
Polish: 
"Kto nie był zdziwiony, że funkcja e^x, jak feniks odradzający się z popiołów, jest swoją własną pochodną?" - Francois le Lionnais
Przedstawiłem już podstawowe wzory na pochodną,
ale ważną rodziną funkcji, którą pominąłem,
są funkcje wykładnicze.
W tym filmie zajmiemy się pochodnymi funkcji 2^x, 7^x
i zobaczymy, dlaczego e^x jest
najważniejszą z funkcji wykładniczych.
Na początku popatrzmy na funkcję 2^x.
Pomyślmy o argumencie funkcji jak o czasie t,
np. o dniach,
a o wartościach funkcji 2^t jak
o liczbie ludności, np.
bardzo płodnych, przypominających pi stworzeniach.
Ich populacja się codziennie podwaja.
Zamiast liczby ludności, która może być tylko naturalna
i rośnie o 1 z każdym nowym pi-dzieckiem,

Portuguese: 
"Quem nunca ficou maravilhado ao saber que a função y = e^x, como uma fênix ressurgindo das cinzas, é a sua própria derivada?"
Eu introduzi algumas fórmulas derivadas, mas uma muito importante que eu deixei de fora foram as exponenciais.
Então, aqui, eu quero falar sobre as derivadas de funções como 'dois' elevado a 'x',  'sete' elevado a 'x',
e também para mostrar porque 'e' elevado a 'x' é, possivelmente, a mais importante das funções exponenciais.
Em primeiro lugar, apelando para a intuição, vamos nos concentrar apenas na função 'dois' elevado a 'x'.
E vamos pensar na entrada 'x' representando o 't', talvez em dias,
e a saída, '2' elevado a 't', como o tamanho de uma população,
talvez de um bando particularmente fértil de 'criaturas pi' que dobra a cada dia.
E, na verdade, em vez do tamanho da população,
que cresce em pequenos saltos discretos com cada novo bebê da 'criatura pi'

German: 
Ich habe einige abgeleitete Formeln eingeführt
aber eine wirklich wichtige, die ich herausgelassen habe, waren Exponentiale.
Also hier möchte ich über die Ableitungen von Funktionen wie sprechen
Zwei zum x, sieben zum x und auch um zu zeigen warum
e zum x ist wohl das wichtigste der Exponentiale.
Um eine Intuition zu erhalten, konzentrieren wir uns zunächst auf die Funktion zwei zum x.
Und lassen Sie uns diese Eingabe als eine Zeit betrachten, "t", vielleicht in Tagen,
und die Ausgabe 2 bis t als Populationsgröße
vielleicht von einer besonders fruchtbaren Gruppe von Pi-Kreaturen, die sich jeden Tag verdoppelt.
Und tatsächlich, anstatt der Bevölkerungsgröße,
die mit jeder neuen Baby-Pi-Kreatur in diskreten kleinen Sprüngen wächst,

Swedish: 
Jag har infört några derivat formler
men det är en riktigt viktig som jag ännu nämnt exponentialfunktioner
Nu vill jag tala om derivata av funktioner som
Två upphöjt till x, sju upphöjt till x, och även för att visa varför
e upphöjt till x är utan tvekan den viktigaste av exponentialfunktionerna.
Först av allt, för att få en uppfattning, låt oss bara fokusera på funktionen två upphöjt till x.
Och låt oss tänka på att indata som en tid "t," kanske i dagar,
och y-värdet, 2 upphöjt till t, som en population antal
kanske en särskilt fertila typer av pi varelser som fördubblar sig varje dag.
Och i stället för populationsstorlek,
som växer i diskreta små steg med varje nyfödd pi varelse,

Chinese: 
我已经介绍过一些求导公式
但我还剩下了重要的指数函数没有介绍
所以，接下来我希望讨论一些这类型的函数，例如
2的x次方，7的x次方，以及
为什么e的x次方是重要的指数函数
首先，为了得到一个直观的认识
我们先集中注意力在2的x次方上
让我们把自变量代入成时间“t”,代表天数
因变量2的t次方为一个群体的数量
或者我们说成是一群π生物的繁殖
他们每天都能增加一倍
实际上，比起群体数量
这种根据每一个新增加的小π生物的出生而非连续性增长过程

Spanish: 
"¿Quién no se ha asombrado al aprender que la función y= e^x,  como un fenix , nace  de nuevo  de  sus propias cenizas? ,¿De su propias derivadas?
He introducido unas pocas fórmulas de
 derivadas
pero una muy importante que deje afuera son las exponenciales.
Así que aquí, quiero hablar de las derivadas de las funciones como
2^x , 7^x,  y también para mostrar por qué
e ^x es sin duda el más importante de los exponenciales.
En primer lugar, para obtener una intuición, vamos a centrarnos en la función de dos a la x.
Y pensemos de esa entrada como un tiempo "t", tal vez en días,
y la salida, 2 a la t, como un tamaño de la población
tal vez de una banda particularmente fértil de las criaturas pi, que se duplica cada día.
Y, de hecho, en vez de tamaño de la población,
que crece en pequeños saltos discretos con cada nueva criatura pi bebé,

English: 
I've introduced a few derivative formulas
but a really important one that Ieft out was exponentials.
So here, I want to talk about the derivatives of functions like
Two to the x, seven to the x, and also to show why
e to the x is arguably the most important of the exponentials.
First of all, to get an intuition, let's just focus on the function two to the x.
And let's think of that input as a time, "t," maybe in days,
and the output, 2 to the t, as a population size
perhaps of a particularly fertile band of pi creatures which doubles every single day.
And actually, instead of population size,
which grows in discrete little jumps with each new baby pi creature,

Arabic: 
لقد قدمت بعض صيغ المشتقات
لكن هنالك نوع من التوابع معهم تم تركه هو التوابه الأسية
لذا هنا ، أريد أن أتحدث عن مشتقات توابع مثل
اثنان إس x ، سبعة إس x ، وأيضا لإظهار السبب
لماذا e أس x على نحو مثير للجدل الأكثر أهمية بين التوابع الأسية
قبل كل شيء ، لنتقرب للموضوع  ، دعونا نركز فقط على الوظيفة إثنان أس x.
و دعونا نفكر في هذه المدخلات كوقت ، "t" ، ربما  على شكل أيام
و الناتج للتابع  2 أس t  كعدد السكان
ربما من مجموعة خصبة بشكل خاص من المخلوقات pi التي تتضاعف كل يوم.
وفعلا ، بدلا من حجم السكان ،
الذي ينمو في قفزات صغيرة منفصلة مع كل مخلوق بيبي جديد ،

French: 
« Qui n'a pas été émerveillé d'apprendre que la fonction y=e^x, comme le phénix renaissant de ses cendres, est sa propre dérivée ? »
François Le Lionnais
J'ai déjà présenté quelques formules de dérivées
mais une très importante que j'ai laissée était sur les exponentielles.
Donc ici, je veux parler des dérivés de fonctions telles que
2 puissance x, 7 puissance x, et aussi montrer pourquoi
e puissance x est sans doute la plus importante de toutes les exponentielles.
Tout d'abord, afin d'avoir une intuition, concentrons-nous sur la fonction 2 puissance x.
Et pensons que la variable d'entrée est un temps t, exprimé par exemple en jours,
et que la sortie, 2 puissance t, est la taille d'une population
peut-être d'une bande particulièrement fertile de créatures pi qui doublerait chaque jour.
Et en fait, au lieu de la taille de la population,
qui grandirait de façon discrète, par saut, à chaque naissance d'un bébé pi,

Korean: 
자신의 재에서 다시 날아 오르는 봉황처럼, y = e^x라는 함수가 자기 자신의 도함수라는 것을 알면 누가 놀라지 않았을까?    -Francois le Lionnais
지금까지 몇가지 미분 공식들을 소개해왔지만
아직 제가 남겨놓은 매우 중요한 지수함수가 남았습니다.
그래서 여기서 2의 x제곱, 7의 x제곱과 같은
지수함수와 왜  e의 x제곱의 도함수가
가장 중요한 지수함수들 중 하나인지 이야기 하려합니다.
먼저 직관적 감각을 얻기 위해 2의 x제곱을 봅시다.
입력 변수를 시간 t라고 생각해보고 (하루 이틀 같은)
출력변수는 인구 규모를 나타내는 2^t로 나타내
매일 2배가 되는 pi 무리의 개체수라고 생각합시다.
사실 불연속적인 도약을 하는
각각의 새로운 pi 생물들 대신에

English: 
maybe let's think of 2 to the t as the total mass of the population.
I think that better reflects the continuity of this function, don't you?
So, for example, at time t=0, the total mass is 2 to the 0 equals 1,
for the mass of one creature.
At t=1 day, the population has grown to 2 to the 1 = 2 creature masses.
At day t=2, it's t squared, or 4, and in general, it just keeps doubling every day.
For the derivative, we want dm/dt, the rate at which this population mass is growing,
thought of as a tiny change in the mass divided by a tiny change in time.
And let's start by thinking of the rate of change over a full day,
say, between day 3 and day 4.
Well, in this case it grows from 8 to 16, so that's 8 new creature masses
added over the course of one day.

Portuguese: 
talvez pensemos em '2' elevado a 't' como a massa total da população.
Acho que isso reflete melhor a continuidade dessa função, não é?
Assim, por exemplo, no tempo t = 0, a massa total é '2' elevado a '0' que é igual a 1, para a massa de uma criatura.
Em t = 1 dia, a população cresceu para '2' elevado a '1' = 2 massas de criaturas.
No dia t = 2, é 2 ao quadrado, ou 4, e, em geral, continua dobrando a cada dia.
Para a derivada, queremos dm/dt, a taxa na qual a massa da população está crescendo,
pensada como uma pequena mudança na massa dividida por uma pequena mudança no tempo.
E vamos começar pensando na taxa de mudança ao longo de um dia inteiro
digamos, entre o dia 3 e o dia 4.
Bem, neste caso, a massa aumenta de 8 a 16, então são 8 novas unidades de massa de criaturas adicionadas ao longo de um dia.
E observe que essa taxa de crescimento é igual ao tamanho da população no início do dia.

Korean: 
차라리 2의 t 제곱을 총 질량이라고 생각합시다.
이 방법이 함수의 연속성을 더 잘 반영 할 겁니다. 안그래요?
예를 들어 t=0일 때 총 질량은 2^0으로 한 개체의 질량인 1입니다
t=1, 첫째 날 일때,  개체수는 2로 증가하고, 총 질량은 2^1로 2가 되었습니다.
t=2, 둘째 날 일때, t^2 또는 4가 되고 , 전반적으로 매일 2배가 될 것 입니다.
미분하기 위해, dM/dt가 필요합니다. dM/dt는 질량이 증가하는 비율로
질량의 작은 변화량를 시간의 작은 변화량으로 나눈 값이라고 생각할 수 있습니다.
그리고 이제 3일과 4일 사이를 예로,
변화율을 생각해 봅시다.
이 경우에는 8에서 16으로 증가했고
하루동안 8마리 질량의 새 생물들이 추가 되었습니다.
개체 수 증가 비율은 시작하는 날의 개체수와 같다는 점을 주목해볼 수 있습니다.

Arabic: 
ربما لنفكر في 2 أس t  ككتلة مجموع السكان.
أعتقد أنه يعكس بشكل أفضل استمرارية هذه التابع ، أليس كذلك؟
لذلك ، على سبيل المثال ، في الوقت t = 0 ، تكون الكتلة الكلية 2 إلى 0 تساوي 1
لكتلة مخلوق واحد.
في اليوم t = 1   ،  زاد عدد السكان إلى( 2 أس 1 )= 2 كتلة للمخلوقات.
في اليوم t = 2 ، يكون t للتربيع، أو 4 ، وبشكل عام ، فإنه يتضاعف كل يوم.
بالنسبة للمشتق ، نريد dm / dt ، المعدل الذي تنمو به هذه الكتلة السكانية ،
فكر في تغيير صغير في الكتلة مقسومًا على تغير بسيط في الوقت.
ودعونا نبدأ بالتفكير في معدل التغيير خلال يوم كامل ،
لنقول ، بين اليوم الثالث واليوم الرابع.
حسنا ، في هذه الحالة ينمو من 8 إلى 16 ، لذلك هذه 8 كتل مخلوقات جديدة
أضيفت على مدار يوم واحد.

German: 
Stellen wir uns vielleicht 2 bis t als die Gesamtmasse der Bevölkerung vor.
Ich denke, das spiegelt die Kontinuität dieser Funktion besser wider, nicht wahr?
So ist zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0 die Gesamtmasse 2 bis 0 gleich 1,
für die Masse einer Kreatur.
Bei t = 1 Tag ist die Population auf 2 auf 1 = 2 Kreaturenmassen angewachsen.
Am Tag t = 2 ist es t im Quadrat oder 4, und im Allgemeinen verdoppelt es sich jeden Tag.
Für das Derivat wollen wir dm / dt, die Geschwindigkeit, mit der diese Bevölkerungsmasse wächst,
gedacht als eine winzige Änderung der Masse geteilt durch eine winzige Änderung der Zeit.
Und lassen Sie uns zunächst über die Änderungsrate über einen ganzen Tag nachdenken.
sagen wir zwischen Tag 3 und Tag 4.
Nun, in diesem Fall wächst es von 8 auf 16, das sind also 8 neue Kreaturenmassen
im Laufe eines Tages hinzugefügt.

Chinese: 
我们更应该把2的t次方想成是整个群体的质量
我认为这样可以更好地反应这个函数的连续性
你们觉得如何？
举个例子，当时间t=0，整个群体的质量是2的0次方等于1
代表一个π生物的质量
当t=1天时，这个群体的质量增加到2的1次方=2
当t=2天时，或者4天时，总体上说他们就是在每天增加一倍
为了求导数，dm/dt，即是求这个群体质量的增长速度
想象一个很短时间内，质量的增长数
让我们先当成是一整天内的质量增长吧
当时间为第3天到第4天之间时
那么，质量就从8增加到了16
就是一天内
新增加了8个生物的质量

Spanish: 
tal vez pensemos de 2 a la T como la masa total de la población.
Creo que refleja mejor la continuidad de esta función, ¿verdad?
Así, por ejemplo, en el tiempo t = 0, la masa total es de 2 a la 0 es igual a 1,
para la masa de una criatura.
En t = 1 día, la población ha crecido a 2  a la 1 , 2 masas -criatura.
Al día t = 2, es t al cuadrado, o 4, y en general, sólo sigue duplicándose  cada día.
Para la derivada, queremos dM / dt, la proporción  a la que crece esta masa de la población,
pensado como un pequeño cambio en la masa dividida por un pequeño cambio en el tiempo.
Y vamos a empezar pensando  en la tasa de cambio a lo largo de un día completo,
degimamos , entre el día 3 y el día 4.
Pues bien, en este caso, crece de 8 a 16, por lo que es 8 nuevas masas  de criaturas
añadidas en el transcurso de un día.

Swedish: 
kanske låt oss tänka på 2 upphöjt till t som den totala massan av befolkningen.
Jag tror att bättre återspeglar kontinuiteten i denna funktion, eller hur?
Så, till exempel, vid tiden t = 0, är ​​den totala massan 2 upphöjt till 0 är lika med 1,
för massan av en varelse.
Vid t = 1 dag, har befolkningen vuxit till 2 upphöjt till 1 = 2 varelses massa.
Vid dag t = 2, är det t i kvadrat, eller fyra, och i allmänhet fördubblas varje dag.
För derivata, vill vi ha dm / dt, i vilken takt denna population massa ökar,
tänkt som en liten förändring i massan dividerat med en liten förändring i tid.
Och låt oss börja med att tänka på förändringstakten under en hel dag,
säg mellan dag 3 och dag 4.
I detta fall växer från 8 till 16, så det är 8 nya varelsers massor
ökade under loppet av en dag.

