
Korean: 
 
여러분, 핵심 미적분학 시리즈의 첫 번째 영상입니다.
다음 10일 동안 하루에 한 번 다음 영상을 게시하겠습니다.
제목이 말해주듯이, 목표는 과목의 핵심을 끄집어내는 것입니다.
한번에 몰아볼 수 있을 분량이지만, 미적분학처럼 광범위한 주제에 대해서요.
미적분학이 의미하는 것은 다양합니다. 그래서 여기서는 제가 생각하는 것들을 중점적으로 다루겠습니다.
미적분학에는 암기해야 하는
많은 규칙들과 공식들이 있습니다.
많은 미분공식, 곱의 미분법, 연쇄법칙, 음함수의 미분법
그리고 도함수들은 갑자기 테일러 급수
와 같은 것들과 마주하게 됩니다.
그리고 저의 목표는 여러분들이 그러한 모든 핵심
아이디어들을 아우를 수 있는 미적분학을 스스로
만들 수 있었을 것 같다는 느낌에서 벗어나도록

Swedish: 
Hej allihop, Grant här. Det här är den första videon i en serie om matematikens kärna.
Jag kommer lägga upp följande videos en gång om dagen de nästkommande 10 dagarna.
Målet här, som namnet antyder, är att nå kärnan i matematik
i ett format som ska vara vänligt att maratontitta trots ämnets bredd.
Det kan betyda många olika saker. Så här är vad jag tänkt mig specifikt.
Matematik har många regler och formler som ofta presenteras som
saker att memorera.
Många formler för derivator, produktregeln, kedjeregeln, implicit differentiering,
det faktum att integrering och derivering är motsatta
Taylor-expansioner. Många sådana saker.
och mitt mål är för dig att känna att
du själv hade kunnat uppfinna
alla dessa regler och formler själv.

French: 
[MUSIQUE D'INTRODUCTION]
« L'art de faire des mathématiques est de trouver ce cas particulier qui contient toutes les graines de la généralisation. »
Salut tout le monde, c'est Grant.
Voici la première vidéo de la série « Au cœur de l'analyse. » (calculus = analyse ou calcul différentiel et intégral).
Je publierai les vidéos suivantes dans les 10 prochains jours, une par jour.
Le but ici, comme le nom le suggère,
est de vraiment rentrer au cœur du sujet en une série qui peut être vue d'un coup.
Mais avec un sujet aussi vaste que l'analyse,
cela pourrait signifier beaucoup de choses, donc, voici ce à quoi je pense plus précisément.
L'analyse contient de nombreuses règles et formules souvent introduites
comme étant des choses à mémoriser.
Beaucoup de formules de dérivation,
comme la règle du produit, de fonctions composées, de dérivation implicite,
le fait que l'intégrale et la dérivée sont réciproques,
les séries de Taylor... et plein de choses comme ça.
Et mon but est de te voir repartir en pensant que tu aurais pu inventer l'analyse par toi-même,

Chinese: 
「做數學的藝術在於尋找那囊括所有通則的特例」 
-David Hilbert
大家好 我是格蘭特 這是"微積分精華"系列的第一個影片
在接下來的十天，我會每天發布一個影片
正如名字所指出的，這裡的目的是
能夠在一系列的影片中把題材的核心展現出來
但像微積分這樣廣泛的題材是可以意味著很多東西的
所以，以下是我想要講的
微積分有很多的規則和公式
通常這些內容會被視為是要背誦的東西
大量的求導公式，乘法法則，鏈鎖律，隱微分
微分是積分的逆運算
泰勒級數...等等很多像這樣的東西
而我的目標是讓你看完之後
覺得你好像可以自己發明微積分
也就是說，涵蓋所有的核心概念

Russian: 
[ВСТУПИТЕЛЬНАЯ МУЗЫКА]
"Искусство занятия математикой в нахождении особого случая, который содержит зародыш обобщения."
-Давид Гильберт
Привет всем, это Грант. Это первое видео из серии о сути матана
и я буду публиковать следующие видео раз в день течение следующих 10 дней.
Цель, как явствует из названия, по настоящему раскрыть суть этой области знания
в одной удобоваримой подборке видео. Но за такой широкой темой как матан
может подразумеваться многое. Поэтому вот что подразумеваю конкретно я.
Матан содержит много правил и формул которые часто преподносятся
как вещи которые нужно просто запомнить.
Множество формул производных,  правило произведения, цепное правило, неявное дифференцирование,
противопоставление интегралов и производных, ряд Тейлора
и много других вещей как эти.
И моя цель дать вам
чувство как если бы вы сами могли изобрести
матан сами. Мы покроем все

Chinese: 
[INTRO MUSIC]
微積分精要
 
“做數學的藝術在於發現那些包括有特殊情況的通用性的所有的寳石。”          - David Hilbert
大家好，我是格蘭特。這是"微積分精要"系列的第一個視頻。
在接下來的十天，我會每天發一個視頻。
這裏的目標是，正如名字所指出的那樣把真正題材目的核心取出來的
可以連著來看的一套題材，但是像微積分這樣廣泛的題目，
可以意味很多東西的。因此，在此是特別是一直在我腦子裏的東西。
積分有很多的規則和公式，這常常
提到是要記住的東西。
一大堆的導數公式，乘法法則，鏈式法則，偏導數
和導數是反泰勒級數等等
像很多這樣的東西
而我的目標是讓你在看完影片後
感覺就像你自已也許就能發明過了
微積分那就是包括所有那些

Portuguese: 
"A arte de fazer matemática é encontrar aquele caso especial que contem todos os germes de generalização"
Oi, aqui quem fala é o Grant
Este é o primeiro vídeo numa série sobre a essência do cálculo
E vou publicar os próximos vídeos diariamente, pelos próximos 10 dias
O objetivo aqui, como o nome sugere, é realmente compreender a alma do assunto
Numa grande maratona 'assistível'
Mas em um tópico abrangente como cálculo
Isso pode significar várias coisas
Então, isso é o que eu realmente tenho em mente:
O cálculo tem várias regras e fórmulas
Que são normalmente são apresentadas como coisas para serem decoradas
Várias fórmulas de derivadas, a regra dos produtos, a regra da cadeia, diferenciação implícita
O fato de integrais e derivadas serem opostos, a série de Taylor
Várias coisas desse gênero
E meu objetivo é que você saia daqui se sentindo como se você mesmo pudesse ter inventado o cálculo

Slovak: 
"Umenie pri práci s matematikou je nájsť ten špeciálny prípad, ktorý obsahuje všetky zárodky všeobecnosti."        -David Hilbert
Ahoj, som Grant. Toto je prvé video zo série videí "základy počítania"
a nasledujúce videá budem publikovať každý deň nasledujúcich 10 dní.
Cieľom týchto videí je, ako názov naznačuje, priblížiť pointu problematiky
v jednej objemnej pozerateľnej sérii, čo rozumieme pod slovom calculus (počet, počítanie)
To však môže znamenať dosť veľa vecí. Takže, trochu to špecifikujem.
Počítanie má veľa pravidiel a vzrocov, ktoré sú často prezentované
ako veci na zapamätanie.
Veľa vzorcov pre derivácie, pravidlo súčinu, reťazové pravidlo, implicitné funkcie
a že derivácie sú opakom Taylorových
radov a mnoho ďalších podobných vecí.
Mojím cieľom je dať vám pocit,
akoby ste vy to mohli vymyslieť
aj vy, so všetkými

Arabic: 
[INTRO MUSIC]
مرحبا بالجميع، هذا هو أول فيديو في سلسلة جوهر التفاضل.
و سوف أنشر الفيديوهات القادمة يوميا لمدة 10 أيام.
الهدف هنا - كما يقترح الإسم - هو فهم الأساسيات لمادة التفاضل بعمق.
في هذه السلسلة مع موضوع واسع مثل التفاضل
هناك الكثير من الأشياء المهمة، هذه هي الأشياء التي أفكر بها بالتحديد.
ان التفاضل يحتوي علي الكثير من القواعد و القوانين التي غالبا ما يتم تقديمها على أنها
أشياء يجب أن تحفظ
الكثير من معادلات التفاضل: قاعدة السلسلة و التفاضل الضمني
حقيقة أن التكامل عكس الاشتقاق و متسلسلة تايلور،
و هناك الكثير مثل هذا.
و هدفي هو أن أجعلك
تشعر أنك من الممكن أن تخترع
التفاضل بنفسك والذي يغطي كل هذه

iw: 
 
היי כולם, זה גראנט. זהו הסרטון הראשון בנושא "החשיבות של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (חדו"א)
וסרטונים נוספים יפורסמו בכל יום מ-10 הימים הבאים
המטרה של הסרטונים האלו היא בעצם לחקור את החדו"א על בוריה
ובכמה סרטונים בלבד. למרות זאת, בנושא רחב כמו חדו"א
יכולים להיות הרבה דברים לא נעימים. לכן, הנה מה שחשבתי:
לחדו"א יש המון כללים ונוסחאות שיכולים להיות בדרך כלל מוצגים
בתור דברים שצריך לשנן בעל פה
כללי גזירה, כלל לייבניץ (לגזירה של מכפלת פונקציות), כלל השרשרת, גזירת אינטגרל מסוים
העובדה שאינטגרל ונגזרת הם "הפכים" אחד של השני, טורי טיילור
יש המון דברים כאלה
והמטרה שלי, היא שבסופו של דבר תרגישו
כאילו יכולתם לחשוב על כל זה בעצמכם
לכסות את כל הנושאים

Spanish: 
"El arte de hacer matemáticas es encontrar ese caso especial que contiene todos los principios generales" -David Hilbert
Ey, buenas a todos, aquí Grant. Este es el primer video de una serie sobre las esencia del cálculo
y publicaré los siguientes videos una vez al día durante los próximos diez días.
El objetivo aquí, como sugiere el nombre
es captar la esencia del tema en al 
 menos una serie de videos
Pero con un tema tan amplio como el cálculo
eso puede significar muchas cosas distintas. Así que esto es lo que tengo en mente específicamente:
El cálculo tiene muchas normas y fórmulas que normalmente se presentan como cosas que memorizar:
Montones de fórmulas de derivadas, la norma del producto, de la cadena,
derivación implícita, el hecho de que integrales y derivadas son operaciones opuestas,
series de Taylor... muchas cosas como estas.
Y mi objetivo es que salgas sintiéndote
como si pudieras haber inventado el Cálculo tú mismo.
Eso es abarcar todas esas ideas básicas

Turkish: 
[GİRİŞ MÜZİĞİ]
"Matematik sanatı umumiyetin tüm özünü barındıran o özel durumu bulmaktır."
Herkese Grant'ten selamlar. Bu video Kalkülüs'ün Özü serisinin ilk video'su.
Geri kalan videoları önümüzdeki 10 gün içinde günlük olarak paylaşıcağım.
Amaç ise, başlıktan da belli olduğu gibi konunun özünü keyifle kavrayabileceğiniz bir set oluşturmak.
Konu kalkülüs olduğunda aklımıza birtakım keyifsiz şeyle gelebilir.
Bunlardan benim aklımdakiler:
Kalkülüsün ezberlenmesi gereken birçok kuralı ve formülü olması
bir sürü türev formülü, çarpım kuralı zincir kuralı, kapalı türevleme
Türevin Taylor serilerinin tersi olması gerçeği,
bunun gibi bir çok şeyler.
ve benim amacım da bunları bir kenara bırakıp kalkülüsü kendiniz icat ediyormuş gibi hissetmeniz.

Polish: 
"Sztuka uprawiania matematyki polega na znalezieniu
tego szczególnego przypadku, który zawiera
wszystkie zarodki ogólności." - David Hilbert
Witam, jestem Grant. To jest pierwszy film
z serii "Istota rachunku różniczkowego".
Przez następne 10 dni będę codziennie
publikował filmy o tej tematyce.
Moim celem, jak wskazuje nazwa, jest wydobyć sedno
tego działu matematyki w filmach tak,
aby dało się je oglądnąć w rozsądnym czasie.
Jednak w przypadku tak rozległego tematu
"sedno" może znaczyć wiele rzeczy. Sprecyzujmy więc.
Rachunek różniczkowy ma wiele reguł, o których
mówi się, że trzeba się ich po prostu nauczyć.
Pochodne podstawowych funkcji, pochodna iloczynu,
pochodna złożenia, funkcje uwikłane,
to, że całka i pochodna są operacjami odwrotnymi,
szeregi Taylora i wiele innych.
Moim celem jest sprawić, żebyś uwierzył,
że sam to mógłbyś wszystko wymyślić.
Przedstawię wszystkie podstawowe pomysły tak,

English: 
[INTRO MUSIC]
Hey everyone, Grant here. This is the first video in a series on the essence of calculus.
and I'll be publishing the following videos once per day for the next 10 days.
The goal here, as the name suggests, is to really get the heart of the subject out
in one binge watchable set. But with a topic that's as broad as calculus.
there's a lot of things that can mean. So, here's what I've in my mind specifically.
Calculus has a lot of rules and formulas which are often presented as
things to be memorised.
Lots of derivative formulas, the product rule, the chain rule, implicit differentiation,
the fact that integrals and derivatives are opposite, Taylor
series; just a lot of things like that.
And my goal is for you to come away
feeling like you could have invented
calculus yourself. That is, cover all

Italian: 
 
L'arte del fare la matematica è trovare quel caso speciale che contiene tutte i semi della generalità
Ciao a tutti! Grant qui. Questo è il primo video di una serie sull'essenza del calcolo infinitesimale.
e pubblicherò questi video una volta al giorno per i prossimi 10 giorni.
Lo scopo, come il nome suggerisce, è di arrivare al cuore della materia
in una serie guardabile tutta in una volta su un argomento così grande come il C.I.
Ci sono molte cose che possono essere importanti, questo è cos'ho in mente
Il C.I. ha un sacco di regole e formule che sono molto spesso presentate come
cose da memorizzare
Formule di derivazione, regole sul prodotto, regola della catena e differenziazione implicita
il fatto che integrali e derivate sono opposti,  serie di Taylor
un sacco di cose del genere.
Il mio obiettivo è di farti finire la serie
sentendoti come se tu potessi aver inventato
il C.I. da solo, coprendo tutte

Modern Greek (1453-): 
[ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ]
"Η τέχνη στα μαθηματικά είναι να βρίσκεις εκείνη την ειδική περίπτωση στην οποία κρύβονται όλες οι ρίζες της γενικότητας"  ~David Hilbert
Γεια σε όλους, Grant εδώ. Αυτό είναι το πρώτο βίντεο στη σειρά για την ουσία του Λογισμού.
και θα δημοσιεύω τα επόμενα βίντεο, ένα κάθε μέρα για τις επόμενες 10 ημέρες.
Ο στόχος εδώ, όπως φαίνεται και από τον τίτλο, είναι να μπείτε πραγματικά στην καρδιά του ζητήματος
μέσα από μία σειρά που μπορείτε να δείτε με τη μία. Όμως για ένα θέμα τόσο ευρύ όσο ο Λογισμός,
αυτό μπορεί να σημαίνει πολλά πράγματα. Οπότε, να τι έχω στο μυαλό μου συγκεκριμένα.
Ο Λογισμός περιέχει πολλούς κανόνες και τύπους που συχνά παρουσιάζονται ως
κάτι που πρέπει να μάθεις απ' έξω.
Πολλοί τύποι παραγώγισης, ο κανόνας γινομένου, ο κανόνας αλυσίδας, η παράγωγος πεπλεγμένης συνάρτησης,
το γεγονός ότι η ολοκλήρωση και η παραγώγιση είναι αντίστροφες, οι σειρές
Taylor, πάρα πολλά τέτοια πράγματα.
Και ο στόχος μου είναι να σας κάνω να νιώθετε στο τέλος
σαν να είχατε εφεύρει εσείς οι ίδιοι τον Λογισμό.

German: 
Die Kunst, Mathematik zu betreiben, besteht darin, den Spezialfall zu finden, der alle Keime der Verallgemeinerung beinhaltet. - David Hilbert
Hallo zusammen, hier ist Grant.
Das ist das erste Video in einer Serie über die Grundlagen der Analysis
und ich werde die nachfolgenden Videos täglich über die nächsten 10 Tage veröffentlichen.
Das Ziel ist es, wie der Name schon sagt,
wirklich den Kern des Themas rüberzubringen,
in einem Block, den man am Stück schauen kann.
Aber mit einem Thema, das so weitreichend wie die Analysis ist,
gibt es Vieles, das das bedeuten kann.
Also habe ich Folgendes vor:
Die Analysis hat viele Regeln und Formeln,
welche oft so dargestellt werden, als müsse man sie auswendig lernen.
Viele Ableitungsformeln, die Produkt- und Kettenregel,
implizite Ableitung, die Tatsache, dass Integrale und Ableitungen das Gegenteil voneinander sind,
die Taylorreihe - einfach viele dieser Dinge.
Und mein Ziel ist es, am Ende für dich das Gefühl zu erschaffen,
als hättest du die Analysis selber entwickeln können.
Das bedeutet, all diese Konzepte zu behandeln,

Chinese: 
核心想法，但用一種方法搞清楚
他們實際上是從哪裏來的以及
他們真正的意思
用一種全面的圖像方式。
發明數學並不是開玩笑而在知為什麽
一件事是真的和某件事是真的和
實際上把它推導出來之間
是有分別的。在所有的觀點上
我要你把自己想成好像是一個
在思考著這些想法和在作出
那些正確的圖像的早期的數學家
你會不會合理地感到你自己會偶然地
發現了這些真理。
在這個最初的視頻我要你看
你怎麽會怎麽會
對圓的面積作很深入的思考
而絆入微積分的核心思想的。
可能你已經
知道圓面積是 π 乘以其半徑的平方。
但是為什麼呢？有沒有一個好的方法
去想想這個公式是從什麽地方來的呢？
好好琢磨這個問題並
讓自己放手來探索
這些出來的有趣想法實際上
能把你窺視一下
在微積分中的三大思想：積分
導數，以及這個事實們是
互相相逆的。

iw: 
אבל בדרך שבה תוכלו להבין
מאיפה הרעיונות האלו הגיעו
ומה הם בעצם אומרים
תוך שימוש באמצעים ויזואליים
להמציא מתמטיקה זה נושא רציני
ויש הבדל בין לדעת למה משהו נכון
לאשכרה לבנות הכל מהתחלה
בכל שלב בסרטונים
הייתי רוצה שתחשבו רגע
נניח והייתם מתמטיקאים בתקופה הזאת
מתנסים ברעיונות הללו ומציירים לעצמכם הוכחות
האם זה היה מרגיש לכם טבעי
אם הייתם עולים על הרעיונות האלו.... בעצמכם?
בסרטון הראשון בסדרה
הייתי מעוניין להראות לכם כיצד הייתם יכולים לעלות על הרעיונות הבסיסיים הללו
תוך כדי מחשבה עמוקה מאוד
על נושא ספציפי אחד בגאומטריה:
השטח של מעגל
אתם ככל הנראה יודעים שהשטח הוא פאי כפול רדיוס המעגל בריבוע
אבל, למה?
יש איזושהי דרך "נעימה" יותר לחשוב על: איך הגענו לנוסחה הזאת?
טוב,
הרהור על הבעיה
ולתת למוח שלכם לחקור
את כל המחשבות המעניינות שצפות
יכול לתת לכם כיוון אל הצצה לנושאים הגדולים בחדו"א:
אינטגרלים, נגזרות
והעובדה שהם "הפכים" אחד של השני
 

Spanish: 
pero de una forma en que se vea claramente de dónde provienen  y qué significan realmente
utilizando un acercamiento visual al problema
Inventar las matemáticas no es nada fácil
y hay una diferencia entre que te digan por qué algo es cierto
y realmente llegar a esa misma conclusión desde cero.
Pero en todo momento quiero que pienses que
si fueras uno de los primeros matemáticos jugando con éstas ideas
y dibujando los diagramas adecuados,
¿no sería razonable que tú también hubieses llegado a las mismas conclusiones?
En este video inicial quiero mostrarte cómo tú podrías encontrarte con ideas básicas del cálculo
pensando profundamente sobre un aspecto en concreto de la geometría:
El área de un círculo.
Tal vez sepas que es [pi] por el radio al cuadrado.
Pero ¿por qué? ¿Hay alguna buena forma de demostrar de dónde proviene esta fórmula?
Bueno, al reflexionar sobre este problema
y al dejarte a tí mismo explorar las interesantes ideas que te surjan
puede llevarte a entrever tres grandes ideas del cálculo:
Integrales, derivadas
y el hecho de que son opuestas.

Polish: 
żeby było wiadomo, skąd się one wzięły i
jaki jest ich sens, korzystając z poglądowych rysunków.
Tworzenie teorii matematycznych to poważna rzecz.
To dwie różne sytuacje:
zobaczyć, dlaczego coś działa i stworzyć to od zera.
Cały czas chciałbym, żebyś myślał o sobie
jak o pierwszych matematykach,
którzy myśleli nad tymi problemami i rozrysowywali je.
Czy ty dałbyś radę wymyślić to samemu?
W tym filmie chciałbym pokazać, jak możesz się
zetknąć z podstawowymi pojęciami
rachunku różniczkowego, dogłębnie analizując
jeden problem geometryczny: pole koła.
Być może wiesz, że wzór na pole koła to pi * r^2.
Ale dlaczego?
Czy jest jakiś dobry sposób, aby uzasadnić,
skąd się to wzięło?
Kontemplacja tego problemu
i próbowanie różnych ciekawych pomysłów,
które przyjdą ci do głowy, mogą cię naprowadzić
w kierunku trzech wielkich idei: całek, pochodnych
oraz tego, że są one operacjami odwrotnymi.

Portuguese: 
Isto é. abordar todas as ideias centrais, mas de um jeito que fique claro de onde elas vieram
E o que elas realmente significam
Usando uma abordagem visual em vários aspectos
Inventar matemática é algo bem sério
E tem uma diferença entre ouvir o porquê algo é verdade e realmente desenvolvê-lo desde o começo
Mas de qualquer modo, quero que você se pergunte:
Se você fosse um matemático do passado,
Perguntando-se sobre esses ideias e desenhando os diagramas corretos
Não parece considerável que você poderia ter esbarrado nesses fatos sozinho?
Nesse primeiro vídeo, eu quero mostrar como você pode esbarrar nas ideias centrais do cálculo por pensar bem a fundo num problema específico de geometria
A área de um círculo
Talvez você saiba que isso é π vezes o quadrado do raio, mas por quê?
Tem algum bom jeito de se pensar de onde vem essa fórmula?
Bem,  contemplando esse problema e se permitindo alguns pensamentos interessantes que vêm junto
Podem te levar a um lampejo de três grandes ideias em cálculo
Integrais - Derivadas
E o fato de que são opostos

Slovak: 
základnými myšlienkami, ale tak, aby bolo jasné
odkiaľ vlastne pochádzajú
a čo vlastne znamenajú pomocou
obrazovej projekcie. Vymýšľanie
matematiky nie je sranda, a je tu rozdiel,
keď vám niekto povie, že toto je tak,
a keď na to prídete sami
od úplného začiatku, a snažím sa o to,
aby ste si predstavili, že ste
matematik, ktorý vymýšľa tieto nápady,
načrtáva správne obrázky.
znie to rozumne, že by ste mohli
zakopnúť o tieto správne myšlienky vy sami.
V tomto úvodnom videu vám chcem
ukázať, ako by ste mohli  zakopnúť o základné myšlienky
počítania tak, že sa zamyslíme
veľmi hlboko v jednom špecifickom kúsku
geometrie, obsahu kruhu. Asi viete, že
to je π krát R^2
ale prečo? Je tu nejaká pekná cesta, ako by sme si mohli
predstaviť, odkiaľ tento vzorec pochádza?
Nuž, ak sa nad tým zamyslíme
a necháme voľnú ruku našej predstavivosti,
môže nás to zaviesť k určitým myšlienkam
ktoré sú späté s tromi hlavnými
prvkami počítania: integrály
derivácie a fakt, že sú opozitá

Korean: 
하는 것입니다. 그러나 어떤 측면에서는 그런 생각이
여러 방면에 걸쳐 시각적 접근을 통해
미적분학 개념들이 실제로 어디로부터 도출되었고
그것이 무엇을 의미하는 지를 분명하게
 해줍니다.
수학을 발명한다는 것은 쉬운 일이 아닙니다.
어떤 것이 왜 옳은지에 대해 듣는 것과
실제로 아무런 도움없이 무언가를 만들어내는 것은
다릅니다. 그러나 모든 면에서 저는 여러분이 스스로를
마치 이러한 아이디어들에 대해 숙고하고
마침내 올바른 그림을 도출해 낸
초창기의 수학자처럼 생각하기 바랍니다.
당신이 실제로 이러한 개념들을 우연히
발견할 수 있었을지도 모릅니다.
처음 시작하는 영상에서 저는 당신이 특정한 기하학 중,
원의 면적에 대해 매우 깊게 생각함으로써
미적분학의 핵심 아이디어를
우연히 발견할 수도 있음을 보여주고 싶습니다.
아마도 당신은 원의 넓이가 원주율×반지름²
이라는 걸 알 거예요
그런데 대체 왜 그런걸까요?
이 공식이 어디서 온 것인지
생각해 볼 좋은 방법이 있을까요?
이 문제에 대해 깊이 고민하며
드는 흥미로운 생각들을 탐구하며
당신은 미적분학의
커다란 세 가지 아이디어를
엿볼 수 있을 것입니다.
미분과 적분 그리고 이 둘이 사실은
서로 반대의 개념이라는 사실을.

Modern Greek (1453-): 
Δηλαδή να καλύψουμε όλες αυτές τις βασικές ιδέες, αλλά με έναν τρόπο που κάνει ξεκάθαρο το
πώς προέκυψαν και τι
πραγματικά σημαίνουν, χρησιμοποιώντας παντού
οπτικές αναπαραστάσεις. Το να εφεύρεις
τα μαθηματικά δεν είναι κάτι απλό, και υπάρχει μία
διαφορά ανάμεσα στο να σου εξηγεί κάποιος γιατί
ισχύει κάτι, και στο να το παράγεις πραγματικά από το μηδέν.
Όμως σε κάθε σημείο της σειράς, θέλω να σκέφτεστε:
Αν ήσασταν ένας από τους πρώτους μαθηματικούς,
ο οποίος θα σκεφτόταν αυτές τις ιδέες και θα ζωγράφιζε τα σωστά σχήματα,
θα ήταν λογικό να είχατε καταλήξει σε αυτές τις αλήθειες από μόνος σας;
Σε αυτό το πρώτο βίντεο, θέλω να σας δείξω
πώς θα μπορούσατε να καταλήξετε στις κύριες ιδέες του Λογισμού,
αν σκεφτόσασταν εις βάθος το εξής κομμάτι της γεωμετρίας:
Το εμβαδό ενός κύκλου.
Ίσως να ξέρετε ήδη ότι ισούται με π επί την ακτίνα στο τετράγωνο.
Γιατί όμως; Υπάρχει κάποιος ωραίος τρόπος να σκεφτούμε πώς προέκυψε αυτός ο τύπος;
Αν μελετήσετε το πρόβλημα και
αφήσετε τον εαυτό σας ελεύθερο να εξερευνήσει
τις ενδιαφέρουσες σκέψεις που σας έρχονται,
μπορεί να πάρετε μία πρόγευση των τριών μεγάλων ιδεών στον Λογισμό:
Τα ολοκληρώματα, οι παράγωγοι, και το γεγονός ότι
είναι αντίστροφες πράξεις.

Arabic: 
الأفكار الأساسية لكن بطريقة
توضح من أين جاءت هذه الأفكار من الأساس
و ماذا تعني فعلا باستخدام أسلوب بصري
ان اختراع الرياضيات ليس نكتة
و هناك فرق بين
أن يتم اخبارك
لماذا هذا الشيء حقيقة و أن تستنتجه من الصفر
لكن في جميع الأحوال أريدك
أن تعتقد نفسك
رياضياً قديما، تتأمل هذه الأفكار
و ترسم المخططات المناسبة
هل من المعقول أنك كنت
قادرا على العثور على هذه الحقائق
لوحدك.  في مقطع الفيديو الابتدائي هذا أريد أن
اريك كيف تدخل الى اصل
فكرة التفاضل بان تفكر بعمق
بقطعه معينه من الرسم
مساحة الدائرة. ربما انت تعرف
انها باى مضروب فى نصف القطر تربيع
لكن لماذا؟ هل هناك طريقه افضل
للتفكير من اين جاءت هذه الصيغه؟
من عند؟
حسنا. فهمك لهذه المشكله
وترك نفسك لاكتشاف الافكار الشيقه
التى تاتى منها من الممكن
ان يقودك الى لمحه من ثلاث
افاكر كبيره فى التفاضل: المتكاملات
التفاضلات والحقيقه انهم عكس بعضهم
المعاكسات.

Italian: 
le idee principali ma in un modo
che renda chiaro da dove vengono e
cosa significano realmente usando un
approccio completamente visuale. Inventare
matematica non è uno scherzo e ci sono
differenze tra sentirsi dire perché
qualcosa è vero e generarlo
da zero, ma in ogni momento voglio
che tu pensi a te stesso come se fossi uno
dei primi matematici a ponderare queste
idee e a disegnare i diagrammi giusti
suona ragionevole che tu possa
essere inciampato da solo in queste verità
in questo video iniziale voglio
mostrarti come potresti inciampare nelle idee
principali del C.I. pensando molto
profondamente a un pezzo
di geometria dell'area del cerchio. Forse
saprai che è [pi] moltiplicato il suo raggio
alla seconda, ma perché? C'è un modo
per pensare da dove salta fuori
questa formula?
Ragionare su questo problema e
rimanere aperto a esplorare
i pensieri interessanti che ne derivano può
guidarti a dare un'occhiata a
grandi idee del C.I.; Integrali
derivate e il fatto che sono
opposti.

Russian: 
эти фундаментальные идеи, но таким способом который сделает
понятным откуда они на самом деле пришли и
что они по настоящему значат, используя
наглядный визуальный подход. Изобретение
математики это не шутка и здесь
кроется разница между тем чтобы сказать почему
что-то является истинным и по-настоящему создать
это с нуля. Но превыше всего я хочу
чтобы вы могли почувствовать себя как если бы вы были
ранними математиками размышляющими над этими идеями и рисующими диаграммы.
Ведь разумно что вы могли бы
наткнуться на эти истины самостоятельно?
В этом начальном видео я хочу
показать как вы можете споткнуться о базовые
идеи матана путем очень
глубокого размышления об одной специфической идеи из
геометрии - площади круга. Возможно
вы знаете что это π умноженное на радиус
в квадрате. Но почему? Есть ли здесь объяснение
откуда взялась эта формула?
Хорошенько рассмотрев эту проблему и
поразмыслив над ней, вы можете открыть для себя
интересные мысли
которые могут вас к  трем
большим идеям матана: Интегралы,
производные и тот факт что они
противоположны.

Swedish: 
Det vill säga, gå igenom alla de uppbyggande idéer
men på ett sätt som tydliggör vart de faktiskt kommer ifrån
och vad de faktiskt betyder
på ett visuellt sätt.
Att uppfinna matematik är inget skämt
och det finns en skillnad mellan att bli tillsagd varför
något är sant och faktiskt komma på det från grunden.
Men alltihop pekar mot att jag vill att du själv ska tänka att om du vore
en tidig matematiker som funderade över de här
reglerna och ritade ut rätt diagram
vore det rimligt att du kunde ha kommit på de här sanningarna själv?
I den här första videon vill jag visa hur du kanske skulle ha snubblat in på kärnan av matematikens idéer
genom att tänka djupt kring en specifik geometriegenskap:
en cirkels area.
Kanske vet du om att det är pi gånger sin radie i kvadrat.
Men varför?
Finns det ett bra sätt att tänka kring var formeln kommer ifrån?
Betraktar vi det här problemet och
är öppna för att undersöka intressanta  tankar som då kan komma upp
kan vi nå en inblick i tre stora idéer inom matematik;
Integraler, derivator och det faktum att de är motsatta

Turkish: 
Hala bahsettiğim çekirdek fikirler olacaktır fakat bu şekilde yaptığımızda
Onların nereden geldiğini ve ne anlam ifade ettiğini kapsamlı bir görsel yaklaşım içinde tam manasıyla anlayacaksınızdır.
Matematiği icat etmek şaka değildir,
ve bir şeyin neden doğru olduğunun söylenmesi ile onu kağıt üzerinde yaratmak birbirinden farklıdır.
Sizden düşünmenizi istediğim şey
Eğer eski bir matematikçi olsaydınız ve bu fikirler üzerine kafa yürütüp uygun çizimler yapıyor olsaydınız
sizin de aynı sonuçlara varıcak olmanız mantıklı gelir miydi?
Bu başlangıç videosunda,
size bir geometri örneğini derinlemesine düşündüğünüzde nasıl olup da kalkülüsün çekirdek fikirlerine tökezleyecek olacağınızı göstermek istiyorum.
Dairenin alanı.
Belki dairenin alanının "pi" çarpı yarıçapın karesi olduğunu biliyorsunuzdur.
Fakat neden?
Bu formülün nereden geldiğini düşünmek için iyi bir yöntemimiz var mı?
Bu sorunla başa çıkmak ve kendinizi bunun gibi burada karşılaşabileceğiniz diğer ilginç fikirlere açık hale getirmek
sizi kalküsüteki 3 büyük fikire sürükleyebilir;
İntegral,
Türev,
ve bu ikisinin birbirinin zıttı olduğu gerçeği.

Chinese: 
同時釐清它們源於何處
以及用完整的視覺呈現它們真正的意義
發明數學是很嚴肅的
而且在解釋為何它是對的與
從無到有產生它這兩件事是有差別的
但無論如何我想讓你自己思考
如果你是一位早年的數學家
思考著這些問題 畫出正確的圖表
你覺得你可以靠自己發現這些真理嗎?
在這第一部影片裡
我想示範你會如何深入微積分的核心概念
藉由深究一個幾何的問題:圓的面積
也許你學過答案是π乘上半徑的平方，但為什麼呢?
有個好方法可以得知這個公式的由來嗎?
深思這個問題以及讓你自由探索
那些隨之而來的有趣想法
可以讓你窺視三個重要的微積分概念：
積分、微分、以及它們互為逆運算這件事

English: 
those core ideas, but in a way that makes
clear where they actually come from and
what they really mean using an
all-around visual approach. Inventing
math is no joke, and there is a
difference between being told why
something's true and actually generating
it from scratch. But at all points I want
you to think to yourself if you were an
early mathematician, pondering these
ideas and drawing out the right diagrams,
does it feel reasonable that you could
have stumbled across these truths yourself?
In this initial video, I want to
show how you might stumble into the core
ideas of calculus by thinking very
deeply about one specific bit of
geometry: the area of a circle. Maybe you
know that this is pi times its radius
squared, but why? Is there a nice way to
think about where this formula comes from?
Well, contemplating this problem and
leaving yourself open to exploring the
interesting thoughts that come about can
actually lead you to a glimpse of three
big ideas in calculus: integrals,
derivatives, and the fact that they're opposites.

German: 
aber auf eine Weise, die verdeutlicht, wo diese tatsächlich herkommen,
was sie wirklich bedeuten und dabei einen durchgängig visuellen Ansatz zu verfolgen.
Die Mathematik zu erfinden ist kein Scherz und es ist ein Unterschied, ob man erklärt bekommt, warum etwas wahr ist oder ob man es von Grund auf selbst entwickelt.
Aber ich möchte, dass du zu jeder Zeit darüber nachdenkst, dass, wenn du einer der alten Mathematiker gewesen wärst
und über diese Ideen nachgegrübelt und die richtigen Diagramme gezeichnet hättest,
würde es dann vernünftig erscheinen, dass du selbst über diese Wahrheiten gestolpert wärst?
In diesem Einführungsvideo will ich zeigen, wie man über die Kernideen der Analysis stolpern könnte,
indem man sehr genau über ein spezielles Stück der Geometrie nachdenkt - den Flächeninhalt eines Kreises.
Vielleicht weißt du, dass dieser Pi * #dem Quadrat des Radius' ist, aber warum?
Gibt es eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, wo diese genau Formel herkommt?
Nun, wenn du über dieses Problem nachdenkst
und dich den interessanten Ideen öffnest, die dabei aufkommen,
kannst du in der Tat Einblicke in drei Meilensteine der Analysis bekommen:
Integrale, Ableitungen, und die Tatsache, dass diese Gegensätze sind.

French: 
c'est-à-dire aborder toutes ces idées fondamentales mais d'une façon qui clarifie d'où elles viennent
et ce qu'elles signifient vraiment, en utilisant une approche globale et visuelle.
Inventer les maths, c'est pas rien,
et il y a une différence entre entendre pourquoi quelque chose est vrai, et l'inventer depuis rien
mais tout au long je veux
que tu t'imagines être un ancien mathématicien, contemplant ces idées et dessinant les bons schémas.
Semble-t-il raisonnable que tu aurais pu découvrir ces vérités par toi-même ?
Dans cette première vidéo je veux te montrer comment tu pourrais entrer accidentellement au cœur de l'analyse
quand tu traites un exemple précis de géométrie : l'aire d'un cercle.
Tu sais peut-être que c'est égal à π fois le rayon au carré, mais pourquoi ?
Y a-t-il une belle manière de comprendre d'où vient cette formule ?
Réfléchir à ce problème en voulant bien explorer les idées intéressantes qui en émane
peut en fait t'amener à trois grandes idées fondamentales de l'analyse :
les intégrales, les dérivées et le fait qu'elles sont opposées.

