[musique du générique]
Bonjour bonjour et bienvenue dans cette nouvelle
vidéo où nous allons attaquer le cours sur
les séries entières.
Normalement, vous avez vu le cours d'introduction,
les 2 vidéos où j'expliquais à quoi ça
pouvait servir, ce que c'était etc.
Sinon, allez tout de suite les voir : séries
entières, qu'est-ce que c'est et à quoi
ça sert
avant de comprendre pourquoi on va s'embêter
à faire tout ce qu'on va faire là, je pense
que c'est une bonne source de motivation.
Et si vous l'avez déjà fait, et bien commençons
sans plus tarder ce petit cours.
Qu'est-ce qu'on va voir dans ce petit cours ?
On va voir un exemple, la définition du rayon
de convergence d'une série entière, son
domaine de définition et comment on fait
pour le calculer avec les différentes techniques
inventées par les illustres mathématiciens
d'Alembert, Cauchy, Hadamard etc.
On verra d'autres méthodes quand on ne sait
pas comment faire, et puis on fera des petits
exercices d'entraînement, voilà.
Commençons tout de suite.
Alors la première chose que nous avons vue
dans les séries précédentes, mais je répète
au cas où vous ne les auriez pas vues, c'est
que la somme des termes d'une suite géométrique,
on connait cette formule : la somme pour n
allant de 0 à N des z^n, que z soit réel
ou complexe, c'est 1-z puissance N+1 sur
1-z.
Ok, et donc si module de z est strictement
plus petit que 1, alors ce terme là tend
vers 0 quand N tend vers + l'infini et donc
on peut écrire l'égalité : somme pour n
allant de 0 à + l'infini des z puissance
n égale à 1 sur 1-z.
Donc voilà, celle-là elle est parfaitement
exacte, c'est donc une écriture de cette
fonction 1 sur 1-z comme une série entière
pour module de z plus petit que 1.
Ok.
Alors donc la fonction qui à z associe cette
somme est donc définie sur le disque ouvert
centré en O et de rayon 1, c'est à dire
que c'est sur tout le domaine rose moins le
bord.
D'accord ? module de z est strictement plus
petit que 1.
Pourquoi on parle de rayon de convergence,
de disque de convergence etc ? Parce qu'on
va voir qu'en fait une série entière sur
C est toujours définie sur un disque comme
ça, centré en zéro d'un certain rayon.
Et donc le rayon, ce sera le rayon de convergence.
Là en l'occurrence, c'était 1 le rayon de
convergence de cette série.
Donnons tout de suite la définition : on
prend une série entière qui je vous le rappelle
est une série donc somme d'une série dont
toutes les fonctions sont des monomes a_n
z puissance n où (a_n) est une série à
coefficients complexes, et bien on définit
R le nombre positif alors ça peut être plus
l'infini pour R, donc c'est pas forcément
un nombre, d'accord ? c'est un nombre positif
soit plus l'infini, qui est défini comme
le sup des r dans |R+
tel que a indice n r puissance
n soit bornée.
Alors pourquoi ça existe, et bien pour qu'un
sup existe il faut que la partie de R soit
non vide, et là en l'occurrence, si je prends
r=0, a_n r puissance n est bornée, d'accord ?
puisque c'est juste a0, donc il y a au
moins 0 dedans, donc forcément, il y a une
partie de R+ et elle a une borne sup qui peut
être + l'infini je vous le rappelle, s'il
y avait tout par exemple.
donc très bien, R est défini, c'est un nombre
positif ou c'est plus l'infini, et on appelle
ça le rayon de convergence de la série S
donc maintenant il nous reste à comprendre
pourquoi c'est vraiment un rayon de convergence,
autrement dit, pourquoi quand on est plus
petit que R le module de z est plus petit
que R la série converge et quand le module
de z est plus grand que R la série diverge,
d'accord, ce serait bien pour justifier cette
appellation du rayon de convergence.
Quoi, ok ? d'accord.
Est-ce que ça existe toujours, ben oui comme
je te l'ai dit, t'as pas écouté ou quoi
? un sup ça existe toujours.
Allez
Alors commençons par montrer que ça diverge
quand le module est plus grand que R.
Je suppose que je prends un z tel que module
de z est strictement plus grand que R alors
par définition, module des a_n fois module
de z puissance n c'est pas borné puisque
justement, il est plus grand que le sup des
valeurs telles que ce soit borné.
D'accord ? donc voilà.
Donc si ce n'est pas borné, ça ne tend pas
vers 0.
Une suite pas bornée ne peut pas tendre vers
0 puisqu'une suite qui tend vers 0 est bornée.
Ok donc elle ne tend pas vers 0 donc la série
diverge donc jusque là c'est facile, c'est
même la divergence triviale, le terme général
de la série ne tend pas vers 0.
Donc ça, ça signifie quoi ? et bien que
S n'est pas définie à l'extérieur du disque.
Ok ?
Alors je n'ai pas pris le bord. Vraiment à
l'extérieur, bord non inclus si on est strictement
plus grand que R, là, ça diverge de façon
triviale.
Ok.
Donc maintenant on va montrer que si le rayon
est positif, S converge sur le disque ouvert
de centre D(O,R).
Comment on va montrer ça ?
Je prends un z dans C tel que module de z
est strictement plus petit que R et je vais
montrer que la somme de a_n z puissance n
converge vers quelque chose.
Alors l'astuce c'est d'intercaler parce que
si juste on prend module de z plus petit que
R on n'y arrive pas trop parce que R est la
borne sup mais je prends un petit r qui est
donc telle que module de z est plus petit
que r et tel que r soit strictement plus petit
que R autrement dit, telle que la somme des
an r puissance n soit bornée puisque R est
le sup des valeurs telles que ça.
