
Hungarian: 
Szeretném, ha ebben a videóban 
megismerkednénk
a sorozatok egyik fontos változatával.
Ez nem más, mint a számtani sorozat.
Könnyű dolgunk lesz.
Ezek azok a sorozatok, amelyekben minden 
tag ugyanazzal a számmal nagyobb,
mint az előtte lévő.
Most tehát az a cél, hogy kiválasszuk,
melyik a számtani sorozat.
azután pedig kicsit gyakoroljuk is
a sorozatok jelöléseit.
Szeretném definiálni a sorozat 
ismeretlen n-edik tagját
az ismert n explicit függvényeként,
vagy rekurzív definícióval.
Először is adott, hogy a számtani 
sorozat olyan, hogy
bármely két szomszédos tag különbsége
ugyanaz a szám.
Ezek közül akkor melyik 
a számtani sorozat?
Nézzük először ezt az elsőt!
–5-höz, hogy –3 legyen, 2-t kell adnunk.
–3-hoz, hogy –1 legyen, 2-t kell adnunk.

Czech: 
V tomto videu bych vás chtěl seznámit
s běžnou třídou posloupností.
A těmi jsou aritmetické posloupnosti.
Obvykle je velmi jednoduché
si jich všimnout.
Jsou to posloupnosti,
kde každý člen je o pevně určené
číslo větší než člen předchozí.
Mým cílem tady je zjistit,
které z těchto posloupností
jsou aritmetické posloupnosti.
A potom, abychom si procvičili
některé zápisy posloupností,
je chci vyjádřit jednak explicitním
vzorcem pro člen, který hledáme,
s indexem, na který se díváme,
jednak rekurentním zadáním.
Takže zaprvé, vzhledem k tomu,
že v aritmetické posloupnosti je
každý člen o pevně dané číslo
větší než ten předchozí, které
z těchto posloupností jsou aritmetické?
Takže se podívejme na tu
první hned tady nahoře.
Abychom se z -5 dostali
na -3, musíme přidat 2.
Potom, abychom se z -3 dostali
na -1, musíme přidat 2.

Thai: 
 
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ
ทำความคุ้นเคยกับ
ลำดับประเภทที่พบบ่อยๆ
และนี่คือลำดับเลขคณิต
และพวกมันสังเกตได้ง่าย
พวกมันคือลำดับที่แต่ละเทอมมากกว่า
เทอมก่อนหน้าเป็นค่าคงที่
เป้าหมายเราตรงนี้คือหาว่าลำดับใดในนี้
เป็นลำดับเลขคณิต
แล้วเราจะได้ฝึก
เรื่องสัญลักษณ์ของลำดับ
ผมอยากนิยามพวกมันเป็นฟังก์ชันโดยตรง
ให้แต่ละเทอมที่เห็น เลขเทอมที่คุณเห็น
หรือนิยามแบบเรียกซ้ำ
อย่างแรก กำหนดให้ลำดับเลขคณิต
เป็นลำดับที่แต่ละเทอมที่ตามมานั้น 
มากกว่าตัวก่อน
เป็นปริมาณคงที่ ลำดับใดบ้างเป็นลำดับเลขคณิต?
ลองดูอันนี้ตรงนี้กัน
เวลาไปจากลบ 5 ถึงลบ 3 เราต้องบวก 2
แล้วเวลาไปจากลบ 3 ถึงลบ 1 คุณต้องบวก 2

German: 
 
Ich möchte dich in desem Video mit einer häufigen Klasse
mathematischer Folgen vertraut machen.
Und das sind arithmetische Folgen.
Normalerweise kann man diese gut erkennen.
Das sind Folgen, bei denen der nachfolgende Term um einen bestimmen Betrag größer wird,
als der vorangegangene Term.
Ich möchte hier herausfinden, welche dieser Folgen
arithmetische Folgen sind.
Und damit wir etwas Übung in der Notation von Folgen bekommen,
Und damit wir etwas Übung in der Notation von Folgen bekommen,
möchte ich diese hier entweder als explizite Funktionen definieren,
maßgeblich ist hier der Index, den du betrachtest,
oder als rekursive Funktionen.
Also zunächst sei angenommen, dass eine arithmetische Folge
eine solche ist, bei der jeder nachfolgende Term einen bestimmten Betrag größer ist,
als der vorangegangene, welche dieser Folgen sind dann arithmetische Folgen?
Lass uns diese hier drüben anschauen.
Um von -5 zu -3 zu gelangen, müssen wir 2 hinzuaddieren.
Dann, um von -3 zu -1 zu gelangen, müssen wir auch 2 hinzuaddieren.

Korean: 
이번 동영상은
수열에 익숙해지도록 하기 위한 것입니다
이것은 등차수열입니다
이 수열들은 대체로 찾기 쉽습니다
왜냐하면 각 항이
이전 항보다 일정한 수만큼
큰 것으로 이루어졌기 때문입니다
이번 학습목표는 어떤 수열들이
등차수열인지 찾는 것입니다
그리고 수열의 표현법을
연습해 봅시다
수열을 정의하는 방법은
일반항의 함수를 이용하여 정의하는 방법과
순환적으로 정의하는 방법이 있습니다
우선, 주어진 등차수열은
각 항이 이전 항보다 일정한 수만큼 큽니다
이 중에 등차수열은 어떤 것일까요?
첫 수열을 보면
-5에서 -3으로가려면 2를 더해야되고
-3에서 -1로 가려면 2를 더해야하며

Portuguese: 
O que eu quero fazer neste 
vídeo é nos familiarizar
com uma classe muito
comum de progressões.
as progressões aritméticas.
E elas são geralmente
bem fáceis de identificar.
São progressões onde cada
termo é um número fixo, maior
do que o termo anterior.
Meu objetivo aqui é determinar
quais dessas progressões,
são progressões aritméticas.
E depois, para que
tenhamos alguma prática
com a notação de progressões,
eu quero definí-las
tanto como funções explícitas
do termo que estamos procurando,
do índice que estamos olhando,
ou como definições recursivas.
Primeiro, dado que uma
progressão aritmética
é uma progressão em que o termo seguinte
é uma quantidade fixa maior
do que o termo anterior, quais dessas
são progressões aritméticas?
Vamos olhar esta primeira, aqui em cima.
Para ir de menos cinco para menos três, 
tivemos que adicionar dois.
Depois, para ir de menos três para
menos um, tivemos que adicionar dois.

English: 
What I want to do in this
video is familiarize ourselves
with a very common
class of sequences.
And this is
arithmetic sequences.
And they are usually
pretty easy to spot.
They are sequences where each
term is a fixed number larger
than the term before it.
So my goal here is to figure
out which of these sequences
are arithmetic sequences.
And then just so that
we have some practice
with some of the
sequence notation,
I want to define them
either as explicit functions
of the term you're looking for,
the index you're looking at,
or as recursive definitions.
So first, given that
an arithmetic sequence
is one where each successive
term is a fixed amount larger
than the previous one, which of
these are arithmetic sequences?
Well let's look at this
first one right over here.
To go from negative 5 to
negative 3, we had to add 2.
Then to go from negative 3 to
negative 1, you have to add 2.

Bulgarian: 
 
Задачата на това видео е да се запознаем
с един много често срещан клас редици.
А именно аритметичните прогресии.
Обикновено те са много лесни за забелязване.
Това са редици, при които всеки член е по-голям
от члена преди него с едно постоянно число .
Целта ми е да установя кои от тези редици
са аритметични прогресии.
И след това, за да придобием известен опит
с някои от означенията за редици,
искам да ги определим или като функции,
зададени явно за члена, който търсим,
или като рекурентни определения.
Първо, дадено е, че за една аритметична прогресия
всеки член е по-голям от предишния с фиксирана величина ,
тогава кои от тези редици са аритметични прогресии?
Нека разгледаме тази първата ето тук.
За да отидем от минус 5 до минус 3 трябва да прибавим 2.
След това, за да отидем от минус 3 до минус 1 трябва да прибавим 2.

