
Korean: 
여기 그래프의 식은
여기 그래프의 식은
y= 250/(25+x²) 입니다
이 동영상에서 알고자 하는 것은
이 곡선과 x축 사이의 전체 면적입니다
여기 하얀색으로 칠한 부분을 말하는 거죠
여기에는 우리 눈에 
안 보이는 부분까지 포함됩니다
좌/우측으로 계속 진행하는 부분이죠
x축의 음의 무한대부터
양의 무한대까지를 말하는 겁니다
먼저, 이걸 어떻게 나타낼 수 있을까요?
이것은 이상적분이라고 할 수 있습니다
이 부분을 부정적분으로 나타냅니다
이 식에서 음의 무한대에서부터
양의 무한대까지에 해당하는 부분입니다
여기서 식은 250/(25 + x2) dx 입니다
우리는 이미 이상적분에 대해 살펴봤습니다
경곗값 중 하나가 무한대인 적분이었죠
그런데
양의 무한대에서 경곗값이 하나 있고
음의 무한대에서 경곗값이 하나 
있을 때는 어떻게 해야 할까요?

Polish: 
Spójrzmy na wykres funkci y równa się 250 nad 25
plus x do kwadratu.
I to czego jestem ciekawy tym razem
to całkowite pole pod tą krzywą powyżej osi x.
Mówię zatem o tym wszystkim co zamalowuję w tej chwili na biało,
włączając to czego nie możemy zobaczyć gdybyśmy przesuwali się nieskończenie daleko w prawo
czy nieskończenie daleko w lewo.
Innymi słowy, od x równego minus nieskończoność
do x równego nieskończoność.
Zatem na początek, jak właściwie byśmy to zapisali?
Cóż, byłaby to całka niewłaściwa.
Oznaczylibyśmy to pole jako całkę nieograniczoną
od x równego minus nieskończoność
do x równego nieskończoność z naszej funkcji
250 nad 25 dodać x do kwadratu dx.
Teraz, widzieliśmy już niewłaściwe całki
dla których jedna z granic całkowania była nieskończonością.
Ale jakbyście to rozwiązali kiedy
jedna z granic jest równa plus nieskończoność
a druga minus nieskończoność?

Thai: 
 
ตรงนี้เรามีกราฟของ y เท่ากับ 250 ส่วน 25
บวก x กำลังสอง
และสิ่งที่ผมสงสัยในวิดีโอนี้
คือพื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมดและเหนือแกน x
ผมกำลังพูดถึงทุกอย่าง
ที่ผมแรเงาด้วยสีขาวตรงนี้
รวมสิ่งที่เราไม่เห็น เมื่อเราไปทางขวา
และทางซ้ายไปเรื่อยๆ
ผมกำลังพูดถึงจาก x ที่ลบอนันต์
ไปจนถึง x ที่อนันต์
อย่างแรก เราเขียนอันนี้ได้อย่างไร?
มันจะเป็นอินทิกรัลไม่แท้
เราเขียนพื้นที่นี้ได้เป็นอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
จาก x เท่ากับลบอนันต์
ถึง x เท่ากับอนันต์ ของฟังก์ชันของเรา
250 ส่วน 25 บวก x กำลังสอง dx
ทีนี้ เราเห็นอินทิกรัลไม่แท้
โดยขอบอันหนึ่งเป็นอนันต์
แต่เราทำอย่างไรเมื่อคุณมี
ขอบหนึ่งที่บวกอนันต์
และขอบหนึ่งอยู่ที่ลบอนันต์?

Portuguese: 
Aqui temos um gráfico de y igual a
250 dividido por 25
mais x ao quadrado
E neste vídeo eu estou curioso para saber
qual é a área total embaixo de curva
e acima do eixo X
Eu estou falando sobre tudo o que 
estou pintando de branco aqui,
incluindo o que nós não podemos ver se
formos para a direita
e se formos para a esquerda.
Então eu estou falando de X 
do infinito negativo
até X no infinito.
Primeiramente, como podemos 
nomear isso?
Isso seria uma integral imprópria.
Nós chamamos essa área 
de integral indefinida
de X igual a infinito negativo
até X igual a infinito da nossa função,
250 sobre 25 mais X ao quadrado, dx.
Nós já vimos integrais impróprias
onde um dos nossos limites era infinito.
Mas o que se faz quando você tem
um limite em infinito positivo
e um limite em infinito negativo?

iw: 
הנה יש לנו פה את הגרף
של y שווה ל 250 חלקי 25
פלוס x בריבוע.
ומה אני סקרן
לגביו בסרטון הזה
הוא השטח הכולל מתחת 
לעקום ומעל ציר ה- x.
אז אני מדבר על כל מה
שאני מצליל פה בלבן,
כולל מה שאנחנו לא יכולים לראות,
כשאנחנו ממשיכים ימינה
ואנחנו לא מפסיקים לזוז שמאלה.
אז אני מדבר על 
מx במינוס אינסוף כל
הדרך x לאינסוף.
אז קודם כל, איך נסמן את זה?
ובכן, זה יהיה
אינטגרל לא אמיתי.
נסמן את השטח הזה
כאינטגרל מסוים
מ x שווה
מינוס אינסוף
ל- x שווה
אינסוף של הפונקציה שלנו,
250 חלקי 25 פלוס x בריבוע ,dx.
עכשיו, כבר
ראhbu אינטגרלים לא אמיתיים
כשאחד  הגבולות שלנו
היה אינסופי.
אבל איך אתם עושים
את זה כשיש לכם
גבול אחד באינסוף
וגבול אחר
במינוס אינסוף?

Bulgarian: 
Имаме графиката на у равно
на 250 върху 25 плюс х квадрат.
В настоящия урок искам да намеря
пълната площ под кривата и оста х.
Имам предвид всичко, което
защриховам ето тук.
Включително и това, което не виждаме,
когато се движим
по оста х наляво или надясно.
Имам предвид от х равно на минус
безкрайност
до х равно на безкрайност.
Как да означим тази площ?
С несобствен интеграл.
Ще я означим като несобствен
интеграл
от х равно на минус безкрайност
до х равно на безкрайност, от дадената
функция
250 върху 25 плюс х квадрат, dx.
Вече сме срещали несобствени
интеграли,
при които една от границите
е безкрайност.
Как да решим обаче такъв,
с една граница плюс безкрайност,
и друга минус безкрайност?

English: 
Right here we have the graph
of y is equal to 250 over 25
plus x squared.
And what I'm curious
about in this video
is the total area under this
curve and above the x-axis.
So I'm talking about everything
that I'm shading in white here,
including what we can't see,
as we keep moving to the right
and we keep moving to the left.
So I'm talking about from
x at negative infinity all
the way to x at infinity.
So first, how would we
actually denote this?
Well, it would be an
improper integral.
We would denote this area
as the indefinite integral
from x is equal to
negative infinity
to x is equal to
infinity of our function,
250 over 25 plus x squared, dx.
Now, we've already
seen improper integrals
where one of our
boundaries was infinity.
But how do you do
it when you have
one boundary at
positive infinity
and one boundary at
negative infinity?

Thai: 
คุณหาลิมิตสองอันพร้อมกันไม่ได้
และวิธีที่เราจัดการมัน
คือเราแบ่งลิมิตนี้
เป็นอินทิกรัลไม่แท้สองตัว ตัวหนึ่ง
เป็นอินทิกรัลไม่จำกัดเขตที่บรรยายพื้นที่ตรงนี้
สีฟ้าจากลบอนันต์ถึง 0
เราจะบอกว่า อันนี้เท่ากับอินทิกรัลไม่แท้ที่
ไปจากลบอนันต์ถึง 0 ของ 250 ส่วน 25
บวก x กำลังสอง dx บวกอินทิกรัลไม่แท้
ไปจาก 0 ถึงบวกอนันต์
บวกอินทิกรัลไม่แท้ อินทิกรัลจำกัเขต
จาก 0 ถึงบวกอนันต์ของ 250 ส่วน 25
บวก x กำลังสอง dx
และตอนนี้เราเริ่มเข้าใจอันนี้ได้
สิ่งที่เราเขียนด้วยสีฟ้านั้นเราเขียนใหม่ได้
มันเท่ากับลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้ลบอนันต์

iw: 
אתם לא יכולים לעשות גבול של
שני דברים שונים.
ולכן הדרך שבה אנחנו
הולכים להתמודד עם זה
היא למעשה
לשבור את השטח הזה
לשני אינטגרלים שונים לא אמיתים , אחד
אינטגרלי לא אמיתי שמתאר
את השטח הזה כאן
בכחול ממינוס אינסוף ל- 0.
אז נצטרך לומר שזה שווה
לאינטגרל לא אמיתי
שהולך ממינוס אינסוף 
ל- 0 של 250 חלקי 25
פלוס x בריבוע dx, פלוס
האינטגרל הלא אמיתי
שהולך מ 0 לפלוס אינסוף.
אז פלוס האינטגרל לא אמיתי,
או המסוים,
מ 0 לפלוס אינסוף של 250 
חלקי 25
ועוד x בריבוע dx.
ועכשיו נוכל להתחיל
להבין את זה.
אז מה שיש לנו 
בכחול ניתן לשכתב.
זה שווה את לגבול כש
n שואף למינוס אינסוף

