
Thai: 
 
ตอนนี้เราจะคิดถึงหนึ่งใน
ทฤษฎีบทที่ผมชอบที่สุดในคณิตศาสตร์
มันคือทฤษฏีบทประกบ (squeeze theorem)
และสาเหตุหนึ่งที่มันเป็นทฤษฎีโปรดของผม
ในคณิตศาสตร์ คือมันมีคำว่า squeeze 
แปลว่าบีบอยู่
มันเป็นคำที่คุณไม่ค่อยเห็น
ในคณิตศาสตร์นัก
แต่มันเป็นชื่อที่เหมาะสม
และบางครั้งมันเรียกว่าทฤษฏีบทแซนด์วิช
ซึ่งเป็นชื่อที่เหมาะสมอีกชื่อหนึ่ง
อย่างที่เราจะเห็นในไม่ช้า
และเนื่องจากมันเรียกว่าทฤษฎีบทแซนด์วิชได้
ลองคิดถึงการเปรียบเทียบ
เพื่อให้ได้สัญชาตญาณเบื้องหลังทฤษฎีบท
ประกบหรือแซนด์วิชกัน
 
สมมุติว่ามีคนสามคน
สมมุติว่านี่คืออิมราน สมมุติว่ามีดิยา
และสมมุติว่ามีซาล
และสมมุติว่าอิมราน ในวันหนึ่งๆ
เขากินปริมาณแคลอรี่น้อยที่สุด
และซาล ในวันหนึ่งๆ
กินจำนวนแคลอรี่มากที่สุด

English: 
We're now going
to think about one
of my most favorite
theorems in mathematics,
and that's the squeeze theorem.
And one of the reasons that it's
one of my most favorite theorem
in mathematics is that it
has the word "squeeze" in it,
a word that you
don't see showing up
in a lot of mathematics.
But it is appropriately named.
And this is oftentimes also
called the sandwich theorem,
which is also an appropriate
name, as we'll see in a second.
And since it can be called
the sandwich theorem,
let's first just
think about an analogy
to get the intuition behind
the squeeze or the sandwich
theorem.
Let's say that there
are three people.
Let's say that there is
Imran, let's say there's Diya,
and let's say there is Sal.
And let's say that
Imran, on any given day,
he always has the fewest
amount of calories.
And Sal, on any
given day, always
has the most number of calories.

Bulgarian: 
.
Сега ще разгледаме една от любимите ми
теореми в математиката.
И това е "the squeeze" теоремата.
Една от причините, поради която това е една от любимите ми теореми
в математиката е, че има думата "squeeze" в името си.
Дума която не виждаме много често в математиката
.
Въпреки това е правилно наименована
и често е наричана също "сандвич" теоремата.
Което също е подходящо име, както ще видим след секудни.
И след като е наречена "сандвич" теоремата, ще вземем калориите като аналог
.
.
.
Да кажем, че има трима души
Имран, Дия
и Сал.
Да кажем че Имран, в който и да е ден
винаги приема най-малко калории от всички,
а Сал приема най-много.
.

Korean: 
 
이번에 하게 될 내용은
제가 가장 좋아하는
수학 이론 중 하나인
조임 정리입니다
제가 그 정리를 좋아하는 
이유 중 하나는
그것이 수학에서는 보기 힘든
'조임'이라는 단어를
포함하고 있기 때문입니다
하지만 그것은 적절한 이름입니다
또한 이것은 종종
샌드위치 정리라고도 불리는데
곧 보게 되시겠지만
이것도 적절한 이름입니다
샌드위치 정리라고도
불리므로
먼저 비유를
생각해봅시다
조임 정리 또는 샌드위치
정리에 대한 직관을 얻기
위해서 말입니다
세 사람이 있다고 생각해 봅시다
세 명은 각각 '임란', '디야'
그리고 '살'입니다
임란은 언제나 하루에
가장 적은 양의 칼로리를
섭취한다고 합시다
그리고 살은 언제나 하루에
가장 많은 양의 칼로리를
섭취한다고 합시다

Portuguese: 
Agora vamos pensar em um dos meus teoremas preferidos na Matemática,
que é o Teorema do Confronto. E uma das razões pelas quais ele é um dos meus teoremas
preferidos na Matemática é que ele contém a palavra &quot;confronto&quot;, uma palavra que não costuma
aparecer em muitos lugares na Matemática. Mas o nome é apropriado!
Ele também é frequentemente chamado de Teorema do Sanduíche, que também é um nome apropriado,
conforme veremos em um segundo.
E como ele pode ser chamado de Teorema do Sanduíche, vamos primeiro pensar em uma analogia
para pegarmos a intuição por trás do teorema do Confronto, ou do Sanduíche.
Digamos que existem três pessoas, Imran, Diya e Sal. E digamos que Imran, em qualquer dia,
sempre consome a menor quantidade de calorias, e Sal, em qualquer dia, sempre consome

Czech: 
Nyní si řekneme o jedné z mých
nejoblíbenějších matematických vět,
a to je věta o sevření.
Jeden z důvodů, proč je to jedna
z mých oblíbených vět, je ten,
že v názvu obsahuje „sevření",
což je slovo,
které se v matematice moc neobjevuje.
Ale toto pojmenování je výstižné.
V jiných jazycích se této větě
říká i „sandwich theorem",
což je také výstižné pojmenování,
jak uvidíme za chvíli.
A protože se tomu může
říkat i „sandwich theorem",
zamysleme se nejdřív
nad analogií,
abychom získali představu o
této větě o sevření.
Řekněme, že jsou tři lidé.
První se jmenuje Imran, další je Diya
a poslední je Sal.
Řekněme, že Imran má v jakýkoliv
den nejnižší počet kalorií.
A Sal má každý den nejvyšší počet kalorií.

