
Korean: 
여기에
세개의 다른 함수를 적었습니다
첫번째 식은 다변수 함수입니다
여기에는 두개의 변수 x와 y,
즉 입력값이 두 개 존재하고
한개의 결과값이 존재합니다
그 결과는 x의 제곱 곱하기 y입니다
그저 숫자에 불과하죠
나머지 두 식은 일반적인 함수입니다
예전에 봤던 단일 변수 함수이죠
이제부터 하려는 것은 이 함수의
구성에 대해 알아보는 것입니다
그래서 여기에서는 x(t)를
첫번째 성분으로 생각해 보겠습니다
즉, 여기에 t를 넣어서
이 x(t)를 f의 첫번쨰 성분으로
만드는 것입니다
그리고 f의 두번째 성분은
y(t)가 되겠죠
이제 여러분들이 머리속에
다음과 같은 그림을
그릴 수 있을 것입니다
t가 이와 같은 숫자들이 나열될
수직선이라고 생각할 수 있겠죠
그리고 여러분은 x와 y를
이와 같은 평면으로 생각할 수 있고
그리고 이는 여러분이 아는
x 좌표축과 y 좌표축이 될 것입니다
이차원 공간이라고도 할 수 있겠죠
그리고 여러분은 f의 함수값이
어떤 값으로 나오는지 알 수 있습니다
이 함수의

English: 
- [Voiceover] So I've written here
three different functions.
The first on is a multivariable function,
it has a two variable input, x, y,
and a single variable output,
that's x squared times y,
that's just a number,
and then the other two
functions are each just regular
old single variable functions.
And what I want to do is start thinking
about the composition of them.
So, I'm going to take,
as the first component,
the value of the function x of t,
so you pump t through that,
and then you make that
the first component of f.
And the second component
will be the value of the function y of t.
So, the image that you
might have in your head
for something like this
is you can think of t
as just living on a
number line of some kind,
then you have x and y,
which is just the plane,
so that will be, you know,
your x-coordinate, your y-coordinate,
two-dimensional space,
and then you have your output,
which is just whatever the value of f is.
And for this whole function,

Korean: 
성분들이
바로 t 한 값에 의해 결정된
x(t)와 y(t)라는 것을
알 수 있습니다
그리고 이는 다음과 같이
이차원 공간의 어딘가를
나타낼 수 있고
이것으로 부터 다변수 함수 f는
이러한 값으로 연결될 것입니다
따라서 이는 그저 단일변수 함수입니다
그 과정에서 어떤 경로를
거쳐왔는지와 무관하게
이 함수의 시작과 끝만을 고려한다면
그저 중간과정에 불과한
것이었으니 말이죠
여기서 이제 알고자 하는 것은 이것의
미분형태입니다
제가 편미분이 아닌 일반적인
상미분을 취할 것입니다
하나의 변수를 입력하면
하나가 출력되는
단일변수함수이기 때문이죠
그럼 어떻게 미분하면 될까요
이러한 함수의 미분을 위한
특별한 법칙이 있습니다
바로 체인룰, 그 중에서도
다변수 체인룰입니다
그러나 실제로 이 법칙이 
필요하진 않습니다
이제 체인룰이 이 함수를
미분하는데
필요없음을 찬찬히 알아보도록
합시다
사실 실제 체인룰은 앞으로도
전혀 사용할 일이 없을 겁니다
이는 이러한 계산을 위한
것일 뿐이며
여러분은 이 법칙 없이도
계산을 할 수 있습니다
이는 함수의 구성을 파악하기 위한
매우 쓸모있는 이론적 도구인 동시에
다변수 미분에 대한 함의를 가지는
기억할 가치가 있는 대상 입니다

English: 
for this whole composition of functions,
you're thinking of xt, yt,
as taking a single point in t,
and kind of moving it over
to two-dimensional space somewhere,
and then from there, our
multivariable function
takes that back down.
So, this is just the
single variable function,
nothing too fancy going on
in terms of where you start
and where you end up,
it's just what's happening in the middle.
And what I want to know is
what's the derivative of this
function.
If I take this, and it's
just an ordinary derivative,
not a partial derivative,
because this is just a
single variable function,
one variable input, one variable output,
how do you take it's derivative?
And there's a special rule for this,
it's called the chain rule,
the multivariable chain rule,
but you don't actually need it.
So, let's actually walk through this,
showing that you don't need it.
It's not that you'll never need it,
it's just for computations like this
you could go without it.
It's a very useful theoretical tool,
a very useful model to have in mind
for what function composition looks like
and implies for derivatives
in the multivariable world.

