
Polish: 
Wypisaliśmy wszystkie
liczby całkowite w spirali.
Liczby pierwsze zaznaczyliśmy
na niebiesko. Złożone są na czarnym tle.
Można zadać ciekawe pytanie:
„Ile jest liczb pierwszych
w stosunku do złożonych?”.
Najpierw spójrzmy
z większej odległości.
Koloru liczb pierwszych
jest więcej pośrodku,
stopniowo go ubywa, ale wydaje się,
że on nigdy nie zniknie.
Lubię o tym myśleć tak:
pośrodku rośnie
nieskończenie wysokie drzewo.
Spadające z niego liście
to liczby pierwsze.
Nieprzewidywalnie
rozproszone na ziemi.
Przy pniu jest gęsto.
Odchodząc od niego,
znajdujemy mniej liści,
ale jakieś zawsze są.
Tak samo dzieje się, gdy patrzymy
na rosnące liczby całkowite.
Zawsze znajdujemy liczby pierwsze,

Korean: 
모든 정수를 나선형으로
나열한다고 상상해 봅시다
그리고 소수는 파란색으로 칠하고
합성수는 검정색으로 남겨 둡시다
여기서 흥미로운 질문은
합성수와 비교했을 때
얼마나 많은 소수가 있냐는 거죠
큰 그림을 보기 위해 멀리서 바라보겠습니다
소수 들이 중심에 빽빽히 
밀집되어 있습니다
옅어지는 듯 하지만
끝나지는 않습니다
이렇게 비유해 봅시다
중앙에 나무 한 그루가 있는데
무한히 높은 나무죠
이 나무에서 떨어진 잎사귀들은
소수를 뜻합니다
불규칙하게 밑에서 흐트러져 있고
나무 밑둥에 밀집되어있죠
그리고  이 나무에서 조금 멀어진다면
잎들이 조금 줄어들겠지만
항상 찾을 수는 있습니다
이것은 더 큰 정수를 볼 때
어떤 일이 일어나는지
정확히 말해줍니다
우리는 항상 소수를 더 찾지만

Italian: 
Immaginate d'aver sistemato gli interi in una spirale che cresce 
verso l'esterno e di colorare col blu i numeri primi
Immaginate d'aver sistemato gli interi in una spirale che cresce 
verso l'esterno e di colorare col blu i numeri primi
lasciando i numeri composti in nero
Chiediamo: quanti numeri primi esistono rispetto ai composti?
Chiediamo: quanti numeri primi esistono rispetto ai composti?
Chiediamo: quanti numeri primi esistono rispetto ai composti?
Allontaniamoci per osservare l'andamento generale
I numeri primi sono più densi al centro
e meno densi all'allontanarsi dal centro
I numeri primi sono più densi al centro
e meno densi all'allontanarsi dal centro
ma non scompaiono mai del tutto
L'immagine che ho è quella di un albero infinitamente alto
L'immagine che ho è quella di un albero infinitamente alto
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
Le foglie che cadono rappresentano i numeri primi, che si 
distribuiscono in modo imprevedibile ma sono più dense al centro
La stessa cosa avviene all'aumentare dei numeri, 
dove non cessiamo mai di trovare dei primi
La stessa cosa avviene all'aumentare dei numeri, 
dove non cessiamo mai di trovare dei primi
La stessa cosa avviene all'aumentare dei numeri, 
dove non cessiamo mai di trovare dei primi

Bulgarian: 
Представи си, че подредим всички цели числа спираловидно
и оцветим простите числа в синьо
и оставим съставните числа в черно.
Ето един интересен въпрос, който можем да си зададем:
"Какъв е броят на простите числа
в сравнение с броя на съставните?"
Първо, нека се отдалечим, за да видим цялата картина.
Забележи, че цветът на простите числа е наситен в центъра,
а с увеличаване на разстоянието става по-блед,
но никога не изчезва.
Обичам да мисля за това по следния начин:
представи си, че в центъра има дърво,
което е безкрайно високо.
Листата, падащи от това дърво,
са простите числа,
които са разпилени непредсказуемо,
нагъсто близо до основата на дървото,
а когато се отдалечаваме от това дърво,
намираме все по-малко листа,
но въпреки това винаги ги намираме.
Точно това се случва,
когато гледаме все по-големи и големи цели числа.
Винаги намираме още прости числа,

Bengali: 
##  আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##
মনে করি আমরা সকল পূর্ণসংখ্যার সর্পিলাকার তালিকা করেছি,
যেখানে, মৌলিক সংখ্যাগুলো নীল এবং
যৌগিক সংখ্যাগুলোকে কালো রঙ এ রেখেছি ।
একটি মজার প্রশ্ন জিজ্ঞেস করা যায়,
যৌগিক সংখ্যার সাপেক্ষে
মৌলিক সংখ্যা কত?
প্রথমে, আমরা বড় ছবিটি দেখতে ছবিটি ছোট করি।
লক্ষ্য কর, মৌলিক সংখ্যার রঙ কেন্দ্রে ঘন,
এবং দূরত্ব বৃদ্ধির সাথে কমছে কিন্তু মনে হয়
কখনো শেষ হবে না।
নিম্নরূপে এটা নিয়ে চিন্তা করা যায়ঃ মনে কর কেন্দ্রে
একটি গাছ আছে
যা অসীম লম্বা। এই গাছ থেকে যে
পাতা গুলো পড়ে সেগুলো
মৌলিক সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে,
যা গাছের শেকড়ের কাছে
অপ্রত্যাশিতভাবে ঘন হয়ে বিক্ষিপ্ত হয়ে আছে,
এবং আমরা যখন এই গাছ থেকে যত দূরে সরে যাচ্ছি
তখন আমরা অনেক কম পাতা খূঁজে পাচ্ছি,
যদিও আমরা সবসময় তাদের খুঁজে পাব।
যখন আমরা বড় এবং আরো
বড় পূর্ণসংখ্যা নিয়ে কাজ করি তখন ঠিক এটাই ঘটে
আমরা সবসময় আরো মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাই,

Czech: 
Představte si přirozená čísla
uspořádaná do spirály.
Prvočísla jsme obarvili na modro
a složená čísla ponechali černá.
Naskýtá se zajímavá otázka:
„Kolik je prvočísel
v porovnání se složenými čísly?“
Podívejme se na to
nejdříve z širšího pohledu.
Povšimněte si, že barva
prvočísel je hustá uprostřed,
směrem ven postupně řídne,
ale nikdy nezmizí docela.
Já o tom rád uvažuji takto:
Představte si uprostřed
nekonečně vysoký strom.
Z něj se na zem snášejí listy
představující prvočísla
a na zemi se nepředvídatelným
způsobem usazují:
nejhustěji u paty stromu,
ale jak se od stromu
vzdalujeme listů ubývá,
ačkoliv pořád nějaké potkáváme.
A totéž se přesně děje,
když postupujeme k větším číslům.
Stále nalézáme další prvočísla,

Portuguese: 
Narração: Imagine que listemos todos
os inteiros em uma espiral crescente,
destacando os números primos em azul,
e deixando os números compostos em preto.
Uma questão interessante
que devemos fazer é,
"Quantos primos existem
em comparação com os números compostos?"
Primeiro, vamos olhar de um ponto bem 
distante para entender melhor.
Observe que a cor dos primos
é densa no centro,
e vai clareando lentamente
em direção as bordas
mas não desaparece nunca.
Gosto de pensar sobre 
isso da seguinte maneira:
Imagine que há uma árvore bem no centro
que é infinitamente alta.
As folhas que caem dessa árvore
representam números primos,
que estão espalhados no 
solo aleatóreamente,
densos próximos da base da árvore,
a medida que nos afastamos dela,
encontramos cada vez menos folhas,
mas não importa o quanto andemos, 
sempre as encontraremos.
É exatamente isso que acontece
quando olhamos para inteiros
cada vez maiores.
Sempre encontramos mais primos,

English: 
Voiceover: Imagine we listed all
integers in a growing spiral,
and colored the prime numbers blue,
and left the composite numbers black.
One interesting question we may ask is,
"How many primes are there
compared to composites?"
First, let's zoom out
to see the big picture.
Notice the prime color
is dense in the center,
and slowly drops off in the distance
but never seems to end.
One way I like to think
about this is as follows:
Imagine there is a tree at the center
which is infinitely high.
The leaves which drop from this tree
represent prime numbers,
which are scattered unpredictably below,
dense near the base of the tree,
and as we walk away from this tree,
we find fewer leaves,
though we always find them.
This is exactly what happens
when we look at larger
and larger integers.
We always find more primes,

Thai: 
นึกภาพว่าเราเขียนจำนวนเต็มทั้งหมด
เป็นเกลียวออกไป
และระบายสีจำนวนเฉพาะด้วยสีฟ้า
และปล่อยจำนวนประกอบเป็นสีดำ
คำถามที่น่าสนใจข้อหนึ่งที่เราอาจถามคือว่า
มีจำนวนเฉพาะกี่ตัว
เทียบกับจำนวนประกอบ?
ก่อนอื่น ลองซูมออกเพื่อให้เห็นภาพใหญ่
สังเกตว่าสีของจำนวนเฉพาะหนาแน่นตรงกลาง
และตกลงช้าๆ ตามระยะทาง
แต่มันดูเหมือนจะไม่มีวันจบ
วิธีที่ผมชอบคิดคืออย่างนี้
นึกภาพว่ามีต้นไม้ตรงกลาง
ซึ่งสูงเป็นอนันต์
ใบไม้ที่ตกจากต้นไม้นี้
คือจำนวนเฉพาะ
ซึ่งกระจายแบบทำนายไม่ได้ข้างล่าง
หนาแน่นใกล้ฐานต้นไม้
และเมื่อเราห่างจากต้นไม้นี้มากขึ้น
เราจะเจอใบไม้น้อยลง
แต่เราจะเจอใบไม้เสมอ
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น
เมื่อเราดูจำนวนเต็มที่มากขึ้นเรื่อยๆ
เราพบจำนวนเฉพาะมากขึ้นเรื่อยๆ

