
Thai: 
 
สิ่งที่ผมอยากหาวิดีโอนี้คือ
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y เท่ากับ 1 ส่วน x กำลังสอง
ที่ x เท่ากับ 1 เป็นขอบล่างของเรา
และไม่มีขอบบน มันยาว
ต่อไปเรื่อยๆ
มันก็คือเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์
ผมอยากหาว่าพื้นที่ทั้งหมดนี้คือะไร
วิธีที่เราเขียนได้
คือใช้อินทิกรัลจำกัดเขตไม่แท้
หรืออินทิกรัลแบบไม่แท้
และเราเขียนมันได้ว่า 1 เป็นขอบล่าง
แต่เราจะยาวต่อไปเรื่อยๆ
เป็นขอบบน
ขอบบนของเราคืออนันต์
เรากำลังหาอินทิกรัลของ 1 ส่วนกำลังสอง dx
ขอผมบอกให้ชัดนะ
อินทิกรัลนี่ตรงนี้คืออินทิกรัลไม่แท้
แล้วเราจะจัดการอันนี้อย่างไร?
ตามนิยามแล้ว อันนี้ก็เหมือนกับ

iw: 
מה שאני רוצה להבין בסרטון הזה הוא
השטח מתחת לעקומה
y שווה ל-1 מעל x בריבוע,
עם x שווה ל 1 כגבול
הנמוך שלנו
ואין לנו גבול עליון
גבול, רק נמשיך
לנצח.
זה למעשה
כש x מתקרב לאינסוף.
אז אני רוצה להבין
מהו השטח הזה.
ואחת הדרכים 
שנוכל לציין את זה
היא עם אינטגרל
מסוים לא אמיתי,
או אינטגרל לא אמיתי.
ואנחנו נסמן את זה כש 1
הוא הגבול התחתון שלנו,
אבל אנחנו הולכים
להמשיך עוד לנצח
כגבול העליון שלנו.
אז הגבול העליון שלנו
הגבול הוא אינסוף.
ואנחנו לוקחים את האינטגרל
של 1 חלקי x בריבוע dx.
אז הרשו לי להיות ברור מאוד.
הנה כאן
האינטגרל המסוים.
עכשיו איך אנחנו בעצם
מתמודדים עם זה?
ובכן, על פי ההגדרה
זה אותו הדבר

English: 
What I want to figure
out in this video is
the area under the curve
y equals 1 over x squared,
with x equals 1 as
our lower boundary
and have no upper
boundary, just keep
on going forever and forever.
It really is essentially
as x approaches infinity.
So I want to figure out
what this entire area is.
And one way that
we can denote that
is with an improper
definite integral,
or an improper integral.
And we would denote it as
1 is our lower boundary,
but we're just going to
keep on going forever
as our upper boundary.
So our upper
boundary is infinity.
And we're taking the integral
of 1 over x squared dx.
And so let me be very clear.
This right over here is
an improper integral.
Now how do we actually
deal with this?
Well, by definition
this is the same thing

Korean: 
이 비디오에서 알아내고 싶은 것은
x제곱 분의 일의 그래프 밑에 있는 넓이에요.
x는 1에서 시작해서
끝마치는 x 좌표는
없고요.
이것은 x가 무한으로 가는 것과 같죠.
그래서 전체 넓이를 알고 싶은 거에요.
이것을 나타내는 방법은
정적분이나
혹은 이상 적분이 있죠.
1에서 시작해서
계속 끝없이
가기 때문에
무한으로 적어요.
그리고 x제곱의 1 dx를 쓰죠.
다시 헷갈리지 않게 말하면
여기는 정적분 기호에요.
이건 어떻게 풀까요?
의미를 보자면

Portuguese: 
O que eu quero desvendar neste vídeo,
é a área embaixo da curva y igual a
um sobre x ao quadrado
com o x igual a um como nosso
limite inferior
e não ter um limite superior,
mantendo ao infinito.
É essencial que x se aproxime ao infinito.
Assim eu quero calcular
qual é essa área total.
Uma maneira é ao indicar
como uma integral indefinida imprópria
ou uma integral imprópria.
Vamos simbolizar como um
sendo o limite inferior,
mas continuaremos até o infinito
como nosso limite superior.
Então o limite superior é infinito.
Vamos pegar a integral de um sobre
x ao quadrado dx.
Deixe-me ser claro.
Isso aqui é uma integral imprópria.
Agora como podemos lidar com isso?
Por definição isso é o mesmo que

