
Bulgarian: 
Днес ще те запозная
с друг критерий за сходимост,
критерий на Лайбниц за редове с алтернативно 
сменящи се знаци (алтернативни редове).
Ще обясня критерия на
Лайбниц
и ще го приложим за
действителен ред,
за да направим
критерия на Лайбниц за 
алтернативни редове
малко по-конкретен.
Да кажем че имам някакъв ред,
някакъв безкраен ред.
Да кажем, че имаме сума от a_n
за n от k до безкрайност.
Мога да го напиша като...
или мога да преработя a_n.
Нека a_n, мога да напиша...
a_n е равно на (–1)^n, 
по b_n.
a_n = (–1)^(n + 1) по b_n.
Тук b_n е по-голямо
или равно на нула
за всички n, които 
ни интересуват.

English: 
- [Narrator] Let's now expose ourselves
to another test of convergence,
and that's the Alternating Series Test.
I'll explain the Alternating Series Test
and I'll apply it to an
actual series while I do it
to make the...
Explanation of the Alternating Series Test
a little bit more concrete.
Let's say that I have some
series, some infinite series.
Let's say it goes from N equals
K to infinity of A sub N.
Let's say I can write it as
or I can rewrite A sub N.
So let's say A sub N, I can write.
So A sub N is equal to
negative one to the N,
times B sub N
or A sub N is equal to
negative one to the N plus one
times B sub N
where B sub N is greater
than or equal to zero
for all the Ns we care about.

Bulgarian: 
За всички n, които са цели 
числа, по-големи или равни на k.
Ако всички тези условия
са изпълнени,
и знаем още две неща,
знаем, че: първо,
границата на b_n е нула
за n, клонящо към безкрайност.
Второ, b_n е намаляващ ред.
Това ни позволява да знаем, че 
първоначалният безкраен ред
ще бъде сходящ.
Това може да изглежда малко 
абстрактно за момента.
Нека да приложим това
за един реален ред,
за да стане малко
по-конкретно.
Да кажем, че имам реда...

English: 
So for all of these integer
Ns greater than or equal to K.
If all of these things, if
all of these things are true
and we know two more things,
and we know number one, the
limit as N approaches infinity
of B sub N is equal to zero.
Number two, B sub N is
a decreasing sequence.
Decreasing...
Decreasing sequence.
Then that lets us know that
the original infinite series,
the original infinite series,
is going to converge.
So this might seem a little
bit abstract right now.
Let's actually show, let's
use this with an actual series
to make it a little bit more,
a little bit more concrete.
Let's say that I had the series,

Bulgarian: 
нека е редът ((–1)^n)/n
за n от 1 до безкрайност.
Можем да разпишем
членовете на този ред,
за да е по-конкретно.
Когато n е равно на 1,
това ще бъде –1 на първа степен.
Всъщност, ще го направя малко
по-интересно.
Нека да бъде (–1)^(n + 1).
Когато n е равно на 1,
това ще бъде –1 на квадрат
върху 1, което е 1.
Когато n е 2, това ще стане
–1 на 3 степен, което
ще стане равно на –1/2.
Това е – 1/2 + 1/3,
минус 1/4,
плюс, минус, продължават
да се редуват до безкрайност.
Можем да представим това
като a_n ето така.
(–1)^(n + 1) е очевидно.
Можем да го преработим
като a_n...

English: 
let's say I had the series
from N equals one to infinity
of negative one to the N over N.
We could write it out
just to make this series
a little bit more concrete.
When N is equal to one, this
is gonna be negative one
to the one power.
Actually, let's just
make this a little bit,
let's make this a little
bit more interesting.
Let's make this negative
one to the N plus one.
When N is equal to one,
this is gonna be negative
one squared over one
which is gonna be one.
Then when N is two, it's
gonna be negative one
to the third power
which is gonna be negative one half.
So it's minus one half
plus one third
minus one fourth
plus minus and it keeps going
on and on and on forever.
Now, can we rewrite
this A sub N like this.
Well sure.
The negative one to the N plus one is
actually explicitly called out.
We can rewrite our A sub N,
so let me do that.

