
Bulgarian: 
 
От мен искаха да направя
видео за векторното произведение
и неговите специални обстоятелства,
понеже бях стигнал до този момент
в плейлистата по физика, в която така или иначе трябваше да преподавам за магнетизма,
така че това е добър момент
да въведа идеята
за векторното
произведение.
Какво е
векторното произведение?
Знаем за векторното събиране,
векторното изваждане,
но какво се случва,
когато умножиш вектори?
И има два начина
да направиш това:
скаларното произведение
или векторното произведение.
И просто помни, че това са –
всяко действие, което учихме,
е дефинирано от хората
за някаква друга цел
и няма нищо различно при
векторното произведение.
Отделям време да кажа това,
понеже векторното произведение,
поне когато за пръв път
учих за него,
изглеждаше малко
неестествено.
Както и да е,
стига приказки.
Нека ти покажа
какво е това.
Векторното произведение
на два вектора:
да кажем, че имам вектор а по вектор b
и обозначението е
със знака "по", който знаеш
от преди
да започнеш учиш алгебра
и да използваш точки и скоби,

Spanish: 
Me han pedido que haga un vídeo sobre el producto vectorial,
y son circunstancias especiales, porque justo estaba en el punto de
la lista de reproducción de física donde tenía que enseñar magnetismo de todos modos
así que es el momento justo para introducir la noción de
el producto vectorial.
¿Entonces, qué es el producto vectorial?
Bueno, sabemos sobre la suma de vectores, la resta de vectores,
pero ¿qué sucede cuando multiplicamos vectores?
Y de hecho has dos formas de hacerlo: con el producto escalar
o el producto vectorial.
Y sólo tengan en cuenta, estos son--bueno, realmente, toda
operación que hemos aprendido es definida por los seres humanos
para otro propósito, y no hay nada diferente
acerca del producto vectorial.
Me tomo el tiempo para decir eso aquí porque el producto
vectorial, al menos cuando primero lo aprendí, parecía un poco
artificial.
De todos modos, basta de hablar.
Permítanme mostrarles lo que es.
Entonces el producto vectorial de dos vectores: digamos que tengo
vector a, cruz, vector b, y la notación es literalmente como
el signo de multiplicación que conocían antes de tomar
álgebra y utilizar puntos y paréntesis, por lo que es
literalmente sólo una x.

Chinese: 
大家好
有人要求我做一個關於向量叉乘的影片
其實現在的時機挺好因爲我正準備做
磁力學的一係列影片
所以時間不好不壞吧
正好向大家介紹一下向量叉乘的概念
那麽 叉乘到底是什麽呢？
我們都已經知道向量相加和相減
但向量相乘時要怎麽處理呢？
實際上向量相乘有兩種：點乘（向量內積）
點乘（向量內積）
大家需要知道
人類定義的每一種運算
都是有它的目地的
對於向量叉乘也是一樣
我之所以給大家啰嗦這個
是因爲向量積是一種很神奇的運算
至少當初我最開始學的時候是這麽認爲的
不管怎樣 想法就說到這
接下來我給大家展示一下叉乘到底是怎麽運算的
如果要叉乘兩個向量：
就假設是向量a×向量b叉乘符號就像
大家在剛開始學習代數
用的點號和括號一樣
其實就是個x

iw: 
התבקשתי לצלם סירטון על מכפלה וקטורית,
והמאפיינים המיוחדים שלה, כי אנחנו
נמצאים לקראת לימוד של מגנטיות,
על כן, זאת הזדמנות טובה להציג את
המכפלה הווקטורית.
מה זה מכפלה וקטורית?
אנו מכירים חיבור וחיסור של וקטורים,
אך מה קורה כשמכפילים וקטורים?
ישנן שתי דרכים לעשות זאת: המכפלה הסקלרית
והמכפלה הווקטורית.
קחו בחשבון שכל פעולה מתמטית
שלמדתם, הוגדרה על ידי בני אדם למטרות
מסוימות, וכך זה גם
בקשר למכפלה הווקטורית.
אני דואג לציין זאת עכשיו, כי המכפלה
הווקטורית - לפחות כשלמדתי אותה לראשונה -
נראתה לי קצת לא טבעית.
ניגש לעניין.
אראה לכם במה מדובר.
המכפלה הווקטורית של שני וקטורים: נגיד שיש
לנו מכפלה וקטורית של וקטור a עם וקטור b. סימן
המכפלה הוא כפי שהכרתם אותו לפני
שהתחלתם ללמוד אלגברה ולהשתמש בנקודות
וסוגריים. זה רק X.

Thai: 
 
ผมได้รับคำขอร้องให้ทำวิดีโอเรื่องครอสโปรดัก
และกรณีพิเศษของมัน เนื่องจากผมกำลังอยู่ใน
รายการฟิสิกส์ ที่ผมต้องสอน
เรื่องแม่เหล็กอยู่แล้ว
มันจึงเป็นเวลาที่ดีที่จะแนะนำแนวคิดเรื่อง
ครอสโปรดัก
แล้วครอสโปรดัก (cross product) คืออะไร?
เรารู้เรื่องการบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์
แต่เกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณคูณเวกเตอร์?
มันมีวิธีคูณสองวิธี แบบดอทโปรดัก
หรือครอสโปรดัก
และระลึกไว้ว่ามี -- จริงๆ แล้ว
การดำเนินการที่เราเรียนมานั้น 
กำหนดโดยมนุษย์
ด้วยจุดประสงค์บางอย่าง ครอสโปรดัก
ก็ไม่ต่างกัน
ผมเสียเวลาบอกอย่างนั้นเพราะครอสโปรดัก
อย่างน้อยตอนที่ผมเรียนตอนแรก มันดู
ไม่เป็นธรรมชาติ
เอาล่ะ พูดพอแล้ว
ขอผมแสดงให้ดูว่ามันคืออะไร
ครอสโปรดักของเวกเตอร์สองตัว สมมุติว่าผมมี
เวกเตอร์ a ครอสเวกเตอร์ b สัญลักษณ์ก็คือ
เครื่องหมายคูณที่คุณรู้จักก่อนที่คุณจะเริ่ม
เรียนพีชคณิต และใช้จุดหรือวงเล็บ มันก็คือ
ตัว x นั่นเอง

Chinese: 
大家好
有人要求我做一个关于矢量叉乘的视频
其实现在的时机挺好因为我正准备做
磁力学的一系列视频
所以时间不好不坏吧
正好向大家介绍一下矢量叉乘的概念
那么 叉乘到底是什么呢？
我们都已经知道矢量相加和相减
但矢量相乘时要怎么处理呢？
实际上矢量相乘有两种：点乘（矢量内积）
点乘（矢量内积）
大家需要知道
人类定义的每一种运算
都是有它的目地的
对于矢量叉乘也是一样
我之所以给大家啰嗦这个
是因为矢量积是一种很神奇的运算
至少当初我最开始学的时候是这么认为的
不管怎样 想法就说到这
接下来我给大家展示一下叉乘到底是怎么运算的
如果要叉乘两个矢量：
就假设是矢量a×矢量b叉乘符号就像
大家在刚开始学习代数
用的点号和括号一样
其实就是个x

English: 
I've been requested to do a
video on the cross product,
and its special circumstances,
because I was at the point on
the physics playlist where I had
to teach magnetism anyway,
so this is as good a time as any
to introduce the notion of
the cross product.
So what's the cross product?
Well, we know about vector
addition, vector subtraction,
but what happens when you
multiply vectors?
And there's actually two ways to
do it: with the dot product
or the cross product.
And just keep in mind these
are-- well, really, every
operation we've learned is
defined by human beings for
some other purpose, and there's
nothing different
about the cross product.
I take the time to say that
here because the cross
product, at least when I first
learned it, seemed a little
bit unnatural.
Anyway, enough talk.
Let me show you what it is.
So the cross product of two
vectors: Let's say I have
vector a cross vector b, and the
notation is literally like
the times sign that you knew
before you started taking
algebra and using dots and
parentheses, so it's
literally just an x.

Portuguese: 
Me pediram para fazer um vídeo sobre
Produto Vetorial,
e as condições especiais,
por que eu estava neste ponto
na playlist de física, onde eu tinha
que ensinar sobre magnetismo de qualquer jeito
então agora é um momento melhor
que qualquer outro para introduzir uma noção
de produto vetorial.
Então, o que é o Produto Vetorial?

Korean: 
 
외적의 개념과 특성에 대해
강의를 요청하는 분이 있었습니다
자기력에 대해서 가르칠 때가 되어가고 있었기 때문에
외적의 개념에 대해 설명하기
좋은 시기입니다
외적이란 무엇일까요?
벡터들끼리의 덧셈과 뺄셈에 대해서는 알고계시지만
벡터들끼리의 곱은 어떻게 될까요?
벡터의 곱에는 두가지 방법이 있습니다
내적과 외적이 바로 그것입니다
명심해두실 것은
모든 계산법들은 사람들에 의해
특정 목적을 위해서 정의되었고
외적도 그다지 다르지 않다는 것입니다
제가 이런 말을 하는 것은
처음 배웠을 때 제 입장에서는 살짝
이상했기 때문입니다
이제 그만하고
외적이 무엇인지 소개하겠습니다
두 벡터의 외적을 설명하겠습니다
a와 b의 외적의 표기법은 a×b입니다
여러분이 점으로 대신 표현하거나
괄호를 쓰기 전 사용하였던
곱셈 표시입니다

Turkish: 
-
Vektörel çarpım ve onun özel durumlarını anlatmam istendi
çünkü şuan fizik listesindeki konumuz,
öğretmem gereken konu manyetizma
şuan vektörel çarpımdan bahsetmenin tam sırası
-
Vektörel çarpım nedir?
Vektörleri toplamayı,çıkarmayı biliyoruz
peki vektörleri nasıl çarparız?
Bunun iki tane yolu var skaler çarpım ya da
vektörel çarpım
Şunu aklımızda tutalım
öğrendiğimiz her işlemin
farklı bir amacı vardır bu vektörel çarpım için de geçerli.
-
Bunları söyleyerek biraz zamanınızı aldım çünkü
vektörel çarpımı ilk duyduğumda bana biraz farklı gelmişti.
-
Yeterince konuştum.
Şimdi vektörel çarpım nedir bakalım.
İki vektörün vektörel çarpımı:Diyelim ki elimde
a x b olsun ,vektör çarpımın simgesi
cebir öğrenmeden önce
nokta ve parantezlerin yerine kullandığınız çarpma işareti
aynı zamanda x harfi.

