
English: 
What we're going to
try to do in this video
is approximate the
area under the curve y
is equal to x squared plus 1
between the intervals x equals
1 and x equals 3.
And we're going
to approximate it
by constructing four rectangles
under the curve of equal width.
So let's first think about what
those rectangles look like, so
four rectangles of equal width.
So it looks like that,
like that, and like that.
And I haven't really defined the
top of the rectangles just yet.
But let's think about
what those widths have
to be if they're going
to be equal width.
And we can call
that width delta x.
So this distance
right over here,
we're going to
call that delta x.
So delta x is going to have
to be the total distance
that we're traveling in x.
So we finish at 3.
We started at 1.
And we want four
equal-width rectangles.
So it's going to
be equal to 1/2.

Thai: 
 
สิ่งที่เราพยายามทำในวิดีโอนี้
คือประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y
เท่ากับ x กำลังสองบวก 1 
ระหว่างช่วง x เท่ากับ 1
กับ x เท่ากับ 3
และเราจะประมาณมัน
โดยสร้างสี่เหลี่ยมมุมฉากสี่รูปใต้เส้นโค้ง
ที่กว้างเท่ากัน
ลองคิดว่าสี่เหลี่ยมมุมฉากเหล่านั้นเป็นอย่างไร
สี่เหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่กว้างเท่ากัน
มันเป็นแบบนั้น แบบนั้น และแบบนั้น
ผมยังไม่ได้นิยามด้านบนของสี่เหลี่ยมเลย
แต่ลองคิดก่อนว่าความกว้างเหล่านั้น
เป็นเท่าใด ถ้าพวมันกว้างเท่ากัน
เราบอกได้ว่าความกว้างเป็นเดลต้า x
ระยะนี่ตรงนี้
เราจะเรียกมันว่าเดลต้า x
เดลต้า x จะต้องเท่ากับระยะทางลัพธ์
ที่เราเดินทางใน x
เราจบที่ 3
เราเริ่มที่ 1
และเราอยากได้สี่เหลี่ยมมุมฉาก
กว้างเท่ากันสี่รูป
มันจึงเท่ากับ 1/2

Korean: 
오늘 이 영상에서 우리가 할 것은
오늘 이 영상에서 우리가 할 것은
함수 y = x²+1 그래프에서
x=1 부터 x=3 까지의
밑면적을 근사하여 구하는 것입니다
근사하는 방법은
그래프 아래에 동일한 폭의
직사각형을 만드는 것입니다
먼저 직사각형이 
어떻게 생겼을지 생각해봅시다
동일한 폭을 가진 네 개의 직사각형
이렇게 생겼을 것입니다.
아직 우리는 
직사각형의 높이를 정의하지 않았습니다
하지만 우선 
네  직사각형의 폭이 같기 위해서는
두께를 어느정도로
해야할 지에 대해 생각해봅시다
직사각형의 폭을  Δx라고 부릅시다
여기 이 길이를
Δx라고 부르는 것입니다
그러므로 총 Δx의 길이는
x축을 따라
1에서 시작하여
3에서 끝납니다
그리고 4개의 직사각형은 
같은 폭이어야 하기 때문에,
Δx의 길이는 ½이 됩니다

Polish: 
To czego podejmiemy się w tej prezentacji
to przybliżenie pola powierzchni obszaru pod krzywą y
równa się x kwadrat dodać 1 na przedziale x równa się
1 i x równa się 3.
Zamierzamy aproksymować je
poprzez skonstruowanie poniżej krzywej czterech prostokątów o równej szerokości.
Zatem pomyślmy jak takie prostokąty wyglądają, a więc
cztery prostokąty o równej szerokości.
A więc wygląda to tak, tak i tak.
Nie zdefiniowałem jak dotąd góry prostokątów.
Ale pomyślmy jakie muszą być te szerokości
skoro mają być sobie równe.
Oznaczmy tę szerokość delta x.
Więc ta odległość tutaj,
oznaczamy ją delta x.
Zatem delta x będzie musiało być równe całkowitej odległości
jaką pokonujemy wzdłuż osi x.
Zatem kończymy w 3.
Rozpoczynamy w 1.
I żądamy czterech prostokątów o równych szerokościach.
Zatem będzie to równe 1/2.

Bulgarian: 
Това, което ще се опитаме да направим в настоящия урок,
е да получим приблизителна стойност на площта под кривата
у е равно на х на квадрат плюс 1, в интервала
от х равно на 1 до х равно на 3.
Приближението ще получим като
конструираме четири правоъгълника под кривата, които са с еднаква широчина.
Нека първо да помислим, как ще изглеждат правоъгълниците.
И четирите имат еднаква широчина.
Изглеждат ето така, и така, и така.
Действително, все още не съм дефинирал горната основа на правоъгълниците.
Нека обаче да помислим, на какво следва
да е равна широчината, за да е еднаква за всички.
Може да я означим с делта х.
Тогава, това разстояние ето тук,
ще наречем делта х.
Делта х следва да бъде пълното разстояние,
което изминаваме по х.
Завършваме в точката х равно на 3.
Започваме в х равно на 1.
Искаме да построим четири правоъгълника с еднаква широчина.
Следователно, ще бъде равна на 1/2.

