
Italian: 
[Contributo ai sottotitoli fornito da: Fulvio Lepore]
State guardando un video di "Mathologer" e questo probabilmente significa che avete già familiarità con le serie numeriche,
ma avete ma incontrato frazioni infinite? Non in molti lo hanno fatto.
Ora, le frazioni infinite sono strumenti incredibilmente potenti per far emergere strutture e schemi nascosti nei
numeri reali.
Inoltre sono particolarmente efficaci nell'estrapolare cose riguardanti l'irrazionalità dei numeri.
Ecco perchè oggi ho intenzione di usarli per dare la caccia al più irrazionale tra i numeri reali.
Per iniziare, diamo un'occhiata a questa identità e copiamo la parte destra nel riquadro.
Dunque ciò che si trova nel riquadro è uguale ad 1 ed ovunque io veda un 1 lo posso rimpiazzare con il suo contenuto. Ad esempio qui.
Rimpiazzo, vedo un altro 1, rimpiazzo, come potete vedere posso continuare a farlo per sempre.

Korean: 
Subtitles contributed by: Alex Oh
만약 당신이 이 Mathologer 비디오를 보고있다면, 아마도 무한합에 대해 익숙할겁니다.
하지만 당신은 무한 분수에 대해 익숙하나요? 아마도 그런 사람은 드물겁니다.
현대에 무한분수는 실수의 패턴을 분석하는데 매우 강력한 도구입니다.
 
또한 이는 수의 '무리수성'을 나타내기도 좋습니다.
오늘 저는 이 무한분수를 실수에서 무엇이 가장 무리수같은 수인지를 설명하기 위해 사용하겠습니다.
먼저 이 등식을 봅시다. 그리고 이걸 저 곳에 써봅시다.
저 등식은 1과 같고, 이걸 이렇게 바꾸고,
또 이렇게 바꾸고 계속 영원히 이렇게 할수 있습니다.

Hungarian: 
[Magyar felirat: Kis Zoltán Sándor
Ellenőrizte és javította: Papp Bernadett és Czakó Anna, köszönöm a segítségüket ^^]
Egy Mathologer-videót nézel, melyből adódik, hogy számodra nem ismeretlen fogalom a végtelen összeg,
de találkoztál már végtelen törtekkel? Nem sok ember mondhatja ezt el magáról.
Tudniillik a végtelen törtek hihetetlenül erőteljes eszközök a struktúrák és minták felfedezésére, melyek
a valós számokban vannak elrejtve.
És különösen jók azon dolgok kiszemelésére, melyeknek a számok irracionalitásához van köze.
Szóval, amire én ma használni szeretném őket,
az az összes valós szám "legirracionálisabbikának" felkutatása.
Kezdésnek, nézzük ezt az azonosságot itt, és tartsuk meg a jobb oldalát, a dobozban.
Mivel a doboz egyenlő 1-gyel, ezért akárhol ahol 1-et látok, azt helyettesíthetem a dobozban lévő résszel.
Például itt.
Helyettesítem, látok egy másik 1-et, helyettesítem, és látható, hogy ezt a végtelenségig tudnám csinálni.

Spanish: 
Subtítulos por Francisco Jesús Morilla Ortega
Estás viendo un vídeo de Mathologer, lo que significa que probablemente conocerás las sumas infinitas.
¿Pero alguna vez te has encontrado con una fracción infinita? No mucha gente lo ha hecho.
Las fracciones infinitas (o continuas) son unas herramientas muy poderosas para ver la estructura y los patrones ocultos
en los números reales.
Y son muy buenas en hacerte ver cosas que tienen que ver con la irracionalidad de los números.
Así que quiero usarlas hoy para descubrir cuál es el número más irracional de los números reales.
Para empezar, veamos esta identidad. Vamos a guardar la parte derecha aquí.
Lo que hay en la caja es igual a 1, así que siempre que vea un 1 lo cambiaré por lo que hay en la caja. Por ejemplo, aquí.
Reemplazo, veo otro uno, reemplazo, y puedes comprobar que puedo hacer esto siempre.

German: 
Sie sehen sich ein Video von Mathologer an, und das bedeutet Sie sind vermutlich mit unendlichen Summen vertraut.
Aber sind Sie jemals unendlichen Brüchen begegnet? Das trifft nicht auf viele Leute zu.
Unendliche Brüche sind mächtige Werkzeuge um Strukturen und Muster aufzudecken, die in den
reellen Zahlen verborgen sind.
Und sie sind besonders gut darin, Dinge hervorzuheben, die mit der Irritationalität von Zahlen zu tun haben.
Wofür ich sie also heute verwenden möchte, ist, die irrationalste Zahl von allen zu finden.
Beginnen wir damit, diese Gleichung zu betrachten, und speichern die rechte Seite in dem Kasten.
Der Kasten ist somit gleich 1. Wann immer ich also eine 1 sehe, kann ich sie durch den Inhalt des Kastens ersetzen. Zum Beispiel hier.
Ersetzen, ich sehe eine andere 1, ersetzen, und Sie stellen fest, dass ich das für immer so fortführen könnte.

Dutch: 
[Vertaling bijgedragen door: Bastiaan Cnossen]
Je bekijkt een video van Mathologer, wat waarschijnlijk betekent dat je bekend bent met oneindige sommen,
maar ben je ooit oneindige breuken tegengekomen? Weinig mensen hebben hiervan gehoord.
Oneindige sommen zijn krachtige hulpmiddelen voor het ontdekken van structuur en patronen
verborgen in reële getallen.
En ze zijn in het bijzonder goed in dingen die te maken hebben met de irrationaliteit van getallen.
Dus vandaag wil ik ze gebruiken om het meest irrationale reële getal te vinden.
Om te beginnen, bekijken we deze uitdrukking en bewaren we de rechterkant, in het blokje.
Het blokje is gelijk aan 1, dus elke 1 die ik tegenkom kan ik vervangen door het stuk in het blok. Bijvoorbeeld hier.
Vervang, ik zie een andere 1, vervang, 
en je ziet dat ik dit oneindig vaak kan doen.

Russian: 
Вы смотрите видео от Mathologer, и это, вероятно, означает, что вы знакомы с бесконечными суммами,
но сталкивались ли вы когда-нибудь с бесконечными дробями? Не так уж много людей могут ответить утвердительно.
Бесконечные дроби – это невероятно мощные инструменты для раскрытия структуры и закономерностей, скрытых в
вещественных числах.
И они особенно хороши для понимания вещей, связанных с иррациональностью чисел.
Сегодня я хочу использовать их для поисков самого иррационального из вещественных чисел.
Для начала, давайте посмотрим на вот это тождество. Сохраним его правую часть в рамочке.
Мы знаем, что эта штука равна 1, поэтому где бы я ни встретил 1, я могу заменить её на выражение внутри рамки. К примеру, вот здесь.
Заменим; теперь я вижу ещё одну 1 – заменяем, и, как вы можете видеть, я могу делать это бесконечно.

English: 
[Subtitles contributed by: Zacháry Dorris]
You are watching a Mathologer video, and that probably means you're familiar with infinite sums,
but did you ever encounter infinite fractions? Not many people have.
Now infinite fractions are incredibly powerful tools for uncovering structure and patterns hidden in
real numbers.
And they are particularly good at picking out things that have to do with the irrationality of numbers.
So what I want to use them for today is to chase down the most irrational of all real numbers.
To get started, let's have a look at this identity here, and save the right part, in the box.
So the box is equal to 1, so wherever I see a 1, I can replace it by the bit in the box. So, for example, here.
Replace, I see another 1, replace, and you can see I can do this forever.

English: 
And what that seems to say is that 1 is equal to 2/(3-(2/(3-(2/(3-...)...), and so on.
Now just to remind ourselves, what did we start with? This guy here.
Now it turns out that if I replace all the ones here by twos, the identity actually stays an identity,
and I can repeat my game, so I replace, I replace again, I replace all the way to infinity, and
well, let's have a look. The right sides here...are actually identical.
Which means, of course, that 1 is equal to 2. *Scoffs*
So, I start exactly the same way as the last video, but unlike last time, I'm not going to tell you
what's wrong here - obviously, something is wrong.
You are supposed to work this out yourself in the comments. What I'll do instead is now talk about
infinite fractions, and by the end of this video, you should be able to figure out where the mistake is.
Any number whatsoever has a representation as an infinite fraction, as a 'continued' fraction.

Russian: 
И, похоже, это означает, что 1 равно 2 / (3- (2 / (3- (2 / (3 -...) ...), и так далее.
Теперь вспомним, с чего мы начинали? Вот с этой штуки.
Оказывается, я могу заменить все единицы здесь двойками, и тождество останется тождеством.
И теперь я могу повторить свою игру. Я заменяю, заменяю ещё раз, и я продолжаю заменять до бесконечности. И...
ну, давайте посмотрим. Правые части здесь ... на самом деле идентичны.
Что означает, конечно, что 1=2. 
 *усмехается*
Итак, я начинаю так же, как в прошлом видео, но в этот раз я не собираюсь сообщать вам,
что здесь не так – очевидно, что что-то не так.
Вы должны разобраться в этом самостоятельно в комментариях. Я же вместо этого расскажу о
бесконечных дробях, и в конце этого видео вы должны быть в состоянии понять, где же здесь ошибка.
Совершенно любое число имеет представление в виде бесконечной дроби, или непрерывной дроби.

German: 
Was dies auszusagen scheint, ist, dass 1 gleich 2/(3-(2/(3-(2/(3-...)...) ist.
Zur Erinnerung, womit haben wir angefangen? Hiermit.
Es stellt sich heraus, dass wenn ich alle Einsen durch Zweien ersetze, bleibt die Gleichung erhalten,
und ich kann mein Spiel weitermachen. Ersetzen, wieder ersetzen, und so weiter.
Doch was sehen wir hier? Die rechten Seiten sind ... tatsächlich gleich.
Was natürlich heißt, dass 1 gleich 2 ist. Hm.
Ich beginne also genauso wie im letzen Video, aber anders als damals, werde ich Ihnen nicht verraten,
was hier falsch ist - offensichtlich ist etwas falsch.
Sie sollen das in den Kommentaren selbst erarbeiten. Stattdessen, werden wir über
unendliche Brüche sprechen. Am Ende des Videos sollten Sie in der Lage sein, den Fehler auszumachen.
Jede beliebige Zahl hat eine Darstellung als unendlicher Bruch - als Kettenbruch.

Italian: 
Ciò che questo sembra dire è che 1 è uguale a 2/(3-(2/(3-(2/(3-...)...) e così avanti.
Ora, solo per ricordarci, con cosa abbiamo iniziato? Questo tizio qui.
Ora si può ricavare che rimpiazzando tutti gli 1 qui con dei 2, l'identità rimarrebbe tale
e posso ripetere il mio gioco, quindi rimpiazzo, rimpiazzo nuovamente e continuo a rimpiazzare fino all'infinito;
bene, diamo un'occhiata. Le parti a destra qui...sono effettivamente identiche-
Il che significa, ovviamente, che 1 è uguale a 2 .*sogghigna*
Dunque, inizio nello stesso modo in cui ho iniziato l'ultimo video ma, al contrario dell'ultima volta, non vi dirò
cosa c'è di sbagliato- ovviamente, c'è qualcosa di sbagliato.
Dovreste arrivarci da soli nei commenti. Ciò che farò ora, invece, è parlare delle
frazioni infinite e, prima della fine di questo video, dovreste essere in grado di capire dove sia l'errore.
Ogni numero, qualunque esso sia, ha una rappresentazione sotto forma di frazione infinita, come frazione "continua".

Dutch: 
En wat dit lijkt te zeggen is dat 1 gelijk is
 aan 2/(3-(2/(3-(2/(3-...)...), enzovoort.
Ter herinnering: waar begonnen we mee? 
Deze gelijkheid.
Het blijkt dat als ik alle enen door tweën vervang, de gelijkheid een gelijkheid blijft,
en ik kan mijn truc herhalen: dus ik vervang, ik vervang opnieuw, ik vervang tot in het oneindige, en...
nou, laten we kijken. The rechterkanten... 
blijken gelijk te zijn.
Wat natuurlijk betekent 
dat 1 gelijk is aan 2. Hmmm
Ik ben dus op dezelfde manier begonnen als vorige keer, maar dit keer ga ik je niet vertellen
wat hier verkeerd gaat - duidelijk gaat er iets verkeerd.
Je moet dit zelf uitwerken in de reacties. 
In plaats hiervan ga ik vertellen over
oneindige breuken, en aan het eind van deze video, zou je in staat moeten zijn de fout te vinden.
Elk willekeurig getal heeft een representatie als een oneindige breuk, als een 'kettingbreuk'.

Spanish: 
Lo que quiere decir esto es que 1=2/(3-(2/(3-(2/3-...)...)...)
Para recordar, ¿con qué empezamos? Con esta identidad.
Resulta que si reemplazo todos los 1 por 2, la identidad sigue siendo una identidad.
Puedo repetir esto, así que reemplazo, reemplazo una y otra vez hasta el infinito.
Veamos, los lados de la derecha son idénticos en ambos casos.
Lo que nos dice, por supuesto, que 1=2. *risa por la ironía*
Así que empiezo exactamente igual que en el último vídeo. Ahora, en cambio, no te voy a decir
qué es lo que falla aquí (obviamente algo falla).
Debes averiguarlo tú en los comentarios. Lo que haré ahora será sobre
las fracciones continuas, y al final de este vídeo deberías ser capaz de saber donde está el fallo.
Cualquier número tiene una representación como una fracción infinita o continua.

