
Czech: 
Máme zde funkci f(x), která je přirozený
logaritmus z druhé odmocniny z x
a v tomto videu budeme
chtít spočítat derivaci f.
Hlavní je si uvědomit, že na f se můžeme
dívat jako na složení dvou funkcí.
Můžeme si to
i nakreslit.
Když do předpisu funkce f dosadíme x,
co uděláme jako první?
Nejprve spočítáme
jeho odmocninu.
Když do předpisu dosadíme nějaké x,
tak nejdříve spočítáme jeho odmocninu,
čímž dostaneme
odmocninu z x.
Co uděláme potom?
Máme tuto odmocninu
a spočítáme její přirozený logaritmus.
Můžeme se na to dívat tak,
že to dosadíme do jiné funkce,
která spočítá přirozený logaritmus
toho, co do ní dosadíme.

English: 
- [Voiceover] So we have here f of x
being equal to the natural
log of the square root of x.
And what we wanna do in this video
is find the derivative of f.
And the key here is to
recognize that f can actually
be viewed as a composition
of two functions.
And we can diagram that
out, what's going on here?
Well if you input an
x into our function f,
what's the first thing that you do?
Well, you take the square root of it.
So if we start off with
some x, you input it,
the first thing that you do,
you take the square root of it.
You are going to take the
square root of the input
to produce the square root of x,
and then what do you do?
You take the square root and then
you take the natural log of that.
So then you take the natural log of that,
so you could view that as inputting it
into another function
that takes the natural log
of whatever is inputted in.
I'm making these little squares to

Bulgarian: 
Дадена е функцията f(x),
която е равна на натурален логаритъм
 от квадратен корен от x.
В този урок искаме
да намерим производната
 на функцията f(x).
Тук ключово е да забележиш, че 
функцията f(x) всъщност може
да се разглежда като съставена
от две функции.
Можем да онагледим това. 
Какво се случва тук?
Ако зададем число x 
за нашата функция f(x),
кое е първото нещо, което правиш?
Намираш квадратен корен 
от числото.
Ако започнем с дадено число x, 
заместваш го във функцията,
и първото нещо, което правиш, е 
да намериш квадратен корен от него.
Ще намериш квадратен корен 
от избраното число x.
Ще получиш на колко 
е равен квадратен корен от x.
А след това какво ще направиш?
Намираш квадратния корен, а след това
намираш натурален логаритъм от него.
Така че намираш натурален 
логаритъм от това
и може да разглеждаш това като
 заместване на числото x
в друга функция, която намира 
натурален логаритъм
от това, което е въведено, 
т.е. числото x.
Чертая тези малки квадрати,

Korean: 
여기 함수
f(x)=ln(sqrt(x))가 있습니다
이 영상에서는
f의 도함수를 구하려고 합니다
여기서 중요한 점은 f를
두 함수의 합성함수로
볼 수 있다는 것입니다
그리고 여기 간단한 그림을 그려봅시다
여기서 무슨 일이 일어나고 있나요?
만약 f에 x를 대입한다면
가장 처음 해야 되는 일이 무엇인가요?
루트를 씌워야 합니다
어떤 x를 대입했을 때는
루트를 씌우는 것이 가장 우선입니다
루트 x의 값을 구하기 위해서
대입한 값에 루트를 취해야 합니다
그 다음에는 무엇을 해야 할까요?
루트를 씌운 뒤
자연로그를 취해야 합니다
고로 이것에 자연 로그를 취하면 되겠죠
그러면 이것을 입력값의 자연로그를 취해버리는
함수에 대입하는 것으로
생각할 수 있습니다
대입값으로 뭘 해야 하는지를

