
German: 
Du hast nun hoffentlich ein Gespür dafür bekommen, was ein Doppelintegral
ist oder wie wir vorgehen, wenn wir das Volumen unter einer Fläche
berechnen wollen.
Also, lass es uns gleich mal ausrechnen und ich denke, dann wird es
konkreter.
Nehmen wir an, wir haben eine Fläche z, und z ist
eine Funktion von x und y.
Und z ist gleich x mal y zum Quadrat.
Es ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Und ich will wissen, wie gross das Volumen zwischen dieser
Fläche und der x-y-Ebene ist.
Und das Gebiet in der x-y-Ebene, das mich interessiert, ist:
x ist größer gleich 0 und kleiner gleich 2.
Und y ist größer gleich 0 und kleiner
gleich 1.
Schauen wir mal wie das aussieht, damit wir eine
gute Vorstellung davon haben.
Ich habe es hier grafisch dargestellt und ich kann es rotieren.
Das ist z gleich x mal y im Quadrat.
Das ist der Definitionsbereich, stimmt's? x geht von 0 bis
2; y geht von 0 bis 1.

Portuguese: 
Você já deve ter um pouco de intuição em o que é
uma integral dupla, ou como calcular o volume abaixo
de uma superfície.
Vamos escrever, que eu acho que vai ficar
bem mais claro.
Digamos que eu tenha uma superfície z, que é uma função
de x e y.
E que f(x,y) = xy².
É uma superfície em espaço tridimensional.
E eu quero saber o volume entre essa superfície
e o plano xy.
E o domínio do plano xy que me interessa é
x maior ou igual a 0 e menor ou igual a 2.
E y maior ou igual a 0, menor ou
igual a 1.
Vamos ver o gráfico dessa função, pra
visualizar melhor.
Eu fiz o gráfico e agora nós podemos girar a função.
z = xy²
Essa caixa representa as fronteiras. x varia de 0
a 2, y varia de 0 a 1.

English: 
You hopefully have a little
intuition now on what a double
integral is or how we go about
figuring out the volume
under a surface.
So let's actually compute it
and I think it'll all become
a lot more concrete.
So let's say I have the
surface, z, and it's a
function of x and y.
And it equals xy squared.
It's a surface in
three-dimensional space.
And I want to know the
volume between this
surface and the xy-plane.
And the domain in the xy-plane
that I care about is x is
greater than or equal to 0,
and less than or equal to 2.
And y is greater than or
equal to 0, and less
than or equal to 1.
Let's see what that looks
like just so we have a
good visualization of it.
So I graphed it here and
we can rotate it around.
This is z equals xy squared.
This is the bounding box,
right? x goes from 0 to
2; y goes from 0 to 1.

Spanish: 
...
Ojala ya tienes un poco de intuicion sobre lo que un dobleintegral es
o como le hacemos para averiguar el volumen
debajo de una superficie.
Ahora hay que calcularlo, y creo que asi ya todo
se va a volver mucho mas concreto.
Vamos a decir que yo tengo la superficie, z, y es
una funcion de X y Y.
y es igual a XY quadrado
Es una superficie en el espacio tridimensional.
Y yo quiero saber el volumen entre esta superficie.
Y el plano XY
Y el dominio en el plano XY que me importa es X
mas de o igual a 0, y menos de o igual a 2.
y es mas de o igual a 0,
y menos de o igual a 1
Hay que ver como se mira para que
tengamos una buena visualizacion
lo tengo graficado aqui y podemos moverlo
Esto es z es igual a xy cuadrado
esto es la caja delimitadora, verdad? x va de 0 a
2; y va de 0 a 1.

Korean: 
 
여러분은 이제 이중적분이 무엇인지, 또는
면 밑의 부피값을 어떻게 구하는지 감이 올 것입니다
 
그렇다면 이제 실제로 그 값을 계산해봅시다
 
x와 y로 이루어진 함수인 면 z가 있다고 합시다
 
xy^2 과 같은 값입니다
3차원에서의 면에 해당합니다
우리는 이 면과 xy평면 사이의
부피를 구하고자 합니다
이 xy평면에서 우리가 고려하는 x의 범위는
0이상 2 이하이고,
y값은 0이상이거나 1 이하 입니다
 
그렇다면 우린 이걸 시각화한다면
어떻게 되는지 봅시다
z=xy그래프를 그리면 이렇게 되고,
이것은 돌릴 수 있습니다
경계 박스는 이것인데 x는 0에서 2의 값,
y는 0에서 1의 값을 가집니다

Polish: 
Powinniście już intuicyjnie rozumieć czym jest
całka podwójna oraz jak obliczać objętość
pod powierzchnią.
A więc obliczmy ją rzeczywiście i wydaje mi się, że
wszystko stanie się dużo bardziej konkretne.
Powiedzmy, że mam powierzchnię, z, i że jest
ona funkcją od x i y.
I równa się xy do kwadratu.
Jest to powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej.
I chcę znać objętość pomiędzy tą
powierzchnią a płaszczyzną XY
Dziedziną w płaszczyźnie XY, która mnie interesuje są
x większe równe 0 i mniejsze równe 2.
A y większy równy 0 i mniejszy
równy 1.
Zobaczmy jak to wygląda tak żeby mieć
dobry wgląd w sytuację.

Turkish: 
-
Umarım çift katlı integrali ve yüzeyin altındaki alanı bulmayı az da olsa anlamışsınızdır.
-
-
Şimdi daha somut bir şekilde anlamamız için hesaplamalar yapalım.
-
Diyelim ki, bir z yüzeyimiz var ve bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon
-
z eşittir x y kare.
Üç boyutlu uzayda bir yüzey.
Bu yüzey ile x y düzleminin arasındaki hacmi bulmak istiyorum.
-
x y düzlemindeki tanım kümesi de x büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 2.
-
Ve y büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 1.
-
Neye benzediğine bir bakalım da iyice görselleyelim.
-
Grafiğini buraya çizdim, istersek döndürebiliriz.
Bu, z eşittir x y kare.
Bu da sınırları gösteren kutu, öyle değil mi? x, 0'dan 2'ye kadar ve y de 0'dan 1'e kadar gidiyor.
-

Thai: 
-
หวังว่าคุณคงได้สัญชาตญาณบ้างแล้วว่าอินทิกรัลสองชั้นคืออะไร
หรือวเราหาปริมาตรใต้พื้นผิว
ได้อย่างไร
งั้นลองมาคำนวณกันดู และผมว่ามันจะทำให้
ทุกอย่างชัดเจนขึ้น
งั้นสมมุติว่าผมมีพื้นผิว, z, และมัน
คือฟังก์ชันของ x กับ y
และมันเท่ากับ xy กำลังสอง
มันคือพื้นผิวในสเปซสามมิติ
และผมอยากรู้ปริมาตรระหว่างพื้นผิว
นี้กับระนาบ xy
และโดเมนในระนาบ xy ที่ผมสนใจคือ x มากกว่า
หรือเท่ากับ 0, และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2
ส่วน y มากกว่าหรือเท่ากับ 0, และน้อยกว่า
หรือเท่ากับ 1
ลองดูว่าหน้าตามันเป็นอย่างไร เราจะได้
นึกภาพได้ดี ๆ
งั้นผมวาดกราฟมันตรงนี้ และเราสามารถหมุนมันไปมาได้
นี่คือ z เท่ากับ xy กำลังสอง
นี่คือกล่องมีขอบ, จริงไหม? x ไปจาก 0 ถึง
2, y ไปจาก 0 ถึง 1

Estonian: 
Teil on loodetavasti natuke aimu sellest, mis
kahekordne integraal on, või kuidas me nuputame välja ruumala
pinna all.
Nii, arvutame ta tegelikult välja ja ma arvan, et kõik muutub
natuke kindlamaks.
Ütleme, e mul on pind, z, ja ta on
funktsioon x'st ja y'st.
Ja ta võrdub xy ruudus.
Ta on pind kolme-dimensioonilises ruumis.
Ja nüüd ma tahan ruumala selle
pinna ja xy-tasandi vahel.
Ja piirkonnaks xy-tasandil, mida ma vaatlen on x on
suurem või võrdne nulliga, ja väiksem või võrdne kahega.
Ja y on suurem või võrdne nulliga, ja väiksem
või võrdne ühest.
Ja vaatame, milline ta välja näeb, lihtsalt, et meil oleks
hea visuaalne versioon sellest.
Nii, ma grafeerisin ta siia ja me võime teda pöörata ringi.
See on z võrdub xy ruuduga.
See on piiritlev kast, eks? x läheb nullist kaheni
y läheb nullist üheni.

Dutch: 
Hopelijk voel je een beetje aan wat een dubbele
integraal is of hoe we het volume
onder een oppervlakte vinden.
Dus, laten we er eens écht gaan rekenen en dan denk ik dat het allemaal
wat conreter wordt.
Dus, zeggen we dat we de oppervlakte Z hebben en het is
een functie van x & y.
en dat is gelijk aan xy²
Het is een oppervlakte in een 3D ruimte.
En ik wil het volume weten tussen dit
oppervlak en het en het xy- vlak.
En het domein in het het xy-vlak waar het mij om gaat is
x is groter dan of gelijk aan 0, en kleiner dan of gelijk aan 2.
En y is groter dan of gelijk aan 0 en
kleiner dan of gelijk aan 1.
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet, zodat we er een
goed beeld bij hebben.
Dus ik heb het hier getekend en we kunnen dat roteren.
Dit is z is gelijk aan xy².
Dit zijn de begrensde ruimte, ok? x gaat van 0 tot 1;
y gaat van 0 to 1.

