
Bulgarian: 
Дадена ни е безкрайна сума
и целта на това видео е
да опитаме да намерим
интервала на сходимост
на този ред.
Това е друг начин да попитаме
за кои стойности на х,
в кой интервал от стойности на х
този безкраен ред е сходящ.
Препоръчвам ти 
да спреш видеото на пауза
и да опиташ да го решиш
самостоятелно.
Когато разгледаш този ред,
той не попада точно в групата
на геометричните редове или
редовете с алтернативно редуващи се знаци.
Когато видя нещо такова,
се сещам за критерия на Даламбер
(за частното),
защото той е много общ.
За да приложим критерия
на Даламбер,
трябва да намерим границата,
когато n клони към безкрайност,
границата на (n + 1)-вия член,
разделен на n-тия член,
границата на абсолютната 
стойност на това.
Ако това частно е
по-малко от 1,
тогава редът е сходящ.

English: 
- [Instructor] So we have
an infinite series here,
and the goal of this video is to try
to figure out the interval of convergence
for this series.
And that's another way of
saying for what x values,
what range of x values,
is this series going to converge?
And like always pause this video
and see if you can figure it out.
When you look at this series,
it doesn't fit cleanly into something
like a geometric series
or an alternating series.
When I see something like this,
I think about the ratio test,
because it tends to be pretty general.
To apply the ratio test,
we want to think about the limit,
the limit as n approaches infinity
of the n plus oneth term,
divided by the nth term
and the absolute value of that.
If this thing is less than one,
so when this thing is less than one,
then we are going to converge.

Korean: 
여기에 무한급수가 있으며
이 영상의 목적은
급수가 수렴하는 구간을
구하기 위함입니다
이는 어떤 x 값에서
혹은 x 값의 범위에서
급수가 수렴 하는지를
구하는 것입니다
영상을 멈추고
혼자서 풀어보세요
급수를 보면
등비급수나 교대급수 같이
깔끔하지 않습니다
이와 같은 문제를 보면
비 판정법을 사용합니다
이는 꽤 일반적이기 때문이죠
비 판정법을
사용하기 위해선
극한을 생각해봅시다
n이 무한대에 가까워지는
극한값일 경우의
n+1째 항 나누기
n번째 항입니다
그리고 이 값의
절댓값을 구하죠
이 값이 1보다 작다면
이 값이 1보다 작다면
수렴하게 됩니다

English: 
And the x values that make
this thing greater than one,
we are going to diverge.
And the x values that
make this equal to one,
well then we're going to be inconclusive
and so we're going to have
to use other techniques
to think about whether we're
going to converge or diverge.
So let's just think about
this, let's just evaluate this,
so let's do that.
Limit
as n approaches infinity
of the absolute value of a sub-n plus one
well that's going to
be x to the n plus one.
Let me color code this, just
so we know what we're doing.
So this thing right over
here is going to be x
to the n plus one
over n plus one
times five to the n plus one.
We're going to divide that by
the nth term.
We're going to divide
that by the nth term.
And that's just going to be x to the n
over n times five to the n.

Korean: 
1보다 크게
만드는 x값이 있다면
발산하게 됩니다
그리고 1과 같게
만드는 x값은
결론을 낼 수 없게 만들고
다른 방법을 사용하여
수렴 발산을
확인해야 합니다
그렇다면 이 식을 풀어봅시다
풀어봅시다
극한값이
n이 무한대에 가까워질 경우
절댓값 n+1번째 항
이는 x^n+1입니다
색을 바꿔볼게요
여기 이 항은
x^n+1 나누기
n+1
곱하기 5^n+1입니다
이 항을 n번째 항으로
나눕니다
이 값을 n번째 항으로 나눕니다
이는 x^n 나누기
n 곱하기 5^n입니다

