
Korean: 
이번 영상에서 다뤄볼 주제는
중간값 정리(또는 사잇값 정리)입니다
여러분이 보게될
여러 수학적인 용어에도 불구하고
앞으로 수학 경력을 쌓아가면서
마주하게될 이론 중 가장
직관적인 이론 중
하나일 것입니다
처음엔 그냥 한번 읽어보고
그 다음에 해석하겠습니다
그리고 모두가 이 정리는 명백하다고
인정하길 기원합니다
여기서 증명하진 않겠습니다
하지만 여기서 개념적 토대는
간단할 것입니다
이 정리는 함수 f 가
a와 b를 포함한 폐구간의
모든 점에서 연속인
경우를 가정합니다
폐구간 [a,b]의
모든 점에서 연속입니다
이 첫번째 줄을 바탕으로
함수 f가 어떻게 생겼을 지
몇가지 예를 들어보겠습니다
폐구간 [a,b]의 모든 점에서
연속인 함수 F를 가정해보자
좌표축을 그려보겠습니다
y축입니다

Czech: 
V tomto videu se budeme zabývat větou 
o nabývání mezihodnot.
Navzdory tomu, že věta
vypadá dost komplikovaně,
je jednou z nejintuitivnějších vět, možná
dokonce tou nejintuitivnější větou,
se kterou se ve velké
části matematiky setkáte.
Nejprve vám větu přečtu,
poté ji vysvětlím a snad
všichni dojdeme k závěru,
že je to jasné.
Nebudu ji teď dokazovat,
ale její podstata
by měla být jasná.
Věta mluví o funkci f spojité v každém
bodě intervalu, a to uzavřeného intervalu,
takže včetně bodů ‚a‘ a ‚b‘,
o funkci spojité v každém bodě
intervalu od ‚a‘ do ‚b‘.
Nakresleme si pár příkladů, jak
taková funkce f může vypadat.
Funkce f spojitá v každém
bodě intervalu od ‚a‘ do ‚b‘.
Nakresleme zde osy.
Tady bude osa y.

Bulgarian: 
В настоящия урок ще разгледаме
Теоремата за междинните стойности 
(теорема на Болцано).
Въпреки математическия език, 
ще видиш, че това
е една от по-логичните теореми.
Вероятно най-логичната теорема, която
ще срещнеш през голяма част 
от своята математическа кариера.
Първо ще я прочета, а след това 
ще я интерпретирам
и надявам се ще се съгласим, че е
сравнително очевидна.
Тук няма да я доказвам.
Но мисля, че концептуалната 
основа тук
следва да е ясно разбираема.
Теоремата ни казва, че имаме 
функция f,
която е непрекъсната във всяка точка
от затворения интервал,
 т.е. включително а и b.
Следователно е непрекъсната 
във всяка точка от интервала [a; b].
Нека да начертая няколко примера
за това как би могла да изглежда f,
въз основа на тези 
първи редове от теоремата.
Дадено е, че f е непрекъсната
 функция във всяка точка
от интервала [a; b].
Нека да начертая едни оси тук.
Това е оста y.

English: 
- [Voiceover] What we're
gonna cover in this video
is the intermediate value theorem.
Which, despite some of this
mathy language you'll see
is one of the more intuitive theorems
possibly the most
intuitive theorem you will
come across in a lot of your
mathematical career.
So first I'll just read it out
and then I'll interpret it and hopefully
we'll all appreciate
that it's pretty obvious.
I'm not going to prove it here.
But, I think the conceptual
underpinning here is
it should be straightforward.
So the theorem tells us
that suppose F is a function
continuous at every point of the interval
the closed interval, so
we're including A and B.
So it's continuous at every
point of the interval A, B.
Let me just draw a couple of examples
of what F could look like just
based on these first lines.
Suppose F is a function
continuous at every point
of the interval A, B.
So let me draw some axes here.
So that's my Y axis.