Chinese: 
Hi!
我們將會談述我
最喜歡的其中一個數學定理
夾擠定理
而當中的原因是
它有「夾擠」這兩個字
我相信你不會在其他的定理
中看到這個字（笑）
不過這個名字取得很好
這有時會被稱為「三明治定理」
這都是一個貼切的名字
因為它被稱為「三明治」
我們先打個比方
去明白甚麽是「夾擠」或「三明治」
定理
假設這裹有三個人
小明，小強
還有小美
小明在任何一日
都是最少卡路里的那位
而小美在任何一日
永遠都是最多卡路里的那位

Vietnamese: 
Giờ chúng ta sẽ bắt đầu xét tới
một trong những định lý yêu thích của tôi trong Toán học,
và đó là định lý kẹp.
Và một trong những lý do mà nó là một trong những đinh lý tôi thích nhất
trong toán học đó là vì nó có chữ "kẹp" trong đó
một từ mà bạn không thường thấy
nhiều lắm trong môn toán.
Nhưng cái tên đó rất hợp.
Và đôi khi nó còn được gọi là nguyên lý bánh kẹp,
một cái tên cũng rất thích hợp, và các bạn sẽ được thấy ngay sau đây.
Vì nó có thể được gọi với cái tên nguyên lý bánh kẹp
đầu tiên hãy nghĩ về một phép so sánh
để hiểu tính trực quan của nguyên lý kẹp hay
bánh kẹp.
Giả sử có ba người
Giả sử ta có Imran, và có Diya
còn đây là Sal.
Và hãy coi như Imran, mỗi ngày,
cậu ta luôn ăn khẩu phần với lượng calo thấp nhất.
Và Sal, hàng ngày, luôn
nạp vào nhiều calo nhất.

Bulgarian: 
Можем да кажем, че в който и да е ден
Дия яде поне колкото Имран
и Сал яде поне колкото Дия.
.
Можем да установим леко несъответствие тук
във даден ден, можем да кажем че калориите на Имран
ще са по-малко или равни на тези на Дия,
които на същия даден ден ще са по-малко
или равни на тези на Сал.
.
Да кажем че е вторник

Czech: 
Každý den můžeme říct,
že Diya sní nejméně tolik, jako Imran.
Dále můžeme říct, že
Sal sní aspoň tolik...
....toto pouze opakuje slova
na vrchním řádku...jako Dyia.
Můžeme napsat 
jednoduchou nerovnost.
V daný den můžeme napsat,
že tento den bude Imranových kalorií méně
nebo rovno kalorií Diy ve stejný den,
kterých zase bude méně
nebo rovno Salovým kaloriím tento den.
Nyní řekněme, že je úterý.

Korean: 
그렇다면 우리는 디야가 언제나
적어도 임란만큼은 먹는다고
말할 수 있습니다
또한 우리는 살이 언제나 적어도
디야만큼은 먹는다고 
말할 수 있습니다
여기서 우리는 간단한 부등식을
하나 세울 수 있습니다
임의의 날에 
그날의 임란의 칼로리는
그날의 디야의 칼로리와 같거나
그보다 적을 것이고
그날의 디야의 칼로리는
살의 칼로리와 같거나 
그보다 적을 것입니다
 
이제 오늘이 화요일이라고
해봅시다

Vietnamese: 
Vậy cứ mỗi ngày, ta luôn nói
Diya ăn ít nhất là bằng như Imran.
Và ta cũng nói Sal ăn ít nhất-- chỉ để
lặp lại các từ-- bằng như Diya.
Và ta có thể tạo một bất đằng thức ở đây.
Mỗi ngày, ta có thể viết lượng calo Imran
có mỗi ngày sẽ nhở hơn hoặc bằng của Diya
cùng ngày đó, và cũng sẽ nhỏ hơn
hoặc bằng lượng calo của Sal trong ngày.
Giờ ta coi như là Thứ ba.

Portuguese: 
o maior número de calorias. Então em um dado dia, sempre podemos afirmar que Diya come ao menos
tanto quanto Imran, e também podemos dizer que Sal come ao menos tanto quanto Diya.
Então podemos construir uma pequena inequalidade: em um dado dia, podemos dizer que as calorias de
Imran, em um determinado dia, serão menores ou iguais às calorias de Diya, naquele
mesmo dia, que serão menores ou iguais às calorias de Sal, naquele mesmo dia.