Polish: 
Zacznijmy od początku: tylko ty i koło.
Powiedzmy, o promieniu 3.
Starasz się obliczyć jego pole.
Po wielu próbach pocięcia koła
na różne kształty i przestawiania ich,
niektóre z nich mogą prowadzić do
ciekawych wniosków,
możesz pociąć koło na wiele pierścieni
o wspólnym środku.
Wydaje się to dobrym pomysłem,
bo jest to podział symetryczny,
a matematyka z reguły wynagradza symetrię.
Weźmy jeden z tych pierścieni
o wewnętrznym promieniu r, pomiędzy 0 a 3.
Jeśli uda się nam obliczyć pole takiego pierścienia
i jeśli będziemy umieli dodać pola wszystkich pierścieni,
może to nas doprowadzić do pola koła.
Spróbujmy rozerwać i rozprostować ten pierścień.
Można się zastanowić, jaki to jest teraz kształt
i jakie jest jego pole. Na razie załóżmy,

English: 
But the story starts more simply—just
you and a circle; let's say with radius three.
You're trying to figure out its
area, and after going through a lot of
paper trying different ways to chop up
and rearrange the pieces of that area,
many of which might lead to their own
interesting observations, maybe you try
out the idea of slicing up the circle
into many concentric rings. This should
seem promising because it respects the
symmetry of the circle, and math has a
tendency to reward you when you respect
its symmetries. Let's take one of those
rings which has some inner radius R
that's between 0 and 3.
If we can find a nice
expression for the area of each
ring like this one, and if we have a nice
way to add them all up, it might lead us
to an understanding of the full circle's area.
Maybe you start by imagining
straightening out this ring.
And you could try thinking through
exactly what this new shape is and what
its area should be, but for simplicity
let's just approximate it as a rectangle.

iw: 
אבל הסיפור מתחיל הרבה יותר פשוט מזה
רק אתם ומעגל (נאמר, עם רדיוס של 3)
אתם מעוניינים למצוא את השטח שלו
ואחרי הרבה נסיונות
שבהם אתם מנסים לחלק את המעגל בדרך
שתתן לכם את שטחו בצורה הנוחה ביותר
דרכים שיכולים להוביל למסקנות מעניינות מאוד!
ככל הנראה
תנסו לחלק את המעגל להרבה טבעות סביב מרכזו
 
זה נראה מבטיח, כי כך
הסימטרייה של המעגל נשמרת
ובדרך כלל, המתמטיקה מאוד אוהבת כששומרים על הסימטריות שלה
ניקח טבעת כזו לדוגמה
עם רדיוס R כלשהו
עבור R בין 0 ל-3
אם נוכל למצוא ביטוי פשוט לשטח של כל טבעת כזו
ואם נוכל לחבר את כל השטחים בצורה פשוטה
נוכל למצוא כמעט בוודאות
את שטח המעגל הכולל
בתור צעד ראשון, נוכל למתוח את הלולאה
 
ואפשר לחשוב על הצורה שקיבלנו כעת
ומה השטח שלה (טרפז? מלבן?)
אבל כדי לפשט דברים
נוכל להעריך את הצורה כמלבן

Modern Greek (1453-): 
Η ιστορία όμως ξεκινάει πιο απλά.
Μόνο εσείς και ένας κύκλος, ας πούμε με ακτίνα 3.
Προσπαθείτε να βρείτε το εμβαδόν του
και αφού ξοδέψετε πολύ χαρτί για να γράψετε τις ιδέες σας
και ενώ ψάχνετε διάφορους τρόπους να κόψετε
και να ξαναβάλετε σε σειρά τα κομμάτια του εμβαδού,
πολλοί από τους οποίους μπορεί να σας οδηγήσουν σε άλλες
ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις, ίσως δοκιμάσετε
την ιδέα του να κόψετε τον κύκλο
σε πολλούς ομοκεντρικούς δακτυλίους. Αυτό μοιάζει
να έχει προοπτικές, αφού "σέβεται" τη
συμμετρία του κύκλου, και τα μαθηματικά έχουν
την τάση να μας ανταμείβουν όταν σεβόμαστε
τις συμμετρίες τους. Ας πάρουμε έναν από αυτούς
τους δακτυλίους, ο οποίος έχει κάποια εσωτερική ακτίνα R
η οποία είναι μεταξύ 0 και 3. Αν μπορούσαμε να βρούμε
μία ωραία έκφραση για το εμβαδό κάθε τέτοιου
δακτυλίου σαν αυτόν, και αν είχαμε έναν ωραίο
τρόπο να τις προσθέσουμε όλες μαζί, αυτό ίσως να μας οδηγούσε
στο να υπολογίσουμε το εμβαδό ολόκληρου του κύκλου.
Ίσως αρχίζαμε με το να φανταστούμε
ότι ισιώνουμε αυτόν τον δακτύλιο.
Και θα μπορούσαμε να σκεφτούμε το πώς μοιάζει
ακριβώς ένα τέτοιο σχήμα, και πόσο είναι
το εμβαδόν του. Για ευκολία όμως ας
το προσεγγίσουμε απλά σαν ένα ορθογώνιο.

Chinese: 
但整個故事的開頭更簡單些：
只有你，和一個圓──半徑為3的圓
你試著解出它的面積
寫掉了數不盡的白紙
用了不同的方法去切割、重排那個圓之後
許多的嘗試都可能會得出一些有趣的觀察
也許你試著把圓切成許多同心的環
這方法或許會有用，因為它保留了圓的對稱性
而運用對稱性在數學上通常都有不錯的結果
讓我們從其中一個環開始
假設它有內半徑r，介於0到3
如果我們可以為每個環狀區域
找到適當的方式來表示它的面積
如果我們也有個好方法可以加總它們
這或許能讓我們理解整個圓的面積
作為起頭，也許你想像把這些環"拉直"
而且你或許可以試著思考
拉直後的形狀是什麼還有面積應該是多少
但為了簡便，我們就用矩形來近似它吧

Arabic: 
لكن القصه تبدأ ببساطه
منك انت والدائره ودعنا نقول لها نصف قطر يساوى 3
وهنا انت تحاول انت تكتشف مساحتها
وبعد المرور بالكثير من الابحاث
التى حاولت طرق مختلفه لتقطيع واعاده تجميع
قطع هذه المساحه
والتى من المحتمل انها تقود
لمشاهدات شيقه. من الممكن انك
تجرب فكره تقطيع الدائره
الى عده حلقات لها نفس المركز وهذا
يبدو واعدا لان هذا يحترم التماثل
الموجود فى الدائره والرياضيات تميل
الى مكافأتك عندما تحترم التماثل
التماثلات لها. دعونا نلقي واحد من هؤلاء
حلقات التي لديها بعض دائرة نصف قطرها الداخلي R
هذا بين 0 و 3. إذا يمكن أن نجد
تعبير جميل لمساحة كل
عصابة مثل هذا واحد واذا كان لدينا لطيفة
طريقة لإضافة كل منهم ما يصل أنها قد تؤدي بنا
لفهم دوائر كاملة
منطقة. ربما تبدأ بتخيل
استقامة هذا الخاتم
ويمكنك أن تحاول التفكير من خلال
بالضبط ما هذا الشكل الجديد وما
يجب أن تكون مساحتها؟ ولكن بالنسبة البساطة
دعونا فقط تقريب أنها مستطيل

German: 
Aber es fängt zunächst einfacher an,
nur du und ein Kreis, sagen wir mit Radius 3.
Du versuchst, seine Fläche zu bestimmen,
und nach mehreren Versuchen, die Fläche aufzuteilen und stückweise umzuordnen,
von denen viele vielleicht zu ihren eigenen, interessanten Feststellungen führen,
probierst du vielleicht aus, den Kreis in mehrere konzentrische Ringe zu unterteilen.
Das sollte vielversprechend sein, da es die Symmetrie des Kreises berücksichtigt;
und die Mathematik tendiert dazu, den zu belohnen, der ihre Symmetrien berücksichtigt.
Nehmen wir also einen dieser Ringe, der einen inneren Radius r zwischen 0 und 3 besitzt.
Wenn wir einen schönen Ausdruck für die Fläche eines jeden solchen Ringes finden können,
und einen geschickten Weg, diese Flächen aufzuaddieren,
könnte es uns helfen, die Fläche des gesamten Kreises zu beschreiben.
Vielleicht beginnst du mit der Vorstellung, den Ring zu begradigen.
Und du könntest dir überlegen, was genau diese neue Form ist (Trapez?), und was ihre Fläche wäre,

Turkish: 
Fakat hikaye çok daha basit bir şekilde başlar.
Sen, bir dairenin alanını bulmaya çalışıyorsundur..
hadi yarıçapına 3 diyelim.
Bir sürü kağıt üzerinde kesmeler, yeniden düzenlemeler yaparak bir sonuca varmaya çalışıyorsundur.
Belki de daireyi eşmerkezli halkalar halinde kesmeyi deniyorsundur.
Bu sonuç vericek gibi gözüküyordur. Çünkü bu şekilde dairenin simetrisine uygun hareket ediyorsundur
ve matematik de simetriye uygun olan şeyleri ödüllendirmek gibi bir huya sahiptir.
Hadi iç çapının R'si 0 ve 3 arasında olan bu halkalardan birini alalım.
Eğer burada yaptığımız gibi her bir halkanın alanını bulmak için güzel bir ifade bulabilirsek,
ve bunları da biraraya getirmek için iyi bir yol bulabilirsek,
bu bizi "tam" bir dairenin alanını anlamaya yönlendirebilir.
Belki bu halkaları düzleştirilmiş şekliyle hayal etmeye başlayabilirsiniz
ve bu şeklin tam olarak ne olduğunu veya alanının ne olması gerektiğini düşünüyor olabilirsiniz.
Basit olması için bunu bir dikdörtgene benzetelim.

Portuguese: 
Mas a história começa de maneira mais simples:
Somente você e o círculo
Digamos que com o raio de 3
Você está tentando descobrir sua área
E depois te ter usado vários papéis, tentando cortar e reorganizar os pedaços daquela área
Muitos dos quais podem vir a ser observações interessantes próprias deles mesmos
Talvez você tente a ideia de cortar o círculo em vários anéis cocêntricos
Isso deve  parecer promissor
Porque isso respeita a simetria do círculo
E a matemática tem uma tendência a te recompensar
Quando você respeita as simetrias dela
Vamos pegar um desses anéis
Que possui raio de alguma medida R
Entre 0 e 3
Se pudermos encontrar uma boa expressão para a área de cada anel como esse,
E se tivermos uma boa maneira de somar todas elas
Talvez nos dê algum esclarecimento sobre a área  total do círculo
Talvez possamos começar imaginando deixar esse anel reto
E você poderia tentar descobrir exatamente que nova forma é essa e qual deveria ser sua área (trapézio)
Mas por simplicidade vamos apenas aproximá-lo para um retângulo

Swedish: 
Men det hela börjar enklare.
Bara du och en cirkel, låt oss säga med radie 3. Du försöker lista ut dess area
och efter att gått igenom många ark papper där du försökt olika sätt att dela upp eller omordna bitar av arean
varav många kanske leder till intressanta observationer i sig själva,
kanske försöker du dig på att dela upp cirkeln i många koncentriska ringar.
Det verkar lovande eftersom det respekterar cirkelns symmetri
och matematik har en tendens att belöna dig då du respekterar dess symmetrier.
Låt oss ta en av dessa cirklar med en inre radie r mellan 0 och 3
Om vi kan hitta ett fint uttryck för arean av varje ring som den här
och om vi har ett bra sätt att lägga ihop dem
kan det leda oss till en förståelse för hela cirkelns area.
Kanske börjar du med att föreställa dig att du sträcker ut ringen
och du skulle kunna försöka tänka igenom precis vilken form den här formen har och vad dess area borde vara.
Men för enkelhets skull låt oss approximera den som en rektangel.

Spanish: 
Pero la historia comienza de una forma más sencilla
Sólo tú y un círculo, digamos que con radio tres.
Tratas de averiguar su área
y después de haber ido a través de un montón de formas
de cortarlo y reorganizar las piezas de ese área,
muchas de las cuales pueden llevar a sus propias observaciones interesantes,
tal vez pruebes la idea de dividir el círculo en un conjunto de múltiples círculos concéntricos.
Esto debería parecer prometedor ya que respeta la simetría del círculo,
y las matemáticas tienen la tendencia de recompensarte
cuando respetas las simetrías.
Tomemos uno de esos anillos que tiene un radio interior r
que está entre cero y tres.
Si pudiésemos encontrar una buena expresión para el área de cada uno de estos anillos
y si tenemos una buena forma de sumarlas todas ellas
Tal vez pueda llevarnos a entender el área total del círculo
Puede que comiences imaginándote que cortamos este anillo en una línea recta
y podrías pensar qué es exactamente esta nueva forma
y cuál podría ser su área
Pero por simplicidad, vamos a aproximarlo a un rectángulo

Russian: 
Но повествование начинается намного проще - только
вы и круг радиусом, скажем, 3
площадь которого вы пытаетесь найти.
И после прохождения множества
попыток разрезать
и переразметить части этой площади,
многие из которых могут привести к своим собственным
интересным наблюдениям. Возможно вы попробуете
идею разрезания куга
на множество концентрических колец. Это должно
выглядеть многообещающим потому что этот способ уважает
симметрию круга. В математике есть
тенденция к вознаграждению когда вы уважаете
симметрию. Давайте рассмотрим одно из этих
колец которое имеет внутренний радиус R со значением
между 0 и 3. Если мы можем найти
подходящее выражение для площади каждого
кольца вроде этого и если бы мы имели подходящий
способ чтобы сложить их вместе это могло бы привести нас
к вычислению всей
площади круга. Возможно вы начнете с мысленного
выпрямления этого кольца
и вы можете попробовать представить
что из себя представляет эта новая форма и какая у нее
площать? Но для простоты
давайте просто приблизим ее к прямоугольнику

Slovak: 
Ale príbeh začína oveľa jednoduchšie, len
vy a kruh. Povedzme, že polomer
je tri, a vy sa snažíte prísť na to, ako
vypočítať obsah, a snažíte sa prísť na to,
ako kruh rozdeliť na kúsky, aby sa poukladali tak,
mnoho z nich môžu viesť k zaujímavým
úkazom. Možno skúsite
rozdeliť kruh na veľa malých
prsteňov so spoločným stredom,
a to je sľubné. pretože rešpektujeme
symetriu kruhu, a matematika má tendenciu
odmeňovať, ak rešpektujeme
symetriu. Vezmime si teda jeden z
týchto kruhov, ktorý majú nejaký vnútorný polomer r,
ktorý je medzi 0 a 3. Ak nájdeme
pekný výraz pre výpočet obsahu
pre prsteň ako je tento, a ak nájdeme pekný systém ako
ich všetky sčítať, môže nás to zaviesť
k výslednému obsahu celého kruhu.
Možno si predstavíte
vyrovnanie tohto kruhu,
a zamyslíte sa nad tým,
aký nový tvar nám vznikol a aký by
mal byť obsah tohto nového tvaru? (lichobežník)
Pre zjednodušenie, zaokrúhlime to na štvoruholník,

French: 
Mais l'histoire commence plus simplement : juste toi, et un cercle, disons de rayon de trois.
Tu cherches à connaître son aire, et après avoir utilisé beaucoup de papier,
essayé différentes manières de découper et d'arranger les morceaux de cette aire,
dont beaucoup pourraient amener à leurs propres observations pertinentes,
peut-être que tu trouveras l'idée de découper le cercle en plein d'anneaux concentriques.
Ça a l'air prometteur, parce que ça respecte la symétrie du cercle,
et les maths ont une certaine habitude à récompenser ceux qui respectent ses symétries.
Prenons un de ces anneaux, qui a un rayon interne r entre 0 et 3.
Si on peut trouver une belle expression pour l'aire de chaque anneau comme celui-ci,
et si on a une bonne manière de toutes les sommer,
ça pourrait nous amener à une compréhension de l'aire du cercle entier.
Tu commences peut-être par imaginer déplier cet anneau
et tu pourrais commencer à te dire
« Quelle est cette nouvelle forme ? »,
et « Quelle est son aire ? »
Mais simplifier, faisons l'approximation que c'est un rectangle.

Korean: 
그렇지만 이야기를 좀 더 간단하게 해 봅시다.
반지름이 3인 원을 생각해 봅시다.
당신은 이 원의 넓이를 구하려고 합니다.
그리고 그 넓이를 많은 조각으로
잘라내고 다시 배열하는 데
많은 양의 종이를 소모한 후에야
그 자체로 흥미로운 관측이
나타날 것입니다. 당신은 아마 원의 넓이를
여러 개의 동심원으로
잘라내는 아이디어를 떠올리게 되겠죠
이것은 아주 그럴듯한데, 그 이유는 그것이
원의 대칭성을 존중하며 당신이 이를 준수할 때
수학은 당신에게 보상해주는 경향이 있기 때문입니다.
이 동심원들 중
반지름이 R인 원을 하나 뽑아봅시다
R은 0과 3 사이에 있습니다.
만일 여러분이 이처럼 각각의 링의 넓이에 대한
멋진 설명을 발견한다면 그리고 그것들 전부를
더할 멋진 방법을 가지고 있다면
우리는 전체 원의 넓이를 이해하게 될 것입니다.
아마도 당신은 이 링을 곧게 펴는 상상을 하며
시작할 것입니다.
그리고 이 새로운 모양이 정확히 무엇인지,
그 넓이는 얼마가 되어야 하는지
고민해 보아야 할 것입니다. 간단하게 하기 위해
이것을 직사각형에 가깝다고 생각해 봅시다.

Italian: 
La storia inizia semplicemente. Solo
e un cerchio con raggio
3 e stai cercando di calcolare la sua
area e dopo un sacco di
prove cercando modi diversi di tagliarlo
e arrangiare i pezzi dell'area
molti dei quali lasciano spazio a loro
osservazioni interessanti. Forse testi
l'idea di dividerlo in
molti cerchi concentrici, questo dovrebbe
essere promettente perché rispetta la
simmetria del cerchio e la matematica ha
la tendeza a ricompensarti quando rispetti
le sue simmetrie. Diamo un'occhiata a uno di questi
anelli, con raggio interno R
compreso tra 0 & 3. Se possiamo trovare una
buona espressione dell'area di ogni
anello come questo e se abbiamo un buon modo
per sommarli tutti, potrebbe portarci
a una comprensione dell'area del
cerchio completo. Forse inizi immaginando
di raddrizzare questo anello
e potresti pensare a che forma è
esattamente e a quale
dovrebbe essere la sua area? Per semplicità
approssimiamola a un rettangolo

Chinese: 
但這故事開始得很簡單衹有你
和一個圓圈我們假定它的半徑為3，
你現在想要找出它的
面積並在花費掉了很多紙張
嘗試不同的方法來切割
並重新安排該那那塊地方的切片之後，
很多這樣的做法也許會引導到他們自己
有趣的一些觀察。你們可以試試這樣的
想法，把圓切成許多同心圓。
這應該看來
很可行因為它尊重圓的對稱性
而數學有一種傾向來酬報你
如果你注意到它的對稱性。
讓我們在拿出其中的一個有內半徑R
是在0到3之間的圓環。
如果我們能找到像對每個這樣的環的
一個很優美的數學表達式并且
如果我們有一個好的辦法
將它們全部加起來這很可能地引導我們
對整個圓面積的一個正確理解。
也許你開始想像
把這個環拉直
以及你可以想想
這個新的形狀到底是什麼，以及
它的面積應該是多少？但是為了簡單些
的緣故，讓我們來近似爲一個矩形

French: 
La largeur de ce rectangle est la circonférence de l'anneau original, qui est 2 π fois r. Hu ?
C'est la définition même de π...
Et son épaisseur,
elle dépend de la finesse de découpage du cercle du début, finesse un peu arbitraire.
Afin d'utiliser ce qui deviendra la notation standard du calcul différentiel,
appelons cette épaisseur "dr", pour une petite Différence de Rayon entre un anneau et le suivant.
Imagine-la comme quelque chose d'environ 0,1.
Donc, en simplifiant cet anneau déroulé comme un rectangle tout fin,
son aire est 2π fois r (le rayon),
fois dr (la petite épaisseur).
Et même si ce n'est pas parfait,
pour des valeurs de dr de plus en plus petites,
ça va en fait devenir une approximation de plus en plus exacte de cette aire,
puisque les côtés en haut et en bas de cette forme vont avoir de plus en plus exactement la même longueur.
Donc utilisons pour l'instant cette approximation, en gardant à l'esprit qu'elle est légèrement fausse,

Spanish: 
La longitud de ese rectángulo es la de la circunferencia del anillo original,
la cual es dos veces [pi] por el radio, ¿cierto?
Quiero decir, esa es casi esencialmente la definición de [pi]
y su altura... bueno, eso depende
de la precisión con la que troceaste el círculo original,
la cual fue un poco arbitraria. En el espíritu de utilizar
lo que llamamos la notación estándar de cálculo, vamos a llamar a esa altura
dr (diferencial de r), por una pequeña diferencia en el radio
desde un anillo hasta el otro. Tal vez le quieras dar un valor de...
0,1
Así que, aproximando este anillo desenredado a un fino rectángulo,
su área es dos veces pi
por dr, la pequeña altura.
Y aún así eso no es perfecto del todo
Para pequeñas y más pequeñas elecciones de dr
esto va a ser de hecho una mejor y mejor aproximación para ese área
Ya que la parte superior e inferior de esta figura
estarán cada vez más cerca de tener la misma medida
Así que avancemos con ésta aproximación
recordando de que es ligeramente errónea

Russian: 
ширина которого это
длина окружности оригинального кольца, которая
2πr. Правильно? Я имею в виду что это
самое базовое определение π, а также его
толщины которая зависит от того насколько
точно вы нарезали круг в самом
начале, что является произвольным действием.
В духе того что должно стать
стандартной матановской нотацией, давайте назовем
эту толщину dr для крошечной разницы
между радиусами от одного кольца к другому.
Возможно вы думаете об этом например как
0,1. Таким образом, приблизим это развернутое кольцо
как тонкий прямоугольник с площадью 2πR
и толщиной dr.
И даже несмотря на то что это
не совсем точно для все меньших и меньших
значений dr, это приближение все же
будет становиться все лучше и лучше для
этой площади. Так как верхняя и нижняя
стороны этой фигуры будут становиться
ближе и ближе стремясь к абсолютно
одинаковой длине. Так что давайте просто продолжим
с данным приближением, держа в уме
что это немного неправильно,

iw: 
רוחב המלבן
יהיה היקף הטבעת המקורית
שזה 2 פאי * הרדיוס, זוכרים?
זוהי בדיוק ההגדרה של פאי
ואורך המלבן? טוב, זה תלוי
בכמה דק "קיצצתם" את המלבן מלכתחילה
כשבעצם, האורך יכול להיות קטן ככל שנרצה
ברוח השימוש במה שייהפך
חישוב סטנדרטי בחדו"א
נקרא לאורך זה dr
dr יסמן את המרחק הקטן מאוד בין טבעת אחת לאחרת
נניח, dr = 0.1
 
מכאן, אם נסתכל על טבעת כלשהי שמתחנו כמו על מלבן
שטחה יהיה 2 פאי * הרדיוס (הרוחב)
כפול dr (האורך)
ולמרות שזה לא מושלם
ככל שנקטין את dr יותר ויותר
נקבל קירוב טוב בהרבה
לשטח שאנחנו רוצים למצוא
זאת מכיוון שהצד העליון והצד התחתון של המלבן
ישאפו להיות באורך שווה
לכן, הבה ונתקדם עם הקירוב
נזכור כמובן
שהקירוב הזה רחוק מלהיות מושלם

Chinese: 
長方形的長是原本圓的周長，也就是2π乘以R，對吧?
我的意思是，那本質上即是π的定義
至於寬度呢? 呃，那取決於
你起初把圓分割的多細
其實相當的隨意
基於使用標準微積分記號的精神
讓我們令厚度為 dr
也就是每個環的半徑的微小差距
你可以當作它是0.1
所以，用細長的矩形來近似這個展開的環
它的面積是2π乘以R(圓的半徑)
再乘上dr(即厚度)
這或許不太精準，但隨著dr越來越小
我們卻會對面積有越來越好的近似值
這是因為這個形狀的上邊長跟下邊長
的差距會越來越小，最後變得一樣
所以我們就根據這個近似繼續下去吧
但同時記得，這其實存在一點誤差

Arabic: 
عرض هذا المستطيل هو
محيط الحلبة الأصلية التي
غير مرتين بي R. على حق؟ أعني هذا
أساسا تعريف بي ولها
كذلك سمك الذي يعتمد على كيفية
ناعما لك المفروم حتى الدائرة في
المقام الأول، والذي هو نوع من التعسف.
في روح من استخدام ما سيأتي ل
تكون الدعوة القياسية اسمحوا حساب التفاضل والتكامل تدوين ل
أن الدكتور سمك لفرق بسيط
في دائرة نصف قطرها من حلقة واحدة إلى أخرى.
ربما كنت أعتقد أنها شيء من هذا القبيل
0.1. لذلك، يقترب هذا الخاتم ملفوف
كما مستطيل رقيقة انها المنطقة 2 [بي]
مرات R الأوقات دائرة نصف قطرها الدكتور هي
سمك قليلا. وعلى الرغم من هذا
لا مثالية لأصغر وأصغر
خيارات د. هذا يحدث فعلا ل
يكون تقريب أفضل وأفضل ل
هذا المجال. منذ أعلى وأسفل
جوانب من هذا الشكل بصدد الحصول على
أوثق وأقرب إلى كونها بالضبط
نفس طول. لذلك دعنا ننتقل إلى الأمام فقط
مع هذا التقريب حفظ في
الخلفي من عقولنا أنه قليلا

Modern Greek (1453-): 
Το πλάτος αυτού του ορθογωνίου είναι
η περιφέρεια του αρχικού δακτυλίου, που
ισούται με 2πr. Σωστά; Βασικά, αυτός ουσιαστικά
είναι και ο ορισμός του π. Και το ύψος;
Εεε, αυτό εξαρτάται από το πόσο
λεπτές είναι οι φέτες που κόψαμε στην αρχή,
το οποίο ήταν και λίγο αυθαίρετο.
Για να ακολουθήσουμε και τον στάνταρ συμβολισμό στον Λογισμό,
ας ονομάσουμε αυτό το πάχος dr, δηλαδή τη μικροσκοπική διαφορά
της ακτίνας του ενός δακτυλίου από τον αμέσως επόμενο.
Ίσως το φανταστείτε σαν έναν μικρό αριθμό, πχ το 0.1
Οπότε, προσεγγίζοντας αυτόν τον ξετυλιγμένο δακτύλιο
ως ένα λεπτό ορθογώνιο, το εμβαδόν του είναι 2πr,
όπου r η ακτίνα, επί dr, το μικροσκοπικό πάχος.
Ακόμη κι αν αυτό δεν είναι ακριβές,
για όλο και μικρότερες επιλογές του dr,
αυτό το εμβαδό θα τείνει να γίνεται μία όλο και καλύτερη προσέγγιση του πραγματικού
εμβαδού, μιας και η πάνω και η κάτω
πλευρά αυτού του σχήματος θα τείνουν να έρθουν όλο και πιο κοντά
στο να έχουν το ίδιο ακριβώς μήκος.
Ας προχωρήσουμε λοιπόν με αυτήν την προσέγγιση,
κρατώντας στο πίσω μέρος του μυαλού μας
ότι είναι ελαφρώς λανθασμένη,

Polish: 
że jest to prostokąt o długości równej
obwodowi pierścienia - 2 * pi * r.
To wynika wprost z definicji pi.
Jego szerokość zależy od tego,
jak cienko pokroiliśmy koło.
Nie ustalaliśmy tego szczegółowo.
Aby przyzwyczaić się do standardowej notacji,
nazwijmy tą szerokość dr, bo jest małą różnicą
pomiędzy promieniami dwóch kolejnych pierścieni.
Możesz o tym myśleć jak np. o 0,1.
Przybliżamy pole tego pierścienia polem prostokąta:
2*pi*r*dr. r jest promieniem pierścienia, a dr grubością.
Na początku nie jest to dobre przybliżenie,
ale im mniejsze dr weźmiemy,
tym lepiej zbliżymy się do pola koła,
bo długości górnej i dolnej krawędzi
tej figury będą sobie coraz bliższe.
Idźmy dalej tą drogą.
Pamiętamy, że nie jest to dokładne przybliżenie,

Italian: 
la larghezza del rettangolo è la
circonferenza del cerchio originale che
è 2[pi]R. Giusto? Questa è
essenzialmente la definizione di [pi] e lo
spessore? Quello dipende da quanto
finemente hai diviso il cerchio in
primo luogo, che è stata una decisione arbitraria.
Per usare quella che più avanti sarà la
notazione standard del C.I. chiamiamo
quello spessore dr per una piccola differenza
nel raggio da un anello all'altro.
Magari immagini sia qualcosa tipo
0.1 Quindi approssimando questo anello srotolato
come un sottile reggangolo la sua area è 2[pi] moltiplicato R(raggio)
moltiplicato dr(spessore)
E nonostante non sia perfetto
Per dr sempre più piccoli
Questo sarà
una sempre migliore approssimazione per
quell'area. Dato che la cima e il fondo
di questa forma saranno sempre più
vicini ad essere della
stessa lunghezza. Andiamo avanti
con quest'approssimazione tenendo
in mente che è leggermente

Portuguese: 
A largura do retângulo é a circunferência do anel de que ele veio
Que é 2πr
Certo?
Tipo, essa é essencialmente a definição de π
E sua espessura?
Bom, isso depende de quão bem você partiu o círculo,
Que foi um tanto arbitrário
No espírito de já usar o que virá a ser uma linguagem padrão em cálculo
Vamos chamar essa espessura de "dr"
Para uma pequena diferença de raio de um anel para outro
Talvez possamos pensar nisso em algo como 0.1
Então, aproximando a área desse anel não-conectado como um retângulo fino,
Sua área é 2π *r
(o raio)
vezes dr
(a pequena espessura)
E mesmo que isso não seja perfeito,
Para menores e menores valores de dr
Esta aproximação vai ficando melhor e melhor para aquela área
Já que o começo e o fim dessa forma vão ficar mais próximas de serem exatamente o mesmo tamanho
Então vamos levar a frente essa aproximação
Sempre pensando consigo mesmo que é levemente errado

Slovak: 
a môžeme teda povedať, že dĺžka štvoruholníka je
obvod originálneho prsteňa, ktorý je
dvakrát π krát r, však? Teda, toto je
základná definícia π, a jeho šírka je,
nuž, záleží na aké veľké kúsky
sme si rozdelili pôvodný kruh,
čo je celkom ľubovoľná hodnota.
V duchu toho, aby sme sa dostali k
štandardnému zápisu, nazveme
túto šírku dr ako malú zmenu (difference)
v  polomere vzhľadom od prstencov.
Možno je táto hodnota napríklad
0,1. Takže, ak prirovnáme tento prsteň k
tomuto štvoruholníku, ktorého obsah je 2π krát r, krát
dr, čo je tá šírka.
Aj napriek tomu, že to nie je
perfektné, no pre menšie a menšie
hodnoty dr, dostaneme lepšie
a lepšie zaokrúhlenie pre obsah celého
kruhu. A pretože vrch aj spodok
tohto tvaru sa budú čím ďalej tým viac
približovať tomu, že budú rovnako
dlhé. Takže, posuňme sa ďalej
s týmto zaokrúhľovaním, mysliac na to,
že je to dosť nepresné,

Korean: 
이 직사각형의 폭은
원의 둘레인 2πR입니다.
알겠나요? 그것이 파이의 정의이기 때문입니다.
그리고 이 직사각형의 두께는
당신이 원을 얼마나
잘게 썰었는가에 달려 있습니다.
애초에 그것은 임의적인 것입니다.
표준 미적분학 표기로 사용할 생각으로
이 두께를 하나의 원에서 다음 원까지의
아주 작은 반지를의 차이를 나타내는
dr이라고 나타내 봅시다.
아마도 당신은 이것을 0.1과 같은 것으로 생각할 겁니다.
이제, 이 풀어헤쳐진 링을 넓이가 2πR × dr인
작은 직사각형에 가깝다고 할 수 있습니다.
여기서 dr은 직사각형의 얇은 두께가 됩니다.
비록 이것이 정확하지 않을 지라도
dr이 점점 더 작아진다고 생각하면
이것은 실제로 그 넓이에 대해 점점
더 가까워질 것입니다.
이 직사각형의 윗변과 아랫변이
점점 더 가까워지기 때문에
두 변의 길이는 결국 정확히 일치하게 됩니다.
그러므로 이 근사치가
약간의 오차가 있다는 점은
무시하고 진행하도록 합시다.

Chinese: 
它的寬度是原來圓環的
周長那就是
2乘以PI乘以R。對嗎？我的意思是
這基本上就是 pi 的定義而它的厚度
那就取決於你一開始把
這個圓環切得有多細，
而這是有點任意的。
以將成爲標準的微積分符號的精神
讓我們稱那個厚度
為dr，dr是從一個環到下一個的半徑
之間的一個微小的差。
也許你可以把它想成像是0.1之類的。
因此，把這個拉開的圓環
近似作一個薄薄的矩形它的面積是 2π
乘R(它的半徑) 再乘以 很小的厚度dr。
而對更小更小的 dr。 即使選用更小
更小的 dr 那也不是個完美的矩形。
這實際上將是對那個
面積的更好更好的近似。
因為薄矩形的頂部和底部
將越來越近乎於
成爲完全一樣的長度。
因此讓我們把這個稍微有點不正確
但隨著選擇更小更小的 dr 它將
越來越成爲更精確的近似放到

Turkish: 
bu dikdörtgenin eni orjinal halkamızın çevresi kadar olacaktır ki bu da 2 "pi" r'dir
demek istediğim bu kaçınılmaz olarak pi'ye ve halkayı ilk kestiğiniz zamanki belirlediğiniz kalınlığa bağlıdır.
Yani alanı keyfi belirledik diyebiliriz.
Standart kalkülüs ifadelerinin ruhuna bağlı kalarak
kalınlığına da dr diyebiliriz.
Art arda iki halka arasındaki mesafeyi yarıçap cinsinden göstermek için.
Belki 0.1 olarak düşünebilirsiniz.
Böylece, bunu alanı [2 x "pi" x r x dr] olan düzleştirilmiş ince bir halka olarak düşünebilirsiniz.
Belirlediğimiz "dr" daha küçük değerler için bile tam olarak mükemmel değildir.
Fakat yine de değeri, ardışık iki halkanın boyut farkı neredeyse 0 olacak kadar küçülttükçe daha doğru olur.
Hadi başlangıçta belirlediğimiz yaklaşık hesabımız ile devam edelim.

