
Spanish: 
Cuando por primera vez me enseñaron las series de Taylor, no aprecié su importancia.
Pero mucho tiempo después volvieron a aparecer en matemáticas,
física y muchos campos de la ingeniería porque
son una de las herramientas más potentes que
las matemáticas tienen para aproximar funciones.
Una de las primeras veces que esto hizo clic para mí siendo estudiante no fue en una clase de cálculo,
sino en una clase de física.
Estábamos estudiando un problema que tenía que
ver con la energía potencial de un péndulo,
y para eso necesitas una expresión de
la altura del peso del péndulo sobre su
punto más bajo, que resulta ser proporcional
a uno menos el coseno del ángulo entre
el péndulo y la vertical.
Los detalles del problema que estábamos tratando
para resolver están ahora de más.

Spanish: 
Cuando conocí las series de taylor definitivamente no pude apreciar cuan importantes
son. Pero con el tiempo iban apareciendo en matemática
física, y muchos campos de ingeniería porque son una de las más poderosas herramientas que
la matemática tiene  para aproximar funciones.
Una de las primeras veces que comprendí esto como estudiante no fue en una clase de cálculo
sino en una clase de física. Estabamos estudiando un problema relacionado con
el potencial de energía de un péndulo, y para eso nececitas una expresión de cuán
alto está la masa del pendulo respecto a su punto más bajo, que resulta ser proporcional
a 1-cos(theta), que es el ángulo entre el péndulo y la vertical.
Las especificaciones del problema que tratamos de resolver se salen del tema, pero sólo

German: 
Als ich zum ersten Mal von Taylor-Serien erfuhr,
Ich wusste definitiv nicht, wie wichtig es ist
Sie sind.
Aber immer wieder tauchen sie in Mathe auf,
Physik und viele Bereiche der Technik, weil
Sie sind eines der mächtigsten Werkzeuge, die
Mathematik hat zu bieten, um Funktionen zu approximieren.
Eines der ersten Male hat das für mich geklickt
als Schüler war nicht in einer Kalkülklasse,
aber in einem Physikunterricht.
Wir haben ein Problem untersucht, das es musste
mit der potentiellen Energie eines Pendels tun,
und dafür brauchst du einen Ausdruck dafür, wie
hoch ist das Gewicht des Pendels über seinem
niedrigster Punkt, der sich als proportional herausstellt
zu eins minus dem Kosinus des Winkels zwischen
das Pendel und die Vertikale.
Die Besonderheiten des Problems, das wir versucht haben
zu lösen sind hier jenseits des Punktes, aber ich werde

Polish: 
Gdy pierwszy raz usłyszałem o szeregach Taylor'a, nie doceniłem tego, jak bardzo są
one ważne. Co jakiś czas pojawiają się jednak w matematyce,
fizyce, i w wielu dziedzinach inżynierii, ponieważ są one jednymi z najpotężniejszych matematycznych
narzędzi do przybliżania funkcji.
Po raz pierwszy zrozumiałem to jako student nie na zajęciach analizy,
tylko na fizyce. Rozważaliśmy wtedy problem
liczenia energii potencjalnej wahadła. W tym celu potrzebowaliśmy wyrazić
jak wysoko jest wahadło ponad swoim najniższym położeniem.
Wartość ta (jak się okazuje) jest proporcjonalna
do jeden minus cosinus z kąta między wahadłem, a pionem.
Nie są istotne szczegóły tego problemu, ale

English: 
When I first learned about Taylor series,
I definitely didn’t appreciate how important
they are.
But time and time again they come up in math,
physics, and many fields of engineering because
they’re one of the most powerful tools that
math has to offer for approximating functions.
One of the first times this clicked for me
as a student was not in a calculus class,
but in a physics class.
We were studying some problem that had to
do with the potential energy of a pendulum,
and for that you need an expression for how
high the weight of the pendulum is above its
lowest point, which works out to be proportional
to one minus the cosine of the angle between
the pendulum and the vertical.
The specifics of the problem we were trying
to solve are beyond the point here, but I’ll

Hindi: 
जब मैंने पहली बार टेलर श्रृंखला के बारे में सीखा,
मैं निश्चित रूप से सराहना नहीं करता कि कितना महत्वपूर्ण है
वो हैं।
लेकिन समय और समय फिर वे गणित में आते हैं,
भौतिकी, और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों क्योंकि
वे सबसे शक्तिशाली उपकरण में से एक हैं
गणित को अनुमानित कार्यों के लिए प्रस्ताव देना है।
पहली बार यह मेरे लिए क्लिक किया गया
क्योंकि एक छात्र एक कैलकुस कक्षा में नहीं था,
लेकिन एक भौतिकी कक्षा में।
हम कुछ समस्या का अध्ययन कर रहे थे
एक पेंडुलम की संभावित ऊर्जा के साथ करो,
और इसके लिए आपको एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है कि कैसे
पेंडुलम का वजन उच्च से ऊपर है
सबसे निचला बिंदु, जो आनुपातिक होने के लिए काम करता है
कोण के बीच कोण के कोसिन से कम
लटकन और लंबवत।
हम जिस समस्या का प्रयास कर रहे थे उसके विनिर्देश
हल करने के लिए यहां बिंदु से परे हैं, लेकिन मैं करूँगा

French: 
« Pour moi, les mathématiques sont une série d'exemples ; un théorème est une déclaration à propos d'une série d'exemples et l'objectif de prouver des théorèmes est de classifier et d'expliquer des exemples. »
John B. Conway
Quand j'ai appris pour la première fois les séries de Taylor, Je n'ai certainement pas apprécié leur importance.
Mais maintes et maintes fois, elles apparaissent en mathématiques,
en physique, et dans de nombreux domaines de l'ingénierie, car c'est l'un des outils les plus puissants
que les mathématiques ont à offrir pour approximer les fonctions.
L'une des premières fois que le déclic s'est fait pour moi en tant qu'étudiant n'a pas été dans une classe d'analyse,
mais dans une classe de physique.
Nous étions en train d'étudier un problème qui a à voir avec
l'énergie potentielle d'un pendule, et pour cela vous avez besoin d'une expression de la hauteur
du poids du pendule au-dessus de son
point le plus bas, qui s'avère être proportionnelle
à un moins le cosinus de l'angle entre
le pendule et la verticale.
Les détails du problème que nous essayions de résoudre sont sans importance ici, mais je vais

