
Swedish: 
Du vet, för en matematiker, hade han inte tillräcklig fantasi. Men han har blivit en poet och nu klarar han sig fint. -  David Hilbert
Nu när vi sett vad en derivata betyder och vad den har att göra med förändringshastighet
är vårt nästa steg att lära oss hur vi kan beräkna dem.
Som i, om jag ger dig någon sorts funktion med en formel, vill du kunna hitta formeln för vad dess derivata är.
Det kanske är självklart, men jag tycker det är värt att nämna varför det är en viktig egenskap att kunna.
Varför så mycket av en matematikstudents tid spenderas till abstrakta funktioners derivator
istället för konkreta problem som involverar förändringshastighet.
Det är för att många fenomen i verkligheten, saker som vi vill kunna analysera, uppkommer från polynom, trigonometriska funktioner
exponentialfunktioner med mera.

Portuguese: 
Agora que nós vimos o que uma derivada significa, e o que ela tem a ver com taxas de mudança.
Nosso próximo passo é aprender como se calcula esses caras,
como se eu te der algum tipo de função com uma formula explícita
Você iria querer ser capaz de descobrir qual é fórmula de sua derivada
Talvez isso seja óbvio, mas eu acho que vale a pena dizer explicitamente porque ser capaz de fazer isso é uma coisa importante
O porque da maioria do tempo de um estudante de cálculo acaba indo para aprender derivadas de funções abstratas
ao invés de pensar sobre problema concretos de taxas de mudança
 
analisar são modelados usando polinômios, funções trigonométricas, exponenciais
e outras funções puras como essa. Então, se você construir alguma fluência com as idéias

Italian: 
Sai, non aveva abbastanza immaginazione per essere un matematico. Così è diventato un poeta e adesso è a posto.
Adesso che abbiamo visto cosa vuol dire la derivata, e cosa ha a che fare con la velocità di cambiamento,
il prossimo passo è imparare come effettivamente calcolarle, cioè data una certa funzione
con una formula esplicita, vuoi poter trovare la formula per la sua derivata.
Forse è ovvio, ma credo valga la pena esporre perchè è una cosa importante
da saper fare. Perché gli studenti di analisi sprecano molto tempo per
le derivate di funzioni astratte, piuttosto che pensare a problemi concreti di tasso di variazione,
è perchè molti fenomeni del mondo reale, le cose che vogliamo studiare con l'analisi
sono modellate con funzioni polinomiali, trigonometriche, esponenziali
e altre funzioni del genere. Quindi se acquisisci un po' di dimestichezza con l' idea

Turkish: 
Bilirsiniz, bir matematikçi, yeterince hayalgücü yoktu. Şimdi o bir şair oldu ve artık iyi. -David Hilbert
 
 
 
Şimdi değişim oranlarının ne anlama geldiğine bakağız.
Bir sonraki adımımız ise vereceğim açık bir formülle bazı türdeki fonksiyonların türevlerinin
nasıl hesaplanacağını öğrenmek olacak.
Belki çok barizdir ama sanırım yine de neden yaptığımızı açıkça belirtmekte yarar var.
Neden bir Kalkulüs (yüksek matematik) öğrencisi zamanının çoğunu
somut biçimde değişim oranlarını düşünmek yerine soyut olan fonksiyonların türevini almaya harcar.
Çünkü elimizde gerçek dünyada örneğini görebileceğimiz birçok olay var.
Kalkulüs'ü kullanmak istediğimiz böyle somut şeyler polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar, üstel fonksiyonlar ve
diğer bunun gibi fonksiyonlar kullanılarak modellenir. Öyleyse soyut fonksiyonların değişim oranıyla ilgili

Spanish: 
"Ya sabes, como matemático, no tenía suficiente imaginación. Pero se hizo poeta y ahora le va bien.". David Hilbert
Ahora que ya hemos visto lo que una derivada significa
y lo que tiene que ver con la tasa  de cambio
El siguiente paso es aprender como calcularla
Si yo te doy algún tipo de función
con una fórmula explícita
y quieres poder encontrar cual es la fórmula de su derivada
puede que sea obvio pero creo que merece la pena saber explícitamente por qué es importante saberlo,
y por qué gran parte del tiempo de los estudiantes de cálculo termina siendo tratar de averiguar la derivada de fórmulas abstractas,
en vez de pensar en problemas que tratan sobre tasas de cambio concretas
Ya que los fenómenos del mundo real, la clase de cosas que queremos analizar con cálculo,
se pueden modelar usando funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y otras funciones abstractas como esas
Así que si adquieres fluidez con la idea de ritmo de cambio para ese tipo de función abstracta

French: 
« Tu vois, en tant que mathématicien, il n'avait pas assez d'imagination. Mais il est devenu un poète et maintenant il va bien » — David Hilbert
Maintenant que nous avons vu ce que signifie une dérivée, et le rapport qu'elle a avec les taux de variation.
Notre prochaine étape est d'apprendre à vraiment calculer ces petites choses, si je te donne une fonction en particulier
avec une formule explicite, tu voudrais être capable de trouver la formule de sa dérivée.
C'est peut-être évident, mais je pense qu'il est utile de préciser explicitement pourquoi c'est quelque chose d'important
à savoir faire. Pourquoi la majorité du temps, les étudiants en cours d'analyse finissent par se concentrer
sur la dérivée de fonctions abstraites plutôt que de penser à des problèmes concrets liés aux taux de variation ?
Parce l'analyse est utile pour beaucoup de phénomènes réels, qui
sont modélisés à l'aide de polynômes, de fonctions trigonométriques, d'exponentielles
et d'autres fonctions pures de ce style. Donc, si tu t'habitues aux idées

Chinese: 
现在我们已经明白了导数的意义，以及它与变化率之间的关系。
我们下一步要学习如何真正计算这些导数，换句话说，给定一个函数
如何能够用一个确定的公式计算出它的导数。
也许这是显而易见的，但我认为值得明确地说明为什么这是一件必须要做的重要的事情。
为什么大部分的微积分学生将时间完全花费在努力计算出
抽象函数的导数而不是思考去具体变化率到底是什么，
确实也是因为很多现实原因所导致的。我们希望使用微积分去
分析计算有着多项式，三角函数，指数的模型或者单纯只是分析函数。
所以，如果你能够建立对纯抽象函数变化率的思想理解，

Polish: 
"Został poetą, bo nie miał wystarczająco dobrej wyobraźni, by być matematykiem." - David Hilbert
Teraz, gdy wiemy, czym jest pochodna
i jak opisuje zachodzące zmiany,
naszym następnym celem jest nauczyć się ją obliczać.
Gdybym dał ci wzór funkcji, powinieneś
umieć ją obliczyć. Może to oczywiste, ale
warto powiedzieć, dlaczego to jest takie ważne,
dlaczego studenci borykają się z
pochodnymi abstrakcyjnych funkcji,
zamiast rozważać konkretne problemy.
Jest tak, bo wiele zachodzących zjawisk,
które chcemy analizować tymi narzędziami,
opisujemy za pomocą wielomianów,
funkcji trygonometrycznych, wykładniczych i innych.
Jeśli nabierzesz wprawy w takich przypadkach,

Arabic: 
"أتدري.. كرياضياتي ، لم يكن لديه الخيال الكافي. لكنه أصبح شاعراً وهو الآن بخير"
ديفيد هيلبرت-
..الآن بعد أن رأينا ما معنى المشتقة وما علاقتها بمعدلات التغير
خطواتنا القادمة هي معرفة كيف نحسب أولئك الرفاق
بحيث لو أعطيتك دالة ما بعبارة صريحة سيكون بإمكانك أن تجد ما صيغة مشتقتها
قد يكون السبب واضحاً .. لكن أعتقد أن الأمر يستحق أن نقول صراحة لماذا يعد التمكن من هذا شيئاً مهماً
لماذا ينتهي وقت معظم طلاب التفاضل في معاناة مع مشتقات دوال مجردة عوضاً عن التفكير في مسائل معدل التغير الواقعية؟
ذلك بسبب أن كثيراً من ظواهر الحياة الحقيقية .. الأشياء التي نريد أن نستخدم التفاضل لتحليلها
هي منمذجة باستخدام كثيرات الحدود، الدوال المثلثية، الدوال الأسية، ودوال بحتة أخرى ..

English: 
Now that we've seen what a derivative means, and what it has to do with rates of change.
Our next step is to learn how to actually compute these guys, as in if I give you some kind of function
with an explicit formula you'd want to be able to find what the formula for its derivative is.
Maybe it's obvious, but I think it's worth stating explicitly why this is an important thing
to be able to do. Why much of a calculus students time ends up going towards grappling with
derivatives of abstract functions rather than thinking about concrete rate of change problems,
Is because a lot of real-world phenomena. The sort of things that we want to use calculus
to analyze are modeled using polynomials, trigonometric functions, exponential's
and other pure functions like that. So if you build up some fluency with the ideas

German: 
Jetzt wo wir Wissen was eine Ableitung bedeutet und was sie mit der Änderungsrate zu tun hat,
ist unser nächster Schritt zu lernen, wie wir diese Dinger berechnen. Wenn ich euch also eine Funktion gebe,
die eine eindeutige Formel besitzt. Willst die Formel für deren Ableitung finden.
Villeicht ist es offensichtlich aber ich denke es ist es Wert genau zu zeigen warum es so wichtig ist,
dass man es kann. Wieso so viel Zeit eines Schülers darauf verwendet wird sich mit
Ableitungen von abstrakten Funktionen auseinanderzusetzen anstatt sich mit konkreten Änderungsraten-Problemen zu beschäftigen.
Es ist, weil viele Phänomene in der Welt, die Dinge die wir mit Analysis
analysieren wollen, durch Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen
und anderen, ähnlichen puren funktionen dargestellt werden können. Wenn man also flüssig in den Konzepten

Chinese: 
你知道，對一個數學家來說，他並沒有足夠的想像力。但是他已成了一個詩人和現在他很好。
               - David Hilbert
 
現在我們已經知道了導數的意思以及它和變化率有什麼關係。
我們下一步是來學實際上怎樣來算出這些東西，就像我給你某種函數而你可以
用專門的公式找出它的導數是什麼。
也許這是很明顯的，但是我認為是值得說明
能夠做到的。為什麼很多微積分學生的時間最終都要去解決問題
抽象函數的衍生物，而不是考慮具體的變化率問題，
是因為很多現實世界的現象。我們想要使用微積分的那種東西
分析是使用多項式，三角函數，指數函數建模的
和其他純粹的功能。所以，如果你對這些想法建立起一定的流暢性

Swedish: 
Så om du bygger upp färdigheter inom förändringshastighet för den typer av mer abstrakta funktioner
har du ett språk att använda för att bättre förstå problem med förändringshastighet som du vill analysera.
Men det är lätt hänt att processen blir till att bara memorera regler för derivator
Om det händer är det lätt att glömma bort att derivator i grunden handlar om små förändringar av en kvantitet
om hur de relaterar till en resulterande förändring av en annan kvantitet.
Så i den här videon och i nästa är målet att visa hur man kan tänka kring de här reglerna intuitivt och geometriskt.
Och jag uppmuntrar dig att aldrig glömma att pyttesmå förändringar är derivatans hjärta.
Vi börjar med en enkel funktion, fom f(x) = x^2.
Vad är dess derivata?
Det vill säga, om vi undersöker ett värde, säg 2, och jämför det med ett värde lite större, dx större
vad är då den motsvarande förändringen av funktionsvärdet, df?

Chinese: 
那么，在进行微积分建模的时候，这种理解
将会让你有一个更加直观的方式去理解具体某一位置上的变化率。
但是这个过程对于远远不如记忆导数计算公式来的简单
如果你只记忆导数公式，并且感觉这很简单，就很容易忽视这一事实：
导数从本质上讲只是在关注着某个量（dx）的微小变化，
以及与之关联的另一个量（dy）的微小变化。
所以在这个视频和下一个视频中，我的目标是向你展示如何直观地思考这些公式及其对应的几何意义。
我特别想要让你牢牢记住，这些看似微小的变化量才是导数的核心本质。
让我们从一个简单的函数开始，如f(x)= x^2，如果我问你，它的导数是什么，
这就是说，对某个值x，例如x = 2，
并将其与一个稍大一点的值进行比较，也就是dx。函数df会发生怎样的相应变化，

English: 
of rates of change for those kinds of pure abstract functions. It gives you a language to more
readily talk about the rates at which things change in concrete situations that you might be
using calculus to model. But it is way too easy for this process to feel like just memorizing a list
of rules. And if that happens, if you get that feeling it's all so easy to lose sight of the fact that
derivatives are fundamentally about just looking at tiny changes to some quantity,
and how that relates to a resulting tiny change in another quantity. So in this video
and in the next one, my aim is to show you how you can think about a few of these rules intuitively
and geometrically. And I really want to encourage you to never forget that tiny nudges
are at the heart of derivatives. let's start with a simple function like f(x) = x^2, what if I asked
you it's derivative. That is if you were to look at some value x like x = 2 and compare it to a value
slightly bigger, just dx bigger. What's the corresponding change in the value of the

Chinese: 
這些純抽象函數的變化率。它為您提供了更多的語言
隨便談談在具體情況下事情發生變化的速度
使用微積分來建模。但是這個過程太容易讓人覺得只是記住一個列表
規則。如果發生這種情況，如果你有這種感覺，那麼很容易忽視這一事實
衍生品基本上只是關注某些數量的微小變化，
以及這與另一個數量的微小變化有何關係。所以在這個視頻中
在下一篇文章中，我的目的是向您展示如何直觀地思考其中的一些規則
和幾何上。我真的很想鼓勵你永遠不要忘記那些微小的推動
是衍生品的核心。讓我們從一個像f（x）= x ^ 2這樣的簡單函數開始，如果我問的話
你是衍生品。那就是如果你要看一些像x = 2的值x並將它與一個值進行比較
略大，只是dx更大。什麼是相應的價值變化

Arabic: 
لذا إذا بنيت نوعاً من الطلاقة مع فكرة معدل التغير لذلك النوع من الدوال البحتة والمجردة
فإن ذلك يعطيك لغة للتحدث بسهولة أكثر عن المعدلات التي تتغير بها الأشياء
في حالات واقعية قد تستخدم التفاضل في نمذجتها
لكن من السهولة المفرطة أن تكون هذه العملية مجرد حفظ لمجموعة من القواعد
وإذا حدث ذلك .. إذا وصلك ذلك الشعور
فإنه من السهل أيضاً أن تعشى عن حقيقة كون المشتقات هي بشكل أساسي
حول النظر إلى التغيرات الصغيرة في كمية ما، وكيف يرتبط هذا بتغير صغير ناتج في كمية أخرى
لذا في هذا الفيديو .. وفي الفيديو القادم
هدفي هو أن أريكم كيف يمكنكم التفكير ببعض هذه القواعد بدهياً وهندسياً
وأريد حقاً أن أحثكم على ألا تنسوا أبداً أن الدفعات الصغيرة.. هي قلب التفاضل
دعونا نبدأ بدالة سهلة.. مثل
f(x) = x^2
ماذا لو سألتكم ما مشتقتها؟
أي لو نظرت إلى قيمة ما لـ x
مثل x = 2
وقارنتها بقيمة أكبر قليلاً، فقط أكبر بمقدار dx
ما التغير المقابل في قيمة الدالة .. df?

Italian: 
di tasso di variazione per questo tipo di funzioni astratte, ti offre gli strumenti
per poter parlare intuitivamente della velocità con cui cambiano le cose
In situazioni reali in cui utilizzi l' analisi per modellizzarle
Ma è fin troppo semplice per questo processo
sentire di dover solo memorizzare una lista di regole
e se succede
se hai questa sensazione,
è importante ricordare
che le derivate non sono altro che
guardare a piccoli cambiamenti per una quantità
e come questi influenzano
il risultato
di un altro piccolo cambiamento di un'altra quantità
 
 
in questo video fino al prossimo il mio compito è mostrarti
come pensare ad alcune di queste regole in maniera intuitiva
e geometrica. E voglio incoraggiarti a non dimenticare mai
che piccoli arrotondamenti sono al cuore delle derivate
iniziamo con una funzione semplice, f(x)=x^2
f(x)=x^2, Qual è la sua derivata?
se guardi a qualche valore della x, tipo x=2
e lo confronti con un valore leggermente superiore,giusto più grande di una quantità dx,
qual è il corrispondente cambiamento  nel valore della funzione df?
e in particolare quanto vale df/dx

Turkish: 
bir genel fikir geliştirebilirsek bu bize modelleme yaparken
somut olayların değişkenlerinin oranı hakkında konuşmaya yarayan bir dil geliştirmemizi sağlar.
Ancak bu, bir sürü kural ezberliyormuş hissine neden olabilir.
Ve bu hisse kapıldığınızda artık türevin: "bir nicelikteki çok küçük değişikliklere bakıp
o değişikliğin başka bir nicelikte nasıl değişikliklere neden olduğu "
gibi çok temel bir düşünceyi gözden kaçırabilirsiniz. Böylece bu videoda
ve bir sonrakinde amacım bu kurallardan birkaçını sezgisel ve
ve geometrik olarak nasıl düşünebileceğinizi göstermek olacak. Ve türevin temeli olan bu nüansları
asla unutmamanızı tavsiye ederim. f(x) = x ^ 2 gibi basit bir fonksiyonla başlayalım: Eğer size türevini sorsaydım:
x=2 gibi bir noktaya ve bu değerden dx kadar büyük olan yani azcık daha büyük bir değerine bakardınız.
Peki buna karşılık df fonksiyonunun değerini nasıl değiştirir

French: 
parler plus facilement des taux auxquels les choses varient dans des situations concrètes
que tu pourrais modéliser grâce à l'analyse. Mais se dire que ce processus est résumé à mémoriser une liste de règles
est réducteur. Et si c'est ton cas, si tu as ce sentiment qu'il est si facile de perdre de vue le fait qu'une
est réducteur. Et si c'est ton cas, si tu as ce sentiment qu'il est si facile de perdre de vue le fait qu'une
dérivée est fondamentalement un petit changement d'une certaine quantité,
et l'effet qu'il a par rapport à une autre quantité. Alors, dans cette vidéo
et la suivante, mon but est de te montrer comment tu peux voir certaines de ces règles de manière intuitive
et géométrique. Et je veux vraiment t'encourager à ne jamais oublier que les petits déplacements
sont au cœur des dérivées. Commençons avec une fonction facile comme f(x) = x², si je te demande
sa dérivée. C'est à dire regarder à une certaine valeur x comme x = 2. Et la comparer à une valeur
fonction ? df. Et en particulier, que vaut df divisé par dx ? La vitesse à laquelle cette fonction change

Polish: 
będziesz mógł łatwiej opisywać rzeczywistość
w konkretnych sytuacjach,
wykorzystując rachunek różniczkowy.
Ale bardzo łatwo odnieść wrażenie,
że to sprowadza się do zapamiętania listy wzorów.
Jeśli zrobisz to bezrefleksyjnie, łatwo będzie ci
zgubić istotę rachunku różniczkowego:
patrzymy na małe zmiany jednej wielkości i to,
jak ta zmiana wpływa na inną wielkość.
W tym i następnym filmie pokażę ci te reguły:
ich interpretację geometryczną i stojącą za nimi intuicję.
Chciałbym, żebyś zawsze pamiętał, że te małe odcinki
są esencją pochodnych.
Zacznijmy od prostej funkcji f(x) = x^2.
Jaka jest jej pochodna?
Gdybyśmy spojrzeli np. na x = 2 i x = 2 + dx,
jaka jest różnica między wartościami funkcji
w tych punktach df i ile wynosi df/dx,

German: 
von Änderungsraten dieser Funktionen wird, gibt es einem eine Sprache um
einfacher über die Rate der Änderung in konkreten Situationen zu sprechen, bei denen du eventuell
Analysis verwendest um etwas zu modellieren. Aber es fühlt sich viel zu schnell an, als ob man nur eine Liste an Regeln
auswendig lernt. Wenn das eintritt ist es viel zu einfach, aus dem Blick zu verlieren, dass
Ableitungen grundsätzlich nur das ansehen von kleinen Änderungen an einer Größe sind
und wie das zu einer kleinen Änderung einer anderen Größe führt. In diesem Video
und dem nächsten, ist mein Ziel euch zu zeigen wie man über solche Funktionen nachdenken kann. Intuitiv
und geometrisch. Und ich lege euch nahe, das ihr niemals vergesst, dass kleine schubser
der Kern der Ableitungen sind. Lasst uns mit einer einfachen Funktion anfangen. Sagen wir f(x) = x², was wenn ich euch nach
der Ableitung frage. Wenn wir uns einen x-Wert wie x = 2 Anschauen und ihn mit Wert vergleichen, der nur
ein klein wenig größer ist, dx größer. Wie ist die damit zusammenhängende Änderung im Wert der

Spanish: 
te dará un lenguaje en el que hablar fácilmente de que tan rápido las cosas cambian en situaciones concretas
en las podrías estar usando cálculo para modelarlas.
Pero es muy fácil que en este proceso te sientas como si solo estuvieras memorizando una lista de reglas
y si eso pasa y tienes ese sentimiento
también es fácil perder de vista el hecho de que las derivadas son
fundamentalmente mirar en pequeños cambios de una cantidad y como eso resulta en pequeños cambios en otra cantidad
Por eso, en este vídeo, y en el siguiente, mi propósito es mostrarte como puedes pensar en estos conceptos intuitivamente
y geométricamente
y no quiero que nunca olvides que pequeños empujoncitos están en el corazón de las derivadas
Comencemos con una función simple, como f(x)=x^2
¿Y si te pregunto su derivada?
Eso es, si tuvieras que mirar a algún valor de x
como x=2
y compararlo con un valor algo mayor
solo dx mayor, ¿cuál es el valor correspondiente cambio en el valor de la función, df?
Y en particular, ¿cúanto es df dividido por dx?

Portuguese: 
de taxas de mudança para esses tipos de funções abstratas puras. Dá-lhe uma linguagem para mais
falar rapidamente sobre as taxas em que as coisas mudam em situações concretas que você pode ser
usando cálculo para modelar. Mas é muito fácil para este processo se sentir como apenas memorizar uma lista
de regras. E se isso acontecer, se você tiver essa sensação, é tão fácil perder de vista o fato de que
derivados são fundamentalmente sobre apenas olhar para pequenas mudanças em alguma quantidade,
e como isso se relaciona com uma pequena mudança resultante em outra quantidade. Então nesse vídeo
e no próximo, meu objetivo é mostrar como você pode pensar sobre algumas dessas regras intuitivamente
e geometricamente. E eu realmente quero encorajá-lo a nunca esquecer que minúsculos toques
estão no coração dos derivados. vamos começar com uma função simples como f (x) = x ^ 2, e se eu perguntasse
você é derivado. Isto é, se você olhar um valor x como x = 2 e compará-lo a um valor
um pouco maior, apenas dx maior. Qual é a mudança correspondente no valor do

Spanish: 
La taza de cambio  a la que está función cambia por unidad de cambio en x
Como un primer paso hacia la intuición, sabemos que podemos considerar esta proporción df/dx
como la pendiente de una línea tangente al gráfico de x^2
Y de ahí, puedes deducir que la pendiente generalmente crece cuando x crece.
En cero la línea tangente es plana y la pendiente es 0.
En x=1es algo más empinado
En x=2 está aún más empinada
Pero mirar el gráfico no siempre es la mejor manera de entender la fórmula precisa de la derivada
Para eso es mejor tomar mirada más profunda a lo que x^2 realmente significa.
Y en este caso continuaremos pintando un cuadrado cuyos lados son x
Si incrementas x por una minúscula cantidad, una pequeña dx
¿cuál es el cambio resultante en área  de ese cuadrado?
Ese ligero cambio en el área es lo que df significa en este contexto
Es el pequño incremento en el valor de f(x)=x^2, causado por incrementar x en esa pequeña cantidad, dx.