Chinese: 
所以 向量a和b叉乘的結果等於--
額 一開始大家可能覺得奇怪爲什麽會這麽計算
不過以後通過形象化解釋應該會
明白爲什麽這麽處理
所以 向量積等於向量a的模乘以
向量b的模再乘以ab之間夾角的正弦
這裡夾角指的是較小的那個夾角
這裡呢 是比較重要的部分
而且這個量不是個純量
它不僅有大小
還有方向 這個量的方向我們用向量n來表示
n是單位向量
在上邊加一個帽符號表示
這是個單位向量 由向量n指定的這個方向
有幾個重要的點需要大家注意
首先 n與兩個向量都垂直
與兩個向量都正交

iw: 
המכפלה הסקלרית של a ו- b שווה - זה ייראה
לכם מאד מוזר בתחילה, אך אני מקווה
שנקבל תחושה חזותית
שלה.
היא שווה לערך המוחלט של וקטור a, כפול הערך
המוחלט של וקטור b, כפול הסינוס של הזווית
שביניהם,
הזווית הקטנה יותר שביניהם.
ועכשיו בעיטת הפתיחה: התוצאה של המכפלה
אינה גודל סקלרי.
היא לא רק בעלת ערך מוחלט.
היא גם בעלת כוון. אנו מציינים את הכוון בעזרת
וקטור n, וקטור היחידה n.
אני אצייר כובע קטן מעליו, כדי להראות
שזה וקטור יחידה.
ישנם מספר דברים מיוחדים הקשורים
לכוון הזה, המיוצג על ידי n.
אחת, n הוא מאונך לשני הוקטורים הנתונים.

Korean: 
벡터 a와 b의 외적이 의미하는 것이 무엇이냐면
물론 처음에는 이상해 보일 수 있지만
이것의 의미를 약간이라도 이해할 수
있을 것입니다
외적은 a의 크기와 b의 크기를 곱한 값에
두 벡터 사이 각 중 가장 작은 각의
사인 값을 곱한 것과 같습니다
여기 중요한 점이 있습니다
이 값은 스칼라가 아닙니다
다시 말하자면 크기만 가진 값이 아닙니다
이 값은 방향을 가지고 있습니다
그 방향은 단위 벡터 n에 의해 표현됩니다
n 위에 고깔을 씌움으로써
이것이 단위 벡터임을 표현합니다
단위벡터인 n에 의해 결정되는
중요한 것이 두 개 있습니다
첫번째는 n이 이 두가지 벡터에 대해서

Thai: 
ครอสโปรดักของเวกเตอร์ a กับ b เท่ากับ --
อันนี้จะดูแปลกตอนแรก แต่
หวังว่า เราจะเข้าใจภาพว่ามัน
หมายถึงอะไร
มันเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ a คูณขนาด
ของเวกเตอร์ b คูณไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
มุมที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน
และตอนนี้ นี่คือจุดสำคัญ ปริมาณนี้จะไม่
ได้เป็นแค่สเกลาร์
มันจะไม่ได้มีแต่ขนาด
มันมีทิศเดียว และทิศนั้นเราระบุด้วย
เวกเตอร์ n เวกเตอร์หน่วย n
เราใส่หมวกเล็กๆ ข้างบนมันเพื่อแสดง
ว่ามันเป็นเวกเตอร์หน่วย
มีเรื่องพิเศษสองอย่างเกี่ยวกับ
ทิศที่ระบุด้วย n นี้
หนึ่ง n ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองนี้

Chinese: 
所以 矢量a和b叉乘的结果等于--
额 一开始大家可能觉得奇怪为什么会这么计算
不过以后通过形象化解释应该会
明白为什么这么处理
所以 矢量积等于矢量a的模乘以
矢量b的模再乘以ab之间夹角的正弦
这里夹角指的是较小的那个夹角
这里呢 是比较重要的部分
而且这个量不是个标量
它不仅有大小
还有方向 这个量的方向我们用矢量n来表示
n是单位矢量
在上边加一个帽符号表示
这是个单位矢量 由矢量n指定的这个方向
有几个重要的点需要大家注意
首先 n与两个矢量都垂直
与两个矢量都正交

Bulgarian: 
така че буквално е
просто х (или ".").
Векторното произведение
на вектори а и b е равно на –
и това отначало
ще изглежда доста странно,
но се надявам, че ще добиеш
визуална представа какво означава това.
Това е равно на големината на вектор а
по големината на вектор b
по синуса на ъгъла
между тях,
най-малкия ъгъл
между тях.
И сега – неочакваната част –
тази стойност няма
да е просто
скаларна величина.
Няма да има
само дължина.
Има посока и тази посока
уточняваме
чрез вектор n,
единичният вектор n.
Можем да поставим
малка "шапка" отгоре,
за да покажем, че това е
единичен вектор.
Има няколко неща, които са специални
за тази посока,
която е дадена чрез n.
Първо, n е перпендикулярно
и на двата вектора.

English: 
So the cross product of vectors
a and b is equal to--
and this is going to seem very
bizarre at first, but
hopefully, we can get a little
bit of a visual feel of what
this means.
It equals the magnitude of
vector a times the magnitude
of vector b times the sine of
the angle between them, the
smallest angle between them.
And now, this is the kicker, and
this quantity is not going
to be just a scalar quantity.
It's not just going
to have magnitude.
It actually has direction, and
that direction we specify by
the vector n, the
unit vector n.
We could put a little
cap on it to show
that it's a unit vector.
There are a couple of things
that are special about this
direction that's
specified by n.
One, n is perpendicular to
both of these vectors.

Turkish: 
Böylece a x b şuna eşittir
başta biraz garip gelebilir
ama yazacağım formülle daha iyi anlayacağınızı umuyorum
-
a vektörünün boyu çarpı
b vektörünün boyu çarpı aralarındaki açının sinüsü
aralarındaki küçük açının sinüsü
Evet çarpım bu,ama bu büyüklük
sadece bir skaler büyüklük değil.
Sadece bir büyüklük olarak kalmamalı.
Çarpımın bir yönü var, bu yönü
birim vektör n ile belirtiriz.
n'nin üzerine bir şapka koyalım
birim vektör olduğunu göstermek için
n'nin belirlediği yönün kendine has özellikleri vardır.
-
Birincisi, n her iki vektöre de diktir.

Spanish: 
Por lo tanto el producto vectorial de vectores a y b es igual a--
y esto va a parecer muy extraño al comienzo, pero
con suerte, podemos conseguir un poco de intuición visual de lo que
esto significa.
Es igual a la magnitud del vector a, por la magnitud
del vector b, por el seno del ángulo entre ellos,
el ángulo más pequeño entre ellos.
Y ahora, esto es lo interesante, que esta cantidad no va
a ser sólo una cantidad escalar.
No sólo va a tener la magnitud.
De hecho tiene una dirección, y esa dirección la especificamos por
el vector n, el vector unitario n.
Le podemos poner pequeño sombrero para mostrar
que es un vector unitario.
Hay un par de cosas que son especiales sobre esta
dirección especificada por n.
Uno, que n es perpendicular a ambos de estos vectores.

English: 
It is orthogonal to both of
these vectors, so we'll think
about it in a second
what that implies
about it just visually.
And then the other thing is the
direction of this vector
is defined by the right
hand rule, and we'll
see that in a second.
So let's try to think
about this visually.
And I have to give you an
important caveat: You can only
take a cross product when
we are dealing in three
dimensions.
A cross product really has--
maybe you could define a use
for it in other dimensions or a
way to take a cross product
in other dimensions, but it
really only has a use in three
dimensions, and that's useful,
because we live in a
three-dimensional world.
So let's see.
Let's take some cross
products.
I think when you see it
visually, it will make a
little bit more sense,
especially once you get used
to the right hand rule.
So let's say that
that's vector b.
I don't have to draw a
straight line, but it
doesn't hurt to.
I don't have to draw
it neatly.
OK, here we go.

Spanish: 
Es ortogonal a ambos de estos vectores, y veremos
en un segundo lo que implica
eso visualmente.
Y luego, la otra cosa es la dirección de este vector
está definida por la regla de la mano derecha, y veremos
eso en un segundo.
Así que vamos a intentar pensar esto visualmente.
Y, tengo que darles una advertencia importante: sólo podemos
tomar un producto vectorial cuando estamos en tres
dimensiones.
Realmente tiene un producto cruzado--tal vez se podría definir un uso
en otras dimensiones o una manera de tomar un producto de vectorial
en otras dimensiones, pero realmente sólo tiene un uso en tres
dimensiones, y eso es útil, porque vivimos en un
mundo tridimensional.
Así que vamos a ver.
Tomemos algunos productos vectoriales.
Creo que cuando lo veamos visualmente, hará un
poco más de sentido, sobre todo cuando se acostumbren
a la regla de la mano derecha.
Así que digamos que ese es el vector b.
No tengo que dibujar una línea recta, pero
no hace daño.
No tengo que dibujarla limpiamente.
OK, aquí vamos.

Bulgarian: 
То е ортогонално на двата вектора,
а след малко ще видим графично
какво означава това.
И другото нещо е,
че посоката на този вектор
е дефинирана от
правилото на дясната ръка
и след малко
ще видим това.
Нека опитаме 
да го представим визуално.
И ще направя една важна уговорка:
Можеш да намериш
векторното произведение,
само когато работим
в три измерения.
Едно векторно произведение има –
може би можеш да дефинираш неговата употреба
в други измерения или начин да намерим
векторното произведение в други измерения,
но всъщност има употреба
само в три измерения
и това е полезно, понеже ние
живеем в триизмерен свят.
Да видим.
Нека намерим някои
векторни произведения.
Мисля, че когато го видиш
визуално, ще има повече смисъл,
особено след като свикнеш
с правилото на дясната ръка.
Да кажем, че това е
вектор b.
Не е нужно да чертая
права линия,
но не боли
да го направя.
Не е нужно
да я чертая прилежно.
 
Добре, готово.

