આપણે અગાઉના વિડિઓમાં વાત કરી ગયા તેમ ઘણા બધા ઉદાહરણ સમગુણોત્તર શ્રેઢીના 
વિસ્તરણથી શરુ થાય છે પછી આપણે એવું ધારીએ છીએ કે તેના સામાન્ય ગુણોત્તરનું નિરપેક્ષ 
મૂલ્ય a કરતા ઓછું છે ત્યાર બાદ તેનો સરવાળો શું થઇ શકે તે આપણે શોધી શકીએ આપણે 
અગાઉના વિડિઓમાં આ સૂત્રને સાબિત કર્યું હતું પરંતુ આપણે હવે કોઈક બીજીરીતે કરીએ આપણે
એક વિધેય લઈએ ધારો કે h(x)= 1/3 +xનો વર્ગ વિધેયને આ સ્વરૂપમાં લખવાનો પ્રયત્ન કરીએ
એક વાર તેને આ સ્વરૂપમાં લખી લીધા બાદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર શું છે તેના વિશે આપણે
વિચારી શકીએ અને પછી આપણે તેને સમગુણોત્તર શ્રેઢીમાં દર્શાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું 
હું ઇચ્છુ છુંકે તમે વિડિઓ અટકાવો અને જાતે જતે કરવાનો પ્રયત્ન કરો સૌપ્રથમ તમે અહીં જોશો
કે આપણી પાસે અહીં 1 છે અને આ 3 છે તેથી 3 ને સામાન્ય લઈએ તેના બરાબર 1 /3 કૌંશમાં
1 + x નો વર્ગ છેદમાં 3 હવે આપણને અહીં છેદમાં આ 3 નથી જોઈતું તેથી આપણે તેને 
આ પ્રમાણે લખી શકીએ 1 /3 તે આખાના છેદમાં 1 હવે આપણે અહીં આપણા સામાન્ય
ગુણોત્તરને ઉમેરવા નથી માંગતા પરંતુ આપણે તેને બાદ કરવા માંગીએ છીએ માટે 1 ઓછા 
ઓછા x નો વર્ગ છેદમાં 3 હવે આપણે તેને આ સ્વરૂપમાં લખી નાખ્યો હવે આપણે એવું કહી 
શકીએ કે n = 0 થી અનંત સુધીનો સરવાળો એ અહીં પ્રથમ પદ 1 /3 છે ગુણ્યાં સામાન્ય 
ગુણોત્તરની n ઘાત અને અહીં સામાન્ય ગુણોત્તર -x નો વર્ગ છેદમાં 3 છે હવે જો આપણે આ
શ્રેઢીનું વિસ્તરણ કરવા માંગીએ તો તે કંઈક આ પ્રમાણે થશે 1 /3 ગુણ્યાં આ આખાની 0 ઘાત જે
1 /3 જ થાય અને હવે પછીનું દરેક ક્રમિક પદ એ અગાઉનું પદ ગુણ્યાં સામાન્ય ગુણોત્તર થશે
માટે શ્રેઢીનું હવે પછીનું બીજું પદ 1 /3 ગુણ્યાં -x નો વર્ગ છેદમાં 3 થશે તેથી ઓછા 1 /9 
ગુણ્યાં x નો વર્ગ 1 /3 ગુણ્યાં 1 /3 એ 1 /9 થાય અને પછી આપણે તેને -x ના વર્ગ વડે ગુણયુ
હવે પછીનું ત્રીજું પદ આ બીજું પદ ગુણ્યાં -x નો વર્ગ છેદમાં 3 થશે - - + થશે 1 /9 ગુણ્યાં 1 /3
એ 1 /27 અને ત્યાર બાદ x નો વર્ગ ગુણ્યાં xનો વર્ગ એ x ની 4 ઘાત થાય આમ આપણે આગળ
ને આગળ વળી શકીએ હવે જયારે આ કન્વર્જ થશે ત્યારે કન્વર્જનશના અંતરાલ પર તે
h(x)ને પણ કન્વર્જ થાય અહીં કન્વર્જનશનો અંતરાલ શું થશે હું ઇચ્છુ છું કે તમે વિડિઓ અટકાવો
અને તેને જાતે કરો કન્વર્જનશનો અંતરાલ એક એવો અંતરાલ છે જ્યાં તમારા સામાન્ય 
ગુણોત્તરનો નિરપેક્ષ મૂલ્ય 1 કરતા ઓછું હોય છે માટે તેને આ પ્રમાણે લખીએ -x નો વર્ગ 
છેદમાં 3 સામાન્ય ગુણોત્તરનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય 1 કરતા ઓછું હોવું જોઈએ અહીં આ ઋણ 
સંખ્યા છે માટે તેને આ પ્રમાણે પણ લખી શકાય માનંકમાં x નો વર્ગ છેદમાં 3 < 1 એક બાબત 
અહીં મહત્વની એ છે કે આ x નો વર્ગ હંમેશા ધન જ થશે તેથી તેને આ રીતે પણ લખી શકાય 
x નો વર્ગ છેદમાં 3 < 1 અહીં આ સંખ્યા ક્યારે પણ ઋણ થશે નહિ હવે આપણે અહીં બંને બાજુ 
3 વડે ગુણીએ જેને હું અહીં લખીશ માટે x નો વર્ગ < 3 અથવા માનંકમાં x < વર્ગમૂળમાં 3
જેને આ પ્રમાણે પણ લખી શકાય - વર્ગમૂળમાં 3 < x < ધન વર્ગમૂળમાં 3 અહીં આ 
કાંસાવર્જનશનો અંતરાલ છે અહીં આ કન્વર્જનશનો અંતરાલ એટલે કે ઈન્ટરવલ ઓફ 
કન્વર્જનશ થાય તે આ સમગુણોત્તર શ્રેઢી માટે કન્વર્જનશનો અંતરાલ થશે જે પાવર સિરીઝ
પણ છે અને આ અંતરાલ દરમિયાન આ શ્રેઢી બરાબર 1 /3 + x નો વર્ગ જ્યાં સુધી x 
આ અંતરાલમાં હશે ત્યાં સુધી આના બરાબર આ વિધેય થાય.