English: 
And this is my X axis.
So, one situation
if this is A.
And this is B.
F is continuous at every
point of the interval
of the closed interval A and B.
So that means it's got
to be for sure defined
at every point.
As well, as to be continuous you have
to defined at every point.
And the limit of the function
that is recorded at that point
should be equal to the value
of the function of that point.
And so the function is
definitely going to be defined
at F of A.
So it's definitely going to have an F of A
right over here.
That's right over here
is F of A.
Maybe F of B is higher.
Although we can look at different cases.
So that would be our F of B.
And they tell us it is
a continuous function.
It is a continuous function.
So if you're trying to
imagine continuous functions
one way to think about it is
if we're continuous over an interval

Czech: 
Tohle bude osa x.
Ještě zakreslíme
body ‚a‘ a ‚b‘.
f je funkce spojitá v každém
bodě uzavřeného intervalu od ‚a‘ do ‚b‘.
To znamená, že musí být v
každém bodě také definovaná.
Aby mohla být spojitá,
musí být vůbec definovaná
a limita funkce v daném bodě musí
být rovna funkční hodnotě v tomto bodě.
Funkce tak určitě bude
definovaná v bodě ‚a‘.
Tady někde bude
funkční hodnota v bodě ‚a‘.
Tohle bude f(a).
Řekněme třeba, že hodnota 
f v bodě ‚b‘ bude větší,
i když by mohla
nastat i jiná situace.
Tohle bude f(b).
Ze znění věty víme,
že to má být spojitá funkce.
Jeden ze způsobů, jak si představit
spojitou funkci na intervalu, je ten,

Bulgarian: 
А това е оста x.
Един случай,
ако това е a,
а това е b.
f е непрекъсната във всяка 
точка от интервала,
т.е. от затворения интервал [a; b].
Това означава, че със сигурност 
ще е дефинирана във всяка точка.
Разбира се, за да бъде 
непрекъсната, следва
да бъде дефинирана във всяка точка.
А границата на функцията, която
 се отнася за дадена точка,
следва да бъде равна на стойността 
на функцията в същата точка.
И така, функцията определено 
ще бъде дефинирана в точката f(a).
Определено ще има f(a) 
точно ето тук.
Това точно тук е f(a).
Може би f(b) е по-високо.
Въпреки че бихме могли 
да разгледаме различни случаи.
Това ще бъде f(b).
И ни казват, че е 
непрекъсната функция.
Непрекъсната функция е.
Ако се опитваш да си представиш
 непрекъснати функции,
един начин да мислиш за това е,
ако е непрекъсната в даден интервал,

Korean: 
x축입니다
어떤 상황에서
이 부분이 점 a이고
이 부분이 점 b라고 합시다
f는 폐구간 [a,b]의
모든 점에서 연속입니다
즉, 모든 점에서 확실히
정의되어야 한다는 것입니다
마찬가지로, 연속이기 위해서는
모든 점에서 정의되어야 합니다
그리고 구간내의 임의의 점에 대하여
극한값과 함숫값이 서로 같아야 합니다
그래서 당연히 함숫값 f(a)는
정의되어질 것입니다
바로 여기에 함숫값 f(a)를
가질 것입니다
여기에 있는 이 점이 바로
함숫값 f(a)입니다
아마 함숫값 f(b)는 더 클 것입니다
비록, 다른 경우도 볼 수 있지만요
이 점이 바로 함수값 f(b)가 됩니다
정리에서 함수는
연속함수라고 했습니다
연속함수라고요
연속함수를 떠올려봅시다
떠올리는 한 가지 방법은
만약 구간 내에서 연속일 때