Chinese: 
所以在任何一日我們都可以說
小強最少食得和小明一樣多
小強也最多食得和小美一樣多
明白了吧
我們可以寫出一條不等式
小明的卡路里少於或等於小強
小明的卡路里少於或等於小強
小強的卡路里少於或等於小美
小強的卡路里少於或等於小美
（如圖所示）
假設現在是星期二

English: 
So in a given day,
we can always say
Diya eats at least
as much as Imran.
And then we can say Sal eats
at least as much-- that's
just to repeat those
words-- as Diya.
And so we could set up a
little inequality here.
On a given day, we could
write that Imran's calories
on a given day are going to be
less than or equal to Diya's
calories on that same day,
which is going to be less than
or equal to Sal's
calories on that same day.
Now let's say that it's Tuesday.

Thai: 
ในวันหนึ่งๆ เราบอกได้เสมอว่า
ดิยากินอย่างน้อยเท่ากับอิมราน
แล้วเราบอกได้ว่าซาลกินอย่างน้อย -- นั่น
คือซ้ำคำเดิม -- เท่ากับดิยา
แล้วเราก็ตั้งอสมการเล็กๆ ตรงนี้ได้
ในวันหนึ่งๆ เราเขียนได้ว่า แคลอรี่ของอิมราน
ในวันหนึ่งๆ น้อยกว่าหรือเท่ากับแคลอรี่ของ
ดียาในวันเดียวกันนั้น ซึ่งน้อยกว่า
เท่ากับแคลอรี่ของซาลในวันเดียวกันนั้น
 
ทีนี้ สมมุติว่านั่นคือวันอังคาร

Korean: 
만약 여러분이 임란이
1500cal를 먹은 것과
살도 1500cal를 먹은 것을
알게 되었다고 하면
이것을 바탕으로 생각할 때
디야는 그날
얼마나 많은 칼로리를
섭취했을까요?
일단 디야는 항상 적어도
임란만큼은 섭취하기 때문에
1500cal 이상을 섭취했을 겁니다
하지만 디야는 항상 살보다는
적은 칼로리를
섭취합니다
따라서 섭취한 칼로리는
1500 이하일 것입니다
그런데 1500 이상이고
1500 이하인 수는
1500 밖에 없습니다
그러므로 분명 디야는 1500cal를
섭취했을 겁니다
당연합니다
 
조임 정리도 본질적으로
이것을 함수를 통해 표현한
수학적 모습일 뿐입니다

Czech: 
Představme si, že v úterý zjistíte,
že Imran snědl 1 500 kalorií
a ve stejný den také 
Sal snědl 1 500 kalorií
Na základě toho,
kolik kalorií musela ten den sníst Diya?
Víme, že každý den sní
aspoň tolik, kolik Imran,
takže snědla 1 500 kalorií nebo více.
Ale také každý den sní méně nebo
rovno počtu kalorií, které sní Sal.
Musí to být méně
nebo rovno 1 500.
Ale je jenom jedno číslo,
které je větší nebo rovno 1 500
a zároveň menší nebo rovno než 1 500
a to je 1500 kalorií.
Takže Diya musela sníst 1 500 kalorií.
To dává dobrý smysl.
Diya musela sníst 1 500 kalorií.
A věta o sevření je v podstatě matematická
verze tohoto příkladu pro funkce.

Thai: 
สมมุติว่าวันอังคาร คุณพบว่า
อิมรานกินไป 1,500 แคลอรี่
และในวันเดียวกัน ซาลกินไป 1,500 แคลอรี่ด้วย
จากข้อมูลนี้ ดียาต้อง
กินในวันนั้นกี่แคลอรี่?
เธอกินอย่างน้อยเท่ากับอิมราน เธอจึง
กิน 1,500 แคลอรี่ขึ้นไป
แต่เธอกินน้อยกว่าเท่ากับจำนวนแคลอรี่
ที่ซาลกินเสมอ
มันจึงต้องน้อยกว่าเท่ากับ 1,500
มันมีจำนวนเดียวที่
มากกว่าหรือเท่ากับ 1,500 และน้อยกว่า
เท่ากับ 1,500 จำนวนนั้นคือ 1,500 แคลอรี่
ดียาจึงต้องกิน 1,500 แคลอรี่
นี่คือสามัญสำนึก
ดียาต้องกิน 1,500 แคลอรี่
และทฤษฎีบทประกบก็คือ
ความจริงในทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชัน

Portuguese: 
Agora digamos que é terça feira.
Você descobre que Imran comeu 1500 calorias e, naquele mesmo dia, Sal também comeu 1500
calorias.
Então baseado nisso, quantas calorias a Diya deve ter ingerido naquele dia?
Bem, ela sempre come ao menos tanto quanto Imran, então ela comeu 1500 calorias ou mais,
mas ela sempre come uma quantidade menor ou igual à que Sal come, então deve ser menor ou igual a 1500.
Bem, só existe um número que é maior ou igual a 1500 e menor ou igual a 1500, e esse número é
1500 calorias, então Diya deve ter ingerido 1500 calorias -- é apenas senso comum!
Diya deve ter ingerido 1500 calorias. E o Teorema do Confronto é essencialmente a versão

English: 
Let's say on
Tuesday you find out
that Imran ate 1,500 calories.
And on that same day, Sal
also ate 1,500 calories.
So based on this,
how many calories
must Diya have eaten that day?
Well, she always eats at least
as many as Imran's, so she
ate 1,500 calories or more.
But she always has less than or
equal to the number of calories
Sal eats.
So it must be less
than or equal to 1,500.
Well, there's only
one number that
is greater than or equal
to 1,500 and less than
or equal to 1,500, and
that is 1,500 calories.
So Diya must have
eaten 1,500 calories.
This is common sense.
Diya must have had
1,500 calories.
And the squeeze
theorem is essentially
the mathematical version
of this for functions.