Donc dès que je prends une valeur strictement
plus petite que le sup, il y a une valeur
qui est dans l'ensemble, qui est strictement
plus petite que le sup. Donc il existe un
r qui est plus petit que R tel que module
des a_n r^n soit bornée. Vous voyez, j'intercale
entre R et module de z un petit r tel que
ça.
Bon, très bien, donc ça veut dire qu'il
existe une borne M telle que pour tout n module
des a_n r^n est plus petit que M.
Jusque là tout va bien.
Et alors ça veut dire que module de a_n z^n
je peux l'écrire module des a_n r^n fois
module de z^n sur module de r^n qui est donc
plus petit que M puisque ça c'est plus petit
que M, module de z sur r le tout à la puissance
n, or module de z sur r c'est plus petit que
1, donc cette série là c'est une constante
fois, c'est une série géométrique dont
la raison est strictement plus petite que
1 donc cette série là converge, ce sont
2 séries à termes positifs, l'une est plus
petite que celle qui converge, donc forcément
cette série là converge.Donc la série à
termes positifs somme des modules de a_n z^n
est convergente, la série S(z) est donc absolument
convergente puisqu'elle converge même en
valeur absolue, même en module, et donc elle
est convergente. Ok ? d'après les théorèmes
qu'on a vus sur les séries de fonctions ou
sur les séries en général d'ailleurs.
Ok, donc voilà la preuve, donc on a bien
l'astuce, si on est à l'extérieur du disque,
ça diverge, et si on est strictement à l'intérieur
du disque, ça converge, et en fait quand
on est sur le bord, et bien on ne sait pas.
Ok ?
donc maintenant si on se met dans le cas réel,
alors il existe, on prend R le rayon de convergence
qui est défini exactement comme avant, puisque
c'est le sup des valeurs telles que valeur
absolue des a_n r^n est bornée, et bien si
R est strictement positif, S est définie
sur ]-R,R[ ouvert.
D'accord ?
Et puis une remarque importante, en fait pour
calculer le rayon de convergence, s'il y a
des moins 1 puissance n qui traînent, des
signes qui nous embêtent, c'est pas un problème
parce qu'on prend les valeurs absolues ou
les modules, c'est la même chose.On a le
même rayon de convergence dans les deux cas,
on a montré que c'était absolument convergent
en fait.
Donc, ça c'est cool.
Vous voyez, il n'y a pas d'histoire de holala
si c'est positif ou pas, on peut toujours
supposer que là ça va être positif et prendre
les modules à chaque fois.
Très bien.
Alors commençons par des petits exemples,
maintenant pour illustrer un peu notre truc.
donc si je prends a_n = k puissance n donc
ça fait la somme des (kx) à la puissance
n, on a déjà vu la somme géométrique,
elle marche quand ce qu'il y a dedans, la
raison, est plus petite que 1, donc kx doit
être plus petit que 1 donc ça veut dire
que x doit être plus petit que 1 sur k en
valeur absolue bien sûr, donc voilà, ça
converge quand x est entre -1/k et 1/k. donc
le rayon de convergence, c'est 1/k et puis
par contre, là, vous pouvez regarder mais
quand x vaut 1, ça fait somme des 1, ça
diverge et puis -1 puissance n ça diverge
aussi donc d'un côté comme de l'autre, là,
quand x vaut k, enfin vaut 1/k, ou -1/k, ça
fait la somme des 1 ou la somme des -1 puissance
n, ça diverge dans les deux cas, donc vous
voyez le domaine de définition par contre,
il n'y a pas les bornes. Donc juste à l'intérieur
ça converge, et ça diverge même sur le
bord.
Mais ce n'est pas toujours le cas. Alors celle-là,
on verra que le rayon de convergence de 1
sur n+1 au carré c'est 1, on ne l'a pas encore
vu mais ce sera très facile avec le critère
qui suit, et puis par contre, ça vous devez
savoir que si x vaut 1, la somme des 1/n+1
au carré converge, et si x vaut -1, somme
des -1 puissance n sur n+1 au carré elle
converge aussi. C'est les séries de Riemann
donc voilà.
Donc là, elle est définie partout sur le
bord, vous voyez ?
Et puis des fois, elle est définie d'un coté
et pas de l'autre, par exemple si je change
avec la somme des a_n égal 1 sur n+1 donc
voilà la série elle est harmonique, bref
vous savez très bien normalement que quand
x vaut 1, cette série elle diverge, d'accord
? elle tend vers + l'infini, elle est équivalente
à log de n, vous savez ? La somme des 1 sur
n c 'est des trucs classiques pour dire que
si une série tend vers 0, le terme général
tend vers 0, la série ne converge pas forcément,
et bien c'est ça l'exemple, donc vraiment
il faut bien le connaître, cette série diverge,
par contre si on met -1 puissance n au dessus,
d'après le critère des séries alternées,
vous devez savoir que cette série converge
donc en fait en -1 ça converge, et en 1 ça
diverge, donc vous voyez, en fait il n'y a
pas de règle pour le bord : strictement à
l'intérieur ça converge, strictement à
l'extérieur ça diverge, sur le bord ça
dépend des fonctions donc il faut regarder,
on ne sait pas trop.
OK, c'est ça la morale de l'histoire. Bon
très bien.
