
English: 
Today I'd like to talk about one of, ...
some say the most amazing formula in the
whole of mathematics: the law of
quadratic reciprocity. That formula over
there. Which proves that mathematicians
are crazy, right? I can tell what you're
thinking. P over Q times Q over P equals
some power of -1. So the fractions
cancel out, making the left side equal to
1. But what if, say, P and Q are both
3, then the right side simplifies to ...
what? okay okay okay okay -1. 1 is
equal to - 1. Does this mean that the
most amazing formula is plain wrong. Okay
so you guessed it, mathematicians may be
crazy but we're not that crazy. So whatever
is going on, those aren't everyday fractions on the

Vietnamese: 
Hôm nay tôi muốn nói về một trong số, ...
một số người nói rằng công thức tuyệt vời nhất trong
toàn bộ toán học: luật của
tính tương hỗ bậc hai. Đó là công thức
ở đó Điều đó chứng tỏ rằng các nhà toán học
thật điên rồ phải không? Tôi có thể nói những gì bạn
Suy nghĩ. P trên Q lần Q trên P bằng
một số sức mạnh của -1. Vì vậy, các phân số
hủy bỏ, làm cho bên trái bằng
1. Nhưng nếu, nói, P và Q đều
3, sau đó phía bên phải đơn giản hóa để ...
gì? được rồi được rồi được rồi được rồi -1. 1 là
bằng - 1. Điều này có nghĩa là
công thức tuyệt vời nhất là hoàn toàn sai. Được chứ
vì vậy bạn đoán nó, các nhà toán học có thể
điên nhưng chúng tôi không điên Vậy sao cũng được
đang diễn ra, những phân số không phải hàng ngày trên

French: 
Aujourd'hui je vais vous parler d'une des formules les plus formidables (certains disent même LA plus formidable)
du toutes les mathématiques : la loi de réciprocité quadratique. Cette formule juste là.
Ce qui prouve que les mathématiciens sont tarés, non ? Je sais ce que vous devez penser.
p sur q fois q sur p égale -1 puissance quelque chose.
Les fractions
se simplifient et le terme de gauche donne 1.
Mais si, par exemple,
p et q valent 3, alors le terme de droite se ramène à...
quoi ? ok ok ok ok, -1.
1 est égal à -1. Ça veut dire que la plus formidable des formules est complètement fausse ?
Ok, vous avez deviné, les mathématiciens sont peut-être tarés, mais nous on ne l'est pas.
Donc de toute évidence, ce ne sont pas des fractions au sens usuel que nous avons à gauche.

English: 
left side. I leave it as a mystery for
now but of course all will be explained.
First I want to get you really curious
with a bit of history and some amazing
facts. Then, once you're truly hooked and
there's no turning back,
we'll go together on a crazy journey.
Trust me this Mathologer is an extra wild
one. The law of quadratic reciprocity was
discovered by mathematical hero
Adrien-Marie Legendre and the superhero
Leonhard Euler. They came upon it while
pondering questions like Fermat's two-square theorem that great theorem which I
talked about in my last video and with
which so many of you also seem to have
fallen in love. And who was the first to
prove the theorem? The answer, of course
as is so often the case was... NOT Euler!!
Tricked you, Hard to believe isn't it, but
we finally stumbled upon a theorem that
vanquished  the invincible Leonhard Euler. So

French: 
Je laisse planer le mystère pour le moment, mais bien sûr tout vous sera expliqué.
D'abord je veux éveiller votre curiosité avec un peu d'histoire et des anecdotes intéressantes.
Ensuite, une fois que vous serez accros et que vous ne pourrez plus faire demi-tour,
nous partirons ensemble pour un voyage de fou. Croyez-moi cette épisode de Mathologer est spécialement corsé.
La loi de réciprocité quadratique a été découverte par le héros mathématique
Adrien-Marie Legendre et le superhéros Leonhard Euler. Ils s'y sont intéressés
alors qu'ils se penchaient sur des questions comme celle du théorème des deux carrés de Fermat,
ce grand théorème dont j'ai parlé dans ma dernière vidéo et dont nombre d'entre vous sont apparemment
également tombés amoureux. Et qui a été le premier à démontrer le théorème. La réponse, évidemment,
comme souvent, est... PAS Euler !!
Je vous ai eus ! Difficile à croire, je sais,
mais nous sommes enfin tombés sur un théorème qui a triomphé de l'invincible Leonhard Euler !

Vietnamese: 
bên trái. Tôi để nó như một bí ẩn cho
bây giờ nhưng tất nhiên tất cả sẽ được giải thích.
Đầu tiên tôi muốn làm cho bạn thực sự tò mò
với một chút lịch sử và một số tuyệt vời
sự thật Sau đó, một khi bạn thực sự bị cuốn hút và
không có cách quay lại đâu,
chúng ta sẽ cùng nhau đi trên một hành trình điên rồ.
Tin tôi đi Mathologer này là một sự hoang dã
một. Định luật đối ứng bậc hai là
được phát hiện bởi anh hùng toán học
Adrien-Marie Legendre và siêu anh hùng
Leonhard Euler. Họ đến khi nó
suy ngẫm những câu hỏi như định lý hai hình vuông của Fermat là định lý tuyệt vời mà tôi
đã nói về video cuối cùng của tôi và với
mà rất nhiều bạn dường như cũng có
đã yêu Và ai là người đầu tiên
chứng minh định lý? Câu trả lời, tất nhiên
như thường lệ là ... KHÔNG Euler !!
Lừa bạn, Khó tin không phải thế, nhưng
cuối cùng chúng tôi vấp phải một định lý rằng
đánh bại Leonhard Euler bất khả chiến bại. Vì thế

French: 
Mais alors qui a été le premier à réussir à prouver la loi de réciprocité quadratique ?
Ça ne pouvait donc plus être que cet autre superhéros mathématique, Carl Friedrich Gauss.
C'est comme un film Marvel, pas vrai ? Si l'un des superhéros est battu,
un autre arrive à la rescousse ! Et au cours de sa vie, Gauss a démontré cette loi
de 8 manières différentes ! Incroyable, non ? De toute évidence, Gauss trouvait la loi de réciprocité quadratique
extrêmement importante. D'ailleurs, il l'appelait le théorème fondamental
de la théorie des nombres, ou le théorème d'or. Et Gauss n'était pas le seul
à s'intéresser à ce théorème. Il y a aujourd'hui plus de 200 preuves publiées de cette loi.
Beaucoup d'entre elles imaginées par d'autres cadors des mathétiques : Einstein, Kummer,
Cauchy, Jacobi, Liouville, Lebesgue. 200, c'est simplement le plus grand nombre de preuves que pour presque n'importe quel autre théorème
mathématique, excepté peut-être le théorème de Pythagore. Donc visiblement un théoréme important.

Vietnamese: 
ai là người đầu tiên thực sự thành công trong
chứng minh định luật đối ứng bậc hai?
Không ai khác
siêu anh hùng toán học Carl Friedrich
Gauss. Nó giống như một bộ phim tuyệt vời, phải không?
Nếu một siêu anh hùng bị hạ gục, một siêu anh hùng khác
đến giải cứu.
Bây giờ trong suốt cuộc đời của mình, Gauss đã chứng minh luật
theo tám cách khác nhau, thật tuyệt vời phải không. Rõ ràng, Gauss tin rằng định luật bậc hai
có đi có lại là vô cùng quan trọng. Trong
Thực tế, ông gọi nó là cơ bản
định lý số học cao hơn hoặc
Định lý vàng. Và Gauss không đơn độc
trong sự tôn trọng của ông đối với định lý này. Ở đó
hiện có hơn 200 bằng chứng được công bố
pháp luật. Rất nhiều trong số họ bằng toán học khác
những người đại gia: Eisenstein, Kummer,
Cauchy, Jacobi, Liouville, Lebesque. 200 là nhiều hơn
bằng chứng hơn bất kỳ định lý nào khác
trong toán học có thể ngoài Pythagoras
định lý. Dường như vô cùng

English: 
who was the first to actually succeed in
proving the law of quadratic reciprocity?
It was none other then that other
mathematical superhero Carl Friedrich
Gauss. It's like a marvel movie, isn't it?
If one superhero is beaten down, another
comes to the rescue.
Now throughout his life Gauss proved the law
in eight different ways, amazing isn't it. Clearly, Gauss believed that the law of quadratic
reciprocity is incredibly important. In
fact, he called it the fundamental
theorem of higher arithmetic or the
golden theorem. And Gauss was not alone
in his respect for this theorem. There
are now over 200 published proofs of the
law. Lots of them by other mathematical
big hitters: Eisenstein, Kummer,
Cauchy, Jacobi, Liouville, Lebesque. 200 is more
proofs than just about any other theorem
in math(s) apart from maybe Pythagoras
theorem. So seemingly an incredibly

English: 
important theorem. But then how come
about 99.99999% of humanity will never
have even heard of quadratic reciprocity.
Well let's find out. My first mission
today is to motivate and to explain
quadratic reciprocity which will already
induct you into a very select group. But
my ultimate and completely insane
mission in today's video is to take one
of those crazily complicated proofs of
quadratic reciprocity and to Mathologerise
it to death,
to get it within reach of Youtubing
math(s) fans.
Luckily I found a great starting point
for this mission, a blog post by
mathematician Matt Baker. Matt takes the
1830 proof by the Russian mathematician
Egor Ivanovich Zolotarev and interprets
solitaires proof in terms of
permutations and dealing a deck of cards.
Really great stuff to look forward to.
Well I've also put a link to Matt's blog
post in the descriptions for all you

Vietnamese: 
Định lý quan trọng. Nhưng sau đó thì sao
khoảng 99.99999% nhân loại sẽ không bao giờ
thậm chí đã nghe nói về tính tương hỗ bậc hai.
Vâng, hãy tìm hiểu. Nhiệm vụ đầu tiên của tôi
hôm nay là để động viên và giải thích
tính tương hỗ bậc hai sẽ
giới thiệu bạn vào một nhóm rất chọn. Nhưng
cuối cùng và hoàn toàn điên rồ của tôi
Nhiệm vụ trong video ngày nay là lấy một
của những bằng chứng phức tạp điên cuồng của
tính tương hỗ bậc hai và Mathologerise
nó đến chết
để có được nó trong tầm tay của Youtubing
người hâm mộ toán học.
May mắn thay tôi đã tìm thấy một điểm khởi đầu tuyệt vời
Đối với nhiệm vụ này, một bài đăng trên blog của
nhà toán học Matt Baker. Matt lấy
1830 bằng chứng của nhà toán học Nga
Egor Ivanovich Zolotarev và phiên dịch
bằng chứng về mặt
hoán vị và xử lý một cỗ bài.
Thứ thực sự tuyệt vời để mong đợi
Vâng, tôi cũng đã đặt một liên kết đến blog của Matt
đăng trong các mô tả cho tất cả các bạn

French: 
Mais alors comment se fait-il qu'environ 99.99999% de l'humanité n'aura jamais
ne serait-ce qu'entendu parler de réciprocité quadratique ? C'est ce que nous allons voir. Ma première mission aujourd'hui
est de justifier l'intérêt et d'expliquer la réciprocité quadratique, ce qui fera
déjà de vous un initié. Mais ma mission finale et complètement démente
dans cette vidéo est de prendre une de ces démonstrations incroyablement compliquées
de la réciprocité quadratique et de la Mathologeriser à mort,
jusqu'à ce qu'elle soit à portée des fans de math sur Youtube.
Par chance, j'ai trouvé un super point de départ pour cette mission, un billet de blog
du mathématicien Matt Baker. Matt part de la preuve de 1830 du mathématicien russe
Egor Ivanovich Zolotarev et reformule la preuve de Zolotarev en termes de
permutations et de distributions de paquets de cartes. Que de belles choses en perspective.
J'ai également mis le lien vers le billet de blog de Matt dans la description pour vous les mathématiciens.

English: 
mathematicians. Okay, I first need to take
you on a journey back to some school
math(s). No, wait, come back. I promise it
will be fun. I'm going to cast some
familiar school mathematics in a new
light. You all know what a ring is? No
not a Lord of the Rings ring or a
wedding ring. You're safe, I'm not about
to propose :) A math(s) ring is a world of
number like objects. So these objects can
be added, subtracted and multiplied, maybe
in some weird way, but they still obey
the same simple algebraic rules that
we've all internalized in school. A plus
B = B plus A, etc. Not surprisingly the
integers are a ring and so are the
rational numbers and the real numbers
and the complex numbers. Are there other
rings? Well, as I hinted you already know
some other rings from school. They were
just never identified as such. There are
actually infinitely many of these rings
hiding inside the integers. There's one
of these rings corresponding to each

Vietnamese: 
nhà toán học. Được rồi, trước tiên tôi cần phải lấy
bạn trên hành trình trở lại trường học
toán học). Không, chờ đã, quay lại. Tôi hứa với nó
sẽ rất vui Tôi sẽ chọn một số
toán học quen thuộc trong một mới
ánh sáng. Các bạn đều biết nhẫn là gì? Không
không phải nhẫn Chúa tể của những chiếc nhẫn hay một
nhẫn cưới. Bạn an toàn, tôi không về
đề xuất :) Một vòng toán học là một thế giới của
số như đồ vật. Vì vậy, những đối tượng này có thể
được thêm, trừ và nhân, có thể
theo một cách kỳ lạ, nhưng họ vẫn tuân theo
các quy tắc đại số đơn giản tương tự mà
tất cả chúng ta đã được tiếp thu ở trường. Dấu cộng
B = B cộng A, v.v ... Không ngạc nhiên
số nguyên là một vành và cũng vậy
số hữu tỉ và số thực
và các số phức. Có khác không
Nhẫn? Vâng, như tôi đã gợi ý bạn đã biết
một số nhẫn khác từ trường học. Họ đã
chỉ không bao giờ xác định như vậy. Có
thực sự vô số những chiếc nhẫn này
ẩn bên trong các số nguyên. Có một
những chiếc nhẫn này tương ứng với mỗi chiếc nhẫn

French: 
Ok, d'abord je dois vous faire revenir en arrière à vos cours de maths.
Ne partez pas ! Ça va être sympa, c'est promis. Ce que je vais faire, c'est vous exposer
des notions familières de cours de maths sous un nouveau jour. Vous savez tous ce qu'est un anneau ?
Non, pas un anneau du Seigneur des Anneaux ou une alliance. Rassurez-vous, je ne suis pas en train
de vous demander en mariage ! Un anneau mathématique est un monde peuplé d'objets de type nombres. De tels objets
peuvent être additionnés, soustraits et multipliés, potentiellement de manière particulière, mais ils obéissent toujours
aux mêmes règles algébriques simples que nous nous sommes tous appropriées à l'école.
a+b = b+a, etc. Sans surprise les entiers forment un anneau, tout comme
les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes.
Y a-t-il d'autres anneaux ? Eh bien, comme je vous l'ai soufflé tout à l'heure, vous avez déjà rencontré d'autres anneaux dans vos cours de maths.
C'est juste qu'on ne vous les a jamais présentés comme tels. Il y a en fait une infinité d'anneaux de ce genre
qui se cachent au sein des entiers. Il existe un de ces anneaux pour chaque 

French: 
entier supérieur à 1. Bon, regardons de plus près l'anneau
qui correspond au nombre 5. Dans cette vidéo, je l'appellerai Z/5, 
son nom officiel. Ce mini-anneau tout mignon n'a que 5 nombres : 0, 1, 2, 3 et 4.
Ces nombres sont tous les restes possibles lorsque vous divisez des entiers par 5.
Pour additionner et multiplier ces nombres-restes dans Z/5, il faut les additionner et multiplier de manière classique,
puis calculer le reste après division par 5. Voici quelques exemples pour montrer
comment fonctionne l'arithmétique de ce mini-anneau. Additionnons 3 et 4 dans notre mini-anneau.
Donc on additionne 3 et 4 au sens classique, ce qui donne 7. Maintenant la somme dans notre mini-anneau est simplement
le reste de la division de 7 par 5, et bien sûr ce reste est 2.

English: 
integer greater than one. Ok, let's start
by having a close look at the ring
corresponding to the number 5. In this
video I'll call this ring Z/5 which is
its official name. This cute mini ring
has only 5 numbers: 0, 1, 2, 3 & 4. These
numbers are the possible remainders when
you divide integers by 5. To add and
multiply these remainder numbers in 
Z/5 you add and multiply them as usual and
then calculate the remainder on division
by 5. Here are a couple of examples of how
arithmetic works in our mini ring. Let's
add 3 and 4 in our mini ring. So we add 3 and
4 as usual giving 7. Okay, now
the sum in our mini ring is just the
remainder when we divide 7 by 5 and of
course this remainder is 2, right? 3 times

Vietnamese: 
số nguyên lớn hơn một. Ok, bắt đầu nào
bằng cách nhìn kỹ vào chiếc nhẫn
tương ứng với số 5. ​​Trong này
video tôi sẽ gọi chiếc nhẫn này là Z / 5
tên chính thức của nó. Chiếc nhẫn nhỏ dễ thương này
chỉ có 5 số: 0, 1, 2, 3 & 4. Những
số là phần còn lại có thể khi
bạn chia số nguyên cho 5. Để thêm và
nhân các số còn lại trong 
Z / 5 bạn thêm và nhân chúng như bình thường và
sau đó tính phần còn lại trên phép chia
bằng 5. Dưới đây là một vài ví dụ về cách
số học hoạt động trong vòng mini của chúng tôi. Hãy
thêm 3 và 4 vào vòng mini của chúng tôi. Vì vậy, chúng tôi thêm 3 và
4 như bình thường cho 7. Được rồi, bây giờ
tổng số trong vòng mini của chúng tôi chỉ là
Phần còn lại khi chúng ta chia 7 cho 5 và
Tất nhiên phần còn lại là 2, phải không? 3 lần

Vietnamese: 
3? Vâng ở Kansas tất nhiên điều này bằng 9.
Nhưng bây giờ ở góc đặc biệt này của
xứ sở huyền diệu của Oz sản phẩm là
Phần còn lại sau khi chia cho 5
cho chúng tôi 4, tất nhiên. Khá dễ, phải,
ngay cả khi bạn chưa bao giờ nghe nói về mô-đun
số học là tên chính thức của
những gì chúng tôi đang làm ở đây, tôi chắc chắn bạn có thể
tất cả bây giờ điền vào phần bổ sung và
bảng nhân cho vòng mini của chúng tôi.
Đó Và quá trình dễ dàng tương tự làm việc
cho bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1. Đây là
các bảng cho vòng Z / 4. Đây là 
Z / 3 và đây là Z / 2. Vì vậy, một chiếc nhẫn cho mỗi
số nguyên lớn hơn 1.
Bây giờ mỗi chiếc nhẫn chỉ chứa
số nhiều và số học
những con số này là một chút cong vênh.
Tuy nhiên, như tôi đã chỉ ra,
cộng, trừ và nhân

French: 
3 fois 3 ? Alors au sens classique cela fait 9. Mais là dans ce coin particulier 
de la contrée magique d'Oz, le produit est le reste après division par 5,
ce qui donne 4, bien sûr. Facile, non ? Même si vous n'avez jamais entendu parler
d'arithmétique modulaire, qui est le nom officiel de ce qu'on est en train de faire, je suis sûr que vous pourriez
maintenant tous remplir les tables d'addition et de multiplication de notre mini-anneau.
Voilà. Et cette même simple procédure fonctionne pour tout entier supérieur à 1.
Voici les tables pour l'anneau Z/4. Voilà Z/3, et voilà Z/2. Donc un anneau
pour chaque entier supérieur à 1. Et chacun de ces anneaux contient
un nombre fini de nombres et l'arithmétique de ces nombres est un peu tordue.
Néanmoins, comme je vous l'ai dit précédemment, l'addition, la soustraction et la multiplication

English: 
3? Well in Kansas of course this equals 9.
But now in this particular corner of the
magical land of Oz the product is the
remainder after dividing by 5 which
gives us 4, of course. Pretty easy, right,
even if you've never heard of modular
arithmetic which is the official name of
what we're doing here, I'm sure you could
all now fill out the addition and
multiplication tables for our mini ring.
There. And the same easy process works
for any integer greater than 1. Here are
the tables for the ring Z/4. Here's 
Z/3 and here's Z/2. So one ring for every
integer greater than 1.
Now each of these rings contains only
finitely many numbers and the arithmetic
of these numbers is a little warped.
Nonetheless, as I already indicated, the
addition, subtraction and multiplication

English: 
in these rings works very much as usual:
A plus B equals B plus A, you can expand
brackets as usual, and so forth.
So if you haven't seen these rings
before, here's a small but very useful
challenge for you. Take one of these
rings, say Z/5 and prove that
the two basic laws over there still hold
true in that ring. Can you do it? Now it
also turns out that if our mini ring is
based on a prime number, and it has to be
prime, no other number will work, then our
mini ring is super nice. In a prime
mini ring we can do addition, subtraction
multiplication and ALSO division as
usual. That is, the inverse of
multiplication also makes sense in a
prime mini ring. These special prime
mini rings are known as fields and, yes,
there are more familiar fields as well.