Polish: 
lepiej myśleć o całkowitej masie ludności.
W ten sposób ciągłość funkcji będzie miała sens.
Np. dla t = 0, całkowita masa jest równa 2^0 = 1.
Po dniu masa populacji wzrosła do 2^1 = 2 jednostek.
Dla t = 2 wychodzi 2^2 = 4, i tak dalej.
Aby obliczyć pochodną, chcemy znać dM/dt, stosunek
małej zmiany masy dM i małej zmiany czasu dt.
Najpierw zastanówmy się, ile wynosi zmiana po dniu,
np. między dniem trzecim i czwartym.
Wtedy masa rośnie od 8 do 16, więc
wzrosła ona o 8 jednostek w ciągu jednego dnia.
Zmiana masy jest równa początkowej wartości.

French: 
nous allons penser à 2 puissance t comme la masse totale de la population.
Je pense que cela reflète mieux la continuité de cette fonction, pas vous ?
Ainsi, par exemple, à l'instant t=0, la masse totale est de 2 puissance 0, soit 1,
pour la masse d'une créature.
A t = 1 jour, la population a augmenté jusqu'à 2 puissance 1 = 2 masses de créature.
Au jour t = 2, c'est t carré, ou 4, et en ainsi de suite, la population ne cesse de doubler tous les jours.
Pour le dérivée, nous voulons connaître dm/dt, la vitesse de la croissance de la masse ce cette population,
considérée comme un petit changement dans la masse divisé par un petit changement dans le temps.
Et commençons par nous intéresser au d'accroissement au cours d'une journée complète,
disons, entre le jour 3 et le jour 4.
Eh bien, dans ce cas, il croît de 8 à 16, de sorte qu'il y ait 8 nouvelles masses
ajoutées au cours d'une journée.

Swedish: 
Och märk att tillväxttakten är lika med befolkningens storlek i början av dagen.
Mellan dag 4 och dag 5, växer från 16 till 32.
Så det är en hastighet av 16 nya varelsers massor per dag.
Som, återigen, är lika med befolkningens storlek i början av dagen.
Och i allmänhet, är denna tillväxttakt över en hel dag
lika med befolkningens storlek i början av dagen.
Så det kan vara frestande att säga att detta innebär
att derivatan av 2 upphöjt till t är lika med sig själv.
Att hastigheten på förändringen av denna funktion vid en given tidpunkt t,
är lika med värdet av denna funktion.
Och det är definitivt ett steg i rätt riktning,
men det är inte helt korrekt.
Vad vi gör här är att göra jämförelser över en hel dag,
med tanke på skillnaden mellan två upphöjt till t plus ett,
och 2 upphöjt till t.
men när det gäller derivata, måste vi fråga vad som händer för mindre och mindre förändringar.
Vad är tillväxten under loppet av en tiondels dag? En hundradels dag? En en miljarddels dag?

French: 
Et remarquez, ce taux de croissance est égale à la taille de la population au début de la journée.
Entre le jour 4 et 5 jours, la masse passe de 16 à 32.
Donc, c'est un taux de 16 nouvelles masses par jour.
Ce qui, encore une fois, est égale à la taille de la population au début de la journée.
Et en général, ce taux de croissance au cours d'une journée
est égal à la taille de la population au début de ce jour-là.
Il pourrait donc être tentant de dire que cela signifie
que la dérivée de la fonction 2 puissance t est égale à elle-même.
Que le taux de variation de cette fonction à un instant t,
est égale à la valeur même de cette fonction.
Et cela nous mène sans aucun doute dans la bonne direction,
mais ce n'est pas tout à fait correct.
Ce que nous faisons ici, c'est de faire des comparaisons sur une journée complète,
considérant la différence entre 2 puissance t+1,
et 2 puissance t.
mais pour calculer la dérivée, il faut se demander ce qui se passe pour des changement de plus en plus petits.
Quelle est la croissance au cours d'un dixième de jour ? D'un centième de jour ? D'un milliardième de jour?

Polish: 
Między dniem 4 a 5 masa rośnie od 16 do 32.
Mamy więc tempo wzrostu 16 jednostek masy na dzień.
Znowu, zmiana masy jest równa początkowej wartości.
Ogólnie: zmiana masy po całym dniu jest równa
wartości masy na początku tego dnia.
Można więc stwierdzić, że pochodną 2^t jest 2^t.
Tempo zmiany wartości tej funkcji w chwili t jest równe
wartości tej funkcji.
Idziemy w dobrym kierunku,
ale nie jest to poprawna odpowiedź.
Porównujemy tu różnice wielkości masy po całym dniu,
odejmując 2^t od 2^(t + 1).
Ale, aby obliczyć pochodną, musimy wiedzieć,
co się dzieje, gdy zmiany czasu są mniejsze.
Jaki jest wzrost wartości w ciągu 1/10 dnia?
1/100 dnia? 1/10^9 dnia?

Arabic: 
ولاحظ أن معدل النمو يساوي حجم السكان في بداية اليوم.
بين اليوم الرابع والخامس ، تنمو من 16 إلى 32.
هذا هو معدل 16 كتلة مخلوقة جديدة كل يوم.
والتي ، مرة أخرى ، تساوي حجم السكان في بداية اليوم.
وبشكل عام ، هذا المعدل ينمو على مدى يوم كامل
مساويا حجم السكان في بداية ذلك اليوم.
لذلك قد يكون من المغري القول بأن هذا يعني
المشتق من التابع  2 أس t يساوي التابع  نفسه
أن معدل تغيير هذه التابع  في وقت معين t
يساوي ، حسنا ، قيمة هذه التابع
وهذا بالتأكيد في الاتجاه الصحيح ،
لكنه ليس صحيحًا تمامًا.
ما نفعله هنا هو إجراء مقارنات على مدار يوم كامل ،
بالنظر إلى الفرق بين 2 أس ( t زائد 1 يوم) ،
و 2 أس ( t )
ولكن بالنسبة للمشتق ، نحتاج إلى السؤال عما يحدث للتغييرات الأصغر والأصغر.
ما هو النمو على مدى عشر
  من اليوم؟ جزء من مئة من يوم؟ واحد واحد من المليار من اليوم؟

German: 
Und beachten Sie, dass diese Wachstumsrate der Bevölkerungsgröße zu Beginn des Tages entspricht.
Zwischen Tag 4 und Tag 5 wächst es von 16 auf 32.
Das ist also eine Rate von 16 neuen Kreaturenmassen pro Tag.
Dies entspricht wiederum der Bevölkerungsgröße zu Beginn des Tages.
Und im Allgemeinen diese Wachstumsrate über einen ganzen Tag
entspricht der Bevölkerungsgröße zu Beginn dieses Tages.
Es könnte also verlockend sein zu sagen, dass dies bedeutet
die Ableitung von 2 zum t ist gleich sich selbst.
Dass die Änderungsrate dieser Funktion zu einem gegebenen Zeitpunkt t,
ist gleich dem Wert dieser Funktion.
Und das ist definitiv in die richtige Richtung,
aber es ist nicht ganz richtig.
Wir machen hier Vergleiche über einen ganzen Tag.
unter Berücksichtigung der Differenz zwischen 2 und t plus 1,
und 2 zum t.
Für die Ableitung müssen wir uns jedoch fragen, was bei immer kleineren Änderungen passiert.
Was ist das Wachstum im Laufe eines Zehntel eines Tages? Ein Hundertstel eines Tages? Ein Milliardstel eines Tages?

Portuguese: 
Entre o dia 4 e o dia 5, cresce de 16 para 32.
O que dá uma taxa de 16 novas unidades de massa de criaturas por dia.
O que, de novo, é igual ao tamanho da população no início do dia.
E, em geral, essa taxa de crescimento ao longo de um dia inteiro
é igual ao tamanho da população no início daquele dia.
Então, pode ser tentador dizer que isso significa que a derivada de '2' elevado a 't' é igual a si mesma.
Que a taxa de variação desta função em um dado instante 't',
é igual ao valor dessa função.
E isso está definitivamente na direção correta,
mas não está totalmente correto.
O que estamos fazendo aqui são comparações ao longo de um dia inteiro
considerando a diferença entre ('2' elevado a  't + 1') e ('2' elevado a 't').
Mas para a derivada, precisamos perguntar o que acontece para mudanças cada vez  menores.
Qual é o crescimento ao longo de um décimo de dia? Um centésimo de dia? Um bilionésimo de dia?

English: 
And notice, that rate of growth equals the population size at the start of the day.
Between day 4 and day 5, it grows from 16 to 32.
So that's a rate of 16 new creature masses per day.
Which, again, equals the population size at the start of the day.
And in general, this rate of growth over a full day
equals the population size at the start of that day.
So it might be tempting to say that this means
the derivative of 2 to the t equals itself.
That the rate of change of this function at a given time t,
is equal to, well, the value of that function.
And this is definitely in the right direction,
but it's not quite correct.
What we're doing here is making comparisons over a full day,
considering the difference between 2 to the t plus 1,
and 2 to the t.
but for the derivative, we need to ask what happens for smaller and smaller changes.
What's the growth over the course of a tenth of a day? A hundredth of a day? One one-billionth of a day?

Spanish: 
Y aviso, esa tasa de crecimiento es igual al tamaño de la población al comienzo del día.
Entre el día 4 y el día 5, crece de 16 a 32.
Así que esa es una tasa de 16 nuevas masas de criaturas por día.
Que, de nuevo, es igual al tamaño de la población al comienzo del día.
Y, en general, esta tasa de crecimiento durante un día completo
es igual al tamaño de la población en el inicio de ese día.
Por lo que podría ser tentador decir que significa esto:
¿La derivada de 2 a la t es igual a sí misma.?
Que la tasa de cambio de esta función en un momento dado , t
es igual a el valor de dicha función.
Y esto esta sin duda en la dirección correcta,
pero no es del todo correcto.
Lo que estamos haciendo aquí es hacer comparaciones a lo largo de un día completo,
teniendo en cuenta la diferencia entre 2 a la t + 1,
y 2 a la t.
pero para la derivada, hay que preguntarse qué sucede para los cambios cada vez más pequeños.
¿Cuál es el crecimiento en el transcurso de una décima parte de un día? Una centésima parte de un día? Una una mil millonésima parte de un día?

Korean: 
4일과 5일 사이에는, 16에서 32로 증가 합니다.
따라서 이는 하루에 16 개의 새로운 질량이 생기는 비율입니다.
그리고 또 다시 16은 시작하는 날의 pi 개체수와 같습니다.
일반화하면, 하루동안 증가하는 비율과
시작하는 날의 개체수는 같습니다.
마치 2의 t제곱의 미분계수가
2의 t제곱의 값과 같을 것이라는 느낌을 줍니다.
이 함수의 주어진 시간 t에서의 변화율은
아마도 t에서의 함수값과 동일 할 것 같습니다.
그리고 이는 분명히 올바른 방향의 직관이지만
꽤 정확하지는 않습니다.
우리가 여기서 한 것은 하루 동안의 변화를 비교한 것이고
2의 t+1제곱과 2의 t 제곱의 차이를
생각한 것입니다.
하지만 미분에서는, 매우 작은 변화를 다루어야 합니다.
하루의 1/10, 하루의 1/100, 하루의 1/10억 동안의 증가는 어떻게 될까요?

Chinese: 
注意，这个增长速度等于当天开始时的群体大小
当时间为第4至第5天，它从16增加到了32
所以一天的增长速度就是16个新生物的质量
再一次，等于当天开始时的群体大小
总体上，这个一天的增长速度
总是等于当天开始时的群体大小
这好像是迷惑我们，让我们认为
2的t次方求导数就是它自己
这个速度取决于这个函数在自变量t时的变化
也就是说此时这个函数的值
这个思考方向是对的
但不完全是这样
在这里，我们比较的是一整天的增长
也就是2的t+1次方和2的t次方
之间的差
但当我们求导时，我们要的是当这个变化十分十分小的时候是怎样的
当变化在十分之一天时间内？百分之一天内？十亿分之一天内？

Polish: 
Dlatego myślimy o tej funkcji jak o masie populacji.
Wtedy pytanie o taką małą zmianę ma sens.
Liczba ludności jest zawsze naturalna, wtedy
mała zmiana czasu raczej nie wpływa na liczbę ludności
Abstrakcyjnie: dla małej zmiany czasu dt chcemy znać
wartość ułamka (2^(t + dt) - 2^t)/dt.
Zmiana funkcji w czasie interesuje nas
dla małych wartości dt, a nie całego dnia.
Uwaga: naprawdę chciałbym, żeby dało się ten problem
narysować i przedstawić tak, żeby od razu było widać,
co jest naszą pochodną.
Jeśli znasz taki sposób, powiedz mi o tym.

Chinese: 
这就是我什么我告诉你们要把函数的值想成是群体质量
因为考虑一个质量在一天的某段很短时间内的很小的变化
比考虑一个非连续性的群体数量每秒增加多少个要合理得多
更加抽象来说，一段很短的时间内变化
我们将它写成2的t+dt次方
减去2的t次方
再除以dt
每个单位时间内函数值的变化，我们现在考虑的是某一个时间点上，一个很短的时间内的变化
而不是一整天的变化
顺便说一下
我本来更喜欢用一些更清楚明了的几何图形
去直接把接下来要说的指出来
一个可以直接把这个值表示出来的图解
然后说：“看！那个东西，那个东西就是2的t次方的导数”
所以如果你知道有这种办法，请告诉我
而我们接下来的目标

Korean: 
하루의 매우 작은 시간동안의 무게 변화를 다루는 것은 설명할 수 있기 때문에
제가 함수값을 개체 무게의 합으로 생각한 이유입니다.
하지만 매 초마다 불연속적으로 증가하는 개체수로 미소 변화를 다루는 것은 앞뒤가 맞지 않습니다.
더 추상적으로, 매우 작은 시간변화인 dt를 다루어
모두 dt 로 나눈
2^(t+dt)와 2^t의 차이를
알아보려 합니다.
기존의 단위시간에서 보았던 변화를, 이제 매우 작게 하여 한 순간으로 보려 합니다.
하루 동안의 변화 대신에 말이죠.
이겁니다.
여기 매우 명료한 기하학적 그림이 있으면 좋겠습니다.
우리가 찾고자 하는 것을 튀어나오게 하여
하나의 값을 가리킬 수있고
"봐봐!  '저 부분'. 그것이 2^t의 미분형이야." 라고 말할 수 있는 그런 다이어그램 말입니다.
그리고 만약 그 중 하나를 알고 있다면 알려주세요.
이 영상의 목표는 나머지 영상들과 마찬가지로

French: 
Voilà pourquoi j'ai choisi que cette fonction représente la masse de la population,
ainsi, cela a un sens de demander un petit changement de masse durant une fraction de jour
mais cela n'est pas clair de demander ce qu'est un petit changement d'une population discrète durant une seconde.
Plus abstraitement, pour un petit changement dans le temps, dt, nous voulons comprendre
la différence entre 2 puissance t + dt
et 2 puissance t,
le tout divisé par dt.
Un changement dans la fonction par unité de temps, mais maintenant nous regardons de façon très locale autour d'un point donné du temps,
plutôt qu'au cours d'une journée complète.
Et voici le hic :
J'aimerais énormément qu'il existe une représentation graphique très claire
qui ferait ressortir directement ce que nous allons trouver,
un diagramme où vous pourriez pointer une valeur,
et dire: « Voyez! *cette* partie ! C'est ça la dérivée de 2 puissance t. »
Et si vous en connaissez une, s'il vous plaît faites le moi savoir.
Et tandis que le but ici est, comme pour le reste de la série,

