, which is 
the famous theory of Forms.
According to Plato, numbers are Forms, and
Forms are abstract, objectively existing objects.
And the fact that they're not
spatio-temporal, they're not part of our
world of space and time, didn't
bother Plato a bit. On the contrary,
it confirmed him in his opinion that
reality is formal. The world of Forms is
the reality of which our spatio-temporal
world is but a shadow, according to Plato.
And according to Plato, 
this accounts for the corrigibility
of everything we get from our senses--
everything we see, everything we touch,

Korean: 
우리가 보고 만지고 냄새 맡는 
모든 것이 수정 가능하다는 것도 설명합니다.
우리가 감각을 통해 얻은 지식들은 
항상 수정될 여지가 열려있습니다.
우리는 어떤 것을 다시 보았을 때, 
다른 것을 보게될 수도 있습니다.
반면에 형상적 지식은 그렇지 않습니다.
 그리고 플라톤에 따르면 이러한 사실은
우리의 이성이 감각보다 우월하다는 것을 보여줍니다. 
우리는 형상을 볼 수도 만질 수도 없지만, 
지성을 통해 파악할 수 있습니다.
우리는 사고를 통해 형상에 대한 지식,
 산술에 대한 지식을 얻을 수 있습니다.
그리고 플라톤에 따르면 
이것이 수학적 참의 특징들을 설명합니다.
수학적 참은 필연적으로 참입니다.
우연적으로 참이지 않습니다. 수학은 우연적인 
시공간 세계에 대한 것이 아니기 때문입니다.
이제 이 이론의 문제점,
긍정적인 면은 이 이론이 수학적 참과 수학적 지식의 
많은 부분을 설명한다는 것입니다.
이 이론의 문제점은 이론이 믿기 꺼려지는 많은 것을
우리에게 믿도록 요구한다는 것입니다.

English: 
everything we smell--the knowledge we get
from our senses is always open to revision.
We might look again and
see something different.
Whereas, formal knowledge is not. And
what that shows, according to Plato, is the
superiority of our reason over our senses.
We can't see Forms, we can't touch Forms,
but we can grasp them intellectually. 
We can get knowledge of Forms,
knowledge of arithmetic by 
thinking. And according to Plato,
that explains the characteristics of
mathematical truth: it's necessarily true,
it's not contingently true. It's not
contingently true because it's not about
the contingent world, the spatio-temporal
world. Now, the downside of this theory
---the upside of this theory is that it
explains a lot about mathematical truth
and mathematical knowledge. The 
downside is that it requires us to believe

Korean: 
객관적으로 존재하는 형상의 세계가 바로 그것입니다.
그리고 설령 그러한 세계가 존재한다는 것을 
우리가 납득한다고 해도,
우리는 명백히 풀기 힘든 문제에 직면하게 됩니다. 
우리가 어떻게 그러한 세계에 도달할 수 있는가?
우리가 그 세계를 볼 수 없듯이, 
우리는 그 세계를 감각적으로 의식할 수 없습니다.
그 세계와 우리 사이의 
연결할 수 없어보이는 간극을 어떻게 연결할 수 있는가?
어쨌든 우리는 시공간 속에 존재하고
이러한 이유 때문에 많은 철학자들은, 
대부분의 철학자라 해야겠네요
플라톤이 말한 형상의 세계가 진짜로 
존재한다고 받아들이기 어렵다고 생각합니다.
그리고 마찬가지 이유로 형상의 세계의 일부로 상정된 
소위 수학적 영역의 존재 또한
많은 철학자들이 받아들이지 않습니다.

English: 
in something that a lot of us
have trouble believing in, which is:
an objectively existing world of Forms.
And even if we could persuade 
ourselves that such a world existed,
we'd have an apparently insolvable problem
which is: How do we, so to speak, reach it?
Given that we can't see it, 
we have no sensory awareness of it,
how do we bridge the apparently
unbridgeable gulf between that world and us?
After all, we do exist in the spatio-
temporal world. So, for those reasons,
a lot of philosophers,
I would say most philosophers,
have had trouble persuading
themselves that Plato's world of Forms
really exists. And therefore, that the
so-called mathematical realm that
was supposed to be part of the world of
Forms, a lot of philosophers have trouble
persuading themselves that that exists
as well. And these thoughts had occurred

English: 
to Aristotle who was a pupil of Plato's,
who didn't believe in the world of Forms.
He believed that mathematics is not
about objects in the mathematical realm,
there is no such realm.
Mathematics is about our world.
And okay, we can't see a number,
but we might regard a number as
a property of things that we can see.
So okay, numbers are not objects, but we
can understand them as features of objects.
So we look at a field, 
we see 4 cows,
it's not that we see the cows and
then we see 4. It's that 4 is a property of
that collection of cows that we see.
Well, philosophers since Aristotle have
put forward powerful objections
to that way of looking at numbers,
the most powerful of which were put by a
German mathematician-come-philosopher,

Korean: 
그리고 이러한 생각은 플라톤의 제자이면서 
형상의 세계를 믿지 않았던 
아리스토텔레스에서도 드러납니다.
그는 수학은 
수학적 영역에 있는 대상에 대한 것이 아니며, 
그러한 영역이 없다고 믿었습니다.
수학은 우리 세계에 대한 것입니다.
그래, 우리는 수를 볼 수 없어. 
하지만 우리는 수를 우리가 볼 수 있는 것들의 
속성으로 간주 할 수 있을거야.
그렇다면 수가 대상은 아니겠지만, 
우리는 대상들의 특징으로서 수를 이해할 수 있어
우리가 들판에서 소 4마리를 본다면
우리가 소들을 보면서 4를 보는 것은 아닙니다.
4는 우리가 보는 소들의 집합의 속성입니다.
수를 이렇게 이해하는 방식에 대해, 아리스토텔레스 이후 철학자들은 강력한 반론들을 제기했습니다.

