
Portuguese: 
Vamos ver se podemos
usar o teorema de Green
para resolver algumas integrais de linha.
E antes de eu mostrar um exemplo,
quero fazer uma ressalva
sobre o teorema.
Em todos os exemplos que fiz,
eu tinha uma região como essa,
e a parte interna da região estava
à esquerda do sentido do caminho
que percorremos.
Dessa forma, em todos os exemplo eu
ia em um sentido anti-horário e nossa
região ficava à esquerda dele -- se
você se imaginar andando sobre o
caminho nessa direção, ela
ficaria à esquerda.
E essa é a situação em que o
teorema de Green se aplica.
Se você fosse pegar uma integral
de linha sobre esse caminho,
uma integral de linha fechada,
poderíamos especificá-la assim.
Você vai ver que em alguns
livros -- sobre a curva C
de f escalar dr. Isso seria
igual a integral dupla sobre
essa região R, da parcial de
Q em função de x, menos

Korean: 
실제 선적분을 풀기 위해서
실제 선적분을 풀기 위해서
그린의 정리에 대해서 알아봅시다
예제를 보여드리기 전에
그린의 정리에 대해서 알아봅시다
모든 예제는 이런 영역에서 이루어지고
영역을 둘러싸는 곡선의
왼쪽 부분입니다
이제 모든 예제들은 반시계 방향의 곡선과
곡선의 왼쪽 영역으로 이루어집니다
영역은 항상 경로의 왼쪽이어야 합니다
그리고 그것이 그린의 정리를
적용할 수 있는 상황입니다
만약 이 경로를 통해 선적분 한다면
이렇게 폐곡선 적분을
나타내줍니다
교과서에서 보았듯이 말이죠
곡선 c를 적분해줍니다
이건 영역 R에 대한 이중적분으로
나타낼 수 있습니다

Polish: 
Zobaczmy jak użyć twierdzenie Greena
do obliczania konkretnych całek krzywoliniowych
Zanim pokaże konkretny przykład chciałbym
wyjaśnić jedną ważną sprawę związaną z twierdzeniem Greena
Mianowicie we wszystkich przykładach mamy pewien obszar
którego wnętrze jest po lewej stronie
krzywej po której idziemy
We wszystkich przykładach idziemy wzdłuż krzywej odwrotnie do kierunku wskazówek zegara
a więc nasz obszar jest po lewej stronie takiego ruchu
wzdłuż tej krzywej
I to jest właśnie sytuacja gdy możemy użyć twierdzenia Greena
Rozważmy całkę krzywoliniową wzdłuż tej krzywej
całkę po krzywej zamkniętej
oczywiście
Wzdłuż krzywej C
z fdr. To jest dokładnie równe całce podwójnej po
obszarze R z pochodnej cząstkowej z Q po x minus

Estonian: 
Vaatame, kas me saame kasutada oma teadmisi Greeni teoreemist,
et lahendada mõned tegelikud joone integraalid.
Ja tegelt, enne kui ma ühe näite toon, ma tahan teha ühe
selgituse Greeni teoreemi osas.
Kõik näited, mida ma tegin, mul oli ainult piirkond, nagu see,
ja piirkonna sisemus oli vasakul sellest,
mida me läbisime.
Seega kõigis mu näidetes ma läksin vastupäeva ja meie
piirkond oli vasakul-- kui sa kujutad ette kõndimist
teel selles suunas, see oli alati vasakul.
Ja see on situatsioon, kus Greeni teoreemi saaks rakendada.
Kui sa peaksid võtma joone integraali mööda seda teed,
suletud joone integraali, võib-olla me saaksime isegi kehtestada
seda niimoodi.
Sa näed, et mõnedes õpikutes-- mööda kurvi c
kohal f punkt dr. See on, mis võrdub topelt integraaliga üle
selle piirkonna r kohal osaline q suhtes x'ga miinus

Turkish: 
-
Şimdi Green Teoremini kullanarak çizgi integralleri bulalım.
-
Örnek göstermeden önce, Green teoremiyle ilgili bir açıklama yapmak istiyorum.
-
Yaptığım tüm örneklerde şöyle bir bölgem vardı, ve bölgenin içi gittiğimiz yolun solundaydı.
-
-
Örneklerin tamamında saat yönünün tersine gidiyordum ve bölgemiz hep yolumuzun solunda kalıyordu.
-
-
Green Teoremi böyle bir durum için geçerlidir.
Böyle bir iz üzerinde kapalı bir çizgi integrali aldığımızı belirtmemiz gerekir.
-
-
Ders kitaplarında bunu böyle gösterirler. c eğrisi üzerinde f iç çarpım d r'nin integrali eşittir R bölgesi üzerinde, Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi d A'nın çift katlı integrali.
-
-

French: 
Nous allons voir si nous pouvons utiliser notre connaissance du théorème de Green
pour résoudre certaines intégrales de ligne réelle.
Et effectivement, avant de voir un exemple, je veux faire une
précisions sur le théorème de Green.
Tous les exemples que j'ai fait est j'ai eu une région comme celle-ci,
et à l'intérieur de la région était à la gauche du
ce que nous avons traversée.
Donc tous mes exemples, je suis allé dans le sens antihoraire et donc notre
région était à la gauche du--si vous imaginer marchant le long de la
chemin d'accès dans cette direction, il était toujours à notre gauche.
Et c'est la situation dans laquelle le théorème de Green s'appliquerait.
Donc, si vous deviez prendre une ligne intégrale le long de ce chemin, un
peut-être partie intégrante, ligne fermée, que nous pourrions même spécifier
c'est comme ça.
Vous verrez que dans certains manuels scolaires--le long de la courbe c
de f point dr. C'est ce qui équivaut à la double intégrale sur
cette région r partielle de q de x moins

Bengali: 
এখন আমরা গ্রীন এর উপপাদ্যর ব্যবহার করব
কিছু রৈখিক যোগজ সমাধান করবার জন্য।
কিন্তু, উদাহারণ দেখাবার পূর্বে আমি একটা
বিষয় স্পষ্ট করতে চাই গ্রীন এর উপপাদ্য সম্পর্কে।
পূর্বে আমরা যে উদাহারণগুলো দেখেছি তাতে আমরা এমন একটি আকার ব্যবহার করেছি,
এবং আকারটির অভ্যন্তর সর্বদা আমাদের চলমান
পথের বামে ছিল।
সকল উদাহারণে আমি ঘড়ির কাঁটার উলটো দিকে গিয়েছি এবং তাই
আকারটি সর্বদা আমাদের বামে ছিল- অর্থাৎ আমরা যদি কল্পনা করি
যে আমরা সে পথে হাঁটছি, তবে আকারটি সর্বদা আমাদের বামে থাকবে।
এবং এমন ক্ষেত্রে আমরা গ্রীন এর উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারব।
শুতরাং, এই পথের যদি আমরা রৈখিক যোগজ বের করতে চাই,
একটি বদ্ধ রৈখিক যোগজ, তবে আমরা তাকে এভাবে চিহ্নিত
করতে পারি।
কিছু পাঠ্যবইতে একে C এর f .(ডট) dr
ভাবেও চিহ্নিত করা হয়। এটি বস্তুত নির্দেশ করে আকার R এর দিযোগজ

English: 
Let's see if we can use our
knowledge of Green's theorem
to solve some actual
line integrals.
And actually, before I show an
example, I want to make one
clarification on
Green's theorem.
All of the examples that I did
is I had a region like this,
and the inside of the region
was to the left of
what we traversed.
So all my examples I went
counterclockwise and so our
region was to the left of-- if
you imagined walking along the
path in that direction, it
was always to our left.
And that's the situation which
Green's theorem would apply.
So if you were to take a line
integral along this path, a
closed line integral, maybe we
could even specify
it like that.
You'll see that in some
textbooks-- along the curve c
of f dot dr. This is what
equals the double integral over
this region r of the partial of
q with respect to x minus

Portuguese: 
Vamos ver se podemos utilizar nosso conhecimento do Teorema de Green
Para resolver alguns integrais de linha
E na verdade, antes de apresentar um exemplo, eu gostaria de fazer um
esclarecimento sobre o Teorema de Green
Todos os examplos que usei pareciam com uma região tipo essa
Logo em todos os meus exemplos eu inverti o sentido
e nossa região estava a esquerda de-- se você se imaginar andando
pelo caminho naquela direção, sempre esteve a nossa esquerda.
E essa é a situação em que o terorema de Green seria aplicado.
Então se você tivesse que tomar uma linha integral por esse caminho, uma
linha integral fechada, talvez pudessemos especificar isso
desse modo.
Você vai ver em alguns livros-- ao longo da curve c
de f.dr. Isso é equivalente ao dobro da integral
dessa região r parcial de q, respeitando o menos do x

Thai: 
-
ลองดูว่าเราจะใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทของกรีน
มาหาอินทิกรัลเส้นจริง ๆ ได้ไหม
และที่จริง, ก่อนผมจะยกตัวอย่าง, ผมอยาก
อธิบายทฤษฎีของกรีนให้ชัดก่อน
ตัวอย่างที่ผมทำทั้งหมดคือ ผมมีขอบเขตแบบนี้
ภายในขอบเขตอยู่ทางซ้าย
ของทางที่เราเดินเสมอ
ตัวอย่างผมทั้งหมด ผมเดินทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้น
พื้นที่จะอยู่ทางซ้ายของ -- หากคุณคิดว่าเดินตาม
เส้นทางในทิศนั้น, มันจะอยู่ทางซ้ายมือเสมอ
นั่นคือกรณีที่ทฤษฎีบทของกรีนใช้ได้
ดังนั้นหากคุณอยากหาอินทิกรัลเส้นตามเส้นทางนี้
อินทิกรัลเส้นแบบปิด, บางทีเราอาจระบุ
มันแบบนั้น
คุณจะเห็นว่าในหนังสือบางเล่ม -- ตามเส้นโค้ง c
ของ f ดอท r นี่จะเท่ากับอินทิกรัลสองชั้น
ตลอดพื้นที่นี้ r ของอนุพันธ์ย่อยของ q เทียบกับ x ลบ

