嘿 Vsauce 我是Michael
如果世界上每一個人
手牽手串成一個大圓圈
試著圍住地球
能不能把整個地球繞一圈呢
目前世界上約有75億的人口
這個數量雖然多
但要記得
即使是這麼多的人
若是把所有人的身體全部堆在一起
也只能勉強地把美國大峽谷填滿而已
這是把所有的人類全都聚集到同一個地方的樣子
此刻正活在世上的人類
身體的體積總合
只足以推成一個約7000個人高
2000個人寬的圓錐
就這麼多
但這只是從3D的角度來看
那如果我們來看1D的情況呢
只有一行隊伍
假設每個人算是一公尺長
然後把隊伍伸直 環繞住整個地球
那我們將能完整地環繞地球大圓
然後仍然剩下99.5%的人口沒有派上用場
而如果我們能做出一個包含所有人的圓
這個”人環”的直徑將會超過240萬公里
使得月亮軌道相形見絀
這時 它將不只是一個巨大的環(circle)
而是一個"酷環"(circool)   *註1
讓我們來談談”圓環”這個概念
表面來說 就是指能夠滾動的東西
但 什麼是滾動呢
滾動發生在某個物體靠在另一個物體上移動
並且一直與其保持接觸
並且接觸點的瞬時速率必須保持為零
也就是不在接觸時滑動
在數學上 這個滾動物體上的一點在空間中的移動軌跡
被稱為”旋輪線”(roulette)
英文語源是來自法文的”小輪子”   *註2
一個圓盤的圓心在一個平坦的面上滾動時
它的旋輪線是一條光滑的直線
這表示它是一種很好的輪子
不過正方形的輪子滾動時
感覺卻會有點崎嶇不平
但只要是在對的接觸面上
正方形中心點的旋輪線 仍然可以是條水平直線
我最近有榮幸在紐約的數學博物館騎到這臺腳踏車
這就是正方形輪子實際看起來的樣子
數學家Stan Wagon寫了一篇非常精彩
也相當有名的文章 對輪子有很多介紹
我在影片資訊欄中有附上文章的連結   *註3
這是個了不起的成就
他設計了一個相當有趣的互動程式
並把它放在Wolfram 演示專案上   *註4
讓你可以畫出不同形狀的輪子
然後自動計算出能讓你的輪子平滑地滾動的平面形狀
一個圓盤在水平線上滾動時
上面一點在空間中的旋輪線有個專有名稱
叫做”次擺線” 英文的語源是希臘文”輪子”的意思   *註5
次擺線可分為”短次擺線”或” 長次擺線”
依它所追蹤的點在圓內或圓外而決定
如果那個點剛好落在圓周上
所畫出的旋輪線就稱作是一條”擺線”
擺線有許多非常特別的性質
而它將會是我們這一集的焦點
我和Adam Savage已經合作了許久
一起為”brain candy live”做了許多準備
那是我們巡迴美國40個城市的科學表演秀
我希望你們也可以一起來共襄盛舉
最近我拜託Adam幫我處理一些關於旋輪線的問題
Adam
告訴我一個你最喜歡的多邊形
(笑)
(吸氣)
全部吧 我覺得...@^&%
你不能像你的小孩一樣全部都選
你必須選出其中一個
我嘛...我不偏好哪種多邊形
但我知道有個關於多邊形的小實驗是可以自己DIY的
Okay
畫出一條"多邊形擺線"   *註6
擺線?
你是說要實際作出一條擺線嗎
沒錯 有方法可以實際做出擺線
你這邊有現成的多邊形嗎
就是這個
這裡有個正方形 對吧
嗯哼
假設這是個標準的正方形
如果我選定這個正方形的其中一個頂點
然後開始使它在桌子上向前滾動
並且持續追蹤那個頂點移動的軌跡...
