
Portuguese: 
Infelizmente, não se pode explicar o que é a Matrix. Você precisa ver por si mesmo. (Morpheu)
(Palavras surpreendentemente adequadas sobre a importância de se entender matrizes visualmente.)
Ei pessoal! Se eu tivesse que escolher apenas um tópico que faz todos os outros em álgebra fazerem sentido
e que muitas v ezes não é aprendido na primeira vez que um aluno estuda álgebra linear,
Seria esse:
a ideia de uma transformação linear e a sua relação com matrizes
Para esse vídeo, eu vou focar na aparência dessas transformações no caso de duas dimensões
e como elas se relacionam com a ideia de multiplicação de matrizes por vetores.
Em particular, quero mostrar a vocês um jeito de pensar na multiplicação de matrizes por vetores
que não depende de memorização.
Para começar, vamos analisar esse termo "transformação linear".
"Transformação" é essencialmente uma palavra sofisticada para "função".
É algo que recebe várias entradas e produz uma saída para cada uma.
Especificamente no contexto de álgebra linear,

Chinese: 
不幸，沒人可被告知，矩陣是什麽。你不得不自己來搞懂它。 
 
--Morpheus
(論視覺理解矩陣運算重要性適當到驚人的話)
嗨，大家好！
如果我不得不來只選一個題目它使
所有在綫性代數中其它的多開始觸類
旁通並在一個學生第一次上綫性代數常常沒有學會的話
這就是這個了：綫性變換的想法和
它同一些矩陣的關係。
在三個錄像中我將集中在這些變換在
2-維的情況下看上去是什麽樣的
以及它們怎樣同矩陣-矢量乘法的想法相關聯的。
特別是，我想要給你看一下有關矩陣--矢量乘法考慮的一種方法，
那也不需要硬記的。
一開始，讓我們來分析這個術語“綫性變換”
“變換”基本是就是函數的一個花漂的名字。
它就是拿進來一些輸入而對每個吐出一個輸出。
特別在綫性代數的内容裏，我想到一些

Polish: 
Niestety, nie da się wytłumaczyć, czym jest Matrix. Sam musisz się przekonać. - Morfeusz
Witajcie! Jeśli miałbym wybrać jeden temat dzięki któremu
wszystkie inne w algebrze liniowej zaczynają być spójne
a który zbyt często zostaje przeoczony przy pierwszym podejściu do algebry liniowej
byłby to ten: idea transformacji liniowej i jej związek z macierzami.
W tym filmie skupię się na tym jak wyglądają te transformacje
w przestrzeni 2 wymiarowej
i jak się mają one w stosunku do mnożenia wektorów przez macierz.
Właściwie, chciałbym Ci pokazać sposób myślenia o mnożeniu macierzy przez wektor
w którym nie chodzi o zakuwanie na pamięć.
Na początek, rozszyfrujmy nazwę:
"transformacja liniowa".
"Transformacja" to zasadniczo fantazyjna nazwa "Funkcji".
To coś co bierze wejścia i wyrzuca z siebie wyjścia dla każdego z nich.
Specyficznie w kontekście algebry liniowej, myślimy o transformacji które

Chinese: 
嘿 大家好！
如果要我选出一个主题，它不仅让线性代数的其他内容一目了然
又经常被初次学习线性代数的人忽视
我会选择这个——线性变换的概念以及它和矩阵的关系
在这期视频中，我只会集中讨论
这些变换在二维空间中长什么样
以及它们如何与矩阵向量乘法关联
尤其是展示一种不用死记硬背的考虑矩阵向量乘法的方法
首先，我们先来解析“线性变换”这个术语
“变换”本质上是“函数”的一种花哨的说法
它接收输入内容，并输出对应结果
特别地，在线性代数的情况下

Portuguese: 
Infelizmente, é impossível dizer o que é a Matriz. Você tem de ver por si mesmo. - Morpheus
Palavras surpreendente adeptas para como é importante entender operações de matrizes visualmente
Olá tudo mundo!
Se eu precisasse escolher só um assunto que fizesse
todos os outros assuntos na álgebra linear ficarem claros na minha mente
- Um que muitas vezes não é ensinado na primeira vez que um estudante estuda álgebra linear -
seria esse: A ideia de uma transformação linear e sua
relação com matrizes.
Pra esse video, eu só vou focar no que essas transformações se parecem em
duas dimensões
e no que essas transformações tem a ver com a ideia de multiplicar um vetor com uma matriz.
Em particular, eu quero te mostrar um jeito de pensar sobre multiplicação de matrizes com vetores que
não depende de memorização.
Para começar, vamos tentar entender esse termo "transformação linear"
"Transformação" é basicamente uma palavra chique pra função.
É uma coisa que pega umas entradas e devolve uma saída pra cada.
Sendo mais específico, quando estamos falando de álgebra linear, transfomações são umas coisas que

French: 
Malheureusement, on ne peut pas dire ce qu'est une matrice. Vous devez le voir par vous-même. ~Morpheus
Des mots étonnamment appropriés sur l'importance de comprendre les opérations matricielles visuellement.
Salut tout le monde! Si je devais choisir un seul sujet à partir duquel tous les autres sujets d'algèbre linéaire s'articulent
un sujet bien assez souvent évité la première fois qu'un étudiant prend de l'algèbre linéaire
ce serait celui là: l'idée des transformations linéaire et ses relations avec les matrices.
Dans cette vidéo, je me concentrerai sur ce à quoi ces transformations ressemblent, le cas en deux dimensions
et comment elles sont reliées à l'idée de multiplication matricielle-vectorielle.
En particulier, j'aimerais vous montrer une manière de penser à la multiplication matricielle/vectorielle qui ne se repose pas sur de la mémorisation.
Pour commencer, analysons le terme "transformation linéaire".
"Transformation" est est un mot luxueux pour dire "fonction"
C'est quelque chose qui prend des entrées et produit un résultat pour chacune.

Turkish: 
Maalesef! Kimse sana Matrix'in ne olduğunu söyleyemez. Onu kendin görmek zorundasın.
 
 
~ Morpheus (Matrix Film)
( Matris işlemlerini görsel olarak anlamanın önemi için şaşırtıcı derecede uygun sözcükler.)
Merhaba Millet!
Eğer doğrusal cebir konuları içerisinden,
diğer tüm konuları anlamaya yol açan
bir konu seçmem gerekse idi
ki sıkça ilk defa lineer cebir dersini alan  bir öğrenci tarafından öğrenilmeden geçilir,
bu şu olurdu: "Doğrusal dönüşüm mantığı ve bunun
matrisler ile ilişkisi."
Bu videoda, bu dönüşümlerin iki boyutta nasıl göründüklerine
ve
matris - vektör çarpımları mantığıyla nasıl ilişkilendiğine değineğim.
Özellikle, matris-vektör çarpımlarını;
ezbere dayalı olmayan bir düşünme yolu göstermek istiyorum.
Başlangıç olarak, hadi "doğrusal dönüşümler" kavramını anlamlandıralım.
"Dönüşüm" aslında "fonksiyon"
 için havalı bir isimden ibarettir.
Bu girdiler alan ver her biri için bir çıktı veren bir şeydir.
Özellikle doğrusal cebir bağlamında dönüşümleri,

Czech: 
Nikomu nelze popsat, co je to Matice (Matrix).
Musíte to uvidět sami.
- Morfeus
Překvapivě vhodná slova o důležitosti vizuálního chápání matic.
Ahoj, všichni!
Kdybych si musel vybrat jednu kapitolu,
která by měla spustit všechny ostatní,
a která studenty při prvním setkání s lineární algebrou často mine,
byla by to tahle: představa lineárních transformací a jejich
vztah k maticím.
V tomhle videu se budu soustředit na to, jak taková zobrazení vypadají
v dvou-rozměrné rovině
a jak souvisí s násobením matic a vektorů.
Především chci ukázat způsob, jak si představovat násobení matice a vektoru, který
nevyžaduje učení zpaměti.
Pro začátek rozeberme pojem "lineární transformace".
"Transformace" je v podstatě jen jiné slovo pro "funkci".
Je to něco, co sežere vstup a pro každý vstup vyplivne výstup.
V případě lineární algebry se budeme věnovat transformacím, které

English: 
Unfortunately, no one can be told, what the
Matrix is. You have to see it for yourself.
- Morpheus
Surprisingly apt words on the importance of
understanding matrix operations visually
Hey everyone!
If I had to choose just one topic that makes
all of the others in linear algebra start to click
and which too often goes unlearned the first
time a student takes linear algebra,
it would be this one:
the idea of a linear transformation and its
relation to matrices.
For this video, I'm just going to focus on
what these transformations look like in the
case of two dimensions
and how they relate to the idea of matrix-vector
multiplication.
In particular, I want to show you a way to
think about matrix-vector multiplication that
doesn't rely on memorization.
To start, let's just parse this term “linear
transformation”.
“Transformation” is essentially a fancy
word for “function”.
It's something that takes in inputs and spits
out an output for each one.
Specifically in the context of linear algebra,
we like to think about transformations that

Spanish: 
 
Desafortunadamente, nadie te puede decir qué es la Matrix. Tienes que verlo por ti mismo.
-Morfeo.
(Palabras sorprendentemente adecuadas sobre la importancia de entender las operaciones matriciales visualmente).
¡Hola a todos! 
Si tuviera que escoger un sólo tema que haga que todos los otros temas del álgebra lineal tengan sentido
y que frecuentemente es pasado por alto en los primeros cursos de álgebra lineal,
Sería éste: la idea de una transformación lineal y su relación con las matrices.
Para este video, sólo me concentraré en cómo se ven estas transformaciones en el caso de dos dimensiones
y cómo se vinculan con la idea del producto de una matriz por un vector.
En particular, quiero mostrarles una manera de pensar en la multiplicación matriz-vector que no se basa en la memorización.
Para empezar, analicemos este término: "transformación lineal".
"Transformación" es en esencia otra forma de decir "función".
Es algo que toma unos valores de entrada y arroja un valor de salida para cada valor de entrada.

Russian: 
"Увы, невозможно объяснить, что такое Матрица. Ты должен увидеть это сам." – Морфеус
(На удивление уместные слова о важности визуального понимания операций с матрицами)
Всем привет! Если бы мне нужно было выбрать лишь одну тему, благодаря которой все остальные
темы линейной алгебры начнут играть новыми красками, и которая слишком часто
проходит мимо студента во время первого курса линейной алгебры, это было бы вот что.
Понятие линейного преобразования и связь линейных преобразований с матрицами.
В этом видео я покажу то, как эти преобразования выглядят в двумерном пространстве,
и то, как они соотносятся с умножением матриц на векторы.
В частности, я хочу показать вам способ понять умножение матрицы на вектор без заучивания.
Для начала, давайте разберем этот термин – "линейное преобразование".
"Преобразование" – это, по сути, мудреный синоним слова "функция",
это нечто, что принимает входные значения и для каждого из них выдает выходное.

German: 
Dummerweise kann man niemandem erklären, was die Matrix ist. Du musst sie selbst erleben.
Morpheus
Erstaunlich zutreffende Worte über die Wichtigkeit des visuellen Verständnisses von Matrix–Operationen.
Hallo zusammen!
Wenn ich ein Thema auswählen müsste durch das
alle anderen Themen der linearen Algebra auf einmal logisch erscheinen
und das viel zu oft in den Einführungskursen nicht gelehrt wird
dann wäre es dieses: die Idee einer linearen Transformation und ihre
Verbindungen zu Matritzen.
In diesem Video beschränke ich mich auf das Aussehen dieser Transformationen
im zweidimensionalen Raum
und wie sie mit Matrix–Vektor–Multiplikation zusammenhängen.
Vor allem möchte ich euch eine Möglichkeit geben über Matrix–Vektor–Multiplikation zu denken
die nicht auf Auswendiglernen basiert.
Lasst uns zunächst erst einmal den Begriff "Lineare Transformation" genauer ansehen.
"Transformation" ist letztendlich nur ein hochgestochenes Wort für "Funktion".
Es ist etwas, dass eine Eingabe akzeptiert und eine Ausgabe zurückgibt.
Im Kontext der linearen Algebra akzeptieren Transformationen in der Regel einen bestimmen Vektor als Eingabe

Modern Greek (1453-): 
"Δυστυχώς, κανείς δεν μπορεί να σου εξηγήσει τι είναι
το Matrix. Θα πρέπει να το δεις μόνος σου."
(matrix = πίνακας, μήτρα)
- Μορφέας
Αυτά τα λόγια περιγράφουν τέλεια το πόσο σημαντικό είναι να καταλάβεις οπτικά τις πράξεις πινάκων.
Γεια σε όλους! Αν έπρεπε να διαλέξω ένα και μόνο θέμα το
οποίο να δένει μαζί όλα τα υπόλοιπα στη γραμμική άλγεβρα
και το οποίο πολύ συχνά ο μαθητής που κάνει
γραμμική άλγεβρα δεν καταφέρνει να μάθει,
θα ήταν το εξής: η ιδέα του γραμμικού μετασχηματισμού
και η σχέση του με τους πίνακες.
Σε αυτό το βίντεο, απλά θα εστιάσω στο πώς μοιάζουν αυτοί οι μετασχηματισμοί στις δύο διαστάσεις
και στο πώς συνδέονται με την έννοια του πολλαπλασιασμού πινάκων-διανυσμάτων.
Πιο συγκεκριμένα, θέλω να σας κάνω να δείτε με άλλο μάτι τον πολλαπλασιασμό πινάκων, για να μην τον σκέφτεστε μόνο σαν μια διαδικασία που μαθαίνετε απ' έξω.
Για να ξεκινήσουμε, ας αναλύσουμε τον όρο "γραμμικός μετασχηματισμός".
Ουσιαστικά, "μετασχηματισμός" είναι απλά ένα φανταχτερό όνομα για τη λέξη "συνάρτηση".
Είναι κάτι που δέχεται εισόδους και πετάει την αντίστοιχη έξοδο για την καθεμία.

Japanese: 
残念ながら、行列は教えられて分かるものではない。
自分の目で見るしかない。
- モーフィアス
視覚的に行列演算を理解することの重要性を示す、
驚くほどに適切な言葉
こんにちは！
線形代数で他の全てのトピックを学ぶ
起点になるようなトピックを選ぶなら、
初めて線形代数を学ぶ学生がしばしば理解できていないもの、
それは、線形変換と行列との関係の考え方です。
この動画では、
2次元の場合に線形変換はどのようにに見えるか
そしてそれらは行列 と ベクトルの積の考え方とどのように関係するか、について考えていきます。
特に、暗記に頼らない
行列とベクトルの積の考え方を示したいと思います。
まずは、この用語 「線形変換」を解析してみましょう。
「変換」は、本質的には「関数」を気取って言っただけの言葉です。
それは入力を得て、それぞれに対して
出力を吐き出すものです。

Korean: 
불행하게도, 누구도 매트릭스가 무엇인지 말할 수 없습니다. 당신 스스로 찾아야만 합니다.
- 모피어스 (영화 매트릭스 중에서)
(행렬 연산을 시각적으로 이해시키는 놀라울정도로 적절한 문장)
안녕 모두들!
제가 선형대수에서 단지 하나의 주제를 선택해야 한다면,
특히 선형대수에 대해 하나도 모르는 학생을 위해서 하나 선택해야 한다면,
그것은 선형변환(linear transformation) 과 행렬과의 관계입니다.
이 동영상에서는 2차원 예제를 통해 선형변환이 무엇인지에 관해 집중해보겠습니다.
그리고 행렬-벡터 곱셈과 어떤 관련이 있는지도 알아보겠습니다.
특히,  행렬-벡터 곱셈을 단순암기말고 가능한 다른 방법도 있다는 것을 보여드리겠습니다.
시작하기 앞서,  "선형 변환" 이라는 용어를 알아봅시다.
"변환" 은 근본적으로 "함수"의 다른말일 뿐입니다.
입력을 받고 결과물을 반환하는 그 무엇입니다.

iw: 
למרצה הצער, אי אפשר להגיד לאף אחד מהו ה"מטריקס". אתה חייב לראות זאת בעצמך.
-מורפיאוס(מהסרט "מטריקס")
(למרבה הפלא, אלה הלן מילים מתאימות לתיאור חשיבות ההבנה הויזואלית של פעולות על המטריצה(שבאנגלית זה "מטריקס")).
שלום לכולם! אם הייתי צריך לבחור רק נושא אחד שיגרום לכל שאר הנושאים באלגברה הלינארית להתחבר.
שלעיתים קרובות מדיי לא מלמדים סטודנט בפעם הראשונה שהוא בוחר לעשות אלגברה לינארית.
זה היה הנושא הזה: הרעיון של טרנספורמציה לינארית(ט"ל) והקשר של זה למטריצות.
בסירטון זה, אני רק הולך לדבר על איך הטרנספורמציות הללו נראות במרחב הדו-מימדי.
ואיך הן מתקשרות לרעיון של כפל מטריצות.
במיוחד, אני רוצה להראות לך דרך לחשוב על כפל מטריצה בוקטור שלא מסתמך על זיכרון.
בתור התחלה, בוא פשוט ננסח את המושג "טרנספורמציה לינארית".
"טרנספורמציה" היא פשוט שם מפוצץ עבור המילה "פונקציה".
זה משהו שמקבל(קלט) נתונים שונים ומוציא(פלט) תוצאה עבור כל אחד מאותם נתונים.

iw: 
באופן מפורש בהקשר של אלגברה לינארית, אנחנו אוהבים לחשוב על טרנספורמציה שקולטת וקטור מסוים ופולטת וקטור אחר.
אז למה אנחנו משתמשים במילה "טרנספורמציה" במקום "פונקציה" אם הם בעצם אותו דבר?
ובכן..
בדרך מסויימת זה יהיה מפתה לדמיין את היחס בין הקלט והפלט.
אתה מבין, דרך טובה להבין פונקציות של וקטורים היא להשתמש בתנועה.
אם טרנספורמציה לוקחת קלט של וקטור בשביל פלט של וקטור אחר,
אנחנו מדמיינים קלט של וקטור שנע לעבר הוקטור בפלט.
אז כדי להבין את הטרנספורמציה באופן מלא,
אנחנו אולי נצטרך לדמיין כל אפשרות בה קלט של וקטור נע לכיוון הוקטור המתאים לו בפלט.
זה נהיה ממש צפוף לחשוב על כל הוקטורים הללו בבת אחת, לכל אחד מהם יש חץ,
אז, כמו שהזכרתי בסירטון הקודם, טריק נחמד כדי לפשט את הרעיון. זה לא לחשוב על וקטור כחץ,
אלא כנקודה בודדת. נקודה בה הקצה שלה יושב.
הדרך הזו לחשוב על טרנספורמציה שבה נכניס(קלט) כל וקטור אפשרי ונקבל וקטור כלשהו(פלט),
ע"י כך אנחנו מסתכלים על כל נקודה שנעה במרחב לנקודה מסויימת אחרת.
במקרה הזה, הטרנספורמציה היא בשני-מימדים.

Portuguese: 
pegam um vetor e devolvem outro vetor.
Então por que usar a palavra "Transformação" no lugar de função se é tudo a mesma coisa?
Bem,
é mais para sugerir uma maneira de visualizar essa relação entre entrada e saída.
Olha só, uma boa maneira de entender funções de vetores é usar movimento.
Se uma transformação põe tal vetor de entrada em tal vetor de saída,
a gente pode imaginar esse vetor de entrada indo até o vetor de saída.
Daí para entender a transformação inteira
a gente pode imaginar cada um dos vetores de entrada indo pro seu devido vetor de saída.
Fica muito difícil imaginar todos os vetores de uma vez quando cada um é uma seta.
então como eu disse no último video, um truque legal é não ver os vetores como setas,
mas como pontos: O ponto onde fica a ponta da seta.
Desse jeito pra imaginar uma transformação que leva cada vetor da entrada pra um vetor da saída,
a gente vê cada ponto no espaço ir pra algum outro ponto no espaço.
Quando temos transformações em duas dimensões,

Turkish: 
"bir vektör al ve başka bir vektör çıkar"
şeklinde düşünmeyi severiz.
Madem aynı anlama geliyor, öyleyse neden "fonksiyon" kelimesi yerine "dönüşüm"  kelimesini kullanıyoruz?
Çünkü
Bu girdi-çıktı ilişkisini, doğru bir şekilde görselleştirmek için anlamlı olacaktır.
Gördüğünüz üzere, vektör fonksiyonlarını anlamanın mükemmel bir yolu hareketi kullanmaktır.
Eğer bir dönüşüm bir girdi vektörünü bir çıktı vektörüne dönüştürüyorsa
bu girdi vektörünün çıktı vektörüne taşındığını hayal ederiz.
Sonra, dönüşümü bütünüyle anlamak için,
tüm olası vektör girdisinin, kendi çıktı vektörüne hareketini izlediğimizi hayal edebiliriz.
tüm vektörleri ok olarak düşünüp, hepsine birden bakmak dikkat dağıtıyor,
Haliyle, son videoda dediğim gibi,
 her vektörü ok olarak değil de
okun ucundaki bir nokta gibi düşünmek şeklinde
güzel bir numara yapabiliriz.
Her olası girdi vektörünü alıp bir çıktı vektörü
üreten dönüşümü bu şekilde düşünerek,
boşluktaki her noktanın çıktı noktasına harekeini izleyebiliriz.
iki boyuttaki dönüşümlerde,

Korean: 
선형대수 맥락으로 보자면, 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 변환같은 것입니다.
그런데 같은 의미라면, 왜 굳이 "함수(funcction)" 라는 말대신 "변환(transformation)" 이라는 말을 사용하는 것일까요?
글쎄요,
입력 - 출력 관계를 시각화하는 특정 방법을 암시해줍니다.
알다시피, 벡터 함수를 이해하는 가장 좋은 방법은 움직임으로 이해하는 것입니다.
어떤 변환이 입력벡터를 출력벡터로 바꾼다면,
우리는 이것을 입력벡터를 이동시켜서 출력벡터로 만드는 것으로 생각해볼 수 있습니다.
이 변환을 벡터들 모두에 적용한다고 생각해보면,
모든 가능한 입력벡터들을 가져다 움직여 그에 상응하는 결과벡터를 만들어내는 것을 상상해볼 수 있습니다.
화살표로 그려진 모든 벡터들의 움직임을 한번에 생각하는 것은 혼란스럽습니다.
제가 지난번 동영상에서 언급했다시피, 각 벡터를 개념화하는 방법은 화살표가 아니라,
하나의 점으로 생각하는 것입니다. 
점 하나가 벡터 하나의 끝을 가리킵니다.
이 방법은 어떤 변환이 입력벡터들을 출력벡터로 바꾸는 것을 쉽게 생각하게 해줍니다.
마치 공간상의 모든 점들이 다른 점으로 이동하는 것처럼 생각하면 됩니다.
2차원에서 변환을 예로 살펴보면,

Portuguese: 
gostamos de pensar em transformações que recebem algum vetor e produzem um outro vetor.
Bom,
Então por que usar a palavra "transformação" ao invés de "função" se elas querem dizer a mesma coisa?
Bem, é para ser sugestivo de uma certa maneira a visualizarmos a relação da entrada com a saída.
Sabe, um ótimo jeito de entender funções de vetores é utilizando movimento.
Se uma transformação leva algum vetor de entrada a algum vetor de saída,
nós imaginamos esse vetor de entrada se movendo até o vetor de saída.
Então, para entender a transformação como um todo,
nós podemos nos imaginar assistindo cada possível vetor de entrada se mover para o seu vetor de saída correspondente.
Começa a ficar muito complicado pensar em todos os vetores de uma vez só, cada um como uma flecha,
então, como eu mencionei no último vídeo, um belo truque é conceituar cada vetor, não como uma flecha,
mas como um único ponto: o ponto onde a ponta do vetor é definida.
Dessa forma pensando em uma transformação levando cada possível vetor a algum vetor de saída,
assistimos cada ponto no espaço se movendo para algum outro ponto.
No caso de transformações em duas dimensões,

Russian: 
В контексте линейной алгебры это преобразования, которые принимают один вектор и выдают другой.
Зачем же использовать слово "преобразование" вместо слова "функция", если это одно и то же?
Ну, это подразумевает определенный способ визуализации связи между "входом" и "выходом".
Видите ли, отличный способ понять функции над векторами – это использовать движение
Если преобразование делает из какого-то входного вектора выходной вектор,
мы представляем, что входной вектор перемещается на место выходного.
Тогда, чтобы понять суть преобразования в целом, мы могли бы представить,
как все входные векторы перемещаются к своим соответствующим выходным векторам.
Рисунок захламляется, если пытаться представить все векторы в виде стрелок одновременно,
поэтому, как я и говорил, неплохой трюк – это представить вектор не стрелкой, а точкой,
точкой, в которой расположен конец вектора.
Таким образом, думая о преобразовании, которое перемещает все возможные входные векторы,
мы наблюдаем, как каждая точка в пространстве перемещается в другую точку.

