
Czech: 
Pojďme se zamyslet nad limitami
po částech definovaných funkcí,
které jsou definované
algebraicky jako naše f(x).
Zastavte si video a
zkuste sami určit,
čemu by se tyto
limity měly rovnat.
Některé jsou jednostranné,
jiné jsou běžné oboustranné limity.
Začněme s první limitou.
Limita pro x blížící se ke 4
hodnotami většími než 4.
To je to, co nám
říká ono plus.
Když je x větší než 4,
naše f(x) je rovno
odmocnině z x.
Takže když se ke 4 blížíme zprava,
pracujeme s touto částí funkce,
tudíž tohle se bude
rovnat odmocnině ze 4.
I když přímo v bodě x rovno 4
je f(x) rovna tomuhle,
blížíme se hodnotami
většími než 4,
blížíme se zprava,
a proto použijeme tuto
část předpisu naší funkce.
Takže tohle
se rovná 2.

English: 
- [Instructor] Let's
think a little bit about
limits of piecewise functions
that are defined algebraically
like our f of x right over here.
Pause this video and see
if you can figure out
what these various limits would be,
some of them are one-sided,
and some of them are regular
limits, or two-sided limits.
Alright, let's start with this first one,
the limit as x approaches four,
from values larger than equaling four,
so that's what that plus tells us.
And so when x is greater than four,
our f of x is equal to square root of x.
So as we are approaching
four from the right,
we are really thinking about
this part of the function.
And so this is going to be
equal to the square root of
four, even though right at four,
our f of x is equal to this,
we are approaching from
values greater than four,
we're approaching from
the right, so we would use
this part of our function definition,
and so this is going to be equal to two.

Bulgarian: 
Нека да помислим за малко
за граници на частично зададени функции, 
които са дефинирани алгебрично,
както f(x) ето тук.
Спри видеото и виж 
дали може да намериш
какви ще са тези различни граници,
като някои от тях са едностранни,
а други са стандартни или двустранни граници.
Добре, нека да започнем с първата,
т.е. границата, когато x клони към 4
от стойности, по-големи от 4.
Това е, което този плюс ни казва.
И така, когато x > 4,
то f(x) = sqrt(x) (квадратен корен).
Следователно, когато се приближаваме 
към 4 отдясно,
наистина мислим за тази част от функцията.
И това ще бъде равно на sqrt(4),
въпреки че в точката x = 4
f(x) е равна на ето това,
ние се приближаваме със стойности, 
по-големи от 4.
Приближаваме се отдясно, 
така че ще използваме
тази част от дефиницията на функцията.
Следователно това ще бъде равно на 2.

Korean: 
이번 영상에서는
대수적으로 정의된
개별식 함수의 극한에
대하여 알아봅시다
여기 f(x)처럼 말이죠
영상을 정지하고 
스스로 한 번
다음의
극한값들을 구해보세요
이 중 몇 가지는
한쪽 극한이고
다른 몇 가지는 일반적인 극한
혹은 양쪽 극한입니다
첫 번째
극한값부터 구해 봅시다
x가 4에 한없이 가까워지며
x는 4보다
큰 값을 가집니다
이 플러스 부호가 그것을
표시해 주고 있습니다
x가 4보다 클 때
f(x)는 √x입니다
우극한, 즉 오른쪽으로부터
4를 향해 가까워지므로
함수의 이 부분에 대해
고려해야 합니다
따라서 이것은 √4의
값을 가질 것입니다
정확히 4에서는
f(x)가 이러한 형태를 가지지만
4보다 큰 숫자들로부터
4를 향해 가까워지고 있으므로
오른쪽에서 가까워지고 있습니다
따라서 함수는 이 두 번째
형태를 가지게 되며
2의 값을 가지게 됩니다

English: 
Now what about our limit of f of x,
as we approach four from the left?
Well then we would use this
part of our function definition.
And so this is going to
be equal to four plus two
over four minus one,
which is equal to 6 over three,
which is equal to two.
And so if we wanna say
what is the limit of f of x
as x approaches four, well
this is a good scenario here
because from both the left and the right
as we approach x equals
four, we're approaching
the same value, and we
know, that in order for
the two side limit to have
a limit, you have to be
approaching the same thing
from the right and the left.
And we are, and so this is
going to be equal to two.
Now what's the limit as x
approaches two of f of x?
Well, as x approaches
two, we are going to be
completely in this
scenario right over here.
Now interesting things do
happen at x equals one here,
our denominator goes to
zero, but at x equals two,
this part of the curve
is gonna be continuous