Chinese: 
函數df，特別是df除以dx  - 此函數變化的速率
每單位x的變化是直覺的第一步。我們知道您可以想到這個比率df / dx
作為x ^ 2圖形的切線的斜率，從中你可以看到斜率
通常隨x增加而增加。在0處，切線是平坦的，因此在x = 1時斜率為0。
這在x = 2時有點陡峭，它仍然更陡峭，但看圖表通常不是
最好的方法來理解衍生物的精確公式，因為它最好採取
更真實地看看x ^ 2實際意味著什麼。在這種情況下，讓我們繼續前進並描繪一個正方形
如果你通過一些微小的推動增加x，那麼它的邊長是x，一些小的dx。
這個廣場區域的變化是什麼，這個區域的變化很小
是什麼df在這種情況下意味著什麼。這是由f（x）= x ^ 2引起的微小增加
通過微小的輕推dx增加x。現在你可以看到這個圖中有三個新的區域，兩個很薄

Arabic: 
وبالتحديد .. ما df/dx ?
المعدل الذي تتغير به هذه الدالة لكل وحدة تغير في x ?
كخطوة أولى لتهيئة البديهة:
نعلم أن بإمكانكم التفكير بهذه النسبة df/dx كميل مستقيم مماس لرسم x^2
ومن ذلك.. يمكنكم أن تروا بشكل عام أن الميل يزداد كلما ازدادت x
فعند الصفر المماس مسطح، والميل صفر
عند x=1 يكون أكثر انحداراً قليلاً ..
عند x=2 أكثر انحداراً كذلك
لكن النظر إلى الرسوم ليس -بشكل عام- أفضل طريقة لفهم المعادلة المضبوطة لمشتقة
لتحقيق ذلك.. من الأفضل أن نلقي نظرة أكثر حرفية على ما تعنيه x^2 حقاً
في هذه الحالة: فلنمض ونتصور مربعاً طول ضلعه x
إذا زدت x بمقدار دفعة صغيرة
بشيء صغير dx
ما التغير الناتج في مساحة ذلك المربع؟
ذاك التغير اليسير في المساحة هو ما تعنيه df في هذا السياق
إنها التغير الصغير في قيمة f(x)=x^2 الناتج من تغيير x بتلك الدفعة الصغيرة dx

Polish: 
tempo zmiany funkcji f?
Po pierwsze, wiemy już, że możemy myśleć o df/dx
jak o nachyleniu stycznej do wykresu funkcji.
Widać, że gdy rośnie x, nachylenie stycznej też rośnie.
Dla x = 0 styczna jest pozioma, więc
współczynnik kierunkowy jest równy 0.
Dla x = 1 prosta jest bardziej nachylona,
dla x = 2 jeszcze bardziej.
Takie patrzenie na wykresy nie doprowadzi nas jednak
do dokładnego wzoru.
W tym celu spójrzmy dosłowniej na to, co znaczy x^2.
Narysujmy więc kwadrat o boku x,
a następnie powiększmy bok tego kwadratu o małe dx.
Jak zmieniło się pole tego kwadratu?
W tej sytuacji df jest tą małą zmianą pola.
Jest to mała zmiana wartości funkcji f(x) = x^2
spowodowana zwiększeniem x o małą wartość dx.

Chinese: 
特别是df除以dx  - 单位x变化时函数f改变的速率
这就是使用直觉去感知的第一步。
我知道你完全可以想到df / dx这个比率就是x ^ 2图的切线的斜率
从中可以看出这个斜率一般随着x的增加而增加。
在0处，切线是平坦的，因此在x = 0时斜率为0。
在x = 1时，情况有点陡峭，
在x = 2时，仍然比较陡峭
但只看图形通常不是了解导数的精确公式最好的方法，
所以我们最好更真实地看看x ^ 2实际上是什么意思。
在这种情况下，让我们继续前进，画一个边长为x的方块
如果你通过一些微小的增量，也就是dx来增加x，它的边长是x。
这个正方形的面积发生了怎样的变化呢？
在这里，这个变化了的面积就是指df。
df是由 x 增加了dx 导致f（x）= x ^ 2增加的微小增量

Portuguese: 
função df, e em particular o que é df dividido por dx - A taxa na qual esta função está mudando
por unidade de mudança em x como primeiro passo para a intuição. Sabemos que você pode pensar nessa relação df / dx
como a inclinação de uma linha tangente ao gráfico de x ^ 2, e a partir disso você pode ver que a inclinação
geralmente aumenta conforme x aumenta. Em 0 a linha tangente é plana, então a inclinação é 0 em x = 1.
Isso é algo um pouco mais íngreme em x = 2, é ainda mais íngreme, mas olhando para gráficos não é geralmente o
melhor maneira de entender a fórmula precisa para um derivado, por isso é melhor tomar
uma visão mais literal do que x ^ 2 realmente significa. E neste caso, vamos em frente e imagine um quadrado
cujo comprimento do lado é x se você aumentar x por algum pequeno empurrão, alguma pequena dx.
Qual é a mudança resultante na área daquele quadrado, essa ligeira mudança, na área
é o que df significa neste contexto. É o pequeno aumento para o valor de f (x) = x ^ 2 causado por
aumentando x por esse minúsculo empurrão dx. Agora você pode ver que há três novos pedaços de área neste diagrama, dois finos

French: 
fonction ? df. Et en particulier, que vaut df divisé par dx ? La vitesse à laquelle cette fonction change
par changement unitaire en x. La première étape de notre intuition sera que l'on peut voir ce rapport df/dx
comme étant la pente d'une droite tangente à la courbe x², et comme tu peux le voir, la pente
augmente lorsque x augmente. En 0, la tangente est horizontale et la pente est égale à 0. À x = 1,
la pente est un peu plus forte, à x = 2, elle est encore plus forte, mais regarder les graphes n'est pas la
meilleure manière de trouver la formule exacte de la dérivée. En effet, on devrait plutôt se demander
ce que x² veut vraiment dire. Et pour ça, imaginons un carré
dont la longueur du côté vaut x. Si tu augmente x d'un minuscule à-coup, un petit dx.
Quel est le changement de l'aire de ce carré ? Ce léger changement d'aire
à l'augmentation de x par un petit dx. Maintenant, tu peux voir qu'il y a trois nouveaux morceaux d'aire sur le dessin, deux

English: 
function df, and in particular what's df divided by dx - The rate at which this function is changing
per unit change in x as a first step for intuition. We know that you can think of this ratio df/dx
as the slope of a tangent line to the graph of x^2, and from that you can see that the slope
generally increases as x increases. At 0 the tangent line is flat so the slope is 0 at x = 1.
That's something a bit steeper at x = 2, it's steeper still but looking at graphs isn't generally the
best way to understand the precise formula for a derivative, for that it's best to take
a more literal look at what x^2 actually means. And in this case let's go ahead and picture a square
whose side length is x if you increase x by some tiny nudge, some little dx.
What's the resulting change in the area of that square, that slight change, in area
is what df means in this context. It's the tiny increase to the value of f(x) = x^2 caused by
increasing x by that tiny nudge dx. Now you can see that there's three new bits of area in this diagram, two thin

German: 
Funktion df, und vor allem was ist df geteilt durch dx - die Rate mit der die funktion sich
pro Einheit von x Verändert. Um es intuitiv zu machen, wir wissen das diese Differenz df/dx als
die steigung der Tangente am Graphen von x² betrachtet werden kann. Dadurch sieht man, dass die steigung
sich erhöht wenn x größer wird. Bei 0 wird die Tangente flach, also ist die steigung 0. Bei x = 1
wird es steiler, bei x = 2 noch steiler. Den Graph anzuschauen ist aber generell nicht der
beste Weg um die Formel der Ableitung zu verstehen. Dafür ist es am besten einen
etwas genaueren blick darauf zu werfen was x² eigentlich bedutet. Und in diesem fall, lasst uns ein Quadrat vorstellen
dessen Seitenlänge x ist. Wenn man x um einen kleinen schubser erhöht, einen kleinen schubser dx
Was passiert mit der Fläche in diesem Quadrat? Diese kleine veränderung der Fläche
ist was df in diesem Kontext darstellt. Es ist die kleine steigerung des Wertes von f(x) = x² durch
die erhöhung von x durch den kleinen schubser dx. In diesem Diagramm sieht man nun 3 neue Flächenstücke, 2 dünne

Swedish: 
Och vad är df/dx, hastigheten funktionen förändras per enhet x?
Som ett första steg för intuition, vet vi att vi kan tänka oss det här bråket df/dx som tangentlinjens lutning
till x^2s graf.
Från det kan vi se att lutningen generellt ökar när x ökar.
Att vid 0 är tangentlinjen platt, och lutningen 0.
Vid x=1 brantare, vid x=2 ännu brantare
men att undersöka grafen i sig är generellt inte det bästa sättet att förstå derivata exakt.
För det är det bättre att undersöka en mer ordagrann beskrivning av vad x^2 betyder.
I det här fallet, låt oss föreställa oss en kvadrat med sidlängden x.
Om vi förlänger x med någon kort sträcka dx, vad är den resulterande förändringen av kvadratens area?
Den lilla förändringen är vad df betyder i det här sammanhanget, det är den lilla förändringen av f(x)=x^2 orsakad av en liten ökning av x, dx.

Italian: 
il rate al quale questa funzione cambia
per cambiamenti unitari in x
come primo step di intuizione
sappiamo che possiamo pensare a questa divisione df/dx
come la pendenza della retta tangente al grafico della funzione
e da questo si vede che la pendenza
generalmente aumenta se aumenta x
a 0, la retta tangente è orizzontale e la pendenza è 0
a x=1 è qualcosa di un po' più inclinato
a x=2 è ancora più inclinato
ma guardare al grafico non è generalmente il modo migliore
per capire la formula precisa di una derivata
per questo, è meglio dare uno sguardo più letterale
a cosa x^2 significa veramente, e in questo caso disegnamo un quadrato di lato  x
se aumenti x di qualche piccolo valore, qualche piccolo dx,
qual è il cambiamento risultante nell' area del quadrato?
questo leggero cambiamento nell' area è ciò che df significa in questo contesto
è il piccolo aumento di f(x)=x^2 causato dall' aumentare x di dx

Turkish: 
ve df/dx nedir?
Sezgisel davranarak önce x'de değişim başladığını düşünürüz. Bu oranı df / dx olarak düşünebilirsiniz.
x^2 grafiğinin teğetine bakarsak, x artarken
genellikle eğim de artar. 0 da teğet çizgisi düzdür böylece x=1 iken eğim 0'dır.
Eğim x = 2'de biraz daha dik bir şey, hala daha dik, ama grafiklere bakmak genelde
bir türevin kesin formülünü anlamak için en iyi yol değildir. Bunun için en iyisi,
x ^ 2'nin gerçekte ne anlama geldiğine bakalım. Şimdi x kenar uzunluğuna sahip bir kare alalım:
Eğer x' i biraz küçük dx kadarcık artırırsak,
Karenin alanında meydana gelen değişim ne olur? Bu alandaki değişim buradaki durumda df'e karşılık gelir.
Bu x'de dx kadar küçük bir artışın f(x)= x^2 değerinde neden olduğu ufak bir artıştır.
Şimdi yandaki şekilde gördüğünüz gibi üç yeni alan oluştu:

Spanish: 
Ahora, puedes ver que hay tres trozos de área nueva en este diagrama,
dos rectángulos delgados y un cuadrado minúsculo.
Los dos rectángulos delgados, ambos tienen por lados{ x} y {dx}, así que cuentan como {2xdx} unidades de área nueva.
Por ejemplo, digamos que x=3 y dx=0.01,
entonces el área añadida de estos dos finos rectángulos
será 2 por 3 por 0.01
que es 0.06, como unas 6 veces el tamaño de dx.
Ese pequeño cuadrado de ahí tiene un área de {dx^2}
pero deberías pensar en eso como de algo verdaderamente enano
absurdamente enano
Por ejemplo, si dx fuera 0.01 eso sería solo 0.0001
Y tenlo en cuenta, estoy dibujando dx con un tamaño considerable de forma que podamos verlo
pero siempre recuerda que, en principio, debería ser pensado como una auténticamente pequeña cantidad

German: 
Rechtecke und ein winziges Quadrat. Die beiden dünnen Rechtecke haben jeweils Seitenlängen von x und dx
also erfassen sie zwei mal x*dx Einheiten an neuer Fläche. Wenn zum Beispiel x gleich 3 war und dx gleich 0,01
Dann wäre die neue Fläche von diesen beiden dünnen Rechtecken 2 * 3 * 0,01, was 0,06 ergibt,
etwa 6 mal die Größe von dx.
Das kleine Quadrat da hat eine Fläche von dx². Aber ihr solltet es als sehr winzig betrachten, vernachlässigbar winzig.
Zum Beispiel, wenn dx 0,01 war, wäre das nur 0,0001.
Und behaltet im Kopf, ich zeichne dx mit ziemlich viel Breite hier, nur das wir es überhaupt sehen können
aber erinnert euch immer - im Prinzip sollte dx immer als wirklich kleiner Betrag betrachtet werden.
Für solch wirklich kleinen Beträge ist eine gute Faustregel,

Portuguese: 
retângulos e um quadrado minúsculo. Os dois retângulos finos têm comprimentos laterais de x e dx
então eles representam duas vezes x * dx unidades da nova área. Por exemplo, digamos que x foi 3 e dx foi 0,01.
Então essa nova área desses dois retângulos finos seria 2 * 3 * 0,01, que é 0,06,
cerca de 6 vezes o tamanho de dx. Aquela pequena praça lá tem uma área de dx ^ 2, mas você deveria
pense nisso como sendo realmente minúsculo, insignificantemente pequeno. Por exemplo, se dx for 0,01, isso seria apenas 0,0001.
E lembre-se, eu estou desenhando DX com um pouco de largura aqui só para que possamos realmente
vê-lo, mas lembre-se sempre - em princípio dx deve ser pensado como uma quantidade verdadeiramente pequena
e para aqueles valores realmente minúsculos. Uma boa regra é que você pode ignorar qualquer coisa que inclua uma dx

Italian: 
puoi notare che ci sono tre nuove parti di area in questo diagramma
2 piccoli rettangoli e un minuscolo quadrato
i due piccoli rettangoli hanno come lati x e dx
quindi contano come 2x*dx unità della nuova area
Per esempio, sia x= 3 e dx=0.01
Quindi la nuova area da questi 2 rettangoli sarebbe 2*3*0.01
che è 0.06, ovvero sei volte la grandezza di dx
il piccolo quadrato ha una grandezza di dx^2
ma dovresti pensarlo come se fosse molto piccolo, trascurabile
per esempio se dx= 0.01 allora dx^2 è solo 0.0001
e ricorda, sto disegnando dx con un po' di bordo qui
solo perchè lo dobbiamo vedere
ma ricorda che in principio lo dobbiamo vedere come un quantità veramente infinitesima
e per queste quantità così piccole, possiamo tranquillamente ignorare

Chinese: 
现在你可以看到在这个图中有三个新的区域，
两个很薄的矩形和一个小方块。
两个薄矩形的边长均为x和dx
所以它们就是新增加面积中的2x dx。
例如，假设x是3，dx是0.01。
那么这两个细长矩形的新区域就是2 * 3 * 0.01，即0.06，
约为dx的6倍。
那个小正方形还有一个 dx ^ 2 的面积，
但你应该把那个面积看做是非常微小的，微不足道的。
例如，如果dx是0.01，那只会是0.0001。
但是请记住，我在这里绘制了一个有相当宽度的 dx ，而只是这是为了能够让我们很好的看清它
请始终记得 - 原则上dx应该被认为是一个真正的微小的数量
并且表示为那些真正微小的数量。

Chinese: 
矩形和微小的正方形。兩個薄矩形的邊長分別為x和dx
因此它們佔新區域x * dx單位的兩倍。例如，假設x為3，dx為0.01。
那麼這兩個薄矩形的新區域將是2 * 3 * 0.01，即0.06，
大約是dx大小的6倍。那個小方塊有一個dx ^ 2的區域，但你應該
我認為它非常小，可以忽略不計。例如，如果dx為0.01，則僅為0.0001。
請記住，我在這裡畫了一個相當寬的DX，這樣我們就可以了
看到它，但總是記得 - 原則上dx應該被認為是一個非常小的數量
對於那些真正微小的數量。一個好的經驗法則是你可以忽略任何包含dx的東西

English: 
rectangles and a miniscule square. The two thin rectangles each have side lengths of x and dx
so they account for two times x * dx units of new area. For example let's say x was 3 and dx was 0.01.
Then that new area from these two thin rectangles would be 2 * 3 * 0.01 which is 0.06,
about 6 times the size of dx. That little square there has an area of dx^2, but you should
think of that as being really tiny, negligibly tiny. For example, if dx was 0.01, that would be only 0.0001.
And keep in mind, I'm drawing DX with a fair bit of width here just so we can actually
see it, but always remember - in principle dx should be thought of as a truly tiny amount
and for those truly tiny amounts. A good rule of thumb is that you can ignore anything that includes a dx

Turkish: 
Her biri x ve dx kenarlı iki kalın dikdörtgen ve bir küçük karecik.
Böylece yeni alan x*dx 'in 2 katı ile hesaplanır. Örneğin, x=3 ve dx=0.01 olsun.
Böylece bu iki ince dikdörtgenden gelen yeni alan 2 * 3 * 0.01, yani 0.06 olur,
yani dx'in büyüklüğünün 6 katı kadar. Alanı dx^2 olan küçük kareyi
gerçekten çok çok küçük olarak düşünüp ihmal edebiliriz. Örneğin, dx=0.01 olsaydı dx^2=0.0001 olurdu.
Ve dikkat edin burada dx'i rahat görülebilsin diye oldukça büyük çiziyorum,
ama prensipte bu gerçekten çok küçük bir miktardır.
İyi bir kural olarak üssü 1'den büyük gördüğünüz her dx değerini

French: 
à l'augmentation de x par un petit dx. Maintenant, tu peux voir qu'il y a trois nouveaux morceaux d'aire sur le dessin, deux
rectangles tout fins et un minuscule carré. Les deux fins rectangles ont chacun une longueur x et une largeur dx
donc ils représentent deux fois x · dx unités de nouvelle aire. Par exemple, disons que x valait 3 et que dx valait 0,01.
Cette nouvelle aire apparue via ces deux fins rectangles serait alors de 2 × 3 × 0,01 = 0,06
environ 6 fois la taille de dx. Ce petit carré, il a une aire de (dx)², mais tu dois te dire
que c'est une aire vraiment minuscule, vraiment négligeable. Par exemple, si dx était de 0,01, elle serait de 0,0001.
Et rappelle-toi, je dessine dx avec un peu de largeur ici juste pour que l'on peut vraiment
le voir, rappele-toi qu'en principe dx devrait être considéré comme une quantité vraiment minuscule
et pour les quantités vraiment minuscules. Une bonne règle de base est que tu peux ignorer tout ce qui comprend un dx

Polish: 
Różnicę tych pól można podzielić na trzy części:
dwa cienkie prostokąty i jeden mały kwadracik.
Prostokąty mają boki długości x i dx, a więc
ich pole jest równe w sumie 2 * x * dx.
Weźmy np. x = 3 i dx = 0.01. Wtedy pole prostokątów
jest równe 2 * 3 * 0.01 = 0.06, czyli 6 * dx.
Mały kwadracik ma pole dx^2, ale powinieneś myśleć
o nim jak o tak małym, że można go pominąć.
Dla dx = 0.01 pole tego kwadraciku to tylko 0.0001.
Pamiętaj, że na tych rysunkach dx jest dość duże,
ale to tylko po to, by móc je zobaczyć.
Ogólnie o dx powinno się myśleć, że jest bardzo małe.
W praktyce ignoruje się wszystkie liczby, w których

Arabic: 
الآن يمكنكم أن تروا أن هناك ثلاث قطع من المساحة في هذا الشكل
مستطيلان نحيفان .. ومربع صغير
مستطيلان نحيفان لكل منها ضلعان بطول x و dx
لذا يمثلان 2*x*dx وحدات مساحة جديدة
على سبيل المثال: لنقل أن
x=3, dx=0.01
إذاً المساحة الجديدة من هذين المستطيلين النحيفين ستكون
2*3*0.01 = 0.06
تقريباً 6 أضعاف قياس dx
ذاك المربع الصغير هناك له مساحة dx)^2)
لكن ينبغي أن تفكر في ذلك على أنه صغغيير جدداً! صغير بشكل مهمل
على سبيل المثال إذا كانت dx=0.01
ستكون تلك *المساحة* فقط 0.0001
وتنبهوا لأني أرسم dx بعرض زائد قليلاً هنا فقط ليمكننا رؤيتها
لكن دائماً تذكروا: من ناحية المبدأ، dx ينبغي أن يفكَر بها كمقدار ضئيل حقاً

Swedish: 
Du kan se att det finns tre resulterande areor i det här diagrammet.
Två smala smala rektanglar och en pytteliten kvadrat
De två smala rektanglarna har sidlängd x och bredd dx vardera
så de bidrar tillsammans med 2xdx enheter av tillagd area.
Till exempel säg att x är 3 och dx 0.01.
Då blir den nya arean från rektanglarna 2*3*0.01
vilket är 0.06. 6 gånger dx's storlek.
Den lilla kvadraten har en storlek av dx^2, men tänk på den kvantiteten som mycket liten, försvinnande liten.
Till exempel, om dx vore 0.01 blir det bara 0.0001,
och kom ihåg att jag ritar dx med en hyfsad bredd här så vi kan se vad vi håller på med
Men kom alltid ihåg att i princip ska dx änkas på som en extremt liten mängd

Chinese: 
有一个很好的经验之谈：你其实可以认为任何包含dx的东西所产生的影响力不会超过1
微小的量的平方将会是一个更加微不足道的量。
那么除去了微不足道的量之后，df的右边只剩下dx与某些东西之间的乘积，
也就是2x dx，而且你将其变换之后也可以写成df / dx，也就是x ^ 2的导数。
例如，如果你从x = 3开始，那么你稍微增加x
单位长度变化所导致的面积变化率为：d(x^2)/dx＝2 * 3 或者 6。
而如果你是从x = 5开始的话，那么变化率就是x的单位变化面积的 10 (2*5) 倍
让我们继续尝试一个不同的简单函数f(x)= x^3。
这是我在上一期视频中代数式的几何视图
在这里有一个好方法，我们可以想到x ^ 3想象为为边长为x的实际立方体的体积。

French: 
exposant un nombre plus grand que 1. C'est à dire qu'un minuscule changement au carré est négligeable. Ce qui nous donne au final
c'est la dérivée de x². Par exemple, si tu commences à x = 3, et que tu augmentes légèrement x,
le taux de variation de l'aire par unité de variation de longueur ajoutée d(x²) / dx vaudrait 2 × 3 = 6.
Et si à la place, tu commençais à x = 5, le taux de variation vaudrait 10 unités de surface par unité de changement de x.
Et si à la place, tu commençais à x = 5, le taux de variation vaudrait 10 unités de surface par unité de changement de x.
Allons-y et essayons une autre fonction facile, f(x) = x³. Cela va être le point de vue géométrique
de ce qui a été vu de manière algébrique dans la dernière vidéo. Ce qui est bien, c'est que nous pouvons voir x³

Portuguese: 
aumentado para um poder maior que 1. Isso é uma pequena mudança ao quadrado é uma mudança insignificante o que isso nos deixa com
é que o df é apenas um múltiplo do dx, e esse múltiplo 2x que você também pode escrever como df / dx
é a derivada de x ^ 2. Por exemplo, se você estava começando em x = 3, então à medida que você aumenta um pouco x
a taxa de mudança na área por unidade de mudança de comprimento adicionada dx ^ 2 / dx seria 2 * 3 ou 6.
E se ao invés disso você estivesse começando em x = 5, a taxa de mudança seria dez unidades de área por unidade mudando em x.
Vamos em frente e tente uma função simples diferente f (x) = x ^ 3. Esta vai ser a visão geométrica
das coisas que eu passei algebricamente no último vídeo. O que é legal aqui é que podemos pensar em x ^ 3
como o volume de um cubo real, cujos comprimentos laterais são x. E quando você aumenta x por um pequeno empurrão, uma minúscula dx

Italian: 
qualsiasi quantità che abbia dx elevato ad una potenza maggiore di uno
Poiché un piccolo cambiamento elevato al quadrato è un cambiamento trascurabile.
Ciò che ci rimane è che df è solo qualche multiplo di dx
e quel multiplo, 2x, che puoi anche scrivere come df/dx
è la derivata di x^2
per esempio se parti da x=3, come aumenti leggermente le x
il rate di cambiamento nell' area per unità di cambiamento in lunghezza aggiunta
d(x^2)/dx
sarebbe 2*3, quindi 6
e se invece parti da x=5
il rate di cambiamento sarebbe 10 unità di area per unità di cambiamento in  x
andiamo avanti e proviamo un' altra funzione semplice
f(x)=x^3
Questo è il punto di vista geometrico della teoria svolta algebricamente nello scorso video
è interessante vedere che x^3 può essere visto come il volume di un cubo reale, il cui lati sono x