Czech: 
dostanou vektor a vyplivnou jiný vektor.
Tak proč používat slovo "transformace" místo "funkce", když to znamená to samé?
Inu,
naznačujeme tím, jak si představujeme vztah mezi vstupem a výstupem
Šikovný způsob, jak zobrazit funkci mezi vektory, je pomocí pohybu.
Když transformace přemění nějaký vstupní vektor na nějaký výstupní vektor,
představíme si, jak se vstupní vektor přesouvá na ten výstupní.
Abychom si pak představili transformaci jako celek,
můžeme si představit všechny možné vstupní vektory, jak se přesouvají na výstupní.
Když si je představujeme jako šipky, tak se v tom těžko vyzná,
takže jak jsem zmínil v minulém videu, je praktické si každý vektor představovat ne jako šipku,
ale jako jeden bod: ten, kde leží jeho špička.
Při takovém pohledu vidíme naší transformaci, která mění vstupní vektory na výstupní,
jak přesune každý bod v rovině na nějaký jiný bod.
V případě transformací ve dvou rozměrech

English: 
take in some vector and spit out another vector.
So why use the word “transformation” instead
of “function” if they mean the same thing?
Well,
it's to be suggestive of a certain way to
visualize this input-output relation.
You see, a great way to understand functions
of vectors is to use movement.
If a transformation takes some input vector
to some output vector,
we imagine that input vector moving over to
the output vector.
Then to understand the transformation as a
whole,
we might imagine watching every possible input
vector move over to its corresponding output vector.
It gets really crowded to think about all
of the vectors all at once, each one is an arrow,
So, as I mentioned last video, a nice trick
is to conceptualize each vector, not as an arrow,
but as a single point: the point where its
tip sits.
That way to think about a transformation taking
every possible input vector to some output vector,
we watch every point in space moving to some
other point.
In the case of transformations in two dimensions,

German: 
und geben einen anderen Vektor als Ausgabe zurück-
Warum sagen wir dann überhaupt "Transformation" anstelle von "Funktion" – wenn doch beide dasselbe sind?
Nun ja,
weil wir damit eine bestimmte Visualisierung dieses Eingabe–Ausgabe–Verhältnisses andeuten.
Weißt du, eine schöne Art und Weise Vektor–Funktionen zu verstehen ist Bewegung.
Wenn eine Transformation einen bestimmten Eingabe–Vektor auf einen bestimmten Ausgabe–Vektor abbildet,
dann stellen wir uns vor, dass der Eingabe–Vektor sich zum Ausgabe–Vektor bewegt.
Um dann die Transformation als Ganzes zu verstehen,
könnten wir uns jeden möglichen Eingabe–Vektor vorstellen, wie er sich zum entsprechenden Ausgabe–Vektor bewegt.
Es wird ganz schön voll hier wenn wir uns alle Vektoren gleichzeitig als Pfeile vorstellen.
Wie bereits im letzten Video erwähnt: Ein praktischer Trick um alle Vektoren zu visualisieren
ist sie uns als Punkte vorzustellen, die an der Spitze dieser Pfeile liegen.
Wenn wir und so vorstellen wie eine Transformation alle Eingabe–Vektoren zu ihren Ausgabe–Vektoren bewegt
dann sehen wir jeden Punkt im Raum wie er sich zu einem anderen Punkt bewegt.
Um bei zweidimensionalen Transformationen

Chinese: 
變換它們拿進某個矢量而吐出另一個矢量。
如果它們的意思是指同樣的東西，那麽
為什麽使用“變換”這個字而不用“函數”？嗯，
這個提示一定的方法來看到輸入-輸出的關係。
你知道，來懂得矢量的函數的一個很好的方法是利用移動。
如果一個變換拿一些輸入矢量變成一些輸出矢量， 我們想象
輸入矢量移動到輸出矢量。
然後作爲一個整體來理解變換，我們
可能想象看著每一個可能的輸入矢量移動到它相應的輸出矢量。
同時來考慮所有的矢量這真的會很擠，每個都是一支箭。
因此，就像我在上一個錄像中所提到過的，一個好的竅門就是把每個矢量
概念化不是一支箭而是單獨一個點：箭頭所在的那個點。
這樣方法來考慮一個變換拿每一個可能的輸入矢量變成某種輸出矢量。
我們看著在空間的每一個點移動到某些其他的點。
在2-維變換的情況下，

Spanish: 
Específicamente en el contexto del álgebra lineal, hablamos de transformaciones que toman algún vector y arrojan otro vector.
Pero entonces ¿Por qué usar la palabra "transformación" en vez de "función" si quieren decir lo mismo?
Bueno,
es para sugerir una forma particular para visualizar la relación etre entrada y salida.
Verán, una gran manera de entender funciones de vectores, es usando movimiento
Si una transformación toma un vector entrada y lo lleva a un vector de salida,
imaginamos a ese vector de entrada moverse hacia el vector de salida.
Luego para entender la transformación como un todo,
podríamos imaginar todos los posibles vectores de entrada moverse hacia su vector  de salida correspondiente.
Se vuelve muy sobracargado pensar en todos los vectores al mismo tiempo, cada uno como una flecha,
entonces, como mencioné en el último video, un buen truco, es pensar en cada vector, no como una flecha
sino como un punto; el punto donde está la punta del vector.
De esa manera al pensar cómo la transformación lleva un vector de entrada a un vector de salida,
pensamos en cada punto del espacio moviéndose a otro punto.
En el caso de transformacionesen en dos dimensiones,

Chinese: 
我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换
既然“变换”和“函数”意义相同，为什么还要使用前者而不是后者？
因为使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系
一种理解“向量的函数”的方法是使用运动
如果一个变换接收一个向量并输出一个向量
我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置
接下来，要理解整个变换
我们可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置
因为将向量看作箭头时，同时考虑所有二维向量会变得非常拥挤
所以按照我上期视频所说的，一个好技巧是
将每一个向量看作它的终点，而不是一个箭头
用这种方法考虑所有输入向量都移动到对应输出向量的位置时
我们只用看空间中的所有点移动到其他点的位置
二维空间变换这种情况下

French: 
En particulier dans le contexte d'algèbre linéaire, nous aimons les transformations qui prennent un vecteur en entrée et produisent un autre vecteur.
Donc pourquoi utiliser le mot "transformation" au lieu de "fonction" s'ils veulent dire la même chose?
Et bien, il est suggestive de visualiser cette relation d'entrée-sortie d'une certaine manière.
Vous voyez, une bonne manière de comprendre les fonctions de vecteurs est d'utiliser le mouvement.
Si une transformation prend en entrée un vecteur et en produit un autre,
nous imaginons que ce vecteur d'entrée se déplace jusqu'à devenir le vecteur produit (de sortie)
Donc pour comprendre cette transformation comme un tout,
nous pouvons imaginer que tous les vecteur possible en entrée se déplacent vers leur vecteur produit correspondant.
Ça devient encombrant de penser à tous les vecteurs en une fois, chacun est une flèche,
Donc, comme je l'ai mentionné dans ma dernière vidéo, une bonne astuce est de conceptualiser chaque vecteur, pas comme une flèche,
mais comme un seul point: l'extrémité de la flèche.
Cette manière de penser aux transformation, prenant chaque vecteur d'entrée sur un vecteur de sortie,
nous regardons tous les point se déplaçant vers d'autres points.
Dans le cas des transformations en deux dimensions,

Polish: 
biorą jakiś wektor i wyrzucają inny wektor.
Dlaczego więc używać słowa "transformacja" zamiast "funkcja" jeśli oznaczają to samo?
Cóż,
to dlatego by zasugerować konkretny sposób wyobrażania sobie tej relacji wejścia-wyjścia.
Widzisz, wspaniały sposobem rozumienia funkcji wektorowych jest użycie przemieszczenia.
Jeśli transformacja przekłada pewien wektor wejściowy w pewien wektor wyjściowy,
wyobrażamy sobie wektor wejściowy przechodzący w wektor wyjściowy.
Następnie, żeby zrozumieć transformację całościowo,
możemy sobie wyobrazić obserwowanie jak każdy możliwy wektor wejściowy przechodzi w jego wektor wyjściowy.
Robi się tu pewien "tłok" , przy myśleniu o wszystkich tych wektorach na raz, każdym jako strzałka
Więc, tak jak wspominałem w poprzednim filmie, niezłą sztuczką jest wyobrażenie sobie każdego wektora nie jako strzałkę,
lecz jako pojedynczy punkt: punkt na który wskazuje koniec strzałki.
Myśląc w ten sposób o transformacji każdego możliwego wektora wejściowego w wektor wyjściowy,
patrzymy jak każdy punkt w przestrzeni przemieszcza się w inne miejsce.
W przypadku transformacji w dwu wymiarach,

Modern Greek (1453-): 
Ειδικότερα στη γραμμική άλγεβρα, μας αρέσουν οι μετασχηματισμοί που δέχονται ως είσοδο ένα διάνυσμα και πετάνε ως έξοδο ένα άλλο.
Γιατί λοιπόν να χρησιμοποιούμε τη λέξη "μετασχηματισμός" αντί για τη "συνάρτηση", μιας και σημαίνουν το ίδιο πράγμα;
Λοιπόν,
αυτό γίνεται για να μας ενθαρρύνει να οπτικοποιούμε αυτήν τη σχέση εισόδου-εξόδου με έναν συγκεκριμένο τρόπο.
Βλέπετε, ένας φοβερός τρόπος να καταλάβεις τις διανυσματικές συναρτήσεις είναι η κίνηση.
Αν ένας μετασχηματισμός αντιστοιχίζει κάποιο διάνυσμα εισόδου σε κάποιο διάνυσμα εξόδου,
φανταζόμαστε αυτό το διάνυσμα εισόδου να μετακινείται προς το διάνυσμα εξόδου.
Τότε για να κατανοήσουμε τον μετασχηματισμό συνολικά,
ίσως φανταστούμε ότι βλέπουμε κάθε πιθανό διάνυσμα εισόδου να μετακινείται προς το αντίστοιχο διάνυσμα εξόδου.
Το να φανταστείς όλα τα διανύσματα μαζί, όλα ταυτόχρονα να το κάνουν αυτό, το καθένα σαν ένα βέλος, είναι πραγματικά μπλέξιμο,
οπότε, όπως ανέφερα στο προηγούμενο βίντεο, ένα ωραίο τρικ είναι να φανταστούμε κάθε διάνυσμα, όχι σαν βέλος,
αλλά σαν ένα μοναδικό σημείο: το σημείο όπου "κάθεται" το άκρο του.
Με αυτόν τον τρόπο, για να φανταστούμε έναν μετασχηματισμό που παίρνει κάθε πιθανό διάνυσμα εισόδου και το πηγαίνει σε κάποιο διάνυσμα εξόδου,
παρατηρούμε κάθε σημείο στο χώρο να μετακινείται προς κάποιο άλλο σημείο.
Στην περίπτωση των δισδιάστατων μετασχηματισμών,

Japanese: 
特に線形代数においては、ベクトルを受け取って
別のベクトルを返す変換を考えます。
では、同じ意味なのにどうして「関数」の代わりに
「変換」の単語を用いるのでしょうか？
まあ、
それは、この入出力の関係を視覚化する
方法があることを示唆するためです。
ご存知のように、
ベクトルの関数を理解するのに最適な方法は、
運動を考えることです。
変換が入力ベクトルから
出力ベクトルを得たとき、
私たちは入力ベクトルが
出力ベクトルまで動く様子を想像します。
そこで、変換全体を理解するために、
入力ベクトルになり得るもの全てが
それに対応する出力ベクトルへと移動する様子を
想像します。
全てのベクトルを、それぞれが矢印のまま
一度に考えるのは本当に混乱します。
なので、前回の動画で述べた通り、良い考え方は
ベクトルを矢印ではなくその終点が指す点として
概念化することです。
この方法で全ての入力ベクトルを
出力ベクトルに変換することを考えると、
空間の全ての点が別の点に移動する様子が見えます。
二次元の変換の場合には、

English: 
to get a better feel for the whole “shape”
of the transformation,
I like to do this with all of the points on
an infinite grid.
I also sometimes like to keep a copy of the
grid in the background,
just to help keep track of where everything
ends up relative to where it starts.
The effect for various transformations, moving
around all of the points in space, is,
you've got to admit,
beautiful.
It gives the feeling of squishing and morphing
space itself.
As you can imagine, though arbitrary transformations
can look pretty complicated,
but luckily linear algebra limits itself to
a special type of transformation,
ones that are easier to understand, called
“linear” transformations.
Visually speaking, a transformation is linear
if it has two properties:
all lines must remain lines, without getting
curved,
and the origin must remain fixed in place.
For example, this right here would not be
a linear transformation since the lines get all curvy
and this one right here, although it keeps
the line straight,

German: 
ein besseres Gefühl für die "Form" der Transformation zu bekommen
tue ich genau das mit allen Punkten eines unendlichen Rasters.
Manchmal behalte ich eine Kopie des Rasters im Hintergrund
um im Kopf zu behalten wo alles landet, relativ zum Anfangspunkt.
Der Effekt einiger Transformationen die alle Punkte im Raum bewegen ist,
das musst du zugeben,
schön.
Es erweckt den Eindruck, den Raum selbst zu dehnen und zu verbiegen.
Wie du dir sicher vorstellen kannst, können arbiträre Transformationen ziemlich kompliziert aussehen.
Aber glücklicherweise beschränkt sich die lineare Algebra auf eine bestimmte Art Transformationen.
Transformationen, die einfacher zu verstehen sind. Gennant "lineare" Transformationen.
Aus visueller Perspektive ist eine Transformation linear wenn sie folgende zwei Eigenschaften hat:
Alle Linien müssen Linien bleiben ohne sich zu krümmen
und der Ursprungspunkt muss fixiert bleiben.
Das hier zum Beispiel ist keine lineare Transformation, weil alle Linien gekrümmt werden.
Und diese hier, obwohl die Linien gerade bleiben,

Korean: 
변환에 대한 전체 "형태"이 어떤가를 좀 더 쉽게 와닿을 겁니다.
저는 무한한 크기의 격자선을 만들고, 
그 위의 점을 가지고 살펴보는 것을 좋아합니다.
또 때로는 변경전 격자선을 뒷배경에 남겨두는 방법도 좋아하는데,
이렇게 하면 움직임 전 후를 추적해 보는데 도움이 됩니다.
다양한 변환들의 효과로 인한
공간상에서 움직이는 점들을 보고 있노라면,
당신도 느끼겠지만,
아름답습니다.
공간 그 자체가 특수효과처럼 비틀리고 수축하는 느낌을 줍니다.
당신도 생각하다시피, 
임의 변환의 결과가 상당히 복잡해 보이지만,
다행히도, 선형대수에서는 특수한 형태의 변환으로만 제한됩니다.
이름도 기억하기 쉬운 "선형" 변환입니다.
시작적으로 볼 때, 변환이 선형적(linear) 하다는 것은 두 가지 속성을 의미합니다.
모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이어야 하며,
원점은 변환 이후에도 여전히 원점이여야 합니다.
예를들어, 보이는 것같이 선이 휘어지게 만들어 지는 변환은 선형변환이 아닙니다.
그리고 이 변환은 비록 직선은 유지하지만,

Turkish: 
dönüşüm "şekli" hakkında daha yerinde bir düşünüş geliştirmek için,
bunu sınırsız bir ızgara ile yapmayı daha çok seviyorum.
Bazen de u ızgaranın bir kopyasını da arka planda tutmayı yeğliyorum ki
her şeyin sonlandığı noktanın başladığı noktaya göre nerede olduğunu takip edebileyim.
Boşluktaki tüm noktaların çeşitli dönüşümlerinden doğan görsel etki,
kabul etmelisiniz ki,
güzelll!
uzayı büküyor, büzüyor ya da yapısal olarak dönüştürüyor gibi hissettiriyor.
Tahmin edebileceğiniz gibi, kimi dönüşümler oldukça karmaşık görünebilir,
fakat şansımıza, doğrusal cebir, kendisini özel bir takım dönüşümlere kısıtlar ki
bunlar anlaması oldukça kolay, "doğrusal" olarak adlandırılan dönüşümlerdir.
Görsel olarak anlatmak gerekirse, bir dönüşüm eğer iki özelliği haiz ise doğrusaldır:
1. tüm doğrular, bükülmeden doğru olarak kalıp,
merkezi olduğu yerden kaymamalıdır.
Örneğin, bu izlediğiniz doğrusal bir dönüşüm olamaz, çünkü tüm doğrular bükülüyor.
bu ise, doğruları bükmese de

Modern Greek (1453-): 
για να έχω μια καλύτερη αίσθηση του συνολικού "σχήματος" ενός μετασχηματισμού,
μου αρέσει να το κάνω αυτό με όλα τα σημεία πάνω σε ένα άπειρο πλέγμα.
Μερικές φορές επίσης, μου αρέσει να κρατάω ένα αντίγραφο του πλέγματος στο φόντο,
απλά για να με βοηθήσει να ανιχνεύω το πού καταλήγει καθετί σε σχέση με το από πού ξεκινάει.
Το αποτέλεσμα πολλών μετασχηματισμών, που μετακινούν γύρω κάθε σημείο του χώρου, είναι,
πρέπει να το παραδεχτείτε,
όμορφο.
Σου δίνει την αίσθηση ότι συνθλίβεις και μεταμορφώνεις τον χώρο τον ίδιο.
Ωστόσο, όπως μπορείτε να φανταστείτε, κάποιοι μετασχηματισμοί μπορεί και να φανούν πολύ περίπλοκοι,
ευτυχώς όμως η γραμμική άλγεβρα περιορίζεται σε έναν ειδικό τύπο μετασχηματισμών,
αυτούς που είναι ευκολότεροι να τους κατανοήσεις, τους λεγόμενους "γραμμικούς" μετασχηματισμούς.
Οπτικά μιλώντας, ένας μετασχηματισμός είναι γραμμικός αν έχει αυτές τις δύο ιδιότητες:
όλες οι ευθείες παραμένουν ευθείες, χωρίς να καμπυλωθούν,
και η αρχή των αξόνων παραμένει στη θέση της.
Για παράδειγμα, αυτός εδώ δεν είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός καθώς όλες οι ευθείες καμπυλώνονται,
και αυτός εδώ, παρόλο που κρατάει τις ευθείες "ευθείες",

Spanish: 
para tener una mejor idea de toda la... 
"forma" de la transformación,
me gusta hacer esto con todos los puntos en una cuadrícula infinita.
A veces también me gusta dejar una copia de la cuadrícula en el fondo,
sólo para saber dónde llegan los puntos respecto a donde empezaron.
El efecto de varias transformaciones, moviendo todos los puntos del espacio es,
tienen que admitirlo,
hermoso.
Da la sensación de comprimir y deformar al espacio mismo.
Como pueden imaginarse, transformaciones arbitrarias se pueden ver muy complicadas
Afortunadamente, el álgebra lineal se limita a un tipo especial de transformaciones,
Unas que son más fáciles de entender, llamadas transformaciones "lineales".
Visualmente hablando, una transformación es lineal si posee dos propiedades:
todas las líneas deben seguir siendo líneas, sin curvearse,
y el origen debe mantenerse fijo en su sitio.
Por ejemplo, ésta no sería una transformación lineal dado que las líneas se curvan
y esta de aquí, aunque mantenga a las líneas rectas,

Portuguese: 
para termos uma sensação melhor do "formato" geral da transformação,
eu gosto de fazer isso com todos os pontos em uma grade infinita.
Eu às vezes gosto de manter uma cópia da grade no fundo,
apenas para ajudar a rastrear onde tudo termina em relação a onde começa.
O efeito de várias transformações, se movendo ao redor de todos os pontos no espaço é,
você tem que admitir,
bonito.
Dá a sensação de comprimir e transformar o próprio espaço.
Porém como você pode imaginar, transformações arbitrárias podem parecer bem complicadas,
mas com sorte a álgebra linear se limita a um tipo especial de transformação,
aquelas que são mais fáceis de entender, chamadas de transformações "lineares".
Visualmente falando, uma transformação é linear se tem duas propriedades:
todas as linhas devem permanecer linhas, sem se curvar,
e a origem precisa permanecer fixa no lugar.
Por exemplo, essa aqui não seria uma transformação linear, já que faz as linhas ficarem todas curvadas
e essa aqui, apesar de manter as linhas retas,

Chinese: 
为了更好地体会整个空间形状上的改变
我喜欢对无限网格上的所有点同时做变换
我有时也喜欢在背景中保留原始网格的副本
以便追踪终点与起点的相对关系
你得承认，各种各样对空间的变换所产生的效果是很美妙的
它们能给你一种挤压和变形空间的感觉
你也能想象到，任意一个变换可以非常复杂
但幸运的是，线性代数限制在一种特殊类型的变换上
这种变换更容易理解，称为“线性变换”
直观地说，如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的
一是直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲
二是原点必须保持固定
举几个例子，现在所示的这个变换不是线性变换
因为直线变得弯曲了

Czech: 
to budu vyobrazovat na nekonečné mřížce,
abychom lépe pronikli do celého "tvaru" transformace.
Někdy taky nechám kopii původní mřížky na pozadí,
čistě proto, abychom měli srovnání vůči stavu, ve kterém všechno začínalo.
Animace všemožných transformací, jak body putují prostorem, jsou,
to musíte uznat,
nádherné.
Předává to pocit stlačování a roztahování celé roviny.
Jak si asi můžete představit, obecné transformace můžou vypadat pěkně zamotaně,
lineární algebra se naštěstí zaměřuje jenom na jistý typ transformací,
na ty, které se dají snadno pochopit, zvané "lineární" transformace.
Vizuálně řečeno je transformace lineární, pokud splňuje dvě podmínky:
všechny přímky musí zůstat rovnými přímkami
a počátek musí zůstat na místě.
Například takováhle transformace není lineární, protože se přímky zvlní,
a tahle, i když nechává přímky rovné,

Portuguese: 
eu gosto de fazer isso em todos os pontos nesse plano infinito,
para ter uma visão melhor do "formato" da transformação.
Eu também gosto de deixar uma cópia desse plano no fundo,
só pra ajudar a saber onde cada coisa estava antes e depois da transformação.
O efeito de várias transformações movendo todos os pontos do espaço,
você tem que admitir,
é lindo.
Dá a sensação de espremer e modelar o  espaço em si.
Porém,  como vocês podem imaginar, transformações ilimitadas podem ser bem complicadas.
Por sorte, álgebra linear só lida com um tipo especial de transformação,
um tipo mais fácil de entender, que se chama transformação "linear".
Visualmente falando, uma transformação é linear quando ela segue duas regras:
Todas as linhas têm de continuar sendo linhas, sem se curvarem
e a origem tem sempre que ficar no mesmo lugar.
Por exemplo, isso aqui não seria uma transformação linear, já que as linhas ficaram todas curvadas
e essa aqui, embora ela deixe as linhas retas,

Polish: 
by uzyskać lepsze czucie całego "kształtu" transformacji,
lubię to robić z wszystkimi punktami nieskończonej siatki.
Lubię też czasami zachować oryginalną kopie siatki w tle,
tylko aby móc śledzić gdzie wszystko ląduje w relacji do początku.
Efekt różnych transformacji, przesuwanie wszystkich punktów przestrzeni, jest,
musisz przyznać
piękne.
Oddaje uczucie rozciągania i zginania przestrzeni.
Jak możesz sobie wyobrazić, dowolne transformacje mogą wyglądać skomplikowanie.
szczęśliwie jednak algebra liniowa ogranicza się do konkretnego typu transformacji.
są one łatwiejsze do zrozumienia, nazywamy je "liniowymi" transformacjami.
Mówiąc obrazowo, transformacja jest liniowa jeśli spełnia dwa warunki:
wszystkie linie muszą pozostać liniami, nie zakrzywiając się,
i początek układu musi pozostać na swoim miejscu.
Dla przykładu, ta tutaj to nie jest transformacja liniowa ponieważ linie zakrzywiają się.
A ta tutaj, jakkolwiek zachowuje proste linie,

Russian: 
В двумерном случае, чтобы лучше схватить "форму" преобразования, я использую точки на cетке.
Иногда, я также оставляю копию сетки на фоне, просто чтобы понять, где всё оказалось относительно начального положения.
Согласитесь, эффект разных преобразований, двигающих точки пространства, достаточно красив.
Он даёт ощущение сжатия и трансформации самого пространства.
Хотя, как вы можете представить, произвольные преобразования могут выглядеть сложно.
К счастью, линейная алгебра ограничивается особым видом преобразований,
такие, которые проще понимать, и они называются линейными преобразованиями.
Визуально, преобразование линейно, если для него выполняются два свойства:
все прямые остаются прямыми, не изгибаясь, а начало координат остается на месте.
Например, вот это не было бы линейным преобразованием, так как прямые изгибаются.