Swedish: 
Det är därför jag valde att tänka på funktionen som representerar befolkningens massa
eftersom det är vettigt att fråga om en liten förändring i massa under en bråkdel av en dag
men det är inte så meningsfullt att fråga om den lilla förändringen i en diskret befolkningsstorlek per sekund.
Alltså, för en liten förändring i tiden dt, vill vi förstå
skillnaden mellan två upphöjt till t plus dt
och 2 upphöjt till t,
allt dividerat med dt.
En förändring i funktionen per tidsenhet, men nu ser vi mycket snävt kring en given tidpunkt,
snarare än under loppet av en hel dag.
Och så här är det:
Jag skulle älska om det fanns någon mycket tydlig geometrisk bild
som gjorde allt som är jag nu säger att följagick att visa,
några diagram där du kan peka på ett värde,
och säga: "Se! som den delen. Det är derivatan av 2 upphöjt till t."
Och om du känner till en, låt mig veta.
Och medan målet här som med resten av serien

Portuguese: 
É por isso propus pensarmos na função como representação da massa da  população
já que faz sentido perguntar sobre uma pequena variação na massa ao longo de uma pequena fração de um dia
mas não faz tanto sentido perguntar sobre  pequenas variações no tamanho de uma  população discreta por segundo.
Mais abstratamente, para uma pequena variação no tempo, 'dt',
nós queremos entender a diferença entre ('2' elevado a 't + dt') e ('2' elevado a 't'), todos divididos por dt.
Uma variação na função por unidade de tempo,
mas agora estamos olhando muito perto em torno de um determinado ponto no tempo,
em vez do curso de um dia inteiro.
Mas é aí que está:
Eu adoraria se houvesse alguma imagem geométrica muito clara,
algum diagrama onde você poderia apontar para um valor, e dizer:
"Veja ali! *Aquela* parte. Aquela é a derivada de 2 elevado a t".
E se você souber de uma, por favor me avise.
E enquanto o objetivo aqui, assim como no resto da série,

German: 
Aus diesem Grund ließ ich uns die Funktion als Repräsentation der Bevölkerungsmasse vorstellen
da es sinnvoll ist, über einen winzigen Bruchteil eines Tages nach einer winzigen Massenänderung zu fragen
Es ist jedoch nicht so sinnvoll, nach der winzigen Änderung einer diskreten Bevölkerungsgröße pro Sekunde zu fragen.
Abstrakter wollen wir für eine winzige Änderung der Zeit verstehen, dt
die Differenz zwischen 2 zu t plus dt
und 2 zum t,
alle geteilt durch dt.
Eine Änderung der Funktion pro Zeiteinheit, aber jetzt schauen wir uns einen bestimmten Zeitpunkt sehr genau an.
eher als im Laufe eines ganzen Tages.
Und hier ist die Sache:
Ich würde es lieben, wenn es ein sehr klares geometrisches Bild gäbe
das ließ alles, was folgen wird, einfach herausspringen,
ein Diagramm, in dem Sie auf einen Wert zeigen könnten,
und sagen Sie: "Sehen Sie! * diesen * Teil. Das ist die Ableitung von 2 zum t."
Und wenn Sie eines kennen, lassen Sie es mich bitte wissen.
Und dabei das Ziel hier wie beim Rest der Serie

Spanish: 
Esta es la razón por la qué pensamos en la función como la representación de la masa de la población
ya que tiene sentido para preguntar sobre un pequeño cambio en la masa a través de una pequeña fracción de un día
pero no tiene tanto sentido  preguntar por el pequeño cambio en el tamaño de una población discreta por segundo.
De manera más abstracta, por un pequeño cambio en el tiempo, dt, queremos entender
la diferencia entre 2 a la dt t plus
y 2 a la t,
todo dividido por dt.
Un cambio en la función por unidad de tiempo, pero ahora estamos mirando un  margen  muy estrecho alrededor de un punto dado en el tiempo,
en lugar de en el transcurso de un día completo.
Y aquí está la cosa:
Me encantaría ,si hubiese una imagen geométrica muy clara
que hiciere que  todo  respecto a lo siguiente solo "salga" ,
algún diagrama donde se pueda apuntar a un valor,
y decir: "Mira! "esa" parte. Esa es la derivada de la 2 a la t".
Y si usted saben alguna, por favor hágamelo saber.
Ya que el objetivo en este caso como en el resto de la serie

English: 
This is why I had us think of the function as representing population mass
since it makes sense to ask about a tiny change in mass over a tiny fraction of a day
but it doesn't make as much sense to ask about the tiny change in a discrete population size per second.
More abstractly, for a tiny change in time, dt, we want to understand
the difference between 2 to the t plus dt
and 2 to the t,
all divided by dt.
A change in the function per unit time, but now we're looking very narrowly around a given point in time,
rather than over the course of a full day.
And here's the thing:
I would love if there was some very clear geometric picture
that made everything that's about to follow just pop out,
some diagram where you could point to one value,
and say, "See! *that* part. That is the derivative of 2 to the t."
And if you know of one, please let me know.
And while the goal here as with the rest of the series

Arabic: 
هذا هو السبب الذي جعلني أفكر في التابع على أنه يمثل كتلة سكانية
لأنه من المنطقي أن نسأل عن تغير بسيط في الكتلة على جزء صغير من اليوم
ولكن ليس من المنطقي أن نسأل عن التغير الضئيل في الحجم السكاني المنفصل في الثانية.
بشكل أكثر تجريدًا ، لتغيير صغير في الوقت ، dt ، نريد أن نفهم
الفرق بين 2 أس (t +dt)
و 2 أس ( t )
و الكل مقسوما على dt.
تغير في الوظيفة لكل وحدة زمنية ، ولكننا الآن نتطلع بشكل ضيق جدًا حول نقطة زمنية محددة ،
بدلا من مدار يوم كامل.
و هنا أريد ان أقول :
يا حبذا لو كان هناك بعض الصور الهندسية الواضحة جدا
التي تجعل كل شيء حول ما يـأتي لاحقا  فقط تتبع
بعض الرسم البياني حيث يمكنك الإشارة إلى قيمة واحدة ،
ونقول ، "انظر! * هذا * الجزء هو مشتق من  2 أس t ".
وإذا كنت تعرف واحدًا ، فالرجاء إخباري بذلك.
وبينما الهدف هنا كما هو الحال مع بقية السلسلة

Arabic: 
هو الحفاظ على روح مرحة من الاكتشاف ،
نوع الشرح التالي سيكون له علاقة أكبر بإيجاد أنماط رقمية ،
أكثر من تلك البصرية.
لذا ابدأ بمجرد إلقاء نظرة فاحصة على هذا المصطلح
2 أس (t +dt)
خاصية أساسية ل التوابع الأسية هي أنه يمكنك تقسيم هذا الأمر إلى 2 أس (t) مظروبا ب 2  أس (dt).
هذه هي حقا أهم خاصية  للتوابع الأسية.
إذا قمت بإضافة قيمتين في أس تابع أسي ، يمكنك تقسيم الإخراج كناتج ظرب من نوع ما.
هذا هو ما يتيح لك ربط الأفكار المضافة
أشياء مثل خطوات صغيرة في الوقت المناسب ،
لأفكار متعددة ، أشياء مثل المعدلات والنسب.
أعني ، مجرد إلقاء نظرة على ما يحدث هنا.
بعد هذه الخطوة ، يمكننا إخراج العنصر 2 أس t.
وهو الآن مضروبًا في 2 أس dt  ناقص 1 ، مقسومًا على dt.
وتذكر ، مشتق من  التابع 2 أس t
هو أيا كان هذا التعبير كله مقربا عندما dt يقترب من 0

Korean: 
즐겁게 발견할 수있는 정신을 유지하는 것이지만,
뒤에 오는 놀이의 유형은 시각적인 패턴을 찾기보다는
오히려 숫자 패턴을 찾는 것과 더 관련이 있습니다.
따라서 이 항을 아주 자세히 살펴보는 걸로 시작합시다.
2^(t+dt)
지수의 핵심 법칙은 이를  2의 t제곱과 2의 dt제곱의 곱으로 나눌 수 있다는 것입니다.
이는 정말로 지수의 가장 중요한 속성입니다.
지수에 두 개의 값을 추가하면, 출력물을 두 종류의 곱으로 분해할 수 있습니다.
이것은 당신이 시간의 작은 변화와 같은 덧셈적 개념을
속도와 비율 같은 것들인 곱셈적 개념으로
관련시킬 수 있다는 것입니다.
제 말은, 여기서 일어나는 일들을 보세요.
이러한 수단을 쓴 후에, 우리는 2^t 항을 뽑아낼 수 있습니다.
이는 이제 2^dt에서 1을 뺀 값을 모두 dt로 나눈 것이 됩니다.
그리고 떠올려보세요, 2의 t제곱의 미분계수는
dt가 0에 가까워짐에 따라 이 모든 수식이 어떤 값에 수렴하는 것입니다.

English: 
is to maintain a playful spirit of discover,
the type of play that follows will have more to do with finding numerical patterns,
rather than visual ones.
So start by just taking a very close look at this term
2 to the t, plus dt
A core property of exponentials is that you can break this up as 2 to the t times 2 to the dt.
That really is the most important property of exponents.
If you add two values in that exponent, you can break up the output as a product of some kind.
This is what lets you relate additive ideas
things like tiny steps in time,
to multiplicative ideas, things like rates and ratios.
I mean,  just look at what happens here.
After that move, we can factor out the term 2 to the t.
which is now just multiplied by 2 to the dt minus 1, all divided by dt.
And remember, the derivative of 2 to the t
is whatever this whole expression approaches as dt approaches 0.

Spanish: 
es mantener un espíritu lúdico de descubrir,
el tipo de juego que sigue tendrá más que ver con la búsqueda de patrones numéricos,
en lugar de los visuales.
Así que empieza con sólo tomar un vistazo  muy detenido de este término
2 a la t + dt
Una propiedad fundamental de los exponentes  es que se puede romper esto como 2^t por 2 ^dt.
Esa sí que es la propiedad más importante de los exponentes.
Si agregas dos valores en ese exponente, se puede romper la salida como un producto de algún tipo.
Esto es lo que le permite relacionar las ideas de sumar
cosas, como pequeños pasos en el tiempo,
a las ideas ideas de multiplicación, cosas como las tasas y proporciones.
Es decir, basta con ver lo que sucede aquí.
Después de ese movimiento, podemos factorizar el término 2 a la t.
que ahora  simplemente multiplica a 2 a la dt menos 1, todo dividido por dt.
Y recuerda, la derivada de la 2 a la t
es lo que toda esta expresión se acerca como dt se aproxima a 0.

French: 
de maintenir un esprit ludique de découverte,
le type de jeu qui suit aura plus à voir avec trouver des motifs numériques,
plutôt que de trouver des motifs visuels.
Alors, commençons simplement en regardant de plus près ce terme
2 à la puissance t + dt
Une propriété de base des exponentielles est que vous pouvez éclater cela en 2 puissance t par 2 puissance dt.
C'est vraiment la propriété la plus importante des exposants.
Si vous ajoutez deux valeurs à l'exposant, vous pouvez éclater la sortie comme un produit de deux termes.
C'est ce qui vous permet de lier les idées additives,
des choses comme des petits pas dans le temps,
à des idées multiplicatives, des choses comme les taux et les ratios.
Je veux dire... Regardez ce qui se passe ici.
Après ce mouvement, nous pouvons factoriser le terme 2 puissance t.
qui est maintenant seulement multipliée par 2 puissance dt moins 1, le tout divisé par dt.
Et rappelez-vous, la dérivée de 2 puissance t
est ce vers quoi tend l'expression complète lorsque dt tend vers 0.

Swedish: 
är att upprätthålla en lekfull anda av upptäckande,
kommer det jag att nu visar att ha mer att göra med att hitta numeriska mönster,
snarare än visuella sådana.
Så börja med att bara ta en ordentlig titt på denna term
2 upphöjt till t, plus dt
En central egenskap hos exponentialer är att du kan dela upp detta som 2upphöjt  till t gånger 2 upphöjt till DT.
Det är verkligen den viktigaste egenskapen hos exponentialer
Om du adderartill två värden som exponent, kan du bryta upp till en produkt av exponentialer .
Detta är vad som gör att du kan relatera additioner
som små steg i tid,
till multiplikationer, saker som priser och förhållande.
Jag menar, titta bara på vad som händer här.
Efter den flytten, kan vi räkna ut termen 2 upphöjt till t.
som nu bara multipliceras med 2 upphöjt till dt minus ett, allt dividerat med dt.
Och kom ihåg, derivatan av 2 upphöjt till T
är vad hela detta uttryck närmar som dt närmar sig 0.

Polish: 
W całej serii filmów staramy się być odkrywcami,
ale w tym filmie będziemy szukać zależności
liczbowych, a nie graficznych.
Zacznijmy od kontemplacji wyrażenia 2^(t + dt).
Możemy to zapisać jako iloczyn: 2^t * 2^dt.
To najważniejsza własność funkcji wykładniczych.
Jeśli dodasz do siebie dwie liczby w wykładniku,
możesz rozbić wartość funkcji na iloczyn.
Dzięki temu możesz połączyć myślenie o dodawaniu,
np. małych jednostek czasu,
i mnożeniu, stosunkach, ilorazach.
Teraz możemy wyciągnąć 2^t przed nawias,
drugi czynnik jest równy (2^dt - 1)/dt.
Pochodną 2^t jest wyrażenie, do którego zbiega całość,
gdy dt zbliża się do 0.

Chinese: 
是继续以一种富有趣味性的探索心去思考问题
这次这种趣味性是寻找数值规律的趣味
而不是形象化
所以接下来我们先关注这一项
2的t次方加dt
指数函数的一个重要特性是你可以将这个分解成2的t次方乘以2的dt次方
这是指数函数的一个重要特性
如果你在幂里进行加法运算，你可以将它分解为乘积
这就让你可以把这种加法的思维
这就让你可以把这种加法的思维
转变为乘法思维，就像是比率一样
我的意思是，看看这里
当我们这样做以后，我们就可以因式分解，其中一个因式为2的t次方
另一个是2的dt次方减去1之后再除以dt
注意，2的t次方的导数
就是当dt无限接近0的时候

German: 
ist es, einen spielerischen Geist der Entdeckung zu bewahren,
Die Art des folgenden Spiels hat mehr mit dem Finden numerischer Muster zu tun.
eher als visuelle.
Schauen Sie sich diesen Begriff zunächst einmal genau an
2 bis t plus dt
Eine Kerneigenschaft von Exponentialen ist, dass Sie dies als 2 zu t mal 2 zu dt aufteilen können.
Das ist wirklich die wichtigste Eigenschaft von Exponenten.
Wenn Sie diesem Exponenten zwei Werte hinzufügen, können Sie die Ausgabe als Produkt aufteilen.
Auf diese Weise können Sie additive Ideen in Beziehung setzen
Dinge wie winzige Schritte in der Zeit,
zu multiplikativen Ideen, Dingen wie Raten und Verhältnissen.
Ich meine, schau dir nur an, was hier passiert.
Nach diesem Zug können wir den Term 2 zum t herausrechnen.
Das wird jetzt nur mit 2 multipliziert mit dt minus 1, alle geteilt durch dt.
Und denken Sie daran, die Ableitung von 2 zum t
ist, was auch immer sich dieser ganze Ausdruck nähert, wenn dt sich 0 nähert.