Vietnamese: 
trong những chiếc nhẫn này hoạt động rất nhiều như bình thường:
A cộng B bằng B cộng A, bạn có thể mở rộng
dấu ngoặc như bình thường, v.v.
Vì vậy, nếu bạn chưa thấy những chiếc nhẫn này
trước đây, đây là một nhỏ nhưng rất hữu ích
thử thách cho bạn Lấy một trong những
nhẫn, nói Z / 5 và chứng minh rằng
Hai luật cơ bản vẫn còn đó
đúng trong vòng đó. Bạn có làm được không Bây giờ nó
cũng chỉ ra rằng nếu chiếc nhẫn nhỏ của chúng tôi là
dựa trên một số nguyên tố, và nó phải
số nguyên tố, không có số nào khác sẽ hoạt động, sau đó chúng tôi
nhẫn mini siêu đẹp. Trong một nguyên tố
nhẫn mini chúng ta có thể làm thêm, trừ
phép nhân và chia cũng như
bình thường. Đó là, nghịch đảo của
phép nhân cũng có ý nghĩa trong một
vòng mini tướng. Những nguyên tố đặc biệt
nhẫn mini được gọi là các lĩnh vực và, vâng,
có nhiều lĩnh vực quen thuộc là tốt.

French: 
dans ces anneaux suivent les mêmes règles que celles dont on a l'habitude : a+b = b+a,
la multiplication est toujours distributive sur l'addition, et ainsi de suite. Si vous n'aviez jamais vu ces anneaux,
voici un petit (néanmoins très utile) défi pour vous. Prenez un de ces anneaux,
disons Z/5, et prouvez que les 2 règles classiques ci-contre restent vraies
dans cet anneau. Vous vous en sentez capable ? Bon, il s'avère par ailleurs que si notre mini-anneau
est basé sur un nombre premier (et il faut qu'il soit premier, ça ne marche pas pour les autres nombres), alors
notre mini-anneau est super chouette. Dans un mini-anneau premier, on peut additionner, soustraire,
multiplier ET AUSSI diviser comme d'habitude. C'est-à-dire que l'inverse
de la multiplication a aussi un sens dans un mini-anneau premier. Ces mini-anneaux premiers
sont spécifiquement appelés des corps. Et, oui, il y a des corps plus familiers que vous connaissez.

French: 
Le monde des nombres rationnels est un corps, tout comme celui des nombre réels et
celui des nombres complexes. Et là ça devient vraiment intéressant parce qu'une grande partie
des maths basées sur le corps que tout le monde préfère, les nombres réels, ont un équivalent
pour ces corps et anneaux finis : la géométrie euclidienne et la géométrie dans l'espace, les espaces vectoriels,  
et même, aussi incroyable que cela puisse paraître, dans une certaine mesure le calcul différentiel avec des notions comme celle de surface.
En fait, il y a des branches entières des mathématiques qui traitent de géométrie finie.
À une époque j'étais vraiment à fond dans la géométrie finie. D'ailleurs mon premier livre
parlait de comment visualiser des géométries finies. J'en dirai bien plus à ce propos dans de futures vidéos.
Mais juste rapidement voici quelques images qui reflète une partie 
de la beauté abstraite de quatre géométries construites avec ce mini-corps Z/2
dont vous pouvez voir les tables juste là. Il n'y a que deux nombres dans ce corps
et pourtant il donne naissance à toutes ces choses complexes et magnifiques.

English: 
The world of rational numbers is a field
and so are the real numbers and the
complex numbers. And then things get
really interesting because a lot of the
math(s) that builds on everybody's favourite
field the real numbers have counterparts
for these finite fields and rings: plane
and spatial geometry, vector spaces and,
believe it or not, even to some extent
calculus and things like surfaces. In
fact, there are whole branches of
mathematics that deal with finite
geometry. I used to be really into finite
geometry. Actually my first book was
about visualizing finite geometries. I'll
say a lot more about this in future
videos. Now, just quickly here are
pictures that captures some of the
abstract beauty of four geometries
constructed with this mini field Z/2
whose tables you can see over there.
There are just two numbers in this field
and yet it gives birth to all this
complex and beautiful stuff. There's one

Vietnamese: 
Thế giới của số hữu tỷ là một lĩnh vực
và những con số thực và
số phức. Và rồi mọi thứ trở nên
thực sự thú vị bởi vì rất nhiều
toán học được xây dựng dựa trên sở thích của mọi người
lĩnh vực số thực có đối tác
cho các trường và vành hữu hạn: mặt phẳng
và hình học không gian, không gian vectơ và,
tin hay không, thậm chí đến một mức độ nào đó
tính toán và những thứ như bề mặt. Trong
Thực tế, có tất cả các chi nhánh của
toán học xử lý hữu hạn
hình học. Tôi đã từng rất hữu hạn
hình học. Thật ra cuốn sách đầu tiên của tôi là
về hình dung hình học hữu hạn. tôi sẽ
nói nhiều hơn về điều này trong tương lai
video. Bây giờ, chỉ cần nhanh chóng ở đây là
hình ảnh chụp một số
vẻ đẹp trừu tượng của bốn hình học
được xây dựng với trường Z / 2 nhỏ này
bảng mà bạn có thể nhìn thấy ở đó.
Chỉ có hai số trong lĩnh vực này
nhưng nó sinh ra tất cả
công cụ phức tạp và đẹp. Có một

French: 
Voici un exemple, un autre, on appelle ça un napperon (doily) de Payne, ça c'est un hexagone, croyez-le ou non,
et ça c'est l'univers parfait le plus petit. Bref, ce que je veux tout d'abord souligner,
pour me permettre de motiver ce qui suit, ces petits cousins des nombre réels
sont super beaux et super important en mathématiques avancées.
Ce sont sans aucun doute des mondes que nous voulons découvrir, et l'une des premières
questions qu'un mathématicien se pose à propos de ces petits mondes c'est comment on résout des équations
dans ces mondes. Les équations, c'est ce qui permet de poser des questions mathématiques
et d'y répondre. Et voilà qu'apparaît le théorème d'or de Gauss.
Il s'avère que la réciprocité quadratique établit un lien très inattendu, très simple
et très élégant entre les solutions d'équations quadratiques
dans des mini-corps complètement différents. Un truc de fou, mais aussi un truc très important 
pour comprendre ces mondes. Voilà, c'était un petit détour pour entrevoir 

Vietnamese: 
anh chàng, một người khác, nó được gọi là doily
đó có phải là một hình lục giác tin hay không, và
đó là vũ trụ hoàn hảo nhỏ nhất.
dù sao điều đầu tiên tôi muốn nhấn mạnh,
để giúp thúc đẩy những gì sắp tới là
những người thân nhỏ bé của thực tế
những con số siêu đẹp và siêu
quan trọng trong toán học cao hơn. Những
chắc chắn là những thế giới mà chúng ta muốn
biết về và một trong những điều đầu tiên
nhà toán học sẽ hỏi về những
thế giới nhỏ bé là cách giải phương trình
hoạt động trong những thế giới đó.
Phương trình là cách chúng ta hỏi và trả lời
câu hỏi toán học, phải không? Và bây giờ
Định lý vàng của Gauss xuất hiện. Nó rẽ
ra rằng tính tương hỗ bậc hai dẫn đến
rất bất ngờ, rất đơn giản và rất
kết nối đẹp giữa
nghiệm của phương trình bậc hai trong
lĩnh vực mini hoàn toàn khác nhau. Khùng
những thứ nhưng cũng rất quan trọng cho
hiểu những thế giới này. Đó là một
chuyến đi phụ để nhìn trộm

English: 
guy, another one, it's called the doily
that's a hexagon believe it or not, and
that's the smallest perfect universe.
anyway the first thing I want to stress,
to help motivate what's to come is that
these little relatives of the real
numbers are super beautiful and super
important in higher mathematics. These
are definitely worlds that we want to
know about and one of the first things a
mathematician will ask about these
little worlds is how solving equation
works in those worlds.
Equations are how we ask and answer
mathematical questions, right? And now
Gauss's golden theorem appears. It turns
out that quadratic reciprocity leads to
a very unexpected, very simple and very
beautiful connection between the
solutions of quadratic equations in
completely different mini fields. Crazy
stuff but also very important stuff for
understanding these worlds. That was a
little side trip to peek at the very

English: 
surprising geometry of finite rings. But
let's get back on the road to the main
attraction. We'll begin by looking at the
algebra of these worlds it turns out that
finite rings are incredibly useful for
investigating the integers and in
particular the prime numbers. Is that
surprising?
Here's an easy example which may also be
very familiar. What happens if you divide
an integer by 2. Yep you just get a
remainder of 0 or 1, depending upon
whether the number is even or odd. But
this means that the Z/2 tables capture
the algebra of even and odd numbers
There, replace all the zeros by even
and all the ones by odd, and voila... Those
are all the familiar rules about adding and
multiplying odd and even numbers. For
example, an even number plus an odd
number is odd. Odd times odd equals odd
and so on. As you probably know this

Vietnamese: 
hình học đáng ngạc nhiên của các vòng hữu hạn. Nhưng
hãy quay trở lại con đường chính
sức hút. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách nhìn vào
đại số của những thế giới này hóa ra
nhẫn hữu hạn là vô cùng hữu ích cho
điều tra các số nguyên và trong
đặc biệt là các số nguyên tố. Có phải vậy không
thật ngạc nhiên?
Đây là một ví dụ dễ dàng cũng có thể là
rất quen thuộc. Điều gì xảy ra nếu bạn chia
một số nguyên bằng 2. Yep bạn chỉ nhận được một
phần còn lại là 0 hoặc 1, tùy thuộc vào
cho dù số chẵn hay lẻ. Nhưng
điều này có nghĩa là bảng Z / 2 chụp
đại số của số chẵn và số lẻ
Ở đó, thay thế tất cả các số không bằng
và tất cả những người kỳ quặc, và thì đấy ...
là tất cả các quy tắc quen thuộc về việc thêm và
nhân số lẻ và số chẵn. Dành cho
ví dụ: số chẵn cộng với số lẻ
số là số lẻ. Số lần lẻ bằng số lẻ
và như thế. Như bạn có thể biết điều này

French: 
la géométrie surprenante de ces mini-anneaux. Mais reprenons la grand-route
pour l'attraction principale. Nous allons commencer par étudier l'algèbre de ces mondes. Il se trouve
que les anneaux finis sont incroyablement utiles pour étudier les entiers
et en particulier les nombres premiers. Ça vous étonne ?
Voici un exemple simple qui vous sera peut-être aussi familier. Que se passe-t-il lorsque vous
divisez un entier par 2 ? C'est ça, vous obtenez un reste de 0 ou 1, selon que
le nombre est pair ou impair. Mais cela signifie que la table de Z/2 décèle
l'algèbre des nombres pairs et impairs. Regardez, on remplace tous les 0 par "pair"
et tous les 1 par "impair", et tada ! On obtient toutes les règles habituelles pour additionner
et multiplier des nombres pairs et impairs. Par exemple, un nombre pair plus un nombre impair
donne un nombre impair. Impair fois impair égale impair, et ainsi de suite. Comme vous le savez sans doute,

English: 
capturing of even an odd is incredibly
useful and since splitting up the
integers into two classes according to
division by two is so useful, it would
hardly be surprising if splitting
according
division by other integers also led to
important insights, right? And that is
indeed the case. Let's look at a few
interesting quadratic insights,d a couple
of roadside attractions along the way to
quadratic reciprocity. Quadratic suggests
squares, so let's have a look at squares
in our mini rings and see what they can
tell us about the integers. That means
we're looking at multiplication and in
particular at the diagonal of the
multiplication table. So start with Z/2.
And we have, even times even is
even and odd times odd is odd, not much
there. It just tells us that squares of
integers can be either even odd. So let's

Vietnamese: 
nắm bắt ngay cả một số lẻ là vô cùng
hữu ích và kể từ khi chia tách
số nguyên thành hai lớp theo
chia cho hai là rất hữu ích, nó sẽ
hầu như không ngạc nhiên nếu chia tách
theo
chia cho các số nguyên khác cũng dẫn đến
những hiểu biết quan trọng, phải không? Và đó là
thực sự là trường hợp Hãy nhìn vào một vài
hiểu biết bậc hai thú vị, da cặp
các điểm tham quan bên đường trên đường đến
tính tương hỗ bậc hai. Đề xuất bậc hai
hình vuông, vì vậy hãy nhìn vào hình vuông
trong những chiếc nhẫn nhỏ của chúng tôi và xem những gì họ có thể
cho chúng tôi biết về các số nguyên. Điều đó có nghĩa là
chúng tôi đang xem xét nhân và trong
đặc biệt tại đường chéo của
bảng cửu chương. Vì vậy, bắt đầu với Z / 2.
Và chúng ta có, thậm chí nhiều lần là
số chẵn và số lẻ lẻ là số lẻ, không nhiều
ở đó Nó chỉ cho chúng ta biết rằng hình vuông của
số nguyên có thể là số lẻ. Vậy hãy

French: 
cette distinction entre pairs et impairs est extrêmement utile, et puisque séprarer
les entiers en deux classes par rapport à la division par 2 est si utile,
ça ne serait pas très étonnant que séparer selon
la division par d'autres entiers nous ouvre également des perspectives importantes.
Et c'est effectivement le cas. Prenons le temps de nous attarder sur quelques réflexions quadratiques, 
quelques distractions en bordure de route sur le chemin de la réciprocité quadratique. Quadratique sous-entend
carrés, donc regardons les carrés dans nos mini-anneaux et voyons ce qu'ils peuvent
nous dire à propos des entiers. Ça veut dire qu'on regarde la table de multiplication
et en particulier sa diagonale. Commençons par Z/2.
Et on a : pair fois pair donne pair, et impair fois impair donne impair. Rien de bien nouveau dans ce cas.
Ça nous dit simplement que les carrés d'entiers peuvent être soit pairs soit impairs. Bon, continuons.

English: 
go on. What does the table for Z/3 tell us.
Now the possible remainders of integers
are 0, 1 & 2 but now we see something
interesting. The remainder of an integer
square can only be 0 or 1. 2 is
impossible. In other words, none of the
integers of the form 3K+2 can
possibly be the square of an integer. So
5, 8 and 11 cannot be integer squares
which will hardly shock you but
it keeps going. What about 1 lots of
zeros and another 1. Now not many
numbers are squares and so we'd probably
guess that monster isn't a square. But
can we be sure? Yes,
can you see at a glance why? Cut, hmm? Did you
know this. On to the tables for Z/4.
Again very interesting isn't it? We
can get similar but at the same time
very different conclusions. When we
divide by 4, we have 4 possible
remainders.

Vietnamese: 
đi tiếp. Bảng cho Z / 3 cho chúng ta biết điều gì.
Bây giờ phần còn lại có thể của số nguyên
là 0, 1 & 2 nhưng bây giờ chúng ta thấy một cái gì đó
hấp dẫn. Phần còn lại của một số nguyên
hình vuông chỉ có thể là 0 hoặc 1. 2 là
Không thể nào. Nói cách khác, không ai trong số
số nguyên có dạng 3K + 2 có thể
có thể là bình phương của một số nguyên. Vì thế
5, 8 và 11 không thể là hình vuông nguyên
mà sẽ hầu như không gây sốc cho bạn nhưng
nó cứ tiếp tục Khoảng 1 rất nhiều
số không và số khác 1. Bây giờ không nhiều
số là hình vuông và vì vậy chúng tôi có thể
đoán rằng quái vật không phải là một hình vuông. Nhưng
chúng ta có thể chắc chắn? Đúng,
bạn có thể thấy trong nháy mắt tại sao? Cắt, hmm? Bạn đã
biết điều này Trên các bảng cho Z / 4.
Một lần nữa rất thú vị phải không? Chúng tôi
có thể nhận được tương tự nhưng cùng một lúc
kết luận rất khác nhau. Khi nào chúng ta
chia cho 4, chúng ta có 4 khả năng
phần còn lại.

French: 
Que nous dit la table pour Z/3 ? Dans ce cas, les restes potentiels d'entiers
sont 0, 1 et 2. Mais là on voit quelque chose d'intéressant. Le reste d'un entier
élevé au carré ne peut être que 0 ou 1. 2 n'est pas possible. En d'autres termes,
aucun entier de la forme 3k+2 ne peut être le carré d'un entier.
Donc 5, 8 et 11 ne peuvent pas être des entiers au carré, ce qui ne vous choquera pas,
mais ça continue. Qu'en est-il de 1 suivi de plein de 0 puis d'un autre 1 ? Bon, peu
de nombres sont des carrés, donc on devrait probablement parier que ce monstre n'est pas un carré.
Mais peut-on en être certain ? Oui ! Pouvez-vous voir d'un seul coup d'oeil pour quelle raison ? Chouette, non ? Le saviez-vous ?
On passe aux tables pour Z/4. À nouveau très intéressant, n'est-ce pas ?
On obtient des conclusions similaires et à la fois très différentes.
Après division par 4, on a 4 restes possibles.