Un autre exemple, tiens, si je prends a_n
égal n puissance n alors cette fois ça fait
somme des (nx) puissance n donc ça ça ne
converge que si nx est plus petit que 1, mais
c'est juste pas possible parce que voilà,
quelle que soit la valeur de x strictement
positive, au bout d'un moment nx va être
plus grand que 1, donc ça va partir vers
l'infini, donc là le domaine de définition
c'est 0 et le rayon de convergence c'est 0,
donc voilà, ça existe, cette série n'a
pas forcément d'existence en dehors du point
0. Dans ces cas là elle nous intéresse pas
tellement, mais enfin la série existe, mais
la fonction somme n'est définie nulle part.
Bon ben très bien, alors maintenant il est
temps de passer aux critères pour calculer
le rayon de convergence, et donc on va faire
un petit rappel sur les séries à termes
positifs. D'accord, alors je dis que c'est
un rappel alors que moi j'ai pas encore fait
la vidéo. Peut-être quand vous la regardez
elle existe sur mon site, mais moi dans l'ordre
que je les fais, je sais que ce n'est pas
encore fait, donc voilà.
Bref, donc un petit théorème que je rappelle
ou je dis si vous ne le connaissez pas : si
on prend une série à termes positifs, et
bien si [voir formule] tend vers une limite
l qui est strictement plus petite que 1 et
bien la série des u_n converge, et si la
limite des [voir formule] est strictement
plus grande que 1 alors la somme des u_n diverge.
Alors la preuve de ça elle est assez facile
en fait, ça consiste à comparer u_n à une
suite géométrique.L'idée, c'est que si
u(n+1) égal à l en gros u_n va être à
peu près pareil que l puissance n et donc
si elle est strictement plus petite que 1
la somme va converger, strictement plus grande
que 1 la somme va diverger et si la limite
vaut 1 on ne peut pas, il y a des contre-exemples,
des fois ça converge, des fois ça diverge,
il n'y a pas de règle, ok ?
Donc voilà et donc on va essayer d'appliquer
ça maintenant à notre cas particulier.
donc si je prends u(n) par exemple égal module
de z puissance n sur n! où z est un complexe
quelconque, alors u(n+1) sur u(n) et bien
qu'est-ce que ça donne ?
C'est facile, ça donne module de z sur n+1
et donc ça, quel que soit z vu que module
de z est un nombre fixé, ça tend vers 0
quand n tend vers + l'infini.
Donc 0 c'est bien plus petit que 1 donc cette
somme là converge tout le temps.
Première chose un peu surprenante.
La somme des z puissance n sur n! est définie
partout sur C, quel que soit le nombre complexe
z, ce truc là est défini.
Et bien on appellera ça exponentielle z et
on verra que quand x est réel somme des x^n
sur factorielle n c'est bien la même chose
qu'exponentielle x, ce qu'on connaît depuis
longtemps.
Mais bon, je ne spoile pas trop, voilà un
exemple de fonction définie partout.
OK, alors donc, notre critère à nous, qu'est-ce
qui dit ? On va appliquer le même raisonnement
qu'on vient de voir dans l'exemple, donc si
je prends une série entière, somme des a(n)
z^n et bien c'est la limite du module de a(n+1)
sur a(n) est égale à l, c'est important
le module parce que a priori ce sont des nombres
complexes et nous on veut utiliser un théorème
sur les séries à termes positifs. Donc module
de a(n+1) sur a(n) est égal à l qui va entre
0 et + l'infini alros le rayon de convergence
de la série est 1/l.
Alors vous allez me dire attendez parce que
là il y a un petit problème, quand même,
parce que ça veut dire quoi 1 sur 0 ? Alors
ça veut dire + l'infini, et ça veut dire
quoi 1 sur + l'infini, ça veut dire 0. D'accord
?
Ce sont des petites conventions parce que
j'ai pas envie de faire trois cas, dire si
ça tend vers 0 alors le rayon de convergence
c'est l'infini, si ça tend vers l'infini
le rayon de convergence c'est 0, et si ça
tend vers l c'est 1/l, bon allez hop j'ai
tout fait d'un coup et avec ces petites conventions
ça passe bien.
Très bien, donc voilà, c'est cool.
La preuve est relativement simple puisque
maintenant je fais la limite quand n tend
vers plus l'infini, de ces séries là sur
celles-là et je vois que ça fait l module
de z. Donc ça ce sont des séries à termes
positifs, et donc d'après le théorème précédent,
si ceci est plus petit que 1, donc si module
de z est strictement plus petit que 1 sur
l, et bien ça converge. Et si ça c'est strictement
plus grand que 1, donc si module de z est
strictement plus grand que 1/l ça diverge,
et donc ça veut dire que le rayon de convergence
de la fonction, c'est exactement 1/l.
Et quand c'est égal on ne sait pas mais on
s'en fout parce que le rayon de convergence
on sait jamais exactement sur le bord ce que
ça donne.C'est assez simple.
Critère de Cauchy.
On l'aime moins bien le critère de Cauchy
parce qu'on aime mieux appliquer d'Alembert
parce que ça a l'air plus simple. Parce que
les racines n-èmes on n'aime pas trop il
faut être honnête, mais n'empêche qu'il
y a des cas où c'est beaucoup plus simple
d'utiliser celui-là donc allons-y.
Donc pour une série à termes positifs, si
la racine n-ème de u(n) tend vers une limite
l plus petite que 1 alors ce n'est pas la
même hypothèse, mais c'est le même résultat
: la série converge
et si racine n-ème de u(n) tend vers un truc
strictement plus grand que 1 alors la somme
des u(n) diverge.
Et c'est toujours pareil, la preuve c'est
la comparaison avec une suite géométrique.
