
Korean: 
안녕, 또 만났네.
(이번에도 자막싱크가 안맞네요. 자막이 훨빨라요;)
그럼, 이제는
너에게 충분히 설명했다고 생각해. 
선형변환에 대한 시각적 이해가 됬을거고,
선형변환을 행렬로 표현하는 방법도 알거야.
지난 동영상들에서 통해서 계속 얘기했었지.
근데 너가 선형변환을 다루다보면,
어떤 것들은 공간을 확대시키는 것 같을거고,
또 어떤 것들은 공간을 축소시키는 것 같을거야.
이런 변환을 이해하는데 
꽤 도움이 되는 방법 한가지가 있어.
바로 물체를 얼마나 확장되거나 축소되는지 특정해보는거야.
더 구체적으로 설명하자면,
특정 지역의 크기를 증가하거나 감소시키는 
팩터(factor 요인)값을 측정해보는 거야.
예를 들어 볼게.
열 (3, 0), (0, 2) 로 이루어진 행렬을 봐봐.
이 행렬은 i-hat(x 축 단위벡터) 를 팩터 3으로 확장시키고,
j-hat(y축 단위벡터)를 팩터2 로 확장시키고 있어.

Portuguese: 
Olá, olá de novo.
Então, seguindo em frente
eu estarei assumindo que você tem um entendimento visual das transformações lineares.
e como elas são representadas com matrizes
da maneira que eu venho falando sobre nos últimos vídeos.
Se você pensar sobre algumas dessas transformações lineares
você pode perceber como algumas delas parecem esticar o espaço
enquanto outras o esmagam em si.
Uma coisa que acaba sendo bem útil para entender uma transformação dessas
é medir exatamente o quanto ela estica ou esmaga coisas.
Mais especificamente
medir o fator pelo qual dada região aumenta ou diminui.
Por exemplo
olhe para a matriz com colunas (3,0) e (0,2).
Ela escala î por um fator de 3
e escala ĵ por um fator de 2.

Turkish: 
"Hesaplamanın amacı kavramaktır,
sayılar elde etmek değildir"
 
 ~ Richard Hamming
Merhabalar tekrardan.
Devam ediyoruz..
Geçtiğimiz bir kaç videoda anlatadurduğum şekilde,
Doğrusal dönüşümleri görsel olarak anlayabildiğinizi ve
matrislerle nasıl gösterildiklerini anladığınızı varsayıyorum.
Eğer bu doğrusal dönüşümlerden bir kısmını hatırlarsanız,
bir kısmının uzayı nasıl sündürdüğünü ve
diğer bir kısmının ise uzayı nasıl büktüğünü farketmişsindir.
Görünüşe göre, bu dönüşümlerde tam olarak ne kadar sündürme ya da büzüştürme yapmayı hesaplamak
anlaması oldukça önemli bir konu gibi.
Daha açık bir şekilde,
verilen bir bölgenin büyüme ve küçülme katsayısını ölçmek önemlidir.
Örneğin,
[3,0] ve [0,2] sütunlarından oluşan matrixi ele alalım.
bu matrix, i vektörünü 2 katına çıkarırken,
j vektörünü 2 katına çıkarıyor.

Chinese: 
哈囖，哈囖。
這樣，接著講下去
我將假定你對綫性變換有一個視覺上的理解
以及他們是怎樣用矩陣來表示的
這方法我在過去的幾個錄像中講過的。
如果你想一下這些綫性變換
你也許會注意到有些是怎樣看起來在空間裏拉伸著
而另外一些把它壓縮進去。
一個東西卻對理解這些變換中的一個相當有用的
是來精確地度量它把那些東西拉伸或者壓縮了多少。
更具體來度量對給出的區域
增加或者減少的係數。
舉個例子
看一個矩陣它的列是(3,0) 和(0,2)
它對i-hat乘以一個係數3
並對j-hat乘以一個係數

iw: 
"המטרה של חישוב היא תובנה, לא מספרים" 
- ריצ'ארד המינג(מתמטיקאי אמריקאי)
שלום, שלום לכולם.
אז נמשיך הלאה.
אני אניח כי יש לך הבנה ויזואלית של טרנספורמציות לינאריות
ואיך הן מיוצגות עם מטריצות
בדרך שדיברתי עליה בסירטונים האחרונים.
אם אתה חושב על מספר טרנספורמציות לינאריות
אתה אולי תבחין באיך שחלק מהן מותחות את המרחב כלפי חוץ
ואחרות מוחצות אותו כלפי פנימה.
אחד הדברים שהופכים להיות מאוד שימושיים בהבנת הטרנספורמציות הללו
הוא למדוד בדיוק כמה הן מותחות או מוחצות דברים.
באופן יותר ספיציפי
למדוד את הפקטור בו איזור מסוים גדל או דועך.
לדוגמא,
תסתכל על המטריצה עם העמודות 3,0 ו- 0,2
זה מכפיל בסקלר את i כובע בפקטור של 3
ומכפיל בסקלר את j כובע בפקטור של 2

German: 
Hallo zusammen!
Von hier an
gehe ich davon aus, dass ihr ein visuelles Verständnis von linearen Transformationen habt
und wie sie durch Matrizen repräsentiert werden,
so wie ich das in den letzten Videos dargestellt habe.
Wenn ihr über diese linearen Transformationen nachdenkt,
dann habt ihr vielleicht gemerkt, dass manche von ihnen den Raum auszudehnen scheinen,
während andere den Raum zusammendrücken.
Und eine Sache, die sich als ziemlich nützlich herausstellt um diese Transformationen zu verstehen,
ist zu messen wie sehr sie Dinge ausdehnen oder zusammendrücken
Genauer gesagt,
den Faktor zu messen mit dem die gegebene Region sich vergrößert oder veringert.
Zum Beispiel:
Schauen wir uns die Matrix mit den Spalten 3; 0 und 0; 2 an.
Sie skaliert î mit einem Faktor von 3
und ĵ mit einem Faktor von 2.

Portuguese: 
"O propósito da computação é insight, não números." - Richard Hamming
Olá, Olá novamente.
Então, seguindo adiante,
Eu vou assumir que você tem uma compreensão visual de transformações lineares
e como elas são representadas com matrizes
da maneira que eu tenho falado nos últimos vídeos.
Se você pensar sobre algumas destas
transformações lineares,
você pode notar como algumas delas
 parecem estirar o espaço
enquanto outros esmagam-no em si mesmo.
Uma coisa que acaba por ser bastante útil
para entender uma dessas transformações
é medir exatamente quanto se estende
ou contrai as coisas.
Mais especificamente
para medir o fator pelo qual uma região dada
aumenta ou diminui.
Por exemplo,
olhe para a matriz com as colunas 
(3, 0) e (0, 2).
Ela escala î por um fator de 3
e escala ĵ por um fator de 2.

English: 
Hello, hello again.
So, moving forward
I will be assuming you have a visual understanding
of linear transformations
and how they're represented with matrices
the way I have been talking about in the last
few videos.
If you think about a couple of these linear
transformations
you might notice how some of them seem to
stretch space out
while others squish it on in.
One thing that turns out to be pretty useful
to understanding one of these transformations
is to measure exactly how much it stretches
or squishes things.
More specifically
to measure the factor by which the given region
increases or decreases.
For example
look at the matrix with the columns 3, 0 and
0, 2
It scales i-hat by a factor of 3
and scales j-hat by a factor of 2

Chinese: 
嘿 又见面了！
继续上次的内容
通过前几期视频的学习，我假定你已经对线性变换有一个形象的理解
并且你也知道如何用矩阵表示它们
现在想象一些线性变换
你可能注意到其中有的将空间向外拉伸，有的则将空间向内挤压
有件事对理解这些线性变换很有用
那就是测量变换究竟对空间有多少拉伸或挤压
更具体一点，就是测量一个给定区域面积增大或减小的比例
比如说这样一个以(3, 0)和(0, 2)为列的矩阵
它将i帽伸长为原来的3倍，将j帽伸长为原来的2倍

Estonian: 
„Arvutuste eesmärk on kaemus, mitte arvud“ - Richard Hamming
- Tere-tere jälle!
Niisiis, edasi liikudes
ma eeldan, et sul on visuaalne ettekujutus lineaarkujutusest
ja kuidas neid esitatakse maatriksitega,
nagu ma olen viimases paaris videos rääkinud
Kui sa mõtled mõnele nendest lineaarkujutustest,
siis sa võid tähele panna, kuidas mõni neist justkui venitab ruumi välja
ning mõni pressib selle kokku.
Üks asi, mis osutub päris kasulikuks kujutuse mõistmisel,
on väljavenituse või kokkupressimise ulatuse mõõtmine
Täpsemalt,
mõõta tegurit, mis näitab, mitu korda antud piirkond suureneb või väheneb
Näiteks,
vaadake seda maatriksit veergudega 3;0 ja 0;2
See pikendab î kolm korda
ja pikendab ĵ kaks korda

Spanish: 
"El propósito de la computación es la perspectiva, no los números."
-Richard Hamming.
¡Hola de nuevo!
De ahora en adelante asumiré que tienen un entendimiento visual de las transformaciones lineales
y cómo se representan con matrices,
de la forma como les he hablado en estos últimos videos.
Si piensan en un par de estas transformaciones lineales
se darán cuenta que algunas de ellas parece que estiran el espacio
mientras otras lo comprimen.
Algo que resulta ser bastante útil para entender estas transformaciones,
es medir exactamente cuánto
estira o comprime las cosas.
Más específicamente,
medir el factor por el cual el área de una región dada incrementa o disminuye.
Por ejemplo, veamos la matriz con columnas [3,0] y [0,2]:
"escala" a "i" por un factor de 3
y "escala a "j" por un factor de 2.

Polish: 
Witam ponownie.
Kontynuując,
będę zakładać że masz dobre wyobrażenie przestrzenne o transformacjach liniowych
i jak są one reprezentowane macierzowo,
w sposób o którym mówiłem w kilku poprzednich filmach.
Jeśli wyobrazisz sobie kilka z tych transformacji liniowych
możesz zauważyć jak niektóre z nich jakby rozciągają przestrzeń,
podczas gdy inne ściskają.
Jedną z rzeczy która poprawia rozumienie tych transformat
jest miara o ile dokładnie przestrzeń się rozciągnęła lub ścisła.
Mówiąc precyzyjniej,
zmierzenie współczynnika o które dane pole się zwiększyło lub zmniejszyło.
Dla przykładu,
weźmy macierz o kolumnach 3,0 i 0,2.
Skaluje ona i-z-daszkiem o współczynnik 3,
a j-z-daszkiem o współczynnik 2.
Jeśli spojrzymy na kwadracik jeden na jeden,
którego podstawa znajduje się na i-z-daszkiem a lewa strona na j-z-daszkiem,

Russian: 
"Цель вычисления — это озарение, а не числа" — Ричард Хэмминг.
Привет, снова привет!
Двигаемся вперед.
Я подразумеваю, что у вас уже есть визуальное понимание линейных преобразований
и как они представляются матрицами,
о чем я говорил в прошлых видео.
Если вы представите себе несколько таких линейных преобразований,
то можете заметить, что некоторые из них растягивают пространство,
а другие сжимают.
Один момент, который оказывается крайне полезным для понимания преобразования,
это мера того, как сильно оно растягивает или сжимает вещи.
Точнее
величина, на которую изменяется данная область.
Например,
взгляните на матрицу со столбцами 3, 0 и 0, 2
Она удлиняет i в три раза
и j в два раза.

Czech: 
Cílem výpočtu je vhled, nikoli čísla. -- Richard Hamming
Ahoj ahoj.
Jak se posouváme,
budu nadále předpokládat, že máte vizuální představu lineárních transformací
a chápete, jak souvisí s maticemi,
jak jsem to vysvětloval v několika předchozích videích.
Když si představíte pár takových transformací,
můžete si všimnout, že některé prostor roztahují,
zatímco jiné jej smrskávají.
Ukazuje se celkem důležité rozumět tomu, jak přesně
transformace prostor roztahují nebo smrskávají.
Konkrétně
chceme změřit koeficient, podle kterého se obsah dané oblasti zvětší nebo zmenší.
Pro příklad
se podívejme na matici se sloupci (3,0) a (0,2).
Ta roztáhne 'i' s koeficientem 3
a bázový vektor 'j' s koeficientem 2.

Turkish: 
Şimdi, eğer dikkatimizi, bu iki vektör arasında kalan 1 e 1 lik alana yöneltirsek;
ki tabanı i vektöründe, sol yanı ise j vektörü üzerindedir.
Dönüşüm sonrasında, bu alanın 2 ye 3 lük bir dikdörtgen olduğu görülür.
Bu alan 1 birimkare iken, 6 birim kareye dönüştüğünden,
doğrusal dönüşüm, alanı 6 katına çıkardı diyebiliriz.
Bunu shear dönüşümüyle kıyaslayalım.
matrix, değerleri [1,0] ve [1,1] ile
i vektörünün yerinde durması gerektiği, j vektörünün ise [1,1] e gitmesi gerektiği anlamına gelir.
i ve j arasındaki birim vektör,
bükülüp, paralelkenara dönüştü.
Ama paralelkenarın alanı hala
tabanı ve yüksekliği 1 olduğundan dolayı 1.
Dolayısıyla, bu dönüşüm eziştirdiyse de uzayı,
alanı değiştirmemiş görünüyor.
En azından, 1 birimkarelik alan bakımından.
Aslına bakacak olursan,
eğer bir birim alandaki değişim miktarını bilirsen
uzayda herhangi bir alanın nasıl değiştiği
hakkında da fikrin olmuş olur.
Evvela;

Portuguese: 
Agora, se focarmos nossa atenção no quadrado 1x1
cuja parte inferior está sobre î e cuja parte lateral está sobre ĵ.
Depois da transformação, ele se torna num retângulo 2x3.
Já que essa região começou com área 1, e terminou com área 6
podemos dizer que a transformação linear escalou sua área por um fator de 6.
Compare isso com um cisalhamento
cuja matriz tem colunas (1,0) e (1,1).
Significado î fica no lugar e ĵ se move para (1,1).
Esse mesmo quadrado unitário determinado por î e ĵ
é inclinado e tornado num paralelogramo.
Mas, a área desse paralelogramo ainda é 1
já que sua base e altura cada continuam a ter comprimento 1.
Então, mesmo que essa transformação esmague coisas
ela parece deixar áreas não modificadas.
Pelo menos, no caso deste quadrado unitário.
Na verdade
se você sabe o quanto a área desse único quadrado unitário muda
ele pode te dizer como qualquer região possível no espaço muda.
Para iniciantes

Korean: 
이번에는, 1x1 짜리 정사각형을 집중해서 봐봐.
이 정사각형 아래는 i-hat 벡터고 왼쪽은 j-hat 벡터야.
변환 후를 보면, 2x3 크기의 직사각형이 되었어.
처음엔 영역(area) 1로 시작했는데, 
나중엔 영역(area)크기가 6으로 바뀌었어.
그럼 우리는 이 선형변환은 팩터 6 으로 영역(area) 를 확장시킨다고 말할 수 있어.
기울이기?(shear) 변환과 비교해보자.
기울이기(shear) 변환을 타나내는 행렬은 
(1,0), (1,1) 이야.
좀 풀어서 말하자면,
i-hat 은 변하지 않고 j-hat 은 (1,1) 로 이동시켜.
그러면 i-hat 과 j-hat 에 의해 결정된 단위 정사각형이
기울여지는 변형 후에는 평행사변형이 돼.
그래도 평행사변형의 영역(area) 크기는 여전히 1이야.
밑과 높이 길이가 여전히 1이기 때문이지.
그래서, 이 변환이 마치 눌러서 찌그려뜨리는 것 같아도,
영역(넓이)는 바뀌지 않아.
흠, 적어도 단위 정사각형은 그렇지.
사실은
너가 하나의 단위 정사각형의 영역이 얼마나 변하는지만 알면
공간 상 어떤 지역이 어떻게 변할지를 예측할 수 있게 돼.
우선
격자에 한 정사각형이 어떻게 바뀌는지 살펴봐봐.