English: 
You can't take a limit
to two different things.
And so the way that we're
going to tackle this
is to actually
break up this area
into two different
improper integrals, one
improper integral that describes
this area right over here
in blue from negative
infinity to 0.
So we'll say that this is equal
to the improper integral that
goes from negative infinity
to 0 of 250 over 25
plus x squared dx, plus
the improper integral that
goes from 0 to
positive infinity.
So plus the improper,
or the definite,
integral from 0 to positive
infinity of 250 over 25
plus x squared dx.
And now we can start
to make sense of this.
So what we have in
blue can be rewritten.
This is equal to the limit as
n approaches negative infinity

Polish: 
Nie można przyłożyć granicy do dwóch różnych rzeczy.
Tym samym sposób jakiego użyjemy by zmierzyć się z tym problemem
polega na dokonaniu podziału pola
na dwie różne całki niewłaściwe, jedną
niewłaściwą całkę opisującą to pole tutaj
niebieskie sięgające od minus nieskończoności do zera.
Zatem powiemy, że to jest równe całce niewłaściwej w
granicach od minus nieskończoności do zera z 250 nad 25
plus x do kwadratu dx, dodać całka niewłaściwa w
granicach od 0 do nieskończoności.
A więc dodać niewłaściwa albo określona
całka od zera do nieskończoności z 250 nad 25
dodać x do kwadratu dx.
I teraz przyszedł czas nadać temu sens.
A więc to co mamy na niebiesko możemy przepisać.
To jest równe granicy przy n dążącym do minus nieskończoności

Portuguese: 
Não se calcula o limite 
para duas coisas distintas.
Então, lidaremos com isso
dividindo essa área em duas 
integrais impróprias distintas,
uma integral imprópria que descreve
essa área aqui em azul
do infinito negativo a zero.
Isso será igual à integral imprópria que
vai de infinito negativo a
zero de 250 sobre 25
mais X ao quadrado, dx, mais
a integral imprópria
que vai de 0 a infinito positivo.
Logo, mais a integral imprópria,
ou definida,
de 0 a infinito positivo de 
250 sobre 25
mais X ao quadrado dx.
Agora começamos a
entender isso
O que temos em azul 
pode ser reescrito.
Isso é igual ao limite de n tendendo
a infinito negativo

Bulgarian: 
Не можем да намерим границата
при това условие.
Начинът да се реши тази задача
е да разделиш площта
на два несобствени интеграла.
Един несобствен интеграл,
който описва
тази площ в синьо, от минус
безкрайност до 0.
Казваме, че това е несобствен 
интеграл
от минус безкрайност до 0,
от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx.
Плюс несобствен интеграл
от 0 до плюс безкрайност.
Тоест плюс несобствен,
т.е. определен интеграл
от 0 до плюс безкрайност,
от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx.
Сега започваме да разбираме задачата.
Изразът в синьо можем да запишем
ето така.
Равно е на границата при
 n клонящо към минус безкрайност

Korean: 
다른 두 개의 경곗값에는 
극한을 취할 수 없습니다
따라서 이 상황을 해결하려면
이 부분을 나누어서
두 개의 이상적분으로 만들어줍니다
음의 무한대부터 0까지 
파란색 부분에 해당하는
이상적분이 하나 나오죠
따라서 이렇게 말할 수 있습니다
이 이상적분은
250/(25+x²) dx의 
음의 무한대부터 0까지로 나타낼 수 있고
그리고 이 식의
0부터 양의 무한대까지에 해당하는 
이상적분을 더해줍니다
이 이상적분 또는 정적분은
250/(25+x²) dx의 0부터 양의 무한대까지로
표시됩니다
이제 어떻게 해야 할지 감이 오죠
파란색 부분을 다시 써봅시다
이 부분은 lim n→ -∞ 일 때

Polish: 
całki określonej w granicach od n do zera z 250 nad 25
plus x do kwadratu dx.
Plus- zaczyna brakować mi tutaj
miejsca-- granica przy-- ponieważ wykorzystałem już wcześniej n ,
użyję teraz m-- granica przy m dążącym
do nieskończoności całek określonych w granicach od 0
do m z 250 nad 25 plus x do kwadratu dx.
Co nam pozostaje, to policzyć
te całki określone.
Żeby to zrobić musimy "zgadnąć"
funkcję pierwotną dla 250 nad 25 plus x do kwadratu.
Spróbujmy zatem to policzyć.
Przeliczę to tutaj po lewej stronie.
Zatem szukamy funkcji pierwotnej dla 250 nad 25
plus x kwadrat.
Możliwe, iż przyszło wam już do głowy,
że jakieś trygonometryczne podstawienie dałoby tutaj radę.

Portuguese: 
da integral definida de n a zero
de 250 sobre 25
mais X ao quadrado, dx.
Mais -- está acabando o espaço aqui --
o limite -- já que eu já usei n,
deixe-me user m agora --
o limite de m tendendo
a infinito positivo da integral
definida de zero
a m de 250 sobre 25
mais X ao quadrado dx.
Agora tudo o que temos que
fazer é calcular
essas integrais definidas.
Para isso, temos apenas 
que determinar
a antiderivada de 250
sobre 25 mais X ao quadrado.
Vamos tentar calcular isso.
Eu vou escrever isso aqui
do lado esquerdo.
Nós temos que calcular a 
antiderivada de 250 sobre 25
mais X ao quadrado.
E você já pode estar pensando
qual substituição trigonométrica
possa ser útil...

iw: 
של האינטגרל המסוים
מ n ל 0 של 250 חלקי 25
פלוס x בריבוע DX.
פלוס-- ואוזל לי המקום
כאן-- הגבול
מאחר שכבר השתמשתי ב- n,
תנו לי להשתמש  ב m עכשיו--
כאשר m שואף לאינסוף
פלוס אינסוף של
האינטגרל המסוים מ 0
ל m של 250 חלקי 25
פלוס x בריבוע dx.
אז עכשיו כל מה שיש לנו
לעשות זה לחשב
את האינטגרלים המסוימים האלו.
וכדי לעשות את זה, אנחנו
פשוט צריכים להבין
את האנטינגזרת של 250
חלקי 25 x פלוס בריבוע.
אז בואו ננסה למצוא אותה.
אני אעשה את זה
כאן מצד שמאל.
אז אנחנו צריכים למצוא את
האנטינגזרת של 250 חלקי 25
פלוס x בריבוע.
וזה אולי כבר בולט לכם.
בגלל שההצבה הטריגונומטרית
יכולה להיות דבר טוב לעשות.

Bulgarian: 
от определен интеграл, от n do 0
от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx.
Тук ми свършва мястото.
След като вече използвах n,
нека сега използвам m. Имаме плюс m
клонящо към безкрайност,
от определен интеграл
от 0 до m, от 250 върху 25 плюс
х квадрат, dx.
Сега следва да изчислим
тези определени интеграли.
За да го направим, просто следва
да намерим примитивната функция
от 250 върху 25 плюс х квадрат.
Нека опитаме да я изчислим.
Ще го направя ето тук отляво.
Искаме да намерим 
примитивната функция
от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx.
Може би вече се досещаш,
че заместване с тригонометрична
функция може да е подходящо.

Thai: 
ของอินทิกรัลจำกัดเขตจาก n ถึง 0
ของ 250 ส่วน 25
บวก x กำลังสอง dx
บวก -- ผมจะไม่มีที่เขียนแล้ว
-- ลิมิตเมื่อ -- เนื่องจากผมใช้ n ไปแล้ว
ผมจะใช้ m แทน -- ลิมิตเมื่อ m เข้าใกล้
บวกอนันต์ของอินทิกรัลจำกัดเขตจาก 0
ถึง m ของ 250 ส่วน 25 บวก x กำลังสอง dx
ตอนนี้ ที่เราต้องทำคือหาค่า
อินทิกรัลจำกัดเขตเหล่านี้
เวลาทำ เราต้องหา
ปฏิยานุพันธ์ของ 250 ส่วน 25 บวก x กำลังสอง
ลองหาว่ามันคืออะไร
ผมจะทำทางซ้ายนะ
เราต้องหาปฏิยานุพันธ์ของ 250 ส่วน 25
บวก x กำลังสอง
และคุณอาจเห็นทันที
ว่าเราแทนตรีโกณฯ ได้

Korean: 
∫ n에서 0까지 250/(25+x2) dx로
나타낼 수 있습니다
칠판 공간이 부족하네요
앞선 식에서 n을 썼기 때문에
이젠 m이라고 하겠습니다
이 부분은 lim m→ ∞ 일 때
∫ 0에서 m까지 250/(25+x2) dx로 
나타낼 수 있습니다
이제 이 식들을
따져보기만 하면 됩니다
그러려면
250/(25+x²) dx의 
역도 함수를 찾아야 합니다
찾아봅시다
여기 왼쪽에 풀겠습니다
250/(25+x²) dx의 역도 함수를
찾아야 하죠?
삼각 치환법이 좋을 것이라고
생각이 들 겁니다

English: 
of the definite integral
from n to 0 of 250 over 25
plus x squared dx.
Plus-- and I'm running
out of real estate
here-- the limit as--
since I already used n,
let me use m now-- the
limit as m approaches
positive infinity of the
definite integral from 0
to m of 250 over 25
plus x squared dx.
So now all we have
to do is evaluate
these definite integrals.
And to do that, we
just have to figure out
an antiderivative of 250
over 25 plus x squared.
So let's try to figure
out what that is.
I'll do it over
here on the left.
So we need to figure out the
antiderivative of 250 over 25
plus x squared.
And it might already
jump out at you
that trig substitution
might be a good thing to do.

