
Czech: 
Podívejme se na
větu o nabývání extrémů,
která vychází tak trochu
ze selského rozumu.
Ve všech takových větách je ale zábavné
přemýšlet o krajních případech,
o tom, proč je věta
vyslovena zrovna takto,
což nám dodá
trochu více intuice.
Věta o nabývání
extrémů říká,
že když máme nějakou funkci,
která je spojitá na uzavřeném intervalu,
řekněme na uzavřeném
intervalu od ‚a‘ do ‚b‘...
Když jde o
uzavřený interval,
tak to znamená,
že zahrnuje krajní body ‚a‘ a ‚b‘.
Proto tu máme hranaté závorky
namísto těch kulatých.
…pak funkce f nabývá
globálního maxima a globálního minima,
což znamená,
že existuje…
Toto je logický symbol
pro to, že něco existuje.

Bulgarian: 
Ще разгледаме Теоремата на Вайерщрас
за екстремните стойности.
Която, както ще видим, 
се подразбира от само себе си.
Но при всички тези теореми
винаги е интересно да мислиш 
за крайни случаи.
Защо е представена точно 
по този начин?
И това може да ни даде 
малко повече усещане за теоремата.
Теоремата на Вайерщрас гласи,
че имаме някаква функция, която 
е непрекъсната в рамките на затворен
интервал. Нека да кажем, че 
интервалът е от точка а до точка b.
И когато казваме затворен интервал,
това означава, че крайните точки
 a и b са включени в интервала.
Ето защо имаме тези скоби тук, 
вместо кръглите скоби.
Тогава ще съществува стойност 
на абсолютен максимум
за функцията f и стойност на
 абсолютен минимум за  функцията f.
Тогава това означава, че съществува...
това е логически символ, който 
означава съществуване –

Thai: 
 
ตอนนี้เราจะคิดถึงทฤษฎีค่าสุดขั้ว 
(extreme value theorem)
ซึ่งเราจะเห็นว่ามันตรงกับสามัญสำนึก
แต่ในทฤษฎีบทพวกนี้ มัน
สนุกเวลาคิดถึงกรณีชายขอบ
ทำไมมันถึงออกมาแบบนี้?
มันช่วยให้เราได้สัญชาตญาณมากขึ้น
ทฤษฎีบทค่าสุดขั้วบอกว่า
ถ้าเรามีฟังก์ชันที่ต่อเนื่องตลอดช่วงปิด
สมมุติว่าช่วงปิดจาก a ถึง b
และเวลาเราบอกว่าช่วงปิด
เราหมายความว่ารวมจุดปลาย a กับ b ด้วย
นั่นคือเรามีวงเล็บเหลี่ยมตรงนี้ 
แทนที่จะเป็นวงเล็บโค้ง
แล้วจะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์
สำหรับ f และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์สำหรับ f
นั่นหมายความว่า มันมี --
นี่คือสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ ว่ามีอยู่ -- มี

Korean: 
 
극한값의 정리를 이야기해 보면
꽤 당연한 것처럼 보일 수 있습니다
그러나 이런 정리들에서
특이한 경우를 생각하는 것은
언제나 즐겁습니다
이 방법은 왜 사용되는 것일까요?
아마도 우리에게 조금 더 
강한 직관을 주기 때문이죠
그래서 극한값의 정리는
a와 b 사이 닫힌 구간에서
연속인 함수를 보면
양 끝을 포함하는 구간을 뜻하는
닫힌 구간은
괄호 대신 대괄호를 사용합니다
그러면 명백한 함수의 최댓값과
최솟값이 존재합니다
이것은 곧
'존재한다'라는 뜻을 가진
수학적 기호 'exist' 를 사용하면

English: 
So we'll now think about
the extreme value theorem.
Which we'll see is a
bit of common sense.
But in all of
these theorems it's
always fun to think
about the edge cases.
Why is it laid
out the way it is?
And that might give us a little
bit more intuition about it.
So the extreme
value theorem says
if we have some function that
is continuous over a closed
interval, let's say the
closed interval from a to b.
And when we say a
closed interval,
that means we include
the end points a and b.
That is we have these brackets
here instead of parentheses.
Then there will be an
absolute maximum value
for f and an absolute
minimum value for f.
So then that means
there exists--
this is the logical symbol for
there exists-- there exists

Polish: 
Rozważymy teraz twierdzenie
o przyjmowaniu ekstremów.
Które jak zobaczymy
jest bardzo intuicyjne.
We wszystkich tego
typu twierdzeniach
dobrze jest pomyśleć o
krańcowych przypadkach.
Dlaczego twierdzenie jest
tak sformułowane?
Spróbujemy wyrobić sobie jakąś
intuicję na ten temat.
Twierdzenie mówi, że
jeśli mamy ciągłą funkcję f
na domkniętym przedziale,
powiedzmy od a do b.
Domknięty przedział oznacza,
że zawiera krańcowa punkty
a oraz b.
Dlatego mamy nawiasy kwadratowe
zamiast okrągłych.
Twierdzenie mówi, że istnieje
wtedy maksymalna wartość
funkcji f i minimalna wartość
funkcji f na tym przedziale.
Czyli, to znaczy że istnieje,
ten znak logiczny oznacza
słowo "istnieje",

Portuguese: 
Agora vamos pensar sobre 
o teorema do valor extremo,
no qual veremos que é 
um pouco de senso comum.
Mas em todos esses teoremas é
sempre divertido pensar 
sobre casos limite.
Por que isso é definido 
dessa maneira?
E isso pode nos dar um pouco mais 
de intuição sobre o tópico.
O teorema do valor 
extremo diz que
se tivermos uma função que é 
contínua em um intervalo fechado
digamos que seja o intervalo 
de a até b,
e quando dizemos 
intervalo fechado
significa que incluímos 
os pontos finais a e b.
Essa é a razão de termos colchetes 
ao invés de parênteses.
Haverá então um valor 
máximo absoluto
para f e um valor mínimo 
absoluto para f.
Isso significa que existe --
isso é o símbolo lógico 
para "existe" -- existe

English: 
an absolute maximum
value of f over interval
and absolute minimum value
of f over the interval.
So let's think about
that a little bit.
And this probably is
pretty intuitive for you.
You're probably saying,
well why did they even
have to write a theorem here?
And why do we even have to
have this continuity there?
And we'll see in a second
why the continuity actually
matters.
So this is my x-axis,
that's my y-axis.
And let's draw the interval.
So the interval is from a to b.
So let's say this is a and
this is b right over here.
Let's say that this right
over here is f of a.
So that is f of a.
And let's say this right
over here is f of b.
So this value right
over here is f of b.