Bulgarian: 
за да покажа какво става 
с числото, което сме заместили.
И какво се получава тогава?
Ами получаваш натурален логаритъм
 от квадратен корен от x.
Натурален логаритъм от 
квадратен корен от x.
Което е равно на функцията f(x).
Може да разглеждаш f(x) 
като целия този
набор от функции или
тази комбинация от функции
 точно ето тук.
Това е функцията f(x), която всъщност
е съставена от две функции.
Заместваш в една функция,
след това вземаш резултата 
и го заместваш в друга функция.
Можеше да е дадена функция 
u ето тук,
която изчислява квадратен корен
от въведеното число,
така че u(x) е равна на 
квадратен корен от x.
След това вземаш този резултат,
и го заместваш в друга функция, която
можем да наречем v.
А на какво е равно v?
Изчислява натурален логаритъм 
от това, което зададем.
В този случай функцията f,
 или начина, по който

Czech: 
Dělám tady tyhle čtverečky,
aby bylo vidět, co kam dosazujeme.
Co nám
teď vyjde?
Vyjde nám přirozený
logaritmus z odmocniny z x,
což se rovná f(x).
Na f(x) se tedy můžeme dívat
jako na tento celý soubor,
nebo spíše celou
kombinaci těchto funkcí.
Toto je f(x), která je v zásadě
složením dvou funkcí.
Nejprve dosadíme do jedné funkce
a výsledek pak dosadíme do druhé funkce.
Máme zde tedy funkci ‚u‘, která spočítá
druhou odmocninu toho, co do ní dosadíme,
takže u(x) se rovná
odmocnina z x.
Výslednou hodnotu této funkce pak dosadíme
do další funkce, kterou si označíme ‚v‘.
Co dělá
funkce ‚v‘?
Spočítá přirozený logaritmus toho,
co do ní dosadíme.
V tomto případě, tedy v případě
funkce f, kterou jsem takto nakreslil,

English: 
show what you do with the input.
And then what do you produce?
Well you produce the natural
log of the square root of x.
Natural log of the square root of x.
Which is equal to f of x.
So you could view f of
x as this entire set,
or this entire, I guess you could say,
this combination of
functions right over there.
That is f of x, which is essentially,
a composition of two functions.
You're inputting into one function
then taking that output and
inputting it into another.
So you could have a function u here,
which takes the square root
of whatever its input is,
so u of x is equal to
the square root of x.
And then you take that output,
and input it into another
function that we could call v,
and what does v do?
Well it take the natural log
of whatever the input is.
In this case, in the case
of f, or in the case of how

Korean: 
보여주기 위해 작은 정사각형을 그렸습니다
뭐가 만들어지나요?
루트 x에 자연로그를 씌운 것이 만들어 지겠죠
그리고 f(x)도
루트 x에 자연로그를 씌운 것과 같습니다
고로 f(x)를 이 전체 집합으로 보거나
저기 두 함수의 조합이라고 생각해도
무방할 것 같습니다
실제로 두 함수의 합성함수가
f(x)라는 것을 알 수 있습니다
하나의 함수에 수를 입력하고
그것의 결과를 다시 다른 함수에 넣습니다
여기 입력값에 루트를 취하는
함수 u가 있습니다
그러면 u(x)= sqrt(x)라는 것을 알 수 있죠
거기서 나온 결과 값을 가지고
또 다른 함수 v에 넣어줍니다
v는 무슨 일을 할까요?
바로 입력값에 ln을 취해줍니다
이 경우에서는

Czech: 
‚v‘ spočítá
přirozený logaritmus...
Dosazujeme do ní
odmocninu z x,
takže spočítá přirozený
logaritmus odmocniny z x.
Kdybychom chtěli napsat ‚v‘ v bodě x,
tak to je přirozený logaritmus z x.
Vidíme, že f(x)...
Už jsem to dopředu
barevně označil.
f(x) se rovná přirozenému
logaritmu z odmocniny z x,
což je ‚v‘ v bodě odmocnina z x,
tedy ‚v‘ v bodě u(x).
Je to tedy
složená funkce,
což nám napovídá,
že když ji chceme zderivovat,
pravidlo pro derivaci složené
funkce se bude velmi hodit.
Pravidlo pro derivaci
složené funkce říká,
že f s čárkou v bodě x se rovná derivaci
vnější funkce podle této vnitřní funkce,
což je ‚v‘ s čárkou
v bodě u(x),