Turkish: 
O her iki vektörle ortogonaldir
bunun ne demek olduğunu
görsel olarak inceleyelim.
İkincisi ise bu vektörün yönü
sağ el kuralıyla belrlenir
bunu da birazdan göreceğiz.
Şimdi bunları görsel olarak anlamaya çalışalım.
Sizi bir konuda uyarmam gerek:
Vektörel çarpmı 3 boyutlu sistemde kullanabilirsiniz.
-
Vektörel çarpımı diğer boyutlarda tanımlayabilirsiniz
diğer boyutlar da vektörel çarpım yapmanın yolu vardır
ama vektörel çarpımı 3 boyutlu sistemde kullanmak anlamlıdır
çünkü 3 dünya boyutludur..
-
-
Bir kaç tane vektörel çarpım örneği yapalım.
Bence şekillerle gördüğünüzde
daha iyi anlayacaksınız özellikle de
sağ el kuralını
Bu b vektörü olsun.
Düz bir çizgi çizmek zorunda değilim ama
böyle olduğunu düşünelim.
Düz çizmemiz gerekmiyor.
-
-

Korean: 
모두 수직하다는 것입니다
두 개에 모두 수직한 것이
어떻게 생긴 것일까요?
두번째는 n의 방향이
오른손의 법칙에 의해
결정된다는 것입니다
지금부터 알아보도록 하겠습니다
여기 중요한 점이 있습니다: 외적을 다룰 때에는
언제나 3차원의 공간 내에서
생각해야 합니다
물론 외적의 사용을
다른 차원에서 정의할 수도 있겠지만
실제로는 거의 3차원에서만 유용하게 사용됩니다
왜냐하면 우리가 3차원의 세상에서
살기 때문입니다
한 번 알아보도록 하겠습니다
외적 몇 개를 그려보도록 하겠습니다
외적이 무엇인지 눈으로 보아야
약간이라도 더 이해가 갈 것입니다
특히 오른손 법칙에 익숙해지면 말입니다
이것이 b 벡터라고 합시다
꼭 완벽한 직선으로 그릴 필요는 없지만
깔끔한 것이 보기에도 좋으니
반듯하게 그리겠습니다
아 직선 도구가 있었습니다
자 시작해보겠습니다

Thai: 
มันตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองนี้ เราจะคิด
ถึงมันเร็วๆ นี้ว่ามันแปลว่าอะไร
จากภาพ
แล้วอีกอย่างคือว่า ทิศของเวกเตอร์นี้
กำหนดโดยกฎมือขวา และเราจะ
เห็นเร็วๆ นี้
ลองคิดถึงมันเป็นภาพกัน
และผมต้องบอกเรื่องสำคัญอีกอย่าง คุณหา
ครอสโปรดักได้ก็ต่อเมื่อเราอยู่ใน
สามมิติเท่านั้น
ครอสโปรดักจริงๆ แล้ว -- 
บางทีคุณอาจนิยามการใช้
สำหรับมิติอื่นๆ วิธีหาครอสโปรดัก
ในมิติอื่นๆ แต่จริงๆ แล้วมันใช้ในแค่สาม
มิติ และมันมีประโยชน์ เพราะเราอยู่ใน
โลกสามมิติ
ลองดูกัน
ลองหาครอสโปรดักกัน
ผมว่าเมื่อคุณเห็นเป็นภาพแล้ว คุณจะ
เข้าใจขึ้นบ้าง ยิ่งตอนคุณ
คุ้นเคยกับกฎมือขวาแล้ว
สมมุติว่านั่นคือเวกเตอร์ b
ผมไม่ต้องวาดเส้นตรงก็ได้ แต่มัน
ไม่ผิดอะไร
ผมไม่ต้องวาดสวยมากก็ได้
 
โอเค ได้แล้ว

iw: 
הוא אורטוגונלי לשני הווקטורים האלה. בהמשך
נראה מה משמעות הדבר
מבחינה חזותית.
בנוסף, כוון הווקטור הזה מוגדר
על ידי כלל יד ימין. גם את זה נראה
עוד מעט.
ננסה לחשוב על זה מבחינה חזותית.
כדאי לציין מגבלה חשובה: אפשר לבצע
מכפלה וקטורית כשעוסקים בשלושה
ממדים.
יתכן שניתן להגדיר את השימוש שלה
בממדים אחרים, או למצוא דרך לבצע אותה
בממדים אחרים, אך היא באמת שימושית בשלושה
ממדים, וזה מועיל, כי אנו חיים
בעולם תלת ממדי.
בואו נראה.
נבצע מכפלה וקטורית.
אני חושב שכאשר תראו את זה בעיניים, זה
ייראה לכם יותר הגיוני, במיוחד לאחר שתתרגלו
לכלל יד ימין.
נגיד שזה וקטור b.
אני לא חייב לצייר קו ישר, אך
זה לא מזיק.
אין צורך לצייר את זה בצורה הכי מסודרת.
או-קיי, הנה זה בא.

Chinese: 
過一會我們會探討
直觀看起來
這代表著什麽
另外呢 這個方向
是由右手定則規定的
過會也會看到
所以大家要學會想象這個的直觀效果
另外需要提醒大家很重要的一點
只有在三維條件下
我們才使用向量積
或許你可以在其他維度裏定義向量積的應用
或者單純計算向量叉乘
但是它從根本意義上說 確實只在三維空間裏才能應用
這樣看來它就非常有用
因爲我們生存的就是三維的世界
好吧
下面來實踐一下叉乘吧
當你能直觀的看到它
尤其是能熟練使用右手定則以後
應該會更好懂一些
假設這是向量b
額其實不用畫這麽直
但是也無妨
不用畫的太好
哦這個畫次了

Chinese: 
过一会我们会探讨
直观看起来
这代表着什么
另外呢 这个方向
是由右手定则规定的
过会也会看到
所以大家要学会想象这个的直观效果
另外需要提醒大家很重要的一点
只有在三维条件下
我们才使用矢量积
或许你可以在其他维度里定义矢量积的应用
或者单纯计算矢量叉乘
但是它从根本意义上说 确实只在三维空间里才能应用
这样看来它就非常有用
因为我们生存的就是三维的世界
好吧
下面来实践一下叉乘吧
当你能直观的看到它
尤其是能熟练使用右手定则以后
应该会更好懂一些
假设这是矢量b
额其实不用画这么直
但是也无妨
不用画的太好
哦这个画次了

English: 
Let's say that that is vector
a, and we want to take the
cross product of them.
This is vector a.
This is b.
I'll probably just switch to one
color because it's hard to
keep switching between them.
And then the angle between
them is theta.
Now, let's say the length of a
is-- I don't know, let's say
magnitude of a is equal to
5, and let's say that the
magnitude of b is equal to 10.
It looks about double that.
I'm just making up the
numbers on the fly.
So what's the cross product?
Well, the magnitude
part is easy.
Let's say this angle is
equal to 30 degrees.
30 degrees, or if we wanted
to write it in radians, I
always-- just because we grow
up in a world of degrees, I
always find it easier to
visualize degrees, but we
could think about it in terms
of radians as well.

Turkish: 
Bu da a vektörü olsun, vektörlerin
vektörel çarpımını bulmak istiyoruz.
Bu a vektörü.
Bu da b vektörü.
Tek renk kullansam daha iyi olacak çünkü
renkleri değiştirmek zor oluyor.
Ve aralarındaki açı teta.
Diyelim ki a'nın uzunluğu
evet a'nın uzunluğu 5
b'nin uzunluğu 10 olsun.
b, a'nın 2 katı gibi görünüyor.
Yukarıdaki sayıları uydurdum sadece.
Vektörel çarpımları nedir?
Uzunlukları kısmı kolay.
Aradaki açıyı 30 derece kabul edelim
radyan cinsinden yazmak istersek,
-
açılarala görselleştirmek hep daha kolayıma gelir
bunu radyan olarak da düşünebiliriz

Bulgarian: 
Да кажем, че това е вектор a
и искаме да намерим
тяхното векторно
произведение.
Това е вектор а.
Това е b.
Вероятно ще започна да използвам
само един цвят,
понеже е трудно
постоянно да ги сменям.
А ъгълът между тях
е тита.
Сега, да кажем, че дължината на а е –
не знам, да кажем,
че дължината на а
е равна на 5
и да кажем, че дължината на b
е равна на 10.
Изглежда двойно
по-дълго от това.
Измислям си числата
в движение.
Какво е
векторното произведение?
Частта с дължината
е лесна.
Да кажем, че този ъгъл
е равен на 30 градуса.
30 градуса, или ако искахме
да го запишем в радиани –
аз винаги, просто понеже сме израснали
в свят, който работи с градуси,
винаги ми е по-лесно
 да визуализирам градуси,
но можем да помислим за това
и в радиани.

Spanish: 
Digamos que este es el vector a, y queremos tomar el
producto vectorial de estos dos.
Este es el vector a.
Este es b.
Probablemente cambie a un sólo color porque es difícil
alternar entre ellos.
Y, entonces, el ángulo entre ellos es theta.
Ahora, supongamos que la longitud de un no sé, digamos que es--
magnitud de a es igual a 5 y digamos que la
magnitud de b es igual a 10.
Parece el doble.
Sólo me estoy inventando estos números.
¿Cuál es el producto vectorial?
Bien, la parte de magnitud es fácil.
Digamos que este ángulo es igual a 30 grados.
30 grados, o si quisiéramos escribirlo en radianes, a mí
siempre--sólo porque crecemos en un mundo de grados,
siempre me resulta más fácil visualizar grados, pero
podemos pensar en términos de radianes también.

Thai: 
สมมุติว่านี่คือเวกเตอร์ a และเราอยากหา
ครอสโปรดักของพวกมัน
นี่คือเวกเตอร์ a
นี่คือ b
ผมน่าจะเปลี่ยนเป็นสีเดียว เพราะมัน
เปลี่ยนสีไปมาลำบาก
แล้วมุมระหว่างพวกมันคือเธต้า
ทีนี้ สมมุติว่าความยาวของ a คือ 
-- ไม่รู้สิ สมมุติว่า
ขนาดของ a เท่ากับ 5 และสมมุติว่า
ขนาดของ b เท่ากับ 10
ดูเหมือนจะเป็นสองเท่า
ผมแค่ตั้งเลขขึ้นมาเดี๋ยวนี้
แล้วครอสโปรดักเป็นเท่าใด?
ขนาดของมันค่อนข้างง่าย
สมมุติว่ามุมนี้เท่ากับ 30 องศา
30 องศา หรือถ้าเราอยากเขียนเป็นเรเดียน ผม
-- ผมโตมากับโลกขององศา
ผมจึงมองภาพองศาได้ง่ายกว่า แต่เรา
คิดในหน่วยเรเดียนได้เช่นกัน

iw: 
נגיד שזה וקטור a, ואנו רוצים להכפיל אותם
מכפלה וקטורית.
זה וקטור a.
זה וקטור b.
אני אנסה לעבור לצבע אחד, כי קשה
להחליף ביניהם כל הזמן.
הזווית ביניהם היא טטה.
בואו נגיד שהאורך של a, הערך
המוחלט של a הוא 5, ונגיד שהערך
המוחלט של b הוא 10.
הוא באמת נראה כפול באורך.
אני ממציא את המספרים על הדרך.
מהי המכפלה הווקטורית שלהם.
החלק של הערך המוחלט הוא פשוט.
נגיד שהזווית הזאת היא 30 מעלות.
30 מעלות. אפשר לבטא אותה גם ברדיאנים.
מכיוון שגדלנו בעולם של מעלות, תמיד
קל יותר לעבוד במעלות, אך ניתן
לעבוד גם ברדיאנים.