English: 
Gottlob Frege, who was writing in
the 19th century. And he said look,
when we know something about numbers,
we know it objectively. But numbers,
Frege said, cannot objectively be
properties of other things. And the
reason he said for that is that which
number belongs to a collection of things
will depend upon how we conceptualize it.
So think of a deck of cards. A deck of cards
has 52 cards in it. It has 4 kings,
it has 4 suits; 4 suits, 52 cards.
Depending on whether---so we
have a deck of cards in front of us---
depending on whether we're thinking
in terms of cards or of suits of cards,

Korean: 
가장 강력한 반론은 19세기 독일 수학자-철학자 
고틀로프 프레게에 의해 제기되었습니다.
반론은 다음과 같습니다. 
우리가 수에 대해 무언가를 안다고 할 때, 
우리는 그것을 객관적으로 안다.
그러나 프레게에 따르면, 
수는 다른 것들의 객관적 속성이 될 수 없습니다.
그가 그렇게 말한 이유는, 
특정 대상들의 집합에 어떤 수를 할당할지가,
우리가 그 집합을 
어떻게 개념화할지에 달려있기 때문입니다.
플레잉 카드 한 꾸러미를 생각해봅시다. 이 꾸러미 안에는 4개의 왕, 4개의 문양, 52개의  카드가 있습니다.
카드 한 꾸러미가 우리 앞에 놓여 있을 때, 
우리가 어떤 관점(카드, 문양)에서 보느냐에 따라서,

Korean: 
서로 다른 수가 
사물들의 집합(카드 꾸러미)에 속하게 될 것입니다.
그렇다면 이 사물의 집합은 52를 그 속성으로 가지는가? 아니면 4를 그 속성으로 가지는가?
우리가 카드에 대해 생각하고 있다면, 
52를 속성으로 가질 것이고,
우리가 문양에 대해 생각하고 있다면, 
4를 속성으로 가질 것입니다.
더 간단한 예로 신발 한 켤레를 생각해봅시다.
신발 한 켤레와 신발 2개, 
그렇다면 어떤 대상, 물리적 대상에 대해
어떤 수가 그 대상에 속하는가? 
수 1인가? 아니면 수 2인가?
따라서 프레게는 일반적으로 대상들이 수를 
그 속성으로서 객관적으로 가질 수는 없다고 말합니다.
대상들은 우리가 대상들에 대해 생각하는 
여러 방식에 따라 수를 속성으로서 획득합니다.
그리고 이러한 생각은 우리가 
수학을 객관적이라 간주하는 것과 일관적이지 않습니다.
이러한 이유 때문에,  많은 철학자들은

English: 
different numbers will belong to
that particular collection of things.
So, does that collection of things have the
property 52? Or does it have the property 4?
It has the property 52
if we're thinking of cards.
It has the property 4
if we're thinking of suits.
At a simpler level,
imagine a pair of shoes.
It's 1 pair of shoes, but 2 shoes.
So, as an object, as a physical object,
which number belongs to that? Is it the number
one or the number two? So, Frege says this is
in general true that objects,
objectively, so to speak,
do not have numbers as properties.
They acquire numbers as properties
when we think of them in different ways.
And this is inconsistent with regarding
mathematics as objective. So for those
reasons, the idea that numbers are
properties of objects is one of those
ideas in philosophy that is, by a lot

English: 
of philosophers, been regarded
as being refuted, refuted by Frege.
We seem to be on the horns of a dilemma
where, when we solve certain problems about
mathematics we encounter others.
If we do justice to the objectivity of
mathematics, like Plato did,
we seem lumbered with a kind of metaphysics,
a metaphysics of abstract objects.
And when we asked ourselves
too deeply questions about what
these abstract objects are supposed
to be and what the world of Forms is
supposed to be, we find that we can't
give satisfactory answers to those questions.
Where we can give satisfactory
answers to those questions we seem to be
impaled on the other horn, which is,
we seem to have adopted a view which
does away with the
objectivity of mathematics.
Okay so, fast-forward now from the
Ancient world to the 18th century, Europe in

Korean: 
수가 대상들의 속성이라는 철학적 견해가 
프레게에 의해 반박된 것으로 간주합니다.
여기서 우리는 딜레마에 봉착한 것으로 보입니다.
우리가 수학에 대한 어떤 문제를 풀려고 할 때, 
우리는 또 다른 문제를 맞닥뜨리게 됩니다.
우리가 플라톤처럼 수학의 객관성을 정당화하려하면,
우리는 일종의 형이상학, 추상적 대상에 대한 
형이상학으로 빠지는 것처럼 보입니다.
그리고 우리가 그러한 추상적 대상이 무엇이고,
 형상의 세계가 무엇인지 우리 자신에게 묻는다면
우리는 이러한 질문에 대해 만족할만한 
답을 줄 수 없다는 것을 깨닫게 됩니다.
한편, 우리가 이러한 질문에 대해 
만족스러운 답을 줄 수 있는 곳에서는
딜레마의 다른 면을 만나게 됩니다.
우리가 형이상학적 측면에서 만족스러운 답을 주는 
견해를 취한다면, 
수학의 객관성을 포기하게 되는 것처럼 보입니다.
좋습니다. 이제 고대에서 18세기 유럽으로 이동해봅시다.

