
Chinese: 
比方说f(x)=(x+7)³-1
比方说f(x)=(x+7)³-1
而g(x)=³√x+1 -7
而g(x)=³√x+1 -7
而g(x)=³√x+1 -7
而g(x)=³√x+1 -7
现在要算f(g(x))
现在要算f(g(x))
现在要算f(g(x))
还有g(f(x))
还有g(f(x))
我鼓励你像往常一样，停下视频看看自己能不能算
先来算f(g(x))吧
g(x)的这个表达式将会变成代入值
因此若在f(x)里看见任何x都把它替换成g(x)
因此若在f(x)里看见任何x都把它替换成g(x)

Czech: 
Řekněme, že 
f(x) je rovno
(x plus 7) na třetí minus 1.
A g(x)
je rovno
třetí odmocnině z (x plus 1)
třetí odmocnině z (x plus 1) minus 7.
A já bych chtěl nyní určit
f(g(x)).
Chci určit f(g(x))
a potom také g(f(x))
a uvidíme, co dostaneme.
A jako vždy vám radím, abyste si 
pozastavili video a zkusili to sami.
Nejdřív tedy pojďme určit f(g(x)).
To znamená, že g(x), 
celý tento výraz, bude náš vstup.
Takže kdekoli v definici funkce f(x)
uvidíme 'x',
nahradíme ho vším, co je g(x).

Bulgarian: 
Да кажем, че f(х) е равно на
(х плюс 7) на трета степен, минус 1.
Да кажем, че g(х)
е равна на
кубичен корен от (х плюс 1),
минус 7.
Сега искам да изчисля
f(g(х)).
Искам да изчисля f(g(х))
и също да изчисля g(f(х))
и да видя какво ще получа.
Както винаги те окуражавам да спреш видеото и да опиташ да го решиш.
Нека първо изчислим f(g(х)).
g(х), този израз, ще е аргументът ни.
Навсякъде, където виждаме х в определението за f(х),
ще го заменим с g(х).

Thai: 
สมมุติว่า f ของ x เท่ากับ
x บวก 7 ยกกำลังสาม ลบ 1
และสมมุติว่า g ของ x
g ของ x เท่ากับ
รากที่สามของ x บวก 1
รากที่สามของ x บวก 1 ลบ 7
ตอนนี้ สิ่งที่ผมอยากทำตอนนี้คือหาค่า
f ของ g ของ x
ผมอยากหาค่า f ของ g ของ x
และผมอยากหาค่า g ของ f ของ x ด้วย
g ของ f ของ x และดูสิ่งที่ได้
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณ
หยุดวิดีโอนี้แล้วลองทำ
ลองหาค่า f ของ g ของ x
นั่นหมายความว่า g ของ x พจน์นี้
จะเป็นค่านำเข้าของเรา
ทุกที่ที่เราเห็น x ในนิยามสำหรับ f ของ x
เราก็แทนมันด้วย g ของ x ทุกตัว

German: 
Wir haben f(x) = (x + 7)³ - 1.
Und g(x) = ³√(x + 1) - 7.
Ich möchte jetzt herausfinden, was f(g(x)) ist.
Und ich möchte herausfinden, was g(f(x)) ist.
Ich ermutige dich, das Video zu
pausieren und das zu probieren.
Finden wir zuerst heraus, was f(g(x)) ist.
Das bedeutet, dass g(x), also dieser
Ausdruck hier, unser Input ist.
Also ersetzen wir überall, wo wir ein x in der
Definition von f(x) sehen, es komplett mit g(x).

Korean: 
f(x)는
(x+7)^3-1이고
그리고  g(x)는
g(x)는
x+1의 세제곱근
x+1의 세제곱근 -7이라고 해봅시다
이제 우리가 하려고 하는것은
f(g(x))
먼저 f(g(x))의 값을 구하고
그 다음 g(f(x))의 값을 구해서
비교해 보는 것입니다
언제나 처럼 잠시 영상을 멈추고
풀어 보시기 바랍니다
먼저 f(g(x))의 값을 구해봅시다
g(x)에는 여기 이 수식을 
대입하는 겁니다
그러니까 f(x)를 나타내는 
식에서 모든 x의 자리에
g(x)를 나타내는 식을 
대입하면 됩니다