Hungarian: 
És amit ez jelenteni látszik, az az, hogy
1 = 2/(3-(2/(3-(2/(3-...)...), és így tovább.
Most csak hogy emlékeztessük magunkat, mivel is kezdtünk? Ezzel itt.
Látható, hogy ha az összes egyest kicserélem itt kettőkre,
akkor az azonosság még mindig azonosság marad,
és itt is megismételhetem a játékomat, tehát helyettesítek,
majd megint helyettesítek, helyettesítek egészen a végtelenségig, és
hát, nézzük csak. A jobb oldalak... ugyanazok.
Ami természetesen azt jelenti, hogy 1 = 2.
Tehát, ugyanúgy kezdem ezt a videót, mint az előzőt, de attól eltérően, most nem fogom elmondani, hogy
mi itt a hiba - nyilvánvalóan van valami hiba.
A te feladatod lesz ezt kitalálni, és leírni kommentben.
Most inkább a lánctörtekről fogok beszélni,
és e videónak a végére már képesnek kellene lenned arra, hogy kitaláld, hol van a hiba.
Bármely szám felírható egy lánctört, egy "folytatódó" tört formájában.

Korean: 
계속이렇게 한다면, 우리는 1이 2/(3-(2/(3-(2/(3-...)...)와 같음을 볼 수 있습니다.
다시 복습하자면, 이 무한분수는 다음과 같은 등식으로 부터 시작했습니다.
만약 저 등식에 1을 2로 바꾼다면, 여전히 등식은 성립합니다.
위와 같이 계속 2를 위의 등식으로 바꾼다면...
오른쪽에 있는 식이 정확히 똑같네요.
이는.. 바로 1과 2가 똑같습니다. *비웃음*
이번에도 저번 비디오와 같은 일을 했지만
이번에는 뭐가 잘못되었는지 알려주진 않을겁니다. 어쨋든, 뭔가가 잘못되었습니다.
한번 유튜브 댓글에 무엇이 잘못되었는지 여러분에 생각을 달아보세요.
대신 지금은 다시 무한분수에 대해서 이야기해봅시다. 아마도 여러분들이 이 비디오를 다 보게된다면, 좀 전의 실수가 무엇인지 알게 될거같군요.
모든 수는 무엇이 되었던간에, 무한분수로 표현될 수 있습니다. 정확히는 연분수(連分數, .continued fraction)라고 합니다.

English: 
So let me just show you how you generate an infinite fraction using the √2.
Okay, √2 is equal to this guy here, so what I do is I separate out the integer part from the rest of the number
So there we go, and now I rewrite this one here,  as...well, that's not quite it, but that's it.
1/(1/something) is something, right? Okay, now, I evaluate this one here, and that gives me
2., and now, √2 gives me something very remarkable here, the digits that are coming up here now
are now exactly the same digits as in √2.
Not bad, huh?
I play the same game again, separate out the integer part, rewrite this guy, evaluate,
and I keep on going like this...forever, and that gives me this continued fraction representation of √2.
Now this guy is a very special kind of infinite fraction. It's a 'simple' continued fraction.

German: 
Lassen Sie mich demonstrieren, wie man einen Kettenbruch von √2 erzeugt.
Okay, √2 ist gleich dem hier. Jetzt trenne ich den ganzzahligen Anteil vom Rest der Zahl.
Hier bitte, und jetzt schreiben wir den Rest als, ... naja das ist es nicht ganz, aber das ist es.
1/(1/etwas) ist etwas, stimmt's? Jetzt werte ich das hier aus, und das liefert
2 Komma. √2 ergibt hier etwas sehr beachtliches, nämlich sind die Ziffern, die  hier herauskommen
genau die gleichen wie in √2.
Nicht schlecht, was?
Ich spiele wieder das gleiche Spiel, trenne den ganzzahligen Teil ab, schreibe das hier um, werte aus
und mache das so weiter ... für immer. Und das liefert diese Kettenbruchdarstellung von √2.
Dieser Kettenbruch hier ist besonders. Er ist ein "einfacher" Kettenbruch.

Hungarian: 
Hadd mutassam meg, hogyan készíthetsz egy lánctörtet a √2 segítségével.
Oké, √2 egyenlő ezzel itt, és most azt csinálom, hogy az egész részt elválasztom a szám többi részétől.
Itt is van, most pedig átírom ezt a részt úgy, hogy... hát, nem teljesen így... ez már mindjárt más.
1/(1/valami) az valami, ugye? Rendben, most kiértékelem ezt itt, és azt kapom, hogy
2, - és most a √2 valami nagyon figyelemre méltót ad; a számjegyek amik most következnek,
azok pontosan a √2 számjegyei.
Nem rossz, mi?
Most megint ugyanazt csinálom, elválasztom az egész részt, újraírom ezt, kiértékelem,
és ezt folytatom... a végtelenségig, és ezzel megkapom a √2 lánctört formáját.
Namármost, ez itt egy nagyon különleges fajtája a lánctörteknek. Ez egy egyszerű lánctört.
Ami ilyen egyszerűvé teszi, az az, hogy minden számlálóban egyes van,

Dutch: 
Laat me je uitleggen hoe je een 
oneindige breuk genereert met √2.
Oké, √2 is gelijk aan deze waarde, dus ik splits het gehele gedeelte van de rest van dit getal.
Daar gaan we, en nu herschrijf ik dit hier als... nou dit is het nog niet helemaal... maar dit is het.
1/(1/iets) is iets, mee eens? Oké, nu 
bereken ik dit hier, en dit geeft me
2., and nu geeft √2 me iets bijzonders: 
de decimalen die nu komen
zijn precies dezelfde decimalen als in √2.
Niet slecht, hè?
Ik doe dezelfde truc nogmaals, splits het gehele deel, herschrijf dit stuk en bereken het,
en ik blijf dit doen tot in het oneindige, en dit geeft me deze kettingbreuk-representatie van √2.
Deze kettingbreuk is een erg bijzondere oneindige breuk: het is een 'simpele' kettingbreuk.

Russian: 
Позвольте мне показать вам, как создавать такую бесконечную дробь, на примере √2.
Итак, √2 равно вот этой штуке. Теперь я отделяю целую часть от остального числа.
Вот таким образом, и теперь переписываю эту часть как ... ну, это не совсем так. Зато теперь верно.
1 / (1 / "что-то") равно "что-то", не так ли? Хорошо, теперь, я вычисляю число в знаменателе, и это даёт мне
2., а дальше √2 дарит мне кое-что очень занимательное: цифры, которые идут дальше,
в точности совпадают с цифрами в √2.
Неплохо, да?
Я повторяю тот же трюк: отделяю целую часть, переписываю оставшееся, вычисляю,
и я продолжаю таким образом ... бесконечно, и это дает мне представление √2 в виде такой непрерывной дроби.
Это оказывается особым видом непрерывной дроби: "простая" непрерывная дробь.

Italian: 
Quindi lasciatemi mostrarvi come generare una frazione infinita utilizzando √2.
Ok, √2 è uguale a questo tizio qui, dunque cosa faccio è separare la parte intera dal resto del numero.
Eccoci qui e ora riscrivo questo qui come...beh, non è esattamente questa ma, questa lo è.
1/(1/qualcosa) è uguale a qualcosa, giusto? Va bene, trovo il valore di questo e ques'altro mi dà
2 virgola...e ora √2 risulta in qualcosa di notevole qui, le cifre che stanno emergendo qui ora
sono le stesse cifre decimali di √2.
Non male, eh?
Eseguo nuovamente lo stesso gioco, separo la parte intera, riscrivo questo tizio,  calcolo
e continuo così... per sempre e questo genera la rappresentazione sotto forma di fazione continua di √2.
Ora questo tizio  è un tipo speciale di frazione infinita. E' una frazione continua "semplice".

Korean: 
√2의 무한분수를 어떻게 만드는지 보시죠.
먼저, √2는 이 녀석과 똑같고, 이 녀석을 정수부분과 나머지부분으로 나눠봅시다.
자, 이제 이걸 이렇게 써보고,  이렇게는 말고 이렇게 해봅시다.
1/(1/뭔가)는 뭔가고, 맞죠? 이제 이걸 계산해봅시다.
이건 2.뭐시기인데, 여기서 주목할만한 점은,
소수점이 앞과 정확히 같습니다.
신기하죠?
앞과 똑같이 따라하면, 이걸 정수부분을 이렇게 빼고, 이렇게 변형하고, 계산하고,
계속 이렇게 나아간다면...영원히요.
이렇게 된다면 우리는 √2의 연분수 형태를 얻을 수 있습니다.
이 녀석은 무한분수의 특수한 경우입니다. 바로 '간단한' 연분수입니다.

Spanish: 
Así que déjame enseñarte cómo se genera una fracción infinita igual a √2.
Vale, √2 es igual a 1.414213... Lo que hago es separar la parte entera del resto del número.
Vale, y ahora reescribo este número como... bueno no así, pero sí de esta manera.
1/(1/algo) es... algo, ¿no?. Vale, ahora opero aquí, lo que me da
2., y √2 me da algo muy interesante, y es que los dígitos que salen
son exactamente los mismos que los de √2.
¿No está mal, eh?
Hago lo mismo otra vez, separo la parte entera, reescribo, opero...
Básicamente continuo así siempre, y me da la fracción continua para √2.
Todo esto es una fracción infinita bastante especial. Es una fracción continua simple.

Russian: 
Она является "простой" потому, что в числителях в ней везде стоят единицы и что в ней нет ни одного минуса,
одни лишь плюсы. Давайте попробуем сделать то же для нескольких других «супергероев» среди действительных чисел,
например, для золотого сечения (Φ).
Золотое сечение (Φ) играет очень важную роль во всем этом, потому что ему соответствует, в своём роде, простейшая бесконечная, непрерывная дробь.
В ней стоят одни лишь единицы. Проще, чем это, быть просто не может.
Если присмотреться, то это число – это просто (1+√5)/2, то есть, более-менее, ещё один квадратный корень, как и
√2. И здесь тоже получается нечто периодическое; на самом деле, любой квадратный корень, или немного преобразованный квадратный корень, как здесь,
будет приводить к периодической непрерывной дроби. Бесконечной дроби. Можете попробовать это с √3, √5 и √7.
Теперь давайте рассмотрим то, что не имеет ничего общего с квадратными корнями, – возьмём е.
Ещё один супергерой, верно? 2,718 ... Если взглянуть на непрерывную дробь этого числа, то, хм...

Italian: 
Ciò che la rende semplice è il fatto che tutti i numeratori qui sono 1 e non si hanno segni negativi qui,
quindi sono tutti più. Dunque proviamo per un altro paio di altri "supereroi" tra i numeri reali,
ad esempio il rapporto aureo (Φ).
Φ ricopre un ruolo molto importante in tutto ciò, poichè presenta una sorta di, frazione infinita continua più semplice.
Ha tutti 1 qui in basso. Non può essere più semplice di così.
Guardando attentamente è effettivamente solo (1+√5)/2 quindi, più o meno, un'altra radice quadrata, come
√2, si ottiene qualcosa di periodico qui; infatti, ogni radice quadrata, o radice quadrata un po' pasticciata come questa,
darà origine ad una frazione continua periodica, una infinita, magari provate con  √3,  √5 e  √7.
Ora prendiamo qualcosa che ha nulla a che fare con le radici quadrate, scegliamo e.
Un altro supereroe, giusto? 2,718... se date un'occhiata alla frazione continua di questo tizio, hmmm...

English: 
What makes it simple is the fact that all the numerators here are ones, and you don't have any minuses here,
so it's all pluses. So let's just try this for a couple of other 'superheroes' among the real numbers,
So for example, the golden ratio (Φ).
Φ plays a very important role in all this, because it's got the sort of, the simplest infinite, continued fraction.
It's got all ones down there. It doesn't get any simpler than this.
When you have a close look, it's actually just (1+√5)/2, so more or less, another square root, like
√2, you get something periodic here; in fact, any square root, or slightly mucked up square root,  like this
will give rise to a periodic continued fraction, infinite one, maybe try this with √3, √5, and √7.
Now let's take something that doesn't have anything to do with square roots, let's go for e.
Another superhero, right? 2.718... If you have a look at the continued fraction of this guy, hmmm...

Korean: 
왜 간단하냐면, 모두 여기에 있는 분모들이 1이고, 음수가 없죠.
즉, 모두 양수입니다. 이제 이 녀석 말고도 몇개의 '슈퍼히어로' 실수에 대해서 이걸 해봅시다.
예를 들어, 황금비(Φ)를 보죠.
Φ는 이들중에서 매우 중요한 역할은 합니다. 왜냐하면 가장 간단한 연분수를 가지기 때문이죠.
모두 여기에 1이 있습니다. 이것보다 간단할수는 없을 겁니다.
만약 이것을 유심히 살펴본다면, 이건  (1+√5)/2입니다. 거의 말이죠.
√2와 같은 다른 제곱근을 본다면 마찬가지로 여기 있는 숫자들이 주기적입니다. 아무 제곱근이나 위의 Φ처럼 약간의 변형이 있는 수들은
마찬가지로 주기적인 연분수 형태를 가집니다. 여기 무수한 1과 함께요. √3, √5, and √7로 한번 직접 계산해보세요.
이제 제곱근이 아닌 수를 대상으로 해봅시다. 일단 e로 말이죠.
또 다른 슈퍼히어로죠. 그렇죠? 2.718... 만약 이 녀석의 연분수 형태 본다면 음.....