French: 
vous savez maintenant un peu mieux ce qu'est une
integrale double, et comment trouver le volume
a l'interieur d'une surface.
maintenant, calculons ce volume et je pense que ca deviendra
beaucoup plus concret.
Supposons que on a la surface, z, et que cette surface
est une fonction de x et y.
Et que cette surface est égale à xy au carré
C'est une surface dans un espace à trois dimensions
Et je veux savoir quel est le volume entre cette
surface et le plan xy

Korean: 
우리가 구해야 할 것은
이 그래프의 제일 높은 곳에서
xy평면으로 내려올 때 까지의
부피값입니다
여러분이 실제 부피를 더 잘 이해할 수 있도록
한번 그래프를 돌려보겠습니다
돌려볼게요
마우스를 이용해서 돌려보겠습니다
이 공간의 부피를 구해야 하는데,
모양이 마치 임시피난처같이 생겼네요
이걸 약간 돌려보겠습니다
두 면 사이의 공간이 곧
부피가 됩니다
아이고, 뒤집어졌네요
이제 됐습니다
그래서 이 부피의 크기를 구해야 합니다
그래서 이 면적의 부피를 어떻게 구할지
약간의 직관을 활용하면서 생각해봅시다
아주 정확하게는 아니지만 적당히 자세하게
저 그래프를 그려보겠습니다
이제 축들을 그려보겠습니다
 

Thai: 
เราอยากให้นี่ -- คุณอาจมองมันเป็นปริมาตร
-- ไม่อาจ
ที่จริงมองมันเป็นปริมาตรใต้พื้นผิวไปเลย
ระหว่างผิวนี้, ผิวด้านบน, กับระนาบ xy
และผมจะหมุนมันไปรอบ ๆ ให้คุณเห็นชัด ๆ
ถึงปริมาตรจริง ๆ
ขอผมหมุนหน่อยนะ
ตอนนี้ผมควรใช้เมาส์แล้ว
มันก็คือที่ว่างนี้, ข้างล่างตรงนี้
มันเหมือนกับที่พักชั่วคราวอะไรพวกนั้น
ผมหมุนมันได้อีกหน่อย
อะไรก็ตามใต้อันนี้, ระหว่างสองผิวนี้ --
นั่นคือปริมาตร
โอ้, ผมพลิกมันคว่ำแล้ว
ได้แล้วล่ะ
นั่นก็คือปริมาตรที่เราสนใจ
ลองหาว่าจะทำยังไง แล้วเราก็เก็บ
สัญชาตญาณไปเมื่อเราแก้ไปเรื่อย ๆ
งั้นผมจะวาดกราฟแบบไม่สวยเท่า
แต่ผมหวังว่ามันคงพอถูไถนะ
ขอผมวาดแกนก่อน
-

English: 
We literally want this-- you
could almost view it the
volume-- well, not almost.
Exactly view it as the
volume under this surface.
Between this surface, the top
surface, and the xy-plane.
And I'll rotate it around so
you can get a little bit better
sense of the actual volume.
Let me rotate.
Now I should use the
mouse for this.
So it's this space,
underneath here.
It's like a makeshift
shelter or something.
I could rotate it a little bit.
Whatever's under this,
between the two surfaces--
that's the volume.
Whoops, I've flipped it.
There you go.
So that's the volume
that we care about.
Let's figure out how to do and
we'll try to gather a little
bit of the intuition
as we go along.
So I'm going to draw a not as
impressive version of that
graph, but I think it'll
do the job for now.
Let me draw my axes.

Dutch: 
We willen letterlijk - je zou het bijna het
volume... - hoewel, niet bijna.
Exact zien als het volume onder dit oppervlak.
Tussen dit oppervlak, het bovenvlak, an het xy-vlak.
En ik draai hem rond zo dat je een beetje
een idee krijgt van het eigenlijke volume.
Laat ik hem eens roteren.
Ik zou de muis hiervoor moeten gebruiken.
Dus, het is de ruimte hieronder.
Het lijkt een geïmproviseerde tent, ofzo.
Ik zou hem iets kunnen roteren.
Wat er ook maar hieronder zit, tussen de twee vlakken --
dát is het volume.
Oeps, ik heb hem omgedraaid.
Hier is ie.
Dus dat is het volume waar het ons om gaat.
Laten we eens gaan uitvogelen en dan proberen we er
gaandeweg een beetje gevoel voor te krijgen.
Nou, ik ga een niet zo indrukwekkende versie tekenen van
die grafiek, maar ik denk dat het voor nu toereikend is.
Laat ik eens de assen tekenen.

Spanish: 
literalmente queremos esto-- ya casi podemos ver,
el volumen-- bueno, no tanto
exactamente debe de ver lo como el volumen bajo de esta superficie
Entre esta superficie, la superficie superior, y el plano xy.
y yo lo voy a mover para que usted pueda tener un mejor
sentido de el volumen real.
Deje me girar.
deberia usar el raton para esto
Bueno, es este espacio, por debajo de aqui
Es como un refugio improvisado o algo..
Puedo girar lo un poco
lo que esta por debajo de esto, entre los dos superficies-
eso es el volumen.
Whoops, lo gire
hay lo tienes.
Eso es el volumen que nos importa.
Vamos a descubrir cómo hacerlo y vamos a tratar de lograr
un poco de intuición a medida que avancemos.
Voy a dibujar una versión no tan impresionante del gráfico,
pero creo que va a a servirnos por ahora.
dejame dibujar mis ejes
...

German: 
Wir wollen tatsächlich -- Man kann das fast als Volumen
betrachten -- Also nicht fast.
Exakt als Volumen unter der Fläche betrachten.
Zwischen dieser Fläche, der oberen Fläche und der x-y-Ebene.
Und ich rotiere es, damit du ein besseres Gefühl für
das tatsächliche Volumen kriegst.
Lass es mich rotieren.
Ich sollte die Maus dafür verwenden.
Also, es ist dieser Raum hier unterhalb.
Es ist wie ein Behelfszelt oder so.
Ich kann es noch ein bisschen rotieren.
Was unter dieser -- zwischen diesen Flächen liegt,
das ist das Volumen.
Ups, ich hab es auf den Kopf gedreht.
Na bitte.
Also, das ist das Volumen, das uns interessiert.
Lasst uns herausfinden wie es geht und wir versuchen auf dem Weg
ein bisschen Intuition aufzubauen.
Ich werde jetzt eine etwas weniger eindrückliche Version dieses Graphen
zeichnen, aber ich denke es wird seinen Zweck vorerst erfüllen.
Lass mich die Achsen zeichnen.

Turkish: 
-
-
Bunu yüzeyin altındaki hacim olarak yorumlayabilirsiniz.
Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim.
Hacmi daha iyi görmeniz için grafiği döndürüyorum.
-
Döndüreyim.
-
Bu yüzeyin altındaki kısım.
Derme çatma bir sığınağa benziyor.
Biraz daha çevireyim.
Bu iki yüzeyin arasındaki hacim.
-
-
İşte.
Bu hacmi bulacağız.
Nasıl bulacağımıza karar verelim. Çözüm esnasında anlamını da anlatacağım.
-
Grafiğin daha az görkemli bir versiyonun çiziyorum. Şimdilik işimi görsün, yeter.
-
Eksenleri çizeyim.
-

Portuguese: 
O que nós queremos é isso, podemos quase ver o volume...
bem, não quase,
Isso é exatamente o volume abaixo dessa superfície.
Entre o topo dessa superfície e o plano xy.
Vamos girar um pouco pra ter noção
do volume.
Girando...
O volume é esse espaço aqui embaixo.
O que quer que seja que está aqui entre as duas
superfícies é o volume.
Ops.
Então, esse é o volume que nos interessa.
Vamos tentar calcular o volume, e junto tentar pegar
a intuição no caminho.
Eu vou desenhar uma versão não tão boa do gráfico,
mas só ppra você ter uma noção...
Os eixos...

Estonian: 
Me sõna-sõnalt tahame seda-- te saate peaegu ruumala vaadata--
noh, mitte peaegu.
Täpselt vaadake seda, kui ruumala selle pinna all.
Selle pinna vahel, ülemine pidd ja xy-tasand.
Ja ma keerutan teda ringi, nii et saaksite natuke paremini
mõista tegelikku ruumala.
Las ma keerutan.
Nüüd ma peaksin kasutama selleks hiirt.
Nii, see on ruum, siin all.
Ta on nagu kentsakas varjend, või midagi.
Ma võiksin teda keeruada natuke.
Ükskõik, mis siin all on, kahe pinna vahel--
see on ruumala.
Oih, ma olen ta ümber keeranud.
Nii.
Nii, see on ruumala, mis meid huvitab.
Nuputame välja, kuidas ja me proovime koguda natuke
aimu, edasi liikudes.
Nii, ma joonistan mitte-nii muljetavaldava versiooni sellest
graafikust, aga ma arvan, et sellest hetkeks piisab.
Las ma joonistan oma teljed.

Dutch: 
Dat is mijn x-as, dat mijn y-as, en dat is mijn z-as.
x, y, z.
x gaat van 0 tot 2.
Laten we zeggen dat dit 2 is.
y gaat van 0 tot 1.
Dus nu nemen we het volume boven deze rechthoek
in het xy-vlak.
En dan het oppervlak. Ik doe mijn best om het te tekenen.
Ik zal het in een andere kleur tekenen.
Ik kijk naar het plaatje.
Van deze kant ziet het er ongeveer zó uit.
En het heeft een rechte lijn.
Laten we eens kijken of ik dit oppervlak kan tekenen als dat zo naar beneden gaat.
En als ik echt goed was, dan kon ik de schaduw tekenen.
Het ziet er ongeveer zo uit.
Als ik de schaduw teken ziet het er
ongeveer zo uit.
And dit is recht boven dit hier.

Spanish: 
esto es mi eje X, este es mi eje Y, y este es mi eje Z.
...
x,y,z
x se va de 0 a 2
A que decir que eso es 2.
y se va de 0 a 1.
Entonces estamos hablando de el volumen arriba de este rectangulo
en el plano xy.
Y luego la superficie, voy a hacer mi mejor intento para dibujarlo
lo voy a dibujar en un diferente color.
Estoy mirando la foto.
En este fin se ve como algo asi.
...
Y luego tiene una linea recta.
Vamos a ver si puedo dibujar esta superficie hacia abajo asi.
Si you fuera bueno lo podria colorear
Se ve algo asi.
Si lo coloreara la superficie se veria
algo como eso.
y esto aqui es sobre esto.