Korean: 
이제 이 함수에서 계산을
시작해보도록 하죠
이 f( x(t), y(t) )에서
가장 처음 하는 것은 바로
f를 적고
x(t) 대신에 이를 
cos(t)로 적는 것입니다
이전에 x(t)를 그렇게
정의했으니 말이죠
마찬가지로 y(t)도 sin(t)로
바꿔 적을 것입니다
그리고 당연히 이제 이 함수를
미분하게 될 것입니다
그럼 이제, f의 정의에서부터
다시 시작하도록 합시다
f( x, y ) 의 정의는
x 제곱 곱하기 y입니다
첫번째 성분을 제곱한다는 뜻이죠
여기에서는 첫번째 성분이
cos(t)이므로
이를 제곱해보겠습니다
이 것을 제곱한 후에는
두번째 성분을 곱해줍시다
sin(t) 말이죠
그리고 실제 미분을
취해주면 되는 것이죠
이제 여러분들은
내가 이걸 왜 하고 있나
하는 기분이 드실겁니다
지금까지는 평범한 1차 상미분만
하고 있으니 말이죠

English: 
So, let's just start
plugging things in here.
If I have f(x) and y(t),
the first thing I might do is write
okay, f,
and instead of x of t,
just write in cosine of t,
since that's the function
that I have for x of t,
and then y we replace that with sine of t,
sine of t,
and of course I'm hoping to
take the derivative of this.
And then from there, we can
go to the definition of f,
f of xy equals f squared times y,
which means we take that
first component squared.
So we'll take that first
component, cosine of t,
and then square it,
square that guy,
and then we'll multiply it
by the second component,
sine of t, sine of t,
and again we're just
taking this derivative.
And you might be wondering,
okay, why am I doing this,
you're just showing me how
to take a first derivative,
an ordinary derivative?

Korean: 
그러나 우리가 여기서
발견할 수 있는 일정한 규칙이
바로 다변수 체인룰과 연결됩니다
그리고 이 연결점을 이 상황에서
확인하게 되면 꽤 놀라울 겁니다
이 법칙과의 연관성이 여러분이
예측하지 못한 곳에서
튀어나올 것이기 때문이죠
하던 계산을 마저 하도록 하죠
이를 미분하려면
곱의 미분법을 써야겠죠
(좌항)*(우항)'
+(우항)*(좌항)'
이 상황에서는 왼쪽함수가
cos(t)의 제곱이니
이를 일단 남겨두도록 합시다
cos(t)의 제곱으로요
그리고 오른쪽 함수의
미분형태를 곱합시다
그러면 cos(t)가 되겠죠
cos(t)
이제 오른쪽에 더 더해줍시다
오른쪽 함수를 고정시키고
왼쪽함수의 미분형을
여기에 곱해야겠죠
여기서 체인룰을 쓸 것입니다
단일변수 체인룰 말입니다
바깥의 부분을 미분하면
이 2가 내려오게 되고
x 제곱을 미분하듯 말이죠
그러나 2x의 x 자리에는
cos(t)를 써야겠죠
cos(t)

English: 
But the pattern that
we'll see is gonna lead us
to the multivariable chain rule.
And it's actually kind of
surprising when you see it
in this context,
because it pops out in a way
that you might not expect
things to pop out.
So, continuing our chugging along,
when you take the derivative of this,
you do the product rule,
left d right, plus right d left,
so in this case, the left
is cosine squared of t,
we just leave that as it is,
cosine squared of t,
and multiply it by the
derivative of the right, d right,
so that's going to be cosine of t,
cosine of t,
and then we add to that right,
which is, keep that right side unchanged,
multiply it by the derivative of the left,
and for that we use the chain rule,
the single variable chain rule,
where you think of taking the
derivative of the outside,
so you plug two down,
like you're taking the
derivative of two x,
but you're just writing
in cosine, instead of x.
Cosine t,

Korean: 
그리고 여기에 안쪽
부분의 미분을 곱해줍니다
혀가 꼬였네요
바로 -sin(t)겠죠
-sin(t)
이 식이 괄호가 너무 많아서
식이 칸의 밖으로 나가겠네요
어쨌든 이 식은 다시 적을
예정이었으니 괜찮습니다
아무튼 이 미분 함수에는
제가 분명히 하고자하는
특정 규칙이 있습니다
이제 이걸 다시 적도록 하죠
이 걸 아래로 복사해서
뒷부분만 다시 적어볼게요
왜 이러는지 궁금하실
수 있습니다
바로 그 특정 규칙을 명확히
보이게 하기 위함입니다
여기서는 이 식을 다음과
같이 적도록 하겠습니다
2cos(t)
sin(t)
그리고 여기에 -sin(t)를
곱해야 겠죠
-sin(t)
이 것이 미분된 함수입니다
최종적으로 단일변수
함수가 되었던

