
Spanish: 
Hablemos sobre el teorema de los dos cuadrados.
Este se refiere a los números primos.
Ya sabes, los números que son solo divisibles por 1 y ellos mismos.
La pregunta: cómo escribir un número primo como la suma de dos cuadrados de números naturales
- de números naturales positivos.
El ejemplo más fácil es: tomar el número primo 2, el número primo más pequeño.
Puedes escribir esto como 1 al cuadrado más 1 al cuadrado.
Probemos el próximo primo, 3.
Bueno ... 1 al cuadrado más 1 al cuadrado, obviamente no.
1 al cuadrado más 2 al cuadrados ya es demasiado grande, entonces, no.
Argh.
5, 1 al cuadrado más 2 al cuadrado. Trabajos.
Hagámoslo
Cuarto ejemplo: 7.
Intenta 1 al cuadrado más ...
6, 6 no es un cuadrado ...

English: 
We talk about the two square theorem.
This concerns prime numbers.
You know, the numbers which are only divisible by 1 and themselves.
The question: how to write a prime number as the sum of two squares of natural numbers
- of positive natural numbers.
The easiest example is: take the prime number 2, the smallest prime number.
You can write this as 1 squared plus 1 squared.
Let's try the next prime, 3.
Well... 1 squared plus 1 squared - obviously not.
1 squared plus 2 squared - already too big, so, no.
Argh.
5, 1 squared plus 2 squared. Works.
Let's do this
Fourth example: 7.
You try 1 squared plus...
6, 6 is not a square...

English: 
2 squared is 4, plus 3, 3 is not a square.
Uh, we see it's not possible.
And the question is:
Do there exist natural numbers,
x and y,
such that p is x squared plus y squared.
We're asking for a simple criterion
which for an arbitrary prime number
we know that there are arbitrarily large prime numbers, say,
with 10 million digits.
You tell me or I tell you
can be written as the sum of 2 squares
or not.
And if the prime number is so large
we cannot try it out like we did with the small primes
Brady: "Are we looking here for a formula, or, like, a way to get those squares, or just...?"
No. Impossible. That would be great.
Nobody knows a formula.
You, you can only decide if you have good luck

Spanish: 
2 al cuadrado es 4, más 3, 3 no es un cuadrado.
Uh, vemos que no es posible.
Y la pregunta es:
¿Existen números naturales
x e y,
tal que p = x^2 + y^2.   ?
Estamos pidiendo un criterio simple
que para un número primo arbitrario
sabemos que hay números primos arbitrariamente grandes, por ejemplo,
con 10 millones de dígitos
Dime o te digo
se puede escribir como la suma de 2 cuadrados
o no.
Y si el número primo es tan grande
no podemos probarlo como lo hicimos con los primos pequeños
Brady: "¿Estamos buscando aquí una fórmula, o, como una forma de obtener esos cuadrados, o simplemente ...?"
No imposible. Eso seria genial.
Nadie sabe una fórmula.
Tú, solo puedes decidir si tienes buena suerte

English: 
whether it is possible at all, not a formula
which gives you x and y.
If you would give me some prime number, say you search on the internet
for large prime numbers,
you give me one and then tell professor, now tell me yes or no,
and then, within a second I will tell you yes or no.
Brady: "But you won't be able to tell me what those squares are."
Absolutely not. Nobody will be able. Not only me.
I suggest that we look into the history briefly.
Who did this first? This is the famous French mathematician
Pierre de Fermat, who did other important things, and he liked such easy to formulate problems
And what did he do with these problems?
He made tests. He made long tables.
So he took, we have here four primes,
he took the primes up to hundred,
the primes up to thousand,
wrote down this list
and checked by hand, case by case.

Spanish: 
si es posible, no una fórmula
que te da x e y
Si me das un número primo, digamos que buscas en internet
números primos grandes,
dame uno y luego díselo al profesor, ahora dime sí o no,
y luego, dentro de un segundo, te diré sí o no.
Brady: "Pero no podrás decirme cuáles son esos cuadrados".
Absolutamente no. Nadie podrá. No solo yo.
Sugiero que analicemos brevemente la historia.
¿Quién hizo esto primero? Este es el famoso matemático francés
Pierre de Fermat, que hizo otras cosas importantes, y le gustaba formular problemas muy facilmente.
¿Y qué hizo con estos problemas?
Hizo pruebas. Hizo largas tablas.
Así que tomó, tenemos aquí cuatro números primos,
él tomó los números primos hasta cien,
los números primos hasta mil,
escribió esta lista
y verificado a mano, caso por caso.

English: 
If you do that, we can, we should show such a list,
at the first glance you don't see any pattern.
But Fermat finally observed a very very simple rule.
And that's already his theorem which I write down now.
Prime number p is the sum of two squares if and only if
we subtract 1 from p, get a nice number, if this number is divisible by 4.
That means you can make a very very simple test. So let's consider small prime.
Let's say 17.
We subtract one, we get 16. Ah!
Divisible by four? It works. And now we check, is it really true?
And we see, ah, 17 is 4 times 4 plus 1 times 1, true.

