
iw: 
בסירטון זה, אני רוצה להוכיח את הנוסחה
של התאוצה הצנטריפטלית,
האומרת שהגודל של התאוצה הצנטריפטלית,
אמנם כוונה
משתנה והיא כל הזמן מכוונת למרכז המעגל, אך
הגודל של התאוצה הצנטריפטלית שווה לגודל
של המהירות הקווית בריבוע חלקי הרדיוס.
אוכיח זאת בעזרת חשבון דיפרנציאלי.
אני רוצה שיהיה ברור שזאת נוסחה סקלרית.
אנו מדברים על הגודל
של התאוצה ועל הגודל של המהירות. אם אלה
היו וקטורים,
הייתי מצייר כאן למעלה חיצים. אל תתבלבלו,
זה v, זה גודל המהירות הקווית (speed) בריבוע,
וזה הגודל. כל אלה גדלים
סקלריים. בואו נסתכל על גוף כלשהו,
זה אולי גוף הנמצא במסלול סביב כוכב לכת.
בואו נגיד שזה כוכב הלכת, ויש לנו גוף
במסלול סביבו, בכיוון המנוגד לכיוון השעון.
נצייר את וקטור ההעתק שלו
כפונקציה של הזמן.

Thai: 
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือการพิสูจน์สูตร
ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางด้วยแคลคูลัส
ที่บอกเราว่าขนาด
ของความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง ทิศจริงจะเปลี่ยน
มันจะชี้เข้าข้างในเสมอ และขนาดของ
ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางเท่ากับ
ขนาดของความเร็วกำลังสอง
หารด้วยรัศมี
ผมอยากบอกให้ชัดเจน นี่คือสูตรเสกลาร์ตรงนี้
เรากำลังพูดถึงขนาด
ของความเร่งและขนาดของความเร็ว
ถ้านี่เป็นเวกเตอร์
เราต้องใส่ลูกศรข้างบน ผมไม่อยากให้คุณงง
เพราะนี่คือ v และนี่ก็คืออัตราเร็วกำลังสอง
และนี่คือขนาด ทั้งหมดนี้เป็น
ปริมาณสเกลาร์ เวลาทำ ลองนึกภาพ
วัตถุ อาจเป็นวัตถุโคจรรอบดาวหรืออะไรสักอย่าง
สมมุติว่านั่นคือดาวเคราะห์ และคุณมีวัตถุ
ที่โคจรรอบดาวนั้น และมันทวนเข็มนาฬิกา
ลองระบุเวกเตอร์ตำแหน่งเป็น
ฟังกืชันของเวลา

Arabic: 
ما الذي افعله في هذا الفيديو هو اثبات رياضي لصيغة
التسارع المركزي والتي تعطينا مقدار
التسارع المركزي , الاتجاه الحقيقي سوف يتغير
وانها دائما ما يكون اتجاهها نحو الداخل , لكن مقدار التسارع المركزي يساوي
مقدار مربع مقسوم على نصف القطر
اريد ان اكون واضحا جدا , هذه هي كمية قياسيه فوق هنا , نحن نتحدث عن
مقدار التسارع ومقدار السرغة , اذا هذه كانت متجهات
سوف ارسم الاسم من فوق , اذا هذا حقيقي , حتى لا اسمح للناس بالخلط
لان هذا v , هذا بالواقع يعود لمربع السرعة
وهذا هو المقدار , وهذه كلها
كميات قياسية , اذا افعل ذلك , دعنا نتخيل
جسم , ربما جسم بدور حول الكواكب أو شيئ ما
اذا دعني اقول هذا الكوكب , ولديك جسم
حيث ان الكوكب يدور حول الكوكب , ويكون مع عقارب الساعة
من حيث الاتجاه , اذا ددعني احدد موضع المتجه
كاقتران بالزمن

Russian: 
В данном видео мы рассмотрим вывод формулы для
центростремительного ускорения с применением мат. анализа.
Эта формула позволяет вычислить величину ускорения, при этом направление ускорения
будет меняться. Вектор всегда направлен в центр, и его модуль равен
квадрату скорости на радиус.
Хочу обратить внимание, что это - формула скалярная. Мы говорим о величине
ускорения и о величине скорости. Если бы мы говорили про векторы,
то мы бы дорисовали стрелочки. Поэтому не путайте:
эта v (вэ) - величина скорости,
т.е. модуль вектора,
и все множители в формуле - скаляры.
Представим себе объект, движущийся по круговой орбите
вокруг планеты. Какой-то объект,
описывающий окружности вокруг планеты против часовой стрелки.
Определим радиус-вектор
как функцию времени.

English: 
What I want to do in this video is a calculus proof of the famous
centripetal acceleration formula that tells us the magnitude
of centripetal acceleration, the actual direction will change
it's always going to be pointing inwards, but the magnitude of centripetal acceleration is equal to the
magnitude of the velocity-squared divided by the radius
I want to be very clear, this is a scalar formula right over here; we're talking about the magnitude
of the acceleration and the magnitude of the velocity. If these were vectors,
we would have arrows drawn over it. So this really, I don't want people to get confused
because this is a v, this is really referring to the speed-squared.
and this is the magnitude, and these are all
scalar quantities. So to do that, let's imagine some
object, maybe it's some object in orbit around a planet or something,
so let's say that's the planet, and you have some object
that is in orbit around the planet, and it is going in a counter-clockwise
direction, and so let's specify its position vector as
a function as time.

Chinese: 
在這個影片中 我要做的是用微積分證明著名的
向心加速度公式 它告訴了我們
向心加速度的大小
實際上的方向一直向著中心點改變
但是向心加速度的大小等於
速度平方除以半徑
我要弄清楚 這是一個純量公式
我們說的是加速度的大小
和速度的大小
如果這些是向量 我們應該在上面畫上箭頭
所以這個實際上 我不想讓人們迷惑因爲這是v
這確實與速率平方有關
這是大小 這些都是純量
所以爲了做這個 我們做一些假設
是圍繞行星運動的什麽物體
我們設這是行星
有一個物體在繞著行星在軌道上運動
它是逆時針方向旋轉
所以我們規定它的位置向量是時間的函數

Chinese: 
在这个视频中 我要做的是用微积分证明著名的
向心加速度公式 它告诉了我们
向心加速度的大小
实际上的方向一直向着中心点改变
但是向心加速度的大小等于
速度平方除以半径
我要弄清楚 这是一个标量公式
我们说的是加速度的大小
和速度的大小
如果这些是矢量 我们应该在上面画上箭头
所以这个实际上 我不想让人们迷惑因为这是v
这确实与速率平方有关
这是大小 这些都是标量
所以为了做这个 我们做一些假设
是围绕行星运动的什么物体
我们设这是行星
有一个物体在绕着行星在轨道上运动
它是逆时针方向旋转
所以我们规定它的位置矢量是时间的函数

Bulgarian: 
В това видео искам да направя
доказателство с висша математика
на известната формула за
центростремително ускорение,
която дава големината на центростремителното ускорение – реалната посока ще се промени,
тя винаги ще сочи навътре,
но големината на центростремителното ускорение
е равна на големината на скоростта на квадрат,
делена на радиуса.
Искам да поясня –
това тук е скаларна формула,
говорим за големината на ускорението
и големината на скоростта.
Ако това бяха вектори, върху тях щеше да има стрелки – не искам хората да се объркват,
понеже това е v, това се отнася
до големината на скоростта на квадрат.
И това е големината.
Всички тези са скаларни величини.
Нека си представим
някакъв обект
в орбита около една планета.
Да кажем, че това
е планетата и имаш
някакъв обект, който е в орбитата около нея,
и се движи в обратна 
на часовниковата стрелка посока.
Нека уточним
вектора на положението му

Chinese: 
所以这是它的位置矢量 它是时间的函数
这样旋转 我们假设-
为了能证明-
所以这是y轴 这是x轴
我们把正x方向和矢量的方向
之间的夹角定义为θ
你们要假设物体在半径是r的轨道上
所以位置矢量的大小
即使方向一直在改变
位置矢量的大小不改变
长度总是r
所以这是个半径是r的圆
位置矢量的大小
随着时间变化
等于r 所以我们怎么表示

Russian: 
Вот наш радиус-вектор,
и он меняется по ходу движения тела по окружности.
Предположим, что есть оси:
это будет
ось y (игрек), а это - ось x (икс).
Назовем векор между положительной
полуосью x и радус-вектором тетой.
И предположим, что орбита имеет радиус r.
Итак, величина этой орбиты, несмотря на изменяющийся радиус-вектор,
не будет меняться. Радиус будет оставаться равным r.
Итак, это - окружность с радиусом r.
Модуль радиус-вектора,
меняющегося в зависимости от времени,
будет равен r.

English: 
So that is its position vector and it is going to
change as a function of time as this thing spins around
We're going to assume, for the purposes of this
proof.
So that is our
y-axis, and this is our x-axis.
We're going to define theta as the angle between the positive
x-axis and our vector.
And we're going to assume this thing is in orbit with the radius of r. So the
magnitude of our position vector, even though the direction is going to change
the magnitude of our position vector is not going to change. It's always going to have
length r. So this is going in a circle with radius r.
The magnitude of our position vector,
which is changing as a function of time, is going to be
r. So how can we write

Bulgarian: 
като функция
на времето.
Това е векторът на положението му
и ще се промени
като функция на времето,
докато това нещо се върти.
За целта на
това доказателство ще приемем...
Нека начертая малко оси тук.
Това е нашата ос у,
а това е нашата ос х.
Ще определим тита
като ъгъла между
положителната част на оста х
и вектора ни.
И ще приемем, че това нещо
е в орбита с радиус r.
Големината на вектора на положението,
въпреки че посоката ще се промени,
няма да се промени –
тя винаги ще има дължина r.
Това обикаля в
окръжност с радиус r.
Големината на вектора
на положението,
която се променя като функция
на времето, ще е r.
Как можем да запишем
вектора на позицията

Chinese: 
所以這是它的位置向量 它是時間的函數
這樣旋轉 我們假設-
爲了能證明-
所以這是y軸 這是x軸
我們把正x方向和向量的方向
之間的夾角定義爲θ
你們要假設物體在半徑是r的軌道上
所以位置向量的大小
即使方向一直在改變
位置向量的大小不改變
長度總是r
所以這是個半徑是r的圓
位置向量的大小
隨著時間變化
等於r 所以我們怎麽表示

iw: 
זה וקטור ההעתק, והוא
משתנה כפונקציה של הזמן, כשהגוף מסתובב.
לצורך ההוכחה הזאת, אנו
נניח
שזה ציר ה- y שלנו,
וזה ציר ה- x שלנו.
נגדיר את הזווית טטה, כזווית שבין ציר
ה- x החיובי, לבין
וקטור ההעתק.
אנו מניחים שרדיוס המסלול הוא r. אז הגודל
של וקטור ההעתק, למרות שכיוונו משתנה
כל הזמן,
הגודל של וקטור ההעתק אינו משתנה. הוא
כל הזמן בעל
אורך r. זהו מעגל שרדיוסו r.
הגודל של וקטור ההעתק,
שמשתנה כפונקציה של הזמן, יהיה r.
איך אנו יכולים לרשום את