Italian: 
Ciò che tenteremo di fare in questo video è
approssimare l'area sotto la curva y=x^2+1,
tra l'intervallo x è uguale a 3 e x è uguale 1.
E l'approssimeremo costruendo 4 rettangoli,
sotto la curva, di eguale larghezza.
Allora, pensiamo dapprima a come sembrano questi rettangoli.
Quindi 4 rettangoli di eguale larghezza.
Quindi sembra così, e così e così.
E non ho ancora definito la parte superiore dei rettangoli.
Ma pensiamo a quanto lunghe debbano essere queste larghezze,
se devono essere larghezze eguali.
E possiamo chiamare queste larghezze delta x.
Quindi queste distanze qui le chiameremo delta x.
Quindi delta x dovrà essere
la distanza totale che percorriamo in x.
Quindi finiamo a 3, abbiamo iniziato a 1.
E vogliamo rettangoli dalle eguali larghezze.
Quindi dovrà essere uguale a 1/2.

Portuguese: 
O que vamos tentar fazer
nesse vídeo
é aproximar a área sob a curva
y igual a x ao quadrado mais um
entre os intervalos
x igual a um e x igual a três.
E vamos aproximar
esse valor
construindo quatro retângulos
sob a curva, com mesma largura.
Primeiro, vamos pensar no que 
esses retângulos parecem ser
quatro retângulos de mesma largura.
Parece com isso e isso e isso.
E eu ainda não defini o
topo dos retângulos.
Vamos pensar quanto
as larguras devem valer,
se elas precisam ser iguais;
E podemos chamar essa altura de delta x.
Então essa distância bem aqui
vamos chamar de delta x.
Então, delta x 
tem que ser a distância total
que percorreremos em x.
Terminamos no três.
Começamos no um.
E queremos quatro retângulos
com mesma largura.
Então cada um é igual a 1/2.

Bulgarian: 
Например, първия интервал
до границата, между първия и втория правоъгълник,
ще завършва в 1,5.
След това имаме 1/2 напред и стигаме до 2.
След това стигаме до 2,5.
А след това още 1/2 и завършваме в 3.
Нека сега да помислим, как да дефинираме
височината на правоъгълниците.
За целите на настоящия урок - а в бъдеще ще видим,
че има и други начини да го направим -
ще използвам лявата границата на правоъгълника,
за да дефинирам височината. Или бих могъл да кажа функцията, т.е
ще използвам функцията, или стойността ѝ в лявата граница,
за да дефинирам височината.
Например, за първия правоъгълник,
тази точка ето тук е равна на f от 1.
Тогава, ето това ще бъде височината
на първия правоъгълник.
След това идваме ето тук, на лявата граница
на втория правоъгълник.
Сега гледаме стойността на функцията за х равно на 1,5.
Ето това тук е f от 1,5.

Polish: 
A więc, np. ten pierwszy przedział
pomiędzy granicą między pierwszym prostokątem a drugim
wyniesie 1.5.
Następnie przechodzimy o 1/2 do 2.
Dalej idziemy do 2.5.
I ostatecznie o 1/2 do 3.
Teraz, pomyślmy jak zdefiniujemy
wysokość prostokątów.
Na potrzeby tej prezentacji-- zobaczymy w innych prezentacjach
że istnieją inne sposoby żeby to zrobić--
użyję lewej granicy prostokąta
ażeby zdefiniować wysokość --lub powinienem powiedzieć funkcję.
Użyję wartości funkcji dla lewego końca przedziału będącego podstawą prostokąta
ażeby zdefiniować wysokość.
Zatem np. dla pierwszego prostokąta,
Ten punkt dokładnie tutaj to f(1).
I powiem w związku z tym że to jest wysokość
naszego pierwszego prostokąta.
Następnie przechodzimy do lewej granicy
drugiego prostokata.
Patrzymy teraz na wartość funkcji w punkcie 1.5.
A to jest f(1.5).

Thai: 
ตัวอย่างเช่น ช่วงแรกนี้
ระหว่างขอบ สี่เหลี่ยมอันแรกกับสี่เหลี่ยม
อันที่สองจะเป็น 1.5
แล้วเราไป 1/2 ได้ 2
แล้วเราไปยัง 2.5
แล้วเราไป 1/2 ได้ 3
ทีนี้ ลองคิดดูว่าเราจะนิยาม
ความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉากอย่างไร
สำหรับวิดีโอนี้ -- เราจะเห็นในวิดีโอหน้า
ว่ามันมีวิธีทำวิธีอื่น --
ผมจะใช้ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
เพื่อนิยามความสูง -- หรือฟังก์ชัน 
ผมควรเรียกอย่างนั้น
ผมจะใช้ฟังก์ชันหาค่าที่ขอบซ้าย
เพื่อนิยามความสูง
ตัวอย่างเช่น สำหรับสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปแรก
จุดนี่ตรงนี้คือ f ของ 1
แล้วผมจะบอกได้ว่า นั่นคือความสูง
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปแรก
แล้วเราไปตรงนี้ ทางขอบซ้าย
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สอง
ตอนนี้เรากำลังดูที่ฟังก์ชัน หาค่าที่ 1.5
นั่นก็คือ f ของ 1.5

Korean: 
예를 들어,
첫번째 사각형과 
두번째 사각형의 경계값은
1.5가 될 것입니다
여기서 ½만큼 더 가면 2가 되고
또 ½만큼 더 가면 
2.5가 되는 것입니다
그리고 ½만큼 또 가면 3이 됩니다
그럼 이제
사각형의 높이를
어떻게 정의할지 생각해봅시다
이 영상에 한해서
후에 다른 영상에서 보듯
다른 방법이 있지만
사각형의 왼쪽 경계값을
사각형의 높이를 구할 때 사용하겠습니다
함수의 왼쪽 경계값의 함숫값을
높이로 정하겠습니다
예를 들어 첫 번째 사각형의 경우
이 점은 f(1)을 의미하는데
이 값이 바로
첫 번째 사각형의 높이가 됩니다
이제 두 번째 사각형의
왼쪽 경계를 생각해보면
x가 1.5일때의 함숫값인
즉, f(1.5)가

