
Portuguese: 
Vamos ver se podemos obter um pouco mais de prática e
intuição de que se tratam os produtos vetoriais
No último exemplo nós fizemos a vezes b.
Vamos ver o que acontece quando nós fazemos b vezes a.
Deixe-me apagar alguma coisa.
Eu não quero apagar tudo porque algumas coisas serão úteis
para nos dar algumas informações para comparar.
Eu vou manter isso
Na verdade, eu posso apagar isso, eu acho.
Então o que eu desenhei aqui, isto era a vezes b.
Deixe-me separar esta parte para que você não se confunda.
E aquilo era eu usando a regra da mão direita quando eu tentei fazer a

Bulgarian: 
 
Да видим дали можем
да се упражняваме още малко
и да разберем логически
векторните произведения.
В последния пример умножихме
а векторно по b.
Да видим какво се случва,
когато умножим b векторно по а.
Нека изтрия
част от това.
Не искам да изтрия всичко,
понеже може да е полезно,
за да ни даде някаква
логика да сравняваме.
 
Ще задържа това
 
Всъщност, мисля,
че мога да изтрия това.
 
Това беше а векторно
умножено по b.
Нека го премахна,
за да не се объркаш.
Това е картинка на мен,
използващ правилото на дясната ръка,

Chinese: 
看看我们是否能对矢量积做更多的练习
并对什么是矢量积培养更多直觉认识
在上个例子中 我们使用了向量a叉乘向量b
大家看看向量b叉乘向量a时得到什么
我先擦去一些东西
我不想擦除全部 因为这可能
对我们在做比较时有用处
我要保留这个
实际上 我想我可以擦除这个
我已经写在这里的是 这是向量a×向量b
我把这个分隔开 所以大家不会感到困惑
当我求解a叉乘b时
我使用了右手定则

iw: 
בואו נראה אם אפשר לקדם
את ההבנה שלנו בנושא מכפלה וקטורית.
בדוגמה האחרונה, לקחנו את a כפול b.
בואו נראה מה קורה כשלוקחים b כפול a.
אמחק חלקים מהלוח.
איני רוצה למחוק את הכל, כי ההשוואה
עשויה להועיל.
אשאיר את זה.
אני בעצם יכול למחוק את זה גם.
אלה הדברים שציירתי כאן, a כפול b.
אתחום את זה כדי שלא תתבלבלו.
השתמשתי בכלל יד ימין כשהכפלתי a כפול b,

German: 
Jetzt wollen wir mal sehen wo wir Kreuzprodukte praktisch anwenden können
und wie wir sie intuitiv verstehen können.
Im letzten Beispiel hatten wir das Produkt A Kreuz B
Nun wollen wir sehen was passiert wenn wir B Kreuz A bilden.
Ich lösche etwas weg.
Ich werde nicht alles löschen weil ein paar Dinge noch gebraucht werden könnten.
Das werde ich behalten.
Das kann ich löschen.

Chinese: 
看看我們是否能對向量積做更多的練習
並對什麽是向量積培養更多直覺認識
在上個例子中 我們使用了向量a叉乘向量b
大家看看向量b叉乘向量a時得到什麽
我先擦去一些東西
我不想擦除全部 因爲這可能
對我們在做比較時有用處
我要保留這個
實際上 我想我可以擦除這個
我已經寫在這裡的是 這是向量a×向量b
我把這個分開開 所以大家不會感到困惑
當我求解a叉乘b時
我使用了右手定則

Korean: 
 
외적이 무엇인지에 대해서
조금 더 알아봅시다.
바로 전에 했던 예에서는 a X b를 했어요.
그렇다면, b X a를 했을 때는 어떻게 되는지 알아봅시다.
칠판을 지우고 시작할게요.
나중에 비교해 보면서 이해하는데 도움이 될 수 있으니까
전부 다 지우지는 않는게 좋겠네요.
 
이건 남겨놔야겠어요.
이것도 남겨 놓고,
이건 지워도 되겠네요.
 
여기에 그린 그림이 a X b를 나타내고 있어요.
헷갈리지 않게 표시를 해 놓을게요.
여기서 우리는 a X b를 하기 위해서 
오른손 법칙을 사용한 것이고,

Chinese: 
看看我们是否能对矢量积做更多的练习
并对什么是矢量积培养更多直觉认识
在上个例子中 我们使用了向量a叉乘向量b
大家看看向量b叉乘向量a时得到什么
我先擦去一些东西
我不想擦除全部 因为这可能
对我们在做比较时有用处
我要保留这个
实际上 我想我可以擦除这个
我已经写在这里的是 这是向量a×向量b
我把这个分隔开 所以大家不会感到困惑
当我求解a叉乘b时
我使用了右手定则

Turkish: 
-
Şimdi çapraz çarpım konusu hakkında biraz daha fazla pratiğe ve sezgiye sahip olabilecek miyiz bir bakalım.
-
Son örnekte, a çapraz çarpım b’yi hesaplamıştık.
Şimdi de b x a çapraz çarpımının sonucuna bakalım.
Önce ekrandaki bazı şeyleri sileyim.
-
-
Her şeyi silmek istemiyorum çünkü bazı veriler, bu iki sonucu karşılaştırmanız için yararlı olabilir.
Vektörler kalsın.
-
Buradaki birkaç işlemi silebilirim sanırım.
-
Buraya çizdiğim şey a x b çapraz çarpımıydı.
Bunu kordonla çevireyim ki kafanızı fazla karıştırmasın.
a x b çapraz çarpımını yapmaya çalışırken sağ el kuralını kullanmıştım.

Spanish: 
Vamos a ver si podemos conseguir un poco más práctica y
intuición de lo que son productos de Cruz acerca de todo.
Así que en el último ejemplo, tomamos un b Cruz.
Vamos a ver qué pasa cuando tomamos b Cruz una.
Así que permítanme borrar algo de esto.
No quiero borrar todo eso porque podría ser útil
que nos den alguna intuición para comparar.
Voy a tener eso.
En realidad, puedo borrar esto, creo.
Así las cosas me han llamado aquí, esto fue una cruz b.
Permítanme cercar para que no te confunde.
Así que me usando la regla de la mano derecha cuando traté de hacer fue una

Thai: 
 
ลองดูว่าเราจะฝึกฝนและหา
สัญชาตญาณว่าครอสโปรดักคืออะไรกันดีไหม
ในตัวอย่างที่แล้ว เราหา a ครอส b
ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหา b ครอส a
ขอผมลบบางส่วนนะ
ผมไม่อยากลบทั้งหมด 
เพราะมันอาจมีประโยชน์
เวลาเปรียบเทียบให้ได้สัญชาตญาณ
 
ผมจะเก็บอันนั้นไว้
 
จริงๆ ผมลบอันนี้ได้นะ ผมว่า
 
สิ่งที่ผมวาดตรงนี้ นี่คือ a ครอส b
ขอผมแยกมัน คุณจะได้ไม่งง
นั่นคือผมใช้กฎมือขวา ตอนที่ผมพยายามหา a

English: 
Let's see if we can get a little
bit more practice and
intuition of what cross products
are all about.
So in the last example,
we took a cross b.
Let's see what happens when
we take b cross a.
So let me erase some of this.
I don't want to erase all of it
because it might be useful
to give us some intuition
to compare.
I'm going to keep that.
Actually, I can erase
this, I think.
So the things I have drawn
here, this was a cross b.
Let me cordon it off so you
don't get confused.
So that was me using the right
hand rule when I tried to do a

Chinese: 
然後看到這個的模是25
還有n 方向 指向裏面
當我在這裡畫結果向量時 它指向頁面內部
大家看看向量b叉乘向量a是什麽
我只是調換了兩個向量的順序
向量b×向量a
好的 結果向量的模是相同的 對嗎？
因爲我仍然是用向量b的模乘以
向量a的模乘以兩個向量夾角的正弦值
夾角就是π/6弧度 然後乘以單位向量n
這和前面是一樣的
當我乘以純量時
相乘的順序是不影響結果的 對嗎？
所以這仍然等於25
不管單位向量是什麽 就乘以一個單位向量n吧
我們還知道向量n必須
垂直於向量a和向量b 現在我們要求出
好的 要垂直 單位向量要麽
垂直於頁面向內

Chinese: 
然后看到这个的模是25
还有n 方向 指向里面
当我在这里画结果矢量时 它指向页面内部
大家看看向量b叉乘向量a是什么
我只是调换了两个向量的顺序
向量b×向量a
好的 结果向量的模是相同的 对吗？
因为我仍然是用向量b的模乘以
向量a的模乘以两个向量夹角的正弦值
夹角就是π/6弧度 然后乘以单位矢量n
这和前面是一样的
当我乘以标量时
相乘的顺序是不影响结果的 对吗？
所以这仍然等于25
不管单位矢量是什么 就乘以一个单位矢量n吧
我们还知道矢量n必须
垂直于矢量a和矢量b 现在我们要求出
好的 要垂直 单位矢量要么
垂直于页面向内

Thai: 
ครอส b และเราเห็นว่าขนาดของมันเท่ากับ 25
และ n ทิศ ชี้ขึ้น
หรือเมื่อผมวาดมันตรงนี้ 
มันจะชี้เข้าไปในกระดาษ
ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับ b ครอส a ผม
แค่สลับลำดับ
b ครอส a
ขนาดของมันจะเท่ากัน จริงไหม?
เพราะผมยังคงหาขนาดของ b คูณ
ขนาดของ a คูณไซน์ของมุมระหว่าง
พวกมัน ซึ่งก็คือพายส่วน 6 เรเดียน แล้วคูณ
เวกเตอร์หน่วย n
อันนี้จึงเหมือนเดิม
เมื่อผมคูณปริมาณสเกลาร์ ลำดับที่
ผมคูณนั้นไม่สำคัญ จริงไหม?
อันนี้ยังคงเป็น 25 ไม่ว่าหน่วย
จะเป็นอะไร คูณเวกเตอร์ n
และเรายังรู้ว่าเวกเตอร์ n ต้อง
ตั้งฉากกับทั้ง a และ b ตอนนี้เราต้องหา
ว่ามัน มันตั้งฉาก มันจึง
ชี้เข้าไปในกระดาษ หรือมันพุ่งออกจาก

Portuguese: 
vezes b, e então nós vimos que a magnitude disso foi 25,
e n, a direção, apontando para baixo.
Ou quando eu desenhei aqui, ele apontou na direção da página.
Vamos ver o que acontece com b vezes a, então eu estou apenas
trocando a ordem.
b vezes a.
Bem, a magnitude será a mesma, certo?
Porque eu ainda vou fazer a magnitude de b vezes
a magnitude de a vezes o seno do ângulo entre
eles, cujo resultado foi pi sobre 6 radianos e então vezes algum
vetor unitário n.
Mas isto será a mesma coisa.
Quando eu multiplico quantidades escalares, não importa
qual ordem eu multiplico os valores, certo?
Então isto ainda será 25, qualquer que sejam minhas unidades
vezes algum vetor n.
E nós ainda sabemos que este vetor n tem que ser
perpendicular a ambos a e b, e agora nós temos que descobrir
bem, é isto, em sendo perpendicular, pode ou
apontar para a página aqui ou pular da

Spanish: 
Cruz b, y luego vimos que la magnitud de esto era 25,
y n, la dirección, hacia abajo.
O cuando dibujaba aquí, apuntaría a la página.
Así que vamos a ver qué pasa con b Cruz, así que estoy solo
la orden de cambio.
b Cruz una.
¿Bien, la magnitud va a ser lo mismo, correcto?
Porque todavía voy a tener la magnitud de los tiempos de b
la magnitud de una veces el seno del ángulo entre
ellos, que fue de pi radianes más 6 y, a continuación, algunas veces
n de vectores de la unidad.
Pero esto va a ser el mismo.
Cuando multiplican cantidades escalares, no importa
¿qué orden yo les multiplique en derecho?
Así que esto todavía va a ser 25, cualquiera que sea mis unidades podría
han sido tiempos algunos n vector.
Y sabemos que ese vector n tiene que ser
perpendicular a ambos una y b y ahora tenemos que averiguar,
bueno, es, en ser perpendiculares, puede
tipo de punto en la página aquí o se podría pop fuera de

Bulgarian: 
когато опитах да умножа а векторно по b,
и после видяхме, че дължината на това беше 25,
а n, посоката,
сочеше надолу.
Или, когато го начертах тук,
ще сочи към страницата.
Да видим какво се случва при
b векторно умножено по а –
просто променям реда.
b векторно
умножено по а.
Тази дължина ще
е същата, нали така?
Понеже пак ще взема
дължината на b
по дължината на а,
по синуса на ъгъла между тях,
който беше 
пи върху 6 радиана,
а после по някакъв
единичен вектор n.
Но това
ще е същото.
Когато умножа скаларни величини,
няма значение
в какъв ред
ги умножавам.
Това пак ще е 25
каквито са ми мерните единици
по някакъв
вектор n.
И пак знаем,
че този вектор n трябва да е
перпендикулярен и на а, и на b,
а сега трябва да намерим
дали той, като е перпендикулярен,
той може да сочи към страницата

English: 
cross b, and then we saw that
the magnitude of this was 25,
and n, the direction,
pointed downwards.
Or when I drew it here, it would
point into the page.
So let's see what happens with
b cross a, so I'm just
switching the order.
b cross a.
Well, the magnitude is going to
be the same thing, right?
Because I'm still going to take
the magnitude of b times
the magnitude of a times the
sine of the angle between
them, which was pi over 6
radians and then times some
unit vector n.
But this is going
to be the same.
When I multiply scalar
quantities, it doesn't matter
what order I multiply
them in, right?
So this is still going to be
25, whatever my units might
have been, times
some vector n.
And we still know that that
vector n has to be
perpendicular to both a and b,
and now we have to figure out,
well, is it, in being
perpendicular, it can either
kind of point into the page here
or it could pop out of

Korean: 
크기가 25라는 것을 보였고
방향이 아래로 향한다는 것도 보였어요.
만약에 이 그림에다가 그린다면 
화면 안쪽을 향하는 방향이겠지요.
그렇다면 순서를 바꿔서
b X a 를 한다면 어떻게 되는지 봅시다.
b X a.
크기는 똑같을 거에요. 그렇죠?
왜냐하면 크기를 구하기 위해서는
b * a  * sin(사이의 각) 으로 구할텐데
사이의 각은 pi/6 라디안이고,
어떤 단위벡터 n에 이 크기를 
곱하게 되면 외적한 벡터가 나오게 되겠네요.
그런데 이는 b X a 에서도 똑같이 하게 될 거에요.
만약에 스칼라인 양을 서로 곱한다면
곱하는 순서는 상관 없으니까 말이죠.
그러면 외적한 벡터는 어떤 단위벡터 n에
25를 곱한 것이 될거에요.
그리고 우리는 벡터 n이
a와 b 벡터에 모두 수직이어야 함을 알고 있기 때문에
n은 화면에 들어가는 방향이거나
화면에서 나오는 방향 중 하나일 거에요.

