
Russian: 
Хо-Хо-Хо :) Добро пожаловать в рождественское
видео от Mathologer'а. В этом выпуске я бы хотел
подарить вам кое-что особенное: красивый и простой
для применения точечный инструмент для поиска
иррациональных чисел. Заинтересованы? Давайте
начнём с чего-нибудь попроще: является ли
корень из 2 рациональным числом, то есть,
возможно ли выразить корень из 2 как отношение
двух целых чисел, т.е. как дробь? Да-да,
я уже слышу вопли в ваших мыслях:
"он что, шутит?!". Конечно, даже дошкольники знают,
что корень из 2 - это иррациональное число. Верно, однако
как насчёт вот такого корневого числа?
Оно рациональное или иррациональное?
А как насчёт вот этого? Или этого? Все
эти числа выглядят довольно-таки
иррациональными, да? Однако оказывается, что одно
из них таковым не является. Вот это число на самом деле

English: 
HOHOHO :) Welcome to the 2018 Christmas
Mathologer video. In this edition I'd like
to give you a present, a beautiful and
easy to use precision tool for spotting
irrational numbers. Interested? Let's
start with something really simple: Is
root 2 a rational number, that is, is it
possible to write root 2 as a ratio of
integers, as a fraction. Yes, yes I can
hear your thoughts:
Is he kidding? Of course even preschoolers
know that root 2 is irrational. True, but
now try this rooty number on your
local preschooler. Rational or irrational?
And how about this one? Or this one? Well all these numbers look pretty damn
irrational, right? But one of them isn't.
This number here actually turns out to

Russian: 
равно... 1, что совсем не иррациональное число.
Удивлены? Хм... Итак, имея на руках произвольное
корневое выражение, как мы можем определить, является ли оно
на самом деле иррациональным? Мой рождественский подарок для
вас - это парочка mathologer-изованных
знаменитых теорем о корнях. Это самые
настоящие "корнебойки" иррациональности,
прекрасные инструменты для определения того,
являются ли корневые выражения наподобие вот этих
рациональными или иррациональными. Многие из вас
наверняка видели эти "корнебойки" иррациональности
в школе, хотя, наверное, немного
в другой формулировке. Одна из стандартных математических
игр в средней школе состоит в том, чтобы найти
решения уравнений наподобие вот этого, сверху.
Итак, предположим, что вы где-то забыли свой
передовой калькулятор и ваша жизнь...
хм, ну или ваша оценка на тесте зависит от
успешного нахождения этих решений; как вы
поступите? Что ж, поскольку это школьная игра,
весьма вероятно, что уравнение было специально подобрано таким
образом, чтобы обеспечить хотя бы одно приятное целое
решение, и если это действительно так, то существует
простой трюк, позволяющий сильно сузить
круг кандидатов на решение. Оказывается,
что если у такого уравнения, как выше, есть

English: 
be equal to 1, which is very much not
irrational. Surprised? Hmm so, given a rooty
expression, how can we tell if it's truly
ruly irrational? My Christmas present to
you is a Mathologerisation of the
famous root theorems. These are the
ultimate irrationality zappers, the
master tools for deciding whether
rooty numbers like the ones over there
are rational or irrational. Many of you
will have glimpsed these irrationality zappers in school though probably with
different packaging. A standard middle
school maths game is to find the
solutions to equations like this one
there. Okay, so say you forgot your
hi-tech calculator and your life, hmm
or at least your test score depends upon
finding the solutions, what do you do?
Well since this is a school game chances
are the equation has been rigged to
ensure there's a nice simple integer
solution and if that is really the case
then there's a simple trick to narrow
the hunt for such a solution. It turns
out that if an equation like this has an

Russian: 
целое решение, то это решение должно быть делителем свободного
(константного) члена уравнения, в данном случае 6. Итак, каковы
же делители числа 6?
Ну, есть 1, 2, 3... что ещё?
6. Это всё? Не совсем, поскольку нам надо также
включить в список такие же отрицательные числа. Итак,
если у этого уравнения есть целое решение, то
оно должно быть среди восьми чисел на экране.
Скрестив пальцы и надеясь, что ваш учитель
или Mathologer правильно соорудили
это уравнение, вы начинаете перебирать
эти числа. Давайте начнём с 1.
Посмотрим, так... Окей, это число
не сработало. Можете проверить, что
2 тоже не сработает. Но нам повезло - нам подходит 3.
Точно так же можете проверить сами, что никакие
из оставшихся целых кандидатов к этому уравнению не
подходят, что означает, что 3 - это единственное
целое решение данного уравнения.