Estonian: 
Nüüd, kui me jälgime ühte ruutu küljepikkusega üks,
ruudu põhi kattub î-ga ja vasak külg ĵ-ga
Pärast kujutust muutub ruut 2 korda 3 ristkülikuks
Kuna see piirkond alustas pindalaga 1 ja jõudis pindalani 6,
võime öelda, et lineaarkujutus on suurendanud pindala kuus korda
Võrdle seda lükkega,
mille maatriksil on veerud 1;0 ja 1;1
Tähendab, et î jääb paigale ja ĵ liigub punkti 1;1
Seesama î ja ĵ-ga määratud ühikruut
läheb kaldu ja muutub rööpkülikuks
Aga selle rööpküliku pindala on ikka 1,
kuna selle alus ja kõrgus on ikka pikkusega 1
Niisiis, olgugi et läbi selle kujutuse muudetakse asju ringi,
tundub siiski, et pindalad ei muutu
Vähemalt ühikruudu suhtes
Tegelikult,
selle ühikruudu pindala muutus
näitab igasuguse piirkonna muutust
Alustuseks,

Polish: 
po transformacji przejdzie on w prostokąt 2 na 3.
Skoro pole miało powierzchnię 1, a skończyło jako pole o powierzchni 6,
możemy powiedzieć że przekształcenie liniowe przeskalowało jego powierzchnię o współczynnik 6.
Porównajmy to ze ścięciem,
którego macierz ma kolumny 1,0 i 1,1
Tj. i-z-daszkiem zostaje na swoim miejscu a j-z-daszkiem przesuwa się na 1,1.
Ten sam jednostkowy kwadracik określony przez i-z-daszkiem oraz j-z-daszkiem,
przekrzywił się i stał się równoległobokiem.
Powierzchnia tego równoległoboku jest ciągle równa 1,
gdyż jego baza i wysokość ciągle mają długość 1.
Zatem, mimo iż transformacja zniekształca nasze figury,
wygląda na to że nie zmienia ich pól.
W każdym razie: w przypadku naszego jednostkowego kwadratu
Warto zauważyć
iż jeśli wiemy o ile zmieni się powierzchnia jednostkowego kwadratu,
możemy stwierdzić o ile zmieni się powierzchnia dowolnej figury w przestrzeni.
Dla początkujących:
zwróćmy uwagę iż to co się stanie z pojedynczym kwadratem na siatce,
musi stać się również z każdym innym kwadratem na tej siatce,
bez znaczenia jakiego jest rozmiaru

Chinese: 
现在如果我们关注以i帽为底边，以j帽为左边的1×1方形
在变换之后，它会变成一个2×3的矩形
因为这个区域初始面积为1，最终面积为6
所以我们说这个线性变换将它的面积变为6倍
剪切矩阵的列为(1, 0)和(1, 1)
也就是说i帽保持不变，而j帽移动至(1, 1)
由i帽和j帽决定的单位正方形在变换后倾斜为一个平行四边形
但这个平行四边形的面积仍旧为1
因为它的底和高的长度还是1
所以说，即便这个变换将空间向右挤压
至少对于这个单位正方形来说，它似乎并不改变面积
实际上，你只要知道这个单位正方形面积变化的比例
它就能告诉你其他任意区域的面积变化比例
首先需要注意一点，无论一个方格如何变化

Russian: 
Теперь, если мы сосредоточимся на одном квадрате,
чья нижняя сторона и боковая сторона - это i и j соответственно
После преобразования он превращается в прямоугольник 2 на 3
Так как площадка начинала с площадью 1, а стала площадью 6
мы можем сказать, что преобразование преобразует площадь с множителем 6.
Сравните это с преобразованием-сдвигом
чья матрица имеет столбцы 1, 0 и 1, 1
Это означает, что i остается на месте, а j переходит в 1, 1
Тот же самый единичный квадрат
сдвигается и превращается в параллелограм.
Но площадь этого параллелограма все равно 1,
так как его основание и высота имеют длину 1
Так, хотя это преобразование передвигает вещи
Оно, кажется, оставляет площади нетронутыми
По крайней мере площадь этого единственного единичного квадрата
Но на самом деле
Если вы знаете как именно меняется площадь этого квадрата
вы можете предсказать, как меняется любая область пространства
Для новичков

English: 
Now, if we focus our attention on the one
by one square
whose bottom sits on i-hat and whose left
side sits on j-hat.
After the transformation, this turns into
a 2 by 3 rectangle.
Since this region started out with area 1,
and ended up with area 6
we can say the linear transformation has scaled
it's area by a factor of 6.
Compare that to a shear
whose matrix has columns 1, 0 and 1, 1.
Meaning, i-hat stays in place and j-hat moves
over to 1, 1.
That same unit square determined by i-hat
and j-hat
gets slanted and turned into a parallelogram.
But, the area of that parallelogram is still
1
since it's base and height each continue to
each have length 1.
So, even though this transformation smushes
things about
it seems to leave areas unchanged.
At least, in the case of that one unit square.
Actually though
if you know how much the area of that one
single unit square changes
it can tell you how any possible region in
space changes.
For starters

Chinese: 
現在，如果我們把注意力集中在1X1 的方塊s
它的底部在i-hat是而左面在j-hat上。
轉換之後，這就變成一個2X3 的長方塊。
因爲這個區域開始的面積是1，而面積變成了6
我們可以是這綫性變換已經通過一個係數6來放大了它的面積
將它與一個剪切來比較
剪切的矩陣的列是(1,0)和(1,1).
意思是，h-hat停在原地而j-hat移動到(1,1)。
那個同樣的由i-hat和j-hat所決定的單位方塊
被歪掉了並成了一個平行四邊形。
但是，那個平行四邊形的面積仍是1
因爲它的底綫和高度繼續有長度1。
因此即使這個變換壓變了這東西
它看來面積到沒變。
至少，在一個單位方塊的情況下。
雖然實際上
如果你知道一個單位方塊的面積變化了多少的話
這也能告訴你在空間裏的任何區域的變化的。
這麽開頭吧

German: 
Wenn wir uns jetzt das 1x1 Quadrat vornehmen,
dessen Unterseite auf î sitzt und dessen linke Seite an ĵ anlehnt,
dann sehen wir, dass es nach der Transformation ein 2x3 Rechteck ist.
Da diese Region vorher einen Flächeninhalt von 1 hatte und nun einen Flächeninhalt von 6,
können wir sagen, dass diese lineare Transformation ihre Fläche mit dem Faktor 6 skaliert.
Vergleicht das mit einer Scherung,
deren Matrix die Spalten 1; 0 und 1; 1 hat.
Das bedeutet î bleibt unverändert und ĵ geht zu 1; 1
Dasselbe 1x1 Quadrat, bestimmt von î und ĵ,
wird abgeschrägt und endet als Parallelogramm.
Aber die Fläche des Parallelograms ist noch immer 1,
da seine Basis und Höhe nach wie vor Länge 1 haben.
Also obwohl diese Transformation die Dinge verbiegt,
scheint sie den Flächeninhalt unberührt zu lassen.
Zumindest für das 1x1 Quadrat.
Tatsächlich ist es aber so,
dass das Wissen, wie sehr sich die Fläche des 1x1 Quadrates verändert,
uns sagt wie sehr sich jede mögliche Region im Raum verändert.
 

iw: 
עכשיו, אם נמקד את תשומת הלב שלנו בריבוע האחד הזה
כשבסיסו יושב על i כובע וכשצלע השמאלית שלו יושבת על j כובע.
לאחר הטרנספורמציה, זה הופך להיות מלבן 2 על 3(2 בכיוון ציר j ו-3 בכיוון ציר i)
מכיוון שהאיזור התחיל עם שטח בגודל אחד והפך לשטח עם גודל 6
נוכל לומר שהטרנספורמציה הלינארית הכפילה בסקלר את השטח בפקטור של 6.
נשווה זאת לנגזרת
שלמטריצה שלה יש את העמודות 1,0 ו-1,1
הכוונה, i כובע נשאר במקומו ו-j כובע נע ל-1,1.
אותה יחידה ריבועית נקבעת ע"י i כובע ו-j כובע
מתחילה להתעוות ולהפוך למקבילית
אבל, השטח של המקבילית הוא עדיין 1
מכיוון שהבסיס והגובה ממשיכים להיות כל אחד מהם באורך 1.
אז, אפילו שהטרנספורמציה משנה דברים מסביב
זה נראה שהיא משאירה את השטח ללא שינוי.
לפחות, במקרה של יחידת שטח ריבועי.
למרות זאת
אם אתה יודע מה השינוי של היחידת שטח ריבועית
זה יכול לגלות לך איך כל איזור במרחב משתנה.
בתור התחלה

Portuguese: 
Agora, se concentrarmos a nossa atenção em um
por um quadrado 1x1
cuja base se senta no î e
cujo lado esquerdo fica em ĵ,
após a transformação, este se transforma
em um retângulo 3x2.
Uma vez que esta região começou com área de 1,
e acabou com área de 6,
podemos dizer que a transformação linear escalou
sua área por um fator de 6.
Compare isso com um cisalhamento
cuja matriz tem colunas (1, 0) e (1, 1).
Ou seja, î permanece no lugar e ĵ se move até (1,1).
Este mesmo quadrado unitário 
determinado por î e ĵ
fica inclinado e se transforma
 em um paralelogramo.
Mas, a área desse paralelogramo ainda é 1
já que base e altura continuam
cada uma com comprimento 1.
Assim, mesmo que esta transformação 
"amasse" as coisas,
ela parece deixar as áreas inalteradas.
Pelo menos, no caso daquele quadrado unitário.
Na verdade,
se você sabe o quanto a área daquele
 quadrado unitário muda,
isto pode dizer-lhe como qualquer 
possível região do espaço muda.
Para início de conversa,

Spanish: 
Ahora, si nos concentramos en el cuadrado de 1x1
cuya base se encuentra sobre "i" y cuyo lado izquierdo se encuentra sobre "j",
después de la transformación éste se transforma en un rectángulo de 2x3.
Dado que esta región tenía un área igual a 1 y terminó con un área igual a 6,
podemos decir que la transformación "escaló" su área por un factor de 6.
Compárenlo a un "shear", cuya matriz tiene columnas [1,0] y [1,1],
es decir, "i" se mantiene en su sitio
y "j" se mueve a [1,1].
Ese mismo cuadrado unitario definido por "i" y "j",
se inclina y se transforma en un paralelogramo,
pero el área de ese paralelogramo sigue siendo 1
dado que su base y su altura siguen teniendo una longitud igual a 1.
Entonces, aún cuando esta transformación deforma las cosas
pareciera dejar las áreas intactas,
al menos en el caso de ese cuadrado unitario
Sin embargo, en realidad,
si sabes cuánto cambió el área de ese cuadrado unitario
eso les dice cómo cambia el área de cualquier región posible del espacio.
Para empezar, fíjense que lo que sea que le pase a un cuadrado de la cuadrícula

Czech: 
Teď se zaměříme na jednotkový čtverec,
jehož spodní strana je 'i' a levá strana je 'j'.
Po transformace se z něj stane obdélník 2 krát 3.
Tato oblast začala s obsahem 1 a skončila s obsahem 6,
můžeme tedy říci, že se nafoukla s koeficientem 6.
Srovnejme si to se zkosením,
jeho matice má sloupce (1,0) a (1,1),
to znamená, že 'i' zůstane na místě a 'j' se přesune na (1,1).
Ten samý jednotkový čtverec určený 'i' a 'j'
se zkosí a stane se z něj rovnoběžník.
Ale oblast tohoto rovnoběžníku je stále 1
vzhledem k tomu, že jeho základna i výška je stále 1.
Takže i když tahle transformace věci rozšoupne,
nechává obsahy nezměněné.
Přinejmenším pro případ jednotkového čtverce.
Ačkoli popravdě
když víte, jak se změní obsah jednotkového čtverce,
říká vám to, jak se změní obsah i jakékoli jiné oblasti.
Pro začátek

Chinese: 
注意在網格裏的一個方塊不管已經在
任何的在網格裏發生了怎麽樣的變化
尺寸大小是無關緊要的。
這個出自這樣的事實網格綫一直平行並間隔均等的。
然後，任何不是一個方格形狀的
可以用網格來很好地近似的。
如果你用足夠小的方塊就有隨便樣什麽近似程度。
這樣，因爲所有的那些很小的方塊都以同樣的一個係數被縮小的區域
這一團作爲一個整體也將
被縮小一個同樣的係數。
這個非常特殊的縮小的係數
一個綫性變換以那個係數改變了
任何面積的叫做那個變換的行列式值。
在這個錄像後面我將演示給你看
怎樣用來計算一個變換的行列式值，
但是懂得它是什麽，信任我，比懂得計算更我重要。
例如一個變換的行列式值會是3
如果那個變換增加了那個區域的面積3倍。

Chinese: 
对其他大小的方格来说，都会有相同变化
这是由“网格线保持平行且等距分布”这一事实推断得出的
对于不是方格的形状，它们可以用许多方格良好近似
只要使用的方格足够小，近似就能足够好
由于所有小方格都进行了一个比例的缩放
所以整个形状也进行了同样比例的缩放
这个特殊的缩放比例，即线性变换改变面积的比例
被称为这个变换的行列式
在这个视频后半段，我会展示如何用矩阵计算一个线性变换的行列式
但是理解它的意义比计算本身重要得多
比如说，一个线性变换的行列式是3
就是说它将一个区域的面积增加为原来的3倍

Portuguese: 
perceba que tudo o que acontece com um quadrado
na grade,
tem que acontecer em qualquer outro quadrado na grade,
não importa o tamanho.
Isso decorre do fato de que as linhas de grade
permanecem paralelas e espaçadas uniformemente.
Então, qualquer forma que não é um quadrado de grade
pode ser bem aproximada por quadrículas.
Com arbitrariamente boas aproximações se
usar quadrículas bastante pequenas.
Assim, desde que as áreas de todos aqueles pequenos quadrados estão sendo escalados por algum valor único
a área da bolha como um todo
também será escalada por esse mesmo valor único.
Este fator de escala muito especial,
o fator pelo qual uma transformação linear
muda qualquer área,
é chamado o determinante dessa transformação.
Vou mostrar como calcular o determinado de
uma transformação usando sua matriz mais tarde
no vídeo,
mas compreender o que ele representa é, confie em mim, muito mais importante do que a compreensão da computação.
Por exemplo, a determinante de uma transformação
seria 3
se a tal transformação aumenta a área
da região por um fator de 3.

Korean: 
격자의 다른 정사각형들에도 마찬가지 변화가 똑같이 일어난다는 것을 깨닫게 될거야.
크기는 중요하지 않아.
이건 격자선이 평행하고 균등한 거리를 유지한 채 변화하기 때문이야.
그럼 이제는, 정사각이 아닌 임의 형태를 살펴보자.
임의 형태를 격자의 정사각형으로 꽤 잘 근사할 수 있어.
격자 정사각형을 충분히 작게 만들면, 
원하는 만큼 정확한 근사를 얻을 수 있어.
그리고, 작은 격자 정사각형들이 이루는 영역은 하나의 영역과 동일하게 스케일링되기 때문에,
전체 영역도
또한 한개와 같은 비율만큼 스케일링 되지.
이 특별한 스케일링 팩터는
선형변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 팩터로서
행렬식(determinant) 라고 불러.
(역자: 행렬식보다 determinant 자체가 이해하기 쉬운듯;)
뒤에서 이 선형변환의 행렬식(determinant) 를 계산하는 방법을 보여줄건데,
그런데 이게 무엇인지 이해하는 것은
계산법을 이해하는 것보다 훨~씬 중요해.
날 믿어봐.
예를 들어, 한 변환의 행렬식(determinant) 값이 3 이라면,
특정 지역의 크기는 팩터 3 만큼 증가해.

German: 
Achtet darauf, dass was auch immer mit einem Quadrat im Raster passiert,
ebenfalls mit allen anderen Quadraten im Raster passieren muss,
egal wie groß sie sind.
Das folgt aus dem Fakt, dass die Rasterlinien parallel und in gleichmäßigen Abständen bleiben.
Außerdem kann jede Form, die kein Rasterquadrat ist,
ziemlich gut durch solche abgeschätzt werden.
Mit arbitrar guten Abschätzungen, wenn ihr nur entsprechend kleine Quadrat verwendet.
Weil die Fläche jedes dieser kleinen Quadrate mit einem bestimmten Faktor skaliert wird,
wird auch die Fläche der Form als ganzes
mit genau diesem Faktor skaliert.
Dieser besondere Skalierungsfaktor,
der Faktor mit dem eine lineare Transformation jede Fläche verändert,
wird die Determinante dieser Transformation genannt.
Später im Video zeige ich euch wie ihr die Determinante einer Transformation
mit Hilfe ihrer Matrix berechnet.
Aber glaubt mir: Zu verstehen was die Determinante ist, ist viel wichtiger als das Verstehen ihrer Berechnung.
Die Determinante einer Transformation wäre zum Beispiel 3
wenn diese Transformation die Fläche einer Region vergrößert mit dem Faktor 3.

Russian: 
заметим, что то, что происходит с одним квадратом в сетке,
происходит со всеми квадратами в сетке
несмотря на размер.
Это следует из того, что прямые остаются паралелльными и равноудаленными.
Тогда, любая неквадратная форма
может быть довольно хорошо приближена маленькими квадратами сетки.
Приближения могут быть сколько угодно точными, если уменьшать размер квадратов
И так как площади этих квадратов умножаются на одно и то же число
площадь всей области пространства в целом
тоже умножится на это самое число
Этот особенный множитель,
множитель на который преобразование меняет площадь
называется определителем этого преобразования
Я покажу как вычислять определитель преобразования используя его матрицу позже
в этом видео
Но понимание, что это на самом деле, поверьте мне, значительно важнее вычислений.
Например, определитель преобразования будет 3, если
преобразование увеличивает площадь области в три раза

iw: 
שים לב שמה שקורה לריבוע אחד בקווי הרשת(ברקע)
חייב לקרות לכל ריבוע אחר בקווי רשת הללו
לא משנה מה גודלם.
זה נובע מהעובדה שקווי הרשת נשארים מקבילים ובמרווחים שווים זה מזה.
ואז, כל צורה שהיא לא ריבוע בקווי רשת
אפשר לקרבה במידה מאוד טובה ע"י קווי רשת של ריבועים.
עם הערכה שרירותית מאוד טובה, אם אתה משתמש במספיק קווי רשת ריבועיים קטנים(אותו רעיון באינטגרל).
אז, מכיוון שהשטחים של כל הקווי רשת הריבועיים הקטנים מוכפלים בסקלר ע"י ערך בודד(כלשהו)
השטח של הכתם ככולו
יהיה גם מוכפל בסקלר באותו ערך בודד.
זה מאוד מיוחד להכפיל בסקלר פקטור
הפקטור שבו הטרנספורמציה הלינארית משנה כל שטח
נקראת גם הדרטמיננטה של הטרנספורמציה.
אני אראה לך בהמשך איך לחשב דטרמיננטה של טרנספורמציה ע"י שימוש במטריצה
מאוחר יותר בסירטון הזה.
אבל להבין את זה, סמוך עליי, זה הרבה יותר חשוב מאשר להבין את תהליך החישוב עצמו.
לדוגמא, הדטרמיננטה של טרנספורמציה יהיה 3
אם הטרנספורמציה מגדילה את שטח האיזור בפקטור של 3.