Georgian: 
წარმოიდგინეთ, რომ ყველა მთელი
რიცხვი მოვათავსედ ზრდად სპირალზე,
მარტივი რიცხვები გავაფერადეთ ლურჯად
შედგენილი რიცხვები კი დავტოვედ შავად
კითხვა, რომელიც შეიძლება დავსვათ
არის,
რა შეფარდებაა მარტივ რიცხვებსა
და შედგენილ რიცხვებს შორის.
თავიდან დავაშოროთ გამოსახულება,
რომ უკეთ დავინახოთ.
დააკვირდით, მარტივების ფერი
მეტია ცენტრთან და მცირდება დაშორებისას,
თუმცა არ ქრება.
მე ამას ასე წარმოვიდგენ
წარმოიდგინედ, რომ ცენტრში არის
უსასრულოდ მაღალი ხე.
ფოთლები, რომლებიც მას ცვივა
განასახიერებენ მარტივ რიცხვებს.
რომლებიც შემთხვევითად ნაწილდებიან
ხის ძირში
ფოთლების სიმჭიდროვე მაღალია
ხის ძირთან და კლებულობს დაშორებისას.
თუმცა ჩვენ მაინც ვპოულობთ მათ.
იგივე ხდება, როდესაც უფრო და უფრო
დიდ მთელ რიცხვებს ვყუყურებთ
შორს წასვლისას მაინც ვპოულობთ
მარტივ რიცხვებს.

Czech: 
ale jejich počet postupně klesá,
čím dál se od stromu podíváme.
Vraťme se k naší otázce:
Kolik existuje prvočísel menších
než nějaké přirozené číslo ‚x‘?
Když si uděláme tabulku, vidíme,
že počet prvočísel se neustále zvětšuje.
Ale jak hledáme dál,
nacházíme jich méně a méně.
Pojďme si nakreslit graf
s počtem prvočísel na svislé ose
a rozsahem hledání (‚x‘)
na vodorovné ose.
Když pohled oddálíme až k miliardám,
všimněte si, že se křivka nikdy nenarovná.
Pořád roste, i když nepatrně.
Zamysleme se nejdříve nad hustotou
prvočísel menších než číslo ‚x‘.
Hustotu získáme tak, že vydělíme
počet prvočísel rozsahem hledání (‚x‘).
Mezi prvními 100 přirozenými
čísly najdeme 25 prvočísel, čili 25 %.
Podobně mezi prvními 10 000 čísly
najdeme 1229 prvočísel,

Italian: 
anche se ne troviamo sempre più di rado 
all'allontanarci dal centro della spirale
anche se ne troviamo sempre più di rado 
all'allontanarci dal centro della spirale
Dato un x, quanti numeri primi esistono < x ?
Dato un x, quanti numeri primi esistono < x ?
Il numero dei primi aumenta sempre
Il numero dei primi aumenta sempre
ma se cerchiamo più lontano ne troviamo sempre meno
ma se cerchiamo più lontano ne troviamo sempre meno
Grafichiamo il numero dei primi in funzione della dimensione x della ricerca
Grafichiamo il numero dei primi in funzione della dimensione x della ricerca
Grafichiamo il numero dei primi in funzione della dimensione x della ricerca
Aumentando sempre più la dimensione x della ricerca 
vediamo che la curva continua a crescere
Aumentando sempre più la dimensione x della ricerca 
vediamo che la curva continua a crescere
Aumentando sempre più la dimensione x della ricerca 
vediamo che la curva continua a crescere
Pensiamo alla densità dei primi inferiori ad un intero X
Pensiamo alla densità dei primi inferiori ad un intero X
La densità è data dal rapporto fra primi trovati e dimensione della ricerca
La densità è data dal rapporto fra primi trovati e dimensione della ricerca
Negli interi fino a 100 ci sono 25 primi
quindi 25% è la nostra densità
Negli interi fino a 100 ci sono 25 primi
quindi 25% è la nostra densità
Negli interi fino a 1000 ci sono 1229 primi
quindi la densità dei primi è 12.29%

English: 
though the number of primes
we find gradually drops,
the further we look.
So let's return to our question.
How many primes are there
less than some integer x?
If we make a table,
we see the number of primes
is always increasing.
Though as we search further,
we find fewer and fewer.
Let's graph the number of primes
found on the vertical axis,
and the search size x on the horizontal.
As we zoom out to include
billions of numbers,
notice the curve never flat lines.
It's always rising, albeit gradually.
First, let's think about
the density of primes
less than some integer x.
We can find the density by dividing
the number of primes
found by the search size.
For the first 100 integers,
we find 25 primes,
therefore 25% are prime.
Of the first 1000 integers,
we find 1229 primes,

Thai: 
ถึงแม้ว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะ
จะลดลงเรื่อยๆ
เมื่อเรามองไกลออกไป
ลองกลับมายังคำถามเดิมของเรากัน
มีจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าจำนวนเต็ม x กี่ตัว?
ถ้าเราสร้างตาราง
เราเห็นว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะ
เพิ่มขึ้นเสมอ
ถึงแม้ว่าเมื่อเราจะหาไกลออกไป
เราจะเจอเพิ่มน้อยลง น้อยลง
ลองวาดกราฟจำนวนของจำนวนเฉพาะ
ทีพบบนแกนตั้ง
และขนาดการค้นหา x บนแกนนอนกัน
เมื่อเราขยายออกไปถึงจำนวนเป็นพันล้าน
สังเกตว่าเส้นโค้งไม่เคยเป็นเส้นตรง
มันเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ถึงแม้จะเพิ่มช้าๆ
ก่อนอื่น ลองคิดถึงความหนาแน่น
ของจำนวนเฉพาะ
ที่น้อยกว่าจำนวนเต็ม x กัน
เราหาความหนาแน่นได้โดยหาร
จำนวนเฉพาะที่พบ ด้วยขนาดการค้นหา x
สำหรับจำนวนเต็ม 100 ตัวแรก เราพบ
จำนวนเฉพาะ 25 ตัว
เพราะฉะนั้น 25% เป็นจำนวนเฉพาะ
สำหรับจำนวนเต็ม 10,000 ตัวแรก
เราพบจำนวนเฉพาะ 1,229 ตัว

Portuguese: 
embora o número de primos
caia gradualmente,
quando procuramos mais longe.
Então, voltemos a nossa questão.
Quantos primos existem menores
que um inteiro x?
Se fizermos uma tabela,
veremos que a quantidade 
de primos sempre aumenta.
Mas quanto mais longe procuramos,
encontramos cada vez menos.
Vamos fazer um gráfico da 
quantidade de primos
encontrados no eixo vertical,
e o tamanho do espaço de busca
x no horizontal.
A medida que nos distanciamos 
para incluir bilhôes de números,
obeserve que a curva nunca 
acompanha o horizonte.
Está sempre subindo, ainda que lentamente.
Primeiro, vamos pensar a respeito
da densidade dos primos
menores que algum inteiro x.
Podemos encontrar a 
densidade dividindo
a quantidade de primos encontrados
pelo tamanho da busca.
Para os primeiros 100 inteiros,
encontramos 25 primos,
portanto 25% são primos.
Dos primeiros 10000 inteiros,
encontramos 1229 primos,

Polish: 
ale stopniowo ich liczba maleje,
im dalej patrzymy.
Wróćmy do pytania.
Ile jest liczb pierwszych
mniejszych od danego całkowitego x?
Jeśli sporządzimy tabelę, zobaczymy,
że liczb pierwszych stale przybywa.
Chociaż, gdy szukamy dalej,
znajdujemy ich coraz mniej.
Zaznaczmy na osi pionowej ilość
znajdowanych liczb pierwszych,
a obszar poszukiwań, x,
na osi poziomej.
Cofamy się, żeby zobaczyć
miliardy liczb.
Krzywa nigdy nie staje się płaska.
Zawsze się wznosi, chociaż stopniowo.
Najpierw pomyślmy o gęstości
liczb pierwszych
mniejszych od danego całkowitego x.
Wyznaczymy tę gęstość,
dzieląc ilość znalezionych liczb
przez wielkość obszaru poszukiwań.
W pierwszej setce liczb całkowitych
jest 25 liczb pierwszych: 25%.
W pierwszych 10 000 liczb całkowitych

