
Portuguese: 
Já vimos muitos exemplos
de séries infinitas.
Mas o que faremos 
de empolgante neste vídeo
será usar séries infinitas
para definir uma função.
A mais comum que você verá
na sua carreira matemática
é a série de potências.
Vou escrever um caso geral
de séries de potências.
Posso imaginar uma função f de x,
sendo definida como uma soma infinita.
Indo de n igual a zero
para infinito de a sub n--
então a sub n vai ser 
o coeficiente em cada termo
vezes nossa variável x
menos algum c constante
é possível imaginar que este está mudando
nossa função para a enésima potência.
Se for expandir isto, eu tenho 
o coeficiente do primeiro termo,
a sub zero vezes x menos c elevado a zero
mais a sub um vezes x 
menos c elevado a um.
Este vai simplificar para a sub zero.

Thai: 
 
เราเห็นตัวอย่างอนุกรมอนันต์มาหลายอันแล้ว
แต่สิ่งที่น่าตื่นเต้น สิ่งที่เราจะทำในวิดีโอนี้
คือเราจะใช้อนุกรมอนันต์เพื่อกำหนดฟังก์ชัน
และตัวที่พบบ่อยที่สุด ที่คุณจะ
เห็นในวิชาคณิตศาสตร์ คืออนุกรมกำลัง
และผมจะเขียนอนุกรมกำลังโดยทั่วไป
ผมนึกฟังก์ชัน f ของ x ได้
นิยามว่าเป็นอนุกรมอนันต์
จาก n เท่ากับ 0 ถึงอนันต์ของ a ห้อย n --
a ห้อย n จะเป็นสัมประสิทธิ์ของแต่ละเทอม --
คูณตัวแปร x ลบค่าคงที่ c
คุณคิดว่ามันเป็นการเลื่อน
ฟังก์ชันยกกำลัง n ก็ได้
ถ้าผมกระจายตัวนี้ออกมา ผม
จะได้สัมประสิทธิ์เทอมแรก a ห้อย 0
คูณ x ลบ c ยกกำลัง 0
บวก a ห้อย 1 คูณ x ลบ c ยกกำลัง 1
อันนี้ แน่นอน ลดรูปเหลือ a ห้อย 0

Bulgarian: 
Вече видяхме много примери
за безкрайни редове.
Интересното в настоящото видео е,
че ще използваме безкраен ред
за дефиниране на ограничена функция.
И най-разпространеният вид, който
ще срещнеш в своята математическа
кариера, са степенните редове.
Ще запиша общия вид
на степенен ред.
Да си представим функцията f(х),
която е дефинирана като
безкрайна сума.
Значи сума от a_n 
за n = 0 до безкрайност,
а_n е коефициентът
на членовете,
по променливата х минус
някаква константа с.
Сигурно се досещаш, че това
означава, че ще се сменя знакът,
и това е на степен n.
Ако трябва да развием това,
коефициентът на първия
член a_0
по (х – с) на степен 0,
плюс a_1 по (х – с) на 
първа степен.
Това се опростява също
като a_0.

English: 
We've already seen many
examples of infinite series.
But what's exciting about what
we're about to do in this video
is we're going to use infinite
series to define a function.
And the most common
one that you will
see in your mathematical
careers is the power series.
And I'm about to write a general
case of the power series.
So I could imagine
a function, f of x,
being defined as
the infinite sum.
So going from n equals 0
to infinity of a sub n--
so a sub n is just going to be
the coefficient on each term--
times our variable x
minus some constant c.
You could almost
imagine this is shifting
our function to the n-th power.
So if I were to
expand this out, I
have my first term's
coefficient, a sub 0,
times x minus c
to the 0-th power,
plus a sub 1 times x minus
c to the first power.
This one, of course, will
simplify just a sub 0.

