એક રૂપાંતરણ એટલે કે ટ્રાન્સફોર્મેશન T લઈએ જેમાં Rn ને સંગત Rn છે Rn ટુ Rn તેને શ્રેણિક 
a વડે દર્શાવી શકાય તેથી ટ્રાન્સફોર્મેશન ઓફ x ઈક્વલ ટુ A ઇન્ટુ x આપણે અગાઉના વિડિઓમાં 
જોયું કે એવા સદિશો કે જેનું મૂલ્ય આ ટ્રાન્સફોર્મેશનથી વધારી શકાય કે ઘટાડી શકાય તે 
શોધવા રસપ્રત છે હું અહીં કેટલાક ખાસ સદિશોનું ટ્રાન્સફોર્મેશન લઈશ અને તેના બરાબર A 
ઇન્ટુ v તેનું મૂલ્ય કોઈક ગુણાંક દ્વારા ફક્ત વધે છે તેથી તેના બરાબર લેમડા ઇન્ટુ v અને તેનો 
રસપ્રત બેસીસ વેક્ટર્સ બનાવે છેઆ તેમનું જએક બેસીસ વેક્ટર્સ છે જેને ગણવો સરળ છે તેનાથી
સારી યામ પદ્ધતિ બનાવી શકાય અને આ સદિશો કે જે આ સમીકરણને સંતોષે છે તેને આઇગન 
વેક્ટર કહે છે તેને આઇગન વેક્ટર કહે છે અને આ ગુણાંક એટલે કે સ્કેલિંગ વેક્ટરને આ 
ટ્રાન્સફોર્મેશન અને આઇગન વેક્ટરને અનુરૂપ આઇગન વેલ્યુ કહે છે અહીં લેમડાને આઇગન 
વેલ્યુ કહે છે આ વિડિઓમાં તેને શોધવાનું પ્રયત્ન કરીએ આપણે જે જાણીએ છીએ તેના આધારે 
આ કિસ્સામાં આઇગન વેક્ટરને ઉકેલવાનો ઉપયોગ કરીએ આપણે અહીં સમીકરણ A ઇન્ટુ v 
ઈક્વલ ટુ લેમડા ઇન્ટુ v ને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરી રહ્યા છીએ અને તેનો એક ઉકેલ v = 0 સદિશ
એટલે કે 0 વેક્ટર હોઈ શકે અને તે ચોક્કસ પણે ઉકેલ હોઈ શકે પરંતુ તેને આઇગન વેક્ટર 
તરીકે ન લઇ શકાય કારણ કે તે ઉપયોગી બેસીસ વેક્ટર નથી બેસીસમાં કઈ ઉમેરતો નથી 
જુયારે તમે ત્યાં બેસીસ વેક્ટર્સનો ત્યારે તમે જે વિસ્તાર લેશો તેમાં તે કઈ ઉમેરતું નથી અને તેને
અનુરૂપ આઇગન વેલ્યુ કઈ થશે તે પણ સ્પષ્ટ નથી કારણ કે જયારે v = 0 હોય ત્યારે આઇગન 
વેલ્યુ કોઈ પણ લઇ શકાય માટે જયારે આપણે આઇગન વેક્ટર્સ શોધીએ ત્યારે આપણે એવા
અનુમાન સાથે શરૂઆત કરી શકીએ કે આપણે શૂન્યતાર સદિશો શોધી રહ્યા છીએ આપણે એવા 
સદિશો શોધી રહ્યા છીએ કે જેના બરાબર શૂન્ય સદિશ નથી હવે જોઈએ કે આ ઉપરની આપણે 
આઇગન વેલ્યુ શોધી શકીએ કે નહિ જો આપણે બને બાજુથી AV ને બાદ કરીએ તો આપણને 
શૂન્ય સદિશ બરાબર લેમડા v - A ઇન્ટુ V મળે હવે આપણે આ V ને ફરીથી લખી શકીએ V = 
એકમ શ્રેણિક ગુણ્યાં V  V એ Rn નો સભ્ય છે માટે એકમ શ્રેણિક n બાય n નો શ્રેણિક થશે 