Serbian: 
...
Оно што желим да урадим у овом снимку је да се боље упознамо
са веома уобичајеном врстом низова,
а то су аритметички низови.
И они су обично, веома лаки за уочавање.
То су низови у којима је сваки члан за непроменљив број већи
од претходног члана.
Дакле, мој задатак овде, је да пронађем који од ових низова
су аритметички низови.
И затим,само да би мало вежбали
неке записе низова,
желим да их дефинишем или као експлицитне функције
чланова које тражите, преко индекса који тражите,
или изражено преко претходног члана.
Дакле, прво, пошто знамо да је аритметички низ онај,
код којег је сваки следећи члан за непроменљиву вредност већи
од претходног, који од ових је аритметички низ?
Па, погледајмо овај први овде.
Да би ишли од негативних 5 до негативних 3, морамо да додамо 2.
Затим, да би ишли од негативних 3 до негативних 1, морате да додате 2.

Czech: 
Pak, abychom z -1 dostali
na 1, musíme přidat 2.
Takže toto je zcela zřejmě
aritmetická posloupnost.
Pokaždé přidáváme stejné množství.
A je tu několik způsobů, jak
můžeme vyjádřit posloupnost.
Můžeme říci, že to je ,a' s indexem ,n'.
A nemusíte pokaždé používat ,k'.
Tentokrát jako index použiji ,n'.
Pro ,n' od jedné do nekonečna s…
A můžeme to vyjádřit dvěma způsoby.
Můžeme to vyjádřit explicitně,
nebo to můžeme vyjádřit rekurzivně.
Takže kdybychom to
chtěli vyjádřit explicitně,
mohli bychom napsat ,a' s indexem ,n'
se rovná čemukoliv, co je první člen.
V tomto případě, naším
prvním členem je -5.
Je to rovno -5 plus…
(n minus 1)krát tam přidáme 2.
Takže pro získání druhého
členu přičteme 2 jednou.
Pro získání třetího členu
přičteme 2 dvakrát.
Pro získání čtvrtého členu jsme
k prvnímu členu přičetli 2 třikrát.
Takže budeme přičítat 2.
Budeme přičítat +2 o jedno
méně krát než kolik je index,
který vidíme, tedy (n minus 1)krát.

English: 
Then to go from negative
1 to 1, you had to add 2.
So this is clearly an
arithmetic sequence.
We're adding the same
amount every time.
And there are several ways that
we could define the sequence.
We could say it's a sub n.
And you don't always
have to use k.
This time I'll use n
to denote our index.
From n equals 1 to infinity
with-- and there's two ways
we could define it.
We could either
define it explicitly,
or we could define
it recursively.
So if we wanted to
define it explicitly,
we could write a sub n is equal
to whatever the first term is.
In this case, our first
term is negative 5.
It's equal to negative
5 plus-- we're
going to add 2 one less
times than the term we're at.
So for the second
term, we add 2 once.
For the third term,
we add 2 twice.
For the fourth term,
from our base term,
we added 2 three times.
So we're going to add 2.
We're going to add positive
2 one less than the index
that we're looking
at-- n minus 1 times.

Portuguese: 
Depois, para ir de menos um para um, 
você teve que adicionar dois.
Então, esta é claramente uma progressão aritmética.
Estamos somando a mesma quantidade
todas as vezes.
E há várias maneiras que
nós poderíamos definir a progressão.
Poderíamos dizer que é: an
E você não precisa sempre usar k.
Dessa vez vou utilizar n para
denotar nosso índice.
Para n igual a um até infinito com
-- e há dois modos
que poderíamos definí-lo.
Poderíamos definir explicitamente,
ou também poderíamos
definir recursivamente.
Então, se quisermos definir
explicitamente,
nós poderíamos escrever: an é igual a
qualquer que seja o primeiro termo.
Neste caso, o primeiro termo 
é menos cinco.
É igual a menos cinco mais --- nós
vamos adicionar dois uma vez a menos
do que o termo em que estamos.
Para o segundo termo,
vamos adicionar dois uma vez.
Para o terceiro termo,
vamos adicionar dois duas vezes.
Para o quarto termo,
a partir do nosso termo base,
vamos adicionar dois três vezes.
Então nós vamos adicionar dois.
Vamos adicionar mais dois, uma vez
a menos do que o índice
que estamos olhando --
n menos uma vez.

Thai: 
แล้วเวลาไปจากลบ 1 ถึง 1 คุณต้องบวก 2
นี่จึงเป็นลำดับเลขคณิตชัดเจน
เรากำลังบวกปริมาณคงที่ทุกครั้ง
และมันมีวิธีนิยามลำดับอย่างนั้นหลายวิธี
เราบอกได้ว่ามันคือ a ห้อย n
และคุณไม่ต้องใช้ k เสมอไป
ครั้งนี้ ผมจะใช้ n แทนเลขเทอมของเรา
จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์ โดย -- มันมีวิธี
นิยามอยู่สองวิธี
เรานิยามมันโดยตรงก็ได้
หรือเรานิยามแบบเรียกซ้ำก็ได้
ถ้าเราอยากนิยามโดยตรง
เราก็เขียน a ห้อย n เท่ากับเทอมแรก
ในกรณีนี้ เทอมแรกของเราคือลบ 5
มันเท่ากับลบ 5 บวก -- เราจะ
บวก 2 น้อยครั้งกว่าเลขเทอมที่เราอยู่
สำหรับเทอมที่ 2, เราจะบวก 2 จำนวน 1 ครั้ง
สำหรับเทอมที่ 3, เราจะบวก 2 จำนวน 2 ครั้ง
สำหรับเทอมที่ 4, จากเทอมฐานของเรา
เราจะบวก 2 จำนวน 3 ครั้ง
เราจะบวก 2
เราจะบวก บวก 2 น้อยครั้งกว่าเลขเทอม
ที่เรากำลังดูอยู่ -- n ลบ 1 คูณ

Hungarian: 
–1-hez, hogy 1 legyen, 2-t kell adnunk.
Így ez nyilván számtani sorozat.
Mindig ugyanazt a számot adtuk 
az előző taghoz.
Több mód is van arra, 
hogyan definiálhatjuk a sorozatot.
Legyen a index n
(nem kell mindig a k indexet használni, 
itt most n-nel jelölöm az indexet)
(nem kell mindig a k indexet használni, 
itt most n-nel jelölöm az indexet)
n fut 1-től végtelenig – és itt 
két lehetőségünk is van,
ahogy definiálhatjuk:
Megadhatjuk explicit formulával,
vagy rekurzívan.
Ha explicit definíciót akarunk,
Azt kell írnunk: a index n egyenlő
valamivel, ami az első tag.
Ebben az esetben az első tag –5.
Tehát –5-höz 
egyel kevesebbszer adunk 2-t,
mint ahányadik tagnál tartunk.
A 2. tagnál egyszer adunk hozzá 2-t.
A 3. tagnál kétszer,
A negyedik tagnál az első taghoz
háromszor kell 2-t adni.
Így tehát azt írjuk: plusz 2 szorozva
egyel kevesebb, mint az index értékével,
tehát (n–1)-el.

Bulgarian: 
След това, за да отидем от минус 1 до 1 трябва да прибавим 2.
Така че това явно е аритметична прогресия.
Прибавяме една и съща величина всеки път.
Има няколко начина, по които можем да определим редицата.
Можем да кажем, че тя е с индекс n.
Няма нужда винаги да използваме k.
Този път ще използвам n, за да отбележа индекса.
От n равно на 1 до безкрайност --
има два начина да я определим.
Можем да я определим или като я зададем явно,
или като я зададем рекурентно.
И така, за да я зададем явно,
записваме а с индекс n е равно на това, което е първият член.
В този случай първият член е минус 5.
Равно е на минус 5, плюс --
ще прибавим 2 с един път по-малко пъти от номера на члена.
За втория член прибавяме 2 веднъж.
За третия член прибавяме 2 два пъти.
За четвъртия член към първия член прибавяме 2 три пъти.
Така че ще прибавим 2.
Прибавяме плюс 2 с един път по-малко пъти от индекса на члена,
който разглеждаме -- по n минус 1.