Arabic: 
اذا هذا موضع المتجه , وسوف يكون
التغير كاقتران في الزمن كشيئ يدور حولها
ونحن سوف نفرض , بهدف هدا
الاثبات
اذا هذه
المحور الصادي وهذا المحور السيني
وسوف نعرف هذه كزاويه بين المحور
الموجب والمتجه .
ونحن نقوم بفرض أن هذا الشيئ في المدار يدور بنصف قطر مقداره r. اذا
مقدار متجه الموضع , حتى لو كان الاتجاه يتغير
مقدار متجه الموضع لا يتغير , انه دوما
طوله r . اذا هذه دائرة نصف قطرها r.
مقدار متجه الموضع ,
والذي يتغير كأقتران في الزمن , سوف يكون
r . اذا يمكن كتابة

Thai: 
นั่นคือเวกเตอร์ตำแหน่งของมัน และมันจะ
เปลี่ยนตามฟังก์ชันของเวลา เมื่อวัตถุนี้หมุนไป
เราจะสมมุติ สำหรับบทพิสูจน์นี้
 
นั่นคือ
แกน y, และนี่คือแกน x
เราจะนิยามเธต้าว่าเป็นมุมระหว่างแกน
บวก x กับเวกเตอร์ของเรา
และเราจะสมมุติว่าวัตถุนี้โคจรด้วยรัศมี r
ขนาดของเวกเตอร์ตำแหน่งเรา
แม้แต่ทิศจะเปลี่ยน
ขนาดของเวกเตอร์ตำแหน่งเราจะไม่เปลี่ยน
มันจะต้อง
ยาว r อันนี้จะเป็นวงกลมที่มีรัศมี r
ขนาดของเวกเตอร์ตำแหน่งเรา
ซึ่งเปลี่ยนไปเป็นฟังก์ชันของเวลา จะเท่ากับ
r แล้วเราเขียน

Chinese: 
位置向量的分量和時間的關係？
我們可以把位置向量寫出來
我要用工程符號表示
所以如果有一些看起來很陌生 你們可能要複習一下
相關影片 我要做一點三角學計算
來把向量分量成各分量
如果有一些看起來不熟悉
我鼓勵你們複習一下這些影片
如果你們取任何時刻的位置向量
大小是r 角度是θ 它的x分量 用藍色表示
這個向量 向量的大小
我可以說 是rcosθ
我們知道 這來源於基礎三角學知識
當我們學習二維抛射問題的時候
我們知道了怎麽把這些向量分解成它的分量
這個向量的y分量是rsinθ

Arabic: 
مجه الموضع بدلاة مركباته عند اي زمن ؟
يمكن كتابة موضع المتجه , وسوف ادونها هندسيا
وانت ربما تريد مراجعة بعض الفيديوهات اذا بدا لك شيئ غريب و انت
سوف تستعمل المبادئ الهندسية لتحليل المتجهات الى مركباتها
ونشجعك على مراجعة بعض هذه الفيديوهات اذا واجهت بعض
الصعوبة . اذا اخذنا متجه الموضع عند اي زمن
فأن المقدار هو r
وهذه هي الزاوية ثيتا
انها المركبة السينية , بالازرق
وهذا المتجه لليمين فوق هنا , مقدار المتجه , يجب أن اقول
انها سوف تكون r جيب تمام ثيتا
وقد تعلمنا ذلك من النسب المثلثية عندما بدأنا
في حركة المقذوفات في بعدين , وقد {اينا كيف نحلل هذه
المتجهات الى مركباتها , والمركبة الصادية لهذا المتجه
سوف تكون r جيب ثيتا

Thai: 
เวกเตอร์ตำแหน่งในรูปขององค์ประกอบ
ณ เวลาค่าหนึ่งได้อย่างไร?
เราเขียนเวกเตอร์ตำแหน่ง ผมจะใช้
สัญลักษณ์ทางวิศวกรรมนะ
คุณอาจจะอยากทบทวนวิดีโอเหล่านั้น
ถ้ามันดูไม่คุ้น และ
ผมจะใช้ตรีโกณมิตินิดหน่อยเพื่อแยก
เวกเตอร์เป็นองค์ประกอบต่างๆ
และผมแนะนำให้คุณทบทวนวิดีโอเหล่านี้
ถ้ามันดูยาก
ถ้าคุณนำเวกเตอร์ตำแหน่งที่เวลาใดๆ มา
ขนาดของมันคือ r
มุมนี้คือเธต้า
องค์ประกอบ x ของมัน สีฟ้า
เวกเตอร์นี่ตรงนี้ ขนาดของเวกเตอร์
จะเท่ากับ r โคไซน์ของเธต้า
เราเรียนไปว่าอันนี้มาจาก
ตรีโกณมิติพื้นฐาน เมื่อเราเริ่มเรียน
การเคลื่อนที่โปรเจคไทล์สองมิติ เราเห็นวิธีแยก
เวกเตอร์เหล่านี้เป็นองค์ประกอบ
และองค์ประกอบ y ของเวกเตอร์นี้
จะเท่ากับ r ไซน์ของเธต้า

iw: 
וקטור ההעתק כפונקציה של הרכיבים שלו,
בכל זמן נתון?
נרשום את וקטור ההעתק לפי וקטורי יחידה.
אולי כדאי שתחזרו לצפות בסירטונים המתאימים,
אם זה נשמע לכם לא מוכר.
אני אשתמש טריגונומטריה בסיסית, כדי לפרק
את הווקטור לרכיבים שלו,
על כן, אני מציע לכם לחזור ולצפות בסירטונים
האלה, אם זה נראה לכם
מפחיד. אם מסתכלים על וקטור ההעתק
בזמן מסוים,
הגודל הוא r,
הזווית היא טטה,
רכיב ה- x, בכחול,
הווקטור הזה כאן, עלי להגיד גודלו,
הוא r קוסינוס טטה.
למדנו שזה נובע מטריגונומטריה בסיסית,
כשהתחלנו
עם זריקות בשני ממדים. ראינו אז איך מפרקים
וקטור לרכיביו. רכיב ה- y של הוקטור
הוא r סינוס טטה.

English: 
the position vector in terms of its components at any given time?
We can write the position vector, and I'll do it in engineering notation,
and so you might want to review those videos if some of this looks foreign and I'll
do a bit of basic trigonometry in breaking down the vector into its components
and I encourage you to review some of those videos if some of that looks a bit
daunting. If you take the position vector at any time,
the magnitude is r,
this angle is theta,
its x-component, in blue,
this vector right over here, the magnitude of the vector, I should say,
is going to be r cosine of theta
We learned that this came from basic trigonometry when we started
two-dimensional projectile motion, we saw how to break these
vectors down into its components, and the y-component of this vector
is going to be r sine of theta

Russian: 
Как можно записать вектор через его компоненты?
Для этого я буду использовать инженерную нотацию,
так что, если не понятно, освежите память с помощью более ранних видео.
Я буду использовать основы тригонометрии для того, чтобы разложить вектор по базису,
так что, пересмотрите предыдущие видео, если это вас смущает.
В какой-то момент времени радиус-вектор
обладает модулем r,
его угол - тета,
а его x-компонента, в синем,
вот этот вектор, точнее, его модуль -
- будет равен r косинус тета.
Мы уже выводили это из базовой тригонометрии, когда рассматривали
тело, брошенное под углом к горизонту. Мы видели, как
раскладывать такие векторы по базису.
Y-компонента будет равна r синус тета.

Chinese: 
位置矢量的分量和时间的关系？
我们可以把位置矢量写出来
我要用工程符号表示
所以如果有一些看起来很陌生 你们可能要复习一下
相关视频 我要做一点三角学计算
来把矢量分量成各分量
如果有一些看起来不熟悉
我鼓励你们复习一下这些视频
如果你们取任何时刻的位置矢量
大小是r 角度是θ 它的x分量 用蓝色表示
这个矢量 矢量的大小
我可以说 是rcosθ
我们知道 这来源于基础三角学知识
当我们学习二维抛射问题的时候
我们知道了怎么把这些矢量分解成它的分量
这个矢量的y分量是rsinθ

Bulgarian: 
по отношение на компонентите му
във всеки даден момент?
Можем да запишем вектора на позицията–
и ще го направя с разлагане на вектори,
така че може да искаш да си припомниш
тези видеа, ако нещо ти изглежда странно –
и ще използвам малко тригонометрия,
като разделя вектора на компонентите му.
И те окуражавам да прегледаш някои
от тези видеа, ако това ти изглежда страшно.
Ако вземеш вектора
на позицията във всеки даден момент,
големината е r,
този ъгъл е тита,
неговата х компонента,
в синьо,
този вектор тук – трябва да кажа
големината на вектора –
ще е
r по косинус от тита.
Научихме, че това произлиза от
базисната тригонометрия, когато започнахме
задачите с двуизмерно движение на тяло –
видяхме как да разделим векторите
на компонентите им.

iw: 
זה r סינוס טטה.
ניתן לרשום את וקטור ההעתק בכל זמן,
כסכום של רכיב ה- x ורכיב ה- y שלו.
הגודל של רכיב ה- x הוא r
קוסינוס טטה. אני יכול לכתוב את טטה
כפונקציה של הזמן.
הזווית טטה היא פונקציה של הזמן.
הגוף הזה נע, אז יש לנו את זה כפול
וקטור היחידה i. זה הסימון ההנדסי.
זה וקטור היחידה i, וזה אומר לנו שרכיב ה- x
הוא בכוון החיובי של ציר x.
גם הגודל של רכיב ה- y, שהוא r
סינוס טטה, הוא פונקציה של הזמן.
שיהיה ברור, טטה היא פונקציה של הזמן.
וזה הולך

English: 
So this is going to be r sine of
theta. So the position vector at any time
can be written as a sum of its x- and y-components.
So it's the magnitude of its x-component, it's going to be
r cosine of theta, and I could write theta as a function of
time if I'd like, but I'm just going to write r cosine of theta
actually, let me write it that way, so it shows theta is a function of time
This thing is moving, and there's going to be that times the
i-unit vector, we're in engineering notation over here.
So that's the i-unit vector, it tells us that the x-component
is going in the positive x direction. Plus
the magnitude of the y-component, which is
r sine of theta, which is going to be a function of time.
So to be clear, the function of time applies to the theta.
And that is going

Bulgarian: 
И у компонентата на този вектор
ще е r по синус от тита.
Това ще е 
r по синус от тита.
Векторът на позицията 
във всеки даден момент
може да бъде записан като
сбор на неговите х и у компоненти.
Големината на х компонентата му
ще бъде r по косинус от тита.
И мога да запиша тита
като функция на времето, ако искам,
но просто ще запиша
r по косинус от тита –
нека го запиша така, за да показва
тита като функция на времето.
Това нещо се движи
и ще е това по
i единичния вектор –
използваме разлагане на вектори.
Това е единичният вектор i,
казва ни, че х компонентата
ще е в положителна
х посока.
Плюс големината на
у компонентата, която е r по синус от тита,
което ще е
функция на времето.
Да поясним – функцията на времето
се прилага към тита.