Polish: 
Widzieliśmy już wiele przykładów szeregów.
Ale to co jest naprawdę ekscytujące i czego dokonamy w tej prezentacji
to użyjemy szeregów do zdefiniowania funkcji.
A najpowszechniejszymi funkcjami z jakimi
zetkniecie się w swojej matematycznej karierze są szeregi potęgowe.
Podamy teraz ogólną definicję szeregu potęgowego.
Tak więc mógłbym wyobrazić sobie funkcję f(x)
zdefiniowaną jako nieskończona suma.
Zatem sumując od n=0 do nieskończoności po a z indeksem n,
gdzie a z indeksem n jest współczynnikiem przy kolejnym składniku sumy,
razy nasza zmienna x odjąć jakaś stała c.
Można by sobie prawie wyobrazić, że jest to przesunięcie
naszej funkcji, do n-tej potęgi.
Zatem jeśli chciałbym rozwinąć to wyrażenie otrzymuję
pierwszy współczynnik a z indeksem 0,
razy x odjąć c do potęgi zerowej,
dodać a z indeksem 1 razy x odjąć c do potęgi pierwszej.
Ten składnik oczywiście uprości się do a z indeksem 0.

Bulgarian: 
Това се опростява като a_1
по (х – с) и после плюс
а_2 по (х – с)^2.
И мога да продължавам така
до безкрайност.
Като видиш това,
може да се зачудиш:
дали това не е
геометричен ред,
това не изглежда ли като
частен случай на степенен ред,
ако частното беше х вместо r
в този случай,
или ако частното беше променлива?
И това е така.
Точно такъв ще бъде случаят.
Значи геометричен ред.
Да помислим как да
дефинираме функцията
като геометричен ред.
Разбира се, не е необходимо
да използваме
х през цялото време
като независима променлива,
но обикновено така е прието.
Предполагам, че можем да
използваме r като независима променлива,
ако решим.
Но да си представим
функцията g(х).
Може да бъде и g(r), ако искаме,
но нека да е g(х) 
равна на сумата от ах^n
за n от 0 до безкрайност.

Portuguese: 
Este vai simplificar para 
a sub um vezes x menos c
mais a sub dois vezes x 
menos c ao quadrado.
E assim por diante.
Vendo isso podemos dizer:
nossas séries geométricas não
parecem um caso especial
de série de potências
se nossa razão comum fosse um x
ao invés de um r naquele caso,
ou se nossa razão comum fosse
uma variável, digamos?
E estaria certo.
Este seria absolutamente o caso.
Série geométrica.
Vamos pensar sobre definir uma função
em termos de uma série geométrica.
Claro que não temos que usar x 
o tempo todo como variável independente,
mas esta é a convenção mais típica.
Também podemos usar r
como uma variável independente.
Vamos imaginar uma função g de x.
Podemos ter g de r se quisermos,
mas vamos fazer g de x é igual à soma de
n é igual a zero ao infinito de a
vezes x elevado a n.

Polish: 
Z tego zostanie a z indeksem 1 razy x minus c dodać a z indeksem
2 razy x odjąć c do kwadratu.
Itd.
Teraz przypatrując się temu moglibyście zapytać
czy nasze szeregi geometryczne
nie wyglądałyby na pewien szczególny przypadek szeregów potęgowych
gdyby nasz iloraz wynosił x zamiast r
czy gdyby nasz iloraz był zmienną.
Rzeczywiście.
To jest dokładnie to.
Zatem szeregi geometryczne.
Pomyślmy więc o zdefiniowaniu funkcji w kategoriach
szeregów geometrycznych.
Oczywiście, nie musimy przez cały czas używać
x jako zmiennej niezależnej,
tym niemniej jest to najczęściej przyjmowana konwencja.
Wydaje się, że moglibyśmy równie dobrze używać r
jako zmiennej niezależnej.
Ale wyobraźmy sobie funkcję g(x).
Moglibyśmy mieć g(r), gdybyśmy chcieli, ale
przyjmijmy g(x) jest równe sumie od n=0
do nieskończoności po a razy x do potęgi n-tej.

