
French: 
« Ne vous demandez pas si une affirmation est vraie avant de la comprendre. »
 Errett Bishop
Permettez-moi de partager avec vous quelque chose que j'ai trouvé particulièrement étrange quand j'étais étudiant apprenant pour la première fois l'analyse.
Disons que vous avez un cercle avec un rayon de 5,
centré à l'origine du plan xy, qui est défini par l'équation
x^2 + y^2 = 5^2. C'est-à-dire tous les points de ce cercle sont à une distance 5 de l'origine,
comme prouvée par le théorème de Pythagore avec la somme des carrés des côtés de l'angle droit de ce triangle
égal au carré de l'hypoténuse,
5^2.
Et supposons que vous voulez trouver la pente d'une ligne tangente à ce cercle,
peut-être au point (x, y) = (3, 4).
Maintenant, si vous êtes avisé en géométrie,
vous savez peut-être déjà que cette ligne tangente est la perpendiculaire au rayon passant par ce point.
Mais supposons que vous ne savez pas déjà cela,

Chinese: 
我来分享一些关于我在学生时代第一次学习微积分的时候发现的特别有趣的事情
比如说，你有一个以5为半径
中心在xy坐标平面的原点，它符合等式
X² + Y² = 5²。即，所有圆上的点距源点的距离为5
据勾股定理，这个三角形的两条边的平方和
等于斜边的平方，5²。
如果你想找到圆上某一条切线的斜率，也许是
点( X, Y )=( 3, 4 )。现在，如果你在几何上有一些悟性，
你可能已经知道，这个切线
垂直于那一点所在的半径线。

Polish: 
"Nie pytaj, czy twierdzenie jest prawdziwe, dopóki go nie rozumiesz." - Errett Bishop
Chciałbym się z wami podzielić czymś, co
było dla mnie dziwne, gdy sam byłem studentem.
Weźmy okrąg o promieniu 5 i środku (0, 0).
Zapisuje się to za pomocą równania x^2 + y^2 = 5^2.
Znaczy to, że wszystkie punkty na okręgu
są w odległości 5 od punktu (0, 0).
W trójkącie mamy twierdzenie Pitagorasa:
suma kwadratów przyprostokątnych x i y jest równa
kwadratowi przeciwprostokątnej 5.
Załóżmy, że chcesz znaleźć współczynnik kierunkowy
prostej stycznej do okręgu w punkcie (3, 4).
Jeśli znasz się na geometrii, to wiesz, że styczna
jest prostopadła do promienia okręgu, który
kończy się w punkcie (3, 4).
Ale załóżmy, że tego nie wiesz lub chcesz znać metodę,

English: 
Let me share with you something I found particularly
weird when I was a student first learning
calculus.
Let’s say you have a circle with radius
5 centered at the origin of the xy-coordinate
plane, which is defined using the equation
x^2 + y^2 = 5^2. That is, all points on this
circle are a distance 5 from the origin, as
encapsulated by the pythagorean theorem with
the sum of the squares of the legs of this
triangle equalling the square of the hypotenuse,
52.
And suppose you want to find the slope of
a tangent line to this circle, maybe at the
point (x, y) = (3, 4).
Now, if you’re savvy with geometry, you
might already know that this tangent line
is perpendicular to the radius line touching

Spanish: 
Permítanme compartir con ustedes algo que encontré particularmente
raro cuando era un estudiante aprendiendo por primera vez
cálculo.
Digamos que  tienes un círculo de radio
5 centrado en el origen del plano coordenado x,y
, que se define mediante la ecuación
x^2 + y^2 = 5^2. Es decir, todos los puntos de esta
círculo están a una distancia 5 del origen, así
al encapsulase por el teorema de Pitágoras con
la suma de los cuadrados de los catetos de este
triángulo que se iguala el cuadrado de la hipotenusa,
5^2.
Y supongamos que  quieres encontrar la pendiente de
una línea tangente a este círculo, tal vez en el
punto (x, y) = (3, 4).
Ahora, si eres sabio con la geometría,
ya sabes que esta línea tangente
es perpendicular a la línea de radio que toca

German: 
Lassen Sie mich etwas mit Ihnen teilen, das ich besonders gefunden habe
komisch, als ich als Student zum ersten Mal lernte
Infinitesimalrechnung.
Angenommen, Sie haben einen Kreis mit Radius
5 zentriert am Ursprung der xy-Koordinate
Ebene, die mit der Gleichung definiert wird
x ^ 2 + y ^ 2 = 5 ^ 2. Das heißt, alle Punkte dazu
Kreis sind ein Abstand 5 vom Ursprung, als
eingekapselt durch den pythagoreischen Satz mit
die Summe der Quadrate der Beine davon
Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse,
52.
Und nehmen wir an, Sie möchten die Steigung von finden
eine Tangente an diesen Kreis, vielleicht an der
Punkt (x, y) = (3, 4).
Wenn Sie sich mit Geometrie auskennen, sind Sie es
könnte schon wissen, dass diese Tangente
ist senkrecht zur berührenden Radiuslinie

Italian: 
Vorrei parlarvi di una cosa che trovavo molto strana quando ho iniziato a studiare il
calcolo differenziale. Immaginate di avere un cerchio di raggio
5 centrato nell'origine del piano xy, definito dall'equazione
x^2+y^2=5^2. Ciò significa che tutti i punti di questo cerchio sono a distanza 5 dall'origine, come
enunciato dal teorema di Pitagora, secondo il quale la somma dei quadrati dei cateti di questo
triangolo è pari al quadrato della sua ipotenusa, 5^2.
Supponete di voler trovare la pendenza di una retta tangente a questo cerchio, per esempio nel
punto (x, y) = (3, 4). Ora, se siete bravi con la geometria, forse
sapete già che questa retta tangente è perpendicolare al raggio che arriva nel punto (3, 4).

Italian: 
Ma diciamo che non lo sapete, o che volete una tecnica che
si generalizzi per curve che non siano cerchi. Come per molti problemi che riguardano la pendenza di
rette tangenti, la chiave è di concentrarsi su un intorno del punto di tangenza, abbastanza piccolo perchè
la curva assomigli alla sua retta tangente, per poi considerare un piccolo passo lungo la curva.
Potremmo chiamare la componente y di questo piccolo passo dy, mentre la componente x
sarà dx, sicchè la pendenza che stiamo cercando non sarà altro che dy/dx.
Ma diversamente da altri problemi di questa natura, la curva che stiamo considerando non è affatto il grafico di una
funzione, e non sappiamo calcolarne la derivata, che ci direbbe quanto varia
l'uscita della funzione a seguito di una variazione nel suo ingresso. Il punto è che x non è un ingresso e y non
è un'uscita in questo caso, ma sono solamente dei valori interdipendenti legati da una qualche equazione.
Quello che abbiamo descritto si chiama "curva implicita": è semplicemente l'insieme di tutti i punti (x, y) che soddisfa una

Polish: 
dzięki której będziesz mógł rozwiązać taki problem
dla krzywych innych niż okrąg.
Tak jak w innych problemach dotyczących stycznych,
należy powiększyć rysunek tak, by łuk okręgu
wyglądał prawie jak prosta, a następnie
zastanowić się nad małą drogą na tym łuku.
Możemy ją rozłożyć na składowe dx i dy.
Współczynnik, którego szukamy, jest równy dy/dx.
Ale w przeciwieństwie do poprzednich problemów,
okrąg nie jest wykresem funkcji.
Nie możemy więc wziąć zwykłej pochodnej, patrząc na
stosunek małej zmiany wartości funkcji
do małej zmiany argumentu funkcji.
Tutaj x nie jest argumentem, a y wartością funkcji.
To są dwie wartości związane pewnym równaniem.
Takie coś nazywa się krzywą w formie funkcji uwikłanej:

Chinese: 
但是，假设你还不知道它，或者你想要一个技术，
推广到比圆更广的曲线上。
至于有关的切线斜率其他问题
行，他们认为它的切线已经足够靠近它原本的曲线
然后，我们沿着曲线前进一小步
这一小步在y上的分量或许被你称作dy，它在x上的分量
是一个小的dx，所以我们要找的斜率就增量 dy/dx 的结果
但不像微积分其他切线斜率问题，
这条曲线是不是某个函数的图像
所以我们不能用简单的导数，
导数是用来分析某个函数的变化，由于输入有了一个小变化
导致输出也产生一个小变化。 此时，x是不是输入，y也不是输出
它们只是等式中相互依赖的值
这被称作隐曲线，它们只是一连串满足

French: 
ou que vous souhaitiez une technique générique pour des courbes autres que des cercles.
Comme avec d'autres problèmes sur la pente d'un tangente à une courbe,
la pensée clef est de zoomer assez afin que la courbe ressemble à sa propre tangente,
puis de regarder l'effet d'une petite déviation suivant cette courbe.
La composante y de cette déviation est ce que l'on peut appeler dy, et la composante x est un petit dx.
donc la pente que nous cherchons est la montée sur la course : dy/dx.
Mais contrairement à d'autres problèmes de pente d'une tangente en analyse,
cette courbe n'est pas le graphique d'une fonction,
donc nous ne pouvons pas prendre une simple dérivée,
poser la question de la petite déviation en sortie d'une fonction causée par une petite déviation sur l'entrée.
x n'est pas une entrée et y n'est pas une sortie.
Ces deux variables possèdent juste
des valeurs interdépendantes liées par une équation.
On appelle cela une « courbe implicite ».

Spanish: 
ese punto. Pero digamos que no lo todavía no lo
sabes eso, o que desea una técnica  que
generaliza  otras curvas mas que  círculos.
Como con otros problemas sobre la pendiente de lineas tangentes
, la clave aquí es  hacer  zoom
lo suficientemente cerca hasta  que la curva se vea básicamente
igual a su propia línea tangente, luego , preguntar por un 
 pequeño paso a lo largo de esa curva.
La componente  y de ese pequeño paso es lo
es podrías   llama dy, y la componente x es
un pequeño dx, por lo que la pendiente que estamos buscando
para "el aumento sobre lo recorrido es"  dy / dx.
Pero a diferencia de otros problemas tangente de pendiente en
cálculo, esta curva no es la gráfica de una
función, por lo que no podemos tener una derivada simple,
preguntar sobre el tamaño de un pequeño empujón a la
salida de una función causada por algún pequeño empujón
a la entrada. "x" no es una entrada y "y" no es
una salida en este caso, los dos son simplemente
valores interdependientes relacionadas por alguna ecuación.
Esta se llama una “curva implícita”; es
sólo el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen

English: 
that point. But let’s say you don’t already
know that, or that you want a technique that
generalizes to curves other than circles.
As with other problems about slope of tangent
lines, they key thought here is to zoom in
close enough that the curve basically looks
just like its own tangent line, then ask about
a tiny step along that curve.
The y-component of that little step is what
you might call dy, and the x-component is
a little dx, so the slope we’re looking
for is the rise over run dy/dx.
But unlike other tangent-slope problems in
calculus, this curve is not the graph of a
function, so we cannot take a simple derivative,
asking about the size of a tiny nudge to the
output of a function caused by some tiny nudge
to the input. x is not an input and y is not
an output in this case, they’re both just
interdependent values related by some equation.
This is called an “implicit curve”; it’s
just the set of all points (x, y) that satisfy