Vietnamese: 
Tuy nhiên, 0 & 1 là duy nhất có thể
phần còn lại của hình vuông nguyên. 2 & 3 thì không
khả thi. Hãy sử dụng nó để quay lại và
nhìn vào một sự thật mà tôi đã đề cập trong
video cuối cùng. Tôi lưu ý ngắn gọn rằng
tổng (x ^ 2 + y ^ 2) không bao giờ có thể ở dạng 4K + 3,
nói cách khác không thể có một phần còn lại
của 3 sau
chia cho 4. Vì vậy, không có số nào trong số này
ở dưới đó 3, 7, 11, 15, v.v.
được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên
hình vuông. Và bảng cho chúng ta biết lý do tại sao
là như vậy Kể từ khi còn lại
bình phương là 0 & 1 có thể
phần còn lại của tổng hai hình vuông là 0
cộng 0 bằng 0, 0 cộng 1 bằng 1 và 1

French: 
Cependant, 0 et 1 sont les seuls restes possibles pour des carrés. 2 et 3 ne sont pas possibles.
Revenons en arrière et utilisons cela pour démontrer une propriété que j'ai mentionnée
dans ma dernière vidéo. J'avais noté rapidement qu'une somme du type (x^2+y^2) ne pouvait jamais s'écrire sous la forme 4k+3,
autrement dit, qu'elle ne pouvait pas avoir 3 comme reste
après division par 4. Donc aucun de ces nombres là en bas, 3, 7, 11, 15, et ainsi de suite, ne peut
s'écrire comme la somme de deux carrés. Et la table nous dit pourquoi il en est ainsi.
Puisque les seuls restes possibles pour des carrés sont 0 et 1, les restes
possibles pour une somme de deux carrés sont : 0+0=0, 0+1=1,

English: 
However, 0 & 1 are the only possible
remainders of integer squares. 2 & 3 are not
possible. Let's use that to go back and
look at a fact that I mentioned in my
last video. I briefly noted that such a
sum (x^2+y^2) can never be of the form 4K+3,
in other words cannot have a remainder
of 3 after
division by 4. So none of these numbers
down there 3, 7, 11, 15, and so on, can be
written as the sum of two integer
squares. And the table tells us why this
is so. Since the only remainders of
squares are 0 & 1 the possible
remainders of a sum of two squares are 0
plus 0 equals 0, 0 plus 1 equals 1, and 1

Vietnamese: 
cộng 1 bằng 2. Vì vậy, chắc chắn không có 3.
Thật tuyệt, hmm? Chúng ta hãy xem xét thêm một vài
sự kiện vuông ẩn trong bảng cho
Z / 7. Một lần nữa chúng tôi tập trung vào
đường chéo và một lần nữa chỉ một số
phần còn lại có sẵn thực sự
có thể cho số nguyên hình vuông. Nhưng ngay cả
nhiều hơn là đúng Tất nhiên 0 bình phương bằng
0 và vì vậy 0 sẽ luôn là một hình vuông trong
bất kỳ chiếc nhẫn. Nhưng bỏ qua 0. Lưu ý
rằng mọi số khác không trên
đường chéo xảy ra chính xác hai lần.
Sự trùng hợp? Không, không khó để chứng minh
việc tăng gấp đôi tương tự xảy ra trong
lĩnh vực nhỏ liên quan đến bất kỳ số nguyên tố lẻ.
Và những gì về hình vuông không? Tốt
bởi vì mỗi ô vuông bật lên chính xác
hai lần, chính xác một nửa số khác không
số phải là hình vuông và số khác
một nửa phải là hình vuông. Cảm giác này có

English: 
plus 1 equals 2. So definitely no 3.
Cool, hmm? Let's have a look at a few more
square facts hidden in the table for
Z/7. Again we're focused on the
diagonal and once again only some of the
available remainders are actually
possible for integers squares. But even
more is true. Of course 0 squared equals
0 and so 0 will always be a square in
any of the rings. But ignore the 0. Notice
that every nonzero number on the
diagonal occurs exactly twice.
Coincidence? No. It's not hard to prove
that the same doubling up occurs in the
mini field associated with any odd prime.
And what about the non-squares? Well
because every square pops up exactly
twice, exactly half of the non-zero
numbers must be squares and the other
half must be non-squares. Does this feel

French: 
et 1+1=2. Donc jamais 3. Cool, non ? Voyons encore quelques 
propriétés sur les carrés cachées dans la table de Z/7. À nouveau on se concentre
sur la diagonale et de nouveau seuls quelques uns des restes potentiels sont en réalité
possible pour des carrés. Mais ce n'est pas tout. Forcément 0 au carré
égale 0, et donc 0 sera toujours un carré dans n'importe lequel des anneaux. Mais ignorons le 0.
Remarquez que chaque nombre non-nul sur la diagonale apparaît exactement deux fois.
Coïncidence ? Non ! Ce n'est pas difficile de prouver que ce même doublement se manifeste
dans le mini-corps associé à n'importe quel nombre premier. Et qu'en est-il des non-carrés ?
Eh bien, du fait que chaque carrés apparaît exactement deux fois, exactement la moitié des nombres
non-nuls doit être des carrés et l'autre moitié doit être des non-carrés. Ça vous

Vietnamese: 
một chút quen thuộc? Tình hình là rất
rất giống với những con số thực
cũng được chia thành hai bằng nhau
các bộ phận, hình vuông và hình vuông không,
số dương và số âm. Và
giống như với các số thực, trong Z / 7 a
bình phương lần vuông là một hình vuông
dễ dàng
Nhưng cũng không phải là một hình vuông không phải hình vuông luôn luôn là một hình vuông và hình vuông
lần một hình vuông không phải là hình vuông. Thử
nhân một số hình vuông và
không phải hình vuông để tự kiểm tra
điều này thực sự hoạt động trong Z / 7. Và
điều tương tự cũng đúng trong bất kỳ lĩnh vực nhỏ nào của chúng tôi
liên kết với một số nguyên tố lẻ. Vậy là
tất cả mọi thứ mà chúng ta đã quen từ
những con số thực cũng đúng trong những mini này
lĩnh vực? Chà, không, nó thực sự không thể
có thể nó? Ví dụ, cho thực tế
số âm của một hình vuông là một
số âm nên không vuông. Làm sao
về các lĩnh vực nhỏ của chúng tôi? À cái này cũng vậy
hóa ra là đúng với Z / 7 chẳng hạn.

French: 
rappelle quelque chose ? La situations est tout à fait semblable à celle des nombre réels, 
qui sont aussi séparés en deux catégories égales, les carrés et les non-carrés :
les nombres positifs et négatifs. Et tout comme pour les nombre réels, dans Z/7,
un carré fois un carré est un carré, ça c'est facile...
mais également un non-carré fois un non-carré est toujours un carré, et
un carré fois un non-carré est un non-carré. Essayez de multiplier certains de ces carrés et non-carrés
pour vérifier vous-même que ça marche effectivement dans Z/7.
Et tout cela reste vrai dans n'importe lequel de nos mini-corps associés avec un nombre premier impair.
Alors est-ce que tout ce à quoi nous sommes habitués pour les nombres réels reste vrai dans ces
mini-corps ? Eh bien... non, ça aurait été trop beau, non ? Par exemple, pour les nombre réels,
l'opposé d'un carrés est un nombre négatif, donc un non-premier.
Et pour notre mini-corps ? Bon, il se trouve que c'est également vrai pour Z/7, par exemple.

English: 
a little familiar? The situation is very
much like that for the real numbers
which are also split into two equal
parts, the squares and the non squares,
the positive and a negative numbers. And
just like with the real numbers, in Z/7 a
square times the square is a square, that
one's easy.
But also a non-square times a non-square is always a square and the square
times a non-square is a non-square. Try
multiplying some of those squares and
non-squares to check for yourself that
this really works In Z/7. And the
same is true in any of our mini fields
associated with an odd prime. So is
everything that we are used to from the
real numbers also true in these mini
fields? Well, no it really could't be
could it? For example, for the real
numbers the negative of a square is a
negative number so a non-square. How
about for our mini fields? Well this also
turns out to be true for Z/7 for example.

Vietnamese: 
Trong Z / 7, số âm của 1 là 6, phải,
bởi vì 1 cộng 6 là 0 và 1 là hình vuông
số và nó âm 6 là số không
Quảng trường. Tuy nhiên, trong các lĩnh vực nhỏ khác,
tiêu cực của hình vuông có thể là hình vuông
chúng tôi. Ví dụ, và rất dễ dàng
thách thức cho bạn, kiểm tra xem
phủ định của hình vuông trong Z / 5 cũng
hình vuông, lạ. Và bây giờ, sau đó
giới thiệu rất dài, cuối cùng chúng ta
sẵn sàng để khởi động vào bậc hai
có đi có lại.
Đầu tiên, tôi phải giải thích cho bạn những biểu tượng Legendre là gì.
Đó là tên chính thức của những kẻ kỳ lạ
những thứ nhìn bên trái
Ở đây, chữ A trên cùng có thể là bất kỳ số nguyên nào
bất cứ điều gì Mặt khác, P tại
đáy phải là số nguyên tố. Sau đó
biểu tượng Legendre sẽ bằng 0, 1 hoặc

English: 
In Z/7 the negative of 1 is 6, right,
because 1 plus 6 is 0, and 1 is a square
number and it's negative 6 is a non
square. However, in other mini fields the
negatives of squares can be squares
themselves. For example, and a very easy
challenge for you, check that the
negatives of squares in Z/5 are also
squares, weird. And now, after that
very long introduction, we are finally
ready to launch into quadratic
reciprocity.
First, I have to explain to you what Legendre symbols are.
That's the official name of those weird
fractionally looking things on the left.
Here the A on top can be any integer
whatsoever. On the other hand, the P at
the bottom must be a prime number. Then
the Legendre symbol will equal to 0, 1 or

French: 
Dans Z/7, l'opposé de 1 est 6, car 1+6 fait 0, et 1 est un carré
et son opposé, 6, est un non-carré. En revanche, dans d'autres mini-corps,
l'opposé d'un carré peut être lui-même un carré. Par exemple, et c'est un défi très 
facile pour vous, vérifiez que les opposés des carrés dans Z/5 sont aussi
des carrés. Bizarre. Et maintenant, après cette très longue introduction, nous sommes enfin
prêts à nous plonger dans la réciprocité quadratique.
D'abord, il faut que je vous explique ce que sont les symboles de Legendre.
C'est le nom officiel de ces trucs bizarres qui ressemblent à des fractions, à gauche.
Ici le a du haut peut être n'importe quel entier. Par contre, le p du bas
doit être un nombre premier. Alors le symbole de Legendre vaudra 0, 1 ou -1

English: 
- 1 according to some squarish rules
that I will now explain. First the 0. The
Legendre symbol equals 0 if the integer
A leaves a remainder of 0 after division
by P. In other words, the Legendre symbol
is 0 if P divides A , that's like
the 0 case when we were looking at
squares in Z/7. And what about the plus
or minus 1? They correspond to the
squares and non-squares in the
mini field 
Z/p. In other words, the Legendre symbol
summarizes the "quadraticness" of the
integer A with respect to the prime
number P. Here a few examples. Here A is
70 and the prime P is 7 and since 70 is
divisible by 7 that results in remainder
0 and so the Legendre symbol is equal to
0. Now for integers that are not
multiples of 7 we need to know the

Vietnamese: 
- 1 theo một số quy tắc squarish
mà bây giờ tôi sẽ giải thích. Đầu tiên là 0.
Biểu tượng Legendre bằng 0 nếu số nguyên
A để lại 0 còn lại sau khi chia
bởi P. Nói cách khác, biểu tượng Legendre
là 0 nếu P chia A, giống như
trường hợp 0 ​​khi chúng tôi đang xem xét
hình vuông trong Z / 7. Và những gì về cộng
hay trừ 1? Chúng tương ứng với
hình vuông và không hình vuông trong
cánh đồng nhỏ 
Z / p. Nói cách khác, biểu tượng Legendre
tóm tắt "bậc hai" của
số nguyên A liên quan đến số nguyên tố
số P. Dưới đây là một vài ví dụ. Đây là
70 và số nguyên tố P là 7 và vì 70 là
chia hết cho 7 kết quả còn lại
0 và do đó biểu tượng Legendre bằng
0. Bây giờ cho số nguyên không
bội số của 7 chúng ta cần biết

French: 
suivant certaines règles de carré que je vais maintenant expliquer. D'abord le 0.
Le symbole de Legendre vaut 0 si l'entier a donne un reste de 0 après division
par p. Autrement dit, le symbole de Legendre vaut 0 si p divise l'entier a, c'est comme
le cas du zéro quand on regardait les carrés dans Z/7. Maintenant qu'en est-il du
plus ou moins 1 ? Ils correspondent aux carrés et non-carrés dans
le mini-corps Z/p. En d'autres termes, le symbole de Legendre
résume la "quadraticité" de l'entier a par rapport au nombre premier p.
Voici quelques exemples. Ici a vaut 70 et le nombre premier p vaut 7, et comme 70
est divisible par 7, cela conduit à un reste de 0, et le symbole de Legendre vaut 0.
Pour des entiers qui ne sont pas multiples de 7, on a besoin de connaître

Vietnamese: 
hình vuông không vuông trong Z / 7 nhưng
hãy nhớ rằng chúng tôi đã đọc những thứ đó từ
bảng nhân trước đó, phải không? Đây
họ đang. Vì vậy, những gì xảy ra ví dụ nếu
chúng tôi thay thế 70 bằng 75. Sau đó, chúng tôi sẽ nhận được một
Phần còn lại của 5 và vì 5 không phải là một
hình vuông trong Z / 7 the Legendre
ký hiệu bằng dấu trừ 1. Một ví dụ nữa.
Thay thế 75 bằng 72, chúng tôi nhận được phần còn lại
trong đó có 2 hình vuông và theo truyền thuyết
ký hiệu bằng 1. Tất cả rõ ràng? Tuyệt quá. Sau đó
Hãy nhìn lại tuyên bố của
đối ứng bậc hai và xem nếu chúng ta có thể
làm cho một số ý nghĩa của nó. Ok, theo luật của
đối ứng bậc hai P và Q là viết tắt của
số nguyên tố lẻ khác nhau.
Sau đó, luật pháp cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta biết
tính bậc hai của P đối với

English: 
squares in non squares in Z/7 but
remember we read those off from the
multiplication table earlier, right? Here
they are. So what happens for example if
we replace 70 by 75. Then we'll get a
remainder of 5 and since 5 is not a
square in Z/7 the Legendre
symbol equals minus 1. One more example.
Replacing the 75 by 72 we get a remainder
of 2 which is a square and so the Legendre
symbol equals 1. All clear? Great. Then
let's look again at the statement of
quadratic reciprocity and see if we can
make some sense of it. Ok, in the law of
quadratic reciprocity P and Q stand for
different odd primes.
Then the law tells us that if we know
that quadraticness of P with respect to

French: 
les carrés et non-carrés dans Z/7, mais souvenez-vous qu'on peut les lire dans
la table de multiplication vue précédemment, ok ? Les voici. Donc que se passe-t-il par exemple si
on remplace 70 par 75 ? Dans ce cas on obtient un reste de 5 et comme 5 n'est pas
un carré dans Z/7, le symbole de Legendre vaut -1. Un dernier exemple.
Si on remplace 75 par 72, on obtient un reste de 2, qui est un carré et donc le symbole
de Legendre vaut 1. C'est clair ? Parfait ! Alors regardons à nouveau l'énoncé
de la réciprocité quadratique et voyons si on peut maintenant la décrypter. Ok, dans la loi
de réciprocité quadratique, p et q représentent deux nombres premiers impairs différents.
Alors la loi nous dit que si on connaît la "quadraticité" de p par rapport à q,

Vietnamese: 
Q thì ngay lập tức chúng ta biết
đối ứng, bậc hai của Q với
tôn trọng P. Được rồi, chuyện lớn là gì
dí dỏm Ai quan tâm. Vâng, tôi chắc chắn quan tâm,
RẤT NHIỀU. Ý tôi là đây là 100 giờ sau
làm những thứ này Đối ứng bậc hai
là rất mạnh mẽ, đơn giản đáng kinh ngạc và
mối quan hệ ngoài luồng đáng kinh ngạc
giữa các cặp số nguyên tố. Nó là một trong
những cách cơ bản mà các nhà toán học
đạt được một sự hiểu biết sâu sắc về chính
số nguyên tố rất bí ẩn. Vậy hãy
xem nếu tôi có thể làm cho bạn quan tâm, quá. Được chứ
Trước tiên hãy xem một ví dụ nhanh với
một số số nguyên tố nhỏ 23 và 7. Đánh giá
phía bên phải cung cấp -1 cho một sức mạnh kỳ lạ

French: 
alors on en déduit directement l'inverse, la "quadraticité" de q par
rapport à p. Ok, en quoi ça nous avance ? Ça intéresse qui ? Eh bien déjà moi ça m'intéresse c'est sûr,
ça m'intéresse BEAUCOUP ! Je veux dire là ça fait 100 heures qu'on tourne ce truc ! La réciprocité quadratique
est une puissante, incroyablement simple et époustouflante relation qui sort de nulle part
entre des couples de nombres premiers. C'est l'une des façons fondamentales dont les mathématiciens
acquièrent une compréhension profonde des très très mystérieux nombres premiers. Alors
on va voir si j'arrive à vous y intéresser aussi. Ok, regardons un petit exemple avec
des nombres premiers petits, 23 et 7. On évalue le terme de droite, qui donne -1 à une puissance impaire,

English: 
Q then straight away we know the
reciprocal, the quadraticness of Q with
respect to P. Okay, what's the big deal
wit that? Who cares.  Well I definitely care,
A LOT. I mean this is 100 hours later of
doing this stuff. Quadratic reciprocity
is a very powerful, amazingly simple and
astonishing out-of-nowhere relationship
between pairs of primes. It is one of the
fundamental ways that mathematicians
gain a deep understanding of the very
very mysterious prime numbers. So let's
see if I can make you care, too. Okay
let's first look at a quick example with
some little primes 23 and 7. Evaluating
the right side gives -1 to an odd power