English: 
the 18th century, and you come across
a great towering figure in philosophy, the
German Immanuel Kant, whose great 
work was the Critique of Pure Reason,
published in the 1790s. Kant put forward
a theory of mathematics which became
the most influential up until the 20th
century. And Kant did so in a way that
grasped, as it were, one horn of this
dilemma, and put forward a theory that
did away with the objectivity of
mathematics. Kant's thinking about
mathematics starts with a question that
I didn't raise about mathematical knowledge
but which is implicit in some of the
things I did say about it, which is this:
If something is true mathematically, it's
necessarily true. And yet, mathematics works.
3 apples plus 2 apples really
is 5 apples. The world, as it were,

Korean: 
여기서 우리는 철학의 위대한 인물인
독일의 임마누엘 칸트를 만나게 됩니다.
그는 1790년에 이라는
 뛰어난 저서를 남겼습니다.
여기서 칸트는 20세기까지 가장 영향력있었던 
수학에 대한 이론을 제시했습니다.
칸트가 채택한 전략은 보통 그러하듯, 
딜레마의 한 쪽을 붙잡는 것이었습니다.
그리고 수학의 객관성을 포기하는 이론을 제안했습니다.
수학에 대한 칸트의 생각은 다음의 질문에서 시작합니다.
수학적 지식에 대한 이 질문은 제가 발표에서 제기하지는 않은 것인데, 제가 지금까지 말한 것에 
암묵적으로 담겨있긴 합니다.
어떤 것이 수학적으로 참이면, 이는 필연적으로 참이다. 
그리고 수학은 잘 작동한다.
사과 세 개에 사과 두 개를 더하면 
사과는 정말로 다섯 개이다.

English: 
seems to conform to the laws of
arithmetic. But the laws of arithmetic
are not just true, they're necessarily true.
And Kant's question was: "How can
we know something about the world which
is necessarily true?" So he introduced two
distinctions which have since become 
part of the technical vocabulary of philosophy.
The first distinguishes two kinds of
sentence: an analytically true sentence
and a synthetically true sentence.
The difference is this: an analytically
true sentence is necessarily true.
So, for example, "All bachelors are
unmarried". That's an analytic statement.
It's an analytic statement because
it's true by definition. Compare it with
the statement "All bachelors are unhappy".
It might be true that all bachelors are unhappy,
but it's not necessarily true, it's not
part of the definition of a bachelor

Korean: 
세계는 산술의 법칙들을 잘 따르는 것처럼 보인다.
그런데 산술의 법칙들은 단순히 참일뿐만 아니라 
필연적으로 참이다.
칸트의 질문은 다음과 같습니다. 
"어떻게 우리가 세계의 어떤 것이 
필연적으로 참이라는 것을 아는가?"
여기서 그는 이후 철학의 전문용어가 되는 
두 구분을 제안합니다.
첫 번째 구분은 문장에 대한 것으로, 문장은 분석적으로 참인 문장과 종합적으로 참인 문장으로 구분됩니다.
둘의 차이는 이렇습니다. 
분석적으로 참인 문장은 필연적으로 참입니다.
예를 들어, 
"모든 총각은 결혼하지 않았다."는 분석적 진술인데,
이 진술이 분석적 진술인 이유는
 이 진술이 정의에 의해 참이기 때문입니다.
이 진술을 다음과 비교해봅니다. "모든 총각은 불행하다." 모든 총각이 불행하다는 것은 어쩌면 참일 수도 있습니다.
그러나 이 진술은 필연적으로 참은 아닙니다.
 총각이 불행하다는 것은 총각의 정의에
 포함되어 있지 않습니다.

Korean: 
그러나 총각이 결혼하지 않았다는 것은
 총각의 정의에 포함되어 있습니다.
따라서 진술 "모든 총각은 결혼하지 않았다."는 필연적으로 참입니다. 이 진술은 정의에 의해 참이기 때문입니다.
칸트는 이러한 진술을 분석적 진술이라 불렀는데,
이는 "모든 총각은 불행하다."와 같은
 종합적 진술과 반대됩니다.
그가 "분석적"과 "종합적"같은 
특정한 용어를 선택한 이유는,
여러분이 하나의 개념을 다루고 있는지, 아니면 
두 개의 개념을 다루고 있는지의 질문과 관련있습니다.
여기서 칸트의 아이디어는,
 당신이 "모든 총각은 불행하다."라고 말한다면,
당신은 여기서 두 개의 
서로 다른 개념을 종합하고 있다는 것입니다.
'총각임'이란 개념과 '불행함'이란 개념 말입니다.
한편 "모든 총각은 결혼하지 않았다."라고 말할 때는,
서로 무관한 두 개의 개념을 종합하는 것이 아닙니다.
당신은 말하자면  한 개념의 특징을 분석하는 것입니다.
'총각'의 의미는 무엇인가? 여러분도 아시다시피
총각은 결혼하지 않은 남자를 의미합니다.

English: 
that bachelor is unhappy. But it is part of
the definition that a bachelor is unmarried.
So the statement "All bachelors
are unmarried" is necessarily true
because it's true by definition. 
Kant called this an analytic statement
as opposed to a synthetic statement 
such as "All bachelors are unhappy".
The reason he chose those particular terms
"analytic" and "synthetic" is to do with the
question of whether you're dealing with
one concept or two. The idea here is that
if you say "All bachelors are unhappy",
you're making a synthesis of two quite
different concepts: the concept of being a
bachelor & the concept of being unhappy.
If you say "All bachelors are unmarried",
you're not synthesizing two
unrelated concepts, you're analyzing,
so to speak, a feature of one concept. It's a
feature that -- you know, what does the word
'bachelor' mean? It means unmarried man.
So if you analyze the concept 'bachelor',

