
Spanish: 
Bien, quería mostrarte una secuencia de números interesante
[Adelante] Entonces voy a comenzar por aquí
Bien, puedes observar que están faltando un par de números por aquí y aquí
...29...30...33...34... y así
Tenemos a la mayoría de la lista, pero si prestas atención, verás que aquí faltan el cuatro y cinco
y aquí abajo debemos quitar 13 y 14, 23 y 22, 31 y 32
Bien, hay una suposición o conjetura, que todos estos números de la lista se pueden expresar como la suma de tres enteros al cubo
Mejor veamos un ejemplo
Si tomo este número, por ejemplo, 29, puede escribirlo como la suma de tres enteros al cubo
En este caso, sería 3 al cubo más 1 al cubo, entonces es 27 más uno 28, más 1 al cubo es 29

English: 
Well, I wanted to show you
an interesting sequence of numbers.
[Go on]
So here we go
I'm going to start here
Well, you might notice that I'm missing out
a couple here and there
...29...30...33...34... and so on
Most of them are here but if you look carefully
you'll see that here we are missing four and five...
and down here we should be missing thirteen
and fourteen; 23 and 22; 31 and 32.
Well, there's a supposition, or a conjecture,
that all of these numbers can be written
as a sum of three cubes of integers.
Most probably best done by example
If I take this number here for example, 29, it means
that I can write this as a sum of three cubes of integers
And in this case it can be written as
three cubed plus one cubed, so three cubed is 27, 
plus one cubed is 28,  plus one cubed is 29.

Russian: 
Хорошо, я хотел показать тебе интересную последовательность чисел.
[Продолжай]
Итак, я начну последовательность так.
Ты можешь заметить, что я иногда пропускаю пары чисел.
...29
...30
...33
...34 ... и так далее.
Большинство чисел на месте.
Но если ты посмотришь внимательно, то заметишь, что здесь не хватает 4 и 5 ...
... а здесь мы пропустили 13 и 14; ...
... 23 и 22;
... 31 и 32.
Существует предположение, что все числа в этой последовательности могут быть записаны в виде суммы кубов трёх целых чисел.
Наверное, лучше всего показать это на примере.
Если я возьму это число, например, 29, утверждение будет значить, что я могу записать это число как сумму кубов трёх целых чисел.
И в этом случае 29 может быть записано как 3 в кубе плюс 1 в кубе ...
Три в кубе - это 27, плюс 1 в кубе, получаем 28 ...
... и плюс один в кубе...
... получаем 29.

Spanish: 
Se piensa que el resto de los números de la lista tiene una representación similar
Debo aclarar que está permitido representar tu número usando cubos negativos también
Entonces, en realidad es posible considerar sumas de tres cubos en la cual uno o más de los enteros sea negativo
Lo que es realmente sorprendente que para la mayoría de los números, incluso en esta lista inicial
es sorprendentemente difícil expresar la solución al problema
Para ejemplficar esto, tenemos que seguir un poquito más en la lista al número 30, y voy a necesitar más espacio
pero tal vez quieras arriesgarte a adivinar cuál es la solución?
[Es fácil? Es difícil?...] - risas
Es muy difícil y se descubrió recién en 1999
usando una computadora. Es realmente muy sorprendente en mi opinión
Listo? [Estoy listo]. OK
Tendré que escribirlo debajo, aquí vamos
2... 2, 2, 0... 4,2, 2, 9, 3, 2... elevado al cubo

Russian: 
Такое представление наводит на мысль, что все остальные целые числа имеют похожие представления.
Я должен заметить, что ты можешь представлять своё число и с помощью отрицательных чисел.
То есть ты можешь брать сумму трёх кубов, в которой одно из чисел ... или больше ... отрицательны.
Что удивительно, для некоторых чисел, даже из тех, что я выписал, ...
... неожиданно сложно выписать решение задачи.
Чтобы показать, что я имею в виду, нам нужно продвинуться немного дальше до числа 30,
... и мне нужно немного больше свободного места, ...
... но может ты хочешь предположить, какое решение у этой задачи?
[Оно простое? Или это сложное решение?]
Оно сложное. Оно было найдено только в 1999.
Это решение нашли с помощью компьютера, оно довольно неожиданное, как мне кажется.
Ну что, ты готов?
[Готов.]
Отлично.
Я должен переписать это, но давай начнём.
Два ... два, два, ноль ... четыре, два, два, девять, три, два ... всё в кубе, ...
[[Несколько опечаток при копировании исправлены в следующей графической заставке]]