English: 
You see this pattern of
a squared plus x squared,
where in this
case, a would be 5.
So we can make the
substitution that x
is equal to a tangent
theta, 5 tangent theta.
And since we're going to have
to reverse substitute later on,
we can also put in
the constraint-- well,
we'd say x/5 is equal to tangent
of theta, which is completely
consistent with this
first statement.
And so if we wanted to
have theta expressed
as a function of x, we
can put the constraint
that theta is equal
to arctangent of x/5.
So once again, this is
completely consistent
with this over here. x
can be 5 tangent of theta,
and theta can be equal
to arctangent of x/5.
So now let's do
the substitution.
Actually, before
that, we also have
to figure out what
dx is equal to.
So dx is equal to-- I'll do
it right over here-- well,
the derivative of this
with respect to theta
is 5 secant squared
theta d theta.

Polish: 
Widzicie ten wzór na a kwadrat plus x kwadrat,
gdzie w naszym przykładzie a wynosi 5.
Zatem możemy zrobić podstawienie, że x
równa się tg theta, 5 tg theta.
I ponieważ będziemy musieli później dokonać odwrotnego podstawienia,
możemy od razu dopisać w tym miejscu-- cóż,
powiedzielibyśmy,że x/5 jest równe tg theta, co jest absolutnie
zgodne z pierwszym stwierdzeniem.
Więc jeśli chcielibyśmy mieć theta wyrażone
jako funkcję x, możemy położyć warunek,
że theta jest równe arctg(x/5).
Więc jeszcze raz, to jest zupełnie zgodne
z tym tutaj. x może wynosić 5 tg theta,
i theta może być równe arctg(x/5).
Dokonajmy teraz podstawienia.
Właściwie to jeszcze wcześniej także musimy
policzyć ile wynosi dx.
Zatem dx jest równe-- policzę to tutaj-- cóż,
pochodna tego po theta
wynosi 5 sec do kwadratu theta d theta.

Thai: 
คุณเห็นรูปแบบนี้ a กำลังสองบวก x กำลังสอง
ในกรณีนี้ a เป็น 5
เราแทน x นั่น
เท่ากับแทนเจนต์เธต้า 5 แทนเจนต์เธต้า ได้
และเนื่องจากเราจะต้องแทนค่าย้อนต่อไป
เราจะใส่มันในเงื่อนไข --
เราบอกว่า x/5 เท่ากับแทนเจนต์ของเธต้า
ซึ่งสอดคล้อง
กับประโยคแรกนี้
และถ้าเราอยากได้เธต้าที่แสดง
เป็นฟังก์ชันของ x เราจะใส่เงื่อนไข
ว่าเธต้าเท่ากับอาร์คแทนเจนต์ของ x/5
ย้ำอีกครั้ง อันนี้สอดคล้อง
กับอันนี้ตรงนี้ x เป็น 5 แทนเจนต์ของเธต้า
และเธต้าเท่ากับอาร์คแทนเจนต์ของ x/5
ลองทำการแทนที่กัน
ก่อนหน้านั้น เรายังต้องหา
ว่า dx เท่ากับอะไร
dx เท่ากับ -- ผมจะทำตรงนี้นะ --
อนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับเธต้า
คือ 5 เซคแคนต์กำลังสองเธต้า d เธต้า

Korean: 
a² + x²의 패턴이 보이시죠?
이 경우에선 a는 5가 될 겁니다
x는 a tan 𝜽로 치환될 수 있으므로
x = 5 tan 𝜽
후에 역치환을 할 것이기 때문에
이 식을
x/5 =  tan 𝜽로 표현할 수 있습니다
x = 5 tan 𝜽 와 x/5 =  tan 𝜽는 
같다고 할 수 있습니다
𝜽는 다음과 같이 나타낼 수 있는데
이 식은
𝜽 = arc tan x/5가 됩니다
x = 5 tan 𝜽 와
𝜽 = arc tan x/5는
같다고 할 수 있습니다
이제 대입을 해 봅시다
그러기 전에
dx가 무엇을 나타내는지 알아봐야 합니다
dx = 5 sec² 𝜽 d 𝜽
dx = 5 sec² 𝜽 d 𝜽
dx = 5 sec² 𝜽 d 𝜽

Bulgarian: 
Виждаш израз от вида а квадрат
плюс х квадрат,
като тук а ще бъде равно на 5.
Може да направим заместването
х е равно на а по тангенс θ (тита),
т.е. 5 по тангенс θ.
Накрая ще трябва да заместим обратно,
така че нека изведем следното
условие.
х върху 5 е равно на тангенс θ, което
е еквивалентно
с ето този първи израз.
Ако искаме да изразим θ
като функция на х, следва да поставим
условието, че θ е равно на
аркустангенс от х върху 5.
Това отново е еквивалентно с този
първи израз ето тук.
х е равно на 5 по тангенс θ,
а θ е равно на аркустангенс от х върху 5.
Нека сега да направим заместването.
Преди това следва да намерим
на какво е равно dx.
Ще го запиша ето тук.
Производната на този израз спрямо θ,
е равна на 5 по секанс квадрат θ, dθ.

Portuguese: 
Você vê esse padrão de um A ao 
quadrado mais X ao quadrado,
sendo que neste caso A
seria igual a 5.
Nós podemos fazer a substituição de
x igual à A vezes tangente de theta, 
5 tangente de theta.
E como nós temos que fazer a
substituição reversa depois,
nós também podemos colocar uma restrição,
determinamos que x/5 é igual 
à tangente de theta,
o que é completamente consistente
com essa primeira afirmação.
Então, se nós quisermos expressar theta
como uma função de x, podemos
impor essa restrição
de que theta é igual ao 
arco-tangente de x/5.
Mas, isso é consistente 
com esse aqui.
x pode ser 5 tangente de theta,
e theta pode ser igual ao 
arco-tangente de x/5.
Façamos agora a substituição.
Antes disso, nós também temos
que determinar a função de dx.
dx é igual a -- eu farei isso aqui --
a derivada disso em relação a theta
é 5 vezes a secante ao 
quadrado de theta d theta.

iw: 
אתם רואים את הדפוס הזה של a
בריבוע פלוס x בריבוע,
כשזה במקרה הזה, יהיה 5.
אז אנחנו יכולים להציב את זה
כש x
שווה לטנגנס
תטא,  5 טנגנס תטא.
ומכיוון שאנחנו נהיה חייבים
להפוך את ההצבה בהמשך,
אנחנו יכולים גם לשים את האילוץ -- טוב,
היינו אומרים ש x/5 שווה לטנגנס
של תטא, שזה לגמרי
בקנה אחד עם הטענה
הראשונה.
ואז אם היינו רוצים לבטא
את תטא
כפונקציה של x, אנחנו
יכולים לשים את האילוץ
שתטא שווה
לארקטנגנס של x / 5.
אז שוב, זה לגמרי עקבי.
עם זה כאן.  x
יכול להיות 5 טנגנס של תטא,
ותטא יכולה להיות שווה
לארקטנגנס של x / 5.
אז עכשיו בואו נעשה את ההצבה.
למעשה, לפני
זה, עלינו גם
להבין למה DX שווה .
אז DX שווה ל-- אני אעשה
זאת ממש מעל כאן-- טוב,
הנגזרת של זה
ביחס לתטא
היא 5 טנגנס בריבוע
תטא d תטא.

