
Russian: 
Попробуем применить все, что мы знаем про
дифференцирование, выпуклость, максимумы и
минимумы, и точки перегиба, чтобы построить график
функции без использования графического калькулятора.
Пусть, например, наша функция, скажем, f от x равно
3 x в четвертой степени минус 4 x в кубе плюс 2.
Конечно, вы можете всегда построить график функции, просто расставив
кучу точек, но мы хотим обратить внимание
на точки, которые интересны для нас, и затем получить
общую форму функции, особенно мы хотим остановиться
на том, что мы можем узнать о нашей функции, используя
инструменты анализа и дифференцирования.
Итак, первое, что бы мы хотели сделать, это найти
критические точки.
Мы хотим найти, я записываю, критические точки.
Напомню, что такое критические точки - это такие точки,

Arabic: 
.
دعونا نرى اذا بامكاننا استخدام كل شيئ نعرفه عن
التمايز والتقعر، والنقاط العظمى و
الصغرى، ونقاط الانقلاب، لكي نمثل
الاقتران بيانياً دون استخدام آلة تمثيل بياني
لذا دعونا نفترض ان الاقتران، دعونا نفترض انه f(x) =
3x^4 - 4x^3 + 2
وبالطبع، يمكنكم دائماً ان تمثلوا اقتران بيانياً عن طريق تجريب
مجموعة من النقاط، لكننا نريد ان نركز على
النقاط المثيرة لاهتمامنا، ومن ثم ان نحصل على
شكل عام للاقتران، بشكل خاص نريد ان نركز على
الاشياء التي يمكننا استخراجها من هذا الاقتران باستخدام
مجموعة ادوات التفاضل والتكامل، او مجموعة ادوات المشتقات
اذاً اول شيئ سوف نفعله، هو ايجاد
النقاط الحرجة
نريد ان نجد --سأكتب هنا-- النقاط الحرجة
وكتذكير لكم لما تعنيه النقاط الحرجة، انها

Czech: 
Zkusme nyní využít všeho,
co víme o derivování, konvexitě,
lokálních maximech a minimech
či inflexních bodech k tomu,
abychom nakreslili graf funkce
bez použití grafické kalkulačky.
Řekněme, že naše
funkce f(x) se rovná:
3 krát (x na čtvrtou)
minus 4 krát (x na třetí) plus 2.
Graf funkce můžeme samozřejmě vždy
nakreslit tak, že spočítáme několik bodů,
ale my se budeme soustředit na
jisté zajímavé body a na to,
jaký má graf
přibližně tvar.
Zejména nás budou
zajímat ty vlastnosti funkce,
které lze odhalit pomocí
nástrojů diferenciálního počtu,
tedy pomocí derivování.
Jako první určíme
stacionární body.
Zajímají nás...
Napíšu to sem.
...stacionární body.
Připomeňme si,
co to stacionární bod je.

Portuguese: 
Vamos tentar usar 
tudo o que sabemos sobre
diferenciação e concavidade, 
e pontos maximos e
mínimos, e pontos de inflexão, 
para desenhar num gráfico
uma função sem usar 
uma calculadora gráfica.
Então vamos admitir que a 
nossa função f(x) é igual
a 3x elevado a quarta 
menos 4x ao cubo mais 2.
E, é claro, podemos sempre 
desenhar a função só
tentando vários pontos, 
mas queremos nos concentrar
nos pontos que são interessantes
e então apenas pegar
a forma geral da função, 
queremos especialmente focar
nas informações que podemos tirar 
dessa função utilizando nosso
kit de ferramentas de cálculo 
ou nosso kit de derivadas.
Então a primeira coisa 
que queremos descobrir
são os pontos críticos.
Queremos achar, 
vou escrever aqui, pontos críticos.
E, apenas para relembrar 
o que são pontos críticos, eles são

Korean: 
 
우리가 함수를 그래프화 할 때
미분  볼록성  최댓값  최솟값
그리고 변곡점에 대한 우리의 모든 지식을
그래프를 그래프 계산기 없이 그려내기 위해서 사용할 수 있는지 알아봅시다
그러면 우리의 함수 f(x)가
3x의 4제곱 더하기 4x의 3제곱 더하기 2라고 하겠습니다
물론 여러분은 몇 개의 점을 구하는 것을 시도함으로써
그래프를 그릴 수 있습니다
  하지만 저희는
흥미 있는 점들에 집중하겠습니다
 그리고
함수의 일반적인 모양을 알아내기 위해서
미적분 툴키트와 도함수 툴키트를 이용해
구할 수 있는 내용들에 집중하겠습니다
첫번째 할 일은
임계점들을 알아보는 것입니다
저희가 알아내기 원하는 것은 임계점입니다 
(제가 적어보겠습니다 critical points)
임계점이 무엇을 의미하는 지에 대한 보충 설명으로

Turkish: 
-
Türev, çukurluk yönü, maksimum, minimum ve büküm noktaları hakkında bildiklerimizi kullanarak, hesap makinesi kullanmadan bir fonksiyonun grafiğini çizelim.
-
-
-
f x eşittir 3 x üzeri 4 eksi 4 x küp artı 2.
-
Birkaç nokta bularak da fonksiyon grafiği çizebiliriz, ama özellikle ilginç noktaları bulmalıyız. Bu noktaları ve grafiğin genel şeklini bulmak için, türev becerilerimizi kullanacağız.
-
-
-
-
-
İlk yapmamız gereken, kritik noktaları belirlemek.
-
Şuraya kritik noktalar diye yazayım.
Kritik noktalarda türevin 0 olduğunu hatırlayalım.

English: 
Let's see if we can use
everything we know about
differentiation and
concativity, and maximum and
minimum points, and inflection
points, to actually graph a
function without using a
graphing calculator.
So let's say our function,
let's say that f of x is equal
to 3x to the fourth minus
4x to the third plus 2.
And of course, you could always
graph a function just by trying
out a bunch of points, but we
want to really focus on the
points that are interesting to
us, and then just to get the
general shape of the function,
especially we want to focus on
the things that we can take out
from this function using our
calculus toolkit, or our
derivative toolkit.
So the first thing we probably
want to do, is figure
out the critical points.
We want to figure out, I'll
write here, critical points.
And just as a refresher of what
critical points means, it's the

Portuguese: 
Vamos ver se nós conseguimos usar tudo o que sabemos sobre
diferenciação e concavidade, e maximos e
pontos minimos, e pontos de inflexão, para desenhar num grafico
uma função sem usar uma calculadora gráfica.
Então vamos admitir que a nossa função f(x) é igual
a 3x à quarta menos 4x ao cubo + 2.
E, é claro, poderiamos sempre desenhar a função apenas
tentando uma porção de pontos, mas nós queremos mesmo concentrar-nos
nos pontos que são interessantes para nós e conseguir e então apenas
a forma geral da função, nós queremos especialmente focar
nas coisas que nós podemos tirar dessa função utilizando nosso
kit de ferramentas de calculo ou nosso kit de derivativas.
Então a primeira coisa que nós queremos é descobrir
os pontos críticos.
Nós queremos achar, vou escrever aqui, pontos críticos.
E, apenas para relembrar o que são pontos críticos, eles são
os pontos onde a derivativa de f(x) é igual a 0.

Bulgarian: 
-
Да видим дали сега можем да използваме всичко, което знаем за
производни и за вдлъбнати функции, както и за максимални
и минимални точки и за инфлексни точки, за да направим графика на
функция без да използваме калкулатор за графики
Да кажем, че функцията ни, f от x, е равно
на 3x на четвърта минус 4x на трета плюс 2
Разбира се, винаги можете да направите графиката на функция
като опитате с няколко точки, но тук искаме да обърнем внимание на
точките, които ни интересуват и после просто да
намерим общата форма на функцията. Особено ни интересуват нещата,
които можем да изведем от функцията чрез инструментариума си за
висша математика (или инструментариума за производни)
Първото нещо е да открием
критичните точки
Записвам тук – търсим критичните точки
Нека ви напомня какво са критичните точки – това са

Spanish: 
Vamos a ver si podemos utilizar todo lo que sabemos acerca de
diferenciación y concavidad y máximos y
puntos mínimos y puntos de inflexión, para realmente gráficar una
función sin utilizar una calculadora gráfica.
Así que vamos a decir nuestra función, vamos a decir que f x es igual
a x 3 a la cuarta menos 4 x para la tercera más 2.
Y por supuesto, siempre podrías gráficar una función sólo por tratar de
fuera un montón de puntos, pero queremos centrarnos en el
puntos que son interesantes para nosotros y, a continuación, sólo para obtener el
forma general de la función, especialmente queremos centrarnos
las cosas que podemos sacar de esta función usando nuestro
Kit de herramientas de cálculo, o nuestro kit de herramientas de derivados.
Así que probablemente lo primero que queremos hacer, es figura
los puntos críticos.
Queremos averiguar, voy a escribir aquí, los puntos críticos.
Y así como un repaso de lo que significa los puntos críticos, es la

French: 
Voyons si on peu utiliser tout ce qu'on sait sur
la dérivation, la concavité, les maximum et les minimum
et les points d'inflexion pour tracer le graphe
d'une fonction sans utiliser la calculatrice graphique.
Disons qu'on a une fonction f de x égale à
trois x au cube moins quatre x au carré plus deux.
Bien sûr, on peut toujours tracer la courbe en plaçant
plusieurs points sur le graphe, mais on veut s'intéresser
aux points important, et juste avoir
l'allure générale de la courbe.

Thai: 
-
ลองดูกันว่าเราจะสามารถใช้ทุกอย่างที่เราาเรียน
เรื่องอนุพันธ์กับความเว้า จุดสูงสุด
ต่ำสุด และจุดเปลี่ยนเว้า เพื่อวาดกราฟ
ของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขวาดกราฟ ได้หรือไม่
งั้นสมมุติว่าฟังก์ชันของเรา สมมุติว่า f ของ x เท่ากับ
3x กำลังสี่ลบ 4x กำลังสาม บวก 2
และแน่นอน คุณสามารถวาดกราฟฟังก์ชัน โดยการลอง
แทนจุดหลาย ๆ จุด แต่เราอยากสนใจตรง
จุดที่น่าสนใจสำหรับเรา แล้วค่อย
ดูรูปทั่วไปของฟังก์ชัน โดยเฉพาะที่เราอยากสนใจ
ที่สิ่งที่เราหาได้จากฟังก์ชันนี้โดยใช้
เครื่องมือทางแคลคูลัส และอนุพันธ์ของเรา
งั้นสิ่งแรกที่เราอยากทำคือ หาจุด
วิกฤต
เราอยากหา ผมจะเขียนไว้ตรงนี้นะ จุดวิกฤต
และเพื่อทบทวนว่าจุดวิกฤตคืออะไร มันคือ

Korean: 
그것은 함수 f(x)의 도함수가 0인 지점입니다
따라서 임계점들은 f '(x)가
0이거나 정의되지 않는 점들입니다
 
이 함수는 모든 구간에서 미분 가능해 보이므로
저희가 걱정한 임계점들은 아마
그것들이
f '(x)가 0이 되는 바로 그 점들이라는 것입니다
이 도함수 f '(x)는 정확히
모든 구간에서 정의될 것입니다
그러므로, 여기에 도함수를 바로 적어보도록 하겠습니다
f '(x)는
꽤 간단합니다
3x의 4제곱의 도함수는  3곱하기 4가 12이므로
12x에 (4를 1만큼 감소시켜 )3제곱입니다
맞지요?
지수의 크기만큼 항에 곱한 후
새로운 지수를 1만큼 감소시키면 됩니다
4곱하기 3은 12이고, 3보다 1작은
2이므로 12x의 제곱을 뺴면 되겠습니다

Bulgarian: 
точките, където производната f от е 0
Значи, критичните точки са f едно от x е равно на
0 или е неопределено
-
Тази функция изглежда диференцируема навсякъде, значи
ще ви кажа, че вероятно критичните ни точки
ще са само тези, където f прим от x
ще е равно на 0
Тази производна, f прим от x, ще бъде
определена в цялата общност
Всъщност, нека сега запишем производната
Производната на това, f прим от x, е
простичка за намиране
Производната на 3x на четвърта, 4 по 3 е 12,
12x на … просто ще снижим 4 с 1,3
Нали ?
Просто умножаваме по степента и после намаляваме
новата степен с 1, минус 3 по 4 е 12, по x на
с 1 по-малко от 3 е 2

Thai: 
จุดที่อนุพันธ์ของ f ของ x เท่ากับ 0
ที่จุดวิกฤต f ไพรม์ของ x นั้นไม่เท่ากับ 0
ก็ไม่นิยาม
-
ฟังก์ชันนี้ดูเหมือนจะหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ดังนั้น
จุดวิกฤตที่เราสนใจ ก็แค่
ผมบอกได้เลย มันก็แค่จุด
ที่ f ไพรม์ของ x จะเท่ากับ 0
อนุพันธ์นี้ f ไพรม์ของ x จะนิยามได้
ตลอดโดเมนทั้งหมด
งั้นลองเขียนอนุพันธ์ออกมาตรงนี้กัน
อนุพันธ์ของอันนี้ f ไพรม์ของ x นี่ก็
ตรงไปตรงมา
อนุพันธ์ของ 3x กำลังสี่ 4 คูณ 3 ได้ 12
12x กำลัง เราจะลด 4 ลง 1 ได้ 3
จริงไหม?
คุณก็แค่คูณเลขชี้กำลัง แล้วก็ลด
เลขชี้กำลังใหม่ลงหนึ่ง ลบ 3 คูณ 4 ได้ 12 คูณ x
กำลัง 3 ลดลง 1 ได้ 2

English: 
points where the derivative
of f of x is 0.
So critical points are f prime
of x is either equal to
0, or it's undefined.
This function looks
differentiable everywhere, so
the critical points that we
worried about are probably,
well, I can tell you, they're
definitely just the points
where f prime of x are
going to be equal to 0.
This derivative, f prime of x,
is going to actually be defined
over the entire domain.
So let's actually write down
the derivative right now.
So the derivative of this,
f prime of x, this is
pretty straightforward.
The derivative of 3x to the
fourth, 4 times 3 is 12,
12x to the, we'll just
decrement the 4 by 1, 3.
Right?
You just multiply times the
exponent, and then decrease the
new exponent by one, minus 3
times 4 is 12, times x to
the 1 less than 3 is 2.

Spanish: 
puntos donde la derivada de f de x es 0.
Por lo que son puntos críticos f primo de x es cualquiera igual a
0, o se ha definido.
Esta función busca diferenciable en todas partes, por lo que
los puntos críticos que nos preocupa son probablemente,
Pues bien, puedo decirles, son definitivamente sólo los puntos
donde prime f de x va a ser igual a 0.
Este derivado, primer f de x, va a definirse realmente
sobre todo el dominio.
Así que vamos a realmente anote el derivado ahora.
Derivado de ello, primer f de x, esto es
bastante sencillo.
La derivada de 3 x a la cuarta, 4 veces 3 es 12,
x 12, sólo nos podrá disminuir 4 por 1, 3.
¿Verdad?
Sólo multiplicar veces el exponente y luego disminuir la
nuevo exponente por uno menos 3 veces 4 es 12 veces, x
el 1 de menos de 3 es 2.

Russian: 
где производная f по x равна нулю.
Итак, в критических точках f штрих от x равно
нулю, или не определено.
Эта функция выглядит всюду дифференцируемой,
так что критические точки, которые мы ищем, наверное,
впрочем, я подскажу, в точности те точки,
где f штрих от x равна нулю.
Производная f от x на самом деле определена
на всей области определения f.
Итак, запишем производную.
Производная f штрих от x, это
очень просто.
Производная от 3 x в четвертой, 4 на 3 это 12,
12 x в степени, 4 минус 1, то есть 3.
Правильно.
Надо умножить на степень, и потом уменьшить
новую степень на единицу, минус трижды четыре 12, умножить на x в степени
3 без единицы -- 2.

Portuguese: 
os pontos onde a 
derivada de f(x) é igual a 0.
Então pontos críticos 
são f' de x também é igual
a 0, ou é inexistente.
Essa função parece diferenciavel 
em todos os lugares, então
os pontos críticos que 
nos preocupamos são provavelmente
bom, posso te dizer, são 
definitivamente só os pontos
onde f'(x) será igual a 0.
Esta derivada, f'(x), será, 
na verdade, definida
em relação ao domínio.
Então vamos agora escrever a derivada
A derivada desta 
função, f'(x), isto é
bastante básico
A derivada de 3x elevado 
a quarta, 4 vezes 3 é 12,
12x ao cubo - subtraímos 1 ao expoente 4 -
Certo?
Simplesmente multiplicamos 
o expoente e depois subtraímos o
novo exponente por 1, 
menos 3 vezes 4 é 12, vezes x
elevado a 1 menos que 3 é 2.

Turkish: 
-
f üssü x'in 0 veya tanımsız olduğu noktalar.
-
-
Bu fonksiyon her yerde türevli gibi görünüyor, dolayısıyla, kritik noktalarda f üssü x, 0' a eşit olacak.
-
-
-
f üssü x, tüm reel sayılar için tanımlı olacak.
-
Şimdi türevi bulalım.
f üssü x'i bulmak kolay.
-
3 x üzeri 4'ün türevi, 4 çarpı 3 eşittir 12, 12 x üzeri, 4 'ü 1 azaltalım, 3.
-
Tamam mı?
Üsle çarpıp, üssü 1 azaltıyoruz. Eksi 3 çarpı 4 eşittir 12, çarpı x üzeri, 3 eksi 1, eşittir 2.
-
-

Czech: 
Je to bod, ve kterém je
derivace funkce f(x) rovna nule...
Ve stacionárních bodech je tedy
f(x) s čárkou buď rovno nule,
nebo to není
definováno.
Vypadá to, že tato funkce
je diferencovatelná všude,
takže jedinými stacionárními
body budou nejspíš...
Vlastně vám mohu říct,
že to určitě budou pouze body,
ve kterých se
f(x) s čárkou rovná nule.
Derivace, tedy f(x) s čárkou, totiž bude
definovaná na celém definičním oboru.
Spočítejme si tedy
nyní tuto derivaci.
Derivace tohohle,
tedy f(x) s čárkou...
Bude to poměrně
přímočarý výpočet.
Derivace z výrazu
3 krát (x na čtvrtou)...
4 krát 3 je 12,
takže to bude 12 krát x na...
4 zmenšíme o 1,
takže to bude x na třetí.
Jen vynásobíme exponentem,
který následně zmenšíme o 1.
Od toho
odečteme...
3 krát 4 je 12,
tohle krát x na...
3 minus 1 je 2.

Portuguese: 
Então pontos críticos são f primária de x tanto igual
a 0, ou é inexistente.
Essa função parece diferenciavel em todos os lugares, então
os pontos criticos que nos preocupamos são provavelmente
bem, Eu posso te dizer, eles são definitivamente apenas os pontos
onde f'(x) serão igual a 0 [f'(x)=0]
Esta derivada, f'(x), será, na verdade, definida
em relação ao Domínio.
Então vamos agora escrever a derivada
Então a derivada desta função, f'(x), isto é
bastante básico
A derivada de 3x à quarta, 4 vezes 3 é 12,
12x ao cubo - subtraímos 1 ao expoente 4 -
Certo?
Nós simplesmente multiplicamos o expoente e depois subtraímos o
novo exponente por 1, 3 vezes 4 são 12, vezes x
o 3 menos 1 é igual a 2.

Arabic: 
النقاط حيث تكون مشتقة f(x) صفر
اذاً النقاط الحرجة هي f^1(x) اما ان يساوي
0، او يكون غير معرفاً
او غير معرفاً
هذا الاقتران يبدو قابلاً للتمايز في كل مكان، لذا
فإن النقاط الحرجة التي نهتم لأمرها ربما تكون
حسناً، بامكاني ان اخبركم، انهم بلا شك عبارة عن النقاط
حيث f^1(x) يساوي 0
هذه المشتقة، اي f^1(x)، ستكون في الواقع معرفة
على المجال كله
اذاً دعونا نكتب المشتقة الآن
اذاً مشتقة هذا، اي f^1(x)
مباشرة جداً
ان مشتقة 3x^4 
--4 × 3 = 12
12x^ --نقوم بتقليل الـ 4 بمقدار 1-- 3
اليس كذلك؟
تقوم بالضرب بالأس، ومن ثم تقلل
الأس الجديد بمقدار 1، -3 × 4 = -12، × x مرفوع لقوة
اقل بمقدار 1 من الـ 3، اي 2

Korean: 
상수항의 도함수는
즉, 상수함수의 기울기는 생각해볼 수 있듯이
 0입니다
상수함수는 불변입니다
상수함수는 정의에 따라서 값이 변하지
않습니다
따라서 이것이 f '(x)입니다
변곡점들을 찾아봅시다
변곡점은 이 도함수가
0이거나 정의되지 않는 곳입니다
실수 전체의 범위에서 보았을 때
이 함수는 모든 곳에서 정의 되어 있는 것 같습니다
이 함수에 어떤 수를 대입시켜도
함숫값이 얼마인지에 대한 답을 줄 것입니다
이 함수가 모든 구간에서 정의되므로
이 함수가 언제 0이 되는지를 알아봅시다
f '(x)=0입니다
이 식의 해를 구해보도록 합시다
(다시 적을 필요 없이 방금 적었던 내용이군요)
f '(x)가 0이 되는 해를 구해보겠습니다
(같은 색으로 해 보겠습니다)
12x의 3제곱 뺴기 12x의 제곱이 0입니다
이것을 풀기 위해 할 수 있는 것을 봅시다

Czech: 
Derivace konstanty,
tedy sklon konstanty,
jak si asi umíte
představit, je nula.
Konstanta se totiž už
podle definice nemění.
Takhle tedy vypadá
f(x) s čárkou.
Nyní nalezněme
stacionární body.
Ve stacionárních bodech je tento výraz buď
rovný nule, nebo v nich není definovaný.
Mohu si vzít libovolné reálné číslo
a derivace pro něj bude definovaná.
Mohu sem dosadit
libovolné číslo a nic se nezkazí.
Vždy mi vyjde nějaká
funkční hodnota.
Derivace je definovaná všude,
takže se podívejme, kdy je rovna nule.
f(x) s čárkou se rovná 0...
Spočítejme tedy,
pro která x...
Vlastně to ani
nemusím psát znova.
Spočítejme tedy,
kdy se tohle rovná 0.
Budu to psát
tou samou barvou.
12 krát (x na třetí) minus
12 krát (x na druhou) se má rovnat 0.
Zkusme to tedy
nějak vyřešit.

Portuguese: 
Então a derivada de uma 
constante, a inclinação da
da constante, você 
pode quase imaginar, é zero.
Não está mudando.
Uma constate, por definição,
não está mudando.
Então esta é f' de x.
Vamos descobrir os pontos críticos.
Os pontos críticos ocorrem quando 
isto vai tanto ser igual
a zero, ou inexistente.
Agora, posso olhar para 
o reino numérico completo
e isso está definido 
praticamente em tudo.
Eu poderia colocar qualquer 
número aqui, e não daria problema.
Vai me dar a resposta do que a função é.
Então isso é definido
em todos os lugares, por isso vamos
apenas descobrir onde
é igual a 0.
Então f' de x é igual a zero.
Vamos resolver, qual X é,
vamos resolver-- eu não tenho
que reescrever aquilo, eu
já escrevi isso.
Vamos resolver para 
quando isso é igual a zero.
E vou fazer na mesma cor.
Então 12x ao cubo menos
12x ao quadrado é igual a 0.
Vamos ver o que fazer 
para solucionar isso.

Russian: 
И производная константы, наклон
константы, как можно понять, ноль.
Она не меняется.
Константа по определению не меняется.
Итак, f штрих от x.
Теперь найдем критические точки.
Критические точки - это где эта штука либо становится
равной нулю, либо не определена.
Теперь я могу посмотреть на всю область действительных чисел,
и эта штука определена везде.
Я могу подставить любое число, и ничего не сломается.
Я всегда могу получить ответ, чему равна функция.
Итак, она определена везде, так что давайте
просто найдем, где она равна нулю.
Итак f штрих от x равно 0.
Так что давайте решать при каких x -- не буду
я только что это написал.
Давайте сосчитаем, когда это равно 0.
Возьму тот же цвет.
Итак, 12 x в кубе минус 12 x в квадрате равно 0.
Как мы будем это решать?

English: 
And then the derivative of
a constant, the slope of
a constant, you could
almost imagine, is zero.
It's not changing.
A constant, by definition,
isn't changing.
So that's f prime of x.
So let's figure out
the critical points.
The critical points are where
this thing is either going to
be equal to 0, or
it's undefined.
Now, I can look over the entire
domain of real numbers, and
this thing is defined
pretty much anywhere.
I could put any number here,
and it's not going to blow up.
It's going to give me an answer
to what the function is.
So that it's defined
everywhere, so let's
just figure out where
it's equal to 0.
So f prime of x is equal to 0.
So let's solve, which x is,
let's solve-- I don't have
to rewrite that, I
just wrote that.
Let's solve for when
this is equal to 0.
And I'll do it in
the same color.
So 12x to the third minus
12x squared is equal to 0.
And so let's what we
can do to solve this.