English: 
integer solution then that solution must
divide the constant term 6. And so what
are the factors of 6. Well there is 1, 2, 3
what else?
6. Is that it? Not quite since there are
all the negatives as well. So if this
equation has an integer solution it's
gotta be one of these eight numbers. So
you cross your fingers, hope that your
teacher or your Mathologer has cooked up
things correctly and you start going
through them. Well let's start with 1,
let's see okay, ... okay so that
didn't work out and you can check that
2 also doesn't work. But we're lucky
3 does. You can also check that none
of the other integer candidates work
which means that 3 is the only
integer solution to this equation.

Russian: 
Отлично! Итак, кто из вас выучил этот трюк
в школе, и в какой форме? Дайте мне знать
в комментариях, включая то,
откуда вы родом. Мне будет
очень интересно узнать, кто что изучает в школах в
разных концах света. Окей. Официальное название
данного трюка - это "теорема о целых корнях многочлена"
[Integral Root Theorem]. Какое отношение всё это имеет к
иррациональным числам? Ну, если целиком
записать данный трюк как настоящую теорему,
а не как натянутую угадай-игру,
показываемую в школах, то теорема
о целых корнях многочлена будет звучать вот так:
имея многочленное уравнение с целыми
коэффициентами и, что очень важно, с единичным
ведущим коэффициентом... и, что тоже очень важно,
ненулевым свободным членом, то любое действительное
решение данного уравнения будет либо
целым числом, делящим свободный
член нацело (вот так), либо (вот оно!)
это решение является иррациональным числом. Получается,
что дополнительная классная деталь, которая отсутствует в

English: 
Great now who among you learned this
trick in school and in what form? Let me
know in the comments including where in
the world you're from. It will be
interesting to see who gets served what
at school. Okay the official name for
this trick is the Integral Root Theorem.
What does any of this have to do with
irrational numbers? Well, if you actually
state this trick as a proper theorem and
not as the contrived guessing game
presented in schools, then the integral
root theorem runs like this: Given a
polynomial equation with integer
coefficients and, very important, leading
coefficient 1, and, also very important,
nonzero constant term. Then any real
solution of this equation is either an
integer that divides the constant term,
like that, or, and here it comes, or the
solution is an irrational number. So the
extra cool bit that is missing from the

Russian: 
школьном трюке - это то, что любое действительное решение
уравнения, не являющееся целым числом, обязано быть
иррациональным числом; никакие рациональные
числа вроде 1/2 или 17/13 не могут попасть
в список решений уравнения. Ведь, как теорема гласит, возможными
решениями являются только целые и иррациональные числа. Давайте
теперь воспользуемся теоремой о целых корнях многочлена,
чтобы определить некоторые иррациональные числа, начиная
с нашего доброго старого друга, корня из 2.
Корень из 2 является решением
вот этого квадратного уравнения.
Примерно равный 1.4,
корень из 2 точно не является целым числом. Следовательно,
согласно теореме о целых корнях многочлена,
он должен быть иррациональным числом.
Как хитро, а? Другой, не менее важный способ
прийти к тому же заключению состоит в следующем:
заметим, что делителями свободного члена, 2,
являются... ну, 1, -1, 2 и -2. Поэтому,
согласно теореме о целых корнях

English: 
school trick is that any real solution
that is not an integer must be an
irrational number, no proper rational
numbers like 1/2 or 17/13 can sneak
in as a solution. Again only integer or
irrational solutions are possible. Let's
now use the integral root theorem to pin
down some irrational numbers, starting
with our good old friend root 2. Root 2
is a solution of
this quadratic equation here. Being
approximately equal to 1.4
root 2 is definitely not an integer.
Therefore by the integral root theorem
it has to be irrational. How slick is
that? A different and important way to
come to the same conclusion runs like
this: the factors of the constant term 2
are what. Well they are 1, - 1, 2 and
- 2. And so, by the integral root

