
Arabic: 
.
إذا أُعطيت مصفوفة مربعة 'A'
شعاع ذاتي مترافق مع تلك المصفوفة هو شعاع
بحيث عندما أضرب الشعاع بـ 'A'
فإنّ تأثير عملية الضرب هو قياس
للشعاع الذاتي ذاك
وتدعى قيمة القياس القيمة الذاتية
إذاً، إذا أعطيت مصفوفة مربعة 'A'
شعاع ذاتي، سندعوها 'v'
مترافقة مع تلك المصفوفة
وهو شعاع ، بحيث عندما أضربها في اليسار
ب المصفوفة 'A'
فإنّ تأثير عملية الضرب تلك هو قياس
للشعاع الذاتي مضروباً بهذه القيمة 'لامدا'
والتي هي القيمة الذاتية مترافقة
مع الشعاع الذاتي ذاك
إذاً، مرة أخرى،
الفكرة الكاملة وراء الأشعة والقيم الذاتية
هي أنّه، بالنظر إلى مصفوفة 'A'
شعاع ذاتي مترافق مع تلك المصفوفة
هو شعاع وبالمثل فإنّه عندما أضرب

Spanish: 
Si tengo una matriz cuadrada A, un 
eigenvector asociado con esa matriz es un
vector, que cuando multiplico el vector x 
A, el efecto de la multiplicación es que
ese eigenvector escala, cuando escalamos
el valor, se denomina eigenvalor; dada una
matriz cuadrada A, un eigenvector llamado
v
que está asociado con esa matriz es un
vector que cuando lo multiplico a la
izquierda por la matriz A, el efecto de 
esa multiplicación es que ese eigenvector
escala por este valor lambda, que es el
eigenvalor, que está asociado con el
eigenvector; una vez más; la idea central
detrás de los eigenvalores y los
eigenvectores es que dada una matriz A, 
una matriz cuadrada, un eigenvector

Vietnamese: 
`
Ta có ma trận vuông A
trị số đặc trưng của ma trận đó là 1 véc tơ
mà khi nhân véc tơ đó với A
nhân là kéo dài véc-tơ
đặc trưng đó
và giá trị kéo dài là giá trị đặc trưng
Nếu ta có ma trận vuông A
và véc tơ đặc trị v
có liên quan tới A
là 1 véc tơ mà khi nhân bên trái
với ma trận A
giá trị kéo dài
của véc tơ đặc trị lam đa
là giá trị đặc trưng liên quan
đến véc tơ đặc trưng đó
nhắc lại
đại ý về giá trị và véc tơ đặc trưng
là: cho ma trận vuông A
véc tơ đặc trưng của ma trận đó
là véc tơ mà khi nhân với

English: 
.
If I'm given a square matrix 'A'
an eigenvector associated with that matrix is a vector
so that when I multiply the vector by 'A'
the effect of multiplication is a scaling
of that eigenvector
and the scaling value is called the eigenvalue
So if I'm given a square matrix 'A'
an eigenvector, we'll call it 'v'
associated with that matrix
is a vector so that, when I multiply on the left
by the matrix 'A'
the effect of that multiplication is a scaling
of the eigenvector by this value 'lambda'
which is the eigenvalue associated
with that eigenvector
So, one more time
The whole idea behind eigenvalues and eigenvectors
is that, given a matrix 'A' - a square matrix
an eigenvector associated with that matrix
is a vector such that when I multiply

Vietnamese: 
A từ bên trái
được kết quả là kéo dài
véc tơ một giá trị đặc trưng tương ứng
Véc tơ đặc trưng v theo định nghĩa, khác 0
Giả sử có 1 ma trận "đẹp"
nhỏ thôi
3x1 hoặc 1x3
giờ tôi sẽ xét ma trận này
và xác định 1 véc tơ
chính là véc tơ đặc trưng
các bạn sẽ thấy ngay đây
Giả sử có véc tơ (1,1)
kết quả phép nhân là gì?
A nhân v ở bên trái
tức là [(3,1)(1,3)]
x véc tơ (1,1)
nhân ma trận được định nghĩa là
1 véc tơ được coi như
một ma trận 1 chiều
vậy khi nhân ma trận
tích vô hướng viết là (3,1) . (1,1)
bằng 4
(1,3) . (1,1) tương tự
được 4
vậy ta có gì?