讓我滾好一點 準備好了嗎
頂點在空間中描出的弧線
沒錯 那個弧線是一條多邊擺線
然後 當你選定形狀的邊數越來越多
所形成的線就越來越接近我今天要跟你討論的主題
一條"擺線"
一條擺線
我不想要只是普通地用繪圖軟體
或製作動畫來說服我的觀眾了解這一切
但是你有... 一整間店 可以用來搞出一些實際的東西
為什麼我會想要實際做出一條擺線
讓我先問你一個問題
如果只考慮重力作功
要如何找出最"快"的路徑
讓物體從較高處滑下或滾下到另一個較低的地方
但不是剛好在正下方
那條路徑會是直線嗎
直線顯然是兩者之間的最短距離
但如果你讓重力在一開始就提供你較多的鉛直加速度
也就是在一開始就急遽下降
即是在更多的路徑長中擁有更高的速度
可以想見這種路徑雖然比直線長得多
不過在這邊看來 它因為加速得快 因此並沒有因為路徑更長而花了更多時間
而在理想的情況下
要計算出耗時最少的路徑叫作"最速降線難題"
這個問題 確實困擾了世人好一段時間
加利略認為這個路徑會是一段圓弧
但他錯了 因為已經有了更快的路徑
然後到了1647年
約翰·白努利提出了一個聰明的解法
要知道他是如何解答的 讓我們先從一個類似的問題開始
你站在一個泥地中央
如果你想要儘快撿到一顆在附近馬路上的球
這時 直線會是兩者間的最短距離
但如果你在平坦的馬路上跑得比在泥巴中快得多
那麼最快的路徑
將會是在泥中少一些 在馬路上多一些的路徑
你從泥地跑到馬路之前 前進方向與馬路邊界所交的角度
決定於你在兩種地方的速度比
這代表著 入射與反射角的正弦比值與兩速度的比值相等
最後算出來的結果 就是理想上的最快路徑
這套公式 叫做司乃耳定律
光永遠遵守司乃耳定律
當光從原本的介質射入其他光速較慢(或快)的介質中
例如由水入射到空氣中時
光線將會發生折射 就如司乃耳定律所預測的角度一般
換句話說 光線永遠會選擇能最快到達的路徑
白努力利用這個原理來解釋最速降線
光在不同介質中改變速度的現象
跟物體受到重力而加速落下是可以互相對應的
但是掉落物並不只加速一次
它在重力的持續作用下不斷地增加速度
在白努力知道光的這個特性後
為了利用光來得到接近的結果
他只要將光的前進路徑換成一層層厚度更薄的介質
並且使光速在這些介質中是逐漸遞增的
然後...  猜什麼著
這就是了 最速降線的曲線
所需時間最少的滾動路徑
依著這條軌道滾落的物體
所需的時間永遠都會少於所有其他的軌道
白努力有足夠的智慧去發現
這條曲線可以用另一種方式來描述
那就是旋輪線
顯然地 他發現那就是擺線
一個滾動圓盤的圓周上的點在空間中的移動路徑
擺線永遠符合司乃耳定律
要知道詳細的推導過程
我非常推薦大家去看看這一部影片 *註7
順帶一提 這個頻道真的非常優質
我因為那精闢的解說和作圖說明而成了它們的忠實粉絲
無論如何 擺線在維持路徑為最短的同時
又能使物體加速地最快
在兩者間取得了完美的平衡
我把這全都告訴了Adam
然後跟他說 如果能用擺線做出一個實體的軌道
並且真的把東西從上面滾下來 一定會很有趣
結果他說...
顯然我們現在就該開始蓋一個
那如果要開始蓋了的話 首先我們需要一個圓盤
Okay
那個圓盤要跟我們需要的軌道一樣高
嗯哼
然後我們要用那個圓盤來畫出一段凹向上的擺線*
我想做一些其它種的軌道來互相比較
對 所以如果這是...