German: 
Von -1 bis 1 musst du auch 2 hinzuaddieren.
Damit ist dies in jedem Fall eine arithmetische Folge.
Wir haben jedes Mal den gleichen Betrag hinzuaddiert.
Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten diese Folge zu definieren.
Wir könnten sagen, a Index n.
Du musst nicht immer k benutzen.
Hier nenne ich unseren Index n.
Von n gleich 1 bis unendlich mit--
Es gibt hier zwei Definitionsmöglichkeiten.
Wir können die Folge entweder explizit definieren, oder rekursiv.
Wir können die Folge entweder explizit definieren, oder rekursiv.
Wenn wir sie explizit definieren wollen,
dann schreiben wir a Index n gleich dem ersten Term, welcher auch immer das ist.
In diesem Fall ist unser erster Term -5.
Er ist -5 plus--
wir addieren 2 jeweils ein Mal weniger hinzu, als es dem aktuellen Term entspricht.
Im zweiten Term addieren wir zum Beispiel 2 einmal hinzu.
Im dritten Term, addieren wir 2 zweimal.
Im vierten Terms addieren wir, bezogen auf den Ausgangsterm,
2 drei Mal.
Also addieren wir hier 2.
Wir addieren 2 einmal weniger als es dem Index entspricht,
daher betrachten wir hier n minus 1.

Korean: 
-1에서 1로 가려면 2를 더해야됩니다
그러면 이 수열이 분명히 등차수열인 것을 
알 수 있습니다
매번 같은 값을 더해주기 때문입니다
수열을 정의할 수 있는 
방법이 여러가지 있습니다
a 의 n번째 항
(항의 순서를 표기할 때 꼭 k를 안 써도 되기에
이번에는 n을 사용하겠습니다)
n 이 1 에서 무한대로 갈 때
두 가지 방법으로 이 수열을 정의할 수 있습니다
함수로 표기할 수 있고
순환적으로도 정의할 수도 있습니다
일단 함수로 정의하고 싶다면
an = 첫째항으로 쓰고
이 경우에는 첫째항이 -5 이므로
-5 더하기
항의 순서보다 하나 작은 수만큼 
2 를 더해 갑니다
그래서 둘째항에 2를 한 번만 더해주고
셋쨰항에는 2를 두번 더해줍니다
넷째항에는
2를 세 번 더해줍니다
이렇게 2를 더해갑니다
항의 순서보다 하나 작은 수만큼
2를 더해줘야 합니다
다시말해서 (n-1) 곱하기 2만큼 더해줘야 합니다

Serbian: 
Онда, да би ишли од негативних 1 до 1, морате да додате 2.
Значи, ово је очигледно, аритметички низ.
Додајемо исту вредност сваки пут.
И постоји неколико начина на које би могли да дефинишемо низ.
Могли би да кажемо да је то а индекс n.
И не морате увек да користите к.
Овог пута ћу употребити n да означим наш индекс.
Од n једнако 1 до бесконачности са...и постоје два начина
да дефинишемо то.
Можемо да га дефинишемо или експлицитно
или би могли да дефинишемо преко претходног члана.
Дакле, ако би хтели да то дефинишемо експлицитно,
могли би да напишемо а индекс n је једнако првом члану, ма који он био...
У овом случају, наш први члан је негативних 5.
То је једнако негативних 5 +...
додаваћемо 2 за 1 мање пута него што је члан на којем смо.
Дакле, за други члан, додајемо 2 једном.
За трећи члан, додајемо 2 двапут.
За четврти члан, на наш почетни члан,
смо додали 2 три пута.
Значи, додаваћемо 2.
Додаћемо позитивних 2 за 1 мање пута него што је индекс
који посматрамо...n - 1 пута.

Bulgarian: 
Това е явно зададеното определение на тази аритметична прогресия.
Ако искаме да я представим чрез рекурентна формула,
тогава казвам, че а с индекс 1 е равно на минус 5.
И след това всеки следващ член, за а с индекс 2 и по-големите от него --
казваме, че а с индекс n е равно на а с индекс n минус 1 плюс 3.
Всеки член е равен на предишния -- о, тук не е 3, а е плюс 2.
Това е за n по-голямо от или равно на 2.
И така, и двата начина са напълно
правилни начини за определяне на аритметичната прогресия,
която имаме тук.
Можем да я зададем или явно, или рекурентно.
Сега нека разгледаме тази редица.
Тя аритметична прогресия ли е?
Тръгваме от 100 и прибавяме 7.
107 до 114, прибавяме 7.
114 до 121, прибавяме 7.

Korean: 
이것은 바로 이 등차수열의 함수적 정의입니다
이번엔 순환적으로 정의해 봅시다
첫재항은 -5 입니다
두번째 항부터는 계속되는 항들에서
n번 째항이 n-1번 째항 더하기 3과 같습니다
오타났네요, 3 이아니라 2입니다
더하기 2
이것은 n이 2와 크거나 같을때만 성립하게됩니다
이 두 방법은
여기 있는 식처럼
등차수열을 정의할 때 적합합니다
함수적으로도 표현할 수 있고
순환적으로 표현할 수 있습니다
자 이제 이 수열을 보도록 합시다
이 수열은 등차수열 일까요?
일단 100부터 시작했고
7을 더해
107에서 114, 계속 7을 더해주고 있습니다
114에서 121, 다시 7을 더해주었습니다

Hungarian: 
Ez tehát itt ennek a számtani sorozatnak
egy explicit definíciója.
Ha rekurzívan szeretném fölírni,
azt kellene írnom: a index 1 egyenlő –5-tel,
és aztán minden rákövetkező tag, 
a index 2-től
a index n egyenlő a index (n-1) plusz 3.
Minden tag egyenlő az előtte lévő tag, 
– oh, nem 3 –
plusz 2.
Így ez igaz, ha n nagyobb, 
vagy ugyanannyi, mint 2.
Bármelyik a kettő közül teljesen 
korrekt formája
annak a számtani sorozat definiálásának,
amit itt látunk.
definiálhatjuk explicit formában is,
vagy rekurzívan is.
Nézzük most ezt a második sorozatot:
Ez számtani?
100-tól indulunk.
Hozzáadunk 7-et.
107-hez, hogy 114 legyen kell adni 7-et.
114-hez, hogy 121 legyen kell adni 7-et.

Portuguese: 
Então, isso é uma definição explícita
desta progressão aritmética.
Se eu quisesse escrever recursivamente,
poderia dizer que a1 é
igual a menos cinco.
E então, cada termo sucessivo,
para a2 e maiores --
eu poderia dizer an é igual a
an menos um mais três.
Cada termo é igual ao termo anterior 
mais -- não é três--
mais dois.
Então isso é para n maior
ou igual a dois.
Então, qualquer um desses é um modo
completamente legítimo de definir
a progressão aritmética,
que temos aqui.
Nós podemos definir explicitamente,
ou podemos definir recursivamente.
Agora, vamos olhar para esta segunda
progressão.
Ela é aritmética?
Bom, estamos começando em 100.
Adicionamos sete.
De 107 para 114, adicionamos sete.
De 114 para 121, adicionamos sete.

German: 
Dies ist eine explizite Definition dieser arithmetischen Folge.
Dies ist eine explizite Definition dieser arithmetischen Folge.
Wenn ich diese jetzt rekursiv formulieren möchte,
dann könnte ich sagen, a Index 1 ist gleich -5.
Und dann für jeden der nachfolgenden Terme, für a Index 2 und größer--
könnte ich a Index n gleich a Index n minus 1 plus 3 schreiben.
Jeder Term ist gleich dem vorangegangenen Term--
oh je, nicht 3 sondern 2.
Das gilt für n größer oder gleich 2.
Beide Möglichkeiten sind zulässige Wege, um
arithmetische Folgen zu definieren.
 
Wir können diese entweder explizit definieren oder rekursiv.
Wir können diese entweder explizit definieren oder rekursiv.
Lass uns nun die nächste Folge anschauen.
Ist das eine arithmetische Folge?
Wir fangen mit 100 an.
Dann addieren wir 7.
Von 107 bis 114 ist auch 7.
Von 114 bis 121 addieren wir auch 7.