Italian: 
Quando ho saputo della serie Taylor,
Sicuramente non ho apprezzato quanto siano importanti
Ma più e più volte vengono in matematica,
fisica, e molti campi dell'ingegneria perché
sono uno degli strumenti più potenti che
la matematica ha da offrire per le funzioni di approssimazione.
Una delle prime volte che ha cliccato per me
come uno studente non era in una classe di calcolo,
ma in una lezione di fisica.
Stavamo studiando alcuni problemi che dovevammo
fare con l'energia potenziale di un pendolo,
e per questo hai bisogno di un'espressione per quanto
alto il peso del pendolo è sopra il suo
punto più basso, che funziona per essere proporzionale
a uno meno il coseno dell'angolo tra
il pendolo e la verticale.
Le specifiche del problema che stavamo provando
per risolvere sono oltre il punto qui, ma lo farò

Spanish: 
diré que esta función coseno hizo el problema incómodo e inmanejable
Pero aproximando cos(theta) como 1-theta²/2, todo parece encajar
mucho más fácilmente. Si nunca habías visto algo como esto
antes, una aproximación como esta parece completamente fuera del jardín izquierdo (*analogía con el baseball*)
Si graficas cos(theta) junto con la función 1-theta²/2, parecen más cercanas
entre sí para ángulos pequeños cercanos al 0, pero ¿cómo se te ocurriría hacer una aproximación así?
Y cómo encontrarías esta cuadrática particular? El estudio de las series de Taylor es en gran parte sobre
tomar funciones no polinómicas, y encontrar polinomios que la aproximen cerca de
un valor de entrada (input). El motivo es que los polinomios tienden a ser
mucho más fáciles de tratar que otras funciones: son fáciles de calcular, fáciles de

Polish: 
chcę podkreślić, że cosinus czyni problem nieprzyjemnym i niewygodnym
i utrudniał zrozumienie, jak wahadło ma związek z innymi oscylującymi zjawiskami.
Jednak przybliżając cos(theta) jako 1-theta^2/2, wszystko stało się
dużo bardziej przejrzyste. Jeśli nigdy wcześniej czegoś takiego nie widziałeś,
przybliżenie tego typu może wydać się wzięte zupełnie znikąd.
Jeśli narysujesz wykres cos(theta) razem z funkcją 1-theta^2/2, wydają się być dość blisko siebie
dla kątów bliskich 0, ale w jaki sposób w ogóle myśleć, by wpaść na to przybliżenie?
I dlaczego jest to akurat ta parabola?
Szeregi Taylor'a są w rzeczy samej narzędziem do
znajdywania przybliżeń w postaciach wielomianowych dla nie-wielomianów.
Robi się to dlatego, że wielomiany są
najwygodniejszymi do obcowania funkcjami. Są łatwe do liczenia wartości, łatwo liczy się

German: 
Sagen Sie einfach, dass diese Kosinusfunktion die
Problem umständlich und unhandlich.
Aber durch Annäherung von cos (Theta) an 1 - Theta2 / 2,
ausgerechnet alles passte zusammen
viel leichter.
Wenn Sie so etwas noch nie gesehen haben
vorher könnte eine solche Annäherung scheinen
völlig außerhalb des linken Feldes.
Wenn Sie cos (Theta) zusammen mit dieser Funktion grafisch darstellen
1 - Theta2 / 2 scheinen sie ziemlich nahe zu sein
einander für kleine Winkel nahe 0, aber wie
Würden Sie überhaupt daran denken, diese Annäherung vorzunehmen?
Und wie würden Sie dieses besondere Quadrat finden?
Das Studium der Taylor-Reihen ist weitgehend über
nichtpolynomielle Funktionen übernehmen und finden
Polynome, die sie in der Nähe einiger annähern
Eingang.
Das Motiv ist, dass Polynome dazu neigen
viel einfacher zu handhaben als andere Funktionen:
Sie sind einfacher zu berechnen, leichter zu nehmen

English: 
just say that this cosine function made the
problem awkward and unwieldy.
But by approximating cos(theta) as 1 - theta2/2,
of all things, everything fell into place
much more easily.
If you’ve never seen anything like this
before, an approximation like that might seem
completely out of left field.
If you graph cos(theta) along with this function
1 - theta2/2, they do seem rather close to
each other for small angles near 0, but how
would you even think to make this approximation?
And how would you find this particular quadratic?
The study of Taylor series is largely about
taking non-polynomial functions, and finding
polynomials that approximate them near some
input.
The motive is that polynomials tend to be
much easier to deal with than other functions:
They’re easier to compute, easier to take

Hindi: 
बस कहें कि इस कोसाइन समारोह ने बनाया है
समस्या अजीब और अनावश्यक है।
लेकिन कोस (थेटा) को 1 - theta2 / 2 के रूप में अनुमानित करके,
सब कुछ, सब कुछ जगह में गिर गया
बहुत अधिक आसानी से।
यदि आपने कभी ऐसा कुछ नहीं देखा है
इससे पहले, ऐसा अनुमान लग सकता है
पूरी तरह से बाएं क्षेत्र से बाहर।
यदि आप इस समारोह के साथ cos (theta) ग्राफ करते हैं
1 - theta2 / 2, वे इसके करीब लगते हैं
0 के पास छोटे कोणों के लिए एक दूसरे, लेकिन कैसे
क्या आप इस सन्निकटन को भी सोचेंगे?
और आप यह विशेष वर्ग कैसे पाएंगे?
टेलर श्रृंखला का अध्ययन काफी हद तक है
गैर-बहुपद कार्यों को लेना, और खोजना
बहुपद जो कुछ के करीब अनुमान लगाते हैं
इनपुट।
उद्देश्य यह है कि बहुपद होते हैं
अन्य कार्यों की तुलना में निपटने के लिए बहुत आसान है:
उन्हें गणना करना आसान है, लेना आसान है