Japanese: 
変換全体の「形」を感じやすくするために、
無限に並んだ格子上の点で
これをやるのが好きです。
時々、背景に元の格子を
残しておくこともあります。
終了時の様子を開始時の様子と比較できるように
するために。
種々の変換、空間の全ての点を動かすものは、
見ての通り、美しいです。
見ての通り、美しいです。
これは、空間自身を潰したり
変形させているような感じがします。
想像の通り、
任意の変換はかなり複雑に見えることもありますが、
幸いにも、線形代数の変換は特殊なものに
制限されています。
理解するのが容易な、「線形」変換と呼ばれます。
視覚的には、二つの性質をもつ変換を
線形と呼びます：
全ての直線が
曲がったりせず直線のままであること、
そして、原点は空間に固定されていること。
例えば、これは全ての線が曲がってしまっているので
線形ではありません。
そして、これは直線をまっすぐに維持していますが、

French: 
pour avoir une meilleur idée de la "forme" de la transformation,
j'aime faire cela avec les points sur une grille infinie.
J'aime aussi parfois garder une copie de la grille initiale en fond;
pour observer où tout se retrouve par rapport à leur position initiale.
L'effet de différentes transformations, se déplaçant autour des points dans l'espace, es,
vous devez l'admettre, beau.
Ça donne le sentiment de compression ou de décalage de l'espace lui même.
Comme vous pouvez l'imaginer, des transformations arbitraires peuvent paraître très compliquées,
mais heureusement, l'algèbre linéaire se limite elle même à certains type de transformations,
certaines très simple à comprendre, appelées transformations "linéaires".
Visuellement, une transformation est linéaire si elle a deux propriétés:
les lignes doivent rester des lignes, n'étant jamais incurvées,
et l'origine doit rester à la même place.
Par exemple, celle là ne pourrait pas être une transformation linéaire, vu que les lignes deviennent toutes incurvées
et celle là, même si elle garde les lignes droite

Chinese: 
來得到對整個變換的“形狀”一種更好的感覺，
我喜歡來做這個用所有的點放在一個無限的坐標網格裏。
有時我還喜歡保持網格的一份複製在背景裏，
就是來幫助跟蹤每一個東西相對與它開始的地方最後到了那裏。
各色各樣變換的效果，在空間裏所有的點動來動去
你得承認
真美。
它給出摩擦的感覺和變化著的空間本身。
正如你可以想象到的，雖然隨意的一些變換可以看起來相當地複雜，
但是好在綫性代數限制自己在一個特殊類型的變換，
那些容易來理解的，叫做“綫性”變換。
從視覺上來說，一個變換是綫性的如果它具有兩個性質：
所有的直綫必須仍舊是直綫，沒有被彎曲，
而且原點必須保持固定著。
例如，就在這裏的這個就不是綫性變換因爲一些綫條都彎了，
而在這裏的這個，雖然它保持著綫是直的，

iw: 
כדי לקבל תחושה יותר טובה עבור כל ה"הצורה" כולה של הטרנספורמציה,
אני רוצה לעשות זאת עם כל הנקודות שנמצאות על רשת אינסופית.
אני לפעמים אוהב לשמור עותק של הרשת ברקע,
זה פשוט עוזר לשמור על מעקב איפה שכל דבר שהסתיים נמצא יחסית לאיפה שהתחיל.
ההשפעה של הטרנספורמציות השונות, זזות סביב הנקודות במרחב, הוא,
אתה חייב להודות,
יפיפה.
זה נותן את ההרגשה של למחוץ ולשנות את המרחב עצמו.
כפי שתוכל לדמיין, למרות שטרנספורמציות שרירותיות יכולות להיראות מסובכות,
אבל למזלנו אלגברה לינארית בעצמה היא סוג של טרנספורמציה מיוחדת,
כאלה שקל יותר להבינן, נקראות טרנספורמציות "לינארית".
מתוך נקודת מבט חזותית, טרנספורמציה היא לינארית אם יש לה שתי תכונות:
כל הקווים נשארים קווים, בלי שיתעקמו,
והראשית שלהם נשאר מקובע במקום.
לדוגמא, מה שכאן לא יהיה טרנספורמציה לינארית מכיוון שכל הקווים מתעקמים
ומה שנמצא כאן, למרות שזה שומר על קוו ישר,

German: 
ist auch keine lineare Transformation, da sich der Ursprungspunkt bewegt.
Diese hier fixiert den Ursprungspunkt und mag so aussehen als krümme sie die Linien nicht.
Das liegt aber nur daran, dass ich nur horizontale und vertikale Linien zeige.
Wenn du siehst was diese Transformation mit diagonalen Linien macht wird klar, dass sie nicht linear ist,
da sie diese Linie komplett verbiegt.
Allgemein belassen lineare Transformationen die Linien parallel und gleichmäßig verteilt.
Manche lineare Transformationen kann man sich leicht vorstellen, wie Rotationen um den Ursprungspunkt.
Andere sind gar nicht so einfach mit Worten zu beschreiben.
Wie, glaubst du, könnte man diese Transformationen numerisch beschreiben?
Sagen wir zum Beispiel du programmierst ein paar Animationen für ein Lehrvideo über das Thema –
welche Formeln gibst du dem Computer damit er, wenn du ihm die Koordinaten eines Vektors gibst,
dir sagen kann auf welchen Koordinaten dieser Vektor landet?
Letztendlich musst du hierfür nur wissen wo die zwei Basisvektoren î und ĵ landen.
Alles andere wird sich daraus ergeben.

English: 
is not a linear transformation because it
moves the origin.
This one here fixes the origin and it might
look like it keeps line straight,
but that's just because I'm only showing the
horizontal and vertical grid lines,
when you see what it does to a diagonal line,
it becomes clear that it's not at all linear
since it turns that line all curvy.
In general, you should think of linear transformations
as keeping grid lines parallel and evenly spaced.
Some linear transformations are simple to
think about, like rotations about the origin.
Others are a little trickier to describe with
words.
So how do you think you could describe these
transformations numerically?
If you were, say, programming some animations
to make a video teaching the topic
what formula do you give the computer so that
if you give it the coordinates of a vector,
it can give you the coordinates of where that
vector lands?
It turns out that you only need to record where the two basis vectors, i-hat and j-hat, each land.
and everything else will follow from that.

Polish: 
nie jest transformacją liniową ponieważ przesuwa środek.
Ta z kolei utrzymuje środek i może wydawać się że również linie pozostają proste,
ale to tylko dlatego iż pokazuje tylko linie poziome i pionowe,
natomiast gdy zobaczysz co się dzieje z linią pochyłą, staje się jasne że nie jest liniowa ponieważ linia ta staje się pokręcona.
Zasadniczo, możesz myśleć o transformacji liniowej jako o zachowującej linie siatki równolegle i w stałych odległościach.
Pewne transformacje liniowe są proste do wyobrażenia, jak obrót dookoła środka.
Inne są nieco trudniejsze do opisania słowami
Jak możemy zatem opisać te transformacje liczbowo?
Gdybyś, na przykład, programował animacje do nauki tej tematyki,
jakiego użyłbyś wzoru by wytłumaczyć komputerowi jak przetłumaczyć koordynaty wejściowe wektora
na koordynaty miejsca gdzie wektor przejdzie po transformacji?
Okazuje się że musisz tylko zapisać gdzie każdy z wektorów bazowych, i-z-daszkiem i j-z-daszkiem lądują.
A wszystko inne będzie wynikać z tego.

Portuguese: 
não é uma transformação linear porque movimenta a origem.
Essa aqui mantém a origem no lugar e parece manter as linhas retas,
mas isso é porque eu só estou mostrando as linhas horizontais e verticais da grade,
quando você vê o que ela faz com linhas diagonais, fica claro que ela não é linear já que deixa essas linhas curvadas.
Em geral, você deve pensar em transformações lineares como aquelas que mantém as linhas da grade paralelas e uniformemente espaçadas.
Algumas transformações lineares são simples de se imaginar, como rotações em relação à origem.
Outras são um pouco mais difíceis de descrever com palavras.
Então como você pode descrever essas transformações numericamente?
Se você fosse, digamos, programar animações para fazer um vídeo ensinando esse tópico,
que fórmula você daria ao computador para que ao fornecer as coordenadas a um vetor,
ele te dê as coordenadas de onde esse vetor vai parar?
Acontece que você só precisa manter um registro de onde os dois vetores base, î e ĵ vão parar,
e todo o resto se ajusta automaticamente.

iw: 
זה לא טרנספורמציה לינארית בגלל שזה נע מהראשית(לא מקובע למקום).
מה שכאן מקובע לראשית ונראה שזה ישמור על קו ישר,
אבל זה רק בגלל שאני מראה לכם את הקווים האנכיים והאופקיים,
כשתראה מה זה עושה לקו אלכסוני, זה נהיה ברור שזה בכלל לא לינארי בגלל שהכל כולו נהיה עקום.
באופן כללי, אתה צריך לחשוב על טרנספורמציות לינארית בתור דרך לשמור על הרשת מקבילה(אנכי ואופקי) ומחולקת באופן שווה.
יש כמה טרנספורמציות לינאריות שקל לחשוב עליהן, כמו סיבוב ראשית הצירים.
יש כאלה שקצת מסובך יותר להסביר אותן במילים.
אז איך אתתה חושב שתוכל לתאר את הטרנספורמציות האלה בצורה מספרית?
בוא נניח שאתה, לדוגמא, מתכנן אנימציות כדי לעשות סירטון שמדבר על הנושא הנ"ל
איזו נוסחה היית נותן למחשב כך שאם תיתן לו קואורדינטות של וקטור,
זה יתן לך קואורדינטות של איפה שהוקטור הזה ינחת?
מסתבר שאתה לשמור רק על וקטורי הבסיס, i כובע ו-j כובע, כל אחד מהם נוחת
וכל דבר אחר ימשיך משם.

Portuguese: 
também não é uma transformação linear porque ela mexe a origem.
Essa aqui deixa a origem quieta e até parece que deixa as linhas retas,
mas só parece porque eu estou mostrando só as linhas verticais e horizontais.
Quando você vê o que ela faz com uma linha diagonal fica claro que ela não é linear mesmo,
já que a linha fica toda curvada.
em geral, as transformações lineares mantêm as linhas paralelas e com a mesma distância umas das outras.
Algumas transformações são fáceis de imaginar, como rotações ao redor da origem.
Outras são um pouquinho mais difíceis de descrever com palavras.
Então como você acha que você poderia descrever essas transformações de um jeito numérico?
Se você estivesse, digamos, programando umas animações pra fazer um video que ensina isso.
Que fórmula você daria para um computador para que quando você der as coordenadas de um vetor
ele vá te dar o lugar onde esse vetor vai cair depois da transformação?
Termina que você só precisa lembrar onde os dois vetores base (versores ou i e j com chapéu, os que valem 1 em cada direção) terminam depois da transformação
e o resto você descobre a partir deles.

Korean: 
원점이 이동하기 때문에 선형 변환이 아닙니다.
이번 것은 원점도 고정되어 있고 라인도 직선을 유지하는 것처럼 보이지만,
하지만, 이것은 제가 단지 수직선과 수평선만을 그렸기 때문입니다.
대각선을 그려보면, 직선이 아니라 곡선으로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다.
일반적으로, 선형변환이라면 격자 라인들이 변형 이후에도 여전히 "평행"하고 "동일한 간격"으로 있어야 합니다.
어떤 선형변환의 경우에는 원점 기준으로 회전처럼 간단합니다.
하지만 어떤 변환은 쉽게 설명하기 까다롭습니다.
그럼 이런 변환들을 수치적으로는 어떻게 설명할 수 있을까요?
당신이 만약 이 주제를 설명하기 위해 애니메이션 동영상을 프로그래밍 한다면,
어떤 공식을 컴퓨터에 넣어야, 
벡터의 좌표값을 입력해서
결과 벡터 좌표값이 나오도록 할 수 있을까요?
결론은 두 개의 기저벡터 (i-hat, j-hat) 가 어떻게 변하는지만 알면 해결됩니다.
다른 벡터들은 이 기저벡터들로 구하면 그만입니다.

Modern Greek (1453-): 
δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός επειδή μετακινεί την αρχή των αξόνων.
Αυτός εδώ διατηρεί σταθερή την αρχή των αξόνων, και ίσως να φαίνεται ότι δεν καμπυλώνει τις ευθείες,
όμως φαίνεται έτσι επειδή σας δείχνω μόνο τις οριζόντιες και κάθετες γραμμές πλέγματος,
όταν δείτε πώς αλλάζει τις διαγώνιες ευθείες, γίνεται ξεκάθαρο ότι δεν είναι τελικά γραμμικός, αφού τις καμπυλώνει εντελώς.
Γενικά, πρέπει να έχετε στο μυαλό σας ότι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί διατηρούν παράλληλες τις γραμμές πλέγματος και σε ίσες αποστάσεις.
Κάποιοι γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι εύκολοι να τους φανταστείς, όπως οι περιστροφές γύρω από την αρχή των αξόνων.
Άλλοι είναι λίγο πιο ζόρικοι να τους περιγράψεις με λόγια.
Πώς νομίζετε λοιπόν ότι θα μπορούσατε να περιγράψετε αυτούς τους μετασχηματισμούς με αριθμούς;
Αν προγραμματίζατε, πχ, μερικά animations για να φτιάξετε ένα βίντεο που εξηγεί αυτό το θέμα,
ποιον τύπο θα δίνατε στον υπολογιστή ώστε όταν του βάλετε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος,
να σας δίνει τις συντεταγμένες του διανύσματος στο οποίο "προσγειώνεται";
Φαίνεται ότι το μόνο που χρειάζεται να καταγράψετε, είναι το πού "προσγειώνονται" τα διανύσματα βάσης î, ĵ
και όλα τα υπόλοιπα έπονται από αυτό.

Spanish: 
no es una transformación lineal porque mueve el origen.
Ésta de aquí mantiene fijo el origen y pareciera que mantiene las líneas rectas,
pero eso es sólo porque estoy mostrando sólamente las líneas horizontales y verticales,
Cuendo vemos lo que hace a una línea diagonal, queda claro que no es para nada lineal ya que a esa línea la curva.
En general, deben pensar que las transformaciones lineales mantienen las líneas de la cuadrícula, paralelas y equidistantes.
Algunas transforamaciones lineales son más fáciles de imaginar, como las rotaciones alrededor del origen.
Otras son más difíciles de describir con palabras.
Entonces ¿cómo creen que pueden describir estas transformaciones numéricamente?
Si estuvieran, digamos, programando alguna animación para hacer un video enseñando el tema
¿Qué fórmula le darían a la computadora para que, si le dan las coordenadas de un vector,
ella les de a ustedes las coordenadas de dónde ese vector termina?
Resulta que nada más necesitan registrar dónde terminan cada uno de los vector base, "i" y "j",
y todo lo demás prosigue de eso.

Chinese: 
而对于这一个变换，即便保持直线平直，它也不是一个线性变换
因为它移动了原点的位置
这一个变换保持原点不动，乍一看它好像保持直线平直
但实际并非如此，因为我只给你展示了水平和竖直的网格线
当你看看它对一条对角线作用时，很明显它不是一个线性变换
因为这条线变弯曲了
总的来说，你应该把线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换
部分线性变换很容易思考，比如关于原点的旋转
其他的稍显复杂，难以言表
你觉得应该如何用数值去描述这些线性变换呢？
比如说，你在通过编程制作动画和视频来教授这一主题
你应该给计算机什么样的计算公式
使得你给它一个向量的坐标，它能给你变换后向量的坐标呢？
实际结果是，你只需要记录两个基向量i帽和j帽变换后的位置
其他向量都会随之而动

Russian: 
И вот это, несмотря на то, что прямота линий сохраняется, не является линейным преобразованием,
потому что оно сдвигает начало координат.
Это преобразование фиксирует начало координат, и, на первый взгляд, не сгибает прямые линии.
Но только потому, что я показываю только горизонтальные и вертикальные прямые.
Если мы посмотрим, что происходит с диагональю, становится ясно, что оно точно не линейное.
В общем, линейные преобразования это — такие, которые оставляют соответствующие линии сетки
параллельными друг другу и на равном расстоянии друг от друга.
Некоторые преобразования несложно представить, такие как повороты вокруг начала координат.
Другие бывает сложнее легко объяснить словами.
Как вы думаете, как можно описать эти преобразования численно?
Например, если вы хотите запрограммировать несколько анимаций для видео на эту тему,
Какую формулу вы дадите компьютеру, чтобы по заданным координатам вектора
он мог выдавать вам координаты места, в котором этот вектор окажется?
Оказывается, что нужно лишь знать, куда попадут базисные векторы, i и j,
а все остальное следует из этого.

Japanese: 
原点を動かしているので線形変換ではありません。
これは原点を固定して、
直線もまっすぐに維持しているかのように見えます。
しかしそれは、水平あるいは鉛直な格子線しか
表示していないからです。
対角線の動きを見れば、
これが線形ではないことは明らかです。
一般的には、線形変換は格子線を
平行かつ等間隔に維持するものと考えます。
原点まわりの回転のような線形変換は、
考えるのが簡単です。
他のものは、
言葉で説明するには少しトリッキーです。
それでは、これらの変換を数値的に表現するには
どうすればいいでしょうか？
例えば、このトピックを動画で説明するために、
プログラミングでアニメーションを
作ることになったとしたら、
ベクトルの座標を入力したら
変換先のベクトルの座標を出力してくれるように、
コンピュータにどんな式を
与えればいいのでしょうか？
実は、2つの基底ベクトル、
i ベクトルと j ベクトルの行き先だけを
記録しておけばよいのです。
他の全てのベクトルはそこから計算できます。

French: 
n'est pas linéaire parce qu'elle bouge l'origine.
Celle là ne touche pas à l'origine et semble garder les lignes droites,
mais c'est parce que je ne montre que les lignes horizontales et verticales de la grille,
Quand vous voyez ce qu'elle fait aux lignes diagonales, il est clair que ce n'est pas linéaire, les lignes diagonales devenant incurvées.
En général, on doit penser que les transformations linéaires qui conservent les lignes des grilles parallèles et uniformément espacées.
Certaines transformations linéaires sont simples, comme les rotations au point d'origine.
D'autres sont beaucoup plus compliquées à décrire avec des mots.
Donc comment pensez vous décrire numériquement ces transformations?
Si vous étiez, disons entrain de programmer certaines animations pour faire des vidéos instruisant sur le sujet
quelle formule donnez-vous à l'ordinateur telle que si vous donnez les coordonnées d'un vecteur
il te donne les coordonnées du vecteur produit?
Il s'avère qu'on ait besoin que d'enregistrer où se retrouve les deux vecteurs de la base, î et ^j
et tout le reste suivra de ça.

Turkish: 
merkezi yerinden oynattığı için doğrusal değildir!
bu ise, merkezi yerinde tutuyor, doğruları da bükmüyor görünüyor,
ama esasen bu yalnızca benim dikey ve yatay çizgileri göstermemde ötürü öyle,
çapraz çizgi içzdiğimizde anlıyoruz ki bu çizgi doğru olarak kalmıyor,
çapraz olan yamuklaştı.
Genel olarak, doğrusal dönüşümleri, ızgara görünümünü, doğrular paralel, ve aralarındaki boşlık eşit aralıklı düşünmek gerekli.
Merkez etrafında dönme gibi
bazı doğrusal dönüşümler hakkında düşünmek basit
Diğer bazısını ise sözel tarif etmek yanıltıcı olabilir.
Dolayısıyla, bu dönüşümleri "sayılarla" nasıl tarif ederdiniz?
Eğer, diyelim ki; eğitim videosu hazırlıyorsunuz bu konuyu anlatmak için,
bilgisayara nasıl bir formül verirdiniz ki size
vektörün gideceği yerin koordinatlarını versin?
Görünüşe göre, bunun için kaydını tutman gereken
tek şey iki asıl vektör!  i ve j
ve geriye kalan herşey peşinden geliyor.

Chinese: 
也不是一個綫性變換因爲它移動了原點。
 
但是那只不過因爲我只畫出水平和垂直網格
在你看到它的一根對角綫，它就明顯了它根本不是綫性的
因爲它把那根綫都彎曲了。
縂的說來，你應該想到綫性變換是保持網格綫平行并且間隔均等的。
有些綫性變換容易來想，就像以原點為中心的轉動。
其他的有點難度來用文字來描述的。
那麽你認爲怎樣可以用數字了描述這些變換呢？
比方說，如果你覺得行，編些圖像程序來製作一個錄像教這個課題
爲了給計算機一個矢量的坐標，你用什麽樣的公式給它,
它可以給你那個矢量出來的地方。
其結果是你只要記錄兩個單位矢量，i-hat和j-hat，在什麽地方，
而其餘的都會跟著那個來的。

Czech: 
není lineární, protože počátek nezůstal na místě.
Tady tahle nechává počátek na místě a mohlo by to vypadat, že nechává i přímky rovné,
ale to jenom proto, že zobrazuji jenom vodorovné a svislé přímky z mřížky,
když se podíváte, co se stane s šikmou přímkou, je zřejmé, že taková transformace lineární není,
vzhledem k tomu, jak se tato přímka pokřiví.
Obecně se dají lineární transformace chápat jako ty, při kterých zůstanou linky mřížky rovnoběžné a rovnoměrně rozmístěné.
Některé lineární transformace jsou jednoduché, jako je otočení okolo počátku.
Jiné jsou o něco složitější na popsání slovy.
Ale jak byste popsali takovou transformaci numericky?
Kdybyste dejme tomu programovali jistou aplikaci, která vyrobí edukativní video o této látce...
Jaký vzorec byste předali počítači tak, abyste mu pak předali souřadnice vektoru,
a on spočítal, kde daný vektor skončí?
Ukazuje se, že si stačí pamatovat cílové pozice dvou vektorů: i, j
a z toho už vše ostatní vyplyne.