Estonian: 
See on minu x-telg, see on minu y-telg ja see on minu z-telg.
x,y,z.
x tuleb nullist kaheni.
Ütleme, see on 2.
y tuleb nullist üheni.
Me võtame ruumala selle ristküliku kohal
xy-tasandil.
Ja siis pind, ma teen oma parima, selle joonistamisel.
Ma joonistan ta teises värvis.
Ma vaatan pilti.
Lõpus näeb välja ta midagi sellist.
Ja siis tal on sirge joon.
Vaatama, kas ma saan joonistada seda pinda alla minemas, nii.
Ja siis, kui ma oleksin väga osav, ma võiks teda varjutada.
Ta näeb välja umbes selline.
Kui ma ta varjutaksin, pind näeb
välja umbes selline.
Ja see siin on selle kohal.

Thai: 
นั่นคือแกน x ผม, นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน z
-
x, y, z
x ไปจาก 0 ถึง 2
สมมุติว่านั่นคือ 2
y ไปจาก 0 ถึง 1
ดังนั้นเราจะหาปริมาตรเหนือสี่เหลี่ยมอันนี้
ในระนาบ xy
แล้วพื้นผิวนั้น, ผมจะพยยามวาดมันให้ดีที่สุด
ผมจะวาดมันด้วยอีกสีนึง
ผมกำลังดูที่ภาพ
ที่ปลายนี้ มันหน้าตาแบบนี้
-
แล้วมันก็มีเส้นตรง
ลองดูว่าผมจะวาดผิวนี้ลงไปแบบนั้นได้ไหม
แล้วผมจะแรเงามันได้สวยไหม
มันออกมาหน้าตาแบบนี้
หากผมแรเงามัน, พื้นผิวจะดู
หน้าตาแบบนี้
และนี่ตรงนี้ อยู่เหนืออันนี้

Turkish: 
x ekseni, y ekseni ve z ekseni.
-
x, y, z.
x, 0'dan 2'ye gidiyor.
Diyelim ki, burası 2.
y, 0'dan 1'e gidiyor.
x y düzlemindeki bu dikdörtgenin üstündeki hacmi buluyoruz.
-
Yüzeyi de elimden geldiğince iyi çizmeye çalışacağım.
Başka bir renkle çizeyim.
Resme bakarak çizeceğim.
Şurası böyle bir şeye benziyor.
-
Sonra düz bir çizgisi var.
Aşağıya doğru gidiyor.
Daha iyi becerebilseydim gölgelendirme de yapabilirdim.
İşte, aşağı yukarı böyle bir şekil.
Yüzeyi gölgelendirirsem şöyle görünür.
-
Bu nokta bunun üstünde bulunuyor.

English: 
That's my x-axis, that's my
y-axis, and that's my z-axis.
x, y, z.
x is going from 0 to 2.
Let's say that's 2.
y is going from 0 to 1.
So we're taking the volume
above this rectangle
in the xy-plane.
And then the surface, I'm going
to try my best to draw it.
I'll draw it in a
different color.
I'm looking at the picture.
At this end it looks
something like this.
And then it has a
straight line.
Let's see if I can draw this
surface going down like that.
And then if I was really
good I could shade it.
It looks something like this.
If I were to shade it,
the surface looks
something like that.
And this right here
is above this.

Korean: 
이것이 x축, 이것이 y 축, 그리고 이것이 z축입니다
 
x, y, z
x는 0에서 2의 값을 가집니다
이 점을 2라고 하겠습니다
y는 0에서 1의 값을 가집니다
우리는 이 xy평면의 직사각형 위의
부피를 구하면 됩니다
그리고 면을 다른 색깔로 그려보겠습니다
 
그림을 보는 중인데
이쪽 끝은 이렇게 생겼네요
 
그리고 이렇게 직선이 있죠
직선은 면의 아래로 이렇게 내려갑니다
이번엔 그림자를 그려볼게요
그림자는 이렇게 생겼을 겁니다
그림자까지 그리면
이런 면 모양이 되죠
 

German: 
Das ist meine x-Achse, das ist meine y-Achse und das ist meine z-Achse.
x, y, z.
x geht von 0 bis 2.
Sagen wir das ist 2.
y geht von 0 bis 1.
Also, wir nehmen das Volumen oberhalb dieses Rechtecks
in der x-y-Ebene.
Und dann die Fläche, ich tu mein bestes, um sie zu zeichnen.
Ich zeichne sie in einer anderen Farbe.
Ich schaue auf das Bild.
An diesem Ende sieht es ungefähr so aus.
Und dann kommt eine gerade Linie.
Mal schauen, ob ich zeichnen kann, wie diese Fläche da runter geht.
Und wenn ich richtig gut bin, kann ich es schattieren.
Es sieht ungefähr so aus.
Wenn ich es schattiere, sieht die Fläche
ungefähr so aus.
Und das hier ist über dem.

Portuguese: 
Esse é o x, esse é o y e o z.
x varia de 0 a 2,
Aqui é 2.
y varia de 0 a 1.
Nós estamos calculando o volume sobre esse retângulo
no plano xy.
E então a superfície.
Vou pegar uma cor diferente.
Vou copiar da figura...
Nessa ponta acho que é mais ou menos assim...
Então vem uma linha reta aqui.
A linha vai descendo...
Acho que é bom sombrear também
É mais ou menos assim
Se eu sombrear, a superfície fica
mais ou menos assim.
E essa parte aqui fica acima dessa

Portuguese: 
Esse é o canto inferior esquerdo.
O amarelo é a parte de cima da superfície.
Essa aqui.
E isso aqui é abaixo.
Então esse é o volume que a gente quer calcular.
Dê uma olhada de novo na superfície.
Esse volume aqui embaixo.
Acho que você entendeu.
Como podemos fazer isso?
Bom, no último exemplo nós dissemos que - vamos pegar
x e y arbitrários, e para esse y, vamos calcular a
área debaixo da curva.
Se nós fixarmos y - no problema de verdade você
não precisa ficar pensando nessas coisas, mas eu quero te
passar a intuição por trás.
Nós escolhermos um y qualquer aqui.
Se y é fixo, então
a função de x e y será quase como uma função
de x para aquele y escolhido.

Korean: 
여기가 왼쪽 아래 모서리인데,
노란 부분은 구할 면의 가장 윗 부분이 될 겁니다
바로 여기죠
여기가 면의 아랫부분이고
이 아랫부분의 부피를 구해야 하는거죠
실제 면의 모양을 보여드릴게요
이 아래의 부피를 구하는거죠
어떻게 구해야할지 아시겠나요?
방법을 알아봅시다
저번 예시에서 우리가 생각한 방법은
임의의 y를 정하고, 그 값에 대해
곡선 밑의 영역 넓이를 구할게요
실제로 문제를 풀때는 이렇게 구체적으로 할 필요 없지만
여러분들에게 직관적으로 보여주기 위해
임의의 y값을 설정해 볼게요
그래서 여기에 임의의 y를 잡겠습니다
이렇게 y를 설정했다면 x와 y로 이루어진 함수는
해당 y에 대해 x만으로 이루어진 함수로도
이해할 수 있겠죠

Turkish: 
Burası aşağı sol köşe, siz de görebiliyorsunuz.
Şöyle yapalım, sarı kısım yüzeyin üst kısmı olsun.
Yüzeyin üstü.
Burası da yüzeyin alt kısmı.
Bu alttaki hacmi bulacağız.
Esas yüzeyi size göstereyim.
İşte, buranın altındaki hacim.
Anladığınızı düşünüyorum.
Peki, nasıl hesaplarız?
Son örnekte şöyle demiştik: Gelişigüzel bir y seçelim ve y'ye göre eğrinin altındaki alanı bulalım.
-
-
Soruyu çözerken bu kadar detaylı düşünmenize gerek yok ama konuyu anlamınızı istiyorum.
-
-
Burada gelişigüzel bir y seçelim.
Sabit bir y'miz olduğunu düşünürsek, f x y'yi o y'ye göre bir f x olarak alabiliriz.
-
-

Estonian: 
See on alumine vasak nurk, seda saab peaegu vaadelda.
Ütleme, et see kollane on pinna ülemine osa.
See on pinna ülemine osa.
Ja see on pinna all.
Ja me hoolime ruumalast siin all.
Las ma näitan teile tegelikku pinda.
Nii, see ruumala selle all.
Ma arvan, saate aru.
Nii, kuidas me seda teeme?
Noh, viimases näites ütlesime, valime
mistahes y ja selle y jaoks, nuputame välja
pindala selle kõvera all.
Kui me fikseerime mingi y-- kui te tegelikult teete seda ülesannet, te
ei pea mõtlema sellest nii täpselt, aga ma tahan
teile sellest aimu anda.
Kui me valime meelevaldse y siin.
Selle y'ga, me võiksime mõelda-- kui meil on fikseeritud y, siis
funktsioon x'st ja y'st saab peaegu vaadelda, kui funktsiooni
ainutlt x'st selle antud y kohta.

