
Portuguese: 
-
Eu desenhei múltiplas
versões da mesma superfície S,
cinco cópias da mesma superfície.
E o que eu quero fazer é 
estimar o valor da integral
de linha -- deixe-me escrever isso --
o valor da integral
de linha de F.dr, onde F é o
campo vetorial que nós
desenhamos em magenta em
cada um desses diagramas.
E obviamente, ele é diferente
em cada um desses diagramas.
E a única parte do campo 
vetorial que desenhamos
é a parte que está ao
longo da superfície.
Eu poderia ter desenhado 
a parte do campo vetorial
que está fora da superfície,
mas nós vamos
nos preocupar com o que
está acontecendo na superfície.
Então o campo vetorial
poderia ser definido
em todo este espaço tridimensional
e aqui também.
E estes são obviamente 
diferentes campos vetoriais,
e podemos ver isso com base
em como nós os desenhamos.
E o contorno que mais nos
interessa -- lembremos,
nós vamos tirar uma integral de linha,
assim sendo o trajeto é importante.
O trajeto que nos interessa 
é o anti horário
do limite da nossa superfície,
então ele vai ser esse aqui.

Korean: 
정확히 동일한 표면 S에 대한 여러 버전, 즉
정확히 동일한 표면 S에 대한 여러 버전, 즉
5개의 복사본을 그렸습니다
이제 선적분 값을, 즉
여기에 적어보면, Fㆍdr의 선적분 값을 생각해 보고자 하는데
여기서 F는 각각의 다이어그램에 자홍색으로 그린
벡터장이 됩니다
확실히 각각의 다이어그램의 벡터장은 다릅니다
벡터장에서 내가 그린 부분은
표면에 국한됩니다
표면을 벗어난 부분의 벡터장을 그릴수도 있었겠지만
우리가 관심을 갖는 부분은
표면과 관련된 것뿐입니다
벡터장은 여기 3차원 공간 전체 어디에서나,
여기에서도 마찬가지로 정의될 수 있습니다
이것들은 분명히 서로 다른 벡터장이고, 이를
우리가 그리는 방법에 따라 시각적으로 
확인할 수 있습니다
관심의 대상이 되는 것은 곡면인데, 기억할 것은
선적분을 할 것이기 때문에 경로가 중요하다는 것입니다
관심의 대상이 되는 경로는 표면 경계선의
반시계 방향 경로인데 바로 여기 이것이 됩니다

English: 
So I've drawn multiple versions
of the exact same surface
S, five copies of that
exact same surface.
And what I want to do is think
about the value of the line
integral-- let me write this
down-- the value of the line
integral of F dot dr, where F
is the vector field that I've
drawn in magenta in
each of these diagrams.
And obviously, it's different
in each of these diagrams.
And the only part of the
vector field that I've drawn
is a part that's
along the surface.
I could have drawn the
part of the vector field
that's off the
surface, but we're only
going to be concerned with
what's going on on the surface.
So the vector field
could be defined
in this entire three-dimensional
space in here as well.
And these are obviously
different vector fields,
and we can see that visually
based on how we drew it.
And the contour that we
care about-- remember,
we're going to take a line
integral, so the path matters.
The path that we care about is
the counterclockwise boundary
of our surface, so it's going
to be this right over here.

Polish: 
Narysowałem kilka wersji tej samej powierzchni S,
pięć kopii tej samej powierzchni.
Chcę roważyć wartość całki krzywoliniowej,
niech napiszę, wartość całki
z F mnożone skalarnie z dr, gdzie F jest polem wektorowym,
które narysowałem na różowo na każdym z rysunków.
Jest ono oczywiście inne na każdym z tych rysunków.
Jedyna część pola wektorowego jaką narysowałem,
to ta, która przechodzi przez powierzchnię.
Mógłbym narysować tą część pola wektorowego,
która jest poza powierzchnią, ale
będziemy rozważać jedynie to, co dzieje się na samej powierzchni
Zatem nasze pole wektorowe mogłoby być równie dobrze
zdefiniowane w całej przestrzeni trójwymiarowej.
Są to oczywiście różne pola wektorowe,
co widać, po sposobie w jaki zostały narysowane.
I brzeg, na którym nam zależy, pamiętajcie,
będziemy obliczać całkę krzywoliniową, więc krzywa droga ma znaczenie.
Droga, którą roważamy, to brzeg powierzchni zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
To będzie to tutaj.

Korean: 
표면의 반시계 방향 경계선을 따라
Fㆍdr의 선적분을 계산할 것입니다
바로 여기 이것이고, 방향을 그리도록 합시다
반시계 방향입니다
우리는 각각의 경우에 있어서
모든 표면과 모든 F에 대해 이렇게 할 것입니다
생각해보고자 하는 것은 곡면 상  Fㆍdr의 값이
어떻게 되는지, 또한
예시에 따라 어떻게 변화하는지 하는 것입니다
이 각각의 예시에서 확실한 단 하나의 차이점은
벡터장의 변화입니다
따라서 여기 이곳의 예시를 생각해 봅시다
곡면의 이 부분, 즉 바로 여기 아래 부분에서
벡터장은
곡면의 방향과 일치합니다
곡면의 방향과 일치합니다
따라서 여기 아래 Fㆍdr은 양의 값들을 갖게 되고
우리는 이 값들을 계속 합산하게 될 것입니다
즉, 적분을 하는 것입니다
곡선을 따라 올라가면, 즉
바로 여기 오르막 경사면을 따라 올라가면

English: 
The counterclockwise
boundary of our surface
is what we're going to
be taking F dot dr along.
So this right over here, and
let me draw the orientation.
It's going to be
counterclockwise.
And we're going to do it in
every one of these situations,
for every one of these surfaces
and every one of these F's.
And what I really want to think
about is how the value of F
dot dr over that
contour, how it might
change from example to example.
And obviously, the
only difference
between each of these is what
the vector field F is doing.
So first let's think about
this example right over here.
At this part of the
contour, this bottom part
right over here,
our vector field
is going in the exact same
direction as our line,
as our contour.
So we're going to get positive
values of F dot dr down here,
and we're going to
keep summing them up.
We're taking an integral.
Then as we go up
the curve or as we
go kind of uphill
right over here,