Portuguese: 
Por exemplo, considere o vetor v com as coordenadas (-1, 2),
o que significa que, ele é igual a -1 vezes î + 2 vezes ĵ.
Se nós conduzirmos algumas transformações e seguirmos onde esses três vetores vão
a propriedade de que linhas paralelas permanecem paralelas e uniformemente espaçadas tem uma consequência muito importante:
o lugar onde v vai parar vai ser -1 vezes o vetor onde î foi parar + 2 vezes o lugar onde ĵ foi parar.
Em outras palavras, ele começou como uma certa combinação linear de î e ĵ
e terminou como exatamente essa mesma combinação linear de onde esses dois vetores foram parar.
Isso significa que você pode deduzir onde v deve ir baseado apenas em onde î e ĵ foram parar.
É por isso que eu gosto de manter uma cópia da grade original no fundo;
porque da transformação mostrada aqui podemos enxergar que î vai parar nas coordenadas (1, -2)
e ĵ vai parar no eixo x sobre as coordenadas (3, 0).
Isso significa que o vetor representado por (-1) î + 2 ĵ

Czech: 
Představme si například vektor v se souřadnicemi (-1,2),
to znamená, že se rovná -1*i + 2*j.
Když spustíme nějakou transformaci a budeme sledovat, kde tyhle tři vektory skončí,
vlastnost, že linky mřížky zůstávají rovnoběžné a rovnoměrně rozmístěné má důležitý důsledek:
Místo, kde skončí v bude -1 krát to, kam dopadne vektor i
plus 2 krát to, kam dopadne vektor j.
Jinými slovy, když jsme začali s jistou lineární kombinací vektorů i, j,
tak skončíme s tou samou lineární kombinací transformovaných verzí těchto dvou vektorů.
Takže abychom určili, kam půjde vektor v, nám stačí vědět, kam jdou vektory i, j.
To je důvod, proč si na pozadí nechávám původní mřížku;
z právě vyobrazené transformace můžeme vyčíst, že i skončí na souřadnicích (1,-2)
a j přistane na ose x na souřadnici (3, 0).

Chinese: 
例如，想一個坐標為（-1，2）的矢量v，
意思是它等於-1乘以i-hat 加上2 乘以j-hat。
如果我們施加某種變換並跟隨所有的這三個矢量到什麽地方去了。
這個性質即網格綫仍舊平行並間隔均等，真是有很重要的後果的：
v著地的地方將是-1 乘以i-hat著地的地方
加上2倍j-hat 著得的地方。
換句話說，它以一定的i-hat和j-hat綫性組合開始
而終止於這兩個矢量所著地地方同樣的綫性組合。
這意味著你可以歸結出v一定去的地方只根據與i-hat和j-hat去的地方。
這就是為什麽我要在背景裏保存原來的網格的一份復件。
從這裏顯示的變換上我們可以讀出i-hat 落在坐標（1，-2），
而j-hat落在坐標（3，0）上。

Korean: 
예를 들어, 벡터 v (-1,2) 를 생각해봅시다.
좌표값은 i-hat 벡터의 -1배, j-hat 벡터의 2배를 의미합니다.
어떤 변환을 적용시켜, 그 결과 이 세 벡터가 어디로 이동하는지 따라가보면,
매우 중요한 결과로 격자 선들이 계속 평행하고 균등하게 분포한다는 속성을 발견하게 됩니다.
변환 후 v 는 변환된 i-hat 벡터의 -1배, 변환된 j-hat 벡터의 2배입니다.
즉, 변환전에 v벡터를 이루는 i-hat 과 j-hat 의 어떤 선형 결합이
변환 후에도 같은 선형결합을 유지합니다.
이 말은 단순히 i-hat 과 j-hat 의 변형위치만 알면, 벡터 v 를 추론할 수 있다는 것을 의미합니다.
이것이 변환 전 격자선을 배경에 계속 그려놓는 이유입니다.
지금 본 변환에서, 우리는 i-hat 벡터가 변환전 좌표계의 (1, -2) 위치로 옮겨진 것을 볼 수 있습니다.
j-hat 은 변환전 좌표의 (3, 0)에 있게됩니다.

Polish: 
Dla przykładu, weźmy wektor v o koordynatach (-1,2)
tzn. jest on równy -1 razy i-z-daszkiem + 2 razy j-z-daszkiem.
Jeśli odtworzymy transformacje i będziemy patrzeć gdzie te 3 wektory przechodzą,
właściwość iż linie siatki zostają równoległe i równo rozłożone daje jedną ważną cechę:
miejsce gdzie wyląduje v będzie -1 razy wektor gdzie j-z-daszkiem wylądował
+ 2 razy miejsce gdzie j-z-daszkiem wyładował.
Innymi słowy, zaczęliśmy jako konkretna kombinacja liniowa i-z-daszkiem i j-z-daszkeim,
i kończymy w tej samej kombinacji liniowej tych wektorów po przekształceniu.
To znaczy że możemy wymyślić gdzie v się znajdzie wiedząc tylko gdzie i-z-daszkiem i j-z-daszkiem wylądowały.
Dlatego właśnie lubię mieć kopię oryginalnej siatki w tle.
Dla transformacji pokazanej tutaj możemy przeczytać że i-z-daszkiem ląduje na koordynatach (1, -2),
a j-z-daszkiem ląduje na osi X na współrzędnych (3,0).

Modern Greek (1453-): 
Για παράδειγμα, θεωρήστε το διάνυσμα v με συντεταγμένες (-1, 2),
που ισούται δηλαδή με -1î + 2ĵ.
Αν τρέξουμε κάποιον μετασχηματισμό και παρακολουθήσουμε πού πηγαίνουν αυτά τα τρία διανύσματα,
η ιδιότητα ότι οι γραμμές πλέγματος διατηρούνται παράλληλες και σε ίσες αποστάσεις έχει μία πολύ σημαντική συνέπεια:
το μέρος όπου καταλήγει το v θα ισούται με -1 επί το διάνυσμα όπου κατέληξε το î, +2 φορές το διάνυσμα όπου κατέληξε το ĵ.
Με άλλα λόγια, το v ξεκίνησε ως ένας συγκεκριμένος γραμμικός συνδυασμός των î και ĵ,
και κατέληξε να είναι ο ίδιος ακριβώς γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων στα οποία κατέληξαν τα î και ĵ.
Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να συμπεράνετε πού θα πάει το v, βασιζόμενοι αποκλειστικά στο πού θα πάνε τα î, ĵ.
Αυτός είναι ο λόγος που μου αρέσει να κρατάω ένα αντίγραφο του αρχικού πλέγματος στο φόντο.
Για τον μετασχηματισμό που έδειξα εδώ μπορούμε να δούμε ότι το î μεταφέρθηκε στις συντεταγμένες (1, -2),
και το ĵ στον άξονα των x, σε συντεταγμένες (3, 0).

English: 
For example, consider the vector v with coordinates
(-1,2),
meaning that it equals -1 times i-hat + 2
times j-hat.
If we play some transformation and follow
where all three of these vectors go
the property that grid lines remain parallel
and evenly spaced has a really important consequence:
the place where v lands will be -1 times the
vector where i-hat landed
plus 2 times the vector where j-hat landed.
In other words, it started off as a certain
linear combination of i-hat and j-hat
and it ends up is that same linear combination
of where those two vectors landed.
This means you can deduce where v must go
based only on where i-hat and j-hat each land.
This is why I like keeping a copy of the original
grid in the background;
for the transformation shown here we can read
off that i-hat lands on the coordinates (1,-2).
and j-hat lands on the x-axis over at the
coordinates (3, 0).

Japanese: 
例えば、座標が (-1, 2) のベクトル v を考えます。
つまり、i ベクトルの-1倍と
j ベクトルの2倍との和に等しいベクトルです。
これに何かしらの変換を適用して
3つのベクトルの行き先を調べると、
格子線が平行かつ等間隔のままという性質は
本当に重要な結果をもたらします。
v の行き先は、i ベクトルの行き先の-1倍
+ j ベクトルの行き先の2倍なのです。
言い換えれば、i ベクトルと j ベクトルの
特定の線形結合から出発し、
それら2つのベクトルの行き先の
同じ線形結合に移ったのです。
これは、i ベクトルと j ベクトルの行き先だけで
v がどこに行くべきか推定できることを意味します。
背景に元の格子を残しておいたのは
このためです。
この線形変換においては、i ベクトルは
座標 (1, -2) に移り、
j ベクトルはx軸に乗って座標 (3, 0) に移る
ことがわかります。

iw: 
לדוגמא, ניקח את הוקטור v עם הקואורדינטות (1,2-),
הכוונה שזה שווה -1 כפול ה-i כובע 2+ כפול ה-j כובע.
אם נשחק קצת עם הטרנספורמציה ונעקוב אחרי איפה שהוקטורים הללו ממשיכים
התכונה של קווי הרשת ישמרו עליהם(וקטורים) מקבילים ומרווחים בצורה שווה היא בעלת השלכה חשובה:
המקום בו v נוחת יהיה 1- כפול הוקטור איפה ש-i כובע נחת 2+ כפול הוקטור איפה ש-j כובע נחת.
במילים אחרות, זה התחיל כצירוף לינארי ודאי של i כובע ו-j כובע
וזה נגמר  עם הצירוף הלינארי - איפה ששני הוקטורים הללו נחתו.
זה אומר שאתה יכול להסיק מכך איפה הוקטור v צריך להיות על סמך איפה ש-i כובע ו-j כובע נחתו.
זה למה אני אוהב לשמור עותק של הרשת המקורית ברקע(עם המשבצות);
עבור הטרנספורמציה שאני מראה כאן, אנחנו יכולים לקרוא ש-i כובע נוחת על הקוארדינטות (2-,1)
ו- j כובע נוחת על ציר ה-x על הקוארדינטות (3,0).

German: 
Nimm als Beispiel den Vektor v mit den Koordinaten (–1, 2).
Das bedeutet er ist gleich –1 · î + 2 · ĵ.
Wenn wir eine Transformation abspielen und allen Vektoren folgen,
dann hat die Eigenschaft, dass Rasterlinien parallel und gleichmäßig verteilt bleiben, eine wichtige Konsequenz:
Der Ort an dem v landet ist -1 mal der Vektor auf dem î landet
plus 2 mal der Vektor auf dem  ĵ landet.
Das heißt, die lineare Kombination von v
ist gleich der linearen Kombination von î und ĵ.
Das heißt wir können wissen wo v landet, nur durch unser Wissen wo î und ĵ landen.
Das ist der Grund weswegen ich gerne eine Kopie des ursprünglichen Rasters im Hintergrund behalte.
Für die hier gezeigte Transformation können wir ablesen, dass î auf den Koordinaten (1, –2)
und ĵ auf der X-Achse auf den Koordinaten (3, 0) landet.

French: 
Par exemple, considérons le vecteur v de coordonnées (-1; 2),
cela veut dire qu'il est égal à -1 * î + 2 * ^j.
Si nous appliquons une transformation et suivons où vont tous les trois vecteurs
la propriété que les lignes de la grille reste parallèles et uniformément espacées à une conséquence très importante:
l'endroit où v se retrouve sera -1 fois le vecteurs où î se retrouve + 2 fois le vecteur où ^j se retrouve.
En d'autres mots, ça commence par une combinaison linéaire de î et de ^j
et se retrouve à cette même combinaison linéaire d'où ces vecteurs se retrouvent.
Ça veut dire qu'on peut déduire où v doit aller en se basant sur où î et ^j vont chacun.
C'est pourquoi j'aime garder une copie de la grille originale en fond;
pour la transformation montrée ici, nous pouvons voir que î se retrouve en (1; -2)
et ^j se retrouve sur l'axe des abscisses aux coordonnées (3; 0).

Russian: 
Например, пусть дан вектор v с координатами [-1; 2], то есть он записывается как v = (-1)*i + (2)*j.
Если мы применим некоторое преобразование и посмотрим, куда попадут три наших вектора, то
сохранение параллельности и равноотдаленности линий сетки имеет одно важное следствие:
место, куда попадет вектор v, равно -1 умножить на вектор, которым стал вектор i,
плюс 2 умножить на вектор, которым стал вектор j.
Иными словами, мы начали с некоторой линейной комбинации векторов i и j,
и пришли к той же линейной комбинации но уже тех векторов, в которые перешли эти векторы.
Это значит, что мы можем узнать, куда попадет v, основываясь на том, что мы знаем для i и j.
Вот почему я люблю оставлять копию начальной сетки на фоне.
Для преобразования, показанного здесь, мы можем видеть, что i приобретает координаты [1;-2],
а j ложится на координаты [3;0].

Spanish: 
Por ejemplo, consideren el vector "v" de coordenadas [-1,2],
es decir, "v" es igual a menos uno por "i" más 2 veces "j".
Si aplicamos alguna transformación y seguimos dónde terminan estos tres vectores
la propiedad de que las líneas de las cuadrículas se mantienen paralelas y equidistantes tiene una consecuencia muy importante:
el lugar donde termina "v" será igual a menos uno por el vector donde cae "i" más dos veces el vector donde termina "j".
En otras palabras, de entrada comenzamos con una combinación lineal de "i" y "j"
y de salida terminamos con la misma combinación lineal de los vectores donde "i" y "j" terminan.
Esto quiere decir que pueden deducir donde cae "v" basados sólamente en dónde caen "i" y "j".
Por eso es que me gusta mantener una copia de la cudrícula orginal en el fondo;
para la transformación mostrada acá pueden observar que "i" termina en las coordenadas [1,-2]
y "j" termina en el eje "x"en las coordenadas [3,0].

Portuguese: 
Por exemplo, imagine um vetor v com as coordenadas menos um (-1) e dois (2),
o que quer dizer que ele é igual a menos um vezes i mais dois vezes j (-1i + 2j).
Se a gente fizer alguma transformação e seguir esses três vetores,
a regra das as linhas paralelas continuarem paralelas e com a mesma distância umas das outras tem uma consequência interessante:
O lugar onde o vetor v vai parar vai ser menos um (-1) vezes o vetor onde i parou
mais duas (2) vezes o vetor onde j parou. (-1i + 2j).
em outras palavras, o vetor v começou como uma certa combinação linear de i e j
e terminou como a mesma combinação de onde i e j terminaram. (-1*i + 2*j)
Isso quer dizer que se você souber onde i e j terminam depois da transformação você também vai saber onde o vetor v terminou.
É por isso que eu gosto de manter uma cópia do plano original no fundo;
na transformação que a gente viu aqui a gente pode ler que i cai nas coordenadas um, menos dois (1, -2)
e j cai no eixo x nas coordenadas três, zero (3, 0)

Chinese: 
比如说，考虑坐标为(-1, 2)的向量v
这个向量就是-1与i帽之积和2与j帽之积的和
如果我们运用一些变换，并且跟随这三个向量的运动
网格线保持平行且等距分布的性质有一个重要的推论
变换后的向量v的位置，是-1与变换后的i帽之积，加上2与变换后的j帽之积
换句话说，向量v是i帽和j帽的一个特定线性组合
那么变换后的向量v也是变换后i帽和j帽的同样的线性组合
这意味着，你可以只根据变换后的i帽和j帽，就推断出变换后的v
这也是为什么我喜欢在背景中保留原始网格的副本
对于现在所示的变换，我们可以看出i帽落在坐标(1, -2)上
j帽落在x轴上，坐标为(3, 0)

Turkish: 
Örneğin, (-1,2) koordinatlı v vektörünü düşünelim,
bu vektör şu anlama geliyordu: -1 kere i vektörü, +2 kere  j vektörü.
Eğer bir dönüşüm gerçekleştirir ve bu vektörlerin nereye gittiklerini takip edersek,
"ızgara zeminin doğruları paralel ve aralarındaki boşluk eşit uzunluklu olmalı" kuralımız çok önemli bir sonuç doğurur:
v vektörünün dönüşeceği nokta; i vektörü her nereye dönüştü ise onun -1 katı olan noktanın,
ve j vektörü neredeyse onun da 2 olan noktanın toplamı olan nokta olacaktır.
Diğer bir deyişle, i ve j vektörlerinin belirli bir birleşimi olarak başlayarak,
dönüşüm sonrası i ve j vektörlerinin yine aynı katlı birleşimi olmuş oldu.
Yani, her iki diyarda v vektörünün yerini yalnızca i ve j vektörlerine dayalı olarak bilebilirsin.
Bu, arka planda bir kopya ızgara tutmayı sevmemin nedeni;
burada gösterilen dönüşüm için, görüyoruz ki, i vektörü (1,-2) noktasına,
j vektörü ise x ekseni üzerine, (3,0) noktasına dönüşüyor.

Turkish: 
Bu da şu anlama geliyor: (-1) i + 2 kere j vektörü
sonuç itibari ile de (-1) kere [1,-2] + 2 kere [3,0] oluyor.
Tümünü toplarsak, vektörün (5,2) noktasına dönüştüğünü sonucuna varabiliriz.
Burası, durup düşünmek için iyi bir nokta. Çünkü oldukça önemli!
Şimdi, size tüm dönüşümü gösterdiğim için,
yalnızca bakarak, v vektörünün (5,2) noktasına dönüştüğünü söyleyebilirdiniz,
ama burada asıl havalı olan asıl vektörlerin kaydını
tuttuğumuz sürece, (i ve j vektörleri)
animasyonu izlemeden de v nin dönüşeceği noktayı söyleyebilmemizdir.
Vektörü daha genel koordinat değerleri olarak x ve y ile yazalım,
verilen bir vektörün dönüşeceği değer, 
x kere i vektörün denk geldiği nokta [1,-2],
artı y kere j vektörünün düştüğü nokta [3,0] olacaktır.
Toplamayı yapınca, göreceğimiz şey:
sonuç vektörü= [ 1x + 3y ]
                           -2x + 0y

Korean: 
따라서 (-1) i-hat + 2 j-hat 으로 나타낸 벡터는
변환후에는 (-1) (1, -2) + 2 (3, 0) 바뀌었습니다.
이를 종합하면,  (5, 2) 벡터가 됩니다.
꽤 중요하기 때문에, 여기서 잠깐 멈춰서 숙고해봅시다.
지금,
실제로 변환이 어떤지 전과정을 보여주고 있기 때문에
벡터v 가  (5, 2) 로 변환된 것을 바로 알 수 있습니다,
여기 멋진 부분은 이 방법으로 어떤 벡터든지 변환후에 어디로 이동할지 알아낼 수 있다는 것입니다.
i-hat, j-hat 벡터 좌표를 알고있는 한,
변환이 어떤지를 볼 필요도 없습니다.
좀 더 일반화하자면, 
벡터의 좌표값을 x, y 라 하면,
변환후 i-hat 벡터 (1, -2) 로부터 x 배와
변환후 j-hat 벡터(3,0) 의 y 배한 것을 합하면, 변환후 벡터를 구할 수 있습니다.
이제 그 합을 계산하면,  변환후 벡터의 위치는 (1x+3y, -2x+0y) 가 됩니다.

French: 
Ça veut dire que le vecteur représenté par (-1) * î + 2 * ^j
se retrouve à (-1) * (1; -2) + 2 * (3; 0).
En faisant les sommes, on obtient qu'il se retrouve sur le vecteur (5; 2).
C’est un bon point de faire une pause et réfléchir, car c'est assez important.
Maintenant, vu que je vous montre toute la transformation,
vous pouvez juste regarder pour voir que v a bien les coordonnées (5; 2),
mais la meilleure partie ici est que ça nous donne une technique pour déduire où chaque vecteur se retrouve,
en conservant toujours où î et ^j se retrouvent,
sans regarder la transformation elle même.
En écrivant un vecteur avec ses coordonnées x et y,
et il se retrouvera en x fois le vecteur où se retrouve î (1; 2),
plus y fois le vecteur où ^j se retrouve (3; 0).
En faisant la somme, on voit qu'il se retrouve en (1x+3y; -2x+0y).

Spanish: 
Esto quiere decir que el vector representado como: (-1)i+2j
termina en el vector: (-1) multiplicado por el vector [1,-2] más 2 por el vector [3,0].
juntando  todo esto pueden deducir que tiene que terminar en el vector [5,2].
Este es un buen punto para pausar y reflexionar, porque es muy importante.
Ahora,
dado que les estoy mostrando toda la transformación,
pudieran simplemente haber mirado para concluir que "v" termina en las coordenadas [5,2],
pero lo interesante de esto es que nos da una técnica para deducir dónde cae cualquier vector,
siempre y cuando tengamos un registro de dónde caen "i y "j" respectivamente,
sin necesidad de mirar toda la transformación como tal.
escojan un vector con coordenadas más generales "x" y "y",
y éste terminará en "x" multiplicado por el vector donde cae "i", es decir x*[1,-2],
más "y" por el vector donde cae "j", en este caso y*[3,0].
siguiendo esa suma, veran que cae en el vector: [1x+3y, -2x+0y].

Japanese: 
これは、(-1) (i ベクトル) + 2 (j ベクトル)
で表されるベクトルは
(-1) 倍のベクトル (1, -2) + 2倍のベクトル (3, 0)
に行くことを意味します。
全て足し合わせれば、
行き先はベクトル (5, 2)であると推定できます。
ここはかなり重要なので、
一度立ち止まって熟考してみることをお勧めします。
今、私は完全な変換の様子を見せていますが、
v が座標 (5, 2) を持っていることしか
見えないかもしれません。
しかし、ここで素晴らしいのは、
これがあらゆるベクトルの行き先を推定する技術を
提供していることです。
i ベクトルと j ベクトルの行き先を記録しておけば、
変換自体を見る必要はないのです。
より一般的に、座標 (x, y) のベクトルを考えます。
このベクトルの行き先は、i ベクトルの行き先である
ベクトル (1, -2) の x 倍に、
j ベクトルの行き先である
ベクトル (3, 0) の y 倍を足したものになります。
その和をとると、その行き先が
(1x+3y, -2x+0y) であることが分かります。

Chinese: 
這個意思是由（-1）i-hat+（2）j-hat來代表的矢量
終結與（-1乘以矢量（1，-2）+ 2乘以矢量（3，0）.
把那個都加起來，你可以演繹出它一定是停在矢量（5，2）上的。
這是一個很好的地方來停一下和想一下，因爲這是相當重要的。
現在 ，我在給你看了全部的轉換的前提下，
你可以就看看v有坐標（5,2），
但是這裏妙的地方是它給我們一種技術來演繹出任何矢量停下的地方
只要我們有一份記錄i-hat和j-hat各自停在什麽地方，
而不必來看變換的本身。
把矢量寫出更通用的坐標x和y，
而它將在x乘以i-hat停的（1, -2），
加上y 乘以 j-hat停的（3，0）.
算出那個和，你知道它停在（1x+3y, -2x+0y）。

Polish: 
Oznacza to że wektor reprezentowany przez:
(-1)* i^ + 2*j^
kończy jako (-1) razy wektor (1,-2) +2 razy wektor (3, 0).
Składając to razem, możemy zgadnąć że musi wylądować na wektorze (5,2).
To dobry moment by się zatrzymać i zastanowić, gdyż jest to niezwykle ważne.
Zatem, biorąc pod uwagę że właściwe pokazuję Ci teraz pełną transformację,
możesz stwierdzić iż v ma współrzędne (5,2),
ale wspaniałą właściwością w tym momencie jest to iż daje nam to technikę odgadnięcia gdzie wyląduje każdy wektor,
tak długo jak mamy wiedzę gdzie i-z-daszkem i j-z-daszkiem lądują,
bez konieczności patrzenia na samą transformację.
Napiszmy wektor z ogólnymi współrzędnymi x i y,
i wylądują on x razy wektor w którym wylądował i-z-daszkiem: (1,-2),
dodać y razy wektor gdzie j-z-daszkiem wylądował (3,0).
Dodając, widać że wylądował w (1x+3y, -2x+0u).