Turkish: 
Şimdi, sabitin türevi, sabitin eğimi, 0.
-
Çünkü değişmiyor.
Sabit, tanımı gereği, değişmez.
İşte, f üssü x.
Şimdi, kritik noktaları bulalım.
Kritik noktalarda türev 0 veya tanımsızdı.
-
Bu türevin tüm reel sayılar için tanımlı olduğunu biliyoruz.
-
Buraya hangi sayıyı koyarsak koyalım, patlamaz.
Fonksiyon değeri elde ederim.
Türev her yerde tanımlı olduğuna göre, nerede 0 olduğuna bakalım.
-
f üssü x eşittir 0.
-
-
Bu denklemi çözelim.
-
12 x küp eksi 12 x kare eşittir 0.
Nasıl çözebiliriz, bakalım.

Bulgarian: 
И после, наклонът на константа е, както
можете да си представите, 0
Не се променя
Константата, по дефиниция, не се променя
Значи, това е f прим от x
Нека наперим критичните точки
Критичните точки са там, където това или ще
е равно на 0, или ще е неопределено
Мога да погледна цялата общност от реални числа и
това ще ни е определено навсякъде
Мога да сложа което и да е число тук
И винаги ще получа отговор за функцията
Значи е дефинирана навсякъде, значи нека
просто да намерим кога е равна на 0
Значи, f прим от x е равно на 0
Нека решим … няма нужда да преписвам това
-
Да решим за когато това ще е равно на 0
Ще използвам същия цвят
Значи, 12x на трета минус 12x на квадрат е равно на 0
Да видим как можем да решим това

Portuguese: 
Então vamos encontrar os pontos críticos.
Os pontos críticos são onde essa coisa vai ou
ser igual a 0, ou será inexistente.
Agora, posso olhar para o reino numérico completo
e essa coisa está definida praticamente em tudo.
Eu poderia colocar qualquer número aqui, e não daria problema.
Vai me dar a resposta de o que a função é.
Vamos ver o que fazer para solucionar este

Arabic: 
ثم ان مشتقة الثابت، ميل
الثابت، يمكنك ان تتخيل، هي 0
انها لا تتغير
الثابت، من خلال التعريف، لا يتغير
اذاً ذلك هو f^1(x)
اذاً دعونا نجد النقاط الحرجة
ان النقاط الحرجة تكون حيث يكون هذا الشيئ اما
يساوي 0، او غير معرفاً
الآن، يمكنني ان القي نظرة على مجال الاعداد الحقيقية كله، و
هذا الشيئ يكون معرفاً اكثر في اي مكان
يمكنني ان اضع اي عدد هنا، ولن تكبر قيمته
سيعطيني اجابة لماهية الاقتران
اذاً هو معرف في اي مكان، لذا دعونا
نجد اين يساوي 0
اذاً f^1(x) = 0
دعونا نجد، اي x، دعونا نجد --لا يتوجب علي
كتابة هذا، لكني قد كتبته
دعونا نجد متى هذا يساوي 0
وسوف افعل ذلك بنفس اللون
اذاً 12x^3 - 12x^2 = 0
ولذلك دعونا --ما الذي يمكن ان نفعله لايجاد هذا

Spanish: 
Y, a continuación, la derivada de una constante, la pendiente de
una constante, casi podía imaginar, es cero.
No está cambiando.
Una constante, por definición, no está cambiando.
Por lo es primo de f x.
Así que vamos a averiguar los puntos críticos.
Los puntos críticos son donde esta cosa es ir a
ser igual a 0, o es indefinido.
Ahora, puedo mirar sobre todo el dominio de los números reales, y
esta cosa se define prácticamente en cualquier lugar.
Pude poner cualquier número aquí, y no va a estallar.
Va a darme una respuesta a lo que es la función.
Por lo que ha definido en todas partes, así que vamos a
sólo averiguar donde es igual a 0.
Por lo tanto primer f de x es igual a 0.
Así que vamos a resolver, que x es, vamos a resolver--no tengo
volver a escribir, sólo escribí.
Vamos a resolver para cuando esto es igual a 0.
Y podrá hacerlo en el mismo color.
Para que x 12 para el tercero menos 12 x al cuadrado es igual a 0.
Y así vamos a lo que podemos hacer para solucionar esto.

Thai: 
แล้วก็อนุพันธ์ของค่าคงที่ ความชันของ
ค่าคงที่ คุณคงนึกภาพออก คือ ศูนย์
มันไม่เปลี่ยนไป
ค่าคงที่ โดยนิยามแล้ว มันไม่เปลี่ยนไป
งั้นนั่นคือ f ไพรม์ของ x
ทีนี้ลองหาจุดวิกฤตดู
จุดวิกฤตคือจุดที่สิ่งนี้ไม่เป็น 0
ก็นิยามไม่ได้
ทีนี้ ผมดูตลอดโดเมนทั้งหมดของจำนวนจริงแล้ว
สิ่งนี้นิยามได้ตลอดทุกที่
ผมใส่เลขอะไรก็ได้ และมันไม่มีอะไรหาค่าไม่ได้
มันจะบอกคำตอบว่าฟังกืชันคืออะไรได้เสมอ
แล้วมันก็นิยามได้ทุกที่ งั้น
ลองหาว่าตรงไหนที่มันเท่ากับ 0
f ไพรม์ของ x เท่ากับ 0
งั้นลองแก้ โดย x คือ ลองแก้ -- ผมไม่ต้อง
เขียนมันใหม่ ผมแค่เขียนไป
ลองแก้หาเมื่อนี่เท่ากับ 0
ผมจะทำด้วยสีเดิมนี่แหละ
12x กำลังสาม ลบ 12x กำลังสอง เท่ากับ 0
และลองดูสิ่งที่เราทำได้

Turkish: 
12 x'i dışarı alalım.
12 x yerine 12 x kareyi dışarı alalım.
-
12 x kareyi dışarı alalım.
Bu ikisini 12 x kareye bölersek, bu terim x olur, ve eksi 12 x kare bölü 12 x kare 1 olur, eşittir 0.
-
-
Üsttekini böyle yazdım.
İşlemin tersini yapsaydım, 12 x kareyi paranteze dağıtsaydım, türevi tekrar elde ederdim.
-
-
Denklemi çözmek için, ifadeyi çarpanlarına ayırmam gerekiyor.
-
-
-
Denklemin 0'a eşit olması için, bu veya öteki ifade 0'a eşit olmalı.
-
12 x kare eşittir 0 ise, x eşittir 0.
-

Thai: 
เราดึงตัวร่วม 12x ออกมา
หากเราดึง 12x ออกมา แล้วเทอมนี้จะกลายเป็นแค่ x
แล้วก็ -- ที่จริง ดึง 12x กำลังสองดีกว่า
เราดึงตัวร่วม 12x กำลังสองออกมา
หากเราหารทั้งสองข้างด้วย 12x กำลังสอง เทอมนี้จะ
กลายเป็น x แล้วก็ 12x กำลังสอง หารด้วย
12x กำลังสองก็แค่ 1 แล้วเท่ากับ 0
ผมแค่เขียนข้างบนใหม่อย่างนี้
คุณอาจทำวิธีอื่นก็ได้
หากผมกระจาย 12x กำลังสองนี่ คูณกับค่านี้
ทั้งหมด คุณจะได้อนุพันธ์ตรงนี้
สาเหตุที่เราทำอย่างนี้ เพราะเพื่อแก้หาราก หรือหาก
ผมอยากได้ x ทุกตัวที่ทำให้สมการนี้เป็น 0 ผม
ต้องเขียนมันในรูปที่ผมคูณเทอมนึง
กับอีกเทอมนึง
ในการที่อันนี้จะเป็น 0 หนึ่งหรือทั้งสอง
สิ่งนี้ต้องเท่ากับ 0
งั้น 12x กำลังสอง เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า x เท่ากับ
0 จะทำให้ปริมาณนี้เท่ากับ 0

Spanish: 
Nosotros podríamos factor fuera una x 12.
Así que si tenemos un factor fuera una x 12, entonces este término se convierte en justa x,
y entonces--en realidad, vamos a factor fuera una x 12 cuadrado.
Factor de fuera una x 12 al cuadrado.
Si dividimos ambos por 12 x al cuadrado, este término sólo
se convierte en una x y, a continuación, menos 12 x cuadrado dividido por 12 x
cuadrado es 1, es igual a 0.
Sólo reescribió esta cosa superior como esta.
Podría ir al revés.
Si distribuye esta x 12 cuadrado veces este completo
cantidad, obtendría mi derivado allí.
Así la razón por qué hicieron eso es porque, para resolver de 0, o si
Quiero que todos los que hacen esta ecuación igual a 0, x
han escrito en un formulario donde yo estoy multiplicando uno
lo que por otra cosa.
Y para que esto sea 0, uno o ambos de estos
las cosas deben ser iguales a 0.
Por lo que 12 x al cuadrado es igual a 0, lo que significa que x es igual
0 hará que esta cantidad es igual a 0.

Bulgarian: 
Можем да извадим 12x
Значи, ако извадим 12x, този член ще стане просто x,...
Всъщност, нека извадим 12x на квадрат
Вадим 12x на квадрат
Ако разделим тези два члена на 12x на квадрат, този член ще
бъде просто x, а минус 12x на квадрат далено на 12x
на квадрат е просто 1, е равно на 0
Токy-що преписах това горе така
Можеше да тръгнем и отдругъде
Ако разпръсна това 12x на квадрат по цялото
това количество, мога да намеря производната така
Но реших да процедирам по този начин, защото
търся всички x, които правят уравнението 0
И сега уравнението ми е в подходяща форма -
умножение на едно нещо с друго
За да може това да е 0, едно от тези двете
или и двете от тях трябва да са 0
Значи, 12x на квадрат е равно на 0, което значи, че x е равно
на нула, за да ни е равно това цялото на 0

Portuguese: 
Poderíamos multiplicar por 12.
Então, se temos um fator de 12x, então este termo vem a ser apenas x
Nós multiplicamos por 12 ao quadrado.
Eu apenas reescrevi essa ultima assim.
Você poderia fazer de outro jeito.

Korean: 
12x로 두 항을 묶을 수 있겠습니다
12x를 나누면 이 항은 x가 되고
12x제곱을 나누는 것이 더 나을 것 같습니다
12x제곱으로 묶겠습니다
이 두항을 12x제곱으로 나누면  이 항은
x가 되고 12x제곱을 12x제곱으로 나눈 값은 1이므로
빼기 1이 됩니다
 x-1은 0이 됩니다
저는 방금 위의 식을 아래와 같이 적어습니다
다른 방법으로 구할 수도 있습니다
만약 12x제곱 만큼
이 항을 곱하면 도함수를 바로 구할 수 있을 것입니다
이 일을 한 이유는  0에 대해서 풀기 위해
또는 방정식이 0이 되는 모든 x의 값을 알기 위해서
방정식을 어떤 항에 어떤 다른 항을 곱하는 꼴로 적은 것입니다
 
이 식의 값이 0이 되기 위해서는 이 항들 중
하나 또는 둘 모두가 0과 값이 같아야 합니다
12x의 제곱이 0과 같습니다
즉  x가
0이되면 이 값이 0이 되겠습니다

Portuguese: 
Poderíamos multiplicar por 12.
Então, se temos um fator de 12x, 
então este termo se torna apenas x
e entăo-- na verdade, vamos
fatorar um 12x ao quadrado.
Multiplicamos por 
12 ao quadrado.
Se dividirmos ambos por
12x ao quadrado, este termo apenas
se torna um x, e em seguida, menos
12x ao quadrado dividido por 12x
ao quadrado é apenas um.
Eu já reescrevi esse assim.
Você poderia ir por outro caminho.
Se distribuísse esse 12x
ao quadrado vezes toda essa
quantidade, eu teria minha
derivada bem aqui.
Assim, a razão pela qual fiz assim foi
porque, para resolver para 0, ou se
quero que todos os x que fazem
esta equação igual a 0, agora
escrevi de um jeito que
estou multiplicando uma coisa
por outra.
E para isso ser zero, uma ou ambas
deve ser igual a zero.
Então 12x ao quadrado é igual a zero,
o que significa que x é igual
a zero vai fazer essa
quantidade igual a zero.

Czech: 
Můžeme vytknout
12 krát x.
Když vytkneme
12 krát x,
tak nám v tomto
členu zbyde pouze x...
Vytkněme raději
12 krát (x na druhou).
Když vytkneme
12 krát (x na druhou)...
Když oba členy vydělíme
12 krát (x na druhou),
tak se z prvního členu
stane x a pak minus...
12 krát (x na druhou) děleno výrazem
12 krát (x na druhou) se rovná 1.
...se rovná 0.
Jen jsem výraz
nahoře takto přepsal.
Funguje to
i naopak.
Kdybych výrazem 12 krát (x na druhou)
roznásobil tuhle závorku,
tak by mi vyšla
derivace nahoře.
Přepsal jsem to
takhle proto,
že když se má
tohle rovnat 0...
Když chceme znát všechna x,
pro která je tento výraz rovný 0,
tak to teď máme přepsané ve tvaru
jeden výraz krát druhý výraz.
Aby se tohle
teď rovnalo 0,
tak musí být jeden nebo
oba tyto výrazy rovny 0.
Když je tedy
12 krát (x na druhou) rovno 0,
což znamená,
že x se rovná 0,
tak tohle bude
rovno 0.

Russian: 
Мы можем выделить множитель 12x.
Если мы выделим 12x, этот множитель становится просто x,
затем -- на самом деле, давайте выделим 12 x в квадрате.
Мы выделяем квадрат 12 x.
Если мы разделим оба слагаемых на 12 x в квадрате, этот член просто
становится x, а затем минус 12 x квадрат разделенных на 12 x квадрат
это просто 1, равна 0.
Я просто переписал верхнее выражение.
Можно пойти и в другую сторону.
Если здесь раскрыть скобки и перемножить,
то опять получится все та же производная.
Причина, по которой я это сделал это чтобы найти нули,
так как я хочу найти все иксы, для которых уравнение равно нулю,
я записал его в форме, где одна часть умножается
на другую часть.
И чтобы это было равно 0, одна или обе из этих
частей должна быть равна 0.
Таким образом, 12 x квадрат равно 0, что означает, что x равен 0,
сделает это выражение равным 0.

English: 
We could factor out a 12x.
So if we factor out a 12x, then
this term becomes just x,
and then-- actually, let's
factor out a 12x squared.
We factor out a 12x squared.
If we divide both of these by
12x squared, this term just
becomes an x, and then minus
12x squared divided by 12x
squared is just 1,
is equal to 0.
I just rewrote this
top thing like this.
You could go the other way.
If I distributed this 12x
squared times this entire
quantity, you would get my
derivative right there.
So the reason why did that is
because, to solve for 0, or if
I want all of the x's that make
this equation equal to 0, I now
have written it in a form
where I'm multiplying one
thing by another thing.
And in order for this to be
0, one or both of these
things must be equal to 0.
So 12x squared are equal to 0,
which means that x is equal
to 0 will make this
quantity equals 0.

Arabic: 
يمكننا ان نستخرج العامل المشترك 12x
فاذا استخرجنا العامل المشترك 12x، بالتالي فإن هذه العبارة تصبح x
ثم --في الواقع، دعونا نستخرج العامل المشترك 12x^2
سنستخرج العامل المشترك 12x^2
اذا قسمنا كل من هذه على 12x^2، فإن هذه العبارة
تصبح x، ومن ثم 12x^2 ÷ 12x^2-
عبارة عن 1، = 0
انني اعيد كتابة هذا الشيئ العلوي هكذا
يمكنك الذهاب في الاتجاه الآخر
اذا وزعت 12x^2 هذه × كل هذا
المقدار، فسوف تحصل على المشتقة هنا
وسبب قيامي بهذا لأنه لكي نجد 0، او اذا
اردت جميع الـ x فإن ذلك سيجعل من هذه المعادلة تساوي 0، انني الآن
علي ان اكتبها بصورة بحيث انني اضرب
شيئ واحد بشيئ آخر
ولكي تصبح هذه 0، فإن واحداً او اكثر من هذه
الاشياء يجب ان تساوي 0
اذاً 12x^2 = 0، ما يعني ان x =
0، وهذا ما يجعل المقدار يساوي 0

Czech: 
Náš výraz bude roven 0 také tehdy,
když se bude x minus 1 rovnat 0,
přičemž x minus 1 se
rovná 0 tehdy, když je x rovno 1.
Našli jsme tedy
dva stacionární body.
Našimi dvěma stacionárními body jsou
body x rovná se 0 a x rovná se 1.
Připomínám, že jde pouze o body,
ve kterých se první derivace rovná 0,
tedy ve kterých
je sklon funkce nulový.
Mohou to být body lokálníma maxima, minima
nebo třeba inflexní body, to nevíme.
Může jít o...
Kdyby tohle byla konstantní funkce,
tak by mohly být čímkoliv.
Zatím o těchto bodech tedy
nemůžeme mnoho říci.
S jistotou můžeme říci jen to,
že jde o body zasluhující naši pozornost.
Pokračujme ale dál a
podívejme se na konvexitu,
díky níž budeme mít
o grafu lepší představu.
Spočítejme tedy
druhou derivaci.
Druhá...
Budu to psát
oranžovou barvou.
Druhá derivace naší
funkce f se rovná...

Thai: 
และอีกอย่างที่ทำให้ปริมาณนี้เป็น 0 ก็คือ
x ลบ 1 เท่ากับ 0
งั้น x ลบ 1 เท่ากับ 0 เมื่อ x เท่ากับ 1
นี่คือจุดวิกฤต 2 จุด
จุดวิกฤต 2 จุดของเราคือ x เท่ากับ 0 และ x เท่ากับ 1
และจำไว้ พวกนี้คือจุดที่อนุพันธ์
อันดับแรก เท่ากับ 0
ความชันเป็น 0
มันอาจเป็นจุดสูงสุด มันอาจเป็นจุดต่ำสุด
หรืออาจเป็นแค่จุดสะท้อน เราไม่รู้
มันอาจเป็น คุณก็รู้ หากนี่คือฟังก์ชันคงที่
มันอาจเป็นอะไรก็ได้
แต่เรายังไม่พูดอะไรมากนัก แค่มัน
เป็นจุดที่น่าสนใจ
ผมเดาว่านั่นคือทั้งหมดที่เราพูดได้
ว่ามันเป็นจุดที่น่าสนใจ
งั้นดูต่อไป ลองหาความเว้าดู
บางทีเราอาจเข้าใจ
กราฟนี้มากขึ้น
งั้นลองหาอนุพันธ์อันดับสองดู
ผมจะทำมันด้วยสีส้มนะ
งั้นอนุพันธ์อันดับสอง คือฟังก์ชันผม f ลองดู 3 คูณ

Bulgarian: 
Другия начин да получим 0 е ако
x минус 1 е равно на 0
Значи, x минус 1 е равно на 0 когато x е равно на 1
Това са две критични точки
Критичните ни точки са x равно на 0 и x равно на 1
И помнете, че това са само точките, в които
първата ни производна е 0
или в които наклона е 0
Те може да са максимални или минимални точки,
или пък инфлексни точки, не знаем
Дори, ако това ни е константна функция,
могат да бъдат които и да е точки
Така, че още не можем да кажем много за тези критични точки,
но те ни интересувам
Това е всичко, което можем да кажем
Определено ни интересумат
Нека продължим и опитаме да разберем
вдлъбнатостта и може би ще разберем повече
за тази графика
Нека намерим втората производна
Ще взема оранжево
Втората производна на функцията ми f, да видим, 3 пъти

Russian: 
И другая вещь, которая делает это выражение нулем, это если
x минус 1 равно 0.
x минус 1 равно 0 если x равен 1.
Так что это 2 критические точки.
Наши 2 критические точки это x равно 0 и x равно 1.
Всопмнои, что это в точности те точки, где наша первая
производная равна 0.
Где наклон — 0.
Они могут быть точками максимума, они могут бы быть точками минимума,
они могут быть точками перегиба, мы не знаем.
Они могут быть даже, если бы это была постоянная функция,
они были бы просто везде.
Таким образом мы пока не можем сказать о них много, но это
интересные точки.
Я думаю, это все, что мы можем сказать.
Что это, безусловно, интересные точки.
Но давайте продолжим и попробуем понять
выпуклось, и возможно, мы узнаем больше
об этом графике.
Так что давайте найдем вторую производную.
Буду писать оранжевым цветом
Итак, вторая производная моей функции f, давайте посмотрим, 3 раза по

Korean: 
이 식이 0이 되도록 하는 다른 경우는
x-1이 0과 같아지는 것입니다
x-1은 x가 1과 같을 때 0이 됩니다
이 두 값이 임계점입니다
두 개의 임계점은 x가 0, 1 일 때 입니다
기억해야 할 것은, 그 점들이
첫 도함수가 0이 되게 한 점들입니다
기울기가 0일 때 말입니다
그들은 최댓값이 될 수도 있고
최솟값이 될 수도 있고
혹은 변곡점이 될 수도 있습니다 
저희는 아직 모릅니다
만약 이것이 상수함수였다면 그것들은
어떤 값이든 될 수 있습니다
따라서 그들이 흥미 있는 점이라는 것 이외에는 아무것도 말할 수 없습니다
그것이 저희가 말할 수 있는 전부입니다
그들은 우리가 관심있는 점입니다
계속해서 그래프의 오목과 볼록에 대해 알아보아
그래프를   
더 잘 이해하도록 합시다
이제 두 번쨰 도함수에 대해 알아봅시다
(이 오렌지 색으로 해보겠습니다)
제 함수의 두번째 도함수는 3곱하기

Arabic: 
والشيئ الآخر الذي يجعل من هذا المقدار يساوي 0 هو اذا كان
x - 1 = 0
اذاً x - 1 = 0 عندما x = 1
اذاً هاتان نقطتان حرجتان
النقطتان الحرجتان هما x = 0 و x = 1
وتذكروا، ان هذه عبارة عن النقاط حيث
المشتقة الاولى تساوي 0
حيث يكون الميل 0
ربما انهما نقاط عظمى، وربما تكونان نقاط صغرى
ربما تكونان نقاط انقلاب، نحن لا نعلم
ربما تكونان، تعلمون، اذا كان هذا اقتران ثابت
فيمكن ان تكونا اي شيئ
اذاً نحن في الحقيقة لا يمكن ان نقول الكثير عنهما بعد، لكنهما
نقاط مثيرة للاهتمام
اعتقد ان هذا كل ما يمكننا قوله
انها بلا شك نقاط مثيرة للاهتمام
لكن دعونا نستمر، ودعونا نحاول ان نفهم
التقعر، وربما انه يمكننا ان نحصل على فهم افضل
لهذا الرسم البياني
لذا دعونا نجد المشتقة الثانية
سوف افعل ذلك باللون البرتقالي
اذاً المشتقة الثانية للاقتران f، دعوني ارى، 3 ×

Portuguese: 
E outra coisa que poderia 
fazer essa quantidade zero é se
x menos um fosse igual a zero.
Então x menos um é igual 
a zero quando x é igual a um.
Então esses são dois pontos críticos.
Nossos dois pontos críticos são 
x igual a zero e x igual a um.
E lembre-se, esses são apenas 
os pontos onde nossa primeira
derivada é igual a zero.
Onde a inclinação é zero.
Eles devem ser os pontos máximos,
eles devem ser os pontos mínimos,
eles devem ser os pontos 
de inflexão, não sabemos.
podem ser, você sabe, se
esta era uma função constante,
poderiam ser qualquer coisa.
Então, não podemos dizer muito
sobre eles ainda, mas eles
são pontos de interesse.
Acho que isso é 
tudo que posso dizer.
Que eles são 
pontos de interesse.
Mas vamos continuar, e
vamos tentar entender a
concatividade, e talvez podemos
entender melhor
esse gráfico.
Então, vamos descobrir o
segunda derivada.
Farei em laranja.
A segunda derivada da minha
função f, vamos ver, 3 vezes

Spanish: 
Y la otra cosa que haría esta cantidad 0 es si
x menos 1 es igual a 0.
Tan x menos 1 es igual a 0 cuando x es igual a 1.
Así que estas son 2 puntos críticos.
Nuestros 2 puntos críticos son x es igual a 0 y x es igual a 1.
Y recuerde, estos son sólo los puntos donde nuestro primer
derivada es igual a 0.
Si la pendiente es 0.
Podrían ser puntos máximos, podrían ser puntos mínimos,
que podrían ser puntos de inflexión, no sabemos.
Sean, ya saben, si se trata de una función constante,
sólo podría ser cualquier cosa.
Por lo tanto, realmente no podemos decir mucho sobre ellos todavía, pero ellos
son puntos de interés.
Supongo que es todo lo que podemos decir.
Que sin duda son puntos de interés.
Pero vamos a seguir adelante y vamos a tratar de comprender el
concativity y quizás nosotros podemos conseguir un mejor sentido
de este gráfico.
Así que vamos a averiguar la segunda derivada.
Podrá hacerlo en este color naranja.
Así que la segunda derivada de mi función, vamos a ver, 3 veces

Turkish: 
Veya, denklemin 0'a eşit olması için, x eksi 1'in 0 olması gerekiyor.
-
x eksi 1, 0 ise, x 1'e eşittir.
Buna göre, 2 kritik nokta var.
x eşittir 0 ve x eşittir 1.
Kritik noktalarda türevin 0 olduğunu hatırlayın.
-
Eğim 0.
Maksimum, minimum veya büküm noktası olabilir, henüz bilmiyoruz.
-
Henüz ne tip nokta olduklarını söyleyemiyoruz, ama bizim için önemli noktalar olduklarını biliyoruz.
-
-
-
-
-
Şimdi çukurluğu inceleyelim. Böylece grafiği daha iyi anlayabiliriz.
-
-
Bunun için ikinci türevi bulalım.
-
Fonksiyonun ikinci türevi, 3 çarpı 12 eşittir 36 x kare eksi 24 x.