German: 
aber der Einfachheit halber, lass es uns einfach als ein Rechteck annähern.
Die Breite dieses Rechtecks ist der Umfang des ursprünglichen Rings,
also 2 * Pi * dem Radius, das ist ja immerhin die grundlegende Definition von Pi.
Und die Dicke? Nun, die hängt davon ab, wie fein man den Kreis vorher aufgeteilt hat,
was ja ein bisschen willkürlich war.
Im Sinne der Konventionen der Analysis nennen wir diese Dicke  'dr'
für diesen kleinen Unterschied zwischen den Radien benachbarter Ringe.
Stell es dir vielleicht in der Größenordnung um 0,1 vor.
Nähern wir nun diesen abgewickelten Ring als ein dünnes Rechteck an,
ist sein Flächeninhalt 2 * Pi * dem Radius * dr
Auch wenn das nicht perfekt ist,
für immer kleiner werdende dr wird diese Annäherung für den Flächeninhalt immer besser und besser,
da die Ober- und Unterseite dieser Form sich in ihrer Länge kontinuierlich immer mehr angleichen.
Also lasst uns mit dieser Annäherung einfach mal weitermachen.
Dabei behalten wir mal im Hinterkopf,
dass das zwar ein wenig falsch ist,

Swedish: 
Rektangelns bredd är omkretsen av den ursprungliga ringen
vilket är 2 pi gånger r. Eller hur?
Det är ju i grund och botten definitionen av pi.
Och dess tjocklek?
Tja, det beror på hur fint du delade upp cirkeln från början
Vilket var ganska godtyckligt.
I anden av vad som kommer att bli standardnotation låt oss kalla tjockleken dr
För den lilla skillnaden i radie mellan en ring och nästa.
Kanske tänker du dig den som 0,1.
Så, approximerar vi den här utrullade ringen som en tunn rektangel är dess area 2*pi*r, radien,
gånger dr, tjockleken.
Och även om det inte är perfekt så för mindre och mindre val av dr
kommer det här faktiskt att bli en bättre och bättre approximation för arean.
Eftersom över- och undersidan av den här formen kommer komma närmre och närmre till av vara av exakt samma längd.
Så låt oss fortsätta med den här approximationen med tanken i bakhuvudet att det den är något felaktig

English: 
The width of that rectangle is the
circumference of the original ring, which
is two pi times R. Right? I mean that's
essentially the definition of pi; and its
thickness? Well that depends on how
finely you chopped up the circle in the
first place, which was kind of arbitrary.
In the spirit of using what will come to
be standard calculus notation, let's call
that thickness dr, for a tiny difference
in the radius from one ring to the next.
Maybe you think of it as something like 0.1.
So, approximating this unwrapped ring
as a thin rectangle, its area is 2 pi
times R, the radius, times dr, the
little thickness. And even though that's
not perfect, for smaller and smaller
choices of dr, this is actually going to
be a better and better approximation for
that area, since the top and the bottom
sides of this shape are going to get
closer and closer to being exactly the
same length. So let's just move forward
with this approximation, keeping in the
back of our minds that it's slightly

Spanish: 
pero que será más precisa con menores y menores
elecciones de dr. Lo que quiere decir, trocear el círculo en anillos
cada vez más delgados
Así que, resumiendo hasta donde estamos, Has desmontado el área del círculo en todos estos anillos
y estás aproximando el área de cada uno de ellos
como  dos veces pi por el radio por dr
donde el valor específico de ese círculo interior varía entre cero , para el anillo más pequeño,
hasta tres, para el anillo más grande
Separado por cualquiera que sea el grosor que elijas para dr
algo como 0,1
Y date cuenta de que el espacio entre valores,
corresponde al grosor (dr) de cada anillo
la diferencia del radio entre un anillo y el siguiente
De hecho, una buena forma de pensar sobre los rectángulos,
aproximando el área de cada uno,
Es encajándolos a todos verticalmente de lado a lado
a lo largo de este eje de coordenadas. Cada uno tiene un grosor dr,
que es por lo que encajan tan ajustados ahí todos juntos,
y la altura de cada uno de estos rectángulos

Slovak: 
ale že to bude presnejšie viac
pre menšie a menšie hodnoty
dr. To znamená, že rozkrojíme kruh na
tenšie a tenšie prstene. Takže,
aby sme si to zhrnuli, rozdelili sme
obsah kruhu na všetky tieto
prstene, a zaokrúhľujeme ich obsah
každého z nich ako 2π krát ich
polomer krát dr, kde je špecifická
hodnota pre vnútorný polomer od
nuly pre najmenší prsteň, až po
skoro tri, pre najväčší prsteň
oddelené v závislosti od šírky, ktorú
sme si zvolili pre dr, napríklad ako
0,1. A všimnite si, že medzery
medzi jednotlivými hodnotami
sú vlastne šírky dr pre každý prsteň,
rozdiel v polomere od jedného prsteňa
k druhému. A naozaj si to môžeme predstaviť
ako štvoruholníky približne vyjadrujú
obsah každého kruhu, je, že ich naskladáme
jeden vedľa druhého pozdĺž osi, kde každý má šírku
dr, a to je prečo
pasujú tak pekne jeden k druhému
a výška hocijakého z týchto štvoruholníkov
je vyjadrená nad nejakou špecifickou

Korean: 
dr이 점점 작아질 수록
오차가 점점 줄어들어 정확한 수치가 될 것입니다.
이것은 우리가 원을
점점 더 잘게 썬다는 것입니다.
지금까지를 요약하자면, 여러분이 원의 넓이를
모두 이러한 링들로 나누었고
그 각각의 넓이를
2πR × dr이라는 근사치로
나타낸 것입니다.
여기서 반지름 값의 범위는
가장 작은 원의 0에서부터
가장 큰 원의 3까지입니다.
이 원들 사이의 간격은
0.1과 같이 여러분이 dr로 정한 두께만큼입니다.
반지름 값들 사이를 보세요.
이 간격들은 각각의 링의 두께
dr과 대응합니다.
이것은 하나의 원과 그 다음 원의 반지름 차이입니다.
사실, 각각의 링과 비슷한 직사각형에 대해
생각해 보는 멋진 방법은 링들 모두를
하나의 축을 따라 나란히 반듯하게
놓아 보는 것입니다.
각각이 두께 dr을 가지며 이것이 왜 직사각형들이
링들과 서로 아주 잘 들어맞고
0.6과 같은
특정한 R값 위에 있는

German: 
jedoch mit immer kleiner werdendem 'dr' stetig genauer wird.
Sozusagen schneiden wir den Ring in immer dünnere Stücke.
Um mal zusammenzufassen, wo wir jetzt sind:
du hast nun also den Kreis in all diese Ringe aufgebrochen,
und nährst den Flächeninhalt jeder dieser Ringe mit 2 * Pi * seinem Radius *  'dr' an,
wobei der konkrete Wert des Radius' zwischen 0, für den kleinsten Ring,
und etwas weniger als 3, für den größten Ring schwankt,
aufgeteilt, je nach dem, welche Dicke 'dr' du festgelegt hast - z.B. 0,1.
Beachte hierbei, dass die Aufteilung der Ringe mit ihrer Dicke 'dr' im Zusammenhang steht,
und zwar ergibt sich diese durch die  Differenz der Radien benachbarter Ringe.
Eine schöne Art, sich diese Rechtecke vorzustellen,
ist, sie sich nebeneinander, entlang dieser Achse, vorzustellen.
Jedes besitzt die Dicke 'dr', weswegen sie auch alle so gut hier reinpassen,

French: 
mais qu'elle va devenir de plus en plus précise pour des valeurs de dr plus petites.
Si on découpe le cercle en des anneaux de plus en plus fins.
Donc, en résumé, tu as découpé l'aire du cercle en plein d'anneaux,
et tu es en train d'estimer l'aire de chacun d'entre eux comme 2 π fois son rayon fois dr,
où la valeur exacte de ce rayon interne,
varie de zéro pour le plus petit anneau jusqu'à juste un peu moins de 3 pour le plus grand,
séparés de l'épaisseur que tu as choisi pour dr, 
quelque chose comme 0,1.
Et remarque que l'écart entre les valeurs ici correspond à l'épaisseur dr de chaque anneau,
la différence de rayon d'un anneau à l'autre.
En fait, une belle manière d'imaginer les rectangles estimant l'aire de chaque anneau
est de les mettre tous côte à côte le long de cet axe.
Chacun ayant une épaisseur dr, ce qui explique pourquoi ils y rentrent parfaitement ensemble,

Italian: 
sbagliata ma che diventerà via via
più accurata per scelte sempre più piccole
di dr. Cioè se dividiamo il cerchio
in anelli sempre più sottili. Quindi per
ricapitolare dove siamo, hai diviso
l'area del cerchio in tutti questi
anelli e stai approssimando l'area
di ognuno di questi come 2 volte [pi] moltiplicato
il suo raggio moltiplicato dr. Dove il valore specifico
del raggio interno varia da
zero per l'anello più piccolo
fino a poco meno di tre, per il cerchio più grande
largo tanto quanto lo spessore che hai
scelto per dr, qualcosa tipo
0.1 e nota che lo spazio
tra i valori corrisponde allo
spessore dr di ogni anello, la
differenza in raggio da un anello a quello
dopo. Un modo carino di pensare
ai rettangoli che approssimano l'area di ogni
anello è di metterli tutti dritti
affiancati, lungo questo asse ognuno
ha spessore dr che è perché
 
l'altezza di ognuno di questi
rettangoli sopra a uno specifico

Russian: 
но этот способ будет становиться всё
точнее для все меньших и меньших значений dr
Это в том случае если мы разрежем круг
на все более тонкие и тонкие кольца. Подведем
промежуточный итог - у вас есть площадь круга, разделенная
на множество колец
и вы приближаете площадь
каждого из них как 2πr*dr
Где конкретное значение
значение для внутреннего радиуса разнится от
нуля для самого маленького кольца до
чуть менее трех, для самого большого кольца, разнесенных
на произвольную толщину dr, которую
вы выбираете сами, например
0.1 и обратите внимание что этот промежуток
между значениями сообщается с
толщиной dr каждого кольца,
разница в радиусе от одного кольца
до следующего. На самом деле удобный способ рассуждения
о приближении площади каждого прямоугольника этих
колец это подогнать их все вплотную
друг к другу вдоль оси и где каждый
имеет толщину dr что является причиной почему они
расположены так плотно друг к другу и
высота любого из этих
прямоугольников находится над конкретным

Portuguese: 
Mas que vai ficar mais preciso para cada vez menores dr's
Isto é, se fatiarmos o círculo em anéis cada vez mais finos
Então, só para resumir onde estamos
Nós transformamos a área daquele círculo em todos esses anéis
E estamos aproximando a área de cada um deles
Pela expressão 2 vezes π  vezes dr
Onde o valor específico deste raio do anel
varia de 0 (para o menor dos anéis)
Até logo antes de 3 (para o maior anel)
Distanciado somente pela espessura que você escolheu para seu dr
Algo como 0.1
E perceba que os espaços entre os valores aqui
Correspondem às espessuras —dr— que você escolheu para cada anel
A diferença entre o raio de um anel para o outro
Na verdade, um bom jeito de pensar sobre os retângulos aproximando a área de cada anel
É botá-los virados pra cima
Lado a lado, percorrendo esse eixo
Cada um tem uma espessura dr
Que é porque eles se encaixam tão bem juntinhos
 
E a altura de qualquer um desses retângulos
Logo acima de algum valor de R

Chinese: 
腦後而繼續下去。
這就是如果當我們把圓切成
愈來愈薄的圓圈。
那麽我們裏小結一下我們在什麽地方
你已經把圓的面積分成很多小圓環
及你把每個環的面積近似成
每一個2 PI乘上
它的半徑再乘上dr。
其中那個的內半徑值的範圍是從
最小環的半徑從0到
最大環的半徑為3之間
不管你所選什麽樣的厚度就像是
在每個圓環
在這些距離之間厚度
即是你所選的每個圓環
到下一個圓環之間的半徑之差。
事實上
想用這些矩型近似每個圓環的
一個好方法是沿著數軸每個都有
一個厚度 dr 的排起來
這就是爲什麽它們
可以緊密地貼在一起而
其中任何一個矩形的高度
都是坐落在在某個的半徑R值上

Arabic: 
خطأ ولكنه سوف يصبح أكثر
دقيقة للخيارات أصغر وأصغر
من د. وهذا هو ما اذا كنا شريحة حتى دائرة
إلى حلقات أرق وأرق. اذن فقط
لتلخيص ما نحن فيه، وكنت قد تفككت
ومساحة الدائرة في جميع هذه
خواتم وكنت يقترب المنطقة
كل واحد من هؤلاء كما مرتين بي في
دائرة نصف قطرها الأوقات د. حيث محددة
وتتراوح قيمة لهذا نصف قطرها الداخلي من
ذر لأصغر حلقة حتى مجرد
تحت ثلاثة، لأكبر عصابة متباعدة
بها مهما كان سمك أنك
اختيار للدكتور هي شيء من هذا القبيل
0.1 و لاحظ أن التباعد
بين القيم هنا يتوافق مع
الدكتور سمك كل حلقة، و
الفرق في دائرة نصف قطرها من حلقة واحدة ل
التالي. في الواقع طريقة لطيفة للتفكير
حول المستطيلات تقريب كل
منطقة الحلقات هي لتناسب كل منهم ما يصل الحق
جنبا إلى جنب على طول هذا المحور كل واحد
لديه الدكتور سمك الذي هو السبب في أنها
تناسب بشكل مريح جدا هناك حق ومعا
ذروة أي واحد من هؤلاء
المستطيلات يجلس فوق بعض محددة

Chinese: 
但隨著dr越來越小，一切會變得更精準
也就是說，我們會把圓切成越來越小的環
總結目前的進度
你把整個圓分割成這些環
而且你用2πR乘上dr來近似每個環的面積
而內部半徑的值(r)則依序從
0(最小的環)一直到3(最大的環)
中間間隔的值是你所選的dr，像是0.1
並且注意到間隔的值對應到每個環的厚度dr
也就是相鄰兩個環的半徑差異
事實上，有個很棒的方法可以去思考
用矩形近似每一個環這件事
就是把他們一個接著一個排在這個軸上
每一個都有著厚度dr，所以他們會彼此緊貼
而任何一個矩形的高的值則

iw: 
אבל הוא ישתפר וישתפר
ככל שנקטין את dr
כלומר, אם נחתוך את המעגל לטבעות צרות יותר ויותר
כדי לסכם את מה שדיברנו עליו עד כה
חילקנו את שטח המעגל
למספר רב של שטחי טבעות
ואנחנו מנסים לקרב את השטח של כל טבעת כך:
2 פאי * הרדיוס (dr * (r
כאשר ערכי r (הרדיוס של כל טבעת פנימית)
נעים בין 0 (עבור הטבעת הקטנה ביותר)
לעד כמעט 3 (עבור הטבעת הגדולה ביותר)
כאשר מה שמבדיל בין ערכי r הוא dr (זוכרים?)
משהו כמו 0.1
 
שימו לב, שהמרחק בין ערכי r השונים
מתאים לרוחב של כל טבעת , dr
 
ההפרש בין ערכי הרדיוסים של כל טבעת לשכנתה
דרך נחמדה לחשוב על
מלבנים שמקרבים שטח של כל טבעת
היא לסדר אותם
אחד ליד השני, לאורך הציר הזה
כשלכל מלבן, רוחב של dr
ולכן הם מסודרים בצפיפות כזו
והגובה של כל מלבן

Swedish: 
men att den kommer bli mer korrekt ju mindre valet av dr är.
Det vill säga, om vi delar upp cirkeln i tunnare och tunnare ringar.
Så för att summera vart vi är:
Du har delat upp cirkelns area i alla de här ringarna
och du approximerar arean med arean av varje ring som 2pi gånger sin radie gånger sin bredd dr.
Där det specifika värdet för den inre radien spänner från 0, för den minsta ringen,
till precis under 3 för den största ringen
med mellanrummet av vilken tjocklek du nu valt för dr, något i stil med 0.1
och märker att mellanrummet motsvarar tjockleken dr för varje ring.
Skillnaden i radie från en ring till nästa.
Ett trevligt sätt att tänka kring rektanglarna som approximerar varje rings area är att lägga ut dem sida vid sida längs den här axeln.
Varje bit har en tjocklek dr vilket är varför de passar så snyggt ihop.

English: 
wrong, but it's going to become more
accurate for smaller and smaller choices
of dr. That is, if we slice up the circle
into thinner and thinner rings. So just
to sum up where we are, you've broken up
the area of the circle into all of these
rings, and you're approximating the area
of each one of those as two pi times its
radius times dr, where the specific
value for that inner radius ranges from
zero, for the smallest ring, up to just
under three, for the biggest ring, spaced
out by whatever the thickness is that you
choose for dr—something like 0.1.
And notice that the spacing
between the values here corresponds to
the thickness dr of each ring, the
difference in radius from one ring to
the next. In fact, a nice way to think
about the rectangles approximating each
ring's area is to fit them all up-right
side by side along this axis. Each one
has a thickness dr, which is why they
fit so snugly right there together, and
the height of any one of these
rectangles sitting above some specific

Polish: 
ale im mniejsze dr, tym mniejszy będzie błąd.
A dr jest tym mniejsze, im bardziej pocięliśmy koło.
Podsumowując: rozbiłeś pole koła na pola pierścieni
i przybliżasz ich pola przez 2 * pi * r * dr,
gdzie r, wewnętrzny promień pierścienia,
zmienia się od 0 dla najmniejszego pierścienia
aż do prawie 3 dla największego pierścienia
i zmienia się o wielokrotność dr (np. 0.1).
Zauważ, że puste miejsca na osi liczbowej są
takiej samej długości, jak grubość każdego pierścienia,
różnica promieni dwóch kolejnych pierścieni.
Możemy je rozprostować wszystkie i postawić
jeden obok drugiego na tej osi liczbowej.
Wszystkie mają grubość dr, dlatego
dobrze się mieszczą na osi.
Wysokość wybranego prostokąta, który stoi na osi

Turkish: 
Şimdilik biraz hatalı olduğunu, daha küçük "dr" seçimlerimiz için daha doğru sonuca yaklaşacağımızı aklımızın bir köşesinde bulunduralım.
Tabi bu, daireyi daha ince halkalar şeklinde bölersek olacak olandır.
Şimdi nerede olduğumuzu bir hatırlarsak;
Dairenin alanını tüm bu halkalara böldük,
ve her bir halkanın alanını da [2 x "pi" x r x "dr"] şeklinde yuvarladık.
Her bir iç yarıçapımız en küçük halkamız için olan 0 ile
en büyük halkamız için olan 3 arasında değişkenlik gösteriyordur.
Boşluklar, dr'ı nasıl belirlediyseniz ona göre şekillenmiştir.
Mesela 0.1 gibi
şunu da fark etmelisiniz ki,
buradaki(sayı doğrusundaki) değerler arasındaki boşluklar,
her bir halkanın kalınlığına denk geliyordur.
Aynı zamanda ardışık iki halka arasındaki yarıçap farkına.
Doğrusu dikdörtgene yuvarlanmış her halka alanı hakkında düşünmek için güzel bir yol da,
onları bu aksis boyunca yan yana oturtturmaktır.
Her biri dr kalınlığına sahiptir ki bu da bulundukları yere neden rahatça oturduklarını açıklar.

Modern Greek (1453-): 
όμως τείνει να γίνει πιο ακριβής
για όλο και μικρότερες επιλογές του dr.
Δηλαδή, για όσο κόβουμε τον κύκλο σε
όλο και λεπτότερους δακτυλίους. Άρα, απλά για να συνοψίσουμε,
μέχρι στιγμής έχουμε χωρίσει την επιφάνεια του κύκλου
σε όλους αυτούς τους δακτυλίους
και προσεγγίζουμε το εμβαδόν
καθενός από αυτούς με το 2π επί την
ακτίνα τους επί το dr. Όπου η συγκεκριμένη
τιμή αυτής της ακτίνας κυμαίνεται από
0 για τον μικρότερο δακτύλιο,
μέχρι λίγο λιγότερο από 3,
για τον μεγαλύτερο δακτύλιο.
Το κενό ανάμεσά τους ισούται με την όποια τιμή έχουμε
διαλέξει για το dr, κάτι σαν το 0.1
Και προσέξτε ότι το κενό
ανάμεσα σε αυτές τις τιμές αντιστοιχεί
στο πάχος dr του κάθε δακτυλίου,
δηλαδή τη διαφορά στην ακτίνα από τον έναν δακτύλιο στον επόμενο.
Μάλιστα, ένας ωραίος τρόπος να σκεφτείτε
πώς τα ορθογώνια προσεγγίζουν το εμβαδό κάθε δακτυλίου
είναι να τα χωρέσετε όλα δίπλα δίπλα πάνω σε αυτόν τον άξονα.
Καθένα από αυτά έχει πάχος dr, γι'αυτό και χωράνε τόσο βολικά εκεί πέρα μαζί.
Και το ύψος οποιουδήποτε τέτοιου ορθογωνίου

Spanish: 
dependiente del valor de r
es exactamente 2 veces pi ese valor.
Esa es la circunferencia del
correspondiente  anillo que este rectángulo
aproxima en la imagen como este 2(pi)r
pantalla. 2*(pi)*3 es
alrededor de 19,  vayamos a
una escala del eje y para poner todos
esos  rectangulos en la pantalla.
Una buena manera de pensar esta afirmación
es dibujar la gráfica de 2(pi)r que es
una línea erguida que tiene  una pendiente de 2(pi)
cada uno de esos rectángulos se extiende hacia arriba
hasta el punto donde apenas tocan la gráfica.
De nuevo, empezamos a aproximar
solamente el área de eso rectángulos.
correspondientes a cada anillo del círculo
pero recuerda que al  aproximarse a 2{PI}r
veces dr se vuelve más y más exacto
a la vez que el tamaño  de dr se hace más pequeño
y esto tiene un  significado muy hermoso.
Cuando estamos viendo la suma
de cada elección pequeña de dr

Modern Greek (1453-): 
που "κάθεται" πάνω από μία τιμή του r, πχ το 0.6,
είναι ακριβώς 2π επί αυτήν την τιμή.
Αυτή είναι η περιφέρεια του αντίστοιχου δακτυλίου
τον οποίο προσεγγίζει αυτό το ορθογώνιο.
Εικόνες όπως αυτή, καμιά φορά ξεπερνούν
το μέγεθος της οθόνης.
Πχ το 2π*3 κάνει περίπου 19...
Οπότε ας βάλουμε και έναν άξονα y με λίγο διαφορετική κλίμακα,
ώστε να μπορέσουμε να χωρέσουμε
όλα τα ορθογώνια στην οθόνη.
Ένας ωραίος τρόπος να κατανοήσουμε αυτό το γράφημα,
είναι να ζωγραφίσουμε τη γραφική παράσταση 2πr,
η οποία είναι μία ευθεία με κλίση 2π.
Καθένα από αυτά τα ορθογώνια εκτείνεται ως
το σημείο όπου μόλις ακουμπάει αυτήν την ευθεία.
Και πάλι, εδώ δεν είμαστε ακριβείς.
Καθένα από αυτά τα ορθογώνια μόνο *προσεγγίζει*
το εμβαδό του αντίστοιχου δακτυλίου στον κύκλο.
Θυμηθείτε όμως! Αυτή η προσέγγιση 2πrdr
γίνεται όλο και λιγότερο λανθασμένη,
όσο το dr γίνεται όλο και μικρότερο.
Και αυτό μπορεί να φανεί πολύ όμορφα
αν κοιτάξουμε το άθροισμα των εμβαδών
όλων αυτών των ορθογωνίων.
Για όλο και μικρότερες επιλογές του dr,

Chinese: 
大約坐落在0.6
精確來說，就是2π乘上你選的dr
同時也是這個矩形所近似的環的圓周長
在圖中，2πr對於螢幕來說太高了
2*π*3大約是19
所以讓我們把y軸延伸，稍微縮放一下
好讓螢幕可以容下所有的矩形
為了更好理解它，我們可以畫出2πr的函數
一條有著斜率2π的直線
每個矩形都恰好碰到這條線
再次強調我們正在作近似
每個矩形近似於其對應的環
但記得，2πr*dr作為近似值
會隨著dr縮小而變得更精確
當我們看著所有矩形的總和時，可以發現其美妙的意義
如果dr的選取越來越小

Slovak: 
hodnotou r, napríklad 0,6 je
presne 2π* tá hodnota.
To je obvod príslušného prsteňa,
ktorý je vlastne tento štvoruholník.
obrázky ako je tento, 2πR,
môžu byť veľmi vysoké aby sa zmestili na obrazovku.
Chcem povedať, že 2π*3 je
okolo 19, takže trochu upravíme
osu y aby sme videli
všetky hodnoty
pre všetky štvoruholníky na obrazovke.
aby sme tomu správne pochopili, načrtneme si
graf, ktorý znázorňuje 2π*R, čo je
rovná čiara, ktorá má sklon 2π.
každý z týchto štvoruholníkov sa len
tak tak dotýka grafu.
A znovu, len zaokrúhľujeme.
Každý z týchto štvoruholníkov
len približne udáva obsah prsteňa
z kruhu, ale nezabúdajme na to,
že zaokrúhlenie 2π*R*dr
bude menej a menej citeľné ako sa
veľkosť dr bude zmenšovať a zmenšovať.
a je to veľmi zaujímavé
keď sa pozrieme na výsledok sčítania
obsahov všetkých týchto štvoruholníkov.
Pre menšie a menšie hodnoty pre dr

Korean: 
직사각형의 높이 하나하나가
정확히 2π와 그 값의 곱이 되는 이유입니다.
이것은 직사각형에 대응하는
링의 둘레입니다.
여기 보이는 2πr은
스크린에 비해 약간 클 수 있습니다.
예를 들어 2π 곱하기 3은 약 19 정도 됩니다.
그러므로 그냥 y축의
간격을 약간 다르게 하여
스크린에 모든 직사각형들이
보이게 하겠습니다.
이런 작업에 대해 생각하는 좋은 방법은
2πr의 그래프를 직선으로 그려보는 것입니다.
이 직선은 기울기 2π를 가지며
각각의 직사각형이 간신히 이 직선에
맞다을 때까지 늘어져 있습니다.
다시 말하면, 우리는
각각의 직사각형들이 이와 대응하는
링의 넓이와 비슷해 지도록
근사하고 있습니다.
그러나 기억하세요. 이 근사치
2πr × dr은 dr의 크기가 점점 더 작아질수록
오차도 점점 더 줄어든다는 것을.
그리고 우리가 그러한 직사각형들의
총합에 대해 살펴보면
이것은 매우 아름다운 의미를 지닙니다.
점점 더 작아지는 dr에 대하여

French: 
et la hauteur d'un de ces rectangles situés sur une certaine valeur de r, comme 0,6,
vaut exactement 2 π fois cette valeur.
C'est la circonférence de l'anneau correspondant dont ce rectangle est l'approximation.
Vu comme ça, 2 π r peut en fait devenir assez grand pour l'écran.
Enfin, 2 fois π fois 3 vaut à peu près 19,
donc on va utiliser un axe y avec une échelle un peu différente
pour qu'on puisse faire tenir tous ces rectangles sur l'écran.
Une belle manière d'imaginer cet arrangement est de dessiner le graphe de 2 π r
qui est une droite de pente 2 π.
Chacun de ces rectangles monte jusqu'au point où il touche à peine cette courbe.
Encore une fois, c'est une approximation,
chacun de ces rectangles ne fait qu' estimer l'aire de l'anneau correspondant du cercle,
mais rappelle-toi, cette approximation 2 π r fois dr,
devient de plus en plus exacte quand dr devient de plus en plus petit,
et ça a une très belle signification quand on regarde la somme des aires de tous ces rectangles.
Pour des plus petites valeurs de dr,

Italian: 
valori di R come 0.6 è
esattamente 2 pi moltiplicato
quel valore. È la circonferenza
dell'anello approssimato da questo rettangolo
Con immagini come questa 2*Pi*R
può essere alto per questo
schermo. 2*[pi]*3
è circa 19 quindi mettiamo
un asse y che scali in modo leggermente diverso
così possiamo far vedere
tutti questi rettangoli sullo schermo. Un
modo carino di pensare a questo setup è di
disegnare il grafico di 2*[pi]*r che è
una linea retta con inclinazione 2*[pi]
ognuno di questi rettangoli si estende fino al
punto dove sfiora quel
grafico. Ancora, stiamo approssimando,
ciascuno di questi rettangoli
approssima l'area dell'
anello corrispondente dal cerchio ma
ricorda che l'approssimazione 2*[pi]*r*dr
diventa via via meno sbagliato
al diminuire di dr
E questo ha un significato molto bello
quando stiamo guardando alla somma delle
aree di tutti quei rettangoli
Per scelte sempre più piccole di dr, puoi

Portuguese: 
Como 0.6
É exatamente 2π vezes aquele valor
Essa é a circunferência do anel correspondente que esse retângulo aproxima
Imagens como essa de 2πr podem ficar um pouco altas para a tela
Tipo, 2*π*3 é em torno de 19
Então vamos usar um grande eixo y que tenha uma escala diferente e possa conter todos os retângulos na tela
Um bom jeito de pensar nessa estrutura é desenhar o gráfico de 2πr
Que é uma linha reta com inclinação de 2π
 
Cada um desses  retângulos se estende até um ponto em que tocam levemente o gráfico
Reforçando, nós estamos usando aproximações aqui
Cada um destes retângulos apenas é uma aproximação da área do anel correspondente do círculo
Mas lembre-se
Essa aproximação (2πr*dr)
Fica cada vez menos errado a medida que dr fica menor e menor
E isso tem uma significado bem bonito quando olhamos para a soma das áreas de todos os retângulos
Para escolhes menores e menores de dr,

Russian: 
значением r, например 0.6
, равна 2πr
Это окружность соответствующего
кольца которую данный прямоугольник приближает.
Графики, как этот 2πr
могут получиться слишком большим для экрана.
Я имею в виду что 2π3
это примерно 19 так что давайте поднимем
ось Y таким образом чтобы отмасштабировать немного
иначе, так чтобы мы могли вместить
на экран все эти прямоугольники.
Удобный способ рассуждать о такой ситуации это
нарисовать график 2πr который представляет собой
прямую линию которая имеет наклон 2π.
Каждый из этих прямоугольников тянется до
точки где он лишь едва касается этого графика.
И опять, здесь мы приближаем.
Каждый из этих прямоугольников только
приближает площадь
соответствующего кольца круга, но
помните что это приближение 2πr*dr
становится все менее и менее неточным когда
размер dr становится все меньше и меньше.
И это приподносит нам очень красивую идею
когда мы смотрим на сумму
площадей всех этих прямоугольников,
для все меньших и меньших значений dr.

iw: 
שמתאים לערך כלשהו של r
כמו לדומגה, 0.6
זה בדיוק 2 פאי כפול... הערך הזה!
זהו ההיקף של הטבעת המתאימה
שהמלבן הזה מנסה לקרב
2 פאי * r יכול להיות
קצת גבוה עבור המסך הזה
לדוגמה, עבור r=3 התוצאה
היא בערך 19, לכן בואו פשוט
נוסיף ציר y שיתן קנה מידה
אחר, כדי שנוכל להתאים
את כל המלבנים האלו על המסך
דרך נחמדה לחשוב על הארגון הזה היא
לצייר את הגרף של 2 פאי * r  , שהוא פשוט
קו ישר בעל שיפוע של 2 * פאי
כל מלבן נמתח עד
לנקודה שבה הוא כמעט נוגע בגרף
שוב, אנחנו עושים קירוב
כל מלבן רק מקרב
את השטח של הטבעת המתאימה
אבל זכרו,
הקירוב הזה (מה שכתוב למעלה)
הוא בעל שגיאה שהולכת וקטנה
עבור dr שהולך וקטן
יש לזה משמעות יפה
אם אנחנו מסתכלים על סכום
שטחי המלבנים
עבור dr שהולך וקטן

Chinese: 
比方說在這個R是0.6值上
其高度就是2 PI乘該半徑的值。
那個所對應的圓環用來近似這個矩形
的那個圓環的周長
像這個2 pi R這個圖像
對這個屏幕來說可能太高
我意思是2 *π* 3大約是19
所以我們就把y軸
按比例縮小一點
這樣我們就可以
把所有矩形顯示在屏幕上。
對這個設置的一個好辦法來考慮就是
作出一個2* π* r的圖像有
一條斜率為2π的直線
每個這些矩形都向上延伸到
剛剛好碰到那條曲綫。
再說一下我們在此所近似的
這些矩形只是
近似於
從圓中來的對應的圓環。
記住在 dr 的尺寸 變得越來越小時
也越來越接近
那個近似值 2*π* r *dr 并且
當我們正在尋找
所有這些矩形面積的總和時
這有一個非常漂亮的意義。
在 dr 的值選得越來越小時

Swedish: 
Höjden av en rektangel som är vid något specifikt värde r, säg 0.6,
är exakt 2pi gånger det talet.
Det är omkretsen kring den motsvarande ring som den rektangeln approximerar.
Bilder som den här, 2pi*r, kan bli ganska höga för den här skärmen.
Jag menar 2*pi*3 är kring 19
så vi lägger upp en y-axel som är skalad lite annorlunda så vi faktiskt kan få plats alla rektanglar.
Ett fint sätt att tänka på det här upplägget är att rita grafen som hör till 2*pi*r
vilket är en rak linje med lutning 2*pi.
Varje rektangel sträcker sig upp till punkten där de nätt och jämnt rör den grafen.
Återigen så är vi ungefärliga här, eftersom varje rektangel bara approximerar arean av den motsvarande ringen i cirkeln
men kom ihåg: den approximationen, 2pi r*dr blir mindre och mindre fel då storleken på dr blir mindre och mindre.
Och det här har en vacker betydelse när vi undersöker summan av alla rektanglar.

Polish: 
na konkretnej wartości promienia r, np. 0.6,
jest równa 2*pi*r. Tyle samo wynosi obwód pierścienia,
z którego powstał ten prostokąt.
Rysunek wychodzi poza ekran, bo 2*pi*3 to około 19,
więc ustalmy taką jednostkę na osi y,
żeby zmieścić wszystkie prostokąty.
Warto narysować sobie wykres
funkcji 2 * pi * r, który jest linią prostą.
Każdy prostokąt dotyka tą prostą w jednym punkcie.
Przypominam, że wszystko to robimy "mniej więcej".
Każdy z tych prostokątów tylko przybliża
pole odpowiedniego pierścienia wzorem 2*pi*r*dr,
ale im mniejsze dr, tym przybliżenie jest lepsze.
To jest kluczowe, gdy patrzymy na
sumę pól tych wszystkich prostokątów.
Gdybyśmy wybierali coraz mniejsze dr,

Turkish: 
Ve bu dikdörtgenlerin herhangi bir tanesinin yüksekliği, r'nin 0.6 olduğunda olduğu gibi değerin [2 x "pi"]'sidir.
Bu, bu halkaya karşılık gelen çevredir.
Burdaki [2 x "pi" x r] gibi resimler ekran için biraz fazla uzun.
Demem o ki [2 x "pi" x 3] 19 civarında
O yüzden şuraya ölçeği biraz değiştirilmiş bir y aksisi uzatalım.
Böylece tüm dikdörtgenleri ekrana sığdırabiliriz.
Bu düzenek hakkında düşünmek için iyi bir yöntem
[2 x "pi" x r] grafiğinin doğrusunu çizmek olurdu.
ki bu eğimi [2 x "pi"] olan bir doğrudur.
Her bir dikdörtgen, doğruya çok hassas bir şekilde dokunduğu noktaya kadar uzatılmıştır.
Tekrardan söylüyorum, burada yaklaşık değerlerden konuşuyoruz.
Buradaki her bir dikdörtgen, karşılık geldiği halkanın alanının yuvarlanmış halidir.
Hatırlarsak yuvarladığımız değer ise dr değeri azaldıkça doğruluğu artan [2 x "pi" x r] x [dr] idi.
Ve bunun çok güzel bir anlamı olduğunu
dikdörtgenlerin alanını toplarken görüyoruz.
Küçük ve daha küçük [dr] değerleri için

Arabic: 
قيمة R مثل 0.6 ل
بالضبط مرات 2 بي
بالقيمة .That من محيط
حلقة المقابلة أن هذا المستطيل
يقترب مثل هذه الصور اثنين PI R
يمكن الحصول على الواقع نوع من طويل القامة ل
شاشة. أعني 2 * [بي] * 3
حوالي 19 لذلك دعونا مجرد رمي
حتى المحور الصادي وهذا ما تحجيمها قليلا
بشكل مختلف حتى نتمكن من احتواء الواقع
كل هذه المستطيلات على الشاشة. ا
طريقة لطيفة للتفكير في هذا الإعداد هو
رسم بياني لاثنين بي ص وهو
خط مستقيم الذي يحتوي على منحدر اثنين بي
كل من هذه المستطيلات تمتد حتى
النقطة التي يلامس بالكاد
هذا الرسم البياني. مرة أخرى نحن يجري تقريبي
هنا كل من هذه المستطيلات فقط
يقترب من منطقة
حلقة المقابلة من دائرة ولكن
تذكر أن تقريب 2 [PI] ص
الأوقات الدكتور يحصل على أقل وأقل خطأ كما
حجم الدكتور يحصل أصغر وأصغر
وهذا له معنى جميل جدا
عندما كنا نبحث في مجموع
المناطق جميع تلك المستطيلات.
للحصول على خيارات أصغر وأصغر من الدكتور لك

English: 
value of R—like 0.6—is
exactly 2 pi times
that value. That's the circumference of the
corresponding ring that this rectangle approximates. Pictures like this two pi R
can actually get kind of tall for the
screen. I mean 2 times pi times 3
is around 19, so let's just throw
up a y-axis that's scaled a little
differently, so that we can actually fit
all of these rectangles on the screen.
A nice way to think about this setup is to
draw the graph of two pi r which is a
straight line that has a slope two pi.
Each of these rectangles extends up to
the point where it just barely touches that graph.
Again we're being approximate here.
Each of these rectangles only
approximates the area of the
corresponding ring from the circle, but
remember, that approximation, 2 pi R
times dr, gets less and less wrong as
the size of dr gets smaller and smaller.
And this has a very beautiful meaning
when we're looking at the sum of the
areas of all those rectangles.
For smaller and smaller choices of dr, you

German: 
und die Höhe jedes dieser Rechtecke mit einem konkreten Wert 'r', wie z. B. 0,6,
ist eben genau 2 * Pi * diesem Wert.
Das ist der Umfang des Ringes, den wir mit dem Rechteck annähern wollen.
In dieser Darstellung kann 2 * Pi * r ganz schön groß werden.
Ich meine, 2 * Pi * 3 ist ungefähr 19
also skalieren wir die y-Achse einfach etwas anders, sodass alle Rechtecke auf den Bildschirm passen.
Eine schöne Weise, über diesen Aufbau nachzudenken, ist es,
den Graphen von 2 * Pi * r zu zeichnen, welcher eine Gerade mit der Steigung 2 * Pi ist.
Jedes dieser Rechtecke reicht so weit nach oben, dass es gerade so den Graphen berührt.
Ich möchte nochmal erwähnen, dass wir hier nur Näherungen machen.
Jedes dieser Rechtecke nährt den Flächeninhalt des korrespondieren Ringes nur an,
aber denke daran, dass diese Näherung immer besser wird, je kleiner wir 'dr' wählen.
Und das hat eine wunderbare Bedeutung, wenn wir nun die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke betrachten.

Chinese: 
你也許會想那會把
這變成非常大的求縂和的問題
我的意思是有很多的長方形要考慮
以及小數點的精度將是
一個絕對的噩夢！但是要注意，
它們所有的總面積看起來就像
在曲線之下的面積而該曲線下的面積
不過就是一個三角形。
一個底邊是3而高度是2 * π * 3的
一個三角形的面積是1/2 x 底 x 高
即是 π *3^2
如果原來的圓的半徑是其它一些
R的值的話，那個面積就會變成
π * R ^2
那就是一個圓​​面積的公式！
這不管你是誰或者你這裏的對
數學是怎樣考慮的
有一個的美麗說法。
但是如果你要在這裏像
一個數學家那樣來思考的話
你不只是關心找到答案
你關心去發展解決問題的
一些通用的工具和技術。

Turkish: 
ilk başta bu yaptığımızın problemi korkunç bir şekilde fazla toplama işlemine dönüştürdüğünü düşünebilirsiniz.
Kastettiğim şey, orada düşünülecek ve alanlarının ondalıklı değerini alıcağımız bir sürü dikdörtgen olacak
tüm bunları hesap etmek bir kabus olurdu.
Fakat dikkat edin
tüm bu dikdörtgenlerin alanı grafiğin altında yalnızca bir üçgen olarak gözüküyor.
Ve taban uzunlu 3 ve yükseliği de [2 x "pi" x 3] olan bir üçgenin alanını
tam olarak ["pi" x 3^2] şeklinde gösterebiliriz.
Eğer orjinal dairemizi yarıçapı başka bir r değeri olsaydı
Büyük R diyelim.
Onun alanını da ["pi" x r'^2] şeklinde gösterirdik ki
bu da bizim daire alan formülümüzdür zaten!
Kim olduğunun veya matematik hakkında tipik olarak ne düşündüğünün bir önemi yok.
İşte bu güzel bir argumandır.
Eğer bir matematikçi gibi düşünmek istiyorsan
cevapları bulmayı önemsememen lazım.
önemsemen gereken şey genel bir problem çözme aracı ve tekniği geliştirmek olmalı.

