
Korean: 
다변수 함수를 표현하는
많은 방법들은
점과 벡터를 3차원으로
나타내는 방법에
익숙하다는 것을 전제로 합니다
그래서 3차원에서
점과 벡터를 나타내는 방법
영상을 만들었습니다
그러기 전에
먼저 2차원에서
점과 벡터를 나타내면서
시작하면 좋을 것 같습니다
다변수 미적분학을
배우려고 오셨다면
이미 알고 계실 겁니다
그래서 아마도
"왜 다시 배우지?
이미 이차원 내용은 아는데"
라고 하실지도 모르겠습니다
하지만 이차원에서 유추하는 건
유용한 일입니다
이차원과 삼차원을 비교하면
시각화할 수 없는
다른 차원으로도
확장할 수 있고
두 차원을 대비시키는 사고도
할 수 있으니까요
이차원에서는 이렇게
점이 놓여 있으면
보통 x축과 y축이

Spanish: 
Varias de las formas en las que
representamos funciones multivariables
asumen cierta fluidez con
la representación de puntos en tres dimensiones
y con la representación de vectores en tres dimensiones.
Así que pensé en hacer un pequeño video
para expresar exactamente cómo es que describimos
puntos y vectores en tres dimensiones.
Antes de hacerlo,
creo que sería útil
si empezamos por describir
puntos y vectores en dos dimensiones.
Asumo que si estás aprendiendo
cálculo multivariable,
entonces ya has repasado estos temas.
Y puede que pienses
¿Cuál es el punto de esto?
Ya sé representar
puntos y vectores en dos dimensiones.
Pero la analogía tiene un enorme valor aquí,
pues apenas empiezas a comparar
las dos dimensiones con las tres dimensiones,
empezarás a ver patrones que se pueden
extender a otras dimensiones que
no necesariamente puedas visualizar,
o que pueden ser útiles cuando tengas que comparar
una dimensión con otra.
Así que en dos dimensiones, si tienes algún punto
sentado por ahí.
Usualmente lo representamos

Bulgarian: 
Много от начините, по които
представяме функциите с повече променливи
предполагат, че се справяме добре
с представянето на точки
в три измерения,
както и с представяне на вектори
в три измерения.
Затова реших да направя
отделно видео за това,
за да разясня как
описваме
точки и вектори в 
три измерения.
Преди да го направим, мисля
че е добре
 
да започнем с описанието на точки
и вектори в две измерения.
 
Предполагам, че ако изучаваш
анализ с повече променливи
 
вече си учил/а това.
Може би се чудиш:
"Какъв е смисълът.
 
Вече знам как да представям
точки и вектори
в две измерения.
Но тук е много важно
да се направи аналогия,
защото като започнеш
да сравняваш
две измерения и три
измерения,
ще започнеш да забелязваш
закономерности как
да разришириш това и
до други измерения,
които не е задължително
да визуализираш,
или кога може да е
полезно да сравняваш
едно измерение с друго.
Ако в две измерения
имаш някаква точка,
която просто си седи ето тук,
обикновено я представяме,

English: 
- [Voiceover] So a lot of the ways that we
represent multivariable functions
assume that you're
fluent with understanding
how to represent points
in three-dimensions
and also how to represent
vectors in three-dimensions.
So I thought I'd make
a little video here to,
spell out exactly how
it is that we describe
points and vectors in three-dimensions.
And before we do that,
I think it will be valuable
if we start off by describing
points and vectors in two-dimensions.
And, I'm assuming if you're learning
about multivariable calculus,
that a lot of you have
already learned about this.
And you might be saying
what's the point?
I already know how to represent,
points and vectors in two-dimensions.
But there is a huge value in analogy here,
because as soon as you start to compare
two dimensions and three-dimensions,
you start to see patterns for how it could
extend to other dimensions that you
can't necessarily visualize,
or when it might be useful to think about
one dimension versus another.
So in two-dimensions, if
you have some kind of point
just, you know, off sitting there.
We typically represent it,