English: 
And the other thing that would
make this quantity 0 is if
x minus 1 is equal to 0.
So x minus 1 is equal to
0 when x is equal to 1.
So these are 2 critical points.
Our 2 critical points are x is
equal to 0 and x is equal to 1.
And remember, those are just
the points where our first
derivative is equal to 0.
Where the slope is 0.
They might be maximum points,
they might be minimum points,
they might be inflection
points, we don't know.
They might be, you know, if
this was a constant function,
they could just be anything.
So we really can't say a lot
about them just yet, but they
are points of interest.
I guess that's all we can say.
That they are definitely
points of interest.
But let's keep going, and
let's try to understand the
concativity, and maybe we can
get a better sense
of this graph.
So let's figure out the
second derivative.
I'll do that in
this orange color.
So the second derivative of my
function f, let's see, 3 times

Bulgarian: 
12 е 36 x на квадрат минус 24x
-
Да видим
Можем да постъпим по няколко начина
Тъй като ни е известна втората производна, можем да си
отговорим на въпроса – нагоре или надолу е вдлъбната функцията
в тези точки ?
Нека открием това за критичните ни точки
-
И всичко ще си дойде на мястото
Спомнете си, че ако е вдлъбната нагоре,
ще имаме нещо като формата на 'U'
А пут ако е вдлъбната надолу, ще имаме
форма, която прилича на 'П'
Значи, f прим прим, втората ни производна, при това
x равно на 0, ще е равна на какво ?
Равна е на 36 0 на квадрат минус 24 минус 0
Това е просто 0
Значи, f прим прим е равно на 0
Тук, няма вдлъбнатост нито нагоре, нито надолу
Може би това е преходна точка
А може би не
Ако е преходна точка, значи се занимаваме
с инфлексна точка
Още не сме сигурни
Да видим, каква ни е f прим, втората производна,

Korean: 
12는 36이고 뺴기 24x입니다
 
 
저희가 할 수 있는 일이 몇 가지 있습니다
저희가 두 번째 도함수를 알기 때문에
제 그래프가 이 점들에서 오목한지  볼록한지 알 수
 있습니다
따라서
이 두 임계점에서 어떤지 알아봅시다
그러면 모두 맞아 떨어질 것입니다
기억해야 할 것은 이것이 아래로 볼록하다면
그것은 U자형을 띌 것 입니다
만약 위로 볼록이라면  그것은
뒤집힌 U자형이 될 것입니다
따라서 f''(x) 우리의 두 번째 도함수는
x는 0일 때 값이 무엇일까요?
이는 36곱하기 0의 제곱 빼기 24곱하기 0과 같습니다
이는 0입니다
따라서 f''(x)가 0과 같습니다
저희의 함수는 이 점에서 위로 볼록하지도
아래로 볼록하지도 않습니다
이 점은 전이점일 수도 있고
아닐수도 있습니다
이것이 전이점이라면 저희는
변곡점과 마주하고 있는 것입니다
아직 확실하지는 않습니다
이제 저희의 f''(x) 두 번째 도함수가

English: 
12 is 36x squared minus 24x.
So let's see.
Well, there's a couple
of things we can do.
Now that we know the second
derivative, we can answer the
question, is my graph concave
upwards or downwards at
either of these points?
So let's figure out what,
at either of these
critical points.
And it'll all fit together.
Remember, if it's concave
upwards, then we're
kind of in a U shape.
If it's concave downwards,
then we're in a kind of
upside down U shape.
So f prime prime, our second
derivative, at x is equal
to 0, is equal to what?
It's equal to 36 0 squared
minus 24 times 0.
So that's just 0.
So f prime prime is
just equal to 0.
We're neither concave upwards
nor concave downwards here.
It might be a transition point.
It may not.
If it is a transition point,
then we're dealing with
an inflection point.
We're not sure yet.
Now let's see what f prime
prime, our second derivative,

Thai: 
12 ได้ 36x กำลังสอง ลบ 24x
-
ลองดู
ทีนี้ มีหลายสิ่งที่เราทำได้
ตรงนี้เรารู้อนุพันธ์อันดับสอง เราสามารถตอบ
คำถามได้ว่า กราฟนี้เว้าขึ้น หรือเว้าลง
ตรงจุดพวกนี้?
ลองหาดู ที่จุด
วิกฤตพวกนี้
และมันจะประกอบเข้ากันได้
จำไว้ หากมันเว้าขึ้น เราจะได้
รูปตัว U
หากมันเว้าลง เราจะได้รูป
ตัว U กลับหัว
แล้ว f ไพรม์ ไพรม์ อนุพันธ์อันดับสองของเรา ที่ x เท่ากับ 0
มันเท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับ 36 0 กำลังสอง ลบ 24 คูณ 0
มันก็แค่ 0
f ไพรม์ ไพรม์ เลยเท่ากับ 0
เราไม่ได้เว้าขึ้น หรือเว้าลง ณ ตรงนี้
มันอาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้า
หรือไม่ใช่ก็ได้
หากมันเป็นจุดเปลี่ยน เราจะยุ่งกับ
จุดเปลี่ยนเว้า
เรายังไม่รู้
ทีนี้ลองดูว่า f ไพรม์ ไพรม์ อนุพันธ์อันดับสองของเรา

Russian: 
12 — это 36 x квадрат минус 24 x.
Давайте посмотрим.
Ну есть несколько вещей, которые мы можем сделать.
Теперь, когда мы знаем вторую производную, мы можем ответить
на вопрос, будет ли график вогнутым вверх или вниз
в любой из этих точек?
Так что давайте понять, что происходит, в этих
критических точках.
Собираем все вместе.
Помните, что если это функция вогнутая вверх, то у нас
что-то в форме буквы U.
Если вогнута вниз, то у нас своего рода
буква U вверх ногами.
Итак, f два штриха, наша вторая производная при x равном
0 равна чему?
Это 36 на 0 квадрат минус 24 раз 0.
То есть, просто 0.
Таким образом вторая производная f — это просто 0.
Здесь график не вогнут ни вверх, ни вниз.
Это может быть переходной точкой.
А может и не быть.
Если это переходная точка, то мы имеем дело с
точкой перегиба.
Мы пока не уверены.
Теперь давайте посмотрим, чему f два штриха, наша вторая производная

Arabic: 
12 = 36x^2، ثم - 24x
.
اذاً دعونا نرى
حسناً، يوجد مجموعة من الاشياء التي يمكننا فعلها
الآن وبما اننا نعرف المشتقة الثانية، فيمكننا ان نجيب على
السؤال، هل الرسم البياني مقعر للأعلى ام الى الاسفل على
اي من هذه النقاط؟
اذاً دعونا نجد ماذا، على اي من هذه
النقاط الحرجة
وجميعها مترابطة مع بعضها
تذكروا، انه اذا كان مقعراً لاعلى، بالتالي سوف
يكون شكله مثل U
واذا كان مقعراً للأسفل، بالتالي سوف
يكون شكله عكس حرف الـ U
اذاً f^1، اي المشتقة الثانية، على x =
0، كم يساوي؟
انه يساوي 36 0^2 - 24 × 0
ذلك يساوي 0
اذاً f^1 يساوي 0
انه ليس مقعراً لا لأعلى ولا مقعراً لأسفل هنا
ربما انه نقطة تحول
وربما ليس كذلك
اذا كانت نقطة تحول، بالتالي سوف نتعامل مع
نقطة انقلاب
نحن لسنا متأكدون بعد
الآن دعونا نرى ما قيمة f^1، اي المشتقة الثانية لدينا

Czech: 
3 krát 12 je 36,
tohle krát x na druhou,
minus 24 krát x.
Zkusme teď...
Můžeme udělat
několik věcí.
Když už teď známe
druhou derivaci,
můžeme zjistit, zda je funkce konvexní
nebo konkávní v těchto dvou bodech.
Spočítejme tedy, čemu se druhá derivace
rovná v těchto stacionárních bodech.
Pak to začne
hezky zapadat.
Připomeňme si, že graf konvexní
funkce má tvar písmene U,
zatímco graf konkávní funkce
má tvar převráceného písmene U.
f se dvěma čárkami, tedy druhá derivace,
v bodě x rovná se 0 se rovná čemu?
Je to 36 krát (0 na druhou)
minus 24 krát 0,
což je
jednoduše 0.
f se dvěma
čárkami je tedy...
Druhá derivace je rovna nule, takže funkce
zde není ani konvexní, ani konkávní.
Funkce zde může
měnit konvexitu, ale nemusí.
Pokud ji zde mění,
tak jde o inflexní bod.
Zatím to
ale nevíme.
Teď se podívejme, kolik je f se dvěma
čárkami, tedy druhá derivace, v bodě 1.

Turkish: 
-
-
-
Birkaç şey yapabiliriz.
İkinci türevi bulduğumuza göre, bu noktalarda çukurluğun aşağı mı yukarı mı olduğunu anlayabiliriz.
-
-
Kritik noktalardaki çukurluk yönüne bakalım.
-
Sonrasında, nasıl bir bütün oluşturduğunu göreceğiz.
Hatırlarsanız, yukarı doğru çukurluk, U şekli veriyordu.
-
Aşağıya doğru çukurluk da, ters U idi.
-
x 0'a eşit olduğunda, f'nin ikinci türevi kaç olur?
-
36 çarpı 0 kare, eksi 24 çarpı 0.
Yani 0.
f'nin ikinci türevi 0.
Ne yukarı, ne de aşağı doğru çukurluk var, diyebiliyoruz.
Bir geçiş noktası olabilir.
Veya olmayabilir.
Eğer bir geçiş noktası ise, elimizde bir büküm noktası var, demektir.
-
Henüz emin değiliz.
Şimdi, x eşittir 1 için, f'nin ikinci türevini bulalım.

Portuguese: 
12 é 36x quadrado menos 24x.
Vamos ver.
Há algumas opções.
Agora que sabemos a segunda
derivada, podemos responder a
pergunta, o meu gráfico é côncavo
para cima ou para baixo em
qualquer um destes pontos?
Vamos descobrir, em qualquer um desses
pontos críticos.
E tudo vai se encaixar.
Lembre-se, se é côncava
para cima, então temos
como a forma do U.
Se é côncavo para baixo,
então temos uma espécie de
U de cabeça para baixo.
Então f'', nossa segunda
derivada, em que x é igual
a zero, é igual a que?
É igual a 36 zero ao quadrado
menos 24 vezes zero.
Então, isso é apenas zero.
Então f'' é igual a zero.
Não somos nem côncavo para cima 
nem côncavo para baixo aqui.
Pode ser um ponto de transição.
Ou não.
Se for um ponto de transição,
pode ser um ponto de inflexão
Ainda não temos certeza.
Agora vamos ver o que f'', 
nossa segunda derivada,

Spanish: 
12 es 36 x al cuadrado menos x 24.
Así que vamos a ver.
Bueno, hay un par de cosas que podemos hacer.
Ahora que conocemos la segunda derivada, podemos responder a la
la pregunta, es mi gráfico cóncava hacia arriba o hacia abajo en
¿cualquiera de estos puntos?
Así que vamos a averiguar lo que, en cualquiera de estos
puntos críticos.
Y lo voy todos encajan entre sí.
Recuerde que si es cóncava hacia arriba, entonces estamos
tipo de en forma de U.
Si es cóncava hacia abajo, entonces estamos en una especie de
forma de u invertida.
F primo primer, nuestra segunda derivada, x es igual
¿0, es igual a qué?
Es igual a 36 0 cuadrado menos 24 veces 0.
Eso es sólo 0.
Primer primo f es apenas igual a 0.
Estamos cóncavo hacia arriba ni cóncavo hacia abajo aquí.
Podría ser un punto de transición.
No puede.
Si es un punto de transición, entonces estamos tratando con
un punto de inflexión.
No estamos seguros todavía.
Ahora vamos a ver qué primer primo f, nuestra segunda derivada,

Czech: 
Je to 36 krát 1...
Zapíšu to.
Rovná se to 36 krát
(1 na druhou), což je 36,
minus 24 krát 1.
To je 36 minus 24,
a to se rovná 12.
Vyšlo nám tedy
kladné číslo.
Druhá derivace nám vyšla kladná,
konkrétně 12.
To znamená, že první derivace,
tedy sklon funkce, roste.
Rychlost změny
sklonu je kladná.
V tomto bodě je
tedy funkce konvexní,
což nám říká, že jde
nejspíš o bod lokálního minima.
Sklon je zde nulový
a funkce je v tomto bodě konvexní,
což je zajímavé.
Zkusme nyní najít
ještě další kandidáty na inflexní bod.
Už víme, že...
Už víme, že toto je
kandidát na inflexní bod.
Zakroužkuji
to červeně.
Toto je kandidát
na inflexní bod.
Ještě nevíme, zda funkce v tomto bodě
skutečně mění konvexitu.
Budeme muset ověřit,
zda tomu tak skutečně je.

Thai: 
หาค่าที่ 1 เป็นเท่าไหร่
นั่นก็คือ 36 คูณ 1 ขอผมเขียนลงไปนะ นั่นเท่ากับ
36 คูณ 1 กำลังสอง ซึ่งก็คือ 36 ลบ 24 คูณ 1
มันก็คือ 36 ลบ 24 ได้เท่ากับ 12
นี่จึงเป็นบวก อนุพันธ์อันดับสองของเราเป็นบวกตรงนี้
มันเท่ากับ 12 ซ฿่งหมายความว่า อนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ความชันของเราเพิ่มขึ้น
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันเป็นบวกตรงนี้
ดังนั้น ณ จุดนี้ตรงนี้ เรากำลังเว้าขึ้น
-
ซึ่งบอกผมว่านี่อาจเป็น
จุดต่ำสุด จริงไหม?
ความชันเป็น 0 ตรงนี้ แต่เราเว้าขึ้นตรงนั้น
นั่นมันน่าสนใจ
งั้นลองดูว่ามีจุดวกกลับ
อื่น ๆ อีกไหม
เรารู้แล้วว่านี่อาจเป็นจุดวกกลับ
ขอผมวงมันด้วยสีแดงนะ
นี่อาจเป็นจุดวกกลับ
ผมไม่รู้ว่าฟังก์ชันเรานั้น
เปลี่ยนไป ณ จุดนั้นหรือเปล่า
เราต้องทดลองหน่อยให้เห็นว่า
มันเป็นจริงไหม

Korean: 
1에서 무슨 값을 가지는지 보겠습니다
이는 36곱하기 1 적어보도록 하겠습니다
이 값은 36곱하기 1의 제곱 즉 36이고
 빼기 24곱하기 1입니다
따라서 이는 36 빼기 24이고 이는 12입니다
저희의 두 번째 도함수는 이 점에서 양의 값을
가집니다
값은 12이고 이는 우리의 첫번째 도함수
즉 기울기가 증가한다는 것을 알 수 있습니다
기울기의 변화량 정도가 여기서 양수입니다
따라서 이 점에서 그래프가 아래로 볼록합니다
 
이는 이 점이 최솟값임을 말해줍니다
맞나요?
기울기가 이 점에서 0이고 이 점에서 그래프는 아래로 볼록합니다
이것은 매우 흥미있습니다
여기서 다른 잠재적인
변곡점을 여기서 찾아보겠습니다
우리는 이미 이 점이 잠재적인 변곡점이라는 것을 알고 있습니다
(이것을 빨간 색으로 동그라미를 치겠습니다)
이것은 잠재적인 변곡점입니다
우리는 아직 우리의 함수가
이 점에서 변화하는지 모릅니다
우리는 실제로 그런지 실험을 해보아야 합니다

Portuguese: 
avaliada em 1 é.
Então isso é 36 vezes um, deixe-me
escrever embaixo, isso é igual
a 36 vezes um ao quadrado, que é
36, menos 24 vezes um.
Então é 36 menos 24, igual a 12.
O valor é positivo, nossa segunda
derivada é positiva aqui.
Isso é igual a 12, o que significa
que nossa segunda derivada,
nossa inclinação está aumentando.
A taxa de alteração na 
nossa inclinação é positiva.
Então nesse ponto aqui,
temos um côncavo para cima.
O que sugere que seja 
provavelmente um ponto
mínimo, certo?
A inclinação é zero aqui, mas temos
um côncavo para cima nesse ponto.
Isso é interessante.
Vamos ver se tem 
algum potencial
ponto de inflexão aqui.
Já sabemos que esse é um 
potencial ponto de inflexão.
Deixe-me circular em vermelho.
Esse é um potencial
ponto de inflexão.
Não sabemos se
nossa função, realmente tem
transições nesse ponto.
Temos que experimentar
um pouco para ver se
isso é realmente o caso.

Turkish: 
-
36 çarpı 1 kare, 36, eksi 24 çarpı 1.
-
Yani, 36 eksi 24, eşittir 12.
İkinci türev pozitif.
İkinci türevin 12 olması demek, birinci türevin artıyor olması demektir.
-
Eğimin artış hızı pozitif.
Buna göre, bu noktada çukurluk yukarı doğru.
-
Bu da, bu noktanın minimum olduğunu gösteriyor, öyle değil mi?
-
Eğim burada 0, ama yukarı doğru çukurluk var.
Bu bayağı ilginç.
Potansiyel büküm noktası var mı, bakalım.
-
Bunun potansiyel bir büküm noktası olduğunu biliyoruz.
Kırmızı ile yuvarlak içine alayım.
Potansiyel büküm noktası.
Çukurluğun değişik değişmediğini bilmiyoruz.
-
Bazı denemeler yapmalıyız.
-

Arabic: 
عند تقييمها على 1
ذلك يساوي 36 × 1، دعوني اكبته، ذلك يساوي
36 × 1^2، اي يساوي 36، - 24 × 1
اذاً هذا يساوي 36 - 24، اي يساوي 12
اذاً هي موجبة، ان المشتقة الثانية موجبة
انها تساوي 12، ما يعني ان المشتقة الاولى
ان الميل يتزايد
ان نسبة التغير في الميل موجبة هنا
اذاً على هذه النقطة هنا، يتقعر الى الاعلى
الى الاعلى
ما يوضح لي ان هذه ربما تكون نقطة صغرى
اليس كذلك؟
الميل 0 هنا، لكن التقعر الى الاعلى على تلك النقطة
هذا مثير للاهتمام
دعونا نرى اذا كان يوجد اي
نقاط انقلابية اخرى هنا
اننا بالفعل نعرف ان هذه نقطة انقلاب ممكنة
دعوني احيطها باللون الاحمر
انها نقطة انقلاب ممكنة
نحن لا نعرف ما اذا كان الاقتران
يتحول على تلك النقطة
سيكون علينا ان نختبرها لنرى اذا
كانت هذه هي الحالة بالفعل

Bulgarian: 
изчислена при 1
Това е 36 по 1, нека го запиша, това е
равно на 36 по 1 на квадрат, което е 36, минус 24 по 1
Значи е 36 минус 24, значи е равно на 12
Значи, втората ни производна е положителна
Тавно е на 12, което означава, че
наклонът ни се увеличава
Темпото на промяна на наклона ни е положително
Значи, в тази точка, имаме вдлъбнатост нагоре
-
Което ми подсказва, че това вероятно е
минималната точка, нали ?
Наклонът е 0 тук, но в тази точка имаме вдлъбнатост нагоре
Това е интересно
Да видим, дали е възможно да имаме
други инфлексни точки тук
Вече знаем, че това ни е потенциална инфлексна точка
Нека я очертая с червено
Това е потенциална инфлексна точка
Не знаем дали функцията всъщност се
обръща в тази точка
Трябват ни малко опити, за да видим
дали случаят е такъв

English: 
evaluated at 1 is.
So that's 36 times 1, let me
write it down, that's equal
to 36 times 1 squared, which
is 36, minus 24 times 1.
So it's 36 minus 24,
so it's equal to 12.
So this is positive, our second
derivative is positive here.
It's equal to 12, which
means our first derivative,
our slope is increasing.
The rate of change of our
slope is positive here.
So at this point right here,
we are concave upwards.
Which tells me that this
is probably a minimum
point, right?
The slope is 0 here, but we are
concave upwards at that point.
So that's interesting.
So let's see if there
any other potential
inflection points here.
We already know that this is a
potential inflection point.
Let me circle it in red.
It's a potential
inflection point.
We don't know whether
our function actually
transitions at that point.
We'll have to experiment
a little bit to see if
that's really the case.

Spanish: 
evalúan en 1 es.
Eso es 1 36 veces, déjame escribir, que es igual
a veces 36 1 cuadrado, que es 36, menos 1 24 veces.
Por eso, 36 24 menos, por lo que es igual a 12.
Así que esto es positivo, nuestra segunda derivada es positiva aquí.
Es igual a 12, lo que significa nuestra primera derivada,
nuestro pendiente está aumentando.
La tasa de cambio de nuestro pendiente aquí es positiva.
Así que en este momento justo aquí, somos cóncavas hacia arriba.
Que me dice que este es probablemente un mínimo
¿punto, correcto?
La pendiente es 0 aquí, pero estamos cóncavas hacia arriba en ese momento.
Eso es interesante.
Así que vamos a ver si hay cualquier otro potencial
puntos de inflexión aquí.
Ya sabemos que esto es un posible punto de inflexión.
Permítanme círculo en rojo.
Es un posible punto de inflexión.
No sabemos si nuestra función realmente
transiciones en ese momento.
Tendremos que experimentar un poco para ver si
es realmente el caso.

Russian: 
равна в 1.
Это 36 на 1, давайте запишем, это равно
36 на 1 квадрат, то есть 36, минус 24 на 1.
Таким образом, это 36 минус 24 равно 12.
То есть, положительное число, наша вторая производная здесь положительна.
Она равна 12, это значит, наша первая производная,
наклон здесь растет.
Скорость изменения наклона здесь положительная.
То есть, в этой точке наш график вогнутый вверх.
Что говорит мне, что это, вероятно,
точка минимума, правильно?
Наклон здесь 0, но мы в этом месте вогнуты вверх.
Это интересно.
Так что давайте посмотрим, существуют ли какие-либо другие возможные
точки перегиба.
Мы уже знаем, что это -- потенциальная точка перегиба.
Обведу это красным.
Это потенциальная точкой перегиба.
Мы не знаем, есть ли на самом деле у нашей функции
перегиб в этой точке.
Мы должны немного поэкспериментировать, чтобы понять,
действительно ли это так.

Portuguese: 
Mas vamos ver se há qualquer
outros pontos de inflexão, ou
potenciais pontos de inflexão.
Vamos ver se isso é igual 
a 0 em qualquer outro lugar.
Assim 36 x ao quadrado menos
24 x é igual a 0.
Vamos resolver para x.
Vamos fatorar, bem,
podemos fatorar 12x.
12x vezes 3x, certo, 3x
vezes 12x é 36x ao quadrado,
menos 2, é igual a zero.
Assim, estes dois são
expressões equivalentes.
Se multiplicar isso, 
vai ter isso aqui em cima.
Então, isso vai ser
igual a 0, ou se 12x é
igual a zero, então 12x é igual
a zero, isso nos dá
x é igual a zero.
Então em x igual a zero,
isso é igual a zero.
Então a segunda derivada 
é zero lá, e já sabemos
disso, porque testamos
aquele número.
Ou isso, se esta
expressão é 0, então
a segunda derivada 
inteira deveria ser zero.
Vamos escrever isso.

Spanish: 
Pero vamos a ver si hay cualquier otro flexión puntos, o
posibles puntos de inflexión.
Así que vamos a ver si esto es igual a 0 en cualquier otro lugar.
24 X 36 x al cuadrado menos es igual a 0.
Vamos a resolver para x.
Permítanos factor, bien, nosotros podemos factor fuera x 12.
x 12 veces x 3, derecho, x 3 veces x 12 es 36 x al cuadrado,
menos 2, es igual a 0.
Así que estos dos son expresiones equivalentes.
Si se multiplica este, obtendrá esta cosa aquí.
Así que esta cosa va a ser igual a 0, o bien si 12 x es
igual a 0, por lo que 12 x es igual a cero, nos da
x es igual a cero.
Así en x es igual a 0, esta cosa es igual a 0.
La segunda derivada es 0 allí, así que ya sabíamos
que, debido a que hemos probado que fuera número.
O esta cosa, si esta expresión es 0, entonces la
toda segunda derivada también sería cero.
Así que vamos a escribir.