Dutch: 
Wat het simpel maakt, is het feit dat alle noemers enen zijn en dat er geen minnen zijn,
dus alleen maar plussen. Laten we dit proberen voor een aantal andere 'superhelden' onder de reële getallen.
Dus bijvoorbeeld de gulden snede (Φ).
Φ speelt een erg belangrijke rol in dit alles, omdat het soort van de simpelste oneindige kettingbreuk heeft.
Het heeft allemaal enen hieronder. 
Het kan niet simpeler dan dit.
Als we beter kijken is het eigenlijk gewoon (1+√5)/2, dus min of meer een andere wortel,
zoals √2 krijg je iets periodieks hier; in feite, elke wortel, of licht verknoeide wortel, zoals dit
geeft ons een periodieke oneindige kettingbreuk.
Probeer dit wellicht met √3, √5, en √7.
Bekijk nu iets wat niets te maken heeft met wortels, 
laten we e nemen.
Een andere superheld, hè? 2.718... 
Als je de kettingbreuk van e bekijkt, hmmm...

Spanish: 
Lo que la hace simple es el hecho de que todos los numeradores son 1, y no hay ningún signo menos,
así que todo son +. Vamos a intentar el mismo procedimiento para otros "superhéroes" entre los números reales.
Por ejemplo, el número de oro (Φ).
Φ juega un papel muy importante en todo esto, pues es la fracción continua más simple que existe.
Todo son unos, lo más simple que hay.
Cuando miramos a qué es igual Φ es sólo (1+√5)/2, así que más o menos es otra raíz cuadrada, y como con
√2, tenemos una parte periódica. De hecho, cualquier raíz cuadrada (o una raíz cuadrada y algo más, como ésto)
dará una fracción continua periódica, infinita. Puedes intentarlo con √3, √5 y √7.
Vamos a usar algo que no tiene nada que ver con las raíces cuadradas, vayamos con e.
Otro superhéroe, ¿verdad? 2.71828... Si nos fijamos en la fracción continua de e, hmmmm...

German: 
Was ihn einfach macht, ist, dass alle Zähler Einsen sind, und man keine Minuszeichen hier hat,
also stehen überall Pluszeichen. Probieren wir das doch für ein Paar andere der "Superhelden" unter den reellen Zahlen.
Zum Beispiel für den goldenen Schnitt Φ.
Der goldene Schnitt spielt hier eine sehr wichtige Rolle, da er "den einfachsten" Kettenbruch besitzt.
Er hat hier überall Einsen. Einfacher wird es nicht.
Wenn man genau hinschaut, ist es nur (1+√5)/2, also mehr oder weniger eine andere Quadratwurzel, wie √2.
Hier steht etwas periodisches. Tatsächlich, erzeugt jede, oder jede leicht vermasselte Quadratwurzel,
einen periodischen (unendlichen) Kettenbruch. Probieren Sie es doch mal mit  √3, √5, oder √7.
Nehmen wir doch mal eine Zahl die nichts mit Quadratwurzeln zu tun hat, etwa e.
Ein anderer Superheld, richtig? 2,718... Wenn wir den Kettenbruch davon betrachten, hmm...

Hungarian: 
és hogy nincs egyetlen mínusz jel sem,
tehát csak pluszok vannak. Próbáljuk ki ezt egy pár másik "szuperhősre" a valós számok köréből,
például az aranymetszés arányával (Φ).
A Φ nagyon fontos szerepet játszik ebben, mivel ennek van a legegyszerűbb lánctört alakja.
Csak egyesek vannak ott lenn. Ennél egyszerűbb nem is lehetne.
Közelebbről megnézve, ez tulajdonképpen (1+√5)/2, szóval többé-kevésbé egy másik négyzetgyök, mint a √2.
Itt is valami periodikusat, ismétlődőt kapunk;
valójában akármely négyzetgyök, vagy "részben elrontott" négyzetgyök, mint ez,
egy ismétlődő végtelen törtet fog adni eredményül, próbáld ki ezt mondjuk √3-mal, √5-tel, és √7-tel.
Most vegyünk valamit, aminek nincs semmi köze se a gyökökhöz, mondjuk legyen az e.
Egy másik szuperhős, ugye? 2,718... Ha vetsz egy pillantást ennek a lánctörtjére, hmmm...

German: 
kein Muster? Doch, es gibt eines. Es beginnt etwa hier. Nehmen wir doch diese Zahlen heraus.
 
Und der Schein trügt nicht, es geht tatsächlich so weiter.
Wenn man diese Kettenbrüche mit der Dezimalbruchentwicklung
dieser Zahlen vergleicht, sind die Dezimaldarstellungen ein Chaos, wohingegen die Kettenbrüche schön sind.
Schön und periodisch.
Aber auch unendlich, wie auch immer.
Tatsächlich können wir diese Kettenbrüche dazu verwenden, die Irrationalität dieser Zahlen zu beweisen.
Wie machen wir das? Nun, zuerst betrachten wir eine rationale Zahl.
Was ist eine rationale Zahl? Es ist eine Zahl die als Bruch (zweier ganzer Zahlen Anm. des Übersetzers) geschrieben werden kann.
Nehmen wir einen Bruch, und lassen das Vorgehen auf ihn los. Welcher Kettenbruch korrespondiert zu dieser Zahl?
Der hier. Vielleicht ist es etwas überraschend, dieser bricht ab.
Er geht nicht unendlich weiter. Und tatsächlich ist das für alle Brüche so. Starten sie also mit einem Bruch,
und erzeugen den korrespondierenden Kettenbruch, wird dieser endlich sein.

Italian: 
nessuno schema? Beh, c'è uno schema. Inizia circa qui, prendiamo quindi questi numeri.
 
Controlliamo se effettivamente continui così.
Se comparate queste frazioni continue con le espansioni decimali
di questi numeri; gli sviluppi decimali sono una completa confusione, queste frazioni continue sono meravigliose.
Meravigliose e periodiche.
Anche infinite, comunque.
Ora, possiamo effettivamente utilizzare queste frazioni continue e produrre dimostrazioni dell'irrazionalità di questi numeri.
Come facciamo ciò? Bene, prima di tutto dobbiamo dare un'occhiata ad un numero razionale.
Dunque cos'è un numero razionale? E' un numero che può essere scritto sotto forma di frazione.
Quindi prendete una frazione ed espandete la struttura. Qual'è la frazione continua che corrisponde a questo numero?
Eccola. Ora, magari c'è un po' di stupore, questa cosa termina.
Non prosegue per sempre ed effettivamente sarà lo stesso per tutte le frazioni. Quindi iniziando con una frazione
e generando la frazione continua corrispondente, quella frazione continua sarà finita.

Spanish: 
parece que no hay patrón, ¿verdad? Bueno, sí que lo hay. Empieza por aquí, así que saquemos estos números.
 
Y si siguiéramos mirando veríamos que continúa así.
Si comparamos estas fracciones continuas con el número decimal equivalente,
vemos que los decimales irracionales son un completo desastre, pero estas fracciones continuas son preciosas.
Preciosas, y periódicas.
También infinitas, lo que sea.
Podemos usar estas fracciones continuas para probar que estos números son irracionales.
¿Cómo? Bueno, primero veamos un número racional.
¿Qué es un número racional? Es un número que puede ser escrito como una fracción.
Así que tomamos una fracción, vamos a convertirla en una fracción continua. ¿Cuál es la fracción continua que corresponde a este número?
Ahí está. Pero tiene una pequeña sorpresa, y es que es finita.
No sigue por siempre. Y ésto se aplica a todas las fracciones. Así que si tomamos una fracción
y producimos la fracción continua que corresponde, ésta será finita.

English: 
no pattern? Well, there is a pattern. Starts around there, so let's pick out those numbers.
 
And looks are not deceiving, it actually continues like this.
If you compare, these continued fractions to the decimal expansions
of these numbers, right, decimal expansions are a complete mess, these continued fractions are beautiful.
Beautiful and periodic.
Infinite too, whatever.
Now, we can actually use these continued fractions and produce proofs that these numbers are irrational.
How do we do this? Well, first of all, we have to have a look at a rational number.
So what's a rational number? It's a number that can be written as a fraction.
So take a fraction, and unleash the scheme on this. What's the continued fraction that corresponds to this number?
There it is. Now, maybe there's a bit of a surprise, this thing ends.
It doesn't go on forever. And that's actually going to be the same for all fractions. So if you start with a fraction,
and produce the continued fraction that corresponds to it, that continued fraction will be finite.

Korean: 
패턴이 없어보이죠? 있습니다. 여기서부터 이 수들을 골라보죠.
 
잘 본다면 이렇게 규칙이 있음을 볼 수 있습니다.
만약 이 수의 십진수 표현과 연분수 표현을 비교한다면,
네, 십진수표현은 엉망이지만 연분수 표현은 아름답죠.
아름답고 규칙적입니다.
둘다 무한히 가게되고요. 어쨋든요.
이제 이 연분수를 이용해서 이들이 무리수라는 증명을 할 수 있습니다.
어떻게 하냐고요? 먼저 유리수들을 봅시다.
유리수가 뭐냐고요? 이렇게 분수의 형태로 나타낼 수 있는 수죠.
먼저 분수의 형태를 취하고, 위의 과정을 적용해 봅시다. 이 수의 연분수는 뭐죠?
이겁니다. 아마도 약간 놀랄만한 점은 여기서 끝난다는 거죠.
이 분수는 영원히 가진 않습니다. 그리고 이건 모든 분수에 대해 적용되는 말이죠. 만약 어떤 분수에 대해 생각하고
연분수 꼴을 생성해본다면, 유한 연분수꼴이 되죠.

Dutch: 
Geen patroon? Nou, er is een patroon. Het begint ongeveer hier, dus laten we deze getallen bekijken.
 
En bekijk of het patroon daadwerkelijk vervolgt.
Als je deze kettingbreuk vergelijkt 
met de decimale expanties
van deze getallen, zijn de decimale expanties een totale chaos, maar deze kettingbreuken zijn prachtig.
Mooi periodiek
Oneindig, wat dan ook.
We kunnen deze kettingbreuken nu gebruiken om bewijzen te produceren dat deze getallen irrationaal zijn.
Hoe doen we dit? Nou, laten we eerst kijken 
naar een rationaal getal.
Dus wat is een rationaal getal? Het is een getal dat geschreven kan worden als een breuk.
Neem dus een breuk, en gebruik de methode. 
Welke kettingbreuk hoort bij dit getal?
Hier is het. Misschien wekt dit wat
verbazing: dit ding eindigt.
Het gaat niet oneindig door. En dat zal ook hetzelfde zijn voor alle breuken. Dus als je begint met een breuk,
en je produceert de kettingbreuk die erbij hoort, deze kettingbreuk zal eindig zijn.

Russian: 
нет никакой закономерности? Но на самом деле она есть. Она начинается вот тут. Давайте отберём эти числа.
И видимость не обманчива, она действительно продолжается таким же образом.
Если сравнить эти непрерывные дроби с десятичными записями
этих чисел, то десятичные записи являются полной неразберихой, в то время как эти непрерывные дроби красивы.
Красивые и периодические.
Также бесконечные. Вот так, в общем.
На самом деле, можно использовать эти непрерывные дроби для доказательства, что эти числа иррациональны.
Как нам это сделать? Ну, в первую очередь, мы должны взглянуть на рациональное число.
Что такое рациональное число? Это число, которое можно записать в виде дроби.
Итак, возьмём дробь, и повторим нашу схему с ним. Какая непрерывная дробь соответствует ей?
Вот она. Небольшая неожиданность: эта дробь конечная.
Она не продолжается бесконечно. И это на самом деле будет так для всех дробей. Если вы начинаете с дроби
и создаёте непрерывную дробь, соответствующую ей, то эта непрерывная дробь будет конечной.

Hungarian: 
nincs minta? Hát, de van. Úgy itt kezdődik, szóval vegyük ki ezeket a számokat.
És megláthatjuk, hogy tényleg így folytatódik-e.
Összehasonlítva a lánctörteket a tizedes tört formájukkal
ezeknek a számoknak, a tizedes törtek teljesen kaotikusak, míg a lánctörtek gyönyörűek.
Gyönyörűek és ismétlődőek.
Még végtelenek is.
Ezeket a lánctörteket használhatjuk arra, hogy bebizonyítsuk e számok irracionális létét.
Hogyan csináljuk ezt? Először is, meg kell néznünk egy racionális számot.
Mi is egy racionális szám? Egy olyan szám, ami felírhatő egy tört formájában.
Szóval fogj egy törtet, és alkalmazd a sémát. Mi az ehhez a számhoz tartozó lánctört?
Itt is van. Lehet, hogy kis meglepetést okoz, de ennek van vége.
Nem folytatódik a végtelenségig.
És igazából ez ugyanígy lesz az összes tört esetére. Szóval ha egy törttel kezdesz,
és annak hozod létre a lánctörtjét, akkor az véges lesz.