Portuguese: 
é manter um espírito lúdico de descoberta,
o tipo de jogada que se segue terá mais a ver com encontrar padrões numéricos, em vez de visuais.
Então comece dando uma olhada mais de perto neste termo
''2'' elevado a ''t mais dt''
Uma propriedade fundamental de exponenciais é que você pode desmembrá-la como ''2 elevado a t'' vezes ''2 elevado a dt''.
Essa é realmente a propriedade mais importante das exponenciais.
Se você adicionar dois valores nesse expoente, poderá desmembrar a função como um produto de algum tipo.
Isso é o que nos permite relacionar ideias aditivas, como pequenos passos no tempo,
com idéias multiplicativas, como taxas e proporções.
Quer dizer, olhe só o que acontece aqui.
Depois dessa mexida, podemos fatorar o termo ''2 elevado a t''.
que agora é multiplicado por ''2 elevado a dt menos 1'', todos divididos por ''dt''.
E lembre-se, a derivada de ''2 elevado a t''
é o que toda essa expressão se aproxima quando o dt se aproxima 0.

French: 
Et au premier coup d'œil, cela ressemble à une manipulation sans intérêt,
mais un fait extrêmement important est que ce terme à droite,
où toutes les choses en dt vivent, est complètement séparé
du terme en t lui-même. 
Il ne dépend pas du temps t où nous avons commencé.
Vous pouvez utiliser une calculatrice en mettant de très petites valeurs pour dt,
par exemple, en tapant 2 à la puissance 0,001
moins 1, divisé par 0,001.
Ce que vous trouverez, c'est que pour des choix de plus en plus petits de dt,
cette valeur se rapproche d'un nombre très spécifique,
environs 0,6931.
Ne vous inquiétez pas si ce nombre semble mystérieux,
Le point central est que ce soit une constante.
A la différence des dérivées d'autres fonctions,
toutes les choses qui dépendent de dt sont séparées de la valeur de t.
Ainsi, la dérivée de la fonction 2 puissance t est juste elle-même,
mais multipliée par une constante.

Swedish: 
Och vid första anblicken som kan tyckas vara en oviktig manipulation,
men en oerhört viktigt faktum är att denna term till höger,
där alla DT delar, är helt skild från
t termen själv. Det beror inte på den faktiska tid där vi började.
Du kan gå iväg till en miniräknare och koppla in mycket små värden för dt här,
till exempel, kanske skriva i två upphöjt till 0,001
minus 1, delat med 0,001
Vad du hittar är att för mindre och mindre val av dt,
detta värde närmar sig ett mycket specifikt nummer,
omkring 0,6931.
Oroa dig inte om det talet verkar mystiskt,
Den centrala punkten är att detta är något slags konstant.
Till skillnad från derivata av andra funktioner,
är alla de saker som beror på dt skild från värdet på t självt.
Så derivatan av 2 upphöjd till t är bara sig själv,
men multiplicerat med någon konstant

Portuguese: 
À primeira vista, pode parecer uma manipulação sem importância,
mas um fato tremendamente importante é que esse termo à direita,
onde todas as coisas relacionadas a 'dt' estão,
é completamente separado do termo 't' em si.
Não depende do instante real em que começamos.
Você pode ir para uma calculadora e digitar valores muito pequenos para 'dt' aqui,
por exemplo, talvez digitando ''2 elevado a  0,001'' menos ''1'', dividido por ''0,001''
O que você vai descobrir é que, para escolhas cada vez menores de 'dt',
este valor se aproxima de um número muito específico, em torno de 0,6931.
Não se preocupe se esse número parece misterioso,
O ponto central é que isso é algum tipo de constante.
Ao contrário das derivadas de outras funções,
todas as coisas que dependem de 'dt' são separadas do valor do próprio t.
Então, a derivada de ''2 elevado a t'' é apenas ela mesma,
mas multiplicada por alguma constante

Arabic: 
وللوهلة الأولى قد يبدو هذا تلاعبًا غير مهم ،
لكن حقيقة مهمة للغاية هي أن هذا المصطلح على اليمين ،
حيث توجد كل الأشياء dt ، منفصلة تمامًا عن
العنصر(قيمة) t نفسه. لا يعتمد على الوقت الفعلي الذي بدأنا فيه.
يمكنك الذهاب إلى آلة حاسبة و إدخال قيم صغيرة جدًا هنا  ل dt
على سبيل المثال ، ربما كتابة 2 أس 0.001
ناقص 1 مقسومًا على 0.001
ما ستجده هو أنه بالنسبة إلى الخيارات الأصغر والأصغر من dt ،
هذه القيمة تقترب من رقم محدد جدًا ،
حول 0.6931.
لا تقلق إذا كان هذا الرقم غامضًا ،
النقطة الأساسية هي أن هذا ثابت.
بخلاف مشتقات التوابع الأخرى ،
كل الأشياء التي تعتمد على dt منفصلة عن قيمة t نفسها.
إذن مشتق 2 أس t هو نفسه فقط ،
لكن مضروبة مع  ثابت

Chinese: 
当我们第一眼看见这个的时候可能会认为这个操作不是很重要
但这个因式分解重要的地方在于右边的因式
这时所有与dt有关的项，全都跟
t这一项分开了，也就是说这个因式和t的取值无关
你可以尝试将一个很小的值代入到dt
例如2的0.001次方
减去1，再除以0.001
你会发现当dt越来越小
这个值就会越来越接近一个明确的数值
大约0.6931
不要对这个看起来很神秘的数字过分担心
关键是这个数值是一个常数
不像其他函数的导数
这个值跟t的取值无关
所以2的t次方的导数就是2的t次方
再乘以一个常数

Polish: 
To przekształcenie może się wydawać nieistotne,
ale bardzo ważne jest to, że
czynnik po prawej zależy tylko od dt,
a czynnik po lewej tylko od t.
Możesz wziąć kalkulator i wstawić do tego wyrażenia
małe wartości dt, np. (2^(0.001) - 1)/0.001.
Zauważysz, że dla coraz mniejszych dt,
to wyrażenie zbliża się do pewnej liczby, około 0.6931.
To nic, że na razie ta liczba jest dość tajemnicza.
Chodzi o to, że to jest pewna stała.
W przeciwieństwie do pochodnych innych funkcji,
wszystko, co zależy od dt, jest niezależne
od tego, co zależy od t.
Wobec tego pochodną 2^t jest 2^t
przemnożone przez pewną stałą.

Spanish: 
Y a primera vista que podría parecer como una manipulación poco importante,
pero  un hecho tremendamente importante es que este término de la derecha,
donde todos los términos  dt "viven", es totalmente independiente de
el término t en sí. Que no depende del tiempo real donde empezamos.
Puedes ir a una calculadora y enchufar valores muy pequeños para dt aquí,
por ejemplo, tal vez escribir  2 a la 0,001
menos 1, dividido por 0.001
Lo que encontrarás es que para las opciones cada vez más pequeñas de dt,
este valor se aproxima a un número muy específico,
alrededor de 0.6931.
No se preocupen si ese número parece misterioso,
El punto central es que esto es una especie de constante.
A diferencia de los derivadas de otras funciones,
todas las cosas que depende  de dt son independiente del valor de t en sí.
Por lo tanto la derivada del 2 al t es sólo  sí misma ,
pero multiplicado por una constante

English: 
And at first glance that might seem like an unimportant manipulation,
but a tremendously important fact is that this term on the right,
where all of the dt stuff lives, is completely separate from
the t term itself. It doesn't depend on the actual time where we started.
You can go off to a calculator and plug in very small values for dt here,
for example, maybe typing in 2 to the 0.001
minus 1, divided by 0.001
What you'll find is that for smaller and smaller choices of dt,
this value approaches a very specific number,
around 0.6931.
Don't worry if that number seems mysterious,
The central point is that this is some kind of constant.
Unlike derivatives of other functions,
all of the stuff that depends on dt is separate from the value of t itself.
So the derivative of 2 to the t is just itself,
but multiplied by some constant

Korean: 
언뜻 보면 그리 중요하지 않은 조작처럼 보일 수 있습니다.
하지만 대단히 중요한 사실은 모든 dt 요소들이 사는
오른쪽 항은 t항 자체와는 완전히 별개라는 점입니다.
이는 우리가 시작한 실제 시간에 좌우되지 않다는 것을 의미합니다.
계산기를 사용해 dt에 아주 작은 값을 입력해보세요.
예를 들어, 2의 0.001제곱 빼기 1을
0.001로 나눈 값을 입력해봅시다.
dt에 더 작은 값을 선택할수록 이 값은
매우 특정한 숫자에 접근함을 찾을 수 있을 것입니다.
약 0.6931로 말이죠.
번호가 이해하기 힘들다면 걱정하지 마세요.
핵심은 이것이 어떤 일정한 상수라는 것입니다.
다른 함수의 미분형과 달리
dt에 의존하는 모든 것들은 t 자체의 값과는 별개입니다.
그래서 2^t의 도함수는 그 자체가
어떤 상수로 곱해져 있음을 알 수 있습니다.

German: 
Und auf den ersten Blick mag das wie eine unwichtige Manipulation erscheinen,
aber eine enorm wichtige Tatsache ist, dass dieser Begriff auf der rechten Seite,
wo all das dt Zeug lebt, ist völlig getrennt von
der t Begriff selbst. Es hängt nicht von der tatsächlichen Zeit ab, zu der wir angefangen haben.
Sie können zu einem Taschenrechner gehen und hier sehr kleine Werte für dt eingeben.
Zum Beispiel können Sie 2 bis 0,001 eingeben
minus 1, geteilt durch 0,001
Was Sie finden werden, ist, dass für immer kleinere Auswahl von dt,
Dieser Wert nähert sich einer ganz bestimmten Zahl.
um 0,6931.
Mach dir keine Sorgen, wenn diese Zahl mysteriös erscheint,
Der zentrale Punkt ist, dass dies eine Art Konstante ist.
Im Gegensatz zu Ableitungen anderer Funktionen,
Alles, was von dt abhängt, ist vom Wert von t selbst getrennt.
Die Ableitung von 2 zum t ist also nur sich selbst,
aber multipliziert mit einer Konstanten

Chinese: 
这看起来也很合理
在早些时候，我们认为这个导数应该就是2的t次方自己
至少当我们考虑的是一整天的变化过程
而明显地，当这个变化发生在一个很小的时间尺度内
变化率就不简单的等于这个函数的值了
而是与这个函数的值成比例关系
这个比例就是一个古怪的常数0.6931
还有，这其实跟底数2没有太多关系
如果我们把函数改为3的t次方
指数函数的性质同样会让我们产生这个结论
3的t次方的导数与它自身成比例关系
但这次的比值是一个常数1.0986
你可以尝试改变指数函数的底数看看
这个常数比会变成什么，或许你能找出什么规律

Korean: 
그리고 그것은 일종의 의미가 있어야 하는데,
왜냐하면 이전에, 2에 대한 도함수가 적어도 우리가 하루 종일의 변화를 관찰할 때 ,
그 자체가 되어야 한다고 느꼈기 때문입니다.
그리고 분명히, 훨씬 더 작은 시간 규모에 대한 변화율은
자기 자신과 전적으로 동등하지 않지만
그 자체에 비례합니다,
이 매우 특이한 비례 상수 0.6931를 통해 말이죠.
그리고 여기서 숫자 2에 대해 딱히 특별한 것은 없습니다.
만약 우리가 대신에 함수 3을 다루었다 하더라도
지수법칙은 우리에게 3^t의 도함수는 자기 자신에 비례한다는
결론을 이끌어 냈을 것입니다.
그러나 이번에는 비례 상수가 1.0986으로 일정했을 것입니다.
그리고 다른 기본형의 지수 함수의 경우, 어떤 다양한 비례 상수가 있는지 찾는 재미를 느낄 수 있을 것입니다.
어쩌면 그 값의 패턴을 찾을 수 있을지도 모르죠.

English: 
And that should kind of make sense,
because earlier, it felt like the derivative for 2 to the t should be itself,
at least when we were looking at changes over the course of a full day.
And evidently, the rate of change for this function over much smaller time scales
is not quite equal to itself,
but it's proportional to itself,
with this very peculiar proportionality constant of 0.6931
And there's not too much special about the number 2 here,
if instead we had dealt with the function 3 to the t,
the exponential property would also have led us to the conclusion that
the derivative of 3 to the t is proportional to itself.
But this time it would have had a proportionality constant 1.0986.
And for other bases to your exponent you can have fun trying to see what the various
proportionality constants are,  maying seeing if you can find a pattern in them.

Polish: 
To brzmi sensownie, bo początkowe rozważania
doprowadziły nas do wniosku, że pochodną 2^t jest 2^t.
Tak było, gdy patrzyliśmy na zmiany po całym dniu.
Widać, że prędkość zmiany funkcji dla mniejszych
jednostek czasu nie jest równa tej funkcji, ale
proporcjonalna do niej ze współczynnikiem 0.6931.
Liczba 2 nie gra tu większej roli,
dla funkcji 3^t doszlibyśmy do tych samych wniosków,
ale współczynnik proporcjonalności jest równy 1.0986.
Możesz sprawdzić dla różnych podstaw funkcji,
ile będzie wynosił ten współczynnik.
Może uda ci się znaleźć jakąś zależność między nimi.

Arabic: 
وهذا شيء منطقي ،
لأنه في وقت سابق ، شعرت أن المشتق ل 2 إلى t يجب أن يكون نفسه ،
على الأقل عندما كنا ننظر إلى التغييرات على مدار يوم كامل.
ومن الواضح أن معدل التغيير لهذه التابع عبر مقاييس زمنية أصغر بكثير
لا يساوي نفسه تماما،
لكنها متناسبة مع نفسها ،
مع هذا الثابت التناسبي الغريب جدا  0.6931
وليس هناك الكثير من الخصوصية حول الرقم 2 هنا ،
إذا تم بدلاً من ذلك تعاملنا مع الدالة 3 أس t ،
كما أن الخاصة الأسية قد أدت بنا إلى الاستنتاج
مشتق من 3 أس t يتناسب مع نفسه.
لكن هذه المرة كان سيكون لها ثابت التناسب 1.0986.
ولأسس أخرى لأس الخاص بك يمكنك الحصول على المتعة في محاولة لمعرفة ما هو مختلف
ثوابت التناسب هي ، قد نرى ما إذا كان يمكنك العثور على نمط ختص فيها.

Spanish: 
Y eso debería hacer  sentido,
porque antes, se sentía que la derivada de 2 a la T debería ser ella misma,
al menos cuando estábamos buscando  los cambios en el transcurso de un día completo.
Y, evidentemente, la tasa de cambio para esta función en escalas de tiempo mucho más pequeñas
no es del todo igual a sí mismo,
pero es proporcional a sí mismo,
con esta constante de proporcionalidad muy peculiar :0,6931
Y  no hay nada de especial en el número 2
si en vez hubiéramos ocupado  la función 3 a la t,
la propiedad exponencial  también nos  llevaría  a la conclusión de que
la derivada de 3 a la t es proporcional a sí mismo.
Pero esta vez habría tenido una constante de proporcionalidad 1,0986.
Y para otras bases a tu exponente puedes divertirse tratando de ver lo que las diversas
constantes de proporcionalidad son, pudiendo ver, si se puede encontrar un patrón en ellos.

French: 
Et cela devrait faire sens,
parce que, plus tôt, il semblait que la dérivée de 2 puissance t doit être elle-même,
du moins lorsque nous regardions les changements au cours d'une journée entière.
Et évidemment, le taux de variation de cette fonction sur des échelles de temps beaucoup plus petites
n'est pas tout à fait égale à elle-même,
mais est proportionnelle à elle-même,
avec cette constante de proportionnalité très particulière de 0,6931
Et il n'y a rien de spécial par rapport au nombre 2 ici,
si, au lieu de cela, nous avions traité la fonction 3 puissance t,
les propriétés des exponentielles nous auraient également conduit à la conclusion
que la dérivée de 3 puissance t est proportionnelle à elle-même.
Mais cette fois-ci, la constante de proportionnalité aurait été 1,0986.
Et pour des fonctions exponentielles de base différente, vous pouvez vous amuser à essayer de voir ce que sont
les différentes constantes de proportionnalité, peut-être voir si vous pouvez trouver un motif dans leurs valeurs.