Estonian: 
pane tähele, mis iganes juhtub ühe ruudustiku ruuduga,
peab juhtuma ka iga teise ruuduga,
olenemata selle suurusest
See tuleneb sellest, et ruudustiku jooned jäävad paralleelseteks ja ühtlaselt jaotatuks
Aga iga kujundit, mis ei ole ruut,
saab lähendada ruutudega üsna hästi,
kui valida piisavalt väikesed ruudukesed
Kuna kõikide väikeste ruudukeste pindalasid muudetakse ühe sama teguri kaudu,
muutub selle kujundi kogu pindala
sama teguriga võrdeliselt
Seda erilist tegurit,
tegurit millega võrdeliselt lineaarkujutus muudab iga pindala,
nimetatakse selle kujutuse determinandiks
Ma näitan, kuidas kujutuse determinanti arvutatakse selle maatriksi kaudu
veidi hiljem selles videos,
kuid arusaam, mis see on, on — uskuge mind — palju tähtsam kui selle arvutamine
Näiteks kujutuse determinant oleks 3,
kui see kujutus suurendab piirkona pindala kolm korda

Polish: 
Wynika to z faktu iż linie siatki zostają równoległe i równo rozłożone
Każdy kształt który nie jest złożony z kwadratów siatki
może być przybliżony kwadratami siatki naprawdę dokładnie.
Z dowolnie dobrym przybliżeniem jeśli użyjemy wystarczająco małych kwadratów siatki.
Zatem, skoro powierzchnie tych wszystkich kwadracików siatki zmieniają się o tyle samo,
powierzchnia naszej figury jako całości
także będzie przeskalowana o tą wartość.
Ten wyjątkowy współczynnik skali,
przez który transformacja liniowa zmienia powierzchnię,
jest nazywany wyznacznikiem tej transformacji.
Pokażę później jak obliczyć wyznacznik transformacji używając jej macierzy później.
Niemniej jednak rozumienie czym jest wyznacznik, uwierzcie, jest bardziej istotne niż zrozumienie obliczeń.
Dla przykładu, wyznacznik transformacji będzie równy 3.
wtedy jeśli ta transformacja zwiększa powierzchnię figury o współczynnik 3.
Wyznacznik transformacji będzie równy 1/2
jeśli ściska wszystkie powierzchnie o współczynnik 1/2.

Turkish: 
bir birim kareye ne olursa,
diğer karelere de aynısının olması gerektiğine dikkat et.
Boyut önemsiz burada.
Bu da ızgara çizgilerinin paralel ve 
birbirlerine eşit uzaklıkta olmaları gerçeğine dayalı.
Sonrasında, ızgarada bir kare olmayan şekiller de
ızgara karecikleri ile kestirilebilir.
yeternince küçük karecikler kullanırsan,
oldukça tutarlı kestirimlerde bulunulabilir.
Haliyle, bu küçük alanlar bir tek değer ile boyutlandırıldığından
bu birikit de, bütün olarak
aynı tek değer ile boyutlandırılacaktır.
Bu çok özel boyutlandırıcı değere,
değer ki kendisiyle doğrusal dönüşümler,
 alanlarda değişlik meydana getitirir,
ilgili dönüşümün determinant ı denir.
                                 ( Belirleyimci'si .çeviren.)
Dönüşümün matrix'i ile determinantı hesaplamayı daha sonra göstereceğim
bu video içerisinde.
ama hesaptan ziyade ne olduğunu anlamak çok daha önemli, güvenin bana.
Örneğin, bir dönüşümün determinantının 3 olması için
dönüşüm bir alanı 3 katınA artırmalı.

English: 
notice that whatever happens to one square
in the grid
has to happen in any other square in the grid
no matter the size.
This follows from the fact that grid lines
remain parallel and evenly spaced.
Then, any shape that is not a grid square
can be approximated by grid squares really
well.
With arbitrarily good approximations if you
use small enough grid squares.
So, since the areas of all those tiny grid
squares are being scaled by some single amount
the area of the blob as a whole
will also be scaled also by that same single
amount.
This very special scaling factor
the factor by which a linear transformation
changes any area
is called the determinant of that transformation.
I'll show how to compute the determinate of
a transformation using it's matrix later on
in the video
but understanding what it is, trust me, much
more important than understanding the computation.
For example the determinant of a transformation
would be 3
if that transformation increases the area
of the region by a factor of 3.

Spanish: 
tiene que pasarle a cualquier otro cuadrado de la cuadrícula, no importa el tamaño.
Esto es consecuencia del hecho de que las líneas de la de la cuadrícula se mantienen paralelas y equidistantes.
Luego, cualquier figura que no sea un cuadrado de la cuadrícula,
puede ser aproximado bastante bien por cuadrados,
con aproximaciones arbitrariamente buenas si usas cuadrados lo suficientemente pequeños.
Entonces, dado que el área de todos esos cuadrados son escalados por un sólo factor
el área de la figura como un todo también será "escalada" por ese mismo factor.
Este factor especial de escalamiento,
el factor por el cual una transformación lineal cambia cualquier área
es llamado el "determinante" de la transformación.
Les mostraré cómo computar el determinante de una transformación usando su matriz
más tarde en este video,
pero entender lo que representa es, créanme, mucho más importante que cómo computarlo.
Por ejemplo,
el determinante de una transformación será tres
si esa transformación incrementa el área de una región por un factor de tres.

Portuguese: 
perceba que seja lá o que acontece com um quadrado na grade
tem que acontecer com qualquer outro quadrado nessa grade
não importa o tamanho.
Isto segue do fato que as linhas da grade permanecem paralelas e igualmente espaçadas.
Então, qualquer formato que não seja uma grade quadrada
pode ser aproximado por grades quadradas muito bem.
Com aproximação arbitrariamente boa se você usar grades quadradas pequenas o suficiente.
Então, já que as áreas de todos esses pequenos quadrados estão sendo escalados por uma pequena quantidade
a área da bolha como um todo
também será escalada por essa mesma quantidade.
este fator de escalação muito especial,
o fator pelo qual uma transformação linear muda qualquer área
é chamado de determinante desta transformação.
Eu vou mostrar como calcular o determinante de uma transformação usando sua matriz mais tarde
no vídeo
mas entender o que ele é, confie em mim, é muito mais importante do que entender o cálculo.
Por exemplo o determinante de uma transformação seria 3
se essa transformação aumenta a área da região por um fator de 3.

Czech: 
si všimněte, že cokoli se stane s jedním čtvercem v mřížce,
musí se stát i se všemi ostatními čtverci v mřížce,
bez ohledu na velikost.
To plyne z toho, že linky mřížky zůstávají rovnoběžné a rovnoměrně rozmístěné.
Dále, jakýkoli tvar, který není čtvercem v mřížce,
můžeme čtverci mřížky celkem dobře aproximovat
s jakkoli dobrou přesností, když použijeme dostatečně jemnou mřížku.
Takže jelikož se obsahy malých čtverečků násobí stejným koeficientem,
obsah celé brambory
se taky vynásobí tím samým koeficientem.
Tenhle speciální koeficient,
který násobí obsahy během lineární transformace,
se nazývá determinantem dané transformace.
Později vám ukážu, jak spočítat determinant transformace pomocí její matice,
 
ale věřte mi, rozumět tomu, co to znamená, je mnohem důležitější než to umět spočítat.
Například determinant transformace se 3,
když tato transformace nafoukne všechny obsahy třikrát.

Korean: 
행렬식(determinant) 값이 1/2 라면,
영역크기를 1/2 크기로 축소시키는 것을 의미해.
2차원 변환의 행렬식이 0 이라면,
모든 공간이 찌부려뜨려져서 선이 될 수도 있어.
아니, 어쩌면 한 점이 될 수도 있지.
그럼 당연히, 어느 영역이든 크기가 0 이 될 거야.
이 마지막 예는 매우 중요한 것이라고 증명됐어.
주어진 행렬의 행렬식(determinant)값이 0 인지 확인하는 것은
계산할 수 있는지 없는지를 알려주는 거야.
이 변환과 관련된 행렬이
모든 것들을 더 작은 차원으로 뭉게버리는지를 말야.
앞으로 다음 동영상에서 좀 더 보여줄거야.
왜 이렇게 생각하는게 유용한 방법인지를.
하지만 당장은, 
모든 시각적 직관을 잠시 내려놓았으면 좋겠어.
매우 아름다운 것이지만, 지금 일단은 그러자.
좋아, 근데 난 사실 고백할게 있어.
지금까지 꽤 틀리게 말한게 있어.
행렬식의 온전한 개념으로 볼때,
음수(-) 값을 허용해.
그럼 영역을 스케일링할때 
음수값은 무엇을 의미하는 걸까?
바로 방향(orientation)과 관계가 있어.
예를 들면

English: 
The determinant of a transformation would
be 1/2
if it squishes down all areas by a factor
of 1/2.
And, the determinant of a 2-D transformation
is 0
if it squishes all of space onto a line.
Or, even onto a single point.
Since then, the area of any region would become
0.
That last example proved to be pretty important
it means checking if the determinant of a
given matrix is 0
will give away if computing weather or not
the transformation associated with that matrix
squishes everything into a smaller dimension.
You will see in the next few videos
why this is even a useful thing to think about.
But for now, I just want to lay down all of
the visual intuition
which, in and of itself, is a beautiful thing
to think about.
Ok, I need to confess that what I've said
so far is not quite right.
The full concept of the determinant allows
for negative values.
But, what would scaling an area by a negative
amount even mean?
This has to do with the idea of orientation.
For example

Portuguese: 
O determinante de uma transformação seria 1/2
se espremesse todas as áreas por um fator de 1/2.
E, o determinante de uma transformação de 2-D é 0
se espreme todo o espaço em uma linha.
Ou, mesmo para um único ponto.
Desde que, neste caso, a área de qualquer região se tornaria 0.
Esse último exemplo provou ser muito importante,
ele significa que verificar se o determinante de uma
dada matriz é 0
vai dizer se a transformação associada com a matriz
esmaga tudo para uma dimensão menor.
Você vai ver nos próximos vídeos
por que isso é mesmo uma coisa útil para se pensar.
Mas, por agora, eu só estabelecer toda a intuição visual
o que, por si só, é uma coisa linda
 sobre a qual se pensar.
Ok, eu preciso confessar que o que eu disse
até agora não é bem certo.
O conceito completo do determinante
 permite valores negativos.
Mas, o que significaria escalar uma área por
 uma quantidade negativa?
Isso tem a ver com a ideia de orientação.
Por exemplo,

Chinese: 
一个线性变换的行列式是1/2
就是说它将一个区域的面积缩小一半
而一个二维线性变换的行列式为0
说明它将整个平面压缩到一条线，甚至是一个点上
因为此时任何区域的面积都变成了0
最后这个例子相当重要
这是说，只需要检验一个矩阵的行列式是否为0
我们就能了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上
接下来的几期视频中，你会明白它为什么有用
但是就现在而言，我只想让你留下直观的印象
这种直觉本身也是非常美妙的
我得承认一点，到目前为止我所说的并不完全正确
完整概念下的行列式是允许出现负值的
那将一个区域缩放负数倍到底是什么意思？
这和定向的概念有关

Estonian: 
Kujutuse determinant oleks 1/2,
kui see surub kõik pindalad kokku kaks korda
Ning kahemõõtmelise kujutuse determinant on 0,
kui see surub kogu tasandi kokku sirgele
või isegi üheks punktiks,
kuna siis on iga piirkonna pindala 0
Selgub, et see viimane näide on üsna oluline,
kuna kontrollimine, kas maatriksi determinant on võrdne 0-ga,
näitab, kas selle maatriksiga seonduv kujutus
surub kõik kokku väiksemale dimensioonile
Järgmistes videotes näete,
miks selline mõtteviis on üldse kasulik
Praegu aga tahan lihtsalt luua visuaalset taju,
mis iseenesest on ilus asi, millest mõelda
Ok, pean tunnistama, et see, mis ma siiani ütlesin, ei ole päris tõsi
Determinandi mõiste katab ka negatiivsed väärtused
Mida tähendab üldse pindala korrutamine negatiivse arvuga?
See on seotud selle pinna asendi ehk orientatsiooniga
Näiteks:

iw: 
הדטרמיננטה של טרנספורמציה יהיה 1/2
אם זה מוחץ פנימה את כל השטחים בפקטור של 1/2.
ו.., הדטרמיננטה בדו-מימד של הטרנספורמציה הוא 0.
אם זה מוחץ את כל המרחב לתוך קו.
או, אפילו לתוך נקודה בודדת.
מכיוון שאז, השטח של כל איזור יהיה 0(אין שטח בתוך קו בודד או נקודה).
הדוגמא האחרונה נראית שהופכת להיות מאוד חשובה
זה אומר שלבדוק אם הדטרמיננטה של מטריצה נתונה נותנת 0
ייתן לנו אם נחשב בין כן או לא הטרנספורמציה קשורה למטריצה הזאת
מוחצת כל דבר למימד קטן יותר.
אתה תראה זאת בסירטונים הבאים
למה זה בכלל דבר שימושי לחשוב עליו.
אבל בשביל עכשיו, אני רק רוצה לבסס לך את האינטואיציה הויזואלית
ש.., תוך כדי עצמה, היא דבר מאוד יפה לחשוב עליו.
בסדר, אני צריך להתוודות, מה שאמרתי עד כה הוא לא לגמרי מדויק.
הרעיון המלא של דטרמיננטות יאפשר לנו להגיע לערכים שליליים.
אבל, מה המשמעות של להכפיל בסקלר שטח, כאשר הסקלר הוא מספר שלילי?
זה חייב להיות קשור לרעיון של כיוון.
לדוגמא,

Turkish: 
Bir dönüşümün değerinin 1/2 olması için
dönüşüm alanı yarısına sıkıştırmalı.
Ve, 2-Boyutlu bir dönüşümün determinantının 0 oması için de
tüm düzlemi bir çizgiye sıkıştırması gerekir.
ya da hatta tek bir noktaya sıkıştırması gerekir.
O halde de bir bölgenin alanı 0 olmuş olacaktır.
Son örnek, oldukça önemli şu olguyu ortaya çıkardı ki:
verilen bir matrix'in determinantının 0 a eşit olup-olmamasını kontrol ederek,
bir matrixle ilişikilendirilmiş bir dönüşümün, uzayı
daha alt bir boyuta sıkıştırıp sıkıştırmadığını kontrol edebileceğimiz bir hesap yöntemi elde etmiş olduk.
Gelecek bir kaç videoda
neden bunu düşünmenin bile ne kadar 
önemli olduğunu göreceksiniz.
Fakat şimdilik, kendi başına güzel olan, yalnızca görsel önsezi
geliştirme aşamasında kalacağım.
Tamam, artık itiraf edeceğim, şu ana kadar söylediklerim tam olarak doğru değildi!
Determinant esasında negatif değerleri de olan bir ölçü.
Ama bir alanı negatif boyutlandırma ne anlama gelir ki?
Bu yön olgusu ile ilgili olsa gerek.
Örneğin,

Polish: 
A jeśli wyznacznik transformacji 2D jest równy 0,
ściska on cała płaszczyznę w linię.
Albo, nawet w pojedynczy punkt.
Po tym, powierzchnia dowolnego obszaru będzie równa 0
Ten ostatni przykład jest dość istotny:
oznacza iż sprawdzenie czy wyznacznik danej macierzy jest równy zero
jest równoważne sprawdzeniu czy transformacja związana z tą macierzą
ściska wszystko w mniejszą liczbę wymiarów.
W następnych filmach zobaczysz
dlaczego jest to takie istotne spostrzeżenie.
Póki co, chciałbym ugruntować wyobraźnię przestrzenną,
która daje nam piękne spojrzenie na nasz temat.
Ale muszę się przyznać że jedna rzecz o której mówiłem nie była zbyt poprawna.
Pełna idea wyznaczników pozwala im mieć ujemne wartości.
Ale cóż mogłoby oznaczać przeskalowanie pola o ujemny współczynnik?
Otóż ma to związek z koncepcją orientacji.
Dla przykładu,
zwróć uwagę jak transformacja
może dawać odczucie obracania przestrzeni na odwrót.