English: 
- [Voiceover] Let's say
that f of x is equal to
x plus 7 to the third power, minus one.
And let's say that g of x
g of x is equal to
the cube root of x plus one
the cube root of x plus one, minus seven.
Now, what I wanna do now is evaluate
f of g of x
I wanna evaluate f of g of x
and I also wanna evaluate g of f of x
g of f of x, and see what I get
I encourage you, like always,
pause the video and try it out
Let's first evaluate f of g of x.
That means, g of x, this
expression is going to be our input
So, everywhere we see an x
in the definition for f of x,
we would replace it with all of g of x

Chinese: 
因此f(x)等于
因此f(x)等于
这里的x将会替换成g(x)
这里的x将会替换成g(x)
因此这是((³√x+1 -7)+7)³-1
因此这是((³√x+1 -7)+7)³-1
因此这是((³√x+1 -7)+7)³-1
因此这是((³√x+1 -7)+7)³-1
注意到，我就只是把g(x)代入到f(x)里的x中
注意到，我就只是把g(x)代入到f(x)里的x中
因此这是((³√x+1 -7)+7)³-1
现在看看是否能简化
这儿有7-7
一次可以很好地抵消掉
因此得
我用些净色
因此得
因此得(³√x+1 )³-1
因此得(³√x+1 )³-1
若我用这个立方抵消掉这个三次根号
若我用这个立方抵消掉这个三次根号

Czech: 
Takže f(g(x)) se bude rovnat...
Bude se to rovnat...
No, vidím 'x' tady,
takže místo něho napíšu 
celý výraz pro g(x),
bude to tedy třetí odmocnina z
(x plus 1)
minus 7, a pak tu máme plus 7,
to celé na třetí, minus 1.
Všimněte si, kdekoli jsem uviděl 'x', 
protože počítám f(g(x)),
nahradím 'x' tím, co je g(x).
Což je třetí odmocnina 
z (x plus 1) minus 7.
Dobře, podívejme se,
jestli to můžeme zjednodušit.
Máme tu 
minus 7 plus 7,
takže se nám to zjednoduší pěkně.
Takže se z toho stane...
(Můžu to teď napsat neutrální barvou.)
Je to rovné
třetí odmocnině z (x plus 1)
na třetí, minus 1.
A když mám 
třetí odmocninu z (x plus 1)
a umocním ji na třetí,

English: 
so, f of g of x is going to be equal to
so it's going to be equal to,
well I see an x right over there
so I'll write all of g of x there
so that's the cube root of
x plus one
minus seven, and then I have plus seven
plus seven to the third power, minus one
notice, whenever I saw the x,
since I'm taking f of g of x,
I replace it with what g of x is,
so, that is, the cube root
of x plus one minus seven.
Alright, I'll see if we can simplify this.
Well, we have a minus seven plus seven
so that simplifies nicely.
So, this just becomes, this is equal to,
I can do a neutral color now,
this is equal to
the cube root of x plus one
to the third power, minus one.
Well, if I take the
cube root of x plus one
and then I raise it to the third power,

Thai: 
f ของ g ของ x จะเท่ากับ
มันจะเท่ากับ
ผมเห็น x ตรงนี้
ผมจะเขียน g ของ x ทุกตัวตรงนี้
นั่นก็คือรากที่สามของ
x บวก 1
ลบ 7 แล้วผมมีบวก 7
บวก 7 ยกกำลังสาม ลบ 1
สังเกตว่า เมื่อไหร่ที่ผมเห็น x เนื่องจากผม
หา f ของ g ของ x
ผมก็แทนมันด้วยค่าของ g ของ x
นั่นคือ รากที่สามของ x บวก 1 ลบ 7
เอาล่ะ ผมจะดูว่าเราจัดรูปมันได้ไหม
ทีนี้ เรามีลบ 7 บวก 7
พวกมันจึงจัดรูปได้อย่างสวยงาม
อันนี้กลายเป็น อันนี้เท่ากับ
ผมใช้สีธรรมดาตอนนี้ได้
อันนี้เท่ากับ
รากที่สามของ x บวก 1
ยกกำลังสาม ลบ 1
ทีนี้ ถ้าผมหารากที่สามของ x บวก 1
แล้วผมยกกำลังสาม

Bulgarian: 
f(g(х)) ще е равно на...
Виждам х ето тук
така че ще запиша g(х) там,
тоест това е кубичен корен от
(х плюс 1),
минус 7.
И после имам плюс 7,
цялото на трета степен, минус 1.
Забележи, че където видях х, тъй като взимам f(g(х)),
го заменям с g(х),
така че това е кубичен корен от (х плюс 1), минус 7.
Да видим дали можем да опростим това.
Имаме минус 7 плюс 7
и това добре се опростява.
Това е равно на –
сега мога да избера неутрален цвят –
това е равно на
кубичен корен от (х плюс 1),
на трета степен, минус 1.
Ако взема кубичен корен от (х плюс 1)
и го повдигна на трета степен,