Thai: 
ตอนนี้เราพร้อมจะแทนกลับไปแล้ว
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ 250 คูณ dx
25 คูณ dx เท่ากับ 250 คูณ 5
เซคแคนต์กำลังสองเธต้า d เธต้า
250 dx จึงเป็นตัวนี้ตรงนี้
ทั้งหมดนั้นส่วน 25 บวก x กำลังสอง
x กำลังสองจะเท่ากับ 25 แทนเจนต์
กำลังสองของเธต้า
และตอนนี้เราพร้อมจะจัดรูปทั้งหมดนี้แล้ว
อันนี้เท่ากับ 250 คูณ 5 เซคแคนต์
กำลังสองเธต้าส่วน 25 คูณ 1 บวก
แทนเจนต์กำลังสองเธต้า d เธต้า
25 ไปหาร 250 ได้ 10 ครั้ง
แล้ว 1 บวกแทนเจนต์กำลังสองเธต้า
เท่ากับเซคแคนต์กำลังสองเธต้า

Portuguese: 
Agora podemos substituir isso na integral.
Tudo isso aqui será igual a 250 vezes dx.
Bom, 250 vezes dx é 250 vezes 5 vezes
a secante ao quadrado de theta d theta.
Então isso é igual a 250 dx.
Tudo isso sobre 25 mais x ao quadrado.
Bom, x ao quadrado será igual a 
25 vezes tangente ao quadrado de theta.
E agora podemos tentar simplificar isso.
Isso é igual a 250 vezes 5 vezes
a secante ao quadrado de theta 
sobre 25 vezes 1 mais
a tangente ao quadrado de theta d theta.
25 é simplificado com 250,
10 vezes
E 1 mais tangente ao quadrado de theta
é igual à secante ao quadrado de theta.

Polish: 
Więc teraz jesteśmy gotowi wrócić do podstawiania.
Zatem cały ten napis będzie równy 250 razy dx
Cóż, 250 razy dx jest równe 250 razy 5 sec do kwadratu theta d theta.
Więc to u góry tutaj wynosi 250 dx.
To wszystko nad 25 plus x do kwadratu.
Cóż, x kwadrat to będzie 25 tg do kwadratu od theta.
I teraz możemy spróbować to wszystko uprościć.
To się równa 250 razy 5 sec
do kwadratu theta nad 25 razy 1 plus
tg do kwadratu od theta d theta.
Więc 25 mieści się 10 razy w 250.
I wtedy 1 plus tg do kwadratu od theta równa się sec kwadrat theta.

English: 
So now we're ready to
substitute back in.
So all of this business is going
to be equal to 250 times dx.
Well, 250 times dx is 250 times
5 secant squared theta d theta.
So that's 250 dx is
this business up here.
All of that over
25 plus x squared.
Well, x squared is going to be
25 tangent squared of theta.
And now we can try to
simplify all of this business.
This is equal to
250 times 5 secant
squared theta over
25 times 1 plus
tangent squared theta d theta.
So 25 goes into 250 10 times.
And then 1 plus tangent squared
theta is secant squared theta.

Bulgarian: 
Сега вече сме готови да заместим
обратно.
Тогава целият този израз е равен
на следното.
250 по dx е равно на 250 по 5 по секанс
квадрат θ, dθ.
Тоест 250 по dx е този израз ето тук.
Всичко това е върху 25 плюс х квадрат.
х квадрат ще бъде равно
на 25 по тангенс на квадрат от θ.
Сега можем да опитаме да опростим
целия този израз.
Равно е на 250 по 5 по секанс квадрат θ
върху 25 по 1 плюс тангенс 
на квадрат от θ, dθ.
250, разделено на 25,
 е равно на 10.
А 1 плюс тангенс квадрат θ
е секанс квадрат θ.

Korean: 
이제 대입을 할 수 있겠죠
대입을 해 보면 250 dx는
250 * 5 sec² 𝜽가 됩니다
250 dx = 250 * 5 sec² 𝜽 가 되지요
위 식은 25 + x²의 분자가 됩니다
x²은 25 tan² 𝜽가 되고요
이제 이 식을 단순화시켜 봅시다
[(250 * 5 sec² 𝜽) * d𝜽] / 25 (1+tan² 𝜽)
[(250 * 5 sec² 𝜽) * d𝜽] / 25 (1+tan² 𝜽)
[(250 * 5 sec² 𝜽) * d𝜽] / 25 (1+tan² 𝜽)
250을 25로 나누면 10이 되고
1 + tan² 𝜽는 sec² 𝜽가 됩니다

iw: 
אז עכשיו אנחנו מוכנים
להציב בחזרה.
אז כל העסק הזה הולך
להיות שווה 250 כפול dx.
ובכן, 250 כפול DX הוא 250 כפול
5 סקנס בריבוע תטא d תטא.
אז זה 250 DX הוא
העסק הזה כאן.
כל זה חלקי
25 פלוס x בריבוע.
ובכן, X בריבוע הולך להיות
25 טנגנס בריבוע של תטא.
ועכשיו אנחנו יכולים לנסות
לפשט את כל העסק הזה.
זה שווה
250 כפול 5 סקנס
בריבוע תטא חלקי
25 כפול 1 פלוס
טנגנס בריבוע תטא d תטא.
אז 25 הולך ל 250 10 כפול.
ואז 1 פלוס טנגנס בריבוע
תטא זה סקנס בריבוע תטא.

Korean: 
tan² 𝜽는
sin² 𝜽/cos² 𝜽이고
1을
cos²  𝜽/ cos²  𝜽로 보았을 때
삼각함수 공식에 따라서
1 + tan² 𝜽는 sec²  𝜽가 됩니다
간단하게 이렇게 표현할 수 있습니다
sec² 𝜽/sec² 𝜽
=1
그러면 10 * 5 = 50 d𝜽가 남습니다
50을 적분 기호 밖으로 빼면
50 ∫ d 𝜽가 되고, 이것은
50 𝜽가 됩니다
이것들이 역도 함수임을 나타내기 위해서
상수 C를 더해줍니다
이 적분을 풀기 위해서는
가장 기본적인 역도 함수만이 필요합니다
지금은 𝜽로 표현되어있는 것들을
x로 표현해 보겠습니다
𝜽 = arc tan x/5 이므로

English: 
You can prove it for yourself
if you write tan squared theta
as sine squared theta
over cosine squared theta.
Add that to 1, which
is the same thing
as cosine squared theta
over cosine squared theta.
And then you can use some
basic trig identities
to realize that this is equal
to secant squared theta, which
simplifies our
expression a good bit.
You get secant squared theta
over secant squared theta,
which is just 1.
And so you're just left with
the 10 times the 5, 50 d theta.
So this is equal
to 50-- I'll take
the 50 outside the
integral-- 50 d theta, which
is equal to 50 theta.
We can write the
plus C, just to show
that these are all of
the antiderivatives.
But we only need the
most basic antiderivative
to evaluate these
definite integrals.
But we right now only
have it in terms of theta.
Let's write this in terms of x.
We set the constraint that theta
is equal to arctangent of x/5.

Polish: 
Możecie to sobie udowodnić jeśli zapiszecie tg kwadrat od theta
jako sin kwadrat theta nad cos kwadrat theta.
Dodać to do 1, która jest tym samym
co cos kwadrat theta nad cos kwadrat theta.
I wtedy należy użyć pewnych podstawowych tożsamości trygonometrycznych
żeby przekonać się, że to jest równe sec kwadrat theta, co
nie mało upraszcza nasze wyrażenie.
Dostajemy sec kwadrat theta nad sec kwadrat theta,
czyli 1.
Zatem zostaliśmy z 10 razy 5 d theta.
Zatem to się równa 50-- wyłączę
50 przed całkę-- 50 d theta, co
daje 50 theta.
Możemy dopisać plus C, żeby pokazać
że to są wszystkie funkcje pierwotne.
Ale my potrzebujemy tylko najbardziej podstawowej
ażeby policzyć te całki określone.
Ale na razie mamy to tylko obliczone w zależności od theta.
Zapiszmy to jako funkcję x.
Założyliśmy wcześniej, że theta jest równe arctg(x/5).

iw: 
אתם יכולים להוכיח את זה בעצמכם
אם אתם כותבים טנגנס בריבוע תטא
כמו סינוס בריבוע תטא
חלקי קוסינוס בריבוע תטא.
ומוסיפים 1, 
שהוא אותו הדבר
כמו קוסינוס בריבוע תטא
חלקי קוסינוס בריבוע תטא.
ואז אתם יכולים להשתמש בכמה
זהויות טריגונומטריות בסיסיות
להבין שזה שווה
לסקנס תטא בריבוע, וזה
מפשט את הביטוי שלנו הרבה.
אתם מקבלים תטא סקנס בריבוע
חלקי סקנס בריבוע תטא,
וזה רק 1.
וכך אתם פשוט נשארים עם
10 כפול התטא d 50,5.
אז זה שווה
ל 50-- ואני אקח
50 מחוץ
לאינטגרל--50 d תטא, אשר
שווה ל 50 תטא.
אנחנו יכולים לכתוב את
הפלוס C, רק כדי להראות
שאלו כולן הן אנטינגזרות.
אבל אנחנו רק צריכים את
האנטינגזרת הבסיסית ביותר
כדי להעריך את
האינטגרלים המסוימים.
אבל יש לנו את זה עכשיו רק במונחים של תטא.
בואו נכתוב את זה במונחים של x.
קבענו אילוץ שתטא
שווה ארקטנגנס של x / 5.

