
English: 
Hi there!
Let me start with a small riddle.
The riddle is set in ancient Greece where Achilles, 
the fastest human alive, is dared by a tortoise
to hold a running contest.
Achilles agrees without hesitation.
After all, tortoises are very slow runners.
He even gives the tortoise a head start.
The question is: who will win the contest?
Everyone agrees 
that Achilles will catch up with the tortoise and win.
Everyone, 
except for one stubborn philosopher: Zeno of Elea.
He argues as follows:
After the start of the race, 
Achilles will have to cover the head start
that he gave to the tortoise, 
before catching up with him.
But when Achilles has run that distance, 
the tortoise will also have moved!
So, there is still some distance between them.
Achilles also has to run THIS distance, 
but by the time he has done so,
the tortoise has moved too.
So again, there is some distance between them.

Dutch: 
Hallo daar!
Laten we beginnen met een klein raadsel.
Het raadsel speelt zich af in het oude Griekenland waar Achilles, de snelste mens die leeft, wordt uitgedaagd door een schildpad
om een ​​hardloopwedstrijd te houden.
Achilles accepteert de uitdaging zonder te aarzelen.
Immers, schildpadden zijn erg trage hardlopers.
Hij geeft de schildpad zelfs een voorsprong.
De vraag is: wie wint de wedstrijd?
Iedereen is het er mee eens dat Achilles de schildpad inhaalt en wint.
Iedereen, behalve één koppige filosoof: Zeno van Elea.
Hij beredeneert als volgt:
Na de start van de race zal Achilles de voorsprong moeten inhalen
die hij aan de schildpad gaf, 
voordat hij hem heeft ingehaald.
Maar als Achilles die afstand heeft afgelegd, zal de schildpad ook zijn verplaatst!
Dus er is nog steeds enige afstand tussen hen.
Achilles moet ook deze afstand lopen, 
maar tegen de tijd dat hij dat gedaan heeft,
is de schildpad ook verplaatst.
Dus nogmaals, er is enige afstand tussen hen.

Dutch: 
Achilles moet ook deze afstand lopen om de schildpad in te halen,
maar nogmaals, de schildpad zal zijn verplaatst ...
enzovoort!
Aangezien dit proces oneindig doorgaat, betoogt Zeno dat Achilles nooit de schildpad zal inhalen.
De afstand tussen hen zal kleiner en kleiner worden, maar Achilles zal de race niet winnen!
Het echte raadsel is: wat is er mis met het argument van Zeno?
Laten we de wedstrijd op een meer kwantitatieve manier bekijken.
Stel dat Achilles 4 meter per seconde rent en de schildpad 1 meter per seconde.
Dit is extreem snel voor een schildpad, maar het werkt mooi in berekeningen.
Stel dat de schildpad een voorsprong krijgt van 1 meter.
Laten we ook de tijd bijhouden die is verstreken na elke stap.
We beginnen bij t_0 = 0.
Als eerste zal Achilles 1 meter rennen.
Dit duurt een kwart seconde,
dus t_1 is gelijk aan 1/4.

English: 
Achilles has to run this distance 
as well to catch up with the tortoise,
but again the tortoise will have moved…
and so on!
Since this process goes on indefinitely, Zeno argues
that Achilles will never catch up with the tortoise.
The distance between them will become smaller
and smaller, but Achilles will not win the race!
The real riddle is: 
what is wrong with Zeno's argument?
Let's look at the contest in a more quantitative way.
Suppose Achilles runs at 4 meters per second,
and the tortoise runs at 1 meter per second.
This is extremely fast for a tortoise, 
but it works nicely in calculations.
Suppose the tortoise gets a head start of 1 meter.
Let's also keep track of time elapsed after each step.
We start at t_0 equal to 0.
First, Achilles will run 1 meter.
This takes a quarter of a second,
so t_1 is equal to 1 / 4.