Swedish: 
För mindre och mindre val av dr kanske du först tror att det det gör problemet till en enormt stor summa,
jag menar, det finns många många rektanglar att betrakta och precisionen av varje area kommer bli en fullständig mardröm!
Men lägg märke till att alla areor i hopslagningen bara ser ut som arean under en graf
och biten under grafen ser bara ut som en triangel.
En triangel med bas 3 och höjd 2*pi*3
så dess area, 1/2 basen gånger höjden, blir exakt pi gånger 3 i kvadrat.
Eller, om radien i den ursprungliga cirkeln var något annat tal R, blir den arean
pi*R^2 vilket är precis formeln för en cirkels area!
Det spelar ingen roll vem du är eller vad du vanligtvis tycker om matematik,
det där är ett vackert argument.
Men om du vill tänka som en matematiker här
bryr du dig inte bara om att hitta svaret,
du bryr dig om att utveckla generella problemlösningsmetoder.

Polish: 
mógłbyś stwierdzić, że suma się strasznie rozrasta,
jest coraz więcej prostokątów, coraz więcej
liczb po przecinku, koszmar!
Ale zauważ, że wszystkie te prostokąty
razem dają obszar pod wykresem funkcji.
A to jest trójkąt o podstawie 3 i wysokości 2 * pi * 3.
Pole trójkąta to 1/2 * podstawa * wysokość,
tutaj wychodzi dokładnie pi * 3^2.
Gdybyśmy na początku wzięli koło o promieniu R,
pole będzie równe pi * R^2.
I taki właśnie jest wzór na pole koła!
Nie ma znaczenia, kim jesteś, co myślisz o matematyce,
to jest piękny argument.
Ale chcąc myśleć jak matematyk,
bardziej od odpowiedzi na konkretne pytanie
zależy ci na stworzeniu ogólnych narzędzi i technik.

Korean: 
여러분은 처음에는 그것이 문제를
괴물같이 크게 키울 것이라고 생각할 수 있습니다.
아주 많은 직사각형들에 대해 생각하고
각각의 넓이에 대해 소수점까지 정확히
계산하여야 하는 일은
악몽이나 다름이 없습니다.
그러나 주의 깊게 살펴보면 전체 넓이는 그저
그래프 아래의 넓이와 다름없어 보입니다.
그래프의 아래 부분은 단지 삼각형일 뿐입니다.
삼각형의 밑변은 3이고 높이는 2π × 3,
그러므로삼각형의 넓이는 정확히
[1/2 × 밑변 × 높이]로 산출된
π × 3²입니다.
만일 처음에 우리가 생각한 원이
다른 R값을 가졌다면 그 넓이는
π × R²가 되었을 것이고 바로 이것이
원의 넓이를 나타내는 공식입니다.
당신이 누구인지 당신이 수학에 대해
어떤 생각을 갖는지는 그렇게 중요하지 않습니다.
아름다운 논증입니다.
그러나 만일 당신이 여기서
수학자처럼 생각하고 싶다면
답을 찾는 것에 대해서는 신경쓸 필요가 없습니다.
당신은 일반적인 문제해결 방식과 기법을 개발하는데
신경쓰면 됩니다.

Russian: 
Вы можете сначала подумать что это превращает
проблему в монструозно большую сумму.
В смысле, у нас есть превеликое множество прямоугольников для
рассмотрения и десятичная точность
площади каждого из их должна стать
просто ночным кошмаром! Но обратите внимание что
их площади в совокупе выглядят просто как
площадь под графиком и эта часть
под графиком является просто треугольником.
Треугольником с основанием 3 и высотой 2π3.
Таким образом его площадь (1/2)*b*h
что в точности равно
π(3^2). Или, если
радиус нашего оригинального круга имел какое-либо
другое значение R, то его площадь стала бы
π(r^2) что является формулой
площади круга!
Неважно кто вы и что вы
думаете о математике,
но это решения является красивым.
Но если вы хотите рассуждать
как математик,
вас не должен волновать ответ на конкретный
вопрос.
Вас должно волновать создание 
инструментов и
и техник для решение общего
класса проблем.

iw: 
תוכלו לחשוב בתחילה שזה הופך את הבעיה
למשהו מפלצתי ומסובך
כלומר, יש מספר גדול מאוד של מלבנים
לקחת בחשבון, והדיוק בחישוב
כל אחד מהשטחים שלהם יכול להסתכם
בסיוט מוחלט! עם זאת, שימו לב לכך
שסכום שטחיהם נראה פשוט כמו
השטח הכולל מתחת לגרף, ושטח זה
הוא פשוט שטח של משולש
למשולש זה בסיס 3 וגובה
של 2 פאי * 3, וכאמור שטחו הוא
0.5 * הבסיס * הגובה
וזהו בדיוק פאי * 3 בריבוע. או,
אם הרדיוס של המעגל המקורי היה
R כלשהו (לא בהרכח 3), התוצאה הייתה יוצאת
בדיוק פאי * R בריבוע, וזוהי (לא במפתיע)
נוסחת שטח המעגל!
זה לא משנה מי צופה בסרטון,
או מה המחשבה שלך על מתמטיקה- פשוט קיבלנו כאן
טיעון יפהפה!
עם זאת, אם ברצונכם לחשוב כמו
מתמטיקאי אמיתי
לא יהיה לכם אכפת רק ממציאת התשובה,
תרצו להשתמש בזה בכדי לפתח טכניקות
כלליות לפתירת בעיות

French: 
tu penseras peut-être que ça transformera le problème en une somme gigantesque.
Vu qu'il y a plein de rectangles en jeu
et la précision décimale de chaque aire sera un vrai cauchemar !
Mais remarque,
l'ensemble de leurs aires ressemble juste à l'aire sous une courbe,
et cette portion sous la courbe est juste un triangle.
Un triangle de base 3 et une hauteur de 2 π fois 3,
donc son aire, un demi de la base fois la hauteur vaut en fait exactement
π fois 3²,
ou si le rayon de notre cercle valait autre chose, R majuscule,
cette aire vaudra π fois R²,
et c'est la formule de l'aire d'un cercle !
Peu importe qui tu es et ce que tu penses des maths, on a là un joli argument.
Mais si tu veux réfléchir comme un mathématicien,
tu ne veux pas juste trouver la réponse,
tu veux développer des techniques générales de résolution de problèmes.

Arabic: 
في البداية قد تعتقد أن الذي يحول
مشكلة في مخيف ط مبلغ كبير
يعني هناك العديد والعديد من المستطيلات ل
النظر والدقة العشرية
كل واحد من مناطقهم ستكون
كابوس مطلقة! ولكن لاحظ كل من
مناطقهم في مجموع المباراتين يبدو تماما مثل
المنطقة تحت الرسم البياني وهذا الجزء
تحت الرسم البياني هو مجرد مثلث.
مثلث مع قاعدة من 3 وارتفاعه
هذا هو 2 مرات بي 3 حتى انها منطقة 1/2
قاعدة الأوقات ارتفاع يعمل بها لتكون
بالضبط مرات بي 3 المربعة أو إذا كان
كان نصف قطر الدائرة الأصلية لدينا بعض
قيمة أخرى R تلك المنطقة تأتي
إلى أن تكون الأوقات بي R المربعة وهذا
الصيغة للمساحة الدائرة!
لا يهم من أنت أو ما
أعتقد عادة الرياضيات أن هناك حق
هي حجة جميلة.
ولكن إذا كنت ترغب في التفكير مثل
الرياضيات هنا
كنت لا يهتمون فقط العثور على
الإجابة يهمك تطوير عامة
أدوات وأساليب حل المشكلات. وبالتالي

Italian: 
all'inizio pensare che il problema diventi
una somma mostruosamente grande
ci sono così tanti rettangoli da considerare
e la precisione decimale di
ognuno sarà un
incubo assoluto! Ma nota che
tutte le loro aree aggregate sono solo
l'area sotto il grafico e quella porzione
sotto il grafico è un triangolo
Un triangolo di base 3 e altezza
di 2*[pi]*3 quindi è area: 1/2 per
base per altezza è esattamente
[pi] moltiplicato 3^2 o se
il raggio del nostro cercio fosse
un altro valore R, quell'area sarebbe
pi*R^2 e questa è
la formula per l'area del cerchio!
Non importa chi sei o cosa
pensi tipicamente della matematica, questo
è un bel risultato
Ma se vuoi pensare come un
matematico
non ti interessa trovare solamente la
risposta, ti interessa sviluppare uno strumenti e
tecniche generali per risolvere problemi.

Portuguese: 
Num primeiro momento você pode pensar que isso transforma um problema numa soma monstruosa
Quero dizer, há vários retângulos a serem considerados
E a precisão decimal de cada uma das áreas
Vai ser absolutamente um pesadelo
Mas perceba:
Todas as áreas deles, em agregado,
Parecem com uma área sob um gráfico
E essa porção, sob o gráfico, é apenas um triângulo
Um triângulo, com uma base de 3
E uma altura que é de 2π*3
Então sua área: 1/2*base*altura
Acaba por ser exatamente
π*3²
Ou, se o raio de nosso círculo fosse algum outro valor, R
A área acaba sendo π*R²
E essa é a fórmula para a área do círculo
Não importa quem você seja ou o que você tipicamente pensa de matemática
Isso que vimos é um belo argumento
Mas se você quiser pensar como um matemático neste problema
Você não se importa somente em encontrar a resposta
Você se importa em construir ferramentas e técnicas de soluções gerais

Spanish: 
tú podrías imaginar que eso convierte el
problema en suma mounstrosamente larga
considerando la precisión decimal de
una pesadilla absoluta!.Pero observa
todas sus áreas conjuntamente se ven como
el área de  debajo de la gráfica y en esa posición
debajo la gráfica es un triángulo.
Un triángulo con base 3 y altura
que es 2{pi}3 ,entonce su área
1/2 vecesl su altura , trabaja exactamente para ser
3*3 {pi}
o si el radio de nuestro círculo original
fuera otro valor R , esa área
se expresa como {pi} R al cuadrado
y esa es la  fórmula de un círculo!.
No importa quien eres
o que piensas típica mente de las matemáticas, esa regla allí es un argumento maravilloso
Pero si aquí quieres pensar como un matemático .
No solo te debes preocupar por encontrar la respuesta
, te debes preocupar por desarrollar herramientas y técnicas para resolver

English: 
might at first think that that turns the
problem into a monstrously large sum.
I mean there's many many rectangles to
consider and the decimal precision of
each one of their areas is going to be
an absolute nightmare! But notice; all of
their areas in aggregate just looks like
the area under a graph, and that portion
under the graph is just a triangle.
A  triangle with a base of 3 and a height
that's 2 pi times 3. So its area, 1/2
base times height, works out to be
exactly pi times 3 squared; or if the
radius of our original circle was some
other value capital R that area comes
out to be pi times R squared, and that's
the formula for the area of a circle!
It doesn't matter who you are or what you
typically think of math that right there
is a beautiful argument.
But if you want to think like a
mathematician here,
you don't just care about finding the
answer; you care about developing general
problem-solving tools and techniques.

Modern Greek (1453-): 
ίσως αρχικά να νομίζετε ότι αυτό μετατρέπει το πρόβλημά μας σε ένα τεράστιο άθροισμα.
Υπάρχουν πάρα πολλά ορθογώνια που πρέπει να λάβουμε υπ'όψιν
και η δεκαδική ακρίβεια κάθε εμβαδού
θα είναι ο απόλυτος εφιάλτης!
Προσέξτε όμως! Όλα τα εμβαδά τους, αθροιστικά, μοιάζουν απλά
σαν το εμβαδό κάτω από μία γραφική παράσταση και σε αυτήν την περίπτωση
αυτό είναι ένα απλό τρίγωνο.
Ένα τρίγωνο με βάση 3 και ύψος 2π*3.
Το εμβαδό του λοιπόν είναι 1/2 βάση επί ύψος,
δηλαδή ακριβώς π*3².
Ή αν η ακτίνα του αρχικού μας κύκλου είχε
κάποια άλλη τιμή R, αυτό το εμβαδό προκύπτει
ότι είναι πR² και αυτός ακριβώς είναι
ο τύπος για το εμβαδό ενός κύκλου!
Δεν έχει σημασία ποιος είσαι ή αν σου αρέσουν τα μαθηματικά.
Αυτό εδώ το επιχείρημα είναι πανέμορφο.
Αν όμως θέλετε να σκεφτείτε σαν ένας μαθηματικός,
δεν σας ενδιαφέρει να βρείτε απλά την απάντηση.
Σας νοιάζει να αναπτύξετε γενικότερα εργαλεία επίλυσης προβλημάτων και τεχνικές.

Chinese: 
也許你會認為問題變成了加總一個極大的和
我的意思是，要考慮非常非常多的矩形
而每個面積的小數精準值絕對是個噩夢
但注意!
所有面積的總和
看起來就像直線下的面積
而直線下的圖形就是三角形
一個底為3，高為2π*3的三角形
所以它的面積，底乘高除二
就恰好是 π*3平方
如果原本的圓有不同的半徑，像是R
答案變成了π*R平方
正好是圓面積的公式!
不論你是誰或你對數學有什麼想法
這都是個美妙的論證
但如果你想要像個數學家來思考的話
你不會只在乎尋找答案
你在乎的是發展出能解決一般問題的工具及技術

Slovak: 
si možno pomyslíš, že sa z toho stane
veľký problém a bude treba sčítať veľmi veľa
malých štvoruholníkov a bude treba
zvažovať presnosť desatinných miest
každého zo štvorcov bude hotová
nočná mora. Ale pozrite sa,
že vo výsledku to vyzerá ako
obsah pod grafom a ten tvar, ktorý nám vznikol,
je v skutočnosti trojuholník.
a trojuholník so základňou 3 a výškou, ktorá je 2π*3,
a vieme, že obsah trojuholníka je 1/2 * základňa * výška,
dostaneme, že je to
presne π*3^2
Alebo, ak bol náš pôvodný kruh nejako inak veľký,
napríklad hodnota R,
dostaneme π*R^2, a to je vzorec
pre výpočet obsahu kruhu!
Nezáleží na tom, kým ste alebo čo si
myslíte o matematike, toto tu
je nádherný argument.
Ale ak chcete rozmýšľať ako
matematici,
nezaujíma vás iba odpoveď na otázku,
chcete vymyslieť všeobecné nástroje a techniky na riešenie problémov

German: 
Man könnte denken, dass mit kleiner werdendem 'dr' dies zu einer gigantisch großen Summe wird.
Ich meine, wir müssen sehr viele Rechtecke in Betracht ziehen,
und die Dezimalannäherung jeder dieser Flächen wird ein absoluter Alptraum sein.
Aber beachte:  alle Flächen zusammen sehen wie die Fläche unter einem Graphen aus
Und dieser Bereich unter dem Graphen sieht einfach wie ein Dreieck aus.
Ein Dreieck mit Grundseite 3 und der Höhe 2 * Pi * 3.
Also ist sein Flächeninhalt, 1/2 * Grundseite * Höhe,  einfach Pi * 3^2;
bzw., wenn der Radius des ursprünglichen Kreises, 'R', ein anderer wäre, dann beträgt der Flächeninhalt allgemein Pi * R^2,
und das ist die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises!
Es spielt keine Rolle, wer du bist oder was du üblicherweise über die Mathematik denkst,
das hier ist einfach ein wunderschöner Beweis.
Aber wenn du wie ein richtiger Mathematiker denken willst,
dann geht es dir nicht nur darum, die richtige Antwort zu finden,
du willst generelle Problemlösungsstrategien entwickeln.

Chinese: 
花些點時間來靜心想一下
剛剛發生了些什麼以及爲什麽它做成了
因為我們把近似的東西轉化成
準確數值的東西。
這實際上正是非常微妙的
那正深入到了微積分是怎麼回事。
你有一個這樣的問題
而它可拆成許多很小的近似數值的和
而其中的每一個數字看起來都像
2 * π * R* dr 而R值介於0到3之間。
記住這裏的極小值 dr
代表我們對每個環的厚度的選擇
例如0.1并且
在這裡要注意兩件重要的事情
首先，dr不僅是我們加起來得到
2 * π * R * dr 的一個因素
它也對不同的R
值的之間的大小。
其次，我們對dr的選擇愈小
近似的結果就越好。
將所有這些數字加起來可以被看作
用曲線圖下的許多薄矩形的面積之和

Italian: 
Prenditi un momento per pensare a cosa
è appena successo e perché ha funzionato
perché il modo in cui siamo passati
da qualcosa di approssimato a qualcosa
di preciso è piuttosto subdolo e
è profondamente inerente con quello che è il C.I.
Hai questo problema che può essere
approssimato con la somma di molti piccoli
numeri ciascuno dei quali assomiglia a 2*PI*R
moltiplicati per dr per valori di R che vanno
da 0 & 3
Ricorda che il piccolo numero dr qui
rappresenta la nostra scelta per lo spessore
di ogni anello, per esempio 0.1 e ci
sono due cose importanti da notare
primo, non solo dr è un fattore
delle quantità che stiamo sommando 2*pi*R*dr
da anche lo spazio
tra i differenti valori di R e
in seconda istanza, più piccolo dr è
migliore è l'approssimazione
Addizionare tutti questi numeri può essere visto in modo
molto furbo come addizionare
l'area di molti sottili rettangoli

Spanish: 
problemas. Entonces, tómate un momento para pensar
qué ha pasado exactamente  y por qué funciona.
Porque la manera en la que  pasamos   una aproximación
a algo preciso es bastante sutil,  y corta
la profundidad de lo que es el cálculo.
Tú tienes este problema que puede ser aproximado
con la suma de mucho número pequeños
, cada uno de ello se ven como 2{PI}dr
para valores de dr entre rango de 0  y 3
Recuerda el número pequeño aquí dr
representa nuestra elección del grosor de cada anillo.
por ejemplo 0.1. Hay dos cosas importantes que notar aquí.
primero que todo,  dr no es solamentes
un factor en las cantidades que estamos sumando,2{pi}rdr
esto también da el espacio entre cada valor de r
y segundamente , entre más pequeñá es nuestro valor para dr
mejor será la aproximación
Sumando todos estos números podría verse
de una manera bastante astuta al sumar
las áreas de muchos rectangulos delgados

French: 
Donc réfléchis un peu à ce qui vient de se passer et pourquoi ça a marché,
parce que la manière dont on est passé de quelque chose d'approximatif à quelque chose de précis
est en fait assez subtile et elle révèle beaucoup sur l'essence de l'analyse.
Tu as ce problème, qui peut être approximé comme la somme de plusieurs petits nombres,
dont chacun ressemble à 2 π r fois dr 
pour r allant de 0 à 3.
Rappelle-toi que le petit nombre dr ici,
représente notre choix de l'épaisseur de chaque anneau, par exemple 0,1,
et il y a deux choses importantes à noter ici.
Premièrement, dr n'est pas qu'un facteur dans les nombres qu'on additionne, 2 π r fois dr ;
il donne aussi l'écart entre les différentes valeurs de r,
et deuxièmement, plus notre choix pour dr est petit, plus notre approximation est bonne.
Sommer tous ces nombres peut se voir d'une autre manière,
comme sommer les aires de beaucoup de rectangles tout fins sous une courbe,

iw: 
קחו רגע של מדיטציה וחשבו על
מה בדיוק קרה פה ולמה זה עובד
הדרך שבה עברנו
מקירוב אל עבר משהו מדויק
היא די מתוחכמת, והיא נכנסת עמוק אל תוך
המשמעות האמיתית מאחורי החדו"א
מוצגת בפניכם בעיה, שיכולה להיות
מקורבת עם סכום של הרבה מספרים קטנים
כשכל אחד מהם "נראה כמו" 2 פאי * r  * dr
עבור ערכי r שנעו
בין 0 ל-3
זכרו, ש-dr
מייצג את הבחירה שלנו עבור הרוחב
של כל טבעת (לדוגמה, 0.1).
יש שני דברים חושבים שצריך לציין כאן:
ראשית, dr לא שימש רק כגורם
במספרים שחיברנו
זה גם נותן לנו את המרווח
בין ערכי r השונים
שנית, ככל ש-dr יקטן
הקירוב ישתפר
סכימת כל המספרים האלו יכולה להיראות
בדרך מעט יותר מתוחכמת, כמו
חיבור של הרבה שטחי מלבנים צרים

Swedish: 
Så ta en stund till att meditera över vad som precis hände och varför det fungerade.
För sättet vi övergick från något ungefärligt till något precist är faktiskt ganska subtilt
och det går djupt in på vad matematik handlar om.
Du har ett problem som kan approximeras med summan av många små tal
varav alla såg ut som 2*pi*r*dr
för värden på r mellan 0 och 3.
Kom ihåg, det lilla talet dr här representerar vårt val av ringarnas tjocklek
till exempel 0.1 och det finns två viktiga saker att lägga märke till här.
Först och främst är dr inte bara en faktor i kvantiteterna vi lägger ihop
2 pi gånger dr.
Det ger också mellanrummet mellan olika värden på r
För det andra, ju mindre vårt val för dr är desto bättre blir approximationen.
Att lägga ihop alla de talen kan ses på ett annat finurligt sätt som att lägga ihop
areorna under många tunna rektanglar sittandes under en graf.

Portuguese: 
Então pare um tempo para pensar no que exatamente acabou de acontecer
E porque funcionou
Porque o jeito que transitamos de algo aproximado para algo preciso
É bem sólido, e resume bem sobre o que cálculo se trata
Você tinha esse problema, que poderia ser aproximado com a soma de vários números pequenos
Com cada um deles parecendo com 2πr*dr
Com valores variando entre 0 e 3
Lembre-se: O pequeno número dr aqui  representa nossa escolha para a espessura de cada anel
Por exemplo
0.1
E têm duas coisas importantes para serem notadas aqui
Primeira delas
Além de dr ser um fator nas quantidades em que estamos somando,
2πr*dr
Ele também te dá  a distância entre os diferentes valores de R
E segunda
Quanto menor for nossa escolha para dr,
Melhor a aproximação
Adicionar todos esses números pode ser visto de um jeito bem esperto e diferente como adicionar as áreas de vários retângulos finos
Localizados sob um gráfico

Chinese: 
喘口氣，沉思一下剛剛經歷的一切還有為何這會成功
因為我們把近似的對象轉換成精確的目標
這樣的方法事實上非常巧妙
也是微積分的根本
圓面積的問題可以被近似為許多小數字的總和
每個數字都長得像2πr乘dr
r的值則在0到3之間變動
記住這裡的小數字dr
代表著我們選擇的環厚度，像是0.1
這裡要註記兩件重要的事
第一 dr不只是我們加總(2πr*dr)之中的一個因子
它同時也給出了不同r的值之間的間隔
第二 dr的選取越小，得到的近似也越好
我們可以用另一種清楚的方法來加總這些數字
即加總圖形底下許多細長矩形的面積

Modern Greek (1453-): 
Πάρτε μια ανάσα λοιπόν για να αναλογιστείτε το
τι ακριβώς συνέβη μόλις και γιατί δούλεψε,
γιατί ο τρόπος με τον οποίο μεταφερθήκαμε
από κάτι προσεγγιστικό σε κάτι ακριβές
είναι στην πραγματικότητα πολύ ευφυής
και μπαίνει βαθιά στην ουσία του Λογισμού.
Είχατε αυτό το πρόβλημα που μπορεί να προσεγγιστεί
ως ένα άθροισμα πολλών μικρών αριθμών,
ο καθένας από τους οποίους ήταν της μορφής 2πrdr,
όπου οι τιμές του r κυμαίνονταν μεταξύ του 0 και του 3.
Θυμηθείτε: το μικρό dr εδώ πέρα
αναπαριστά την επιλογή μας για το πάχος
καθενός από τους δακτυλίους (πχ το 0.1) και υπάρχουν
δύο σημαντικά πράγματα που πρέπει να προσέξουμε εδώ.
Καταρχάς όχι μόνο το dr είναι ένας παράγοντας
στις ποσότητες που αθροίζουμε, 2πrdr.
Μας δίνει επίσης το κενό μεταξύ
των διάφορων τιμών του r.
Και δεύτερον, όσο μικρότερη είναι η επιλογή του dr,
τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση.
Με έναν διαφορετικό και έξυπνο τρόπο, θα μπορούσατε να δείτε
το άθροισμα αυτών των αριθμών σαν να προσθέτετε
τα εμβαδά από πολλά λεπτά ορθογώνια

Polish: 
Przyjrzymy się więc, co się dokładnie stało
i dlaczego to zadziałało.
Sposób, w jaki przeszliśmy
od "mniej więcej" do "dokładnie"
jest dość subtelny i pokazuje,
o co tak właściwie chodzi w rachunku różniczkowym.
W tym problemie mogliśmy przybliżyć pole koła
sumą wielu małych liczb, z których
każda była równa mniej więcej 2 * pi * r * dr,
przy czym r zmieniało się od 0 do 3.
Przypomnienie: dr oznacza
grubość każdego pierścienia (np. 0.1).
Dwie ważne rzeczy:
po pierwsze, dr występuje w dwóch miejscach.
We wzorze na pole prostokąta oraz na osi liczbowej.
Po drugie, im mniejsze dr, tym lepsze przybliżenie.
Na dodawanie tych wszystkich małych liczb
można sprytnie popatrzeć jak na dodawanie pól
tych cienkich prostokątów pod wykresem funkcji,

Arabic: 
ان نتوقف لحظة للتأمل في ما
بالضبط مجرد حدث والسبب في ذلك عمل
لأن الطريقة التي يمكننا تحويلها
من شيء إلى شيء تقريبي
دقة هو في الواقع خفية جدا، وذلك
تخفيضات كبيرة على ما هو كل شيء عن حساب التفاضل والتكامل.
لديك هذه المشكلة التي يمكن أن تكون
يقترب مع مبلغ من الكثير من صغار
أرقام كل منها يشبه 2 PI R
الأوقات الدكتور لقيم R تتراوح
بين 0 و 3.
تذكر الدكتور صغيرة مرقمة هنا
يمثل خيارنا للسمك
كل حلقة على سبيل المثال 0.1 وهناك
هما شيئان المهم أن نلاحظ هنا
أولا وقبل كل شيء الدكتور ليس فقط عاملا في
الكميات نحن بصدد إضافة ما يصل 2 PI R
مرة د. كما انه يعطي التباعد
بين قيم مختلفة من R و
ثانيا أصغر خيارنا للدكتور
وأفضل تقريب.
مضيفا يمكن أن ينظر إلى كل تلك الأرقام في
مختلف طريقة ذكية جدا كما مضيفا
مجالات عدة مستطيلات رقيقة

English: 
So take a moment to meditate on
what exactly just happened and why it worked,
cause the way that we transitioned
from something approximate to something
precise is actually pretty subtle, and it
cuts deep to what calculus is all about.
You had this problem that can be
approximated with the sum of many small
numbers, each of which looked like 2 pi R
times dr for values of R ranging
between 0 and 3.
Remember, the small number dr here
represents our choice for the thickness
of each ring—for example 0.1. And there
are two important things to note here.
First of all, not only is dr a factor in
the quantities we're adding up—2 pi R
times dr—it also gives the spacing
between the different values of R.
And secondly, the smaller our choice for dr
the better the approximation.
Adding all of those numbers could be seen in a
different pretty clever way as adding
the areas of many thin rectangles

Turkish: 
Birkaç dakikamızı ayıralım
ve tam olarak ne olduğunu ve neden işe yaradığını düşünelim.
Yaklaşık bir şeyi kesin bir şeye dönüştürmek incelik gerektirir ve kalkülüsü devreye sokar.
Siz 0 ve 3 arasında değişen R değerine göre ayarlanmış [2 x "pi" x R] x [dr] gibi bir sürü küçük sayının toplanmasıyla yaklaşık değerlere ulaşılan bir probleme sahiptiniz.
Burada küçük şekilde numaralandırılmış [dr] bizim her halka için belirlediğimiz kalınlığı temsil ediyor
Örneğin 0.1 gibi.
ve burada not etmemiz gereken iki önemli şey var.
Bunlardan ilki dr topluyor olduğumuz bir sayı değil.
topladığımız şey [2 x pi x R] x [dr]'dır.
O ayriyetten R'nin farklı değerleri arasında aralık verir,
ikinci olarak daha küçük [dr] için daha iyi yakınsama.

German: 
Also nimm dir kurz einen Moment, um darüber nachzudenken, was hier gerade passiert ist und warum es funktioniert hat.
Denn der Weg, wie wir von einer Näherung zu einem präzisen Ergebnis gekommen sind,
ist relativ subtil, deutet aber sehr stark darauf, worum es in der Analysis hauptsächlich geht.
Du hattest dieses Problem,
das mit der Summe vieler kleiner Zahlen angenähert werden konnte,
wobei jede wie 2 * Pi * 'R' * 'dr', für Werte von 'R' zwischen 0 und 3.
Denk dran, unsere kleine Zahl 'dr' repräsentiert unsere Wahl für die Dicke jedes Ringes, z.B. 0,1.
Hierbei sind zwei Aspekte besonders wichtig:
Zunächst einmal ist 'dr' nicht nur ein Faktor in den Werten, die wir aufsummieren,
2 * Pi * 'r' * 'dr', es bestimmt auch den Abstand zwischen den verschiedenen Werten für 'R'.
Darüber hinaus wird unsere Annäherung mit kleiner werdendem 'dr' immer besser.
Das Addieren dieser Zahlen kann auch auf eine andere schlaue Weise betrachtet werden,

Slovak: 
Takže, na chvíľu sa zastavme a
porozmýšľajme, čo sa vlastne stalo a prečo to fungovalo,
pretože týmto spôsobom sme
dokázali z niečoho približného urobiť
niečo veľmi precízne a trochu sme aj jemne vošli do toho, o čom je celá táto séria.
Máme problém, ktorý môže byť
zaokrúhlený sčítaním veľmi malých
hodnôt, ktoré boli vlastne 2π*r*dr,
pre hodnoty r v rozsahu od
0 až 3.
Pamätajte, že malé číslo dr
reprezentuje náš výber pre šírku
každého prsteňa, ku príkladu 0,1
a tu sú dve dôležité poznámky ohľadom dr.
Za prvé, nielen že je dr faktorom
v množstve, ktoré sčítavame (2π*r*dr),
taktiež udáva medzery medzi
jednotlivými hodnotami pre r a za druhé,
čím menšia je hodnota dr,
tým lepšie zaokrúhlenie.
Sčítaním všetkých týchto čísel môžeme pochopiť  ako
vcelku chytrú cestičku, sčítavaním
obsahov mnoho úzkych štvoruholníkov

Russian: 
Поэтому уделите момент и помедитируйте на то
что только что произошло и почему это работает.
Потому что этот способ которым мы перешли
от некоего приближения к определенной
точности на самом деле достаточно не очевидно и это
лежит в основе того чем является матан.
У вас есть данная проблема которая может быть
приближена суммой множества малых
чисел каждое из которых выражается как 2πr*dr
для значений радиуса в диапазоне
от 0 до 3.
Помните, dr обозначенное здесь малым числом
представляет наш выбор для толщины
каждого кольца (например 0,1). И здесь
есть два важных момента которые нужно отметить.
Прежде всего, dr является не только колличественным коэффициентом
который мы добавляем в 2πr*dr.
Это также означает расстояние
между разными значениями r.
И во-вторых, чем меньше наш выбор dr,
тем лучше получится приближение.
Сложение всех этих чисел могло бы быть рассмотрено
другим интересным путем как
сложение площадей множества тонких прямоугольников

Korean: 
그러므로 정확히 무엇이 일어났고
왜 그것이 일어났는지에 대해 잠시 명상해 보세요.
왜냐하면 우리가
비슷한 것을 정확한 것으로 만든 방법이
실제로 매우 절묘하며 그것이
미적분학이 무엇인지를 깊게 파고들기 때문입니다.
여러분은 많은 작은 수들의 합으로
근사될 수 있는 이런 문제를 가지고 있습니다.
이것들 각각은 0과 3 사이의 범위를 같는
R에 대한 2πr × dr처럼
보입니다.
여기에서 0.1과 같이 작게 수치화된 dr은
우리가 설정한
각각의 링의 두께를 나타냅니다.
여기 두 가지 주목할 만한 중요한 것이 있습니다.
우선 dr이 우리가 모두 더할
2πR  × dr의 요소일 뿐만 아니라
여러 R값들 사이의
공간을 제공하고 있다는 것입니다.
그리고 둘째로 우리가 선택한 dr이 작아질수록
더 좋은 근사치가 된다는 것입니다.
그러한 숫자들을 모두 더하는 것은
그래프 아래쪽에 위치한
아주 작은 직사각형들의 넓이를 모두 더하는

iw: 
שנמצאים מתחת לגרף. הגרף של הפוקנציה
2 * פאי * r  במקרה הספציפי הזה
לכן (וזה חשוב)
עבור בחירת dr קטן יותר ויותר
בהתמאה לקירוב שהולך ומשתפר
של הבעיה המקורית, הסכום הזה
(אם נחשוב עליו כסך המלבנים
שמקרבים את השטח מתחת לגרף)
ובזכות זה
נוכל להסיק שהתשובה לשאלה המקורית
עם דיוק מירבי
היא בדיוק כמו השטח שמתחת לגרף!
 
בעיות רבות בתחומי המדעים
יכולות להיות מפורקות
ומקורבות ע"י סכום בעיות קטנות יותר, שלהן תוצאות קטנות יותר
לדוגמה, להבין כמה רחוק
מכונית נסעה, בהתבסס על
התאוצה שלה בכל רגע נתון
במקרה כזה, נתבונן בנקודות רבות
בזמן, ובכל אחת
נכפיל את המהירות של המכונית
בשינוי קטן בזמן, dt, מה שיכול
לתת את השינוי הקטן
במרחק שעברה המכונית בזמן הקצר הזה.

French: 
la courbe de la fonction 2 π r dans cet exemple.
Ou bien, et ça c'est très important, en considérant des valeurs de dr de plus en plus petites,
donnant des approximations de plus en plus précises du problème initial,
cette somme, vue comme l'aire totale de ces rectangles,
se rapproche de l'aire sous la courbe,
et grâce à ça, tu peux conclure que la réponse au problème initial
avec une précision 100% exacte, est exactement la même que l'aire sous cette courbe.
Beaucoup d'autres problèmes difficiles en maths et sciences,
peuvent être décomposés et approximés en la somme de plein de petites grandeurs.
Des trucs comme trouver quelle distance une voiture a parcouru connaissant sa vitesse à chaque instant.
Dans un cas comme ça, tu pourrais considérer différents instants,
et à chacun d'entre eux, multiplier la vitesse à cet instant par une minuscule variation de temps dt
qui donnerait la petite distance parcourue pendant cette petite durée.

Spanish: 
puestos debajo de una gráfica.  La gráfica de la función 2{pi}r en este caso
Luego , y esto es una clave
por considerar  elecciones más y mas pequeñas
para una mejor aproximación del problema original.
. Esta suma, pensada como la área agregada de esos
rectángulos, se acerca a área debajo de la gráfica.
y por eso tu puedes concluir que
la respuesta de la pregunta original (la búsqueda de precición)
es exactamente la misma que área debajo
de esta gráfica.
Un motón de otros problemas difíciles en matemáticas y cienca
pueden ser descompuestos y aproximados como  la suma de muchas cantidades pequeñas. Cosas como
qué tan lejos ha viajado un carro
basado en la velocidad en cada punto de tiempo
en  un caso como ese podrías recorrer
un rango de puntos en el tiempo, cada uno de ellos
multiplica la velocidad  por el tiempo
, un pequeño cambio en el tiempo dt(diferencial t)
que daría la pequeña distancia correspondiente
a ese tiempo.

Turkish: 
Tüm bu sayıların toplanması, zekice bir yöntem olan grafiğin altında dikdörtgen alanlarının toplanması şeklinde yapılabilir.
Grafik, bu durum için [2 x pi x r] idi.
ve anahtar noktamız da küçük ve daha küçük dr değerlerinin, iyi ve daha iyi yakınsamalar sağlamasıydı
Bu toplam,
Yani dikdörtgenlerimizin toplamı,
grafik doğrumuzun altındaki alana yakınsar
ve bu sayede sonsuz bir yakınsama yapıldığında, sonucun, doğru altındaki alanın tamamı olacağı öngörüsü yapılabilir.
Matematikteki ve bilimdeki diğer problemler, küçük parçaların toplamı şeklinde çözülebilir.
Örneğin bir arabanın her bir zaman noktasındaki hızının bilgisine dayanarak ne kadar yol gittiğini hesap etmek gibi.
Bunun gibi bir durumda alınan mesafe bir çok zaman noktasına göre değişebilir.
Herhangi bir zaman aralığında, her bir zaman noktasındaki hızın(v(t)), o zaman aralığındaki zaman değişimi(dt) ile çarpımı
o küçük zaman aralığındaki alınan mesafeye karşılık gelir.

German: 
und zwar als das Addieren der Flächeninhalte all dieser dünnen Rechtecke unter dem Graphen.
In diesem Fall der Graph der Funktion 2 * Pi *  'R'.
Dann, und das ist das Wichtige, lassen wir 'dr' immer kleiner werden,
sodass unsere Annäherung des ursprünglichen Problems immer besser wird,
und die Summe aller Rechtecke sich dem Flächeninhalt des Dreiecks unter dem Graphen annähert.
Daraus lässt sich folgern, dass die Antwort auf das ursprüngliche Problem,
mit absoluter, nicht angenäherter Präzision,
exakt die selbe Fläche ist, wie sie durch den Graphen eingeschlossen wird.
Viele weitere schwierige Probleme in der Mathematik und Wissenschaft
können zerlegt und als Annäherung vieler kleiner Teile berechnet werden.
Z. B. welche Strecke ein Auto zurückgelegt hat,
basierend darauf, wie schnell es zu jedem Zeitpunkt gefahren ist.
In einem solchen Fall könnte man sich vielleicht mehrere Zeitpunkte anschauen
und zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit mit einer kleinen Zeitänderung 'dt' multiplizieren,
womit man die entsprechende Strecke, die man in dieser Zeit zurückgelegt hätte, berechnen würde.