જો તમે તેને ગુણો તો તમને v પાછું મળે અહીં V ને આ પ્રમાણે લખી શકાય લેમડા ઇન્ટુ હવે
આ V લખવાને બદલે N બે N નો એકમ શ્રેણિક ઇન્ટુ V - A ઇન્ટુ V = 0 વેક્ટર 0 સદિશ હવે 
મારી પાસે એક શ્રેણિક ગુણ્યાં V ઓછા બીજો શ્રેણિક ગુણ્યાં V છે તે શ્રેણિક સદિશનો ગુણાકાર છે 
તેની પાસે વિભાજનનો ગુણધર્મ છે માટે તેને આ પ્રમાણે લખીએ લેમડા ઇન્ટુ In - A ઇન્ટુ V = 
0 વેક્ટર 0 સદિશ અહીં આ પદ એ કોઈક શ્રેણિક છે આ પદ કોઈક શ્રેણિક છે મેં અહીં આ કિંમત 
મૂકી કારણ કે આપણે તેને એડીસ સદિશનો ગુણાકારની જગ્યાએ શ્રેણિક સદિશના ગુણાકાર
તરીકે લખી શકીએ માટે અહીં V તેથી V ને સામાન્ય લઇ શકાય અને પછી આ પદાવલિને શ્રેણિક 
સદિશના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય જેના બરાબર 0 થાય અહીં એ યાદ રાખો કે v = 0 ન
થવું જોઈએ તો તેનો અર્થ શું થાય અહીં V એ નલ સ્પેસનો સભ્ય છે નલ સ્પેસ એટલે સદિશનો 
અવકાશ નલસ્પેસ એટલે સદિશ અવકાશનો કોઈગણ જેમાં દરેક સદિશો લિનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં
0 ને સંગત હોય છે તેને આ રીતે લખી શકાય V એ શ્રેણિક લેમડા ઇન્ટુ In - A એટલે કે આ 
શ્રેણિકના નલ સ્પેસનો સભ્ય છે તે થોડું અટપટું છે પરંતુ તમે આ શ્રેણિકને કોઈક શ્રેણિક B તરીકે 
વિચારી શકો ધારો કે આ શ્રેણિક B છે તો હવે આ સમીકરણ B ઇન્ટુ V ઈક્વલ ટુ 0 થશે અને હવે 
આ શ્રેણિક B નો નલ સ્પેસ નલ સ્પેસ ઓફ B = બધા જ સદિશો કે જે Rn ના સભ્ય છે જેથી
B ઇન્ટુ x ઈક્વલ ટુ = અને V તેમનો જ એક છે બરાબરને કારણ કે B ઇન્ટુ V ઈક્વલ ટુ 0
આપણે એવું ધારી લઈએ કે B આ સમીકરણનો ઉકેલ છે અને V એ 0 નથી V એ નલ સ્પેસનો
સભ્ય છે તે શૂન્યતાર સભ્ય છે શૂન્ય સદિશ એ હંમેશા નલ સ્પેસનો સભ્ય થશે અને તે આ
સાચું બનાવશે પરંતુ આપણે અહીં એ ધારીએ છીએ કે V એ શૂન્યેતર છે આપણી શૂન્યેતર 
આઇગન વેક્ટર્સ શોધી રહ્યા છીએ તેનો અર્થ એ થયો કે નલ સ્પેસનો આ સભ્ય શૂન્યતાર છે 
એટલે કે આ શ્રેણિકનો નલ સ્પેસ નલ સ્પેસ ઓફ લેમડા ઇન્ટુ In -A એ શૂન્યેતર છેતે શૂન્યેતર છે
શૂન્ય સદિશ એ જ ફક્ત સદિશ નથી હવે ધારો કે મારી પાસે કોઈક શ્રેણિક D છે જો શ્રેણિક D નું 
નલ સ્પેસ જો નલ સ્પેસ ઓફ D એ ફક્ત શૂન્ય સદિશ ધરાવતો હોય તો અને તો જ Dની કૉલમ્સ