Spanish: 
asociado con esa matriz es un vector que
cuando lo multiplico por A a la izquierda
el efecto de esa multiplicación es que
escala el eigenvector por el
correspondiente eigenvalor
el eigenvector v por definición no es el
vector 0; supongamos que tenemos esta
linda matriz de dimensiones pequeñas 3 1 1
3, ahora quiero tomar esa matriz y
vamos a definir un vector, un eigenvector,
un vector 1 1
cuál es el resultado de multiplicar A a la
izquierda por v, multiplico la matriz 3 1
1 3 por el vector 1 1; noten que esta 
multiplicación de matrices está definida
por un vector que puede ser considerado
como una matriz degenerada o una matriz de
1 dimensión, cuando realizo la 
multiplicación de matrices, el producto
cruzado, 3 1 por 1 1, resulta en 4, 1 3 de
forma similar multiplicado por 1 1 resulta

English: 
by 'A' on the left,
the effect of the multiplication is a scaling
of the vector by its corresponding eigenvalue
The eigenvector 'v' by definition is not the zero vector
Let's suppose we have a nice matrix
Make things small in dimension here
let's say 3 by 1 and 1 by 3
Now I want to take that matrix and
we'll define a vector
this will turn out to be an eigenvector
as we'll see in just a moment
Let's say a vector (1,1)
So what is the result of multiplication here?
'A' on the left times 'v'
So multiply the matrix [(3,1) (1,3)]
times the vector(1,1)
Notice this matrix multiplication is defined again
a vector can be considered as something of a
degenerate or one dimensional matrix
So when I perform the matrix multiplication
the dot product here (3,1) dotted with (1,1)
results in 4
(1,3) similarly dotted with (1,1)
results in 4
So what do we have here?

Arabic: 
بـ 'A' على اليسار،
تأثير عملية الضرب هو قياس
الشعاع بقيمته الشعاعية الموافقة،
حسب تعريف الشعاع الذاتي 'v' فإنّه ليس الشعاع المنعدم.
دعونا نفترض أنّنا لدينا مصفوفة دقيقة
نجعل الأشياء هنا صغيرة في البعد
دعونا نقول 3 مضروبة بـ 1 و1 مضروبة بـ 3
الآن، أريد أن آخذ تلك المصفوفة
وسنحدد شعاع،
سيتبيّن أنّ هذا سيكون شعاع ذاتي
كما سنرى خلال لحظة.
دعونا نقول شعاع (1،1)
إذاً ماهي نتيجة عملية الضرب هنا؟
'A' على اليسار في 'v'
إذاً ضرب المصفوفة [(3،1) (1،3)]
في الشعاع (1،1)
لاحظ أنّ ضرب هذه المصفوفة محدد مجدداً،
شعاع يمكن أن يُعتبر كشيئاً ما
لمصفوفة متحللة أو ذات بُعد واحد.
إذاً عندما أقوم بضرب المصفوفة
حاصل الجداء الداخلي هنا (3،1) ضرب (1،1)
النتيجة هي 4
الجداء الداخلي لـ (1،3) بشكلٍ مشابه مع (1،1)
النتيجة هي 4
إذاً ماذا لدينا هنا؟

Spanish: 
en 4, pero qué es lo que tenemos acá?
tenemos Av mi matriz por este vector, la
acción de esa multiplicación en un sentido
geométrico es la de escalar el vector
original v por el valor de 4, entonces Av,
en otras palabras, acá es igual a Lambda
donde Lamdba es 4, un factor que permite
escalar y que surge de la matriz; la base
es que obtener un eigenvector cuando
multiplico a la izquierda por la matriz,
la acción de esa multiplicación resulta en
que el eigenvector escala por el valor de
4
me gustaría traer un poco más de luz sobre
la idea de eigenvalores y eigenvectores
desde una perspectiva geométrica; vamos a
continuar con el ejemplo de la matriz de 2
x 2, 3 1 1 3, y si recuerdan del ejemplo
que vimos más temprano, 1 de los
eigenvectores asociado con esa matriz, lo
llamamos vector v1, es el vector 1 1, lo
dibujé en el plano y el resultado de la
acción de multiplicar el vector v1 a la

