
Korean: 
이번 시간에는
이번 시간에는
까다로운 극한 문제를 풀어봅시다
이제 시작해볼까요
x가 0으로 갈 때
sin x의
sin x의
sin x의
1/ln x 제곱을 합시다
영상을 잠시 멈추고
직접 푸는 시간을 가져보세요
 
이 문제는 조금 어려워요
못 풀었다고 기죽지 마세요
 
 
 
 
 
 
이 식을 주목해봅시다
이 식을 주목해봅시다
이 식을 주목해봅시다
극한을 생각해봅시다
x가 0으로 갈 때
sin x의 극한은 얼마일까요?
굉장히 간단하죠

Thai: 
สิ่งที่ผมอยากจัดการในวิดีโอนี้
คือสิ่งที่ผมนับว่า เป็นปัญหา
ลิมิตที่น่าสนใจเป็นพิเศษ
สมมุติว่า เราอยากหาลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
ของไซน์ของ x
นี่คือจุดที่มันเริ่มน่าสนใจ
ไซน์ของ x กำลัง 1 ส่วน
ล็อกธรรมชาติของ x
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วดูว่าคุณหาคำตอบได้ไหม
โดยรู้ว่าอันนี้
แบบฝึกหัดที่ซ๋อนกลนิดหน่อย
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
บางคนอาจสามารถหา
ได้ในครั้งแรก
ผมจะบอกคุณว่า ครั้งแรก
ที่ผมเจออะไรแบบนี้
ผมหาคำตอบไม่ได้ในครั้งแรก
ดังนั้นอย่าเสียใจ
ถ้าคุณเป็นคนประเภทที่สอง
สิ่งที่พวกคุณหลายคนน่าจะทำ
คือคุณบอกว่าโอเค ขอฉันคิดหน่อย
ขอฉันคิดถึงองค์ประกอบตรงนี้
ถ้าผมคิดถึงลิมิต
ถ้าผมคิดถึงลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวกของไซน์ของ x
มันก็ตรงไปตรงมา

Bulgarian: 
В настоящия урок искам да разгледам една особено интересна за мен задача,
която е свързана с граници.
Нека да кажем, че искам 
да намеря границата,
когато х клони към 0 
от положителна страна,
от синус от х.
И тук започва да става интересно.
Синус от х на степен
1 върху натурален логаритъм от х.
Насърчавам те да спреш видеото
и да се опиташ да я решиш самостоятелно,
като вземеш предвид, че това
е малко подвеждаща задача.
Предполагам, че направи опит.
Може би дори успя да преминеш
първото изпитание.
Ще ти споделя, че когато за първи път
срещнах подобна задача,
не успях да премина първото изпитание,
така че определено не се чувствай лошо,
ако попадаш в тази втора категория.
Това, което вероятно направи,
е да си кажеш следното: "Хайде
 да помисля върху задачата.
Нека просто да помисля върху отделните ѝ части тук.
Ако мислех за границата...
Ако мислех за границата, 
когато х клони към 0,
от положителната страна, 
от синус от х,
то това ще бъде сравнително просто.

English: 
- [Voiceover] What I would
like to tackle in this video
is what I consider to be a particularly
interesting limits problem.
Let's say we want to figure out the limit
as X approaches zero from
the positive direction
of sine of X.
This is where it's about
to get interesting.
Sine of X to the one over
the natural log of X power
and I encourage you to pause this video
and see if you can have a go at it
fully knowing that this
is a little bit of a tricky exercise.
I'm assuming you have attempted.
Some of you might have
been able to figure out
on the first pass.
I will tell you that the first time
that I encountered something like this,
I did not figure it out at the first pass
so definitely do not feel bad
if you fall into that second category.
What many of you all probably did
is you said okay, let me think about it.
Let me just think about
the components here.
If I were to think about the limit,
if I were to think about the
limit as X approaches zero
from the positive direction of sine of X,
well that's pretty straightforward.

Czech: 
V tomto videu bych chtěl probrat
jednu velmi zajímavou limitu.
Chtěl bych spočítat limitu pro x jdoucí
k 0 zprava z funkce sin(x)…
Teď přijde
to zajímavé.
...sin(x) umocněný na
(1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘).
Doporučuji vám si zastavit video
a zkusit to vypočítat samostatně,
i když víte, že to je
trochu těžší příklad.
Předpokládám, že jste to zkusili, někteří
možná hned na první pokus úspěšně.
Když jsem poprvé takovou limitu viděl já,
tak jsem na ni na první pokus nepřišel,
takže si z toho nic nedělejte,
pokud vám to hned nešlo.
Mnoho z vás si asi řeklo, že se podíváte
na jednotlivé funkce v naší limitě.
Když se podíváme na limitu
pro x jdoucí k 0 zprava ze sin(x),

Portuguese: 
O que eu gostaria de 
abordar neste vídeo
é o que eu considero ser um problema
particularmente interessante 
de limites.
Vamos dizer que queremos
descobrir o limite
como X se aproxima de zero
do sentido positivo
de seno de X.
Isso é aonde vai ficar interessante.
Seno de X para aquele sobre
o log natural da potência de X
e encorajo você a pausar este vídeo
e veja se você pode iniciar
sabendo muito bem que aqui
trata-se de um exercício
meio complicado.
Estou supondo que você tentou.
Alguns podem ter sido 
capazes de descobrir
na primeira tentativa.
Vou admitir que na primeira vez
que encontrei algo parecido,
não consegui resolver
na primeira tentativa
por isso definitivamente
não se sinta mal
se falhar nessa segunda categoria.
O que muitos de vocês
provavelmente fizeram
é que disse tudo bem,
deixe-me pensar sobre isso.
Deixe-me apenas pensar
sobre os componentes aqui.
Se eu tivesse que pensar sobre o limite,
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo de seno de X,
bem, isso é bastante simples.

Korean: 
0입니다
그러면 이 부분은
0이라고 할 수 있죠
이번에는 지수를 볼까요
x가 0으로 갈 때
1/ln x 의 극한은 얼마일까요?
1/ln x 의 극한은 얼마일까요?
로그는 양수 범위에서만
로그는 양수 범위에서만
정의 가능하므로
정의 가능하므로
x가 0 이상일 때만 생각합시다
x가 0 이상일 때만 생각합시다
이 식의 우극한을 생각하면
이 식의 우극한을 생각하면
ln x는 매우 큰 음의 값을 가집니다
ln x는 매우 큰 음의 값을 가집니다
 
즉 이 식의 분모는
음의 무한으로 가는 것이죠
음의 무한으로 가는 것이죠
 
분수 전체를 생각해보면
분수 전체를 생각해보면
음의 무한을 분모로 가지기 때문에
0에 한없이 가까워집니다
그러므로 이 식의 극한은
0이 됩니다
0이 됩니다
별로 중요하지 않은 것 같군요
지수가 0으로 가고
밑도 0으로 가니깐요

Bulgarian: 
Ще бъде равна на 0.
Така че, може да мислиш за това 
като за част от задачата.
Тази част от израза ще клони към 0
и тогава ще си кажеш следното, т.е.
може би ще го направиш...
Просто предполагам че е така.
"Границата, когато х клони към 0
от положителната страна на 1 върху
натурален логаритъм от х,
и ето това показва, защо 
следва да вземем предвид,
че е от положителната страна.
Няма смисъл да клони към 0
от отрицателната посока.
Не може да търсиш натурален 
логаритъм от отрицателно число.
То не принадлежи на дефиниционното
 множество на натуралния логаритъм.
Когато обаче се приближаваш 
все повече и повече до 0
от отрицателната посока,
то при натурален логаритъм 
от тези стойности
означава, че повдигаш числото е
на все по-големи и по-големи
 отрицателни стойности.
Знаменателят ще клони към
минус безкрайност.
1 върху минус безкрайност, т.е.
1 разделено на супер голямо
или огромно отрицателно число,
тогава границата просто 
ще клони към 0.
Може да заявиш, че 
този израз ето тук също ще...
Също ще клони към 0.
Това не изглежда като 
да ни помага много,
защото ако този израз 
клони към 0
и този израз също клони към 0,

Thai: 
มันจะเท่ากับ 0
และคุณคิดว่า ส่วนนี้
จะเท่ากับเข้าใกล้ 0 แต่ถ้าคุณบอกว่า
คุณบอกได้ว่า จะว่าอย่างนั้นก็ได้
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวกของ 1 ส่วน
ล็อกธรรมชาติของ x
และนี่คือสาเหตุที่เราต้องคิด
จากทิศบวก
มันไม่สมเหตุสมผลที่จะเข้าใกล้
จากทิศลบ
คุณหาล็อกธรรมชาติ
ของจำนวนลบไม่ได้
นั่นไม่ใช่โดเมนของล็อกธรรมชาติ
แต่เมื่อคุณเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
จากทิศลบ
ล็อกธรรมชาติของค่าเหล่านั้น
คุณต้องยกกำลัง e
ด้วยค่าลบมากขึ้น มากขึ้นเรื่อยๆ
ส่วนนี่ตรงนี้ จะเข้าใกล้
ลบอนันต์
มันจะไปยังลบอนันต์
1 ส่วนลบอนันต์
1 หารด้วยจำนวนที่โตมาก
หรือจำนวนลบที่มีขนาดมากๆ
มันจะเข้าใกล้ 0
คุณจึงบอกได้ว่าค่านี่ตรงนี้
จะเท่ากับ
จะเท่ากับ 0 เช่นกัน
มันจึงไม่ช่วยเรานัก
เพราะถ้าอันนี้จะเป็น 0
และอันนี้จะเป็น 0

