
English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is explore the relationship
between local linearity
at a point and
differentiability at a point.
So local linearity is this
idea that if we zoom in
sufficiently on a point,
that even a non-linear
function that is differentiable
at that point will actually look linear.
So let me show some examples of that.
So let's say we had y
is equal to
x squared.
So that's that there, clearly
a non-linear function.
But we can zoom in on a point,
and if we zoom sufficiently in,
we will see that it looks roughly linear.
So let's say we wanna zoom in
on the point one comma one,
so let's do that.
So zooming in on the point one comma one,
already it is looking
roughly linear at that point.
And this property of local linearity
is very helpful
when trying to approximate
a function around a point.

Czech: 
V tomto videu se podíváme
na vztah mezi tím,
kdy se funkce okolo
bodu zdá být lineární,
a diferencovatelností
funkce v daném bodě.
To, že funkce se okolo bodu
zdá být lineární, znamená,
že když si nějaký bod
dostatečně přiblížíme,
tak i nelineární funkce, která je
v tomto bodě diferencovatelná,
bude vypadat
jako lineární funkce.
Podívejme se na
nějaké příklady.
Řekněme, že máme funkci
y rovná se x na druhou.
Toto je její graf.
Evidentně nejde
o lineární funkci.
Když si ale nějaký bod
dostatečně přiblížíme,
tak uvidíme, že funkce
vypadá jako lineární.
Přibližme si tedy
třeba bod [1; 1].
Jak si čím dál tím víc
přibližujeme bod [1; 1],
vidíme, že funkce se okolo
tohoto bodu zdá být lineární.
To, že funkce okolo bodu
vypadá jako lineární,
je velmi užitečné, když chceme okolo
daného bodu funkci aproximovat.

Korean: 
이번 동영상에선
점에서의 국소적 선형성과
점의 미분가능성의
관계에 대해 알아보겠습니다
국소적 선형성은
어떤 점을 충분히 확대하면
비선형 함수도
그 점에서 미분가능하다면
선형으로 보인다는 것입니다
예제를 보여드리죠
y = x²이 있다고 합시다
y = x²이 있다고 합시다
y = x²이 있다고 합시다
확실히 비선형 함수입니다
하지만 점을 확대하면
충분히 확대했을 때
거의 선형으로 보입니다
(1, 1)을 확대한다고 합시다
해보죠
점 (1, 1)으로 확대 중입니다
벌써 거의 선형으로 보입니다
이 국소적 선형성은
어떤 점 주변의 함수를
어림하는 데 아주 유용합니다
어떤 점 주변의 함수를
어림하는 데 아주 유용합니다

Bulgarian: 
В настоящия урок ще изследваме
връзката между локална линеаризация в точка 
и диференциране в точка.
Локалната линеаризация се базира на идеята,
че ако погледнем 
достатъчно близо една точка,
дори и нелинейна функция, която
е диференцируема в тази точка,
ще изглежда като линейна.
Нека да покажа няколко примера за това.
Нека да кажем, че имаме Y
и е равна на X^2.
Ясно е, че това определено 
не е линейна функция.
Но ако се приближим до дадена точка
достатъчно близо,
ще видим, че изглежда 
приблизително линейна.
Нека да се приближим към точката (1; 1).
Нека го направим.
Приближаваме се към точката (1; 1)
и вече изглежда приблизително
 линейна в тази точка.
Свойството "локална линеаризация" 
е много полезно,
когато се опитваме да апроксимираме 
(определим приблизително) функция около точка.

Bulgarian: 
Например може да намерим
производната в точката (1; 1),
да я използваме като наклон 
(ъглов коефициент) на допирателната.
Да намерим уравнението на допирателната
и да го използваме за намиране
на приблизителни стойности
на функцията около X = 1.
Може да няма нужда да правиш това
за Y = X^2,
но действително може да бъде 
много полезно за по-сложна функция.
Важният извод тук е,
че в точка (1; 1) се наблюдава 
идеята за локална линеаризация,
а и функцията е диференцируема 
в тази точка.
Нека разгледаме друг пример
за точка от функция,
в която функцията не е диференцируема,
и не се наблюдава локална линеаризация.
Например,
нека вземем модул 
(абсолютна стойност) от X,
и нека да преместя това малко,
така че да няма много припокриване.