Vietnamese: 
vì vậy đó là điểm trừ 1. Được rồi, những gì về
trái? Vâng, bây giờ chúng tôi là chuyên gia khi nó
Đến trường Z / 7 phải không? Nên
biểu tượng Legendre đầu tiên rất dễ
tính 23 chia cho 7 có một
Phần còn lại của 2 và chúng tôi biết rằng trong Z / y
2 là một hình vuông và điều này có nghĩa là
Biểu tượng Legendre bằng 1 và điều này
ngay lập tức cho chúng ta giá trị của
biểu tượng Legendre thứ hai ở đó. Vậy thì sao
có nghĩa là?
Điều đó cho chúng ta biết rằng 7 không phải là một hình vuông trong
Z / 23
thực sự nhưng điều đó đến từ đâu
không làm bảng nhân cho
Z / 23 hoặc bất cứ điều gì nhưng bằng cách nào đó chúng ta biết
một cái gì đó về hình vuông trong Z / 23.
Vì vậy, ngay cả khi bạn nghi ngờ không có
mục đích sâu xa hơn cho tất cả các vệt tôi hy vọng
bạn đồng ý rằng đó thực sự là một
lừa tuyệt vời. Bây giờ trước khi chúng ta làm thêm một số
khám phá tính tương hỗ bậc hai

English: 
so that's minus 1. Okay what about on the
left? Well we're now experts when it
comes to the field Z/7 right? So the
first Legendre symbol is easy to
calculate 23 divided by 7 has a
remainder of 2 and we know that in Z/y
2 is a square and this means that our
Legendre symbol is equal to 1 and this
straightaway gives us the value of the
second Legendre symbol there. And what
does that mean?
That tells us that 7 is not a square in
Z/23
really but where did that come from we
didn't do the multiplication table for
Z/23 or anything but somehow we know
something about squares in Z/23.
So even if you suspect there is no
deeper purpose to all the streak I hope
you agree that it's a really really
amazing trick. Now before we do some more
exploring of quadratic reciprocity I

French: 
donc ça fait -1. Ok, que se passe-t-il à gauche ? Eh bien, maintenant on est des experts 
du corps Z/7, pas vrai ? Alors le premier symbole de Legendre est facile
à calculer, 23 divisé par 7 donne un reste de 2, et on sait que dans Z/7,
2 est un carré, ce qui veut dire que notre symbole de Legendre vaut 1. Et cela
nous donne directement la valeur du deuxième symbole de Legendre. Voilà.
Et qu'est-ce que ça veut dire ? Ça nous dit que 7 n'est pas un carré
dans Z/23. Vraiment ? Mais d'où ça vient ?
On n'a pas construit la table de multiplication pour Z/23 ou quoi que ce soit, mais pour autant on sait dire
quelque chose des carrés dans Z/23. Donc même si vous pensez qu'il n'y a
pas d'autre utilité à tout cela, j'espère que vous convenez que c'est une astuce
tout à fait formidable. Et maintenant, avant d'explorer un peu plus la réciprocité quadratique,

English: 
want to do a simple fiddle of the
reciprocity law to make its use a little
clearer. Suppose we want to solve
this Legendre symbol. Then instead of
dividing by the second Legendre
symbol we will multiply it by the second
symbol. Okay like that. Why do that? Well
the second symbol is either 1 or minus 1
since we have distinct primes. 0 isn't
possible here, right? So the squared
symbol must be 1 and disappears. There,
neat. Now we have the first Legendre
symbol directly in terms of the second
and for the rest of this video that's
how you should think of the law of
quadratic reciprocity.
That's how I'll be expressing it. Now
we've got to get going with the amazing
proof but before that there are few
properties of the Legendre symbol and
application of quadratic reciprocity
worth mentioning. I won't go into details
here just giving you a quick taste. Okay
quadratic reciprocity is about odd

Vietnamese: 
muốn làm một câu đố đơn giản về
luật đối ứng để làm cho nó sử dụng một chút
rõ ràng hơn. Giả sử chúng ta muốn giải quyết
biểu tượng Legendre này. Sau đó thay vì
chia cho Legendre thứ hai
biểu tượng chúng ta sẽ nhân nó với lần thứ hai
Biểu tượng. Được rồi như thế. Tại sao làm điều đó? Tốt
biểu tượng thứ hai là 1 hoặc trừ 1
vì chúng ta có các số nguyên tố riêng biệt. 0 không
có thể ở đây, phải không? Vì vậy, bình phương
biểu tượng phải là 1 và biến mất. Ở đó
khéo léo. Bây giờ chúng ta có Legendre đầu tiên
biểu tượng trực tiếp về mặt thứ hai
và đối với phần còn lại của video này
bạn nên nghĩ về luật của
tính tương hỗ bậc hai.
Đó là cách tôi sẽ thể hiện nó. Hiện nay
chúng ta phải đi với sự tuyệt vời
bằng chứng nhưng trước đó có rất ít
thuộc tính của biểu tượng Legendre và
ứng dụng đối ứng bậc hai
đáng nói. Tôi sẽ không đi vào chi tiết
ở đây chỉ cho bạn một hương vị nhanh chóng. Được chứ
tính tương hỗ bậc hai là về lẻ

French: 
je veux juste bidouiller un peu la loi de réciprocité pour rendre son usage un peu
plus clair. Imaginons que l'on souhaite résoudre ce symbole de Legendre. Alors au lieu de
diviser par le deuxième symbole de Legendre, on va le multiplier par le deuxième symbole.
Voilà, comme ça. Pourquoi faire ça ? Eh bien le deuxième symbole est soit 1, soit -1,
puisque nous avons des nombre premiers distincts. 0 n'est donc pas possible. Donc le symbole au carré
vaut forcément... 1, et il disparaît. Voilà, chouette ! Maintenant on obtient le premier symbole de Legendre
directement en termes du second, et dans la suite de cette vidéo,
c'est comme ça que vous devez penser à la loi de réciprocité quadratique.
C'est comme ça que je l'exprimerai. Maintenant il est temps de passer à sa formidable
démonstration, mais tout d'abord il y a quelques propriétés du symbole de Legendre
et de l'application de la réciprocité quadratique qui méritent d'être évoqués. Je ne vais pas rentrer dans les détails,
je veux juste vous donner un aperçu rapide. Ok, la réciprocité quadratique s'applique

French: 
aux nombres premiers impairs, donc que dire du seul nombre premier pair ? Eh bien pour le nombre premier 2 et pour tout nombre premier
impair q, il y a aussi cette formule-là. Ensuite, le symbole de Legendre possède cette propriété
multiplicative très sympa. Cette dernière formule est simplement un manière très concise
de formuler le fait que les carrés et non carrés se multiplient comme d'habitude : un carré
fois un non-carré donne un non carré, et ainsi de suite. J'en ai parlé il y a quelques temps, vous vous rappelez ?
Maintenant si on combine ces formules on peut facilement pratiquer de la magie mathématique. Par exemple,
on peut rapidement calculer des symboles de Legendre très compliqués comme
celui-ci. Donc le symbole de Legendre de 412 sur 389. C'est-à-dire que nous nous demandons si
le reste de la division de 412 par 389 est un carré dans le mini-anneau Z/389, et,
oui, bien sûr, nous pourrions construire la table de multiplication, mais on n'est pas fou !!

Vietnamese: 
số nguyên tố như vậy những gì về một thậm chí nguyên tố.
Vâng cho số nguyên tố 2 và bất kỳ số nguyên tố lẻ nào
Q cũng có công thức này ở đây. Kế tiếp,
biểu tượng Legendre có điều này thực sự tốt đẹp
tài sản nhân. Điều này cuối cùng
công thức thực sự chỉ là một cách súc tích
lưu ý thực tế là hình vuông và không
bình phương nhân lên như bình thường - một lần vuông
một hình vuông không vuông và như vậy. Tôi
đề cập đến điều này sớm hơn, nhớ không? Bây giờ, bởi
kết hợp các công thức này thật dễ dàng để
thực hiện phép thuật toán học. Ví dụ,
chúng ta có thể nhanh chóng tính toán
biểu tượng Legendre phức tạp như
cái này. Vì vậy, biểu tượng Legendre của 412
vào ngày 389. đó là, chúng tôi đang hỏi nếu
Phần còn lại của 412 trên chia cho 389 là một
hình vuông trong vòng mini Z / 389 và có
chúng ta có thể tạo bảng nhân
nhưng chúng tôi không điên Phương trình bậc hai

English: 
primes so what about that one even prime.
Well for the prime 2 and any odd prime
Q there's also this formula here. Next,
the Legendre symbol has this really nice
multiplicative property. This last
formula is really just a concise way of
noting the fact that squares and non
squares multiply as usual -- a square times
a non-squares a non-square and so on. I
mentioned this earlier, remember? Now, by
combining these formulas it's easy to
perform mathematical magic. For example,
we can quickly calculate very
complicated Legendre symbols such as
this one. So the Legendre symbol of 412
on 389. that is, we are asking if the
remainder of 412 on division by 389 is a
square in the mini ring Z/389 and yes
we could make the multiplication table
but we're not crazy. Quadratic

English: 
reciprocity comes to the rescue.
Want to see? Well here we go. So this is
the whole calculation here so we
applying these things over and over and
you see the numbers getting smaller and
smaller very quickly. You can do this
calculation really very quickly and the
result is this monster thing is equal
to -1. Pretty amazing isn't it and
that's just a taste.
And now are you ready to venture forth
to where not many mortals have ventured
before?
Are you ready to embark upon a proof of
this amazing theorem? Great! But now a
problem which of those two hundred-plus
proofs should we choose?
Remember Euler couldn't prove quadratic
reciprocity and it took Gauss a long
time to do so. Now it's no surprise that
all of the standard proofs are tricky
and are embedded in research papers or
serious textbooks, putting them way out
of reach of anyone without a serious
background in math(s). And, to be honest, I
had pretty much given up although I had

French: 
La réciprocité quadratique arrive à la rescousse ! Vous voulez voir ? Ok on y va.
Voici le calcul complet. Donc on applique ces formules les une après les autres
et vous voyez que les nombres deviennent rapidement de plus en plus petits. On peut faire
ce calcul vraiment très rapidement et le résultat de ce truc monstrueux est égal
à -1. Plutôt cool, non ? Et ce n'est qu'un aperçu !
Et maintenant nous sommes prêts à nous aventurer un peu plus vers là où peu de mortels se sont déjà
aventurés. Êtes-vous prêts à embarquer pour une démonstration
de ce théorème formidable ? Parfait ! Mais maintenant on a un problème : lequel de ces plus de 200
démonstrations doit-on choisir ? Souvenez-vous, Euler n'a pas réussi à démontrer la
réciprocité quadratique, et il a fallu beaucoup de temps à Gauss pour le faire. Donc c'est sans surprise que
toutes les démonstrations classiques sont délicates et sont cachées dans des articles de recherche ou
des manuels scolaires avancés, les rendant hors de portée du commun des mortels qui n'aurait pas un solide
bagage mathématique. Et, pour être honnête, j'avais presque abandonné. Bien que j'ai

Vietnamese: 
có đi có lại để giải cứu.
Muốn thấy? Vâng, chúng tôi đi đây. Vì vậy đây là
toàn bộ tính toán ở đây vì vậy chúng tôi
áp dụng những điều này nhiều lần và
bạn thấy các con số ngày càng nhỏ hơn và
nhỏ hơn rất nhanh. Bạn có thể làm được việc này
tính toán thực sự rất nhanh và
kết quả là thứ quái vật này bằng
đến 1. Khá tuyệt vời phải không và
đó chỉ là một hương vị.
Và bây giờ bạn đã sẵn sàng để mạo hiểm
đến nơi không có nhiều người chết
trước?
Bạn đã sẵn sàng bắt tay vào một bằng chứng về
định lý tuyệt vời này? Tuyệt quá! Nhưng bây giờ
vấn đề nào trong số hơn hai trăm
Bằng chứng nào chúng ta nên chọn?
Hãy nhớ rằng Euler không thể chứng minh bậc hai
có đi có lại và phải mất một thời gian dài
thời gian để làm như vậy Bây giờ không có gì ngạc nhiên khi
tất cả các bằng chứng tiêu chuẩn là khó khăn
và được nhúng trong các tài liệu nghiên cứu hoặc
sách giáo khoa nghiêm túc, đưa chúng ra
tầm với của bất cứ ai mà không nghiêm túc
nền tảng trong toán học. Và, thành thật mà nói, tôi
đã bỏ cuộc khá nhiều mặc dù tôi đã

French: 
toujours voulu "Mathologeriser" la réciprocité quadratique, je ne pensais vraiment pas que ce soit
faisable. C'est donc pourquoi ça m'a vraiment réjoui d'apprendre que Matt Baker
avait reformulé la démonstration avec des cartes à jouer. C'est presque un
tour de magie. Prêts pour la magie ?
Ok, vous êtes prêts pour un tour de magie avec des cartes ? Je n'ai rien dans les manches !
Notre objectif final est la formule de réciprocité quadratique que voici, et
j'y viendrai en vous montrant comment on peut réinterpréter les deux symboles de Legendre
et la puissance de -1 dans la formule comme des façons particulières de distribuer des cartes. On y va ? Ok,
les nombre premiers p et q dans la formule nous amènent à utiliser un paquet de cartes contenant p fois q cartes.
Comme d'habitude dans Mathologer, je vais me concentrer sur un exemple spécifique en donnant
aux nombres premiers p et q les valeurs de 5 et 3. Donc on va travailler avec un paquet de 15 cartes,

Vietnamese: 
luôn muốn toán học bậc hai
có đi có lại, tôi thực sự không nghĩ rằng đó là
khả thi. Vì vậy, đó là lý do tại sao tôi rất phấn khích
khi tôi biết về Matt Baker
cải cách một bằng chứng về một
trò bài. Toàn bộ thực sự là
khá kỳ diệu. Sẵn sàng cho phép thuật.
Được rồi, bạn đã sẵn sàng cho một số phép thuật thẻ?
Không có gì lên tay áo của tôi :)
Mục tiêu cuối cùng của chúng tôi là
công thức đối ứng bậc hai ở đó và
Tôi sẽ đến đó bằng cách chỉ cho bạn cách
diễn giải lại hai biểu tượng Legendre và
công suất -1 trong công thức tính theo
cách lạ để xử lý thẻ. Sẵn sàng? Bây giờ
số nguyên tố P và Q trong công thức dẫn chúng ta đến
sử dụng một cỗ bài chứa P lần Q. Trong
phong cách Mathologer thông thường tôi sẽ tập trung vào một
ví dụ cụ thể và tôi sẽ làm
số nguyên tố P và Q bằng 5 và 3 vì vậy
chúng tôi sẽ làm việc với bộ bài gồm 15 lá bài

English: 
always wanted to Mathologerize quadratic
reciprocity, I really didn't think it was
possible. So that's why I got so excited
when I learned about Matt Baker's
reformulation of a proof in terms of a
card trick. The whole thing is really
quite magical. Ready for the magic.
Okay are you ready for some card magic?
Nothing up my sleeve :)
Our ultimate goal is the
quadratic reciprocity formula there and
I'll get there by showing you how to
reinterpret the two Legendre symbols and
the -1 power in the formula in terms of
strange ways to deal cards. Ready? Now the
primes P and Q in the formula lead us to
use a deck containing P times Q cards. In
usual Mathologer style I will focus on a
specific example and I will make the
prime's P and Q equal to a 5 and 3 so
we'll be working with a deck of 15 cards

English: 
face-up numbered 1 at the top down to 15
at the bottom. And now as the first step
let me show you how the complicated
minus 1 power in quadratic reciprocity
arises in card dealing. The starting
position for our card trick are the cards
laid out in a 5 x 3 array, like this.
Okay now from this starting
arrangement pick up the cards row by row.
This is easy but there will be lots of
cards flying around. There aere lots of
cards flying around
and the order we choose
them in is critical, so pay attention.
Okay, first pick up the 1. Now pick up
the 2 and place it under the 1. There
under. Next the 3 which again
goes under keep on going there under

Vietnamese: 
ngửa mặt lên số 1 ở trên xuống 15
ở phía dưới Và bây giờ là bước đầu tiên
Hãy để tôi chỉ cho bạn thấy sự phức tạp
trừ đi 1 công suất trong tính tương hỗ bậc hai
phát sinh trong giao dịch thẻ. Sự khởi đầu
vị trí cho trò lừa bài của chúng tôi là những lá bài
đặt trong một mảng 5 x 3, như thế này.
Được rồi từ bây giờ bắt đầu
sắp xếp nhặt các thẻ theo hàng.
Điều này là dễ dàng nhưng sẽ có rất nhiều
Thẻ bay xung quanh. Có rất nhiều
thẻ bay xung quanh
và thứ tự chúng tôi chọn
họ trong là rất quan trọng, vì vậy hãy chú ý.
Được rồi, đầu tiên hãy chọn 1. Bây giờ hãy nhặt
2 và đặt nó dưới 1. Có
Dưới. Tiếp theo 3 mà một lần nữa
tiếp tục đi về phía dưới

French: 
dont la face visible est numérotée de 1 sur le dessus jusqu'à 15 au-dessous du paquet. Et maintenant pour commencer
je vais vous montrer comment la puissance de -1 compliquée dans la réciprocité quadratique
se manifeste dans la distribution des cartes. La position de départ de notre tour de magie
est une grille de 5 par 3, comme ça. Ok, maintenant à partir de cet arrangement
de départ, on ramasse les cartes ligne par ligne. C'est facile mais il va y avoir pas mal
cartes qui volent un peu partout. Il y a des cartes qui volent dans tous les sens
et l'ordre dans lequel on les prend est crucial, alors concentrez-vous !
Ok, d'abord on ramasse le 1. Puis on ramasse la 2 et on la place sous la 1.
Voilà, dessous. Ensuite on prend la 3, qu'on met à nouveau en-dessous. On continue. En-dessous,

French: 
en-dessous, en-dessous, en-dessous, en-dessous, en-dessous, en-dessous, ... Parfait ! Les cartes
sont maintenant triées par ordre croissant dans la main. À présent on redistribue les cartes sur la grille,
mais cette fois colonne par colonne, de haut en bas, puis de gauche à droite.
Ok, d'abord là, puis là, puis là, puis la colonne suivante, et ça continue automatiquement :
troisième colonne, quatrième colonne, cinquième colonne. Donc en ramassant les cartes par lignes
puis en les replaçant par colonnes, on a changé l'ordre des cartes.
Cela revient à une permutation, un réarrangement des nombres de 1 à 15.
Comme beaucoup d'entre vous le savent, à toute permutation est associé un signe, soit 1 ou -1.
Si vous ne savez pas ce que ça veut dire, ne vous en faites pas, suivez le raisonnement et
j'expliquerai plus tard. Et quel est le signe de cette permutation
pour notre paquet de 5 fois 3 cartes réarrangées ? Il se trouve que c'est exactement ce -1 à la puissance

English: 
under under under under under under
under under under under. Great, the cards
are now in descending order in your hand.
Now we'll deal the cards back onto the
grid but this time column by column from
top to bottom and left to right okay
first there there and then the next
column and it keeps going automatically now.
Third column, fourth column, fifth column.
So by picking up the cards by row and
then placing them back down by column
we've changed the order of the cards.
This amounts to a permutation, 
a reordering of the numbers 1 to 15. Now as
many of you will know every permutation
has a sign either plus 1 or minus 1. If
you're not sure what that means don't
worry just go with the flow and I'll
explain later.
And what is the sign of the permutation
for our scrambled 5 times 3 deck. It turns
out to be exactly that minus 1 to the PQ

