
Czech: 
Netrvá dlouho uvědomit si,
že s vyššími mocninami
dvojčlenů to může být dost složité,
ale podívejme se na pár
případů, abychom zjistili,
jak moc rychle se ta složitost zvětšuje.
Když vezmeme dvojčlen (a plus b),
je to dvojčlen, protože to má dva členy,
vezměme to umocněné na nultou.
Cokoliv nenulového umocněného
na nultou je rovno 1.
To nebylo tak špatné.
A teď co (a plus b) umocněno na prvou?
To bude jen (a plus b).
A co (a plus b) umocněno na druhou?
Takže teď, pokud jste neprocvičovali
umocňování dvojčlenu,
budete možná chtít říct,
že to je (a na druhou) plus (b na druhou),
ale to je špatně.
Jestli byste tohle napsali,
měli byste se plácnout přes ruce
nebo přes mozek nebo tak něco.
(a plus b) na druhou není
(a na druhou) plus (b na druhou).

German: 
Es dauert nicht lange, bis du bemerkst,
dass immer höhere Potenzen von
Binomen umständlich werden können,
aber lass uns ein paar durchrechnen,
um zu sehen, wie schnell sie umständlich werden.
Zum Beispiel das Binom a + b.
Es ist ein Binom, da es aus zwei Termen besteht.
Wir nehmen es hoch Null.
Jeder Wert der nicht Null ist, 
und hoch Null genommen wird,
ergibt einfach nur 1.
Das war einfach.
Wie sieht es mit (a + b)¹ aus?
Das ergibt a + b.
Was ist mit (a + b)²?
Wenn du das Potenzieren
von Binomen nicht geübt hast,
sagst du jetzt vielleicht: a² + b².
Aber das stimmt nicht.
Falls du dachtest, dass das stimmt,
solltest du das Potenzieren von
Binomen definitiv wiederholen.
(a + b)² ≠ a² + b².

English: 
Voiceover:It doesn't take long to realize
that taking higher and
higher powers of binomials
can get painful,
but let's just work through a few
just to realize how
quickly they get painful.
If we take the binomial a plus b,
it's a binomial because it
has two terms right over here,
let's take that to the 0 power.
Anything that's non-zero to the 0 power,
that's just going to be equal to 1.
That wasn't too bad.
Now what about a plus b to the 1st power?
That's just going to be a plus b.
Now what about a plus b squared?
Now, if you haven't been practicing
taking powers of binomials,
you might have been tempted to say
a squared plus b squared,
but that would be incorrect.
If you did that, you should give yourself
a very gentle but not overly discouraging
slap on the wrist or
the brain or something.
a plus b squared is not
a squared plus b squared.

Bulgarian: 
Не е нужно дълго време, за да осъзнаем,
че повдигането на двучлени на все по-големи и по-големи степени
може да стане мъчително,
но нека просто решим няколко,
за да осъзнаем колко бързо може да стане мъчително.
Ако вземем двучлена а + b –
това е двучлен, понеже има два члена,
така че нека повдигнем това на степен 0.
Всичко, което не е 0, на степен 0
просто ще е равно на 1.
Това не беше толкова зле.
А какво да кажем за (а + b) на първа степен?
Това ще е просто (а + b).
А какво да кажем за (а + b) на квадрат?
Ако нямаш практика с
повдигане на двучлени на степен,
може да ти се иска да кажеш,
че това е а^2 + b^2,
но това би било грешно.
Ако направи това, трябва много леко,
но не прекалено обезкуражаващо
да се плеснеш през китката (или през мозъка :)).
(а + b)^2 не е а^2 + b^2.

Thai: 
เราใช้เวลาไม่นานนักที่จะสังเกต
ว่าการยกกำลังทวินามสูงขึ้น สูงขึ้นเรื่อยๆ
นั้นเป็นเรื่องลำบาก
แต่ลองทำสักหน่อย
เพื่อให้รู้ว่ามันลำบากขึ้นได้รวดเร็วแค่ไหน
ถ้าเรานำทวินาม a บวก b มา
มันเป็นทวินามเพราะมันมีเทอมสองเทอมตรงนี้
ลองยกกำลัง 0 กัน
อะไรก็ตามที่ยกกำลัง 0
มันจะเท่ากับ 1
อันนั้นไม่แย่นัก
ทีนี้ a บวก b ยกกำลัง 1 ล่ะ?
มันจะเท่ากับ a บวก b
ทีนี้ a บวก b กำลัง 2 ล่ะ?
ทีนี้ ถ้าคุณยังไม่ได้ฝึก
การยกกำลังทวินาม
คุณอาจอยากบอกว่า
มันคือ a กำลังสองบวก b กำลังสอง
แต่มันไม่ถูก
ถ้าคุณทำอย่างนั้น คุณควร
ตีมือหรือตบหัวตัวเองเบาๆ
เพื่อเตือนตัวเองสักอย่าง
a บวก b กำลังสอง ไม่เท่ากับ 
a กำลังสองบวก b กำลังสอง

Korean: 
이항의 지수가 커지면 커질수록 계산이 힘들어지는 것은 쉽게 알 수 있습니다
이항의 지수가 증가함에 따라 계산이 얼마나 복잡해지는지
알아보기 위해 몇 가지를 시도해 보죠
A 더하기B 의 경우 항이 두 개이기 때문에 2항이 됩니다
여기에 0승을 해 보죠
0이 아닌 수를 0승하면 1이 되겠죠
여기까진 쉽네요
그러면 (a 더하기 b) 의 1승은 어떨까요?
그대로 a +b가 나오겠네요
자 그러면 (a+b)의 제곱으로 넘어가보죠
해 보지 않으신 분들은 a제곱 + b제곱 으로 답하실 수도 있어요
하지만 그렇게 풀면 안됩니다
만약 이렇게 푸신 분이 있다면 손목이나 뇌를 가볍게 때려 주세요

German: 
Es ist (a + b) ⋅ (a + b).
Wenn du das ausmultiplizierst,
rechnest du a ⋅ a, was a² ergibt,
+ a ⋅ b, was ab ergibt,
+ b ⋅ a, wodurch du noch ein ab erhältst,
+ b ⋅ b, was b² ergibt.
Da du zweimal ab hast, kannst du sie addieren,
also ergibt es a² + 2ab + b².
Jetzt wird es interessant.
Was ergibt (a + b)³?
Pausiere das Video und versuche,
die Aufgabe selbst zu lösen.
Wir wissen, dass (a + b)³
einfach nur (a + b) ² ⋅ (a + b) ist.
Also multiplizieren wir das einfach mit a + b,
um das Ergebnis zu erhalten.
Wir multiplizieren es mit a + b.

English: 
It is a plus b times a plus b.
Then if you do this, it will be a times a,
which is a squared,
plus a times b, which is ab,
plus b times a, which is another ab,
plus b times b, which is b squared.
You have two ab's here, so
you could add them together,
so it's equal to a squared
plus 2ab plus b squared.
Now things are going to get a
little bit more interesting.
What is a plus b to the 3rd
power going to be equal to?
I encourage you to pause this video
and try to figure that out on your own.
Well, we know that a
plus b to the 3rd power
is just a plus b to the 2nd
power times another a plus b.
Let's just multiply this times a plus b
to figure out what it is.
I'll do this.
Let's see.
Let's multiply that times a plus b.
I'm just going to multiply it this way.
First, I'll multiply b
times all of these things.

Bulgarian: 
Това е (a + b)(a + b).
После, ако направиш това, то ще е а по а,
което е а^2,
плюс а по b, което е ab,
плюс b по a, което е още едно ab,
плюс b по b, което е b^2.
Ще имаш 2 пъти ab, така че можеш да ги събереш,
тоест това е равно на а^2 + 2ab + b^2.
Сега нещата ще станат малко по-интересни.
На колко ще е равно (а + b)^3?
Окуражавам те да спреш видеото на пауза
и да опиташ да решиш това самостоятелно.
Знаем, че (а + b)^3
е просто (а + b)^2 по (а + b).
Нека умножим това по (а + b),
за да намерим на колко ще е равно.
Да видим.
Нека умножим това по (а + b).
Ще го умножа по този начин.
Първо ще умножа b по всички тези неща.