Bulgarian: 
Значи a_n, което е равно на –1,
на степен (n + 1)/n.
Това е очевидно същото като
–1 на степен (n + 1) по 1/n,
за което можем да кажем,
че това нещо тук е
нашето b_n.
Това тук е b_n.
Можем да проверим, че
нашето b_n
е по-голямо или равно на нула
за всяко n, което ни интересува.
Значи нашето b_n е равно на 1/n.
Очевидно това ще бъде
по-голямо или равно на 0
за всяко положително n.
Каква е границата?
Когато b_n...
Каква е границата за b_n,
когато n клони към безкрайност?
Границата на 1/n,
...само да запиша,
когато n клони към безкрайност,
ще бъде равна на нула.
Значи първото условие
е изпълнено.
Това очевидно е 
намаляващ ред,

English: 
So negative, so A sub N which
is equal to negative one
to the N plus one over N.
This is clearly the same
thing as negative one
to the N plus one times one over N
which is, which we can then say
this thing right over
here could be our B sub N.
This right over here is our B sub N.
We can verify that our
B sub N is going to be
greater than or equal to zero
for all the Ns we care about.
So our B sub N is equal to one over N.
Clearly this is gonna be
greater than or equal to zero
for any, for any positive N.
Now what's the limit?
As B sub N,
What's the limit of B sub
N as N approaches infinity?
The limit of, let me
just write one over N,
one over N, as N approaches
infinity is going
to be equal to zero.
So we satisfied the first constraint.
Then this is clearly a decreasing sequence

Bulgarian: 
защото, когато n нараства,
знаменателят нараства.
Колкото по-голям е знаменателят,
толкова по-малка е стойността.
Можем да кажем също, че
1/n намалява,
това е намаляващ ред за
стойностите на n,
които ни интересуват.
Това условие също 
е изпълнено.
Въз основа на това,
това нещо тук винаги
ще е по-голямо или
равно на нула.
Границата на 1/n или на b_n,
за n, клонящо към безкрайност,
е нула.
Това е намаляващ ред.
Затова можем да кажем, че
първоначалният ред
реално е сходящ.
Значи ((–1)^n + 1)/n за
n от 1 до безкрайност.
Това е доста интересно.
Защото вече видяхме, че ако
всички тези са положителни,
това е просто един
хармоничен ред,
който не е сходящ.

English: 
as N increases the denominators
are going to increase.
With a larger denominator,
you're going to have a lower value.
We can also say one
over N is a decreasing,
decreasing sequence
for the Ns that we care about.
So this satifies, this
is satisfied as well.
Based on that, this thing is always,
this thing right over here is always
greater than or equal to zero.
The limit, as one over
N or as our B sub N,
as N approaches infinity,
is going to be zero.
It's a decreasing sequence.
Therefore we can say
that our originial series
actually converges.
So N equals 1 to infinity of negative one
to the N plus over N.
And that's kind of interesting.
Because we've already seen
that if all of these were positive,
if all of these terms were positive,
we just have the Harmonic Series,
and that one didn't converge.

English: 
But this one did, putting these
negatives here do the trick.
Actually we can prove this
one over here converges
using other techniques.
Maybe if we have time,
actually in particular
the limit comparison test.
I'll just throw that out
there in case you are curious.
So this is a pretty powerful tool.
It looks a little bit about
like that Divergence Test,
but remember the
Divergence Test is really,
is only useful if you want
to show something diverges.
If the limit of, if
the limit of your terms
do not approach zero,
then you say okay, that
thing is going to diverge.
This thing is useful
because you can actually
prove convergence.
Once again, if something does not pass
the alternating series test,
that does not necessarily
mean that it diverges.
It just means that you couldn't use
the Alternating Series Test
to prove that it converges.

Bulgarian: 
Но този е, когато включим тези 
отрицателни членове.
Всъщност можем да докажем, 
че този тук е сходящ,
като използваме друг начин.
Ако имаме време, можем
да използваме по-конкретно
граничната форма на 
критерия за сравнение.
Просто го споменавам,
ако ти е любопитно.
Това е много мощен
инструмент.
Малко напомня на необходимото
условие за сходимост,
но спомни си, че то
може да покаже само, че 
нещо е разходящо.
Ако границата на членовете
не клони към нула,
можеш да кажеш, че
това нещо е разходимо.
Това нещо е полезно, защото
можем реално да докажем сходимост.
Отново, ако нещо
не отговаря на
критерия на Лайбниц за
алтернативни редове,
това не означава задължително,
че е разходящо.
Означава просто, че 
с помощта на
критерия на Лайбниц не 
можем да докажем, че е сходящо.