Korean: 
v는 입력값, 즉 루트 x에
ln을 취하게 됩니다
최종적으로 ln(sqrt(x))가 나오겠죠
v를 x에 대한 함수로 표현하자면
자연로그를 취한 x,
즉 ln x가 되겠죠
여기 보이는 f(x)와
좀 전에 색칠된 l은
f(x)와 같고, 이는
루트 x에 자연로그를 취한 값과 같습니다
v(sqrt(x)), 또는 v(u(x))
이 합성함수를 통하여
만약 도함수를 구하고자 한다면
연쇄 법칙이 몹시 도움이 될 것을 알 수 있습니다
연쇄 법칙을 통해 도함수가
안쪽 함수에 대한
바깥 함수의 도함수라고
생각할 수 있습니다
고로 이것은
v'(u(x)) 곱하기

English: 
I just diagrammed it, v
is taking the natural log,
the input happens to be square root of x,
so it outputs the natural
log of the square root of x.
If we wanted to write
v with x as an input,
we would just say well
that's the natural log,
that is just the natural log of x.
And as you can see here, f of x,
and I color-coded ahead of time,
is equal to, f of x is equal to,
the natural log of the square root of x.
So that is v of the square
root of x, or v of u of x.
So it is a composition
which tells you that,
okay, if I'm trying to
find the derivative here,
the chain rule is going to be
very, very, very, very useful.
And the chain rule tells
us that f prime of x
is going to be equal to the derivative of,
you can view it as the outside function,
with respect to this inside function,
so it's going to be v prime of u of x,
v prime of u of x,

Bulgarian: 
направих схемата, 
v изчислява натурален логаритъм,
като зададената стойност 
е квадратен корен от x.
Следователно ни дава стойността на 
натурален логаритъм от квадратен корен от x.
Ако искахме да запишем v с числото x 
като зададена стойност,
просто щяхме да кажем, че това 
е натурален логаритъм,
т.е. просто натурален логаритъм от x.
Както можеш да видиш тук, 
функцията f(x),
направих я с друг цвят 
предварително,
е равна на... Функцията f(x) е равна на
натурален логаритъм от 
квадратен корен от x.
Тогава това е равно на v от квадратен корен от x, 
или е равно на v(u(x)).
Следователно това е съставна функция, 
което означава следното.
Ако се опитвам да намеря 
производната на тази функция,
то верижното правило ще бъде 
много, много полезно.
А верижното правило ни казва, че f'(x)
ще бъде равно на 
производната на това,
което може да наречем 
външна функция,
спрямо това, което може 
да наречем вътрешна функция.
Тоест ще бъде v'(u(x)).
v'(u(x))

English: 
times the derivative
of this inside function
with respect to x.
So that's just u prime, u prime of x.
So how do we evaluate these things?
Well, we know how to take
the derivative of u of x
and v of x, u prime of x
here, is going to be equal to,
well remember, square root
of x is just the same thing
as x to 1/2 power, so we
can use the power rule,
bring the 1/2 out from so
it becomes 1/2 x to the,
and then take off one
out of that exponent,
so that's 1/2 minus one
is negative 1/2 power.
And what is v of x, sorry,
what is v prime of x?
Well the derivative of
the natural log of x
is one over x, we show
that in other videos.
And so we now know what u prime of x is,
we know what v prime of x is,
but what is v prime of u of x?
Well v prime of u of x,
wherever we see the x,

Czech: 
krát derivace této vnitřní funkce
podle x, což je ‚u‘ s čárkou v bodě x.
Jak tyto
věci spočítáme?
Víme, jak zderivovat
u(x) a v(x).
‚u‘ s čárkou
v bodě x se rovná...
Druhá odmocnina z x je totéž
jako x na jednu polovinu,
takže použijeme 
derivaci mocniny.
Jednu polovinu napíšeme dopředu,
takže to bude (1 lomeno 2) krát x na...
Nyní musíme
exponent zmenšit o 1.
(1 lomeno 2) minus 1
je minus (1 lomeno 2).
Čemu se
rovná v(x)?
Pardon, čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě x?
Derivace přirozeného logaritmu z x
se rovná 1 lomeno x.
Ukázali jsme si to
v jiném videu.
Nyní už tedy víme, čemu se
rovná ‚u‘ s čárkou v bodě x.
Víme také, čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě x,
ale čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě u(x)?
‚v‘ s čárkou
v bodě u(x)...
Kdekoliv vidíme x,
musíme místo něj napsat...