Korean: 
서로 직교하는
평면 위에 표현하죠
그리고 숫자를
죄송합니다, 점을 순서쌍으로 표현하죠
여기서는 대충
(1, 3)쯤 되겠네요
이것이 의미하는 바는
x축을 따라 1만큼 오른쪽
y축을 따라 3만큼 위로
이동해야 한다는 것입니다
그래서 길이 1로 그리고
길이 3으로 그리면
정확한 그림은 아니지만
이것들이 좌표가 됩니다
2차원 공간의 모든 점은
이렇게 순서쌍으로
주어질 수 있고
한 방향으로 얼마만큼
다른 방향으로 얼마만큼 가면
점에 도달할 수 있다는
안내로 생각하셔도 됩니다
그리고 반대로도 생각할 수 있겠죠?
무언가 숫자의 쌍으로 표현할 수 있으면
이차원 공간으로 나타낼 수 있고
사실 이건
저는 오랫동안 느끼지 못했지만
매우 유용한 관점입니다
순서쌍과 공간 위의 점을
왔다갔다 하면서

Spanish: 
con la ayuda de un eje x y un eje y
que son perpendiculares el uno al otro
Y representamos este número con un par...
Quiero decir, representamos este punto con un par de números.
Así que en este caso, digamos,
puede ser algo así como (1,3).
Y lo que eso representaría,
es que tendrás que moverte una distancia
de 'uno' a lo largo del eje x
y luego una distancia de 3 a lo largo del eje y.
Así que, ta lo sabes, digamos que esta es la distancia de 'uno',
esta es la distancia de 'tres'
(puede no ser exacta)
pero digamos que estas son las coordenadas.
Lo que esto significa es que todo
punto en el espacio de dos dimesiones
puede ser asociado a un par de números como este
y puedes pensar en ellos como como instrucciones
que en cierta forma te están diciendo
que tanto debes caminar en una dirección,
y qué tanto en otra.
Y también puedes pensar a la inversa, ¿verdad?
Cada vez que tienes un par de cualquier cosa
ya sabes que deberías pensar 'bi-dimensional-mente'
Y esta es, de hecho,
una idea sumamente poderosa.
Creo que tardé mucho tiempo en apreciar,
el hecho de que podía ir de un lado a otro entre
pares de números y puntos en el espacio

English: 
you've got an x-axis and a y-axis
that a perpendicular to each other.
And we represent this number with a pair.
Sorry, we represent this
point with a pair of numbers.
So in this case, I don't know,
it might be something like one, three.
And what that would represent,
is it's saying that you
have to move a distance
of one along the x-axis
and then a distance of
three up along the y-axis.
So you know this, let's say
that's a distance of one,
that's a distance of three,
it might not be exactly
that the way I drew it,
but let's say that those
are the coordinates.
What this means is that every
point in two dimensional space
can be given a pair of numbers like this
and you think of them as instructions
where it's kind of telling you
how far to walk in one way,
how far to walk in another.
But you can also think
of the reverse, right?
Every time that you have a pair of things
you know that you should be
thinking two-dimensionaly
and that's actually,
a surprisingly powerful idea that
I don't think I
appreciated for a long time
how there's this back and forth between
pairs of numbers and points in space

Bulgarian: 
като имаме ос х и ос у,
после спускаме перпендикуляр 
към всяка от тези оси.
И представяме точката
като двойка.
Извинявам се, представяме
точката като двойка числа.
В този случай, не знам,
може да е например (1; 3).
Това, което представлява тя,
ни казва, че разстоянието,
на което да се придвижим,
е 1 по оста х,
а след това е 3 по оста у.
Знаеш това, да кажем,
че това разстояние е 1,
а това разстояние е 3.
Може да не е точно както
го начертах,
но да кажем, че това
са координатите.
Това означава, че
всяка точка
в двумерното пространство
може да се представи
като двойка числа по този начин,
и ти ги възприемаш като
инструкции,
които един вид ти казват
колко да се придвижиш в 
едната посока
и колко да се придвижиш
в другата посока.
Но можеш да си представиш
и обратното, нали?
Всеки път, когато
имаш двойка данни,
знаеш, че можеш
да разсъждаваш в две измерения
и това всъщност е изненадващо
добра идея, че
 
която аз дълго не оценявах
как това напред-назад
между двойки числа
и точки в пространството

English: 
and it lets you visualize things
you didn't think you could visualize,
or lets you understand things
that are inherently visual just by
kinda going back and forth.
And in three-two-dimensions
there's a similar dichotomy, but between
triplets of points and
points in three-dimensional space.
So, let me just plop down a point
in three-dimensional space here,
and it's hard to get a feel for exactly
where it is until you move things around.
This is one thing that
makes three-dimensions hard
is you can't really draw it without
moving it around or showing,
showing a difference in
perspective in various ways.
But we describe points like this,
again with a set of coordinates,
but this time it's a triplet.
And this particular point,
I happen to know is one, two, five.
And what those numbers are telling you is
how far to move, parallel to each axis.
So just like with two dimensions,
we have an x-axis,
and a y-axis.
But now there's a third axis that's
perpendicular to both of them,