假設這裡是點A 然後這是點B
然後你說這兩者間有某種曲線
當物體順著滑下時 它的平均速度會比一條直線要快
那我要做另一條直線軌道連接A、B點
對 然後我們還可以做另外一條極端的曲線
就像..
這樣
沒錯 OK 我了解了
我要用那邊的木板來做
你有很多圓規*
我當然 我有所有不同種類的圓規
我以前都沒看過你有這些
這個也是圓規嗎
對呀
把這邊裝到這裡
再把這個裝過來
然後就會變成...
Okay~
我...我並不想...
嗯... 我覺得有點罪惡感
因為這就好像是我實現了夢想一樣*
真的假的
但我這個夢想還真像怪胎
這個夢想不像是 "我好想要這個東西"那樣 你知道的
像是想要"Red Ryder BB gun"之類的   *註
那比較像 "我就是想把那東西落下的路徑弄彎" 的感覺
Okay 所以顯然當我們蓋完這個軌道
這將會成為我送你的聖誕禮物
我想我已經在腦海中大概想好要怎麼蓋這東西了
我會把它做得很精簡 不會有太多複雜的結構
拿好這把美工刀
然後在我畫的這些東西周圍留白一英吋 把它割下來
你要怎麼把這東西完整地裁下來
我要用.. 還是你想要操作看看
要用線鋸
你來就好 Okay
(乛◡乛)
Okay
現在 嗯 它的邊緣還有一點粗糙
所以我要用砂輪機把他磨平
哦 哇嗚
磨好了
看起來很棒
現在　你要用這東西來畫出擺線
所以需要一個小洞
對　所以用來描出曲線的那個小洞要剛好在圓的邊上
就是這裡了*
好 開始描吧
我不覺得
我的意思是
我覺得這樣打洞比在圓外加裝一個小洞好多了
因為我希望這條線能剛好在邊緣上
所以我們要做的就是 用這東西畫出一段擺線
然後我再把它換成壓克力的
透明的壓克力軌道
能讓我們看清楚東西滾下來的過程
用這個 來讓圓盤在上面滾
大概是這樣吧
看起來很完美
我來壓住這邊 不讓它滑動
這就好像在玩碟仙的
幾何學怪咖
這當然不是給幾何學怪咖玩的碟仙
OK 完成了
這就是
最速降線
這就是我們一直在討論的那個曲線
從那邊開始 到那邊結束
就是這一部分
酷?
酷
我決定要用..
一片層板
大概是四分之三英吋厚
再挖幾條溝槽
用輪鋸來挖幾條
然後用那些溝槽把我們的曲線軌道都固定在上面
然後再立一根直的木板
上面也挖出固定用的溝槽
用這些把軌道都固定起來
yeah 然後這底下還要有一片擋板
讓我們能同時聽到它們撞到擋板的聲音
我們待會有這些東西要做
一個是擺線的軌道
直線軌道
還有一個比較極端的曲線
對 然後..
你意思是把壓克力板凹成這些曲線的樣子嗎
不 其實 這是我打算要做的
壓克力板只會被豎直固定住
只有薄薄的一片
在上面滾的會是
我這裡有一些材料
聚甲醛或乙醯的滾筒
做成這樣的形狀
從側面看 它會長這樣
看起來像H的形狀
壓克力軌道固定在這裡面
那些滾筒會夾著壓克力軌道滾下去
在我和Adam蓋軌道的同時
讓我們來欣賞一些其他種旋輪線的模擬動畫
之前說過次擺線是指一個圓盤在水平線上滾動時
上面一點在空間中的旋輪線
而"外次擺線"是指在圓外滾動的圓之次擺線
如果是在圓內滾動 那則稱作"內次擺線"
這些數學名詞所代表的曲線
也可以用這種齒輪小玩具畫出來
但注意 那些小洞並沒有在圓周上
雖然有些還滿接近的
如果小洞在滾動圓盤的圓周上 它有專有名詞
類似於在平面上滾動圓盤的名稱
它們被叫做"外擺線"與"內擺線"
如果兩個圓的半徑相同
畫出來的外擺線將會永遠回歸到同一點上
產生出單一個端點(cusp)
這個可愛的心形外擺線叫"心臟線"(Cardioid)
如果滾動的圓半徑為一半時
會得出一條有兩個端點的弧線
這種形狀被稱作"腎臟線"(nephroid)
因為...它長得像腎臟 我猜
圓半徑為三分之一時有三個端點
四分之一 則有四個端點
以此類推
至於內擺線
如果裡面的小圓半徑是大圓的四分之一
得出的旋輪線叫作"星形線"(astroid)
因為它長得像星星
所以用英文"asteroid"(小行星)命名
小圓半徑是三分之一就叫做"三尖瓣線"(deltoid)
因為看起來像希臘字母"Δ"(delta)
半徑是一半時 你得到的..