Czech: 
že vezmeme počátek intervalu
a v něm funkční hodnotu,
a pokud je funkce
na intervalu spojitá,
tak se musíme dostat do funkční hodnoty
na konci intervalu bez zvedání tužky.
Takže tady můžu provádět různé věci,
jen musí jít stále o funkci,
tudíž nemůžu udělat
něco takového,
ale pokud při kreslení grafu nezvednu
tužku z papíru, půjde o spojitou funkci.
Pokud bych při kreslení grafu z
nějakého důvodu musel zvednout tužku,
kdybych musel udělat
něco takového,
pak musel zvednout tužku
a takto pokračovat,
tak už by nešlo
o spojitou funkci.
Stejně tak v tomto případě obdržíme
nespojitou funkci.
Kdybych šel nejdřív
takto nahoru,
pak zvedl tužku
a pokračoval dole,
tak už to nebude
spojitá funkce.
Takto tedy vypadá funkce spojitá
na uzavřeném intervalu od ‚a‘ do ‚b‘.
Můžeme si nakreslit
ještě další příklady.

English: 
we take the value of the function at
one point of the interval.
And, if it's continuous
we need to be able to
get to the other, the
value of the function
at the other point of the interval
without picking up our pencil.
So, I can do all sorts of things
and it still has to be a function.
So, I can't do something like that.
But,
as long as I don't pick up my pencil
this is a continuous function.
So, there you go.
If the somehow the graph
I had to pick up my pencil.
If I had to do something like this
oops, I got to pick up my
pencil do something like that,
well that's not continuous anymore.
If I had to do something like this
and oops, pick up my pencil
not continuous anymore.
If I had to do something like
wooo.
Whoa, okay, pick up my
pencil, go down here,
not continuous anymore.
So, this is what a continuous function
that a function that is continuous
over the closed interval A, B looks like.
I can draw some other examples, in fact,
let me do that.
So let me draw
one.
Maybe where F of B is less than

Bulgarian: 
вземаме стойността на функцията 
в една точка от интервала.
И ако е непрекъсната,
 следва да можем
да стигнем до другата точка, 
т.е. до стойността на функцията
в другата точка от интервала,
без да повдигаме молива си.
Следователно мога да правя 
каквито искам неща,
но все пак трябва да бъде функция.
Тоест, не мога да направя нещо такова.
Но,
доколкото не повдигам молива си, 
това е непрекъсната функция.
Ето това е.
Ако по някакъв начин на графиката
трябваше да повдигам молива си,
т.е. ако трябваше да направя нещо такова
и да повдигам молива си по подобен начин,
тогава вече не е непрекъсната.
Ако трябваше да правя нещо такова и,
хоп, повдигам молива си,
вече не е непрекъсната.
Ако трябваше да направя нещо като
охо!
О, добре, повдигам молива си
 и слизам ето тук,
то вече не е непрекъсната.
Следователно това е как 
една непрекъсната функция или
функция, която е непрекъсната
в затворения интервал [a; b], 
следва да изглежда.
Всъщност мога да начертая 
и някои други примери.
Нека да го направя.
Нека да начертая
една...

Korean: 
한 점에 대한 함숫값을
지정해줍니다
그리고 연속이라면 구간내
다른 점의 함숫값까지
함수를 표현할 때
연필을 들지 않고
그릴 수 있어야합니다
그래서 여러가지 함수를
그릴 수 있습니다
그리고 여전히 함수여야 합니다
이런건 할 수 없습니다
하지만
연필을 들지만 않는다면
모두 연속합수입니다
자, 여기있습니다
만약 어찌된 일인지
그래프를 그리는데
연필을 들어야한다면
이러한 함수를 그리는데
앗, 연필을 들어야 되네요
그렇다면 이 함수는 더이상
연속이 아닙니다
이런 함수를 그려야 되는데
앗, 연필을 들어야하네요
그러면 더이상 연속이 아닙니다
만약 이렇게 그려야 한다면
슈웅↗
자 다시 연필을 들고
아래서부터 그리면
더이상 연속이 아닙니다
그래서 이런 것들이 바로
연속함수입니다
폐구간 [a,b]에서 연속인
함수의 모습입니다
사실 다른 예들도 그릴 수 있습니다
그려보겠습니다
하나를 그려보겠습니다
하나를 그려보겠습니다
함숫값 f(b)가 f(a)보다 작을 때를