Spanish: 
Vamos a ver si podemos usar nuestro conocimiento del teorema de Green
para resolver integrales lineales reales.
De hecho, antes de mostrarles un ejemplo, quiero aclarar
algo sobre el teorema de Green.
Todos los ejemplos que he hecho tenían una región como esta,
y la parte interior era a la izquierda
de lo que recorrimos.
Así que todos mis ejemplos fui en sentido contrario a las manecillas del reloj
y nuestra región era la la izquierda de - - si se imaginan caminando a lo largo de
un camino en esa dirección, siempre fue a nuestra izquierda.
Y esta es el tipo de situación en la que se aplica el teorema de Green.
Asi que si fueras a tomar una integral de linea lo largo de este camino,
una integral de linea cerrada, la podemos especificar
así.
Pueden ver esto en algunos libros de texto - - a lo largo de la curva c
de f punto dr. Esto es lo que equivale a la integral doble entre
esta región r del parcial de q con respecto a x, menos

French: 
partielle de p à y d aire.
Et juste en rappel, maintenant ce q et p viennent de la
composantes de f dans la situation.
f serait écrit comme f de xy est égal à p de xy du temps i
composant plus q de xy fois le composant j.
Donc c'est une situation où l'intérieur de la région est
à gauche de la direction que nous prenons le chemin d'accès.
Si c'est à l'inverse, il nous a
signe moins ici.
Si cette flèche est allé dans l'autre sens, nous mettrait un signe moins et
Nous pouvons le faire que parce que nous savons que lorsque nous franchissons la ligne
intégrales à travers champs vectoriels, si nous avons été inversées
Il devient le négatif de cette direction.
Nous avons montré que, je crois, il y a 4 ou 5 videos.
Cela dit, il est commode d'écrire
Le Théorème de Green jusqu'ici.
Nous allons en fait résoudre un problème.
Disons que j'ai l'intégrale de la ligne et disons
Nous sommes sur une courbe.
Je vais définir la courbe en une seconde.

Estonian: 
osaline p suhtes y d ala.
Ja lihtsalt meeldetuletuseks, nüüd see q ja p tulevad
f'i komponentidest selles situatsioonis.
f kirjutataks f'na kohal xy on võrdne P'ga kohal xy korda i
komponendid pluss Q kohal xy korda j'i komponendid.
See on situatsioon, kus piirkonna sisemus on
vasakule suunast, kuhu me oma tee viime.
Kui see oleks vastupidine, siis me paneks
miinus märgi siia.
Kui see joon läheks teistpidi, me paneks miinus märgi ja
me saame seda teha, sest me teame, et kui me toome joone
integraalid mööda vektorvälju, kui me oleks vastupidises
suunas, see tuleb selle negatiiv.
Me näitasime seda, ma arvan, 4 või 5 videot tagasi.
Seda öeldes oli mugav kirjutada
Greeni teoreem siia üles.
Lahendame tegelikult probleemi.
Ütleme, et mul on joone integraal ja ütleme,
et me oleme üle kurvi.
Ma defineerin kurvi hetke pärast.

Korean: 
이렇게 작성해 줄 수 있습니다
기억해야할 점은 함수 Q와 P가
함수 f의 구성성분으로부터
온다는 사실입니다
함수 f는 f(x,y)로 쓰고
x, y에 대한 함수 P는 i성분이며
함수 Q는 j성분 입니다
경로의 왼쪽 부분으로 이루어진
영역의 안쪽입니다
반대방향으로 경로를 잡으면
마이너스를 붙여주면 됩니다
여기 이 화살표가 다른 방향이면
마이너스를 붙이는데
선적분을 벡터 영역에서 하기 때문에
방향이 바뀌면 음수가 되는 것입니다
이건 4, 5번쯤 전
동영상에서 봤을 겁니다
이쯤하고 그린의 정리를
사용하도록 합시다
이제 문제를 풀어봅시다
이런 곡선에서의
선적분을 해봅시다
곧 곡선을 정의해보죠

English: 
the partial of p with
respect to y d area.
And just as reminder, now this
q and p are coming from the
components of f in
the situation.
f would be written as f of xy
is equal to P of xy time the i
component plus Q of xy
times the j component.
So this is a situation where
the inside of the region is
to the left of the direction
that we're taking the path.
If it was in the reverse,
then we would put a
minus sign right here.
If this arrow went the other
way, we'd put a minus sign and
we can do that because we know
that when we're taking line
integrals through vector
fields, if we were reverse
the direction it becomes
the negative of that.
We showed that, I think,
4 or 5 videos ago.
With that said, it was
convenient to write
Green's theorem up here.
Let's actually solve a problem.
Let's say I have the line
integral and let's say
we're over a curve.
I'll define the
curve in a second.

Thai: 
อนุพันธ์ย่อยของ p เทียบกับ y d พื้นที่
แค่จำไว้, ตอนนี้ q กับ p มาจาก
องค์ประกอบของ f ในกรณีนี้
f สามารถเขียนเป็น f ของ xy เท่ากับ P ของ xy คูณ
องค์ประกอบ i บวก Q ของ xy คูณองค์ประกอบ j
นี่ก็คือกรณีที่ด้านในขอบเขตนั้นอยู่
ทางซ้ายของทิศที่เราเดินตามเส้นทาง
หากมันกลับกัน, เราจะใส่
เครื่องหมายลบตรงนี้
หากลูกศรนี้ไปคนละทิศ, เราจะใส่เครื่องหมายลบ
แล้วเราทำอย่างนั้นเพราะเรารู้ว่า ตอนเราหา
อินทิกรัลเส้นตามสนามเวกเตอร์, หากเราย้อน
ทิศ มันจะกลายเป็นลบของอันนั้น
เราแสดงไปแล้ว, ผมว่า, เมื่อ 4 หรือ 5 วิดีโอที่แล้ว
ตามที่กล่าว, มันสะดวกกว่าที่จะเขียน
ทฤษฎีบทของกรีนแบบข้างบนนี้
ทีนี้ลองแก้โจทย์กัน
สมมุติว่าผมมีอินทิกรัลเส้นและสมมุติว่า
เราอยู่บนเส้นโค้ง
ผมจะนิยามเส้นโค้งนั่นเร็ว ๆ นี้

Portuguese: 
parcial de p respeitando y e a area.
Só como um lembrete, esses q e p vieram
dos componentes de f na situação.
f seria escrito como f de xy que é igual a P de xy vezes i
mais Q de xy vezes a componente j.
Então esta é uma situação na qual o interior da região é
à esquerda da direção na qual nós estamos fazendo o caminho...
Se isso estiver ao reverso, então nós colocamos um
sinal de menos bem aqui.
Se esta seta estiver na outra direção, nós colocamos um sinal de menos e
nós podemos fazer isso porquê nós sabemos que nós estamos pegando integrais
de linha através de campos vetoriais; se nós estivéssemos na
direção inversa, isso se tornaria um negativo daquilo...
Nós mostramos isso, eu penso, em 4 ou 5 vídeos anteriores.
O que isso diz, e isso é conveniente escrever
É o Teorema de Green, bem aqui.
Agora vamos resolver o problema.
Digamos que eu tenha a integral de linha e digamos
que nós estamos sobre a cuva...
Eu irei definir a curva em um segundo...

Polish: 
pochodna cząstkowa z P po y
Przypomnijmy, że Q i P są składowymi
funkcji f
gdzie f jest równa P(x,y) razy wersor w kierunku i
plus Q(x,y) razy wersor w kierunku j
Tak jest w sytuacji gdy obchodzimy obszar R
w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara
Jeżeli zmienimy kierunek krzywej na przeciwny to dodajemy
tutaj minus
Jeżeli więc zmienimy kierunek tej strzałki to dodajemy znak minus
możemy tak zrobić bo wiemy, że licząc całkę
krzywoliniową z pola wektorowego, jeżeli zmienimy
kierunek krzywej to całka zmienia znak na przeciwny
Pokazaliśmy to jakieś 4 lub 5 filmy temu.
a więc mamy twierdzenie
Greena w takiej postaci
Spróbujmy rozwiązać jakiś konkretny przykład
Załóżmy, że mamy całkę krzywoliniową
wzdłuż krzywej
którą zdefiniujemy za chwilę

Turkish: 
-
Hatırlarsanız, bu P ve Q, F'nin bileşenleriydi.
-
F x y eşittir P x y çarpı i bileşeni artı Q x y çarpı j bileşeni.
-
Bu durumda, bölgenin içi iz üzerinde yol aldığımız yönün solunda yer alıyor.
-
Eğer ters yönde olsaydı, buraya bir eksi işareti koyardık.
-
Bu ok diğer yöne gitseydi, buraya eksi işareti koyardık.
Vektör alan integrali aldığımız için, yönün tersini aldığımızda integrali eksi 1 ile çarpıyoruz
-
-
4-5 video önce bunu göstermiştik.
-
-
Şimdi bir soru çözelim.
Diyelim ki bir eğri üzerinde bir çizgi integralimiz var.
-
Eğriyi birazdan tanımlayacağım.

Portuguese: 
a parcial de P em função de y, d área.
E como lembrete, esses Q e P vêm das
componentes de f.
f nessa situação,
f seria escrita como f de
xy é igual a P de xy vezes a
componente i, mais Q de
xy vezes a componente j.
Essa é uma situação em
que o interior da região está
à esquerda da direção em
que tomamos o caminho.
Se fosse o contrário, teríamos que colocar
um sinal de menos aqui.
Se a seta fosse pro outro
lado, colocaríamos um menos,
e podemos fazer isso porque
sabemos que quando trocamos
a direção das integrais de linha em
campos vetoriais, temos o negativo disso.
Mostramos isso, acho que
quatro ou cinco vídeos atrás.
Dito isso, é conveniente escrever o
teorema de Green aqui.
Vamos resolver um problema.
Digamos que eu tenha a integral
de linha e digamos que
estamos sobre uma curva.
Vou definir a curva em um segundo.