Portuguese: 
O determinante de uma transformação seria 1/2
se ele esmagasse todas as áreas por um fator de 1/2.
E, o determinante de uma transformação 2D é 0
se ele esmaga todo o espaço numa linha.
Ou, mesmo num único ponto.
Já que, a área de qualquer região se tornaria 0.
Esse último exemplo provou-se bem importante,
ele significa que verificar se o determinante de uma dada matriz é zero
vai dar de presente se a transformação associada com essa matriz
esmaga tudo em uma dimensão menor.
Você verá nos próximos vídeos
porque isso sequer é uma coisa útil de se pensar.
Mas por agora, eu só quero estabelecer toda a intuição visual
o que por si só é uma coisa bonita de se pensar sobre.
Ok, eu preciso confessar que o que eu falei até agora não é bem certo.
O conceito completo do determinante permite valores negativos.
Mas, o que escalar uma área por uma quantidade negativa sequer significar?
Isto tem a ver com a idéia de orientação.
Por exemplo

German: 
Die Determinante einer Transformation wäre 1/2,
wenn sie alle Flächen um die Hälfte verringert.
Und die Determinante einer 2D-Transformation ist 0
wenn sie den gesamten Raum auf eine Linie bringt,
oder sogar auf einen einzigen Punkt.
Denn dann wäre die Fläche jeder Region gleich 0.
Dieses letzte Beispiel ist ziemlich wichtig.
Es bedeutet, dass zu überprüfen ob die Determinante einer gegebenen Matrix gleich 0 ist,
verrät ob die Transformation dieser Matrix
den Raum in eine niedrigere Dimension bringt.
In den nächsten Videos sehen werdet ihr sehen,
wozu das überhaupt gut ist.
Aber jetzt will ich erstmal die visuelle Intuition darlegen,
die an sich bereits eine sehr schöne Sache ist.
Ok, ich muss gestehen, dass was ich bis jetzt gesagt habe, nicht ganz richtig ist.
Das volle Konzept einer Determinante erlaubt negative Werte.
Aber was würde es überhaupt heißen eine Fläche mit einem negativen Faktor zu skalieren?
Das hat etwas mit der Idee der Orientierung zu tun.
Zum Beispiel:

Chinese: 
這行列式值會是1/2
如果它把面積壓縮到1/2.
而，一個2-維變換的行列式是0
如果把所以的空間壓到一根綫上。
或者，甚至縮到一個點上。
然後，任何區域的面積就會成爲0了。
最後那個例子證明是非常重要的。
它意味著檢查如果一個給出的矩陣的行列式值是不是0
將給出和那個矩陣有關的變換是不是
把所有的東西壓縮進了一個更小的尺寸。
你們在以後的幾個錄像中將知道
爲什麽這甚至還是一個有用的東西來考慮一下的。
但是現在，我只想寫下所有的視覺上的直覺
這個本身，就是一件美麗的東西來想一想的。
Ok，我需要坦白我剛已說過的並不很正確。
行列式值的完整概念允許有負數。
但是，把一個面積放大縮小一個負數還會有什麽意思？
這個不得不和方向的概念有關係。
例如

Russian: 
Определитель преобразования будет ½,
Если оно сжимает все площади в два раза
И определитель 2D преобразования будет 0,
если оно сжимает все пространство в линию.
Или даже в одну точку.
Так как в этом случае площадь любой области станет 0.
Последний пример довольно важен
Он означает, что проверка определителя данной матрицы на равенство нулю
выдаст, сжимает ли преобразование, связанное с матрицей пространство
в меньшие измерения.
В следующих нескольких видео вы увидите
почему об этом полезно подумать
Но сейчас, я просто хочу дать вам визуальную интуицию
которая сама по себе прекрасная вещь для размышлений.
Хорошо, признаюсь, что все, что я сказал сначала, не совсем правда
Понятие определителя допускает отрицательные значения.
Но что означает умножать площадь на отрицательное число?
Это связано с  понятием ориентации пространства
Например

Spanish: 
El determinante de una transformación será un medio
si comprime todas las áreas por un factor de un medio.
Y el determinante de una transformación 2-D es cero
si comprime todo el espacio en una línea o inclusive en un punto,
dado que el área de cualquier región sería cero.
Ese último ejemplo demostró ser bastante importante.
Significa que verificar si el determinante de una matriz dada , es 0
nos dará una forma de determinar si una transformación asociada a una matriz
comprime todo a una dimensión menor.
Verán en los próximos videos por qué esto sería algo útil de saber,
pero por ahora sólo quiero sentar toda la intuición visual,
que tiene una belleza en sí misma.
Ok, tengo que confesar que lo que  he dicho hasta ahora no es exactamente cierto,
el concepto completo del determinante admite valores negativos.
Pero, ¿qué significado tendría "escalar" un área por una cantidad negativa?
Esto tiene que ver con la idea de la orientación.
Por ejemplo:

Czech: 
Determinant 1/2 pro změnu značí,
že se všechny obsahy dvakrát zmenší
a když je determinant 2D transformace nulový,
tak ta transformace všechno splácne na jednu přímku
nebo dokonce do jediného bodu,
vzhledem k tomu, že pak jsou všechny obsahy nulové.
Později se ukáže, že poslední příklad je dost důležitý,
říká nám, že výpočet determinantu
nám dává způsob, jak určit, jestli příslušná transformace
splácne celý prostor do nižší dimenze.
V příštích videích uvidíte,
proč je vůbec důležité to zkoumat.
Ale pro teď jenom chci, abyste si odnesli tuhle vizuální intuici,
která je krásná sama o sobě.
Dobrá, musím se přiznat, že co jsem říkal nebylo úplně přesné,
celkový koncept determinantu povoluje záporné hodnoty.
Ale co by mělo vůbec znamenat vynásobení obsahu záporným koeficientem?
Má to co do činění s představou orientace.
Všimněte si,

Chinese: 
举个例子，注意这个变换在感觉上将整个平面翻转了
如果你将二维空间想象为一张纸
这个变换像是将纸翻转到了另一面
我们称类似这样的变换改变了空间的定向
另一种方式是根据i帽和j帽来考虑
注意在初始状态时，j帽在i帽的左边
如果在变换之后，j帽处于i帽的右边
那么空间定向就发生了改变
当空间定向改变的情况发生时，行列式为负
但是行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例
比如说，我告诉你由(1, 1)和(2, -1)为列的矩阵所代表的线性变换的行列式是-3
这就是说变换后空间被翻转，并且面积放大为原来的3倍

Turkish: 
Farkettiysen bu dönüşüm
uzayı ters-yüz etme hissi veriyor.
Eğer 2-Boyut uzayını, kağıt yaprağı olarak düşünürsen,
bunun gibi bir dönüşüm, yaprağı tersine
çevirmek gibi görünür.
Bunun gibi dönüşümlere "uzayın yönünü değiştirme" denir.
Başka bir düşünme biçimi bu konu ile ilgili şöyle olabilir
başlangıçta, j nin i vektörünün solunda olduğuna dikkat edin.
Eğer dönüşüm sonrasında, j vektörü i nin sağında ise
uzayın yönü ters-yüz olmuş demektir.
Her bu olduğunda,
yani uzay ters-yüz olduğunda,
determinant negatif olacaktır.
Gerçi determinantın mutlak değeri,
hala alanın boyutlandırılma katsayısını ifade eder.
Örneğin,
[1,1] ve [2,-1] sütunlu bir matrix,
öyle bir dönüşüm dür ki determinantııı
söyleyeceğim,,
-3 tür.
Bunun anlamı ise;
uzay ters-yüz oldu ve
alanlar 3 katına boyutlandırıldı demektir.

Russian: 
Посмотрите, как это преобразование
как будто переворачивает пространство вверх ногами.
Если представить 2D пространство в виде листа бумаги,
то преобразование как будто переворачивает его другой стороной
Любое преобразование с похожим эффектом “меняет ориентацию пространства”
Другой способ думать об этом - в терминах i и j
Заметьте, что в начальном положении j слева i
и после преобразования
j теперь справа i
то есть ориентация пространства изменилась
Каждый раз, когда это происходит
и ориентация пространства изменена,
определитель будет отрицательным
абсолютное значение определителя же
все равно дает множитель, на который умножаются площади.
Скажем
матрица 1,1 и 2,-1
кодирует преобразование, чей определитель
я вам просто назову.
минус три
И это означает
что пространство переворачивается
а все площади умножаются на 3

Portuguese: 
perceba como esta transformação
dá a sensação de girar o espaço
Se você estiver pensando no espaço 2D como uma folha de papel
uma transformação como essa parece virar essa folha do outro lado.
Qualquer transformação que faz isso diz se que ela inverte a orientação do espaço.
Outra maneira de pensar sobre isso é em termos de î e ĵ.
Perceba que em suas posições iniciais, ĵ está a esquerda de î.
Se, após a transformação, ĵ estiver agora a direita de î
a orientação do espaço foi invertida.
Sempre que isso acontecer,
sempre que a orientação do espaço for invertida
o determinante será negativo.
O valor absoluto do determinante entretanto
ainda te diz o fator pelo qual as áreas foram escaladas.
Por exemplo
a matriz com colunas (1,1) e (2,-1)
codifica uma transformação que tem determinante,
eu vou lhe dizer,
-3.
E o que isso significa é
que, o espaço é girado
e áreas são escaladas por um fator de 3.

Czech: 
jak například tato transformace
vypadá, že převrací celý prostor.
Když si představíte 2D prostor jako list papíru,
taková transformace vypadá, že převrátí tento list na druhou stranu.
O taková transformaci pak říkáme, že "převrací orientaci prostoru".
Jiný způsob, jak se na to dívat je přes vektory 'i', 'j'.
Povšimněte si, že na začátku je 'j' nalevo od 'i'.
Když se po provedení transformace nachází 'j' napravo od 'i',
obrátila se orientace.
Kdykoli se to stane,
kdykoli se obrátí orientace prostoru,
determinant bude záporný.
Absolutní hodnota determinantu stále udává,
koeficient, kterým se násobí obsahy.
Například
matice se sloupci (1,1), (2,-1)
popisuje transformaci, jejíž determinant je
 
minus tři.
A to znamená to, že
se prostor převrátí
a obsahy se vynásobí faktorem tři.

German: 
Seht wie diese Transformation
den Raum umzudrehen scheint.
Wenn ihr euch den 2D-Raum als ein Blatt Papier vorstellt,
dann scheint so eine Transformation das Blatt auf die andere Seite zu drehen.
Alle Transformationen, die das tun, "invertieren die Orientierung des Raumes".
Man kann sich das auch mit î und ĵ vorstellen.
In der Startposition liegt ĵ links von î.
Wenn nach der Transformation ĵ nun rechts von î liegt,
dann wurde die Orientierung des Raumes invertiert.
Und wann immer das passiert,
wann immer die Orientierung des Raumes invertiert wird,
ist die Determinante negativ.
Der absolute Wert der Determinante
sagt allerdings immer noch aus mit welchen Faktor skaliert wird.
Zum Beispiel:
die Matrix mit Spalten 1; 1 und 2; –1
beschreibt eine Transformation mit der Determinante
—das sag ich euch jetzt einfach—
–3.
Und das bedeutet,
dass der Raum herumgedreht
und Flächen mit einem Faktor von 3 skaliert werden.

Portuguese: 
note como esta transformação
dá a sensação de virar espaço sobre si mesmo.
Se você estava pensando em espaço 2-D
 como uma folha de papel,
uma transformação como essa parece girar
 essa folha para o outro lado.
Diz-se que quaisquer transformações que fazem isso "invertem a orientação do espaço."
Outra maneira de pensar sobre isso é
 em termos de î e ĵ.
Note que, nas suas posições de partida,
 ĵ fica à esquerda do î.
Se, após uma transformação, ĵ ficar à direita de î,
a orientação do espaço foi invertida.
Sempre que isso acontece,
sempre que a orientação de espaço é invertida,
o determinante será negativo.
O valor absoluto do determinante, no entanto,
ainda diz que o fator pelo qual as áreas
foram escaladas.
Por exemplo,
a matriz com as colunas (1, 2) e (1, -1)
codifica uma transformação que tem determinante,
vou apenas dizer-lhe,
-3.
E o que isto significa é que
o espaço foi "capotado"
e áreas foram escalonadas por um fator de 3.

Estonian: 
pange tähele, kuidas see kujutus
justkui keeraks ruumi teist pidi
Kui te mõtlete kahemõõtmelisele pinnale kui paberilehele,
siis selline kujutus pöörab selle lehe teise poole ette
Kujutuste, mis seda teevad, kohta öldakse, et need inverteerivad ruumi orientatsiooni
Teine võimalus sellest mõelda on î ja ĵ kaudu
Pange tähele, et nende algasendis on ĵ î-st vasakul
Kui pärast kujutust on ĵ î-st paremal,
on ruumi orientatsioon inverteeritud
Millal iganes see juhtub,
kui ruumi orientatsioon inverteeritakse,
on determinant negatiivne
Determinandi absoluutväärtus näitab
ikkagi seda tegurit, mitu korda on pindalad muutunud
Näiteks:
maatriks veergudega 1;1 ja 2;-1
tähistab kujutust, mille determinant on,
ma lihtsalt ütlen ette,
-3
Ja mida see tähendab, on see,
et ruum keeratakse ümber
ning kõiki pindalasid suurendatakse kolm korda

iw: 
שים לב איך הטרנספורמציה הזאת
נותנת את התחושה של היפוך המרחב.
אם היית חושב על המרחב הדו-מימדי כדף נייר
טרנספורמציה כזאתי היא כמו לקחת את הדף נייר ולהפוך אותו לצד השני.
כל טרנספורמציה שעושה זאת נקראת "הפיכות כיוון המרחב"(שמות מפוצצים יהיו בהמשך)
עוד דרך לחשוב על כך היא במונחים של i כובע ו-j כובע.
שים לב שהמיקומים ההתחלתיים שלהם - j כובע נמצא מצד שמאל של i כובע.
אם, לאחר טרנספורמציה, j כובע עכשיו מצד ימין של i כובע
הכיוון של המרחב התהפך כתוצאה מכך.
מתי שזה קורה
מתי שכיוונו של המרחב מתהפך
הדטרמיננטה תהיה שלילית.
אמנם הערך המוחלט של הדטרמיננטה
עדיין אומר לך באיזה פקטור השטח הוכפל בסקלר.
לדוגמא:
המטריצה עם העמודות 1,1 ו-1-,2
מצפינה את הטרנספורמציה שיש לה דטרמיננטה
שעליה אספר לך
שהיא מינוס 3
ומה שזה אומר לנו
זה שהמרחב מתהפך
והשטחים הוכפלו בסקלר שהפקטור שלו הוא 3.

Spanish: 
fíjense como esta transformación da la sensación de voltear el espacio sobre sí mismo.
Si pensaran en el espacio 2-D como una hoja de papel,
una transformación como esa pareciera voltear esa hoja a su otro lado.
cualquier transformación que haga esto se dice que invierte la orientación del espacio.
Otra forma de pensarlo es en términos de "i" y "j".
Fíjense que en su posición inicial "j" está a la izquierda de "i".
Si después de la transformación "j" está a la dercha de "i"
la orientación del espacio fue invertida.
cuando sea que esto pase,
cuando sea que la orientación del espacio es invertida el determinante será negativo.
El valor absoluto del determinante, sin embargo,
sigue dicéndoles el factor de escala de las áreas.
Por ejemplo:
la matriz con columnas [1,1] y [2,-1]
define una transformación que tiene determinante, simplemente se los diré, -3.
Lo que esto significa es que el espacio se voltea y
y las áreas son "escaladas" por un factor de 3.

Korean: 
이런 변환을 살펴봐봐.
공간을 뒤집는 느낌을 주고 있어.
만약 너가 2차원 공간에 있는 한 종이조각을 떠올렸다면,
변환이 마치 종이를 뒤집는 것과 같아.
이런 종류의 변환들을 일컬어 
"공간의 방향(orientation) 뒤집기" 라고 불러.
(역자: orientation 방향? 방위? 원점?)
i-hat 과 j-hat 을 통해 설명하는 방법도 있어.
이 벡터들이 시작위치를 봐봐.
i-hat 의 왼쪽에 j-hat 이 있어.
변환 후에는,  
i-hat 의 오른쪽에 j-hat 이 있어.
공간의 방위이 반전되고 있지.
이런 일이 발생할때마다,
공간의 방위(orientation) 이 뒤집힐때마다,
행렬식은 음수가 될 거야.
그래도 행렬식의 절대값은
여전히 영역 스케일링 관한 팩터로 볼 수 있어.
예를 들면
열 (1,1), (2,-1) 로 구성된 행렬이
나타내는 변환의 행렬값은
바로
-3 이야.
그리고 이것이 의미하는 것은
그 공간이 뒤집어졌다는 거야.
그리고 영역크기는 팩터3 으로 스케일링 됬어.

Chinese: 
注意這個變換
給出把空間翻個身的感覺。
如果你把2-維空間當作一張紙，
像那樣的一個變換一個人看起來像是把紙翻到另一個面了。
任何作這樣的變換的就說成是來“反轉空間的定向。”
另一個方法來考慮是用i-hat和j-hat。
注意到在它們開始的位置，j-hat是在   i-hat的左面的。
如果在轉換之後，j-hat到了i-hat的右面，
空間的定向已被反了過來。
任何時候發生了這個
任何時候空間的定向被翻轉了
這行列式值將是個負數。
這行列式值的絕對值
仍告訴你這個面積被放大縮小的係數。
例如
一個矩陣的列分別是(1,1)和(2,-1)
編碼著一個變換，它的行列式值
我告訴你
是-3。
而它的意思是
空間被翻了一個身
并且面積放大了3倍。

English: 
notice how this transformation
gives the sensation of flipping space over.
If you were thinking of 2-D space as a sheet
of paper
a transformation like that one seems to turn
over that sheet onto the other side.
Any transformations that do this are said
to "invert the orientation of space."
Another way to think about it is in terms
of i-hat and j-hat.
Notice that in their starting positions, j-hat
is to the left of i-hat.
If, after a transformation, j-hat is now on
the right of i-hat
the orientation of space has been inverted.
Whenever this happens
whenever the orientation of space is inverted
the determinant will be negative.
The absolute value of the determinant though
still tells you the factor by which areas
have been scaled.
For example
the matrix with columns 1, 1 and 2, -1
encodes a transformation that has determinant
Ill just tell you
-3.
And what this means is
that, space gets flipped over
and areas are scaled by a factor of 3.

Polish: 
Jeśli wyobrażałeś sobie płaszczyznę jako kartkę papieru
taka transformacja wygląda jakbyśmy obrócili ją na drugą stronę.
I transformacja która to robi mówimy że "obraca orientację przestrzeni"
Innym sposobem wyobrażenia sobie tego jest użycie i-z-daszkiem i j-z-daszkiem.
Zwróć uwagę że na początku j-z-daszkiem jest na lewo od i-z-daszkiem,
podczas gdy po transformacji j-z-daszkiem jest na prawo od i-z-daszkiem
Orientacja przestrzeni się zmieniła
Gdy to się dzieje,
tj. gdy orientacja przestrzeni się odwraca,
wyznacznik będzie ujemny.
Jego wartość bezwzględna
ciągle nam jednak będzie mówić o ile zmieniła się powierzchnia.
Dla przykładu,
macierz o kolumnach 1,1 i 2,-1
opisuje transformację o wyznaczniku
o wartości
-3.
I oznacza to, iż
przestrzeń zmieni orientację
a powierzchnie się przeskalują o współczynnik 3.
Ale dlaczego koncepcja negatywnego współczynnika skalującego przestrzeń
jest naturalnym sposobem opisu odwrócenia orientacji?