Czech: 
Mohli bychom například
spočítat derivaci v bodě [1; 1],
což bude
směrnice tečny,
a následně najít
rovnici tečny,
kterou můžeme použít k aproximaci
funkčních hodnot okolo bodu x rovno 1.
Pro funkci jako y rovná se x na druhou
to možná není třeba dělat,
ale u složitějších funkcí
to může být velmi užitečné.
Hlavní je ale to,
že funkce okolo bodu [1; 1]
vypadá jako lineární
a navíc je v tomto
bodě diferencovatelná.
Teď si ukažme příklad bodu,
ve kterém funkce není diferencovatelná
a okolo něhož funkce
nevypadá jako lineární.
Uvažme například funkci
absolutní hodnota z ‚x‘.
Ještě ji trochu posunu, aby se mi to
tolik nekrylo s předchozím grafem.

English: 
So for example, we could figure out,
we could take the derivative
at the point one one,
use that as the slope of our tangent line,
find the equation of the tangent line,
and use that equation
to approximate values
of our function around
x equals one.
And you might not need to do that
for y is equal to x squared,
but it could actually be very very useful
for a more complex function.
But the big takeaway here,
at the point one one,
it is displaying this
idea of local linearity,
and it is also
differentiable at that point.
Now let's look at another example
of a point on a function
where we aren't differentiable,
and we also don't see the local linearity.
So for example,
let's do the
absolute value of x,
and let me shift it over a little bit
just so that we don't overlap as much.

Korean: 
만약 점 (1,1)에서 미분하면
만약 점 (1,1)에서 미분하면
그것으로 접선의
기울기를 구하고
접선의 방정식을 구해
함수에서 x = 1 주변 값을
어림할 수 있습니다
함수에서 x = 1 주변 값을
어림할 수 있습니다
함수에서 x = 1 주변 값을
어림할 수 있습니다
y = x²에는 필요 없을 수 있지만
y = x²에는 필요 없을 수 있지만
복잡한 함수에는
아주 도움이 될 수 있습니다
복잡한 함수에는
아주 도움이 될 수 있습니다
여기서 가져갈 요점은
점 (1, 1)에서
국소적 선형성을
볼 수 있다는 것과
그 점에서 미분이 
가능하다는 뜻입니다
다른 예제에서
함수 위 점이
미분가능하지 않고
국소적 선형성도
없는 것을 확인해 봅시다
예를 들어
x의 절대값을 봅시다
x의 절대값을 봅시다
너무 겹치지 않도록
옮기겠습니다
너무 겹치지 않도록
옮기겠습니다

Korean: 
좋습니다 abs(x - 1)입니다
이건 이 구석에만 있지 않으면
미분가능합니다
이건 이 구석에만 있지 않으면
미분가능합니다
점 (1, 0)에만 있지 않다면요
모든 다른 x 값에서는
미분가능합니다
하지만 x = 1일 때
다른 동영상에서
왜 미분가능하지 않은지 알아보았습니다
이를 국소적 선형성을 이용해
확인할 수도 있습니다
이를 국소적 선형성을 이용해
확인할 수도 있습니다
이건 완벽히 수학적이지는 않지만
직관을 주기 위함입니다
확대를 얼마나 하더라도
계속 뾰족한 모서리가 있습니다
점 (1, 0)을 지나는
유일한 접선을 만들기 어렵겠죠
점 (1, 0)을 지나는
유일한 접선을 만들기 어렵겠죠
나머지 곡선을 지나지 않는
(1, 0)을 지나는 무한한 개수의
선을 만들 수는 있습니다
(1, 0)을 지나는 무한한 개수의
선을 만들 수는 있습니다
이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼
뾰족한 모서리를 보면
이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼
뾰족한 모서리를 보면
이 절대값 함수의 점 (1,0)처럼
뾰족한 모서리를 보면
미분가능하지 않다는
꽤 정확한 표시입니다
미분가능하지 않다는
꽤 정확한 표시입니다