Portuguese: 
Isso vai ser zero,
assim você poderia
pensar que esta parte
vai se aproximar de zero,
mas em seguida, se você diz,
e você poderia dizer,
acho que eu deveria dizer.
O limite, quando X se aproxima de zero
do sentido positivo de um sobre
o log natural de X
e é por isso que nós temos
que pensar nisso
do sentido positivo.
Não faz sentido abordá-lo
do sentido negativo.
Você não pode usar
o log natural
de um número negativo.
Isso não é no domínio 
para o log natural
mas quando se aproxima
mais e mais a zero
do sentido negativo
o logaritmo natural destes valores,
você tem que aumentar E
para valores cada vez mais negativos.
Esta parte aqui vai se aproximar
ao infinito negativo.
Ele está indo para
o infinito negativo.
Um sobre infinito negativo,
um dividido por números negativos
super grandes ou de grande magnitude,
bem, isso só vai se aproximar a zero.
Pode-se dizer que este aqui
também vai ser,
também vai ser igual a zero.
Parece que isso não nos ajuda muito
porque se esta coisa vai a zero
e isso está indo a zero,

English: 
That's going to be zero,
so you could think of like this part of it
is going to approach
zero but then if you say,
and you could say, I guess I should say.
The limit as X approaches zero
from the positive direction of one over
natural log of X
and this is why we have to think about it
from the positive direction.
It doesn't make sense to approach it
from the negative direction.
You can't take the natural log
of a negative number.
That's not in the domain
for the natural log
but as you get closer and closer to zero
from the negative direction,
the natural log of those values,
you have to raise E
to more larger and larger negative values.
This part over here is going to approach
negative infinity.
It's going to go to negative infinity.
One over negative infinity,
one divided by super large
or large magnitude negative numbers,
well, that's just going to approach zero.
You could say that this right over here
is also going to be,
is also going to be equal to zero.
That doesn't seem to help us much
because if this thing is going to zero
and that thing is going to zero,

Czech: 
tak je celkem jasné,
že to bude prostě 0.
Takže si řeknete, že tahle část
se blíží k 0, ale pak řeknete…
Limita pro x jdoucí k 0
zprava z 1 lomeno ln(x)…
Proto to musí
být limita zprava.
Nedává zde totiž smysl
blížit se zleva.
Přirozený logaritmus ze
záporného čísla není definovaný.
Záporná čísla nejsou
v jeho definičním oboru.
Jak se ale k 0 čím dál
tím víc blížíme zleva,
tak přirozený logaritmus
takových hodnot…
Musíme umocnit ‚e‘ na
více a více záporná čísla.
Tato část se bude blížit
k zápornému nekonečnu.
1 lomeno záporné nekonečno je
1 lomeno něčím super velkým,
takže se to
bude blížit k 0.
Můžeme tedy říct, že
tato limita je také rovna 0.

Czech: 
To nám ale moc nepomůže, protože
pokud jde toto k 0 a i tohle jde k 0,
tak bychom si mohli říct,
že to celé jde k 0 na nultou,
ale my vlastně
nevíme, kolik je 0…
Zvýrazním to
jinou barvou.
0 na nultou.
Tohle je zrovna jeden ze zajímavých
příkladů v matematice.
Jsou důvody pro to, 
aby tohle bylo 0, ale taky aby to bylo 1,
takže vlastně nevíme,
kolik tenhle výraz je.
Není to úplně
uspokojivý výsledek.
Teď by se vám v hlavě mohlo
začít rozsvěcet menší světélko.
Naučili jsme se novou věc
nazývanou L'Hospitalovo pravidlo.
Pokud jste o
něm neslyšeli,
tak doporučuji kouknout se na
úvodní video k L'Hospitalovu pravidlu.
L'Hospitalovo pravidlo…
Napíšu to sem.
...L'Hospitalovo pravidlo
nám pomáhá v situacích,
kdy po přímém dosazení do limity
získáme neurčitý výraz jako 0 lomeno 0
nebo dostaneme
nekonečno lomeno nekonečnem
nebo záporné nekonečno lomeno
záporným nekonečnem.

Portuguese: 
é quase uma implicação que, bem
talvez essa coisa toda está indo a zero
à potência zero, mas realmente
não sabemos qual zero,
deixe-me fazer a alguns,
aquelas cores.
Zero para a
potência zero, mas este é um daquelas
coisas divertidas quando
se pensa em matemática.
Há justificativas porque
este pode ser zero,
justificativas porque
isso poderia ser um.
Nós realmente não sabemos
o que fazer com isso.
Isto realmente não é
uma resposta satisfatória.
Neste momento algo
poderia estar aparecendo
no seu cérebro.
Nós temos essa coisa
que temos sido expostos
a chamada regra de L'Hôpital.
Se você não tiver sido exposto a ela,
Encorajo vocês a ver o vídeo,
o vídeo introdutório a regra de L'Hôpital.
Na regra de L'Hôpital,
deixe-me apenas anotá-la.
A regra de L'Hopital
ajuda-nos em situações aonde
quando tentamos superficialmente
avaliar o limite,
obtemos formas indeterminadas
coisas como zero sobre zero.
Ficamos com o infinito sobre o infinito.
Obtemos infinito negativo
sobre infinito negativo

English: 
it's kind of an implication that well
maybe this whole thing is going to zero
to the zero power but we
don't really know what zero,
let me do the some, those color.
Zero to the
zero power but this is one of those great
fun things to think about in mathematics.
There's justifications
why this could be zero,
justifications why this could be one.
We don't really know what to make of this.
This isn't really a satisfying answer.
Something at this point
might be going into your brain.
We have this thing that we've been exposed
to called L'Hopital's rule.
If you have not been exposed to it,
I encourage you to watch the video,
the introductory video
on L'Hopital's rule.
In L'Hopital's rule, let
me just write it down.
L'Hopital's rule
helps us out with situations where
when we try to superficially
evaluate the limit,
we get indeterminate forms
things like zero over zero.
We get infinity over infinity.
We get negative infinity
over negative infinity

Korean: 
 
다음과 같이 표현 가능합니다
다음과 같이 표현 가능합니다
 
 
매우 흥미로운 식이죠
매우 흥미로운 식이죠
이 값이 0이 될 수도
1이 될 수도 있습니다
그러나 정확한 해를 알 수는 없죠
 
 
우리는 전 시간에
로피탈의 정리를 배웠습니다
아직 잘 모르겠다면
로피탈의 정리를 설명한
전 영상을 다시 보고 오세요
 
로피탈의 정리는
부정형이 나왔을 때
편리하게 사용할 수 있어요
예를 들어
0 / 0
무한 / 무한
－무한 /－무한

Bulgarian: 
то изводът е, че
може би целият израз ще бъде
0 на степен 0, но действително 
не знаем на какво...
Нека да го запиша с този цвят.
0 на степен 0,
но това е едно от онези велики
и забавни неща в математиката.
Има доказателства защо това 
ще бъде равно на 0,
или доказателства защо 
следва да е равно на 1.
Действително не знаем какво 
да правим с този резултат.
Наистина не е задоволителен отговор.
В този момент нещо
може би минава през ума ти.
Разполагаме с нещо, което 
сме виждали,
наречено Правило на Лопитал.
Ако не го познаваш,
то те насърчавам 
да изгледаш видеото
за запознаване с 
Правилото на Лопитал.
В Правилото на Лопитал...
Нека само да го запиша.
Правилото на Лопитал
ни помага при ситуации, в които
когато се опитваме директно 
да изчислим границата,
достигаме до неопределени форми.
Например като 0 върху 0,
или безкрайност върху безкрайност,
или минус безкрайност 
върху минус безкрайност.

Thai: 
มันจะสื่อว่า
บางทีทั้งหมดนี้คือ 0
ยกกำลัง 0 แต่เราไม่รู้ว่า 0
ขอผมใช้ สีพวกนี้
0 ยกกำลัง
0 นี่คือหนึ่งในเรื่องสนุก
ให้คิดในคณิตศาสตร์
มันมีเหตุผลาว่าทำไมอันนี้อาจเป็น 0
และเหตุผลว่าทำไมค่านี้ถึงอาจเป็น 1
เราไม่รู้จริงๆ ว่าจะทำอย่างไร
นี่ไม่ใช่คำตอบที่น่าพอใจนัก
ถึงจุดนี้ อะไรบางอย่าง
อาจเกิดขึ้นในสมองคุณ
เรามีสิ่งนี้ที่เราได้เจอ
เรียกว่า กฏลของโลปิตาล
ถ้าคุณยังไม่เคยเจอมัน
ผมแนะนำให้คุณดูวิดีโอ
วิดีโอแนะนำเรื่องกฎของโลปิตาล
ในกฎของโลปิตาล ขอผมเขียนมันลงไปนะ
กฎของโลปิตาล
บอกเราว่าในกรณีที่
เราพยายามหาค่าลิมิตโดยผิวเผิน
เราได้รูปที่สรุปค่าไม่ได้
เช่น 0 ส่วน 0
หรือเราได้ อนันต์ ส่วนอนันต์
เราได้ลบอนันต์ส่วนลบอนันต์

Korean: 
같은 꼴이 있죠
지금 이 문제는
0의 0제곱꼴입니다
 
지금 배운 꼴과는 조금 다르죠
 
맞아요
이 식에는 로피탈의 정리를
사용할 수 없습니다
사용할 수 없습니다
로피탈 정리는
0의 0제곱에 적용할 수 없지만
이 식을 조금 변형해서
로피탈의 정리를 쓸 수 있게
만들면 풀 수 있죠
만들면 풀 수 있죠
이게 가장 까다로운 부분입니다
 
쉽게 설명하면
쉽게 설명하면
쉽게 설명하면
y를 설정해봅시다
x에 대한 함수 y를
x에 대한 함수 y를
다음과 같이 정의합시다
다음과 같이 정의합시다

Czech: 
Pro více detailů se
koukněte na úvodní video.
Zde to docela
vypadá...
Dostaneme
0 na nultou.
Dostaneme tuto příšeru, která nám trochu
připomíná L'Hospitalovo pravidlo.
Za chvilku uvidíme,
že není špatně,
že nás napadlo použít
L'Hospitalovo pravidlo,
přestože ho nemůžeme
použít přímo teď.
L'Hospitalovo pravidlo se nemůže
přímo použít v případě 0 na nultou,
ale můžeme vytvořit příklad, který
L'Hospitalovým pravidlem půjde vyřešit,
a výsledek tohoto příkladu použít
k vyřešení našeho původního příkladu.
Tohle bude nejtěžší
část našeho příkladu.
Jak to uděláme?
Když položíme
y rovno…
Napíšu to
spíš takto.
Mohl bych napsat jen y,
ale napíšu y jako funkci x.