Italian: 
solo dire che questa funzione coseno ha reso il
problema scomodo e ingombrante.
Ma approssimando cos (theta) come 1 - theta2 / 2,
di tutte le cose, tutto è andato a posto
molto più facilmente.
Se non hai mai visto nulla di simile
prima, un'approssimazione come quella potrebbe sembrare
completamente fuori dal campo sinistro.
Se grafici cos (theta) insieme a questa funzione
1 - theta2 / 2, sembrano piuttosto vicini
l'un l'altro per piccoli angoli vicino a 0, ma come
penseresti anche a fare questa approssimazione?
E come troveresti questo particolare quadratico?
Lo studio della serie di Taylor è in gran parte su
prendere funzioni non polinomiali e trovare
polinomi che li approssimano vicino ad alcuni
ingresso.
Il motivo è che i polinomi tendono ad essere
molto più facile da gestire rispetto ad altre funzioni:
Sono più facili da calcolare, più facili da prendere

Spanish: 
Solo diré que esta función coseno hacía el
problema incómodo y difícil de manejar.
Pero al aproximar cos (theta) como 1 - theta² / 2, todo encajó en su lugar mucho más facil.
Si nunca has visto algo como esto antes,
una aproximación como esta podría parecer completamente fuera de lugar.
Si dibujamos la gráfica de cos (theta) junto con esta función 1 - theta² / 2, vemos que discurren muy cercanas
entre sí para pequeños ángulos, cercanos a 0.
Pero, ¿cómo se nos ocurre hacer esta aproximación?
¿Y cómo se encuentra esta particular función cuadrática?
El estudio de las series de Taylor trata en gran parte de
tomar funciones no polinómicas y encontrar polinomios que las aproximan en los alrededores de un punto dado.
El motivo es que los polinomios tienden a ser
mucho más fáciles de manejar que otras funciones:
fáciles de evaluar, de calcular sus derivadas,

French: 
juste dire que cette fonction cosinus rend le problème délicat et difficile à manier.
Et cela rendait moins claire la relation entre les pendules et d'autres phénomènes oscillatoires.
Mais en approximant cos(thêta) en 1 - thêta^2/2,
tout devient alors beaucoup plus facile. Si vous n'avez jamais vu quelque chose comme cela
avant, une approximation comme celle-ci pourrait vous paraître complètement hors de propos.
Pourtant, si vous tracez les graphiques de cos(thêta) ainsi que de la fonction 1 - thêta^2/2, elles semblent assez proches
l'une de l'autre pour les petits angles proche de 0. Mais comment penseriez-vous faire cette approximation ?
Et comment trouver ce polynôme du second degré ? L'étude des séries de Taylor, c'est en grande partie
prendre des fonctions non-polynomiales, et trouver des polynômes qui les approximent autour d'une certaine valeur.
La motivation étant que les polynômes ont tendances à être
beaucoup plus facile à traiter que d'autres fonctions : elles sont plus faciles à calculer, plus facile à

Polish: 
ich pochodne, całki... Są po prostu przyjazne.
Przyjrzyjmy się więc funkcji cos(x), i zastanówmy się przez moment w jaki sposób moglibyśmy znaleźć
parabolę o przybliżonych wartościach w otoczeniu x=0. Będzie to wielomian postaci
c0 + c1x + c2x^2 dla takich stałych c0, c1 i c2, które najlepiej przybliżają
cos(X) w otoczeniu x=0; aby wykresy tych funkcji nakładały się na siebie w tym miejscu.
Zacznijmy od tego, że dla x=0, cos(x)=1, więc aby nasze przybliżenie było
jak najlepsze, powinno także dawać 1 dla x=0.
P(0) daje wartość c0, więc ustalmy to na 1.
Nadal musimy zdecydować jakie ustalić c1 i c2 dla naszego przybliżenia

Hindi: 
डेरिवेटिव, एकीकृत करने के लिए आसान ... वे हैं
बस दोस्ताना चारों ओर।
तो आइए फंक्शन कॉस (एक्स), और देखें
इस बारे में सोचने के लिए एक पल लें कि आप कैसे हो सकते हैं
x = 0 के पास एक वर्गिक अनुमान प्राप्त करें।
यही वह बहुपद है जो दिखता है
स्थिरांक की कुछ पसंद के लिए c0 + c1x + c2x2
सी 0, सी 1 और सी 2, सबसे अधिक दिखने वाला एक ढूंढें
cos (x) x = 0 के पास; जिनके ग्राफ प्रकार के चम्मच
उस बिंदु पर कोस (एक्स) के ग्राफ के साथ।
खैर, सबसे पहले, इनपुट 0 मूल्य पर
कॉस (एक्स) 1 है, इसलिए यदि हमारा अनुमान है
किसी भी अच्छे होने जा रहा है, यह भी चाहिए
बराबर 1 जब आप 0 में प्लग करते हैं 0 में प्लगिंग
जो भी सी 0 है, उसके परिणामस्वरूप, हम कर सकते हैं
1 के बराबर सेट करें।
यह हमें स्थिर सी 1 चुनने के लिए स्वतंत्र छोड़ देता है
और सी 2 इस अनुमान को अच्छे के रूप में बनाने के लिए

German: 
Derivate, einfacher zu integrieren ... sie sind
einfach rundum freundlich.
Schauen wir uns also die Funktion cos (x) und an
Nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um darüber nachzudenken, wie Sie es könnten
finde eine quadratische Näherung in der Nähe von x = 0.
Das heißt, unter all den Polynomen, die aussehen
c0 + c1x + c2x2 für eine Auswahl der Konstanten
c0, c1 und c2 finden diejenige, die am ähnlichsten ist
cos (x) nahe x = 0; deren Grafik Art von Löffeln
mit dem Graphen von cos (x) an diesem Punkt.
Nun, zuallererst am Eingang 0 den Wert
von cos (x) ist 1, wenn also unsere Näherung ist
wird überhaupt gut sein, sollte es auch
gleich 1, wenn Sie 0 einstecken. Einstecken 0
führt nur zu dem, was c0 ist, also können wir
setze das gleich 1.
Dies lässt uns die Freiheit, die Konstante c1 zu wählen
und c2, um diese Annäherung so gut wie möglich zu machen