Italian: 
Per esempio questo primo intervallo
tra i limiti fra il primo rettangolo ed il secondo rettangolo
sarà 1.5.
Allora andiamo avanti un mezzo fino a 2.
Quindi andiamo fino a 2.5.
E andiamo avanti un mezzo fino a 3.
Ora pensiamo a come definire l'altezza dei rettangoli.
Limitatamente a questo video...
Vedremo in video futuri che i sono altri modi di farlo...
Voglio usare il limite inferiore del rettangolo
per definire l'altezza...
...della funzione, avrei dovuto dire.
Voglio usare la funzione valutata al limite sinistro
per definire l'altezza.
Quindi, per esempio, per il primo rettangolo,
questo punto qui è f di 1.
F di 1. E quindi direi che questa è l'altezza
del nostro primo rettangolo.
Allora andiamo qui.
Il limite sinistro del secondo rettangolo.
Ora stiamo guardando alla funzione valutata a 1.5.
Quindi questo è f di 1.5.

English: 
So for example,
this first interval
between the boundary between the
first rectangle and the second
is going to be 1.5.
Then we go 1/2 to 2.
Then we go to 2.5.
And then we go 1/2 to 3.
Now, let's think
about how we'll define
the height of the rectangles.
For the sake of this video--
we'll see in future videos
that there's other
ways of doing this--
I'm going to use the left
boundary of the rectangle
to define the height-- or
the function, I should say.
I'm going to use the function
evaluated at the left boundary
to define the height.
So for example, for
the first rectangle,
this point right
over here is f of 1.
And so I will say that
that is the height
of our first rectangle.
Then we go over here
to the left boundary
of the second rectangle.
We're now looking at the
function evaluated at 1.5.
So that is f of 1.5.

Portuguese: 
Por exemplo, esse primeiro intervalo
entre o limite do primeiro e o
segundo retângulo
será 1,5.
Então mais 1/2 é igual a dois.
então vamos para 2,5.
e mais 1/2 vamos a três.
Agora, vamos pensar como
definimos
a altura dos retângulos.
Para o bem desse vídeo--veremos
em vídeos futuros
que é possível fazer
isso diferente.
Vou usar o limite esquerdo do retângulo
para definir a altura
--ou a função, eu deveria dizer.
Vou usar a função
avaliada no limite esquerdo
para definir a altura.
Por exemplo, para o primeiro retângulo,
esse ponto aqui é f de um.
E isso é a altura
do nosso primeiro retângulo.
Então vamos para o limite esquerdo
do segundo retângulo.
Agora estamos olhando para a função
no ponto 1,5.
Que é f de 1,5.

Korean: 
바로 높이입니다
이렇게 우리는 두 번째 사각형의
높이도 구할 수 있습니다
그리고 이 과정을 반복합시다
세 번째 사각형을 생각해보면
x가 2일때의 함숫값이 필요합니다
x가 2일때의 함숫값이 필요합니다
바로 이 점 입니다
이것이 f(2)입니다
그러면 우리는 세 번째 
사각형의 높이도 구할 수 있습니다
마지막으로 네 번째 사각형은
x가 2.5일때의 함숫값을 구하면
그 값이 바로 높이가 됩니다
이 점이 f(2.5)입니다
우리는 사각형의 높이를 구하기 위해
사각형의 왼쪽 경계의
함숫값만 고려함을
반드시 기억해야합니다
사각형의 높이를 이렇게 설정했을 때
사각형의 넓이의 총 합을 이용한
아래 면적의 근삿값은 얼마일까요?
사실, 이 방법은 완벽한 근사는 아닙니다
상당히 많은 면적을 고려하고 있지 않기 때문입니다
계산에 포함하지 않은 영역을
that I have not used.
여기

Italian: 
Questa è l'altezza.
E quindi otteniamo il nostro secondo rettangolo.
Allora otteniamo... posso continuare così...
Otteniamo per questo terzo rettangolo...
Abbiamo la funzione valutata a 2...
Quindi abbiamo la funzione valutata a 2.
Questo è qui. Questo è f di 2.
E quindi otteniamo il nostro terzo rettangolo.
E alla fine abbiamo il nostro quarto rettangolo.
La funzione valutata a 2.5.
Quindi la funzione valutata a 2.5 è l'altezza.
Quindi questa è f di 2.5.
Ricorda, ciascuno di questi...
Sto semplicemente guardando a limite sinistro del rettangolo,
e sto valutando la funzione lì,
per ottenere l'altezza del rettangolo.
Ora che l'ho costruito in questo modo,
qual è l' area totale approsssimata,
usando la somma di questi rettangoli?
E chiaramente questa non sarà una approssimazione perfetta.
Sto escludendo un sacco di area qui....
Lasciami vedere se posso colorare qui con colore che non ho ancora usato.

Portuguese: 
Essa é a altura.
Temos nosso segundo retângulo
Então -- e continuamos assim -- tomamos
para esse terceiro retângulo,
temos a função avaliada no dois.
Está bem aqui.
É f de dois.
E então, temos nosso terceiro retângulo.
E, finalmente, temos
nosso quarto retângulo,
a função em 2,5.
Então, a função avaliada
em 2,5 é a altura.
E isso é f de 2,5.
Lembre-se, em cada um desses,
só estou considerando o limite
esquerdo do retângulo
e avaliando a função lá
para conseguir a altura
do retângulo.
Agora que eu defini esse parte,
qual é, aproximadamente, a área total
usando a soma desses retângulos?
Claramente não será 
uma aproximação perfeita.
Estou deixando uma boa parte da área aqui.
Deixe-me ver se posso colorir isso
com uma cor que ainda não usei.