Dutch: 
Dit is de linker onderkant en je kunt het bijna zien.
Dus, stel dat de bovenkant van het oppervlak geel is.
Dat is de bovenkant.
En dan is dit de onderkant.
Het gaat ons om het volume hieronder.
Laat me je het echte volume eens zien.
Dus, dit volume hieronder.
Ik denk dat je het idee wel snapt.
Zo, hoe doen we dat?
Nou, in het vorige voorbeeld, zeiden we, laten we een
arbitraire y nemen en voor die y uitvissen wat
de oppervlakte onder de kromme is.
Dus als we een y nemen -- als je de opgave zelf doet,
hoef je hierover niet zo gedetaileerd na te denken, maar ik wil dat je er
iets van gaat aanvoelen.
We nemen dus een willekeurige y hier.
Dus op die y -- zou je kunnen zeggen -- als we een vaste y hebben,
dan is de functie van x en y - je kunt het bijna als een functie van x en y zien.
Of sclechts x voor deze y

Thai: 
นี่คือมุมล่างซ้าย, ผมเกือบมองมันเห็นแล้ว
งั้นขอผมบอกว่า สีเหลืองคือด้านบนของผิว
นั่นคือด้านบนของผิว
แล้วนี่อยู่ใต้พื้นผิว
ดังนั้นเราสนใจปริมาตรนี้ภายใต้ตรงนี้
ขอผมแสดงพื้นผิวจริง ๆ ให้ดู
ดังนั้นปริมาตรนี่อยู่ข้างล่างตรงนี้
ผมว่าคุณคงเข้าใจ
แล้วเราจะทำยังไงต่อ?
ในตัวอย่างที่แล้วเราบอกว่า, ลองเลือกค่า y
ตามใจสักอค่า และสำรหับค่า y นั้น, ลองหาพื้นที่
ใต้เส้นโค้งดู
ดังนั้นหากผมตรึงค่า y ไว้ -- ตอนที่คุณทำโจทย์, คุณไม่
ต้องคิดถึงรายละเอียดขนาดนี้, แต่ผมอยากให้
คุณเข้าใจสัญชาตญาณหน่อย
ดังนั้นหากเราเลือกค่า y ตามใจค่านึงตรงนี้
ดังนั้นตรง y นั่น, เราอาจคิดถึงมัน -- หากเรามีค่า y คงที่,
แล้วฟังก์ชันของ x กับ y คุณอาจมองมันเป็นฟังก์ชัน
ของแค่ x สำหรับค่า y ที่กำหนด

German: 
Das ist die untere linke Ecke, du kannst es fast sehen.
Also, das Gelbe ist die Oberseite der Fläche.
Dies ist die Oberseite der Fläche.
Und dann ist das die Unterseite der Fläche.
Also, wir interessieren uns für dieses Volumen darunter.
Lass mich dir die richtige Fläche zeigen.
Also, dieses Volumen hier unten.
Ich denke, du hast es verstanden.
Also, wie gehen wir vor?
Nun, im letzten Beispiel haben wir gesagt, also, nehmen wir
ein beliebiges y und für dieses y, lass uns die
Fläche unter der Kurve herausfinden.
Also wenn wir y festlegen -- Wenn man die Aufgabe löst,
muss man nicht so genau darüber nachdenken, aber ich will
dir ein Gespür dafür geben.
Also wenn wir hier ein beliebiges y wählen.
Bei diesem y, können wir es -- Wenn wir ein fixes y haben,
können wir die Funktion von x und y fast als eine Funktion nur von x
betrachten, für dieses gegebene y.

Spanish: 
Esto es la esquina inferior izquierda, casi se puede ver.
Dejame solo decir el amarillo es lo de arriba de la superficie.
Esto es lo de arriba de la superficie .
Y esto es lo de bajo de la superficie
lo que nos importa de esto es el volumen abajo de aqui.
Deja me enseñarte la superficie real.
Este volumen por abajo de aqui.
Creo que ya tienes la idea.
Entonces como hacemos eso?
Bueno, en el ultimo ejemplo dijimos: bueno, hay que escojer
un Y arbitrario y para esa Y, hay que descubrir
el area de bajo de la curva
Asi que si arreglamos la Y -- cuando en realidad hagas el problema
no tienes que pensarlo en detalle, pero yo
quiero darte la intuicion
Asi que si escogemos una Y arbitraria aqui
Entonces en esa Y, si ya fijamos la Y, entonces
la función de X y Y, esto lo puedes ver casi como una función
de solo X por esa dada Y

English: 
This is the bottom left corner,
you can almost view it.
So let me just say the yellow
is the top of the surface.
That's the top of the surface.
And then this is
under the surface.
So we care about this
volume underneath here.
Let me show you the
actual surface.
So this volume underneath here.
I think you get the idea.
So how do we do that?
Well, in the last example we
said, well, let's pick an
arbitrary y and for that
y, let's figure out the
area under the curve.
So if we fix some y-- when you
actually do the problem, you
don't have to think about it in
this much detail, but I want
to give you the intuition.
So if we pick just an
arbitrary y here.
So on that y, we could think of
it-- if we have a fixed y, then
the function of x and y you can
almost view it as a function
of just x for that given y.

German: 
Und so probieren wir herauszufinden, was der Betrag
dieser Fläche unter dieser Kurve ist.
Du solltest das als eine Art von hoch runter Kurve für ein bestimmtes y sehen.
Wenn wir y kennen, können wir bestimmen -- zum Beispiel, wenn y
5 ist, dann wird diese Funktion z gleich 25 mal x.
Und dann ist es einfach die Fläche unter
der Kurve zu bestimmen.
Wir werden die Fläche unter der Kurve als Funktion von y darstellen.
Wir tun so als wäre es nur eine Konstante.
Also, los geht's.
Wenn wir ein dx haben, dann ist das unsere Änderung in x.
Und dann ist die Höhe aller unserer Rechtecke eine
Funktion -- es ist z.
Die Höhe z ist eine Funktion von x und y.
Also können wir integrieren.
Also, die Fläche von allen wird unsere Funktion x mal y im Quadrat.
Ich mache es hier, weil mir der Platz ausgeht.
x mal y im Quadrat mal die Breite, also dx.

Dutch: 
En zo zijn we min of meer de waarde van de
oppervlakte onder deze kromme aan het uitvogelen.
Je moet dit zien als een, soort van, op en neer kromme voor een gegeven y.
Dus als we een y weten, kunnen we erachter komen -- bijv. als
y = 5, wordt deze functie; z = 25x
En dan is het simpel om de waarde te vinden
van de kromme hieronder
Dus wij maken de waarde onder de kromme een functie van y.
Doen alsof het constant is.
Laten we dat doen.
Dus als we dx hebben, dat is onze verandering van x,
Dan is de hoogte van elke rechthoek
functie -- het wordt z.
De hoogte is z, als functie van x en y.
Nu kunnen we de integraal nemen.
Dus, de oppervlakte van elk van deze wordt onze functie,
xy² -- ik doe het even hier vanwege ruimtetekort.
xy² keer de breedte, dat is dx

Spanish: 
Y estamos averiguando el valor de esto
de la área debajo de la curva
...
Deberias verlo como una curva que va de arriba hacia abajo
por la Y dada. Asi que si sabemos Y podemos averiguar
(por ejemplo) si Y= 5, esta función se convertiría a Z = 25x
Y así seria fácil averiguar el valor
de la curva abajo
Así que haremos el valor debajo de la curva como una función de Y
Vamos a pretender que esto solo es un constante
Asi que hay que hacer eso.
Entonces, si tenemos una DX esa es nuestro cambio en la X
Y luego nuestra altura de cada rectángulo va a ser
una funcion---va a ser Z
La altura va a ser Z, que es una funcion de X y Y
Entonces podemos tomar el integral
Y la área de cada uno de estos va a ser nuestra función
XY al cuadrado-- Lo voy a hacer aquí porque para guardar espacio
XY al cuadrado por lo ancho, que es DX

Korean: 
그래서 우리는 이 곡선 아래의 영역의 값을
구해야 하는 겁니다
 
주어진 y에 대한 포물선으로 보면 쉽죠
만약 y값이 5라면, 주어진 함수는
z=25x일 것입니다
그렇다면 곡선 아래의 영역의 크기를
알아내기가 쉬워지죠
함수 y를 이용해서 값을 구하되
y를 상수라고 생각해보겠습니다
한번 해보죠
dx란 x값의 변화량을 의미합니다
그렇다면 사각형들의 높이는
함수 z와 같죠
이 높이 z는 x와 y로 이루어진 함수이므로
적분식을 쓸 수 있습니다
그래서 이 영역의 넓이를 함수로 쓰면,
xy^에 폭인 dx를 곱한
함수가 되겠죠

Thai: 
ดังนั้น, เราจะหาค่าของอันนี้, ของ
พื้นที่ใต้เส้นโค้งนี่
-
คุณควรมองมันเหมือนเส้นโค้งขึ้นลงสำหรับค่า y ค่าหนึ่ง
ดังนั้นหากเรารู้ y เราก็หามันออกมาได้ -- ตัวอย่างเช่น, หาก y
เป็น 5, ฟังก์ชันนี้จะกลายเป็น z เท่ากับ 25x
แล้วนั่นก็ง่ายที่จะหา
ค่าของเส้นโค้งข้างล่าง
ดังนั้นเราจะเขียนค่าใต้เส้นโค้งเป็นฟังก์ชันของ y
เราจะทำเหมือนกับมันเป็นแค่ค่าคงที่
งั้นลองทำดู
หากเรามี dx นั่นคือการเปลี่ยนแปลงใน x
แล้วความสูงของสี่เหลี่ยมแต่ละแท่งจะเท่ากับ
ฟังก์ชัน -- มันจะเท่ากับ z
ความสูงคือ z, ซึ่งก็คือฟังก์ชันของ x กับ y
งั้นเราสามารถหาอินทิกรัลได้
ดังนั้นพื้นที่ของพวกนี้จะเท่ากับ ฟังก์ชันของเรา, xy
กำลังสอง -- ผมจะเขียนมันตรงนี้เพราะผมจะไม่มีที่แล้ว
xy กำลังสองคูณความกว้าง, ซึ่งก็คือ dx

Turkish: 
Böylece, bu eğrinin altındaki alanın değerini buluruz.
-
-
Bu, seçtiğimiz y'ye göre yukarı aşağı giden eğri.
y'nin değerini biliyorsak, mesela 5 ise, fonksiyon z eşittir 25 x olur.
-
Böylece, eğrinin altındaki değeri bulmak kolaylaşır.
-
Yani eğrinin altındaki değeri y cinsinden bir fonksiyon olarak yazacağız.
Sabitmiş gibi davranacağız.
Başlıyoruz.
d x'imiz var ve bu, x yönündeki değişim.
Ve, her dikdörtgenin yüksekliği de z olacak.
-
Yükseklik z, x ve y cinsinden bir fonksiyon.
İntegrali kurabiliriz.
Her dikdörtgenin alanı xy kare olacak.
-
xy kare çarpı en, yani d x.