Korean: 
따라서 여러분이 '총각' 개념을 분석하려 한다면, 이를 
개념 '결혼하지 않음'과 개념 '남자'로 나눌 수 있습니다.
그래서 칸트는 이를 종합적 진술이 아닌
분석적 진술이라 말했습니다.
칸트가 제시하는 다른 구분은 우리가 어떤 것이 참이라는 것을 어떻게 알아내는가와 관련있습니다.
그는 라틴어 '선험적'(a priori)과 
'후험적'(a posteriori)를 사용했습니다.
어떤 것에 대한 지식이 어떤 경험, 관찰, 시험에도 
선행한다면 그것은 선험적으로 알게된 것입니다.
그렇다면, 우리는 모든 총각이 결혼하지 않았다는 것을 
아는데, 어떤 조사나 시험이 필요한 것은 아닙니다.
우리는 이를 선험적으로 압니다. 우리는 이를 
어떤 시험, 조사와 같은 것에 선행해서 압니다.
반대로 "모든 총각은 불행하다."는 이 진술이 참이라면, 
후험적으로 참이어야 합니다.

English: 
you can analyze it into the concepts
'unmarried' and 'male'. So that's why he said
that's an analytic statement as 
opposed to a synthetic statement.
So there's another distinction he
drew which is in regard to how we know
things to be true, and he used Latin
titles for this: 'a priori' and 'a posteriori'.
Something is a priori known
if our knowledge of it is prior to
any experience, any observation, 
any testing. So again, we know that
all bachelors are unmarried, we don't have
to do a survey, we don't have to do a test.
We know that a priori, we know that prior
to any testing, any surveying, and whatever.
Whereas, "All bachelors are
unhappy", if it's true at all, it's going
to be true a posteriori, it's going to
be true on the basis of doing some

Korean: 
이 진술은 어떤 경험적 조사에 근거를 둔 참일 것입니다.
우리는 흡연이 암의 원인이라는 것을 아는데,
우리는 이를 예전부터 알았던 것이 아니라 지금에 와서야 알고 있습니다. 우리는 어떻게 알고 있는가?
왜냐하면, 우리는 실험을 했고, 시험도 했으며,
우리는 흡연자를 살펴보고 여러 관찰을 했습니다.
따라서 "흡연은 암의 원인이다."는 후험적입니다.
이제 두 구분을 함께 생각해보면,
분석적인 것은 선험적이어야 할 것이고
 종합적인 것은 후험적이어야 할 것입니다.
그러나 칸트는 수학에 대해,  그러니까 필연적 참과 
세계에 대한 참에 대해,
그는 수학에는 신기한 혼합(hybrid)이 있다고 말했습니다.
그는 수학은 분석적 참이 아니라고 말했습니다.
5 + 7 = 12는 정의에 의한 참이 아닙니다.
따라서 칸트에 따르면, 이 진술은 종합적 진술입니다

English: 
empirical research. We know 
that smoking causes cancer,
we didn't always know that, but we do
know that now. Why do we know it? Because
we've done experiments, we've done
tests, we've looked at people who smoke,
we've made observations, and so on.
So "smoking causes cancer" is a posteriori.
Now, think of those two
distinctions. It ought to be the case
that the analytic goes with the a priori,
and the synthetic goes with the a posteriori.
But what Kant said about mathematics
-- and this is to do with it being
necessarily true and true of the world --
is he says in mathematics we've got this
curious hybrid. He said mathematics
is not analytically true, it's not true by
definition that 5 + 7 = 12.
So that's a synthetic statement
according to Kant. And yet it's a priori.
We don't have to do any experiments

Korean: 
그러나 선험적이지는 않습니다. 우리가 5 + 7 = 12를 
알아내는데 어떤 실험이 필요한 것은 아닙니다.
따라서 칸트에 따르면, 수학이 선험적 종합이라는 것은 
수학의 엄청난 특징입니다.
그리고 그는 다음과 같이 물었습니다. 도대체 어떻게 
우리가 어떤 것을 "선험적이고 종합적으로" 아는가?
그는 에 담긴 총체적인 형이상학 체계를 답변으로 내놓았습니다.
그리고 이는 "초월적 관념론"이라 불리며,
우리는 물자체(things in themselves)에 대해 아무 것도 
모르며 알 수도 없다는 생각을 그 핵심으로 합니다.
우리는 칸트가 물자체(noumena)라 부른 것에 대해서는 알 수 없으며, 오직 그가 현상(phenomena)라 부른 것에 대해서만 알 수 있습니다.
현상은 그 자체로 있는 것이 아니라,
우리에게 드러남으로서 있는 것입니다.
칸트에 따르면, 우리에게 드러나는 것은 우리가 
세계를 바라보는 방식인 일종의 필터를 통과합니다.

English: 
to find it out. So mathematics -- and this,
according to Kant, is its great single feature --
mathematics is synthetic a priori.
And his question was: How on earth
how can we know things "synthetic a priori"?
And his answer was the whole system of metaphysics
that he puts in the Critique
of Pure Reason, which is called
"Transcendental Idealism", at the heart of
which is the idea that we don't know anything
and cannot know anything 
about things in themselves.
We can only know--so he called those
things 'noumena'. We can only know things
about what Kant called 'phenomena',
which are not things as they are in themselves
but things as they appear to us. Things
as they appear to us, according to Kant,
have been put through a kind of filter
which is the way we see the world.

English: 
And mathematics, according to Kant,
is that filter. In other words, we don't get
mathematics from the world,
we bring it to the world.
So if you think of mathematics
as divided into two parts: geometry
and arithmetic. Geometry, according to
Kant, is the spatial form through which we
see the world. It's the spatial glasses,
as it were, that we look at the world.
The world appears to us to be
three-dimensional Euclidean space.
It's the world, the space described by the
system of geometry that we got all those
thousands of years ago from the ancient
Greek geometer Euclid. And the reason
those things are necessarily true,
they're true a priori according to Kant,
is that we didn't get them from the
world, we brought them to the world.
We look at the world
through those spectacles.