Korean: 
정말로 정말로 멋지죠. 안 그런가요? 만약 이걸 여러분이 이걸로 직접
위에서 해본 과정을 따라해본다면, 이렇게 소수로 바꾸지 말고 분수로 계속 변형하세요.
만약 해본다면, 왜 이것이 유한한 과정이후 끝나게 되는지 직접 알게 될겁니다.
 
이걸 이제 알게 된다면,
우리는 √2, Φ, e와 같은 것뿐만 아니라 다른 제곱근들도 무리수임을 증명할 수가 있죠.
왜냐고요? 이들의 연분수는 영원히 계속되지만, 유리수들은 말이죠...
언젠가 끝납니다. 정말 아름답죠?
이제  가장 무리수 다운 무리수가 무엇인지에 대해서 살펴봅시다.
여러분들은 아마도 이 질문이 얼핏 바보같이 들릴수가 있는데요,
왜냐하면 실수는 유리수거나 무리수이기 때문이죠.
유리수와 무리수 사이에 어중간한 분류는 없죠. 그런데 어떤 수가 다른 수보다 무리수에 가깝다는게 무슨 말일까요?

Italian: 
Davvero, davvero, una cosa alquanto buona, no? Potete controllarlo voi stessi, magari fate questo qui
e procedete con lo schema, solo non convertitelo in un numero decimale, continuate mantenendolo sotto forma
di frazione; vedrete più o meno ad occhio perchè questa cosa deve terminare e perchè tutte le frazioni
devono terminare
in termini di espansione come frazione continua. Una volta appreso ciò,
abbiamo le dimostrazioni, in pratica, che √2, Φ, e e e tutte queste altre radici quadrate sono effettivamente numeri irrazionali.
Perchè? Perchè la loro espansione in frazione continua prosegue per sempre mentre, se fossero numeri razionali,
terminerebbero. Chiaro, no? Ok,
a questo punto, mi chiederò quale sia il numero più irrazionale.
Questa domanda potrebbe sembrare un po' idiota a prima vista poichè un numero può essere o razionale
o irrazionale.
Non vi è una via di mezzo, non c'è una zona grigia qui. Dunque come può un numero essere più irrazionale di un altro numero?

Spanish: 
Muy bien, ¿no? Puedes comprobarlo tú mismo, haz éste de aquí.
Y opera esto, no lo conviertas a un número decimal [29.46], sino continúa con la fracción.
Se ve pronto por qué ésto tiene que acabar, y por qué todas las fracciones
tienen que terminar
en lo que a la fracción continua respecta. Cuando sabemos ésto,
tenemos pruebas de que √2, Φ y e, y todas esas raíces cuadradas son de hecho números irracionales.
¿Por qué? Porque bueno, su forma de fracción continua sigue infinitamente, mientras que si fueran números racionales
las fracciones terminarían. ¿No es interesante? Vale,
ahora voy a preguntar por el número más irracional de todos.
Esa pregunta puede no tener sentido al principio, pues un número sólo puede ser racional
o irracional.
No hay nada en medio, no hay "zona gris". Así que ¿cómo puede ser un número más irracional que otro?

German: 
Wirklich, wirklich nett, oder? Und Sie können das selbst ausprobieren, vielleicht mit diesem hier,
und vollführen sie das Schema. Nur sollten sie diese Zahl nicht in eine Dezimalzahl umrechnen, sondern bei Brüchen bleiben.
Und sie werden praktisch sofort sehen, warum das abbrechen muss, und warum das bei allen
Brüchen so sein muss.
(Bezüglich der Kettenbruchdarstellung). Sobald wir das wissen,
haben wir praktisch Beweise, dass √2, der goldene Schnitt, und e, und alle anderen Quadratwurzeln tatsächlich irrational sind.
Warum? Naja, weil ihr Kettenbruch nicht abbricht, wohingegen er es täte
wenn es rationale Zahlen wären. Schön oder? Okay,
Jetzt möchte ich die irrationalste Zahl haben.
Auf den ersten Blick könnte diese Frage etwas idiotisch klingen, weil eine Zahl entweder rational,
oder irrational ist.
Es gibt nichts dazwischen, es gibt keine Grauzone. Wie also kann eine Zahl irrationaler sein als eine andere?

Russian: 
Очень и очень здорово, не так ли? Можете проверить это самостоятельно. Может быть, займитесь конкретной этой [дробью сверху].
Прогоните её по алгоритму, только не переводите её в десятичное число; работайте всё время с дробной формой.
И достаточно быстро станет ясно, почему алгоритм должен закончиться, и почему все [такие] дроби
должны заканчиваться
в смысле конца расширения непрерывной дроби. Как только мы это выяснили,
мы, по сути, получаем доказательства, что √2, Φ, и e, а также все другие квадратные корни являются иррациональными числами.
Почему? Потому что их непрерывные дроби бесконечны, тогда как если бы они были рациональными числами,
то эти дроби бы были конечными. Изящно, не правда ли? Хорошо.
А теперь, в этот момент, я собираюсь задаться вопросом, какое же число является самым иррациональным из всех.
И этот вопрос может показаться немного идиотским на первый взгляд, потому что число является либо рациональным,
либо нерациональным.
Между этими [категориями] ничего нет, нет никакой "серой зоны". Так как же одно число может быть более иррациональным, чем другое число?

English: 
Really really, quite nice, isn't it? And you can check this out yourself, maybe just do this one here.
And run the scheme, just don't turn this thing into a decimal number [29.46], just keep running with fraction
forms. And you pretty much see at a glance why this thing has to terminate, and why all fractions
have to terminate
in terms of the continued fraction expansion. Once we know this,
we have proofs, basically, that √2, Φ, and e, and all these other square roots are actually irrational numbers.
Why? Because well, their continued fraction expansion continues forever, whereas if they were rational numbers,
they would terminate. Neat, isn't it? Okay,
Now, at this point in time, I'm now going to ask for the most irrational number.
And that question may sound a little bit idiotic at first glance because either a number is rational,
or it's irrational.
There is nothing in-between, there is no grey zone here. So how can one number be more irrational than another number?

Hungarian: 
Nagyon-nagyon jó, nem? Ezt le is ellenőrizheted magadnak, akár ezzel is itt.
Futtasd végig a sémát, de ne alakítsd át ezt tizedes törtté, csak a tört formákat használd.
Egy pillantás alatt látható, hogy ennek miért kell befejeződnie, és hogy miért kell az összes törtnek
befejeződnie
a lánctört formában. Most, hogy ezt már tudjuk,
vannak bizonyítékaink, hogy √2, Φ, és e és az a többi négyzetgyök mind irracionális számok.
Miért? Mert a lánctört formájuk folytatódik a végtelenségig, míg a racionális számok esetében
azok befejeződnének. Jó, mi?
És most, a legirracionálisabb számot fogom megkérdezni.
Ez a kérdés kissé hülyén hangozhat elsőre, mivel egy szám vagy racionális,
vagy irracionális.
Nincs köztes állapot, nincsen szürke zóna.
Szóval hogyan lehet egy szám irracionálisabb, mint egy másik szám?

Dutch: 
Echt heel mooi, toch? En je kunt dit zelf 
controleren: doe bijvoorbeeld deze hier
en gebruik de methode, alleen schrijf het niet als decimaal getal [29,46], maar blijf breuken gebruiken.
En je ziet bijna meteen waarom het moet 
eindigen en waarom alle breuken
moeten eindigen
in termen van kettingbreuken. Nu we dit weten,
hebben we in feite bewijzen dat √2, Φ, en e, en al die andere wortels daadwerkelijk irrationaal zijn.
Waarom? Nou, omdat hun kettingbreuken oneindig zijn, hoewel, als ze rationale getallen waren
zouden deze moeten eindigen. Handig, toch? Oké,
Nou, op dit moment ga ik vragen naar het meest irrationale getal.
En die vraag klinkt misschien een beetje stompzinnig, omdat een getal ofwel rationaal is,
ofwel irrationaal.
Er zit niks tussenin, geen grijs gebied. Dus hoe kan een getal irrationaler zijn dan een ander getal?

Korean: 
이걸 판단하기 위해서 이 등식을 봅시다.
어떻게 이 등식이 성립하는지 확인 할 수 있을까요?
아래서부터 차근차근하게 풀어나가면 되죠. 그렇죠? 1+1/3는...
4/3 이고요,  그리고 이거의 역수는 이거고요. 이걸 계산하고 이걸 계속 이렇게 반복한다면...
그렇죠. 맞습니다. 만약 저의 친구가 어떤 수를 가져오고 연분수를 만들었다고 칩시다.
무한한걸로 말이죠. 그리고 그가 내가 무슨수를 골랐는지 알아 맞추라고 합니다.
이걸로요. 어떻게 제가 그가 무슨수를 골랐는지 알 수 있을까요?
아까 처럼 아래부터 풀수가 없습니다. 왜냐면 맨 아래가 없기 때문이죠!
하지만 이렇기 때문에 연분수는 정말로 신기한 성질을 가집니다.
모든 방면에서 말이죠. 여기서 이걸 저 덧셈기호들에서 자른다면
이렇게 하나의 부분분수들로 이루어진 수열을 얻게 되죠. 첫번째 부분분수는 이녀석이고, 두번째는 이 놈이고,

English: 
To explain this grey zone, let's have a look at this identity. How do we actually check whether we have got
an identity here or not?
Well, what we do is we roll this thing up here from the bottom, okay? So 1+1/3 is...
4/3, and then 1/that is this guy here, and then we calculate this, and we keep on going, like this
and we find, yes, it's true. A friend of mine just took a number and produced a continued fraction
expansion, an infinite one, and he gives it to me and asks me, "You figure out what number I started with."
So there it is. And now, well, how do I figure out what number he started with? I can't roll this thing
up from the bottom because there is no bottom!
But now it turns out that these continued fractions have another really amazing property,
which actually makes them very useful for all sorts of purposes. If you chop off things at the pluses,
you create a sequence of partial fractions, so the first partial fraction is this guy, second partial fraction is this one here,

Italian: 
Per dare una spiegazione a questa zona grigia diamo un'occhiata a questa identità. Come possiamo controllare se abbiamo
un'identità qui o no?
Bene, ciò che facciamo è rovesciare questa cosa dal fondo, va bene? Quindi 1+1/3 fa
4/3 e poi 1/quello è questo tizio qui e, se calcoliamo questo ed andiamo avanti così,
troviamo che, sì, è vero. Un mio amico ha preso un numero e ha prodotto un'espansione
in frazione continua, una infinita, me l'ha data e mi ha chiesto: "trova il numero da cui sono partito".
Eccola. Ora, beh, come faccio a capire da quale numero sia partito? Non posso partire dal
fondo perchè non vi è alcun fondo.
Tuttavia ora ricaveremo che queste frazioni continue hanno un'altra incredibile prorpietà,
la quale le rende davvero utili per tutti i tipi di propositi. Se si tagliano le parti in corrispondenza dei +,
si crea una sequenza di frazioni parziali; dunque la prima frazione parziale è questo tizio, la seconda frazione parziale è questa qui,

Spanish: 
Para explicar esta zona gris, veamos esta identidad. ¿Cómo comprobamos si ésta igualdad
se cumple o no?
Bueno, lo que hacemos es que empezamos desde abajo, ¿vale? Así que 1+1/3 es...
4/3, y 1/esto es 3/4, calculamos esto, y continuamos igual
y vemos que sí, se cumple. Un amigo mío produció la fracción continua de un número,
uno infinito, y me dijo "averigua cuál es el número con el que empecé".
Ésta es. Y ahora, bueno, ¿cómo averiguo con qué número comenzó? ¡No puedo empezar
desde abajo porque no hay fondo!
Pero resulta que estas fracciones continuas tienen otra propiedad sorprendente,
que las hace muy útiles para todo tipo de fines. Si "cortamos" en los signos de suma,
creamos una secuencia de fracciones finita. Esta fracción parcial es ésto, la segunda fracción parcial es ésto...