German: 
dieser Punkt. Aber sagen wir, Sie tun es nicht schon
weiß das, oder dass du eine Technik willst, die
verallgemeinert auf andere Kurven als Kreise.
Wie bei anderen Problemen bezüglich der Tangentensteigung
Linien, sie Schlüsselgedanke hier ist zu zoomen
nah genug, dass die Kurve im Grunde aussieht
genau wie seine eigene Tangente, dann fragen Sie nach
ein winziger Schritt entlang dieser Kurve.
Die y-Komponente dieses kleinen Schritts ist was
Sie könnten dy nennen, und die x-Komponente ist
ein wenig dx, also die Steigung, die wir suchen
denn ist der Anstieg über Lauf dy / dx.
Aber im Gegensatz zu anderen Tangenten-Hang-Problemen in
Kalkül, diese Kurve ist nicht der Graph von a
Funktion, so können wir nicht eine einfache Ableitung nehmen,
Fragen nach der Größe eines winzigen Schubs zum
Ausgabe einer Funktion, die durch einen winzigen Anstoß verursacht wird
zum Eingang. x ist keine Eingabe und y nicht
eine Ausgabe in diesem Fall, sie sind beide gerecht
voneinander abhängige Werte, die durch eine Gleichung zusammenhängen.
Dies wird als "implizite Kurve" bezeichnet. es ist
nur die Menge aller Punkte (x, y), die erfüllen

English: 
some property written in terms of the two
variables x and y.
The procedure for finding dy/dx here is what
I found very weird as a calculus student,
you take the derivative of both sides of this
equation like this: For the derivative of
x2 you write 2x*dx, similarly y2 becomes 2y*dy,
and the derivative of the constant 52 on the
right is 0.
You can see why this feels strange, right?
What does it mean to take a derivative of
an expression with multiple variables? And
why are we tacking on the little dy and dx
in this way?
But if you just blindly move forward with
what you get here, you can rearrange to find
an expression for dy/dx, which in this case
comes out to -x/y.

Italian: 
qualche proprietà scritta in termini delle due variabili x e y.
La procedura per calcolare dy/dx in questi casi è quello che trovavo molto strano come studente alle prime armi.
Si prende la derivata di entrambi i membri dell'equazione in questo modo: per la derivata di
x^2 scrivi 2x*dx, e in maniera analoga y^2 diventa 2y*dy. Infine la derivata di una costante, che sarebbe 5^2,
è zero. Potete capire perchè questo procedimento ha un che di bizzarro, vero?
Cosa significa calcolare la derivata di un'espressione con più variabili?
E perchè stiamo aggiungendo i dx e dy in questo modo?
Se procediamo alla cieca con questo metodo, possiamo trovare facilmente un'espressione
per dy/dx, che in questo caso diventa -x/y.

Chinese: 
依据x,y变量书写的某些特性的点而已。
这里找到dy/dx的步骤，是我在学微积分的时候感觉很奇怪 的地方
你把等式的两边求导，像这样：x^2的导数
2x*dx，同样的，y² 的导数 2y*dy，
右边常数5²的导数为0
你能看到为什么这为什么让人感觉很奇怪了，对吗？
对有着多个变量的表达式求导是什么意思？
而且，为什么我们要用这种方式来呈现dx和dy？
如果你只是一味地依靠你在这里获得的东西前行，你可以重新排列为了找到
一个关于dy/dx的表达式，它的结果是-x/y。

German: 
einige Eigenschaft in Bezug auf die beiden geschrieben
Variablen x und y.
Das Verfahren zum Finden von dy / dx hier ist was
Als Kalkülschüler fand ich das sehr seltsam,
Sie nehmen die Ableitung von beiden Seiten davon
Gleichung wie folgt: Für die Ableitung von
x2 du schreibst 2x * dx, ähnlich wird y2 zu 2y * dy,
und die Ableitung der Konstante 52 auf der
rechts ist 0.
Sie können sehen, warum sich das seltsam anfühlt, oder?
Was bedeutet es, eine Ableitung von zu nehmen
ein Ausdruck mit mehreren Variablen? Und
Warum greifen wir den kleinen dy und dx an?
auf diese Weise?
Aber wenn Sie nur blind vorwärts gehen
Was Sie hier bekommen, können Sie neu anordnen, um zu finden
ein Ausdruck für dy / dx, der in diesem Fall
kommt zu -x / y heraus.

Spanish: 
alguna propiedad escrita en términos de las dos
variables "x"  "y".
El procedimiento para encontrar dy / dx aquí es lo
me pareció muy raro como estudiante de cálculo,
Tomas la derivada de ambos lados de esta
ecuación así: Para la derivada de
x^2  escribes   2x *dx,   de manera similar y^2 convierte a  2y* dy ,
y la derivada de la constante 5^2 en el lado
derecha es 0.
Puedes ver por qué esto se siente extraño, ¿verdad?
¿Qué significa tomar una derivad de
una expresión con múltiples variables? Y
¿por qué estamos virando  de esta manera  en el pequeño   "dy"  y   "dx"
Pero si sólo  sigues ciegamente  adelante con
lo que tienes aquí, puedes reorganizarlo para encontrar
una expresión para dy / dx, que en este caso
 sale    -x / y.

Polish: 
to zbiór punktów (x, y), które spełniają pewną zależność,
zapisaną jako równanie tych dwóch zmiennych.
Sposób, w jaki znajdujemy dy/dx,
wydawał mi się dziwny, gdy byłem studentem.
Bierzemy pochodną obu stron równania:
pochodną x^2 jest 2x * dx, pochodną y^2 jest 2y * dy,
5^2 jest stałą, więc jej pochodna jest równa 0.
Widać, dlaczego to może się wydawać dziwne, prawda?
Co to znaczy: brać pochodną
wyrażenia, które zależy od wielu zmiennych?
I dlaczego zapisujemy dy i dx w ten sposób?
Gdybyśmy mechanicznie przekształcali to, co już mamy,
możemy obliczyć, że dy/dx = -x/y.

French: 
Il s'agit juste de l'ensemble de tous les points (x, y) qui satisfont une expression dépendante de ces deux variables x et y.
La procédure pour trouver dy/dx ici est ce que je trouvait étrange en tant qu'étudiant en analyse,
vous prenez la dérivée des deux côtés de cette équation, comme ceci :
Pour x^2 vous écrivez 2x*dx, de même y^2 devient 2y*dy, et la dérivée de la constante 5^2 à droite devient juste 0.
Vous pouvez voir pourquoi cela semble étrange, non?
Qu'est-ce que cela signifie de dériver une expression de plusieurs variables ?
Et pourquoi ajouter ces petits dy et dx
de cette façon ?
Mais si vous vous continuez aveuglément avec ce que vous avez obtenu ici,
vous pouvez réorganiser cette équation et trouver ainsi une expression de dy/dx,
qui est dans ce cas -x/y.

German: 
Also an einem Punkt mit Koordinaten (x, y) = (3,
4) wäre diese Steigung offensichtlich -¾.
Dieser seltsame Prozess wird als „implizit“ bezeichnet
Unterscheidung". Mach dir keine Sorgen, ich habe
eine Erklärung, wie Sie das Nehmen interpretieren können
eine Ableitung eines Ausdrucks mit zwei Variablen
so was.
Aber zuerst möchte ich dieses besondere beiseite legen
Problem, und zeigen Sie, wie dies mit a zusammenhängt
andere Art von Kalkülproblem: Verwandte
Preise.
Stellen Sie sich eine 5 Meter lange Leiter vor
Wand, wo die Oberseite der Leiter beginnt
4 Meter über dem Boden, der vom Pythagoräer
Satz bedeutet, dass der Boden 3 Meter entfernt ist
von der Wand.
Und sagen wir, es rutscht in solchen Fällen die Wand hinunter
ein Weg, dass die Oberseite der Leiter fällt
bei 1 Meter pro Sekunde.
Die Frage ist in diesem ersten Moment, was
ist die Rate, mit der der Boden der Leiter
bewegt sich von der Wand weg.
Es ist interessant, oder? Diese Entfernung von

Polish: 
Wobec tego współczynnik kierunkowy stycznej
w punkcie (x, y) = (3, 4) jest równy -3/4.
Ten proces to różniczkowaniem funkcji uwikłanej.
Nie bój się. Wyjaśnię, jak rozumieć różniczkowanie
wyrażenia, które zależy od dwóch zmiennych.
Ale najpierw zastanówmy się nad innym problemem.
Pokażę, w jaki sposób wiąże się on z
pewnym zagadnieniem z rachunku różniczkowego.
To problem zależnych stosunków.
Wyobraź sobie pięciometrową drabinę przy ścianie.
Jeden koniec drabiny znajduje się 4 metry nad podłogą,
a drugi jest oddalony od ściany o 3 metry.
Drabina ześlizguje się na dół tak, że
szczyt drabiny opada w tempie 1 m/s.
Pytanie brzmi: w chwili t = 0, z jaką prędkością
drugi koniec drabiny odsuwa się od ściany?
Interesujące, prawda?
Droga przebyta przez koniec drabiny leżący na podłodze

French: 
Donc, à un point de coordonnées (x, y) = (3,4), cette pente serait -¾. Evidemment !
Ce processus étrange est appelé « différentiation implicite ».
Ne vous inquiétez pas, j'ai une interprétation de la dérivation d'une expression à deux variables comme celle-ci.
Mais d'abord, je veux mettre de côté ce problème particulier,
et montrer comment cela est lié à un type différent de problème d'analyse :
les problèmes de taux liés.
Imaginez une échelle de 5 mètres de long contre un mur,
où le sommet de l'échelle commence à 4 mètres au-dessus du sol,
ce qui, par le théorème de Pythagore, signifie que le bas est à 3 mètres du mur.
Et disons qu'elle glisse vers le bas de telle manière que le sommet descende à 1 mètre par seconde
La question est, à ce moment initial, à quelle vitesse le bas de l'échelle s'éloigne-t-il du mur ?
Intéressant, n'est-ce pas ?