Bulgarian: 
стойност на абсолютен максимум за f 
в рамките на дадения интервал,
и стойност на абсолютен минимум за f
 в рамките на дадения интервал.
Нека да помислим малко върху това.
Може би е логично за теб.
Може би се питаш:
Защо въобще е било необходимо
да създават теорема в такъв случай?
И защо въобще трябва функцията да е 
непрекъсната в дадения интервал?
И след секунда ще видим защо 
непрекъснатостта всъщност има значение.
Това е моята ос х, 
а това е моята ос у.
Нека да означим интервала.
Интервалът е от a до b.
Нека да кажем, че това е точката a, 
а това тук е точката b.
Нека да кажем, че това ето тук 
е равно на f от а.
Тоест, това е равно на f от а.
Нека да кажем, че това ето тук 
е равно на f от b.
Тоест, тази стойност тук 
е равна на f от b.

Polish: 
istnieje maksimum f na przedziale,
i istnieje minimum f na tym przedziale.
Pomyślmy chwilę.
Pewnie wydaje Ci się to dość oczywiste.
Być może uważasz, że nie ma
sensu nazywać tego twierdzeniem.
I po co zakładać ciągłość?
Zaraz zobaczymy na przykładzie, że
ciągłość jest istotna.
Narysowałem tutaj oś x
oraz oś y.
Teraz zaznaczę nasz
przedział [a,b].
Powiedzmy że to będzie a,
i niech tu będzie b.
Tutaj bedziemy mieli f(a),
zaznaczam je na osi,
a tutaj mamy f(b).
Również zaznaczę na osi.

Thai: 
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f ในช่วง
และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f ในช่วง
ลองคิดกันสักหน่อย
และอันนี้น่าจะตรงตามสัญชาตญาณคุณอยู่แล้ว
คุณอาจบอกว่า ทำไมเขา
ต้องเขียนทฤษฏีบทมาด้วย?
ทำไมเราต้องมีความต่อเนื่องตรงนี้?
และเราจะเห็นเร็วๆ นี้ว่าความต่อเนื่อง
สำคัญอย่างไร
นี่คือแกน x นั่นคือแกน y
ลองวาดช่วงกัน
ช่วงคือจาก a ถึง b
สมมุติว่านี่คือ a และนี่คือ b ตรงนี้
สมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือ f ของ a
นั่นคือ f ของ a
และสมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือ f ของ b
ค่านี่ตรงนี้ก็คือ f ของ b

Czech: 
...existuje globální maximum
funkce f na tomto intervalu
a také globální minimum
funkce f na tomto intervalu.
Tak se nad tím
trochu zamysleme.
Nejspíš je to pro
vás celkem intuitivní.
Asi si říkáte:
„Proč o tom museli vyslovovat větu?“
„Proč tu vůbec musí být
předpoklad spojitosti?“
Hned se dostaneme k tomu,
proč je spojitost důležitá.
Toto je tedy má osa x, 
toto je má osa y.
Nakresleme interval.
Interval je od ‚a‘ do ‚b‘.
Řekněme, že tohle je ‚a‘
a že tady bude ‚b‘.
Řekněme,
že toto je f(a).
Tady bude f(a).
Dále řekněme,
že toto je f(b).
Tato hodnota
je tedy f(b).

Korean: 
구간 내에 명백한 함수의 최댓값과
명백한 함수의 최솟값이 존재합니다
잠시 생각해 보면
꽤 직관적일 수 있습니다
아마도 왜 이론을 붙여야 했으며
왜 연속인 함수가 필요한지
그리고 왜 연속성이 중요한지
말하고 계실 수 있습니다
x축과 y축을 잡고
a와 b 사이의
닫힌 구간을 그립시다
그럼 여기를 각각 a와 b로 합시다
이곳을 f(a)로 잡고
이곳을 f(b)로 잡읍시다

Portuguese: 
um valor máximo absoluto 
de f sobre o intervalo
e um valor mínimo 
absoluto de f no intervalo.
Pensemos um pouco sobre isso.
Pode parecer bastante 
intuitivo para você.
Você pode estar pensando, 
porque tiveram que
escrever um teorema aqui?
E por que temos que ter 
essa continuidade aqui?
Em um segundo 
veremos o por quê
Essa continuidade 
realmente importa.
Esse é o meu eixo x, 
aquele é o meu eixo y.
Desenhemos esse intervalo.
Esse intervalo vai de a até b.
Digamos que esse é 
a e esse aqui é b.
Digamos que esse 
aqui é f de a.
Esse é f de a.
Digamos que esse 
aqui é f de b.
Então esse valor 
aqui é f de b.

Korean: 
그리고 함수가 이렇게 움직인다고 합시다
이 구간 내에서는 이렇게 움직이고 있습니다
저는 그저 임의로 함수를 그린 것입니다
연속인 함수를 그렸습니다
딱히 이렇게 함수를 그리기 위해서
펜이 필요하지는 않았습니다
그리고 이 방법으론
제가 그린 연속인 함수에
확실한 최댓값과 최솟값이
이 구간 내에 존재한다는 것은 명백합니다
확실한 최솟값은
여기쯤 있는 것처럼 보이고
그 점의 x좌표를 c라고 합시다
f(c)는 여기쯤 있습니다
그리고 확실한 최댓값도
구간의 여기 쯤에
존재하는 것처럼 보이고
그 때의 x좌표는 d라고 합시다
f(d)는 여기쯤에 있습니다
이런 상태를 다시 말하자면
만약 함수 f가 구간 내에서 연속이라면

Thai: 
สมมุติว่าฟังก์ชันทำแบบนี้
สมมุติว่าฟังก์ชันทำอะไร
แบบนี้ตลอดช่วง
และผมวาดค่อนข้างตามใจ
ตรงนี้
ผมวาดฟังก์ชันต่อเนื่องตัวหนึ่ง
ผมไม่ต้องเลือกปากกา
ตอนผมวาดตรงนี้
และคุณเห็นว่า อย่างน้อยตาม
ฟังก์ชันต่อเนื่องนี้ที่ผมวาด
เห็นได้ชัดว่ามันมีจุดสูงสุดสัมบูรณ์
และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงนี้
จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ มัน
ดูเหมือนว่าเราเจอตรงนี้ เมื่อ x คือ
สมมุติว่านี่คือ x เท่ากับ c
และนี่คือ f ของ c ตรงนี้
และมันดูเหมือนว่าเรามีค่าสูงสุดสัมบูรณ์
บนช่วงนี่ตรงนี้
เมื่อ x เท่ากับ สมมุติว่านี่คือ x เท่ากับ d
และค่านี่ตรงนี้คือ f ของ d
วิธีบอกประโยคนี่ตรงนี้อีกอย่าง คือถ้า f
ต่อเนื่องบนช่วงนั้น เรา