Korean: 
꽤 영리한 다른 방법으로 보일 수 있습니다.
이 경우엔 2πr 함수의 그래프이겠죠.
이것이 핵심입니다. 점점 더 작은
dr을 선택함에 따라 이에 대응하는
점점 더 좋은 근사치를 가질 수 있습니다.
이것은 요약하면,
직사각형의 넓이의 합으로써
그래프 아래 넓이에 접근한다는 생각입니다.
그리고 이로 인해
여러분은 이 문제의 답에 대하여 극도로 근사된
값이 실제로 이 그래프 아패쪽의 넓이와
정확하게 일치한다고
결론 내릴 수 있습니다.
수학과 과학에서 많은 다른 어려운 문제들이
분해되고 많은 작은 양들의 합으로
근사될 수 있습니다.
예를 들면, 여러분은
차가 얼마나 이동했는지를
각 시점에 따른 속도에 근거하여
계산할 수 있습니다.
당신은 아주 다양한 시점들을 통과할 것입니다.
그리고 각 시점에서의 속도는 아주 작은
시간의 변화 dt와 곱해져
이에 대응하는 아주 작은 시간 동안
움작인 아주 작은 거리를 도출할 것입니다.

Portuguese: 
O gráfico da função 2πR, nesse caso
Então (e isso é importante),
Ao considerar menores e menores escolhas para dr
Correspondendo a melhores e melhores aproximações do problema original
A soma, pensada como a área agreagada destes retângulos,
Aproxima-se da área sob o gráfico
E por causa disso,
Você pode concluir que a resposta para o problema original,
Totalmente vindo de uma precisão aproximada
É exatamente igual a área sob este gráfico
Vários outros problemas difíceis na ciência e na matemática podem ser divididos e aproximados como a soma de vários valores pequenos
Coisas como descobrir quão longe um carro viajou
Baseado em sua velocidade a cada ponto no tempo
E num caso como esse,
Você pode abordar vários pontos diferentes no tempo
E em cada um multiplicar a velocidade naquele momento
Vezes uma pequena variação no tempo (dt)
Que te daria a pequena distância percorrida durante esse pequeno tempo

English: 
sitting underneath a graph. The graph of
the function 2 pi R in this case.
Then—and this is key—by considering smaller
and smaller choices for dr corresponding
to better and better approximations of the original problem, this sum, thought
of as the aggregate area of those
rectangles, approaches the area under the
graph; and because of that, you can
conclude that the answer to the original
question in full un-approximated
precision is exactly the same as the
area underneath this graph.
A lot of other hard problems in math and
science can be broken down and
approximated as the sum of many small
quantities. Things like figuring out how
far a car has traveled based on its
velocity at each point in time. In a case
like that you might range through many
different points in time and at each one
multiply the velocity at that time times
a tiny change in time, dt, which would
give the corresponding little bit of
distance traveled during that little

Arabic: 
يجلس تحت الرسم البياني. الرسم البياني ل
وظيفة 2 بي (ص) في هذه الحالة ثم
وهذا هو مفتاح الحل من خلال النظر أصغر
والخيارات أصغر لدكتور المقابلة
لتقريب أفضل وأفضل من
المشكلة الأصلية. هذا المبلغ، والفكر
من حيث المساحة الإجمالية لتلك
نهج المستطيلات المنطقة تحت
الرسم البياني وبسبب ذلك يمكنك
نخلص إلى أن الإجابة على النص الأصلي
السؤال في كامل على تقريب
الدقة هي بالضبط نفس
منطقة تحت هذا الرسم البياني.
وهناك الكثير من المشاكل الصعبة الأخرى في الرياضيات و
العلم لا يمكن كسرها لأسفل و
يقترب كمجموع كثيرة صغيرة
كميات. أشياء مثل معرفة كيف
حتى سيارة قد سافر على أساس لها
السرعة في كل نقطة في الوقت المناسب في حالة
مثل التي قد تتراوح من خلال العديد
نقاط مختلفة في وقت واحد في كل
مضاعفة سرعة في ذلك الوقت مرات
تغيير صغير في دينارا الوقت الذي من شأنه
تعطي قليلا من المقابلة
المسافة المقطوعة خلال تلك قليلا

Modern Greek (1453-): 
που βρίσκονται κάτω από μία γραφική παράσταση.
Σε αυτήν την περίπτωση, της συνάρτησης 2πr.
Μετά -και αυτό είναι σημαντικό- παίρνοντας όλο και μικρότερες επιλογές του dr,
οι οποίες αντιστοιχούν σε όλο και καλύτερες προσεγγίσεις του αρχικού προβλήματος,
αυτό το άθροισμα, το οποίο αναπαριστούμε ως
το συνολικό εμβαδό αυτών των ορθογωνίων,
προσεγγίζει το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση
και εξαιτίας αυτού μπορούμε να συμπεράνουμε
ότι η εντελώς-ακριβής απάντηση στο αρχικό πρόβλημα
είναι ακριβώς η ίδια με το εμβαδόν κάτω από αυτήν τη γραφική παράσταση.
Κι άλλα πολλά δύσκολα προβλήματα στα μαθηματικά και τις επιστήμες
μπορούν να αναλυθούν και να προσεγγιστούν ως άθροισμα πολλών μικρών ποσοτήτων.
Πράγματα όπως το να βρούμε πόση απόσταση έχει διανύσει ένα αυτοκίνητο,
εάν γνωρίζουμε την ταχύτητά του σε κάθε χρονική στιγμή.
Σε μία τέτοια περίπτωση, θα μπορούσαμε να
θεωρήσουμε πολλές διαφορετικές χρονικές στιγμές,
και για καθεμία να πολλαπλασιάσουμε την ταχύτητα εκείνη την στιγμή
επί τη μικροσκοπική αλλαγή στον χρόνο dt.
Το οποίο θα μας έδινε την αντίστοιχη μικροσκοπική απόσταση που διανύθηκε
κατά τη διάρκεια αυτού του μικροσκοπικού χρόνου.

Slovak: 
sediacim pod grafom. Graf funkcie
2π*r,  v tomto prípade.
Potom, a toto je kľúčové, zvažovaním
menších a menších hodnôt pre dr, sa
dostávame k presnejším a presnejším výsledkom
originálneho problému. Toto sčítanie,
chápané ako celkový obsah týchto
štvoruholníkov, sa približuje obsahu pod
grafom a vďaka tomuto môžeme
povedať, že odpoveďou na originálnu otázku,
že celkové precízne zaokrúhľovanie
je rovnaké ako
obsah pod grafom.
Mnoho ťažkých problémov v matematike
a vede môže byť rozdelených a
zaokrúhľovaním mnoho malých hodnôt dostať
výsledok. Veci, ako napríklad, ako ďaleko
môže auto dôjsť  na základe jeho
rýchlosti v každom bode v čase. V prípade
ako tento, môžeme hodnotu rozdeliť na mnoho
rôznych bodov v čase a každý z nich
vynásobiť rýchlosťou v tom čase krát tú
malú zmenu v čase dt, ktorá nám dá
príslušný kúsok vzdialenosti,
ktorú auto prešlo za ten krátky čas.

Russian: 
расположенных под графиком.
График функции 2πr в данном случае.
И это ключ в рассмотрении все меньших
и меньших значений dr соответствует
все более лучшему приближению
оригинальной проблемы. Эта сумма, рассматриваемая
как результатирующее от площади этих
прямоугольников, приближает площадь под
графиком. И поэтому вы можете
заключить что ответ на исходный
вопрос в приближенной точности
точно такой же, как и
область под этим графиком.
Множество других трудных задач в математике и
науке может быть разделено и
приближено как сумма множества маленьких
значений. Например определение того
как далеко проехала машина на основании ее
скорости в каждый момент времени. В таком случае
вы можете пройти через множество
разных моментов времени и на каждом из них
умножить скорость в это время на
крошечное изменение времени dt, которое даст
соответствующий небольшой промежуток
расстояния, пройденного за этот отрезок время.

Italian: 
che si trovano sotto il grafico. Il grafico
della funzione 2*pi*r in questo caso e
questo è centrale, considerando via via
scelte più piccole di dr che corrispondono
a via via migliori approssimazioni del
problema originale. Questa somma, pensata
come l'area aggregata dei
rettangoli, si avvicina all'area sotto al
grafico, e per via di questo puoi
concludere che la risposta alla domanda
originale con approssimazione di precione
totale è esattamente la stessa
dell'area sotto questo grafico.
Un sacco di problemi difficili in matematica e
nelle scienza può essere divisa e
approssimata come la somma di molte piccole
quantità. Cose come calcolare quanto
distante ha viaggiato una macchina basandosi sulla sua
velocità ad ogni punto nel tempo, in un caso
come questo potresti scorrere attraverso molti
punti nel tempo e ad ognuno
moltiplicare la velocità a quel tempo per
una piccola variazione nel tempo dt che
darebbe il piccolo corrispondente pezzo
di distanza percorsa durante quel piccolo

Chinese: 
這樣一個相當聰明的方法
在這情況下，就是函數 2 *π * R
而對 選擇更小更小的 dr
對原來的問題相應也有更好更好的近似
這是個關鍵。
這個總和，
被認爲是在曲綫之下
這些矩形的總面積并且
正是因為這樣你可以
得到囘答原來的問題的那個結論
以全部近似的精度正和
在這圖像曲綫之下
面積是一樣的。
在數學和科學中很多其他難題
可以分解開來，並近似
為許多很小的數量的總和。
一些事情比如像算出
用知道每個時間點上的速度的情況下
算出汽車走得有多遠。
在這樣的情況下，你可能會
在每個不同時間點上
的速度乘以
在時間一個微小的變化 dt 這會給出
在這一點點時間裏相應
行駛的一點點的距離。

Polish: 
w tym przypadku funkcji 2 * pi * r.
Kluczowa obserwacja:
biorąc coraz mniejsze wartości dr
i uzyskując coraz lepsze przybliżenia,
ta suma, o której myślimy jako o sumie pól prostokątów,
zbliża się do pola pod wykresem funkcji.
Dzięki temu możesz stwierdzić, że dokładna odpowiedź
na pytanie postawione na początku jest taka sama,
jak pole pod wykresem tej funkcji.
Wiele problemów w matematyce i innych naukach
może być przybliżonych sumą wielu małych liczb,
np. na podstawie tego, jaką szybkość miał samochód
w danej chwili, obliczyć przebytą przez niego drogę.
Tutaj możesz wziąć wiele punktów na osi czasu
i w każdym przemnożyć szybkość w tym momencie
przez małą zmianę czasu dt, aby uzyskać małą drogę
przebytą w tym małym czasie.

Swedish: 
Grafen av 2 pi r i det här fallet.
Sen, och det här är nyckeln, genom att betrakta mindre och mindre val för dr motsvarade bättre och bättre approximationer för det ursprungliga problemet.
Summan, tänkt som ihopslagningen av de rektanglarna går mot arean av grafen
och op grund av det kan du fastställa att svaret på den ursprungliga frågan
i full icke-approximerad precision är precis densamma som arean under grafen här.
Många svårare problem inom matematik och vetenskap kan brytas ner och approximeras som summan av många små kvantiteter.
Som att lista ut hur långt en bild färdats
baserat på dess hastighet vid varje tidpunkt.
I ett sådant fall kanske du går igenom många tidpunkter och vid varje
multiplicera hastigheten vid den tidpunkten med
ett liten förändring i tid, dt
vilket ger den motsvarande lilla sträckan under den lilla tidsperioden.

Chinese: 
在這個例子裡，圖形代表的函數是2πr
然後，關鍵就在這裡
選取越來越小的dr
對原問題的近似也就越來越精準
這個總和──被視為是所有矩形面積的加總
近似於函數圖形底下的面積
因此，你可以總結原問題的答案
以完全非近似的角度來看
恰好就是函數圖形底下的面積
數學及科學中的許多難題
可以被拆解以及用許多小量的加總來近似
像是根據汽車在每個時間的速度解出它行走的距離
在這個情況下，你或許會考慮許多不同的時間點
並且在每個時間點將該時間之速度
乘上微小的時間變化(dt)
最後得到那一小段時間內所行走的一小段距離

English: 
time. I'll talk through the details of
examples like this later in the series,
but at a high level many of these types
of problems turn out to be equivalent to
finding the area under some graph.
In  much the same way that our circle
problem did. This happens whenever the
quantities that you're adding up,
the one whose sum approximates the
original problem, can be thought of as
the areas of many thin rectangles
sitting side-by-side like this.
If finer and finer approximations of the
original problem correspond to thinner
and thinner rings, then the original
problem is going to be equivalent to
finding the area under some graph.
Again, this is an idea we'll see in more detail
later in the series, so don't worry if
it's not 100% clear right now.
The point now is that you, as the
mathematician having just solved a
problem by reframing it as the area
under a graph, might start thinking about
how to find the areas under other graphs.
I mean we were lucky in the circle
problem that the relevant area turned

Polish: 
O szczegółach będę mówił w późniejszych filmach.
Wiele takich problemów okazuje się być równoważne
znalezieniu pola pod wykresem jakiejś funkcji.
Tak jak w naszym problemie z polem koła,
tak się dzieje wtedy, gdy o małych wielkościach,
które sumujemy, by przybliżyć się do rozwiązania
problemu, możemy myśleć jak o polach małych
prostokątów ułożonych jeden obok drugiego, jak tu.
Jeśli dokładniejsze przybliżenia będą nas prowadzić
do cieńszych prostokątów, to oryginalny problem
będziemy mogli rozwiązać, licząc pole pod wykresem.
Będę o tym mówił dokładnie w dalszych filmach, więc
nie przejmuj się, jeśli nie jest to dla ciebie jasne.
Chodzi o to, że gdy rozwiązałeś problem, licząc
pole pod wykresem funkcji, możesz zastanawiać się,
jak policzyć pola pod innymi wykresami.
W przypadku pola koła poszczęściło nam się, bo
figura pod wykresem funkcji była trójkątem.

Chinese: 
時間。我將在系列的後面來討論
像這樣的例子中的細節，
但是在一個高度抽象水平上
許多這些類問題中結果也
相當於找出在曲綫下面的面積。
和我們的園面積問題幾乎相同的方法
只要有這種情況發生
不管是你加起來是什麽樣的數量，
它們總和近似著
原來的問題都可以被考慮作
許多像這樣并列的
薄矩形縂面積。
越來越精細地來近似原來的問題
相應於更薄更薄的圓環
將把原來的問題相當於
再一次找出某個圖形曲綫下
的面積。
這是我們將看在系列的後面詳細了解
的一種想法，所以不要擔心，如果
它現在這還不是100％清楚的話。
現在的要點是把你當作一個數學家
剛剛解決了通過把問題重新看成是
在圖像曲綫之下的面積
或許開始思考
如何找到在其他曲綫之下的面積。
我的意思是說一個圓的問題上我們算是
運氣而與此相關的結果是

Turkish: 
Bunun gibi örneklerin detayına serinin ilerleyen bölümlerinde gireceğim
fakat bazı bu tarz yüksek seviye örneklerde de, sonuca grafiğin altındaki alanın bulunmasıyla ulaşılabiliyor.
Tıpkı daire problemimizde yaptığımız şekilde.
Ne zaman, topladığınız sayıların toplamı yakınsama durumundaysa
orjinal problemimiz bir sürü ince dikdörtgenin yan yana toplanması şeklinde düşünülebilir.
Eğer
çok çok daha ince dikdörtgenler
çok çok daha doğru bir yaklaşık değer veriyorsa
Problemimizin sonucuna grafiğin altındaki alanı bularak ulaşabiliriz.
tekrardan söylüyorum, bu bizim ilerki bölümlerde daha detaylı olarak göreceğimiz bir şey.
O yüzden, %100 anlamadıysanız da problem yok.
Şu an meselemiz şu ki,
Problemi, grafiğin altındaki alan şeklinde yeni bir bakış açısıyla çözmüş olan bir matematikçi olarak
diğer grafiklerin alanını nasıl bulabilirim diye düşünüyor olabilirsiniz

German: 
Auf Details zu solchen Beispielen werde ich später in der Reihe nochmal eingehen,
aber im Prinzip sind viele solcher Probleme äquivalent dazu,
die Fläche unter irgendeinem Graphen zu berechnen, ähnlich wie bei unserem Kreis Problem.
Das ist immer dann der Fall, wenn die Stücke, die man aufaddiert,
deren Summe die Annäherung des ursprünglichen Problems darstellt,
sich als dünne, nebeneinanderliegende Rechtecke vorgestellt werden können.
Wenn immer feinere Näherungen des ursprünglichen Problems immer dünneren Ringen entsprechen,
dann ist das ursprüngliche Problem äquivalent dazu, die Fläche unter irgendeinem Graphen zu finden.
Nochmals, dieser Idee werden wir später in der Reihe erneut begegnen,
also mach dir keine Sorgen, wenn du das jetzt noch nicht 100%ig verstanden hast.
Das Wesentliche ist hier, dass du als ein Mathematiker, der gerade ein Problem so umgestellt hat,
dass dessen Lösung die Fläche unter einem Graphen ist,
jetzt darüber nachdenken könntest, wie man die Fläche unter anderen Graphen berechnen könnte.
Ich meine, wir hatten Glück, dass beim Kreis Problem die Fläche sich als ein Dreieck herausgestellt hat.

Portuguese: 
Eu vou falar sobre os detalhes e exemplos como este mais a frente na série
Mas, generalizando, muitos desses problemas se resumem
A achar a área sob algum gráfico
Muito semelhante com como aconteceu em nosso problema com o círculo
Isso acontece quando as quantidades que você está adicionando,
(Aquela que a soma aproxima do problema original)
Podem ser vistas como problemas com a área de retângulos finos lado a lado como estes
Se,
Melhores e melhores aproximações do problema original
Correspondem a anéis mais finos e mais finos
Então o problema original vai ser equivalente a encontrar a área sob algum gráfico
Novamente, essa é uma ideia que veremos com mais detalhes mais tarde na série
Então não se preocupe se não está 100% claro no momento
A ideia agora é que você, como o matemático
Tendo resolvido o problema reestruturando ele como a área sob um gráfico
Talvez comece a pensar em como achar áreas sob outros gráficos
Tipo, nós tivemos sorte no problema do círculo em que a área relevante acabou sendo um triângulo

French: 
Je t'expliquerai plus en détails des exemples comme celui-ci plus tard dans la série,
mais en gros, beaucoup de ces types de problèmes sont équivalents à trouver l'aire sous une courbe,
de la même manière qu'avec notre problème du cercle.
Ça arrive quand les quantités que tu additionnes,
celles dont la somme approxime le problème original,
peuvent être vues comme les aires d'un ensemble de rectangles tout fins juxtaposés comme ceci.
Si, des approximations de plus en plus exactes du problème original
correspondent à des anneaux de plus en plus fins,
alors le problème original va être équivalent à la recherche de l'aire sous une courbe.
Encore une fois, c'est une idée que nous verrons plus en détails plus tard dans la série
donc ne t'inquiéte pas si ce n'est pas encore 100% clair pour l'instant.
L'idée est que toi, en tant que mathématicien
qui vient juste de résoudre un problème en le reformulant comme l'aire sous une courbe,
tu pourrais commencer à réfléchir à une manière de trouver les aires, sous d'autres courbes.

Italian: 
tempo. Parlerò dei dettagli di
esempi come questi più avanti nella serie
ma ad un alto livello molti di questi tipi
di problemi sono equivalenti a
trovare l'area sotto un grafico.
Quasi allo stesso modo del nostro problema
del cerchio. Questo avviene quando
le quantità che stai sommando,
quelle la cui somma approssima
il problema originale, possono essere pensate come
l'are di molti sottili rettangoli
affiancati come qui sopra.
Se approssimazioni sempre più fini
del problema originale corrispondono
ad anelli sempre più sottili allora il problema
originale sarà equivalente a trovare
l'area sotto un determinato grafico.
Questa è un'idea che vedremo in dettaglio
più avanti nella serie, quindi non preoccuparti
se non è chiara al 100% al momento.
Il punto adesso è che tu
come un matematico, avendo risolto
un problema riportandolo al trovare un'area
sotto un grafico, potresti pensare a come
trovare le aree sotto altri grafici.
Siamo stati fortunati che nel problema
del cerchio l'area rilevante è saltata fuori

Modern Greek (1453-): 
Θα μιλήσω με λεπτομέρειες για παραδείγματα σαν και αυτό
σε επόμενα βίντεο της σειράς,
αλλά κατά βάση πολλά προβλήματα τέτοιου είδους
προκύπτει ότι είναι ισοδύναμα
με το να βρούμε το εμβαδόν κάτω από κάποια γραφική παράσταση.
Περίπου με τον ίδιο τρόπο όπως το πρόβλημά μας με τον κύκλο.
Αυτό συμβαίνει κάθε φορά όπου
οι ποσότητες που προσθέτουμε,
αυτές των οποίων το άθροισμα προσεγγίζει το αρχικό πρόβλημα,
μπορούν να θεωρηθούν ως τα εμβαδά πολλών λεπτών ορθογωνίων
που είναι το ένα δίπλα στο άλλο όπως εδώ.
Αν όλο και πιο ακριβείς προσεγγίσεις του
αρχικού προβλήματος αντιστοιχούν σε όλο
και λεπτότερους δακτυλίους, τότε το αρχικό
πρόβλημα θα είναι ισοδύναμο και πάλι
με την εύρεση του εμβαδού κάτω από μία γραφική παράσταση.
Αυτή είναι μια ιδέα που θα δούμε πιο λεπτομερώς
αργότερα στη σειρά αυτή, οπότε μην ανησυχείτε αν
δεν είναι 100% ξεκάθαρη αυτήν τη στιγμή.
Το νόημα τώρα είναι ότι εσείς ως
ο μαθηματικός, που έχει μόλις λύσει ένα
πρόβλημα μετασχηματίζοντας το στην εύρεση εμβαδού
μιας γραφικής παράστασης, μπορεί να αρχίσετε να σκέφτεστε
για το πώς θα βρείτε τα εμβαδά κάτω από άλλες γραφικές παραστάσεις.
Εννοώ ότι στην περίπτωση του κύκλου
ήμασταν τυχεροί που το εμβαδό ήταν τελικά

Swedish: 
Jag kommer prata igenom exempel som det här senare i serien
men på en hög nivå är många av den här typen av problem
ekvivalenta med att hitta arean under någon graf.
På samma sätt som vårt cirkelproblem gjorde.
Det här händer när kvantiteterna du lägger ihop vars summa approximerar det ursprungliga problemet
kan tänkas som många tunna rektanglar sittandes sida vid sida så här.
Om finare och finare approximationer av ursprungsproblemet motsvarar
tunnare och tunnare ringar,
kommer orginalproblemet vara ekvivalent mot att hitta arean under någon graf igen.
Återigen är det en ide som vi kommer se i mer detalj senare i serien så
bekymra dig inte för mycket om det inte är 100% klart just nu.
Poängen är att du, som matematiker, som precist löst ett problem genom att
omformulera det som arean under en graf
kanske börjar fundera hur man hittar arean under andra grafer.
Jag menar, vi hade tur i fallet med cirkelproblemet att arean visade sig vara en triangel.

Chinese: 
我之後將會在這系列討論這類例子的細節
就更高的層面來看，許多這類的問題
最後都等價於尋找某個函數圖形底下的面積
原理基本上跟我們的圓問題差不多
這類的問題源於你想加總好近似原先問題的量
可以被視為許多緊密排列的矩形的面積
如果對原先問題越縝密的近似對應到越細的圖形
那麼原先的問題就會等價於尋找函數圖形底下的面積
我們會在將來的集數對這個概念探討更多細節
所以不需要擔心目前這些內容還不那麼清楚
現在的重點是，剛才身為數學家的你
藉由轉換為探討圖形底下面積的方式解決了問題
現在你大概會開始思考要如何
求出其他函數圖形底下的面積
在圓問題裡，幸好對應到的圖形是三角形

Slovak: 
O takýchto príkladoch budem hovoriť
do detailov neskoršie počas série,
ale vo väčšine prípadov, z mnoho takýchto úloh
vyplynie to, že máme nájsť obsah
pod nejakým grafom.
Rovnako tak, ako náš problém s
kruhom. Toto sa stane vždy, keď sa
určité množstvá sčítavajú,
resp. tie, ktorých sčítanie zaokrúhlene je
riešením originálneho problému. To môže byť chápané
ako obsahy malých štvoruholníkov
ležiacich jeden vedľa druhého.
Ak by drobnejšie zaokrúhlenia originálneho
problému zodpovedalo drobnejším
a drobnejším prsteňom, potom by originálny
problém bol rovný určitému
obsahu pod nejakým grafom.
Na túto myšlienku sa pozrieme bližšie
neskôr v sérii, takže sa nebojte, ak
vám to nie je na 100% jasné.
Pointou teraz je, že TY, ako
matematik, ktorý práve vyriešil problém
preskladaním ho ako obsahom
pod grafom, začneš rozmýšľať, ako
zistiť obsahy pod inými grafmi.
Myslím tým, že sme mali šťastie, pretože
problém s kruhom sa vo výsledku rovnal

Spanish: 
Profundizaré en los detalles de ejemplos como este después durante la serie,
,Pero  muchos de estos tipos de problemas
se convierte en la búsqueda de un área equivalente a la que esta debajo una gráfica.
Y de la misma manera que nuestro problema del círculo lo hizo
, esto pasa cuando las cantidades que estas añadiendo
cual su suma se aproxima al problema original
puede ser pensado como las áreas de muchos  rectángulos pequeños
puesto lado a lado como aquí
Si, aproximaciones más y más finas del problema original,
corresponden a  anillos pequeños  , después el problema va a ser equivalente a encontrar el área
debajo de alguna gráfica.
De nuevo, esta una idea que veremos en mas detalle después en la serie,
así que no te preocupes si no esta 100% claro ahorita.
El punto ahora es que
tú como el matemático que ha resuelto el problema
re encajan dolo como el área debajo de la gráfica.
podrías pensar cómo encontrar el áreas debajo de otras gráficas.
Digo,
, fuimos suertudos en el problema del circulo

Russian: 
Я расскажу детали примеров
как этот в поздних сериях,
но на поверхности многие типы таких
задач являются эквивалентными
нахождению площади под каким-нибудь графиком.
Как например наша проблема окружности.
Это случается каждый раз когда
значения которые вы складываете,
чья сумма приближает
исходную проблему, можно рассматривать
как площади множества тонких прямоугольников,
расположенных рядом друг с другом.
Если всё более и более точное приближение
оригинальной проблемы соответствует всё более
и более тонким кольцам, тогда оригинальная
проблема будет эквивалентна
нахождению площади под неким графиком.
Еще раз, эту идею мы рассмотрим подробнее
позднее в данной серии выпусков, так что не волнуйтесь, если
вы не усваиваете на 100% ясно прямо сейчас.
Текущая мысль в том что вы,
как математик, только что решили
проблему путем рассмотрения ее как площади
под графиком. Можете начать думать о том,
как найти области под другими графиками.
Я имею в виду, что нам повезло в ситуации с кругом,
что соответствующая область оказалась

iw: 
על דוגמאות כאלו ואחרות
ארחיב יותר בהמשך הסדרה
אבל באופן כללי, הרבה בעיות כאלה
ניתן לפתור באמצעות
מציאת שטח מתחת לגרף כלשהו
בדיוק כמו עם בעיית העיגול שלנו ממקודם
זה מתקיים כאשר
הכמות שאנחנו מוסיפים
זוהי שעבורה הסכום מקרב
את הבעיה המקורית, יכולה להיחשב
כשטח של הרבה מלבנים צרים
שנמצאים אחד ליד השני כך.
אם קירובים טובים של הבעיה המקורית
מתאימים לטבעות צרות יותר ויותר,
אז הבעיה המקורית
תוחלף למציאת שטח מתחת לגרף
 
אני ארחיב על רעיון זה יותר במפורט
בהמשך הסדרה, אז אל תדאגו אם
זה לא כל ברור עכשיו ב-100 אחוז
הנקודה היא, שכעת אתם
כמתמטיקאים, שפתרו בעיה
בכך שהתבוננו בה בתור שטח מתחת לגרף,
תחשבו על השאלה הבאה:
כיצד למצוא שטחים מתחת לגרפים כלליים?
יצא לנו במקרה שלבעיית המעגל
השטח שיצא מתחת לגרף

Korean: 
앞으로 이런 종류의 예들을
다루게 될 텐데요.
높은 수준에서, 이런 종류의 문제들은
어떤 그래프의 아래 면적을 찾는 것과
동일한 문제임을 알 수 있을 것입니다.
원 문제의 경우와 동일하게,
어떤 것들의 합이 본래 문제와
거의 같아지는 경우에,
그것들을 합한 수량은
이처럼 아주 작은 직사각형이
나란히 놓여있는
면적으로 생각할 수 있습니다.
본래 문제의 점점 더 촘촘한 근사치가
점점 더 가는 링들과 대응하면
본래 문제는
어떤 그래프의 아래 면적을
찾는 것과 동일한 문제가 됩니다.
이런 문제는 앞으로 더 구체적으로
다룰테니 아직까지 잘 이해되지
않았더라도 너무 걱정하지 마세요.
핵심은 여러분이 수학자로서
어떤 문제를 그래프의 아래 면적으로
재구성하여 풀어냈으며
이제 다른 그래프들의 면적을
어떻게 찾을지 생각할 시점이라는 것입니다.
원 문제의 경우는
운이 좋게도 연관된 면적이

Arabic: 
زمن. سأتحدث من خلال تفاصيل
أمثلة من هذا القبيل في وقت لاحق في هذه السلسلة
ولكن على مستوى عال العديد من هذه الأنواع
من المشاكل تتحول إلى أن تكون أي ما يعادل
العثور على منطقة تحت بعض الرسم البياني.
بنفس الطريقة التي دائرتنا
لم مشكلة هذا يحدث كلما
الكميات التي كنت بجمع
واحد الذين مبلغ يقارب
المشكلة الأصلية يمكن اعتبار
مجالات عدة مستطيلات رقيقة
يجلسون جنبا إلى جنب مثل هذا.
إذا دقة وأكثر دقة تقريبية ل
المشكلة الأصلية تتوافق مع أرق
وحلقات أرق ثم الأصلي
المشكلة سوف يكون معادلا ل
العثور على منطقة تحت بعض الرسم البياني مرة أخرى.
هذه فكرة سنرى في مزيد من التفاصيل
في وقت لاحق سلسلة لذلك لا تقلق إذا
انها ليست 100٪ واضح في الوقت الحالي.
النقطة الآن هو أنك مثل
الرياضيات بعد أن تحل فقط
المشكلة عن طريق إعادة صياغة أنها منطقة
تحت الرسم البياني قد تبدأ في التفكير
كيفية العثور على المناطق الخاضعة لرسوم بيانية أخرى.
أعني أننا كنا محظوظين في الدائرة
المشكلة أن المنطقة ذات الصلة تحولت

Slovak: 
trojuholníku. Ale predstavte si napríklad
niečo ako parabola grafu x^2,
aký je obsah tejto oblasti pod touto
krivkou, povedzme medzi hodnotami
x=0 a x=3. Nuž, je ťažké o tom rozmýšľať,
však? Tak položím otázku trochu
iným spôsobom.
Zafixujeme ľavý koniec na miesto,
na 0 a necháme pravý koniec ľubovoľný.
Sme schopní nájsť funkciu A(x),
ktorá nám dá obsah po touto parabolou,
v rozmedzí od 0 až X? Funkcia A(x),
ako táto, je nazývaná integrál x^2.
Calculus má v sebe prvky, ktorými môžeme pochopiť
čo vlastne integrál je,
no práve teraz je to pre nás len
záhadná funkcia. Vieme, že nám dá
obsah oblasti pod grafom x^2
medzi fixným bodom naľavo a  nejakou premennou
napravo. Ale nevieme čo to je
a znovu, dôvod, prečo sa
o to zaujímame, nie je

Swedish: 
Men föreställ dig istället någon sorts parabel för grafen till x^2.
Vad är arean under den kurvan säg mellan x=0 och x=3?
Det är svårt att tänka kring, eller hur?
Låt mig omformulera den frågan på ett lite annorlunda sätt:
Vi fixerar den vänstra punkten i x=0 och låter den högra variera.
Kan du då hitta en funktion A(x)
som ger dig arean under den här parabeln mellan 0 och x?
En funktion A(x) som den här kallas för integralen av x-kvadrat.
Matematik innehåller all redskap för att lista ut vad en integral som den här är
men just nu är det bara någon sorts mystisk funktion.
Vi vet att den ger arean under grafen som hör till x-kvadrat,
mellan någon fix vänstra punkt och någon variabel högra punkt.
Men vi vet inte vad den är.
Återigen: anledningen till att vi bryr oss om den här typen av frågor är inte

Italian: 
come un triangolo. Ma immagina invece
qualcosa come una parabola: il grafico di
x alla seconda, qual è l'area sotto
quella curva tra diciamo i valori di x uguale a
0 e x uguale a 3. È difficile
pensarci. Lasciamo porre la questione
in un modo leggermente diverso
Fissiamo il punto a sinistra a
x uguale a 0 e lasciamo variare il punto a destra.
Puoi trovare una funziona A(x)
che ti da l'area sotto questa
parabola tra 0 e X? Una funzione
A(x) come questa si chiama integrale di
x alla seconda. Il C.I ha
gli strumenti per trovare qual è un integrale
come questo ma per adesso è solo
una funzione misteriosa per noi. Sappiamo che ci da
l'area sotto il grafico di x alla seconda
tra un punto fissato a sinistra e qualche
punto destro variabile. Ma non sappiamo
quale sia e ancora la ragione per cui ci interessa
questo tipo di questione non è solo per

Chinese: 
一個三角形。但是想像一下，代替的是
像 x^2的拋物線
這這曲綫之下的面積是什麽，
比方說 x 的值在
零和 3之間。嗯，這很難考慮得
正確，讓我用一種稍微不同的方法
來重提那個問題。
我們將把左面端點固定在o 點上
而右面端點是變化著的。
你能找到一個函數A（x）
它給你在這個抛物綫之下
在 0和 x之間的面積
像這樣的A(x) 被稱作對x平方的
一個積分。微積分學其中有
一些工具來算出像這樣的一個積分
是什麽樣的，但現在它對我們只是一個
神秘函數。我們知道，它給出
x平方曲線之下在左面一個固定點
和某個變化著的右面的端點
之間的面積。但是我們不知道
這是什麼而也是我們對這類問題
關心的原因不只是為提問幾何上的

German: 
Aber stell dir stattdessen mal eine Parabel vor, der Graph der Funktion x^2.
Was ist die Fläche unter dieser Kurve? Zum Beispiel zwischen x=0 und x=3.
Na? Ziemlich schwer vorzustellen, oder?
Lass mich die Frage nochmal etwas anders stellen:
Die linke Seite fixieren wir bei x=0, aber die rechte Grenze bleibt verschiebbar.
Bist du in der Lage, eine Funktion zu finden, A(x),
die dir die Fläche unter dem Graphen zwischen 0 und x ausgibt?
Eine solche Funktion A(x) nennt man ein Integral der Funktion x^2.
Die Analysis besitzt Werkzeuge, um herauszufinden, was ein solches Integral genau ist,
aber im Moment ist es für uns nur eine mysteriöse Funktion
Wir wissen, dass es die Fläche unter dem Graphen von x^2
zwischen einer festen linken Grenze und einer verschiebbaren rechte Grenze ausgibt,
aber wir wissen nicht, was diese ist.
Nochmals, der Grund, warum uns eine solche Frage überhaupt interessiert,

English: 
out to be a triangle. But imagine instead
something like a parabola, the graph of x
squared. What's the area underneath that
curve say between the values of x equals
zero and x equals 3? Well, it's hard
to think about, right? And let me reframe
that question in a slightly different way:
we'll fix that left endpoint in place at
zero and let the right endpoint vary.
Are you able to find a function A(x)
that gives you the area under this
parabola between 0 and x? A function
A(x) like this is called an integral of
x-squared. Calculus holds within it the
tools to figure out what an integral
like this is, but right now it's just a
mystery function to us. We know it gives
the area under the graph of x squared
between some fixed left point and some
variable right point, but we don't know
what it is. And again, the reason we care
about this kind of question is not just

Spanish: 
para encontrar el área como un triangulo. Pero imagina  en lugar
algo como una parábola, la gráfica de x*x
Cuál es el área debajo de esa curva
dicha como los valores entre x= 0 y x=3
bueno, es difícil pensarlo de izquierda a derecha.
Así que déjame pensar la pregunta en una manera un poco diferente,
dejaremos el punto  izquierdo en 0
y el punto derecho lo dejaremos variar.
Puedes encontrar un función A(x)
que te de el área debajo de esta parábola, dentro de 0 y X
Una función  A(x) como esta es llamada "integral de
X al cuadrado.
El cálculo ocupa herramientas para figurar
integrales como esta
pero ahorita es una función misteriosa par nosotros
Sabemos que nos da el área debajo de la gráfica de X al cuadrado
entre algun punto a la izquierda y otro  punto variable a la derecha.
pero no sabemos qué es . Y de nuevo, la razón por la que nos importa esta pregunta

Polish: 
Ale wyobraź sobie parabolę, wykres funkcji x^2.
Jak policzyć pole pod wykresem tej funkcji?
Na przykład między x = 0 a x = 3.
Wydaje się to ciężkim problemem. Zadam więc pytanie
w trochę inny sposób. Ustalmy lewy koniec przedziału 0
i ruszajmy jego prawym końcem.
Czy umiesz znaleźć funkcję A(x), która liczy pole
pod parabolą w przedziale od 0 do x?
Funkcja A(x) jest w tym przypadku całką z funkcji x^2.
Rachunek różniczkowy mówi nam, jaka to jest funkcja,
ale dla nas na razie jest to tajemnica. Wiemy, że
daje nam ona pole pod parabolą między jakimś
ustalonym punktem po lewej i punktem x po prawej.
Ale nie wiemy, jak ona dokładnie wygląda.
Chcemy się dowiedzieć nie dlatego, że jest to