Chinese: 
因此，在与坐标点（X，Y）=（3，
4）处，斜率显然等于-¾。
这种奇特的过程被称为“隐
差异化”。别担心，我有
一个解释，关于你怎样能解释对一个像这样有两个变量的表达式求导
但首先，我想抛开这个特殊的问题。
并展示它是如何与一个微积分问题的不同类型联系起来的：相关率。
率。
想象一个5米长的梯子靠在墙上
其中，梯子的顶部
距离地面4米，由勾股定理得，底部距离墙3米
并告诉说，它正在慢慢地向下滑，以
顶部每秒1m的方式向下掉。
现在的问题是，在初始时刻，梯子底部向外运动的速度是多少？
这很有趣，不是吗？

Spanish: 
Entonce  en un punto con coordenadas (x, y) = (3,
4), esa pendiente sería -¾, evidentemente.
Este extraño proceso se llama “diferenciación implícita". No se preocupes,  tengo
una explicación para que puedas  interpretar  la toma de la derivada de una expresión con dos variables
Me gusta esta.
Pero en primer lugar, quiero dejar a un lado este
problema, y ​​mostrar cómo esto se relaciona con una
diferente tipo de problema de cálculo: Relacionados
las tasas.
Imagina  una escalera de 5 metros de largo recostada  contra una
pared, donde la parte superior de la escalera se inicia a
4 metros sobre el suelo, que, por el teorema de pitágoras , dice que la parte inferior es de 3 metros desde
de la pared.
Y dice que se desliza por la pared de tal
manera que la parte superior de la escalera está cayendo
a 1 metro por segundo.
La cuestión es, en ese momento inicial, ¿Cuál 
es la velocidad a la que la parte inferior de la escalera
se está alejando de la pared?.
Es interesante, ¿verdad? Esa distancia desde

English: 
So at a point with coordinates (x, y) = (3,
4), that slope would be -¾, evidently.
This strange process is called “implicit
differentiation”. Don’t worry, I have
an explanation for how you can interpret taking
a derivative of an expression with two variables
like this.
But first, I want to set aside this particular
problem, and show how this is related to a
different type of calculus problem: Related
rates.
Imagine a 5 meter long ladder up against a
wall, where the top of the ladder starts of
4 meters above the ground, which, by the pythagorean
theorem, means the bottom is 3 meters away
from the wall.
And say it’s slipping down the wall in such
a way that the top of the ladder is dropping
at 1 meter per second.
The question is, in that initial moment, what
is the rate at which the bottom of the ladder
is moving away from the wall.
It’s interesting, right? That distance from

Italian: 
Ciò significa che la pendenza al punto di coordinate (x, y) = (3, 4) è -3/4.
Questo strano processo è detto "derivazione di una funzione implicita". Non preoccupatevi, ho una
spiegazione per come si può interpretare questo procedimento.
Prima però, vorrei mettere da parte il problema visto finora, e mostrare
come è connesso con un altro problema di calcolo differenziale, detto
"related rates problem".
Immaginate una scala lunga 5 metri, appoggiata su un muro. La cima della scala
è a 4 metri di altezza, il che significa che il fondo è a 3 metri dal muro per il teorema di Pitagora.
Supponete che essa stia scivolando lungo il muro in modo tale che
la cima della scala si stia muovendo a 1 metro al secondo.
La domanda è: nel momento iniziale, quando la scala inizia a scivolare, qual'è la velocità con cui il fondo
della scala si allontana dal muro? E' interessante no? Quella distanza, dal fondo della scala al muro

German: 
Der Boden der Leiter zur Wand ist 100%
bestimmt durch den Abstand zwischen der Spitze
von der Leiter und dem Boden, so sollten wir
Ich habe genug Informationen, um herauszufinden, wie
Die Änderungsraten für jeden Wert hängen ab
aufeinander, aber es könnte nicht ganz sein
Zuerst ist klar, wie man die beiden in Beziehung setzt.
Das erste ist das erste, es ist immer schön
um den Mengen, die uns wichtig sind, Namen zu geben.
Beschriften Sie also den Abstand von der Oberseite des
Leiter zum Boden y (t), als Funktion geschrieben
der Zeit, weil es sich ändert. Gleichfalls,
Beschriften Sie den Abstand zwischen der Unterseite des
Leiter und die Wand x (t).
Sie sind hier die Schlüsselgleichung, die diese in Beziehung setzt
Begriffe ist der pythagoreische Satz: x (t) 2 +
y (t) 2 = 52. Was macht diese Gleichung mächtig?
ist, dass es zu allen Zeitpunkten wahr ist.
Eine Möglichkeit, dies zu lösen, wäre die Isolierung
x (t), finde heraus, worauf y (t) basieren muss

French: 
Cette distance du bas de l'échelle par rapport au mur est totalement déterminée
par la distance entre le sommet de l'échelle et le sol.
Donc nous devrions avoir suffisamment d'informations pour comprendre comment les taux d'évolution de ces valeurs dépendent l'une de l'autre.
Mais il n'est pas très clair a priori, comment relier ces deux taux.
Tout d'abord, il est toujours agréable
de donner des noms aux quantités qui nous intéressent.
Donc nommons la distance entre le haut de l'échelle et le sol y(t), écrite comme une fonction du temps parce qu'elle change.
De même, nommons la distance entre le bas de l'échelle et le mur x(t).
L'équation clé qui relie ces deux terme est le théorème de Pythagore :
x(t)^2 + y(t)^2 = 5^2.
Ce qui rend cette équation puissante est qu'elle est vrai en tout point t du temps.
Une façon de résoudre serait d'isoler x(t), puis trouver une expression de y(t) basé sur sa vitesse de chute,

Italian: 
è al 100% determinata dalla distanza tra la cima della scala
e il pavimento. Dunque dovremmo avere abbastanza informazioni per capire come le
velocità degli estremi della scala dipendano l'uno dall'altro, ma a priori non è così
chiaro come potremmo fare a trovare questa relazione.
Come prima cosa, è sempre un bene dare dei nomi alle quantità che ci interessano.
Chiamiamo la distanza dalla cima della scala al pavimento y(t), scritta come funzione
del tempo visto che sta variando. Analogamente, chiamiamo la distanza dal fondo della scala
al muro x(t). L'equazione fondamentale che mette in relazione questi due termini è il
teorema di Pitagora: x(t)^2+y(t)^2 = 5^2. Ciò che rende importante questa equazione è che
essa è valida per qualunque tempo t.
Un modo di risolvere tale equazione può essere di isolare il termine x(t), capire quanto deve valere y(t) basandoci sul fatto che sappiamo

Chinese: 
梯子底部到墙的距离100%地取决于梯子的顶端离地面的距离
因此我们应该拥有足够的信息来计算出
每个值的变化速率是怎样彼此相互影响的，但在一开始
两个值之间的关系并不完全清晰
首先，要给我们关系的量取合适的名字
因此，标注梯子的顶端到地面的距离为y(t),写成一个关于时间的函数
因为它正在改变。同样的，标注梯子底部与墙之间的距离为x(t)。
它们确定这里的等式
相关的项符合勾股定理： x(t)² + y(t)² = 5².
这个等式之所以强大是因为它在所有的时间点上都成立。
解决这个问题的方式之一是把x(t)分离出来，计算出y(t)基于

Polish: 
zależy tylko od drogi przebytej
przez drugi koniec drabiny.
Powinniśmy więc umieć określić, jak zależą od siebie
prędkości tych punktów,
ale na początku to nie jest takie oczywiste,
jak je ze sobą powiązać.
Najpierw warto nazwać wielkości, z których korzystamy.
Niech y(t) oznacza wysokość, na jakiej znajduje się
koniec drabiny przy ścianie. Jest to
funkcja od czasu, bo ta wielkość zmienia się w czasie.
Analogicznie, x(t) oznacza
odległość końca drabiny przy podłodze od ściany.
Równaniem, które wiąże te dwie zmienne, jest
x(t)^2 + y(t)^2 = 5^2.
To równanie jest prawdziwe w każdej chwili t.
Tutaj mógłbyś wyliczyć x(t),
stwierdzić na podstawie treści zadania, czym jest y(t),

Spanish: 
la parte inferior de la escalera a la pared es 100%
determinada por la distancia entre la parte superior
de la escalera y el suelo, por lo que debemos 
tener suficiente información para averiguar cómo
las tasas de variación para cada valor dependen
el uno del otro, pero puede que no sea del todo
claro en primer lugar como se relacionar las dos.
Lo primero es lo primero, siempre es agradable
para dar nombres a las cantidades que nos interesan.
Así que  etiqueta  la distancia desde la parte superior de la
escalera al suelo como "y(t)"  , escrito como una función
de tiempo, ya que está cambiando. Igualmente,
etiqueta la distancia entre la parte inferior de la
escalera y la pared  como "x (t)".
Ellos ecuación clave que relaciona estos
términos es el teorema de Pitágoras: x (t)^ 2 +
y (t)^2 =  5^2. Lo que hace a esta ecuación poderosa
es que es cierta en todos los puntos en el tiempo.
Una manera de resolver esto sería aislar
x (t), averiguar en lo que y (t) debe 
 estar basado

English: 
the bottom of the ladder to the wall is 100%
determined by the distance between the top
of the ladder and the floor, so we should
have enough information to figure out how
the rates of change for each value depend
on each other, but it might not be entirely
clear at first how to relate the two.
First thing’s first, it’s always nice
to give names to the quantities we care about.
So label the distance from the top of the
ladder to the ground y(t), written as a function
of time because it’s changing. Likewise,
label the distance between the bottom of the
ladder and the wall x(t).
They key equation here that relates these
terms is the pythagorean theorem: x(t)2 +
y(t)2 = 52. What makes this equation powerful
is that it’s true at all points in time.
One way to solve this would be to isolate
x(t), figure out what what y(t) must be based

German: 
diese 1 Meter / Sekunde Droprate, dann nehmen Sie eine
Ableitung der resultierenden Funktion; dx / dt,
die Rate, mit der sich x in Bezug auf ändert
zur Zeit.
Und das ist in Ordnung; es handelt sich um ein paar Schichten
der Kettenregel zu verwenden, und es wird definitiv
Arbeite für dich. Aber ich möchte etwas anderes zeigen
Weg, um über das Gleiche nachzudenken.
Diese linke Seite der Gleichung ist eine Funktion
der Zeit, richtig? Es ist einfach so gleich
eine Konstante, was bedeutet, dass dieser Wert dies offensichtlich nicht tut
ändern, während die Zeit vergeht, aber es ist immer noch
geschrieben als zeitabhängiger Ausdruck
die wir wie jede andere Funktion manipulieren können
mit t als Eingabe.
Insbesondere können wir eine Ableitung von nehmen
die linke Seite, das ist eine Art zu sagen
„Wenn ich ein bisschen Zeit verstreichen lasse, dt,
was dazu führt, dass y leicht abnimmt und x
zu leicht erhöhen, wie viel kostet dieser Ausdruck
Veränderung".
Einerseits wissen wir, dass Ableitung sollte

Spanish: 
,esta  tasa de 1 metro /segundo , luego tomar la
derivada de la función resultante; dx / dt,
la velocidad a la que x está cambiando con el respecto del tiempo
Y eso está bien; se trata de un par de capas, utilizando  la regla de la cadena, y que sin duda hará
trabajo para ti. Pero yo quiero mostrar una diferente
forma de pensar en la misma cosa.
Este lado izquierdo de la ecuación es una función
de tiempo, ¿verdad? Lo que pasa es que la iguala
una constante, es decir, este valor evidentemente,
  no cambia mientras pasa el tiempo, pero sigue siendo
escrito como una expresión dependiente del tiempo
la cual podemos manipular como cualquier otra función
con   t    como una entrada.
En particular, podemos tomar una derivada de
el lado izquierdo, que es una forma de decir
“Si dejo que pase un  poco de tiempo , dt,
que causa  que   "y"   disminuya ligeramente, y  que   "x"
 aumente ligeramente,¿ cuánto cambió esta expresión?.
Por un lado, sabemos que esa derivada debe

Polish: 
a następnie policzyć pochodną dx/dt,
tempo zmiany x w zależności od czasu t.
Da się to zrobić, korzystając z reguły łańcuchowej.
Chciałbym tu jednak pokazać
inny sposób myślenia o tym samym problemie.
Lewa strona tego równania to funkcja czasu, tak?
Tak się składa, że jest ona równa stałej,
więc nie zmienia się w czasie,
ale to wciąż jest funkcja czasu.
Skoro tak, to rozpatrujmy jak każdą inną funkcję.
W szczególności możemy wziąć pochodną lewej strony.
Co to znaczy? Jeśli upłynie mały czas dt
i y delikatnie zmaleje, a x delikatnie wzrośnie,
to jak zmieni się to wyrażenie?
Z jednej strony wiemy, że ta pochodna jest równa 0,