Bulgarian: 
За стойностите на х, за които
това е по-голямо от 1,
това е разходящо.
За стойностите на х,
за които това е равно на 1,
тогава не можем да
направим заключение
и трябва да използваме
други критерии,
за да определим дали
е сходящ или разходящ редът.
Сега да видим това
и да го изчислим.
Границата, когато
n клони към безкрайност,
границата на абсолютната
стойност на a_(n +1)
равно на х на степен (n + 1)...
Ще използвам различни цветове, 
за да следим какво се случва.
Това ето тук ще бъде
х на степен (n +1)
върху (n + 1)
по 5 на степен (n + 1).
Ще разделим това на
n-тия член.
Това просто става

English: 
We're going to take the absolute
value of this whole thing.
Now let me simplify this.
I'll simplify it down here.
So this is the same thing as
x to the n plus one over
n plus one times five to the n plus one,
times the reciprocal of this.
So it's going to be n
times five to the n,
over x to the n.
And we could simplify this.
This is going to be equal to,
let's see, you divide
numerator and denominator
by x to the n,
you're left with just an x.
Then divide numerator and denominator
by five to the n.
That is going to be,
that's a one, this is a one
and then this is just going to be,
five to the n plus one
divided by five to the n,
that's just going to be a five.
And so what do we have?
We have x times n.
x times n,
over, distribute the five,
five n,
five n plus one.

Korean: 
이 전체 값의
절댓값을 구하겠습니다
이를 간단히 해봅시다
여기에 해볼게요
이는
x^n+1 나누기
n+1 곱하기 5^n+1
곱하기 이 분수의
역수와 같습니다
이는 n
곱하기 5^n
나누기 x^n이죠
이를 간단히 할 수 있죠
이는
분모와 분자를
x^n으로 나누면
x만 남습니다
그리고 분자와 분모를
5^n으로 나누면
이 값은 1이 되며
이 값은
5^n+1 나누기 5^n
결과는 5입니다
이제 뭐가 남았나요?
xn이 있습니다
x 곱하기 n
나누기
5를 분배하면
5n
5n + 1

Bulgarian: 
х^n върху n по 5 на степен n.
Ще вземем абсолютната
стойност на цялото това нещо.
Хайде да го опростим,
ще го направя тук долу.
Това е равно на
х^(n + 1) върху
(n + 1) по 5^(n + 1)
по реципрочното на това.
Това става n по 5^n,
върху х^n.
Можем да опростим това.
Това ще е равно на,
да видим, делим числителя
и знаменателя на х^n,
остава само х.
После делим числителя
и знаменателя на 5^n.
Това тук ще бъде 1,
това е 1,
и това тук става,
5^(n + 1) делено на 5^n
е просто 5.
И какво остана?
Остана х по n върху...
разкриваме скобите
и умножаваме по 5,
5n плюс 1.

Korean: 
여기서 조심해야 합니다
5를 분배합시다
5n + 5
5 곱하기 n
5 곱하기 1
5n + 1
아니죠
5n + 5입니다
좋아요 다시 적어볼게요
이 값은
n이 무한대에 가까워질 경우
이 전체 식의 절댓값의
극한값입니다
이 극한값을 적용하기 위해선
다시 적어야 합니다
분자와 분모를
n으로 나눕니다
값을 바꾸지 않고 분자와
분모에 똑같은
연산을 해줍니다
같은 값으로 나누어 줍니다
분자와 분모를 n으로 나누면
이는 x 나누기
나누기
5
더하기 5/n이 됩니다
따라서 분자와 분모를
n으로 나누면
n이 무한대에 가까워질 경우
어떻게 되는지 보입니다
n이 무한대에
가까워질 경우
x 와 5는 바뀌지 않습니다
5/n이 0에 가까워지죠

English: 
Oh, let me be careful there.
Let me distribute the five.
Five n plus five,
five times n, five times one.
Five n plus one.
Five n plus five (chuckles).
All right, so let me just rewrite that.
This is going to be equal to
the limit
as n approaches infinity
of the absolute value of this thing.
And actually to help us with this limit,
let me rewrite it a little bit.
Let me divide the numerator
and the denominator both by n.
I'm not changing the value,
I'm doing the same thing
to the numerator and the denominator.
I'm dividing it by the same value.
So if I divide the numerator
and the denominator by n,
this is going to be the same thing as x
over
five
plus five to the n.
So when you divided the numerator
and the denominator by n,
it becomes very clear what
happens as n approaches infinity,
As n approaches infinity,
x doesn't change,
five doesn't change,
but five over n goes to zero.