Portuguese: 
Isso quer dizer que o vetor que é igual a menos um vezes i mais dois vezes j  (-1*i + 2*j)
termina em menos um vezes o vetor um, menos dois mais dois vezes o vetor três, zero. -1*(1, -2) + 2*(3, 0)
Adicionando isso tudo, você descobre que v tem que terminar no vetor cinco, dois (5, 2)
Essa é uma boa hora para pausar e pensar um pouco, porque isso é bem importante.
Agora, já que eu estou te mostrando a transformação toda,
você poderia só olhar pra ver que v tem coordenadas cinco e dois, (5, 2)
mas a parte legal é que isso aqui te dá uma técnica para descobrir onde qualquer vetor termina,
enquanto você souber onde i e j terminaram,
sem precisar assistir a transformação.
Escreva o vetor com coordenadas mais generalizadas, como x e y,
e ele vai cair em x vezes o vetor onde i caiu, um, menos dois (1, -2),
mais y vezes o vetor onde j caiu, três, zero (3, 0).
terminando a soma, você vê que ele cai em 
um vezes x mais três vezes y, menos 2 vezes x mais zero vezes y.
(1*x + 3*y, 2*x + 0*y)

German: 
Das heißt, dass der Vektor repräsentiert durch –1 · î + 2 · ĵ,
landet bei –1 mal der Vektor (1, –2) plus 2 mal der Vektor (3, 0).
Wenn wir das addieren, wissen wir, dass v auf dem Vektor (5, 2) landet.
Jetzt wäre ein guter Zeitpunkt um Kurz innezuhalten, denn das ist ziemlich wichtig.
Da ich euch hier tatsächlich die komplette Transformation zeige,
hättet ihr einfach schauen und direkt sehen können, dass v auf den Koordinaten (5, 2) landet.
Aber das coole an der Sache ist, dass wir mit dieser Technik wissen können wo irgendein beliebiger Vektor landet,
solange wir nur wissen, wo î und ĵ landen,
ohne die Transformation selbst sehen zu müssen.
Schreibt diesen Vektor mit den allgemeineren Koordinaten x und y
und er landet auf x mal dem Vektor, auf dem î landet,
plus y mal dem Vektor, auf dem ĵ landet.
Wenn wir diese Summe ausschreiben, sehen wir, dass der Vektor auf (1x + 3y, –2x + 0y) landet.

Portuguese: 
termina como (-1) vezes o vetor (1, -2) + 2 vezes o vetor (3, 0)
Juntando tudo isso, você pode deduzir que ele tem que ir parar no vetor (5, 2).
Esse é um bom ponto para pausar e ponderar, porque é muito importante.
Agora,
dado que eu estou na verdade lhe mostrando a transformação completa,
você poderia simplesmente ter olhado pra ver que v tem coordenadas (5, 2),
mas a parte legal aqui é que isso nos dá uma técnica para deduzir onde qualquer vetor vai parar,
contanto que tenhamos um registro de onde î e ĵ vão parar
sem precisar assistirmos a transformação.
Escreva o vetor com coordenadas mais gerais x e y,
e ele vai parar em x vezes o vetor onde î vai parar: (1, -2),
mais y vezes o vetor onde ĵ vai parar: (3, 0).
Efetuando esta soma, você vê que vai parar em (1x +3y, -2x + 0y).

Chinese: 
也就是说，-1乘以i帽加上2乘以j帽所代表的向量
会落在-1乘以向量(1, -2)加上2乘以向量(3, 0)的位置上
简单运算之后，你就能推断出向量v一定落在向量(5, 2)上
因为这个过程非常重要，所以值得你停下来体会一番
实际上，因为我给你展示了整个变换的样子
你完全可以直接读出向量v在变换后落在坐标(5, 2)上
但是更炫酷的是，只要记录了变换后的i帽和j帽
我们就可以推断出任意向量在变换之后的位置
完全不必观察变换本身是什么样
一般的情况下，一个向量的坐标是(x, y)
n,,0,0,0,,变换后的这个向量就是x乘以变换后的i帽(1, -2)
n,,0,0,0,,加上y乘以变换后的j帽(3, 0)
n,,0,0,0,,简单运算之后你就知道它落在坐标(1x+3y, -2x+0y)上

iw: 
זה אומר שאפשר להציג את הוקטור כ(1-) i כובע + 2 כפול j כובע
שנגמר ב-(1-) כפול הוקטור (2-,1) ועוד 2 כפול הוקטור (3,0)
ע"י חיבור כל הדברים האלה יחדיו, אתה יכול להסיק מכך שזה נחתד על הוקטור (5,2).
זו נקודה טובה להשתהות בה קצת ולהרהר, בגלל שזה מאוד חשוב.
עכשיו,
בהנחה שאני באמת מראה לך את הטרנספורמציה המלאה,
אתה פשוט יכולת להסתכל על הוקטור v בעל הקוארדינטות (5,2),
אבל החלק המגניב כאן שזה נותן לנו טכניקה להסיק איפה הוקטורים ינחתו,
כל עוד ידוע לנו איפה i כובע ו-j כובע ינחתו,
מבלי להצטרך לצפות בטרנספורמציה עצמה.
תכתוב את הוקטור עם קוארדינטות יותר כלליות - x ו-y,
זה ינחת על x כפול הוקטור איפה ש-i כובע נוחת (2-,1),
ועוד y כפול הוקטור איפה ש-j כובע נוחת (3,0)
ע"י ביצוע חישוב הסכום, אתה יכול לראות שזה נוחת ב- (1x+3y, -2x+0y)

Czech: 
To znamená, že vektor reprezentovaný (-1)i + 2j
skončí na souřadnicích (-1) krát vektor (1,-2) plus 2 krát vektor (3,0).
Sečtením dostáváme, že obraz vektoru v je (5,2).
To je dobrá myšlenka na zastavení videa a zamyšlení se, je pěkně důležitá.
Když vám tady ukazuji celou transformaci,
tak se vám samozřejmě stačí podívat a říct, že transformované v má souřadnice (5,2),
ale super je, že jsme si odvodili techniku, jak určit, kam se zobrazí kterýkoli vektor,
a stačí nám k tomu vědět, kam půjdou bázové vektory,
nepotřebujeme vidět celou transformaci.
Když napíšeme vektor obecněji se souřadnicemi x, y,
bude zobrazen na x-násobek nového vektoru i, tedy (1,-2)
plus y-násobek nového vektoru j, tedy (3,0).
Když to dáme dohromady, vidíme, že skončí na (1x+3y,-2x+0y).

Modern Greek (1453-): 
Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα -1î + 2ĵ,
καταλήγει στο (-1) επί το διάνυσμα (1, -2) + 2 επί το διάνυσμα (3, 0).
Κάνοντας την πρόσθεση, μπορείτε να συμπεράνετε ότι θα καταλήξει στο διάνυσμα (5, 2).
Αυτό είναι ένα καλό σημείο για να κάνουμε παύση και να το σκεφτούμε επειδή είναι πολύ σημαντικό.
Τώρα,
δεδομένου ότι στην πραγματικότητα σας δείχνω τον πλήρη μετασχηματισμό,
θα μπορούσατε απλά να δείτε ότι το μετασχηματισμένο v έχει συντεταγμένες (5, 2),
το κουλ κομμάτι εδώ όμως είναι ότι αυτό μας δίνει μια τεχνική να συμπεραίνουμε πού θα καταλήξει οποιοδήποτε διάνυσμα,
εφόσον έχουμε καταγράψει το πού καταλήγουν τα î, ĵ,
χωρίς να χρειάζεται να δούμε τον ίδιο τον μετασχηματισμό.
Γράφοντας το γενικότερο διάνυσμα με συντεταγμένες x και y,
συμπεραίνουμε ότι καταλήγει στο x φορές το διάνυσμα όπου καταλήγει το î, το (1, -2),
συν y φορές το διάνυσμα όπου καταλήγει το ĵ, το (3, 0).
Από το άθροισμα, βλέπουμε ότι το διάνυσμα "μεταμορφώνεται" στο (1x+3y, -2x+0y).

Russian: 
Это значит, что вектор, представленный как -1i+2j, попадет в (-1)*[-1;2] + (2)*[3;0].
Складывая все вместе, делаем вывод, что v должен попасть в [5;2].
Это хороший момент, чтобы остановиться и задуматься, потому что это важно.
Теперь, учитывая, что я показываю вам все преобразование, вы могли просто подсмотреть,
что v имеет координаты [5;2] после преобразования. Но что здесь круто, так это то,
что мы получили способ узнать координаты любого вектора после преобразования,
пока мы знаем, как преобразуются векторы i и j, и нам даже не нужно видеть само преобразование.
Запишем вектор в общем случае с координатами [x,y],
и он попадет в "x" умножить на вектор, в который попадает i, [-1;2],
плюс "y" умножить на вектор, в который попадает j, [3,0].
Суммируя, видим, что наш вектор попадет в [1x+3y, -2x + 0y].

English: 
This means that the vector represented by
(-1) i-hat + 2 times j-hat
ends up at (-1) times the vector (1, -2) +
2 times the vector (3, 0).
Adding that all together, you can deduce that
it has to land on the vector (5, 2).
This is a good point to pause and ponder,
because it's pretty important.
Now, given that I'm actually showing you the full transformation,
you could have just looked to see the v has
the coordinates (5, 2),
but the cool part here is that this gives
us a technique to deduce where any vectors land,
so long as we have a record of where i-hat
and j-hat each land,
without needing to watch the transformation
itself.
Write the vector with more general coordinates
x and y,
and it will land on x times the vector where
i-hat lands (1, -2),
plus y times the vector where j-hat lands
(3, 0).
Carrying out that sum, you see that it lands
at (1x+3y, -2x+0y).

Turkish: 
Size herhangi bir vektör vereceğim,
sizse bana o vektörün nereye düştüğünü
bu formülle söyleyebileceksiniz.
Tüm bu anlattıklarım ışığında, iki boyutlu doğrusal dönüşüm,
sadece dört sayı ile tarif edilir:
i vektörünün düştüğü yer için 2 koordinat,
j vektörünün düştüğü yer için 2 koordinat.
Havalı değil mi?
bu koordinatları 2 ye 2 lik kutulara koymak yaygındır.
Bu kutulara 2'ye 2'lik. matrix denir.
Burada her bir sütunu, i ve j vektörlerinin nereye düştüklerini anlatan
özel iki vektör olarak yorumlayabilirsiniz.
Eğer bir doğrusal dönüşümü tarif eden bir 2 ye 2 lik bir matrix varsa elinizde
verilen bir vektörün
doğrusal dönüşümle nereye konumlanacağını bilmek isterseniz
bu vektörün koordinatlarını alıp,
matrix içerisindeki karşılık gelen sütunlarla çarpıp, toplamlarını alırsan, dönüşüm sonrası yerini bulursun bu vektörün.
Bu işlem, iki esnetilmiş asıl vektörün "toplanması" fikrine tekabül eder.
Daha genel bir şekilde bunun ne anlama geldiğine bakalım.

French: 
Je peux vous donner n'importe quel vecteur, et vous pouvez me dire où il se retrouve en utilisant la formule.
Ce que tout ça veut dire est qu'une transformation linéaire à deux dimensions
est complètement décrite par uniquement 4 nombres:
les deux coordonnées où se retrouve î
et les deux coordonnées où se retrouve ^j.
N'est ce pas cool?
C'est assez commun de ranger ces coordonnées en une grille de nombre de 2 par 2, appelé matrice 2 x 2,
où vous pouvez interprété les colonnes comme les vecteurs spéciaux où î et ^j se retrouvent chacun.
En ayant une matrice 2 x 2  décrivant une transformation linéaire
et un vecteur spécifique
et en voulant savoir où le vecteur se retrouve par la transformation linéaire,
vous pouvez prendre les coordonnées de ce vecteur
les multiplier par la colonne correspondante de la matrice, et ajouter les résultats.
Cela correspond à l'idée d'ajouter les versions à l'échelle de nos nouveaux vecteurs de base.
Regardons ce que ça donne dans le cas le plus général

Russian: 
Я даю вам любой вектор, а вы можете сказать, куда он попадет, используя эту формулу.
Это говорит о том, что линейное преобразование в 2D полностью задается четверкой чисел:
две координаты преобразованного i, и две координаты преобразованного j.
Разве это не здорово?
Обычно эти координаты записываются в таблицу чисел два на два, называемые "матрицей 2х2",
где колонками являются специальные векторы, в которые попадают i и j после преобразования
Если вам дана матрица 2х2, описывающая линейное преобразование, и некоторый выбранный вектор,
и вы хотите узнать, что это преобразование сделает с вектором, вы можете взять координаты вектора,
умножить на соответствующие столбцы матрицы, и сложить то, что вы получили.
Это совпадает с идеей сложения "масштабированных" преобразованных базисных векторов.

German: 
Ich gebe euch irgendeinen Vektor und ihr könnt mir sagen wo er landen wird, nur indem ihr diese Formel benutzt.
Das alles sagt letztendlich aus, dass eine zweidimensionale lineare Transformation
mit nur vier Zahlen vollständig beschrieben ist:
die zwei Koordinaten für î
und die zwei Koordinaten für ĵ.
Ist das nicht cool?
Allgemein schreibt man diese beiden Koordinaten in einem 2x2 Netz,
genannt eine 2x2 Matrix,
deren Spalten ihr interpretieren könnt als die besonderen Vektoren
auf denen î und ĵ landen.
Wenn dir eine 2x2 Matrix gegeben ist, die eine lineare Transformation beschreibt
und irgendeinen bestimmten Vektor
und du wissen willst, wo die lineare Transformation diesen Vektor hinschiebt,
kannst du die Koordinaten des Vektors nehmen
und sie mit den entsprechenden Spalten der Matrix multiplizieren
und dann die Ergebnisse addieren.
Das entspricht der Idee,
die skalierten Basisvektoren zu addieren.
Lasst uns das mal für den allgemeinsten Fall betrachten,

Chinese: 
我給你任何一個矢量，而你可以用這個公式來告訴我那個矢量停在什麽地方。
所有這個就是說一個2-維的綫性轉換
就完全只有4個數字來描述了
兩個i-hat上的坐標和兩個
j-hat上的坐標。
這不是很妙的嗎？
通常把這些坐標寫成2x2格式的數字
叫做2乘2矩陣，
你可以把連個列解釋為兩個特殊的
i-hat和j-hat所在的矢量。
如果給你一個描述著一個綫性轉換的2乘2的矩陣
以及某個矢量
而你想知道那個綫性轉換被那個矢量拿到哪裏去了，
你可以拿這矢量的坐標
把他們乘上相應矩陣的列然後把它們加起來就得出了。
這對應於把我們的新基本矢量加上乘過係數的矢量這樣的想法。
讓我們來看一下在最通用的情況下這看起來像是什麽

iw: 
אני אתן לך כל וקטור, ואתה תוכל להגיד לי, ע"י שימוש בנוסחה, איפה הוקטור הזה ינחת
מה שכל זה אומר זה שטרנספורמציה לינארית דו-מימדית
היא מתוארת לחלוטין רק ע"י ארבעה מספרים:
ה-2 קוארדינטות איפה ש-i כובע נוחת
ו-2 קוארדינטות איפה ש-j כובע נוחת.
האם זה לא מגניב?
זה נפוץ ל"ארוז" את הקוארדינטות האלה בארגז של מספרים 2 על 2, שנקרא מטריצה 2 על 2(2x2).
בעוד שאתה יכול לפרש את העמודות כ-2 וקטורים מיוחדים איפה ש-i כובע ו-j כובע נוחתים.
אם נתון לך מטריצה 2 על 2, המתארת טרנספורמציה לינארית
ואיזשהו וקטור מסוים
ואתה רוצה לדעת איפה הטרנספורמציה הלינארית הזאת לוקחת את הוקטור,
אתה יכול לקחת את הקוארדינטות של הוקטור
להכפיל אותן בעמודות המתאימות של המטריצה ואז לחבר ביחד את מה שתקבל.
זה מתאים לרעיון של חיבור גירסאות שונות של וקטורי הבסיס שלנו אשר הוכפלו בסקלר.
בוא נסתכל איך זה נראה עבור המקרה הכללי ביותר.

English: 
I give you any vector, and you can tell me
where that vector lands using this formula
what all of this is saying is that a two dimensional
linear transformation
is completely described by just four numbers:
the two coordinates for where i-hat lands
and the two coordinates for where j-hat lands.
Isn't that cool?
it's common to package these coordinates into a two-by-two grid of numbers,
called a two-by-two matrix,
where you can interpret the columns as the two special vectors
where i-hat and j-hat each land.
If you're given a two-by-two matrix describing
a linear transformation
and some specific vector
and you want to know where that linear transformation
takes that vector,
you can take the coordinates of the vector
multiply them by the corresponding columns
of the matrix, then add together what you get.
This corresponds with the idea of adding the
scaled versions of our new basis vectors.
Let's see what this looks like in the most
general case

Polish: 
Mogę Ci podać każdy wektor, a Ty odgadniesz gdzie wektor wyląduje używając tego wzoru.
Podsumowywując, dwu-wymiarowa transformacja liniowa
może być całkowicie opisana z użyciem tylko 4 liczb:
dwóch współrzędnych miejsca gdzie i-z-daszkiem wyląduje,
i dwóch współrzędnych miejsca gdzie j-z-daszkiem wyląduje
Czy to nie wspaniałe?
Zwykle układamy te współrzędne w tabliczkę 2 na 2, nazywaną macierzą 2-na-2,
gdzie można rozumieć kolumny jako dwa specjalne wektory
w których wylądują i-z-daszkiem i j-z-daszkiem.
Jeśli dostaniesz macierz 2-na-2 opisującą transformację liniową
i pewien konkretny wektor
i będziesz chciał wiedzieć gdzie transformacja liniowa zabierze ten wektor,
możesz wziąć współrzędne wektora,
pomnożyć je przez odpowiednie kolumny macierzy, a na koniec dodać do siebie rezultat.
Odpowiada to idei dodawania przeskalowanych wersji naszych wektorów bazowych.
Spójrzmy jak to wygląda w najbardziej ogólnym przypadku

Czech: 
Dám vám jakýkoli vektor, a vy můžete pomocí tohoto vzorečku určit, kam se zobrazí.
To vlastně znamená, že každá dvou-rozměrná lineární transformace
je plně určená pouze čtyřmi čísly:
dvěma souřadnicemi, kam půjde i,
a dvěma souřadnicemi, kam půjde j.
No, není to hustý?
Tyhle čtyři souřadnice se běžně zabalí do 2x2 mřížky čísel
zvané matice 2x2,
ve které můžete chápat sloupečky jako ty dva speciální vektory,
na které se přesunou bázové vektory.
Když dostanete matici 2x2, která popisuje lineární transformaci,
a nějaký konkrétní vektor
a chcete spočítat, co daná tranformace s daným vektorem udělá,
stačí vzít souřadnice vektoru,
vynásobit je příslušnými sloupečky matice, a výsledky sečíst.
To odpovídá představě sčítání vyškálovaných verzí našich nových bázových vektorů.
Podívejme se, jak to vypadá ve zcela obecném případě,

Japanese: 
任意のベクトルが与えられたら、この式で
そのベクトルの行き先が分かります。
これはつまり、
2次元の線形変換はちょうど4つの数字で
完全に記述できるということです。
i ベクトルの行き先である2次元の座標、
そして j ベクトルの行き先である 2 次元の座標です。
クールでしょう？
ふつう、これらの座標は 2×2 の数の格子に並べられ、
「2×2行列」と呼ばれます。
その各行は、i ベクトルと j ベクトル
それぞれのの行き先である
2つの特別なベクトルだと解釈できます。
線形変換を記述した2×2行列と
いくつかのベクトルを与えられ、
線形変換を記述した2×2行列と
ベクトルを与えられ、
その線形変換がそのベクトルを
どこに移すか知りたいときは、
ベクトルの座標を取り、
行列の対応する列に掛け、
得られたものを足し合わせます。
これは、新たな基底ベクトルのスカラー倍を
足し合わせるという考えに対応します。
最も一般的な場合ではどう見えるか見てみましょう。

Korean: 
제가 어떤 벡터를 제시하든, 당신은 이 공식을 계산을 하면 바로 결과벡터를 말할 수 있습니다.
이처럼 2차원 선형 변환을 통해 이 모든 것들이
오로지 4개의 숫자면 설명 가능합니다.
바로 변환된 i-hat 의 두 개의 좌표값과
변환된 j-hat 의 두 개의 좌표값이 그것입니다.
정말 멋지지 않나요?
이 좌표값들을 2x2 숫자형태로 표현하는게 일반적 입니다. 바로 2x2 행렬입니다.
행렬의 컬럼들을 i-hat, j-hat 두개의 특별한 벡터로 해석할 수 있습니다.
만약 당신이 선형 변환을 묘사하는 2x2 행렬과
어떤 벡터를 주어진다면,
당신은 선형변환이 이 벡터를 어디로 변환시킬지 궁금할 것입니다.
일단 벡터의 좌표값을 취한다음에,
행렬의 대응되는 컬럼에 곱해줍니다. 
그리고나서 합치면 얻을 수 있습니다.
이것은 변환후 새 기저 벡터들로 스케일링하고 합한다는 개념입니다.
일반적인 경우에 어떻게 되는지 살펴봅시다.

Portuguese: 
Eu te dou qualquer vetor e você pode me dizer onde ele cai depois da transformação usando essa fórmula.
O que tudo isso tá dizendo é que toda uma transformação linear de duas dimensões
pode ser representada só com quatro números:
As duas coordenadas de onde i termina depois da transformação
e as duas coordenadas de onde j termina depois da transformação.
Isso não é legal?
É comum a gente embalar essas coordenadas em uma matriz
chamada matriz dois por dois (2x2),
onde você pode entender as colunas como dois vetores especiais
onde i e j caem depois da transformação.
se você recebe uma matriz dois por dois que representa uma transformação linear
e algum vetor particular
e você quer saber pra onde essa transformação leva esse vetor,
você pode pegar as coordenadas do vetor e
multiplicá-las pela coluna adequada da matriz, depois adicionar os resultados.
Isso é o mesmo que adicionar as versões multiplicadas dos nossos novos versores (i e j).
Vamos ver como isso fica no caso mais generalizado

Modern Greek (1453-): 
Σας δίνω ένα οποιοδήποτε διάνυσμα, και μπορείτε να μου πείτε σε τι "μεταμορφώνεται", χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο.
Εκεί που θέλω να καταλήξω είναι ότι ένας δισδιάστατος γραμμικός μετασχηματισμός
μπορεί να περιγραφεί πλήρως από 4 μόνο αριθμούς:
τις δύο συντεταγμένες στις οποίες μετασχηματίζεται το î,
και τις δύο συντεταγμένες στις οποίες μετασχηματίζεται το ĵ.
Δεν είναι φοβερό;
Συχνά πακετάρουμε αυτές τις συντεταγμένες σε ένα 2x2 πλέγμα αριθμών, το οποίο ονομάζεται πίνακας 2x2,
όπου μπορείτε να ερμηνεύσετε τις στήλες ως τα δύο διανύσματα στα οποία μετασχηματίζονται τα î, ĵ.
Αν σας δοθεί ένας πίνακας 2x2 που περιγράφει έναν γραμμικό μετασχηματισμό,
και ένα συγκεκριμένο διάνυσμα
και θέλετε να μάθετε πώς μετασχηματίζεται το διάνυσμα από αυτόν,
μπορείτε να πάρετε τις συντεταγμένες του διανύσματος
να τις πολλαπλασιάσετε με τις αντίστοιχες στήλες του πίνακα, και ύστερα να προσθέσετε αυτό που θα πάρετε.
Αυτό είναι το ίδιο με το να παίρνετε τον γραμμικό συνδυασμό των μετασχηματισμένων διανυσμάτων βάσης.
Ας δούμε πώς φαίνεται αυτό στην πιο γενική περίπτωση,

Portuguese: 
Eu te dou um vetor qualquer, e você pode me dizer onde esse vetor vai parar usando essa fórmula
O que tudo isso está dizendo é que uma transformação linear de duas dimensões
é completamente descrita por apenas 4 números:
as duas coordenadas de onde î vai parar
e as duas coordenadas de onde ĵ vai parar.
Isso não é legal?
É comum resumirmos essas coordenadas em uma grade 2x2 de números, chamada de matriz 2x2,
onde você pode interpretar as colunas como dois vetores especiais onde î e ĵ vão parar respectivamente.
Se você recebe uma matriz 2x2 descrevendo uma transformação linear
e algum vetor específico
e você quer saber onde essa transformação linear leva o vetor,
você pode tomar as coordenadas do vetor
multiplicá-las pelas colunas correspondentes da matriz, e então somar o resultado.
Isso corresponde a ideia de somar as versões redimensionadas da nossa nova base de vetores.
Vamos ver o que isso parece no caso mais geral,