Bulgarian: 
Навлизаме в повече детайли 
в самото видео.
Изглежда сякаш това е...
Виждаме, че сме получили
 0 на степен 0.
Сякаш сме се сблъскали 
със странен звяр,
но поне се досещаме 
за правилото на Лопитал.
Няма да бъдеш – както ще видим 
след няколко секунди –
няма да сгрешиш за това,
че в ума ти изниква 
правилото на Лопитал,
въпреки, че не можеш 
да го приложиш директно
към този резултат ето тук.
Правилото на Лопитал не се прилага,
или поне не директно,
към израза 0 върху 0.
Това, което  може да направим, е 
да използваме задача, в която
правилото на Лопитал 
е приложимо.
Тогава ще я използваме, 
за да намерим
на какво ще бъде равна 
първоначалната граница.
Точно това беше подвеждащата
 част от задачата.
Е, какво имам предвид?
Ако изберем у
да е равно на у от...
Нека да го запиша по следния начин.
Ако изберем, и аз записвам у,
като мога просто да го запиша у, 
но ще отбележа,
че у определено е функция на х.
Ако изберем у(х) да бъде 
равно на синус от х...
Синус от х на степен 1 върху

English: 
and we go into much more
detail into that video.
It seems this is kind of,
it feels like we're
getting a zero to a zero.
It's kind of we're
getting the strange beast
and at least evokes the
notion of L'Hopital's rule.
You will not be, as we'll
see in a few seconds,
you're not wrong to, for that
L'Hopital's rule neuron to
be triggering in your brain
although you can't apply it directly
to this right over here.
L'Hopital's rule does not apply to
or directly apply to the
zero to the zero form
but what we can do is construct a problem
where L'Hopital's rule will apply
and then use that to solve, to figure out
what this is going to be.
This was essentially the
tricky part of this exercise.
Well what do I mean?
Well if we set Y
equal to Y of
and maybe let me write it this way.
If we set, and I'll write Y,
I could just write Y but I'll say Y
is clearly a function of X.
If we say Y of X is going to be sine of X,
sine of X to the one over

Portuguese: 
e vamos entrar nisso muito 
mais detalhadamente nesse vídeo.
Parece que isso é tipo um,
parece que estamos obtendo
um zero com um zero.
É tipo, pegamos a besta estranha
e, pelo menos evoca uma noção
da regra de L'Hôpital.
Você não será, como vamos ver
em poucos segundos,
você não está errado, porque
os neurônios começam a trabalhar 
em seu cérebro com a regra de L'Hôpital
embora você não pode
aplicá-lo diretamente
a este aqui.
A regra de L'Hopital não se aplica a
ou não se aplica diretamente para
a forma do zero para o zero
mas o que podemos fazer é
construir um problema
onde a regra de L'Hopital irá aplicar
e, em seguida, usar isso
para resolver, para descobrir
o que isto vai ser.
Este era essencialmente
a parte complicada deste exercício.
Bem, o que eu quero dizer?
Bem, se vamos definir Y
igual a Y de
e talvez deixe-me escrever
isso desta forma.
Se definimos, e eu vou escrever Y,
Eu poderia simplesmente escrever Y,
mas eu vou dizer Y
é claramente uma função de X.
Se dissermos Y de X vai ser seno de X,
seno de X para aquele sobre

Thai: 
และเราจะลงรายละเอียดอีกมากในวิดีโอนั้น
มันดูเหมือนว่านี่คือ
มันรู้สึกเหมือนว่าเราได้ 0 ยกกำลัง 0
มันเหมือนกับว่า เราได้ตัวประหลาดนี้
และอย่างน้อยทำให้เราคิดถึงกฎของโลปิตาล
อย่างที่เราจะเห็นในไม่ช้า คุณจะไม่
คุณไม่ได้ทำผิดอะไร
ที่เซลล์ประสาทเรื่องกฎของโลปิตาล
ถูกกระตุ้นในสมองคุณ
ถึงแม้ว่าคุณใช้มันตรงๆ ไม่ได้
กับปัญหานี่ตรงนี้
กฎของโลปิตาลใช้ไม่ได้
หรือใช้ไม่ได้โดยตรงกับรูป 0 ยกกำลัง 0
แต่สิ่งที่เราทำได้ คือสร้างปัญหา
ที่กฎของโลปิตาลจะใช้ได้
แล้วใช้มันแก้ ใช้มันหา
ว่าพจน์นี้จะเท่ากับอะไร
นี่คือส่วนที่ซ่อนกลในแบบฝึกหัดนี้
ผมหมายความว่าอะไร?
ถ้าเราให้ y
เท่ากับ y ของ
บางทีผมจะเขียนมันแบบนี้
ถ้าเราให้ ผมจะเขียน y
ผมเขียนแค่ y ก็ได้ แต่ผมจะบอกว่า y
เป็นฟังก์ชันของ x
ถ้าเราบอกว่า y ของ x เท่ากับไซน์ของ x
ไซน์ของ x กำลัง 1 ส่วน

English: 
natural log of X.
This thing right over
here is essentially saying
what's the limit as X approaches zero
from the positive direction of Y
and once again we don't know.
Maybe it's zero to the zero
but we don't know what
zero to zero actually is.
What we could do, what we could do
and this is a trick that you see a lot
and anytime you get kind of
weird things with exponents
and whether you're doing
limits or derivatives,
as you'll see it's often times useful
to take the natural log of both sides.
Well what happens if
you take the natural log
of both sides here?
On the left-hand side
you're going to have the natural log,
the natural log, and whenever
I think of natural log
and E the way I always think about them,
the color green for some bizarre reason
but we'll say the natural log of Y
is equal to.
If you take the natural log of this thing,
actually let me just, I
don't want to skip steps here
because this is interesting.
This is going to be the natural log
of all of this business of sine of X,
let me write this way.
Sine of X,
sine, I want to do this
in that orange color.

Bulgarian: 
натурален логаритъм от х.
Този израз ето тук 
определено означава
да намерим границата, 
когато х клони към 0,
от положителната посока на у,
и още веднъж, не знаем 
какво се получава.
Може би е 0 на степен 0,
но не знаем на какво е равно 
0 на степен 0.
Това, което може да направим,
като това е метод, който 
виждаш много често
и всеки път, когато се сблъскаш 
със странни неща със степени,
или когато търсиш граници 
или производни,
и както ще видиш, често е полезно
просто да намериш натурален логаритъм 
от двете страни на уравнението.
Какво ще се получи, ако 
логаритмуваш и двете страни
на уравнението с натурален логаритъм?
От лявата страна ще получиш 
натурален логаритъм,
а когато мисля за натурален логаритъм
и  числото е,
по начина, по който мисля за тях,
използвам зелен цвят 
по някаква странна причина.
Сега обаче имаме 
натурален логаритъм от у
е равно на...
Ако търсиш натурален логаритъм 
от този израз,
всъщност нека просто...Не искам 
да пропускам стъпки от процеса,
защото това е интересно.
Това ще бъде натурален логаритъм от
целия този израз синус от х...
Нека да го запиша по следния начин.
Синус от х,
синус...Искам да го запиша 
с този оранжев цвят.

Thai: 
ล็อกธรรมชาติของ x
สิ่งนี้ตรงนี้ กำลังบอกว่า
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวกของ y คืออะไร
เรายังไม่รู้
มันได้ 0 กำลัง 0
แต่เราไม่รู้ว่า 0 กำลัง 0 จริงๆ คืออะไร
สิ่งที่เราทำได้ สิ่งที่เราทำได้
และนี่คือกลเม็ดที่คุณเห็นได้บ่อย
และทุกครั้งที่คุณได้อะไรประหลาดๆ 
ที่มีเลขยกกำลัง
ไม่ว่าคุณจะหาลิมิตหรืออนุพันธ์
คุณจะเห็นว่า มันมักมีประโยชน์
ถ้าเราหาล็อกธรรมชาติทั้งสองข้าง
สิ่งที่เกิดขึ้น ถ้าคุณหาล็อกธรรมชาติ
ของทั้งสองข้างตรงนี้?
ทางซ้ายมือ
คุณจะได้ล็อกธรรมชาติ
ล็อกธรรมชาติ และเมื่อใดก็ตาม
ที่ผมคิดถึงล็อกธรรมชาติ
และ e วิธีที่ผมมักคิดถึงพวกมัน
ผมจะได้สีเขียวเพราะอะไรไม่รู้
แต่เราจะบอกว่า ล็อกธรรมชาติของ y
เท่ากับ
ถ้าคุณหาล็อกธรรมชาติของสิ่งนี้
ขอผม ผมไม่อย่างข้ามขั้นตรงนี้
เพราะอันนี้น่าสนใจ
อันนี้จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ
ของทั้งหมดนี้ ของไซน์ของ x
ขอผมเขียนแบบนี้นะ
ไซน์ของ x
ไซน์ ผมอยากเขียนด้วยสีส้มนั่น

