
Bulgarian: 
 
Дадена е функцията f, която е 
дефинирана за всички реални числа.
За кои стойности на х функцията
 f(х) не е диференцируема?
За да разсъждавам по това,
всъщност смятам
да изобразя как изглежда
производната f'(х).
Ще начертая f'(х) с този
виолетов цвят.
Ако разгледаме f(х) ето тук,
изглежда, че наклонът е
постоянен
–2 в този интервал между
х е равно на... предполагам, че е
приблизително 8 и 1/2 
чак до х = –2.
Изглежда наклонът е
константа –2.
Ако искам да начертая
производната,
производната ще е 
приблизително такава.
Производната ще изглежда
приблизително така.
После се случва нещо интересно,
когато х е равно на –2.
Точно като пресечем х = –2,
изглежда, че наклонът преминава 
от отрицателен в положителен.

Korean: 
 
모든 수에 대해 정의된 f를 봅시다
어떤 x 값일 때 f(x)가 미분 불가능한가요?
그걸 위해 저는
f '(x)를 그리겠습니다
보라색으로요
f(x)를 보시면
기울기가
－2입니다
x가 －8과 ½ 쯤부터
x가 －2쯤일때까지 일 때
기울기가－2입니다
이 함수의 도함수는
이렇게 생겼습니다
 
그런데 x=－2에서 흥미로운 일이 발생합니다.
x가 －2를 지나자마자
그 기울기가
음수에서 양수가 됩니다

Chinese: 
这里是可汗学院，我是CX
假设函数ƒ的定义域是全体实数
那么 x 在ƒ(x)的哪一个点是不可微分的?
让我们来考虑一下
让我试着画出ƒ'(x)
我用紫色来标注出ƒ'(x)
如果我们看这里的话
它的斜率貌似是恒定的
在区间上恒定在-2, 我猜是
区间x=-8.5到
x=-2
看起来斜率的恒定值-2
如果我要画它的导数式
它的导数式会看起来像这样
。
但是有趣的事情发生在x=-2的地方
就当我们经过x=-2的时候
看起来斜率从
负数变为了正数

Norwegian: 
Betrakt f som er definert for alle reelle tall.
På hvilke argument x er f av x ikke deriverbar?
Så for å tenke på det, skal jeg faktisk
prøve å visualisere hva f av av x må se ut som.
Så jeg kommer til å skrive f av x i denne lilla fargen.
Så hvis vi ser på f av x rett over her,
ser det ut som helningen er ganske konsekvent
negativ 2 over dette intervallet mellom x er lik, antar jeg,
det er som negativ 8 og 1/2 hele veien
opp til x er lik negative 2.
Det ser ut som helningen er en konstant negative 2.
Så hvis jeg skulle tegne dens derivert,
ville den se noe som dette.
Dens deriverte ser ut som dette.
Men så skjer noe interessant ved x lik negative 2.
Når vi krysser x er lik negative 2,
det ser ut som helningen går fra å være
negativ til å være positiv.

Thai: 
 
พิจารณา f ซึ่งนิยามสำหรับจำนวนจริงทุกตัว
ค่า x ใดมี f ของ x ไม่นิยาม?
เวลาคิด ผมจะพยายาม
มองภาพว่า f ไพรม์ของ x ต้องเป็นอย่างไร
ผมจะวาด f ไพรม์ของ x ด้วยสีม่วงนี่นะ
ถ้าเราดูที่ f ของ x ตรงนี้
มันดูเหมือนว่าความชันจะค่อนข้างเท่ากับ
ลบ 2 ตลอดช่วงนี้ระหว่าง x เท่ากับ
มันดูเหมือนลบ 8 1/2 ไปจนถึง
x เท่ากับลบ 2
มันดูเหมือนว่าความชันจะคงที่เท่ากับลบ 2
ถ้าผมวาดอนุพันธ์ของมัน
อนุพันธ์ของมันจะเป็นแบบนี้
อนุพันธ์ของมันจะเป็นแบบนี้
แต่สิ่งที่่น่าสนใจเกิดขึ้นเมื่อ x เท่ากับลบ 2
ตรงนี้เมื่อเราผ่าน x เท่ากับลบ 2
มันดูเหมือนว่าความชันเปลี่ยนไปจาก
ลบเป็นบวก