Korean: 
즉 f(g(x))는
다음과 같습니다
여기 보이는 x 대신에
g(x) 수식을 대입해 봅시다
x+1의
세제곱근
-7, 그리고 다시 +7
+7의 세제곱 +1
잘 보시기 바랍니다
f(g(x)) 값을 구하기 위해서
모든 x의 자리에 g(x)를 
나타내는 식을 대입한 겁니다
x+1의 세제곱근 -7
이제 식을 좀 간단히 해봅시다
여기 -7과 +7이 있으니까
바로 상쇄가 됩니다
이렇게 하고 나면
다른 색깔로 써 봅시다
이렇게 되면
x+1의 세제곱근의
세제곱 -1
x+1의 세제곱근을
다시 세제곱하면

German: 
Was ergibt also f(g(x))?
Ich sehe hier ein x, also ersetze ich es durch g(x).
Ich erhalte also (³√(x + 1) - 7 + 7)³ -1.
Da ich mir f(g(x)) anschaue, habe ich
überall da, wo ich ein x gesehen habe,
es mit der Definition von g(x) ersetzt,
nämlich ³√(x + 1) - 7.
Lass es uns vereinfachen.
Wir haben -7 und +7 also kürzt sich das weg.
Das ergibt also ³√(x + 1)³ - 1.
Wenn ich die dritte Wurzel von (x + 1)
ziehe und das dann hoch 3 nehme,

Czech: 
tak zkrátka dostanu 
x plus 1.
Takže tato část
se zjednoduší na 
x plus 1,
a pak odečtu 1,
a to vše se tedy zjednodušilo na 'x'.
Takže nám zůstalo jen 'x'.
f(g(x)) je tedy 'x'.
A nyní se podívejme, 
co je g(f(x)).
Takže, g(f(x)) se bude rovnat...
Napíšu to přímo sem...
Bude se to rovnat
třetí odmocnině z...
Vlastně, vypíšu to nejdřív,
kdekoli uvidím 'x',
napíšu místo něho f(x).
Minule jsem to nedělal,
'x' jsem nahradil přímo definicí f(x).
Ale aby bylo zřejmé,
co dělám,
tak kdekoli uvidím 'x',
nahradím ho f(x).
Takže, třetí odmocnina z (f(x) plus 1)
minus 7.
To se bude rovnat
třetí odmocnině z f(x),

Thai: 
มันจะได้ x บวก 1
ส่วนนี้
ส่วนนี้จึงลดรูปเหลือ x บวก 1
แล้วผมลบ 1
มันจึงลดรูปหมดเหลือเท่ากับ x
เราจะเหลือแค่ x
f ของ g ของ x จึงเป็นแค่ x
ตอนนี้ ลองหากันว่า g ของ f ของ x คืออะไร
g ของ f ของ x จะเท่ากับ
ผมจะทำตรงนี้นะ
อันนี้จะเท่ากับ
รากที่สามของ
ที่จริง ขอผมเขียนออกมาดีกว่า
ไม่ว่าผมเห็น x ที่ไหน 
ผมจะเขียนมันเป็น f ของ x แทน
ผมไม่ได้ทำครั้งที่แล้ว ผมทำตรงๆ
แทนที่ด้วยนิยามของ f ของ x เลย
แต่เพื่อให้ชัดเจนว่าผมทำ
ทุกที่ที่ผมเห็น x ผมจะแทนที่ด้วย f ของ x ก่อน
รากที่สามของ f ของ x บวก 1
ลบ 7
นั่นก็จะเท่ากับรากที่สามของ
รากที่สามของ f ของ x

Korean: 
그냥 x+1만 남게 됩니다
그러니까
여기 이 부분은 x+1으로
간단히 할 수 있습니다
여기서 다시 1을 빼면
결국 x와 같게 되는 겁니다
예, x만 남았습니다
그러니까 f(g(x))는 x입니다
자, 이제 g(f(x))의 값을 구해 봅시다
g(f(x))는 다음과 같습니다
이 쪽에 써 보겠습니다
이걸 풀이해 보면
세제곱근...
다시 써 보겠습니다
x 대신에 f(x)를 쓸 수 있습니다
이전 풀이에서는 그렇게 하지 않고
f(x)의 정의에 바로 대입했습니다
하지만 여러분의 이해를 돕기 위해
x 대신에 f(x)를 대입하겠습니다
f(x)+1의 세제곱근
-7
다시 풀이해 보면
f(x)의 세제곱근에서