English: 
So it's thought that all of the other integers
have a similar representation
And I should point out you are allowed
to represent your number by negative numbers as well
So you're allowed to take sums of three cubes in which one of the.. or more of the integers is a negative number
What's quite striking is that
for some of the numbers, even on this very list,
it's actually surprisingly difficult
to write down the solution to the problem
To illustrate what I mean we just have to go
a little bit along the line here to number 30,
and I'm going to need a little bit more space,
but maybe you would care to hazard a guess
as to what the solution to this problem is...?
[Is it an easy one? is it a hard one? ...]
-laughing
It's a hard one.
I should say that this was only discovered in 1999
It was discovered by computer,
it's actually quite surprising I think.
So, are you ready? 
[I'm ready]
OK, let's go
I have had to write this down, but let's go
Two... two, two, zero... four, two, two, nine, three, two... all cubed,

English: 
plus minus two, one, two, eight....
[That was a negative number]
This is the negative number
And there's one more negative number here:
minus two eight three comma,
zero five nine comma, nine five six. All cubed
[That's amazing!]
Yes it's quite striking I think
[29 was so simple, and 30 was so difficult]
That's right. So, as you carry on up the list
you'll find this phenomena continuing
So, some occasions
where you'll be able to find very small solutions,
and then just next door to it
there'll be a number cropping up
which seems to have enormously large solutions
[Are there many other unsolved ones or...?]
Sadly, yes. I'm going to come back to these ones,
but the next eligible one is this number 33
And, in fact, we still don't know an answer to that one.
So we've not yet been able to find any integers
which when you sum their cubes you can get 33.
Search has been pretty thorough,
so far they've gone up to...

Russian: 
... плюс минус два, один, два, восемь ...
[Это было отрицательное число]
... Да, это число отрицательно.
И здесь ещё одно отрицательное число: минус два, восемь, три, запятая, ноль, пять, девять, запятая, девять, пять, шесть. Всё в кубе.
[Это невероятно]
Да, это поразительно, как мне кажется.
[29 было таким простым, а 30 - таким сложным]
Это правда. И если идти дальше по этому списку, такие ситуации повторяются, ...
... иногда ты можешь найти очень маленькие решения, ...
... а потом, прямо по соседству появится число, для которого существуют только чрезвычайно большие решения.
[А много ли чисел, для которых задача не решена, или ...?]
К сожалению, да. И хочу вернуться назад к этим числам, но следующее подходящее число - это число 33.
И на самом деле мы до сих пор не знаем ответ для этого числа.
То есть мы до сих пор не смогли найти целые числа, сумма кубов которых равнялась бы 33.
Поиск продвинулся довольно далеко, уже проверены все числа до ...

Spanish: 
más menos 2, 1, 2, 8 [Este es negativo] Así es
Y el último también lo es: menos 2 8 3, 0 5, 9, 5, 6. Elevado al cubo
[Asombroso!] Así es
[29 fue tan sencillo y 30 tan difícil]
Correcto. A medida que continuas con la lista, encontrarás que estos fenómenos siguen
Así, en algunas oportunidades podrás encontrar soluciones con cubos muy pequeños
y a continuación surgirá un número que parece tener una solución con cubos enormes
[Hay muchos otros sin resolver o...?]
Lamentablemente, sí. Volveremos a esos, pero el siguiente número en nuestra lista es 33
Y, en realidad, aún no conocemos la solución para ese
No hemos podido encontrar ninguna terna de números, tal que sumando sus cubos obtengamos 33
La búsqueda ha sido exhaustiva, hasta ahora han llegado hasta...

Russian: 
... мне кажется, проверены все числа порядка десяти в четырнадцатой степени. То есть это единица и четырнадцать нулей после неё.
И в этом промежутке решений нет.
[Вопрос, который может возникнуть ... Может это число и не принадлежит списку! Почему это число в списке, если мы для него ещё не нашли решения?]
Это очень хороший вопрос, и на самом деле были попытки доказать, что это число не должно быть в списке ...
... но все они провалились. Поэтому это число в списке, и вполне возможно, что просто первое решение состоит из гигантских чисел.
[Но всё же есть числа, которые не входят в список.]
Да, есть числа, которые не входят в список. Давай я расскажу о таких числах.
Я сейчас просто ещё раз их выпишу. У нас есть 4, 5, ...
... 13, 14 ...
... 22, 23 ...
... 31, 32.
Ты наверное задаёшься вопросом, что общего имеют эти числа.
[Они сделали что-то плохое?]
Хах, их преступление состоит в том, что все они могут быть записаны как ...