Thai: 
นั่นคือความสูง
แล้วเราได้สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สอง
แล้วเราได้ -- ผมจะทำต่อไปแบบนี้ -- เราได้
สำหรับสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สาม เราได้
ฟังก์ชันหาค่าที่ 2
 
นั่นก็คือตรงนี้
นั่นคือ f ของ 2
แล้วเราได้สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สาม
แล้วสุดท้าย เรามีสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สี่
ฟังก์ชันหาค่าที่ 2.5
ฟังก์ชันหาค่าที่ 2.5 คือความสูงนั้น
นี่ก็คือ f ของ 2.5
นึกดู ในแต่ละรูป ผมแค่
ดูขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
และหาค่าฟังก์ชันตรงนั้น
ได้ความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ทีนี้ ถ้าผมตั้งมันแบบนี้
พื้นที่ประมาณทั้งหมด
เมื่อใช้ผลบวกสี่เหลี่ยมเหล่านี้เป็นเท่าใด?
แน่นอน มันจะไม่ใช่การประมาณที่สมบูรณ์
ผมทิ้งพื้นที่หลายอันตรงนี้
ขอผมดูหน่อยว่าผมใส่สีที่ผม
ยังไม่ได้ใช้ได้หรือเปล่า
ผมทิ้ง

Polish: 
To jest wysokość.
I dostajemy nasz drugi prostokąt.
Następnie dostajemy -- mogę kontynuować w ten sposób -- dostajemy,
dla tego trzeciego prostokąta, mamy
wartość funkcji obliczoną w 2.
Więc to będzie tutaj.
To jest f(2).
I wtedy dostajemy nasz trzeci prostokąt.
I wtedy, ostatecznie, mamy nasz czwarty prostokąt,
funkcję obliczamy w 2.5.
Stąd wartość funkcji obliczona w 2.5 jest wysokością.
Zatem jest to f(2.5).
Pamiętajcie, w każdym z tych,
patrzę na lewy brzeg prostokąta
i obliczam w tym punkcie wartość funkcji
aby otrzymać wysokość prostokąta.
Teraz, kiedy zdefiniowaliśmy co powyżej,
ile wynosi w przybliżeniu pole
powierzchni używając do tego prostokątów?
Jest jasne, że to przybliżenie nie będzie doskonałe.
Pominę w obliczeniach fragmenty "z poza" prostokatów.
Spójrzmy czy mogę je pokolorować kolorem,
którego dotychczas nie użyłem.
A więc pomijam.

Bulgarian: 
Това е височината.
Така се получава вторият правоъгълник.
Тогава, продължавам да използвам същия метод.
За третия правоъгълник
имаме f от 2.
Функцията, изчислена за точката х равно на 2.
Пада се точно тук.
Това е f от 2.
Така се получава третият правоъгълник.
Тогава, накрая имаме четвъртия правоъгълник.
Където е стойността f от 2,5.
Височината е равна на f от 2,5.
Това е f от 2,5.
Запомни, за всеки един правоъгълник, просто
гледам лявата граница на правоъгълника,
и вземам стойността на функцията там,
за да определя височината на правоъгълника.
Сега, след като ги построих,
на какво е равно пълното приближение на лицето,
като използваме сумата от тези правоъгълници?
Ясно е, че това няма да е абсолютно точно приближение.
Ето тук остава много площ извън правоъгълниците.
Нека да видя, дали мога да я оцветя с цвят,
който не съм използвал досега.
Остават следните площи.

English: 
That's the height.
And so we get our
second rectangle.
Then, we get-- I can keep
going like this-- we get,
for this third
rectangle, we have
the function evaluated at 2.
So that's right over here.
That's f of 2.
And so then we get
our third rectangle.
And then, finally, we
have our fourth rectangle,
the function evaluated at 2.5.
So the function evaluated
at 2.5 is the height.
So this is f of 2.5.
Remember, in each
of these, I'm just
looking at the left
boundary of the rectangle
and evaluating
the function there
to get the height
of the rectangle.
Now that I've set
it up in this way,
what is the total
approximate area
using the sum of
these rectangles?
And clearly, this isn't going
to be a perfect approximation.
I'm giving up on a
bunch of area here.
Let me see if I can color
that in with a color
that I have not used.
So I'm giving up.

Portuguese: 
Estou deixando essa área aqui. 
E todas essas outras.
Mas é só uma aproximação,
Talvez se tivesse
muito mais retângulos,
eu teria uma aproximação melhor.
Pense no que as áreas de cada
um dos retângulos são.
A área desse primeiro retângulo
será a altura, que é f de um,
vezes a base, que é delta x.
A área do segundo retângulo será
a altura, que já dissemos
que era f de 1,5,
vezes a base, vezes delta x.
A altura do terceiro triângulo
será a função avaliada 
no seu limite esquerdo,
que é f de dois -- então, mais f de dois
vezes a base, vezes delta x.
E então, finalmente,
a área do último retângulo,
a altura é a função avaliada em 2,5,
mais -- essa cor é diferente