Donc application, par exemple, si je prends
u(n) égal exponentielle [voir formule] alors
là j'ai été surpris par mes étudiants,
parce que racine n-ème de ça, ça a été
très dur, on va dire.
Donc j'espère que vous savez faire racine
n-ème de ça donc je vous rappelle, racine
n-ème ça veut dire puissance 1 sur n. Donc
on met tout ça à la puissance 1 sur n donc
x puissance n puissance 1/n ça fait x, et
exponentielle quelque chose puissance 1/n
ça fait exponentielle de ce quelque chose
divisé par n. Moi j'ai plein d'élèves qui
m'ont dit exponentielle -alpha. Alors non.
Ca c'e n'est pas pareil que exponentielle
-n fois alpha, c'est exponentielle de moins
n à la puissance alpha et donc quand je divise
par n, ça fait -n puissance alpha moins 1.
Racine n-ème de valeur absolue de u(n) j'aurais
dû mettre valeur absolue de x mais non j'ai
mis x positif donc c'est bon, ok racine n-ème
de valeur absolue de n c'est donc ce truc
là.
Donc exponentielle - n puissance alpha -1.
Et donc le rayon de convergence, c'est quoi
? Il faut regarder vers quoi tend ce truc
là.
Il y a plusieurs cas : si a est plus grand
que 1, ça c'est positif, donc exponentielle
-n un nombre positif quand ça tend vers moins
l'infini et bien c'est 0 donc le rayon de
convergence c'est l'infini donc ça converge
tout le temps,
ensuite, si alpha est égal à 1 donc -n puissance
0 ça fait moins 1 donc ça fait x sur e,
d'accord ?
donc le rayon de convergence c'est e puisque
ça marche quand x sur e est plus petit que
1,
et puis si jamais alpha est strictement plus
petit que 1 alors ce n'est pas très dur parce
que ça, ça tend vers 0 ce moins n machin,
d'accord ? donc ça ça tend vers 1, et donc
c'est pareil que x et donc ça converge si
le rayon de convergence c'est 1.
Ca converge si x est plus petit que 1.
Voilà, voilà, voilà, donc voilà, ok, très
bien.
Maintenant pareil que tout à l'heure, on
va donner la vraie règle, enfin la vraie
règle, le critère de Cauchy pour les séries
entières, donc si je prends une série entière,
on suppose que racine n-ème de module de
a(n) égal l qui va entre 0 et + l'infini,
alors le rayon de convergence de la série
est 1/l.
Ok ?
Alors pourquoi ? et bien preuve, parce que
la racine n-ème de ça, et bien c'est finalement
de a(n) fois module de z et donc si ça, ça
tend vers l, alors ça, ça tend vers l module
de z, donc c'est vraiment fastoche.
Ca donne la conclusion, il faut que module
de ça soit plus petit que 1 donc ça converge
si... c'est la même preuve que tout à l'heure.
Alors attention, si on a une suite si module
de a(n+1) sur a(n) = l alors forcément, la
limite de racine n-ème de module de a(n)
égal l, autrement dit, si on pouvait appliquer
le critère de d'Alembert, alors on peut appliquer
le critère de Cauchy alors que la réciproque
n'est pas vraie, il est possible que ça ait
une limite mais pas ça. Donc le critère
de Cauchy est plus puissant que le critère
d'Alembert, donc a priori, si on n'en utilisait
qu'un, on devrait tout le temps utiliser Cauchy,
mais l'expérience prouve qu'on utilise tout
le temps d'Alembert parce qu'on aime mieux
a(n+1) sur a(n) que racine n-ème, mais c'est
ballot parce que c'est celui-là le plus puissant.
Ok ? Parce que voilà, il y a un piège classique,
on se fait souvent avoir - mes étudiants
se font souvent avoir - si la série pour
un rayon de convergence, par exemple 3, alors
a(n+1) sur a(n) tend vers 1/3. Ah non non
non, non. Si a(n+1) sur a(n) tend vers 1/3
alors le rayon de convergence est 3, mais
la réciproque est fausse. Il n'y a pas de
raison, hein, donc ça on va le revoir sur
des exemples, mais justement on ne peut pas
revenir en arrière. Donc d'Alembert ça sert
à rien, voilà, en vrai oui, d'Alembert ça
sert à rien, et bien pourquoi je l'ai enseigné
alors ? et bien parce que en pratique, c'est
quand même vachement plus facile dans plein
de cas donc évidemment il faut l'utiliser
quand on peut.
Alors maintenant, pour avoir un critère qui
marche tout le temps, parce que pour le critère
précédent, il y a des hypothèses : si a(n+1)
sur a(n) tend vers une limite ok, et puis
si c'est pas le cas alors on prend racine
n-ème de a(n) et si ça tend vers une limite,
ok, mais si ce n'est pas le cas ?
On est bien embêté donc il faut trouver
une autre astuce.
Donc là, on va voir avoir grâce à la limite
supérieure une astuce qui marche à peu près
tout le temps, quasiment tout le temps, bref,
par contre il faut se taper ce qu'est une
limite supérieure donc là si vous voulez
avoir tous les détails, il y a une super
vidéo que j'ai déjà fait limite supérieure,
limite inférieure, là je vais juste vous
faire les petits rappels qui vont nous servir
pour faire ce qu'on a besoin.
Donc si on prend une suite réelle qui est
majorée, donc u(n) qui ne peut pas dépasser
une certaine valeur, et bien je vais considérer
la suite s(n) qui va donner le sup des u(k)
pour tous les termes u(k) à partir de n.