Spanish: 
Si haces eso, podemos, debemos mostrar una lista,
a primera vista, no ves ningún patrón.
Pero Fermat finalmente observó una regla muy simple.
Y ese es ya su teorema que escribo ahora.
El número primo p es la suma de dos cuadrados si y solo si
restamos 1 a p, obtenemos un buen número, si este número es divisible por 4.
Eso significa que puedes hacer una prueba muy simple. Así que consideremos el primer pequeño.
Digamos 17.
Restamos uno, obtenemos 16. ¡Ah!
Divisible por cuatro? Funciona. Y ahora comprobamos, ¿es realmente cierto?
Y vemos, ah, 17 es 4 veces 4 más 1 por 1, cierto.

Spanish: 
Consideremos 23, otro buen primo. Restamos 1, obtenemos 22, no divisible por 4
Entonces, yo, puedes probarlo tú mismo en casa, no podrás escribirlo como la suma de dos cuadrados.
Y lo notable es que esta es una prueba fácil. Es restar 1, y comprobar si es divisible por 4.
Es muy fácil, y puedes intentarlo ahora en Internet, escribir enormes números primos
resta 1, e intenta dividir entre 4, y ya sabes, lo tendrás, y no podrás encontrar x e y.
Él lo vio y lo ensayó una y otra vez.
No sabemos si él anotó una prueba.
Dijo que es un teorema.
Pero él es famoso por esto.
A él le gustaba, cuando estaba convencido de que algo es cierto, probablemente creía en Dios
y en el orden en el mundo, y él dijo:
si veo esto tan a menudo, debe ser cierto.
Entonces escribió el teorema, pero sin pruebas.

English: 
Let's consider 23, other nice prime. We subtract 1, get 22, not divisible by 4
So, I, you can try it yourself at home, you will not be able to write it as the sum of two squares.
And the remarkable thing is this is an easy test to subtract, and to check whether it's divisible by 4.
It's very easy, and you can try now on the internet, write down huge prime numbers
subtract 1, try to divide by 4, and you know, here you go, and you will not be able to find x and y.
He saw it and he tested it again and again.
We don't know whether he wrote down a proof.
He said it's a theorem.
But he is famous for this.
He likes, when he was convinced that something is true, he probably believed in God
and in the order in the world, and he said,
if I see this so often, it must be true.
So he wrote down theorem, but without proof.

Spanish: 
Y los matemáticos que lo siguieron se preguntaban sobre la prueba. Muy buenos matemáticos, y no pudieron hacerlo.
Cien años después, el matemático suizo Euler dio la primera prueba.
Una prueba engañosa.
Complicada. Demasiado complicada para este video. Primera prueba.
Luego, cincuenta años después, Gauss dio una prueba completamente diferente.
Setenta años después, Dedekind volvió a dar una prueba completamente diferente.
Entonces a los matemáticos les gusta dar diferentes pruebas del mismo teorema debido a
cada prueba arroja luz sobre la declaración,
y todas estas pruebas arrojan una luz diferente sobre la declaración.
Así que eso es, todas estas pruebas son demasiado complicadas incluso para hablar de eso aquí.
Pero hace unos quince años, el matemático Don Zagier de Bonn dio su famosa prueba de una oración.

English: 
And the mathematicians after him wondered about the proof. Very good mathematicians, and could not do it.
Hundred years later, the Swiss mathematician Euler gave the first proof.
A tricky proof.
Complicated. Too complicated for this video. First proof.
Then, fifty years later, Gauss gave a completely different proof.
Seventy years later, Dedekind gave again a completely different proof.
So the mathematicians like to give different proofs of the same theorem because of
every proof sheds light on the statement,
and all these proofs shed different light on the statement.
So that's, all these proofs are too complicated even to speak about that here.
But about fifteen years ago, the mathematician Don Zagier from Bonn gave the famous one sentence proof.

Spanish: 
Y de eso vamos a hablar.
Brady: "¿Una oración ?!"
En una oración Por supuesto, verás a un matemático ingenioso como Zagier,
se puede hacer en una oración.
Los matemáticos ordinarios como yo, necesitamos diez oraciones.
Y para la gente común agregaremos algunos más.
... números en números positivos en particular. Por si tuvieras infinitas soluciones
entonces estos números se harían arbitrariamente grandes.
Y p es un número fijo, por lo tanto, obtendríamos los números del lado derecho que son más grandes que p.

English: 
And that we are going to talk about.
Brady: "One sentence?!"
In one sentence. Of course you will see for an ingenious mathematician like Zagier,
it can be done in one sentence.
For ordinary mathematicians like me, I need already ten sentences.
And for ordinary people we will add a few more.
...numbers in particular positive numbers. Because of if you would have infinitely many solutions
then these numbers would get arbitrarily large.
And p is a fixed number, so we would get on the right side numbers which are larger than p.