Bulgarian: 
В настоящия урок искам да намеря
площта под кривата у равно
на 1 върху х квадрат.
Долната граница за х е 1,
а горната е неограничена
и нараства безкрайно.
Казваме, че х клони към безкрайност.
Искам да намеря стойността на
цялата тази площ.
Един от начините да го направя
е с неправилен определен интеграл.
Или неправилен интеграл.
Означаваме 1 като долна граница,
а х нараства неограничено
като горна граница.
Следователно горната граница
е безкрайност.
Търсим интеграл от 1 върху
х квадрат, dx.
Нека да го изясня.
Това тук е неправилен интеграл.
Как наистина да решим този израз?
Съгласно определението
това е равно на

iw: 
כגבול כש n
שואפת לאינסוף
של האינטגרל מ -1 עד
n של 1 חלקי x בריבוע DX.
וזה נחמד, כי אנחנו
יודעים כיצד לחשב את זה.
זה רק האינטגרל המסוים
כשהגבול העליון הוא n.
ואז אנחנו יודעים
איך לחשב גבולות.
אנו יכולים להבין מה הם הגבול
כמו n גישות אינסוף.
אז בואו נבין אם אנחנו יכולים
למעשה לחשב את הדבר הזה.
אז את המשפט היסוד השני
של החדו"א,
או החלק השני של
המשפט היסודי
של החדו"א, אומר לנו
שהחתיכה שכאן--
רק תנו לי לכתוב את הגבול.
אז את החלק הזה אני פשוט אכתוב.
כגבול כש n
מתקרב לאינסוף של--
ואנחנו הולכים להשתמש
במשפט היסודי השני
של החדו"א.
אנחנו הולכים לחשב את
האנטינגזרת של 1
חלקי x בריבוע או x בחזקת
מינוס שתיים.
אז האנטינגזרת
של x בחזקת מינוס 2
היא מינוס x בחזקת מינוס 1.
אז מינוס x בחזקת מינוס
1 או מינוס 1 חלקי x.

English: 
as the limit as n
approaches infinity
of the integral from 1 to
n of 1 over x squared dx.
And this is nice, because we
know how to evaluate this.
This is just a definite integral
where the upper boundary is n.
And then we know
how to take limits.
We can figure out what the limit
is as n approaches infinity.
So let's figure out if we can
actually evaluate this thing.
So the second fundamental
theorem of calculus,
or the second part of
the fundamental theorem
of calculus, tells us that
this piece right over here--
just let me write
the limit part.
So this part I'll just rewrite.
The limit as n
approaches infinity of--
and we're going to use the
second fundamental theorem
of calculus.
We're going to evaluate
the antiderivative of 1
over x squared or x
to the negative 2.
So the antiderivative
of x to the negative 2
is negative x to the negative 1.
So negative x to the negative
1 or negative 1 over x.

Thai: 
ลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์
ของอินทิกรัลจาก 1 ถึง n ของ 
1 ส่วน x กำลังสอง dx
และอันนี้ดี เพราะเรารู้ว่าวิธีหาค่ามัน
นี่ก็แค่อินทิกรัลจำกัดเขตเมื่อขอบบนคือ n
แล้วเรารู้วิธีหาลิมิต
เราก็หาลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์
ลองดูกันว่าเราหาค่าอันนี้ได้ไหม
ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อสองของแคลคูลัส
หรือทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส
ตอนที่สอง บอกเราว่าส่วนนี่ตรงนี้ --
ขอผมเขียนลิมิตนะ
ส่วนนี้ ผมจะเขียนใหม่
ลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ของ --
เราจะใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สอง
ของแคลคูลัส
เราจะหาค่าปฏิยานุพันธ์ของ 1
ส่วน x กำลังสอง หรือ x กำลังลบ 2
ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังลบ 2
ได้ลบ x กำลังลบ 1
ลบ x กำลังลบ 1 หรือลบ 1 ส่วน x

Portuguese: 
limite quando n se aproxima ao
infinito de uma integral
de um até n e um sobre x
ao quadrado dx.
Isso é bom porque nós sabemos como
calcular isso.
Apenas é preciso definir a integral
onde a fronteira superior é n,
e assim sabemos como
definir os limites.
Podemos definir qual é o limite
quando n se aproxima ao infinito.
Então, vamos descobrir se podemos
realmente estimar isso.
O segundo teorema fundamental do cálculo
ou a segunda parte do teorema
fundamental diz que essa parte--
--vou escrever a parte do limite--
então essa parte eu vou apenas rescrever,
o limite de n se aproximando
ao infinito de--
vamos utilizar o segundo teorema
fundamental do cálculo.
Ao estimar a antiderivada de um sobre x
ao quadrado ou x elevado a menos dois.
Portando, a antiderivada de x
elevado a menos dois
é menos x elevado a menos um.
Então, menos x elevado a menos um
ou menos um sobre x.