Chinese: 
1m/s的掉落速度的什么，然后对结果求导；
dx/dt，x随时间的变化速率
这很好;它涉及两层链式法则的使用，而且它可以很清晰地为你解答
但我想展现出一种不同的思考方式，关于同一件事情。
这个等式的左手侧是一个时间函数
，对吗？它只是恰巧等于
一个常数，这意味着这个数值显然不
时间的推移而改变，但它仍然
被写成一个像其他函数一样能被我们操控的关于时间的表达式。
把t作为输入。为此，我们能够对左手边进行求导
这是在说，“如果我让时间过去一点点，dt，
这导致y有一个微量的减少，x有一个微量的增加，这个表达式改变了多少呢
在一边，我们知道导数应该为0

Italian: 
quanto velocemente scende la scala, cioè 1m/s, e infine prendere la derivata della funzione risultante, dx/dt.
Ciò ci da la variazione di x rispetto al tempo.
Questo metodo è corretto: richiede di fare qualche conto ma a meno di errori ci darà il risultato
corretto. Ma io voglio mostrarvi un modo diverso di pensare allo stesso problema.
Il membro a sinistra dell'equazione è una funzione del tempo, giusto? Ed essa è uguale a una
costante, da cui vediamo subito che il suo valore non cambia nel tempo, ma è comunque
scritta come espressione dipendente dal tempo che possiamo manipolare come una
qualunque altra funzione che abbia t come ingresso. In particolare, possiamo prendere la derivata
del membro a sinistra, che è un altro modo per dire: "se lascio passare un pò di tempo, dt,
che causa una piccola diminuzione di y e un piccolo aumento di x, quanto cambia
questa espressione?"
Da un lato, sappiamo che la sua derivata deve essere

English: 
this 1 meter/second drop rate, then take a
derivative of the resulting function; dx/dt,
the rate at which x is changing with respect
to time.
And that’s fine; it involves a couple layers
of using the chain rule, and it will definitely
work for you. But I want to show a different
way to think about the same thing.
This left-hand side of the equation is a function
of time, right? It just so happens to equal
a constant, meaning this value evidently doesn’t
change while time passes, but it’s still
written as an expression dependent on time
which we can manipulate like any other function
with t as an input.
In particular, we can take a derivative of
the left hand side, which is a way of saying
“If I let a little bit of time pass, dt,
which causes y to slightly decrease, and x
to slightly increase, how much does this expression
change”.
On the one hand, we know that derivative should

French: 
puis prendre la dérivée de la fonction résultante, dx/dt,
la vitesse à laquelle x se modifie en fonction du temps.
Et c'est très bien ; cela implique quelques couches d'utilisation de la règle de la chaîne, et cela va certainement marcher pour vous.
Mais je veux montrer une autre façon de réfléchir sur le même problème.
Ce côté gauche de l'équation est une fonction du temps, non ?
Il se trouve que c'est égal à une constante, ce qui signifie que cette valeur ne change pas lorsque le temps passe,
mais c'est toujours écrit comme une fonction du temps que l'on peut la manipuler comme toute autre fonction ayant t comme entrée.
En particulier, nous pouvons prendre la dérivée du membre de gauche,
ce qui est une façon de dire « Si je laisse passer un peu de temps, dt,
ce qui provoque une légère diminution de y,  et une légère augmentation de x,
de combien cette expression change-t-elle. ».
D'une part, nous savons que la dérivée doit valoir 0,
car cette expression est égale à une constante,

Spanish: 
ser 0, ya que esta expresión es igual a una constante,
y las constantes no les importa tu  pequeño
empujón de tiempo,  ellas permanecen sin cambios.
Pero, por otro lado, ¿qué se obtiene al
calcular  la derivada de este lado izquierdo?
La derivada de  x (t)^ 2   es 2 * x (t) * (el derivado de
de x). Esa es la regla de la cadena de la que hablé en el 
último vídeo. 2x dx representa el tamaño de un
cambio en  x^2 causado por un cambio en  x  , y lo
estamos dividiendo por dt.
Del mismo modo, la velocidad a la que y (t) ^ 2 está cambiando
es 2 * y (t) * (la derivada de y).
Evidentemente, toda esta expresión debe ser cero,
lo que equivale a decir x2 + y2 no lo hace
cambiar, mientras que la escalera se mueve.
Y en el comienzo mismo, t = 0, la altura y (t)
es de 4 metros, la distancia x (t) es de 3 metros,
y que  la parte superior de la escalera está cayendo

French: 
et que les constantes ne se soucient pas de vos petites déviations de temps,
elles restent juste inchangées.
Mais d'autre part, qu'est-ce que vous obtenez en calculant la dérivée du membre de gauche ?
La dérivée de x(t)^2 est égal à 2*x(t) multipliée par la dérivée de x.
C'est la règle de la chaîne dont je parlais sur la dernière vidéo.
2x*dx représente la taille d'un changement de x^2 provoqué par un changement de x, que nous divisons par dt.
De même, la vitesse à laquelle y(t)^2 est déviée est 2*y(t)*(la dérivée de y).
De toute évidence, cette expression doit être égale à zéro, ce qui équivaut à dire que x^2 + y^2 ne change pas lorsque l'échelle bouge.
Et, au tout début, en t = 0, la hauteur y(t) est de 4 mètres, et la distance x(t) est de 3 mètres.
Et puisque le haut de l'échelle tombe à une vitesse de 1 mètre par seconde,

German: 
sei 0, da dieser Ausdruck einer Konstanten entspricht,
und Konstanten kümmern sich nicht um Ihre winzigen
Anstoß zur Zeit bleiben sie unverändert.
Aber auf der anderen Seite, was bekommen Sie durch
Berechnung der Ableitung dieser linken Seite?
Die Ableitung von x (t) 2 ist 2 * x (t) * (die Ableitung
von x). Das ist die Kettenregel, über die ich gesprochen habe
letztes Video. 2x * dx steht für die Größe von a
Änderung zu x2 verursacht durch eine Änderung zu x und
wir teilen uns durch dt.
Ebenso ändert sich die Geschwindigkeit, mit der sich y (t) 2 ändert
ist 2 * y (t) * (die Ableitung von y).
Offensichtlich muss dieser ganze Ausdruck Null sein,
Das entspricht der Aussage, dass x2 + y2 dies nicht tut
ändern, während sich die Leiter bewegt.
Und ganz am Anfang ist t = 0, die Höhe y (t)
beträgt 4 Meter, der Abstand x (t) beträgt 3 Meter,
und da fällt die Oberseite der Leiter ab

Polish: 
bo to wyrażenie jest stałe, a stałe nie zmieniają się.
Ale co dostaniemy po zróżniczkowaniu lewej strony?
Pochodną x(t)^2 jest 2x(t) * dx/dt.
Korzystamy tu z reguły łańcuchowej.
2x * dx oznacza zmianę x^2 spowodowaną zmianą x.
Dzielimy to przez dt.
Tak samo tempo zmiany y(t)^2 jest równe 2y(t) * dy/dt.
Ta suma jest równe 0, bo x(t)^2 + y(t)^2 nie zmienia się,
gdy drabina się rusza.
Na początku, w chwili t = 0 mamy y(t) = 4 m i x(t) = 3 m.

Chinese: 
从开始表达式就等于一个常数，而常数并不关心你小的时间变化
它们一直保持不变，但在另一边，你得到了什么？
当计算完左边的导数后。x(t)²的导数是2*x(t)（关于x的导数）
这是我在之前的视频中所谈到的链式法则。 2x*dx 代表的是
x²由x的变化所引起的变化。然后，我们开始分离dt
同样的，y(t)²的速率也在变化，为 2*y(t)，（关于y的导数）
显然，这整个表达式必须是零，
这相当于说，X² + Y²
不随阶梯的移动而改变。
并在一开始，t = 0时，在y（t）的
高度是4米，x（t）的距离为3米，
并且由于梯子的顶部落下

Italian: 
zero, dato che l'espressione è uguale a una costante, e alle costanti non interessano le tue
piccole variazioni nel tempo, rimangono (appunto) costanti. Dall'altro lato, cosa ottieni calcolando veramente la derivata
di questa espressione? La derivata di x(t)^2 è 2*x(t)*(la derivata di x).
Questa è la regola della catena di cui ho parlato nell'ultimo video. 2x*dx rappresenta la variazione di
x^2 causata da una variazione in x, e poi stiamo dividendo per dt.
Allo stesso modo, la variazione di y(t)^2 è data da 2*y(t)*(la derivata di y).
Evidentemente tutta questa espressione deve fare zero, che è un altro modo per dire che x^2+y^2 non cambia
mentre la scala scivola. Visto che all'inizio, a t=0, l'altezza della scala è y(t) = 4m,
la distanza x(t) è 3m, e la cima della scala sta scivolando a 1m/s,

English: 
be 0, since this expression equals a constant,
and constants don’t care about your tiny
nudge to time, they remain unchanged.
But on the other hand, what do you get by
computing the derivative of this left-hand-side?
The derivative of x(t)2 is 2*x(t)*(the derivative
of x). That’s the chain rule I talked about
last video. 2x*dx represents the size of a
change to x2 caused by a change to x, and
we’re dividing by dt.
Likewise, the rate at which y(t)2 is changing
is 2*y(t)*(the derivative of y).
Evidently, this whole expression must be zero,
which is equivalent to saying x2+y2 doesn’t
change while the ladder moves.
And at the very start, t=0, the height y(t)
is 4 meters, the distance x(t) is 3 meters,
and since the top of the ladder is dropping

Spanish: 
a una velocidad de 1 metro por segundo, esa derivada
dy / dt es -1 metros / segundo.
Ahora bien, esto nos da suficiente información para aislar
la derivada dx / dt, que, cuando se trabaja
hacia fuera, es (4/3) metros por segundo.
Ahora comparar esto con el problema de encontrar
la pendiente de la línea tangente al círculo. En
ambos casos, que tenían la ecuación x^2 + y^2 = 5^2,
y en ambos casos terminamos tomando la derivada
de cada lado de esta expresión.
Sin embargo, para el problema de la escala, estas expresiones
eran funciones del tiempo, por lo que tomar la derivada
tiene un significado claro: es la velocidad a la que
esta expresión cambia a medida que el cambio de tiempo.
Pero lo que hace que la situación del círculo extraña
es que en lugar de decir: "una pequeña cantidad
de tiempo dt ha pasado", lo que hace  que "x"      y
y   cambien, el derivada tiene solo  los pequeños empujones
dx y dy  flotando libremente, no atada

Italian: 
quella derivata vale -1m/s.
Questo ci da abbastanza informazioni per trovare la derivata dx/dt, che si calcola facilmente
ottenendo 4/3 m/s.
Ora paragonate questo problema a quello di trovare la pendenza della retta tangente al cerchio.
In entrambi i casi, avevamo l'equazione x^2+y^2=5^2, e in entrambi i casi abbiamo calcolato la derivata
di entrambi i membri di questa equazione. Ma per il problema della scala, queste espressioni
erano funzioni del tempo, quindi prenderne le derivate aveva un chiaro significato: esse rappresentano la
velocità con cui tale espressione cambia nel tempo. Ma quello che rende strana la situazione con
il cerchio è che anzichè dire che è passato un infinitesimo di tempo dt, che causa
una variazione in x e y, la derivata ha solamente le piccole variazioni dx e dy entrambe libere, non

