
Spanish: 
Digamos que f(x) es igual a 1/x
Y queremos pensar en cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 0
Desde la dirección positiva
Voy a hacer una pequeña tabla aquí
Pongamos x, y pensemos en cuál será f(x)
Y voy a acercarme a cero desde la dirección positiva
Así que probemos 0.1, luego probemos 0.01, luego 0.001, luego podemos probar 0.0001
Noten que cada uno de estos números son mayores que cero
Y están acercándose a cero desde la dirección positiva
Están cada vez más cercanos a cero
Así que cuando x es 0.1, f(x) va a ser 1 sobre esto, es decir
f(0.1) va a ser 10

Thai: 
 
สมมุติว่า f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x
และเราอยากคิดถึงลิมิตของ f ของ x
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
และเวลาคิดอันนี้ ผม
จะสร้างตารางตรงนี้
ลองตั้ง x ขึ้นมา แล้วลองคิดว่า f ของ x
จะเป็นเท่าใด
 
ผมจะเข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
สมมุติว่าเราลอง 0.1
แล้วเราจะลอง 0.01
แล้วเราลอง 0.001
แล้วเราลอง 0.0001 ได้
สังเกตว่า -- เลขแต่ละตัวนี้ --
พวกมันมากกว่า 0 หมด และพวกมันเข้าใกล้ 0
จากทิศบวก
เราจะเข้าใกล้ 0 มากขึ้น มากขึ้น และมาขึ้น
เมื่อ x เท่ากับ 0.1, f ของ x จะเท่ากับ 1 ส่วนค่านี้
นี่คือ 1/10 แล้ว 1 ส่วนค่านั้นจะเท่ากับ 10

Portuguese: 
Digamos que f de x
seja igual a um sobre x.
E queremos pensar
qual é o limite de f de x
quando x tende a zero pela direita.
E para pensar sobre isso eu vou
montar uma pequena tabela aqui.
Então vamos definir x e
então pensar o que f de x
vai ser.
vai ser.
Eu vou aproximar a zero
da direção positiva.
Então vamos tentar 0,1.
E depois vamos tentar 0,01.
E então nós podemos tentar 0,001.
E então 0,0001.
Então note --
cada um desses números--
todos eles são maiores que
zero e eles tendem a zero
pelo lado positivo.
Nós estamos nos aproximando a zero.
Então quando x é 0,1,
f de x vai ser um sobre isso.
Isso é 1/10, então um sobre
aquilo vai ser simplesmente 10.

Polish: 
Przypuśćmy, że mamy funkcję f(x)=1/x
i chcemy dowiedzieć się, jaka jest granica funkcji f(x)
gdy x zbiega do zera z prawej strony.
Do tych rozważań zamierzam
narysować tutaj małą tabelkę.
Weźmy x i zastanówmy się, czym będzie
f(x)
Zamierzam zbliżać się do zera z prawej strony.
Spróbujmy najpierw dla x=0.1
następnie 0.01
następnie 0.001
a następnie 0.0001.
Zauważ - te liczby
są większe od zera oraz zbliżają się do niego
z prawej strony.
Zbliżamy się do 0 coraz bardziej.
Gdy x jest równe 0.1, f(x) będzie równe 1 przez to wyrażenie.
tu mamy 1/10, więc 1/x będzie równe 10.

English: 
Let's say that f of x
is equal to 1 over x.
And we want to think about
what the limit of f of x
is as x approaches 0 from
the positive direction.
And to think about
this I'm going
to set up a little table here.
So let's set up x and then
let's think about what f of x
is going to be.
I'm going to approach 0
from the positive direction.
So let's say we try 0.1.
Then we're going to try 0.01.
Then we can try 0.001.
Then we can try 0.0001.
So notice-- each
of these numbers--
they're all larger than 0
and they're approaching 0
from the positive direction.
We're getting closer and
closer and closer to 0.
So when x is 0.1, f of x is
just going to be 1 over this.
This is 1/10 so 1 over that
is just going to be 10.

Chinese: 
讓我們將f(x)=1/x
我們想知道f(x)的極限
當x趨近於0的正向
想一想我將要做的
是設置一個小表格
設置x之後一起想想看f(x)
會是多少
我將要讓x接近0從正方向下手
所以我們試試看0.1
之後我們試試0.01
接下來我們可以試0.001
之後試0.0001
每一個其中的數字
都大於0且接近0
並從正方向下手
我們正越來越接近0
當x是0.1 f(x)=10

Bulgarian: 
 
Нека функцията f(x) е равна
на 1 върху х.
Да помислим за границата на f(x),
когато х клони към 0
откъм положителната посока.
За да си помогна,
ще направя
една таблица.
Ще задам стойности на х
и ще помисля за съответните им
стойности на f(x).
Приближавам се към 0
откъм положителната посока.
Нека да започна с 0,1.
После ще се доближа още,
до 0,01.
Можем да опитаме
и с 0,001.
И накрая с 0,0001.
Забележи, че всяко
от тези числа
е по-голямо от 0
и се стреми към 0
откъм положителната
посока.
Отиваме все по-близо до 0.
И така, когато х е 0,1,
f(x) е 1 върху него:
то всъщност е 1/10,
затова 1 върху него е 10.

Arabic: 
لنأخذ التابع f المعرف بالعلاقة: 1 على x
ونريد التفكير بحساب نهاية التابع f
عندما يقترب المتحول x من الصفر من الاتجاه الموجب
ولحساب هذه القيمة
سأضع هذا الجدول هنا
لنضع قيم للمتحول x ولنحسب قيمة التابع f
عند قيم x المقابلة
عند قيم x المقابلة
وكما قلنا سنقترب من الصفر من الاتجاه الموجب
لذلك لنبدأ من القيمة 0.1
ومن ثم سنجرب القيمة 0.01
ولنختر 0.001
وأخيراً 0.0001
لاحظ أن أي قيمة من القيم السابقة
أكبر من الصفر وجميعها تقترب من الصفر
من الاتجاه الموجب (للمحور x)
وأننا بذلك نقترب أكثر فأكثر من الصفر
عندما يأخذ x القيمة 0.1 تكون قيمة التابع 1 على 0.1
وبما أن 0.1=1/10 فإن قيمة التابع ستكون 10

Korean: 
 
f(x)를 1/x로 둡시다
x가 양의 방향에서 0의 값으로 접근할 때
f(x)의 극한에 대해 생각해봅시다
이 경우를 생각해보기 위해
작은 표를 두겠습니다
x를 두고 f(x)가 어떻게 되는지
살펴봅시다
 
양의 방향에서 0으로 접근할 것입니다
먼저 0.1의 경우를 살펴봅시다
다음은 0.01을 보고
그 다음 0.001일 때
그리고 0.0001일 때도 봅시다
각각의 수가 0보다 크고
양의 방향에서 0으로 접근하고
있다는 사실을 잊지 맙시다
우리는 0에 계속해서 가까워지고 있습니다
x가 0.1일 때 f(x)는 1/0.1이 됩니다
이 값은 10임을 알 수 있습니다

Czech: 
Řekněme, že funkce f(x)
se rovná 1 lomeno x.
A chceme zjistit, jaká je limita f(x),
jestliže se ‚x‛ blíží k 0 zprava.
Připravím si zde malou tabulku.
Vytvoříme ‚x‛ a zjistíme,
čemu se bude rovnat f(x)
když se ‚x‛ bude blížit k 0 zprava.
Řekněme, že zkusíme 0,1, pak zkusíme 0,01,
pak zkusíme 0,001
a pak zkusíme 0,0001.
Všimněme si, že každé
z těchto čísel je větší než 0
a že se blíží k 0 zprava…
Každé je blíže k 0 než předchozí.
Když je ‚x‛ 0,1,
f(x) bude 1 lomeno toto.
Toto je 1/10,
tudíž 1 lomeno 1/10 bude 10.