English: 
So why would this idea of a negative area
scaling factor
be a natural way to describe orientation flipping?
Think about the seres of transformations you
get
by slowly letting i-hat get closer and closer
to j-hat.
As i-hat gets closer
all the areas in space are getting squished
more and more
meaning the determinant approaches 0.
once i-hat lines up perfectly with j-hat,
the determinant is 0.
Then, if i-hat continues the way it was going
doesn't it kinda feel natural for the determinant
to keep decreasing into the negative numbers?
So, that is the understanding of determinants
in 2 dimensions
what do you think it should mean for 3 dimensions?
It [determinant of 3x3 matrix] also tells
you how much a transformation scales things
but this time
it tells you how much volumes get scaled.
Just as in 2 dimensions
where this is easiest to think about by focusing
on one particular square with an area 1
and watching only what happens to it
in 3 dimensions
it helps to focus your attention
on the specific 1 by 1 by 1 cube

Chinese: 
那么，负的面积缩放比例为什么会自然地用来描述定向改变呢？
考虑i帽逐渐接近j帽所形成的一系列变换
当i帽靠近j帽时，空间也被压缩地更严重
这意味着行列式趋近于0
当i帽与j帽完全重合时，行列式为0
如果i帽继续沿着这个方向运动
行列式继续减小为负值难道不是一件很自然的事吗？
以上就是在二维空间中对行列式的理解
你觉得行列式在三维空间中是什么意义？
它告诉你的依然是变换前后的缩放比例
不过这次它说的是体积的缩放
二维空间中
我们最容易考虑一个面积为1的特殊正方形
并观察变换对它的影响
在三维空间中，你聚焦于一个特定的1×1×1立方体

Chinese: 
那麽為什麽一個負的面積放大縮小係數
會是一種自然的方法來描述定向的翻轉？
考慮一下你有這一系列的變換
慢慢的讓i-hat 越來越結局 j-hat。
隨著i-hat 的接近
空間裏所有的面積越來越被壓縮
意思是行列式值接近於0.
一旦 i-hat 和 j-hap完全重合，
行列式值就是0.
然後，如果i-hat 繼續這樣走下去
這不正是讓行列式值減小進入負數那樣感到很自然的嗎？
因此，那就是在2-維空間對行列式值的理解
對3-維你想它應該怎樣來想呢？
如果3x3 矩陣的行列式也告訴你一個變換對一些東西放大縮小了多少
但這次
它告訴你多少體積被放大縮小了
就像在2-維的那個一樣
集中是一個特殊的一個面積為1的方塊
並只看著對在3-維空間裏它所發生的，
這會容易一些
它有助於把你的注意力集中
在這個特定的1x1x1方塊

German: 
Wie kommt es, dass ein negativer Skalierungsfaktor
eine natürliche Art und Weise ist die Rauminvertierung zu beschreiben?
Denkt an die Serie von Transformationen, die entsteht
wenn ihr î langsam näher und näher zu ĵ lasst.
Wenn î sich annähert,
werden alle Flächen im Raum mehr und mehr eingeengt.
Das heißt die Determinante nähert sich 0 an.
Sobald î parallel zu ĵ ist,
ist die Determinante 0.
Wenn î dann weiter in dieselbe Richtung geht,
ist es dann nicht irgendwie intuitiv, dass der Wert der Determinante weiter in die negativen Zahlen sinkt?
Das also ist die Determinante in 2 Dimensionen.
Was denkt ihr bedeutet sie für 3 Dimensionen?
Auch hier sagt sie aus, wie sehr eine Transformation Dinge skaliert.
Aber dieses Mal
sagt sie aus wie sehr Volumen skaliert wird.
Genau wie in 2 Dimensionen
—wo es am einfachsten war sich auf das 1x1 Quadrat zu konzentrieren
und zu schauen was mit ihm passiert—
hilft es in 3 Dimensionen
die Aufmerksamkeit
auf den bestimmten 1x1x1 Würfel zu legen,

Spanish: 
Pero, ¿por qué esta idea de un factor de escalamiento negativo sería una manera natural de describir una inversión de orientación?
Piensen en la serie de transformaciones que obtienen si permiten que "i" se acerque lentamente a "j".
A medida que "i" se acerca, todas las áreas del espacio se comprimen más y más
por lo que el determinante se acerca a cero.
Una vez que "i" se alínea perfectamente con "j" el determinante es cero.
Luego si "i" sigue el camino que seguía,
¿no les parece natural que el determinante siga disminuyendo a los números negativos?
Entonces, esa es la intuición de los determinantes en dos dimensiones
¿Cuál creen debería ser para tres dimensiones?
También les dice cuánto "escala" las cosas una transformación
per esta vez, nos dice cuánto son "escalados" los volúmenes.
Así como en dos dimensiones donde
es más fácil entenderlo concentrándose en un  cuadro particular de área 1.
y ver sólo lo que le pasa a éste.
en tres dimensiones ayuda concentrar la atención en un cubo específico de 1x1x1

Polish: 
Pomyśl o serii transformacji które dostaniesz
poprzez powolne zbliżanie i-z-daszkiem do j-z-daszkiem.
Jak i-z-daszkiem się zbliży,
wszystkie powierzchnie w przestrzeni będą coraz bardziej się ściskać
czyli wyznacznik będzie zmierzać do 0.
Gdy i-z-daszkiem zrówna się z j-z-daszkiem,
wyznacznik będzie mieć wartość 0.
Jeśli i-z-daszkiem będzie się dalej tak poruszać
czy nie jest w pewien sposób naturalne iż wyznacznik będzie się dalej zmniejszał stając się ujemny?
Skoro rozumiemy wyznacznik w 2 wymiarach,
co mógłby oznaczać w 3 wymiarach?
Wyznacznik (3D) również mówi nam o ile przekształcenie przeskaluje rzeczy
ale tym razem
powie nam o ile zmieniły się objętości.
Tak jak w 2 wymiarach
gdzie najłatwiej było zacząć od kwadraciku 1 na 1,
i obserwować co się z nim dzieje
ale tym razem w 3 wymiarach.
Skupmy uwagę na
konkretnym sześcianie 1 na 1 na 1,
którego krawędzie spoczywają na wektorach bazowych
i-z-daszkiem, j-z-daszkiem, i k-z-daszkiem.

Korean: 
그럼 왜 음수 스케일링 팩터라는 개념이
방향 반전을 설명하는 자연스런 방법인지 알겠지?
이런 연속된 변환들을 생각해보자.
i-hat 과 j-hat 이 점점 가까워 지고 있어.
i-hat 이 가까워 지면서,
공간의 모든 영역이 점점 찌부려뜨려지고 있어.
그 동안에 행렬식 값은 점점 0 에 가까워져.
i-hat 과 j-hat 이 완전히 한 선을 이루게 되면
행렬식은 0 이야.
근데, i-hat 이 계속 이동하게 하면
행렬식 값이 음수가 되는게 자연스럽지 않을까?
자, 이것이 2차원에서 행렬식에 대한 설명이야.
3차원에서는 어떨것 같아?
3 × 3 행렬의 행렬식 값도 역시 얼마나 스케일링 하는지를 알려주지만,
하지만, 이번에는
부피(volume)가 얼마나 스케일링 되는지 알려줘.
2차원에서
이것을 가장 쉽게 생각해보는 방법은, 
영역크기 1 에 해당하는 한 정사각형을 떠올려보는 거야.
그리고 그것의 변화를 쳐다봤지.
3차원에서도
이 방법은 상당히 도움이 돼.
하나의 1x1x1 큐브(정육면체)에 집중하는 거야.

Portuguese: 
Então por que esta idéia de uma área negativa escalada por um fator
é uma maneira natural de descrever a inversão da orientação?
Pense sobre a série de transformações que você obtém
deixando lentamente î chegar cada vez mais perto de ĵ.
Conforme î chega perto
todas as áreas no espaço são esmagadas mais e mais
significando que o determinante aproxima de 0.
Uma vez que î se alinha perfeitamente com ĵ,
o determinante é 0.
Então, se î continua pelo caminho que ele estava seguindo
não parece meio natural pro determinante continuar diminuindo pros números negativos?
Então, este é o entendimento do determinante em duas dimensões,
o que você acha que deve significar para três dimensões?
Ele também te diz o quanto uma transformação escala coisas
mas desta vez
ele te diz o quanto o volume é escalado.
Como em duas dimensões
onde isto é mais fácil de se pensar sobre focando em um quadrado particular com área 1,
e assistindo o que acontece somente com ele.
Em três dimensões,
ajuda focar a atenção
no cubo específico 1x1x1,

iw: 
אז למה הרעיון של שטח שמוכפל בפקטור(שהוא סקלר שלילי)
יהיה משהו שנוכל לתאר באופן טבעי את התהפכות הכיוון?
תחשוב על סדרות של טרנספומציות שאתה מקבל
ע"י כך שבאופן איטי תיתן ל-i כובע להתקרב יותר ויותר ל-j כובע.
כאשר i כובע מתקרב
כל השטחים במרחב נמחצים ועוד ועוד
והמשמעות היא שהדטרמיננטה שואפת ל-0.
ברגע ש-i כובע מתלכד באופן מושלם עם j כובע,
הדטרמיננטה תהיה 0.
ואז, אם i כובע ממשיך בדרך בו הוא היה
האם זה לא מרגיש דיי טבעי שהדטרמיננטה תמשיך לקטון עד שתגיע למספרים השליליים?
אז, זאתי ההבנה של דטרמיננטות ב-2 מימדים.
מה אתה חושב זה אמור לומר לנו עבור 3 מימדים?
זה (הדטרמיננטה של מטריצה 3 על 3) גם אומר לנו עד כמה(מבחינה כמותית) הטרנספורמציה מכפילה בסקלר דברים
אבל בפעם הזאתי
זה אומר לך באיזה סקלר מוכפל הנפח.
כפי שהיה בעולם הדו-מימדי
כאשר הכי קל לחשוב על זה, יהיה ע"י כך שנתרכז בריבוע מסוים ששטחו אחד.
ונסתכל מה קורה רק לו.
בעולם התלת-מימדי
זה עוזר לרכז את תשומת לבך
בקוביה 1 על 1 על 1

Portuguese: 
Então, por que essa ideia de um fator
 de escala de área negativo
deveria ser um caminho natural para 
descrever a inversão de orientação?
Pense sobre a série de 
transformações que você obtêm
lentamente deixando î chegar mais perto e mais perto
ao ĵ.
À medida que o î se aproxima,
todas as áreas no espaço estão sendo esmagadas
mais e mais,
ou seja, o determinante se aproxima de 0.
Assim que î se alinhe
perfeitamente com ĵ,
o determinante é 0.
Então, se î continua onde estava indo,
não parece natural que o determinante continue diminuindo em direção aos números negativos?
Então, esse é o entendimento dos determinantes
em 2 dimensões;
o que você acha que deve significar para 3 dimensões?
Ele [determinante da matriz 3x3] também diz
o quanto uma transformação escala as coisas,
mas desta vez,
ele lhe diz quanto os volumes são escalados.
Assim como em 2 dimensões,
onde isso é mais fácil para pensar concentrando-se
em um quadrado particular com uma área de 1
e vendo apenas o que acontece com ele,
em 3 dimensões
ajuda se você concentrar sua atenção
no cubo 1 x 1 x1 específico

Estonian: 
Kuid miks peaks mõte negatiivsest pindala muutmisest
olema loomulik orientatsiooni ümberkeeramise kirjeldamisel?
Mõelge kujutustele, mille saame,
kui laseme î-l aeglaselt läheneda ĵ-le
Mida lähemale î jõuab,
seda rohkem surutakse ruumi kokku,
mis tähendab, et determinant läheneb nullile,
kuni î kattub täpselt ĵ-ga,
siis on determinant 0
Kui î jätkab samas suunas liikumist,
kas ei tundu loomulik, et determinant jätkab vähenemist negatiivsetesse arvudesse?
See on arusaam determinantidest kahes mõõtmes
Mida te arvate, et see tähendab kolme mõõtme kohta?
See näitab samuti, kuidas kujutus muudab asju,
kuid seekord
see näitab kui palju muutuvad ruumalad
Täpselt nagu kahes mõõtmes,
kus oli lihtsam jälgida ühikruutu pindalaga 1
ja vaadata, mis juhtub ainult sellega,
on kolmes mõõtmes
lihtsam jälgida
ühikkuupi küljepikkustega 1

Czech: 
Proč by měla představa záporného koeficientu násobícího obsah
přirozeně popisovat převracení orientace?
Představte si pozvolna měnící se transformaci,
když necháváte 'i' se pozvolna přibližovat k 'j'.
Jak se 'i' dostává blíž,
obsahy se stále více zmenšují,
čili se determinant blíží nule.
Jak je 'i' a 'j' dostanou do přímky.
determinant dosáhne nuly.
Když pak pokračujeme s hýbáním 'i' stejným směrem,
není tak nějak přirozené, že by měl determinant pokračovat v klesání do záporných hodnot?
Teď, když rozumíme determinantu ve dvou rozměrech,
co by měl znamenat pro třírozměrný prostor?
Stále by měl udávat, jak tranformace roztahuje věci,
ale tentokrát
udává, jak se mění objem.
Stejně jako v rovině,
kde je jednodušší se zaměřit na jeden konkrétní čtverec s jednotkovým obsahem,
a sledovat, co se s ním stane,
ve třírozměrném prostoru
pomůže se zaměřit na
konkrétní jednotkovou krychli,

Russian: 
Так почему эта идея отрицательного множителя 
для площадей
стала естественным способом описывать переворот ориентации?
Подумайте о последовательности пробразований, которые
постепенно приближают i к j
Чем ближе i становится ближе,
тем больше сжимаются площади
То есть определитель приближается к нулю.
Когда i сравнивается с j
определитель становится равен нулю
Тогда если и  продолжает двигается в том же направлении,
разве не естественно, что определитель продолжает спускаться в отрицательные значения?
Вот вам интуиция об определителях в 2D
Как вы думаете, что означает детерминант в 3 измерениях?
Он [детерминант матрицы 3х3] тоже показывает насколько преобразование растягивает вещи
Но в этот раз
он показывает как изменяются объемы
Как и в двух измерениях
где легче всего думать о площади единичного квадрата
и наблюдать только за тем, что происходит с ним
В трех измерениях
полезно сосредоточиться
на особенном кубе 1х1х1

Turkish: 
Pekala, neden bu negatif boyutlandırma katsayısı fikri,
yön çevirimi için doğal bir betimleme olsun ki?
Bir dizi dönüşüm düşün,
i vektörü yavaş yavaş j vektörüne yaklaşsın.
i vektörü yaklaştıkça
aralarındaki tüm alanlar sıkıştıkça sıkışır ki
bu determinant 0'a yaklaşıyor demektir.
i vektörü, j ile üst üste geldiğinde,
determinant 0'dır.
Sonra, i gittiği yöne gitmeye devam ederse,
determinantın, negatif değerlere doğru azalması doğal gelmiyor mu?
Pekala, 2-Boyutta determinant böyle de
3-Boyutta sence nasıl olmalı?
Yine determinant (bu defa 3x3 matrix için)
bir boyutlandırmayı anlatır
fakat bu defa
hacmin ne kadar boyutlandırıldığını söyler.
Aynen 2-Boyutta yaptığımız gibi;
alanı 1 olan kare üzerinden bunu düşünmek,
ve bu kareye olanları takip etmek gibi
3-Boyutta da
dikkatimizi toparlamak için
belirli bir 1 e 1 e 1 şeklinde,

Chinese: 
它的棱处于基向量i帽、j帽和k帽上
在变换后，这个立方体可能就变成了一个斜不拉几的形状
顺带一提，这个形状有个好听的名字——平行六面体
如果你的教授有着浓重的俄国口音，这个名字就会显得更滑稽
因为这个立方体的初始体积为1
而行列式给出的是体积缩放比例
所以你可以把行列式简单看作这个平行六面体的体积
行列式为0则意味着整个空间被压缩为零体积的东西
也就是一个平面或一条直线，或者更极端的情况下，一个点
看过第二章视频的朋友
可能会认得这是在说矩阵的列线性相关
你明白为什么吗？
那么对于负值行列式呢？它在三维下是什么意思？

Czech: 
jejíž tři hrany kopírují bázové vektory
'i', 'j', 'k'.
Po transformaci
se krychle zkosí do jakéhosi podivného tvaru,
tenhle tvar má úplně nejlepší název:
rovnoběžnostěn.
A ten název zní ještě úžasněji, když má profesor silný ruský přízvuk.
Protože tahle krychlička má na začátku objem jedna,
a determinant říká, jak se objem vynásobí v průběhu transformace,
můžete si determinant představovat
jenom jako objem toho rovnoběžnostěnu,
ve který se jednotková krychle promění.
Nulový determinant
znamená, že se celý prostor splácnul na něco s nulovým objemem,
to může být rovina, přímka, nebo v nejextrémnějším případě
samotný bod.
Ti, kdo pozorně sledovali kapitolu 2
si všimnou, že to znamená,
že sloupečky matice jsou lineárně závislé.
Vidíte, proč?
A co záporné determinanty?
Co by to mělo znamenat ve třech rozměrech?

Polish: 
Po przekształceniu
sześcian może stać się bardzo pokrzywionym sześcianem,
Przy okazji ten kształt ma całkiem ładną nazwę:
równoległościan.
 
Skoro sześcian zaczyna z objętością równą 1,
a wyznacznik daje nam współczynnik o który objętość się zmienia,
możemy myśleć o wyznaczniku
jako po prostu objętości tego równoległościanu
który powstaje z naszego sześcianu.
Wyznacznik równy 0
będzie oznaczać iż przestrzeń zredukowała się do czegoś o zerowej objętości:
czyli albo płaszczyzny, albo linii, albo w najbardziej szczególnym przypadku,
do pojedynczego punktu.
Ci z was którzy oglądali rozdział 2
rozpoznają to jako równoważne z tym
że kolumny macierzy są liniowo zależne.
Jesteś w stanie dostrzec czemu?
A co z ujemnymi wyznacznikami?
Co będzie to oznaczać w 3 wymiarach?
Jednym ze sposobów opisu orientacji przestrzeni trójwymiarowej
jest użycie zasady prawej ręki.

English: 
whose edges are resting on the basis vectors
i-hat, j-hat, and k-hat.
After the transformation
that cube might get warped into some kind
of slanty slanty cube
this shape by the way has the best name ever
parallelepiped.
A name made even more delightful when your
professor has a nice thick Russian accent.
Since this cube starts out with a volume of
1
and the determinant gives the factor by which
any volume is scaled
you can think of the determinant
as simply being the volume of that parallelepiped
that the cube turns into.
A determinate of 0
would mean that, all of space is squished
onto something with 0 volume
meaning ether a flat plane, a line, or in
the most extreme case
onto a single point.
Those of you who watched chapter 2
will recognize this as meaning
that the columns of the matrix are linearly
dependent.
Can you see why?
What about negative determinants?
What should that mean for 3 dimensions?