Bulgarian: 
това ще ми даде просто (х плюс 1).
Тази част
се опростява до (х плюс 1),
а после изваждам 1,
така че това се опрости до х.
Остана ни само х.
f(g(х)) е просто х.
Нека видим колко е g(f(х)).
g(f(х)) ще е равно на –
ще го направя ето тук –
това ще е равно на
кубичен корен от –
нека го запиша...
Където видя х, ще напиша вместо това f(х),
не направих това последния път, а направо преминах напред
и замених с израза за f(х),
но просто за да поясня какво правя –
навсякъде, където видя х, го замествам с f(х).
Кубичен корен от f(х) плюс 1,
минус 7.
Това ще е равно на кубичен корен от
f(х),

German: 
bekomme ich einfach x + 1.
Aus diesem Teil wird also x + 1.
Dann subtrahiere ich 1, also wird
alles einfach nur zu x vereinfacht.
Es bleibt also x übrig.
f(g(x)) ist also einfach nur x.
Finden wir nun heraus, was g(f(x)) ist.
Ich schreibe es nochmal auf.
Überall, wo ich ein x sehe, kann
ich stattdessen f(x) schreiben.
Das habe ich letztes Mal nicht gemacht,
ich habe es direkt mit der Definition von f(x) ersetzt.
Aber damit du weißt, was ich tue: überall wo 
ich ein x sehe, ersetze ich es mit einem f(x).
³√(f(x) + 1) - 7.

English: 
well, that's just gonna
give me x plus one.
So, this part
this part just simplifies to x plus one,
and then I subtract one,
so it all simplified out
to just being equal to x.
So we're just left with an x.
So, f of g of x is just x.
So now, let's try what g of f of x is.
So, g of f of x is going to be equal to,
I'll do it right over here,
this is going to be equal to
the cube root of
actually, let me write it out,
wherever I see an x, I
can write f of x instead,
I didn't do it that last
time, I went directly
and replaced with the definition of f of x
but just to make it clear what I'm doing
everywhere I'm seeing an x,
I replace it with an f of x.
So, the cube root of f of x plus one,
minus seven.
Well, that's going to be
equal to the cube root of
cube root of f of x,

Chinese: 
就得x+1
因此在这儿就被简化成了x+1
因此在这儿就被简化成了x+1
然后x+1-1
简化之后得x
简化之后得x
因此f(g(x))=x
现在再解g(f(x))
现在再解g(f(x))
在这边解
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
让我写出来
只要我们看见x就替换成f(x)
我上一次并没那么做
我就直接把x替换掉了
我现在只是让你清楚一些
无论在哪看见x就替换成f(x)
因此g(f(x))=³√f(x)+1  -7
因此g(f(x))=³√f(x)+1  -7
这就是g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7

Chinese: 
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
g(f(x))=³√( (x+7)³-1+1   -7
真幸运~这里一个减1这里又一个加1
因此抵消掉了
那三次根号的三次方又抵消掉了
那三次根号的三次方又抵消掉了
那三次根号的三次方又抵消掉了
得x+7
因此，这是
x+7
由上面的简化后得x+7
然后我们再减去7
两个7抵消掉了
因此得x
我们可见这很有趣
f(g(x))=x
g(f(x))=x
因此若我们从x开始
代入函数g中

German: 
Das ergibt ³√((x + 7)³ - 1 + 1) - 7.
Zum Glück kürzen sich -1 und +1 weg.
Als nächstes ziehen wir die dritte Wurzel von (x + 7)³.
Das ergibt einfach x + 7, da dieser ganze
Teil sich auf x + 7 vereinfachen lässt.
Und dann subtrahieren wir 7.
+7 und -7 kürzen sich weg, also bleibt nur noch x übrig.
Das ist interessant.
f(g(x)) = x, und g(f(x)) = x.