Korean: 
먼저 여기서 다른 변곡점 또는
잠재적 변곡점을 찾아보겠습니다
이 식이 다른 값에서도 0이 되는지 알아보겠습니다
36곱하기 x의 제곱 빼기 24 곱하기 x는
0입니다
위 식을 풀어봅시다
우리는 12x로 식을 묶을 수 있겠습니다
12x 곱하기 3x 맞습니다. 3x 곱하기 12x는 36 x의 제곱
빼기 2는 0과 같습니다
이 두 식은 같은 식의 표현 입니다
이 두 항을 곱하면 위의 값이 나올 것 입니다
이 식이 0과 같을 것이고  12x
가 0이거나 12x가 0이라면 저희에게
x=0이라는 값을 줄 것입니다
따라서 x=0에서 이 값은 0일 것입니다
두 번째 도함수는 0이고 저희는 이미
그 숫자를 검증했기 때문에 알고 있습니다
만약 이 값이 0이라면
두 번째 도함수 전체가 또 0이 될 것입니다
이를 적어보겠습니다

Arabic: 
لكن دعونا نرى اذا كان يوجد اي نقاط انقلاب اخرى، او
نقاط انقلاب ممكنة
اذاً دعونا نرى اذا كان هذا يساوي 0 في اي مكان آخر
اذاً 36x^2 - 24x = 0
دعونا نجد قيمة x
دعونا نستخرج عامل مشترك، حسناً، بامكاننا ان نستخرج 12x
12x × 3x، اليس كذلك؟ 3x × 12x = 36x^2
- 2، = 0
اذاً هاتان العبارتان متكافئتان
اذا ضربتم هذه، فستحصلون على هذا الشيئ الموجود هنا في الاعلى
اذاً هذا الشيئ سيساوي 0، اذا كان 12x
= 0، اذاً 12x = 0، فإن ذلك يعطينا
ان x = 0
اذاً على x = 0، فإن هذا الشيئ يساوي 0
اذاً المشتقة الثانية هنا هي 0، ونحن بالفعل نعرف
ذلك، لأننا قد اختبرنا ذلك العدد
او ان هذه، اذا كانت هذه العبارة 0، بالتالي فإن
المشتقة الثانية كلها ايضاً ستكون 0
دعونا نكتب ذلك

Thai: 
แต่ลองดูว่ามีจุดเปลี่ยนเว้าอื่น ๆ อีกไหม
หรืออาจเป็นแค่ตัวที่อาจเป็นก็ได้
งั้นลองดูว่านี่เท่ากับ 0 ตรงอื่นอีกไหม
36x กำลังสอง ลบ 24 x เท่ากับ 0
ลองแก้หา x กัน
ลองดึงตัวร่วมออกมา ทีนี้ เราดึง 12x ออกมาได้
12x คูณ 3x ใช่ 3x คูณ 12x ได้ 36 กำลังสอง
ลบ 2 เท่ากับ 0
สองอันนี้เป็นพจน์เทียบเท่ากัน
หากคุณคูณนี่ออกมา คุณจะได้สิ่งนี้ตรงนี้
งั้นอันนี้จะเท่ากับ 0 ไม่ก็ 12x
เท่ากับ 0 ดังนั้น 12x เท่ากับ 0 บอกเรา
ว่า x เท่ากับ 0
ดังนั้นที่ x เท่ากับ 0 สิ่งนี้ก็เท่ากับ 0
อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับ 0 ตรงนี้ และเรารู้แล้ว
เพราะเราแทนค่าดูแล้ว
หรือสิ่งนี้ หากพจน์นี้เป็น 0 แล้วอนุพันธ์
อันดับสองทั้งหมดก็เป็นศูนย์เหมือนกัน
ลองเขียนออกมา

Russian: 
Но давайте посмотрим, есть ли какие-либо другие точки перегиба, или
потенциальные точки перегиба.
Посмотрим, где еще это равняется 0.
Итак, 36 x квадрат минус 24 x равно 0.
Решим для x.
Давайте вынесем, здесь мы можем вынести 12 x.
12 x на 3 x, правильно, 3 x на 12 x — 36 x в квадрате,
минус 2 равно 0.
Это эквивалентные выражения.
Если это перемножить, получится выражение сверху.
Таким образом это будет равно 0, либо если
12 x равно 0, то есть,
x равен нулю.

Bulgarian: 
Но нека видим дали има други инфлексни точки,
или потенциални инфлексни точки
Да видим, дали това ще ни е 0 някъде другаде
Значи, 36 x на квадрат минус 24 x е равно на 0
Да решим за x
Можем да извадим 12x
12x по 3x, нали, 3x по 12x е 36x на квадрат
минус 2, е равно на 0
Значи тези два израза са равностойни
Ако умножим това, ще получим това горе
Значи, това ще ни е равно на 0 или ако 12 x е
равно на нула – значи ако
x е равно на 0
Значи, при x е равно на 0, това ще ни е равно на 0
Значи, тук втората производна е 0 ивече знаем това,
защото изпробвахме това число
Или това, ако този израз е 0, значи
втората ни производна също ще ни е 0
Нека запишем това

Czech: 
Zkusme ale nejprve najít ještě
další inflexní body.
Najdeme je tak...
Měl jsem říct kandidáty
na inflexní bod.
Podívejme se, zda je tohle
rovno nule ještě někde jinde.
Chceme tedy, aby se 36 krát (x na druhou)
minus 24 krát x rovnalo nule.
Nyní spočítejme x.
Nejprve vytkněme...
Můžeme vytknout
12 krát x.
Vyjde nám 12 krát x
krát (3 krát x...
(3 krát x) krát (12 krát x)
se rovná 36 krát (x na druhou).
...minus 2) se rovná 0.
Toto jsou zcela
ekvivalentní výrazy.
Pokud tohle roznásobíme,
dostaneme přesně výraz nahoře.
Tohle bude rovno 0 právě tehdy,
když se buď 12 krát x rovná 0...
Rovnice 12 krát x se rovná 0
nám dá bod x rovná se 0,
takže když je x rovno 0,
celý tento výraz je roven 0,
a to znamená,
že druhá derivace je rovna 0,
což už koneckonců víme,
protože tenhle bod jsme už zkoušeli.
...nebo když se
tento výraz rovná 0,
protože i v tomto případě by
druhá derivace byla rovna 0.
Zapišme to.
(3 krát x) minus 2
se má rovnat 0.

Turkish: 
Ama, önce, başka büküm noktası veya potansiyel büküm noktası var mı, bakalım.
-
Bu türevin 0'a eşit olduğu başka bir nokta var mı, bakalım.
36 x kare eksi 24 x eşittir 0.
Denklemi çözelim.
12 x'i dışarı alalım. 12 x çarpı 3 x, evet 3 x çarpı 12 x eşittir 36 x kare. Eksi 2,eşittir 0.
-
-
Bu iki ifade birbirine denk.
Bunu dağıtırsak, şuradaki ifadeyi elde ederiz.
Bu 0'a eşitse, ya 12 x 0'a eşittir. Bu, bize x eşittir 0 sonucunu verir.
-
-
x 0'a eşit ise, bu da 0 olur.
Burada ikinci türev 0. Bunu biliyoruz, çünkü bu sayıyı daha evvel denemiştik.
-
Veya, bu ifade 0'a eşit ise, ikinci türev 0 olur.
-
Bunu da yazalım.

English: 
But let's see if there any
other inflection points, or
potential inflection points.
So let's see if this
equals 0 anywhere else.
So 36 x squared minus
24 x is equal to 0.
Let's solve for x.
Let us factor out, well,
we can factor out 12x.
12x times 3x, right, 3x
times 12x is 36x squared,
minus 2, is equal to 0.
So these two are
equivalent expressions.
If you multiply this out,
you'll get this thing up here.
So this thing is going to be
equal to 0, either if 12 x is
equal to 0, so 12 x is equal
to zero, that gives us
x is equal to zero.
So at x equals 0,
this thing equals 0.
So the second derivative is 0
there, and we already knew
that, because we tested
that number out.
Or this thing, if this
expression was 0, then the
entire second derivative
would also be zero.
So let's write that.

Thai: 
งั้น 3x ลบ 2 เท่ากับ 0 3x เท่ากับ 2 แค่บวก 2
ทั้งสองข้าง ได้ 3x เท่ากับ 2/3
นี่เป็นอีกจุดนึงที่น่าสนใจที่เราไม่เห็นมาก่อน
มันอาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ได้
สาเหตุที่อาจเป็นได้ เพราะ
อนุพันธ์อันดับสองเป็น 0 ตรงนี้
คุณใส่ 2/3 ลงไป คุณจะได้ 0
สิ่งที่เราต้องทำก็คือ ดูว่าอนุพันธ์อันดับสอง
เป็นบวกหรือลบ ทั้งสองข้างของ 2/3
เราพอมองออกแล้ว
ผมหมายถึง เราอาจลองแทนตัวเลขลงไป
เรารู้ว่า คุณก็รู้ หากเราบอกว่า x มากกว่า 2/3
ขอผมเลื่อนลงมาหน่อย แค่ให้เรา
มีที่ว่าง
ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x มากกว่า 2/3
f ไพรม์ ไพรม์ คืออะไร?
อนุพันธ์อันดับสองเป็นอย่างไร?
งั้นลองใส่ค่าที่ใกล้มาก ๆ แค่
ให้เห็นว่าเป็นอย่างไร

Czech: 
Z toho dostaneme,
že 3 krát x se rovná 2.
Jen jsem k oběma
stranám přičetl 2.
x se rovná
2 lomeno 3.
Toto je tedy další důležitý bod,
na který jsme doteď ještě nenarazili.
Je to další kandidát
na inflexní bod.
Říkám, že to je kandidát, protože druhá
derivace je v tomto bodě určitě rovna 0.
Když za x dosadíme
2 lomeno 3, vyjde nám 0.
Teď se
musíme podívat,
zda je druhá derivace před a po průchodu
bodem 2 lomeno 3 kladná nebo záporná.
O tom už máme
nějakou představu.
Můžeme dosadit
několik čísel.
Víme, že...
Pokud vezmeme nějaké
x větší než 2 lomeno 3...
Sjedu trochu dolů,
ať mám víc místa.
Podívejme se tedy, co se stane,
když je x větší než 2 lomeno 3.
Když je x větší než 2 lomeno 3,
jak vypadá f(x) s čárkou?
Pardon, chceme vědět, jak vypadá
f se dvěma čárkami, tedy druhá derivace.
Dosaďme nějaké číslo,
které je poměrně blízko,
abychom měli
dobrou představu.

Spanish: 
3 X menos 2 es igual a 0, 3 x es igual a 2, solo agregando 2 a
ambas partes, 3 x es igual a 2/3.
Así que esto es otro punto interesante que realmente no disponemos
golpeó a antes de podría ser un punto de inflexión.
La razón por qué podría ser, es porque la
segunda derivada es definitivamente aquí 0.
Pones 2/3 aquí, vas a conseguir el 0.
Así que lo que tenemos que hacer es ver si la segunda derivada
es positivo o negativo en ambos lados de 2/3.
Ya tenemos la sensación de.
Es decir, nosotros podríamos probar un par de números.
Sabemos que, usted sabe, si decimos que x es mayor que 2/3.
Permítanme que baje un poco, tan
tenemos algo de espacio.
Así que vamos a ver qué pasa cuando x es mayor que 2/3,
¿Qué es primer primo de f?
¿Qué es la segunda derivada?
Así que vamos a probar un valor que está bastante cercano, sólo
para obtener un sentido de las cosas.

Russian: 
Что такое вторая производная?

Turkish: 
Yani, 3 x eksi. 2 eşittir 0. İki tarafa 2 toplarsak, 3 x eşittir 2 elde ederiz.
x eşittir 2 bölü 3.
Bu da yeni bulduğumuz potansiyel büküm noktası.
-
İkinci türevi 0 olduğu için, büküm noktası olma ihtimali var.
-
İkinci türeve 2 bölü 3 koyunca, 0 elde ediyoruz.
Şimdi yapmamız gereken, ikinci türevin 2 bölü 3'ün iki tarafında pozitif mi, negatif mi olduğunu belirlemek.
-
-
Bir iki sayı deneyebiliriz.
-
-
-
2 bölü 3'ten büyük x değerleri için, ikinci türevin nasıl olduğuna bakalım.
-
-
2 bölü 3'e yakın bir değer deneyelim.
-

Portuguese: 
3x menos 2 é igual a zero, 3x
é igual a 2, apenas adicionando 2 em
ambos os lados, 3x é igual a 2/3.
Isso é outro ponto interessante que
nós não encontramos antes
que deve ser um ponto de inflexão.
A razão porque deve ser, é porque a
segunda derivada é 
definitivamente zero aqui.
Se colocarmos 2/3 aqui,
teremos zero.
O que temos que fazer, é ver
se a segunda derivada
é positiva ou negativa
em cada lado de 2/3.
Já temos uma
ideia disso.
Quero dizer, poderíamos tentar 
alguns números.
Sabemos que, você sabe, se 
dizemos que x é maior que 2/3.
Deixe-me rolar para baixo um
pouco, para termos algum espaço
Então, vamos ver o que acontece
quando x é maior do que 2/3,
qual é f''?
Qual é a segunda derivada?
Vamos tentar um valor que 
é muito próximo, apenas
para ter uma ideia das coisas.

English: 
So 3x minus 2 is equal to 0, 3x
is equal to 2, just adding 2 to
both sides, 3x is equal to 2/3.
So this is another interesting
point that we haven't really
hit upon before that might
be an inflection point.
The reason why is it
might be, is because the
second derivative is
definitely 0 here.
You put 2/3 here,
you're going to get 0.
So what we have to do, is see
whether the second derivative
is positive or negative
on either side of 2/3.
We already have a
sense of that.
I mean, we could try out
a couple of numbers.
We know that, you know, if we
say that x is greater than 2/3.
Let me scroll down a
little bit, just so
we have some space.
So let's see what happens
when x is greater than 2/3,
what is f prime prime?
What is the second derivative?
So let's try out a value
that's pretty close, just
to get a sense of things.

Korean: 
3x-2는 0과 같고 3x는 0과 값이 같고,
이는 양변에 2를 더하면 나옵니다
 x는 2/3입니다
따라서 이 점이
위에서 찾지 못한 변곡점이 될 수 있는 흥미있는 점입니다
그럴 가능성이 있는 이유는
이 점에서 두번째 도함수가 0이기 때문입니다
이 식에 2/3을 대입하면 0이 됩니다
저희가 해야 할 일은 두 번째 도함수가
2/3 양 쪽에서 양의 값인지 음의 값인지 알아보는 것입니다
저희는 그 정도의 감각을 가지고 있습니다
다시 말해 몇 개의 숫자를 대입하면 된다는 것입니다
알고 있듯이 만약 x가 2/3보다 크다고 하면
(공간을 위해 스크롤을 좀 내리겠습니다)
x가 2/3보다 크면 어떻게 되는지 보겠습니다
f""(x)가 무엇일까요?
두번째 도함수가 무엇일까요?
매우 가까운 수를 대입하여
이해해보도록 합시다

Bulgarian: 
Значи, 3ь минус 2 е равно на 0, 3x е равно на 2, просто добавям 2
от двете страни, 3x е равно на 2/3
Това е друга интересна точка, за която преди
не сме се сещали, че може да е инфлексна точка
Причината да може да е такава е, че
втората производна определено е 0 тук
Слагаме 2/3 тук и получаваме 0
Значи, тук трябва да проверим дали втората производна е
положителна или отрицателна от двете страни на 2/3
Вече усещаме това
Но можем да проверим с няколко числа
Ако кажем, че ь е по-голямо от 2/3
Нека малко се придвижа надолу, за да
имаме повече място
Да видим какво става когато x е по-голямо от 2/3
Каква ни е f прим прим ?
Каква е втората производна ?
Да опитаме с близка стойност, за
Да опитаме с близка стойност, за

Arabic: 
3x - 2 = 0، اذاً 3x = 2، فقط اضفت 2
لكلا الطرفين، 3x = 2/3
اذاً هذه نقطة اخرى مثيرة للاهتمام واليت لم
نصل اليها من قبل وربما انها تكون نقطة انقلاب
سبب انها ربما تكون كذلك، هو لأن
المشتقة الثانية هي بلا شك 0
تضع 2/3 هنا، وستحصل على 0
اذاً ما علينا ان نفعله، هو ان نرى ما اذا كانت المشتقة الثانية
موجبة او سالبة على طرفي 2/3
اننا بالفعل لدينا شعور حيال ذلك
اعني، انه يمكننا ان نجرب مجموعة من الاعداد
نحن نعلم ذلك، اذا قلنا ان x > 2/3
دعونا انزل الى الاسفل قليلاً، لكي
نحصل على مساحة
دعونا نرى اذاً ما سيحدث عندما يكون x > 2/3
ما هي قيمة f^1؟
ما هي المشتقة الثانية؟
اذاً دعونا نجرب قيمة تكون قريبة جداً
كي نستشعر الامور

English: 
So let me rewrite it. f prime
prime of x is equal to,
let me write like this.
I mean, I could write like
that, but this might be
easier to deal with.
It's equal to 12x
times 3x minus 2.
So if x is greater than 2/3,
this term right here is
going to be positive.
That's definitely, any
positive number times 12
is going to be positive.
But what about this
term, right here?
3 times 2/3 minus 2
is exactly 0, right?
That's 2 minus 2.
But anything larger than that,
3 times, you know, if I had
2.1/3, this is going to
be a positive quantity.
Any value of x greater than
2/3 will make this thing
right here positive.
Right?
This thing is also
going to be positive.
So that means that when x
is greater than 2/3, that
tells us that the second
derivative is positive.
It is greater than 0.

Turkish: 
Tekrardan yazayım. f'nin ikinci türevi,
Şöyle yazayım.
Böyle de yazabilirim, ama bu şekilde işlem yapmak daha kolay.
-
12 x çarpı, 3 x eksi 2.
x, 2 bölü 3'ten büyükse, bu terim pozitif olacak.
-
Pozitif bir sayı çarpı 12 pozitif olacak.
-
Peki, bu terim?
3 çarpı 2 bölü 3, eksi 2 eşittir 0, öyle değil mi?
2 eksi 2.
2 bölü 3'ten büyük bir sayı koyarsak, 2.1 bölü 3 bile koysak, yine sonuç pozitif olacak.
-
2 bölü 3'ten büyük bir x değeri, bu ifadeyi pozitif yapar.
-
Öyle değil mi?
Bu ifade, pozitif olacak.
x 2 bölü 3'ten büyükse, ikinci türev pozitif olacak.
-
0'dan büyük olacak.

Spanish: 
Así que permítanme reescribirla. primer primo f de x es igual a,
me permito escribir como este.
Quiero decir, podría escribir así, pero esto podría ser
fáciles de tratar.
Es igual a x 12 veces x 3 menos 2.
Así que si x es mayor que 2/3, este término es
va a ser positivo.
Definitivamente, es cualquier número positivo momento 12
va a ser positivo.
Pero ¿qué pasa con este término, derecho aquí?
¿3 veces 2 de menos de 2/3 es exactamente 0, correcto?
Eso es 2 menos 2.
Pero nada más grande que el, 3 veces, ya sabes, si tuviera
2.1/3, esto va a ser una cantidad positiva.
Cualquier valor superior a 2/3 x hará esta cosa
positivo aquí.
¿Verdad?
Esto también va a ser positivo.
Por lo que significa que cuando x es mayor que 2/3, que
nos dice que la segunda derivada es positiva.
Es mayor que 0.

Thai: 
ขอผมเขียนมันใหม่นะ f ไพรม์ ไพรม์ ของ x เท่ากับ
ขอผมเขียนแบบนี้นะ
ผมหมายถึง ผมอาจเขียนแบบนี้ แต่นี่อาจจะ
จัดการง่ายกว่า
มันเท่ากับ 12x คูณ 3x ลบ 2
ดังนั้นหาก x มากกว่า 2/3 เทอมนี้ตรงนี้
จะเป็นบวก
แน่นอน เลขบวกใดก็ตามคูณ 12
จะยังเป็นบวก
แล้วเทอมนี้ ตรงนี้ล่ะ?
3 คูณ 2/3 ลบ 2 ได้ 0 เป๊ะ จริงไหม?
มันคือ 2 ลบ 2
แต่อะไรที่โตกว่านั้น 3 คูณ คุณก็รู้ หากผม
มี 2.1/3 นี่จะเป็นค่าบวก
ค่าใด ๆ ของ x ที่มากกว่า 2/3 จะทำให้ก้อนนี้
เป็นบวก
จริงไหม?
สิ่งนี้จะเป็นบวก
นั่นหมายถึงว่า เมื่อ x มากกว่า 2/3
นั่นบอกเราว่า อนุพันธํอันดับสองเป็นบวก
มันมากกว่า 0

Arabic: 
لذا دعوني اعيد كتابته، f^1(x) =
دعوني اكتب بهذا الشكل
اعني، انه يمكنني ان اكتب هكذا، لكن ربما يكون هذا
ابسط للتعامل معه
انه يساوي 12x × (3x - 2)
فاذا كان x > 2/3، فإن هذه العبارة الموجودة هنا
ستكون موجبة
هذا بلا شك، اي عدد موجب × 12
سيكون موجب
لكن ماذا بالنسبة لهذه العبارة الموجودة هنا؟
3 × (2/3 - 2) = 0، اليس كذلك؟
ذلك 2 - 2
لكن اي شيئ اكبر من ذلك، 3 ×، تعلمون، انه اذا كان لدي
2 × 1/3، هذا يعطينا قيمة موجبة
اي قيمة لـ x اكبر من 2/3 ستجعل من هذا الشيئ
موجباً
اليس كذلك؟
ان هذا الشيئ ايضاً سيكون موجباً
ذلك يعني انه عندما يكون x > 2/3، فإن ذلك
يوضح لنا ان المشتقة الثانية موجبة
انها اكبر من 0

Korean: 
다시 적어보겠습니다 f''(x)는
(이렇게 적어보도록 하겠습니다)
(제 말은 이렇게 적을 수도 있지만)
(이 방법이 더 쉬울 것 같습니다)
이것은 12x 곱하기 3x-2와 같습니다
따라서 x가 2/3보다 크면  이 항의 값이
양수가 될 것입니다
이것은 분명합니다 어떠한 양수도 12와 곱하면
양수가 될 것입니다
하지만 여기 있는 이 항은 어떨까요?
3 곱하기 2/3 빼기 2는 정확히 0이지요?
그것은 2빼기 2입니다
하지만 그것보다 큰 어떠한 것도  3배하면
2+1/3을 예로 들면 양의 값을 가질 것입니다
2/3보다 큰 어떠한 x도 이 항의 값을
양수로 만들 것입니다
맞나요?
이 항도 양수가 될 것입니다
그 말은 x가 2/3보다 크면
두 번째 도함수가 양수라는 것을 말해줍니다
0보다 크다는 것입니다

Czech: 
Ještě to přepíšu.
f(x) se dvěma čárkami
se rovná...
Napíšu to takhle.
Mohl bych to sice napsat takto,
ale s tímhle se snáze pracuje.
...se rovná 12 krát x krát
(3 krát x minus 2).
Pokud je x
větší než 2 lomeno 3,
tak tento člen
je kladný.
Určitě platí, že libovolné kladné číslo
krát 12 je kladné číslo.
Jak to bude
s tímto členem?
3 krát (2 lomeno 3)
minus 2 je přesně 0.
Je to totiž
2 minus 2.
Cokoliv většího však...
3 krát...
Kdybych tady měl 2,1 lomeno 3,
tak to vyjde jako kladné číslo.
Pro libovolnou hodnotu x větší než
2 lomeno 3 bude tento výraz kladný.
Tento výraz tak
bude také kladný,
což znamená, že když je
x větší než 2 lomeno 3...
Říká nám to, že druhá derivace
je kladná, tedy větší než 0.

Bulgarian: 
Нека препиша това, f прим от x е равно на,
нека запиша така, за да ни е по-лесно
-
-
Равно на 12x по 3x минус 2
Значи, ако ь е по-голямо от 2/ 3,
този член тук ще ни е положителен
Това е сигурно, защото всяко положително число,
умножено по 12, дава положително
Но какво да кажем за този член тук ?
3 по 2/3 минус 2 е точно 0, нали ?
Имаме 2 минус 2
Но всичко, по-голямо от това, 3 пъти...
ако имам 2, 1/3, това ще е положителна стойност
Всяка стойност на x, по-голяма от 2/3, ще направи
това тук положително
Нали така ?
Това също ще ни е положително
Това означава, че когато x е по-голямо от 2/3,
втората производна ще е положителна
Ще е по-голяма от 0

Portuguese: 
Deixe-me reescrever isso, f''
de x é igual a,
Poderia manter a escrita
mas assim é mais fácil.
Isso é igual a 12x vezes 3x menos 2.
Se x é maior que 2/3,
esse termo aqui será positivo.
Isso é definitivamente, qualquer
número positivo vezes 12
vai ser positivo.
Mas e sobre esse
termo aqui?
3 vezes 2/3 menos 2
é exatamente zero, certo?
Isso é 2 menos 2.
Mas qualquer coisa maior do que isso,
3 vezes, você sabe, se eu tivesse
2.1/3, será uma quantidade positiva.
Qualquer valor de x maior que
2/3 fará isso ser positivo.
Certo?
Isso também vai
ser positivo.
Isso significa que quando x 
é maior que 2/3, que
nos diz que a segunda derivada
é positiva.
Isso é maior que zero.