English: 
theorem, these four factors are the only
possible integer solutions. But clearly
none of them is a solution, right? And
that means that there are no rational
solutions at all and so every solution
including root 2 must be irrational.  Exactly the same argument shows that the
cube root of 2 is irrational and in fact
the same argument works for any root of
2 and for the nth root of any positive
integer that is not itself an nth
power of an integer. Of course, I'm
sure that for quite a few of you the
fact that these roots are irrational is
old hat and not terribly exciting. So
let's have a look at some more elaborate
rooty combos like this one here. Rational
or irrational? To find out let's call
this number, well let's see, let's call it
something mysterious, something exotic
like ....  x :) squaring on both sides gets rid of
the outer square root. Shuffling 2 to

Russian: 
многочлена, эти четыре делителя являются единственными
возможными целыми решениями. Однако очевидно,
что ни одно из них решением не является, так?
А это означает, что у этого уравнения попросту нет
рациональных решений, и поэтому все его решения, включая корень из 2, должны быть
иррациональными. Можно использовать точно такой же аргумент для доказательства
того, что кубический корень из 2 иррационален, и на самом деле,
этот аргумент можно использовать для любого
корня из 2, и для n-го корня любого положительного
целого числа, которое само не является
n-ой степенью целого числа, разумеется.
Однако я уверен, что для многих из вас тот факт, что
эти корни являются иррациональными, - довольно
устаревшая и не очень воодушевляющая информация. Поэтому
давайте посмотрим на какие-нибудь более захватывающие
корневые комбинации, наподобие вот такой. Рациональное
или иррациональное? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте
назовём это число... ну-ка посмотрим. Давайте назовём
его чем-то загадочным, чем-то экзотическим,
как... x :) Возведя обе стороны уравнения в квадрат, мы
избавимся от внешнего квадратного корня. Перенос 2

English: 
the right side gets us this and squaring
again get gets rid of the second root sign.
Okay now some quick algebra autopilot.
Okay what we've shown is that our rooty
combo number is a solution of this
polynomial equation and now the integral
root theorem is ready to pounce again.
The only factors of the constant term
are well 1 and -1, both of which are
definitely not solutions of the equation
and so all real solutions of this
equation, including our rooty combo
number must be irrational. How nifty is
that? Next, how about this curious number
here? I'll leave it as another challenge
for you
figure it out for yourself and let the
rest of us know in the comments. And, yes,
it really does equal 3.14 dot dot dot :)

Russian: 
в правую часть даст нам вот это, и ещё раз возведя
уравнения в квадрат, мы избавимся от второго корня.
Окей? Теперь по-быстрому пробежимся
по алгебре на автопилоте.
Окей, мы только что показали, что наша корневая
комбинация сверху является решением вот этого
многочленного уравнения, и теперь мы готовы вновь
применить теорему о целых корнях многочлена.
Единственными делителями свободного члена
здесь являются 1 и -1, и оба эти числа
определённо не являются решениями данного
уравнения. Поэтому все действительные решения
этого уравнения, включая нашу корневую комбинацию,
должны быть иррациональными. Восхитительно, не
правда ли? Далее: как насчёт вот этого любопытного числа?
Я оставлю это вам в качестве очередной задачки
для самостоятельных
размышлений. Дайте знать
всем остальным о результатах в комментариях к видео.
И да, это число действительно равно 3.14... :)

English: 
Now for the next step. Remember that the
integral root theorem only applies to
equations with leading coefficient 1. But what
if the leading coefficient is different
from 1. Well there's a super nifty
generalization of the integral root
theorem that takes care of this. It is
called the Rational Root Theorem. Okay to
turn the statement of the integral root
theorem into the rational root theorem
we simply have to replace the integer
dividing the constant term by a
fraction u/v with u dividing the
constant term, like that, and v
dividing the leading coefficient, like
that. This means that in practice and,
just as before, we can easily determine
the very few candidates for rational
solutions of an equation like this, right?
And by doing so we will have

