
Korean: 
바로 여기 입체도형의 혁명이 있습니다
바로 여기 입체도형의 혁명이 있습니다
그 부피는 이전이 비디오를 보면 계산해 낼 수 있습니다
이전 비디오는 '원반법'이라는 다른 방법을 쓰는데요,
Y를 이용해서 구합니다
자 시작해 볼까요?
우리는 같은 입체도형에서 
같은 부피를 구할 수 있습니다
하지만, 우리는 여기에서 '원통각법'을 이용하겠습니다
그리고, x에 대해 미분하도록 하겠습니다
따라서, 우리가 우개하 할 것은
이 'y는 √x'의 선과 'y는 x의 제곱' 선간의
거리를 이용하는 것입니다
그리고, 이것을 수직의 X=2라는 선을 따라
돌립니다
우리가 구하려 했던 것은
√x가 x제곱보다 큰 두 선간의 거리를
돌린 그 값입니다
그리고, 이것은 0과 1 사이입니다
그리고, 이것을 '원통각법'을 통해 구해보도록 하죠
우리는 이제 껍질을 만들고 싶습니다
다른 색으로 칠하겠습니다
여기에 직사각형이 있다고 상상합시다

English: 
This right here is a
solid of revolution
whose volume we were able to
figure out in previous videos,
actually in a different
tutorial, using the disk method
and integrating in terms of y.
What we're going
to do right now is
we're going to find the same
volume for the same solid
of revolution, but we're going
to do it using the shell method
and integrating
with respect to x.
So what we do is we have
the region between these two
curves, y is equal
to square root of x
and y is equal to x squared.
And we're going to rotate it
around the vertical line x
equals 2.
And we're going to do
that at the interval
that we're going to rotate this
space between these two curves
is the interval when square root
of x is greater than x squared.
And so it's between 0 and 1.
And so let's try to do
it with the shell method.
And so to do that, what we do
is we want to construct a shell.
Let me do this in
a different color.
Let's imagine a rectangle
right over here.

Portuguese: 
Isso aqui é um
sólido de revolução
cujo volume fomos capazes
de descobrir no vídeo anterior,
na verdade em um tutorial diferente,
usando o método do disco
e integrando em termos de y.
O que iremos fazer agora é
achar o mesmo volume
para o mesmo sólido
de revolução, mas faremos esse
usando o método da casca
e integrando
com respeito a x.
Então o que nós temos
é a região entre essas duas curvas
y é igual a
raiz quadrada de x
e y é igual a x ao quadrado.
E vamos rotacionar ao redor
da linha vertical de x igual a dois.
E vamos fazer isso no intervalo
de rotação desse espaço
entre essas duas curvas
é o intervalo quando raiz quadrada de x
é maior que x ao quadrado.
E então é entre zero e um.
Então vamos tentar fazer
com o método da casca.
E para fazer isso, o que queremos
é construir uma casca.
Vou fazer isso numa cor diferente.
Vamos imaginar um retângulo
bem por aqui.

Bulgarian: 
Това е ротационно тяло,
чийто обем намерихме в
предишните видео уроци,
всъщност в отделен урок,
с помощта на метода на дисковете
и като интегрирахме
спрямо у.
Сега ще намерим същия обем
на същото ротационно тяло,
но ще използваме метода
на черупката,
като ще интегрираме
спрямо х.
Имаме тази област, която
се образува между двете криви,
у е равно на корен квадратен от х
и у = х^2.
Ще завъртим това около
вертикалната ос х = 2.
Ще го направим в интервала,
ще завъртим тази област
между тези две криви
в интервала, в който корен
квадратен от х е по-голямо от х^2.
Това е между 0 и 1.
Да опитаме да използваме
метода на черупката.
За целта ще конструираме
една черупка.
Ще използвам различен 
цвят.