是一條直線
這有趣的性質被稱為"圖西連結"   *註8
圓周運動轉化成一次函數的軌跡
一次追蹤多個點 你會看到一個有名的現象
每個點都畫出了一條相對應的直線
儘管它們是由一個滾動的圓所畫出的
在圓上再加裝一個把手 你會得到一個"阿基米德圓規"*
也可以是一個畫出橢圓形的實用工具
同時也是我在密蘇里州的鄉村玩具中心買到的小東西
無論如何 讓我們回來看看Adam和我的軌道模型
我有做一條終點線在這
噢 太可愛了
我們有一條終點線~
準備好了?
準備好了
由我來數3、2、1 放
來吧 3、2、1 放
第一、第二、第三
最陡峭的是第二 直線第三
直線是第三?
兩個點之間的最短距離竟然是最後一個
竟然是最慢的路徑
對 它確實是
讓我們再試一次
因為剛剛其實都很接近
嗯... 最速降線的軌道是遙遙領先
真是個拗口的字
跟Brachiosaurus (腕龍屬)沒有關係
他們的字根不是一樣的意思 我有查過
我還知道有一個字
ingenious(靈巧的)跟ingenuity(靈巧)也不是相同的字根
它們沒有關係? 千真萬確
*註9
好 準備?
3、2、1、放
yeah 一樣的結果
第一、第二、第三
但這兩個很接近 很難分辨
慢動作重播！
我想我們正在證明最速降線是到達目的的最快路徑
嗯...其實最速降線還有一個名字 叫"等時曲線"
它還有一個性質 我覺得應該要來操作看看
嗯...那是
我先講
在進到下一步之前 我們已經確定了
在這三種路徑中 最速降線的那一條 是最快的軌道
他遠遠是最快的
如果是陡峭的這一條
不幸的是 速率會很快的代價 軌道也會變得更長
yap
那如果你是直線軌道... 你知道的 有趣的是
你需要的是加速度和距離間的完美平衡
最讓我感到有趣的 是擺線背後的幾何學
它背後要有什麼樣的方程式
才能把重力作最有效的利用
正是如此
因為 如果沒有重力做功 只有一開始推動物體滾落的力
直線毫無疑問會是最快的
Okay 所以你說"等時曲線"的另外一個性質是什麼
就是你說的
"tautochrone"是"等時"的意思
所以
根據幾何學和數學的計算
不管物體從哪裡為起點滾動
Oops 夾子掉了
嗯 這是我的錯 可是 來幫我啦
哦 其實這桌子非常難搞 因為@?\%^
喔 它底下還有一層板子*
這其實是我的疏失
很好 很樂意聽到這結論
所以.. 我要先把這條直線也拿走
那我們只會剩下這條被稱為最速降線的擺線
但他還有一個不同尋常的性質
就是 不論我從哪裡開始滾落物體
在我放開之後 它們永遠會在同一個時間到達終點
讓我試試
所以如果我從這裡放開 它滾到終點花的時間
跟從這裡放開是一樣的?