Spanish: 
Creo que hasta números del orden de 10^14, es decir catorce ceros
En ese rango, no hay soluciones
[La pregunta que surgirá entonces es... tal vez este número no pertenece a la lista! Por qué está si todavía no tenemos una solución?]
Muy buena pregunta y ha habido algunos intentos para demostrar que no pertenece a la lista...
pero fallaron. Entonces, se queda y es perfectamente posible que la primera solución sea demasiado enorme
[Pero algunos números ya no están en la lista]
Correcto. Hablemos de esos números.
Los escribiré de nuevo, teníamos 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32
Podemos preguntarnos qué tienen en común
[Qué hicieron de malo?] - risas

English: 
I think they've gone up to the numbers of size ten to the fourteen; so it's one with fourteen zeros after it
Within that range,  there are no solutions.
[The question people are going to have then is... I mean, maybe this number doesn't belong on the list! Why is the number on the list if we haven't got a solution?]
That's a very good question, and there have been some attempts to prove that this number isn't on the list...
but, those attempts have failed.
Therefore it is, and it's perfectly allowable
that the first solution might just be ginormous.
[But there are numbers that are off the list]
There are numbers that are off the list.  
Let me tell you about the numbers off the list
So I'll just write them down again: 
so we had four, five, thirteen, fourteen, 22, 23, 31, 32.
So you might wonder
what those numbers have in common
[What have they done wrong?]
-laughing

Spanish: 
Su gran crimen es que todos se pueden escribir como un entero multiplicado por 9 al que se le suma 4 o 5
Por ejemplo, cuatro es obviamente cero por nueve más cuatro
Y por ejemplo, el 31 de aquí es tres por nueve, 27 más 4
Así que todos cumplen uno de estos dos criterios
Y de hecho, si escribimos cualquier número de esta forma, k por nueve más cuatro o más cinco
No es posible escribirlo como la suma de tres cubos. Y eso es algo que en realidad podemos demostrar.
Es decir, qué ocurre, estamos considerando ecuaciones de esta forma, por ejemplo a^3 + b^3 + c^3 igual, digamos a 33
Esto es un ejemplo de lo que se llama ecuación diofántica y es un tema fundamental es teoría de números
Se ha estudiado por muchos años y se llaman así por Diofanto, quien vivió alrededor de 250aC. Un griego.

English: 
Well, ah, their great crime is that they can all be written as nine times an integer, so nine times an integer, K,
plus four, or nine times an integer K plus five
So for example four is clearly nine times zero, plus four
And for example, 31 here is nine times three,
which is 27, plus four
So they all meet this criteria
And indeed, if you write down any number
which is of this shape,
nine times K plus four, or nine times K plus five
It will never be written as the sum of three cubes.
And that's something we can actually prove.
I mean, what's going on here, we're looking at equations of this shape, for example A cubed, plus B cubed,
plus C cubed equal to, say for example, 33
So this is an example of what's called
a Diophantine equation
- and this is a very central topic in number theory
It's been studied, I would say, for lots of years,
so they're named after someone called Diophantus,
who lived in about 250AD, a Greek

Russian: 
... девять на некоторое целое число, то есть 9 на K, ...
... плюс 4, ....
... или ...
... 9 на целое число K плюс 5.
Например, 4 - это 9 на 0 плюс 4.
А, например, 31 - это 9 на 3, что равняется 27, плюс 4.
Так все они подходят под этот критерий.
Действительно, если ты запишешь любое число такого вида, 9 на K плюс 4 или 9 на K плюс 5, ...
... оно никогда не сможет быть записано как сумма трёх кубов. И этот факт мы на самом деле можем доказать.
[[Мы докажем это как-нибудь в другой раз, наверное.]]
Что вообще здесь происходит - мы смотрим на уравнения следующего вида.
Например, A в кубе плюс B в кубе плюс C в кубе ...
...  равняется, допустим, 33.
Это пример так называемого Диофантового уравнения - и это одна из основных тем теории чисел.
Она исследовалась, надо сказать, многие годы. Эти уравнения названы в честь Диофанта, который жил около 250 г. н.э. в Греции.