Russian: 
А мы пойдём дальше. Вспомним, что теорема о
целых корнях многочлена применима только в тех
уравнениях, где ведущим коэффициентом является 1.
Но что если ведущий коэффициент отличается от
от 1? Что ж, существует супер-стильное обобщение
теоремы о целых корнях многочлена,
которая разбирается с такими случаями. Оно называется
"теоремой о рациональных корнях многочлена".
Чтобы превратить формулировку теоремы о целых корнях
многочлена в теорему о рациональных корнях,
нам достаточно всего лишь заменить слова
"целое число, делящее свободный член нацело" на
"дробь u/v, где u делит свободный
член нацело (вот так), а v
делит ведущий коэффициент нацело (вот так)".
Это означает, что на практике, как
и раньше, мы с лёгкостью можем определить список
немногочисленных кандидатов на рациональные
решения уравнения таким образом,
верно? И таким образом, мы

Russian: 
автоматически докажем, что все остальные действительные
решения обязаны быть иррациональными числами.
Вот ещё одна мини-задачка для вас, разберитесь
с ней в комментариях: помните, что
в обеих теоремах нам требовалось, чтобы свободный член
в уравнении был отличен от 0. Что случится, и как
поступить в этом случае, когда свободный член
всё же равен 0? Довольно простая задачка.
Так или иначе, действительные решения подобных
многочленных уравнений чрезвычайно важны в
математике и поэтому имеют особое название.
Они называются алгебраическими числами.
Не алгебраические числа, типа e и π,
называются трансцендентными числами.
И хотя теоремы о корнях многочлена являются фантастическими
инструментами для определения иррациональности
алгебраического числа, они совершенно бесполезны для
идентификации трансцендентных чисел. Однако тут мы
должны сделать одно алгебраическое признание :)
Это правда, что теоремы о корнях
многочлена невероятно могущественны в демонстрации
того, какие решения многочленных уравнений
являются иррациональными, однако тут есть, так сказать, загвоздка
Гринча [сказочный персонаж]. Алгебраические числа часто

English: 
automatically proved that any other real
solution must be irrational.
Here's another mini-challenge for
you to sort out in the comments. Remember
we also require that the constant be
different from zero. What happens and
what do you do if the constant term IS
equal to zero. That's pretty easy. Anyway
the real numbers solutions to polynomial
equations like this are super important
and have a special name.
They're called the algebraic numbers.
Numbers that are not algebraic such as e
and pi are called transcendental numbers.
So while the root theorems are fantastic
tools for determining the irrationality
of an algebraic number they are of no use
for transcendental numbers. But we also
have an algebraic confession to make :)
It's definitely true that the root
theorems are super powerful at showing
which solutions to polynomial equations
are irrational but there's a Grinchy
problem. Algebraic numbers are often

English: 
presented in ways that don't
automatically come with one of those
special equations and of course we can't
apply our root theorems unless we
somehow produce the right polynomial
equation. For example, it's true but quite
tricky to prove that the rooty combo
numbers like the ones I mentioned earlier
are algebraic and for complicated
rooty numbers it's not at all obvious
how you come up with such an equation.
Just pick one of these guys over there
and have a go at finding an equation for
it.
Take your time I'll wait. No I won't :)
However, all is not lost even for very
complicated rooty expressions there are
complex algorithms that given the input
of any root expression will output a
suitable polynomial equation. These
algorithms have also been implemented as
part of computer algebra systems. For
example, in Mathematica or Wolfram Alpha
the relevant command is Minimal
Polynomial. In fact, unleashing this

Russian: 
представляются нам в таких формах, к которым
трудно автоматически подобрать соответствующее
особое уравнение, и, разумеется, поэтому у нас не получится
применить к ним наши теоремы о корнях, если только мы
каким-нибудь образом не сможем соорудить правильное
многочленное уравнение. К примеру, это правда, но весьма
труднодоказуемая, что все корневые комбинации чисел,
наподобие таких какие я показал вам раньше,
являются алгебраическими числами, а уж
подобрать соответствующее им уравнение
и вовсе чрезвычайно трудно. Попробуйте сами:
выберете любое из чисел на экране
и попытайтесь найти
подходящее ему уравнение.
Можете не торопиться, я подожду.
Хотя нет, не буду ждать :)
Однако ещё не всё потеряно, даже для самых
сложных корневых выражений. Существуют
непростые алгоритмы, которые, принимая на вход
любое корневое выражение, на выходе выдают
подходящее многочленное уравнение.
Эти алгоритмы также были внедрены в
некоторые компьютерные алгебраические программы.
К примеру, в Mathematica и Wolfram Alpha
нужная команда называется MinimalPolynomial.
Вообще говоря, если применить эту