Chinese: 
然后看到这个的模是25
还有n 方向 指向里面
当我在这里画结果矢量时 它指向页面内部
大家看看向量b叉乘向量a是什么
我只是调换了两个向量的顺序
向量b×向量a
好的 结果向量的模是相同的 对吗？
因为我仍然是用向量b的模乘以
向量a的模乘以两个向量夹角的正弦值
夹角就是π/6弧度 然后乘以单位矢量n
这和前面是一样的
当我乘以标量时
相乘的顺序是不影响结果的 对吗？
所以这仍然等于25
不管单位矢量是什么 就乘以一个单位矢量n吧
我们还知道矢量n必须
垂直于矢量a和矢量b 现在我们要求出
好的 要垂直 单位矢量要么
垂直于页面向内

Turkish: 
Ve bu vektörün büyüklüğünün 25 olduğunu öğrenmiştik.
Bu vektöre n demiştik ve yönü aşağı doğruydu.
Ya da vektörleri böyle çizdiğim zaman n vektörü sayfanın içine doğru yöneliyordu.
Şimdi b x a çapraz çarpımını yaptığımızda ne olacağına bakalım.
—bu durumda sadece sırayı değiştiriyorum--
-
Büyüklük aynı olacak, değil mi?
Çünkü yine a ve b vektörlerinin büyüklüklerini ve aralarındaki açının sinüsünü çarpacağım.
-
Aralarındaki açı pi bölü 6’ydı. Ve bu işlemi birim vektör n ile çarparım.
-
b ve a nın büyüklüklerinin çarpımı yine aynıdır
Skaler büyüklükleri çarptığım zaman hangi sırayla çarptığım bir sorun oluşturmuyor, değil mi?
-
Yani b x a çapraz çarpımının sonucunu yine 25 çarpı birim vektör n olarak buluruz.
-
Ve biliyorum ki n vektörü a ve b vektörüne diktir.
Ve şimdi bu vektörün yönünü bulmak zorundayız.
-
ya sayfanın içine doğrudur ya da sayfanın dışına doğru.--

iw: 
ראינו שהערך המוחלט של התוצאה היה 25,
ושהכוון, וקטור n, היה כלפי מטה.
או, כשציירתי את זה כאן, היה אל תוך הדף.
בואו נראה מה קורה כשאני מכפיל b כפול a, אני
רק משנה את הסדר.
עכשיו, המכפלה היא: b כפול a.
הערך המוחלט יהיה אותו הדבר, נכון?
אני אקח עדיין את הערך המוחלט של b, כפול
הערך המוחלט של a, כפול סינוס הזווית שביניהם,
שהיא פאי חלקי 6 ברדיאנים. כל זה כפול
וקטור היחידה n.
זה יהיה אותו הדבר.
כשאני מכפיל גדלים סקלריים, הסדר
לא משנה, נכון?
על כן, זה יהיה עדיין 25 ביחידות כלשהן,
כפול וקטור היחידה n.
אנו עדיין יודעים שוקטור n צריך להיות
מאונך לשני הווקטורים, a ו-b, ועכשיו נבדוק מה
כוונו, או ש"נכנס" לתוך הדף,
או ש"קופץ" החוצה מהדף, אך עדיין מאונך

Chinese: 
要么垂直于页面向外 可以从页面向外指出
哪个是正确的呢？
我们使用右手法则 再试一次
我们要做的是使用右手法则
实际上我现在在使用我的右手
尽管大家看不见
以确保我画得是正确的
在这个例子中 如果我使用右手
我把食指指向向量b的方向
中指指向向量a的方向
所以我的中指
看起来像这样 对吗？
我剩下的两个手指放这儿
那么大拇指将指向矢量积的方向 对吗？
因为大拇指在这里有个直角
这是大拇指形成的直角
在这个例子中 这是向量a的方向
这是向量b的方向 我们计算向量b叉乘向量a

Chinese: 
要么垂直于页面向外 可以从页面向外指出
哪个是正确的呢？
我们使用右手法则 再试一次
我们要做的是使用右手法则
实际上我现在在使用我的右手
尽管大家看不见
以确保我画得是正确的
在这个例子中 如果我使用右手
我把食指指向向量b的方向
中指指向向量a的方向
所以我的中指
看起来像这样 对吗？
我剩下的两个手指放这儿
那么大拇指将指向矢量积的方向 对吗？
因为大拇指在这里有个直角
这是大拇指形成的直角
在这个例子中 这是向量a的方向
这是向量b的方向 我们计算向量b叉乘向量a

Spanish: 
la página, o el punto fuera de la página.
¿Cuál es?
Y luego tomamos nuestra mano derecha, y lo intentamos nuevamente.
Así que lo que hacemos es tomamos nuestra mano derecha.
Realmente estoy usando mi mano derecha ahora mismo, aunque usted
no puede verlo, sólo para asegurarse de que llamo lo correcto.
Así que en este ejemplo, si tomo mi mano derecha, tomar la
dedo índice en la dirección de b.
Tomo mi dedo medio en la dirección de una, por lo que mi media
¿figura se va a ver algo así, a la derecha?
Y entonces tengo dos dedos sobrantes allí.
Luego el pulgar va en el sentido de la Cruz
¿producto, correcto?
Porque el dedo pulgar tiene allí un ángulo recto.
Es el ángulo recto del pulgar.
Así que en este ejemplo, que es la dirección de una, esto es la
dirección de b, y que estamos haciendo b Cruz una.

Thai: 
กระดาษ พุ่งออกจากหน้าจอ
มันคืออันไหนแน่?
เราใช้กฎมือขวา และเราลองทำอีกครั้งได้
สิ่งที่เราทำคือเรานำมือขวามา
ผมจะใช้มือขวาของผมจริงๆ ตอนนี้ 
ถึงแม้ว่าคุณ
จะไม่เห็น เพื่อให้แน่ใจว่าผมวาดถูก
ในตัวอย่างนี้ ถ้าผมนำมือขวามา ผมนำ
นิ้วชี้ไว้ในทิศของ b
ผมนำนิ้วกลางชี้ในทิศของ a แล้วนิ้วกลาง
จะเป็นแบบนี้ จริงไหม?
แล้วผมมีนิ้วที่เหลืออีกสองนิ้ว
แล้วนิ้วโป้งจะชี้ทิศของครอส
โปรดัก จริงไหม?
เพราะนิ้วโป้งคุณทำมุมฉากตรงนี้
นั่นคือมุมฉากของนิ้วโป้ง
ในตัวอย่างนี้ นั่นคือทิศของ a นี่คือ
ทิศของ b และเรากำลังทำ b ครอส a

Korean: 
 
그러면 둘 중에 무엇일까요?
여기서 바로 오른손 법칙을 사용하면 됩니다.
오른손으로 해야 하죠.
지금 여러분께서 볼 수는 없지만
지금 제 오른손을 보면서 
최대한 비슷하게 그리려고 하고 있어요.
그러면 이 예제에서는
b 벡터의 방향은 검지손가락으로 가리키고
중지손가락으로는 a 벡터를 가리키게 됩니다.
그러면 중지 손가락이 이렇게 보이겠죠?
나머지 두 손가락은 여기에 있겠네요.
그러면 엄지손가락은 
외적한 벡터의 방향을 가리키게 됩니다.
 
왜냐하면 엄지손가락은 여기에서 직각이기 때문이죠.
여기가 직각이에요.
이 예제에서, 이 방향이 a 방향이고
여기가 b 방향이에요.
그런데 지금 우리는 b X a를 구하고 있으니까

Chinese: 
要麽垂直於頁面向外 可以從頁面向外指出
哪個是正確的呢？
我們使用右手法則 再試一次
我們要做的是使用右手法則
實際上我現在在使用我的右手
盡管大家看不見
以確保我畫得是正確的
在這個例子中 如果我使用右手
我把食指指向向量b的方向
中指指向向量a的方向
所以我的中指
看起來像這樣 對嗎？
我剩下的兩個手指放這兒
那麽大拇指將指向向量積的方向 對嗎？
因爲大拇指在這裡有個直角
這是大拇指形成的直角
在這個例子中 這是向量a的方向
這是向量b的方向 我們計算向量b叉乘向量a

English: 
the page, or point
out of the page.
So which one is it?
And then we take our right hand
out, and we try it again.
So what we do is we take
our right hand.
I'm actually using my right hand
right now, although you
can't see it, just to make sure
I draw the right thing.
So in this example, if I take
my right hand, I take the
index finger in the
direction of b.
I take my middle finger in the
direction of a, so my middle
figure is going to look
something like that, right?
And then I have two leftover
fingers there.
Then the thumb goes in the
direction of the cross
product, right?
Because your thumb has a right
angle right there.
That's the right angle
of your thumb.
So in this example, that's the
direction of a, this is the
direction of b, and we're
doing b cross a.

Turkish: 
-
-
Sağ elimiz sayfanın dışına doğru olacak ve şimdi kuralı tekrar uygulamaya çalışacağız.
-
Doğru bir çizim yaptığımdan emin olmak için şu an sağ elimi kullanıyorum
—fakat siz göremiyorsunuz.--
-
İşaret parmağımı b vektörünün yönüne doğru uzatıyorum.
Orta parmağım, a yönünde olmalı
ve sanırım bu şekilde çizebilirim.
Kalan iki parmağımı da çiziyorum.
Ve başparmağım çapraz çarpımın yönüne doğru uzanmalı, değil mi?
-
Çünkü baş parmağım diğer iki parmağımla dik açı yapıyor.
-
Bu örnekte a vektörünün ve b vektörünün yönü bu şekilde
ve b x a çapraz çarpım işlemini yapıyoruz.

iw: 
לשני הווקטורים.
אז, מהו הכוון?
ניקח את יד ימין וננסה שוב.
מה שאנו עושים הוא לקחת את יד ימין.
אני משתשמש כרגע ביד ימין שלי כדי לוודא שאני
לא טועה, למרות שאתם לא יכולים לראות את זה.
אם אני לוקח את יד ימין בדוגמה הזאת,
אני מכוון את האצבע המורה בכוון של b,
את האמה בכוון של a, האמה שלי
תיראה משהו כזה, נכון?
נותרו לי כאן שתי אצבעות,
והאגודל מכוון בכוון המכפלה
הווקטורית, בסדר?
כי האגודל נמצא בזווית ישרה כאן.
זאת הזווית הישרה של האגודל.
בדוגמה הזאת, זה הכוון של a, וזה הכוון
של b, ואנו מכפילים b כפול a.

Bulgarian: 
или може да "изскача" от страницата,
да сочи навън от страницата.
Кое от двете е?
И после използваме дясната си ръка
и отново опитваме това.
Използваме
дясната си ръка.
Всъщност използвам дясната си ръка
в момента, въпреки че не можеш да ме видиш,
просто за да се уверя,
че чертая правилно.
В този пример, ако използвам
дясната си ръка,
поставям показалеца си
в посоката на b.
Поставям средния си пръст
в посоката на а,
така че средният ми пръст
ще изглежда ето така.
И после имам
два останали пръста.
После палецът отива в посоката
на векторното произведение,
понеже палецът ти е
под прав ъгъл тук.
Това е правият ъгъл
на палеца ти.
В този пример това е
в посоката на а,
това е в посоката на b
и умножаваме b векторно по а.