Chinese: 
所以这是rsinθ
所以任意时刻的位置矢量
可以写成x和y分量之和
所以这是x分量的大小
等于rcosθ
如果你们喜欢 我可以把θ写成时间的函数
但是我只要写成rcosθ(t)
我这样写 所以这表示了θ是时间的函数
这个物体在移动 就是这个乘以
单位矢量i 我们这里用的是工程符号
所以这是单位矢量i
它告诉了我们x分量在正x方向上
加上y分量的大小 就是rsinθ
θ是时间的函数
所以为了弄清楚 θ是时间的函数

Russian: 
Это будет то же, что и вот этот вектор.
Итак, радиус-вектор в любой момент времени может быть выражен
через сумму его x- и y-компонент.
Итак, модуль компоненты x будет равен
r косинус тета, и я мог бы записать тета как функцию времени,
но я просто напишу тут r косинус тета.
Пожалуй, добавим аргумент у тета. Тета - фунция от времени.
Тело-то движется. А тут мы умножим на базисный вектор i (и),
по правилам инженерной нотации.
Итак, это - базисный вектор i, он - базис для x-компонент,
и направлен вдоль оси x.
Плюс модуль y-компоненты,
равный r синус тета. Последняя - функция времени.
Для понимания, время - аргумент функции тета.
И эта компонента

Chinese: 
所以這是rsinθ
所以任意時刻的位置向量
可以寫成x和y分量之和
所以這是x分量的大小
等於rcosθ
如果你們喜歡 我可以把θ寫成時間的函數
但是我只要寫成rcosθ(t)
我這樣寫 所以這表示了θ是時間的函數
這個物體在移動 就是這個乘以
單位向量i 我們這裡用的是工程符號
所以這是單位向量i
它告訴了我們x分量在正x方向上
加上y分量的大小 就是rsinθ
θ是時間的函數
所以爲了弄清楚 θ是時間的函數

Thai: 
อันนี้จึงเท่ากับ r ไซน์ของ
เธต้า แล้วเวกเตอร์ตำแหน่งที่เวลาใดๆ
เขียนได้เป็นผลบวกขององค์ประกอบ x กับ y
มันก็คือขนาดขององค์ประกอบ x มันจะเป็น
r โคไซน์ของเธต้า และผมเขียนเธต้าได้
เป็นฟังก์ชันของ
เวลาถ้าต้องการ แต่ผมจะเขียน r โคไซน์ของเธต้า
ที่จริง ขอผมเขียนมันแบบนั้น มันจะได้
แสดงว่าเธต้าเป็นฟังก์ชันของเวลา
อันนี้จะเคลื่อนที่ และจะเป็นตัวนั้นคูณ
เวกเตอร์หน่วย i เราใช้สัญลักษณ์
ทางวิศวกรรมตรงนี้
นั่นก็คือเวกเตอร์หน่วย i
มันบอกเราว่าองค์ประกอบ x
จะอยู่ในทิศบวก x บวก
ขนาดขององค์ประกอบ y ซึ่งก็คือ
r ไซน์ของเธต้า ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
ขอบอกให้ชัด ฟังก์ชันของเวลาใช้กับเธต้า
และตัวนั้นจะ

Arabic: 
اذا انها سوف تكون r جيب ثيتا
ثيتا , اذا متجه الموضع عند اي وقت
يمكن كتابته كمجموع المركبة الصادية والمركبة السينية
اذا مقدار المركبة السينية , سوف تكون
rجيب تمام ثيتا , ويمكنني كتابة ثيتا كأقتران
في الزمن اذا احببت ذلك , لكن انا سوف اكتب r جيب تمام ثيتا
في الواقع , دعني اكتبها بتلك الطريقة , اذا لقد عرضت ثيتا كأقتران في الزمن
هذا الشيئ يتحرك , وسوف يكون ذلك ضرب
متجه الوحدة i , وقمنا بوضع الرمز الهندي فوقها .
اذا هذا متجه الوحده i , وهو يخبرنا أن المركبة السينية
سوف تكون في الاتجاه الموجب السيني , زائد
مقدار المركبة الصادية , والتي
هي r جيب ثيتا , والتي سوف تكون اقتران بالزمن
اذا انه واضح , اقتران الزمن يضاف الى ثيتا
وسوف تكون

Chinese: 
它在j方向上 所以这是单位矢量j
所以现在 我们有了关于θ的函数
实际上就是关于时间的函数
所以我们求它的导数
所以位置相对于时间的导数是什么
就是速度矢量
是时间的函数 它要等于
只要求每一项关于时间的导数
你们只要用链式法则
所以就有r在外面 因为它是个常数
cosθ(t)
对于t的导数
所以现在我只要用链式法则

English: 
in the j-direction.
So that is our j-unit vector.
So now we have position as a function of theta
which is actually a function of time. So let's take the derivative of
this thing right here. So what is
the derivative of our position vector with respect to time
Well that's just going to be our velocity vector,
as a function of time, and it's going to be equal to
we just have to take the derivative of each of these parts with respect to
time. And you just do the chain rule. So you're going to have
the r sit outside cause that's just a constant. So you're going to have r
the derivative of cosine of theta t with respect to theta t
So I'm just doing the chain rule right over here. That's going to be
negative sine of theta t

Chinese: 
它在j方向上 所以這是單位向量j
所以現在 我們有了關於θ的函數
實際上就是關於時間的函數
所以我們求它的導數
所以位置相對於時間的導數是什麽
就是速度向量
是時間的函數 它要等於
只要求每一項關於時間的導數
你們只要用連鎖律
所以就有r在外面 因爲它是個常數
cosθ(t)
對於t的導數
所以現在我只要用連鎖律

Thai: 
อยู่ในทิศ j
นั่นคือเวกเตอร์หน่วย j
ตอนนี้เรามีตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเธต้า
ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา งั้นลองหาอนุพันธ์ของ
ตัวนี้ตรงนี้กัน
อนุพันธ์ของเวกเตอร์ตำแหน่งเทียบกับเวลาคืออะไร
มันจะเท่ากับเวกเตอร์ความเร็วของเรา
เป็นฟังก์ชันของเวลา มันจะเท่ากับ
เราแค่ต้องหาอนุพันธ์ของแต่ละส่วนเทียบกับ
เวลา และคุณใช้กฎลูกโซ่ได้ คุณจะได้
r นั่งอยู่ข้างนอก เพราะมันเป็นแค่ค่าคงที่
คุณจะได้ r
อนุพันธ์ของโคไซน์ของเธต้า t เทียบกับเธต้า t
ผมจะใช้กฎลูกโซ่ตรงนี้ มันจะเท่ากับ
ลบไซน์ของเธต้า t

iw: 
בכוון j.
זה וקטור היחידה j.
יש לנו את וקטור ההעתק כפונקציה של הזווית,
שהיא פונקציה של הזמן. נגזור את וקטור
ההעתק כפונקציה של הזמן.
מהי הנגזרת שך וקטור ההעתק כפונקציה
של הזמן?
זהו וקטור המהירות הקווית כפונקציה
של הזמן - אנו צריכים
לגזור את שני החלקים האלה כפונקציה
של הזמן. נשתמש בכלל השרשרת בגזירה.
יהיה לנו את r בחוץ כי זה קבוע. אז יהיה r כפול
הנגזרת של
קוסינוס טטה, שהיא תלויה בזמן, כפונקציה
של הזמן.
אני מפעיל את כלל השרשרת. זה יהיה
מינוס הסינוס של טטה,

Arabic: 
في اتجاه j
اذا هنالك متجه الوحدة J
ونحن نعلم الموضع كأقتران في ثيتا
والتي بالواقع هي اقتران بالزمن , اذا دعنا نأخذ المشتقة
ذلك الشيئ في اليمين , اذا ما هي
المشتقة لمتجه الموضع بالنسبة للزمن
جيد , ذلك سوف يكون متجه السرعة ,
كاقتران في الزمن , وسوف يكون يساوي ل
انه يجي علينا اخذ مشتقة كل هذه الاجزاء بالنسبة
للزمن . وانت سوف تفعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة . اذا انت سوف
تاخذ r خارجا لانه رقم ثابت . اذا سيكون لدينا r
في مشتقة جيب تمام ثيتا t بالنسبة لثيتا t
اذا سأقوم بعمل قاعدة السلسة فوق هنا , سوف تكون
سالب جيب ثيتا t

Russian: 
направлена в сторону j (жи).
j - базисный вектор.
Итак, мы записали радиус-вектор как функцию тета,
которая в свою очередь зависит от времени.
Возьмем производную от всего этого.
Что же будет производной радиус-вектора по времени?
Это будет вектор скорости
как функция от времени, и он будет равен...
Возьмем производную от каждой части уравнения по времени.
Используем цепное правило.
r оставим снаружи, т.к. это константа.
Итак, получим r производная косинуса тета от t (тэ) по t.
Это будет равно
минус синус тета от t,

Bulgarian: 
Това се движи в посока j.
Това е нашият
единичен вектор j.
Сега имаме позицията като
функция на тита, което е функция на времето.
Нека вземем
производната на това.
Каква е производната
на вектора на позицията
по отношение на времето?
Това просто ще е
векторът на скоростта
като функция на времето,
и това ще е равно на –
просто трябва да вземем производната
на всяка от тези части по отношение на времето.
И използваш верижното правило.
Ще имаш r отвън,
понеже това е константа.
Ще имаш r производната на
косинус от тита по t по отношение на тита t.
И просто използвам
верижното правило.
Това ще е минус синус от тита по t

English: 
and then as the chain rule, we also have to multiply that
times the derivative of the theta of t
with respect to t. So times d-theta, dt
so this is just the chain rule right over here.
So that's going to be how it's changing in the x-direction, and in the y-direction
we do something very similar. In the y-direction
we take the same derivative. We have the r scalar out front
r, and then the derivative of sine of theta
with respect to theta is going to be cosine of theta
and I'll write it as a function of time, and then do the chain rule
you'll also have to multiply that by the rate at which theta is changing with respect to t,
times d-theta, dt,
and this is all going to be times our j-unit vector. Now,
there's something you might already realize, and you should rewatch the video
on angular velocity if this is foreign to you, but