Donc je coupe ma suite au bout d'un moment
et je prends le sup des valeurs qui restent
et j'appelle ça s(n).
Donc les ensembles là sont de plus en plus
petits au fur et à mesure que n augmente,
ils sont inclus les uns dans les autres, c'est
les restes de suites, donc si les ensembles
sont de plus en plus petits, et bien les sup
aussi.
Donc la suite s(n) décroit, ok ?
Forcément, la valeur maximum des ensembles
si ils sont inclus les uns dans les autres,
et bien ils sont de plus en plus petits donc
j'ai une suite s(n) qui est décroissante,
ok.
Jusque là tout va bien, donc il y a 2 options
: soit la limite de s(n) c'est moins l'infini,
ça c'est possible, soit la limite de s(n)
une valeur l d'accord ? Parce qu'une suite
décroissante, il n'y a pas cinquante mille
options, elle ne peut pas osciller, elle ne
peut pas faire n'importe quoi : soit elle
est bornée, elle tend vers une limite, soit
elle n'est pas bornée, elle tend vers moins
l'infini.
Et bien cette limite là, de la suite s(n)
qui décroit, ça s'appelle la limite supérieure
de u(n).
On appelle ça limite sup de u(n). Pour se
rappeler, c'est la limite des sup. On appelle
ça limite sup c'est la limite des sup.
Limite des sup à partir d'un certain rang.
Ok ?
Donc voilà, donc ça pour n'importe quelle
suite majorée, ça existe tout le temps d'accord
? Et puis même si elle n'est pas majorée,
en fait la limite sup c'est + l'infini donc
ça existe tout le temps. C'est ce que je
voulais vous dire ici.
Très bien donc si u(n) est bornée, comment
on fait pour comprendre ce que ça veut dire
la limite sup en fait ? et bien c'est la plus
grande valeur d'adhérence de u(n).
Alors je ne sais pas si vous savez ce que
c'est les valeurs d'adhérence, j'explique
un petit peu, ce sont des valeurs près desquelles
la suite se rapproche tout le temps, de plus
en plus proche, alors quelle différence avec
la limite ?
Quand n tend vers plus l'infini, la limite
c'est une valeur pour laquelle tous les termes
de la suite u(n) sont proches de cette limite.
Une valeur d'adhérence, c'est quand il existe
tout le temps des valeurs assez proches, mais
ça peut se promener et revenir, la suite
peut aller faire un petit tour, revenir près
de la valeur d'adhérence, faire un petit
tour, exemple typique, c'est -1 puissance
n, ça vaut 1, -1, 1, -1, 1, -1 bon cette
suite elle n'a pas de limite, mais elle a
2 valeurs d'adhérence, qui sont 1 et -1 parce
que elle prend une infinité de fois ces valeurs
là, mais si c'était -1 puissance n plus
1/n elle prend pas vraiment les valeurs 1
et -1 elle est proche mais il y a plein de
valeurs aussi proches qu'on veut aussi loin
qu'on veut dans les n il y a des valeurs proches
de 1 et il y a des valeurs proches de -1 aussi
aussi proches qu'on veut. Donc je ne fais
pas tout le détail, mais c'est ça des valeurs
d'adhérence.
Et donc la limite sup de u(n) c'est la plus
grande valeur d'adhérence de cette suite.
Si elle est bornée, elle en admet forcément,
c'est un théorème et puis voilà.
Bon bref, voilà, donc ce qu'il faut retenir
là dessus, la limite sup ça existe toujours,
si jamais la limite sup c'est une valeur,
2, et bien si on prend une valeur plus grande
que la limite sup, au bout d'un moment les
termes de la suite sont toujours plus petits
que ça, parce que à partir d'un moment,
tous les termes de la suite sont inférieurs
au sup des termes de la suite, c'est normal
quoi.
donc j'ai une valeur strictement plus grande
que le sup, et bien au bout d'un moment, tous
les termes de la suite sont en dessous, donc
ça, ça va nous servir,
et puis pour les propriétés on verra après,
mais essentiellement c'est ça qui va nous
servir.
Ok : règle d'Hadamard.
donc maintenant, on prend une série entière,
je considère la suite racine n-ème de module
de a(n), et bien ça, ça admet toujours une
limite sup, alors qui peut être plus l'infini
éventuellement, ça ne peut pas être moins
l'infini, puisque c'est une série à termes
positifs, d'accord ?
Donc ce truc là admet toujours une limite
sup, on ne sait pas forcément la calculer,
j'ai pas dit que c'était simple d'utiliser
la règle d'Hadamard mais au moins, ça existe
tout le temps.
Et le rayon de convergence de la série c'est
1/l.
Donc vous voyez, l'avantage par rapport aux
autres critères jusqu'à présent, c'est
qu'on peut dire quelque chose.
C'est à dire si on sait que le rayon de convergence
de la série c'est 2 par exemple, et bien
la limite sup de la racine n-ème c'est un
demi, ça on peut le dire, alors qu'on ne
peut pas dire que la limite de a(n+1) sur
a(n) c'est quelque chose, on ne peut pas dire
que la limite de racine n-ème c'est quelque
chose, mais par contre la limite sup de racine
n-ème de a(n), ça c'est l, donc ça peut
servir.
Très bien même si on n'aime pas les limites
sup, ce que je comprends bien, c'est plus
compliqué etc.
Alors comment on va prouver cette affaire
là ?
Et bien donc on va d'abord supposer que l
est strictement plus petit que plus l'infini,
pour pouvoir caser un module de z entre 0
et 1/l parce que si l est égal à + l'infini,
ça fait 0 et je suis embêté.