Spanish: 
el parcial de p con respecto y y el área d
Y solo como recordatorio, ahora q y p vienen de
los componentes de f, en esta situación,
f se escribiría como f de xy es igual a P de xy a la potencia del componente i
más Q de xy a la potencia del componente j.
Asi que esta es una situación en la que la parte interior de la región es
a la izquierda de la dirección en la que tomamos el camino.
Si esto fuera al revés, entonces tendríamos que poner un
signo de menos justo acá.
Si esta flecha fuera en sentido contrario, pondríamos un signo de menos y
podemos hacer esto porque sabemos que cuando seguimos integrales
de linea a través de vectores de campo, si vamos
en la dirección contraria, se convierte en el negativo de eso
Ya habíamos enseñado eso, creo, hace 4 o 5 videos.
Con eso dicho, era conveniente escribir
el teorema de Green acá arriba.
Vamos a resolver un problema.
Digamos que yo tengo la integral de linea y digamos
que esta por encima de una curva.
Voy a definir la curva en un momento.

Turkish: 
İntegralin x kare eksi y kare d x artı 2 x y d y olduğunu varsayalım.
-
Ve eğrimiz, bize sınırı verecek.
Sınır bu bölge.
Farklı bir renkte çizeyim.
x'in büyük eşit 0 ve küçük eşit 1 ve y'nin büyük eşit 2 x kare küçük eşit 2 x olduğu x, y noktalarının oluşturduğu bölgenin sınırı, bizim eğrimiz.
-
-
-
-
Şimdi bu bölgeyi çizelim.

French: 
Mais disons que l'intégrale, nous essayons de résoudre est x
carré moins y carré dx et dy 2xy.
Et puis notre courbe--ils sont nous donne la limite.
La limite est de la région.
Je le ferai dans une couleur différente.
Donc la courbe est la limite de la région, compte tenue de toutes les
points x, y tel que x est un supérieur ou égal à 0,
inférieur ou égal à 1.
Et puis y est supérieure ou égale à 2 x au carré et
inférieur ou égal à x 2.
Alors disons tirer cette région que nous avons affaire à l'heure actuelle.

Spanish: 
Pero digamos que la integral que estamos tratando de resolver es x
al cuadrado menos y al cuadrado, dx mas 2xy dy
Entonces nuestra curva - - nos están dando el límite.
El límite es la región
El límite es la región
Así que la curva es el límite de la región dada por todos
los puntos x,y tanto que x sea mayor o igual que 0,
menor o igual que 1.
Y luego 'y' es mayor o igual que 2x al cuadrado y
menor o igual que 2x.
Vamos a dibujar la región con la que estamos tratando ahora.

Portuguese: 
Mas digamos que a integral que nós estamos tentando resolver é x
ao quadrado menos y ao quadrado dx mais 2xy dy.
E então nossa curva... eles estão nos dando a fronteira...
A fronteira é a região.
Eu irei fazer isso em uma cor diferente.
Então a cuva é a fronteira da região dada por todos os
pontos, x, y, de maneira que x é maior ou igual a zero,
menor ou igual a 1...
E então y é maior ou igual a 2x ao quadrado
menos ou igual a 2x.
Então vamos desenhar esta região que nós estamos lidando justamente agora.

Thai: 
แต่สมมุติว่าอินทิกรัลที่เราอยากแก้คือ x กำลังสอง
ลบ y กำลังสอง dx บวก 2xy dy
แล้วเส้นโค้งเรา -- เขาบอกขอบเขตเรามา
ขอบเขตคือพื้นที่ของเรา
ผมจะใช้อีกสีนึงนะ
เส้นโค้งคือขอบเขตของพื้นที่กำหนดโดยจุด
x,y ทั้งหมดที่ x มากกว่าหรือเท่ากับ 0,
น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1
และ y มากกว่าหรือเท่ากับ 2x กำลังสอง และ
น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2x
งั้นลองวาดพื้นที่นี้ที่เราต้องคิดกันดู

Portuguese: 
Mas digamos que a integral
que queremos resolver é
x ao quadrado menos y ao
quadrado dx mais dois xy dy.
Então nossa curva -- que
nos dá os limites.
Os limites da região.
Vou fazer de outra cor.
Então a curva é o limite
da região dada por todos os
pontos x,y, de forma que x
é mais ou igual a zero,
menor ou igual a um.
E y é maior ou igual a
dois x ao quadrado e
menor ou igual a dois x.
Então vamos desenhar essa
curva que estamos lidando.

Polish: 
zaś całka którą liczymy to
(x^2-y^2) po dx plus 2xy po dy
Nasza krzywa będąca brzegiem
obszaru R
użyjmy innego koloru
nasza krzywa jest brzegiem obszaru składającego się z punktów (x,y)
takich, że x jest większe równe 0
i mniejsze równe 1
zaś y jest większe równe 2x do kwadratu
i mniejsze równe 2x
Narysujmy ten obszar

Korean: 
x와 y로 이루어진
이런 식을 적분해보겠습니다
이 곡선은 경계가 됩니다
영역의 경계입니다
다른 색깔로 해보겠습니다
이 곡선은 점 (x,y)로 이루어진
영역의 경계이고 범위는
다음과 같습니다
그리고 y는 x에 대해서
이런 관계를 만족할 것입니다
이제 이 영역을 그릴 수 있습니다

Estonian: 
Aga ütleme, et joone integraal, mida me lahendada püüame, on x
ruudus miinus y ruudus dx pluss 2xy dy.
Ja siis meie kurv-- nad annavad meile piiri.
Piiriks on piirkond.
Ma teen selle teise värviga.
Seega kurv on piiritletud piirkonnaga, mille annavad kõik
punktid, x, y, nii, et x on suurem või võrdne 0'ga,
väiksem või võrdne 1'ga.
Ja siis y on suurem või võrdne 2x'ga ruudus ja
väiksem või võrdne 2x'ga.
Joonistame selle piirkonna, millega me praegu tegeleme.

English: 
But let's say that the integral
we're trying to solve is x
squared minus y squared
dx plus 2xy dy.
And then our curve-- they're
giving us the boundary.
The boundary is the region.
I'll do it in a
different color.
So the curve is boundary of the
region given by all of the
points x,y such that x is a
greater than or equal to 0,
less than or equal to 1.
And then y is greater than
or equal to 2x squared and
less than or equal to 2x.
So let's draw this region that
we're dealing with right now.

Turkish: 
-
y ekseni ve x ekseni.
x, 0'dan 1'e gidiyor.
Bu, 0.
x eşittir 1 diyelim, x değerleri böyle.
-
y de 2 x karenin üstünde ve 2 x'in altında.
Genelde, büyük sayılar için 2 x kare büyüktür ama 1'den küçük sayılar için 2 x kare 2 x'ten küçük olacak.
-
-
Yani üst sınır 2 x, noktası da 1 virgül 2.
Bu, y eşittir 2 x doğrusu..
-
y eşittir 2 x doğrusu şöyle bir şey.
Bu, y eşittir 2 x.
-
Şu alttaki eğri ise, y büyüktür 2 x kare.

Polish: 
mamy oś y
i oś x
zobaczmy, x zmienia się od 0 do 1
tutaj mamy zero
i tutaj x=1
a więc to są wszystkie wartości x
zaś y jest nad 2x do kwadratu i poniżej 2x
Oczywiście jeżeli x są dostatecznie duże to 2x do kwadratu jest
jest większe, ale dla x mniejszych niż 1 to jest
mniejsze niż to
Górna granica to 2x, a więc mamy punkt (1,2)
i prostą y=2x
która wygląda mniej więcej tak
piszemy y=2x
użyjmy żółtego koloru
Dolna krzywa to

English: 
So let me draw my x-axis
or my y-axis, sorry.
My y-axis and then my
x-axis right there.
And let's see. x goes from
0 to 1, so if we make--
that's obviously 0.
Let's say that that is x
is equal to 1, so that's
all the x values.
And y varies, it's above
2x squared and below 2x.
Normally, if you get to large
enough numbers, 2x squared is
larger, but if you're below 1
this is actually going to
be smaller than that.
So the upper boundary is
2x, so there's 1 comma 2.
This is a line y is equal to
2x, so that is the line y is--
let me draw a straighter
line than that.
The line y is equal to 2x
looks something like that.
That right there is
y is equal to 2x.
Maybe I'll do that in yellow.
And then the bottom curve right
here is y is going to be

Portuguese: 
Então vamos desenhar meu eixo-x ou meu eixo-y, desculpe!
Meu eixo-y e então meu eixo-x bem aqui.
E vejamos... x vai de zero a 1, então se nós fizermos...
isso obviamente é zero.
Digamos que este x é igual a 1, então, assim são
todos os valores de x.
E y varia, ele está sobre 2x ao quadrado e abaixo de 2x.
Normalmente, se você pegar números suficientemente grandes, 2x ao quadrado é
maior, mas se você estiver abaixo de 1, isso de fato irá ser
menor que aquilo.
Então a fronteira superior é 2x, então isso é 1,2.
Nesta linha y é igual a 2x, então nesta linha é...
deixe-me desenhar uma linha mais reta...
A linha y igual a 2x se parece com algo assim...
Isso bem aqui é y igual a 2x.
Talvez eu deva fazer isso em amarelo.
E então a curva inferior bem aqui é y sendo

French: 
Permettez-moi donc de dessiner mon axe des abscisses ou mon axe y, désolé.
Mon axe y et puis mon axe là.
Et nous allons voir. x va de 0 à 1, donc si nous faisons--
C'est évidemment 0.
Disons que c'est x est égal à 1, donc c'est
toutes les valeurs de x.
Et y varie, elle est au-dessus de 2 x au carré et en dessous de 2 x.
Normalement, si vous arrivez à grande assez numéros, 2 x au carré est
plus gros, mais si vous êtes au-dessous de 1 ça va en fait
être plus petit que.
La limite supérieure est donc x 2, donc il y a 1 virgule 2.
Il s'agit d'une ligne de y est égal à x 2, c'est la ligne y est--
Permettez-moi de tirer une ligne plus droite que celle.
La ligne y est égale à 2 x cherche quelque chose comme ça.
Qu'à droite il y a y est égal à x 2.
Peut-être que je vais le faire qu'en jaune.
Et puis la courbe inférieure droite est ici y va être