English: 
And let's say the function
does something like this.
Let's say the function
does something
like this over the interval.
And I'm just drawing
something somewhat arbitrary
right over here.
So I've drawn a
continuous function.
I really didn't have
to pick up my pen
as I drew this right over here.
And so you can see
at least the way
this continuous function
that I've drawn,
it's clear that there's
an absolute maximum
and absolute minimum
point over this interval.
The absolute minimum
point, well it
seems like we hit it right
over here, when x is,
let's say this is x is c.
And this is f of c
right over there.
And it looks like we had
our absolute maximum point
over the interval
right over there
when x is, let's say
this is x is equal to d.
And this right over
here is f of d.
So another way to say this
statement right over here if f
is continuous over
the interval, we

Portuguese: 
Digamos que essa função 
se comporte assim.
neste intervalo.
Estou somente 
desenhando algo arbitrário
logo aqui.
Eu desenhei uma 
função contínua.
Eu não tive que pegar 
minha caneta
quando desenhei 
isso logo aqui.
E você pode ver pelo 
menos a maneira que
desenhei essa função contínua,
é claro que há 
um ponto máximo absoluto
e mínimo absoluto 
sobre este intervalo.
O ponto mínimo 
absoluto parece ser
atingido logo aqui quando
x é igual a c.
E esse é f de c logo aqui.
E parece que temos o 
ponto máximo absoluto
no intervalo logo aqui
quando x é -- digamos 
que x é igual a d.
E esse aqui é f de d.
Uma outra maneira de dizer 
essa declaração aqui se f
for contínua sobre o intervalo,

Bulgarian: 
И нека да кажем, че функцията 
прави нещо като ето това.
Нека да кажем, че прави 
нещо ето такова
като това в рамките 
на дадения интервал.
И аз просто чертая нещо
 произволно ето тук.
Начертах непрекъсната функция.
Наистина не беше необходимо
 да повдигам молива си,
когато начертах тази графика тук.
И поне може да видиш, 
че по начина, по който
начертах тази непрекъсната функция,
е ясно, че съществува точка 
на абсолютен максимум
и точка на абсолютен минимум
 в рамките на този интервал.
Точката на абсолютен минимум 
изглежда,
че се намира точно ето тук, 
където х е равно на...
Нека да кажем, че това е
 х равно на с.
А това е f от с ето тук.
И изглежда сякаш функцията достига
 точка на абсолютен максимум
в рамките на интервала 
точно ето тук,
когато х е... да кажем, че това е х = d.
А тази точка ето тук е f от d.
Друг начин да изкажеш това твърдение 
ето тук е следният. Ако функцията f
е непрекъсната в рамките на интервала,

Polish: 
Powiedzmy że wykres funkcji
wygląda tak.
Tutaj zjeżdża na dół,
tutaj znowu do góry,
rysuję po prostu cokolwiek
mi przyjdzie do głowy.
No to mamy funkcję ciągłą.
Nie musiałem odrywać pisaka
od tablicy żeby narysować jej wykres.
No i widzimy,
że ta funkcja którą narysowałem,
ewidentnie przyjmuje zarówno maksimum,
jak i minimum na tym przedziale.
Minimum jest tutaj,
powiedzmy że
przyjmowane dla x równego c.
Czyli minimum to f(c).
Wygląda na to że maksimum
przyjmowane jest tutaj,
powiedzmy że dla x równego d.
Czyli tutaj mamy f(d).
Czyli twierdzenie można by sformułować,
że jeśli f jest ciągła na [a,b],

Czech: 
Dejme tomu, že funkce
dělá něco takového.
Řekněme, že se funkce
na tomto intervalu chová takto.
Kreslím to,
jak mě zrovna napadne.
Nakreslil jsem
spojitou funkci.
Opravdu jsem nemusel zvednout tužku,
když jsem ji tady kreslil.
Můžete vidět, že alespoň pro tuto
spojitou funkci, kterou jsem nakreslil,
je jasné, že na tomto intervalu
nabývá globálního maxima a minima.
Bod globálního minima?
Vypadá to, že minima funkce nabývá tady,
když je x rovno řekněme ‚c‘.
Toto je tudíž f(c).
Globálního maxima na tomto
intervalu funkce nabývá zdá se tady,
když je x rovno
řekněme ‚d‘.
Tady pak bude f(d).
Toto tvrzení tedy můžeme
přeformulovat také tak,
že když je f spojitá
na uzavřeném intervalu,

Korean: 
간격 내 c, d가 존재한다고 할 수 있습니다
그들은 집합의 원소로
간격 사이의 숫자들의 집합의 원소입니다
여기서는 수학적 기호가 사용되었습니다
f(c)가 f(x)보다 작거나 같고
f(x)는 f(d)보다 작거나 같습니다
구간 내의 모든 x에 대해서 성립합니다
 
 
이 경우에서
최솟값에 도달하는 경우는 x가 c일 때입니다
바로 이 점입니다
최댓값은 x가 d일 때 도달합니다
구간 내의 다른 모든 x에 대해서
f(x)는 두 값 사이에 존재합니다
다른 연속 함수를 그릴 수도 있습니다
다시 극한값의 정리와

Czech: 
tak existují body ‚c‘ a ‚d‘
z tohoto intervalu…
Jsou to tedy
prvky této množiny.
…z tohoto intervalu
takové, že…
Používám tu
logický zápis.
…takové, že f(c) je menší nebo rovno f(x),
které je menší nebo rovno f(d),
a to pro všechna x
z našeho intervalu.
V tomto případě říkáme,
že máme minimum v bodě x rovno ‚c‘,
to je tady,
a maximum v bodě
x rovno ‚d‘
a že pro všechna ostatní
‚x‘ z intervalu platí,
že funkční hodnota je někde
mezi těmito dvěma hodnotami.
Mohli bychom si nakreslit
další spojité funkce.
Nedělám tu důkaz
věty o nabývání extrémů,

Polish: 
to istnieją liczby c, d
na przedziale [a,b],
takie, że:
zwróćcie uwagę że używam
notacji logicznej,
takie że f(c) jest mniejsze
lub równe niż f(x)
i f(x) jest mniejsze lub równe niż f(d),
dla wszystkich x z przedziału [a,b].
Właśnie tak.
W tym przypadku widzimy,
że minimum mamy dla x = c,
zaznaczonego tutaj,
a maximum dla x = d,
a dla wszystkich pozostałych x,
jesteśmy gdzieś pomiędzy
tymi dwiema wartościami.
Moglibyśmy narysować jakieś
inne ciągłe funkcje,
ale nie zamierzam dowodzić
tego twierdzenia,
chcę tylko ułatwić zrozumienie