Arabic: 
لدينا Av، مصفوفتي في هذا الشعاع.
حسناً، تأثير عملية الضرب تلك
بمعنى هندسي
هو قياس للشعاع الأصلي 'v'
بقيمة 4
إذاً، بعبارة أخرى Av هنا مساوي
لـ لامدا، حيث لامدا تساوي 4، عامل القياس خاصتي
في المصفوفة الأصلية.
إذاً، النتيجة هي أنّه ليكون شعاع ذاتي،
عندما أضرب على اليسار بمصفوفتي،
ينتج تأثير عملية الضرب هذا
قياس الشعاع الذاتي خاصتي
في هذه الحالة بالقيمة 4.
أود الآن أن ألقي الضوء قليلاً على
فكرة القيم والأشعة الذاتية هذه
من منظور هندسي
إذاً، سنستمر مع المثال
حيث دعونا المصفوفة 'A'
هذه مصفوفة 2 بـ 2 [(3،1) (1،3)]
وكما تتذكر من المثال السابق
أحد الأشعة الذاتية مترافق
مع تلك المصفوفة
سندعو ذلك الشعاع v_1
بالشعاع (1،1)
إذاً، لقد رسمت ذلك الآن على المستوي
وعندئذٍ تأثير نتيجة
عملية ضرب الشعاع v_1 على اليسار

English: 
We have Av, my matrix times this vector
Well the action of that multiplication
in a geometric sense
is a scaling of the original vector 'v'
by a value of 4
So Av in other words here is equal to
lambda, where lambda is 4, my scaling factor
times the original matrix
So the bottom line is, to be eigenvector,
when I multiply on the left by my matrix
the action of this multiplication
results in a scaling of my eigenvector
in this case by the value 4
I'd like to shed a little more light
on this idea of eigenvalues and eigenvectors
now from a geometric perspective
So we'll continue with the example
where we called the matrix 'A'
this 2 by 2 matrix, [(3,1) (1,3)]
and as you'll recall from the earlier example
One of the eigenvectors associated
with that matrix
We'll call that vector v_1
is the vector (1,1)
So I've drawn that now on the plane
And then the resultant action
of multiplying the vector v_1 on the left

Vietnamese: 
ta có Av, ma trận x véc tơ
phép nhân ở đây
có ý nghĩa hình học
là kéo dài véc tơ v
4 lần
Vậy Av có thể xem như
lam đa, lam đa =4
nhân với ma trận gốc
tóm lại, một véc tơ đặc trưng
khi nhân bên trái với ma trận
phép nhân
ra kết quả là kéo dài véc tơ đặc trưng
trong trường hợp này, là 4 lần
tôi muốn giải thích thêm
về giá trị đặc trưng và véc tơ đặc trưng
về mặt hình học
chúng ta tiếp tục với ví dụ lúc nãy
đặt tên ma trận là A
ma trận 2x2 [(3,1)(1,3)]
như các bạn đã thấy ở ví dụ trước
một trong những véc tơ đặc trưng
liên quan tới ma trận đó
gọi là véc tơ v_1
là véc tơ (1,1)
tôi vừa vẽ trên mặt phẳng
và kết quả
của phép nhân véc tơ v_1 bên trái