Hungarian: 
Hogy elmagyarázhassam, mit is értek szürke zóna alatt, nézzük meg még egyszer ezt az azonosságot.
Hogyan ellenőrizzük azt, hogy itt most van-e
egy azonosság, vagy sincs?
Azt tesszük, hogy felgöngyöljük ezt a dolgot alulról, rendben? Szóval, 1+1/3 az...
4/3, és 1/az a dolog itt, aztán kiszámoljuk ezt, és ezt így folytatjuk,
majd megkapjuk, hogy igen, igaz. Egy barátom fogott egy számot és készített belőle egy lánctörtet,
egy végtelent, odaadta nekem, majd mondta "találd ki melyik számmal kezdtem".
Itt is van. Na és most, hogyan határozom meg, hogy melyik számból indult ki?
Nem göngyölhetem fel ezt a dolgot az aljáról, mert nincs alja!
De mint kiderült, ezeknek a lánctörteknek van egy másik nagyon elképesztő tulajdonsága,
ami nagyon hasznossá teszi őket mindenféle célokra. Ha levágsz dolgokat a pluszjeleknél,
akkor azzal egy parciális összegekből álló sorozatot hozol létre,
az első parciális összeg az ez, a második az emez itt,

Russian: 
Чтобы объяснить эту "серую зону", давайте посмотрим на это тождество. Как мы, вообще, можем проверить, действительно это
тождество или нет?
Ну, мы просто сворачиваем эту штуку [дробь] снизу вверх, так? Итак, 1+1/3 это...
4/3, далее 1 делить на [4/3] – получаем [3/4], дальше вычисляем [23/4], и мы продолжаем двигаться таким образом.
и выясняем, что, да, это верно. Мой друг однажды взял число и создал соответствующую непрерывную дробь.
бесконечную, дал её мне и сказал: «Ну-ка, выясни, с какого числа я начинал.»
Вот она. Теперь... ну, как я могу выяснить, с какого числа он начал? Я не могу свернуть [дробь]
снизу вверх, потому что у неё нет низа!
Однако выясняется, что эти непрерывные дроби обладают ещё одним потрясающим свойством,
которое делает их очень полезными для многих целей. Если вы будете отсекать эти дроби на плюсах,
то вы создадите последовательность частичных дробей; первая дробь [в этом случае] будет [3], вторая частичная дробь – это [3+1/7],

German: 
Um diese Grauzone zu erkären, betrachten wir noch einmal diese Gleichung. Wie überprüfen wir eigentlich, ob
die Gleichung stimmt, oder nicht?
Naja, wir gehen von unten nach oben vor.
4/3, und dann 1/das ist dies hier, und dann berechnen wir das, und wir machen so weiter
und finden heraus, dass die Gleichung stimmt. Ein Freund von mir hat einfache eine Zahl genommen, und eine zugehörigen
unendliche Kettenbruchdarstellung erzeugt. Er gibt sie mir, und sagt: "Finde heraus mit welcher Zahl ich angefangen habe."
Hier ist es. Wie finde ich heraus mit welcher Zahl er angefangen hat? Ich kann hier nicht
von unten nach oben vorgehen, weil es keine untere Grenze gibt.
Aber es zeigt sich, dass diese Kettenbrüche eine weitere, wirklich tolle Eigenschaft besitzen,
welche sie tatsächlich für viele Zwecke nützlich macht. Wenn man sie bei den Pluszeichen abschneidet,
kreiert man eine Folge von Partialbrüchen. Der erste Partialbruch ist der hier, der Zweite dieser.

Dutch: 
Om dit grijze gebied uit te leggen, bekijken we deze gelijkheid. Hoe kunnen we eigenlijk controleren of we
een gelijkheid hebben, of niet?
Nou, wat we doen is: we rollen de breuk op 
vanaf de onderkant. Dus 1 + 1/3 is...
4/3, and then 1/dit is deze breuk hier en dan gaan we zo door...
en zo vinden we dat het inderdaad klopt. Een vriend van me nam een getal en maakte een kettingbreuk,
een oneindige, en hij geeft het aan mij en vraagt me, "kom er maar achter met welk getal ik begon".
Hier is het. Maar nu, hoe kom ik erachter met welk getal hij begon? Ik kan deze breuk niet
vanaf de onderkant oprollen, want er is geen onderkant!
Maar het blijkt dat deze kettingbreuken een andere verbazingwekkende eigenschap hebben,
waardoor ze erg nuttig worden voor allerlei doeleinden. Als je de kettingbreuk bij de plussen afbreekt,
maak je een rij van deelbreuken, dus de eerste deelbreuk is deze, de tweede is deze,

Dutch: 
al deze breuken kun je uitrekenen en de rij van deelbreuken convergeert altijd naar het getal
waarmee mijn vriend begon.
 
Een kort maar belangrijk intermezzo...
We mogen hier alleen een gelijkheidsteken neerzetten, omdat de rij van deelbreuken hier
convergeert naar √2 in dit geval.
Onthoud, we  duwden deze term telkens voor ons uit en uiteindelijk gooide ik 'm
soort van weg en verving ik 'm met de drie puntjes.
Dat mag eigenlijk alleen als we exact vastpinnen wat we ermee bedoelen dat dingen dan nog steeds gelijk zijn.
 
De eerste deelbreuk is gewoon 3. 
De tweede deelbreuk is 3 + 1/7, oftewel 22/7.
De derde deelbreuk is, nou, gewoon de waarde van deze breuk, opgerold vanaf de onderkant.
Deze hier. En je gaat zo door, nog een laatste

German: 
All diese kann man berechnen, und die Folge der Partialbrüche konvergiert immer gegen die Zahl,
mit der mein Freund begonnen hat.
Kurzes aber sehr wichtiges Zwischenspiel...
Das Gleichheitszeichen hier zu schreiben, ist nur deshalb gerechtfertigt, weil die Folge der Partialbrüche
in diesem Fall gegen √2 konvergiert.
Nicht vergessen, wir haben immer nur dieses Term hinunter geschoben, und irgendwann habe ich
ihn einfach weggeworfen, und durch die drei Punkte ersetzt.
Das ist wirklich nur gerechtfertigt, wenn wir präzisieren, was hier Gleichheit bedeutet.
Der erste Partialbruch ist einfach 3. Der zweite ist 3 + 1/7, was 22/7 ergibt.
Der dritte Partialbruch ist - naja, einfach das hier von unten nach oben auswerten-
das hier. Und so machen wir weiter. Nur einen noch.

English: 
all of these guys you can calculate, and the sequence of partial fractions always converges to the number
that my friend started with here.
[Ummm...why is he staring at me?]
Quick but very important interlude...
for us to write the equal sign here is really only justified because the sequence of partial fractions here
converges to √2 in this case.
Remember, we were always pushing this term down there ahead of us, and eventually, I just kind of
threw it away and replaced it with the three dots.
Well, that's really only justified if we pin down exactly what we mean for things to still be equal at that point.
[More interlude]
The first partial fraction is just 3. Second partial fraction is 3 + 1/7, which is 22/7.
The third partial fraction is - well, just the value of this guy here, rolling it up from the bottom,
That guy here. And you keep on going like this, well, just one more.

Italian: 
potete calcolare ognuno di questi qui e la sequenza di frazioni parziali converge sempre al numero
con il quale il mio amico ha iniziato.
 
Rapido ma molto importante interludio...
per noi scrivere il segno di uguaglianza qui è giustificato unicamente dal fatto che la sequenza di frazioni parziali qui
converge a  √2 in questo caso.
Ricordate, abbiamo sempre continuato a spingere questo termine qua giù e, ala fine, l'ho solo come
buttato via e rimpiazzato con i tre punti.
Bene, ciò è giustificato unicamente se determiniamo esattamente cosa ancora intendiamo per "cose uguali tra loro" a questo punto.
 
La prima frazione parziale è solo 3, la seconda frazione parziale è 3+1/7, che equivale a 22/7,
la terza frazione parziale è - beh, il valore di questo tizio qui rovesciando dal basso:
questo tizio qui. Poi si continua così, bene, solo un altro.

Russian: 
все эти [дроби] вы можете вычислить, и последовательность этих частичных дробей всегда будет сходиться к числу,
с которого мой друг начал.
Быстрая, но очень важная интерлюдия ...
Мы обоснованно можем писать знак равенства здесь лишь потому, что последовательность частичных дробей
в этом случае сходится к √2.
Помните, что мы всегда толкали этот [знаменатель] вперёд нас, и в конце концов я просто
выкинул его и заменил троеточием.
Ну, это действительно оправданно только если мы однозначно установим, что подразумевается под равенством левой и правой части в этот момент.
Первая частичная дробь – это просто 3. Вторая частичная дробь – это 3+1/7, что равно 22/7.
Третья частичная дробь – ну, надо просто посчитать значение этой штуки, сворачивая её снизу.
Получаем [333/106]. И мы продолжаем в том же духе... [355/113]... сделаем ещё один шаг.

Hungarian: 
mindegyiket kiszámolhatod, és a parciális összegek sorozata ahhoz a számhoz fog tartani,
amelyikből az én barátom kiindult.
Egy gyors, de nagyon fontos közjáték...
Azért van megengedve nekünk, hogy leírhassuk itt az egyenlőségjelet, mert a parciális összegek sorozata
√2-höz tart ebben az esetben.
Ne feledd, mi mindig csak lefelé toltuk ezt a kifejezést magunk előtt, majd végül
csak eldobtuk és kicseréltük a három pontra.
Ez csak akkor indokolt, ha leszögezzük, hogy pontosan miket tekintünk egyenlőknek.
Az első parciális összeg csupán 3. A második az 3+1/7, ami 22/7.
A harmadik, hát, kiértékelve, ugye alulról felgöngyölve,
ez itt. És így mész tovább és tovább, most még nézzünk egyet.

Korean: 
모든 녀석으로부터 부분분수를 얻을 수 있고, 항상 이 부분분수는
그가 골랐던 수로 수렴하게 됩니다.
[선생님 왜 저를 바라보세요...]
잠시만 막간을 이용해서 중요한 얘기를 해봅시다.
이 등호는 다음과 같은 경우에만 성립하게 되는데,
바로 이 경우, 부분분수의 수열이 √2로 수렴할때만이죠.
명심하세요. 이렇게 부분분수들로 계속 나아갈때,
이 나머지 부분을 그냥 3개의 점으로 생략했죠.
이렇게 생략이 가능한 경우는 우리가 이렇게 생략해도 정확히 이 등호가 성립하는게 무엇이 의미하는지 명확히 정의할 때만 가능합니다.
 
첫번째 부분분수는 그냥 3이고, 두번째는 3 + 1/7, 22/7이죠.
세번째 부분분수는... 이녀석입니다. 아래서부터 차근차근계산하면
이 놈입니다. 그리고 이런식으로 하나만 더 해봅시다.

Spanish: 
Podemos seguir calculando cada vez más, y la secuencia de fracciones parciales convergerá [se acerca cada vez más] hacia el número
con el que mi amigo empezó.
[¿Por qué me está mirando...?]
Una pausa rápida pero muy importante...
Se justifica el escribir éste signo igual aquí sólo porque la secuencia de fracciones parciales
converge a √2 en este caso.
Recuerda, siempre íbamos sustituyendo éste término hacia abajo, hasta que lo
ignoré y lo reemplacé con tres puntos.
Bueno, eso sólo se justifica si precisamos exactamente lo que queremos decir con "igual a".
[Pausa]
La primera fracción parcial es 3. La segunda es 3+1/7, que es 22/7=3.14285714...
La tercera fracción parcial es... bueno, el valor de todo ésto empezando desde abajo
es ésto [333/106]. Podemos continuar así... vale, sólo uno más. [355/113]

German: 
Also das hier. Dies sind also Brüche, die immer näher und näher an die Zahl herankommen, die wir suchen.
Sie haben es vermutlich schon erraten - 22/7 verrät , dass wir π approximieren.
Das ist also ein Kettenbruch von π, ein einfacher.
Um zu sehen wie gut diese Approximationen sind, wandeln wir sie in Dezimalzahlen um,
so, und ich habe hervorgehoben, bis zu welcher Nachkommastelle sie mit der Dezimalentwicklung von π übereinstimmen.
Und sie sehen, diese hier - lächerlich gut. Tatsächlich sind die Brüche hier auf der linken Seite
in der Geschichte von π überaus berühmt. In einem sehr strengen Sinne, sind es die besten Approximationen
von π.
Und im Allgemeinen zeigt es sich, dass die Partialbrüche, die man so aus einem Kettenbruch gewinnt,
die besten rationalen Approximationen zu dieser Zahl sind.

Dutch: 
Deze breuk dus. Dus deze breuken komen dichter- en dichterbij de waarde die we zoeken,
en je hebt het waarschijnlijk al geraden - 22/7 geeft al weg dat wat we hier benaderen is: π.
Dus dit is de kettingbreuk van π, een simpele.
Om te zien hoe goed deze benaderingen zijn, 
schrijven we ze in decimalen.
Daar gaan we en hier heb ik gemarkeerd tot welke decimalen ze daadwerkelijk overeenkomen met de decimale expantie van π.
En je kunt zien, deze hier - belachelijk goed. Deze breuken die je hier ziet aan de linkerkant,
zijn ongelooflijk belangrijk binnen de geschiedenis van π; in zekere zin zijn ze de beste benaderingen
van π.
En in het algemeen blijkt dat de deelbreuken 
die uit de kettingbreuk komen
van een getal, de beste benaderingen zijn van dat getal.

Spanish: 
Esto de aquí. [103993/33102]. Así que éstas son fracciones que se acercan más y más al número que estamos buscando,
y probablemente ya lo adivinaste (pues 22/7 es conocido por esto) que nos estamos acercando a π.
Ésto es la fracción continua de π, una simple.
Para ver como de buenas son estas aproximaciones, convirtamos las fracciones a decimales.
Así. Aquí he marcado de un color diferente qué dígitos corresponden a la forma decimal de π.
Y puedes ver que éste de aquí, es ridículamente bueno. Estas fracciones que ves en el lado izquierdo
son muy famosas en la historia de π, pues en un sentido estricto son las mejores aproximaciones
de π.
Y en general, resulta que las fracciones parciales que salen de una fracción continua
son las mejores aproximaciones racionales al número al que equivale la fracción.