Estonian: 
Las ma joonistan enda x-telje või mu y-telje, vabandust.
Mu y-telje ja siis mu x-telje siia.
Ja vaatame. x läheb 0'st 1'ni, seega kui me teeme--
see on loomulikult 0.
Ütleme, et see on x on võrdne 1'ga, seega see on
kõik x'i väärtused.
Ja y muutub, see on üle 2x'i ruudus ja alla 2x'i.
Tavaliselt, kui sa saad piisavalt suured numbrid, 2x ruudus on
suurem, kuid kui sa oled alla 1'e, siis see tegelikult on
väiksem kui see.
Seega ülemine piir on 2x, seega seal on 1 koma 2.
See on joon y on võrdne 2x'ga, seega see on joon y on--
las ma joonistan sirgema joone.
Joon y on võrdne 2x'ga näeb välja umbes selline.
See seal on y on võrdne 2x'ga.
Võib-olla ma teen selle kollaselt.
Ja alumine kurv siin on y hakkab olema

Portuguese: 
Deixa eu desenhar meu eixo
x, ou meu eixo y, desculpe.
Meu eixo y e então meu eixo x aqui.
E vejamos, x vai de zero a
um, então se fizermos --
aqui obviamente é zero.
Digamos que isso é x
igual a um, então esses
são todos os valores de x.
E y varia, acima de dois x ao
quadrado e abaixo de dois x.
Normalmente, se tivermos
números grandes, dois x ao
quadrado é maior, mas se
está abaixo de um, isso
será menor que dois x.
Então o limite superior é dois
x, então aqui é um vírgula dois.
Essa é a linha y igual a dois x --
deixa eu desenhar uma mais reta que essa.
A linha em que y é igual
a dois x é algo assim.
Aqui é y igual a dois x.
Talvez eu faça isso em amarelo.
E a curva de baixo aqui seria y igual ou

Korean: 
x축과 y축을 그리고
여기에 그리도록 하겠습니다
x는 0에서 1 사이입니다
0과 1에
표시를 해줄겁니다
이 범위에 모든 x값이 있습니다
y의 범위를 다시 살펴봅시다
일반적으로 제곱한 것이 크겠지만
1보다 작을 때는
그 반대가 됩니다
윗 경계인 y=2x는
점 (1,2)를 지나고
이렇게 그려줄 수 있습니다
똑바로 그려보면
이렇게 나타나게 될 겁니다
이게 y=2x입니다
노란색으로 했으니
색을 바꿉시다
아래쪽 곡선은

Spanish: 
Déjenme dibujar mi eje 'x', o mi eje 'y', perdón.
My eje 'y' y luego mi eje 'x' justo acá.
Y vamos a ver, 'x' va de 0 a 1, así que si hacemos - -
esto es obviamente 0.
Digamos que eso es 'x' es igual a 1, esos son
todos los valores de 'x'.
E 'y' varia, esta por encima de 2x al cuadrado y debajo de 2x.
Normalmente, si obtienes números suficientemente grandes, 2x es
más grande, pero si estás por debajo de 1 va a ser
más pequeño que eso.
Así que el límite superior es 2x, así que esta 1 coma 2.
Esta es la linea 'y' igual a 2x,
déjenme dibujar una línea más derecha que esa.
La línea 'y' es igual a 2x y seve algo como esto.
Esto es 'y'y es igual a 2x.
Mejor haré eso en amarillo.
Y luego la curva inferior es 'y' y va a ser

Thai: 
ขอฟมวากแกน x หรือแกน y, โทษที
แกน y ผมแล้วก็แกน x ตรงนี้
ลองดูกัน x ไปจาก 0 ถึง 1, งั้นหากเราทำ --
นั่นแน่นอนคือ 0
สมมุติว่านั่นคือ x เท่ากับ 1, แล้วนั่น
คือค่า x ทั้งหมด
และ y แปรค่า, มันอยู่เหนือ 2x กำลังสอง และต่ำกว่า 2x
โดยทั่วไป, หากคุณไปไกลพอ, 2x กำลังสอง
จะมากกว่า, แต่หากคุณอยู่ต่ำกว่า นี่จะ
น้อยกว่าอันนั้น
ดังนั้นขอบบนคือ 2x, แล้วมี 1 ลูกน้ำ 2
นี่คือเส้น y เท่ากับ 2x, แล้วนั่นคือเส้น y เท่ากับ --
ขอผมวาดเส้นให้ตรงกว่านั้นหน่อย
เส้นตรง y เท่ากับ 2x เป็นแบบนั้น
นั่นตรงนั้นคือ y เท่ากับ 2x
บางทีผมควรใช้สีเหลืองนะ
แล้วเส้นล่างตรงนั้นก็คือ y

Korean: 
이렇게 그려질 겁니다
이렇게요
물론 다루는 영역은 이겁니다
지금 우리는 영역의 경계인
곡선을 그렸고
반시계 방향이라는 점을 기억합시다
반시계로 정해주겠습니다
반시계로 정해주겠습니다
곡선의 어느 점에서
시작해도 상관 없지만
이 방향입니다
위쪽 곡선에서는 이렇게
내려오게 됩니다
영역의 내부는 언제나
곡선의 좌측과 만나게 됩니다
그린의 정리에 의해
음의 값을 가질 이유가 없습니다
영역을 정의해보면
이렇게 쓸 수 있습니다
이 적분이 우리가 할 것들이죠

Turkish: 
-
Şöyle bir şeye benzer.
Bahsettiğimiz bölge, bu, ama eğrinin bu bölgenin sınırı olduğunu varsayıyoruz, ve saat yönünün tersine hareket ediyoruz.
-
-
Bunu belirtmem gerekiyor.
-
Eğrimin üzerinde herhangi bir noktadan başlayabilirim ve bu şekilde gidiyorum.
-
Bu noktaya ulaşırım ve üstteki eğriden aşağı inerim.
-
Bölgemizin her zaman için solumuzda kalması koşulunu sağlamış olduk, o nedenle Green Teoremi'ni doğrudan kullanabilirim.
-
-
Bölgemizi tanımlayalım.
-
Bu integralde y, y eşittir 2 x kareden y eşittir 2 x'e gidecek.

Portuguese: 
maior que 2x ao quadrado.
Isso deve se parecer com algo assim...
E é claro, a região que eles estão falando é esta,
MAs nós estamos dizendo que a curva é a fronteira desta região
e nós iremos trabalhar na direção contra o ponteiro do relógio.
Eu tenho que especificar isso.
.
Então nossa curva, nós podemos realmente começar por qualquer ponto, mais isso
irá se parecer com isso...
E então vá para o ponto e então retorne ao longo desta
curva superior, bem assim...
E então isso atende à condição de que o interior da região
irá sempre estar à nossa esquerda, então nós temos que fazer justamente
a parte superior do Teorema de Green, nós não temos que fazer a parte negativa dele...
E agora vamos definir nossa região.
Vamos apenas resolver nossa região...
Esta integral bem aqui irá evoluir... eu apenas farei

English: 
greater than 2x squared.
It might look
something like this.
And of course, the region that
they're talking about is this,
but we're saying that the curve
is the boundary of this region
and we're going to go in I
counterclockwise direction.
I have to specify that.
So our curve, we could start at
any point really, but we're
going to go like that.
Then get to that point and then
come back down along that
top curve just like that.
And so this met the condition
that the inside of the region
is always going to be our left,
so we can just do the straight
up Green's theorem, we don't
have to do the negative of it.
And let's define our region.
Let's just do our region.
This integral right here is
going to go-- I'll just do it

Portuguese: 
maior que dois x ao quadrado.
Deve ficar algo assim.
E claro, a região que
eles falam é essa aqui,
mas estamos dizendo que a
curva é o limite dessa região
e estamos indo no sentido anti-horário.
Tenho que especificar isso.
Sentido anti-horário.
Então nossa curva, poderíamos
começar em qualquer ponto, mas
vamos dessa forma.
Até chegar nesse ponto e voltar pela
curva de cima assim.
E isso bate com a condição de
que o interior da região tem
que ficar à nossa esquerda,
para que possamos
ir direto ao teorema de Green, não
precisamos fazer o negativo disso.
E vamos definir nossa região.
Vamos fazer a região.
A integral aqui vai -- vou fazer
dessa forma -- y varia de y
igual a dois x ao quadrado

Thai: 
มากกว่า 2x กำลังสอง
มันออกมาเป็นแบบนี้
และแน่นอน, เขตแดนที่เราพูดถึงอันนี้
แต่เราบอกว่าเส้นโค้งนั่นคือขอบเขตของพื้นที่นี้
และเรากำลังจะไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา
ผมต้องระบุมันลงไป
-
ดังนั้นเส้นโค้งเรา, เราเริ่มจุดไหนก็ได้, แต่เรา
จะไปแบบนั้น
แล้วไปยังจุดนั้น แล้วค่อยกลับลงมาตาม
เส้นโค้งอันบนแบบนั้น
และนี่ตรงกับเงื่อนไขที่ว่า ด้านในขอบเขต
อยู่ทางซ้ายมือเราเสมอ, ดังนั้นเราก็สามารถ
ใช้ทฤษฎีบทของกรีนได้, เราไม่ต้องใช้เครื่องมือลบอะไร
ลองกำหนดพื้นที่กัน
ลองคิดพื้นที่กัน
อินทิกรัลนี่ตรงนี้จะไป -- ผมจะทำมัน

Polish: 
2x do kwadratu
która wygląda mniej więcej tak
Oczywiście obszar R to dokładnie ten obszar
mamy więc krzywą która jest brzegiem naszego obszaru
i obchodzimy ją w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara
Oczywiście możemy zacząć z dowolnego punktu, ale my pójdziemy
w ten sposób
dochodzimy do tego punktu i wracamy wzdłuż prostej
w ten sposób
co zgadza się z warunkiem że wnętrze obszaru
jest zawsze po lewej stronie obchodzonej krzywej, a więc możemy
użyć twierdzenia Greena bez dodatkowej zmiany znaku
weźmy więc nasz obszar
weźmy więc nasz obszar
i policzmy po nim całkę