Polish: 
Brzeg zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
to jest to po czym będziemy całkować F razy (skalarnie) dr.
To tutaj, narysuję orientację.
Będzie ona przeciwna do do ruchu wskazówek zegara.
Zrobimy to w każdej z naszych sytuacji,
dla każdej powierzchni i dla każdego F.
Chcę się zastanowić jak wartość
F razy (skalarnie) dr
może się zmieniać w zależności od przykładu.
I oczywiście, jedyną róznicą między tymi sytuacjami
jest zachowanie pola wektorowego F.
Rozważmy najpierw ten pierwszy przykład.
W tym fragmencie brzegu, tym tutaj na dole
nasze pole wektorowe
ma ten sam kierunek co droga (krzywa zorientowana),
czyli brzeg powierzchni.
Zatem dostaniemy tutaj dodatni wynik F razy (skalarnie) dr,
i będziemy je sumować
gdyż obliczamy całkę.
Dalej, gdy idziemy wzdłuż krzywej,
tak jakby pod górkę, o tutaj

Portuguese: 
O trajeto anti horário do
limite da nossa superfície
é o que vamos chamar 
de agora em diante de F.dr.
Então isso bem aqui, deixa 
eu desenhar a orientação.
Ele vai ser anti horário.
E vamos fazer isso em 
cada uma dessas situações,
para cada uma dessas superfícies
e cada um desses Fs.
E o que eu quero destacar é 
como o valor de F.dr
sobre aquele contorno,
como ele pode
mudar de exemplo para exemplo,.
E obviamente, a única diferença
entre cada um desses é o que 
o campo vetorial F está fazendo.
Então primeiro vamos destacar 
este exemplo bem aqui.
Nesta parte do contorno, 
esta parte de baixo
bem aqui, nosso campo vetorial
está indo na mesma direção 
que a nossa linha,
como o nosso contorno.
Então nós vamos obter valores 
positivos para F.dr aqui em baixo,
e nós vamos somá-los.
Nós estamos obtendo uma integral.
Então nós vamos linha acima 
na curva, como se
fossemos morro acima bem aqui,

English: 
we see that our vector field is
going essentially orthogonal.
It's going perpendicular.
It's going perpendicular
to our contour.
So our F dot dr, we're not going
to get any value from that.
F dot dr and all of these,
this part of the contour,
it's all going to be 0.
So we're not going to get
anything right over there.
Actually, let me
just write nothing.
So we get nothing
right over there.
Maybe I'll write 0.
I'll write we'll get
0 right over there.
And then up here, when we're
at this part of the contour,
our vector field is going in
the exact opposite direction
as our path.
Up here our path
is going, I guess,
from the right to the left,
while our vector field
is going from the
left to the right.
And so we're actually going
to get negative values.
We are going to get
negative values up here,
and they're going to sum up to
a reasonable negative value.
And if the vector
field is constant,
and I kind of drew
it like it is,
and if this length is
equal to this length,
then these two values
are going to cancel out.
When you add this positive
sum to this negative sum,
they're going to be 0.

Korean: 
벡터장은 직교할 수밖에 없음을 알 수 있습니다
수직이 됩니다
곡면에 수직이 됩니다
따라서 Fㆍdr은 어떤 값도 가질 수 없습니다
Fㆍdr과 이 모든 것들, 즉 곡면의 이 부분은
0이 됩니다
따라서 바로 여기에서는 어떤 값도 가질 수 없습니다
그래서 아무 것도 적지 않겠습니다
그래서 아무 것도 적지 않겠습니다
0이라고 쓸 수 있겠습니다
바로 거기에서의 값은 0이라고 쓸 것입니다
그리고 여기 윗쪽 곡면의 이 부분에서
벡터장은 경로와 정확히 반대 방향입니다
벡터장은 경로와 정확히 반대 방향입니다
윗쪽 여기에서 경로는 추측컨대
오른쪽에서 왼쪽으로 진행하는 반면에
벡터장은 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하고 있습니다
그래서 사실상 음의 값을 갖게 됩니다
윗쪽 여기에서는 음의 값을 갖게 되고
합산하면 꽤 큰 음의 값을 갖게 될 것입니다
벡터장이 일정하다면
어느 정도 그런 것처럼 벡터장을 그렸듯이
그리고 이 길이와 이 길이는 동일하다면
이 두개의 값은 상쇄됩니다
양의 값과 음의 값을 더하게 되면
0이 됩니다

Portuguese: 
e vemos que nosso campo vetorial 
está essencialmente ortogonal.
Ele está perpendicular.
ele está perpendicular ao nosso contorno.
Então o nosso F.dr não assume
nenhum valor ái.
F.dr aqui, nesta parte do contorno,
vai ser 0.
Então nós não temos nada aqui.
Na realidade, eu vou escrever "nada".
Então nós não temos nada aqui.
Talvez eu escreva 0.
Eu vou escrever que nós temos 0 bem aqui.
E então aqui em cima, quando estamos
nesta parte do contorno,
nosso campo vetorial está
indo na direção oposta
à do nosso trajeto.
Aqui em cima nosso trajeto
está indo, eu imagino,
da direta pra a esquerda,
enquanto o nosso campo vetorial
está indo da esquerda pra direita.
E assim nós vamos na realidade
obter valores negativos.
Vamos obter valores negativos
aqui em cima,
e eles vão adicionar 
um valor negativo razoável.
E se o campo vetorial é constante,
e eu acho que o desenhei desta forma,
e este comprimento é igual 
a este comprimento,
então estes dois valores vão se anular.
Quando você adiciona esta soma
positiva a esta soma negativa,
ela vai ser 0.

Polish: 
widzimy, że nasze pole wektorowe jest ortogonalne.
Jest prostopadłe.
Prostopadłe do naszego brzegu.
Więc nasze F razy (skalarnie) dr nie dam nam żadnej wartości.
W tej części brzegu F razy dr
będzie równe 0.
Więc nic stąd nie otrzymamy.
Właściwie to napiszę "nic".
Tutaj nic nie dostajemy
Może napiszę 0.
Tutaj dostajemy 0
A tutaj wyżej, gdy jesteśmy w tej części brzegu,
nasze pole wektorowe jest skierowane w dokładnie przeciwnym kierunku
do naszej drogi.
W tum miejscu, nasza droga biegnie
z prawej strony do lewej, podczas gdy pole wektorowe
z lewej do prawej.
Otrzymamy zatem ujemne wartości.
Otrzymamy tutaj ujemne wartości
i będą się sumowały do jakiejś rozsądnej ujemnej wartości.
I jeśli pole wektorowe jest stałe,
ja mniej więcej tak je narysowałem
i jeśli ta długość jest równa tej długości
to te dwie wartości się zniosą.
Jeśli dodamy tą dodatnią sumę do tej ujemnej sumy,
otrzymamy 0.