Chinese: 
提升到大於1的冪。這是一個微小的變化平方是一個微不足道的變化，這讓我們失望
是df只是dx的倍數，而且多個2x也可以寫為df / dx
是x ^ 2的導數。例如，如果您從x = 3開始，那麼稍微增加x
加上dx ^ 2 / dx的每單位面積變化的面積變化率為2 * 3或6。
如果你從x = 5開始，那麼變化率將是每單位變化x的十個單位面積。
讓我們繼續嘗試一個不同的簡單函數f（x）= x ^ 3。這將是幾何視圖
我在上一個視頻中以代數方式經歷過的事情。這裡有什麼好處，我們可以想到x ^ 3
作為實際立方體的體積，其邊長為x。當你通過微小的推動增加x時，一個微小的dx

English: 
raised to a power greater than 1. That is a tiny change squared is a negligible change what this leaves us with
is that df is just some multiple of dx, and that multiple 2x which you could also write as df/dx
is the derivative of x^2. For example, if you were starting at x = 3, then as you slightly increase x
the rate of change in the area per unit change in length added dx^2/dx would be 2 * 3 or 6.
And if instead you were starting at x = 5, the rate of change would be ten units of area per unit change in x.
Let's go ahead and try a different simple function f(x) = x^3. This is going to be the geometric view
of the stuff that I went through algebraically in the last video. What's nice here is that we can think of x^3
as the volume of an actual cube, whose side lengths are x. And when you increase x by a tiny nudge, a tiny dx

Swedish: 
och för de extremt små mängderna är en bra tumregel att du kan ignorera alla termer innehållande dx upphöjt till något större än 1.
Det vill säga att dx^2 är en försumbart liten förändring.
Detta lämnar oss vid att df bara är en multipel av dx
och att denna multipel, som också kan skrivas som df/dx,
är derivatan av x^2.
Till exempel, om du startar vid x=3
och sen ökar x något, blir takten arean ökar per dx tillagd dx^2/dx
blir 2*3, eller 6.
Och om vi istället börjar vid x=5 blir förändringshastigheten 10 ytenheter per enhet x.
Låt oss testa en annan enkel typ av funktion, f(x)=x^3.
Detta kommer vara den geometriska tolkningen av vad jag gick igenom algebraiskt i föregående video.
Vad som är trevligt här är att vi kan tänka oss funktionsvärdet som volymen av en kub med sidlängden x

Turkish: 
görmezden gelebilirsiniz. Böylece karenin değişiminden geriye sadece
2x 'li çarpım kalır ve ayrıca df/dx 'i
x^2 'nin türevi olarak yazabiliriz. Örneğin x=3'den başlayıp x'yi yavaşça artırırsak
x'deki değişimin alandaki değişime oranı 2*3 veya 6 olurdu.
Ve eğer x = 5 ile başlıyor olsaydınız, x birim değişiminin alan değişimine oranı on olurdu.
Şimdi de f (x) = x ^ 3 fonksiyonunu deneyelim. Bu önceki videoda cebirsel olarak geçtiğim
şeylerin geometrik gösterimi olacak. Kenar uzunluğu x olan bir kübün hacminin
x^3 olduğunu düşünebilir.z Ve x'i küçücük, küçük bir dx kadar artırdığımızda,

Spanish: 
y para esas verdaderamente pequeñas cantidades hay una buena regla general que dice que puedes ignorar cualquier cosa que incluya dx a una potencia mayor que 1
Eso es, un ligero cambio al cuadrado es un cambio despreciable.
Con lo que nos deja esto es con que df es solo un determinado múltiplo de dx.
Y ese múltiplo, 2x, que también puedes escribir como df dividido por dx
es la derivada de x^2
Por ejemplo, si estuvieras empezando en x=3
Entonces, a medida que ligeramente incrementas x
La taza  de cambio en el área por unidad de cambio en longitud añadida, d(x^2) sobre dx
sería 2 veces 3, o 6
Y si, en vez, estuvieras empezando en x=5
entonces la taza  de cambio sería 10 unidades de área por unidad de cambio en x
Sigamos esta vez con otra función simple, f(x)=x^3.
Esta va a ser la visión geométrica del trabajo que hice algebraicamente en el último vídeo.
Lo que es genial es que podemos pensar en x al cubo como el volumen de un cubo, cuyos lados miden x.

German: 
dass man alles ignorieren kann, was ein dx hoch einer Potenz größer als eins beinhaltet
Das heißt eine kleine Änderung quadiert ist eine vernachlässigbare Änderung.
Was wir übrig behalten ist
das df nur ein Vielfaches von dx ist. Und dieses Vielfache 2x welches man auch als df durch dx schreiben kann
ist die Ableitung von x². Wenn man zum Beispiel bei x=3 anfängt, dann ist wenn man x leicht erhöht,
die Änderungsrate der Fläche pro hinzukommende Längeneinheit dx²/dx, was 2*3 also 6 wäre.
Und wenn man statt desses bei x=5 startet, wäre die Änderungsrate zehn Flächeneinheiten pro Längenänderung in x.
Versuchen wir eine andere einfache Funktion f (x) = x ^ 3. Dies wird die geometrische Ansicht sein
von dem Zeug, das ich im letzten Video algebraisch durchgemacht habe. Was hier schön ist, ist, dass wir an x ​​^ 3 denken können
als das Volumen eines tatsächlichen Würfels, dessen Seitenlängen x sind. Und wenn Sie x um einen winzigen Schubser erhöhen, einen winzigen dx

Arabic: 
ولهذه المقادير الضئيلة حقاً، قاعدة عامة جيدة هي أن بإمكانك أن تتجاهل أي شيء يحتوي على dx مرفوعة إلى قوة أكبر من 1
أي: تغيّر صغير مربعاً .. هو تغيّر مهمل
ما يبقى لدينا هو أن df هي مجرد مضاعف ما لـdx
وذاك المضاعف dx ، والذي يمكنك كتابته كـ df/dx
هو مشتقة x تربيع
مثلاً إذا بدأت عند x=3 ..
فمع زيادتك قليلاً لـ x ..
معدل التغير في المساحة .. لكل وحدة تغير في الطول المضاف
d(x^2)/dx
سيكون
2*3=6
وإذا بدأت بدلاً من ذلك عند x=5
فسيكون معدل التغير 10 وحدات مساحة .. لكل وحدة تغير في x
فلنمض قدماً ونجرب دالة بسيطة أخرى ..
f(x)=x^3
هذه ستكون النظرة الهندسية للأمر الذي تعرضت له جبرياً في الفيديو السابق
الشيء الجيد هنا هو أن بإمكاننا التفكير ب x تكعيب على أنها الحجم لمكعب حقيقي، طول ضلعه x

Polish: 
dx występuje w potędze większej od 1.
Mała zmiana do kwadratu daje pomijalną zmianę.
Otrzymujemy więc: df jest wielokrotnością dx.
Ten czynnik 2x, który jest równy df/dx, to pochodna x^2.
Na przykład, gdybyśmy zaczęli od x = 3,
to przy małych zmianach x
stosunek zmiany pola do zmiany x d(x^2)/dx
byłby równy 2 * 3 = 6.
A gdybyśmy wzięli x = 5, to stosunek byłby równy 10.
Spróbujmy zastanowić się nad
inną prostą funkcją: f(x) = x^3.
Spojrzymy teraz geometrycznie na to,
co przeliczyliśmy w poprzednim filmie.
O x^3 możemy myśleć jak o objętości sześcianu
o boku długości x.

German: 
Die daraus resultierende Volumensteigerung ist das, was ich hier in gelb habe. Das repräsentiert das gesamte Volumen in einem Würfel
mit Seitenlängen x plus dx. Das ist noch nicht im Originalwürfel, dem mit der Seitenlänge x.
Es ist schön, sich dieses neue Volume als in mehrere Komponenten aufgeteilt vorzustellen, aber fast alles kommt
von diesen drei quadratischen Flächen oder etwas genauer einstellen, wenn dx gegen Null geht.
Gerade wenn sich dx Null nähert, umfassen diese drei Quadrate einen Teil, der immer näher an 100% liegt
von diesem neuen gelben Volumen. Jedes dieser dünnen Quadrate hat ein Volumen von x ^ 2 * dx,
die Fläche des Gesichts mal die geringe Dicke dx. Insgesamt ergibt dies also eine Volumenänderung von 3x ^ 2 dx.
Und um sicher zu sein, gibt es hier an den Rändern noch andere Volumensplitter und diesen winzigen in der Ecke. Aber alles
dieses Volumens wird proportional zu dx ^ 2 oder dx ^ 3 sein, damit wir sie sicher ignorieren können.

Chinese: 
而当你对 x 增加一个微小的增量，一个微小的dx时
由此造成的体积增长我在这里用黄色进行表示。
这就是立方体中的所有边长x增加dx后增加的体积。
这就不是原来那个边长为x的立方体了。
把这个新的立方体分解成多个组件是很好的
但几乎所有分解方式的都是可以分解为这三个面
或者把它变得更薄一点，因为dx接近于零。
正因为dx趋近于零，这三个方块之和接近100％相等新增的黄色部分的体积。
每个薄方块的体积即为 x^2 ＊ dx，
正方形面积乘以那么小的厚度dx。
所以总共这给我们3 * x ^ 2 dx的体积变化。
而且可以肯定的是，这边的边缘还有其他的边角，边角的边角也很小。
但所有的体积将与dx ^ 2或dx ^ 3成正比，所以我们可以放心地忽略它们。

Polish: 
Gdy zwiększamy bok sześcianu o małe dx,
objętość zwiększa się o zaznaczony na żółto obszar.
Te fragmenty należą do sześcianu o krawędzi x + dx,
ale nie do tego o krawędzi x.
Możemy rozbić ten obszar na kilka składników,
z których znaczna część objętości
pochodzi z tych trzech kwadratowych płytek.
Konkretnie, gdy dx dąży do 0, te trzy płytki
stanowią coraz większą część objętości,
aż do 100% objętości wszystkich żółtych części.
Każda z tych małych płytek ma objętość x^2 * dx:
pole kwadratu x^2 razy mała grubość dx.
To w sumie daje nam 3x^2 * dx zmiany objętości.
Są też inne składniki objętości:
trzy przy krawędziach i malutki sześcianik.
Ale zgodnie z tym, co powiedzieliśmy wcześniej,

Italian: 
e quando aumento x di un piccolo valore dx, l'aumento complessivo di volume
è evidenziato qui in giallo
esso rappresenta tutto il volume nel cubo di lato x+dx
che non era presente nel cubo originario, quello di lato pari a x
è interessante pensare a questo nuovo volume scomposto in molti componenti
ma la stragrande maggioranza proviene da queste tre facce quadrate
o, per meglio dire, facendo tendere dx a zero
questi tre quadrati comprendono una porzione via via più vicina al 100% di tutto il volume giallo
ognuno di questi sottili quadrati ha un volume di x^2 *dx
l' area della quadrato per il suo spessore dx
quindi in totale ci restituisce 3* x^2 dx di cambiamento di volume
Per esattezza ci sono altri strisce di volume lungo gli spigoli e altre piccole negli angoli
ma tutto questo volume è proporzionale al quadrato e al cubo di dx, così lo possiamo tranquillamente ignorare.

Swedish: 
och när vi ökar x med en pytteliten bit, dx,
blir den resulterande volymökningen det som jag här markerat i gult.
Det representerar all volym i en kub med sidlängd x+dx som inte redan var med i orginal-kuben med sidlängd x.
Det är bra att tänka sig denna kub som uppdelad i bitar
men nästan allt kommer från de här tre sidorna.
Eller mer precist, när dx går mot 0, utgör dessa tre sidor närmre och närmre 100% av den gula volymen.
Varje sådan bit har en volym av x^2*dx, ytans area gånger den lilla tjockleken dx.
Detta ger oss totalt en förändring av 3x^2dx
Och visserligen finns det andra bitar som inte är medräknade
men de kommer alla vara proportionella mot dx^2 eller dx^3 så vi kan bortse från dem.

Portuguese: 
o aumento resultante em volume é o que tenho aqui em amarelo. Isso representa todo o volume em um cubo
com comprimentos laterais x mais dx. Isso não está no cubo original, aquele com o comprimento do lado x.
É bom pensar neste novo volume como dividido em vários componentes, mas quase tudo vem
dessas três faces quadradas, ou definir um pouco mais precisamente como dx se aproxima de zero.
Precisamente quando dx se aproxima de zero, esses três quadrados compõem uma porção cada vez mais próxima de 100%
desse novo volume amarelo. Cada um desses quadrados finos tem um volume de x ^ 2 * dx,
a área do rosto vezes essa pequena espessura dx. Então, no total, isso nos dá 3x ^ 2 dx de mudança de volume.
E para ter certeza, existem outras lascas de volume aqui, ao longo das bordas, e aquela pequena no canto. Mas todos
desse volume será proporcional a dx ^ 2 ou dx ^ 3, para que possamos ignorá-los com segurança.

Spanish: 
Y cuando incrementas x por una minúscula parte, un minúsculo dx
el incremento resultante de volumen es lo que está aquí en amarillo.
esto representa todo el volumen de un cubo de lados de longitud x+dx
que no estaba originalmente en el cubo, el que tiene lados de longitud x
está bien pensar en este nuevo volumen como "separado en varios componentes"
pero CASI todo viene de estas tres caras cuadradas.
o, dicho un poco más precisamente,
mientras dx se acerca a 0,
esos tres cuadrados se acercan cada vez mas a ser 100% del nuevo volumen amarillo.
cada uno de estos cuadrados finos tiene un volumen de x² por dx
El área de la cara, por ese pequeño grosor, dx
así que en total esto nos da 3x² dx de cambio de volumen total
y para estar seguro, HAY otros trocitos de volumen aquí, en los bordes y el pequeñito en la esquina.
Pero esos volúmenes van a ser proporcionales a dx², o dx³, así que los podemos ignorar.

Turkish: 
ortaya çıkan hacimdeki artışı burda sarı ile gösteriyorum. Bu x+dx kenar uzunluğundaki bir küp için
tüm hacmi temsil eder. Bu x kenarlı olan orijinal küp değil.
Bu yeni hacmi, birden çok bileşene bölünmüş olarak düşünmek güzel ama neredeyse hepsi
(dx sıfıra yaklaştıkça daha doğru biçimde )bu üç yüzden geliyor.
dx sıfıra yaklaştıkça bu üç kare yeni sarı hacme %100 olacak kadar
yakınlaşır. Bu ince karelerin her biri yüzey alanı ve kalınlığın çarpımı olan
x ^ 2 * dx'lik bir hacme sahiptir. Böylece toplamda hacim değişimi 3x^2*dx olur.
Diğer hacim şeritleri ve şurda köşede küçük bir tane daha hacim olduğundan eminiz. Fakat
hacimlerinin dx ^ 2 veya dx ^ 3 ile orantılı olması yani onları göz ardı edebileceğimiz anlamına gelir.

Arabic: 
وعندما تزيد x بدفعة صغيرة .. dx صغيرة
الزيادة الناتجة  في الحجم هي ما لدي هنا بالأصفر
هذه تمثل كل الحجم الذي في مكعب طول ضلعه x + dx ، التي ليست مسبقاُ في المكعب الأصلي، الذي طول ضلعه x
من الجميل التفكير في هذا الحجم الجديد مجزءاً إلى عدة مركبات
لكن معظمه تقريباً آت من هذه الوجوه المربعة الثلاثة
أو لوصف أكثر دقة:
مع اقتراب dx من الصفر ..
هذه المربعات الثلاثة تشكل جزءاً أقرب فأقرب لمئة بالمئة من ذلك الحجم الأصفر الجديد
كل من هذه المربعات النحيفة له حجم يساوي x^2)*dx)
مساحة الوجه .. مضروبة في ذلك السُمك الصغير dx
لذا في المجمل .. هذا يعطينا ثلاثة مضروبة في
x^2)dx) من التغير في الحجم
وبالتأكيد هناك قطيعات صغيرة من الحجم هنا عبر الحواف وواحدة صغيرة في الزاوية
لكن كل ذلك الحجم سيكون متناسباً مع (d(x^2 أو (d(x^3
لذا يمكننا تجاهلهم بأمان

English: 
the resulting increase in volume is what I have here in yellow. That represents all the volume in a cube
with side lengths x plus dx. That's not already in the original cube, the one with side length x.
It's nice to think of this new volume as broken up into multiple components, but almost all of it comes
from these three square faces, or set a little more precisely as dx approaches zero.
Precisely as dx approaches zero, those three squares comprise a portion closer and closer to 100%
of that new yellow volume. Each of those thin squares has a volume of x^2 * dx,
the area of the face times that little thickness dx. So in total this gives us 3x^2 dx of volume change.
And to be sure there are other slivers of volume here, along the edges, and that tiny one in the corner. But all
of that volume is going to be proportional to dx^2 or dx^3 so we can safely ignore them.

French: 
comme le volume d'un vrai cube, dont les longueurs des côté sont x. Et lorsque tu augments x par un petit à-coup, un petit dx,
l'augmentation correspondante du volume est ce que j'ai ici en jaune. Cela représente tout le volume dans un cube
de côté x + dx qui n'est pas pas dans le cube original, celui avec une longueur de côté x.
est réparti sur ces trois faces carrées, ou plus précisément, quand dx approche zéro,
ces trois carrés forment une portion de plus en plus proche de 100%
ces trois carrés forment une portion de plus en plus proche de 100%
de ce nouveau volume en jaune. Chacun de ces carrés tout mince a un volume de x² × dx,
Et soyons clairs, il y a d'autres morceaux de volume ici, le long des bords, et un tout petit dans le coin. Mais tous
Et soyons clairs, il y a d'autres morceaux de volume ici, le long des bords, et un tout petit dans le coin. Mais tous
ces volumes seront proportionnels à (dx)² ou (dx)³ que l'on peut ignorer sans risque.

Chinese: 
由此產生的音量增加是我在這里以黃色顯示的。這表示多維數據集中的所有捲
邊長x加dx。那不是原來的立方體，邊長為x的立方體。
很高興將這個新卷分解為多個組件，但幾乎所有組件都來了
從這三個方形面看，或者當dx接近零時更精確地設置。
正確地，當dx接近零時，這三個正方形包含越來越接近100％的部分
那個新的黃色卷。每個薄方塊的體積為x ^ 2 * dx，
面部的面積乘以厚度dx。總的來說，這給了我們3x ^ 2 dx的音量變化。
而且可以肯定的是，這裡還有其他的捲邊，邊緣和角落裡的那個小塊。但是所有
該音量將與dx ^ 2或dx ^ 3成比例，因此我們可以安全地忽略它們。

Portuguese: 
Novamente, isso é porque eles serão divididos por dx, e se ainda houver algum dx restante
então esses termos não sobreviverão ao processo de deixar o dx se aproximar 0. O que isso significa é
que a derivada de x ^ 3, a taxa na qual x ^ 3 muda por mudança de unidade de x é 3x ^ 2.
O que isso significa em termos de intuição gráfica é que a inclinação do gráfico de x ^ 3
em cada ponto x é exatamente 3x ^ 2. E raciocinando sobre essa inclinação, deveria fazer sentido
que esta derivada é alta à esquerda e, em seguida, zero na origem e, em seguida, alta novamente à medida que você se move para a direita.
Mas apenas pensar em termos do gráfico nunca nos teria dado a quantidade precisa 3x ^ 2.
Para isso, tivemos que dar uma olhada muito mais direta no que x3 realmente significa agora na prática.

Spanish: 
De nuevo, esto es por que van a estar divididos por dx,
Y si aún queda dx después de eso, esos términos no van a sobrevivir el proceso de acercar dx a cero.
 
Lo que esto significa es que la derivada de x³.
la razón a la que x³ cambia,
por x unidad que cambia,
es 3x²
Lo que significa en términos de intuición gráfica ,
es que la pendiente de la gráfica de x³
 
En cualquier punto particular x
Es exactamente 3x²
Razonado acerca de esta esta pendiente, debería tener sentido
que esta es pronunciada en lado izquierdo
cero en el origen, y de nuevo pronunciada cuando te mueves a la derecha
pero solo pensando en términos de la gráfica, esta nunca nos ha llevado al preciso valor de 3x²
para eso tenemos que tomar un vista mucho más directa en  3x² para ver que realmente significa.
En la práctica no tendrías  necesariamente  que pensar en este cuadrado

French: 
Encore une fois c'est en fin de compte parce qu'ils vont être divisés par dx, s'il reste encore un dx,
la dérivée de x³, la vitesse à laquelle x³ change par unité de changement de x est 3x².
la dérivée de x³, la vitesse à laquelle x³ change par unité de changement de x est 3x².
Ce que cela signifie de manière graphique est que la pente du graphique de x³
à chaque point x est exactement de 3x². Et en raisonnant sur cette pente, ça devrait donner un sens
au fait que sa dérivée est élevée à gauche et encore plus élevée au fur et à mesure que tu te déplaces vers la droite.
Mais juste penser en termes de graphique ne nous aurait jamais donné la mesure précise de la quantité 3x²
Pour faire ça, nous avons dû regarder de manière plus précice ce que x³ voulait vraiment dire.

Swedish: 
Återigen kommer det ifrån att de kommer delas med dx
och om det fortfarande finns något dx inräknat kommer de inte överleva när dx går mot 0.
Vad det betyder, är att derivatan av x^3, förändringstakten när då x^3 ändras per enhet x,
är 3x^2.
Vad det innebär för den grafiska intuitionen är att lutningen för x^3 i varje punkt x är exakt 3x^2.
Och när vi resonerar kring det resultatet är det rimligt att derivatan är hög till vänster,
och sen 0 vid origo, och sen hög igen mot den högra sidan.
Men hade vi bara resonerat kring derivatans utseende hade vi aldrig landat i det exakta svaret 3x^2.
För det behövdes en mer direkt titt på vad x^3 faktiskt betyder.

Polish: 
możemy je pominąć. Robimy tak dlatego,
że na końcu będziemy dzielić df przez dx.
Jeśli zostanie jeszcze jakiś czynnik dx, to
składnik będzie dążył do 0, bo dx dąży do 0.
Oznacza to, że pochodna funkcji x^3 jest równa 3x^2.
Patrząc na wykres funkcji, oznacza to, że
współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu
w punkcie x jest równy 3x^2.
To ma sens, gdy się zastanawiamy.
jak mniej więcej powinna wyglądać ta pochodna.
Po lewej ma dużą wartość, w zerze zero
i po prawej znów dużą.
Ale przyglądając się tylko wykresowi,
nie zgadlibyśmy, że jest to dokładnie 3x^2.
Żeby to obliczyć, musieliśmy spojrzeć dokładnie,
co tak właściwie oznacza x^3.
W praktyce, nie będziesz myślał o kwadracie
za każdym razem, gdy liczysz pochodną x^2

Chinese: 
再次，這最終是因為它們將被dx劃分，並且如果仍然存在任何dx
然後這些術語不會在讓dx接近0的過程中存活下來。這意味著什麼
x ^ 3的導數，x ^ 3每單位變化x的變化率為3x ^ 2。
在圖形直覺方面，這意味著x ^ 3圖的斜率
在每個單獨的點x恰好是3x ^ 2。關於那個斜坡的推理，它應該是有道理的
這個導數在左邊很高，然後在原點處為零，然後在向右移動時再次變高。
但只是從圖表的角度來思考就永遠不會讓我們獲得精確的數量3x ^ 2。
為此，我們必須更直接地了解x ^ 3在實踐中實際意味著什麼。

Chinese: 
和上次一样，将等号两边同时除以dx
如果还剩下任何dx
那么这些残余项是不会在dx趋向于0的过程中留下来的。
这就意味着x ^ 3的导数，也就是x ^ 3单位变化的变化率为3×^ 2。
从图形直觉的角度来看，这就是x ^ 3图的斜率
并且在每一个点x是正好3x ^ 2。
从而推论这个就是斜率，应该是正确的。
这个导数在左边高，然后在原点为零，然后在你向右移动时再次变高。
但是就图表而言，根本就不会让我们联想到3x ^ 2这个具体的表达式。
为此，我们不得不更直接地观察实际上x ^ 3究竟意味着什么。
每当你采取x ^ 2的导数，你不会联想到这个正方形。

Turkish: 
ve sonunda böyle olacak:
Hepsi dx ile bölünecek ve eğer hala kalan dx varsa,
dx sıfıra yaklaşırken bu terimler yok olacaklar. Bu ne demek?
x ^ 3'ün türevi, x 'deki değişimin x^3 deki değişime oranı olan 3x^2 'dir anlamına gelir.
Bu, grafiksel sezgi ile x ^ 3 grafiğinin eğiminin
her bir x noktada 3x^2 olması anlamına gelir.
Türevin solda yüksek, orijininde sıfır ve sağa doğru hareket ettikçe tekrar yüksek olması mantıklı olur.
Ama sadece grafik üzerinden düşünmek bizi hiçbir zaman 3x^2 ye ulaştırmaz.
Bunun için x ^ 3'ün pratikte ne anlama geldiğine bakalım.