એટલે કે સ્થંભ એ લિનિયર લી ઈન્ડિપેન્ડેન્ટ છે જો આપણી પાસે અહીં કોઈક શ્રેણિક હોય જેનો 
નલ સ્પેસ શૂન્યસદિશ ધરાવતો ન હોય તો તેની પાસે લિનિયર લી ડિપેન્ડેન્ટ કોલમ હશે 
અને આપણે જે જાણીએ છીએ તે જ મેં અહીં લખ્યું છે અને જો આ નલ સ્પેસ શૂન્યેતર હોય 
તો આપણે લિનિયર લી ડિપેન્ડેન્ટ કોલમ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ માટે લેમડા ઇન્ટુ I - A પાસે 
આ શ્રેણિક પાસે લિનિયર લી ડિપેન્ડેન્ટ કૉલમ્સ હોવી જોઈએ લિનિયર લી ડિપેન્ડેન્ટ કૉલમ્સ 
હોવી જોઈએ અને તે કહેવાની બીજી રીત કે જો તમારી પાસે લિનિયર લી ડિપેન્ડેન્ટ કોલમ હોય 
તો તે ઈન્વર્ટીબલ નથી અને તેનો અર્થ એ થયો કે નિશ્ચાયક ડીટર્મિનેટ 0 થશે જો અહીં 
આ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક 0 હોય તો તે ઈન્વર્ટીબલ નથી તેની પાસે લિનિયર લી ડિપેન્ડેન્ટ કૉલમ્સ 
થશે જો તમારો નિશ્ચાયક 0 હોય તો તેનો અર્થ એ પણ થાય કે નલ સ્પેસમાં શુન્યતર સ્ભ્ય છે 
જો નિશ્ચાયક 0 હોય તો તેનો અર્થ એ થયો કે ત્યાં કોઈ લેમડા મળે જેના માટે શુન્યતર સદિશ 
V માટે આ સાચું છે જો ત્યાં કોઈક ઉકેલ હોય જો ત્યાં કોઈક શુન્યતર સદિશ v હોય જે આ 
સમીરણને સંતોષે તો અહીં આ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક 0 થવો જોઈએ જો અહીં આ નિશ્ચાયક 0 હોય 
અથવા કોઈક લેમડા માટે આ નિશ્ચાયક 0 મળે તો આ લેમડા એઆ સમીકરણને સંતોસશે અથવા 
જો કોઈક લેમડા આ સમીકરણને સંતોષે તો તે લેમડા માટે આ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક 0 થવો જોઈએ
અને આપણે તેના માટે લખી શકીએ ડીટર્મિનેન્ટ ઓફ લેમડા ઇન્ટુ In - A જો આ શ્રેણિકનો 
નિશ્ચાયક 0 હોય તો અને તો જ A ઇન્ટુ V ઈક્વલ ટુ લેમડા ઇન્ટુ V જ્યાં V એ શુન્યતર છે 
હવે તમે કહી શકો કે આ કઈ રીતે ઉપયોગી છે આપણે આ બધું મેન્યુપલેશનથી કર્યું છે 
મેં નલ સ્પેસ વિશે પણ થોડી વાત કરી કોઈ શુન્યતર સદિશ V માટે તે સાચું થવા લેમડાની 
કોઈક કિંમત હોવી જોઈએ જો લેમડા ગુણ્યાં એકમ શ્રેણિક ઓછા A નો નિશ્ચાયક શોધીએ 
તો તે 0 થશે તમે તમારા શ્રેણિક માટે આ સમીકરણને બનાવી શકો 
અને પછી લેમડાને ઉકેલી શકો આ તેની ઉપયોગીતા છે.