Bengali: 
আরো লক্ষ্য করলে দেখব যে মৌলিক সংখ্যার
পরিমান  ধীরে ধীরে কমে আসছে।
তাহলে আমরা প্রশ্নে ফিরে যাই।
পূর্ণসংখ্যা x থেকে কতগুলো মৌলিক সংখ্যা কম আছে?
একটি টেবিল তৈরি করলে
আমরা দেখব যে মৌলিক সংখ্যা সবসময় বৃদ্ধি পাচ্ছে
আরো অনুসন্ধানে
আমরা আরো কম খুঁজে পাব।
আমরা একটি লেখচিত্র তৈরি করি যেখানে
উল্লম্ব অক্ষে মৌলিক সংখ্যা,
এবং আনুভূমিক x অক্ষে অনুসন্ধানের সীমা আছে।
আমরা যখন কোটি কোটি সংখ্যা ছোট করে সংযুক্ত ,
লক্ষ্য কর বক্ররেখা কখনও সরলরেখা হবে না।
এটা সবসময় বাড়ছে যদিও তা ধীরে ধীরে।
প্রথমে, আমরা পূর্ণসংখ্যা x এর থেকে কম মৌলিক
সংখ্যার নিয়ে চিন্তা করি। অনুসন্ধানের
সীমা দ্বারা প্রাপ্ত মোট
মৌলিক সংখ্যাকে ভাগ করে আধিক্য বের করতে পারি।
প্রথম ১০০ পূর্ণসংখ্যাতে ,২৫টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়,
তাহলে ২৫% মৌলিক সংখ্যা।
প্রথম ১০০০০ পূর্ণসংখ্যাতে, ১২২৯ মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যায়

Bulgarian: 
макар че броят им постепенно намалява,
колкото по-далеч ги търсим.
Да се върнем на нашия въпрос.
Колко са простите числа, които са по-малки от някакво число х?
Ако направим таблица,
виждаме, че броят на простите числа винаги нараства.
Макар че като търсим по-надалеч,
намираме все по-малко и по-малко.
Да нанесем на графика броя на простите числа,
които сме намерили, по вертикалната ос,
и размера на търсеното число х по хоризонталната ос.
Отдалечаваме се, за да включим милиарди числа,
и забелязваме, че кривата никога не става равна.
Тя винаги расте, макар и постепенно.
Първо, да помислим за плътността на простите числа,
които са по-малки от някакво цяло число х.
Можем да намерим плътността, като разделим
броя на намерените прости числа на размера на търсеното число х.
За първите 100 цели числа намираме 25 прости числа,
следователно има 25% прости числа.
За първите 10 000 цели числа намираме 1229 прости числа,

Georgian: 
თუმცა მათი რაოდენობა
თანდათანობით კლებულობს.
დავუბრუნდეთ კითხვას.
რამდენი მარტივი რიცხვია
მთელ რიცხვ, x-ზე ნაკლები.
ცხრილი, რომ გავაკეთოთ ვნახავთ, რომ
მარტივი რიცხვების რაოდენობა იზრდება
თუმცა წინ წასვლისას ნაკლებ
ახალ მარტივ რიცხვს ვპოულობთ.
მოდით ავაწყოთ გრაფიკი
სადაც მარტივი რიცხვების რაოდენობა
ვერტიკალურ ღერძზე იქნება
ხოლო ჩვენი x რიცხვი 
ჰორიზონტალურ ღერძზე.
როდესაც ვაშორებთ, რომ
მეტი რიცხვი მოვაქციოთ გრაფიკში
დააკვირდით, რომ
წრფე არასდროს არ წვება ბოლომდე.
იგი ყოველთვის მაღლა მიდის,
თუმცა შენელებულად.
თავიდან დავფიქრდეთ მარტივი
რიცხვების სიმჭიდროვეზე
რაიმე რიცხვ x-თან.
სიმჭიდროვის პოვნა შეგვიძლია
მარტივი რიცხვების რაოდენობის
გაყოფით x რიცხვზე.
პირველი 100 მთელი რიცხვისათვის
ჩვენ გვექნება 25 მარტივი რიცხვი.
შესაბამისად 25 პროცენტს
წარმოადგნენე მარტივი რიცხვები.
შემდგომ, 10 000 მთელ რიცხვზე
გვექნება 1 229 მარტივი რიცხვი.

Korean: 
우리가 찾는 소수의 수가 점점 줄어들어
 찾기 힘들어집니다
이제 원래의 질문으로 돌아갑시다
어떤 정수 X보다 작은
소수가 얼마나 있을까요?
표를 만들어 보면
소수의 수가 항상
증가한다는 것을 알 수 있습니다
그러나 우리가 더 많은 수를 찾을수록
점점 수가 줄어들죠
소수의 수를 그래프화 시켜보겠습니다
소수의 개수는 세로축에
찾는 크기인 X는 가로축에 나타내겠습니다
곡선이 평평하지 않네요
많은 수를 포함하기 위해 줌 아웃 해보면
조금씩 조금씩 증가하고 있습니다
일단 소수의 밀도에 대해 생각해 봅시다
그것은 어떤 정수 X보다는 작죠
우리는 찾은 소수의 개수를 찾는 개수로
나누어서 밀도를 구할 수 있습니다
처음 100개의 정수에서는
25개의 소수가 보입니다
그러므로 25%가 소수죠
처음 1000개의 정수중에서는
1229개의 소수가 있습니다

Thai: 
12.29% เป็นจำนวนเฉพาะ
จากจำนวนเต็ม 1 ล้านตัวแรก 7.84% 
เป็นจำนวนเฉพาะ
และจำนวนเต็ม 100 ล้านตัวแรก
มี 5.76% เป็นจำนวนเฉพาะ
เมื่อเราค้นต่อไป ความหนาแน่นจะลดไปเรื่อยๆ
ถึงแม้ว่าอัตราที่ลดจะช้าลง
นี่คือกราฟของขนาดการค้นหา
อยู่บนแกนนอน และ
ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะบนแกนตั้ง
สังเกตว่าเมื่อเราซูมออก
จำนวนเฉพาะนั้นหายไปเป็น
สัดส่วนกับจำนวนเต็มทั้งหมด
น่าอัศจรรย์ เราเห็นสูตรนี้ในธรรมชาติ
เราเห็นในกาแล็กซี่ พายุ ดอกไม้
หรือแม้แต่ในร่างกายของเรา
เป็นการออกแบบที่มีแรงต้านน้อยที่สุด
เรียกว่า เกลียวลอการิทึม
สังเกตว่าเมื่อเกลียวหมุน
มันจะห่างจากศูนย์กลางมากขึ้นเรื่อยๆ

Polish: 
znajdujemy 1229 liczb pierwszych,
czyli 12,29%.
W pierwszym milionie liczb całkowitych
7,84% to liczby pierwsze.
A pierwsze 100 mln liczb całkowitych
zawiera 5,76% liczb pierwszych.
Szukamy dalej, a gęstość
nadal spada,
chociaż prędkość tego opadania
zmniejsza się.
Obszar poszukiwań jest na osi poziomej,
gęstość liczb pierwszych - na pionowej.
Liczb pierwszych jest coraz mniej
w stosunku do wszystkich
liczb naturalnych.
Co zdumiewające, znajdujemy
ten wzór w przyrodzie.
W galaktykach, układzie burz,
kwiatach, a nawet
w naszych organizmach,
bo to projekt
najmniejszego oporu,
znany jako spirala logarytmiczna.
Zwróćcie uwagę, że spirala
coraz bardziej oddala się od środka.

Czech: 
12,29 % je prvočísel.
Mezi prvním milionem čísel
najdeme 7,84 % prvočísel
a prvočísel menších
než 100 milionů je 5,76 %.
Jak pokračujeme dále,
tato hustota klesá,
přestože pomaleji a pomaleji.
Tady vidíte graf s rozsahem
hledání na vodorovné ose
a hustotou prvočísel na ose svislé.
Všimněte si, že při vzdalování prvočísla
tvoří stále menší zastoupení čísel.
Překvapivě se tento vztah
vyskytuje i v přírodě.
Najdeme ho v galaxiích,
bouřích,
květech a dokonce i uvnitř našich těl
jako uspořádání nejmenšího odporu
známého jako „logaritmická spirála“.
Jak se spirála otáčí,
neustále se vzdaluje od středu.

English: 
12.29% are prime.
Of the first 1 million
integers, 7.84% are prime.
And the first 100 million
integers contain 5.76% prime.
As we search further, this
density continues to drop,
though the speed at which
it drops slows down.
Here is a graph of the search size
on the horizontal axis and
the prime density on the vertical.
Notice that as we zoom out,
the primes are a vanishing
proportion of all integers.
Amazingly, we find this formula in nature.
We see it in galaxies, storms, flowers,
and even inside our bodies
as the design of least resistance,
known as the logarithmic spiral.
Notice that as the spiral rotates,
it gets further and further
away from the center.