Spanish: 
y que esto permite visualizar cosas
que pensarías que no se pueden visualizar,
o te permite entender cosas
que inherentemente visuales sólo con
ir de un lado a otro.
Y en tres dimensiones
hay una dicotomía similar, pero entre
triplos de puntos (números)
y puntos en tres dimensiones.
Déjenme poner un punto aquí,
en el espacio tridimensional,
y es un poco difícil de percibir exactamente
dónde está, hasta que mueves las cosas un poco.
Eso es algo que dificulta un poco trabajar con tres dimensiones
y es que en realidad no puedes dibujarlas
sin moverlas; sin mostrarlas.
sin mostrar diferentes perspectivas desde varios puntos de vista.
Pero podemos describir puntos así,
de nuevo con un set de coordenadas,
pero esta vez es una tripleta.
Y este punto en particular,
resulta que sé que es 'uno, dos, cinco'.
Y lo que nos dicen estos números es
cuán lejos movernos, paralelos a estos ejes.
Así que al igual que en dos dimensiones,
tenemos un eje x,
y un eje y.
Pero además hay un tercer eje que es
perpendicular a ambos,

Korean: 
눈으로 볼 수 없었던 것을
시각화해 주고
원래 시각적이었던 것을
반대로 표현하면
숫자로 바꿔 주죠
그리고 3차원에서도
숫자 세 개의 쌍과
3차원 공간 위의 점으로
나누어 표현할 수 있습니다
여기 삼차원 공간에
점을 하나 찍어 보죠
이리저리 옮겨 가며 보기 전에는
정확히 어디인지 모르겠군요
시점을 다양하게 옮겨 가면서
보지 않으면
위치를 정확히 할 수 없는 건
3차원에서 어려운 점 중 하나입니다
그리고 점을 좌표들로
똑같이 표현하지만
이번엔 세 쌍입니다
아까 찍은 점은
(1, 2, 5)이군요
이 숫자들이 의미하는 바는
각 축에 평행하게 얼마나 움직여야 하는가입니다
이차원과 같이
x축과 y축이
있고
이제는 그 둘에 모두 수직인
세 번째 축이 있습니다

Bulgarian: 
ни позволява да 
визуализираме неща,
които сме си мислили,
че не могат да се визуализират,
или ни позволява да разберем неща,
които не са визуални по природа,
като просто се придвижваме
насам и натам.
При три измерения
има подобна дихотомия,
но между тройки от точки
 
и точки в тримерно
пространство.
Само ще поставя една точка
в това тримерно пространство тук,
като е трудно да си
представим точно
къде е то, докато не
преместя тези неща наоколо.
Това е нещо, което прави
работата в три измерения трудна
и не можеш на практика
да чертаеш
без да преместваш или да 
показваш
разликата в перспективата
по различни начини.
Но описваме точките по
този начин,
отново с набор от
координати,
сега като тройка координати.
Това е конкретна точка,
която знаем, че е (1; 2; 5).
Тези числа ни казват 
на какво разстояние
да се придвижим успоредно
на всяка ос.
Както при две измерения,
имаме ос х и ос у.
 
Но сега имаме и трета ос, която
е перпендикулярна и на двете.
 

Spanish: 
y nos guía a través de la tercera dimensión, a través del eje z.
Y el primer número en nuestras coordenadas
nos dirá cuán lejos,
opa, no podemos mover esto,
cuan lejos debemos ir en la dirección 'x'
como primer paso.
El segundo número, (en este caso '2'),
nos dice cuan lejos debemos ir
en paralelo al eje y, como segundo paso.
Y luego, el tercer número nos dice cuán alto
debemos ir para llegar, por fin, a nuestro punto.
Y puedes hacer esto para cualquier punto
en el espacio tri-dimesnional, ¿verdad?
Cualquier punto que tengas puedes
desglosarlo en instrucciones sobre cómo moverte
a través del eje 'x', y después paralelo al eje 'y'
y luego al eje 'z'
para llegar a ese punto,
lo que significa que hay una relación de ida y vuelta
entre tripletas de números y puntos en el espacio tri-dimensional.
Así que siempre que te cruces con una tripleta,
(y lo verás en el siguiente video,
cuando empecemos a hablar sobre gráficos tri-dimensionales)
sabrás, sólo por
el hecho de ser una tripleta
"Oh sí, debo pensar más o menos en tres dimensiones"
justo en la misma forma en que, siempre que tengas pares,
deberías pensar:
"oh, este es un asunto de dos dimensiones".
Por cierto, tenemos otro contexto