Thai: 
 
รูปนี้ตรงนี้คือทรงตันจากการหมุน
ที่เราได้หาปริมาตรไปในวิดีโอก่อนๆ
ในบทเรียนอีกอัน โดยใช้วิธีแบบจาน
และอินทิเกรตในรูปของ y
สิ่งที่เราจะทำตอนนี้คือ
เราจะหาปริมาตรทรงตันจากการหมุน
อันเดิม แต่เราจะใช้วิธีแบบเปลือก
และอินทิเกรตเทียบกับ x
สิ่งที่เราจะทำ คือเรามีเขตระหว่าง
เส้นโค้งสองตัวนี้
y เท่ากับรากที่สองของ x
และ y เท่ากับ x กำลังสอง
เราจะหมุนมันรอบเส้นแนวตั้ง x
เท่ากับ 2
และเราจะทำในช่วง
ที่เราหมุนพื้นที่นี้ ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น
ในช่วงที่รากที่สองของ x มากกว่า x กำลังสอง
มันก็คือระหว่าง 0 กับ 1
ลองมาใช้วิธีแบบเปลือกกัน
เวลาทำ สิ่งที่เราจะทำ คือเราจะสร้างเปลือก
ขอผมใช้อีกสีนะ
ขอผมใช้สี่เหลี่ยมมุมฉากตรงนี้

Bulgarian: 
Да си представим един
правоъгълник ето тук.
Той е с широчина dx.
Височината му е разликата
между тези две функции.
Ако го начертая ето тук,
той ще изглежда нещо такова.
Ако сме тук, тогава
това е една черупка,
един вид кух цилиндър.
Ще изглежда приблизително
така.
Ето така.
Има някаква дебелина,
това представлява dx.
Имаме някаква дебелина,
нещо подобно на това.
Сега ще защриховам малко,
за да се вижда по-добре
тази дебелина.
Когато завъртим
този правоъгълник
около оста х = 2,
получаваме подобна черупка.
Сега да видим как можем
да намерим обема на тази черупка.
Правили сме го няколко пъти.
Най-напред искам
да помисля за

Portuguese: 
Vamos imaginar um retângulo
bem por aqui.
Ele tem largura dx.
E sua altura é a diferença
entre essas duas funções.
E então se eu fosse 
desenhar por aqui
seria parecido
com algo assim.
seria parecido
com algo assim.
Estaria por aqui e aqui,
e então é uma casca,
é tipo um
cilindro oco.
Então seria parecido
com algo assim.
Então seria parecido
com algo assim.
Seria assim.
E tem alguma profundidade,
isso é o que dx nos dá.
Então nós temos a profundidade
que parece com algo assim.
E vou sombrear um pouco
apenas para que possamos ver
um pouco de sua profundidade.
E quando se rotaciona
o retângulo
ao redor da linha x igual a dois,
temos uma casca como essa.
Vamos pensar em
como descobrir
o volume dessa casca.
Bem, já fizemos isso
diversas vezes.
A primeira coisa 
que queremos pensar
é sobre a circunferência
do topo da casca.

Thai: 
 
มันกว้าง dx
และความสูงคือผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้
แล้วถ้าผมวาดมันตรงนี้
มันจะเป็นแบบนี้
 
มันอยู่ตรงนี้ และมันคือเปลือก
มันเป็นเหมือนทรงกระบอกกลวง
มันจะเป็นแบบนี้
 
อย่างนั้น
มันมีความหนา นั่นคือสิ่งที่ dx ให้เรา
เรามีความหนาที่เป็นแบบนั้น
แล้วขอผมแรเงามันหน่อย
เราจะได้เห็นความหนา
เมื่อคุณหมุนสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้
รอบเส้นตรง x เท่ากับ 2 เราจะได้เปลือกแบบนี้
ลองคิดดูว่าเราจะหา
ปริมาตรของเปลือกนี้อย่างไร
เราทำมาหลายครั้งแล้ว
อย่างแรกที่เราอยากคิด
คือเส้นรอบวงของด้านบนเปลือก

English: 
It has width dx.
and its height is the difference
of these two functions.
And so if I were to
draw it right over here,
it would look
something like this.
It'd be there, and
then it is a shell,
it's kind of a
hollowed-out cylinder.
So it would look
something like this.
Just like that.
And it has some depth,
that's what the dx gives us.
So we have the depth that
looks something like that.
And then let me shade
it in a little bit,
just so we can see a
little bit of its depth.
So when you rotate
this rectangle
around the line x equals 2,
you get a shell like this.
So let's think about
how we can figure out
the volume of this shell.
Well, we've already
done this several times.
The first thing we might
want to think about
is the circumference of
the top of the shell.