Italian: 
Negli interi fino a 1000 ci sono 1229 primi
quindi la densità dei primi è 12.29%
Negli interi fino a 1.000.000 la densità dei primi è 7.84%
Negli interi fino a 100.000.000 la densità dei primi è 5.76%
Negli interi fino a 1.000.000 la densità dei primi è 7.84%
Negli interi fino a 100.000.000 la densità dei primi è 5.76%
Continuando, la densità diminuisce, ma il ritmo di diminuzione rallenta
Continuando, la densità diminuisce, ma il ritmo di diminuzione rallenta
Ecco il grafico del numero dei primi in funzione della dimensione della ricerca
Ecco il grafico del numero dei primi in funzione della dimensione della ricerca
Ecco il grafico del numero dei primi in funzione della dimensione della ricerca
All'aumentare di x, i numeri primi rappresentano 
una frazione sempre minore di tutti i numeri
All'aumentare di x, i numeri primi rappresentano 
una frazione sempre minore di tutti i numeri
Troviamo questo rapporto ovunque in natura,
nelle galassie, nei fiori, nelle tempeste
Troviamo questo rapporto ovunque in natura,
nelle galassie, nei fiori, nelle tempeste
nei nostri corpi, nel progetto di curve a resistenza minima, ecc:
questa curva è detta 'spirale logaritmica'
nei nostri corpi, nel progetto di curve a resistenza minima, ecc:
questa curva è detta 'spirale logaritmica'
nei nostri corpi, nel progetto di curve a resistenza minima, ecc:
questa curva è detta 'spirale logaritmica'
La spirale si allontana progressivamente dal centro
La spirale si allontana progressivamente dal centro

Georgian: 
12.29 პროცენტია მარტივი რიცხვები.
მილიონ მთელ რიცხვამდე
7.84 პროცენტია მარტივი რიცხვი.
ას მილიონზე თუ გადავალთ
მხოლოდ 5.76 პროცენტი იქნება მარტივი.
რაც უფრო შორს წავალთ
სიმჭიდროვე გააგრძელებს ვარდნას.
თუმცა დაცემის სიჩქარეც მცირდება.
x რიცხვის სიდიდე ჰორიზონტალურ
აქსისზეა
ხოლო მარტივი რიცხვების
სიმჭიდროვე ვერტიკალურზე.
დააკვირდით, დაშორებისას მარტივი
რიცხვების რაოდენობა მცირდება
მთელი რიცხვების რაოდენობის
პროპორციულად.
გასაოცარია, ამ დამოკიდებულებას
ვხედავთ ბუნებაში.
ამას ვხედავთ გაკაქტიკებში, ქარბუქში,
ყვავილებში, ჩვენ სხეულებშიც კი
რადგან ეს უმცირესი წინააღმდეგობის გზაა.
ამას ლოგარითმულ სპირალს
უწოდებენ.
დააკვირდით, რაც უფრო მეტ ბრუნს
აკეთებს სპირალი, უფრო შორდება ცენტრს

Bengali: 
তাহলে মৌলিক সংখ্যা হল ১২.২৯%।
প্রথম ১০ লাখ পূর্ণসংখ্যাতে, ৭.৮৪% মৌলিক সংখ্যা আছে।
এবং প্রথম ১০ কোটি পূর্ণসংখ্যাতে ৫.৭৬% মৌলিক সংখ্যা থাকে। এভাবে, যত সামনে যাবে
মৌলিক সংখ্যার আধিক্য কমতে থাকবে।
যদিও এর হ্রাস পাওয়ার গতি কমতে থাকে।এখানে
একটি লেখচিত্রে অনুভূমিক অক্ষে
অনুসন্ধানের সীমা এবং
উল্লম্ব অক্ষে মৌলিক সংখ্যা আছে।
লক্ষ্য কর, যখন ছবিটি ছোট করি
সকল পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে মৌলিক সংখ্যা হ্রাস পাচ্ছে।
বিস্ময়করভাবে, আমরা এই সূত্র প্রকৃতিতে খুঁজে পাই।
আমরা এটা গ্যালাক্সি, ঝড়, ফুল এবং এমনকি আমাদের শরীরের মধ্যেও
দেখতে পাই
নূন্যতম প্রতিরোধের নকশা হিসেবে,
যা লগারিদমিক স্পাইরাল নামে পরিচিত।
লক্ষ্য কর যে সর্পিলাকার ঘূর্ণনে,
এটা কেন্দ্র হতে আরো অনেক দূরে সরে যাচ্ছে।

Korean: 
12.29%가 소수인 것이죠
처음 만 개의 정수 중에는
7.84%가 소수입니다
그리고 처음 백만개의 정수 중에서는
5.76%가 소수죠
우리가 찾는 개수의 크기가 커질수록
밀도는 떨어집니다
감소하는 속도가 느리긴 하지만요
여기 그래프가 있습니다
가로축은 범위를
세로축은 소수의 밀도를 나타내죠
우리가 줌 아웃하면
밀도는 계속 줄어들지만
줄어드는 속도는 점점 느려집니다
놀랍게도 우리는 이 공식을
자연에서 찾았습니다
우리는 은하, 폭풍, 꽃,
그리고 심지어
우리의 몸 속에서도 봤습니다
저항을 최소화하기 위해 설계되어 있었죠
이런 것들은
로그 나선이라고 알려져 있습니다
나선이 회전하면 할수록,
그것이 점점 더 중심에서
멀어진다는 것을 알아두세요

Bulgarian: 
т.е. има 12.29% прости числа.
От първите 1 милион цели числа 7,84% са прости.
Първите 100 милиона цели числа съдържат 5,76% прости числа.
Когато се отдалечаваме, плътността продължава да намалява,
макар че скоростта, с която намалява, става по-малка.
Ето графика с размера на търсенето
по хоризонталната ос и
плътността на простите числа по вертикалната ос.
Забележи, че когато се отдалечим,
пропорцията на простите числа
към всички цели числа се приближава до нула.
Изненадващото е, че намираме тази формула в природата.
Виждаме я в галактиките, в бурите, в цветята,
дори в собствените си тела
като дизайн на най-малко съпротивление,
познато като "логаритмична спирала".
Забележи, че с въртенето на спиралата,
тя се отдалечава все повече от центъра.

Portuguese: 
12.29% são primos.
Do primeiro milhão de inteiros,
7.84% são primos.
E os primeiros 100 milhões de inteiros
contém 5.76% de primos.
Quanto mais procuramos,
mais a densidade cai,
embora a velocidade com
que ela cai vá diminuindo.
Aqui está um gráfico do 
tamanho da busca
no eixo horizontal
e a densidade dos 
primos no eixo vertical.
Note que a medida que
nos distanciamos,
os primos vão desaparecendo
dos inteiros.
Curiosamente, encontramos
essa fórmula na natureza.
Em galáxias, tempestades, flores,
até mesmo em nossos corpos
como um padrão de
resistência mínima,
conhecido como espiral logarítmica.
Observe que, a medida que a espiral gira,
fica cada vez mais e mais
distante do centro.

Polish: 
Niesłychane: prędkość obrotu
spirali logarytmicznej
do gęstości liczb pierwszych
odnosi się następująco:
mamy liczbę obrotów,
nazwijmy ją φ.
A odległość od środka
niech nazywa się r.
Jeśli zrobimy wykres φ w zależności
od r i spojrzymy z daleka,
zobaczymy, że jest związek
zgodnie z logarytmem naturalnym.
To oznacza, że logarytm
naturalny odległości
ma związek z liczbą obrotów.
Wykres logarytmu naturalnego
zwykle sporządzamy
z pomocą zmiennych y i x,
gdzie y równa się ln(x).
Zauważcie, że wykres
kształtuje się tak samo:
gęstość liczb pierwszych
stopniowo maleje.
Ostatni krok: odwrócić to wyrażenie.
Niech na na osi Y będzie
„1 podzielić przez ln(x)”.
Patrząc z perspektywy,
zobaczymy taką samą krzywą

Czech: 
Zní to neuvěřitelně, ale rychlost
otáčení logaritmické spirály
je svázána s hustotou prvočísel.
A to následovně:
Sledujme počet otáček,
které si označíme ‚φ‘ („fí“),
a vzdálenost od středu,
tu označme ‚r‘.
Když nakreslíme graf závislosti ‚φ‘ na ‚r‘,
uvidíme, že je popsán
přirozeným logaritmem.
To znamená, že přirozený
logaritmus vzdálenosti
má vztah k počtu otáček.
Graf přirozeného logaritmu se obvykle
zapisuje pomocí proměnných ‚x‘ a ‚y‘,
kde ‚y‘ se rovná přirozenému logaritmu ‚x'
(neboli y = ln x).
Za povšimnutí stojí, že graf klesá
podobně zvolna jako hustota prvočísel.
Jako poslední krok převrátíme vztah
a na svislou osu vyneseme
1/(ln x) místo ‚y‘.
A jak oddalujeme pohled,
před očima se nám zjeví stejná křivka,

Thai: 
ไม่น่าเชื่อว่า อัตราการหมุนของ
เกลียวลอการิทึม
เกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะดังนี้
เรามีจำนวนการหมุน เรียกว่าฟาย
และระยะจากศูนย์กลาง เรียกว่า r
ถ้าเราวาดกราฟฟาย กับ r แล้วซูมออก
เราจะเห็นว่าพวกมันเกี่ยวข้อง
ตามลอการิทึมธรรมชาติ
นี่หมายความว่า 
ลอการิทึมธรรมชาติของระยะห่าง
เกี่ยวข้องกับจำนวนการหมุน
กราฟของลอการิทึมธรรมชาติมักเขียน
โดยใช้ตัวแปร y กับ x
ว่า y เท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของ x
สังเกตว่ากราฟออกมาเหมือนกับที่
ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะลดลงช้าๆ
ขั้นสุดท้ายคือการกลับความสัมพันธ์
โดยเปลี่ยน y เป็น 1 หาร
ด้วยลอการทึมธรรมชาติของ x
และเมื่อเราซูมออก
เราจะได้เส้นโค้งเดียวกับ