Thai: 
บอกได้ว่า มี c และ d ที่อยู่ในช่วงนี้
พวกมันเป็นสมาชิกของเซต
ที่อยู่ในช่วง โดยที่ -- ผมแค่
ใช้สัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ตรงนี้
โดยที่ f ของ c น้อยกว่าเท่ากับ f
ของ x ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ f
ของ d สำหรับทุก x ในช่วงนั้น
 
อย่างนั้น
ในกรณนี้ คุณกำลังบอกว่า ดูนะ
เราถึงจุดต่ำสุดเมื่อ x เท่ากับ c
นั่นคือจุดนั่นตรงนั้น
ค่าสูงสุดของเราเมื่อ x เท่ากับ d
และสำหรับ x อื่นในช่วง
เราอยู่ระหว่างสองค่านั้น
อย่างหนึ่ง เราวาดฟังก์ชันต่อเนื่องอีกตัวได้
ย้ำอีกครั้ง ผมไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว
 
แต่เพื่อให้คุณคุ้นเคยกับมัน

English: 
could say there exists a c and
d that are in the interval.
So they're members
of the set that
are in the interval
such that-- and I'm just
using the logical notation here.
Such that f c is less
than or equal to f
of x, which is less
than or equal to f
of d for all x in the interval.
Just like that.
So in this case
you're saying, look,
we hit our minimum value
when x is equal to c.
That's that right over here.
Our maximum value
when x is equal to d.
And for all the other
Xs in the interval
we are between those two values.
Now one thing, we could draw
other continuous functions.
And once again I'm not doing
a proof of the extreme value
theorem.
But just to make
you familiar with it

Portuguese: 
poderíamos dizer que existe um 
c e um d que estão no intervalo.
Eles são membros do conjunto que
estão em um intervalo de 
forma que -- e eu estou
usando a notação lógica aqui.
Tal que f de c é 
menor ou igual a f de x,
que é menor ou igual a f de d
para todo x neste intervalo.
Simples assim.
Nesse caso você 
está dizendo que
atingimos o valor mínimo
quando x é igual a c.
É esse logo aqui
Nosso valor máximo 
quando x é igual a d.
E para todos os outros 
x's no intervalo
estamos entre 
esses dois valores.
Agora, poderíamos desenhar 
outras funções contínuas.
Eu não estou fazendo a prova
do teorema do valor extremo.
Mas faço isso para lhe 
familiarizar

Bulgarian: 
то може да кажем, че съществуват 
числа c и d, които са част от интервала
Тези числа са част от множеството,
което е в рамките на интервала, 
такива че – и тук ще
използвам знак за логическо следствие –
такива, че f от c е по-малко 
или равно на f от x,
което е по-малко или равно
на f от d, за всяко число х 
от този интервал.
За всяко число х от този интервал.
Ето така.
В този случай си казваш, виж,
достигаме нашата минимална стойност 
тук, когато х е равно на с.
Това е точно ето тук.
А нашата максимална стойност, 
когато х е равно на d.
И за всички останали стойности х 
в интервала
функцията се намира между 
тези две стойности.
Можех да начертая други 
непрекъснати функции.
Още веднъж, няма да правя 
доказателство на Торемата
за екстремните стойности.
Но просто ще те запозная с нея

Portuguese: 
e o porquê é definido 
dessa maneira.
Você pode desenhar 
várias funções aqui
que são contínuas 
nesse intervalo fechado.
Aqui o nosso ponto máximo 
aconteceu quando atingimos b.
E o nosso ponto 
mínimo acontece em a.
Para uma função plana, 
poderíamos colocar qualquer ponto
como pontos máximo e mínimo.
E veremos que isso 
poderia mesmo ser verdade.
Vamos nos aprofundar 
um pouco mais
no por quê f precisa ser contínua
e por que esse intervalo 
precisa ser fechado.
Primeiramente, pensemos na razão 
por que f precisa ser contínua.
Bom, eu posso facilmente 
construir uma função
que não é contínua em 
um intervalo fechado
onde é difícil definir um ponto 
mínimo ou um máximo.
Eu lhe encorajo -- na realidade, 
pause este vídeo
e tente construir 
essa função.
Tente construir uma 
função não-contínua
em um intervalo fechado, 
onde seria muito difícil

Czech: 
spíš vás s ní chci seznámit a ukázat,
proč je takto vyslovena.
Mohli byste si tu
nakreslit mnoho funkcí,
které jsou spojité na tomto
uzavřeném intervalu.
V tomto případě funkce nabývá svého
maxima v bodě ‚b‘ a minima v bodě ‚a‘.
U konstantní funkce můžeme vzít
libovolný bod jako bod maxima či minima
a uvidíme,
že tohle bude splňovat.
Podívejme se nyní
trochu hlouběji na to,
proč je nutné, aby byla funkce f spojitá,
a proč je zde nutné mít uzavřený interval.
Nejprve se zamysleme nad tím,
proč musí být funkce f spojitá.
Snadno můžeme
sestrojit funkci,
která na uzavřeném intervalu
není spojitá
a u které je těžké stanovit
minimum a maximum.
Zastavte si teď video a zkuste si
takovou funkci sestrojit sami.
Sestrojte nespojitou funkci
na uzavřeném intervalu,
u které bude
velmi obtížné...

Polish: 
jego treści.
Można sobie narysować
wiele funkcji tutaj,
ciągłych na przedziale [a.b].
Dla tej na przykład maksimum
jest osiągane dla b,
minimum przyjmowane dla a.
Dla funkcji stałej, moglibyśmy
wziąć dowolny punkt
jako maksimum i minimum,
i wszystko byłoby w porządku
Ale zastanówmy się może
dlaczego f musi być ciągła,
i dlaczego przedział musi być domknięty.
Wpierw rozważmy ciągłość f.
No cóż, mogę łatwo wymyślić funkcję,
która nie jest ciągła na przedziale,
dla której niezbyt się da wskazać
gdzie przyjmuje maksimum i minimum.
Zachęcam do spauzowania filmiku,
i wymyślenia takiej funkcji samemu.
Spróbuj wymyślić nieciągłą funkcję,
na domkniętym przedziale,
dla której byłoby trudno

