
Czech: 
Je dána funkce 'f'
s grafem na obrázku níže.
Má svislou tečnu v bodě [3,0].
V tomto bodě je svislá tečna ke grafu.
Nakreslím to.
Svislou tečnu zde
a vodorovnou tečnu v bodě [0,-3].
[0,-3]
Má tu tedy vodorovnou tečnu.
Také má vodorovnou tečnu v bodě [6,3].
V bodě [6,3],
nakreslím to.
Najděte všechny hodnoty 'x',
ve kterých není funkce diferencovatelná.
Vyberte z nabízených možností.
Derivace f…
Napíšu to zkratkovitě.
Není diferencovatelná,
pokud platí alespoň jedna podmínka:
1) Svislá tečna

Bulgarian: 
Графиката на функцията f 
е дадена по-долу.
Има вертикална допирателна
 в точката (3; 0).
В (3; 0) има вертикална допирателна. 
Нека да го начертая.
Има вертикална допирателна
точно ето там
и хоризонтална допирателна
в точката (0; –3).
В (0; –3), т.е.
има хоризонтална допирателна
 точно там.
А също така има хоризонтална 
допирателна в (6; 3).
(6; 3), нека да начертая
хоризонталната допирателна. 
Ето така.
Избери всички стойности x, за които 
функцията f не е диференцируема.
Избери всички, които 
изпълняват условието.
f'...Ще го запиша в съкратен вид.
Казваме, че не може да има f',
когато са изпълнени три условия.
Относно първото условие
 можеш да кажеш,
че имаме вертикална допирателна.
Вертикална допирателна.
Защо вертикалната допирателна 
е място,

English: 
- [Voiceover] The graph of
function f is given below.
It has a vertical tangent at
the point three comma zero.
Three comma zero has a vertical
tangent, let me draw that.
It has a vertical
tangent right over there,
and a horizontal tangent at the point
zero comma negative three.
Zero comma negative three,
so it has a horizontal
tangent right over there,
and also has a horizontal
tangent at six comma three.
Six comma three, let me draw
the horizontal tangent, just like that.
Select all the x-values for
which f is not differentiable.
Select all that apply.
F prime, f prime, I'll
write it in short hand.
We say no f prime under
it's going to happen
under three conditions.
The first condition you could say
well we have a vertical tangent.
Vertical tangent.
Why is a vertical tangent a place where

Korean: 
다음은 함수 f(x)의 그래프입니다
점 (3,0) 에서 x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다
이 그래프를 그려봅시다
이 그래프를 그려봅시다
그리고 점 ( 0,-3 ) 에서
x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다
x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다
그리고 점 ( 6,3 ) 에서
x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다
그려보면
이렇게 말입니다
함수 f(x)가 미분이 가능하지 않은
모든 x값을 고릅시다
속기하겠습니다
f'(x)는 세 가지 경우일때
존재할 수 없습니다
첫 번째는
x축과 수직인 기울기를 가지고 있을 때입니다
x축과 수직인 기울기를 가지고 있을 때입니다
왜 x축과 수직인 기울기를 가질 때

English: 
it's hard to define our derivative?
Well, remember, our derivative is
we're really trying to find
our rate of change of y
with respect to x,
but when you have a vertical tangent,
you change your x a very small amount,
you have an infinite change in y,
either in the positive or
the negative direction.
That's one situation where
you have no derivative.
They tell us where we have
a vertical tangent in here,
where x is equal to three.
We have no ...
F is not differentiable at x equals three
because of the vertical tangent.
You might say what about
horizontal tangents?
No, horizontal tangents
are completely fine.
Horizontal tangents are
places where the derivative
is equal to zero.
F prime of six is equal to zero.
F prime of zero is equal to zero.
What are other scenarios?
Well another scenario
where you're not gonna have
a defined derivative is where
the graph is not continuous.
Not continuous.
We see right over here at
x equals negative three,

Czech: 
Proč je v bodě, kde je svislá tečna,
obtížné definovat derivaci?
Derivace je změna v 'y'
vzhledem ke změně v 'x'.
Máte-li však svislou tečnu,
pak při malé změně v 'x'
máte nekonečně velkou změnu v 'y',
ať už kladnou nebo zápornou.
To je tedy jeden z případů,
kdy neexistuje derivace.
V zadání máme svislou tečnu v 'x' rovno 3.
Zde tedy funkce
není diferencovatelná
a to kvůli svislé tečně.
Můžete se ptát:
„Co vodorovné tečny?“
Ty jsou naprosto v pořádku.
Ty totiž znamenají, že je derivace nulová.
Derivace v bodě 6 je nulová.
Derivace v bodě 0 je nulová.
Jaké jsou další případy?
Další případ, kdy derivace neexistuje,
je v bodě, kde není funkce spojitá.
2) Není spojitá.