Chinese: 
以爲是畫線條的工具呢
好了現在開始
這是向量a
這是b
哎應該用一個顏色的
換來換去太麻煩了
它們的夾角是θ
好 假設向量a長度是 額
就假設是5吧
而向量b的模是10
因爲b看起來是a長度的兩倍嘛
好吧我只是在臨時湊數字哇
那向量積是多少呢？
模的部分就很簡單啦
如果這個角是30°
因爲我們生存的世界多數時候用度來描述角度
我自己會覺得使用角度更方便
當然 如果你想用弧度也行
我們也可以用弧度來思考這個問題

Chinese: 
以为是画线条的工具呢
好了现在开始
这是矢量a
这是b
哎应该用一个颜色的
换来换去太麻烦了
它们的夹角是θ
好 假设矢量a长度是 额
就假设是5吧
而矢量b的模是10
因为b看起来是a长度的两倍嘛
好吧我只是在临时凑数字哇
那矢量积是多少呢？
模的部分就很简单啦
如果这个角是30°
因为我们生存的世界多数时候用度来描述角度
我自己会觉得使用角度更方便
当然 如果你想用弧度也行
我们也可以用弧度来思考这个问题

Korean: 
이것이 a 벡터라고 합시다
a와 b의 외적을 알아보겠습니다
이게 a 벡터이고
이게 b 벡터입니다
그냥 색깔 하나로 통일할 걸 그랬습니다
계속 바꾸기 힘드네요
두 벡터 사이의 각은 θ(세타)입니다
a의 크기를 의미하는 길이는
5라고 하고 b의 크기는
10이라고 합시다
길이가 두배 가량 되는 것 같습니다
그냥 예시로 드는 숫자일 뿐입니다
외적이 무엇일까요?
벡터의 크기 부분은 쉬웠습니다
사잇각이 30도라고 합시다
라디안 단위로 바꾸고 싶다면
보통 일반 사람들은 도 단위를 쓰기 때문에
언제나 도 단위가 친숙하지만
라디안 단위에 대해서도 알아두어야 합니다

Chinese: 
30度 对应弧度是π/6
所以也可以写成是π/6弧度
不管怎样 这个角度是30度
a×b 等于多少呢？
将等于矢量a的模
而矢量a的模是5
a的模乘以b的模（10）
再乘以它们夹角的正弦
当然 你也可能选择那个大一点的夹角
那个钝角
你可能说这也是它们的夹角
但我之前说过要选小的角
我说的是矢量之间较小的夹角 要是锐角
所以后边要用30度的正弦乘以矢量n
n是单位矢量 所以我先忽略它的方向
实际上一会我会给大家指出方向
首先先算出结果的模吧
前边等于50 30度角的正弦等于多少呢？
等于1/2

Spanish: 
30 grados es--a ver, hay 3, 6--es pi sobre 6,
así que podríamos escribir pi sobre 6 radianes.
Pero de todas formas, esto es un ángulo de 30 grados, así que
¿qué será a cruz b?
a cruz b va a ser igual a la magnitud de a por la
longitud de este vector, por lo que va a ser igual a 5 veces
la longitud de este vector b, así que por 10, por el seno
del ángulo entre ellos.
Y, naturalmente, podríamos haber tomado el
más grande, el ángulo obtuso.
Podríamos haber dicho que éste fuera el ángulo entre ellos, pero
dije anteriormente que era el más pequeño,
entre ellos hasta 90 grados.
Esto va a ser el seno de 30 grados, multiplicado por este vector n.
Y es un vector unitario, así que iré sobre qué dirección
realmente está apuntando en un segundo.
Vamos a averiguar sólo su magnitud.
¿Esto es igual a 50, y cuál es el seno de 30 grados?
Seno de 30 grados es 1/2.

Bulgarian: 
30 градуса е – да видим, има 3, 6 –
това е пи върху 6,
така че можем също
да запишем пи върху 6 радиана.
Но това е 30-градусов ъгъл,
така че колко ще е
а векторно умножено
по b?
а векторно умножено по b
ще е равно на дължината на а,
дължината на този вектор,
тоест ще е равно на 5 по
дължината на този b вектор, по 10,
по синуса на ъгъла между тях.
И, разбира се, 
можеше да вземеш
по-големия, тъп ъгъл.
Можеше да кажеш,
че това е ъгълът между тях,
но по-рано казах, че взимаме
по-малкия, остър ъгъл между тях
, който е под 90 градуса.
Това ще е синус от 30 градуса
по този вектор n.
И това е единичен вектор,
така че след малко
ще кажа в каква
посока всъщност сочи той.
Нека първо намерим
дължината му.
Това е равно на 50
и колко е синус от 30 градуса?
Синус от 30 градуса
е 1/2.

Turkish: 
30 derece pi/6 radyan olur.
böylece pi/6 da yazabiliriz.
Her neyse,açımız 30 derece
peki a ve b 'nin vektörel çarpımı ne?
axb eşittir a 'nın boyu
5 çarpı
b'nin boyu 10 çarpı
aradaki açının sinüsü.
Elbette geniş açıyı da alabilirsiniz
-
Ve bu aralarındaki açı diyebilirsiniz
ama ben daha önce küçük-dar açıyı
90 dereceye kadar olan açıyı alacağımızı söylemiştim.
Yani sinüs 30 çarpı n(birim vektör) olacak.
Bu birim vektör, şimdi vektörel çarpımın
yönüne bakacağım.
Sadece boyunu hesaplayalım.
Boyu 50 çarpı sinüs 30 ,sinüs 30 neydi?
Sinüs 30 1/2 dir.

English: 
30 degrees is-- let's see,
there's 3, 6-- it's pi over 6,
so we could also write
pi over 6 radians.
But anyway, this is a 30-degree
angle, so what will
be a cross b?
a cross b is going to equal
the magnitude of a for the
length of this vector, so it's
going to be equal to 5 times
the length of this b vector, so
times 10, times the sine of
the angle between them.
And, of course, you
could've taken the
larger, the obtuse angle.
You could have said this was the
angle between them, but I
said earlier that it was the
smaller, the acute, angle
between them up to 90 degrees.
This is going to be sine of 30
degrees times this vector n.
And it's a unit vector, so I'll
go over what direction
it's actually pointing
in a second.
Let's just figure out
its magnitude.
So this is equal to 50, and
what's sine of 30 degrees?
Sine of 30 degrees is 1/2.

Korean: 
30도는 6분의 π(파이)가 되겠습니다
여기 6분의 π라고 써도 무방합니다
어쨌거나 이 사잇각의 크기는 30도입니다
a와 b의 외적은 어떻게 될까요?
외적의 값은 a와 b의 크기를 곱한 값에
본 경우에 대해서는 5곱하기 10입니다
이 값에 두 벡터 사잇각의 사인값을 곱한 것이
외적입니다
물론 예각이 아니라
둔각으로 정해도 무방합니다
이것이 사잇각이라고 생각할 수도 있지만
90도보다 작은 각을 의미하는 예각에 대해
생각하는 것이 용이합니다
외적의 값은 여기에 사인 30도를 곱한 것에
단위 벡터 n을 곱한 것이 되겠습니다
n의 방향은 조금 이따 하겠습니다
먼저 크기를 알아보도록 하겠습니다
5곱하기 10은 50입니다
사인 30도의 값은 2분의 1입니다

Chinese: 
30度 對應弧度是π/6
所以也可以寫成是π/6弧度
不管怎樣 這個角度是30度
a×b 等於多少呢？
將等於向量a的模
而向量a的模是5
a的模乘以b的模（10）
再乘以它們夾角的正弦
當然 你也可能選擇那個大一點的夾角
那個鈍角
你可能說這也是它們的夾角
但我之前說過要選小的角
我說的是向量之間較小的夾角 要是銳角
所以後邊要用30度的正弦乘以向量n
n是單位向量 所以我先忽略它的方向
實際上一會我會給大家指出方向
首先先算出結果的模吧
前邊等於50 30度角的正弦等於多少呢？
等於1/2

iw: 
30 מעלות שווה לפאי חלקי 6 רדיאנים.
יכולנו לכתוב גם פאי חלקי 6.
בכל מקרה, זוהי זווית של 30 מעלות. אז, מה תהיה
המכפלה הווקטורית של a ו- b?
הערך המוחלט של המכפלה הווקטורית
שווה ל- 5 כפול האורך של וקטור b,
כלומר כפול 10, כפול הסינוס
של הזווית שביניהם.
היינו יכולים לקחת את הזוויית הגדולה,
הזווית הקהה.
היינו יכולים להגיד שזאת הזווית, אך קודם אמרתי
שעלינו להשתמש בזווית הקטנה יותר, החדה,
בתחום של עד 90 מעלות.
זה יהיה הסינוס של 30 מעלות, כפול וקטור n.
זהו וקטור יחידה, עוד מעט אסביר
איך נקבע כוונו.
נחשב את הערך המוחלט של המכפלה.
זה שווה ל- 50. מהו הסינוס של 30 מעלות?
סינוס של 30 מעלות הוא 1/2.

Thai: 
30 องศาเท่ากับ -- ลองดู มี 3, 6 
-- มันคือพายส่วน 6
เราจึงเขียนได้เป็นพายส่วน 6 เรเดียน
แต่ช่างเถอะ นี่คือมุม 30 องศา แล้ว
a ครอส b เป็นเท่าใด?
a ครอส b จะเท่ากับขนาดของ a สำหรับ
ความยาวเวกเตอร์นี้ มันจึงเท่ากับ 5 คูณ
ความยาวของเวกเตอร์ b นี้ 
คูณ 10 คูณไซน์ของ
มุมระหว่างพวกมัน
แน่นอน คุณมีมุม
ใหญ่ มุมป้านได้
คุณบอกได้ว่า นี่คือมุมระหว่างพวกมัน แต่ผม
บอกไปก่อนหน้านี้ว่าใช้มุมเล็ก มุมแหลม มุม
ระหว่างพวกมัน ไม่ถึง 90 องศา
นี่จึงเท่ากับไซน์ของ 30 องศาคูณเวกเตอร์ n
และมันคือเวกเตอร์หน่วย ผมจะพูดถึง
ทิศที่มันชี้จริงๆ เร็วๆ นี้
ลองหาขนาดของมันกันก่อน
นี่เท่ากับ 50 แล้วไซน์ของ 
30 องศาเป็นเท่าใด?
ไซน์ของ 30 องศาเท่ากับ 1/2

Thai: 
คุณพิมพ์มันในเครื่องคิดเลขก็ได้ถ้าไม่แน่ใจ
มันคือ 5 คูณ 10 คูณ 1/2 คูณเวกเตอร์หน่วย
มันจึงเท่ากับ 25 คูณเวกเตอร์หน่วย
ทีนี้ นี่คือจุดที่มัน ขึ้นอยู่กับมุมมองของคุณ
ว่าน่าสนใจหรือน่าสับสน
ทิศที่เวกเตอร์หน่วยชี้คืออะไร?
สิ่งที่ผมบอกก่อนหน้านี้ มัน
ตั้งฉากกับสองตัวนี้
แล้วจะมีสิ่งที่
ตั้งฉากกับสองตัวนี้ได้อย่างไร?
มันดูเหมือนว่าผมวาดไม่ได้
นั่นเป็นเพราะ ตรงนี้ ตอนผมวาด a กับ b
ผมวาดในสองมิติ
แต่ผมมีมิติที่สาม ผมเข้าไปข้างในหรือ
ออกจากแผ่นกระดาษ 
หรือจากมุมมองของคุณคือ
หน้าจอได้ แล้วผมจะได้เวกเตอร์
ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่
นึกภาพเวกเตอร์ที่ -- ผมหวังว่าผมจะวาดได้ --
มันตรงเข้าไปที่จุดนี้ หรือพุ่งออก
ที่จุดนี้
หวังว่าคุณจะเห็นนะ
ขอแสดงสัญลักษณ์ใช้แทนทิศ

English: 
You could type it in your
calculator if you're not sure.
So it's 5 times 10 times 1/2
times the unit vector, so that
equals 25 times the
unit vector.
Now, this is where it gets,
depending on your point of
view, either interesting
or confusing.
So what direction is this
unit vector pointing in?
So what I said earlier is, it's
perpendicular to both of these.
So how can something be
perpendicular to both of these?
It seems like I can't
draw one.
Well, that's because right here,
where I drew a and b,
I'm operating in
two dimensions.
But if I have a third dimension,
if I could go in or
out of my writing pad or, from
your point of view, your
screen, then I have a vector
that is perpendicular to both.
So imagine of vector that's-- I
wish I could draw it-- that
is literally going straight in
at this point or straight out
at this point.
Hopefully, you're seeing it.
Let me show you the
notation for that.