Thai: 
อันนี้ลดรูปเหลือ a ห้อย 1 คูณ x ลบ c 
บวก a ห้อย
2 คูณ x ลบ c กำลังสอง
และผมก็ทำต่อไปเรื่อยๆ ได้
ทีนี้ เมื่อคุณเห็นอันนี้ คุณอาจบอกว่า
อนุกรมเรขาคณิตนี่
มันเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมกำลังไม่ใช่เหรอ
ถ้าอัตราส่วนร่วมของเราเป็น x แทนที่
จะเป็น r ในกรณีนั้น
ถ้าอัตราส่วนของเราเป็นตัวแปร อย่างนั้นใช่ไหม?
คุณก็พูดถูก
มันเป็นเช่นนั้นจริง
อนุกรมเรขาคณิต
ลองคิดเรื่องการกำหนดฟังก์ชันในรูป
ของอนุกรมเรขาคณิตกัน
แน่นอน เราไม่ต้องใช้
x เป็นตัวแปรอิสระตลอดเวลา
แต่นี่เป็นธรรมเนียมที่นิยมใช้ที่สุด
เราจะใช้ r แทนตัวแปรอิสระก็ได้
ถ้าเราต้องการ
แต่ลองนึกถึงฟังก์ชัน g ของ x กัน
จะเป็น g ของ r ก็ได้ แต่ลอง
ใช้ g ของ x เท่ากับผลบวกจาก n
เท่ากับ 0 ถึงอนันต์ของ a คูณ x กำลัง n

English: 
This would simplify to a sub
1 times x minus c plus a sub
2 times x minus c squared.
And I could just keep
going on and on and on.
Now, when you see
this, you might say,
aren't our geometric
series, don't
those look like a special
case of a power series
if our common ratio was an x
instead of an r in that case,
or if our common ratio was a
variable, I guess I could say?
And you would be right.
That absolutely
would be the case.
So a geometric series.
So let's just think about
defining a function in terms
of a geometric series.
And of course, we
don't have to use
x all the time as the
independent variable,
but this is kind of the
most typical convention.
I guess we could also use r
as an independent variable
if we wanted as well.
But let's imagine
a function g of x.
We could have g of r
if we wanted, but let's
do g of x is equal
to the sum from n
equals 0 to infinity
of a times x to the n.

Bulgarian: 
Това е типичен геометричен ред.
Каква е разликата между
това и това?
Разликата е, че тук
за всички членове имаме
един и същ коефициент а,
докато тук имаме а_n.
Всеки път умножаваме
по нещо различно.
Тук умножаваме по едно и също нещо.
В този случай този
конкретен геометричен ред,
който току-що записах, вместо
(х – с)^n имаме просто x^n.
Може да кажеш, че това
е частен случай, когато с = 0.
Можем да го развием.
Това е х на нулева степен, което
ще бъде просто а,
плюс а(х)^1
плюс а(х)^2.
И продължаваме така
до безкрайност.
Интересното тук е, че
знаем, че това при
определени условия
всъщност ще ни даде
крайна стойност.
Това е сходящо.
Това е логичен отговор.
При какви условия се случва това?
Това е сходящо, ако всеки
от тези членове

Thai: 
มันเหมือนอนุกรมเรขาคณิตตรงนี้
และอันนี้กับอันนี้ต่างกันอย่างไร?
ความแตกต่างอยู่ตรงนี้ ทุกเทอม
เรามีสัมประสิทธิ์ a เดียวกัน
ในขณะที่ตรงนี้เรามี a ห้อย n
เราคูณด้วยค่าต่างกันทุกครั้งบนนี้
แต่เราคูณด้วยค่าเดียวกันตรงนี้
และในกรณีนี้ อนุกรมเรขาคณิตนี้
ที่ผมสร้าง แทนที่จะมี x ลบ c กำลัง n
เราจะมีแค่ x กำลัง n
คุณจึงบอกได้ว่า นี่คือกรณีพิเศษเมื่อ
c เท่ากับ 0
และเรากระจายมันออกมาได้
นี่คือ a คูณ x กำลัง 0 ซึ่ง
ก็คือ a, บวก a คูณ x กำลังหนึ่ง
บวก a คูณ x กำลังสอง
และเราก็ไปเรื่อยๆ ตลอดไป
ทีนี้ สิ่งที่น่าตื่นเต้นคือว่า
เรารู้ว่าอันนี้ ภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง
จะให้ค่าจำกัด
อันนี้จะลู่เข้า
อันนี้จะ จะให้คำตอบที่ดูเข้าท่า
แล้วเงื่อนไขนั้นคืออะไร?
อันนี้จะลู่เข้าถ้าแต่ละเทอมเหล่านี้
เล็กลงเรื่อยๆ