Je veux montrer que pour les z tels que module
de z est compris entre 0 et 1/l la série
converge.
L'astuce, c'est un peu comme on a vu avant
sur R, c'est d'intervaler quelqu'un, c'est
à dire si |z| est plus petit que 1/l et bien
il doit y avoir un b entre les 2, autrement
dit, je vais plutôt prendre un b entre l
et 1 sur |z|.
l est strictement plus petit que 1 sur |z|
et je prends un b entre les deux.
Vous allez voir pourquoi c'est plus pratique
de faire comme ça.
Donc ce que je sais, c'est que, comme b est
strictement plus grand que l, l étant la
limite sup c'est ce que j'ai dit avant, c'est
qu'au bout d'un moment, tous les termes de
la suite sont plus petits que b, donc il existe
un N tel que pour tout n plus grand que N,
racine n-ème de module de a(n) est strictement
plus petit que b.
Mais du coup, si ça est plus petit que b,
et bien ça à la puissance n est plus petit
que b puissance n et si je multiplie par |z|
à la puissance n j'obtiens que ça c'est
pus petit que b puissance n fois |z| à la
puissance n, et tout ça c'est (b |z|) le
tout à la puissance n.
Or il se trouve que b |z| est strictement
plus petit que 1, c'est fait pour.
Donc j'en déduis que ma série somme des
a(n) z^n converge absolument puisqu'elle est
plus petit qu'une série qui converge, c'est
une série à termes positifs plus petits
qu'une série qui converge donc elle converge.
Très bien donc elle converge puisqu'elle
converge absolument.
Donc là j'ai bien démontré que si module
de z est plus petit que 1/l ça converge,
mais ça ne prouve pas que le rayon de la
convergence de la série c'est 1 sur l, ça
prouve que le rayon de convergence de la série
il est supérieur ou égal à 1/l.
Alors là j'ai mis l strictement plus petit
que plus l'infini, donc voilà.
si l est égal à 0, alors là c'est embêtant
parce que j'avais mis l strictement positif
donc ça ne marche pas du tout, mais en fait
si l est égal à 0, il suffit de prendre
b strictement positif n'importe lequel et
je prends b strictement positif, donc voilà,
et puis je trouve ça de la même façon et
donc la série converge aussi partout, pour
tous les modules de z, n'importe lesquels,
et bien on va voir ça converge tout le temps
puisque simplement il suffit de prendre strictement
positif et on fait se raisonnement là et
puis voilà.
Donc positif plus petit que 1 sur |z| et ça
marche.
Ok, très bien.
Donc maintenant, il reste à voir que le rayon
de convergence est plus petit ou égal à
1 sur l, autrement dit, que ça diverge quand
on est plus grand que 1/l.
Donc cette fois je prends un nombre complexe
tel que |z| est strictement plus grand que
1/l et il faut que je démontre que la série
diverge.
Même astuce que tout à l'heure, et bien
je vais intercaler quelque chose entre 1 sur
|z| et l et je vais l'appeler b encore une
fois, d'accord ? puisque si 2 nombres sont
strictement plus petits l'un que l'autre,
et bien on peut en trouver un autre au milieu
qui est strictement inclus entre les 2. Ce
sont des propriétés de R qui sont sympas,
et bien c'est toujours pareil, cette fois,
b est strictement plus petit que l, alors
c'est pas la même chose là cette fois : si
on est plus petit que la limite sup, qu'est-ce
que ça veut dire ?
Et bien c'est plus petit que les sup des u(k)
pour ça, le b est plus petit que le sup des
u(k) donc il y a des termes de la suite qui
sont plus grands que b.
Donc là, pour le coup, c'est quel que soit
N, quel que soit le terme, il existe un terme
n tel que racine n-ème de |a(n)| est plus
grand que b.
Cette fois il existe. Pourquoi ? Et bien parce
que b est plus petit que le sup de tous les
u(n) pour n plus grand que N, donc il existe
forcément un n tel que le sup est plus grand
que ça.
Voilà, c'est dans l'autre sens cette fois
la propriété, et donc quel que soit N il
existe un n tel que si je mets à la puissance
n et je multiplie par z puissance n tel que
|a(n)| z^n est plus grand que b^n |z|^n, donc
là c'est juste "il existe" c'est pas "pour
tous" ; tout à l'heure c'était pour tous,
là c'est juste "il en existe 1" tel que ça,
c'est ça et ça c'est plus grand que 1.
D'accord ? Donc il existe des crans, aussi
loin que je veux, tel que ça est plus grand
que 1, donc cette suite là ne tend pas vers
zéro donc cette série là diverge trivialement
puisque le terme général ne tend pas vers
0.
Donc je vous laisse un peu réfléchir si
vous n'êtes pas familier avec la limite sup,
vous pouvez aller voir l'autre vidéo, après
ce sera impeccable, vous comprendrez ça en
deux deux. Mais sinon, vous pouvez aussi admettre
ce résultat, ce n'est pas non plus dramatique,
mais ce serait bien pour pouvoir calculer
les limites sup sur des exemples de bien comprendre
comment ça marche.
Ok, très bien.
Alors il reste à faire quand même le cas
l égal plus l'infini parce que je ne l'ai
pas fait.
donc si je prends z différent de zéro, et
que ce truc là tend vers l'infini, alors
je vais montrer que la série diverge tout
le temps.