Vietnamese: 
dưới dưới dưới dưới dưới
dưới dưới dưới Tuyệt vời, những tấm thiệp
bây giờ theo thứ tự giảm dần trong tay của bạn.
Bây giờ chúng ta sẽ giải quyết các thẻ trở lại
lưới nhưng lần này cột theo cột từ
từ trên xuống dưới và từ trái sang phải
đầu tiên ở đó và sau đó tiếp theo
cột và nó tiếp tục tự động bây giờ.
Cột thứ ba, cột thứ tư, cột thứ năm.
Vì vậy, bằng cách nhặt các thẻ theo hàng và
sau đó đặt chúng xuống theo cột
chúng tôi đã thay đổi thứ tự của các thẻ.
Điều này có nghĩa là một hoán vị, 
sắp xếp lại các số từ 1 đến 15. Bây giờ là
nhiều bạn sẽ biết mọi hoán vị
có dấu cộng 1 hoặc trừ 1. Nếu
bạn không chắc điều đó có nghĩa là gì
lo lắng chỉ cần đi theo dòng chảy và tôi sẽ
giải thích sau.
Và dấu hiệu của hoán vị là gì
cho chúng tôi tranh giành 5 lần 3 sàn. Nó rẽ
chính xác là trừ đi 1 cho PQ

Vietnamese: 
những thứ trong luật đối ứng. Hiểu rồi? Gì
Tôi khẳng định rằng sức mạnh trong
luật đối ứng được nắm bắt bằng cách chọn
lên thẻ của chúng tôi theo từng hàng, theo sau là
đặt chúng xuống cột theo cột. Và
Những biểu tượng Legendre thì sao? Vâng nó
Hóa ra họ cũng có thể bị bắt
bằng cách giao dịch và nhặt thẻ của chúng tôi Riêng biệt
từ giao dịch và nhặt lên bởi các hàng và
cột hoán vị mới cũng
bao gồm một cách kỳ lạ của việc đặt thẻ
dọc theo đường chéo mà tôi sẽ chỉ cho bạn
trong thời gian ngắn Được rồi, chắc chắn có rất nhiều
công việc phải làm Cho thấy ba chúng tôi
số lượng tương hỗ được nắm bắt bởi
ba hoán vị. Nhưng một khi chúng ta
thiết lập ba danh tính
bằng chứng về tính tương hỗ bậc hai có thể sau đó
được hoàn thành trong một bước ma thuật. Sẵn sàng?
Vẫn không có gì lên tay áo của tôi. Vâng không sao
Hãy nhìn vào ba hoán vị.
Tập trung vào thứ hai và thứ ba

English: 
stuff in the reciprocity law. Got it? What
I'm claiming is that the power in the
reciprocity law is captured by picking
up our cards row by row, followed by
placing them down column by column. And
what about the Legendre symbols? Well it
turns out that they can also be captured
by dealing and picking up our cards. Apart
from dealing and picking up by rows and
columns the new permutations also
include a weird way of placing cards
along diagonals which I'll show you
shortly. Okay there's definitely lots of
work to do. Showing that our three
reciprocity quantities are captured by
these three permutations. But once we've
established those three identities the
proof of quadratic reciprocity can then
be finished in one magic step. Ready?
Still nothing up my sleeves. Yep okay
let's look at the three permutations.
Focus on the second and the third

French: 
de trucs avec p et q dans la loi de réciprocité. Compris ? Ce que j'affirme, c'est que la puissance dans 
la loi de réciprocité est obtenue en ramassant les cartes ligne par ligne, puis
en les replaçant colonne par colonne. Et pour les symboles de Legendre ?
Eh bien il s'avère qu'ils peuvent aussi être obtenus en distribuant et en ramassant nos cartes.
En plus de distribuer et de ramasser des cartes par lignes et par colonnes, ces nouvelles permutations
impliquent également une troisième manière particulière de placer les cartes le long de diagonales, comme je vous montrerai sous peu.
Ok, c'est sûr il y a encore pas mal de boulot ! Il faut montrer que nos trois
quantités de réciprocité correspondent à ces trois permutations. Mais, une fois qu'on
aura établi ces trois égalités mathématiques, la démonstration de la réciprocité quadratique pourra
être terminée en une seul étape magique. Prêts ? Toujours rien dans mes manches ?
Ok, examinons ces 3 permutations. Concentrons-nous sur la deuxième et la troisième

Vietnamese: 
hoán vị và hãy thực hiện chúng một
sau kia Đầu tiên chúng tôi chọn theo hàng.
Bây giờ đặt
chúng xuống theo cột. Ừ được rồi ba
bốn năm. Bây giờ hoán vị tiếp theo, chọn bởi
cột lại. Bạn đã xem
ma thuật? Bạn phải được xem xét cẩn thận.
Điều kỳ diệu là hai động tác cuối cùng,
nằm xuống và nhặt lên trong cột
triệt tiêu lẫn nhau. Điều này có nghĩa là tại
điểm này bộ bài được sắp xếp chính xác
như thể chúng ta vừa thực hiện bước duy nhất của
nhặt theo hàng. Và điều đó có nghĩa là chúng tôi
có sự bình đẳng này Nói cách khác,
hoán vị thẻ đầu tiên giống như
hoán vị thứ hai và thứ ba được thực hiện
theo thứ tự. Nhưng bây giờ chúng ta có thể sử dụng một bí mật
vũ khí, tài sản nhân của
dấu hiệu hoán vị. Một lần nữa đừng lo lắng
bây giờ nếu bạn chưa từng thấy
hoán vị trước. Chỉ cần chấp nhận nó, chúng tôi

English: 
permutations and let's perform them one
after the other. First we pick up by rows.
Now put
them down by columns. Yeah okay three
four five. Now the next permutation, pick up by
columns again. Did you see the
magic? You had to be looking carefully.
The magic is that the last two moves, the
laying down and picking up in columns
cancel each other out. This means that at
this point the deck is ordered exactly
as if we had just performed the single step of
picking up by rows. And that means we've
got this equality. In other words, the
first card permutation is the same as the
second and the third permutations done
in sequence. But now we can use a secret
weapon, the multiplicative property of
permutation signs. Again don't worry
for now if you've never seen
permutations before. Just accept it, our

French: 
permutation, et appliquons les l'une après l'autre. D'abord on ramasse par lignes.
Voilà. Puis on les replace par colonnes. Ok, voilà, 
colonnes 3, 4, 5. Maintenant la permutation suivante, on ramasse par
colonne à nouveau. Vous avez vu la magie s'opérer ? Il fallait regarder attentivement.
La magie c'est que les deux derniers mouvements, la distribution et le ramassage par colonnes,
s'annulent. Ça veut dire qu'à ce moment précis, le paquet est trié exactement dans le même ordre
que si nous n'avions fait qu'une seule étape de ramassage par lignes. Et ça veut dire
qu'on a cette égalité. Autrement dit, la première permutation de cartes est la même
que la deuxième et la troisième réalisées l'une à la suite de l'autre. Et là on peut utiliser une arme secrète,
la propriété multiplicative des signes de permutations. Encore une fois, ne vous inquiétez pas
si vous n'avez jamais vu de permutations auparavant. Acceptez-le pour le moment,

English: 
secret weapon gives us this equality. 
And now this equality of the signs
translates, via the green pink and blue
equalities, into the law of quadratic
reciprocity. Ready? Pure magic. I hope you
all agree that this is an amazing proof.
But of course there are some
itsy-bitsy details left to sort out. I
have to explain to you what the diagonal
dealing of the cards is and I have to
prove to you that the signs of the three
dealings equal to three parts of the
reciprocity formula as indicated. So
plenty to do. Well, actually there's a
little less to do than it seems. The
proofs for the green and blue equalities
are the same because switching the roles
of P and Q is the same as switching rows
and columns and so there are really only
these two equalities. I now get down to

Vietnamese: 
vũ khí bí mật cho chúng ta sự bình đẳng này. 
Và bây giờ sự bình đẳng của các dấu hiệu
dịch, thông qua màu xanh lá cây màu hồng và màu xanh
bình đẳng, vào luật bậc hai
có đi có lại. Sẵn sàng? Ma thuật thuần túy. tôi hi vọng bạn
tất cả đồng ý rằng đây là một bằng chứng tuyệt vời.
Nhưng tất nhiên có một số
chi tiết của nó-bity còn lại để sắp xếp. Tôi
phải giải thích cho bạn những gì đường chéo
giao dịch thẻ là và tôi phải
chứng minh với bạn rằng các dấu hiệu của ba
giao dịch bằng ba phần của
công thức có đi có lại theo chỉ định. Vì thế
nhiều việc phải làm. Vâng, thực sự có một
ít hơn để làm hơn nó dường như. Các
bằng chứng cho sự tương đương màu xanh lá cây và màu xanh
giống nhau vì chuyển đổi vai trò
của P và Q giống như chuyển hàng
và các cột và vì vậy thực sự chỉ có
hai đẳng thức này. Bây giờ tôi xuống

French: 
notre arme secrète nous donne cette égalité. Et cette égalité des signes
se conduit, à travers les égalités verte, rose et bleue, à la loi de réciprocité quadratique.
Accrochez-vous... de la magie pure !
J'espère que vous êtes tous d'accord que c'est une démonstration extraordinaire.
Mais bien sûr il y a encore quelques tout petits détails à régler.
Je dois vous expliquer ce qu'est  la distribution des cartes en diagonale, et je dois
vous montrer que les signes des trois distributions sont égales aux trois parties
de la formule de réciprocité, comme indiqué. Donc encore pas mal de boulot. En fait, il y en a
un peu moins à faire qu'il n'y paraît. Les démonstrations des égalités verte et bleue
sont les mêmes, car inverser les rôles de p et q revient à inverser les lignes
et les colonnes, et donc il n'y a en réalité que ces deux égalités. Je vais maintenant m'attacher à

Vietnamese: 
chứng minh hai đẳng thức này cho hoặc
hãy biện minh cho hoán vị bí mật của chúng tôi
vũ khí. Như tôi đã chỉ ra bằng chứng
bản lề trên một số tính chất của các dấu hiệu
hoán vị và là một chút quá nhiều để
cũng chứng minh những điều này cũng như trong video này.
Vì vậy, đối với video này, tôi sẽ chỉ nêu ra những
tài sản và lấy chúng như được đưa ra. Một số
của bạn sẽ rất quen thuộc với
hoán vị nhưng cho những người bạn
đừng lo lắng chỉ cần chạy với nó
hứa rằng video tiếp theo của tôi sẽ là
độc quyền về hoán vị mà
video sẽ bao gồm các chi tiết về những gì
chúng tôi đang sử dụng ở đây cũng như rất nhiều
các ứng dụng tiện lợi khác. Nếu bạn không
biết những thứ này rồi và ngay cả khi bạn
bạn có chắc chắn có cái gì khác không
mong chờ. Được rồi xuống làm việc. Trong
chương này tôi sẽ chứng minh màu hồng
danh tính. Chìa khóa để làm điều này là
chỉ ra cách bạn có thể tính toán dấu hiệu của

French: 
démontrer ces deux égalité, à l'exception de la justification de notre arme secrète sur les permutations.
Comme je l'ai indiqué, la preuve repose sur certaines propriétés des signes
des permutations dont la démonstration rendraient cette vidéo laborieuse.
Donc pour cette vidéo, je me contenterai d'énoncer ces propriétés et de les admettre.
Certains d'entre vous connaissent bien les permutations, mais pour les autres,
ne vous en faites pas, suivez le fil et je vous promets que ma prochaine vidéo sera
exclusivement consacrée aux permutations. Cette vidéo contiendra tous les détails de
ce que nous allons utiliser ici, ainsi que plein d'autres chouettes applications. Si vous
ignorez tout de ce sujet, ou même si au contraire vous le connaissez bien, il y aura indubitablement des choses
qui vous intéresseront. Ok au boulot ! Dans ce chapitre je vais démontrer l'égalité rose.
Pour cela, la clé consiste à montrer comment on peut calculer le signe de

English: 
proving these two equalities give or
take justifying our secret permutation
weapons. As I've indicated the proof
hinges on some properties of the signs
of permutations and is a bit too much to
also prove these as well in this video.
So for this video I'll only state these
properties and take them as given. Some
of you will be very familiar with
permutations but for those of you who
aren't don't worry just run with it I
promise my next video will be
exclusively about permutations that
video will include the details of what
we're using here as well as plenty of
other nifty applications. If you don't
know this stuff already and even if you
do you've definitely got something else
to look forward to. Okay down to work. In
this chapter I'll prove the pink
identity. The key to doing this is to
show how you can calculate the sign of

French: 
cette permutation. Déjà, le signe de toute permutation est simplement -1 élevé
à une certaine puissance. Le -1 est déjà encourageant, non ? On a un -1 là...
Et qu'est-ce que c'est que cette puissance qui nous donne le signe ? C'est le nombre de 
ce que j'appelle des inversions dans la permutation. Une inversion correspond à n'importe quel couple
de nombres dans la permutation où le premier nombre est supérieur au second.
Donc dans cette permutation-là, le 7 vient avant le 2 : c'est une inversion.
En voici une autre, et encore une autre. Mais là ce n'est pas une inversion : 2 et 11
sont restés dans l'ordre croissant. Ok, donc il se trouve que notre vie mathématique dépend
de notre décompte du nombre de ces inversion. Alors permettez-moi de vous montrer une façon ingénieuse et salvatrice
de compter les inversions pour les permutations particulières que nous rencontrons ici.
On replace les cartes sur la grille, et on va essayer d'identifier des structures.

Vietnamese: 
hoán vị này. Dấu hiệu tốt
của bất kỳ hoán vị nào chỉ đơn giản là -1
đến một sức mạnh nhất định. Điểm trừ một chút là
đã khích lệ, phải không? Chúng tôi đã có một
trừ đi một cái ở đó ... Và sức mạnh đó là gì
Điều đó cho dấu hiệu? Nó là số
cái mà tôi gọi là sự đảo ngược của
hoán vị. Đảo ngược là bất kỳ cặp
các số trong hoán vị trong đó
số thứ nhất cao hơn số thứ hai
vì vậy trong hoán vị đó có bảy
đến trước cả 2 đó là một sự đảo ngược.
Đây là một cái khác và một cái khác. Nhưng
cái này không đảo ngược 2 và 11
vẫn đang theo thứ tự tăng dần. Được rồi vậy
hóa ra cuộc sống toán học của chúng ta phụ thuộc
khi đếm những nghịch đảo đó. Hãy để tôi
chỉ cho bạn một cách tiết kiệm cuộc sống khéo léo để
đếm ngược. Đối với điều này đặc biệt
loại hoán vị mà chúng ta đang giao dịch
với ở đây đặt các thẻ trở lại trong
lưới và giữ một mắt ra cho các mẫu.

English: 
this permutation. Well the sign
of any permutation is simply -1
to a certain power. The minus one bit is
already encouraging, right? We've got a
minus one there ... And what is that power
that gives the sign? It is the number of
what I call the inversions of the
permutation. An inversion is any pair of
numbers in the permutation where the
first number is higher than the second
so in that permutation there the seven
comes before the 2 that's an inversion.
Here's another one and another one. But
this one that's not inversion 2 and 11
are still in ascending order. Okay so it
turns out our mathematical life depends
upon counting those inversions. So let me
show you an ingenious life-saving way to
count inversions. For this particular
kind of permutations that we're dealing
with here place the cards back in the
grid and keep an eye out for patterns.

Vietnamese: 
Hãy tập trung vào một trong những lá bài nói 5.
Bây giờ xác định tất cả các thẻ cùng nhau
với 5 làm đảo ngược. Kiểm tra thẻ
cùng một lúc. 1 đến trước 5 vì vậy
không đảo ngược. 4 đến trước 5 không
đảo ngược hoặc. AHA 7 đến sau
5 vì vậy chúng tôi đã tìm thấy một sự đảo ngược. 10 tiếp theo
sau 5 lần đảo ngược khác, vâng, khác
một, không, 8 đến sau 5 nên không
không không, 5 rồi 3 năm, khác
đảo ngược. Không, không không và cuối cùng là không.
Bất cứ điều gì đáng chú ý về vị trí của
Các thẻ khác khoảng năm? Hãy để tôi chỉ cho
bạn làm thế nào hình ảnh này ra cho một vài
số bắt đầu khác. Vậy là có 8, 10
15. Có ngay bây giờ? Nghịch đảo cho điều này

French: 
Concentrons-nous sur une carte en particulier, disons 5. Maintenant repérons toutes les cartes qui forment 
une inversion avec 5. Vérifions les cartes une par une. 1 est plus petit que 5, donc
pas d'inversion. 4 est inférieur à 5 : pas d'inversion non plus. Ahah ! 7 est plus grand que 5,
donc on a trouvé une inversion. Ensuite 10 est supérieur à 5, c'est bien ça, une nouvelle inversion.
Non.
8 est supérieur à 5, donc non... Non... Non...
5 suivi de 3 donc oui, une nouvelle inversion.
Non... Non... Non... et enfin non. Vous avez remarqué quelque chose à propos de l'emplacement
des autres cartes autour de 5 ? Je vous montre comment ça se passe pour quelques 
autres nombres de départ. Voilà 8, 10, 15... Ça y est, vous l'avez ? Les inversions pour ce

English: 
Let's focus on one of the cards say 5.
Now locate all the cards that together
with 5 make an inversion. Check the cards
one at a time. 1 comes before 5 so
no inversion. 4 comes before 5 no
inversion either. AHA 7 comes after
5 so we've found an inversion. Next 10
after 5 another inversion, yep, another
one, nope, 8 comes after 5 so no
no no, 5 then 3 yep, another
inversion. No, no  no and finally no.
Anything notable about the location of
the other cards around five? Let me show
you how this picture pans out for a few
other starting numbers. So there's 8, 10
15. Got it now? The inversions for this

French: 
type particulier de permutations correspond toujours à un couple de cartes qui sont 
disposés le long d'une droite croissante.
Si elles sont alignées horizontalement ou verticalement, ou si elles sont disposées sur une 
droite décroissante, alors pas d'inversion. Alors, ce couple-là, inversion ou pas ? Oui,
droite croissante, c'est une inversion. Et maintenant une façon très simple de compter le nombre 
de couples d'inversion : on introduit des coordonnées pour la grille. Maintenant prenons deux cartes
en position d'inversion avec leurs coordonnées. Hmmm, pour la première
coordonnée, 2 est plus inférieur à 4. Et, de même, pour la deuxième coordonnée,
1 est inférieur à 3. Ok.Mais du coup c'est facile de repérer et de compter toutes les inversions.
Vous voyez pourquoi ? Premièrement, prenez 2 nombre différents entre 1 et 5, mettons 1 et 5.