Thai: 
ดังนั้นในโดเมนของเรา ตราบใดที่ x มากกว่า 2/3
เราจะเว้าขึ้น
และเราเห็นแล้่ว ที่ x เท่ากับ 1
เราเว้าขึ้น
แต่ถ้า x น้อยกว่า 2/3 ล่ะ?
เมื่อ x น้อยกว่า 2/3 ขอผมเขียน ขอผม
เลื่อนลงหน่อยนะ
เมื่อ x น้อยกว่า 2/3 เกิดอะไรขึ้น?
ผมจะเขียนใหม่นะ
f ไพรม์ ไพรม์ ของ x อนุพันธ์อันดับสอง
12x คูณ 3x ลบ 2
ทีนี้ หากเราไปที่ซ้ายมือมาก เราจะได้เลขลบ
ตรงนี้ และนี่อาจไม่เข้าท่า
แต่หากเราอยู่น้อยกว่า 2/3 นิดหน่อย ตอนที่เรา
ยังอยู่ในแถบบวก
เช่นหากนี่เป็น 1.9/3 ซึ่งเป็นลูกผสมระหว่างทศนิยม
กับเศษส่วน หรือแม้แต่ 1/3 นี่จะยังเป็น
บวกอยู่
ข้างล่าง 2/3 นี่ สิ่งนี้จะยังเป็นบวก
เราจะคูณ 12 ด้วยเลขบวก
แล้วเกิดอะไรขึ้นตรงนี้?
-
ที่ 2/3 เราได้ 0 เป๊ะ

Turkish: 
Yani, 2 bölü 3'ten büyük x değerleri için, çukurluk yukarı doğru.
-
Zaten, x eşittir 1 için, yukarı doğru çukurluğu bulmuştuk.
-
Peki, x 2 bölü 3'ten küçükse, ikinci türev nedir?
-
-
-
Baştan yazalım.
f'nin ikinci türevi eşittir, 12 x çarpı, 3 x eksi 2.
-
Soldan bir değer alırsak, negatif bir sayı elde edeceğiz.
-
Ama, 2 bölü 3'ten az küçük bir sayı koyarsak, hala pozitif kısımdayız.
-
Örneğin, 1.9 bölü 3 veya 1 bölü 3, şurası hala pozitif.
-
-
2 bölü 3'e yakın bir sayı, pozitiftir. 12 çarpı pozitif bir sayı.
-
Peki, burada ne oluyor?
-
2 bölü 3 için, ikinci türev 0.

Spanish: 
En nuestro dominio, siempre y cuando x es mayor que 2/3,
Somos cóncavas hacia arriba.
Y vimos que aquí, en x es igual a 1.
Estábamos cóncavas hacia arriba.
Pero, ¿x es inferior a 2/3?
Así que cuando x es inferior a 2/3, permítanme escribirlo, déjame
Desplácese hacia abajo un poco.
¿Cuando x es inferior a 2/3, lo que está sucediendo?
Te reescribirla.
f primo primo de x, la segunda derivada,
x 12 veces x 3 menos 2.
Bueno, si nos vamos ahora realmente dejó, vamos a obtener un negativo
número aquí y esto podrían ser [UNINTELLIGIBLE].
Pero si nosotros solo ir a la derecha por debajo de 2/3, cuando todavía estamos
en el dominio positivo.
Así que si esto era como 1,9/3, que es una mezcla de un decimal y
una fracción o incluso 1/3, esta cosa va todavía
a ser positivo.
Justo por debajo de 2/3, esto todavía va a ser positivo.
Vamos a ser multiplicar 12 por un número positivo.
¿Pero lo que está pasando aquí?
En 2/3, estamos exactamente 0.

Arabic: 
اذاً في المجال الذي لدينا، طالما ان x > 2/3
فغن التقعر يكون للأعلى
وقد رأينا ذلك هنا، على x = 1
لقد كان التقعر للأعلى
لكن ماذا بالنسبة لـ x عندما يكون اقل من 2/3؟
اذاً عندما يكون x < 2/3، دعوني اكتبه، دعوني
انزل الى الاسفل قليلاً
عندما يكون x < 2/3، ماذا يحدث؟
سوف اعيد كتابته
f^1(x)، اي المشتقة الثانية
12x (3x- 2)
حسناً، اذا انتقلنا سريعاً الى اليسار، سوف نحصل على
عدد سالب هنا، وربما ان هذا يكون سالباً
لكن اذا اتجهنا الى اليمين اسفل 2/3، عندما لا نزال
في المجال الموجب
فاذا كان هذا يساوي 1.9/3 تقريباً، اي خليط من عدد عشري و
كسر، او 1/3، فإن هذا لا يزال
موجباً
هنا اسفل الـ 2/3، ان هذا الشيئ لا يزال موجباً
سوف نضرب 12 بعدد موجب
لكن ماذا سيحدث هنا؟
ماذا سيحدث هنا؟
على 2/3، نكون على 0 بالضبط

Korean: 
따라서 저희의 구간에서 x가 2/3보다 큰 범위에서
저희의 함수는 아래로 볼록할 것입니다
저희는 그것을 x=1에서 성립함을 확인했습니다
그래프는 아래로 볼록이었습니다
x가 2/3보다 작은 경우는 어떨까요?
x가 2/3보다 작을 때(적어보도록 하겠습니다)
(스크롤을 조금 내리겠습니다)
x가 2/3보다 작을 때 어떻게 될까요?
(다시 적어보도록 하겠습니다)
f''(x) 두번째 도함수는
12x 곱하기 3x-2입니다
저희가 축의 왼쪽으로 저희는 음의
값을 가지게 될 것입니다
하지만 만약 x가 2/3보다 조금 작게 된다면
즉 아직 x가 양의 범위에 있을 때를 보겠습니다
따라서 만약 1.9/3 같은 수를 넣는다면
소수와
분수가 섞인 형태 또는 심지어 1/3을 넣어도 이 항은 여전히
양의 값을 가질 것입니다
2/3 바로 밑의 값을 대입시키면 이 항은 여전히
양수가 될 것입니다
저희는 12를 양수에 곱할 것입니다
하지만 여기에서는 무슨 일이 일어날까요?
 
x가 2/3일 때 값이 정확히 0입니다

English: 
So in our domain, as long
as x is larger than 2/3,
we are concave upwards.
And we saw that here,
at x is equal to 1.
We were concave upwards.
But what about x
being less than 2/3?
So when x is less than 2/3,
let me write it, let me
scroll down a little bit.
When x is less than
2/3, what's going on?
I'll rewrite it.
f prime prime of x,
second derivative,
12x times 3x minus 2.
Well, if we go really far left,
we're going to get a negative
number here, and this might
be negative.
But if we just go right
below 2/3, when we're still
in the positive domain.
So if this was like 1.9/3,
which is a mix of a decimal and
a fraction, or even 1/3, this
thing is still going
to be positive.
Right below 2/3, this thing is
still going to be positive.
We're going to be multiplying
12 by a positive number.
But what's going on right here?
At 2/3, we're exactly 0.

Czech: 
Pro všechna x z definičního oboru,
která jsou větší než 2 lomeno 3,
je funkce konvexní.
Viděli jsme
to i zde.
Zjistili jsme tu, že v bodě
x rovno 1 je funkce konvexní.
Co když je ale
x menší než 2 lomeno 3?
Když je x menší
než 2 lomeno 3...
Abych to mohl napsat,
tak trochu sjedu dolů.
Když je x menší než 2 lomeno 3,
tak se bude dít co?
Opět sem napíšu předpis pro f se
dvěma čárkami, tedy pro druhou derivaci.
Je to 12 krát x
krát (3 krát x minus 2).
Pokud je x
mnohem menší,
tak to bude záporné
číslo a tohle bude záporné...
Podívejme se ale na ta x, jež jsou
jen o trochu menší než 2 lomeno 3,
tedy která jsou
ještě kladná.
Například kdyby
x bylo 1,9 lomeno 3,
což je tedy kombinace
desetinného čísla a zlomku,
nebo jen 1 lomeno 3,
tak tento výraz bude stále kladný.
Pro čísla o trochu menší než
2 lomeno 3 bude tento výraz kladný,
protože 12 násobíme
kladným číslem.
Co se ale bude
dít s tímto výrazem?
V bodě 2 lomeno 3
je to přesně 0,

Bulgarian: 
Значи, в нашата общност, стига x да е по-голямо от 2/3,
вдлъбнатостта е нагоре
И това го видяхме тук, при x е равно на 1
Там функцията беше вдлъбната навътре
Ами когато имаме число, по-малко от 2/3
Нека напиша, когато x е по-малко от 2/3,
нека се придвижа надолу
Какво се случва когато x е по-малко от 2/3?
Ще го препиша
f прим прим от x, втората производна
12 x по 3 x минус 2
Ами, ако отидем много наляво, тук ще
получим отрицателно число
Но ако сме точно под 2/3, ще
останем в положителната общност
Ако това беше, да речем, 1,9/3 (това е комбинация
от десетична и обикновена дроб), или дори 1/3, това
все още ще ни е положително
Точно под 2/3, това още ще ни е положително
-
Но какво се случва тук ?
-
При 2/3, имаме точно 0

Portuguese: 
Assim, em nosso domínio, enquanto
x é maior do que 2/3,
temos um côncavo para cima.
E nós vimos isso aqui,
no x igual a um.
Temos um côncavo para cima.
Mas e quando x
é menor que 2/3?
Quando x é menor que 2/3,
deixe-me escrever isso, deixe-me
descer um pouco.
Quando x é menor que
2/3, o que acontece?
Vou reescrever isso.
f'' de x, segunda derivada,
12x vezes 3x menos 2.
Bom, se formos muito para a esquerda,
vamos ter um número
negativo, e isso deve ser negativo.
Mas se formos logo antes 
de 2/3, onde ainda estamos
no campo positivo.
Então, se isso era como 1.9/3,
que é uma mistura de um decimal e
uma fração, ou mesmo 1/3, isso
ainda vai
ser positivo.
Logo abaixo de 2/3, isso
ainda vai ser positivo.
Estaremos multiplicando
12 por um número positivo.
Mas o que está acontecendo aqui?
No 2/3, temos exatamente 0.

Portuguese: 
Mas conforme vamos para qualquer coisa
menor do que 2/3, 3
vezes 1/3 é somente 1.
1 menos 2, teremos números negativos
Quando x é menor que 2/3,
isso bem aqui vai
ser negativo.
Então a segunda derivada, se x
é menor que 2/3, a segunda
derivada, da direita para a esquerda,
bem quando você vai a menos de
2/3, a segunda derivada
de x é menor que 0.
Agora, o fato de que temos esta
transição, a partir de quando estamos
em menos do que 2/3, temos uma
segunda derivada negativa e
quando estamos superior a 2/3, nós
tem uma segunda derivada
positiva, que nos diz que 
esse, na verdade, é um
ponto de inflexão.
Que x é igual a 2/3 
é definitivamente um ponto
de inflexão para nossa
função original lá em cima.
Temos mais um candidato a
ponto de inflexão, e então
poderemos representar graficamente.
Uma vez avaliados 
os pontos de inflexão
max e mín, pode-se
representar graficamente a função.
Então, vamos ver se x igual a
0 é um ponto de inflexão.
Sabemos que a segunda
derivada é 0 em 0.

Spanish: 
Pero como vas a algo menos de 2 por 3, 3
veces 1/3 es sólo 1.
1 menos 2, vas a obtener números negativos.
Así que cuando x es inferior a 2/3, esto aquí es
va a ser negativo.
Así que la segunda derivada, si x es inferior a 2/3, la segunda
derivados, el derecho a la izquierda, justo cuando vas menos de
2/3, los segundos derivada de x es menor que 0.
Ahora el hecho de que tengamos esta transición, desde cuando estamos
menos de 2 por 3, tenemos un segundo negativo derivado, y
cuando estamos superiores a 2/3, tenemos un segundo positivo
derivado, que nos dice que, de hecho, es un
punto de inflexión.
Que x es igual a 2/3 tercios es definitivamente una flexión
punto para nuestra función original hasta aquí.
Ahora, tenemos un punto más de inflexión candidato y luego
Estamos listos para el gráfico.
A continuación, usted sabe, una vez que lo hacen todos los puntos de inflexión y el
máximo y el mínimo, estás listo para la función de la gráfica.
Así que vamos a ver si x es igual a 0 es un punto de inflexión.
Sabemos que la segunda derivada es 0 a 0.

Korean: 
하지만 여러분이 2/3보다 작은 어떠한 수를 사용해도
3곱하기 1/3은 단지 1입니다
1빼기 2는 음수이고 이 항은 음의 값을 가질 것입니다
따라서 x가 2/3 보다 작을 때  여기 있는 이 항은
음수가 될 것입니다
저희의 두 번째 도함수는 x가 2/3보다 작을 때
두번째 도함수  바로 왼쪽인, 2/3보다 조금 작을 때
두 번째 도함수는 음의 값을 가질 것입니다
이 함수가 이런 변화를 가지게 된다는 사실로
2/3보다 작을 때는 음의 값을 가지는 두 번째 도함수
2/3보다 클 때는 양의 두 번째
도함수를 가지는 변화가 이 점이 실제로
변곡점임을 말해줍니다
x가 2/3인 지점은 분명히
저희의 원래 함수의 변곡점입니다
이제 저희에게는 하나의 변곡점 후보가 더 남았습니다
그 후에는 그래프를 그릴 준비가 되었습니다
그 후 여러분이 모든 변곡점과
최댓값 최솟값을 알게 되면 그래프를
그릴 준비가 된 것입니다
x가 0인 지점이 변곡점인지 확인해봅시다
저희는 두번째 도함수가 x=0일 때 0이라는
것을 알고 있습니다

Turkish: 
2 bölü 3'ten küçük bir sayı deneyelim. Örneğin, 3 çarpı, 1 bölü 3 eşittir 1.
-
1 eksi 2, negatiftir.
x, 2 bölü 3'ten küçük olduğunda, bu ifadenin sonucu negatif olacak.
-
Yani, x, 2 bölü 3'ten küçük ise, ikinci türev de 0'dan küçük.
-
-
2 bölü 3'ün solunda, ikinci türev negatif, 2 bölü 3'ün sağında ikinci türev pozitif olduğu için, büküm noktası var, diyoruz.
-
-
-
-
x eşittir 2 bölü 3, kesinlikle büküm noktası
-
Bir başka büküm noktası adayı var, ondan sonra grafiğimizi çizmeye hazırız.
-
Büküm noktalarını, maksimum ve minimumları bulduktan sonra, fonksiyonun grafiğini çizmeye hazırsınız, demektir.
-
x eşittir 0'ın büküm noktası olup olmadığına bakalım.
0'daki ikinci türevin 0 olduğunu biliyoruz.

English: 
But as you go to anything
less than 2/3, 3
times 1/3 is only 1.
1 minus 2, you're going
to get negative numbers.
So when x is less than 2/3,
this thing right here is
going to be negative.
So the second derivative, if x
is less than 2/3, the second
derivative, right to the left,
right when you go less than
2/3, the seconds derivative
of x is less than 0.
Now the fact that we have this
transition, from when we're
less than 2/3, we have a
negative second derivative, and
when we're greater than 2/3, we
have a positive second
derivative, that tells us that
this, indeed, is an
inflection point.
That x is equal to 2/3 thirds
is definitely an inflection
point for our original
function up here.
Now, we have one more candidate
inflection point, and then
we're ready to graph.
Then, you know, once you do all
the inflection points and the
max and the minimum, you are
ready to graph the function.
So let's see if x is equal to
0 is an inflection point.
We know that the second
derivative is 0 at 0.

Bulgarian: 
Но като имаме нещо по-малко от 2/3,
3 по 1/3 е само 1
И имаме 1 минус 2 – получават се отрицателни числа
Значи, когато ь е по-малко от 2/3, това тук
ще ни е отрицателно
Значи, ако ь ни е по-малко от 2/3, втората производна
на x ще стане по-малка от 0
-
Значи имаме промяна в знака – когато x е по-малко
от 2/3, имаме отрицателна втора производна и
когато е по-голямо от 2/3, имаме положителна втора производна
Това ни казва, че наистина става дума за
инфлексна точка
x равно на 2/3 определено е инфлексна точка
за първоначалната ни функция
Сега, имаме още една потенциална инфлексна точка
и след това сме готови да чертаем графиката
След като намерите всички инфлексни точки и максималната и минималната
сойности, сте готови да чертаете графиката на функцията
Да видим, дали x равно на 0 ни е инфлексна точка
Знаем, че втората ни производна е 0 при 0

Thai: 
แต่เมื่อคุณไปตรงที่ใดที่น้อยกว่า 2/3, 3
คูณ 1/3 ได้ 1 เท่านั้น
1 ลบ 2 คุณจะได้เลขติดลบ
ดังนั้นเมื่อ x น้อยกว่า 2/3 สิ่งนี้ตรงนี้จะ
กลายเป็นลบ
ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสอง หาก x น้อยกว่า 2/3 อนุพันธ์
อันดับสอง ขวาไปซ็าย ตรงนี้เมื่อคุณไปยังน้อยกว่า
2/3 อนุพันธ์อันดับสองของ x จะน้อยกว่า 0
ทีนี้ความจริงที่เรามีการเปลี่ยนผ่าน จากตอนที่เรา
น้อยกว่า 2/3 เรามีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ
เป็นตอนที่เรามากกว่า 2/3 เรามีอนุพันธ์อันดับสอง
เป็นบวก นั่นบอกเราว่า จุดนี้คือจุดเปลี่ยน
เว้าจริง ๆ
ที่ x เท่ากับ 2/3 นั่นเป็นจุดเปลี่ยนเว้า
จริง ๆ สำหรับฟังก์ชันเดิมตรงนี้
ทีนี้ เรามีตัวแทนจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุด แล้ว
เราก็พร้อมวาดกราฟแล้ว
ทีนี้ คุณก็รู้ เมื่อเราหาจุดเปลี่ยนเว้า
จุดสูงสุดและต่ำสุด คุณก็พร้อมวาดกราฟของฟังก์ชัน
ลองดูว่า x เท่ากับ 0 เป็นจุดเปลี่ยนเว้าหรือไม่
เรารู้ว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็น 0 ณ จุด 0

Arabic: 
لكن كلما انتقلت الى اي شيئ اقل من 2/3، 3
× 1/3 = 1
1 - 2، سوف تحصل على اعداد سالبة
اذاً عندما تكون x < 2/3، فإن هذا الشيئ الموجود هنا
سيكون سالب
اذاً المشتقة الثانية، اذا كان x < 2/3، فإن
المشتقة الثانية، من اليمين الى اليسار، عندما ننتقل الى اقل من
2/3، ان المشتقة الثانية لـ x تكون اقل من 0
الآن بما ان لدينا هذا التحول، من عندما كان
اقل من 2/3، كان لدينا مشتقة ثانية سالبة، و
عندما كان اكبر من 2/3، يكون لدينا مشتقة ثانية موجبة
وما يوضحه لنا ان هذه حقاً عبارة عن
نقطة انقلاب
x = 2/3 تلك بلا شك عبارة عن
نقطة انقلاب للاقتران الاصلي الذي لدينا في الاعلى هنا
الآن، لدينا نقطة انقلاب اخرى، ومن ثم
نكون جاهزين للتمثيل البياني
ثم، كما تعلمون، عندما تأخذون جميع نقاط الانقلاب و
النقاط العظمى والصغرى، فإنك تكون جاهزاً للتمثيل البياني للاقتران
دعونا نرى اذا كان x = 0 عبارة عن نقطة انقلاب
نحن نعلم ان المشتقة الثانية هي 0 على 0

Czech: 
ale jakmile máme něco
menšího než 2 lomeno 3,
tak například
3 krát (1 lomeno 3) je 1
a 1 minus 2
je záporné číslo.
Když je tedy x menší než 2 lomeno 3,
tak je tento výraz záporný.
Pokud je x menší než 2 lomeno 3,
tak je druhá derivace...
Když máme čísla jen
o trochu menší než 2 lomeno 3,
tak je druhá derivace
v bodě x menší než 0.
To, že došlo
k této změně...
Pro x menší než 2 lomeno 3
je druhá derivace záporná,
zatímco pro x větší než
2 lomeno 3 je druhá derivace kladná,
což nám říká,
že toto je skutečně infexní bod.
Bod x rovná se 2 lomeno 3 je tedy určitě
inflexním bodem naší původní funkce,
kterou
máme zde.
Zbývá nám ještě jeden
kandidát na inflexní bod
a pak už budeme
moci začít kreslit graf.
Jakmile známe inflexní body
a všechna lokální maxima a minima,
tak už můžeme
začít kreslit graf funkce.
Ověřme tedy, zda je
bod x rovno 0 inflexním bodem.
Víme, že druhá derivace
je v bodě 0 rovna nule,

Arabic: 
لكن ماذا يحدث اعلى واسفل المشتقة الثانية؟
دعونا نجري اختباراً بسيطاً هنا
اذاً عندما x --دعوني ارسم خط كي لا نرتبك
بجميع هذه الاشياء التي كتبتها هنا
اذاً عندما يكون x > 0، ماذا يحدث في
المشتقة الثانية؟
تذكروا، ان المشتقة الثانية كانت تساوي
12x (3x - 2)
افضل كتابتها بهذه الطريقة، لأنك
تقسمها الى عبارتان خطيتان، وبامكانك رؤية
ما اذا كان اي منهما موجباً او سالباً
فاذا كان x > 0، فإن هذا الشيئ بلا شك
سيكون موجباً، ومن ثم هذا الشيئ الموجود هنا
عندما تنتقل فوق x > 0، يكون علينا ان
نتأكد من ان نكون قريبين من هذا العدد، اليس كذلك؟
اذاً هذا العدد، دعونا نفترض انه 0.1
فتكون فوق الصفر
اذاً هذا لن يكون صحيحاً لجميع قيم x التي تكون اكبر من 0
نريد ان نختبر ماذا يحدث بالضبط، عندما
نذهب فوق الصفر
اذاً هذا 0.1

Korean: 
이 지점 양옆에서는 두번째 도함수가 어떻게
될까요?
여기서 가벼운 검증을 해보겠습니다
따라서 x가(여기 줄을 조금 그려서)
(제가 적었던 내용들과 헷갈리지 않도록 하겠습니다)
x가 0보다 클 때
두번째 도함수에서 무슨 일이 일어날까요?
기억할 것은 두번째 도함수가
12x 곱하기 3x-2와 같았다는 사실입니다
저는 이런 식으로 적는 것을 좋아합니다
왜냐하면
식을 두 개의 일차항으로 나누었고
이 항들이 각각 음인지 양인지 판단할 수 있기 때문입니다.
따라서 x가 0보다 클 때 여기 있는 항은
양의 값을 가지게 될 것이고 그 다음 이 항은
x가 0보다 조금 클 때 그러므로 저희는
0에 굉장히 가까운 수를 골라야 합니다
이 수를 0.1이라고 해보겠습니다
저희는 0보다 조금 큰 값을 다루고 있습니다
이것이 모든 0보다 큰 x에 대해서는 성립하지 않을 것입니다
저희는 단지
0 바로 위에서 무슨 상황이 일어나는지를 검증하고 싶은 것입니다
따라서 이것은 0.1입니다

Spanish: 
¿Pero lo que pasa por encima y por debajo de la segunda derivada?
Así que permítanme hacer nuestra prueba poco aquí.
Así que cuando x es, permítanme dibujar una línea para no confundirse
con todas las cosas que escribí aquí.
Así que cuando x es mayor que 0, lo que está sucediendo en
¿la segunda derivada?
Recuerde, la segunda derivada es igual a
x 12 veces x 3 menos 2.
Me gusta escribirlo de esta forma, porque tienes que tipo de
descomponer en dos expresiones lineales, y se podían ver
cada uno de ellos sean positivos o negativos.
Así que si x es mayor que 0, esto aquí es definitivamente
va a ser positivo y entonces esta cosa aquí, derecho
cuando vas derecho por encima de x es mayor que 0, lo que tenemos que
¿Asegúrese de estar muy cerca de este número, correcto?
Este número, vamos a decir que es 0,1.
Tienes razón por encima de 0.
Así que esto no va a ser verdad para todos de x mayor que 0.
Sólo queremos comprobar exactamente lo que sucede, justo cuando
vamos derecho por encima de 0.
Esto es 0.1.

English: 
But what happens above and
below the second derivative?
So let me do our
little test here.
So when x is, let me draw a
line so we don't get confused
with all of the stuff
that I wrote here.
So when x is greater than
0, what's happening in
the second derivative?
Remember, the second
derivative was equal to
12x times 3x minus 2.
I like writing it this way,
because you've kind of
decomposed it into two linear
expressions, and you could see
whether each of them are
positive or negative.
So if x is greater than 0, this
thing right here is definitely
going to be positive, and then
this thing right here, right
when you go right above x is
greater than 0, so we have to
make sure to be very close
to this number, right?
So this number,
let's say it's 0.1.
You're right above 0.
So this isn't going to be true
for all of x greater than 0.
We just want to test exactly
what happens, right when
we go right above 0.
So this is 0.1.