Chinese: 
这就是-sinθ(t) 因为链式法则
还要乘以θ(t)关于t的导数
所以乘以dθ/dt
这只是链式法则
所以这就是在x方向上的变化
在y方向上 我们要做同样的计算
在y方向上 同样求导数
把r放到前面 然后求
sinθ关于θ的导数是cosθ
θ是时间的函数
然后用链式法则 你们也要把这乘以
θ对t的导数
乘以dθ/dt
所有这些乘以单位矢量j
现在 你们可能发现了一些东西 如果你们对这些感到陌生
你们应该重新看一下关于角速度的视频

Bulgarian: 
и после ще трябва
да умножим това
по производната на тита от t
по отношение на t.
Тоест по d тита върху dt.
Това е просто
верижното правило.
Това ще е как се променя
в посока х.
Правим нещо подобно в посока у –
взимаме същата производна.
Имаме скаларната величина r
отпред.
r и после производната
на синус от тита по отношение на тита
просто ще е
косинус от тита.
И ще запиша това
като функция на времето
и после трябва да умножиш това по скоростта,
с която тита се променя по отношение на t,
по d тита върху dt.
И всичко това
ще е по единичния вектор j.
Има нещо, което може би
вече осъзна,
и трябва отново да гледаш видеото
за ъглова скорост, ако това ти е непознато,

Chinese: 
這就是-sinθ(t) 因爲連鎖律
還要乘以θ(t)關於t的導數
所以乘以dθ/dt
這只是連鎖律
所以這就是在x方向上的變化
在y方向上 我們要做同樣的計算
在y方向上 同樣求導數
把r放到前面 然後求
sinθ關於θ的導數是cosθ
θ是時間的函數
然後用連鎖律 你們也要把這乘以
θ對t的導數
乘以dθ/dt
所有這些乘以單位向量j
現在 你們可能發現了一些東西 如果你們對這些感到陌生
你們應該重新看一下關於角速度的影片

Arabic: 
ومن قاعدة السلسلة , نحن ايضا ضربنا ذلك
ضرب مشتقة ثيتا t
بالنسبة ل t. اذا ضرب مشتقة ثيتا dt
اذا هذه قاعدة السلسة فوق هنا
اذا سوف تكون كيف ستتغير في الاتجاه السيني , والاتجاه الصادي
ونحن نفعل شيئ مشابه , في الاتجاه الصادي
ناخذ بعض المشتقات , لدينا الكمية القياسية r بالخارج
r , وبعدها مشتقة جيب ثيتا
بالنسبة لثيتا سوف تكون جيب تمام ثيتا
وسوف اكتب ذلك كأقتران في الزمن , وبعدها اطبق قانون السلسلة
وانت يجب عليك ضرب ذلك بالمعدل الذي تتغير فيه ثيتا بالنسبة لt
ضرب مشتقة ثيتا dt
وكل ذلك سوف يكون ضرب متجه الوحدة j . الان
هنالك شيئ يجب أن تدركه , ويجب أن تعيد مشاهدة الفيديو
عن السرعة االزاوية اذا كان هذا غريب بالنسبة لك , لكن

Thai: 
แล้วกฎลูกโซ่ เราต้องคูณมันด้วย
อนุพันธ์ของเธต้าของ t
เทียบกับ t ได้ คูณ d เธต้า /dt
นี่ก็แค่กฎลูกโซ่ตรงนี้
มันก็คือการเปลี่ยนแปลงในทิศ x กับทิศ y
เราทำคล้ายๆ กัน ในทิศ y
เราหาอนุพันธ์เหมือนเดิม เราได้ r สเกลาร์ข้างหน้า
r แล้วอนุพันธ์ของไซน์ของเธต้า
เทียบกับเธต้าจะเท่ากับโคไซน์ของเธต้า
และผมจะเขียนมันเป็นฟังก์ชันของเวลา
แล้วใช้กฎลูกโซ่
คุณจะต้องคูณมันด้วยอัตราที่เธต้าเปลี่ยนไป
เทียบกับ t
คูณ d เธต้า /dt
แล้วอันนี้จะคูณเวกเตอร์หน่วย j
ทีนี้ มีสิ่งที่คุณอาจสังเกตเห็นแล้ว
และคุณควรดูวิดีโอใหม่
เรื่องความเร็วเชิงมุม ถ้าคุณไม่คุ้นเรื่องนี้

Russian: 
и, применяя цепное правило, умножим
на производную тета от t по t.
d-тета (дэ-тета) на d-t.
Так применяется цепное правило.
Так меняется направление по x, а для y
мы проделаем то же самое. Возьмем ту же производную по оси y.
r - множитель, оставляем,
потом производная синуса тета по t
будет косинус тета, и т.к. тета - функция от времени,
то по цепному правилу,
умножаем на быстроту изменения тета по времени,
т.е. d-тета на d-t,
и все это умножим на базисный вектор j.
Уже можно догадаться, и если непонятно,
пересмотрите видео об угловой скорости,

iw: 
ולפי כלל השרשרת, צריך להכפיל את זה
כפול הנגזרת של טטה כפונקציה
של הזמן. כלומר כפול dteta/dt.
זהו כלל השרשרת.
זהו השינוי בציר ה- x. בציר ה- y
נעשה משהו דומה.
נגזור כפונקציה של הזמן. יש לנו את הסקלר r
בראש, ואז הנגזרת של סינוס טטה
שהיא קוסינוס טטה,
שהוא פונקציה של הזמן, ואז כלל השרשרת,
צריך להכפיל את זה בקצב השינוי של טטה
ביחס לזמן,
כפול dteta/dt.
וכל זה כפול וקטור היחידה, j.
אולי כבר שמתם לב, אם לא עליכם לצפות
מחדש בסירטון
על מהירות זוויתית. dteta/dt

Bulgarian: 
но d тита върху dt –
това е ъгловата скорост.
Ето защо казах
да изгледаш отново видеото.
Скоростта, с която ъгълът се променя 
по отношение на времето, е ъглова скорост.
Това тук е ъгловата скорост.
И за целта на това видео
трябва да направим
едно предположение.
Ще приемем, че омега, което е скоростта
на промяна на ъгъла ни по отношение на времето –
ще приемем, че това е константа.
Това е предположение,
което правим за това доказателство.
Приемаме, че омега е константа.
И ако омега е константа,
можем да я третираме като константа
и можем да я изнесем от израза.
Нека изнесем минус омега по r
от този израз тук.
Можем да преобразуваме
скоростта като функция на времето.

iw: 
היא המהירות הזוויתית שלנו.
בגלל זה אמרתי שכדאי לחזור ולצפות בסירטון.
הקצב בו
הזווית משתנה עם הזמן שווה למהירות
הזוויתית.
זה כאן המהירות
הזוויתית. לצורך הסירטון הזה
נצטרך להניח בנוסחה הזאת
שאומגה, קצב שינוי הזווית
ביחס לזמן,
קבוע.
זאת ההנחה שלנו בהוכחה הזאת.
אנו מניחים שאומגה קבועה.
ואם אומגה קבועה, אפשר להוציא אותה
כגורם משותף בביטוי הזה. בואו נעשה זאת.
מינוס אומגה כפול r כאן. אפשר לכתוב מחדש
את המהירות הקווית כפונקציה של הזמן

Chinese: 
但是dθ/dt 這是角速度
這就是爲什麽我說要重新看一下 在這裡
角度對時間的變化率
這是角速度 所以這是角速度
爲了做這個影片
我們要做這樣的假設
這個公式 我們要假設 這個ω
就是角度對時間的變化率
我們假設 它是恒定的
所以這是我們爲了證明做的假設
我們要假設ω是恒定的
如果ω是恒定的 那麽我們可以把它看做常數
然後提到表達式外面
所以我們把-ωr提到表達式外面
所以我們可以把v(t)寫成等於

English: 
d-theta, dt, this is our angular velocity.
That's why I said to rewatch that video. This right over here, the rate at which
the angle changes with respect to time, that is angular velocity.
So this right over here is
angular velocity. And for the sake of this
video, this is an assumption we'll have to make for this formula right over here
we're going to assume, that omega, which is the rate of change
of our angle with respect to time, we're going to assume
that this is constant.
So this is an assumption we're making for this proof. This is we are going
to assume that omega is constant. And if omega is
constant, then we can treat it as a constant and we can factor
it out of this expression. So let's factor out
a negative omega-r from this expression over here. So we can rewrite
our velocity as a function of time is equal to

Chinese: 
但是dθ/dt 这是角速度
这就是为什么我说要重新看一下 在这里
角度对时间的变化率
这是角速度 所以这是角速度
为了做这个视频
我们要做这样的假设
这个公式 我们要假设 这个ω
就是角度对时间的变化率
我们假设 它是恒定的
所以这是我们为了证明做的假设
我们要假设ω是恒定的
如果ω是恒定的 那么我们可以把它看做常数
然后提到表达式外面
所以我们把-ωr提到表达式外面
所以我们可以把v(t)写成等于

Arabic: 
مشتقة ثيتا , هذه هي سرعة زاوية .
لهذا السبب اقول لماذا اطلب اعادة الفيديو . لليمين هنا , المعدل الذي
تكون الزاوية متغيرة بالنسبة للزمن , تلك سرعة زاوية
اذا لليمين هنا هي
سرعة زاوية , و من اجل هذا الفيديو
سوف نفرض اننا فعلنا هذه الصيغة لليمين هنا فوق
وسوف نفرض , اوميغا , والتي معدل التغير
في الزاوية بالنسبة للزمن , وسوف نفرض
ذلك ثابت
اذا هذا هو الفرض الذي فعلنا لهذا الاثبات , في هذه سوف
نفرض ان اوميغا هي ثابت , واذا كانت اوميغا
ثابتة , بالتالي يمكن معاملتها كثابت ويمكن اخراجها
خارج هذه المعادلة , اذا دعنا نخرج العامل
سالب اوميغا r من هذه المعادلة فوق هنا , ونستطيع كتابة
السرعة كاقتران في الزمن سوف تكون

Thai: 
แต่ d เธต้า/dt คือความเร็วเชิงมุมของเรา
นั่นคือสาเหตุที่ผมบอกให้ดูวิดีโอนั้นใหม่
ค่านี่ตรงนี้ อัตราที่
มุมเปลี่ยนไปเทียบกับเวลา มันคือความเร็วเชิงมุม
ค่านี้ตรงนี้จึงเป็น
ความเร็วเชิงมุม และสำหรับวิดีโอนี้
นี่คือข้อสมมุติที่เราต้องตั้งสำหรับสูตรตรงนี้
เราจะสมมุติว่า โอเมก้า ซึ่งก็คือ
อัตราการเปลี่ยนแปลง
ของมุมเราเทียบกับเวลา เราจะสมมุติ
ว่านี่คือค่าคงที่
นี่คือข้อสมมุติที่เราตั้งขึ้นสำหรับการพิสูจน์นี้
คือเราจะ
สมมุติว่าโอเมก้านั้นคงที่ และถ้าโอเมก้า
คงที่ เราก็ใช้มันเป็นค่าคงที่ แล้วเราก็แยก
มันออกมาจากพจน์ได้ ลองแยก
ลบโอเมก้า r ออกจากพจน์ตรงนี้ เราก็เขียน
ความเร็วใหม่เป็นฟังก์ชันของเวลา เท่ากับ

Russian: 
d-тета на d-t - это угловая скорость.
Поэтому я порекомендовал освежить знания. Это - не что иное, как быстрота
изменения угла со временем, она же угловая скорость.
Итак, это - угловая скорость.
И для продолжения выкладок
мы предположим, что эта формула,
то, что обозначено как омега, она же - быстрота
изменения угла со временем, -
предположим, что это константа.
Это предположение, которое мы делаем для дальнейшего вывода.
И если омега - постоянная величина,
мы можем не принимать ее в расчет.
Давайте так и сделаем.
Давайте вынесем произведение минус омега-r за скобки здесь.
Перепишем выражение для скорости.