Spanish: 
tomar derivadas, fáciles de integrar... son muy amigables.
Así que tomemos un vistazo a la función cos(x), y tomate un momento para pensar sobre cómo podrías
encontrar una aproximación cuadrática cerca de x=0. Eso es, entre los polinomios que lucen
c0+c1x+c2x², para alguna elección de las constantes c0,c1 y c2, encontrar aquel que mejor se parezca a
cos(x) cerca de x=0; cuyo gráfico "cucharea" con el de cos(x) en ese punto.
Bien, antes que nada, en el valor de entrada 0 el valor de cos(x) es 1, así que si nuestra aproximación será
algo precisa, debería ser 1 cuando el valor de entrada es 0. En 0
será cualquier valor que sea c0, por lo que asignamos c0=1.
Esto nos da la libertad de elegir las constantes c1 y c2 para hacer la aproximación tan buena

Italian: 
derivati, più facili da integrare ... sono
semplicemente tutto amichevole.
Diamo un'occhiata alla funzione cos (x), e
Prenditi un momento per pensare a come potresti
trova un'approssimazione quadratica vicino a x = 0.
Cioè, tra tutti i polinomi che sembrano
c0 + c1x + c2x2 per alcune scelte delle costanti
c0, c1 e c2, trova quello che più assomiglia
cos (x) vicino a x = 0; il cui grafico è simile a cucchiai
con il grafico di cos (x) in quel punto.
Bene, prima di tutto, all'ingresso 0 il valore
di cos (x) è 1, quindi se la nostra approssimazione è
andrà bene, dovrebbe anche
uguale a 1 quando si inserisce 0. Inserimento 0
solo risultati in qualsiasi cosa c0, quindi possiamo
imposta quello uguale a 1.
Questo ci lascia liberi di scegliere costante c1
e c2 per rendere questa approssimazione buona

French: 
dériver, plus facile à intégrer... Globalement, elles sont beaucoup plus sympathiques.
Alors regardons la fonction cos(x), et
prenons un moment pour réfléchir à la façon dont vous pourriez
trouver une approximation quadratique près de x = 0. C'est-à-dire,  parmi tous les polynômes pouvant s'écrire comme
c0 + c1*x + c2*x^2 avec certaines constantes c0, c1 et c2, comment trouver celui qui ressemble le plus à
cos(x) au voisinage de x = 0 ; dont le graphique s'emboiterait avec le graphique de cos(x) en ce point.
Eh bien, tout d'abord, pour la valeur 0, cos(x) est égal à 1, donc si l'on souhaite que notre approximation
ait une quelconque valeur, elle devrait également valoir 1 quand on y met 0. Lorsque l'on met 0,
cela nous donne la valeur de c0. On la met donc égale à 1.
Cela nous laisse libre le choix des constantes c1 et c2 pour faire la meilleure des approximation possible.

English: 
derivatives, easier to integrate...they’re
just all around friendly.
So let’s look at the function cos(x), and
take a moment to think about how you might
find a quadratic approximation near x = 0.
That is, among all the polynomials that look
c0 + c1x + c2x2 for some choice of the constants
c0, c1 and c2, find the one that most resembles
cos(x) near x=0; whose graph kind of spoons
with the graph of cos(x) at that point.
Well, first of all, at the input 0 the value
of cos(x) is 1, so if our approximation is
going to be any good at all, it should also
equal 1 when you plug in 0. Plugging in 0
just results in whatever c0 is, so we can
set that equal to 1.
This leaves us free to choose constant c1
and c2 to make this approximation as good

Spanish: 
más sencillos de integrar...
todo con ellos es amistoso.
Veamos la función cos(x), y
tómate un momento para pensar cómo podrías
encontrar una aproximación cuadrática cerca de x = 0.
Es decir, entre todos los posibles polinomios de la forma
c0 + c1·x + c2·x² para alguna elección de las constantes
c0, c1 y c2, encontrar el que más se parece
a cos(x) cerca de x = 0; cuya gráfica es de tipo cuchara
con la gráfica de cos (x) en ese punto.
Bueno, antes que nada, en 0 el valor
de cos(x) es 1. De manera que si nuestra aproximación
queremos que sea buena, debería ser
igual a 1 cuando se evalúa en 0.
En el cero resulta que vale lo que sea c0.
Entonces podemos afirmar que c0 será igual a 1.
Esto nos deja libres para elegir constantes c1y c2 que hagan esta aproximación tan buena

Polish: 
ale nie zmienią one faktu, że wielomian ten ma wartość 1 dla x=0.
Dobrze by było dla naszego przybliżenia,
jeśli będzie mieć takie same nachylenie stycznej jak cos(x) w punkt zainteresowania.
W przeciwnym wypadku przybliżenie "uciekałoby" od wartości cos(x) zbyt szybko
Pochodną cosinusa jest minus sinus, który w punkcie x=0 jest równy 0. Oznacza to, że poziom wzrostu jest idealnie płaski.
Gdy policzymy pochodną z naszej paraboli
to widzimy c1 + 2*c2*x. W punkcie x=0 ma to więc wartość c1. Oznacza to, że to c1 decyduje
o wartości pochodnej z P(x) w pobliżu x=0. Ustalmy więc c1=0 a będziemy mieć pewność, że
nasze przybliżenie ma taki sam poziom wzrostu, co cos(x).