English: 
particular type of permutation always
correspond to a pair of cards that are
placed positively sloped.
If they are horizontally or vertically
aligned or if they're placed negatively
sloped then no inversion. So is that pair
they're an inversion? Yep positively
sloped so it's an inversion. And now for
a very easy way to count the number of
inversion pairs we introduce coordinates
for the grid. Now here are two cards in
inversion position with their
coordinates (2,1) & (4,3). Hmm the first
coordinate 2 is smaller than the 4 and
the same with the second coordinate, the 1 is
smaller than the 3. Ok but now it's easy
to capture and count all the inversions.
Can you see why? First choose any two
different numbers from 1 to 5 say 1 and 5

Vietnamese: 
loại hoán vị đặc biệt luôn
tương ứng với một cặp thẻ
đặt dốc tích cực.
Nếu chúng theo chiều ngang hoặc chiều dọc
căn chỉnh hoặc nếu chúng được đặt tiêu cực
dốc rồi không đảo. Cặp đó cũng vậy
họ là một sự đảo ngược? Yep tích cực
dốc nên nó là một sự đảo ngược Và bây giờ cho
một cách rất dễ dàng để đếm số lượng
cặp đảo ngược chúng tôi giới thiệu tọa độ
cho lưới điện. Bây giờ đây là hai thẻ trong
vị trí đảo ngược với vị trí của họ
tọa độ (2.1) & (4.3). Hmm đầu tiên
tọa độ 2 nhỏ hơn 4 và
tương tự với tọa độ thứ hai, 1 là
nhỏ hơn 3. Ok nhưng bây giờ thì dễ
để nắm bắt và đếm tất cả các nghịch đảo.
Bạn có thể thấy tại sao không? Đầu tiên chọn bất kỳ hai
các số khác nhau từ 1 đến 5 nói 1 và 5

Vietnamese: 
đó sẽ là tọa độ đầu tiên của
hai thẻ của chúng tôi, nhỏ nhất để đi trong
thẻ đầu tiên. Và sau đó chọn bất kỳ hai
các số khác nhau từ 1 đến 3, nói 2 và 3.
Đó là tọa độ thứ hai, với
số nhỏ hơn một lần nữa trong thẻ đầu tiên.
Có một sự đảo ngược. Bạn có thể thấy chúng tôi nhận được
tất cả các nghịch đảo có thể theo cách này? Dễ dàng
đúng? Và nó cũng rất dễ đếm
số cách để có được những
nghịch đảo. Đó chỉ là số cách
chọn tọa độ đầu tiên nhân với
số cách chọn thứ hai
tọa độ. Vậy có bao nhiêu cách chọn
hai tọa độ đầu tiên? 5 sự lựa chọn của
số và chúng tôi đang chọn 2. Vì vậy, sóng
cây đũa thần của bạn và tụng 5 chọn 2 :) và
bạn đây rồi
bây giờ hai tọa độ thứ hai ... sóng 3
chọn 2. Bạn có biết những gì có nghĩa là
họ chỉ là nhà toán học tốc ký
cho số cách chọn

English: 
those will be the first coordinates of
our two cards, smallest to go in the
first card. And then choose any two
different numbers from 1 to 3, say 2 and 3.
Those are second coordinates, with the
smaller number again in the first card.
There an inversion. Can you see we get
all possible inversions this way? Easy
right? And it's also really easy to count
the number of ways of getting these
inversions. It's just the number of ways of
choosing the first coordinates times the
number of ways of choosing the second
coordinates. So how many ways of choosing
the first two coordinates? 5 choices of
numbers and we're choosing 2. So wave
your magic wand and chant 5 choose 2 :) and
there you are
now the second two coordinates ... wave 3
choose 2. Do you know what these mean
they're just mathematicians shorthand
for the number of ways of choosing

French: 
Ils constituent les premières coordonnées de nos deux cartes, la plus petite étant attribuée
à la première carte. Et ensuite on rend deux nombres entre 1 et 3, disons 2 et 3.
Ce sont les deuxièmes coordonnées, avec encore une fois la plus petite attribuée à la première carte.
C'est une inversion. Est-ce que vous comprenez qu'on peut repérer toutes les inversions de cette manière ?
Facile, non ? Et c'est également très facile de compter le nombre de façons d'obtenir
ces inversions. C'est simplement le nombre de façons de choisir les premières coordonnées fois
le nombre de façons de choisir les deuxièmes coordonnées. Mais alors combien de façons de choisir
les deux premières coordonnées ? 5 nombres possibles et on en choisit 2. On agite
sa baguette magique et on chante "2 parmi 5" ! Et voilà !
Maintenant les deux deuxièmes coordonnées... on agite... "2 parmi 3" ! Vous savez ce que ces formules veulent dire ?
Ce sont simplement des raccourcis mathématiques pour désigner le nombre de façons de choisir

Vietnamese: 
các đối tượng. Chúng ta sẽ thực sự
tính toán những con số này trong một phút
Dù chúng là gì thì nó cũng có nghĩa là tổng số
số lần đảo là 5 chọn 2 lần
3 chọn 2. Và nếu chúng ta bắt đầu với một
cỗ bài P lần Q? Sau đó là số
đảo ngược là P chọn 2 lần Q
chọn 2.
Và điều đó có nghĩa là dấu hiệu của chúng tôi
hoán vị là -1, nhớ -1? :) đến
sức mạnh đó đấy. Được rồi và từ đây 
về cơ bản nó là đại số tự động. Các
công thức cho P chọn 2 và Q chọn 2
là những cái này Bạn đã nhìn thấy tất cả, phải không? Tuyệt quá!
Và bây giờ chúng ta có thể có một chút và
nghỉ ngơi xứng đáng. Chúng ta sẽ thư giãn
bật chế độ lái tự động đại số, hãy để nó
cho chúng ta thấy sức mạnh trên đó bằng
sức mạnh của -1 trong phương trình bậc hai
luật đối ứng, sức mạnh đó. Vì thế

French: 
des objets. On passera au calcul lui-même de ces nombres dans une minute.
Quoi qu'ils vaillent, cela signifie que le nombre total d'inversion est 2 parmi 5
fois 2 parmi 3. Et si on avait commencé avec un paquet de p fois q cartes ? Dans ce cas le nombre
d'inversions serait 2 parmi p fois 2 parmi q.
Et cela veut dire que le signe de notre permutation est -1 (vous vous rappelez du -1 ?) élevé
à cette puissance-là. Ok, et à partir de là c'est essentiellement une question de pilote automatique de calcul !
Les formules de 2 parmi p et 2 parmi q sont celles-ci. Vous les avez tous déjà rencontrées, non ? Super !
Et maintenant, on peut tous s'accorder un peu de repos bien mérité. On se détend,
on allume le pilote automatique de calcul, et on le laisse nous dévoiler comment  cette puissance là-haut
correspond à la puissance de -1 dans la loi de réciprocité quadratique, cette puissance, ici.

English: 
objects. We'll get to actually
calculating these numbers in a minute.
Whatever they are it means the total
number of inversions is 5 choose 2 times
3 choose 2. And what if we start with a
deck of P times Q cards? Then the number
of inversions is P choose 2 times Q
choose 2.
And that means that the sign of our
permutation is -1, remember -1? :) to
that power there. Okay and from here 
it's basically algebra autopilot. The
formulas for P choose 2 and Q choose 2
are these. You've all seen these, right? Great!
And now we can have a little and
well-deserved rest. We'll relax,
switch on the algebra autopilot, let it
show us how that power up there equals
the power of -1 in the quadratic
reciprocity law, that power there. So

Vietnamese: 
hai cái này được coi là bằng nhau Vì thế
chỉ cần nhớ, đối với bậc hai
các số P và Q là các số nguyên tố lẻ. Được chứ
Sẵn sàng,
được thiết lập, thư giãn.
Tada, đã hoàn thành :) Thực sự tốt đẹp phải không và
cuối cùng chúng tôi đã chiếm được một trong những
số lượng trong luật đối ứng của chúng tôi. Thời gian
cho một lễ kỷ niệm ngắn
bạn không nghĩ sao Được rồi lễ kỷ niệm đã qua.
Trở lại công việc. Đây là một thử thách nhỏ cho
bạn. Lấy bất kỳ hoán vị ngẫu nhiên của thẻ.
Bây giờ thay đổi hoán vị này bằng cách thay đổi
tất cả trừ thẻ cuối cùng một không gian cho
đúng và mang thẻ cuối cùng đến
phía trước như thế này Thử thách của bạn là
xác định cách đi xe đạp của thẻ
thay đổi dấu hiệu của hoán vị.
Hãy nhớ rằng dấu hiệu được xác định bởi
số lượng nghịch đảo là chẵn
hoặc lẻ và cụ thể là thử thách của bạn

English: 
these two are supposed to be equal. So
just remember, for quadratic reciprocity
the numbers P and Q are odd primes. Okay
ready,
get set, relax.
Tada, finished :) Really nice isn't it and
we finally captured one of the
quantities in our reciprocity law. Time
for a short celebration,
don't you think? Okay celebrations is over.
Back to work. Here's a mini challenge for
you. Take any random permutation of cards.
Now change this permutation by shifting
all but the last card one space to the
right and bring the last card to the
front like this. Your challenge is to
determine how the cycling of the cards
changes the sign of the permutation.
Remember the sign is determined by
whether the number of inversions is even
or odd and specifically your challenge

French: 
Ces deux sont censées être égales. Rappelez-vous juste que pour la réciprocité quadratique,
les nombres p et q sont des nombres premiers impairs. Ok, on y va ?
Prêts ? On se détend.
Tada, fini ! Vraiment chouette, non ? Et on a enfin détricoté l'une des 
quantités de notre loi de réciprocité. C'est le moment de fêter ça,
vous ne croyez pas ? Ok, fin de la récré. On se remet au boulot. Voici un mini-défi pour vous.
Prenez n'importe quelle permutation de cartes. Maintenant modifiez cette permutation en décalant
toutes les cartes sauf la dernière d'une case vers la droite, et ramenez la dernière carte
tout devant, comme cela. Votre défi est de déterminer comment le déplacement des cartes
change le signe de la permutation. Gardez à l'esprit que le signe est déterminé
par la parité du nombre d'inversions, et votre défi spécifique 

Vietnamese: 
là để chỉ ra rằng nếu chúng ta có một số lẻ
của thẻ thì dấu hiệu giống nhau sau
đi xe đạp nhưng với số lượng thẻ chẵn
dấu hiệu sẽ thay đổi. Lại số lẻ
Thẻ, ký không thay đổi. Số chẵn,
thay đổi dấu hiệu. Chúng tôi sẽ sử dụng gọn gàng này
cái nhìn sâu sắc hai lần tại các điểm nối quan trọng của
bằng chứng đừng quên. Như mọi khi ghi lại
suy nghĩ của bạn trong các ý kiến.
Tươi và sẵn sàng để đi một lần nữa? Không? Gì
về tôi? Dù sao tôi biết đây là
chắc chắn là một nhà toán học marathon. Nhưng
đừng lo lắng, chúng tôi đã sẵn sàng
núi. Nhiệm vụ lớn còn lại là chứng minh
mà bình đẳng màu xanh đó. Sau đó một chút
dọn dẹp và chúng tôi đã hoàn thành Tất nhiên, nếu chúng ta
sẽ chứng minh sự bình đẳng đó trước tiên
phải giải thích về D trên đó
phương trình thẻ chéo bí ẩn

French: 
est de montrer que s'il y a un nombre impair de cartes, alors le signe reste le même après
le déplacement, mais qu'avec un nombre pair de cartes, le signe est modifié. Je répète, nombre impair de
cartes : le signe ne change pas. Nombre pair : le signe change. On utilisera ce chouette petit
résultat deux fois à des étapes cruciales de la démonstration, alors ne l'oubliez pas. Comme toujours,
partagez vos réflexions dans les commentaires.
Frais est dispos pour y retourner ? Non ? Et moi alors ? Bon je sais que c'est
en effet un Mathologer marathon. Mais rassurez-vous, on est déjà presque au sommet
de la montagne. La grosse mission qu'il nous reste, c'est de démontrer cette égalité bleue, ci-contre. Puis un peu
de ménage et c'est fini. Évidemment, si nous devons démontrer cette égalité, je dois d'abord
vous expliquer le "D" là-haut dans notre équation : la mystérieuse distribution de cartes

English: 
is to show that if we have an odd number
of cards then the sign is the same after
cycling but with an even number of cards
the sign will change. Again odd number of
cards, sign doesn't change. Even number,
sign changes. We'll use this neat little
insight twice at crucial junctions of the
proof so don't forget. As always record
your thoughts in the comments.
Fresh and ready to go again? No? What
about me? Anyway I know this is
definitely a marathon Mathologer. But
don't worry, we're already well up the
mountain. The big task left is to prove
that blue equality there. Then a little
tidying and we're done. Of course, if we're
going to prove that equality I first
have to explain the D up there in our
equation the mysterious diagonal card

English: 
dealing. But before that our dealing
instructions tell us to pick up the cards
in columns. That's easy, so let's do it. So,
there, things go under again as usual.
Right, under, under, under, third column
fourth column, fifth column. Cool. Okay now
comes the diagonalizing. 1 is the top
card and that goes in the upper left
corner. 6 is next and goes on the
diagonal below 1. Keep on going.  hmm
where does the 2 go. Easy
just think of pac-man or asteroids or
whatever your favorite loopy video game
is and keep extending the diagonal. So if
the grid continues at the bottom the 2
would go down there but since it doesn't
we simply wrap around and the 2 goes
up on top and now continue diagonally,
there, continue diagonally. Off the right
so wrap around to the left,

French: 
en diagonale. Mais tout d'abord, nos instructions nous disent de ramasser les cartes
par colonnes. C'est facile, alors faisons-le : voilà, les choses vont en-dessous du paquet, comme d'habitude.
En-dessous, en-dessous, en-dessous, en-dessous, troisième colonne, quatrième colonne, cinquième colonne. Cool. Ok, maintenant
la diagonalisation. 1 est la carte du dessus et elle va dans le coin en haut
à gauche. Ensuite vient 6, qui va dans la diagonale sous 1. On continue. Hmmm.
Où est-ce qu'on met le 2 ? Facile. Il suffit de penser à Pacman, ou Asteroids, ou 
n'importe quel jeu vidéo qui boucle, et on continue d'étendre la diagonale. Donc
si la grille continuais en bas, le 2 irait là. Mais puisque ce n'est pas le cas, 
on boucle simplement et le 2 arrive en haut. Et maintenant on continue en diagonale.
Voilà. On continue en diagonale. Ça dépasse à droite, donc on boucle pour revenir à gauche.

Vietnamese: 
xử lý. Nhưng trước đó giao dịch của chúng tôi
hướng dẫn cho chúng tôi nhận thẻ
trong các cột. Điều đó thật dễ dàng, vì vậy hãy làm điều đó. Vì thế,
ở đó, mọi thứ lại diễn ra như thường lệ.
Phải, dưới, dưới, dưới, cột thứ ba
cột thứ tư, cột thứ năm. Mát mẻ. Được rồi
đến đường chéo. 1 là hàng đầu
Thẻ và nó đi ở phía trên bên trái
góc. 6 là tiếp theo và tiếp tục
đường chéo dưới 1. Tiếp tục đi. hmm
2 đi đâu. Dễ dàng
Chỉ cần nghĩ về pac-man hoặc tiểu hành tinh hoặc
bất cứ trò chơi video yêu thích nào
là và tiếp tục mở rộng đường chéo. Do đó, nếu
lưới tiếp tục ở dưới cùng 2
sẽ đi xuống đó nhưng vì nó không
chúng tôi chỉ đơn giản là quấn quanh và 2 đi
lên trên và bây giờ tiếp tục theo đường chéo,
ở đó, tiếp tục theo đường chéo. Bên phải
nên quấn quanh bên trái,

French: 
On continue en diagonale, on boucle, et ainsi de suite. Diagonale, diagonale, 
on boucle, diagonale... Cool ! En fait c'est un peu un miracle que 
ça marche sans que les cartes ne se croisent. Donc un nouveau défi pour vous.
Montrez que ça fonctionne et que ça remplit la grille complète grâce aux dimensions
premières de la grille : c'est lié au fait que p et q n'ont pas de diviseur commun. Donc
c'est une permutation fort intéressante, non ? Hmmmm, peut-être que ça saute pas aux yeux. Alors
je vais vous montrer une propriété exceptionnelle de cette permutation. Comparons-la à
l'arrangement original, voilà. Vous saisissez maintenant ? Correct, les nombres de la première ligne n'ont été
mélangées qu'entre elles, et c'est vrai aussi pour la deuxième ligne et la troisième ligne.
Vous saisissez comment cela s'est produit ?
Encore un défi pour vous, pas si difficile si vous revenez à comment on a obtenu
cette permutation. En tous cas ça veut dire que notre combo "ramassage en colonne,

Vietnamese: 
tiếp tục theo đường chéo, quấn quanh, và như vậy
trên, chéo ở đó, chéo ở đó,
quấn quanh .. Tuyệt, nó
thực sự là một chút phép lạ rằng
hoạt động mà không có thẻ chạy vào
lẫn nhau. Vì vậy, một thách thức khác cho bạn.
Cho thấy rằng điều này hoạt động với toàn bộ lưới
được lấp đầy vì nguyên tố
kích thước của lưới. Đó là vì P
và Q không có yếu tố chung. Bây giờ đó là
một hoán vị rất thú vị, phải không? Ừm
có lẽ có lẽ không quá rõ ràng
tôi cho bạn thấy một tài sản đáng chú ý của
hoán vị này, hãy so sánh nó với
thiết lập bắt đầu, ở đó. Bạn hiểu chứ? Vâng
các số trong hàng đầu tiên vừa có
xáo trộn giữa họ và giống nhau
đúng cho hàng thứ hai và thứ ba
hàng.
Bạn thấy điều đó đã xảy ra như thế nào
một thử thách khác cho bạn, không khó lắm nếu bạn quay lại làm thế nào chúng ta có được điều đó
hoán vị. Dù sao
điều đó có nghĩa là cột của chúng tôi lên

English: 
continue diagonally, wrap around, and so
on, diagonal there, diagonal there,
wrap around.. Cool, it's
actually a bit of a miracle that this
works without the cards running into
each other. So another challenge for you.
Show that this works with the whole grid
being filled because of the prime
dimensions of the grid. It is because P
and Q have no common factors. Now that is
a very interesting permutation, right? Hmm
maybe maybe maybe not so obvious> So let
me show you a remarkable property of
this permutation, let's compare it with
the starting setup, there. You got it? Yep
the numbers in the first row just got
shuffled amongst themselves and the same
is true for the second row and the third
row.
You see how that happened that's yet
another challenge for you, not a hard one if you go back to how we got that
permutation. Anyway
what it means is that our column up