Korean: 
다음과 같이 정의합시다
맨 처음 식에서
x가 0으로 갈 때 극한은
이 식에서 y의 극한을
찾는 것과 같습니다
그러나 0의 0제곱은 알 수 없습니다
여기서 한 가지 트릭을 알려줄게요
여기서 한 가지 트릭을 알려줄게요
극한이나 도함수를 구할 때
극한이나 도함수를 구할 때
양변에 로그를 취하면
꽤 유용한 식이 나옵니다
양변에 로그를 취하면 어떻게 될까요
양변에 로그를 취하면 어떻게 될까요
우선 좌변은
로그를 취하니 ln y가 됩니다
로그를 취하니 ln y가 됩니다
로그를 취하니 ln y가 됩니다
로그를 취하니 ln y가 됩니다
로그를 취하니 ln y가 됩니다
 
우변에도 로그를 취해봅시다
차근차근 계산해볼까요
 
우변에 로그를 취하면
우변에 로그를 취하면
 
다음과 같이 됩니다
다음과 같이 됩니다

Portuguese: 
logaritmo natural de X.
Esta coisa aqui neste lado
está dizendo essencialmente
o que é o limite quando X
se aproxima de zero
do sentido positivo de Y
e mais uma vez
não sabemos.
Talvez seja zero sobre o zero
mas nós não sabemos o que zero
sobre zero realmente é.
O que poderíamos fazer,
o que poderíamos fazer
e este é um truque
que você vê bastante
e a qualquer momento você vê 
coisas estranhas com expoentes
e se você está calculando
limites ou derivados,
você vai ver que é muitas vezes útil
pegar o logaritmo natural
de ambos os lados.
Bem, o que acontece se você
pega o log natural
de ambos os lados aqui?
Do lado esquerdo
você vai ter o log natural,
o log natural, e sempre que penso
sobre o log natural
e E do jeito que eu sempre
penso sobre eles,
a cor verde por alguma razão bizarra
mas vamos dizer o log natural de Y
é igual.
Se você pegar o log natural desta coisa,
na verdade, deixe-me apenas, 
não quero pular passos aqui
porque este é interessante.
Este vai ser o log natural
de todo esse negócio de seno de X,
deixe-me escrever dessa maneira.
Seno de X,
seno, eu quero fazer isso na cor laranja.

Czech: 
...když položíme y(x) rovno sin(x) na
(1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘),
tak toto bude limita
pro x jdoucí k 0 zprava z ‚y‘,
jejíž hodnotu
zatím nevíme.
Možná to je 0 na nultou, jenže
my nevíme, kolik 0 na nultou vlastně je.
Můžeme ale použít trik,
který je poměrně častý.
Kdykoliv dostaneme nějakou
divnou věc s exponentem,
ať už jde o limitu
nebo derivaci,
je užitečné na obě strany použít
přirozený logaritmus.
Co se stane, když uděláme
přirozený logaritmus z obou stran?
Na levé straně budeme mít
přirozený logaritmus…
Kdykoliv mám přirozený
logaritmus nebo číslo e,
tak to z nějakého záhadného
důvodu píšu zelenou barvou.
Přirozený logaritmus z ‚y‘
se rovná…
Děláme přirozený
logaritmus z tohoto…
Vlastně bych nerad přeskočil
nějaké kroky, protože tohle je zajímavé.
Bude to přirozený logaritmus
z tohoto všeho, tedy sin(x)…
Napíšu to takto.
...sin(x)…

Portuguese: 
O log natural de
seno de X para aquele
sobre o log natural de X.
Bem, sabemos de nossa expoente anterior
nossas propriedades de logaritmos,
o logaritmo de algo perante uma potência,
que é a mesma coisa como a potência.
Um sobre o log natural de X
vezes o logaritmo, neste caso,
o logaritmo natural
de qualquer coisa,
pegando o seno de X aqui.
Seno de X
ou poderíamos dizer o log natural de Y.
Quero manter, ficar de cor consistente
para, pelo menos,
mais um passo.
O logaritmo natural de Y é igual a,
se nós só reescrevemos isso
este vai ser o log natural
de seno de X,
o log natural
de seno de X
sobre o log natural de X.

Bulgarian: 
Натурален логаритъм от
синус от х на степен
1 върху натурален логаритъм от х.
Знаем от степените, преди
свойствата на логаритмите,
че логаритъм от нещо на степен,
е равно на същото нещо като степента.
1 върху натурален логаритъм от х
по логаритъма, в този случай 
натурален логаритъм
от това, което имаме, 
т.е. синус от х тук.
Синус от х.
Или може да кажем 
натурален логаритъм от у.
Искам да запазя, т.е. да използвам 
същите цветове,
поне в още една стъпка.
Натурален логаритъм от у е равно на –
ако просто го запишем 
по следния начин –
ще бъде равно на натурален логаритъм
от синус от х.
Натурален логаритъм
от синус от х
върху натурален логаритъм от х.

English: 
The natural log of
sine of X to the one
over the natural log of X.
Well we know from our exponent prior
our logarithm properties,
the logarithm of something to a power,
that's the same thing as the power.
One over natural log of X
times the logarithm, this
case the natural logarithm
of whatever taking the sine of X here.
Sine of X
or we could say the natural log of Y.
Want to keep, stay color consistent
for at least one more step.
The natural log of Y is equal to,
if we just rewrite this
this is going to be the natural log
of sine of X,
the natural log
of sine of X
over the natural log of X.

Korean: 
다음과 같이 됩니다
다음과 같이 됩니다
다음과 같이 됩니다
로그 안에 지수가 있으니
로그 안에 지수가 있으니
로그 안에 지수가 있으니
지수를 밖으로 뺄 수 있습니다
다시 정리하면
다시 정리하면
다음과 같이 됩니다
다시 정리하면
 
양변을 정리하면
양변을 정리하면
양변을 정리하면
양변을 정리하면
양변을 정리하면
양변을 정리하면
양변을 정리하면
다음과 같이 됩니다

Czech: 
Napíšu to oranžovou.
Přirozený logaritmus ze sin(x) na
(1 lomeno přirozený logaritmus z x).
Z vlastností
logaritmů víme,
že logaritmus něčeho na nějakou mocninu
je totéž jako ta mocnina,
v našem případě
1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘,
krát logaritmus, v našem
případě přirozený, ze sin(x).
Můžeme tedy napsat, že
přirozený logaritmus z ‚y‘...
Chtěl bych ještě aspoň v jednom
kroku mít stejné barvy.
Přirozený logaritmus
z ‚y‘ se rovná…
Jen to přepíšu.
Bude to přirozený logaritmus ze sin(x),
to celé lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘.

Thai: 
ล็อกธรรมชาติของ
ไซน์ของ x กำลัง 1
ส่วนล็อกธรรมชาติของ x
เรารู้จากเลขชี้กำลัง
สมบัติลอการิทึม
ลอการิทึมของอะไรสักอย่างยกกำลังค่าหนึ่ง
มันจะเท่ากับเลขชี้กำลังนั้น
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ x
คูณลอการิทึม กรณีนี้ คือล็อกธรรมชาติ
ของอะไรก็ตาม ไซน์ของ x ตรงนี้
ไซน์ของ x
หรือเราบอกได้ว่า ล็อกธรรมชาติของ y
อยากให้สีคงเดิม
อย่างน้อยอีกสักขั้นหนึ่ง
ล็อกธรรมชาติของ y เท่ากับ
ถ้าเราเขียนอันนี้ใหม่
อันนี้จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ
ของไซน์ของ x
ล็อกธรรมชาติ
ของไซน์ของ x
ส่วนล็อกธรรมชาติของ x

English: 
Well this is all interesting
but why do we care about this?
Why did I do this?
Well instead of thinking
about what is the limit?
What is the limit as X approaches zero
from the positive direction of Y?
Let's think about what
the natural log of Y
is approaching as we approach,
as X approaches zero from
the positive direction.
Let's figure out what the
limit of this expression
right over here is as X approaches zero
from the positive direction.
What is a natural log of Y?
What is this whole thing?
Not Y, what is the natural
log of Y approaching?
Let's think about that scenario.
Let me write, do this in a new color.
We want to figure out what is the limit
as X approaches zero from
the positive direction
of this business and I'll
just write it in one color.
The natural log
of sine of X
over the natural log of X.
I don't know, I wrote one time in print,
one time in cursive.
I'll just be consistent right over there.
Now why is this interesting?
Let's see in the numerator here,
this thing's going to approach zero,

Thai: 
อันนี้น่าสนใจ
แต่ทำไมเราต้องสนใจอันนี้ด้วย?
ทำไมผมถึงทำอย่างนี้?
แทนที่จะคิดว่า ลิมิตคืออะไร?
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวกของ y คืออะไร?
ลองคิดกันว่าล็อกธรรมชาติของ y
เข้าใกล้อะไรเมื่อเราเข้าใกล้
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
ลองหาลิมิตของพจน์นี้
ตรงนี้คืออะไรเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวก
ล็อกธรรมชาติของ y คืออะไร?
ทั้งหมดนี้คืออะไร?
ไม่ใช่ y ล็อกธรรมชาติของ y กำลังเข้าใกล้อะไร?
ลองคิดถึงกรณีนั้นกัน
ขอผมเขียน เขียนด้วยสีใหม่นะ
เราอยากหาว่าลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
ของตัวนี้ และผมจะเขียนมันด้วยสีหนึ่ง
ล็อกธรรมชาติ
ของไซน์ของ x
ส่วนล็อกธรรมชาติของ x
ไม่รู้สิ ผมเขียนด้วยตัวพิมพ์บ้าง
ตัวเขียนบ้าง
ผมแค่อยากให้เหมือนกันตรงนี้
ทีนี้ ทำไมอันนี้ถึงน่าสนใจ?
ลองดูตัวเศษตรงนี้
สิ่งนี้เข้าใกล้ 0

