
English: 
Let's attempt another
surface integral,
and I've changed the
notation a little bit.
Instead of writing the
surface as a capital sigma,
I've written it as a capital S.
Instead of writing d lowercase
sigma, I wrote d uppercase
S, which is still
a surface integral
of the function y.
And the surface we care about
is x plus y squared mins z
is equal to 0.
X between 0 and 1,
y between 0 and 2.
Now, this one might be a
little bit more straightforward
than the last one we
did, or at least I
hope it's a little bit more
straightforward, because we
can explicitly define
z in terms of x and y.
And actually we can
even explicitly define
x in terms of y and z.
But I'll do it the other way.
It's a little bit easier
for me to visualize.
So if you add z to both sides of
this equation right over here,
you get x plus y
squared is equal to z,
or z is equal to
x plus y squared.
And this is actually
pretty straightforward.
this surface is pretty
easy to visualize,
or we can give our best
attempt at visualizing it.

Korean: 
면적분 ex2 part1: 면의 매개변수화ㅣ다변수 미적분학l 칸아카데미
이제 다른 면적분도 해 봅시다
제가 표기법을 조금 바꿨습니다
면을 시그마를 이용해 표기하지 않고
대문자 S로 표시했습니다
또한 뒤에 dS라고 표기했는데,
이것은 여전히 함수 y의 면적분을 뜻합니다
적분할 면은 x+y^-z=0 입니다
 
 
x의 범위는 0과 1사이, y범위는 0과 2 사이입니다
아마 이번 문제는 저번에 푼 문제보다
간단명료할 것입니다
x와 y의 범위에 따라 z의 값을
명시적으로 정의할 수 있기에 그렇다고 생각합니다
사실 x의 값을  y와 z의 범위에 따라
정의할 수도 있지만
z의 값을 정의하는 방법을 사용하겠습니다
그것이 시각화해 표현하기에 쉽기 때문입니다
이제 이 함수식의 양변에 z를 더하면
x+y^=z라는 식이 도출됩니다
또는 z=x+y^이라고 할 수 있겠죠
 
사실 이 식은 매우 간단해서
함수로 시각화하기에도 쉽습니다
이제 함수를 그려보겠습니다

Thai: 
ลองพยายามหาอินทิกรัลผิวอีกอันนึง และผมได้เปลี่ยนสัญลักษณ์นิดหน่อย
แทนที่จะเขียนผิวเป็น ซิกมาใหญ่ เราอาจเขียนมันเป็น s ใหญ่ และแทนที่จะเขียน d ซิกมาเล็ก ผมจะเขียนเป็น

Korean: 
자, 이것이 z축이고, 이것이 x축입니다
이것이 y축이고, 0과 1사이의  x값에
해당하는 함수를 그려보겠습니다
여기가 x가 1인 점이고, y는 0부터 2의 범위를 가집니다.
여기가 y의 값이 1인 점과 2인 점입니다
그래서 우리가 고려해야 하는 면은 이 부분이죠
xy평면의 이 영역입니다
그렇다면 값을 구해야할 면의 모양을 유추할 수 있습니다
여기는 그 면이 아닙니다
여기는 우리가 면적분을 할 때 고려할 x와 y영역이죠
 
자 이제 그 면을 그려봅시다
x와 y값이 0이라면 z값도 0입니다
그렇다면 초록색으로
z의 위치를 여기에 표시해보겠습니다
 
그렇다면 x가 0일때 y의 값만 고려하면
즉 zy 평면만 고려한다면
z의 값은  y^과 같습니다
 
여기에 z가 4인 점,

English: 
So if that is our z-axis,
and that is our x-axis,
and that is the y-axis,
we care about the region
x between 0 and 1.
So maybe this is x equals
1, and y between 0 and 2.
So let's say this is 1,
this is 2 in the y area.
So we essentially care
about the surface over this,
over this region
of the xy plane.
And then we can think about
what the surface actually
looks like.
This isn't the surface.
This is just kind of the range
of x's and y's that we actually
care about.
And so let's think
about the surface.
When x and y are 0, z is 0.
So we're going to
be sitting-- let
me do this in a-- let
me do this in green. z
is going to be right over there.
And now as y increases, or
if when x is equal to 0,
if we're just talking
about the zy plane,
z is going to be
equal to y squared.
So this might be
z is equal to 4.

English: 
This is z is equal to 2, 1, 3.
So z is going to do
something like this.
It's going to be a
parabola in the zy plane.
It's going to look
something like that.
Now, when y is equal to
0, z is just equal to x.
So as x goes to 1,
z will also go to 1.
So z will go like this.
The scales of the axes aren't--
they are not drawn to scale.
The z is a little
bit more compressed
than the x or y the
way I've drawn them.
And then from this
point right over here,
you add the y squared.
And so you get
something that looks--
so this is this point there.
And then this point, when y is
equal to 2 and x is equal to 1,
you have z is equal to 5.
It's going to look
something like this.
And then you're going to have
a straight line like that,
at this point, is
right over there.