Hungarian: 
Ez itt. Ezek törtek, amik egyre közelebb és közelebb kerülnek ahhoz a számhoz, ami után kutatunk,
és már valószínűleg kitaláltad - a 22/7 elárulja, hogy ami után mi itt kutattunk az π.
Tehát ez a végtelen lánctört formája a π-nek, egy egyszerű lánctört.
Hogy láthassuk, mennyire pontosak ezek a közelítések, alakítsuk őket tizedes tört formába,
itt is vannak, kiemeltem, hogy melyik számjegyig vannak összhangban a π tizedes tört alakjával.
És láthatod, hogy ez itt - nevetségesen jó. Ezek a törtek, amiket itt a bal oldalt látsz,
ezek hihetetlenül híresek a π történetében, nagyon szigorú értelemben véve ezek a legjobb közelítései
a π-nek.
És általánosan, kiderült, hogy a parciális összegek, amik egy szám
lánctörtjéből jönnek ki, a legjobb racionális közelítései annak a számnak.

Korean: 
이 녀석이에요. 이 분수들은 어떤 수에 점점 가까워 지고 있습니다.
그리고 아마도 추측했을 겁니다. 22/7는 π를 근사할때 쓴 분수죠.
따라서 이건 π의 연분수형태죠. 간단한 형태입니다.
이 근사가 얼마나 정확한지 보기위해 이걸 소수점으로 풀어봅시다.
이겁니다. 그리고 π와 일치하는 자리를 표시해보죠.
잘 본다면 이 녀석은 정말 말도 안되게 가깝네요. 그리고 저 왼쪽에 있는 분수들은...
실제로 역사에서 π를 근사할 때 쓴 유명한 녀석들 입니다. 좀더 엄밀하게
π에 가장 가까운 근사들이죠.
좀더 일반화 하면,  연분수에서 나온 부분분수들은...
그 수에 제일 가까운 유리수 근사들입니다.

Russian: 
Получаем [103993/33102]. Это и есть дроби, которые всё больше и больше приближаются к тому числу, которое нас интересует,
и вы, наверное, уже догадались – 22/7 выдаёт его с головой – что мы аппроксимируем число π.
Так что это является "простой" непрерывной дробью, соответствующей числу π.
Для того, чтобы увидеть, насколько хороши эти аппроксимации, давайте просто превратим их в десятичные записи.
Вооот так. Я выделил, вплоть до какой цифры они соответствуют настоящей десятичной записи числа π.
Можно заметить, что вот эта [аппроксимация] просто дико хороша. Все дроби, которые вы видите здесь слева,
они на самом деле невероятно известны в истории числа π, в том строгом смысле, что они являются наилучшими аппроксимациями
к числу π.
И в целом, оказывается, что частичные дроби, вылезающие из непрерывной дроби
любого числа являются наилучшими рациональными аппроксимациями к этому числу.

Italian: 
Quindi questo tizio qui. Queste sono frazioni che si avvicinano sempre più a qualsiasi numero vi sia dietro;
probabilmente lo avete già indovinato- 22/7 è un indizio palese riguardo il fatto che ciò che stiamo approssimando qui è π.
Dunque questa è l'espansione in frazione continua di π, una semplice.
Per verificare quanto siano effettivamente accurate queste approssimazioni, convertiamole in decimali,
eccoci; qui ho evidenziato quali cifre effettivamente corrispondano all'espansione decimale di π.
Potete vedere, questa qui- tremendamente buona. Ora, queste frazioni che vedete sul lato sinistro,
sono effettivamente incredibilmente famose all'interno della storia di π; da un punto di vista molto rigoroso sono le migliori approssimazioni
di π.
Inoltre in generale, si verifica che tutte le frazioni originate dall'espansione della
frazione continua di un numero sono le migliori approssimazioni razionali  di quel numero.

English: 
So this guy here. So these are fractions that are getting closer and closer to whatever number we are after,
and you probably guessed it already - 22/7 is a giveaway at what we're approximating here is π.
So this is the continued fraction expansion of π, a simple one.
To see how good these approximations are, let's just turn them into decimals,
there we go, and here, I've highlighted to what digit they actually correspond to the decimal expansion of π.
And you can see, this one here - ridiculously good. Now these fractions that you see here on the left side,
they are actually incredibly famous within the history of π, in a very strict sense they are the best approximations
to π.
And just in general, it turns out that the partial fractions that come out of a continued fraction
expansion of a number are the best rational approximations to that number.

Korean: 
무슨 의미일까요? 만약 이 분모들이 클수록
여러분이 관심있는 수에 더 가까운 근사가 되죠. 여기서 주목해야할 점은 이렇게 작은 분모를 썼는데도
놀라울 정도로 π와 가깝습니다. 아마도 많아야 한자리 밖에 안맞을 거라 예상하지만 이정도로 가까울 줄은 몰랐겠죠.
이 다섯자리짜리 수로만으로도 π에 실제 값에 뺨칠정도로 가깝습니다.
 
아래의 동영상 설명을 보시면, 좀더 수학적으로 엄밀한 정의들이 나와있습니다.
이걸로 앞에서 설명한 '무엇이 무리수에 가까운지' 설명할 수 있습니다.
두 수를 골라서, 이들의 가장 좋은 유리수 근사들을 골라,
원래의 수들과 비교합니다.
여기서 무엇이 원래의 수와 더 가깝게 근사할 수 있는지,  아니면 좀 더 근사하기 어려운지 판단합니다.
자 이제 다음과 같은 두 녀석을 골라 예를 봅시다. 여기 Φ와 π거 았습니다.

English: 
Now in what sense? Obviously, if you take larger and larger denominators, you can get closer and closer with
fractions to whatever number you're interested in. But the point is that you're using very small denominators,
to really get incredibly close. So you wouldn't expect, with just one digit, to be able to get as close as that.
Or with, like, a 5-digit number, to get as close as that, so they're really punching way above their weight,
these, these fractions.
And in the description, I say a little bit more about the precise mathematical definitions.
So now we actually get this grey zone happening that I was talking about before...
What we do is we take two numbers, and we generate these partial fractions which are the 'best' possible
approxi - rational approximations, and then we compare, well, which of these two numbers
is easy to approximate, and which is not so easy to approximate, uh, using these, these partial fractions.
Okay, well, let's just compare those two guys for example, right, so there's Φ,

Italian: 
Ora, in che senso? Ovviamente, prendendo denominatori sempre più grandi, ci si può avvicinare sempre di più con
le frazioni a qualsiasi numero si sia interessati. Tuttavia il punto è che qui si stanno utilizzando denominatori molto piccoli
per arrivare incredibilmente vicini. Dunque non vi aspettereste, con solo una cifra, di essere in grado di avvicinarvi in quel modo.
Oppure, ad esempio, con un numero a cinque cifre, di avvicinarvi così; dunque si stanno davvero dimostrando più efficaci di quanto ci si aspetterebbe,
queste, queste frazioni.
In aggiunta in descrizione dico qualcosa in più riguardo le precise definizioni matematiche.
Dunque, ora arriviamo effettivamente in questa zona grigia che è  ciò di cui stavo parlando prima...
Ciò che facciamo è prendere questi due numeri e generare queste frazioni parziali, le quali sono le "migliori"
approssimazioni - approssimazioni razionali - possibili e poi compariamo, beh, quale tra questi due numeri
è semplice da approssimare e quale non lo è così tanto, ehm, usando queste, queste frazioni parziali.
Ok, bene, confrontiamo questi due qui per esempio,  quindi, qui c'è Φ,

Dutch: 
Maar in welke zin? Het is duidelijk dat je met grotere en grotere noemers, dichter- en dichterbij kunt komen
met breuken bij alles waar je geïnteresseerd in bent. Maar het punt is dat je heel kleine noemers gebruikt,
om ongelooflijk dichtbij te komen. Je zou niet verwachten om met één cijfer al zo dichtbij te komen.
Of om met een 5-cijferig getal al zo dichtbij te komen, dus ze doen het veel beter verwacht
deze breuken.
En in de beschrijving zeg ik wat meer over de
precieze wiskundige definities.
Nu krijgen we dus dit grijze gebied
waar ik het eerder over had.
Wat we doen is, we nemen twee getallen en genereren de deelbreuken die de 'best' mogelijke
rationale benaderingen zijn, en dan vergelijken we 
welke van deze twee getallen
makkelijk te benaderen is en welke niet zo makkelijk te benaderen is, gebruikmakend van deze deelbreuken.
Oké, nou, laten we bijvoorbeeld deze twee getallen vergelijken, dus hier is Φ,

Russian: 
В каком именно смысле лучшими? Очевидно, что если вы берете всё больше и больше знаменатели, то будете получать дроби всё ближе и ближе
к любому интересующему вас числу. Но дело в том, что тут вы используете достаточно маленькие знаменатели,
чтобы оказаться невероятно близко [к числу]. Трудно ожидать такую близкую аппроксимацию со всего лишь одной цифрой [в знаменателе].
Или с 5-значным числом оказаться настолько близко [к числу]. То есть, эти дроби явно прыгают выше головы
в аппроксимации числа.
В описании [видео] я говорю немного больше о точных математических определениях в этой теме.
Итак, теперь мы уже видим возникновение этой "серой зоны", о которой я говорил ранее...
Мы делаем следующее: берём два числа, генерируем для них эти частичные дроби, которые являются наилучшими
рациональными аппроксимациями к ним, а затем сравниваем, какое из этих чисел
проще аппроксимировать, а какое сложнее, с использованием этих частичных дробей.
Давайте просто сравним вот эти два числа, например. В числе Φ

Spanish: 
¿Pero en qué sentido? Obviamente, si usamos denominadores más y más grandes, podemos tener fracciones cuyo
equivalente decimal esté más y más cerca del número en cuestión. Pero la gracia está en que estamos usando
denominadores muy pequeños para ser muy precisos. No esperarías que con un dígito estuviéramos tan cerca.
O que, con un número de 5 dígitos fuéramos tan precisos, por lo que estas fracciones son mejores
de lo que parecen.
En la descripción cuento un poco más sobre las definiciones matemáticas precisas.
Así que ahora sí que tenemos esta zona gris de la que antes hablaba.
Así que tomamos dos números, creamos estas fracciones parciales (que son las mejores racion...
aproximaciones racionales, y luego comparamos cuál de éstos dos números
es fácil de aproximar, y cuál no es tan fácil de aproximar usando, eh, estas fracciones parciales.
De acuerdo, pues comparemos estas dos fracciones por ejemplo. Aquí está Φ.

German: 
Aber in welchem Sinne? Offensichtlich kann man durch immer größere Nenner, mit
Brüchen immer näher an die gesuchte Zahl herankommen. Der Punkt ist aber, dass man durch sehr kleine Nenner
schon sehr nah herankommen kann. Man würde nicht erwarten, mit nur einer Ziffer schon so eine gute Annäherung zu erhalten.
Oder, etwa mit einer 5-stelligen Zahl, so nah heranzukommen. Diese Brüche kämpfen also wirklich
weit über ihrer eigenen Gewichtsklasse.
In der Videobeschreibung sage ich mehr zu den exakten mathematischen Definitionen.
Jetzt erhalten wir wirklich diese Grauzone über die ich vorhin sprach...
Wir nehmen zwei Zahlen, und erzeugen die "bestmöglichen"
rationalen Approximationen, und vergleichen, welche von beiden
mit diesen Partialbrüchen einfach anzunähern ist, und welche weniger einfach.
Vergleichen wir also diese beiden hier, also da steht Φ,

Hungarian: 
De milyen értelemben?
Nyilvánvalóan, ha egyre nagyobb és nagyobb nevezőket veszel, akkor azzal egyre közelebb és közelebb
kerülsz a törttel ahhoz a számhoz, ami érdekel. De a lényeg az, hogy nagyon kicsi nevezőket használj ahhoz,
hogy hihetetlenül közel kerülj. Nem számítanál arra, hogy csupán egyetlen számjeggyel ilyen közel kerülhess.
Vagy hogy egy ötjegyű számmal ilyen közel kerülhess, szóval tényleg nagyon túlteljesítenek
ezek a törtek.
A leírásban egy kicsit többet írok a precíz matematikai definíciókról.
Most eljutottunk ehhez a szürke zónához, amiről az előbb beszéltem...
Azt csináljuk, hogy veszünk két számot, és létrehozzuk ezeket a parciális összegeket, amik a "legjobb"
közelíté-- racionális közelítések, és aztán összehasonlítjuk, hogy a két szám közül melyiket
lehet könnyebben közelíteni, és melyiket kevésbé könnyen, a lánctörteket használva.
Hasonlítsuk össze ezt a kettőt, itt van Φ,

Italian: 
c'è un ordine qui - e questo qui, un po' disordinato; quale credete sia più irrazionale?
Ok, molte persone direbbero: > ma, in realtà, avrebbero torto.
 