Dutch: 
Dan zal de schildpad met een kwart meter zijn verplaatst, dus dit is de nieuwe afstand tussen hen.
Achilles loopt deze nieuwe afstand in 1/16 seconde, dus t_2 is gelijk aan 1/4 + 1/16.
De schildpad is vervolgens 1/16 meter verplaatst.
Achilles loopt deze afstand in 1/64 van een seconde, en de schildpad zal weer zijn verplaatst.
Etcetera.
In feite duurt elke stap in het proces 
vier keer korter dan de vorige stap.
Hoe lang duurt het hele proces?
De totale tijd is gelijk aan ¼ + 1/16 + 1/64 + ...;
een berekening met oneindig veel termen!
Zo'n berekening wordt een reeks genoemd.
Omdat elke term 4 keer kleiner dan de vorige term is,
we kunnen het makkelijk schrijven met behulp van de sigma-notatie.
Wat is de waarde van deze reeks?
Zeno debatteert dat het oneindig is, 
omdat we oneindig veel getallen optellen.
Maar het gezond verstand zegt dat dit niet kan kloppen!

English: 
Then, the tortoise will have moved by a quarter
of a meter, so this is the new distance between them.
Achilles runs this new distance 
in 1/16 of a second, so t_2 equals 1/4 plus 1/16.
The tortoise then has moved by 1/16 of a meter.
Achilles runs this distance in 1/64 of a second,
and the tortoise will have moved again.
Etcetera.
In fact, each step in the process lasts 
four times shorter than the previous step.
How long does the whole process take?
The total time is equal to ¼ + 1/16 + 1/64 + …;
an expression with infinitely many terms!
Such an expression is called a series.
Since each term is 
4 times smaller than the previous term,
we can conveniently write it using the sigma-notation.
What is the value of this series?
Zeno argues that it is infinite, 
since we are adding infinitely many numbers.
But common sense says this cannot be right!

English: 
In fact, the terms should add up to exactly the time 
at which Achilles catches up with the tortoise:
t=1/3 second.
Who is right here?
The way to analyze this is as follows.
Consider the time elapsed after N steps.
This is a finite sum.
And it turns out that it can be compactly written
as (1/3) times (1 - (1/4^N)).
Now we simply take the limit of N to infinity,
and find that it equals 1/3.
So all steps together take 1/3 of a second to pass.
Our common sense was right, Zeno was wrong.
However, Zeno does have point:
adding infinitely many numbers may lead to infinity,
and can be very subtle in general.
Think of the sum 1+2+3+4+5+…
It keeps growing,
and will become infinitely large in the limit.
And what do you think of the following series?

Dutch: 
In feite moet de som van de termen precies overeenkomen met de tijd waarbij Achilles de schildpad inhaalt:
t = 1/3 seconde.
Wie heeft hier gelijk?
De manier om dit te analyseren is als volgt.
Bekijk de tijd die is verstreken na N stappen.
Dit is een eindige som.
En het blijkt dat het compact geschreven kan worden als (1/3) * (1 - (1/4 ^ N)).
Nu nemen we simpelweg de limiet van N naar oneindig,
en we zien dat het 1/3 is.
Dus alle stappen samen duren 1/3 seconde om in te halen.
Ons gezond verstand had gelijk, Zeno had ongelijk.
Zeno heeft echter wel een punt:
het optellen van oneindig veel getallen kan leiden tot oneindig,
en kan over het algemeen heel subtiel zijn.
Denk aan de som 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
Het blijft groeien en zal oneindig groot worden in de limiet.
En wat vind je van de volgende reeks?

English: 
The terms get smaller, 
but it turns out that this too grows infinitely large.
And sometimes it is even more subtle.
Think of the series 
with terms alternating between +1 and -1.
It is not clear how to associate a value to this.
In the lectures to come, we will give 
a solid mathematical basis to analyze series
and to find out how to attach a value to them.
Also, as we will see, 
there are many surprising applications.
More about that later!

Dutch: 
De termen worden kleiner, maar het blijkt dat ook dit oneindig groot wordt.
En soms is het nog subtieler.
Denk aan de reeks met termen afgewisseld tussen +1 en -1.
Het is niet duidelijk hoe hieraan een waarde moet worden gekoppeld.
In de komende colleges zullen we een solide wiskundige basis geven om reeksen te analyseren
en om erachter te komen hoe je er een waarde aan hecht.
Ook zullen we zien dat er veel verrassende toepassingen zijn.
Daarover later meer!
