
Korean: 
이번 영상은 
라플라스 연산자에
대한 영상입니다
라플라스 연산자는 연산자입니다
발산 벡터, 기울기 벡터
그리고 회전 벡터,  도함수도 
연산자입니다
몇몇 함수를 포함한 것을
보여드리고
다른 함수를 
보여드리겠습니다
다변수 함수 F가 
있다고 하면,
F는 이차 변수 x , y 의
함수입니다
따라서 F의 그래프는 
다음과 같습니다
XY평면이 정의역 공간으로
X, Y 각 점은 그 위의 점이고
치역은 그래프의
높이로 주어집니다
따라서 F의 라플라스 연산은
똑바른 삼각형으로 
나타내어지고
이것은 X 와 Y 에 관한
새로운 스칼라 함수를 줍니다
이것은 이차 변수를 받아
수를 출력하는
새로운 함수를 줍니다
그것은 2차 도함수와 
비슷합니다
그것을
함수 F의 
기울기 벡터의
발산 벡터로

English: 
- [Voiceover] So here I'm
gonna talk about the Laplacian.
Laplacian.
And the Laplacian is a certain operator
in the same way that the
divergence, or the gradient,
or the curl, or even just
the derivative are operators.
The things that take in
some kind of function
and give you another function.
So in this case, let's say we
have a multivariable function
like F, that just takes in
a two-dimensional input,
F of X Y.
So you might imagine its graph
as being something like this,
where the input space
is this X-Y plane here,
so each of the points,
X Y, is a point here,
and then the output is just given
by the height of that graph.
So the Laplacian of F is denoted
with a right-side-up triangle,
and it's gonna give you a
new scalar valued function
of X and Y.
So it's gonna give you a new function
that takes in a two-dimensional input
and just outputs a number.
And it's kind of like a second derivative,
because the way that it's defined
is that you take the divergence
of the gradient

English: 
of your function F.
So that's kind of how it's defined,
the divergence of the gradient of F.
And a more common notation
that you might see here
is to take that upside-down
triangle, nabla,
dot product,
with nabla
of F.
So remember, if F is a
scalar valued function,
then the gradient of F
gives you a vector field,
a certain vector field.
But the divergence of a vector field
gives you another scalar valued function.
So this is the sense in which
it's a second derivative.
But let's see if we can kind
of understand intuitively
what this should mean.
'Cause the gradient, if you remember,
gives you the slope of steepest descent.
So it's a vector field
in the input space of X.
And each one of the vectors
points in the direction
that you should walk, such that this graph
is kind of a hill on top of you,
it tells you the direction you should go
to increase your direction
the most rapidly.
And if that seems unfamiliar,
it doesn't make sense,
maybe go take a look at that
video on gradients and graphs
and how they relate to each other.

Korean: 
정의하기 때문입니다
즉 어떻게 정의
되는지 입니다
F의 기울기 벡터의 발산벡터로서
정의됩니다
여기서 사용하게 될
흔한 표기법은
똑바로 된 삼각형
즉, 나블라와
F의 나블라를
내적하는 것
입니다
만약 F가 스칼라 함수이면,
F의 기울기는
특정한 벡터장을 줍니다
그러나 벡터장의 
발산벡터는
새로운 스칼라 함수를 줍니다
즉 이것이 2차 도함수라는 
것입니다
직관적으로 이것의 의미를
이해한다고 합시다
왜냐하면 기울기는
최급강하의 경사를 
알려줍니다
즉 이것은 X의 투입공간 위의
벡터장입니다
각각의 벡터는
지나가야할 
방향을 가리킵니다
위 그래프는 당신 위의 
언덕과 같습니다
벡터들은 방향을 
가장 빠르게 증가시키기 위해
가야할 방향을 
말해줍니다
만약 잘 모르겠다면,
기울기 벡터와 그래프에 
대한 영상을 보고
어떤 관련이 있는지 
보십시오

English: 
So with the specific graph
that I have pictured here,
when you have kind of the top of a hill,
all of the points around it,
the direction that you should walk,
is towards the top of that hill.
Whereas when you have
kind of like the bottom,
a little goalie here,
all of the directions you should walk
to increase the value of
the function most rapidly,
are directly away from that value,
which you might call a local minimum.
So let's temporarily get rid of the graph,
just so we can look at the gradient field
here pretty clearly.
And now let's think
about what the divergence
is supposed to represent.
So now the divergence, and
again if this feels unfamiliar,
maybe go back and take a look
at the divergence videos,
but that divergence has you
imagining that this vector field
corresponds to some kind of fluid flow.
So you imagine little
like water molecules,
and at any given moment,
they're moving along the vector
that they're attached to.
So for example, if you
had a water molecule
that started off kind of here,
you would start by going along that vector
and then kind of follow the ones near it,
and it looks like it kind
of ends up in this spot.