Bulgarian: 
О, трябва да внимавам тук.
Пак ще умножа по 5.
5n + 5,
пет по n, пет по едно.
5n плюс едно,
5n плюс 5.
Добре, сега 
ще преработя това.
Това ще е равно на границата
от абсолютната стойност на това нещо
при n клони към безкрайност,
границата от абсолютната стойност 
на това нещо.
И за да си помогнем
с тази граница,
ще го преработя ето така.
Ще разделя и числителя,
и знаменателя на n.
Не променям стойността,
умножавам и числителя, и знаменателя.
Деля ги на едно и също нещо.
Деля числителя и знаменателя на n,
получавам х върху (5 + 5/n).
Когато разделим числителя
и знаменателя на n,
тук е очевидно какво се случва,
когато n приближава безкрайност.
Когато n клони към безкрайност,
х не се променя,
5 не се променя,
5/n клони към нула.

Korean: 
따라서 이 극한값은
x/5가 됩니다
깔끔하네요
이제 이를 이용해서
다시 적어볼게요
이는 x/5의 절댓값입니다
이제 어떤 조건 하에
x/5의 절댓값이
1보다 작으며
수렴하는지 찾아야 합니다
어떤 조건 하에
1보다 크며 확산할까요?
어떤 조건 하에 결론에
이르지 못하나요?
언제 수렴을
하는지 구해봅시다
x/5의 절댓값이
1보다 작습니다
이게 수렴할 조건입니다
이는 x/5의 절댓값이
-1보다
-1이 더 작다는 것입니다
이는 1보다 작죠
양 변에 5를 곱하면
-5는 x보다
작고
x는 5보다 작다가 됩니다
이 조건이 참이라면
이 구간이

English: 
And so this limit is going
to be equal to x over five.
So that's a pretty neat, clean thing.
Now we can use this to think about,
and actually let me write this.
This is going to be the
absolute value of x over five.
Now we can think about
under which conditions
is the absolute value of x over five
going to be less than one
and we're definitely gonna converge?
Under what conditions are we going to be
greater than one and definitely diverge?
And then under what
conditions is it inconclusive?
So let's just see when
we know we can converge.
So the absolute value of x over five
is less than one.
This is our convergence situation.
Well, that's the same thing as saying
that x negative one
is less than x over five,
which is less than one.
And you multiply all the sides by five.
This is the same thing as negative five
is less than x,
which is less than five.
So if we know that this is true,
this is definitely going to be part

Bulgarian: 
Значи тази граница е равна
на х/5.
Това е много ясно,
много очевидно.
Сега можем 
да разсъждаваме отново...
всъщност ще го напиша.
Това ще е равно на абсолютната
стойност на х/5.
Сега можем да помислим
при какви условия
абсолютната стойност на х/5
ще бъде по-малко от 1
и определено ще имаме сходимост.
При какви условия ще имаме
по-голямо от 1 и 
категорично имаме разходимост?
После при какви условия
не можем да направим заключение?
Да дивим кога знаем,
че е сходящо.
Абсолютната стойност
на х/5 е по-малко от 1.
Това е ситуация на сходимост.
Това е същото, като да кажем, че
–1 е по-малко от х/5,
което е по-малко от 1.
Умножаваме всички страни
по 5.
Това става –5
е по-малко от х,
което е по-малко от 5.
Когато това е вярно,