Portuguese: 
página, ou apontar para fora da página.
Então qual desses pode ser?
E então nós fazemos nossa mão direita pra fora, e tentamos novamente.
O que fazemos é levar nossa mão direita.
Eu estou, na verdade, usando minha mão direita agora, apesar de que você
não pode vê-la, apenas para certificar que eu desenhe da forma certa.
Neste exemplo, se eu usar minha mão direita, eu levo o
dedo indicador na direção de b.
Eu levo meu dedo médio na direção de a, então minha
figura do meio vai parecer com algo assim, certo?
E então eu tenho dois dedos sobrando aqui.
Então o polegar vai na direção do produto
vetorial, certo?
Porque o seu polegar tem um ângulo reto bem aqui.
Este é o ângulo reto do seu polegar.
Neste exemplo, esta é a direção de a, esta é a
direção de b, e nós estamos fazendo b vezes a.

Thai: 
นั่นคือสาเหตุที่ b อยู่ที่นิ้วชี้
นิ้วชี้คือเทอมแรก นิ้วกลาง
คือเทอมที่สอง และนิ้วโป้งคือทิศ
ของครอสโปรดัก
ในตัวอย่างเช่น ทิศของครอสโปรดัก
นั้นชี้ขึ้น
หรือเมื่อเราวาดในสองมิติตรงนี้
ครอสโปรดักจะพุ่งออกจากหน้า
กระดาษ แทน b ครอส a
ผมจะวาดทับนะ
มันจะเป็นวงกลมที่มีจุด
หรือถ้าผมวาดมันคล้ายกับอันนี้
ตรงนี้ มันคือ a ครอส b
แล้ว b ครอส a จะมีขนาดเท่ากันพอดี แต่มัน
จะไปคนละทิศ
นั่นคือ b ครอส a
มันแค่พลิกไปในทิศตรงข้าม
และนั่นคือสาเหตุที่คุณต้องใช้
มือขวา เพราะคุณ
อาจรู้ว่า โอ้ มันจะพุ่งเข้าหรือ
พุ่งออก ฯลฯ ฯลฯ แต่คุณต้องรู้
กฎมือขวาเพื่อบอกว่ามันเข้าไป
หรือออกจากหน้ากระดาษ
เอาล่ะ ลองดูว่าเราหาสัญชาตญาณ

Bulgarian: 
Затова показалецът
е в посоката на b.
Показалецът е в посоката
на първия член,
средният пръст е в посоката
на втория член,
а палецът се озовава в посоката
на векторното произведение.
В този пример посоката на
векторното произведение е нагоре.
Или, когато го чертаем
в две измерения тук,
векторното произведение
на b векторно умножено по а
ще "изскача" от страницата.
Ще начертая
това ето тук.
Това ще е
кръгът с точката.
Или, ако го начертая
аналогично на това,
това тук беше а
векторно умножено по b.
И b векторно умножено по а
е със същата големина,
но отива в
другата посока.
Това е b векторно
умножено по а.
Просто се обръща към
противоположната посока.
И затова трябва
да използваш дясната си ръка,
понеже, може да знаеш,
че нещо ще е към или навън от страницата
и така нататък, но трябва да знаеш –
дясната ти ръка ще знае
дали отива в посока към,
или навън от страницата.
Да видим дали можем
да видим логиката

iw: 
זאת הסיבה שבגללה האצבע המורה היא בכוון b.
האצבע המורה מקבלת את הגורם הראשון, האמה
מקבלת את הגורם השני, והאגודל מקבל את הכוון
של וקטור המכפלה.
בדוגמה הזאת, הכוון של וקטור המכפלה
הוא כלפי מעלה.
כשמציירים את זה בשני ממדים, כאן,
וקטור המכפלה יוצא מהדף.
זה עבור b כפול a.
אני אצייר מעל זה.
זה יהיה עיגול עם נקודה.
אם אצייר משהו דומה לזה, זה כאן
היה a כפול b.
ואז, b כפול a יש לו את אותו ערך מוחלט,
אך הוא מכוון בכוון ההפוך.
זה b כפול a.
הוא פשוט בכוון ההפוך.
זאת הסיבה שמשתמשים בכלל יד ימין, כי
אנו יודעים שהתוצאה תיכנם אל תוך הדף,
או תצא החוצה מהדף, אך כדי
לדעת מהו הכוון המדויק, צריך להשתמש
בכלל יד ימין.
בואו נראה עכשיו, אם נוכל לקדם עוד קצת

Korean: 
b 벡터의 방향을 
검지 손가락의 방향으로 해야 겠죠.
외적을 할 때 검지 손가락을 앞의 벡터,
중지 손가락을 두번째 벡터로 할 때
엄지손가락은 
외적을 한 벡터의 방향을 가리키게 되요.
이 예제에서, 외적의 방향은
위쪽이네요.
이를 평면에 그리게 된다면
외적한 벡터의 방향은
화면에서 나오는 방향이 되겠네요.
여기에 그려 볼게요.
화면에서 나오는 방향이니까 
원에 점을 찍어서 표시하겠네요.
만약 입체적으로 그린다면
이 벡터가 바로 a X b가 되겠네요.
그리고 b X a는 같은 크기로
반대 방향의 벡터에요.
이 벡터가 b X a 이죠.
방향만 반대로 뒤집은 거에요.
이렇게 방향만 반대로 되는 경우 때문에
어떤 경우에는 어떻게 되고, 
또 다른 경우에는 어떻게 되는지
기억하는 것 보다는 오른손으로
어느 방향으로 향하는지를 구하는게
더 확실히 알 수 있어요.
어쨌든, 외적에 대해서

Spanish: 
Por eso b obtiene el dedo índice.
El dedo índice obtiene el primer término, el dedo medio
Obtiene el segundo término y el dedo pulgar obtiene la dirección de
el producto cruzado.
En este ejemplo, la dirección del producto Cruz
es hacia arriba.
O cuando nos estamos dibujo en dos dimensiones aquí, el
Cruz producto sería realmente pop fuera de la
página b Cruz una.
Así que te dibuje sobre.
Sería el círculo con el punto.
O si fuera a dibujar análogo a esto, por eso, este
justo aquí, era una cruz b.
Y b luego cruzar una es la magnitud exacta de la misma, pero
va en otra dirección.
Que es b Cruz una.
Sólo se despliega en la dirección opuesta.
Y por eso tienes que usar la mano derecha, porque usted
saber que, oh, algo va a pop en o
fuera de la página, et cetera, et cetera, pero usted necesita saber
la mano derecha para saber si va
o fuera de la página.
De todos modos, vamos a ver si podemos conseguir un poco más

Chinese: 
這就是爲什麽向量b的方向是食指方向
食指方向代表第一個向量的方向
中指方向代表第二個向量的方向
然後拇指方向代表向量積的方向
在這個例子中
向量積的方向是向上的
當我們在二維空間畫圖時
b×a向量積的方向實際上是
從頁面向外指出的
我把向量積畫出來
將用一個圓加一個點表示
如果我把它畫成像這樣
就是這樣 這是向量a叉乘向量b
向量b叉乘向量a的模是相同的
但是方向相反
這是向量b叉乘向量a
它指向相反的方向
這就是爲什麽要使用右手定則
因爲大家可能知道 哦
某個向量有指向或指出頁面兩個方向來選
等等 等等 但大家要了解你們的右手
從而知道方向是指向還是指出頁面的
總之 看看能否對這是什麽有更直覺的了解

Portuguese: 
É por isso que b usa o seu dedo indicador.
O dedo indicador usa o primeiro termo, o seu dedo médio
usa o segundo termo, e o polegar vai para a direção do
produto vetorial.
Neste exemplo, a direção do produto vetorial
é para cima.
Ou quando nós desenhamos em duas dimensões bem aqui, o
produto vetorial iria, na verdade, pular a
página para b vezes a.
Eu desenharei em cima
Seria o círculo com o ponto.
Ou se eu fosse desenhar analogicamente a isso, então isso
bem aqui, isso seria a vezes b.
E então b vezes a tem exatamente a mesma magnitude, mas ele
vai na outra direção.
Isto é b vezes a.
Se ele apenas vai para a direção oposta.
E é por isso que você tem que usar a regra da mão direita, porque você
deve saber daquilo, oh, algo vai pular para fora da página,
et cetera, et cetera, mas você precisa saber
sua mão direita para saber se ela vai para dentro
ou para fora da página.
De qualquer forma, vamos ver se nós podemos ganhar um pouco mais de

Chinese: 
这就是为什么向量b的方向是食指方向
食指方向代表第一个向量的方向
中指方向代表第二个向量的方向
然后拇指方向代表矢量积的方向
在这个例子中
矢量积的方向是向上的
当我们在二维空间画图时
b×a矢量积的方向实际上是
从页面向外指出的
我把矢量积画出来
将用一个圆加一个点表示
如果我把它画成像这样
就是这样 这是向量a叉乘向量b
向量b叉乘向量a的模是相同的
但是方向相反
这是向量b叉乘向量a
它指向相反的方向
这就是为什么要使用右手定则
因为大家可能知道 哦
某个向量有指向或指出页面两个方向来选
等等 等等 但大家要了解你们的右手
从而知道方向是指向还是指出页面的
总之 看看能否对这是什么有更直觉的了解

Chinese: 
这就是为什么向量b的方向是食指方向
食指方向代表第一个向量的方向
中指方向代表第二个向量的方向
然后拇指方向代表矢量积的方向
在这个例子中
矢量积的方向是向上的
当我们在二维空间画图时
b×a矢量积的方向实际上是
从页面向外指出的
我把矢量积画出来
将用一个圆加一个点表示
如果我把它画成像这样
就是这样 这是向量a叉乘向量b
向量b叉乘向量a的模是相同的
但是方向相反
这是向量b叉乘向量a
它指向相反的方向
这就是为什么要使用右手定则
因为大家可能知道 哦
某个向量有指向或指出页面两个方向来选
等等 等等 但大家要了解你们的右手
从而知道方向是指向还是指出页面的
总之 看看能否对这是什么有更直觉的了解

Turkish: 
Bundan dolayı işaret parmağınız b vektörü ile aynı yönde.
-
Özetlersek, işaret parmağınız ilk terimi, orta parmağınız ikinci terimi ve başparmağınız çapraz çarpımın yönünü verir.
-
Gördüğünüz gibi bu örnekte çapraz çarpımın yönü yukarı doğru.
-
Ya da iki boyutlu düzlemde çiziyor olsaydım, çapraz çarpımın yönü sayfanın dışına doğru olurdu.
-
-
--Bu şeklin üstüne çizeceğim.--
Bu durumda yönü, çember içinde bir nokta ile gösteririm.
Ya da buna benzer bir şey çizseydim,
-
b x a çapraz çarpımının büyüklüğü yine aynı olurdu
fakat sonuç vektörü diğer yöne doğru uzanırdı.
Evet, b x a çapraz çarpımı bu vektördür.
Diğer vektörün tersi yönünde hareket ediyor.
Sayfanın içine mi yoksa dışına doğru mu uzandığını bulmak için sağ elinize ihtiyacınız var
-
-
ve işte tam olarak bu yüzden sağ elinizi kullanmanız lazım.
-
Her neyse, şimdi bu konu hakkında biraz daha fazla sezgiye sahip olabilecek miyiz bir bakalım

English: 
That's why b gets your
index finger.
The index finger gets the first
term, your middle finger
gets the second term, and the
thumb gets the direction of
the cross product.
So in this example, the
direction of the cross product
is upwards.
Or when we're drawing it in two
dimensions right here, the
cross product would actually
pop out of the
page for b cross a.
So I'll draw it over.
It would be the circle
with the dot.
Or if I were to draw it
analogous to this, so this
right here, that
was a cross b.
And then b cross a is the exact
same magnitude, but it
goes in the other direction.
That's b cross a.
It just flips in the
opposite direction.
And that's why you have to use
your right hand, because you
might know that, oh, something's
going to pop in or
out of the page, et cetera, et
cetera, but you need to know
your right hand to know
whether it goes in
or out of the page.
Anyway, let's see if we can
get a little bit more

Korean: 
조금 더 직관적으로
알아보도록 합시다.
사실, 외적은
전자가 자기장에서 움직일 때 처럼
실생활에서는 쉽게 접할 수 없는 것에
많이 활용되고 있어요.
대부분의 우리 주변의 일은
만약에 우리가 금속으로 채워져 있고 
자기장 속에서 산다면,
자기장 속에 이미 살고는 있네요.
어쨌든 우리가 센 자기장 속에서 살고 있었다면
외적을 쉽게 이해할 수 있겠지만
지금까지 배웠던 물체가 떨어지는 현상이나
마찰, 힘, 유체역학에 대한 것처럼
직관적으로 이해하기는 쉽지 않아요.
그래도 한번 해 봅시다.
다음으로는 왜 sin(θ)가 있는지 생각해 봅시다.
왜 크기를 곱하고 sin(θ)를 또 곱해줄까요?
그냥 크기끼리 곱하고 방향을 오른손 법칙으로 정해주면 안되는 걸까요?
sin(θ)는 왜 있을까요?
이 이유가 확실하게 이해되도록

Chinese: 
因爲這都是有關於直覺方面的知識
坦白說 我要告訴大家
向量積在很多概念中都有涉及
坦白說對下面這些概念沒什麽現實的直觀認識
這些概念包括電子飛躍一個磁場
或者磁場通過一個線圈
我們日常生活經驗中的很多事情
如果我們是生活在磁場中的金屬屑
好的 我們的確生活於一個磁場中
在一個強磁場中
或許我們會有直覺認識
但很難讓我們對磁場有個很深的直覺認識
像這些東西 掉落的物體 摩擦力 或者力
甚至流體動力學一樣 因爲我們都接觸過水
總之 我們再獲取一些直覺認識
想想爲什麽這裡有個sinθ
爲什麽不能只是將它們的模相乘
再使用右手定則確定方向呢？
這個sinθ是關於什麽的呢？
我想我需要弄清楚這一點