Thai: 
นี่คือนิยามโดยตรง
ของลำดับเลขคณิตนี้
ถ้าผมอยากเขียนมันแบบเรียกซ้ำ
ผมก็บอกได้ว่า a ห้อย 1 เท่ากับลบ 5
แล้วเทอมต่อไปแต่ละเทอม 
สำหรับ a ห้อย 2 ขึ้นไป --
ผมก็บอกได้ว่า a ห้อย n เท่ากับ a ห้อย n
ลบ 1 บวก 3
แต่ละเทอมเท่ากับเทอมก่อนหน้า -- โอ้ ไม่ใช่ 3 --
บวก 2
นี่ก็คือสำหรับ n มากกว่าเท่ากับ 2
ไม่มีอันไหนเป็นวิธี
นิยามลำดับเลขคณิตที่ถูกต้องกว่า
ที่เรามีตรงนี้
เรานิยามมันโดยตรงก็ได้
หรือเราจะนิยามมันแบบเรียกซ้ำก็ได้
ทีนี้ ลองดูลำดับนี้กัน
อันนี้เป็นเลขคณิตไหม?
เรากลังไปจาก 100
เราบวก 7
107 ไป 114 เราก็บวก 7
114 ไป 121 เราก็บวก 7

Serbian: 
Значи, ово је експлицитна дефиниција
овог аритметичког низа.
Када бих хтео да га напишем преко претходног члана,
могао бих да кажем да је а индекс 1 једнак негативних 5.
Онда је сваки следећи члан, за а индекс 2 и већи...
Дакле, могао бих да кажем да је а индекс n једнако а индекс n-1, + 3.
Сваки члан је једнак претходном члану...ох, није 3...
+ 2 .
Значи, ово је за n веће или једнако 2.
Дакле, било који од ових је потпуно
легитиман начин за дефинисање аритметичког низа
који имамо овде.
Можемо га или дефинисати експлицитно,
или можемо преко претходног члана.
Сада, хајде да погледамо овај низ.
Да ли је овај аритметички?
Па, идемо од 100.
Додамо 7.
107 до 114, додајемо 7.
114 до 121, додајемо 7.

Czech: 
Takže toto je explicitní vyjádření
této aritmetické posloupnosti.
Kdybych to chtěl zapsat rekurzivně,
mohl bych napsat
,a' s indexem ,1' se rovná -5.
A potom každý následující člen,
od ,a' s indexem 2 a výše…
Takže bych mohl napsat, že ,a' s indexem
,n' se rovná ,a' s indexem ,(n minus 1)' plus 3.
Každý člen se rovná hodnotě
předchozího členu plus 2.
Takže toto je pro ,n' větší nebo rovno 2.
Takže každý z těchto způsobů
vyjádření je naprosto legitimní
pro zápis aritmetické posloupnosti,
jakou tady máme.
Můžeme to vyjádřit explicitně,
nebo rekurzivně.
A teď se podívejme na tuto posloupnost.
Je tato posloupnost aritmetická?
Takže, vycházíme z čísla 100.
Přičteme 7.
Ke 107 pro získání 114 přičteme 7.
Ke 114 pro získání 121 přičteme 7.

English: 
So this is an
explicit definition
of this arithmetic sequence.
If I wanted to write
it recursively,
I could say a sub 1 is
equal to negative 5.
And then each successive term,
for a sub 2 and greater--
so I could say a sub n is equal
to a sub n minus 1 plus 3.
Each term is equal to the
previous term-- oh, not 3--
plus 2.
So this is for n is
greater than or equal to 2.
So either of these
are completely
legitimate ways of defining
the arithmetic sequence
that we have here.
We can either define
it explicitly,
or we could define
it recursively.
Now let's look at this sequence.
Is this one arithmetic?
Well, we're going from 100.
We add 7.
107 to 114, we're adding 7.
114 to 121, we are adding 7.

Portuguese: 
Então é de fato uma progressão aritmética.
Para deixar claro,
a primeira é aritmética
e a segunda também é aritmética.
E nós podemos escrever que essa
é a progressão an.
n indo de um até infinito de
-- e nós poderíamos
dizer an, se quisermos definir explicitamente,
é igual a 100 mais, estamos
adicionando sete toda vez.
E então cada termo -- para o segundo 
termo adicionamos sete uma vez.
Para o terceiro termo, adicionamos
sete duas vezes.
Então para o n-ésimo termo, vamos
adicionar sete, n menos uma vez.
Esta é uma definição explícita,
mas poderíamos também fazer recursivamente.
Apenas para ficar claro, esta é uma 
definição onde escrevemos
deste modo, ou poderíamos escrever an,
com n igual a um até o infinito.
E em ambos os modos eu deveria
escrever "tal que".
E se eu quiser definir recursivamente,
poderia dizer a1 é igual a 100.

Bulgarian: 
Така че това наистина е аритметична прогресия.
Само за да съм ясен, тази е такава
и тази ето тук.
Можем да напишем, че това е редицата а с индекс n,
като n е от 1 до безкрайност,
за редицата а с индекс n, за да я зададем явно,
записваме: е равно на 100 плюс 7 всеки път.
И след това всеки член -- за втория член прибавяме 7 един път.
Третият член -- прибавяме 7 два пъти.
За n-тия член ще прибавим 7 n минус 1 пъти.
Това е определението за явно задаване на редицата,
но можем също така да я зададем рекурентно.
Само да изясня, това е едното определение,
при което я пишем по този начин,
или можем да я напишем като
а с индекс n, при n равно на 1 до безкрайност.
Като и в двата случая би трябвало да напиша "при".
За да я определя, като я задам рекурентно,
казвам, че а с индекс 1 е равно на 100.

German: 
Damit ist dies auch eine arithmetische Folge.
Nur um das noch einmal deutlich zu machen, diese hier ist eine
und diese hier drüben.
Wir können schreiben, dass dies die Folge a Index n ist,
mit n von 1 bis unendlich-- und wir können
a Index n schreiben, wenn wir sie explizit definieren wollen,
gleich 100 und wir addieren immer 7.
Beim zweiten Term addieren wir 7 einmal.
Beim dritten Term addieren wir 7 zweimal.
Und für den n'ten Term, addieren wir 7 
n minus 1 Mal.
Das ist die explizite Definition,
aber wir könnten sie auch rekursiv formulieren.
Wir könnten auch sagen, --
nur um das deutlich zu machen, das ist die eine Definition,
bei der wir das so schreiben, wir könnten auch a Index n
mit n gleich 1 bis unendlich schreiben.
Und in jedem Fall sollte ich 'mit' dazuschreiben --
Und wenn ich die Folge rekursiv definiere,
dann könnte ich sagen a Index 1 ist gleich 100.

Thai: 
อันนี้จึงเป็นลำดับเลขคณิตจริง
เพื่อบอกให้ชัด นี่คือ 1
และนี่คือ 1 ตรงนี้
แล้วเราเขียนว่า นี่คือลำดับ a ห้อย n
n ไปจาก 1 ถึงอนันต์ของ -- และเรา
บอกว่่า a ห้อย n ถ้าเราอยากนิยามมันโดยตรง
เท่ากับ 100 บวก เราจะบวก 7 ทุกครั้ง
แล้วแต่ละเทอม -- 
เทอมที่ 2 เราจะบวก 7 จำนวน 1 ครั้ง
เทอมที่ 3 -- เราบวก 7 จำนวน 2 ครั้ง
สำหรับเทอมที่ n เราจะบวก 7 
จำนวน n ลบ 1 ครั้ง
นี่ก็คือนิยามโดยตรง
แต่เรายังทำแบบเรียกซ้ำได้
 
เพื่อบอกให้ชัด นี่คือนิยามหนึ่งโดยเราเขียนมัน
อย่างนี้ หรือเราเขียนมันว่า a ห้อย n
จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
และในกรณีนั้น ผมควรเขียน
และถ้าผมอยากนิยามแบบเรียกซ้ำ
ผมก็บอกได้ว่า a ห้อย 1 เท่ากับ 100

Czech: 
Takže toto opravdu je
aritmetická posloupnost.
Takže jen aby to bylo jasné:
tady máme jednu
a tady máme další.
A můžeme napsat, že toto je
posloupnost ,a' s indexem ,n',
kde ,n' jde od jedné do nekonečna…
A pokud to chceme vyjádřit
explicitně, můžeme říci,
že ,a' s indexem ,n' se rovná 100,
kde k tomu pokaždé přidáme 7.
A každý člen potom… Pro získání
druhého členu přidáme 7 jednou.
Pro získání třetího členu
přidáme 7 dvakrát.
Takže pro získání n-tého členu
budeme 7 muset přidat (n minus 1)krát.
Takže toto je explicitní
vyjádření této posloupnosti,
ale můžeme ji také vyjádřit rekurzivně.
Můžeme také říci…
Takže jen aby to bylo jasné:
tohle je jedno vyjádření,
kde to píšeme takto, nebo můžeme
napsat ,a' s indexem ,n',
pro ,n' jdoucí od 1 do nekonečna.
A v každém případě bych
to tady měl dopsat.
A pokud to chci vyjádřit rekurzivně,
můžu napsat ,a'
s indexem ,1' se rovná 100.