English: 
Alright, so the absolute
value of x minus one.
It actually is differentiable
as long as we're not at
this corner right over here,
as long as we're not at
the point one comma zero.
For any other x value,
it is differentiable,
but right at x equals one,
we've talked in other videos
how we aren't differentiable there.
And then we can use this
local linearity idea
to test it as well.
And once again, this is
not rigorous mathematics,
but it is to give you an intuition.
No matter how far we zoom in,
we still see this sharp corner.
It would be hard to construct
the only tangent line,
a unique line, that goes through
this point one comma zero.
I can construct an actual
infinite number of lines
that go through one comma zero
but that do not go through
the rest of the curve.
And so notice,
wherever you see a hard
corner like we're seeing
at one comma zero in this
absolute value function,
that's a pretty good indication
that we are not going to be differentiable

Bulgarian: 
Вземаме модул от X – 1.
Всъщност функцията е диференцируема,
когато не се намираме 
в този ъгъл ето тук,
т.е. когато не сме в точката (1; 0).
За всяка друга стойност на X
функцията е диференцируема,
но точно в точката X = 1,
обсъждали сме го и в други уроци,
функцията не е диференцируема.
Тогава може да използваме 
локалната линеаризация,
за да я тестваме.
Припомням, че това не е 
строга математика,
а служи да развиеш усета си.
Без значение колко близо се
 приближаваме,
все още виждаме този остър ъгъл.
Ще е много трудно 
да построим една допирателна тук,
която да е единствена 
и да минава през точката (1; 0).
Действително мога да построя 
безкраен брой прави,
които минават през (1; 0),
но това не се отнася
за останалата част от кривата.
Забележи, че
където и да видиш ясно очертан ъгъл 
като този, който виждаме
в (1; 0), в тази модулна функция,
това е добър индикатор,

Czech: 
Funkce absolutní hodnota z (x minus 1) je
diferencovatelná všude kromě této špičky,
tedy všude
kromě bodu [1; 0].
Pro všechna ostatní x
jde o diferencovatelnou funkci,
ale už jsme si dříve ukázali, že přímo
v bodě x rovno 1 není diferencovatelná.
Můžeme se také podívat, zda okolo
tohoto bodu funkce vypadá jako lineární.
Nedělám tu žádný
formální důkaz,
spíše chci, abyste
získali nějakou intuici.
Ať už se přiblížíme
jak moc chceme,
pořád vidíme tuto
ostrou špičku.
Bylo by velmi obtížné najít jedinečnou
tečnu procházející bodem [1; 0].
Dokážeme totiž sestrojit dokonce
nekonečně mnoho přímek,
které prochází bodem [1; 0]
a jinde už graf neprotínají.
Zapamatujte si, že kdykoliv
vidíte ostrou špičku,
jako to vidíme u této
absolutní hodnoty v bodě [1; 0],

English: 
at that point.
Now let's zoom out a little bit,
and let's take another function.
Let's take a function where
the differentiability or the
lack of differentiability
is not because of a corner,
but it's because as we zoom in,
it starts to look linear,
but it starts to look
like a vertical line.
So a good example of that would be
square root of
let's say
four minus x squared.
So that's the top half of
a circle of radius two.
And let's focus on the
point two comma zero.
Because right over there,
we actually are not differentiable,
and if we zoom in far enough,
we see right at two comma zero
that we are approaching
what looks like a vertical line.
So once again,
we would not be differentiable
at two comma zero.
Now another thing I wanna point out,
all of these, you really
didn't have to zoom in too much

Korean: 
미분가능하지 않다는
꽤 정확한 표시입니다
이제 축소해서
다른 함수를 봅시다
이 함수는
미분가능하지 않은 이유가
모서리 때문이 아니라
확대했을 때
선형으로 보이긴 하지만
수직선이 보이기 때문입니다
좋은 예는 √(4 - x²)입니다
좋은 예는 √(4 - x²)입니다
좋은 예는 √(4 - x²)입니다
좋은 예는 √(4 - x²)입니다
이건 반지름이 2인 원의
윗 부분입니다
점 (2,0)에 집중해 봅시다
이 점에서 미분가능하지
않기 때문입니다
이 점에서 미분가능하지
않기 때문입니다
충분히 확대해보면
(2, 0)에서
수직선에 가까워집니다
수직선에 가까워집니다
따라서 (2, 0)에서는
미분가능하지 않습니다
따라서 (2, 0)에서는
미분가능하지 않습니다
또한 생각해 볼 점은
절대값 함수에서는
모서리가 있는지