Questo tizio qui è il numero più irrazionale - è molto difficile approssimarlo con delle frazioni,
mentre, come avete appena visto, è molto semplice approssimare questo qui efficacemente con le frazioni;
in aggiunta, per rendere ancora più chiaro questo punto, ho qui una tavola di frazioni parziali una di fianco all'altra, bene,
qui sul lato sinistro potete vedere che quelle per π si avvicinano al valore effettivo molto rapidamente;
dall'altro lato, queste "migliori" approssimazioni stanno facendo molta fatica ad avvicinarsi a Φ
e potete rimpiazzare π con quasi ogni altro numero, Φ risulterà sempre più difficile da approssimare degli altri.
La ragione di ciò, del fatto che sia molto più difficile da approssimare, guardando molto attentamente, è in realtà nascosta in bella vista;

Hungarian: 
itt mindenfelé rend van, itt viszont kis rendetlenség, szerinted melyik az irracionálisabb?
Szerintem a legtöbb ember azt mondaná, hogy "hát, π irracionálisabb", de igazából ők tévednének.
Ez itt a legirracionálisabb szám - nagyon nehéz közelíteni törtekkel,
míg, ahogy ezt az előbb láttuk, emezt nagyon egyszerű közelíteni igazán pontosan törtekkel,
és csak hogy még jobban meg tudjam mutatni ezt, itt van egy táblázat a parciális törtekről egymás mellett,
itt a bal oldalon láthatod a π-het tartozóakat, nagyon ráközelíteni a π-re egy hihetetlen sebességgel,
míg a másik oldalon ezek a "legjobb" közelítések a Φ-re, nagyon kínszenvedve kerülnek csak közel Φ-hez,
és itt akármelyik számot beírhatod a π helyére,
Φ mindig sokkal rosszabbul fog teljesíteni, mint akármi más.
És az oka ennek a "rosszul teljesítésnek" igazából az orrunk előtt van elrejtve.

Russian: 
везде есть чёткий порядок, а в этом же, ну, порядка явно не хватает. Какое из них, вы думаете, является более иррациональным?
Хорошо, я думаю, что большинство людей сказали бы, «ну, π выглядит более иррациональным», но на самом деле, они были бы неправы.
Эта штука [Φ] является самым иррациональным числом из всех – его очень тяжело аппроксимировать при помощи дробей,
в то время как это число, как мы уже видели, очень легко аппроксимировать очень и очень точно при помощи дробей.
Чтобы эта мысль запомнилась лучше, у меня есть соединённые таблицы частичных дробей для этих двух чисел.
Здесь, на левой стороне, находятся дроби для π, которые невероятно быстро становятся чрезвычайно точными.
С другой стороны, те же «лучшие» аппроксимации для Φ безуспешно пытаются хотя бы немного приблизиться к Φ.
Можно заменить π на практически любое другое число, и Φ всегда будет показывать себя с худшей стороны.
И если очень внимательно приглядеться, причина того, что Φ всегда хуже, на самом деле таится у всех на виду.

English: 
there's order all over here, and this one here, a bit of a mess, which one do you think is more irrational?
Okay, I'd say most people would say, "well, π is more irrational", but actually, they would be wrong.
[Plot twist]
This guy is the most irrational number - it's very hard to approximate this guy here with fractions,
where, as we've just seen, it's very easy to approximate this one really really well with fractions,
and just to really drive home this point here, I've got a table of partial fractions next to each other, right,
here on the left side, you see the ones for π, right, really zooming in to π at an incredible speed,
On the other hand, these 'best' approximations for Φ, they are really struggling to get close to Φ,
and you can replace π by pretty much any other number here, Φ will always do a lot worse than anything else.
And the reason for it, doing a lot worse, when you have a really really close look, is actually hidden in plain sight.

Korean: 
여기 그들의 연분수고요, 명확하진 않지만, 여러분들은 어떤게 더 무리수 같다고 생각하나요?
대부분의 사람이 π가 더 무리수답다고 생각할겁니다. 하지만 아닙니다.
[대반전]
이 녀석이 가장 무리수다운 녀석이에요. 왜냐하면 이녀석은 이 분수들로 더럽게 근사가 안됩니다.
반면에 이 녀석은 앞에서 본 것처럼 근사가 매우 잘 되죠.
여러분들을 납득시키기 위해, 여기 표를 준비했습니다.
여기 왼쪽은 π의것인데, 엄청나게 빠른 속도로  π에 가까워집니다.
반면에, 이것들은 Φ에 대한 최선의 근사인데, 정말로 근사가 안되기 짝이 없습니다.
더 나아가서, π를 어떤수로 바꾸어도  Φ 보다 느리게 근사가 되지 않습니다. 다시 말해서,  Φ가 모든 수들 중 유리수로 근사시키기가 제일 엉망이라는 뜻이죠.
제일 엉망인 이유는, 여러분들이 만약 주의깊게 봐야할 정도로 숨겨져 있습니다.

German: 
hier ist es sehr ordentlich, und bei der anderen sieht es etwas chaotischer aus. Welche Zahl, glauben Sie, ist irrationaler?
Vermutlich würden die meisten Leute π antworten, tatsächlich lägen sie aber falsch.
Diese Zahl hier (Φ) ist die irrationalste Zahl, sie ist am schwersten durch Brüche anzunähern.
wohingegen, wie wir gerade sahen, π recht einfach durch Brüche anzunähern ist.
Und nur um es wirklich klar zu machen, vergleichen wir diese Tabellen der entsprechenden Partialbrüche.
Auf der linken Seite stehen die von π, welche sich schnell der Zahl annähern.
Auf der anderen Seite, tun sich die "besten" Approximationen an Φ wirklich schwer, nah heranzukommen.
Und man kann π durch praktisch jede andere Zahl ersetzen, und Φ wird dennoch schlechter abschneiden.
Der Grund dafür, liegt, wenn man genau hinsieht, wirklich in Sichtweite verborgen.

Spanish: 
Hay orden por aquí, pero con π, un desastre. ¿Cuál crees que es más irracional?
Vale, creo que la mayoría de la gente diría "bueno, π es más irracional", pero de hecho, es incorrecto.
[Cambio de argumento]
Φ es el número más irracional, pues es muy difícil de aproximar con fracciones,
mientras que como hemos visto, π es muy fácil de aproximar bien con fracciones.
Como quiero demostrar esto, tengo una tabla de fracciones parciales una al lado de la otra.
En la izquierda tenemos a las de π, acercándose al valor decimal muy rápido,
mientras que estas "mejores" aproximaciones a Φ, bueno, presentan problemas para acercarse a Φ.
Podemos reemplazar π por cualquier otro número, y las fracciones de Φ siempre aproximarán peor.
La razón de que sea mucho peor al aproximar está a simple vista, no hay que fijarse mucho.

Dutch: 
hier is overal orde, en deze hier is een beetje een chaos; welke denk je dat irrationaler is?
Oké, ik denk dat de meeste mensen zouden zeggen nou, "π is irrationaler", maar ze zouden ongelijk hebben.
 
Deze hier is het meest irrationale getal - het is erg moeilijk om het te benaderen met breuken,
terwijl, zoals we net zagen, het erg makkelijk is om deze erg goed te benaderen met breuken,
en om dit punt te benadrukken heb ik hier een 
tabel van deelbreuken naast elkaar,
Hier aan de linkerkant zie je die van π, die echt op π inzoomen op een ongelooflijke snelheid.
Aan de andere kant hebben de 'beste' benaderingen van Φ heel veel moeite om dichtbij Φ te komen,
en je kan π hier vervangen door ongeveer elk ander getal; Φ zal het altijd een stuk slechter doen dan wat dan ook.
En de reden dat hij het zo slecht doet is, 
als je goed kijkt, erg duidelijk.

Russian: 
Это связано с этими числами [в дроби]. Когда вы прокручиваете эти числа, к примеру 3, 7, 15 и так далее,
чем больше каждое число, тем ближе вы "прыгаете" к настоящему значению [числа] при вычислении частичной дроби.
Так, что-то вроде этого [292] является невероятным скачком к реальному значению π при вычислении этой частичной дроби.
Поэтому, когда эти цифры становятся маленькими, то и скачки будут небольшими. И они становятся меньше некуда тогда, когда мы выбираем
числа меньше некуда – то есть, одни единицы. Меньше никак нельзя.
И таким образом, это делает Φ самым иррациональным из всех иррациональных чисел.
Хотя до этого есть дело, да? *Смеется* Ну, математикам, безусловно, не всё равно.
Но, возможно, вы слышали о том, что Φ, золотое сечение, повсюду встречается в природе.
И на самом деле, всякий раз, когда Φ появляется, тут же рядом появляются числа Фибоначчи.
И много природных явлений, которые тесно связаны с Φ и числами Фибоначчи,

Hungarian: 
Ezekhez a számokhoz van köze itt, ahogy itt haladsz végig ezen számok között,
3, 7, 15, és így tovább, minél nagyobb számok vannak itt,
annál közelebb "ugrasz" a valós értékhez, mikor kiértékeled a parciális összeget.
Szóval egy ilyesmi az egy hihetetlenül nagy ugrás a π valós értékéhez,
mikor kiértékeled ezt a parciális összeget.
Tehát mikor ezek a számok kicsik, az ugrások is kicsik lesznek.
És ezek a számok olyan kicsik, amilyenek csak lehetnek,
ha a lehető legkisebbnek választod meg őket. Ha mind 1, akkor ennél nem lehetnek már kisebbek.
És ez teszi a Φ-t a legirracionálisabb számmá.
Kit érdekel, mi? Hát, a matematikusokat ez határozottan érdekli.
De már azt is hallhattad, hogy a Φ, az aranymetszés aránya, mindenhol megtalálható a természetben,
és igazából, akárhol felbukkan a Φ, a Fibonacci-számok is feljönnek.
És rengeteg fogalom, ami a Φ-vel és a Fibonacci-számokkal együtt jár a természetben

German: 
Es hat mit diesen Zahlen zu tun. Wenn man sie durchsieht, etwa 3, 7, 15, und so weiter,
je größer sie sind, desto weiter springt man an den echten Wert heran, wenn man den Partialbruch auswertet.
Eine Zahl wie hier ist ein gewaltiger Sprung in Richtung des tatsächlichen Wertes von π, wenn man den Partialbruch auswertet.
Wenn diese Zahlen also klein werden, werden die Sprünge klein. Und die Sprünge werden am kleinsten, wenn
man die Zahlen so klein wie möglich wählt. Und kleiner als nur Einsen, geht es nicht.
Das also macht Φ zur irrationalsten aller irrationalen Zahlen.
Wenn interessiert's, was? *lacht* Naja, Mathematiker interessiert es definitiv.
Aber sie haben vielleicht gehört, dass Φ, der goldene Schnitt, überall in der Natur auftaucht.
Und wenn Φ auftaucht, sind Fibonacci Zahlen nicht weit.
Und viele der Phänomene, bei denen Φ und die Fibonacci Zahlen in der Natur auftauchen,

Italian: 
essa riguarda questi numeri qui, infatti scorrendo tra questi numeri come 3, 7, 15 e così via,
ci si avvina sempre più al valore effettivo quanto maggiore è il numero qui quando si calcola la frazione parziale.
Dunque qualcosa come questo è un salto incredibile verso il valore reale di π quando si calcola la frazione parziale.
Quindi il fatto che questi numeri diventino piccoli - e diventano il più piccoli possibile quando li si sceglie
il più piccoli possibile, scegliendo 1 non diventa più piccolo di così-
rende Φ il più irrazionale tra tutti i numeri.
A chi importa, giusto? *ride* Beh, ai matematici sicuramente sì.
 
Tuttavia potreste anche aver sentito che Φ, il rapporto aureo, è presente ovunque in natura,
infatti, ogni volta che Φ salta fuori, compaiono anche i numeri di Fibonacci.
Inoltre molti fenomeni che hanno a che fare con Φ e con i numeri di Fibonacci che si verificano in natura

English: 
It's got to do with these numbers here, so when you kind of scroll through these numbers, like 3, 7, 15, and so on,
the larger the numbers you have here, the closer you jump towards the real value when you evaluate the partial fraction.
So, something like this is an incredible jump towards the real value of π when you evaluate this partial fraction.
So when these numbers get small, the jumps get small. And they get as small as possible if you just choose
them as small as possible, if it's all 1, it  doesn't get any smaller than this.
And so this makes Φ the most irrational of all irrational numbers.
Who cares, right? *laughs* Well, mathematicians definitely care.
[And so do I!]
But you may also have heard that Φ, the golden ratio, is present in nature all over the place,
and in fact, whenever Φ comes up, the Fibonacci numbers come up.
And a lot of the phenomena that go with Φ and the Fibonacci numbers coming up together in nature

Korean: 
바로 여기에 있는 숫자들이죠. 만약 여기에 있는 숫자들을 따라가면, 3, 7, 15, ...
여기에 더 큰수가 있을 수록, 부분분수가 실제의 값에 더 빠르게 근접하게 됩니다.
즉, 부분분수의 값이 π의 실제값이 미친듯이 빠르게 근접하는 이유가 바로 이것입니다.
또한, 이 수들이 작을수록, 근사가 느려지게 됩니다. 이 들이 가장 작은 경우를 만들기 위해선,
여러분들이 여기에 모두 1을 넣게 되면 됩니다. 이것보단 작을 순 없습니다.
따라서 Φ가 모든 무리수중 가장 무리수다운 이유가 바로 이것입니다.
근데 누가 이걸 신경쓰나요? *웃음* 수학자들은 분명히 신경쓰겠죠.
[(저도 그렇습니다)]
아마도 여러분들은 황금비 Φ에가 자연 곳곳에 존재한다는걸 들어봤을겁니다.
사실은, Φ가 따라오는 곳에는 피보나치 수들도 자연스레 따라오게 되죠.
또한 Φ와 피보나치수로 설명될수 있는 현상들은

Dutch: 
Het heeft te maken met deze getallen hier, dus als je door deze getallen heengaat, zoals 3, 7, 15, enzovoort,
hoe groter de getallen je hebt, hoe groter de sprong richting de echte waarde als je de deelbreuk uitrekent.
Dus zoiets als dit is een ontzettend grote stap richting de echte waarde van π als je de deelbreuk uitrekent.
Dus als deze getallen klein zijn, zijn de sprongen klein. En ze zijn zo klein mogelijk als je ze
zo klein als mogelijk kiest; als alles 1 is 
dan kan het niet kleiner worden.
En daarom maakt dit Φ het meest 
irrationale van alle irrationale getallen.
Wie kan het schelen, toch? *lacht* Nou, 
een wiskundige maakt het zeker uit!
 