German: 
Und das sollte irgendwie Sinn machen,
denn früher fühlte es sich so an, als ob die Ableitung für 2 zum t selbst sein sollte,
Zumindest, wenn wir Veränderungen im Laufe eines ganzen Tages betrachteten.
Und offensichtlich ist die Änderungsrate für diese Funktion über viel kleinere Zeitskalen
ist nicht ganz gleich sich selbst,
aber es ist proportional zu sich selbst,
mit dieser sehr eigenartigen Proportionalitätskonstante von 0,6931
Und die Nummer 2 hier ist nicht besonders,
wenn wir uns stattdessen mit der Funktion 3 zum t befasst hätten,
Die exponentielle Eigenschaft hätte uns auch zu dem Schluss geführt, dass
Die Ableitung von 3 zu t ist proportional zu sich selbst.
Diesmal hätte es jedoch eine Proportionalitätskonstante von 1,0986 gehabt.
Und für andere Basen Ihres Exponenten können Sie Spaß daran haben, zu sehen, was die verschiedenen sind
Proportionalitätskonstanten sind, vielleicht um zu sehen, ob Sie ein Muster in ihnen finden können.

Portuguese: 
E isso deve fazer sentido,
porque antes, parecia que a derivada de '2 elevado a t' deveria ser ela mesma,
pelo menos, quando estávamos olhando para mudanças ao longo de um dia inteiro.
E, evidentemente, a taxa de variação para essa função em escalas de tempo muito menores
não é exatamente igual a si mesma,
mas é *proporcional* a si mesma
com essa constante de proporcionalidade muito peculiar de 0,6931
E não há nada muito especial sobre o número 2 aqui.
Se ao invés disso tivéssemos lidado com a função '3 elevado a t',
a propriedade exponencial também nos levaria à conclusão de que
a derivada de '3 elevado a t' é proporcional a si mesma.
Mas desta vez teria uma constante de proporcionalidade 1.0986.
E para outras bases para o seu expoente, você pode se divertir tentando ver o que as várias
constantes de proporcionalidade resultam,
podendo ver se você pode encontrar um padrão nelas.

Swedish: 
Och det borde vara vettigt,
eftersom tidigare, kändes det som derivatet för 2 till T bör vara sig själv,
åtminstone när vi letade på förändringar under loppet av en hel dag.
Och tydligen, förändringstakten för denna funktion över mycket mindre tidsskalor
är inte riktigt lika med sig självt,
men det är proportionell mot sig själv,
med denna mycket märkliga proportionalitetskonstant 0,6931
Och det är inte något speciellt med talet två här,
Om vi ​​i stället hade behandlat funktionen 3 upphöjt till t,
skulle den exponentiella egenskapenockså ha lett oss till slutsatsen att
derivatan av 3 till t är proportionell mot sig själv.
Men den här gången skulle ha haft en proportionalitetskonstant 1,0986.
Och för andra baser till din exponent kan vara roligt att försöka se vad de olika
proportionalitetskonstanterna har för ett mönster i dem.

Polish: 
Np. dla 8 współczynnik wynosi około 2.079.
Może udało ci się zauważyć, że to dokładnie
trzy razy więcej, niż współczynnik dla podstawy 2.
Wobec tego te współczynniki na pewno nie są losowe.
Jest między nimi pewna zależność, ale jaka?
Co mają wspólnego ze sobą 2 i 0.6931? A 8 i 2.079?
Drugie pytanie, które rozwiąże nasz problem, brzmi:
czy dla jakiejś podstawy
ten współczynnik wynosi dokładnie 1?
Wtedy pochodna tej funkcji będzie nie tylko
proporcjonalna do niej, a dokładnie równa.
Odpowiedź brzmi: tak! Tą stałą oznaczamy literą e,
jest ona równa około 2.71828.

French: 
Par exemple, si vous mettez 8 à la puissance d'un très petit nombre
moins 1, et diviser par le même petit nombre,
ce que vous trouvez, c'est que la constante de proportionnalité correspondante est autour de 2,079,
et peut-être, juste peut-être, vous remarquerez que ce nombre
s'avère être exactement trois fois la constante associée à la base 2,
de sorte que ces nombres ne sont certainement pas dus au hasard. Il existe un motif,
mais lequel ?
Qu'est-ce que 2 a à voir avec le nombre 0,6931 ?
Et qu'est-ce que 8 a à voir avec le nombre 2,079?
Eh bien, une deuxième question qui va finalement expliquer ces mystérieuses constantes
est de savoir s'il y a une certaine base où cette constante de proportionnalité est égal à un (1),
où la dérivée de « a » à la puissance t est non seulement proportionnelle à elle-même,
mais exactement égale à elle-même.
Et la-voici!
Il s'agit de la constante spéciale appelée « e »
dont la valeur est environs 2,71828.

English: 
For example, if you plug in 8 to the power of a very tiny number
minus 1, and divide by that same tiny number,
what you'd find is that the relevant proportionality constant is around 2.079,
and maybe, just maybe you would notice that this number happens
to be exactly three times the constant associated with the base for 2,
so these numbers certainly aren't random, there is some kind of pattern,
but what is it?
What does 2 have to do with the number 0.6931?
And what does 8 have to do with the number 2.079?
Well, a second question that is ultimately going to explain these mystery constants
is whether there's some base where that proportionality constant is one (1),
where the derivative of "a"to the power t is not just proportional to itself,
but actually equal to itself.
And there is!
It's the special constant "e,"
around 2.71828.

German: 
Zum Beispiel, wenn Sie 8 an die Potenz einer sehr kleinen Zahl anschließen
minus 1 und dividiere durch dieselbe winzige Zahl,
Was Sie finden würden, ist, dass die relevante Proportionalitätskonstante bei 2,079 liegt.
und vielleicht, nur vielleicht würden Sie bemerken, dass diese Nummer passiert
genau das Dreifache der Konstante sein, die der Basis für 2 zugeordnet ist,
Also diese Zahlen sind sicherlich nicht zufällig, es gibt eine Art Muster,
aber was ist es?
Was hat 2 mit der Nummer 0.6931 zu tun?
Und was hat 8 mit der Nummer 2.079 zu tun?
Nun, eine zweite Frage, die letztendlich diese mysteriösen Konstanten erklären wird
ist, ob es eine Basis gibt, auf der diese Proportionalitätskonstante eins ist (1),
wo die Ableitung von "a" zur Potenz t nicht nur proportional zu sich selbst ist,
aber eigentlich gleich sich selbst.
Und da ist!
Es ist die spezielle Konstante "e"
um 2.71828.

Swedish: 
Till exempel, om du tar 8 till upphöjt av en mycket liten tal
minus 1, och dividera med det samma lilla tal,
skulle du hitta att den relevanta proportionalitetskonstanten är ca 2,079,
och kanske, bara kanske du skulle märka att talet råkar
vara exakt tre gånger konstanten associerad med basen för två,
så dessa siffror är definitivt inte slumpmässigt, det finns någon form av mönster,
men vad är det?
Vad två har att göra med antalet 0,6931?
Och vad betyder åtta har att göra med nummer 2,079?
Jo, till den andra frågan som i slutändan kommer att förklara dessa mystiska konstanter
är om det finns någon bas där att proportionalitetskonstanten är ett (1),
där derivatan av "a" upphöjt till t är inte bara i proportion till sig själv,
men i själva verket lika med sig själv.
Och där är!
Det är den speciella konstanten "e"
omkring 2,71828.

Portuguese: 
Por exemplo, se você digitar 8 elevado à potência de um número muito pequeno
menos 1, e dividir pelo mesmo número minúsculo,
o que você encontraria é que a relevante constante de proporcionalidade é próxima de 2.079,
e talvez, apenas talvez, você notaria que esse número
é exatamente três vezes a constante associada à base para 2.
Então esses números certamente não são aleatórios, existe algum tipo de padrão.
Mas qual?
O que 2 tem a ver com o número 0,6931?
E o que 8 tem a ver com o número 2.079?
Bem, uma segunda pergunta que vai explicar em definitivo essas constantes misteriosas
é se existe alguma base onde essa constante de proporcionalidade é igual a 1,
onde a derivada de "a" elevado a ''t'' não é apenas proporcional a si mesma,
mas, na verdade, *igual* a si mesma.
E existe sim!
É a constante especial "e"
em torno de 2.71828.

Arabic: 
على سبيل المثال ، إذا قمت بإدخال 8 إلى قوة رقم صغير جدًا
ناقص 1 ، وينقسم على هذا العدد الصغير نفسه ،
ما قد تجده هو أن ثابت التناسب المعني يبلغ حوالي 2.079 ،
ربما تلاحظ أن هذا الرقم ينتج
بالضبط من ثلاثة أضعاف الثابت المرتبط بالأساس 2
لذلك هذه الأرقام ليست عشوائية بالتأكيد ، هناك نوع من النمط ،
ولكن ما هو؟
ما علاقة 2 بالرقم 0.6931؟
ما علاقة  8  بالرقم 2.079 ؟
حسنا ، هناك سؤال آخر سيشرح في نهاية المطاف هذه الثوابت الغامضة
هو ما إذا كانت هناك أساس يكون فيها هذا  الثابت التناسبي يساوي واحدًا (1) ،
حيث مشتق "a" إلى القوة t  لا يتناسب فقط مع نفسه ،
ولكن في فعلا مساو لنفسها.
وهناك!
إنه الثابت المميز "e"
تقريبا 2.71828.

Chinese: 
例如，当你把底数改成8，8的dt次方
减去1在除以一个很小的数dt
你就会得到一个常数比大约2.079
或许你会发现
这个值正正是底数为2时这个比值的3倍
所以这个比值肯定不是随机的
这其中有什么规律
但到底是什么呢
究竟2和0.6931有什么关系？
8和2.079又是什么关系？
第二个问题涉及到了这个神秘的常数的根本
那就是是否存在一个底数，使得这个比值常数是1
这时这个a的t次方的导数不单单是跟自己成比例
而是直接就等于自己
嗱，这个就是了
这个特别的常数e
大约等于2.71828

Korean: 
예를 들어, 8의 지수에 아주 작은 숫자를 넣어
1을 뺀 다음 그 작은 숫자로 나누면,
비례 상수가 약 2.079임을 찾을 수 있을 것이고,
어쩌면, 아마도 어쩌면 이 번호가
2를 밑으로 하는 비례상수의 정확히 3 배가되는 경우라는 점을 눈치챌 것입니다.
그래서 이 숫자들은 분명 무작위가 아니며 어떤 종류의 패턴이 있습니다.
하지만 무엇일까요?
2가  0.6931과 무슨 관계가 있는 것일까요?
그리고 8은 2.079와 어떤 관련이 있는 것일까요?
음, 궁극적으로 이 미스터리 상수를 설명할 두 번째 질문은
비례 상수로 1을 가지는 밑이 있는지에 대한 여부이고
다시말해 a의 t제곱의 도함수는 자기 자신과 비례할 뿐만 아니라
실제로 자기 자신과 동일한 것입니다.
그리고 여기 있습니다!
특별한 상수 "e"입니다.
약 2.71828이죠.

Spanish: 
Por ejemplo, si se conectas en 8 a la potencia de un número muy pequeño
menos 1, y  divides por el mismo número pequeño,
lo que ibas a encontrar es que la constante de proporcionalidad correspondiente es de alrededor de 2.079,
y tal vez, sólo tal vez te darías cuenta de que este número sucede
ser exactamente tres veces la constante asociada con la base para 2,
por lo que estos números ciertamente no son al azar, hay algún tipo de patrón,
pero, ¿Cuál es?
¿Qué tienen que ver 2 con el número 0.6931?
¿Y qué  tienen  8 que ver con el número 2.079?
Bueno, una segunda pregunta que finalmente  va a explicar estas constantes  misteriosas
es:  ¿hay alguna base donde que constante de proporcionalidad es uno (1),?
donde la derivada de "a" a la potencia t no es sólo proporcional a sí mismo,
pero en realidad igual a sí mismo.
¡Y ahí está!
Es la constante especial "e"
alrededor de 2,71828.

Spanish: 
De hecho, no se trata sólo de que el número e pasa a aparecer por aquí,
esto es, en cierto sentido, lo que define el número e.
Si  preguntas:, "¿por qué  e, entre todos los números, tiene esta propiedad?"
Es  como preguntar: "¿por qué pi, de 
 entre todos los números resulta ser la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro?"
Esto es, en el fondo, lo que define este valor.
Todas las funciones exponenciales son proporcionales a su propia derivada,
pero a lo largo de e, es el número especial de modo que esa constante de proporcionalidad es uno,
es decir, e a la  t es en realidad  igual a su propia derivada.
Una manera de pensar de esto es que si nos fijamos en la gráfico de e a la t,
tiene la propiedad peculiar que la pendiente de una línea tangente a cualquier punto en este gráfico
es igual a la altura de este punto al  eje horizontal.
La existencia de una función como esta responde a la pregunta de las constantes  misteriosas
y es porque  da una forma diferente de pensar acerca de las funciones
que son proporcionales a su propia derivada.

Portuguese: 
Na verdade, não se trata apenas do número e aparecer aqui.
Isto é o que, em certo sentido, *define* o número ''e''.
Se você perguntar "por que o ''e'', dentre todos os números, tem essa propriedade?"
É mais ou menos como perguntar "por que o ''pi'', dentre todos os números, é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro?"
Isto é o que, no fundo, define esse valor.
Todas as funções exponenciais são proporcionais à sua própria derivada,
mas apenas "e" é o número especial tal que a constante de proporcionalidade seja igual a um,
significando que ''e'' elevado a ''t'', na verdade, é igual a sua própria derivada.
Uma maneira de pensar nisso é que, se você olhar o gráfico de 'e elevado a t',
ele tem a propriedade peculiar de que a inclinação de uma linha tangente para qualquer ponto neste gráfico
é igual à altura desse ponto acima do eixo horizontal.
A existência de uma função como essa responde à questão das constantes misteriosas
e é porque dá uma maneira diferente de pensar em funções que são proporcionais a sua própria derivada.

Swedish: 
I själva verket är det inte bara att antalet e råkar dyka upp här,
Detta är, i en mening, vad som definierar antalet e.
Om du frågar, "varför e av alla siffror, har den här egenskapen?"
Det är lite som att fråga "varför gör pi, av alla tal råkar vara förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter?"
Detta är detta, som definierar detta värde.
Alla exponentialfunktioner står i proportion till deras egna derivat,
men e är det speciella talet så att det proportionalitetskonstanten är ett,
betyder e upphöjt till t faktiskt lika sin egen derivata.
Ett sätt att tänka på det är att om man tittar på grafen av e upphöjt till t,
den har den speciella egenskapen att lutningen av en tangentlinje till en punkt på denna graf
är lika med höjden av den punkt ovanför den horisontella axeln.
Förekomsten av en funktion som denna besvarar frågan om en mysterisk konstant
och det beror på att det ger ett annat sätt att tänka på funktioner
som står i proportion till sitt eget derivata.