Korean: 
여기에 직사각형이 있다고 상상합시다
이 폭은 dx라고 합시다
이 높이는 두 함수의 차이입니다
그리고 여기에 그리도록 하겠습니다
이렇게 보일 겁니다
이렇게 보일 겁니다
이쪽에도 있고, 이것은 껍질을 그려주면
속이 빈 통이 되니다
그러면 이렇게 보이게 됩니다
그러면 이렇게 보이게 됩니다
바로 이렇게요
그리고 두께를 갖게되는데 이는 dx입니다
따라서 이렇게 생긴 두께를 갖게 됩니다
제가 살짝 칠하도록 하겠습니다
그러면 두께를 볼 수 있겠죠
따라서, 우리가 이 직사각형을
x=2라는 선을 따라 돌리게 되면
이렇게 생긴 껍질을 갖게 됩니다
자 그럼 우리가 어떻게 그 그 껍질의
부피를 구할 수 있을지 생각해 봅시다
우리는 이미 이를 몇 번 했습니다
우리가 가장 먼저 생각하고 싶은 것은
껍질 윗 부분의 원의 둘레 입니다

Korean: 
껍질 윗 부분의 원의 둘레 입니다
우리는 원의 둘레가 2 x π x 반지름인것을 압니다
우리는 저 껍질의 반지름을 알아야 하니다
그 거리는 어떻게 될까요?
그것은 x=2와 다른 x값 간의
거리가 바로 그 값이 됩니다
그것은 2에서 x값을 뺀 값이 되겠지요
자 이 반지름 값은 바로 여기이고 이것은
2 빼기 x 가 되니다
따라서, 원의 둘레는 그 값에 2와 π를 
곱한 값이 됩니다
2πr 는 원의 둘레(원주)가 입니다
따라서, 이는 2 x π x (2-x) 입니다
그리고, 우리가 껍질 표면의
넓이를 구하고 싶다면 이는
원주주 값인 2 x π x (2-x)
에 껍질의 높이를 곱해주면 됩니다
자 그렇다면, 껍질의 높이는 몇일까요?
그것은 세로로 표혀뇐 높이는
y라는 값으로 표현할 수 있습니다

Portuguese: 
é sobre a circunferência
do topo da casca.
Sabemos que circunferência
é dois pi vezes raio.
Só precisamos saber
qual é o raio da casca.
Qual o valor
dessa distância aqui?
Bem, é a distância horizontal
entre x igual a dois e 
qualquer valor para x, bem aqui
Então será dois menos
nosso valor de x.
Então esse raio,
essa distância bem aqui,
será dois menos x.
E a circunferência será
isso vezes dois pi.
Dois pi r nos dá
a circunferência desse círculo.
Então, dois pi vezes dois menos x.
E se quisermos
a área da superfície
da parte externa da nossa casca, 
então a área
será a circunferência,
dois pi vezes dois menos x,
vezes a altura de cada casca.
Mas, qual é a altura
de cada casca?
Será a distância vertical expressa
como funções de y.