French: 
cette dérivée dy/dt est de -1 mètre par seconde.
Maintenant, cela nous donne suffisamment d'informations pour isoler la dérivée dx/dt, qui,
lorsqu'on la calcule, est de (4/3) mètres par seconde.
Maintenant, comparez cela au problème de la recherche de la pente de la tangente au cercle.
Dans les deux cas, nous avons l'équation x^2 + y^2 = 5^2
et dans les deux cas, nous avons fini par prendre la dérivée de chacun des membres de l'expression.
Mais pour le problème de l'échelle, ces expressions sont des fonctions du temps,
donc prendre la dérivée a une signification claire: il est le taux avec lequel l'expression change lorsque le temps évolue.
Mais, ce qui rend la situation du cercle étrange,
est que, plutôt que de dire qu'une petite quantité de temps dt est passée,
ce qui provoque les changements de x et y, la dérivée a des petites déviations dx et dy flottant librement,

German: 
mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Sekunde diese Ableitung
dy / dt beträgt -1 Meter / Sekunde.
Dies gibt uns nun genügend Informationen, um sie zu isolieren
die Ableitung dx / dt, die, wenn Sie arbeiten
es ist (4/3) Meter pro Sekunde.
Vergleichen Sie dies nun mit dem Problem des Findens
die Steigung der Tangentenlinie zum Kreis. Im
In beiden Fällen hatten wir die Gleichung x2 + y2 = 52,
und in beiden Fällen haben wir das Derivat genommen
von jeder Seite dieses Ausdrucks.
Aber für das Leiterproblem diese Ausdrücke
waren Funktionen der Zeit, also die Ableitung nehmen
hat eine klare Bedeutung: Es ist die Rate, mit der
Dieser Ausdruck ändert sich mit der Zeit.
Aber was macht die Kreissituation seltsam?
ist das, anstatt eine kleine Menge zu sagen
der Zeit dt ist vergangen, was x und verursacht
Um sich zu ändern, hat das Derivat die winzigen Stupser
dx und dy schweben beide nur frei, nicht gebunden

English: 
at a rate of 1 meter per second, that derivative
dy/dt is -1 meters/second.
Now this gives us enough information to isolate
the derivative dx/dt, which, when you work
it out, is (4/3) meters per second.
Now compare this to the problem of finding
the slope of tangent line to the circle. In
both cases, we had the equation x2 + y2 = 52,
and in both cases we ended up taking the derivative
of each side of this expression.
But for the ladder problem, these expressions
were functions of time, so taking the derivative
has a clear meaning: it’s the rate at which
this expression changes as time change.
But what makes the circle situation strange
is that rather than saying a small amount
of time dt has passed, which causes x and
y to change, the derivative has the tiny nudges
dx and dy both just floating free, not tied

Chinese: 
以每秒1米的速度，即导数
dy/dt为-1米/秒。
现在，这给了我们足够的信息来分离导数dx / dt的，当你计算完成
它是（4/3）米每秒。
现在，把这与圆上切线的斜率问题比较。
这两种情况下，我们都有方程X² + Y² = 5²，
在这两种情况下，我们最终对表达式两边求导
但对于这个梯子的问题，这些表达式
为时间的函数，因此求导有一个明确的含义：
它是表达式随时间变化的变化速率。
但让圆的情况变得奇怪的是
一小段时间的过去，导致x和
y的变化，导数就有了一个小的推动dx and dy，可以自由变化，而不是固定的

Polish: 
Skoro czubek spada w tempie 1 m/s, to dy/dt = -1 m/s.
To wystarczy, żeby wyliczyć dx/dt, tutaj równe 4/3 m/s.
Omówiłem problem z drabiną po to, by porównać go
z problemem szukania stycznej do okręgu.
W obu przypadkach mamy równanie x^2 + y^2 = 5^2
W obu różniczkowaliśmy równanie stronami.
Ale dla drabiny x i y były funkcjami czasu,
więc branie pochodnej miało sens. Pochodna mówi,
jak zmienia się to wyrażenie, gdy zmienia się czas.
Dla okręgu nie możemy powiedzieć, że upłynął czas dt.
Pochodna ma małe zmiany dx i dy, które

French: 
qui ne sont pas liées à une autre variable commune comme le temps.
Laissez-moi vous montrer une jolie façon de penser tout cela :
Donnez à cette expression x^2 + y^2 un nom, pourquoi pas S.
S est essentiellement une fonction de deux variables,
il prend chaque point du plan (x, y) et l'associe à un certain nombre.
Pour les points du cercle, ce nombre est 25.
Si vous vous écartez du cercle en vous éloignant du centre, cette valeur deviendrait plus grande.
Pour d'autres points (x, y) plus proche de l'origine, cette valeur serait plus petite.
Ce que cela signifie de prendre une  dérivée de cette expression, une dérivée de S,
c'est de considérer un petit changement pour les deux variables, une déviation dx pour x et dy pour y.
Pas nécessairement une qui vous laisse sur le cercle d'ailleurs.
C'est juste uns petite déviation dans n'importe quelle direction du plan x-y.
Demandez vous de combien la valeur de S évolue-t-elle.

Chinese: 
对于一些其他类似于 时间 这样的常见变量。
让我告诉你，你如何看待这个：
给这个表达式X² + Y²的名称，也许
S.
S是两个变量的基本函数，
它表示平面上每一个（x，y）的点，并
把它们与数字关联起来。
对于圆上的点，这个数字是25.
如果你在圆上朝着远离原点的方向运动，这个数值会变大。
对于其他比圆更接近原点的点，这个数值会变得更小。
这个表达式的导数意味着，S的导数，
被认为是一个在这些变量上的极小变化，一些小变化是x上的dx，一些小变化是y上的dy
而且并不一定会让你保持在圆上。顺带一提，
这只是在xy平面上任何方向上的细小的步骤，并声明S的值变化了多少。

Italian: 
legate a una qualche variabile in comune come il tempo. Vi mostro come potreste pensare a questo concetto:
diamo un nome a questa espressione, ad esempio S.
S è essenzialmente una funzione di due variabili, prende tutti i punti (x, y) del piano e li
associa ad un numero. Per i punti sul cerchio, quel numero è 25.
Se ti sposti dal cerchio verso l'esterno, quel valore sarà più grande.
Per altri punti (x, y) più vicini all'origine, sarà più piccolo.
Il significato di prendere la derivata di questa espressione, una derivata di S, è di considerare
una piccola variazione di entrambe queste variabili. Consideriamo cioè una piccola variazione dx della coordinata x, e una piccola
variazione dy di y. E non sto parlando necessariamente di una variazione che ti mantenga sul cerchio, ma un
qualsiasi step in una qualsiasi direzione nel piano. Ci chiediamo quanto varia il valore di S a seguito di tale variazione.

Spanish: 
a alguna otra variable común como el tiempo.
Te voy a enseñar cómo se puede pensar en esto:
Dar a esta expresión x^2 + y^2 un nombre, tal vez
S.
S es esencialmente una función de dos variables,
que toma cada punto (x, y) en el plano y
lo asocia con un número.
Para los puntos en este círculo, ese número es
25. Si se baja de ese círculo una distancia 
del centro, ese valor sería más grande. por
en otros puntos (x, y) más cercanos al origen,
ese valor sería  menor.
Lo que significa tomar una derivada de esta
expresión, una derivada de S, es considerar
un pequeño cambio en estas dos variables, algunas
pequeño cambio dx para x, y algun cambio pequeño
dy  para y  , y no necesariamente uno que se mantiene
en este círculo, por cierto, es sólo
alguno pequeño paso en cualquier dirección en el Plano X;Y
y  de ahí, preguntas cuánto cambia el valor de S.

English: 
to some other common variable like time.
Let me show you how you can think about this:
Give this expression x2 + y2 a name, maybe
S.
S is essentially a function of two variables,
it takes every point (x, y) on the plane and
associates it with a number.
For points on this circle, that number is
25. If you step off that circle away from
the center, that value would be bigger. For
other points (x, y) closer to the origin,
that value is smaller.
What it means to take a derivative of this
expression, a derivative of S, is to consider
a tiny change to both these variables, some
tiny change dx to x, and some tiny change
dy to y –and not necessarily one that keeps
you on this circle, by the way, it’s just
some tiny step in any direction on the xy-plane–
and ask how much the value of S changes. That

Polish: 
nie są związane żadną wspólną zmienną.
Spróbuj pomyśleć o tym tak:
Nazwijmy jakoś wyrażenie x^2 + y^2, np. S.
Jest to funkcja dwóch zmiennych: x i y, która
każdemu punktowi przyporządkowuje liczbę.
Dla punktów na okręgu ta liczba to 25.
Jeśli wyjdziemy poza okrąg, to S będzie większe.
Dla punktów wewnątrz okręgu jest mniejsze.
Branie pochodnej funkcji S polega na rozważeniu
małej zmiany obu argumentów: zmiany x o dx i y o dy.
Niekoniecznie takiej, która utrzyma cię na okręgu.
Bierzemy mały krok na płaszczyźnie i pytamy się,
jak zmieni on wartość funkcji.
Ta mała różnica wartości między

German: 
zu einer anderen gemeinsamen Variablen wie der Zeit.
Lassen Sie mich Ihnen zeigen, wie Sie darüber nachdenken können:
Geben Sie diesem Ausdruck x2 + y2 vielleicht einen Namen
S.
S ist im Wesentlichen eine Funktion von zwei Variablen,
es nimmt jeden Punkt (x, y) in der Ebene und
ordnet es einer Nummer zu.
Für Punkte auf diesem Kreis ist diese Zahl
25. Wenn Sie diesen Kreis verlassen
Im Zentrum wäre dieser Wert größer. Zum
andere Punkte (x, y) näher am Ursprung,
Dieser Wert ist kleiner.
Was es bedeutet, eine Ableitung davon zu nehmen
Ausdruck, eine Ableitung von S, ist zu berücksichtigen
eine winzige Änderung an diesen beiden Variablen, einige
winzige Änderung dx zu x und einige winzige Änderung
dy to y - und nicht unbedingt eine, die hält
Sie in diesem Kreis, übrigens, es ist nur
ein winziger Schritt in jede Richtung auf der xy-Ebene -
und fragen Sie, um wie viel sich der Wert von S ändert. Das

Spanish: 
Esa diferencia en el valor de S, antes y después del empujón, es lo que estoy escribiendo
como “dS”.
Por ejemplo, en esta imagen que estamos empezando
en un punto donde x = 3  y   y = 4, y digamos que  el paso  que dibuje es dx en el punto... - 0.02, y que
dy es -0.01. A continuación, la disminución de S, la cantidad
a la que  x^2 + y^2 cambia, en ese paso sería:
alrededor de 2 (3) (- 0,02) + 2 (4) (- 0,01). Eso es
lo que esta derivada significa realmente para   2x ​​*dx + 2y *dy
. Es una receta para decirte lo mucho que el valor de x2 + y2
cambia, tal como es determinado por el punto (x, y)
donde empezaste , y el pequeño paso (dx,
dy) que se tomas
Al igual que con todas las cosas derivadas, esto es sólo
una aproximación, pero se vuelve más y más

French: 
Cette différence de la valeur de S, depuis sa valeur originale vers le point déplacé, est ce que j'écris « dS ».
Par exemple, dans cette image, nous commençons à un point où x=3 et y=4,
et nous allons juste dire que la déviation dx est de -0,02,
et que dy est -0.01.
Ensuite, la diminution de S, le changement dans la quantité x^2 + y^2 au cours de ce processus,
est d'environ 2*3*(-0,02) + 2*4*(- 0,01).
C'est ce que cette expression dérivée 2x*dx + 2y*dy signifie,
C'est une recette qui vous indique de combien la valeur x^2 + y^2 change,
tel que déterminé par le point (x, y) d'où vous avez commencé, et la petite déviation (dx, dy) que vous avez choisi.
Comme avec toutes ces dérivées, ce n'est qu'une approximation,