English: 
I'm giving up this area.
I'm giving up this area.
I'm giving up that area.
I'm giving up that area there.
But this is just
an approximation,
and maybe if I had
many more rectangles,
it would be a better
approximation.
So let's figure out what the
areas of each of the rectangles
are.
So the area of this
first rectangle
is going to be the
height, which is f of 1,
times the base,
which is delta x.
The area of the
second rectangle is
going to be the height, which
we already said was f of 1.5,
times the base, times delta x.
The height of the
third rectangle
is going to be the function
evaluated at its left boundary,
so f of 2-- so plus f of 2
times the base, times delta x.
And then, finally, the area of
the third rectangle, the height
is the function
evaluated at 2.5,
so plus-- that's
a different color

Thai: 
ผมทิ้งพื้นที่นี้
ผมทิ้งพื้นที่นี้
ผมทิ้งพื้นที่นั้น
ผมทิ้งพื้นที่นั้น
แต่นี่เป็นแค่การประมาณ
บางที ถ้าผมมีสี่เหลี่ยมมุมฉากมากกว่านี้
มันจะประมาณได้ดีขึ้น
ลองหากันว่าพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมแต่ละรูปเป็นเท่าใด
 
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแรกนี้
จะเท่ากับความสูง ซึ่งก็คือ f ของ 1
คูณฐาน ซึ่งก็คือเดลต้า x
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สอง
เท่ากับความสูง ซึ่งเราบอกไปว่าคือ f ของ 1.5
คูณฐาน คูณเดลต้า x
ความสูงของสี่เหลี่ยมรูปที่สาม
จะเท่ากับฟังก์ชันหาค่าที่ขอบซ้ายของมัน
f ของ 2 -- บวก f ของ 2 คูณฐาน
คูณเดลต้า x
แล้วสุดท้าย พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปที่สาม 
ความสูง
คือฟังก์ชันหาค่าที่ 2.5
บวก -- นั่นมันคนละสี

Italian: 
Quindi sto escludendo quell' area...
Sto escludendo questa area...
Sto escludendo quell' area...
Sto escludendo quell' area lì...
Ma questa è solo una approssimazione.
E forse se avessi avuto più rettangoli,
probabilmente sarebbe stata una approssimazione migliore .
Quindi calcoliamo quale sia l'area di ciascuno dei rettangoli.
Quindi l'area di questo primo rettangolo
sarà l'altezza, che è f di 1,
per la base, che è delta x.
L'area del secondo rettangolo sarà
l'altezza, che, l' abbiamo già detto, è f di 1.5.
F di 1.5 per la base, per delta x.
L'area del terzo rettangolo sarà
la funzione valutata al suo limite sinistro:
quindi f di 2. Quindi più f di 2 per la base, per delta x.
E infine l'area del terzo rettangolo è...
L'altezza è la funzione valutata a 2.5.

Bulgarian: 
Остава ето тази площ.
Ето тази площ.
Ето тази площ.
Остава ето тази площ.
Но все пак търсим само приближение
и може би, ако имах повече правоъгълници,
то щеше да се получи по-точно приближение.
Нека да намерим площите на всеки един
от тези правоъгълници.
Лицето на първия правоъгълник
ще бъде равно на височината, т.е. f от 1,
умножена по основата, т.е. делта х.
Лицето на първия правоъгълник
ще бъде равно на височина, която избрахме да е f от 1,5,
умножена по основата, т.е. делта х.
Височината на третия правоъгълник
ще има стойността на функцията в лявата граница,
т.е. f от 2. Следователно плюс f от 2, умножено по основата делта х.
Накрая имаме лицето на четвъртия правоъгълник,
която има стойността на f от 2,5.
Ще избера различен цвят

Polish: 
Pomijam ten obszar.
Pomijam ten obszar.
Pomijam ten obszar.
Pomijam ten obszar tutaj.
Ale to jest tylko przybliżanie,
i być może gdybym miał więcej prostokątów,
byłoby to lepsze przybliżenie.
Zatem dowiedzmy się jakie są pola poszczególnych prostokątów.
A więc pole pierwszego prostokąta
będzie równe wysokość, która wynosi f(1),
razy podstawa czyli delta x.
Pole drugiego prostokąta
będzie równe wysokość, czyli jak ustaliliśmy f(1.5),
razy podstawa, razy delta x.
Wysokość trzeciego prostokąta
będzie równa wartości funkcji obliczonej na lewym jego brzegu
zatem f(2)--zatem f(2) razy podstawa, razy delta x.
I w końcu pole trzeciego prostokąta, wysokość jest równa
wartości funkcji obliczonej w 2.5,
więc dodać--to jest inny kolor

Korean: 
그리고 여기
또 여기
또 여기
또 이 영역들을
계산에 포함하지 않았습니다
하지만 이것은 단순히 근사입니다
만약에 더 많은 사각형을 만들었다면
더 정확한 근삿값이 되었겠죠
먼저 각 사각형의 영역이 얼마인지
알아봅시다
첫 번째 사각형의 면적은
높이인 f(1)에
폭인 Δx를 곱한 값입니다
두 번째 사각형의 면적은
우리가 이미 구했듯
높이인 f(1.5)에
폭인 Δx를 곱한 값입니다
세 번째 사각형의 면적은
왼쪽 경계의 함수값인 f(2)
즉 f(2)에 Δx를 곱한 값입니다
마지막으로, 네 번째 사각형의 넓이는
높이가 f(2.5) 입니다
제가 원하던 색은