German: 
Tatsächlich taucht hier nicht nur die Nummer e auf.
Dies ist gewissermaßen das, was die Zahl e definiert.
Wenn Sie fragen: "Warum hat ausgerechnet e diese Eigenschaft?"
Es ist ein bisschen so, als würde man fragen: "Warum ist pi ausgerechnet das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser?"
Dies ist im Kern das, was diesen Wert definiert.
Alle Exponentialfunktionen sind proportional zu ihrer eigenen Ableitung,
aber e entlang ist die spezielle Zahl, so dass diese Proportionalitätskonstante eins ist,
Die Bedeutung von e zu t entspricht tatsächlich seiner eigenen Ableitung.
Eine Möglichkeit, sich das vorzustellen, ist, dass, wenn Sie den Graphen von e zu t betrachten,
Es hat die eigentümliche Eigenschaft, dass die Neigung einer Tangentenlinie zu einem beliebigen Punkt in diesem Diagramm
entspricht der Höhe dieses Punktes über der horizontalen Achse.
Die Existenz einer solchen Funktion beantwortet die Frage nach den Mysterienkonstanten
und das liegt daran, dass es eine andere Möglichkeit gibt, über Funktionen nachzudenken
die proportional zu ihrer eigenen Ableitung sind.

French: 
En fait, ce n'est pas seulement e qui arrive par hasard ici,
c'est, dans un sens, ce qui définit le nombre e.
Si vous demandez, « pourquoi e, de tous les nombre, est celui qui a cette propriété? »
C'est un peu comme se demander « Pourquoi est-ce pi, de tous les nombres, qui se trouve être le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre ? »
Ceci est, en son cœur, ce qui définit cette valeur.
Toutes les fonctions exponentielles sont proportionnelles à leur dérivée,
mais e est le seul nombre tel que cette constante de proportionnalité soit un,
ce qui signifie que e puissance t est égale à sa propre dérivée.
Pour réfléchir à cela, si vous regardez le graphe de la fonction e puissance t,
il a la propriété particulière que la pente de la tangente en un point quelconque de ce graphe
est égale à la hauteur de ce point par rapport à l'axe horizontal.
L'existence d'une fonction comme celle-ci répond à la question des constantes mystérieuses.
Et c'est parce que cela donne une autre manière de réfléchir sur les fonctions
qui sont proportionnelles à leur dérivée.

Korean: 
사실 숫자 e가 여기에 우연히 나타나는 것은 아닙니다.
이는 어떤 의미에서 숫자 e를 정의하는 것입니다.
만약 당신이 "왜 모든 수 중에서 e가 이 속성을 가지고 있습니까?"라고 묻는다면
이는 "왜 모든 수 중에서 π가 원의 둘레와 그 직경의 비율일까요?"라고 물어보는 것과 비슷합니다.
이것이 바로 이 값을 정의하는 것이기 때문입니다.
모든 지수 함수는 자기 자신의 도함수에 비례한다.
그러나 비례 상수가 1이 되도록 하는 특수한 숫자가 e이고,
e의 t제곱은 실제로 자신의 도함수와 동일함을 의미합니다.
생각해볼 수 있는 한 가지 방법은 e^t 그래프를 보면,
이 그래프 상의 임의의 점에 대한 접선의 기울기는
수평 축 위에 그 점의 높이가 동일한 값을 가집니다.
이와 같은 함수의 존재는 수수께끼 상수의 질문에 답을 주고
이는 자기 자신의 도함수에 비례하는 함수에 대해
다른 방식으로 생각해 볼 수 있기 때문입니다.

Polish: 
Co więcej, to nie przypadek, że e się tu pojawia.
To jest definicja e.
Jeśli zapytasz, dlaczego to e ma taką własność,
a nie inna liczba, to tak samo, jakbyś pytał:
dlaczego to pi, a nie inna liczba, jest stosunkiem
obwodu koła do długości jego średnicy.
To jest definicja pi.
Wszystkie funkcje wykładnicze są proporcjonalne
do swojej pochodnej, ale e jest tą specjalną liczbą,
dla której współczynnik proporcjonalności jest równy 1.
Wobec tego pochodną e^t jest e^t.
Możesz o tym myśleć w ten sposób:
jeśli spojrzysz na wykres funkcji e^t,
to w dowolnym punkcie współczynnik kierunkowy
stycznej do wykresu jest równy dokładnie
wartości funkcji w tym punkcie.
Istnienie takiej funkcji daje nam odpowiedź na pytanie o
o tajemnicze współczynniki, bo pozwala nam
w inny sposób myśleć o funkcjach, które
są proporcjonalne do swoich pochodnych.

English: 
In fact, it's not just that the number e happens to show up here,
this is, in a sense, what defines the number e.
If you ask, "why does e, of all numbers, have this property?"
It's a little like asking "why does pi, of all numbers happen to be the ratio of the circumference of a circle to its diameter?"
This is, at its heart, what defines this value.
All exponential functions are proportional to their own derivative,
but e along is the special number  so that that proportionality constant is one,
meaning e to the t actually equals its own derivative.
One way to think of that is that if you look at the graph of e to the t,
it has the peculiar property that the slope of a tangent line to any point on this graph
equals the height of that point above the horizontal axis.
The existence of a function like this answers the question of the mystery constants
and it's because it gives a different way to think about functions
that are proportional to their own derivative.

Chinese: 
实际上这个e不是偶然出现在这里的
实际上这就是e的定义
如果你问为什么有这么多数字，就是e有这个特性？
就像是再问为什么pi是圆周长对直径的比值
这就是定义
所有的指数函数的导数都很自己成比例关系
但只有e这么一个特例使得它等于自己
也就是只有e的t次方的导数等于e的t次方
你可以试试想象一下e的t次方的图像
它有一个奇怪的特点是这个图像的切线的斜率总是
等于这一点在数轴上的高度
这个函数的纯在回答了关于这个神秘常数的疑问
因为它让你有了一个不同的方法去思考这个函数
跟导数成比例的关系

Arabic: 
في الواقع ، ليس فقط أن الرقم e يحدث ليظهر هنا ،
هذا ، بمعنى ما ، ما يحدد الرقم ه.
إذا كنت تسأل ، "لماذا e ، من جميع الأرقام ، لديك هذه الخاصية؟"
الأمر يشبه قليلاً السؤال "لماذا تكون pi ، من كل الأرقام هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها؟"
هذا هو ، في جوهره ، ما يعرف هذه القيمة
جميع التوابع الأسية تتناسب مع مشتقاتها الخاصة ،
ولكن دائما هو رقم خاص بحيث ثابت تناسبه هو واحد ،
يعني e أس t  يساوي مشتقة خاصة بها.
إحدى الطرق للتفكير في ذلك هي أنك إذا نظرت إلى الرسم البياني للتابع  e أس t ،
لديها خاصية غريبة أن ميل خط المماس لأي نقطة على هذا الرسم البياني
يساوي ارتفاع تلك النقطة فوق المحور الأفقي.
إن وجود دالة كهذه يجيب على سؤال الثوابت الغامضة
وهذا لأنه يعطي طريقة مختلفة للتفكير في التوابع
التي تتناسب مع مشتقاتها الخاصة.

Spanish: 
La clave es usar la regla de la cadena.
Por ejemplo, ¿cuál es la derivada de e para el 3t?
Bien,
se toma la derivada de la función más externa, que debido a este característica  especial de e
es e^3t en sí ,y luego multiplicado por la derivada de esa función interior, 3t
que es la constante, 3.
O, en lugar de aplicar una regla ciegamente, se podría aprovechar este momento para practicar la intuición para la regla de la cadena
de la que hablé en el último vídeo, pensando  cómo un ligero empujón para t cambia el valor de 3t
y cómo ese cambio intermedio empuja el valor final de e elevado a 3T.
De cualquier manera, el punto es, e elevado a la potencia de algunas veces  una constante t
es igual a la misma constante multiplicado por sí mismo.
Y a partir de aquí, la cuestión de las constantes de misteriosas  en realidad sólo se reduce a una cierta manipulación algebraica.

Portuguese: 
A chave é aplicar a regra da cadeia.
Por exemplo, qual é a derivada de 'e elevado a 3t'?
Bem,
você toma a derivada da função mais externa, que, devido a essa natureza especial de 'e', é apenas ela mesma,
e em seguida, a multiplica pela derivada da função interna, 3t
que é constante, 3.
Ou, ao invés de apenas aplicar uma regra cegamente,
você poderia aproveitar este momento para praticar a intuição para a regra da cadeia que mostrei no último vídeo,
pensando em como uma 'cutucada' em 't' muda o valor de '3t' e como essa mudança intermediária leva o valor final de 'e' elevado a '3t'.
De qualquer maneira, o ponto é,
'e elevado a potência de alguma constante vezes  t'
é igual a essa mesma constante multiplicada por si mesma.
E a partir daqui, a questão dessas constantes misteriosas realmente se resume a uma certa manipulação algébrica.

Polish: 
Pomysł polega na zastosowaniu reguły łańcuchowej.
Ile wynosi pochodna funkcji e^(3t)?
Bierzemy pochodną funkcji zewnętrznej.
Ze względu na to, czym jest e, ta pochodna
jest dokładnie równa tej funkcji.
Następnie przemnażamy ją przez pochodną
funkcji wewnętrznej 3t, czyli 3.
Mógłbyś też, zamiast stosować tu poznaną regułę,
przećwiczyć to, co robiliśmy w poprzednim filmie i
zastanowić się, jak mała zmiana t wpływa na wartość 3t
oraz jak zmiana funkcji pośredniej wpływa na e^(3t).
Chodzi o to, że dla stałej c
pochodną e^(c * t) jest c * e^(c * t).
Teraz wystarczy już tylko dokonać prostych
przekształceń algebraicznych, aby wyjaśnić zagadkę
tajemniczych stałych.

German: 
Der Schlüssel ist die Verwendung der Kettenregel.
Was ist zum Beispiel die Ableitung von e zum 3t?
Gut,
Sie nehmen die Ableitung der äußersten Funktion, die aufgrund dieser besonderen Natur von e
ist nur sich selbst und multipliziert es dann mit der Ableitung dieser inneren Funktion, 3t
Welches ist die Konstante, 3.
Anstatt eine Regel nur blind anzuwenden, können Sie diesen Moment nutzen, um die Intuition für die Kettenregel zu üben
dass ich das letzte Video durchgesprochen habe und darüber nachgedacht habe, wie ein leichter Anstoß zu t den Wert von 3t verändert
und wie diese Zwischenänderung den Endwert von e auf 3t bringt.
In jedem Fall ist der Punkt e zur Potenz einiger konstanter Zeiten t
ist gleich der gleichen konstanten Zeit selbst.
Und von hier aus kommt die Frage nach diesen Mysterienkonstanten wirklich nur auf eine bestimmte algebraische Manipulation an.

Chinese: 
关键是运用链法则
例如，e的3t次方的导数是什么？
嗯
你首先对外层的函数求导，而由于e的特殊性质
就是它自身，然后在乘以内层的函数3t的导数
也就是常数3
或者不盲目地应用链法则，你尝试去实践链法则的推导过程
就像我上一个视频提到的，考虑一下当轻轻推动这个t的值时，3t的值发什么什么变化
以及这个中间值得变化如何推动e的3t次方的值的变化
无论如何，关键在无论是什么常数乘以t作为e的幂求导
等于这个常数乘以这个指数函数自己
从这里开始，关于这些神秘常数的问题就变成了一些明确的代数操作

French: 
La clé est d'utiliser la règle de la chaîne (dérivation d'une fonction composée).
Par exemple, quel est le dérivé de e puissance 3t ?
Et bien,
vous prenez la dérivée de la fonction la plus externe, qui en raison de la nature particulière de e
est tout simplement elle-même, puis multipliez par la dérivée de la fonction interne, 3t
qui est la constante 3.
Ou, plutôt que d'appliquer une règle aveuglément, vous pouvez prendre ce moment pour pratiquer votre intuition de la règle de la chaîne
dont je parlais à travers la dernière vidéo, en pensant à la façon dont une légère poussée de t modifie la valeur de 3t
et comment ce changement intermédiaire pousse la valeur finale de e à la puissance 3t.
De toutes les façons, l'important est que e à la puissance d'une constante fois t
est égale à cette même constante multipliée par elle-même.
Et de là, la question de ces mystérieuses constantes se résume à une manipulation algébrique.

Korean: 
실마리는 바로 연쇄법칙을 사용하는 것입니다.
예를 들어, e의 3t제곱의 도함수는 무엇입니까?
음,
가장 바깥 쪽의 함수의 도함수를 취하면 e의 특별한 본질에 의해 그 자체가 되고,
내부 함수인 3t의 도함수를 곱합니다.
이는 곧 상수 3이 되죠.
또는 맹목적으로 법칙을 적용하는 것보다는, 연쇄법칙에 대한 직관을 연습하는 데 시간을 쓸 수 있습니다.
제가 가장 최근의 비디오를 통해 이야기 한 t의 미소 변화량이 3t 미소 변화량을 어떻게 바꾸는지,
그리고 그 중간의 변화가 어떻게 e의 3t제곱을 바꾸는지 생각해보는 것입니다.
어느 쪽이든, 요점은, t에 일정한 상수인 c를 곱한 e^ct는
도함수가 자기 자신의 상수배입니다.
그리고 여기서부터, 그 수수께끼의 상수들에 대한 질문은 실제로 어떤 대수적 조작에서 도출됩니다.

Arabic: 
المفتاح هو استخدام قاعدة السلسلة.
على سبيل المثال ، ما هو مشتق  e أس 3t ؟
Well,
 
5/5000
حسنا،
تأخذ مشتق من التابع الخارجي، والتي بسبب هذه الطبيعة الخاصة ل e
هو نفسه فقط  مظروبا بمشتق من تلك التابع الداخلي ، 3t
وهو الثابت ، 3.
أو ، بدلاً من مجرد تطبيق هذه القاعدة  بطريقة عمياء ، يمكنك أن تأخذ هذه اللحظة لممارسة الحدس لقاعدة السلسلة
التي تحدثت خلال الفيديو الأخير ، والتفكير في كيفية دفعة صغيرة إلى t يغير قيمة 3t
وكيف يؤدي هذا التغيير المتوسط إلى دفع القيمة النهائية لـ e إلى 3t.
في كلتا الحالتين ، النقطة هي ،  e إلى قوة بعض الثوابت مظروبا ب t
يساوي نفس الثوابت مظروبا  بالتابع نفسه.
ومن هنا ، فإن مسألة الثوابت الغامضة تأتي في الحقيقة إلى تلاعب جبري معين.

Swedish: 
Nyckeln är att använda kedjeregeln.
Till exempel, vad är derivatan av e upphöjt till 3t?
OK,,
du tar derivatan av yttersta funktionen, som på grund av denna speciella egenskap av e
är bara sig själv och sedan multiplicera med derivatan av det inre funktion, 3T
som är konstanten, 3.
Eller, snarare än att bara tillämpa en regel blint, du kan ta detta tillfälle att öva intuition för kedjeregeln
att jag talade genom sista video, tänka på hur en liten knuff till t ändrar värdet av 3t
och hur det mellan förändring knuffar det slutliga värdet av e till 3t.
Hursomhelst, är den punkt, e upphöjt till någon konstant gånger t
är lika med den samma konstant gånger själv.
Och härifrån, egentligen bara kommer frågan om de mystiska konstanterna bara till en viss algebraisk manipulation.

English: 
The key is to use the chain rule.
For example,  what is the derivative of e to the 3t?
Well,
you take the derivative of the outermost function, which due to this special nature of e
is just itself and then multipliy it by the derivative of that inner function, 3t
which is the constant, 3.
Or, rather than just applying a rule blindly, you could take this moment to practice the intuition for the chain rule
that I talked through last video, thinking about how a slight nudge to t changes the value of 3t
and how that intermediate change nudges the final value of e to the 3t.
Either way, the point is, e to the power of some constant times t
is equal to that same constant times itself.
And from here, the question of those mystery constants really just comes down to a certain algebraic manipulation.