Thai: 
มันคือ a บวก b คูณ a บวก b
แล้วถ้าคุณทำอันนี้ นี่คือ a คูณ a
ซึ่งก็คือ a กำลังสอง
บวก a คูณ b ซึ่งก็คือ ab
บวก b คูณ a ซึ่งก็คือ ab อีกตัว
บวก b คูณ b ซึ่งก็คือ b กำลังสอง
คุณมี ab สองตัวตรงนี้ 
คุณจึงบวกสองตัวเข้าด้วยกันได้
มันจึงเท่ากับ a กำลัง 2 บวก 2ab 
บวก b กำลัง 2
ทีนี้ นี่มันน่าสนใจขึ้นมาหน่อย
a บวก b ยกกำลัง 3 จะเท่ากับอะไร?
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วพยายามหาคำตอบด้วยตัวเอง
ทีนี้ เรารู้ว่า a บวก b ยกกำลัง 3
ก็แค่ a บวก b กำลัง 2 คูณ a บวก b อีกตัว
ลองคูณพจน์นี้ด้วย a บวก b กัน
เพื่อหาว่ามันคืออะไร
ผมจะทำนะ
ลองดู
ลองคูณมันด้วย a บวก b กัน
ผมจะคูณมันแบบนี้
อย่างแรก ผมจะคูณ b กับทั้งหมดนี้

Korean: 
준식은 (a+b) 곱하기 (a+b) 로 나타내어집니다
이를 계산해 본다면 a곱하기 a, 즉 a제곱
더하기 a 곱하기 b, 즉 ab
또 b 곱하기 a, 즉 ab 가 하나 더 생깁니다
더하기 b곱하기 b, 즉 b 제곱 입니다
정리해 보면 ab가 2개 있으므로 더할 수 있어요
결과적으로 a제곱 더하기 2ab 더하기 b 제곱 이네요
이제 문제들이 조금씩 재밌어지기 시작합니다
자 이제 (a+b)의 3승이 무엇인지 잠시 동영상을 중지하시고 혼자 풀어보세요
일단 우리는 (a+b)의 3승을 (a+b)의 제곱 곱하기 
(a+b)로 나타낼 수 있어요
그 후에 위에서 구한 (a+b)제곱과 (a+b)를 곱해서 답을 찾아봅시다
여기에 a+b를 곱해봐요

Czech: 
Je to (a plus b) krát (a plus b).
Když tohle uděláte, získáte a krát a,
což je a na druhou,
plus a krát b, což je ab,
plus b krát a, což je zase ab,
plus b krát b, což je b na druhou.
Máte tady dvakrát ab,
takže je můžete sečíst,
takže se to rovná (a na druhou)
plus 2ab plus (b na druhou).
Teď to začne být trochu víc zajímavé.
Čemu se bude rovnat (a plus b) na třetí?
Doporučuji vám zastavit
video a zamyslet se nad tím.
No, víme, že (a plus b) na třetí se rovná
((a plus b) na druhou) krát (a plus b).
Takže to vynásobme, ať vidíme, co vyjde.
Udělám tohle.
Podívejme se.
Vynásobme tohle (a plus b).
Budu to násobit takhle.
Nejdřív vynásobím vše členem b.

Bulgarian: 
Ще го направя в зелено.
b по b^2 e b^3.
b по 2ab e 2ab^2,
и после b по а^2 е ba^2
или а^2 по b.
Ще умножа b по всичко това.
Нека сега умножим а по всичко това.
а по b^2 e ab^2.
a по 2ab e 2a^2 по b,
2a^2 по b,
а после а по а^2 е а^3.
Когато съберем всички тези неща,
получаваме...
Получаваме а^3 плюс, да видим,
имаме едно а^2b плюс...
плюс още две а^2b.
Това ще е 3а^2b,
плюс 3ab^2.

German: 
Zuerst multipliziere ich b mit all diesen Dingen.
b ⋅ b² = b³.
b ⋅ 2ab = 2ab².
b ⋅ a² = ba² oder a²b.
Ich habe gerade b mit allem multipliziert.
Jetzt multipliziere ich das alles mit a.
a ⋅ b² = ab².
a ⋅ 2ab = 2a²b.
a ⋅ a² = a³.
Wenn wir all das addieren,
erhalten wir a³,
wir rechnen 1a²b + 2a²b,
das ergibt 3a²b,

English: 
I'll do it in this green color.
b times b squared is b to the 3rd power.
b times 2ab is 2a squared,
so 2ab squared,
and then b times a squared is ba squared,
or a squared b,
a squared b.
I'll multiply b times all of this stuff.
Now let's multiply a times all this stuff.
a times b squared is ab squared,
ab squared.
a times 2ab is 2a squared b,
2a squared b,
and then a times a squared
is a to the 3rd power.
Now when we add all of
these things together,
we get,
we get a to the 3rd power plus, let's see,
we have 1 a squared b plus another,
plus 2 more a squared b's.
That's going to be 3a squared b

Czech: 
Udělám to v zelené barvě.
b krát (b na druhou) je b na třetí.
b krát 2ab je 2a(b na druhou),
tedy 2a(b na druhou),
a b krát (a na druhou) je b(a na druhou),
neboli (a na druhou)b.
…(a na druhou)b.
Vynásobil jsem b tímhle vším.
Teď tím vším vynásobme ,a'.
a krát (b na druhou) je a(b na druhou),
a krát 2ab je 2(a na druhou)b,
…2(a na druhou)b…
a pak ,a' krát ,a'
na druhou je ,a' na třetí.
A teď když to všechno dáme dohromady,
dostaneme ,a' na třetí plus, podívejme se,
máme jedno (a na druhou)b a k tomu další,
další dvě (a na druhou)b.
To bude 3(a na druhou)b
plus 3a(b na druhou).

Thai: 
ผมจะใช้สีเขียว
b คูณ b กำลัง 2 เท่ากับ b ยกกำลัง 3
b คูณ 2ab เท่ากับ 2a กำลัง 2
ได้ 2ab กำลัง 2
แล้ว b คูณ a กำลังสองคือ ba กำลัง 2
หรือ a กำลัง 2 b
a กำลัง 2 b
ผมจะคูณ b กับทั้งหมดนี้
ทีนี้ลองคูณ a ด้วยตัวมันเอง
a คูณ b กำลัง 2 เท่ากับ ab กำลัง 2
ab กำลัง 2
a คูณ 2ab เท่ากับ 2a กำลัง 2 b
2a กำลัง 2 b
แล้ว a คูณ a กำลัง 2 เท่ากับ a กำลัง 3
แล้วเมื่อเราบวกทั้งหมดนี้เข้าด้วยกัน
เราจะได้
เราจะได้ a กำลัง 3 บวก ลองดู
เรามี 1 a กำลัง 2 b บวก
a กำลัง 2 b อีก 2 ตัว
มันจะเท่ากับ 3a กำลัง 2 b

Korean: 
b부터 먼저 곱해주면 a^2b + 2ab^2 +b^3 이 나오네요
b를 곱해줬으니 이제 a를 곱해줍시다
a를 각 항에 곱해주면 a^3 + 2a^2b + ab^2 가 나오네요
이제 이 항들을 다 더해주면