Bulgarian: 
и защо е формулирана по начина, 
по който е формулирана.
Може да начертаеш един куп 
функции тук,
които са непрекъснати в рамките 
на този затворен интервал.
Ето тук точката на максимум попада 
точно там, където достигаме до b.
А точката на минимум попада 
точно там, където достигаме до а.
За линейна функция може
 да поставим коя да е точка
като точка на максимум или минимум
И ще видим, че това действително 
ще бъде вярно.
Нека да навлезем малко по-дълбоко
като например се запитаме защо 
функцията f трябва да бъде непрекъсната,
и защо трябва този интервал 
да е затворен.
Първо нека да помислим защо
 f трябва да бъде непрекъсната.
Е, лесно мога да съставя функция, която
е прекъсната в рамките 
на затворен интервал,
където е трудно да се определи точка
 на минимум или максимум.
И те окуражавам да спреш видеото
и да се опиташ да съставиш 
такава функция самостоятелно.
Опитай се да съставиш 
прекъсната функция
в рамките на затворен интервал, 
където ще бъде много трудно,

Korean: 
왜 이 식이 이 상태를 뜻하는지
증명하지는 않을 것입니다
그리고 구간 내에서 연속인 함수를
다양하게 그릴 수 있습니다
b에 도달했을 때 최댓값을 가지고
a에서 최솟값을 가지는 함수가 있습니다
평평한 함수에선 어느 점이나
최댓값 또는 최솟값으로 잡을 수 있습니다
그리고 이 식은 어느 상황에서나 참입니다
조금 더 깊이 생각해봅시다
왜 함수 f가 연속이어야 하고
왜 닫힌 구간이어야만 하는지
생각해 봅시다
먼저 왜 함수 f가 연속이어야 할까요?
쉽게 닫힌 구간 내에서
연속이 아닌 함수를 그릴 수 있습니다
최댓값과 최솟값을 명확히 할 수 없는
함수를 그릴 수 있습니다
잠시 이 영상을 멈추고
그런 함수를 직접 그려보십시오
닫힌 구간 내에서 연속적이지 않은
함수 그리기를 시도해 보십시오

English: 
and why it's stated
the way it is.
And you could draw a
bunch of functions here
that are continuous over
this closed interval.
Here our maximum point
happens right when we hit b.
And our minimum
point happens at a.
For a flat function
we could put any point
as a maximum or
the minimum point.
And we'll see that this
would actually be true.
But let's dig a
little bit deeper
as to why f needs
to be continuous,
and why this needs to
be a closed interval.
So first let's think about why
does f need to be continuous?
Well I can easily
construct a function
that is not continuous
over a closed interval
where it is hard to articulate
a minimum or a maximum point.
And I encourage you,
actually pause this video
and try to construct that
function on your own.
Try to construct a
non-continuous function
over a closed interval where
it would be very difficult

Thai: 
และเข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น
คุณวาดฟังก์ชันได้หลายตัวตรงนี้
ที่ต่อเนื่องตลอดช่วงปิดนี้
ตรงนี้ค่าสูงสุดเกิดขึ้นตรงที่เราเจอ b
และจุดต่ำสุดเกิดขึ้นที่ a
สำหรับฟังก์ชันราบ เราใส่จุดใดๆ
เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดก็ได้
และเราจะเห็นว่าอันนี้เป็นจริงด้วย
แต่ลองลงลึกอีกหน่อย
ว่าทำไม f ต้องต่อเนื่อง
และทำไมอันนี้ต้องเป็นช่วงปิด
อย่างแรก ลองคิดกันว่าทำไม f ต้องต่อเนื่อง
ผมสร้างฟังก์ชัน
ที่ไม่ต่อเนื่องตลอดช่วงปิดได้ง่ายๆ
โดยที่มันหาจุดต่ำสุดหรือสูงสุดได้ยาก
และผมแนะนำให้คุณ หยุดวิดีโอนี้
แล้วพยายามสร้างฟังก์ชันนั้นด้วยตัวเอง
พยายามสร้างฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง
บนช่วงปิด โดยที่หาค่ายาก

Thai: 
หรือหาไม่ได้เลย ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
หรือค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงนั้น
ลองดู ขอผมวาดกราฟตรงนี้นะ
สมมุติว่าช่วงนั่นตรงนั้นคือช่วงของผม
สมมุติว่านั่นคือ a นั่นคือ b
สมมุติว่าฟังก์ชันของเราทำตัวแบบนี้
สมมุติว่าฟังก์ชันของเราบางอย่าง
โดยคุณคาดว่าจะมีค่าสูงสุด ลอง
สมมุติว่าฟังก์ชันไม่นิยาม
และตรงนี้ คุณคาดว่า
จะมีค่าต่ำสุด แต่ฟังก์ชันไม่นิยาม
แล้วตรงนี้ คุณบอกได้ว่า
ดูสิ ฟังก์ชันกำลังเข้าหา
เมื่อ x เข้าใกล้ค่านี่ตรงนี้
ฟังก์ชันเข้าใกล้ลิมิตนี้ชัดเจน
แต่ลิมิตนั้นเป็นค่าสูงสุดไม่ได้
เพราะฟังก์ชันไม่เคยไปถึงค่านั้น
คุณก็บอกว่า ลองไปใกล้กว่านี้
บางที จำนวนนี่ตรงนี้คือ 5
คุณก็บอกว่า บางทีค่าสูงสุดคือ 4.6
แล้วคุณก็ให้ x เข้าใกล้ค่านี้ไปอีก
แล้วคุณได้ y เป็น 4.99 หรือ 4.999

Portuguese: 
ou você não poderia achar 
um valor mínimo absoluto
ou um valor máximo 
absoluto neste intervalo.
Bom, vejamos, deixe-me 
desenhar um gráfico aqui.
Digamos que esse aqui é o meu intervalo.
Digamos que esse é a e esse é b.
Digamos que a nossa função 
se comportou assim
logo onde você esperaria
ter um valor máximo,
digamos que a função é indefinida.
E logo onde você esperaria ter
um valor mínimo, a função é indefinida.
E logo aqui você poderia dizer, bem,
a função está claramente 
se aproximando,
quando x se aproxima 
desse valor logo aqui,
a função está claramente se 
aproximando deste limite.
Mas aquele limite não 
pode ser o máximo
por que a função nunca chega lá.
Então você sugere chegarmos, 
mais perto daqui.
Talvez esse número 
logo aqui seja cinco.
Então o máximo talvez 
o máximo seja 4,9.
Você poderia obter seu x
cada vez mais perto deste valor
e ter o seu y em 4,99 ou 4,999.