Korean: 
도함수가 정의되지 않을까요?
도함수는 x에 대한
y의 변화율을 찾는 것이기에
y의 변화율을 찾는 것이기에
x축에 수직인 기울기를 가지면
x 증가량은 매우 작지만
y 변화량은 양의 무한대나 음의 무한대로
발산하게 됩니다
이럴 경우에는 도함수가 존재하지 않습니다
어느 곳에서 x축과 수직인 기울기를 가지는 지 알려주었는데
x=3일 때이겠죠
x=3일 때이겠죠
x=3일 때 x축과 수직인 기울기를 가져
함수 f(x)는 x=3에서 미분이 가능하지 않습니다
x축과 평행한 기울기를 가질 때는 어떨까요?
x축과 평행한 기울기를 가질 때는 아무 문제 없습니다
x축과 평행한 기울기를 가지게 되면
미분계수는 0일 때니까요
즉 f'(6)=0이고
f'(0)=0입니다
다른 경우는 어떤 것이 있을까요?
도함수가 정의되지 않는 다른 경우는
그래프가 불연속할 때 입니다
그래프가 불연속할 때 입니다
x =－3 일때 그래프가

Bulgarian: 
където е трудно да се определи 
нашата производна?
Припомни си, че
 нашата производна,
е реално търсене на 
скоростта на изменение по y
спрямо x.
Но когато имаш вертикална 
допирателна,
и изменяш x много малко,
имаш безкрайно изменение по y,
в положителна или в 
отрицателна посока.
Това е ситуация, в която 
нямаш производна.
Казват ни къде имаме 
вертикална допирателна,
или това е, където x = 3.
Нямаме...
f не е диференцируема 
в точката x = 3,
поради вертикалната допирателна.
Може би ще кажеш: а какво става с 
хоризонталните допирателни?
Хоризонталните допирателни 
са си съвсем наред.
Хоризонталните допирателни са 
места, където производната
е равна на нула.
f'(6) = 0.
f'(0) = 0.
Къде има други случаи?
Друг случай, където няма да можеш
да определиш производна, е 
където графиката е прекъсната.
Прекъсната е.
Виждаме ето тук, че за x = –3

Czech: 
To vidíme zde v bodě 'x' rovno -3,
že funkce není spojitá.
Funkce není spojitá v bodě 'x' rovno -3.
To jsou všechny body,
které nám dali k dispozici,
kde funkce není diferencovatelná.
Nevíme, jak se funkce
chová vlevo nebo vpravo.
Toto by byly zajímavé body,
ale tuto možnost nám v zadání nedali.
Už jsme řekli,
že v 'x' rovno 0 je derivace nulová.
Derivace je definována.
V 'x' rovno 6 je derivace nulová.
Máme vodorovnou tečnu,
rovněž je zde derivace definována.
Udělejme další příklad.
Vlastně jsem nezmínil třetí případ,
kdy máme „ostrou špičku“.
3) „Ostrá špička“
To není rigorózní definice,
ale snadno to rozpoznáte.
Znamená to něco takového.
Nebo… to nevypadá ostře.
Něco takového.

Bulgarian: 
графиката е прекъсната.
В точката x = –3 графиката
е прекъсната.
Това са единствените места, където
f не е диференцируема,
които ни дават като възможности.
Не знаем какво прави графиката
наляво или надясно.
Тези там предполагам, че 
ще бъдат интересни случаи.
Но не са ни дали 
тези възможности тук.
Вече казахме, че за x = 0 
производната е  0.
Дефинирана е.
Там е диференцируема.
За x = 6 производната е 0.
Имаме хоризонтална допирателна.
И там е дефинирана.
Нека да направим 
друг пример от тези.
Всъщност, не включих...Но мисля,
че тук ще стане ясно.
Има и трети случай,
където имаме нещо, което 
наричам "остър завой".
Остър завой.
Това не е точна 
математическа дефиниция,
но е лесно да се разпознае.
Остър завой е нещо като това
или като...О, не. 
Това не изглежда твърде остро
или повече като това.
Причината да имаш 
тези остри извивки,

