
Bulgarian: 
Вече видяхме как да намираме
площта между кривата и оста х,
като използваме определен интеграл.
Сега ще разширим това
и ще разгледаме площ между криви.
Да кажем, че ни интересува
тази област
от x = a до х = b
между кривите у = f(х) и у = g(х).
Това ще бъде тази област
ето тук
От това, което вече знаем
за определените интеграли,
как можем да изчислим това?
Вероятно ти се струва естествено,
когато трябва да намерим
интеграл от а до b от f(х)dх,
че това ще ни даде цялата
площ между f(х) и над оста х.
И ако после извадя цялата
тази площ ето тук,

Korean: 
우리는 이미
정적분을 사용하여
한 곡선과 x축 사이의 넓이의 
개념에 대하여 다루었습니다
지금부터는 이것을
곡선 사이의 넓이로 확장해 볼 것입니다
그럼 한번
x=a부터 x=b까지
y=f(x)와 y=g(x)사이의 영역을 살펴봅시다
이것은 즉
바로 여기있는
영역이 되겠죠
여러분들이 정적분에 대하여
이미 알고있는 사실을 바탕으로
어떻게 이 넓이를 계산해보시겠습니까?
여러분들은 당연히 이렇게 말할것입니다
잘 보세요,
만약 a에서 b까지
f(x)dx를
적분을 취한다면
f(x)아래와
x축 위에있는
영역의 넓이를 알 수 있을겁니다
그리고 여기서 여기 보이는
넓이를 뺍니다

English: 
- [Instructor] We have already covered
the notion of area between
a curve and the x-axis
using a definite integral.
We are now going to then extend this
to think about the area between curves.
So let's say we care about the region
from x equals a to x equals b
between y equals f of x
and y is equal to g of x.
So that would be
this area right
over here.
So based on what you already know
about definite integrals,
how would you actually
try to calculate this?
Well one natural thing that you might say
is well look,
if I were to take the integral
from a to b
of f of x dx,
that would give me the entire area
below f of x
and above the x-axis.
And then if I were to subtract from that
this area right over here,

Bulgarian: 
която е равна на определен
интеграл от а до b от g(х)dx.
Тогава ще получим общата
площ, която ни интересува.
Ще получим ето тази площ.
Точно това ще се случи.
Знаем от свойствата на
интегрирането,
че можем да представим това
като интеграл от а до b от...
само ще поставя тук скоби...
от (f(х) минус g(х))dх.
И сега ще направя едно
твърдение,
за да ни стане още по-ясно
това, докато върви това видео,
но върху интеграл от a до b,
където f(х) е по-голямо от g(х),
например като в този интервал ето тук,
това винаги ще е вярно,
че площта между двете криви
ще е равна на интеграл
за интервала на х, който 
ни интересува, от а до b,
от f(х) минус g(х).
Знам какво си мислиш –

Korean: 
이 넓이는
a에서 b까지
g(x)dx를 정적분 취한 값이죠
그럼 제가 구하려고 했던
원래 부분의 넓이를 계산할 수 있죠
저는 여기 있는 넓이를 계산할 수 있고
이게 바로 구하려 했던 그 값이 됩니다
우리는 적분 경험을 통해
이것을
a부터 b까지
이부분에 소괄호를 치고
{f(x)-g(x)}dx
를 적분하는 것으로 바꿔 말할 수 있습니다
를 적분하는 것으로 바꿔 말할 수 있습니다
를 적분하는 것으로 바꿔 말할 수 있습니다
지금부터 몇 가지 질문을 살펴보며
여기에 대한 이해를 키워보도록 하겠습니다
이 동영상을 통해서 말이죠
하지만 여기있는 구간처럼
a부터 b에서
f(x)가 g(x)보다 큰 구간의 적분은
다음과 같은 경우가 됩니다
곡선사이의 넓이는
우리가 원하는 x구간인 a부터 b까지
f(x)-g(x)를
적분한 값이 됩니다
여러분들이 어떤 생각을 하고 있는지 압니다