English: 
And then once again, when
you go downhill again,
the vector field
is perpendicular
to our actual path, so
we're going to get 0.
So based on the way
I've described it,
your line integral of F dot
dr for this version of F
in this example right over
here, it might all cancel out.
You will get something, if we
make the assumptions that I
made, this might be equal to 0.
So in this example, F dot
dr could be equal to 0.
Now let's think about what's
going on in this situation.
In this one, just like the last
one, as we go along the bottom,
the vector field is going
in the exact same direction
as our contour, so we're
going to get positive values.
And once we go up the
hill, the vector field
is going perpendicular
to our path,
so it's not going to add
anything really to it.
So we're just going to
get 0 along this part.
But then up here, our vector
field has switched directions.
And once again, it's going
in the exact same direction

Portuguese: 
E então de novo, quando 
você for morro abaixo,
o campo vetorial é perpendicular
ao nosso trajeto, e nós vamos ter 0.
Assim, com base no forma
como eu a descrevi,
nossa integral de linha de F.dr 
para esta versão de F
neste exemplo aqui, pode ser toda anulada.
Você vai obter, se fizermos 
as suposições que eu fiz,
que isso vai ser igual a 0.
Então nesse exemplo F.dr 
pode ser igual a 0.
Agora vamos pensar no que 
acontece nessa situação.
Nessa aqui, como na anterior, na medida 
em que seguimos ao longo da parte
inferior, o campo vetorial 
vai ter a mesma direção
que o nosso contorno, e então 
vamos ter valores positivos.
E ao irmos morro acima, o campo vetorial
se torna perpendicular
ao nosso trajeto,
e assim ele não vai somar nada a ele.
Então nós vamos obter 0 
ao longo desta parte.
Mas aqui o nosso campo 
vetorial mudou de direção.
E mais uma vez, ele vai
ter a mesma direção

Polish: 
I znowu, jeśli znowu skierujemy się w dół
pole wektorowe jest prostopadłe
do naszej drogi, więc otrzymamy 0.
Więc bazując na sposobie w jaki ją opisałem,
całka krzywoliniowa z F razy (skalarnie) dr dla tej wersji F
w tym tutaj przykładzie może się wyzerować.
Jeśli zrobimy takie założenia jak zrobiłem
To może być równe 0.
Więc w tym przykładzie całka z F razy dr może być równa 0.
Zastanówmy się teraz co dzieje się w tej sytuacji.
Tutaj, tak jak poprzednio, jeśli idziemy wzdłuż dolnej części
pole wektorowe ma dokładnie ten sam kierunek
co nasza droga, zatem otrzymamy dodatnią wartość.
Jeśli pójdziemy w górę, pole wektorowe
jest prostopadłe do drogi
więc nic z tego nie otrzymamy.
Więc wzdłuż tej części dostaniemy 0.
Ale potem tutaj, nasze pole wektorowe zmienia kierunek
i znowu ma ten sam kierunek

Korean: 
그리고 다시 한번 내리막 경사면을 따라 가면
벡터장은 경로와 수직이 되며
0의 값을 갖게 됩니다
지금까지 설명한 것을 토대로
바로 여기 이 예에서 보인 F 버전에 대한 
Fㆍdr의 선적분은
모두 상쇄되어 0이 됩니다
만약에 내가 전에 했던 전제조건을 가정한다면
이것은 0이 될 것입니다
따라서 이 예에서 Fㆍdr은 0이 될 수 있습니다
이제 이 경우는 어떤지 생각해 봅시다
이 경우에서는 지난 예와 마찬가지로
바닥 부분을 따라 벡터장은 곡면과 정확히 
같은 방향으로
움직이기 때문에 양의 값을 갖게 됩니다
오르막 부분을 따라 올라가면서
벡터장은 경로와 직교하게 되며
따라서 아무 것도 더해지는 것이 없습니다
따라서 이 부분에서는 단지 0을 얻게 됩니다
그러나 여기 윗쪽에서 벡터장은 방향을 바꾸게 됩니다
그리고 다시 경로와 같은 방향으로 움직이게 되어

English: 
as our path, so we're going to
get more positive values right
over there.
And then as we go
down here, it's
not going to add anything
because our vector field is
perpendicular to our path.
So we're going to get 0.
But notice, now these
two ends don't cancel out
with each other.
We're going to get
a positive value.
We are going to get
a positive value.
And what was the difference
between this version
of F, this vector field,
and this vector field
right over here?
Well, this vector field
switched directions
so that the top part
didn't cancel out
with the bottom part.
Or another way to think about
it is, it had some curl.
There's a little bit
of spinning going on.
If this was describing
the velocity of a fluid,
and if you were to put
a stick right over there
on the surface, the
stick would spin.
It has some spin or
some curl, however
you want to describe it.
This right over
here has no curl.
If you put a stick
right over here,
it would just flow
with the fluid,
but the stick itself
would not spin.
So we got a positive value
for the line integral
in this situation.
And we also have, it looks
like, a positive curl.

Polish: 
co nasza droga, więc dostaniemy kolejną dodatnią wartość
w tym miejscu.
I jak pójdziemy tutaj w dół
nic nie dostaniemy, ponieważ nasze pole wektorowe
jest prostopadłe do drogi.
Więc otrzymamy 0.
Ale zauważcie, teraz te dwa końce się nie zniosą
nawzajem
Dostaniemy dodatnią wartość.
Dostaniemy dodatnią wartosć.
Jaka była różnica między tymi dwiema wersjami
F, tego pola wektorowego i tego pola wektorowego
tutaj?
Cóż, to pole wektorowe zmienia kierunki
tak, że górna część nie zniosła się
z tą dolną.
Inaczej można o tym myśleć, że miało pewną rotację.
Mamy tu do czynienia z pewnym "kręceniem się".
Gdyby to opisywało prędkość płynu
i gdyby położyć tutaj patyk
na powierchni, kij zacząłby się kręcić.
Ma pewien spin lub rotację,
jakkolwiek to nazwiemy.
To pole tutaj, nie ma rotacji.
Jeśli położymy tutaj patyk
popłynie on po prostu razem z cieczą.
Ale sam patyk nie będzie się kręcił.
Więc dostajemy dodatnią wartość całki
w tej sytuacji.
I mamy również, tak przynajmniej wygląda, dodatnią rotację.