English: 
Again this is ultimately because they're going to be divided by dx, and if there's still any dx remaining
then those terms aren't going to survive the process of letting dx approach 0. What this means is
that the derivative of x^3, the rate at which x^3 changes per unit change of x is 3x^2.
What that means in terms of graphical intuition is that the slope of the graph of x^3
at every single point x is exactly 3x^2. And reasoning about that slope, it should make sense
that this derivative is high on the left, and then zero at the origin, and then high again as you move to the right.
But just thinking in terms of the graph would never have landed us on the precise quantity 3x^2.
For that we had to take a much more direct look at what x^3 actually means now in practice.

Arabic: 
مجدداً: هذا بسبب أنها في نهاية المطاف ستقسم على dx
وإذا كان هناك أي dx باقية فهذه الحدود لن تنجو من عملية جعل dx تقترب من الصفر
ما يعنيه هذا هو أن مشتقة x تكعيب
المعدل الذي تتغير به x^3 لكل وحدة تغير في x
هو
3x^2
ما يعنيه ذلك باعتبار البديهة الرسومية
هو أن ميل المنحنى x^3 عند كل نقطة x ..
هو بالضبط 3x^2
وبالتفكر في ذلك الميل، فمن المنطقي أن المشتقة كبيرة على اليسار، ثم صفر عند نقطة الأصل، ثم تكون كبيرة مرة أخرى مع مضيك لليمين
لكن مجرد التفكير في حدود الرسم ما كان ليصل بنا إلى القيمة المضبوطة
3x^2
لذاك، احتجنا لأن نأخذ نظرة أكثر مباشرة لما تعنيه x تكعيب حقاً
عملياً .. لن تحتاج بالضرورة إلى التفكير في مربع كلما أردت أن تجد مشتقة x^2

Italian: 
Questo perchè alla fine dovremmo dividere tutto per dx
e se ci sono dei dx che rimangono,
questi termini non sopravviveranno quando faremo tendere dx a zero
Questo significa che la derivata di x^3
il rate per cui x^3 cambia per unità di cambiamento di x
è 3x^2
cosa significa in termini di intuizione grafica
è che la pendenza della retta tangente al grafico x^3 in ogni punto x
è esattamente 3x^2
e ragionando sulla pendenza della retta tangente, ha senso che
l' inclinazione è positiva a sinistra, poi zero all' origine
e ancora positiva se ti muovi a destra
ma pensare solo in termini del grafico non ci avrebbe mai permesso
di trovare la quantità precisa 3x^2
per questo dobbiamo dare uno sguardo più diretto
a cosa x^3 significa veramente
in pratica non devi pensare per forza al quadrato

German: 
Dies liegt wiederum letztendlich daran, dass sie durch dx geteilt werden und ob noch dx übrig ist
dann werden diese Begriffe den Prozess, dx sich 0 nähern zu lassen, nicht überleben. Was dies bedeutet, ist
dass die Ableitung von x ^ 3, die Rate, mit der sich x ^ 3 pro Änderungseinheit von x ändert, 3x ^ 2 ist.
Was dies für die grafische Intuition bedeutet, ist, dass die Steigung des Graphen von x ^ 3 ist
an jedem einzelnen Punkt ist x genau 3x ^ 2. Und wenn man über diese Steigung nachdenkt, sollte es Sinn machen
dass diese Ableitung links hoch und dann am Ursprung Null und dann wieder hoch ist, wenn Sie sich nach rechts bewegen.
Aber nur in Bezug auf die Grafik zu denken, hätte uns niemals auf die genaue Größe 3x ^ 2 gebracht.
Dafür mussten wir uns viel direkter ansehen, was x ^ 3 jetzt in der Praxis tatsächlich bedeutet.

French: 
Mais en pratique, tu ne devrais cependant pas penser à ce carré à chaque fois que tu prends la dérivée de x².
Ou penser à ce cube à chaque fois que tu prends la dérivée de x³. Car les deux dérivées sont résumées par une
technique reconnaissable pour les dérivées de polynômes. La dérivée de x⁴ est en fait 4x³. La dérivée
C'est ce qu'on appelle la loi de dérivée d'une puissance (power rule). En pratique
C'est ce qu'on appelle la loi de dérivée d'une puissance (power rule). En pratique
saute vers l'avant et laisse derrière lui, lui-même moins 1. S'arrêter et réfléchir
saute vers l'avant et laisse derrière lui, lui-même moins 1. S'arrêter et réfléchir
aux plaisirs géométriques liés à ces dérivées. C'est ce qui arrive
Mais plutôt que s'en rappeler uniquement avec des techniques symboliques, arrêtons-nous un peu et réfléchissons à « pourquoi ça marche ? »
Mais plutôt que s'en rappeler uniquement avec des techniques symboliques, arrêtons-nous un peu et réfléchissons à « pourquoi ça marche ? »

Turkish: 
Her zaman x ^ 2 türevini aldığınızda kareyi düşünemezsiniz ya da
x^3' ün türevi için bir kübü... Her ikisi de tanıdık polinom terimleridir.
x^4 'ün türevi 4x^3 olarak çıkar. x^5 'in türevi,
5x ^ 4'dür. x' in herhangi bir n kuvveti için türevi nx^(n-1) 'dir.
Bu "kuvvet kuralı" olarak bilinir. Uygulamada,
bu sembolik gösterimi basitçe "üssü başa düşürüp üssü bir azaltma" olarak biliriz.
Bir anlığına türevin altında geometriyi  düşünme lezzetini
bırakarak bu tür şeylerin
çok daha uzun hesaplamalar için gerekli olduğunu kabul edelim.
Tüm bu sembolik gösterimleri doğrudan almak yerine sadece bir saniye bunun neden işe yaradığını düşünelim.

German: 
Sie würden nicht unbedingt jedes Mal an das Quadrat denken, wenn Sie die Ableitung von x ^ 2 nehmen. Auch nicht
Sie denken notwendigerweise an diesen Würfel, wenn Sie die Ableitung von x ^ 3 nehmen, beide fallen unter eine hübsche
Erkennbares Muster für Polynomterme Die Ableitung von x ^ 4 stellt sich als 4x ^ 3 heraus. Die Ableitung
von x ^ 5 ist 5x ^ 4. Die Ableitung von x zu n für jede Potenz n ist nx ^ (n-1).
Dies hier ist das, was im Geschäft als Machtregel bekannt ist. In der Praxis
wir alle werden schnell erschöpft und betrachten dies symbolisch als Exponenten
vorne hüpfen und einen weniger als sich selbst zurücklassen. Selten innehalten, um über das nachzudenken
geometrische Freuden, die diesen Ableitungen zugrunde liegen. So etwas ist es
Das passiert, wenn diese dazu neigen, in die Mitte viel längerer Berechnungen zu fallen.
Aber anstatt alles auf symbolische Muster zurückzuführen, nehmen wir uns einen Moment Zeit und überlegen, warum dies funktioniert.

Italian: 
ogni volta che prendi la derivata di x^2
né devi pensare a questo cubo quando fai la derivata di x^3
Entrambi rientrano in un pattern facilmente riconoscibile per i termini polinomiali
la derivata di x^4 si scopre essere 4x^3
la derivata di x^5 è 5x^4 e così via
astrattamente puoi scrivere che la derivata di x^n
per ogni potenza n,
è nx^(n-1)
questa appena elencata è conosciuta come la legge della potenza
In pratica tutti noi ci passiamo sopra velocemente
e la pensiamo simbolicamente come l' esponente che cade giù
e lascia al suo posto il numero precedente
fermandoci raramente per contemplare la bellezza  geometrica che sta alla base di queste derivate
Questo è il tipo di cosa che accade quando queste appaiono nel mezzo di un calcolo molto più lungo.
Ma invece che ricondurre tutto a qualche tipo di pattern simbolico
prendi un momento per pensare a perchè questo funziona
per potenze oltre il 2 e il 3

Polish: 
ani o sześcianie, gdy liczysz pochodną x^3.
Obie funkcje są szczególnymi przypadkami wzoru,
który pozwala radzić sobie z wielomianami.
Okazuje się, że pochodną x^4 jest 4x^3,
pochodną x^5 jest 5x^4, itd.
Ogólnie: pochodną x^n jest n * x^(n - 1).
Ten wzór liczy pochodną funkcji potęgowej.
Można to zapamiętać w fajny sposób: wykładnik
zeskakuje z góry, zostawiając za sobą liczbę
o 1 mniejszą. Nie trzeba wyobrażać sobie
za każdym razem figur geometrycznych.
Szczególnie, gdy pojawia się to
w trakcie dłuższych obliczeń.
Ale zamiast skupiać się na szczegółach wzorów,
zastanówmy się, dlaczego to działa dla n innych niż 2, 3.

Swedish: 
I praktiken behöver vi inte alltid nödvändigtvis tänka på en kvadrat varje gång vi tar derivatan av x^2.
Inte heller behöver vi tänka på en kub varje gång vi tar derivatan av x^3.
Båda faller under ett igenkännbart samband i termer av polynom.
Derivatan av x^4 är 4x^3. Derivatan av x^5 är 5x^4 och så vidare.
Abstrakt kan det skrivas som dx^n/dx = nx^(n-1)
Detta kallas inom matematiken för "N-tegradsfunktioners derivata"
I praktiken tröttnar vi snabbt och använder den algebraiska regeln istället, att exponenten hoppar ned framför och lämnar kvar ett mindre än sig själv.
Sällan stannar vi upp och funderar på det underliggande systemet som ger upphov till regeln.
Det är vad som brukar hända när detta hamnar i mitten av en längre uträkning.
Men istället för att låta allt vara symboliska mönster låt oss tänka på varför detta funkar förbi x^2 och x^3.

Chinese: 
而当你采取x ^ 3的导数时，你也一定不会想到这个正方体
而他们都会产生一个对于多项式项而言非常漂亮的规律
x ^ 4的导数变为4×^ 3。x ^ 5的导数是5x ^ 4 等等。
作为一般性结论，任意幂n的x对n的导数为nx ^（n-1）。
这就是为我们所熟知的求导公式。
然而在实际问题中，我们都很快就会精疲力竭，然后将其符号化地运算：
将指数放在前面，然后将指数减少1。
然而很少暂停想想，作为这些导数基础的几何意义。
而思考导数的几何意义的这种情况更倾向于在更长的计算中间时发生。
但是，相比起将它全部想成符号性的模式
还是让我们花点时间思考为什么这个公式对于2阶和3阶会起作用

English: 
You wouldn't necessarily think of the square every time you're taking the derivative of x^2. Nor would
you necessarily think of this cube whenever you're taking the derivative of x^3, both of them fall under a pretty
recognizable pattern for polynomial terms the derivative of x^4 turns out to be 4x^3. The derivative
of x^5 is 5x^4. The derivative of x to the n for any power n is nx^(n-1).
This right here is what's known in the business as the power rule. In practice
we all quickly just get jaded and think about this symbolically as the exponent
hopping down in front leaving behind one less than itself. Rarely pausing to think about the
geometric delights that underlie these derivatives. That's the kind of thing
that happens when these tend to fall in the middle of much longer computations.
But rather than tracking it all off to symbolic patterns let's just take a moment and think about why this works.

Arabic: 
ولا تحتاج بالضرورة إلى التفكير في هذا المكعب كلما أردت أن تجد مشتقة x^3
كلتاهما تقعان ضمن نمط واضح إلى حد بعيد لكثيرات الحدود
مشتقة x^4 .. يتضح أنها 4x^3
مشتقة x^5 هي 5x^4
وهكذا ..
بتجريد: ستكتب هذه كمشتقة x^n .. لأي أس n هي
n*(x^n-1)
هذه التي هنا هي ما تعرف في مجال العمل بـ"قاعدة القوى"
عملياً .. جميعنا نسأم بسرعة، ونفكر بهذا رمزياً
بأن يقفز الأس إلى الأمام .. تاركاً أقل منه بواحد
قلما نتوقف للتفكير بالمسرات الهندسية التي تقف وراءها
هذا ما يحدث عندما تميل هذه الأشياء للوقوع وسط حسابات أطول منها بكثير
لكن بدلاً من تتبعها جميعاً إلى أنماط رمزية، دعونا فقط نأخذ لحظة للتفكير لماذا تعمل هذه *القاعدة* لقوى أكبر من 2 و 3

Portuguese: 
Você não pensaria necessariamente no quadrado toda vez que estiver tomando a derivada de x ^ 2. Nem seria
você necessariamente pensa neste cubo sempre que você está tomando a derivada de x ^ 3, ambos caem sob um bonito
padrão reconhecível para termos polinomiais a derivada de x ^ 4 resulta ser 4x ^ 3. O derivado
de x ^ 5 é 5x ^ 4. A derivada de x para n para qualquer poder n é nx ^ (n-1).
Isso aqui é o que é conhecido nos negócios como a regra do poder. Na prática
todos nós rapidamente apenas ficar cansado e pensar sobre isso simbolicamente como o expoente
pulando na frente deixando para trás um menos do que ele. Raramente parando para pensar sobre o
delícias geométricas que fundamentam esses derivados. Esse é o tipo de coisa
isso acontece quando estes tendem a cair no meio de cálculos muito mais longos.
Mas, em vez de rastrear tudo para padrões simbólicos, vamos apenas pensar um pouco e por que isso funciona.

Spanish: 
cada vez tomas la derivada de x²
ni necesariamente pensar en este cubo cuando estas tomando la derivada de x³
Ambos, siguen un patrón bastante reconocible para términos de polinomio.
La derivada de x^4, se convierte en 4x³
La derivada de x^5 es 5x^4,
y así en adelante.
Abstráctamente, se escribe como: la derivada de x^n
(para cualquier potencia n)
es nx^(n-1)
Esto es lo que se le conoce en el negocio como la regla de la potencia.
En la práctica todos no hastiamos, y solo pensamos en esto simbólicamente
,cuando 2 baja de su lugar y pasa a multiplicar a x elevado uno menos si mismo
Raramente pausando para pensar en el encanto geométrico que esta detrás de estas derivadas.
Ese es el tipo de cosa que pasa cuando estas caen en el medio de cálculos  mucho mas largos
Pero mas que rastear todo con patrones simbólicos, tomemos un momento para pensar por qué funciona para potencias mas allá de 2 y 3.

Chinese: 
每次你使用x ^ 2的導數時，你不一定會想到這個平方。也不會
每當你採用x ^ 3的導數時，你一定會想到這個立方體，它們都屬於漂亮的
多項式項的可識別模式x ^ 4的導數變為4x ^ 3。衍生品
x ^ 5是5x ^ 4。對於任何冪n，x對n的導數是nx ^（n-1）。
這就是業務中已知的權力規則。在實踐中
我們都很快就會厭倦，並將其像徵性地視為指數
在前面跳下來，留下比自己少一個。很少停下來想一想
作為這些衍生物背後的幾何美食。那就是那種事
當這些往往落在更長的計算中間時會發生這種情況。
但是，不要將它全部跟踪到符號模式，而是花一點時間思考為什麼這樣做。

Chinese: 
当你将输入的x进行轻微地增加，把它稍微增加到x + dx
函数的输出将会变成n个x + dx项相乘。
若是将这个式子进行完全展开将会非常复杂
但其中大部分是可以忽略的
在这个展开式中的第一项是x ^ n
这就类似于原始方块的面积或原来方块的体积。
对于展开式中接下来的项，你可以选出只有一个dx其余全是x的项
你可以找到有n个只有一个dx而其他全是x的项。
那么这就让我们可以分离出所有包含x^(n-1) dx的项
并最终得到 n * x^(n-1) dx。

Portuguese: 
Para potências além de apenas 2 e 3, quando você insere essa entrada x, aumentando ligeiramente para x + dx, calculando a entrada
O valor exato dessa saída nudged envolveria a multiplicação desses n termos separados x + dx.
A expansão completa seria realmente complicada, mas parte do ponto de derivativos é que a maior parte disso
complicação pode ser ignorada. O primeiro termo em sua expansão é x ^ n, isso é análogo ao
área do quadrado original ou o volume do cubo original de nossos exemplos anteriores.
Para os próximos termos da expansão, você pode escolher a maioria dos xs com um único dx, já que existem
n radicais dos quais você poderia ter escolhido aquele único dx. Isso nos dá n termos separados, todos os quais incluem
n-1 x vezes dx dando um valor de x ^ (n-1) vezes dx. Isso é análogo a como a maioria

Swedish: 
När vi ökar indata x lite grann till x+dx, involverar det att multiplicera ihop n separata (x+dx)-termer.
Den fullständiga expansionen skulle vara väldigt komplicerad,
Men en stor del av poängen med derivator är att den största delen av den beräkningen kan ignoreras.
Den första termen är x^n, motsvarande kvadraten vi startade med,
eller volymen från de tidigare exemplen.
För nästa term kan vi välja merdelen x och bara en enda dx.
Eftersom det finns n stycken parenteser att välja ett dx från ger det oss n termer som involverar n-1 stycken x gånger dx
vilket ger ett värde ger oss ett värde på nx^(n-1)dx.

Chinese: 
當你輕推輸入x時，對於超過2和3的冪，將它稍微增加到x + dx，計算出來
該微移輸出的精確值將涉及將這n個單獨的x + dx項相乘。
完全擴張將非常複雜，但衍生品的一部分就是大部分
並發症可以忽略不計。擴展中的第一項是x ^ n，這類似於
原始正方形的面積或前面例子中原始立方體的體積。
對於擴展中的下一個術語，您可以選擇大多數x與單個dx，因為有
你可以選擇那個單獨的dx的激進分子。這給了我們單獨的術語，所有這些術語包括
n-1 x次乘以dx，給出x ^（n-1）乘以dx的值。這類似於大多數人

Italian: 
quando tu modifichi leggermente il tuo input x, aumentandolo fino a x+dx
calcolare l' esatto valore del' output leggermente modificato
richiede moltiplicare tra di loro gli n x+dx termini
l' espansione completa risulta essere molto complicata
ma parte del punto di fare le derivate è che la maggior parte di queste complicazioni può essere ignorata
Il primo termine nella tua espansione è x^n
questo è analogo all' area del quadrato originale
o il volume del volume originale dai precedenti esempi
per il prossimo termine della espansione puoi scegliere tutti gli x con un solo dx
poiché ci sono n fattori così fatti
da cui tu puoi scegliere di mettere il singolo dx
ci restituiscono n  termini separati che includono (n-1) x per dx
che dà un valore di x^(n-1) *dx

French: 
pour les puissances au dessus de 2 et 3, quand tu augmentes le x en x + dx, trouver la
valeur exacte de ce résultat augmenté implique de multiplier entre eux ces n termes x + dx.
difficulté sera ignorée. Le premier terme du développement est x^n, cela est analogue à
difficulté sera ignorée. Le premier terme du développement est x^n, cela est analogue à
l'aire du carré d'origine ou le volume du cube d'origine de nos exemples précédents.
Pour les termes suivants dans le développement, tu peux choisir des termes avec une majorité de x et un seul dx
n-1 x et 1 dx ce qui nous donne une valeur de x^(n-1) · dx.
n-1 x et 1 dx ce qui nous donne une valeur de x^(n-1) · dx.

English: 
For powers beyond just 2 and 3 when you nudge that input x, increasing it slightly to x + dx, working out the
exact value of that nudged output would involve multiplying together these n separate x + dx terms.
The full expansion would be really complicated but part of the point of derivatives is that most of that
complication can be ignored. The first term in your expansion is x^n, this is analogous to the
area of the original square or the volume of the original cube from our previous examples.
For the next terms in the expansion, you can choose mostly x's with a single dx since there are
n radicals from which you could have chosen that single dx. This gives us n separate terms all of which include
n-1 x's times a dx giving a value of x^(n-1) times dx. This is analogous to how the majority of

Arabic: 
عندما تدفع ذلك المدخل x .. لتزيده قليلاً إلى x+dx
حساب القيمة الدقيقة لذلك المُدخل المزاح ..
يتضمن ضرب هذه الحدود المنفصلة(x+dx) التي عددها n ببعضها
المفكوك الكامل سيكون معقداً حقاً
لكن جزء من فكرة المشتقات هي أن معظم ذلك التعقيد يمكن تجاهله
الحد الأول في المفكوك هو
x^n
هذا مناظر لمساحة المربع الأصلي، أو حجم المكعب الأصلي في أمثلتنا السابقة
بالنسبة للحدود التالية في المفكوك، يمكنك أن تختار (إكسات) في معظمها مع dx وحيد
بما أن هناك n من *الحدود* المختلفة بين الأقواس والتي يمكنك من خلالها اختيار dx وحيد
هذا يعطينا n من الحدود المنفصلة ، جميعها تحتوي عددn-1  من (الإكسات) مضروبة في dx
معطية قيمة تساوي x^(n-1)]*dx]

German: 
Für Potenzen über nur 2 und 3 hinaus, wenn Sie diesen Eingang x anstoßen, ihn leicht auf x + dx erhöhen und die
Der genaue Wert dieser gestupsten Ausgabe würde das Multiplizieren dieser n getrennten x + dx-Terme beinhalten.
Die vollständige Erweiterung wäre wirklich kompliziert, aber ein Teil des Punktes der Derivate ist, dass das meiste davon
Komplikationen können ignoriert werden. Der erste Term in Ihrer Erweiterung ist x ^ n, dies ist analog zu dem
Fläche des ursprünglichen Quadrats oder das Volumen des ursprünglichen Würfels aus unseren vorherigen Beispielen.
Für die nächsten Begriffe in der Erweiterung können Sie meistens x mit einem einzelnen dx auswählen, da es solche gibt
n Radikale, aus denen Sie diesen einzelnen dx hätten auswählen können. Dies gibt uns n separate Begriffe, die alle enthalten
n-1 x mal a dx ergibt einen Wert von x ^ (n-1) mal dx. Dies ist analog zu wie die Mehrheit von

Spanish: 
Cuando empujas ese valor x  ,incrementándolo   ligeramente por dx,
Mostrando el valor exacto de salida, este involucraría multiplicar junto este valor (x + dx) n veces.
¡La expresión completa sería realmente complicada.!
Pero uno de los puntos de las derivadas es que todo ese procedimiento puede ser ignorado.
El primer término de la expansión es x^n
Esto es una analogía al área del cuadrado original.
o el volumen del cubo original de nuestros ejemplos previos.
Para los próximos términos en la expiación tu puedes elegir mayormente x con un dx en particular.
ya que hay n radicales de los cuales podrías  haber elegido  una x en particular.
Esto nos da n terminos separados, todos incluyendo (nx^n-1)dx terminos
Dando un valor de x^(n-1) veces dx.

Polish: 
Gdy zwiększasz x o małe dx, obliczenie dokładnej
wartości funkcji wymaga wymnożenia n składników
postaci x + dx.
Dokładny wzór jest dość skomplikowany. Na szczęście,
przy pochodnych większość składników jest nieistotna.
Pierwszym składnikiem jest x^n.
Możesz o tym myśleć jak o oryginalnym kwadracie
lub sześcianie z poprzednich przykładów.
Następnie, możesz wybrać jedno dx,
a w pozostałych czynnikach x.
Ponieważ jest n czynników, to
dx możesz wybrać na n różnych sposobów.
To daje n różnych składników, z których
każdy jest postaci x^(n - 1) * dx.