Portuguese: 
Esta é uma típica série geométrica.
E qual é a diferença entre este e este?
A diferença é que aqui, para cada termo
teremos o mesmo coeficiente a,
enquanto ali teremos a sub n.
Aqui multiplicamos 
por uma coisa diferente.
Aqui multiplicamos pela mesma coisa.
Neste caso, nesta série geométrica
que acabei de fazer,
ao invés de ter x menos c elevado a n,
temos só x elevado a n.
Podemos dizer que este é um
caso especial quando c é igual a zero.
Podemos expandir isto.
Este é a vezes x elevado a zero,
que vai ser a, mais a
vezes x elevado a um,
mais a vezes x ao quadrado.
E assim por diante.
O empolgante disto é que sabemos que
este, sob certas condições,
irá na verdade nos dar um valor finito.
Isto irá na verdade convergir.
Isto irá na verdade, eu acho,
nos dar uma resposta lógica.
Então sob que condições isto acontece?
Isto se converge se cada um
destes termos diminuir cada vez mais.

English: 
So this is kind of a typical
geometric series here.
And what's the difference
between this and this?
Well, the difference is is
here, for every term we're
going to have the
same coefficient a,
while over here we have a sub n.
We're multiplying by a different
thing every time up here.
We're multiplying by the
same thing over here.
And in this case, this
particular geometric series
I just made, instead of
having x minus c to the n,
we have just x to the n.
So you could say, well,
this is a special case when
c is equal to 0.
And we can expand it out.
This is a times
x to the 0, which
is just going to be a, plus
a times x to the first,
plus a times x squared.
And we just go on and
on and on forever.
Now, what's exciting
about this is
we know that this, under
certain conditions,
will actually give
us a finite value.
This will actually converge.
This will actually, I guess,
give us a sensical answer.
So under what conditions
does that happen?
Well, this converges
if each of these terms
gets smaller and
smaller and smaller.

Polish: 
I to jest typowy przykład szeregu potęgowego.
Więc jaka jest różnica między tym a tym?
Cóż, różnica jest taka, że tutaj dla każdego składnika
współczynnik a jest taki sam,
podczas gdy tutaj mamy indeks n.
Za każdym razem mnożymy tutaj przez coś innego.
Tutaj za każdym razem mnożymy przez to samo.
A także w tym przypadku, konkretnego szeregu geometrycznego,
który własnie wypisałem, mamy zamiast x odjąć c do n-tej
x do n-tej.
Zatem moglibyście powiedzieć, cóż, jest to szczególny przypadek kiedy
c jest równe 0.
I ponownie możemy to rozpisać.
Otrzymujemy a razy x do zerowej, co
upraszcza się do a razy x do 1-szej,
dodać a razy x do kwadratu.
I kontynuujemy w ten sposób w nieskończoność.
Teraz, co jest w tym fantastyczne to to,
że ten napis, przy spełnieniu pewnych warunków,
przyjmie wartość skończoną.
Mianowicie ten szereg będzie zbieżny.
Wydaje się ,że to da nam rozsądną odpowiedź.
A więc pod jakimi warunkami ma to miejsce?
Cóż, wyrażenie zbiega jeśli każdy z tych składników
robi się coraz mniejszy i mniejszy.

Bulgarian: 
става все по-малък и по-малък.
Това става, когато абсолютната
стойност на частното е по-малка от 1.
Ще го запиша.
Този ред е сходящ, ако
абсолютната стойност
на частното е по-малка от 1.
Друг начин да го разглеждаме е,
друг начин да го формулираме е,
че х принадлежи на интервала
между... то е по-малко от 1
и по-голямо от –1.
В този член тук сега 
х е променливата.
х може да варира
между тези стойности.
Дефинираме функцията
спрямо х.
Наричаме това интервал 
на сходимост.
Знаем, че ако х принадлежи
на този интервал,
това ще е крайна сума.
И знаем колко е тази
крайна сума.
Тя ще бъде равна на...
ако е сходяща.
Ако е сходяща, тя ще бъде равна

Portuguese: 
E cada um destes termos
ficar cada vez menor.
Se o valor absoluto da nossa
razão comum for menor que um.
Vou escrever isto.
Este converge se o valor absoluto
da nossa razão comum for menor que um.
Outra forma de pensar sobre isso,
esta é outra forma de dizer que
x está no intervalo entre--
é menor que um e é maior que um negativo.
E este termo aqui, agora x é uma variável.
x pode variar entre aqueles valores.
Estamos definindo uma
função em termos de x.
Chamamos isto de
intervalo de convergência.
Sabemos que se x está neste intervalo,
este vai nos dar uma soma finita.
E sabemos o que é uma soma finita.
Vai ser igual a-- se isto convergir.