Arabic: 
ليكون مثلث. ولكن تخيل بدلا من ذلك
شيء من هذا القبيل قطع مكافئ الرسم البياني س
مربع ما هي منطقة تحت هذا
منحنى يقول بين قيم متساوين س
صفر و x يساوي 3 .Well أنه من الصعب
للتفكير في الحق واسمحوا لي أن إعادة صياغة
هذا السؤال بطريقة مختلفة قليلا.
سنقوم إصلاح أن نقطة النهاية تركت في مكان في
الصفر، والسماح للنقطة النهاية الصحيحة تختلف.
هل أنت قادرة على العثور على وظيفة A (خ)
التي تمنحك منطقة تحت هذا
القطع المكافئ بين 0 و X. وظيفة
ويسمى (خ) مثل هذا جزءا لا يتجزأ من
س التربيعية .Calculus يحمل في داخله
أدوات لمعرفة ما جزءا لا يتجزأ
مثل هذا ولكن الآن انها مجرد
وظيفة غزا بالنسبة لنا. ونحن نعلم أنه يعطي
المنطقة تحت الرسم البياني للس التربيعية
بين بعض نقطة غادر الثابتة وبعض
نقطة الحق المتغيرة. لكننا لا نعرف
ما هو عليه، ومرة ​​أخرى السبب أننا نهتم
حول هذا النوع من السؤال هو ليس فقط

Russian: 
треугольником. Но представьте вместо этого теперь
что-то проде пораболы - график вида x^2.
Какова площадь под этой кривой, например,
между значением x равным 0 и x равным 3?
Ну, это трудно
сказать сходу, так?  Поэтому позвольте мне перефразировать
этот вопрос немного другим способом.
Мы зафиксируем начало в точке 0
и сделаем конец произвольным.
Можете ли вы найти функцию A(x)
которая дает вам площадь под этой
пораболой между 0 и x? Функция
A(x), вроде этой, называется интегралом квадрата x.
Матан содержит в себе
инструменты чтобы разобраться что представляет из себя интеграл
вроде этого, но прямо сейчас мы ничего не знаем об этой функции.
Мы знаем что она дает
площадь под графиком x^2
начиная от некой фиксированной точки начала и некой
переменной конца. Но мы не знаем
чем она является. И снова, причина почему нас
волнует этот вопрос не только в том

Chinese: 
但想像若是拋物線 x^2的圖形
圖形底下的面積會等於多少呢?
舉例來說，從x=0到x=3
這就有點難了，對吧?
讓我稍微調整一下這個問題
我們把左端點固定在0
接著讓右端點任意變動
你有沒有辦法找到一個函數 A(x)
而A(x)能夠給出拋物線在0到x圖形底下的面積
像A(x)這樣的函數稱作x^2的積分
微積分握有解出這個積分的工具
但目前A(x)對我們而言仍是個神祕的函數
我們知道它給出了在左端點固定
而右端點變動時，x^2在這段範圍內
圖形底下的面積，但我們不知道它的真面目
我們會關心這類問題

Portuguese: 
Mas imagine, no lugar disso, uma parábola - o gráfico de x²
Qual é o valor da área sob aquela curva
Digamos entre os valores de x=0 e x=3
Bem,
É difícil pensar nisso, não?
Deixe-me perguntar novamente isso de um jeito levemente diferente
Nós vamos manter aquele primeiro ponto fixo em 0
E deixar o ponto da direita variando
Você é capaz de achar uma função A(x)
que te dê a área sob esta parábola entre os valores de 0 e x?
Uma função A(x) como essa é chamada de integral de x²
O cálculo tem as ferramentas para desvendar o que uma integral como esta é
Mas por enquanto,
É apenas um mistério de função para nós
Nós sabemos que ela dá a área sob uma função de x²
Entre um ponto esquerdo fixo e um ponto direito móvel
Mas não sabemos qual é
E novamente, o motivo que nos importamos com esse tipo de problema

Turkish: 
daire probleminde şanslıydık ki grafiğimiz bize bir üçgenin alanını veriyordu.
Fakat ya x'in karesi şeklinde bir parabol grafiğimiz olsaydı?
O zaman, grafiğimizin altındaki alan ne olacaktı?
Hadi diyelim bulmak istediğimiz alan x'in 0 ile 3 değerleri arasındaki aralık olsun.
Evet, durum böyleyken işimiz biraz daha zor gibi.
İzin verin soruyu biraz daha farklı bir bakış açısıyla sorayım.
Sol taraftaki bitiş noktamızı 0'da sabit tutacağız.
Sağ tarafı ise değişken.
x'in 0 ile X arasında olduğu, bu parabolun altındaki alanı veren bir A(x) fonksiyonu bulabilir miyiz?
Buradaki A(x) gibi bir fonksiyonumuz x-kare(x^2) integrali olarak adlandırılır.
Kalkülüs bu tarz bir fonksiyonun ne olduğunu hesap etmenin araçlarını barındırır.
Fakat şimdilik bu bizim için gizemli bir fonksiyon.
Soldaki sabit bir nokta ile sağdaki değişken nokta arasındaki x-kare grafiğinin alanını verdiğini biliyoruz.
Fakat bu alanın ne olduğunu bilmiyoruz

Modern Greek (1453-): 
ένα απλό τρίγωνο. Φανταστείτε όμως αντ' αυτού
κάτι σαν μία παραβολή: η x τετράγωνο.
Ποιο είναι το εμβαδό κάτω από αυτήν
την καμπύλη, ας πούμε μεταξύ των τιμών x=0 και x=3;
Είναι δύσκολο να το σκεφτούμε αυτό, σωστά;
Και ας διαμορφώσουμε την ερώτηση λίγο διαφορετικά.
Ας κρατήσουμε σταθερό το αριστερό άκρο στο μηδέν
και ας αφήσουμε ελεύθερο το δεξί άκρο να μεταβάλλεται.
Μπορείτε να βρείτε μία συνάρτηση A(x)
η οποία θα δίνει το εμβαδό κάτω από αυτήν την
παραβολή μεταξύ του 0 και του x; Μία συνάρτηση
A(x) όπως αυτή, ονομάζεται το *ολοκλήρωμα*
της x τετράγωνο. Ο Λογισμός περιέχει
ακριβώς τα εργαλεία για να βρούμε ένα
τέτοιο ολοκλήρωμα, αλλά αυτήν τη στιγμή για εμάς
είναι απλά μία μυστηριώδης συνάρτηση. Ξέρουμε ότι
μας δίνει το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση του x τετράγωνο
μεταξύ ενός σταθερού αριστερού άκρου και
ενός μεταβλητού δεξιού άκρου. Αλλά δεν ξέρουμε
το ποια είναι η συνάρτηση. Και πάλι, ο λόγος που μας νοιάζει
μία τέτοια ερώτηση δεν είναι μόνο το να

iw: 
יצא שטחו של משולש. דמיינו אם זה היה במקום משולש
משהו כמו הפרבולה של x^2
מהו השטח שמתחת לעקומה זו
נניח, אם נגביל את ערכי x להיות
בין 0 ל-3.
אני מודה, קשה לחשוב על זה
תנו לי לנסח את השאלה בצורה אחרת:
נקבע את הנקודה השמאלית להיות 0
ונשנה בכל פעם את הקצה הימני כרצוננו
האם קיימת פונקצייה  (A(x
שתתן לכם את שטח הפרבולה
בין 0 ל-x?
פונקציה כזו נקראת
ה"אינטגרל" של x^2
בחדו"א נמצאים הכלים
להבין מהו בדיוק האינטגרל הזה
אבל נכון לעכשיו, זאת פונקציה מסתורית למדי
אנחנו יודעים שהיא תתן לנו את השטח מתחת לגרף של x^2
בין נקודה שמאלית שקבענו
לקצה ימני שהוא משתנה
אבל אנחנו לא יודעים מהו השטח
שוב, הסיבה שאכפת לנו משאלות בסגנון זה,

French: 
Tu vois, on a été chanceux dans le cas du cercle que l'aire en question était juste un triangle,
mais imagine si à la place quelque chose comme une parabole - le graphe de x² -
Quelle est l'aire sous cette courbe, disons entre les valeurs de x=0 et x=3 ?
Et bien... C'est dur à imaginer, non?
Mais laisse-moi reformuler cette question d'une manière légèrement différente.
Nous allons fixer ce point à gauche à 0, et le point à droite, va varier.
Peux-tu trouver une fonction, A(x), qui donnerait l'aire sous cette parabole entre 0 et x ?
Une fonction A(x) de ce type est appelée «l'intégrale de x² »
L'analyse possède les outils pour trouver ce qu'une telle intégrale vaut,
mais pour l'instant c'est juste une fonction mystère pour nous.
On sait qu'elle donne l'aire sous la courbe de x²
entre un point fixé à gauche et un point variable à droite, mais nous ne savons pas ce que c'est,
Je me répète, mais la raison pour laquelle c'est important,

Korean: 
삼각형의 면적이었습니다.
그러나 이제 포물선과 같은 것을 상상해 봅시다.
x²의 그래프의 곡선 아래 면적은
x값의 범위가 0에서 3까지일 때
얼마가 되어야 할까요?
곧바로 생각해 내기에는 어려운 문제입니다.
약간 다른 방식으로 문제를 재구성해 보죠.
왼쪽 끝 지점이 0에 고정되어 있고
오른쪽 끝 지점이 움직인다고 생각해 봅시다.
0부터 x까지의 포물선 아래 넓이를
나타내는 함수 A(x)를
찾을 수 있나요?
여기서 함수 A(x)를 x²의 적분이라고 합니다.
미적분학은 그 안에
적분이 무엇인지 구하는 도구를
가지고 있습니다.
그렇지만 지금은 미지의 함수일 뿐이죠.
우리는 그것이 x²의 그래프에서
고정된 왼쪽 점과 움직이는 오른쪽 점 사이의
넓이임을 알고 있습니다. 그러나 우리는
그것이 무엇인지도 모르고 우리가
이런 종류의 문제에 대해 신경쓰는 이유는

German: 
ist nicht nur zuliebe harter Geometrie-Aufgaben;
sondern viele praktische Probleme, die durch das Aufsummieren kleiner Teile gelöst werden können,
können als Frage über den Flächeninhalt unter irgendeinem Graphen formuliert werden.
Ich sage dir hier schon mal, dass es wirklich schwer ist, diese Fläche bzw. diese Integralfunktion zu finden.
Generell ist es in der Mathematik immer gut, wenn du mit einem schwierigen Problem zu tun hast,
nicht allzu sehr direkt nach der Antwort zu suchen,
da es meistens damit endet, dass deinen Kopf gegen eine Wand haust.
Stattdessen versuche einfach mit der Idee ein wenig herumzuspielen, ohne spezielles Ziel.
Nimm dir etwas Zeit dich mit dem Wechselspiel zwischen dem Graphen der Funktion, in unserem Fall x^2,
und der Funktion, die den Flächeninhalt ausgibt, auseinanderzusetzen.
In dieser spielerischer Stimmung hast du vielleicht Glück und bemerkst Folgendes:
Wenn du x um ein kleines Stück, 'dx', erhöhst,
schau dir an, wie sich der Flächeninhalt ändert, repräsentiert durch diesen kleinen Streifen,

Turkish: 
ve tekrardan söylüyorum, bu tarz bir soruyu önemsememizin sebebi zor bir geometri sorusu sormak değil,
Bunun sebebi pratikte karşılığı olan bazı soruların,
küçük sayıda olan çok sayıda şeyin toplamının
sonucun yaklaşık değerini vermesi ve
grafik altı alanı şeklinde çözülebiliyor olmasıdır
Şimdi size bu integral fonksiyonunun alanını bulmanın zor olduğunu söyleyebilirim
ve matematikte gerçekten zor olan bir problemle karşılaştığınızda
En iyi politika cevaba direk ulaşmak için çok fazla çabalayıp da
Kafanızı duvarlara vurmanız yerine,
fikir üzerinde oynamalar yapmaktır,
tabi kafanızda kesin bir hedef olmadan.
Grafiği belirleyen fonksiyon ile,
--ki burada x-kare--
alan veren fonksiyon arasında benzerlikler kurmaya çalışın
Şanslıysanız, bu üzerinde oynamalar gerektiren durumda
X'i küçük bir dx miktarınca sürüklemenin,
bu kıymık ile temsil edilen bir alan değişimiyle sonuçlandığını fark edersiniz.

Korean: 
어려운 기하 문제를 구하기 위해서도
아닙니다. 그것은 단지 많은 현실적인
문제를 위해서일 뿐입니다.
작은 것들을 아주 많이 더해서 근사할 수
있는 문제를 어떤 특정한 그래프의 아래
면적을 구하는 문제로 재구성하기 위해서입니다.
이런 면적을 구하는 것은, 이런 적분함수를
구하는 것은 사실 어렵습니다.
여러분이 어려운 수학 문제를 만날 때마다
대처할 좋은 방법 중 하나는
답을 한번에 직접 구하려고 애쓰지 않는 것입니다.
여러분이 결국 머리를 벽에 쳐박게 되는
보통의 상황이 오기 전에 이 아이디어를
가지고 놀아 보세요.
머리 속에 어떤 특정한 목표를 가지지 말고
x²같이 그래프를 나타내는 함수와
그 넓이를 만드는 함수 간의 상호작용에
친숙해지는데
사간을 보내세요.
그렇게 즐겁게 노는 가운데, 운이 좋다면
무언가를 알아챌 수도 있을 거예요.
당신이 x를 dx만큼 아주 약간씩 밀어본다면
지금 보이는 것처럼
넓이가 부분적으로 변화합니다.
이 넓이가 변한 부분을

Modern Greek (1453-): 
βρίσκουμε απαντήσεις σε δύσκολα γεωμετρικά
προβλήματα. Ο λόγος είναι ότι πολλά πρακτικά
προβλήματα που μπορούν να προσεγγιστούν
ως άθροισμα πολλών μικρών πραγμάτων,
μπορούν να διαμορφωθούν σε ερωτήσεις για
το εμβαδό μίας γραφικής παράστασης. Και τώρα
θα σας πω ότι το να βρει κανείς αυτό το εμβαδό,
αυτήν τη συνάρτηση-ολοκλήρωμα, είναι πραγματικά δύσκολο
και όποτε συναντάτε μία πραγματικά
δύσκολη ερώτηση στα μαθηματικά, μία καλή πολιτική είναι
να μην προσπαθήσετε πολύ στο να βρείτε απευθείας
την απάντηση, αφού συνήθως θα καταλήξετε να
βαράτε το κεφάλι σας στον τοίχο. Αντ' αυτού
παίξτε με αυτήν την ιδέα. Χωρίς να έχετε
κάποιο συγκεκριμένο στόχο στο μυαλό σας. Αφιερώστε λίγο χρόνο
στο να εξοικειωθείτε με αυτήν την
αλληλεπίδραση της συνάρτησης που ορίζει
τη γραφική παράσταση, εδώ την x τετράγωνο,
και της συνάρτησης που δίνει το εμβαδό.
Σε αυτό το παιχνιδιάρικο πνεύμα, αν είστε τυχεροί,
να κάτι που μπορεί να προσέξετε:
Αν αυξήσετε ελαφρώς το x κατά ένα
μικροσκοπικό ποσό dx, παρατηρήστε αυτήν την αλλαγή
που προκαλείται στο εμβαδό, την οποία αναπαριστούμε με αυτήν τη
φέτα, που θα ονομάσουμε dA, δηλαδή τη

Swedish: 
bara för att fråga svåra geometrifrågor.
Det är för att många praktiska problem som kan approximeras genom
att lägga ihop ett stort antal små saker
kan omformuleras som en fråga om en area under en viss graf.
Och jag kan berätta redan nu att hitta den här arean, den här integralfunktionen, är genuint svårt.
Och närhelst du kommer i kontakt med ett genuint
svårt probelm i matematik är det en bra standard att inte försöka för mycket att få fram svaret direkt.
Det eftersom du vanligtvis slutar med att slå huvudet mot väggen.
Istället, lek runt med tanken utan något specifikt mål i sikte.
Spendera lite tid med att bygga upp en bekantskap mellan funktionen som definierar grafen,
i det här fallet x-kvadrat, och funktionen som ger arean.
I det lekfulla sinnet, har du tur är det här något som du kanske märker.
När du ökar x med någon pytteliten bit dx, lägg märke till förändringen i area representerad av den här strimman

Spanish: 
no es solo  preguntar
por problemas geométrico difíciles,
es porque mucho problemas prácticos
pueden ser aproximados con números largos de cosas pequeñas
, puede ser re-emarcado como una pregunta acerca del área debajo de  alguna gráfica.
Y te digo ahora que encontrando esta área ,
esta función integral, es genuinamente difícil ,
Y cuando regresas hacia atrás
hacia una pregunta genuinamente dificil en matemáticas,
Una buena poliza es no intentar dificultar conseguir la respuesta directamente
. Usualmente terminarías  golpeando tu cabeza contra la pared.
pero en vez de eso,  empieza por jugar con la pregunta ,
con ninguna meta en la mente,
ponte a familiarizarte con el juego entre la función definida,
en este caso x al cuadrado
y la funcíón que da el  área.
En ese juego, si eres suertudo
aquí hay algo que podrías notar:
cuando incrementas ligeramente X por algún intervalo pequeño DX
Mira el cambio resultante en el área.
representado con esta astilla que voy a llamar  {dA}

English: 
for the sake of asking hard geometry
questions; it's because many practical
problems that can be approximated by
adding up a large number of small things
can be reframed as a question about an
area under a certain graph. And I'll tell
you right now that finding this area
this integral function, is genuinely hard
and whenever you come across a genuinely
hard question in math a good policy is
to not try too hard to get at the answer
directly, since usually you just end up
banging your head against a wall.
Instead, play around with the idea, with no
particular goal in mind. Spend some time
building up familiarity with the
interplay between the function defining
the graph, in this case x squared, and the
function giving the area.
In that playful spirit if you're lucky
here's something that you might notice
When you slightly increase x by some
tiny nudge dx look at the resulting
change in area represented with this
sliver that I'm going to call dA for a

Chinese: 
並不是只為了解些幾何難題
而是因為現實上有許多
可以藉由加總許多小量近似的問題
能夠被看成是求函數圖形底下面積的問題
我現在就能告訴你
要求得這個面積──這個積分函數
認真來說非常的困難
而當你在數學碰到"認真來說非常困難"的問題時
"別試著直接求出解答"會是個好策略
因為到最後你只會解到想撞牆
不如試著把玩一下這些想法
別想著任何的目標
花點時間從函數圖形(x^2)
與代表面積的函數之間尋找相關之處
如果幸運的話，你或許會在這段把玩中發現這些:
如果你把x加上微小的量dx
看看前後面積的改變
我用dA來代表這一小塊圖形

iw: 
היא לא כי פשוט בא לנו לשאול שאלות קשות בגאומטריה
בעיות פרקטיות רבות
שניתנות לקירוב על ידי סכימה של מספר רב
של דברים קטנים
יכולות להיהפך לשאלה של חישוב
שטח מתחת לגרף
אומר לכם זאת כך,
מציאת השטח הזה (פונקצית האינטגרל), זו משימה קשה להחריד
ותמיד כשאנו נתקלים בשאלה קשה במתמטיקה
גישה נכונה היא לא לנסות קשה מדי
ולמצוא את התשובה באופן ישיר
כי ברוב המקרים פשוט נמצא את עצמנו דופקים את הראש בקיר
במקום זאת,
נסו לשחק עם הרעיון,
ללא מטרה מסוימת בראש
קחו לעצמכם זמן עד שתרגישו בנוח
עם המעבר בין הפונצקיה שמגדירה את הגרף (במקרה הזה, x^2)
והפונקציה שנותנת את השטח מתחת לגרף זה
 
ברוח טובה זו, אם יתמזל מזלכם
הנה משהו שאולי תשימו לב אליו:
אם x גדל במעט, נאמר ב-dx
התבוננו בשינוי הכולל לשטח
שמיוצג ע"י המלבן הירוק הקטן, שנקרא לו dA

Italian: 
il piacere di chiedere problemi complessi di geometria
È perché molti problemi
pratici possono essere approssimati
addizionando un largo numero di cose piccole
possono essere posti come chiedere di
un'area sotto un certo grafico. E dirò
subito che trovare quest'area, questa funzione integrale,
è genuinamente difficile
e quando incontri una domanda genuinamente
difficile in matematica, una buona politica è
non cercare troppo di avere una risposta
diretta. Altrimenti di solito sbatteresti
soltanto la testa contro il muero. Invece
gioca con l'idea. Senza goal
particolari in mente, spendi un po' di tempo
a creare familiarità con le relazioni
tra la funzione definente
il grafo, in questo caso x alla seconda e la
funzione che da l'area.
In quello spirito giocoso se sei fortunato
ecco qualcosa che potresti notare
Quando incrementi X di un
pochino dx, guarda al cambiamento
nell'area rappresentata da questa
lama che chiamerò dA, per una piccola

Arabic: 
من أجل طلب الهندسة الصلبة
الأسئلة. ذلك لأن العديد عملي
المشاكل التي يمكن أن يقترب من قبل
واضاف عددا كبيرا من الأشياء الصغيرة
يمكن تصورها على أنها سؤال حول
منطقة تحت رسم بياني معين. وانا اقول
لك الآن أن إيجاد هذا المجال
هذه وظيفة لا يتجزأ، هو حقا من الصعب
وكلما كنت تأتي عبر بصدق
سؤال صعب في الرياضيات سياسة جيدة
ليست محاولة من الصعب جدا الحصول على في الإجابة
مباشرة. منذ عادة ما فقط في نهاية المطاف
ضجيجا رأسك على الحائط بدلا من ذلك
لعب حولها مع هذه الفكرة.
 مع عدم وجود
هدف معين في الاعتبار قضاء بعض الوقت
بناء الألفة مع
التفاعل بين تعريف وظيفة
الرسم البياني في هذه الحالة س التربيعية و
دالة تعطي المجال.
ومن هذا المنطلق لعوب إذا كنت محظوظا
وهنا ما كنت قد لاحظت
عند زيادة طفيفة X من قبل بعض
صغيرة نظرة دفعة DX في الناتج
التغيير في منطقة مثلت مع هذا
قطعة من الجبن. أنني ذاهب لاستدعاء دا ل

Polish: 
trudny problem geometryczny, ale dlatego, że
wiele praktycznych problemów, w których przybliża się
rozwiązanie przez dodanie wielu małych liczb, może być
przedstawionych jako pole pod wykresem funkcji.
W wielu przypadkach znalezienie pola, czyli całki
jest naprawdę trudne, a kiedykolwiek trafiasz na
takie trudne problemy, lepiej nie próbować na siłę
ich rozwiązywać, bo najczęściej walisz głową w mur,
zamiast pokombinować. Nie mając wytyczonego planu,
spróbuj popatrzeć, jak zależą od siebie funkcja,
której wykres badamy (tutaj x^2) oraz funkcja, która
zwraca pole pod wykresem.
Jeśli ci się poszczęści,
możesz dojść do następującej obserwacji.
Gdy zwiększasz x o małą wartość dx, spójrz na
małą zmianę pola o ten pasek. Nazwijmy to dA,

French: 
n'est pas juste pour la beauté de poser des questions difficiles de géométrie.
C'est parce que beaucoup de problèmes pratiques,
qui peuvent être réduits en la somme d'un grand nombre de petites valeurs,
peuvent être reformulés comme la question d'une aire sous une certaine courbe.
Et je vais te dire tout de suite que trouver cette aire, cette fonction intégrale, est particulièrement dur.
Et quand tu tombes sur une question particulièrement dure en math,
une bonne habitude est de ne pas trop essayer d'obtenir une réponse directement;
puisque généralement tu finis juste par te frapper la tête contre un mur...
Joue plutôt un peu avec l'idée, sans aucune idée précise en tête,
passe un peu de temps à te familiariser avec le jeu entre la fonction définissant la courbe, ici x²,
et la la fonction donnant l'aire.
Dans cet esprit de joueur, si tu es chanceux, voici quelque chose que tu pourrais remarquer:
lorsque tu augmentes légèrement x, d'un minuscule à-coup dx,
observe le changement d'aire induit, représenté par cette fine tranche, que je vais appeler dA,

Slovak: 
pre dobro pýtania sa ťažkých geometrických
otázok. Je to pretože mnoho praktických
problémov, ktoré môžu byť zaokrúhlené sčítavaním
veľkého množstva malých vecí, môžu
byť takisto preskladané do otázky, čo je
obsahom pod určitým grafom. A poviem vám
hneď teraz, že nájsť tento obsah,
túto integrálovú funkciu, je všeobecne ťažké,
a vždy, keď sa dostaneme k nejakej všeobecne
ťažkej otázke v matematike, je dobré
nepokúšať sa silou-mocou dostať sa k odpovedi
priamo. Pretože to väčšinou skončí
tým, že si budete búchať hlavu o stenu
namiesto s hraním sa s myšlienkou. Bez žiadneho
konkrétneho cieľa v mysli,  nechajte si trochu času
aby ste sa zoznámili s problémom
medzi funkciou definujúcou
graf, v tomto prípade x^2, a funkciou
ktorá nám dá obsah pod grafom.
Ak máte šťastie,
možno si všimnete toto:
ak jemne zväčšíme X o nejakú maličkú hodnotu
dx, pozrite sa na výslednú zmenu
v obsahu vyjadrenom týmto tenkým
pásikom. Nazveme to dA, ako malú

Portuguese: 
Não é somente pelo propósito de perguntar questões difíceis de geometria
É porque vários problemas práticos podem ser aproximados somando um grande número de pequenas coisas
Podem ser repensados como um problema de uma área sob um gráfico
E já te digo desde já que encontrar essa área
Essa função integral
É genuinamente dificil
E em qualquer momento que você cruza com um problema genuinamente difícil em matemática
Uma boa estratégia é não tentar tão diretamente obter a resposta
Já que normalmente você só acaba batendo sua cabeça na parede
Ao invés disso, brinque com a ideia, sem um objetivo em particular em mente
Passe um tempo construindo familiaridade com a conexão entre a função definindo o gráfico
Nesse caso x²
E a função dando a área
Nesse espírito aventureiro,
com sorte,
Tem uma coisa que você talvez note
Quanto você aumenta bem pouco x por uma minúscula quantidade - dx
Olhe para o resultado na variação da área
Representada por esta fatia que chamarei de dA

Chinese: 
難題的緣故而已。
這是因為許多實際問題
可以把一個巨大數量的小東西
加起來近似。可以把一個問題
重新提為一個在某根曲綫之下
面積的問題。現在我就要告訴
找出這面積
這個積分函數，真是很難的
并且每當你遇到在數學一個真正的
難題時一個好對策是
不要太費勁來直接想來得到其答案。
因為通常只是落得
你碰壁，而要
環繞這想法玩著試試。腦子裏並沒有
什麽特別的目標而花一些時間，
熟悉一下在定義這根曲綫的函數
在這個情況下是 x^2
和給出這個面積的函數
之間相關性。
在這種玩玩試試的精神下，如果你有
運氣，你可能會注意到這裏
如果你很小程度上增加著 x
看著其結果
在面積上的這一條引起的變化。
那就是我稱 dA 是在面積上

Russian: 
мы просто хотим задать трудные геометрические
вопросы. А потому что множество практических
проблем которые могут быть приближены
суммированием большого числа малых частиц
могут быть рассмотрены с точки зрения нахождения
площади под неким графиком.  И я сразу скажу
вам что нахождение площади
этой интегральной функции достаточно сложно.
И каждый раз когда вы встречаете достаточно
сложные вопросы в математике хорошая тактика это
не переусердствовать, пытаясь найти ответ
напрямую.  Т.к. обычно ты просто заканчиваешь
тем что бьешься головой об стену,
вместо того чтобы поиграть с идеей. Не имея
какой-либо конкретной цели, потратьте некоторое время
на то, чтобы познакомиться с
взаимодействием между функцией, определяющей
график, в этом случае x^2, и
функцией, расчитывающей область.
В таком игривом ключе, если вам повезет,
вот что вы вожете заметить -
когда вы немного увеличиваете x на
некое очень небольшое значение dx, обратите внимание
на результатирующее изменение площади, представленной
этим отрезком. Это то что я назову da для обозначения

Spanish: 
para una pequeña diferencia en área.
Esa astilla puede ser aproximada bastante
con un rectángulo, su altura es  x al cuadrado
y su ancho es {dx}
y mientras el tamaño de ese valor (dx) es mas pequeño
, esa astilla se mira más como un rectágulo
Este nos da una manera interesante de pensar
cómo dA esta relaciona con x*x(dx)
Un cambio del resultado a, este pequeño {da}
es igual a x*x
donde x es cualquier valor en el que empezaste, multiplicado por {dx}.
el pequeño empujón  que causa un cambio
O reordenando, {dA }dividido por {dx} (dA/dx)
el cociente de un pequeño cambio en a
y un pequeño cambio en X que  lo causo,
es aproximadamente cualquiera x al cuadrado es en ese punto
y esa es una aproximación que debería ser mejor y mejor
para pequeñas y más pequeñas elecciones de {dx}.
En otras palabras , nosotros no sabemos que  es A(x)
eso es permanece como un misterio, pero sabemos una propiedad que esa
función misteriosa  debe tener.

Chinese: 
很小的一個差別。那一條可以
很好地用一個其高度是 x*2而
其寬度為 dx 矩形來近似的
并且該偏移 dx 越小
使這條子
實際上看起來就更像一個矩形。
現在這給了我們一個有趣的方式來
考慮 A(x) 是怎麼有 x*2 相關的。
這個小小的 dA 的改變的輸出
大約等於 x*2，而
這裏的 x 是
你所輸入的時間 上
對這輸入很小的推移 dx，
引起了一個變化。或重新安排 dA
除以 dx，一個微小的變化除以
在那一點 x 上的微小變化導致大約
是 x*2 什麼樣的變化,而那就是一種
對 dx 的更小更小的選擇使
這個近似應該變得更好更好的。
換句話說，我們並不知道 A(x) 是什麽
A(x) 仍是一個謎但我們確實
知道這個神秘函數一定要有的

iw: 
שיגדיר, כאמור, שינוי קטן בשטח
ניתן לקרב את התוספת לשטח די בקלות
באמצעות מלבן
שגובהו יהיה x^2
ורוחבו, dx
ככל ש-dx יקטן
התוספת הקטנה תיראה יותר ויותר כמו מלבן
כעת, זה נותן לנו דרך מעניינית
לחשוב על - כיצד הפונקציה A מקושרת ל-x^2
שינוי בתוצאת A
ה-dA הקטן הזה
יהיה שווה בערך ל-x^2 (עבור ה-x הספציפי שבחרנו)
כפול dx
השינוי הקטן ב-x שגרם לשטח כולו להשתנות
נארגן זאת כך:
dA/dx, היחס בין השינוי בשטח A
לשינוי ב-x שגרם לו, הוא דומה לערך של x^2 בנקודה שברחנו
 
זהו קירוב שאמור להשתפר
עבור בחירות קטנות יותר ויותר של dx
במילים אחרות, אנחנו לא יודעים מהי פונקצית האינטגרל
זאת נשארת תעלומה
אנחנו כן יודעים, לעומת זאת,  פרופורציה שהפונקציה חייבת לקיים

French: 
pour une petite Différence d'Aire.
Cette tranche peut être plutôt bien approchée par un rectangle,
de hauteur x², et de largeur dx;
et plus ce dx est petit, plus cette tranche ressemble vraiment à un rectangle.
Et ÇA nous donne une manière intéressante de voir comment A(x) est liée à x².
Un petit changement à la sortie de A, ce petit dA,
est à peu près égal à x²,
où x est l'entrée à laquelle tu as commencé,
fois dx, la petite modification à l'entrée qui a causé une variation de A.
Ou, réarrangé, dA/dx,
le ratio d'un petit changement de A sur un petit changement de x qui lui a donnée naissance,
vaut approximativement la valeur de x² en ce point,
et cette approximation devrait s'améliorer pour des choix de plus en plus petits de dx.
En d'autres termes, on ne sait pas ce que vaut A(x), ça reste un mystère.
Mais nous connaissons une propriété que cette fonction mystère doit respecter.

Italian: 
differenza in area. Quella lama può
essere approssimata da un rettangolo
la cui altezza è x^2
e la cui larghezza è dx e più piccolo
è dx, più quella
lama assomiglia a un rettangolo.
Questo ci da un modo interessante
di pensare a come A(x) è collegato a
x alla seconda. Un cambio nell'output di
questo piccolo di da è circa uguale a x
alla seconda, dove X è qualsiasi input da cui sei
partito moltiplicato per dx
Il piccolo spostamento dell'input che
ha causato il cambiamento di A. Oppure, risistemando, da
diviso dx, la proporzionalità di un piccolo cambiamento
in A rispetto a un piccolo cambiamento in X che che lo ha causato è approssimativamente il valore di X
in quel punto, e questa è
un'approssimazione che dovrebbe diventare migliore per
valori sempre più piccoli di
dx. In altre parole non sappiamo
cos'è A(x). Rimane un mistero ma noi
sappiamo una proprietà che questa funzione

Portuguese: 
Para uma pequena diferença na área
Esta fatia
Pode muito bem ser aproximada com um retângulo
Um que a altura seja x² e largura seja dx
E quando menor o valor desse dx,
Mais a fatia se assemelha de um retângulo
E isso nos sugere uma boa ideia de como dA é relacionado a x²
A mudança ocorrida em A, esse pequeno dA
É praticamente igual a x²
Onde x é qualquer valor posto que você começou
vezes dx
A pequena mudança no valor que fez com que A mudasse
Ou, rearrumado,
dA dividido por dx
A divisão de uma pequena mudança em A pela pequena mudança em x que a causou
É aproximadamente igual a qualquer que seja x² daquele ponto
E é uma aproximação que deve só melhorar para valores menores e menores de dx
Em outras palavras,
Não sabemos o que A(x) é, isso ainda é um mistério
Mas nós sabemos sim uma propriedade que essa função misteriosa deve ter

Russian: 
крошечной разницы площади (difference in area). Этот отрезок можеть
быть достаточно хорошо приближен с помощью
прямоугольника, высота которого составляет x^2
и ширина которого dx. И чем меньше
размер этого dx, тем больше этот
отрезок выглядит как прямоугольник.
Теперь это дает нам интересный способ
чтобы подумать над тем как A(x) связано с
x^2. Изменение результатирующего a
этого маленького da примерно равно x^2,
где x - любой ввод, c которого вы
начали, умноженный на dx.
Маленький толчок на входе, который
заставил A измениться.. Или переставленное da
деленное на dx, т.е. отношение крошечного изменения
A к крошечному изменению X, что вызвано приближенно чем является x^2
на этой точке. И это
приближение должно становиться все лучше и
лучше для все меньших и меньших
значений dx. Другими словами, мы не знаем
что из себя представляет A(x). Это остается загадкой.
Но мы знаем свойство которое эта таинственная

Slovak: 
zmenu v obsahu. Tento pásik môže
byť celkom dobre zaokrúhlený pomocou
štvoruholníka, ktorého výška je x^2
a jeho šírka je dx. A čím menšia
je veľkosť dx, tým viac vyzerá
pásik ako štvoruholník.
Toto nám hovorí, ako zaujímavo môžeme
premýšľať, ako je A(x) späté s x^2.
Zmena vo výsledku,
toto dA, je približne rovné x^2,
kde X je hocičo, s čím sme
začali, krát dx
to je to, čo zmenilo vstup.
Alebo, ak to upravíme,
dA/dx , pomer malej zmeny A
k malej zmene X, čo spôsobilo zmenu, je približne x^2
práve v tom bode. A toto zaokrúhľovanie
by sa malo zlepšovať čím ďalej
tým viac, pre menšie a menšie hodnoty
dx. Inými slovami, nevieme, čo je
A(x). To ostáva záhadou, ale
vieme, akú vlastnosť táto funkcia

Chinese: 
也就是面積上微小的變化
這塊圖形可以用矩形得到不錯的近似
矩形的長是x^2 寬是dx
而隨著dx越來越小
這塊圖形看起來就越像矩形
這給出了一個有趣的方法來思考
A(x)跟x^2的關聯是什麼
面積( A(x) )的變化──這小小的dA
大約會等於x^2，其中x是你起始的點
然後再乘上dx──造成面積變化的微小變量
或者調換一下，dA除以dx
也就是"A的微小變化"與"x的微小變化"的比
可以近似為當下x^2所代表的值
而同樣是個隨著dx的越來越小
會變得越來越精確的近似
換句話說，我們並不了解A(x)是什麼，這是個謎團
但我們確實了解這個神秘函數的其中一個性質

Modern Greek (1453-): 
μικροσκοπική διαφορά στο εμβαδό. Αυτή η φέτα μπορεί
να προσεγγιστεί πολύ καλά από
ένα εμβαδό του οποίου το ύψος είναι x στο τετράγωνο
και το πλάτος του είναι dx. Και όσο μικρότερο
είναι το μέγεθος αυτού του dx, τόσο αυτή η φέτα
θα μοιάζει πιο πολύ με ένα ορθογώνιο.
Αυτό τώρα μας δίνει έναν ενδιαφέροντα τρόπο να
σκεφτούμε για το πώς το A(x) σχετίζεται με το
x τετράγωνο. Μία αλλαγή στην τιμή της A,
αυτό το μικρό dA, είναι περίπου ίση με το x τετράγωνο,
όπου x είναι εκείνη η είσοδος με την οποία ξεκινήσαμε,
πολλαπλασιασμένο με το dx,
αυτήν τη μικρή αλλαγή στην είσοδο που προκάλεσε
την αλλαγή του A. Ή αν αλλάξουμε τη σειρά τους,
το dA/dx, ο λόγος της μικρής αλλαγής στο A,
προς την αλλαγή που την προκάλεσε στο x, είναι περίπου ίση με την τιμή του x τετράγωνο
σε εκείνο το σημείο. Και αυτή είναι μια προσέγγιση
η οποία θα πρέπει να γίνεται όλο και καλύτερη
για όλο και μικρότερες επιλογές
του dx. Με άλλα λόγια, ακόμα δεν ξέρουμε
το ποια είναι η A(x), αυτό είναι ακόμα μυστήριο. Ξέρουμε όμως
μία ιδιότητα που αυτή η μυστηριώδης

Swedish: 
som jag kommer kalla för dA för en liten förändring av area.
Den strimman kan ganska väl approximeras med en rektangel,
en vars höjd är x-kvadrat och vars bredd är dx
Och ju mindre storleken på den lilla knuffen dx blir desto mer ser strimman ut som en rektangel.
Det ger oss ett intressant sätt at tänka på hur A(x) är relaterad till x-kvadrat.
En förändring av funktionsvärdet A(x), den här lilla dA är ungefär lika med x-kvadrat
där x är vilket x-värde du satte in gånger dx,
den lilla knuffen till x-värdet som gav upphov till att A förändrades.
Eller, omflyttat, dA delat med dx - kvoten mellan
den lilla förändringen i A till den lilla förändringen i x som gav upphov till den,
är en approximering av vad nu x-kvadrat är vid den punkten.
Och det är en approximation som borde bli bättre och bättre
för mindre och mindre val av dx.
Med andra ord: vi vet inte vad A(x) är, det förblir ett mysterium men vi
vet en egenskap som mysteriefunktionen måste ha.