Turkish: 
Peki, 0'ın sağında ve solunda, ikinci türev için ne diyebiliriz?
Denememizi yapalım.
-
-
x 0'dan büyükse, ikinci türev için ne diyebiliriz?
-
İkinci türev eşittir, 12 x çarpı, 3x eksi 2.
-
Böyle yazmak, bence, daha iyi. Çünkü iki lineer ifadenin çarpımı olarak ifade etmiş oluyoruz. Bu ifadelerin pozitif mi, negatif mi olduğunu görebiliyoruz.
-
-
x 0'dan büyükse, burası pozitif. Bu terim için ise, 0'a yakın bir değer almamız lazım.
-
-
-
Örneğin 0.1'i deneyelim. 0'dan biraz büyük bir sayı.
-
0'dan büyük tüm x değerleri için, bu doğru olmayabilir.
0'ı az geçtiğimizde, ne olduğunu test etmek istiyoruz.
-
0.1

Bulgarian: 
Но какво се случва точно под и над втората производна ?
Нека направим малкия тест тук
Нека сложа една черта тук, за да не се объркаме
с всички неща, написани тук
Значи, когато x е по-голямо от 0, какво се случва с
втората производна ?
Спомнете си, че втората ни производна беше равно на
12x по 3x минус 2
Обичам да записвам по този начин, защото
сме разложили на две линейни уравнения и можем да
видим дали те са положителни или отрицателни
Ако x е по-голямо от 0, това тук определено ще
бъде положително. а това тук, веднага след
като x стане по-голямо от 0... трябва да
сме много близо до това число, нали ?
Нека вземем 0,1
Точно над 0
Значи, това ще бъде вярно за всяко x, по-голямо от 0
Искаме да видим какво точно се случва,
когато имаме число малко по-голямо от 0
Значи, имаме 0,1

Thai: 
แต่จะเป็นอย่างไรสำหรับค่าบนและค่าล่าง?
ขอผมทดลองสักหน่อย
เมื่อ x เท่ากับ ขอผมลากเส้นเพื่อไม่ให้เรางง
กับสิ่งที่ผมเขียนไปแล้ว
เมื่อ x มากกว่า 0 เกิดอะไรขึ้น
กับอนุพันธ์อันดับสอง?
จำไว้ อนุพันธ์อันดับสอง เท่ากับ
12x คูณ 3x ลบ 2
ผมชอบเขียนแบบนี้ เพราะคุณสามารถ
แยกมันเป็นเทอมเชิงเส้นสองเทอม และคุณสามารถเห็น
ว่าแต่ละเทอมเป็นบวกหรือลบ
ดังนั้นหาก x มากกว่า 0 สิ่งนี้ตรงนี้จะต้อง
เป็นบวกแน่นอน แล้วสิ่งนี้ตรงนี้
เมื่อคุณไปตรงที่ x มากกว่า 0 เราต้อง
แน่ใจว่ามันใกล้กับเลขนี้มาก จริงไหม?
ดังนั้นเลขนี้ สมมติว่ามันคือ 0.1
คุณอยู่ใต้ 0 นี่
นี่จะไม่เป็นจริงเสมอสำหรับทุกค่า x ที่มากกว่า 0
เราแค่ทดสอบว่าเกิดอะไรขึ้นกันแน่ ตรงที่
ที่เรามากกว่า 0 ใกล้ ๆ
นี่คือ 0.1

Portuguese: 
Mas o que acontece acima e
abaixo da segunda derivada?
Então deixe-me fazer o nosso
pequeno teste aqui.
Assim, quando x é, deixe-me desenhar uma
linha para que não se confunda
com todos as coisas
que eu escrevi aqui.
Assim, quando x é maior do que
0, o que está acontecendo
na segunda derivada?
Lembre-se, a segunda
derivada era igual a
12x vezes 3x menos 2.
Eu gosto de escrever assim,
porque você tem que
decompor em duas expressões 
lineares, e poderia ver
se cada um deles é
positivo ou negativo.
Portanto, se x é maior do que 0, isso
bem aqui, definitivamente
vai ser positivo, e então
isso bem aqui, bem
quando vai logo acima de x 
igual a 0, precisamos
ter certeza de estar muito perto
a este número, certo?
Portanto, este número,
suponha que seja 0,1.
Está logo acima de 0.
Não será verdadeiro
para x maiores que 0.
Queremos testar o que acontece
para valores acima de 0.
Portanto, isso é 0,1.

Czech: 
ale jaké hodnoty má druhá derivace
před a po průchodu tímto bodem?
Pojďme se
na to podívat.
Když je x...
Oddělím to tady čárou,
ať se nám to tu neplete.
Když je x větší než 0,
tak se druhá derivace chová jak?
Připomínám, že druhá derivace se rovná
12 krát x krát (3 krát x minus 2).
Raději to
píšu takhle,
protože jde v podstatě
o rozklad na dva lineární výrazy,
u kterých lze dobře vidět,
zda jsou kladné nebo záporné.
Když je x větší než 0,
tak je tento výraz určitě kladný,
zatímco tento výraz...
Když máme x
jen o trochu větší než 0...
Musíte si dát pozor, abyste byli
dostatečně blízko tomuto číslu.
Řekněme,
že x je 0,1,
což je jen o trochu
více než 0.
Nebude to tedy platit
pro všechna x větší než 0,
protože chceme zjistit pouze to, co se
děje když je x jen o trochu větší než 0.

English: 
You would have 0.3, 0.3
minus 2, that would be a
negative number, right?
So right as x goes right
above 0, this thing
right here is negative.
So at x is greater than 0,
you will have your second
derivative is going
to be less than 0.
You're concave downwards.
Which makes sense, because at
some point, we're going to
be hitting a transition.
Remember, we were concave
downwards before we
got to 2/3, right?
So this is consistent.
From 0 to 2/3, we are concave
downwards, and then at 2/3,
we become concave upwards.
Now let's see what happens when
x is right less than, when x
is just barely, just
barely less than 0.
So once again, f prime, the
second derivitive of x is equal
to 12x times 3x minus 2.
Well, right.
If x was minus 0.1 or 0.0001,
no matter what, this thing is
going to be negative, this
expression right here is going

Portuguese: 
Você teria que 03.3; 0,3
menos 2, que seria um
número negativo, certo?
Tão certo como x vai logo 
acima de 0, isso
bem aqui é negativo.
Assim, em x maior que 0,
a sua segunda
derivada vai ser inferior a 0.
Você tem um côncavo para baixo.
O que faz sentido, porque em
algum momento, vamos
encontrar uma transição.
Lembre-se, temos côncavo
para baixo antes de
chegar em 2/3, certo?
Portanto, isso é consistente.
De 0 a 2/3, que são côncavas
para baixo, e depois a 2/3,
tornam-se côncavas para cima.
Agora vamos ver o que
acontece quando x
é apenas um pouco menor do que 0.
Então mais uma vez, f'', a
segunda derivada de x é igual
a 12x vezes 3x menos 2.
Bom, certo.
Se x for menos 0,1 ou 0,0001, 
não importa, isso vai ser
negativo, essa expressão bem aqui será

Korean: 
여러분은 0.3을 얻게 될 것이고, 0.3빼기 2는
음수가 될 것입니다
  맞나요?
따라서 x가 0보다 아주 조금 클 때
이 식은 음수입니다
따라서 x가 0보다 클 때  여러분의 두 번째
도함수는 0보다 작을 것입니다
이 함수는 위로 볼록할 것입니다
말이 되는 것은  몇몇의 점에서
변화가 있을 것입니다
아까 저희는 위로 볼록이었습니다
x가 2/3에 도달하기 전에 말입니다
이 사실은 변함이 없습니다
0부터 2/3까지  함수는 위로 볼록하였고 2/3에서
아래로 볼록하게 되었습니다
자 이제  x가 바로 작을 때
즉  x가 0보다 겨우 작을 때를 보겠습니다
다시 한번 두번 째 도함수는
12x 곱하기 3x-2입니다
네 맞습니다
만약 x가 -0.1 또는- 0.0001 무엇이 되든 이 항은 음수일 것입니다
이 항은 음수가 될 것이고,

Turkish: 
0.3 olur, 0.3 eksi 2. Bu da negatif bir sayıdır, öyle değil mi?
-
x 0'ı geçtiğinde, bu şey negatif olur.
-
x 0'dan büyükse, ikinci türev 0'dan küçük olur.
-
Grafik, aşağı doğru çukur.
Bu durum mantıklı, çünkü çukurluğun yönünün belli bir noktada değiştiğini biliyoruz.
-
Hatırlarsanız, 2 bölü 3 öncesinde, grafik aşağı doğru çukur, öyle değil mi?
-
Yani, bulduklarımız tutarlılık gösteriyor.
0'dan 2 bölü 3'e aşağı doğru çukur, 2 bölü 3'ten sonra, yukarı doğru çukur.
-
Şimdiyse, x 0'dan azıcık küçük olduğunda, ne olduğunu görelim.
-
f'nin ikinci türevi, 12 x çarpı, 3 x eksi 2.
-
-
x eksi 0.1 veya 0.0001 olsa, bu ifade negatif olur. 12 x, 12 çarpı negatif bir sayı, negatiftir.
-

Russian: 
Что имеет смысл, потому что в определенный момент, мы собираемся

Bulgarian: 
Ще се получи 0,3, 0,3 минус 2 е
отрицателно число, нали ?
Значи, щом x стане по-голямо от 0,
това тук става отрицателно
Значи, при x по-голямо от 0, втората
производна ще бъде по-малка от 0
Графиката е вдлъбната нагоре
И в това има логика, защото в някоя точка
трябва да имаме промяна
Спомнете си, че вдлъбнатостта беше надолу преди
да стиглем до 2/3, нали така ?
Знахи имаме последователност
От 0 до 2/3, графиката е вдлъбната надолу, а при 2/3
става вдлъбната нагоре
Сега, да видим какво ще се случи когато
x е мъничко под 0
Пак ще повторя, че f прим, втората производна на x,
е равно на 12x по 3x минус 2
Така, добре
Ако x беше минус 0,1 или 0,0001, няма значиение, този
израз тук все ще ни е отрицателен

Thai: 
คุณจะได้ 0.3, 0.3 ลบ 2, นั่นจะ
เป็นค่าลบ จริงไหม?
งั้นตรงนี้ x อยู่เหนือ 0 พอดี สิ่งนี้
ตรงนี้เป็นลบ
ดังนั้นที่ x มากกว่า 0 คุณจะได้อนุพันธ์
อันดับสองน้อยกว่า 0
คุณจะเว้าลง
ซึ่งนี่ถูกต้อง เพราะ ณ จุดนึง เราจะต้อง
มาถึงจุดเปลี่ยน
จำไว้ เราเว้าลงก่อนที่
จะได้ 2/3 จริงไหม?
นี่เลยสอดคล้องกัน
จาก 0 ถึง 2/3 เราเว้าลง แล้วที่ 2/3
เรากลายเป็นเว้าขึ้น
ทีนี้ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x ตรงนี้น้อยกว่า เมื่อ x
นั้น น้อยกว่า 0 เพียงนิดเดียว นิดเดียวจริง ๆ
และอีกครั้ง f ไพรม์ อนุพันธ์อันดับสองของ x เท่ากับ
12x คูณ 3x ลบ 2
ใช้ได้
หาก x เป็นลบ 0.1 หรือ 0.0001 ไม่ว่ายังไง สิ่งนี้
จะเป็นลบ พจน์ตรงนี้จะเป็นลบ

Spanish: 
Tendrías 0,3, 0.3 menos 2, que sería un
¿número negativo, correcto?
Tan bien como x va derecho por encima de 0, esta cosa
justo aquí es negativo.
Así en x es mayor que 0, tendrá su segunda
derivado va a ser menor que 0.
Eres cóncava hacia abajo.
Que tiene sentido, porque en algún momento, vamos a
estar golpeando una transición.
Recuerde que estábamos cóncavas hacia abajo antes de que
¿llegué a 2/3, correcto?
Esto es coherente.
De 0 a 2/3, somos cóncavas hacia abajo y luego en 2/3,
nos convertimos en cóncavas hacia arriba.
Ahora veamos qué ocurre cuando x es menos que, cuando x
es apenas, apenas inferior a 0.
Así que una vez más, primer f, la segunda derivitive de x es igual
x 12 veces x 3 menos 2.
Bueno, derecha.
Si x fue menos 0,1 o 0,0001, pase lo que pase, esto es
va a ser negativo, esta expresión aquí va

Arabic: 
سوف تحصل على 0.3، 0.3 -2، ان ذلك
عدد سالب، اليس كذلك؟
اذاً كلما اتجه x فوق الصفر، فإن هذا الشيئ
الموجود هنا يكون سالباً
اذاً على x > 0، سوف تكون
المشتقة الثانية اقل من 0
ويكون التقعر الى الاسفل
وهذا منطقي، لأنه على نقطة ما، سوف
نلامس التحول
تذكروا، ان التقعر كان لأسفل قبل ان
نصل الى 2/3، اليس كذلك؟
ان هذا ثابت
من 0 الى 2/3، يكون التقعر الى اسفل، ومن ثم على 2/3
يصبح التقعر لأعلى
دعونا الآن نرى ماذا يحدث عندما يكون x اقل من، عندما يكون x
ظاهراً، وبشكل ولاضح اقل من 0
مرة اخرى اذاً، f^1، اي المشتقة الثانية لـ x تساوي
12x (3x - 2)
حسناً، صحيح
اذا كانت قيمة x هي -0.1 او 0.0001، لا يهم ماذا، ان هذا الشيئ
سيكون سالباً، هذه العبارة الموجودة هنا ستكون

Czech: 
Pro x rovno 0,1 tu bude 0,3 minus 2,
což je záporné číslo.
Pro x o trochu větší než 0
je tedy tento výraz záporný.
Pro x větší než 0 je tedy
druhá derivace menší než 0,
což znamená,
že funkce je konkávní.
To dává smysl, protože v nějakém
bodě musí dojít ke změně konvexity.
Vzpomeňme si, že před bodem
2 lomeno 3 je funkce konkávní,
takže výsledky
jsou konzistentní.
Mezi 0 a 2 lomeno 3
je funkce konkávní
a v bodě 2 lomeno 3
se mění na konvexní.
Nyní se podívejme, jak to vypadá,
když je x jen o malinko menší než 0.
Opět si sem napišme,
že f s čárkou...
Druhá derivace v bodě x se rovná
12 krát x krát (3 krát x minus 2).
Pokud je
x jen o...
Když je x rovno −0,1
nebo −0,0001...
Ať už je x co chce,
tenhle výraz bude záporný.
12 krát x...

Thai: 
เจ้า 12x ตรงนี้ คุณจะได้
ค่าลบ คูณ 12 ออกมาเป็นลบ
แล้วนี่จะเป็นเท่าไหร่?
ทีนี้ 3 คูณลบ 0.1 จะเป็น ลบ 0.3
ลบ 2 ได้ ลบ 2.3
คุณจะได้ค่าลบ
ค่านี้ตรงนี้จะเป็นลบ และเมื่อคุณ
หกมันจากค่าลบ มันจะ
กลายเป็นลบแน่นอน
ดังนั้นนั่นจะกลายเป็นลบ
แต่หากคุณคูณค่าลบ กับค่าลบ คุณจะ
ได้บวก
ที่จริง ตรงนี้ใต้ x น้อยกว่า 0 อนุพันธ์
อันดับสองเป็นบวก
-
ตรงนี้ ทั้งหมดนี่อาจชวนงงไปหน่อย แต่เราควร
จะได้อะไรบ้างแล้ว
เราได้ผลตอบแทนแล้ว
เราได้สิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้น
เรารู้ว่าที่ x เท่ากับ 1 เรารู้ว่าที่ x เท่ากับ
1 ขอผมเขียนหน่อยนะ
เราหาได้แล้วว่า ที่ x เท่ากับ 1 ความชันเป็น 0
แล้ว f ไพรม์ ไพรม์ คือ โทษที ขอผมเขียนอย่างนี้แล้วกัน

English: 
to be negative, the 12x, right,
you just have some negative
value here, times 12, is
going to be negative.
And then what's
this going to be?
Well, 3 times minus 0.1 is
going to be minus 0.3,
minus 2 is minus 2.3.
You're definitely going
to have a negative.
This value right here is going
to be negative, and then when
you subtract from a negative,
it's definitely going
to be negative.
So that is also going
to be negative.
But if you multiply a negative
times a negative, you're
going to get a positive.
So actually, right below x
is less than 0, the second
derivative is positive.
Now, this all might have been a
little bit confusing, but we
should now have the payoff.
We now have the payoff.
We have all of the
interesting things going on.
We know that at x is equal to
1, we know that at x is equal
to 1, let me write
it over here.
We've figured out at x is
equal to 1, the slope is 0.
So f prime prime is, sorry,
let me write this way.

Czech: 
Když máme nějaké záporné číslo krát 12,
tak to vyjde záporné.
A co tento výraz?
3 krát −0,1 se rovná −0,3
a −0,3 minus 2 je −2,3,
takže to
vyjde záporné.
Tahle hodnota bude záporná a když od ní
něco odečteme, tak to zůstane záporné.
Tento výraz je
tedy také záporný.
Součin dvou záporných čísel
je však kladné číslo,
takže pro x jen o trochu menší než 0
je druhá derivace kladná.
Druhá derivace je kladná.
Tohle všechno bylo
možná trochu matoucí,
ale teď se to
konečně zužitkuje.
Víme o všech zajímavých věcech,
které funkce dělá.
Víme, že v bodě
x rovno 1...
Máme to
napsané nahoře.
Zjistili jsme, že v bodě x rovno 1
je sklon roven nule,
tedy f se dvěma čárkami je...
Pardon,
napíšu to jinak.

Portuguese: 
negativa, o 12x, 
você só tem alguns valores
negativos aqui, vezes 12, 
vai ser negativo.
E então o que
este vai ser?
Bem, 3 vezes menos 0,1
será menos 0,3,
menos 2 é menos 2,3.
Definitivamente será negativo.
Esse aqui será
negativo, e então quando
se subtrai de um negativo,
será negativo.
Então isso também vai ser negativo.
Mas se multiplicar um negativo
por um negativo terá um positivo.
Então, na verdade, logo abaixo x
menor do que 0, a segunda
derivada é positiva.
Agora, tudo isso poderia ter sido um
pouco confuso, mas nós
agora devemos ter a recompensa.
Temos agora a recompensa.
Temos todas as
coisas interessantes acontecendo.
Sabe-se que em x igual
1, sabemos que em x igual
a 1, deixe-me escrever
isso aqui.
Nós já descobrimos que em x
igual a 1, a inclinação é 0.
Então f'' é, desculpe,
deixe-me escrever dessa maneira.

Korean: 
여러분이 음수를 가지고 있을 때
12를 곱해도 음수가 될 것입니다
그러면 이 항은 어떻게 될까요?
3 곱하기 -0.1은 -0.3이 될 것이고
빼기 2를 하면 -2.3일 것입니다
분명히 음수가 나올 것입니다
이 항은 음수가 될 것입니다
여러분이 음수에서 빼기를 진행하면
그 값은 분명히
음수가 될 것입니다
따라서 이 항도 음수가 되겠습니다
하지만 여러분이 음수와 음수를 곱하게 된다면
양의 값을 갖게 될 것입니다
사실상 x가 0바로 밑인 상태에서, 두 번째
도함수는 양수일 것입니다
 
이 모든 것이 조금 혼란스러웠을 지도 모르겠습니다 하지만
이제 결과를 받게 되겠습니다
저희는 이제 결과를 가지고 있습니다
이제 모든 흥미 있는 것들을 가지고 있습니다
x가 1일때
(여기 적어보도록 하겠습니다)
저희는 x가 1일 때 기울기가 0이라는 사실을 알아냈습니다
따라서 f''(0)는 (죄송합니다. 다르게 적겠습니다)

Spanish: 
a ser negativo, el x 12, derecho, solo tienen algunos negativos
valor aquí, multiplicado por 12, va a ser negativo.
Y entonces ¿qué es este va a ser?
Así, 3 veces menos 0,1 va a ser menos 0.3,
menos 2 es menos 2.3.
Definitivamente va a tener un resultado negativo.
Este valor correcto aquí va a ser negativo y entonces cuando
restar de una negativa, definitivamente va
a ser negativo.
Por lo que también va a ser negativo.
Pero si se multiplica un negativo veces negativo, estás
vamos a sacar un positivo.
De hecho, derecho por debajo de x es menor que 0, el segundo
derivada es positiva.
Ahora, todo esto podría haber sido un poco confuso, pero nos
Ahora debería tener la recompensa.
Ahora tenemos la recompensa.
Tenemos todas las cosas interesantes sucediendo.
Sabemos que x es igual a 1, sabemos que x es igual
1, déjame escribir aquí.
Nos hemos imaginado en x es igual a 1, la pendiente es 0.
Primer primo f es, lo siento, me permito escribir de esta manera.

Bulgarian: 
12x – тук просто трябва да имаме някаква отрицателна
стойност и, умножена по 12, пак ще даде отрицателно число
И после, какво ще стане с това ?
Ами, 3 пъти по минус 0,1 ще стане минус 0,3,
минус 2 ще стане минус 2,3
Определено ще имаме отрицателна стойност
Тази стойност ни е отрицателна и после, когато
извадим от отицателна стойност, поределено пак
ще получим отрицателна стойност
Значи, това също ще ни е отрицателно
Но ако умножим отрицателна по положителна стойност,
получаваме положителна стоност
Значи всъщност, точно под x по-малко от 0,
втората ни производна е положителна
-
Може всичко това да е било малко объркващо, но
сега ще видим ползата
-
-
Знаем, че при ь е равно на 1 ...
ит ожер хере.
Когато x е равно на 1, наклонът е 0
Значи, f прим прим е... извинете, нака го запиша така

Turkish: 
-
-
Sonra, bu ifade ne olacak?
3 çarpı, eksi 0.1 eşittir eksi 0.3. Eksi 2 eşittir, eksi 2.3. .
-
Burası negatif olacak.
Bu değer, negatif olacak, ve negatiften çıkardığınız için, sonuç kesinlikle negatif olacak.
-
-
Bu da negatif olacak.
Negatif çarpı negatif ise, pozitif verir.
-
Yani, 0'dan biraz küçük x değerleri için, ikinci türev pozitif.
-
-
Biraz karışık gelmiş olabilir, ama şimdi ektiklerimizi biçeceğiz.
-
-
Tüm ilginç noktaları bulduk.
x eşittir 1'i şuraya yazayım.
-
x eşittir 1'de eğimin 0 olduğunu bulduk.
-

Arabic: 
سالبة، الـ 12x، اليس كذلك؟ لدينا
قيمة سالبة ما هنا، × 12، ستكون سالبة
ثم ماذا يصبح هذا؟
حسناً، 3 × -0.1 = -0.3
- 2 = -2.3
سوف تحصل على قيمة سالبة بلا شك
هذه القيمة الموجودة هنا ستكون سالبة، ومن ثم عندما
اطرح من قيمة سالبة، سيكون الناتج
سالباً بلا شك
اذاً هذه ايضاً ستكون سالبة
لكن اذا ضربنا عدد سالب بعدد سالب، فإننا
سنحصل على قيمة موجبة
ففي الواقع، انه اسفل x < 0
تكون المشتقة الثانية موجبة
تكون المشتقة الثانية موجبة
الآن، ربما ان هذا كله يبدو مربكاً، لكن
يجب ان نحصل الآن على المكافأة
لقد حصلنا على المكافأة الآن
لدينا جميع الاشياء المثيرة للاهتمام والتي تحدث
نحن نعلم ان x = 1، نعلم انه على x =
1، دعوني اكتبه هنا
لقد اوجدنا انه على x = 1، ان الميل يكون 1
اذاً f^1، آسف، دعوني اكتب بهذه الطريقة

Portuguese: 
Eu deveria ter dito,
sabemos que a inclinação é 0.
Declive igual a 0.
Porque a primeira derivada é 0.
Este era um ponto crítico.
E sabemos que estamos lidando
com a função com concavidade
para cima neste momento.
Assim, este será um ponto mínimo.
Usaremos coordenadas
para representar graficamente.
Esse foi o objetivo desse vídeo.
Então f de 1 é igual a que?
f de 1, vamos voltar para a nossa
função original, é 3 vezes
1, certo, um elevado a quatro é
apenas 1, 3 vezes 1 menos
4 mais 2, certo?
Portanto, é 3 vezes 1 menos 4 vezes
1, que é menos 1, mais 2,
bem, isso é 1.
Então f de um é um.
E então nós sabemos em x igual
a 0, também descobrimos que
a inclinação é igual a zero.