English: 
which is equal to
that's the definite integral from a to b
of g of x dx.
Well then I would net out
with the original area
that I cared about.
I would net out with this
area right over here.
And that indeed would be the case.
And we know from our
integration properties
that we can rewrite this as
the integral from a to b
of, let me put some parentheses here,
of f of x
minus g of x,
minus g of x
dx.
And now I'll make a claim to you,
and we'll build a little
bit more intuition for this
as we go through this video,
but over an integral from a to b
where f of x is greater than g of x,
like this interval right over here,
this is always going to be the case,
that the area between the curves
is going to be the integral
for the x-interval that we
care about, from a to b,
of f of x minus g of x.
So I know what you're thinking,

Bulgarian: 
това може да е вярно, когато
и двете функции са над оста х,
но какво ще стане, когато
f(х) е над оста х, а g(х) е под нея?
Да кажем, че разглеждаме
този интервал ето тук.
Нека това да е точка с,
а това е х = с,
а тук х = d.
Ако искаме да изчислим
тази площ, която защриховам?
Сигурно се чудиш
дали това  важи и тук.
Да видим какъв
ще бъде интегралът
какво представлява интегралът
от с до d от f(х)dх.
Той ще представя тази площ
ето тук.
А какво ще представя интегралът
от с до d от g(х)dx?

English: 
you're like okay well that
worked when both of them
were above the x-axis,
but what about the case when f of x
is above the x-axis and g of x
is below the x-axis?
So for example,
let's say that we were to
think about this interval
right over here.
Let's say this is the point c,
and that's x equals c,
this is x equals d right over here.
So what if we wanted to calculate
this area that I am
shading in right over here?
You might say well does
this actually work?
Well let's think about now
what the integral,
let's think about what the integral
from c to d of f of x dx represents.
Well that would represent
this area right over here.
And what would the integral from c to d
of g of x dx represent?
Well you might say it is

Korean: 
여러분들은 두 곡선이 모두
x축 위에 있는 경우는 
잘 이해가 되셨을 겁니다
하지만 f(x)는 x축 위에 있고
g(x)는 x축 아래에 있는
경우는 어떨까요?
예를 들어서
여기 보이는 구간에 대해
생각해 봅시다
여기가 c점이라고 합시다
이건 즉 x=c입니다
여기는 x=d가 됩니다.
만약 우리가 제가 칠하고 있는
여기 이 영역을
계산하려면 어떻게 해야 할까요?
여기서도 적용이 될까 궁금하시죠?
여기서도 적용이 될까 궁금하시죠?
여기서도 적용이 될까 궁금하시죠?
c에서 d까지 f(x)dx의 적분이
무엇을 나타내는지 생각해봅시다
이것은 바로 여기있는 넓이를 나타냅니다
그렇다면 c부터 d까지 g(x)dx를
적분한 값은 무엇일까요?
여러분들은 아마

English: 
this area right over here,
but remember,
over this interval g of
x is below the x-axis.
So this would give you a negative value.
But if you wanted this total area,
what you could do is take this blue area,
which is positive,
and then subtract this negative area,
and so then you would get
the entire positive area.
Well this just amounted to,
this is equivalent to the integral
from c to d
of f of x,
of f of x minus g of x again,
minus g of x.
Let me make it clear, we've
got parentheses there,
and then we have our dx.
So once again,
even over this interval when one of,
when f of x was above the x-axis
and g of x was below the x-axis,
we it still boiled down to the same thing.
Well let's take another scenario.
Let's take the scenario when they are both
below the x-axis.

Bulgarian: 
Можем да кажем, че
е тази област ето тук,
но запомни, че в в този интервал
g(х) е под оста х.
Така че тук ще имаме
отрицателна стойност.
Ако търсим общата площ,
можеш да вземеш тази
област тук, която е в синьо,
тя е положителна,
и да извадиш от нея
тази отрицателна площ,
като така ще получиш
положителна площ.
Това е равно на интеграл
от с до d от f(х)
минус g(х).
Нека да поставя скоби,
а после имаме dх.
Повтарям,
дори в този интервал, когато
f(х) е над оста х,
а g(х) е под оста х,
отново имаме същото нещо.
Да видим друг случай.
Да видим случай, в който
и двете са под оста х.