Arabic: 
سوف اخرج العامل سالب اوميغا
ضرب r , واذا اخرجت العامل سالب اوميغا r
ما تركته هو
اول مصطلح ,
جيب ثيتا t
وانا لم اجعل واضح أن ثيتا هي اقتران في t ,لكن هذا يجعله واضح
تلك ثيتا هي اقتران بt , وبعدها بالضرب
متجه الوحة i ,
زائد , اذا اذا اخرجنا العامل المشترك
سالب r اوميغا هذه تصبح سالب
جيب تمام ثيتا
والتي هي اقترا في t , و ذلك
ضرب متجه الوحدة j
اذا اخرجنا العالم المشترك

Bulgarian: 
Ще изнеса минус омега по r
и ако изнеса
минус омега по r,
ти остава този първи член,
отрицателният знак
беше изнесен,
r беше изнесено,
омега беше изнесено,
и имаш просто синус от тита по t.
И не беше нужно да пояснявам,
че тита е функция на t,
но това изрично заявява,
че тита е функция на t.
И после по единичния вектор i.
Плюс – и ако изнасяме
минус омега r,
това става
минус косинус от тита,
което е функция на t,
и това е по
единичния вектор j.
Нека затворя скобите.

Thai: 
ผมจะแยกลบโอเมก้า
คูณ r ออก และถ้าคุณแยกลบโอเมก้า r ออก
สิ่งที่เหลือก็คือ
เทอมแรกนี้
ไซน์ของเธต้า t
ผมไม่ต้องเขียนตรงๆ ว่าเธต้าเป็นฟังก์ชันของ t
ก็ได้ แต่มันทำให้ชัดเจน
ว่าเธต้าเป็นฟังก์ชันของ t แล้วคูณ
เวกเตอร์หน่วย i
บวก ถ้าเราแยก
ลบโอเมก้า r ออกมา อันนี้จะกลายเป็นลบ
โคไซน์ของเธต้า
ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ t แล้ว
คูณเวกเตอร์หน่วย j
เราแยกลบ

Chinese: 
我要提出-ωr
如果提出了-ωr
第一部分剩下了什麽
就剩下sinθ(t)
θ是t的函數 我不用寫出表達式
但是很確定θ是t的函數
然後乘以i單位向量
加上 所以如果我們提出了-ωr
這就變成了-cosθ
θ是t的函數 這個乘以單位向量j

Russian: 
Вынесем за скобки минус омега-r,
и при этом
мы получим:
первое слагаемое -
синус функции тета,
Вообще говоря, тут скобки можно не ставить,
но давайте покажем, что тета зависит от времени,
теперь умножим на базисный вектор i,
плюс это
без минус омега r
-- косинус тета,
которая является функцией от t,
и все это умножить на вектор j.
Минус омера r вынесли.

iw: 
שווה - אני מוציא את מינוס אומגה
כפול r, ואם עושים זאת
נשאר לנו. נראה קודם
את האיבר הראשון:
סינוס של טטה,
כשברור שהזווית טטה היא פונקציה של הזמן,
כפול וקטור
היחידה i, ועוד
מכיוון שהוצאנו את
מינוס אומגה כפול r כגורם משותף, זה
הופך לקוסינוס טטה,
שהוא פונקציה של הזמן, כפול
וקטור היחידה j.
הוצאנו את מינוס

Chinese: 
我要提出-ωr
如果提出了-ωr
第一部分剩下了什么
就剩下sinθ(t)
θ是t的函数 我不用写出表达式
但是很确定θ是t的函数
然后乘以i单位矢量
加上 所以如果我们提出了-ωr
这就变成了-cosθ
θ是t的函数 这个乘以单位矢量j

English: 
I'm going to factor out a negative omega
times r, and if you factor out a negative omega-r,
what you're left with is
this first term,
sine of theta-t
And I didn't have to make it explicit that theta is a function of t, but this makes it explicit
that theta is a function of t, and then times
our i-unit vector,
plus, so if we're factoring out
a negative omega-r, this becomes negative
cosine of theta,
which is a function of t, and that
is times our j-unit vector.
So we factored out

Arabic: 
سالب rاوميغا . الان دعنا نأخذ المشتقة
بالنسبة للزمن , اذا اذا اخذنا
مشتقة السرعة
بالنسبة للزمن , هذا واضح ما مقدار التسارع
كاقتران بالزمن , وسوف نفرض مقدار ذلك الشيئ
انه ثابت , لكن الاتجاه يتغير , اذا التسارع
كاقتران في الزمن سوف يساوي
هذا السالب
r اوميغا , اذا ما مشتقة
هذا الشيئ لليمين فوق ؟ المشتقة للجيب بالنسبة لثيتا ,
سوف نفعل قاعدة السلسلة هنا
مشتقة الجيب بالنسبة لثيتا
سوف تكون جيب تمام ثيتا
كأقتران في t
وبعدها قاعدة السلسلة , وايضا اخذنا هذا وضربناه بمشتقة ثيتا
بالنسبة ل t
سوف اكتب مشتقة ثيتا , dt

Russian: 
Возьмем производную
этого выражения по времени.
Итак, производная скорости по времени -
это, по определению, ускорение
как функция от времени. Предположим, что его величина не меняется,
но направление изменно. Итак, это - ускорение
как функция от времени, будет равно
множителю минус омега r,...
чему равна эта производная?
Производная синуса тета,
и тут мы опять применим цепное правило,
производная синуса тета
становится косинусом тета от t.
По цепному правилу, умножим его на
производую тета по t.
Можно было бы написать d-тета на d-t,

Chinese: 
所以我們提出了-ωr
現在 我們求關於時間的導數
所以如果我們取速度關於時間的導數
這顯然就是加速度關於時間的函數
我們要假設這個的大小是恒定的
但是實際上的方向是改變的
所以這是關於時間的加速度函數
等於-ωr
所以這個的導數是多少？
所以sinθ的導數
我們知道用連鎖律
sinθ的導數
是cosθ θ是t的函數 然後根據連鎖律
我們要用這個乘以
θ關於t的導數

Chinese: 
所以我们提出了-ωr
现在 我们求关于时间的导数
所以如果我们取速度关于时间的导数
这显然就是加速度关于时间的函数
我们要假设这个的大小是恒定的
但是实际上的方向是改变的
所以这是关于时间的加速度函数
等于-ωr
所以这个的导数是多少？
所以sinθ的导数
我们知道用链式法则
sinθ的导数
是cosθ θ是t的函数 然后根据链式法则
我们要用这个乘以
θ关于t的导数

Bulgarian: 
Изнесохме минус омега r.
Нека сега вземем производната на това
по отношение на времето.
Ако вземем производната на скоростта
по отношение на времето,
това очевидно е просто
ускорението по отношение на времето
и ще приемем, че големината
на това нещо е константа,
но реалната посока се променя –
тоест това е ускорението
като функция на времето
и това ще е равно на
това минус омега r, отваряме скобите.
Каква е производната
на това тук?
Производната на синус
по отношение на тита –
просто използваме
верижното правило –
производната на синус
по отношение на тита
ще е косинус от тита
като функция на t.
И също трябва да вземем това
и да го умножим по производната на тита
по отношение на t.
Мога да запиша
d тита върху dt.

iw: 
אומגה כפול r כגורם משותף. עכשיו נגזור את זה
כפונקציה של הזמן. הנגזרת של
המהירות הקווית
כפונקציה של הזמן היא התאוצה כפונקציה
של הזמן.
אנו נניחח שהגודל של התאוצה הוא
קבוע, למרות שהכוון של התאוצה משתנה
כל הזמן. וזה שווה למינוס אומגה
כפול r. מהי
הנגזרת של סינוס כפונקציה של הזמן?
הנגזרת של סינוס ביחס לטטה,
אנו מפעילים את כלל השרשרת,
הנגזרת של סינוס ביחס לטטה
הוא קוסינוס של טטה
שהיא פונקציה של הזמן.
לפי כלל השרשרת, עלינו לכפול את זה
בנגזרת של טטה
ביחס לזמן.
אני יכול לכתוב dteta/dt,

English: 
a negative omega-r. Now let's take the derivative of
this with respect to time. So if we take
the derivative of velocity
with respect to time, this is clearly just what the acceleration is
as a function of time, and we're going to assume that the magnitude of this thing
is constant, but the actual direction is changing, so this is the acceleration
as a function of time, is going to be equal to
this negative
omega-r, so what is the derivative of
this thing right over here? So the derivative of sine with respect to theta,
we're just doing the chain rule here,
the derivative of sine with respect to theta
is going to be cosine of theta
as a function of t.
And then chain rule, we also have to take that and multiply it with the derivative of theta
with respect to t.
I could write d-theta, dt here

Thai: 
โอเมก้า r ได้ ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ของ
ตัวนี้เทียบกับเวลากัน ถ้าเราหา
อนุพันธ์ของความเร็ว
เทียบกับเวลา อันนี้เห็นชัดว่า ความเร่ง
เป็นฟังก์ชันของเวลาคืออะไร และเรา
จะสมมุติว่าขนาดของสิ่งนี้
คงที่ และทิศเปลี่ยนไป นี่คือความเร่ง
เป็นฟังก์ชันของเวลา จะเท่ากับ
ลบ
โอเมก้า r นี้ แล้วอนุพันธ์ของ
ตัวนี้ตรงนี้คืออะไร? อนุพันธ์ของไซน์เทียบกับเธต้า
เราจะใช้กฎลูกโซ่ตรงนี้
อนุพันธ์ของไซน์เทียบกับเธต้า
จะเท่ากับโคไซน์ของเธต้า
เป็นฟังก์ชันของ t
แล้วกฎลูกโซ่ เราต้องนำมันมาคูณกับ
อนุพันธ์ของเธต้า
เทียบกับ t
ผมเขียน d เธต้า/dt ได้

Bulgarian: 
Но това, отново,
е просто омега.
Това е просто омега
и това, разбира се,
е в посока i.
И след това взимаме
производната на
косинус от тита от t
по отношение на тита –
това ще е минус синус от тита,
тоест имаме отрицателен знак отпред,
така че това става
плюс синус от тита
като функция на t.
И после трябва да използваме верижното правило –
производната на тита по отношение на t.
Трябва да умножим по това
и можем да запишем d тита върху dt тук,
но това, отново,
е същото нещо като омега.
Всичко това бива умножено по
единичния вектор j.
И можем да затворим скобите.
Нека изнесем това друго омега
и получаваме нещо интересно.