Korean: 
z축으로 비로소 3차원이 되죠
좌표의 첫 번째 숫자는
우리가 얼마나
엇, 이렇게는 안 움직이네요
얼마나 x축 방향으로 먼저 움직여야 하는가를
말해 줍니다
두 번째 숫자 2는
그 다음으로 y축을 따라
얼마나 움직여야 하는지 말해 주고
세 번째 숫자는 점에 도달하기 위해
얼마나 높이 올라가야 하는지를 나타냅니다
3차원 공간상의 어떤 점도
이렇게 할 수 있겠죠?
어떤 점에서도
x축 y축 z축을 따라
얼마나 움직인 후에
점에 도달하는지
안내할 수 있고
순서쌍과 3차원 위의 점이
서로 대응됨을 말해 주죠
다음 영상에서 다루는
3차원 그래프의 경우처럼
무언가 세 가지가 있으면
그게 숫자 세 개로 이루어진
쌍이기 때문에
3차원적으로 접근해야겠다는 생각을 할 수 있습니다
무언가 두 개의 쌍이 있으면
"2차원적으로
접근해야겠다"라고 할 수 있는 것처럼요
숫자 쌍이 나오는

English: 
and moves us into that
third-dimension, the z-axis.
And the first number in our coordinate
is gonna tell us how far,
whoop, can't move those guys,
how far we need to move in the x direction
as our first step.
The second number, two in this case,
tells us how far we need to move
parallel to the y-axis,
for our second step.
And then the third number
tells us how far up
we have to go to get to that point.
And you can do this for any point
in three-dimensional space, right?
Any point that you have you can
give the instructions for how to move
along the x, and then how
to move parallel to the y
and how to move parallel to the z
to get to that point,
which means there's this back and forth
between triplets of
numbers and points in 3-D.
So whenever you come
across a triplet of things,
and you'll see this in the next video
when we start talking about
three-dimensional graphs,
you'll know, just by virtue of the
fact that it's a triplet
"Ah, yes, I should be thinking
in three-dimensions somehow"
just in the same way
whenever you have pairs
you should be thinking
ah, this is a very two-dimensional thing.
So, there's another context though

Bulgarian: 
Тя ни отвежда в трето измерение,
това е оста z.
Първото число от координатите
ни казва колко далеч...
опа, не трябва да 
движа това,
на какво разстояние
да се придвижим в посока х,
което е първата ни стъпка.
Второто ни число,
в този случай то е 2,
ни казва колко да се придвижим
успоредно на оста у,
това е втората ни стъпка.
И третото число ни казва
колко да се преместим
ето тук, за да стигнем
до тази точка.
Можеш да направиш това
за всяка произволна точка
в три измерения, нали?
За всяка точка, която имаш,
можеш да дадеш инструкции
на какво разстояние
да се преместиш по оста х, или
успоредно на оста у,
или успоредно на оста z,
за да стигнеш до тази точка.
 
което означава, че има връзка
между тези
тройки координати и точките
в трите измерения.
Винаги, когато видиш три
свързани числа,
както ще видиш в следващото видео,
когато ще започнем да
говорим за тримерни графики,
ще знаеш, че поради самата
му същност като триплет:
 
"О, да, това мога да си го
представя в три измерения."
Точно както винаги, когато
имаш двойки числа,
можеш да си представиш, че
това е нещо в две измерения.
Тук има и друг контекст обаче,

English: 
where pairs of numbers come up
and that would be vectors.
So a vector you might represent,
you know you typically it with an arrow.
Oh,
ahh.
Help, help! (chuckling)
So vectors,
So vectors we typically
represent some kind of arrow,
let's, this arrow nice color.
An arrow.
And if it's a vector from
the origin to a simple point,
the coordinates of that vector
are just the same as those of the point.
And the convention is to write
those coordinates in a column.
You know, it's not set in stone,
but typically if you
see numbers in a column
you should be thinking
about it as a vector,
some kind of arrow.
And if it's a pair with
parenthesis around it
you just think about it as a point.
And even though, you know, both of these
are ways of representing
the same pair of numbers,
the main difference is that a vector
you could have started
at any point in space
it didn't have to start in the origin.
So if we have that same guy,
but you know if he starts here

Bulgarian: 
в който се използват
двойки числа,
и това са векторите.
Един вектор може да се представи,
спомни си, обикновено
като стрелка.
О, помощ.
 