Czech: 
Tohle všechno je sice poutavé,
ale proč nás to má zajímat?
Proč jsem
tohle dělal?
Místo toho, abychom počítali limitu
pro x jdoucí k 0 zprava z ‚y‘,
se zamysleme nad tím, k čemu se
blíží přirozený logaritmus z ‚y‘,
když se x
blíží k 0 zprava.
Spočítejme, jaká je limita z tohoto
výrazu, když se ‚x‘ blíží k 0 zprava.
K čemu se blíží přirozený
logaritmus z ‚y‘,
k čemu se celý
tento výraz,
ne y, ale k čemu se blíží
přirozený logaritmus z ‚y‘?
Zamysleme se nad
tímto případem.
Napíšu to
jinou barvou.
Chceme spočítat limitu pro x jdoucí k 0
zprava z tohoto výrazu.
Napíšu to celé
jednou barvou.
Přirozený logaritmus ze sin(x),
to celé lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘.
Nevím, proč jsem to jednou
napsal normálně a pak kurzívou.
Měl bych
být konzistentní.
Čím je
tohle zajímavé?
V čitateli se tento výraz
bude blížit k 0

Portuguese: 
Bem, isso é muito interessante
mas por que nos preocupamos com isso?
Por que eu fiz isso?
Bem, em vez de pensar
sobre o que é o limite?
Qual é o limite quando X
se aproxima de zero
de sentido positivo de Y?
Vamos pensar sobre o que
o log natural de Y
está aproximando 
quando nos aproximamos,
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo.
Vamos descobrir qual é
o limite dessa expressão
bem aqui é quando X se aproxima de zero
do sentido positivo.
Qual é o log natural de Y?
O que é essa coisa toda?
Não é Y, o que é o log natural
de Y quando se aproxima?
Vamos pensar sobre esse cenário.
Deixe-me escrever,
fazer isso em uma nova cor.
Queremos descobrir o que é o limite
quando X se aproxima de zero do sentido positivo
deste negócio e eu vou 
apenas escrevê-lo em uma cor.
O log natural
de seno de X
sobre o log natural de X.
Eu não sei, eu escrevi uma 
vez em letra tipográfica,
uma vez em letra cursiva.
Eu vou ser apenas consistente por lá.
Agora, por que isso é interessante?
Vamos ver no numerador aqui,
esta coisa vai se aproximar a zero,

Korean: 
다음과 같이 됩니다
이게 무슨 의미일까요
이게 무슨 의미일까요
우선 극한을 구해봅시다
x가 양의 0으로 갈 때
극한은 무엇입니까
x가 양의 0으로 갈 때
ln y가 어떻게 변하는지 생각해봅시다
ln y가 어떻게 변하는지 생각해봅시다
이 부분의 극한이
어떻게 변하는지 확인해봅시다
어떻게 변하는지 확인해봅시다
ln y가 무엇입니까?
ln y가 무엇입니까?
y가 아니라 ln y 말입니다
 
 
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
이 극한을 구해야 합니다
 
우선 분자에 집중해봅시다
로그 안의 값이
0으로 가까워지면서

Bulgarian: 
Е, всичко това е интересно,
но защо ни интересува 
какво ще се получи?
Защо направих това?
Вместо да мислим на какво 
е равна границата...
На какво е равна границата, когато х
клони към 0 от 
положителната посока на у?
Нека да помислим върху това, 
към какво натурален логаритъм от у
клони, когато клоним,
т.е. когато х клони към 0
 от положителната посока.
Нека да намерим границата
 от този израз
ето тук, когато х клони към 0
от положителната посока.
На какво е равно 
натурален логаритъм от у?
На какво е равно цялото това нещо?
Не функцията у, а към какво клони 
натурален логаритъм от у?
Нека да помислим върху този случай.
Нека да запиша, т.е. да направя 
това с друг цвят.
Искаме да намерим 
на какво е равна границата,
когато х клони към 0 
от положителната посока,
от този израз и просто 
ще го запиша само с един цвят.
Натурален логаритъм
от синус от х
върху натурален логаритъм от х.
Не знам, един път пиша печатно,
след това ръкописно.
Просто ще бъде последователен тук.
Защо това е интересно?
Нека да разгледаме числителя, който
ще клони към 0.

English: 
natural log of zero
you're going to approach
negative infinity.
This thing right over here natural log of,
as you approach it from
the positive direction.
Once again you're going to
approach negative infinity.
This gives you that indeterminate form.
This is giving you
that indeterminate form
of negative infinity
over negative infinity which is neat
because this triggers or at least tells us
that L'Hopital's rule
may be appropriate here.
We could say that this
is going to be equal to
the limit as X approaches zero
from the positive direction.
Let me give myself a little bit more
real estate to work up with
and I can take the
derivative of the numerator
and the derivative of the denominator.
Derivative of the numerator,
so the derivative of the numerator,
I'm going to apply the chain rule here.
Derivative of sine of X is cosine of X
and then the derivative,
the natural log of sine of X with respect
to sine of X is going to
be one over sine of X.
This is going to be over sine of X,
so that's the derivative of the numerator.

Thai: 
ล็อกธรรมชาติของ 0 จะเข้าใกล้
ลบอนันต์
สิ่งนี้ตรงนี้ ล็อกธรรมชาติของ
เมื่อคุณเข้าใกล้มันจากทิศบวก
เหมือนเดิม คุณจะเข้าใกล้ลบอนันต์
อันนี้จะให้รูปที่สรุปค่าไม่ได้
อันนี้จะให้
รูปที่สรุปค่าไม่ได้ ลบอนันต์
ส่วนลบอนันต์ ซึ่งสวยงาม
เพราะอันนี้ทำให้เราคิด หรือบอกเรา
ว่ากฎของโลปิตาลอาจเหมาะสมในที่นี้
เราบอกได้ว่า ค่านี้จะเท่ากับ
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวก
ขอผมหาที่
ทำเพิ่ม
ผมก็หาอนุพันธ์ของตัวเศษ
และอนุพันธ์ของตัวส่วนได้
อนุพันธ์ของตัวเศษ
อนุพันธ์ของตัวเศษ
ผมจะใช้กฎลูกโซ่ตรงนี้นะ
อนุพันธ์ของไซน์ของ x คือโคไซน์ของ x
แล้วอนุพันธ์
ล็อกธรรมชาติของไซน์ของ x เทียบกับ
ไซน์ของ x จะเท่ากับ 1 ส่วนไซน์ของ x
อันนี้จะเท่ากับส่วนไซน์ของ x
นั่นก็คืออนุพันธ์ของตัวเศษ

Bulgarian: 
Тоест, получава се натурален
 логаритъм от 0, което ще клони
към минус безкрайност.
Този член тук в знаменателя, 
натурален логаритъм от х –
когато х клони към 0 
от положителната посока –
отново ще клони към 
минус безкрайност.
Това ни дава неопределена форма.
Получаваме
неопределената форма 
минус безкрайност
върху минус безкрайност, което е добре,
защото това ни подсказва,
че правилото на Лопитал може би 
ще е подходящо в този момент.
Може да кажем, че това 
ще бъде равно
на граница, когато х клони към 0,
от положителната посока.
Нека да си осигуря малко повече
място, с което да разполагам.
Мога да намеря производната
 на числителя
и производната на знаменателя.
Производната на числителя, т.е.
при производната на числителя
ще приложа верижното правило.
Производната от синус от х 
е равна на косинус от х.
Следва производната
от натурален логаритъм от х спрямо
синус от х ще бъде равно 
на 1 върху синус от х.
Това ще бъде върху синус от х.
И така, това е производната 
на числителя.

Portuguese: 
log natural igual a zero,
você vai se aproximar
da infinidade negativa.
Esta coisa bem aqui, log natural de,
quando abordá-la do sentido positivo.
Mais uma vez você vai 
se aproximar ao infinito negativo.
Isto dá-lhe essa forma indeterminada.
Isso dá-lhe
esta forma indeterminada 
do infinito negativo
sobre o infinito negativo que é lindo
porque isso provoca ou, 
pelo menos, nos diz
que a regra de L'Hôpital 
poderia ser apropriada aqui.
Poderíamos dizer que esta vai ser igual
ao limite quando X se aproxima de zero
do sentido positivo.
Deixe eu me dar um pouco mais
de "bens imóveis" para trabalhar
e posso pegar o derivado do numerador
e o derivado do denominador.
Derivado do nominador,
apenas derivado do nominador,
Estou aplicando a regra da cadeia.
Derivado de seno de X é cosseno de X
e aí o derivado,
o log natural de seno de X a respeito
do seno de X
vai ser um sobre seno de X.
Isto vai ser acima de seno de X,
ou seja, é o derivado do numerador.