Korean: 
그리고 칸트에 따르면, 수학은 그러한 필터입니다.
다시 말해, 우리가 수학을 세계로 부터 얻는 것이 아니라, 우리가 세계에 수학을 부여합니다.
그래서 여러분이 수학을 기하학과 산술이라는 
두 부분으로 나눠서 생각한다면,
기하학은 칸트에 따르면, 
우리가 세계를 바라보는 공간적 형식입니다.
기하학은 우리가 원래 그러했듯이 
세계를 바라보게 하는 공간적 안경입니다.
우리에게 드러난 세계는 유클리드 3차원 공간입니다.
이러한 세계는 수 천년 전 고대 그리스의 기하학자
유클리드의 체계에 의해 기술되는 공간입니다.
그리고 이러한 기하학이 필연적, 선험적으로 참인 이유는 우리가 기하학을 세계로 부터 얻은 것이 아니기 때문입니다.
우리가 기하학을 세계에 부여한 것입니다.
우리는 기하학이란 안경으로 세계를 바라봅니다.

Korean: 
산술은 어디에서 등장할까요? 수는 어디로 들어올까요?
칸트에 따르면, 기하학이 우리의 
공간적 인식, 공간적 직관의 형식인 것과 마찬가지로,
산술은 우리의 시간적 직관의 형식입니다.
산술의 핵심에는 1, 2, 3, 4, 5... 와 같은 수열이 있는데,
이는 1차원 수열로서, 칸트에 따르면, 
우리의 시간 경험과 대응합니다.
우리는 공간을 3차원으로 경험합니다.
우리는 시간을 1차원 수열로 경험하는데,
 이는 수의 나열입니다.
따라서 수는 우리가 순간 순간의 
시간을 조직하는 방식입니다.
기하학은 우리가 공간을 조직하는 방식입니다.
그리고 산술과 기하학이 합쳐져서, 
우리가 경험하는 시공간 세계의 틀을 제공합니다.

English: 
Where does arithmetic come in? Where 
do numbers come in? According to Kant,
just as geometry is the form of our 
spatial awareness, our spatial intuitions,
arithmetic is the form of our temporal
intuitions. So at the heart of arithmetic
is a sequence of numbers 1, 2, 3, 4, 5...
It's a one-dimensional sequence, which
corresponds, according to Kant, to our
experience of time. We experience space
as three-dimensional. We experience time
as a one-dimensional sequence, 
which is the sequence of numbers.
So numbers are the way we organize time
one moment after another moment.
Geometry is the way we organize space.
And put together, they give us the framework
of the spatio-temporal world that we
experience. Everything we know is known

English: 
about the spatio-temporal world. In other
words, everything we know, we know through
those spectacles which we
ourselves have put to the world.
Okay, well I've said that was enormously
influential theory of mathematics. It was
opposed in the late 19th and early 20th
century by the man I mentioned earlier,
Gottlob Frege & by a British philosopher
and mathematician, Bertrand Russell.
What Frege and Russell together
sought to do was replace the Kantian
view of mathematics with a view
that did justice to the objectivity
of mathematics. And they went
right back to Plato, with this proviso:
that they reverse the ancient Greek
priority about geometry and arithmetic.

Korean: 
우리가 아는 모든 것은 
시공간 세계에 대하여 알게된 것입니다.
다시 말해,  우리가 아는 모든 것은 
우리가 세계에 부여한 안경을 통해 알게 되는 것입니다.
좋습니다. 지금까지 저는 매우 영향력 있는 
수학에 대한 이론에 대해 말씀드렸습니다.
이 이론은 19세기 말, 20세기 초 무렵에,
 제가 언급했었던 프레게와
영국의 철학자-수학자 버트런드 러셀에 의해 
비판받았습니다.
프레게와 러셀은 수학에 대한 칸트의 견해를 대체하고,
수학의 객관성을 정당화하는 견해를 찾고자 했습니다.
그리고 그들은 바로 플라톤으로 돌아갔는데, 여기에는 변화가 있습니다.
그들은 고대 그리스에서 생각한 기하학과 산술 사이의 우선 순위를 역전시켰습니다.
고대 그리스인들은 기하학이 근본적이라 간주했습니다.

Korean: 
러셀과 프레게는 산술을 근본으로 간주했습니다.
여기에는 두 가지 이유가 있습니다. 
첫 번째는 이유는 19세기 중반, 유클리드 기하학 체계의 대안이 발견되었다는 것입니다.
리만 체계와 로바체프스키 체계가 바로 그 체계 입니다.
이 체계들은 평행선 끼리는 
서로 절대로 만날 수 없다는 공준을 포함하지 않습니다.
이러한 기하 체계에서, 평행선은 서로 만납니다.
이는 이 체계들에선 
공간이 휘어져 있다는 것을 의미합니다.
여러분이 지구의 표면을 이루는 공간을 생각하고 
여기에 두 평행선을 긋는다면, 
두 선은 북극과 남극에서 만날 것입니다.
따라서 이러한 체계들에서 평행선은 만날 수 있고, 
이는 공간이 휘어져있다는 것을 의미합니다.
그리고 여기서  유클리드의 대안이 있다는 사실은  
칸트의 이론에  큰 골칫거리를 안겨줍니다.