Korean: 
저희는 기울기가 0임을 알고 있습니다
기울기=0
저희는 그 사실을 첫번째 도함수가 0임으로 부터 알아 
냈습니다
이것은 임계점이었습니다
그리고 저희는 함수가
이 점에서 아래로 볼록이라는 사실도 알고 있습니다
그 사실은 이 점이 최솟값이라는 것을 말해줍니다
 
저희는 좌표가 필요합니다
실제로 그릴 수 있게 말입니다
그것이 이 동영상의 주제였습니다
f(1)은 무엇일까요?
다시 원래의 함수로 돌아가서
3 곱하기 1 1 곱하기 4는 3 곱하기 1 빼기
4 더하기 2입니다
맞나요?
따라서 이는 3 곱하기 1 뺴기 4곱하기 1 이는 
-1이고 더하기 2를 하면
양수 1이 될 것입니다
따라서 f(1)은 1입니다
x=0일 때 또한 저희는
기울기가 0임을 알고 있습니다

English: 
I should have said, we
know that the slope is 0.
Slope is equal to 0.
And we figured that out because
the first derivative was 0.
This was a critical point.
And we know that we're dealing
with, the function is concave
upwards at this point.
And that tells us that this is
going to be a minimum point.
And we should actually get
the coordinates so we
can actually graph it.
That was the whole
point of this video.
So f of 1 is equal to what?
f of 1, let's go back to our
original function, is 3 times
1, right, 1 to the fourth is
just 1, 3 times 1 minus
4 plus 2, right?
So it's 3 times 1 minus 4 times
1, which is minus 1, plus 2,
well, that's just a positive 1.
So f of 1 is one.
And then we know at x is equal
to 0, we also figured out that
the slope is equal to 0.

Arabic: 
كان يجب ان اقول، نحن نعلم ان الميل هو 0
الميل = 0
وقد اوجدنا ذلك لأن المشتقة الاولى كانت 0
كانت تلك نقطة حرجة
ونعلم اننا نتعامل مع، ان الاقتران مقعر
الى الاعلى على هذه النقطة
وهذا يوضح لنا انها ستكون نقطة صغرى
.
وفي الواقع يجب ان نحصل على الاحداثيات لكي
يكون علينا تمثيلها بيانياً
كان هذا هو الهدف من العرض هذا
اذاً كم يساوي f(1)؟
f(1)، دعونا نعود الى الاقتران الاصلي، هو 3 ×
1، اليس كذلك؟ 1^4 = 1، و 3 × (1 -
4 + 2)، اليس كذلك؟
اذاً هو 3 × 1 - 4 × 1، اي ما يساوي -1، + 2
حسناً، ان ذلك عبارة عن موجب 1
اذاً f(1) = 1
ومن ثم نحن نعلم انه على x = 0، قد اوجدنا ايضاً ان
الميل يساوي 0

Bulgarian: 
Знаем, че наклонът е 0
-
И открихме това от това, че първата производна е 0
Това ни беше критична точка
Знаем, че в тази точка, функцията ни
е вдлъбната нагоре
И оттова разбираме, че това ни е минимална точка.
-
Сега ни трябват точните координати, за да можем да
отбележем върху графиката
отбележем върху графиката
Значи, f от 1 е равно на какво ?
Да се върнем към първоначалната функция, f от 1 ни е 3 пъти
1, нали, 1 на червърта ни е просто 1, 3 по 1 минус
4 плюс 2, нали ?
Значи, имаме 3 по 1 минус 4 по 1, което е минус 1, плюс 2
Ами, това ни е плюс 1
Значи, f от 1 е 1
Открихме също, че при x е равно на 0, наклонът ни
ще е равен на 0

Thai: 
ผมควรบอกว่า เรารู้ว่าความชันเป็น 0
ความชันเท่ากับ 0
และเราหาได้ว่า เพราะอนุพันธ์เท่ากับ 0
นี่คือจุดวิกฤต
และเรารู้ว่าเรากำลังยุ่งกับ ฟังก์ชันที่เว้าขึ้น
ณ จุดนี้
และนั่นบอกเราว่า นั่นจะเป็นจุดต่ำสุด
-
และเราควรใช้พิกัดเพื่อที่
เราจะได้วาดกราฟจริง ๆ
นั่นคือประเด็นหลักของวิดีโอนี้
แล้ว f ของ 1 เท่ากับอะไร?
f ของ 1 ลองกลับไปที่ฟังก์ชันเดิมของเรา คือ 3 คูณ
1 ใช่ 1 กำลังสี่ก็แค่ 1, 3 คูณ 1 ลบ
4 บวก 2 จริงไหม?
ดังนั้น มันคือ 3 คูณ 1 ลบ 4 คูณ 1 ซึ่งก็คือ ลบ 1 บวก 2,
ทีนี้ นั่นก็แค่ บวก 1
ดังนั้น f ของ 1 คือหนึ่ง
แล้วเรารู้ว่าที่ x เท่ากับ 0 เราหาได้แล้วว่า
ความชันเท่ากับ 0

Spanish: 
Yo debo haber dicho, sabemos que la pendiente es 0.
Pendiente es igual a 0.
Y averiguamos porque la primera derivada es 0.
Se trata de un punto crítico.
Y sabemos que nos estamos ocupando de la función es cóncava
hacia arriba en este punto.
Y eso nos dice que esto va a ser un punto mínimo.
Y realmente debemos obtener las coordenadas lo
realmente puede gráfico.
Fue el objetivo de este video.
¿Así que f de 1 es igual a qué?
f 1, volvamos a nuestra función original es 3 veces
1, a la derecha, 1 para el cuarto es sólo 1, 1 3 veces menos
4 y 2, verdad?
Por lo tanto es 3 veces 1 menos 1 4 veces, que es menos 1 y 2,
bueno, eso es simplemente un positivo 1.
Así que f 1 es uno.
Y, a continuación, sabemos en x es igual a 0, también averiguamos que
la pendiente es igual a 0.

Turkish: 
-
Eğim 0.
Birinci türevi 0'a eşitleyerek, bu değeri bulmuştuk.
Bu, bir kritik nokta idi.
Ve, bu noktada, çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyoruz.
-
Buna göre, nokta minimum olacak.
-
Grafiği çizebilmek için, iki koordinatı da bulmamız lazım.
-
Videonun amacı da zaten bu.
f 1 neye eşit?
Baştaki fonksiyona dönelim. 3 çarpı 1 üzeri 4, 3 çarpı 1, eksi 4 artı 2, öyle değil mi?
-
-
3 çarpı 1, eksi 4 çarpı 1, bu eksi 1'e eşit, artı 2. Sonuç, artı 1.
-
Yani, f 1 eşittir 1.
x eşittir 0 için, eğimin 0 olduğunu bulmuştuk.
-

Czech: 
Měl jsem říct...
Víme, že sklon
se rovná nula,
což jsme zjistili tak,
že první derivace je zde rovna nule.
Jde tedy o stacionární bod.
Dále víme, že funkce
je v tomto bodě konvexní,
což nám říká,
že jde o bod lokálního minima.
Čemu se
rovná f v bodě...?
Měli bychom najít
zbylé souřadnice,
ať můžeme nakreslit graf,
což je cíl celého videa.
f v bodě 1
se rovná čemu?
f v bodě 1...
Musíme se vrátit
k naší původní funkce.
...se rovná 3 krát 1...
1 na čtvrtou je 1.
3 krát 1
minus 4 plus 2.
Je to tedy (3 krát 1) minus (4 krát 1),
což je −1, a ještě plus 2, což nám dá +1.
f(1) se tudíž rovná 1.
Dále jsme zjistili, že v bodě x rovno 0
je sklon funkce také roven 0

Korean: 
이 점이 변곡점인것도 알아냈습니다
 맞나요?
볼록한 방향이 이 점을 기준으로 앞뒤에서 바뀝니다
따라서 이 점은 변곡점입니다
 
x가 0보다 작을 때
아래로 볼록합니다
 
두번째 도함수가 양수입니다
x가 0보다 클 떄 위로 볼록합니다
위로 볼록하다는 것입니다
바로 위에서 모든 구간은 아닙니다
x와 0  0바로 위에서 위로 볼록하다는 것입니다
f(0)의 값을 알아
그 점으로 그래프로 그리기를 원해서입니다
f(0)
보세요 f(0) 매우 쉽습니다
3 곱하기 0 빼기 4 곱하기 0 더하기 2는 2입니다
f(0)은 2입니다
마지막으로 x=2/3인 마지막 점이 남았습니다
 
(다른 색으로 해보겠습니다)

Thai: 
แต่เราหาได้แล้วว่ามันคือจุดเปลี่ยนเว้า จริงไหม?
ความเว้าเปลี่ยนก่อนและหลัง
ดังนั้นนี่คือจุดเปลี่ยนเว้า
-
และเราเว้าใต้ 0 นั่นคือเมื่อ x
น้อยกว่า 0 เราเว้าขึ้น
-
อนุพันธ์อันดับสองเราเป็นบวก
และเมื่อ x มากกว่า 0 เราเว้าลง
เรากำลังเว้าลง
ตรงนี้ ไม่ใช่สำหรับทั่วโดเมน
x กับ 0 แค่ตรงที่มากกว่า 0 นั้นเว้าลง
แล้ว f ของ 0 คืออะไร เราก็รู้ เพราะเราอยาก
กว่ากราฟจุดนั้น
f ของ 0
ดู f ของ 0 มันง่ายมาก
3 คูณ 0 ลบ 4 คูณ 0 บวก 2 นั่นก็แค่ 2
f ของ 0 เป็น 2
แล้วสุดท้ายเราก็ได้จุด x เท่ากับ 2/3
-
ขอผมใช้อีกสีนะ

Portuguese: 
Mas descobrimos que este
era um ponto de inflexão, certo?
A concavidade muda
antes e depois.
Portanto, este é um ponto de inflexão.
E temos um côncavo abaixo de
0, por isso, quando x é menor
que 0, temos um para cima.
Nossa segunda derivada é positiva.
E quando x é maior que 
zero, temos concavidade para baixo.
Logo acima, não para todo
o domínio
mas para x logo acima de zero,
para baixo.
E então o que é f de 0,
só assim sabemos, porque nós
queremos representar 
graficamente esse ponto?
f de 0.
Veja, f de 0, é fácil.
3 vezes 0 menos 4 
vezes 0 mais 2, isso é 2.
f de 0 é dois.
E então, finalmente, temos o
ponto, x é igual a 2/3.
Deixe-me fazer isso em
outra cor.

Spanish: 
¿Pero averiguamos que esto fue un punto de inflexión, correcto?
El concativity cambia antes y después.
Este es un punto de inflexión.
Y somos cóncavas por debajo de 0, cuando x es menor
a 0, estamos arriba.
Nuestra segunda derivada es positiva.
Y cuando x es mayor que 0, estamos abajo.
Estamos cóncavas hacia abajo.
Derecho supra, no para todos los [? dominio?]
x y 0, justo por encima de 0, hacia abajo.
Y entonces ¿qué es f 0, solo, por lo que sabemos, porque nos
¿quieres gráfico ese punto?
f 0.
Véase, f de 0, esto es fácil.
0 3 veces menos 4 veces 0 más 2, que sólo 2.
f 0 es 2.
Y entonces finalmente llegamos al punto, x es igual a 2/3.
Permítanme hacer eso en otro color.

Bulgarian: 
Но открихме и, че това е инфлексна точка, нали ?
Защото вдлъбнатостта се променя преди и след нея
Значи, това ни е инфлексна точка
-
И когато x е по-малко от 0,
вдлъбнатостта е нагоре
-
Втората ни производна е положителна
И когато x е по-голямо от 0, вдлъбнатостта е надолу
-
Точно след 0, функцията
е вдлъбната надолу
И после, какво е ф от 0, нека видим, за да
можем да начертаем тази точка
f от 0
Да видим, това е лесно
3 по 0 минус 4 по 0 плус 2 – това е 2
ф от 0 е 2
И накрая имаме и тази точка, x е равно на 2/3
-
Нека я направя в друг цвят

Turkish: 
Aynı zamanda, bu noktanın büküm noktası olduğunu da bulmuştuk.
Öncesi ve sonrasında, çukurluk yönü değişiyor.
Yani, bu, büküm noktası.
-
0'dan önce, yukarı doğru çukur.
-
-
İkinci türev pozitif.
x 0'dan büyükse, aşağı doğru çukur.
-
0'ın az üstünde sayılar için, aşağı doğru çukur, tüm pozitif x değerleri için değil.
-
Bu noktayı da düzlemde göstermek istiyoruz. O nedenle, f 0 nedir, bulalım.
-
f 0. f 0'ı bulmak kolay.
-
3 çarpı 0 eksi 4 çarpı 0 artı 2, eşittir 2.
f 0 eşittir 2.
Bir de x eşittir 2 bölü 3 var.
-
-

Czech: 
a že jde
o inflexní bod.
Funkce v tomto bodě mění svou konvexitu,
tudíž jde o inflexní bod.
Když je x menší než 0,
tak je funkce konvexní.
Pro x menší než 0
je tedy funkce konvexní,
protože její druhá
derivace je kladná.
Pro x větší než 0
je funkce konkávní.
Ne pro všechna x v definičním oboru,
která jsou větší než 0,
ale pro x
o trochu větší než 0.
Konkávní.
Čemu se rovná f v bodě 0,
ať to pak můžeme nakreslit do grafu?
f v bodě 0
spočítáme snadno.
(3 krát 0) minus (4 krát 0)
plus 2 se rovná 2.
f v bodě 0
se rovná 2.
Posledním zajímavým bodem
byl bod x rovná se 2 lomeno 3.
x rovná se...
Napíšu to
jinou barvou.

English: 
But we figured out that this
was an inflection point, right?
The concativity switches
before and after.
So this is an inflection point.
And we are concave below
0, so when x is less
than 0, we are upwards.
Our second derivative
is positive.
And when x is it greater
than 0, we are downwards.
We're concave downwards.
Right above, not for all
of the [? domain ?]
x and 0, just right
above 0, downwards.
And then what is f of 0,
just so we know, because we
want to graph that point?
f of 0.
See, f of 0, this is easy.
3 times 0 minus 4 times 0
plus 2, that's just 2.
f of 0 is 2.
And then finally we got the
point, x is equal to 2/3.
Let me do that in
another color.

Arabic: 
لكننا اوجدنا ان هذه كانت نقطة انقلاب، اليس كذلك؟
ان التقعر يتبدل قبل وبعد
اذاً هذه نقطة انقلاب
نقطة انقلاب
ويكون التقعر اسفل الصفر، لذا عندما يكون x <
0، يكون التفعر لأعلى
يكون لأعلى
المشتقة الثانية لدينا موجبة
وعندما يكون x > 0، يكون التقعر الى اسفل
التقعر يكون للأسفل
اعلى، وليس لجميع المجال
x و 0، اعلى الصفر، يكون التقعر للأسفل
ومن ثم ما هي قيمة f(0)؟ اذاً نحن نعرف، لأننا
نريد ان نمثل تلك النقطة بيانياً
f(0)
انظر، f(0)، هذا بسيط
3 × 0 - 4 × 0 + 2، هذا يساوي 2
f(0) = 2
ثم اخيراً، وصلنا الى النقطة x = 2/3
x = 2/3
دعوني افعل ذلك بلون آخر

Bulgarian: 
Имахме точката x е равно на 2/3
И открихме, че това е инфлексна точка
Наклонът тук определено не е 0, защото това не е
една от критичните ни точки
И знаем, че вдлъбнатостта е надолу
Знаем, че когато ь е по-малко от 2/3, дори с мъничко,
вдлъбнатощта е надолу
И, както видяхме, когато е по-голямо от 2/3,
функцията ни е вдлъбната нагоре
Втората производна беше положителна
И беше вдлъбната нагоре
-
Всъщност, вече можем да открием f от 2/3
Но това е малко сложно
А и може би не ни е нужно, за да направим
графиката
Мисля, че можем добре да я начертаел и
с информацията, която имаме сега
-
Нека направя един груб чертеж
Да видим
Нека направя осите, ето така

Arabic: 
لدينا النقطة x = 2/3
لقد اوجدنا ان هذه كانت نقطة انقلاب
ان الميل بلا شك لا يساوي 0 هنا، لأنه لم يكن واحداً
من النقاط الحرجة
ونعلم ان التقعر يكون للأسفل
نحن نعلم انه عندما يكون x < 2/3، او، صحيح، اقل من
2/3، يكون التقعر للأسفل
وعندما يكون x > 2/3، لقد رأيناه في الاعلى هنا، عندما يكون x
> 2/3، هنا، يكون التقعر للأعلى
كانت المشتقة الثانية موجبة
وكان التقعر الى الاعلى
.
في الواقع، يمكننا الآن ان نجد، ما قيمة f(2/3)؟
ان ذلك معقد قليلاً
لم يتوجب علينا ان نجد ذلك ابداً
لا اعتقد، لكي نمثله بيانياً
اعتقد انه يمكننا ان نبلي بلاء حسناً في تمثيله بيانياً
بما نملكه من معلومات حتى الآن
اذاً ذلكا ما حصلنا عليه
دعونا ارسم رسماً بيانياً تقريبياً
دعونا نرى
دعوني ارسم المحاور، هكذا

Thai: 
เรามีจุด x เท่ากับ 2/3
เราหาแล้วว่านี่คือจุดเปลี่ยนเว้า
ความชันไม่ใช่ 0 เป๊ะ เพราะมันไม่ใช่
หนึ่งในจุดวิกฤต
และเรารู้ว่าเรากำลังถอยลง
เรารู้ว่าเมื่อ x น้อยกว่า 2/3 หรือน้อยกว่า
2/3 พอดี เราจะเว้าลง
แล้วเมื่อ x มากกว่า 2/3 เราเห็นมันขึ้นจรงนี้ เมื่อ x
มากกว่า 2/3 ตรงนี้ เรากำลังเว้าขึ้น
อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก
เรากำลังเว้าขึ้น
-
ทีนี้ เราก็สามารถหาว่า f ของ 2/3 เป็นเท่าไหร่?
นั่นมันซับซ้อนหน่อย
เราไม่ต้องแม้กระทั่งหามันออกมา เรา
ไม่คิดว่า ต้องวาดกราฟ
ผมว่าเราทำได้ดีในการวาดกราฟด้วยสิ่ง
ที่เราแล้วตอนนี้
นั่นคือคำแนะนำของเรา
ขอผมวาดกราฟหยาบ ๆ นะ
ลองดู
ขอผมเขียนแกนผม อย่างนั้น

Spanish: 
Teníamos el punto x es igual a 2/3.
Averiguamos que este era un punto de inflexión.
La vertiente definitivamente no es 0, porque no era una
de los puntos críticos.
Y sabemos que estamos abajo.
Sabemos que cuando x es inferior a 2/3, o derecha inferior
2/3, somos cóncavas hacia abajo.
Y cuando x es mayor que 2/3, lo vimos hasta aquí, cuando fue de x
superior a 2/3, hasta aquí, estábamos cóncavas hacia arriba.
La segunda derivada es positiva.
Fuimos hacia arriba.
Ahora realmente podríamos averiguar, ¿qué es f de 2/3?
Ha hecho un poco complicado.
Aún no tenemos que figura fuera,
no creo, al gráfico.
Creo que podríamos hacer un buen trabajo de gráficos sólo
con lo que sabemos ahora.
Por lo es nuestro ubicaciones de tomar.
Permítanme hacer un gráfico áspero.
Vamos a ver.
Así que permítanme hacer mis ejes, al igual.

Portuguese: 
Temos o ponto x
igual a 2/3.
Descobrimos que este
era um ponto de inflexão.
A inclinação definitivamente não é 0
lá, porque não era um
dos pontos críticos.
E sabemos que
que são para baixo.
Sabemos que quando x é menor
de 2/3, ou para a direita a menos de
2/3, que são côncavos para baixo.
E quando x é maior do que 2/3,
vimos aqui em cima, quando x era
maior que 2/3, até
aqui, temos côncavos para cima.
A segunda derivada
era positiva.
Temos côncavos para cima.
Agora poderíamos descobrir, 
o que é f de 2/3?
Isso é realmente um 
pouco complicado.
Não é necessário agora.
Acho que podemos fazer uma
boa representação apenas
com o que sabemos.
Então, aquele é nosso recorte.
Deixe-me fazer um gráfico tosco.
Vejamos
Deixe-me fazer os eixos, assim.

Korean: 
저희는 x=2/3인 점을 구했습니다
저희는 이 점이 변곡점임을 알고 있습니다
기울기는 이 점이 임계점이 아니므로 0이지는 않습니다
그리고 저희는 함수가 위로 볼록임을 알고 있습니다
저희는 x가 2/3 보다 작거나  2/3 보다 조금 작으면
함수가 위로 볼록함을 알고 있습니다
x가 2/3보다 클 때, 위에서 봤듯이 x가
2/3보다 클 때 여기에서 함수는 아래로 볼록이었습니다
두번째 도함수는 양수입니다
함수는 아래로 볼록입니다
 
이제 정확히 파악하였는데 f(2/3)의 값은 무엇일까요?
그것은 조금 복잡합니다
사실 그래프를 그리기 위해서 값을 파악해야 하는지도 모르겠습니다
저는 저희가 지금 알고 있는 정보로도 충분히 그래프를 잘 그릴수 있다고 생각합니다
이것들이 저희가 알아낸 사실들입니다
개략적인 그래프를 그려보도록 하겠습니다
 
축 2개를 이렇게 그려보겠습니다

English: 
We had the point x
is equal to 2/3.
We figured out that this
was an inflection point.
The slope definitely isn't 0
there, because it wasn't one
of the critical points.
And we know that
we are downwards.
We know that when x is less
than 2/3, or right less than
2/3, we are concave downwards.
And when x is greater than 2/3,
we saw it up here, when x was
greater than 2/3, right up
here, we were concave upwards.
The second derivative
was positive.
We were upwards.
Now we could actually figure
out, what's f of 2/3?
That's actually a little
bit complicated.
We don't even have to
figure that out, I
don't think, to graph.
I think we could do a pretty
good job of graphing it just
with what we know right now.
So that's our take aways.
Let me do a rough graph.
Let's see.
So let me do my axes,
just like that.

Czech: 
Vyšel nám bod
x rovná se 2 lomeno 3,
o kterém jsme zjistili,
že to je inflexní bod.
Sklon nemusí
být nutně...
Sklon v tomto bodě určitě není nulový,
protože nejde o stacionární bod.
Víme také,
že funkce je konkávní...
Víme, že když je
x o trochu menší než 2 lomeno 3,
tak je funkce
konkávní,
zatímco když je x větší než 2 lomeno 3,
jak jsme viděli tady nahoře...
Když je x větší než 2 lomeno 3,
což máme napsáno zde,
tak je funkce konvexní,
protože její druhá derivace je kladná.
Funkce je konvexní.
Můžeme si spočítat,
kolik je f v bodě (2 lomeno 3),
ale to je trochu
složitější výpočet,
takže myslím, že graf
nakreslíme i bez toho.
Myslím, že dokážeme udělat
dobrý graf už s tím, co víme teď.
Tohle jsme tedy zjistili
a nyní udělejme náčrtek grafu.
Pojďme na to.
Nakreslím
si sem osy.

Turkish: 
x eşittir 2 bölü 3.
Bunun da büküm noktası olduğunu bulmuştuk.
Eğim burada 0 değil, çünkü kritik noktaların arasında bu nokta yoktu.
-
-
x 2 bölü 3'ten küçükse, çukurluğun aşağı doğru olduğunu biliyoruz.
-
x 2 bölü 3'tsn büyükse, çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyoruz.
-
İkinci türev pozitif ve çukurluk yukarı doğru.
-
-
Şimdi, f 2 bölü 3'ü bulalım.
Bu biraz karışık olacak.
Sanıyorum, grafiği çizmemiz için, bu değeri bulmamız şart değil.
-
Bu ana kadar bulduklarımızla da, gayet iyi bir grafik çizebiliriz.
-
-
Şimdi çizelim.
-
Eksenlerim böyle.

Thai: 
เราจะวาดกราฟจุด 0, 2
สมมุติว่านี่คือจุด 0,2
นี่คือ x เท่ากับ 0 เราขึ้นไป 1, 2
นี่คือจุด 0, 2
บางทีผมจะใช้สีนั้น สี
ที่ผมใช้อยู่ นั่นคือสีนี้
และนั่นคือจุดนั้นตรงนี้
แล้วเรามีจุด x เรามี f ของ 1 ซึ่ง
คือจุด 1,1 จริงไหม?
จุดนี้ตรงนี้
-
นั่นคือจุด 1,1
นี่คือจุด 0,2
แล้วเราก็มี x เท่ากับ 2/3 ซึ่งคือ
จุดเปลี่ยนเว้าของเรา
เมื่อ x เท่ากับ 2/3 เราไม่รู้ชัดว่าเลข
f ของ 2/3 เป็นเท่าไหร่
บางทีอาจอยู่ตรงนี้
สมมุติว่า f ของ 2/3 อยู่ตรงนี้
หากนั่นคือจุด 2/3 แล้วไม่ว่า f ของ 2/3 จะอยู่ไหน
มันก็เหมือนจะเท่ากับ 1 จุดอะไรสักอย่าง
f ของ 2/3
คุณอาจคำนวณมัน หากคุณต้องการ คุณก็
แทนค่ามันลงในฟังก์ชัน
แต่เราพร้อมจะวาดกราฟสิ่งนี้แล้ว

Portuguese: 
Queremos representar 
graficamente o ponto 0, 2.
Então, vamos dizer que
o ponto, 0, 2.
Portanto, este é x igual a
0, e subimos, 1, 2.
Portanto, este é o ponto 0, 2.
Talvez faça nessa
cor, a cor que eu estava
usando, então é esta cor.
É esse ponto bem ali.
Nós temos o ponto x,
temos f de 1, que é
o ponto 1, 1, certo?
Portanto, este ponto aqui.
Então esse é o ponto 1, 1.
Este foi o ponto 0, 2.
E então temos x igual
a 2/3, que é o nosso
ponto de inflexão.
Assim, quando x é 2/3, 
não localizamos exatamente o
número f de 2/3.
Talvez por aqui.
Digamos que f de 2/3
seja logo ali.
Então, esse é o ponto, 2/3, e
então onde quer que f de 2/3 seja.
Parece que ele vai ser
1 ponto alguma coisa.
f de 2/3.
Você poderia calcular, e
substituir de volta
na função.
Mas estamos prontos para 
representar graficamente.