Korean: 
바로 여기에서 더 많은 양의 값을 갖게 됩니다
바로 여기에서 더 많은 양의 값을 갖게 됩니다
그리고나서 여기 아래로 내려오면서
아무것도 더해지는 것이 없게 되는데
벡터장이 경로와 직교하기 때문입니다
따라서 0이 됩니다
그리고 이 두 끝은 서로 상쇄되지 않음을
주목해야 합니다
양의 값을 하나 갖게 되고
음의 값을 하나 갖게 됩니다
이 형태의 벡터장 F와
바로 여기 벡터장의 차이는
무엇일까요?
음, 이 벡터장은 방향을 바꿨기 때문에
윗부분과 아랫부분이 서로
상쇄되지 않았습니다
즉 다시 말하면 이것에는 약간의 회전이 있습니다
약간의 회전이 진행되고 있습니다
만약 이것이 유체의 속도를 나타내는 것이고
여러분이 표면 위 바로 저기에 막대기를 갖다댄다면
막대기는 회전을 할 것입니다
여러분이 어떻게 표현하든
막대기는 회전하게 됩니다
여기 이것은 회전이 없습니다
만약에 바로 여기에 막대기를 갖다 대면
유체와 함께 흘러갈 뿐이지
막대기 자체가 회전하지는 않습니다
따라서 이 경우에는
양의 적분값을 갖게 됩니다
여기 양의 회전이 있습니다, 그렇게 보이죠

Portuguese: 
que o nosso trajeto, e nós vamos 
obter mais valores positivos
bem aqui.
E então quando nós descermos aqui,
não vamos somar nada porque 
o nosso campo vetorial é
perpendicular 
ao nosso trajeto.
Então nós vamos ter 0.
Mas notem, agora essas duas 
extremidades não se cancelam
uma com a outra.
Vamos obter um valor positivo.
Vamos obter um valor positivo.
E qual foi a diferença entre esta versão
de F, este campo vetorial, 
e este campo vetorial
bem aqui?
Bem, este campo vetorial 
mudou de direção
de modo que a parte 
superior não se cancelou
com a parte inferior.
Ou pensando de outra forma, 
houve alguma rotação.
Aconteceu um espécie de giro.
Se isso estivesse descrevendo 
a velocidade de um fluido,
e se você fosse pôr 
um mastro bem aqui
na superfície, ele iria girar.
Ele de certa forma roda, ou 
gira, como
quer que você queira
descrever.
Este aqui não tem rotação.
Se você puser um mastro aqui,
ele irá apenas seguir com o fluido,
Mas o mastro em si não iria girar.
Então nós temos um valor
positivo para a integra de linha
nessa situação.
E nós também temos, ao que parece,
um rotacional positivo.

English: 
Now let's think about this one.
In this situation, as we go
along this part of our contour,
our vector field F is going
in the exact same direction,
so we're going to
get positive values.
Now as we go uphill,
our vector field F,
it's also kind of turned
in that direction,
and so we'll get
more positive values.
And now as we go
in that direction,
our vector field
F is still going
in the direction of
our contour, we're
going to get more
positive values.
And as we go down, once
again the vector field F
is going in the
direction of our contour,
so we'll get even
more positive values.
So in this situation, the
value of our line integral of F
dot dr is even more positive.
And we see that the
actual vector field along
the surface-- and
remember, the vector field
might be doing all sorts of
crazy things off the surface.
Actually, let me draw that
in that same magenta color.

Portuguese: 
-
Agora vamos considerar este aqui.
Nessa situação, na medida em que 
seguimos nessa parte do nosso contorno,
nosso campo vetorial F 
segue na mesma direção,
então nós iremos ter valores positivos.
Agora se seguirmos morro acima,
nosso campo vetorial F,
também seguiu na mesma direção,
e assim nós vamos ter
mais valores positivos.
E agora se seguirmos 
nessa direção,
nosso campo
vetorial F continua
na direção do nosso contorno, nós
estamos obtendo mais 
valores positivos.
E ao seguirmos pra baixo, mais 
uma vez nosso campo vetorial F
segue a direção 
do nosso contorno,
e então nós obtemos ainda
mais valores positivos.
Então nessa situação, o valor 
da nossa integral de linha de F.dr
é ainda mais positiva.
-
E nós vemos que o valor real 
do campo vetorial ao longo
da superfície -- e lembrem-se, 
o campo vetorial
podia estar fazendo todo tipo
de loucura fora da superfície.
Na realidade, deixe-me desenhar 
isso na mesma cor magenta.
Ele podia estar fazendo todo tipo
de loucura fora da superfície,

Korean: 
여기 양의 회전이 있습니다, 그렇게 보이죠
이것에 대해 생각해 봅시다
이 경우 곡면의 이 부분을 따라 움직이면
벡터장 F는 정확히 같은 방향으로 움직이며
따라서 양의 값을 갖게 됩니다
이제 오르막으로 올라갈수록 벡터장 F 역시
그 방향으로 어느 정도 회전하게 되고
그 결과 더 많은 양의 값을 갖게 됩니다
이제 그 방향으로 움직일수록
벡터장 F는 여전히
곡면의 방향으로 움직이게 되며
더 많은 양의 값을 갖게 됩니다
내려갈수록 다시 한번 벡터장 F는
곡면의 방향으로 움직이게 되고
따라서 더욱 더 많은 양의 값을 갖게 됩니다
따라서 이 경우에 Fㆍdr의 선적분 값은
더욱 양의 값을 갖게 됩니다
더욱 양의 값을 갖게 됩니다
표면 상의 벡터장을 보고 있습니다
기억할 것은 표면을 벗어난 벡터장은 온갖 종류의
기괴한 행태를 보일 수도 있다는 것입니다
그것을 같은 자홍색으로 그려 보겠습니다

Polish: 
Zastanówmy się teraz nad tym.
W tej sytuacji, jeśli pójdziemy wzdłuż tej części naszego brzegu
nasze pole wektorowe ma ten sam kierunek,
zatem otrzymamy dodatnie wartości.
Teraz jeśli pójdziemy w górę, nasze pole wektorowe F
jest również skierowane w tym kierunku,
więc dostaniemy kolejne dodatnie wartości.
I jeśli teraz pójdziemy w tym kierunku
nasze pole wektorowe F ciągle
ma ten sam kierunek co nasza droga,
dostaniemy więcej dodatnich wartości.
I jeśli pójdziemy w dół, znów nasze pole wektorowe F
ma ten sam kierunek co droga,
więc dostaniemy jeszcze więcej dodatnich wartości.
Zatem w tej sytuacji, wartość całki krzywoliniowej
jest "jeszcze bardziej dodatnia".
I jak widzimy pole wektorowe
na tej powierzchni (i pamiętajcie, że pole wektorowe
może robić różne dziwne rzeczy poza tą powierzchnią)
Właściwie to narysuję je tym samym różowym kolorem.