Portuguese: 
Você pode provar isso você mesmo se você 
escrever a tangente ao quadrado de theta
como o seno ao quadrado de theta sobre
o cosseno ao quadrado de theta.
Adicione 1, o que é o mesmo que
cosseno ao quadrado de theta
sobre o cosseno ao quadrado de theta
e então você pode usar identidades
trigonométricas básicas
para ver que isso é igual à secante
ao quadrado de theta,
o que simplifica um pouco
a nossa expressão.
Você obtêm secante ao quadrado de theta
sobre secante ao quadrado de theta,
que é igual a 1.
E então você fica com 10
vezes 5, 50 d theta.
Isso é igual a 50 -- vou retirar
50 para fora da integral --
50 d theta,
que é igual à 50 vezes theta.
Podemos escrever a constante C, 
somente para mostrar que
essas são todas as antiderivadas.
Mas nós só precisamos da
antiderivada mais básica
para avaliar essas integrais definidas.
Mas agora nós só as temos em
função de theta.
Vamos escrever isso em função de x.
Nós definimos a restrição de que theta
é igual ao arco-tangente de x/5.

Bulgarian: 
Можеш да го докажеш, ако представиш
тангенс θ
като синус квадрат θ върху косинус
квадрат θ.
А единицата е същото нещо
като косинус квадрат θ върху
косинус квадрат θ.
След това можеш да използваш
основните тригонометрични тъждества,
за да докажеш, че този израз в скобите,
е равен на секанс квадрат θ.
Това опростява значително израза.
Получава се секанс квадрат θ върху
секанс квадрат θ,
което е равно на 1.
Следователно остава само 10 по 5,
т.е. 50 пъти по dθ.
Ще изнеса това 50 пред интеграла.
Имаме 50 по интеграл от dθ.
Получава се 50 пъти по θ.
Записваме плюс С, за да покажем,
че това са всичките 
примитивни функции.
Нуждаем се обаче само от основната
примитивна функция,
за да изчислим тези определени
интеграли.
Сега обаче я имаме като функция на θ.
Нека да я запишем като функция на х.
Ще използваме равенството θ е равно
на аркустангенс от х върху 5.

Thai: 
คุณพิสูจน์ด้วยตัวเองได้ถ้าคุณเขียน
tan กำลังสองเธต้า
เป็นไซน์กำลังสองเธต้า
ส่วนโคไซน์กำลังสองเธต้า
บวกมันเข้ากับ 1 ซึ่งเท่ากับ
โคไซน์กำลังสองเธต้า
ส่วนโคไซน์กำลังสองเธต้า
แล้วคุณใช้สมบัติตรีโกณฯ พื้นฐาน
เพื่อสังเกตว่าอันนี้เท่ากับเซคแคนต์
กำลังสองเธต้า ซึ่ง
ลดรูปพจน์นี้ได้หน่อย
คุณจะได้เซคแคนต์กำลังสองเธต้า
ส่วนเซคแคนต์กำลังสองเธต้า
ซึ่งก็คือ 1
แล้วคุณจะเหลือแค่ 10 คูณ 5, 50 d เธต้า
นี่จึงเท่ากับ 50 -- ผมจะดึง
50 ออกนอกอินทิกรัล -- 50 d เธต้า
ซึ่งเท่ากับ 50 เธต้า
เราเขียนบวก c ได้เพื่อแสดงว่า
เราได้ปฏิยานุพันธ์ทั้งหมด
แต่เราต้องการแค่ปฏิยานุพันธ์ที่พื้นฐานที่สุด
เพื่อหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขตเหล่านี้
แต่ตอนนี้ เรามีในรูปเธต้า
ลองเขียนมันในรูปของ x ดู
เราตั้งเงื่อนไขว่าเธต้าเท่ากับ
อาร์คแทนเจนต์ของ x/5

Portuguese: 
Isso então é igual a 50 vezes o
arco-tangente de x/5 mais C.
Essa são todas as antiderivadas.
Podemos definir C como zero para encontrar
uma antiderivada para essas expressões
para determinar as integrais definidas.
Façamos isso então.
O que temos em azul podemos
reescrever como o limite de n
tendendo ao infinito negativo da
antiderivada disso,
ou um antiderivada disso aqui,
que podemos escrever como 
50 vezes arco-tangente de x/5.
E nós iremos calcular isso em 0 e em n.
E a isso adicionamos o limite de m
tendendo ao infinito positivo 
somente da antiderivada de
50 vezes arco-tangente de x/5

Bulgarian: 
Тогава получаваме 50 по аркустангенс
от х върху 5 плюс С.
Това са всички 
примитивни функции.
Можем да изберем С 
да е равно на 0,
за да заместим в тези изрази тук,
за да изчислим определените
интеграли.
Нека го направим.
Това, което имаме в синьо,
 ще запишем ето така.
Граница от n, клонящо към безкрайност,
от примитивната
функция от този израз,
което е равно на 50 по 
аркустангенс от х върху 5.
Ще го изчислим за 0 и n.
Към този израз прибавяме граница,
когато m
клони към безкрайност от следната
примитивна функция.
50 по аркустангенс от х върху 5,

iw: 
אז זה שווה 50
ארקטנגנס של x / 5 פלוס C
כל אלו הם אנטינגזרות.
אנחנו יכולים לבחור C 
שווה 0 כדי למצוא
אנטינגזרת של הדברים האלה
כדי להעריך את
האינטגרלים המסוימים.
אז בואו נעשה את זה.
אז מה יש לנו בכחול, אנחנו
יכולים לכתוב מחדש כגבול כש n
שואף למינוס אינסוף 
של האנטינגזרת של זה,
או האנטינגזרת של
זה, ונוכל לומר
שזה 50 ארקטנגנס של x / 5.
ואנחנו הולכים
להעריך אותו ב- 0 ו- n.
ולזה, אנחנו הולכים
להוסיף את הגבול כש m מתקרב
לפלוס אינסוף של 
האנטינגזרת רק של זה,
ארקטנגנס- לא "ארטנגנס", ארקטנגנס- 50- ארקטנגנס של x/5

Polish: 
A więc to jest równe 50 arctg(x/5) plus C.
To są wszystkie funkcje pierwotne.
Możemy wybrać C=0 żeby znaleźć
funkcję pierwotną tych rzeczy
aby policzyć całki określone.
Zróbmy to więc.
Zatem to co mamy na niebiesko, możemy przepisać jako granicę przy n
dążącym do minus nieskończoności z funkcji pierwotnej tego,
lub funkcji pierwotnej tego, którą jest
50 arctg(x/5).
I zamierzamy obliczyć jej wartość w 0 i n.
Do tego dodamy granicę przy m dążącym do
nieskończoności funkcji pierwotnej tego,
50 arctg-- nie "acttg", arctg-- arctg(x/5)

Korean: 
이 식은 50 arc tan x/5 + C가 됩니다
이 식들은 전부 역도 함수입니다
이 적분을 풀기 위해서
C를 0으로
놓겠습니다
이것을 해봅시다
파란색 식을 다시 써보면
lim n→ -∞ 일 때
lim n→ -∞ 일 때
50 arc tan x/5를
0과 n에서 값을 구하겠습니다
좌측의 식에 더해서
lim m→ ∞ 일 때
50 arctangent of x/5를

Thai: 
อันนี้จึงเท่ากับ 50 
อาร์คแทนเจนต์ของ x/5 บวก c
นี่คือปฏิยานุพันธ์ทั้งหมด
เราเลือก c เท่ากับ 0 ได้เพื่อหา
ปฏิยานุพันธ์ของสิ่งเหล่านี้
เพื่อหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต
ลองทำกันดู
สิ่งที่เรามีสีฟ้า เราเขียนใหม่ได้เป็นลิมิตเมื่อ n
เข้าใกล้ลบอนันต์ของปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้
ปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่งของฟังก์ชันนี้
ซึ่งเราเลือก
เป็น 50 อาร์คแทนเจนต์ของ x/5
และเราจะหาค่ามันที่ 0 กับ n
แล้วจากนี้ เราจะบวกลิมิตเมื่อ m เข้าใกล้
บวกอนันต์ของปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้
50 อาร์คแทนเจนต์ ไม่ใช่ แอคแทนเจนต์
อาร์คแทนเจนต์ -- อาร์คแทนเจนต์ของ x/5

English: 
So this is equal to 50
arctangent of x/5 plus C.
These are all the
antiderivatives.
We can pick C is
equal to 0 to find
an antiderivative
of these things
to evaluate the
definite integrals.
So let's do that.
So what we have in blue, we
can rewrite as the limit as n
approaches negative infinity
of the antiderivative of this,
or an antiderivative of
this, which we could say
is 50 arctangent of x/5.
And we're going to
evaluate it at 0 and n.
And to this, we're going to
add the limit as m approaches
positive infinity of just
the antiderivative of this,
50 arctangent-- not "actangent,"
arctangent-- arctangent of x/5

Thai: 
หาค่าจาก 0 ถึง m
ขอผมใส่วงเล็บเล็กๆ รอบ
x/5 นี้
แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับ 50 -- ขอผมเขียนอันนี้ใหม่นะ
อันนี้คือลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้
ลบอนันต์ของ 50 อาร์คแทนเจนต์ของ 0/5
ลบ 50 อาร์คแทนเจนต์ของ n/5
 