對 然後從這裡也一樣
所以... 從這裡放開會很尷尬
因為有摩擦力
如果你在軟體上做這個實驗 就不會這樣了
可是 那會很無聊
這是現實世界 所以..
我們 應該不會從這裡放開
我們可以在這一、二、三個地方做比較
我覺得也許可以讓其中一個從這裡開始
雖然可能會有很多阻力影響結果
不過 我們都可以試試看
我們都可以試試看 我們有很多軌道可以用
這就是為什麼我們需要用到三個軌道
來證明這個性質
而且這三個軌道是一起用砂輪機磨出來的
所以他們會非常相似
不過我在磨完之後還需要分別處理軌道的邊緣
就像現在架子上那一個一樣
然後我還用了一些鋼毛刷來讓邊緣更明顯*
在撕這些壓克力上的紙的時候要注意一點
它很容易不小心就折到了*
這紙是怎麼固定在壓克力上的呀
好問題 我以前也沒看過它是怎麼貼上去的
因為它沒有什麼膠水的感覺啊
這是某種像3M膠水的東西吧
 它確實不是用膠水固定的
我覺得這會很酷
因為提出理論、用理論推導理論、用實驗證實理論 是同一件事*
我有一次到芝加哥大學 聽到有人對我說
那在實際應用上聽起來不錯 可是在理論中又如何呢
這是那裡人們的觀念
所以我們來看看 如果我把一個放在這
然後你再把另一個..
OK 所以看來我們不需要這個
我覺得要由同一個人來放
因為這樣能讓時間更一致
OK 所以這裡 把那滾筒放在這
好了 三個不同的起始點
這一個的距離比較遠
然後這一個的路徑最短
所以... 哪一個會先到達終點呢
唔 來看看吧
我覺得我直覺會認為 這個(最短的)會先到終點
太完美了
它們就好像一邊前進 一邊對齊成一條線
我們再把它架回上面去
我覺得還是要由你來放 因為換人做可能會有誤差*
我看著他們對齊成一排
對 它們就像是在互相配合另一個滾筒一樣
我要站遠一點看 來看清楚一點
真是太酷了
他們完全就是剛好用同樣的時間 在終點對齊成一條線
所以如果能去除掉阻力和其它有的沒的
他們真的能以一樣的時間
就像是從最高點也一樣
就像是這樣 然後...
(⊙ˍ⊙)
這就是你想像中的那個等時曲線嗎
這真的是 這真的是
而且這同時也是我想像中的最速降線
也是我心目中的那個擺線
所以 再試一次
再做一次 yeah
這真的非常酷
再一次~
yeah~ 那確實是同時到達的
哇嗚
*
所以在這場比賽中 不論你的起始點如何
也永遠會是贏家
它們永遠會同時到達
這是一個 brain candy 啊 Adam
這就是那種以前很抽象
只會在動畫裡或是課本上看到
可是現在我可以在任何一點讓它落下
我不會受限於什麼 可以直接觸摸到這些理論
這就是為什麼brain candy這麼使人興奮
就像這個 我很喜歡把抽象理論轉變成實體的東西
而且 事實上 我覺得我們就像是兩家姐妹公司一樣
我覺得能跟你合作真的非常開心
對 沒錯 然後這是我們倆的小孩(抱)
嗯 也許我們有人不擅長實作
然後另一個人正努力把每一天過得更充實
但無論如何 這東西完成了
而且我想它之中包含了我們的用心
這很有趣
嘿 這本來就很有趣
Adam 萬分感謝你的幫忙
跟你一起合作永遠是最棒的
我希望這部影片的每一位觀眾都能來參加brain candy live
那將會非常精彩
還有 其實在你的日常生活中處處存在等時曲線
那是能把兩個東西交會在一起的路徑 即使起點並不相同
\ˊ 益ˋ \