English: 
F of A.
So it's my Y axis.
And this is my
X axis.
And once again, A and B don't both
have to be positive,
they can both be negative.
One could be, A could be negative.
B could be positive.
And maybe in this situation.
And F of A and F of B
it could also be a positive or negative.
But let's take a situation where this is
F of A.
So that, right over there,
is F of A.
This right over here
is F of B.
F of B.
And once again we're saying F is a
continuous function.
So I should be able to go from F of A
to F of B
F of B draw a function
without having to pick up my pencil.
So it could do something like this.
Actually I want to make it go vertical.
It could go like this
and then go down.
And then
do something
like that.
So these are both cases
and I could draw an
infinite number of cases

Bulgarian: 
Може би f(b) е по-малка стойност от f(a).
Ето това е моята ос y.
А това е моята ос x.
Още веднъж, a и b не е нужно
да са положителни и двете.
И двете могат да са отрицателни.
Едната може да бъде, например 
а може да е отрицателна.
b може да е положителна.
И може би имаме такава ситуация.
А f(a) и f(b)
също може да са 
положителни или отрицателни.
Но нека вземем случай, където
това е f(a).
Това точно ето тук е f(a).
Това точно ето там, е f(b).
f(b).
И още веднъж, казваме, че f 
е непрекъсната функция,
Следователно трябва да мога 
да стигна от f(a) до f(b),
до f(b) като чертая функция,
без да трябва да повдигам молива си.
Може би прави нещо такова.
Всъщност искам да я направя вертикална.
Би могла да прави нещо такова,
а след това да слиза надолу.
И тогава да прави нещо такова.
Това са два случая,
а аз мога да начертая 
безкраен брой примери,

Korean: 
그려보겠습니다
y축입니다
x축입니다
x축입니다
또 다시, a와 b 모두
양수일 필요는 없습니다
둘다 음수일 수도 있습니다
a가 음수이고
b가 양수일 수도 있습니다
그리고 만약 이 상황에서
함숫값 f(a)와 f(b) 모두
양수이거나 음수일 수 있습니다
하지만 이 점이 f(a)라는 상황을
가정해 보겠습니다
이 점이 f(a)입니다
이 점이 f(a)입니다
이 점이 f(b)입니다
이 점이 f(b)입니다
f(b)입니다
다시 한 번 말하자면 함수 f는
연속함수입니다
그러므로 f(a)에서
f(b)까지
연필을 들지 않고
함수를 그릴 수 있어야 합니다
이렇게 생길 수도 있습니다
사실 수직으로 하고 싶습니다
이렇게 그려지고
내려갔다가
다시
이렇게
그릴 수 있습니다
이 두 상황은 무한개를
그릴 수 있는 상황인
f가 구간 내 모든 점에서 연속인

Czech: 
Zkusme nakreslit funkci, jejíž hodnota v
bodě ‚b‘ je menší než hodnota v bodě ‚a‘.
Tohle bude moje osa y.
Tady bude osa x.
‚a‘ a ‚b‘ klidně nemusí být kladná čísla,
mohou být obě záporná.
Zvolme ‚a‘ záporné
a ‚b‘ kladné.
Hodnoty funkce v bodech ‚a‘ a ‚b‘ mohou
být také kladné nebo záporné.
Pro náš příklad
zvolme f v bodě ‚a‘ tady
a f v bodě ‚b‘
zvolme tady.
Připomeňme, že f
musí být spojitá funkce,
takže bych měl být schopen spojit body
f(a) a f(b), aniž při tom zvednu tužku.
Funkce může
vypadat třeba takto.
Mohla by jít nejdříve takto, pak směřovat
dolů a nakonec udělat něco takového.
To jsou dva příklady funkcí,
a takových příkladů může
být nekonečně mnoho,