Bengali: 
অবিশ্বাস্যভাবে, লগারিদমিক স্পাইরালে ঘূর্ণনের হার
মৌলিক সংখ্যার আধিক্যের হারের সাথে নিম্নরূপে সম্পর্কযুক্তঃ
আমাদের ঘুর্ণনের সংখ্যা ফাই (φ) আছে
এবং কেন্দ্র থেকে দূরত্ব, হল r
যদি আমরা ফাই (φ) বনাম r গ্রাফে স্থাপন করি, এবং ছোট করি,
আমরা দেখব যে
তারা স্বাভাবিক লগারিদম অনুসারে সম্পর্কযুক্ত।
এর মানে দূরত্বের স্বাভাবিক লগারিদম
ঘূর্ণন সংখ্যার সাথে সম্পর্কযুক্ত।
স্বাভাবিক লগারিদমের গ্রাফ মূলত
y এবং x এর ভেরিয়েবল ব্যবহার করে লেখা হয় যেখানে
y সমান হল x এর স্বাভাবিক লগারিদম ।
লক্ষ্য কর মৌলিক সংখ্যা ধীরে ধীরে কমছে এবং
একইভাবে লেখচিত্রও সংকুচিত হচ্ছে।
সর্বশেষ ধাপে এটা y অক্ষ সমান হল
x কে ১ দিয়ে ভাগ করে
এর স্বাভাবিক লগারিদম পরিবর্তন করা।এবং
আমরা যখন ছোট করি,
তখন আমরা ঠিক একই বক্ররেখা পাই,

Bulgarian: 
Невероятно, но скоростта на въртене
на логаритмичната спирала
е свързана с плътността на простите числа по следния начин:
имаме броя на завъртанията, да го наречем "фи",
и разстоянието от центъра, да го наречем "r".
Ако нанесем на графика r към фи и се отдалечим,
виждаме, че са свързани
по естесвен логаритъм.
Това означава, че естественият логаритъм от разстоянието
е свързан с броя на завъртанията.
Графиката на естествения логаритъм често се изобразява
с променливите x и y,
като y е равно на естествен логаритъм от x.
Забележи, че графиката изтънява по същия начин,
по който постепенно намалява гъстотата на простите числа.
Последната стъпка е да обърнем това
като променим остa y на 1,
делено на естествен логаритъм от x.
И когато се отдалечим,
виждаме същата крива,

Georgian: 
ბრუნვის სიჩქარე დაკავშირებულია
მარტივი რიცხვების სიმჭიდროვესთან.
ჩვენ გვაქვს ბრუნვების რაოდენობა
ვუწოდოთ მას φ.
ხოლო მანძილს ცენტრიდან r.
თუ ავაგებთ φ-სა და r-ის გრაფიკს
და დავაშორებთ
ჩვენ დავინახავთ რომ ისინი
დაკავშირებულები არიან
ბუნებრივი ლოგარითმით.
ეს ნიშნავს, რომ მანძილის
ნატურალური ლოგარითმი
დაკავშირებულია ბრუნვების
რიცხვთან.
ნატურალური ლოგარითმის გრაფიკს
ჩვეულებრივ წერენ y და x ცვლადებით.
y უდრის x-ის ნატურალურ
ლოგარითმს.
დააკვირდით, რომ გრაფიკი მაღლდება
ისევე, როგორც მცირდება
მარტივი რიცხვების სიმჭირდოვე.
საბოლოონაბიჯი ამის შებრუნებაა.
y აქსის ვცვლით, ერთის შეფარდებით
x-ის ნატურალური ლოგარითმთან.
როდესაც დავაშორებთ, ვნახავთ იმავე
დახრას, როგორიც მარტივი რიცხვების

English: 
Incredibly, the rotation
rate of a logarithmic spiral
is related to the density
of primes as follows:
We have the number of
rotations, call this phi.
and the distance from
the center, call this r.
If we graph phi against r, and zoom out,
we see they are related
according to the natural logarithm.
This means the natural
logarithm of the distance
is related to the number of rotations.
The graph of the natural
logarithm is commonly written
using the variable names y and x
as y equals the natural logarithm of x.
Notice the graph tapers
off in the same way
the density of primes gradually decreases.
The final step is to invert this
by changing the y axis to 1 divided
by the natural logarithm of x.
And when we zoom out,
we find the exact same curve generated

Portuguese: 
Incrívelmente, a taxa de rotação
de uma espiral logarítmica
está relacionada com a densidade
de primos da seguinte forma:
Temos o número de rotações,
chamado de "fi".
e a distância do centro, chamada de "r".
Se fizermos um gráfico de fi versus r,
e formos tirando o zoom
veremos que estão relacionados
de acordo com o logarítmo natural.
Isso significa que o logarítmo
natural da distancia
está relacionado com o número de rotações.
O gráfico do logarítmo natural 
é comumente escrito
usando os nomes de variável x e y
como y é igual ao logarítmo natural de x.
Note que o gráfico se afunila
da mesma maneira
que a densidade dos primos diminui.
O passo final é inverter isso
alterando o eixo y para 1 dividido
pelo logarítmo natural de x.
E quando nos distanciamos,
encontramos exatamente
a mesma curva gerada

Italian: 
Il numero PHI di rotazioni della spirale è legato alla densità 
dei numeri primi in funzione della distanza R dal centro
Il numero PHI di rotazioni della spirale è legato alla densità 
dei numeri primi in funzione della distanza R dal centro
Il numero PHI di rotazioni della spirale è legato alla densità 
dei numeri primi in funzione della distanza R dal centro
Il numero PHI di rotazioni della spirale è legato alla densità 
dei numeri primi in funzione della distanza R dal centro
Il grafico di PHI in funzione di R è quello del logaritmo naturale
Il grafico di PHI in funzione di R è quello del logaritmo naturale
Il grafico di PHI in funzione di R è quello del logaritmo naturale
Ciò significa che il logaritmo naturale della distanza R 
ci dà il numero di rotazioni PHI
Ciò significa che il logaritmo naturale della distanza R 
ci dà il numero di rotazioni PHI
Per indicare il logaritmo naturale in genere si usano y e x
y = ln (x)
Per indicare il logaritmo naturale in genere si usano y e x
y = ln (x)
Per indicare il logaritmo naturale in genere si usano y e x
y = ln (x)
Notate come l'andamento della curva sia identico alla 
diminuzione della densità dei numeri primi
Notate come l'andamento della curva sia identico alla 
diminuzione della densità dei numeri primi
Sostituiamo all'asse delle y la quantità 1 / [ ln(x) ]
e troviamo la stessa curva di prima
Sostituiamo all'asse delle y la quantità 1 / [ ln(x) ]
e troviamo la stessa curva di prima
Sostituiamo all'asse delle y la quantità 1 / [ ln(x) ]
e troviamo la stessa curva di prima
Sostituiamo all'asse delle y la quantità 1 / [ ln(x) ]
e troviamo la stessa curva di prima
Sostituiamo all'asse delle y la quantità 1 / [ ln(x) ]
e troviamo la stessa curva di prima

Korean: 
놀랍게도, 로그의 나선형의 비율은
소수의 밀도와 관련이 있습니다
파이라고 부르는 회전수가 있습니다
그리고 중심에서부터의
거리를 r 이라고 부릅시다
r에 대항하는 파이의
그래프를 그리고 줌 아웃시키면
그들이 자연 로그와
연관되어 있음을 알 수 있습니다
이것은 거리의 자연 로그가
회전수에 관련되어 있다는 것을 뜻하죠
자연 로그의 그래프는 보편적으로
변수 x 와, x의 자연 로그인
변수 y를 사용합니다
그래프의 소수의 밀도가
점점 감소하는 것과 같이
점점 가늘어지는 것을
주목하세요
마지막 단계는
y축을 x의 자연로그 분의 1로 바꿔서 
이것을 뒤집는 것입니다
그리고 줌 아웃시키면

Bengali: 
যা মৌলিক সংখ্যা আঁকার করার সময় উৎপন্ন হয়
দুটো নকশাকে সমাপতিত করেই তা দেখা যাবে ।
সবুজ রঙে, y রেখার লেখচিত্রে
x এর স্বাভাবিক লগারিদম ১ এর সমান।
এবং লাল রঙে
মৌলিক সংখ্যার আধিক্য x পর্যন্ত। ছোট করলে
তারা একে অপরের সাথে মিলে যায়।
যদি আরো ছোট করি,
সবুজ রঙের হিসাব আরো বেশি নিঁখুত হয়
এটা মৌলিক
সংখ্যার বন্টনের এসিম্পটটিক ল' বা সূত্র  নামে পরিচিত।
এখন আমাদের কাছে গণনা ছাড়া
নির্ভুলভাবে মৌলিক সংখ্যার আধিক্য জানার সূত্র আছে।
পূর্ণসংখ্যা x পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার আধিক্য হল
প্রায় ১ ভাগ x এর স্বাভাবিক
লগারিদম অথবা লন x ,তাহলে মনে কর,
তোমার ১ থেকে ১০০ ট্রিলিয়নের মধ্যে
মৌলিক সংখ্যার আধিক্য জানা প্রয়োজন।
১ ভাগ ১০০ ট্রিলিয়নের লন সমান হল ৩.১%

English: 
when we plot the density of primes.
Let's confirm this by
overlapping the two plots.
In green, is a graph
of the line y equals 1
over the natural logarithm of x.
And in red is the plot of
prime number density up to x.
As we zoom out, they approach each other.
The further we zoom out,
the more accurate the
green estimate becomes.
This is known as
the asymptotic law of
distribution of prime numbers.
We now have a formula
to accurately tell us
the density of primes without counting.
The density of primes up to some integer x
is approximately 1 divided by the natural
logarithm of x or lawn x.
So let's say you need to
know the density of primes
between 1 and 100 trillion. Simple.
1 divided by lawn of 100
trillion equals 3.1%.

