Vážení přátelé Pantha Rhei!
Vítejte při sledování nového videa!  Dnes o tzv. Stokesově formuli.
Toto video je znovunatočené mé staré video z dřívějška.
V tomto videu Vám přátelé ukážu trochu jiné, mnohem kratší odvození.
Tak začněme!
Nejdříve o co tedy jde: mějme kouli ponořenou v kapalině,
ta koule nechť se nepohybuje a kolem ní proudí Newtonovská kapalina s vizkozitou η.
Kapalina svým působením tlačí kouli vzhůru silou F.
Naším cílem je pak najít toto F. Pojďme na to!
Stokesův vzorec má vyjít F = 6πavη ve směru osy z.
Kde z se stříškou je jednotkový vektor ve směru pohybující se kapaliny.
Nejprve zopakujme jak vypadá Cauchyho vzorec (zachování hybnosti).
Ta formule není vlastně nic jiného než druhý Newtonův zákon...
... hmotnost krát zrychlení je rovna síle...
Protože nemáme objemové síly (jen síly působící na elementární plochy) je člen f v této rovnici nula.
Nu a také zanedbáme člen nalevo (inerciální člen Navier-Stokesových rovnic)
Po úpravě dostaneme rovnici tzv. Stokesova tečení.
Vložme tedy do rovnice tento napěťový tenzor σ.
Z první části tenzoru dostaneme divergencí gradient tlaku,
druhý člen po divergenci dá laplacián v,
třetí člen je nula neboť divergence v je nula.
To zase díky zákonu zachování hmotnosti, neboli rovnici kontinuity.
Z Cauchyho formule pak dostaneme rovnici Stokesova tečení takto:
Gradient tlaku se rovná dynamická vizkozita krát laplacián rychlostního pole.
Rovnice kontinuity, jež byla použita při odvození, vypadá takto:
Pro nestlačitelnou kapalinu s konstantní hustotou je divergence rychlostního pole nula.
Dobrá, zkusme uhádnout řešení pro v v tomto tvaru:
Rovnice kontinuity je ihned splněna píšeme-li pole v jako rotaci jiného pole.
Označme ho ψ.
Zkusme zkusit několik tvarů tohoto pole ψ.
Píšu tady (mírně modifikované) Stokesovo originální řešení - pomocí funkce R(r) - tzv. proudová funkce.
Dosaďme tento tvar do vztahu pro rychlostní pole.
[Spočítejte si]
Zde je výsledek.
Toto musí být v nekonečnu konstantní rychlostní pole.
Poznamenejme, že divergence takto definovaného pole ψ je také nula. [Spočítejte]
Jak okrajové podmínky ovlivňují proudovou funkci R?
V nekonečnu to dá, že R(∞) = v_∞/2.
Kapalina předpokládejme se na povrchu nalepí a nepohybuje, tedy v(a)=0.
Tak dostaneme, že pro R: R(a)=R'(a)=0.
Vezměme dále rotaci rovnic Stokeova tečení a uvidíme, co se stane.
Rotace gradientu je vždy nula, levá strana s tlakem je nula.
Pro pravou stranu dostaneme rotaci laplaciánu.
Dosaďme sem v = ∇ × ψ.
Laplacián je navíc skalární operátor a jeho poloha mezi rotacemi může být přesunuta kamkoli před ně.
Velice slavná říkanka pro děti před spaním: rotace rotace je gradient divergence minus laplacián.
Ale gradient divergence je nula díky ∇ • ψ = 0.
Takže dostaneme laplacián na druhou.
Můžeme tu rovnost ještě pro estetiku vynásobit mínusy.
[Odvoďte si sami jak vypadá laplacián našeho konkrétního ψ!]
Označme vzniklý polynom R''+4R'/r jako E₄[R].
Laplacián na druhou dá dvojitou apliaci operátoru E₄[ • ].
Toto musí být nula, stačí aby E₄[E₄[R]]=0.
Poznamenejme, že E₄ se dá zjednodušit.
Jako (r⁴R')'/r⁴.
Nyní vyřešíme tu rovnici pro R.
Vynásobením a integrací dostaneme výsledek pro E₄[R] = A/r³ + B.
B musí být nula jinak by po další integraci R obsahovalo člen Br² který by v nekonečnu divergoval.
Řešme dále...
Vynásobením a integrací spolu s podmínkami R(a)=R'(a)=0 dostaneme vztah pro R.
Porovnejme tento tvar ještě s podmínkou v nekonečnu.
Tím dostáváme koeficient A a můžeme dosadit do R.
Toto může být dále zjednodušeno pomocí Hornerova schématu pro polynom s q=a/r.
Teď odvodíme vzorec pro tlak.
Stačí jen integrovat rovnici Stokesova tečení z nekonečna k nějakému r, tlak je totiž zjevně potenciálem a nezáleží na integrační křivce.
Musí zodpovědět otázku jak vypadá laplacián v, zřejmě má stejný tvar jako v samotné, stačí vyměnit laplacián s rotací ψ. R tak zaměníme za E₄[R].
Druhý skalární součin bude nula, vektory jsou kolmé.
Skalární součin r a z je navíc podél integračního paprsku konstantní, vytkeme je z integrálu tedy, integrujeme jen E₄[R].
Tlak speciálně v r=a bude takto.
Pro výpočet síly se bude dále hodit vypočítat ∇v pro r=a.
Jenže vyjádření v obsahuje R a R' které jsou nulové pro r=a, ∇v obsahuje sice mnoho členů, ale jediný nenulový je ten s R''.
Dále zřejmě R''(a)=E₄[R](a) neboť R'(a)=0.
Dosaďme za konstantu A a máme to!
[Oprava chyby přidání dvojek do jmenovatelů]
Síla působící na kouli je spočtena pomocí součtu všech dílčích sil (integrál).
A dílčí síly jsou dány skalárním součinem normálového vektoru a napěťového tenzoru.
Skalární součin jednotkového radiálního vektoru s transpozicí gradientu rychlosti je nula díky tomu že r a θ vektroy jsou na sebe kolmé.
Zbyde tedy jen první polovina vizkózní části napěťového tenzoru.
Vytknu konstanty.
Tento rozdíl vektorů je neuvěřitelně konstantní, tedy jednotlivé dílčí síly se nemění podél plochy koule a celková síla je tedy násobkem vytknutých konstant s plochou koule.
No a když to upravíme máme Stokesovu formuli pro odpor pohybující se koule. Q.E.D. :D
A nebo pohybující se kapaliny, na vztažné soustavě nezáleží.
Snad se vám video líbilo a snad zas někdy příště!
Takže Pantha Rhei a čůůůůůůůůůůůůs.