Korean: 
함수를 그리는 상황 중
두 가지 경우입니다
폐구간 [a,b]에서요
중간값 정리를 서술하는
두 가지 방법이 있는데
두 가지 방법이 있는데
이 둘 중 하나의 종류로
서술될 수 있습니다
같은 내용입니다
그래서 이 두 가지를 모두 적었습니다
정리를 설명하는 한 가지 방법은
여기 쓰여진 첫 번째 설명이 맞다면
함수 f는 구간내에서
함숫값 f(a)와 f(b)사이의 모든 값을
함숫값으로 가질 것입니다
여기 보이는 것처럼 두가지 경우 모두
모든 구간, 죄송합니다
f(a)와 f(b)사이의
모든 값들이
이 부분의 모든 값들이
어떤 특정한
함수위의 점에 대응됩니다
어떤 값을 선택해서
어떤 임의의 값을 선택해서
이 부분을 L이라 합시다
보세요.
L이 바로 여기 있습니다
L을 선택하면
L이 바로 여기에 있습니다
그리고 사실 여기도 있습니다
그리고 여기에서도 나타납니다
그리고 이 두 번째 문단에서는

Bulgarian: 
където f е непрекъсната функция
 във всяка точка от интервала.
Затвореният интервал [a; b].
Като имаме дадено това,
съществуват два начина 
да заявим заключението
от теоремата за междинните стойности.
Виждаш го написано 
по един от тези начини
или нещо близо до един от тези начини.
Ето защо включих и двете точки.
Един начин да го кажеш,
е ако това първо твърдение е вярно,
то f преминава през всяка стойност
между f(a) и f(b) в интервала.
И виждаш и двата от тези случаи,
всеки интервал. Извинявам се, всяка
стойност между f(a) и f(b).
През всяка стойност тук
е преминато в даден момент.
Може да избереш някаква стойност.
Може да избереш някаква стойност. 
Произволна стойност
L точно ето тук.
О, виж. L се получава ето там.
Ако избереш L,
то L се получава ето тук.
И всъщност се получава там, 
а също и там.
И тази втора точка описва

Czech: 
které jsou spojité v každém bodě
uzavřeného intervalu od ‚a‘ do ‚b‘.
S tímto předpokladem má pak věta
o nabývání mezihodnot dvě možné varianty.
V literatuře se vyskytuje v obou
variantách, proto je zde uvádím.
První říká, že pokud je
splněn tento předpoklad,
pak f na tomto intervalu nabyde
každou hodnotu mezi f(a) a f(b).
V obou našich příkladech vidíte,
že každá hodnota mezi f(a) a f(b),
že každou z těchto hodnot
funkce v nějakém bodě nabývá.
Můžeme vybrat
libovolnou hodnotu.
Vyberme například
tuto hodnotu L.
Vidíme, že hodnotu L
funkce nabyla tady.
Pokud si vezmeme L tady, tak zjistíme, že
je nabýváno rovnou ve třech případech.

English: 
where F is a function
continuous at every point
of the interval.
The closed interval, from A to B.
Now, given that
there's two ways to state the conclusion
for the intermediate value theorem.
You'll see it written in one of these ways
or something close to one of these ways.
And that's why I included both of these.
So one way to say it is, well
if this first statement is true
then F will take on every value
between F of A and F of B
over the interval.
And you see in both of these cases
every interval, sorry, every
every value between F of A
and F of B.
So every value here
is being taken on at some point.
You can pick some value.
You can pick some value,
an arbitrary value
L, right over here.
Oh look.
L happened right over there.
If you pick L
well, L happened right over there.
And actually it also happened there
and it also happened there.
And this second bullet point describes