Estonian: 
suurem kui 2x'i ruudus.
See võib näha välja midagi sellist.
Ja muidugi, piirkond, millest nad räägivad, on see,
aga me ütleme, et kurv on selle piirkonna piiritlejaks
ja me läheme vastupäeva.
Ma pean seda täpsustama.
Seega meie kurv, me võiksime mistahes punktist alustada, kuid me
läheme niimoodi.
Siis mine sellesse punkti ja siis tule tagasi alla mööda seda
ülemist kurvi niimoodi.
Ja nii see kohtas tingimust, et piirkonna sisemus
hakkab alati olema meie vasak, seega me saame lihtsalt teha otsese
Greeni teoreemi, me ei pea tegema selle negatiivi.
Ja defineerime oma piirkonna.
Teeme lihtsalt oma piirkonna.
See integraal siin hakkab minema-- ma teen selle lihtsalt

French: 
plus de 2 x au carré.
Il pourrait ressembler à quelque chose comme ça.
Et bien sûr, la région qu'ils vous parlent
mais nous disons que la courbe est la limite de cette région
et nous allons aller dans je sens antihoraire.
Je dois préciser que.
Notre courbe, nous pourrions commencer à tout moment vraiment, mais nous sommes
aller comme ça.
Puis arriver à ce point et ensuite revenir vers le bas le long qui
haut courbe juste comme ça.
Et donc cela satisfait à la condition que l'intérieur de la région
va toujours être notre gauche, afin que nous puissions faire juste la ligne droite
un théorème de Green, nous n'avons faire le négatif de celui-ci.
Et définissons notre région.
Let's just do notre région.
Cette intégrale ici va aller, que je vais juste faire

Spanish: 
más grande que 2x al cuadrado.
Puede que se vea algo asi.
Y por supuesto, la región de la que están hablando es esta,
pero estamos diciendo que la curva es el limite de esta región
y vamos a ir en contra de las manecillas del reloj.
Tengo que especificar eso.
Asi que nuestra curva, en realidad podemos empezar en cualquier punto, pero
vamos a ir así.
Luego llegamos a este punte y regresamos abajo a lo largo de esta
curva de arriba así.
Y así encontramos la condición que la parte de adentro de la región
siempre va a ser a nuestra izquierda, así podemos hacer directamente
el teorema de Green, no tenemos que hacer en negativo de esto.
Y definamos nuestra región.
Vamos a hacer nuestra región.
Esta integral de acá va a ir -- Solo voy a hacerlo

Turkish: 
-
-
O yüzden önce y'ye göre integral alalım. Şimdi x limitlerini yazayım.
-
-
x, 0'dan 1'e gidiyor.
-
Buraya ne geleceğini bulmamız lazım. Green Teoremi.
-
-
f bu durumda şöyle olur.
f x y eşittir x kare eksi y kare i artı 2 x y j.
-
Bunu birçok videoda görmüştük.
Bunun d r ile iç çarpımını alınca şunu elde ederiz.
-
Buradaki ifade, P x y.
Bu ifade Q x y.

Portuguese: 
os limites... y varia de y igual a 2x ao quadrado até
2y igual a 2x...
E talvez nós iremos integrar primeiro em relação a y...
e depois x, eu irei fazer externamente...
.

Estonian: 
nii-- y muutub y'st on võrdne 2x'ga ruudus kuni
2y on võrdne 2x.
Ja siis ehk me integreerime suhtes y'ga esimesena.
Ja siis x, ma teel välimise.
x'i piir läheb 0'st 1'ni.
Nad seadsid meid hästi sisse, et teha määramata integraal.
Nüüd me peame lihtsalt välja mõtlema, mis läheb üle
siit-- Greeni teoreem.
Meie f näeks välja selline selles situatsioonis.
f on f kohal xy hakkab olema võrdne x'ga ruudus miinus
y ruudus i pluss 2xy j.
Me oleme seda näinud mitmes videos.
Sa võtad skalaarkorrutise sellest dr'ga, sa saad
selle asja siin.
Seega see väljend siin on meie P kohal x y.
Ja see väljend siin on meie Q kohal xy.

Spanish: 
de la forma -- 'y'varia de 'y' es igual a 2x cuadrada a
2y es igual a 2x.
I a lo mejor integraremos con respecto a 'y' primero.
Y luego 'x', Voy a hacer el exterior.
El límite de 'x' va de 0 a 1.
Así que no ponen todo para hacer una integral indefinida.
Ahora solo tenemos que averiguar que va
en esta parte -- el teorema de Green.
Nuestra 'f' se vería algo como esto en esta situación.
'f' es 'f' de xy va a ser igual a x al cuadrado menos
'y' al cuadrado 'i' más 2xy j.
Hemos visto en varios videos.
Toman el punto del producto de esto con dr, y van a
obtener justamente esto.
Asi que esta expresión de acá es nuestra P de xy.
Y esta expresión de acá en nuestra Q de xy

Korean: 
이 방법으로 두 경계선을
표시해줍니다
y에 대한 적분을 먼저하고
x에 대한 적분은 바깥에서 합니다
x에 대한 적분은 바깥에서 합니다
x의 범위는 0에서 1이죠
부정적분으로 나타내집니다
여기에 쓸 부분이 중요한데
그린의 정리입니다
그린의 정리입니다
이 상황에서
x와 y에 대한 함수 f는
이렇게 나타내집니다
이건 영상에서 봤을 겁니다
dr에 대해서 내적을 해준 것이
바로 여기 나타낸 식입니다
이 부분은 P(x,y)이고
이 부분이 Q(x,y)입니다

French: 
le moyen--y varie de y est égale à 2 x au carré de
2y est égal à x 2.
Et peut-être alors nous allons intégrer à y tout d'abord.
Et puis le x, je ferai de l'extérieur.
La limite de x va de 0 à 1.
Ils nous définir à bien faire une intégrale indéfinie.
Maintenant nous avons seulement à comprendre ce qui se passe
Théorème d'ici--Green.
Notre f pourrait ressembler à ceci dans cette situation.
f est f de xy va être égal à x au carré moins
y carré i et 2xy j.
Nous avons vu cela dans plusieurs vidéos.
Vous prenez le produit scalaire de cette avec dr, vous allez
obtenir cette chose ici.
Ici, cette expression est donc notre p de x y.
Et cette expression ici est notre q de xy.

English: 
the way-- y varies from y is
equal to 2x squared to
2y is equal to 2x.
And so maybe we'll integrate
with respect to y first.
And then x, I'll
do the outside.
The boundary of x
goes from 0 to 1.
So they set us up well to
do an indefinite integral.
Now we just have to figure
out what goes over
here-- Green's theorem.
Our f would look like
this in this situation.
f is f of xy is going to be
equal to x squared minus
y squared i plus 2xy j.
We've seen this in
multiple videos.
You take the dot product of
this with dr, you're going to
get this thing right here.
So this expression right
here is our P of x y.
And this expression right
here is our Q of xy.

Thai: 
ตามนั้น -- y แปรค่าจาก y เท่ากับ 2x กำลังสอง ถึง
y เท่ากับ 2x
และบางทีเราจะอินทิเกรตเทียบกับ y ก่อน
จากนั้น x, ผมจะทำข้างนอก
-
ขอบเขตของ x จาก 0 ถึง 1
ดังนั้้นนั่นจะตั้งอินทิกรัลจำกัดเขตขึ้นมา
ทีนี้เราต้องหาว่ามันเป็นยังไง
ตรงนี้ -- ทฤษฎีบทของกรีน
-
f ของเราเป็นแบบนี้ในกรณีนี้
f คือ f ของ x y เท่ากับ x กำลังสอง ลบ
y กำลังสอง i บวก 2xy j
เราเห็นนี่ในวิดีโอก่อน ๆ มาแล้ว
คุณหาดอทโปรดัคของอันนี้กับ dr, คุณจะได้
สิ่งนี่ตรงนี้
พจน์นี่ตรงนี้คือ P ของ x y เรา
และพจน์นี่ตรงนี้คือ Q ของ xy

Portuguese: 
até y igual a dois x.
E talvez integremos em
função de y primeiro.
Depois x, farei o lado de fora.
O limite de x vai de zero a um.
Então eles nos dá uma
forma de montar a integral.
Agora só precisamos
descobrir o que vem
aqui -- teorema de Green.
Nosso f ficaria parecido
com isso nessa situação.
f de xy vai ser igual a
x ao quadrado menos
y ao quadrado i mais dois xy j.
Vimos isso em vários vídeos.
Você pega o produto escalar
disso com dr, e terá
essa coisa aqui.
Então essa expressão
aqui é o nosso P de xy.

Polish: 
y zmienia sią od y=2x^2
do y=2x
całkujemy najpierw po y
i teraz x
granice całkowania po x to 0 i 1
teraz musimy ustalić co wpisać
tutaj. Użyjemy twierdzenia Greena
Nasza funkcja f wygląda następująco
f od x, y jest równa x do kwadratu minus
y do kwadratu wersor i, plus 2xy wersor j.
Widzieliśmy to już na kilku filmach
A więc te wrażenie tutaj to nasze P(x,y)
a wyrażenie tutaj to Q(x,y)

English: 
So inside of here we're just
going to apply Green's
theorem straight up.
So the partial of Q with
respect to x-- so take
the derivative of this
with respect to x.
We're just going to
end up with the 2y.
And then from that we're going
to subtract the partial
of P with respect to y.
So if you take the derivative
of this with respect to y that
becomes 0 and then, here you
have-- the derivative with
respect to y here is minus 2y.
Just like that.
And so this simplifies
to 2y minus minus 2y.
That's 2y plus plus 2y.
I'm just subtracting
a negative.
Or this inside, and just
to save space, this
inside-- that's just 4y.
I don't want to have to
rewrite the boundaries.