Korean: 
위 그림과 같이
언덕의 꼭대기를
가진 그래프에서
그 주변의 모든 점에서
가야할 방향은
언덕의 꼭대기를 
향합니다
반면 맨 아래 바닥이
움푹 파였을 때,
함숫값을 가장 빠르게
증가시키기 위해 
가야할 방향은
계곡  즉, 
국부 최소점으로부터
멀어져야 합니다
잠깐 그래프를 
제거하겠습니다
기울기 벡터 장을
잘 볼 수 있게 
되었습니다
이제 발산 벡터가
나타내야할 것을 
알아봅시다
잘 모르겠다면
돌아가서 발산 벡터에 
대한 영상을 보십시오
발산 벡터는 이 벡터장이
유체의 흐름과 같다고
생각하게 합니다
따라서 물 분자처럼
언제나 그것이 붙여진
벡터를 따라 이동한다고
생각합니다
예를 들어 ,
 만약 여기에서
움직이기 시작하는 
물 분자가 있다면
이 벡터를 따라
이동하기 시작합니다
그리고 주변을
 따라가다가,
결국 이 지점에서
끝납니다

English: 
And a lot of the water molecules seem to
kind of converge over there.
Whereas over here, the water
molecules tend to go away
when they're following those vectors
away from this point.
And when they go away like that,
when you have a whole bunch of vectors
kind of pointed away,
that's an indication that
divergence is positive,
because they're diverging away.
So over here, divergence is positive.
Whereas the opposite case,
where all of the water molecules
are kind of coming in towards a point,
that's where divergence is negative.
And in another area, let's
say it was kinda like
this center point, where you
have some water molecules
that looks like they're coming in,
but other ones are going out,
and at least from this
picture, it doesn't seem like
the ones going out are
doing so at a faster rate
or slower than they are here.
This would be roughly zero divergence.
So now let's think
about what it might mean
when you take the divergence
of the gradient field of F.
So let me kind of clear
up the markings I made
on top of it here.
Points of high divergence,
points where it diverges a lot here,
why are those vectors pointing away?
And if we pull up the graph again,
the reason they're pointing away
is 'cause the direction of steepest descent

Korean: 
많은 물 분자들이
그곳에 모입니다
반면 이곳에서,
물 분자들이 벡터들을 따라
이 점에서 이동할 때
떠나려 합니다
그들이 떠날때,
많은 벡터들이
다른 방향을 가리킵니다
이것은 발산 벡터가 
양임을 나타냅니다
그들이 발산하기
때문입니다
즉, 여기에서 
발산벡터는 양입니다
반대로 모든 물 분자가
한 점으로 모여드는 경우
발산벡터가 음입니다
중점에서와 같이,
몇 개의 물 분자는
들어 오고, 
나머지는
나가는 경우,
적어도 이 그림에서는
나가는 벡터들이
이곳에서 보다 빠르거나
느린 것이 아닙니다
이곳은 발산벡터가 
거의 영입니다
이제 F의 기울기 벡터장의
발산벡터의 의미를
알아봅시다
그림 위의 필기를
지우겠습니다
발산벡터가 큰 점
즉, 많이 발산하는 점에서
왜 벡터들은 
다른 방향을 향할까요?
만약 그래프를 
다시 올리면,
다른 방향을 
가리키는 이유는
계곡에서는
급강하의 방향이

Korean: 
어디에서나 위를 
향하기 때문입니다
반대로 발산벡터가
매우 음인 경우
이 점을 향해
모이기 때문인데,
이 점을 가리키는
이유가 무엇일까요?
이것은 기울기
벡터 장입니다
그들은 이 점을 
가리킵니다
어디에 있든지
위로 가려면
이 점을 향해 가야 
하기 때문입니다
즉, 기울기 벡터의
발산벡터는
주변이 항상 
더 높은
최소점에서
매우 큽니다
기울기 벡터의 
발산벡터는
다른 모든 
정의역에서의
함숫값이 항상
더 작은 최대점에서
작습니다
따라서 라플라스 연산자는
XY 가 얼마나 많은
최소점인지를 나타냅니다
이것은
그 점에서 함숫값이
주변에서의 함숫값보다
작을때 매우 양입니다
반면 이것은
그 점에서의 함숫값이
주변보다 더 클때 
음입니다

English: 
is kind of uphill everywhere;
you are in a valley.
Whereas in the opposite circumstance,
where divergence is highly negative,
'cause points are converging towards it,
why are they pointing towards it?
Well this is a gradient field,
so they're pointing towards that spot,
because that's where anywhere around it,
you should walk towards
that spot to go uphill.
So in other words, the
divergence of the gradient
is very high at points that are
kind of like minima, at points
where everyone around them
tends to be higher.
But the divergence of the gradient is low
at points that look more
like maximum points,
where when you evaluate the function
at all of the points
around that input point,
they give something smaller.
So this Laplacian operator
is kind of like a measure
of how much of a minimum
point is this X Y.
You will be very positive
when F evaluated at that point
tends to give a smaller value
than F evaluated at
neighbors of that point.
But it'll be very negative
if when you evaluate F at that point
it tends to be bigger than its neighbors.

English: 
And this should feel kind of analogous
to the second derivative
in ordinary calculus,
when you have some kind of graph
of just a single variable function,
the second derivative of X
will be low, it'll be negative
at points where it kind of
looks like a local maximum.
But over here, the second derivative of x
would be positive at points that kind of
look like a local minimum.
SO in that way, the Laplacian is sort of
an analog of the second derivative
for scalar valued multivariable functions.
And in the next video, I'll
go through an example of that.

Korean: 
그리고 일반 미적분학에서
2차 도함수와
유사합니다
일변수 함수의
그래프에서
X의 2차 도함수가
낮으면, 
그것은 국부 최대점에서
음일 것입니다
반면 이곳에서,
x의 2차 도함수는
국부 최소점에서
양입니다
이런 방법으로,
라플라스 연산은
스칼라 다변수 함수의
2차 도함수와
비슷합니다
다음 영상에서,
그 예를 다루겠습니다