แล้วจากนั้น เราจะบวก -- ขอผม
หาที่เพิ่มอีกหน่อยนะ -- ลิมิตเมื่อ m เข้าใกล้
อนันต์ของ 50 arctan ของ m/5
ลบ 50 arctan -- ผมว่า
คุณคงเห็นว่าจะเป็นอย่างไรต่อ
-- ลบ 50 arctan ของ 0/5
ทีนี้ เราหาค่าเหล่านี้ได้
เพื่อช่วยหาค่าเหล่านั้น ลอง

Polish: 
obliczonej w granicach od 0 do m.
Pozwólcie, że postawię mały nawias
wokół x/5.
Więc co to będzie?
To będzie 50-- no więc pozwólcie mi to zapisać.
To będzie granica przy n dążącym do
minus nieskończoności z 50 arctg(0/5)
minus 50 arctg(n/5).
I do tego dodajemy -- pozwólcie, że zrobię sobie
odrobinę więcej miejsca-- granica przy m dążacym
do nieskończoności z 50 arctg(m/5) minus 50 arctg-- myślę, że
widzicie do czego to wszystko zmierza-- minus 50 arctg(0/5).
Zatem teraz możemy policzyć te rzeczy.
Ażeby to policzyć przywołajmy z pamięci obraz

Portuguese: 
calculado de 0 a m.
Deixe-me colocar parênteses
ao redor de x/5.
E qual será o resultado disso?
Isso será 50 -- deixe-me escrever isso.
Isso será o limite de n tendendo
ao infinito negativo de 50 vezes
arco-tangente de 0 sobre 5
menos 50 vezes arco-tangente de n sobre 5.
E a isso adicionaremos -- vou usar 
um pouco
mais de espaço -- o limite de m tendendo
ao infinito de 50 vezes arco-tangente de
m sobre 5 menos 50 vezes arco-tangente --
menos 50 vezes arco-tangente de 0 sobre 5.
Agora podemos calcular isso.
E para nos ajudar a calcular,

English: 
evaluated from 0 to m.
And let me put a little
parentheses right
around this x/5.
So what's this going to be?
This is going to be 50--
so let me write this.
This is going to be the
limit as n approaches
negative infinity of
50 arctangent of 0/5
/ minus 50 arctangent of n/5.
And then to that, we're going
to add-- let me give myself
even a little bit more space--
the limit as m approaches
infinity of 50 arctan of m/5
minus 50 arctan-- I think
you see where all this is
going-- minus 50 arctan of 0/5.
So now we can
evaluate these things.
And to help us
evaluate them, let's

Bulgarian: 
изчислена в интервала от 0 до m.
Нека да поставя скоби
около това х върху 5.
На какво ще бъде равен този израз?
Нека го запиша ето така.
Това ще бъде граница от n клонящо
към минус безкрайност
от 50 по аркустангенс от 0 върху 5,
минус 50 по аркустангенс от n върху 5.
Към този израз прибавям следното.
Нека си осигуря повече място.
Границата, когато m клони към
безкрайност
от 50 по аркустангенс от m върху 5
минус 50 по аркустангенс от 0 върху 5.
Мисля, че усещаш какво ще се получи.
Сега можем да изчислим тези изрази.
И за да си помогнем,

Korean: 
0과 m에서 값을 구하겠습니다
x/5에 괄호를
치겠습니다
자 이제 어떻게 될까요?
이렇게 써보겠습니다
lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)]
lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)]
lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)]
lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)]
좌측 식에 아래의 식을 더합니다
lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5) - 50 arc tan (0/5)]
lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5) - 50 arc tan (0/5)]
lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5) - 50 arc tan (0/5)]
이제 계산해 봅시다
이해를 돕기 위해서

iw: 
מוערך מ -0 ל m.
ותנו לי לשים קצת
סוגריים פה
סביב ה x / 5 הזה.
אז מה זה הולך להיות?
זה הולך להיות 50--
אז תנו לי לכתוב את זה.
זה הולך להיות
הגבול כש n מתקרב
למינוס אינסוף של
50 ארקטנגנס של 0/5
מינוס 50 ארקטנגנס של n / 5.
ואז לזה, אנחנו הולכים
להוסיף -- תנו לי לתת לעצמי
אפילו עוד קצת מקום--
הגבול ככל ש m מתקרב
לאינסוף של 50 ארקטנגנס של m / 5
מינוס 50 ארקטנגנס-- אני חושב
שאתם רואים לאן כל זה הולך
-- מינוס 50 ארקטנגנס של 0/5.
אז עכשיו אנחנו יכולים
לחשב את הדברים האלה.
וכדי לעזור לנו
לחשב אותם, בואו

English: 
think about a unit circle.
So let's think
about a unit circle
so we can really visualize
the arctangent function.
So one way to think
about the tangent
is the slope of the line
that is on the angle
or that helps define the
terminal side of an angle.
So for example, if we have an
angle that looks like this--
this is an angle between
the positive x-axis
and this line right over here.
If we have an angle just like
that, the tangent of that angle
is going to be the
slope of this line.
And so one way to
think about it is,
OK, if I want the arctangent
of 0, it's essentially saying,
OK, let's get an angle where
the terminal side has slope 0.
Well, an angle where the
terminal side has slope 0
is an angle of 0.
So arctangent of 0 is 0 radians.
So it's 50 times 0.
That's just going to be 0.
And we could also
write that over here.
This is just going to be 0.

Bulgarian: 
нека използваме единичната
окръжност.
Нека разгледаме единичната
окръжност,
за да можем да онагледим функцията
аркустангенс.
Може да мислиш за тангенс
като за наклона на правата,
която определя второто рамо на
един ъгъл.
Нека имаме ъгъл, който изглежда ето
така.
Този ъгъл е определен от
положителната посока на оста х
и тази права ето тук.
Ако имаме ето този ъгъл, то тангенсът
на този ъгъл
ще бъде наклонът на ето тази линия.
Можеш да го разглеждаш по следния
начин.
Ако искаме да намерим аркустангенс
от 0, е все едно
да вземем ъгъл, чието второ рамо
има наклон 0.
Ъгъл, чието второ рамо има наклон 0,
е ъгъл със стойност 0.
Аркустангенс от 0 има 0 радиана.
Тоест тук имаме 50 по 0.
Това просто ще бъде равно на 0.
Можем да го запишем и ето тук.
Този израз тук ще бъде 0.

Korean: 
단위원을 생각해 봅시다
단위원을 생각해 보면
arc tan 를 시각화하여 알 수 있습니다
tan를 나타내는 것은
어떤 각에 의한 기울기라고
생각할 수 있습니다
예를 들어 그림과 같은 각을 볼 수 있는데
이것은 양의 x축과
선이 이루는 각이라고 볼 수 있습니다
이 각에 대한 tan는
이 선의 기울기입니다
다음과 같이 생각해 볼 수 있습니다
우리가 0의 arc tan 값을 구하고자 할 때
0의 기울기를 가진 끝부분을 표현하면
기울기가 0인 끝부분의
각은 0입니다
따라서 arc tan 0은 0이 됩니다
그래서 50 * 0은
0이 됩니다
써보면
0입니다

Thai: 
คิดถึงวงกลมหน่วยดู
ลองคิดถึงวงกลมหน่วย
เรามองภาพฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์ได้
วิธีคิดถึงแทนเจนต์อย่างหนึ่ง
คือความชันของเส้นตรงที่อยู่บนมุม
หรือช่วยกำหนดแขนปลายของมุม
ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีมุมที่เป็นแบบนี้ --
นี่คือมุมระหว่างแกน x บวก
และเส้นตรงนี่ตรงนี้
ถ้าเรามีมุมแบบนั้น แทนเจนต์ของมุมนั้น
จะเป็นความชันของเส้นตรงนี้
และวิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า
โอเค ถ้าผมอยากได้อาร์คแทนเจนต์ของ 0
มันจะบอกเราว่า
โอเค ลองหามุมที่แขนปลายมีความชันเป็น 0
มุมเมื่อแขนปลายมีความชันเป็น 0
คือมุมเท่ากับ 0
อาร์คแทนเจนต์ของ 0 คือ 0 เรเดียน
มันคือ 50 คูณ 0
มันจึงเท่ากับ 0
แล้วเราเขียนมันตรงนี้ได้
อันนี้จะเท่ากับ 0

iw: 
נחשוב על מעגל היחידה.
אז בואו נחשוב
על מעגל היחידה
כדי שנוכל באמת לדמיין
את הפונקציה ארקטנגנס.
אז דרך אחת לחשוב
על טנגנס
היא על השיפוע של הקו
שהוא על הזווית
או שעוזר להגדיר את
הצד הקיצוני של הזווית
כך למשל, אם יש לנו
זווית שנראית כך--
זו היא זווית בין
ציר ה- X החיובי
והקו הזה כאן.
אם יש לנו זווית בדיוק ככה
, הטנגנס של הזווית הזו
הולכת להיות
השיפוע של הקו הזה.
ולכן דרך אחת
לחשוב על זה,
אוקי, אם אני רוצה את ארקטנגנס
של 0, זה בעצם אומר,
אוקי, בואו נמצא את הזווית שבה
לצד הקיצוני יש שיפוע של 0.
ובכן, בזווית שבה
בצד הקיצוני יש שיפוע 0
היא בזווית 0.
אז ארקטנגנס של 0 הוא 0 ברדיאנים.
אז זה 50 כפול 0.
זה פשוט הולך להיות 0.
ויכולנו גם
לכתוב את זה כאן.
זה פשוט הולך להיות 0.