English: 
So this is indeed an
arithmetic sequence.
So just to be
clear, this is one,
and this is one right over here.
And we could write that this
is the sequence a sub n,
n going from 1 to infinity
of-- and we could just
say a sub n, if we want
to define it explicitly,
is equal to 100 plus
we're adding 7 every time.
And then each term-- the
second term we added 7 once.
Third term-- we add 7 twice.
So for the nth term, we're
going to add 7 n minus 1 times.
So this is an explicit
definition of it,
but we could also
do it recursively.
So just to be clear, this is
one definition where we write it
like this, or we
could write a sub n,
from n equals 1 to infinity.
And in either case
I should write with.
And if I want to
define it recursively,
I could say a sub
1 is equal to 100.

Hungarian: 
Így ez valóban egy számtani sorozat.
Tehát tisztáztuk: az első számtani,
és ez is az.
Írhatjuk tehát: a index n sorozat, ahol
n fut 1-től végtelenig, és ha 
expliciten akarjuk megadni,
a index n egyenlő
100 plusz mindig 7-et adunk hozzá.
Tehát minden tagra: a 2. tagnál egyszer,
a 3. tagnál 2-szer,
és így tovább, az n-edik tagnál
(n-1)-szer adunk hozzá 7-et.
Így ez egy explicit definíció,
de megadhatjuk rekurzívan is.
Csak, hogy tisztázzuk: 
ez itt egy kész definíció,
vagy írhatjuk azt is: a index n,
ahol n fut 1-től végtelenig,
(ehhez az esethez is hozzáírjuk)
Ha rekurzívan akarjuk megadni,
akkor azt írjuk: a index 1 egyenlő 100.

Serbian: 
Значи, ово јесте заиста, аритметички низ.
Дакле, само да будемо прецизни, овај
и овај овде.
И могли би да напишемо да је ово низ а индекс n,
n иде од 1 до бесконачно, од...могли би да кажемо
само а индекс n, ако хоћемо да га дефинишемо експлицитно,
...је једнако 100 +, додајемо 7 сваки пут.
И онда, сваки члан... за други члан смо додали 7 једном.
Трећи члан...додали смо 7 двапут.
Значи, за n-ти члан, додаћемо 7, n-1 пут.
Дакле, ово је експлицитна дефиниција,
али можемо такође, да урадимо то и преко претходног члана.
...
Дакле, само да буде јасно, ово је дефиниција где пишемо ово
овако, или можемо да напишемо а индекс n,
за n једнако од 1 до бесконачно.
И у сваком случају, би требало да напишем то.
И ако хоћу да дефинишем преко претходног члана,
могао бих да кажем да је а индекс 1 једнако 100.

Korean: 
따라서 이것 또한 등차수열입니다
다시말하면, 
이 수열은 등차수열이고
이것 역시 등차수열입니다
그리고 an 을 이용하여 나타내면
n은 1에서 무한대까지 가고
그리고 이 수열을 함수적으로 정의해준다면
100에다가 7을 매번 더해주면 됩니다
그리고 각 항은
두번째항에 7을 한번 더하고
셋째항은 7을 두번 더해주고
그러므로, n번째항은 7을 n-1번 더한 것입니다
그래서 이 식은 함수적 정의입니다
그리고 순환적으로도 나타낼수 있습니다
수열을 정의하는 또 다른 방법입니다
an 은
n은 1에서 무한대를 갈 때
두 식을 써주어야 합니다
만약 순환적으로 정의한다면
첫째항은 100 이고

Thai: 
แล้ว สำหรับอะไรก็ตามที่มากกว่า 1
สำหรับเลขเทอมที่มากกว่า 1
a ห้อย n จะเท่ากับเทอมก่อนหน้าบวก 7
แล้วเราก็เสร็จแล้ว
นี่คือวิธีนิยามอีกวิธีหนึ่ง
โดยทั่วไป ถ้าคุณอยากได้วิธีหา
หรือนิยามลำดับเลขคณิตโดยทั่วไป
คุณก็บอกว่าอนุกรมเลขคณิต
จะอยู่ในรูป a ห้อย n -- ถ้าเราพูด
ถึงอันที่ไปถึงอนันต์ -- 
จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
ถ้าคุณอยากนิยามมันโดยตรง
คุณก็บอกได้ว่า a ห้อย n เท่ากับค่าคงที่ ซึ่ง
ก็คือเทอมแรกนี้
มันจะเป็นค่าคงที่บวกจำนวนหนึ่ง
ที่คุณบวกเพิ่ม -- หรือจะเป็น
จำนวนลบ หรือการลบ
ก็ได้ -- คูณ n ลบ 1
นี่คือวิธีหนึ่งที่ใช้นิยามลำดับเลขคณิต
ในกรณีนี้ d คือ 2
ในกรณีนี้ d คือ 7
นั่นคือปริมาณที่คุณบวกแต่ละครั้ง

Czech: 
A pak, pro všechno větší než 1,
pro každý index větší než 1,
,a' s indexem ,n' se rovná
předchozímu členu plus 7.
A tak je to hotové.
Toto je jiný způsob vyjádření.
Takže obecně,
pokud byste chtěli obecným způsobem poznat
nebo vyjádřit aritmetickou posloupnost,
můžete říci, že aritmetická posloupnost
bude zapsaná ve tvaru ,a' s indexem ,n',
pokud mluvíme o nekonečné posloupnosti,
pro ,n' od jedné do nekonečna.
Pokud to chcete vyjádřit explicitně,
můžete napsat, že ,a' s indexem ,n'
se rovná nějaké konstantě,
která se v podstatě rovná prvnímu členu.
Bude to nějaká konstanta plus
nějaké číslo, o které zvyšujete,
nebo samozřejmě můžete i snižovat,
může to být záporné číslo,
vynásobené (n minus 1)krát.
Takže toto je jeden způsob, jak
vyjádřit aritmetickou posloupnost.
V tomto případě, ,d' se rovnalo 2.
A v tomto případě se ,d' rovná 7.
To je číslo, o které pokaždé zvyšujete.

English: 
And then, for anything larger
than 1, for any index above 1,
a sub n is equal to the
previous term plus 7.
And so we're done.
This is another
way of defining it.
So in general, if you
wanted a generalizable way
to spot or define an
arithmetic sequence,
you could say an
arithmetic sequence
is going to be of the form
a sub n-- if we're talking
about an infinite one--
from n equals 1 to infinity.
If you want to
define it explicitly,
you could say a sub n is
equal to some constant, which
would essentially
the first term.
It would be some
constant plus some number
that your incrementing--
or I guess
this could be a negative
number, or decrementing
by-- times n minus 1.
So this is one way to define
an arithmetic sequence.
In this case, d was 2.
In this case, d is 7.
That's how much you're
adding by each time.

Portuguese: 
E então, para qualquer coisa maior que um,
para qualquer índice acima de um,
an é igual ao termo anterior mais sete.
Então, nós acabamos.
Este é um outro modo de definir.
Então em geral, se você quiser
um modo generalizável
para identificar ou definir 
uma progressão aritmética,
você pode dizer que
uma progressão aritmética
vai estar na forma an --
se estivermos falando de
uma progressão infinita--
de n igual a um até infinito.
Se você quiser definir explicitamente,
você pode dizer que an é igual 
a alguma constante, que
vai ser essencialmente
o primeiro termo.
Vai ser uma constante somada
a algum número
que você está incrementando --
ou eu acho
que pode ser um número negativo,
ou decrementando,
por -- vezes n menos um.
Então esta é uma forma de definir
uma progressão aritmética.
Neste primeiro caso, d é dois.
Neste segundo caso, d é sete.
Que é o quanto você está 
adicionando cada vez.