Arabic: 
والقيمة 1/0.01 ستكون 100
والقيمة 1/0.001 ستكون 1000
وأخيراً القيمة 1/0.0001 ستكون 10000
كما نرى كلما اقترب المتحول x أكثر فأكثر من الصفر
من الاتجاه الموجب فإن التابع f
يكبر أكثر فأكثر وبسرعة
لذلك يمكن أن نقول هنا أن نهاية التابع f
عندما يقترب المتحول x من الصفر من الاتجاه الموجب
تساوي اللانهاية الموجبة
أو بإمكاننا كتابة اللانهاية فقط
لننظر لقيم المتحول f، إذا وضعنا قيمة
قريبة جداً من الصفر، أي إذا قلنا 0 فاصلة 6 أصفار
قبل الواحد فإن 1 على هذه القيمة ستكون
1 مع سبعة أصفار
أي 10000000
هل ما فعلناه هنا صحيح؟
هنا لدينا 4 أصفار قبل الواحد
وهنا لدينا صفر، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة, ستة، سبعة

Polish: 
1 nad 0.01 będzie równe 100
1 nad 0.001 to 1000
jeden nad 0.0001 to 10 000.
Więc sam widzisz, że gdy x zbliża się coraz bardziej i bardziej do 0
z prawej strony, f(x)
wzrasta bardzo, bardzo szybko.
Staram się przekazać, że granicą f(x)
gdy x zbiega do 0 z dodatniej strony
jest plus nieskończoność.
Można zapisać, że to po prostu nieskończoność.
Sprawa wygląda następująco - jeśli weźmiemy coś naprawdę,
naprawdę małego, powiedzmy 0 i siedem
zer po przecinku z jedynką na końcu, to 1 podzielone przez to
będzie równe jedynce i dwóm, trzem, czterem, pięciu, sześciu,
siedmiu zerom.
Nie pomyliłem się?
Miałem cztery miejsca po przecinku, cztery zera.
Tutaj mam jedno, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem,

Portuguese: 
Um sobre 0,01 vai ser 100.
Um sobre 0,001 vai ser 1 000.
Um sobre 0,0001 vai ser 10 000.
Então você percebe, quando x fica
cada vez mais próximo de zero
pelo lado direito, f de x
cresce, muito, muito rapidamente.
Então nós dizemos aqui
que o limite de f de x
quando x tende a zero pela direita
vai ser igual a mais infinito.
Ou nós podemos só escrever infinito.
Isso aqui-- se colocarmos algo muito,
muito perto, por exemplo zero
vírgula sete dígitos
depois da vírgula, então um sobre isso
vai ser um com um, dois,
três, quatro, cinco, seis,
sete zeros.
Eu fiz isso certo?
Aqui eu tinha quatro dígitos
depois da vírgula, quatro zeros.
Aqui eu tenho um, dois, três,
quatro, cinco, seis, sete,

Thai: 
1 ส่วน 0.01 จะเท่ากับ 100
1 ส่วน 0.001 จะเท่ากับ 1,000
1 ส่วน 0.0001 จะเท่ากับ 10,000
คุณเห็นได้ว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
จากทิศบวก f ของ x
จะโตขึ้นเร็วมากๆ
สิ่งที่เราบอกตรงนี้คือว่า ลิมิตของ f
ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
จะเท่ากับบวกอนันต์
หรือเราเขียนว่าอนันต์เฉยๆ ก็ได้
ค่านี่ตรงนี้ -- ถ้าเราเข้าใกล้
จริงๆ ถ้าเราบอกว่า 0 จุด มี 7 หลัก
หลังทศนิยม แล้ว 1 ส่วนค่านั้น
จะเท่ากับ 1 ที่มีศูนย์ 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 ตัว
ผมทำถูกไหม?
ตรงนี้ผมมี 4 หลักหลังทศนิยม คือศูนย์ 4 ตัว
ตรงนี้ผมมี 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Spanish: 
1/0.01 va a ser 100
1 sobre 0.001 va a ser 1000
1 sobre 0.0001 va a ser 10 mil
Noten que mientras x se acerca a 0 desde la dirección positiva, f(x) aumenta de forma rápida
Así que decimos aquí que el límite de f(x) cuando x tiende a 0 de la dirección positiva va a ser Infinito positivo
Podemos simplemente escribir infinito. Esto de aquí; si ponemos algo muy cercano
Digamos 0.0000001, 7 dígitos en la parte decimal, entonces 1 sobre va a ser

Czech: 
1 lomeno 0,01 bude 100.
1 lomeno 0,001 bude 1 000.
1 lomeno 0,0001 bude 10 000.
Vidíte, že když se ‚x‛ blíží k 0 zprava,
f(x) roste opravdu rychle.
Řekněme, že limita f(x) pro ‚x‛ jdoucím
k 0 zprava se bude rovnat nekonečnu.
Pokud tedy dosadíme
číslo velmi blízké 0,

English: 
To 1 over 0.01 is
going to be 100.
1 over 0.001 is
going to be 1,000.
1 over 0.0001 is
going to be 10,000.
So you see, as x gets
closer and closer to 0
from the positive
direction, f of x
just really grows
really, really fast.
So what we say here
is the limit of f
of x as x approaches 0
from the positive direction
is going to be equal
to positive infinity.
Or we could just write infinity.
This thing over here-- if
we put something really,
really close, so if
we say 0 point seven
digits behind the decimal
place, then 1 over that's
going to be 1 with one,
two, three, four, five, six,
seven zeros.
Did I do that right?
Here I had four places
behind the decimal, four 0's.
Here I have one, two, three,
four, five, six, seven,

Korean: 
1/0.01은 100이고
1/0.001은 1000이고
1/0.0001은 10000이 될 것입니다
x가 양의 방향에서
0에 계속해서 가까워질 때
f(x)는 매우 빠른 속도로
커지고 있습니다
여기서 말할 수 있는 건
x가 양의 방향에서 0으로 접근할 때
f(x)의 극한이 양의 무한과
같아진다는 것입니다
그냥 무한이라고 쓸 수도 있습니다
여기에 0에 정말 가까운 값을 두면
만약 0.0000001로 둔다면
함숫값은
10000000이 될 것입니다
 
 
여기 소수점 이후 0의 개수가
4개인 소수가 있습니다
여기엔 0이 7개인 소수가 있습니다

Chinese: 
1/0.1=10
1/0.01=100
1/0.001=1000
1/0.0001=10000
x越來越接近0 從正方向開始
成長的非常迅速
這裡的f(x)的極限
的x趨近於0 從正方向開始
將要等同於正無限
我們可以寫下無限
在這裡的x 如果我們放非常接近0的數

Bulgarian: 
А тук 1 върху 0,01
е равно на 100;
1 върху 0,001
ще е 1000,
а 1 върху 0,0001
е равно на 10 000.
Виждаш как, когато х
се приближава към 0
откъм положителната посока,
f(x)
просто расте
много бързо.
Тук казваме, че границата
на f(x), когато х клони към 0
откъм положителната посока,
е равна на плюс безкрайност.
Можем да запишем
и само безкрайност.
Ако опитаме
със съвсем близко до 0
число, например със
седем цифри
след запетаята,
се получава 1 със
седем нули
след него,
нали така?
Тук имах 4 цифри след запетаята
и получих 4 нули;
Тук имам седем цифри

English: 
and here I have seven 0's.
So you see, as we get
closer and closer to 0
from the positive
direction, the f of x just
gets larger and
larger and larger.
It's just completely unbounded.
So we'd say this is
equal to infinity.
Well, let's think
about another limit.
Let's think about the
limit as x approaches 0
from the negative direction
of f of x, or the limit of f
of x as x approaches 0 from
the negative direction.
Well in that case, we can
just make each of these values
negative.
So if x is negative
0.1 then this
is going to be negative 10.
If this is negative,
then this is negative.
If this is negative,
then this is negative.
If this is negative,
then this is negative.
If this is negative,
then this is negative.
And so what we see here is
that this gets more and more--
becomes larger
and larger numbers
in the negative direction.
If we keep going, if we're
thinking about a number line,
further and further and
further to the left.
So we can say the
limit of f of x
as x approaches 0 from
the negative direction
is equal to negative infinity.
Well that's interesting.