Korean: 
x에 대한
안쪽 함수의 도함수,
u'(x)가 된다
이런 것들을 어떻게 계산할 것인가요?
u(x)와 v(x)의 도함수를 구하는 방법은
이미 알고 계실 것입니다 여기에서는
루트 x는 x의 1/2승과 같기에
다항식의 미분법을 이용하면
1/2을 꺼내고
지수에서 1을 빼면
0.5x^(-1/2)이 됩니다
그러면 v'(x)는 무엇일까요?
lnx를 미분하면
다른 영상에서 보였듯이 1/x이 됩니다
이제 u'(x)와 v'(x)는 아는데
v'(u(x))는 무엇일까요?
v'(u(x))를 구하기 위해서는 x를

Bulgarian: 
Умножено по производната 
на вътрешната функция
спрямо x,
което е равно просто на u'(x).
А как ще изчислим тези неща?
Е, знаем как да намерим 
производната на u(x)
и v(x). u'(x) ще бъде равно на ...
ако си спомняш, квадратен корен от x, 
е същото нещо
като x на степен 1/2, така че може да използваме 
правилото за намиране производна на степен.
Записваме 1/2 отпред, т.е. става 1/2
по x, а тук изваждаме една единица 
от степенния показател.
Следователно това е равно на 1/2 – 1, 
което е равно на степен –1/2.
А какво е v(x)? Извинявам се!
 Какво е v'(x)?
Производната на натурален
 логаритъм от x
e 1/x, което ни е известно 
от предишни уроци.
Следователно знаем 
на какво е равно u'(x).
Знаем на какво е равно и v'(x). 
A на какво е равно v'(u(x))?
За v'(u(x)) там, където виждаме x, просто

English: 
we replace it, let me write
that a little bit neater,
we replace that with a u
of x, so v prime of u of x
is going to be equal to,
is going to be equal to one over u of x,
one over u of x, which is equal to,
which is equal to one over,
u of x is just the square root of x.
One over the square root of x.
This thing right over
here, we have figured out,
is one over the square root of x,
and this thing, u prime
of x, we figured out,
is 1/2 times x to the negative 1/2,
and x to the negative 1/2,
I could rewrite that as 1/2
times one over x to the
1/2, which is the same thing
as 1/2 times one over
the square root of x,
or I could write that as one
over 2 square roots of x.
So what is this thing going to be?

Bulgarian: 
ще го заместим. Ще го запиша 
малко по-ясно.
Заместваме това с u(x), 
така че v'(u(x))
ще бъде равно на 1/u(x).
1 върху u(x), което е равно на...
Това е равно на 1
върху u(x), а u(x) е равно на 
квадратен корен от x.
Тоест получаваме 1 върху 
квадратен корен от x.
И така, намерихме, че 
това нещо, ето тук, е равно на
едно върху квадратен корен от x.
Следователно тази производна, ето тук, т.е. u'(x), намерихме,
че е равна на 1/2 по x на степен –1/2.
x на степен –1/2 мога 
да го запиша като
1/2 по 1 върху x на степен 1/2, 
което е същото нещо
като 1/2 по 1 върху 
квадратен корен от x.
Или мога да запиша това като 
1 върху 2 по квадратен корен от x.
А на какво ще е равно
 това произведение?

Korean: 
u(x)로 바꿔줍니다
그러면 v(u(x))는
1/(u(x))와 같습니다
즉 1/sqrt(x)가 됩니다
즉 1/sqrt(x)가 됩니다
즉 1/sqrt(x)가 됩니다
즉 1/sqrt(x)가 됩니다
즉 1/sqrt(x)가 됩니다
여기 있는 것은 바로
1/sqrt(x)이고,
여기 u'(x)는
0.5x^(-1/2)이 된다
그리고 x^(-1/2)는
1/sqrt(x)과 같은 것임을 알 수 있습니다
즉 u'(x)는 0.5/x^(1/2)이 됩니다
아니면 1/2*x(1/2)이라고도 표현 가능합니다
이것은 무엇이 될 것인가요?