Czech: 
A co limita f(x) pro
x blížící se ke 4 zleva?
Potom použijeme tuto
část předpisu naší funkce.
Tohle se tedy bude rovnat
(4 plus 2) lomeno (4 minus 1),
což se rovná
6 lomeno 3,
a to se rovná 2.
Když chceme nyní vědět, čemu se
rovná limita f(x) pro x blížící se ke 4,
tak máme štěstí,
protože když se k bodu 
x rovno 4 blížíme zleva i zprava,
blížíme se k té
samé hodnotě.
A víme, že aby
oboustranná limita existovala,
musíme se zprava i zleva
blížit k té samé hodnotě,
což se skutečně blížíme,
proto se to rovná 2.
Čemu se rovná limita f(x)
pro x blížící se ke 2?
Když se x blíží ke 2,
půjde o tento případ.
V bodě x rovno 1 se
budou dít zajímavé věci,
protože jmenovatel
je zde nulový,
ale v bodě x rovno 2 bude
tato část křivky spojitá.

Bulgarian: 
А какво да кажем за границата на f(x),
когато се приближаваме към 4 отляво?
Тогава бихме използвали тази част 
от дефиницията на функцията.
И това ще бъде равно на 4 + 2
върху 4 – 1,
което е равно на 6/3,
което е равно на 2.
Следователно, ако искаме да кажем 
каква е границата на f(x),
когато x клони към 4, това всъщност 
е добър случай тук,
защото и от лявата и дясна страна,
когато x клони към 4, функцията клони
към една и съща стойност. А знаем че,
за да има двустранната граница,
следва да клони към едно и също
нещо отдясно и отляво.
Тогава това ще бъде равно на 2.
Сега, каква е границата, когато 
x клони 2 за f(x)?
Е, когато x клони към 2, ще се намираме
изцяло в този случай ето тук.
Сега, интересни неща се случват 
за x = 1 ето тук
и знаменателят клони към 0, но за x = 2
тази част от кривата ще бъде непрекъсната.

Korean: 
좌극한, 즉 왼쪽으로부터
4를 향해 가까워진다면
f(x)의 극한값이 무엇일까요?
이 경우에는 함수가 첫 번째
형태를 가지게 됩니다
따라서 함수는
4 + 2 / 4-1이며
따라서 함수는
4 + 2 / 4-1이며
이것은 6/3, 혹은
2의 값을 가집니다
따라서 x가 4에
한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값을 찾으려면
이 문제가 좋은 예가 됩니다
왜냐하면 왼쪽과 오른쪽
각기 다른 두 방향으로부터
x가 4에 한없이 가까워지며
즉 좌극한과 우극한이 같은 값입니다
양쪽 극한이 극한값을 가지려면
좌극한과 우극한이 같아야 합니다
이 경우에는 그것이 해당되므로
극한값이 2가 됩니다
x가 2에 한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값은 무엇일까요?
x가 2에 한없이 가까워질 때
함수는 첫 번째 형태를
가지게 됩니다
x가 1일 때 흥미롭게도
분모가 0이 됩니다
그런데 x가 2일 때는
함수의 곡선이 연속됩니다

Korean: 
따라서 값을
치환하기만 하면 됩니다
극한값은
2 + 2 / 2 - 1이 됩니다
이는 곧 4/1, 혹은 4입니다
예시를 하나 더 들어보죠
개별식 함수가
여기 하나 더 있습니다
개별식 함수가
여기 하나 더 있습니다
영상을 정지하고 스스로 한 번
문제를 풀어보세요
자, 이제 같이 풀어봅시다
x가 오른쪽으로부터 -1에
한없이 가까워질 때
극한값은 무엇일까요?
우극한, 즉 오른쪽으로부터
한없이 가까워지게 되면
x가 -1과 같거나
큰 값을 가질 때
개별식 함수는 두 번째
형태를 가집니다
따라서 이 극한값은
2의 -1제곱이 됩니다
이는 1/2입니다
좌극한의 경우에는 어떨까요?
좌극한의 경우에는
함수가 첫 번째 형태를 가집니다
x가 -1의 왼쪽으로부터
한없이 가까워지므로
이 경우에는 개별식 함수가
여기 첫 번째 형태를 가지므로

English: 
so we can just substitute
the value, it's going to be
two plus two, over two minus
one, which is four over one,
which is equal to four.
Let's do another example.
So we have another piecewise function,
and so let's pause our video
and figure out these things.
Alright, now let's do this together.
So what's the limit as x
approaches negative one
from the right?
So if we're approaching from the right,
when we are greater than
or equal to negative one,
we are in this part of
our piecewise function,
and so we would say, this
is going to approach,
this is gonna be two, to
the negative one power,
which is equal to one half.
What about if we're
approaching from the left?
Well, if we're approaching from the left,
we're in this scenario right over here,
we're to the left of
x equals negative one,
and so this is going to
be equal to the sine,
'cause we're in this case,
for our piecewise function,