 
Значи векторите обикновено
представяме с някаква стрелка,
 
например като тази стрелка
с хубав цвят.
Стрелка.
Ако това е вектор от
началото до някаква точка,
координатите на този
вектор
са просто същите
като на тази крайна точка.
Прието е да се записват
тези координати като колона.
 
Знаеш, не е природен закон,
но обикновено, когато видиш
числа, записани в колона,
обикновено ще си
помислиш за вектор,
някакъв вид стрелка.
Ако това е двойка числа със скоби
около нея,
тогава си представяш точка.
И въпреки че и двете
са начини за представяне
на една и съща двойка числа,
основната разлика е, че
това е вектор,
който започва от някаква
точка в пространството,
не е задължително да е 
началото на координатната система.
Ако имаме същото нещо,
но започва ето тук,

Korean: 
또 하나의 상황은
벡터입니다.
벡터는 보통
화살표로 나타내죠
 
 
잘못 돌렸군요(웃음)
벡터는
보통 화살표로 나타내죠
색이 멋지군요
화살표를
원점에서 어떤 점까지 벡터로 나타내면
그 벡터의 성분이
점의 각 좌표와 같습니다
일반적으로 이 성분을
열로 나타냅니다
꼭 그런 것은 아니지만
세로로 나열된 숫자는
보통 벡터나 화살표의
표현입니다
소괄호 안에 있는 쌍이라면
보통 점의 표현이죠
이 둘 다
같은 숫자 쌍을 표현하는 방법이지만
주된 차이는 벡터는
원점이 아닌 어떤 점에서도
시작할 수 있다는 점입니다
그래서 비슷하게
대신 여기서 시작해서

Spanish: 
en el que surgen pares de números
Hablo de los vectores.
Puedes representar un vector,
ya sabes, la forma más típica es con una flecha.
Ups,
noo
(error)
Decíamos,
Usualmente representamos vectores con algún tipo de flecha,
Démosle un bonito color.
Ya está.
Y si es un vector desde el origen hasta un punto cualquiera,
las coordenadas de ese vector
son justo las mismas que aquellas del punto.
Y convencionalmente escribimos
esas coordenadas en una columna.
Ya sabes, no está escrito en piedra,
pero usualmente, si vez números en una columna
deberías pensar en ellos como vectores,
algún tipo de flecha.
Y si es un par con paréntesis
piensa en él como un punto.
E incluso aunque ambas
son formas distintas de presentar el mismo par de números
la diferencia principal es que ese vector
podría iniciar en cualquier punto en el espacio,
no necesariamente en el origen.
Así que tenemos al mismo sujeto,
pero sabes que si empieza por aquí

Spanish: 
y aún tiene los mismos componentes de 'uno'' hacia la derecha
y 'tres' hacia arriba,
seguirá siendo el mismo vector.
Además estos usualmente representan movimiento,
mientras que los puntos sólo representan...
....puntos en el espacio.
Además, otra cosa que puedes hacer
con vectores es sumarlos.
Así que si tiene otro vector,
digamos por aquí
que tiene un componente más largo en 'x'
y uno más chico, y negativo, en 'y', como este sujeto.
Y lo que decíamos es que puedes sumarlos
imaginando que el segundo vector inicia
al final del primero
y después, de todas formas, empiezas desde el origen
y vas hasta la nueva punta,
ese será el vector resultante.
Como decía, esta es la suma de esos dos vectores.
Y el hecho es que en realidad no puedes hacer eso con puntos.
Cuando piensas en sumar puntos
terminas pensando en ellos como vectores.
Y lo mismo ocurre en tres dimensiones.
Para un punto dado, si dibujas una flecha

Korean: 
오른쪽으로 1만큼
위쪽으로 3만큼 방향이면
같은 벡터로 친다는 겁니다
보통 점들은 공간 상의 위치를 표현하고
이 벡터들은
움직임을 표현하죠
또 점들과 다른 부분은
벡터를 더할 수 있다는 겁니다
그래서 이렇게
다른 벡터가 있으면
x성분을 크게
y성분을 작게 만들죠
벡터의 합의 표현은
둘째 벡터가 첫째 벡터의
화살표 머리에서 시작해서
이렇게 이동한 만큼
원점에서 새로 그으면
그게 결과가 되고
두 벡터의 합이 됩니다
점 두 개론 이렇게 생각할 수 없죠
점을 서로 더하려면
벡터로 생각해야 합니다
3차원에서도 똑같습니다
원점에서 어떤 점까지