Thai: 
 
เรารู้เส้นรอบวงเท่ากับ 2 พายคูณรัศมี
เราแค่ต้องรู้รัศมีของเปลือก
ระยะนั้นจะเป็นเท่าใด?
มันคือระยะแนวนอน
ระหว่าง x เท่ากับ 2 กับค่า x ใดก็ตามตรงนี้
มันจะเท่ากับ 2 ลบค่า x ของเรา
รัศมีนี้ ระยะนี่ตรงนี้
จะเท่ากับ 2 ลบ x
แล้วเส้นรอบวงจะเท่ากับค่านั้นคูณ 2 พาย
2 พาย r จะให้เส้นรอบวงของวงกลมนั้น
2 พายคูณ 2 ลบ x
แล้วถ้าเราอยากได้พื้นที่ผิว
ของเปลือกด้านนอก พื้นที่
จะเท่ากับเส้นรอบวง 2 พายคูณ 2 ลบ x
คูณความสูงของเปลือกแต่ละอัน
ทีนี้ ความสูงของเปลือกนี้เป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับระยะแนวตั้ง
เป็นฟังก์ชันของ y

Bulgarian: 
обиколката на горната
основа на черупката.
Знаем, че обиколката е 
2π по радиуса.
Значи трябва само да 
разберем колко е радиусът.
Какво е това разстояние?
Това е хоризонталното
разстояние
между х = 2 и стойността
на х в тази точка.
Значи това е 2 минус
стойността на нашето х.
Този радиус, това
разстояние ето тук,
това е 2 – х.
Обиколката ще бъде това
по 2π.
2πr е обиколката или дължината
на тази окръжност.
Значи 2π по (2 – х).
После, ако искаме
лицето на повърхнината
на външността на черупката,
тази площ
ще бъде обиколката 2π
по (2 – х)
по височината на тази
черупка.
Колко е височината
на една черупка?
Това е вертикалното разстояние,
изразено като функция на у.

English: 
We know circumference
is 2 pi times radius.
We just need to know what
the radius of the shell is.
What is that
distance going to be?
Well, it's the
horizontal distance
between x equals 2 and whatever
the x value is right over here.
So it's going to be
2 minus our x value.
So this radius, this
distance right over here,
is going to be 2 minus x.
And so the circumference is
going to be that times 2 pi.
2 pi r gives us the
circumference of that circle.
So 2 pi times 2 minus x.
And then if we want
the surface area
of the outside of our
shell, so the area
is going to be the circumference
2 pi times 2 minus x
times the height of each shell.
Now, what is the
height of each shell?
It's going to be the
vertical distance expressed
as functions of y.

Portuguese: 
Então será,
o limite máximo
é y igual a raiz quadrada de x,
o limite mínimo é
y igual a x ao quadrado.
Então será raiz quadrada de x
menos x ao quadrado.
Então será --
Vou fazer em amarelo --
Então será raiz quadrada de x
menos x ao quadrado.
E se você quer
o volume de uma casca,
vou escrever tudo em branco,
será dois pi vezes
dois menos x vezes
raiz quadrada de x
menos x ao quadrado.
E essa expressão toda,
eu apenas a reescrevi,
é a área, a área da superfície
externa, de uma dessas cascas.
Se queremos o volume,
devemos ter profundidade,
multiplicar por quão profunda
a casca é, então vezes dx.
E se quisermos o volume
de tudo isso,
basta resolver
todas as cascas
para todos os x's
nesse intervalo
e fazer o limite quando os dx's
ficam cada vez mais pequenos
e teremos mais e mais cascas.
E, qual é o nosso intervalo?

Korean: 
자 따라서, 높이의 윗부분은 √x 가 되며
y의 아랫 부분은
x제곱이 됩니다
따라서 이것은 √x에 x제곱을 뺀 값이 됩니다
따라서 이것은 √x에 x제곱을 뺀 값이 됩니다
노란색으로 작성해 보겠습니다
자 이것은 √x - x제곱 이 됩니다
자 그리고 껍질의 부피를 구하고 싶다면..
이것은 흰색으로 쓰겠습니다
이것은 2 x π x (2-x) 에
(√x-x제곱)을 곱한 값이 됩니다
따라서 전체 식을 다시 적어보겠습니다
이 껍질에서 바깥쪽 넓이를 구하고
우리가 부피를 우너하면 약간 두께를 넣고
그 두께인 dx를 곱해 구합니다
그리고, 이 전체의 부피를 구하고 싶으면
전체 껍질을 다 구하면 됩니다
x에 대한 간격을 모두 구합니다
그리고, dx의 값을 극한까지 점점 작게 구하고
우리는 더욱 더 많은 껍질을 구할 수 있습니다
자 그렇다면 간격은 어떻게 될까요?