Korean: 
음의 무한으로 가고 있습니다
이번엔 분모에 집중해볼까요
로그 안의 값이 0으로 가면서
음의 무한으로 가고 있습니다
부정형이 만들어졌습니다
 
음의 무한 / 음의 무한 꼴이 
나왔기 때문에
음의 무한 / 음의 무한 꼴이 
나왔기 때문에
이제 로피탈의 정리를 쓸 수 있습니다
이제 로피탈의 정리를 쓸 수 있습니다
그럼 이 극한은 무엇일까요
로피탈의 정리를 사용하면
로피탈의 정리를 사용하면
 
 
분자와 분모를 미분합시다
분자와 분모를 미분합시다
분자의 도함수는
분자의 도함수는
합성함수의 도함수를 구해야 하죠
sin x의 도함수는 cos x이고
sin x의 도함수는 cos x이고
ln(sin x)이 도함수는 1/sin x입니다
ln(sin x)이 도함수는 1/sin x입니다
따라서 분자의 도함수는 cos x/sin x 입니다
따라서 분자의 도함수는 cos x/sin x 입니다

Czech: 
a přirozený logaritmus z 0
se blíží k zápornému nekonečnu.
Tento přirozený logaritmus,
když se blížíme zprava,
se bude opět blížit
k zápornému nekonečnu.
Získali jsme tedy
nedefinovaný výraz.
Získali jsme nedefinovaný výraz záporné
nekonečno lomeno záporné nekonečno,
což je super, protože to znamená, že zde
můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo.
Proto to bude rovno
limitě pro x jdoucí k 0 zprava…
Udělám si tady
trochu víc místa.
Udělám derivaci čitatele
a pak derivaci jmenovatele.
Na derivaci čitatele použiji
pravidlo pro derivaci složené funkce.
Derivace sin(x) je cos(x).
Derivace přirozeného logaritmu ze sin(x)
podle sin(x) je 1 lomeno sin(x).
Tohle tedy bude
lomeno sin(x).
Tak vypadá
derivace čitatele.

Czech: 
Derivace jmenovatele
bude 1 lomeno x.
Toto je tudíž rovno limitě pro x
jdoucí k 0 zprava z cos(x)…
A teď když
tohle dělím x...
Když tady dělím x,
dostanu x lomeno sin(x).
Když teď do limity dosadím,
dostanu 0 lomeno 0.
To mě tedy zrovna
dvakrát nepotěšilo.
Můžu teď ale
použít vlastnosti limit.
Jak vidíte, není to
zrovna nejlehčí příklad,
ale tohle se
bude rovnat...

Bulgarian: 
След това търсим 
производната на знаменателя,
която ще бъде равна 
просто на 1 върху х.
1 върху х.
Всичко това ще бъде равно на,
ще бъде равно на границата,
когато х клони към 0 
от положителната посока,
или може да запиша това 
като косинус от х.
Косинус от х.
Нека да видим,
разделям на х.
Разделям на х и ще се получи,
т.е. това ще бъде равно на 
х върху синус от х.
х върху синус от х.
Когато приложа, т.е.
когато се опитам да намеря 
границата тук,
ще се получи 0.
Още веднъж, получаваме 0 върху 0.
Това не изглежда много приятно,
но още веднъж, това е където 
свойствата на границата
може да са полезни.
Както може да видиш, тази не е от
най-обикновените задачи.
А това ще бъде равно 
на същото нещо...

English: 
Then the derivative of the denominator
is just going to be one over X,
one over X.
This is all going to be equal to,
this is equal to the limit
as X approaches zero from
the positive direction
of I could write this as cosine of X,
cosine of X.
Let's see,
if I'm dividing by X.
I'm dividing by X, I am going to get,
this is going to be X over sine of X,
X over sine of X.
When I apply
and when I try to take the limit here
I'm going to get a zero,
once again we got a zero over zero.
This doesn't feel too satisfying
but once again this is
where our limit properties
might be useful.
As you can tell, this is not the most
trivial of problems
but this is going to be the same thing

Portuguese: 
Aí o derivado do denominador
vai ser um sobre X,
um sobre X.
Tudo isso vai ser igual a
isto é igual ao limite
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo
eu poderia escrever isto
como co-seno de X,
co-seno de X.
Vamos ver
se eu estiver dividindo por X.
Estou dividindo por X, vou obter,
este vai ser X sobre seno de X,
X sobre seno de X.
Quando eu aplico
e quando eu tento pegar
o limite aqui
vou obter zero,
mais uma vez nós 
obtivemos um zero sobre zero.
Isso não está muito satisfatório
mas mais uma vez este é aonde 
as nossas propriedades do limite
podem ser úteis.
Como dá pra ver, isso não é um dos
problemas mais triviais
mas esta vai ser a mesma coisa

Thai: 
แล้วอนุพันธ์ของตัวส่วน
ก็แค่ 1 ส่วน x
1 ส่วน x
อันนี้จะเท่ากับ
อันนี้เท่ากับลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
ผมเขียนอันนี้ได้เป็นโคไซน์ของ x
โคไซน์ของ x
ลองดู
ถ้าผมหารด้วย x
ผมหารด้วย x ผมจะได้
อันนี้จะเป็น x ส่วนไซน์ของ x
x ส่วนไซน์ของ x
เมื่อผมใช้
เมื่อผมลองหาลิมิตตรงนี้
ผมจะได้ 0
เหมือนเดิม ผมจะได้ 0 ส่วน 0
มันยังไม่น่าพอใจนัก
แต่นี่คือจุดที่สมบัติลิมิต
อาจมีประโยชน์
คุณคงบอกได้ นี่ไม่ใช่
ปัญหาง่ายๆ
อันนี้จะเท่ากับ

Korean: 
이제 분모의 도함수를 구하면
그냥 1/x가 됩니다
그냥 1/x가 됩니다
식을 정리해서 다시 쓰면
식을 정리해서 다시 쓰면
식을 정리해서 다시 쓰면
식을 정리해서 다시 쓰면
식을 정리해서 다시 쓰면
 
이제 x로 나누겠습니다
x로 나누면
sin x/x 가 나옵니다
sin x/x 가 나옵니다
이제 이 식의 극한을 구해봅시다
이제 이 식의 극한을 구해봅시다
근데 이 꼴도 부정형입니다
근데 이 꼴도 부정형입니다
 
 
 
아까 말했듯이 이 문제는 까다롭습니다
아까 말했듯이 이 문제는 까다롭습니다
 

Korean: 
 
 
전에 두 함수의 곱의 극한이
두 함수의 극한의 곱과 
같다고 배운 적이 있습니다
두 함수의 극한의 곱과 
같다고 배운 적이 있습니다
이 문제에 적용해봅시다
x가 0으로 갈 때
x가 0으로 갈 때
표시한 부분을 묶어봅시다
표시한 부분을 묶어봅시다
 
 
지금 표시하는 부분은
다음과 같이 표현할 수 있습니다
다음과 같이 표현할 수 있습니다
괄호로 두 극한을 구별합시다
괄호로 두 극한을 구별합시다
 
다른 한 극한은 다음과 같습니다
다른 한 극한은 다음과 같습니다
다른 한 극한은 다음과 같습니다
이 부분의 극한을 먼저 구하면
이 부분의 극한을 먼저 구하면
그냥 x=0을 대입하여

Czech: 
Je třeba v tom
vidět určitý vzor.
...toto se rovná…
Protože víme, že limita součinu
dvou funkcí je součin jejich limit,
tak to bude totéž jako limita
pro x jdoucí k 0 zprava z…
Vezmeme tuto část, takže tady bude
x lomeno sin(x) a pak krát limita…
Dám sem závorky.
...krát limita pro x jdoucí
k 0 zprava z cos(x).
Tahle limita je
poměrně přímočará.

English: 
and this will take a little
bit of pattern recognition.
This is the same thing as
because we know that
the limit of the product
of two functions
is equal to the product of their limits,
this is the same thing as the limit,
the limit as X approaches zero
from the positive direction of,
if we take this part,
let me do this in a different color.
If we take this part,
that's not a different color.
If we take this part right over here,
so that's going to be X over sine of X
and then times the limit.
Let me put parenthesis here
times the limit,
the limit
as X approaches zero from
the positive direction
of cosine of X,
of cosine of X.
Now this thing right over here
is pretty straightforward.
You can just evaluate it at zero,

Thai: 
อันนี้ต้องใช้การสังเกตรูปแบบหน่อย
อันนี้จะเท่ากับ
เพราะเรารู้ว่าลิมิตของผลคูณ
ของฟังก์ชันสองตัว
เท่ากับผลคูณของลิมิต
อันนี้เท่ากับลิมิต
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวกของ
ถ้าเรานำส่วนนี้มา
ขอผมใช้อีกสีนะ
ถ้าเรานำส่วนนี้มา
มันไม่ใช่สีอื่น
ถ้าเรานำส่วนนี่ตรงนี้มา
มันจะเป็น x ส่วนไซน์ของ x
แล้วคูณลิมิต
ขอผมใส่วงเล็บตรงนี้นะ
คูณลิมิต
ลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
ของโคไซน์ของ x
ของโคไซน์ของ x
ทีนี้ อันนี้ตรงนี้
จะตรงไปตรงมา
คุณแค่หาค่ามันที่ 0

Portuguese: 
e isso vai exigir um pouco de
reconhecimento de padrões.
Esta é a mesma coisa
porque sabemos que o limite do produto
de duas funções
é igual ao produto dos seus limites,
esta é a mesma coisa que o limite,
o limite quando X se aproxima de zero
do sentido positivo,
se pegarmos esta parte,
deixe-me fazer isso
em uma cor diferente.
Se pegarmos esta parte,
isso não é uma cor diferente.
Se pegarmos esta parte aqui,
então isso vai ser X sobre seno de X
e depois vezes o limite.
Deixe-me colocar parênteses aqui
vezes o limite,
o limite
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo
de co-seno de X,
de co-seno de X.
Agora essa coisa bem aqui
é bastante simples.
Você pode apenas
calcula-la em zero,

Bulgarian: 
А това изисква разпознаване 
на един и същи модел.
Това ще бъде равно на 
същото нещо като...
Защото знаем, че границата 
от произведението на две функции
е равна на произведението от 
границите на тези функции.
Тоест това ще бъде равно на 
същото нещо като границата,
границата, когато х клони към 0
от положителната посока,
от ето тази част.
Нека да го запиша с различен цвят.
Ако вземем тази част...
Това не е различен цвят.
Ако вземем тази част ето тук,
то това ще бъде равно на 
х върху синус от х
и след това умножено по границата –
нека да поставя скоби ето тук –
по границата...
Границата,
когато х клони към 0 
от положителната посока,
от косинус от х.
От косинус от х.
Сега тази граница ето тук
е сравнително ясна.