Spanish: 
Si les doy cualquier vector, me pueden decir dónde éste cae usando esa fórmula
Lo que nos dice todo esto es que una transformación lineal bidimensional
es completamente descrita por sólo cuatro números:
las dos coordenadas en donde cae "i"
y las dos coordenadas en donde cae "j".
¿no es eso fino?
Es común agrupar estas coordenadas en un arreglo de 2x2, llamado una matriz de 2x2,
donde pueden interpretar las columnas como los vectores donde caen "i" y "j" respectivamente.
Si les dan una matriz de 2x2 que describe una transformación
y algún vector específico
y quieren saber a dónde la transformación lleva a ese vector,
pueden tomar las coordenadas del vector
multiplicarlas por la columna respectiva de la matriz y luego sumar lo que obtengan.
Esto se corresponde con la idea de sumar las versiones "escaladas" de nuestros nuevos vectores base.
Veamos cómo se ve esto en el caso más general

Chinese: 
运用这个公式，我给你任意一个向量，你都能告诉我它在变换后的位置
以上这些内容是在说
一个二维线性变换仅由四个数字完全确定
变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标
是不是很酷？
通常我们将这些坐标包装在一个2×2的格子中，称它为2×2矩阵
你可以把它的列理解为两个特殊的向量，即变换后的i帽和j帽
如果你有一个描述线性变换的2×2矩阵，以及一个给定向量
你想了解线性变换对这个向量的作用
你只需要取出向量的坐标
将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后将结果相加即可
这与“缩放基向量再相加”的思想一致

English: 
where your matrix has entries a, b, c, d
and remember, this matrix is just a way of
packaging the information needed to describe
a linear transformation.
Always remember to interpret that first column,
(a, c),
as the place where the first basis vector
lands
and that second column, (b, d), is the place
where the second basis vector lands.
When we apply this transformation to some
vector (x, y), what do you get?
Well,
it'll be x times (a, c) plus y times (b, d).
Putting this together, you get a vector (ax+by,
cx+dy).
You can even define this as matrix-vector
multiplication
when you put the matrix on the left of the
vector
like it's a function.
Then, you could make high schoolers memorize
this,
without showing them the crucial part that
makes it feel intuitive.
But,
isn't it more fun to think about these columns
as the transformed versions of your basis
vectors
and to think about the results

iw: 
כשלמטריצה יש ערכים: a,b,c,d
ותזכור, המטריצה היא רק דרך אחת לארוז את המידע שאתה צריך תאר
שהוא טרנספורמציה לינארית
תמיד תזכור שפירוש העמודה הראשונה (a,c),
בתור המקום איפה שוקטור הבסיס הראשון נוחת
ושהעמודה השניה, (b,d) היא המקום איפה שהוקטור הבסיס השני נוחת.
כשאנחנו משתמשים בטרנספורמציה לינארית לוקטור כלשהו (x,y), מה אנחנו נקבל?
ובכן,
זה יהיה x כפול (a,c) ועוד y כפול (b,d).
תחשב אותם יחד ותקבל וקטור (ax+by, cx+dy).
אתה תוכל אפילו להגדיר את זה בתור הכפלה של מטריצה בוקטור.
כשאתה שם מטריצה מצד שמאל של הוקטור
כאילו זה פונקציה.
ואז, אתה יכול לעשות כמו שהרבה מורים עושים - וזה לשנן זאת,
מבלי להראות להם את החלק הקריטי שהופך את זה למשהו אינטואיטיבי.
אבל,
האם זה לא יותר כיף כאשר אתה חושב על העמודות הללו
בתור גירסאות שונות של וקטורי הבסיס שלך שעברו טרנספורמציה
ולחשוב על כל התוצאות

Spanish: 
donde nuestra matriz tiene valores"a", "b", "c" y "d"
y recuerden, esta matriz no es más que una forma de condensar la información necesaria para describir
una transformación lineal.
Seimpre recuerden interpretar esa primera columna, [a,c],
como el lugar donde cae nuestro primer vector base
y la segunda columna, [b,d], como el lugar donde cae el segundo vector base.
Cuando le aplicamos esta transformación a un vector [x,y] ¿qué obtienen?
Bueno,
será "x" por [a,c] más "y" por [b,d].
juntando esto, obtienen un vector [ax+by, cx+dy].
Inclusive pudieran definir esto como el producto matriz por vector
si escriben la matriz a la izquierda del vector
como si fuera una función.
Luego, pudieran hacer que los estudiantes memoricen esto,
sin mostrarles la parte crucial que hace que sea intuitivo.
Pero
¿no es acaso más divertido pensar en estas columnas
como la versión transformada de tus vectores base
y pensar en el resultado

Portuguese: 
onde sua matriz tem os termos a, b, c e d.
e lembre-se, essa matriz é só um jeito de embalar a informação que a gente precisa para representar
uma transformação linear.
Sempre se lembre de entender a primeira coluna (a, c)
como as coordenadas onde o primeiro vetor base (versor i) cai
e a segunda coluna (b, d) como as coordenadas do segundo vetor base (versor j)
Quando a gente aplicar essa transformação àquele vetor (x, y), o que a gente consegue?
Bem,
será x vezes (a, c) mais y vezes (b, d).
colocando tudo junto você consegue o vetor (ax+by, cx+dy)
Você pode até definir isso como uma multiplicação de um vetor com uma matriz
ao colocar a matriz à esquerda do vetor,
como se fosse uma função.
Daí você pode fazer estudantes do Ensino Médio memorizarem isso,
sem mostrar pra eles a parte crucial que faz isso ser intuitivo.
Mas
não é mais divertido pensar nessas colunas
como versões transformadas dos seus versores
e pensar sobre os resultados

Turkish: 
Bu durumda matrix; a,b,c,d değerlerine sahip olsun.
Unutma! bu matrix yalnızca bir 
doğrusal dönüşümü tarif etmek için gerekli,
bilgiyi paketleme yöntemi.
Daima birinci sütunu (a,c)
birinci asıl vektörün dönüşüm konumu,
ikinci sütunu ise (b,d) ikinci asıl vektörün düştüğü nokta olarak düşünmelisin.
Ve bu dönüşümü (x,y) vektörüne uyguladığımızda vektörün dönüştüğü konum ne olur?
Pekala,
x kere (a,c) + y kere (b,d) olur tabii ki.
iki vektörü birleştirip, (ax+by, cx+dy) vektörünü elde ederiz.
Hatta bunu vektör matrix çarpımı biçiminde de tanımlayabilirsin.
matrix i vektörün sol tarafına koyunca
bir işlev gibi olur.
Sonra, liselilere bunu ezberletebilir,
onlara konuyu kavramaları için gerekli içgörüyü kazandırmadan göstermiş olursun!
Fakat şimdi,
bu sütunları
asıl vektörlerin dönüşmüş biçimleri gibi düşünmek,
ve işlemin sonucunu

French: 
où la matrices à les entrées a, b, c, d
et rappelez-vous, cette matrice est juste une manière de ranger les informations dont on a besoin pour décrire
une transformation linéaire.
Il faut toujours interpréter cette première colonne, (a; c),
comme la place où le premier vecteur de notre base se retrouve
et la seconde colonne, (b; d), est la place où notre second vecteur de base se retrouve.
Quand nous appliquons cette transformation à un vecteur (x; y), qu'obtient-on ?
Bien, ce sera x * (a; c) + y * (b; d).
En mettant tout ça ensemble, on obtient le vecteur (ax + by; cx + dy).
Vous pouvez même définir ça comme une multiplication matrice-vecteur
quand vous mettez la matrice à la gauche du vecteur, comme une fonction
C'est possible de faire retenir à des élèves ça,
sans leur montrer la partie crucial qui le rend intuitif.
Mais, n'est-ce pas mieux de penser à ces colonnes
comme les versions transformées des vecteurs de la base
et penser aux résultats
comme la transformation linéaire appropriée à ces vecteurs?

German: 
wo die Matrix die Einträge a, b, c und d besitzt.
Und vergiss nicht,
diese Matrix ist nur ein Weg um die notwendigen Information einer linearen Transformation zu verpacken.
Erinnere dich immer daran,
die erste Spalte der Matrix (a,c) als Landeort für den ersten Basisvektor
und die zweite Spalte, (b,d) als Landeort des zweiten Basisvektors, zu interpretieren.
Wenn wir diese Transformation auf eine Vektor (x,y) anwenden,
was erhalten wir dann?
Es kommt x*(a,c)+y*(b,d) heraus.
Wenn man dies zusammenfasst, erhält man den Vektor
(ax+by, cx+dy)
Man kann das auch als Matrix-Vektor-Multiplikation definieren,
wenn man die Matrix links vom Vektor setzt, als wäre es eine Funktion.
Dann kann man das Abiturienten zum Auswendiglernen geben,
ohne ihnen den entscheidenden Teil zu zeigen, der es intuitiv erscheinen lässt.
Ist es aber nicht interessanter, die Spalten als die transformierten
Versionen der Basisvektoren anzusehen?
Und das Ergebnis als die entsprechende
lineare Kombination der Vektoren anzusehen?

Chinese: 
在那裏你的矩陣有著項a, b, c, d
而記住，這個矩陣不過只是包裝著需要
來描述一個綫性轉換的信息的一種方法。
永遠要記住把第一個列，（a,c）解釋
出第一個基本矢量停下的地方
而第二個列，（b,d）是第二個基本矢量停下的地方。
如果我們把這個變換施加到某個矢量（x,y），你會得出什麽呢？
好吧，
這將是x乘以（a,c）加上y乘以（b,d）
把這放在一起，你得到一個矢量（ax+by, cx+dy）.
你甚至可以把這個定義為矩陣-矢量的乘法如果你
像是它的一個函數
把矩陣放在這矢量的左面。
然後，你可能使一些中學生記住這個，
而不給他們看這使它有直感的關鍵部分。
但是，
這難道不是更有趣來想一下把這些列
作爲你的變換過的基本矢量的版本
並來考慮一下這些結果作爲

Czech: 
kde má matice položky a, b, c, d.
Pamatujte, že matice je jenom způsob, jak dát dohromady informace, které potřebujeme k popsání
lineární transformace.
Musíme si pamatovat, že první sloupeček (a,c)
udává to místo, kam půjde první bázový vektor,
a druhý sloupeček (b,d), udává místo, kam půjde druhý bázový vektor.
Když pustíme transformaci na nějaký vektor (x,y), co nám vyjde?
Inu,
bude to x krát (a,c) plus y krát (b,d).
Dohromady dostáváme vektor
(ax+by, cx+dy).
Takto dokonce můžeme definovat násobení matice a vektoru,
když napíšete matici doleva od vektoru,
jako by to byla funkce.
Pak můžete nechat středoškoláky, aby se ten vzoreček naučili nazpaměť
bez toho, abyste jim ukázali klíčovou část, která je na tom intuitivní.
Ale...
není větší zábava si představovat tyhle sloupečky
jako transformované verze bázových vektorů
a výsledek

Korean: 
행렬의 인자가 a, b, c, d 로된 일반적인 경우를 말이죠.
기억하세요. 이 행렬은 단순히 형태를 잡은 것일 뿐입니다.
바로 선형 변환을 나타낼 뿐입니다.
항상 해석할때는 다음을 기억하세요.
첫번째 열 (a, c) 은
첫번째 기저벡터의 도착점이고,
그리고 두 번째 열 (b, d) 는, 
두 번째 기저벡터의 도착점입니다.
이 변환을 어떤 벡터(x, y) 에 적용하면 어떨 결과를 얻게될까요?
글쎄요.
그것은 (a, c) 의 x 배, 더하기, (b, d) 의 y 배 일 것입니다.
결론은 (ax+by, cx+dy) 벡터를 얻습니다.
당신은 행렬-벡터 곱셈으로 이와 똑같은 연산을 할 수 있습니다.
벡터 왼쪽에 행렬을 놓게되면,
이 행렬은 함수와 같아집니다.
그리고, 당신이 고등과정 학생에게 이것을 암기하게 할 수 있을 겁니다.
직관적으로 느꼈던 핵심부분을 보여주지 않고도 말입니다.
그러나,
행렬의 열을 이렇게 생각하는게 더 재밌습니다.
기저벡터의 변환된 형태로서 말입니다.
그리고 그 결과를 생각할때는

Modern Greek (1453-): 
όπου ο πίνακάς σας έχει ως στοιχεία τα a, b, c, d
και θυμηθείτε, αυτός ο πίνακας είναι απλά ένας τρόπος να πακετάρουμε τις πληροφορίες που χρειάζονται
για την περιγραφή ενός γραμμικού μετασχηματισμού.
Πάντα να θυμάστε να ερμηνεύετε την πρώτη στήλη, (a, c),
ως το διάνυσμα στο οποίο μετασχηματίζεται το πρώτο διάνυσμα βάσης
και τη δεύτερη στήλη (b, d), ως το διάνυσμα στο οποίο μετασχηματίζεται το δεύτερο διάνυσμα βάσης.
Όταν εφαρμόσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό σε κάποιο διάνυσμα (x, y), τι παίρνουμε;
Λοιπόν,
αυτό θα είναι x φορές το (a, c) συν y φορές το (b, d).
Βάζοντάς τα μαζί, παίρνουμε ένα διάνυσμα (ax + by, cx + dy).
Μπορείτε ακόμη να το ορίσετε αυτό ως έναν πολλαπλασιασμό πινάκων-διανυσμάτων,
εάν βάλετε τον πίνακα στα αριστερά του διανύσματος
σαν να πρόκειται για μια συνάρτηση.
Τότε, θα μπορούσατε να το μάθετε αυτό και στα παιδιά του λυκείου,
χωρίς να τους δείξετε το κρίσιμο διαισθητικό κομμάτι.
Όμως,
δεν είναι πιο διασκεδαστικό να σκέφτεστε αυτές τις στήλες
σαν τις μετασχηματισμένες εκδοχές των διανυσμάτων βάσης,
και να σκέφτεστε τα αποτελέσματα ως τους

Russian: 
Посмотрим, как это работает в самом общем случае, когда матрица имеет в своих ячейках числа a, b, c, d.
И помните, эта матрица – всего упаковка для информации о линейном преобразовании.
Думайте о первом столбце [a;c] как о результате преобразования первого базисного вектора,
и о втором столбце [b;d] как о результате преобразования второго базисного вектора.
Если мы применим это преобразование к какому-либо вектору [x;y], что мы получим?
Ну, это будет x*[a;c] + y*[b;d].
Собирая это вместе, получаем вектор [ax+by; cx+dy].
Можно даже определить это как умножение матрицы на вектор, когда матрица стоит слева от вектора, словно это функция.
Тогда, можно заставить студентов заучить это, не показывая важнейшую среднюю часть, благодаря которой определение становится интуитивным.
Но разве не веселее думать о столбцах, как о преобразованных базисных векторах,
и о результате преобразования, как о данной линейной комбинации этих векторов?

Chinese: 
更一般的情况下，我们来看看矩阵是[[a, b], [c, d]]时会发生什么
记住，矩阵在这里只是一个记号，它含有描述一个线性变换的信息
把第一列(a, c)看作是变换后的第一个基向量
把第二列(b, d)看作是变换后的第二个基向量
我们让这个变换作用于向量(x, y)，结果是什么？
那就应该是x乘以(a, c)加上y乘以(b, d)
合并之后，得到向量(ax+by, cx+dy)
你甚至可以把它定义为矩阵向量乘法
这里矩阵放在向量左边，类似一个函数
即便你不展示其中直观的关键部分，高中生也能记住它
但是我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量
把矩阵向量乘法看作它们的线性组合，这样想不是更有意思吗？

Japanese: 
行列の要素を a, b, c, d として。
この行列は、線形変換を記述するのに必要な情報を
まとめただけのものであることに注意してください。
この行列は、線形変換を記述するのに必要な情報を
まとめただけのものであることに注意してください。
最初の列 (a, c) は
最初の基底ベクトルの行き先で、
そして、第2列 (b, d) は、
2番目の基底ベクトルの行き先です。
この線形変換をベクトル (x, y) に適用したら、
何が得られるでしょうか？
まあ、
それは x (a, c) + y (b, d) になるでしょう。
これをまとめると、ベクトル
(ax+by, cx+dy) が得られます。
これを行列とベクトルの積として定義できます。
関数のように、
行列をベクトルの左側に置いたときに。
関数のように、
行列をベクトルの左側に置いたときに。
そして、これは高校生に
暗記してもらうこともできます。
これが直感的に感じられる重要な部分を
見せることなく。
だけど、
これらの列を基底ベクトルの行き先と考え、
これらの列を基底ベクトルの行き先と考え、
計算結果をそれらのベクトルの
適切な線形結合だと考えた方が、
楽しくはありませんか？

Polish: 
gdy nasza macierz ma wpisy a,b,c,d
i pamiętaj, ta macierz to tylko sposób ułożenia informacji potrzebnej do opisania
transformacji liniowej.
Zawsze pamiętaj by wyobrażać sobie pierwszej kolumny, (a,c),
jako miejsca gdzie ląduje pierwszy wektor bazowy,
i drugiej kolumny, (b,d) jako miejsca gdzie ląduje drugi wektor bazowy.
Kiedy zastosujemy tę transformatę dla pewnego wektora (x,y), co otrzymamy?
Cóż,
będzie to x razy (a,c) plus y razy (b,d).
Łącząc to razem, dostajesz wektor (ax+by, cd+dy)
Możemy to zdefiniować jako mnożenie macierzy przez wektor,
takie że dajemy macierz na lewo od wektora
tak jakby to była funkcja.
W ten sposób możemy sprawić by studenci zapamiętali to,
bez pokazywania zasadniczej części która sprawia że staje się to intuicyjne.
Ale,
czy nie jest zabawniej myśleć o tych kolumnach
jako o przetransformowanych wersjach wektorów bazowych
i myśleć o wyniku
jako właściwej kombinacji liniowej tych wektorów?

Portuguese: 
quando a sua matriz tem entradas a, b, c, d,
e lembre-se, essa matriz é só um jeito de resumir a informação necessária para descrever uma transformação linear.
Sempre se lembre de interpretar essa primeira coluna, (a, c),
como o lugar onde o primeiro vetor base vai parar
e a segunda coluna, (b, d),
como o lugar onde o segundo vetor base vai parar.
Quando nós aplicamos essa transformação a algum vetor (x, y), o que temos?
Bom, ele vai ser x vezes (a, c) mais y vezes (b, d).
Juntando tudo isso, você consegue um vetor (ax+by, cx+dy).
Você pode até definir isso como a multiplicação de matriz por vetor
quando você coloca a matriz na esquerda do vetor
como se fosse uma função.
Então, você poderia fazer estudantes do ensino médio memorizarem isso,
sem mostrar a eles a parte crucial que faz parecer intuitivo!
Mas não é mais divertido pensar nessas colunas
como versões transformadas dos seus vetores base
e pensar nos resultados
como a combinação linear apropriada daqueles vetores?

Spanish: 
como la combinación linal apropiada de esos vectores?
Practiquemos describir las transformaciones lineales con matrices
Por ejemplo,
si rotamos todo el espacio 90º en contra de las agujas del reloj
entonces "i" termina en las coordenadas [0,1]
y "j" termina en las coordenadas [-1,0].
Así que la matriz con la que terminamos
tiene columnas [0,1] y [-1,0].
Para averiguar qué le pasa a cualquier vector después de una rotación de 90º,
pudieran simplemente multiplicar sus coordendas por esta matriz.
Esta es una transformación con un nombre especial en inglés, se llama un "shear".
En ella "i" se mantiene fijo
por lo que la primera columna de la matriz es [1,0],
pero "j" se mueve a las coordenadas [1,1]
que sería la segunda comlumna de la matriz.
y, arriesgándome a ser un poco redundante,
averiguar como un "shear" transforma a un vector dado
se reduce a multiplicar esta matriz por ese vector.
Digamos que queremos ir en el otro sentido,

Russian: 
Давайте попрактикуемся в описании некоторых линейных преобразований с помощью матриц.
Например, если мы повернем всё пространство на 90° против часовой стрелки,
вектор i станет вектором с координатами [0;1],
а вектор j станет вектором с координатами [-1;0].
То есть, мы получаем матрицу с колонками [0;1] и [-1;0].
Чтобы повернуть любой вектор на 90°, можно просто умножить эту матрицу на его координаты.
Вот забавное преобразование с особым названием - "сдвиг".
Оно фиксирует вектор i, так что первая колонка матрицы - [1;0],
но j сдвигается в [1;1], что становится второй колонкой матрицы.
Повторяясь, скажу: чтобы преобразование любого вектора, сводится к умножению матрицы преобразования на этот вектор.
Допустим, мы хотим пойти по обратному пути.

English: 
as the appropriate linear combination of those
vectors?
Let's practice describing a few linear transformations
with matrices.
For example,
if we rotate all of space 90° counterclockwise
then i-hat lands on the coordinates (0, 1)
and j-hat lands on the coordinates (-1, 0).
So the matrix we end up with has columns
(0, 1), (-1, 0).
To figure out what happens to any vector after
90° rotation,
you could just multiply its coordinates by
this matrix.
Here's a fun transformation with a special
name, called a “shear”.
In it, i-hat remains fixed
so the first column of the matrix is (1, 0),
but j-hat moves over to the coordinates (1,1)
which become the second column of the matrix.
And, at the risk of being redundant here,
figuring out how a shear transforms a given
vector
comes down to multiplying this matrix by that
vector.
Let's say we want to go the other way around,

Turkish: 
uygun doğrusal dönüşüm şeklinde düşünmek daha keyifli değil mi?
Matrislerle bir takım doğrusal dönüşümler tarif ederek alıştırma yapalım.
Örneğin,
eğer, tüm uzayı saatin tersi yönünde 90° döndürürsek,
i vektörü (0,1) koordinatına,
ve j vektörü de (-1,0) koordinatına dönüşür.
Dolayısıyla, bu dönüşüm için gerekli matrix (0,1),(-1,0) olur.
Herhangi bir vektör, 90° lik bir dönüş sonrası nerede oluru bulmak için,
vektörün koordinatlarını bu matrix ile çarpmak yeterlidir.
Özel, "shear" isminde ismi de olan bir dönüşüm, buyrun.
i vektörü yerinde kalır,
bu durumda, matrix in ilk sütunu (1,0) olur,
fakat j vektörü, (1,1) notkasına gider ki,
matrix in ikinci noktası da bu olur.
Gereksiz olması riskini de alarak tekrar söyleyeyim,
bu dönüşümün verilen bir vektör için nasıl olduğunu bulmak,
matrix in bu vektör ile çarpımı ile mümkün olur.
Bir de diğer açıdan bakmak istesek;

Polish: 
Poćwiczmy opisując kilka transformacji liniowych z macierzami.
Dla przykładu,
jeśli obrócimy przestrzeń o 90° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara,
wtedy i-z-daszkeim ląduje we współrzędnych (0,1),
a j-z-daszkiem ląduje na współrzędnych (-1,0).
Zatem wynikowa macierz ma kolumny: (0,1), (-1,0).
By obliczyć co się stanie z dowolnym wektorem po obrocie o 90°,
możemy po prostu pomnożyć jego współrzędne przez tą macierz.
Ta z kolei zabawna transformacja ma specjalną nazwę: "shear" (ścinanie)
W niej i-z-daszkiem pozostaje na swoim miejscu,
stąd pierwsza kolumna macierzy to (1,0),
ale j-z-daszkiem przesuwa się na współrzędne (1,1),
i staje się drugą kolumną macierzy.
I na ryzyko bycia niepotrzebnym tutaj,
odgadnięcie jak "shear" (ścinanie) transformuje dany wektor
sprowadza się do pomnożenia macierzy przez ten wektor.
Idąc od tyłu, moglibyśmy

Chinese: 
這些矢量的適當的綫性組合。
讓我們來練習一下用矩陣描述幾個綫性變換。
例如，
如果我們把所有的空間逆時針轉過90度
然後i-hat就停在坐標（0,1）上
而j-hat就停在坐標（-1,0）上。
所以我們得到這矩陣的列（0,1）,（-1,0）
要算出任何矢量經過90度的轉動之後會發生什麽，
你就可以把它的坐標乘以這個矩陣。
有一個有著特殊的名字叫做一個“剪切”的變換。
在其中，i-hat保持固定的
因此矩陣的第一個列是（1,0）
但是j-hat移動到坐標（1,1）
這成爲矩陣的第二個列。
而在這裏為了避免重復，
想出一個剪切怎樣變換一個給定的矢量，
就歸到來把這個矩陣乘以那個矢量。
我們假定要反過來做，