Portuguese: 
Então na verdade nós estamos calculando o valor da
área abaixo da curva.
Imagina essa função como uma curva para um determinado y.
Então, se nós tivermos y nós podemos calcular, por exemplo,
se y = 5, essa função se tornaria z = 25x.
E aí é bem fácil descobrir o valor da área
da curva.
Então nós determinamos o valor da área como uma função de y.
Nós fingimos que é só uma constante.
Vamos tentar.

English: 
And so, we're kind of figuring
out the value of this, of
the area under this curve.
You should view this as kind of
an up down curve for a given y.
So if we know a y we can figure
out then-- for example, if y
was 5, this function would
become z equals 25x.
And then that's easy to
figure out the value
of the curve under.
So we'll make the value under
the curve as a function of y.
We'll pretend like
it's just a constant.
So let's do that.
So if we have a dx
that's our change in x.
And then our height of each of
our rectangles is going to be a
function-- it's going to be z.
The height is z, which is
a function of x and y.
So we can take the integral.
So the area of each of these is
going to be our function, xy
squared-- I'll do it here
because I'll run out of space.
xy squared times the
width, which is dx.

Estonian: 
Ja nii, me nuputame selle kõvera all olevat
pindala.
Te peaksite seda vaatama, kui üles-alla kõverat y kohta.
Kui me teame y't saame välja nuputada-- näiteks, kui y on
5, see funktsioon muutuks z võrdub 25x.
Ja siis on lihtne välja nuputada
kõvera aluse väärtust.
Nii, teeme kõvera aluse väärtuse y funktsiooniks.
Teeskleme, et ta on vaid konstant.
Teeme seda.
Kui meil on dx, see on meie muutus x's.
Ja siis meie korgus igast meie ristkülikust tuleb
funktsioon-- ta tuleb z.
Kõrgus on z, mis on funktsioon x'st ja y'st.
Me võime võtta integraali.
Pindala igast neist tuleb meie funktsiooniks, xy
ruudus-- ma teen ta siia, kuna mul saab ruum otsa.
xy ruudus korda laius, mis on dx.

Korean: 
주어진 y값에 대한 해당 영역의 크기를
구하고싶다면 x축을 따라 적분하면 됩니다
x가 0부터 2에 해당하는 영역까지
적분해보도록 하겠습니다
x가 0부터 2까지
됐습니다
그런데 하나의 y값에 대한 조각의 영역만
구하고자하는 것이 아니니까,
곡선 아래의 전체 영역을 구해야 하니까
우리가 할 일은
특정 y에 해당하는 곡선의 영역에 대해
조금의 깊이를 주는 것입니다
어떻게 하면 될까요?
주어진 영역에 대해 dy를 곱해준다면
깊이를 줄 수 있지 않을까요?
그렇다면 우리는 우리가 구하고자하는 영역에 대해
3차원적인 값을 도출해낼 수 있습니다.
상상하기 어려우니
실제 그래프를 보여드리겠습니ㄷ
이만큼의 조각이 있고, 그 크기를 안다면

English: 
And if we want the area of this
slice for a given y, we just
integrate along the x-axis.
We're going to integrate
from x is equal to 0
to x is equal to 2.
From x is equal to 0 to 2.
Fair enough.
Now, but we just don't want to
figure out the area under the
curve at one slice, for one
particular y, we want to
figure out the entire
area of the curve.
So what we do is
we say, OK, fine.
The area under the curve, not
the surface-- under this curve
for a particular y,
is this expression.
Well, what if I gave it
a little bit of depth?
If I multiplied this area times
dy then it would give me a
little bit of depth, right?
We'd kind of have a
three-dimensional slice of the
volume that we care about.
I know it's hard to imagine.
Let me bring that here.
So if I had a slice here, we
just figured out the area of a

Estonian: 
Ja kui me tahame pindala sellest lõigust antud y kohta, me vaid
integreerime ta mööda x-telje.
Me integreerime x on võrdne nulliga
kuni x on võrdne kahega.
x on võrdne 0'st 2'ni
Sobib küll.
Nüüd, me ei taha vaid välja nuputada pindala selle kõvera
all ühes lõigus, ühe kindla y kohta, me tahame
nuputada välja tervet pindala selle kõvera all.
Ja mida me teeme, ütleme, olgu, hästi.
Ala selle kõvera all, mitte pinna all-- kõvera all
kinda y kohta on see avaldis.
Nii, mis siis kui annaksin talle natuke sügavust?
Kui ma korrutaksin selle ala dy'ga siis see annaks mulle.
natuke sügavust, eks?
Meil oleks kolme-dimensiooniline lõik
ruumalast, mis meid huvitab.
Ma tean, seda on raske ette kujutada.
Las ma toon selle siia.
Kui mul oleks lõik siin, me just nuputasime välja pindala

Turkish: 
Eğer verilen y'ye göre bu dilimin alanını bulmak istiyorsak, x ekseni boyunca integral alacağız.
-
x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alacağız.
-
x eşittir 0'dan 2'ye.
Tamamdır.
Eğrinin sadece bir y değeri için dilim alanını bulmak istemiyoruz, eğrinin tamamının alanını bulmak istiyoruz.
-
-
Şöyle yaparız.
Belirli bir y'ye göre eğrinin altındaki alan bu ifadeydi, deriz.
-
Biraz derinlik vermek istersem ne olur?
Bu alan ile dy'yi çarparsam, bana biraz derinlik verir, öyle değil mi?
-
Bulmak istediğimiz hacmin 3 boyutlu dilimini oluşturmuş oluruz.
-
Gözünüzde canlandırmanın zor olduğunu biliyorum.
Grafiği geri getireyim.
Bir dilimin altındaki alanı bulduk, dy ile çarptık ve biraz derinlik kazandırdık.

Thai: 
และหากเราอยากหาพื้นที่ของชิ้นนี้สำหรับค่า y ที่กำหนด, เราก็
อินทิเกรตตามแนวแกน x
เราจะอินทิเกรตจาก x เท่ากับ 0
ถึง x เท่ากับ 2
จาก x เท่ากับ 0 ถึง 2
ใช้ได้
ทีนี้, เราไม่ได้อยากแค่หาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ของเสี้ยวเดียว, สำหรับ y ค่าเดียว, เราอยาก
หาพื้นที่ทั้งหมดของเส้นโค้ง
ที่เราทำคือ เราบอกว่า โอเค ได้เลย
พื้นที่โต้เส้นโค้ง, ไม่ใช่ผิว -- ใต้เส้นโค้งนี้
สำหรับค่า y ค่าหนึ่ง, คือพจน์นี้
ทีนี้, จะเป็นยังไงหากผมใส่ความลึกเข้าไปหน่อย?
หากผมคูณพื้นที่นี้กับ dy แล้วมันจะให้
ความลึกนิดหน่อย, จริงไหม?
เราเหมือนกับมีแผ่นสามมิติของ
ปริมาตรที่เราสนใจ
ผมรู้ว่ามันจินตนการมาก
ขอผมเอามาตรงนี้นะ
งั้นหากผมมีแผ่นตรงนี้, เราก็หาได้ว่าพื้นที่ของ

Spanish: 
Y si queremos el área de una rebanada de una Y dad, solo
integramos a lo largo de el eje X
Vamos a integrar desde X = 0
hasta X = 2
Desde X = 0 a 2
Bueno.
Pero ahora no solo queremos averiguar el área debajo de
la curva en una rebanada, una particular Y, queremos
averiguar el área entera de la curva.
Entonces lo que hacemos es decir : Bueno,
El área debajo de la curva, no la superficie--- debajo de esta curva
por una Y particular, es esta expresión
Bueno, que tal si le doy un poco de profundidad
Si multiplico esta área por DY entonces me daría un
poco de profundidad, verdad?
Tendríamos una rebanada en tercera dimensión
de el volumen que nos preocupa
Se que es difícil de imaginar
Déjame traer esto aquí
Entonces se tengo una rebanada aquí, hemos averiguado el área de

Dutch: 
En als we de oppervlakte van dit plakje willen weten voor een zekere y, dan
integreren we gewoon langs de x-as
we gaan integreren van x = 0
tot x = 2.
Van x = 0 tot 2
Prima.
Wel, we willen niet alleen maar de oppervlakte vinden onder
de kromme bij één plakje, voor één y-waarde, we willen
de hele ruimte onder de kromme weten.
Dus wat we doen is - zo van - OK, best.
De ruimte onder de kromme, niet het oppervlak -- onder deze kromme
voor een zekere y, dat is deze vergelijking.
Wat als ik er wat meer inhoud aan geef?
Als ik dit oppervlak vermenigvuldig met dy, dan moet met dat
een beetje inhoud, toch?
We hebben een soort van 3d-plak
van het volume waar het ons om gaat.
Ik weet dat het lastig voor te stellen is.
Brengen we deze hier.
Ik had dus een plak hier. We hebben de oppervlakte van die

German: 
Und wenn wir die Fläche von so einer Scheibe wollen, für ein gegebenes y
dann integrieren wir einfach entlang der x-Achse.
Wir integrieren von x gleich 0 bis
x gleich 2.
Von x gleich 0 bis 2.
Na schön.
Jetzt wollen wir aber nicht nur wissen, wie groß die Fläche unter der
Kurve für ein bestimmtes y ist, wir wollen
die Fläche unter der ganzen Kurve berechnen.
Also was wir machen ist folgendes
Die Fläche unter der Kurve, nicht die Oberfläche -- unter dieser Kurve
für ein bestimmtes y, ist dieser Ausdruck.
Nun, was passiert, wenn wir ein bisschen Tiefe hinzufügen?
Wenn ich diese Fläche mit dy multipliziere, kriegt es ein
kleines bisschen Tiefe, stimmt's?
Wir haben also sowas wie eine dreidimensionale Scheibe des
Volumens, das uns interessiert.
Es ist schwer vorzustellen, ich weiß.
Ich hole das wieder her.
Also, wenn ich hier eine Scheibe habe, wir haben gerade die Fläche

Turkish: 
-
-
dy ile çarpınca derinlik oluştururuz ve eğer eğrinin altındaki bütün hacmi bulmak istiyorsak, bütün dy'leri toplarız, yani buradaki sonsuz küçüklükteki hacimlerin sonsuz toplamını alırız.
-
-
-
Buna göre, y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar integral alacağız.
-
Bu grafiği anlamak biraz zor gelirse, ilk videoyu tekrar izlemeniz yararlı olur.
-
Orada biraz daha kolay bir yüzey göstermiştim.
Şimdi, bunu nasıl hesaplayacağız?
Daha önce dediğimiz gibi, içten dışa doğru gideceğiz.
-
-
Kısmi türev almanın tam tersi gibi düşünebilirsiniz.
Burada x'e göre integral alıyoruz, o yüzden y'yi bir sabit gibi düşünüyoruz
-
5 veya başka bir sayı gibi düşünebiliriz
Yani, bu, integrali değiştirmez.
Peki, xy karenin terstürevi nedir?