Thai: 
-
ดังนั้นด้านในตรงนี้ เราก็แค่ใช้ทฤษฎีบท
ของกรีนตรง ๆ เลย
อนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ x -- หา
อนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ x
เราก็จะได้ 2y
-
แล้วจากนั่น เราก็ลบอนุพันธ์ย่อย
ของ P เทียบกับ y
ดังนั้นหากเราหาอนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ y
ที่เป็น 0 แล้วคุณจะได้ -- อนุพันธ์
เทียบกับ y ตรงนี้ คือ ลบ 2y
-
แบบนั้น
และนี่จะลดรูปเหลือ 2y ลบ ลบ 2y
นั่นคือ 2y บวก บวก 2y
ผมแค่ลบเลขลบ
หรือข้างในนี่, เพื่อประหยัดที่, ข้างในนี่
-- นั่นก็แค่ 4y
ผมไม่อยากเขียนขอบเขตใหม่
-

Polish: 
a wyrażenie tutaj to Q(x,y)
A więc wpisujemy tutaj to co mówi twierdzenie
Greena
Pochodna cząstkowa z Q po x, bierzemy więc
pochodną z tego po x
i dostajemy 2y
i dostajemy 2y
od tego odejmujemy pochodną cząstkową
z P po y
A więc jeżeli weźmiemy pochodną z tego po y to
jest zerem i mamy pochodną
po y jest równa -2y
po y jest równa -2y
właśnie tak
A więc mamy 2y minus minus 2y
czyli 2y plus 2y
zgodnie z reguła - - =+
żeby zaoszczędzić trochę miejsca
piszemy po prostu 4y

Estonian: 
Seega siin sees me lihtsalt rakendame Greeni
teoreemi koheselt.
Osaline Q suhtes x'ga-- võta
selle tuletis kohal x.
Me lõpetame lihtsalt 2y'ga.
Ja siis sellest me lahutame osalise
P suhtes y'ga.
Seega, kui sa võtad selle tuletise kohal y, siis see
muutub 0'ks ja siis, siin sul on-- tuletis
suhtes y'ga siin on miinus 2y.
Lihtsalt nii.
Ja seega see lihtsustub 2y miinus miinus 2y.
See on 2y pluss pluss 2y.
Ma lihtsalt lahutan negatiivi.
Või see sisemus, ja ruumi kokku hoidmiseks, see
sisemus, see on lihtsalt 4y.
Ma ei taha uuesti kirjutada piire.

Turkish: 
-
Burada Green Teoremi'ni uygulayacağız.
-
Q'nun x'e göre kısmisi- bunun x'e göre türevini alıyorum.
-
2 y elde ederim.
-
Bundan P'nin y'ye göre kısmisini çıkarırız.
-
Bunun y'ye göre türevini alırsanız, burası 0 olur. Bunun y'ye göre türevi ise, eksi 2 y.
-
-
-
Böyle.
Bu, 2 y eksi eksi 2 y olur. Yani 2 y artı artı 2 y.
-
Eksi bir sayıyı çıkarıyorum. Yani bu 4 y.
-
-
Sınırları baştan yazmak istemiyorum.
-

French: 
Donc à l'intérieur d'ici, nous allons simplement appliquer du Green
Théorème de straight up.
Si la partielle de q sur x--donc prendre
la dérivée de cela par rapport à x.
Nous allons juste au bout du compte avec le 2 y.
Et alors que nous allons soustraire partielle
de p à y.
Donc, si vous prenez la dérivée de cela par rapport à y
devient 0, et puis, ici vous avez--le dérivé avec
ce qui concerne ici y est moins 2 y.
Juste comme ça.
Et donc cela simplifie à 2y moins moins 2 y.
Plus que 2y plus 2 y.
Je suis juste soustrayant un négatif.
Ou l'intérieur et juste pour économiser de l'espace, ce
à l'intérieur, c'est juste 4 y.
Je ne veux pas avoir à réécrire les limites.

Spanish: 
Así que acá adentro solo vamos a aplicar el teorema
de green.
Así que el parcial de q con respecto de x -- tomamos
la derivada de esto con respecto de x.
Solo vamos a terminar con 2y.
I luego de esto vamos a restar el parcial
de P con respecto a y.
Asi que si toman la derivada de esto conrespecto a y eso
se convierte en 0 y luego, aca tienen-- la derivada con
respecto a 'y' aca es de 2y.
Justo así.
Y esto se simplifica a 2y menos, menos 2y.
Esto es 2y mas, mas 2y
Solo estoy restando un negativo.
O esto de adentro. y solo para ahorrar espacio, esto
de adentro-- es solo 4y.
No quiero tener que reescribir los limites.

Portuguese: 
E essa expressão aqui
é o nosso Q de xy.
Aqui dentro, vamos
apenas aplicar o teorema
de Green direto.
A parcial de Q em função de x -- pegando
a derivada disso em função de x.
Vamos ficar com dois y.
E disso, vamos subtrair a parcial de
P em função de y.
Se você pega a derivada
disso em função de y, isso
vai virar zero, e então
temos -- a derivada em
função de y aqui é menos dois y.
Dessa forma.
E isso simplifica para dois
y menos menos dois y.
Que é dois y mais dois y.
Estou subtraindo um negativo.
E isso aqui dentro --
para salvar espaço --
aqui dentro vai ser quatro y.
Não quero reescrever os limites.

Korean: 
이 부분이 Q(x,y)입니다
그렇다면 이 빈 공간에는
그린 법칙에 따라서 써봅시다
x에 대한 함수 Q입니다
x에 대해 미분해야겠죠
그러면 2y입니다
그러면 2y입니다
함수 P의 y에 대한 부분을
빼주어야 합니다
그래서 함수 P를 y에 대해서 미분하면
앞부분은 0이 되기 때문에
-2y만이 남겠죠
-2y만이 남겠죠
이렇게 말입니다
y에 대한 식을 정리해주면
2y + 2y가 됩니다
음수의 뺄셈입니다
정리하면
4y입니다
저 영역을 다시 쓰고 싶지는 않네요
저 영역을 다시 쓰고 싶지는 않네요

Thai: 
นั่นตรงนั้นก็เหมือนกับ 4y
อนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ y, 2y ลบอนุพันธ์
ย่อยของ P เทียบกับ y
ซึ่งก็คือ ลบ 2y
คุณลบเลขลบ จะได้บวก
เลยได้ 4y
ลองหาแอนติเดริเวทีฟของตัวในเทียบกับ
y แล้วเราจะได้ 2y กำลังสอง
ขอผมทำมันข้างล่างหน่อย
เราจะได้ 2y กำลังสอง หากคุณหาอนุพันธ์ย่อย
เทียบกับ y คุณจะได้ 4y
เราจะแทนค่ามันจาก y เท่ากับ 2x กำลังสอง
ถึง y เท่ากับ 2x
แล้วแน่นอน, เราจะได้อินทิกรัล
ข้างนอกยังอยู่
x ไปจาก 0 ถึง 1 dx
สิ่งนี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก 0 ถึง 1
แล้วเราแทนค่ามันก่อนที่ 2x

Estonian: 
See siin on sama asi, mis 4y.
Osaline Q suhtes y'ga, 2y miinus osaline
P suhtes y'ga.
Mis on miinus 2y.
Sa lahutad negatiivse ja saad positiivse.
Meil on 4y.
Võtame sisemuse algfunktsiooni suhtes
y'ga ja me saame 2y ruudus.
Las ma teen selle natuke madalamalt.
Me saame 2y ruudus, kui sa võtad osalise suhtes
y'ga, siis sa saad 4y.
Me arvutame, et y'st on võrdne 2x'ga ruudus
y'ni on võrdne 2x'ga.
Ja siis muidugi, meil on endiselt välimine
integraal seal.
x läheb 0'st 1 dx'ni.
See asi hakkab olema võrdne integraaliga 0'st 1'ni ja
siis me arvutame selle alguses 2x'st.

Portuguese: 
Isso aqui é a mesma coisa que quatro y.
A parcial de Q em função
de x, dois y, menos a parcial
de P em função de y.
Que é menos dois y.
Subtraindo negativo temos o positivo.
Temos quatro y.
Vamos pegar a anti derivada
de dentro em função
de y e teremos dois y ao quadrado.
Vou fazer mais embaixo.
Teremos dois y ao quadrado,
que se pegarmos a parcial em
função de y, temos quatro y.
Vamos calcular isso quando y
é igual a dois x ao quadrado
até y igual a dois x.
E, é claro, temos a integral do
lado de fora aqui ainda.
x vai de zero a um dx.
Isso aqui vai ser igual a
integral de zero a um e
depois calculamos primeiro a dois x.

Turkish: 
Burası 4 y.
Q'nun x'e göre kısmisi, 2 y, eksi P'nin y'ye göre kısmisi.
-
Bu da eksi 2 y.
Eksili sayıyı çıkarırsak artı elde ederiz.
4 y.
İçteki ifadenin y'ye göre terstürevini alırsak 2 y kare elde ederiz.
-
-
2 y karenin y'ye göre kısmisi 4 y.
-
Bunun y eşittir 2 x kareden y eşittir 2 x'e değerini buluyoruz.
-
Daha dıştaki integral duruyor.
-
x 0'dan 1'e d x.
Bu integral 0'dan 1'e gidecek ve önce 2 x için değerini bulacağız.
-

English: 
That right there is
the same thing as 4y.
The partial of Q with respect
to y, 2y minus the partial
of P with respect to y.
Which is minus 2y.
You subtract a negative
you get a positive.
You have 4y.
Let's take the antiderivative
of the inside with respect
to y and we're going
to get 2y squared.
Let me do it a
little bit lower.
We're going to get 2y squared
if you take the partial with
respect to y you're
going to get 4y.
We're going to evaluate that
from y is equal to 2x squared
to y is equal to 2x.
And then of course, we
still have the outside
integral still there.
x goes from 0 to 1 dx.
This thing is going to be equal
to the integral from 0 to 1 and
then we evaluate
it first at 2x.