Bulgarian: 
зад всичко това,
понеже тук логиката е всичко.
И, честно казано,
векторното произведение
се използва в много случаи,
за които, честно казано,
нямаме много преки впечатления
от реалния живот, като електрони,
прелитащи през магнитни полета,
или магнитни полета през намотка.
И много неща
в ежедневието ни,
може би ако бяхме метални пълнежи,
живеещи в магнитно поле –
е, ние всъщност живеем
в магнитно поле –
в силно магнитно поле, може би
бихме разбрали логиката,
но е трудно да имаме
пряк опит,
както за
падащи обекти или триене,
или сили, или дори динамика
на течностите,
понеже всички сме си
играли с вода.
Но както и да е,
нека поразсъждаваме.
Нека помислим защо има
синус тита.
Защо просто не умножим
големините една по друга
и не използваме правилото на дясната ръка,
и не открием посоката?
Защо ни е синус тита?
Мисля, че трябва да
поразчистя малко това,

Turkish: 
çünkü bütün mesele sezgidir.
-
Açıkçası çapraz çarpım, bizim gerçek yaşam sezgisine sahip olmadığımız birçok kavramda kullanılıyor.
-
--Mesela elektronların manyetik alan içinden geçmesi ya da manyetik alanın bobinin içinden geçmesi durumlarında kullanılıyor.--
-
-
Günlük yaşam deneyimimizdeki birçok şey ve biz manyetik alan içerisinde yaşıyoruz.
-
Güçlü bir manyetik alanda belki biraz sezebiliriz
fakat düşen nesneler, sürtünme, kuvvetler ya da sıvı basıncı için bile daha derin sezgilerimiz vardır
-
çünkü hepimiz su ile oynadık, değil mi?
-
-
Sin(teta)’nın neden burada olduğu hakkında biraz düşünelim.
Sizce neden sadece büyüklükleri birbiriyle çarpıp sağ el kuralını uygulamadık?
-
ve bu sin(teta) meselesi nedir?
Sanırım ekranı biraz temizlemeliyim ki.

iw: 
את ההבנה שלנו. זה מה
שחשוב כרגע.
האמת היא שמשתמשים במכפלה הווקטורית
בנושאים שונים אותם אנו לא פוגשים
בחיי יום-יום: אלקטרונים הנעים דרך
שדות מגנטיים, או שדות מגנטיים בתוך סלילים.
אם היינו שבבי ברזל,
החיים בתוך שדה מגנטי - בעצם,
אנו חיים בתוך שדה מגנטי.
אנו חיים בתוך שדה מגנטי די חזק, אז אפשר
להבין, אבל לא הבנה ישירה כמו
עם עצמים נופלים, או חיכוך,
או כוחות, או אפילו דינמיקה של זורמים,
כי כולנו שיחקנו אי-פעם עם מים.
בכל מקרה, בואו ננסה לקדם את ההבנה שלנו.
בוא נראה למה יש לנו את הסינוס של טטה.
למה לא להסתפק בהכפלת הערכים המוחלטים,
ובשימוש בכלל יד ימין כדי לקבוע את הכוון?
מה משמעותו של סינוס טטה?
אני אפנה קצת מקום על הלוח,

Chinese: 
因为这都是有关于直觉方面的知识
坦白说 我要告诉大家
矢量积在很多概念中都有涉及
坦白说对下面这些概念没什么现实的直观认识
这些概念包括电子飞跃一个磁场
或者磁场通过一个线圈
我们日常生活经验中的很多事情
如果我们是生活在磁场中的金属屑
好的 我们的确生活于一个磁场中
在一个强磁场中
或许我们会有直觉认识
但很难让我们对磁场有个很深的直觉认识
像这些东西 掉落的物体 摩擦力 或者力
甚至流体动力学一样 因为我们都接触过水
总之 我们再获取一些直觉认识
想想为什么这里有个sinθ
为什么不能只是将它们的模相乘
再使用右手定则确定方向呢？
这个sinθ是关于什么的呢？
我想我需要弄清楚这一点

English: 
intuition of what this is all
about because this is all
about intuition.
And frankly, I'll tell you, the
cross product comes into
use in a lot of concepts that
frankly we don't have a lot of
real-life intuition, with
electrons flying through a
magnetic field or magnetic
fields through a coil.
A lot of things in our everyday
life experience,
maybe if we were metal filings
living in a magnetic field--
well, we do live in
a magnetic field.
In a strong magnetic field,
maybe we would get an
intuition, but it's hard to have
as deep of an intuition
as we do for, say, falling
objects, or friction, or
forces, or fluid dynamics even,
because we've all played
with water.
But anyway, let's get a little
bit more intuition.
And let's think about why is
there that sine of theta?
Why not just multiply the
magnitudes times each other
and use the right hand rule and
figure out a direction?
What is that sine of
theta all about?
I think I need to clear this up
a little bit just so this

Thai: 
เพิ่มเติมได้หม เพราะมันเป็นเรื่องของ
สัญชาตญาณทั้งนั้น
ว่ากันตามตรง ผมจะบอกคุณให้ 
ครอสโปรดักมาจาก
หลักการหลายอย่างที่เราไม่ได้มีสัญชาตญาณ
ในชีวิตประจำวันนัก อย่างอิเล็กตรอนบิน
ผ่านสนามแม่เหล็กไฟฟ้า 
หรือสนามแม่เหล็กผ่านขดลวด
หลายอย่างในชีวิตประจำวันของเรา
บางที ถ้าตัวเราเป็นโลหะ 
อาศัยอยู่ในสนามแม่เหล็ก --
อืม เรากำลังอาศัยอยู่ในสนามแม่เหล็ก
ในสนามแม่เหล็กที่เข้มกว่านี้ บางทีเราอาจมี
สัญชาตญาณมากขึ้น แต่เราไม่มีสัญชาตญาณ
ลึกซึ้งเท่ากับที่เรามีใน 
วัตถุที่ตก หรือแรงเสียดทาน
หรือแรง หรือแม้แต่พลศาสตร์ของไหล เพราะเราเคย
เล่นกับน้ำ
แต่ช่างเถอะ ลองหาสัญชาตญาณเพิ่มเติมกัน
ลองคิดดูว่าทำไมมันถึงตอนเป็นไซน์เธต้า?
ทำไมไม่เอาแค่ขนาดคูณกัน
แล้วใช้กฎมือขวากำหนดทิศ?
ไซน์ของเธต้านี่มันคืออะไร?
ผมว่าผมต้องลบอันนี้หน่อย อันนี้

Portuguese: 
intuição do que tudo isso se trata, tudo isso
se trata de intuição.
E, francamente, Eu te digo, o produto vetorial será usado
em vários conceitos que, francamente, nós não temos muita
intuição na vida real, com elétrons voando por um
campo magnético ou campos magnéticos por um núcleo.
Várias coisas na nossa experiência do dia-a-dia
talvez se nós fossemos feitos de metal vivendo em um campo magnético
bem, se nós vivermos em um campo magnético.
Em um campo magnético forte, talvez nós teríamos uma
intuição, mas é difícil ter tão profunda intuição
como, por exemplo, objetos em queda livre, ou atrito, ou
forças, ou até mesmo dinâmica dos fluídos, porque nós estamos todos acostumados
com água.
Mas de qualquer forma, vamos começar um pouco mais a intuição.
E vamos pensar porque é lá que seno de teta?
Porque não basta multiplicar as vezes magnitudes entre si
e usar a regra da mão direita e descobrir um sentido?
O que é que seno de teta tudo?
Eu acho que preciso esclarecer isso um pouco só para este

Chinese: 
因为这都是有关于直觉方面的知识
坦白说 我要告诉大家
矢量积在很多概念中都有涉及
坦白说对下面这些概念没什么现实的直观认识
这些概念包括电子飞跃一个磁场
或者磁场通过一个线圈
我们日常生活经验中的很多事情
如果我们是生活在磁场中的金属屑
好的 我们的确生活于一个磁场中
在一个强磁场中
或许我们会有直觉认识
但很难让我们对磁场有个很深的直觉认识
像这些东西 掉落的物体 摩擦力 或者力
甚至流体动力学一样 因为我们都接触过水
总之 我们再获取一些直觉认识
想想为什么这里有个sinθ
为什么不能只是将它们的模相乘
再使用右手定则确定方向呢？
这个sinθ是关于什么的呢？
我想我需要弄清楚这一点

Spanish: 
intuición de lo que esto es todo acerca de porque esto es todo
acerca de intuición.
Y francamente, ya os contaré, que entra el producto cruzado
usar en un montón de conceptos que francamente no tenemos mucha
intuición de la vida real, con electrones volando a través de un
campo magnético o campos magnéticos a través de una bobina.
Un montón de cosas en nuestra experiencia de la vida cotidiana,
Quizás si estábamos viviendo en un campo magnético, las limaduras de metal
bueno, vivimos en un campo magnético.
En un campo magnético fuerte, quizás obtendríamos un
intuición, pero lo del difícil tener como profundo de una intuición
como hacemos para, digamos, caída de objetos o fricción, o
las fuerzas, o incluso, porque todos hemos tocado de dinámica de fluidos
con agua.
Pero de todos modos, vamos un poco más de intuición.
Y vamos a pensar ¿por qué existe ese seno de theta?
¿Por qué no sólo se multiplican las magnitudes veces mutuamente
¿Use la regla de la mano derecha y averiguar una dirección?
¿Qué es ese seno de theta todo sobre?
Creo que necesito aclarar esto un poco sólo por eso, este

Chinese: 
这或许是有用的
为什么有个sinθ呢？
我重画一下向量
把它们画粗一点
比方说这是向量a 这是向量a 这是向量b
向量b不一定要比向量a长
这是向量a 这是向量b
现在 我们可以思考一下
可以说 这也就等于
a乘以sinθ乘以b
或者可以说 这等于b乘以sinθ乘以a
希望我没有让你们感到困惑
我所说的是 大家可以将此理解为
因为这些是模 对吗？
它们相乘的顺序是不影响结果的
可以说 这是a乘以sinθ乘以向量b的模
所有这些处于法向量的方向
大家可以换个地方写sinθ
我们想想这代表什么

Chinese: 
這或許是有用的
爲什麽有個sinθ呢？
我重畫一下向量
把它們畫粗一點
比方說這是向量a 這是向量a 這是向量b
向量b不一定要比向量a長
這是向量a 這是向量b
現在 我們可以思考一下
可以說 這也就等於
a乘以sinθ乘以b
或者可以說 這等於b乘以sinθ乘以a
希望我沒有讓你們感到困惑
我所說的是 大家可以將此理解爲
因爲這些是模 對嗎？
它們相乘的順序是不影響結果的
可以說 這是a乘以sinθ乘以向量b的模
所有這些處於法向量的方向
大家可以換個地方寫sinθ
我們想想這代表什麽

Portuguese: 
poderia ser útil.
Então porque é que o seno de teta lá?
Permitam-me que redesenhar alguns vetores.
Vou levá-los um pouco mais gordo.
Então, digamos que é um, isso é um, isso é b.
b nem sempre tem que ser maior do que a.
Então este é um e é b.
Agora, podemos pensar sobre isso um pouco.
Poderíamos dizer, assim, esta é a mesma coisa que um seno teta
b vezes, ou poderíamos dizer que este é b vezes seno teta a.
Espero que eu não estou confusa - tudo o que estou dizendo é que você pode
interpretar isso como - porque estes são
apenas magnitudes, certo?
Então não importa que ordem você multiplica-los dentro
Você poderia dizer que este é um seno teta vezes a magnitude do
b, tudo isso na direção da normal
vetor, ou você pode colocar o seno teta a outra maneira.
Mas vamos pensar sobre o que isto significa.

Spanish: 
podría ser útil.
¿Por qué es ese seno de theta allí?
Permítanme volver a dibujar algunos vectores.
Te llamo les un poco más gordos.
Así que vamos a decir que una, esa es la a, es b.
b no siempre tiene que ser más de una.
Así que esto es una y es b.
Ahora, podemos pensar que poco a poco.
Podríamos decir, bueno, que esto es lo mismo que un theta sine
veces b, o podríamos decir esto es b sine theta veces una.
Espero estoy no confundir--todo lo que estoy diciendo es que podría
interpretar esto como--porque estos son
¿magnitudes justos, correctas?
Así que no importa qué orden se multiplican en.
Se podría decir que este es un momento de theta sine la magnitud de
b, todo eso en la dirección de la normal
vector, o usted podría poner la theta sine la otra forma.
Pero vamos a pensar acerca de lo que esto significaría.

Chinese: 
这或许是有用的
为什么有个sinθ呢？
我重画一下向量
把它们画粗一点
比方说这是向量a 这是向量a 这是向量b
向量b不一定要比向量a长
这是向量a 这是向量b
现在 我们可以思考一下
可以说 这也就等于
a乘以sinθ乘以b
或者可以说 这等于b乘以sinθ乘以a
希望我没有让你们感到困惑
我所说的是 大家可以将此理解为-
因为这些是模 对吗？
它们相乘的顺序是不影响结果的
可以说 这是a乘以sinθ乘以向量b的模
所有这些处于法向量的方向
大家可以换个地方写sinθ
我们想想这代表什么

Thai: 
จะได้ชัดเจน
ทำไมถึงมีไซน์ของเธต้าตรงนี้?
 