Bulgarian: 
Във вторник разбираме, че
Имран е изял 1,500 калории
и на този същия ден Сал също е изял 1,500 калории.
Въз основа на това, колко калории е изяла Дия на този ден?
.
Тя винаги яде поне колкото Имран
съответно тя е изяла 1,500 или повече
но тя винаги яде по-малко или точно колкото Сал.
.
Съответно е изяла по-малко или точно 1,500
Има само едно число, което е по-голямо, равно или по-малко от 1,500
и то е 1,500
.
Значи Дия е изяла 1,500 калории.
.
Дия трябва да е приела точно толкова калории
и теоремата е математическата версия на тези 4 функции.
.

Vietnamese: 
Cho rằng, vào ngày Thứ ba, bạn nhận ra
rằn Imran ăn 1500 calo.

Chinese: 
你在星期二發現
小明吃了 1500 卡路里
小美也吃了 1500 卡路里
所以我們可以知道
小強吃了多少卡路里呢？
小強永遠都最少吃得和小明一樣多
即 1500 或更多
但小強都同時永遠最多吃得和小美一樣多
即小強吃
小於或等如 1500
很明顯地這只有一個數字
是大過或等如 1500
同時小過或等如 1500
所以小強一定是吃了 1500 卡路里
這是常識吧
所以小強一定是吃了 1500 卡路里
而夾擠定理就只不過是這個說法
的數學版本

Bulgarian: 
Виждате, че това са калориите на Имран като функция от деня,
калориите на Сал като функция от деня
и калориите на Дия като функция от дадения ден, които винаги ще са между тези двете.
.
Да го направим с малко повече математика
.
.
.
Да кажем че имаме 3 функции
f от х за някакъв интервал е винаги по-малко или равно на g от х за този същия интервал,
което винаги е по-малко или равно на h от х за този същия интервал.
.
.
Нека изразя това със графика.
.
това ми е оста У
а това оста Х

Thai: 
และคุณมองแคลอรี่ของอิมรานเป็นฟังก์ชัน
ของวันได้ แคลอรี่ของซาลเป็นฟังก์ชันของวัน
และแคลอรี่ของดียาเป็นฟังก์ชันของวัน
ที่อยู่ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนั้นเสมอ
ทีนี้ ลองทำให้มันเป็นคณิตศาสตร์มากขึ้นหน่อย
ขอผมลบอันนี้ เราจะได้มีที่ว่าง
ไว้คิดเลขได้
สมมุติว่าเรามีสิ่งที่คล้ายคลึงกัน
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน 3 ตัว
สมมุติว่า f ของ x ตลอดช่วงหนึ่ง
น้อยกว่าเท่ากับ g
ของ x ตลอดช่วงเดียวกันนั้นเสมอ
ซึ่งน้อยกว่า
เท่ากับ h ของ x บนช่วงเดียวกันนั้นเสมอด้วย
ขอผมวาดภาพเป็นกราฟนะ
 
นั่นคือแกน y ของผม
นี่คือแกน x

Czech: 
Můžeme se na Imranovy kalorie
podívat, jako na funkci dne.
Na Salovy kalorie, jako
na funkci dne.
A Diyainy kalorie, jakožto funkce dne,
budou vždycky mezi těmito dvěma.
Nyní udělejme toto
trochu matematičtěji.
Toto teď vymaži,
abychom měli místo na matematiku.
Řekněme, že máme podobný příklad.
Máme tři funkce.
Řekněme, že funkce f(x)
na nějakém intervalu
je vždy menší nebo rovna
než funkce g(x) na tomtéž intervalu,
která je vždy menší nebo rovna
funkci h(x), opět na stejném intervalu.
Nyní to ukáži graficky.

English: 
And you could even view this is
Imran's calories as a function
of the day, Sal's calories
as a function of the day,
and Diya's calories as
a function of the day
is always going to
be in between those.
So now let's make this a
little bit more mathematical.
So let me clear this out
so we can have some space
to do some math in.
So let's say that we
have the same analogy.
So let's say that we
have three functions.
Let's say f of x
over some interval
is always less
than or equal to g
of x over that same interval,
which is always less than
or equal to h of x over
that same interval.
So let me depict
this graphically.
So that is my y-axis.
This is my x-axis.