Quel que soit N il existe un n plus grand
que N tel que racine n-ème de |a(n)| est
plus grand que 1 sur |z|. Pourquoi ? Parce
que si la limite sup c'est plus l'infini,
c'est à dire que tous les sup sont plus l'infini
en fait. La limite des sup à partir d'un
certain rang c'est plus l'infini, mais si
le sup pour n à partir de un milliard c'est
plus l'infini, et bien les sup d'avant aussi,
donc si la limite c'est plus l'infini c'est
qu'en fait tous les sup c'est tout le temps
plus l'infini, donc quel que soit 1 sur |z|
le sup des racines n-ème de |a(n)| tend vers
plus l'infini, donc il en existe au moins
un qui est plus grand que ça.
Donc ça c'est pas très dur.
Et donc du coup comme d'habitude, on trouve
que c'est plus grand que 1 et donc la série
diverge, c'est quasiment le même raisonnement
qu'avant, mais juste c'est pour être propre,
j'ai fait le cas infini.
Donc ça ne marche jamais, donc le rayon de
convergence est strictement inférieur à
|z| et c'est vrai pour tout z donc il est
forcément égal à zéro.
Allez amusons-nous, faisons des exemples,
parce que on n'a pas bossé pour rien.
Prenons la somme des a(n) z^n où a(n) = 1
sur 2 puissance n si n est pair, et 1 sur
3 puissance n si n est impair.
Alors voilà un exemple où a(n+1) sur a(n)
si je fais le terme divisé par le précédent,
et bien des fois ça va faire 2/3 et des fois
ça va faire 3/2.
Donc 2/3, 3/2, 2/3, 3/2 donc il n'y a pas
de limite.
a(n+1) sur a(n) ça n'a pas de limite donc
déjà le critère de d'Alembert, c'est mort.
racine n-ème de a(n) ça fait un coup 1/2
et un coup 1/3 un coup 1/2 un coup 1/3 donc
pareil, aïe, Cauchy : c'est mort.
Si on prend la racine n-ème de a(n) comme
on vient de voir, la suite c'est 1/2, 1/3,
1/2, 1/3 donc la limite sup de tout ça c'est
1/2, et ça c'est pas dur, vous voyez.
C'est cette suite là, et donc le rayon de
convergence est 2.
Limite sup égale à 1/2 donc rayon de convergence
égal à 2.
Hop là !
Vous voyez des fois, Hadamard c'est simple.
Ouais vous avez fait exprès de choisir un
exemple où c'est simple.
C'est pas faux.
C'est aussi pour motiver, mais ça peut être
utile parfois.
Alors si jamais ça ne marche pas, c'est à
dire que si Cauchy ne marche pas, Hadamard
ne marche pas, et puis que Hadamard on ne
sait pas trop comment faire parce que la suite
fait n'importe quoi.
Ca peut arriver
Imaginez que je prenne la somme des a(n) x^n
où a(n) est la n-ème décimale de pi, donc
là je ne connais rien et personne ne connait
à peu près rien de la suite a(n) à l'infini
quand n est très très grand.
Est-ce que je peux quand même trouver le
rayon de convergence ? Alors oui, je peux
encore trouver le rayon de convergence R en
cherchant un petit peu.
Pourquoi ?
Parce qu'en fait, la suite (a(n)) elle est
bornée, ce ne sont que des nombres entre
0 et 9, donc si la suite (a(n)) est bornée,
qu'elle ne tend pas vers l'infini, donc si
module de x est plus petit que 1, c'est plus
petit que 9 x^n et donc elle converge pour
x plus petit que 1, donc le rayon il est supérieur
ou égal à 1.
Mais par ailleurs, la suite (a(n)) elle ne
tend pas vers 0, donc quand x égal 1, la
série elle diverge, c'est sûr.
Donc c'est forcément le bord alors du coup.
Car si c'était pas le bord, ça convergerait
plus loin, ce serait strictement plus petit
que 1.
Donc comme c'est supérieur ou égal à 1
et que en 1 ça diverge, donc le rayon de
convergence est forcément plus petit que
1, donc il est égal à 1.
Voilà, donc par des petits raisonnements
sur le comportement des suites, de façon
générale, quand une suite est bornée, elle
ne tend pas vers 0 et bien le rayon de convergence
c'est toujours 1, vous voyez ?
Et si jamais il n'y a pas d'astuce, et bien
en fait il y aura toujours une astuce parce
qu'on n'est pas sadique, dans les exos que
vous allez rencontrer. Bon Hadamard, moralement,
ça marche tout le temps, bon là on aurait
pu faire racine n-ème de ça quand elle est
bornée, il faut voir que ça tendait vers
1.
Mais déjà Hadamard, ça marche plus ou moins
tout le temps, mais des fois c'est dur de
calculer le sup, on ne sait pas trop comment
faire etc etc
et puis donc dans les exos il y aura forcément
une astuce.
N'ayez pas peur, avec tout ce que je vous
ai donné là, vous trouverez toujours le
rayon de convergence.
Allez des petits exercices d'entrainement,
vous pouvez chercher tout seul, mettez sur
pause si vous voulez.
Vous pouvez essayer de faire, ce sont des
exemples pas très dur mais qui sont vachement
utiles à connaître, enfin surtout le premier.
Trouvez moi les rayons de convergence des
séries somme des a(n) z^n avec a(n) égal
à n puissance alpha, bon celui-là il faut
vraiment le connaître, et puis ces 2 trucs
là.
Allez je vous donne les solutions parce que
je suis sympa.
Donc le premier, et bien on va faire simplement
d'Alembert : a(n+1) sur a(n) et bien ça fait
n+1 puissance alpha sur n puissance alpha
donc on simplifie ça fait 1 plus 1 sur n
puissance alpha.