English: 
And each of these terms gets
smaller and smaller and smaller
if the absolute value of our
common ratio is less than 1.
So let me write that down.
So this converges if
the absolute value
of our common ratio
is less than 1.
Or another way of
thinking about it,
this is another way
of saying that x
is in the interval
between-- it's less than 1
and it is greater
than negative 1.
And this term right over
here, now x is a variable.
x can vary between those values.
We're defining a
function in terms of x.
We call this the
interval of convergence.
And so we know that if
x is in this interval,
this is going to
give us a finite sum.
And we know what
that finite sum is.
It's going to be equal
to-- if it converges.
So if it converges,
this is going

Polish: 
A każdy z tych składników robi się coraz mniejszy i mniejszy
jeśli wartość bezwzględna ilorazu szeregu jest mniejsza od 1.
Zapiszmy to.
a więc to zbiega o ile wartość bezwzględna
naszego ilorazu jest mniejsza od 1.
Innymi słowy
to jest to samo co powiedzieć, że x
należy do przedziału pomiędzy-- jest mniejszy od 1
i jest większy od -1.
I ten napis tutaj, teraz x jest zmienną.
x może się zmieniać w przedziale między tymi wartościami.
Definiujemy zatem funkcję od x.
Nazywamy to przedziałem zbieżności.
A więc wiemy, że jeśli x jest w tym przedziale,
to to da nam skończoną sumę.
I wiemy ile wynosi ta skończona suma.
Będzie ona równa--jeśli to zbiega.
Zatem jeśli to zbiega, to suma będzie

Thai: 
แต่ละเทอมนี้น้อยลง น้อยลง และน้อยลง
ถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมน้อยกว่า 1
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
อนุกรมนี้ลู่เข้าถ้าค่าสัมบูรณ์
ของอัตราส่วนร่วมนั้นน้อยกว่า 1
หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า
นี่คือวิธีบอกอีกอย่างว่า x
อยู่ในช่วงระหว่าง -- มันน้อยกว่า 1
และมันมากกว่าลบ 1
และเทอมนี่ตรงนี้ x เป็นตัวแปร
x มีค่าใดก็ได้ระหว่างค่าเหล่านั้น
เรากำหนดฟังก์ชันในรูปของ x
เราเรียกมันว่าช่วงของการลู่เข้า
 
และเรารู้ว่า ถ้า x อยู่ในช่วงนี้
มันจะให้ค่าเป็นผลบวกจำกัด
เรารู้ว่าผลบวกจำกัดคืออะไร
มันจะเท่ากับ -- ถ้ามันลู่เข้า
ถ้ามันลู่เข้า ค่านี้จะ

Bulgarian: 
на първия член, който
е просто а...
това тук се опростява до а...
върху 1 минус частното.
Колко е частното?
Частното в този случай е х.
Когато отиваме от единия член
до следващия, умножаваме по х.
Тук просто умножаваме по х.
Това е много елегантно,
защото ние можем
да използваме този факт
и да представим и други
традиционно дефинирани функции
в този вид, и после
да ги развием
с използване на геометрична
прогресия.
Целият смисъл в
използването на степенни редове
или в този частен случай
геометричен ред,
за представяне на функции,
има много и разнообразни
приложения в техниката
и финансите.
Използвайки краен брой
членове от тези редове,
можем да апроксимираме
функциите
по такъв начин, който е
по-разбираем за човешкия мозък
или може би е по-лесен
за работа.
Интересното тук е, че
вместо
просто да намерим сумата...
вместо