Spanish: 
Pero problemas de este tipo ya se los habían estudiado hace unos 4000 años los babilonios
La pregunta es, si tenemos una ecuación polinomial como ésta, se puede, en primer lugar, decidir si tiene soluciones enteras?
-Si es así, podríamos incluso preguntar cuántas - infinitas o sólo un puñado?
Y si son infinitas, se puede describir de alguna forma su frecuencia?
Este es el tipo de investigación en que estoy trabajando activamente.
Así que no tenemos una prueba de que hay soluciones enteras
Se conjetura que sí las tiene
Todo lo que podemos esperar hacer por ahora es usar una computadora y tratar de hallarlas
[Esto no es algo que pueda demostrarse por fuerza bruta, porque siempre habrá más números para probar, verdad?
Absolutamente
Ahora quería regresar al primer número de la lista que teníamos, el uno.
Aquí no vamos a perder mucho tiempo rascándonos la cabeza para encontrarle solución

Russian: 
Но первые наблюдения этой проблемы были известны даже раньше, около 4000 лет назад, у вавилонян.
Но вопрос в том, что если у тебя есть полиномиальное уравнение такого типа, можешь ли ты, для начала, сказать, есть ли у него решения в целых числах.
Это вопрос, на который мы пытаемся ответить в нашем частном случае.
Если уравнение имеет решения, ты можешь интересоваться, как много их - бесконечно много или, скажем, несколько.
И если их бесконечно много, может ли ты в каком-то смысле описать их частоту?
И это в что-то вроде области исследований, в которую я сейчас вовлечён.
Итак, у нас нет доказательства, что это уравнение имеет решение в целых числах.
Но предполагается, что оно имеет такое решение.
Всё, что мы можем пока делать - это, используя компьютер, пытаться найти решения.
[Но отсутствие решений не может быть доказано с помощью перебора, потому что всегда есть ещё непроверенные числа, да?]
Да, это верно, да.
Я хотел вернуться к первому числу в списке, который у нас есть, числу 1.
Нам не нужно слишком долго ломать голову для того, чтобы найти решение в этом случае.

English: 
But thinking about problems like this goes back
even further, some 4000 years, to the Babylonians
But the question is, if you have
a polynomial equation like this, can you first of all
decide whether it has solutions in integers
- that's what we're trying to do in this special case
If it does have solutions you could even ask
how many are there - are there infinitely many,
or just, oh you know, just a handful?
And if there are infinitely many,
can you describe their frequency in some sense?
And this is the sort of area of research
that I'm actively engaged with.
So we do not have a proof
that this has solutions, in integers.
It is conjectured that this has solutions in integers
All that we can hope to do, at the moment,
is just use a computer and try and find them
[This is not something that can ever be proven by brute force, 'cause there's always another number isn't there?]
Absolutely, yes. Absolutely
So I just wanted to go back to the first number
on the list that we had up here, actually, number one.
You know, we're not going to have to spend
too much time scratching our heads
to come up with a solution to this one.

Russian: 
Правда? Мы можем взять ... хочешь предположить?
[Ага, 1 в кубе, 0 в кубе, 0 в кубе]
Отлично, это было просто.
Итак, у нас есть как минимум одно решение, и ты можешь спросить, есть ли другие.
Я запишу ещё одно решение.
Ты можешь представить 1 как 10 в кубе плюс 9 в кубе минус 12 в кубе.
Люди, которые видели твоё видео про такси, могут обрадоваться, увидев это, ...
... но не будем вдаваться в подробности здесь.
[Хорошо, то есть ... то есть ты существует два способа сделать это!]
Два способа сделать это!
На самом деле ...
... существует бесконечно много вариантов сделать это в нашем конкретном случае.
И не очень сложно выписать так называемое параметрическое решение.
Итак, я запишу 1 как 1 плюс 9 на M в кубе, всё в кубе, ...
... плюс 9 на M в четвёртой степени, всё в кубе, ...