Czech: 
Napíšu to
trochu lépe.
Musíme místo
něj napsat u(x),
takže ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)
se rovná 1 lomeno u(x),
což se rovná
1 lomeno...
u(x) je odmocnina z x.
...1 lomeno
odmocnina z x.
Zjistili jsme tedy, že tohle se
rovná 1 lomeno odmocnina z x
a že ‚u‘ s čárkou v bodě x je
(1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2).
x na minus
(1 lomeno 2)...
Tohle bych mohl přepsat jako (1 lomeno 2)
krát 1 lomeno (x na (1 lomeno 2)),
což je totéž jako (1 lomeno 2) krát 
1 lomeno odmocnina z x,
což ještě mohu napsat jako
1 lomeno (2 krát odmocnina z x).
Čemu se tohle
tedy rovná?

Czech: 
To se rovná...
Napíšu to
zeleně.
‚v‘ s čárkou v bodě x je
1 lomeno odmocnina z x,
tohle krát ‚u‘ s čárkou v bodě x,
což je 1 lomeno (2 krát odmocnina z x).
Čemu se
rovná tohle?
Rovná se to...
Teď už je
to algebra.
...1 lomeno...
Máme zde 2 a odmocnina z x
krát odmocnina z x se rovná x,
takže se nám to zjednoduší na
1 lomeno (2 krát x).
Snad vám to
dává smysl.
Schválně jsem
to nakreslil,
abyste si zlepšili své schopnosti
v poznávání složených funkcí
a abyste lépe rozuměli některým výrazům
ve vzorci pro derivaci složené funkce,
které můžete vidět během hodiny
diferenciálního počtu nebo v učebnici.
S trochou cviku budete ale schopni
počítat, aniž byste psali tohle všechno.
Řeknete si: „Tohle je složená funkce, je
to přirozený logaritmus z odmocniny z x.“
„Je to ‚v‘ v bodě u(x),

Korean: 
이것은 여기 초록색
v'(u(x))는 1/루트(x)와 같고
곱하기 u'(x)는 1/2*x(1/2)이니
답은 무엇일까요?
간단한 계산을 하면
이것은
1/(2*sqrt(x)*sqrt(x))가 되는데
이걸 정리하면
1/2x가 됩니다
이해했기를 바랍니다
일부러 다이아그램을 그려
여러분들이 합성합수를 이해하는 데에
너무 많은 에너지를 쏟지 않도록 했습니다
그리고 미적분 시간에 많이 보았을 법한
연쇄 법칙의 이러한 표현법들을
익힐 수 있도록
하였습니다
더 많은 연습을 한다면 더 능숙하게 할 수 있겠지만
앞으로는 이런 과정을 다 서술하지 않고도
그래, 여기 합성합수가 있네
ln(sqrt(x))구나
이걸 v(u(x))라고 볼 수 있겠네

Bulgarian: 
Ще бъде равно...
 в зелен цвят - на...
v'(u(x)) е равно на 
1 върху квадратен корен от x
умножено по u'(x), което е 1 върху 2
по квадратен корен от x. А сега този 
резултат на какво ще е равен?
Ще бъде равен на...
В този момент тук просто 
използваме алгебра.
1 върху...Тук имаме 2 
и квадратен корен от x по
квадратен корен от x, което 
е равно на x.
Тогава резултатът се опростява 
до 1 върху 2 по x.
Надявам се, че разбираш 
какво направихме.
Умишлено го направих 
като схема,
за да може да тренираш 
съзнанието си
да разпознава съставни функции.
И така по-добре да разбереш
някои от тези изрази 
от верижното правило,
които може би познаваш 
от часовете по анализ.
Или от учебника по анализ.
Но с повече упражнения
 ще можеш да го правиш
без да се налага 
да записваш всичко това.
Може би ще кажеш:
виж, имам съставна функция.
Това е натурален логаритъм 
от квадратен корен от x.
Това равно на v(u(x)).