Bulgarian: 
и все още дясната компонента
е 1,
а горната компонента е 3,
си представяме същия вектор.
Обикновено те представят някакво
движение,
като точките само представят
някакви действителни
точки в пространството.
Другото голямо нещо, което
можеш да направиш,
е че можеш да събираш вектори.
Ако имаш друг вектор,
 
който има по-голяма х-компонента,
но по-малка отрицателна у-компонента,
например като този тук.
Това означава, че можеш
да ги събереш,
да си представиш, че
вторият вектор започва
от края на първия,
и после, макар да започваш
от началото
до новия връх ето тук,
това ще е полученият вектор,
или можем да кажем сумата
на тези два вектора.
И всъщност не можеш да направиш това
с точки, тъй като
ако си представим събиране 
на точки,
те всъщност се превръщат
във вектори.
Същото се случва в
три измерения.
Ако за дадена точка 
начертаеш стрелка

English: 
and he still has a
rightward component of one
and an upward component of three,
we think of that as the same vector.
And typically these are
representing motion of some kind
whereas points are just representing
like actual points in space.
And the other big thing that you can do
is you can add vectors together.
So, you know, if you had another,
let's say you have another vector
that has a large x component
but a small negative y
component, like this guy.
And what that means is
that you can kind of add
like, imagining that second vector started
at the tip of the first one
and then however you get from the origin
to the new tip there,
that's gonna be the resulting vector, so
I'd say this is, this is the
sum of those two vectors.
And you can't really do
that with points as much.
In order to think about adding points
you end up thinking about them as vectors.
And the same goes with three-dimensions.
For a given point, if you draw an arrow

Bulgarian: 
от началото на координатната 
система до нея,
тази стрелка може да се представи
със същата тройка числа,
но ще ги поставим в колона,
и това се нарича вектор-колона.
Това не е 3, това е 5.
Разликата между точка
и стрелка, както можеш 
да си представиш,
знаеш, че стрелката или
векторът
започва някъде в пространството,
няма значение къде,
тъй като той се определя
от същите компоненти
за това колко се преместваме
успоредно на х,
колко се преместваме успоредно
на оста у,
и колко се преместваме
успоредно на оста z.
В следващото видео ще ти покажа
как можем да използваме
тези три измерения,
за да чертаем функции
с две или повече променливи.

English: 
from the origin up to that point,
this arrow would be represented
with that same triplet of numbers,
but you typically do it in a column,
I call this a column vector.
That's not three, that's five.
And the difference between the point
and the arrow is you can think of,
you know the arrow or the vector
is starting anywhere in space,
it doesn't really matter,
as long as it's got those same components
for how far does it
move parallel to the x,
for how far does it move
parallel to the y-axis,
and for how far does it
move parallel to the z-axis.
So in the next video,
I'll show how we use
these three-dimensions
to start graphing multivariable functions.

Korean: 
화살표를 그리면
이 화살표는 점과 같은
성분으로 표현되고
세로로 열을 만들면
열벡터가 됩니다
3이 아니라 5군요
점과 벡터의 차이에서도
화살표 혹은 벡터는
어디에서 시작해도
상관이 없고
x축을 따라
y축을 따라
z축을 따라 이동하는
성분만 같으면
같은 벡터로 칩니다
다음 영상에서
이 3차원 개념을
다변수함수 그래프에 활용하겠습니다

Spanish: 
desde el origen hasta ese punto,
esta flecha estará representada
con la misma tripleta de números,
pero usualmente lo harás en una columna,
que llamamos vector columna.
(eso no es un tres, es un cinco)
Y la diferencia aquí entre el punto
y la flecha es que puedes pensar,
ya sabes, la flecha o el vector
inicia en cualquier punto del espacio,
realmente no importa,
siempre y cuando tenga los mismos componentes
que nos digan cuánto se mueve paralelamente al eje 'x'
cuánto respecto al eje 'y',
y cuánto con respecto al eje 'z'.
En el siguiente video,
les mostraré cómo usar estas tres dimensiones
para empezar a graficar funciones multivariables.