German: 
+ 3ab²,
2ab² + 1ab² ergibt 3ab²,
+ b³.
Wir haben jetzt nur mit der dritten Potenz gearbeitet,
und es hat schon eine ganze Weile gedauert,
also kannst du dir vorstellen,
wie kompliziert es ist, so etwas wie (a + b)⁴ zu lösen,
oder sogar (a + b)¹⁰ oder (a + b)²⁰.
Du würdest den ganzen Tag dafür
brauchen oder sogar noch länger.
Es wäre unglaublich schwierig.
Deshalb ist der Binomische Lehrsatz so hilfreich.
Was ist der Binomische Lehrsatz?
Der Binomische Lehrsatz sagt aus,

Thai: 
บวก 3ab กำลัง 2
2ab กำลัง 2 บวกอีก ab กำลัง 2
จะเท่ากับ 3ab กำลัง 2
บวก b ยกกำลัง 3
แค่ยกกำลัง 3
อันนี้ดูเหมือนเราต้องใช้เวลาพอสมควร
และคุณคงนึกออกว่าจะลำบากแค่ไหน
หากเราทำอย่างเช่น a บวก b ยกกำลัง 4
หรือยิ่งกว่านั้น
ถ้าคุณลองหา a บวก b ยกกำลัง 10
หรือยกกำลัง 20
มันต้องใช้เวลาทั้งวัน
บางทีอาจนานกว่านั้น
มันยากลำบากอย่างยิ่ง
นั่นคือจุดที่ทฤษฎีบททวินามเข้ามามีประโยชน์
ทฤษฎีบททวินามคืออะไร?
ทฤษฎีบททวินามบอกเรา
ขอผมเขียนอันนี้ลงไปนะ
ทฤษฎีบททวินาม
ทฤษฎีบททวินาม
มันบอกเราว่า ถ้าเรามีทวินาม
และผมใส่ a บวก b ในตอนนี้
ถ้าผมมี ผมพยายาม
ใช้สีแทนความหมายหน่อย

Korean: 
a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 이 나옵니다
아직 3승까지밖에 안 왔는데 시간이 좀 걸렸군요
이제 (a+b)의 4승 정도의 계산을 
하려면 얼마나 힘들지 느껴집니다
아니면 10승이나 20승 정도를 계산하려면 
하루 종일이 걸릴지도 모르는 일이에요
그렇기 때문에 이항정리가 필요한 겁니다
그럼 이항정리는 무엇일까요?
자 써볼게요 '이항정리'

English: 
plus 3ab squared.
2ab squared plus another ab squared
is going to be 3ab squared
plus b to the 3rd power.
Just taking some of the 3rd power,
this already took us a little
reasonable amount of time,
and so you can imagine
how painful it might get
to do something like a
plus b to the 4th power,
or even worse,
if you're trying to find a
plus b to the 10th power,
or to the 20th power.
This would take you all day
or maybe even longer than that.
It would be incredibly,
incredibly painful.
That's where the binomial
theorem becomes useful.
What is the binomial theorem?
The binomial theorem tells us,
let me write this down,
binomial theorem.
Binomial theorem,
it tells us that if we have a binomial,
and I'll just stick with
the a plus b for now,
if I have, and I'm going to try
to color code this a little bit,

Bulgarian: 
2ab^2 плюс още едно ab^2
ще е 3ab^2
плюс b^3.
Просто да повдигнем нещо на трета степен,
това вече ни отне доста време,
така че можеш да си представиш колко мъчително може да стане
да правиш нещо като (а + b)^4
или още по-зле –
ако опитваш да намериш (а + b)^10
или на 20-та степен.
Това ще ти отнеме цял ден
или може би още по-дълго.
Това ще е извънредно мъчително.
Тук Нютоновият бином идва да помогне.
Какво представлява Нютоновият бином?
Нютоновият бином ни казва –
нека запиша това –
Нютонов бином.
Нютоновият бином 
(на англ. "биномна теорема" – бел. ред.)
ни казва, че ако имаме един бином,
и засега ще се придържам към (а + b),
ако имам... ще опитам
да направя това в различни цветове.

Czech: 
2a(b na druhou) plus další
a(b na druhou) je 3a(b na druhou),
plus b na třetí.
Takže jen třetí mocnina nám
zabrala docela dost času,
takže si umíte představit,
jak složité bude (a plus b) na čtvrtou,
anebo ještě hůř,
(a plus b) na desátou,
nebo dokonce na dvacátou.
To by vám zabralo celý
den nebo možná ještě déle.
To by bylo neuvěřitelně moc složité.
Tady začne být užitečná binomická věta.
Co je binomická věta?
Binomická věta nám říka,
napíšu to sem dolů,
binomická věta.
Binomická věta nám říká,
že pokud máme dvojčlen,
a zůstaňme u toho (a plus b),
pokud máme…
A pokusím se to udělat hezky barevně.

German: 
dass, wenn wir ein Binom haben, zum Beispiel (a + b),
und es hoch ⁿ nehmen,
dann sagt uns der Binomische Lehrsatz, was das ergibt.
Die Bezeichnungen sehen
anfangs etwas kompliziert aus,
aber wir bearbeiten gleich ein Beispiel.
Das ergibt die Summe von k = 0 bis n,
das n und dieses n sind dieselbe Zahl.
von k aus n,
ich erkläre das gleich, es ist Teil der Kombinatorik,

English: 
if I have the binomial a plus b,
a plus b,
and I'm going to raise it the nth power,
I'm going to raise this to the nth power,
the binomial theorem tells us
that this is going to be equal to,
and the notation is going to look
a little bit complicated at first,
but then we'll work
through an actual example,
is going to be equal to
the sum from k equals 0,
k equals 0 to n,
this n and this n are the same number,
of ...
I don't want to ...
that's kind of a garish color ...
of n choose k,
n choose k,
and we'll review that in a second;
this comes straight out of combinatorics;
n choose k times a to the n minus k,
n minus k,

Czech: 
Pokud máme ten dvojčlen (a plus b)
a budeme ho umocňovat na n-tou,
chci ho umocnit na n-tou,
tak nám binomická věta říká,
že to bude rovno,
a zápis bude vypadat
nejdřív trochu složitě,
ale pak se podíváme na určitý příklad,
bude to rovno součtu pro ,k' od 0 do ,n',
toto ,n' a toto ,n' jsou ta samá čísla,
součtu z…
Nechci…
…to je docela křiklavá barva…
…součtu (n nad k),
a to si zopakujeme za chvilku,
pochází to z kombinatoriky,
(n nad k) krát (a na (n minus k))…

Thai: 
ถ้าผมมีทวินาม a บวก b
a บวก b
และผมจะยกกำลัง n
ผมจะยกกำลังพจน์นี้ด้วย n
ทฤษฎีบททวินามบอกเราว่า
อันนี้จะเท่ากับ
และสัญลักษณ์นี้จะ
ดูซับซ้อนหน่อยตอนแรก
แต่เราจะทำตัวอย่างจริงต่อไป
มันจะเท่ากับผลบวกจาก k เท่ากับ 0
k เท่ากับ 0 ถึง n
n นี้กับ n นี้คือจำนวนเดียวกัน
ของ --
ผมไม่อยาก --
มันเป็นเลขเลอะๆ หน่อย --
n เลือก k
n เลือก k
และเราจะทบทวนถึงมันเร็วๆ นี้
มันมาจากเรื่องการจัดหมู่
n เลือก k คูณ a กำลัง n ลบ k
n ลบ k

Korean: 
(a+b)를 적고 여기에 n승을 해보겠습니다
처음에는 적응하기 힘들겠지만 실제로 적용해 보면 감이 올 거에요
(a+b)의 n 승은 다음과 같이 표현할 수 있습니다
k 가 0에서부터 n 까지 커질 때 다음 항들의 총 합입니다 :
n 콤비네이션 k (잠시후에 설명드릴게요) 곱하기