Korean: 
불연속이죠?
x= -3일 때 그래프가 불연속합니다
주어진 그래프에 따르면
위 세 곳에서 함수 f(x)가 미분가능하지 않습니다
그래프의 왼쪽 이나 오른쪽에서
무엇이 일어나는지 모릅니다
이 곳들은 흥미로운 경우일 것 같은데
보기에는 주어져 있지 않습니다
앞서 말했듯이, x=0일 때 미분계수가 0이므로
이는 도함수가 정의되고
미분이 가능한 것입니다
x=6에서도 동일합니다
평평한 기울기를 가지고 있으며,
그 부분에서도 도함수가 정의됩니다
다른 문제를 풀어볼까요?
사실, 세 가지 경우 중 하나를 언급하지 않았는데
이 문제에서 이걸 다루고 있지 않네요
세 번째 경우를
뾰족점이라고 부르겠습니다
뾰족점
이건 수학적으로 엄밀한 정의는 아니지만
쉽게 인지할 수 있습니다
뾰족점이란 건 이런 것입니다
이런, 그렇게 뾰족해보이지 않습니다
또는 이렇게도 가능합니다
이렇게 부드럽지 않고

English: 
our graph is not continuous.
X equals negative three
it's not continuous.
Those are thee only places
where f is not differentiable
that they're giving us options on.
We don't know what the graph is doing
to the left or the right.
These there I guess would
be interesting cases.
They haven't given us those choices here.
We already said, at x equals
0, the derivative is zero.
It's defined.
It's differentiable there.
At x equals six, the derivative is zero.
We have a flat tangent.
Once again it's defined there as well.
Let's do another one of these.
Actually, I didn't include, I think that
this takes care of this problem,
but there's a third scenario
in which we have, I'll
call it a sharp turn.
A sharp turn.
This isn't the most mathy
definition right over here,
but it's easy to recognize.
A sharp turn is something like that,
or like, well no, that
doesn't look too sharp,
or like this.
The reason why where you
have these sharp bends

Czech: 
Ostrá špička oproti něčemu hladkému.
Proč to není diferencovatelné?
Budeme-li se k tomu bodu
blížit zleva, popřípadě zprava,
dostaneme různé hodnoty.
Sklon je zde kladný:
'x' roste, 'y' roste,
kdežto zde je sklon záporný.
Limity zleva respektive zprava
se v tomto bodě budou lišit,
proto ani derivace nemůže existovat.
V tomto příkladu jsme nic takového neměli.
Udělejme další příklad.
Tento graf nějaké ostré body má,
to bude zajímavé.
Je daný graf funkce 'f'.
Má svislou asymptotu v bodě 'x' rovno -3,
to vidíme,
vodorovnou asymptotu v bodě 'y' rovno 0.
Tento konec grafu, zdá se,
pro 'x' jdoucí k minus nekonečnu,
vypadá to, že se 'y' blíží 0.
Další vodorovnou asymptotu
má pro 'y' rovno 4.

English: 
or sharp turns as opposed to something
that looks more smooth like that.
The reason why we're not
differentiable there is
as we approach this point,
as we approach this
point from either side,
we have different slopes.
Notice our slope is
positive right over here,
as x increases, y is increasing,
While the slope is negative here.
As you're trying to find
the limit of our slope
as we approach this point,
it's not going to exist
because it's different
on the left hand side
and the right hand side.
That's why the sharp turns, I
don't see any sharp turns here
so it doesn't apply to this example.
Let's do one more examples.
Actually this one does
have some sharp turns.
This could be interesting.
The graph of function f is
given to the left right here.
It has a vertical asymptote
at x equals negative three,
we see that,
and horizontal asymptotes
at y equals zero.
This end of the curve as x
approaches negative infinity
it looks like y is approaching zero.
It has another horizontal
asymptote at y equals four.
As x approaches infinity, it looks like