Czech: 
což je celý tento výraz tady,
takže (x plus 7) na třetí
minus 1, a pak ještě přičteme 1.
A pak od toho celého odečteme 7.
Naštěstí pro nás, odečítáme a přičítáme 1,
takže se to vyruší.
A zůstane nám
třetí odmocnina z (x plus 7) na třetí.
Třetí odmocnina z (x plus 7) na třetí
je prostě 
x plus 7.
Takže to bude
x plus 7,
celý tento výraz se zjednoduší na
x plus 7,
a pak odečteme 7.
Tyto dvě se vyruší,
a zůstane nám jen 'x'.
A vidíme něco velmi zajímavého.
f(g(x)) je 'x'
a g(f(x)) je také 'x'.
Takže v tomto případě,
když začneme s 'x',
vložíme ho do funkce 'g'

Bulgarian: 
което е всичко това тук.
Тоест ще имам (х плюс 7) на трета,
минус 1, и после добавям 1.
И после изваждаме 7.
За щастие изваждаме 1 и добавяме 1,
тези се унищожават.
После ще вземем
кубичен корен от (х плюс 7) на трета.
Кубичен корен от (х плюс 7) на трета степен
ще е просто (х плюс 7),
така че това ще е
(х плюс 7),
тоест всичко това тук се опростява до (х плюс 7).
А после изваждаме 7.
Тези двете се унищожават
и ни остава единствено х.
Виждаме нещо много интересно.
f(g(х)) е просто х
и g(f(х)) е просто х.
В този случай, ако започнем с х
и го въведем във функцията g,

Thai: 
ซึ่งทั้งหมดนี่ตรงนี้
มันคือ x บวก 7 ยกกำลังสาม
ลบ 1 แล้วเราบวก 1
และเราบวก 1 แล้วเราลบ 7
โชคดีของเรา การลบ 1 กับบวก 1
พวกมันหักล้างกัน
ต่อไป เราจะหา
รากที่สามของ x บวก 7 ยกกำลังสาม
รากที่สามของ x บวก 7 ยกกำลังสาม
จะเท่ากับ x บวก 7
อันนี้จึงเท่ากับ
x บวก 7
ทั้งหมดนี้ลดรูปเหลือ x บวก 7
แล้วเราลบ 7
สองตัวนี้หักล้างกัน หรือลบกัน
แล้วเราเหลือแค่ x
เราเห็นสิ่งที่น่าสนใจมาก
f ของ g ของ x ก็คือ x
และ g ของ f ของ x เท่ากับ x
ในกรณีนี้ ถ้าเราเริ่มด้วย x
ถ้าเราเริ่มด้วย x เรานำเข้ามันไปในฟังก์ชัน g

Korean: 
f(x) 대신 여기 이 식을 대입합니다
그러면 x+7의 세제곱
-1, 그리고 다시 +1
이렇게 1을 더하고 다시 7을 뺍니다
다행히도 1을 빼고 다시 1을 더하면
서로 상쇄가 됩니다
그런 다음
x+7의 세제곱근을 다시 세제곱하면
자, x+7의 세제곱근의 세제곱은
그냥 x+7과 같습니다
그러니까
x+7
결국 이 식은 x+7으로 
간단히 할 수 있습니다
그리고 다시 7을 빼면
이 둘이 서로 상쇄되고
x만 남게 됩니다
아주 재미있는 현상입니다
f(g(x))는 x와 같고
g(f(x))도 x와 같습니다
이런 경우, x에서 시작해 봅시다
x에서 시작해서 g함수에 대입하면

English: 
which is all of this business over here
so that is x plus seven
to the third power,
minus one, and then we add one
and we add one, and then
we subtract the seven
lucky for us, subtracting
one and adding one,
those cancel out.
Next, we're gonna take the
cube root of x plus
seven to the third power.
Well, the cube root of x
plus seven to the third power
is just going to be x plus seven
so, this is going to be
x plus seven,
for all of this business
simplifies to x plus seven,
and then we do subtract seven
and these two cancel out,
or they negate each other
and we are just left with x.
So, we see something very interesting.
f of g of x is just x
and g of f of x is x.
So, in this case, if we start with an x
if we start with an x, we
input it into the function g

German: 
Wenn wir in diesem Fall einen x-Wert in die
Funktion g einsetzen, und g(x) erhalten,
und das in die Funktion f einsetzen,
führt uns f(g(x)) zurück zu x.
Also sind wir quasi im Kreis gelaufen.
Und dasselbe passiert hier.
Wenn ich x in die Funktion f einsetze,
und f(x) als Ergebnis erhalte,
und das in die Funktion g einsetze, laufe ich
quasi im Kreis und komme wieder bei x an.
Das sind beides zusammengesetzte Funktionen.
Das ist nun die Menge aller möglichen Inputs 
in jede dieser zusammengesetzten Funktionen,
und das hier sind die Outputs bzw. Ergebnisse.