Chinese: 
你甚至可以將小明的卡路里視作一個函數
小強的卡路里視作一個函數
小美的卡路里視作一個函數
而他們都會遵守這條不等式
好吧我將它變得更數學點
等我先擦一下這個黑板
來做一點數學
我們做同一個比喻
我們有三個函數
f(x)
是小於或等於g(x)
g(x)也小於或等於h(x)
g(x)也小於或等於h(x)
我們把這條不等式畫出來
（畫ing）
y軸
x軸

Portuguese: 
matemática disso, para funções. Você pode mesmo ver as calorias de Imran como uma
função do dia, as calorias de Sal como uma função do dia, e as calorias de Diya, como uma
função do dia, sempre estará entre as outras. Então agora vamos tornar isto um pouquinho
mais matemático. Então deixe-me limpar isso, para que tenhamos um pouco de espaço para matemática.
Então digamos que temos essa mesma analogia. Digamos que temos três funções. Digamos que f(x), em
algum intervalo, é sempre menor ou igual a g(x), naquele mesmo intervalo, que também é sempre
menor ou igual a h(x), naquele mesmo intervalo.
Então permita-me mostrar isso graficamente.
Vamos mostrar isso graficamente, com um gráfico bem aqui.

Korean: 
여러분은 임란의 칼로리의
날짜에 대한
함숫값, 살의 칼로리의
날짜에 대한 함숫값,
디야의 날짜에 대한 함숫값이
항상 서로의 사이에 있다는
것을 알 수 있습니다
이제 이 상황을 조금 더
수학적으로 만들어 봅시다
수학을 할 공간을 확보하기 위해
이것들을 지우겠습니다
이제 같은 비유를 해봅시다
세 개의 함수가 있습니다
f(x)가 어떤 구간에서
항상 g(x) 이하이고
같은 구간에서 g(x)가 항상
h(x) 이하라고 합시다
이것을 그래프로 나타내겠습니다
 
이 직선이 y 축이고
이 직선이 x 축입니다

Portuguese: 
Então este é o meu eixo y, este é o meu eixo x, e eu vou apenas demarcar algum intervalo
no eixo x, bem aqui, então digamos que h(x) é mais ou menos assim... Vamos tornar isso mais
interessante, este é o eixo x, então vamos dizer que h(x) é mais ou menos assim, então esta é h(x), e
digamos que f(x) é mais ou menos assim -- talvez ela faça algumas coisas interessantes:
ela entra, depois sobe assim, então f(x) é mais ou menos assim. E então g(x), para qualquer
valor de x, g(x) está sempre entre essas duas. E acho que você consegue ver onde o "confronto"
acontece, ou onde o "sanduíche" acontece.
Então se h(x) e f(x) fossem pedaços maleáveis de pão, g(x) seria a carne no meio do pão.
E seria mais ou menos assim.

Korean: 
 
그리고 그 구간을
x축 상에 나타내겠습니다
h(x)가 이렇게 생겼다고 합시다
더 흥미롭게 만들어보죠
 
h(x)가 이렇게 생겼다고 합시다
이것이 h(x)입니다
f(x)는 이렇게 생겼다고 합시다
이렇게 흥미로운 부분도 있고
아래로 내려가고
또 이렇게 올라갑니다
f(x)는 이렇게 생겼습니다
그리고 g(x)는 어떠한 
x값에 대해서도
항상 이 두 개 사이에 있습니다
여러분도 조임과 샌드위치가
어디서 일어날지를 
알아차리셨을 겁니다
만약 h(x)와 f(x)가 잘 휘어지는
빵이라고 생각한다면
g(x)는 빵 사이의 고기라고
생각할 수 있습니다
따라서 g(x)는 이렇게 생겼을
겁니다

Bulgarian: 
.
Ще изобразя интервал в оста Х ето тук.
.
Да кажем че h от х изглежда нещо ето така
.
това е оста х
Да кажем че h от х изглежда нещо ето така
това е моето h от х
да кажем че f от х изглежда така
.
.
.
и след това g от х за всяка стойност на х, g е винаги между тези двете.
.
Мисля че виждате от къде е "the squeeze" в името
и как се получава "сандвичът".
ако h и f бяха огънати парчета хляб, g щеше да е месото в санвича.
.
Би трябвало да изглежда така.

Thai: 
 
และผมจะวาดช่วง
บนแกน x ตรงนี้
สมมุติว่า h ของ x เป็นแบบนั้น
ขอผมทำให้มันน่าสนใจหน่อย
นี่คือแกน x
สมมุติว่า h ของ x เป็นแบบนี้
นั่นคือ h ของ x ของผม
สมมุติว่า f ของ x เป็นแบบนี้
บางที มันทำอะไรน่าสนใจ แล้วมันก็เข้ามา
แล้วมันก็ขึ้นไปแบบนี้ แล้ว f ของ x
จะเป็นแบบนั้น
แล้ว g ของ x สำหรับค่า x ใดๆ
g ของ x จะอยู่ระหว่างสองตัวนี้เสมอ
และผมว่าคุณคงเห็นแล้วคำว่า 
ประกบ หรือบีบ มาจากไหน
และแซนด์วิชเกิดขึ้นตรงไหน
ถ้า h ของ x กับ f ของ x เป็นขนมปังแผ่นโค้ง
g ของ x
ก็คือเนื้อในขนมปัง
มันจะเป็นแบบนี้