Serbian: 
И онда, за све веће од 1, за било који индекс већи од 1,
а индекс n је једнако претходном члану + 7.
И, урадили смо.
Ово је други начин да га дефинишемо.
Дакле, генерално, ако сте хтели уопштени начин
да уочите или дефинишете аритметички низ,
могли би да кажете да ће аритметички низ
бити у облику а индекс n...ако говоримо
о бесконачном низу...за n једнако од 1 до бесконачности.
Ако хоћете да га дефинишете екслицитно,
могли би да кажете да је а индекс n једнако некој константи, што
је, у суштини, први члан.
То би било нека константа + неки број
за који повећавате...или, претпостављам
да би то могао бити и негативан број, или за који
смањујете...пута n-1.
Дакле, ово је један начин да дефинишете аритметички низ.
У овом случају, d је било 2.
У овом случају, d је 7.
То је онолико, колико додајете сваки пут.

Bulgarian: 
И след това за всеки по-голям от 1 член, за всеки индекс над 1,
а с индекс n е равно на предишният член плюс 7.
И по този начин сме готови.
Това е друг начин да я определим.
Ако искаш един обобщаващ начин
как да забелязваш или да определяш една аритметична прогресия,
би могъл да кажеш, че една аритметична прогресия
ще бъде от вида а с индекс n,
ако говорим за безкрайна редица - от n равно на 1 до безкрайност.
Ако искаш да я определиш чрез явно задаване,
можеш да кажеш, че а с индекс n е равно на някаква константа, която
е бъде първият член,
ще има някаква константа плюс някакво число, което нараства,
-- но това може да бъде и отрицателно число -- или намалява --
по n минус 1.
И така, това е единият от начините за определяне на аритметична прогресия.
В този случай d беше 2.
В този случай d е 7.
Това е колко прибавяш всеки път.

Hungarian: 
Bármelyik további tagra, ahol n nagyobb, mint 1,
a index n egyenlő az előző tag + 7
Így készen is vagyunk.
Ez a megadás egy másik módja.
ha általánosan akarunk megadni,
vagy definiálni egy számtani sorozatot,
az lesz a formája, hogy
a index n – ha egy végtelen 
sorozatról beszélünk –,
ahol n fut 1-től végtelenig,
Ha explicit módon akarjuk megadni,
akkor a index n egyenlő 
valamilyen konstans,
(lényegében ez az első tag),
tehát valamilyen konstans plusz 
valamilyen szám
– amivel növeljük, vagy
ez lehet negatív is, akkor csökkentjük –
szorozva (n–1)-el.
ez tehát a számtani sorozat 
egyik megadási módja.
Ebben az esetben d=2 volt,
ebben d=7,
ezeket adtuk hozzá minden esetben.

Korean: 
두번째항부터는
an 은 이전 항에 7 을 더한 것과 같다
다 됐습니다
이것이 수열을 정의하는 또 다른 방법입니다
일반적으로 등차수열을
찾거나 정의하려고 한다면
등차수열을 an 의 형태를 가지는 식으로
나타낼 수 있습니다
물론 n 이 1에서 무한대로 갈 때
함수로 정의하고 하려고 한다면
an 은 첫번째 항에 해당되는
상수k 더하기
상수 k 더하기 
어떤 숫자 d 일 것입니다
다시 말해서
이 어떤 숫자는 양수가 될 수 도 있고 
음수가 될 수 있으며
이 숫자에 n-1 을 곱하여
첫번째 항에 더해준 것입니다
등차수열을 정의해주는 하나의 방법입니다
이 경우에는 d는 2였고
이 경우에는 d 는 7 이었습니다
매번 이만큼 더해주면 되는 것입니다

German: 
Für jeden Index größer 1
ist a Index n gleich dem vorangegangenen Term plus 7.
Und damit sind wir fertig.
Das ist eine andere Möglichkeit um diese Folge zu definieren.
Also grundsätzlich, wenn du einen allgemeinen Weg suchst, um eine
arithmetische Folge zu erkennen oder zu definieren,
dann kannst du sagen, dass eine arithmetische Folge die Form
a Index n hat--
wenn wir über eine unendliche sprechen-- von n gleich 1 bis unendlich.
Wenn du die Folge explizit definierst,
dann kannst du sagen, a Index n ist gleich einer Konstante als ersten Term.
dann kannst du sagen, a Index n ist gleich einer Konstante als ersten Term.
Die Konstante plus einer bestimmten Zahl,
um die du den Term erhöhst--
oder, es könnte auch eine negative Zahl sein, verringerst--
mal n minus 1.
Das ist ein Weg um arithmetische Folgen zu definieren.
In diesem Fall war d gleich 2.
In diesem Fall war d gleich 7.
Das ist der Betrag, den du jedes Mal hinzuaddierst.

German: 
Und in diesem Fall ist k gleich -5, und in diesem Fall ist k gleich 100.
Wenn du die arithmetische Folge rekursiv allgemein definieren möchtest,
Wenn du die arithmetische Folge rekursiv allgemein definieren möchtest,
dann kannst du sagen, a Index 1 ist gleich k,
und a Index n ist gleich a Index n minus 1.
Ein gegebener Term ist gleich einem vorangegangenen
plus d für n größer als oder gleich 2.
Das hier ist der explizite Weg.
Das ist der rekursive Weg.
Und wir schreiben 'mit' hierher.
Nun, die letzte Frage:
Ist dies hier eine arithmetische Folge?
Lass uns nachschauen.
Wir beginnen mit 1.
Dann addieren wir 2.
Dann addieren wir 3.
Das ist schon mal ein guter Hinweis darauf, dass es sich nicht
um eine arithmetische Folge handelt.
Jetzt addieren wir 4.
Wir addieren jedes Mal einen anderen Betrag.
Damit ist diese zunächst einmal nicht arithmetisch.
Da ist keine arithmetische Folge.
Aber wie können wir diese definieren,
da wir versuchen unsere Folgen zu definieren?

English: 
And in this case, k is negative
5, and in this case, k is 100.
The other way, if you
wanted to the right
the recursive way of defining an
arithmetic sequence generally,
you could say a sub
1 is equal to k,
and then a sub n is
equal to a sub n minus 1.
A given term is equal
to the previous term
plus d for n greater
than or equal to 2.
So once again, this is explicit.
This is the recursive
way of defining it.
And we would just
write with there.
Now the last question I have
is is this one right over here
an arithmetic sequence?
Well, let's check it out.
We start at 1.
Then we add 2.
Then we add 3.
So this is an immediate
giveaway that this is not
an arithmetic sequence.
Now we are adding 4.
We're adding a different
amount every time.
So this, first of all,
this is not arithmetic.
This is not an
arithmetic sequence.
But how could we define
this, since we're
trying to define our sequences?

Portuguese: 
E neste primeiro caso, k é menos 5,
e no segundo caso, k é 100.
O outro modo, se você quiser escrever
de forma recursiva a definição da 
progressão aritmética de forma geral,
você pode dizer a1 é igual a k,
e então an é igual a an menos um.
Um dado termo é igual ao termo anterior,
mais d, para n maior ou igual a dois.
Então, mais uma vez, esta é explícita.
E esta é a forma recursiva de definir.
E nós escrevemos "tal que" aqui.
Agora a última questão que
tenho é: esta última aqui
é uma sequência aritmética?
Bom, vamos checar.
Nós começamos em um.
Então adicionamos dois.
Depois adicionamos três.
E isso é um sinal imediato 
de que esta não é
uma sequência aritmética.
Agora estamos adicionando quatro.
Estamos adicionando uma
quantidade diferente a cada vez.
Então, em primeiro lugar,
esta não é aritmética.
Esta não é uma progressão aritmética.
Mas como podemos defini-la,
uma vez que estamos
tentando definir nossas progressões?