Portuguese: 
cujas arestas estão sobre os vetores da base
î, ĵ e k̂.
Depois da transformação
esse cubo pode ser deformado em algum tipo de cubo inclinado.
Este formato a propósito tem o melhor nome de todos,
paralelepípedo.
Um nome que se torna ainda mais agradável quando o seu professor tem um belo e pesado sotaque russo.
Já que este cubo começou com um volume 1
e o determinante te dá o fator pelo qual qualquer volume é escalado
você pode pensar no determinante
como simplesmente sendo o volume deste paralelepípedo
em que o cubo se transformou.
Um determinante 0
significaria que todo o espaço é esmagado em alguma coisa com volume 0,
significando um plano reto, uma linha, ou no caso mais extremo
um único ponto.
Estes de vocês que assistiram o capítulo 2
irão reconhecer isso como o significado
das colunas de uma matriz serem linearmente dependentes.
Você pode ver o por quê?
E sobre determinantes negativos?
O que isso deve significar para três dimensões?

Spanish: 
cuyas aristas reposan sobre los vectores base
"i", "j" y "k".
Después de la transformación ese cubo es deformado en una especie de cubo inclinado.
Esta figura, por cierto, tiene el mejor nombre de la historia:
Paralelepípedo.
Un nombre que es inclusive más agradable si tu profesor tiene un acento ruso.
Dado que este cubo empieza con un volumen de 1
y el determinante nos da el factor por el cual cualquier volumen es escalado,
pueden pensar en el determinante
simplemente como el volumen de ese paralelepípedo en el que se transforma el cubo.
Un determinante igual a cero
nos dice que todo el espacio es comprimido a algo con volumen cero.
Es decir, un plano, una línea o, en el caso más extremo, en un sólo punto.
Aquellos de ustedes que vieron el capítulo 2 reconocerán que esto significa
que las columnas de la matriz son linealmente dependientes
¿pueden ver por qué?
¿Y qué pasa con los determinantes negativos? 
¿qué quieren decir en tres dimensiones?

Portuguese: 
cujas arestas estão sobre os vetores de base
î, ĵ e kˆ.
Após a transformação,
esse cubo pode ser deformado em algum tipo de
cubo bem oblíquo.
Esta forma, por sinal, tem o melhor nome de todos:
paralelepípedo.
Um nome fez ainda mais agradável quando o seu
o professor tem um bom sotaque russo.
Dado que este cubo começa com um volume de 1,
e o determinante dá o fator pelo qual
qualquer volume é dimensionado
você pode pensar o determinante
simplesmente como sendo o volume do referido paralelepípedo
no qual o cubo é transformado.
Um determinante de 0
significaria que todo o espaço é esmagado
em algo com 0 de volume
significando uma superfície plana, uma linha, ou em
o caso mais extremo,
um único ponto.
Aqueles de vocês que assistiram o capítulo 2
vão reconhecer isso no sentido de
que as colunas da matriz são 
linearmente dependentes.
Você pode ver por quê?
E sobre determinantes negativos?
O que deve significar para 3 dimensões?

Russian: 
чьи ребра лежат на базисных векторах
i, j и k.
После преобразования
этот куб может превратиться в очень сильно скошенный куб
фигура, которая имеет лучшее название во всей истории фигур
Параллелепипед.
Название, которое обретает особую прелесть, если у вашего преподавателя густой русский акцент
Так как этот куб начинал с объема 1
и определитель дает множитель, на который умножается любой объем
то можно думать об определителе
как просто об объеме этого параллелепипеда
в который переходит куб
Нулевой определитель
означает, что пространство преобразуются во что-то с нулевым объемом
то есть либо плоскость, либо прямая либо в крайней случае
единственная точка.
Те из вас, кто посмотрел главу 2
распознают в этом факт
того, что столбцы матрицы линейно зависимы.
Можете сказать, почему это так?
А что насчет отрицательных определителей?
Что они должны означать в случае трехмерного пространства?

Chinese: 
它的邊在基本矢量
i-hat, j-hat, 和 k-hat 上.
轉換之後
那個方塊可能被扭曲到像是很斜很斜的方塊
順便提一下，這個形狀有一個最好的
名字parallelepiped（平行管柱）
一個名字甚至更開心的如果你的教授有一個很強的俄羅斯口音。
既然這個方塊的體積為1
而行列式值給出體積被放大的係數
你可以把行列式值簡單的考慮成
那方塊變成的
那個parallepiped的體積。
一個是0的行列式值
將意味著，所有的空間都被壓縮的一個
0體積的什麽東西，意思是或者是一個平面，一條綫，或者在極端情況下
成爲一個點。
你們那些看過第二章的
將認識到這個意思
矩陣的列是綫性相關的。
你能知道為什麽嗎？
那麽負的行列式值呢？
那麽對3-維的應該是什麽意思呢？

iw: 
שקצוותיה נחות על וקטורי הבסיס
i כובע, j כובע ו-k כובע.
לאחר הטרנספורמציה
הקוביה אולי תהפוך לסוג של קוביה מאוד מאוד משופעת
למצולע הזה יש את השם הכי טוב איי פעם
"מקבילון"(בעברית זה נשמע יותר טוב)
השם של המצולע הוא אפילו יותר משמח כשלמרצה שלך יש מבטא רוסי יפה וכבד.
מכיוון שהקוביה מתחילה עם נפח של 1.
והדטרמיננטה נותנת לנו פקטור בו כל נפח יוכפל בסקלר.
אתה יכול לחשוב על הדטרמיננטה
פשוט בתור נפח של אותו מקבילון
שהקוביה הפכה להיות.
הדטרמיננטה של 0
אומרת לנו שכל המרחב נמחץ לתוך משהו שנפחו הוא אפס.
לסירוגין אומרת לנו שזהו משטח שטוח, קו או במקרה הכי קיצוני
נקודה בודדת.
לאלה ממכם שצפו בפרק מספר 2
יזהו זאת בתור המשמעות לכך
שהעמודות של המטריצה הן תלויות לינאריות(ת"ל)
האם אתה יכול להבין למה?
מה לגבי דטרמיננטות שערכן שלילי?
מה זה אמור להביע עבור העולם התלת-מימדי?

Turkish: 
kenarları asıl vektörler olan
i, j ve k vektörleri üzerinde bir küp düşünebiliriz.
Dönüşüm sonrasında
bu küp, eğri büğrü bir kübe dönüşebilir,
bu arada bu şeklin süper bir ismi var:
paralellepiped.
Bu isim özellikle dersi aldığınız profesör Rus aksanına sahip olduğunda daha da lezizz
Bu küp 1 hacim büyüklüğü ile başladığından
ve determinant da hacmin boyutlandırma katsayısını verdiğinden
determinantı
en basitinden, kübün dönüştüğü parellelepiped'in
hacmi olarak düşünebilirsiniz.
Determinantın sıfır olması ise
tüm uzayın hacimsiz bir şeye büzüştüğü anlamına gelir ki
ya düz bir düzlem haline gelmiştir ya da en uç durumda,
bir nokta!
2. bölümü izleyenler
hatırlayacaklardır,
matrix'in sütunlarına doğrusallıkta bağımlı demiştik.
Nedenini görebiliyor musunuz?
Peki ya negatif determinantlar?
3-Boyut için ne anlama gelmektedir?

Estonian: 
ning ruudu küljed kattuvad ühikvektoritega
î, ĵ ja k̂
Pärast kujutust võib
see kuup muutuda kaldus kuubikuks,
kusjuures sellel on parim nimi: rööptahukas
(i.k. parallelepiped)
Selle nime tegi veel rõõmu valmistavaks minu professor, kellel oli mõnus tugev vene aktsent
Kuna see kuup alustab ruumalaga 1
ja determinant näitab tegurit, mitu korda iga ruumala muudetakse,
võite mõelda sellele determinandile
kui lihtsalt selle rööptahuka ruumalale,
millesse algne ühikkuup muutub
Determinant väärtusega 0
tähendaks, et kogu ruum surutakse kokku kuhugi, kus on olematu ruumala,
näiteks tasapind, sirge või — väga erilisel juhul —
üksik punkt
Need, kes vaatasid teist osa,
tunnevad ära, et see tähendab,
et selle maatriksi veerud on lineaarselt sõltuvad
Kas te näete, miks see nii on?
Mis juhtub aga negatiivsete determinantide korral?
Mida peaks see tähendama kolmes mõõtmes?

German: 
dessen Kanten auf den Basisvektoren
î, ĵ und k̂ liegen.
Nach der Transformation
könnte der Würfel wie ein sehr schräger, verzogener Würfel aussehen.
Diese Form hat übrigens den besten Namen aller Zeiten:
Parallelepiped
Ein Name, der umso toller klingt, wenn euer Dozent einen starken russischen Akzent hat.
Da dieser Würfel vor der Transformation ein Volumen von 1 hat
und die Determinante den Faktor gibt mit dem jedes Volumen skaliert wird,
könnt ihr euch die Determinante vorstellen
als das Volumen dieses Parallelepiped
in das der Würfel sich formt.
Eine Determinante von 0
würde bedeuten, dass der gesamte Raum auf etwas mit 0 Volumen projeziert wird.
Also entweder eine Fläche, eine Linie, oder im Extremfall
ein einzelner Punkt.
Diejenigen von euch, die Kapitel 2 gesehen haben,
wissen, dass das bedeutet,
dass die Spalten der Matrix linear abhängig sind.
Könnt ihr sehen weshalb?
Was ist mit negativen Determinanten?
Was würde das in 3 Dimensionen bedeuten?

Korean: 
이 정육면체 모서리에 각 단위벡터가 놓여있어.
i-hat, j-hat, k-hat 벡터가.
변환 후
이 큐브는 기울어지고 기울어진 큐브가 돼.
근데 이 모양에 딱 맞는 이름이 있어.
평행육면체 (parallelepiped).
두꺼운 러시아 억양을 가진 발음처럼 들려.
이 큐브는 부피가 1이고,
그리고 행렬식 값은 어떤 부피이든지 스케일링 팩터를 알려주니까
행렬식 값을 마치
평행육면체의 부피값으로 생각해도 될거야.
부피 1짜리 큐브가 바뀐 후의 부피로 말야.
행렬식 값이 0 이라면
모든 공간이 찌부려뜨려서 부피 0을 만든다는 의미이고,
찌부려져서 평면이나, 선,
가장 극단적인 경우에는
단일 점이 되는 경우야.
챕터 2장을 본 사람들은
이 말을 받아들일때
그 행렬의 열들은 선형의존(linearly dependent) 하다라고 할거야.
왜 그런지 알겠어?
음수 행렬식값일때는 어떨까?
3차원에서는 무슨 의미이여야 할까?

Korean: 
3차원에서 방향(orientation)을 설명하는 방법으로
오른손 규칙이 있어.
오른손의 집게손가락이 가리키는 방향이
i-hat 의 방향이 돼.
가운데 손가락이 가리키는 방향은 j-hat 방향,
그리고 알아차렸겠지만, 
엄지손가락이 가리키는 방향은
k-hat 의 방향이야.
여전히 변환 이후에도 이 방향이 유지되려면,
방향(orientation) 이 바뀌지 않고,
양수 행렬식 값을 가진 경우야.
그렇지 않으면
변환 이후에 왼손으로 바꿔야 하는 경우에는
방향(orientation)이 반전된거고,
행렬식 값은 음수가 돼.
만약 너가 전에 본 적 없다면
아마 지금쯤 꽤 궁금한게 생겼을꺼야.
"실제로 어떻게 행렬식을 계산하는 걸까?"
a,b,c,d 변수로 이루어진 2x2 행렬에서
공식은 (a * d) - (b * c) 였어.
이 공식이 어떻게 나왔는지는 
직관을 발휘할 부분이야.
b, c 둘 다 0 이라고 해보자.
그리고,
a 를 i-hat 을 x축 방향으로 스케일링하는 요소로 보고,
d 의 경우에는

Chinese: 
有一种方法来描述三维空间的定向，那就是“右手定则”
右手食指指向i帽的方向
伸出中指指向j帽的方向
当你把大拇指竖起来时，它就正好指向k帽的方向
如果在变换后你仍然可以这么做
那么定向没有发生改变，行列式为正
否则，如果在变换后你只能用左手这么做
说明定向发生了改变，行列式为负
如果你以前没有学过行列式，那你现在大概就在想
到底怎么计算行列式呢？
对于一个2×2的矩阵[[a, b], [c, d]]，公式是ad-bc
以下是对这个公式来源的直观理解
假如b和c均恰好为0
那么a告诉你i帽在x轴方向的伸缩比例

iw: 
דרך אחת לתאר את הכיוון בעולם התלת-מימדי
הוא עם "כלל יד ימין"(רגע בו הפיסיקאים צוחקים)
תכוון את האצבע המורה(האצבע הארוכה ביותר) בידך הימנית
בכיוון i כובע.
תוציא את האמה(האצבע האמצעית שלך) בכיוון j כובע
ושים לב איך אתה מצביע עם האגודל שלך כלפי מעלה
ושהוא בכיוון k כובע.
אם אתה עדיין יכול לעשות זאת לאחר הטרנספורמציה
הכיוון לא השתנה.
והדטרמיננטה נשארה חיובית.
אחרת,
אם לאחר הטרנספורמציה, זה נהיה הגיוני לעשות זאת רק עם היד השמאלית
אז הכיוון התהפך
והדטרמיננטה היא שלילית.
אז, אם לא ראית זאת קודם
אתה בטח תוהה איך עד עכשיו
"איך אתה באמת מחשב את הדטרמיננטה?"
עבור מטריצה 2 על 2 עם הערכים a,b,c,d
הנוסחה היא a כפול d פחות b כפול c (או מתמטית: (b*c)-(a*d) )
הנה חלק מהאינטואיציה מאיפה הנוסחה הזאת באה:
בוא נניח במונחים של b ו-c כאשר שניהם אפס(שרירותית).
ואז הפרמטר הזה אומר לך בכמה i כובע נמתח בכיוון ציר x
והפרמטר d

German: 
Eine Möglichkeit Orientierung in 3D zu beschreiben
ist die Rechte-Hand-Regel [auch: Dreifingerregel].
Zeigt mit eurem rechten Zeigefinger
in die Richtung von î
und streckt deinen euren Mittelfinger in die Richtung von ĵ.
Wenn ihr nun mit eurem Daumen nach oben zeigt,
dann zeigt er in die Richtung von k̂.
Wenn das auch nach der Transformation noch funktioniert,
dann hat sich die Orientierung nicht verändert
und die Determinante ist positiv.
Andernfalls,
wenn das ganze nach der Transformation nur mit eurer linken Hand funktioniert,
dann wurde die Orientierung umgedreht
und die Determinante ist negativ.
Wenn es euch noch bekannt ist,
dann fragt ihr euch mittlerweile wahrscheinlich:
"Wie berechne ich eigentlich eine Determinante?"
Für eine 2x2-Matrix mit den Einträgen a, b, c, d
lautet die Formel (a · d) – (b · c).
Hier ist der Teil einer Intuition dafür, wo diese Formel herkommt.
Wenn b und c zufälligerweise gleich 0 sind,
dann zeigt a euch wie sehr î in Richtung der x-Achse gestreckt wird.
Und d

English: 
One way to describe orientation in 3-D
is with the right hand rule.
Point the forefinger of your right hand
in the direction of i-hat
stick out your middle finger in the direction
of j-hat
and notice how when you point your thumb up
it is in the direction of k-hat.
If you can still do that after the transformation
orientation has not changed
and the determinant is positive.
Otherwise
if after the transformation it only makes
since to do that with your left hand
orientation has been flipped
and the determinant is negative.
So if you haven't seen it before
you are probably wondering by now
"How do you actually compute the determinant?"
For a 2 by 2 matrix with entries a, b, c,
d
the formula is (a * d) - (b * c).
Here's part of an intuition for where this
formula comes from
lets say the terms b and c both happed to
be 0.
Then the term a tells you how much i-hat is
stretched in the x direction
and the term d

Portuguese: 
Uma maneira de descrever a orientação em 3-D
é com a regra da mão direita.
Aponte o dedo indicador da mão direita
na direção de î,
aponte para fora seu dedo médio na direção de ĵ,
e observe como quando você aponta o polegar para cima,
no sentido de kˆ.
Se você ainda pode fazer isso após a transformação,
orientação não mudou,
e o determinante é positivo.
Caso contrário,
se após a transformação, só faz sentido fazer isso
 com a mão esquerda,
então a orientação foi virada,
e o determinante é negativo.
Então, se você ainda não viu antes
você provavelmente está se perguntando até agora
"Como você realmente calcula o determinante?"
Para uma matriz de 2 por 2 com 
entradas a, b, c, d
A fórmula é (a * d) - (b * c).
Aqui está parte de uma intuição para 
a razão de onde esta fórmula vem.
Suponhamos que os termos b e c 
sejam ambos 0 por acaso.
Assim sendo, o termo 'a' lhe diz quanto î 
é esticado na direção x
e o termo d

Chinese: 
在3-維空間來描述方向的一個方法是
用右手定則。
用你的右手的食指指向
i-hat 的方向
在j-hat 方向上伸出你的中指
而注意到你的姆指朝上
它就是k-hat 的方向。
在變換之後如果你仍能夠做這個的，
定向沒有變化
那麽行列式值是正的；
否則
如果在變換之後，你只能用你的左手來做的話
定向被翻過來了
而行列式值是負的。
如果你以前不知道
你也許在想
“那你實際上是怎樣來計算行列式值的呢？”
對一個2x2的矩陣它的項為a, b, c, d
這公式是(a*d) - (b*c)。
這個公式是怎麽來的這裏是一部分的直覺
讓我們假定項數 b 和 c 都正好是0.
然後項數 a 告訴你 i-hat 在x方向
上伸出多少而項數 d 告訴你

Czech: 
Jedna varianta je popsat orientaci ve 3D
pomocí pravidla pravé ruky.
Dejte ukazováček vaší pravé ruky
ve směru 'i',
prostředníček ohněte ve směru 'j'
a povšimněte si, že jak palec ukazuje nahoru,
tak udává směr 'k'.
Jestli to stále můžete udělat i po transformaci,
orientace se nezměnila
a determinant je kladný.
V opačném případě,
když to po transformaci funguje jenom s levou rukou,
orientace se převrátila
a determinant je záporný.
Jestli jste to předtím neviděli,
pravděpodobně vás teď zajímá,
"Jak ale spočítat takový determińant?"
Pro matici 2x2 s položkami a, b, c, d
vzoreček zní (a * d) - (b * c).
Napřed ukážu, že to aspoň trochu dává smysl
dejme tomu, že položky b, c jsou nulové.
V takovém případě číslo 'a' udává, jak se 'i' natáhne ve směru x
a číslo 'd'