Thai: 
และเราได้ g ของ x
เราได้ g ของ x
แล้วเรานำเข้าค่านั้นไปในฟังก์ชัน f
แล้วเรานำเข้าค่านั้นไปในฟังก์ชัน f
f ของ g ของ x จะให้ค่า x กลับมา
มันพาเรากลับมายัง x
เราเหมือนเดินทางไปกลับ
และสิ่งเดียวกันเกิดขึ้นตรงนี้
ถ้าผมใส่ x ลงใน f ของ x --
โทษที ถ้าผมใส่ x เข้าไปในฟังก์ชัน f
และผมได้ f ของ x ค่าส่งออกจะเป็น f ของ x
แล้วผมนำเข้าค่านั้นไปใน g ลงในฟังก์ชัน g
เข้าไปในฟังก์ชัน g เหมือนเดิม 
ผมเดินทางไปกลับ
ผมจะกลับมายัง x
วิธีคิดอีกอย่าง
พวกนี้เป็นฟังก์ชันประกอบทั้งคู่
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า
ถ้าพวกนี้คือเซตของค่านำเข้า
ทั้งหมดที่เป็นไปได้
เข้าไปในฟังก์ชันประกอบเหล่านี้
แล้ว พวกนี้คือค่าส่งออก
คุณจะเริ่มที่ x

Bulgarian: 
и получим g(х)...
Получаваме g(х)
и после въведем това във функцията f,
f(g(х)) ни връща обратно към х.
Връща ни обратно до х.
Един вид направихме пълна обиколка.
Същото нещо се случва ето тук.
Ако въведа х в f(х)...
Извинявай, ако въведа х във функцията f
и получа f(х) – резултатът ще е f(х),
после въвеждам това във функцията g
и отново правя тази пълна обиколка,
и се връщам обратно до х.
Друг начин да помислим за това е,
че и двете са съставни функции.
Един начин да помислим за това е:
ако това е множество от всички възможни аргументи
в която и да е от тези съставни функции,
а после това са резултатите.
Тоест започваш с х,

English: 
and we get g of x
we get g of x
and then we input that
into the function f,
then we input that into the function f,
f of g of x gets us back to x.
It gets us back to x.
So we kind of did a round-trip.
And the same thing is happening over here.
If I put x into f of x...
I'm sorry, if I put x into the function f,
and I get f of x, the output is f of x,
and then I input that into
g, into the function g
into the function g, once
again I do this round-trip
and I get back to x.
Another way to think about it,
these are both composite functions,
one way to think about it is,
if these are the set
of all possible inputs
into either of these composite functions,
and then, these are the outputs,
so you're starting with an x,

Chinese: 
得g(x)
得g(x)
然后再代入到函数f中
然后再代入到函数f中
f(g(x))得数又返回到x
f(g(x))得数又返回到x
我们就像来回算了一下
这也同样发生在这边了
若从x开始带入到f(x)
抱歉，若代入x到函数f中
得f(x)
然后再代入到函数g中得
强调一次，我只是来回的计算
带入到函数g中又得x
或者另一种方法
这都是复合函数
可以这样想
若这是组可能的代入值
那就任意代入到复合函数中
然后得出得数
因此从x开始

Czech: 
a dostaneme g(x)
a potom to vložíme do funkce 'f',
f(g(x)) nás dostane zpátky k 'x'.
Zpátky k 'x'.
Takže jsme udělali 
takovou "okružní cestu".
A to samé se děje tady.
Když vložím 'x' do f(x)...
Pardon, když vložím 'x' do funkce 'f'
a dostanu f(x) 
(výstup je f(x)),
a potom to vložím do funkce 'g',
opět udělám "okružní cestu"
a dostanu se zpátky k 'x'.
Je i jiný způsob, jak o tom uvažovat.
Toto jsou obě složené funkce.
A jedním ze způsobů, 
jak o tom uvažovat, je...
Pokud toto je množina všech možných vstupů
do některé z těchto složených funkcí
a toto jsou pak výstupy,
začnete tedy s 'x'...