Portuguese: 
como a combinação linear apropriada desses vetores?
Vamos praticar representar algumas transformações lineares com matrizes.
Por exemplo,
se a gente rodar todo o espaço noventa graus pro sentido anti-horário;
daí i cai nas coordenadas zero, um (0, 1)
e j cai nas coordenadas menos um, zero. (-1, 0)
Então a matriz que a gente consegue tem as colunas (0, 1) e (-1, 0).
Para entender o que acontece com qualquer vetor depois de um giro de noventa graus,
você só precisa multiplicar esse vetor com essa matriz.
Essa aqui é uma transformação divertida com uma nome especial, que infelizmente não tem uma tradução para português
nela, i fica no lugar
então a primeira coluna da matriz é um, zero (1, 0)
mas j vai pra coordenada um, um (1, 1),
que vira a segunda coluna da matriz.
E correndo o risco de ser redundante aqui,
para descobrir como essa transformação afeta algum vetor
é só multiplicar essa matriz por esse vetor.
Digamos que queremos fazer o contrário,

Portuguese: 
Vamos praticar descrevendo algumas poucas transformações lineares com matrizes
Por exemplo,
se nós rotacionarmos todo o espaço em 90 graus anti-horário
então î vai parar nas coordenadas (0, 1)
e ĵ vai parar nas coordenadas (-1, 0).
Então a matriz com a qual ficamos é a que tem colunas
(0, 1), (-1, 0).
Para descobrir o que acontece com qualquer vetor depois de uma rotação de 90 graus,
você pode simplesmente multiplicar suas coordenadas por essa matriz.
Aqui está uma transformação divertida com um nome especial, chamada de "cisalhamento".
Nela, î permanece fixo
então a primeira coluna da matriz é (1, 0),
mas ĵ se move para as coordenadas (1, 1)
as quais se tornam a segunda coluna da matriz.
E, correndo o risco de ser redundante aqui,
descobrir como um cisalhamento transforma um determinado vetor
é a mesma coisa que multiplicar essa matriz por esse vetor.
Digamos que queremos fazer o contrário,

Japanese: 
計算結果をそれらのベクトルの
適切な線形結合だと考えた方が、
楽しくはありませんか？
いくつかの線形変換を行列で記述してみましょう。
例えば、
空間全体を反時計回りに90度回転させると、
i ベクトルは座標 (0, 1) に、
j ベクトルは座標 (-1, 0) に移ります。
よって、最終的に得られる行列は
列 (0, 1), (-1, 0) を持っています。
90°回転した後、
任意のベクトルがどうなるかを知るには、
単にその座標にこの行列を掛ければ良いのです。
ここに、「せん断」と呼ばれる
面白い変換があります。
ここでは、i ベクトルは固定されたままで、
従って行列の最初の列は (1, 0) です。
しかし、j ベクトルは座標 (1, 1) に移動します。
これが行列の2列目になります。
そして、もう冗長かもしれませんが、
せん断が与えられたベクトルをどう変換するか
考えることは、
そのベクトルにこの行列を掛けることになります。
別の方向から考えてみるとしましょう。

Modern Greek (1453-): 
κατάλληλους γραμμικούς συνδυασμούς αυτών των διανυσμάτων;
Ας εξασκηθούμε με το να περιγράψουμε μερικούς γραμμικούς μετασχηματισμούς μέσω πινάκων.
Για παράδειγμα,
αν περιστρέψουμε όλο τον χώρο αντίθετα προς τη φορά του ρολογιού
τότε το î γίνεται το διάνυσμα (0, 1)
και το ĵ γίνεται το διάνυσμα (-1, 0).
Οπότε ο πίνακας στον οποίο καταλήγουμε έχει ως στήλες
τα (0, 1), (-1, 0).
Για να βρούμε τι συμβαίνει σε οποιοδήποτε διάνυσμα μετά από μία περιστροφή κατά 90°,
θα μπορούσαμε απλά να πολλαπλασιάσουμε τις συντεταγμένες του με αυτόν τον πίνακα.
Να ένας μετασχηματισμός που έχει πλάκα, η λεγόμενη στρέβλωση (shear).
Στη στρέβλωση το î παραμένει σταθερό
οπότε η πρώτη στήλη του πίνακα είναι το (1, 0),
όμως το ĵ μετακινείται στις συντεταγμένες (1, 1)
η οποία αποτελεί τη δεύτερη στήλη του πίνακα.
Και, με το ρίσκω να γίνω κουραστικός τώρα,
το να βρείτε πώς η στρέβλωση μετασχηματίζει οποιοδήποτε δοθέν διάνυσμα
έγκειται στο να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον πίνακα με αυτό το διάνυσμα.
Ας πούμε ότι θέλουμε να εργαστούμε ανάποδα,

Chinese: 
接下来我们练习用矩阵描述一些线性变换
比如说，我们将整个空间逆时针旋转90度
那么i帽落在坐标(0, 1)上
j帽落在坐标(-1, 0)上
那么这个矩阵的列就分别是(0, 1)和(-1, 0)
如果想算出任意向量在逆时针旋转90度后的位置
你只需要把它与矩阵相乘即可
这里还有一个有趣的变换，它有个特殊的名称叫“剪切”
在这个变换里，i帽保持不变，所以矩阵第一列为(1, 0)
但是j帽移动到了坐标(1, 1)，所以矩阵第二列为(1, 1)
（可能有些啰嗦，但还是说一下） 为了计算出给定向量在剪切变换后的位置
只需要将矩阵与这个向量相乘即可
再比如说你想反过来看看问题

iw: 
בתור צירוף לינארי מתאים של הוקטורים הללו?
בוא נתאמן על תיאור כמה טרנספורמציה לינאריות ע"י מטריצה.
לדוגמא,
אם נסובב את המרחב ב-90 מעלות כנגד כיוון השעון
ואז ה-i כובע נוחת על הקוארדינטות (0,1)
ו-j כובע נוחת על הקוארדינטות (1,0-)
אז העמודות במטריצה שנקבל היא:
.(0, 1), (-1, 0)
כדי להבין מה יקרה לכל וקטור, לאחר סיבוב של 90 מעלות
אתה פשוט יכול להכפיל את הקוארדינטות הללו במטריצה.
הנה טרנספורמציה כיפית עם שם מיוחד, נקראת "Shear"
בטרנספורמציה הזו, ה-i כובע נשאר במקום
כך שהעמודה הראשונה של המטריצה היא (1,0),
אבל ה-j כובע נע על הקוארדינטות (1,1)
מה שהופך להיות העמודה השניה של המטריצה.
ו... , בסיכון שזה יהיה מיותר כאן,
ההבנה של איך הטרנספורמציית SHEAR עובדת(עושה טרנספורמציה) על וקטור נתון
בסופו של דבר היא הכפלה של המטריצה בוקטור הזה.
בוא נגיד שאנחנו רוצים ללכת בדרך השניה מסביב,

French: 
Entrainons-nous à décrire quelques transformations linéaires avec des matrices.
Par exemple,
si nous faisons une rotation de 90° dans le sens contraire à la montre
alors î se retrouve aux coordonnées (0; 1)
et ^j se retrouve aux coordonnées (-1; 0).
Alors on obtient la matrice avec les colonnes (0; 1), (-1, 0).
Pour savoir ce qui arrive à tout vecteur après une rotation de 90°
vous pouvez juste multiplier ses coordonnées par la matrice.
Voici une transformation appelée transvection.
En elle, î reste fixe
alors la première colonne de la matrice est (1; 0),
mais ^j se retrouve aux coordonnées (1; 1)
qui devient la seconde colonne de la matrice.
Et, au risque d'être redondant ici,
savoir comment une transvection modifie un vecteur donné
revient à multiplier la matrice par ce vecteur.
Disons que nous voulons aller dans la direction contraire

Czech: 
jako příslušnou lineární kombinaci těchto vektorů?
Procvičme si to na několika lineárních transformacích s maticemi.
Například,
když otočíme celou rovinu o 90° doleva,
tak i přistane na souřadnicích (0,1)
a j dopadne na (-1,0).
Takže naše matice bude mít sloupečky
(0,1), (-1,0).
Abychom zjistili, co se stane s obecným vektorem po takovém otočení,
můžeme vynásobit jeho souřadnice touto maticí.
Dále máme zábavnou transformaci zvanou "zkosení".
Při ní zůstává i na místě,
takže první sloupec matice je (1,0),
ale j se posune na souřadnice (1,1),
což bude tvořit druhý sloupeček matice.
A, i když to asi ani nemusím říkat,
když chcete spočítat, co udělá zkosení s obecným vektorem,
pronásobíte daný vektor touto maticí.
Zkusme se na to podívat z druhé strany,

Korean: 
이 변환된 벡터들의 선형조합으로 여기것이 더 재밌습니다.
몇가지 선형 변환을 나타내는 행렬을 가지고 연습을 해봅시다.
예를 들어,
만약 모든 공간을 90 ° 시계 반대 방향으로 회전시키면,
i-hat 벡터의 좌표값은 (0, 1) 가 되고,
j-hat 벡터의 좌표값은 (-1, 0)이 됩니다.
그래서 결론으로 얻은 행렬은
(0, 1), (-1, 0) 입니다.
90 ° 회전 한 후 다른 벡터들이 어떻게되는지 파악하기 위해,
단순히 이 행렬을 곱하기만 하면 됩니다.
여기 "shear"라는 특별한 이름을 가진 흥미로운 변환이 있습니다.
이 변환에서, i-hat 은 변하지 않아서
따라서 행렬의 첫번째 열은 (0, 1) 이지만,
그러나 j-hat 은 (1,1) 위치로 변합니다.
이것이 매트릭스의 두 번째 열이 됩니다.
불필요하게 반복하는 것 같지만?,
이 shear 변환이 벡터를 어떻게 변환시키는지 알아내는 것은
이 행렬에 벡터를 곱해 나가는 것과 같습니다.
다른 방향으로 생각해봅시다.

German: 
Lasst uns mal üben, wie man lineare Transformationen mit Matrizen beschreibt.
Zum Beispiel:
Wenn wir den gesamten Raum um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen
dann landet î auf den Koordinaten (0,1)
und ĵ landet auf den Koordinaten (-1,0).
Also ergibt sich die Matrix mit den Spalten
(0,1) und (-1,0)
Um herauszufinden, was mit irgendeinem Vektor nach einer 90° Drehung passiert,
kann man einfach die Koordinaten des Vektors mit der Matrix multiplizieren.
Hier ist mal eine lustige Transformation, die den besonderen Namen "Schere" trägt.
In dieser, bleibt î fixiert, so dass die erste Spalte der Matrix (1,0) ist.
Aber ĵ landet bei den Koordinaten (1,1)
was zur zweiten Spalte der Matrix wird.
Ohne etwas wichtiges weglassen zu wollen,
um herauszufinden wie die "Schere" einen gegebenen Vektor transformiert
muss man die Matrix mit dem gegebenen Vektor multiplizieren.
Sagen wir, wir wollen den umgekehrten Weg gehen.

Chinese: 
从一个矩阵出发，比如说一个以(1, 2)和(3, 1)为列的矩阵
你想推测出它代表的线性变换是什么样的
暂停思考一下，看看你能不能想象到
这里给出一种办法：首先将i帽移动到(1, 2)，然后将j帽移动到(3, 1)
空间其他剩余部分随二者一起移动，以保持网格线平行且等距分布
如果变换后的i帽和变换后的j帽是线性相关的
回顾上期视频的内容，意味着其中一个向量是另一个的倍数
那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在一条直线上
也就是这两个线性相关向量所张成的一维空间
总之，线性变换是操纵空间的一种手段
它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动
令人高兴的是，这种变换只需要几个数字就能描述清楚

French: 
commençons par la matrice avec les colonnes (1; 2) et (3; 1),
et nous voulons déduire ce à quoi sa transformation ressemble.
Mettez pause et prenez un moment pour voir si vous pouvez l'imaginer.
Une manière de le faire
est d'abord de déplacer $i vers (1; 2).
Puis, déplacer ^j vers (3;1).
En déplaçant toujours le reste de l'espace de la même manière
ce qui conserve les lignes de la grille parallèles et uniformément espacées
Si les vecteurs où se retrouvent î et ^j sont linéairement indépendant
ce qui, si vous vous rappelé de la dernière vidéo,
veut dire que l'un est une mise à l'échelle de l'autre.
Ce qui veut dire que la transformation linéaire aplatit tout l'espace en 2 dimensions
sur la ligne où ces deux vecteurs se retrouvent,
aussi connu sous le nom de couverture unidimensionnelle
de ces deux vecteurs linéairement dépendant.
Pour résumer, les transformations linéaires
sont une manière de déplacer l'espace
tel que les lignes de la grille restent parallèles et uniformément espacées
et tel que l'origine reste fixe.
De charmante manière,
ces transformations peuvent être décrites en utilisant uniquement une poignée de nombres.

Russian: 
Начнем с матрицы, например, с колонками [1;2] и [3;1], и попробуем узнать, как выглядит соответствующее ей преобразование.
Остановитесь на время и подумайте, можете ли вы себе это представить.
Один способ это сделать - сначала переместить вектор i в [1,2],
а потом вектор j в [3,1], всегда перемещая остальное пространство так,
чтобы линии сетки были параллельны между собой и равноудалены друг от друга.
Если векторы i и j становятся линейно зависимыми, что, если вы вспомните предыдущее видео, значит,
что один из них является растянутой версией другого, то линейное преобразование сожмёт
всё двумерное пространство в прямую, на которой лежат эти два вектора,
иначе известную, как одномерная линейная оболочка этих двух линейно зависимых векторов.
Подводя итоги, линейное преобразование – это способ перемещать пространство так,
что линии сетки остаются параллельными и равноудаленными друг от друга
и так, что начало отсчета остается на месте.
Восхитительно, что эти преобразования описываются только несколькими числами –

English: 
starting with the matrix, say with columns
(1, 2) and (3, 1),
and we want to deduce what its transformation
looks like.
Pause and take a moment to see if you can
imagine it.
One way to do this
is to first move i-hat to (1, 2).
Then, move j-hat to (3, 1).
Always moving the rest of space in such a
way
that keeps grid lines parallel and evenly
spaced.
If the vectors that i-hat and j-hat land on
are linearly dependent
which, if you recall from last video,
means that one is a scaled version of the
other.
It means that the linear transformation squishes
all of 2D space
on to the line where those two vectors sit,
also known as the one-dimensional span
of those two linearly dependent vectors.
To sum up, linear transformations
are a way to move around space
such that the grid lines remain parallel and
evenly spaced
and such that the origin remains fixed.
Delightfully,
these transformations can be described using
only a handful of numbers.

iw: 
נתחיל עם המטריצה, למשל עם העמודות (1,2) ו-(3,1),
ואנחנו רוצים להסיק איך הטרנספורמציה הזאת נראית בכלל.
תפסיק לרגע את הסירטון ותיקח רגע לראות אם אתה יכול לדמיין את זה.
דרך אחת לעשות זאת
זה קודם להזיז את i-כובע ל-(1,2).
ואז, להזיז את j-כובע ל-(3,1).
תמיד להזיז את שאר המרחב בצורה כזו ש..
שהיא שומרת על קווי הרשת מקבילים והמרווחים בין הקווים נשארים שווים
אם הוקטורים של i-כובע ו-j-כובע נוחתים הם תלויים לינארית
מכיוון, שאם אתה זוכר מהסירטון האחרון,
זה אומר שאחד מהם הוא גירסה של הוקטור השני שפשוט הוכפל בסקלר(למשל בסירטון העמודה הימנית היא כפל בסקלר מינוס אחד של הוקטור בעמודה השמאלית).
זה אומר שטרנספורמציה לינארית מועכת את כל המרחב הדו-מימדי
לקו איפה שהשני וקטורים הללו יושבים,
ידוע בתור הקבוצה הפורשת במרחב החד-מימדי
של שני הוקטורים הללו שתלויים לינארית.
לסיכום, טרנספורמציות לינארית
הן דרך לזוז במרחב
כך שהקווי הרשת נשארית מקבילים ועם מרווחים שווים זה מזה
וכך שראשית הצירים שלהם נשאר במקום.
באופן משמח.
אפשר לתאר את הטרנספורמציות הללו ע"י שימוש בכמה מספרים בלבד.

German: 
Sei die Matrix schon gegeben, mit den Spalten (1,2) und (3,1)
und wir nun herausfinden wollen, wie dessen Transformation aussieht.
Pausiere das Video und versuche dir vorzustellen wie sowas aussehen könnte.
Ein möglicher Weg ist, î nach (1,2) zu verschieben
und dann ĵ nach (3,1) zu verschieben.
Dabei muss der restliche Raum so bewegt werden, so dass die Gitterlinien parallel und im gleichen Abstand bleiben.
Wenn die Vektoren wo î und ĵ landen linear abhängig sind
was - wenn man sich an das letzte Video erinnert bedeutet - dass der eine, eine skalierte Version des anderen ist,
wird durch die lineare Transformation, der gesamte 2-Dimensionale Raum
auf die Gerade zerdrückt auf welcher die Vektoren liegen.
Auch bekannt, als der eindimensionale Span der linear abhängigen Vektoren.
Um es zusammenzufassen:
Lineare Transformationen sind eine Möglichkeit um den Raum zu bewegen,
so dass die Gitterlinien parallel und den gleichen Abstand zu einander haben
und dass der Ursprung fixiert bleibt.
Wunderbarer Weise, können diese Transformationen mit nur einer Handvoll Zahlen beschrieben werden,

Spanish: 
empezamos con una matriz, digamos con columnas [1,2] y [3,1],
y queremos deducir cómo se ve la transformación.
Pausen y tómense un segundo para ver si pueden imaginárselo.
Una forma de hacerlo
es primero mover "i" a [1,2].
Luego, muevan "j" a [3,1].
siempre moviendo el resto del espacio de tal manera
que mantenga las líneas de la cudrícula paralelas y equidistantes.
Si los vectores donde caen "i" y "j" son linealmente dependientes
lo cual, si recuerdan del último video,
quiere decir que uno es una versión escalada del otro,
entonces la transformación lineal comprime a todo el espacio 2-D
en la línea donde yacen los dos vectores,
también como conocida como el espacio unidimensional
generado por esos dos vectores linealmente dependientes.
Para resumir, las transformaciones lineales
son una forma de mover el espacio
de tal manera de que las líneas de las cuadrículas se mantienen paralelas y equidistantes
y de tal manera que el origense mantiene fijo.
Afortunadamente,
estas transformaciones pueden ser descritas  usando sólo un puñado de números.

Czech: 
začneme s maticí, dejme tomu se sloupci
(1,2) a (3,1),
a chceme určit, jak bude vypadat příslušné zobrazení.
Zastavte si video a zamyslete se na chvíli, jestli si to dokážete představit.
Jeden způsob, jak to udělat,
je napřed přesunout i na (1,2),
a potom přesunout j na (3,1).
Přitom musíme pokaždé přesouvat i zbytek,
aby linky mřížky zůstaly rovnoběžné a s rovnoměrnými rozestupy.
Když by vektory i a j skončily na lineárně závislých vektorech,
což (připomenu minulé video)
znamená, že jeden je jen přeškálovanou verzí druhého,
tak takové lineární zobrazení splácne celou rovinu
na přímku, na které tyto vektory leží,
jinými slovy na tento jednorozměrný lineární obal
našich dvou lineárně závislých vektorů.
Abychom to shrnuli, lineární transformace
je způsob, jak upravit rovinu tak,
že linky mřížky zůstanou rovnoběžné a stejně rovnoměrně rozestoupené
a počátek zůstane na místě.
Báječné je, že
takové transformace můžeme popsat jen pomocí několika málo čísel:

Korean: 
열 (1, 2), (1, 3) 인 행렬을 가지고,
이 변환이 어떤것인지 추론해 봅시다.
잠깐 멈추고, 잠시 시간을 갖고 그 변환이 어떨지 생각해봅시다.
이렇게하는 한 가지 방법은
우선 i-hat 을 (1, 2) 로 이동시킵니다.
그런 다음, j-hat 을 (3, 1)으로 이동시킵니다.
공간의 나머지 부분도 움직이는 데
격자선은 여전히 평행하고 규등한 간격을 유지하면서 움직입니다.
i-hat 과 j-hat 벡터가 선형 종속(linearly dependent) 이라면
, 동영상 마지막에 다시 한번 정리할텐데,
벡터 하나가 다른벡터의 스케일링 버전임을 뜻합니다.
즉, 이 선형 변환은 2차원 공간을 수축(squish) 시켜
두 벡터가 놓여있는 선으로 만드는 것을 의미합니다.
1차원 스팬(span)으로,
이 선형 종속적인 두 벡터의 스팬입니다.
요약하면, 선형변환은
공간을 이동시키는 방법이며,
격자선이 여전히 평행하고 균등간격을 유지한 변형입니다.
그리고 원점은 고정되있음을 의미합니다.
기쁘게도,
이 변환들을 간단한 숫자들로 설명가능합니다.

Chinese: 
開始於矩陣，比方說它的列（1,2）和（3,1）
而我們想要推斷出它的變換看上去像是什麽樣的。
暫停並用寫時間來看看你是不是可以來想象它。
來做這個的一個方法是
先把i-hat移動到（1,2）。
然後，把j-hat移到（3,1）。
總是把其餘的空間用這樣一種方法來移動
即保持網格平行並間隔均等。
如果這矢量i-hat和j-hat是綫性上依賴的
這，如果你從上一個錄像裏囘想起來，
意思是一個是另一個的加過係數的版本而已。
它意味著這綫性變換擦著所有在那兩
個矢量所在的的2-維空間上的直綫，
這也眾所周知的兩個綫性是依賴的
矢量的1-維伸張。
總結一下，綫性轉換是
在空間移動的一種方法，而網格保持
平行並間隔均等
以及原點保持不變。
高興的是，這些變換
可以只用在每個單位矢量停著的

Portuguese: 
começando com uma matriz, digamos, com colunas um, dois e três, um (1, 2), (3, 1)
e nós queremos descobrir como essa transformação se parece.
Pause e dê um minuto pra ver se você consegue imaginá-la.
Uma maneira de fazer isso
é mover i para (1, 2)
depois mover j para (3, 1)
sempre movendo o resto do espaço de um jeito que
mantenha as linhas paralelas paralelas e com o mesmo espaço umas das outras
se os vetores em que i e j caem são linearmente dependentes,
o que, se você lembra do último video,
significa que um é uma versão paralela e multiplicada do outro
isso significa que a transformação linear espreme todo o espaço 2D
para dentro da linha onde ficam esses vetores,
também conhecida como o espaço gerado unidimensional
desses dois vetores linearmente dependentes.
Resumindo, transformações lineares
são uma maneira de mover o espaço por aí
de forma que linhas paralelas continuem paralelas e na mesma distância umas das outras
e a origem fique no lugar.
Deliciosamente,
essas transformações podem ser representadas com apenas um punhado de números.

Modern Greek (1453-): 
να ξεκινήσουμε δηλαδή με τον πίνακα, πχ με στήλες
(1, 2) και (3, 1),
και να βρούμε πώς θα μοιάζει ο μετασχηματισμός στον οποίο αντιστοιχεί.
Ας κάνουμε μια παύση για μια στιγμή για να δούμε αν μπορείτε να τον φανταστείτε στο μυαλό σας.
Ένας τρόπος να το κάνετε
είναι να μετακινήσετε πρώτα το î στο (1, 2).
Και ύστερα, το ĵ στο (3, 1).
Πάντα μετακινώντας τον υπόλοιπο χώρο με τέτοιο τρόπο ώστε
να παραμένουν οι γραμμές πλέγματος παράλληλες και σε ίσες αποστάσεις.
Αν τα διανύσματα στα οποία μετασχηματίζονται τα î, ĵ, είναι γραμμικά εξαρτημένα
που, αν θυμάστε από το προηγούμενο βίντεο,
σημαίνει ότι το ένα είναι μία κλιμακωμένη εκδοχή του άλλου,
τότε αυτό σημαίνει ότι ο γραμμικός μετασχηματισμός συνθλίβει όλον αυτόν τον δισδιάστατο χώρο
πάνω στην ευθεία που ανήκουν τα δύο διανύσματα,
κάτι που είναι επίσης γνωστό ως το μονοδιάστατο span
αυτών των δύο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων.
Για να συνοψίσουμε, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί
είναι ένας τρόπος να μετακινούμε τον χώρο γύρω μας
έτσι ώστε οι γραμμές πλέγματος να παραμένουν παράλληλες και σε ίσες αποστάσεις
και έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να παραμένει σταθερή.
Το πολύ ευχάριστο
είναι ότι αυτοί οι μετασχηματισμοί μπορούν να περιγραφούν από μόλις μια χούφτα αριθμούς.