Georgian: 
სიმჭიდროვის განხილვისას ვნახეთ.
მოდით დავამტკიცოთ, ეს
ამ ორი გრაფიკის ერთმანეთზე დადებით.
მწვანე გრაფიკი არის y ტოლობა ერთს
შეფარდებული x-ის ბუნებრივ ლოგარითმთან.
წითლად კი ნაჩვენებია მარტივი
რიცხვების სიმჭიდროვე x-თან მიმართებაში.
როდესაც ვაშორებთ გამოსახულებას
ისინი უახლოვდებიან ერთმანეთს.
რაც უფრო შორს მივდივართ მწვანე
მრუდი უფრო ზუსტი ხდება.
ამას ეწოდება მარტივი რიცხვების
განაწილების ასიმპტოტური წესი.
ჩვენ ახლა ზუსტი ფორმულა
გვაქვს რომელიც
მარტივი რიცხვების სიმჭიდროვეს
გვიჩვენებს, თვლის გარეშე.
მარტივი რიცხვების სიმჭიდროვე
რაიმე x მთელი რიცხვის მიმართ
მიახლოებით უდრის ერთს შეფარდებული
x-ის ნატურალური ლოგარითმი.
მაგალითად თქვენ გჭირდებათ გაიგოთ
მარტივი რიცხვების სიმჭიდროვე
ერთსა და ერთ ტრილიონს შორის.
მარტივია. ერთი შეფარდებული
ტრილიონის ნატურალურ ლოგარითმთან
უდრის 3.1 პროცენტს.

Czech: 
jako když jsme vykreslili hustotu prvočísel.
Ověřme si to přiložením
obou grafů k sobě.
Zelená křivka znázorňuje y = 1/(ln x),
červená hustotu prvočísel menších než ‚x‘.
Jak se vzdalujeme,
křivky se přibližují.
Když jdeme k větším číslům,
zelená křivka je lepším odhadem červené.
Tomu se říká
„asymptotický zákon o rozložení prvočísel“.
Dostali jsme rovnici,
která nám přesně řekne,
jaká je hustota prvočísel - bez počítání.
Hustota prvočísel menších
než přirozené číslo ‚x‘
je přibližně 1/(ln x).
Řekněme, že potřebujeme zjistit hustotu
prvočísel mezi 1 a 100 biliony. Hračka.
1/ln(100 000 000 000 000) = 3.1 %.

Korean: 
표시한 소수의 밀도와
정확히 일치한 곡선이 만들어지죠
두 그래프를 겹쳐서
확인해 보겠습니다
초록색 그래프의 선에서
y는 x의 자연로그 분의 1입니다
그리고 빨간색 그래프는
x까지의 소수 밀집도입니다
우리가 줌 아웃 시키면 
그것들은 서로 일치합니다
더 줌 아웃하면
더욱 일치하죠
이것은 소수 분포도
점근선의 규칙입니다
이제 소수의 밀도를
세지 않고도
명확하게 말해줄 공식이 있습니다
어떤 정수 x까지 소수의 밀도는
x의 자연로그를
 1로 나눈것과 같습니다
1에서 100조까지의 소수의 밀집도를
알아야 한다고 해 봅시다
간단하죠
100조의 자연 로그분의 1은 3.1%입니다

Bulgarian: 
когато направим графика на гъстотата на простите числа.
Да потвърдим това като поставим двете графики една върху друга.
В зелено е графиката на y = 1 върху
естествен логаритъм от x.
В червено е графиката на
гъстотата на простите числа до х.
Когато се отдалечим, те се доближават една до друга.
Колкото повече се отдалечаваме,
толкова по-точно става зеленото предположение.
Това е известно като
асимптотичен закон на разпределение на простите числа.
Сега имаме формула, която ни казва точно
гъстотата на простите числа без броене.
Гъстотата на простите числа до някакво цяло число х
е точно 1 върху естествен
логаритъм от x или ln x.
Да речем, че трябва да знаеш гъстотата на простите числа
между 1 и 100 трилиона. Просто.
1 делено на ln 100 трилиона е равно на 3.1%.

Italian: 
Sostituiamo all'asse delle y la quantità 1 / [ ln(x) ]
e troviamo la stessa curva di prima
Sovrapponiamo le due curve
In verde l'ultima ed in rosso la densità dei primi
Sovrapponiamo le due curve
In verde l'ultima ed in rosso la densità dei primi
Sovrapponiamo le due curve
In verde l'ultima ed in rosso la densità dei primi
Sovrapponiamo le due curve
In verde l'ultima ed in rosso la densità dei primi
Sovrapponiamo le due curve
In verde l'ultima ed in rosso la densità dei primi
Più ci allontaniamo, più accuratamente le due curve si sovrappongono
Più ci allontaniamo, più accuratamente le due curve si sovrappongono
Più ci allontaniamo, più accuratamente le due curve si sovrappongono
Questo comportamento è detto 
'legge asintotica della distribuzione dei numeri primi'
Questo comportamento è detto 
'legge asintotica della distribuzione dei numeri primi'
abbiamo trovato la formula che dà la densità dei primi, 
senza bisogno di doverli contare
abbiamo trovato la formula che dà la densità dei primi, 
senza bisogno di doverli contare
La densità dei primi inferiori a x è data dall'inverso del logaritmo naturale di x
La densità dei primi inferiori a x è data dall'inverso del logaritmo naturale di x
La densità dei primi inferiori a x è data dall'inverso del logaritmo naturale di x
Immaginate di dover trovare la densità dei primi fra 1 e 10^12.
Semplice.
Immaginate di dover trovare la densità dei primi fra 1 e 10^12.
Semplice.
1 / [ ln (10^14) ] = 3.1 %

Polish: 
wygenerowaną z nałożenia
gęstości liczb pierwszych.
Potwierdźmy to,
nakładając wykresy na siebie.
Na zielono – wykres
y równa się 1 przez ln(x)
Na czerwono – wykres
gęstości liczb pierwszych aż do x.
Cofając się, widzimy,
że zbliżają się do siebie.
Im dalej, tym dokładniejsze stają się
zielone wartości szacunkowe.
Jest to znane jako asymptotyczne prawo
rozmieszczenia liczb pierwszych.
Teraz mamy wzór,
który dokładnie poda nam
gęstość liczb pierwszych,
bez obliczania.
Gęstość liczb pierwszych
aż do danej liczby całkowitej x
to, w przybliżeniu, 1 przez ln(x).
Chcecie wyznaczyć
gęstość liczb pierwszych
między 1 a 100 bilionów. Proste.
1 podzielić przez logarytm naturalny
ze stu bilionów to 3,1%.

Portuguese: 
quando desenhamos a densidade dos primos.
Vamos confirmar isso
sobrepondo os gráficos.
A linha do inverso do 
logarítmo natural de x
está em verde no gráfico.
E em vermelho está
a linha de densidade dos números primos.
Elas se aproximam a medida 
que tomamos distância.
Quanto mais distante,
mais precisa se torna a
estimativa em verde.
Isso é conhecido como
lei assintótica da distribuição
dos números primos.
Temos agora uma fórmula que
nos informa com precisão,
sem necessidade de contar, qual 
a densidade de primos.
A densidade de primos menores
que algum inteiro x
é aproximadamente 1 dividido pelo
logarítmo natural de x ou ln de x.
Digamos que seja necessário
saber a densidade dos primos
entre 1 e 100 trilhões. Simples.
1 dividido por ln de 100
trilhôes é igual a 3.1%.

Thai: 
ตอนเราพลอตความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะ
ลองยืนยันด้วยการซ้อนพลอตสองอันนี้กัน
สีเขียว คือกราฟของเส้นตรง y เท่ากับ 1
ส่วนลอการิทึมธรรมชาติของ x
และสีแดง คือพลอต
ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะไม่เกิน x
เมื่อเราซูมออก พวกมันก็เข้าหากัน
ยิ่งเราซูมออกเท่าไหร่
มันยิ่งใกล้เส้นสีเขียวมากเท่านั้น
นี่รู้จักกันในชื่อ
กฏการกระจายตัวตอนปลายของจำนวนเฉพาะ
เรามีสูตรที่บอกความหนาแน่น
ของจำนวนเฉพาะอย่างแม่นยำโดยไม่ต้องนับ
ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะ
ไม่เกินจำนวนเต็ม x
มีค่าประมาณ 1 หารด้วยลอการิทึม
ธรรมชาติของ x หรือลอน x
สมมุติว่าคุณอยากรู้ความหนาแน่นของ
จำนวนเฉพาะ
ระหว่าง 1 กับ 100 ล้านล้าน ง่ายๆ
1 หารด้วยลอนของ 100 ล้านล้าน เท่ากับ 3.1%

Bulgarian: 
Да сравним това с резултата,
получен от преброяването на всички прости числа,
който е 3.2%.
Разликата е 0,1%.
И колкото по-големи числа проверяваме,
толкова повече разликата се доближава до 0.
Разбери, че можем да използваме
тази формула за гъстота на простите числа,
за да изчислим броя на простите числа до х.
Броят на простите числа е областта под
кривата на гъстотата, която можем да опростим
като приемем, че гъстотата е константа.
Така че броят на простите числа е равен на размера по гъстотата
или х върху ln х.
Това е теоремата на простите числа.
Това е графика на y = x / ln х в синьо,
а в жълто е графиката на действителния брой на простите числа.
Забележи, че когато се отдалечаваме,
тези прави се припокриват в безкрайността.
Това е.
Имаме формула, която ни казва точно
колко прости числа има до всяка стойност,