English: 
Well this is going to
be equal to, in green,
v prime of u of x is one
over the square root of x,
times, times, u prime of
x is one over two times
the square root of x, now what
is this going to be equal to?
Well, this is going to be equal to,
this is just algebra at this point,
one over, we have our
two and square root of x
times square root of x is just x.
So it just simplifies to one over two x.
So hopefully this made sense,
and I intentionally diagrammed it out
so that you start to get that
muscle in your brain going
of recognizing the composite functions,
and then making a little bit more sense of
some of these expressions
of the chain rule
that you might see in your calculus class,
or in your calculus textbook.
But as you get more practice,
you'll be able to do it,
essentially, without having
to write out all of this.
You'll say okay, look,
I have a composition.
This is the natural log
of the square root of x,
this is v of u of x.

English: 
So what I wanna do is I
wanna take the derivative
of this outside function with respect
to this inside function.
So the derivative of
natural log of something,
with respect to that something,
is one over that something.
So it is one over that something,
the derivative natural log of something
with respect to that something
is one over that something,
so that's what we just did here.
One way to think about it,
what would natural log of x be?
Well that'd be one over x,
but it's not natural log of x.
It's one over square root of x,
so it's going to be one
over the square root of x,
so you take the derivative
of the outside function
with respect to the inside one,
and then you multiply that
times just the derivative
of the inside function with respect to x.
And we are done.

Czech: 
takže musím zderivovat tuto vnější
funkci podle téhle vnitřní funkce.“
„Derivace přirozeného logaritmu z něčeho
podle toho něčeho je 1 lomeno to něco.“
Přesně to jsme
tady udělali.
Můžeme se na
to dívat tak...
Jaká by byla derivace
přirozeného logaritmu z x?
Bylo by to
1 lomeno x,
ale není to přirozený logaritmus z x,
nýbrž z odmocniny z x,
takže to bude
1 lomeno odmocnina z x.
Zderivujete tedy vnější funkci
podle vnitřní funkce
a pak vynásobíte derivací
vnitřní funkce podle x.
A máme hotovo.

Korean: 
지금 이 함수의 도함수를 구하기 위해서는
안쪽 함수에 대한 바깥 함수의
도함수를 구해야 합니다
고로 ln(무엇)을 미분하면
1/무엇 이 나오게 됩니다
1/무엇 이 나오게 됩니다
ln(무엇)의 도함수는
1/(무엇)이 됩니다
이걸 우리는 풀어썼을 뿐입니다
이걸 생각하는 한가지 방법은 lnx가
어떻게 될까?라고 생각하는 것입니다
1/x가 되겠지만, 준식은
lnx가 아닙니다
1/sqrt(x)가 됩니다
1/sqrt(x)가 되므로
바깥 함수의 안쪽 함수에
대한 도함수를 구합시다
그러면 그것을 안쪽 함수의 x에 대한
도함수와 곱하면 됩니다.
이제 끝입니다
커넥트 번역 봉사단 | 이나영

Bulgarian: 
Тогава това, което искам да направя,
 е да намеря производната
на външната функция спрямо
тази вътрешна функция.
А производната на натурален
 логаритъм от нещо,
спрямо това нещо, е равна 
на 1 върху това нещо.
Тоест производната е равна 
на 1 върху това нещо.
Производната на натурален 
логаритъм от нещо,
спрямо това нещо,
 е равна на 1 върху това нещо.
Това, което току-що направихме, 
е същото.
Един възможен начин да мислиш за това е
 като си зададеш следния въпрос:
На какво ще бъде равно 
натурален логаритъм от x?
Това ще бъде 1 върху x, но сега 
ни е дадено натурален логаритъм не от x,
а от квадратен корен от x.
Следователно производната ще бъде 
равна на 1 върху квадратен корен от x.
И така, намираш производната 
на външната функция
спрямо вътрешната,
и просто умножаваш 
резултата по производната
на вътрешната функция спрямо x.
И сме готови.