English: 
command on a rooty number will spit
out a special polynomial, an extra
special polynomial, the so called minimal
polynomial, that is, a polynomial of
lowest possible degree. But wait a minute,
what is a polynomial equation with
integer coefficients of least degree for
a rational number. Think about it for a
second. The answer is, the simplest
possible such equation is a
linear equation, this one here but that
means that you can tell at a glance from
the minimal polynomial whether a rooty
expression is a rational number and if
so what rational number. For example, on
input of this expression here
Mathematica spits out this linear
equation. And what does that mean? Well

Russian: 
команду на какое-нибудь корневое число, она
выдаст нам особый многочлен, даже
исключительный многочлен: так называемый минимальный
многочлен. Как гласит название, это многочлен
наименьшей возможной степени. Но минуточку,
какое там многочленное уравнение с
целыми коэффициентами наименьшей степени
соответствует рациональному числу? Подумайте об этом
секунду... Ответ: простейшее
подобное уравнение - это *дробь*
линейное уравнение, вот такое. Но это означает,
что можно определить с первого взгляда на
минимальный многочлен, является ли рассматриваемое
корневое выражение рациональным числом, и если да,
то каким именно рациональным числом. Например,
если задать алгоритму вот такое выражение,
Mathematica выдаёт вот такое линейное
уравнение. И что же это значит? Ну,

Russian: 
очевидно, что наше число рационально и
равно 1. Удивительно, но правда. А вот
две последние, весьма непростые задачки
для вас. Во-первых, попробуйте алгебраически
преобразить данное число в единицу, вручную.
И во-вторых, тоже вручную, попробуйте найти
многочленное уравнение, которое имеет данное число
в качестве корня. Посмотрим, что же вы придумаете.
Это всё замечательно, но если вы похожи на Марти
[Marty] и меня, то вряд ли будете удовлетворены
этим чёрным ящиком в Mathematica, который
решает задачу за нас. Что ж, обещаю, когда-нибудь
будет ещё одно видео Mathologer'а, посвящённое
как раз доказательству того, что всякое действительное
корневое выражение является алгебраическим числом, путём
наглядной демонстрации, как можно сконструировать его минимальный
многочлен. Очень-очень хитроумная тематика,
но в то же время - невероятно красивая
математика. Кроме того, в моём списке текущих целей
находится видео на тему супер-удивительного факта о том, что
хотя все действительные корневые выражения являются
алгебраическими, не все алгебраические числа
являются корневыми. К примеру, один действительный
корень вот этого уравнения - совсем не корневой.

English: 
obviously that our number is rational
and equal to 1. Surprising but true. Here
had two final very challenging
challenges for you: First algebraically
massage this rooty number into 1 by
hand. Second, again by hand, try to find a
polynomial equation that has this number
as a root. Well, let's see what you come up with.
That's all great but if you are like Marty
and me, you won't be very satisfied with
this Mathematica black box solving the
problem for us. Well promise eventually
there will be another Mathologer video
dedicated to proving that every real
rooty expression is algebraic by
showing how to construct its minimal
polynomial. Very very tricky stuff but at
the same time extremely beautiful
mathematics. Also on my to-do list is a
video on the super surprising fact that
even though all real rooty expressions
are algebraic not all algebraic numbers
are rooty. For example, the one real root
of this equation there is not rooty.