Chinese: 
我可以寫成dθ/dt 但是同樣的 就是ω
所以這是ω 這當然在i方向上
從這裡 接下來 我們求
cosθ(t)關於θ的導數
所以這是-sinθ
所以可以把負號提出來
所以它變成了正sinθ(t)
然後用連鎖律
θ關於t的導數
我們要乘以它 這樣 我們要在這裡寫上
dθ/dt 但是這也等於ω
所有這些乘以單位向量j
所有現在 我們提出另一個ω
得到了一些有趣的東西

Arabic: 
ومره اخرى , انها اوميغا
اذا هذه اوميغا , وتلك بالطبع
في اتجاه i ومن ذلك
وبعد ذلك , نأخذ المشتقة
جيب تمام ثيتا t بالنسبة لثيتا , اذا ذلك سوف
يكون سالب جيب ثيتا , سوف نخرج اشارة السالب
اذا سوف تصبح موجيب جيب
ثيتا كاقتران في t .
وبعدها علينا القيام بقاعدة السلسلة , مشتقة ثيتا بالنسبة لثيتا
سوف نضربها بهذه , وسوف نكتب
مشتقة ثيتا , dt , لكن مرة اخرى هي نفس الشيئ
مثل اوميغا , وكل ذلك ضرب
متجه الوحدة j
اذا الان لنخرج العامل المشترك تلك اوميغا اخرى , وسوف نحصل على شيئ ممتع
سوف نحصل على متجه التسارع كاقتران

English: 
But that once again, is just omega.
So that is just omega, and that of course
is in the i-direction. And from that,
and next to that, we take the derivative of
cosine of theta of t with respect to theta, so that's going to be
that would be negative sine of theta, so we would have a negative out front
so it becomes positive sine of
theta as a function of t.
And then we have to do the chain rule, the derivative of theta with respect to t.
We have to multiply by this, and for that we could write
d-theta, dt right there, but that again is the same thing
as omega. And all that is being multiplied by the
j-unit vector.
So now let's factor out this other omega, and we get something interesting,
we get the acceleration vector as a function of

Chinese: 
我可以写成dθ/dt 但是同样的 就是ω
所以这是ω 这当然在i方向上
从这里 接下来 我们求
cosθ(t)关于θ的导数
所以这是-sinθ
所以可以把负号提出来
所以它变成了正sinθ(t)
然后用链式法则
θ关于t的导数
我们要乘以它 这样 我们要在这里写上
dθ/dt 但是这也等于ω
所有这些乘以单位矢量j
所有现在 我们提出另一个ω
得到了一些有趣的东西

Thai: 
เหมือนเดิม มันก็แค่โอเมก้า
มันก็แค่โอเมก้า และนั่นแน่นอน
อยู่ในทิศ i แล้วจากนั้น
ต่อจากนั้น เราหาอนุพันธ์ของ
โคไซน์ของเธต้าของ t เทียบกับเธต้า มันจะเท่ากับ
มันจะเป็นลบไซน์ของเธต้า เราจะได้ลบข้างหน้า
มันกลายเป็นบวกไซน์ของ
เธต้าเป็นฟังก์ชันของ t
แล้วเราต้องใช้กฎลูกโซ่ อนุพันธ์ของเธต้าเทียบกับ t
เราต้องคูณด้วยตัวนี้ แล้วจากนั้น เราเขียน
d เธต้า/dt ตรงนี้ได้ แต่เหมือนเดิม มันก็คือ
โอเมก้า แล้วทั้งหมดนั้นจะคูณด้วย
เวกเตอร์หน่วย j
ตอนนี้ลองแยกโอเมก้าอีกตัวออกมา
แล้วเราจะได้สิ่งที่น่าสนใจ
เราได้เวกเตอร์ความเร่ง เป็นฟังก์ชันของ

Russian: 
но это, опять же, омега.
Это - просто омега, и, конечно,
в направлении вектора i.
Теперь возьмем производную
от косинуста функции тета, что будет
минус синус тета, но тут уже есть минус,
поэтому получим плюс синус тета,
последняя - функция времени.
И опять применим цепное правило, получим производную тета по t.
Нам надо бы умножить на эту дробь здесь,
написав d-тета d-t, но это - снова омега.
И все это умножим на
базисный вектор j.
Вынесем вторую омегу за скобки, и получим что-то интересное:
получим, что функция ускорения от времени равна,

iw: 
אבל זה שווה, שוב פעם, לאומגה.
אז זה אומגה, וזה כמובן
בכוון של i.
לאחר מכן, ניקח את הנגזרת של
קוסינוס טטה ביחס לטטה, ששווה
למינוס סינוס טטה, אך מכיוון שיש לנו
כאן סימן מינוס,
זה הופך לפלוס סינוס טטה
כפונקציה של הזמן.
נפעיל פעם נוספת את כלל השרשרת, הנגזרת
של טטה ביחס לזמן,
צריך להכפיל כאן. יכולנו לכתוב
כאן dteta/dt. אך פעם נוספת זה שווה
לאומגה. וכל זה מוכפל בווקטור
היחידה j.
עכשיו נוציא את האומגה הזה כגורם משותף,
ומקבלים משהו מעניין,
מקבלים שווקטור התאוצה כפונקציה

iw: 
של הזמן, לאחר שהוצאנו את אומגה כגורם
משותף, מקבלים
מינוס אומגה בריבוע כפול r.
אני הוצאתי עוד מינוס אומגה כגורם משותף,
ואז זה כפול, בסוגריים
קוסינוס של טטה
כפונקציה של הזמן,
כפול וקטור היחידה i,
ועוד
סינוס של טטה כפונקציה של הזמן,
כפול וקטור היחידה j.
מה זה כל הדבר הזה?
תסתכלו על החלק הזה: יש לנו r,
אם מפעילים את חוק הפילוג עבור r
מקבלים r קוסינוס טטה כפונקציה של

Chinese: 
如果提出另一个ω 就得到-ω^2r
我只是提出了另一个-ω
乘以 我要把它写到括号里
cosθ(t)乘以单位矢量i
加上sinθ(t)乘以单位矢量j
现在 所有的这些是什么？
只要看一下这部分 r乘以这个
尤其 如果乘进去r
这恰好就是这些

Thai: 
เวลา เท่ากับ ถ้าเราแยกโอเมก้า
อีกตัวออกมา เราจะได้
ลบโอเมก้ากำลังสอง r
ผมแค่แยกลบโอเมก้าอีกตัวออกมา
คูณ ผมจะเขียนในวงเล็บตรงนี้
โคไซน์ของเธต้า
เป็นฟังก์ชันของ t
คูณเวกเตอร์หน่วย i
บวก
ไซน์ของเธต้า ซึ่งก็คือฟังก์ชันของ t
คูณเวกเตอร์หน่วย j
ทีนี้ ทั้งหมดนี้ตรงนี้คืออะไร?
ดูส่วนนี้ตรงนี้ r คูณตัวนี้
ยิ่งถ้าคุณแจกแจง r เข้าไป
มันก็คือตัวนี้พอดี
ถ้าคุณแจกแจง r คุณจะได้ 
r โคไซน์เธต้าเป็นฟังก์ชัน

Russian: 
если вынести вторую омегу за скобки,
минус квадрату омега r.
В квадрате - вторая омега,
умножить на выражение в скобках:
косинус тета
как функция от времени
умножить на базисный вектор i
плюс
синус тета, функции t,
умножить на базисный вектор j.
Чему равно это выражение?
Посмотрите сюда. Если умножить r на
эту сумму и раскрыть скобки, это равно вот этому выражению.
Если раскрыть скобки, то получим r косинус тета

Chinese: 
如果提出另一個ω 就得到-ω^2r
我只是提出了另一個-ω
乘以 我要把它寫到括號裏
cosθ(t)乘以單位向量i
加上sinθ(t)乘以單位向量j
現在 所有的這些是什麽？
只要看一下這部分 r乘以這個
尤其 如果乘進去r
這恰好就是這些

Arabic: 
في الزمن يساوي , اذا اخرجنا اوميغ اخرى كعامل مشترك
سالب مربع اوميغا ضرب r
واخرج عامل مشترك اخر
ضرب , سوف اكتبها هنا
جيب تمام ثيتا
كأقتران في t
ضرب متجه الوحدة j
زائد
جيب ثيتا , والتي هي اقتران في ثيتا
ضرب متجه الوحدة j
الان ما وظيفة كل هذالليمين فوق هنا ؟
انظر لهذا الجزء في اليمين هنا , جيد r ضرب هذا ,
خاصة اذا قمت بتوزيع r هذا بالضبط هذا الشيئ لليمين فوق
اذا وزعت r , سوف تحصل على rجيب تمام ثيتا كأقتران في

English: 
time is equal to, and if we factor out another omega, we get
negative omega-squared r,
I'm just factoring out another negative omega,
times, and I'll write it in parentheses here,
cosine of theta
as a function of t
times our i-unit vector
plus
sine of theta, which is a function of t
times our j-unit vector.
Now what is all of this business right over here?
Just look at this part right over here, well r times this,
especially if you distributed the r, that is exactly this thing right over here
If you distribute the r, you get exactly r cosine theta as a function

Bulgarian: 
Получаваме, че векторът на ускорението
като функция на времето е равен на –
и ако изнесем  още една омега,
получаваме минус омега на квадрат по r –
просто изнасям още едно
омега –
по, ще запиша това в скоби,
косинус от тита
като функция на t
по нашия
единичен вектор i
плюс синус от тита,
което е функция на t,
по нашия
единичен вектор j.
Какво е всичко това тук?
Просто погледни това –
r по това,
особено ако разпределиш r,
това е точно това нещо тук.
Ако разпределиш t,
получаваш точно r по косинус от тита