Czech: 
Porovnejme výsledek
s opravdu spočítanými prvočísly,
kterých je 3,2 %.
To se liší jen o 0,1 %.
A jak ověřujeme větší a větší čísla,
rozdíl se blíží k nule.
Uvědomte si, že můžeme tento
vztah pro hustotu prvočísel
použít k odhadu počtu prvočísel
menších než ‚x‘.
Počet prvočísel je plocha
pod křivkou hustoty,
což lze zjednodušit, pokud
hustotu považujeme za konstatní.
Počet prvočísel se rovná
součinu velikosti a hustoty
neboli x / (ln x).
A to je prvočíselná věta.
Zde vidíte modrou křivku
y = x / (ln x)
a žlutou křivku, která vyjadřuje
skutečný počet prvočísel.
Když graf oddálíme, tyto křivky
se v nekonečnu nakonec spojí v jednu.
A to je vše. Máme rovnici,
která nám přibližně předpoví,

Thai: 
เทียบค่านี้กับผลจริง
จากการนับจำนวนเฉพาะทั้งหมด
ซึ่งเท่ากับ 3.2%
มันผิดไป 0.1%
เมื่อเราเช็คจำนวนที่โตขึ้นเรื่อยๆ
ผลต่างนี้เข้าใกล้ 0
สังเกตว่าตอนนี้เราใช้
สูตรความหนาแน่นจำนวนเฉพาะนี้
กะจำนวนของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน x ได้
จำนวนของจำนวนเฉพาะคือพื้นที่
ใต้กราฟความหนาแน่น ซึ่งเราประมาณได้
โดยสมมุติว่าความหนาแน่นคงที่
และจำนวนความหนาแน่นเท่ากับ
ขนาดคูณความหนาแน่น
หรือ x หารด้วยลอน x
นี่คือทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ
นี่คือกราฟของ y เท่ากับ x หารด้วยลอน x สีฟ้า
และสีเหลือง คือพลอตของค่านับจำนวนเฉพาะจริง
สังเกตว่าเมื่อเราซูมออก
เส้นเหล่านี้ทับกันพอดีเมื่อเราดูถึงอนันต์
นั่นแหละ
เรามีสูตรที่บอกเราโดยประมาณ
ถึงจำนวนของจำนวนเฉพาะไม่เกินค่าใดๆ

Italian: 
Confrontate questo risultato (3.1%) con il numero effettivo (3.2%)
che avreste ottenuto contandoli uno ad uno - un errore dello 0.1%
Confrontate questo risultato (3.1%) con il numero effettivo (3.2%)
che avreste ottenuto contandoli uno ad uno - un errore dello 0.1%
Confrontate questo risultato (3.1%) con il numero effettivo (3.2%)
che avreste ottenuto contandoli uno ad uno - un errore dello 0.1%
Confrontate questo risultato (3.1%) con il numero effettivo (3.2%)
che avreste ottenuto contandoli uno ad uno - un errore dello 0.1%
All'aumentare del numero tale differenza tende a zero
All'aumentare del numero tale differenza tende a zero
Possiamo usare la formula della densità dei primi
per stimare il numero dei primi inferiori a X
Possiamo usare la formula della densità dei primi
per stimare il numero dei primi inferiori a X
Possiamo usare la formula della densità dei primi
per stimare il numero dei primi inferiori a X
Il numero dei primi è semplicemente l'area sotto la curva
ovvero numero dei primi = dimensione * densità
Il numero dei primi è semplicemente l'area sotto la curva
ovvero numero dei primi = dimensione * densità
Il numero dei primi è semplicemente l'area sotto la curva
ovvero numero dei primi = dimensione * densità
Il numero dei primi è semplicemente l'area sotto la curva
ovvero numero dei primi = dimensione * densità
Il numero dei primi è semplicemente l'area sotto la curva
ovvero numero dei primi = dimensione * densità
Questo è il TEOREMA DEI NUMERI PRIMI
Queste due curve rappresentano: in blu x / [ ln(x) ] ; 
in giallo il numero effettivo di numeri primi
Queste due curve rappresentano: in blu x / [ ln(x) ] ; 
in giallo il numero effettivo di numeri primi
All'aumentare della dimensione x i due grafici si confondono
All'aumentare della dimensione x i due grafici si confondono
All'aumentare della dimensione x i due grafici si confondono
Abbiamo una formula approssimata per il numero dei primi
Non c'è bisogno di contarli
Abbiamo una formula approssimata per il numero dei primi
Non c'è bisogno di contarli

Bengali: 
মৌলিক সংখ্যার গণনা থেকে প্রাপ্ত প্রকৃত
ফলাফলের সাথে তুলনা
করলে ৩.২% হয়।
এখানে ০.১% বিচ্যুতি হয়।
এবং যদি আমরা বড় বড় সংখ্যা পরীক্ষা করি,
পার্থক্য শূন্যের দিকে যাবে ।
সুতরাং বোঝা যাচ্ছে,
যে x পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার আধিক্য
নির্ণয়ে এই সূত্র ব্যবহার করা যাবে। মৌলিক সংখ্যার
পরিমাণ হল আধিক্য বক্ররেখার
ক্ষেত্র যার জন্য এই আধিক্যকে
ধ্রুবক মনে করে সরল করতে পারি।
তাহলে মৌলিক সংখ্যার পরিমাণের সমান আকার গুণ আধিক্য
বা x ভাগ ln x
এটাই হল মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য।
এখানে নীল রঙে y সমান x ভাগ ln x এর একটি গ্রাফ।
এবং হলুদ রঙে, মৌলিক সংখ্যার প্রকৃত পরিমাণের অংশ।
যখন ছোট
করছি এই রেখাগুলো এমনভাবে মিলে যায় যা দেখতে অসীম লাগে।
আর এটাই।
একটি সূত্র আছে যা যে কোন মানের ক্ষেত্রে
কতগুলো মৌলিক সংখ্যা আছে তা বলে। এখানে

Korean: 
이것을 모든 소수를 
직접 세서 얻은 결과인
3.2%와 비교해 봅시다
0.1%가 줄어드네요
그리고 더 큰 숫자를 확인하면 할수록
차이가 0에 가까워집니다
이제 x까지의 소수의 개수를
어림해보기 위하여
이 소수의 밀집 공식을
사용할 수 있다는 것을 알아 두세요
소수의 개수는
우리가 밀도가 변하지 않는다고
가정할 수 있는
밀도 곡선의 아랫면을 말합니다
따라서 소수의 수는
밀도 곱하기 크기나
자연 로그x 분의 x와 같습니다
이것이 소수정리입니다
여기 y는 자연 로그 x분의 x라는
파란색의 그래프가 있고
실제 소수의 그래프인
노란색 그래프가 있습니다
우리가 줌 아웃하면
무한에 가까워질수록
이 선들이 겹쳐집니다
이것이 그것이죠
우리는 어떤 값에 대하여 셀 필요 없이
소수의 수에 대해 알아볼 수 있는

Portuguese: 
Compare isso ao resultado obtido
contando todos os primos
que é 3.2%
A diferença é 0.1%.
E a medida que verificamos
números cada vez maiores,
a diferença se aproxima de zero.
Perceba que podemos usar essa
fórmula de densidade de primos
para estimar o número de primos até x.
O número de primos é a área sob
a curva de densidade que
podemos simplificar,
assumindo que a densidade é constante.
Então o número de primos é igual
ao tamanho vezes a densidade
ou x dividido por ln de x.
Esse é o teorema do número primo.
Nesse gráfico, y igual a x dividido
por ln de x está em azul,
e em amarelo, está a contagem
real dos primos.
Note que com a distância,
as linhas tendem a se sobrepor conforme
tendemos para o infinito.
E é isso.
Temos uma fórmula aproximada
de quantos primos existem
até determinado valor,

English: 
Compare this to the actual result
from counting all primes
which is 3.2%.
This is off by 0.1%.
And as we check larger and larger numbers,
the difference approaches zero.
Realize now that we can use
this formula for prime density
to estimate the number of primes up to x.
The number of primes is the area under
the density curve for
which we can simplify
by assuming density is constant.
So number of primes
equals size times density
or x divided by lawn x.
This is the prime number theorem.
Here is a graph of y equals
x divided by lawn x in blue,
and in yellow, is a plot of
an actual count of primes.
Notice as we zoom out,
these lines eventually overlap
as we look to infinity.
And that is it.
We have a formula which
tells us approximately
how many primes there are up to any value,

Georgian: 
შევადაროთ ეს რიცხვი ჭეშმარიტ
რიცხვთან, რომელიც 3.2 პროცენტს უდრის
ცდომილება ერთი მეათედი პროცენტია.
რაც უფრო დიდ რიცხვებს ავიღებთ
ცდომილება ნულს უახლოვდება.
ჩვენ შეგვიძლია ეს ფორმულა გამოვიყენოთ
x-მდე არსებული მარტივი რიცხვების
რაოდენობის დასათვლელად.
რაოდენობა იქნება სიმჭიდროვის
მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი.
ჩვენ შეგვიძლია ამის გამარტივება,
თუ ჩავთვლით,
რომ სიმჭიდროვე მუდმივია
შესაბამისად მარტივი რიცხვების
რაოდენობა უდრის
სიდიდეს გამრავლებულს სიმჭიდროვეზე.
ანუ x შეფარდებული x-ის
ნატურალურ ლოგარითმთან.
ეს არის მარტივი რიცხვების თეორემა.
ეს არის გრაფიკი, სადაც y უდრის
x შეფარდებული
x-ის ნატურალურ ლოგარითმთან. 
ლურჯად
და ყვითელად ნაჩვენებია მარტივი
რიცხვების ჭეშმარიტი რაოდენობა.
უსასრულობისკენ რომ მივდივართ,
ეს გრაფიკები ერთმანეთს დაედება.
ეს არის.
ჩვენ გვაქვს ფორმულა, რომელიც
გვეხმარებაიმის გაგებაში,
თუ რამდენი მარტივი რიცხვია
ნებისმიერ სიდიდემდე,