Czech: 
Můžeme prostě dosadit 0
a dostaneme 1.
Tahle limita je
tedy rovna 1.
A co tahle
limita?
Tohle vám možná připomíná limitu
pro x jdoucí k 0 ze sin(x) lomeno x.
Tohle je pouze
převrácený zlomek.
Tohle je
x lomeno sin(x).
Když zkusíte
přímo dosadit,
dostanete 0 lomeno 0, takže
lze znovu použít L'Hospitalovo pravidlo.
Jak už jsem řekl, jde o
docela zajímavý příklad.
Tohle se tedy rovná
limitě pro x jdoucí k 0 zprava…
Derivace nahoře je 1,
derivace dole je cos(x),
takže limita bude 1
lomeno cos(x) v bodě 0, což je 1,
tedy i celá
limita bude 1.
Opět jsme použili L'Hospitalovo pravidlo
a zjistili jsme, že limita bude rovna 1.
1 krát 1 je 1, takže
tato limita je rovna 1,

Portuguese: 
vai obter um.
Essa coisa bem aqui é igual a um
mas o que é essa coisa?
Isso poderiar soar um sino.
Você pode ter visto o limite do X
se aproximando de zero,
do seno de X sobre X.
Este é apenas o inverso disso.
Este é X sobre seno de X
mas quando você tenta
avaliá-lo apenas superficialmente.
Você obtém zero sobre zero 
e assim pode aplicar
a regra de L'Hôpital a esta coisa.
Mais uma vez isso é
um cenário muito interessante
em que nos encontramos.
Este vai ser a mesma coisa que o limite
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo.
O derivado no topo é um,
derivado na parte inferior,
é co-seno de X.
Bem, isso apenas vai ser um
co-seno de zero é um,
este apenas vai ser igual a um.
Temos que aplicar
a regra de L'Hopital novamente
e perceber que esse limite
vai ser igual a um.
Um vezes um é igual a um
assim que esta coisa bem aqui
é igual a um.
Essa coisa bem aqui,
esta coisa bem aqui vai ser,

English: 
you get one.
This thing right over here is equal to one
but what's this thing?
This might ring a bell.
You might have seen the
limit as X approaches zero,
of sine of X over X.
This is just the reciprocal of that.
This is X over sine of X
but when you just superficially
try to evaluate it.
You get zero over zero
so you can then apply
L'Hopital's rule to this thing.
Once again this is quite
an interesting scenario
we find ourselves in.
This is going to be the
same thing as the limit
as X approaches zero from
the positive direction.
Derivative at the top is one,
derivative at the bottom, is cosine of X.
Well, this is just going to be one over
cosine of zero is one,
so this is just going to be equal to one.
We got to apply L'Hopital's rule again
and realize that this limit
is going to be equal to one.
One times one is one
so this thing right over
here is equal to one.
This thing right over here,
this thing right over here is going to be,

Thai: 
คุณจะได้ 1
ค่านี่ตรงนี้เท่ากับ 1
แล้วอันนี้คืออะไร?
อันนี้คุณอาจนึกได้
คุณอาจเคยเห็นลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
ของไซน์ของ x ส่วน x
นี่ก็แค่ส่วนกลับของมัน
นี่คือ x ส่วนไซน์ของ x
แต่เมื่อคุณลองหาค่ามัน
คุณจะได้ 0 ส่วน 0 แล้วคุณก็ใช้
กฎของโลปิตาลกับอันนี้ได้อีก
นี่คือกรณีที่เราได้เจอ
ที่น่าสนใจอีกแล้ว
อันนี้จะเท่ากับลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
อนุพันธ์ตัวบนคือ 1
อนุพันธ์ตัวล่างคือโคไซน์ของ x
นี่จะเท่ากับ 1 ส่วน
โคไซน์ของ 0 ได้ 1
อันนี้จึงจะเท่ากับ 1
เราได้ใช้กฎของโลปิตาลอีกครั้ง
และพบว่าลิมิตนี้จะเท่ากับ 1
1 คูณ 1 ได้ 1
พจน์นี่ตรงนี้จึงเท่ากับ 1
สิ่งนี้ตรงนี้
สิ่งนี้ตรงนี้จะเท่ากับ

Bulgarian: 
Може просто да я изчислим 
с х равно на 0 и получаваме 1.
Тази граница ето тук е равна на 1.
А на какво е равна тази граница?
Тук може да се досетиш нещо.
Може би си виждал/а граница, 
когато х клони към нула,
от синус от х върху х.
Тази граница тук е просто
 реципрочна стойност на същото нещо.
Равна е на х върху синус от х,
но ако просто се опиташ 
директно да я изчислиш,
то ще получиш 0 върху 0, 
така че може да приложиш
правилото на Лопитал 
към тази граница.
Още веднъж, това е 
много интересен случай,
в който се намираме.
Тази граница ще бъде равна 
на същото нещо като границата,
когато х клони към 0 
от положителната посока.
Производната в числителя е 0,
производната в знаменателя 
е косинус х.
Е, това ще е равно 
просто на 1 върху
косинус от 0 –
 което е равно на 1.
Така че тази граница 
ще бъде равна на 1.
Трябваше да приложим правилото 
на Лопитал още веднъж
и да установим, че тази граница 
ще бъде равна на 1.
1 по 1 е равно на 1,
така че тази граница ето тук 
е равна на 1.
А тази граница ето тук,
тази граница ето тук 
ще бъде равна на...

Korean: 
1을 구할 수 있습니다
 
이번엔 왼쪽을 구해봅시다
생각나는게 있나요?
생각나는게 있나요?
저 극한의 역수는 배운 적이 있죠
역수를 취하면 됩니다
sin x/x가 되죠
sin x/x가 되죠
0 / 0 꼴이 나왔으므로
로피탈의 정리를 써봅시다
흥미로운 전개가 됩니다
흥미로운 전개가 됩니다
이제 x가 0으로 갈 때
같은 방법을 실행합니다
분자를 미분하면 1이 되고
분모를 미분하면 cos x가 됩니다
1 / cos x가 나오네요
1 / cos x가 나오네요
이 값은 1이 됩니다
로피탈의 정리를 사용하여
이 극한을 구했습니다
따라서 이 식의 극한은 1입니다
따라서 이 식의 극한은 1입니다
이 식의 극한도 마찬가지죠
이 식의 극한도 마찬가지죠

Bulgarian: 
т.е. тази граница ще клони към 1,
което означава, че и тази граница
 ще клони към 1.
Какво знаем дотук?
Дотук знаем...Ще го запиша с думи.
Знаем, че границата
от натурален логаритъм от у,
границата от натурален логаритъм от у,
когато х клони към 0 
от положителната посока,
е равна на 1.
Ако натурален логаритъм 
от у клони към 1,
то към какво клони у?
Е, за да клони натурален 
логаритъм... Още веднъж,
ние просто знаем на какво 
е равна тази граница.
Знаем, че е равна на 1,
а този израз е равен на
 натурален логаритъм от у.
Сега знаем, че тази граница,
границата, когато х клони към 0, 
от този израз
е равна на 1 и е равна на 
същото нещо като границата,
когато х клони към 0 
от положителната посока,
от натурален логаритъм от у.
Тези две граници са еквивалентни
 и са равни на 1.
Натурален логаритъм от у 
клони към 1,

Czech: 
tudíž i tato
limita je rovna 1,
což znamená, že také
tato limita se rovná 1.
Co už
teď víme?
Zapíšu to.
Víme, že limita přirozeného logaritmu
z ‚y‘ pro x jdoucí k 0 zprava je rovna 1.
Když se přirozený logaritmus z ‚y‘ blíží
k 1, k čemu se musí blížit y?
V případě
přirozeného logaritmu…
Už víme, že limita tohoto výrazu je 1 a že
tento výraz je přirozený logaritmus z ‚y‘.
Víme, že limita pro x jdoucí k 0
zprava z tohoto výrazu je 1
a že je to totéž jako limita pro x jdoucí
k 0 zprava z přirozeného logaritmu z ‚y‘.
Tyto limity si jsou
rovny, obě jsou 1.
Přirozený logaritmus z ‚y‘
se blíží k 1.

English: 
this thing right over here
is going to approach one
which tells you that this
thing is approaching one.
What do we now know?
We now know and I'll
write it out in language.
We now know that the limit
of the natural log of Y,
the limit of the natural log of Y
as X approaches zero from
the positive direction
is equal to one.
If the natural log of
Y is approaching one,
what is Y approaching?
Well in order for the
natural log, so once again
we just know this thing right over here.
We know this thing is one
and this thing is a natural log of Y.
We now know that this thing,
the limit as X approaches
zero of this thing
is one and that's the
same thing as a limit
as X approaches zero from
the positive direction
of the natural log of Y.
These things are
equivalent, is equal to one.
Well the natural log
of Y is approaching one

Korean: 
이 식의 극한도 마찬가지죠
이 식의 극한도 마찬가지죠
이제 무엇을 알 수 있을까요?
지금 구한 것을 다시 정리하면
지금 구한 것을 다시 정리하면
지금 구한 것을 다시 정리하면
지금 구한 것을 다시 정리하면
지금 구한 것을 다시 정리하면
다음과 같이 됩니다
ln y의 극한이 1이면
y의 극한은 무엇일까요?
 