Arabic: 
يمكن أيضًا كتابة الرقم 2 كـ  e أس (اللوغارتم الطبيعي لـ 2).
لا يوجد شيء خيالي
 هنا ، هذا هو مجرد تعريف اللوغارتم الطبيعي ،
يسأل السؤال ، "e  أس ماذا يساوي 2؟"
لذا ، فإن التابع 2 أس t
هو نفس التابع  e أس (اللوغارتم الطبيعي ل 2 ظرب t).
ومن ما رأيناه للتو ، يجمع بين الحقائق  أن e أس t هو مشتقها الخاص
مع قاعدة التسلسل ، فإن مشتق هذه التابع يتناسب مع نفسه ،
مع ثابت التناسب مساويا اللوغارتم الطبيعي ل 2.
وبالفعل ، إذا أدخلت  اللوغارتم طبيعي  للاثنين في آلة حاسبة ،
ستجد أنه 0.6931 ،
الثابت الغامض الذي واجهناه سابقاً
ونفس الشيء ينطبق على جميع الأسس الأخرى.
ثابت التناسب الغامض الذي ينبثق عند أخذ المشتقات
هو مجرد اللوغارتم  الطبيعي للأساس،
الجواب على السؤال ، "e أس ماذا يساوي تلك الأساس؟"

English: 
The number 2 can also be written as e to the natural log of 2.
There's nothing fancy here, this is just the definition of the natural log,
it asks the question, "e to what equals 2?"
So, the function 2 to the t
is the same as the function e to the power of the natural log of 2 times t.
And from what we just saw, combining the facts that e to the t is its own derivative
with the chain rule, the derivative of this function is proportional to itself,
with a proportionality constant equal to the natural log of 2.
And indeed, if you go plug in the natural log of two to a calculator,
you'll find that it's 0.6931,
the mystery constant that we ran into earlier.
And the same goes for all of the other bases.
The mystery proportionality constant that pops up when taking derivatives
is just the natural log of the base,
the answer to the question, "e to the what equals that base?"

Chinese: 
数字2可以写成e的自然对数2的次方
这里没什么好说的，这个就只是自然对数的定义
等于在问e的多少次方等于2？
所以2的t次方
跟e的自然对数2乘以t的次方是一样的
再结合我们刚刚看到的，e的t次方的导数等于自己
加上链法则，这个导数就是一个常数
自然对数2乘以这个函数自身
实际上你把自然对数2用计算机计算出来
你会发现就是0.6931
就是那个早些时候的神秘常数
这对于其他所有底数都一样
这个求导时产生的神秘常数
就是这个底数的自然对数
也就是e的多少次方等于这个底数

Portuguese: 
O número '2' também pode ser escrito como 'e elevado ao logaritmo natural de 2'.
Não há nada demais aqui, esta é apenas a definição do logaritmo natural,
ele responde à pergunta 'e elevado a que é igual a 2?'
Então, a função '2 elevado a t'
é o mesmo que a função 'e elevado ao  logaritmo natural de 2, vezes t.
E do que acabamos de ver, combinando os fatos que 'e elevado a t' é a sua própria derivada e com  a regra da cadeia,
a derivada dessa função é proporcional a si mesma,
com uma constante de proporcionalidade igual ao logaritmo natural de 2.
E, de fato, se você calcular o logaritmo natural de dois numa calculadora,
você vai descobrir que é 0.6931,
a constante misteriosa encontrada antes.
E o mesmo vale para todas as outras bases.
A constante de proporcionalidade misteriosa que aparece quando se toma derivadas
é apenas o logaritmo natural da base,
a resposta para a pergunta 'e elevado a que é igual a essa base?'

French: 
Le nombre 2 peut également être écrit comme e à la puissance du logarithme naturel de 2.
Il y a rien de fantaisiste ici, ce n'est que la définition du logarithme naturel,
Il pose la question, « e à la puissance combien est égal à 2 ? »
Ainsi, la fonction 2 puissance t
est la même que la fonction e à la puissance du logarithme naturel de 2 fois t.
Et de ce que nous venons de voir, en combinant les faits que e puissance t est sa propre dérivée
avec la règle de la chaîne, la dérivée de cette fonction est proportionnelle à elle-même,
avec une constante de proportionnalité égale au logarithme naturel de 2.
Et en effet, si vous allez tapez le logarithme naturel de deux dans une calculatrice,
vous trouverez qu'il est de 0,6931,
la mystérieuse constante que nous avons rencontrée plus tôt.
Et la même chose arrive pour toutes les autres bases.
La constante de proportionnalité mystère qui apparaît lorsqu'on calcule la dérivée
est juste le logarithme naturel de la base,
la réponse à la question « e à la puissance combien est égal à cette base? »

Swedish: 
Antalet 2 kan också skrivas som e upphöjt till den naturliga logaritmen av 2.
Det finns inget e xtrahär, detta är bara definitionen av naturliga logaritmen,
Det ställer frågan, "e upphöjt till vad är lika med 2?"
Så funktionen 2 upphöjt till t
är densamma som funktionen e upphöjt till den naturliga logaritmen av 2 multiplicerat med t.
Och från vad vi såg bara att kombinera de fakta som e upphöjt till t är sin egen derivata
och med kedjeregeln, är derivatan av denna funktion som är proportionell mot sig själv,
och med en proportionalitetskonstant som är lika med den naturliga logaritmen av 2.
Och faktiskt, om du går att skriver in den naturliga logaritmen av två till en miniräknare,
du kommer att upptäcka att det är 0,6931,
mysteriekonstanten som vi hade tidigare.
Och samma sak gäller för alla de andra baserna.
Mysteriet proportionalitetskonstanten som dyker upp när man tar derivatan
är bara den naturliga logaritmen av basen,
Svaret på frågan "e upphöjt till vad är lika med bas?"

German: 
Die Zahl 2 kann auch als e in das natürliche Protokoll von 2 geschrieben werden.
Hier gibt es nichts Besonderes, dies ist nur die Definition des natürlichen Baumstamms.
es stellt die Frage: "e bis was ist gleich 2?"
Also die Funktion 2 zum t
ist die gleiche wie die Funktion e zur Potenz des natürlichen Logarithmus von 2 mal t.
Und von dem, was wir gerade gesehen haben, ist die Kombination der Tatsachen, dass e mit dem t eine eigene Ableitung ist
mit der Kettenregel ist die Ableitung dieser Funktion proportional zu sich selbst,
mit einer Proportionalitätskonstante gleich dem natürlichen log von 2.
Und in der Tat, wenn Sie das natürliche Protokoll von zwei an einen Taschenrechner anschließen,
Sie werden feststellen, dass es 0,6931 ist,
die mysteriöse Konstante, auf die wir früher gestoßen sind.
Gleiches gilt für alle anderen Basen.
Die mysteriöse Proportionalitätskonstante, die beim Einnehmen von Derivaten auftritt
ist nur das natürliche Protokoll der Basis,
die Antwort auf die Frage: "e zu dem, was dieser Basis entspricht?"

Korean: 
숫자 2는 e의 자연로그2 제곱으로 기록 될 수 있습니다.
여기서는 아무것도 환상적이지 않습니다. 이는 자연 로그의 정의에 불과합니다.
그것은 "e의 몇 제곱이 2와 같은가?"라는 질문을 던집니다.
따라서 함수 2의 t제곱은
함수 e의 ln(2)t제곱과 같습니다.
우리가 방금 본 것에서, e의 t제곱은 자기 자신의 도함수이고
연쇄법칙에 따라 이 함수의 도함수는 자기 자신과 비례하며,
비례 상수로는 자연로그 2와 같습니다.
그리고 실제로 계산기를 통해 자연로그2를 구해보면
당신은 그것이 0.6931임을 알게 될 것입니다.
우리가 이전에 만났던 수수께끼 상수입니다.
그리고 다른 모든 밑에 대해서도 마찬가지입니다.
미분을 할 때 나타나는 수수께끼의 비례 상수는
'e의 몇제곱이 밑과 같아지는가?'라는 질문의 대답인
밑의 자연로그일 뿐입니다.

Spanish: 
El número 2 también se puede escribir como E elevado al  logaritmo natural de 2.
No hay nada complicado aquí, esto es sólo la definición del logaritmo natural,
se hace la pregunta, "e elevado a qué ,es igual a 2?"
Por lo tanto, la función 2 a la t
es la misma que la función de e a la potencia del logaritmo natural de 2 veces t.
Y por lo que acabamos de ver, la combinación de los hechos que e a la t es su propia derivada
con la regla de la cadena, la derivada de esta función es proporcional a sí mismo,
con una constante de proporcionalidad igual al logaritmo natural de 2.
Y de hecho, si vas conectar  el logaritmo natural de dos a una calculadora,
encontrarás que es 0,6931,
la constante  misteriosa que nos encontramos antes.
Y lo mismo vale para todas las otras bases.
La constante de proporcionalidad misteriosa que aparece cuando se toman derivadas
es el logaritmo natural de la base,
la respuesta a la pregunta: "E elevado a qué   es igual a la base?"

Polish: 
Liczbę 2 możemy zapisać jako e^ln(2).
Tu nie ma żadnych fajerwerków,
to wynika wprost z definicji logarytmu.
Liczba ln(2) odpowiada na pytanie:
e do jakiej potęgi jest równe 2?
Wobec tego 2^t możemy zapisać jako e^(ln(2) * t).
Korzystając z tego, że pochodną e^t jest e^t
i z pochodnej złożenia, otrzymujemy, że
współczynnikiem proporcjonalności jest ln(2).
Faktycznie, możesz sprawdzić w kalkulatorze, że
ln(2) jest równe mniej więcej 0.6931.
Na tą stałą się natknęliśmy wcześniej.
Tak samo dla innych podstaw współczynnik, który
pojawia się przy pochodnej,
jest równy logarytmowi podstawy.
On odpowiada na pytanie:
e do jakiej potęgi jest równe podstawie?

Korean: 
실제로, 미적분학의 응용 프로그램을 써보면, 특정 밑을 가지고 표현된 지수를 거의 찾아볼 수 없을 것입니다.
대신 거의 항상 e의 ct제곱으로 써야될 것입니다.
사실 모두 똑같습니다. 2의 t제곱이나
또는3의 t제곱은 e의 t에 특정 상수 c를 곱한 값의 제곱으로 표현될 수 있습니다.
이 상징에 과도하게 집중하기 보다는
저는 특정 지수 함수를 적는 방법이 많이 있다는 점을 강조하고 싶습니다.
그리고 e의 ct제곱으로 써진 것을 볼 때
이는 우리가 그런 방식으로 쓸 것을 선택한 것이고, 숫자 e는 함수 자체에 근본이 아닙니다.
이런 식으로 지수를 쓰는 것이 특별한 이유는
e는 지수에서 그 상수에 대해 좋고 읽기 쉬운 의미를 부여한다는 것입니다.
여기, 제가 의미하는 것을 보여 드리겠습니다.

Swedish: 
I själva verket hela tillämpningar av detta slag, orsaken att du sällan ser exponentialer skrivna som en del bas upphöjt till t,
Istället skrivs nästan alltid den exponentiella som e upphöjt till någon konstant gånger t.
Det är samma sak. Jag menar någon funktion som 2 upphöjt till t
eller 3 upphöjt till t kan också skrivas som e upphöjt till någon konstant tid t.
Med risk för att vara överfokuserad på symbolerna här,
vill jag verkligen understryka att det finns många många sätt att skriva ner någon speciell exponentialfunktion,
och när du ser något skrivet som e upphöjt till viss konstant tid t,
det är ett val som vi gör för att skriva det på det sättet, och talet e är inte avgörande för den funktionen i sig.
Vad är speciellt med att skriva exponentialer när det gäller e på detta sätt
är att det ger att konstant i exponenten en trevlig, förståelig mening.
Här, låt mig visa dig vad jag menar.

Spanish: 
De hecho, a lo largo de las aplicaciones de cálculo, rara vez se ve exponenciales escritos como algunos de base a una potencia t,
en lugar de eso casi siempre escribe el término como e a la potencia de algunas veces una constante t.
Todo es equivalente. Me refiero a cualquier función como 2 a la t
o 3 a la que T también puede ser escritas como e elevado a alguna constante en el tiempo t.
A riesgo de permanecer demasiado enfocado aquí en los símbolos ,
Realmente  deseo hacer hincapié en que hay muchas muchas maneras de escribir cualquier función exponencial en particular,
y cuando veas algo escrito como e en cierta constante de tiempo t,
eso es una elección que hacemos al escribir de esa manera, y el número E no es fundamental para  la función en si misma.
Lo que es especial acerca de cómo escribir exponenciales en términos de e.
es que da a esa constante en el exponente de un buen sentido, legible.
Aquí, déjame mostrarte lo que quiero decir.

Portuguese: 
De fato, ao longo de aplicações de cálculo, você raramente vê exponenciais escritas como base para uma potencia 't'.
Em vez disso, você quase sempre escreve a função exponencial como 'e elevado a alguma constante vezes t'.
É tudo equivalente. Quero dizer, qualquer função, como '2 elevado a t'
ou '3 elevado a t' também pode ser escrita como 'e elevado a alguma constante vezes t'.
Correndo o risco de ficar focado demais em símbolos aqui,
Realmente quero enfatizar que existem muitas maneiras de escrever qualquer função exponencial em particular,
e quando você vê algo escrito como 'e elevado a alguma constante vezes t',
essa é uma escolha que fazemos para escrevê-lo dessa maneira, e o número 'e' não é fundamental para essa função em si.
O que é especial sobre escrever exponenciais em termos de 'e', como esse,
é que isso dá à constante no expoente um significado agradável e legível.
Aqui, deixe-me mostrar o que quero dizer.

English: 
In fact, throughout applications of calculus, you rarely see exponentials written as some base to a power t,
instead you almost always write the exponential as e to the power of some constant times t.
It's all equivalent. I mean any function like 2 to the t
or 3 to the t can also be written as e to some constant time t.
At the risk of staying over-focused on the symbols here,
Ireally want to emphasize that there are many many ways to write down any particular exponential function,
and when you see something written as e to some constant time t,
that's a choice that we make to write it that way, and the number e is not fundamental to that function itself.
What is special about writing exponentials in terms of e like this,
is that it gives that constant  in the exponent a nice, readable meaning.
Here, let me show you what I mean.

Chinese: 
实际上，在应用时，你很少看见一个指数函数写成某个底数的t次方
而是经常写成e的某个常数乘以t的次方
这是等价的，所有像是2的t次方
或是3的t次方的函数都可以写成是e的某个常数乘以t的次方
为了不拘泥于符号标记
我想强调一下可以用很多种方法去表示一个特定的指数函数
当年你看见什么东西写成了e的某个常数乘以t的次方
这是我们选择用这种方法去表示，而e并不是这个函数的基础
把指数函数写成e的这种形式的特别之处在于
它赋予了幂里面的常数一个巧妙而可理解的意义
在这里我想表达的是

Polish: 
W matematyce rzadko kiedy zapisuje się funkcje a^t.
Zamiast tego bada się funkcje e^(c * t).
Wychodzi na to samo, bo funkcje 2^t, 3^t, ...
mogą być zapisane jako e^(c * t).
Żeby nie przywiązywać się do symboli, podkreślam:
konkretną funkcję potęgową można zapisać
na wiele różnych sposobów.
Gdy zapisujemy ją w postaci e^(c * t)
dokonujemy pewnego wyboru, choć
moglibyśmy wybrać inną podstawę.
Wybieramy e, bo dzięki temu wiemy, czym jest stała c.
Spójrz na to. Wiele naturalnych zjawisk zmienia się

French: 
En fait, à travers les applications de l'analyse, vous rencontrerez rarement des exponentielles écrites comme a à la puissance t,
au lieu de cela, on écrit quasi systématiquement les expenentielles comme e à la puissance d'une constance fois t.
Tout ceci est équivalent. Je veux dire, une fonction comme 2 puissance t
ou 3 puissance t peut également être écrite comme e à la puissance d'une constance fois t.
Au risque de rester trop concentré sur les symboles,
Je voudrais souligner qu'il existe énormément de manière d'écrire une fonction exponentielle,
et quand vous voyez quelque chose écrit comme e à la puissance d'une constante fois t,
c'est un choix que nous faisons de l'écrire de cette façon, et le nombre e n'est pas fondamental à cette fonction elle-même.
Quelle est alors l'intérêt d'écrire les exponentielles en faisant ainsi apparaître e ?
Il s'agit de donner à la constante à l'intérieur de l’exponentielle une signification claire.
S'il-vous-plaît, laissez-moi vous montrer ce que je veux dire.