Bulgarian: 
че функцията не е диференцируема в тази точка.
Нека се отдалечим малко 
и да вземем друга функция.
Нека вземем функция, където
диференцируемостта ѝ не зависи 
от наличието на ъгъл.
Нека да е такава, че 
когато се приближим,
започва да прилича на линейна,
но прилича и на вертикална линия.
Добър пример за това ще бъде
квадратен корен от...
да кажем от ( 4 - X^2).
Това е горната половина 
на окръжност с радиус две.
Нека да се фокусираме
върху точката (2; 0).
Защото точно там 
функцията не е диференцируема
и ако се приближим достатъчно,
ще видим, че точно в (2; 0) това,
към което приближаваме,
изглежда като вертикална линия.
Още веднъж,
функцията не е диференцируема в (2; 0).
Друго нещо, което искам 
да отбележа, е,
че за функциите дотук, не е необходимо
да се приближаваш толкова много,

Czech: 
tak to je dobrý ukazatel toho, že funkce
v daném bodě není diferencovatelná.
Teď si to zase oddalme
a podívejme se na další funkci.
Podívejme se na funkci,
která není diferencovatelná,
ale ne proto, že by
měla ostrou špičku,
ale proto, že když si
přiblížíme její graf,
tak sice vypadá jako lineární,
ale jako svislá přímka.
Dobrým příkladem je funkce druhá odmocnina
z řekněme (4 minus (x na druhou)).
Jde o horní polovinu
kružnice s poloměrem 2.
Zaměřme se
na bod [2; 0],
protože funkce v tomto
bodě není diferencovatelná,
a když si graf
dostatečně přiblížíme,
tak vidíme, že graf funkce okolo
bodu [2; 0] vypadá jako svislá přímka.
Funkce tak v bodě [2; 0]
není diferencovatelná.
Rád bych
teď zmínil,
že u žádné z těchto funkcí
nebylo třeba velkého přiblížení,

English: 
to appreciate that hey I got a corner here
on this absolute value function,
or at two comma zero, or
at negative two comma zero,
something a little bit
stranger than normal
is happening there, so maybe
I'm not differentiable.
But there are some functions
that we don't see as typically
in a algebra or precalculus
or calculus class,
but it can look like a hard corner
from a zoomed out perspective,
but as we zoom in once again
we'll see the local linearity,
and they are also
differentiable at those points.
So a good example of that,
let me actually get rid of some of these
just so that we can really zoom in.
Let's say y is equal to x
to the, and I'm gonna make
a very large exponent here,
so x to the 10th power.
It's starting to look at
little bit like a corner there.
Let's make it to the 100th power.
Well now it's looking even
more like a corner there.
Let me go to the 1,000th
power just for good measure.
So at this scale,
it looks like we have
a corner at the point
one comma zero.

Korean: 
확대할 필요가
크게 없었습니다
확대할 필요가
크게 없었습니다
또 (2, 0)이나 (-2, 0)에서는
무언가 이상한 일이 있으니
미분가능하지 않다고
생각할 수 있습니다
히자만 대수학, 미적분학에서
잘 보지 않는 함수 중에
히자만 대수학, 미적분학에서
잘 보지 않는 함수 중에
확대하지 않았을 땐
모서리 처럼 보이지만
확대하지 않았을 땐
모서리 처럼 보이지만
확대하면 국소적 선형성을
확인할 수 있는 경우가 있습니다
그리고 그 점에서
미분가능하기도 하고요
좋은 예는
이걸 좀 지워서
많이 확대해 봅시다
y는
아주 큰 지수를 만들어서
x^10이라 하겠습니다
여기가 약간 모서리같네요
100까지 가보겠습니다
이제 더 모서리 같아졌습니다
1000의 제곱까지 가보겠습니다
이정도에서는
(1, 0)에 모서리가
있는 것 같아보입니다
(1, 0)에 모서리가
있는 것 같아보입니다