Czech: 
U které opravdu nelze na daném intervalu
globální minimum či maximum určit.
Tak pojďme na to.
Nejdřív si
namaluji graf.
Řekněme, že toto
je můj interval.
Tady budou body ‚a‘ a ‚b‘.
Řekněme, že funkce
dělá něco takového.
Řekněme, že naše funkce tam,
kde bychom čekali, že má maximum,
vůbec není definovaná,
a tam, kde byste čekali,
že má minimum, také není definována.
Můžeme říct,
že se zde funkce blíží…
Když se x blíží k tomuto číslu,
funkční hodnota se blíží k téhle hodnotě,
ale tato limita nemůže být maximum,
protože se k ní funkce nikdy nedostane.
Podívejme se
na to zblízka.
Dejme tomu,
že toto číslo je 5.
Mohli byste říct,
že maximum je 4,9.
Pak byste vzali x blíže k této hodnotě
a ‚y‘ by bylo 4,99 nebo dokonce 4,999.

Korean: 
또는 구간 내에서 확실한 최솟값이나
최댓값을 결정할 수 없는 함수를 그려보십시오
여기에 그래프를 그려보면
여기가 닫힌 구간이라고 합시다
여기를 a, b라고 하고
함수가 이렇게 움직인다고 가정합시다
이 함수는 우리가
최댓값을 가질 것이라고 예상하는 곳에서
정의되지 않는다고 합시다
그리고 또한 우리가
최솟값을 가질 것이라고 예상하는 곳에서
정의되지 않는다고 합시다
그럼 여기서는
함수는 명백히 다가가고 있습니다
x값이 여기로 수렴하면서
함수는 이 극한으로 수렴합니다
그러나 이 극한값은 최댓값이 될 수 없습니다
함수가 그 값에 절대 도달하지 않기 때문입니다
조금 더 자세히 보면
여기의 값은 5라고 하면
아마도 최댓값은 4.9가 될 수 있습니다
x를 그 값에 더욱 가까이 하면
y는 4.99, 4.999가 되고

English: 
or you can't really pick
out an absolute minimum
or an absolute maximum
value over that interval.
Well let's see, let
me draw a graph here.
So let's say that this right
over here is my interval.
Let's say that's a, that's b.
Let's say our function
did something like this.
Let's say our function
did something right
where you would have expected
to have a maximum value let's
say the function is not defined.
And right where you
would have expected
to have a minimum value,
the function is not defined.
And so right over here
you could say, well
look, the function is
clearly approaching,
as x approaches this
value right over here,
the function is clearly
approaching this limit.
But that limit
can't be the maxima
because the function
never gets to that.
So you could say, well
let's a little closer here.
Maybe this number
right over here is 5.
So you could say, maybe
the maximum is 4.9.
Then you could get your x
even closer to this value
and make your y
be 4.99, or 4.999.

Bulgarian: 
или не може действително да намериш 
точка на абсолютен минимум
или абсолютен максимум.
Е, нека да видим. Нека да начертая 
една графика тук.
Нека да кажем, че това ето тук 
е моят интервал.
Нека да кажем, че тази точка е a, 
а тази точка е b.
Нека да кажем, че функцията
 е направила нещо такова.
Нека да кажем, че функцията 
прави нещо точно там,
където очакваш да има 
максимална стойност,
и не е дефинирана в тази точка.
И точно там, където очакваш да има
минимална стойност, 
функцията не е дефинирана.
И точно тук може да кажеш 
следното: "Добре, виж,
че функцията категорично клони –
когато х клони към тази стойност тук –
функцията категорично клони 
към тази граница.
Но тази граница не може
 да е максимум,
защото функцията никога 
не достига до нея.
Може да кажеш, нека да е 
в някаква близка стойност тогава.
Може би това число ето тук 
е равно на 5.
Тогава може да заявиш: "Може би максимумът е в точката 4,9."
Тогава може да избереш стойност, която 
е дори още по-близо до тази стойност
и да избереше стойността 
у да е равна на 4,99 или 4,999.

Polish: 
a w zasadzie niemożliwe,
żeby wskazać minimum
albo maksimum na całym przedziale.
Cóż, narysujmy wykres takiej funkcji.
Załóżmy że to jest mój przedział.
Tu mamy a, tu mamy b.
Powiedzmy że funkcja wygląda tak.
W miejscu gdzie
można by się spodziewać maksimum,
powiemy że nie jest zdefiniowana,
i tak samo w miejscu
gdzie wygląda jakby miała
przyjąć minimum.
Można powiedzieć, że funkcja
ewidentnie zbliża się,
gdy x zbliża się do tej wartości
którą tutaj zaznaczyłem,
funkcja ewidentnie zbliża się
do tej granicznej wartości.
Ale nie może ona być maksimum,
ponieważ funkcja nigdy jej nie osiąga.
Zbadajmy to dokładniej,
powiedzmy że ta liczba
na czubku to 5.
Być może maksimum to 4.9?
Ale możemy wtedy wziąć x
jeszcze bliżej tej wartości
tak żeby y było 4.99 lub 4.999.

English: 
You could keep adding another 9.
So there is no maximum value.
Similarly here, on the minimum.
Let me draw it a little bit so
it looks more like a minimum.
There is-- you can get
closer and closer to it,
but there's no minimum.
Let's say that this value
right over here is 1.
So you could get to
1.1, or 1.01, or 1.0001.
And so you could keep drawing
some 0s between the two 1s
but there's no absolute
minimum value there.
Now let's think
about why it being
a closed interval matters.
Why you have to include your
endpoints as kind of candidates
for your maximum and minimum
values over the interval.
Well let's imagine that
it was an open interval.
Let's imagine open interval.
And sometimes, if we
want to be particular,
we could make this is the
closed interval right of here
in brackets.
And if we wanted to do an
open interval right over here,
that's a and that's b.

Bulgarian: 
Може да продължиш 
да добавяш цифрата 9,
но на това място функцията 
няма максимална стойност.
Подобна е ситуацията ето тук,
 в точката на минимум.
Нека да я начертая малко по-добре, 
за да прилича повече на минимум.
Може да се приближаваш все повече 
и повече до тази стойност –
но там няма минимум.
Нека да кажем, че тази стойност
 ето тук е равна на 1.
Може да достигнеш до 1,1 
или 1,01, или 1,0001 и т.н.
Може да продължиш да добавяш 
нули между двете единици,
но в тази точка няма 
абсолютен минимум.
Нека сега да помислим, защо
има значение, че интервалът 
е затворен.
Защо е необходимо да включваш
 крайните точки като кандидати
за твоите максимални или минимални
 стойности в рамките на интервала.
Е, нека да си представим, 
че интервалът е отворен.
Нека да си представим 
отворен интервал.
И понякога, ако искаме 
да бъдем конкретни,
може да направим това 
да е затворен интервал,
точно ето тук в скобите.
А ако искаме да означим 
отворен интервал, точно ето тук,
то това е a, а това е b.