English: 
the intermediate value
theorem more that way.
For any L between the values of F and A
and F of B
there are exists a number C
in the closed interval from A to B
for which F of C equals L.
So there exists at least one C.
So in this case
that would be our C.
Over here, there's potential
there's multiple candidates for C.
That could be a candidate for C.
That could be a C.
So we could say there exists at least
one number.
At least
one number, I'll throw that in there,
at least one number C
in the interval for which this is true.
And, something that might amuse you
for a few minutes is
try to draw a function where this first
statement is true.
But somehow the second statement is
not true.
So, you say, okay, well let's say
let's assume that there's an L
where there isn't a C in the interval.
Let me try and do that.
And I'll draw it big so that
we can really see how obvious

Czech: 
Druhá odrážka u věty
mluví právě o tomhle.
Pro libovolné L mezi
hodnotami f(a) a f(b)
existuje ‚c‘ z uzavřeného intervalu
od ‚a‘ do ‚b‘ takové, že L se rovná f(c).
Přesněji existuje
alespoň jedno ‚c‘.
V našem prvním
případě bude ‚c‘ tady.
Ve druhém případě máme
pro ‚c‘ více možností.
‚c‘ by mohlo být zde
nebo bychom
ho mohli zvolit tady.
Mohli bychom tedy říct, že existuje
alespoň jedno takové číslo,
alespoň jedno číslo ‚c‘ v tomto intervalu,
pro které je tohle pravda.
Zábavou na pár minut může být
zkusit si nakreslit funkci,
která splňuje předpoklad věty,
ale pro niž druhé tvrzení neplatí.
Řekněme, že existuje L, pro které
v daném intervalu neexistuje takové ‚c‘.
Zkusme to tu
vytvořit společně.
Nakresleme si velký obrázek,
abychom doopravdy viděli,

Bulgarian: 
теоремата за междинните стойности 
по този начин.
За всяко L между стойностите f(a) и f(b)
съществува число C 
в затворения интервал [a; b],
за което f(C) = L.
Съществува поне едно C.
В този случай 
това ще бъде нашето C.
Ето тук има потенциал
за множество кандидати за C.
Това може за е кандидат за C.
Това може да е C.
Можем да кажем, че 
съществува поне едно число.
едно число. Ще поставя това там.
Съществува поне едно число C
в интервала, за което това е вярно.
А нещо, което може да те разсмее
за няколко минути,
е да се опиташ да начертаеш 
функция, за която първото
твърдение е вярно.
А второто по някакъв начин 
не е вярно.
Казваш си, добре, нека
да предположа, че съществува L,
за което няма C в интервала.
Нека да се опитам да направя това.
И ще го направя толкова голямо, че
да може реално да видим 
колко е очевидно,

Korean: 
중간값 정리를
이런 측면에서 설명하고 있습니다
함숫값 f(a)와 f(b)사이의
임의의 L에 대하여
f(c)=L을 만족하는
폐구간 [a,b]내의
c가 존재합니다
최소한 한 개의 c가 존재합니다
이 상황에서는
이 점이 바로 c가 됩니다
여기서는 잠재적으로
c가 될 수 있는
여러 후보들이 있습니다
이 점이 c의 후보가 될 수 있습니다
이 점이 c가 될 수 있습니다
최소한 한 개의 수가 존재한다고
말할 수 있습니다
최소한
한 개의 수
이 내용을 추가하겠습니다
f(c)=L 을 만족하는
최소한 한 개의 c가
구간내에 존재합니다
그리고 몇 분 동안
놀라게 할 내용은
첫 번째 설명에 대해서는
성립하지만
두 번째 설명에 대해서는
성립하지 않는 함수를 그려보겠습니다
성립하지 않는 함수를 그려보겠습니다
구간 내에 c가 존재하지 않는
L이 있다고 가정해봅시다
한 번 해봅시다
조금 더 크게 그려서
f(a)와 f(b)사이의