Czech: 
Toto je moje osa y.
Toto je moje osa x.
Vyberu si nějaký interval na ose x.
Řekněme, že funkce h(x)
vypadá nějak takto.
Uděláme to zajímavější.
Toto je osa x.
Takže funkce h(x) 
vypadá nějak takto.
Toto je moje h(x).
Nyní funkce f(x)
vypadá nějak takto.
Může dělat něco zajímavého,
najednou klesá,
potom stoupá, nějak takto,
tudíž f(x) vypadá takto.
A nyní funkce g(x),
v každém bodě je hodnota g(x)
v tomto bodě mezi těmito dvěma.
Nyní je myslím vidět,
kde se nachází sevření, či sendvič.
Kdyby h(x) a f(x) byly krajíce chleba,
pak by g(x) bylo maso mezi nimi.
Vypadalo by to nějak takto.

English: 
And I'll just
depict some interval
in the x-axis right over here.
So let's say h of x looks
something like that.
Let me make it more interesting.
This is the x-axis.
So let's say h of x looks
something like this.
So that's my h of x.
Let's say f of x looks
something like this.
Maybe it does some interesting
things, and then it comes in,
and then it goes up
like this, so f of x
looks something like that.
And then g of x,
for any x-value, g
of x is always in
between these two.
And I think you see where
the squeeze is happening
and where the
sandwich is happening.
If h of x and f of x were
bendy pieces of bread, g of x
would be the meat of the bread.
So it would look
something like this.

Chinese: 
（繼續畫）
我們選一個區間
在x軸上
假設h(x)是這樣
我們來點有趣點的
這是x軸
h(x)是這樣
這是h(x)
f(x)是這樣
有趣點
它下然後上
這樣
g(x)是這樣
g(x)永遠在這兩個中間
我想你看到夾擠
和三明治的意思了
如果h(x)和f(x)是面包
g(x)就是肉
所以它會像這樣

Thai: 
ทีนี้ สมมุติว่าเรารู้ -- นี่คือสิ่งที่เหมือนกัน
ในวันหนึ่ง ซาลกับอิมรานกินปริมาณเท่ากัน
สมมุติว่าที่ค่า x ค่าหนึ่ง
ลิมิตเมื่อ f กับ h เข้าหาค่า x นั้น พวกมัน
เข้าหาลิมิตเดียวกัน
ลองนำค่า x นี่ตรงนี้มา
สมมุติว่าค่า x คือ c ตรงนี้
และสมมุติว่าลิมิตของ f
ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ c เท่ากับ L และสมมุติ
ว่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c 
ของ h ของ x เท่ากับ L ด้วย
สังเกตว่า เมื่อ x เข้าใกล้ c, h ของ x
เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ c จากข้างใดก็ตาม
f ของ x
จะเข้าใกล้ L
ลิมิตเหล่านี้ต้องนิยาม
ที่จริง ฟังก์ชันไม่จำเป็น
ต้องนิยามที่ x เท่ากับ c

Bulgarian: 
.
На даден ден Сал и Имран са изяли еднакво количество калории.
Да кажем че за дадена стойност на х
лимитите за f и h достигат тази стойност на х, и я достигат със същата стойност.
.
.
да кажем, че стойността Х е С тук,
и че лимита за f от х, като Х доближава С е равен на L
и да кажем че лимита, като х доближава С от h от х е също равен на L
.
забележете, че когато х доближава с, h от х доближава L.
когато х доближава с, f от х доближава L
.
Тези граници трябва да бъдат обособени
но функциите не трябва да бъдат определяни когато х доближава с.
.

Chinese: 
這是個比喻
在某一日，小明和小美吃的一樣多
即某個x值，x0
f(x)和h(x)的極限接近x0時
它們有相同的極限
所以這個x0值
假設它是c
當f(x)的極限趨向c時
它的極限是L
一樣地，h(x)的極限趨向c時
它的極限都是L
x在任何一邊趨向c
f(x)都趨向L
所以這些極限能被定義
但事實上
就算它們的極限在c不能被定義

Portuguese: 
Agora digamos que sabemos (isso é análogo a dizer que em um determinado dia Sal e Imran
comeram a mesma quantidade), digamos que para um valor em particular de x, o limite de f(x) e h(x)
quando se aproximam daquele valor, é o mesmo.
Então tomemos este valor de x aqui. Digamos que o valor de x é C, bem aqui.
E digamos que o limite de f(x) quando x tende a C é igual a L,
e digamos que o limite quando x tende a C de h(x) também é igual a L.
Então quando x se aproxima de C, h(x) se aproxima de L, e quando x se aproxima de C de qualquer lado,
f(x) se aproxima de L, então esses limites devem ser definidos. Na verdade as funções não precisam