Korean: 
표면을 벗어나서 온갖 기괴한 행태를 보일 수도 있지만
사실상 우리의 관심사는
표면 상에서 일어나는 현상입니다
그리고 이 벡터장은
여러분은 나선형으로 감긴다고 말할 수도 있겠지만
표면을 따라 회전하고 있기 때문에
경계선 상의 모든 점들을 따라 움직이게 되고
양의 선적분 값을 갖게 되는 것입니다
그래서 더 높은 회전이 생기게 됩니다
따라서 더 많은 회전은 더 많은 양의 선적분을 초래하게
되는 것입니다
이제 바로 여기 이 경우에는
어떤 일이 벌어지는지 생각해 봅시다
여기 아래의 경우에는
벡터장이 경로와 같은 방향으로 움직이고 있어서
양의 값을 갖게 됩니다
첫번째 경우와 마찬가지로 이렇게 오르막을 따라 가면,
즉 이렇게 표면을 따라 올라가게 되면
벡터장은 표면에 직교하게 되고
선적분에 더해지는 것은 없게 됩니다
그리고 여기 윗쪽 부분, 
바로 여기 윗쪽의 첫번째 부분을
따라가면 벡터장은 우리와 반대 방향이 됩니다
따라가면 벡터장은 우리와 반대 방향이 됩니다
따라서 여기에서는 음의 값을 갖게 됩니다
경로와 정반대 방향으로 움직이는 것입니다
그리고 나서 끝에 다다르게 되면
벡터장은 방향을 뒤집어서

Portuguese: 
mas o que nos interessa é o que
está acontecendo na superfície.
E porque essa campo vetorial está,
eu penso que vocês poderiam 
dizer rodando, ou
girando ao longo da superfície, 
isso permite
que ele siga com o trajeto 
em todos os pontos,
e nós obtemos um valor muito positivo
para esta integra de linha.
Assim sendo nós temos um 
rotacional mais elevado.
Então mais rotacional, ao que parece, 
está levando a uma integral de linha mais
positiva.
Agora vamos ver o 
que está ocorrendo
nessa situação.
Nesta situação aqui em baixo, 
nosso campo vetorial
está na mesma direção do nosso trajeto,
e assim sendo vamos ter valores positivos,
como na primeira situação, e se formos
morro acima dessa forma
ou subindo na superfície desse jeito, 
nosso campo vetorial
é perpendicular à nossa superfície, 
e assim ele não
vai adicionar nada à
nossa integral de linha.
E se seguirmos ao longo da parte 
superior, nessa primeira parte
da parte superior bem
aqui, o campo vetorial
vai contra nós.
Então ele é negativo bem aqui.
Estamos indo a direção oposta 
à do nosso trajeto.
E então, quando 
chegamos ao fim,
o campo vetorial 
muda de direção,

English: 
It might be doing all sorts of
crazy things off the surface,
but what we really
care about is what's
happening on the surface.
And because this
vector field is,
I guess you could
say curling, or it's
spinning along the
surface, it allows
it to go with the boundary
along all the points,
and we get a very positive
value for this line integral.
So we have a higher curl.
So more curl, it looks like, is
leading to a more positive line
integral.
Now let's think about
what's happening
in this situation
right over here.
This situation down
here, our vector field
is going in the same
direction as our path,
so we're going to
get positive values.
Just like the first situation,
as we go up the hill like this
or up the surface like
that, our vector field
is perpendicular to our
surface, so it's really not
going to add anything
to our line integral.
And then as we go along this
top part, this first part
of the top part right over
here, the vector field
is going against us.
So it's negative
right over here.
We're going in the exact
opposite direction of our path.
And then, right as
we get to the end,
the vector field
flips direction,

Polish: 
Może ono robić różne dziwaczne rzeczy poza tą powierzchnią
ale to co nas obchodzi to jest to,
co dzieje się na powierzchni.
I ponieważ to pole wektorowe,
myślę że można tak powiedzieć, rotuje albo
kręci się na powierzchni. Pozwala mu to
kierować się wzdłuż brzegu, we wszystkich punktach
i otrzymujemy dodatnią wartość tej całki krzywoliniowej.
Więc mamy większą rotację.
Więc "bardziej skręcone" pole daje większą (dodatnią) wartość
całki.
Zastanówmy się teraz, co dzieje się
w tej sytuacji.
Ta tutaj sytuacja. Nasze pole wektorowe
ma ten sam kierunek co nasza droga.
Zatem otrzymujemy dodatnie wartości.
Tak samo jak w pierwszej sytuacji, gdy idziemy pod górkę w ten sposób
lub w górę po powierzchni, nasze pole wektorowe
jest prostopadłe do powierzchni, zatem
nie dodamy nic do naszej całki krzywoliniowej.
Jeśli pójdziemy wzdłuż tej górnej części, pierwszy fragment
górnej częći, o, tutaj, pole wektorowe
będzie miało przeciwny do nas kierunek.
Więc tutaj dostajemy coś ujemnego.
Kierunek jest dokładnie odwrotny do kierunku naszej drogi.
I potem, zanim dojdziemy do końca
pole wektorowe zmienia kierunek

English: 
and we get a little
bit of positive right
over here because it's
a little bit of it
going in the same direction.
And then we go back downhill.
When we go back
downhill, it adds nothing
because our vector field
is going perpendicular
to our path.
So the big difference between
this case and the case
up here is the case
up here-- well,
actually, I could compare
between these two or these two.
But the difference between
this one and this one
is that at least this
part of the vector field
has switched directions.
So we get a little
bit of positive value.
And one way to think
about it, this one
is going to be less positive
than that, if we take the line
integral, but more
positive than that.
And one other way
to think about it
is, we have a little bit of
curl going on right over here.
Our vector field switched
directions right around there,
or I guess you
could say that it's
spinning right around there.
So if you put a stick,
if that was in the water,
it would start spinning.
But everywhere else,
there isn't a lot of curl.
So you have some curl, but
it's over a little small region
of the surface.
While over here, you
had curl going on

Korean: 
바로 여기에 약간의 양의 값을 갖게 되는데
그 이유는 경로와 어느 정도 같은 방향으로
움직이기 때문입니다
그리고 다시 내리막을 따라 갑니다
내리막을 따라 가면 더해지는 것이 없게 되는데
이는 벡터장이 경로와 직교하기 때문입니다
이는 벡터장이 경로와 직교하기 때문입니다
따라서 이 경우와 여기 위에 이 경우의 가장 큰 차이는
사실상
이 둘을 비교해도 되고 
또는 이 둘을 비교해 볼 수도 있는데
이것과 이것의 차이는
벡터장의 이 부분은
방향을 변경했다는 것입니다
따라서 약간의 양의 값을 갖게 됩니다
다시 말하자면 이것은
선적분을 하게 되면 저것보다는 작은 양의 값을 갖지만
이것보다는 큰 양의 값을 갖게 됩니다
달리 말하면 바로 이곳에는
약간의 회전이 진행되고 있다고 할 수 있습니다
벡터장은 바로 저곳에서 방향을 변경했고
이것을 여러분은 벡터장이 저곳에서
회전한다고 말할 수도 있을 것입니다
그래서 막대기를 갖다대고 만약 물속이라면
회전하게 되는 것입니다
그러나 다른 곳에서는 회전이 거의 없습니다
회전이 있다 하더라도 표면의 극히 적은
일부분에서만 일어납니다
이곳에서는 표면의 넓은 부분에서