Vietnamese: 
với ma trận A ở đây
là kéo dài 4 lần
đó chính là giá trị lam đa
của véc tơ đặc trưng đó
vậy theo nghĩa hình học
Av_1 = 4 x v_1
tính chất hình học "đẹp" này
cho thấy giá trị đặc trưng
và véc tơ đặc trưng của 1 ma trận
như đã đề cập
ma trận này, cũng như
các ma trận khác
có các giá trị đặc trưng khác
tôi sẽ nói về cách tính
sau
nhưng một véc tơ đặc trưng khác
của ma trận đó
ta gọi là véc tơ v_2
là véc tơ này (-1,1)
giá trị đặc trưng của nó
là 2
nói cách khác, lam đa = 2
đối với véc tơ này
kết quả là, nhân
véc tơ v_2 bên trái
với ma trận A
được giá trị

Spanish: 
izquierda por la matriz A que mencionamos
aquí es el efecto de estirar o achicar el
vector, es el Lambda que está asociado con
ese eigenvector, podemos pensarlo en forma
geométrica acá, Av1 resulta en 4 por v1,
acá tenemos una interpretación geométrica
muy linda, de lo que significa un 
eigenvalor y un eigenvector para una
matriz; dije también más temprano que esta
matriz en particular, como es común en
muchas matrices, tiene otros eigenvectores
asociados con ella y les voy a mostrar
como calcularlos dentro de 1 momento, 
pero uno de los otros eigenvectores que
está asociado con esa matriz en particular
lo llamamos vector v2, es el vector que
dibujé acá, -1 1, y el eigenvalor asociado
con ese eigenvector en particular es el
valor 2, en otras palabras Lambda es 2 
para este eigenvector en particular, el
resultado entonces de multiplicar
el vector v2 a la izquierda por la matriz
A es de donde obtengo esta versión que

Arabic: 
بالمصفوفة المذكورة آنفاً 'A' هنا
كان هذا يتمدد أو يقاس بعامل 4 هنا
ولقد كانت هذه لامدا مترافقة مع
الشعاع الذاتي ذلك
إذاً، يمكننا أن نفكر بهذا هندسياً هنا
'Av_1' تنتج 4 في v_1
حسناً، إذاً هناك نوع دقيق من الرسم الهندسي
لما يعنيه أن يكون قيمة ذاتية
وشعاع ذاتي لمصفوفة.
كما قلت سابقاً أيضاً
هذه المصفوفة المعينة، كما هو شائع
مع الكثير من المصفوفات
لديها أشعة ذاتية أخرى مترافقة معها.
وسأريكم كيف تحسبوا بعضاً من هؤلاء
الأشياء خلال لحظة، هنا.
لكن أحد الأشعة الذاتية الأخرى
مترافق مع تلك المصفوفة المعينة.
سندعو ذلك الشعاع v_2
الشعاع كما رسمته هنا (-1،1)
والقيمة الذاتية مترافقة مع الشعاع الذاتي
ذلك، هي القيمة 2.
إذاً، بعبارة أخرى، لامدا هي 2
لهذا الشعاع الذاتي المعين
إذاً، نتيجة عملية ضرب
فلنقل، الشعاع v_2 على اليسار
باالمصفوفة A عندئذٍ،
هي أنني أحصل على النسخة المصغرة هذه

English: 
by the matrix aforementioned 'A' here
was this stretching or scaling by a factor 4 here
And that was the lambda associated with
that eigenvector
So we can think of this geometrically here
'Av_1' results in 4 times v_1
Okay, so there's a nice kind of geometric rendering
of what it means to be an eigenvalue
and an eigenvector for a matrix
As I also said earlier
this particular matrix, as is common,
with lots of matrices
has other eigenvectors associated with it
And I'll show you how to compute some of those
things in just a moment here
But one of the other eigenvectors
associated with that particular matrix
We'll call that vector v_2
is the vector as I've drawn here (-1,1)
And the eigenvalue associated with that
particular eigenvector is the value 2
So in other words, lambda is 2
for this particular eigenvector
So the result then, of multiplying
let's say the vector v_2 on the left
by the matrix A
is that I get this scaled version

Spanish: 
escala del doble, es el doble del vector
original

Arabic: 
بعبارة أخرى، مضروبة مرتين بالشعاع الأصلي هنا.

Vietnamese: 
bằng 2 lần giá trị ban đầu của v_2

English: 
in other words twice times the original vector here