Turkish: 
2 ve 3' den büyük kuvvetler için, x'e +dx ekleme yaparsak eklenmiş sonucun tam değeri
bu ayrı ayrı x+dx terimlerinin n tanesinin çarpımı olur.
Açık biçimde parantezler dağıtılırsa çok karmaşık olur ancak çoğu zaten
ihmal edilebilir. Dağıtma işleminden gelen ilk terim x^n'dir, bu
önceki örneklerimizdeki karenin alanı veya kübün hacmine benziyor.
Dağılma işleminin sonraki terimlerinde, tek bir dx ile gelen x'leri seçebilirsiniz
Çünkü tek dx olanları seçebileceğiniz n tane kökü vardır.  Bu bize n-1 tane x ve bir dx
olan n ayrı terim verir. Bu aynı önceki örneklere benzer biçimde

Swedish: 
Detta är helt analogt med hur majoriteten av det tillagda ytan i x^2 var från de två smala rektanglarna,
med vardera yta av xdx,
eller hur den stösta delen av kubens tillagda volym kom från de tre kvadratiska bitarna med volymen x^2dx vardera.
Det kommer finnas många fler termer i expansionen, men alla är någon multipel av dx^2
så de kan utan problem ignoreras, och vad det innebär är att all, förutom en förkastlig andel, av ökningen kommer från de n kopiorna av x^(n-1)dx.
Det är vad det betyder för derivatan av x^n att vara nx^(n-1)
Och även om man i praktiken genomför den här beräkningen symboliskt
där man föreställer sig att exponenten hoppas ner framför,
då och då är det fint att ta ett steg bakåt och komma ihåg varför de här reglerna fungerar.
Inte bara för att det är vackert och att det påminner oss om att matematik faktiskt är rimligt
och inte bara är en mängd formler att memorera

Chinese: 
这就相当于是正方形中新增加面积中的主要面积，两根细条的面积，即x * dx。
或者是立方体的新增加体积中的大部分的体积，三个薄方块的体积，即 x^2 * dx
这个展开式还有许多其他的项
但是他们全部都是关于dx^2的乘积
所以我们可以很安全地忽略掉它们
也就是说，这些部分对于n*(n-1)* dx 的输出的影响是微不足道的。
也就是说，对于像是x^n的导数n*x^(n-1)
甚至其他的函数的导数而言，就像我在练习中所说的那样，
你会发现，你快速地将指数符号化地跳到前面，以这样的方式计算着导数
在做这些的时候，最好时不时地退后一步，记住为什么这些规则起作用。

Spanish: 
Esto es análogo a cómo la mayoría del área en el cuadrado.
proviene de esas dos barras,cada una con área( x*dx).
O cómo el nuevo volumen en el cubo proviene de esos tres pequeños cuadrados.
Cada uno teniendo un volumen (x²*dx).
Habrán muchos otros términos de esta expansión
, pero todos ellos solo serán algún múltiplo de dx²
así que puedes ignorarlos sin problemas.
Lo que eso sigifica es que todo,  pero una no porción despreciable del incremento en el valor de salida de la función
proviene de n copias  de este x a la (n-1) * dx, lo que significa
Eso es lo que significa para la derivada de x^n, ser
nx^(n-1) y aunque,  como dije, en la práctica, tu operaras esta derivada rápido y simbólicamente
imaginado al exponente bajando al frete .
De vez en cuando, es bueno tan solo volver un paso hacia atrás
y recordar por qué estas reglas funcionan
No solo porque es bonito, y solo porque ayuda a recordar que la matemática tiene sentido
y no solo es una pila de fórmulas para memorizarse.

Italian: 
questo è analogo a come la maggior parte della nuova area del  quadrato
viene da quelle due barre ognuna con area x* dx
o come il grosso del nuovo volume del cubo
Proviene da quei 3 quadrati sottili
ognuno che ha un volume di x^2 *dx
Ci sono molti altri termini in questa espansione ma
tutti questi saranno solo qualche multiplo di dx^2
così possiamo tranquillamente ignorarli
e ciò che significa è che tutto tranne una parte trascurabile di incremento di f(x)
proviene da n copie di questo x^(n-1)*dx
questo è ciò che significa dire che la derivata di x^n è nx^(n-1)
E seppure, come ho detto, ti ritroverai in pratica a risolvere questa derivata velocemente e simbolicamente
Immaginando che l' esponente cada davanti alla x
ogni tanto sarà interessante tornare indietro e pensare al perchè queste regole funzionano
Non solo perchè è bello e non solo perchè aiuta a ricordare che la matematica ha un suo senso
e non è solo un mucchio di formule da memorizzare

German: 
Die neue Fläche auf dem Platz stammte von diesen beiden Balken mit der Fläche x * dx.
oder wie der Großteil des neuen Volumens im Würfel von diesen drei dünnen Quadraten kam.
Jedes von ihnen hatte ein Volumen von x ^ 2 mal dx. Es wird viele andere Bedingungen für diese Erweiterung geben
aber alle von ihnen werden nur ein Vielfaches von dx ^ 2 sein, damit wir sie sicher ignorieren können.
Und was das bedeutet, ist, dass alle bis auf einen vernachlässigbaren Teil der Steigerung der Leistung
kommt von n Kopien dieses x zum (n-1) * dx - das bedeutet es.
Wenn die Ableitung von x ^ n, n * x ^ (n-1) ist und obwohl, wie ich in der Praxis sagte, Sie  werden finden
Sie führen diese Ableitung schnell und symbolisch durch, indem Sie sich den Exponenten vorstellen.
nach vorne hüpfen. Hin und wieder ist es schön, einfach zurückzutreten und sich daran zu erinnern, warum diese Regeln funktionieren.
Nicht nur, weil es hübsch ist, und nicht nur, weil es uns daran erinnert, dass Mathematik tatsächlich Sinn macht

Portuguese: 
a nova área na praça veio daqueles dois bares, cada um com área x * dx,
ou como a maior parte do novo volume no cubo veio desses três quadrados finos.
Cada um dos quais tinha um volume de x ^ 2 vezes dx. Haverá muitos outros termos dessa expansão
mas todos eles serão apenas um múltiplo de dx ^ 2, então podemos seguramente ignorá-los.
E o que isso significa é que tudo menos uma parte insignificante do aumento da produção
vem de n cópias deste x para o (n-1) * dx - é isso que significa.
Para a derivada de x ^ n ser n * x ^ (n-1) e mesmo assim, como eu disse na prática, você encontrará
você mesmo realizando este derivado rapidamente e simbolicamente imaginando o expoente,
pulando para a frente. De vez em quando é legal apenas dar um passo atrás e lembrar por que essas regras funcionam.
Não só porque é bonita, e não apenas porque ajuda a nos lembrar que a matemática realmente faz sentido

Turkish: 
x*dx çarpımının geldiği karedeki yeni alana veya
küp örneğindeki yeni hacimle gelen
ve her biri x^2*dx hacimli ince karelere benzer. Dağılma işleminden pek çok başka terim daha gelecektir
ama bunların hepsi dx^2 'nin bir katı olacağı için gönül rahatlığıyla onları ihmal edebiliriz.
Ve bu şu anlama gelir: Sonuçtaki artışın ihmal edilebilir bir kısmı
n*x^(n-1)*dx 'den gelir. ve bu şu anlama gelir,
x ^ n'nin türevi için n * x ^ (n-1) olması ve hatta uygulamada söylediğim gibi,
kendinizi yine bu türevi hesaplarken "üssü başa düşürüp üssü bir azaltırken"
bulacaksınız. Şimdi bu kuralın neden işe yaradığını hatırlamak için biraz geri gidelim.
Sadece hoş gözüktüğü için veya matematiğin mantıklı birşey olduğunu bize hatırlatması için ya da

Polish: 
W kwadracie większość zmiany pola wzięła się
z dwóch wąskich prostokątów o polu x * dx,
a w sześcianie różnica objętości
wzięła się z trzech cienkich płytek,
każda o objętości x^2 * dx.
Oprócz tych składników suma zawiera wiele innych,
ale każdy z nich będzie wielokrotnością dx^2,
więc można je pominąć.
To znaczy, że zmiana wartości wyjścia
prawie w całości pochodzi ze składnika n * x^(n - 1).
Dlatego też pochodną x^n jest n * x^(n - 1).
Nawet, jeśli będziesz liczył tą pochodną od ręki,
korzystając z mnemotechniki i wyobrażając sobie
zeskakujący wykładnik,
warto raz na jakiś czas przypomnieć sobie,
dlaczego to tak działa.
Nie tylko dlatego, że ładnie wygląda i nie dlatego,
że przypomina nam to o tym, że matematyka
ma głębszy sens i nie jest tylko

Arabic: 
هذا مناظر لكيف أن معظم المساحة الجديدة في المربع آتية من هذين العمودين كلٌّ منهما بمساحة x*dx
أو كيف أن معظم الحجم الجديد للمكعب آت من هذه المربعات الثلاثة النحيفة والتي حجم كل منها x^2)*dx)
سيكون هناك حدود أخرى كثيرة في هذا المفكوك
لكن جميعها ستكون فقط نوعاً من مضاعفات (d(x^2
لذا يمكننا تجاهلها بأمان
وما يعنيه ذلك هو أن الكل باستثناء زيادة مهملة في المُخرج
آتية من عدد n من النسخ من x^(n-1)]dx]
هذا ما يعنيه أن تكون مشتقة x^n مساوية لـ (n*x^(n-1
ورغم ذلك، كما قلت مسبقاً، فإنك في الممارسة ستجد نفسك تقوم بهذه المشتقة سريعاً ورمزياً
متخيلاً الأس قافزاً إلى الأمام
بين فترة وفترة، من الجميل حقاً أن تتراجع وتتذكر لماذا تعمل هذه القواعد

Chinese: 
廣場上的新區域來自那兩個區域為x * dx的區域，
或者立方體中的大部分新體積是如何來自這三個薄方格的。
每個都具有x ^ 2倍dx的體積。這種擴展還有許多其他條款
但是所有這些都只是dx ^ 2的倍數，所以我們可以安全地忽略它們。
這意味著輸出增加的幾乎可以忽略不計的部分
來自這個x的n個副本到（n-1）* dx  - 這就是它的含義。
因為x ^ n的導數是n * x ^（n-1），即使像我在實踐中所說的那樣，你會發現
你自己快速地執行這個派生並象徵性地想像指數，
跳到前面。我們時不時地退後一步，記住為什麼這些規則有效。
不只是因為它很漂亮，而且不僅僅是因為它有助於提醒我們數學確實有意義

English: 
the new area in the square came from those two bars each with area x * dx,
or how the bulk of the new volume in the cube came from those three thin squares.
Each of which had a volume of x^2 times dx. There will be many other terms of this expansion
but all of them are just going to be some multiple of dx^2 so we can safely ignore them.
And what that means is that all but a negligible portion of the increase in the output
comes from n copies of this x to the (n-1) * dx - that's what it means.
For the derivative of x^n to be n * x^(n-1) and even though, like I said in practice, you'll find
yourself performing this derivative quickly and symbolically imagining the exponent,
hopping down to the front. Every now and then it's nice to just step back and remember why these rules work.
Not just because it's pretty, and not just because it helps remind us that math actually makes sense

French: 
C'est analogue au fait que la majorité d'aire que l'on avait dans le carré venait des deux barres ayant chacune une aire x · dx
ou au fait que la majorité du volume venait de ces trois carrés tout fins.
Ayant chacun un volume de x² · dx. Il y aura plein d'autres terme dans ce développement
mais ils seront tous un multiple de (dx)² donc on peut les ignorer sans problèmes.
Et ça veut aussi dire que tout, sauf une partie négligeable de l'augmentation de la quantité résultante
vient de n copies de ce x^(n-1) · dx. C'est ce que ça veut dire quand je dis
que la dérivée de x^n vaut n x^(n-1) et même si, comme j'ai dit, en pratique tu feras
cette opération très vite et de manière symbolique en imaginant que l'exposant
saute devant. De temps en temps c'est sympa de revenir en arrière et se rappeler pourquoi ces techniques marchent.
Non seulement parce que c'est joli, mais aussi parce que ça aide à se rappeler que les math signifient vraiment quelque chose

German: 
und ist nicht nur ein Stapel von Formeln zum Auswendiglernen. Aber weil es diesen sehr wichtigen Muskel von beugt
über Derivate in Form von winzigen Stupsen nachdenken. Stellen Sie sich als weiteres Beispiel die Funktion f (x) = 1 / x vor.
Auf der einen Seite könnten Sie einfach blind versuchen, die Potenzregel seit 1 / x anzuwenden
ist dasselbe wie x ^ (- 1) zu schreiben. Das würde bedeuten, die negative 1 nach vorne springen zu lassen
1 weniger als sich selbst zurücklassen, was -2 ist. Aber lasst uns Spaß haben und sehen, ob wir darüber nachdenken können
geometrisch, anstatt es nur durch eine Formel zu stecken. Der Wert 1 / x fragt nach welcher Zahl
multipliziert mit x gleich 1, also hier ist, wie ich es visualisieren möchte - stellen Sie sich ein wenig vor
rechteckige Wasserpfütze in zwei Dimensionen mit einer Fläche von 1 und einer Breite von x.
Dies bedeutet, dass die Höhe 1 / x betragen muss, da die Gesamtfläche 1 beträgt. Wenn also x war

Chinese: 
不仅仅因为它很漂亮，也不仅仅是因为它提醒我们数学不是去死记一堆公式而是有实际意义的
更重要的是，这改变了我们一贯对于导数的认知
，让我们重新以微小的增量的角度看待导数。
作为另一个例子，我们来考虑函数f（x）= 1 / x。
现在，一方面你可以无脑地尝试使用求导公式，
因为1 / x与写作x ^(-1)是一样的。
也就是让-1跳在前面，然后留下比-1少1的-2。
但是，让我们玩一下，看看我们是否可以从几何的角度来解释这件事，而不是直接使用公式
1 / x 其实是在求某个数与x相乘等于1
所以看看是我想如何想象它的：
想象一下，有一个矩形的水坑坐在二维的面积是1，并且假设它的宽度是x。
这意味着高度必须是1 / x，因为它的总面积是1

Swedish: 
M
men för att vi använder den där viktiga muskeln där vi tänker derivator som små förändringar.
Som ett annat exempel, tänk på funktionen f(x)=1/x.
Å ena sidan kan vi direkt bara använda regeln vi precis lärde oss
eftersom 1/x=x^-1
Det skulle involvera att låta -1 hoppa ned framför x och lämna ett mindre än sig självt, vilket är -2.
Men låt oss ha lite kul och se om vi kan resonera om det här geometriskt istället för att bara stoppa in det i en formel
Vädet 1/x ställer frågan vilket nummer som multiplicerat med x är lika med 1.
Så här är hur jag tycker om att visualisera det.
Föreställ dig en retangulär vattenpöl som sitter i två dimensioner vars area är 1.
Låt oss sen säga att dess bredd är x, vilket betyder att höjden måste vara 1/x eftersom den totala arean är 1.

Arabic: 
ليس فقط لأنها جميلة، وليس فقط لأنها تساعدنا في تذكر أن الرياضيات فعلاً منطقية، وليست مجرد كومة من المعادلات التي تحفظ
لكن لأنها تبرز تلك العضلات المهمة جداً للتفكير في المشتقة باعتبار الدفعات الصغيرة
كمثال آخر: فكر في الدالة
f(x) = 1/x
من جانب: يمكنك فقط أن تجرب تطبيق قاعدة القوى بشكل أعمى
بما أن 1 مقسوماً على x مساوٍ لـ (x^(-1
ذاك سيتضمن جعل 1- يقفز للأمام، تاركاً وراءه أقل منه بواحد.. وهو 2-
لكن دعونا نمرح قليلاً :D
ولنر إن كان بإمكاننا التفكير بهذا هندسياً، بدلاً من مجرد تطبيق معادلة ما
القيمة 1 على x *كأنها* تسأل:
ما العدد الذي إن ضربته في x حصلت على 1؟
هاكم كيف أحب أن أراها ..
تخيلوا بركة ماء مستطيلة صغيرة تقع في بعدين، ومساحتها 1
ولنقل أن عرضها هو x .. ما يعني أن ارتفاعها يجب أن يكون 1 على x ، لأن مساحتها الكلية = 1

Italian: 
ma perchè allena il cervello a pensare alle derivate nei termini di piccoli incrementi
Come altro esempio, pensa alla funzione f(x)=1/x
Da una parte, puoi semplicemente applicare ciecamente la regola delle potenze
poiché 1/x è come scrivere x^(-1)
essa consiste nel far cadere -1 davanti, lasciando sopra il pecedente, che è -2
ma divertiamoci, e vediamo se possiamo pensare a questo geometricamente.
invece  che inserirla in qualche formula
il valore 1/x sta chiedendo:
quale valore moltiplicato per x dà 1?
quindi questo è il modo in cui mi piace visualizzarlo
immagina una piccola pozza d' acqua distesa in due dimensioni, la cui area è 1
e diciamo che il suo lunghezza sia x, ciò vuol dire che la sua altezza deve essere 1/x
affinché l'area totale sia 1

Polish: 
zbiorem formułek do wykucia, ale dlatego,
że ćwiczysz swój mózg w myśleniu o pochodnych
za pomocą małych zmian.
Weźmy inny przykład: f(x) = 1 / x.
Możemy zastosować poznaną regułę, bo 1 / x = x^(-1).
Z pomocą mnemotechniki otrzymujemy -x^(-2).
Ale spróbujmy narysować ten problem, zamiast
automatycznie korzystać ze wzorów.
Wartość 1 / x odpowiada na pytanie:
przez jaką liczbę należy pomnożyć x, żeby otrzymać 1?
Narysujmy to tak: mamy prostokątną kałużę
o powierzchni 1 i długości x.
Wtedy szerokość musi być równa 1 / x,
żeby zgadzało się pole.
Na przykład, gdyby długość prostokąta rozciągnąć do 2,

Portuguese: 
e não é apenas uma pilha de fórmulas para memorizar. Mas porque isso flexiona esse músculo muito importante
pensando em derivativos em termos de minúsculos toques. Como outro exemplo, pense na função f (x) = 1 / x.
Agora, por um lado, você pode simplesmente tentar aplicar cegamente a regra de poder desde 1 / x
é o mesmo que escrever x ^ (- 1). Isso envolveria deixar o negativo descer na frente
deixando para trás 1 menos do que ele, que é -2. Mas vamos nos divertir e ver se podemos raciocinar sobre isso
geometricamente ao invés de apenas conectá-lo através de alguma fórmula. O valor 1 / x está perguntando que número
multiplicado por x é igual a 1, então aqui está como eu gostaria de visualizá-lo - imagine um pouco
poça retangular de água, situada em duas dimensões cuja área é 1, e digamos que sua largura seja x.
O que significa que a altura tem que ser 1 / x, já que a área total é 1, então se x foi

French: 
et n'est pas juste « se souvenir d'une longue liste de formules ». Mais parce que ça fait travailler ce muscle bien important :
la vision des dérivées liées aux petites augmentations. Un autre exemple est celui de la fonction f(x) = 1/x
n'est rien d'autre que x^(−1). Ce qui fera que le −1 sautera à l'avant
n'est rien d'autre que x^(−1). Ce qui fera que le −1 sautera à l'avant
géométriquement plutôt que d'appliquer aveuglément une formule. La quantité 1/x c'est se demander quel nombre
multiplié par x vaut 1, alors voilà comment le visualiser. Imagine une petite
multiplié par x vaut 1, alors voilà comment le visualiser. Imagine une petite
flaque d'eau rectangulaire en 2 dimensions, d'aire 1. Disons que sa largeur vaut x.
Ce qui veut donc dire que sa hauteur est de 1/x vu que l'aire est de 1, donc si x était augmenté

Chinese: 
而且不只是一堆記憶的公式。但是因為它會彎曲那個非常重要的肌肉
用微小的推動來思考衍生品。作為另一個例子，考慮函數f（x）= 1 / x。
現在，一方面你可以盲目地嘗試應用1 / x以來的功率規則
與寫x ^（ -  1）相同。這將涉及讓負面的1跳在前面
留下比自己少1的-2。但是，讓我們有一些樂趣，看看我們能否解釋一下
在幾何上而不是僅僅通過一些公式插入它。值1 / x詢問的是什麼數字
乘以x等於1，所以這就是我想要想像它的方式 - 想像一下
水的矩形水坑坐在面積為1的兩個維度上，並且假設它的寬度是x。
這意味著高度必須是1 / x，因為它的總面積是1，所以如果x是

Turkish: 
bir sürü formülü ezberleyebilmek için değil. Çünkü bu türevi anlamak için "küçük değişimler" 'i
düşünmemizi sağlıyor. Başka bir örnek olarak f (x) =1 / x fonksiyonunu alalım.
Şimdi, 1/x=x^-1 alarak kolayca
kuvvet yasasını uygulayabiliriz.Böylece -1 başa düşer ve
üslü kısım 1 azalarak -1 olur. Ama hemen formüle gitmek yerine bunun geometrik nedenine bakıp
biraz eğlenelim. 1/x aslında şu demektir:
"x ile hangi sayı çarpıldığında 1'i verir." Bunu şekildeki gibi görselleştiriyorum:
2 boyutlu, eni x ve alanı 1 olan bir dikdörtgen su birikintisi düşünün.
Toplam alan 1 olduğu için boyunun da 1/x olması anlamına gelir. Peki,

English: 
and isn't just a pile of formulas to memorize. But because it flexes that very important muscle of
thinking about derivatives in terms of tiny nudges. As another example think of the function f(x) = 1/x.
Now, on the one hand you could just blindly try applying the power rule since 1/x
is the same as writing x^(-1). That would involve letting the negative 1 hop down in front
leaving behind 1 less than itself which is -2. But let's have some fun and see if we can reason about this
geometrically rather than just plugging it through some formula. The value 1/x is asking what number
multiplied by x equals 1, so here's how I'd like to visualize it - imagine a little
rectangular puddle of water sitting in two dimensions whose area is 1, and let's say that its width is x.
Which means that the height has to be 1/x since the total area of it is 1, so if x was

Spanish: 
Pero porque flexiona ese músculo muy importante,
el de las derivadas pensadas en  terminos de pequeños empujonsitos.
Como otro ejemplo, piensa en la función f(x), igual a  1/x
Por un lado, podrías a ciegas solo tratar de aplicar la reglas de potencia,
ya que 1/x es igual que escibir  x^-1.
Luego implicaría dejar que  1 negativo bajara al frente.
y dejando tras de si un menos si mismo (-2).
Pero divirtamos un poco y miremos  si podemos razonar acerca de esto
geométrica mente mas que solo repetir una fórmula.
El valor 1/x  esta preguntando por cuál número
multiplicado por x es igual a 1,
Así es como me gusta visualizarlo:
Imagina un pequeño rectángulo - charco de agua, asentado en dos dimensiones, el cual su área es 1.
Y veamos que su ancho es x,
lo que significa que su altura tiene que ser  1 sobre x (1/x), ya que el área total es 1
así que si x se estirara a 2,

French: 
à 2, alors la hauteur serait forcée de descendre à 1/2 et si tu augmentes x à 3
alors l'autre côté devra descendre à 1/3. C'est d'ailleurs une bonne manière de visualiser le graphe de 1/x.
la hauteur du graphe au dessus de ce point, sera la hauteur que la flaque devra avoir pour que son aire reste de 1.
Donc avec cette image en tête, pour la dérivée, imagine modifier un petit peu la valeur de x, d'un petit peu,
d'un petit dx. Comment la hauteur de ce rectangle doit changer pour que la flaque reste de surface constante de 1 ?
d'un petit dx. Comment la hauteur de ce rectangle doit changer pour que la flaque reste de surface constante de 1 ?
On augmente la largeur de dx, ce qui nous donne un peu plus d'aire à droite ici,
donc la flaque doit diminuer en hauteur d'un certain d(1/x) pour que l'aire perdue en haut annule l'aire gagnée.

