
Russian: 
Кто то из вас уже прошел курс интегральных и дифференциальных исчислений, и те кто уже
знаком с ним, знают насколько сложным он может быть. В старших классах я не мало над этим
трудилась. Возможно вы даже не помните о чем этот курс был. Это даже смешно - фактическая
идея за которой стоит этот раздел математики очень прост и всем хорошо знаком. Все сходится
к приближениям. Позвольте мне продемонстрировать. Давайте рассмотрим
классическую пролему - нахождение угла наклона кривой на графике. Вы хотите узнать насколько
крутой наклон имеет определенная точка на графике. Сама кривая может выглядить как
угодно. Давайте начнем с простейшего - прямой линии. В этом случае, уровнение больше похоже
на определение - прилежащий катет разделенный на противолежащий.
Давайте вернемся к изначальной проблеме и используем наши новые знания для ее решения.
Давайте начертим пряму от точки А к какой нибудь точке и выясним угол наклона этой прямой
для того что бы получить приближение к действительному наклону в точке А.

English: 
You may or may not have already done calculus,
and for those of you have done it, it might
have seemed like a really difficult subject.
I struggled with it a lot in high school.
Maybe you find it hard to recall what it was
about.
The funny thing is though; the actual idea
behind calculus is really easy and familiar.
Its all about approximation.
Let me demonstrate.
Let's look at the classic problem in calculus,
finding the slope of a graph.
Say you want to know just how steep a certain
point is on a curve.
The curve could look like anything.
Why don't we start with an easier problem:
the slope of a straight line.
This is straightforward.
In this case, the formula, actually more like
the definition of slope is rise divided by
run.
Let's return to our original problem and use
our newfound knowledge to tackle it.
Let's draw a straight line from A to a close
by point and figure out how steep that line
is, to get an approximation of the actual
slope at A.
That looks kinda rubbish, so lets try again
with a closer point.
Even worse!

English: 
How about another one.
And you see this one's not too bad.
Actually the points really close to A seem
to give really really close looking approximations!
So what's the actual slope?
Calculus basically says the obvious thing,
the actual steepness of the curve at A is
the number that our approximations are getting
closer and closer to.
What about the other classic calculus problem?
The area under a curve
We have the same problem here, this could
be any crazy graph and we don't have formulas
for those.
The only area I really really know of by heart
is the area of a rectangle.
Well let's use the rectangles then.
Why not guess the area of the curve like this?
Divide up the graph like this and draw a straight
line from the curve to left.
Now we can just find out the area of each
of these bits.
That's not an awful approximation I guess,
but there are all these hanging out bits and
missing stuff.
Well we can make a better approximation.
Why not divide the curve up smaller?

Russian: 
Выглядит как то коряво, давайте попробуем еще. Еще хуже! Как насчет другой?
Знаете, а эта не такая уж и плохая. На самом деле, точки поближе к А дают очень точные
приближения к действительности.
Так какой же настоящий наклон? Математика гласит очевидное - настоящий наклон на отрезке
в точке А равняется нашим приблежениям стремящимся к этой точке.
Что насчет других классических проблем? Например площади под кривой.
У нас все та же проблема, здесь мог бы быть любой безумный график и у нас нет формул
для него. Единственную формулу площади которую я помню это площадь прямоугольника.
Ну давайте тогда использовать прямоугольники. Почему бы не посчитать площадь под кривой
таким образом? Разделите график вот так и начертите прямую линию от кривой и налево.
Теперь мы можем просто найти площадь этих частей. Это не такое уж и плохое приближение,
но как же все эти остающиеся части? Мы можем сделать эту работу получше.

Russian: 
Почему бы не разделить кривую еще мельче? Видите? Отклонение уменьшилось. Так если мы
будем делить на все более мелкие части, интеграция говорит что та площадь к которой
мы приближаемся это та которая нам нужна. Есть множество других проблем которые можно решить
подобным способом. О которых я расскажу больше в последующих видео. Но сейчас я покажу
проблему со всей этой области математики. Вернемся к площади под графиком. Существует
другое, видимо лучшее, приблежение. Почему бы вместо прямоугольников не использовать штуки
которые называются трапезоидами. У них очень похожая формула площади и как вы видите,
ошибка в резльтатах намного меньше. Если же они лучше дают приблеженный результат, то
почему же они не дают лучшее, более точное решение для площади? Способ трапезоидов
приближается к результату очень быстро, но оба варианта ограничиваются таким же результатом,
когда вы делите график все мельче и мельче. Это немного тревожно. Если же есть лучшие и худшие
приближения, если настолько плохие что они не верны? Мне жаль это говорить, но да.

English: 
See, the error gets smaller now.
So we keep slicing smaller, and Calculus tells
us the area we're limiting to is the one we
want.
There are lots of other problems that can
be solved by Calculus in a similar way.
I'll talk about more in some other videos
on the topic.
But now I want to bring up an issue with this
whole thing.
Let's go back to the area under the graph
stuff.
There's another, seemingly better, approximation
I could have done.
Why not, instead of using rectangles, use
these things, called trapezoids.
They have very simple area formulas too and
as you can see the error is way less.
These are better approximations, so wont they
give a better, more accurate answer for the
area?
Well the trapezoid way gets you close the
actual area very quickly, but both ways will
limit towards the same area in the end, as
you divide the graph smaller and smaller.
Still, this is a bit worrying.
If there are better and worse approximations,
are there some approximations so bad that
they're wrong?

English: 
I'm sorry to say that there is.
We'll be seeing a really surprising one next
time.

Russian: 
Мы увидем очень удивительный пример в следующий раз. Там же и увидимся!