German: 
einer Scheibe herausgefunden, und ich multipliziere sie mit dy, um ein
bisschen Tiefe hinzuzufügen.
Also, man multipliziert es mit dy, um ein bisschen Tiefe hinzuzufügen.
Wenn wir dann das ganze Volumen unter der Kurve wollen, addieren wir
alle diese dy's, nehmen nun die Summe aller dieser
unendlich kleinen Volumen.
Wir integrieren also von y gleich 0
bis y gleich 1.
Der Graph ist ein bisschen schwer zu verstehen, ich weiß, aber
du möchtest vielleicht das erste Video nochmal anschauen.
Ich hatte eine Fläche, die etwas einfacher zu verstehen ist.
So, wie werten wir das jetzt aus?
Nun, wie gesagt, man rechnet von
innen nach außen.
Es ist wie das Invertieren einer partiellen Ableitung.
Also, wir integrieren hier in x, also können wir
y als Konstante betrachten.
So als wäre es die Zahl 5 oder sowas.
Es hat keinen Einfluss auf das Integral.
Also, was ist die Stammfunktion von x mal y im Quadrat?

Dutch: 
plak gevonden en nu vermenigvuldig ik dat met dy om er
inhoud aan te geven.
Dus door te vermenigvuldigen met dy geef ik er inhoud aan.
En als we dan het hele volume onder de curve willen, tellen
we alle dy's bij elkaar op, en nemen de oneindige som van deze
oneindig kleine volumes.
Met andere woorden, we integreren van y = 0
tot y = 1.
Ik snap dat deze grafiek een beetje moeilijk te begrijpen is, maar je
kan altijd de eerste video nog een keer bekijken.
Daar had ik een iets eenvoudiger te begrijpen oppervlak.
Dus, hoe gaan we dit uitwerken nu?
Nou, zoals we zeiden, je werkt uit vanaf
de binnenkant en werkt naar buiten.
Net als een partiele afgeleide, maar dan andersom.
Hier integreren we over x, dus we kunnen
y als een constante behandelen.
Net alsof het een getal is, 5 ofzo.
Het heeft geen invloed op de integraal.
Wat is dan nu de integraal van xy²?

Estonian: 
lõigust ja siis ma korrutan seda dy'ga et anda talle
natuke sügavust.
Kui korrutaksite seda dy'ga et anda talle sügavust,
ja siis kui tahame terve ruumala kõvera all, lisame
kõik dy kokku, võtame lõpmatu summa neist
lõpmatult väikestest ruumaladest.
Ja nii, me integreerime y on võrdne nullist
y on võrdne üheni.
Ma tean, see graafik on natuke raske mõista, aga te
võiksite vaadata uuesti esimest videot.
Mul oli natuke lihtsam mõista pinda.
Nii, kuidas me seda hindame?
Nagu ütlesin, kui hinnata
seest ja minna väljapoole.
Võtab ta osatuletise tagurpidi.
Nii, integreerime siin x suhtes, nii et me saame y kohelda
kui konstanti.
Nagu ta oleks number viis või midagi sellist.
Et ta ei muuda tegelikult integraali.
nii, mis on algfunktsioon xy ruudust?

Thai: 
แผ่นแล้วก็ผมคูณมันด้วย dy จนได้
ความลึกนิดหน่อย
ดังนั้นคุณคูณมันด้วย dy ให้ได้ความลึกนิดหน่อย,
แล้วหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมดใต้เส้นโค้ง เราก็
รวม dy ทั้งหมดเข้าด้วยกัน, หาผลรวมอนันต์ของ
ปริมาตรเล็กจิ๋วพวกนี้ทั้งหมด
เราเลยอินทิเกรตจาก y เท่ากับ 0
ถึง y เท่ากับ 1
ผมรู้ว่ากราฟนี้ดูเข้าใจยากหน่อย, แต่คุณอาจ
อยากกลับไปดูวิดีโอแรกก่อน
ผมมีผิวที่เข้าใจง่ายกว่าหน่อย
งั้นตอนนี้, เราจะหาค่านี่ยังไง?
ทีนี้, อย่างที่เราบอก, คุณอาจหาค่าจาก
ข้างในออกไป
-
มันเหมือนกับหาอนุพันธ์ย่อยแบบย้อนกลับ
ดังนั้นเรากำลังอินทิเกรตเทียบกับ x, ดังนั้นเราก็ทำเหมือน
y เป็นค่าคงที่
เหมือนกับ มันเหมือนกับเลข 5 หรืออะไรแบบนั้น
ดังนั้นมันจะเปลี่ยนค่่าอินทิกรัล
แล้วแอนติเดริเวทีฟของ xy กำลังสอง คืออะไร?

Korean: 
거기에 dy를 곱할 경우
조금의 깊이를 가지게 됩니다
정리하자면, 전체의 영역 슬라이스에 대해
dy를 모두 곱해준다면,
무한대로 작은 조각들의 부피를
무한대로 많이 더할 수 있는 것입니다
그러므로 y는 0에서부터 1인 영역에 대해
적분해주겠습니다
이 그래프가 조금 이해하기 어렵다면
첫 번째 비디오를 다시 봐도 좋습니다
그땐 더 이해하기 쉬운 모양의 면이었으니까요
계산은 어떻게 해야할까요?
앞에서 이야기한 것처럼, 조각들의 영역을 구하고
안쪽으로 적분해나가야 합니다
 
편미분을 반대로 하는 것과 같죠
x에 대해 적분하는 것으로 시작하는데,
이때 y는 상수로 취급합니다
숫자 5와 같은 수로 취급하는거죠
그것은 적분값을 달라지게 하지 않습니다
그렇다면 xy^의 부정적분은 무엇일까요?

English: 
slice and then I'm multiplying
it by dy to give it a
little bit of depth.
So you multiply it by dy to
give it a little bit of depth,
and then if we want the entire
volume under the curve we add
all the dy's together, take the
infinite sum of these
infinitely small
volumes really now.
And so we will integrate
from y is equal to 0
to y is equal to 1.
I know this graph is a little
hard to understand, but you
might want to re-watch
the first video.
I had a slightly easier
to understand surface.
So now, how do we
evaluate this?
Well, like we said,
you evaluate from the
inside and go outward.
It's taking a partial
derivative in reverse.
So we're integrating here with
respect to x, so we can treat
y just like a constant.
Like it's like the number
5 or something like that.
So it really doesn't
change the integral.
So what's the antiderivative
of xy squared?

Spanish: 
una rebanada y después la estoy multiplicando por DY para
darle un poco de profundidad
Así que multiplica lo por DY para darle profundidad
y después si queremos el volumen entero debajo de la curva
sumamos todos los DYs juntos, y tomamos la suma infinita de estos
infinitamente pequeños volúmenes
Y integraremos desde Y=0
a Y=1
Se que este gráfico es un poco difícil de entender, pero tu
puedes, si quieres, volver a ver el primer video
Ahí tengo una superficie mas fácil de entender
Ahora, como evaluamos esto?
Bueno, como dije, lo evalúas desde
el interior y vas hacia afuera
...
Es tomando una derivativa parcial en reversa
entonces estamos integrando aquí con respecto a X, entonces podemos
tratar a Y como un constante
Como si fuera el numero 5 o algo asi
Así que en realidad no cambia el integral
entonces cual es el anti derivativo de XY cuadrado

Spanish: 
Bueno, el anti derivativo de XY cuadrado
--quiero estar consistente en mis colores
Bueno, el anti derivativo de X es
X cuadrado divido entre 2
Y después Y cuadrado es solo en constante verdad?
y así no tenemos que preocuparnos de +c porque
este es integral definido
Y vamos a evaluar eso en 2 y 0
y todavía tenemos el integral afuera
son respecto a Y
entonces cuando averigüemos eso, vamos a integrarlo
desde 0 a 1 con respecto a DY
Ahora, esto a que evalúa?
Hay que poner un 2 aqui
Y si pones un 2 ahí vas a obtener 2 cuadrado dividido por 2
...
Eso solo es 4 dividido entre 2
entonces es 2Y cuadrado
...
menos 0 cuadrado sobre 2 multiplicado por Y cuadrado
Bueno, eso solo va a ser 0
entonces es menos 0
No voy a escribir eso porque espero
que ya sepas como hacerlo
Solo evaluamos esto en los 2 puntos finales y

