2번째 영상에서는 일반적인 사각행렬에서 고유값과 고유벡터들을 찾는 방법을 배워보겠습니다.
첫번째로, 행렬에서 고유값을 찾는 방법에 대해 해보겠습니다.
그 다음에 고유벡터들 찾습니다. 두단계로 나뉩니다.
첫번째로 고유값을 찾는 법부터 알려드리겠습니다.
고유벡터와 고유값을 정의하는 식은 행렬A*(고유벡터v) = λ*(고유벡터v) 입니다. λ는 고유값입니다.
이 식을 재배열 해보면,
여기서 I는 아무영향을 주지않는 단위행렬 입니다.
한쪽으로 몰아주면,
자, 만약 (A-λI)가 무엇이든간에 역행렬이 존재한다면, 양쪽에 역행렬을 곱해줄 수 있습니다.
그렇게되면,
어떤 벡터든 0벡터와 곱하면 0벡터가 됩니다.
이 뜻은, 벡터V는 고유벡터가 아니라는 겁니다.
왜냐면 고유벡터의 조건중 하나는 0이 아니라는 것이기 때문입니다.
우리는 이 식을 만족하는 0이아닌 벡터를 알고 싶은 겁니다.
0이 아닌 V를 구하는 유일한 방법은, 이 조건이 안맞을 때 입니다. 다른 말로 역행렬이 존재하지 않을 때 입니다.
만약 역행렬이 존재하게되면 답이 0이 되버립니다.
즉 고유벡터 v를 위해, (A-λI)의 역행렬이 존재하지 않아야 합니다.
언제 역행렬이 존재하지 않으냐면, 저번주에 보였듯이 행렬식 값이 0이 아니면 역행렬은 항상 찾을 수 있습니다.
역행렬이 존재하지 않을 때는, 행렬식의 값이 0일 때 입니다.
고유벡터에 대하여 이 식은 항상 성립합니다.
이 식은 고유값과 고유벡터 논리에서 굉장히 중요한 식입니다. 왜냐면 무엇을 알려주냐면,
첫번째로 n*n 행렬A에서 이것은 λ의 n차항 다항식 입니다.
예를 들어, λ^n+?* λ^(n-1)+...+0
다른말로 다항식을 풀어야 합니다.
이 식은 "특성 다항식"이라고 합니다.
이 것의 유용한 점은 식을 풀었을 때 λ가 고유값이라는 것을 알 수 있다는 점입니다.
그러므로 이 식을 고유값λ를 구하는데 쓸수 있습니다.
이게 고유값을 구하는 방법입니다.
조금 추상적이기 때문에 예시를 들어보겠습니다.
첫번째 영상에서 들었던 예를 다시 보면,
첫번째로 A-λI가 무엇인지 알아야 합니다.
이것은 2*2행렬이고, 이 식에 의거해서 행렬식의 값이 0이 되어야 합니다.
고유값과 고유벡터가 존재하기 위해서는, 이식은 0이 되야합니다.
이 식이 바로 제가 얘기한 특성 다항식 입니다.
저게 특성 다항식이고, 2*2행렬을 가지고 하면 2차 다항식이 나옵니다.
2*2행렬은 이차식이기 때문에 어렵지 않게 풀수 있고,
이 경우에 정리해주면,
두개의 답이 나옵니다. λ1=3, λ2=-2
이것들이 고유값을 구하는 방법이고, 다음으로 고유벡터를 구하는 방법을 보면
고유벡터를 구하기 위한 식으로 (A-λI)v=0이 되야 합니다.
앞 종이에서 했듯이,
이 식을 앞서 찾은 가능한 고유값들에 대하여 성립하도록 풀어야 합니다.
첫번째로 λ1=3 일때,
벡터v가 (x y) 라고하면
이 두식이 같다는 것을 알아차렸을텐데, 우연이 아니라 고유값을 곱하면 같은 식이 나오게 되어있습니다.
여기서 x=y라는 답이 나오고
이제 x를 아무값이나 선택하면 되는데 x=1이라고 해보겠습니다.
그 뜻은 v1=(1 1)은 A의 고유벡터이고 고유값으로 λ1=3 입니다.
이것은 첫번째 영상에서 봤듯이 참입니다. 벡터v를 A로 곱해준 것은 벡터v에 3을곱해준 것입니다.
이방법이 통하는걸 잘 보여주고 있습니다.
빠르게 두번째 고유값에 대하여 풀어보면,
λ2= -2일 때인데 이번에는 조금 빠르게 풀어보겠습니다.
또 다시 두 식이 같아졌습니다.
또다시 x혹은y가 무엇일지 마음대로 고르면 됩니다. x=1으로 놓으면
그러므로 v2는 A의 고유벡터이고 고유값으로 λ2=-2를 가지고 있습니다. 이전 영상에서 본것과 같습니다.
자 이것이 고유벡터와 고유값을 구하는 일반적인 방법을 보여주고,
모든 크기의 행렬에 대하여 성립합니다. 단지 행렬식의 값을 구하기가 까다로워질 것입니다.
다음 영상에선 이것에 관한 다른 종류의 행렬로 좀더 예를 들어보겠습니다.