Chinese: 
乘以单位矢量i加上
sinθ(t)乘以单位矢量j
所以这些我用橙色圈起来的
这是位置矢量 是时间的函数
所以所有我们做的就是得到了一个有趣的结果
我们算出了加速度矢量是时间的函数
等于负的恒定角速度的平方
乘以位置矢量
为了弄清楚 角速度是一种伪矢量
它很像标量
尤其当像这样关心两维的时候
它确实是个伪矢量 但是我们这样想
我们假设这是个恒定的数量
现在 我们非常非常非常接近这里
现在 我们想做的是

Arabic: 
t ضرب متجه الوحدة i زائد جيب ثيتا
كأقتران في t ضرب متجه الوحدة i . اذا كل شيئ اذا ربعناه في البرتقالي لليمين هنا
هذا موضع المتجه كاقتران في الزمن
اذا فعلنا كل شيئ , وحصلنا
على نتيجه مذهله , حصلنا على متجه التسارع
كأقتران في الزمن يساوي سالب
مربع السرعة الزاوية الثابتة
ضرب متجه الموضع
ولنكون واضحين انه نوع من متجهات زائفة
انه سوف يعالج ككمية قياسية , خاصة عندما تتعامل مع بعدين
مثل هذا , انها
سوف نفرض هذا لليمين فوق هنا هو كمية قياسية ثابتة
الان , نحن قريبين جدا جدا جدا
الان ما اريده فعله يعود لهذا

Russian: 
умножить на вектор i плюс синус тета
умножить на j. Получается, что то, что мы обвели оранжевым,
есть радиус-вектор как функция времени.
Проделав всю эту работу,
мы получили что-то интересное. Получается, что вектор ускорения
как функция времени равен
отрицательному квадрату угловой скорости,
умноженному на радиус-вектор.
И, если уж по-честному, угловая скорость - это псевдовектор
но в на плоскости ведет себя как скаляр,
поэтому будем так с ней и работать.
Примем этот квадрат за постоянный скаляр.
Ух, мы уже почти все сделали.
Итак, мы хотели найти

Chinese: 
乘以單位向量i加上
sinθ(t)乘以單位向量j
所以這些我用橙色圈起來的
這是位置向量 是時間的函數
所以所有我們做的就是得到了一個有趣的結果
我們算出了加速度向量是時間的函數
等於負的恒定角速度的平方
乘以位置向量
爲了弄清楚 角速度是一種僞向量
它很像純量
尤其當像這樣關心兩維的時候
它確實是個僞向量 但是我們這樣想
我們假設這是個恒定的數量
現在 我們非常非常非常接近這裡
現在 我們想做的是

Thai: 
ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย i
บวกไซน์เธต้าเป็น
ฟังก์ชันของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j
ทุกอย่างที่ผมกำลังสองสีส้มตรงนี้
นี่คือเวกเตอร์ตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
ทั้งหมดที่เราทำ เราได้
ผลที่น่าสนใจมากมา เราได้เวกเตอร์ความเร่ง
เป็นฟังก์ชันของเวลา เท่ากับลบ
ความเร็วเชิงมุมคงที่กำลังสอง
คูณเวกเตอร์ตำแหน่ง
ขอบอกให้ชัด ความเร็วเชิงมุมเป็น
เหมือนเวกเตอร์เทียม
คนมักคิดเป็นสเกลาร์ ยิ่งถ้าคุณคิดในสองมิติ
อย่างนี้ มันเป็นสเกลาร์เทียม แต่ลองทำต่อไป
เราสมมุติตรงนี้ว่ามันเป็นปริมาณสเกลาร์คงที่
ตอนนี้เราใกล้เสร็จมากๆ แล้ว
สิ่งที่เราอยากทำตอนนี้คือเชื่อมโยงอันนี้

English: 
of t times our i-unit vector plus our sine theta as a
function of t times the j-unit vector. So everything that I squared-off in orange right over here,
this is our position vector as a function of time.
So all that work we did, we just got a
very interesting result. We got that our acceleration vector
as a function of time is equal to the negative
of our constant angular velocity-squared
times our position vector
And just to be clear, angular velocity is kind of the pseudo vector,
it tends to be treated like a scalar, especially when you're dealing with two-dimensionals
like this, it's really a pseudo scalar, but let's just go with this.
We're assuming this right over here is a constant scalar quantity.
Now, we're very very very very close here.
Now what we want to do is to relate this

Bulgarian: 
като функция на t по единичния вектор i
плюс синус от тита като функция на t 
по единичния вектор j.
Всичко това оградих
в този оранжев правоъгълник.
Това е векторът на позицията
като функция на времето.
Получихме много
интересен резултат.
Получихме, че векторът на ускорението
като функция на времето
е равен на отрицателната стойност
на големината на постоянната ни
ъглова скорост на квадрат,
която приемаме за константа,
по вектора на позицията ни.
И да поясним, ъгловата скорост
е един вид псевдо вектор,
по принцип бива третирана като скаларна величина, особено при работа с 2 измерения.
Тя всъщност е псевдо скаларна величина,
но нека просто използваме това.
Приемаме, че това тук е
постоянна скаларна величина.
Много, много, много
сме близо до края.
Искаме да свържем това –

iw: 
הזמן כפול וקטור היחידה i, ועוד r סינוס טטה
כפונקציה של הזמן כפול וקטור היחידה j. כל
מה שהקפתי כאן במרובע כתום כאן,
הוא וקטור ההעתק שלנו כפונקציה של הזמן.
אחרי כל העבודה שעשינו, קיבלנו
משהו מעניין, קיבלנו שוקטור התאוצה
כפונקציה של הזמן, שווה למינוס
המהירות הזוויתית הקבועה בריבוע
כפול וקטור ההעתק.
כפי שכבר אמרנו, המהירות הזוויתית היא
פסוידו וקטור,
אשר מטפלים בו כסקלר כשעוסקים בשני ממדים.
הוא בעצם פסוידו סקלר, אך נעזוב את זה.
אנו מניחים שזה גודל סקלרי קבוע.
אנחנו כבר קרובים להוכחה.
אנו רוצים לקשר את זה,

English: 
this is essentially the scalar version of it, so if we wanted
to take the magnitudes of both sides,
so we're saying the acceleration vector is equal to this constant times
the position vector, so let's take the magnitude of both sides of this thing
So then we get the magnitude of the acceleration vector,
which I'm just going to call a sub c,
is going to be equal to
you could say the magnitude of this negative omega-squared
but when you take the magnitude, it's like taking the absolute value
in fact, absolute value is just the one-dimensional version of magnitude,
that's just going to be positive omega-squared
we don't care about the direction, sign gives us the direction, we just care about
the actual size. So this is going to be
the magnitude of negative omega-squared
times the magnitude of our position vector
the magnitude of omega-squared is just going to be omega-squared

iw: 
זאת בעצם הגרסה הסקלרית, אנו רוצים לקחת
את הערכים המוחלטים משני האגפים.
אנו אומרים שוקטור התאוצה שווה לקבוע כפול
וקטור ההעתק. אז ניקח את הערך המוחלט
של שני האגפים.
יש לנו את הערך המוחלט של וקטור התאוצה,
נקרא לו a עם סימן תחתי c,
ששווה,
נאמר לגודל של מינוס אומגה בריבוע,
אך כשלוקחים את הגודל, זה כמו לקחת
את הערך המוחלט.
בעצם, הערך המוחלט הוא הגרסה החד ממדית
של הגודל,
אז זה בעצם פלוס אומגה בריבוע,
אנו לא מתייחסים לכוון, הסימן מציין כוון,
אנו מתייחסים רק
לגודל. אז זה יהיה
הערך המוחלט של מינוס אומגה בריבוע
כפול הערך המוחלט של וקטור ההעתק.
הערך המוחלט של אומגה בריבוע הוא
אומגה בריבוע,

Russian: 
значение этого выражения,
поэтому найдем модуль обеих частей.
Мы выяснили, что вектор ускорения равен этой константе
умножить на радиус-вектор, поэтому найдем модуль обеих частей выражения.
Величина вектора ускорения,
которую я назову a-c (а-цэ),
будет равна,
можно сказать, величине отрицательного омега квадрат,
но если брать величину, что надо взять абсолютное значение,
и это то же самое, что величина на прямой,
или положительный квадрат омега.
Направление не имеет значения. Знак дает направление,
а нам важна только длина.
Итак, это - модуль минус омега квадрат
умножить на модуль радиус-вектора.
Модуль квадрата омеги - омега в квадрате,

Chinese: 
这实际上是它的标量大小
所以如果两边都取大小
所以我们说加速度矢量等于
这个常数乘以位置矢量
所以我们两边取大小
然后就得到了加速度矢量的大小
我把这叫做ac 就等于
你们可以说等于这个-ω^2
但是当你们取它的大小
这实际上就像取绝对值
绝对值就是在一维上的大小
这就是正的ω^2
我们不管方向 符号告诉了我们方向
我们实际上只要关心大小
所以这就是-ω^2的大小
乘以位置矢量的大小
ω^2的大小就等于ω的平方

Thai: 
นี่คือรูปแบบสเกลาร์ ถ้าเราอยาก
หาขนาดของทั้งสองข้าง
เราก็บอกว่า เวกเตอร์ความเร่ง เท่ากับค่าคงที่นี้คูณ
เวกเตอร์ตำแหน่ง 
ลองหาขนาดทั้งสองข้างของตัวนี้กัน
แล้วเราได้ขนาดของเวกเตอร์ความเร่ง
ซึ่งผมจะเรียกมันว่า a ห้อย c
จะเท่ากับ
คุณบอกได้ว่า ขนาดของลบโอเมก้ากำลังสอง
เมื่อคุณหาแต่ขนาด มันก็เหมือนค่าสัมบูรณ์
ที่จริงค่าสัมบูรณ์ก็คือขนาดในหนึ่งมิติ
มันจะเท่ากับบวกโอเมก้ากำลังสอง
เราไม่สนใจทิศ เครื่องหมายนั้นบอกทิศ เราสนใจ
แค่ขนาด อันนี้จึงเท่ากับ
ขนาดของลบโอเมก้ากำลังสอง
คูณขนาดของเวกเตอร์ตำแหน่ง
ขนาดของโอเมก้ากำลังสอง ก็แค่โอเมก้ากำลังสอง