Thai: 
กับที่ผมอยากใช้
ผมอยากใช้สีส้มนั้น --
บวกฟังก์ชันหาค่าที่ 2.5 คูณฐาน
อันนี้จะเท่ากับพื้นที่ประมาณของเรา --
ขอผมบอกให้ชัดนะ -- พื้นที่โดยประมาณ
ใต้เส้นโค้ง แค่ผลบวกของ
สี่เหลี่ยมมุมฉากเหล่านี้
ลองหาค่าอันนี้กัน
อันนี้จะเท่ากับ f
ของ -- มันจะเท่ากับฟังก์ชันหาค่าที่ 1
1 กำลังสองบวก 1 ก็แค่ 1
มันจึงเท่ากับ 2 คูณ 1/2
บวกฟังก์ชันหาค่าที่ 1.5
1.5 กำลังสองได้ 2.25
แล้วคุณบวก 1 เข้าไป มันกลายเป็น 3.25
บวก 3.25 คูณ 1/2
แล้วเรามีฟังก์ชันหาค่าที่ 2
2 กำลังสองบวก 1 เป็น 5 
มันจึงเท่ากับ 5 คูณ 1/2
แล้วสุดท้าย คุณมีฟังก์ชันหาค่าที่ 2.5

Italian: 
Quindi più...questo è un colore diverso da quello che volevo usare, lascia che... voglio usare l'arancione.
Quindi più la funzione valutata a 2.5 per la base.
Questo sarà uguale alla nostra area approssimata.
Lascia che lo renda chiaro: area approssimata sotto la curva.
Semplicemente la somma di questi rattangoli.
Valutiamola.
Questo sarà uguale a f di ... sarà uguale alla funzione valutata a 1.
1 al quadrato più 1 è semplicemente 2.
Quindi sarà 2 per 1/2 più la funzione valutata a 1.25
1.25 al quadrato è 2.25
E allora ci aggiungi 1 e diventa 3.25.
Quindi più 3.25 per 1/2. E poi abbiamo al funzione valutata a 2,
2 al quadrato più 1 è 5. Quindi è 5 per 1/2
E alla fine hai la funzione valutata a 2.5

Korean: 
제가 원하던 색은
주황색을 이용합시다
x가 2.5일때의 함숫값에 
폭을 곱해준 값을 더하면 됩니다
이 값이 바로 우리가 근사한
곡선의 아래면적입니다
즉, 사각형의 면적의 총 합입니다
그럼 이 값을 계산해봅시다
f(1) 값은
x=1일때의 함숫값이니
1² 더하기 1 즉 2에
½을 곱한 값입니다
x가 1.5일때의 함숫값을 구하면
1.5의 제곱은 2.25이고
거기에 1을 더하면 3.25가 됩니다
그러니 3.25에 
½을 곱한 값을 더해주면 됩니다
다음으로  x가 2일때의
함숫값을 구하면
2² 더하기 1 즉 5에
½을 곱한 값을 더하면 됩니다
마지막으로, x가 2.5일때의 함숫값을 구하면

Portuguese: 
da que eu queria usar
queria usar laranja -- então
mais a função avaliada em 2,5
vezes a base.
Isso será igual à nossa área
aproximada --
vou esclarecer --
área aproximada sob a curva
simplesmente a soma
desses retângulos.
Vamos calcular isso.
Isto será igual a f de --
será igual à função avaliada em um.
um ao quadrado mais um, que é dois,
então será dois vezes 1/2.
Mais a função avaliada em 1,25.
1,25 ao quadrado é igual a 2,25.
Aí você adiciona um a isso, que fica 3,25.
Então, mais 3,25 vezes 1/2.
E então, temos a função avaliada em dois.
Bem, dois ao quadrado mais um é
cinco, então temos cinco vezes 1/2.
E finalmente, você terá 
a função avaliada em 2,5.

English: 
than what I wanted to use.
I wanted to use that
orange color-- so
plus the function evaluated
at 2.5 times the base.
This is going to be equal
to our approximate area--
let me make it clear--
approximate area
under the curve, just the
sum of these rectangles.
So let's evaluate this.
So this is going
to be equal to f
of-- it's going to be equal to
the function evaluated at 1.
1 squared plus 1 is just 2, so
it's going to be 2 times 1/2.
Plus the function
evaluated at 1.25.
1.25 squared is 2.25.
And then you add 1 to
it, it becomes 3.25.
So plus 3.25 times 1/2.
And then we have the
function evaluated at 2.
Well, 2 squared plus 1 is
5, so it's 5 times 1/2.
And then finally, you have
the function evaluated at 2.5.

Polish: 
niż ten którego chciałem użyć.
Chciałem użyć tego pomarańczowego--więc
dodać wartość funkcji obliczona w 2.5 razy podstawa.
To będzie równe naszemu przybliżonemu polu powierzchni--
niech to wyjaśnię-- przybliżone pole powierzchni
pod wykresem, po prostu suma tych prostokątów.
Zatem policzmy to.
A więc to będzie równe
f od -- to będzie równe wartości f obliczonej w 1.
1 do kwadratu dodać 1 jest 2, więc to będzie 2 razy 1/2.
Dodać wartość funkcji obliczona w 1.25.
1.25 kwadrat równa się 2.25.
I wtedy dodajemy 1 do tego, dostajemy 3.25.
A więc dodać 3.25 razy 1/2.
Dalej mamy funkcję f obliczoną w 2.
Cóż, 2 do kwadratu plus 1 daje 5, więc mamy 5 razy 1/2.
I ostatecznie mamy wartość funkcji w 2.25.

Bulgarian: 
от този, който исках да използвам.
Исках да използвам ето този оранжев цвят.
Записвам плюс f от 2,5, умножено по основата.
Това ще бъде равно на приблизителната площ,
и за да поясня, това е приблизителната площ
под кривата, която е равна на сумата от лицата на тези правоъгълници.
Нека сега да я изчислим.
Това ще бъде равно на f от 1.
Тоест, стойността на функцията за х равно на 1.
1 на квадрат плюс 1 е равно на 2, така че ще се получи 2 по 1/2.
Плюс f от 1,5.
1,5 на квадрат е равно на 2.25.
Прибавяме 1 към него и става 3,25.
Следователно, плюс 3,25 по 1/2.
След това имаме f от 2.
Получава се 2 на квадрат плюс 1, което е равно на 5, умножено по 1/2.
Накрая, имаме f от 2,5.