Chinese: 
如果不确定你可以用计算器算算
所以结果是5乘10乘1/2乘单位矢量
等于25乘以单位矢量
算到这 大家可能
有的觉得有趣 有的觉得困惑
那么 这个单位矢量到底指向什么方向呢？
正如我早提到过的
它跟这两个矢量都垂直
那么怎么会有跟这两个矢量
都正交的矢量呢？
现在看起来我好像是画不出来
但这是因为 在我一开始画a和b的时候
是在二维里画的
如果有第三个维度
如果我可以垂直穿梭于我的书写板
对你们来说 是垂直穿梭于屏幕
我就可以有一个跟两矢量都正交的矢量
想象一下这个单位矢量-我真希望我能画出来-
在这个点垂直穿入或者垂直穿出
希望你们能想象出吧
接下来我要介绍一下这个矢量的方向符号

Bulgarian: 
Можеш да го въведеш в калкулатора си,
ако не ми вярваш.
Това е 5 по 10 по 1/2
по единичния вектор,
тоест това е равно на
25 по единичния вектор.
Сега тук става –
в зависимост от гледната ти точка –
или интересно,
или объркващо.
В каква посока сочи
този единичен вектор?
По-рано казах,
че той е
перпендикулярен
и на двете от тези.
Как може нещо да е
перпендикулярно и на двете?
Изглежда не мога
да начертая такова.
Това е понеже тук,
където начертах а и b,
работя в
две измерения.
Но ако имам трето измерение, ако мога да премина
навътре или навън от подложката си за писане
или, от твоя гледна точка,
от екрана ти,
тогава имам вектор,
който е перпендикулярен и на двете.
Представи си един вектор –
иска ми се да можех да го нарисувам –
който буквално преминава
право навътре в тази точка
или право навън
в тази точка.
Надявам се, че можеш
да си го представиш.
Нека ти покажа обозначението
за това.

iw: 
אתם יכולים להסתכל במחשבון שלכם, אם אתם
לא בטוחים.
זה 5 כפול 10 כפול 1/2, כפול וקטור היחידה,
כלומר 25 כפול וקטור היחידה.
עכשין כל העסק הופך למעניין, או מבלבל,
תלוי בנקודת הראות שלכם.
לאיזה כוון מצביע וקטור היחידה n?
קודם אמרתי שהוא מאונך
לשני הווקטורים.
איך משהו יכול להיות מאונך
לשני הווקטורים האלה?
נראה שאיני יכול לצייר את זה.
זה בגלל שכאשר אני ציירתי את a ואת b,
עבדתי במישור הדו ממדי.
אם יש לי ממד שלישי, אם אני יכול ללכת לתוך
או החוצה מהלוח, או מהמסך במקרה שלכם,
אז אקבל וקטור שהוא מאונך לשני אלה.
דמיינו לכם וקטור - הלוואי יכולתי לצייר אותו -
ההולך ישר פנימה בנקודה הזאת, או ישר החוצה
בנקודה הזאת.
אני מקווה שאתם מדמיינים את זה.
אראה לכם איך מסמנים את זה.

Turkish: 
Emin değilseniz hesap makinesine yazabilirsiniz.
Böylece 5 çarpı 10 çarpı 1/2 çarpı birim vektör olur
yani 25 çarpı birim vektör.
Şimdi bakış açınıza göre
ilginç ya da karışık bir noktaya geldik.
Birim vektörün işaret ettiği yön nedir?
Daha önce söylediğim gibi, o
her iki vektöre diktir.
Peki bir şey nasıl
onlara dik olabilir?
Bunu çizemeyeceğim.
Çünkü a ve b yi çizdiğim yer
çalıştığım alan iki boyutlu.
Eğer 3. boyut da olursa
sayfadan içeri ya da dışarı diyebiliriz , sizin için sayfa ekrandır,
böylece her ikisine dik vektörü bulabilirim
Bu vektörü hayal edelim, umarım çizebilirim
tam olarak bu noktadan içeri doğru veya
bu noktadan dışarıya doğru.
Hayal edebileceğinizi umuyorum.
Bunun için kullanılan simgeyi göstereyim.

Spanish: 
Puedes verificar en tu calculadora si no estás seguro.
Por lo que es 5 por 10, por 1/2, por el vector unitario, así que
es igual a 25 veces el vector unitario
Ahora, aquí es donde se vuelve, dependiendo de tu punto de
vista, ya sea interesante o confuso.
Así que ¿en qué dirección apunta este vector unitario?
Como he dicho antes, es
perpendicular a ambos de estos.
Entonces, ¿cómo puede ser algo
perpendicular a estos dos?
Parece que no puedo dibujar uno.
Bueno, eso es porque justo aquí, donde dibujé a y b,
Yo estoy operando en dos dimensiones.
Pero si tengo una tercera dimensión, si podría ir dentro o
fuera de mi bloc de notas o, desde tu punto de vista, tu
pantalla, entonces tengo un vector que es perpendicular a ambos.
Así que imagínate del vector que tiene--deseo pude dibujarla--que
es literalmente salir directamente en ese momento o directamente
en este punto.
Esperemos que estás viendo.
Permítanme mostrarles la notación para eso.

Chinese: 
如果不確定你可以用計算器算算
所以結果是5乘10乘1/2乘單位向量
等於25乘以單位向量
算到這 大家可能
有的覺得有趣 有的覺得困惑
那麽 這個單位向量到底指向什麽方向呢？
正如我早提到過的
它跟這兩個向量都垂直
那麽怎麽會有跟這兩個向量
都正交的向量呢？
現在看起來我好像是畫不出來
但這是因爲 在我一開始畫a和b的時候
是在二維裏畫的
如果有第三個維度
如果我可以垂直穿梭於我的書寫板
對你們來說 是垂直穿梭於屏幕
我就可以有一個跟兩向量都正交的向量
想象一下這個單位向量-我真希望我能畫出來-
在這個點垂直穿入或者垂直穿出
希望你們能想象出吧
接下來我要介紹一下這個向量的方向符號

Korean: 
기억이 잘 나지 않는다면 계산기를 쓰셔도 무방합니다
5곱하기 10에 2분의 1을 곱한 것이니
외적은 25 곱하기 단위벡터입니다
n의 방향은 보는 관점에 따라서
헷갈리거나 흥미로울 수 있습니다
단위 벡터 n의 방향은 어떻게 될까요?
아까 말했듯이
일단 a와 b에 모두 수직합니다
어떻게 두개 벡터에 동시에
수직일 수 있을까요?
제가 그릴 수 없을 것 같습니다
그 이유는 a와 b가 2차원에 한해서
그려졌기 때문입니다
만약 세번째 차원이 존재하여
여러분의 스크린에서 나오거나 들어가는 것이 있다면
이 두 벡터에 동시에 수직하는 것이 가능합니다
제가 여기에 그릴 수 있으면 좋겠지만
이 점에서 안으로 들어가는 방향이나
나오는 방향을 가진 벡터가 존재한다고 생각해봅시다
여러분이 따라오고 계시길 바랍니다
이런 벡터의 방향을 표현하는 법을 알려드리겠습니다

Bulgarian: 
Ако начертая един такъв вектор,
ако начертая кръгче с х в него, ето така,
това е вектор, който отива
към страницата или към екрана.
И ако начертая това,
това е вектор,
който излиза от екрана.
И откъде идва
това обозначение?
Това е от главичката
на стрелката,
понеже как изглежда
една стрелка?
Една стрелка, която е общоприетият начин
да чертаем вектори,
изглежда ето така:
върхът на една стрелка е кръгъл
и става остър,
така че това е върхът, ако го гледаш откъм главата,
ако изскачаше
от видеото.
Но как изглежда опашката
на една стрелка?
Тя има перки.
Тук ще има една перка
и тук ще има друга перка.
Ако вземеш тази стрелка
и отидеш към страницата,
и просто виждаш задната част
на стрелката,
тя ще изглежда така.
Това е вектор,
който отива към страницата,

iw: 
אם אני מצייר וקטור כזה, אם אני מצייר עיגול
עם X בתוכו, זהו וקטור הנכנס אל תוך
הדף, או אל תוך המסך.
ואם אני מצייר את זה, זהו וקטור "הקופץ" החוצה
מהמסך.
מאיפה נובעת המוסכמה הזאת?
היא נובעת מצורתו של חץ.
איך נראה חץ?
החץ, המייצג בדרך כלל וקטור,
נראה כך: החוד של החץ
הוא מעגלי והוא מתרכז לנקודה. אז זהו החוד,
אם מסתכלים על חץ הנע לקראתנו ויוצא מהמסך.
איך נראה הזנב של החץ?
יש לו מין סנפירים, נכון?
ישנו סנפיר אחד כאן, וסנפיר
נוסף שם.
אז, אם החץ הזה נכנס אל תוך המסך,
ואנו רואים רק את זנבו,
הוא ייראה ככה.
זהו וקטור הנכנס אל תוך הדף,