English: 
and then you multiply that by
the derivative of the inside,
that's a tongue twister,
which is negative sine of t,
negative sine of t.
And I'm afraid I'm gonna
run off the edge here,
certainly with the many many
parentheses that I need.
I'll go ahead and rewrite this though.
I'm gonna rewrite it anyway because
there's a certain pattern
that I hope to make clear.
So, let me just rewrite this side,
let's copy that down here,
I just want to rewrite this guy.
You might be wondering why,
but it'll become clear in just a moment
why I want to do this.
So, in this case, I'm gonna write this as
two times cosine of t,
times sine of t,
then all of them multiplied
by negative sine of t,
negative sine of t.
So this is the derivative,
this is the derivative of
the composition of functions

Korean: 
합성함수의 미분형태인 것이죠
비록 두 다른 변수를 통해 왔지만요
이제 f의 편미분은
어떠한지 확인해봅시다
이 부분은 복사해놓고
여기 아래에 있는 공간에
붙여넣기 하겠습니다
이제 두번째로
f의 편미분을 살펴봅시다
x에 대해 편미분을 하겠습니다
x에 대한 편미분은
y를 상수 취급하겠다는 뜻입니다
이제 x의 제곱을 2x로 적고
여기에 y라는 상수를
곱하는 것이죠
이제 같은 f를
y에 대해 편미분을 하겠습니다
이제 y가 변수
x가 상수로 보이는군요
그러면 x 제곱이 상수이며
이를 변수에 곱하고요
y에 대한 도함수는
어차피 상수입니다
이 둘은 우리가 앞에서 얻었던
최종적 규칙을 다시 제공합니다
이것이 제가 식을 다시 적은
이유입니다
이 2xy를

English: 
that ultimately was a
single variable function,
but it kind of wind through
two different variables.
And I just want to make an observation
in terms of the partial derivatives of f.
So, let me just make a copy of this guy,
give ourselves a little
bit of room down here,
paste that over here.
So let's look at the
partial derivatives of f
for a second here.
So, if I took the partial
derivative with respect to x,
partial x,
which means y is treated as a constant.
So I take the derivative
of x squared to get two x,
and then multiply it by that constant,
which is just y,
and if I also do it with respect to y,
get all of them in there.
So, now y looks like a variable,
x looks like a constant,
so x squared also looks like a constant,
constant times a variable,
the derivative is just that constant.
These two, their pattern comes
up in the ultimate result
that we got.
And this is the whole
reason that I rewrote it.
If you look at this two x y,

English: 
you can see that over here,
where cosine corresponds to x,
sine corresponds to y, based
on our original functions,
and an x squared here
corresponds with squaring
the x that we put in there.
Then if we take the derivative
of our two intermediary
functions,
the ordinary derivative
of x, with respect to t,
that's derivative of cosine,
negative sine of t,
and then similarly derivative of y,
just the ordinary derivative,
no partials going on here,
with respect to t,
that's equal to cosine,
derivative of sine is cosine.
And these guys show up, right,
you see negative sine over here,
and you see cosine show up over here.
And we can generalize this,
we can write it down and say
at least for this specific example,
it looks like the derivative
of the composition is
this part, which is the partial of f
with respect to y,
right, that's kind of
what it looks like here,
once we've plugged in the
intermediary functions,

Korean: 
저기에서 볼 수 있습니다
초기 함수를 통해 알 수 있듯
코사인은 x, 사인은 y에
대응되니 말이죠
그리고 이 x의 제곱은
여기 있는 x의 제곱과 대응됩니다
그 다음 중간 함수의 도함수를
취하겠습니다
기존 변수 x를 t에 대해
상미분하는 것 말이죠
이 것은 cos(t)의 미분이므로
-sin(t)입니다
비슷하게 y를 미분합시다
여기서는 t에 대해 편미분이 아닌
상미분을 진행합니다
그러면 cos(t)가 되겠죠
sin(t)의 도함수는 cos(t)
이니까요
그리고 이것들은 위에 있는
이 -sin(t)와
cos(t)를 통해 확인할 수 있죠
이제 이 결과를 일반화합시다
일단 적어도 이 특수 상황에 대해서는
이렇게 적을 수 있겠죠
이 식은 각 성분의
도함수로 보입니다
이 부분은 f의 y에 대한
편미분 함수이고요
우리가 여기서 확인한 것처럼 말이죠
이제 그 중간 함수들에 대한
것을 넣읍시다