Portuguese: 
começamos com uma matriz, digamos com colunas 
(1, 2) e (3, 1),
e queremos deduzir com o que essa transformação parece.
Pause e tire um momento pra ver se você consegue imaginar.
Uma forma de fazer isso
é primeiro mover î para (1, 2).
e então, mover ĵ para (3, 1).
Sempre movimentando o restante do espaço de tal forma
que mantém as linhas da grade paralelas e uniformemente espaçadas.
Se os vetores em que î e  ĵ vão parar são linearmente dependentes
o que, se você se lembra do último vídeo,
significa que um é uma versão redimensionada do outro
significa que a trasnformação linear comprime todo o espaço 2D
na linha onde esses dois vetores estão dispostos
também conhecida como o (sub)espaço unidimensional gerado
daqueles dois vetores linearmente dependentes.
Para resumir, transformações lineares
são um jeito de movimentar o espaço
de forma que as linhas-grade permanecem paralelas e uniformemente  espaçadas
e de forma que a origem permace fixa.
Felizmente, essas transformações podem ser descritas utilizando apenas um punhado de números.

Turkish: 
sütunları (1,2) (3,1) olan matrix i ile başlayıp,
dönüşümün nasıl olduğunu tespit edelim.
Videoyu durdurup düşün istersen, bakalım aklında canlanıyor mu?
Bunu yapmanın bir yolu,
i vektörünü, (1,2) noktasına götürmek,
sonra da j noktasını (3,1) noktasına taşımak.
Bunları yaparken de tüm ızgarayı öyle bir taşımalıyız ki,
doğrular paralel ve eşit aralıklı kalmalı.
Eğer i ve j vektörleri doğrusal bağımlı ise,
yani, önceki videodan hatırlarsanız,
bu bir vektörün diğerinin sündürülmüş hali olması demekti,
bu, doğrusal dönüşümün tüm 2 boyutlu uzayı,
bir doğruya sıkıştırdığı anlamına gelir ki bu doğru
doğrusal bağımlı vektörlerin,
tek boyutlu kapsamı olarak da bilinir.
Özetlemek gerekirse, doğrusal dönüşümler,
boşlukta hareket biçimidir ki
bu hareket esnasında, ızgara doğruları paralel ve aralarındaki boşluk eşit kalırken,
orijin(merkez) de yerinden ayrılmaz!
Şahane bir şekilde,
bu dönüşümler, bir avuç sayı ile tarif edilebilirler.

Japanese: 
行列から始めます。たとえば、列は
(1, 2), (3, 1) だとしましょう。
その変換がどのように見えるか推測します。
ちょっと立ち止まって、想像できるか
試してみてください。
これを行う1つの方法は、
まず i ベクトルを (1, 2) に移動させ、
次に、j ベクトルを (3, 1) に移動させることです。
残りの空間は、
格子戦を平行で等間隔に保つように動かします。
残りの空間は、
格子戦を平行かつ等間隔に保つように動かします。
i ベクトルと j ベクトルの行き先が
線形従属だった場合、
前回の動画を思い出してくださいね、
一方が他方のスカラー倍であることを意味します。
これは、この線形変換が二次元空間の全てを
これら2つのベクトルが収まる直線上に、
これは、この線形変換が二次元空間の全てを
これら2つのベクトルが収まる直線上に、
言い換えれば
これら2つの線形従属なベクトルのスパンに、
潰されてしまうことを意味します。
言い換えれば
これら2つの線形従属なベクトルのスパンに、
潰してしまうことを意味します。
まとめると、線形変換は空間を動かす手段です。
まとめると、線形変換は空間を動かす手段です。
格子線を平行かつ等間隔に保ち、
原点は固定するような。
格子線を平行かつ等間隔に保ち、
原点は固定するような。
嬉しいことに、
これらの変換は、ほんの一握りの数字を使うことで
記述することができます。

Polish: 
zacząć od macierzy, dla przykładu, z kolumnami (1,2) i (3,1),
i chcieć odgadnąć jak ta transformacja wygląda.
Zatrzymaj się i poświęć chwilę, aby sprawdzić, czy możesz to sobie wyobrazić.
Jednym ze sposobów na zrobienie tego
jest przesunięcie i-z-daszkiem na (1,2),
a następnie przesunięcie j-z-daszkiem na (3,1).
Zawsze przemieszczając resztę przestrzeni w sposób
zachowujący linie siatki równolegle i równomiernie rozłożone.
Jeśli wektory na których i-z-daszkiem oraz j-z-daszkiem wylądowały są liniowo zależne,
co oznacza (jeśli pamiętasz z poprzedniego filmu),
że są one przeskalowanymi wersjami siebie nawzajem,
Oznacza to, że transformacja liniowa powoduje przycięcie całej przestrzeni 2D
w linię na której mieszczą się te dwa wektory.
Zwaną też jako 1-wymiarowa podprzestrzeń
tych dwóch liniowo zależnych wektorów.
Podsumowując, transformacje liniowe
są sposobem takiego przemieszczenia przestrzeni
że linie siatki pozostają równoległe i równomiernie rozmieszczone
a do tego środek się nie przemieszcza.
Urocze w tym jest
iż te transformacje mogą być opisane tylko garstką liczb:

Korean: 
바로 기저벡터들의 변형후 좌표값입니다.
행렬은 우리에게 이러한 변환을 설명하는 언어를 제공해줍니다.
행렬의 열들은 이 좌표값을 나타내며,
행렬 - 벡터 곱셈은 단지 이것을 계산하는 방법입니다.
이 변환이 주어진 벡터에 적용한 결과를요.
여기서 중요한 것은 바로 이것입니다.
당신이 행렬을 볼때마다
공간의 어떤 변환으로 생각하십시오.
이 아이디어를 잘 습득하면,
당신은 선형 대수를 깊게 이해할 수있는 좋은 위치에 있게 됩니다.
앞으로 다룰 거의 모든 주제들은,
, 행렬 곱셈부터 행렬식(determinant)까지,
기저의 변환, 고유값(eigenvalues),
이 모든 것을 이해하기가 쉬워질 것입니다.
당신이 일단 행렬을 공간의 변형과 같이 생각하게 된다면,
그 다음은 바로, 다음 동영상에 나오는,
두 행렬의 곱셈에 대한 것입니다.
나중에 다시 만나요!

Polish: 
współrzędnymi miejsca gdzie każdy z wektorów bazowych ląduje.
Macierze dają nam język opisu tych transformacji,
gdzie kolumny opisują te współrzędne
a mnożenie macierzy przez wektor jest jedynie sposobem obliczenia
co robi ta transformacja mając podany konkretny wektor.
Ważnym wnioskiem na przyszłość tutaj jest to,
że za każdym razem gdy widzisz macierz,
możesz ją rozumieć jako konkretne przekształcenie przestrzeni.
Jak już przetrawisz ten pomysł na spokojnie,
będziesz mógł dogłębnie zrozumieć algebrę liniową.
Praktycznie wszystkie nadchodzące tematy,
od mnożenia macierzy przez wyznaczniki,
zmianę bazy, wartości własne,
wszystkie z nich staną się łatwiejsze do zrozumienia
jak tylko będziesz myśleć o macierzach jako o przekształceniach przestrzeni.
W następnym filmie
będę mówić o mnożeniu dwóch macierzy przez siebie.
Do zobaczenia!
(tłumaczenie: Jakub Trznadel,
korekta czasowa i lekkie poprawki: Artur Pereć)

German: 
und zwar mit den Koordinaten der transformierten Basisvektoren.
Matrizen geben uns eine "Sprache" diese Transformationen zu beschrieben,
wobei die Spalten die Koordinaten der Basisvektoren darstellen.
Und die Matrix-Vektor-Multiplikation
ist nur eine Methode, um berechnen zu können, was die Transformation mit einen gegebenen Vektor macht.
Das wichtige zum mitnehmen ist, dass jedesmal wenn du eine Matrix siehst,
du diese als eine Transformation des Raumes interpretieren kannst.
Sobald du dir diese Vorstellung verinnerlicht hast,
hast du sehr gute Voraussetzungen um lineare Algebra tiefgründig zu verstehen.
Fast alle der kommenden Themen
von Matrixmultiplikation über Determinanten, Basiswechsel, bis hin zu Eigenwerten.
All diese Themen werden einfacher zu verstehen sein,
sobald du anfängst, Matrizen als Transformationen im Raum zu verstehen.
Im nächsten Video, bespreche ich wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert.
Bis dann!

Russian: 
координатами, в которые ложатся базисные векторы после преобразования.
Матрицы – это язык для описания преобразований, и их столбцы представляют эти координаты,
а умножение матрицы на вектор – всего лишь способ вычисления того, где он окажется.
Важная идея здесь заключается в том, что каждый раз, когда вы видите матрицу,
вы можете понимать её, как некоторое линейное преобразование пространства.
Когда вы "переварите" эту идею, то будете готовы для глубокого понимания линейной алгебры.
Далее все темы – от перемножения матриц, опреде-лителей, смены базиса до собственных значений –
все они будут проще для понимания, когда вы свяжете матрицы и преобразования пространства.
Уже в следующем видео, я буду говорить о перемножении двух матриц. Увидимся!
Технически, преобразование является линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам: 1) L(v+w) = L(v) + L(w) (аддитивность); 2) L(cv) = cLv, где с - число, v - вектор (однородность);
Я поговорю об этих свойствах позже, но прежде всего важно визуальное понимание. Как только вы его получите, станет интуитивно понятно, почему эти свойства имеют смысл. Так что пока что можете спокойно принимать линейное преобразование за такое, которое оставляет линии сетки параллельными и равноудаленными друг от друга, т.к. это определение и определение выше эквивалентны.

iw: 
הקוארדינטות שיגידו לנו איפה כל וקטורי הבסיס נוחתים.
מטריצות שיתנו לנו שפה לתאר את הטרנספורמציות הללו
כאשר העמודות מייצגות לנו את הקוארדינטות הללו
והכפלה של מטריצה בוקטור זה פשוט דרך לחשב
מה הטרנספורמציה עושה לוקטור נותן.
דבר חשוב לקחת מכאן זה ש..
כל פעם שאתה רואה מטריצה,
אתה יכול לפרש אותה כטרנספורמציה מסויימת של המרחב
ברגע שאתה באמת מעכל את הרעיון,
אתה בעמדה מצויינת להבין אלגברה לינארית בצורה עמוקה
כמעט כל הנושאים שיבואו בהמשך,
מכפל מטריצות לדטרמיננטה,
שינוי בסיס, ערכים עצמיים(ע"ע),
כל אלה יהפכו להיות קלים יותר להבנה
ברגע שאתה מתחיל לחשוב על מטריצות כטרנספורמציות של המרחב.
באופן הכי מיידי, בסירטון הבא
אני אדבר על הכפלה 2 מטריצות ביחד.
נראה אותכם שם!
 
-תורגם ע"י סער קטלן

Turkish: 
Yalnızca asıl vektörlerin duracakları yerlerin koordinatları.
Matrisler ise bize bu dönüşümleri anlatmak için bir dil sağlar,
matrix içerisinde, sütunlar asıl vektörlerin konumlarını paket biçiminde tutar.
Matrix - vektör çarpımı sadece bir hesaplama aracıdır,
sayesinde, dönüşümün vektörü nereye taşıdığnı anlarız.
Elde edebileceğiniz önemli bir çıkarım;
her matrix gördüğünüzde,
bunu "uzayın bir dönüşümü olarak düşünmek" olabilir.
Bu fikri bir kez sindirdiğinizde,
doğrusal cebiri anlama konusunda şahane bir noktadasınız demektir.
Gelecek konuların neredeyse tümü,
matrix çarpımından determinant'a
oradan asıl vektörlerin değişimine, asıl-köklere...
tüm bunları anlamak çok daha kolay olacak şayet
matrisleri uzayın dönüşümü olarak düşünmeye başlarsan!
En kısa sürede, sonraki video'da
iki matrisi çarpmak hakkında konuşacağım. Görüşürüz!
[ İngilizce biliyor, çeviri yapabiliyorsanız, anlatılanları daha iyi anlamak ve anlayabildiklerinizi başkaları ile paylaşmak için siz de çevirin! ]

English: 
The coordinates of where each basis vector
lands.
Matrices give us a language to describe these
transformations
where the columns represent those coordinates
and matrix-vector multiplication is just a
way to compute
what that transformation does to a given vector.
The important take-away here is that,
every time you see a matrix,
you can interpret it as a certain transformation
of space.
Once you really digest this idea,
you're in a great position to understand linear
algebra deeply.
Almost all of the topics coming up,
from matrix multiplication to determinant,
change of basis, eigenvalues, ...
all of these will become easier to understand
once you start thinking about matrices as
transformations of space.
Most immediately, in the next video
I'll be talking about multiplying two matrices together. See you then!
 

Czech: 
Souřadnic, na které se přesunou bázové vektory.
Matice pak dávají jazyk, jak popsat tyto transformace,
přičemž sloupečky matice udávají přesně tyto souřadnice
a násobení vektoru s maticí pak je jen způsob, jak vypočíst,
co udělá transformace se zadaným vektorem.
Měli byste si odnést, že
kdykoli uvidíte matici,
můžete ji interpretovat jako jistou transformaci.
Jak se s touhle myšlenkou jednou sžijete,
náramně vám to pomůže rozumět lineární algebře do hloubky.
Skoro všechny kapitoly, které budou následovat,
od násobení matic po determinant,
změnu báze, vlastní čísla, ...
všechny se stanou jednodušší na pochopení,
když si matice představujete jako transformace prostoru.
V bezprostředně následujícím videu
budu mluvit o násobení matic mezi sebou.
Nashle příště!
Technicky je lineární transformace definována vyobrazenými axiomy aditivity a škálování. Já ale dávám nejprve přednost vizuálnímu pochopení.
O axiomech budu mluvit později.

Spanish: 
Las coordenadas donde cada vector de la base termina.
Las matrices nos dan un lenguaje para describir estas transformaciones
donde las columnas representan esas coordenadas
y el producto matriz-vector es sólo una forma operar
lo que esa transformación le hace a un vector dado.
El resultado importante de esto,
es que cada vez que vean una matriz,
pueden interpretarla como una transformación particular del espacio.
Una vez digieran bien esta idea
estarán en una gran posición para entender el álgebra lineal profundamente.
Casi todos los temas que vienen,
desde multiplicación matricial, a determinantes
cambio de base, autovectores,
todos estos serán más fáciles de entender
una vez entiendan las matrices como transformaciones del espacio.
Mas inmediatamente, en el próximo video
hablaré de cómo multiplicar dos matrices.
¡Nos vemos entonces!
Técnicamente, la definición de una transformación lineal es la siguiente:
Una transformación "L" es lineal si satisface estas dos propiedades:
L(v+w)=L(v)+L(w)        "Aditividad"
      L(c*v)=c*L(v)           "Homogeneidad"
Hablaré de estas propiedades más adelante, pero yo soy un firme creyente en aprender primero visualmente. Una vez lo hacen, se vuelve mucho más intuitivo el por qué estas propiedades tienen sentido. Así que por ahora, no hay problema en que piensen en las transformaciones lineales  como aquellas que mantienen las líneas de las cuadrículas parelalas y equidistantes (y que mantienen fijo el origen), dado que esta definición visual es en realidad equivalente a las dos propiedades mencionadas.

French: 
Les coordonnées des vecteurs où les vecteurs de bases se retrouvent.
Les matrices nous donnent un langage pour décrire ces transformations
où les colonnes représentent ces coordonnées
et la multiplication matrice-vecteur est juste une manière de calculer
ce que font ces transformation à un vecteur donné.
Le plus important à retenir ici est que,
chaque fois que vous voyez une matrice,
Vous pouvez l’interpréter comme une transformation de l'espace.
Une fois cette idée digérée,
vous êtes dans une bonne position pour mieux comprendre l'algèbre linéaire.
Presque tous les sujet à venir,
de la multiplication matricielle au déterminant,
les changement de bases, les valeurs propres,
Tout cela deviendra plus facile à comprendre
une fois que vous commencerez à penser aux matrices comme transformations de l'espace.
D'ailleurs, dans la prochaine vidéo
Je vous parlerai de multiplications entre deux matrices ensemble.
A la prochaine vidéo.
Techniquement, la définition de "linéaire" est la suivante : Une transformation L est linéaire si elle satisfie ces deux propriétés : (Additivité) et (Redimensionnement)
Je parlerais ce des deux propriétés plus tard, mais je suis un grand adepte de la compréhension visuelle  comme première approche.
Après cela, ces propriétés seront beaucoup plus intuitives. Pour le moment, vous pouvez penser les transformations linéaires comme celles qui gardent les lignes parallèles et uniformément espacées (et gardent l'origine fixe)
étant donné que cette définition visuelle est equivalente aux propriétés ci-dessus.

Modern Greek (1453-): 
Τις συντεταγμένες στις οποίες θα μετασχηματιστεί καθένα από τα διανύσματα βάσης.
Οι πίνακες μας προσφέρουν μία γλώσσα ώστε να περιγράφουμε αυτούς τους μετασχηματισμούς
όπου οι στήλες αναπαριστούν αυτές τις συντεταγμένες
και ο πολλαπλασιασμός πινάκων-διανυσμάτων είναι απλά ένας τρόπος να υπολογίζουμε
το τι κάνει αυτός ο μετασχηματισμός σε ένα οποιοδήποτε διάνυσμα.
Το σημαντικό που πρέπει να κρατήσετε εδώ είναι ότι,
κάθε φορά που βλέπετε έναν πίνακα,
μπορείτε να τον ερμηνεύσετε σαν έναν μετασχηματισμό στον χώρο.
Όταν πραγματικά χωνέψετε αυτήν την ιδέα,
θα είστε σε πολύ καλή θέση να καταλάβετε σε βάθος τη γραμμική άλγεβρα.
Σχεδόν όλα τα υπόλοιπα θέματα που ακολουθούν,
από τον πολλαπλασιασμό πινάκων μέχρι τις ορίζουσες,
την αλλαγή των βάσεων, τις ιδιοτιμές,
όλα αυτά θα γίνουν ευκολότερα να τα καταλάβετε
από τη στιγμή που θα αρχίσετε να σκέφτεστε τους πίνακες ως μετασχηματισμούς στον χώρο.
Αμέσως μετά, στο επόμενο βίντεο
μιλάω για το πώς πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες μεταξύ τους.
Τα λέμε εκεί λοιπόν!

Chinese: 
坐標的幾個數字來描述。
矩陣給我們一種語言來描述這些變換
而這些列代表著這些坐標
而矩陣--矢量的乘法只不過是來計算的
變換沒有給出的矢量的一種方法。
在這裏學到重要的是
每次你看到一個矩陣
你可以把它解釋成空間的某種變換。
一旦你真正地消化了這個想法，
你將在深度地理解綫性代數上處於一個很好的地位。
幾乎所有以後要講的題目
從矩陣的相乘到行列式，
改變單位矢量，特徵值，...所有這些將變得更容易了理解，
一旦你開始把矩陣看作是空間的綫性轉換。
立刻在下一個錄像
我將講把兩個矩陣乘起來。到時再見！
 
 

Japanese: 
すなわち、各基底ベクトルの行き先の座標です。
行列は、私たちにこれらの変換を記述するための言語を与えます。
列でその座標を表すことで。
そして、行列とベクトルの積は単に、
与えられたベクトルに変換が何をするかを
計算する方法です。
ここで覚えておいてほしいことは、
行列を見れば、
それを空間の特定の変換として解釈できる
ということです。
行列を見れば、
それを空間の特定の変換として解釈できる
ということです。
この考え方を本当に消化できれば、
あなたは線形代数を深く理解するのに最適な位置にいます。
現れるほとんど全てのトピックが、
行列の積から行列式に、
基底の変換、固有値まで…
これらのすべてが理解しやすくなります。
ひとたび行列を空間の変換だと考えれば。
すぐに、次の動画で
2つの行列を掛け合わせることについて話します。
それでは！

Portuguese: 
As coordenadas de onde cada vetor base termina depois de tal transformação.
Matrizes nos dão uma linguagem para representar essas transformações,
onde as colunas representam essas coordenadas
e a multiplicação de vetores com matrizes é só um jeito de calcular
o que aquela transformação faz com dado vetor.
O que é importante lembrar aqui é que
cada vez que você vê uma matriz,
você pode interpletá-la como uma certa transformação no espaço.
quando você realmente entende esta ideia,
você está em uma ótima posição para entender álgebra linear profundamente.
Quase todos dos tópicos que estão chegando,
de multiplicação de matrizes à determinantes,
mudança de bases à eigenvalues...
Todos esses assuntos se tornarão mais fáceis de entender
uma vez que você começe a pensar sobre matrizes como transformações no espaço.
Quase imediatamente, no próximo video,
Eu falarei sobre multiplicação de duas matrizes. Vejo você lá!
Tecnicamente, a definição de "linear" é a seguinte: A transformação L é linear se ela preserva estas duas operações: 
                                                  "Adição de vetores"
                                                  "Multiplicação por Escalar"
Eu irei falar sobre estas propriedades mais tarde mas eu acredito firmemente em aprendizado visual. Uma vez que um tema é aprendido visualmente, o porquê dessas duas propriedades fazerem sentido fica mais claro.Por ora está ok ver transformações lineares como aquelas que mantêm linhas paralelas e seu espaçamento (e não movem a origem), já que essa definição visual é equivalente a essas propriedades.

Chinese: 
这些数字就是变换后基向量的坐标
以这些坐标为列所构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言
而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径
这里重要的一点是，每当你看到一个矩阵时
你都可以把它解读为对空间的一种特定变换
一旦真正消化了这些内容，你就在深刻理解线性代数上占据了极佳的位置
当你将矩阵看作空间的变换之后，此后几乎所有主题
从矩阵乘法，到行列式、基变换、特征值等都会更加容易理解
下期视频中，我就会开始讨论两个矩阵的乘积
到时候再见！
（下期视频：矩阵乘法与线性变换复合）

Portuguese: 
As coordenadas de onde cada vetor base vai parar.
Matrizes nos dão uma linguagem para descrever essas trasnformações
onde as colunas representam essas coordenadas
e uma multiplicação de matriz por vetor é só um jeito de computar
o que essa transformação faz para um dado vetor.
O ponto importante aqui é que,
cada vez que você vê uma matriz,
você pode interpretá-la como uma certa transformação do espaço.
Quando você tiver digerido essa ideia,
você estará em uma ótima posição para entender profundamente Álgebra Linear.
Quase todos os tópicos que virão, de multiplicação de matrizes até determinantes,
mudança de bases, autovalores,
todos esses se tornarão mais fáceis de entender
uma vez que você comece a pensar em matrizes como transformações do espaço.
Mais imediatamente, no próximo vídeo
eu vou falar sobre multiplicar duas matrizes juntas.
Te vejo lá!
Tecnicamente, a definição de "linear" é dada a seguir:
Uma transformação L é linear se satisfaz estas 2 propriedades:
L(v+w) = L(v) + L(w)             "Aditividade" 
           L(cv) = cL(v)                       "Escalamento"      
Vou falar sobre estas propriedades mais tarde, mas acredito muito em entender as coisas visualmente.
Quando você faz isso, fica muito mais intuitiva a razão destas propriedades fazerem sentido.
Então por enquanto fique tranquilo pensando em transformações lineares como aquelas que mantêm grades paralelas e igualmente espaçadas, com a origem fixa, pois a definição visual é equivalente às propriedades acima.