English: 
Consider f which is defined
for all real numbers.
At what arguments x is f
of x not differentiable?
So to think about
that, I'm actually
going to try to visualize what
f prime of x must look like.
So I'm going to do f prime
of x in this purple color.
So if we look at f
of x right over here,
it looks like its slope is
pretty much consistently
negative 2 over this interval
between x equals, I guess,
it's like negative 8
and 1/2 all the way
up to x equals negative 2.
It looks like the slope
is a constant negative 2.
So if I were to
draw its derivative,
its derivative would
look something like this.
Its derivative looks
something like this.
But then something interesting
happens at x equals negative 2.
Right as we cross x
equals negative 2,
it looks like the
slope goes from being
negative to being positive.

Portuguese: 
Considerando f, que é definido para todos números reais.
Em que raciocínio(s), x é um f(x) não diferenciável?
Então, pensando nisso, eu na verdade
Irei tentar visualizar como será uma linha de x.
Assim, tentarei fazer f linha de x nesta cor roxa.
Analisando f de x ,
Parece que a inclinação é bem consistente
- 2 neste intervalo entre x igual, acredito que...
Será igual a 8,5
Até onde x é igual a dois
Assim, a inclinação será uma constante de -menos dois.
Então, se tivermos que desenhar a derivada,
a derivativa será algo tipo isso.
A derivada será algo assim.
Depois, algo interessante acontece em x igual a dois.
Logo quando cruzamos x igual a menos dois,
Parece que a inclinação vai de...
Negativo para positivo.

English: 
And it looks like
right out the get
go, if I were to estimate the
slope of its tangent line,
it starts changing.
It's not a line anymore.
It's a curve.
The slope of the tangent
line right at this point
looks like it's
around-- I don't know--
it looks like it's
around 3 and 1/2.
Because if I were to draw a
tangent line right over here,
it looks like if I move
1 in the x direction,
I move up about 3 and
1/2 in the y direction.
So I'm just trying to,
obviously, estimate it.
So it looks like the
slope goes up to 3 and 1/2
right when I cross that point.
And then the slope becomes
lower and lower and lower
all the way until I get to
this point right over here,
all the way until I
get to x equals 2.
And it looks like it continues
to get lower all the way
until you get to x equals 3.
So it looks like the
slope of the line
is-- it looks like it's getting
lower at a constant rate,
I guess I could say.
So it looks like
it's doing something

Portuguese: 
E parece que bem onde...
Se tivesse que estimar a inclinação desta linha tangente,
Começa a mudar.
Não será mais uma linha.
É uma curva.
A inclinação da linha da tangente bem neste ponto
Será parecido com... Não sei...
Parecido com aproximadamente 3,5.
Por se tivermos que desenhar uma linha tangente bem aqui,
Parece que se eu mover um na direção de x,
Eu mudo até aproximadamente 3,5 na direção de y.
Então tentarei, certamente, estimar.
Assim, parece que a inclinação vai até 3,5
Bem quando eu cruzar este ponto.
E depois a inclinação vira mais e mais baixa
Até chegar neste ponto aqui,
Até eu chegar a x igual a dois.
E para que continua a baixar até...
Até chegar a x igual a três
Então nos parece que a inclinação da linha
Nos parece que vai baixando até uma linha constante,
Eu poderia dizer...
Nos parece que será algo...