Polish: 
Możemy mieć y dowolnie blisko 5.
Czyli nie ma wartości maksymalnej.
Podobnie tutaj dla minimum.
Poprawię trochę wykres
żeby wyglądało jak minimum.
Możemy się dowolnie zbliżyć
do tego minimum,
ale nie jest osiągane,
powiedzmy że ta liczba to 1.
Możemy osiągnąć 1.1, albo 1.01, nawet 1.0001.
Możemy sobie wstawić ile zer chcemy
pomiędzy te dwie jedynki.
Ale nigdy nie znajdziemy
minimalnej wartości funkcji.
Pomyślmy teraz, czemu ma znaczenie
że przedział jest domknięty.
Dlaczego a oraz b muszą być
wzięte pod uwagę jako
kandydaci na punkt minimalny i maksymalny.
Załóżmy że mielibyśmy
otwarty przedział (a,b).
Jak chcemy zaznaczyć, że
mamy na myśli otwarty przedział,
to możemy napisać otwarte nawiasy.
Tu mamy a, tu mamy b.

Thai: 
คุณเพิ่ม 9 ไปอีกตัว
มันจึงไม่มีค่าสูงสุด
เช่นเดียวกันตรงนี้ ค่าต่ำสุด
ขอผมวาดหน่อย มันจะได้ดูเหมือนค่าต่ำสุด
มี -- คุณเข้าไปใกล้ขึ้นเรื่อยๆ ได้
แต่มันไม่มีค่าต่ำสุด
สมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือ 1
คุณก็ได้ 1.1 หรือ 1.01 หรือ 1.0001
แล้วคุณก็ใส่ 0 ระหว่าง 1 สองตัวนั้นได้เรื่อยๆ
แต่มันไม่มีค่ำต่ำสุดสัมบูรณ์ตรงนั้น
ทีนี้ ลองคิดกันว่าทำไม
ช่วงปิดถึงสำคัญ
ทำไมคุณต้องรวมจุดปลายไว้เป็นตัวเลือก
สำหรับค่าสูงสุดกับต่ำสุดในช่วงด้วย
ลองนึกว่ามันเป็นช่วงเปิด
ลองนึกภาพช่วงเปิด
 
และบางครั้ง ถ้าเราต้องการบอกเจาะจง
เราก็ให้อันนี้เป็นช่วงปิดตรงนี้
ในวงเล็บเหลี่ยม
ถ้าเราอยากได้ช่วงเปิดตรงนี้
นั่นคือ a และนั่นคือ b

Portuguese: 
Você pode continuar 
adicionando outro nove.
Quando não há um valor máximo.
Da mesma forma aqui, no mínimo.
Vou desenhá-lo para 
que se pareça mais com um mínimo.
Você pode chegar 
cada vez mais perto dele,
mas não há um mínimo.
Digamos que esse valor 
seja um.
Você poderia chegar então a 
1,1, ou 1,01, ou 1,0001.
E você poderia continuar desenhando 
alguns zeros entre os dois uns
mas não existe nenhum 
valor mínimo absoluto ali.
Pensemos no porquê o
intervalo fechado importa.
Por que você tem que incluir os 
pontos finais como candidatos
para os valores máximo 
e mínimo no intervalo.
Bom, imaginemos que esse 
seja um intervalo aberto.
E algumas vezes, se 
quisermos ser específicos,
dizemos que poderia ser esse intervalo 
fechado em colchetes
E se quiséssemos fazer um 
intervalo aberto logo aqui,
esse é a e esse é b.

Korean: 
y 뒤에 9를 계속해서 덧붙일 수 있습니다
그래서 최댓값은 없는 것이죠
비슷하게, 최솟값에서
최솟값을 좀더 최솟값답게 합시다
우리는 그 값에 계속 가까워질 순 있지만
최솟값은 없습니다
여기 값을 1이라고 합시다
그럼 우리는 1.1, 1.01, 1.001처럼
0을 계속해서 끼워넣을 수 있습니다
그러나 확실한 최솟값은 없는 것이죠
이제 극한값의 정리에서
닫힌 구간이 왜 필요한지 생각해봅시다
왜 최소, 최댓값의 후보로
양 끝 점을 포함시켜야 하는 걸까요?
열린 구간이라고 상상해봅시다
열린 구간을 생각합시다
 
조금 더 상세하게 하려면
닫힌 구간의 양 끝점에
대괄호를 그려줄 수 있습니다
여기에 열린 구간을 잡으면
여기 a와 b가 있습니다

Czech: 
Pořád můžete
přidávat devítky.
Není tu tedy
žádná maximální hodnota.
Zrovna tak
tady s minimem.
Nakreslím to, aby to vypadalo
víc jako minimum.
Můžete se k tomu blížit víc a víc,
ale žádné minimum není.
Řekněme,
že tato hodnota je 1.
Můžete se dostat k
1,1 či 1,01 nebo 1,0001.
Mohli byste dál psát nuly
mezi ty dvě jedničky,
ale žádné
globální minimum není.
Teď přejděme k tomu, proč záleží na tom,
že jde o uzavřený interval.
Proč musíme i krajní body
počítat jako možné kandidáty
na globální maximum a minimum
na daném intervalu.
Představme si,
že by to byl otevřený interval.
Představme si
otevřený interval.
Někdy, když chceme
být přesní, můžeme...
Je to uzavřený interval,
takže napíšu hranaté závorky,
a takto označím
otevřený interval.
Tady budou body ‚a‘ a ‚b‘.

English: 
And let's just pick
very simple function,
let's say a function like this.
So right over here, if
a were in our interval,
it looks like we hit our
minimum value at a. f of a
would have been
our minimum value.
And f of b looks like it would
have been our maximum value.
But we're not including
a and b in the interval.
This is an open
interval so you can
keep getting closer,
and closer, and closer,
to b and keep getting higher,
and higher, and higher values
without ever quite
getting to be.
Because once again we're
not including the point b.
Similarly, you could
get closer, and closer,
and closer, to a and get
smaller, and smaller values.
But a is not included in
your set under consideration.
So f of a cannot be
your minimum value.
So that on one level, it's kind
of a very intuitive, almost
obvious theorem.
But on the other hand,
it is nice to know
why they had to say
continuous and why
they had to say a closed
interval like this.