Maar je hebt misschien ook gehoord dat Φ, de gulden snede, overal in de natuur voorkomt;
en in feite, wanneer Φ voorkomt, komen 
ook de Fibonacci getallen voor.
En een hoop van de fenomenen waarbij Φ en de Fibonacci getallen samen voorkomen in de natuur

Spanish: 
Tiene que ver con estos números. Cuando tienes estos números (3, 7, 15...),
cuanto más grandes sean los números, más te acercarás al valor real cuando operamos la fracción parcial.
Algo así [292] es un salto increíble hacia el valor real de π al operar esta fracción parcial.
Cuando estos números son pequeños, los saltos son pequeños. Y son lo más pequeño posible si simplemente
los números son todo unos. No pueden ser más pequeños.
Ésto hace a Φ el número más irracional de todos los números irracionales.
¿A quién le importa, verdad? *ríe* Bueno, a los matemáticos desde luego que le importa.
[A mí también]
Puede ser que también hayas escuchado que Φ, la proporción dorada, está presente en la naturaleza.
Y de hecho, cuando Φ está presente, también lo están los números de Fibonacci.
Muchos fenómenos que tienen que ver con Φ y los números de Fibonacci en la naturaleza

English: 
can actually be explained with these continued fractions.
And just to give you a taste, I'm not going to do this today, but I'll do it in another video,
just to show you where the Fibonacci numbers are hiding in here, so if you actually produce the partial fractions,
There you go, you can see Fibonacci numbers.
Straight away, right, there's the Fibonacci numbers, 1+1 is 2, 1+2 is 3, and so on, and so what is
an example of a natural occurrence of these things?
Well, look at a flower head like this - this guy here, and count spirals that you see here, twirling in one direction
That's a Fibonacci number, twirling in the other direction, that's another Fibonacci number, and
most people don't know this, but if you actually focus in on the middle part of a flower head like this,
you actually see different Fibonacci numbers popping out.
And in a flower head like this, this is actually grown with something called the 'divergence angle', and

Korean: 
실제로 연분수를 이용해서 설명할 수 있죠.
여러분들에게 잠깐 맛보기로 보여주자면, 자세한건 오늘 말고 다음시간에 할 겁니다.
피보나치수가 이 부분분수에 어디에 숨었나면요,
여기 있습니다. 여기 피보나치수 들이 보이네요.
명확히 보입니다. 이건 피보니치수죠. 1+1은 2고, 1+2은 3이고 , ...
그리고 자연에서 이것들이 어디에 나타날까요?
여러분들은 아마도 이렇게 생긴 꽃을 봤을겁니다. 이렇게 한쪽 방향으로 빙글빙글 돌게 생긴 모양이요.
이건 피보나치 수입니다. 다른 방향에서볼가요? 이것도요.
그리고 대부분이 잘 보지 못할텐데, 만약 가운데에 집중한다면
이렇게 다른 피보나치수도 볼수 있습니다.
이렇게도요. 실제로 이건 '발산 각'이라고 불리는 특정한 각도로 자랐습니다.

Italian: 
possono effettivamente essere spiegati utilizzando queste frazioni.
In aggiunta, solo per darvi un assaggio - non tratterò si questo oggi ma lo farò in un altro video -
solo per mostrarvi dove si nascondono i numeri di Fibonacci qui, isolando le frazioni parziali,
ecco, potete vedere i numeri di Fibonacci.
Immediatamente, ci sono i numeri di Fibonacci: 1+1 è uguale a 2, 1+2 a tre e così via; dunque qual è
un esempio in cui ciò si verifica in natura?
Beh, guardate questa forma floreale- questa qui - e contate le spirali che vedete qui che si piegano in una direzione,
quello è un numero di Fibonacci; nell'altra direzione, quello è un altro numero di Fibonacci e,
la maggior parte delle persone non sa ciò, ma se ci si concentra sulla parte centrale di una forma del genere così,
è possibile veder apparire diversi numeri di Fibonacci.
Una strutture floreale del genere è stata creata utilizzando qualcosa chiamato "angolo di divergenza" e

Dutch: 
kunnen daadwerkelijk verklaard 
worden met deze kettingbreuken.
En om een voorproefje te geven, 
(ik ga dit niet vandaag doen, maar in een andere video)
om aan te geven waar de Fibonacci getallen zich hier verborgen houden: als je alle deelbreuken opschrijft,
hier gaan we, dan zie je de Fibonacci getallen.
Onmiddelijk zijn hier de Fibonacci getallen, 1+1 is 2, 1+2 is 3, enzovoort, en dus wat is
een voorbeeld van een natuurlijk
 voorval van deze dingen?
Nou, bekijk de bovenkant van een bloem en tel de spiralen die je ziet, draaiend in één richting.
Dit is een Fibonacci getal, en draaiend in de andere richting, ook een Fibonacci getal, en
de meeste mensen weten dit niet, maar als je je op het middenstuk van een bloem  focust,
zie je de verschillende Fibonaccie getallen uitspringen.
In een bloem, ze groeien met iets genaamd de 'divergentiehoek', en

Hungarian: 
igazából megmagyarázható ezekkel a lánctörtekkel.
És csak hogy egy kis kóstolót adjak, nem fogom ezt ma megcsinálni, hanem majd egy másik videóban,
csak megmutatom, hogy itt a Fibonacci-számok hol bujkálnak. Szóval ha létrehozod a parciális összegeket,
itt is vannak, a Fibonacci-számok.
Itt vannak a Fibonacci-számok, 1+1 az 2, 1+2 az 3, és így tovább, szóval mi
lehet egy példa ezeknek a dolgoknak a természetes előfordulására?
Nézzünk csak egy virágzatot mint ez, és számoljuk meg az egy irányba forgó spirálokat.
Ez egy Fibonacci-szám. A másik irányba forgókat, egy másik Fibonacci-szám,
és a legtöbb ember nem tudja ezt, de ha egy ilyen virágzatnak a középső részére fókuszálsz,
más és más Fibonacci-számokat kapsz.
És egy ilyen virágzat, egy úgynevezett "eltérési szöggel" nő, és

Russian: 
на самом деле могут быть объяснены с помощью этих непрерывных дробей.
Чтобы дать вам прочувствовать это (я не собираюсь рассказывать об этом сегодня, но я сделаю это в другом видео),
чтобы показать вам, где же числа Фибоначчи скрываются тут... Если выписать частичные дроби здесь,
вот они, то можно сразу заметить числа Фибоначчи.
Вот они, числа Фибоначчи: 1+1 равно 2, 1+2 равно 3, и так далее. А что же является
примером естественного возникновения этих вещей?
Ну, посмотрите на вот такую цветочную головку и сосчитайте спирали, которые явно направлены в одном направлении...
это число Фибоначчи; и в другом направлении... уже другое число Фибоначчи, и
большинство людей не знают об этом, но если сосредоточиться на серединной части такого соцветия,
то можно увидеть возникновение других чисел Фибоначчи.
Соцветие наподобие этого растёт с так называемым "углом расходимости",

Spanish: 
pueden ser explicados con las fracciones continuas.
Y sólo para adelantar un poco (no voy a hablar mucho de ésto hoy pero sí en otro vídeo)
quiero enseñar dónde se esconden los números de Fibonacci aquí. Si creas las fracciones parciales...
Puedes ver los números de Fibonacci.
Aquí están, los números de Fibonacci. 1+1=2, 1+2=3, y así sucesivamente.
¿Cuál es un ejemplo natural de ésto?
Mira a esta flor. Cuenta espirales desde el centro, girando en una dirección.
Eso es un número de Fibonacci; girando en la otra dirección, otro número de Fibonacci...
La mayoría de la gente no sabe ésto, pero si te centras en la parte del medio de una flor
puedes encontrar diferentes números de Fibonacci.
En una flor como ésta hay algo llamado "ángulo de divergencia", y el

German: 
können durch diese Kettenbrüche erklärt werden.
Und um einen kleinen Vorgeschmack zu geben, ich werde es nicht heute machen, aber in einem anderen Video,
zeige ich Ihnen wo sich hier die Fibonacci Zahlen verstecken. Wenn man also die Partialbrüche berechnet,
sieht man sofort die Fibonacci Zahlen.
Ganz direkt, hier sind die Fibonacci Zahlen, 1+1 ist 2, 1+2 ist 3,  und so weiter. Was also ist ein
Beispiel von natürlichem Vorkommen dieser Dinge?
Sehen Sie sich diese Blüte hier an, und zählen die Spiralen, die sich in die eine Richtung winden.
Das ist eine Fibonacci Zahl, die Spiralen die sich in die andere Richtung winden, ergibt eine andere Fibonacci Zahl, und
die meisten Leute wissen das nicht, aber wenn man sich wie hier auf den mittleren Teil der Blüte konzentriert,
sieht man tatsächlich verschiedene Fibonacci Zahlen aufkommen.
Und in eine Blüte wie hier, wächst mit einem sogenannten "Divergenzwinkel", und

Korean: 
위의 꽃과 같이 생긴 꽃에서 볼 수 있는 '발산 각'은 실제로 Φ입니다.
다시 말하지만, 이건 다음 시간에 다루도록 하지요. 다다음이거나 더 다음일 수도 있습니다.
아무튼, 맨 처음에 말한 수수께기에 대해서 생각해봅시다. [1=2?]
만약 왜 그런지 알아낸다면 댓글에 무엇이 잘못되었는지 알려주세요. 기다리고 있겠습니다.
오늘은 여기까지 입니다.
[끝]

English: 
the divergence angle of a flower head like this, and many flower heads coming up in nature, is actually Φ.
Again, I'll talk about this in a follow-up video, it's either the next video, or the video after that.
Okay, but at this point in time, you should actually be ready for the puzzle.
So you figure out, and you tell us in the comments what's wrong here, what's right here, and I'm really looking forward to this.
And that's it for today.
[Outro music]

Dutch: 
de divergentiehoek van een bloem zoals deze, en veel bloemen die in de natuur voorkomen, is Φ.
Nogmaals, ik zal het hierover hebben in een vervolgvideo, ofwel in de volgende video of de vido daarna.
Oké, maar nu zou je klaar moeten zijn voor de puzzel.
Dus los het op en vertel ons in de reacties wat er fout gaat, wat er goed gaat, en ik kijk hier erg naar uit.
En dat is het voor vandaag.
 

Hungarian: 
egy ilyen virágzatnak, és még rengeteg más virágzatnak, ami a természetben fellelhető,
az eltérési szöge Φ.
Ismételten, erről majd egy későbbi videóban fogok beszélni, vagy a következőben, vagy az azutániban.
Most már minden bizonnyal készen állsz a rejtvényre.
Szóval találd ki, és mondd el nekünk kommentben,
hogy mi volt a hibás és mi volt a helyes itt, én már nagyon kíváncsi vagyok rá.
És ennyi lett volna mára.

Spanish: 
ángulo de divergencia de una flor como ésta (y muchas otras en la naturaleza) es de hecho Φ.
De nuevo, hablaré sobre ésto en un vídeo pronto, o es el siguiente vídeo o el siguiente del siguiente.
Ya deberías estar listo para resolver el puzzle.
Así que lo averiguas y nos dices en los comentarios qué falla aquí y qué es correcto, de verdad que lo espero.
Eso es todo por hoy.
[Música]

Russian: 
и угол расходимости этого соцветия, как и многих соцветий в природе, на самом деле равен Φ.
Опять же, я расскажу об этом в последующем видео. Это будет либо следующее видео, либо видео после него.
Хорошо, но к этому моменту вы уже должны быть готовы к решению той головоломки.
Итак, разберитесь с ней и расскажите в комментариях, что здесь не так, а что "так". Мне не терпится взглянуть на это.
И это все на сегодня.

Italian: 
l'angolo di divergenza di una forma come questa - e di molti fiori presenti in natura - è effettivamente Φ.
Ripeto, parlerò di ciò in un video futuro, potrebbe essere il prossimo video o quello successivo.
Ok ma, a questo punto, dovreste essere pronti per l'indovinello.
Dunque dovrete capire e dirci nei commenti cosa c'è di sbagliato in ciò, cosa c'è di giusto; non vedo l'ora.
Questo è tutto per oggi.
[Musica di chiusura]

German: 
der Divergenzwinkel dieser Blüte, und vieler anderer Blüten in der Natur ist tatsächlich Φ.
Noch einmal, darüber werden ich in einem Folgevideo, sprechen, entweder im nächsten oder übernächsten.
Jetzt sollten Sie eigentlich bereit für die Aufgabe sein.
Finden Sie heraus was hier falsch und was richtig ist, und erzählen Sie es in den Kommentaren. Ich freue mich darauf.
Und das war's für heute.