Bulgarian: 
Ако имам бинома (а + b)
и повдигна това на n-та степен,
ще повдигна това на n-та степен,
Нютоновият бином ни казва,
че това ще е равно на –
записът ще изглежда малко сложен отначало,
но после ще решим един пример –
ще е равно на сбора от k = 0,
до k = n.
Това n и това n са едно и също число.
От –
това е малко ярък цвят –
от броя комбинации от n елемента k-ти клас (n над k),
като ще разгледаме това след секунда;
това идва от комбинаториката –
(n над k) по а^(n-k),

Czech: 
…krát (b na k-tou).
…b umocněno na k.
Vypadá to trošku těžkopádně.
Zopakujme si, co je vlastně (n nad k).
Když se řekne (n nad k),
udělám to stejnou barvou,
pamatujeme si z kombinatoriky,
že se to rovná:
n faktoriál děleno
(k faktoriál krát (n minus k) faktoriál)…
…(n minus k), z toho faktoriál.
Takže (n minus k) faktoriál,
udělám to barevně,
(n minus k) faktoriál.
Zkusme to použít.
Zkusme to použít na příklad,
který se nám už nechtělo počítat,
řekněme (a plus b) na čtvrtou.
Pojďme zjistit, jak to bude.
Zkusme tohle.
Pokusím se to udržet hezky barevně,

English: 
times b,
times b to the k,
b to the k power.
Now this seems a little bit unwieldy.
Let's just review, remind ourselves
what n choose k actually means.
If we say n choose k,
I'll do the same colors,
n choose k,
we remember from combinatorics
this would be equal to
n factorial,
n factorial over k factorial,
over k factorial times
n minus k factorial,
n minus k factorial,
so n minus k minus k factorial,
let me color code this,
n minus k factorial.
Let's try to apply this.
Let's just start applying it to the thing
that started to intimidate us,
say, a plus b to the 4th power.
Let's figure out what that's going to be.
Let's try this.
So a, and I'm going to
try to keep it color-coded

Bulgarian: 
по b^k.
Това изглежда малко трудно.
Нека си припомним
какво означава "n над k".
Ако кажем "комбинация от n елемента k-ти клас",
ще направя това в същите цветове,
n над k,
помним от комбинаториката, че това ще е равно на
n факториел върху k факториел,
по (n - k) факториел.
Нека направя това в различни цветове,
(n - k) факториел.
Нека опитаме да приложим това.
Нека започнем да го прилагаме към това,
което започна да ни плаши –
към (а + b)^4.
Нека намерим колко ще е това.
Нека опитаме това.
Ще опитам да ги направя в различни цветове,

Korean: 
(a의 n-k승) 곱하기 (b의 k승)
그럼 n 콤비네이션 k 가 무엇을 의미하는지 알아볼게요
n 콤비네이션 k 는
n팩토리얼 / k팩토리얼 곱하기 (n-k)팩토리얼 이에요
아까 위협적이었던 (a+b)의 4승을
이항정리를 사용하여 한번 풀어볼게요

Thai: 
คูณ b
คูณ b กำลัง k
b ยกกำลัง k
ทีนี้ มันอาจดูยากสักหน่อย
ลองมาทบทวนกัน เตือนตัวเอง
ว่า n เลือก k หมายถึงอะไร
ถ้าเราบอกว่า n เลือก k
ผมจะใช้สีเดิมนะ
n เลือก k
เราจำได้จากการจัดหมู่ว่า ค่านี้เท่ากับ
n แฟคทอเรียล
n แฟคทอเรียลส่วน k แฟคทอเรียล
ส่วน k แฟคทอเรียลคูณ n ลบ k แฟคทอเรียล
n ลบ k แฟคทอเรียล
n ลบ k คูณ k แฟคทอเรียล
ขอผมใช้สีแทนความหมายนะ
n ลบ k แฟคทอเรียล
ลองใช้มันดู
ลองเริ่มด้วยการใช้มันกับ
สิ่งที่เริ่มทำให้เราเหนื่อย
เช่น a บวก b ยกกำลัง 4
ลองหากันว่าพจน์นั้นจะเป็นอะไร
ลองทำอันนี้ดู
a ผมจะพยายามใช้สีแทนความหมาย

German: 
(k aus n) ⋅ a^(n-k) ⋅ b^k.
Das sieht etwas sperrig aus,
also denken wir darüber nach,
was k aus n eigentlich bedeutet.
Wenn wir "k aus n" sagen,
wissen wir aus der Kombinatorik,
dass es n!/(k! ⋅ (n - k)!) ergibt.
Versuchen wir, das anzuwenden.
Wir wenden es auf das an, was uns eingeschüchtert hat,
z.B. (a + b)⁴.
Finden wir heraus, was das ergibt.

German: 
(a + b)⁴.
Der Binomische Lehrsatz sagt uns, was das ergibt.
Ich werde dieselben Bezeichnungen verwenden.
Die Summe von k = 0 bis 4,
von k aus 4,
von a^4-k ⋅ b^k.
Was ergibt das jetzt?
Lösen wir die Summe auf.
Wir fangen bei k = 0 an,

Korean: 
구별하기 쉽게 색깔별로 적을게요
색을 바꾸느라 시간이 조금 더 걸리네요
(a+b)의 4승을 적습니다
그대로 적용하면 k가 0에서부터 4 까지 증가할 때
4콤비네이션 k 곱하기 a^(4-k) 곱하기 b^k 
들의 합입니다
그럼 어떻게 되죠? 직접 더해봅시다

Thai: 
คุณจะได้รู้ว่าเกิดอะไรขึ้น
a บวก b
ถึงแม้ว่ามันจะใช้เวลามากกว่า
เวลาเปลี่ยนสีก็ตาม
แต่หวังว่ามันจะคุ้มค่านะ
a บวก b
ลองจับมันยกกำลัง 4 ดู
ทฤษฎีบททวินามบอกเรา
ว่านี่จะเท่ากับ
ผมจะใช้สัญลักษณ์เดียวกันนี้
นี่่จะเท่ากับผลบวกจาก k เท่ากับ 0
k เท่ากับ 0 ถึง 4
ถึง 4 ของ 4 เลือก k
4 เลือก k
4 เลือก --
ขอผมเขียน k ด้วยสีม่วงนั่น
4 เลือก k ของ a ยกกำลัง 4 ลบ k
ยกกำลัง 4 ลบ k
คูณ b ยกกำลัง k
b กำลัง k
ทีนี้ มันจะเท่ากับอะไร?
ทีนี้ ลองหาผลบวกกัน
นี่จะเท่ากับ
เราจะเริ่มที่ k เท่ากับ 0

Czech: 
abyste věděli, co se tam děje.
a plus b…
I když mi to zabere víc času,
když budu měnit barvy,
ale snad to za to stojí.
a plus b.
Umocněme to na čtvrtou.
Binomická věta nám říká,
že to bude rovno,
a použiju stejný zápis,
bude to rovno součtu pro ,k' od 0,
pro ,k' od 0 do 4,
z (4 nad k)…
…4 nad k…
To ,k' udělám fialově.
(4 nad k) krát (a na (4 minus k))…
…umocněno na (4 minus k)…
…krát (b na k-tou).
A to bude rovno čemu?
No, prostě to sečtěme.
Tohle bude rovno…
Začneme od ,k' rovno 0,

English: 
so you know what's going on,
a plus b,
although it takes me
a little bit more time
to keep switching colors,
but hopefully it's worth it,
a plus b.
Let's take that to the 4th power.
The binomial theorem tells us
this is going to be equal to,
and I'm just going to
use this exact notation,
this is going to be the
sum from k equals 0,
k equals 0 to 4,
to 4 of 4 choose k,
4 choose k,
4 choose ...
let me do that k in that purple color,
4 choose k of a to the 4 minus k power,
4 minus k power
times b to the k power,
b to the k power.
Now what is that going to be equal to?
Well, let's just actually just do the sum.
This is going to be equal to,
so we're going to start at k equals 0,