Spanish: 
La altura se forzaría a ser 1/2
Y si el ancho fuese incrementará 3,
el otro lado tendría que ser aplastado a 1/3
Esta es una buena manera de pensar la gráfica de 1/x
Si tu piensas esto con "x  " del charco como el inicio en el  plano xy, luego su  correspondiente valor de salida 1/x,
La altura de la gráfica en ese punto es cualquier  altura que tu charco tiene que tener, para que el área del charco sea 1.
Con esta visualización en mente para la derivada,
imagina empujar ese valor de x por alguna cantidad pequeña.
Algún dx pequeño.
Cómo debe la altura de este rectángulo cambiar, si el área  del charco se mantiene constante en 1
pues es
Incrementando  el ancho por dx,
añadir algun área nueva aquí al derecha,
entonces el charco tiene que decrecer en altura por algún d(1/x),
el área perdida arriba se cancela con  área ganada a la derecha.
Debería pensar a d(1/x) siendo cantidad negativa,

Arabic: 
لذا إذا مُدّت x إلى 2 .. فذلك الطول سيُضعط للأسفل إلى 1/2
وإذا زدت x إلى 3 .. فالضلع الآخر يجب أن يسحق للأسفل إلى 1/3
هذه طريقة جميلة للتفكير في تمثيل 1 على x بالمناسبة
إذا فكرت في هذا العرض x للبركة كائناً في المستوى *شبكة* x&y
فذلك المُخرج المناظر، x/1 ، ارتفاع الرسم فوق تلك النقطة ..
هو أياً ما يجب أن يكون عليه ارتفاع البركة للإبقاء على مساحة 1
إذاً مع إبقاء هذا التمثيل البصري في أذهاننا ..
لأجل المشتقة: تخيل دفع تلك القيمة لـx بذلك المقدار الصغير ، بـ dx صغيرة ..
كم يجب أن يتغير ارتفاع ذلك المستطيل بحيث تبقى مساحة البركة ثابتة عند *القيمة* 1؟
بمعنى: زيادة العرض بمقدار dx ، يضيف مساحة جديدة هنا في اليمين ..
لذا يجب على البركة أن يقل ارتفاعها بمقدار نوع من الـ .. (d(1/x، بحيث تكون المساحة المفقودة في الجزء العلوي تلغي المساحة المكتسبة *على اليمين*
ينبغي عليك أن تفكر في تلك الـ (d(1/x على أنها قيمة سالبة .. بالمناسبة

Chinese: 
伸展到2然後該高度被強制降低到1/2，如果你增加x到3
然後另一邊必須被壓縮到1/3這是一個很好的方式來考慮1 / x的圖形。
順便說一下，如果你想到這個，水坑的x在xy平面上那麼相應的輸出1 / x，
圖表高於該點的高度是您的水坑高度必須保持1的區域。
因此，考慮到衍生物的這種視覺效果，想像一下微小的數量推動x的值，
一些小dx。如何改變這個矩形的高度，以便保持水坑的面積
常數為1  - 這是將寬度增加dx，在這裡添加一些新的區域，這樣水坑就可以了
必須將高度減少一些d（1 / x），以便從頂部丟失的區域抵消了所獲得的區域。

English: 
stretched out to 2 then that height is forced down to 1/2 and if you increased x up to 3
then the other side has to be squished down to 1/3 this is a nice way to think about the graph of 1/x.
By the way, if you think of this with x of the puddle as being in the xy plane then that corresponding output 1/x,
the height of the graph above that point is whatever the height of your puddle has to be to maintain an area of 1.
So with this visual in mind for the derivative, imagine nudging up that value of x by some tiny amount,
some tiny dx. How must the height of this rectangle change so that the area of the puddle remains
constant at 1 - That is increasing the width by dx, add some new area to the right here so the puddle
has to decrease in height by some d(1/x) so that the area lost off of that top cancels out the area gained.

Chinese: 
所以如果x增加到2，那么高度就会被迫下降到1/2
如果你增加到3，那么另一边必须压扁到1/3
这是考虑1 / x的图形的一个好方法。
顺便说一下，如果你将长为x的水坑放在xy平面上，那么对应的输出就是1 / x，
无论图上的高度有多少，你的水坑必须保持面积是1。
因此，考虑到导数的这种视觉效果，想象一下微小地增加x的值，也就是dx
这个矩形的高度将如何改变，使得水坑的面积保持为1。
那就是是增加了dx的宽度，在这里添加一些新的面积
所以水坑必须减少一些d(1 / x)的高度，以便从该顶部丢失的面积消除了所获得的面积。

German: 
auf 2 gestreckt, dann wird diese Höhe auf 1/2 reduziert und wenn Sie x auf 3 erhöht haben
dann muss die andere Seite auf 1/3 zusammengedrückt werden. Dies ist eine gute Möglichkeit, über den Graphen von 1/x nachzudenken.
Übrigens, wenn Sie sich vorstellen, dass x der Pfütze in der xy-Ebene liegt, dann ist die entsprechende Ausgabe 1 / x,
Die Höhe des Diagramms über diesem Punkt entspricht der Höhe Ihrer Pfütze, um eine Fläche von 1 beizubehalten.
Stellen Sie sich also vor, Sie würden diesen Wert von x mit diesem visuellen Wert für die Ableitung um einen winzigen Betrag erhöhen.
einige winzige dx. Wie muss sich die Höhe dieses Rechtecks ​​ändern, damit der Bereich der Pfütze erhalten bleibt?
Konstante bei 1 - Das erhöht die Breite um dx, füge hier rechts einen neuen Bereich hinzu, damit die Pfütze
muss in der Höhe um einige d (1 / x) abnehmen, damit die Fläche, die von dieser Oberseite verloren geht, die gewonnene Fläche aufhebt.

Portuguese: 
esticou para 2, em seguida, essa altura é forçada até a metade e se você aumentou x até 3
então o outro lado tem que ser reduzido a 1/3. Essa é uma boa maneira de pensar no gráfico de 1 / x.
By the way, se você pensar nisso com x da poça como sendo no plano xy, então essa saída correspondente 1 / x,
a altura do gráfico acima desse ponto é qualquer que seja a altura da sua poça para manter uma área de 1.
Então, com este visual em mente para a derivada, imagine elevar esse valor de x por uma pequena quantidade,
algumas minúsculas dx. Como a altura deste retângulo deve mudar para que a área da poça permaneça
constante em 1 - Isso é aumentar a largura por dx, adicionar alguma nova área à direita aqui, então a poça
tem que diminuir em altura por algum d (1 / x) para que a área perdida do topo cancele a área ganha.

Turkish: 
x 2'ye genişletilseydi o halde boyu da 1/2 olmak zorundaydı  ve aynı şekilde x 3'e genişletilseydi,
diğer taraf da 1/3'e düşerdi. Bu 1/x' in grafiğini düşünmek için çok güzel.
Bu arada x'i xy düzleminde düşünür ve buna karşılık gelen sonuç da 1/x olursa,
grafiğin yüksekliği su birikintimizin alanını 1'e sabitleyecek şekilde olur.
Bu görseli aklımızda tutarak, x'e ufak bazı değişiklikler yaptığımızı hayal edin,
biraz küçük dx kadar. Bu dikdörtgenin yüksekliği su birikintimizin alanını 1' de sabitleyecek şekilde nasıl değişmelidir?
Bu eni dx kadar artırır ve sağ tarafta yeni bir alan oluşur. Böylece
yükseklik d(1/x) ile düşmelidir. Yani yukarda "kayıp" olan alan "kazanılan" alanı yok eder.

Polish: 
szerokość byłaby zgnieciona do 1 / 2.
Jeśli x = 3, to szerokość byłaby równa 1 / 3.
W ten sposób można narysować wykres funkcji 1 / x.
Przyjmując osie tak, żeby kałuża była w rogu,
wartość funkcji dla danego x to szerokość kałuży,
której pole ma być równe 1, a długość jest równa x.
Wracając do pochodnej, wyobraźmy sobie,
że zmieniamy x o małą wartość dx.
Jak musi się zmienić szerokość kałuży,
żeby jej pole wciąż było równe 1?
Gdy zmieniamy wymiary kałuży, dodajemy
wąski prostokąt po prawej,  a odejmujemy u góry.
Pola tych prostokątów mają być równe.
Powinieneś myśleć o d(1/x) jak o ujemnej wartości,

Italian: 
se x è allungato fino a 2 allora la sua altezza deve ridursi a 1/2
e se aumenti x fino a 3
l'altro lato deve ridursi fino a 1/3
questo è un modo carino per pensare al grafico di 1/x, tra l' altro
se pensi a questa lunghezza della pozzanghera stare nel piano XY
il corrispondente output, 1/x, l' altezza sopra quel punto
è uguale all' altezza necessaria per mantenere uguale a 1 l' area.
Tenendo questa immagine in mente,
per la derivata immagina aggiungere  a quel valore di x un qualche piccolo valore, un piccolo dx
come deve cambiare l' altezza di questo triangolo affinché l' area della pozzanghera rimanga costante a 1?
ovvero aumentare la lunghezza di dx aggiunge un po' di area qui a destra
quindi la pozzanghera deve diminuire in altezza di un qualche d (1/x)
così che l' altezza persa li in alto annulli l' area guadagnata
dovresti quindi pensare a quel d(1/x) come una quantità negativa

Swedish: 
Så om x är 2 är den höjden nedtvingad till 1/2.
Och om vi ökar x till 3 måste den andra sidan tryckas ned till en tredjedel.
Detta är ett trevligt sätt att tänka på grafen till 1/x om vi tänker oss den här bredden x i xy-planet
Då blir den motsvarande höjden 1/x av bredden oavsett x för att bibehålla arean 1.
Så med denna visualisering i baktanke, förställ dig knuffa x med något liten mängd dx.
Hur måste pölens höjd förändras för att bibehålla arean till 1?
Det vill säga, öka pölens bredd med dx lägger till en liten yta till höger.
Så pölen måste minska i höjd med någon liten mängd, säg d(1/x), så arean minskad vid toppen motsvarar arean tillagd.

Turkish: 
Bu d(1 / x)'i yükseklik azaldığı için negatif olarak düşünmelisiniz.
ve bildiğiniz gibi,
şimdi size kalan birkaç adımı
durup üstünde düşünmeniz ve
d(1/x)/dx için nihai bir ifade
elde etmeniz için bırakacağım.
ve bu ifadeyi
doğrudan güç yasasını x^-1 'e uygulayarak
tamamen sembolik olarak
elde edip kıyaslamanızı istiyorum
 
ve size başka bir eğlence olarak
x'in karekökünün türevinin
mantıklı olup olmadığını
görmek istiyorsanız
 
 
bu işi bitirmek için başka bir fonksiyon tipiyle uğraşmak istiyorum,
trigonometrik fonksiyon...
bu kısımda
sinüs fonksiyonuna bakalım.
Burada trigonometrik fonksiyonları
birim merkezli çember üzerinden düşünebildiğinizi varsayacağım.
birim çember
yarıçapı bir olan
orijine yerleştirilmiş bir çemberdir.
teta=0.8 gibi bir değer için
kendinizi çemberin etrafında

Chinese: 
您應該將d（1 / x）視為負數。順便說一下，因為它正在降低高度
矩形，你知道我是什麼
要離開這裡的最後幾步
為你讓你暫停和思考
找出一個終極表達，一次
你推理出X / DX的D值為1
應該是我想讓你比較一下
如果你有，你會得到什麼
只是盲目地應用了權力規則
純粹象徵性地
至
X是負面的，而我是
鼓勵存款思考這裡
如果你有感覺，另一個有趣的挑戰
直到看看你是否可以推理
什麼是平方根的衍生物
x應該是
為了完成我想要解決的問題
另一種類型的函數三角函數
功能，特別是讓我們關注
關於正弦函數所以對於本節
我會假設你已經
熟悉如何思考trig
功能使用單位圈
以半徑為中心的圓圈
起源
對於給定的θ值，比如說零
第八點你想像自己走路

Arabic: 
لأنها تقلل ارتفاع المستطيل
أتدرون .. سأترك الخطوات الأخيرة هنا لكم ، لكم لتتوقفوا وتفكروا وتستخرجوا عبارة نهائية
وما إن تستنتجوا ما يجب أن تكون d(1/x)/dx ...
أريد منكم أن تقارونها بما كنتم ستحصلون عليه
 إذا طبقتم قاعدة القوى بشكل أعمى وبرمزية بحتة لـ (x^(-1
وما دمت أشجعكم على التوقف والتفكير .. هاكم تحدياً آخر ممتعاً إذا كنتم تشعرون بأنكم لها ^_*
تأملوا إذا كان بإمكانكم أن تفكروا في ما يجب أن تكون عليه مشتقة الجذر التربيعي لـ x
لإنهاء الأمور: أريد أن أعالج نوعاً آخر من الدوال ..
الدوال المثلثية
وبالتحديد .. دعونا نركز على دالة الجيب Sin
لهذا القسم: سأفترض أنكم على دراية مسبقة بكيفية التفكير بالدوال المثلثية باستخدام دائرة الوحدة
الدائرة التي نصف قطرها 1 ، ومركزها نقطة الأصل
لقيمة معطاة لثيتا ، ولنقل 0.8 ..

Chinese: 
你应该把d(1/x)看作是一个负数。因为它正在降低矩形的高度。
注意了，我将在这里留下最后的几个步骤让你暂停一下去思考
并且制定一个最终的表达式
一旦你推断出d(1 /x) / dx 的值
我想让你比较一下
“无脑地单纯地符号性地运用求导公式求x^(-1)”和现在这个方法的区别。
如果你看到这个很有动力的话，这将是另一个有趣的挑战：
看看你是否可以通过阐述
平方根的导数中的x应该是什么
我还想说说另一类不同的函数，三角函数
对于现在讲述的这个部分，尤其让我们十分关注的是正弦函数
我会假设你已经
熟悉如何在单位圆之中思考三角函数。
单位圆是半径为1，圆心在原点的圆
对于给定的theta值，比如说0.8

Portuguese: 
Você deve pensar que d (1 / x) é um valor negativo. A propósito, já que está diminuindo a altura
do retângulo e você sabe o que eu sou
vai deixar os últimos passos aqui
para você para você fazer uma pausa e ponderar e
elaborar uma expressão final e uma vez
você raciocina o que D de 1 sobre X / DX
deve ser que eu quero que você compare a
o que você teria obtido se você tivesse
apenas cegamente aplicada a regra de poder
puramente simbolicamente
para
X para o negativo e enquanto eu estou
incentivando um depósito ponderar aqui está
outro desafio divertido se você está se sentindo
até ver se você pode raciocinar através
qual a derivada da raiz quadrada
de x deve ser
para terminar as coisas que eu quero resolver
mais um tipo de função trigonométrica
funções e, em particular, vamos nos concentrar
na função seno assim para esta seção
Eu vou assumir que você já está
familiarizado com a forma de pensar em trigonometria
funções usando a unidade circular
círculo com o raio um centrado em
a origem
para um determinado valor de theta como dizer zero
ponto oito você se imagina andando

German: 
Sie sollten sich dieses d (1 / x) als negativen Betrag vorstellen. Übrigens, da es die Höhe verringert
des Rechtecks ​​und du weißt was ich bin
Ich werde die letzten Schritte hier lassen
for you for you to pause and ponder and
erarbeite einen ultimativen Ausdruck und einmal
Sie überlegen, was D von 1 über X / DX ist
sollte ich möchte, dass du es vergleichst
was du bekommen hättest, wenn du es getan hättest
habe einfach blind die Potenzregel angewendet
rein symbolisch
zu
X zum Negativen und während ich bin
Ermutigen Sie einen Einzahlungs-Ponder hier
eine weitere lustige Herausforderung, wenn Sie sich fühlen
bis dahin sehen Sie, ob Sie durchdenken können
was die Ableitung der Quadratwurzel
von x sollte sein
Zum Abschluss möchte ich etwas angehen
eine weitere Art von Funktion trigonometrisch
Funktionen und insbesondere konzentrieren wir uns
auf die Sinusfunktion also für diesen Abschnitt
Ich gehe davon aus, dass du es schon bist
vertraut damit, wie man über Trig denkt
Funktionen mit dem Einheitskreis der
Kreis mit dem Radius eins zentriert bei
der Ursprung
für einen gegebenen Wert von Theta wie sagen wir Null
Punkt acht Sie stellen sich vor, Sie gehen

French: 
Tu dois d'ailleurs voir d(1/x) comme une valeur négative, vu qu'elle diminue la hauteur du
rectangle et tu sais quoi ? Je
vais te laisser les dernière étapes.
Fais pause et essaie
d'élaborer une expression finale. Et quand
tu raisonnes à ce que d(1/x)/dx
devrait être. Je voudrais que tu compares
à ce que tu aurais obtenu à la main
en appliquant aveuglément la formule
symboliquement
à
x exposant −1
Et tant que je t'encourage à finir les démonstrations, voici un
autre challenge si tu te sens d'attaque
pour voir si tu peux raisonner sur ce que peut
bien être la dérivée de la racine carrée de x
Pour finir, je veux attaquer un autre type de fonction
les fonctions trigonométriques
et en particulier concentrons nous sur
la fonction sinus. Pour cette partie,
je vais supposer que tu es déjà
habitué à la vision des fonctions
trigonométriques dans le cercle unitaire
le cercle ayant un rayon 1 centré à
Pour une certaine valeur de θ, disons 0,8
Pour une certaine valeur de θ, disons 0,8

English: 
You should think of that d(1/x) as being a negative amount. By the way since it's decreasing the height
of the rectangle and you know what I'm
going to leave the last few steps here
for you for you to pause and ponder and
work out an ultimate expression and once
you reason out what D of 1 over X / DX
should be I want you to compare it to
what you would have gotten if you had
just blindly applied the power rule
purely symbolically
to
X to the negative one and while I'm
encouraging a deposit ponder here's
another fun challenge if you're feeling
up to it see if you can reason through
what the derivative of the square root
of x should be
to finish things off I want to tackle
one more type of function trigonometric
functions and in particular let's focus
on the sine function so for this section
I'm going to assume that you're already
familiar with how to think about trig
functions using the unit circle the
circle with the radius one centered at
the origin
for a given value of theta like say zero
point eight you imagine yourself walking

Polish: 
bo prostokąt zmniejsza swoją szerokość.
Wiesz co? Zostawię ten problem dla ciebie.
Przemyśl ten problem i zastanów się nad wynikiem.
Gdy już obliczysz, ile wynosi d(1/x)/dx, porównaj wynik
z tym, co otrzymałbyś, gdybyś bez namysłu
zastosował poznaną regułę do wyrażenia x^(-1).
Skoro daję ci już zadanie domowe, oto kolejny problem,
jeśli czujesz się na siłach.
Zastanów się nad tym, jaka powinna być pochodna
pierwiastka z x.
Na koniec zajmijmy się jeszcze jednym typem funkcji:
funkcjami trygonometrycznymi.
Skupmy się na funkcji sinus. Tutaj zakładam, że
masz pojęcie o funkcjach trygonometrycznych
w okręgu jednostkowym: o promieniu 1 i środku (0, 0).
Dla ustalonego θ (theta), np. 0.8,

Swedish: 
Du borde förresten tänka den minskade ytan som negativ eftersom den minskar rektangelns höjd.
Och vet du vad? Jag lämnar de sista stegen till dig, för dig att fundera över ett slutgiltigt uttryck.
Och när du kommit på vad d(1/x)/dx borde vara,
vill jag att du jämför det med vad du hade fått om du bara hade använt regeln vi kom på tidigare helt symboliskt på x^-1.
Och samtidigt som jag uppmuntrar dig att stanna upp och fundera här är ytterligare en utmaning om du känner att du vill testa.
Se om du kan resonera fram vad derivatan av roten ur x borde vara.
Slutgiltigen skulle jag vilje diskutera ytterligare en klass av funktioner, trigonometriska funktioner.
Specifikt, låt oss fokusera på en viss type av funktion, sinusfunktionen.
Så för den här sektionen kommer jag anta att du redan är bekant med hur man tänker kring trigonometriska funktioner med enhetscirkeln,
cikeln med radie ett centrerad kring origo.
För ett givet värde av vinkeln theta, säg 0.8

Italian: 
poiché diminuisce l'area del rettangolo
e, sapete cosa?, lascio a te i prossimi passi
in modo che ti fermi a riflettere e pensare all' espressione finale
E quando avrai capito quanto dovrebbe risultare d(1/x) /dx
voglio che lo compari con quello che avresti ottenuto utilizzando la formula ciecamente
in maniera puramente simbolica
a x^(-1)
e mentre ti incoraggio a fermarti e pensare
ecco un' altra divertente sfida, se ti senti pronto
pensa se riesci a capire come la derivata di radice di x deve essere
Per concludere, voglio percorrere un altro tipo di funzioni
le funzioni trigonometriche
e in particolare focalizziamoci sulla funzione seno
Per questa sezione darò per scontato che sei familiare con il modo di pensare alle funzioni trigonometriche utilizzando il cerchio unitario
il cerchio di raggio 1 centrato nell' origine
per ogni valore di theta, diciamo 0.8,

Spanish: 
por cierto ya que está decreciendo la altura del rectángulo.
Y sabes qué.
voy  a dejar los últimos pocos pasos para tí,
para que pauses , reflexiones y trabajes una expresión definitiva.

English: 
around the circle starting from the
rightmost point until you've traversed
that distance of zero point eight in arc
length this is the same thing as saying
that the angle right here is exactly
theta radians
since the circle has a radius of one
then what sine of theta means is the
height of that point above the x-axis
and as your theta value increases and
you walk around the circle your height
Bob's up and down between negative one
and one so when you graph sine of theta
versus theta you get this wave pattern
the quintessential wave pattern
and just from looking at this graph we
can start to get a feel for the shape of
the derivative of the sine the slope at
zero is something positive since sine of
theta is increasing there and as we move
to the right and sine of theta
approaches its peak that slope goes down
to zero then the slope is negative for a
little while while the sine is

Polish: 
wyobraź sobie, że idziesz wzdłuż okręgu,
zaczynając od punktu (1, 0)
aż przebędziesz łuk długości 0.8.
To oznacza, że nakreślony przez ten łuk kąt
ma θ radianów, bo promień okręgu jest równy 1.
Wtedy sin(θ) oznacza wysokość,
na jakiej znajduje się koniec łuku.
Gdy θ rośnie, a punkt chodzi po okręgu,
wysokość tego punktu rośnie i maleje od -1 do 1.
Gdy rysujesz wykres funkcji sin(θ), wygląda on jak fala.
To będzie kluczowe.
Patrząc na wykres tej funkcji,
możemy sobie wyobrazić, jak mniej więcej
wygląda pochodna funkcji sin(θ).
W zerze pochodna jest dodatnia, bo
przy wzroście θ wartość funkcji rośnie.
Gdy zbliżamy się do szczytu wykresu,
styczna staje się pozioma,
więc nachylenie spada do zera,
a następnie poniżej zera.

Arabic: 
تخيل نفسك ماشياً حول الدائرة، مبتدئاً من النقطة في أقصى اليمين حتى تكون قطعت تلك المسافة 0.8 بطول القوس
هذا مماثل لقولنا أن الزاوية هنا هي بالضبط ثيتا بالراديان *حسب تعريف الراديان*
لأن الدائرة لها نصف قطر = 1
فما تعنيه sinθ هو ارتفاع تلك النقطة فوق المحور السيني x
وبازدياد قيمة ثيتا الخاصة بكم .. وبمشيكم حول الدائرة
ارتفاعكم يتأرجح للأعلى والأسفل بين 1 و  1-
لذا عندما تمثلون sinθ مقابل θ .. تحصلون على هذا النمط الموجي ، النمط الموجي المثالي
وبمجرد النظر إلى هذا الرسم .. يمكنك أن تبدأ بالإحساس بشكل مشتقة دالة الجيب
الميل عند الصفر هو قيمة موجبة .. لأن sinθ تزداد هناك
وبانتقالنا إلى اليمين واقتراب دالة الجيب من قمتها، ذلك الميل يقل إلى الصفر
ثم يكون الميل سالباً لبعض الوقت .. بينما تتناقص دالة الجيب

Swedish: 
föreställer du dig gå runt cirkeln med den högraste punkten som startpunkt
tills du har gått sträckan 0.8 i vinkellängd.
Det är detsamma som att säga att vinkeln här är exakt theta radianer.
eftersom cirkeln har radie 1.
Vad sinus av theta då betyder är på vilken höjd den punkten befinner sig över x-axeln.
Och när theta ökar och du går kring enhetscirkeln, går din höjd upp och ner mellan -1 och 1.
Så när du ritar grafen för sinus av theta får du den här vågformen,
den essentiala vågformen.
Och från att bara se den här grafen kan vi börja få en känsla för derivatans utseende
Lutningen vid 0 är något positivt eftersom sinus av theta ökar där.
Och när vi fortsätter åt höger och sin av theta når sitt max går lutningen ner till 0.
Sen är lutningen negativ ett tag medan sinuskurvan går nedåt.