Korean: 
제가 만약 안에 x자가 있는 동그라미를 그린다면
그것은 스크린이나 종이 안으로 들어가는
방향을 가지고 있다는 것을 의미합니다
그냥 이렇게 그린다면 이 벡터는 스크린에서부터
나오는 방향입니다
이러한 관습이 어떻게 생겨났을까요?
이건 화살에서 따온 것입니다
화살이 어떻게 생겼는지 떠올려 봅시다
벡터를 그리는 관습에 따르면
화살은 이렇게 생겼고 여기가 화살촉이 되겠습니다
끝이 뾰족하므로 화살을 정면에서 본다고 생각한 것이
바로 이 기호입니다
화살의 반대 끝부분에는
깃이 있습니다
이쪽에 깃이 하나 있고
반대쪽에도 있을 것입니다
화살을 화면의 안쪽을 향하게 한다면
화살의 끝부분을 볼 때에는
이 기호와 같이 보일 것입니다
그래서 이건 안으로 향하는 벡터이고

Turkish: 
Böyle bir vektör çizersem.içinde x olan bir daire çizerim
bu vektör sayfadan
ya da ekrandan içeri olur.
Eğer bunu çizersem, bu da sayfadan dışarı olur
ya da ekrandan dışarı
Bu kural nereden gelir?
Kural okun başından gelir,çünkü
ok neye benzer?
Çizdiğimiz vektörler için kural olan ok
şöyle birşey, okun başı
dairesel ve en uç noktası bir nokta ,
okun başına bakarsanız dışarıyı gösteren vektör gibidir.
Peki okun ucu neye benzer?
Okun kuyrukları da var.
Bir tanesi belki buradadır, diğeri de burada olabilir.
-
Oku sayfanın içine doğru tutarsak
okun arkasına baktığımızda
bunun gibi görünür.
Bu sayfanın içine doğru bir vektör

Chinese: 
如果画成这样在圆圈里有一个×
那这是一个垂直穿入纸面
或屏幕的矢量
如果画成这样那么就是一个垂直射出
屏幕的矢量
有人可能要问这个约定是怎么来的呢？
其实是受箭头的启发 记得箭长啥样不？
记得箭长啥样不？
箭 就是我们画矢量的习惯画法
就长这样：
箭的头是圆（锥）的所以最后会聚于一点
如果它垂直屏幕向外射出 你迎着箭头观察
它就会是一个点 而箭的尾巴长什么样子呢？
它后边是有羽鳍的
这个一个羽毛
这是另一个
所以如果你拿着这个箭让它垂直射入纸面
当你观察箭尾或者箭的后方的时候
它看起来就是这样的
所以这是一个要垂直射入纸内的矢量

Thai: 
ถ้าผมวาดเวกเตอร์แบบนี้ ถ้าผมวาดวงกลมที่มี
x ข้างในหน้านั้น นั่นคือเวกเตอร์ที่เข้าไปใน
กระดาษหรือหน้าจอ
และถ้าผมวาดอันนี้ 
มันคือเวกเตอร์ที่พุ่งออกจาก
หน้าจอ
แล้วธรรมเนียมนั้นมาจากไหน?
มันมาจากหัวลูกศร เพราะลูกศร
หน้าตาเป็นอย่างไร?
ลูกศร ซึ่งคือวิธีที่เราวาด
เวกเตอร์ เป็นแบบนี้ ปลายลูกศร
เป็นวงกลมและกลายเป็นจุด นั่นคือปลาย
ถ้าคุณดูตรงๆ ถ้ามันพุ่งออกจากวิดีโอ
แล้วหางลูกศรเป็นอย่างไร?
มันมีครีบ จริงไหม?
มันจะมีครีบหนึ่งตรงนี้ และมีครีบอีกอัน
ตรงนี้
ถ้าคุณนำลูกศรนี้มา แล้วคุณยิงมันเข้าไป
ในกระดาษ แล้วดูข้างหลังลูกศร ด้านหลังลูกศร
มันจะเป็นแบบนั้น
นี่ก็คือเวกเตอร์ที่จะเข้าไปในกระดาษ และนี่

English: 
So if I draw a vector like this,
if I draw a circle with
an x in it like that, that is a
vector that's going into the
page or into the screen.
And if I draw this, that is a
vector that's popping out of
the screen.
And where does that convention
come from?
It's from an arrowhead,
because what does
an arrow look like?
An arrow, which is our
convention for drawing
vectors, looks something like
this: The tip of an arrow is
circular and it comes to a
point, so that's the tip, if
you look at it head-on, if it
was popping out of the video.
And what does the tail of
an arrow look like?
It has fins, right?
There would be one fin here
and there'd be another fin
right there.
And so if you took this arrow
and you were to go into the
page and just see the back of
the arrow or the behind of the
arrow, it would look
like that.
So this is a vector that's going
into the page and this

Spanish: 
Así que si llamo a un vector como esta, si dibuje un círculo con
una x en ella, que es un vector que va en el
página o en la pantalla.
Y si llamo a esto, que es un vector que es despellejada
la pantalla.
¿Y de dónde viene ese Convenio?
Es de una punta de flecha, porque lo que hace
¿un aspecto de flecha?
Una flecha, que es nuestra Convención para dibujo
vectores, se ve algo como esto: es la punta de una flecha
circular y se llega a un punto, por lo es la punta, si
se mire frontalmente, si fue apareciendo fuera el video.
¿Y lo que hace la cola de una flecha se parecen?
¿Tiene aletas, correctas?
Habría una aleta aquí y habría otro fin
allí.
Y así que si usted tomó esta flecha y tuviera que entrar en la
página y acabo de ver la parte posterior de la flecha o detrás de la
flecha, se vería así.
Así que esto es un vector que va en la página y esto

Chinese: 
如果畫成這樣在圓圈裏有一個×
那這是一個垂直穿入紙面
或屏幕的向量
如果畫成這樣那麽就是一個垂直射出
屏幕的向量
有人可能要問這個約定是怎麽來的呢？
其實是受箭頭的啓發 記得箭長啥樣不？
記得箭長啥樣不？
箭 就是我們畫向量的習慣畫法
就長這樣：
箭的頭是圓（錐）的所以最後會聚於一點
如果它垂直屏幕向外射出 你迎著箭頭觀察
它就會是一個點 而箭的尾巴長什麽樣子呢？
它後邊是有羽鳍的
這個一個羽毛
這是另一個
所以如果你拿著這個箭讓它垂直射入紙面
當你觀察箭尾或者箭的後方的時候
它看起來就是這樣的
所以這是一個要垂直射入紙內的向量

Chinese: 
這是垂直射出的向量
現在我們知道n是與a和b都正交的
所以要得到一個與兩個向量
同時正交的向量
關鍵在於垂直或是正交
讓向量與兩向量所在平面垂直（就是你屏幕）
但又是如何知道向量n是射入屏幕
還是射出呢？
這時候就該是右手定則出場的時候啦
我知道可能一下子說太多大家可能消化不了
沒關係 之後我會舉例幫助大家理解
關於右手定則
應用的時候需要借助右手所以叫右手定則--
拿出食指指向在叉乘運算中第一個向量的方向
順序是有關係的
下面來試一下
我們需要伸出食指
指向第一個向量a的方向
然後伸出中指
指向第二個向量b的方向

iw: 
וזהו וקטור היוצא מן הדף.
אז, אנו יודעים ש- n מאונך גם ל- a וגם ל- b,
והדרך היחידה בה ניתן לקבל וקטור
המאונך לשניהם, היא שהוא יהיה
מאונך, או אורטוגונלי
למסך המחשב שלך.
איך אנחנו יודעים אם n נכנס אל תוך המסך,
או יוצא החוצה מהמסך?
כאן נכנס לפעולה כלל יד ימין - אני יודע
שזה קצת עמוס.
נעשה מספר דוגמאות.
בכלל יד ימין, לוקחים את יד ימין - בגלל
זה קוראים לזה כלל יד ימין - מכוונים את האצבע המורה
בכוון של הוקטור הראשון במכפלה -
כאן הסדר קובע.
נעשה זאת.
לוקחים את האצבע המורה בכוון הווקטור
הראשון, שהוא a, ואז מכוונים
את האמה בכוון
הווקטור השני, b.

English: 
is a vector that's going
out of the page.
So we know that n is
perpendicular to both a and b,
and so the only way you can
get a vector that's
perpendicular to both of these,
it essentially has to
be perpendicular, or normal,
or orthogonal to the plane
that's your computer screen.
But how do we know if it's going
into the screen or how
do we know if it's coming out of
the screen, this vector n?
And this is where the right hand
rule-- I know this is a
little bit overwhelming.
We'll do a bunch of example
problems. But the right hand
rule, what you do is you take
your right hand-- that's why
it's called the right hand
rule-- and you take your index
finger and you point it in the
direction of the first vector
in your cross product,
and order matters.
So let's do that.
So you have to take your finger
and put it in the
direction of the first arrow,
which is a, and then you have
to take your middle finger and
point it in that direction of
the second arrow, b.

Turkish: 
bu da sayfanın dışına doğru
n'nin hem a'ya hem b'ye dik olduğunu biliyoruz
her ikisine dik bir vektör bulmanın tek yolu ise
o bilgisayarın ekranına
dik,normal ya da ortogonal olmalı.
-
Peki n vektörünün ekrandan içeri ya da
dışarı olduğunu nasıl biliyoruz?
Burada sağ el kuralını kullanırız, biliyorum
bu biraz can sıkıcı.
Bir çok problem çözeceğiz., sağ el kuralına
sağ elinizi kullandığımız için
sağ el kuralı denir
işaret parmağınızı vektörel çarpımdaki ilk vektörün yönünde tutun
vektörlerin sırası önemli.
Bunu yapalım.
Parmaklarınızı
ilk okun yönünde tutmanız gerek sonra
orta parmağınızı ikinci vektör ,b'nin yönünde tutun.
-

Thai: 
คือเวกเตอร์ที่จะออกจากหน้า
เรารู้ว่า n ตั้งฉากกับทั้ง a และ b
และวิธีเดียวที่คุณจะได้เวกเตอร์
ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่นี้ ยิ่งมันต้อง
ตั้งฉาก perpendicular, normal หรือ 
orthogonal กับระนาบ
ที่เป็นหน้าจอคอมพิวเตอร์คุณ
แต่เรารู้ได้อย่างไรว่ามันเข้าไปในหน้าจอหรือ
มันออกจากหน้าจอ เจ้าเวกเตอร์ n นี้?
และนี่คือจุดที่กฎมือขวา -- ผมรู้ว่ามัน
ดูเยอะแยะ
เราจะทำตัวอย่างหลายๆ อัน แต่กฎมือขวา
สิ่งที่คุณทำ คือคุณนำมือขวามา -- นั่นคือสาเหตุ
ที่มันเรียกว่ากฎมือขวา -- คุณนำ
นิ้วชี้มา แล้วชี้ในทิศของเวกเตอร์แรก
ในครอสโปรดัก และลำดับนั้นสำคัญ
ลองทำกันดู
คุณต้องนำนิ้วมา แล้วชี้มันในทิศ
ของเวกเตอร์แรก ซึ่งก็คือ a แล้วคุณ
ต้องนำนิ้วกลางมาชี้ไปยังทิศของ
ลูกศรที่สอง คือ b