English: 
The ancient Greeks regarded geometry
as foundational, Russell and Frege
regarded arithmetic as foundational.
And this is for two reasons. One is in the
middle of the 19th century, alternatives to
Euclid's system of geometry were discovered:
Riemann's system and Lobachevsky's
system. And what these systems did is
they dropped the assumption 
that parallel lines will never meet.
In these systems of geometry, parallel
lines do meet. And what that means is that
in these systems, space is curved. If you
think of the space of the outside of a globe,
think of drawing two parallel lines,
they're going to meet at the top and
meet at the bottom. So in these systems,
parallel lines can meet, which means that
space is curved. And what really 
threw the cat among the pigeons--

Korean: 
바로 다음의 질문을 제기될 수 있기 때문입니다.
"흠, 우리는 어떤 안경을 써야합니까?"
칸트의 이론에 따르면, 
우리는 이에 대해 선택권이 없습니다.
그러나 더 큰 문제는 
아인슈타인의 상대성 이론과 관련있습니다.
상대성 이론에 따르면, 
물리적 공간은 유클리드 공간이 아니라 리만 공간입니다.
리만은 19세기 중반 자신의 체계를 고안했는데,
이는 보통 그러하듯, 
단순한 취미로 할 수 있는 것은 아닙니다.
그는 순수 수학자였기 때문에, 평행선 공준을 포기한다면 어떤 일이 일어날지 알아내고 싶어했습니다.
그런데 아인슈타인에 따르면, 리만 체계는 
단순한 이론적 흥미로 그치는 것이 아닙니다.
세계는 리만 공간이고, 물리적 공간은 휘여있습니다.
이러한 발전, 그리고 두 번째 발전에 비춰볼 때, 여기서 두 번째 발전은 순수 수학의 발견으로,
기하학을 산술과 대수로부터 구성할 수 있다는 것입니다.

English: 
it was bad enough for Kant's theory
that there were alternatives to Euclid
because now the question arises: "well,
which pair of glasses should we wear?"
And according to Kant's theory, we
shouldn't have a choice about that.
But the cat was really put among the 
pigeons with Einstein in his theory of relativity,
according to which physical space
is Riemannian and not Euclidean.
It's not just that you can -- I mean, 
Riemann in the middle of the 19th century
invented the system of geometry,
as it were, just for the hell of it
because he was a pure mathematician.
He wanted to see what would happen if you
drop the parallel postulate. But according
to Einstein, it's not just of theoretical interest,
the world is Riemannian, physical
space is curved. Now in the light of
those developments, together with a
second development, which is that it was
discovered in pure mathematics that you can
build geometry upon arithmetic and algebra.

Korean: 
그래서 프레게와 러셀은 기하학이 아니라 
산술을 수학의 근본적 분야로 간주했습니다.
따라서 그들에게 핵심이 되는 질문은 
수에 대한 질문이었습니다.
"수란 무엇인가?" 그리고 그들은 
다음과 같은 칸트의 답변에 만족하지 않았습니다.
수는 우리의 머리안에 있는 어떤 것으로
우리가 세계에 부여하는 것이다.
그들은 이 답변에 매우 불편해했는데,
 이는 산술을 우리 머리 안에 있는 것에 대한 것으로 
만들기 때문입니다.
반면 프레게와 러셀에게는,  
산술이 객관적 지식 체계라는 것이 매우 중요했습니다.
그래서 그들은 플라톤으로 되돌아 갔습니다.
플라톤 주의에서, 
산술은 형상(형식)에 대한 객관적 지식입니다.
여기서 프레게와 러셀은 이 점이 놀라운 사실인데
 서로 독립적으로, 다음의 같은 생각을 갖게 됩니다.
우리는 산술에 대한 
플라톤의 형상(형식) 이론을 정당화할 수 있다.

English: 
And so Frege and Russell regarded
arithmetic and not geometry as the
foundational branch of mathematics. So for
them the central question was about number:
"What is number?" And they weren't very
happy with Kant's answer to that, which is:
Number is something inside our 
heads that we bring to the world.
They weren't very happy with that because it 
makes arithmetic about what's inside our heads.
Whereas, for Frege and Russell,
it was crucial that arithmetic is a body of
objective knowledge. And so they
went back to Plato, into Platonism,
it's objective knowledge about forms.
Now both of them, quite separately--and this is
a remarkable fact--quite separately, both
of them had the same thought about that,
which is: we can do justice to Plato's
formal theory of arithmetic -- the idea

English: 
that arithmetic is really about things
and these things are forms -- we can
do justice to that if we show that
mathematics and arithmetic in particular
is just logic. So their view is called
"Logicism". And it's the view that
arithmetic can be shown
to be a branch of logic.
Now this, of course, only leads to
Platonism if you take a Platonic view of
logical objects, which is exactly what
Frege and Russell did. According to
Frege and Russell, logic is about forms,
and forms really exist. How do they make
that plausible? They made that plausible
by bringing together two things that
previously had not been brought
together, which were logic and arithmetic.
It's been a hundred years now and
over that hundred years we've become
accustomed to the idea that logic and
mathematics have got strong things

Korean: 
산술은 정말로 어떤 것들에 대한 학문이고
 여기서 형식이 바로 그것이다.
우리가 만약 수학, 특히 산술이
 그저 논리에 불과하다는 것을 보일 수 있다면, 
플라톤의 이론을 정당화 할 수 있다.
그래서 그들의 견해는 "논리주의"라 불립니다.
즉, 논리주의는 산술이
논리학의 분과라는 것을 보일 수 있다는 견해입니다.
물론 논리주의는 논리적 대상에 대한 플라톤적 견해를 
취할 때에만, 플라톤 주의라 할 수 있습니다.
그리고 바로 이 견해가 프레게와 러셀의 견해입니다.
프레게와 러셀에 따르면, 
논리는 형식들에 대한 것이고 형식은 정말로 존재합니다.
그들은 어떻게 이러한 견해를 그렇듯하게 만들었을까요?
그들은 이전까지 따로 떨어져있던 두 가지, 논리와 산술을 결합으로써 자신들의 견해를 설득력있게 제시했습니다.
논리학와 수학 사이에 밀접한 연관이 있다는 생각에 
우리가 익숙해진지는 약 100년 정도 되었습니다.