Russian: 
Что ж, время большого финала. Позвольте мне показать
вам анимацию супер-простого доказательства
теоремы о рациональных корнях многочлена. Наслаждайтесь :)
Как обычно, я сосредоточусь на доказательстве для
достаточно общего примера [вверху].
Как должно выглядеть дробное решение
этого уравнения? Допустим, что u/v
является его решением, и
предположим, что мы уже сократили все общие
делители, так что у u и v их больше нет. Тогда,
как я покажу вам сейчас, u должно быть делителем
константы 3, а v должно быть делителем
ведущего коэффициента 2, и это всё, что нам нужно
доказать. Итак, 2 и 3 будут играть особую
роль в доказательстве, так что давайте
их слегка выделим. Так, u/v является
решением уравнения, поэтому вот. Дальше
давайте на автопилоте перенесём
константу 3 в правую часть
равенства, вот так.
Чтобы избавиться от дробей в левой части,
мы домножим уравнение на наибольший

English: 
Time for the grand finale.
Let me animate a super simple proof of
the rational root theorem for you. Enjoy :)
As usual I'll focus on a proof for a
sufficiently general example. What must a
fractional solution of this equation
look like? Let's say u/v is a
solution of the equation and let's
assume we've canceled out such that u
and v have no more common factors. Then
what i'll do is show that u is a factor
of the constant 3 and V is a factor of the
leading coefficient 2 and that's all we
need to do, right? Ok 2, 3 play a special
role so let's highlight them just a
little bit. Ok so u/v is a
solution, there.
Autopilot, right, let's shuffle the
constant 3 to the right side of the
equation, like that.
To get rid of the fractions on the left
we'll multiply through by the largest

English: 
denominator v^6 like
that. Again just autopilot, right, that's
what you all would do, cancel, cancel
cancel and now we have integers
throughout and all the terms on the left
have the common factor u. Pull out the
u in front. Now u divides the left side
and so the right side as well. Think
about it for a moment. Okay?
However we began by making sure that u
and v have no common factor and so u
and  v^6 also have no
common factor, and so u must be a
factor of 3. Easy, isn't it? And with a
slight rearrangement we can pin down v
in exactly the same way. Let's back up
one step. We'll now move everything to the
right side except for the u^6 term like that. Now all the terms on the right have the common factor v.

Russian: 
знаменатель, v^6, вот так. Опять,
просто идём на автопилоте...
Вы все бы сделали то же самое. Сокращаем, сокращаем,
сокращаем, и теперь у нас остались одни целые числа
во всём равенстве, и все слагаемые слева
имеют общий множитель u. Давайте вынесем
u за скобки. Получается, что u является делителем левой части равенства,
а следовательно, должно быть делителем и правой части. Подумайте
над этим секунду... Хорошо? Однако ещё в самом
начале мы специально уверились в том, что u
и v не имеют общих делителей, и поэтому
u и v^6 тоже не должны иметь
общих делителей, из чего следует, что u должно быть
делителем 3. Легко, не так ли? И с небольшой
перестановкой ходов мы можем точно так же
удостовериться, что v делит 2. Давайте сдадим
назад на один алгебраический шаг. Теперь перенесём почти все слагаемые
в правую часть, за исключением слагаемого с u^6, вот так.
Теперь все слагаемые справа имеют общий множитель v.

English: 
Pull the v out in the back. Now v divides
the right side and therefore also the
left side and just like before we can
conclude that v divides 2, easy-peasy
What a fantastically simple proof for such
a powerful theorem :) Just a final
footnote. The integral root theorem is a
special case of the rational root
theorem. In turn the rational root
theorem is a special case of a wonderful
result called Gauss's lemma named after
the mathematical superstar Carl
Friedrich Gauss. Further googling is
definitely recommended. I hope you
enjoyed this mathematical Christmas
present. Fröhliche Weihnachten :)(Merry Christmas in German)

Russian: 
Вынесем v за скобки. Теперь выходит, что v делит
правую часть, а значит, должно делить и
левую часть, и так же, как ранее, отсюда мы можем
заключить, что v является делителем 2. Легче лёгкого.
Какое же это фантастически простое доказательство
для такой могучей теоремы :) Осталось добавить одну
последнюю деталь: теорема о целых корнях многочлена является
частным случаем теоремы о рациональных корнях
многочлена. В свою очередь, теорема о рациональных
корнях многочлена - это частный случай восхитительного
результата, известного как лемма Гаусса и названного
так в честь математической суперзвезды Карла
Фридриха Гаусса [Carl Friedrich Gauss]. Дополнительное гугление
на эту тему непременно рекомендуется. Я надеюсь, что
вам в итоге понравился этот математический
рождественский подарок. Fröhliche Weihnachten :)
["С Рождеством" по-немецки]