Czech: 
abychom viděli, že naše funkce s
absolutní hodnotou má špičku,
nebo že v bodě [2; 0] či [−2; 0]
se děje něco nezvyklého,
takže zde funkce nejspíš
nebude diferencovatelná.
Existují ale
i funkce,
se kterými se v hodinách algebry nebo
diferenciálního počtu běžně nesetkáme
a které při pohledu z dálky
vypadají, že mají ostrý roh,
ale když si jejich graf přiblížíme, tak
uvidíme, že vypadá jako lineární funkce,
a navíc bude tato funkce
v daném bodě diferencovatelná.
Dobrým příkladem
takové funkce je...
Dám si tyhle funkce pryč, ať se mi
tu nepletou při přibližování grafu.
Řekněme, že
y se rovná x na...
Vyberu nějaký
velký exponent.
...x na desátou.
Už to trochu vypadá,
že graf funkce má dole ostrý roh.
Zkusme x na stou.
Teď už to opravdu dole
vypadá jako ostrý roh.
Zkusme rovnou
x na tisícou.
Při tomto přiblížení to vypadá,
že v bodě [1; 0] má funkce ostrý roh.

Bulgarian: 
за да оцениш, че на функцията с
абсолютна стойност има ъгъл или, 
че в (2; 0) или (–2; 0)
се случва нещо по-странно
от нормалното,
така че може би функциите
не са диференцируеми в тези точки.
Но има функции, които 
нормално не виждаме
в алгебрата или математическия анализ,
при които това, което може да изглежда като ясно очертан ъгъл,
когато се приближим,
но когато увеличим приближението,
ще видим локалната линеаризация.
Те също са и диференцируеми в тези точки.
Добър пример за това,
нека всъщност да премахна някои от тези графики,
за да можем да наистина да се приближим.
Нека да кажем, че имаме
X на много висока степен,
например X^10.
Ето тук започва да изглежда като ъгъл.
Нека да го направя на степен 100.
Е, сега прилича дори повече 
на ъгъл тук.
Нека да го сложа на степен 1000,
просто за сравнение.
В този мащаб
изглежда сякаш имаме ъгъл 
в точката (1; 0).

English: 
Now this curve actually
does not go to the point
one comma zero.
If x is one,
then y is going to be one,
and we'll see that as we zoom in,
this what looks like a hard corner
is going to soften.
And that's good because this function
is actually differentiable
at every value of x.
It's a little bit more exotic
that what we typically see,
but as we zoom in,
we'll actually see that.
Let's just zoom in on what looks like
a fairly hard corner,
but if we zoom sufficiently enough,
even at the part that
looks like the hardest part
of the corner,
the real corner, we'll see
that it starts to soften
and it curves.
And if we zoom in sufficiently,
it will actually look like a line.
It's hard to believe when
you're really zoomed out,
and I'm going at the point that
really looked like a corner
from a distance.
But as we zoom on in,
we see once again this local linearity
that's a non-vertical line.
And so once again, this is true
at any point on this curve,
that we are going to be differentiable.

Czech: 
Tato křivka však ve skutečnosti
bodem [1; 0] neprochází.
Když je totiž x rovno 1,
y se rovná 1.
Pokud si to nyní přiblížíme,
tak uvidíme,
že to, co vypadá
jako ostrý roh, se zakřiví,
což je dobře, protože tato funkce
je diferencovatelná pro všechna x.
Jde sice o trochu exotičtější
funkci, než na jaké jsme zvyklí,
ale když si to přiblížíme,
tak to dobře uvidíme.
Přibližme si tento na
první pohled ostrý roh.
Když si to dostatečně
hodně přiblížíme,
tak uvidíme, že náš ostrý
roh se začíná zakřivovat.
Když si to dostatečně přiblížíme,
tak bude graf vypadat jako přímka.
Těžko se tomu věří,
když se díváme z dálky.
Přibližuji si teď ten bod,
který z dálky vypadal jako ostrý roh.
Když si však tento
bod přiblížíme,
tak vidíme, že funkce se
okolo něj zdá být lineární.
Graf vypadá jako
nějaká nesvislá přímka.
Toto platí pro
každý bod na křivce,
takže funkce je
všude diferencovatelná.