Korean: 
g(x)를 얻게됩니다
그리고 g(x)를
f함수에 대입합니다
f함수에 대입해 보면
f(g(x))이니까 다시 x가 됩니다
다시 x로 되돌아 갑니다
출발 지점으로 돌아온 겁니다
이 쪽에서도 마찬가지입니다
x를 f(x)에 대입하면...
죄송합니다, x를 f함수에 대입하면
f(x)를 얻을 수 있습니다
그리고 이를 다시 g함수에 대입합니다
그러면 또 출발점으로 되돌아 옵니다
다시 x로 돌아오게 됩니다
이렇게도 생각해 봅시다
이 둘은 모두 합성함수들입니다
이렇게 생각해 볼 수도 있습니다
이 쪽이 이 두 합성함수에 대입할 수 있는
모든 입력 값들의 집합이고
이 쪽은 결과 값이라고 합시다
그리고 x에서 시작해 봅시다

German: 
Du beginnst mit einem x. g ist 
eine Zuordnung von x nach g(x).
Das ist es, was g macht.
Die Funktion g ordnet von x zu einem Wert g(x) zu.
Wenn du dann f auf diesen Wert g(x) anwendest,
kommst du wieder zurück zu x.
Das ist also f(g(x)).
Und umgekehrt.
Wenn du mit x beginnst, und zuerst f(x)
anwendest, kommst du zu diesem Wert.
Das ist also f(x). Du hast also
die Funktion f angewendet.
Wenn du darauf die Funktion g
anwendest, kommst du zurück.

English: 
I'll do this case first,
so, g is a mapping,
let me write down,
so, g is going to be a mapping
from x to g of x
so, this is what g is doing
so, the function g maps
from x to some value, g of x
and then if you'd apply f to
this value right over here
if you apply f to this value, the g of x,
you get all the way back to x.
So, that is f of g of x.
And vice versa.
If you start with x
and apply f of x first,
so, if you start with f,
if you apply f of x first,
let me do that,
so, if you apply f of x first,
you see you get to this value
so, that is f of x, so
you applied the function f
when you apply the function g to that,
you apply the function
g to that, you get back.

Bulgarian: 
първо ще направя този случай,
g е съпоставяне,
нека запиша това,
g ще е съпоставяне
от х към g(х).
Това прави g.
Функцията g извежда от х някаква стойност, g(х).
А после ако приложиш f към тази стойност
ето тук, g(х),
ще се върнеш обратно до х.
Това е f(g(х)).
И обратно.
Ако започнеш с х и приложиш първо f(х),
ако започнеш с f,
нека направя това,
ако приложиш първо f(х), виждаш, че стигаш до тази стойност –
това е f(х).
Когато приложиш функцията g към това,
се връщаш обратно.

Thai: 
ผมจะทำกรณีนี้ก่อน
g คือการโยง
ขอผมเขียนลงไปนะ
g จะเป็นการโยง
จาก x ถึง g ของ x
นี่ก็คือสิ่งที่ g ทำ
ฟังก์ชัน g โยงจาก x ไปยังค่าหนึ่งคือ g ของ x
แล้วถ้าคุณใช้ f กับค่านี่ตรงนี้
ถ้าคุณใช้ f กับค่านี้ g ของ x
คุณจะกลับไปยัง x
นั่นคือ f ของ g ของ x
และในทางกลับกัน
ถ้าคุณเริ่มด้วย x และใช้ f ของ x ก่อน
ถ้าคุณเริ่มด้วย f ถ้าคุณใช้ f ของ x ก่อน
ขอผมทำนะ
ถ้าคุณใช้ f ของ x ก่อน คุณจะเห็นว่าคุณได้ค่านี้
นั่นคือ f ของ x คุณก็ใช้ฟังก์ชัน f
แล้วคุณใช้ฟังก์ชัน g กับค่านั้น
คุณใช้ฟังก์ชัน g กับค่านั้น คุณก็กลับมา

Czech: 
(Udělám tento příklad jako první.)
Takže 'g' je zobrazení...
(Zapíšu to.)
'g' je zobrazení
z 'x' do g(x).
To je to, co 'g' dělá.
Takže funkce 'g' zobrazuje z 'x' 
do určité hodnoty, g(x),
a pak, pokud byste aplikovali funkci 'f'
na tuto hodnotu, g(x),
dostanete se zase zpátky k 'x'.
Takže, to je f(g(x)).
A naopak.
Když začnete s 'x'
a aplikujete f(x) jako první,
tak, když začnete s 'f',
když aplikujete f(x) jako první...
(Udělám to.)
Když aplikujete f(x) jako první,
vidíte, že se dostanete k této hodnotě,
což je f(x).
Takže jste aplikovali funkci 'f',
a když na ni aplikujete funkci 'g',
dostanete se zase zpátky.