Turkish: 
3-Boyutta yön-değişimini tarif etmenin bir yolu,
sağ el kuralıdır.
Sağ elin işaret parmağı
i vektörünün yönünde,
orta parmak ise j vektörünün yönünde olacak,
böylece baş-parmak da yukarıya doğru,
k vektörünün yönünde olacaktır.
Eğer dönüşümden sonra parmaklarla vektörler hala eşleşiyorsa,
yönde değişim olmamıştır ve
determinant pozitiftir.
Aksi takdirde,
Eğer dönüşüm sonrası bu işlemi ancak
sol elle yapmak mümkün oluyorsa,
yön ters-yüz olmuş demektir ve
determinant da negatiftir.
Eğer daha evvel görmediyseniz
muhtemelen meraktan ölmüşsünüzdür:
"iyi de determinant nasıl hesaplanıyor ki?"
a, b, c ,d şeklinde değerleri olan bir 2x2 matrix olsun
determinant:
(a * d) - (b * c) şeklinde hesaplanır.
Bu formülün nereden geldiğine dair önsezimiz ise...
diyelim ki, b ve c sıfır olsun.
Bu durumda a terimi, i vektörünün x ekseninde
ne kadar esnediğini söyler.
ve terim b ise

Russian: 
Один из способ описать ориентацию в 3D
это правило правой руки (правило буравчика)
Вытяните указательный палец правой руки в направлении i
Направьте средний палец в сторону j
И заметьте что ваш большой палец показывает
в направлении k
Если вы можете проделать то же самое и после преобразования
значит ориентация пространства не изменилась
и определитель положителен.
В обратном случае
Если после преобразования это имеет смысл только для левой рукой
значит ориентация поменялась
и определитель отрицательный.
Если вы раньше не знали об определителе
то, наверное, сейчас думаете
"Как же все-таки вычислить определитель?"
Для матрицы 2х2 с элементами a, b, c, d
формула принимает вид (a * d) - (b * c).
А сейчас я покажу, откуда она взялась.
Допустим b и c оба равны нулю.
Тогда а скажет нам, насколько удлинился и в направлении х
и множитель d

Spanish: 
Una forma de describir la orientación en 3-D
es con la regla de la mano derecha.
Apunten con el dedo índice de la mano derecha en la dirección de "i":
saquen su dedo medio en la dirección de "j"
y fíjense que cuando apuntan con el pulgar hacia arriba, éste está en la dirección de "k".
Si todavía pueden hacer eso después de la transformación,
la orientación no ha cambiado y el determinante es positivo
En el otro caso,
si después de la transformación sólo tiene sentido hacer eso con su mano izquierda
la orientación fue volteada y el determinante es negativo.
Entonces, si no lo han visto antes,
probablemente se estarán preguntando a estas alturas
¿Cómo se calcula el determinante?
Para una matriz de 2x2 con coeficientes "a", "b", "c" y "d",
la fórmula es "a" por "d" menos "b" por "c".
Aquí hay un poco de intuición de dónde sale esta fórmula.
Dígamos que los valores "b"y "c" ambos son cero.
Luego el término "a" les dice cuánto se estira "i"en la dirección "x".

Portuguese: 
Uma maneira de descrever orientação em 3D
é com a regra da mão direita.
Aponte o dedo indicador da sua mão direita
na direção de î,
aponte para fora o seu dedo médio na direção de ĵ
e perceba como quando você aponta o seu polegar para cima
ele está na direção de k̂.
Se você ainda consegue fazer isto após a transformação,
a orientação não mudou
e o determinante é positivo.
De outra maneira
se depois da transformação só faz sentido fazer isso com a sua mão esquerda
a orientação foi invertida
e o determinante é negativo.
Então, se você nunca viu antes
você está provavelmente pensando agora
"como se calcula o determinante?"
Para uma matriz 2x2 com entradas (a,b), (c,d)
a fórmula é ad-bc.
Aqui está parte da intuição para de onde esta fórmula vem.
Digamos que ambos os termos b e c aconteçam de serem 0,
então o termo a te diz o quanto î é esticado na direção x
e o termo d

Estonian: 
Üks variant kirjeldada orientatsiooni kolmemõõtmelises ruumis
on parema käe reegliga
Suunake oma parema käe nimetissõrm
î suunas,
keskmine sõrm ĵ suunas
ning pange tähele, et kui te oma pöidla suunate üles,
on see k̂ suunas
Kui te suudate pärast kujutust seda ikka veel teha,
ei ole orientatsioon muutunud
ja determinant on positiivne
Vastasel juhul,
kui pärast kujutust on loogiline teha seda vasaku käega,
on orientatsioon muutunud
ja determinant on negatiivne
Kui te ei ole seda varem näinud,
siis tõenäoliselt mõtlete nüüd:
"Kuidas seda determinanti ikkagi välja saab arvutada?"
Kaks korda kaks maatriksi elementidega a;b;c;d
determinandi valem on a·d–b·c
Siin on üks osa selle tajumisest
Oletame, et b ja c mõlemad on juhuslikult 0
Sel juhul ütleb element a, kui palju î venitatakse x suunas
ja element d ütleb,

Polish: 
Wskaż palcem wskazującym prawej ręki
w kierunku i-z-daszkiem,
środkowym palcem wskaż kierunek j-z-daszkiem,
i zauważ że gdy podniesiesz kciuk do góry
będzie on w kierunku k-z-daszkiem.
Jeśli ciągle możesz to zrobić po przekształceniu,
orientacja się nie zmieniła
i wyznacznik jest dodatni.
W przeciwnym wypadku,
jeśli po transformacji musisz użyć lewej ręki,
orientacja się zmieniła.
a wyznacznik jest ujemny.
Jeśli zatem nie wiedziałeś tego wcześniej
zastanawiasz się zapewne:
"Jak właściwie liczymy te wyznaczniki?"
Dla macierzy 2 na 2 o wartościach a,b,c,d
wzór to (a*d) - (b*c).
Spróbujmy to zrozumieć intuicyjnie.
powiedzmy iż zarówno b i c są równe zero.
Wtedy współczynnik a mówi nam o ile i-z-daszkiem się rozciąga w kierunku osi X,
a współczynnik d
mówi nam o ile j-z-daszkiem się rozciąga w kierunku osi Y.
Zatem skoro te współczynnik są wyzerowane,

Portuguese: 
lhe diz quanto ĵ é esticado na
direção y.
Assim, dado que esses outros termos são 0,
deve fazer sentido que a * d
seja a área do retângulo em que nosso quadrado unitário favorito é transformado.
Meio que parecido com o (3, 0), (0, 2) de mais cedo.
mesmo que apenas um de 'b' ou 'c' seja 0,
você vai ter um paralelogramo
com uma base 'a'
e uma altura 'd'.
Assim, a área deve ainda ser
'a' vezes 'd'.
Falando livremente,
Se ambos b e c são não-nulos,
o termo b * c
diz-lhe quanto este paralelogramo
é esticado ou esmagado na direção diagonal.
Para aqueles de vocês com fome de uma descrição mais precisa desse termo b*c,
aqui está um diagrama útil se você gostaria
para fazer uma pausa e refletir.
Agora, se você sente que computar
 determinantes à mão
é algo que você precisa saber,
a única maneira de conseguir isso é
praticando com alguns.
Não há realmente muito que eu possa dizer ou
animar que vai lhe fazer entender melhor o cálculo.
Isso tudo é triplamente verdade para determinantes 3-D.

Korean: 
j-hat 을 y 축방향으로 스케일링하는 요소로 보자.
다른 값들(b,c)은 모두 0이기 때문에
행렬식 결과는 a * d 가 될거야.
그럼 단위 정사각형이 변환 후에 직사각형이 될거야.
앞서나온 행렬 (3, 0, 0, 2) 의 경우와 똑같아.
b, c 값 중 하나만 0 이라도,
평행사변형을 얻게될거야.
밑변 길이가 a 이고,
높이가 d 야.
그래서 영역 크기는 똑같이
a * d 가 돼.
비공식적으로 말하자면
b, c 가 둘 다 0 이 아닌 경우엔
b * c 값이
알려주는 것은 이 평행사변형의 얼마나
대각선 방향으로 늘려지거나 찌그러지를 말해줘.
아마 b * c 에 대한 좀 더 정확한 설명을 듣고 싶은 사람도 있을텐데
여기에 그런 사람들을 위해 도움될만한 다이어그램을 준비했어.
만약 손으로 직접 행렬식 값을 계산할 생각이라면
너가 알아야만 할 것이 있어.
그것을 익히는 유일한 방법은
몇번 연습해보는 방법밖에 없어.
계산에 관해서는 영상이나 준비한 말은 별로 없어.
이 모든 것들은 3차원에서 행렬식에 대해서도 모두 참이야.

Chinese: 
j-hat 在y 方向是伸出多少。
這樣，因爲其它的項都是0
這應該可以理解 a*d 給出我們最喜歡的
單位方形所變成的矩形的面積。
有點像是早些的例子 3, 0, 0, 2
即使 b, 或者 c 當中只有一個是0
你就有一個平行四邊形
它的底是 a
而高為 d。
這樣，這面積仍應該是
a 乘以 d。
不太嚴格地說
如果 b 和 c 都不是0
然後 b*c 那個項告訴你
這個平行四邊形被拉伸看多少
或者在對角綫方向說被壓縮了多少。
對你們當中有些急於要對 b*c 這個項有一個更精確的描述
這裏有一幅有幫助的圖如果你想要來停等一下並想一下的話。
現在如果你感到 喜歡用手算行列式值的話
是一件什麽事情你需要了知道的
唯一來做的方法
就用它來做幾個練習。
真的我也沒有很多可說的或者動畫一下要來計算的。
對3-維的行列式值都是三個的

German: 
zeigt euch wie sehr ĵ in Richtung der y-Achse gestreckt wird.
Da b und c gleich 0 sind,
sollte es logisch sein, dass a · d
euch den Flächeninhalt des Rechtecks gibt, zu dem unser 1x1-Quadrat wird.
Ein bisschen wie das 3, 0, 0, 2 Beispiel von vorhin.
Auch wenn nur eine der Variablen b und c gleich 0 ist
habt ihr ein Parallelogramm
mit der Basis a
und der Höhe d.
Das heißt der Flächeninhat sollte noch immer
a mal d sein.
Grob gesagt,
wenn b und c ungleich 0 sind
dann zeigt der b · c Term
wie stark das Parallelogramm
in der Diagonalen gestreckt oder gedrückt wird.
Für diejenigen von euch, die unbedingt mehr über diesen b · c Term erfahren wollen:
Hier ist ein nützliches Diagramm, falls ihr kurz innehalten möchtet.
Wenn ihr das Gefühl habt, dass ihr wissen solltet
wie man Determinanten per Hand berechnet,
dann ist der einzige Weg
es einfach mit ein paar zu üben.
Es gibt nicht wirklich etwas, dass ich sagen oder animieren könnte, um euch die Berechnung einzutrichtern.
Und das ist mindestens dreimal so wahr für dreidimensionale Determinanten.

English: 
tells you how much j-hat is stretched in the
y direction.
So, since those other terms are 0
it should make sense that a * d
gives the area of the rectangle that our favorite
unit square turns into.
Kinda like the 3, 0, 0, 2 example from earlier.
even if only one of b or c are 0
you'll have a parallelogram
with a base a
and a height d.
So, the area should still be
a times d.
Loosely speaking
if both b and c are non-0
then that b * c term
tells you how much this parallelogram
is stretched or squished in the diagonal direction.
For those of you hungry for a more precipice
description of this b * c term
here's a helpful diagram if you would like
to pause and ponder.
Now if you feel like computing determinants
by hand
is something that you need to know
the only way to get it down is to just
practice it with a few.
There's not really that much I can say or
animate that is going to drill in the computation.
This is all tripply true for 3-rd dimensional
determinants.

Spanish: 
y el término "d" les dice cuánto se estira "j" en la dirección de "y".
Entonces, como los otros términos son cero,
tiene sentido que "a" por "d"
dé el área del rectángulo en el cual se transforma nuestro cuadrado unitario favorito.
como en el ejemplo con [3,0] y [0,2] de antes.
Inclusive si sólo uno de los dos, "b" o "c" es igual a cero,
tendrán un paralelogramo de base "a" y altura "d"
por lo que el área debe seguir siendo "a" por "d".
En términos poco rigurosos
si ambos "b" y "c" son distintos de cero.
entonces ese término de "b" por "c"
les dice cuánto se estira o se comprime el paralelogramo en la dirección diagonal.
Para aquellos de ustedes "ambrientos" de una descripción más precisa de ese término "b"*"c"
aquí hay un diagrama útil si quieren pausar y analizar.
Ahora, si creen que computar el determinante a mano es algo que necesitan saber,
la única manera de aprenderlo es practicando con algunos casos.
No hay mucho que pueda decir o animar que les grabe la computación.
Esto es mucho más cierto en los determinantes tridimensionales.

Estonian: 
kui palju ĵ venitatakse y suunas
Kuna teised elemendid on nullid,
on arusaadav, et a·d
annab sellise ristküliku pindala, millesse meie lemmikühikruut muutub
Umbes nagu varasem 3;0;0;2 näide
isegi kui ainult üks element b või c on 0,
saame rööpküliku
alusega a
ja kõrgusega d
Nii peaks pindala ikka olema
a·d
Vabamalt sõnastades,
kui nii b kui ka c on nullist erinevad,
siis b·c näitab,
kui palju seda rööpkülikut
venitatakse või surutakse diagonaalsuunas
Nendele, kes on näljased täpsema b·c kirjelduse järele,
annan kasuliku diagrammi, kui te tahate peatuda ja mõelda sellele pikemalt
Nüüd, kui teile tundub, et determinantide käsitsi arvutamine on
miski, mida te peate teadma,
siis ainus viis seda teha, on lihtsalt
harjutada mõningad korrad
Pole lihtsalt eriti midagi, mida ma võiksin öelda või animeerida, mis aitaks teil arvutusi teostada
See kõik on kolmekordselt tõene kolmemõõtmeliste maatriksite determinantide korral

Chinese: 
d告诉你j帽在y轴方向的伸缩比例
因为其他项均为0，所以ad给出的是单位正方形伸缩后形成的矩形的面积
就像之前[[3, 0], [0, 2]]那个例子一样，这一点合情合理
即便b和c其中只有一项为0
那么最后得到的是一个平行四边形，底为a且高为d，面积应该仍旧为ad
粗略地说，如果b和c均不为0
那么bc项就会告诉你平行四边形在对角方向上拉伸或压缩了多少
对于那些想迫切知道bc项精确含义的人
如果你愿意暂停思考的话，这里有个简图可以帮忙
如果你觉得徒手计算行列式是你必须掌握的
那么唯一的方法就是用一些矩阵来练习
训练计算的过程实在没有太多东西需要我讲解或是用动画演示的
对三阶行列式来说，这个观点“三倍”正确

Russian: 
скажет нам, насколько j удлинился в направлении у
Тогда, так как остальные элементы равны нулю
имеет смысл, что a*d
дает площадь прямоугольника, в который превратился наш любимый квадрат 1х1
Что-то вроде примера ранее с 3, 0, 0, 2
даже если только b или c равен нулю
у вас получится параллелограм
с основанием а
и высотой d
Так что площадь все еще должна быть
а на d
грубо говоря
если оба b и c не нуль
то член b*c
скажет вам насколько этот параллелограм
вытянут или сжат по диагонали
Для тех из вас, кто голоден до более точного описания этого члена
вот полезная диаграма, если хотите поставить на паузу и поразмышлять
Теперь, если вам кажется, что вам нужно уметь
вычислять определители вручную
единственный способ преуспеть в этом
это немного попрактиковаться
Тут нет ничего особенного, с чем я мог бы помочь словами или анимацией.
И все это втройне правда для трехмерного определителя

Polish: 
ma to sens iż a*d
dają nam pole prostokąta który powstał z naszego ulubionego jednostkowego kwadratu.
Jak w wcześniejszym przykładzie 3,0  0,2:
nawet jeśli tylko jedno z b lub c jest wyzerowane,
dostaniemy równoległobok.
z podstawą równą a
i wysokością równą d.
Zatem, powierzchnia dalej powinna być równa
a razy d.
Obrazowo mówąc,
jeśli zarówno b i c są niezerowe,
wtedy wyrażenie b * c
mówi nam o ile ten równoległobok
jest rozciągnięty lub ściśnięty w kierunku prostopadłym.
Dla tych którzy mają potrzebę dokładniejszego zrozumienia wyrażenia b*c,
mam tu przydatny rysunek jeśli chciałbyś się zatrzymać i zastanowić.
Jeśli czujesz iż obliczanie wartości wyznacznika na piechotę
jest czymś co musisz umieć
jedynym sposobem jest
spróbowanie samemu kilka razy.
Nie ma zbyt wiele co mógłbym zwizualizować w celu uproszczenia obliczeń.
Podobnie w przypadku 3-ch wymiarów.
Jest nań wzór
i jeśli sądzisz że jest to coś co musisz umieć
powinieneś poćwiczyć z kilkoma macierzami.