English: 
diagonal down combo permutation can be
thought of as three independent mini
permutations, one for each row, like this.
But now think about the sign of our big
permutation. Remember that's the sign
we're hunting, the sign comes from the
number of inversions. So what about
inversions. Well since the rows stay put
the inversions of our big permutation
can only come from the inversions within
each row. But the sign of a permutation
is -1 to the number of inversions
and that tells us that the sign of our
big permutation is just the product of
the signs of the three row permutations.
Got it? Cool, hmm?
And now really clever insight. Those three
row permutations are essentially
identical. Can you see it? Nope, definitely not
obvious. So let me explain. Take a look at

French: 
distribution en diagonale" peut se voir comme trois mini-permutations
indépendantes : une pour chaque ligne, comme cela. Mais maintenant réfléchissons au signe de notre 
permutation globale. Souvenez-vous : c'est ce signe que nous cherchons. Le signe provient du
nombre d'inversions. Donc regardons les inversions. Puisque les lignes gardent les mêmes nombres,
les inversions de notre permutation globale ne peuvent provenir que des inversions au sein
de chaque ligne. Or, le signe d'une permutation est -1 élevé à la puissance du nombre d'inversions
et ça nous dit que le signe de notre permutation globale est simplement le produit des
signes des trois permutations au sein des lignes.
Et maintenant un résultat vraiment astucieux. Ces trois permutations en ligne sont essentiellement
identiques. Vous voyez pourquoi ? Non, ce n'est pas évident. Alors je vous explique. Si on regarde

Vietnamese: 
hoán vị kết hợp đường chéo xuống có thể được
nghĩ như ba nhỏ độc lập
hoán vị, một cho mỗi hàng, như thế này.
Nhưng bây giờ hãy nghĩ về dấu hiệu lớn của chúng ta
hoán vị. Hãy nhớ rằng đó là dấu hiệu
chúng tôi đang săn bắn, dấu hiệu đến từ
số lượng nghịch đảo. Vậy còn
nghịch đảo. Kể từ khi các hàng ở lại đặt
sự đảo ngược của hoán vị lớn của chúng tôi
chỉ có thể đến từ những nghịch đảo trong
từng hàng. Nhưng dấu hiệu của một hoán vị
bằng -1 với số lần đảo
và điều đó cho chúng ta biết rằng dấu hiệu của chúng ta
hoán vị lớn chỉ là sản phẩm của
các dấu hiệu của hoán vị ba hàng.
Hiểu rồi? Thật tuyệt, hmm?
Và bây giờ thực sự thông minh sâu sắc. Ba người đó
hoán vị hàng chủ yếu
giống hệt nhau Bạn có thể thấy nó? Không, chắc chắn là không
hiển nhiên Vậy để tôi giải thích. Hãy xem

Vietnamese: 
sự thay đổi hàng đầu tiên và thứ ba và chu kỳ
hàng đầu tiên một vài lần Một hai
there see 2 aligned, 4 aligned, 1 aligned,
so on so. After the cycling we have
essentially the same permutation of each
row just with different labeling and you
can easily check that the same thing
works for the middle row. But now
remember your challenge from before.
Since we have an odd number of cards in
each row the cycling doesn't change the
signs of the permutation and that means,
and this is very cool, and really
important, that all of the row
permutations have the same sign. Bây giờ nếu
the common sign of the row permutations
is 1 then 1 times 1 times is 1.
And so the big permutation also has
sign 1. And if the common sign of the row
permutations is -1 then because
we are dealing with an odd number of
rows the product of these -1 is
also -1. Summarizing
this means that the sign of our big

English: 
that first and third row and cycle shift
the first row a couple of times. One, two
there see 2 aligned, 4 aligned, 1 aligned,
so on so. After the cycling we have
essentially the same permutation of each
row just with different labeling and you
can easily check that the same thing
works for the middle row. But now
remember your challenge from before.
Since we have an odd number of cards in
each row the cycling doesn't change the
signs of the permutation and that means,
and this is very cool, and really
important, that all of the row
permutations have the same sign. Now if
the common sign of the row permutations
is 1 then 1 times 1 times is 1.
And so the big permutation also has
sign 1. And if the common sign of the row
permutations is -1 then because
we are dealing with an odd number of
rows the product of these -1 is
also -1. Summarizing
this means that the sign of our big

French: 
la première et la dernière ligne, et qu'on décale la première lignes en bouclant un certain nombre de fois : une fois, deux fois.
Maintenant vous voyez les 2 alignés, les 4 alignés, les 1 alignés, etc. Après ces mouvements on a 
essentiellement la même permutation dans chaque ligne, juste avec un marquage différent. Et on
peut facilement montrer que ça marche aussi pour la ligne du milieu. Et maintenant
rappelez-vous de votre défi. Puisqu'il y a un nombre impair de cartes dans
chaque ligne, le décalage avec boucle ne change pas le signe de la permutation associée, et cela signifie,
et ça c'est vraiment cool, et très important, que toutes les permutations
au sein des lignes ont le même signe. Du coup, si le signe commun des ces trois permutations 
est 1, alors 1 fois 1 fois 1 = 1. Et donc la permutation globale est
 de signe 1. Et si le signe commun des trois permutations est -1, alors, 
puisqu'il y a un nombre impair de lignes, le produit de ces -1
vaut aussi -1. En résumé, ça veut dire que le signe de notre

Vietnamese: 
permutation is the same as the sign of
any one of the little permutations, say
of the first one. Điều đó thật tuyệt
isn't it? Now this is definitely the time
where you take a deep breath :) Now believe
it or not we're getting very close and
hats off to all of you hardcore
Mathologerers who made it this far. Tôi là
really really proud of you. And I'm proud
of myself :)
Okay recovered? Sort of? Tốt Thời gian để
continue to track. What remains for us to
show is that the sign of this row
permutation is equal to Legendre
symbol we're chasing and for that we
first have to figure out how exactly
this row got permuted around. Well, what
we're seeing in front of us almost looks
like the remainders in Z5, which
is what the Legendre symbol is all about.
And it would be exactly the remainders
in Z/5 if we had labeled our cards

French: 
permutation globale est le même que le signe de n'importe laquelle de nos petites permutations, 
par exemple de la première. C'est plutôt cool, non ? Bon, c'est maintenant le moment
pour vous de prendre une grande respiration. Croyez-le ou non, cette fois on y est presque,
et chapeau à vous tous, Mathologers motivés, qui êtes arrivés jusque là.
Je suis vraiment, vraiment fier de vous. Et je suis fier de moi !
Ok, vous êtes remis ? Plus ou moins ? Parfait. On s'y remet. Ce qu'il nous reste à
montrer c'est que le signe de cette petit permutation de ligne est égale au symbole
de Legendre après lequel nous courrons, et pour cela on doit d'abord comprendre exactement comment
cette ligne a été permutée. Ce qu'on a en face de nous ressemble presque
aux restes dans Z/5 dont traite le symbole de Legendre.
Et ce serait exactement les restes dans Z/5 si on avait numéroté nos cartes

English: 
permutation is the same as the sign of
any one of the little permutations, say
of the first one. That's pretty cool
isn't it? Now this is definitely the time
where you take a deep breath :) Now believe
it or not we're getting very close and
hats off to all of you hardcore
Mathologerers who made it this far.  I'm
really really proud of you. And I'm proud
of myself :)
Okay recovered? Sort of? Good! Time to
continue to track. What remains for us to
show is that the sign of this row
permutation is equal to Legendre
symbol we're chasing and for that we
first have to figure out how exactly
this row got permuted around. Well, what
we're seeing in front of us almost looks
like the remainders in Z5, which
is what the Legendre symbol is all about.
And it would be exactly the remainders
in Z/5 if we had labeled our cards

French: 
en partant de 0 au lieu de 1, comme cela.
Bien entendu, cette renumérotation ne change pas le signe de notre permutation.
Maintenant si on analyse l'effet de la distribution en diagonale sur cette première ligne, 
on comprend vite ce qu'il se passe. Regardons ça ensemble. Alors, comment précisément
passons-nous du positionnement initial à l'arrangement final ? Eh bien,
quand on ramasse toutes les cartes par colonnes, les cartes de cette première ligne se retrouvent dans l'ordre croissant
dans notre main. Ensuite en distribuant en diagonale, le 0 retourne directement d'où
il était venu. Ensuite on se déplace vers la droite et on pose 
une carte dans la deuxième ligne. Puis on se déplace encore à droite et on pose une carte dans la troisième ligne.
On se déplace une nouvelle fois à droite, mais cette fois c'est à nouveau au tour de notre première ligne. Un coup à droite,
deuxième ligne, un coup à droite, eh bien là on boucle, troisième ligne, un coup à droite et c'est à nouveau notre tour. 

English: 
beginning with 0 rather than 1, like
this.
Of course relabeling like this doesn't
change the sign of our permutation. Now
when you ponder the effect of the
diagonal deal on this first row you
quickly figure out what's going on. Let's
do that together. So how exactly do we
get from the cards in their starting
position to the final arrangement? Well,
when we pick up the cards by columns the
cards in this row end up in the natural
order in our hand. Now dealing diagonally
the 0 goes straight back to where it
came from.
Now we move to the right and put down a
card in the second row. Then we move
right again and put a card in the third
row. Move right again but now it's the
turn of our first row again. Move right,
second row, move right, well wraparound
third row, move right and it's our turn

Vietnamese: 
beginning with 0 rather than 1, like
điều này.
Of course relabeling like this doesn't
change the sign of our permutation. Hiện nay
when you ponder the effect of the
diagonal deal on this first row you
quickly figure out what's going on. Hãy
do that together. So how exactly do we
get from the cards in their starting
position to the final arrangement? Tốt,
when we pick up the cards by columns the
cards in this row end up in the natural
order in our hand. Now dealing diagonally
the 0 goes straight back to where it
đến từ.
Now we move to the right and put down a
card in the second row. Then we move
right again and put a card in the third
row. Move right again but now it's the
turn of our first row again. Move right,
second row, move right, well wraparound
third row, move right and it's our turn

French: 
Et ainsi de suite. 1, 2, à nous. 1, 2, à nous. En résumé, pour placer chaque
carte successivement dans la première ligne, on se déplace de trois cases vers la droite, en bouclant quand
c'est nécessaire. Et il se trouve que le déplacement successif de trois cases correspond simplement à la multiplication
par 3 dans notre mini-corps Z/5. Je vous montre pourquoi. Revoici notre
positionnement de départ. Voilà. On prend le 0 en première position et
on multiplie par 3. 0 fois 3 ça fait 0, et donc 0 reste dans la position du 0 0. Ensuite, 1 fois 3 
vaut 3, et alors 1 se retrouve dans la position du 3. 2 fois 3 font 6, 6 divisé par 5 donne un reste
de 1 et alors 2 se retrouve dans la position du 1. 3 fois 3 font 9, reste 4, et alors 3 se retrouve
tout au bout. Il reste 4, et il vaut mieux qu'il aille dans la case vide. Vérifions.
4 fois 3 font 12, reste 2, et donc 4 va dans la case du 2.
Ouf !

Vietnamese: 
again, and so on. One, two, our turn. One, two,
our turn. In summary, to place each
successive card, we move three spaces to
the right and wrap around whenever
necessary and the successive advancing
by three turns out to be just multiplication
by three in our mini field Z5. Để cho
me show you how. Here's our beginning
arrangement again. Đó
Now take this zero in the first spot and
multiply by 3. 0 times 3 is 0 and so 0
stays in the zero spot. Next 1 times 3 is
3 and so 1 goes to the 3 spot. 2 times
3 is 6, 6 divided by 5 gives a remainder
of 1 and so 2 goes to the 1 spot. 3 times
3 is 9 remainder 4 and so 3 goes all the
way to the end. Just 4 left and it
better go in the empty spot. Vậy hãy
check: 4 times 3 is 12 remainder 2 and
so 4 goes in the second spot. What a
relief :)

English: 
again, and so on. One, two, our turn. One, two,
our turn. In summary, to place each
successive card, we move three spaces to
the right and wrap around whenever
necessary and the successive advancing
by three turns out to be just multiplication
by three in our mini field Z5. Let
me show you how. Here's our beginning
arrangement again. There.
Now take this zero in the first spot and
multiply by 3. 0 times 3 is 0 and so 0
stays in the zero spot. Next 1 times 3 is
3 and so 1 goes to the 3 spot. 2 times
3 is 6, 6 divided by 5 gives a remainder
of 1 and so 2 goes to the 1 spot. 3 times
3 is 9 remainder 4 and so 3 goes all the
way to the end. Just 4 left and it
better go in the empty spot. So let's
check: 4 times 3 is 12 remainder 2 and
so 4 goes in the second spot. What a
relief :)

English: 
Okay so our row permutation is captured
by multiplication by 3 in the world of
Z/5. That definitely feels like we're
getting close to capturing the Legendre
symbol of 3 on 5. To complete the capture we
have to show the sign of the row
permutation is equal to the Legendre
symbol. Last chapter, promise. okay we're
just about set for the final - up to the
peak before that I have to introduce you
to one more final magical property of
the sign of a permutation. For those of
you in the know this is the fact that
the sign of a permutation stays
unchanged after conjugation. I know that
doesn't help much if you don't know the
jargon. What it means is that if you
first shuffle to change the natural
order of the cards to any other order,
then the sign of the permutation will
stay the same. I call this property the
reordering property. Sounds pretty damn

French: 
Ok, notre permutation de ligne se traduit par la multiplication par 3 dans le monde
de Z/5. On sent enfin qu'on se rapproche du symbole
de Legendre de 3 sur 5. Pour conclure l'affaire, il nous reste à montrer que le signe de la permutation
de ligne est égal au symbole de Legendre.
Dernier chapitre, c'est promis ! Ok,
on est presque parés pour le sprint final vers le sommet. Mais avant, je dois vous présenter
une propriété magique supplémentaire du signe d'une permutation. Pour vous
les initiés, c'est le fait que le signe d'une permutation reste
inchangé après conjugaison. Je sais, ça ne vous avance pas si vous ne connaissez pas
le jargon. Ce que ça veut dire c'est que si vous remplacez l'ordre usuel
des entiers par n'importe quel ordre arbitraire, alors le signe de la permutation
restera le même. J'appelle cette propriété la propriété de réordonnancement. Ça a l'air

Vietnamese: 
Okay so our row permutation is captured
by multiplication by 3 in the world of
Z/5. That definitely feels like we're
getting close to capturing the Legendre
symbol of 3 on 5. To complete the capture we
have to show the sign of the row
permutation is equal to the Legendre
symbol. Last chapter, promise. okay we're
just about set for the final - up to the
peak before that I have to introduce you
to one more final magical property of
the sign of a permutation. For those of
you in the know this is the fact that
the sign of a permutation stays
unchanged after conjugation. tôi biết điều đó
doesn't help much if you don't know the
jargon. What it means is that if you
first shuffle to change the natural
order of the cards to any other order,
then the sign of the permutation will
stay the same. I call this property the
reordering property. Sounds pretty damn

Vietnamese: 
mysterious I know. Let me explain. Đầu tiên
let's look at a random permutation of
our cards this one here. So on top we've
got the natural order of our cards and
at the bottom the permutation. Now first
think of what you see in front of you as
five top and bottom pairs of numbers.
Second do something weird: reshuffle
things in pairs any way you
giống. Okay so things get stuck together
như thế này. Finally think of what you
see in the top row as the new natural
order. So four is the new 0, 3 is the new
number 1, 2 stays at 2, and so on.
Okay, now drum roll here's the reordering
property. The sign of our new permutation
at the bottom is the same as the sign of
the original permutation. Looks totally

French: 
carrément mystérieux, je sais. Je vais vous expliquer. D'abord prenons une permutation aléatoire
de nos cartes : celle-là. Alors en haut on a l'ordre usuel de nos cartes, 
et en bas on a la permutation. Maintenant, considérez ce que vous voyez
comme cinq couples de nombres du haut et du bas. Ensuite, on fait un truc bizarre : on remélange
les couples d'une façon arbistraire. Ok, donc les couples restent ensemble,
comme ceci. Enfin, considérez ce que vous voyez en haut comme le nouvel ordre 
usuel : 4 est le nouveau 0, 3 est le nouveau 1, 2 reste 2, etc.
Ok, roulements de tambour, voici maintenant la propriété de réordonnancement : le signe de notre nouvelle permutation
en bas est la même que le signe de la permutation originale. Elle a l'air

English: 
mysterious I know. Let me explain. First
let's look at a random permutation of
our cards this one here. So on top we've
got the natural order of our cards and
at the bottom the permutation. Now first
think of what you see in front of you as
five top and bottom pairs of numbers.
Second do something weird: reshuffle
things in pairs any way you
like. Okay so things get stuck together
like this. Finally think of what you
see in the top row as the new natural
order. So four is the new 0, 3 is the new
number 1, 2 stays at 2, and so on.
Okay, now drum roll here's the reordering
property. The sign of our new permutation
at the bottom is the same as the sign of
the original permutation. Looks totally

English: 
different but the sign is the same,
guaranteed. And that works no matter how
we shuffle things around. Again if all
this permutation magic is new to you
don't worry
accept it for now and I'll explain
everything in my next video.
And now with this reordering property in
our armory, we're ready to attack the
summit and our path to the summit is
called Zolotarev's lemma. Now Matt
Baker's blog post is addressed to
mathematicians and so Zolotarev's
Lemma is dispensed with in just a
few lines. Not very Mothologery is it?
So for the mortals among us here is the
Mathologerized version. Okay Matt starts
like this. That's started well. What the
hell is a primitive root I hear you ask. I'll
explain. it's the final missing piece and
then everything will click into place.
Remember our final puzzle involves
mucking around with the remainder after
division by five. In other words, we're

French: 
complètement différente, mais le signe est le même, c'est garanti. Et ça fonctionne quelle que soit
la manière dont on mélange. Encore une fois, si toute cette magie de permutation vous est toute nouvelle,
pas de panique, acceptez-la pour le moment, et je vous expliquerai
tout dans ma prochaine vidéo. Et maintenant que nous avons cette propriété de réordonnancement
dans notre arsenal, nous voilà prêt à attaquer le sommet. Et notre chemin vers le sommet
s'appelle le lemme de Zolotarev. En fait le billet de blog de Matt Baker est destiné
à des mathématiciens et donc le lemme de Zolotarev est énoncé en seulement
quelques lignes. Pas très Mathologeresque, si ? Alors pour les mortels parmi nous, voici la
version Mathologerisée. Ok, Matt commence ainsi. Ça commence bien !
"Mais c'est quoi au juste une racine primitive ?", vous ai-je entendu demander. Je vais expliquer : c'est la dernière pièce manquante,
ensuite tout se mettra en place. Rappelez-vous que notre dernière énigme demande
un peu de bricolage avec le reste de la division par 5. Autrement dit,

Vietnamese: 
different but the sign is the same,
guaranteed. And that works no matter how
we shuffle things around. Again if all
this permutation magic is new to you
đừng lo lắng
accept it for now and I'll explain
everything in my next video.
And now with this reordering property in
our armory, we're ready to attack the
summit and our path to the summit is
called Zolotarev's lemma. Now Matt
Baker's blog post is addressed to
mathematicians and so Zolotarev's
Lemma is dispensed with in just a
few lines. Not very Mothologery is it?
So for the mortals among us here is the
Mathologerized version. Okay Matt starts
như thế này. That's started well. What the
hell is a primitive root I hear you ask. tôi sẽ
explain. it's the final missing piece and
then everything will click into place.
Remember our final puzzle involves
mucking around with the remainder after
division by five. In other words, we're

French: 
on est en train de faire des acrobaties algébriques dans le mini-corps Z/5. Or,
les mini-corps contiennent des nombres spéciaux, qu'on appelle racines primitives, et il se trouve que
le nombre 2 est l'une de ces racines primitives dans Z/5. Je vous
explique ce que ça veut dire. D'abord, on écrit les puissances de 2, en suite on calcule 
les reste après division par 5, on obtient 2-4-3-1, 2-4-3-1, et ces restes se répètent en boucle.
C'est assez facile de vérifier que les restes se répètent en boucle, mais
le fait marquant pour nous c'est que tous les restes non-nuls, 1, 2, 3 et 4,
apparaissent dans chaque boucle, absolument tous. Et cette propriété est ce qui définit
une racine primitive. Maintenant, avec ces restes de puissances en tête, revenons
à nos carrés et non-carrés dans notre mini-corps. Vous vous souvenez d'eux ? Vous
les avez rencontrés il y a de cela deux heures, peut-être ! On remarque que les puissance paires de 2
donnent des carrés et les puissances impaires de 2 donnent des non-carrés.