Korean: 
이 경우를 먼저 보겠습니다
g는,
여기 써 봅시다
g는 x와 g(x) 사이의
관계를 나타냅니다
g의 역할은 이것입니다
g함수는 x와 어떤 특정 값
g(x)의 관계를 나타냅니다
여기 이 값에 f를 적용하면
g(x)에 f를 적용하면,
다시 x로 돌아오게 됩니다
자, 이게 f(g(x))입니다
이제 반대로 해봅시다
x에서 시작해서 f(x)를 먼저 적용하면
먼저 f(x)를 적용하면
제가 해보겠습니다
f(x)를 먼저 적용하면 이 값이 나오고
이게 f(x)입니다, f함수를 적용했습니다
여기에 g함수를 적용하면
g함수를 적용하면 다시 돌아갑니다

Chinese: 
我先这样做
我先把他写下
我先把他写下
g要从x映射到g(x)
g要从x映射到g(x)
这就是g
因此函数g从x映射到g(x)
若把f放在这里
若把f放在这里
就会回到x
这就是f(g(x))
反之亦然
若你从f开始要得f(x)
若你从f开始要得f(x)
写下来
若你从f开始要得f(x)
这是f(x),通过f
当你经过函数g了
你就会回到原点

Thai: 
g ของ f ของ x นี้
หรือ g ของ f
เราใช้ฟังก์ชัน g กับ f ของ x
แล้ว เนื่องจากเราเดินทางไปกลับที่เดิม
ทั้งสองแบบ เราจึงรู้
ว่าฟังก์ชัน g กับ f เป็นอินเวอร์สของกันและกัน
ที่จริง เราเขียนได้ว่า
f ของ x เท่ากับอินเวอร์สของ g ของ x
อินเวอร์สของ g ของ x และกลับกัน
g ของ x เท่ากับอินเวอร์สของ f ของ x
อินเวอร์สของ f ของ x
หวังว่าคุณคงสนุกนะ

English: 
So this g of f of x,
I should say, or g of f,
we're applying the function
g to the value f of x
and so, since we get a
round-trip either way, we know
that the functions g and f
are inverses of each other
in fact, we can write that
f of x is equal to the inverse of g of x,
inverse of g of x, and vice versa,
g of x is equal to the inverse of f of x
inverse of f of x.
Hope you enjoyed that.

Chinese: 
就是g(f(x))
或者说g(f)
我们用函数g去找f(x)
因此这就像是来回计算
那么证明了函数g和函数f互为反函数
可以这样写
f(x)=反函数g(x)
或者g(x)=反函数f(x)
或者g(x)=反函数f(x)
或者g(x)=反函数f(x)
希望这对你有帮助

Korean: 
이게 g(f(x))입니다
이렇게도 볼 수 있습니다
f(x) 값에 g함수를 적용해 보니
어느 쪽으로든 같은 값을 얻었고
g함수와 f함수는 서로 역이라는 겁니다
실은 이렇게 쓸 수 있습니다
f(x)는 g(x)의 역과 같고
g(x)의 역과 같고
그 반대도 성립합니다
g(x)는 f(x)의 역과 같다
f(x)의 역과 같습니다
재미있게 보셨기를 바랍니다

Bulgarian: 
Това g(f(х)),
трябва да кажа, или g(f) –
прилагаме функцията g към стойността f(х).
И след като и в двата случая имаме пълно завъртане, знаем,
че функциите g и f са обратни една на друга.
Всъщност можем да запишем, че
f(х) е равно на обратната функция на g(х)
и обратно.
g(х) е равно на
обратната функция на f(х).
Надявам се, че това ти хареса.

German: 
Das ist also g(f(x)).
Wir wenden die Funktion g auf den Wert f(x) an,
und da wir uns in jede Richtung im Kreis bewegen,
wissen wir, dass die Funktionen g und f Umkehrfunktionen voneinander sind.
Wir können sogar schreiben, dass f(x) = g^-1(x) ist.
Und umgekehrt: g(x) = f^-1(x).
Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Czech: 
Takže toto je g(f(x)).
(Nebo g(f).)
Aplikujeme funkci 'g' na hodnotu f(x).
A protože se dostaneme 
k "okružní cestě" v obou směrech,
víme, že funkce 'g' a 'f' 
jsou vůči sobě inverzní.
Vlastně si to můžeme takto zapsat:
f(x) se rovná g na -1 (x),
a obráceně,
g(x) se rovná f na -1 (x).
Doufám, že vás to bavilo.