Polish: 
równa naszemu pierwszemu składnikowi, tj.
a--to upraszcza się do a w tym miejscu--nad 1
odjąć nasz iloraz szeregu.
Jaki jest nasz iloraz szeregu?
Nasz iloraz w tym przykładzie wynosi x.
Przechodząc od składnika do składnika mnożymy po prostu przez x.
Mnożymy przez x dokładnie w tym miejscu.
No więc to jest całkiem wygodny zapis, ponieważ będziemy
w stanie użyć tego faktu
ażeby przedstawić bardziej tradycyjne funkcje
w tej postaci i wtedy spróbować rozwinąć je
używając szeregów geometrycznych.
Cały ten pomysł użycia szeregów potęgowych
czy też w tym konkretnym przykładzie szeregów geometrycznych
do reprezentacji funkcji ma wszelkiego rodzaju
zastosowania w inżynierii i finansach.
Używając skończonej liczby składników w tych szeregach,
można przybliżać funkcje
w sposób który jest łatwiejszy do pojęcia
dla ludzkiego mózgu, łatwiejszy
w pewnym sensie "w obsłudze".
Ale co jest tutaj interesujące, to zamiast po prostu
przechodzić od sumy -- zamiast przechodzić

English: 
to be equal to our first
term, which is just
a-- this simplifies to a
right over here-- over 1
minus our common ratio.
What's our common ratio?
Our common ratio in
this example is x.
Going from one term to the next,
we're just multiplying by x.
We're just multiplying
by x right over there.
Now, this is pretty
neat, because we're
going to be able
to use this fact
to put more
traditionally-defined functions
into this form, and
then try to expand them
out using a geometric series.
And this whole idea
of using power series,
or in this special
case, geometric series
to represent functions,
has all sorts
of applications in
engineering and finance.
Using a finite number of
terms of these series,
you could kind of
approximate the functions
in a way that's simpler
for the human brain
to understand, or
maybe a simpler
way to manipulate in some way.
But what's interesting
here is instead of just
going from the sum
to-- instead of going

Portuguese: 
Se isto convergir, este vai ser
igual a nosso primeiro termo,
que é só a-- isto simplifica para a--
sobre um menos nossa razão comum.
Qual é nossa razão comum?
Nossa razão comum neste exemplo é x.
Indo de um termo para o outro,
só vamos multiplicar por x.
Só estamos multiplicando por x aqui.
Agora, isto é bem claro,
porque nós podemos usar este fato
para colocar mais funções tradicionalmente
definidas nesta fórmula,
e então tentar expandi-las
usando uma série geométrica.
Esta ideia de usar uma série de potências,
ou neste caso séries geométricas
para representar funções, tem vários tipos
de aplicações em engenharia e finanças.
Usando um número finito
de termos destas séries,
você pode aproximar as funções
de uma forma que é mais simples
para o cérebro humano entender
ou talvez uma forma
mais simples de manipular de alguma forma.
Mas é interessante que
ao invés de só ir da soma para--

Thai: 
เท่ากับเทอมแรกของเรา ซึ่งก็คือแค่
a -- อันนี้ลดรูปเหลือ a ตรงนี้ -- ส่วน 1
ลบอัตราส่วนร่วมของเรา
อัตราส่วนร่วมของเราคืออะไร?
อัตราส่วนร่วมของเราในตัวอย่างนี้คือ x
จากเทอมแรกไปยังเทอมต่อไป 
เราจะคูณด้วย x
เราจะคูณด้วย x ตรงนี้
ทีนี้ อันนี้เจ๋งดี เพราะเรา
จะใช้หลักการนี้ได้
เพื่อเขียนฟังก์ชันที่นิยามแบบดั้งเดิม
ลงในรูปนี้ได้ แล้วกระจายพวกมัน
ออกมาโดยใช้อนุกรมเรขาคณิต
และแนวคิดเรื่องการใช้อนุกรมกำลังนี้
หรือในกรณีพิเศษ คืออนุกรมเรขาคณิตนี้
เพื่อแทนฟังก์ชััน มันมีประโยชน์
มากมายในวิศวกรรมและการเงิน
เมื่อใช้เทอมของอนุกรมนี้จำนวนจำกัด
คุณจะสามารถประมาณฟังก์ชัน
ในแบบที่สมองมนุษย์เข้าใจ
หรือจัดการได้ง่ายกว่า
ในบางแง่
แต่สิ่งที่น่าสนใจตรงนี้ แทนที่
จะไปจาก -- แทนที่จะไป