Chinese: 
看起来
如果我要估计这个切线式（导数式）
它开始变化了
它不再是直线
它变成了曲线
这个点的切线式的斜率
看起来是大概-我不确定-
看起来是3.5
因为如果我在那里画一条切线
看起来我往x轴移动一个单位
对应点往上（y轴方向）移动了3.5
我就是尝试，很明显，去估计它（移动的量）。
看起来斜率上升到了3.5
当方程刚刚经过那个点
然后斜率变得越来越小
一直到方程到达那个点
一直到x=2
然后，它继续变小
一直到x=3
看起来方程的斜率
一直以一个恒定的速率变小
我可以这么说
所以它在做这样一个事情

Thai: 
มันดูเหมือนตรงนี้
ถ้าผมประมาณความชันของเส้นสัมผัสตรงนี้
มันเริ่มเปลี่ยน
มันไม่ใช่เส้นตรงอีก
มันเป็นเส้นโค้ง
ความชันของเส้นสัมผัสตรงจุดนี้
มันดูเหมือนว่าจะอยู่แถวๆ -- ไม่รู้สิ --
มันดูเหมือนว่าจะประมาณ 3 1/2
เพราะถ้าผมวาดเส้นสัมผัสตรงนี้
มันดูเหมือนว่าถ้าผมเลื่อน 1 หน่วยในทิศ x
ผมจะเลื่อนขึ้นประมาณ 3 1/2 ในทิศ y
ผมพยายามประมาณค่ามัน
มันดูเหมือนว่าความชันขึ้นไป 3 1/2
ตรงที่ผมข้ามจุดนั้น
แล้วความชันจะน้อยลง น้อยลง และน้อยลง
จนกระทั่งผมถึงจุดนี่ตรงนี้
จนถึงจุดที่ผมได้ x เท่ากับ 2
และมันดูเหมือนว่ามันจะลงต่อไปเรื่อยๆ
กระทั่งคุณได้ x เท่ากับ 3
มันดูเหมือนว่าความชันเส้นตรง
-- มันดูเหมือนว่าจะต่ำกว่าอัตราคงที่
จะบอกว่างั้นก็ได้
มันดูเหมือนว่ามันกำลังทำ

Norwegian: 
Og det ser ut som
hvis jeg skulle beregnet helningen av den tangentlinje,
det begynner å endre seg.
Det er ikke en linje lenger.
Det er en kurve.
Helningen til tangentlinjen ved dette punktet
ser ut som den er rundt-- jeg vet ikke--
det ser ut som det er rundt 3 og 1/2.
Fordi hvis jeg skulle tegne en tangentlinje her,
ser det ut som om jeg flytter en i x-retningen,
jeg flytter opp omkring 3 og 1/2 i y-retningen.
Så jeg prøver bare å, selvsagt, å anslår det.
Så det ser ut som helningen går opp til 3 og 1/2
akkurat når jeg krysser det punktet.
Og så blir helningen mindre og mindre og mindre
helt til jeg kommer til dette punktet her,
helt til jeg får x er lik 2.
Og det ser ut som det fortsetter å bli lavere hele veien
til du kommer til x er lik 3.
Slik at det ser ut som helningen av linjen
er-- det ser ut som den begynner å bli lavere ved en konstant hastighet,
Jeg tror jeg kan si det.
Så det ser ut som den gjøre noe

Korean: 
여기의 오른쪽에서
이 부분의 접선의 기울기를 보면
변하기 시작합니다
더 이상 선이 아닙니다
곡선입니다
이 점에서의 접선의 기울기를 보면
 
대략 3과½ 정도로 보입니다
왜냐하면 여기서 접선을 그려보면
x축 방향으로 1을 움직였을 때
y축 방향으로 3과½ 정도만큼 가는 것처럼
보이기 때문입니다
 
 
 