Bulgarian: 
така че да знаеш какво става.
(а + b),
въпреки че ми отнема малко повече време
да продължавам да променям цветовете,
надявам се, че си заслужава –
(а + b).
Нека повдигнем това на четвърта степен.
Нютоновият бином ни казва,
че това ще е равно на –
и ще използвам точно същото обозначение –
това ще е сборът при k = 0
до k = 4
от (n над k),
нека направя k в този лилав цвят,
(n над k) от а^(4 - k),
степен (4 - k),
по b^k.
На колко ще е равно това?
Нека просто направим сбора.
Това ще е равно на...
Ще започнем от k = 0,

Czech: 
takže když se ,k' rovná 0, bude to…
(4 nad 0) krát (a na (4 minus 0)),
to bude tedy jen ,a' na čtvrtou,
krát b na nultou.
b na nultou je rovno 1,
takže sem dáme prostě 1, jestli chceme,
anebo to necháme takhle.
Tohle dostaneme, když se ,k' rovná 0.
Teď k tomu přidáme výraz pro ,k' rovno 1.
Když je ,k' rovno 1, tak to bude…
Koeficient bude (4 nad 1),
a to bude vynásobeno (a na (4 minus 1)),
neboli ,a' na třetí,
a zůstanu u téhle barvy,
krát (b na k-tou).
Teď když ,k' je 1, tak je to b na první.
A k tomu přidáme…

German: 
wenn k = 0, haben wir (0 aus 4) ⋅ a⁴⁻⁰ ⋅ b⁰.
b⁰ ist einfach nur 1, als könnten wir da eine
1 hinschreiben oder es einfach so lassen.
Das erhalten wir also, wenn k = 0.
Dazu addieren wir, was wir erhalten, wenn k = 1 ist.
Bei k = 1 haben wir (1 aus 4) ⋅ a⁴⁻¹,
also a³,
⋅ b¹.

Thai: 
เมื่อ k เท่ากับ 0 มันจะเท่ากับ 4 เลือก 0
4 เลือก 0
คูณ a ยกกำลัง 4 ลบ 0
ทีนี้ มันจะเท่ากับ a ยกกำลัง 4
คูณ b กำลัง 0
b กำลัง 0 จะเท่ากับ 1
เราก็ใส่ 1 ตรงนี้ได้ถ้าเราต้องการ
หรือเราปล่อยมันอย่างนั้นก็ได้
นี่คือสิ่งที่เราได้เมื่อ k เท่ากับ 0
แล้วจากนั้น เราจะบวกพจน์เมื่อ k เท่ากับ 1
k เท่ากับ 1 จะได้
สัมประสิทธิ์จะเป็น 4 เลือก 1
และมันจะคูณ a กำลัง 4 ลบ 1
ได้ a ยกกำลัง 3
ผมจะใช้สีนั้นนะ
คูณ b ยกกำลัง k
ตอนนี้ k เท่ากับ 1 ได้ b ยกกำลัง 1
แล้วจากนั้น เราจะบวก
เราจะบวก 4 เลือก 2

Bulgarian: 
така че когато k = 0, това ще е (4 над 0),
4 над 0,
по а^(4 - 0),
това просто ще е а^4,
по b^0.
b^0 ще е равно на 1,
така че можем просто да поставим 1 тук, ако искаме,
или можем просто да го оставим така.
Това получаваме, когато k = 0.
После към това ще добавим когато k = 1.
k = 1 ще е...
коефициентът ще е (4 над 1)
и това ще е по а^(4-1),
тоест а^3,
като просто ще остана с този цвят,
по b^k.
Сега k е 1, следователно b^1.
После към това ще добавим
(4 над 2)

English: 
so when k equals 0, it's
going to be 4 choose 0,
4 choose 0,
times a to the 4 minus 0 power,
well, that's just going
to be a to the 4th power,
times b to the 0 power.
b to the 0 power is just
going to be equal to 1,
so we could just put a
1 here if we want to,
or we could just leave it like that.
This is what we get when k equals 0.
Then to that, we're going
to add when k equals 1.
k equals 1 is going to be,
the coefficient is going to be 4 choose 1,
and it's going to be times
a to the 4 minus 1 power,
so a to the 3rd power,
and I'll just stick with that color,
times b to the k power.
Well, now, k is 1b to the 1st power.
Then to that, we're going to add,
we're going to add 4 choose 2,

Korean: 
k 가 0일때부터 시작해봐요
4콤비네이션 0 곱하기 a^4 곱하기 b^0 인데 
b^0은 1이니까 무시해도 되겠네요
또 k 가 1일때는 4콤비네이션 1 곱하기 a^3 곱하기 b^1 이네요

Czech: 
Přidáme (4 nad 2) krát (a na…
No, ,k' je teď 2.
4 minus 2 je 2.
,a' na druhou.
Asi už vidíte ten vzorec.
a na čtvrtou, a na třetí, a na druhou,
a násobení (b na k-tou).
Tedy ,k' je teď 2, takže b na druhou,
a zase vidíte ten vzorec.
b na nultou, b na první, b na druhou…
A už sem máme přidat jen dva další členy,
plus (4 nad 3) krát,
4 minus 3 je 1,
krát (a na první), neboli a,
a pak b na třetí,
a pak už jen jeden další člen,
plus (4 nad 4).
4 nad 4.
,k' je teď 4.
To bude náš poslední člen.
Máme ,k' jdoucí od 0 až k 4,
4 nad 4.
,a' na (4 minus 4), to bude 1,
protože ,a' na nultou je 1,

Bulgarian: 
(4 над 2) по а на...
сега k е 2.
4 минус 2 е 2.
а^2.
Мисля, че виждаш модел тук.
a^4, а^3, a^2,
а после по b^k.
k сега е 2, тоест имаме b^2
и тук отново виждаш модел.
Можеш да кажеш b^0, b^1, b^2
и тук имаме само още два члена да съберем,
плюс (4 над 3),
(4 над 3) по, 4 - 3 е 1,
по а или а^1
и после b^3 –
по (а^1)(b^3)
и остана само един член,
плюс (4 над 4).
k сега е 4.
Това сега ще е последният ни член.
k преминава от 0 чак до 4,
(4 над 4).
а^(4 - 4), това просто ще е 1,

Korean: 
k 가 2일때는 4콤비네이션 2 곱하기 a^2 곱하기 b^2 에요
이쯤되면 규칙이 보이죠?
두 항만 더 계산하면 되요
4콤비네이션 3 곱하기 a^1 곱하기 b^3 이 되고요
마지막 항이네요

English: 
4 choose 2 times a to the ...
well, now k is 2.
4 minus 2 is 2.
a squared.
I think you see a pattern here.
a to the 4th, a to the 3rd, a squared,
and then times b to the k.
Well, k is 2 now, so b squared,
and you see a pattern again.
You could say b to the
0, b to the 1, b squared,
and we only have two
more terms to add here,
plus 4 choose 3,
4 choose 3 times 4 minus 3 is 1,
times a, or a to the 1st,
I guess we could say,
and then b to the 3rd power,
times a to the 1st b to the third,
and then only one more term,
plus 4 choose,
4 choose 4.
k is now 4.
This is going to be our
last term right now.
We're getting k goes
from 0 all the way to 4,
4 choose 4.
a to the 4 minus 4,
that's just going to be 1,

German: 
Dazu addieren wir (2 aus 4) ⋅ a²,
k ist jetzt 2 also haben wir a⁴⁻², also a²,
ich denke, du erkennst das Muster.
a⁴, a³, a², usw. und dann ⋅ b^k.
k ist jetzt 2, also b², und du siehst wieder das Muster.
Wir haben quasi b⁰, b¹, b²,
und wir müssen nur noch zwei Terme addieren.
Wir addieren (3 aus 4) ⋅ a¹ ⋅ b³.
Und dann noch einen Term.
Wir addieren (4 aus 4),
das ist unser letzter Term.
Da k von 0 bis 4 geht, ist 4 aus 4 unser letzter Term.