English: 
difference in the value of S, from the original
point to the nudged point, is what I’m writing
as “dS”.
For example, in this picture we’re starting
at a point where x is 3 and y is 4, and let’s
just say that step dx is... -0.02, and that
dy is -0.01. Then the decrease to S, the amount
the x2+y2 changes over that step, will be
around 2(3)(-0.02) + 2(4)(-0.01). That’s
what this derivative expression 2x*dx + 2y*dy
means, it tells you how much the value x2+y2
changes, as determined by the point (x, y)
where you started, and the tiny step (dx,
dy) that you take.
As with all things derivative, this is only
an approximation, but it gets more and more

German: 
Unterschied im Wert von S gegenüber dem Original
Punkt auf den Anstoßpunkt, ist das, was ich schreibe
als "dS".
In diesem Bild fangen wir zum Beispiel an
an einem Punkt, an dem x 3 und y 4 ist, und lassen Sie uns
Sagen Sie einfach, dass Schritt dx ... -0.02 ist, und das
dy ist -0,01. Dann die Abnahme auf S, die Menge
Das x2 + y2 ändert sich in diesem Schritt
um 2 (3) (- 0,02) + 2 (4) (- 0,01). Das ist
was dieser abgeleitete Ausdruck 2x * dx + 2y * dy
bedeutet, es sagt Ihnen, wie viel der Wert x2 + y2
Änderungen, bestimmt durch den Punkt (x, y)
wo du angefangen hast und der winzige Schritt (dx,
dy) die du nimmst.
Wie bei allen abgeleiteten Dingen ist dies nur
eine Annäherung, aber es wird immer mehr

Italian: 
Questa differenza nel valore di S, dal punto di partenza a quello di arrivo, è quello che
chiamerò dS. Per esempio, in questa figura stiamo partendo a un punto in cui
x vale 3 e y vale 4. Diciamo che dx vale -0.02 e dy -0.01-
Allora la variazione di S, quanto cambia la quantità x^2+y^2 in questo step, sarà data da
2*3*(-0.02) + 2*4*(-0.01). Questo è il significato di questa espressione 2x*dx + 2y*dy,
ti dice semplicemente di quanto cambia il valore di x^2+y^2 in funzione del punto (x, y) in cui inizi e
il piccolo step (dx, dy) di cui ti sposti.
Come tutto ciò che ha a che fare con le derivate, questa è solo un'approssimazione, ma una che diventa

Chinese: 
从开始的点到移动后的点之间的S的差值，就是我写的dS。
例如，在这张图里，我们从
x=3,y=4的点开始，然后让它下一步的dx=-0.02，dy=-0.01.
S的减少量，也就是在经过上一步之后x²+y²的变化总量
大约是 2(3)(-0.02) + 2(4)(-0.01).
这就是导数表达式2x*dx + 2y*dy的含义
它告诉你x²+y²的值，相对于一开始的（x，y）点改变了多少
在你移动了（dx，dy）的小段距离之后。
对于所有事物的导数，这只是一个近似值，但它会随着

Polish: 
punktem początkowym a końcowym to dS.
Przykład: zaczynamy w punkcie (x, y) = (3, 4).
Mała zmiana dx jest równa -0.02, a dy jest równe -0.01.
Wtedy mała zmiana dS wartości funkcji S
między tymi punktami jest równa
2 * 3 * (-0.02) + 2 * 4 * (-0.01).
Taki jest sens pochodnej S: 2x * dx + 2y * dy.
Mówi ona, jak zmienia się wartość x^2 + y^2
w zależności od punktu początkowego (x, y)
i wielkości zmiany (dx, dy).
Jak zawsze przy pochodnych, to jest tylko przybliżenie,

Polish: 
ale tym lepsze, im mniejsze są dx i dy.
Gdy ograniczasz się do okręgu, to znaczy tyle,
że chcesz, żeby wartość S się nie zmieniała.
W punkcie początkowym S = 25 i chcesz, żeby
w punkcie końcowym również S = 25, więc dS = 0.
Wobec tego warunek 2x * dx + 2y * dy = 0 mówi, że
po wykonaniu małego kroku na płaszczyźnie
pozostaniemy na okręgu.
Przypominam, to jest tylko przybliżenie.
Precyzując, ten warunek zapewnia, że nie wyjdziesz
poza styczną do okręgu, a nie okrąg.
Ale dla bardzo małych zmian to prawie to samo.
Oczywiście, równanie x^2 + y^2 = 25 nie jest wyjątkowe.
Zawsze warto pomyśleć o innych przykładach.
Weźmy więc równanie sin(x) * y^2 = x.

German: 
Dies gilt für immer kleinere dx-Optionen
und dy.
Der entscheidende Punkt ist, wenn Sie sich einschränken
Schritte entlang dieses Kreises sind Sie im Wesentlichen
sagen, Sie möchten sicherstellen, dass dieser Wert
S ändert sich nicht; es beginnt bei einem Wert von
25, und Sie möchten es auf einem Wert von halten
25; Das heißt, dS sollte 0 sein.
Setzen Sie diesen Ausdruck also 2x * dx + 2y * dy gleich
bis 0 ist die Bedingung, unter der ein winziger Schritt
bleibt im Kreis.
Auch dies ist nur eine Annäherung. Sprechen
Genauer gesagt, dieser Zustand hält Sie auf dem Laufenden
eine Tangentenlinie des Kreises, nicht des Kreises
selbst, aber für winzige Schritte sind das
im Wesentlichen das gleiche.
Natürlich gibt es nichts Besonderes
der Ausdruck x2 + y2 = 52 hier. Du könntest
habe einen anderen Ausdruck mit x
und ys, die eine andere Kurve darstellen,
und nehmen die Ableitung beider Seiten wie
Dies würde Ihnen eine Möglichkeit geben, dx in Beziehung zu setzen
dy für winzige Schritte entlang dieser Kurve.
Es ist immer schön, mehr Beispiele durchzudenken,

Chinese: 
你所选的dx和dy的值的减小而变得越来越接近真实。
关键的一点在于，当你把自己限制在圆上移动的时候，你其实在说
你想确保S的值不会被改变，它一开始是25
，并且你会一直把它保持在25，也就是说，dS应该等于0.
所以让表达式2x*dx+2y*dy=0是让点保持在圆上的条件。
同样，这也只是一个近似值。
更确切地说，这个条件使你一直在圆的切线上，而不是圆本身。
但对于这个小量足够小的时候，它们本质上是一件事。
当然，表达式X² + Y² = 5²在这没有什么特别之处。你可以
用一些其他的表达式把x和y关联起来，
用来表示其他的曲线
对它两边像这样去求导，你会得到dx和dy
在沿着曲线移动一小步之后。
这通常能很好地用来想明白其他例子。

English: 
true for smaller and smaller choices of dx
and dy.
The key point is that when you restrict yourself
to steps along this circle, you’re essentially
saying you want to ensure that this value
S doesn’t change; it starts at a value of
25, and you want to keep it at a value of
25; that is, dS should be 0.
So setting this expression 2x*dx + 2y*dy equal
to 0 is the condition under which a tiny step
stays on the circle.
Again, this is only an approximation. Speaking
more precisely, that condition keeps you on
a tangent line of the circle, not the circle
itself, but for tiny enough steps those are
essentially the same thing.
Of course, there’s nothing special about
the expression x2+y2 = 52 here. You could
have some other expression involving x’s
and y’s, representing some other curve,
and taking the derivative of both sides like
this would give you a way to relate dx to
dy for tiny steps along that curve.
It’s always nice to think through more examples,

Italian: 
sempre più precisa per valori più piccoli di dx e dy, e esatta nel limite in cui dx e dy tendono a zero.
Quando ti vincoli a spostarti lungo il cerchio, stai essenzialmente dicendo che
il valore di S non sta cambiando: inizia a un valore pari a 25
e lo vuoi mantenere a 25. Segue immediatamente che dS sarà nullo per spostamenti che ti lasciano sul cerchio.
Imporre che l'espressione 2x*dx + 2y*dy sia pari a zero è la condizione per cui un piccolo step
ti fa rimanere sul cerchio. Ribadisco, questa è solo un'approssimazione.
Parlando più precisamente, la condizione che abbiamo imposto ti mantiene su una retta tangente al cerchio, e non
sul cerchio stesso, ma per step piccoli queste due affermazioni sono praticemente analoghe.
Ovviamente, non c'è niente di speciale nell'espressione x^2 + y^2 = 5^2. Potresti avere
qualsiasi altra espressione in termini di x e y, che possono rappresentare una qualunque curva,
e prendere le derivate di entrambi i membri in questo modo ti darebbe una relazione tra dx e dy
per piccoli step lungo quella curva. E' sempre un bene pensare ad altri esempi, quindi

French: 
mais qui devient de plus en plus vrai pour des choix de plus en plus petits de dx et dy.
Le point clé est que lorsque vous vous restreignez à des déplacements le long de ce cercle,
vous voulez essentiellement que cette valeur S ne change pas.
Cela a commencé avec une valeur de 25, et vous voulez conserver une valeur de 25,
à savoir, dS devrait être égal à 0.
Donc, fixer l'expression 2x*dx + 2y*dy à 0 est la condition pour laquelle un tout petit écart nous permet de rester sur le cercle.
Encore une fois, ce n'est qu'une approximation.
De façon plus précise, cette condition vous permet de rester sur la tangente en ce point du cercle,
pas le cercle en lui-même, mais pour des déviations petites, c'est essentiellement la même chose.
Bien sûr, il n'y a rien de spécial avec l'expression 
x^2 + y^2 = 5^2.
C'est toujours bien de regarder d'autres exemples,
donc considérons cette expression sin(x)*y^2 = x.

Spanish: 
válido para las elecciones cada vez más pequeñas de dx
y dy.
El punto clave es que cuando se restringe a sí mismo
a pasos a lo largo de este círculo, lo que  estás esencialmente
diciendo  es que deseas asegurarte de que este valor
S no cambie; se inicia en un valor de
25, y se desea mantenerlo a un valor de
25; es decir, dS deben ser 0.
Por lo que establecer esta expresión 2x *​​dx + 2y *dy  igual
a 0 es la condición en la que uno de estos pequeños pasos
se queda en el círculo.
Una vez más, esto es sólo una aproximación. Hablando
más precisamente, esa condición mantiene
una línea tangente al círculo, no el círculo
en sí, pero  para pasos lo suficientemente pequeños son esencialmente la misma cosa.
Por supuesto,  no hay nada especial aquí con
la expresión x^2 + y^2 = 5^2. Tú podrías
Siempre es bueno pensar en más ejemplos
e y de, en representación de alguna otra curva,

French: 
Cela correspond à plein de forme en U dans le plan.
Ces courbes représentent tous les
points (x, y) du plan
où la valeur de sin(x)*y^2 est égale à la valeur de x.
Maintenant, imaginez dévier légèrement avec des composantes (dx, dy),
et pas nécessairement une qui vous laisse sur la courbe.
Dérivée chaque membre de l'équation nous dira de combien cette modification change la valeur de l'expression pendant ce processus.
Sur le membre de gauche, la règle du produit que nous avons découvert dans la vidéo précédent nous dit que cela devrait être
« gauche d droite plus droite d-gauche »
sin(x)*(la déviation de y^2), qui est 2y*dy, plus y^2*(la déviation de sin(x)), qui est cos(x)*dx.
Le membre de droite est tout simplement x, de sorte que la modification de la valeur est exactement dx, non?