English: 
performing algebraic acrobatics
in the mini field Z/5. Now, many
fields contain special numbers called
primitive roots and it turns out that
the number 2 is one of those
primitives roots in Z/5. So let me
explain what that means. First write down
the powers of 2, next calculate the
remainders after division by 5, so we get
2 4 3 1, 2 4 3 1 with those remainders cycling
around. It's pretty easy to see that the
remainders have to cycle but the
important point for us is that all
nonzero remainders 1 2 3 & 4
appear in the cycle, all of them. And having this
property is what it means to be a
primitive root. But now with these power
remainders in view let's take another
look at the squares and non squares in
our mini field. Remember those? You saw
them maybe two hours ago :)
Notice that the even powers of 2 give
us the squares and the
odd powers of 2 give us the non

Vietnamese: 
performing algebraic acrobatics
in the mini field Z/5. Now, many
fields contain special numbers called
primitive roots and it turns out that
the number 2 is one of those
primitives roots in Z/5. So let me
explain what that means. First write down
the powers of 2, next calculate the
remainders after division by 5, so we get
2 4 3 1, 2 4 3 1 with those remainders cycling
xung quanh. It's pretty easy to see that the
remainders have to cycle but the
important point for us is that all
nonzero remainders 1 2 3 & 4
appear in the cycle, all of them. And having this
property is what it means to be a
primitive root. But now with these power
remainders in view let's take another
look at the squares and non squares in
our mini field. Remember those? You saw
them maybe two hours ago :)
Notice that the even powers of 2 give
us the squares and the
odd powers of 2 give us the non

English: 
squares. So even powers are squares, odd
powers are non-squares which also feels
pretty natural isn't it? And this turns
out to be true for any primitive root.
And this is the second property of
primitive roots that's really important
to us. Now back to our permutation and to
the Legendre symbol we are hunting there
that Legendre symbol is supposed to be
equal to the sign of this permutation.
And it turns out that our primitive root
is also the key to this puzzle.
Notice that the zero stays put in the
first spot so our permutation is really
just a permutation of the four nonzero
remainders and the sign we're chasing is
the sign of this four card permutation.
And as we've seen this permutation comes
about by multiplying 1,2,3,4
by the prime number 3. But now think
of those permuted remainders as
remainders of powers of 2 there. 1

French: 
En résumé : les puissance paires sont des carrés, les puissances impaires sont des non-carrés, ce qui paraît également
assez naturel, non ? Et il se trouve que c'est vrai pour toute racine primitive.
Et c'est cette deuxième propriété des racines primitives qui est vraiment importante 
pour nous. Allez, on retourne à notre permutation et au symbole de Legendre que nous chassons.
Voilà, ce symbole de Legendre est censé être égal au signe de cette permutation.
Et il s'avère que notre racine primitive est également la clé de cette énigme.
On remarque que le 0 reste en première position, donc notre permutation est en fait
simplement une permutation des 4 restes non-nuls, et le signe que nous recherchons
est le signe de cette permutation de 4 cartes. Et comme nous l'avons vu, cette permutation est obtenue
en multipliant 1, 2, 3, 4 par le nombre premier 3. Mais maintenant
regardons ces restes permutés comme des restes de puissances de 2. Comme ça.

Vietnamese: 
hình vuông. So even powers are squares, odd
powers are non-squares which also feels
pretty natural isn't it? And this turns
out to be true for any primitive root.
And this is the second property of
primitive roots that's really important
cho chúng tôi Now back to our permutation and to
the Legendre symbol we are hunting there
that Legendre symbol is supposed to be
equal to the sign of this permutation.
And it turns out that our primitive root
is also the key to this puzzle.
Notice that the zero stays put in the
first spot so our permutation is really
just a permutation of the four nonzero
remainders and the sign we're chasing is
the sign of this four card permutation.
And as we've seen this permutation comes
about by multiplying 1,2,3,4
by the prime number 3. But now think
of those permuted remainders as
remainders of powers of 2 there. 1

Vietnamese: 
there's 2 and there's 3 and
finally that's 4. Okay,
again, the permutation comes about by
multiplying two numbers at the top by
3 but in our Z/5 minifield two
cubed has remainder 3 and so
multiplying by 3is the same as
multiplying by two to the power of three
and, and here it comes, when we multiply all
those (powers of two) by (two cubed) we do
this by adding the exponent 3 to
each of the other exponents, right?
Multiplying powers of two amounts to
adding their exponents. So hold on to this
cái nhìn sâu sắc. The critical multiplication
amounts to adding the green three to all
the exponents.
But now we can fire our new permutation
reordering weapon. Let's make the order
that the exponents are in into the new

French: 
Le 1 va là, voilà pour le 2, pour le 3, et enfin le 4.
Je le répète, la permutation provient de la multiplication des nombres du haut
par 3, mais dans notre mini-corps Z/5, 2 au cube a un reste de 3, et donc
multiplier par 3 est équivalent à multiplier par 2 à la puissance 3.
Et, ça y est on y arrive, quand on multiplie toutes ces puissances de 2 par 2 au cube,
on le fait en additionnant l'exposant 3 à tous les autres exposants.
Multiplier des puissances de 2 entre elles revient à additionner leur exposant. Gardez ça en tête.
La multiplication cruciale revient à ajouter le 3 vert à tous
les exposants. Mais maintenant on peut dégainer notre nouvelle arme
de réordonnancement. Faisons de l'ordre dans lequel sont les exposants le nouvel

English: 
there's 2 and there's 3 and
finally that's 4. Okay,
again, the permutation comes about by
multiplying two numbers at the top by
3 but in our Z/5 minifield two
cubed has remainder 3 and so
multiplying by 3is the same as
multiplying by two to the power of three
and, and here it comes, when we multiply all
those (powers of two) by (two cubed) we  do
this by adding the exponent 3 to
each of the other exponents, right?
Multiplying powers of two amounts to
adding their exponents. So hold on to this
insight. The critical multiplication
amounts to adding the green three to all
the exponents.
But now we can fire our new permutation
reordering weapon. Let's make the order
that the exponents are in into the new

French: 
ordre usuel, comme ceci. Ah voilà. Maintenant les exposants sont dans l'ordre usuel : 1, 2, 3, 4.
Voilà. Et alors la propriété de réordonnancement nous dit que le signe de la permutation
de départ est le même que celui de cette nouvelle permutation des exposants. Et cette 
nouvelle permutation, on l'obtient simplement en ajoutant 3. Et bien sûr, faire une addition est bien plus facile
que faire une multiplication, donc on a effectivement accompli quelque chose. Et par ailleurs, ajouter 3,
quand on regarde de plus près, c'est en fait la même chose que décaler 3
fois l'ordre usuel. Voilà l'ordre usuel ; on décale une fois, on décale deux fois, on décale trois fois.
Super simple. Ok, donc maintenant on a quelque chose de très simple
en face de nous. Voici notre permutation. Et maintenant
tout est déjà en place pour se combiner parfaitement pour le bouquet final.
Alors je vous rappelle juste toutes les pièces du puzzle pour que la chute

English: 
natural order, like this. There the 
exponents are now in natural order 1 2 3
4. So the reordering property tells
us that the sign of the original
permutation equals the sign of this new
permutation of the exponents and this
new permutation you just get by adding 3.
And of course adding is a lot easier
than multiplying so we've definitely
made progress here. And also adding 3,
when you have a really close look, is
really the same as just shifting three
times from natural order. There natural
order, shift once, shift twice, shift three
times. Super simple. All right, so we've
got now a really really simple thing to
look at.
That's our permutation. And now
everything is all ready in primed to come
together in one big glorious bang. So let
me just remind you of all the bits and
pieces so that the punchline will

Vietnamese: 
natural order, like this. There the 
exponents are now in natural order 1 2 3
4. So the reordering property tells
us that the sign of the original
permutation equals the sign of this new
permutation of the exponents and this
new permutation you just get by adding 3.
And of course adding is a lot easier
than multiplying so we've definitely
made progress here. And also adding 3,
when you have a really close look, is
really the same as just shifting three
times from natural order. There natural
order, shift once, shift twice, shift three
lần Siêu đơn giản. All right, so we've
got now a really really simple thing to
look at.
That's our permutation. Và bây giờ
everything is all ready in primed to come
together in one big glorious bang. So let
me just remind you of all the bits and
pieces so that the punchline will

English: 
deliver a big proper punch. This is what
we want to show, that the sign of our
column then diagonal permutation equals
the Legendre symbol and we've just seen
that the sign of this permutation
equals the sign of that simple shift
permutation. The crucial link was
established by the powers of 2 the
powers of a primitive root. In particular
or prime multiplication number 3
corresponds to the shift exponent 3
now that these two numbers turn out to
be the same in our example is really
just a coincidence. Now remember how
to check whether our pink prime 3 is a
square in Z/5 the pink prime is a square
if the green exponent is even and it's a
non square if it is odd. In this case the
green 3 is odd and so the pink prime 3
is not a square in Z5. Not being a
square means the Legendre symbol is
equal to - 1. On the other hand, the

French: 
soit vraiment une chute digne de ce nom. Donc ça, c'est ce qu'on veut montrer : que le signe de notre
permutation colonne-puis-diagonale est égal au symbole de Legendre, et on vient de voir
que le signe de cette permutation est égal au signe de cette simple permutation
par décalage. La relation cruciale a été établie par les puissances de 2, 
les puissances d'une racine primitive. En particulier, notre facteur de multiplication premier, 3, 
correspond à un exposant de décalage de 3. Pour le coup ces deux nombre se trouvent
être les mêmes dans notre exemple, mais c'est en fait juste une coïncidence. Maintenant il faut se rappeler
comment vérifier si notre nombre premier rose, 3, est un carré ou non dans Z/5. Le nombre premier rose est un carré
si l'exposant vert est pair, et c'est un non-carré s'il est impair. Dans ce cas
le 3 vert est impair et donc le nombre premier rose, 3, n'est pas un carré dans Z/5. Le fait de ne pas être
un carré implique que le symbole de Legendre vaut -1. D'autre part,

Vietnamese: 
deliver a big proper punch. Đây là những gì
we want to show, that the sign of our
column then diagonal permutation equals
the Legendre symbol and we've just seen
that the sign of this permutation
equals the sign of that simple shift
permutation. The crucial link was
established by the powers of 2 the
powers of a primitive root. In particular
or prime multiplication number 3
corresponds to the shift exponent 3
now that these two numbers turn out to
be the same in our example is really
just a coincidence. Now remember how
to check whether our pink prime 3 is a
square in Z/5 the pink prime is a square
if the green exponent is even and it's a
non square if it is odd. In this case the
green 3 is odd and so the pink prime 3
is not a square in Z5. Not being a
square means the Legendre symbol is
equal to - 1. On the other hand, the

French: 
le même exposant vert 3 nous dit également que la permutation du haut est obtenue en
décalant les cartes en ordre usuel 3 fois. Voici
l'ordre usuel. Dans l'ordre usuel il n'y a pas d'inversions, et donc on commence avec un signe de 1.
Or, on a un nombre pair de cartes. Si vous vous souvenez, ça veut dire qu'à chaque fois qu'on décale
d'une case, le signe de la permutation change. Or notre exposant vert est impair
ce qui correspond à 3 décalages et donc le signe de la permutation qu'on obtient 
sera également -1. Vérifions. On décale une fois, on décale deux fois, trois fois : -1. Donc
la parité de l'exposant vert force simultanément le signe de
la permutation du haut et le symbole de Legendre en bas à valoir tous les deux -1.
ou tous les deux 1. Et ça, ça prouve enfin que ce signe de la permutation en haut

English: 
same green exponent 3 also tells us that
the permutation on top comes about by
shifting the cards
in natural order three times. Here's the
natural order. In natural order there are
no inversions and so the sign begins as
1. Now we have an even number of cards.
Remember that means every time we shift
one space the sign of the permutation
switches. But our green exponent is odd
meaning three shifts and therefore the
sign of the resulting permutation will
be -1 as well. Have a look: shift once,
shift twice, three times: -1. So the
green exponent being odd or even
simultaneously forced the sign of the
permutation at the top and the Legendre
symbol at the bottom to be both -1
one or both 1. And that finally, finally
proves that the permutation sign up top

Vietnamese: 
same green exponent 3 also tells us that
the permutation on top comes about by
shifting the cards
in natural order three times. Here's the
natural order. In natural order there are
no inversions and so the sign begins as
1. Now we have an even number of cards.
Remember that means every time we shift
one space the sign of the permutation
switches. But our green exponent is odd
meaning three shifts and therefore the
sign of the resulting permutation will
be -1 as well. Have a look: shift once,
shift twice, three times: -1. Nên
green exponent being odd or even
simultaneously forced the sign of the
permutation at the top and the Legendre
symbol at the bottom to be both -1
one or both 1. And that finally, finally
proves that the permutation sign up top

English: 
and the Legendre symbol below are equal. Tada.
I never do this again promise :)
What an incredible argument. Real genius
don't you agree. Of course, three and five
are just placeholders for any two
different odd primes. You can check
through and see that the argument
presented here is completely general
except for some facts about our prime
mini fields and a little background stuff on
permutations which I'll cover in my next
video
it really is a complete proof of the law
of quadratic reciprocity. And now two
final challenges. Nope just kidding
you've worked plenty hard enough, and so
have I. No more homework but if you're
perceptive and still alive you might
notice there were two other places
earlier in the video where I really need
the reordering property of permutations
to make proper sense of things. Second
the fact that P and Q are different odd
prime numbers really only strikes in

French: 
et que le symbole de Legendre en bas sont égaux. Tadaaaa. Je ne refais jamais ça, promis !
Quel raisonnement incroyable. Vraiment génial, vous trouvez pas ? Bien entendu, 3 et 5
peuvent simplement être remplacés par n'importe quel couple de nombres premiers  impairs différents. Vous pouvez vérifier
que le raisonnement que je vous ai présenté est complètement général.
À l'exception de quelques propriétés de notre mini-corps et quelques trucs de base sur
les permutations que j'aborderai dans ma prochaine vidéo, 
c'est une démonstration tout à fait complète de la loi de réciprocité quadratique. Et maintenant, deux
derniers défis. Non, je plaisante ! Vous avez déjà bien assez bossé,
et moi aussi ! Pas de devoirs supplémentaires, mais si vous êtes perspicaces et toujours en vie, vous avez peut-être 
remarqué qu'il y avait deux autres moments dans la vidéo où j'avais vraiment besoin
de la propriété de réordonnancement des permutations pour que tout fonctionne vraiment. Deuxièmement,
le fait que p et q soient des nombres premiers impairs différents n'est vraiment nécessaire que dans

Vietnamese: 
and the Legendre symbol below are equal. Tada.
I never do this again promise :)
What an incredible argument. Real genius
don't you agree. Of course, three and five
are just placeholders for any two
different odd primes. You can check
through and see that the argument
presented here is completely general
except for some facts about our prime
mini fields and a little background stuff on
permutations which I'll cover in my next
video
it really is a complete proof of the law
of quadratic reciprocity. And now two
final challenges. Nope just kidding
you've worked plenty hard enough, and so
have I. No more homework but if you're
perceptive and still alive you might
notice there were two other places
earlier in the video where I really need
the reordering property of permutations
to make proper sense of things. Second
the fact that P and Q are different odd
prime numbers really only strikes in

French: 
ce dernier chapitre. On n'obtient ces racine primitives
particulières que si on utilise des nombres premiers, tout ce que j'ai dit d'autre fonctionne
pour bien d'autres couples de nombres p et q. Enfin, je souligne que c'était une nouvelle vidéo
de type Master Class. Peut-être que vous vous en êtes rendus compte au bout d'un certain moment :)
C'est évidemment une vidéo très difficile à appréhender, alors ne vous attendez pas à comprendre absolument
tout au premier visionnement, sauf si vous êtes la réincarnation de Gauss
ou de Zolotarev. N'hésitez pas à me faire savoir comment ça s'est passé pour vous, et ce qui s'est mal passé, et comme toujours,
n'hésitez pas à demander des précisions en commentaire pour tout ce qui ne vous paraît pas clair.
Et c'est la fin de cette très très longue vidéo. À la prochaine pour une vidéo bien plus facile !

Vietnamese: 
this last chapter.
You only get these special primitive
roots if you are dealing with primes
everything else I said before works for
many more pairs of numbers P and Q. Also
I note that this was another one of
my master class videos. Maybe that has
already occurred to you at some point :)
It is obviously a super challenging
video so don't expect to get absolutely
everything in the first viewing unless
you are the reincarnation of Gauss or
Zolotarev. Now please let me know what
worked for you and what didn't and, as
always, please ask in the comments if
there's anything that's not clear. Và
that's it for a very very long today. Xem
you next time for a much easier video.

English: 
this last chapter.
You only get these special primitive
roots if you are dealing with primes
everything else I said before works for
many more pairs of numbers P and Q. Also
I note that this was another one of
my master class videos. Maybe that has
already occurred to you at some point :)
It is obviously a super challenging
video so don't expect to get absolutely
everything in the first viewing unless
you are the reincarnation of Gauss or
Zolotarev. Now please let me know what
worked for you and what didn't and, as
always, please ask in the comments if
there's anything that's not clear. And
that's it for a very very long today. See
you next time for a much easier video.