Italian: 
immagina di camminare intorno al cerchio partendo dal punto più a destra
finché non hai percorso la distanza di 0.8 in lunghezza di arco
questo è la stessa cosa di dire che  l' angolo qui è esattamente theta radianti
poiché il cerchio ha raggio 1
quindi ciò che sin(theta) significa è l'altezza di quel punto sopra l' asse x
e man mano che
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

German: 
um den Kreis ab dem
Punkt ganz rechts, bis Sie durchquert haben
dieser Abstand von Nullpunkt acht im Bogen
Länge das ist das gleiche wie zu sagen
dass der Winkel hier genau ist
Theta-Bogenmaß
da der Kreis einen Radius von eins hat
dann bedeutet der Sinus von Theta das
Höhe dieses Punktes über der x-Achse
und wenn Ihr Theta-Wert steigt und
Sie gehen um den Kreis Ihrer Größe
Bob ist zwischen dem Negativen auf und ab
und eine, wenn Sie den Sinus von Theta grafisch darstellen
Im Vergleich zu Theta erhalten Sie dieses Wellenmuster
das fundamentale Wellenmuster
und nur aus dem Blick auf diese Grafik wir
kann anfangen, ein Gefühl für die Form von zu bekommen
die Ableitung des Sinus die Steigung bei
Null ist etwas Positives seit Sinus von
Theta nimmt dort und während wir uns bewegen, zu
rechts und Sinus von Theta
nähert sich seinem Höhepunkt, dass der Hang abfällt
auf Null ist dann die Steigung für a negativ
kurze Zeit, während der Sinus ist

Portuguese: 
em torno do círculo a partir do
ponto mais à direita até que você tenha atravessado
essa distância de zero ponto oito no arco
comprimento esta é a mesma coisa que dizer
que o ângulo aqui é exatamente
theta radians
desde que o círculo tem um raio de um
então o que sine de theta significa é o
altura desse ponto acima do eixo x
e como seu valor theta aumenta e
você anda ao redor do círculo sua altura
Bob subindo e descendo entre um negativo
e assim quando você grava seno de theta
versus teta você obtém esse padrão de onda
o padrão de onda por excelência
e só de olhar para este gráfico nós
pode começar a sentir a forma de
a derivada do seno a inclinação em
zero é algo positivo desde seno de
teta está aumentando lá e à medida que nos movemos
para a direita e seno de theta
se aproxima de seu pico que a inclinação desce
para zero, então a inclinação é negativa para um
pouco enquanto o seno é

Chinese: 
繞著圈子開始
最右邊的點，直到你走過
圓弧中零點八的距離
長度這跟說的一樣
這個角度就在這裡
theta弧度
因為圓的半徑為1
然後theta的正弦意味著什麼
該點高於x軸的高度
並且隨著你的θ值增加而且
你繞著你的身高走來走去
鮑勃在負面之間上下
當你用theta的正弦圖表時
與theta你得到這種波形
典型的波浪模式
只是從我們看這個圖表
可以開始感受到它的形狀
斜率的正弦導數
零是積極的，因為正弦
當我們移動時，theta正在那裡增加
在theta的正確和正弦
接近坡度下降的峰值
為零，則a的斜率為負
很少而正弦是

Chinese: 
你可以想象自己从这个圆圈最右端开始走路
直到你遍历那0.8度的圆弧的长度
这和说0.8弧度的是一样的意思
这是因为圆的半径是1
theta的正弦的对应的意义是
x轴上方的那个点的高度
并且随着你的theta的值的增加而增加
你绕着单位圆走了一圈
你所处的高度就会在正负1之间进行变化
所以你绘制theta的正弦曲线时就会是这样
相对于theta不断地增大而言，你是波动的状态
一种周期性的波动状态
如果只是从这张图上看
我们可以得到正弦函数的导数的大致形状
正弦曲线在零点的的斜率之后开始不断的增加了
当我们移动到theta的正弦接近其斜率下降的高峰的右侧时
斜率将变为零
在此之后的一段时间斜率就会是负的
而正弦函数也是在变为零之前不断地下降

Turkish: 
en sağdan başlayarak
0.8'lik yay uzunluğunun
sonuna kadar
yürüdüğünüzü düşünün.
buradaki açı tam olarak
teta radyanıdır
çünkü dairenin yarıçapı bir birimdir
o zaman teta'nın sinüsü
x-ekseni üzerindeki noktanın yüksekliğidir.
ve teta değeriniz arttıkça
çember etrafında yürüdükçe
yüksekliğiniz -1 ile 1 arasında artıp azalır.
O halde t-sin(t) grafiğini çizerken
bu dalga şeklini elde edersiniz
mükemmel bir dalga şekli.
ve sadece grafiğe bakarak
sinüs grafiğinin türevi ile ilgili
bir hissiyat elde edebiliriz. Sıfırdaki eğim
pozitiftir çünkü
teta o noktada artıyor ve
sağa doğru hareket ettikçe
sin(t) zirveye yaklaşıyor. Ve bu eğim sıfıra gidiyor.
sonra eğim bir süre sinüs sıfıra
düşene kadar

French: 
tu t'imagines marcher sur le cercle
en commençant
au point le plus à droite jusqu'à ce que tu aies traversé
cette distance de 0,8 en longueur d'arc
c'est la même chose que se dire que
θ radians
θ radians
et ce que sin(θ) représente c'est
et ce que sin(θ) représente c'est
et quand ta valeur θ augmente
et quand ta valeur θ augmente
quand tu marches sur le cercle, ta hauteur
donc quand tu dessines sin(θ) en fonction de
donc quand tu dessines sin(θ) en fonction de
theta tu as ce dessin en forme de vague
la forme de vague par excellence
et juste en regardant ce graphe, on
peut commencer à sentir ce que serait
la dérivée du sinus, la pente à
zéro est quelque chose de positif vu que sin(θ)
augmente là-bas et quand on se déplace
vers la droite et que le sinus de θ
approche son sommet, cette pente descend
jusque zéro, ensuite la pente est négative un
petit temps alors que le sinus

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Arabic: 
حتى يعود مجدداً إلى الصفر .. إذ يستوي رسم دالة الجيب
وعندما تكملون التفكير عبرها وترسمونها .. إذا كنتم على دراية برسوم الدوال المثلثية
فقد تحزرون أن رسم المشتقة هذا يجب أن يكون تماماً جيب التمام cosθ
لأن جميع القمم والقيعان تنتظم بشكل مثالي حيث ينبغي أن تكون القمم والقيعان لدالة جيب التمام
وتنبيه قبل الحرق
*لمتابعي الأفلام والمسلسلات وما شابه :D*
المشتقة هي بالفعل cosθ
ألستم فضوليين بعض الشيء لمعرفة لماذا هي بالضبط cosθ ؟
أعني .. يمكن أن يكون لديك كل أنواع الدوال 
بقمم وقيعان عند نفس النقاط والتي لها نفس الشكل تقريباً
لكن من يدري؟! ربما مشتقة دالة الجيب يتضح أنها نوع جديد تماماً من الدوال والتي يصادف أن لها شكلاً مشابهاً
حسناً .. تماماً كالأمثلة السابقة
فهم أكثر دقة للمشتقة يتطلب النظر في ما تمثله الدالة حقاً بدلاً من النظر إلى التمثيل البياني للدالة
لذا عد للتفكير في ذلك المشي حول دائرة الوحدة ..

Swedish: 
Innan den kommer tillbaks till 0 när sinuskurvan vänder.
Och medan du fortsätter att tänka igenom det här och rita ut derivatan
om du är bekant med grafer som hör till trigonometriska funktioner
kan du nog gissa att derivatans kurva är exakt cosinus av theta
eftersom alla toppar och dalar matchar perfekt med  cosinusfunktionens.
Och, spoiler alert, derivatan är faktiskt cosinus av theta.
Men är du inte liten nyfiken på varför det är exakt just cosinus av theta?
Jag menar du hade kunnat ha alla möjliga sorters funktioner som har ungefär samma form
men vem vet, kanske hade derivatan av sinusfunktionen kunnat bli någon helt ny typ av funktion som bara råkar ha en liknande form.
Som tidigare kräver en mer exakt förståelse av derivatan
att undersöka vad funktionen faktiskt representerar istället för att undersöka funktionens graf.
Så tänk tillbaks till då vi gick runt enhetscirkeln

Turkish: 
azalıyor
ve sinüs grafiği tekrar düzene giriyor.
Bunu düşünmeye devam edip
grafiğini çizdiğinizde, eğer
trigonometrik fonksiyonların grafiğine aşinaysanız
bu türev grafiğinin
tam olarak cos(t) gardiği olduğunu
tepe ve dip noktalarının tamamen
cosinüs fonksiyonuyla aynı
olduğunu görerek tahmin edebilirsiniz. Ve
bir spoiler uyarısı:  "Aslında,
türev cos(t) olur." Fakat neden
cos(t) ile birebir aynı olduğunu merak etmiyor musunuz?
Yani demek istiyorum ki, aynı tepe ve dip noktalarda
olan kabaca aynı şekle sahip,
kim bilir sinüsün türevi olan
tamamen yepyeni
bir fonksiyonun
ortaya çıkmasına neden oluyordur.
Önceki örneklerde yaptığımız gibi
türevi daha iyi anlamak için
fonksiyonun grafiğine bakmak yerine
fonksiyonun tam anlamıyla
neyi temsil ettiğine
bakmak gerekir.
Şimdi tekrar teta yay uzunluklu
birim çember üzerinde
yay boyunca yürüdüğümüzü düşünün.
Burada sin(t) o noktanın

French: 
descend jusqu'à revenir à zéro
vu que le sinus devient plus « plat »
et en continuant à réfléchir et
à dessiner, si tu es à l'aise avec
le graphe des fonctions de trigono
tu devrais deviner que le graphe de la dérivée
devrait être exactement cos(θ) vu que
tous les pics et les vallées correspondent parfaitement
aux pics et aux vallées de
la fonction cosinus et attention spoilers
la dérivée est en fait exactement
cos(θ). Mais ne te demandes-tu pas
pourquoi c'est exactement cos(θ) ?
On aurait pu avoir une
autre fonction avec des pics et des vallées à ces
mêmes points et qui a plus ou moins
la même forme et qui sait peut-être que
la dérivée de sinus aurait pu être
un tout nouveau type de fonction
qui s'avère être de forme similaire.
Alors, juste comme avec les exemples
précédents, pour une compréhension plus exacte
de la dérivée , tu dois regarder à ce que cette fonction
représente vraiment plutôt que
de regarder le graphe de la fonction
donc revenons à cette marche
sur le cercle unitaire après avoir traversé
un arc de longueur θ et vois
sin(θ) comme la hauteur

Chinese: 
随着正弦曲线变得水平，新曲线也会变为零。
当你继续思考这个过程，并且
如果你熟悉的三角函数的曲线的话
你可能会猜测导数的曲线应该就是theta的余弦曲线
因为所有的山峰和山谷都与theta的余弦曲线的山峰和山谷完美地对应着
会剧透的人在这个时候就会说
是的就是theta余弦曲线
但是你难道没有一点点的好奇为什么它恰好就是theta的余弦曲线吗？
我的意思是，其实可以有各种各样的具有山峰和山谷的函数
并且也具有大致相同的特征点以及相似的形状
但谁也不知道正弦的导数是否已经变成了
一种全新的函数
只是碰巧有一个类似的形状
唔，就像是之前的例子一样，
我们如果要对于导数有着更精确的理解
就需要关注该函数实际上代表了什么
而不是只看函数的图像
所以回想一下那个在单位圆周围的散步
它遍历了所有的弧，并且仔细想想

English: 
decreasing before coming back up to zero
as the sine graph levels out and as you
continue thinking this through and
drawing it out if you're familiar with
the graph of trig functions you might
guess that this derivative graph should
be exactly cosine of theta since all the
peaks and valleys line up perfectly with
where the peaks and valleys for the
cosine function should be and spoiler
alert the derivative is in fact the
cosine of theta but aren't you a little
curious about why it's precisely cosine
of theta I mean you could have all sorts
of functions with peaks and valleys at
the same points that have roughly the
same shape but who knows maybe the
derivative of sine could have turned out
to be some entirely new type of function
that just happens to have a similar
shape well just like the previous
examples a more exact understanding of
the derivative requires looking at what
the function actually represents rather
than looking at the graph of the
function so think back to that walk
around the unit circle having traversed
an arc with length theta and thinking
about sine of theta as the height of

Chinese: 
在恢復到零之前減少
隨著正弦圖的平衡和你一樣
繼續思考這個和
如果你熟悉的話，把它拿出來
您可能的三角函數圖
猜猜這個衍生圖應該
因為所有的東西都是theta的餘弦
山峰和山谷完美排列
那裡的山峰和山谷
餘弦函數應該和擾流
警告衍生品實際上是
theta的餘弦，但不是你一點點
好奇為什麼它恰好是餘弦
of theta我的意思是你可以有各種各樣的
具有峰值和谷值的函數
大致相同的點
相同的形狀，但誰知道也許
結果可能是正弦的衍生物
成為一種全新的功能
恰好有類似的東西
形狀很好，就像以前一樣
例子更準確地理解
衍生品需要看什麼
這個功能實際上代表了
而不是看圖的
功能所以回想一下那個走路
已遍歷的單位圓周圍
一個長度為theta並且思考的弧
關於θ的正弦值

Polish: 
Wraca do zera, gdy funkcja sinus przestaje maleć.
Kontynuując ten proces i rysując wykres pochodnej,
jeśli kojarzysz wykresy funkcji trygonometrycznych,
może uda ci się zgadnąć, że
pochodną sinusa jest cosinus,
bo szczyty i doliny tego wykresu są
w tych samych miejscach, co w cosinusie.
Spoiler: tak faktycznie jest,
tzn. pochodną sinusa jest cosinus.
Czy nie jest to ciekawe, dlaczego tak jest?
Mógłbyś przecież narysować wiele funkcji
z wzniesieniami i spadkami w tych samych punktach
o mniej więcej tym samym kształcie,
ale kto wie, może pochodna sinusa
to jakaś kompletnie nowa funkcja,
która tylko ma podobny kształt?
Tak, jak wcześniej, dokładne zrozumienie pochodnej
wymaga dokładnego zrozumienia, co przedstawia
funkcja, zamiast patrzenia na wykresy.
Wróćmy więc do okręgu jednostkowego.
Przebyliśmy drogę długości θ, a sin(θ) wyraża

Portuguese: 
diminuindo antes de voltar a zero
como o gráfico de seno níveis e como você
continue pensando isso e
desenhando-se se você estiver familiarizado com
o gráfico de funções trigonométricas que você pode
acho que este gráfico derivado deve
ser exatamente cosseno de teta desde que todo o
picos e vales alinham perfeitamente com
onde os picos e vales para o
função cosseno deve ser e spoiler
alertar o derivado é de fato o
cosseno de teta mas você não é um pouco
curioso sobre porque é precisamente cosseno
de teta quero dizer que você poderia ter todos os tipos
de funções com picos e vales em
os mesmos pontos que têm aproximadamente o
mesma forma, mas quem sabe talvez o
derivado de seno poderia ter acabado
para ser algum tipo inteiramente novo de função
que só acontece de ter um semelhante
forma bem assim como o anterior
exemplos uma compreensão mais exata de
o derivado requer olhando para o que
a função realmente representa bastante
do que olhar para o gráfico do
função então pense de volta para essa caminhada
em torno do círculo unitário tendo atravessado
um arco com comprimento teta e pensamento
sobre seno de theta como o auge da

German: 
abnehmen, bevor es wieder auf Null kommt
wie der Sinusgraph abflacht und wie Sie
Denken Sie weiter darüber nach und
Zeichnen Sie es heraus, wenn Sie mit vertraut sind
Das Diagramm der Triggerfunktionen, die Sie möglicherweise verwenden
denke, dass dieser abgeleitete Graph sollte
sei genau Cosinus von Theta, da alle
Gipfel und Täler passen perfekt zusammen
wo die Gipfel und Täler für die
Kosinusfunktion sollte und Spoiler sein
Alarm das Derivat ist in der Tat das
Cosinus von Theta, aber bist du nicht ein bisschen
neugierig, warum es genau Cosinus ist
von Theta meine ich, du könntest alle möglichen haben
von Funktionen mit Gipfeln und Tälern bei
die gleichen Punkte, die ungefähr die haben
gleiche Form, aber wer weiß vielleicht die
Derivat von Sinus hätte sich herausstellen können
eine völlig neue Art von Funktion sein
das hat einfach ein ähnliches
Form gut wie die vorherige
Beispiele ein genaueres Verständnis von
Das Derivat erfordert einen Blick auf was
die funktion repräsentiert eigentlich eher
als auf die Grafik der
Funktionieren Sie also zurück zu diesem Spaziergang
um den Einheitskreis herum durchquert
ein Bogen mit Länge Theta und Denken
über Sinus von Theta als die Höhe von

Turkish: 
yüksekliği demekti.
şimdi bu noktaya yakından bakalım
birim çember üzerinde
küçük bir adımınız için dt kadarlık
ufak bir değişim alalım.
Bu ufak adım sinüsün işaretini
ne kadar değiştirir ve yay uzunluğundaki
dt kadarlık artış x-ekseni üzerinde
yüksekliği ne kadar artırır.
çembere yeterince yakından bakınca
düz bir çizgiye benziyor.
Şimdi bu sağdaki
üçgene bakalım.
Sağdaki üçgenin hiptenüsü
çevre boyunca dt değişimini gösterir
ve sol taraf ise
dsin(t) ye neden olan yükseklik artışını
gösterir. Şimdi aslında bu küçük
üçgen, teta açılı ve hipotenüsü
bir birim uzunluklu yarıçapa sahip
bu büyük üçgene
benziyor.
Hatta, tam şurdaki küçük açı
teta radyanıyla birebir aynıdır.
Şimdi sinüsün türevinin

English: 
that point
now zoom in to that point on the circle
and consider a slight nudge of D theta
along their circumference a tiny step in
your walk around the unit circle how
much does that tiny step change the sign
of theta how much does this increase D
theta of arc length increase the height
above the x-axis
well zoomed in close enough the circle
basically looks like a straight line in
this neighborhood so let's go ahead and
think of this right triangle where the
hypotenuse of that right triangle
represents the nudge D theta along the
circumference and that left side here
represents the change in height the
resulting D sine of theta now this tiny
triangle is actually similar to this
larger triangle here with the defining
angle theta and whose hypotenuse is the
radius of the circle with length one
specifically this little angle right
here is precisely equal to theta radians
now think about what the derivative of

Chinese: 
theta的正弦对应的就是那一点所在的高度
现在我们放大到圆上的那个点的周围
并考虑沿着他们的圆周增大 dθ
就像是你在单位周围走了一小步
这一小步让θ对应的弧长在x轴之上增加多少高度
在放到足够大之后
圆周在这周围基本上看起来像是一条直线
好了，让我们继续前进
想象一下这个直角三角形所对应的的斜边
就是代表着dθ所对应的在圆周上的微小的增量
左边这一段就代表着dθ对应的高度的变化
也就是dθ所对应的正弦的增量。
现在这个小三角形实际上是和在这里定义更大的三角形相似的
其斜边是角θ在长度为1的圆的半径所对应的弧
特别是在这里的这个小角的角度
是恰好等于θ对应的弧度的

Swedish: 
När vi hade gått en båglängd med längd theta och tänkte på sinus av theta som höjden av den punkten.
Nu, zooma in på den punkten på enhetscirkeln och beakta en liten knuff av theta längs omkretsen.
Ett litet steg i vandringen runt enhetscirkeln.
Hur mycket förändrar det lilla steget värdet i sinus av theta?
Hur mycket den lilla förändringen d theta av båglängd höjer punkten över x-axeln?
Inzoomat tillräckligt ser den lilla förändringen d theta ut som en rak linje i sitt område
så låt oss tänka oss denna högra triangel där hypotenusan av denna triangel
representerar knuffen d theta vi gav till theta längs omkretsen.
Och den vänstra sidan här representerar förändring i höjdled
den resulterande d(sin(theta)).
Nu är den här lilla triangeln likformig med den stora triangeln här med den definierande vinkeln theta
och vars hypotenusa är cirkelns radie med längd 1.
Specifikt är den lilla vinkeln här precis lika med theta radianer.

Arabic: 
بأنك قطعت قوساً بطول ثيتا .. وفكر في sinθ كارتفاع تلك النقطة
الآن .. كـبّـر تلك النقطة على الدائرة
وخذ بعين الاعتبار دفعة صغيرة dθ عبر محيط الدائرة.. خطوة صغيرة في مشيك حول دائرة الوحدة
بكم تغيّر تلك الخطوة الصغيرة sinθ ؟
بكم تزيد هذه الزيادة dθ في طول القوس الارتفاعَ فوق المحور السيني x ?
حسناً .. مكبرين بالقرب الكافي .. الدائرة تبدو كخط مستقيم في هذا الجوار
لذا دعونا نمض ونفكر في هذا المثلث القائم
حيث وتر ذلك المثلث القائم يمثل الدفعة dθ عبر المحيط
وذلك الضلع الأيسر هنا يمثل التغير في الارتفاع
(d(sinθ الناتجة ..
هذا المثلث الصغير هو في الواقع مشابه لهذا المثلث الأكبر هنا
بزاوية معرّفة ثيتا، والذي وتره هو نصف قطر الدائرة بطول 1
بالتحديد .. هذه الزاوية الصغيرة هنا .. هي مساوية بالضبط لـ θ راديان

Polish: 
wyraża wysokość punktu, w którym się znajdujemy.
Weźmy zbliżenie na ten punkt na okręgu i rozważmy
małą zmianę przebytej drogi dθ wzdłuż okręgu.
Jak mała zmiana drogi dθ wpływa na sin(θ)?
Jak zmiana drogi o dθ wpływa na wysokość punktu?
Przy dostatecznie dużym powiększeniu okrąg wygląda
prawie jak prosta w tym małym otoczeniu,
więc rozważmy ten trójkąt prostokątny,
w którym przeciwprostokątna jest równa dθ,
a lewy bok jest równy zmianie wysokości d(sin(θ)).
Ten mały trójkąt jest podobny do tego dużego trójkąta,
bo również ma kąt θ i kąt prosty.
Jego przeciwprostokątna jest równa promieniowi koła.
Ten mały kąt ma dokładnie θ radianów.

German: 
dieser Punkt
Zoomen Sie jetzt auf diesen Punkt im Kreis
und betrachten Sie einen leichten Anstoß von D-Theta
entlang ihres Umfangs ein winziger Schritt hinein
Ihr Spaziergang um die Einheit kreist wie
viel verändert dieser winzige Schritt das Vorzeichen
von Theta, wie viel erhöht dies D.
Theta der Bogenlänge erhöhen die Höhe
über der x-Achse
gut vergrößert nahe genug den Kreis
sieht im Grunde wie eine gerade Linie in
diese Nachbarschaft also lass uns weitermachen und
Denken Sie an dieses rechtwinklige Dreieck, in dem die
Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks
repräsentiert den Anstoß D Theta entlang der
Umfang und die linke Seite hier
repräsentiert die Höhenänderung der
resultierender D-Sinus von Theta jetzt dieser winzige
Dreieck ist eigentlich ähnlich
größeres Dreieck hier mit der Definition
Winkel Theta und dessen Hypotenuse ist die
Radius des Kreises mit der Länge eins
speziell dieser kleine Winkel rechts
hier ist genau gleich Theta Radiant
Denken Sie jetzt darüber nach, was die Ableitung von

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Portuguese: 
aquele ponto
agora zoom para esse ponto no círculo
e considere um leve empurrão de D theta
ao longo de sua circunferência um pequeno passo em
sua caminhada ao redor do círculo unidade como
muito esse pequeno passo muda o sinal
de teta quanto isso aumenta D
teta do comprimento do arco aumenta a altura
acima do eixo x
bem ampliada perto o suficiente do círculo
basicamente parece uma linha reta
este bairro então vamos em frente e
pense neste triângulo retângulo onde o
hipotenusa desse triângulo retângulo
representa o empurrão D theta ao longo do
circunferência e que o lado esquerdo aqui
representa a mudança na altura do
resultando D sine de theta agora esta pequena
triângulo é realmente semelhante a este
triângulo maior aqui com a definição
ângulo teta e cuja hipotenusa é a
raio do círculo com um comprimento
especificamente este pequeno ângulo certo
aqui é precisamente igual a theta radians
Agora pense sobre o que a derivada de

Chinese: 
那一點
現在放大到圓圈上的那個點
並考慮略微推動D theta
沿著它們的圓周邁出了一小步
你繞著單位圈走路怎麼樣
這一小步驟改變了標誌
這個增加了多少D.
弧長的θ增加高度
在x軸上方
很好地放大了足夠近的圓圈
基本上看起來像一條直線
這個社區讓我們繼續前進吧
想到這個直角三角形
斜邊是那個直角三角形
代表沿著的推動D theta
圓周和左邊這裡
代表身高的變化
由此產生的D的正弦波現在很小
三角實際上與此類似
這裡有更大的三角形和定義
角θ和其斜邊是
長度為1的圓的半徑
特別是這個小角度吧
這裡恰好等於theta弧度
現在想想什麼是衍生物

French: 
de ce point
Maintenant, zoom sur ce point du cercle
et considère une petite variation dθ
le long de la circonférence, un petit pas
de plus dans ta marche sur le cercle unitaire,
combien ce petit pas supplémentaire a fait changer le sinus de θ ?
Combien cette augmentation dθ de longeur
d'arc supplémentaire augmente la hauteur
au dessus de l'axe x ?
Bien, en zoomant assez le cercle ressemble
en fait à une ligne droite dans
ce voisinage, donc allons-y et
voyons ce triangle rectangle où
l'hypoténuse de ce triangle rectangle
représente le petit dθ sur la
circonférence et ce côté gauche ici
le d(sin(θ)). Maintenant ce petit
le d(sin(θ)). Maintenant ce petit
triangle est en fait semblable à
ce plus grand triangle ici avec
l'angle θ, dont l'hypoténuse est le
rayon du cercle de longueur 1
ce petit angle droit
ici est précisément de θ radians,
maintenant pense à ce que la dérivée

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Swedish: 
Nu tänk på vad derivatan av sinus theta är tänkt att betyda.
Det är förhållandet mellan det d(sin(theta)), den lilla förändringen av höjd,
delat med d theta,  den lilla förändringen i funktionens indata.
Från bilden kan vi se att det är lika med förhållandet mellan närliggande katet till vinkeln theta och hypotenusa.
Låt oss se, förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusa... det är ju exakt vad cosinus av theta betyder!
Det är definitionen av cosinus av theta.
Detta ger oss två separata sätt att tänka kring att derivatan av sinusfunktionen är cosinusfunktionen.
Ett av dem är att se på funktionens graf och få en hyfsad känsla för funktionens lutning vid varje punkt.
Det andra är ett mer precist sätt där vi undersöker enhetscirkeln självt.
För er som tycker om att fundera se om du kan lista ut vad derivatan av cosinusfunktionen av theta borde vara.