Chinese: 
让我们来思考表达式sin(x)*y²=x,它的图像与平面上很多U形的曲线一致
这些曲线代表了平面上所有的
sin(x)y²的值等于x的值的（x，y）的点。现在想象一下，产生一个小的
（DX，DY），但它不一定会让你在曲线上。对等式两边求导后
我们会知道每一边在移动之后产生的变化。
在左边，我们上节课
找到的乘法法则告诉我们，它应该是
“左边d右边+右边d左边”：
sin(x)*(y²的变化量=2y*dy)+y²(sinx的变化量=cos(x)*dx)。
 
右侧是简单的X，它的变化量恰好是dx，对吧？

German: 
Betrachten Sie also den Ausdruck sin (x) * y2 = x,
das entspricht vielen U-förmigen Kurven
im Flugzeug. Diese Kurven repräsentieren alle
Punkte (x, y) der Ebene, auf der der Wert liegt
von sin (x) * y2 entspricht dem Wert von x.
Stellen Sie sich nun vor, Sie machen einen kleinen Schritt mit den Komponenten
(dx, dy) und nicht unbedingt eine, die hält
Sie auf der Kurve. Nehmen Sie die Ableitung von
Jede Seite dieser Gleichung wird uns sagen, wie
viel ändert sich der Wert dieser Seite während
dieser Schritt.
Auf der linken Seite regelt das Produkt, dass wir
gefunden im letzten Video sagt uns, dass dies
sollte "links d-rechts plus rechts d-links" sein:
sin (x) * (die Änderung zu y2), die 2y * dy ist,
plus y2 * (die Änderung zu sin (x)), was cos (x) * dx ist.
Die rechte Seite ist einfach x, also die Größe von
Eine Änderung des Wertes ist genau dx, oder?

Polish: 
Na płaszczyźnie wygląda to jak wiele krzywych
w kształcie litery U.
Te krzywe zawierają wszystkie punkty (x, y),
które spełniają zależność sin(x) * y^2 = x.
Rozważmy teraz przesunięcie o mały wektor (dx, dy).
Niekoniecznie taki, który utrzyma punkt na krzywej.
Zróżniczkowanie tego wyrażenia stronami mówi nam,
jak zmieniają się obie strony po małym przesunięciu.
Wiemy, jak obliczyć pochodną iloczynu, więc
lewa strona po zróżniczkowaniu jest równa
sin(x) * 2y * dy + cos(x) * dx * y^2.
Prawa strona równania jest równa x, więc
zmiana jej wartości jest równa dokładnie dx.

Italian: 
consideriamo l'espressione sin(x)*y^2 = x, che corrisponde a tante curve a forma di U nel piano.
Queste curve rappresentano tutti i punti (x, y) del piano in cui il valore di
sin(x)*y^2 è pari al valore di x. Ora immagina di spostarti di un qualche piccolo step con componenti
(dx, dy), e non necessariamente uno spostamento che ti faccia rimanere sulla curva. Prendendo la derivata di
ciascun membro di questa equazione ci dirà di quanto varia il valore di tale membro lungo lo step.
A sinistra, la regola del prodotto, spiegata anch'essa nel video precedente, ci dice
che questa variazione sarà sin(x)*(la variazione di y^2), che è 2y*dy,
più y^2*(la variazione di sin(x)), che è cos(x)*dx.
A destra abbiamo solo x, dunque la sua variazione è semplicemente dx, non vi pare?

Spanish: 
por lo que consideremos  la expresión sin (x) * y^2 = x,
que se corresponde con muchas curvas en forma de U
en el plano. Y recuerda que esas curvas representan todos
los puntos (x, y) del plano en el que el valor
de sin (x) * y^2 es igual al valor de x.
(dx, dy), y no necesariamente uno que  se mantiene
 en la curva. Tomando la derivada de
cada lado de esta ecuación nos dirá cuánto el valor cambia  durante
este paso.
En el lado izquierdo, la regla del producto de la
que hablamos en el último video nos dice que este
debe ser “la izquierda D-derecha    +   la derecha D-izquierda”:
sin (x) * (el cambio para y^2), que es 2y * dy,
mas  y^2 * (el cambio de sin (x)), que es cos (x) * dx.
sin (x) * (el cambio para y^2), que es 2y * dy,
mas  y^2 * (el cambio de sin (x)), que es cos (x) * dx.
Igualando  estos dos lados  uno al otro
es una forma de decir :“sea cual sea tu pequeño paso

English: 
so consider the expression sin(x)*y2 = x,
which corresponds to many U-shaped curves
on the plane. Those curves represent all the
points (x, y) of the plane where the value
of sin(x)*y2 equals the value of x.
Now imagine taking some tiny step with components
(dx, dy), and not necessarily one that keeps
you on the curve. Taking the derivative of
each side of this equation will tell us how
much the value of that side changes during
this step.
On the left side, the product rule that we
found in the last video tells us that this
should be “left d-right plus right d-left”:
sin(x)*(the change to y2), which is 2y*dy,
plus y2*(the change to sin(x)), which is cos(x)*dx.
The right side is simply x, so the size of
a change to the value is exactly dx, right?

Chinese: 
让两边相等，意味着不管小量dx，dy如何变化
只要我们一直在这条直线上，左边的值
和右边的值就一定会有相等的变化
这是唯一可以让等式保持正确的方式。
取决于你要解决什么样的问题，你可以进一步用代数的方式来处理它
这也许是通过分离dx找到dy最常见的目的了。
再来一个例子，让我来演示一下你要如何运用这些技术来助你找到新的导数公式。
我有在一个注释视频中提到，
e^x的导数是它本身，但对于它反函数
ln(x)的导数呢？ln(x)的图像可以被看做

German: 
Stellen Sie diese beiden Seiten gleich ein
ist eine Art zu sagen: „Was auch immer dein kleiner Schritt ist
mit Koordinaten (dx, dy) ist, wenn es geht
um uns auf dieser Kurve zu halten, die Werte von beiden
die linke Seite und die rechte Seite
muss sich um den gleichen Betrag ändern. “ Das ist
Nur so kann diese Top-Gleichung bestehen bleiben
wahr.
Von dort aus, je nachdem welches Problem du hast
Lösen könnte man weiter manipulieren mit
Algebra, wo vielleicht das häufigste Ziel
ist dy durch dx geteilt zu finden.
Lassen Sie mich als weiteres Beispiel zeigen, wie Sie können
Verwenden Sie diese Technik, um neue Ableitungen zu finden
Formeln.
Ich habe das in einem Fußnotenvideo erwähnt
Die Ableitung von ex ist selbst, aber was ist mit
die Ableitung seiner Umkehrfunktion die
natürliches Protokoll von x?
Der Graph von ln (x) kann als betrachtet werden

Spanish: 
con coordenadas (dx, dy) , si va
a mantenernos en esta curva, los valores de ambos,
lado izquierdo y  lado derecho,
debe cambiar por la misma cantidad.”Eso es
la única forma en que la ecuación superior puede mantenerse verdadera.
A partir de ahí, dependiendo de cuál es el problema que estás resolviendo, tienes algo que  puedes manipular
algebráicamente, donde tal vez el objetivo más común
es encontrar dy dividido por dx.
Como un ejemplo más, voy a mostrarles  cómo se puede
utilizar esta técnica para  encontrar  nueva fórmulas de derivadas
He mencionado en un vídeo que
la derivada de e^x es sí misma, pero ¿qué pasa
con derivada de su función inversa ,
logaritmo natural de x?
La gráfica de ln (x) puede ser pensada como una
curva implícita; todos los puntos en el plano xy
donde y = ln (x), que sólo pasa a ser el

English: 
Setting these two sides equal to each other
is a way of saying “whatever your tiny step
with coordinates (dx, dy) is, if it’s going
to keep us on this curve, the values of both
the left-hand side and the right-hand side
must change by the same amount.” That’s
the only way this top equation can remain
true.
From there, depending on what problem you’re
solving, you could manipulate further with
algebra, where perhaps the most common goal
is to find dy divided by dx.
As one more example, let me show how you can
use this technique to help find new derivative
formulas.
I’ve mentioned in a footnote video that
the derivative of ex is itself, but what about
the derivative of its inverse function the
natural log of x?
The graph of ln(x) can be thought of as an

Polish: 
Jeśli każemy obu stronom równania
po zróżniczkowaniu być równe, to to znaczy tyle, co
"po przejściu tego małego kroku (dx, dy)
punkt pozostanie na krzywej, bo
lewa i prawa strona zmienią się o tyle samo".
Tylko w ten sposób możemy zagwarantować,
że pierwsze równanie pozostanie prawdziwe.
W zależności od tego, jaki problem rozwiązujesz,
przekształcasz to równanie, np. obliczając dy/dx.
Na końcu pokażę ci, jak za pomocą tej nowej techniki
wyprowadzić nowe wzory na pochodne.
Wiemy już, że pochodną funkcji e^x jest e^x.
Ale jaka jest pochodna funkcji odwrotnej - logarytmu?
Możesz pomyśleć o wykresie funkcji ln(x)
jak o wykresie funkcji uwikłanej.
Wszystkie punkty (x, y) na wykresie

Italian: 
Eguagliando queste due espressioni ha lo stesso significato della frase "qualunque sia il tuo piccolo step con
coordinate (dx, dy), se ci dovrà mantenere sulla curva, il valore di entrambi
i membri dell'equazione devono variare della stessa quantità".
Questo è l'unico modo in cui l'equazione di partenza può rimanere vera.
Da qui, a seconda del problema che state risolvendo, potete usare dell'algebra
per manipolare il risultato: probabilmente l'obiettivo più comune è di trovare dy/dx.
Come ultimo esempio, voglio mostrarvi come si possa usare questa tecnica per trovare nuove
formule di derivate. Ho menzionato in un video che la
derivata dell'esponenziale e^x è sé stesso, ma cosa possiamo dire sulla derivata della sua funzione inversa,
il logaritmo naturale di x? Il grafico di ln(x) può essere pensato come curva implicita:

French: 
Régler ces deux côtés pour qu'ils soient égaux est une manière de dire :
« quelque-soit les déviations de coordonnées (dx, dy), si elle nous laisse sur cette courbe,
les valeurs des deux membres, gauche et droite, doivent changer de la même quantité. »
C'est la seule façon pour cette équation de rester vraie.
A partir de là, en fonction du problème que vous êtes en train de résoudre, vous avec quelque chose pour travailler algébriquement.
L'objectif le plus répandu est sans doute de trouver dy divisé par dx.
Comme exemple final, laissez-moi vous montrer comment vous pouvez utiliser cette technique pour trouver de nouvelles formules de dérivées.
J'ai déjà mentionné dans une vidéo que la dérivée de la fonction e^x est elle-même.
Mais qu'en est-il de la dérivée de sa fonction inverse, le logarithme naturel de x ?
Le graphique de ln(x) peut être vu comme une courbe implicite ;

Italian: 
tutti i punti sul piano xy dove y=ln(x). Semplicemente le x e y di
questa equazione non sono mescolate come lo erano negli
altri esempi. La pendenza di questo grafico, dy/dx, sarà la
derivata di ln(x), giusto? Per scoprirlo, prima riscriviamo l'equazione
y = ln(x) come e^y = x. Questa è semplicemente la definizione di logaritmo naturale di x: esso risponde alla domanda,
"e alla cosa fa x?" Dato che conosciamo la derivata di e^y, possiamo
prendere la derivata di entrambi i membri, in pratica chiedendoci come un piccolo step con
componenti (dx, dy) cambi il valore dei due membri dell'equazione. Per essere sicuri che lo step ci faccia rimanere sulla curva, la
variazione del membro di sinistra, e^y*dy, deve essere uguale a quella del membro di destra,

French: 
tous les points sur le plan xy où y=ln(x),
Il se trouve juste que les x et les y de cette équation ne sont pas aussi entremêlés qu'ils l'étaient dans les autres exemples.
La pente de ce graphique, dy/dx, devrait être la dérivée de ln(x), pas vrai ?
Eh bien, pour découvrir cela, réorganisons d'abord cette équation : y = ln(x), donc e^y = x.
Ceci est exactement ce que le logarithme naturel de x signifie ;
Il s'agit de e à la puissance combien égal x.
Puisque nous connaissons la dérivée de e^y, nous pouvons dériver les deux côtés,
se demandant effectivement comment une petite déviation de composantes (dx,dy)
modifie la valeur de chaque côté.
Pour s'assurer que la déviation nous laisse sur la courbe, le changement à gauche, qui est e^y*dy,
doit être égal au changement à droite, qui est dx.