Bulgarian: 
границата, когато n клони
към безкрайност,
от интеграл от 1 до n, от 1 върху
х квадрат, dx.
Това е хубаво, защото знаем как
да го решим.
Това е просто определен интеграл,
при който горната граница е n.
Знаем как да изчисляваме граници.
Може да намерим каква е границата,
когато n клони към безкрайност.
Нека видим дали можем да го
направим.
Втората фундаментална теорема на
анализа,
или втората част от фундаменталната
теорема
на анализа, гласи следното.
Нека да запиша тази част с границата.
Тази част ще я запиша отново.
Имаме граница, когато n клони към
безкрайност.
Ще използваме втората
фундаментална
теорема на анализа.
Ще намерим
примитивната функция
от 1 върху х квадрат, т.е. х на минус
втора степен.
Примитивната функция на
х на степен минус втора,
е минус х на степен минус 1.
Минус х на степен минус 1,
т.е. минус 1 върху х.

Korean: 
아까 적은 그 정적분이
리미트를 씌우면 n이 무한으로 다가간다고 해요.
이것은 좋은데요. 어떻게 계산하는지 아니까요.
왜냐하면 이것은 x 좌표 1에서부터 n까지 정적분한 거니까요.
그리고 리미트를 어떻게 씌우는지도 알잖아요.
n이 무한으로 갈때를 계산해야 하죠.
지금 계산할수 있는지 확인해볼까요?
두번째 미적분의 기본적인 정리
혹은 미적분의 기본 정리 두번째 부분은
이 부분에 대해서 무엇을 말해주냐면
잠깐만요, 리미트를 쓸게요.
이 부분 다시 쓸게요.
리미트가 n이 무한으로 다가가면
두번째 미적분 정리를
쓸게요.
이제 x제곱 분의
1을 정적분할거에요.
x의 -2제곱을 정적분하면요
-x의 -1 제곱이 되요.
-x의 -1 제곱 혹은 -x 분의 1이죠.

Korean: 
즉 - 1/x는 정적분이죠.
1부터 n 까지 계산 할꺼에요.
이것은 곧 n이 무한으로 다가가면서
리미트와 같아지죠.
이것을 n을 대입하면
-1/n 이 되요.
여기서 1을 대입한 값을
뺄거에요.
-1/1 그러니깐 -1이 되죠.
여기에 -1이고요.
리미트를 씌어서
무한으로 다가가게 할게요.
이게 저기에 있는 거를 풀어쓴거에요.
아직 리미트를 구하지 않았어요.
n이 무한으로 다가가면 리미트와 같아져요.
이것은 +1인데요.
1-1/n으로 쓸게요.
다행히도 리미트가 존재하네요.

Thai: 
ลบ 1/x คือปฏิยานุพันธ์
และเราจะหาหาค่าที่ n และหาค่ามันที่ 1
อันนี้จึงเท่ากับลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์
ลองดู ถ้าเราหาค่าอันนี้ที่ n เราจะได้ลบ 1
ส่วน n
 
และจากนั้น เราจะลบ
อันนี้หาค่าที่ 1
มันก็คือลบ 1 ส่วน 1 หรือก็คือลบ 1
ค่านี่ตรงนี้ก็คือลบ 1
แล้วเราจะหาลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์
ของตัวนี้
ตัวนี้ตรงนี้ ก็แค่ตัวนี้ตรงนี้
ผมยังไม่เจอลิมิต
อันนี้จึงเท่ากับลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์ของ -- ลองดู นี่คือบวก 1 --
และเราเขียนได้เป็นลบ 1 ส่วน n --
ของ 1 ลบ 1 ส่วน n
และโชคดีของเรา ลิมิตนี้มีจริง