Donc quand n tend vers plus l'infini ça tend
vers 1, 1 puissance alpha ça tend vers 1,
donc le rayon de convergence et bien c'est
1 d'après le théorème, c'est 1 sur 1.
Et bien celle-là, c'est pareil, ça a l'air
bien les factorielles pour faire du d'Alembert.
Donc module de a(n+1) sur a(n) ça fait 2n+2
fois (2n+1) sur (n+1)² Je vous laisse vérifier
mais c'est pas dur, (2n+2)! divisé par (2n)!
ça fait (2n+1)(2n+2) et puis (n!)² divisé
par ((n+1)!)² ça fait (n+1)²,
la limite de ça quand n tend vers plus l'infini
c'est 4, donc voilà.
Donc le rayon de convergence est égal à
un quart.
Et alors pour celle-là, c'est un petit peu
plus compliqué. Parce que là, voilà, si
on veut faire justement d'Alembert, ça ne
va pas trop marcher.
Donc on va faire Cauchy.
Donc la racine n-ème de ça, c'est tout ça
puissance un sur n, ça fait (1 + 1/n) à
la puissance n, donc là piège, il ne faut
quand même pas dire n'importe quoi, vous
voyez.
Quand quelque chose tend vers 1 et qu'il y
a quelque chose qui tend vers l'infini, c'est
une forme indéterminée.
Parce que on pourrait dire, oui, ça tend
vers 1, a(n) ne tend pas vers 0, alors forcément
le rayon il est plus petit que 1, tout ça,
non non.
C'est une forme indéterminée ça.
Donc racine de n c'est toujours une forme
indéterminée, puissance l'infini, mais si
on prend la forme exponentielle de ça, exponentielle
log de ce truc là, c'est toujours une forme
indéterminée, cette fois on le voit bien,
puisque n c'est plus l'infini et ln(1 + 1/n)
quand n tend vers plus l'infini ça tend vers
ln 1 ça fait 0 donc c'est 0 fois l'infini.
Mais ça, normalement vous savez que ln (1+1/n)
c'est équivalent à 1 sur n quand 1/n est
proche de 0, donc quand n est proche de l'infini,
et donc ça, la limite de ça, c'est ce que
je vous ai dit là, et donc la limite de ça,
c'est e.
Ok ?
Donc voilà, donc ça c'est le développement
limité de log enfin bon, bref.
J'insiste pas, vous devez savoir tout ça,
et donc le rayon de convergence de ça et
bien c'était quand même 1 sur e.
On ne pouvait pas forcément l'avoir comme
ça de tête.
Ok, allez, pour finir, un dernier petit exo
un peu plus théorique pour voir comment Hadamard
nous permet de nous dépatouiller des trucs
qu'on ne sait pas comment faire.
Si je suppose que cette série la somme des
a(n) z^n et la somme des b(n) z^n ont un rayon
de convergence égal à Ra et Rb qu'est ce
que je peux dire de R, le rayon de convergence
de la somme des (a(n) b(n)) z^n ?
Donc ce n'est pas du tout le produit de séries.
On a vu dans les exemples introductifs qu'il
fallait multiplier comme pour les formules
pour les polynômes, tout ça.
Donc ce n'est pas du tout le produit, mais
est-ce que je peux dire quelque chose du rayon
de convergence de ça ?
Alors la réponse est oui parce que je peux
utiliser la règle d'Hadamard.
Si le rayon de convergence de celle-là c'est
Ra et bien la limite sup des racines n-ème
de a(n) c'est 1 sur Ra.
Et la limite sup des racines n-ème de b(n)
c'est 1 sur Rb.
Or, racine n-ème de module de a(n) b(n) c'est
le produit de ces deux trucs là.
Et maintenant, si on y réfléchit bien, la
limite sup d'un produit, alors qu'est-ce que
ça veut dire ?
C'est la plus grande valeur d'adhérence du
produit, autrement dit, c'est la limite des
sup de cette suite-là, du produit de ces
trucs là, et bien c'est forcément plus petit
que la limite des sup de ça fois la limite
des sup de ça puisque c'est pas forcément
au même endroit que les limites atteignent
leurs valeurs maximales,
donc quand je multiplie en gros moralement
les valeurs maximales de la suite, c'est pas
tout à fait ça, hein, c'est la limite des
sup des machins mais en gros c'est la valeur
maximale quand n tend vers plus l'infini de
la suite fois la limite maximale de ça, et
bien c'est forcément plus grand ou égal
à la limite du produit des deux. Imaginez
que celle-là elle vaille 0 et 1 un coup sur
2 et celle-là 0 et 3 mais que ça s'alterne.
Donc le produit il vaut tout le temps 0 alors
que la limite sup de ça c'est 2 et la limite
sup de ça c'est 3. Donc ce n'est pas forcément
la même chose, mais par contre, il y a forcément
cette inégalité là, en gros si je prends
les sup de chaque côté et que je multiplie
les 2 sup c'est forcément plus grand que
si je multiplie les termes 2 à 2 et que je
regarde la plus grande des valeurs de ça.
Tout ça c'est pareil, allez voir la vidéo
sur les limites sup si vous voulez vraiment
en savoir plus et tous les détails, mais
on peut admettre ce truc là et du coup forcément,
le rayon de convergence de ce truc là comme
c'est plus petit que ça, et bien R, l'inverse,
est plus grand que Ra Rb.
Voilà, et bien c'est tout pour cette vidéo,
vous savez tout sur le rayon de convergence,
comment le calculer etc et j'espère que ça
vous donnera envie de voir la suite de ce
cours sur les séries entières.
Je vous remercie de l'avoir écoutée et à
bientôt.