Polish: 
I wybierzmy jakąś bardzo
prostą funkcję.
Na przykład taką.
Czyli gdyby a było w naszym przedziale,
to funkcja miałaby minimum w a,
f(a) byłoby naszym minimum.
Podobnie f(b) byłoby naszym maksimum.
No ale w naszym przedziale
nie ma liczb a oraz b!
W końcu wzięliśmy otwarty przedział.
Czyli możemy być coraz
bliżej i bliżej do b
oraz coraz wyżej na wykresie,
ale nigdy nie osiągniemy tej wartości.
Ponieważ, powtarzam,
b nie należy do przedziału.
Podobnie, możemy mieć x
dowolnie blisko a,
ale nie możemy wziąć x =a,
bo a nie należy do przedziału (a,b).
Dlatego f(a) nie może być
minimalną wartością.
Czyli na pewnym poziomie
jest to bardzo intuicyjne
nieomalże oczywiste, twierdzenie.
Ale z drugiej strony, dobrze wiedzieć
dlaczego trzeba zakładać ciąglość
funkcji i domniętość przedziału.

Bulgarian: 
И нека просто да изберем 
много проста функция.
Нека да кажем, че е 
функция като тази.
Точно ето тук, ако а 
се намираше в нашия интервал,
изглежда, че функцията достига до
 минимална стойност в точката а.
f от a би било минималната стойност.
А f от b изглежда, че би била 
максималната стойност.
f от b би била максималната стойност.
Но не включваме а и b в интервала.
Това е отворен интервал, 
така че можеш
да се приближаваш все повече и повече
до b и до все по-високи 
и по-високи стойности,
без да достигаш до числото b.
Още веднъж, това е така, защото 
точката b не е включена в интервала.
Аналогично, може да се 
приближаваш все повече и повече
към числото а и да получаваш
 все по-малки и по-малки стойности.
Но а не е включена в множеството, 
което разглеждаш.
Тогава f от а не може да бъде
 минималната стойност на функцията.
От една страна това е много 
интуитивно, почти
очевидна теорема.
Но от друга страна е добре 
да се разбере
защо са казали, че 
функцията трябва да е непрекъсната,
и защо са казали, че трябва да е 
в затворен интервал като този.

Thai: 
แล้วลองเลือกฟังก์ชันที่ง่ายมากๆ
สมมุติว่าฟังก์ชันแบบนี้
 
ตรงนี้ ถ้า a อยู่ในช่วงของเรา
มันดูเหมือนเราว่าได้ค่าต่ำสุดที่ a. f ของ a
จะเป็นค่าต่ำสุดของเรา
และ f ของ b ดูเหมือนว่า
มันจะเป็นค่าสูงสุดของเรา
 
แต่เราไม่รวม a กับ b ในช่วง
นี่คือช่วงเปิด คุณจึง
เข้าใกล้มากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
เข้าหา b และมีค่าสูงขึ้น สูงขึ้น และสูงขึ้น
แต่ไม่เคยถึง
เพราะเราไม่ได้รวมจุด b ด้วย
เช่นเดียวกัน คุณเข้าใกล้จุด a มากขึ้น มากขึ้น
และมากขึ้น ได้ค่าน้อยลง น้อยลง น้อยลง
แต่ a ไม่รวมอยู่ในเซตที่เราพิจารณา
f ของ a จึงเป็นค่าต่ำสุดไม่ได้
ในแง่หนึ่ง มันเป็นเรื่อง
ตามสามัญสำนึก แทบเป็น
ทฤษฏีที่ชัดเจนมาก
แต่ในอีกแง่หนึ่ง มันเป็นเรื่องน่ารู้
ว่าทำไมเขาต้องบอกว่าต่อเนื่อง และทำไม
เขาต้องบอกว่าเป็นช่วงปิดแบบนี้

Czech: 
Vezměme velmi jednoduchou funkci,
třeba nějakou takovou.
Kdyby bylo ‚a‘ v našem intervalu,
tak by funkce v ‚a‘ nabyla svého minima.
f(a) by bylo minimum
a f(b) by bylo,
zdá se, maximum.
Ale ‚a‘ ani ‚b‘ do
intervalu nezahrnujeme.
Jde o otevřený interval,
takže se můžete čím dál víc blížit k ‚b‘
a dostávat stále větší hodnoty,
aniž byste ‚b‘ kdykoli dosáhli,
protože ještě jednou opakuji,
že bod ‚b‘ nezahrnujeme.
Stejně tak byste se mohli blížit k ‚a‘
a dostávat stále menší hodnoty,
ale ‚a‘ není v množině bodů,
které je možno brát v potaz,
takže f(a) nemůže
být minimem.
Na jedné straně je to
velmi intuitivní až téměř zřejmá věta,
ale na té druhé je dobré vědět,
proč je nutné, aby byla funkce spojitá,
a proč je třeba říct,
že platí na uzavřeném intervalu.

Portuguese: 
E escolhemos uma função bem simples,
digamos que seja 
um função como essa.
Logo aqui, se a estivesse 
no nosso intervalo,
parece que chegamos 
ao valor mínimo em a.
f de a teria sido o 
nosso valor mínimo.
E f de b parece que teria 
sido o nosso valor máximo.
Mas não estamos incluindo 
a e b no intervalo.
Esse é um intervalo 
aberto, então você pode
chegar cada vez mais perto
de b e obter valores 
cada vez maiores
sem nunca chegar a b.
Por que não 
estamos incluindo o ponto b.
Similarmente, você poderia 
chegar cada vez mais perto de a,
e obter valores 
cada vez menores.
Mas a não está incluído no 
conjunto em questão.
Então f de a não pode 
ser o nosso valor mínimo.
Nesse ponto, é bastante intuitivo,
quase um teorema óbvio.
Mas por outro lado, é bom saber
o por quê tiveram 
que dizer contínuo e
por quê tem que ser um 
intervalo fechado como esse.

Korean: 
그리고 매우 간단한 함수를 잡읍시다
함수가 이렇게 생겼다고 합시다
 
만약 a가 범위 내라면
최솟값은 a에서 f(a)처럼 보입니다
최솟값은 f(a)이고
f(b)는 최댓값처럼 보입니다
 
그러나 a와 b를 범위에 포함하지 않습니다
열린 구간이기 때문이죠
그래서 b가 계속해서 가까워지면
f(b)는 계속해서 더 큰 값을 가질 수 있습니다
결코 그 값이 될 수는 없지만요
왜냐하면 b점을 포함하지 않기 때문입니다
비슷하게,  계속해서 a점에 가까워지면
f(a)는 계속해서 작은 값을 가집니다
그러나 a는 구간에 포함되지 않기 때문에
f(a)는 최솟값이 될 수 없습니다
이것은 꽤 직관적이고
거의 명백한 정리입니다
반면에, 이것은 알아두면 좋습니다
왜 함수가 연속이어야 하고
왜 이것처럼 닫힌 구간을 가져야 하는지 말이죠.

Portuguese: 
[Legendado por Musa Morena Marcusso Manhães]
[Revisado por Cainã Perri]