English: 
multiply it by this guy, was
the ordinary derivative of y,
with respect to t.
So, that was the ordinary derivative of y,
with respect to t.
And then very similarly,
this guy was the partial of f,
with respect to x, partial x,
and we're multiplying it
by the ordinary derivative
of x of t.
So, over here, x of t, with respect to t.
And of course, when I write
this partial f, partial y,
what I really mean is
you plug in for x and y,
the two coordinate functions,
x of t, y of t.
So, if I say partial
f, partial y over here,
what I really mean is
you take that x squared
and then you plug in
x of t squared to get cosine squared.
And same deal over here,
you're always plugging things in,
so you ultimately have a function of t.
But this right here has a name,
this is the multivariable chain rule.
And it's important enough,
I'll just write it out
all on it's own here.
If we take the ordinary
derivative, with respect to t,

Korean: 
t에 대한 y의 상미분 함수를
곱함으로서 말이죠
그러니 이 것은 t에 대한
y의 상미분 함수겠죠
그리고 매우 비슷하게
이 부분은 x에 대한
f의 편미분 함수입니다
그리고 여기에 t에 대한 x의
상미분 함수를 곱하는 것이죠
여기에 t에 대한 y의
도함수가 들어갑니다
이제 ∂f/∂y를
이 x와 y 자리에
이 t에 대한 매개 함수를
넣겠습니다
그러면 이제 ∂f/∂y를 계산할 때
제가 말하려던 것은
제곱된 x에 t에 대한 매개함수를
대입해 cos(t)의 제곱을
얻는 것이죠
여기서도 마찬가지입니다
매개함수를 대입하면
최종적으로 t에 대한 함수를
얻을 수 있는 것이죠
이 부분이 바로
다변수 체인룰입니다
꽤 중요하니
여기에 따로 적도록 하겠습니다
다변수 함수에서 t에 대한

Korean: 
상미분을 하는 과정입니다
여기에선 x(t),y(t)
두개의 변수네요
이 자리에 x(t), y(t)라는 두개의
중간함수를
넣는 것이죠
이 각각은 단일변수 함수이겠죠
그 결과는 x에 대한 편미분 함수를
넣고
t에 대한 x의 상미분 함수를
여기에 곱한 후
두번째 항을 더해야 겠죠
y에 대한 편미분 함수와
t에 대한 y의 상미분 함수의
곱을 말입니다
이 것이 다변수 체인룰의
간단한 형태를 모두 표현한 것이라
할 수 있습니다
앞으로 조금 더 일반적인
형태를 확인하겠으나
이 것이 여러분이 생각할 수 있는
가장 쉬운 예시입니다
1차원에서 시작해

English: 
of a composition of a
multivariable function,
in this case just two variables,
x of t, y of t,
where we're plugging in
two intermediary functions,
x of t, y of t,
each of which just single variable,
the result is that we take
the partial derivative,
with respect to x,
and we multiply it by
the derivative of x with respect to t,
and then we add to that
the partial derivative with respect to y,
multiplied by the derivative
of y with respect to t.
So, this entire expression here
is what you might call the simple version
of the multivariable chain rule.
There's a more general version,
and we'll kind of build up to it,
but this is the simplest
example you can think of,
where you start with one dimension,

English: 
and then you move over
to two dimension somehow,
and then you move from those
two dimensions down to one.
So, this is that,
and in the next video I'm gonna talk about
the intuition for why this is true.
You know, here I just went
through an example and showed
oh but it just happens to be true,
it fills this pattern.
But there's a very nice line of reasoning
for where this comes about,
and I'll also talk about
a more generalized form,
where you'll see it.
We start using vector notation,
it makes things look very clean,
and I might even get around
to a more formal argument
for why this is true.
So, we'll see in next video.

Korean: 
2차원으로 이동한 후
다시 1차원으로 내려가는
이 예시 말입니다
이게 끝이고요
그 다음 영상에서는
이것이 왜 사실인지에 대한 직관적
사실을 이야기할 겁니다
사실 여기에서는 하나의
예시로만 설명하고
여기서 이 규칙을 따르므로 사실이다
라고 주장하기엔 무리가 있죠
그러나 그 이유를 정확히 설명하는
좋은 식들이 존재합니다
그리고 좀 더 일반적인 형태에 대해서도
다룰 것 입니다
좀 더 깔끔하게 보이게 하는
벡터 표기법을 사용해서 말이죠
그리고 더 일반적인 형태가
왜 사실인지
밝힐 수도 있을 것입니다
그럼 다음 영상에서 봅시다
커넥트 번역 봉사단 | 권민재