German: 
Tatsächlich sehen Sie in allen Anwendungen des Kalküls selten Exponentiale, die als Basis für eine Potenz t geschrieben sind.
Stattdessen schreiben Sie fast immer das Exponential als e in die Potenz einiger konstanter Zeiten t.
Es ist alles gleichwertig. Ich meine jede Funktion wie 2 zum t
oder 3 zum t kann auch als e zu einer konstanten Zeit t geschrieben werden.
Auf die Gefahr hin, sich hier zu sehr auf die Symbole zu konzentrieren,
Ich möchte wirklich betonen, dass es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, eine bestimmte Exponentialfunktion aufzuschreiben.
und wenn Sie etwas sehen, das als e zu einer konstanten Zeit t geschrieben ist,
Das ist eine Wahl, die wir treffen, um es so zu schreiben, und die Zahl e ist für diese Funktion selbst nicht grundlegend.
Was ist das Besondere daran, Exponentiale in Bezug auf e wie dieses zu schreiben?
ist, dass es dieser Konstante im Exponenten eine schöne, lesbare Bedeutung gibt.
Hier, lassen Sie mich Ihnen zeigen, was ich meine.

Arabic: 
في الواقع ، في جميع تطبيقات حساب التفاضل والتكامل ، نادرًا ما ترى التوابع الأسية على أنها أساس معين مرفوع لأس  t
بدلا من ذلك تقريبا دائما ما يكتب التابع الأسي على شكل e إلى قوة( بعض الثوابت  ظرب t).
إنه مساوي تماما . أقصد تابع مثل 2 أس t
أو 3 أس  t يمكن أن تكتب على شكل e أس بعض الثوابت ظرب t
على خطر البقاء أكثر من التركيز على الرموز هنا ،
في خطر البقاء أكثر من التركيز على الرموز هنا ،
أنا حقا أريد أن أؤكد أن هناك العديد من الطرق لكتابة أي نابع أسي معين ،
هذا الإختيار الذي نقوم به لكتابته بهذه الطريقة ، والرقم (e) ليس جوهريًا لهذه الوظيفة نفسها.
ما هو خاص حول كتابة الأسس على شكل e مثل هذا ،
هو أنه يعطي هذا الثابت في الأس معنى جميل ومقروء.
هنا ، دعني أريك ما أقصده.

French: 
Toutes sortes de phénomènes naturels impliquent des taux de modification qui sont proportionnels à la chose qui change.
Par exemple, le taux de croissance a tendance à être proportionnel
à la taille de la population elle-même,
en supposant qu'il n'y ait pas de ressource limitantes pouvant ralentir les choses.
Et si vous mettez une tasse d'eau chaude dans une chambre froide,
la vitesse à laquelle l'eau se refroidit est proportionnelle à la différence de température
entre la salle et l'eau.
Ou, dit un peu différemment
la vitesse à laquelle cette différence change est proportionnel à elle-même.
Si vous investissez de l'argent, la vitesse de gain
est proportionnel à la quantité d'argent placé à tout moment.
Dans tous ces cas, où le taux de modification d'une certaine variable
est proportionnel à elle-même
la fonction décrivant cette variable en fonction du temps va ressembler à une exponentielle.
Et même si il y a beaucoup de façons d'écrire une fonction exponentielle,
il est très naturel de choisir d'exprimer ces fonctions

German: 
Alle Arten von Naturphänomenen beinhalten eine Änderungsrate, die proportional zu der Sache ist, die sich ändert.
Beispielsweise ist die Wachstumsrate einer Bevölkerung tatsächlich tendenziell proportional
auf die Größe der Bevölkerung selbst,
vorausgesetzt, es gibt keine begrenzte Ressource, die die Dinge verlangsamt.
Und wenn Sie eine Tasse heißes Wasser in einen kühlen Raum stellen,
Die Abkühlgeschwindigkeit des Wassers ist proportional zur Temperaturdifferenz
zwischen dem Raum und dem Wasser.
Oder etwas anders gesagt
Die Geschwindigkeit, mit der sich diese Differenz ändert, ist proportional zu sich selbst.
Wenn Sie Ihr Geld investieren, wächst es
ist zu jeder Zeit proportional zum Geldbetrag.
In all diesen Fällen, in denen sich die Änderungsrate einer Variablen ändert
ist proportional zu sich selbst
Die Funktion, die diese Variable im Laufe der Zeit beschreibt, wird wie eine Art Exponential aussehen.
Und obwohl es viele Möglichkeiten gibt, eine Exponentialfunktion zu schreiben,
Es ist sehr natürlich, diese Funktionen auszudrücken

English: 
All sorts of natural phenomena involve some rate of change that's proportional to the thing that's changing.
For example, the rate of growth of a population actually does tend to be proportional
to the size of the population itself,
assuming there isn't some limited resource slowing things down.
And if you put a cup of hot water in a cool room,
the rate at which the water cools is proportional to the difference in temperature
between the room and the water.
Or, said a little differently
the rate at which that difference changes is proportional to itself.
If you invest your money, the rate at which it grows
is proportional to the amount of money there at any time.
In all of these cases, where some variable's rate of change
is proportional to itself
the function describing that variable over time is going to look like some kind of exponential.
And even though there are lots of ways to write any exponential function,
it's very natural to choose to express these functions

Korean: 
모든 종류의 자연 현상은 변화하는 것에 비례하는 변화율을 수반합니다.
예를 들어, 인구 증가율은 인구 규모에 대해
비례하는 경향이 있습니다.
증가 속력을 부추기는 제한된 자원이 없다고 가정 할 때 말이죠.
그리고 시원한 방에 뜨거운 물 한 컵을 넣으면
물이 냉각되는 속도는 방과 물 사이의
온도의 차이에 비례합니다.
또는, 조금 다르게 말하자면
그 차이의 변화율은 그 자체에 비례합니다.
만약 당신이 돈을 투자한다면, 이에 대한 성장률은
언제나 그곳에 존재하는 돈의 양에 비례합니다.
이러한 모든 경우에서, 어떤 변수의 변화율이
자기 자신에 비례한다면
시간에 따라 그 변수를 기술하는 함수는 어떤 종류의 지수함수처럼 보일 것입니다.
지수 함수를 쓰는 데는 많은 방법이 있지만,
이러한 함수를 다음과 같이 표현하는 것은 매우 자연스러운 일입니다.

Arabic: 
كل أنواع الظواهر الطبيعية تنطوي على معدل تغيير يتناسب مع الشيء الذي يتغير.
على سبيل المثال ، عادةً ما يكون معدل نمو السكان يميل لان يكون متناسبًا
لحجم السكان نفسه ،
على افتراض عدم وجود بعض الموارد المحدودة لإبطاء الأمور.
وإذا وضعت كوبًا من الماء الساخن في غرفة باردة ،
المعدل الذي يبرد به الماء يتناسب مع الفرق في درجة الحرارة
بين الغرفة والماء.
أو يمكن القول بطريقة  مختلفة بعض الشيء
المعدل الذي يتغير فيه هذا الفرق يتناسب مع نفسه.
إذا كنت تستثمر أموالك ، فإن معدل نموها
يتناسب مع مقدار المال هناك في أي وقت.
في كل هذه الحالات ، حيث بعض متغييرات معدل التغير
يتناسب مع نفسه
ستبدو الدالة التي تصف هذا المتغير بمرور الوقت وكأنها نوع من التوابع الأسية.
وعلى الرغم من وجود العديد من الطرق لكتابة أي دالة أسيّة ،
من الطبيعي جدا اختيار التعبير عن هذه التوابع

Chinese: 
各种各样自然现象，都涉及到某种变化的速率与正在变化的值成比例
例如群体增长速度实际上就是跟这个群体
的大小成比的
前提是没有资源的限制抑制这一过程
还有当你放一杯热水到一个凉爽的房间
这杯水的冷却速度跟房间与热水
的温度差成比
或者这么说
这杯水的温度的变化速度和这杯水的温度变化成比例
如果你存入一笔钱，这笔钱增长的速度
跟这笔钱在该时间点的数目成比例
在这些例子中，当变化的速度
跟变化值成比例
那描述这个随时间变化的过程的函数就会看起来像一个指数函数
虽然有很多方法去表示一个指数函数
很自然就会想到

Spanish: 
Todo tipo de fenómenos naturales implican un cierto ritmo de cambio que es proporcional a lo que está cambiando.
Por ejemplo, la tasa de crecimiento de una población en realidad tiende a ser proporcional
con el tamaño de la propia población,
suponiendo que no es un recurso limitado frenar las cosas.
Y si se pone una taza de agua caliente en una habitación fresca,
la velocidad a la que se enfría el agua es proporcional a la diferencia de temperatura
entre la habitación y el agua.
O, dicho de manera diferente
la velocidad a la que cambia la diferencia es proporcional a sí mismo.
Si usted invierte su dinero, la velocidad a la que crece
es proporcional a la cantidad de dinero que hay en cualquier momento.
En todos estos casos, cuando la tasa de cambio de alguna variable
es proporcional a sí mismo
la función que describe esa variable con el tiempo se va a ver como una especie de exponencial.
Y a pesar de que hay muchas maneras de escribir cualquier función exponencial,
Es muy natural  elegir para expresar estas funciones

Polish: 
proporcjonalnie do własnej wielkości.
Dla przykładu, tempo wzrostu populacji jest faktycznie
proporcjonalne do wielkości populacji, zakładając, że
nie ma zewnętrznego czynnika hamującego ten rozwój.
Jeśli położysz szklankę gorącej wody w pokoju, to
tempo chłodzenia się wody jest
proporcjonalne do różnicy temperatur wody i pokoju.
Inaczej: tempo zmiany różnicy jest
proporcjonalne do tej różnicy.
Jeśli inwestujesz pieniądze, to pomnażasz je
w tempie proporcjonalnym do zainwestowanej kwoty.
W tych przypadkach, gdy tempo zmian pewnej wielkości
jest proporcjonalne do tej wielkości,
funkcja opisująca tą wielkość w zależności od czasu
będzie pewną funkcją wykładniczą.
Funkcje te można zapisać na wiele sposobów,

Swedish: 
Alla typer av naturfenomen innebära någon förändringstakt som är proportionell mot det som förändras.
Till exempel tillväxttakten för en befolkning som faktiskt tenderar att vara proportionell
till storleken på befolkningen själv,
antagande att det är inte någon begränsad resurs som saktar ner saker.
Och om du sätter en kopp varmt vatten i ett svalt rum,
den hastighet med vilken vattnet kyls är proportionell mot skillnaden i temperatur
mellan rummet och vattnet.
Eller, sagtn lite annorlunda
den hastighet med vilken denna skillnad ändrar är proportionell mot sig själv.
Om du investerar dina pengar, i vilken takt den växer
är proportionell mot mängden av pengar där när som helst.
I alla dessa fall, där någon variabels förändringstakt
är proportionell mot sig själv
funktionen som beskriver den variabeln över tiden kommer att se ut någon form av exponential.
Och även om det finns många sätt att skriva en exponentialfunktion på,
är det helt naturligt att välja att uttrycka dessa funktioner

Portuguese: 
Todos os tipos de fenômenos naturais envolvem alguma taxa de variação que é proporcional à coisa que está variando.
Por exemplo, a taxa de crescimento de uma população,
na verdade, tende a ser proporcional ao tamanho da própria população,
supondo que não haja algum recurso limitado que atrase as coisas.
E se você colocar uma xícara de água quente em uma sala fria,
a taxa com que a água esfria é proporcional à diferença de temperatura
entre a sala e a água.
Ou, em outras palavras
a taxa em que essa diferença muda é proporcional a si mesma.
Se você investir seu dinheiro, a taxa na qual ele cresce
é proporcional à quantidade de dinheiro em qualquer instante.
Em todos esses casos, onde a taxa de variação de alguma variável
é proporcional a si mesma,
a função que descreve essa variável ao longo do tempo vai se parecer com algum tipo de exponencial.
Apesar de existirem muitas maneiras de escrever qualquer função exponencial,
é muito natural escolher expressar essas funções

Chinese: 
用e的某个常数乘以t的次方去表示
因为这个常数带有一个自然的意义
这个比例常数代表了变化的变化规模和
变化的速率
致谢

German: 
als e zur Potenz einiger konstanter Zeiten t
da diese Konstante eine sehr natürliche Bedeutung hat.
Dies entspricht der Proportionalitätskonstante zwischen der Größe der sich ändernden Variablen
und die Änderungsrate.
Und wie immer möchte ich mich bei denen bedanken, die diese Serie möglich gemacht haben.

Korean: 
왜냐하면 e의 ct제곱으로 표현하는 것은
그 상수는 매우 자연스러운 의미를 지니기 때문입니다.
이 상수는 변화하는 변수의 크기와 변화율 사이의
비례 상수와 같습니다.
그리고 언제나처럼, 이 시리즈를 가능하게 한 사람들에게 감사드립니다.
 

French: 
comme e à la puissance d'une constante fois t
puisque cette constante porte un sens très naturel.
Il est le même que la constante de proportionnalité entre la taille de la variable
et le taux de changement.
Et, comme toujours, je tiens à remercier tous ceux qui rendu possible cette série.

Spanish: 
e  a la potencia de algunas veces una constante t.
ya que esa constante lleva un significado muy natural.
Es la misma que la constante de proporcionalidad entre el tamaño de la variable cambiante
y la tasa de cambio.
Y, como siempre, quiero agradecer a los que han hecho posible esta serie.

Polish: 
ale naturalnie zapisuje się je jako e^(c * t).
Wtedy wiemy, co znaczy ta stała.
Jest to współczynnik proporcjonalności między
opisywaną wielkością i tempem jej zmiany.
Jak zawsze, chciałbym podziękować tym,
dzięki którym ta seria filmów mogła powstać.

Arabic: 
كما e  إلى قوة (بعض الثوابت ظرب t)
لأن هذا الثابت يحمل معنىً طبيعياً للغاية.
إنه نفس ثابت التناسب بين حجم التغير لمتغير
ومعدل التغيير.
وكالعادة ، أود أن أشكر أولئك الذين جعلوا هذه السلسلة ممكنة.
ترجمة : درعا - بلاد الشام

Portuguese: 
como 'e elevado a alguma constante vezes  t',
já que essa constante carrega um significado muito natural.
É o mesmo que a constante de proporcionalidade entre o tamanho da variável e a sua taxa de variação.
E, como sempre, quero agradecer àqueles que tornaram esta série possível.

Swedish: 
som e upphöjt till någon konstant gånger t
eftersom denna konstant bär en mycket naturlig betydelse.
Det är samma som proportionalitetskonstanten mellan storleken på den föränderliga variabeln
och förändringstakten.
Och, som alltid, jag vill tacka dem som har gjort denna serie möjligt.

English: 
as e to the power of some constant times t
since that constant carries a very natural meaning.
It's the same as the proportionality constant between the size of the changing variable
and the rate of change.
And, as always, I want to thank those who have made this series possible.