Portuguese: 
e nós conseguimos um 
pequeno valor positivo
bem aqui porque um pouco dele
está indo na mesma direção.
E então seguimos morro abaixo.
Quando voltamos morro abaixo, 
ele não soma nada
porque o nosso campo 
vetorial é perpendicular
ao nosso trajeto.
Então a grande diferença entre
este caso aqui e o caso
aqui é que o caso aqui -- bem,
na realidade, eu poderia fazer a 
comparação entre esse dois ou esses dois.
Mas a diferença entre este e este
é que ao menos esta parte 
do campo vetorial
mudou de direção.
E assim nós obtemos um 
pequeno valor positivo.
E uma forma de pensar 
nisso é, este
vai ser menos positivo que aquele, 
se tomarmos a integral
de linha, mas mais positivo que aquele.
E outra forma de pensar é que
nós temos um pouco de rotação
acontecendo bem aqui.
Nosso campo vetorial 
mudou de direção por ali,
ou eu imagino que vocês 
poderiam dizer que ele
está girando por ali.
Então se você colocar um 
mastro, se ele estiver na água,
ele irá começar a girar.
Mas em qualquer outro lugar,
não vai existir muita rotação.
Então você tem alguma rotação, 
mas ele está em uma região pequena
da superfície.

Polish: 
i dostajemy odrobinę dodatniej wartości w tym miejsu,
gdyż część tego
ma ten sam kierunek.
Następnie wracamy w dół.
Gdy wracamy w dół, nic się nie dodaje,
ponieważ nasze pole wektorowe jest prostopadłe
do naszej drogi.
Zatem duża różnica między tym przypadkiem, a tym przypadkiem
tutaj polega na... Cóż...
Właściwie mógłbym porównać te dwa albo te dwa.
Ale różnica między tym a tym
polega na tym, że przynajmniej ta cześć pola wektorowego
zmieniła kierunek.
Więc dostajemy tutaj trochę dodatniej wartości.
I jednym ze sposobów myślenia o tym jest: to tutaj
będzie "mniej dodatnie" niż to jeśli weźmiemy
całkę krzywoliniową, ale "bardziej dodatnie" niż to.
Inny sposób myślenia o tym:
Tutaj mamy troszkę rotacji
Nasze pole wektorowe zmieniło kierunek w pobliżu tego miejsca
lub, myślę że można tak powiedzieć,
kręci się wokół tego miejsca.
Więc jeśli położymy tam patyk, gdyby to była woda,
zacznie się kręcić
Ale wszędzie indziej, nie ma zbyt dużo rotacji.
Więc jest trochę rotacji, ale na małym
obszarze powierzchni.
Podczas gdy tutaj, mamy rotację

Korean: 
회전이 일어났습니다
그래서 여기 윗쪽에서는 더 많은 양의 회전, 즉
더 많은 양의 선적분을 갖게 됩니다
여기서는 표면의 더 적은 부분에서 회전이 일어나고
따라서 더 적은 양의 선적분 값을 갖게 됩니다
이제 여기 이것에 대해 생각해 봅시다
이 벡터장은 표면을 따라 회전이 일어납니다
바로 이 곳에서 회전이 일어납니다
물 속에 막대기를 집어 넣고 이것을 물의 속도라 하면
막대기는 회전할 것입니다
그렇게 회전이 생기게 됩니다
그러나 막대기는 방향을 다시 바꾸게 되고
그 결과 저곳에서도 또한 회전이 생기게 되는데
방향은 반대가 됩니다
따라서 대략 이 모든 것을 더하게 되면
서로 상쇄됩니다
일리가 있죠.
상쇄된다는 것이 일리가 있는 것은
이 모든 부분을 따라 선적분을 계산하면
첫번째 경우와 마찬가지로
모든 것이 더해져서 0이 되기 때문입니다
설사 어느 정도 회전이 있다 하더라도
서로 상쇄됩니다
따라서 여기 표면의 윗부분으로 가면
벡터장은 여기 표면의 아래 부분과

Polish: 
na większym obszarze powierzchni.
Więc tutaj jest więcej rotacji
i większa wartość całki.
Tutaj rotacja występuje na mniejszym obszarze powierzchni
i otrzymujemy mniejszą wartość całki krzywoliniowej.
Teraz zastanówmy się nad tym tutaj.
To pole wektorowe na powierzchni ma trochę rotacji
Rotacja występuje tutaj
Jeśli położy się kij na wodzie,
jeśli rozumiemy to jako prędkość wody, kij zacznie się kręcić.
Więc występuje rotacja.
Ale potem zmienia ono znów swój kierunek
więc tutaj również mamy trochę rotacji
i jest to rotacja w przeciwnym kierunku.
Więc do pewnego stopnia, gdyby to wszystko zsumować
może wszystko by się znisło.
I to ma sens.
Ma sen, żeby się zniosło
ponieważ gdy obliczasz całkę krzywoliniową
wokół całości, tak jak w pierwszej sytuacji,
wygląda, że wyjdzie 0.
Chociaż występuje trochę rotacji,
to rotacje kasują się nawzajem.
W tej górnej części powierzchni
pole wektorowe ma ten sam kierunek

Portuguese: 
Enquanto aqui, você tinha
uma rotação acontecendo
em uma grande porção da nossa superfície.
e aqui em cima você tinha um 
rotacional mais positivo,
uma integral de linha mais positiva.
Aqui você tem um rotacional em 
uma parte menor da superfície,
e você vai ter uma integral 
de linha menos positiva.
Agora vamos considerar este aqui.
Neste campo vetorial, ao longo da 
superfície existe alguma rotação.
Existe alguma rotação
acontecendo bem ali.
Se você puser um mastro na água,
se você
ver isso como a velocidade da água,
o mastro iria girar.
Então você tem algum rotacional.
Mas então ele muda de direção de novo,
e então você também tem um 
rotacional ali, e da realidade é um
rotacional na 
direção oposta.
Então de certa forma, você 
vai somar tudo isso junto,
pode ser que eles
vão se anular.
E isso faz sentido.
Faz sentido que eles se anulem
porque quando você obtém 
a integral de linha
em torno da coisa toda, 
como na primeira situação,
parece que a soma vai ser 0.
Porque embora você tenha 
alguma rotação,
elas se cancelam.
E assim quando você chega a esta 
parte superior da superfície,
o campo vetorial segue na mesma direção