Thai: 
4 เลือก 2 คูณ a ยกกำลัง --
ทีนี้ k เท่ากับ 2
4 ลบ 2 ได้ 2
a กำลังสอง
ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบแล้ว
a กำลัง 4, a กำลัง 3, a กำลัง 2
แล้วคูณ b กำลัง k
k คือ 2 ตอนนี้ ได้ b กำลัง 2
และคุณเห็นรูปแบบอีก
คุณบอกได้ว่า b กำลัง 0, b กำลัง 1, b กำลัง 2
และเรามีแค่สองเทอมให้บวกตรงนี้
บวก 4 เลือก 3
4 เลือก 3 คูณ 4 ลบ 3 ได้ 1
คูณ a หรือ a กำลัง 1 จะว่าอย่างนั้นก็ได้
แล้ว b กำลัง 3
คูณ a กำลัง 1 b กำลัง 3
แล้วอีกเทอม
บวก 4 เลือก
4 เลือก 4
k ตอนนี้คือ 4
อันนี้จะเป็นเทอมสุดท้ายตรงนี้
เราจะได้ k ไปจาก 0 จนถึง 4
4 เลือก 4
a กำลัง 4 ลบ 4 นั่นก็คือ 1

Korean: 
4콤비네이션 4 곱하기 a^0 곱하기 b^4 인데 
a^0은 1이니까 생략해도 되겠어요
거의 다 끝났어요. 다 전개했고 콤비네이션의 값들만 구하면 되요
위의 식을 적용해 봐요
4콤비네이션 0은 4팩토리얼 나누기 0팩토리얼 나누기 4팩토리얼 이에요
팩토리얼 계산에 있어서 0팩토리얼은 1로 취급되요
그래서 4콤비네이션 0은 1이 됩니다
4콤비네이션 1은 4팩토리얼 나누기 1팩토리얼 
나누기 (4-1) 팩토리얼이에요

Czech: 
takže nám zůstane jen b na k-tou
a ,k' je 4.
Jsme skoro hotovi.
Rozvedli jsme to.
Musíme přijít jen na to, co je 4 nad 0,
4 nad 1, 4 nad 2, a tak dále,
takže to pojďme vymyslet.
Mohli bychom aplikovat tohle pořád dokola.
Takže 4 nad 0 je rovno:
(4 faktoriál) děleno ((0 faktoriál)
krát ((4 minus 0) faktoriál))
To bude zase 4 faktoriál.
0 faktoriál, alespoň pro tyto účely,
definujeme jako rovno 1,
takže tahle celá věc bude 1,
takže ten koeficient je 1.
Podívejme. Zůstaneme u toho.
Takže 4 nad 1 bude:
(4 faktoriál) děleno ((1 faktoriál)
krát ((4 minus 1) faktoriál))…
…(4 minus 1) faktoriál, tedy 3 faktoriál.
Kolik to bude?

English: 
a to the 0, that's just 1,
so we're going to be left
with just b to the k power,
and b is 4 right over here.
We're almost done.
We've expanded it out.
We just need it figure
out what 4 choose 0,
4 choose 1, 4 choose 2,
et cetera, et cetera are,
so let's figure that out.
We could just apply this
over and over again.
So 4 choose 0,
4 choose 0 is equal to 4
factorial over 0 factorial
times 4 minus 0 factorial.
That's just going to be 4 factorial again.
0 factorial, at least for these purposes,
we are defining to be equal to 1,
so this whole thing is
going to be equal to 1,
so this coefficient is 1.
Let's see.
Let's keep going here.
So 4 choose 1 is going to be
4 factorial over 1 factorial
times 4 minus 1 factorial,
4 minus 1 factorial, so 3 factorial.
What's this going to be?

Thai: 
a กำลัง 0 มันก็แค่ 1
แล้วเราจะเหลือแค่ b ยกกำลัง k
และ k คือ 4 ตรงนี้
เราใกล้เสร็จแล้ว
เรากระจายมันออกมาแล้ว
เราแค่ต้องหาว่า 4 เลือก 0
4 เลือก 1, 4 เลือก 2 ฯลฯ ฯลฯ คืออะไร
ลองหากันดู
เราแค่ใช้อันนี้ไปเรื่อยๆ
4 เลือก 0
4 เลือก 0 เท่ากับ 4 แฟคทอเรียลส่วน 
0 แฟคทอเรียล
คูณ 4 ลบ 0 แฟคทอเรียล
นั่นจะเท่ากับ 4 แฟคทอเรียลเหมือนเดิม
0 แฟคทอเรียล อย่างน้อยในที่นี้
เราจะนิยามมันว่าเท่ากับ 1
ทั้งหมดนี้จึงเท่ากับ 1
สัมประสิทธิ์นี้จะเท่ากับ 1
ลองดู
ลองทำต่อไปตรงนี้
4 เลือก 1 จะเท่ากับ 4 แฟคทอเรียล
ส่วน 1 แฟคทอเรียล
คูณ 4 ลบ 1 แฟคทอเรียล
4 ลบ 1 แฟคทอเรียล ได้ 3 แฟคทอเรียล
ค่านี้จะเท่ากับอะไร?

Bulgarian: 
a^0, това е просто 1,
така че просто ще ни остане b^k,
а b ето тук е 4.
Почти сме готови.
Разложихме го.
Просто трябва да намерим колко са (4 над 0),
(4 над 1), (4 над 2) и така нататък, и така нататък.
Нека намерим това.
Можем просто да приложим това отново и отново.
(4 над 0)
е равно на 4 факториел върху 0 факториел
по (4 - 0) факториел.
Това ще е отново просто 4 факториел.
0 факториел, поне за целите ни,
определяме като равно на 1,
така че цялото това нещо ще е равно на 1,
тоест този коефициент е 1.
Да видим.
Нека продължим ето тук.
(4 над 1) ще е 4 факториел върху 1 факториел
по (4 - 1) факториел,
(4 - 1) факториел, тоест 3 факториел.
Колко ще е това?

German: 
a⁴⁻⁴ = a⁰. a⁰ ist einfach nur 1,
also bleibt nur b^k bzw. b⁴ übrig.
Wir sind gleich fertig.
Wir haben alles ausgeschrieben.
Wir müssen nur herausfinden, was 0 aus 4,
1 aus 4, 2 aus 4, etc. ergeben.
Also machen wir das.
Wir werden einfach das hier mehrmals anwenden.
(0 aus 4) = 4! / (0! ⋅ 4 - 0)!.
Das ergibt also 0! ⋅ 4!.
0! definieren wir bei diesen Rechnungen als = 1,
also ergibt das alles 1.
Dadurch ist dieser Koeffizient 1.
(1 aus 4) = 4! / 1! ⋅ (4 - 1)!, also 3!
Was ergibt das?

Bulgarian: 
1 факториел просто ще е 1.
4 факториел е 4 по 3 по 2 по 1.
3 факториел е 3 по 2 по 1.
Нека изясня това.
4 по 3 по 2 по 1
върху 3 по 2 по 1
ще ни даде просто 4.
Това тук ще е просто 4.
После трябва да намерим 
колко е (4 над 2).
(4 над 2) ще е 
4 факториел върху 2 факториел
по – колко е 4 минус...
това ще е n - k,
4 - 2 е 2, тоест върху 2 факториел.
На колко ще е равно това?
Нека преместя малко надясно.
Това ще е 4 по 3 по 2 по 1
върху 2 факториел е 2 –
върху 2 по 2.
Това е 2, това е 2.
Като 2 по 2 е същото нещо като 4.
Остава ни 3 по 2 по 1,
което е равно на 6.
Това е равно на 6.
После, колко е (4 над 3)?
Ще използвам малко пространството тук долу.