Thai: 
จากรูปกระจายนี้ ไปยังรูปที่มีค่าจำกัด
ตอนนี้เราจะเริ่มจากนำฟังก์ชัน
รูปนี้มากระจายเป็นอนุกรมเรขาคณิตแทน
แต่เราต้องระวัง ดูให้แน่ใจ
ว่าเราจะทำบนช่วงการลู่เข้าเท่านั้น
อันนี้จะเป็นจริงบนช่วง
การลู่เข้าเท่านั้น
ทีนี้ คุณอาจเห็นคำอีกคำตอนเรียนคณิตศาสตร์
คือรัศมี
รัศมีของการลู่เข้า
 
และนี่คือระยะ -- ที่ขึ้นไป
แต่ไม่รวมค่านี้
ตราบใดที่ค่า x ยังน้อยกว่าค่าหนึ่ง
ขึ้นไปจาก c แล้วอนุกรมนี้จะยังลู่เข้า
ทีนี้ในกรณีนี้ ค่า c ของเราเป็น 0
แล้วเราถามได้อย่างหนึ่ง
 
ตราบใดที่ x อยู่ช่วงค่าหนึ่งจาก 0
อนุกรมนี้จะลู่เข้า
คุณเห็นมันตรงนี้

Portuguese: 
ao invés de ir desta versão expandida
para este tipo de valor finito,
vamos conseguir pegar algo nesta
fórmula e expandir em séries geométricas.
Vamos tomar cuidado para
ter certeza que estamos fazendo isto
sobre o intervalo da convergência. 
Este só será verdade sobre
o intervalo de convergência.
Outro termo que você pode ver
em nossa carreira matemática é um raio.
Raio de convergência.
É a distância-- até que valor,
mas não incluindo este valor.
Desde que nosso valor x fique
menor que uma certa quantia
do nosso valor c, isto vai convergir.
Neste caso, nosso valor c é zero.
Então podemos nos perguntar uma coisa.
Desde que x fique dentro de
algum valor de zero, isto vai convergir.

English: 
from this expanded-out version
to this kind of finite value,
we're now going to start
being able to take something
in this form and expand it
out into a geometric series.
But we have to be
careful to make sure
that we're only doing it over
the interval of convergence.
This is only going to be
true over the interval
of convergence.
Now, one other term you might
see in your mathematical career
is a radius.
Radius of convergence.
And this is how far--
up to what value,
but not including this value.
So as long as our x value stays
less than a certain amount
from our c value, then
this thing will converge.
Now in this case,
our c value is 0.
So we could ask
ourselves a question.
As long as x stays
within some value of 0,
this thing is going to converge.
Well, you see it
right over here.

Polish: 
od tej rozwiniętej wersji do tego typu skończonej wartości,
będziemy teraz mieć możliwość wyjście od czegoś
tej postaci i rozwinięcia tego w szereg geometryczny.
Ale musimy zachować ostrożność i upewnić się, że
robimy to tylko na przedziale zbieżności.
Będzie to prawda tylko na przedziale
zbieżności.
Teraz, kolejny termin na który możecie się natknąć w swojej matematycznej karierze
to promień.
Promień zbieżności.
On wyznacza jak daleko-- do jakiej wartości,
ale z wyłączeniem tej wartości.
A więc tak długo jak nasz x pozostaje w odległości mniejszej od pewnej wartości
od naszego c, ten napis będzie zbiegał.
W tym przypadku nasze c wynosi 0.
Zatem możemy zadać sobie pytanie.
Tak długo jak x znajduje się w nie większej niż pewna ustalona wartość odległości od zera,
ten napis będzie zbiegał.
Cóż, widzicie to dokładnie tutaj.

Bulgarian: 
да тръгнем от развитата версия
към тази крайна стойност,
сега ще можем да 
вземем нещо в този вид
и да го развием в 
геометричен ред.
Но трябва да внимаваме,
да сме сигурни, че
работим само в интервала
на сходимост.
Това е вярно само
в този интервал на сходимост.
Едно друго понятие, което може 
да срещнеш в математическата си кариера,
е понятието радиус на сходимост.
Това е колко далече...
до коя стойност,
но без тази стойност включително.
Докато х е отдалечено с 
по-малко от някаква стойност
от това с, тогава
това е сходящо.
В този случай стойността
на с е нула.
Тук може да си зададем въпрос –
до каква стойност х трябва да е 
отдалечено от нулата,
за да бъде това нещо сходящо?
Виждаме го ето тук.