Thai: 
2.5 กำลังสองได้ 6.25 บวก 1
นั่นก็คือ 7.25 คูณ 1/2
เพื่อให้เลขง่ายขึ้น
เราแยก 1/2 ออกมาได้
อันนี้จะเท่ากับ -- เขียน 1/2
ด้วยสีกลางๆ -- 1/2 คูณ 2 บวก 3.25 บวก 5
บวก 7.25 ซึ่งเท่ากับ 1/2 คูณ -- ลอง
ดูว่าผมคิดในใจได้ไหม
2 บวก 5 นั้นง่าย
มันคือ 7
3 บวก 7 ได้ 10
แล้วเราได้ 0.25 บวก 0.25 มันก็คือ
10.5 บวก 7 ได้ 17.5

English: 
2.5 squared is 6.25 plus 1.
So that's 7.25 times 1/2.
And just to make
the math simpler,
we can factor out the 1/2.
So this is going to be
equal to-- write 1/2
in a neutral color-- 1/2
times 2 plus 3.25 plus 5
plus 7.25, which is equal
to 1/2 times-- let's
see if I can do this in my head.
2 plus 5 is easy.
That's 7.
3 plus 7 is 10.
And then we have 0.25
plus 0.25, so it's
going to be 10.5 plus 7 is 17.5.

Italian: 
2.5 al quadrato è 6.25 più 1 quindi è 7.25
7.25 per 1/2.
E per rendere i calcoli più semplici
possiamo raccogliere 1/2.
Quindi questo sarà uguale a 1/2
per 2 più 3.25 più 5 più 7.25,
che è uguale a 1/2 per... vediamo se riesco a farlo a mente, 2 più 5 è facile: è 7.
3 più 7 è 10. E poi abbiamo 0.25 più 0.25.
Quindi sarà 10.5 più 7 è 17.5.
Quindi 1/2 per 17.5,

Portuguese: 
2,5 ao quadrado são 6,25, mais um.
Que dá 7,25 vezes 1/2.
E para descomplicar as contas
podemos fatorar o 1/2.
Isso será igual a--
vou escrever 1/2 com uma cor neutra--
1/2 vezes dois mais 3,25.
mais cinco, mais 7,25
que é igual a 1/2 vezes--
vou tentar resolver de cabeça.
dois mais cinco é fácil.
É igual a sete.
três mais sete é igual a 10.
e temos 0,25 mais 0,25,
e isso dá 10,5 mais sete 
que é igual a 17,5.

Bulgarian: 
2,5 на квадрат е равно на 6,25, плюс 1.
Това прави 7,25, умножено по 1/2.
За да опростим изчисленията,
може да изнесем пред скоби 1/2.
Следователно, ще се получи следното. Това 1/2
ще го запиша с неутрален цвят. 1/2 по 2 плюс 3,25, плюс 5,
плюс 7,25. Цялото е равно на 1/2 по следното.
Нека да видя, дали мога да го сметна наум.
2 плюс 5 е лесно.
Равно е на 7.
3 плюс 7 е равно на 10.
Прибавяме останалото 0,25,
получава се 10,5 плюс 7, което е равно на 17,5.

Polish: 
2.5 do kwadratu równa się 6.25 plus 1.
To jest 7.25 razy 1/2.
Żeby uprościć rachunki
wyłączamy 1/2.
Zatem otrzymamy -- piszemy 1/2
neutralnym kolorem-- 1/2 razy 2 plus 3.25 plus 5
plus 7.25, co jest równe 1/2 razy--
zobaczmy czy potrafię to policzyć w pamięci.
2 plus 5 jest łatwe.
To 7.
3 plus 7 to 10.
I wtedy mamy 0.25 plus 0.25, wiec to
będzie 10.5 plus 7 daje 17.5.

Korean: 
2.5의 제곱인 6.25에 1을 더한 값인
7.25에 ½을 곱한 값입니다
계산을 간편하게 하기 위해
공통 인자인 ½을 뽑아냅시다
이 값은 ½을 
하얀색으로 적을까요
½ 곱하기 2 + 3.25 +  5
+ 7.25 즉 ½에
암산할 수 있는지 봅시다
2 더하기 5는 쉽죠
7입니다
3에 7을 더하면 10이고
0.25 더하기 0.25가 남았습니다
이 값은 10.5가 되고
여기에 7을 더하면 17.5입니다

Portuguese: 
E 1/2 vezes 17,5 é igual a 8,75,
que, mais uma vez,
nos dá uma aproximação.
E, obviamente, do jeito que desenhei aqui
para a função que estamos usando
a aproximação é subestimada
porque deixamos de lado
toda a área em rosa
que eu pintei anteriormente.
É subestimada mas é uma aproximação
da área sob a curva.
Nos próximos vídeos tentaremos
generalizar isso para situações em que
temos funções arbitrárias
e um número arbitrário de retângulos.
E também iniciaremos
-- em vídeos depois desses
pensaremos nos retângulos onde
definimos a altura não pelo limite
esquerdo, mas pelo limite direito,
ou pelo meio dos limites
ou talvez, nem usemos retângulos.
talvez possamos usar coisas como
trapezóides.
de qualquer forma, divirta-se.
[Legendado por Evelin Farias]
[revisado por Clara Nascimento Silva]