Bulgarian: 
или остри завои, обратно на нещо,
което изглежда по-заоблено 
като това.
Причината функцията да не е
диференцируема там,
е, че когато се приближаваме 
към тази точка
от която и да е страна,
то имаме различни наклони.
Забележи, че нашият наклон 
е положителен ето тук,
когато x нараства, тук и y нараства.
Докато наклонът ето тук 
е отрицателен.
Когато се опитваш да намериш 
границата на нашия наклон,
когато се приближаваш 
към тази точка,
тя няма да съществува, 
защото е различна
от лявата и от дясната страна.
Ето защо острите завои...
Всъщност не виждам остри завои тук,
така че това не е приложимо 
за този пример.
Нека да решим 
още един пример.
Всъщност този вече има 
остри завои.
Това може да е интересно.
Графиката на функцията f 
e дадена отляво ето тук.
Има вертикална асимптота
 в точката x = –3.
Виждаме го.
Има и хоризонтална асимптота 
в точката y = 0.
От този край на кривата, когато x 
клони към минус безкрайност,
изглежда, че y клони към 0.
Има и друга хоризонтална асимптота
 в точката y =4.
Когато x клони към безкрайност,
изглежда,

Korean: 
뾰족하게 굽어진 이유는
뾰족하게 굽어진 이유는
이 부분에서 미분이 가능하지 않은 이유는
양쪽 방향에서 이 점에 가까워 질 때
다른 기울기를 가지게
되기 때문입니다
이쪽에서는 x가 증가할 때 y도 증가하는
양의 기울기를 가지는 반면
이쪽에서는 음의 기울기를 가집니다
이 점에 가까워질 때 기울기의 극한값을
구하려 한다면
우극한과 좌극한이 달라
존재하지 않을 것입니다
여기서는 뾰족점이 보이지 않네요
여기서는 뾰족점이 보이지 않네요
하나 더 해보겠습니다
이거는 뾰족점들이 있습니다
재밌겠네요
함수 f(x)의 그래프가 왼쪽에 주어져 있습니다
점근선은 직선  x =－3와 y = 0 입니다
점근선은 직선  x =－3와 y = 0 입니다
점근선은 직선 x =－3와 y = 0 입니다
이 곡선의 끝에서 x가 음의 무한대로 발산하고
y는 0에 가까워지는 것으로 보입니다
또 다른 점근선인 직선 y=4도 있습니다
x가 양의 무한대로 발산할 때

Bulgarian: 
че графиката ни слиза надолу 
към y = 4.
"Изберете стойностите x, за които 
f не е диференцируема."
Първо, можем да помислим
за вертикални допирателни.
Не изглежда да има някакви
вертикални допирателни.
Тогава можем да помислим 
къде f е прекъсната.
Определено е прекъсната там,
където имаме тази вертикална 
асимптота ето тук.
Прекъсната е, когато x = –3.
Прекъсната е също и за x = 1.
Последната ситуация,
където няма да е диференцируема,
е когато имаме остър завой,
или може да гледаш на него 
като на остър връх на графиката.
Виждам остър връх
точно ето тук.
Забележи, че когато 
се приближаваме отляво,
наклонът изглежда постоянен.
Не знам, но може би
е нещо като +3/2.
Докато, когато тръгнем от дясната 
страна на това, изглежда,
че наклонът става отрицателен.
Ако искаше да намериш
 границата на наклона,
когато се приближаваме
от различните страни,
което действително е това, 
което се опитваме да направим,
то когато се опитваш 
да намериш производната,
тя няма да може да се определи,

Czech: 
Pro 'x' jdoucí k plus nekonečnu se zdá,
že graf klesá k 'y' rovno 4.
Označte z nabídky hodnoty 'x',
pro která není funkce diferencovatelná.
Nejdříve tedy svislé tečny.
Zdá se, že tu žádné nejsou.
Tak tedy hledejme nespojitosti.
Funkce rozhodně není spojitá zde,
kde máme tuto svislou asymptotu.
Funkce není spojitá v bodě 'x' rovno -3
a také v bodě 'x' rovno 1.
Poslední případ,
kdy funkce není diferencovatelná,
nastává pro „ostré špičky“ grafu.
Jeden takový bod vidím zde.
Jak se blížíme zleva,
sklon vypadá jako konstanta.
Přibližně jako plus (3 lomeno 2).
Zatímco vpravo je sklon záporný.
Pokud bychom chtěli najít limitu,
což je v podstatě derivace…