Bulgarian: 
че трябва да преминем
през всички стойности между f(a) и f(b).
И така,
нека да начертая една
 голяма ос този път.
Това е моята ос y.
A това е моята ос х.
Ще направя случая, където
това е опростено, ето това  е a, 
а това е b.
И нека да кажем, че това е f(a).
Това е f(a).
И нека да кажем, че това е f(b).
Малка пунктирана линия.
Добре. f(b)
Предполагаме, че имаме
непрекъсната функция тук.
Графиката мога да начертая
от f(a) до f(b), или от тази точка 
до тази точка,
без да повдигам молива си.
От тази координата (a; f(a))
до тази координата (b; f(b)),
без да повдигам молива си.
Нека да предположим,
че има някакво число L, 
през което не преминаваме.
Нека да кажем, че има
 някаква стойност L ето тук.

Czech: 
jak je jasné, že funkce nabyde
všechny hodnoty mezi f(a) a f(b).
Nakresleme si velké osy.
Tohle bude osa y.
Tady bude osa x.
Pro jednoduchost uděláme ten případ,
kdy je ‚a‘ tady a ‚b‘ tady.
Řekněme, že f(a) je zde.
Tady bude f(a).
A řekněme,
že f(b) je zde.
Dále předpokládáme,
že máme spojitou funkci.
Tedy graf mezi f(a) a f(b) dokážu
nakreslit, aniž bych zvedl tužku z papíru.
Z bodu [a;f(a)] do bodu [b;f(b)]
bez zvednutí tužky z papíru.
Rovněž však předpokládáme, že existuje 
takové L, jehož hodnotu funkce nenabyde.

Korean: 
모든 값에 대해 명백한지
알 수 있게끔
해보겠습니다
그래서
이번엔 큰 축을 그리겠습니다
y축입니다
그리고
x축입니다
그냥 간단한 상황에 대해
해보겠습니다
이 점이 a고
이 점이 b입니다
이 점이 f(a)라고
해봅시다
이 점이
f(a)입니다
그리고 이 점이 f(b)라고
해봅시다
작은 점선을 그리면
좋습니다
함숫값 f(b)
여기 그려지는 함수가
연속함수하고 가정했습니다
그래서 f(a)에서 f(b)까지
그려지는 그래프는
연필을 떼지 않고
그릴 수 있습니다
이 좌표 (a,f(a))부터
이 좌표 (b,f(b))까지
연필을 떼지 않고
그릴 수 있습니다
자, 함수가 값을 취하지 않는
어떤 L이 있다고 가정해봅시다
여기에 L이 있다고 해봅시다

English: 
that we have to take on
all of the values between F and A
and F of B is.
So,
let me draw a big axis this time.
So that's my Y axis.
And,
that is my X axis.
And I'll just do the case where
just for simplicity, that is A
and that is B.
And let's say
that this is F of A.
So that is
F of A.
And let's say that this
is F of B.
Little dotted line.
All right.
F of B.
And we assume that we
we have a continuous function here.
So the graph, I could draw it from
F of A to F of B from this point
to this point
without picking up my pencil.
From this coordinate A comma F of A
to this coordinate B comma F of B
without picking up my pencil.
Well, let's assume
that there is some L
that we don't take on.
Let's say there's some
value L right over here.

Korean: 
그리고
이 값은 절대 취하지 않을 것입니다
이 연속함수는 
x는 a에서 x는 b까지
절대 이 값을 취하지 않습니다
이 함수를 그릴 수 있을지 봅시다
이 점에서부터
이 점에서부터
이 점까지
근본적으로 이 점선을
지나지 않고 닿을 수 있을지 봅시다
봅시다 슈웅↗ 잠깐
이쪽으로 가면 더 갈 수도
아니 어떻게 저기까지
갈 수 있을까요?
연필을 떼지 않고 어떻게 갈까요?
자
정말로 이 선을 지나야만 합니다
해냈습니다
L값을 폐구간 내의
c에서 값을
취하게 되었습니다
다시 한 번 말씀드리자면
여기서 증명하진 않을 것입니다
하지만 중간값 정리는
사실 상식 수준이라는
직감을 가졌길 바랍니다
핵심은 연속함수라는 것입니다
그래프를 그릴 때
점 (a,f(a))에서
점 (b,f(b))까지
그래프를 그릴 때
그리고 연필을 떼지 않는다면
연속 함수에 해당되면