Polish: 
okręgu jednostkowego.
Rozważmy zatem okrąg jednostkowy
tak aby móc sobie wyraźnie zwizualizować funkcję arctg.
Jeden sposób myślenia o tg
to jako o współczynniku kierunkowym prostej leżącej "na kącie"
lub, inaczej, prostej pozwalającej zdefiniować ramię końcowe kąta.
A więc na przykład, jeśli mamy kąt, który wygląda tak--
to jest kąt pomiędzy dodatnią osią x
i tą linią tutaj.
Jeśli mamy taki właśnie kąt, to tg tego kąta
będzie równy współczynnikowi kierunkowemu tej prostej.
I dlatego jeden sposób myślenia o tym jest taki,
OK, jeśli chcę mieć arctg0, to właściwie to samo co powiedzieć:
OK, weźmy kąt, którego ramię końcowe ma współczynnik kierunkowy 0.
Cóż, kąt którego ramię końcowe ma współczynnik kierunkowy 0
to kąt 0 stopni.
Więc arctg0 wynosi 0 radianów.
Więc to jest 50 razy 0.
Czyli 0.
Możemy zapisać to też tutaj.
To po prostu będzie 0.

Portuguese: 
consideremos um círculo unitário.
Consideremos um círculo unitário
para que possamos visualizar a
função arco-tangente.
Uma maneira de pensar
sobre a tangente
é como a inclinação da linha que 
está em um determinado ângulo
ou melhor, que ajuda a definir
o limite do ângulo.
Por exemplo, se tivermos um 
ângulo que se parece a isso --
esse é um ângulo entre o 
eixo x positivo
e esta linha aqui.
Se tivermos um ângulo assim,
a tangente do ângulo
será a inclinação dessa linha.
Então, podemos ver isso como...
OK, se eu quero o arco-tangente de zero,
tracemos uma linha que tenha 
uma inclinação igual a zero.
Bom, um ângulo onde o lado limite
tem inclinação igual a zero
é o ângulo 0.
Então o arco-tangente de 0 é 0 radianos.
Logo isso será igual a 50 vezes 0,
o que será somente zero.
E podemos escrever isso também.
Isso será igual a 0.

Korean: 
그래서 남은 식은
lim n→ -∞ [-50 arc tan (n/5)] + lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5)] 입니다
lim n→ -∞ [-50 arc tan (n/5)] + lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5)] 입니다
lim n→ -∞ [-50 arc tan (n/5)] + lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5)] 입니다
다음 단계를 봅시다
n이 - ∞일 때
극한을
-∞ 로 접근하는
끝부분의 기울기라고 볼 수 있습니다
점점 더 음의 값으로
가까워지면
음의 무한대에서
이 각은
-π/2 가 됩니다
-π/2 가 됩니다
다르게 말하자면

iw: 
אז מה שאנחנו נשארים
איתו זה עם הגבול
ככל ש n מתקרב למינוס
אינסוף
של מינוס 50 ארקטנגנס של n / 5
פלוס הגבול כש m מתקרבת
לפלוס אינסוף של
50 ארקטנגנס של m/5.
אז בואו נחשוב מה
אלה הולכים להיות.
אז זה הגבול כש n
שואף למינוס אינסוף.
אחת הדרכים להציג את זה
כגבול
כמו השיפוע
של הצד הקיצוני הזה
במינוס אינסוף.
אז זה מתחיל להיות יותר
ויותר שלילי, יותר
ויותר שלילי.
וזה במינוס
אינסוף, או שזה
מתקרב למינוס אינסוף 
כאשר הזווית שלנו,  כאן
היא מינוס פאי חלקי 2 ברדיאנים.
או שאתם יכולים לומר 
הגבול של ארקטנגנס של n / 5

Bulgarian: 
Остана ни границата,
когато n клони към безкрайност
от минус 50 по аркустангенс
от n върху 5 плюс границата,
когато m клони към плюс безкрайност,
от 50 по аркустангенс от m върху 5.
Нека помислим на какво са равни тези
граници.
Ето граница, когато n клони към минус
безкрайност.
Можеш да разглеждаш границата
като наклона на второто рамо на ъгъла,
който клони към минус безкрайност.
Ето този наклон намалява все повече
и повече към минус безкрайност.
Става минус безкрайност,
т.е. клони към минус безкрайност,
когато този ъгъл тук,
има стойност минус π/2 радиана.
Може да кажем и следното. Имаме
граница от аркустангенс от n върху 5

English: 
So what we're left
with is the limit
as n approaches
negative infinity
of negative 50 arctangent of n/5
plus the limit as m approaches
positive infinity of
50 arctangent of m/5.
So let's think about what
these are going to be.
So it's the limit as n
approaches negative infinity.
One way to view
that is the limit
as the slope of
this terminal side
approaches negative infinity.
So that's getting more
and more negative, more
and more negative.
It's at negative
infinity, or it's
approaching negative infinity
when our angle right over here
is negative pi/2 radians.
Or you could say the
limit of arctan of n/5

Portuguese: 
O que sobrou foi o limite de n
tendendo ao infinito negativo
de menos 50 vezes arco-tangente de 
n sobre 5 mais o limite de de m
tendendo ao infinito positivo de
50 vezes arco-tangente de m sobre 5.
Pensemos agora sobre 
qual será o resultado disso.
Este é o limite de n 
tendendo ao infinito negativo.
Podemos ver isso como o limite 
de quando a inclinação
desse lado limite se aproxima de 
infinito negativo.
Isso se torna cada vez mais negativo,
cada vez mais negativo.
Agora está em infinito negativo,
ou está se aproximando de infinito 
negativo quando o ângulo
é menos pi/2 radianos.
Ou você pode dizer que o
limite do arco-tangente de n/5

Thai: 
สิ่งที่เราเหลือก็แค่ลิมิต
เมื่อ n เข้าหาลบอนันต์
ของลบ 50 อาร์คแทนเจนต์ของ n/5
บวกลิมิตเมื่อ m เข้าใกล้
บวกอนันต์ของ 50 อาร์คแทนเจนต์ของ m/5
ลองคิดถึงดูว่าค่าเหล่านี้จะเป็นเท่าใด
มันคือลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้ลบอนันต์
วิธีมองอย่างหนึ่งคือลิมิต
เมื่อความชันของด้านปลายนี้
เข้าหาลบอนันต์
มันจะเป็นลบมากขึ้นเรื่อยๆๆ
ลบมากขึ้นเรื่อยๆ
มันอยู่ที่ลบอนันต์ หรือมัน
เข้าหาลบอนันต์เมื่อมุมของเราตรงนี้
เป็นลบพายส่วน 2 เรเดียน
 
หรือคุณบอกได้ว่า ลิมิตของ arctan ของ n/5

Polish: 
Więc to, z czym zostaliśmy to granica
przy n dążącym do minus nieskończoności
z minus 50 arctg(n/5) plus granica przy m dążącym do
nieskończoności z 50 arctg(m/5).
Pomyślmy co z tego wszystkiego dostaniemy.
Wiec to jest granica przy n dążącym do minus nieskończoności.
Jeden sposób jest taki, żeby postrzegać to jako granicę
gdzie współczynnik kierunkowy ramienia końcowego
zbiega do minus nieskończoności.
Czyli to robi się coraz bardziej i
bardziej ujemne.
To wypada w minus nieskończoności lub
"prawie tam" kiedy nasz kąt tutaj
osiąga miarę minus pi/2 radianów.
Albo można by powiedzieć, że granica arctg(n/5)

iw: 
כש n מתקרב למינוס אינסוף
, החלק הזה
כאן, הולך להתקרב,
ככל ש n מתקרב 
למינוס אינסוף,
זה הולך להיות מינוס פאי/ 2.
ואז אנחנו פשוט
נכפיל
את זה כפול מינוס 50.
אז זה הולך להיות מינוס
50 כפול מינוס פאי / 2,
שהולך להיות פלוס 25 פאי.
אז זה הולך להיות 25 פאי.
ובאותו אופן,
ארקטנגנס של  m/5 כש m
מתקרב לאינסוף-- טוב, כש m מתקרב לאינסוף,
השיפוע של הצד הקיצוני
של הזווית
שואף לאינסוף.
אז השיפוע
נהיה גבוה יותר ויותר.
זה מתקרב לאינסוף כשזה
 נהיה יותר ויותר קרוב
למאונך.
אז ארקטנגנס של m/5 ככל ש m
אינסוף הולך
להיות פאי/2 חיובי.
זוהי הזווית
של פלוס פאי/2.
אז מה שאנו רואים
בכתום כאן ליד
זה הולך להיות פלוס
50 כפול פאי/2,
שהולך להיות 25 פאי.