ขอผมวาดเวกเตอร์หน่อย
ผมจะวาดให้พวกมันอ้วนขึ้น
สมมุติว่านั่นคือ a นั่นคือ a นี่คือ b
b ไม่จำเป็นต้องยาวกว่า a
นี่คือ a และนี่คือ b
ทีนี้ เราคิดถึงมันได้
เราบอกว่า มันเท่ากับ a ไซน์เธต้า
คูณ b หรือเราบอกได้ว่านี่คือ b ไซน์เธต้าคูณ a
ผมคงไม่ทำให้คุณงง -- 
ที่ผมอยากบอกคือว่า คุณ
ตีความอันนี้เป็น -- เนื่องจากพวกนี้
เป็นแค่ขนาด จริงไหม?
มันไม่เกี่ยวว่าผมจะคูณพวกมันยังไง
คุณบอกได้ว่า นี่คือ a ไซน์เธต้า คูณขนาดของ
b ทั้งหมดนั้นในทิศของเวกเตอร์
ตั้งฉาก หรือคุณใส่ไซน์เธต้าให้อีกตัวก็ได้
แต่ลองคิดกันว่ามันหมายความว่าอะไร

English: 
could be useful.
So why is that sine
of theta there?
Let me redraw some vectors.
I'll draw them a
little fatter.
So let's say that's a,
that's a, this is b.
b doesn't always have
to be longer than a.
So this is a and this is b.
Now, we can think of
it a little bit.
We could say, well, this is the
same thing as a sine theta
times b, or we could say this
is b sine theta times a.
I hope I'm not confusing-- all
I'm saying is you could
interpret this as--
because these are
just magnitudes, right?
So it doesn't matter what order
you multiply them in.
You could say this is a sine
theta times the magnitude of
b, all of that in the direction
of the normal
vector, or you could put the
sine theta the other way.
But let's think about what
this would mean.

iw: 
זה יועיל.
אז, למה יש לנו את סינוס טטה?
אני אצייר את הווקטורים פעם נוספת.
אצייר אותם קצת יותר עבים.
נגיד שזה a, זה a, וזה b.
וקטור b לא חייב להיות יותר ארוך מ- a.
זהו a, וזהו b.
נחשוב על זה קצת.
אפשר להגיד שזה כמו a סינוס טטה כפול b,
או b סינוס טטה כפולa.
אני מקווה שאני לא מבלבל אותכם - כל מה שאני
אומר שניתן להסתכל על זה בשתי הצורות,
כי אלה ערכים מוחלטים.
לא משנה באיזה סדר מכפילים אותם.
ניתן להגיד שזה a סינוס טטה כפול הערך המוחלט
של b, כל זה בכוון של וקטור n.
או שניתן לכתוב את סינוס טטה בצורה השנייה.
בואו נחשוב מה המשמעות.

Korean: 
최대한 명확하게 설명해 볼게요.
그러면 왜 sin(θ)일까요?
 
벡터를 그려볼게요.
조금 두껍게 그릴게요.
이 벡터를 a, 이거는 b 벡터라고 합시다.
b가 a 보다 꼭 길어야 할 필요는 없어요.
어쨌든, 이건 a벡터이고 이건 b 벡터에요.
이제 생각을 해 봅시다.
이 식은 a * sin(θ) 곱하기 b 이거나
b * sin(θ) 곱하기 a 라고도 할 수 있어요.
제가 헷갈리고 있는게 아니면 좋겠네요.
제가 하고 싶은 말은
이 식은 스칼라 양이기 때문에
여러 방법으로 해석할 수 있다는 거에요.
스칼라 양이기 때문에 
곱하는 순서는 전혀 상관이 없어요.
이 식은 앞에서도 이야기 했듯이,
(a * sin(θ) ) * b * 단위벡터
로 해석할 수도 있고,
sin(θ)를 다른 곳에 넣을 수도 있어요.
일단, 이 식이 어떤 의미가 있는지 알아봅시다.

Turkish: 
-
Evet, sin(teta)’yı neden büyüklüklerle çarpmamız gerekiyor?
-
Bazı vektörleri tekrar çizeyim.
--Biraz daha geniş çizeceğim.--
A ve b vektörlerimiz bunlar.
Aslına bakılırsa b vektörünün her zaman a dan daha uzun olması gerekmiyor.
-
Şimdi bunun hakkında biraz düşünebiliriz.
Asin(teta) çarpı b’nin, bsin(teta) çarpı a ile aynı şey olduğunu söyleyebilirsiniz.
-
Umuyorum ki kafanızı karıştırmamışımdır.
--a ve b derken vektörlerin büyüklüklerini kast ediyorum.--
-
Yani büyüklükleri hangi sırayla çarptığınız önemli değildir.
Bu işlemi, parantez içinde (a*sin(teta)) çarpı b’nin büyüklüğü şeklinde de yazabilirsiniz
ya da sin(teta)’yı diğer tarafa atabilirsiniz
ve sonuç, yüzeye dik n vektörü yönündedir
Bunun ne anlama geldiğini düşünelim.

Bulgarian: 
за да може –
това може да е полезно.
Защо ни е
синус тита тук?
 
Нека преначертая
някои вектори.
Ще ги начертая
малко по-широки.
Да кажем, че това е а,
а това е b.
b не е нужно да е
по-дълъг от а.
Това е а
и това е b.
Можем малко
да поразсъждаваме.
Можем да кажем, че това е същото нещо
като а синус тита по b,
или можем да кажем, че това е
b синус тита по а.
Надявам се, че не те обърквам –
казвам, че можеш
да интерпретираш това като –
понеже това са
само дължините,
нали така?
Тоест няма значение
в какъв ред ги умножаваш.
Можеш да кажеш, че това е
а синус тита по дължината на b,
всичко това в посоката
на нормалния вектор,
или можеш да поставиш
синус тита наобратно.
Но нека помислим
какво ще означава това.

Chinese: 
a乘以sinθ 如果这是θ
asinθ是什么呢？
正弦是对边除以斜边 对吗？
对边除以斜边
这也就是向量a的模
我画些东西
在这里画条线 把它画成实线
在这里画条线 这里有个直角
asinθ是什么呢？
这是对边
asinθ是
sinθ等于对边除以斜边
斜边长是向量a的模 对吗？
所以sinθ等于这条边除以-
我把对边称为op 除以向量a的模
所以是对边除以向量a的模

Bulgarian: 
а синус тита,
ако това е тита...
Какво е а синус тита?
Синусът е противоположната страна
върху хипотенузата.
Противоположната страна
върху хипотенузата.
Това ще е
дължината на а.
Нека начертая нещо.
Нека начертая една права тук.
Нека начертая една права тук –
имам прав ъгъл.
Имам прав ъгъл.
Какво е
а синус тита?
Това е противоположната страна.
Тоест а синус тита е а
и синус тита е
противоположната страна
върху хипотенузата.
Хипотенузата е
дължината на а.
Синус тита е равен на тази страна,
която ще нарека о за противоположна (opposite)
върху дължината на а.
Това е противоположната страна
върху дължината на а.

Korean: 
a * sin(θ). 
이 각이 θ에요.
그러면 a * sin(θ)는 무엇일까요?
사인은 
(θ의 반대편의 변의 길이/빗변의 길이)에요. 그렇죠?
(θ의 반대편의 변의 길이/빗변의 길이)
인 거에요.
이 식은 a 벡터의 크기를 나타낼거에요.
이제, 선을 그려 봅시다.
 
이 각이 수직이 되는 선을 그려 봅시다.
 
그러면 여기에서 sin(θ)는 무엇일까요?
이곳이 반대편 변이니까,
sin(θ)는 o/a 가 되겠네요.
 
빗변의 길이는 a 벡터의 크기가 되겠네요.
그러면, sin(θ)는
o/a 와 같은 값을 가지게 됩니다.
o/a 와 같은 값을 가지죠.

Chinese: 
a乘以sinθ 如果这是θ
asinθ是什么呢？
正弦是对边除以斜边 对吗？
对边除以斜边
这也就是向量a的模
我画些东西
在这里画条线 把它画成实线
在这里画条线 这里有个直角
asinθ是什么呢？
这是对边
asinθ是
sinθ等于对边除以斜边
斜边长是向量a的模 对吗？
所以sinθ等于这条边除以-
我把对边称为op 除以向量a的模
所以是对边除以向量a的模

English: 
a sine theta, if
this is theta.
What is a sine theta?
Sine is opposite over
hypotenuse, right?
So opposite over hypotenuse.
So this would be the
magnitude of a.
Let me draw something.
Let me draw a line here and
make it a real line.
Let me draw a line there,
so I have a right angle.
So what's a sine theta?
This is the opposite side.
So a sine theta is a, and sine
of theta is opposite over
hypotenuse.
The hypotenuse is the magnitude
of a, right?
So sine of theta is equal to
this side, which I call o for
opposite, over the
magnitude of a.
So it's opposite over
the magnitude of a.

Spanish: 
theta de un seno, si esto es theta.
¿Qué es un theta de seno?
¿Seno es opuesto sobre hipotenusa, derecho?
Lo opuesto sobre hipotenusa.
Por lo que esto sería la magnitud de una.
Permítanme señalar algo.
Permítanme trazar una línea aquí y convertirla en una línea real.
Permítanme dibujar una línea, para tener un ángulo recto.
¿Qué es un theta de seno?
Este es el lado opuesto.
Así un theta de seno es una, y seno de theta es opuesto
hipotenusa.
¿La hipotenusa es la magnitud de un, derecho?
Así que es igual a este lado, que yo llamo o para seno de theta
todo lo contrario, sobre la magnitud de una.
Por lo que es opuesto sobre la magnitud de una.

Portuguese: 
um seno teta, se este é teta.
O que é um seno teta?
Sine é oposta hipotenusa, certo?
Então oposta hipotenusa.
Portanto, esta seria a magnitude da a.
Deixe-me desenhar alguma coisa.
Deixe-me desenhar uma linha aqui e fazer uma linha real.
Deixe-me desenhar uma linha lá, então eu tenho um ângulo reto.
Assim que é um seno teta?
Este é o lado oposto.
Assim, um seno teta é uma, e seno de teta é oposta
hipotenusa.
A hipotenusa é a magnitude de um, certo?
Então seno de teta é igual a este lado, que eu chamo para o
oposto, com a magnitude de a.
Portanto, é oposta a magnitude da a.

iw: 
המכפלה a סינוס טטה, אם זה טטה,
מה זה a סינוס טטה?
סינוס זה ניצב מול, חלקי היתר, נכון?
ניצב ממול חלקי היתר.
זה הערך המוחלט של a.
אני אצייר משהו,
אצייר כאן קו.
אצייר כאן קו, כך שתהיה לנו זווית ישרה.
מה זה a סינוס טטה?
זה הניצב שממול.
זה a, וסינוס טטה זה ניצב ממול
חלקי היתר.
היתר הוא הערך המוחלט של a, נכון?
סינוס טטה שווה לצד הזה, אותו אכנה o,
חלקי הערך המוחלט של a.
ניצב ממול חלקי הערך המוחלט של a.

Chinese: 
a乘以sinθ 如果這是θ
asinθ是什麽呢？
正弦是對邊除以斜邊 對嗎？
對邊除以斜邊
這也就是向量a的模
我畫些東西
在這裡畫條線 把它畫成實線
在這裡畫條線 這裡有個直角
asinθ是什麽呢？
這是對邊
asinθ是
sinθ等於對邊除以斜邊
斜邊長是向量a的模 對嗎？
所以sinθ等於這條邊除以-
我把對邊稱爲op 除以向量a的模
所以是對邊除以向量a的模

Thai: 
a ไซน์เธต้า ถ้านี่คือเธต้า
a ไซน์เธต้าคืออะไร?
ไซน์คือข้ามส่วนฉาก จริงไหม?
ข้ามส่วนฉาก
นี่ก็คือขนาดของ a
ขอผมวาดหน่อยนะ
ขอผมวาดเส้นตรงตรงนี้ ให้มันเป็นเส้นตรงจริงๆ
ขอผมวาดเส้นตรงตรงนี้ ผมมีมุมฉาก
 
แล้ว a ไซน์เธต้าคืออะไร?
นี่คือด้านตรงข้าม
a ไซน์เธต้าคือ a และไซน์ของเธต้า คือข้ามส่วน
ฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือขนาดของ a จริงไหม?
ไซน์ของเธต้าเท่ากับด้านนี้ ซึ่งผมเรียกว่า o
แทน opposite ส่วนขนาดของ a
มันคือด้านตรงข้ามส่วนขนาดของ a

Turkish: 
-
A*sin(teta) nedir?
Sinüs, karşı bölü hipotenüstür, değil mi?
-
-
-
Şimdi buraya bir doğru çizelim.
Bu doğru tabanla dik açı yapıyor.
-
-
Burası karşı kenardır ve bu kenara k diyelim.
A*sin(teta), a çarpı (karşı bölü hipotenüs)tür.
-
Ve hipotenüs ise a vektörünün büyüklüğüdür.
Yani sin(teta), k bölü a’nın büyüklüğüne eşittir.
-
-

Chinese: 
所以這個項 asinθ實際上是
這條線的長度
另一種方法是 我重畫一下
向量從哪裏開始是毫無關係的
我們所關心的是向量的模和方向
所以大家可以移動向量
這條向量
大家可以稱之爲對邊向量
也就相當於這條向量
這條向量和這條是相同的
我移動了這條向量
另一種思考方法是
這是向量a的分量 對嗎？
我們習慣於把向量分解成x方向
和y方向的分量 但現在我們使用向量a
我們把它分解成
大家可以把它分解成
平行於向量b的分量
和垂直於向量b的分量
所以asinθ代表向量a的分向量的模
這個分向量垂直於向量b

Bulgarian: 
Този член а синус тита
е просто дължината на тази отсечка тук.
Друг начин, по който можеш –
нека преначертая това.
Няма значение
откъде започват векторите.
Интересува те само
тази дължина и посока,
така че можеш
да преместваш векторите.
Този вектор тук – и можеш
да го наречеш противоположния вектор,
това е същото като
този вектор.
Това е
същото като това.
Преместих го.
 
