Son videoda, e üzeri x'in Maclaurin serisini bulduk.  Birkaç eksi
dışında, bu serinin kosinüs x ve sinüs x'in
polinom ifadelerinin birleşimi olduğunu fark ettik.
Bu eksileri yok etmek için, bir küçük hile yapacağım. Şimdi Şimdi, e üzeri
x'in bu polinom açılımını alıyoruz
sonsuz sayıda terimle, bu yakınsamadan ziyade eşitliğe dönüşür. e üzeri
ix, ne olur?
Polinom açılımı olmasaydı, bir tabanın i üssünü almak bize tuhaf gelebilirdi
ama, şimdi e üzeri x'in polinom açılımı olduğu bildiğimiz için,
biraz daha mantıklı duyulabilir, çünkü i'nin .
kuvvetlerini alabilirim.
Örneğin, i kare eşittir eksi 1, i küp eşittir eksi i, falan filan gibi... Peki
e üzeri ix'i aldığımızda, ne olacak?
x yerine ix'i koymakla aynı şey.
Polinomda x gördüğümüz her yere, ix yazalım.  Burada olayın mantığını göstermeye çalışıyoruz tabii
ispat yapmıyoruz.
Ama, yine de bu videoda son derece önemli bir sonuca varacağız.
Eşittir 1 artı ix artı
peki
ix'in karesi nedir?  Terim
ix'in karesi bölü 2 faktöriyel.
i kare eşittir
eksi 1 ve yanında, x kare bölü 2 faktöriyel var.
O zaman, eksi x kare bölü 2 faktöriyel olacak.
Sanıyorum, şablonu görmeye başladınız.
Peki, şimdi, ix'in kübü nedir?
Aslında, öncelikle, açılımının tamamını yazmak istiyorum.
Artı ix'in karesi, bölü 2 faktöriyel.
Artı ix'in kübü, bölü 3
faktöriyel, artı
ix'in dördüncü kuvveti, bölü 4 faktöriyel
artı
ix'in beşinci kuvveti, bölü 5 faktöriyel, ve böyle
devam edebiliriz. Şimdi, bu ix'in
kuvvetlerini bulalım.  Bu, eşittir 1 artı
ix, artı
ix'in karesi, yani
i kare x kare
i kare eşittir eksi 1.  O zaman, eksi x
kare bölü
2 faktöriyel. Sonra
i küp x küp var,
i küp eşittir i kare çarpı i, yani eksi i.
Demek ki, terimimiz eksi
i x küp, bölü
3 faktöriyel.
Ve, artı
i üzeri 4 nedir?
i karenin karesidir.
Yani eksi 1'in karesi, bu da artı 1 eder.
Buna göre, i üzeri 4 eşittir 1. Sonrasında da x üzeri
4 var.  Yani, artı x üzeri
4, bölü
4 faktöriyel.
i üzeri 5, 1i
olacak.
Demek ki, bir sonraki terim, i çarpı x üzeri 5, bölü
5 faktöriyel.
Sanıyorum bir örüntü görmeye başladınız.
Katsayılar, 1, i
eksi 1, eksi i, 1 , i, ve
eksi 1 çarpı x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel
ve sonra, eksi i çarpı x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel.
Buna göre, bazı terimlerde i var, yani bunlar imajiner terimler, Buna göre, bazı terimlerde i var, yani bunlar imajiner terimler
bazı terimler de gerçel.
Peki, biz bu ikisini neden ayırmıyoruz?
Şimdi, gerçel ve imajiner terimleri ayıralım.
Bu, gerçel. Bunlar da gerçel.
O zaman, gerçel terimler, 1 eksi
x kare, bölü
2 faktöriyel, artı
x üzeri 4, bölü
4 faktöriyel
eksi x üzeri 6 bölü
6 faktöriyel.  Böyle devam edebiliriz.
İmajiner terimler nedir?
i çarpanını ayıralım. Bu, ix
o zaman
x kalır
bir sonraki terimde i'yi ayırırsak, eksi x küp, bölü 3
faktöriyel kalır.
Sonra, artı x üzeri 5
bölü 5 faktöriyel
eksi x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel.  Artı, eksi sonsuza kadar terim
ekleriz.
e üzeri ix, bunların
toplamına eşit.
Son birkaç videodan hatırlarsanız, gerçel kısım, kosinüs x'in Maclaurin serisine
eşitti.  Yani
bu ikisi aynı.
Buradaki de, sinüs x.  Öyle görünüyor ki, kosinüs x ve sinüs x'i
bir şekilde toplayıp, e üzeri x'i elde edebileceğiz.
Bu, sinüs x, ve sonsuz sayıda terim toplarsak, bu da kosinüs x olur.
Sonuçta, mükemmel bir formül elde ediyoruz.  Şunu diyebiliriz:
e üzeri ix eşittir
kosinüs x artı
i sinüs x.  Bu
Euler'ın formülü.
Ve bu  bilmiyorum size de aynı heyecanı veriyor mu ama bence matematikteki
en çılgın formüllerden bir tanesi.
İşin içinde bakın kimler var. Daha önce bileşik faizden elde ettiğimiz
e var.
dik üçgen oranları olan ve birim çemberden elde edilen kosinüs x ve
sinüs x'i
burada.
Bir de tabii eksi 1'in 1 bölü 2'nci kuvveti
var. Ve, bu süper bağıntıyı elde
ediyoruz.
Daha da mükemmeline ulaşmak için, radyan kullandığımızı, ve x'in
pi'ye
eşit olduğunu varsayalım.
Bir çılgın sayı daha ekleyelim.
Çemberin çevresinin çapına oranı. Pi.
Peki, Pi'yi katarsak, ne olur?
e üzeri i
çarpı pi
kosinüs pi.
Peki, kosinüs pi nedir?
pi, çemberin yarısı demek
yani kosinüs pi eşittir
eksi 1 ve sinüs pi eşittir 0.
Bu terim, ortadan kalkar.
Formüle pi sayısını koyarsak, inanılmaz bir şey elde ederiz.
Euler
Özdeşliği.
Böyle yazabiliriz, veya iki tarafa 1 ekleyebiliriz.
Vurgulamak için farklı bir renkte yazayım.
e üzeri
i pi
artı
1
eşittir 0.
Bu, size, kainatta henüz anlamadığımız
en azından benim henüz anlamadığım, bir bağlanmışlık olduğunu
haber veriyor.
i sayısı, mühendisler tarafından, polinom köklerini bulmak için
tanımlanmış.
Pi, çemberin çevresinin, çapına
oranı.  Yine ilginç bir sayı. Ama, tamamen farklı bir alanda bulunmuş.
e'nin ise, finans için çok önemli olan sürekli bileşik faizden veya türevi
kendiyle aynı olan e üzeri x'ten geldiğini düşünebilirsiniz. Yine mükemmel
bir sayı, ama
i veya pi'yle alakası yok gibi.
Sonra da en temel sayılardan olan 1 ve 0 var.
Bu özdeşlik, tüm bu temel sayıları mistik bir şekilde birbirine bağlıyor
ve kainattaki bağlanmışlığı bize gösteriyor.
Evet, bundan etkilenmiyorsanız, duygudan yoksunsunuz demektir.