Bulgarian: 
определено това ще бъде
част от интервала на сходимост.
Знаем, че ако х отговаря
на тези условия,
тогава редът ще бъде сходящ.
Но това не е всичко.
Трябва да видим случая, когато 
не можем да направим заключение.
Да разгледаме сценария,
когато абсолютната стойност на х/5
абсолютната стойност на х/5
е равна на 1.
Друг начин да разглеждаме това,
това означава, че х/5
е равно на 1
или х/5 е равно на –1.
Това означава, че х = 5
или х = –5.
Това са двата случая, в които
не можем да направим заключение
с критерия на Даламбер.
Да ги разгледаме отделно,
като разгледаме реда
и просто заместим х = 5
и х = –5.
В първия случай –
ще взема нов цвят,
ще използвам червено.
Значи за първия случай х = 5,
да се върнем при реда.
Редът ще бъде сумата

Korean: 
수렴하는 구간입니다
x가 해당 범위 안에 있다면
급수는 수렴합니다
아직 끝난게 아닙니다
결론에 이르지 못하는
경우를 찾아야 합니다
다음 경우를 생각해봅시다
x/5의 절댓값이
x/5의 절댓값이
1과 같은 경우입니다
이를 다르게 생각하면
x/5는 1과 같거나
x/5는 -1과 같은 경우입니다
이는 x = 5거나
x = -5인 경우죠
비 판정법을 사용하여
결론에 이르지 못하는
경우를 찾았습니다
한번 급수에
이 값들을 대입하여
x = 5인 경우나
x = -5인 경우를
구하여 확인해봅시다
첫 번째 경우에는
새로운 색인 빨간색을 쓸게요
첫 번째 경우는 x = -5이죠
급수에 대입을 합니다
급수는 n이 1 부터
무한대로 갈 경우
5^n 나누기

English: 
of the interval of convergence.
We know that if x meets these constraints,
then our series is going to converge.
But we're not done yet.
We have to think about
the inconclusive case.
So let's think about the scenario
where the absolute value of x over five,
absolute value of x over
five is equal to one.
Or another way of thinking about this,
that means x over five is equal to one
or x over five is equal to negative one.
And this means that x is equal to five
or x is equal to negative five.
So these are the two inconclusive cases
using the ratio test.
So let's test them out individually
by looking back at the series
and just substituting x equals five
or x equals negative five.
So in the first scenario,
let me find a new color
here, let me use red.
So the first scenario of x equals five,
let's go to our series.
Then the series is going to be the sum
from n equals one to infinity

Korean: 
n x 5^n
의 합입니다
따라서 이는 n이 1부터
무한대로 갈 경우
모든 1/n의
합입니다
이는 조화급수입니다
p가 1일 경우인
p-급수입니다
p-급수는 1입니다
이는 확산합니다
그리고 저번에 보았던
조화급수는
수렴합니다
따라서 이는 확산하죠
이는 p-급수 수렴판정법을
이용해 구할 수 있습니다
p-급수의 p가 1이면
확산합니다
이제 5는
5는 수렴하는 구간이
수렴하는 구간이 아닙니다
이제 x = -5일 경우를 봅시다
x = -5일 경우
다른 색으로 써봅시다
x = -5일 경우
해당 값은

English: 
of five to the n over n
times five to the n.
Well, this is just going
to be equal to the sum
n equals one to infinity
of one over n.
This is a harmonic series.
This is the p-series
where p is equal to one.
And we know our p-series
of p is equal to one.
That's going to diverge.
And we know the harmonic series
we've done in other videos,
this definitely diverges.
So this diverges.
You could do that by
p-series convergence test.
If the p for a p-series is one,
well you're gonna diverge.
So now let's think about,
so five is definitely not part
of our interval of convergence.
Now let's think about
x equals negative five.
When x equals negative five,
let me get a another color going here.
When x is equal to negative five,
then this thing is going to be equal to