Korean: 
이제 우리는 이것이 특정한 날에 살과 임란이
같은 양을 먹었다는 것과
같다는 것을 압니다
특정한 x 값에 대해서
그 x 값으로 향하는
f(x)와 h(x)의 극한은
같은 극한값을 가리킵니다
그럼 여기 있는 이 x 값을 가져옵시다
이 x값을 c라고 합시다
이때 f(x)의 x가 c로 향할 때의
극한값이
L이라고 합시다
또 x가 c로 향할 때의
h(x)의 극한값도 L이라고 합시다
따라서 x가 c로 향할 때
h(x)는 L을 향해가고
 x가 양쪽에서 c를 향해갈 때
f(x)는 L을 향해갑니다
따라서 이러한 극한이
정의되어야 합니다
사실 함수들의 x가 c로
향하는 극한의 함숫값이
반드시 정의될 필요는 없습니다

Czech: 
Nyní, řekněme, že víme...Toto
je analogie příkladu před chvílí.
Nějaký konkrétní den, Sal i 
Imran snědli stejné množství.
Pro nějakou konkrétní hodnotu ‚x‛,
se f(x) a h(x) v tomto
bodě ‚x‛ blíží stejné limitě.
Vezměme si toto ‚x‛ někde tady.
Řekněme, že naše hodnota ‚x‛ je toto ‚c‛.
A řekněme, že limita f(x)
když se ‚x‛ blíží ‚c‛, je rovna ‚L‛.
Dále i limita h(x), když se
‚x‛ blíží ‚c‛, je také rovna ‚L‛.
Všimněme si, že když se ‚x‛ blíží ‚c‛,
hodnota h(x) se blíží k ‚L‛.
Když se ‚x‛ blíží ‚c‛ z libovolné
strany, hodnota f(x) se blíží k ‚L‛.
Takže tyto limity musí existovat.
Tyto funkce nemusí být definovány
přímo v ‚c‛.

English: 
Now, let's say that we know--
this is the analogous thing.
On a particular day, Sal and
Imran ate the same amount.
Let's say for a
particular x-value,
the limit as f and h
approach that x-value, they
approach is the same limit.
So let's take this
x-value right over here.
Let's say the x-value
is c right over there.
And let's say that
the limit of f
of x as x approaches c is
equal to L. And let's say
that the limit as x approaches
c of h of x is also equal to L.
So notice, as x
approaches c, h of x
approaches L. As x approaches
c from either side, f of x
approaches L.
So these limits
have to be defined.
Actually, the
functions don't have
to be defined at x approaches c.

Bulgarian: 
над този интервал, трябва да бъдат дефинирани, когато го доближаваме
.
но над този интервал трябва да бъде истина
ако тези граници тук са дефинирани и понеже ние знаем, че g от х е винаги притисната между
тези 2 функции тук , следователно за този ден или за тази стойност на х.
.
.
.
това ни казва дали това всичкото е вярно за този интервал
разбираме че границите, когато х приближава с от g от х трябва също да е равно на L
.
и отново, f от х доближава L, h от х доближава L, g от х е притисната помежду им.
значи също трябва да доближава L
.
.
може да се запитате
Защо това е полезно?
Както виждате, това е полезно за намирането
на границите на някои смахнати функции.
Ако може да намерите функция, която е винаги по-голяма

Thai: 
แค่ในช่วงนี้ พวกมัน
ต้องนิยามตอนที่เราเข้าใกล้มัน
แต่ในช่วงนี้ มันต้องเป็นจริง
และลิมิตเหล่านี้ตรงนี้นิยาม
และเนื่องจากเรารู้ว่า g ของ x ถูกประกบ
อยู่ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้เสมอ เพราะฉะนั้น
ในวันนั้น หรือสำหรับ x นั้น --
ผมควรเลิกเปรียบเทียบกับอาหารได้แล้ว --
อันนี้บอกเราว่า ถ้าทั้งหมดนี้เป็นจริงตลอดช่วงนี้
อันนี้บอกเราว่า ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
ของ g ของ x
ต้องเท่ากับ L ด้วย
ย้ำอีกครั้ง นี่คือสามัญสำนึก
f ของ x เข้าใกล้ L, h ของ x เข้าใกล้
L, g ของ x ถูกประกบระหว่างพวกมัน
มันจึงต้องเข้าใกล้ L ด้วย
และคุณอาจบอกว่า มันก็สามัญสำนึกทั่วไปนี่
ทำไมมันถึงมีประโยชน์?
คุณจะได้เห็นว่า มันมีประโยชน์เวลาหา
ลิมิตของฟังก์ชันแปลกๆ
ถ้าคุณหาฟังก์ชันที่มากกว่ามัน

Portuguese: 
ser definidas em x = C, apenas neste intervalo, elas devem estar definidos conforme nos aproximamos
de C, mas neste intervalo a inequalidade deve ser verdadeira, e se limites bem aqui
são definidos, como sabemos que g(x) está sempre no meio de um sanduíche com f(x) e h(x),
então naquele dia, ou naquele valor de x (eu deveria sair da analogia com comida),
isto nos diz que, se tudo isso for verdade, neste intervalo, o limite quando x tende a C de g(x)
deve também ser igual a L. E novamente, isto é senso comum! f(x) está se aproximando de L,
h(x) está se aproximando de L, g(x) está em um sanduíche no meio delas, então ela também
deve estar se aproximando de L. E você pode dizer "Isso é senso comum! Por que isso é útil?"
Bem, como veremos, isso é útil para encontrar limites de funções esquisitas: se você conseguir