기울기는 x＝2가
될 때 까지
계속 감소합니다
 
그리고 기울기는 x＝3이
될 때 까지
계속 감소합니다
선의 기울기를 보면
계속 일정하게 감소합니다
 
이 부분 이후로

Bulgarian: 
И от пръв поглед се вижда, че
ако изчисля наклона на
тази допирателна,
той започва да се променя.
Това вече не е права,
а крива.
Наклонът на допирателната
точно в тази точка
изглежда около, не знам,
приблизително 3 и 1/2.
Ако тук начертая допирателна,
изглежда, че ако се преместя
с 1 в посока х,
ще се преместя с 3 и 1/2
по посока у.
Просто се опитвам да го
оценя приблизително.
Изглежда, че наклонът
се увеличава до 3 и 1/2
точно когато преминаваме
тази точка.
После наклонът намалява
все повече и повече,
чак докато стигна до тази
точка ето тук,
чак до х = 2.
И изглежда, че продължава
да намалява,
докато стигнем до х = 3.
Изглежда, че наклонът
на тази права е...
Изглежда, че намалява
с постоянна скорост,
ако мога да кажа така.

Bulgarian: 
Изглежда, че прави нещо
такова в този интервал.
И точно когато х преминава 3,
това преминава в права линия.
Тук наклонът е нула.
Значи точно когато х преминава 3,
наклонът става 0.
И веднага виждаме, че има
точки, в които
изглежда, че наклонът скача.
В тези точки производната
действително не е дефинирана.
Тук наклонът също 
рязко се променя.
И така, за кои аргументи
f не е диференцируема?
Тя не е диференцируема, когато
х е равно на –2.
Когато х = 2, действително
тук нямаме наклон.
Спомни си, че когато искаме да намерим
наклона на допирателната,
намираме границата на
наклона на секущата права
между тази точка и някаква
друга точка от кривата.
Ако направим това, когато
се приближаваме отляво,
изглежда, че производната
е –2.
Ако направим това отдясно,
изглежда, че производната
е приблизително +3 цяло и 1/2.

Korean: 
이렇게 되는 것 같습니다
하지만 x가 3을 지나면
평평해집니다
기울기가 0입니다
그러니까 x가 3을 넘어가버리면,
기울기가 0이 됩니다
우리는 어디서 기울기가 확 늘어나는지
바로 알 수 있습니다
그리고 이 점에서는
도함수는 정의되지
않습니다
저기서도 기울기가
확 늘어납니다
그래서 어떤 점에서 f(x)가
미분 불가능하다고요?
x=－2일 때 미분 불가능합니다
x=－2일 때
기울기가 없습니다
기억해봐요. 우리가 접선의
기울기를 찾으려고 할 때
우리는 저 점과 아주 조금 떨어져 있는 점 사이의
기울기를 봅니다
만약 그걸 왼쪽에서부터 했으면
도함수의 값이 －2
으로 보입니다
우리가 그걸 오른쪽에서 
했다면, 도함수값이
대략 3과½쯤으로 보입니다

Norwegian: 
som dette over dette intervallet.
Men så når x krysser 3, blir dette en flat linje.
helningen er 0 her.
Så når x krysser 3, blir helningen 0.
Så vi ser umiddelbart at det er punkter
hvor det ser ut som kurven hopper.
Og på disse punktene har vi egentlig ikke
en definert derivert.
helningen hopper der også.
Så ved hvilke argumenter er f ikke deriverbar?
Vel, det er ikke deriverbar når x er lik negative 2.
Når x er lik negative 2, har vi
har vi ikke en helning der.
Husk at når vi prøver å finne
helningen av tangenten, tar vi
grensen for helningen av skjæringslinjen
mellom dette punkt og et annet punkt på kurven.
Hvis vi gjorde det da vi nærmet oss fra venstre,
det ser ut som den deriverte er negativ 2.
Hvis vi gjør det fra høyre, ser det ut som den deriverte
er noe som positivt 3 og 1/2.