Spanish: 
caso de que las x  y  Y de esta ecuación
no están tan entremezclados como lo fueron en otro
caso de que las x  y  Y de esta ecuación
no están tan entremezclados como lo fueron en otro
la derivada de ln (x), ¿verdad?
Bueno, al encontrar que, primero re-ordenando esta ecuación
y = ln (x) sea e^y = x. Esto es exactamente lo
el logaritmo natural des x, realmente significa
e elevado a lo que sea y es igual a x.
Ya que sabemos que la derivada de e^y, podemos
tomar la derivada de ambos lados, efectivamente
preguntando cómo un pequeño paso con componentes (dx,
dy) cambia el valor de cada lado.
Para asegurar que el   paso  esté en la curva,
cambio para el  lado izquierdo de la ecuación, el cual
es e^y * dy, debe ser  igual al cambio en el lado derecho
, el cual en este caso es solamente dx.
Reordenando, esto significa dy / dx, la pendiente de

Chinese: 
是一条隐曲线；所有的点都在xy平面上的y=ln(x)的点，但它指符合
这个等式上的x和y，不像是其他例子中混合的
这个图像的斜率，dy/dx应该是
ln(x)的导数，对吗？为了找到它，首先重新排列等式
Y = LN（x）成 E^Y = X。这正是
的ln（x）的含义。
e的多少次方会等于x。
由于我们知道e^y的导数，我们可以
取两侧的导数，从而有效地知道(dx,dy)的小改变是如何影响
两边的值的。为了确保在曲线上移动，
等式左边的变化，e^y*dy一定与等式右边的变化

English: 
implicit curve; all the points on the xy plane
where y = ln(x), it just happens to be the
case that the x’s and y’s of this equation
aren’t as intermingled as they were in other
examples.
The slope of this graph, dy/dx, should be
the derivative of ln(x), right?
Well, to find that, first rearrange this equation
y = ln(x) to be ey = x. This is exactly what
the natural log of x means; it’s saying
e to the what equals x.
Since we know the derivative of ey, we can
take the derivative of both sides, effectively
asking how a tiny step with components (dx,
dy) changes the value of each side.
To ensure the step stays on the curve, the
change to the left side of the equation, which
is ey*dy, must equals the change to the right

German: 
implizite Kurve; alle Punkte auf der xy-Ebene
wo y = ln (x) ist, ist es einfach das
Fall, dass die x und y dieser Gleichung
sind nicht so vermischt wie in anderen
Beispiele.
Die Steigung dieses Graphen, dy / dx, sollte sein
die Ableitung von ln (x), richtig?
Um das zu finden, ordnen Sie diese Gleichung zuerst neu
y = ln (x) soll ey = x sein. Genau das ist was
das natürliche Protokoll von x bedeutet; es heißt
e zu dem, was gleich x ist.
Da wir die Ableitung von ey kennen, können wir
Nehmen Sie die Ableitung beider Seiten effektiv
Fragen, wie ein kleiner Schritt mit Komponenten (dx,
dy) ändert den Wert jeder Seite.
Um sicherzustellen, dass der Schritt auf der Kurve bleibt, wird die
ändern Sie auf die linke Seite der Gleichung, die
ist ey * dy, muss gleich der Änderung nach rechts sein

Polish: 
spełniają zależność y = ln(x).
Tutaj po prostu tak się składa,
że równanie nie jest tak skomplikowane,
jak w poprzednich przykładach.
Współczynnik kierunkowy stycznej, dy/dx,
powinien być równy pochodnej logarytmu.
Aby obliczyć ten stosunek, przekształćmy równanie:
zamiast y = ln(x) mamy e^y = x.
To wynika wprost z definicji logarytmu.
Skoro znamy pochodną e^x, to możemy
zróżniczkować równanie stronami, patrząc,
jak mała zmiana o składowe dx, dy wpływa
na zmianę wartości obu stron równania.
Aby zapewnić sobie, że punkt pozostanie na krzywej,
zmiana lewej strony, równa e^y * dy,
musi być równa zmianie prawej strony, równej dx.

Polish: 
Mamy więc dy/dx = 1/e^y. A gdy jesteśmy na krzywej,
to e^y = x.
Wobec tego współczynnik kierunkowy prostej
jest równy 1/x.
Ten współczynnik wyrażony przez x jest pochodną,
więc pochodną ln(x) jest 1/x.
To, co teraz robiliśmy, to niewielki fragment
rachunku różniczkowego wielu zmiennych.
Rozpatruje się tam funkcje wielu zmiennych i bada się,
jak zmieniają się ich wartości
przy małych zmianach argumentów.
Jak zawsze, najważniejsze, by zdawać sobie sprawę,
jakie małe zmiany rozpatrujemy
i jak zależą one od siebie.
W następnym filmie będę mówił o granicach:
czym one dokładnie są i jak korzystać z nich,

German: 
Seite, die dx ist.
Umordnen bedeutet dies dy / dx, die Steigung von
Unsere Grafik entspricht 1 / ey. Und wenn wir dran sind
Diese Kurve ist per Definition dieselbe wie
x, also ist die Steigung offensichtlich 1 / x.
Ein Ausdruck für die Steigung des Graphen von
Funktion in Bezug auf x wie diese ist die Ableitung
dieser Funktion, also offensichtlich die Ableitung
von ln (x) ist 1 / x.
Das alles ist übrigens ein kleiner Einblick
multivariabler Kalkül, wo Sie berücksichtigen
funktioniert mit mehreren Eingängen und wie sie
Ändern Sie, wenn Sie diese Eingänge optimieren.
Der Schlüssel ist wie immer ein klares Bild
in deinem Kopf, was winzige Stupser im Spiel sind,
und wie genau sie voneinander abhängen.
Als nächstes werde ich darüber sprechen, was genau
Eine Grenze ist, und wie es zur Formalisierung verwendet wird

Spanish: 
nuestro gráfico, es igual a (1 / e^y). Y cuando estamos en
esta curva, e^y es por definición la misma  cosa que
nuestro gráfico, es igual a (1 / e^y). Y cuando estamos en
esta curva, e^y es por definición la misma  cosa que
función  escrita en términos de x,  es la derivada de esa función, en este caso la de
ln (x) es: 1 / x.
Por cierto, todo esto es mirar un poco hacia el 
cálculo multivariable, donde se tiene en cuenta
funciones con múltiples entradas, y cómo
cambian a medida que se ajustan esas entradas.
La clave, como siempre, es tener una imagen clara
en la cabeza de lo  que los pequeños empujones hacen,
y cómo es exactamente   dependen unos de otros.
En la próxima, voy a hablar acerca de lo que
es un límite, y cómo se utiliza para formalizar
la idea de una derivada.

English: 
side, which is dx.
Rearranging, this means dy/dx, the slope of
our graph, equals 1/ey. And when we’re on
this curve, ey is by definition the same as
x, so evidently the slope is 1/x.
An expression for the slope of the graph of
function in terms of x like this is the derivative
of that function, so evidently the derivative
of ln(x) is 1/x.
By the way, all of this is a little peek into
multivariable calculus, where you consider
functions with multiple inputs, and how they
change as you tweak those inputs.
The key, as always, is to have a clear image
in your head of what tiny nudges are at play,
and how exactly they depend on each other.
Next up, I’ll talk about about what exactly
a limit is, and how it’s used to formalize

Chinese: 
dx 相等。重新排列，这意为这dy/dx，
我们图像的斜率，等于1/e^y.当我们在这条曲线上的时候，e^y和x一样被定义了
所以斜率很明显是1/x，关于x函数图像的斜率表达式
像这样，就是函数的导数，所以显然
LN（x）的导数是1 / X。
顺带一提，所有的这些都只是多元微积分中的一小部分，
就是那些你认为有着多个输入的函数，它们是如何改变的当你改动输入的时候。
关键总是在，在你的头脑中勾画出清晰的图像，关于在运动中细小的变动，
和他们中是如何精确地影响彼此的
接下来，我将谈谈极限究竟是什么，它是如何

Italian: 
che è dx. Ciò implica che la pendenza della curva dy/dx
sia uguale a 1/e^y. E quando siamo su questa curva, per definizione e^y è uguale a
x, dunque evidentemente la pendenza è proprio 1/x. Un'espressione per la pendenza di un grafico di
una funzione in termini di x come questa è la derivata di tale funzione, quindi possiamo concludere che
la derivata di ln(x) è proprio 1/x.
Tra l'altro, tutto questo è una piccola introduzione al mondo del calcolo differenziale in più variabili, dove consideriamo
funzioni con più ingressi, e come esse variano a seguito di variazioni di tali ingressi.
Come al solito è fondamentale avere un'immagine chiara nella propria testa di come queste piccole variazioni entrano in gioco, e di
come esattamente dipendono l'una dall'altra.
Nel prossimo video, parlerò di cosa esattamente sia un limite, e come lo si può usare per formalizzare

French: 
En réarrangeant, cela signifie que dy/dx, la pente de notre courbe, est égal à 1/e^y.
Et quand nous sommes sur cette courbe, e^y ​​est par définition la même chose que x.
Donc la pente est 1/x.
Une expression pour la pente de la tangente de la courbe exprimée en fonction de x est la dérivée de cette fonction.
Donc la dérivée de ln(x) est 1/x.
Au fait, tout ceci est juste un rapide coup d’œil à l'analyse des fonctions à plusieurs variables,
où vous considérez des fonctions à plusieurs entrées et la façon dont elles changent lorsque vous tordez ces entrées.
La clé, comme toujours, est d'avoir une image claire des petites déviations qui sont en jeu,
et comment exactement elles dépendent les unes des autres.
La prochaine fois, je vais vous parler de ce qu'est exactement une limite

Chinese: 
使导数的想法正式化的。

Polish: 
by sformalizować opis pochodnych.

Spanish: 
Ahora imagina tomar algún pequeño paso con componentes
----- AGRADECIMIENTOS ESPECIALES----

French: 
et comment elles sont utilisées pour formaliser l'idée d'une dérivée.

Italian: 
il concetto di derivata.

German: 
die Idee eines Derivats.

English: 
the idea of a derivative.