Polish: 
tutaj mam 7 zer.
Jak widać, gdy zbliżamy się coraz bardziej do zera
ze strony dodatniej, f(x) po prostu
staje się większe i większe.
Jest zupełnie nieograniczone.
Więc powiedzielibyśmy, że to jest równe nieskończoności.
Zajmijmy się inną granicą.
Zajmijmy się granicą przy x zbiegającym do zera
z lewej strony funkcji f(x), lub inaczej granicą f(x)
przy x zbiegającym do 0 z lewej strony.
W tym wypadku możemy zmienić wszystkie te wartości
na ujemne.
Jeśli x jest równe -0.1, to to
będzie równe -10.
Jeśli to jest ujemne, to to jest ujemne.
Jeśli to jest ujemne, to to jest ujemne.
Jeśli to jest ujemne, to to jest ujemne.
Jeśli to jest ujemne, to to jest ujemne.
Widzimy tutaj, że to staje się bardziej i bardziej--
staje się większymi i większymi liczbami
w kierunku ujemnym.
Jeśli będziemy kontynuować, to na osi liczbowej
będziemy zmierzać coraz dalej i dalej w lewą stronę.
Możemy zatem powiedzieć, że granica f(x)
przy x zbiegającym do 0 z lewej strony
jest równa minus nieskończoności.
A to ciekawe.

Arabic: 
وهنا لدينا سبعة أصفار
وهكذا نلاحظ كلما اقترب x من الصفر أكثر
من الاتجاه الموجب، فإن التابع f
يصبح أكبر وأكبر وأكبر
أي أنه غير محدود
لذلك نقول عندها أنه يساوي اللانهاية
لنأخذ الآن نهاية أخرى
لنفكر بالنهاية عندما يقترب المتحول x من الصفر
ولكن من الاتجاه السالب أو نهاية التابع f
عندما يقترب المتحول x من الصفر من الاتجاه السالب
في هذه الحالة يمكننا جعل أي قيمة من هذه القيم
سالبة
لذلك إذا كانت قيمة x هي -0.1
سيكون التابع عندها -10
إذا كانت هذه القيمة سالبة، ستكون قيمة التابع سالبة أيضاً
إذا كانت هذه القيمة سالبة، ستكون قيمة التابع سالبة أيضاً
إذا كانت هذه القيمة سالبة، ستكون قيمة التابع سالبة أيضاً
إذا كانت هذه القيمة سالبة، ستكون قيمة التابع سالبة أيضاً
لذلك فإن القيم التي نشاهدها هنا تصبح أكثر
أكبر فأكبر
ولكن في الاتجاه السالب
وإذا تابعنا هكذا، ولنأخذ محور الأعداد
فإننا نبتعد على هذا المحور أكثر نحو اليسار
أي بإمكاننا القول أن نهاية التابع f
عندما يقترب المتحول x من الصفر من الاتجاه السالب
يساوي اللانهاية السالبة
هذا ممتع

Czech: 
řekněme 0,0000001, potom 1 lomeno
tímto číslem bude 10 000 000.
Jak tedy vidíme, pokud se blížíme
k 0 zprava, f(x) stále roste a roste.
Není to ničím svázáno.
Můžeme tedy říci,
že limita se rovná nekonečnu.
Pojďme si zadat jinou limitu.
Zadejme si limitu, kdy ‚x‛ se blíží 0
zleva, nebo-li limita f(x) je taková,
že se ‚x‛ blíží k 0 zleva.
V tom případě napíšeme všechny
hodnoty ‚x‛ se záporným znaménkem.
Pokud je ‚x‛ rovno -0,1,
pak toto bude rovno -10.
Jestliže je toto záporné,
tak toto je také záporné.
Vidíme tedy, že hodnota f(x) se zvětšuje
stále více směrem do -nekonečna,
když si představíme číselnou osu,
hodnota půjde stále více doleva.
Můžeme tedy říci, že limita f(x),
když se ‚x‛ blíží k 0 zleva,
se rovná -nekonečnu.
To je zajímavé.

Portuguese: 
e aqui eu tenho sete zeros.
Então você vê, quando ficamos
cada vez mais próximos de zero
pelo lado direito, o f de x
fica cada vez maior e maior.
É sem limite algum.
Então nós dizemos que
é igual a infinito.
Bom, vamos pensar sobre outro limite.
Vamos pensar no limite
quando x tende a zero
pela esquerda de f de x,
ou o limite de f de x
quando x tende a zero
pelo lado negativo.
Nesse caso, nós podemos
fazer esses mesmo valores
negativos.
Então se x é menos 0,1 então isso
vai ser menos 10.
Se este é negativo, então
este também é negativo.
Se este é negativo, então
este também é negativo.
Se este é negativo, então
este também é negativo.
Se este é negativo, então
este também é negativo.
Então o que nós vemos aqui
é que isso fica mais e mais--
se torna números cada vez maiores
na direção negativa.
Se nós continuarmos, se pensarmos
em uma linha numérica,
cada vez maior para a esquerda.
Então nós podemos falar
que o limite de f de x
quando x tende a zero pela esquerda
é igual a menos infinito.
Bom isso é interessante.

Korean: 
 
여러분이 보시듯이 양의 방향에서
0에 계속해서 가까워질수록
f(x)는 계속해서
커지고 있습니다
완전히 무한하기 때문에
이 극한 값을 무한과 같다고 할 것입니다
또 다른 극한에 대해 생각해봅시다
x가 음의 방향에서 0에 가까워질 때
f(x)의 극한에 대해 생각해봅시다
이 경우에는 그냥 이 값들을
음수로 만들면 됩니다
x가 0.1일 때
함숫값은 -10이 될 것이고
0.01이 음수가 되면 100도 음수가 됩니다
0.001이 음수가 되면 1000도 음수가 되고
밑의 경우도 모두 똑같이 바꿔줍니다
함숫값이 계속해서 음의 방향에서
큰 값으로 커지고 있는 것을
볼 수 있습니다
계속 한다면 수직선 상에서 생각했을 때
계속 왼쪽으로 이동할 것 입니다
따라서 x가 음의 방향에서 0으로 접근할 때
f(x)의 극한을
－∞이라고 할 수 있습니다
매우 흥미롭습니다

Thai: 
และตรงนี้ผมมีศูนย์ 7 ตัว
คุณเห็นได้ว่า เมื่อเราเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
จากทิศบวก f ของ x จะ
มากขึ้น มากขึ้นและมากขึ้น
มันไม่มีขีดจำกัดใดๆ
เราจึงบอกว่าอันนี้เท่ากับอนันต์
ลองคิดถึงลิมิตอีกตัว
ลองคิดถึงลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศลบของ f ของ x หรือลิมิตของ f
ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศลบ
ในกรณีนั้น เราให้ค่าเหล่านี้
เป็นลบ
ถ้า x เป็นลบ 0.1 แล้ว
อันนี้จะเป็นลบ 10
ถ้านี่เป็นลบ แล้วอันนี้จะเป็นลบ
ถ้าอันนี้เป็นลบ อันนี้จะเป็นลบ
ถ้าอันนี้เป็นลบ อันนี้จะเป็นลบ
ถ้าอันนี้เป็นลบ อันนี้จะเป็นลบ
แล้วสิ่งที่เราเห็นตรงนี้คือว่า ค่านี้ยิ่งเป็น --
มันยิ่งโตขึ้นเรื่อยๆ
ในทิศลบ
ถ้าเราทำต่อไป ถ้าเราคิดถึงเส้นจำนวน
ไกลออกไปเรื่อยๆ ทางซ้าย
เราก็บอกได้ว่า ลิมิตของ f ของ x
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศลบ
เท่ากับลบอนันต์
นั่นมันน่าสนใจ

Bulgarian: 
и нулите са 7.
И така, виждаш, че
когато се доближаваме до 0
все повече откъм
положителните числа,
f(x) става все по-голямо.
То е напълно неограничено.
Затова казваме, че това
е равно на безкрайност.
Сега да помислим
за една друга граница.
Да помислим за границата на f(x) 
при х, клонящо към 0
откъм отрицателната посока.
Записвам я тук, минусът показва
отрицателната посока.
В този случай, можем да вземем
всяка от тези стойности
със знак минус.
Ако х е –0,1, то това
ще е равно на –10.
Ако х е с минус, то и стойността
на функцията е с минус.
Ако това е с минус, и това е с минус.
Също и тук,
и тук.
Тук виждаме, че тези числа
стават с все по-голяма
и по-голяма
абсолютна стойност,
но в отрицателна посока.
Ако продължим
по числовата ос,
ще се придвижим все повече
и повече наляво.
Затова можем да кажем, че границата на f(x),
когато х клони към 0
от отрицателната посока,
е равна на минус безкрайност.
Това е интересно.