Друг начин да помислим за това –
това е компонентата на вектор а.
Взимаме един вектор
и го разделяме на компоненти х и у,
но сега вземаме
един вектор а
и го разделяме на –
можеш да си го представиш като компонента,
която е успоредна
на вектор b,
и компонента, която е
перпендикулярна на вектор b.
а синус тита е
дължината на компонентата на вектор а,
която е перпендикулярна
на b.

English: 
So this term a sine theta is
actually just the magnitude of
this line right here.
Another way you could--
let me redraw it.
It doesn't matter where the
vectors start from.
All you care about is this
magnitude and direction, so
you could shift vectors
around.
So this vector right here, and
you could call it this
opposite vector, that's the
same thing as this vector.
That's the same thing as this.
I just shifted it away.
And so another way to think
about it is, it is the
component of vector a, right?
We're used to taking a vector
and splitting it up into x-
and y-components, but now we're
taking a vector a, and
we're splitting it up into--
you can think of it as a
component that's parallel to
vector b and a component that
is perpendicular to vector b.
So a sine theta is the magnitude
of the component of
vector a that is perpendicular
to b.

Spanish: 
Así que este término un theta sine es en realidad la magnitud de
Esta línea aquí.
Otra manera podrías--permítanme dibujarlo.
No importa donde parten los vectores.
Todo le interesa es esta magnitud y dirección, así
podría pasar vectores alrededor.
Así que este vector aquí y usted podría llamar esto
frente a vectores, es lo mismo que este vector.
Es lo mismo que esto.
Yo simplemente había desplazado lo lejos.
Y así es otra manera de pensar, es el
¿componente del vector a, derecho?
Estamos acostumbrados a tomar un vector y dividir en x-
y y componentes, pero ahora nos estamos tomando un vector a, y
nos vamos dividir en--se puede considerar como un
componente que es paralelo al vector b y un componente que
es perpendicular al vector b.
Por lo tanto un theta sine es la magnitud del componente de
vector que es perpendicular a b.

Korean: 
결국, a * sin(θ)의 값은
이 선의 길이를 나타내는게 됩니다.
다른 방식으로 설명을 해볼게요.
벡터에서 시점은 상관이 없죠.
벡터에서 중요한 것은 크기와 방향이기 때문에
벡터는 이리저리 움직일 수 있었죠.
그래서 이 벡터, op 벡터는
이 벡터와 같은 벡터라고 할 수 있어요.
이 벡터와 같죠.
옆으로 이동을 시켰으니까요.
 
자, 그래서 다른 방식으로 생각해 보자면
op 벡터는 a 벡터의 성분이에요.
지금까지 배웠던 것 중에 벡터를 
x와 y 성분으로 나누었던 것을 기억할 수 있을 거에요.
그런데, 여기에서는
a 벡터와 평행한 성분과
a 벡터와 수직인 성분으로
나누어서 a 벡터를 분해하고 있어요.
즉, a * sin(θ)의 크기는
a 벡터에 수직인 성분의 크기라고 할 수 있어요.

Turkish: 
A*sin(teta) aslında k kenarının büyüklüğüdür.
-
Bu doğruyu tekrar çizeyim.
Aslında vektörün nereden başladığı önemli değildir.
Sadece büyüklük ve yöne dikkat etmeniz gerekir.
Yani vektörü aynı doğrultuda kaydırabilirsiniz.
K diye adlandırdığım vektör, çizeceğim vektörle aynıdır.
-
-
Ben sadece vektörü biraz uzağa kaydırdım.
-
Başka bir şekilde düşünürsek, bu vektör, a vektörünün bir bileşenidir, değil mi?
-
Bir vektörü x ve y bileşenlerine ayırmaya alışkınız
fakat şimdi a vektörünü alıp b vektörüne paralel ve dik olan bileşenlerine ayırdık diye düşünebilirsiniz.
-
-
-
Yani asin(teta), a vektörünün, b vektörüne dik olan bileşeninin büyüklüğüne eşittir.
-

Chinese: 
所以这个项 asinθ实际上是
这条线的长度
另一种方法是 我重画一下
向量从哪里开始是毫无关系的
我们所关心的是向量的模和方向
所以大家可以移动向量
这条向量
大家可以称之为对边向量
也就相当于这条向量
这条向量和这条是相同的
我移动了这条向量
另一种思考方法是
这是向量a的分量 对吗？
我们习惯于把向量分解成x方向
和y方向的分量 但现在我们使用向量a
我们把它分解成
大家可以把它分解成
平行于向量b的分量
和垂直于向量b的分量
所以asinθ代表向量a的分向量的模
这个分向量垂直于向量b

Chinese: 
所以这个项 asinθ实际上是
这条线的长度
另一种方法是 我重画一下
向量从哪里开始是毫无关系的
我们所关心的是向量的模和方向
所以大家可以移动向量
这条向量
大家可以称之为对边向量
也就相当于这条向量
这条向量和这条是相同的
我移动了这条向量
另一种思考方法是
这是向量a的分量 对吗？
我们习惯于把向量分解成x方向
和y方向的分量 但现在我们使用向量a
我们把它分解成
大家可以把它分解成
平行于向量b的分量
和垂直于向量b的分量
所以asinθ代表向量a的分向量的模
这个分向量垂直于向量b

Thai: 
เทอมนี้ a ไซน์เธต้าก็คือขนาดของ
เส้นตรงตรงนี้
อีกวิธีที่คุณ -- ขอผมวาดใหม่นะ
ไม่เกี่ยวว่าเวกเตอร์เริ่มจากตรงไหน
ที่คุณสนใจคือขนาดและทิศของมัน
คุณเลื่อนเวกเตอร์ไปมาได้
เวกเตอร์นี่ตรงนี้ คุณเรียกมันว่า
เวกเตอร์ตรงข้ามก็ได้ มันเท่ากับเวกเตอร์นี้
มันเหมือนกับอันนี้
ผมแค่เลื่อนมันไป
 
วิธีคิดอีกอย่างคือว่า มันคือ
องค์ประกอบของเวกเตอร์ a จริงไหม?
เราเคยนำเวกเตอร์มาแล้วแยกมันเป็น
องค์ประกอบ x กับ y 
แต่ตอนนี้เราจะนำเวกเตอร์ a
และเราแยกมันเป็น -- คุณคิดว่ามันเป็น
องค์ประกอบที่ขนานกับเวกเตอร์ b กับ
องค์ประกอบที่
ตั้งฉากกับเวกเตอร์ b ก็ได้
a ไซน์เธต้าคือขนาดขององค์ประกอบของ
เวกเตอร์ a ที่ตั้งฉากกับ b

iw: 
על כן, האיבר הזה, a סינוס טטה הוא בעצם הערך
המוחלט של הקו הזה, כאן.
אני אצייר את זה מחדש.
זה לא משנה מאיפה וקטור מתחיל.
כל מה שחשוב זה אורכו וכוונו, על כן
ניתן להזיז וקטורים בצורה מקבילה.
הווקטור הזה, נכנה אותו הווקטור שממול,
הוא אותו דבר כמו הווקטור הזה.
זה אותו דבר כמו זה.
רק הזזתי אותו במקביל.
דרך אחרת להסתכל על a סינוס טטה, היא
שזה רכיב של וקטור a, נכון?
אנו רגילים לפרק וקטור לרכיבים X
ו- Y, אך עתה אנו מפרקים את וקטור a
לרכיב שהוא מקביל לווקטור b,
ולרכיב שהוא מאונך
לווקטור b.
על כן, a סינוס טטה הוא הערך המוחלט של
הרכיב של וקטור a המאונך לווקטור b.

Portuguese: 
Portanto, esta teta um termo seno é realmente apenas a magnitude do
esta linha aqui.
Outra maneira você poderia - deixe-me redesenhá-lo.
Não importa onde os vetores começar.
Tudo o que interessa é essa magnitude e direção, de modo
você poderia mudar vetores ao redor.
Então vetor isso aqui, e você poderia chamá-lo de presente
vector oposto, que é a mesma coisa que esse vetor.
Essa é a mesma coisa como esta.
Eu só deslocou-la.
E assim uma outra maneira de pensar sobre isso é, é o
componente de um vetor, certo?
Estamos acostumados a tomar um vetor e dividi-lo em x
e y-componentes, mas agora estamos tomando um vetor, e
estamos dividindo-o em - você pode pensar nisso como um
componente que é paralelo ao vetor b e um componente que
é perpendicular ao vetor b.
Assim, um seno teta é a magnitude da componente dos
um vetor que é perpendicular a b.

Turkish: 
-
Bu örnekte, a vektörünün büyüklüğü beni ilgilendirmiyor.
-
Ben sadece a vektörünün, b vektörüne dik olan bileşeninin büyüklüğüne önem veriyorum.
Bu iki sayıyı çarparım
ve sağ el kuralı ile belirlenen yönde bir vektör elde etmiş olurum.
-
Size önemli birkaç uygulama göstereceğim.
Çapraz çarpım işlemini tork konusunda ve ayrıca manyetik alanda kullanacağız.
-
-
Çapraz çarpım, bu uygulamaların ikisinde de kuvvete ya da yarıçapa dik olan vektörü bulmak için oldukça önemli.
-
Bu örnekte, asin(teta), a vektörünün b vektörüne dik olan bileşenidir diyebiliriz
-
-
ve bundan dolayıdır ki çapraz çarpım formülünde sin(teta) vardır.
-
-
Bu formülü, a çarpı parantez içinde bsin(teta) şeklinde de yazabiliriz.

iw: 
כשלוקחים את המכפלה הווקטורית של שני
וקטורים,
אנו לא מסתכלים על כל הערך
המוחלט של a, בדוגמה הזאת, אלא
על הערך המוחלט של הרכיב של וקטור a,
המאונך לווקטור b,
ואלה שני המספרים שאני רוצה להכפיל, ולתת
להם את הכוון המוגדר על ידי
כלל יד ימין.
אראה לכם מספר יישומים. זה חשוב במיוחד,
כי אנו משתמשים במכפלה הווקטורית במומנטים,
וגם בשדות מגנטיים, אך חשוב ביישומים
האלה למצוא את
הרכיבים של הווקטור שהם מאונכים
לכוח, או לרדיוס המופיעים השאלה.
זאת הסיבה שבמכפלה הווקטורית מופיע סינוס
טטה, כי למשל בדוגמה הזאת,
כשמסתכלים על a סינוס טטה כפול b, זה כמו
להגיד שזה הערך המוחלט של הרכיב של a
המאונך ל- b. כמובן שניתן להסתכל על זה
בצורה השנייה.
אפשר להסתכל על זה כמכפלה של a כפול b
סינוס טטה, בסדר?

English: 
So when you're taking the cross
product of two numbers,
you're saying, well, I don't
care about the entire
magnitude of vector a in this
example, I care about the
magnitude of vector a that is
perpendicular to vector b, and
those are the two numbers that
I want to multiply and then
give it that direction
as specified by
the right hand rule.
And I'll show you some
applications.
This is especially important--
well, we'll use it in torque
and we'll also use it in
magnetic fields, but it's
important in both of those
applications to figure out the
components of the vector that
are perpendicular to either a
force or a radius in question.
So that's why this cross product
has the sine theta
because we're taking-- so in
this, if you view it as
magnitude of a sine theta
times b, this is kind of
saying this is the magnitude
of the component of a
perpendicular to b, or
you could interpret
it the other way.
You could interpret it as a
times b sine theta, right?

Portuguese: 
Então, quando você está tomando o produto cruzado de dois números,
você está dizendo, bem, eu não me importo com toda a
magnitude de um vetor, neste exemplo, me preocupo com o
magnitude de um vetor que é perpendicular ao vetor b, e
esses são os dois números que eu quero multiplicar e depois
dar-lhe sentido, conforme especificado pelo
a regra da mão direita.
E eu vou te mostrar algumas aplicações.
Isto é especialmente importante - bem, vamos usá-lo em binário
e vamos usá-lo também em campos magnéticos, mas ela
importante em ambos os aplicativos para descobrir o
componentes do vetor que é perpendicular a qualquer um
força ou de um raio em questão.
É por isso que este produto cruz tem o seno teta
porque nós estamos tendo - para que no presente, se você vê-lo como
magnitude de um seno b vezes teta, esta é uma espécie de
dizendo que esta é a magnitude do componente de um
perpendicular a b, ou você poderia interpretar
a outra maneira.
Você pode interpretá-la como um momento b seno teta, né?