Czech: 
Stačí tak jen dosadit a dostaneme
(2 plus 2) lomeno (2 minus 1),
což se rovná
4 lomeno 1,
a to se rovná 4.
Udělejme si ještě
jeden příklad.
Máme další po částech
definovanou funkci,
takže si zastavte video a
zkuste přijít na tyhle limity.
A teď to udělejme společně.
Čemu se rovná limita pro
x blížící se k −1 zprava?
Když se blížíme zprava,
tedy když jsou hodnoty
větší nebo rovny −1,
platí tato část
předpisu naší funkce.
Takže tohle se bude rovnat
2 umocněno na −1,
a to se rovná 1/2.
A co když se
blížíme zleva?
Když se blížíme zleva,
jde o tento případ,
jsme nalevo
od bodu x rovno −1.
Takže tohle se
bude rovnat sinu,
protože platí tato
část předpisu funkce,
z −1 plus 1,

Bulgarian: 
Следователно може просто да заместим 
стойността, което ще бъде
2 + 2 върху 2 – 1, което 4/1,
което е равно на 4.
Нека да решим друг пример.
Имаме друга 
частично зададена функция и
нека да спрем видеото 
и да намерим тези неща.
Добре, нека да го решим заедно.
Каква е границата, когато
 x клони към –1
от дясната страна?
Ако се приближаваме отдясно,
когато x е по-голямо или равно на –1,
то ние се намираме в тази част 
от нашата частично зададена функция.
Следователно бихме казали, 
че това ще клони,
или това ще бъде 2 на степен –1,
което е равно на 1/2.
Какво става обаче, ако 
се приближаваме отляво?
Ако се приближаваме отляво,
тогава попадаме в този случай тук,
т.е. ние сме отляво на x = –1
и тогава това ще е равно на синуса,
и в този случай за нашата 
частично определена функция имаме

Czech: 
což je sin(0)
a to se rovná 0.
Čemu se rovná oboustranná limita
g(x) pro x blížící se k −1?
Když se blížíme
zprava a zleva,
blížíme se ke dvěma
různým hodnotám.
A když se jednostranné
limity nerovnají,
tak tato limita
neexistuje.
A čemu se rovná limita g(x)
pro x blížící se k 0 zprava?
Když se k 0
blížíme zprava,
bude platit
tento případ,
protože 0 určitě
leží v tomto intervalu.
Na tomto intervalu
bude tohle spojité,
takže do předpisu
stačí dosadit x rovno 0,
což bude 2 na 0,
a to se rovná 1.
A máme hotovo!

English: 
of negative one plus one,
which is the sine of zero,
which is equal to zero.
Now what's the two-sided
limit as x approaches
negative one of g of x?
Well we're approaching
two different values
as we approach from the right,
and as we approach from the left.
And if our one-sided
limits aren't approaching
the same value, well then
this limit does not exist.
Does not exist.
And what's the limit of g of x,
as x approaches zero from the right?
Well, if we're talking
about approaching zero
from the right, we are
going to be in this case
right over here, zero is
definitely in this interval,
and over this interval,
this right over here
is going to be continuous,
and so we can just substitute
x equals zero there, so it's
gonna be two to the zero,
which is, indeed, equal
to one, and we're done.

Bulgarian: 
–1 + 1, което е sin(0),
което е равно на 0.
Сега, каква е 
двустранната граница, когато
x клони към –1 за g(x)?
Приближаваме се към две
различни стойности,
когато клони отдясно
и когато клони отляво.
И ако нашите едностранни граници
не клонят към
една и съща стойност, тогава 
тази граница не съществува.
"Не съществува."
А каква е границата за g(x),
когато x клони към 0 отдясно?
Ако става дума за приближаване 
към 0 отдясно,
то тогава се намираме в този случай
ето тук. Нулата определено 
е в този интервал.
И в този интервал, ето това тук
ще бъде непрекъснато, така че 
може просто да заместим
x = 0 тук, така че ще получим 
2 на нулева степен,
което действително е равно на 1.
И сме готови.

Korean: 
-1 + 1
곧 sin(0)이 되며
이는 0과 같습니다
이제 x가 -1에 한없이
가까워질 때
g(x)의 양쪽 극한값은 무엇일까요?
이 경우에는 좌극한과 우극한이
서로 다릅니다
한쪽 극한 두 개가
서로 같은 값을 향해
가까워지고 있지 않다면
극한값은 존재하지 않습니다
x가 오른쪽으로부터 0에
가까워질 때
g(x)의 극한값은 무엇일까요?
0의 우극한에 대해 고려한다면
이 영역에 값이 있게 됩니다
0은 분명
이 범위 내에 있으니까요
그리고 이 범위에 걸쳐서
함수의 해당 형태는 연속되므로
x에 0을 치환할 수 있습니다
이는 2의 0제곱, 혹은 1입니다