Spanish: 
10000000 (7 ceros)
Como pueden ver, cuando x se acerca más a cero, f(x) se hace cada vez más grande
Entonces decimos que esto es igual a infinito
Hay que pensar en otro límite.
Pensemos en el límite de cuando x tiende a 0 desde la dirección negativa
El límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la dirección negativa.
En este caso, hay que hacer a cada uno de estos valores negativos
Entonces x va a ser 0.1 negativo (-0.1) y este va a ser -10
Si este es negativo, entonces este también es negativo
Entonces, vemos aquí que estos se vuelven números más grandes pero en la dirección negativa
y seguirá, si pensamos en una línea numérica, más y más hacia la izquierda
Entonces, el límite de f(x) cuando x tiende a 0 desde la dirección negativa
Es igual a Infinito negativo

English: 
Now let's think about
a limit as x approaches
either positive or
negative infinity.
So let's now think
about the limit of f
of x as x approaches infinity.
And one way to set up this
table-- we can just say--
do a similar thing.
x and f of x-- so if x is
10, then f of x is 1 over 10.
If x is-- and I'm just going to
go larger and larger numbers--
if x is 1,000, then f
of x is 1 over 1,000.
If x is 1,000,000, then f of
x is going to be 1/1,000,000.
So you see as x gets larger
and larger and larger
in the positive direction,
this f of x now gets
closer and closer
and closer to 0.
So we can say the
limit of f of x
as x approaches
infinity is equal to 0.

Thai: 
ทีนี้ ลองคิดถึงลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้
บวกหรือลบอนันต์บ้าง
ลองคิดถึงลิมิตของ f
ของ x เมื่อ x เข้าหาอนันต์
และวิธีสร้างตารางอย่างหนึ่ง -- เราบอกว่า --
ทำคล้ายๆ เดิม
x กับ f ของ x -- ถ้า x คือ 10 แล้ว 
f ของ x คือ 1 ส่วน 10
ถ้า x คือ -- ผมจะไปยังจำนวนที่มากขึ้นเรื่อยๆ --
ถ้า x คือ 1,000 แล้ว f ของ x คือ 1 ส่วน 1,000
ถ้า x คือ 1,000,000 แล้ว f ของ x
จะเท่ากับ 1/1,000,000
คุณเห็นได้ว่า x มากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
ในทิศบวก f ของ x ตอนนี้จะ
เข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
เราจึงบอกได้ว่าลิมิตของ f ของ x
เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์เท่ากับ 0

Spanish: 
Eso es interesante
Ahora pensemos en el límite cuando x tiende a tanto infinito positivo como negativo
Entonces pensemos en el límite de f(x) cuando x tiende al infinito
Y una forma de formar esta tabla, digamos
x y f(x)
Entonces, si x es 10, f(x) es 1/10
Voy a ir a números más y más grandes
Si x es mil, entonces f(x) es 1/1000
Si x es un millón, entonces f(x) va a ser 1/1000000
Ven que mientras x se vuelve más y más grande en la dirección positiva, entonces f(x) se acerca más y más a cero
Se puede decir que el límite de f(x) mientras x tiende al infinito es igual a 0

Arabic: 
والآن لنفكر بالنهاية عندما يقترب المتحول x
من اللانهاية الموجبة أو السالبة
أي لنفكر الآن بنهاية التابع f
عندما يقترب x من اللانهاية
يمكننا وضع هذا الجدول
ونقوم بالذي فعلناه سابقاً
المتحول x والتابع f، إذا كان x يساوي 10 فإن التابع يساوي 1/10
وطبعاً سنضع قيم أكبر وأكبر للمتحول x
إذا كانت x تساوي 1000 فإن التابع عندها يساوي 1/1000
إذا كانت x تساوي 1000000 فإن التابع عندها يساوي 1/1000000
كما هو واضح أمامنا كلما كانت قيم المتحول أكبر
في الاتجاه الموجب فإن التابع f هنا يصبح
أقرب وأقرب إلى الصفر
لذلك يمكننا القول بأن نهاية التابع f
عندما يقترب المتحول x من اللانهاية تساوي الصفر

Polish: 
Zajmijmy się teraz granicą przy x zbiegającym do
plus bądź minus nieskończoności.
Pomyślmy o granicy f(x)
przy x zbiegającym do nieskończoności.
Jedną metodą napisania tej tabelki -- możemy po prostu
zrobić podobną rzecz.
x oraz f(x) -- zatem jeśli x jest równe 10, to f(x) jest równe 1/10.
Jeśli x jest -- i będę po prostu brał większe i większe liczby --
jeśli x to 1000, to f(x) jest równe 1 nad 1000.
Jeśli x jest równe 1 000 000 to f(x) jest równe 1 nad 1 000 000.
Więc jak widać - gdy x staje się większe i większe i większe
w kierunku dodatnim, to f(x) tym razem
staje się coraz bliższe i bliższe zeru.
Zatem możemy powiedzieć, że granica f(x),
gdy x zbiega do nieskończoności, jest równa 0.

Portuguese: 
Agora vamos pensar sobre
o limite quando x tende
a ou a mais ou a menos infinito
Vamos pensar agora
sobre o limite de f de x
quando x tende a infinito.
E uma maneira de montar essa
tabela é-- nós podemos dizer--
fazer algo similar.
x e f de x-- então se x é 10,
então f de x é 1 sobre 10.
Se x é-- e eu vou só colocar
números cada vez maiores--
se x é 1 000, então f de
x é um sobre 1 000.
Se x é um milhão então f
de x vai ser 1/1 000 000.
Então percebe-se que quando
x fica cada vez maior e maior
na direção positiva, esse
f de x agora fica
cada vez mais próximo de zero.
Então nós podemos dizer
que o limite de f de x
quando x tende a
infinito é igual a zero.

Bulgarian: 
Сега да помислим за границата
при х, клонящо към
плюс или минус безкрайност.
Ще започнем с
границата на f(x),
когато х се стреми
към плюс безкрайност.
Един начин е да съставя
такава таблица,
т.е., да направя нещо подобно.
Имам колони за х и за f(x):
ако х е 10, то f(x) е 1/10;
Сега увеличавам х,
слагам все по-големи числа:
ако х е 1000, то f(x) е 1/1000.
ако х е 1 000 000,
то f(x) е 1/1 000 000.
Виждаш, че когато
х става все по-голямо и по-голямо
в положителна посока,
f(x) става
все по-близко до 0.
Можем да кажем, че границата
на f(x)
при х, клонящо към безкрайност
е равна на 0.

Czech: 
Teď si pojďme zadat limitu, kdy se
‚x‛ blíží plus nebo minus nekonečnu.
Zadejme si limitu f(x),
kdy se ‚x‛ blíží k nekonečnu.
Opět si můžeme vytvořit tabulku,
x a f(x).
Pokud je ‚x‛ rovno 10,
pak f(x) je 1/10.
Teď budu psát jen vyšší a vyšší čísla…
Pokud je ‚x‛ rovno 1 000,
pak f(x) je 1/1 000.
Pokud je ‚x‛ rovno 1 000 000,
pak f(x) bude 1/1 000 000.
Vidíme tedy, že pokud se hodnota
‚x‛ stále více přibližuje zprava,
hodnota f(x) se stále více blíží k 0.
Můžeme tedy říci, že limita pro ‚x‛
jdoucí do nekonečna se rovná 0.