Polish: 
Porównajcie to z rzeczywistym
wynikiem
liczenia wszystkich liczb pierwszych,
czyli 3,2%.
Różnica wynosi 0,1%.
Gdy sprawdzamy coraz większe liczby,
różnica zbliża się do zera.
Możemy użyć tego wzoru
na gęstość liczb pierwszych,
by oszacować ich liczbę do x.
Liczba liczb pierwszych do x
to x pomnożone przez gęstość,
albo x podzielić przez ln (x).
To jest twierdzenie
o liczbach pierwszych.
Oto wykres y równa się x
przez ln(x), na niebiesko,
a na żółto zaznaczono rzeczywisty
wynik liczenia liczb pierwszych.
Cofając się, zauważmy, że w końcu
wykresy nałożą się na siebie.
I już.
Mamy wzór, który mówi nam
w przybliżeniu,

Korean: 
공식이 있습니다
예를 들어 우리가
100조 이하의 소수의 개수를
알아봐야 한다고 합시다
100조의 자연 로그 분의 100조는
3.1조와 같습니다
이것을 실제의 값과 비교해봅시다
3.2조가 나오죠
이것은 비교적 작은 범위임에도
거의 99.99%가 일치합니다
요약하면
어떤 정수 x에 따른 범위가 구분되어 주어지면
소수 밀집도는 자연 로그 x분의 1입니다
그리고 소수의 개수는 자연 로그 x분의 1이죠
이것이 소수정리입니다

Bengali: 
গণনা নিষ্প্রয়োজন।
মনে করি আমাদের
১০০ ট্রিলিয়নের চেয়ে কম মৌলিক সংখ্যা জানতে হবে।
১০০ ট্রিলিয়ন ভাগ
১০০ ট্রিলিয়ন এর স্বাভাবিক লগ সমান হল ৩.১। এর সাথে
প্রকৃত পরিমাণ তুলনা কর,
যা ৩.২ ট্রিলিয়ন।
অপেক্ষাকৃত ছোট স্কেলেও  এটি
প্রায় ৯৯.৯৯% সঠিক।
পুনরায়ঃ
দেয়া আছে, পুর্ণসংখ্যার অনুসন্ধান আকার x ,
মৌলিক ঘনত্ব হল প্রায় ১ ভাগ ln x
এবং মৌলিক সংখ্যা হল x ভাগ ln x।
আর এটাই হল মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য।
##  আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##

Thai: 
ไม่จำเป็นต้องนับ
ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าเราอยากรู้
จำนวนของจำนวนเฉพาะ
ที่น้อยกว่า 100 ล้านล้าน
100 ล้านล้าน หารด้วย
ล็อกธรรมชาติของ 100 ล้านล้าน เท่ากับ
3.1 ล้านล้าน
เทียบกับค่านับจริงๆ
ซึ่งก็คือ 3.2 ล้านล้าน
มันแม่นยำเกิน 99.99%
แม้แต่ในสเกลเล็กๆ นี้
ทบทวนหน่อย
เมื่อกำหนดขนาดการค้นหาถึงจำนวนเต็ม x
ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะมีค่า
ประมาณ 1 หารด้วยลอน x
และจำนวนของจำนวนเฉพาะมีค่าประมาณ
x หารด้วยลอน x
นี่คือทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ

Italian: 
Abbiamo una formula approssimata per il numero dei primi
Non c'è bisogno di contarli
Immaginiamo di dover trovare il numero dei primi fino a 10^14
La densità è 3.1% => 1 / [ ln (10^14) ] = 3.1 %
Immaginiamo di dover trovare il numero dei primi fino a 10^14
La densità è 3.1% => 1 / [ ln (10^14) ] = 3.1 %
Immaginiamo di dover trovare il numero dei primi fino a 10^14
La densità è 3.1% => 1 / [ ln (10^14) ] = 3.1 %
Immaginiamo di dover trovare il numero dei primi fino a 10^14
La densità è 3.1% => 1 / [ ln (10^14) ] = 3.1 %
Se li avessimo contati avremmo ottenuto 3.2%.
La formula, per questo valore di X, 
ha un'accuratezza del 99.99%
La formula, per questo valore di X, 
ha un'accuratezza del 99.99%
La formula, per questo valore di X, 
ha un'accuratezza del 99.99%
Ricapitoliamo: data la dimensione X della ricerca
la densità dei primi è data da 1 / [ ln(x) ] 
e il numero dei primi è dato da x / [ ln(x) ]
la densità dei primi è data da 1 / [ ln(x) ] 
e il numero dei primi è dato da x / [ ln(x) ]
la densità dei primi è data da 1 / [ ln(x) ] 
e il numero dei primi è dato da x / [ ln(x) ]
Questo è il TEOREMA DEI NUMERI PRIMI

English: 
no counting needed.
For example, let's say we need to know
the number of primes
less than 100 trillion.
100 trillion divided by
the natural log of 100
trillion equals 3.1 trillion.
Compare this to the actual count,
which is 3.2 trillion.
This is over 99.99% accurate
even at this relatively small scale.
So to recap:
Given a search size up to some integer x,
the prime density is
about 1 divided by lawn x
And the number of primes is
about x divided by lawn x.
This is the prime number theorem.

Bulgarian: 
без да се налага да броим.
Например, да кажем, че искаме да разберем какъв е броят
на простите числа, по-малки от 100 трилиона.
100 трилиона, делено на
естествен логаритъм от 100 трилиона = 3.1 трилиона.
Сравняваме това с действителния брой,
който е 3.2 трилиона.
Точността е над 99.99%
дори и при относително малка скала.
Така че да обобщим:
При даден размер на търсене до някакво цяло число х
гъстотата на простите числа е 1 / ln x.
А броят на простите числа е около x / ln x.
Това е теоремата за простите числа.

Czech: 
kolik je prvočísel menších
než nějaká hodnota – a bez počítání.
Kupříkladu bychom chtěli vědět,
kolik je prvočísel menších než 100 bilionů.
100 bilionů děleno přirozeným
logaritmem 100 bilionů = 3,1 bilionu.
Porovnejme to se skutečným
počtem - 3,2 bilionu.
Odpověď je z více než 96,87 procent přesná –
dokonce i u takto
relativně malých čísel.
Zopakujme si to:
Pokud hledáme až po nějaké číslo ‚x‘,
hustota prvočísel činí přibližně 1 / (ln x)
A počet prvočísel je přibližně x / ln(x).
To je prvočíselná věta.

Georgian: 
დათვლის გარეშე.
მაგალითად გვინდა გავიგოთ, რამდენი
მარტივი რიცხვია ას ტრილიონამდე.
ასი ტრილიონი შეფარდებული
ასი ტრილიონის ნატურალურ ლოგარითმთან,
უდრის 3.1 ტრილიონს.
შევადაროთ ეს ჭეშმარიტ რიცხვს,
რომელიც უდრის 3.2 ტრილიონს
ეს იქნება 99.996875 პროცენტის
სიზუსტით,
ამ შედარებით მცირე მაშტაბებზეც კი.
მოლე მიმოხილვისათვის.
რაიმე მოცემული მთელი
რიცხვი x-ისათვის
მარტივი რიცხვების სიმჭიდროვე
არის ერთი შეფარდებული
x-ის ბუნებრივ ლოგარითმთან.
ხოლო მარტივი რიცხვების რაოდენობა
მიახლოებით უდრის
x-ის შეფარდებას x-ის
ნატურალურ ლოგარითმთან.
ეს არის მარტივი რიცხვების თეორემა.

Portuguese: 
sem precisar contar.
Por exemplo, se precisarmos saber
a quantidade de primos
menores que 100 trilhões.
100 trilhões dividido pelo
logarítmo natural de 100 
trilhões é igual 3.1 trilhões.
Compare com a contagem real,
que é 3.2 trilhões.
Isso é mais que 99.99% de precisão
mesmo em uma escala relativamente pequena.
Então recapitulando:
Dado um espaço de busca do
tamanho de um inteiro x,
a densidade de primos é algo próximo
de 1 dividido por ln de x
e o número de primos é algo
próximo de x dividido por ln de x.
Esse é o teorema do número primo.
Legendado por [Paulo Trentin] 
Revisado por [Valter Bigeli]

Polish: 
ile jest liczb pierwszych do danej
wartości, bez potrzeby liczenia.
Np. mamy określić, ile jest liczb
pierwszych mniejszych niż 100 bln.
100 bln dzielone przez logarytm
naturalny ze stu bilionów
równa się 3,1 bln.
Porównajcie to
z wynikiem liczenia: 3,2 bln.
Dokładność przekracza 99,99%.
nawet w tej stosunkowo
małej skali.
Podsumujmy: przy danym obszarze
poszukiwań do liczby całkowitej x,
gęstość liczb pierwszych
to, około 1 przez ln(x).
A ilość tych liczb
to w przybliżeniu
x podzielić przez ln(x).
To jest twierdzenie
o liczbach pierwszych.