English: 
over a larger portion
of our surface.
And so up here, you had
a more positive curl,
more positive line integral.
Here you have a curl
over less of the surface,
and you're going to have a
less positive line integral.
Now let's think about
this one over here.
This vector field, along the
surface there is some curl.
There's some curl going
on right over there.
If you put a stick
in the water, if you
view that as the velocity of
water, the stick would spin.
So you have some curl.
But then it switches
direction again,
so you have curl there as
well, and it's actually
curl in the opposite direction.
So to some degree, if you
were to sum all of this up,
maybe it would cancel out.
And it makes sense.
It makes sense that
it would cancel out
because when you take
the line integral
around the whole thing, just
like this first situation,
it looks like it
will add up to 0.
Because even though
you have some curl,
the curls cancel out each other.
And so when you go to this
top part of the surface,
the vector field is going
in the exact same direction

English: 
as this bottom part
of the surface.
So if you were to take your line
integral, the same one that we
care about, just like
the first situation
it would be positive down
here, 0 as we go up the curve.
And then as we go down
here, the vector field
has switched directions
twice, so it's still
going against the
path of our contour,
just like this first situation.
So it would be
negative up there.
And then as we go
down, it would be 0.
So this thing right
over here also
looks just like the first one
because the curls essentially
cancel out.
We switched direction twice.
So over here, our line
integral might also be 0.
Now, the whole reason why I
went through this exercise
is to give you an intuition
of why it might make sense
that if we have more
curl happening over
more of this surface,
why that might make
the value of this line
integral be larger.
And so, hopefully,
it starts to give you
an intuition that maybe, just
maybe, the value of this line

Korean: 
정확히 같은 방향으로 움직이게 됩니다
그래서 첫번째 경우와 마찬가지로 관심의 대상이 되는
선적분을 계산하게 되면 여기 아래에서는 
양의 값이 되고
곡선을 올라가면서 0이 됩니다
그리고 다시 이곳으로 내려오면서
벡터장은 두번 방향을 바꾸면서
첫번째 경우와 마찬가지로
곡면의 경로와 반대 방향으로 움직이게 됩니다
따라서 여기 위에서는 음의 값을 갖게 됩니다
그리고 다시 내려오면서 0이 됩니다
바로 여기 이것은 첫번째 것과 똑같이 생겼는데
회전은 서로 상쇄되기 때문입니다
회전은 서로 상쇄되기 때문입니다
두 번 방향을 바꾼 것입니다
따라서 이곳에서 선적분 값 역시 0이 됩니다
자, 이 연습문제를 풀어본 모든 이유는
여러분에게
왜 표면의 보다 많은 부분에서 더 많은 
회전이 일어날수록
선적분의 값이 더 커지는지에 대한
직관적인 이해를 돕기 위해서 입니다
그리고 바라건대 여러분이 어쩌면
이 선적분의 값, 즉

Portuguese: 
que a da parte inferior da superfície.
Então se você tirar a integral de linha,
a mesma que
nos interessa, como na primeira situação
ela será positiva aqui em baixo, 
e 0 ao subirmos na curva.
A quando descermos aqui, 
o campo vetorial
muda de direção duas vezes, 
então ele ainda
está indo contra o 
trajeto do nosso contorno,
como na primeira situação.
Então ela seria negativa aqui em cima.
E então ao descermos aqui, ela seria 0.
Assim, esta coisa bem aqui também
se parece com a primeira porque 
os giros essencialmente
se anulam.
Nós mudamos de direção duas vezes.
Então aqui nossa integral de linha
vai também ser 0.
Agora, a razão porque nós 
fizemos este exercício
foi proporcionar a vocês a intuição de 
porque pode fazer sentido
que se temos mais rotação acontecendo
sobre outras partes desta superfície,
isso deverá fazer com que
o valor dessa integral 
de linha seja maior.
E assim, felizmente,
começamos a dar a vocês
uma intuição que talvez, apenas 
talvez, o valor dessa integral

Polish: 
co w dolnej części powierzchni.
Więc gdyby obliczyć całkę krzywoliniową, ta samą
o której rozmawiamy, tak jak w pierwszej sytuacji
byłaby ona dodatnia tu na dole oraz równa 0 gdy idziemy w górę krzywej.
Potem, gdy pójdziemy tutaj, pole wektorowe
zmienia kierunek 2 razy,
więc wciąż ma przeciwny kierunek do naszej drogi
tak jak w pierwszej sytuacji.
Więc tutaj wartość byłaby ujemna.
A gdy pójdziemy tutaj, będzie równa 0.
Więc ten przypadek również
wygląda jak ten pierwszy, ponieważ zasadniczo roracja
kasuje się.
Zmieniliśmy kierunek 2 razy.
Więc tutaj, nasza całka może być równa 0.
Powodem, dla którego omówiłem te przykłady
było wyrobienie intuicji dlaczego to może mieć sens:
dlaczego jeśli mamy więcej rotacji
na większym obszarze powierzchni
to wartość całki krzywoliniowej może być większa.
Mam nadzieję, że poczujecie intuicyjnie,
że być może, ale tylko być może, wartość tej

Korean: 
반시계 방향의 곡면에 걸친 Fㆍdr의 값이
표면에서의 회전의 합과 같다는 것을
직관적으로 이해할 수도 있기를 바랍니다
--방향에 대해서는
다음 번 동영상에서 자세히 설명하겠습니다--
그리고 이것에 대해 생각해 봅시다
면적분이라 할 수 있습니다
표면을 따라 가면서
관심을 갖는 것은 F의 회전입니다
F의 회전에 관심을 갖는다고 해서 
일반적으로 단지 그것에만
관심을 갖는 것은 아닌데 왜냐하면 F는 
어떤 측면에서 보면
표면을 벗어난 방향으로 회전할 수도 있기 때문입니다
표면에서 얼마만큼 회전하는 가에 
관심을 갖고 있습니다
따라서 우리가 하고자 하는 것은
F의 회전과 표면의 특정 위치의 법선벡터와의 
내적을 계산해서
그 결과를 표면 자체와 곱하는 것입니다
그 결과를 표면 자체와 곱하는 것입니다

Polish: 
całki krzywoliniowej z F razy dr wzdłuż brzegu,
tego brzegu, który jest zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
(o samej orientacji porozmawiamy później w kolejnych filmach),
że być może jest równa sumie
rotacji na powierzchni.
Zastanówmy się nad tym.
To może być całka powierzchniowa.
więc przechodzimy przez powierzchnię
i to co nas interesuje to rotacja pola F.
Interesuje nas rotacja F,
lecz nie w ogólności, ponieważ F może
rotować w kierunku, który wskazuje poza powierzchnię.
Interesuje nas jak bardzo rotuje na powierzchni.
To co chcemy zrobić to wziąć rotację F
i przemnożyć skalarnie z wektorem normalnym w każdym punkcie
powierzchni a potem pomnożyć to przez samą powierzchnię.