Bulgarian: 
за n от 1 до безкрайност,
сумата от (5^n)/n по 5^n.
Това е равно на сумата
за n от 1 до безкрайност,
сумата от 1/n.
Това е хармоничен ред.
Това е хармоничен ред,
за който р е равно на 1.
И ние знаем, че той е разходящ.
Знаем за хармоничните редове,
с които сме работили в други клипове,
че те определено са разходящи.
Значи това е разходящо.
Можем да проверим и с 
критерия за сходимост на степенни редове.
Ако р за степенния ред е единица,
тогава редът е разходящ.
Сега да помислим,
5 определено не принадлежи
на интервала на сходимост.
Сега да разгледаме х = –5.
Когато х = –5...
ще взема друг цвят.
Когато х = –5,
тогава това ще е равно

Korean: 
n이 1부터 무한대로 갈 경우의
-5^n의 합과 같습니다
해당 결과를
이는 -5^n 나누기
n 곱하기 5^n입니다
이는 n 부터 무한대까지의
합입니다
이는 -1^n 곱하기
5의
곱하기
5^n
나누기 n5^n입니다
이제 이 값이
이는 교대 조화급수입니다
이를 이제 사용하여
이제 이 값이
수렴한다는 것을 알기 때문에
혹은 교대급수
판정법을 사용할 수 있습니다
교대급수 판정법은
이렇게 적으면 더 깔끔합니다
이는 교대급수입니다
따라서 교대급수 판정법은
이 값이 단조감소하기 때문에

English: 
the sum from n equals one
to infinity of negative five to the n.
Actually let me just write that as,
I'll write it out negative five to the n
over n times five to the n.
This is the same thing as the sum
from n equals one to infinity.
We could write this as
negative one to the n
times five to the,
times
five to the n,
over n times five to the n.
And now this thing,
this is an alternating harmonic series.
And so you could actually use the,
you might already know
that that converges,
or you could use the
alternating series test.
The alternating series test,
it might be a little bit
clearer if I write it like this.
That this is an alternating series.
So in an alternating series test,
if we see that this thing
is monotonically decreasing

Bulgarian: 
на сумата за n = 1
до безкрайност,
сумата от –5^n.
Сега ще представя това като...
ще го представя като (–5)^n
върху n по 5^n.
Това е равно на сумата
за n от 1 до безкрайност...
Можем да напишем това
като (–1)^n по 5...
по 5^n, върху n по 5^n.
И сега това нещо,
това е хармоничен ред с
алтернативно сменящи се знаци.
И тук можем да използваме,
може би вече знаеш,
че е сходящ,
или може да използваш критерия
за ред с алтернативно сменящи се знаци,
т.нар. критерий на Лайбниц,
може да е по-ясно, ако
го напишем ето така.
Това е ред с алтернативно
сменящи се знаци.
При използване на критерия
на Лайбниц,
ако видим, че това 
намалява монотонно,

English: 
and the limit as n
approaches infinity is zero,
this thing converges.
The alternating harmonic
series actually converges.
So this converges.
So given that this converges,
you could view this as this boundary here.
We would include that in
our interval of convergence.
So x doesn't just have to be
strictly greater than negative five,
it could be greater than
or equal to negative five,
but it has to be less than five.
This is our true interval of convergence.

Bulgarian: 
и че границата е равна на нула,
когато n клони към безкрайност,
значи това е сходящо.
Хармоничният ред с алтернативно
сменящи се знаци е сходящ.
Щом това е сходящо,
това тук можем да разглеждаме
като граница.
Можем да включим тази стойност
в интервала на сходимост.
Значи х не трябва да бъде
строго по-голямо от –5,
трябва да е по-голямо или
равно на –5,
но трябва да е по-малко от 5.
Това е действителният
интервал на сходимост.

Korean: 
극한값이 n이 무한대로갈
경우가 0이기 때문에
이는 수렴합니다
교대급수가 수렴합니다
수렴하죠
이 값이 수렴하면
이 값을 경계값으로 씁니다
이 값을 수렴하는
구간에 포함합니다
따라서 x는
-5보다 큽니다
이는 -5보다 크거나 같지만
5보다 작아야 합니다
이 구간이 수렴하는
구간입니다