Korean: 
이제 x가 양의 무한이나 음의 무한으로
접근할 때의 극한에 대해 생각해봅시다
x가 양의 무한으로 접근하는 경우의
극한에 대해 생각해봅시다
표를 만들기 위해서 다시
비슷한 과정을 반복합니다
x가 10일 때 f(x)는 1/10입니다
계속해서 큰 수로 나아가 보겠습니다
x가 1000이면 f(x)는 1/1000입니다
x가 1000000이면 f(x)는 1/1000000이 됩니다
x가 양의 방향으로 커지면 커질수록
f(x)는 0에 가까워지는 것을
알 수 있습니다
따라서 x가 무한으로 접근할 때
f(x)의 극한은 0이라고 할 수 있습니다

Arabic: 
والآن لنفكر بنهاية التابع f
عندما يقترب x من اللانهاية السالبة
لهذا نختار قيم
سالبة أكبر وأكبر
إذا كان x يساوي 10- فإن التابع يساوي 1/10-
إذا كان x يساوي 1000- فإن التابع يساوي 1/1000-
إذا كان x يساوي 1000000- فإن التابع يساوي
1/1000000-
وفي هذه الحالة أيضاً نقترب من الصفر
لذلك هنا، مرة أخرى، نقترب من الصفر
لنلخص ما قمنا به
تمكنا هنا من التعامل مع النهايات
ومرة أخرى، لم أعطكم
تعريف رياضي للنهاية، ولكن هذا قد يعطيكم
الحدس لحساب النهاية عند اللانهاية
أو عند اللانهاية السالبة، يفترض أن
يكون هنا اللانهاية السالبة، النهاية عند اللانهاية
عند اللانهاية السالبة، أو عندما تكون النهاية هي لانهاية
أو تكون اللانهاية السالبة
لذلك يمكننا الحساب كما رأينا
ولكن دعونا الآن أن نرى ذلك من خلال الرسم
عبر ملاحظة منحني التابع f الذي يساوي 1 على  x
لنقوم بهذا الآن

Portuguese: 
Agora vamos pensar
sobre o limite de f de x
quando x tende a menos infinito.
Então nós vamos tomar
números que são
cada vez maiores negativamente.
Bom, se x é menos 10,
isso vai ser menos 1/10.
Se x é menos 1 000, isso
vai ser menos 1/1 000.
Se x é menos um milhão,
isso vai ser menos
1/1 000 000.
Mas nós vemos que ainda estamos nos aproximando de zero.
Então aqui, mais uma vez, nós
estamos nos aproximando de zero.
Agora, quais implicações isso tem,
além do fato de que nós pudemos lidar com limites.
E mais uma vez, eu
ainda não dei a você
uma definição formal disso,
mas espero que esteja dando
uma intuição quando
tomamos limites no infinito
ou menos infinito--
na verdade isso era
para ser menos infinito--
limites no infinito, limites
em menos infinito, ou quando
o limite é igual a infinito,
ou menos infinito.
Então estamos vendo que
podemos resolver aquilo.
Mas vamos tentar visualizar
isso quando nós olhamos para o gráfico
quando f de x é igual a um sobre x.
Então vamos lá--
na verdade talvez eu

Thai: 
ทีนี้ ลองคิดถึงลิมิตของ f
ของ x เมื่อ x เข้าหาลบอนันต์
เราจะหาจำนวนที่
เป็นลบมากขึ้นเรื่อยๆ
ถ้า x เป็นลบ 10 อันนี้จะเป็นลบ 1/10
ถ้า x เป็นลบ 1,000 อันนี้จะเท่ากับลบ 1/1,000
ถ้านี่คือลบ 1,000,000 อันนี้จะเป็นลบ
1/1,000,000
แต่เรายังเห็นว่าเราเข้าใกล้ 0
ตรงนี้ เหมือนเดิม เราเข้าใกล้ 0 เหมือนเดิม
แล้วเรื่องนี้มันบอกอะไรเรา
นอกจากว่าเราหาลิมิตได้
ย้ำอีกครั้ง ผมไม่ได้
ให้นิยามเป็นทางการว่ามันคืออะไร แต่หวังว่าคุณ
คงได้สัญชาตญาณว่าลิมิตถึงอนันต์
ถึงลบอนันต์ -- จริงๆ แล้วอันนี้
ควรเป็นลบอนันต์ -- ลิมิตถึงอนันต์ ลิมิต
ถึงลบอนันต์ หรือเมื่อตัวลิมิตเองเท่ากับอนันต์
หรือลบอนันต์
เราเห็นว่าเราทำมันได้
แต่ลองพยายามมองภาพ
อันนี้เมื่อเราดูกราฟของ f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x
ลองทำกันดู -- บางทีผม

Polish: 
Zajmijmy się teraz granicą f(x)
gdy x zbiega do minus nieskończoności.
Zatem będziemy brali liczby, które są
coraz mniejsze i mniejsze.
Cóż, jeśli x jest równe -10, to to będzie równe -1/10.
Gdy x jest równe -1000 to to jest równe 1/1000.
Gdy to jest równe minus milion, to wynik będzie równy minus
jeden przez milion.
Ale widzimy, że nadal zbiegamy do zera.
Zatem, po raz kolejny zbiegamy do zera.
Jakie są tego konsekwencje, poza tym
że właśnie nauczyliśmy się radzić sobie z granicami?
Tym razem również nie podałem wam
formalnej definicji tego co robiliśmy, ale mam nadzieję, że dało
wam to intuicję, co się dzieje gdy przechodzimy z granicą do nieskończoności
do minus nieskończoności -- tak naprawdę tu powinna być
minus nieskończoność --granice w nieskończoności, granice
w minus nieskończoności, lub gdy w pewnej skończonej wartości x uzyskujemy nieskończoność,
lub minus nieskończoność.
Zatem po pierwsze, widzimy, że potrafimy to zrobić.
Ale spróbujmy tak naprawdę zwizualizować
to sobie, gdy patrzymy na wykres funkcji f(x)=1/x.
Zatem zróbmy to --właściwie to

Spanish: 
Ahora pensemos en el límite de f(x) mientras x tiende a infinito negativo
Entonces tomemos números que son más y más negativos
Si x es -10, este va a ser - 1/10
Si x es -1000, este va a ser -1/1000
Si este es un millón negativo, entonces este es -1/1000000
Pero pueden notar que aún así tendemos al cero
Entonces aquí, otra vez, estamos acercándonos al cero
¿Qué implicaciones trae esto? Aparte del hecho de que hemos logrado enfrentarnos a los límites
No he dado una definición formal de esto, pero espero que les haya dado una intuición cuando tomamos límites hacia el infinito,
y al infinito negativo
Límites a infinito, y al infinito negativo, o cuando el límite en sí son infinito, o infinito negativo
Una vez que veamos que podemos hacer eso,
Probemos visualizando esto,
Cuando vemos el gráfico de f(x)=1/x

Czech: 
Teď si pojďme zadat limitu f(x),
kdy se ‚x‛ blíží -nekonečnu.
Čísla budou stále více zápornější.
Pokud tedy ‚x‛ bude -10,
pak f(x) bude -1/10.
Pokud bude ‚x‛ -1 000,
pak f(x) bude -1/1 000.
Pokud bude ‚x‛ -1 000 000,
pak f(x) bude -1/1 000 000.
Ale pořád vidíme,
že se blížíme k 0.
Zde se opět blížíme k 0.
Co z toho tedy plyne? Kromě toho, že už
jsme schopni se vypořádat s limitami.
Neřekl jsem vám
sice formální definici,
ale snad již tušíte, jak se zabývat
limitami v nekonečnu a -nekonečnu…
Tady má být -nekonečno…
Limity do nekonečna,
limity do -nekonečna
nebo když sama limita se rovná nekonečnu
nebo -nekonečnu.
Vidíme tedy,
že to takto můžeme dělat.
Ale zkusme si to představit,
když se podíváme na graf funkce
f(x) je rovno 1 lomeno x.