Bulgarian: 
Сега тази крива действително
не достига до точката (1; 0).
Ако X = 1, то Y = 1.
И ще видим, че когато се приближим
това, което изглежда като
ясно очертан ъгъл,
ще стане по-гладък.
И това е добре, защото тази функция
действително е диференцируема
за всяка стойност X.
Тя е малко по-странна,
отколкото сме свикнали да виждаме,
но като се приближим,
всъщност ще го видим.
Нека просто се приближим към това,
което прилича на ясно очертан ъгъл.
Ако се приближим достатъчно близо ще видим,
че дори и тази част, която прилича 
на най-острата част от ъгъл,
истинският ъгъл, започва да се заобля
и да прилича на крива.
И ако се приближим още, ще видим, че 
всъщност прилича на права.
Трудно е да повярваш, че когато 
се отдалечим от кривата,
мога да избера точка, от която това
наистина ще прилича на ъгъл от разстояние.
Но, когато се приближаваме
виждаме още веднъж 
тази локална линеаризация и
че това не е вертикална крива.
И още веднъж, за всяка точка
от кривата е вярно,
че е диференцируема.

Korean: 
이 곡선은 사실
(1, 0)을 지나지 않습니다
이 곡선은 사실
(1, 0)을 지나지 않습니다
만약 x가 1이면
y는 1입니다
확대하다 보면
뾰족한 모서리 같은 것이
부드러워질 것입니다
그래야 합니다
이 함수는 모든 x에서
미분가능하기 때문입니다
평소에 보는 것보다는
생소하지만
평소에 보는 것보다는
생소하지만
확대하면 볼 수 있습니다
꽤 뾰족한 모서리를
확대해 봅시다
꽤 뾰족한 모서리를
확대해 봅시다
충분히 확대하면
뾰족해 보였던 곳도
뾰족해 보였던 곳도
부드러워지면서 곡선이 됩니다
부드러워지면서 곡선이 됩니다
충분히 확대하면
선처럼 보입니다
축소해서 보았을 땐
믿기 힘들었죠
지금 멀리서 보았을 때
모서리 같았던 곳을 확대중입니다
지금 멀리서 보았을 때
모서리 같았던 곳을 확대중입니다
하지만 확대하면서
국소적 선형성을 확인할 수 있고
수직선도 아닙니다
미분가능하다는 것은 이 곡선
어디에서나 사실입니다
미분가능하다는 것은 이 곡선
어디에서나 사실입니다

Bulgarian: 
Същността тук, е,
че може да се наложи 
да се приближиш много.
Приложението Desmos,
което използвам сега,
е много полезно в случая.
Това не е строга математика,
но служи, за да ти даде 
интуитивно усещане,
че ако се приближиш достатъчно,
започваш да виждаш кривата 
все повече и повече като права.
Това е добър показател за 
диференцируемост.
Ако продължаваш да се приближаваш
и все още изглежда като ясно очертан ъгъл,
или ако се приближаваш и изглежда, че
допирателната може да е вертикална,
тогава следва да си зададеш 
някои въпроси.

Korean: 
여기서의 요점은
가끔 많이 확대해야 할 때가 있는데
제가 지금 사용하는
Desmos 같은 도구가
그럴때 유용합니다
이건 완벽히 수학적이진 않지만
직관적으로
충분히 확대했을 때
직관적으로
충분히 확대했을 때
곡선이 선처럼 보이면
곡선이 선처럼 보이면
미분가능할 가능성이
높다는 것을 보여줍니다
계속 확대해서
뾰족한 모서리 같거나
확대했는데
접선이 수직선이면
조금 더 생각해 보아야 합니다

Czech: 
Hlavní myšlenkou tedy je, že
občas si graf musíte hodně přiblížit,
k čemuž se pomůcky jako Desmos,
který teď používám, velmi hodí.
Nejde o žádný
formální důkaz,
ale chci, aby vám
bylo intuitivně jasné,
že když si graf funkce
dostatečně přiblížíme a uvidíme,
že vypadá víc
a víc jako přímka,
tak je to dobrý ukazatel toho,
že funkce je diferencovatelná.
Pokud si graf budete přibližovat
a pořád uvidíte ostrý roh
nebo pokud to po přiblížení vypadá,
že tečna ke grafu je svislá,
tak byste o diferencovatelnosti
měli mít jisté pochyby.

English: 
So the whole point here is,
sometimes you might have to zoom in a lot,
a tool like Desmos which
I'm using right now
is very helpful for doing that.
And this isn't rigorous mathematics,
but it's to give you an intuitive sense
that if you zoom in sufficiently,
and you start to see a
curve looking more and more
like a line,
good indication that
you are differentiable.
If you keep zooming in and it still looks
like a hard corner,
of if you zoom in and it looks like
the tangent might be vertical,
well then some questions
should arise in your brain.