English: 
in common with each other. But a 
hundred years ago that wasn't the case.
A hundred years ago, logic belonged to 
the humanities. Logic was what you learned
if you learned literature, poetry,
rhetoric. It was part of the humanities.
You learned Aristotle's system
of logic. Learning logic went
hand-in-hand with studying classics at Oxford.
Whereas, mathematics was what you learned
if you were a scientist. And they were not
considered to have very much to do with each other.
Logic was to do with language. It was
to do with using language to construct
arguments, and the logic of Aristotle
tells you which of those arguments are
valid arguments and which are not valid
arguments. Whereas mathematics gives you
techniques that you can then use in
science. Frege and Russell brought them
together with a particular theory of
number. And I think I've just got time to

Korean: 
그러나 100년 전에 이러한 생각은 당연하지 않았습니다.
100년 전에 논리학는 인문학에 속했고,
논리학은 문학, 시, 수사학과 함께 배우는 것이었습니다. 논리학은 인문학의 일부였습니다.
여러분은 아리스토텔레스의 
논리 체계를 배우셨을겁니다.
옥스포드에서 논리학은 고전과 함께 공부했습니다. 반면에 수학은  과학자가 되기 위해 배우는 것이었습니다.
옛 사람들은 논리와 수학이 
큰 관련이 없다고 생각했습니다.
논리는 언어에 대한 것이었고, 논증을 만들기 위해 
언어를 사용하는 것과 관련있었습니다.
그리고 아리스토텔레스 논리학은 어떤 논증이 
타당한 논증이고 어떤 논증이 부당한지를 말해줍니다.
반면에 수학은 
과학에서 사용할 수 있는 기술을 제공합니다.
프레게와 러셀은 논리와 수학을 
수에 대한 특정한 이론 안에 함께 포함시켰습니다.
그리고 이제 그 이론을 자세히 설명할 때가 된 것 같군요.

Korean: 
이 이론은 집합(class), 대상들의 집합이란 
개념을 사용합니다.
여러분은 언어를 통해 이 개념을 이해할 수 있습니다.
그들은 언어에 대한 연구인 아리스토텔레스의 논리학과,
산술 사이에 다리를 놓으려 하는 것입니다.
다리가 작동하는 방식은 다음과 같습니다.
논리학의 분석 대상인 
명제와 문장으로부터 시작해봅니다.
좋습니다. 다음의 문장들을 고려해봅시다.
"플라톤은 현명하다", "아리스토텔레스는 현명하다.", 
"소크라테스는 현명하다." 
이 문장들은 모두 같은 형식을 가지고 있습니다.
이제 여러분은 문장 내의 이름들을 변수 'x'로 치환해서 
문장의 형식을 포착할 수 있습니다.
그럼 "x는 현명하다."를 얻게됩니다. 
이제 집합은 다음과 같습니다.

English: 
expound this theory. This theory makes use
of the notion of a "class", a class of objects.
All right, and the way you get to that
notion is this: through language. So you start
-- I mean what they're doing is building a
bridge between Aristotle's theory of logic
and the study of languages, on the
one hand, and arithmetic on the other.
And the way that bridge works is this. 
You start with propositions, with sentences,
with what is analyzed in logic.
Okay so take some some sentences:
"Plato is wise", "Aristotle is wise", "Socrates is
wise". Those sentences all have the same form.
Now you could capture that form
by replacing the name with a variable,
with 'x'. So now you have "x is wise".
Now, a class is this. A class is all the things

Korean: 
집합은 x를 어떤 것의 이름으로 대체했을 때, 
문장을 만족하게 되는 모든 것입니다.
이를 통해,  
여러분은 현명한 사람의 집합을 얻게됩니다.
여기에는 아리스토텔레스, 소크라테스, 그리고 "x는 현명하다."에서 x를 대신 할 수 있는 모든 사람이 포함됩니다.
여기서 그들은 전문 용어를 도입합니다.
"플라톤은 현명하다." "소크라테스는 현명하다."는 
명제들이다. 그러나 "x는 현명하다."는 명제 함수다.
그리고 집합은 명제 함수의 외연이다. 
집합은 모든 현명한 것들이다.
그들은 수를 말하는데 이러한 개념을 사용했습니다.
수는 집합입니다. 프레게와 러셀에 따르면 말이죠.
수 4는 4개의 멤버를 갖는 모든 것들의 집합입니다.

English: 
that would satisfy that sentence
if you replace the x with a name.
If you do that, you've got the class of
wise people. So the class would have in it
Aristotle, Plato, Socrates, all those
people who could replace the x in "x is wise".
So the jargon that they came up with for
this was: "Plato is wise", "Socrates is wise",
those are propositions, but "x is wise" 
is a propositional function. And the class
is the extension of the propositional
function. The class is all those wise things.
Alright so now they used that
notion to talk about numbers.
Numbers are classes according to Frege
and Russell. The number 4 is the class of