Turkish: 
j vektörünün y yönünde ne kadar esnediğini söyler.
Dolayısıyla, diğer terimler sıfır olduğundan,
a * d'nin sonucunun
favori karemizin dönüştüğü dikdörtgenin alanını vermesi doğal olurdu değil mi?
tıpkı daha evvelki [3,0] [0,2] örneği gibi.
Hatta b ya da c'den yalnızca birisi 0 olsa da
oluşan şekil paralelkenar olacak
tabanı a
ve yüksekliği de d kadar olan.
Dolayısıyla, alan hala
a kere d olacak.
Kaçamak konuşmak gerekirse,
eğer b ve c 0 değilseler,
b * c ifadesi bize
bu paralelkenarın ne kadar
köşegen doğrultusunda bükük ya da esnetilmiş olduğunu söyler.
b * c terimi için daha keskin bir tanım bekleyenleriniz için
yardımcı olacak bir diyagram.
Durdurup inceleyebilirsiniz.
Şimdi, eğer determinant hesabı yapacaksanız
bilmeniz gerekiyorsa illa ki
bunu halletmenin tek yolu
bir kaç örnek çözmek.
Hesaplama yapmak pek animatif görünmeyeceğinden, 
pek söyleyebileceğim yok doğrusu.
Bu dediklerim, 3-Boyut determinantları
için de üçkatıyla doğru

iw: 
אומר לך עד כמה j כובע נמתח בכיוון ציר y.
אז, מכיוון ששני הפרמטרים הללו הם 0
זה הגיוני ש-a כפול d
נותן לך את מה שהפך להיות - שטח של מלבן היחידה האהוב עליך.
דיי דומה הדוגמא עם ה-3,0,0,2 ממקודם.
אפילו רק אחד מהפרמטרים של b או c הם 0
יהיה לך מקבילית
עם הבסיס a
והגובה שהוא d.
אז, השטח עדיין צריך להיות
d כפול a.
אם נדבר באופן חופשי
אם גם b וגם c שונים(!) מאפס
אז הביטוי b*c
יגיד לך עד כמה המקבילית הזאת
נמתחת או מתכווצת בכיוון האלכסוני.
לאילו מכם שעדיין רעבים לעוד תיאורים מדוייקים של הביטוי של b*c
הנה דיאגרמה נוחה, אם תרצה להפסיק לרגע את הסירטון ולחשוב.
עכשיו, אם אתה מרגיש כמו מישהו שחישוב דטרמיננטות בכתב
הוא משהו שאתה צריך לדעת(ולא רק בראש, ויזואלית)
הדרך היחידה שזה יחלחל פנימה היא
לתרגל כמה כאלו(דטרמיננטות)
אין באמת משהו שאני יכול להגיד או להנפיש, כדי שזה יתרגל לך את החלק החישובי של דטרמיננטה.
זה הכל נכון פי כמה עבור דטרמיננטות ב-3 מימדים.

Portuguese: 
te diz o quanto ĵ é esticado na direção y.
Então, já que os outros termos são 0.
deve fazer sentido que a vezes d
te dá a área do retângulo que nosso quadrado unitário favorito se transforma.
Meio como o exemplo (3,0), (0,2) de antes.
Mesmo se somente um dos termos b ou c forem 0
você tem um paraleleogramo
com base a
e altura d.
Então a área ainda deve ser
a vezes d.
Falando livremente,
se ambos b e c são diferentes de 0
então o termo b vezes c
te diz o quanto este paraleleogramo
é esticado ou esmagado na direção diagonal.
Para os de vocês famintos por uma descrição mais precisa deste termo b vezes c,
aqui está um diagrama se você gosta de pausar e ponderar.
Agora, se você sente que calcular determinantes na mão
é algo que você precisa saber,
a única maneira de aprender é só
praticar com alguns.
Realmente não tem muito o que eu possa dizer ou animar que vai ajudar no cálculo.
Isto é triplamente verdade para determinantes tridimensionais.

Czech: 
říká, jak se natáhne 'j' ve směru y.
Takže když jsou ostatní čísla nulová,
dává smysl, že vzoreček a * d
udává obsah obdélníku, ve který se změní náš oblíbený jednotkový čtverec,
podobně jako dřívější příklad 3, 0, 0, 2.
I když je jenom jedno z čísel b, c nulové,
máte rovnoběžník
se základnou 'a'
a výškou 'd'.
Takže obsah by měl stále vyjít
a * d.
Volně řečeno,
když jsou obě čísla b, c nenulová,
tak součin b*c
udává, jak moc se ten rovnoběžník
roztáhne nebo splácne v úhlopříčném směru.
Pro ty, co dychtí pro přesnější vysvětlení toho výrazu,
tady je pomocný diagram, jestli si chcete zastavit video a zamyslet se.
Jestli vám teď připadá, že se potřebujete naučit
počítat determinanty ručně,
jediný způsob, jak toho dosáhnout,
je si to na pár příkladech zkusit.
Ve výpočetním drilu vám s animacemi moc nepomůžu.
Trojnásob to platí pro třírozměrné determinanty.

Chinese: 
这里有个计算公式，如果你觉得你必须掌握它
那就应该用一些矩阵来练习，或者去看看Sal Khan是怎么计算的
说实话，我不认为这些计算过程属于线性代数的本质
但是我确实认为理解行列式所代表的意义在它当中
下期视频开始前，你可以考虑这个有趣的问题
如果你将两个矩阵相乘
它们乘积的行列式
等于这两个矩阵的行列式的乘积
如果你想用数值方法证明，那要耗费你不少时间
不过，看看你能不能只用一句话就解释清楚它的道理
下期视频中，我会将目前涉及的线性变换的思想
与线性代数中最有用的领域之一——线性方程组相结合
到时候再见！

Turkish: 
onun için de bir formül var elbette.
eğer bilmen gerektiğini düşünüyorsanız:
bir kaç matrix ile talim yapmalısınız.
ya da bilirsiniz, Sal Kahn izleyerek
bir kaç talim videosu seyredebilirsiniz.
Gerçi açıkçası,
Bu hesaplamalar doğrusal cebirin özüne dair değilse de
determinantın temsil ettiği şey kesinlikle
özle ilgilidir.
Sonraki videodan önce düşünmesi zevkli bir soru:
eğer iki matrix'i çarparsanız,
çarpımın determinantı,
bu matrislerin 
determinantları çarpımlarına eşittir.
Eğer bunu sayılarla anlamaya çalışırsanız
epey saat harcarsınız
fakat bir tek cümle ile bunun neden mantıklı olduğunu açıklayabilir misiniz?
Sonraki bölümde...
Şu ana kadar ele aldığım doğrusal dönüşümlerle
doğrusal cebirin en yararlı olduğu alan olan
doğrusal sistem eşitliklerini alakalandıracağım.
Sonraki videoda görüşürüz.

Polish: 
albo obejrzyj kilka filmów z Sal'em Kahn'em.
Uczciwie mówiąc
nie sądzę że te obliczenia należą do samej istoty algebry liniowej,
za to z całą pewnością uważam iż to co wyznacznik reprezentuje
jest jej istotą.
Mam ciekawe spostrzeżenie do zastanowienia się przed następnym filmem:
jeśli pomnożysz 2 macierze przez siebie,
wyznacznik macierzy wynikowej
jest taki sam jak iloczyn wyznaczników oryginalnych 2 macierzy .
Jeśli spróbujesz to uzasadnić liczbowo,
zajmie ci to naprawdę sporo czasu,
ale spróbuj wyjaśnić czemu to ma sens jednym zdaniem samemu.
W następnym filmie
odniosę ideę linowych transformacji o których mówiłem do tej pory
do jednego z obszarów gdzie algebra liniowa jest najbardziej przydatna:
układy równań liniowych.
Do zobaczenia!
(tłumaczenie: Jakub Trznadel)

German: 
Es gibt eine Formel dafür
und wenn ihr das Gefühl habt ihr solltet das wissen,
dann übt einfach mit ein paar Matrizen.
Oder schaut Sal Kahn zu, wie er ein paar durchrechnet. [de.khanacademy.org]
Aber ganz ehrlich,
ich denke nicht, dass diese Berechnungen Teil der Essenz der Linearen Algebra sind.
Aber zu wissen, was die Determinante repräsentiert,
ist definitiv Teil dieser Essenz.
Hier ist eine interessante Frage, über die ihr vor dem nächsten Video nachdenken könnt:
Wenn ihr zwei Matrizen miteinander multipliziert,
dann ist die Determinante der resultierenden Matrix
dieselbe, wie das Produkt der beiden Determinanten der ursprünglichen Matrizen.
Wenn ihr versucht das mit Zahlen zu begründen,
würde das ziemlich lange dauern.
Aber schaut doch mal ob ihr in einem einzigen Satz erklären könnt, warum das logisch ist.
Als nächstes
werde ich die Idee der linearen Transformationen, die wir besprochen haben,
mit einem der Bereiche verbinden, in denen lineare Algebra am nützlichsten ist.
Systeme linearer Gleichungen
Bis dahin!

iw: 
יש נוסחה בשביל זה.
אם אתה מרגיש שזה משהו שאתה צריך לדעת
אתה צריך לתרגל עם כמה מטריצות
או, אתה יודע, תצפה בעבודתו של סל קאהן(ערוץ לימודי חינמי Khan Academy) ותתרגל כמה
למרות זאת, בכנות
אני לא חושב שהחישובים הללו נופלים במשהו ממהותה של אלגברה לינארית.
אבל אני בהחלט חושב שלדעת מה הדטרמיננטה מייצגת
נופל בין המהות הזאת(כלומר, לא לומדים מהי דטרמיננטה - ויזואלית)
הנה סוג של שאלה כיפית לחשוב עליה לפני הסירטון הבא:
אם אתה מכפיל שתי מטריצות ביחד
הדטרמיננטה של המטריצה שתקבל
היא זהה כמו הדטרמיננטות של שתי המטריצות המקוריות מוכפלות זו בזו.
אם ניסית להצדיק זאת(להוכיח) רק עם מספרים
זה באמת יקח זמן רב(אינסוף מספרים).
אבל תבדוק אם אתה יכול להסביר למה זה הגיוני בעזרת משפט אחד בלבד.
הבא בתור:
אני אקשר בין הרעיון של הטרנספורמציות הלינאריות שכיסינו עד כה
לאחד התחומים בו אלגברה לינארית היא הכי שימושית.
מערכות של משוואות לינאריות.
נראה אותך שם!

Russian: 
Вот формула [для него]
и если вы думаете, что вам нужно это знать
попрактикуйтесь с несколькими матрицами сами
или посмотрите как Сал Хан разбирается с ними
Но честно
Я не думаю, что эти вычисления принадлежат сущности линейной алгебры
Но я думаю, что знание, что представляет собой определитель
определенно принадлежит ей.
Вот интересный вопрос, чтобы поразмышлять до выхода следующего видео.
Если перемножить две матрицы
то определитель результирующей матрицы
такой же как произведение определителей двух изначальных матриц
Если вы попытаетесь доказать это численно
то это займет кучу времени
но попробуйте обьяснить этот результат в одном предложении
Далее я свяжу идею линейного преобразования, разобранную ранее
с одной из областей, в которых линейная алгебра наиболее полезна
Системы линейных уравнений.
До встречи!
Автор перевода: Ишимбаев Марсель

English: 
There is a formula [for that]
and if you feel like that is something you
need to know
you should practice with a few matrices
or you know, go watch Sal Kahn work through
a few.
Honestly though
I don't think those computations fall within
the essence of linear algebra
but I definitely think that knowing what the
determinate represents
falls within that essence.
Here's kind of a fun question to think about
before the next video
if you multiply 2 matrices together
the determinant of the resulting matrix
is the same as the product of the determinants
of the original two matrices
if you tried to justify this with numbers
it would take a really long time
but see if you can explain why this makes
sense in just one sentence.
Next up
I'll be relating the idea of linear transformations
covered so far
to one of the areas where linear algebra is
most useful
linear systems of equations
see ya then!

Spanish: 
hay una fórmula
y si creen que la necesitan saber deberían practicar con algunas matrices
o ver a Sal Khan calcular algunos.
Pero honestamente no creo que esos cálculos caigan dentro de la esencia del álgebra lineal,
pero definitivamente creo que entender qué representa el determinante si entra en esa esencia.
Aquí les dejo una pregunta interesante para pensar antes del próximo video:
Si multiplican dos matrices,
el determinante de la matriz resultante
es el mismo que el producto de los determinantes de las dos matrices originales.
Si quisieran justificar esto con números tomaría mucho tiempo
pero vean si pueden explicar por qué esto tiene sentido en una sóla oración.
En lo próximo que viene, vincularé la idea de transformaciónes lineales cubierta hasta ahora,
con una de las áreas donde el álgebra lineal es más útil,
sistemas de ecuaciones lineales

Chinese: 
對此有一個公式
而如果你覺得想要啦知道的話
你應該做幾個矩陣的練習
或者你知道的，去看看Sal Kahn 做的幾個。
雖然老實說
我不認爲那些計算在綫性代數的範圍裏的
但是我肯定認爲行列式值所代表的
是在那個精要中的。
在下一個錄像之前有一個像是有趣的問題來想一下
如果你把兩個矩陣相乘起來
其結果得到的矩陣的行列式值
是和兩個原來的矩陣的行列式值的乘積是相同的。
如果你用數字來下證明
它會化好多時間的
但是看看如果你可以解釋這點只用一句話就可以懂的話。
下面
我將把至今所講過的綫性變換的思想
來聯係到綫性代數最有用的
綫性方程組上。
到時再見！

Korean: 
여기 공식이 있어.
만약 너가 이 공식에 대해 뭔가 알아내고 싶다면
몇가지 행렬들로 연습을 해야만 해.
아니면 살만 칸(Sal Khan) 의 동영상 몇개를 찾아봐봐.
솔직히 말해서
이런 계산은 선형대수의 본질은 아닌 것 같아.
난 행렬식값이 무엇을 나타내는지 아는 것이
본질에 해당한다고 생각해.
다음 동영상으로 가기전에 생각해볼만한 재밌는 퀴즈가 있어.
두 개의 행렬을 곱한 후
얻어지는 행렬식값은
따로 두 행렬의 행렬식값을 구해서 곱하는 것과 같을까?
만약 숫자로 이것을 증명하려 한다면,
꽤 오랜 시간이 걸릴거야.
한 문장으로 왜그런지 설명을 한번 해봐.
다음에는
지금까지 다룬 선형변환 개념을 다른 것과 엮어볼거야.
선형대수가 가장 유용한 분야들 하나야.
선형 방정식계를 사용하는 분야지.
그럼 다음에 만나!

Czech: 
Takhle vypadá vzoreček,
a jestli to potřebujete umět,
měli byste si to procvičit na několika maticích
nebo se podívejte na práci Sala Kahna.
Upřímně řečeno
si nemyslím, že tyhle výpočty patří do esence lineární algebry,
ale určitě tam patří vědět, co determinant
doopravdy reprezentuje.
Před příštím videem si zkuste rozmyslet tuhle zábavnou otázku:
Když mezi sebou vynásobíte dvě matice,
výsledný determinant vyjde
jako součin determinantů původních dvou matic.
Když byste to chtěli obhájit pomocí numerických výpočtů,
dalo by vám to pěkně zabrat,
ale zamyslete se, jestli by se to nedalo vysvětlit jednou větou.
Příště se podíváme
na myšlenku, kterou lineární zobrazení už pokryly,
na jednu z oblastí, kde je lineární algebra nejužitečnější,
soustavy lineárních rovnic.
Nashle příště!

Portuguese: 
Há uma fórmula [para tal]
e se você se acha que é algo que você
precisa saber
você deve praticar com algumas matrizes
ou sei lá, ir assistir Sal Kahn [Kahn Academy] trabalhar em alguns um pouco.
Honestamente, no entanto,
Eu não acho que esses cálculos capturem
a essência da Álgebra Linear
mas eu definitivamente acho que saber o que o
determinante representa
cai dentro dessa essência.
Aqui é um tipo de pergunta divertida
antes do próximo vídeo:
se você multiplicar 2 matrizes,
o determinante da matriz resultante
é o mesmo que o produto dos determinantes
das duas matrizes originais?
Se você tentasse justificar isso com números,
levaria um tempo muito longo,
mas veja se você pode explicar por que isso faz
sentido em apenas uma frase.
A seguir,
Eu vou relacionar a ideia de transformações lineares
 que cobrimos até agora
com uma das áreas onde a Álgebra Linear é mais útil:
Sistemas de equações lineares.
Até lá!

Estonian: 
Selleks olemas valem
ning kui te tunnete, et peate seda oskama,
siis peate lihtsalt harjutama mõne maatriksiga
või näiteks, minge vaadake Sal Kahn seda teeb
Ausalt öeldes,
ma ei usu, et need arvutused langevad lineaaralgebra sisusse,
aga ma kindlastu usun, et teadmine, mida determinandid endast kujutavad,
langeb sellesse sisusse
Siin on üks lõbus küsimus, millele mõelda enne järgmist videot
Kui korrutada kahte maatriksit kokku,
siis tulemuseks saadava maatriksi determinant
on sama kui nende esialgsete maatriksite determinantide korrutis
Kui te üritaksite seda õigustada arvudega,
võtaks see väga palju aega,
kuid proovige seda seletada vaid ühe lausega
Järgmises osas
ma seostan idee lineaarkujutusest, mida me oleme seni vaadanud,
ühe lineaaralgebra kasulikuma osaga,
lineearsete võrrandisüsteemide lahendamisega
Näeme seal!

Portuguese: 
Existe uma fórmula
e se você sente que isso é algo que você precisa saber
você deve praticar com algumas matrizes,
ou, você sabe, vá assistir o Sal Khan trabalhar sobre alguns.
Embora honestamente,
eu não acho que esses cálculos fazem parte da essência da Álgebra Linear,
mas eu definitivamente acho que saber o que o determinante representa
faz parte dessa essência.
Aqui está uma pergunta meio divertida de se pensar sobre antes do próximo vídeo:
se você multiplicar duas matrizes juntas
o determinante da matriz resultante
é a mesma coisa do produto do determinante das duas matrizes originais?
Se você tentar justificar isso com números
levaria um tempo muito longo
mas veja se você pode explicar por que isto faz sentido com apenas uma sentença.
Adiante
eu estarei relacionando a idéia de transformações lineares cobridas até agora
a uma das áreas onde a Álgebra Linear é mais útil:
sistemas de equações lineares.
Vejo você então!

iw: 
תורגם ע"י סער קטלן.

Spanish: 
¡Nos vemos entonces!

Chinese: 
（下期视频：逆矩阵、列空间与零空间）