English: 
our graph is trending down
to y is equal to four.
Select the x values for which
f is not differentiable.
First of all, we could think
about vertical tangents.
Doesn't seem to have
any vertical tangents.
Then we could think about
where we are not continuous.
Well, we're definitely not continuous
where we have this vertical
asymptote right over here.
We're not continuous at
x equals negative three.
We're also not continuous
at x is equal to one.
Then the last situation where
we are not going to be differentiable
is where we have a sharp turn,
or you could kind of view it
as a sharp point, on our graph.
I see a sharp point right over there.
Notice as we approach
from the left hand side,
the slope looks like a
constant, I don't know,
it's like a positive three halves,
while as we go to the right side of that
it looks like our slope turns negative.
If you were to try to find
the limit of the slope
as we approach from either side,
which is essentially
what you're trying to do
when you try to find the derivative,
well it's not going to be defined

Korean: 
y는 4에 가까워집니다
함수 f(x)가 미분가능하지 않은 모든 x값을 구하세요
먼저 x축과 수직인 기울기를 생각해 볼 수 있습니다
x축과 수직인 기울기는 없는 것 같습니다
그러면 불연속인 지점을 찾아보겠습니다
이 점근선에서는 분명히 불연속이네요
이 점근선에서는 분명히 불연속이네요
x=－3에서 불연속이고
x=1에서도 불연속입니다
미분이 가능하지 않은
마지막 경우는
뾰족점이 있을 때인데
이 그래프에서
여기 뾰족점이 있습니다
기울기의 좌극한값은
기울기의 좌극한값은
3/2  같네요
반면에 우극한값은
음수가 됩니다
따라서  양쪽에서 가까워질 때
기울기의 극한값을 구하려 하면
도함수를 구할 때처럼 말이죠
도함수를 구할 때처럼 말이죠
양쪽에서 값이 달라

Czech: 
Nebude definována,
neboť se jednostranné limity liší.
'f' není diferencovatelná v bodě 'x',
kde je tento ostrý bod.
Pokud byste chtěli derivaci nakreslit,
což uděláme v dalších videích,
uvidíte, že v tomto bodě není spojitá.
Označím to.
Zkontrolujme bod 'x' je rovno 0.
Bod 'x' rovno 0 je úplně v pohodě.
Jsme v bodě, kde není svislá tečna,
funkce je zde určitě spojitá,
není tu ani žádný „ostrý bod“.
Bod 'x' rovno 0 je úplně v pohodě.

Korean: 
정의되지 않을 것입니다
함수 f(x)는 뾰족점에서 미분이
가능하지 않습니다
이거는 다음 시간에 할 내용입니다만,
도함수를 그래프로 나타내려 한다면
이 점에서 도함수는 불연속일 것입니다
이 점에서 도함수는 불연속일 것입니다
따라서 x=3에서도 해당됩니다
x=0에서는 어떻게 되는지 알아보겠습니다
x=0에서는 아무 문제가 없습니다
이 점에서의 기울기는
x축에 수직이지도 않고
함수 f(x)도 이 점에서 연속입니다
뾰족점이 있지도 않습니다
x=0에서는 아무 문제가 없습니다
커넥트 번역 봉사단 | 이나경

English: 
because it's different from either side.
F is also not differentiable
at the x value
that gives us that little
sharp point right over there.
If you were to graph the derivative,
which we will do in future videos,
you will see that the derivative is not
continuous at that point.
Let me mark that off.
Then we can check x equals zero.
X equals zero's completely cool.
We're at a point that our tangent line
is definitely not vertical.
We're definitely continuous there.
We definitely do not have
a sharp point or edge.
We're completely cool at x equals zero.

Bulgarian: 
защото е различна от двете страни.
f също не е диференцируема
за това x,
където получаваме този
остър връх ето тук.
Ако искаше да онагледиш 
производната,
което ще направим в бъдещи уроци,
ще видиш, че производната
е прекъсната в тази точка.
Нека да отбележа това.
След това може да проверим x = 0.
x = 0 е напълно добре.
Намираме се в точка, където 
нашата допирателна
определено не е вертикална.
Определено е непрекъсната там.
Определено нямаме 
остри върхове или ръбове.
Напълно диференцируема 
е за x = 0.