우린 이 값이 1이라는 것을 알고
우린 이 값이 1이라는 것을 알고
이 값이 ln y인 것도 알고 있습니다
 
x가 0으로 갈 때 저 부분의 극한은
x가 0으로 갈 때 저 부분의 극한은
x가 0으로 갈 때 ln y의 극한과 같습니다
x가 0으로 갈 때 ln y의 극한과 같습니다
 
ln y가 1로 간다면

Thai: 
สิ่งนี้ตรงนี้จะเข้าใกล้ 1
ซึ่งบอกคุณว่า สิ่งนี้เข้าใกล้ 1
ตอนนี้เรารู้อะไร?
เรารู้แล้วว่า ผมจะเขียนออกมา
เรารู้แล้วว่าลิมิต
ของล็อกธรรมชาติของ y
ลิมิตของล็อกธรรมชาติของ y
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
เท่ากับ 1
ถ้าล็อกธรรมชาติของ y เข้าใกล้ 1
y จะเข้าใกล้อะไร?
เวลาหาล็อกธรรมชาติ เหมือนเดิม
เรารู้สิ่งนี้ตรงนี้
เรารู้ว่าสิ่งนี้คือ 1
และสิ่งนี้คือล็อกธรรมชาติของ y
เรารู้ว่าสิ่งนี้
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของสิ่งนี้
คือ 1 และมันเท่ากับลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก
ของล็อกธรรมชาติของ y
พวกนี้เท่ากันหมด เท่ากับ 1
ล็อกธรรมชาติของ y เข้าใกล้ 1

Portuguese: 
esta coisa bem aqui vai se aproximar de um
que lhe diz que esta coisa 
está se aproximando de um.
O que sabemos agora?
Sabemos agora e eu vou escrevê-lo.
Sabemos agora que o limite
do logaritmo natural de Y,
o limite do logaritmo natural de Y
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo
é igual a um.
Se o logaritmo natural de Y 
está se aproximando de um,
ao que Y está se aproximando?
Bem, para que o log natural,
então mais uma vez
apenas sabemos
que essa coisa bem aqui.
Sabemos que essa coisa é um
e esta coisa é um log natural de Y.
Sabemos que essa coisa,
o limite quando X aborda-se
ao zero dessa coisa
é um e isso é a mesma coisa como o limite
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo
do logaritmo natural de Y.
Essas coisas são equivalentes,
é igual a um.
Bem, o log natural de Y
aproxima se de um

Czech: 
Pokud se přirozený
logaritmus z ‚y‘ blíží…
Napíšu to takto.
Když se přirozený
logaritmus z ‚y‘ blíží k 1,
k čemu se
musí blížit y?
Aby byl přirozený logaritmus něčeho
roven 1, tak se y musí blížit k e,
protože přirozený
logaritmus z ‚e‘ je 1.
Takže y se musí blížit k ‚e‘ a my jsme
hotovi, protože to je to, co nás zajímalo.
Zajímalo nás...
Co je y?
y je tohle, tohle
celé jsme označili jako y.
Zajímalo nás, k čemu se y blíží,
když se x blíží k 0 zprava.
Přišli jsme na to, že přirozený
logaritmus z ‚y‘ se blíží k 1,
když se x blíží
k 0 zprava,
což znamená, že 
y se musí blížit k ‚e‘,
tedy že tato limita
je rovna ‚e‘,
což je fascinující.
Už dříve jsme viděli,
že ‚e‘ se občas objeví.

Korean: 
ln y가 1로 간다면
따로 적어보겠습니다
ln y가 1로 간다면
y는 몇으로 갈까요?
아마 y는 e로 갈 것입니다
아마 y는 e로 갈 것입니다
ln e가 1이기 때문이죠
그럼 y는 e로 가겠군요
이제 다 풀었습니다
y가 무엇을 의미하죠?
이 전체 식을 y라 놓았습니다
x가 0으로 갈 때 
y는 몇으로 갑니까
x가 0으로 갈 때 
y는 몇으로 갑니까
x가 0으로 갈 때
ln y값을 구했습니다
ln y값을 구했습니다
이건 y가 e로 간다는 것을 의미하죠
 
그러므로 이 값은 e입니다
그러므로 이 값은 e입니다
 
sin x와 ln x로 이루어진 식에서

Portuguese: 
então, se o log natural de Y
se aproxima, deixe-me
escrevê-lo desta forma.
O log natural de Y
está se aproximando de um.
Bem, Y deve se aproximar de que?
Bem para obter o log natural de algo
que fica um,
bem Y deve se aproximar de E
porque o log natural de E é um.
Em seguida, Y deve se aproximar a E
e estamos pronto,
porque isso era o que importava.
Importava o que é Y,
este é o Y, lembre-se,
definimos essa coisa toda
como Y.
Perguntamos do que Y
está se aproximando
quando X se aproxima de zero
do sentido positivo?
Bem, descobrimos que
o log natural de Y
está se aproximando de um
enquanto X se aproxima de zero
do sentido positivo.
Significa que Y
tem que se aproximar de E
Isso nos diz que esta coisa,
esta coisa bem aqui
é igual a E
que é um pouco surpreendente.
Nós vimos outra, a E está surgindo

Bulgarian: 
така че ако натурален логаритъм от у
клони към... нека да го запиша 
по следния начин:
натурален логаритъм от у 
клони към 1.
А към какво следва да клони 
функцията у?
За да намериш натурален 
логаритъм от нещо,
което клони към 1, то у следва 
да клони към числото е,
защото натурален логаритъм 
от е е равен на 1.
Тогава у следва да клони
 към числото е
и сме готови! Това е нещото,
 което ни интересува.
Искахме да намерим границата от у,
 а ето това е у,
дефинирахме целия този израз като у.
Зададохме си въпроса
към какво клони у,
когато х клони към 0
от положителната посока.
И намерихме, че 
натурален логаритъм от у
клони към 1, когато х клони към 0
от положителната посока.
Това означава, че у следва 
да клони към числото е.
Това означава, че 
тази граница ето тук,
тази граница ето тук,
е равна на числото е,
което е просто невероятно!
Виждаме, че числото е се появява.

English: 
so if the natural log of Y
is approaching, let me write it this way.
The natural log of Y is approaching one.
Well what must Y be approaching?
Well to get the natural log of something
that gets you one, well
Y must be approaching E
because natural log of E is one.
Then Y must be approaching E
and we are done because
that's what we cared about.
We cared about what is
Y, this is Y, remember,
we defined this whole thing as Y.
We said what is Y approaching
as X approaches zero from
the positive direction?
Well we figured out that
the natural log of Y
is approaching one as X approaches zero
from the positive direction.
That means that Y must be approaching E.
This tells us that this thing,
this thing right over here
is equal to E
which is somewhat mind blowing.
We seen other, the E is popping up

Thai: 
ถ้าล็อกธรรมชาติของ y
เข้าใกล้ ขอผมเขียนแบบนี้นะ
ล็อกธรรมชาติของ y เข้าใกล้ 1
แล้ว y ต้องเข้าใกล้อะไร?
เพื่อให้ได้ล็อกธรรมชาติของอะไรสักอย่าง
เท่ากับ 1, ค่า y นั้นต้องเข้าใกล้ e
เพราะล็อกธรรมชาติของ e คือ 1
แล้ว y ต้องเข้าใกล้ e
และเราก็เสร็จแล้ว เพราะนั่นคือสิ่งที่เราสนใจ
เราสนใจว่า y คืออะไร นี่คือ y นึกดู
เรานิยามว่าทั้งหมดนี้คือ y
เราบอกว่า y เข้าใกล้อะไร
เมือ่ x เข้าใกล้ 0 จากทิศบวก?
เราหาไปแล้วว่าล็อกธรรมชาติของ y
เข้าใกล้ 1 เมื่อ x เข้าใกล้ 0
จากทิศบวก
นั่นหมายความว่า y ต้องเข้าใกล้ e
อันนี้บอกเราว่าสิ่งนี้
สิ่งนี้ตรงนี้
เท่ากับ e
ซึ่งเป็นสิ่งที่น่าตะลึง
เราเห็นว่ามีค่า e โผล่ขึ้นมา

Czech: 
Tady máme sin(x) a samozřejmě
také přirozený logaritmus z ‚x‘,
takže dává smysl,
že v řešení je někde ‚e‘,
ale stejně mě
to stále fascinuje.

Bulgarian: 
Ако изразът съдържа 
функцията синус от х
и разбира се, натурален логаритъм от х,
може да очакваш числото е да бъде 
замесено по някакъв начин.
Мисля, че това е наистина 
очарователна задача.

Korean: 
뜬금 없이 e가 나온거 같지만
이 문제를 풀어봤으니
e가 언제든 나올 수 있다는걸 알아둡시다
이 문제는 꽤 멋진 문제입니다

Thai: 
และมันเกี่ยวข้องกับไซน์ของ x
และล็อกธรรมชาติของ x
คุณคาดได้ว่า e คงมาเกี่ยวข้อง
มันเป็นปัญหาที่น่าตื่นเต้นทีเดียว
ในความเห็นผม

Portuguese: 
e está envolvendo o seno de X
e, claro, o log natural de X,
você espera que E
seja envolvido de alguma forma.
Na minha opinião é
um problema muito fascinante.
Legendado por [Soraia Novaes]

English: 
and it's involving sine of X
and of course natural log of X,
you expect E to be involved somehow.
It is a pretty fascinating
problem in my mind.