Bulgarian: 
В този случай k е минус 5, а в този случай k е 100.
Другият начин, ако исках да определя
аритметичната редица общо чрез рекурентно задаване на членовете,
можеш да кажеш а с индекс 1 е равно на k,
а след това: а с индекс n е равно на а с индекс n минус 1 плюс  d.
Даден член е равен на предишния член плюс d
за n по-голямо или равно на 2.
Още веднъж, това е явно задаване на редицата.
Това е рекурентният начин да я определим.
И просто ще напишем там "при".
Последният въпрос е дали тази редица тук
е аритметична прогресия?
Ами нека го проверим.
Започваме с 1.
След това прибавяме 2.
След това прибавяме 3.
Това веднага ни подсказва, че това не е
аритметична прогресия.
Сега прибавяме 4.
Прибавяме различна величина всеки път.
Така че тази редица не е аритметична прогресия.
Но как можем да я определим, след като
се опитваме да определим тези редици?

Serbian: 
А у овом случају, к је негативних 5, а у овом случају, к је 100.
На други начин, ако би хтели да напишете
преко претходног члана дефиницију за општи члан аритметичког низа,
Могли би да кажете да је а индекс 1 једнако к,
и онда да је а индекс n једнако а индекс n-1,
овај члан је једнак претходном члану,
+ d, за n веће или једнако 2.
Дакле, још једном, ово је експлицитно.
Ово је преко претходног члана дефинисање низа.
И само ћемо написати "са" овде.
Сада, последње питање које имам је, да ли је овај овде
аритметички низ?
Па, хајде да проверимо.
Почнемо са 1.
Онда додамо 2.
Затим додајемо 3.
Дакле, ово је одмах показатељ да ово није
аритметички низ.
Сада, додајемо 4.
Додајемо различиту вредност сваки пут.
Значи, овај, пре свега, овај није аритметички.
Ово није аритметички низ.
Али како би дефинисали овај, пошто
покушавамо да дефинишемо наше низове?

Czech: 
A v tomto případě, ,k' je -5,
a v tomto případě je ,k' rovno 100.
A ten jiný způsob,
pokud byste obecně chtěli zapsat
aritmetickou posloupnost rekurzivně,
můžete říci ,a' s
indexem ,1' se rovná ,k',
a pak ,a' s indexem ,n'
se rovná ,a' s indexem ,(n minus 1)'.
Daný člen se rovná předchozí
člen plus ,d', pro ,n' větší nebo rovno 2.
Takže, znovu, toto
je explicitní vyjádření.
A toto je rekurzivní vyjádření.
A tady to jen dopíšeme.
A nyní, moje poslední otázka je:
Je tahle posloupnost
aritmetická posloupnost?
Pojďme to zjistit.
Začínáme s číslem 1.
Pak přičteme 2.
Pak přičteme 3.
Takže to nám ihned prozrazuje,
že tato posloupnost není aritmetická.
A teď přičítáme 4.
Pokaždé přičítáme jiné číslo.
Takže, ze všeho nejdříve,
toto není aritmetické.
To není aritmetická posloupnost.
Ale jak bychom ji mohli vyjádřit, když už
se snažíme vyjadřovat naše posloupnosti?

Thai: 
และในกรณีนี้ k เท่ากับลบ 5
และในกรณีนี้ k เป็น 100
อีกวิธี ถ้าคุณอยากได้
วิธีการนิยามลำดับเลขคณิต
แบบเรียกซ้ำโดยทั่วไป
คุณก็บอกได้ว่า a ห้อย 1 เท่ากับ k
แล้ว a ห้อย n เท่ากับ a ห้อย n ลบ 1
เทอมที่ให้มาเท่ากับเทอมก่อนหน้า
บวก d สำหรับ n มากกว่าเท่ากับ 2
เหมือนเดิม นี่คือแบบตรง
นี่คือนิยามแบบเรียกซ้ำ
และเราเขียนมันตรงนี้ได้
ทีนี้ คำถามสุดท้ายที่ผมมี คือว่าอันนี้ตรงนี้
เป็นลำดับเลขคณิตไหม?
ลองตรวจดูกัน
เราเริ่มที่ 1
แล้วเราบวก 2
แล้วเราบวก 3
นี่คือเบาะแสสำคัญว่านี่ไม่ใช่
ลำดับเลขคณิต
ตอนนี้เรากำลังบวก 4
เราบวกปริมาณต่างกันทุกครั้ง
นี่ อย่างแรก ไม่ใช่ลำดับเลขคณิต
นี่ไม่ใช่ลำดับเลขคณิต
แต่เรานิยามมันได้อย่างไร ถ้าเรา
พยายามนิยามลำดับนี้?

Hungarian: 
És itt K=–5, itt pedig K=100.
A másik lehetőség
az általános rekurzív formula,
a index 1 egyenlő K-val,
és a index n egyenlő a index (n–1)
(az n-edik egyenlő az előző elem,)
plusz d, ahol n nagyobb, 
vagy ugyanannyi, mint 2.
Tehát még egyszer: ez itt 
explicit formula.
Ez pedig rekurzív,
(ide még írjuk oda, hogy "ahol")
az utolsó kérdésem: Ez itt
számtani sorozat?
Rendben, ellenőrizzük!
1-től indulunk.
Hozzáadunk 2-t.
aztán 3-at.
Ez egy közvetlen jele annak, hogy
ez nem számtani sorozat.
Itt hozzáadunk 4-et.
Minden alkalommal 
más értéket adtunk hozzá.
Mindenek előtt írjuk ide, hogy
ez nem számtani sorozat.
De hogyan tudnánk ezt a sorozatot 
definiálni,
ha már ezzel próbálkoztunk eddig?

Korean: 
이 경우엔 k가 -5 이었고 
이 경우엔 k가 100이었습니다
다른방법으로
등차수열을 순환적으로 정의한다면
첫째항은 k라고 하고
n째 항은 n-1째항에...
다시 말하면, 어느 항은 그 전의 항
더하기 d 가 됩니다
n은 2보다 크거나 같을 때입니다
함수적 그리고
순환으로 정의한 것입니다
그리고 이렇게 써주면 됩니다
이제 우리에게 남은 마지막 수열은
등차수열일까요?
한번 확인해봅시다
1 에서 시작합니다
2를 더하고
3을 더해줍니다
그러면 바로 이 수열은 당연히
등차수열이 아닌 것을 알 수 있습니다
이젠 4를 더해보도록 합시다
우리는 계속해서 다른 수를 더하고 있습니다
따라서, 일단 이 수열은 등차가 아닙니다
등차수열이 아니라는 결과가 나왔네요
그럼 이 수열을 어떻게 정의해야 될까요?
수열을 정의하려고 한다면

Serbian: 
...
Рецимо да хоћемо да га дефинишемо преко претходног члана.
Дакле, могли би да кажемо, ово је једнако а индекс n, где
n иде од 1 до бесконачности,
са...рећи ћемо за наш основни случај...а индекс 1 је једнако 1.
И онда, за n је 2 или веће, а индекс n
ће бити једнако чему?
Значи, а индекс 2 је претходни члан + 2. а индекс 3
је претходни члан + 3. а индекс 4
је претходни члан + 4.
Дакле, биће претходни члан + онолико колики је
ваш индекс.
...
Па, ово делује близу, али приметите овде, ми
мењамо вредност коју додајемо
на основу тога колики је наш индекс.
Додајемо вредност индекса на претходни члан.
И, значи, ово је за n је веће или једнако 2.
Па, за аритметички низ,
додајемо исту вредност, без обзира
колики је наш индекс.

Korean: 
어떻게 하면 될까요
순환적으로 나타내어봅시다
그럼 이 수열은 n이 1에서
무한대로 갈 때
첫째항은 1이 되고
그리고 n이 2이상 일 때
n째항은 어떻게 될까요?
둘째항은 그 전항 더하기 2
셋째항은 그 전 항 더하기 3
넷째항은 그 전 항 더하기 4
그러면 수열은 
그 전 항의 수 더하기
항의 순서를 더한 값과 같게 됩니다
비슷해 보이지만
더하는 숫자가
항의 순서에 따라 달라진다는것에
주의해야 합니다
그 전 항에 항의 순서를 더하고 있기 때문입니다
n이 2이상 일때
등차수열은
항상 같은 수를
항에 상관없이 더해 줘야합니다

Portuguese: 
Vamos dizer que nós quiséssemos 
defini-la recursivamente.
Poderíamos dizer que
é igual a an, onde
n está começando em 
um e vai até infinito,
tal que -- vamos chamar de caso
base -- a1 é igual a um.
E então para n maior ou igual a 2, an
será igual a o que?
Então a2 é o termo anterior
mais dois. a3
é o termo anterior
mais três. a4
é o termo anterior mais quatro
Então será igual ao termo
anterior, mais o valor
do índice no momento.
Isto parece próximo, mas 
perceba aqui que nós estamos
mudando a quantidade que 
estamos adicionando
baseado no valor do nosso índice.
Nós estamos adicionando a quantidade
do índice ao termo anterior.
E isso é para n maior ou igual a dois.
Bom, para uma progressão aritmética,
nós estamos
adicionando a mesma quantidade, 
independentemente
do valor de nosso índice.