Chinese: 
这是垂直射出的矢量
现在我们知道n是与a和b都正交的
所以要得到一个与两个矢量
同时正交的矢量
关键在于垂直或是正交
让矢量与两矢量所在平面垂直（就是你屏幕）
但又是如何知道矢量n是射入屏幕
还是射出呢？
这时候就该是右手定则出场的时候啦
我知道可能一下子说太多大家可能消化不了
没关系 之后我会举例帮助大家理解
关于右手定则
应用的时候需要借助右手所以叫右手定则--
拿出食指指向在叉乘运算中第一个矢量的方向
顺序是有关系的
下面来试一下
我们需要伸出食指
指向第一个矢量a的方向
然后伸出中指
指向第二个矢量b的方向

Spanish: 
es un vector que va de la página.
Por lo que sabemos que n es perpendicular a ambos una y b,
así que la única manera de puede obtener un vector que de
perpendicular a estos dos, que esencialmente tiene que
ser ortogonal, perpendicular o normal al plano
es la pantalla del ordenador.
Pero ¿cómo sabemos si se va en la pantalla, o cómo
¿sabemos si está saliendo de la pantalla, este vector n?
Y aquí es donde la regla de mano derecha--, sé que esto es un
poco abrumadora.
Haremos un montón de problemas de ejemplo. Pero el derecho a mano
regla, lo que haces es que tomar su mano derecha--por eso
se llama la regla de la mano derecha--y tomar su índice
dedo y le apunte en la dirección del primer vector
en su producto cruzado y cuestiones de orden.
Así que vamos a hacer eso.
Así que tienes que tomar el dedo y ponerlo en el
dirección de la primera flecha, que es una, y luego tienes
tomar el dedo medio y apuntar en esa dirección de
la segunda flecha, b.

Bulgarian: 
а това е вектор,
който излиза от страницата.
Знаем, че n е перпендикулярно
и на а, и на b
и единственият начин
да получиш вектор,
който е перпендикулярен и на двете,
той трябва да е перпендикулярен,
или нормален, или ортогонален,
на равнината,
която е компютърният ти екран.
Но откъде знаем дали този вектор n
отива към екрана
или откъде знаем дали
излиза от екрана?
И тук идва
правилото на дясната ръка –
знам, че това е малко
твърде много информация.
Ще направим няколко
примерни задачи.
Правилото на дясната ръка –
използваш дясната си ръка –
затова правилото се нарича така –
и насочваш показалеца си
в посоката на първия вектор
от векторното си произведение –
и редът
има значение.
Нека направим това.
Трябва да насочиш пръста си
в посоката на първата стрелка, която е а,
и после трябва да насочиш
средния си пръст
в посоката на
втората стрелка, b.

Korean: 
이건 화면 밖으로 나오고 있는 벡터입니다
자 우리는 n이 a와 b 모두에 수직함을 알고 있으며
두 벡터에 대해서
모두 수직하기 위해서는
a와 b가 이루는 평면에 대해서 수직해야합니다
바로 여러분의 컴퓨터 화면 말이죠
하지만 벡터가 화면 안을 향하는지
아니면 밖으로 나오는지 어떻게 알까요?
여기서 오른손 법칙이 사용됩니다
부담스러울실 수도 있겠지만
예제를 많이 해보도록 하겠습니다
오른손 법칙은 여러분의 오른손을 이용합니다
그래서 오른손 법칙이라고 불립니다
집게 손가락을 첫번째 벡터를 향하게 합니다
순서가 중요합니다
해보도록 하겠습니다
집게 손가락의 방향을 첫번째 벡터인
a를 향하게 한 다음
가운데 손가락을 두번째 벡터인
b의 방향을 향하게 합니다

English: 
So in this case, your
hand would look
something like this.
I'm going to try to draw it.
This is pushing the abilities
of my art skills.
So that's my right hand.
My thumb is going to be
coming down, right?
That is my right hand
that I drew.
This is my index finger, and
I'm pointing it in the
direction of a.
Maybe it goes a little bit more
in this direction, right?
Then I put my middle finger, and
I kind of make an L with
it, or you could kind of say
it almost looks like you're
shooting a gun.
And I point that in the
direction of b, and then
whichever direction that your
thumb faces in, so in this
case, your thumb is going
into the page, right?
Your thumb would be going down
if you took your right hand
into this configuration.
So that tells us that the vector
n points into the page.

Thai: 
ในกรณนี้ มือของคุณจะเป็น
แบบนี้
ผมจะพยายามวาดมัน
 
มันท้าทายความสามารถด้านศิลปะของผมนะ
 
นั่นคือมือขวาของผม
นิ้วโป้งจะชี้ลง จริงไหม?
นั่นคือมือขวาที่ผมวาด
นี่คือนิ้วชี้ และผมกำลังชี้
ในทิศของ a
มันน่าจะไปทางนี้มากกว่า จริงไหม?
แล้วผมวางนิ้วกลาง ผมทำเหมือนตัว L
หรือคุณบอกว่า เกือบเหมือนตอนจะ
ยิงปืน
และผมชี้ในทิศของ b แล้ว
ทิศที่นิ้วโป้งคุณชี้ ในกรณีนี้
นิ้วโป้งคุณชี้เข้าไปในกระดาษ จริงไหม?
นิ้วโป้งจะชี้ลงถ้าคุณนำมือขวาวาง
แบบนี้
มันบอกเราว่าเวกเตอร์ n ชี้เข้าไปในกระดาษ

Spanish: 
Así que en este caso, sería la mano
algo como esto.
Voy a intentar dibujar.
Esto empuja las habilidades de mis conocimientos de arte.
Por lo es mi mano derecha.
¿Mi pulgar va a venir abajo, derecha?
Es mi mano derecha que dibujaba.
Este es mi dedo índice, y estoy apuntando en la
dirección de una.
¿Tal vez va un poco más en esta dirección, correcta?
Luego le puse mi dedo medio y tipo de hacer una l con
o usted podría decir tipo de casi parece que eres
disparando una pistola.
Y señalo que en la dirección de b y entonces
cualquier dirección que afronta el pulgar, así que en este
¿caso, el pulgar es entrar en la página, derecha?
Iba bajando el pulgar si tomó la mano derecha
en esta configuración.
Por lo nos dice que el vector n puntos en la página.

iw: 
במקרה זה, היד שלכם תיראה
משהו כזה.
אנסה לצייר זאת.
אני מותח את כישורי הציור שלי עד לגבול.
זאת יד ימין שלי.
האגודל שלי מכוון כלפי מטה, נכון?
זאת יד ימין שלי המצוירת.
זאת האצבע המורה שלי, והיא מכוונת
בכוון של a.
אולי זה צריך להיות קצת יותר בכוון הזה, נכון?
אז, אני מכוון את האמה שלי, במין צורה של L
עם המורה.
או שניתן להגיד שזה נראה כאילו
אני יורה ברובה.
אני מכוון את האמה בכוון של b, ואז
האגודל מצביע לכוון של וקטור המכפלה.
במקרה הזה, האגודל מצביע אל תוך הדף, נכון?
האגודל שלכם יצביע כלפי מטה, אם תשימו
את יד ימין בצורה הזאת.
זה אומר לנו שווקטור n מכוון אל תוך הדף.

Korean: 
이 경우에 대해서 되어야 하는
여러분의 손을
제가 그려보도록 하겠습니다
 
제가 그림을 잘 그리지 못합니다
 
이게 제 오른손입니다
엄지손가락이 아래를 향하고 있습니다
제가 그린 것은 오른손입니다
이것이 집게손가락이고
a 벡터 방향을 향하고 있습니다
약간 더 기울어져 있어야겠습니다
가운데 손가락은 약간 L자처럼 펼칩니다
거의 총을 쏘는 것과 흡사한
자세입니다
그리고 b 벡터 방향을 향하게 합니다
여러분의 엄지 손가락이 향하는 방향은
화면으로 들어가고 있는 쪽입니다
손의 자세를 그림처럼 따라해보시면
엄지손가락은 아래를 향하게 됩니다
엄지손가락의 방향은 n 벡터의 방향입니다

Chinese: 
這樣 你的手看起來
會是這樣子
我盡量畫出來
這真是鍛煉我的美術技能啊
好了 這是我的右手
我的大拇指是朝下的 看到了嗎？
這就是我畫的右手
這是食指
指向a的方向
看起來更像是這個方向哈
然後伸出中指 跟食指好像擺了一個字母L一樣
或者你可以說這個
看起來像是在打槍
用中指指向b的方向
大拇指指什麽方向就是叉乘得到的向量方向
現在你的手指是垂直指向紙面內的
如果你把手弄成這個形狀
大拇指就會朝下了
這就告訴我們n向量指向垂直紙面向裏的方向

Bulgarian: 
В този случай
ръката ти ще изглежда
долу-горе така.
Ще опитам
да я нарисувам.
 
Това ме води до предела
на художествените ми умения.
 
Това е 
дясната ми ръка.
Палецът ми
ще е насочен надолу.
Начертах дясната си ръка.
Това е показалецът ми
и го насочвам
в посоката на а.
Може би това е малко повече
в тази посока.
После насочвам средния си пръст
и правя L с него,
или можеш да кажеш, че почти изглежда
все едно стреляш с пистолет.
И го насочвам
в посоката на b,
а после в посоката,
в която е насочен палецът ти,
в този случай, палецът ти
е насочен към страницата.
Палецът ти ще сочи надолу,
ако поставиш дясната си ръка
в тази конфигурация.
Това ни казва, че вектор n
сочи към страницата.

Turkish: 
Bu durumda eliniz
böyle bir şey olacak
Çizmeye çalışacağım.
-
Bu benim sanat becerimi aşıyor.
-
İşte benim sağ elim
Baş parmağım aşağıya gelecek.
Çizdiğim benim sağ elim.
Bu benim işaret parmağım, o
a'nın yönünü işaret ediyor.
Belki biraz daha bu yöne doğru olmalı değil mi?
Sonra orta parmağımı da yerleştirip L oluşturmalıyım
ya da silahla ateş eder gibi diyebiliriz
-
ve b'nin yönünü işaret ediyorum
sonra baş parmağın gösterdiği yöne bakıyorum,bu örnekte
baş parmak sayfanın içini gösterir.
Bu şekilde baş parmağın aşağıyı göstermeli.
-
Bu bize n'nin sayfadan içeriyi işaret ettiğini gösterir.