Italian: 
come possiamo, ma non faremo nulla per loro
cambia il fatto che il polinomio è uguale
1 a x = 0.
Sarebbe anche bello se la nostra approssimazione
aveva la stessa pendenza tangente di cos (x) a
questo punto di interesse Altrimenti, l'approssimazione
si allontana anche dal grafico del coseno
valore di x molto vicino a 0.
La derivata di cos (x) è -sin (x), e a
x = 0 uguale a 0, ovvero la sua linea tangente
è piatto.
Elaborando il derivato del nostro quadratico,
ottieni c1 + 2c2x. A x = 0 è uguale a qualunque cosa
scegliamo per c1. Quindi questa costante controlla c1
il derivato della nostra approssimazione in giro
x = 0. Impostandolo uguale a 0 garantisce che il nostro
l'approssimazione ha la stessa derivata di cos (x),
e quindi la stessa pendenza tangente.
Questo ci lascia liberi di cambiare c2, ma il
valore e pendenza del nostro polinomio in x = 0

Hindi: 
जैसा कि हम कर सकते हैं, लेकिन हम उनके साथ कुछ भी नहीं करेंगे
इस तथ्य को बदलें कि बहुपद बराबर है
एक्स = 0 पर 1।
अगर हमारा अनुमान भी अच्छा होगा
कोस (एक्स) के रूप में एक ही स्पर्शरेखा ढलान था
ब्याज के इस बिंदु। अन्यथा, अनुमान
कोसाइन ग्राफ से दूर भी दूर चला जाता है
एक्स के बहुत करीब 0 का मान।
कॉस (एक्स) का व्युत्पन्न -सिन (एक्स), और पर है
x = 0 जो 0 के बराबर है, जिसका अर्थ है टेंगेंट लाइन
सपाट है।
हमारे वर्ग के व्युत्पन्न कार्य करना,
आपको सी 1 + 2 सी 2 एक्स मिलता है। X = 0 पर जो भी बराबर है
हम सी 1 के लिए चुनते हैं। तो यह निरंतर सी 1 नियंत्रण
चारों ओर हमारे अनुमान के व्युत्पन्न
x = 0। इसे 0 के बराबर सेट करना सुनिश्चित करता है कि हमारा
अनुमान के रूप में cos (x) के समान व्युत्पन्न है,
और इसलिए एक ही स्पर्शक ढलान।
यह हमें सी 2 बदलने के लिए स्वतंत्र छोड़ देता है, लेकिन
एक्स = 0 पर हमारे बहुपद का मूल्य और ढलान हैं

Spanish: 
como podamos, pero nada que hagamos va a cambiar el hecho de que el polinomio vale
1 en x=0. También sería bueno si nuestra aproximación
tiene la misma pendiente que cos(x) en este punto de interés. De otra forma, la aproximación
se aleja del gráfico de coseno para valores de x muy cercanos a 0.
La derivada de cos(x) es -sen(x), y en x=0 es igual a 0, que significa que la línea tangente
es plana. Tomando la derivada de nuestra cuadrática,
obtenemos c1+2c2x. En x=0 es igual a cualquier valor de c1. Por lo que esta constante c1 controla
la derivada de nuestra aproximación alrededor de x=0. Si hacemos c1=0 nos aseguramos que nuestra
aproximación tenga la misma derivada que cos(x), y así la misma pendiente.
Esto nos deja libre de cambiar c2, pero el valor y pendiente de nuestro polinomio en x=0 están

German: 
wie wir können, aber nichts, was wir ihnen antun, wird es tun
Ändern Sie die Tatsache, dass das Polynom gleich ist
1 bei x = 0.
Es wäre auch gut, wenn unsere Annäherung
hatte die gleiche Tangentensteigung wie cos (x) bei
dieser Punkt von Interesse. Ansonsten die Annäherung
driftet sogar von der Kosinuskurve weg
Wert von x sehr nahe an 0.
Die Ableitung von cos (x) ist -sin (x) und at
x = 0, das gleich 0 ist, was seine Tangentenlinie bedeutet
ist flach.
Erarbeiten der Ableitung unseres quadratischen,
Sie erhalten c1 + 2c2x. Bei x = 0 ist das gleich was auch immer
wir wählen für c1. Diese Konstante c1 steuert also
die Ableitung unserer Annäherung um
x = 0. Wenn Sie es auf 0 setzen, wird sichergestellt, dass unsere
Approximation hat die gleiche Ableitung wie cos (x),
und damit die gleiche Tangentensteigung.
Dies lässt uns frei, c2 zu ändern, aber die
Wert und Steigung unseres Polynoms bei x = 0 sind

French: 
Mais rien de ce que l'on pourrait leur faire ne changera le fait que le polynôme est égal à 1 pour x=0.
Il serait également bien que notre approximation
ait la même tangente que cos(x) en ce point particulier. Autrement, l'approximation
dériverai loin de la courbe du cosinus de façon plus rapide qu'elle ne le devrait.
La dérivée de cos(x) est -sin(x), et en x=0, cela est égal à 0, ce qui signifie que la tangente est parfaitement plate.
En calculant la dérivée de notre second degré,
vous obtenez c1 + 2*c2*x. En x=0, cela est égal à la valeur de c1. Donc cette constante c1 contrôle complétement
la dérivée de notre approximation autour de x=0. La mettre à 0 nous assure que notre
approximation a la même dérivé que cos(x), et par conséquent la même tangente.
Cela nous laisse libre de changer c2, mais la valeur et la pente de notre polynôme en x=0 sont

Spanish: 
como podamos, pero nada de lo que les hagamos cambiará el hecho de que el polinomio
es igual a 1 cuando x = 0.
También sería bueno si nuestra aproximación
tuviera la misma pendiente de la recta tangente que cos(x) en este punto de interés.
De lo contrario, la aproximación se aleja del gráfico de coseno incluso para valores de x muy cercanos a 0.
La derivada de cos(x) es -sin(x), y en
x = 0 es igual a 0, lo que significa que su recta tangente
es completamente plana.
Calculando la derivada de nuestra función cuadrática
obtenemos c1 + 2·c2·x. En x = 0 esto es igual a lo que elegimos para c1. Entonces esta constante c1
controla la derivada de nuestra aproximación en torno
a x = 0. Haciéndolo igual a 0 aseguramos que nuestra
aproximación tiene la misma derivada que cos(x),
y de ahí la misma pendiente de la recta tangente.
Esto nos deja libres para cambiar c2, pero el valor
y la pendiente de nuestro polinomio en x = 0 están

English: 
as we can, but nothing we do to them will
change the fact that the polynomial equals
1 at x=0.
It would also be good if our approximation
had the same tangent slope as as cos(x) at
this point of interest. Otherwise, the approximation
drifts away from the cosine graph even fro
value of x very close to 0.
The derivative of cos(x) is -sin(x), and at
x=0 that equals 0, meaning its tangent line
is flat.
Working out the derivative of our quadratic,
you get c1 + 2c2x. At x=0 that equals whatever
we choose for c1. So this constant c1 controls
the derivative of our approximation around
x=0. Setting it equal to 0 ensures that our
approximation has the same derivative as cos(x),
and hence the same tangent slope.
This leaves us free to change c2, but the
value and slope of our polynomial at x=0 are