Portuguese: 
de linha, o valor de F.dr 
sobre esse contorno,
sobre esse contorno que 
está indo na direção
anti horária -- falaremos
mais sobre orientação
em vídeos futuros -- 
pode vir a ser igual à soma
dos rotacionais sobre a superfície.
E então vamos pensar a respeito.
Poderia ser uma integral de superfície.
Então nós vamos seguir
sobre a superfície,
e nosso interesse é o rotacional de F.
Nosso interesse é o rotacional de F.
Mais nós não nos interessamos
com o rotacional de F de forma 
genérica porque F poderá
estar girando em uma direção, digamos, 
que esteja fora da superfície.
O que interessa é o quanto ele 
está rodando na superfície.
Então o que nós queremos
fazer é pegar o rotacional de F
e pontuá-lo com o vetor normal 
em qualquer ponto
da superfície e então multiplicar isso 
pela própria superfície.
-

English: 
integral, the value of F
dot dr over that contour,
over this contour that's
going in the counterclockwise
direction-- we'll talk
more about orientation
in future videos-- maybe
this is equal to the sum
of the curls over the surface.
And so let's think about this.
It could be a surface integral.
So we're going to
go over the surface,
and what we care about
is the curl of F.
We care about the curl
of F. But we don't just
care about the curl of F
generally because F might
be spinning in a direction, in
a way, that's off the surface.
We care about how much it's
curling on the surface.
So what we would want to do is
we'd want to take the curl of F
and dot it with the
normal vector at any point
to the surface and then multiply
that times the surface itself.

English: 
And this is just to say
that the more surface where
we have more curling
going on, the more
that the line integral, the
value of the line integral,
might be.
And we saw that when we
compared these three examples.
And another way of
writing all of this
is the surface
integral-- let me write
the surface in that
same brown color--
the surface integral of the
curl of F, which would just
be another vector that tells
us how much we are spinning
generally, but we want
to care how much we're
spinning along the surface.
So we're dotting it
with the normal vector.
Or another way to write this
whole thing is to say dot ds.
So if you take essentially the
sum across the entire surface
of how much we're
curling, how much we're
spinning along that surface,
then maybe, just maybe,
this will be equal to the
value of the line integral
as we go around the
boundary of the surface.
And it actually turns out
that this is the case.
And obviously, I haven't
proven it to you here,
but hopefully you have some
intuition why this makes sense.

Portuguese: 
E isso quer dizer que quanto 
maior a superfície onde
nós temos mais rotação 
acontecendo, maior será
a integral de linha, o valor da
integral de linha.
E vimos isso quando comparamos 
estes três exemplos.
E outra forma de escrever isso tudo
é a integral de superfície -- 
deixe-me escrever
a superfície naquela mesma cor castanha --
a integral de superfície do 
rotacional de F, que seria
simplesmente outro vetor que nos diz 
o quanto nós estamos girando
em geral, mas o que nos 
interessa é quanto
estamos girando ao longo da superfície.
Assim sendo nós a estamos 
pontuando com o vetor normal.
Ou outra forma de escrever 
tudo isso é dizer .ds
Assim, se você tirar a soma 
em soda a superfície
de quanto estamos rotacionando, 
quanto estamos
girando ao longo da superfície, 
então talvez, apenas talvez,
isso seja igual ao valor 
da integral de linha
na medida em que seguimos em
torno do limite da superfície.
E foi isso o que aconteceu.
E obviamente, nós não provamos 
isso pra vocês aqui,
mas felizmente vocês têm a intuição 
de porque isso faz sentido.

Polish: 
To jakby powiedzieć, że im więcej powierzchni
gdzie występuje rotacja,
tym większa może być
wartość całki.
Widzieliśmy to gdy porównywaliśmy te trzy przykłady.
Innym sposobem zapisania tego wszystkiego
jest całka powierzchniowa, niech zapiszę
powierzchnię w tym samym brązowym kolorze,
całka powierzchniowa z rotacji F, która będzie
po prostu wektorem, który mówi nam jak bardzo się obracamy
w ogólności, ale nam zależy na tym, jak bardzo się kręcimy
na samej powierzchni.
Więc mnożymy to skalarnie z wektorem normalnym.
Innym sposobem na zapisanie tego wszystkiego, jest napisanie: razy (skalarnie) ds.
Więc zasadniczo, jeśli obliczymy sumę po całej powierzchni
tego jak bardzo się kręcimy, jak bardzo kręcimy się
na tej powierzchni, wtedy być może
to będzie równe wartości całki krzywoliniowej
po brzegu tej powierzchni.
I okazuje się, że w tym przypadku,
czego oczywiście nie udowodniłem,
lecz mam nadzieję, że macie już pewną intuicję dlaczego to ma sens.

Korean: 
이는 결국 더 많은 회전이 있는 표면에서는
더 많은 선적분,
즉 더 많은 선적분의 값이 존재할 수 있다는 것을
의미합니다
이미 본 바와 같이 3개의 예시를 비교해 보았습니다
이 모든 것을 다시 정리해
같은 갈색으로 적어보면
면적분, 즉
F의 회전에 대한 면적분은,
일반적으로 얼마나 회전했는가를 나타내는 또 하나의
벡터에 지나지 않는데 다만 우리는 표면을 따라
얼마만큼 회전했는가에 관심을 갖고자 하는 것입니다
그래서 우리는 법선벡터와의 내적을 구하는 것입니다
이 모든 것을 정리하는 또 하나의 방법은 ㆍds입니다
그래서 만약 표면 전체에 걸쳐서, 즉 표면을 따라
얼마만큼 회전했는가를 근본적으로 합산한다는 것은
아마도
표면의 경계선을 따라 계산한
선적분의 값과 같을 수 있다는 것일 겁니다
그리고 사실상 이는 맞는 말입니다
분명하게 나는 그것을 여기에서 여러분에게 
증명해 보였으며
여러분은 이것이 일리있다는 것을 직관적으로 
이해하기 바랍니다

Portuguese: 
E esta ideia de que isso é igual a isso
se chama o teorema de Stokes, e nós
Legendado por Luiz Fontenelle

English: 
And this idea that
this is equal to this
is called Stokes'
theorem, and we'll
explore it more in
the next few videos.

Korean: 
이것과 이것이 같다는 아이디어가 바로
스톡스 정리이며 다음 두세번에 걸친 동영상에서
좀더 깊이있게 탐구할 것입니다
커넥트 번역 봉사단 | 오준희

Polish: 
I ten pomysł, że to jest równe temu
nazywa się Twierdzeniem Stokesa,
którym zajmiemy się w kolejnych filmach.