German: 
Nun, die Stammfunktion von x mal im Quadrat -- Ich will mit
den Farben konsistent bleiben.
Nun, die Stammfunktion von x ist x hoch 1/2 --
Entschuldigung. x im Quadrat, geteilt durch 2.
Und y im Quadrat ist nur eine Konstante, stimmt's?
Und wir müssen uns nicht um plus c kümmern, weil
es ja ein bestimmtes Integral ist.
Und wir werten das aus bei 2 und 0.
Und dann haben wir immer noch das äußere Integral
nach y.
Also, wenn wir das haben, integrieren wir es
von 0 bis 1 nach dy.
Nun, was gibt das?
Wir setzen eine 2 hier ein.
Wenn man dort 2 einsetzt, kriegt man 2 im Quadrat geteilt durch 2.
Das ist einfach 4 durch 2.
Also ist es 2 mal y im Quadrat.
Minus 0 im Quadrat durch 2 mal y im Quadrat.
Aber das ist einfach 0.
Also minus 0.
Ich schreibe es nicht hin, hoffentlich ist dir das schon
in Fleisch und Blut übergegangen.
Wir haben es einfach an diesen 2 Endpunkten ausgewertet

English: 
Well, the antiderivative of
xy squared-- I want to make
sure I'm color consistent.
Well, the antiderivative
of x is x to the 1/2--
sorry. x squared over 2.
And then y squared is
just a constant, right?
And then we don't have to
worry about plus c since
this is a definite integral.
And we're going to
evaluate that at 2 and 0.
And then we still have
the outside integral
with respect to y.
So once we figure that out
we're going to integrate it
from 0 to 1 with respect to dy.
Now what does this evaluate?
We put a 2 in here.
If you put a 2 in there
you get 2 squared over 2.
That's just 4 over 2.
So it's 2 y squared.
Minus 0 squared over
2 times y squared.
Well, that's just
going to be 0.
So it's minus 0.
I won't write that down because
hopefully that's a little
bit of second nature to you.
We just evaluated this
at the 2 endpoints and

Thai: 
ดังนั้น, แอนติเดริเวทีฟของ xy กำลังสอง -- ผมอยากทำ
ให้สีมันตรงกัน
ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ x คือ x กำลัง 1/2 --
โทษที. x กำลังสอง ส่วน 2
แล้วก็ y กำลังสอง ก็แค่ค่าคงที่, จริงไหม?
แล้วเราก็ไม่ต้องกังวลถึง บวก c เพราะ
นี่คืออินทิกรัลจำกัดเขต
และเราจะหาค่าที่ 2 กับ 0
แล้วเราก็มีอินทิกรัลอันออก
เทียบกับ y
แล้วเมื่อเรารู้ว่าเรากำลังอินทิเกรตมัน
จาก 0 ถึง 1 เทียบกับ dy
แล้วมันออกมาเป็นอะไร?
เราใส่ 2 ในนี้
หากคุณใส่ 2 ในนี้ คุณจะได้ 2 กำลังสอง ส่วน 2
-
นั่นก็แค่ 4 ส่วน 2
มันก็คือ 2 y กำลังสอง
-
ลบ 0 กำลังสอง ส่วน 2 คูณ y กำลังสอง
ทีนี้, มันก็จะเป็น 0
ดังนั้นมันจะเป็น ลบ 0
ผมจะไม่เขียนมันลงไป เพราะหวังว่ามันคง
อยู่ในตัวคุณแล้ว
เราจะแทนค่านี้ที่จุดปลาย 2 จุด และ

Dutch: 
Welnu, de integraal van xy², -- laat ik eerst
zorgen dat ik met de kleuren consistent blijf.
De integraal van x is dus, x tot de macht een half,..
sorry, x² delen door 2.
En y² is dan gewoon een constante, toch?
En we hoeven geen rekening te houden met 'plus C', omdat
dit een bepaalde integraal is.
En dat werken we uit op 2, en op 0.
Dan hebben we nog steeds de buitenste integraal
welke y betrekt.

Turkish: 
xy karenin terstürevi- x'in terstürevi, x kare bölü 2'dir.
-
-
-
y kare sabit, öyle değil mi?
Bu, belirli integral olduğu için, artı c'yi düşünmeye gerek yok.
-
Bunun 2 ve 0'daki değerlerini bulacağız.
Elimizde hala integralin dış kısmı, yani y ilgili kısmı var.
-
Bunu da bulunca, y'ye göre 0'dan 1'e integral alacağız.
-
Bunun değeri nedir?
2 koyarız.
Buraya 2 koyarsak, 2 kare bölü 2 buluruz.
-
Bu da 4 bölü 2 demek.
Yani, 2 y kare.
-
Eksi 0 kare bölü 2 çarpı y kare.
Bu, 0 olacak.
Yani eksi 0.
Bunu anladığınızı düşünerek yazmayacağım.
-
-

Korean: 
그 값을 구하려면-
아 똑같은 색을 사용하겠습니다
x의 부정적분을 하면
x^/2가 되고요,
y^은 상수로 취급하기로했죠,
그리고 정적분이니 적분상수 c에 대해서도
고민할 필요가 없습니다
이것을 2와 0에서 값을 구해볼 것입니다
아직 바깥쪽의 적분이 남았죠
y에 대한 것이 남았습니다
그래서 이 값을 구하고나면
dy에 대해 0부터 1까지의 값을 구할겁니다
계산하면 어떻게 될까요?
2를 대입해보겠습니다
2를 넣으면 2^/2가 되죠
 
4/2가 됩니다
그래서 2y^이라는 결과가 나옵니다
 
0을 대입했을 때의 값은
계산해도 0이 나오니
뒤에 -0이 붙게 됩니다
여러분이 이것을 알 것이라고 생각하고
자리도 없기 때문에
0의 값은 따로 적지 않겠습니다

Estonian: 
Nii, algfunktsioon xy ruudust-- ma tahan
olla kindel, et mu värvid klapivad.
Nii, algfunktsioon x'st on x --
Vabandust. x ruudus kahendikku.
ja y ruudus on vaid konstant, eks?
Ja siis me ei pea muretsema plus c pärast, kuna
see on määratud integraal.
Ja me hindame seda 2 ja nulli juures.
Ja siis meil on ikkagi välis integraal
y suhtes.
Nii kord, kui välja nuputame integreerime seda
nullist üheni dy suhtes.
Nii, mida see arvutab?
Me paneme kahe siia.
Kui siia panan 2 saate 2 ruudus kahendikku.
See on vaid 4 kahendikku.
Ta on 2y ruudus.
miinus 0 ruudus kahendikku korda y ruudus.
See tuleb 0.
Nii, et ta on miinus 0.
Ma ei kirjuta seda siia, kuna loodetavasti on see
täiesti arusaadav.
Ma just arvutasin seda kahe lõpppunkti

Thai: 
ผมก็ไม่มีที่แล้ว
ดังนั้นนี่แทนค่าที่ 2y กำลังสอง แแล้วตอนนี้เราก็
คิดค่าอินทิกรัลอันนอก
0,1 dy
และนี่คือสิ่งสำคัญที่ต้องพึงระวัง
ตอนเราหาค่าอินทิกรัลอันใน, จำได้ไหม
ว่าเราทำอะไรอยู่?
เราพยายามหาว่า สำหรับค่า y ที่กำหนด, พื้นที่
ของผิวนี้เป็นเท่าไหร่
ทีนี้, ไม่ใช่ผิวนี้, พื้นที่ใต้ผิวนี้
สำหรับ y ค่าหนึ่ง
สำรหับ y ค่าหนึ่ง พื้นผิวจะกลายเป็นเส้นโค้ง
และเราพยายามหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนั้น
ในแบบดั้งเดิม
นี่สุดท้ายแล้วเป็นฟังก์ชันของ y
และนั่นเข้าใจได้เพราะมันขึ้นอยู่กับค่า y ที่เราเลือก
เราจะได้พื้นที่ต่าง ๆ กัน
แน่นอน, ว่าขึ้นอยู่กับค่า y ที่เราเลือก, พื้นที่ --
เหมือนกับกำแพงทิ้งลงตรง ๆ -- พื้นที่จะเปลี่ยนไป
ดังนั้นเราได้ฟังกืชันของ y เมื่อเราหาค่านี้และตอนนี้
เราก็อินทิเกรตเทียบกับ y และนี่ก็แค่การอินทิเกรต

Estonian: 
ja mul on vähe ruumi.
Nii, see arvutas 2y ruudu juures ja nüüd me arvutame
välisintegraali.
0, 1 dy.
Ja see on tähtis asi, mida mõista.
Kui me arvutasime seda seesmist integraali, mäletate,
mida me tegime?
Me üritasime välja nuputada antud y kohta, mis
pinna pindala oli.
Noh, mitte see pind, pindala selle pinna all.
antud y kohta.
Antud y kohta see pind muutub kõveraks.
Ja me üritasime välja nuputada ala selle kõvera all
traditsioonilises mõistes.
See oli lõpuks y funktsioon.
Ja see on loogiline, kuna sõltuvalt kumba y me valime
me saame siia erineva pindala.
Ilmselgelt, sõltuvalt, millise y me valime, ala -
on nagu sein ülevalt otse alla-- see pindala muutub.
nii nüüd meil on funktsioon y'st ja me arvutasime selle ja nüüd me
integreerime y suhtes ja see on vana hea

German: 
und mir geht der Platz aus.
Also, das gab 2 mal y im Quadrat und jetzt berechnen wir
das äußere Integral.
0, 1, dy.
Und das ist wichtig zu verstehen.
Als wir das innere Integral berechnet haben, kannst du dich
erinnern, was wir gemacht haben?
Wir haben versucht herauszufinden, was die Fläche dieser
Oberfläche für ein bestimmtes y war.
Nun, nicht dieser Oberfläche, der Flächeninhalt unter der Oberfläche
für ein gegebenes y.
Für ein gegebenes y wird die Oberfläche wie zu einer Kurve.
Und wir haben versucht die Fläche unter dieser Kurve zu berechnen.
im traditionellen Sinn.
Diese Fläche war eine Funktion von y.
Und das ist sinnvoll, weil abhängig vom y, das wir wählen,
kriegen wir hier einen anderen Flächeninhalt.
Offensichtlich ändert die Fläche -- wie eine Wand die senkrecht runtergeht --
abhängig vom y-Wert, den wir wählen.
Wir haben also eine Funktion von y erhalten und nun
integrieren wir einfach nach y und das ist einfach ein