Thai: 
เมื่อคุณหาครอสโปรดักของสองตัว
คุณกำลังบอกว่า ฉันไม่สนใจเวกเตอร์
ทั้งหมดของเวกเตอร์ a ในตัวอย่างนี้ ผมสนใจ
แค่ขนาดของเวกเตอร์ a ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ b
เลขสองตัวนั้น ผมอยากคูณแล้ว
กำหนดทิศตาม
กฎมือขวา
และผมจะยกตัวอย่างการนำไปใช้ให้ดู
อันนี้สำคัญเป็นพิเศษ -- เราจะใช้ในทอร์ก
และเราจะใช้ในสนามแม่เหล็ก แต่มัน
สำคัญทั้งสองตัวอย่าง เวลาหา
องค์ประกอบของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับแรง
หรือไม่ก็รัศมีในสถานการณ์นั้นๆ
นั่นคือสาเหตุที่ครอสโปรดักมีไซน์เธต้า
เพราะเราจะหา -- ในนี้ ถ้าเรามองมัน
เป็นขนาดของ a ไซน์เธต้าคูณ b อันนี้
บอกว่า นี่คือขนาดขององค์ประกอบ a
ที่ตั้งฉากกับ b หรือคุณตีความ
กลับกันก็ได้
คุณตีความมันเป็น 
a คูณ b ไซน์เธต้าก็ได้ จริงไหม?

Korean: 
그래서,  만약에 외적한 벡터의 크기를 구하려면
벡터 a에는 상관없이
a 벡터 중에서
b 와 수직인 벡터의 크기만을 고려하게 되고,
이는 a * sin(θ)가 됩니다.
그리고 오른손 법칙에 의해 구한
벡터의 방향벡터만을 곱해주게 됩니다.
그러면 살짝 응용된 것을 살펴봅시다.
방금까지 살펴 보았던 것은
돌림힘이나 자기장에서 모두 사용되고 
중요하게 다루어 집니다.
문제에서 돌림힘이나 자기장 모두에서
힘이나 반지름에 수직인 성분을 알아내야 한다는 것이
공통적이죠.
이렇기 때문에 외적에 sin(θ)가 곱해지게 되고,
아까 a * sin(θ)라고 보았던 것을
b * sin(θ)라고 본다면
a 벡터에 수직인 성분의
b 벡터의 크기라고 볼 수도 있어요.
 
즉, a * (b * sin(θ) ) 라고 해석할 수도 있는 거죠.

Spanish: 
Así que cuando usted está tomando el producto cruzado de dos números,
Usted está diciendo, bueno, que no me importa todo el
magnitud del vector un en este ejemplo, me preocupa la
magnitud del vector que es perpendicular al vector b, y
esos son los dos números que quiero multiplicar y luego
darle esa dirección especificada por
la regla de la mano derecha.
Y te voy a mostrar algunas aplicaciones.
Esto es especialmente importante--bien, vamos a usar en par
y usaremos también en campos magnéticos, pero es
importante en cada una de esas aplicaciones para averiguar la
componentes del vector perpendiculares a cualquiera una
fuerza o radio en cuestión.
Por eso este producto Cruz tiene el theta de seno
porque estamos tomando--en esto, si lo ve como
magnitud de un seno theta veces b, esto es una especie de
decir esto es la magnitud del componente de un
perpendicular a b, o usted podría interpretar
que la otra forma.
¿Podría interpretarlo como un veces theta sine b, derecha?

Bulgarian: 
Когато търсиш векторното
произведение на две числа,
казваш – в този случай
не ме интересува
цялата дължина
на вектор а,
интересува ме дължината на вектор а,
която е перпендикулярна на вектор b,
и това са двете числа,
които искам да умножа,
а после давам посоката
чрез правилото на дясната ръка.
Ще ти покажа
някои приложения.
Това е особено важно –
ще го използваме при въртящия момент
и ще го използваме
при магнитните полета,
но при тези две приложения
е важно да намерим
компонентите на вектора,
които са перпендикулярни
на дадена сила
или радиус.
Ето защо във векторното произведение
има синус тита,
понеже виждаме – тук,
ако го гледаш като дължината
на а синус тита по b,
това все едно казваш,
че това е дължината на компонентата на а,
която е перпендикулярна на b,
или можеш да го
интерпретираш обратно.
Можеш да го интерпретираш
като а по b синус тита.

Chinese: 
当对这两个量求矢量积时
可以说 我不关心
这个例子中矢量a的模
我关心矢量a的
垂直于矢量b的分量的模
这是我想要相乘的两个数
然后对积施加一个
由右手定则确定的方向
我要给大家展示些应用例子
这非常重要 我们要在转矩中使用矢量积
在磁场中也要用到
在这两个场合中 矢量积在
求出垂直于一个力或者垂直于半径的分向量
的问题中很有用
这就是为什么矢量积中有sinθ
因为我们要 在这个例子中
如果我们把它看成a乘以sinθ的模乘以b
这也就是说 这是向量a的
垂直于向量b的分量的模
或者大家可以换种理解方式
可以把它理解成a乘以b乘以sinθ 对吗？

Chinese: 
当对这两个量求矢量积时
可以说 我不关心
这个例子中矢量a的模
我关心矢量a的
垂直于矢量b的分量的模
这是我想要相乘的两个数
然后对积施加一个
由右手定则确定的方向
我要给大家展示些应用例子
这非常重要 我们要在转矩中使用矢量积
在磁场中也要用到
在这两个场合中 矢量积在
求出垂直于一个力或者垂直于半径的分向量
的问题中很有用
这就是为什么矢量积中有sinθ
因为我们要 在这个例子中
如果我们把它看成a乘以sinθ的模乘以b
这也就是说 这是向量a的
垂直于向量b的分量的模
或者大家可以换种理解方式
可以把它理解成a乘以b乘以sinθ 对吗？

Chinese: 
當對這兩個量求向量積時
可以說 我不關心
這個例子中向量a的模
我關心向量a的
垂直於向量b的分量的模
這是我想要相乘的兩個數
然後對積施加一個
由右手定則確定的方向
我要給大家展示些應用例子
這非常重要 我們要在扭矩中使用向量積
在磁場中也要用到
在這兩個場合中 向量積在
求出垂直於一個力或者垂直於半徑的分向量
的問題中很有用
這就是爲什麽向量積中有sinθ
因爲我們要 在這個例子中
如果我們把它看成a乘以sinθ的模乘以b
這也就是說 這是向量a的
垂直於向量b的分量的模
或者大家可以換種理解方式
可以把它理解成a乘以b乘以sinθ 對嗎？

iw: 
שמים כאן סוגריים.
ואז ניתן להגיד
ש- b סינוס טטה הוא הרכיב של b
המאונך ל- a.
אני אצייר את זה כדי שיהיה ברור.
זה ה- a שלי, זה ה- b שלי.
זה a וזה b.
ל- b יש רכיב שהוא מאונך ל- a,
והוא נראה משהו כזה - סליחה,
נגמר לי המקום.
אצייר את זה כאן.
אם זה a וזה b, הרכיב של b שהוא
מאונך ל- a ייראה ככה.
הוא יהיה מאונך ל- a, ויגיע
עד לכאן, נכון?
ניתן אז לחזור לכללי הפונקציות הטריגונומטריות,
ולוודא שהערך המוחלט של הווקטור הזה הוא b
סינוס טטה.

English: 
Put a parentheses here.
And then you could view
it the other way.
You could say, well, b sine
theta is the component of b
that is perpendicular to a.
Let me draw that, just to
hit the point home.
So that's my a, that's my b.
This is a, this is b.
So b has some component of it
that is perpendicular to a,
and that is going to look
something like-- well, I've
run out of space.
Let me draw it here.
If that's a, that's b, the
component of b that is
perpendicular to a is going
to look like this.
It's going to be perpendicular
to a, and it's going to go
that far, right?
And then you could go back to
SOH CAH TOA and you could
prove to yourself that the
magnitude of this vector is b
sine theta.

Chinese: 
在这里放个括号
大家可以按另一种方式看它
可以说 bsinθ是向量b
垂直于向量a的分向量的模
我画一下它 以便于更好地理解
这是向量a 这是向量b
这是a 这是b
b有个分向量垂直于向量a
这看起来像
好的 没有地方做题了
在这里画吧
如果这是向量a 这是向量b
垂直于向量a的向量b的分向量看起来像这样
它将垂直于向量a
它有这么长 对吗？
然后大家可以回到SOH CAH TOA规则
大家可以证明一下
这个矢量的模是bsinθ

Korean: 
 
또 다른 방법으로도 해석 할 수 있어요.
b * sin(θ)가
a 에 수직인 b 벡터의 성분이라고도 할 수 있죠
 
이 벡터가 a 벡터이고,
이 벡터가 b 벡터라고 합시다.
 
이 벡터가 a 벡터이고,
이 벡터가 b 벡터라고 합시다.
b는 a 벡터에 수직인 성분을 가지고 있을 테고
이렇게 보일텐데
공간이 모자라네요.
이 곳에 그릴게요.
이 벡터가 a 벡터이고,
이 벡터가 b 벡터라고 할때
a 벡터에 수직인 b 벡터는 이렇게 될거에요.
 
a 벡터에 수직이고
크기는 이정도 되겠죠?
sin, cos, tan 를 활용해서
이 벡터의 크기가 b * sin(θ)라는 것을
구해낼 수 있을거에요.

Chinese: 
在這裡放個括號
大家可以按另一種方式看它
可以說 bsinθ是向量b
垂直於向量a的分向量的模
我畫一下它 以便於更好地理解
這是向量a 這是向量b
這是a 這是b
b有個分向量垂直於向量a
這看起來像
好的 沒有地方做題了
在這裡畫吧
如果這是向量a 這是向量b
垂直於向量a的向量b的分向量看起來像這樣
它將垂直於向量a
它有這麽長 對嗎？
然後大家可以回到SOH CAH TOA規則
大家可以證明一下
這個向量的模是bsinθ

Turkish: 
-
-
Bsin(teta), b vektörünün a vektörüne dik olan bileşenidir diyebilirsiniz.
-
Bu noktaya isabet etmek için vektörleri çizelim.
A vektörüm ve b vektörüm bunlar.
-
-
B vektörü a’ya dik olan birkaç bileşene sahiptir.
-
-
Yerim kalmadığı için buraya çizeyim.
Bu a vektörü ve bu da b vektörüdür.
-
Ve b vektörünün a’ya dik olan bileşeni bu vektördür.
A vektörüne dik bir şekilde bu kadar ileri gider.
-
-
Bu vektörün büyüklüğünün bsin(teta) olduğunu kendi başınıza kanıtlamak için sinüs, cosinüs ve tanjant formüllerine geri dönebilirsiniz.
-

Spanish: 
Poner aquí un paréntesis.
Y entonces podría verlo al revés.
Se puede decir, bueno, theta de seno b es el componente de b
que es perpendicular a una.
Permítanme señalar, para golpear el punto de inicio.
Para que de mi, que es mi b.
Esta es una, esto es b.
Así que b tiene algún componente del mismo que es perpendicular a,
y que se va a ver algo como--bien, he
quedarse sin espacio.
Permítanme dibujar aquí.
Si eso de la una, b que, el componente de b que es
perpendicular a una va a tener este aspecto.
Va a ser perpendicular a una, y va a ir
ese extremo, verdad?
Y entonces se podría volver a SOH CAH TOA y podrías
probar a usted que la magnitud de este vector es b
theta sinusoidal.

Portuguese: 
Coloque um parênteses aqui.
E então você pode vê-lo por outro caminho.
Pode-se dizer, bem, b seno teta é o componente de b
que é perpendicular a a.
Deixe-me chamar que, apenas para atingir o ponto em casa.
Então essa é minha, é este o meu b.
Este é um, isso é b.
Então b tem algum componente deste que é perpendicular a um,
e que vai ser algo como - bem, eu
executar fora do espaço.
Deixe-me chamar-lo aqui.
Se isso é um, que é b, o componente de b que é
perpendicular a um vai ficar assim.
Vai ser perpendicular a, e ela está indo ir
tão longe, né?
E então você poderia voltar para SOH CAH TOA e você pode
provar a si mesmo que a magnitude deste vetor é b
seno teta.