French: 
verrouillés de telle sorte à correspondre à celles de cos(x).
Le graphique de cosinus se courbe vers le bas pour x=0, elle a une dérivée seconde négative.
En d'autres termes, même si le taux de variation est de 0 en ce point, le taux de variation en lui-même
est décroissant autour de ce point.
Plus précisément, puisque sa dérivée est -sin(x)
sa dérivée seconde est -cos(x). Ainsi, en x = 0, sa dérivée seconde est égale à -1.
De la même manière que nous  souhaitions avoir la dérivée de notre approximation qui corresponde à celle du cosinus,
de telle sorte que leurs valeurs ne s’éloignent pas trop rapidement, en vous assurant que leurs
dérivées secondes correspondent, vous assurerez qu'elles se courberont à la même vitesse ; que la pente
de notre polynôme ne dérive pas loin de la pente de cos(x) plus rapidement que nécessaire.
A partir de la dérivée précédemment calculée,

Italian: 
bloccato in posizione per abbinare quello di cos (x).
Il grafico del coseno si curva verso il basso sopra x = 0,
ha una seconda derivata negativa. O in
altre parole, anche se il tasso di cambiamento
è 0 in quel punto, la velocità del cambiamento stesso
sta diminuendo intorno a quel punto.
Specificamente, poiché la sua derivata è -sin (x)
la sua seconda derivata è -cos (x), quindi a x = 0
la sua seconda derivata è -1.
Allo stesso modo in cui volevamo la derivata
della nostra approssimazione per abbinare quella del coseno,
in modo che i loro valori non si allontanassero
inutilmente rapidamente, assicurandosi che il loro
la seconda derivata corrisponderà a questo
si curvano allo stesso ritmo; che la pendenza
del nostro polinomio non si allontana
la pendenza di cos (x) più rapidamente di
ha bisogno di
Tirando fuori lo stesso derivato che avevamo prima,

Hindi: 
कोस (एक्स) से मेल खाने के लिए जगह में बंद कर दिया गया।
कोसाइन ग्राफ x = 0 से ऊपर की तरफ घुमाता है,
इसका नकारात्मक दूसरा व्युत्पन्न है। या अंदर
दूसरे शब्दों, भले ही परिवर्तन की दर
उस बिंदु पर 0 है, परिवर्तन की दर ही
उस बिंदु के आसपास घट रहा है।
विशेष रूप से, क्योंकि इसके व्युत्पन्न है -सिन (एक्स)
इसका दूसरा व्युत्पन्न -कोस (एक्स) है, इसलिए एक्स = 0 पर
इसका दूसरा व्युत्पन्न -1 है।
वैसे ही हम व्युत्पन्न चाहते थे
कोसाइन से मेल खाने के हमारे अनुमान के बारे में,
ताकि उनके मूल्य अलग नहीं हो जाएंगे
अनावश्यक रूप से जल्दी, यह सुनिश्चित कर लें कि उनका
दूसरा डेरिवेटिव मैच यह सुनिश्चित करेगा
वे एक ही दर पर वक्र; ढलान
हमारे बहुपद का से दूर नहीं जाता है
कॉस (एक्स) की ढलान से कहीं अधिक जल्दी
इसे करने की जरूरत है
हमारे पास पहले से ही वही व्युत्पन्न निकालना था,

Polish: 
Został nam jeszcze c2. Ale wartość i poziom zmiany naszego wielomianu w punkcie x=0 pasują już do cos(x).
 
Ostatnią rzeczą jaką weźmiemy pod uwagę będzie fakt, że cos(x) wygina się w dół przy x=0, ma ujemną drugą pochodną.
Innymi słowy, mimo tego, że tempo zmiany w tym punkcie wynosi zero, samo w sobie
Jest malejące w pobliżu tego punktu. W szczególności, jako że jego pochodna to -sin(x),
to jego drugą pochodną jest -cos(x), więc dla x=0 druga pochodna wynosi -1.
W taki sam sposób jak chcieliśmy, aby pochodna naszego przybliżenia pasowała do tej z cosinusa,
aby ich wartości nie rozjechały się za szybko, dopasowanie ich drugich
drugich pochodnych sprawi, że będą przekrzywiać się w tym samym tempie; że nachylenie
naszego wielomianu nie rozjedzie się z nachyleniem cos(x) ani trochę szybciej, niż potrzeba.
Wyciągając tą pochodną którą mieliśmy wcześniej i

English: 
locked in place to match that of cos(x).
The cosine graph curves downward above x=0,
it has a negative second derivative. Or in
other words, even though the rate of change
is 0 at that point, the rate of change itself
is decreasing around that point.
Specifically, since its derivative is -sin(x)
its second derivative is -cos(x), so at x=0
its second derivative is -1.
In the same way that we wanted the derivative
of our approximation to match that of cosine,
so that their values wouldn’t drift apart
needlessly quickly, making sure that their
second derivatives match will ensure that
they curve at the same rate; that the slope
of our polynomial doesn’t drift away from
the slope of cos(x) any more quickly than
it needs to.
Pulling out that same derivative we had before,

Spanish: 
bloqueados en el lugar para coincidir con cos(x)
El gráfico de coseno se curva hacia abajo sobre x=0, tiene una segunda derivada negativa. O en
otras palabras, aunque la razón de cambo es 0 en ese punto, la razón de cambio en sí misma
está decreciendo alrededor de ese punto. Específicamente, ya que la derivada es -sen(x)
su segunda derivada es -cos(x), así que es x=0 su segunda derivada es -1
De la misma forma que queríamos que la derivada de nuestra aproximación coincidiera con la del coseno,
para que sus valores no se alejaran innecesariamente rápido, asegurandonos que sus
segundas derivadas coincidieran y se curvaran con el mismo ritmo; que la tangente
a nuestro polinomio no se aleja de la tangente a cos(x) más rapidamente de lo que
debería.Tomando la misma derivada que teníamos,