Korean: 
계산하면 (4곱하기 3곱하기 2곱하기 1) 나누기 
(3곱하기 2곱하기 1) 이 되겠네요
그래서 4가 나오고요
4콤비네이션 2는 4팩토리얼 나누기 2팩토리얼 나누기 2팩토리얼이 되겠어요
(4곱하기 3곱하기 2곱하기 1) 나누기 2나누기 2 가
되네요
분모의 2곱하기 2는 4가 되서 약분되네요
그래서 6이 나와요

Czech: 
1 faktoriál je prostě 1.
4 faktoriál je 4 krát 3 krát 2 krát 1.
3 faktoriál je 3 krát 2 krát 1.
Ujasním to.
4 krát 3 krát 2 krát 1,
to celé děleno (3 krát 2 krát 1),
to bude po vykrácení rovno 4.
Tohle tady bude rovno 4.
Pak musíme zjistit, kolik je 4 nad 2.
4 nad 2 bude rovno:
(4 faktoriál) děleno
((2 faktoriál) krát co je 4 minus…
…tohle bude n minus k…
…4 minus 2…
Takže kolik to bude?
Posunu se tady doprava.
To bude (4 krát 3 krát 2 krát 1)
děleno (2 krát 2).
Tohle je 2, tohle je 2,
takže 2 krát 2 je 4.
Zůstává nám 3 krát 2 krát 1,
což se rovná 6.
To je rovno 6.
Takže kolik je 4 nad 3?
Použiju trochu místa dole.

Thai: 
1 แฟคทอเรียลก็แค่ 1
4 แฟคทอเรียล คือ 4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
3 แฟคทอเรียลคือ 3 คูณ 2 คูณ 1
ขอผมบอกให้ชัดนะ
4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
ส่วน 3 คูณ 2 คูณ 1
จะเหลือแค่ 4 ให้เรา
ค่านี่ตรงนี้ก็คือแค่ 4
แล้วเราต้องหาว่า 4 เลือก 2 เป็นเท่าใด
4 เลือก 2 จะเท่ากับ 4 แฟคทอเรียล
ส่วน 2 แฟคทอเรียล
คูณ 4 ลบ --
นี่จะเป็น n ลบ k
4 ลบ 2, ส่วน 2 แฟคทอเรียล
แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
ขอผมเลื่อนไปทางขวาหน่อย
อันนี้จะเท่ากับ 4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
ส่วน 2 แฟคทอเรียลได้ 2
ส่วน 2 คูณ 2
นี่คือ 2, นี่คือ 2
2 คูณ 2 เท่ากับ 4
เราจะเหลือ 3 คูณ 2 คูณ 1
ซึ่งเท่ากับ 6
มันเท่ากับ 6
แล้ว 4 เลือก 3 เป็นเท่าใด?
ผมจะใช้ที่ข้างล่างนี้นะ

English: 
1 factorial is just going to be 1.
4 factorial is 4 times 3 times 2 times 1.
3 factorial is 3 times 2 times 1.
Let me make that clear.
4 times 3 times 2 times 1
over 3 times 2 times 1
is just going to leave us with 4.
This right over here
is just going to be 4.
Then we need to figure
out what 4 choose 2 is.
4 choose 2 is going to be 4
factorial over 2 factorial
times what's 4 minus ...
this is going to be n minus k,
4 minus 2 over 2 factorial.
So what is this going to be?
Let me scroll over to
the right a little bit.
This is going to be 4
times 3 times 2 times 1
over 2 factorial is 2,
over 2 times 2.
This is 2, this is 2,
so 2 times 2 is same thing as 4.
We're left with 3 times 2 times 1,
which is equal to 6.
That's equal to 6.
Then what is 4 choose 3?
I'll use some space down here.

German: 
1! = 1.
4! bedeutet 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
3! bedeutet 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
Ich schreibe es nochmal auf:  4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 / 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
Nur die 4 bleibt übrig.
Das hier ergibt also 4.
Jetzt wollen wir herausfinden, was 2 aus 4 ist.
(2 aus 4) = 4! / 2! ⋅,
dann rechnen wir n - k, also 4 - 2,
also (2 aus 4) = 4! / 2! ⋅ 2!.
Was ergibt das?
Das ist 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1,
2! = 2, also geteilt durch 2 ⋅ 2.
Das ist 2, das ist 2.
2 ⋅ 2 = 4.
3 ⋅ 2 ⋅ 1 bleibt übrig und ergibt 6.
Das ergibt also 6.
Was ist dann 3 aus 4?

Bulgarian: 
(4 над 3),
(4 над 3) е равно на 4 факториел върху
3 факториел по (4 - 3) факториел,
така че това просто ще е 1 факториел.
Вече намерихме колко е това.
Това е същото като това ето тук.
Просто променихме местата 
на 1 факториел и 3 факториел.
Вече намерихме, че това ще е равно на 4.
Това е равно на 4.
И (4 над 4)?
Това просто ще е –
нека го направим ето тук –
(4 над 4) е 4 факториел върху 4 факториел
по 0 факториел,
което е същото нещо, което имахме тук,
което намерихме, че беше 1.
И сме готови.
Успяхме да намерим
колко е (а + b)^4.
Това е 1а^4 + 4(а^3)b^1
плюс 6(а^2)(b^2) + 4ab^3
плюс b^4.
Нека запиша това,

Thai: 
4 เลือก 3
4 เลือก 3 เท่ากับ 4 แฟคทอเรียลส่วน
ส่วน 3 แฟคทอเรียล คูณ 4 ลบ 3 แฟคทอเรียล
มันจึงเท่ากับ 1 แฟคทอเรียล
ทีนี้ เราหาแล้วว่ามันเป็นเท่าใด
มันจะเท่ากับค่านี่ตรงนี้
คุณแค่สลับ 1 แฟคทอเรียลกับ 3 แฟคทอเรียล
เราหาได้แล้วว่าอันนี้เท่ากับ 4
อันนั้นเท่ากับ 4
4 เลือก 4 ล่ะ?
อันนี้จะ
ขอผมทำตรงนี้นะ
4 เลือก 4 คือ 4 แฟคทอเรียล
ส่วน 4 แฟคทอเรียล
คูณ 0 แฟคทอเรียล
ซึ่งก็เหมือนกับที่เรามีตรงนี้
ซึ่งเราหาไปว่าเป็น 1
อย่างนั้น เราเสร็จแล้ว
เราหาได้
ว่า a บวก b ยกกำลัง 4 เป็นเท่าใด
มันคือ 1a กำลัง 4 บวก 4a กำลัง 3 b กำลัง 1
บวก 6a กำลัง 2 b กำลัง 2 บวก 4ab กำลัง 3
บวก b กำลัง 4
ที่จริง ขอผมเขียนมันลงไปนะ

English: 
So 4 choose 3,
4 choose 3 is equal to 4 factorial over,
over 3 factorial times
4 minus 3 factorial,
so that's just going to be 1 factorial.
Well, we already figured out what that is.
That's the same thing
as this right over here.
You just swap the 1 factorial
and the 3 factorial.
We already figured out that
this is going to be equal to 4.
That is equal to 4.
4 choose 4?
Well, this is just going to be,
let me just do it over here,
4 choose 4 is 4 factorial over 4 factorial
times 0 factorial,
which is the exact thing we had here,
which we figured out was 1.
Just like that, we're done.
We were able to figure out
what a plus b to the 4th power is.
It's 1a to the 4th plus
4a to the 3rd b to the 1st
plus 6a squared b squared plus 4ab cubed
plus b to the 4th.
Actually, let me just write that down,

German: 
(3 aus 4) = 4! / 3! ⋅ (4 - 3)!, also 1!.
Wir wissen bereits, was das ergibt.
Es ist dasselbe wie das hier.
1! und 3! haben einfach nur getauscht.
Wir wissen bereits, dass es 4 ergibt.
Das ist also 4.
4 aus 4?
(4 aus 4) = 4! / 4! ⋅ 0!,
was wir genauso hier hatten,
und herausgefunden haben, dass es 1 ist.
Und wir sind fertig.
Wir haben herausgefunden, was (a + b)⁴ ist.
Es ist 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴.