German: 
Sinus soll bedeuten, dass es das Verhältnis ist
zwischen diesem D-Sinus von Theta der Winzige
Ändern Sie die Höhe geteilt durch D Theta
die winzige Änderung an der Eingabe der
Funktion und aus dem Bild können wir sehen
das ist das Verhältnis zwischen der Länge
der Seite neben dem Winkel Theta
geteilt durch die Hypotenuse gut mal sehen
angrenzend geteilt durch Hypotenuse das ist
genau das, was der Kosinus von Theta bedeutet
das ist die Definition des Kosinus
Das gibt uns also wirklich zwei verschiedene
nette Denkweisen darüber, wie die
Derivat des Sinus ist Cosinus einer von ihnen
schaut auf die Grafik und bekommt eine
lockeres Gefühl für die Form der Dinge basiert
beim Nachdenken über die Neigung des Sinus
Grafik an jedem einzelnen Punkt und die
andere ist eine genauere Linie von
Argumentation mit Blick auf den Einheitskreis
selbst für diejenigen von euch, die es mögen
Pause und überlegen Sie, ob Sie es versuchen können
ähnliche Argumentation, um was zu finden
die Ableitung des Cosinus von Theta
sollte im nächsten Video sein werde ich reden
darüber, wie Sie Derivate von nehmen können

Polish: 
Zastanówmy się, co oznacza pochodna sinusa.
To stosunek d(sin(θ)), małej zmiany wysokości, oraz
dθ, małej zmiany argumentu funkcji.
Z podobieństwa widać, że jest on równy stosunkowi
przyprostokątnej dużego trójkąta przy kącie θ
do jego przeciwprostokątnej.
A to jest dokładnie cos(θ). Taka jest definicja cosinusa.
To daje nam dwa różne spojrzenia na to,
że pochodną sinusa jest cosinus.
Po pierwsze, możemy spojrzeć na wykresy funkcji
i zastanowić się nad nachyleniem stycznej
w każdym punkcie wykresu.
Drugi, bardziej ścisły, polega na rozważaniu
okręgu jednostkowego.
Dla tych, którzy lubią się zatrzymać,
żeby się zastanowić nad problemem,
spróbuj stworzyć podobne rozumowanie,
żeby obliczyć pochodną funkcji cos(θ).
W następnym filmie będę mówił o tym, jak liczyć

Chinese: 
那么现在想想什么是正弦函数的导数
正弦应该是那个d(sin(θ))，也就是那个增加了的高度
除以 dθ，也就是那个输入的微小的变化量。
从图中我们可以看到
这个比值就是与θ角相邻的一侧的长度去除以斜边
好吧，让我们来看看
角θ的领边比上斜边
这不正是角θ的余弦值吗
所以那就是余弦的定义
所以这就给了我们两个不同的非常不错的方式去理解
为什么正弦的导数是余弦
一种是，我们可以将曲线对照着图进行观察
通过思考正弦曲线上每个点对应的斜率
就可以得到一个关于正弦曲线的斜率的大致曲线形状
另外一种，我们可以通过在单位圆上作线
从而得到更为准确的结论
对于那些喜欢暂停一下然后思考的人
看看你是否可以尝试一下
对于θ的余弦的导数进行类似的推理
我会在下一个的视频中

Chinese: 
正弦應該是指它的比例
介於那個微小的正弦之間
改變到高度除以D theta
對輸入的微小變化
功能，從圖中我們可以看到
那就是長度之間的比例
與角度θ相鄰的一側
除了斜邊，讓我們看看
相鄰的斜邊除以斜邊
究竟是theta的餘弦意味著什麼
這就是餘弦的定義
所以這給了我們兩個不同的真實
很好的思考方式
正弦的導數是餘弦之一
正在看圖並得到一個
對於基於事物形狀的鬆散感覺
關於正弦斜率的思考
每一點和每一點的圖形
另一種是更精確的線
推理看單位圈
對於那些喜歡的人來說
暫停和思考，看看你是否可以試試
類似的推理線找到了什麼
theta餘弦的導數
我應該在下一個視頻中談談
關於如何獲取衍生物

English: 
sine is supposed to mean it's the ratio
between that D sine of theta the tiny
change to the height divided by D theta
the tiny change to the input of the
function and from the picture we can see
that that's the ratio between the length
of the side adjacent to the angle theta
divided by the hypotenuse well let's see
adjacent divided by hypotenuse that's
exactly what the cosine of theta means
that's the definition of the cosine
so this gives us two different really
nice ways of thinking about how the
derivative of sine is cosine one of them
is looking at the graph and getting a
loose feel for the shape of things based
on thinking about the slope of the sine
graph at every single point and the
other is a more precise line of
reasoning looking at the unit circle
itself for those of you that like to
pause and ponder see if you can try a
similar line of reasoning to find what
the derivative of the cosine of theta
should be in the next video I'll talk
about how you can take derivatives of

Portuguese: 
seno é suposto significar que é a relação
entre aquele D sine de theta o minúsculo
mudar para a altura dividida por D theta
a pequena mudança para a entrada do
função e da imagem podemos ver
essa é a razão entre o comprimento
do lado adjacente ao ângulo teta
dividido pela hipotenusa bem, vamos ver
adjacente dividido por hipotenusa que é
exatamente o que o cosseno de teta significa
essa é a definição do cosseno
então isso nos dá dois realmente diferentes
maneiras agradáveis ​​de pensar sobre como o
derivado de seno é cosseno um deles
está olhando para o gráfico e obtendo um
sensação solta para a forma das coisas com base
em pensar sobre a inclinação do seno
gráfico em cada ponto único e o
outro é uma linha mais precisa de
raciocínio olhando para o círculo unitário
em si para aqueles de vocês que gostam de
pausar e ponderar ver se você pode tentar um
linha similar de raciocínio para encontrar o que
a derivada do cosseno de teta
deve estar no próximo vídeo eu vou falar
sobre como você pode tomar derivados de

French: 
entre ce d(sin(θ)), le
entre ce d(sin(θ)), le
petit changement de hauteur, divisé par dθ,
le petit changement à l'entrée de la
fonction, et grâce au dessin, on peut voir que
c'est le rapport entre le longueur
du côté adjacent à l'angle θ
divisé par l'hypothénuse, mais
côté adjacent divisé par l'hypoténuse, c'est
exactement ce que cosinus de θ veut dire
c'est la définition du cosinus
donc cela nous donne deux jolies manières
pour voir que
la dérivée de sinus est cosinus. La première
est de regarder le graphe et avoir
une idée floue de la forme, en se basant sur
la pente dans le graphe de sinus
à chaque point, et l'autre
étant un raisonnement plus précis
en regardant le cercle unitaire.
Pour ceux qui préfèrent mettre en pause
et réfléchir, essaie de voir si tu as un
raisonnement plutôt similaire pour trouver
la dérivée du cosinus de θ.
Dans la vidéo suivante, je parlerai
de comment on peut prendre la dérivée de

Arabic: 
الآن .. فكروا في ما يجب أن تعنيه مشتقة دالة الجيب sin ..
هي النسبة بين تلك الـ (d(sinθ  .. التغير الصغير في الارتفاع مقسوماً على dθ .. التغير الصغير في مُدخل الدالة
ومن الصورة يمكننا أن نرى أن تلك هي النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية ثيتا .. مقسوماً على الوتر
حسناً دعونا نرى .. المجاور على الوتر
هذا تماماً ما تعنيه cosθ !
هذا تعريف جيب التمام ..
إذاً هذا يعطينا طريقتين مختلفتين للتفكير في كيفية كون مشتقة sin هي cos
إحداهما هي بالنظر إلى الرسم، وأخذ إحساس هيّن عن شكل الأمور بناء على التفكير في ميل دالة الجيب sin عند كل نقطة
والأخرى هي خط أكثر دقة في الاستنتاج .. بالنظر إلى دائرة الوحدة نفسها
لأولئك الذين يحبون أن يتوقفوا ويفكروا ..
انظروا إذا كان بإمكانكم أن تتبعوا خطاً مشابهاً في التفكير للعثور على ما يجب أن تكونه مشتقة دالة جيب التمام cosθ

Turkish: 
ne anlama geldiğini düşünelim. Şu demektir:
yükseklikte ufak değişiklik olan d(sint) 'nin
fonksiyonun dt parametresindeki
değişimine oranıdır.
Şekilden görüldüğü gibi
bu komşu kenarın uzunluğunun
hipotenüsün kenarına uzaklığına
oranıdır. İşte
komşu kenarın hipotenüse oranı...
tam olarak bu tanım,
kosinüsün tanımıdır.
Yani bu bize sinüsün türevinin
cosinüs olduğunu iki farklı
yolla verir: İlk olarak
kabaca sinüs grafiğindeki
her bir noktanın eğimine bakarak
genel anlamıyla
sinüsün türevine baktık ve
diğeri daha hassas bir çizgidir. Diğerinde ise
sizin gibi birim çember üzerinden
düşünmek isteyenler için daha kesin
nedenlerine baktık. Eğer
aynı yolu takip ederseniz
cosinüsün türevini de bulabilirsiniz.
Bir sonraki videoda
basit fonksiyonların bir kombinasyonu olan

Chinese: 
結合簡單功能的功能
像這些或者總和或者
產品或功能組合物
像那樣和這個視頻相似的
目標是要了解每一個
一種幾何形狀的方式
直覺上合理，更多
如你所知，現在有令人難忘的
很多人要感謝這個系列和
我要打電話給一個小組
特別是我認為是精彩的組織
任何觀看此視頻的人都會喜歡
非常出色，因為他們提供了一個
問題解決網站，教你
像數學家視頻一樣思考
書籍可以提供直覺和
解釋但數學不是旁觀者
運動是實際凝固的唯一方式
那些直覺與你自己有關
探索和解決問題
精彩的優惠非常精心策劃
引導問題的序列和
作為一個曾經工作過的人說話
之前創造這些類型的序列
我可以告訴你很多周到的努力
工作已經開始使這些變得更好
因為他們和訂閱他們

Arabic: 
في الفيديو القادم .. سأتحدث عن كيف يمكنكم أن تجدوا مشتقات دوال تجمع دوالاً بسيطة مثل هذه
إما كجمع .. أو ضرب .. أو تركيب دوال .. وما شابه
ومثل هذا الفيديو .. الهدف سيكون فهم كل واحدة هندسياً، بطريقة تجعلها بدهياً منطقية، ونوعاً ما أقرب للتذكر

German: 
Funktionen, die einfache Funktionen kombinieren
wie diese entweder als Summen oder
Produkte oder Funktionszusammensetzungen Dinge
so und ähnlich wie dieses Video die
Ziel wird es sein, jeden zu verstehen
eine geometrisch in einer Weise, die es macht
intuitiv vernünftig und etwas mehr
denkwürdig, wie Sie inzwischen wissen, gibt es
Vielen Dank für diese Serie und
Eine Gruppe, die ich anrufen möchte
speziell ist brillante org denke ich
Jeder, der dieses Video sieht, möchte
brillant viel, weil sie eine bieten
Problemlösungs-Website, die Sie lehrt
wie ein Mathematiker Videos zu denken und
Bücher können Intuitionen bieten und
Erklärungen, aber Mathe ist kein Zuschauer
Sport der einzige Weg, um sich tatsächlich zu verfestigen
Diese Intuitionen sind bei Ihnen
Erkundungen und Problemlösungen
brillante Angebote wirklich gut kuratiert
Sequenzen von geführten Fragen und
als jemand sprechen, an dem gearbeitet wurde
Erstellen Sie diese Art von Sequenzen vor
Ich kann Ihnen viel nachdenklich erzählen
Es wurde daran gearbeitet, diese so gut wie möglich zu machen
wie sie sind und das Abonnement sie

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Polish: 
pochodne funkcji, które składają się
z tych najprostszych funkcji, ich sum, iloczynów, złożeń.
Podobnie, jak w tym filmie, moim celem będzie
wytłumaczenie każdej z tych reguł geometrycznie,
wyrobienie intuicji tak, by dało się to zapamiętać.
Po raz kolejny dziękuję za wsparcie wielu osobom.
W szczególności, chciałbym wspomnieć tu serwis
brilliant.org.
Sądzę, że każdemu, kto ogląda te filmy,
spodoba się ta strona.
Oferuje ona wiele problemów i zadań,
które uczą myśleć matematycznie.
Filmy i książki mogą przekazywać wiedzę i intuicję,
ale matematyki nie wystarczy obserwować.
Jedynym sposobem, by wyćwiczyć te intuicje, jest
samodzielna praca.
brilliant.org oferuje dobrze dobrane do siebie problemy
i jako osoba, która kiedyś tworzyła tego typu materiały,
mogę powiedzieć, że zostało w nie włożone
naprawdę dużo pracy.

French: 
fonctions qui combinent des simples fonctions
comme celles-ci, via des sommes, des
produits ou des compositions de fonction, des trucs comme ça
et de la même manière que sur cette vidéo,
le but sera de comprendre chaque opération
géométriquement d'une manière qui le rend
plus intuitive et donc un peu plus
mémorisable. Comme vous le savez maintenant il y a
beaucoup de remerciements à faire pour cette série et
un groupe dont je veux parler
en particulier c'est brillant.org, je pense que
quiqonque qui regarde cette vidéo devrait beaucoup aimer
brilliant car ils offrent un site
de résolution de problèmes qui t'apprend
à penser comme un mathématicien. Les vidéos et les
livres peuvent offrir des intuitions et
des explications mais les math n'est pas
un sport où on est spectateur. La seule manière de solidifier
ces intuitions est de sois même
explorer et résoudre des problèmes.
brilliant offre vraiment des séquences
bien faites de questions guidées et
en tant qu'ex-auteur de ce
genre de séquences
je peux vous dire que beaucoup de travail acharné
bonnes, et l'abonnement qu'ils
bonnes, et l'abonnement qu'ils

Portuguese: 
funções que combinam funções simples
como estes quer como somas ou
produtos ou funções composições coisas
assim e semelhante a este vídeo
objetivo será entender cada
um geometricamente de uma forma que o torna
intuitivamente razoável e um pouco mais
memorável como você sabe até agora existem
muitas pessoas para agradecer por esta série e
um grupo que eu gostaria de chamar
especificamente é brilhante org acho
qualquer um que esteja assistindo esse vídeo gostaria
brilhante muito porque eles oferecem uma
site de resolução de problemas que ensina
pensar como um matemático e vídeos
livros podem oferecer intuições e
explicações, mas a matemática não é um espectador
esporte a única maneira de realmente solidificar
essas intuições são com o seu próprio
explorações e resolução de problemas
ofertas brilhantes realmente bem curadas
seqüências de perguntas guiadas e
falando como alguém que trabalhou em
criando esses tipos de seqüências antes
Eu posso te dizer um monte de pensativo
trabalho foi feito para torná-los tão bom
como eles são e a assinatura eles

Swedish: 
I nästa video kommer jag prata om hur du kan ta derivator av funktioner som kombinerar enkla funktioner som de här.
Antingen som summor eller delar eller liknande.
Återigen kommer målet att vara att förstå dem geometriskt på ett sätt som gör det intuitivt rimligt och mer minnesvärt.
Som du vet vid det här laget finns det många att tacka för det här videoklippet
och en som hjälpt är brilliang.org.
Jag tror vem som helst som ser den här videon skulle tycka om brilliant mycket
eftersom de erbjuder en problemlösningshemsida som lär dig tänka som en matematiker.
Videor och böcker som kan erbjuda intuition och förklaringar
men matematik är ingen åskådarsport.
Det enda sättet att bli säker på sina intuitioner är genom dina egna utforskningar.
Brilliant erbjuder många bra guidade frågor
och som en person som arbetat med att ta fram den typen av frågor
kan jag berätta att mycket tanke har gått åt för att ta fram dem.

English: 
functions who combine simple functions
like these ones either as sums or
products or function compositions things
like that and similar to this video the
goal is going to be to understand each
one geometrically in a way that makes it
intuitively reasonable and somewhat more
memorable as you know by now there are
many people to thank for this series and
one group I'd like to call out
specifically is brilliant org I think
anyone watching this video would like
brilliant a lot because they offer a
problem solving website that teaches you
to think like a mathematician videos and
books can offer intuitions and
explanations but math is not a spectator
sport the only way to actually solidify
those intuitions is with your own
explorations and problem solving
brilliant offers really well curated
sequences of guided questions and
speaking as someone who's worked on
creating those kinds of sequences before
I can tell you a lot of thoughtful hard
work has gone into making these as good
as they are and the subscription they

Chinese: 
讲述如何对于简单组合的函数进行求导，比如以下这些
比如像是两个函数作和
或是两个函数作乘积或者是像是这样的复合函数
和这次视频类似
我的目标是要了解它们的
几何上的意义，使它更加直观合理
并且让它变得比你现在记忆得更加深刻
又到了感谢的环节，很多人为了这个系列做出了贡献
我想在这里提一个社区
具体而言，是我认为是很不错的组织
我想每个看这个视频都应该会喜欢brillian
因为他们提供了一个解决各种问题的网站
可以教你从数学家角度去思考
它们的视频和书可以提供视觉上的直觉和数学上的解释
但数学不是能只是看
真正巩固你的理解的唯一途径
就是这些直觉变成你自己去探索和解决问题的方式
brilliant提供了很多有帮助有指导性的一系列问题
为这些创作出这一系列问题的人说话之前
我想告诉你，想要把这些问题做的很好是非常辛苦的。

Turkish: 
şunlar gibi...
fonksiyonların
çarpımlar ve çeşitli fonksiyon bileşimlerinin
bu videodakine benzer biçimde türevlerinin nasıl alınacağını göreceğiz.
amacımız her birini sezgisel olarak mantıklı
kılan geometrik yollarla anlamak...
ve bir şekilde
daha akılda kalıcı kılmak... Ve şimdiye kadar
bu seriler için birçok kişiye teşekkürler ve
bir grubu özellikle anmak istiyorum
o da brilliant.org, sanırım
bu videoyu izleyen herkes
brilliant'ı çok beğenir çünkü
bizlere bir matematikçi gibi
düşünmeyi öğreten websitesi sunuyorlar. Videolar ve
kitaplar sağduyu ve açıklamaları verebilir
ama matematik bir gösteri sporu değildir
Bu sağduyuları pekiştirmenin tek yolu
keşifleri ve problemleri
kendi kendinize yapmanızdır.
brialiant iyi düzenlenmiş
rehberli sorular dizisi sunuyor.
Daha önce böyle şeylerin üretilmesinde
çalışmış birisi olarak
Size diyebilirim ki
bu kadar iyi yapabilmek gerçekten
çok iyi. Ve tüm problemleri

Chinese: 
所以订阅它们吧！
订阅他们就可以获得全套的问题和解答
这真是一个非常值得的买卖
访问 brilliant.org/3b1b/
或者只需简单点按上面屏幕中描述的链接
让他们知道你是从这里来的
你可以将他们作为这个系列的补充
他们的微积分的顺序和我讲的是一样的
同时我也建议看看他们的
概率论和复杂代数系列

Chinese: 
提供全套問題
如果你去，這是一個非常好的交易
精彩組織削減三個b-1b或更多
只需按照上的鏈接即可
屏幕或視頻描述中
讓他們知道你來自這裡
你可以補充這個系列
他們的微積分做了正確的順序和我
還建議看看他們的
概率和復數代數
序列
您
您

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 

German: 
bieten an, die gesamte Suite von Problemen zu erhalten
ist ein wirklich gutes Geschäft, wenn Sie gehen
brillanter org Schrägstrich drei b-1b oder mehr
Folgen Sie einfach den Links auf der
Bildschirm oder in der Videobeschreibung, dass
lässt sie wissen, dass du von hier gekommen bist
wissen sie wissen, dass du von hier gekommen bist bist
 
Ich würde auch empfehlen, sich ihre anzuschauen
Wahrscheinlichkeit und komplexe Algebra
Sequenzen
Sie
Sie

English: 
offer to get the full suite of problems
is a really good deal if you go to
brilliant org slash three b-1b or more
simply just follow the links on the
screen or in the video description that
lets them know that you came from here
you can supplement this series with
their calculus done right sequence and I
would also recommend looking at their
probability and complex algebra
sequences
you
you

Polish: 
Subskrypcja, dzięki której będziesz mógł
przerobić wszystkie problemy, to bardzo dobra oferta.
Jeśli wejdziesz na stronę brilliant.org/3b1b,
klikając link na górze lub w opisie filmu, dasz znać, że
że przyszedłeś na tą stronę ode mnie.
Możesz uzupełnić dzisiejszy materiał,
przerabiając kurs "Calculus done right".
Od siebie polecam też kursy o
rachunku prawdopodobieństwa i liczbach zespolonych.

French: 
proposent pour obtenir la suite complète des problèmes
brillant.org/3b1b ou si tu cliques sur
brillant.org/3b1b ou si tu cliques sur
le lien sur l'écran
dans la description de la vidéo.
Tu leur dis que tu viens d'ici,
leur séquence sur « l'analyse faite correctement » (calculus done right) et j'aimerais
leur séquence sur « l'analyse faite correctement » (calculus done right) et j'aimerais
aussi recommander leurs séquences
sur les probabilités et l'algèbre complexe

Portuguese: 
oferecer para obter o conjunto completo de problemas
é realmente um bom negócio se você for
brilhante org barra três b-1b ou mais
basta seguir os links no
tela ou na descrição do vídeo que
deixa eles saberem que você veio daqui
você pode complementar esta série com
seu cálculo feito seqüência certa e eu
Também recomendo olhando para a sua
álgebra de probabilidade e complexa
seqüências
você
você

Swedish: 
Prenumerationen är en bra affär.
Går du till brilliant.org/3b1b eller följer länken i beskrivningen
berättar du att du kom härifrån.
Du kan expandera den här serien med deras "calculus done right"-serie
och jag kan också rekommendera deras sannolikhetslära och serier i komplex analys.

Turkish: 
görmeniz için teklif ettikleri
abonelik güzel bir teklif. Eğer
brillian.org/3b1b/ ye veya
daha basitçe ekrandaki linkleri veya
video açıklamaları takip ederseniz
bu linkten ulaştığınızı onlara bildirmiş olacaksınız.
Bu serilerle calculus'u destekleyebilirsiniz ve
ayrıca size
olasılık ve kompleks cebir
derslerine de bakmanızı
tavsiye ederim.