German: 
verriegelt, um mit dem von cos (x) übereinzustimmen.
Das Kosinusdiagramm ist oberhalb von x = 0 nach unten gekrümmt.
es hat eine negative zweite Ableitung. Oder in
mit anderen Worten, obwohl die Änderungsrate
ist zu diesem Zeitpunkt 0, die Änderungsrate selbst
nimmt um diesen Punkt ab.
Insbesondere, da seine Ableitung -sin (x) ist
seine zweite Ableitung ist -cos (x), also bei x = 0
seine zweite Ableitung ist -1.
Genauso wie wir das Derivat wollten
unserer Annäherung an die von Cosinus,
damit ihre Werte nicht auseinander driften
unnötig schnell, um sicherzustellen, dass ihre
Die Übereinstimmung der zweiten Ableitungen wird dies sicherstellen
sie krümmen sich mit der gleichen Geschwindigkeit; dass die Steigung
von unserem Polynom driftet nicht weg
die Steigung von cos (x) nicht schneller als
es muss.
Ziehen Sie das gleiche Derivat heraus, das wir vorher hatten,

Spanish: 
bloqueados en su lugar para que
 coincidan con el de cos(x).
El gráfico del coseno se curva hacia abajo en x = 0,
tiene una segunda derivada negativa.
O en otras palabras: aunque la tasa de cambio
es 0 en ese punto, la tasa de cambio en sí misma
disminuye alrededor de ese punto.
Específicamente, dado que su derivada es -sin(x)
su segunda derivada es -cos(x), entonces en x = 0
su segunda derivada es -1.
De la misma manera que queríamos que la derivada
de nuestra aproximación coincidiera con la del coseno
para que sus valores no se separen
innecesariamente rápido, asegurándose de que
coincida la segunda derivada se obliga a que
se curven a la misma velocidad;
que la pendiente de nuestro polinomio no se aleje de
la pendiente de cos(x) más rápido
de lo necesario.
Extrayendo la misma derivada que teníamos antes,

French: 
en prenant sa dérivée, nous observons que la dérivée seconde de ce polynôme est exactement 2*c2.
Donc pour s'assurer que cette dérivée seconde soit égale à -1 pour x=0, 2*c2 doit être égale à -1,
ce qui signifie que c2 lui-même doit être -½. Cela nous donne l'approximation 1 + 0*x - ½*x^2.
Pour avoir une idée d'à quel point cette approximation est bonne, si l'on estime cos(0,1) avec ce polynôme, vous devriez
on obtient 0,995. Et cela est la véritable valeur de cos(0,1). C'est donc très bonne approximation.
Prenez un moment pour réfléchir à ce qui vient de se passer. Vous aviez trois degrés de liberté pour une approximation de degrés 2 :
les constantes c0, c1 et c2. c0 était responsable de faire en sorte que la
valeur de sortie de l'approximation corresponde à celle de cos(x) en x=0, c1 était chargé de faire en sorte

Italian: 
poi prendendo la sua derivata, vediamo che il
la seconda derivata di questo polinomio è esattamente
2c2, in modo da assicurarsi questa seconda derivata
eguaglia anche -1 a x = 0, 2c2 deve essere uguale a -1,
il significato di c2 stesso deve essere -½.
Questo ci dà l'approssimazione 1 + 0x - ½
x2.
Per avere un'idea di quanto è buono, se tu
stimato cos (0,1) con questo polinomio, lo faresti
ottieni 0.995. E questo è il vero valore di cos (0.1).
È davvero una buona approssimazione.
Prenditi un momento per riflettere su quello che è appena successo.
Hai avuto tre gradi di libertà con un quadratico
approssimazione, le costanti c0, c1 e c2.
c0 era responsabile di assicurarsi che il
l'output dell'approssimazione corrisponde a quello di
cos (x) a x = 0, c1 era responsabile della creazione

Polish: 
licząc jej pochodną widzimy, że druga pochodna tego wielomianu to dokładnie 2*c2.
Aby ta druga pochodna także była równa -1 w punkcie x=0, 2*c2 muszą wynosić -1.
Co znaczy, że c2 samo w sobie musi wynosić -½.
Biorąc wszystko pod uwagę zostaje nam równanie:
1 + 0x + (-½)x^2
Żeby poczuć jak dobre jest to przybliżenie powiedzmy, że chcemy nim przybliżyć wartość cos(0,1)
Dostaniemy wartość 0,995
A to jest bardzo bliska wartość prawdziwego cos(0,1).
To naprawdę dobre przybliżenie.
Pomyślmy chwilę nad tym, co właśnie się stało.
Mieliśmy 3 wartości do dostosowania: c0, c1 i c2. c0 było odpowiedzialne, aby

English: 
then taking its derivative, we see that the
second derivative of this polynomial is exactly
2c2, so to make sure this second derivative
also equals -1 at x=0, 2c2 must equal -1,
meaning c2 itself has to be -½.
This gives us the approximation 1 + 0x - ½
x2.
To get a feel for how good this is, if you
estimated cos(0.1) with this polynomial, you’d
get 0.995. And this is the true value of cos(0.1).
It’s a really good approximation.
Take a moment to reflect on what just happened.
You had three degrees of freedom with a quadratic
approximation, the constants c0, c1, and c2.
c0 was responsible for making sure that the
output of the approximation matches that of
cos(x) at x=0, c1 was in charge of making

Spanish: 
y tomando su derivada, podemos ver que la segunda derivada de esta polinomio es exactamente
2*c2, ahora para asegurarnos que esta segunda derivada tambien equivale a -1 en x=0 2*c2 = -1
por lo que c2 tiene que ser -½ esto no deja la aproximación 1+0x-½x^2
 
Y para compreobar que tan bueno es esto, si tu estimas cos(0.1) con este polinomio, deberias
conseguir 0.995. Y este es el valor real de cos(0.1)!!. Esta es una realmente buena aproximación.
Piensa un momento acerca de lo que acaba de  pasar. Tienes tres grados de libertad con una aproximación
cuadratica, las constantes c0, c1, y c2. c0 fue responsable de asegurar que la
imagen de la aproximación concuerde con cos(x) en x=0, c1 estuvo encargado de asegurar