Chinese: 
只要它們在這區間中能被定義
就可以了
但在這區間中，這一定要能被定義
但如果這些極限能被定義
g(x)則一定在
兩個函數之間
在某一日或某一個x值
用回我們的卡路里比喻
如果以上所有都成立
則g(x)趨向c時的極限
都為L
這是常識吧
如果f(x)趨向L, h(x)趨向L
g(x)又在它們中間
那它也一定趨向L
你可能會說這是常識吧
到底有什麽用？
這其實是一個非常有用的定理
去找出一些奇怪函數的極限
如果你能找到一個函數永遠大過它

Korean: 
단지 접근하는 이 구간에서
함수들이 정의되어 있으면 됩니다
하지만 그 구간에서 이 부등식은
반드시 참이어야 합니다
그리고 만약 여기의 극한이 정의된다면
우리는 g(x)가 항상
두 함수들 사이에 있음을 알기 때문에
그날 또는 그 x 값에서
이제 음식을 먹는 것에 대한
비유는 그만하겠습니다
만약 이 구간에서 이 모든 명제가
참이라면
g(x)의 x가 c로 향할 때의 극한도
L 임을 알 수 있습니다
다시 한번, 이것은 당연합니다
f(x)가 L로 향하고, h(x)도 L로
향해 갈 때
g(x)가 그 사이에 있으므로
g(x) 또한 L로 향해가야
한다는 겁니다
어쩌면 여러분은 이게
당연하다고 말하고
어디가 유용한지 
물어볼지도 모릅니다
보시다시피 이 정리는
괴짜같은 함수의
극한값을 조사할 때 유용합니다
조사하고 싶은 함수보다 
항상 큰 함수와

Czech: 
Musí být pouze definovány
na nějakém intervalu kolem ‚c‛.
Ale na tomto intervalu to musí platit.
Pokud limity tady jsou definovány
a protože víme,
že funkce g(x) je stále
sevřená mezi těmito dvěma,
potom, pro ten konkrétní den
nebo v tom konkrétním bodě,
jako v příkladě s jídlem,
nám to říká, že pokud toto 
všechno platí na tomto intervalu,
potom limita g(x), když se ‚x‛ blíží ‚c‛,
musí být také ‚L‛.
A opět, toto dává smysl.
f(x) se blíží k ‚L‛, 
h(x) se blíží k ‚L‛
a g(x) je sevřená mezi nimi,
tudíž se také musí blížit k ‚L‛.
Můžete si říct, že to je jasné.
Proč se to používá?
Uvidíte, že se to hodí k hledání
limit různých nezvyklých funkcí.
Když umíte najít funkci,
která je vždy větší než ona

English: 
Just over this
interval, they have
to be defined as we approach it.
But over this interval,
this has to be true.
And if these limits right
over here are defined
and because we know that g
of x is always sandwiched in
between these two
functions, therefore,
on that day or
for that x-value--
I should get out of that
food-eating analogy--
this tells us if all of this
is true over this interval,
this tells us that the limit
as x approaches c of g of x
must also be equal to L.
And once again, this
is common sense.
f of x is approaching
L, h of x is approaching
L, g of x is sandwiched
in between it.
So it also has to
be approaching L.
And you might say, well,
this is common sense.
Why is this useful?
Well, as you'll see, this
is useful for finding
the limits of some
wacky functions.
If you can find a function
that's always greater than it

Czech: 
a funkci, která je vždy menší
a tyto funkce mají
v nějakém bodě stejnou limitu,
potom víte, že nezvyklá funkce mezi nimi
bude mít v tomto bodě stejnou limitu.

Bulgarian: 
и функция която е по-малка
и ако можете да намерите лимита когато те достигнат с
и е еднакъв лимит, то тогава
тази смахната функция помежду им ще достигне същата стойност.
.

Korean: 
항상 작은 함수를 찾았을 때
만약 그 둘의 극한값이 같다면
그 사이에 있는 괴짜 같은 함수도
분명 같은 극한값을 가질 것을
알 수 있습니다
 

Thai: 
และฟังก์ชันที่น้อยกว่ามันเสมอได้
และคุณหาลิมิตเมื่อพวกมันเข้าใกล้ c
มันจะมีลิมิตเท่ากัน คุณก็
รู้ว่าฟังก์ชันแปลกๆ นั้นอยู่ระหว่างกลาง
มันจะเข้าหาค่าลิมิตเดียวกัน
 

Chinese: 
和一個函數永遠細於它
你可以找出它們趨向c的極限
如果這是一樣的極限
那麽那個奇怪的函數
都會是一樣的極限
R

English: 
and a function that's
always less than it,
and you can find the limit
as they approach some c,
and it's the same
limit, then you
know that that wacky
function in between
is going to approach
that same limit.

Portuguese: 
encontrar uma função que é sempre maior que ela, e uma função que é menor que ela, e você
puder dizer que o limite quando elas se aproximam de um C é o mesmo, então você sabe que aquela
função esquisita no meio irá se aproximar daquele mesmo limite.