Chinese: 
這實際上是它的純量大小
所以如果兩邊都取大小
所以我們說加速度向量等於
這個常數乘以位置向量
所以我們兩邊取大小
然後就得到了加速度向量的大小
我把這叫做ac 就等於
你們可以說等於這個-ω^2
但是當你們取它的大小
這實際上就像取絕對值
絕對值就是在一維上的大小
這就是正的ω^2
我們不管方向 符號告訴了我們方向
我們實際上只要關心大小
所以這就是-ω^2的大小
乘以位置向量的大小
ω^2的大小就等於ω的平方

Bulgarian: 
това е скаларната версия –
ако искахме да вземем
големината на двете страни,
казваме, че векторът на ускорението
е равен на тази константа
по вектора на позицията.
Нека вземем големината
на двете страни на това.
Получаваме, че големината
на вектора на ускорението,
който ще наричам а с индекс с,
ще е равна на
големината на това
минус омега на квадрат,
но когато взимаш само големината
това е все едно да вземеш абсолютната стойност,
абсолютната стойност е просто
едномерна версия на големината,
това ще е
плюс омега на квадрат.
Не ни интересува посоката, знакът 
ни дава посоката,
но ни интересува само реалната големина.
Това ще е големината на
минус омега на квадрат
по големината на
вектора на позицията.
Големината на омега на квадрат
просто ще е омега на квадрат –

Arabic: 
هذا بالضروره نسخة قياسية منه , اذا اذا اردت
اخذ مقدار كلا الطرفين
اذا يمكننا القول متجه التسارع يساوي ثابت ضرب
متجه الموضع , اذا دعنا نأخذ مقدار كلا من الطرفين لهذا الشيئ
بعدها سوف نحصل على مقدار متجه التسارع ,
والذي سوف اسمية فوق c
سوف تكون
يجب أن تقول مقدار هذا مربع سالب اوميغا
ولكن عندما نأخذ المقدار , بأخذ القيمة المطلقة
في الواقع , القيمة المطلقة هي بالضبط المقدار في بعد واحد
هذا بالضبط ستكون مربع موجب اوميغا
نحن لا نهتم بالاتجاه , الاشاره تعطي الاتجاه , نحن نهتم
بالحجم الحقيقي , اذا هذه ستكون
مقدار مربع سالب اوميغا
ضرب مقدار متجه الموضع
مقدار مربع اوميغا سوف تكون مربع اوميغا

iw: 
אפשר להשתחרר מהסימן. והערך המוחלט
של וקטור ההעתק,
כפי שראינו בתחילת הסירטון, הוא r,
הרדיוס שלנו.
זה שווה לרדיוס
של המעגל בו הגוף מסתובב.
אנו יודעים שהמהירות הזוויתית,
הגודל של המהירות הזוויתית, שווה
לגודל של המהירות הקווית (speed) של
הגוף מסתובב.
ניתן להחליף את זה כאן.
אם מעלים את זה בריבוע, זה יהיה (v חלקי r) בריבוע
- ראינו את זה בסירטון על המהירות הקווית -
כפול r.
וכל זה שווה לגודל של התאוצה,
שהוא התאוצה הצנטריפטלית שלנו,
המכוונת פנימה, למרכז.
אני מניח שאתם מבינים לאן אנחנו מתקדמים.
זה שווה
ל- v בריבוע חלקי r בריבוע

Bulgarian: 
можеш да махнеш знака –
а големината на вектора на позицията,
както видяхме в началото
на видеото, е просто r –
нашият радиус.
Така че това тук
ще е равно на
радиуса на окръжността
около която обикаляме.
Знаем също,
че ъгловата скорост,
или големината на ъгловата скорост,
е равна наголемината на нашата скорост,
делена на радиуса на окръжността,
около която обикаляме.
Можем да заместим това тук.
Ако повдигнем на квадрат, това ще е
(v/r)^2 –
видяхме това във видеото
за ъглова скорост –
по r, и това ще е
големината на ускорението,
което всъщност е центростремителното ускорение,
насоченото навътре ускорение.
Това ще е равно на –
мисля, че виждаш накъде отиваме.

Chinese: 
可以去掉符号 位置矢量的大小
我们在视频开始就见到过了 就是r 半径
所以这个等于
围绕运动的圆的半径
现在 我们也知道了角速度
或角速度的大小
等于速度的大小
或者物体的速率 除以围绕运动的
圆的半径 所以我们可以把这代进去
所以如果把它平方 这就是v/r的平方
现在 我们在角速度的视频中见过了 乘以r
这就是加速度的大小
实际上就是向心加速度
向内方向的加速度 所以这就等于
我认为你们能看出来

Thai: 
คุณกำจัดเครื่องหมายได้ และขนาดของ
เวกเตอร์ตำแหน่ง
เราเห็นตอนต้นวิดีโอ ว่าคือ r
รัศมีของเรา
อันนี้จึงเท่ากับ
รัศมีของวงกลมที่เราวนรอบ
ทีนี้ เรายังรู้ความเร็วเชิงมุม หรือ
ขนาดของความเร็วเชิงมุม ว่าเท่ากับ
ขนาดของความเร็วเรา หรืออัตราเร็วของ
วัตถุ หารด้วยรัศมีของวงกลม
ที่วนรอบ เราก็แทนมันตรงนี้ได้
ถ้าเรากำลังสองมัน มันจะได้ v ส่วน r กำลังสอง
เราเห็นไปแล้วในวิดีโอเรื่องความเร็วเชิงมุม
คูณ r
และทั้งหมดนี้คือขนาดของความเร่ง
ซึ่งก็คือความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง 
ความเร่งทิศเข้าข้างใน
อันนี้จะเท่ากับ คุณคงเห็นว่าจะเป็นอย่างไร
อันนี้เท่ากับ v กำลังสองส่วน r กำลังสอง

Russian: 
от знака можно избавиться, и величина радиус-вектора,
как мы отмечали в начале видео -- просто r, --
наш радиус.
Это выражение
дает радиус окружности, по которой мы движемся.
Мы еще знаем, что угловая скорость,
или ее значение, равно
величине скорости объекта,
поделенной на радиус окружности,
по которой мы движемся. Поэтому мы можем заменить это выражение.
Омега в квадрате будет v на r в квадрате, мы это видели в видео об угловой скорости,
умножить на r,
равно величине ускорения,
которое является центростремительным ускорением, направленным внутрь.
Итак, это, как нетрудно догадаться,
равно v-квадрат на r-квадрат

Chinese: 
可以去掉符號 位置向量的大小
我們在影片開始就見到過了 就是r 半徑
所以這個等於
圍繞運動的圓的半徑
現在 我們也知道了角速度
或角速度的大小
等於速度的大小
或者物體的速率 除以圍繞運動的
圓的半徑 所以我們可以把這代進去
所以如果把它平方 這就是v/r的平方
現在 我們在角速度的影片中見過了 乘以r
這就是加速度的大小
實際上就是向心加速度
向內方向的加速度 所以這就等於
我認爲你們能看出來

English: 
you can get rid of the sign, and the magnitude of our position vector
we saw at the beginning of this video, is just r,
our radius
so this right over here is just going to be equal to
the radius of the circle that we're going around.
Now, we also know the angular velocity, or
the magnitude of the angular velocity, is equal to the
magnitude of our velocity, or the speed of our
object, divided by the radius of the circle
that it is going around. So we could substitute that right over here.
So if we square it, this is going to be (v over r)-squared, now we saw that in the video on angular velocity,
times r
and this is all going to be the magnitude of our acceleration,
which is really our centripetal acceleration, our inward directed acceleration.
So this is going to be equal to, and I think you see where this is going,
This is equal to v-squared over r-squared

Arabic: 
يمكنك اهمال الاشارة , مقدار متجه الموضع
لقد رأينا في هذا الفيديو , هذه بالضبط r
نصف القطر
اذا لليمين هنا سوف تكون تساوي
نصف قطر الدائرة التي ندور فيها .
الان , نحن نعلم السرعة الزاوية , أو
مقدار السرعة الزاوية , سوف تساوي
مقدار سرعتنا , أو سرعة speed
للجسم , بالقسمة على نصف قطر الدائرة
التي ندور حولها , اذا نستطيع تعويض هذه هنا لليمين فوق .
اذا اذا قمت بالتربيع , هذه سوف تكون مربع (v أو r) , الان نحن شاهدنا فيديو السرعة الزاوية .
ضرب r
وكل هذه سوف تكون مقدار التسارع ,
والذي هو بالواقع التسارع المركزي , تسارع مباشرة بالداخل ,
اذا انها سوف تكون , وانت تفكر انك ترى الى اين هذا يذهب ,
هذه تساوي مربع v مقسوم مربع r

Chinese: 
这就等于v^2除以r^2乘以r
但是这个r和这个r^2约掉了
所以就只剩了v^2除以r 做完了
向心加速度的大小等于速率-
速度大小的平方
除以半径 做完了

Chinese: 
這就等於v^2除以r^2乘以r
但是這個r和這個r^2約掉了
所以就只剩了v^2除以r 做完了
向心加速度的大小等於速率-
速度大小的平方
除以半徑 做完了

Russian: 
умножить на r.
r сокращается, остается v-квадрат
на r. Получилось!
Величина центростремительного ускорения равна
квадрату величины скорости на

Bulgarian: 
Това е равно на v^2 върху r^2
по r,
но това r
се съкращава с r^2,
така че ти остава само v^2/r.
И готово!
Големината на
центростремителното ускорение
е равна на големината
на скоростта на квадрат,
делено на радиуса.
И сме готови.

Thai: 
คูณ r แต่ r นี้ตัดกัน
กับ r กำลังสอง คุณจึงเหลือแค่ v กำลังสอง
ส่วน r แล้วคุณก็เสร็จแล้ว!
ขนาดของความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง
เท่ากับอัตราเร็วของคุณ
ขนาดของความเร็วคุณ กำลังสอง หารด้วย

Arabic: 
ضرب r , لكن هذه تلغي
مع مربع r , اذا لقد تركت مربع v
مقسوم على r, وانت فعلتها
مقدار التسارع المركزي يساوي السرعة speed ,
مقدار سرعتك velocity , مربع

iw: 
כפול r. ה- r הזה מצטמצם
עם r בריבוע. על כן נשאר לנו רק v בריבוע
חלקי r, וזהו זה!
הגודל של התאוצה הצנטריפטלית שווה לגודל
של המהירות הקווית בריבוע, חלקי

English: 
times r, but this r cancels out
with the r-squared, so you're just left with v-squared
over r, and you're done!
The magnitude of the centripetal acceleration is equal to your speed,
the magnitude of your velocity, squared, divided by

iw: 
הרדיוס. עשינו זאת!

Thai: 
รัศมีของคุณ แล้วเราก็เสร็จแล้ว

English: 
your radius. And, we are done.

Arabic: 
نصف القطر , ولقد فعلناها .

Russian: 
радиус. Готово!