Korean: 
4콤비네이션 3은 뭘까요?
아래에다 써 볼게요
4팩토리얼 나누기 3팩토리얼 나누기 (4-3)팩토리얼이 되네요
결국 4팩토리얼 나누기 3팩토리얼 나누기 1팩토리얼이 되니까
위에서 했던 4콤비네이션 1과 똑같아요
마찬가지로 (4콤비네이션 4)는 (4콤비네이션 0)과 같아요
다 끝났어요! 이제 (a+b)의 4승을 구했어요
a^4 더하기 4a^3b^1 더하기 6a^2b^2 더하기 
4a^1b^3 더하기 b^4 이에요

Czech: 
Takže 4 nad 3, to je:
(4 faktoriál) děleno ((3 faktoriál)
krát ((4 minus 3) faktoriál)),
takže to bude 1 faktoriál.
O tom už víme, kolik to je.
To je stejné jako tady.
Jen vyměníte 3 faktoriál a 1 faktoriál.
Už jsme přišli na to, že to bude rovno 4.
Je to rovno 4.
A 4 nad 4?
No to bude, napíšu to sem,
4 nad 4 je (4 faktoriál) děleno
((4 faktoriál) krát (0 faktoriál)),
což je úplně stejné, jako máme tady,
a to bylo rovno 1.
Takže takhle jsme hotovi.
Byli jsme schopni zjistit,
čemu se rovná (a plus b) na čtvrtou.
Je to (a na čtvrtou) plus 4(a na třetí)b…
…plus 6(a na druhou)(b na druhou) plus…
…plus 4a(b na třetí) plus (b na čtvrtou).
Vlastně to tu celé napíšu,

German: 
Ich schreibe es nochmal ab.
Es ergibt a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴.
Das ist ein interessantes Muster.
Es gibt eine Symmetrie mit den Koeffizienten,
sie gehen von 1 zu 4 zu 6 bei dem mittleren Term,
und dann wieder zurück zu 4 und 1.
Dann haben wir das Muster,
dass du bei a⁴ beginnst, dann a³, a², a
und eigentlich auch ein a⁰ hast.
Und du hast bei b⁰ angefangen,

Korean: 
계산한 것들을 아래에다 적어볼게요
a^4 + 4a^3b^1 + 6a^2b^2 + 
4a^1b^3 + b^4 이에요
흥미로운 규칙이 보이네요 
계수가 대칭이에요
앞의 계수는 1, 4, 6 그 후에 4번째는 4,
5번째는 다시 1이네요
또 a의 4승, 3승, 2승, 1승, 0 승이고

Bulgarian: 
след като направихме всичко това.
Това е равно на а^4,
плюс...
плюс 4(а^3)(b)
плюс 6(а^2)(b^2)
плюс 4 – мисля, че виждаш модел тук –
плюс 4аb^3
плюс b^4
Тук има интересен модел.
Има симетрия, при която имаш коефициента –
той е 1, 4, 6 за средния член,
после отново 4
и после отново 1.
После виждаш модел, при който
започваш от а^4, а^3,
а^2, а
и после можеш да кажеш, че тук има a^0.
После започваш от b^0,

Czech: 
když jsme si s tím dali tu práci.
To je rovno (a na čtvrtou) plus,
plus 4(a na třetí)b,
plus 6(a na druhou)(b na druhou),
plus…
…plus…
…asi tu vidíte ten vzorec,
plus 4a(b na třetí),
plus (b na čtvrtou)…
…plus (b na čtvrtou).
Je tu zajímavý vzorec.
Je tu symetrie mezi koeficienty,
je tam postupně 1, 4,
6 u prostředního členu,
a pak je zase 4 a potom zase 1.
Pak ještě vidíte ten vzorec,
kde začínáte s ,a'
na čtvrtou, ,a' na třetí,
,a' na druhou, ,a',
a pak můžete říct, že tu je ,a' na nultou,
a pak začínáte s b na nultou,

English: 
since we did all that work.
This is equal to a to the 4th plus,
plus 4,
plus 4a to the 3rd,
a to the 3rd b plus,
plus 6,
plus 6a squared b squared,
a squared b squared,
plus,
plus,
plus 4, I think you see a pattern here,
plus 4a times b to the 3rd power
plus b to the 4th power,
plus b to the 4th power.
There is an interesting pattern here.
There is a symmetry where
you have the coefficient,
you go 1, 4, 6 for the middle term,
and then you go back to 4,
and then you go back to 1.
Then you also see that pattern,
is that you start at a
to the 4th, a to the 3rd,
a squared, a,
and then you could say
there is an a to the 0 here,
and then you started b to the 0,

Thai: 
เพราะเราทำมาหมดแล้ว
นี่เท่ากับ a กำลัง 4 บวก
บวก 4
บวก 4a กำลัง 3
a กำลัง 3 b บวก
บวก 6
บวก 6a กำลัง 2 b กำลัง 2
a กำลัง 2 b กำลัง 2
บวก
บวก
บวก 4 ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบตรงนี้แล้ว
บวก 4a คูณ b กำลัง 3
บวก b กำลัง 4
บวก b กำลัง 4
มีรูปแบบที่น่าสนใจตรงนี้
มีสมมาตรอยู่โดยคุณมีสัมประสิทธิ์
คุณไป 1, 4, 6 เป็นเทอมตรงกลาง
แล้วคุณกลับไป 4
แล้วคุณกลับไป 1
แล้วคุณเห็นรูปแบบนั้น
คือว่าคุณเริ่มที่ a กำลัง 4, a กำลัง 3,
a กำลัง 2, a
แล้วคุณบอกว่ามี a กำลัง 0 ตรงนี้ก็ได้
แล้วคุณเริ่มที่ b กำลัง 0

Korean: 
b는 0승, 1승, 2승, 3승, 4승 으로 증가해요
자 이것은 이항정리가 쓰일 수 있는 한 가지 
예시에 불과해요
추후에 이항정리에 대해 더 알아볼 거에요
그리고 이항정리가 성립하는 이유를 알아볼 거에요

English: 
which we didn't write
it, but that's just 1,
then b to the 1st, b
squared, b to the 3rd,
b to the 4th.
This is just one
application or one example.
In future videos, we'll do more examples
of the binomial theorem
and also try to understand why it works.

Bulgarian: 
което не записахме, но това е просто 1,
после b^1, b^2, b^3,
b^4.
Това е просто едно приложение или един пример.
В бъдещи видеа ще направим повече примери
за Нютоновия бином
и ще опитаме да разберем защо работи.

German: 
was wir nicht geschrieben haben, da es nur 1 ist,
dann b¹, b², b³ und b⁴.
Das ist nur ein Beispiel.
In zukünftigen Videos bearbeiten wir weitere
Beispiele des Binomischen Lehrsatzes,
um zu verstehen, warum er funktioniert.

Thai: 
ซึ่งเราไม่ได้เขียน แต่มันก็คือ 1
แล้วก็ b กำลัง 1, b กำลัง 2, b กำลัง 3
b กำลัง 4
นี่ก็คือการประยุกต์ หรือตัวอย่างอันหนึ่ง
ในวิดีโอต่อไป เราจะทำตัวอย่างเพิ่ม
เรื่องทฤษฎีบททวินามกัน
แล้วลองทำความเข้าใจว่าทำไมมันจึงใช้ได้

Czech: 
které jsem takhle nenapsal, je to rovno 1,
potom b na první, b na druhou,
b na třetí, b na čtvrtou.
Tohle je jen jedno použití, jeden příklad.
V dalších videích uděláme víc
příkladů na binomickou větu
a také zkusíme pochopit, proč to funguje.