Portuguese: 
Você pode ver isto aqui.
Desde que x fique dentro de um de zero.
Não posso considerar tudo até um,
mas desde que ele fique menor que um,
ou maior que um negativo.
Ele pode variar entre qualquer coisa
menor que um longe de zero,
na direção positiva ou negativa.
Então isto ainda vai convergir.
Podemos dizer que nosso
raio de convergência é igual a um.
Outra forma de pensar sobre isso,
nosso intervalo de convergência--
nós vamos de um negativo até um,
não incluindo aqueles dois limites,
então nosso intervalo é dois.
Então nosso raio de convergência
é metade daquilo.
Desde que x fique dentro de um, de zero,
que é este aqui,
esta série irá convergir.
Tradução: Rosana Cabral
Revisão: Dory Hélio Aires.

Polish: 
Tak długo jak x znajduje się w nie większej od 1 odległości od zera.
x nie może stać się 1, ale tak długo
jak jego wartość jest poniżej 1, lub tak długo
jak jego wartość jest większa niż -1.
Czyli x może odbiec jakkolwiek byle mniej niż 1
od zera, zarówno w kierunku osi dodatniej
jak i ujemnej.
Wtedy ten napis wciąż będzie zbiegał.
Zatem moglibyśmy powiedzieć, że nasz promień zbieżności jest równy 1.
Inny sposób myślenia o tym, nasz przedział zbieżności--
idziemy od -1 do 1,
wyłączając punkty graniczne,
więc nasz przedział ma długość 2.
Stąd nasz promień zbieżności jest równy połowie tego.
Tak długo jak x pozostaje w odległości nie większej od 1 od 0,
i to jest to samo co powiedzieć dokładnie to,
ten szereg będzie zbiegał.

Thai: 
ตราบใดที่ x อยู่ห่าง 0 ไม่เกิน 1
มันไปจนถึง 1 ไม่ได้ แต่ตราบใด
ที่มันยังน้อยกว่า 1 หรือตราบใด
ที่มันยังมากกว่าลบ 1
 
มันอยู่ที่ไหนก็ได้ที่ห่างจาก 0
ไม่เกิน 1 ไม่ว่าจะเป็นทิศบวก
หรือทิศลบ
แล้วอนุกรมนี้จะยังลู่เข้า
เราจึงบอกได้ว่า รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 1
วิธีคิดอีกอย่างคือว่า ช่วงการลู่เข้า --
เราจะไปจากลบ 1 ถึง 1
ไม่รวมขอบสองตัวนี้
ช่วงของเรายาว 2
รัศมีการลู่เข้าเป็นครึ่งหนึ่งของค่านั้น
 
ตราบใดที่ x ห่างจาก 0 ไม่เกิน 1
มันก็เหมือนกับบอกว่า ค่านี่ตรงนี้
อนุกรมนี้จะลู่เข้า
 

English: 
As long as x stays
within one of 0.
It can't go all the
way to 1, but as long
as it stays less
than 1, or as long
as it stays greater
than negative 1.
It can stray anything
less than one
away from 0, either in
the positive direction
or the negative direction.
Then this thing
will still converge.
So we could say that our radius
of convergence is equal to 1.
Another way to think about it,
our interval of convergence--
we're going from
negative 1 to 1,
not including those
two boundaries,
so our interval is 2.
So our radius of
convergence is half of that.
As long as x stays
within one of 0,
and that's the same thing as
saying this right over here,
this series is
going to converge.

Bulgarian: 
Докато х е отдалечено с 1 от 0,
то не може да нарастне чак до 1,
но докато
остава по-малко от 1
и по-голямо от –1.
То може да бъде всяка
стойност, отдалечена с по-малко от 1
от 0, и в положителна посока,
и в отрицателна посока.
Тогава това тук е сходящо.
Можем да кажем, че
радиусът на сходимост е равен на 1.
Друг начин да разглеждаме това,
е, че интервалът на сходимост...
е от –1 до 1, без да включва
двете граници,
значи дължината 
на интервала е 2.
Радиусът на сходимост
е половината от тази стойност.
Докато х е на разстояние
до 1 от нула,
това твърдение е същото
като това тук,
тогава редът е сходящ.