Korean: 
이 부분이 4y인 것입니다
Q의 x에 대한 부분을 빼주고
P의 y에 대한 부분을 빼준겁니다
둘다 2y가 나왔죠
음수들을 빼주다보면
4y가 나옵니다
안쪽 부분에서 y에 대한
역도함수를 구하면 이렇게 나타납니다
아래에 써보죠
적분의 범위는
위에 쓰인 대로입니다
두 곡선의 사이에서 계산됩니다
두 곡선의 사이에서 계산됩니다
물론 바깥 부분의
적분이 남아있습니다
x는 0에서 1까지이죠
이렇게 풀어나갈 수 있습니다
먼저 위쪽 경계인
이 부분을 넣어주고

French: 
Ce droit, il y a la même chose que 4 y.
Partielle de q à y, 2y moins partielle
de p à y.
Qui est moins 2 y.
Vous soustrayez un négatif, vous obtenez un positif.
Vous avez 4 y.
Prenons la primitive de l'intérieur avec respect
y et nous allons faire 2y au carré.
Permettez-moi de faire un peu plus faible.
Nous allons faire 2y au carré si vous prenez la partielle avec
respect pour y vous allez obtenir 4 y.
Nous allons évaluer que de y est égale à 2 x au carré
y est égal à x 2.
Et puis bien sûr, nous avons toujours l'extérieur
intégrale toujours là.
x va de 0 à 1 dx.
Cette chose va être égale à l'intégrale de 0 à 1 et
ensuite nous évaluons il tout d'abord à x 2.

Spanish: 
Esto de acá es lo mismo que 4y.
El parcial de Q con respecto a 'y', 2y menos el parcial
de P con respecto a 'y'.
Que es menos 2y.
Restan un negativo y tienen un positivo.
Tienen 4y.
Vamos a tomar la derivada de lo de adentro con respecto
a y y vamos a obtener 2y al cuadrado.
Déjenme hacerlo un poco mas despacio.
Vamos a obtener 2y al cuadrado, si toman el parcial con
respecto a 'y' van a obtener 4y.
Vamos a evaluar esto desde 'y' es igual a 2x al cuadrado
hasta y es igual a 2x
Y luego por supuesto, todavía tenemos la integral
del exterior acá.
x va de 0 a 1 dx.
Esto va a ser igual a la integral de 0 a 1 y
luego evaluamos esto primero a 2x.

Thai: 
หากคุณใส่ 2x ในนี้, 2x กำลังสองได้ 4x กำลังสอง
2 กำลังสอง, x กำลังสอง, ได้ 4x กำลังสอง คูณ 2 ได้
เป็น 8x กำลังสอง
ลบ -- ใส่เจ้านี่ลงไป
2x กำลังสอง กำลังสอง ได้ 2x กำลังสี่
4x กำลังสี่ คูณ 2 ได้ 8x กำลังสี่
ผมทำถูกไหม?
2x กำลังสอง -- ใส่นั่นลงไปแทน y,
แทนที่ y ลงไป
นั่นกำลังสองได้ 4 x กำลังสี่
คูณ 2 ได้ 8x x กำลังสี่
เยี่ยมมาก
ใช้ได้
ทีนี้ dx
ตอนนี้นี่ก็เป็นแค่
อินทิกรัลมิติเดียว
นี่จะเท่ากับ -- ผมจะทำมันตรงนี้นะ
นี่จะเท่ากับแอนติเดริเวทีฟของ 8x
กำลังสอง คือ 8/3 x กำลังสาม
-
แล้วแอนติเดริเวทีฟของ 8x กำลังสี่ คือ

French: 
Donc vous mettez un 2 x ici, 2 x au carré est 4 x au carré.
2 au carré, carré de x, donc 4 x au carré multiplié 2 est
va être 8 x au carré.
Moins--mettre ce gars là.
2 x au carré carré est 2 x à la quatrième.
4 x pour la quatrième fois 2 est 8 x à la quatrième.
Que j'ai fait ce droit ?
2 x au carré--aller pour y mettre pour y,
substituer y avec elle.
Que le carré est de 4 X à la quatrième.
2 Soit 8 x à la quatrième.
Très bien.
D'accord.
Maintenant dx.
Maintenant, c'est juste une simple
une dimension intégrale.
Cela va être égal à, je vais le faire juste ici.
Cela va être égale à la primitive de x 8
carré est 8/3 x pour le troisième.
Et puis la primitive de 8 x à la quatrième

Korean: 
넣어주면 x의 제곱이 나타나고
앞에 붙은 2를 곱해주면
이렇게 될 겁니다
마이너스를 넣어주고
아래쪽 경계에 대해서도
계산을 해주면 이렇게 됩니다
맞죠?
주어진 대로
y를 치환해준 것입니다
x의 네제곱이 나오고
앞에 붙은 2를 곱해주면 맞네요
좋아요
좋아요
dx도 붙여줍니다
이제 1차원 적분으로
바뀌게 되었습니다
이제 쉽게 할 수 있습니다
앞의 항에 대해서 적분하면
이렇게 될 겁니다
이렇게 될 겁니다
뒤의 항도 마찬가지로

Turkish: 
Buraya 2 x koyunca, 2 x, kare eşittir 4 x kare.
2 kare, x kare, yani 4 x kare çarpı 2 eşittir 8 x kare.
-
Eksi - bunu buraya koyalım.
2 x kare kare eşittir 4 x üzeri 4.
4 x üzeri 4 çarpı 2 eşittir 8 x üzeri 4.
Bunu doğru yaptım mı?
2 x kare - y yerine koyuyorum.
-
Bunun karesi, 4 x üzeri 4. Çarpı 2 eşittir 8 x üzeri 4.
-
Çok iyi.
Tamam.
Şimdi d x.
Bu, gayet basit.bir integral.
-
-
8 x karenin terstürevi eşittir 8 bölü 3 x küp.
-
-
8 x üzeri 4'ün terstürevi de 8 bölü 5 x üzeri 5.

English: 
So you put a 2x in here,
2x squared is 4x squared.
2 squared, x squared, so
4x squared times 2 is
going to be 8x squared.
Minus-- put this guy in there.
2x squared squared is
2x to the fourth.
4x to the fourth times
2 is 8x to the fourth.
Did I do that right?
2x squared-- going to
put it there for y,
substitute y with it.
That squared is 4
X to the fourth.
Times 2 is 8x x to the fourth.
Very good.
All right.
Now dx.
Now this is just a
straightforward
one-dimensional integral.
This is going to be equal
to-- I'll just do it here.
This is going to be equal to
the antiderivative of 8x
squared is 8/3 x to the third.
And then the antiderivative
of 8x to the fourth is

Estonian: 
Seega pane 2x siia, 2x ruudus on 4x ruudus.
2 ruudus, x ruudus, seega 4x ruudus korda 2 hakkab
olema 8x ruudus.
miinus, pane see vend siia.
2x ruudus ruudus on 2x astmes 4.
4x astmes 4 korda 2 on 8x astmes 4.
Kas ma tegin selle õigesti?
2x ruudus, panen selle sinna y'i jaoks,
lahuta y sellega.
See ruudus on 4x astmes 4.
Korda 2 on 8x astmes 4.
Väga hea.
Hästi.
Nüüd dx.
Nüüd see on lihtne ja otsene
ühedimensiooniline integraal.
See hakkab olema võrdme-- ma teen selle lihtsalt siia.
See hakkab olema võrdne 8x algfunktsiooniga
ruudus on 8/3 x astmes 3.
Ja siis algfunktsioon 8x'st astmes 4 on

Spanish: 
Así que ponen 2x acá, 2x al cuadrado es 4x al cuadrado.
2 al cuadrado, x al cuadrado, así que 4x al cuadrado por 2
va a ser 8x al cuadrado.
Menos-- ponemos esto acá.
2x cuadrada al cuadrado es 2x a la cuarta.
4x a la cuarta al cuadrado es 8x a la cuarta.
Hice esto bien?
2x cuadrada-- voy a ponerlo acá por y,
substituyo 'y'con esto
Esto es al cuadrado es 4x a la cuarta potencia
por 2 es 8x x a la cuarta potencia.
Muy bien.
Bueno
Ahora dx
Ahora esto es sencillamente
un integral uni-dimensional.
Esto va a ser igual a-- lo voy a hacer aca.
Esto va a ser igual a la anti-derivada de 8x
al cuadrado es 8/3 x a la tercera potencia.
Y luego la anti-derivada de 8x a la cuarta es

Portuguese: 
Colocando um dois x aqui, dois x ao
quadrado é quatro x ao quadrado.
Dois ao quadrado, x ao quadrado, então
quatro x ao quadrado vezes dois vai
ser oito x ao quadrado.
Menos -- colocando esse cara aqui.
Dois x ao quadrado ao
quadrado é dois x à quarta.
Quatro x à quarta vezes
dois é oito x à quarta.
Fiz isso certo?
Dois x ao quadrado
-- colocá-lo ali pelo y,
substituir y por isso.
Isso ao quadrado é quatro x à quarta.
Vezes dois é oito x à quarta.
Bom.
Certo.
Agora dx.
Agora isso é uma integral unidimensional
bem direta.
Vai ser igual a -- vou fazer aqui.
Vai ser igual a antiderivada de oito x ao
quadrado, que é oito sobre três x ao cubo.
E depois a antiderivada
de oito x à quarta é

Estonian: 
miinus 8/5 x astmes 5.
Siis me peame arvutama selle 0'st 1'ni või
me võime panna joone siia.
Kui sa paned 1'e siia, sa saad-- ma teen
selle teise värviga.
Me saame 8/5 korda 1 astmes 3, mis on 8/5
miinus 8/5 miinus 8/5.
Ja siis on meil miinus-- kui sa paned 0'i
siia, sa saad hunniku 0'e.
Oh vabandust, ma tegin vea.
See oleks olnud suur eksitus.
See on 8/3.
8/3 korda 1 astmes 3 miinus 8/5 korda 1 astmes 5,
seega see on miinus 8/5,
Ja siis, kui sa lahutad 0'i, sa arvutad 0'i siin, sa
saad hunniku 0'e, seega sa ei pea
midagi muud tegema.
Nüüd me peame lihtsalt lahutama need kaks murdosa.
Saame ühise nimetaja 15.
8/3 on sama asi, kui me korrutame lugeja
ja nimetaja 5'ga.