English: 
And,
and we never take on this value.
This continuous function
never takes on this value
as we go from X equaling A to X equal B.
Let's see if I can draw that.
Let's see if I can get
from here
to here
without ever essentially
crossing this dotted line.
Well let's see, I could, wooo,
maybe I would a little bit.
But gee, how am I gonna get there?
Well, without picking up my pencil.
Well,
well, I really need to
cross that line,all right.
Well, there you go.
I found, we took on the value L
and it happened at C
which is in that closed interval.
So once again, I'm not
giving you a proof here.
But hopefully you have a good intuition
that the intermediate value theorem
is kind of common sense.
The key is you're dealing
with a continuous function.
If you make its graph
if you were to draw it between
the coordinates A comma F of A
and B comma F of B
and you don't pick up your pencil,
which would be true of
a continuous function.

Czech: 
Řekněme, že
zde je hodnota L
a že tuto hodnotu funkce
nikdy nenabude,
že naše spojitá funkce nikdy
nenabude této hodnoty,
když jdeme z bodu x rovno ‚a‘
do bodu x rovno ‚b‘.
Podívejme se, jestli to
dokážeme nakreslit.
Podívejme se, zda se odsud
sem dokážu dostat,
aniž bych protnul tuto
přerušovanou čáru.
Můžu...tady ještě
chvilku počkám...
Jak se tam ale dostanu,
aniž bych zvedl tužku?
Prostě nutně musím
protnout tuhle čáru.
Tím ale funkce nabyla
hodnoty L v tomto bodě ‚c‘,
který leží v našem
uzavřeném intervalu.
Připomínám, že
se nejedná o důkaz,
ale snad nyní máte
aspoň představu o tom,
že věta o nabývání mezihodnot
odpovídá selskému rozumu.
Důležité je, že pracujeme
se spojitými funkcemi.
Pokud nakreslíme graf
mezi body [a;f(a)] a [b;f(b)]
a nezvedneme přitom tužku z papíru,
což platí pro spojité funkce,

Bulgarian: 
И никога не преминаваме 
през тази стойност.
Тази непрекъсната функция никога 
не минава през тази стойност,
когато стигаме от x = a до x = b.
Нека да видим дали мога 
да начертая това.
Нека да видя дали мога 
да стигна от тук до тук,
без реално да пресичам тази прекъсната линия.
Добре, бих могъл, охо!
Може би ще успея за малко.
Виж ти, как да стигна до там?
И то без да повдигам молива си.
Е, действително трябва да пресека 
тази линия. Добре.
Ето, че го направих.
Открих, че преминах през стойността L
и това се случи в точката C,
която е в този затворен интервал.
Още веднъж, не ти давам 
доказателство тук.
Но надявам се, че схвана логиката,
че теоремата за междинните стойности
има смисъл.
Ключовото е, че става дума за 
непрекъсната функция.
Ако направиш графиката ѝ
и ако трябваше да я начертаеш
между координатите (a; f(a)) и (b; f(b)),
и не повдигаш молива си,
това ще бъде вярно за 
непрекъсната функция.

Czech: 
tak funkce nabude všechny
hodnoty mezi f(a) a f(b).

Korean: 
f(a)와 f(b)사이의
모든 값을 취할 것입니다

Bulgarian: 
Тя ще премине през всяка стойност
между f(a) и f(b).

English: 
Well, it's going to take on every value
between F of A and F of B.