Arabic: 
الفرق الصغيرة في المنطقة. أن شظية يمكن
أن يقترب بشكل جيد مع
مستطيل واحد الذي هو ذروة س تربيع
والذي عرض هو DX وأصغر
حجم هذا دفعة DX لأكثر من
شظية في الواقع يبدو وكأنه المستطيل.
الآن هذا يعطينا وسيلة مثيرة للاهتمام ل
التفكير في كيفية وتتصل (خ) ل
س-التربيعية. تغيير إلى إخراج
هذا دا القليل حول يساوي x
مربع حيث X هو كل ما كنت المدخلات
بدأت في timesdx.
على دفعة صغيرة للمدخلات التي
سبب للتغيير. أو ترتيبها دا
مقسوما DX، فإن نسبة من التغير الطفيف
في لتغيير صغير في X التي تسببت في ما يقرب من كل ما س تربيع
هو في هذه النقطة وهذا ل
التقريب التي يجب ان تحصل على أفضل و
أفضل لخيارات أصغر وأصغر
من DX .في بعبارة أخرى نحن لا نعرف ما
A9x) هو أن لا يزال لغزا لكننا
نعرف خاصية أن هذا الغموض

Polish: 
bo jest to mała różnica w polu figury.
Ten pasek można dość dobrze przybliżyć
prostokątem o wysokości x^2 i szerokości dx.
Im mniejsze dx, tym bardziej ten pasek wygląda
jak prostokąt.
To pokazuje nam, jaka jest zależność między A(x) a x^2.
Mała zmiana pola dA jest równa mniej więcej
x^2 * dx, gdzie x jest końcem przedziału,
z którego zaczęliśmy, a dx małym dodatkiem do x,
który zmienił pole obszaru. Inaczej:
dA/dx, stosunek małej zmiany pola do małej zmiany
przedziału jest równy mniej więcej x^2 w tym punkcie.
Im mniejsze dx, tym to przybliżenie będzie lepsze.
Innymi słowy: nie wiemy, jaką funkcją jest A(x),
ale znamy jedną właściwość tej funkcji.

German: 
den ich 'dA', als Änderung des Flächeninhalts, nennen werde.
Dieser Streifen kann ziemlich gut mit einem Rechteck angenähert werden,
dessen Höhe x^2 und Breite 'dx' ist.
Und je kleiner wir 'dx' wählen, desto mehr schaut dieser Streifen wirklich wie ein Rechteck aus.
Das eröffnet uns einen interessanten Weise, wie A(x) in Beziehung zu x^2 steht.
Eine Änderung der Fläche, dieses kleine 'dA', ist ungefähr gleich x^2,
wobei x der Wert ist, mit dem wir angefangen haben, mal 'dx',
dem kleinen Stück, das dazu führte, dass A sich ändert
Umgestellt ist 'dA'/'dx', das Verhältnis einer kleinen Änderung in A zu einer kleinen Änderung in x,
welche die Änderung des Flächeninhalts verursachte, ungefähr x^2  an diesem Punkt.
Diese Näherung sollte mit kleiner werdendem 'dx' immer besser werden.
Anders gesagt wissen wir nicht was A(x) ist; das bleibt ein Rätsel,
aber wir kennen eine Eigenschaft, die diese mysteriöse Funktion besitzt.

Turkish: 
dA diye adlandırdığım, küçük bir alan değişimini temsil eden bu kıymık
yüksekliği x-kare genişliği dx olan bir dikdörtgene benziyordur.
ve sürükeleme miktarını -dx'i yani- daha da küçük tutarsam
bu kıymık daha da fazla dikdörtgene benzemeye başlayacak.
Şimdi bu bize A(x) fonksiyonunun x-kare ile nasıl ilişkili olduğunu düşünmemiz için ilginç bir yol sunacak.
Buradaki dA sizin girdi olarak girdiğiniz x'in karesi ile dx'in çarpımına eşittir.
A'nın değişmesine sebep olan, girdideki küçük bir sürükleme.
Veya "da" bölü "dx" şeklinde düzenleyelim.
A'daki küçük bir değişikliğin X'teki küçük bir değişikliğe oranı yaklaşık olarak o noktadaki x-kare'ye eşittir.
Ve bu, dx'in küçük ve daha küçük değerleri için
iyi ve daha iyi bir yaklaşıklık olacaktır.
Başka bir deyişle; A(x)'in ne olduğunu bilmiyoruz.
Bu hala bir gizem olarak kalıyor

Korean: 
dA라고 하겠습니다. difference in Area 입니다.
이 부분은 높이가 x²이고 폭이 dx인 직사각형으로
꽤 잘 근사할 수 있습니다.
그리고 dx의 크기가 점점 더
작아질 수록  이 부분은
점점 더 직사각형에 가까워집니다.
이것은 우리에게  x²과 A(x)가 어떻게
관련되어 있는지 생각해 볼 수 있는
재미있는 방법을 제시합니다.
입력값 x가 어떤 수이든지 이 작은
출력값의 변화 dA는 x²과 dx의 곱과
거의 같습니다.
입력값을 약간 밀어본 것이
변화를 일으킨 것입니다. 이를 재배열한
dA/dx는 아주 작은 x의 변화에 대한
아주 작은 A(x)의 변화(A는 x의 영향을 받음)를
나타내는 비율로,  이 값은 그 지점에서
x²이 얼마이든 거의 같습니다.
그리고 그것은 dx값이 점점 더 작아질 수록 점점
더 좋은 근사치가 됩니다. 다시 말하면
우리는 A(x)가 무엇인지 모릅니다. 그것은
수수께끼로 남아 있습니다. 그러나 우리는

English: 
tiny difference in area. That sliver can
be pretty well approximated with a
rectangle one whose height is x squared
and whose width is dx, and the smaller
the size of that nudge dx the more that
sliver actually looks like a rectangle.
Now this gives us an interesting way to
think about how A(x) is related to
x-squared. A change to the output of A,
this little dA, is about equal to x
squared, where X is whatever input you
started at, times dx,
the little nudge to the input that
caused A to change. Or rearranged dA
divided by dx, the ratio of a tiny change
in A to the tiny change in x that caused it, is approximately whatever x squared
is at that point, and that's an
approximation that should get better and
better for smaller and smaller choices
of dx. In other words, we don't know what
A(x) is; that remains a mystery, but we
do know a property that this mystery

Chinese: 
當你聚焦在兩個靠近的點──舉例來說3與3.001
考慮A(x)在這兩點之間的變化
即A(x)在3.001的值與A(x)在3的值之間的差距
這個變化再除以兩點的差異，在這裡是0.001
應該要大約等於x^2在起點的值，在這裡是3^2
神秘函數( A(x) )的變化與x^2之間的這個關係
在任何的點都是對的，不只是3
這並沒有馬上告訴我們如何求出A(x)
但卻提供了我們可以處理的有力線索
x^2的圖形在這裡並沒有特別之處
任何定義為函數圖形底下面積的函數都有這性質:
dA除以dx

Korean: 
이 미지의 함수가 가지는 특성을 알고 있습니다.
당신이, 예를들면 3과 3.001 같이 서로 근접한 수를
살펴볼 때, 이 두 점 사이의 결과값 A의
변화를 생각해 보세요.
3.001과 3에서의 미지의 함수값의 차이,
그 변화를
입력값의 차이, 0.001으로
나누면
처음 입력값의 지점(x=3)에서
x²의 값과 거의 같아져야 합니다.
여기서는 3²이겠네요.
그리고 미지의 함수의 작은 변화와
x² 그 자체의 값과의 이런 관계는
x=3에서만이 아니라
모든 입력값에서 참입니다.
이것이 우리에게 A(x)를 어떻게 찾는지를 곧바로
알려주지는 않습니다. 그러나 이것은
우리에게 강한 단서를 제공해 줍니다.
그리고 여기에서 x²의 그래프가 특별한 게
아닙니다. 어떤 그래프 아래쪽 넓이로
정의된 어떤 함수라도 이런 특성을
가지고 있습니다. dA를 dx로 나누는 것, 즉
입력값에 영향을 받는 출력값의 아주 작은

Modern Greek (1453-): 
συνάρτηση θα πρέπει να έχει. Ας πάρουμε δύο
κοντινά σημεία, ας πούμε το 3 και το 3.001,
και ας θεωρήσουμε την αλλαγή στην έξοδο της A
μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Τη διαφορά δηλαδή της τιμής
αυτής της μυστηριώδους συνάρτησης αν την υπολογίσουμε
στο 3.001 και αν την υπολογίσουμε στο 3. Αυτή η αλλαγή
αν διαιρεθεί με την αλλαγή στην τιμή της εισόδου,
όπου εδώ είναι 0.001,
θα πρέπει να είναι περίπου ίση με την τιμή του x τετράγωνο,
όπου x η αρχική τιμή. Δηλαδή εδώ,
το 3 στο τετράγωνο.
Και αυτή η σχέση μεταξύ των μικρών
αλλαγών στη μυστηριώδη συνάρτηση και
των αλλαγών στην τιμή του x τετράγωνο, είναι αληθής
για οποιαδήποτε είσοδο x, όχι μόνο το 3. Αυτό δεν μας
λέει άμεσα το πώς να βρούμε την A(x),
αλλά μας δίνει ένα πολύ ισχυρό στοιχείο με
το οποίο μπορούμε να εργαστούμε.
Και δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο με αυτήν
την γραφική παράσταση του x τετράγωνο. Οποιαδήποτε συνάρτηση
που ορίζεται ως το εμβαδό κάτω από μια γραφική παράσταση,
θα έχει αυτήν την ιδιότητα ότι το dA/dx, αυτή
η μικρή αλλαγή στην έξοδο διαιρεμένη

Italian: 
misteriosa deve avere. Quando si guarda a due punti
vicini, per esempio 3 & 3.001
considera il cambiamento dell'output di a
tra quei due punti. La difference
tra la funzione misteriosa valutata
a 3.001 e valutata a 3. Quel cambiamento
diviso dalla differenza tra i valori in
input che in questo caso è 0.001
dovrebbe essere circa uguale al valore di x
alla seconda per l'input di start. In questo
caso 3 alla seconda
E questa relazione tra piccoli
cambiamenti della funzione misteriosa e
valori di x alla seconda è vera a
tutti i punti e non solo 3, questo non
ci dite immediatamente come trovare A(x)
ma ci da un suggerimento forte con
cui possiamo lavorare.
E non c'è niente di speciale nel
grafico di x alla seconda. Tutte le funzioni
definite come l'area sotto un grafico
hanno questa proprietà che da diviso dx
,un piccolo spostamento nell'output di a diviso un piccolo

Slovak: 
musí mať. Ak sa pozrieme na dva
blízke body, napríklad 3 a 3.001,
Predstavme si zmenu vo výsledku A
medzi týmito dvoma bodmi. Rozdiel
medzi záhadnou funkciou vyhodnotenou v
bode 3.0001 a v bode 3, deleno
rozdiel v stupoch, čo je
v tomto prípade 0.001, by nám
malo dať výsledok rovnajúci sa x^2
zo začiatku. V tomto prípade
3^2.
A tento vzťah medzi malými
zmenami vo funkcii a hodnotami
x^2 samotného je platný pri
všetkých vstupoch, nie len 3. To nám ale
hneď nepovie, ako zistiť A(x), ale poskytne
nám dosť silnú základňu, s ktorou
môžeme pracovať.
A nie je tu nič špeciálne na práve tomto
grafe x^2. Hocijaká funkcia
definovaná ako obsah pod grafom má
túto vlastnosť, že dA/dx,
malý posun vo výsledku, deleno

Spanish: 
.Cuando ves dos puntos cercanos,
por ejemplo 3 y 3.001
considera el resultado de A(x)
en medio de esos dos puntos
la función evaluada dentro de la diferencia de 3.001 y 3
Ese cambio dividido entre la diferencia de los valores de entrada
que en nuestro caso es 0.001
Debería ser igual al valor de {x*x}
para el punto inicial, en este caso 3 al cuadrado
Y esta relación entre cambios pequeños
de la función misteriosa, y los valores de x al cuadrado en sí mismos,
son verdaderos en todas las entredas no solo en 3 .
Eso no nos dice inmediatamente  como encontrar A(x)
pero nos da una pista fuerte con la que podemos trabajar.
y aquí no hay nada especial de la gráfica x al cuadrado
Cualquier función definida como el área debajo de alguna gráfica
tiene esta propiedad, dA dividido por dx,
un lijero empujón para la salida de  A(x)

Portuguese: 
Quando olhamos para 2 pontos vizinhos,
Por exemplo, 3 e 3.0001
Considere a mudança de x entre estes 2 pontos
A diferença entre o valor da função misteriosa em 3.001 e o seu valor em 3
Essa variação, dividido pelos valores postos em x
Que nesse caso é de 0.001
Deveria ser aproximadamente igual ao valor de x² para o valor inicialmente posto em x
Nesse caso, 3²
Nessa relação entre mudanças na função misteriosa e os valores de x² por si mesmo
É verdade em quaisquer valores postos em x, não só 3
Isso não nos diz imediatamente como achar A(x)
Mas nos dá uma dica muito forte que podemos trabalhar em cima
E não tem nada de especial com o gráfico x² aqui
Qualquer função definada como a área sob algum gráfico tem esta propriedade
Que dA/dx
Uma pequena mudança no valor de A

Swedish: 
När vi tittar på två närliggande punkter, till exempel 3 och 3.0001
betrakta förändringen av output mellan de två punkterna.
Skillnaden mellan mysteriefunktionen utvärderad
vid 3.001 och utvärderad vid 3.
Den förändringen delad med förändringen i våra indata-värden ,vilket i det här fallet är 0.001,
borde ungefärligen vara lika med värdet av x-kvadrat för startvärdet
i det här fallet 3^2.
Och det här förhållandet mellan små förändringar i mysterie-funktionen och
värdet av x-kvadrat i sig är sann vid alla input, inte bara 3.
Det berättar inte för oss rakt upp-och-ned hur vi ska hitta A(x),
men det ger en stark ledtråd som vi kan jobba med.
Och det finns inget speciellt med grafen under x-kvadrat.
Vilken funktion som helst under någon graf har

iw: 
אם נתבונן בשתי נקודות קרובות אחת לשנייה
לדוגמה, 3 ו-3.001
נתבונן בשינוי בשטח A בין שתי נקודות אלו
 
ההבדל בין ערך הפונקציה המסתורית בנקודה 3.001
ובנקודה 3. השינוי הזה
אם יחולק בהפרש בין ערכי הנקודות עצמן
שבמקרה זה הוא 0.001
אמור להיות דומה לערך של x^2 בנקודה שהתחלנו ממנה
 
במקרה זה, 3 בריבוע
מערכת יחסים זו, בין שינויים קטנים
אל הפונקציה המסתורית בעצמה
וערכי x^2
יהיה נכון לכל קלט, לא רק עבור 3
זה עדיין לא אומר לנו כיצד למצוא את הפונקציה המסתורית
אבל זה מספק רמז גדול מאוד שנוכל לעבוד איתו!
 
כאמור, אין דבר מיוחד כלשהו בפונקציה x^2
כל פונקציה,
המוגדרת כשטח מתחת לגרף כלשהו, תקיים זאת:
dA/dx, שינוי קטן בפלט של A

Polish: 
Gdy spojrzymy na dwa bliskie punkty, np. 3 i 3.001,
przyjrzyjmy się różnicy pól w tych dwóch punktach,
czyli różnicą wartości A(3,001) i A(3).
Ta różnica podzielona przez różnicę argumentów,
tutaj równą 0.001, powinna być mniej więcej
równa wartości x^2 w punkcie początkowym 3.
Ta zależność pomiędzy małymi zmianami funkcji A(x)
i wartościami x^2 zachodzi wszędzie, nie tylko dla 3.
To nie mówi nam jeszcze, jak znaleźć A(x),
ale jest to mocna wskazówka.
Co więcej, nie korzystamy ze specjalnych własności x^2.
Każda funkcja będąca polem pod pewnym wykresem
ma tą własność: dA/dx,
stosunek małej zmiany wartości funkcji

Russian: 
функция имеет. Если вы посмотрите на две
близколежащие точки, например 3 и 3,001,
рассмотрите изменение вывода A
между двух этих точек. Разница
между таинственной функцией расчитанной
отдельно для 3,001 и 3. Эта разница
деленная на разницу во входных
значениях, в данном случае 0,001,
должна быть примерно равна значению x^2
для начального ввода.
В данном случае 3^2.
И это отношение между крошечными
изменениями таинственной функции и
самими значениями x^2 является истинным на
всех вводах, не только 3. Это однако не
объясняет нам как найти A(x),
но дает нам очень сильную подсказку которую
мы можем использовать.
И на самом деле в этом графике x^2
нет ничего особенного. Любая функция
определенная как площадь под каким-либо графиком имеет
такое свойство что da деленное на dx
слегка толкает к выводу A, деленному

Chinese: 
一個性質。如果你看兩個臨近的點，
例如 3 和 3.001
考慮一下這個神秘函數A (x)在
3.001和 3 這兩個點上的輸出。
在這個神秘函數在3.001和3時其值
的差別。那個差別除以在
輸入數值上的差別，
在此種情況下就是 0.001
應大約等於在那個開始輸入點的
x 平方的值。
在這案例中是3^2。
而在這個微小變化對神秘函數之間
的這種關係以及 x^2 的數值
本身對所有的輸入而
並不只對 3 來說是正確的。但那并沒有
立即告訴我們如何來找到 A(x)
但它提供了一個非常強有力的
而我們可以來用的線索。
而在這裏的 x^2 的曲綫
並沒有什麼特別之處。
任何定義為某一根曲綫之下面積的函數
都具有這一性質，將 dA 除以 dx ，
稍微到推移一下輸出除以入

German: 
Wenn du dir 2 nahegelegene Stellen anschaust, z.B 3 und 3,001,
achte auf die Änderung des Flächeninhalts zwischen diesen beiden Stellen -
der Differenz der mysteriösen Funktion, ausgewertet bei 3 und 3,001.
Diese Differenz, geteilt durch die Differenz der beiden Werte, in diesem Fall 0,001,
sollte ungefähr das selbe sein wie der Wert für x^2 an der Stelle, an der wir angefangen haben, hier ist es x=3.
Diese Beziehung zwischen kleinen Änderungen der mysteriösen Funktion und den Werten für x^2
gilt an allen Stellen, nicht nur 3.
Das sagt uns nicht direkt, wie wir A(x) berechnen, aber gibt uns einen gute Ahnung, mit der wir arbeiten können.
Dabei ist der Graph von x^2 nichts Besonderes.
Jede Funktion, definiert als die Fläche unter irgendeinem Graphen,
hat diese Eigenschaft, dass 'dA'/'dx' -

Turkish: 
Fakat bu gizemli fonksiyonun sahip olması gereken bir özelliğini biliyoruz..
Birbirine yakın iki noktaya baktığınızda
Örneğin 3 ve 3.001
O iki nokta arasında, A çıktısına olan değişimini düşünün.
Gizemli fonksiyonumuzun 3.001 ve 3 girdileri için olan farkının
x girdisindeki değişiklik miktarına bölünmesi
ki bu durumda 0.001
x'in başlangıçtaki değerinin karesine eşit olmalı.
Bu durumda 3'ün karesi yani.
Bu gizemli fonksiyondaki küçük bir değişik ile x-kare'nin kendisi arasındaki ilişki yalnızca 3 değeri için doğru değildir,
her girdi için böyledir.
Ve bu bize bir anda A(x) fonksiyonunu nasıl bulabileceğimizi söylemez.
Onun yerine üzerinde çalışabileceğimiz bir ipucu sağlar.
Ve buradaki x-kare grafiğinin hiçbir özel tarafı da yoktur.
Herhangi bir grafiğin altındaki alanı veren herhangi bir fonksiyon bu özelliğe sahiptir.
Yani "dA"'nın "dx"'e  bölümünün

English: 
function must have. When you look at two
nearby points for example 3 & 3.001
consider the change to the output of A
between those two points—the difference
between the mystery function evaluated
at 3.001 and evaluated at 3. That change
divided by the difference in the input
values, which in this case is 0.001,
should be about equal to the value of x
squared for the starting input—in this
case 3 squared.
And this relationship between tiny
changes to the mystery function and the
values of x-squared itself is true at
all inputs not just 3. That doesn't
immediately tell us how to find A(x),
but it provides a very strong clue that
we can work with.
and there's nothing special about the
graph x squared here. Any function
defined as the area under some graph has
this property that dA divided by
dx—a slight nudge to the output of A divided

French: 
Lorsque tu regardes deux point proches, par exemple 3 et 3.001,
observe le changement de la valeur de A entre ces deux points:
la différence entre la fonction mystère évaluée en 3.001 et évaluée en 3.
Ce changement divisé par la différence entre les valeurs d'entrée dans ce cas 0.001,
devrait être à peu près égal à la valeur de x² en la première entrée, dans ce cas, 3².
Et cette relation entre un petit changement à la fonction mystère
et aux valeurs de x² elle-même est vraie à toutes les entrées, pas seulement 3.
Ça ne nous dit pas directement comment trouver A(x),
mais ça nous donne un indice très fort avec lequel nous pouvons travailler.
Et il n'y a rien de spécial avec la courbe x² ici, n'importe quelle fonction,
définie comme l'aire sous une certaine courbe,
aura cette propriété que dA/dx,
un petit changement de la sortie,

Arabic: 
يجب أن يكون وظيفة. عند إلقاء نظرة على اثنين
نقاط المجاورة على سبيل المثال 3 و 3.001
النظر في تغيير لإخراج
بين هاتين النقطتين. الاختلاف
بين وظيفة سر تقييمها
في 3.001 وتقييمها في 3. هذا التغيير
مقسوما على الفرق في المدخلات
القيم وهو في هذه الحالة هو 0.001
ينبغي أن يكون حول مساوية لقيمة x
مربع لإدخال البدء. في هذا
حالة 3 مربع
وهذه العلاقة بين صغيرة
تغييرات في وظيفة الغموض و
قيم س تربيع نفسه ينطبق على
جميع المدخلات وليس فقط 3 أن لا
قل لنا على الفور كيفية العثور A (خ)
ولكنه يوفر أدنى فكرة قوية جدا
يمكننا العمل معه.
وليس هناك شيء خاص حول
المربعة الشكل العاشر هنا. أي وظيفة
تعرف بأنها منطقة تحت بعض الرسم البياني لديها
هذه الخاصية أن دا مقسوما على DX
تنبيه طفيف إلى إخراج مقسمة

English: 
by a slight nudge to the input that
caused it—is about equal to the height
of the graph at that point.
Again, that's an approximation that gets better and
better for smaller choices of dx.
And here, we're stumbling into another big
idea from calculus: "Derivatives". This
ratio dA divided by dx is called the
derivative of A, or more technically the
derivative is whatever this ratio
approaches as dx gets smaller and
smaller. Although, I dive much more deeply
into the idea of a derivative in the
next video, but loosely speaking it's a
measure of how sensitive a function is
to small changes in its input. You'll see
as the series goes on that there are
many many ways that you can visualize a
derivative depending on what function
you're looking at and how you think
about tiny nudges to its output.
And we care about derivatives because
they help us solve problems, and in our
little exploration here, we already have
a slight glimpse of one way that they're
used. They are the key to solving

Spanish: 
dividido  por un lijero empujon para la entrada, que la causo,
es aproximadamente la altura de la gráfica en ese punto.
De nuevo , esa es una aproximación que se hace mejor y mejor
para elecciones de cada vez más pequeñas de {dx}.
,y aquí estamos tropezando con otra  gran idea del càlculo,
"las derivadas"
Este cociente ( {dA} divido {dx})
es llamado la derivada de A,
o mas técnicamente la derivada es cualsea esta  división aproxime.
al la vez que dx es más y más pequeño.
A pesar de que he profundizado en la idea de la derivada en el próximo video.
Pero hablando flojamente,
es la medida de que tan sensible es una función para elecciones pequeñas en su entrada
veras como la serie (lista de videos)  enseñara que hay  muchas formas de
visualizar una derivada dependiendo qué
función estés viendo  y cómo piensas respecto de las pequeñas astillas
para su salida.
Nos importan las derivadas porque nos ayudan a resolver problemas
y aquí en nuestra pequeña exploración ya tenemos
un ligero deslumbre de una manera que ellos usaron (los padres del cálculo)

Polish: 
i małej zmiany argumentu funkcji, jest równy
mniej więcej wartości funkcji w tym punkcie.
To przybliżenie jest tym lepsze, im mniejsze jest dx.
Tutaj spotykamy jedno z najważniejszych pojęć
rachunku różniczkowego: pochodną.
Tak nazywamy stosunek dA/dx, a konkretnie wartość,
do której zbliża się, gdy dx jest coraz mniejsze.
Będę o tym mówił więcej w następnym filmie,
ale mówiąc ogólnie,
pochodna mówi, jak bardzo funkcja jest czuła
na małą zmianę argumentu.
W następnych filmach zobaczysz,
że pochodną można przedstawić na wiele sposobów
w zależności od tego, jaką funkcję analizujesz
i jak myślisz o małych zmianach wartości.
Pochodne są ważne, bo pomagają
rozwiązywać wiele problemów.
W naszych rozważaniach możemy dostrzec
jedno z zastosowań pochodnych: są one niezbędne do

iw: 
מחולק בשינוי קטן בקלט שגרם לכך
 
שווה בערך לגובה הגרף בנקודה הזו
 
שוב, זהו קירוב שהולך ומשתפר
עבור dx שהולך וקטן
כאן, אנחנו נתקלים בעוד רעיון מרכזי של החדו"א:
נגזרות
היחס הזה, dA/dx,
נקרא "הנגזרת של A"
או, יותר נכון,
הנגזרת של מה שהיחס הזה מייצג כאשר dx שואף ל-0
בסרטון הבא ארד לעומקה של הנגזרת
אבל אם נדבר בחופשיות
מדובר בעצם ב"כמה פונקציה רגישה"
לשינויים קטנים בקלט שלה
 
אתם תראו בהמשך הסדרה
שיש דרכים רבות להמחיש מהי נגזרת באופן ויזואלי
תלוי באיזו פונקציה מתבוננים
ואיך חושבים על שינויים קטנים בפלט שלה
 
הסיבה שאכפת לנו מנגזרות, יא
שנגזרות עוזרות לנו לפתור בעיות
במקרה שחקרנו ממקודם
ראינו אופן אחד שבו משתמשים בנגזרות

Turkish: 
Yani "A" çıktısındaki, küçük bir sürüklenmenin yarattığı alan değişikliği miktarının, sürükleme miktarına olan bölümü
Grafiğin o noktadaki uzunluğunu verir.
Ve bu daha küçük "dx" değerleri için daha iyi olan bir yaklaşıklıktır.
Ve burada kalkülüsün bir diğer büyük fikirlerine tökezliyoruz;
Türev
bu dA'nın dx'e bölümünün oranı A'nın türevi olarak adlandırılır.
Veya daha teknik konuşmak gerekirse, buradaki dx değerinin tutulabildiği kadar küçük tutulduğu zaman bölümün oranının yakınsadığı değer bizim türevimiz oluyor.
Her ne kadar gelecek bölümümüzde bu kavram üzerinde daha derinlemesine duracak olsam da,
basit konuşmak gerekirse
Türev, bir fonksiyonun, girdisinde meydana gelen küçük değişimlere ne kadar hassas olduğunun bir ölçüsü olarak tanımlanabilir.
Serimizde ilerki bölümlere geçtikçe
Bir türevi dayandığı fonksiyona göre görselleştirmenin bir çok yolu olduğunu
ve girdideki küçük bir değişikliğin çıktıyı nasıl etkilediğini göreceksiniz.
Türev ile ilgileniyoruz çünkü problem çözme konusunda yardımcı oluyor.
Buradaki küçük araştırmamızda
kullanım alanlarına küçük bir miktar göz attık.

French: 
divisé par un petit changement de l'entrée qui lui a donné naissance,
est approximativement égal à la hauteur de la courbe à ce point.
De nouveau, c'est une approximation qui s'améliore pour des choix plus petits de dx,
et ici nous nous faisons face à une autre grande idée en analyse.
Les dérivées.
Ce ratio, dA/dx, est appelé la "dérivée" de A,
ou, plus techniquement, la dérivée est la valeur que ce ratio approche quand dx devient de plus en plus petit.
Je me plongerai beaucoup plus profondément dans l'idée de dérivée dans la vidéo suivante,
mais en gros,
c'est une mesure de combien une fonction est sensible à de petits changement à son entrée.
Tu verras, en avançant dans la série, qu'il y a beaucoup beaucoup de manières de visualiser une dérivée,
en fonction de quelle fonction tu étudies et comment tu vois les petits changement de sa sortie.
Et nous nous intéressons aux dérivées parce qu'elles nous aident à résoudre des problèmes,
et dans notre petite exploration ici, on a déjà un petit aperçu d'une manière dont elles sont utilisées,

Modern Greek (1453-): 
με τη μικρή αλλαγή στην είσοδο που την προκάλεσε,
θα είναι περίπου ίση με το ύψος της γραφικής παράστασης
σε αυτό το σημείο.
Και πάλι, αυτή είναι μια προσέγγιση που γίνεται όλο και καλύτερη
για μικρότερες επιλογές του dx, και
εδώ πέφτουμε πάνω σε μια άλλη μεγάλη
ιδέα του Λογισμού. Οι "παράγωγοι", αυτό το πηλίκο,
του dA/dx, ονομάζεται παράγωγος
της A, ή πιο αυστηρά, η παράγωγος
ισούται με εκείνη την τιμή που το πηλίκο
προσεγγίζει, καθώς το dx γίνεται όλο
και μικρότερο. Παρ' όλ' αυτά θα αναλύσω
βαθύτερα την ιδέα της παραγώγου στο
επόμενο βίντεο, αλλά κατά μία ευρεία έννοια,
είναι ένα μέτρο που δείχνει πόσο ευαίσθητη είναι μια συνάρτηση
σε μικρές αλλαγές στην είσοδό της. Θα δείτε
όσο προχωράει αυτή η σειρά, ότι υπάρχουν
πάρα πολλοί τρόποι να οπτικοποιήσει κανείς
μία παράγωγο, ανάλογα με το ποια συνάρτηση
εξετάζεται και το πώς οπτικοποιούμε
τις μικρές αλλαγές στην έξοδό της.
Και οι παράγωγοι μας νοιάζουν επειδή
μας βοηθούν να λύσουμε προβλήματα.
Και στη μικρή μας εξερεύνηση εδώ, έχουμε ήδη πάρει
μια μικρή γεύση από το πώς μπορεί να
χρησιμοποιηθούν. Οι παράγωγοι είναι το κλειδί στο

Korean: 
변화를 입력값의 아주 작은 변화로
나누는 것은 그 지점의 그래프의 높이와
거의 같다는 것입니다.
그것은 dx가 점점 더 작아 질수록 점점 더
좋아지는 근사치입니다. 그리고
우리는 우연히 미적분학에서의 또 하나의
큰 아이디어에 발을 디딥니다. "도함수"입니다.
dA를 dx로 나눈 비율을
A의 도함수라고 합니다. 더 엄밀히 말하면
도함수는 dx가 점점 더 작아질 수록
이 비율이 접근해 가는 무언가입니다.
도함수의 아이디어에 대해서는
다음 영상에서 훨씬 더 깊게
다루도록 하겠습니다. 대략적으로 말하자면
그것은 함수가 입력값의 작은 변화에 얼마나 민감한 지를
측정한 것입니다. 시리즈가 그곳까지
진행하는 동안, 여러분은 여러분이 보고 있는
함수가 무엇인지, 여러분이 출력값의 작은
변화를 어떻게 생각하는지에 따라
도함수를 시각화할 수 있는 아주 아주 많은
방법들을 보게 될 것입니다.
우리가 도함수에 관심을 갖는 이유는
그것이 우리가 문제를 푸는데 도움을 주기 때문입니다.
여기까지 아주 작은 탐험에서 우리는 이미
그것이 사용되는 하나의 방법을 잠깐
엿보았습니다. 그것은 적분 문제를 해결하는

Chinese: 
稍微變動了的輸入
所造成它又大約等於
在圖像上那一點上的高度。
那是對選擇更小的 dx 就有
一個越來越好的近似而我們
在這裏正遇上來自微積分的另一個
很大的思想。 “導數”
這個 dA 除以 dx 是這樣叫作的
或者是一個更技術性的說法
導數是任何在 dx 變得越來越小時
的這個比。
雖然，我在下一視頻中更深入談
到導數的想法但
大概地說這是
對其輸入上的微小變化有多麼敏感
的量度的一種函數，你會看到
作為該系列的推出，
有很多很多的方式你可以看到
取決於你在看著的是什麽的函數
的一個導數以及對於
微小變化對其輸出的考慮。
而我們關心導數因為
它們幫助我們解決一些問題而我們
在這裏小小的探索中我們已經
對一種方式稍微看到了一些，而這些
被用過的是他們解決

German: 
die kleine Flächenänderung geteilt durch die Differenz der x-Werte,
ist ungefähr gleich der Höhe des Graphen an dieser Stelle.
Nochmal, diese Näherung wird immer besser, je kleiner wir 'dx' wählen.
Hier treffen wir auf ein weiteres großes Konzept der Analysis: 'Ableitungen'.
Dieses Verhältnis, 'dA'/'dx', wird die Ableitung von A genannt.
Genau genommen ist die Ableitung das, was man erhält, wenn man 'dx' immer kleiner werden lässt.
Auf das Konzept der Ableitung werde ich im nächsten Video noch sehr genau eingehen,
aber grob gesprochen, ist es ein Maß dafür, wie empfindlich eine Funktion
auf kleine Änderung des Eingangswertes reagiert.
Du wirst im Laufe der Reihe sehen, dass es viele Wege gibt,
Ableitungen zu visualisieren, abhängig davon, welche Funktion man betrachtet
und wie du über kleine Änderungen des Funktionswertes nachdenkst.
Wir interessieren uns für Ableitungen, da sie uns helfen, Probleme zu lösen
und in unserem Beispiel hier haben wir bereits einen kleinen Einblick gewonnen, wofür man sie benutzt.

Swedish: 
den här egenskapen att dA delat med dx, en mycket liten skillnad i output delat med en mycket liten skillnad i input som gav upphov till det,
är ungefärligen lika med grafens höjd vid den punkten.
Återigen, det är en approximation som blir bättre och bättre
för mindre val av dx. Och här råkar vi komma in på en annan stor idé inom matematik.
Derivator
Det förhållandet, dA delat med dx kallas derivatan av A eller mer tekniskt
så är derivatan vad kvoten går mot när  dx blir mindre och mindre.
Jag kommer dyka mycket djupare i nästa video men löst är en derivata
ett mått på hur känslig en funktion är för små förändringar i sin input.
Du kommer se när serien fortsätter att  det finns många många sätt du kan visualisera en derivata,
beroende på vilken funktion du undersöker
och hur du tänker kring små förändringar i dess output.
Och vi bryr oss om derivator eftersom
de hälper oss lösa problem och i vår
lilla undersökning här har vi redan sett
en liten glimt av ett sätt som de är använda.