Turkish: 
-
Evet, bunun sonucu 2 y kare çıktı ve şimdi de dıştaki integrali hesaplayacağız.
-
0, 1 dy.
Bu, dikkat etmemiz gereken bir nokta.
İçteki integrali hesaplarken ne yaptığımızı hatırlıyor musunuz?
-
Herhangi bir y değeri için bu alanı bulmaya çalışıyorduk.
-
Yüzeyin alanını değil, yüzeyin altındaki alanı.
-
Herhangi bir y değerindeki yüzey parçasını bir eğri olarak düşünebiliriz.
Ve biz de o eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışıyorduk.
-
Sonuç olarak da y cinsinden bir fonksiyon ortaya çıkmıştı.
Böyle çıkması mantıklı aslında. Çünkü, seçtiğimiz y'ye bağlı olarak farklı bir alan elde edeceğiz.
-
y'nin değerine göre, alan da değişecek.
-
Burayı hesapladığımız zaman y cinsinden bir fonksiyon bulduk ve şimdi y'ye göre integral alacağız. Bu, bildiğimiz belirli integral.
-

Spanish: 
me falta espacio
entonces si evaluamos en 2Y cuadrado y ahora evaluamos
la integral exterior
0, 1 DY
Y esto es algo importante de realizar
cuando evaluamos este integral interior, recuerda
que es lo que estábamos haciendo?
Estábamos tratando de averiguar por una Y dada
el área de esta superficie
Bueno, no esta superficie, pero el área debajo de la superficie
de una Y dada
Para una Y dada, esta superficie se transforma en una curva
y estamos tratando de averiguar el área debajo de esa curva
en un sentido tradicional
Esto termino siendo una función de Y
Y eso tiene sentido porque dependiendo en que Y escogemos
vamos a tener una área diferente aquí
Obviamente, dependiendo en que Y escogemos, el area
como una pared hacia abajo, esa es el área que cambiara
entonces tenemos una funcion de Y, cuando evaluemos esto y
ahora solo integramos con respecto a Y, esto solo es simplemente

English: 
I'm short for space.
So this evaluated at 2y
squared and now we evaluate
the outside integral.
0, 1 dy.
And this is an important
thing to realize.
When we evaluated this
inside integral, remember
what we were doing?
We were trying to figure out
for a given y, what the
area of this surface was.
Well, not this surface, the
area under the surface
for a given y.
For a given y that surface
kind of turns into a curve.
And we tried to figure out
the area under that curve
in the traditional sense.
This ended up being
a function of y.
And that makes sense because
depending on which y we pick
we're going to get a
different area here.
Obviously, depending on which y
we pick, the area-- kind of a
wall dropped straight down--
that area's going to change.
So we got a function of y when
we evaluated this and now we
just integrate with respect to
y and this is just plain old

Korean: 
이게 안쪽 적분을 양 극단에서 한 값으로
2y^이 나왔고, 이제 바깥 쪽 적분을 해보겠습니다
 
0, 1, dy
여기서 기억해야 할 점은
우리가 안쪽의 적분을 계산할 때
주어진  y에 대한
영역의 넓이가 얼마인지를 계산해보고자
했습니다
주어진 y에 대해 구해야 하는 면이 아닌
이 면의 영역을 계산했죠
그래서 주어진 y에 대해 도출된 곡선의
아랫부분의 영역 넓이를 구하고자 했습니다
 
이것은 y에 대한 함수로 표현되었죠
어떤 y값을 선정하느냐에 따라
마치 벽과 같이 생긴 일직선의 이 면의
모양이 달라지기 때문에
이것은 당연한 것입니다
그래서 이제 y에 대한 함수가 도출되었으니
해당되는 y값에 대해

Estonian: 
määratud integreerimine.
Mis on algfunktsioon 2y ruudust?
Nii, see on võrdne 2 korda y astmes 3 kolmandikku,
või 2/3 y kolmandas astmes.
Me arvutame selle 1 ja 0 juures, mis
on võrdne-- vaatame.
1 kolmandas astmes korda 2/3
See on 2/3.
miinus 0 kolmandas astmes korda 2/3.
Nii, see on vaid 0.
Nii, et ta võrdub 2/3.
Kui meie ühikud oleksid meetrid, oleksid need 2/3 meetrit
kuubis, või kuupmeetrit.
Aga sobib nii.
Nii arvutate kahekordset integraali.
Siin polegi tegelikult uut oskust.
Peate lihtsalt muutujatel silma peal hoidma.
Neid konstantidena kohtlema.
Nad vajavad konstandina kohtlemist, ja siis kohelge neid
muutujana integratsioonist, kui see on kohane.
Igatahes, kohtume järgmises videos.

Thai: 
พื้น ๆ เดิม ๆ
แอนติเดริเวทีฟของ 2y กำลังสองคืออะไร?
มันเท่ากับ 2 คูณ y กำลังสามส่วน 3
หรือ 2/3 y กำลังสาม
เราจะหาค่ามันที่ 1 กับ 0, ซึ่ง
เท่ากับ -- ลองดู
1 กำลังสาม คูณ 2/3
นั่นก็คือ 2/3
ลบ 0 กำลังสามคูณ 2/3
ทีนี้, นั่นก็แค่ 0
แล้วมันเท่ากับ 2/3
หากหน่วยเราเป็นเมตร นี่จะเป็น 2/3 เมตรกำลังสาม
หรือลูกบาศก์เมตร
แล้วก็จบ
นั่นคือวิธีการหาอินทิกรัลสองชั้น
มันไม่มีทักษะอะไรใหม่เลย
คุณแค่ต้องแน่ใจว่าติดตามตัวแปรให้ถูก
ทำเหมือนมันเป็นค่าคงที่
มันต้องทำตัวเหมือนค่าคงที่, แล้วค่อยปล่อยมัน
เป็นตัวแปรของการอินทิเกรตเมื่อถึงเวลา
เอาล่ะ, แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-

German: 
bestimmtes Integral ohne Schnickschnack.
Was ist die Stammfunktion von 2 mal y im Quadrat?
Nun, das ist 2 mal y hoch 3, geteilt durch 3,
oder 2/3 mal y hoch 3.
Wir werten das bei 1 und bei 0 aus, das
gibt -- mal sehen.
1 hoch 3 mal 2/3.
Das gibt 2/3.
Minus 0 hoch 3 mal 2/3.
Das ist einfach 0.
Also gibt es 2/3.
Wenn unsere Einheiten Meter wären, wären das 2/3
Meter hoch 3 oder Kubikmeter.
Na bitte.
So berechnet man ein Doppelintegral.
Da gibt's eigentlich keine neue Fähigkeit.
Man muss einfach den Überblick über die Variablen behalten.
Behandle sie als Konstanten,
wenn sie als Konstanten behandelt werden müssen und behandle sie
als Integrationsvariable, wenn es angebracht ist.
Also, bis zum nächsten Video.

Spanish: 
vanilla integración definida
Cual es el anti derivativo de 2Y cuadrado?
bueno, eso es igual a 2 por Y al tercero sobre 3
o 2/3Y al cubo
vamos a evaluar eso en 1 y 0, que
es igual a--déjame ver
1 al cubo por 2/3
eso es 2/3
menos 0 al cubo por 2/3
bueno, eso solo es 0
entonces igual a 2/3
si nuestras unidades fueran metros esto seria 2/3 metros
en cubos o metros cubicos
pero ahi esta
Asi es como evaluas un integral doble
No hay una nueva habilidad aqui
Solo tienes que saber como rastrear los variables
Tratarlos constantemente
Ellas necesitan ser tratados como constantes, y después
como variables de integración cuando es apropiado
De todos modos, te veré en el siguiente vídeo :)
...

Korean: 
정적분만 수행하면 되는 것이죠
2y^의 부정적분은
2y^3/3입니다
또는 2/3y^3이죠
이 값을 1과 0에서 계산해보면
 
1일 때는
2/3이라는 값이 나오고
0을 대입하면
0이 됩니다
결과적으로는 2/3이네요
만약 우리의 단위가 m였다면
답은 2/3세제곱 미터가 되겠네요
답이 나왔습니다
이것이 이중적분을 하는 방법입니다
그다지 새로운 내용은 아니고
변수들을 상수로 다루는 방법만
이해하고 있으면 됩니다
변수들을 상수로 다루다가
필요할때 적분변수로 바꾸어주는 능력이 중요합니다
다음 비디오에서 뵙겠습니다
 

English: 
vanilla definite integration.
What's the antiderivative
of 2y squared?
Well, that equals 2 times
y to the third over 3,
or 2/3 y to the third.
We're going to evaluate
that at 1 and 0, which
is equal to-- let's see.
1 to the third times 2/3.
That's 2/3.
Minus 0 to the third times 2/3.
Well, that's just 0.
So it equals 2/3.
If our units were meters
these would be 2/3 meters
cubed or cubic meters.
But there you go.
That's how you evaluate
a double integral.
There really isn't
a new skill here.
You just have to make sure to
keep track of the variables.
Treat them constant.
They need to be treated
constant, and then treat them
as a variable of integration
when it's appropriate.
Anyway, I will see you
in the next video.

Turkish: 
-
2y karenin terstürevi nedir?
2 çarpı y küp bölü 3 veya 2 bölü 3 y küp.
-
Bunun 1 ve 0 için değerini hesaplayacağız.
-
1 küp çarpı 2 bölü 3.
Bu, 2 bölü 3'e eşit.
Eksi 0 küp çarpı 2 bölü 3.
Bu 0.
Yani, cevap 2 bölü 3.
Eğer birim olarak metre kullansaydık, 2 bölü 3 metreküp derdik.
-
İşte böyle.
Çift katlı integrali böyle hesaplıyoruz.
Burada yeni bir beceri yok.
Sadece değişkenleri karıştırmamak için dikkat etmek gerekiyor.
Değişkeni önce sabit almanız, sonra, yeri geldiğinde, o değişkene göre integral almanız gerekiyor.
-
-
Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere.
-