iw: 
אז מינוס 1 / x הוא
האנטינגזרת.
ואנחנו נבצע חישוב
ב n וב-1.
אז זה הולך להיות שווה
לגבול כאשר n מתקרב
לאינסוף.
בואו נראה, אם אנחנו מעריכים את זה
ב n, נקבל מינוס 1
חלקי n.
ומזה אנחנו נחסר
את הדבר הזה מוערך ב- 1.
אז זה מינוס 1 חלקי
1, או שזה מינוס 1.
אז זה מינוס 1.
וכך אנחנו הולכים למצוא את
הגבול כש n שואף לאינסוף
של העסק הזה.
הדבר הזה הוא
בדיוק מה שכאן.
לא מצאתי את הגבול עדיין.
אז זה הולך להיות שווה
לגבול כש n שואף לאינסוף
אינסוף של- בואו נראה,
זה היא פלוס 1--
ואנחנו אפילו יכולים לכתוב כמינוס
1 חלקי n-- של מינוס 1 חלקי n.
וזה למזלנו, זה
גבול שקיים.

English: 
So negative 1/x is
the antiderivative.
And we're going to evaluate
at n and evaluate it at 1.
So this is going to be equal
to the limit as n approaches
infinity.
Let's see, if we evaluate this
thing at n, we get negative 1
over n.
And from that we're
going to subtract
this thing evaluated at 1.
So it's negative 1 over
1, or it's negative 1.
So this right over
here is negative 1.
And so we're going to find the
limit as n approaches infinity
of this business.
This stuff right here is
just the stuff right here.
I haven't found the limit yet.
So this is going to be equal
to the limit as n approaches
infinity of-- let's see,
this is positive 1--
and we can even write that minus
1 over n-- of 1 minus 1 over n.
And lucky for us, this
limit actually exists.

Portuguese: 
Portanto, menos 1/x é uma antiderivada.
Agora vamos calcular em n e
calcular em um.
E isso será igual ao limite quando n
se aproxima do infinito.
Vamos ver se nós calcularmos isso com n,
teremos menos um sobre n.
E a partir disso nós vamos subtrair
o que calculamos utilizando um.
Então será menos um sobre um,
ou seja, menos um.
Então essa parte é menos um.
Agora vamos encontrar o limite quando 
n tende ao infinito para isso aqui.
Essa parte aqui é igual a essa outra.
Ainda não encontrei o limite.
Assim, isso será igual ao limite
quando n tende ao infinito de--
--vamos ver, isso é um positivo--
--podemos escrever como menos um sobre n--
de um menos um sobre n.
E para nossa sorte, este limite
realmente existe.
Limite quando n se aproxima do infinito,

Bulgarian: 
Минус 1 върху х е 
примитивната функция.
Ще я изчислим за n и ще я
изчислим за 1.
Това ще бъде равно на граница,
когато n
клони към безкрайност.
Нека да видим. Ако изчислим тази
граница за n,
получаваме минус 1 върху n.
Минус 1 върху n.
От това ще извадим
същата граница, изчислена за 1.
Тоест минус 1 върху 1, т.е. минус 1.
Тогава това тук е равно на минус 1.
Ще изчислим границата, когато n
клони към безкрайност,
от ето този израз.
Този израз е еквивалентен на този
израз тук.
Все още не сме изчислили границата.
Това ще бъде равно на граница,
когато n
клони към безкрайност. Това тук
е плюс 1.
Може да запишем израза 
като 1 минус 1 върху n.
За щастие, тази граница съществува.

iw: 
הגבל כש n שואף לאינסוף,
הביטוי הזה כאן
הולך ומתקרב 
יותר ויותר ל-0.
חלקי אינסוף אתם יכולים
בעיקרון לראות כ- 0.
אז זה כאן הולך להיות
שווה ל 1, 
וזה די נקי.
יש לנו את השטח הזה 
שאין לו גבול תקין.
זה פשוט ממשיך להתקדם לנצח.
אבל עדיין יש לנו
שטח סופי, והשטח
הוא למעשה שווה בדיוק 1.
אז במקרה הזה היה לנו
אינטגרלי לא אמיתי.
ומכיוון שאנחנו באמת
מסוגלים לחשב אותו ולבוא
עם מספר 
שהגבול באמת קיים,
אנחנו אומרים שהאינטגרל הלא אמיתי כאן
מתכנס.
אם מסיבה כל שהיא 
לא היה לזה גבול
ולא יכולנו לבוא עם
מספר סופי
כאן, אם השטח
היה אינסופי,היינו
שזה מתבדר.
אז  כאן הבנו
התנהלות מסודרת.
השטח הזה הוא בדיוק 1.