Portuguese: 
Algo como este intervalo.
Mas depois, bem quando o x cruza o ponto três, a inclinação vira zero.
A inclinação aqui é zero.
Então, bem onde o x cruza o ponto três, a inclinação vira zero.
Então imediatamente vemos que há pontos
Onde parece que a inclinação salta.
E nestes pontos, nós realmente
Não temos um derivativo definido.
A inclinação sobe ali também.
E então, em qual raciocínio f não será diferenciável?
Bom, não é diferenciável quando x é igual a menos dois.
Quando x é igual a menos dois, na verdade
Não temos uma inclinação lá.
Lembrando que, quando tentamos encontrar
A inclinação da linha tangente, nós
Pegamos o limite da inclinação da linha secante
Entre este ponto e o algum outro ponto na curva.
Se nós fizemos isto ao chegar da esquerda,
Nos parece que o derivativo é menos dois.
Se nós fizermos isto, saindo da direita, parece que o derivado
Será algo como 3,5 (positivo).

English: 
like this over this interval.
But then right as x crosses
3, this becomes a flat line.
The slope is 0 here.
So right as x crosses
3, the slope becomes 0.
So we immediately
see there are points
where it looks like
the slope jumps.
And at these points
we really don't
have a defined derivative.
The slope jumps there as well.
And so at what arguments
is f not differentiable?
Well, it's not differentiable
when x is equal to negative 2.
When x is equal to
negative 2, we really
don't have a slope there.
Remember, when
we're trying to find
the slope of the
tangent line, we
take the limit of the
slope of the secant line
between that point and some
other point on the curve.
If we did that as we
approached from the left,
it looks like the
derivative is negative 2.
If we do that from the right,
it looks like the derivative
is something like
positive 3 and 1/2.

Chinese: 
在这个区间内
但是就当x经过3的时候，这个方程的图像变成了一个平行于x轴的直线
斜率在这个区间是0
所以，就当x经过3的时候，斜率变成了0
所以我们立刻可怜看到那些点
看起来斜率跳跃了
然后在这些点，方程并没有
一个可以定义的斜率
斜率在那里也跳跃了
所以什么位置（x值）下方程不能求导？
在x=-2的时候不行
当x=-2，
我们没有斜率
记住，当我们试图去找
切线式的斜率
我们找割线（连接方程上两点）斜率的极限
。
。
如果我们从左边看，导数是-2
如果从右，导数是
3.5左右

Thai: 
แบบนี้ตลอดช่วงนี้
แต่แล้ว เมื่อ x ข้าม 3 ไป อันนี้กลายเป็นเส้นตรง
ความชันเป็น 0 ตรงนี้
ตรงที่ x ข้าม 3 ความชันกลายเป็น 0
เราจึงเห็นทันทีว่ามีจุด
ที่ดูเหมือนความชันกระโดด
และจุดเหล่านี้ เราไม่สามารถ
มีอนุพันธ์ที่นิยามได้
ความชันกระโดดตรงนี้เช่นกัน
แล้ว f หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุดใดบ้าง?
มันหาอนุพันธ์ไม่ได้เมื่อ x เท่ากับลบ 2
เมื่อ x เท่ากับลบ 2 เรา
ไม่มีความชันตรงนั้น
นึกดู เวลาเราพยายามหา
ความชันของเส้นสัมผัส เรา
ก็หาลิมิตของเส้นตัด
ระหว่างจุดนั้นกับจุดอีกจุดบนเส้นโค้ง
ถ้าเราทำอย่างนั้น เมื่อเราเข้าใกล้จากทางซ้าย
ดูเหมือนว่าอนุพันธ์จะเป็นลบ 2
ถ้าเราทำจากทางขวา ดูเหมือนว่าอนุพันธ์
จะเป็นบวก 3 1/2

English: 
And so we're not getting the
same limit of the secant line
as we approach from the left and
as we approach from the right.
And the same thing is
happening at x is equal to 3.
At x equals 3, as we
approach from the left,
the slope looks like
it is decreasing.
It is approaching-- I don't
know-- maybe around negative 1.
But as we approach
from the right
it looks like the slope is 0.
So we do not have the same
limit of the secant slope
as we approach from the
left- and right-hand sides.
So at both of these points
we see the derivative jump,
and it looks like f of
x is not differentiable.