Korean: 
이제 x가 음의 무한으로 접근할 때
f(x)의 극한에 대해 생각해봅시다
이제 계속해서 더 작은 수를
취해보겠습니다
x가 -10일 때 함숫값은 -1/10입니다
x가 -1000일 때의 함숫값은 -1/1000입니다
x가 -1000000일 때 함숫값은
-1/1000000이 됩니다
여전히 0으로 접근하는 것을 볼 수 있습니다
따라서 또 다시 0으로
접근하는 것을 볼 수 있습니다
이 사실이 의미하는 것은
우리가 극한을 다룰 수 있다는 사실입니다
제가 아직 여러분께
형식적인 정의를 가르쳐드리진 않았지만
양의 무한과 음의 무한에서의 극한에
대한 직관을 얻으셨으면 좋겠습니다
양의 무한과 음의 무한에서의  극한과
극한값이 무한과
음의 무한으로 가는 경우를
살펴봤습니다
우리가 극한을 구할 수
있다는 것을 확인했습니다
이제 f(x)가 1/x일 때의 그래프를
그려서 도시해보겠습니다
지금 쓴 것들을 남겨놓고 싶어서

English: 
Now let's think
about the limit of f
of x as x approaches
negative infinity.
So we're going to
take numbers that
are more and more
and more negative.
Well if x is negative 10, this
is going to be negative 1/10.
If x is negative 1,000, this is
going to be negative 1/1,000.
If this is negative 1,000,000,
this is going to be negative
1/1,000,000.
But we still see that
we are approaching 0.
So here, once again, we are
once again approaching 0.
So what implications
does this have,
besides that we've just been
able to deal with limits.
And once again, I
haven't given you
a formal definition of this,
but it's hopefully giving you
an intuition as we
take limits to infinity
to negative infinity--
actually this is supposed
to be negative infinity--
limits to infinity, limits
to negative infinity, or when
our limited self is infinity,
or negative infinity.
So one, we're seeing
that we can do that.
But let's actually
try to visualize
this when we look at the graph
of f of x is equal to 1 over x.
So let's do it--
actually maybe I

Bulgarian: 
Сега да помислим
за границата на f(x),
когато х се стреми
към минус безкрайност.
Ще използваме числа
с все по-големи абсолютни стойности
и с отрицателен знак.
Ако х е -10, функцията ще е -1/10.
за х=-1000, тя ще е минус 1/1000.
За -1 000 000 вече е -1/1 000 000.
Минус 1 върху милион.
Отново виждаме,
че числата стават все по-малки,
отново се приближаваме
до 0.
Какви приложения има това?
Сега само видяхме, че можем
да намерим тези граници.
Но дори не ти дадох
формалното определение
за тях, но се надявам
да разбра интуитивно
какво са границите
при плюс или минус безкрайност;
всъщност тук трябва да е
минус безкрайност;
или когато самата граница
е плюс или минус
безкрайност.
Вече видяхме,
че можем да работим с тях.
Но нека ги представим
визуално
на графиката на f(x) = 1/х.
Освобождавам място за нея,

Portuguese: 
queria continuar a olhar
para tudo isso,
então deixe-me colocar o gráfico
bem aqui.
Para que nosso eixo x.
Esse bem aqui, aqui
esta nosso eixo x.
E vamos plotar o gráfico de f de x.
Então nós vemos que se x é um
número muito pequeno, se x é 0,1,
então y-- y é igual a f de x--
vai ser um número bem grande.
E cada vez que ficamos
mais próximos de zero
pelo direita, f de x tende a infinito.
Então continua se
aproximando do infinito
quando ficamos cada vez
mais próximo de zero.
Quando ficamos cada vez
mais próximos de zero,
o valor de y fica cada vez maior.
E quando o valor de x fica cada
vez maior, o valor de f de x
fica cada vez menor.
Então parece como algo assim, se aproxima de zero.
Da mesma forma, se tomarmos
x pelo lado esquerdo
bem aqui, nós vimos que f de x

Korean: 
그래프를 지금부터
여기 그려보겠습니다
시작해봅시다
x축을 먼저 그려줍니다
y축도 그려봅시다
f(x)를 그려봅시다
x가 매우 작은 값, 만약 0.1이라면
y, 즉 f(x)는
매우 큰 수가 될 것입니다
양의 방향에서 0에 가까워질수록
f(x)는 무한으로 다가갑니다
계속해서 0에 접근할수록
계속해서 무한으로 다가갑니다
x가 0에 가까워짐에 따라
y값은 더 높아지고 있습니다
또 x값이 커질수록 f(x)값은
계속해서 작아집니다
0으로 접근하는 것처럼 보입니다
비슷하게 음의 방향에서 x가 0으로
접근하는 경우에서도

Bulgarian: 
но ще оставя таблицата.
Да начертаем графиката
ето тук.
Това е оста х,
а това е оста у.
Искаме графиката
на f(x).
Виждаме, че х са много
малки числа:
за х = 0,1
f(x) е равно
на много голямо число.
И колкото повече
х се доближава до 0,
толкова повече f(x)
доближава безкрайност.
Значи става все по-голямо,
когато доближаваме
0 отдясно.
С доближаването на
х до нулата,
стойностите на у
се качват все повече.
А пък когато стойностите на х
стават все по-големи,
f(x) става все по-малко.
То изглежда така,
тук се стреми към 0.
Аналогично е и от страната
на отрицателните числа.
Ето тук видяхме,

Arabic: 
وأنا بحاجة لما مكتوب هنا
ولنقوم برسم منحني التابع
على اليمين هنا
هنا المحور x
وهنا المحور y
ولنرسم منحني التابع f
إذا كانت قيمة x صغيرة جداً، مثلاً 0.1
فإن قيمة y -- y تساوي قيمة التابع f --
تكون عدد كبير جداً
وكلما اقتربنا أكثر فأكثر من الصفر
من الاتجاه الموجب، فإن التابع f يقترب من اللانهاية
أي أنه يقترب أكثر وأكثر من اللانهاية
كلما اقتربنا أكثر من الصفر
كلما اقترب المتحول x من الصفر
فإن قيمة y تصبح أعلى وأعلى
وكذلك كلما كانت قيم المتحول x أكبر وأكبر فإن التابع f
يصبح أصغر فأصغر
أي أن منحني التابع يبدو كهذا الشكل عندما يقترب من الصفر
وعلى نحو مشابه، إذا اقترب المتحول x من الاتجاه السالب
أي هنا، نلاحظ أن التابع f

Czech: 
Udělejme to… 
Měl bych stále vidět toto všechno…
Zde vytvořím graf.
Tady máme osu x a tady osu y
a pojďme znázornit průběh funkce f(x).
Vidíme, že když je ‚x‛ velmi malé číslo,
například 0,1, pak se y…
y je rovno f(x)…
Bude velmi vysoké číslo.
A čím více se blížíme k 0 zprava,
f(x) se blíží k nekonečnu.
Tedy čím více se blížíme k 0,
tím je na ose y větší hodnota.
A následně, jak se
hodnota ‚x‛ stále více zvětšuje,
hodnota f(x) se stále více
zmenšuje a blíží se k 0.
Podobně, pokud se ‚x‛
blíží k 0 zleva, vidíme,

Polish: 
chciałbym móc cały czas spoglądać na te rzeczy,
więc pozwólcie mi przygotować wykres
w tym miejscu.
To jest nasza oś OX
A tutaj jest nasza oś OY.
Narysujmy wykres f(x).
Widzimy, że jeśli x jest bardzo małą liczbą, gdy x jest równe 0.1,
to y -- y jest równe f(x) --
y będzie bardzo dużą liczbą.
Gdy coraz bardziej zbliżamy się do zera
z prawej strony, f(x) zbiega do nieskończoności.
Po prostu zbiega z do nieskończoności
wraz ze zbliżaniem się x do zera.
Gdy x zbliża się coraz bardziej do zera,
wartość y staje się większa i większa.
Gdy nasze x staje się coraz większe, nasze f(x)
staje się coraz mniejsze.
Więc wygląda, jakby zbiegało do zera.
Podobnie, jeśli zbliżamy x do zera z lewej strony
o tutaj, widzimy, że f(x)