English: 
all those things that have 4 members. 
So there are 4 points on a compass:
north, south, east and west. There are 4
Beatles: John, Paul, George and Ringo.
Collect together all those things that
have 4 members, and that, according to
Frege and Russell, is the number 4.
Now notice that this is very different
to the old property theory. It's not that the
number 4 is a property of those collections.
The number 4 is an object, but
it's a particular kind of object,
it's a class. And they built a whole
system of logic on that notion of class.
Then, and I'm not going to go into this
because you've probably had enough of
all this sort of thing, but--
I will go into it if you want,
but we'll leave that for the question period.
In 1901, Russell discovered a problem
with that theory of classes which is
called Russell's paradox. And he sent it
to Frege. He said, look I've just
read your work, your work is very
similar to mine it makes use of class theory,

Korean: 
나침반에는 4개의 점이 있습니다. 동, 서, 남, 북 
비틀즈에는 4명이 있습니다. 존, 폴, 조지, 링고
이들과 함께 4개의 멤버를 가지는 모든 것을 모아라. 
프레게와 러셀에 따르면, 바로 이것이 수 4입니다.
이 이론이 고전적 속성 이론와 
매우 다르다는 것에 주의해야 합니다.
수 4는 그러한 모임의 속성이 아닙니다. 
수 4는 하나의 대상입니다.
대신 특정한 종류의 대상, 집합입니다.
그리고 그들은 논리학의 전체 체계를 
집합 개념을 기반으로 구성했습니다.
그리고, 제가 더 깊게 들어가지는 않을 것인데, 
여러분이 이미 충분히 많이 배웠기 때문입니다.
물론 여러분이 원한다면 더 할 수도 있지만, 
질문 시간을 남겨두도록 하겠습니다.
1901년, 러셀은 러셀의 역설이라 불리는 
집합 이론의 문제를 발견했습니다.
그리고 그는 이를 프레게에게 보냈습니다.
그는 다음과 같이 말했습니다.
음, 제가 방금 당신의 연구를 읽었습니다.

English: 
have you thought about this problem?
He showed the contradiction that arises
in the theory of classes. Russell,
at that time, was quite confident
that the problem could be overcome,
poor old Frege had a nervous breakdown.
And after spending hospital, he came out
and said he wasn't a Logicist anymore,
he didn't believe Logicism was true.
Russell persevered with it, but came up
with a different view of logic which he
got from his pupil Wittgenstein,
according to which logic is not the
study of objectively existing forms. According to
Wittgenstein, there aren't any forms, this is a myth.
There aren't any forms. What you've got is
language and ways of putting words together.
And according to the rules for putting
words together, sometimes what you
end up with is what's called a tautology.
So, if I say that "It's raining outside",

Korean: 
그리고 당신의 연구는 집합 이론을 사용하는 내
 연구와 매우 비슷합니다. 
그런데 이러한 문제에 대해 생각해보셨습니까?
러셀은 집합 이론에서 
모순이 발생한다는 것을 보였습니다.
러셀은 그 당시 문제가 해결될 수 있을 것이라
 꽤 자신만만 했습니다.
늙고 불쌍한 프레게는 신경 쇠약에 걸려 
병원으로 보내졌습니다.
그 이후 그는 자신이 
더 이상 논리주의자가 아니라고 언급했습니다. 
그는 논리주의가 참이라 믿지 않았습니다.
러셀은 논리주의를 계속 고수했으나, 
그의 제자인 비트겐슈타인을 따라 
논리에 대한 견해를 수정했습니다.
이에 따르면, 논리학은 
객관적으로 존재하는 형식에 대한 연구가 아닙니다.
비트겐슈타인에 따르면 형식과 같은 것은 없습니다. 
형식은 근거없는 믿음, 신화입니다.
어떤 형식도 없습니다. 우리가 가진 것은 
언어와 단어들을 조합하는 방식입니다.
그리고 단어들을 조합하는 방식에 따르면, 여러분은 가끔 동어반복이라 불리는 것을 맞닥뜨리게 됩니다.

English: 
that's gonna be either true or false.
If I say "It's not raining outside",
that's gonna be either true or false. But if
I say "Either it's raining or it's not raining",
that can only be true. That is a
tautology. That is necessarily true.
And so Russell took this notion from 
Wittgenstein and said that's what mathematical
propositions are, mathematical
propositions are just tautologies.
The reason they're necessarily true
is exactly the same as the reason that
"All bachelors are unmarried"
is necessarily true,
they're true by definition. And so
Russell towards the end of his life said
that if there was a god--notoriously
he didn't believe there was a god--
but if there was a god, he said, the truths
of mathematics would have exactly the
same profundity as the truth that 
"A four-legged animal is an animal".
And on that note, I'll finish.
Thank you.

Korean: 
만약 제가 "밖에 비가 온다."라고 말한다면, 
이는 참 또는 거짓이 될 겁니다.
제가 "밖에 비가 오지 않는다."라고 말한다면 
이 또한 참 또는 거짓이 될 것입니다.
그런데 제가 "비가 오거나 오지 않는다."라고 말한다면, 
이는 오직 참만 될 수 있습니다.
이것이 동어반복입니다. 이것은 필연적으로 참입니다.
그리고 러셀은 이러한 비트겐슈타인의 개념을 가져와서 이것이 수학적 명제라고,
수학적 명제는 그저 동어반복일 뿐이라고 말했습니다.
수학적 명제가 필연적으로 참인 이유는
"모든 총각은 결혼하지 않았다."가 
필연적으로 참인 이유와 같다. 둘 다 정의에 의해 참이다.
그래서 러셀이 말년에 말하길, 만약 신이 있다면
물론 그는 신을 믿지 않은 것으로 악명높지만,
 어쨌든 만약 신이 있다면
신에게는, 수학의 진리와 
"네 발 달린 동물은 동물이다."에 담긴 진리가
정확히 같은 심오함(깊이)을 가질 것이라 말했습니다.
이상으로 마치겠습니다. 감사합니다.

Korean: 
번역 및 자막: 이한슬