English: 
minus 8/5 x to the fifth.
Then we're going to have to
evaluate that from 0 to 1, or
we can put a little line there.
When you put 1 in there
you get-- I'll do it
in a different color.
We get 8/5 times 1 to
the third, which is 8/5
minus 8/5 minus 8/5.
And then we're going to have
minus-- when you put 0 in
here you're just going
to get a bunch of 0's.
Oh sorry, I made a mistake.
It would have been a blunder.
It's 8/3.
8/3 times 1 to the third minus
8/5 times 1 to the fifth,
so that's minus 8/5.
And then, when you subtract the
0, you evaluate 0 here. you're
just going to get a bunch of
0's so you don't have
to do anything else.
So now we just have to
subtract these two fractions.
So let's get a common
denominator of 15.
8/3 is the same thing if
we multiply the numerator
and denominator by 5.

French: 
moins x 8/5 de la cinquième.
Puis nous allons évaluer que de 0 à 1, ou
Nous pouvons mettre une petite ligne il.
Lorsque vous mettez 1 en y vous obtenez--je vais le faire
dans une couleur différente.
Nous avons 1 8/5 fois à la troisième, qui est de 5/8
moins 8/5 moins8/5.
Et puis nous allons avoir moins--lorsque vous mettez 0
ici vous allez juste pour obtenir un tas de 0.
OH désolé, j'ai fait une erreur.
Il aurait été une erreur.
C'est le 8/3.
1 8/3 fois à la troisième moins 1 8/5 fois à la cinquième,
C'est moins 8/5.
Et puis, lorsque vous soustrayez le 0, vous évaluer 0 ici. vous êtes
tout va pour obtenir un tas de 0, donc vous n'avez pas
faire autre chose.
Nous avons donc maintenant juste à soustraire ces deux fractions.
So Let's get un dénominateur commun de 15.
8/3 est la même chose si nous multiplier le numérateur
et le dénominateur par 5.

Turkish: 
-
Bunun 0'dan 1'e değerini bulmam gerekiyor.
-
1 koyduğumuzda, 8 bölü 5 çarpı 1 küp, yani 8 bölü 5 eksi 8 bölü 5.
-
-
-
Buraya 0 koyduğumuzda ise, 0'lar elde edeceğiz.
-
Pardon, bir hata yaptım.
-
Bu, 8 bölü 3.
-
8 bölü 3 çarpı 1 küp eksi 8 bölü 5 çarpı 1 üzeri 5, yani bu eksi 8 bölü 5.
-
0 koyduğumuzda çıkaracağımız terimlerin hepsi 0, onun için başka bir şey yapmamız gerekmiyor.
-
-
Sadece şu iki kesrin farkını bulmam lazım.
Ortak payda olarak 15'i alalım.
8 bölü 3'ü 5'le genişletelim.
-

Portuguese: 
menos oito sobre cinco x à quinta.
Assim teremos que calcular de zero a um,
ou podemos colocar a linha ali.
Quando colocamos um ali, temos -- vou
fazer em outra cor.
Temos oito sobre cinco vezes
um ao cubo, que é oito sobre cinco.
Menos oito sobre cinco.
Depois teremos um menos --
quando você coloca zero aqui,
teremos apenas vários zeros.
Desculpe, cometi um erro.
Teria sido uma tolice.
É oito sobre três.
Oito sobre três vezes um ao cubo menos
oito sobre cinco vezes um à quinta,
aí sim menos oito sobre cinco.
E quando você subtrai o zero calculado
aqui, vamos apenas ficar com vários
zeros, então não precisa
fazer nada.
Agora só temos que subtrair
essas duas frações.
Vamos ter um denominador comum de quinze.
Oito sobre três é o mesmo
que se multiplicássemos
o numerador e o denominador por cinco.

Spanish: 
menos 8/5 x a la quita.
Luego vamos a tener que evaluar esto de 0 a 1, o
podemos poner una pequeña linea aca.
Cuando ponen 1 acá obtienen -- lo voy a hacer
en un color diferente.
Cuando tienen 8/5 por 1 a la tercera potencia, que es 8/5
menos 8/5 menos 8/5.
Y luego tenemos menos-- cuando ponen 0
acá van a obtener un montón de 0's.
Oh, cometí un error.
Hubiera sido un desastre.
Es 8/3.
8/3 por 1 a la tercera menos 8/5 por 1 a la quinta,
esto es menos 8/5.
Y luego, cuando restan el 0, evalúan 0 acá,
van a obtener un montón de 0's así que no tienen
que hacer nada más.
Asi que ahora solo tenemos que restar estas dos fracciones.
Vamos a obtener un común denominador de 15.
8/3 es lo mismo que si multiplicamos el numerador
y el denominador por 5.

Korean: 
해주면 됩니다
이거를 0에서 1 사이로 계산하고
여기에 줄을 그어도 되겠죠
아무튼 x에 1을 넣어줍니다
다른 색으로 해보겠습니다
계산을 하면
8/5 - 8/5 입니다
그러면 0이네요
여기에 0을 써주면 됩니다
실수했네요
어리석은 실수입니다
이게 8/3이군요
이게 8/3이군요
1을 대입하면
8/3 - 8/5이 나옵니다
0을 대입해주면
둘 다 0이 되기 때문에
해줄 것이 없습니다
이제 두 분수를 빼줍시다
분모를 15로 통분하고
계산해주면
5를 곱해서

Thai: 
ลบ 8/5 x กำลังห้า
แล้วเราจะต้องแทนค่าจาก 0 ถึง 1
หรือเราอาจใส่เส้นเล็ก ๆ ตรงนั้น
ตอนคุณใส่ 1 ในนี้ คุณจะได้ -- ผมจะ
ใช้อีกสีนึงนะ
เราได้ 8/5 คูณ 1 กำลังสาม, ได้ 8/5
ลบ 8/5 ลบ 8/5
แล้วเราก็ได้ ลบ -- ตอนคุณใส่ 0
ในนี้ คุณจะได้ 0 เต็มเลย
โอ้ โทษที, ผมทำพลาดแล้ว
ช่างสะเพร่าจริง ๆ
มันคือ 8/3
-
8/3 คูณ 1 กำลังสาม ลบ 8/5 คูณ 1 กำลังห้า
นั่นคือ ลบ 8/5
แล้ว, ตอนลบ 0, คุณแทนค่า 0 ลงไป,
คุณจะได้ 0 เต็มเลย, ดังนั้นคุณก็ไม่ต้อง
ทำอะไรอีก
ทีนี้ เราก็ต้องลบเศษส่วนสองตัวนั่น
หาตัวหารร่วมได้ 15
8/3 ก็เหมือนกับ หากเราคูณทั้งเศษ
และส่วนด้วย 5

Korean: 
40/15입니다
그리고 옆에는 3을 곱하면
24/15입니다
둘을 빼주게 된다면 16/15입니다
그린의 정리를 통해서 이 적분을
계산해냈습니다
정답은 16/15입니다
여러분이 유용하게 썼으면 좋겠습니다
다음 동영상에선 또 다른 예제를 해보죠
커넥트 번역 봉사단 | 박정완

Spanish: 
Esto es 40/15.
Y luego si multiplicamos este numerador y el denominador por
3, va a ser 24/15.
Así que menos 24/15 y vamos a obtener que es igual a 16/15.
Y así, usando el teorema de green pudimos encontrar la respuesta
a esta integral de acá.
Es igual a 16/15.
Con suerte encontraron esto útil.
Voy a hacer uno más de estos ejemplos en el siguiente video.

English: 
That is 40/15.
And then if we multiply this
numerator and denominator by
3, that's going to be 24/15.
So minus 24/15 and we get
it being equal to 16/15.
And so using Green's theorem we
were able to find the answer
to this integral up here.
It's equal to 16/15.
Hopefully you found
that useful.
I'll do one more example
in the next video.

Thai: 
มันคือ 40/15
แล้วหากเราคูณเศษและส่วนนี่ด้วย
3, นั่นจะเป็น 24/15
ได้ ลบ 24/15 แล้วเราจะได้เท่ากับ 16/15
ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทของกรีน เราสามารถหาคำตอบ
ของอินทิกรัลบนนี้ได้
มันเท่ากับ 16/15
หวังว่าคุณคงได้ประโยชน์นะ
ผมจะทำตัวอย่างอีกอันในวิดีโอหน้าแล้วกัน
-

Portuguese: 
Ou seja, 40 sobre 15.
Depois, se multiplicarmos
esse numerador e esse
denominador por três, temos 24 sobre 15.
Então menos 24 sobre 15 e temos
isso igual a 16 sobre 15.
E usando o teorema de Green,
pudemos encontrar a resposta dessa
integral aqui.
É igual a 16 sobre 15.
Espero que seja útil.
Farei outro exemplo no próximo vídeo.
Legendado por Pedro Coutinho
Revisado por Maria Oberlander

Turkish: 
40 bölü 15.
Bu pay ve paydayı 3'le çarparsak da 24 bölü 15 elde ederiz.
-
Eksi 24 bölü 15 eşittir 16 bölü 15.
Green Teoremini kullanarak bu integralin cevabını bulmuş olduk.
-
16 bölü 15'e eşit.
Umarım bu örneği faydalı buldunuz.
Bir sonraki videoda bir örnek daha yaparım.
-

Estonian: 
See on 40/15.
Ja siis, kui me korrutame selle lugeja ja nimetaja
3'ga, see hakkab olema 24/15.
Seega miinus 24/15 ja me saame selle võrdsena 16/15.
Ja kasutades Greeni teoreemi oli meil võimalik leida vastus
sellele integraalile siin üleval.
See on võrdne 16/15'ga.
Loodetavasti oli sul sellest kasu.
Ma teen ühe näite veel järgmises videos.

French: 
C'est à 40/15.
Et puis si nous multiplier ce numérateur et dénominateur par
3, qui va être 24/15.
Si moins de 24/15 et nous l'obtenons étant égale à 16/15.
Et ce en utilisant le théorème de Green que nous avons réussi à trouver la réponse
pour l'intégrale ici.
Elle est égale à 16/15.
J'espère que vous qui trouvent utile.
Je vais le faire un exemple de plus dans la vidéo suivante.