Chinese: 
所以割线的左右极限不一样
。
同样的情况发生在x=3
在x=3， 从左边
斜率是递减的
并且靠近-我不确定-可能-1左右
但从右边
看起来斜率是0
所以两边的极限不同
。
这两点我们发现斜率跳跃了
所以f（x) 不可求导

Bulgarian: 
Значи не получаваме една
и съща граница за секущата,
когато се приближаваме отляво
и когато се приближаваме отдясно.
Същото се случва, когато 
х е равно на 3.
За х = 3, когато 
се приближаваме отляво,
наклонът изглежда, че намалява.
Клони към, да видим,
може би към –1.
Но когато се приближаваме
отдясно,
изглежда, че наклонът е 0.
Така че нямаме еднакъв
наклон на секущата,
когато се приближаваме отляво
и отдясно.
Така че и в двете точки виждаме, че 
производната се променя рязко,
и изглежда, че f(х) 
не е диференцируема.
 

Korean: 
자, 그러니까 우리는 왼쪽에서 올 때랑
오른쪽에서 올 때
같은 극한값을 얻지 못하고 있습니다
x=3일 때도 같은 일이 일어납니다
x=3에서 왼쪽에서 다가오면
기울기가 감소하는 것처럼 보입니다
대략 －1로 가까워지는 것 같네요
그런데 오른쪽에서부터 가까워지면
기울기가 0인 것처럼 보여요
그러니까 우리는 오른쪽에서 다가올 때와
왼쪽에서 다가올 때
같은 값의 기울기를 얻지 못하고 있습니다
이 두 점에서 모두 도함수값이
매우 크게 변하고
여기서 f(x)가 미분 불가능한 것 처럼 보이네요
 

Portuguese: 
E assim, se nós não tivermos o mesmo limite da linha secante
Ao chegarmos da esquerda e ao chegarmos da direita.
E tendo a mesma coisa acontecendo em x igual a três.
Em x igual a três, ao chegarmos ao ponto pela esquerda,
A inclinação nos parece estar diminuindo.
E vai chegando até... aproximadamente menos um.
Porém, ao chegarmos pela direita
Parece que a inclinação é zero.
Então não temos o mesmo limite da inclinação da secante
Vindo pela esquerda e pela direita.
Então nos pontos vemos um salto derivativo
Concluindo, que f de x não é diferenciável.

Norwegian: 
Så vi får ikke samme grense til sekantlinjen
når vi nærmer oss fra venstre og når vi nærmer oss fra høyre.
Og det samme skjer ved x er lik 3.
Ved x er lik 3, når vi nærmer oss fra venstre,
helning ser ut som den er avtagende.
Den går mot-- jeg vet ikke-- kanskje rundt negativ 1.
Men når vi nærmer oss fra høyre
ser det ut som helningen er 0.
Så vi har ikke samme grense på skjærings skråningen
når vi nærmer oss fra venstre og høyre side.
Så på begge disse punktene ser vi den deriverte hoppe,
og det ser ut som f av x ikke er deriverbar.

Thai: 
แล้วเราจะไมได้ลิมิตของเส้นตัดเท่ากัน
เมื่อเราเข้าใกล้จากทางซ้าย 
กับเมื่อเราเข้าใกล้จากทางขวา
และสิ่งเดียวกันเกิดขึ้นเมื่อ x เท่ากับ 3
ที่ x เท่ากับ 3 เมื่อเราเข้าใกล้จากทางซ้าย
ความชันดูเหมือนว่ามันจะลดลง
มันเข้าใกล้ -- ไม่รู้สิ -- บางทีแถวๆ ลบ 1
แต่เมื่อเราเข้าใกล้จากทางขวา
มันดูเหมือนว่าความชันเป็น 0
เราไม่มีลิมิตของความชันเส้นตัด
เมื่อเราเข้าใกล้จากทางซ้ายและทางขวา
ทั้งสองจุด เราเห็นว่าอนุพันธ์กระโดด
นั่นคือ f ของ x หาอนุพันธ์ไม่ได้
 