Polish: 
Więc 1/2 razy 17.5, co jest równe 8.75,
Co, jeszcze raz, daje nam przybliżenie.
Jest jasne, że sposób w jaki to narysowałem tutaj
dla funkcji z naszego przykładu
będzie niedoszacowaniem, ponieważ pominęliśmy w obliczeniach
wszystkie te pokolorowane przeze mnie na różowo obszary.
Jest to niedoszacowanie, tym niemniej aproksymacja
pola powierzchni pod krzywą.
W kilku kolejnych prezentacjach,
spróbujemy uogólnić to do sytuacji
gdzie mamy dowolną funkcję i
dowolną liczbę prostokątów.
I zaczniemy też-- w następnych filmach,
przyjrzymy się prostokątom, których wysokość zdefiniujemy nie
nie przez ich lewy brzeg ale przez prawy,
lub poprzez ich środek.
A może w ogóle nie będziemy korzystać z prostokątów.
Może moglibyśmy użyć czegoś jak np. trapezy.
Tak czy inaczej, bawcie się dobrze.

Bulgarian: 
Следователно, имаме 1/2 по 17,5, което е равно на 8,75.
Това, отново припомням, ни дава приближението на площта.
Ясно е, че така както съм го начертал тук,
за функцията, която е дадена,
площта ще е по-малка, защото
остава непокрита ето тази розова площ, която запълних.
Площта е по-малка, но е приближение
на площта под кривата.
В следващите няколко урока
ще се опитаме да обобщим този метод до ситуация,
в която имаме произволна функция
и имаме произволен брой правоъгълници.
В следващите уроци също така
дефинираме височината на правоъгълниците
не чрез лявата, а чрез дясната граница,
или чрез средната точка на горната основа.
Или стигаме до момент, в който вече не използваме правоъгълници.
Може да използваме трапеци.
Както и да е. Приятно учене!

Thai: 
1/2 คูณ 17.5 ซึ่งเท่ากับ 8.75
ซึ่งให้ค่าประมาณเหมือนเดิม
แน่นอน วิธีที่เราวาดมันตรงนี้
ฟังก์ชันที่เราใช้ มัน
จะหาค่าได้ต่ำไป เพราะเราทิ้ง
พื้นที่สีชมพูทั้งหมดนั้นที่ผมระบายไว้ก่อนหน้านี้
มันมีค่าต่ำไป แต่มันเป็นการประมาณ
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ในวิดีโอต่อๆ ไป เราจะ
พยายามขยายผลนี้ไปยังกรณีที่
เรามีฟังก์ชันใดๆ และเรา
มีจำนวนสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นจำนวนตามใจ
และเราจะเริ่ม -- ในวิดีโอหลังจากนั้น
เราจะดูสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เรากำหนดความสูง
ไม่ใช่จากขอบซ้าย แต่เป็นจากขอบขวา
หรือจุดกึ่งกลาง
หรือบางทีเราจะไม่ใช่สี่เหลี่ยมมุมฉากเลย
เราอาจจะใช้สี่เหลี่ยมคางหมูแทน
เอาล่ะ ขอให้สนุกนะ

Korean: 
즉 17.5에 ½을 곱해주면
8.75가 되겠습니다
즉 다시 말하자면 구한 근삿값은
정확히 말해서 여기에 그린
함수의 밑면적보다
작을 것입니다
아까 칠했던 분홍색 부분을
고려하지 않았으니까요
실제 값보다는 작지만, 그래프 밑면적의
근삿값이니 괜찮습니다
이후 몇 개의 영상에서
임의의 함수와
임의의 사각형 개수에 대해
일반화시키겠습니다
그 뒤의 비디오에서는
사각형의 높이를
왼쪽 경계가 아닌 오른쪽 경계
또는 중앙값으로 계산할 것입니다
또 어쩌면 직사각형을 
사용하지 않을지도 모릅니다
부등변 사각형을 사용할지도 모르죠
무엇이 되었든
즐겁게 공부하시길 바랍니다
커넥트 번역 봉사단 | 심미형

Italian: 
che è uguale a 8.75.
Che ancora una volta ci da una approssimazione.
E dato il modo in cui l'ho disegnato qui per la funzione che stiamo usando,
sarà sottostimata perché abbiamo escluso tutta quell'area rosa
che ho colorato prima.
E' sottostimata, ma è una approssimazione dell'area sotto la curva.
E nei prossimi pochi video cercheremo di generalizzare a una
situazione dove abbiamo una funznione arbitraria,
e abbiamo un numero arbitrario di rettangoli.
E i video dopo questo considereranno rettangoli dove
definiamo l'altezza non dal limite sinistro,
ma dal limite destro, dal punto di mezzo,
o forse non useremo del tutto rettangoli,
può darsi che useremo cose tipo trapezioidi.
Ad ogni modo, divertitevi!

English: 
So 1/2 times 17.5,
which is equal to 8.75,
Which, once again, gives
us an approximation.
And clearly, the way I've
drawn it right over here,
for the function
we're using, it's
going to be an underestimate,
because we've given up
all that pink area that
I had colored in before.
It's an underestimate,
but it's an approximation
of the area under the curve.
In the next few
videos, we're going
to try to generalize
this to situations where
we have an arbitrary
function and we
have an arbitrary
number of rectangles.
And we'll also start--
in videos after that,
we'll look at rectangles
where we define the height not
by the left boundary, but
by the right boundary,
or by the midpoint.
Or maybe we don't use
rectangles at all.
Maybe we might use
things like trapezoids.
Anyway, have fun.