Thai: 
อาจจะอยากดูค่าทั้งหมดนี้
ขอผมตั้งกราฟ
ตรงนี้นะ
นั่นคือแกน x ของเรา
เส้นนี่ตรงนี้คือแกน y ของเรา
ลองวาดกราฟ f ของ x กัน
เราเห็นว่าถ้า x เป็นจำนวนที่น้อยมาก 
ถ้า x เป็น 0.1
แล้ว y -- y เท่ากับ f ของ x --
จะเป็นจำนวนที่โตมาก
แล้วมื่อเราเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
จากทิศบวก f ของ x จะเข้าหาอนันต์
มันจะเข้าหาอนันต์เรื่อยๆ
เมื่อเราเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
ค่า y จะสูงขึ้นเรื่อยๆ
แล้ว เมื่อค่า x ของเรามากขึ้นเรื่อยๆ ค่า f ของ x
จะน้อยลงเรื่อยๆ
มันดูเหมือนว่า มันจะเข้าใกล้ 0
เช่นเดียวกัน ถ้าเราเข้าใกล้ x จากทิศลบ
ตรงนี้ เราจะเห็นว่า f ของ x

Spanish: 
Este es nuestro eje x
Este otro aquí es nuestro eje y;
y hay que graficar f(x)
Entonces vemos que si x es un número muy pequeño, como cuando x es 0.1
Entonces y va a ser un número muy alto
Y cuando más cercanos estemos a cero desde la dirección positiva,
f(x) se acerca al infinito
Mientras x se acerca más y más a cero, los valores de y suben y suben
Luego, mientras nuestros valores de x se vuelven más grandes
Nuestros valores de f(x) se vuelven más y más pequeños
Similarmente, si nos acercamos acercamos a x desde una dirección negativa
Justo aquí

English: 
want to be able to keep
looking at all of this stuff,
so let me set up the graph.
right over here.
So that's our x-axis.
This right over
here is our y-axis.
And let's graph f of x.
So we see that if x is a very
small number, if x is 0.1,
then y-- y is equal
to f of x-- is
going to be a very high number.
And as the closer and
closer we get to 0
from the positive direction,
f of x approaches infinity.
So it just keeps
approaching infinity
as we get closer
and closer to 0.
As x gets closer
and closer to 0,
the y value just gets
higher and higher.
Then, as our x value gets larger
and larger, our f of x value
gets smaller and smaller.
So it looks something
like that it approaches 0.
Similarly, if we approach x
from the negative direction
right over here,
we saw that f of x

Polish: 
zbiega do minus nieskończoności.
Więc gdy x zbliża się do zera, f(x)
staje się coraz bardziej ujemne.
Gdy nasze x staje się coraz bardziej ujemne
x staje się coraz bardziej ujemne,
widzimy, że nasza funkcja zbiega do 0.
Z naszego rysunku widać, że
na wykresie funkcju f(x)=1/x są dwie asymptoty.
Mamy asymptotę poziomą, gdy y=0.
Gdy x zbiega do nieskończoności, f(x) staje się coraz bliższe zeru
ale nigdy go nie osiąga.
Gdy x zbiega do minus nieskończoności
f(x) staje się bliższe i bliższe zeru "od dołu",
ale nigdy go nie osiąga.
Mamy również pionową asymptotę
gdy x jest równe 0.

English: 
is approaching
negative infinity.
So as we get x is closer
and closer to 0, our f of x
gets more and more
and more negative.
And then as our x becomes
more and more negative,
the x itself becomes
more and more negative.
We see that our function
is approaching 0.
So the way I've drawn it,
we see that there's actually
a two asymptotes for the graph
of f of x is equal to 1/x.
You have a horizontal
asymptote at y is equal to 0.
When x approaches infinity, f
of x gets closer and closer to 0
but never quite touches it.
When x approaches
negative infinity,
f of x is getting closer and
closer to 0 from the bottom
but it never quite touches it.
And we also have a vertical
asymptote right over here
at x is equal to 0.

Portuguese: 
esta se aproximando de menos infinito.
esta se aproximando de menos infinito.
Então quando x fica cada vez
mais próximo de zero, f de x
fica cada vez maior negativamente.
E então quando x se torna cada
vez maior negativamente,
quando o x em si fica mais negativo.
Nós vemos que nossa função tende a zero.
Então da maneira em que eu
desenhei, nós podemos ver que há
duas assíntotas para o gráfico de f de x igual a 1/x.
Você tem uma assíntota
horizontal em y igual a zero.
Você tem uma assíntota
horizontal em y igual a zero.
Quando x tende a infinito, f de x fica
cada vez mais próximo de zero
mas nunca é igual realmente.
Quando x tende a menos infinito,
f de x fica cada vez mais
próximo de zero por baixo,
mas nunca toca o eixo x.
E nós também temos uma assíntota vertical bem aqui
quando x é igual a zero.

Czech: 
že f(x) se blíží k -nekonečnu.
Čím více se hodnota ‚x‛ blíží k 0,
tím více je záporná hodnota f(x)
a jak se ‚x‛ blíží -nekonečnu,
funkce f(x) se blíží k 0.
Na tomto grafu tedy vidíme 2 asymptoty
funkce f(x) se rovná 1 lomeno x.
Jednu horizontální asymptotu
v bodě ‚y‛ je rovno 0.
Když se ‚x‛ blíží k nekonečnu,
f(x) se blíží k 0, ale nikdy jí nedosáhne.
Když se ‚x‛ blíží -nekonečnu,
f(x) se blíží k 0 zespoda,
ale rovněž jí nikdy nedosáhne.
Ale také zde máme vertikální asymptotu
a ta se nachází v bodě ‚x‛ rovném 0.

Spanish: 
Vemos que f(x) tiende a infinito negativo
Así que cuando tenemos a x más cercano a cero, nuestro f(x) se vuelve más negativo
Y mientras nuestro x se vuelve más negativo, podemos ver que nuestra función se acerca al cero
De la forma en la que lo he dibujado, pueden ver que hay dos asíntotas para el gráfico de f(x)=1/x
Tenemos una asíntota horizontal en y=0
Cuando x tiende al infinito, f(x) se acerca a cero, pero nunca lo toca
Cuando x se acerca a infinito negativo, f(x) se acerca a 0, desde abajo, pero nunca lo toca
Pero también tenemos una asíntota vertical
Tenemos una asíntota vertical justo aquí cuando x tiende a 0

Thai: 
เข้าหาลบอนันต์
 
เมื่อเราได้ x เข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ, f ของ x
จะเป็นลบมากขึ้นเรื่อยๆ
แล้วเมื่อ x เป็นลบยิ่งขึ้น
x เองกลายเป็นลบมากขึ้นอีก
เราเห็นว่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 0
วิธีที่ผมวาด เราเห็นว่ามันมี
เส้นกำกับสองเส้นสำหรับกราฟ 
f ของ x เท่ากับ 1/x
คุณมีเส้นกำกับแนวนอนที่ y เท่ากับ 0
 
เมื่อ x เข้าหาอนันต์ f ของ x จะเข้าใกล้ 0 เรื่อยๆ
แต่ไม่เคยแตะมัน
เมื่อ x เข้าหาลบอนันต์
f ของ x จะเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ จากข้างล่าง
แต่ไม่เคยแตะมัน
แล้วเรายังมีเส้นกำกับแนวตั้งตรงนี้
ที่ x เท่ากับ 0

Korean: 
f(x)가 음의 무한으로
발산하는 것을 볼 수 있습니다
 
x가 0에 가까워질수록
f(x)는 더 작은 음수가 됩니다
x가 계속해서 음수로 갈수록
함수가 0으로 접근하는 것을 볼 수 있습니다
제가 그린 그래프에서
f(x)=1/x의 두 점근선을 볼 수 있습니다
y=0의 수평 점근선을 볼 수 있습니다
 
x가 무한으로 갈 때 f(x)는 0으로 가까워지지만
절대 0이 되지는 않습니다
x가 음의 무한으로 갈 때도
f(x)는 아래에서 0으로 계속 가까워지지만
0의 값을 가지지는 않습니다
또 여기 수직 점근선
x=0도 볼 수 있습니다