English: 
So it's going to
be the top boundary
is y is equal to square root
of x, the bottom boundary is
y is equal to x squared.
So it's going to be square
root of x minus x squared.
Let me do this in the yellow.
So it's going to be square
root of x minus x squared.
And so if you want the
volume of a given shell--
I'll write all this
in white-- it's
going to be 2 pi
times 2 minus x times
square root of x
minus x squared.
So this whole expression,
I just rewrote it,
is the area, the outside surface
area, of one of these shells.
If we want the volume, we have
to get a little bit of depth,
multiply by how deep the
shell is, so times dx.
And if we want the volume
of this whole thing,
we just have to
solve all the shells
for all of the x's
in this interval
and take the limit as the
dx's get smaller and smaller
and we have more
and more shells.
And so, what's our interval?

Bulgarian: 
Това е горната граница 
на тялото, където
у е равно на корен квадратен от х,
а това е долната граница,
където у = x^2.
Значи ще бъде квадратен корен
от х минус х^2.
Ще го направя в жълто.
Това е равно на квадратен корен
от х минус х^2.
За да намерим обема
на черупката...
Ще запиша всичко с бяло –
това е 2π по (2 – х) по
квадратен корен от х
минус х^2.
Целият този израз,
току-що го преписах,
това е лицето на околната повърхнина
на една от тези черупки.
За да намерим обема, трябва
да го умножим по дебелината,
да умножим по дебелината на
черупката, значи по dx.
И за да намерим обема
на цялото тяло,
просто трябва да намерим
всички тези черупки
за всички стойности на х
в интервала,
и да намерим границата, когато
dx става по-малко и по-малко,
и имаме все повече
и повече на брой черупки.
Кой е нашият интервал?

Thai: 
มันจะเป็นขอบบน
y เท่ากับรากที่สองของ x ขอบล่างคือ
y เท่ากับ x กำลังสอง
มันจะเท่ากับรากที่สองของ x ลบ x กำลังสอง
 
ขอผมใช้สีเหลืองนี้นะ
มันจะเท่ากับรากที่สองของ x ลบ x กำลังสอง
แล้ว ถ้าคุณมีปริมาตรของเปลือก --
ผมจะเขียนทั้งหมดนี้ด้วยสีขาวนะ -- มัน
จะเท่ากับ 2 พายคูณ 2 ลบ x คูณ
รากที่สองของ x ลบ x กำลังสอง
พจน์ทั้งหมดนี้ ผมเขียนใหม่ได้
เป็นพื้นที่ นอกพื้นผิว ของเปลือกหนึ่ง
ถ้าเราอยากได้ปริมาตร เราต้องมีความหนา
คูณด้วยความหนาของเปลือก คูณ dx
ถ้าเราอยากได้ปริมาตรของทั้งรูป
เราก็ต้องหาเปลือก
สำหรับทุก x ในช่วงนี้
แล้วหาลิมิตเมื่อ dx เล็กลง เล็กลง
และเรามีเปลือกมากขึ้น มากขึ้น
แล้ว ช่วงของเราคืออะไร?

Portuguese: 
Bem, nossos x's estarão
entre zero e um.
Então isso aqui é
o volume dessa figura.
Legendado por [Miguel Infante]

Bulgarian: 
х е между 0 и 1.
Така че това е обемът
на това тяло.

Korean: 
우리의 x는 0과 1사이가 됩니다
자, 짜라서 바로 여기 이 수식이 부피가 됩니다

Thai: 
x ของเราจะอยู่ระหว่าง 0 กับ 1
ค่านั่นตรงนั้นคือปริมาตรของรูปนี้

English: 
Well our x's are going
to go between 0 and 1.
So that right over there is
the volume of this figure.