Chinese: 
在这里放个括号
大家可以按另一种方式看它
可以说 bsinθ是向量b
垂直于向量a的分向量的模
我画一下它 以便于更好地理解
这是向量a 这是向量b
这是a 这是b
b有个分向量垂直于向量a
这看起来像
好的 没有地方做题了
在这里画吧
如果这是向量a 这是向量b
垂直于向量a的向量b的分向量看起来像这样
它将垂直于向量a
它有这么长 对吗？
然后大家可以回到SOH CAH TOA规则
大家可以证明一下
这个矢量的模是bsinθ

Thai: 
ใส่วงเล็บตรงนี้
แล้วคุณก็มองมันกลับกันได้
คุณบอกได้ว่า b ไซน์เธต้า
คือองค์ประกอบของ b
ที่ตั้งฉากกับ a
ขอผมวาดนะ เพื่อให้เข้าใจถึงที่สุด
นั่นคือ a ของผม นั่นคือ b
 
นี่คือ a นี่คือ b
b มีองค์ประกอบของมันที่ตั้งฉากกับ a
และมันจะเป็นแบบ -- ผม
ไม่มีที่แล้ว
ขอผมวาดตรงนี้นะ
ถ้านั่นคือ a นั่นคือ b องค์ประกอบของ b ที่
ตั้งฉากกับ a จะเป็นแบบนี้
 
มันจะตั้งฉากกับ a และมันจะไปไกล
เท่านั้น จริงไหม?
แล้วคุณกลับไปยัง SOH CAH TOA แล้วคุณ
จะพิสูจน์ได้ว่าขนาของเวกเตอร์นี้คือ b
ไซน์เธต้า

Bulgarian: 
Поставям скоби тук.
И тогава можеш да го приемеш
по обратния начин.
Можеш да кажеш, че b синус тита
е компонентата на b,
която е перпендикулярна на а.
Нека начертая това,
за да го осъзнаем.
Това е а,
това е b.
 
Това е а,
това е b.
b има някаква компонента,
която е перпендикулярна на а,
и това ще изглежда –
свърши ми мястото.
Нека го
начертая тук.
Ако това е а, това е b,
компонентата на b,
която е перпендикулярна на а,
ще изглежда ето така.
Нека я начертая
в различен цвят.
Това ще е перпендикулярно на а
и това ще е толкова насам.
И можеш да се върнеш
към тригонометрията,
и можеш да си докажеш,
че големината на този вектор
е b синус тита.

Bulgarian: 
Оттук идва синус тита.
Това гарантира, че не просто 
умножаваме векторите.
Това гарантира, че умножаваме 
компонентите на векторите,
които са перпендикулярни
една на друга,
за да получим трети вектор,
който е перпендикулярен и на двете.
И хората, които изобретили
векторното произведение,
казали: "Това все още
е двусмислено, понеже ни казва –
винаги има два вектора,
които са перпендикулярни на тези два.
Единият отива навътре,
другият отива навън.
Те са в противоположни посоки."
И тук идва
правилото на дясната ръка.
Те казали: "Просто ще въведем
едно правило,
че ако използваш дясната си ръка,
насочиш я като пистолет,
пръстите ти са перпендикулярни,
тогава знаеш
в каква посока
сочи този вектор."
Надявам се,
че не те обърках.
Сега искам да гледаш
следващото видео.
То се занимава с електричество,
магнетизъм и въртящ момент
и това са приложенията
на векторното произведение,
и това ще ти даде
малко повече логика
върху начина за използването му.
Ще се видим скоро.
 

Chinese: 
这就是sinθ来源
确保一下我们并不只是将矢量直接相乘
确保我们将
相互垂直的向量的分量相乘
来得到第三个向量
这个向量垂直于原来两个向量
发明矢量积的人-
说 这仍然很模糊 因为矢量积没告诉我们
总有两个
垂直于两个原向量的向量
一个方向向内 一个向外
它们方向相反
这就是引入右手定则的原因
他们会说 好的 使用右手定则的惯例
像枪一样指着
将手指相互垂直
然后就知道结果矢量所指的方向
总之 希望大家都明白了
现在希望大家看下一个视频
这实际上是关于电学
磁力和扭矩的物理知识 它们实际上是
矢量积的应用
这会给大家使用矢量积带来
更多的直觉认识
再见

Chinese: 
這就是sinθ來源
確保一下我們並不只是將向量直接相乘
確保我們將
相互垂直的向量的分量相乘
來得到第三個向量
這個向量垂直於原來兩個向量
發明向量積的人-
說 這仍然很模糊 因爲向量積沒告訴我們
總有兩個
垂直於兩個原向量的向量
一個方向向內 一個向外
它們方向相反
這就是引入右手定則的原因
他們會說 好的 使用右手定則的慣例
像槍一樣指著
將手指相互垂直
然後就知道結果向量所指的方向
總之 希望大家都明白了
現在希望大家看下一個影片
這實際上是關於電學
磁力和扭矩的物理知識 它們實際上是
向量積的應用
這會給大家使用向量積帶來
更多的直覺認識
再見

Portuguese: 
Então é aí que o seno teta vem.
Ele garante que não estamos apenas a multiplicação de vetores.
Ele garante que estamos multiplicando os componentes do
os vetores que são perpendiculares entre si para
obter um terceiro vector que é perpendicular a ambos.
E então o povo que inventou o produto cruzado
disse, bem, ainda é ambígua, porque não
nos dizer - há sempre dois vetores que são perpendiculares
a esses dois.
Um entra, se sai.
Eles estão em direções opostas.
E é aí que a regra da mão direita vem dentro
Eles dizem, OK, bem, vamos apenas dizer que uma convenção
que você use sua mão direita, aponte-o como uma arma, faça todas as
os dedos perpendiculares, e então você sabe o que
direção que aponta vetor dentro
Enfim, espero que você não está confuso.
Agora eu quero você para assistir ao próximo vídeo.
Esta é realmente vai ser um pouco de física sobre eletricidade,
magnetismo e torque, e que é essencialmente o
aplicações do produto cruz, e ele vai lhe dar uma
pouco mais a intuição de como usá-lo.
Até logo.

Turkish: 
Bütün bunlar sin(teta)nın nereden geldiğini bize gösterir.
-
Ve böylece, bu iki vektöre dik üçüncü bir vektör elde etmek için vektörleri değil de vektörlerin birbirlerine dik bileşenlerini çarpmamız gerektiğinden emin oluruz.
-
-
Çapraz çarpımı bulan insanlar, he zaman bu iki vektöre dik iki vektör olduğunu söylemişlerdir.
– fakat bu biraz hala belirsizdir.--
-
-
Vektörlerin birisi içeri, birisi dışarı doğrudur
yani zıt yöndedirler.
Ve sağ el kuralı buradan çıkmıştır.
Kuralı söylüyorum:
Sağ elinizi silah gibi tutun,
bütün parmaklarınızı dik hale getirin
ve bu şekilde sonuç vektörünün hangi yönü gösterdiğini öğrenirsiniz.
Her neyse, umuyorum ki kafanız karışmamıştır.
Bir sonraki videoyu izlemenizi istiyorum.
Bu video elektrik, manyetizma ve tork hakkında olacak ki bu konular çapraz çarpımın önemli uygulamalarıdır
-
ve size çapraz çarpımın nasıl kullanılacağı hakkında biraz daha sezgi verecektir
-
Görüşmek üzere.
-

iw: 
זאת הסיבה שסינוס טטה מופיע בנוסחה.
הוא גורם לזה שאנחנו לא מכפילים סתם וקטורים.
הוא גורם לזה שאנו מכפילים רכיבים של
וקטורים המאונכים אחד ביחס לשני,
על מנת לקבל וקטור שלישי, המאונך לשניהם.
האנשים שהמציאו את המכפלה הווקטורית שמו
לב שזה נשאר עדיין לא חד משמעי, כי זה לא
אומר לנו את הכוון המדויק - תמיד יש שני וקטורים
המאונכים לשני אלה.
אחד נכנס, ואחד יוצא.
הם בכוונים מנוגדים.
כאן נכנס כלל יד ימיו למשחק.
אז התקבלה מוסכמה, שלפיה
כשמכוונים את יד ימין כרובה, שבו כל
האצבעות מאונכות, אז יודעים
מהו הכוון של וקטור n.
אני מקווה שלא בלבלתי אותכם.
אני רוצה שתצפו בסירטון הבא.
זה יעסוק בפיזיקה של חשמל,
מגנטיות ומומנטים. אלה היישומים
העיקריים של המכפלה הווקטורית.
אני מקווה שזה יקדם את ההבנה שלכם.
נתראה בקרוב.

Korean: 
여기에서 sin(θ)가 나오게 되었죠.
즉, 외적은 벡터가 단지 곱하는 것이 아니라
한 벡터에 수직인 벡터를
곱해서
두 벡터에 모두 수직인 
제 3의 벡터를 구하게 되는 것이죠.
하지만
두 벡터에 수직인 벡터는 항상 2개가 있는데
둘 중 무엇인지를 선택하기가
힘들겠죠.
하나는 위로 향하고, 다른 하나는 아래를 향할 거에요.
서로 반대 방향을 향하고 있겠죠.
이렇기 때문에 오른손 법칙이 필요한 것입니다.
그러면 수학자들이 여기에서 
"그러면 '오른손 법칙'을 만들자" 라고 하겠죠.
"손을 총 모양으로 해서"
"세 손가락을 수직으로 했을 떄를 기준으로"
"외적의 벡터가 가리키는 방향을 정하자"
이렇게 하면, 헷갈리지 않겠죠.
다음 비디오에서는
전기와 자기, 토크에 대한 물리적인 지식과
여기에서 외적을 어떻게 응용하고
사용하게 되는지에
대해서 배우게 될 거에요.
다음 비디오에서 봐요.
 

Thai: 
นั่นคือจุดที่ไซน์เธต้าเข้ามา
มันยืนยันว่าเราไม่ได้แค่คูณเวกเตอร์
มันยืนยันว่าเราคูณขนาดของ
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน
ให้ได้เวกเตอร์ที่สามที่ตั้งฉากกับทั้งคู่
แล้วคนที่ตั้งครอสโปรดัก
บอกว่า มันยังกำกวมเพราะมันไม่ได้
บอก -- มันมีเวกเตอร์สองตัวที่ตั้งฉาก
กับสองตัวนี้เสมอ
อันหนึ่งเข้า อันหนึ่งออก
พวกมันมีทิศตรงข้าม
และนั่นคือจุดที่กฎมือขวาเข้ามา
เขาบอกว่า โอเค เราจะตั้งธรรมเนียม
ว่าคุณใช้มือขวา ชี้มันเหมือนปืน ทำให้
นิ้วตั้งฉากกันหมด แล้วคุณจะรู้ว่า
ทิศของเวกเตอร์ชี้ไปทางไหน
เอาล่ะ หวังว่าคุณคงไม่งงนะ
ทีนี้ ผมอยากให้คุณวิดีโอต่อไป
อันนี้จะเป็นวิชาฟิสิกส์เรื่องไฟฟ้า
แม่เหล็กและทอร์ก มันก็คือ
การนำครอสโปรดักไปใช้ และมันจะทำให้คุณ
ได้สัญชาตญาณว่าจะใช้มันอย่างไรมากขึ้น
แล้วพบกันใหม่ครับ
 

English: 
So that is where the sine
theta comes from.
It makes sure that we're not
just multiplying the vectors.
It makes sure we're multiplying
the components of
the vectors that are
perpendicular to each other to
get a third vector that is
perpendicular to both of them.
And then the people who invented
the cross product
said, well, it's still ambiguous
because it doesn't
tell us-- there's always two
vectors that are perpendicular
to these two.
One goes in, one goes out.
They're in opposite
directions.
And that's where the right
hand rule comes in.
They'll say, OK, well, we're
just going to say a convention
that you use your right hand,
point it like a gun, make all
your fingers perpendicular,
and then you know what
direction that vector
points in.
Anyway, hopefully, you're
not confused.
Now I want you to watch
the next video.
This is actually going to be
some physics on electricity,
magnetism and torque, and
that's essentially the
applications of the cross
product, and it'll give you a
little bit more intuition
of how to use it.
See you soon.

Chinese: 
这就是sinθ来源
确保一下我们并不只是将矢量直接相乘
确保我们将
相互垂直的向量的分量相乘
来得到第三个向量
这个向量垂直于原来两个向量
发明矢量积的人-
说 这仍然很模糊 因为矢量积没告诉我们
总有两个
垂直于两个原向量的向量
一个方向向内 一个向外
它们方向相反
这就是引入右手定则的原因
他们会说 好的 使用右手定则的惯例
像枪一样指着
将手指相互垂直
然后就知道结果矢量所指的方向
总之 希望大家都明白了
现在希望大家看下一个视频
这实际上是关于电学
磁力和扭矩的物理知识 它们实际上是
矢量积的应用
这会给大家使用矢量积带来
更多的直觉认识
再见

Spanish: 
Así es de dónde viene la theta de seno.
Se asegura de que no sólo nos estamos multiplicando los vectores.
Se asegura de que estamos multiplicando los componentes de
los vectores que son perpendiculares entre sí a
Obtenga un tercer vector que es perpendicular a ambos.
Y entonces la gente que inventó el producto cruzado
dijo, bueno, es todavía ambigua porque no
Cuéntanos--siempre hay dos vectores perpendiculares
a estos dos.
Uno va en, uno se apaga.
Están en direcciones opuestas.
Y que es donde entra en juego la regla de la mano derecha.
Dirán, bueno, bueno, que sólo vamos a decir una Convención
que utilice la mano derecha, señale como un arma, hacer todos los
su perpendicular de los dedos y luego usted sabe qué
dirección que vector puntos en.
Esperemos que, de todas formas, no está confundido.
Ahora quiero ver el siguiente video.
Esto realmente va a ser algunos física en electricidad,
magnetismo y par, y que es esencialmente la
aplicaciones del producto Cruz y lo voy a dar un
poco más intuición de cómo usarlo.
Nos vemos luego.