Korean: 
여기에 z가 2,1,3인 점을 표시하겠습니다
그럼 z값은 이렇게 표시되겠죠
zy평면의 포물선이 될 겁니다
이런 식으로 그려지겠죠
y가 0이라면 z의 값은 x값과 같습니다
그래서 x가 1이면 z도 1이겠죠
z는 이렇게 그려질 겁니다
축들의 축척은 일정한 비례로 그려진 것이 아닙니다
z축은 x나 y축보다
더 압축되어 그려져있습니다
그리고 바로 이 점에서부터
y^이 더해져서
어떤 그림이 그려지는 지 봅시다
이 점에서 시작하는데, 이 점은
y가 2 x가 1이 되어서
z가 5가 되는 점이죠.
그래서 이런 그래프가 그려지게 됩니다
 
그리고 바로 이 점에서 시작해서 그려지는
직선을 그리면 되죠

English: 
And this surface is the surface
that we are going to take,
or the surface over which we're
going to evaluate the surface
integral of the function y.
And so one way you
could think about it,
y could be maybe the mass
density of this surface.
And so when you multiply
y times each dS,
you're essentially figuring out
the mass of that little chunk,
and then you're figuring out
the mass of this entire surface.
And so one way you could
imagine as we go more and more
in that direction
as y is increasing,
this thing is getting
more and more dense.
So this part of the
surface is more dense
than as y becomes
lower and lower.
And then that would
actually give us the mass.
With that out of the way,
let's actually evaluate it.
And so, as you
know, the first step
is to figure out
a parametrization.
And it should be
pretty straightforward,
because we can write z
explicitly in terms of x and y.
And so we can actually use x
and y as the actual parameters,
or if we want to just substitute
it with different parameters,
we could.

Korean: 
그리고 이 면이 우리가 집중할 면입니다
y적분을 통해서 면적분을 할 면이기도 하죠.
 
그리고 이 면에서 y는 주어진 면의 밀도라고도 할 수 있습니다.
 
그러므로 dS의 단위별로 y를 곱해나가면
작은 덩어리들의 질량을 구해나가는 것이 되는거죠
그렇다면 이 면 전체의 질량 역시 구할 수 있습니다
그리고 y가 주어진 면의 밀도라고 했으니
y가 증가하는 이 방향으로 갈수록
이 면은 더 더 밀도가 높아지겠죠
그러므로 면의 이 쪽이 제일 밀도가 높고
y가 낮아지면서 밀도도 낮아집니다
이런 식으로 하면 우리는 질량을 구할 수 있습니다
이 생각을 기반으로 질량을 한번 구해봅시다
첫번째로 할 일은, 여러분이 알고있는 것처럼,
매개변수를 알아내는 것입니다
z를 x와 y로 바로 표시할 수 있기에
이것은 매우 쉽습니다
그러므로 x와 y를 매개변수로 써도 좋고,
다른 매개변수를 사용하고싶다면
그래도 상관없습니다

Korean: 
그 방법대로 해보겠습니다
x=으로 시작되는 식을 적어보는데,
표현을 다르게하기 위해 s나 t가 아닌 u와 v를 쓰겠습니다
x=u, y=v로 놓고 풀겠습니다
그러면 z=u+v^입니다
 
그래서 위치벡터함수로 표현된
이 면은,
함수 u와 v로 이루어진 벡터 r로
쓸 수 있습니다
r=ui+vj+u+v^k 입니다
그리고 u의 범위는 0과 1 사이입니다
x와 u가 같기 때문이죠
그래서 u는 0과 1 사이에,

English: 
But let me-- so let's just
write-- let me do that.
So let me just write x is equal
to-- and in the spirit of using
different notation, instead
of using s and t, I'll use u
and v. X is equal to u,
let's say y is equal to v,
and then z is going to be
equal to u plus v squared.
And so our surface, written
as a vector position function
or position vector
function, our surface,
we can write it as
r, which is going
to be a function of
u and v. And it's
going to be equal to ui plus
vj plus u plus v squared k.
And then u is going
to be between 0 and 1,
because x is just equal
to u or u is equal to x.
So u is going to
be between 0 and 1.

Korean: 
v는 0과 2 사이에 위치합니다
오늘은 여기서 멈추겠습니다
다음 비디오에서는
우리가 매개변수화한 이 면을
면적분해보도록 하겠습니다

English: 
And then v is going
to be between 0 and 2.
I'm going to leave you there.
In the next video,
we'll actually
set up the surface
integral now that we
have the parametrization done.