English: 
Right? We could take... you want to have a guess?
- laughs
[Yep, one cubed, zero cubed, zero cubed]
OK so that was easy. So there's at least one solution,
and you might ask, you know, are there others?
I'm going to write another solution: you can write one
as ten cubed, plus nine cubed, minus twelve cubed.
So people that have seen your taxi cab video
might get a bit excited about that particular one
but... let's not go into that here...
[Alright, so you've got... so there are two ways to do this!]
Two ways to do this! And in fact there are
infinitely many ways to do this in this particular case.
And it's not hard to write down
what's called a parametric solution.
So I'm writing one as one plus nine M cubed, all cubed,
plus nine M to the four, all cubed,

Spanish: 
Verdad? Podríamos tomar... quieres intentar? - risas [Sí, uno al cubo , cero al cubo, cero al cubo]
Ok, era fácil. Aquí hay otra solución y podríamos preguntar si hay otras?
Voy a escribir otra solución, puede ser uno igual a 10 al cubo más 9 al cubo menos 12 al cubo
La gente que ya ha visto tu video sobre los taxis puede entusiasmarse más con ésta... no nos metamos en ese asunto...
[Perfecto, así que tenemos... hay dos formas de hacer esto!] Dos formas! Y en realidad hay infinitas más en este caso
Y no es muy difícil escribir lo que se llama una solución paramétrica.
Entonces, escribimos uno como uno más 9 veces m al cubo, todo al cubo,
más nueve veces m a la cuarta, todo al cubo,

Spanish: 
más menos nueve veces m a la cuarta menos tres por m, todo al cubo
y lo importante, es que es válido para cualquier valor de m
Correcto, así que si hago m = 0, tengo uno, cero, cero
Si tomo m = 1, tengo 10, 9 y -12
Podría tomar cualquier valor y tendríamos una enormidad de soluciones
Así que en la lista con que empecé, 1 es algo especial, en realidad...
está esta familia de soluciones paramétricas y hay infinitas formas de escribir 1 como suma de tres cubos
Hay relativamente pocos ejemplos donde tenemos estas soluciones paramétricas
Y si volvemos a uno de los ejemplos que vimos antes, por ejemplo 30
se sospecha que no tiene soluciones paramétricas
- aunque se supone que en realidad existen infinitas soluciones
pero... crecen mucho demasiado rápidamente
por lo que al medir su densidad, hay pocas soluciones

Russian: 
... плюс минус 9 на M в четвёртой степени минус 3M, всё в кубе.
И идея такой записи в том, что она верна для любого целого M.
Да, в первом случае, если я положу M равным 0, я получу ...
... 1, 0, 0.
Если я положу М равным 1, я получу ..
10, 9 и -12.
Но ты можешь подставить всё что угодно, и ты получишь тысячи и тысячи решений.
Так что да, в списке, с которого я начал, 1 - немного особенное число, ...
... потому что существует параметрическое семейство решений, ...
...  то есть существует бесконечно много различных способов записать 1 как сумму трёх кубов.
Существует относительно немного примеров, где мы можем найти такое параметрическое решение.
И если мы вернёмся к одному из примеров, которые мы рассматривали до этого, например, число 30, ...
... есть подозрение, что для него не существует параметрического решения.
Хотя на самом деле есть и подозрение, что решений для него бесконечно много, ...
... но просто решения растут очень и очень быстро.
И если измерять их плотность, в итоге получается очень мало решений.

English: 
plus minus nine M to the four minus three M, all cubed
and the point of this is that this is valid for any M.
Yeah, so in the first case if I put in M equal to zero,
I get one, zero, zero
If I put M equal to one, I get ten, nine, and minus twelve.
But you could put anything in,
and you'd just get tonnes and tonnes of solutions.
So yeah, in the list that I started with
one is a bit special, in that, in fact, it's...
there's this parametric family of solutions,
and there are infinitely many different ways
of writing one as a sum of three cubes.
There are relatively few examples
where we actually have these parametric solutions
And if we go back to one of the examples
we saw before, so for example, this number 30
It's suspected that there are not parametric solutions
- although in fact it is suspected
that there are in fact infinitely many solutions,
but... they just get big very very quickly
And so as you measure their density
there are very few solutions overall.

Russian: 
Весь смысл параметрического решения состоит в том, что существует формула для решений.
Ты можешь просто подставлять числа, и она тебе будет давать какие-то ответы.
Но это не относится к остальным примерам ...
... или подозревается, что это не относится к ним.
Тебе нужно серьезно потрудиться, чтобы найти их.

Spanish: 
La importancia de las soluciones paramétricas es que existe una fórmula para las soluciones.
Se asignan valores y obtendrás las respuestas
Este no es el caso para estos otros ejemplos
o, se supone que no lo es - es necesario trabajar bastante duro  para encontrarlos

English: 
The whole point about a parametric solution
is that there is a formula for the solutions.
You can just plug in numbers
and it'll give you some answers
That's not the case for these other examples...
or, it's suspected to not be the case for these other examples - you have to work quite hard to find them.