Polish: 
przy n dążącym do minus nieskończoności, ta część
tutaj, będzie zbiegała,
przy n dążącym do nieskończoności,
to będzie -pi/2.
I wtedy pomnożymy
to przez -50.
Więc otrzymamy -50 razy -pi/2, skąd
dostaniemy 25 pi.
Więc to będzie 25 pi.
I podobnie, arctg(m/5) przy m
dążącym do nieskończoności
współczynnik kierunkowy ramienia końcowego kąta
zbiega do nieskończoności.
Więc współczynnik kierunkowy rośnie coraz bardziej i bardziej.
Zbliża się do nieskończoności kiedy niemalże osiąga
pion.
Zatem arctg(m/5) przy m dążącym do
nieskończoności zbiega do pi/2.
To jest kąt miary pi/2.
Więc to co widzimy na pomarańczowo tutaj
to będzie 50 razy pi/2,
ca daje 25 pi.

Portuguese: 
quando n tende a infinito negativo,
essa parte aqui, irá aproximar-se,
quando n tende a infinito negativo,
será igual a menos pi/2.
E então iremos multiplicar isso
vezes menos 50.
Isso será menos 50 vezes menos pi/2,
que é igual a mais 25 pi
Logo, isso é igual a 25 pi.
E da mesma maneira, arco-tangente de m/5
quando m tende ao infinito
a inclinação do lado limite do ângulo
de aproxima do infinito. Logo, 
a inclinação fica cada vez maior.
Ela se aproxima do infinito quando 
o lado se aproxima do eixo vertical.
Logo, o arco-tangente de m/5 quando
m tende ao infinito será igual a pi/2.
Esse é o ângulo de pi/2.
Nós vemos em laranja aqui
que isso erá igual a 50 vezes pi/2
que é igual a 25 vezes pi.

Korean: 
arc tan n/5의 극한값이
n이 음의 무한대에
접근할수록
-π/2 가 됩니다
그리고 여기에
-50을 곱합니다
-50 * -π/2
=25π
=25π
이와 유사한 방법으로,  arc tan m/5의
m이 무한대에 접근할수록
그 각의 끝부분의 기울기가
무한대에 접근합니다
그리고 기울기는 더욱 높아져서
수직에 가까워지는 것처럼
무한대에 접근합니다
따라서 m이 무한대에 접근함에 따라
arc tan m/5가 π/2가 됩니다
이것은 π/2의 각입니다
주황색 식에서
50 *  π/2는
25π가 되고

English: 
as n approaches negative
infinity, this part
right over here, is
going to approach,
as n approaches
negative infinity,
it's going to be negative pi/2.
And then we're just
going to multiply
that times the negative 50.
So this is going to be negative
50 times negative pi/2, which
is going to be positive 25 pi.
So this is going to be 25 pi.
And similarly,
arctan of m/5 as m
approaches infinity-- well,
as m approaches infinity,
the slope of the terminal
side of the angle
approaches infinity.
So the slope is
getting higher, higher.
It approaches infinity as
it gets closer and closer
to vertical.
So the arctan of
m/5 as m approaches
infinity is going
to be positive pi/2.
This is an angle
of positive pi/2.
So what we see in
orange right over here
is going to be
positive 50 times pi/2,
which is going to be 25 pi.

Thai: 
เมื่อ n เข้าใกล้ลบอนันต์ ส่วนนี่
ตรงนี้ จะเข้าหา
เมื่อ n เข้าใกล้ลบอนันต์
มันจะเป็นลบพายส่วน 2
แล้วเราก็คูณมัน
ด้วยลบ 50
อันนี้จึงเท่ากับลบ 50 คูณลบพายส่วน 2
ซึ่งเท่ากับบวก 25 พาย
อันนี้จึงเท่ากับ 25 พาย
เช่นเดียวกัน arctan ของ m/5 เมื่อ m
เข้าหาอนันต์ -- เมื่อ m เข้าหาอนันต์
ความชันของแขนปลายของมุม
เข้าหาอนันต์
ความชันจะมากขึ้น มากขึ้น
มันเข้าหาอนันต์เมื่อมันเข้าหา
เส้นแนวตั้ง
arctan ของ m/5 เมื่อ m เข้าใกล้
อนันต์จึงเท่ากับบวก พายส่วน 2
นี่คือมุมขนาดบวก พายส่วน 2
สิ่งที่เราเห็นสีส้มตรงนี้
จะเท่ากับบวก 50 คูณพายส่วน 2
ซึ่งจะเท่ากับ 25 พาย

Bulgarian: 
за n клонящо към безкрайност, което
е тази част тук.
Когато n клони
към минус безкрайност,
границата ще бъде минус π/2.
Тогава просто ще умножим това
по минус 50.
Ще получим минус 50 по минус π/2,
което ще ни даде плюс 25 по π.
Този израз е равен на 25 по π.
Аналогично, тук имаме аркустангенс
от m върху 5,
когато m клони към безкрайност.
Когато m клони към безкрайност,
наклонът на второто рамо на ъгъла
клони към безкрайност.
Наклонът става все по-голям
и по-голям.
Клони към безкрайност и се
приближава
все повече и повече до вертикала.
Следователно за m върху 5 клонящо
към безкрайност, аркустангенс от m
върху 5 ще бъде равно на плюс π/2.
Ето този ъгъл е равен на плюс π/2.
Това, което виждаме в оранжево ето
тук,
ще бъде равно на плюс 50 по π/2.
Получава се 25 по π.

Korean: 
그래프의 파란색 부분은
25π가 됩니다
주황색 면적은 25π입니다
그래프의 곡선 아래의 전체 면적을 찾는
원래 문제로 돌아간다면
시도하기에 좋은 질문인데
25π + 25π = 50π 라는 답이 나옵니다
그러면 문제가 끝나게 됩니다
커넥트 번역 봉사단 | 권주영

Polish: 
Zatem pole zaznaczone na niebiesko,
wracając do naszego oryginalnego problemu, wynosi 25 pi.
Pole obszaru zaznaczonego na pomarańczowo jest równe 25 pi.
Zatem jeśli pragniemy odpowiedzieć na nasze pierwotne pytanie,
ile wynosi pole obszaru ograniczonego krzywą-- które
swoją drogą całkiem kuszącym pytaniem wołającym
o odpowiedź-- dostajemy, że to będzie 25 pi plus 25 pi, co daje 50 pi.
I tyle.

Thai: 
พื้นที่ที่เรามีสีฟ้า
กลับไปยังปัญหาเดิมของเรา คือ 25 พาย
พื้นที่เรามีสีส้มเท่ากับ 25 พาย
ถ้าเราอยากตอบคำถามเดิมของเรา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมดเป็นเท่าใด --
มันเป็นคำถามเจ๋งๆ ที่น่าลอง
ตอบ -- เราจะได้ 25 พายบวก 25 พาย
ซึ่งเท่ากับ 50 พาย
เราก็เสร็จแล้ว

Portuguese: 
Logo, a área que temos em azul,
voltando ao problema original,
é 25 vezes pi.
A área em laranja é igual a 25 vezes pi.
E respondendo à
nossa pergunta original,
qual é a área total sob a curva,
que é uma pergunta legal para responder,
teremos 25 vezes pi mais 25 vezes pi, 
que vale 50 pi.
E terminamos.
[Traduzido por Musa Morena Marcusso Manhães]

English: 
So the area that
we have in blue,
going back to our original
problem, is 25 pi.
The area that we have
in orange is 25 pi.
And so if we wanted to
answer our original question,
what's the total area
under this curve-- which
is kind of a cool
question to try
to answer-- we get it's 25 pi
plus 25 pi, which is 50 pi.
And we're done.

iw: 
אז השטח הזה
שיש לנו בכחול,
חוזר לבעיה מקורית שלנו
, היא 25 פאי.
השטח שיש לנו
בכתום הוא 25 pi.
וכך אם רצינו
לענות על השאלה המקורית שלנו,
מה השטח הכולל
תחת לעקום-- וזו
שאלה שדי מגניב לנסות
לענות עליה-- נקבל שזה 25 פאי
פלוס 25 פאי, וזה  50 פאי.
ואנחנו סיימנו.

Bulgarian: 
Следователно площта, която имаме
в синьо,
като се върнем към първоначалната
задача, е равна на 25 по π.
Площта в оранжево, е равна на 25 по π.
Ако искаме да отговорим на
първоначалния въпрос,
колко е цялата площ под ето тази крива,
което е чудесен въпрос,
който можеш да зададеш,
е равна на 25 по π плюс 25 по π,
т.е. 50 по π.
И сме готови.