Korean: 
여기 보이는 넓이가 될 것이라고
 생각하실 수 있는데
g(x)가 x축 아래에 있다는 사실을
기억해 두셔야 합니다
이것은 음의 값을 나타냅니다
하지만 여러분들이 전체 넓이를
구하고자 한다면
여러분들이 할 수 있는 것은
양의 값인 이 파란 영역의 넓이를 구하고
음의 값을 나타내는 영역의 넓이를
빼주는 것입니다
그러면 여러분들은 전체 양의 값의
넓이를 구하실 수 있습니다
이것은 즉
인테그랄
c부터 d까지
f(x)
마이너스
g(x)와 같습니다.
명확히 하자면 여기에 소괄호가 있고
dx를 적습니다
다시 한 번 말하자면
f(x)가 x축 위에 있고
g(x)는 x축 아래에 있는
구간에서도
핵심은 똑같습니다
다른 경우를 생각해봅시다
두 곡선 모두 x축 아래에 있는
경우를 생각해 봅시다

English: 
Let's say that we wanted to go from
x equals, well I won't
use e since that is a
loaded letter in mathematics,
and so is f and g.
Well let's just say well
I'm kinda of running
out of letters now.
Let's say that I am gonna go from
I don't know, let's just call this m,
and let's call this n right over here.
Well n is getting, let's
put n right over here.
So what I care about
is this area,
the area once again below f.
We're assuming that we're
looking at intervals
where f is greater than g,
so below f and greater than g.
Will it still amount to this with now
the endpoints being m and n?
Well let's think about it a little bit.
If we were to evaluate that integral
from m to n
of, I'll just put my dx here,
of f of x
minus,
minus g of x,

Bulgarian: 
Да кажем, че интервалът е
от х равно на...
няма  да използвам е, защото
то значи много неща в 
математиката, както и f, и g.
Изглежда свършват буквите.
Да кажем, че интервалът е от...
не знам, да вземем m,
а това тук нека да бъде n.
Тук ще бъде n.
Търсим тази площ,
която е под кривата f.
Да приемем, че интервалът
е такъв, където
f е по-голямо от g,
значи под f и над g.
Дали ще е равно на същото,
когато крайните точки са m и n?
Да помислим.
Ако можем да сметнем
интеграл от m до n...
ще сложа тук dх,
от f(х) минус g(х)

Korean: 
x는, e는 수학적으로 의미가 있는 문자이므로
사용하지 않겠습니다,
f와 g도 마찬가지군요
아무래도 지금 제가 쓸 수 있는
문자가 바닥난 듯 합니다
저는 지금부터
잘 모르겠군요, m이란 문자로 둡시다
여기 있는 건 n으로 두겠습니다
여기를 n으로 둡니다
제가 구하려 하는 것은
이 부분입니다
또 다시 f 밑에 있는 영역이죠
우리는 f가 g보다 큰 구간을
취하고 있습니다
즉 f보다 작고 g보다 큰 영역이죠
이 경우에도 끝점이
m과 n이 될까요?
약간 생각을 해봅시다
인테그랄
m부터 n까지
dx는 그냥 여기 적겠습니다
f(x)가 x축 위에 있고
마이너스
g(x)를 계산한다면

English: 
we already know from
our integral properties,
this is going to be equal to the integral
from m to n
of f of x dx
minus the integral
from m to n
of g of x dx.
Now let's think about what
each of these represent.
So this yellow integral right over here,
that would give
this the negative of this area.
So that would give a negative value here.
But the magnitude of it,
the absolute value of it,
would be this area right over there.
Now what would just the integral,
not even thinking about
the negative sign here,
what would the integral of this g of x
of this blue integral give?
Well that would give this the negative
of this entire area.
But now we're gonna take
the negative of that,
and so this part right over here,
this entire part including
this negative sign,
would give us,
would give us this entire area,