Portuguese: 
Dividida pela mudança de x, que a causou
É bem parecido com o valor da altura do gráfico naquele ponto
Novamente, essa é uma aproximação que fica melhor e melhor
Para menores escolhas de dx
Aqui, nós esbarramos de novo em outra grande ideia do cálculo
derivadas
Essa razão, dA/dx
É chamada da derivada de A
Ou, mais tecnicamente,
a derivada é o que quer que essa razão se aproxime a medida que dx fica menor e menor
Me aprofundarei
Muito mais profundamente na ideia de derivada no próximo vídeo
Mas de maneira breve,
É a medida de quão sensitiva a função é quando mudam seus valores postos em x
Você vai ver a medida que a série continuar que há várias maneiras que você pode visualizar uma derivada
Dependendo de qual função é e como você visualiza as mudanças nos seus valores
Nos importamos com derivadas porque elas nos ajudam a resolver problemas
E nossa pequena exploração aqui,
Nós já temos uma pequena noção de um jeito em que são usadas

Russian: 
на легкий толчок к вводу, который
вызвал это. Это примерно равно высоте
графика в этой точке.
Это приближение становится все лучше и
лучше для все меньших значений dx и
здесь мы сталкиваемся с другой большой
идеей из матана - производными.
Отношение da деленное на dx называется
производной от a. Или выражаясь технически
производная это что-либо что это отношение
приближает по мере dx становится меньше и меньше.
Не смотря на то что еще поговорим детально
об идее производных в следующих видео,
но грубо говоря, это
мера того насколько чувствительна функция
к маленьким изменениям на входе. Вы увидите,
по ходу серии, что существует
превеликое множество путей которыми вы можете визуализировать
производную в зависимости того что за функция
которую вы рассматриваете и что вы думаете
о крошечных толчках в на ее входе.
И мы рассуждаем о производных потому что
они помогают нам решить задачи. И в нашем
маленьком исследовани, которое мы провели, мы уже
взглянули мельком на один из способов которым они
применяются. Они являются ключом к решению

Chinese: 
也就是A(x)的微小變化除以x的微小變化
會大約等於函數在該點的高度(值)
再一次的，這是個會隨著dx越來越小
而越來越精準的近似
這裡，我們遇上了另一個微積分中的概念──導數
這個比例──dA除以dx──被稱為A(x)的導數
或者更技術上的來說
導數是這個比例隨著dx變小而趨近的值
雖然我會在下段影片更深入的討論導數的概念
但簡單來說，導數是測量
一個函數對於微小的變化有多敏感
隨著這系列的演進，你會看到更多關於導數的視覺呈現
取決於你所關注的函數
還有你怎麼看待函數值的微小變化
我們關注導數是因為它可以幫我們解決問題
而藉由剛才的小探索
我們已經可以瞥見導數的其中一個功用

Italian: 
spostamento dell'intpu che
l'ha causato è circa uguale all'altezza
del grafico in quel punto.
È un'approssimazione che migliora
per dx sempre più piccoli e
qui inciampiamo contro un'altra grande idea
del C.I. Le Derivate, questa
proporzionalità: da diviso da dx è chiamata
derivata di o o più tecnicamente la
derivata è quello a cui questa proporzione
diventa quando dx diventa via via più
piccola. Analizzerò molto più approfonditamente
l'idea della derivata nel
prossimo video, ma approssimativamente
la misura di quanto è sensibile la funzione
a piccoli cambiamenti del suo input. Vedrai
mentre la serie va avanti che ci sono molti
modi in cui puoi visualizzare una
derivata, dipendenti da quale funzione
stai guardando e a come pensi
ai piccoli spostamenti del suo output
E ci interessano le derivate perché
ci aiutano a risolvere problemi e nella nostra
piccola esplorazione, abbiamo già un
piccolo scorcio di uno dei modi
in cui sono usate. Sono la chiave per rispondere

Slovak: 
malý posun vo vstupe, ktorý
spôsobil, že je to približne rovnako vysoké
ako graf, práve v tom bode.
Opäť, je to len zaokrúhľovanie, ktoré je
lepšie a lepšie, čím je dx menšie .
A tu sa stretávame s ďalšou veľkou myšlienkou calculusu.
Derivácie.
Tento pomer dA/dx je nazývaný
derivácia A. Alebo, viac technicky,
derivácia je hocičo, čomu sa tento pomer
približuje ako sa dx zmenšuje a zmenšuje.
Hoci, deriváciam sa budem
viac venovať
v nasledujúcich videách, ale aby som veľa nehovoril,
je to meranie, ako moc senzitívna je funkcia
vzhľadom na malé zmeny vo vstupe.
Ďalej vo videách uvidíte, že
existuje mnoho spôsobov, ako vizualizovať
deriváciu, v závislosti na akú funkciu
sa práve teraz pozeráme a ako inak si môžeme
predstaviť malé zmeny vo výsledku.
A derivácie sú pre nás dôležité, pretože
nám pomáhajú vyriešiť problémy. V našom
malom prieskume už máme určitý
letmý pohľad, na čo sa používajú.
Sú kľúčom k riešeniu

Arabic: 
بواسطة إشارة تنبيه بسيط للمدخلات التي
سبب ذلك هو حول مساو لارتفاع
الرسم البياني عند هذه النقطة مرة أخرى.
هذا هو تقريبي أن يحصل على أفضل و
أفضل لخيارات أصغر من DX و
هنا نحن عثرة في كبير آخر
فكرة من حساب التفاضل والتكامل. "المشتقات" هذا
وتسمى نسبة دا مقسوما على DX
مشتق من أو أكثر من الناحية الفنية
مشتق أيا كان هذا المعدل
النهج كما يحصل DX أصغر و
الأصغر. على الرغم من أنني قمت بكثير بعمق أكثر
في فكرة مشتق في
الفيديو التالي ولكن بصفة فضفاضة انها
مقياس لمدى حساسية وظيفة
لتغييرات صغيرة في مدخلاته سترى
لأن سلسلة تطول أن هناك
العديد من الطرق العديدة التي يمكنك تصور
مشتق اعتمادا على ما وظيفة
كنت تبحث في وكيف تفكر
همسات حول صغيرة لانتاجها
ونحن نهتم المشتقات ل
أنها تساعدنا على حل المشاكل وفي منطقتنا
استكشاف القليل هنا لدينا بالفعل
لمحة بسيطة من اتجاه واحد انهم
استخدمت هم مفتاح حل

Polish: 
liczenia całek, pola pod wykresem funkcji.
Gdy już wprawisz się w liczeniu pochodnych, będziesz
umiał radzić sobie w sytuacjach, gdy nie znasz funkcji,
ale znasz jej pochodną x^2
i na podstawie tego ją odgadniesz.
Ta zależność między całką i pochodną:
pochodna funkcji dającej
pole pod wykresem funkcji f jest równa f,
to podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego.
Wiąże ono te dwa pojęcia i pokazuje, że są to
operacje odwrotne do siebie.
To tylko poglądowe spojrzenie
na najważniejsze pojęcia rachunku różniczkowego.
Kolejne filmy z serii wgłębiają się w te zagadnienia.
Cały czas chciałbym, żebyś myślał, że sam mógłbyś

Turkish: 
kavisli bir grafiğin altındaki alanın bulunması gereken integral sorularınının çözümünde anahtar bir role sahip.
Türev hesaplama konusuna yeteri kadar yakınlık kazandığınızda
Buradaki gibi fonksiyonun ne olduğunu bilmediğiniz fakat türevinin x-kare olması gerektiğini bildiğiniz  durumlarda
buradaki ters mimariden yola çıkarak fonksiyonun ne olması gerektiğini bilebileceksiniz.
ve integral ve türev arasındaki bu geri ve ileri sarılabilirlik.
Grafik altı alanın fonksiyonunun türevi size grafiği tanımlayan fonksiyonun kendisini geri veriyor olması
Kalkülüsün temel teorisi olarak adlandırılır.
Ve iki büyük fikir olan integral ve türevi birbirine bağlar.
Ve farklı bir açıyla bakıldığında, nasıl birbirlerinin tersi olduklarını gösterir.
Tüm bunlar, kalkülüste açığa çıkan çekirdek fikirlerin bazılarına olan küçük bir göz gezdirmeydi.
Serinin devamı ise türevin ve integralin detaylarını izleyecek.
Her bir noktada kalkülüsü kendi başınıza icat ediyormuş gibi hissetmenizi istiyorum.

Russian: 
вопросов с интегралами. Задачи требующие
нахождения площади под кривой. Как только вы
станете достаточно знакомым с вычислением
производных, вы сможете взглянуть на
ситуацию вроде этой, где вы не
знаете чем является функция, но вы знаете
что ее производная должна быть x^2
и из этого реверс-инжиниренга какой
должна быть функция. И это колебание
между интегралами и производными, где
производная функции для
площади под графиком возвращает вам
функцию определяющую сам график,
называется "Основная теорема
анализа". Она связывает воедино две большие
идеи интегралов и производных. И
показыавет что в некотором смысле
каждая из них обратна другой.
Все это вид с высоты,
просто верхушка неких базовых идей
что есть в матане. В будущих сериях также
будут рассмотрены детали
производных, интегралов и т.д.
Прежде всего я хочу чтобы вы чувствовали себя
будто вы могли изобрести матан сами.

Portuguese: 
Elas são a chave para resolver problemas de integrais
Problemas que requerem achar a área sob uma curva
Assim que você tiver familiriadade o suficiente para computar derivadas,
Você vai ser capaz de olhar para uma situação como essa
Em que você não sabe que função é, mas sabe que sua derivada deve ser x²
E a partir disso, reverter o processo para descobrir o que a função deve ser
E esse processo para frente e para trás, entre integrais e derivadas
Onde a derivada de uma função para a área de um gráfico
Te dá de volta a função definindo o próprio gráfico
É chamada de "O teorema fundamental do cálculo"
Ela entrelaça as duas grandes ideias de integrais e derivadas
E mostra que, de algum modo, cada uma é o inverso da outra
Tudo isso é só uma visão geral
Só para espiar algumas das ideias principais que surgem em cálculo
O que dá sequência a essa série são os detalhes, de derivadas, integrais e mais
Em todos os momentos, eu quero que você se sinta como se você sozinho pudesse ter inventado o cálculo

Italian: 
a domande integrali. Problemi che richiedono
di trovare l'area sotto una curva. Quando
guadagnerai una certa familiarità con la computazione delle
derivate sarai in grado di guardare a
una situazione come questa dove non sai
che funzione è ma sai
che la sua derivata dovrà essere x alla seconda
e da quello ricavare che
funzione dev'essere. Questo avanti e indietro
tra integrali e derivate dove la
derivata di una funzione per
l'area sotto un grafico da indietro
la funzione definente il grafico è il
Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale
Lega le due grandi idee
di integrali e derivate e
mostra come in un certo senso ciascuna è
l'inversa dell'altra
Tutto questo è solo una visione di alto livello,
un'occhiata ad alcune delle idee principali
che emergono nel C.I., e quello che segue
nella serie sono i dettagli per
derivata, integrali e altro.
A tutti i punti voglio che tu ti senta
come se tu potessi aver inventato il C.I. da solo

German: 
Sie sind der Schlüssel dazu, Integral Aufgaben zu lösen,
Probleme, bei denen wir den Flächeninhalt unter einer Kurve berechnen müssen.
Wenn du einmal gelernt hast, sicher mit Ableitungen umzugehen,
wirst du dir eine solche Situation anzuschauen können, bei der du die Funktion nicht kennst,
aber du weißt, dass seine Ableitung x^2 sein sollte
und von da rückwärts gehst kannst, um die Funktion zu finden.
Dieses vor und zurück zwischen Integralen und Ableitungen,
wobei die Ableitung für die Funktion des Flächeninhalts unter einem Graphen
dir die Funktion, die den Graphen beschreibt, zurückgibt,
nennt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Er verbindet die zwei großen Konzepte von Ableitungen und Integralen,
und zeigt gewissermaßen, dass das eine das Inverse (Umgekehrte) vom anderen ist.
Das ganze hier ist nur ein Überblick,
nur ein kleiner Einblick in die zentralen Konzepte der Analysis
und was in der Serie folgt, sind die Details für Ableitungen, Integrale und mehr.
Zu jedem Zeitpunkt möchte ich dir das Gefühl vermitteln, dass du die Analysis selber hättest entwickeln können.

Spanish: 
las derivadas son la clave para resolver preguntas de integrales
Problemas que requieren encontrar el área debajo de una curva.
Una vez te hallas adquirido la suficiente familiaridad con las
derivadas calculadas, estarás listo  para observar situaciones como esta
, donde no sabes que es la función , pero sabes
que su derivada debería de ser x al cuadrado
gracias a esa ingeniería inversa, saber cual debería ser su integral
y este delante - atrás entre integrales y derivadas
donde la derivada de una función que nos da el área debajo una gráfica,
te regresa la función de la gráfica en si.
Es llamado el teorema fundamental del cálculo
Relaciona las dos grandes ideas
intregrales y derivadas,  y muestra cómo
el algún sentido, una es la inversa de la otra.
Todo esto es solo a grandes rasgos
.Una muestra de las  algunas ideas centrales que
surgen en el cálculo, y lo que sigue en la serie de videos  son los detalles de las derivadas e integrales  y más.
Y en todos los puntos quiero que sientas que tú
pudiste haber inventado el cálculo por tí mismo.

iw: 
נגזרות הן המפתח בשאלות של אינטגרציה
בעיות שדורשות מציאת שטח מתחת לגרף
 
ברגע שתרגישו בנוח עם מציאת נגזרות
תוכלו להתבונן בבעיות כמו זו
כאשר אתם לא יודעים מהי הפונקציה
אבל אתם כן יודעים
שהנזגרת שלה אמורה להיות x^2
ומכאן "להנדס לאחור" בכדי למצוא את הפונקציה המקורית
 
היחס בין הנגזרות והאינטגרלים
כאשר הנגזרת של פונקציה שמוצאת שטח מתחת לגרף
תתן לכם את הפונקציה שמתארת את הגרף בעצמו
 
נקרא "המשפט היסודי של החדו"א"
הוא מקשר את שני הרעיונות הגדולים
של אינטגרלים ונגזרות
והוא מראה איך (באופן מסוים)
כל אחד הוא ההיפך של השני
כל מה שהיה כאן זה על קצה המזלג
הצצה לכמה מהרעיונות הבסיסיים של החדו"א
והסרטונים הבאים יעסקו בפרטים הקטנים
בכל מה שקשור לנגזרות, אינטגרלים וכו'
 
בכל רגע, הייתי רוצה שתרגישו כאילו
יכולתם להמציא את החדו"א בעצמכם

Arabic: 
أسئلة لا يتجزأ. المشاكل التي تتطلب
العثور على منطقة تحت منحنى. بمجرد
كسب ما يكفي من الألفة مع الحوسبة
المشتقات عليك أن تكون قادرا على النظر في
موقف مثل هذا واحد حيث كنت لا
تعرف ما هي وظيفة ولكنك تعرف
أن مشتقاته يجب أن يكون x تربيع
ومنذ ذلك عكس مهندس ما
يجب أن يكون وظيفة. وهذا ذهابا وإيابا
بين التكامل ومشتقاتها حيث
مشتق من وظيفة ل
المنطقة تحت الرسم البياني يتيح لك إعادة
وظيفة تحديد الرسم البياني نفسه هو
تسمى "نظرية الأساسية لل
حساب التفاضل والتكامل ". أنا ر يربط معا الكبيرين
أفكار التكامل ومشتقاتها و
فإنه يدل على مدى بمعنى ما كل واحد
على عكس الآخر.
كل هذا ليس سوى عرض رفيع المستوى
مجرد نظرة خاطفة على بعض الأفكار الأساسية
التي تظهر في حساب التفاضل والتكامل، وما يلي
في هذه السلسلة هي تفاصيل ل
المشتقات والتكامل وأكثر من ذلك.
في جميع نقاط أريدك أن تشعر بأنك
يمكن أن اخترع حساب التفاضل والتكامل نفسك.

Modern Greek (1453-): 
να λύσουμε τα ερωτήματα ολοκληρωμάτων. Προβλήματα δηλαδή που
απαιτούν το να βρούμε το εμβαδό κάτω από μία γραφική παράσταση. Μόλις
εξοικειωθείτε με τον υπολογισμό παραγώγων,
θα είστε ικανοί να αντικρίσετε
καταστάσεις όπως αυτή, όπου δεν ξέρετε
το ποια είναι μία συνάρτηση, όμως ξέρετε
ότι η παράγωγός της θα πρέπει να είναι το x τετράγωνο,
και από αυτή τη σχέση θα μπορείτε να δουλέψετε αντίστροφα,
για να βρείτε ποια θα πρέπει να είναι η συνάρτηση. Και αυτή η εναλλαγή
μεταξύ ολοκληρωμάτων και παραγώγων, όπου
η παράγωγος μιας συνάρτησης που δίνει
το εμβαδό μιας γραφικής, ισούται
με την ίδια συνάρτηση που ορίζει τη γραφική,
είναι αυτό που λέμε "Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού".
Δένει μαζί τις δύο μεγάλες ιδέες
του ολοκληρώματος και της παραγώγου και μας
δείχνει κατά κάποιον τρόπο το πώς καθένα από αυτά
είναι το αντίστροφο του άλλου.
Όλα αυτά είναι μία γενική θεώρηση,
μία μικρή ματιά σε κάποιες από τις κύριες ιδέες
που εμφανίζονται στον Λογισμό, και το επόμενο
κομμάτι της σειράς θα είναι οι λεπτομέρειες που αφορούν
τις παραγώγους, τα ολοκληρώματα και πολλά άλλα.
Σε κάθε σημείο, θέλω να σκέφτεστε ότι θα μπορούσατε
να ήσασταν εσείς που θα είχατε εφεύρει τον Λογισμό.

Swedish: 
De är nyckeln till att lösa integralfrågor.
Problem som kräver att hitta arean under en kurva.
När du fått tillräcklig bekantskap med att beräkna derivator
kommer du kunna se en situation som den här där du inte
vet vad en funktion är men du vet att
dess derivata borde vara x-kvadrat
och from det omvänt konstruera vad funktionen måste vara.
Och det här fram och tillbaks mellan integraler och derivator, där
derivatan av en funktion för arean under en graf ger tillbaks
funktionen som definierar själva grafen, kallas för "Analysens Fundamentalsats".
Det binder ihop de två stora
idéernamed integraler och derivator
och visar hur på något sätt hur de är varandras inverser.
Allt det här vara bara en inblick
bara en liten glimt av några av kärnidéerna
som uppkommer i matematik, och vad som följer
i den här serien är detaljerna för derivator, integraler med mera.
Vid varje tidpunkt vill jag att du ska känna att du hade kunnat uppfinna matematik själv.

Chinese: 
積分問題的關鍵。需要
找出曲線之下面積的問題。一旦你們
對計算導數有足夠的熟悉
你們將可以看到一種
像這樣的情況，你不
知道是什麼樣的一個函數，但你知道
而它的導數是 x^2
而從那個逆向工程那個必定是什麼
函數。而這樣在一些積分和導數之間的
來來回回，其中間一個函數的導數
給出一個根圖像曲綫之下的面積而你
圖下面積囘給你定義著該曲綫的本身
就叫做
“微積分基本原理“
聯繫在一起的它把
積分和微分兩種很大的想法聯係在一起
並展示了在某種意義上每一個都是
另一個的逆反（反函數）。
所有這一切都只是一種高度概括的看法
只是對在微積分中所湧現的一些
核心思想的一種窺視，和接下來
的系列中是導數和積分以及其它
細節。
在所有的觀點上我希望你覺得你自己
也許能發明出微積分的。

English: 
integral questions, problems that require
finding the area under a curve.
Once you gain enough familiarity with computing
derivatives, you'll be able to look at a
situation like this one where you don't
know what a function is but you do know
that its derivative should be x squared
and from that reverse engineer what the
function must be. And this back and forth
between integrals and derivatives where
the derivative of a function for the
area under a graph gives you back the
function defining the graph itself is
called the "Fundamental theorem of
calculus". It ties together the two big
ideas of integrals and derivatives, and
it shows how, in some sense, each one is
an inverse of the other.
All of this is only a high-level view:
just a peek at some of the core ideas
that emerge in calculus, and what follows
in the series are the details for
derivatives and integrals and more.
At all points I want you to feel that you
could have invented calculus yourself.

Chinese: 
──它是解決積分問題的關鍵
也就是找出函數圖形底下面積的問題
一旦你熟悉如何計算導數
你就能夠處理像這樣的情況:
你並不知道該函數是什麼
但你知道它的導數是x^2
再藉由反向操作得知原函數是多少
這樣積分與微分的來回互換:
代表圖形面積的函數的導數
會求回原本定出圖形的函數
以上被稱作「微積分基本定理」
它聯繫了兩個微積分的主要概念: 積分與微分
並顯示出它們某種程度上為對方的逆運算
以上這些只是個高層次的觀點
間略窺視這些微積分中誕生的核心概念
之後會有微分、積分的細節，以及更多其他的內容
總而言之，我想讓你覺得好像可以自己發明微積分

Korean: 
열쇠입니다. 곡선 아래 넓이를 찾도록
요구하는 문제를 해결하는.
일단 여러분이 도함수 계산에 충분히 익숙해 진다면
여러분은 이런 상황을 보게 될 수 있습니다.
당신이 어떤 함수를 모르는데, 그것의
도함수가 x²이 되어야 하는 건 아는.
그리고 그로부터 원래 함수가
무엇이 되어야만 하는지를 반대로
알아내는 상황을.
그리고 이것은 적분과 미분 사이를 왔다 갔다 합니다.
그래프 아래 넓이를 나타내는 함수의
도함수는 그 그래프 자체를 나타내는 함수를
우리에게 되돌려줍니다.
이것을 "미적분학의 기본정리"라고 합니다.
이것은 적분과 미분이라는 두 개의
커다란 아이디어를 서로 결부시킵니다.
그것은 어떤 의미로는 서로가
역의 관계라는 뜻이 됩니다.
이 모든 것은 어디까지나 높은 수준의 관점입니다.
미적분학에서 나오는
어떤 핵심 아이디어의 정점 같은 것입니다.
앞으로 나오는 시리즈에서는 미분과 적분, 그리고 그 외
세부적인 것들에 대해 다루도록 하겠습니다.
모든 면에서 저는 여러분이 스스로 미적분학을
발명할 수 있었을 것 같다는 느낌을 받기를 원합니다.

French: 
elles sont la clé de la résolution du problème des intégrales.
Des problèmes qui nécessitent de trouver l'aire sous une courbe.
Une fois que tu seras suffisamment familiarisé avec le calcul de dérivées
tu pourras résoudre des situations comme celle-ci
où tu ne connais pas une fonction mais tu sais que sa dérivée devrait être x²
et à partir de ceci, retrouver ce que la fonction devrait être.
Et cet aller-retour entre les intégrales et les dérivées,
où la dérivée d'une fonction pour l'aire sous une courbe
te donne la fonction définissant cette courbe elle-même,
est appelée le « Théorème fondamental de l'analyse. »
Il lie les deux grandes idées que sont les intégrales et les dérivées,
et il montre comment, en quelque sorte, chacun est un inverse de l'autre.
Tout ceci n'est qu'une vue résumée, un coup d'oeil au quelques idées maîtresses qui émergent en analyse,
et ce qui suit dans la série sont les détails sur les dérivées, les intégrales et plus encore.
A tout moment j'aimerais que tu penses que tu aurais pu inventer l'analyse toi-même.

Slovak: 
problémov s integrálmi. Problémy, ktoré potrebujú,
aby sme našli oblasť pod krivkou.
Keď už budete poznať problematiku počítania
derivácií, budete môcť skúmať situácie
ako je napríklad táto, kde neviete
aká funkcia to je, ale viete, že jej
derivácia by mala byť x^2
a podľa tohto spätne zistiť, o akú
funkciu ide.  A toto tam a naspäť
medzi integrálmi a deriváciami, kde
derivácia funkcie pre oblasť
pod grafom vám dá nejakú funkciu,
ktorá definuje samotný graf, sa nazýva
Základná teória calculusu.
Spája dokopy dve veľké
myšlienky integrálov a derivácií a
ukazuje, ako v určitom zmysle sú
inverziou navzájom.
Všetko toto je len letmý pohľad
na problematiku na niektoré z hlavných ideí,
A to, čo nasleduje
v ďalších videách sú detaily
pre derivácie a integrály a ešte viac.
V každej chvíli chcem aby ste sa cítili,
že práve vy ste mohli vymyslieť tieto myšlienky.

English: 
That if you drew the right pictures and
played with each idea in just the right
way, these formulas and rules and
constructs that are presented could have
just as easily popped out naturally from
your own explorations, and before you go
it would feel wrong not to give the
people who supported this series on
Patreon a well-deserved thanks both for
their financial backing as well as for
the suggestions they gave while the
series was being developed.
You see supporters got early access to
the videos as I made them, and they'll
continue to get early access for future
essence of type series and as a thanks
to the community
I keep ads off of new videos for their
first month. I'm still astounded that I
can spend time working on videos like
these, and in a very direct way you are
the one to thank for that.

German: 
Dass, wenn du die richtigen Bilder zeichnetest und mit jeder Idee genau richtig herumgespielt hättest,
diese Formeln, Regeln und Konstrukte, die vorgestellt werden, hätten auch einfach natürlich,
aus deinen eigenen Erforschungen, entstehen können
Bevor du gehst würde es sich falsch anfühlen, mich bei de Leuten, die diese Reihe auf Patreon unterstützen
nicht zu bedanken, zum einen für ihren finanziellen Rückhalt,
zum anderen für die Vorschläge, die sie mir während der Entwicklung der Reihe gegeben haben.
Du musst wissen, dass die Unterstützer frühen Zugang zu den Videos bekommen haben,
während ich sie noch gemacht habe, und sie werden weiterhin frühen Zugang
für zukünftige 'Essenz der ...' - Reihen bekommen.
Und als Dank an die Community schalte ich keine Werbung auf neue Videos für den ersten Monat.
Ich bin immer noch verblüfft, dass ich meine Zeit dazu verwenden kann, solche Videos zu erstellen,
und ich einer sehr direkten Weise, seid ihr diejenigen, denen man danken muss.
Danke fürs Zuschauen!
Untertitel von Niklas Aggelidis

Italian: 
Che se disegni le giuste immagini e
giochi con ogni idea nel modo giusto
queste formule, regole e
costrutti che sono presentati potrebbero
facilmente essere saltati fuori naturalmente dalla
tua personale esplorazione, e prima che tu vada
sarebbe sbagliato non dare alle
persone che hanno supportato queste serie su
Patreon un meritato grazie, sia per il
loro supporto finanziario e i
suggerimenti che hanno dati mentre
la serie è stata sviluppata.
Supporters ottengono un accesso prioritario ai
video mentre li faccio e
continueranno ad averlo per future serie
sull'essenza e come grazie
alla comunità
terrò la pubblicità disabilitata sui nuovi video per il loro
primo mese. Sono ancora stupito di
poter spendere tempo lavorando su video come questi
e in modo molto diretto voi siete quelli
da ringraziare per questo.

Turkish: 
Doğru resimleri çizerseniz ve her bir fikir üzerine doğru şekilde düşünürseniz
Size sunulmuş olan tüm bu formüller,
kurallar,
ve yapılar
kendi soruşturmanızın bir eseri olarak kendiğinden kafanızda belirmeye başlayacak.
Ayrılmadan önce, bu video serisini patreon üzerinden desteklemiş kişileri paylaşmamak
hatalı hissettirirdi.
Seri gelişim aşamasındayken sağladıkları finansal ve fikirsel desteklerinden dolayı hepsine en içten teşekkürlerimi sunuyorum.
Destekçilerime, teşekkür niyetine videolarıma erken erişim sağladığımı ve sağlayacak olacağımı görüyorsunuz.
İlk ayları için onlara reklamları kapalı tutuyorum.
Hala bunun gibi videolar üzerinde vakit harcayabildiğime hayret ediyorum.
Ve bunun için teşekkürü hak eden kişiler de doğrudan sizlersiniz.

Spanish: 
Que ,si tu dibujaste las imágenes correctas
y jugaste con cada idea en la manera correcta , estas  reglas
y construcciones que están representadas podrían
haber saltado a la vista naturalmente por tu propia exploración
y antes de que te vayas, me sentiría mal al no anunciar a las personas que apoyaron
estas serie de videos  en peatron , un bien merecido gracias  , tanto paro los
que financiaron  y los que sugirieron
que la serie de videos fuera desarrollada
Veras que los financiadores tiene acceso  anticipado
a los videos  como los hago, continuamente
 
 
 
 
 
 

Portuguese: 
Que se você enxergar a figura maior, e brincar com as ideias da maneira certa
Estas fórmulas, regras e construções que são apresentadas
Poderiam ter surgido tão naturalmente quanto vindo das suas  próprias explorações
E antes que você se vá, não seria certo não agradecer merecidamente as pessoas que apoiaram a série no patreon
Tanto pela ajuda financeira quando pelas sugestões que deram enquanto a série estava sendo desenvolvida
Os apoiadores receberam esse vídeo antes, na medida em que eu os fazia
E continuação a receber para vídeos desse tipo de série
E como agradecimento a comunidade, eu deixo os vídeos sem propaganda pelo primeiro mês
Ainda fico chocado que posso passar tempo trabalhando em vídeos como este
E de uma maneira bem direta,
É a você que tenho que agradecer por isso

Swedish: 
Att om du ritat de rätta figurerna och
lekt med varje idé på precis rätt sätt hade dessa formler och regler och  konstruktioner som presenteras
lika gärna kommit naturligt fram från dina egna utforskningar.
Och innan du går skulle det kännas fel att inte ge de personer som stödjt denna serie
på Patreon ett välförtjänt tack både för
deras finansiella support som för
förslagen som de gav då
serien höll på att utvecklas.
Supporters fick tidig tillgång till videorna då jag gjorde dem och de kommer
fortsätta få tidig tillgång till framtida
"Kärnan av"-typen av serier och som ett tack
till gruppen håller jag reklam borta från nya videos den första månaden.
Jag är fortfarande häpen över att jag
kan spendera tid med att arbeta på videos som
de här och på ett väldigt direkt sätt är du att tacka för det.

Chinese: 
如果你畫出正確的圖像和
並發揮每個想法正確的方法
這些方法公式和規則
所有的公式都可以
很容易從你自己的一些探索中
自然地得出，而在你走前
不給Patreon支持這一系列的人們，
他們的財政支持以及為
他們同時系列正在開發時所提出建議
相當值得的感謝
這都會感到對不起的。
你們知道支持人提早看到
我為他們做的視頻為并且他們會
繼續提早看到未來的精華類型
的系列。而對社會作爲一種感謝在
我在新的視頻發出第一個月中
沒加廣告，我仍然感到震驚的是我
仍然可以把時間花在像這樣的視頻製作
而用一種很直接的方式你們是
對此要感謝的。

iw: 
אם תציירו את התמונות הנכונות
ותשחקו עם הרעיונות בצורה הנכונה
הנוסחאות, החוקים והמבנים שמוצגים כאן
היו פשוט פרי מחקרכם האישי בלבד
 
 
לפני סיום, אשמח להודות
לאנשים שתמכו בסדרה בעזרת patreon
לתרומה הכלכלית
וגם להצעות הרבות שנתנו במהלך פיתוח הסדרה
 
 
התומכים זכו בהצצה מוקדמת לסרטונים, בזמן שהכנתי אותם
וימשיכו לקבל הצצות מוקדמות כשיהיו עוד סדרות של "החשיבות של..."
 
 
כמחווה לקהילה,
אני מסיר הודעות מסרטונים חדשים למשך חודש
 
אני נדהם עדיין, שיש לי זמן לעבוד על סרטונים כאלה
ואני רוצה להודות לכם על כך
מקווה שנהניתם מהתרגום :)

Russian: 
Если вы представите правильные образы и
поиграетесь с каждой идеей правильным
образом, эти формулы, правила и
конструкты что представленны, могут
просто сами всплыть
из ваших собственных размышлений. И прежде чем вы уйдете
это будет неправильным не дать
людям, поддержавшим эту серию
на Patreon, заслуженное спасибо. Как за их
финансовую поддержку, так и за
предложения которые они дали во время
создания этих выпусков.
Оказавшие поддержку имеют ранний доступ к
видео сразу как я их создаю и они
продолжат получать ранний доступ к будущим
"Суть ...".
И, благодаря сообществу,
я не включаю рекламу для новых видео в течении
их первого месяца. Я все еще изумлен тем,
что могу тратить время на такие видео,
и в прямом смысле вы
один из тех кого за это можно поблагодарить.

Chinese: 
如果你畫出正確的圖像並且正確地運用各個點子
這些潛在的公式、法則、結構
或許就會從你的探索中自然地浮現出來
在你離開之前，不妨給這些在Patreon上
支持這個系列的人們一個應得的道謝
他們在這系列的發展過程中
提供了財務協助以及對內容的建議
支持者們可以提早看到這些影片
他們將來也能提早看到其他精華系列的影片
作為對這個社群的道謝
在新影片發布的第一個月將不會有任何廣告
我很驚嘆我可以把時間花在這些影片上
而這所有的一切都要歸功於你們

French: 
Que si tu t'imagines les bonnes images et joues avec chaque idée de la bonne manière,
ces idées, et règles, et concepts présentés
pourraient avoir naturellement émergé de tes propres explorations.
Et avant que tu ne partes,
il me semblerait injuste de ne pas donner aux gens qui supportent ces séries sur Patreon un merci bien mérité;
à la fois pour leur soutien financier
mais aussi pour les conseils qu'ils ont apportés lorsque la série étaient en développement.
Tu vois, ils ont un accès anticipé aux vidéos au fil de leur création
et ils continueront de l'avoir pour les futures séries du type "Au cœur de" (Essence of),
et pour remercier la communauté, je désactive les pubs sur les nouvelles vidéos pendant leur premier mois.
Je suis encore impressionné que je puisse passer du temps à travailler sur des vidéos comme celle-ci,
et d'une manière très directe, vous êtes ceux que je dois remercier pour ça.

Modern Greek (1453-): 
Ότι αν είχατε ζωγραφίσει τα κατάλληλα σχέδια και
είχατε παίξει με κάθε ιδέα με τον σωστό τρόπο,
τότε αυτοί οι τύποι και οι κανόνες και
οι δομές που παρουσιάσαμε, θα μπορούσαν
να είχαν προκύψει από φυσικού, από τις δικές
σας εξερευνήσεις. Και πριν φύγετε,
θα ήταν λάθος μου να παραλείψω να δώσω
ένα μεγάλο άξιο ευχαριστώ στους ανθρώπους
που υποστήριξαν αυτήν τη σειρά μέσω του Patreon,
τόσο για τη χρηματοδοτική τους υποστήριξη, αλλά και για
τις προτάσεις που έκαναν, καθώς
αναπτυσσόταν η σειρά.
Βλέπετε, οι υποστηρικτές είχαν νωρίτερα πρόσβαση
στα βίντεο, καθώς τα έφτιαχνα,
και θα συνεχίσουν να έχουν πρόσβαση σε μελλοντικές σειρές
που έχουν εισαγωγικό χαρακτήρα. Και ως ένα ευχαριστώ
προς την κοινότητα,
αφήνω τα νέα βίντεο χωρίς διαφημίσεις για τον πρώτο μήνα.
Είμαι ακόμη κατάπληκτος που
μπορώ να αφιερώνω χρόνο δουλεύοντας σε τέτοια βίντεο.
Και κατά έναν πολύ άμεσο τρόπο, είστε εσείς που θα πρέπει
να ευχαριστήσω για αυτό.

Arabic: 
أنه إذا رسموا اليمنى و
لعبت مع كل فكرة في مجرد الحق
الطريقة هذه الصيغ والقواعد و
بنيات التي يتم تقديمها يمكن أن يكون
فقط برزت بسهولة من طبيعي من
الاستكشافات الخاصة بك، وقبل أن تذهب
من شأنه أن يشعر خطأ عدم إعطاء
الناس الذين دعموا هذه السلسلة على
Patreon بفضل بجدارة على حد سواء ل
الدعم المالي وكذلك ل
الاقتراحات التي قدموها في حين أن
ويجري تطوير سلسلة.
ترى أنصار حصلت على الوصول المبكر إلى
أشرطة الفيديو وأنا جعلت لهم وانهم سوف
الاستمرار في الحصول على الوصول المبكر للمستقبل
جوهر نوع سلسلة ونتيجة لذلك بفضل
للمجتمع
وأظل الإعلانات الخروج من أشرطة الفيديو الجديدة الخاصة بهم
الشهر الأول ما زلت ذهولها أنني
يمكن أن تنفق الوقت في العمل على أشرطة الفيديو مثل
هذه وبطريقة مباشرة جدا أنك
واحد أن أشكر لذلك.

Slovak: 
Že ak by ste načrtli správne obrázky a
hrali by ste sa s každou myšlienkou práve, ako treba,
Tieto vzorce a pravidlá a
konštrukty, tak ako sú prezentované, mohli
jednoducho vypadnúť prirodzene, z
vašich vlastných výskumov. A ešte predtým, než odídete,
Cítil by som sa zle, ak by som nespomenul
ľudí, ktorí podporili túto sériu na
Patreon-e. Veľké vďaka či už ich finančným
podporám alebo aj
nápadom, ktoré mi dávali počas
celej série.
Podporovatelia majú skorý prístup k
videám počas toho, ako ich robím, a
pokračujú, aby mali skorý prístup do budúcnosti,
pre série typu "esencie...". A ako poďakovanie
tejto komunite,
nechávam reklamy na nových videách na
prvý mesiac. A stále som ohromený, že
dokážem obetovať toľko času na tieto videá,
a celkom priamo, vy ste tí, ktorím
za to ďakujem.

Korean: 
만약 여러분이 올바른 그림을 그리고
올바른 방식으로 각각의 아이디어와 놀아본다면
이런 현존하는 공식들과 규칙들 그리고
구조들이 여러분이 스스로 탐구하는 동안
자연스럽게 튀어나올 수 있을 지도
모릅니다.
그리고 끝내기 전에 이 시리즈를 후원해 주신 분들에 대해
이야기하지 않을 수 없겠네요.
Patreon에게 감사의 말씀 드립니다.
시리즈가 만들어질 때
의견을 주셨을 뿐 아니라
재정적인 후원도 해주셨습니다.
제가 영상을 만드는 동안
후원해 주신 분들이 먼저 이 영상을
접하였습니다. 그리고 그분들은 계속해서
앞으로 나올 핵심 유형 시리즈을 먼저 접할 것입니다.
커뮤니티에 대한 고마움으로
저는 처음 한 달 동안(?) 새로운 영상에 대한
광고를 하지 않고 있습니다. 제가 이런
영상을 만드는데 시간을 보낼 수 있다는 것이
아직도 믿기지 않습니다. 이것은 모두 여러분
덕분입니다. 감사합니다.

Polish: 
na to wszystko wpaść, tzn. gdybyś naszkicował
odpowiednie rysunki i dochodził na ich podstawie
do właściwych wniosków,
te twierdzenia, zasady i konstrukcje, które się pojawią
w następnych filmach, same
wynikałyby z twoich rozważań.
Zanim skończę, chciałbym podziękować ludziom, którzy
wspierają tą serię na Patreonie
zarówno finansowo, jak i merytorycznie.
Ci, którzy mnie wsparli, otrzymali dostęp do tych filmów
wcześniej, zaraz po ich stworzeniu i w przyszłości
również będą mogli wcześniej zobaczyć inne filmy
z kolejnych cykli "Esencja ...".
Aby podziękować wam wszystkim,
przez pierwszy miesiąc filmy są bez reklam.
Wciąż nie mogę uwierzyć, że mogę się poświęcić
tworzeniu filmów takich jak ten i to wam
przede wszystkim powinienem za to dziękować.

Italian: 
 

German: 
:)

iw: 
 

Chinese: 
你們

Korean: 
 

Portuguese: 
-coisas clicáveis-

Arabic: 
أنت
