Hola amigos hoy vamos a hablar de la primera crisis de los fundamentos de las matemáticas
el descubrimiento de magnitudes
inconmensurables
en nuestro anterior vídeo sobre el algoritmo de Euclides vimos que en un principio los pitagóricos pensaban que dados dos segmentos cualesquiera
dadas dos magnitudes
siempre eran con mensurables, es decir podríamos encontrar un tercer segmento que midiera de forma exacta a los dos anteriores
sin embargo se le adjudica a Hípaso de Metaponto, un miembro de la Escuela Pitagórica
el descubrimiento de la existencia de segmentos inconmensurables. A los pitagóricos esta revelación los dejó tan atónitos
que dedicaron enormes esfuerzos para mantenerlo en secreto
sin embargo también se le atribuye al propio Hípaso haber desvelado dicho secreto al exterior
cuenta la leyenda que el susodicho fue arrojado por la borda de un barco por el propio Pitágoras por haber desvelado el secreto
aunque otras fuentes dicen que simplemente fue desterrado de la escuela.
En este vídeo vamos haber que dado un cuadrado, el lado
y la diagonal del cuadrado no son conmensurables
y además lo vamos a ver de una forma puramente geométrica al estilo pitagórico
empezamos
Como dijimos en nuestro vídeo anterior en la antigua Grecia no se hablaba de números racionales sino más bien de magnitudes con mensurables
¿Qué relación hay entre la noción de magnitudes con mensurables y la de números racionales que nosotros conocemos?
Dados dos segmentos conmensurables, el cociente entre las longitudes de ambos segmentos es un número racional,
precisamente el número de veces que cabe u en el segmento grande dividido entre el número de veces que cabe en el segmento pequeño
recíprocamente si el cociente entre dos segmentos es un número racional
estos dos segmentos han de ser conmensurables
en efecto
despejando AB de nuestra ecuación y operando vemos que tomando u
igual a CD dividido entre n
tenemos que por definición
u cabe n veces en CD y por la ecuación u cabe m veces en AB.
Consideremos un cuadrado la pregunta que nos hacemos es
¿son con mensurables el lado y la diagonal del cuadrado?
Fijaos que si tomamos como unidad el lado del cuadrado esto es el lado vale 1 por el teorema de Pitágoras
la diagonal es raíz de 2
por la discusión que acabamos de hacer probar que el lado y la diagonal son conmensurables
equivaldría a probar que raíz de 2 es un número racional y sabemos que esto no es cierto.
en nuestro anterior vídeo vimos dos formas de calcular el máximo común divisor
bien del modo actual que es puramente aritmético o bien utilizando el algoritmo de Euclides que es puramente
geométrico del mismo modo la forma actual de demostrar la irracionalidad de raíz de 2 es puramente aritmética
utilizando la unicidad de la descomposición en factores primos de un número esto es el teorema fundamental de la aritmética
os dejamos aquí un enlace a un vídeo de juan medina donde explica esta demostración aritmética con mucho detalle
lo que vamos a ver en este vídeo es una demostración
puramente geométrica de la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un cuadrado la demostración es por reducción al absurdo
esto es supondremos que la diagonal y el lado son con mensurables y llegaremos a una contradicción
supongamos por tanto que existe un pequeño segmento y
que cabe una cantidad exacta de veces en el lado al cuadrado y una cantidad exacta de veces en la diagonal del cuadrado
para empezar trazamos una circunferencia con centro en un extremo de la diagonal y radio el lado del cuadrado
esta circunferencia corta la diagonal en un punto que determina un segmento igual al lado del cuadrado
dado que este segmento es compensable por la diagonal entera también es convención hable perú por hipótesis
tenemos que el segmento restante de la diagonal también es co mensurable por
trazamos ahora una perpendicular a la diagonal
pasando por el anterior punto de corte y la prolongamos hasta cortar al lado vertical del cuadrado
este nuevo segmento es igual que el segmento menor de la diagonal y dado que forman un ángulo recto definen un nuevo cuadrado
trazamos a continuación un segmento
con un extremo en el extremo de la diagonal y otro extremo en el vértice del cuadrado pequeño sobre el lado vertical del cuadrado grande
este nuevo segmento nos define dos triángulos que afirmamos que son congruentes esto es idénticos
para comprobar que dos triángulos son congruentes basta ver que tienen dos lados iguales y un ángulo en común
en efecto ambos triángulos tienen un lado que coincide con el lado del cuadrado original
ambos triángulos tienen un lado en común y ambos triángulos tienen un ángulo recto
De este modo el tercer lado de estos dos triángulos también es común y coinciden con el lado del cuadrado pequeño
para empezar esto nos dice que el lado del cuadrado pequeño es menor que la mitad del lado del cuadrado grande
además como el segmento que había un número exacto de veces en el lado del cuadrado pequeño
también cabe un número exacto de veces en el lado del triángulo en cuestión
ahora bien la base y la altura del cuadrado son trivialmente iguales
el segmento cabe un número de veces exacto en el lado del triángulo y en el lado del cuadrado grande por tanto
también cabe un número exacto de veces en el segmento restante
pero este segmento es justamente la diagonal del cuadrado pequeño
que hemos conseguido con este razonamiento
si el lado en la diagonal de nuestro cuadrado original son conmensurables por un segmento
entonces hemos encontrado un segundo cuadrado cuyo lado es menor que la mitad del lado del cuadrado original
de modo que su lado y su diagonal también son conmensurables y además por el mismo segmento
Pero un momento
podemos repetir entonces el proceso y encontrar un tercer cuadrado cuyo lado es menor que la mitad del segundo cuadrado
y tal que su lado y diagonal también son conmensurables por el segmento
y un tercer cuadrado con lado de diagonal con mensurables perú y un cuarto cuadrado y así hasta el infinito
tenemos una sucesión infinita de cuadrados cuyos lados tienden a cero
y de forma que sus lados y diagonales son con mensurables x
pero esto es imposible pues o era un segmento que por muy pequeño que fuese estaba fijo
y el lado de la sucesión de cuadrados tiende a cero y por tanto en algún momento será más pequeño que el propio
como va a medir un segmento un a un segmento menor que el mismo
esta contradicción
aparte de suponer que el lado y la diagonal del cuadrado original eran con mensurables
y de este modo hemos probado geométricamente que raíz de 2 es irracional
a mí en particular esta demostración la irracionalidad de raíz de 2 siempre me ha fascinado
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