Korean: 
저희는 그래프에 점 (0,2)를 그리고 싶습니다
점(0, 2)을 그려 보겠습니다
이 점이 x=0이고 올라가서 1, 2
이 점이 (0, 2) 입니다
(제가 아까 사용하던 색깔을 사용하도록 하겠습니다)
이 점이 그 점입니다
저희는 f(1)의 값을 알고 그 점은
(1,1)입니다
 맞나요?
그것은 바로 이 점입니다
 
이 점이 (1,1)입니다
이 점이 (0,2)입니다
그리고 저희는 x=2/3인 점
저희 함수의 변곡점을 알고 있습니다
x가 2/3일 때 저희는 정확히
f(2/3)이 얼마인지는 모릅니다
아마 이쯤 될 것 같습니다
f(2/3)이 저기 있다고 가정합시다
이 점이 f(2/3)이 무슨 값을 가지든 x좌표가 
2/3입니다
아마 값이 1.xxxx가 될 것 같습니다
f(2/3)
여러분들이 원하다면 계산하셔도 됩니다
 그러면
함수에 다시 값을 넣으면 될 것입니다
하지만 저희는 그래프를 그릴 준비가 되었습니다

Czech: 
Jako první v grafu
vyznačíme bod [0; 2].
Řekněme, že bod [0; 2]...
Zde se x rovná 0
a pak se musíme
posunout o 2 nahoru.
takže tady
je bod [0; 2].
Vyznačím ho tou barvou,
kterou jsem pro něj používal,
což je tato barva.
Je to
tento bod.
Dále máme bod x...
Dále máme bod [1; f(1)],
tedy bod [1; 1].
Mluvím
o tomto bodě.
Tady se
x rovná 1
a zde tedy bude
bod [1; 1].
Tohle byl
bod [0; 2].
Dále máme bod x rovná se 2 lomeno 3,
což je inflexní bod.
Když je x rovno 2 lomeno 3,
tak nevíme, kolik přesně je f(2 lomeno 3),
ale mohlo by to
být někde tady.
Řekněme, že
f(2 lomeno 3) je tady.
Toto je tedy bod [2 lomeno 3,...
Nevíme, kolik je f(2 lomeno 3),
ale vypadá to jako 1 celá něco.
...f(2 lomeno 3)].
Můžete si to spočítat, jestli chcete,
stačí dosadit do předpisu funkce.
Nyní už můžeme
nakreslit graf naší funkce.

Turkish: 
0, 2 noktasını gösterelim.
-
x eşittir 0 ve, yukarı doğru, 1, 2.
0, 2 noktası bu.
-
-
İşte bu nokta.
Sonra da, şu noktamız var. f 1, yani 1, 1, öyle değil mi?
-
Yani, şu nokta.
-
1, 1 noktası.
0, 2 noktası da burada.
Bir de, büküm noktası olan x eşittir 2 bölü 3 var.
-
f 2 bölü 3'ün değerini tam olarak bulmasak da, şurada diye tahmin edebiliriz.
-
-
-
2 bölü 3. f 2 bölü 3.
f 2 bölü 3, 1 nokta bir şey olacak.
-
Fonksiyona koyarak, değerini bulabilirsiniz.
-
Neyse, grafiği çizmeye hazırız.

Arabic: 
سوف نقوم بتمثيل النقطة 0،2 بيانياً
دعونا اذاً نفترض ان تلك هي النقطة 0،2
هذه x = 0، ونرتفع لأعلى 1، 2
اذاً هذه هي النقطة 0،2
ربما سأعينها بذلك اللون، اي اللون الذي كنت
استخدمه، ذلك هو اللون
اذاً تلك هي النقطة
ثم لدينا النقطة x، لدينا f(1)، وهي
النقطة 1،1، اليس كذلك؟
هذه النقطة الموجودة هنا
1،1
تلك هي النقطة 1،1
تلك كانت النقطة 0،2
ومن ثم لدينا x = 2/3، وهي
نقطة الانقلاب لدينا
اذاً عندما x = 2/3، فإننا لا نعلم بالضبط ما
هو العدد f(2/3)
ربما هنا في مكان ما
دعونا نفترض ان f(2/3) تقع هنا
اذاً تلك هي النقطة، 2/3، ومن ثم عندما f(2/3)
انها تبدو، ستكون 1. شيئ ما
f(2/3)
يمكنك ان تحسبها، اذا اردت، عليك فقط ان
تعوضها في الاقتران
لكننا جاهزون لنمثل هذا الشيئ بيانياً

English: 
So we're going to want to
graph the point 0, 2.
So let's say that
the point, 0, 2.
So this is x is equal to
0, and we go up, 1, 2.
So this is the point 0, 2.
Maybe I'll do it in that
color, the color I was
using, so that's this color.
So that's that
point right there.
Then we have the point x,
we have f of 1, which is
the point 1, 1, right?
So this point right here.
So that's the point 1, 1.
This was the point 0, 2.
And then we have x is equal
to 2/3, which is our
inflection point.
So when x is 2/3, we
don't know exactly what
number f of 2/3 is.
Maybe here someplace.
Let's say f of 2/3
is right there.
So that's the point, 2/3, and
then wherever f of 2/3 is.
It looks like it's going
to be 1 point something.
f of 2/3.
You could calculate it, if
you like, you just have
to substitute back
in the function.
But we're ready to
graph this thing.

Bulgarian: 
Искаме да маркираме точката 0,2
Значи, това е ь равно на 0 и отиваме
нагоре – 1, 2
Значи, това е точката 0, 2
Може би ще взема този цвят,
който използвах
Ето я точката тук
После имаме точката ь, имаме f от 1, което
е точката 1, 1, нали така ?
Значи, тази точка тук
-
Това е точката 1, 1
Това беше точката 0,2
И сега имаме x равьно на 2/3, което е
наща инфлексна точка
Значи, когато x е 2/3, не знаем точно
колко е f от 2/3
Може би е някъде тук
Да кажем, че f от 2/3 е ето тук
Значи, това е точката 2/3 и това ни е числото f от 2/3 (каквото
и да е то), изглежда като 1 цяло и нещо
f от 2/3...
Ако искате, можете да го пресметнете, за да можете
да заместите във функцията
Но сме готови да начертаем графиката

Spanish: 
Así vamos a querer gráfico el punto 0, 2.
Así que vamos a decir que el punto, 0, 2.
Así que esto es x es igual a 0, y nos vamos arriba, 1, 2.
Así que este es el punto 0, 2.
Tal vez lo haré en ese color, el color era
utilizando, por lo es este color.
Por lo es ese punto justo ahí.
Luego tenemos el punto x, tienen la f 1, que es
¿el punto 1, 1, derecho?
Por lo tanto este punto aquí.
Ese es el punto 1, 1.
Este fue el punto 0, 2.
Y luego tenemos x es igual a 2/3, que es nuestro
punto de inflexión.
Así que cuando x es 2/3, no sabemos exactamente qué
es el número f de 2/3.
Tal vez aquí algún lugar.
Supongamos f de 2/3 existe.
Por lo que es el punto, 2/3, y, a continuación, donde es f de 2/3.
Parece que va a ser algo 1 punto.
f de 2/3.
Puede calcular, si lo desea, sólo tienes
para sustituir a la función.
Pero estamos listos para esta cosa de la gráfica.

Czech: 
Víme, že v bodě x rovná se 0
je sklon funkce nulový.
Sklon je zde nulový,
takže graf je vodorovný.
Dále víme,
že funkce je konvexní,
takže graf
vypadá nějak takhle.
Na tomto intervalu
to vypadá takto.
Funkce je konvexní.
Víme totiž, že pro x větší než
2 lomeno 3 je funkce konvexní.
Vezmu si na to
tu samou barvu.
Víme, že pro x větší než
2 lomeno 3 je funkce konvexní,
proto má graf
tvar písmene U.
Dále víme, že když je
x menší než 2 lomeno 3 a větší než 0,
tak je funkce konkávní.
Na tomto intervalu tak
graf vypadá asi takto.
Funkce je konkávní.
Nakreslím to lépe.
Na tomto intervalu
sklon funkce klesá.
Lze to dobře vidět,
když si nakreslíme tečny.
Tady je tečna skoro vodorovná a pak je
její směrnice čím dál víc záporná,
až se dostaneme
do inflexního bodu,
po kterém sklon opět roste,
protože funkce je zde konvexní.
Posledním intervalem
jsou čísla menší než 0.
Víme, že když je x menší než 0,
tak je funkce konvexní,

Bulgarian: 
Така, знаем, че при x е равно на 1, наклонът е 0
Знаем, че наклонът е 0...
Тук е равно
И знаем, че функцията е вдлъбната нагоре
Изглежда ето така, като това върху
този интервал
Вдлъбнато нагоре
Знаем, че функцията е вдлъбната нагоре от x е равно
на 2/3 нататък, нали ?
Нека взема този цвят
при x равно на 2/3 и нагоре, вдлъбната нагоре
Затова начертах тази форма на 'U'
Сега, знаем, че когато x е по-малко от 2/3 и по-голямо
от 0, вдлъбнатостта е надолу
Значи графиката ще изглежда така
при този интервал
Ще е вдлъбната надолу
Нека начертая това хубаво
В този интервал, наклонът се намалява
Ще видите това най-ясно, ако чертаете допирателни линии
Тук е сравнително равно е става все по-
отрицателно до инфлексната точка и после пак започва
да се увеличава, за щото се връщаме към вдлъбнатост нагоре
И накрая, последният ни интервам е под 0
Знаем, че при x по-малко от 0, функцията е вдлъбната нагоре

Spanish: 
Por lo que sabemos que x es igual a 1, la pendiente es 0.
Sabemos que la pendiente es 0.
Es plana aquí.
Sabemos que es cóncava hacia arriba.
Por lo que estamos tratando, este aspecto, parece
durante ese intervalo.
Estamos cóncavas hacia arriba.
Y sabemos que somos cóncavas hacia arriba de x es igual
¿2/3 y el derecho?
Permítanme hacer de ese color.
Sabíamos que x es igual a 2/3 y, estamos cóncavas hacia arriba.
Y por eso fui capaz de dibujar esta forma de U.
Ahora sabemos que cuando x es inferior a 2/3 y superior
0, estamos cóncavas hacia abajo.
Por lo que el gráfico sería algo como esto,
Durante este intervalo.
Estaremos cóncavas hacia abajo.
Permítanme señalar muy bien.
Durante este intervalo, la pendiente es decreciente.
Y se puede ver, si seguir dibujando líneas tangentes.
Es flattish allí, obtiene negativo, más negativo más
negativo, hasta el punto de inflexión y luego se inicia
aumentar nuevamente, porque volvemos a cóncava hacia arriba.
Y, a continuación, finalmente, el último intervalo está por debajo de 0 y nos
Sabemos por debajo de 0, cuando x es menor que 0, estamos cóncavas hacia arriba.

Portuguese: 
Então, sabemos que em x
igual a 1, a inclinação é 0.
É plana aqui.
Sabemos que a concavidade
é para cima.
Então, parece que durante esse intervalo.
Temos concavidade para cima.
Concavidade para cima a 
partir de x igual a 2/3, certo?
Deixe-me usar essa cor.
Sabemos que em x igual a 2/3
temos concavidade para cima.
E é por isso que eu fui capaz
de desenhar essa forma de U.
Sabemos que quando x é menor
que 2/3 e maior que
0, temos concavidade para baixo.
O gráfico se pareceria com algo assim,
ao longo deste intervalo.
Concavidade para baixo.
Deixe-me desenhar bem.
Durante o intervalo, o
declive diminui.
Veria se continuasse o desenho
de linhas tangentes.
É achatada lá, fica
negativo, mais negativo,
mais negativo, até o ponto de inflexão,
em seguida, começa
a aumentar, porque 
voltamos para a concavidade para cima.
E, em seguida, finalmente, o último
intervalo é inferior a 0, e
sabemos que abaixo de 0, a
concavidade é para cima.

Turkish: 
x eşittir 1 için, eğimin 0 olduğunu biliyoruz.
-
O zaman burada düzleşiyor.
Ve, çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyorum.
O zaman, bu aralıkta, grafik şöyle olacak.
-
Yukarı doğru çukurluk.
2 bölü 3'ten sonra da çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyoruz, öyle değil mi?
-
-
2 bölü 3'ten büyük x değerleri için, grafik yukarı doğru çukur.
O nedenle, bu U şeklini çizebildim.
Ayrıca biliyoruz ki, x 0'la 2 bölü 3 arasındaysa, çukurluk aşağı doğru.
-
Yani, grafik, bu aralıkta, şöyle çizilebilir.
-
Aşağı doğru çukur.
Düzgün çizeyim.
Bu aralıkta eğim azalıyor.
Teğetleri çizerseniz, bunu görebilirsiniz.
Burada yatayımsı, negatif oluyor, ve daha negatif. Büküm noktasından sonra, tekrar artmaya başlıyor. Çünkü, çukurluk yönü, yukarı dönüyor.
-
-
Son aralık ise, 0'dan küçük sayıları kapsıyor. Yukarı doğru çukurluk mevcut.
-

Arabic: 
نحن نعلم ان x = 1، الميل هو 0
نعلم ان الميل هو 0
انه مسطح هنا
نعلم انه مقعر الى الاعلى
اننا نتعامل --انه يبدو هكذا، يبدو انه
فوق تلك الفترة
ان التقعر يكون للأعلى
ونعلم ان التقعر يكون لأعلى ابتداء من x =
2/3، اليس كذلك؟
دعوني افعله بذلك اللون
عرفنا ان x = 2/3، والتقعر للأعلى
ولهذا السبب كنت قادراً على ان ارسم شكل U هذا
الآن نحن نعلم انه عندما يكون x < 2/3 واكبر من
0، فإن التقعر يكون للأسفل
اذاً الرسم البياني سيبدو بهذا الشكل
في هذه الفترة
سيكون التقعر الى اسفل
دعوني ارسمه بشكل جيد
في هذه الفترة، يكون الميل متناقصاً
وبامكانك ان تراه، اذا استمريت برسم الخطوط القاطعة
انه مسطحاً هناك، ويصبح سالباً، اكثر سالبية، اكثر
سالبية، الى ان يصل نقطة الانقلاب، ومن ثم يبدأ
بالازدياد مرة اخرى، لأننا نعود الى التقعر الى اعلى
ثم اخيراً، ان الفترة الاخيرة تحت الصفر، و
نحن نعرف تحت الصفر، عندما يكون x < 0، يكون التقعر الى الاعلى

English: 
So we know that at x is
equal to 1, the slope is 0.
We know that the slope is 0.
It's flat here.
We know it's concave upwards.
So we're dealing, it looks
like this, looks like
that over that interval.
We're concave upwards.
And we know we're concave
upwards from x is equal
to 2/3 and on, right?
Let me do it in that color.
We knew x equals 2/3 and
on, we're concave upwards.
And that's why I was able
to draw this U-shape.
Now we know that when x is less
than 2/3 and greater than
0, we're concave downwards.
So the graph would look
something like this,
over this interval.
We'll be concave downwards.
Let me draw it nicely.
Over this interval, the
slope is decreasing.
And you could see it, if you
keep drawing tangent lines.
It's flattish there, it gets
negative, more negative, more
negative, until the inflection
point, and then it starts
increasing again, because we
go back to concave upwards.
And then finally, the last
interval is below 0, and we
know below 0, when x is less
than 0, we're concave upwards.

Korean: 
저희는 x가 1일 때 기울기가 0임을 알고 있습니다
기울기가 0임을 알고 있습니다
여기서 평평한 것입니다
함수가 위로 볼록한 것도 알고 있습니다
그래프를 그려보자면 이렇게 생겼습니다
여기서부터 저기까지의 구간에서 말입니다
함수는 아래로 볼록합니다
X가 0보다 클 때 그래프가 아래로 볼록함을 압니다
맞나요
저희는 x=2/3이후로 그래프가 아래로 볼록함을 알고 있었습니다
그것이 제가 그래프를 이렇게 U-자형으로 그릴수 있었던 이유입니다
이제 저희는 x가 2/3보다 작고
0보다 클 때 그래프가 위로 볼록함을 알고
있습니다
그러므로 그래프는 대략
이 구간에서 이렇게 그려 질 것입니다
함수는 위로 볼록입니다
조금 더 잘 그려 보겠습니다
이 구간에서 기울기는 감소합니다
여러분이 접선을 그려본다면 알게 될 것입니다
여기서 평평하고 조금씩 음의 값을 가지고 더욱더 음의 값을 가지고 더욱더
음의 값을 가지다가 변곡점이 되면 다시
증가하기 시작하고 이유는 그래프가 다시 아래로 볼록하기 때문입니다
마지막 구간은 0미만입니다
알아야 할 것은 0 아래 x가 0보다 작을 때 함수는
위로 볼록합니다

Thai: 
เรารู้ว่า x เท่ากับ 1 ความชันเป็น 0
เรารู้ว่าความชันเป็น 0
มันราบตรงนี้
เรารู้ว่ามันเว้าขึ้น
เรากำลัง มันเป็นแบบนี้ เป็นแบบนี้
ตลอดช่วงนั้น
เรากำลังเว้าขึ้น
และเรารู้ว่าเรากำลงเว้าขึ้น จาก x เท่ากับ 2/3
ไปเรื่อย ๆ จริงไหม?
ขอผมเขียนด้วยสีนั้น
เรารู้ x เท่ากับ 2/3 และต่อไป เรากำลังเว้าขึ้น
และนั่นคือสาเหตุที่ผมวาดรูป U นี้ได้
ทีนี้ เรารู้ว่าเมื่อ x น้อยกว่า 2/3 และมากกว่า
0 เรากำลังเว้าลง
ดังนั้นกราฟจะหน้าตาประมาณนี้
ในช่วงนี้
เราจะเว้าลง
ขอผมวาดสวย ๆ หน่อย
ตลอดช่วงนี้ ความชันจะลดลง
และคุณคงเห็น หากคุณวาดเส้นสัมผัสต่อ
มันราบตรงนี้ มันเป็นลบ ลบอีก
ลบอีก กระทั่งถึงจุดเปลี่ยนเว้า มันก็เริ่ม
เพิ่มขึ้นอีกครั้ง เพราะเรากลับไปเว้าขึ้นอีก
แล้วสุดท้าย ช่วงสุดท้ายคือ น้อยกว่า 0 เรารู้ว่า
ใต้ 0 เมื่อ x น้อยกว่า 0 เราเว้าขึ้น

Czech: 
takže její graf
vypadá nějak takhle.
Víme také, že bod x rovná se 0
je stacionárním bodem,
ve kterém je sklon nulový,
takže graf je zde vodorovný.
Jde tak o inflexní bod,
ve kterém je navíc sklon roven 0.
Tohle je tedy náš graf
a my jsme hotoví.
Po všemožných výpočtech jsme
použili znalosti diferenciálního počtu
včetně inflexních bodů
nebo konvexity a jejích změn
a podařilo se nám
udělat náčrtek grafu.
Takhle nějak by měl graf vypadat,
když si ho necháte vykreslit kalkulačkou.

Portuguese: 
Então, o gráfico se parece com isso.
O gráfico parece com isso
E também sabemos que x 
igual a 0 era um ponto
crítico, a inclinação de 0.
Assim, o gráfico é realmente
plano ali também.
Portanto, é um ponto de inflexão
com inclinação igual a 0.
Este é o nosso gráfico final.
Estamos prontos.
Depois deste trabalho, 
sabemos usar habilidades
de cálculo e conhecimentos de
pontos de inflexão, concavidade, e
e transições em concavidades, 
para representar graficamente.
Mas isso deve ser o que
aparece, se você representar graficamente
em sua calculadora.
Legendado por [Soraia Novaes]
Revisado por [Tatiana F. D'Addio]

Thai: 
ดังนั้นกราฟจึงหน้าตาแบบนี้
กราฟดูเป็นแบบนี้
และเรายังรู้ว่า x เท่ากับ 0 คือจุดวิกฤต
ความชันเป็น 0
กราฟนี้เลยราบตรงนี้ด้วย
แล้วนี่คือจุดเปลี่ยเนเว้าที่ความชันยังเป็น 0 อีกด้วย
นี่คือกราฟสุดท้าย
เสร็จแล้ว
หลังจากงานทั้งหมดหนั่น เราสามารถใช้แคลคูลัส
และความรู้เรื่องจุดเปลี่ยนเว้า การเว้า
และการเปลี่ยนสภาพเว้า เป็นการวาดกราฟ
ที่ดูยุ่งเหยิงอันนี้
แต่นี่ควรเป็นสิ่งที่ใช้ได้ หากคุณวาด
มันในเครื่องคิดเลขคุณ
-

Arabic: 
لذا يبدو الرسم البياني بهذا الشكل
يبدو الرسم البياني هكذا
ونعلم ايضاً ان x = 0 كانت عبارة عن
نقطة حرجة، والميل 0
اذاً الرسم البياني في الواقع يتسطح هنا ايضاً
ان هذه نقطة انقلاب حيث يكون الميل ايضاً 0
اذاً هذا هو الرسم البياني النهائي
لقد انتهينا
بعد كل هذا العمل، نكون قادرين على استخدام مهارات التفاضل والتكامل
ومعرفتنا في نقاط الانقلاب، و
التقعر، والفترات في التقعر، لكي
لكي نرسم هذا التمثيل المتشعب بيانياً
لكنه يجب ان يكون بالشكل الذي يبدو عليه، اذا مثلتموه بيانياً
على الآلة الحاسبة
.

Bulgarian: 
Значи графиката изглежда така
-
Знаем и че x равно на 0 е критична точка,
Наклонът е О
Значи, графиката е равна и тук
Значи, това е инфлексна точка, където наклонът също е 0
Това ни е графиката
Готови сме
След всичката тази работа, успяхме да използваме уменията
си по висша математика и знанията си за инфлексни точки,
вдлъбнатост и промени в длъбнатостта
И успяхме да начертаем тази доста заплетена графика
Тя трябва да изглежда ето така, ако я
начертаете с помощта на калкуматор
-

Spanish: 
Por lo que el gráfico tiene este aspecto.
El gráfico se ve así.
Y también sabemos que x es igual a 0 fue un crítico
punto, la pendiente de 0.
Así el gráfico realmente plana justo ahí, es demasiado.
Así que esto es un punto de inflexión donde la pendiente también fue 0.
Este es nuestro gráfico final.
Nosotros estamos hecho.
Después de todo lo que trabajan, fuimos capaces de utilizar nuestro cálculo
habilidades y nuestro conocimiento de los puntos de inflexión, y
concativity y transiciones en concativity, a
gráfico realmente este gráfico bastante peludo buscando.
Pero este debe ser el tipo de lo que parece, si usted gráfico
que en su calculadora.

English: 
So the graph looks like this.
The graph looks like that.
And we also know that x is
equal to 0 was a critical
point, the slope of 0.
So the graph is actually
flat right there, too.
So this is an inflection point
where the slope was also 0.
So this is our final graph.
We're done.
After all that work, we were
able to use our calculus
skills, and our knowledge of
inflection points, and
concativity, and transitions
in concativity, to
actually graph this fairly
hairy-looking graph.
But this should be kind of what
it looks like, if you graph
it on your calculator.

Korean: 
따라서 그래프는 이렇게 생길 것입니다
그래프는 저렇게 생겼습니다
그리고 저희는 x=이 임계점이고
그래프가 0임을 알고 있습니다.
따라서 그래프가 여기에서도 평평합니다
이 점은 변곡점이고 기울기가 0입니다
이것이 저희의 최종그래프입니다
완성하였습니다
이 모든 일이 끝나고 나서 저희는 저희의
미적분 기술과,변곡점
위로 볼록한지 아래로 볼록한지 그 볼록한 방향의
변화에 대한 지식을
까다로운 그래프를 그리는데 사용하였습니다.
하지만 이것은 실제로 계산기에서 그린 그래프와 비슷한 모양을 가져야 합니다.
 

Turkish: 
Yani, grafik şöyle olacak.
-
Ayrıca, x eşittir 0'ın kritik nokta olduğunu biliyoruz.
-
Yani, grafik burada düzleşiyor.
Bu, eğimin 0 olduğu bir büküm noktası.
İşte, grafiğimizin son hâli.
Soruyu bitirdik.
Analiz becerilerimizi, büküm noktası ve çukurluk yönü bilgimizi kullanarak, bu karışık grafiği çizebildik.
-
-
-
Hesap makinenizde çizmeyi denerseniz de, aşağı yukarı aynı grafiği elde edersiniz.
-
-