Portuguese: 
esse termo estaria cada vez mais próximo
de zero.
Um sobre infinito você pode simplesmente
ver como zero.
Então, isto será igual a um,
o que é bem claro.
Temos essa área que não tem um limite.
Isso continua pra sempre.
Mas continuamos a ter uma área finita
e essa área é exatamente igual a um.
Então neste caso temos uma
integral imprópria.
Porque, na verdade, somos capazes
de calcular
e encontrar um número que o limite
realmente existiu,
dizemos que essa integral imprópria
é convergente.
Se por qualquer razão isso
não tivesse limites,
não poderíamos achar algum
tipo de número finito aqui,
se a área é infinita,
podemos dizer que é divergente.
Então, aqui nós descobrimos
algo de forma clara.
Essa área é exatamente igual a um.
Legendado por [Marília Figueira]
Revisado por [Miguel Infante]

Thai: 
ลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ เทอมนี่ตรงนี้
จะเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆๆ
1 ส่วนอนันต์ เรามองมันเป็น 0 ได้
ค่านี่ตรงนี้จึงเท่ากับ
1 ซึ่งเจ๋งดี
เรามีพื้นที่นี้ที่ไม่มีขอบขวา
มันจะยาวตลอดไป
แต่เราจะมีพื้นที่จำกัด และพื้นที่
จะเท่ากับ 1 พอดี
ในกรณีนี้ เรามีอินทิกรัลไม่แท้
และเนื่องจากเราหาค่ามันได้
และหาเลขที่ลิมิตนี้มีจริง
เราบอกว่า อินทิกรัลไม่แท้นี่ตรงนี้
ลู่เข้า
ถ้ามีเหตุผลอะไรสักอย่าง
ที่ทำให้มันมีค่าไม่จำกัด
และเราไม่สามารถหาเลขจำกัดได้
ถ้าพื้นที่ไม่จำกัด
เราจะบอกว่ามันลู่ออก
อันนี้ตรงนี้ เราเจอผลที่สวยงาม
พื้นที่นี้เท่ากับ 1 พอดี
 

Korean: 
리미트 n이 무한으로 가면서
이것은 점점 0에 가까워지죠.
리미트에서 분모가 무한으로 가면 0으로 봐요.
그래서 여기는
1이 되죠.
경계가 없는 이 넓이가 있어요.
무한으로 가죠.
하지만 한정된 넓이가 있죠.
그리고 그 넓이는 사실 1과 같아요.
이번에는 정적분이었어요.
사실 이것을 계산할 수 있었고, 한계가 있는
숫자도 찾아냈고,
그래서 이 적분은 수렴한다고
할 수 있어요.
무슨 이유가 되었든 이것은 무한이였고
유한한 숫자를 찾지 못했어요.
만약 이 넓이가 무한이였다면
분산이라고 말했겠죠.
여기서 깔끔하게 계산했어요.
이 넓이는 깔끔하게 정확히 1 이였어요.

Bulgarian: 
Границата, когато n клони към
безкрайност,
се приближава все повече
и повече към 0.
1 върху безкрайност може да се
разглежда като 0.
Тогава този израз тук ще бъде
равен на 1, което е много хубаво.
Имаме ето тази площ, която няма
дясна граница.
Нараства неограничено.
Получаваме обаче крайна стойност
за площта,
и тя е равна точно на 1.
В тази задача имахме сходящ
интеграл.
Успяхме да изчислим този интеграл
и да получим число,
което означава, че границата
съществува.
Тогава казваме, че неправилният
интеграл е сходящ.
Ако по някаква причина този
израз нараства неограничено,
и не бяхме успели да достигнем
до крайна стойност,
т.е. ако тази площ нараства
безкрайно,
следва да кажем, че интегралът
е разходящ.
В тази задача получихме хубав
резултат.
Тази площ е равна точно на 1.
 

English: 
Limit as n approaches infinity,
this term right over here
is going to get closer and
closer and closer to 0.
1 over infinity you can
essentially view as 0.
So this right over
here is going to be
equal to 1, which
is pretty neat.
We have this area that
has no right boundary.
It just keeps on going forever.
But we still have a
finite area, and the area
is actually exactly equal to 1.
So in this case we had
an improper integral.
And because we were actually
able to evaluate it and come up
with the number that this
limit actually existed,
we say that this improper
integral right over here
is convergent.
If for whatever reason
this was unbounded
and we couldn't come up with
some type of a finite number
here, if the area
was infinite, we
would say that it is divergent.
So right over here we figured
out a kind of neat thing.
This area is exactly 1.
