
Korean: 
g(x)가 1/x이라고
가정합시다
중간값 정리를 사용해서
g(c)는 0이고
c는 -1보다 크거나 같으며
1보다 작거나 같을 수
있다는 것을
증명할 수 있을까요?
만약 그렇다면
이유를 설명하세요
중간값 정리를
사용하기 위해서는
논점이 되는 구간에 걸쳐
함수가 연속돼야 합니다
여기서 논점의 구간은
x가 -1부터 1일 때까지입니다
1/x은 이 구간에 걸쳐서
연속되지 않습니다
x가 0일 때는 정의되지
않기 때문이죠
따라서 아닙니다, 왜냐하면
g(x)는 정의되지 않았으며 또한
연속되지 않기 때문입니다
구간의 모든 점에서
정의되지 못하였고

Bulgarian: 
Нека g(x) = 1/x.
Може ли да приложим теоремата
за средната стойност,
за да докажем, че има стойност c,
такава че g(c) = 0, а –1 ≤ c ≤ 1?
Ако да, то напишете доказателството.
За да използваш въобще теоремата
 за средната стойност,
функцията трябва да е 
непрекъсната в интервала,
в който е зададено с.
А този интервал е –1 ≤ c ≤ 1.
А 1/x не е непрекъсната в този интервал.
Тя не е дефинирана, когато x = 0.
Следователно може да напишем:
 "Не, защото
g(x) не е дефинирана." или може 
да се каже, че не е непрекъсната.
Също означава, че не е дефинирана 
във всяка точка от интервала,

English: 
- [Instructor] Let g
of x equal one over x.
Can we use the intermediate value theorem
to say that there is a value c,
such that g of c is equal to zero,
and negative one is
less than or equal to c,
is less than or equal to one?
If so, write a justification.
So in order to even use the
intermediate value theorem,
you have to be continuous
over the interval
that you care about.
And this interval that we
care about is from x equals
negative one to one.
And, one over x is not
continuous over that interval,
it is not defined when x is equal to zero.
And so, we could say, no, because,
g of x not defined, or I
could say not continuous.
It's also not defined on
every point of the interval,

Czech: 
Funkce g(x) se
rovná 1 lomeno x.
Můžeme za pomoci věty
o nabývání mezihodnot říci,
že existuje takové číslo ‚c‘,
pro které je g v bodě ‚c‘ rovno 0
a navíc platí, že -1 je menší nebo rovno
než ‚c‘, a to je menší nebo rovno než 1?
Pokud ano, své
tvrzení odůvodněte.
Abychom větu o nabývání 
mezihodnot mohli vůbec použít,
musíme mít funkci spojitou 
na intervalu, který nás zajímá.
V našem případě jde o
uzavřený interval od −1 do 1.
Na tomto intervalu funkce
1 lomeno x není spojitá,
protože není definovaná
v bodě x rovno 0.
Takže naše odpověď je:
„Ne, protože g(x)
není definovaná...“
Nebo bych mohl říci,
že není spojitá.
Taky je ale pravda, že není
na celém intervalu definovaná.

English: 
but let's say not continuous
over the closed interval
from negative one to one.
And we could even put in
parentheses not defined,
at x is equal to zero.
All right, now let's start
asking the second question.
Can we use the intermediate
value theorem to say
that the equation g of x is equal to 3/4
has a solution where 1 is
less than or equal to x,
is less than or equal to two?
If so, write a justification.
All right so first let's
look at the interval.
If we're thinking about the
interval from one to two,
well, yeah, our function
is going to be continuous
over that interval, so we
could say g of x is continuous
on the closed interval from one to two.
And if you wanted to put
more justification there,
you could say g defined
for all real numbers,

Korean: 
-1부터 1에 걸친 닫힌 구간에서
연속되지 않습니다
괄호를 열고
x가 0일 때
정의되지 않음
이라고 적어도 되겠죠
좋습니다, 이제 두 번째
문제로 넘어가 봅시다
중간값 정리를 이용해서
g(x)는 3/4이라는 식이
x가 1보다 크거나 같고
2보다 작거나 같을 때
해가 있는지 증명할 수 있나요?
만약 그렇다면
이유를 설명하세요
먼저 구간을 살펴봅시다
1에서 2까지의 구간을
고려한다면
함수는 그 구간에 걸쳐서 연속되니
g(x)는 닫힌 구간
1에서 2까지
연속된다고 할 수 있습니다
좀 더 이유를 설명하려면
이렇게 적으면 되겠죠

Bulgarian: 
но нека да запишем, че не е 
непрекъсната
в затворения интервал [–1; 1].
Може да поставим в скоби, че 
не е дефинирана
за x = 0.
Нека сега да видим втория въпрос.
"Може ли да се приложи теоремата за 
средната стойност, за да се докаже,
че уравнението g(x) = 3/4
има решение, когато за x е изпълнено
1 ≤ x ≤ 2?
Ако да, то напишете доказателството."
Добре, нека първо 
да погледнем интервала.
Ако мислим за интервала [1; 2],
то да, нашата функция ще бъде непрекъсната
в този интервал. Следователно може 
да кажем, че g(x) е непрекъсната
в затворения интервал [1; 2].
И ако искаш да допълниш
доказателството тук,
може да кажеш, че g е дефинирана 
за всички реални числа,