English: 
Let's say we wanted to
define it recursively.
So we could say, this is
equal to a sub n, where
n is starting at 1 and
it's going to infinity,
with-- we'll say our base
case-- a sub 1 is equal to 1.
And then for n is 2
or greater, a sub n
is going to be equal to what?
So a sub 2 is the previous
term plus 2. a sub 3
is the previous
term plus 3. a sub 4
is the previous term plus 4.
So it's going to be the
previous term plus whatever
your index is.
So this looks close,
but notice here we're
changing the amount
that we're adding
based on what our index is.
We're adding the amount of
index to the previous term.
And so this is for n is
greater than or equal to 2.
Well for an arithmetic
sequence, we're
adding the same
amount regardless
of what our index is.

Hungarian: 
Próbáljuk meg rekurzívan.
Legyen a index n egyenlő
– ahol n fut 1-től végtelenig –
ahol alapesetünkbe a index 1 egyenlő 1-el,
és azután, ha n nagyobb, vagy ugyanannyi,
mint 2, akkor a index n egyenlő
– mivel is lesz egyenlő? –
a index 2 egyenlő az előző tag plusz 2.
a index 3 egyenlő az előző tag plusz 3.
a index 4 egyenlő az előző tag plusz 4.
Mindig az előző tag, plusz valami,
ami éppen az index.
Úgy tűnik kész, de azért írjuk még ide:
az érték, amit hozzáadunk, mindig
az aktuális index értéke lesz.
Az index értékét adjuk hozzá 
az előző taghoz,
ha n nagyobb, vagy ugyanannyi, mint 2.
A számtani sorozatnál mindig
ugyanazt a számot adtuk az előző taghoz,
függetlenül az indextől.

Bulgarian: 
Нека кажем, че искаме да я определим чрез рекурентно задаване.
Можем да кажем, че това е равно на а с индекс n,
където n започва от 1 и стига до безкрайност,
при -- ще кажем базовия случай -- а с индекс 1 е равно на 1.
И след това, когато n е 2 или по-голямо,
а с индекс n ще бъде равно на какво?
а с индекс 2 е предишният член плюс 2.
а с индекс 3 е предишният член плюс 3.
а с индекс 4 е предишният член плюс 4.
Така че ще имаме предишният член плюс толкова, колкото е индексът на члена.
Това изглежда близко, но забележи,
че тук променяме стойността, която прибавяме
въз основа на това какъв е индексът.
Прибавяме стойността на индекса към предишния член.
И така, това е за n по-голямо или равно на 2.
За една аритметична прогресия
прибавяме една и съща стойност,
независимо от това какъв е индексът.

Thai: 
 
สมมุติว่าเราอยากนิยามมันแบบเรียกซ้ำ
เราก็บอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ a ห้อย n โดย
n เริ่มต้นที่ 1 และมันไปถึงอนันต์
โดย -- เราจะบอกว่ากรณีฐานของเรา
-- a ห้อย 1 เท่ากับ 1
แล้วสำหรับ n เท่ากับ 2 หรือมากกว่า
a ห้อย n
จะเท่ากับอะไร?
a ห้อย 2 จะเท่ากับเทอมก่อนหน้าบวก 2
a ห้อย 3
คือเทอมก่อนหน้าบวก 3
a ห้อย 4
คือเทอมก่อนหน้าบวก 4
มันจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าบวก
เลขเทอมของคุณ
 
มันจึงดูใกล้ แต่สังเกตตรงนี้ เรา
เปลี่ยนค่าที่เราจะบวก
ตามเลขเทอม
เราจะบวกปริมาณเลขเทอม
เข้ากับเทอมก่อนหน้า
แล้วนี่คือสำหรับ n มากกว่าเท่ากับ 2
สำหรับลำดับเลขคณิตใดๆ เราจะ
บวกปริมาณเท่าเดิมไม่ว่า
เลขเทอมจะเป็นเท่าใด

German: 
 
Lass sie uns rekursiv definieren.
Wir könnten sagen, das ist gleich a Index n,
mit n von 1 bis unendlich,
mit-- ausgehend von unserem ersten Fall-- a Index 1 ist gleich 1.
Und dann für n gleich 2 oder größer, a Index n
ist gleich was?
Also a Index 2 ist der vorangegangene Term plus 2.  a Index 3
ist der vorangegangene Term plus 3.
a Index 4 ist der vorangegangene Term plus 4.
Also der vorangegangene Term plus dem Index, welcher auch immer das ist.
 
plus dem Index, welcher auch immer das ist.
Das sieht gut aus, aber beachte, dass wir hier den Betrag ändern, den wir addieren,
Das sieht gut aus, aber beachte, dass wir hier den Betrag ändern, den wir addieren,
in Abhängigkeit von unserem Index.
Wir addieren den Betrag des Index zu dem vorangegangenen Term.
Und das gilt für n größer oder gleich 2.
Bei einer arithmetischen Folge
addieren wir jedes Mal den gleichen Betrag
unabhängig von unserem Index.

Czech: 
Takže kdybychom to chtěli vyjádřit…
Řekněme, že bychom to
chtěli vyjádřit rekurzivně.
Mohli bychom říci, že toto se rovná
,a' s indexem ,n',
kde ,n' jde od 1 do nekonečna,
a doplnit, řekněme s naším prvním členem,
,a' s indexem ,1' se rovná 1.
A potom pro ,n' větší nebo rovno 2
se ,a' s indexem ,n' bude rovnat čemu?
Takže ,a' s indexem ,2' je
předchozí člen plus 2.
,a' s indexem ,3' je
předchozí člen plus 3.
,a' s indexem ,4' je
předchozí člen plus 4.
Takže to bude předchozí
člen plus hodnota indexu…
…plus cokoli, co je indexem.
Takže toto vypadá povědomě,
ale všimněte si, že tady měníme hodnotu,
kterou přidáváme, na základě indexu.
K předchozímu členu
přičítáme hodnotu indexu.
Takže toto je pro ,n' větší nebo rovno 2.
V aritmetické posloupnosti tedy přičítáme
stále tu samou hodnotu bez ohledu na to,
jakou hodnotu má náš index.

Bulgarian: 
Тук прибавяме самия индекс.
Така че това не е аритметична прогресия,
но въпреки това е една интересна редица.

German: 
Hier addieren wir den Index selber.
Damit ist diese zwar nicht arithmetisch,
aber es ist dennoch eine interessante Folge.

Thai: 
ตรงนี้เราบวกเลขเทอมเข้าไป
อันนี้จึงไม่ใช่ลำดับเลขคณิต แต่
มันเป็นลำดับที่น่าสนใจอยู่ดี

English: 
Here we're adding
the index itself.
So this one is not
arithmetic, but it's
an interesting
sequence nonetheless.

Portuguese: 
Aqui, nós estamos adicionando
o próprio índice.
Portanto, esta não é uma progressão
aritmética, mas é
uma progressão interessante mesmo assim.

Hungarian: 
Itt magát az indexet adtuk hozzá,
így ez nem számtani sorozat, de
azért ez is egy érdekes sorozat.

Czech: 
Tady ale přičítáme přímo samotný index.
Takže toto není aritmetická posloupnost,
přesto to však je zajímavá posloupnost.

Korean: 
하지만, 이 수열에서는 
그 항의 순서 자체를 더해주고 있습니다
이것은 등차수열은 아니지만 
흥미로운 수열이네요

Serbian: 
Овде, додајемо сам индекс.
Дакле, овај није аритметички, али није
мање интересантан низ.