Chinese: 
这样 你的手看起来
会是这样子
我尽量画出来
这真是锻炼我的美术技能啊
好了 这是我的右手
我的大拇指是朝下的 看到了吗？
这就是我画的右手
这是食指
指向a的方向
看起来更像是这个方向哈
然后伸出中指 跟食指好像摆了一个字母L一样
或者你可以说这个
看起来像是在打枪
用中指指向b的方向
大拇指指什么方向就是叉乘得到的矢量方向
现在你的手指是垂直指向纸面内的
如果你把手弄成这个形状
大拇指就会朝下了
这就告诉我们n矢量指向垂直纸面向里的方向

Chinese: 
所以n的模是25 垂直紙面向裏
我們可以這麽畫 是用x
要是用三維的樣子畫呢
看起來會是這樣
向量a
我看我能不能畫出透視的效果來
如果這個垂直向下的是向量n
那麽a是這樣
用一開始a的顏色畫吧
a就是這樣的
然後呢 b就是這樣
我正在二維平面裏畫三維模型
大家看起來可能有點困難
不過你們應該都明白的
之前我是在平面上畫的a和b
現在用的透視圖
所以能畫出垂直向下的向量
這是向量積的定義
我就只能講到這了 因爲出於種種原因
YouTube有時間限制我就不多說了
所以之後我會再做一個處理問題的影片
在影片中
會捎帶說一些磁力學的內容
有很多東西要用到向量叉乘
希望大家有所理解

Korean: 
n벡터의 크기는 25이고 화면 안을 향합니다
기호를 사용한다면 x가 되겠습니다
3차원 입체로 그려보면
이렇게 생겼을 것입니다
a 벡터입니다
원근감이 들도록 그려보겠습니다
 
벡터 n가 바로 아래를 향하고 있다면 a 벡터는
이렇게 될 것입니다
아까 그렸던 색으로 그리겠습니다
그렇다면 b 벡터는
이렇게 됩니다
2차원에서 입체로 그리려고 하고 있으므로
살짝 달라보일 수 있겠지만
이해하시는데 무리는 없을 것입니다
a와 b는 같은 평면에 위치해있고
n은 이 평면에 수직하므로
아래를 향하고 있습니다
여기까지 외적의 정의였습니다
몇가지 이유가 있기에 여기서 끝내겠습니다
유투브가 긴 영상을 좋아하지 않기 때문이고
다른 비디오에서 여러 문제를 다뤄볼 것이기 때문입니다
문제를 풀어보면서
자기력에 대해서도 약간 배워보도록 하겠습니다
여러 경우의 외적도 다룰 것입니다
외적에 대해서 감이 잘 잡혔으면 좋겠습니다

Chinese: 
所以n的模是25 垂直纸面向里
我们可以这么画 是用x
要是用三维的样子画呢
看起来会是这样
矢量a
我看我能不能画出透视的效果来
如果这个垂直向下的是矢量n
那么a是这样
用一开始a的颜色画吧
a就是这样的
然后呢 b就是这样
我正在二维平面里画三维模型
大家看起来可能有点困难
不过你们应该都明白的
之前我是在平面上画的a和b
现在用的透视图
所以能画出垂直向下的矢量
这是矢量积的定义
我就只能讲到这了 因为出于种种原因
YouTube有时间限制我就不多说了
所以之后我会再做一个处理问题的视频
在视频中
会捎带说一些磁力学的内容
有很多东西要用到矢量叉乘
希望大家有所理解

Spanish: 
Para el n de vector tiene magnitud 25, y apunta a la
página, por lo que podríamos llamar como ese con una x.
Si tuviera que intente dibujar en tres dimensiones,
sería algo como esto.
Vector un.
Déjame ver si puedo dar alguna perspectiva.
Si esto fue recto hacia abajo, si es vector n, entonces podría
mirar algo parecido.
Permítanme dibujarlo en el mismo color que una.
una podría ser algo así, y entonces sería b
algo así.
Estoy tratando de dibujar una figura tridimensional en
dos dimensiones, por lo que puede parecer un poco diferente, pero me
Creo que obtendrá el punto.
Aquí saqué una y b en el plano.
Aquí tengo perspectiva donde pude
dibujar n bajando.
Pero esta es la definición de un producto de la Cruz.
Ahora, voy a dejarlo ahí, simplemente porque para algunos
razón, YouTube no ha sido dejarme ir sobre el límite
como mucho y me hará otro video donde hago varios
problemas, y en realidad, en el proceso, voy a explicar
un poco sobre el magnetismo.
Y tomaremos el producto cruzado de varias cosas, y
con suerte, usted obtendrá un poquito mejor intuición.

Bulgarian: 
Вектор n има дължина 25
и сочи към страницата,
така че можем да го начертаем
с "х".
Ако опитам да го начертая
в три измерения,
ще изглежда
долу-горе така.
Вектор а.
Да видим дали мога
да ти дам малко перспектива.
 
Ако това беше право надолу,
ако това е вектор n,
тогава а може
да изглежда долу-горе така.
Нека го начертая
в същия цвят като а.
а може да изглежда така
и b може да изглежда така.
Опитвам да начертая триизмерна фигура
в две измерения,
така че може да изглежда
малко по-различно,
но мисля,
че схващаш идеята.
Тук начертах а и b
в равнината.
Тук имам перспектива,
като успях да начертая
n да отива надолу.
Но това е определението
за векторно произведение.
Ще спра дотук,
просто понеже поради някаква причина
Ютуб не ми позволява да надвиша
лимита прекалено много
и ще направя друго видео,
в което ще реша няколко задачи
и през това време
ще обясня малко
за магнетизма.
И ще намерим векторното произведение
на няколко неща

iw: 
בסיכום, וקטור המכפלה הוא בעל ערך מוחלט 25,
והוא מכוון אל תוך הדף. ניתן לצייר אותו כך, עם X.
אם אנסה לצייר אותו בשלושה ממדים,
הוא ייראה משהו כזה:
וקטור a.
בואו נראה אם אני מצליח לצייר אותו
בפרספקטיבה.
זה ישר כלפי מטה, אם זה וקטור n, אז הוא
ייראה בערך כך.
אצייר אותו באותו צבע.
וקטור a ייראה משהו כזה, ו- b ייראה
משהו כזה.
אני מנסה לצייר ציור תלת ממדי,
במישור דו ממדי. זה עשוי להראות קצת אחרת,
אך אני מקווה שהבנתם את העניין.
כאן ציירתי את a ואת b במישור,
כאן יש לי פרספקטיבה בה ציירתי
את n כלפי מטה.
זאת ההגדרה של מכפלה וקטורית.
אני אסיים כאן, כי מסיבה כלשהי, "יוטיוב"
אינו מאפשר לי לעבור את גבולות הזמן
המוקצבים. בסירטון אחר, אפתור
מספר שאלות, ובדרך אסביר
קצת מושגים במגנטיות.
נחשב את המכפלה הווקטורית של מספר דברים.
אני מקווה שזה יעזור לכם להבין אותה.

Turkish: 
Böylece n vektörünün boyu 25,yönü
sayfadan içeri, bunu x ile gösterebiliriz.
3 boyutlu çizmiş olsaydım
böyle bir şey olurdu.
a vektörü.
Size bakış açısı kazandırmak için şekli çizeyim.
-
Aşağı doğru olan n vektörü ise a vektörü
böyle olur.
a vektörüyle aynı renkte çizeyim.
a vektörü buna benzer bir şey, b ise
bunun gibi.
2 boyutlu figürü 3 boyuta aktarmaya çalışıyorum,
bu yüzden biraz daha farklı gelebilir,ama
anladığınızı düşünüyorum.
Düzleme a ve b yi çizdim.
Bu bakış açısından düşünürsek
n'yi aşağıya doğru çizmek zorundayım
Ama bu vektörel çarpımın tanımı.
Bazı nedenlerden dolayı burada bırakmam gerecek,
Youtube limitimi daha fazla aşmama izin vermiyor.
daha sonra başka bir video ve problemler hazırlayacağım,
bu süreçte biraz manyetizmadan bahsedeceğim.
-
Ve bir çok şey için vektörel çarpımını alacağız,
o zaman daha iyi anlayacağınızı umut ediyorum.

English: 
So the vector n has magnitude
25, and it points into the
page, so we could draw it
like that with an x.
If I were to attempt to draw
it in three dimensions, it
would look something
like this.
Vector a.
Let me see if I can give
some perspective.
If this was straight down, if
that's vector n, then a could
look something like that.
Let me draw it in the
same color as a.
a could look something like
that, and then b would look
something like that.
I'm trying to draw a
three-dimensional figure on
two dimensions, so it might look
a little different, but I
think you get the point.
Here I drew a and
b on the plane.
Here I have perspective
where I was able to
draw n going down.
But this is the definition
of a cross product.
Now, I'm going to leave it
there, just because for some
reason, YouTube hasn't been
letting me go over the limit
as much, and I will do another
video where I do several
problems, and actually, in the
process, I'm going to explain
a little bit about magnetism.
And we'll take the cross product
of several things, and
hopefully, you'll get a little
bit better intuition.

Thai: 
เวกเตอร์ n (จริงๆ คือผลคูณ: ผู้แปล) 
จึงมีขนาด 25 และมันชี้
เข้าไปในกระดาษ เราจึงวาดมันแบบนี้ด้วย x
ถ้าเราพยายามวาดมันในสามมิติ มัน
จะเป็นแบบนี้
เวกเตอร์ a
ขอผมลองวาดให้มีมุมมองสามมิติ
 
ถ้าอันนี้ที่ตรงลงมา ถ้านั่นคือเวกเตอร์ n แล้ว a
จะเป็นแบบนั้น
ขอผมวาดสีเดียวกับ a นะ
a จะเป็นแบบนั้น แล้ว b จะเป็น
แบบนั้น
ผมพยายามวาดรูปสามมิติ
บนสองมิติ มันอาจดูต่างออกไป แต่ผม
ว่าคุณคงเข้าใจ
ตรงนี้ผมวาด a กับ b บนระนาบ
ตรงนี้ ผมมีภาพมิติที่ผมสามารถ
วาด n ลงมาได้
นี่คือนิยามของครอสโปรดัก
ตอนนี้ ผมจะพอแค่นี้ก่อน เพราะด้วย
เหตุผลบางประการ ยูทูปไม่ให้ผมทำยาว
เกินเวลานัก ผมจะทำวิดีโออีกอันโดยผมจะทำ
โจทย์หลายข้อ และระหว่างนั้น 
ผมจะพยายามอธิบาย
เรื่องแม่เหล็กนิดหน่อยด้วย
และเราจะใช้กฎผลคูณกับหลายๆ อย่าง
หวังว่า คุณคงจะได้สัญชาตญาณมากขึ้นนะ

English: 
See you soon.

Chinese: 
再見

Turkish: 
Görüşmek üzere.
-

iw: 
להתראות בקרוב.

Thai: 
แล้วพบกันครับ
 

Chinese: 
再见

Spanish: 
Nos vemos luego.

Korean: 
조만간 또 뵙겠습니다
 

Bulgarian: 
и се надявам, че ще видиш
логиката малко по-добре.
Ще се видим скоро.
 