Czech: 
„...není spojitá na uzavřeném
intervalu od -1 do 1.“
Do závorek můžeme dopsat, že
není definovaná v bodě x rovno 0.
Podívejme se
na druhou otázku.
Můžeme za pomoci věty
o nabývání mezihodnot říci,
že rovnice g(x) rovná se 3 lomeno 4
má řešení na intervalu,
pro který je 1 menší nebo rovno x,
a to je menší nebo rovno než 2?
Pokud ano, své
tvrzení odůvodni.
Nejprve se podívejme
na náš interval.
Jde o interval od 1 do 2.
Na tomto intervalu je
naše funkce spojitá.
Podrobnějším odůvodněním
může být,
g(x) je spojitá na uzavřeném
intervalu od 1 do 2.

Bulgarian: 
такива че x ≠ 0.
Може да запиша, че g(x) е 
дефинирана за всички реални числа,
такива че x ≠ 0.
И може да допълниш, че 
рационални функции като 1/x
са непрекъснати във всички точки 
от своето множество.
Това наистина доказва, че g(x)
е непрекъсната в този интервал.
След това искаме да видим 
какви стойности приема g
в крайните точки. Всъщност,
ето това са крайните точки, 
които наблюдаваме тук.
g(1) ще бъде равно на 1/1, което е 1,
а g(2) ще бъде равно на 1/2.

English: 
such that x does not equal zero.
I could write g of x
defined for all real numbers
such that x does not equal to zero,
and you could say rational
functions like one over x,
are continuous at all
points in their domains.
That's going really
establishing that g of x
is continuous on that interval.
And then we wanna see what
values does g take over,
take on at the end point, or actually,
these are the end points we're
looking at right over here.
G of one is going to be
equal to one over one is one,
and g of two is going to be one over two.
So, 3/4 is between g of one and g of two,

Czech: 
že g(x) je definovaná pro všechna
reálná čísla kromě x rovno 0
a že všechny racionální funkce,
jako je 1 lomeno x,
jsou spojité ve všech bodech
svého definičního oboru.
Tím máme pořádně odůvodněné, že
g(x) je na tomto intervalu spojitá.
Nyní se podíváme, jakých hodnot
nabývá g v krajních bodech intervalu.
Toto jsou
naše krajní body.
g v bodě 1 se rovná
1 lomeno 1, což je 1,
a g v bodě 2
bude 1 lomeno 2.

Korean: 
함수 g는 모든 실수에 대해
정의되어 있으며
그에 따른 x값은 0이 아니다
g(x)는 모든 실수에 대해
정의되어 있으며
그에 따른 x값은 0이 아니고
x분의 1과 같은 유리함수들은
정의역에 걸친 모든 점에서
연속된다
이것은 g(x)가 해당 구간에서
연속된다는 것을
잘 설명해 줍니다
이제 함수 g가
끝점에서 어떤 값을 가지는지
보고 싶어집니다
이 숫자들이 양 끝점입니다
g(1)은 1/1, 즉 1이고
g(2)는 1/2입니다

Bulgarian: 
3/4 се намира между g(1) и g(2).
Според теоремата за средната стойност
трябва да има x, което е в интервала,
за който става дума, т.е. [1; 2],
такова, че g(x) = 3/4.
Следователно отговорът е:  Да. Можем
да използваме теоремата за средната стойност,
за да докажем, че уравнението g(x) = 3/4
има решение. И сме готови.

English: 
so by the intermediate value theorem,
there must be an x that is in the interval
from where it's talking about
the interval from one to two,
such that g of x is equal to 3/4.
And so, yes, we can use the
intermediate value theorem
to say that the equation
g of x is equal to 3/4
has a solution, and we are done.

Czech: 
3 lomeno 4 je mezi hodnotou
g v bodě 1 a hodnotou g v bodě 2,
tudíž podle věty
o nabývání mezihodnot
existuje takové x v uzavřeném
intervalu od 1 do 2,
že g v bodě x se
rovná 3 lomeno 4.
Takže ano, za pomoci věty
o nabývání mezihodnot můžeme říci,
že rovnice g(x) rovná se
3 lomeno 4 má řešení.
A tím jsme hotovi.

Korean: 
따라서 3/4은
g(1)과 g(2) 사이이고
중간값 정리에 따라
구간 내에 g(x)가
3/4이 되는
즉 1과 2 사이에
g(x)가 3/4이 되는 x값이
반드시 존재합니다
그러므로 예, 중간값
정리를 이용해서
g(x)는 3/4이라는 식에
해가 있다는 것을
증명할 수 있으며
이것으로 풀이가 끝났습니다