Arabic: 
يقترب أكثر من اللانهاية السالبة
لذلك كلما كان x أقرب وأقرب من الصفر فإن التابع f
يصبح سالب أكثر وأكثر
وهكذا كلما كان المتحول x سالب أكثر
أي إن المتحول x يأخذ قيم سالبة أكبر
فإن التابع f يقترب من الصفر
لذا بالطريقة التي رسمنا بها التابع، نلاحظ وجود
مستقيمين مقاربين لمنحني التابع f
لدينا مقارب أفقي عند y يساوي الصفر
مقارب أفقي عند y يساوي الصفر
وعندما يقترب x من اللانهاية، يقترب التابع أكثر من الصفر
ولكن لا تصل الصفر أبداً
وعندما يقترب x من اللانهاية السالبة
يقترب التابع أكثر وأكثر من الصفر من الأسفل
ولكن لا يمر بالصفر أبداً
ولدينا أيضاً مقارب شاقولي هنا
عند x تساوي الصفر

Bulgarian: 
че f(x) се стреми
към минус безкрайност.
Затова, когато х се доближава
все повече до 0,
f(x) слиза все повече.
А пък когато х се движи
към минус безкрайност,
когато самото х
става все по-малко,
виждаме как функцията
се стреми към 0.
От начертаната графика
се вижда, че
има две асимптоти
за f(x) = 1/х.
Едната е хоризонтална асимптота
за у = 0:
когато х се стреми към безкрайност,
f(x) се доближава все повече до 0,
без да достига до нея.
Когато х се стреми
към минус безкрайност,
f(x) отива все по-близо до 0
отдолу,
без да го докосва съвсем.
Имаме също и
вертикална асимпота
при х=0.

Portuguese: 
E nós vemos isso porque
quando x tende a zero
pela direita, y se aproxima de infinito.
E quando x tende a zero pela esquerda,
y se aproxima de menos infinito.
Então o limite aqui, quando x é igual
a zero-- então se você tivesse que dizer,
olhamos para o limite
quando x tende a zero
pela direção positiva e
pela direção negativa,
mas nós vemos que eles se aproximam
cada um a uma direção diferente.
Então nós definitivamente temos uma
assíntota vertical em x igual a zero.
Mas o limite de f de x
quando x tende a zero
-- não é definido.
-- não é definido.
E por quê?
Bom, quando nos aproximamos
de zero pela direita
nos temos um valor diferente do
que quando nos aproximamos
pela esquerda.

Spanish: 
Y vemos eso porque mientras x se acerca a 0, desde la posición negativa, y se acerca al infinito
Y mientras x se acerca a 0 desde la dirección negativa, y tiende al infinito negativo
Entonces, el límite aquí en x=0
SI queremos decir, vean el límite cuando x tiende a 0 desde la dirección positiva, desde la dirección negativa
Vemos que tienden a dos cosas diferentes
Definitivamente tenemos una asíntota vertical en x=0
Pero el límite cuando x tiende a 0
de f(x). Esto no está definido
¿A qué se debe esto? Bueno, cuando nos acercamos a 0 desde la dirección positiva, tenemos una cosa diferente a la que tenemos cuando nos acercamos desde la negativa

Polish: 
Widzimy to, ponieważ, gdy x zbiega do 0
z prawej strony, y zbiega do nieskończoności.
Oraz przy x zbiegającym do 0 z lewej strony
y zbiega do minus nieskończoności.
Zatem granica w x=0 -- lub, mówiąc inaczej,
patrzymy na granicę przy x zbiegającym do 0
z prawej i z lewej strony,
ale widzimy, że te granice
nie są sobie równe.
Zatem niewątpliwie mamy pionową asymptotę w x=0,
lecz granica f(x) przy x zbiegającym do 0
nie jest zdefiniowana.
Dlaczego tak się dzieje?
Cóż, gdy zbiegamy do zera z prawej strony
otrzymujemy inną granicę niż gdy zbiegamy
z lewej strony.

Bulgarian: 
Виждаме, че когато
х се стреми към 0
от положителната посока,
у се стреми към безкрайност.
А когато х клони към 0
от отрицателната посока,
у се стреми към
минус безкрайност.
Значи тази граница при х=0,
ако потърсим двустранната граница
при х, клонящо към 0,
ще видим, че двете едностранни
граници са различни.
Определено имаме
вертикална асимптота при х=0.
Но границата на f(x)
при х, клонящо към 0
не е определена.
Защо става така?
Защото дясната граница
при х, клонящо към 0
е различно нещо
от лявата граница.
 

Arabic: 
وهذا لأنه كلما اقترب المتحول x من الصفر
من الاتجاه الموجب فإن y يقترب من اللانهاية
وكلما اقترب المتحول x من الصفر من الاتجاه السالب
فإن y يقترب من اللانهايةالسالبة
لذلك النهاية هنا عند x=0
ننظر إلى النهاية عندما يقترب x من الصفر
من الاتجاه الموجب ومن الاتجاه السالب
لكن نلاحظ أن التابع يقترب
من نهايتين مختلفتين
لذلك من المؤكد بأن لدينا مقارب شاقولي عند x=0
ولكن النهاية عندما يقترب x من الصفر
غير معرفة
لماذا ذلك؟
لأنه عندما نقترب من الصفر من الاتجاه الموجب
نحصل على نهاية مختلفة عندما نقترب من الصفر
ولكن من الاتجاه السالب

Thai: 
และเราเห็นเช่นนั้นเพราะเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวก y จะเข้าใกล้อนันต์
แล้วเมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศลบ
y จะเข้าใกล้ลบอนันต์
ลิมิตตรงนี้ ที่ x เท่ากับ 0 -- ถ้าเราบอกว่า
เราดูลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวกและจากทิศลบ
แต่เราเห็นว่าพวกมันเข้าใกล้
ค่าต่างกันสองค่า
เราจึงมีเส้นกำกับแนวตั้งแน่นอนที่ x เท่ากับ 0
แต่ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ f
ของ x -- อันนี้ไม่นิยาม
 
ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?
เพราะเมื่อเราเข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
เราได้ค่าต่างจากตอนที่เราเข้าใกล้
จากทิศลบ
 

Korean: 
x가 양의 방향에서 0으로 접근할 때
y는 무한으로 발산하고
x가 음의 방향에서 0으로 접근할 때
y는 음의 무한으로 발산합니다
x=0에서의 극한을 봅시다
x가 양의 방향에서와 음의 방향에서
0으로 접근할 때의 극한을 보면
두 극한이 서로 다른 지점에
접근하는 것을 볼 수 있습니다
따라서 x=0에서 수직 점근선을 확인할 수 있습니다
하지만 x가 0으로 접근할 때
f(x)의 극한은 정의되지 않습니다
 
왜 그럴까요?
x가 양의 방향에서 0으로 접근할 때와
음의 방향에서 0으로 접근할 때의
극한이 달라서 그렇습니다
 

English: 
And we see that because
as x approaches 0
from the positive direction,
y approaches infinity.
And as x approaches 0 from
the negative direction,
y approaches negative infinity.
So the limit here, at x is equal
to 0-- so if you were to say,
we looked at the limit
as x approaches 0
from the positive direction and
from the negative direction,
but we see that
they're approaching
two different things.
So we definitely have a vertical
asymptote at x is equal to 0.
But the limit as x
approaches 0 of f
of x-- this is not defined.
Why is that?
Well, when we approach 0
from the positive direction
we get a different thing
than when we approach it
from the negative direction.

Czech: 
To vidíme, protože jak se ‚x‛ blíží 0
zprava, ‚y‛ se blíží nekonečnu
a jak se ‚x‛ blíží k 0 zleva,
‚y‛ se blíží k -nekonečnu.
Limita v bodě ‚x‛ se rovná 0…
Podíváme-li se, jak se ‚x‛ blíží 0 zprava
a zleva, vidíme dvě různé věci.
Rozhodně máme vertikální
asymptotu v bodě ‚x‛ rovném 0,
ale limita f(x) pro ‚x‛ blížícím se 0,
není definována.
Proč tomu tak je?
Pokud se blížíme k 0 zprava, je to zcela
rozdílné, než když se blížíme k 0 zleva.