Korean: 
우린 이미 경험을 통해
이 값이 인테그랄
m부터 n까지
f(x)dx
빼기 인테그랄
m부터 n까지
g(x)dx라는 것을 알고 있습니다
각각이 무엇을 의미하는지 생각해 봅시다
여기있는 노란 영역의 적분은
이 영역의
음의 넓이를 나타냅니다
즉 이건 음의 값이 되겠죠
하지만 이 값의 크기는, 이 값의 절대값은
여기있는 영역의 넓이가 되겠죠
그럼 이 적분값은
여기있는 마이너스 부호를 무시한다면
이 파란 영역의
g(x)를 적분하면 어떤 값이 될까요?
이 값은 이 전체 영역의
음의 넓이를 나타냅니다
하지만 우리는 여기에 마이너스를 취할 것입니다
따라서 여기있는 부분은
마이너스 부호를 포함하는 전체 부분은
우리에게
전체 영역의 넓이를 알려줄 것입니다

Bulgarian: 
вече знаем от правилата
за интегриране,
че това е равно на интеграл
от m до n от f(х)dх
минус интеграл от m до n
от g(х)dх.
Да видим какво представлява
всяко едно от тези.
Този жълт интеграл тук,
това ще ни даде
тази отрицателна площ.
Това тук ще бъде 
отрицателна стойност.
Но големината ѝ, абсолютната
ѝ стойност,
ще бъде тази площ ето тук.
А какво е интегралът, като дори
ще пренебрегнем отрицателния знак,
интегралът от това g(х),
този син интеграл какво дава?
Това ще бъде цялата площ тук
със знак минус.
Значи ще вземем това със знак минус,
така че тази част ето тук,
цялата тази част заедно
с този отрицателен знак,
ще ни даде тази цялата площ,

English: 
the entire area.
This would actually give a positive value
because we're taking the
negative of a negative.
But if with the area that we care about
right over here, the area that
we cared about originally,
we would want to subtract
out this yellow area.
Well this right over here,
this yellow integral from,
the definite integral
from m to n of f of x dx,
that's exactly that.
That is the negative of that yellow area.
So if you add the blue area,
and so the negative of a
negative is gonna be positive,
and then this is going to be the negative
of the yellow area,
you would net out once again to the area
that we think about.
So in every case we saw,
if we're talking about an interval
where f of x is greater than g of x,
the area between the curves
is just the definite
integral over that interval
of f of x minus g of x dx.

Korean: 
전체 넓이 말이죠
이것은 우리가 마이너스 부호를 취했으므로
실제로 양의 값을 나타냅니다
하지만 우리가 구하려고 했던 바로 이 영역은
즉 우리가 원래 구하려고 했던 영역은
이 노란 영역을 빼야 합니다
여기 보이는
노란 영역을 적분하면
이것은 바로
인테그랄 m부터 n까지
f(x)dx가 됩니다
이것은 이 노란 영역의 넓이의 
음의 값을 나타냅니다
만약 파란 영역의 넓이를 더한다면
마이너스에 마이너스를 취하면
플러스가 되므로
이 노란 영역의 넓이의
음의 값이 됩니다
여러분들은 다시 한 번
구하고자하는 영역의 넓이를
계산했습니다
즉 우리가 살펴본 모든 경우에서
f(x)가 g(x)보다 큰
구간에서는
곡선사이의 넓이는
그 구간에서 f(x)-g(x)를
정적분을 취한 값이 됩니다
커넥트 번역 봉사단 | 장세일

Bulgarian: 
цялата площ тук.
Това ще стане положително,
защото вадим нещо 
с отрицателен знак.
Но ако тази площ тук,
която ни интересува,
тази, която първоначално
търсехме,
искаме да извадим
тази жълтата площ.
Значи това тук,
този жълт интеграл,
определеният интеграл 
от m до n от f(х)dх,
това е точно това тук.
Това е жълтата област
със отрицателен знак.
Така че, ако добавим
синята област,
минус отрицателно става плюс,
а после това ще бъде
отрицателното на жълтата област,
тогава ще получим площта,
която ни интересува.
Във всеки случай видяхме,
че ако говорим за интервал,
в който f(х) е по-голямо от g(х),
площта между кривите
е просто определен интеграл
в този интервал
от (f(х) – g(х))dх.