German: 
dann nehmen wir seine Ableitung, wir sehen, dass die
Die zweite Ableitung dieses Polynoms ist genau
2c2, um diese zweite Ableitung sicherzustellen
ist auch gleich -1 bei x = 0, 2c2 muss gleich -1 sein,
was bedeutet, dass c2 selbst -½ sein muss.
Dies gibt uns die Näherung 1 + 0x - ½
x2.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie gut das ist, wenn Sie
geschätzte cos (0.1) mit diesem Polynom, würden Sie
0,995 erhalten. Und das ist der wahre Wert von cos (0.1).
Es ist eine wirklich gute Annäherung.
Nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um darüber nachzudenken, was gerade passiert ist.
Sie hatten drei Freiheitsgrade mit einem Quadrat
Approximation sind die Konstanten c0, c1 und c2.
c0 war dafür verantwortlich, dass die
Die Ausgabe der Näherung entspricht der von
cos (x) bei x = 0 war c1 für die Herstellung verantwortlich

Hindi: 
फिर इसके व्युत्पन्न लेते हुए, हम देखते हैं कि
इस बहुपद का दूसरा व्युत्पन्न बिल्कुल है
2 सी 2, तो यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह दूसरा व्युत्पन्न है
x = 0 पर भी बराबर है, 2 सी 2 बराबर -1 होना चाहिए,
जिसका अर्थ है सी 2 स्वयं ही होना चाहिए।
यह हमें अनुमान 1 + 0x - ½ देता है
x2।
यह महसूस करने के लिए कि यह कितना अच्छा है, अगर आप
इस बहुपद के साथ अनुमानित कॉस (0.1), आप चाहते हैं
0.9 9 5 प्राप्त करें। और यह कॉस (0.1) का सही मूल्य है।
यह वास्तव में एक अच्छा अनुमान है।
अभी क्या हुआ पर प्रतिबिंबित करने के लिए एक पल लें।
आपके पास एक वर्ग के साथ तीन डिग्री आजादी थी
अनुमान, स्थिरांक सी 0, सी 1, और सी 2।
सी 0 यह सुनिश्चित करने के लिए ज़िम्मेदार था कि
अनुमानित मैचों का उत्पादन
x = 0 पर cos (x), c1 बनाने का प्रभारी था

Spanish: 
luego tomando su derivada, vemos que la segunda derivada de este polinomio es exactamente 2·c2.
Para asegurarse de que esta segunda derivada
también es igual a -1 en x = 0, 2·c2 debe ser igual a -1,
lo que significa que c2 tiene que ser -½.
Esto nos da la aproximación 1 + 0·x - ½·x²
 
Para hacerse una idea de lo bueno que es esto, si estimamos cos(0.1) con este polinomio
obtenemos 0.995.
Y este es el verdadero valor de cos(0.1).
Es una muy buena aproximación.
Tómemos un momento para reflexionar sobre lo que acaba de suceder.
Teníamos tres grados de libertad para una aproximación cuadrática,
las constantes c0, c1 y c2.
c0 fue responsable de asegurarse de que
el resultado de la aproximación coincida con el cos(x) en x = 0.

Hindi: 
सुनिश्चित करें कि उस बिंदु पर डेरिवेटिव मैच,
और सी 2 सुनिश्चित करने के लिए जिम्मेदार था
दूसरा डेरिवेटिव मैच अप।
यह सुनिश्चित करता है कि आपका अनुमान किस तरह से है
जैसे ही आप x = 0 से दूर जाते हैं, और बदलते हैं
जिस तरह से परिवर्तन की दर में परिवर्तन होता है,
कोस (एक्स) के व्यवहार के लिए जितना संभव हो उतना ही है,
आपके पास नियंत्रण की मात्रा दी गई है।
आप अनुमति देकर खुद को अधिक नियंत्रण दे सकते हैं
आपके बहुपद, और मिलान में अधिक शर्तें
कॉस (एक्स) के उच्च आदेश डेरिवेटिव्स।
उदाहरण के लिए, कुछ के लिए c3x3 शब्द जोड़ें
निरंतर सी 3।
यदि आप एक घन के तीसरे व्युत्पन्न लेते हैं
बहुपद, कुछ वर्ग या छोटे
0 पर जाता है।
उस अंतिम अवधि के लिए, तीन पुनरावृत्तियों के बाद
पावर नियम का यह 1 * 2 * 3 * सी 3 जैसा दिखता है।

Italian: 
sicuro che i derivati ​​coincidano a quel punto,
e c2 era responsabile per assicurarsi che il
secondi derivati ​​si combinano.
Questo assicura il modo in cui la tua approssimazione
cambia man mano che ti allontani da x = 0, e il
modo in cui cambia la velocità del cambiamento stesso,
è il più simile possibile al comportamento di cos (x),
data la quantità di controllo che hai.
Potresti darti più controllo permettendo
più termini nel polinomio e corrispondenza
derivate di ordine superiore di cos (x).
Ad esempio, aggiungi il termine c3x3 per alcuni
costante c3.
Se prendi la terza derivata di un cubo
polinomiale, qualsiasi cosa quadratica o più piccola
va a 0.
Per quanto riguarda quest'ultimo termine, dopo tre iterazioni
della regola di alimentazione sembra 1 * 2 * 3 * c3.

Spanish: 
que las derivadas concordasen en ese punto, y c2  fue responsable de asegurar que
las segundas derivadas concordaran. Esto asegura que la forma en la que tu aproximanción
cambia a mendida que se aleja de  x=0, y la forma en que la razon de cambio cambia,
es tan similar como se pueda al comportamineto de cos(x), dandote el control que tienes
Puedes tener más control poniendo más terminos en tu polinomio, e igualando
derivadas de orden superior de cos(x). Por ejemplo, añade el temino c3*x^3 para alguna
constante c3. Si tomas la tercera derivada de un polinomio
cúbico, todo lo que sea cuadrático o menor se va a 0.
Y como el útimo termino, depues de tres iteraciones de la regla de exponentes queda 1*2*3*c3

Spanish: 
c1 se encargó de que las derivadas coincidan en ese punto.
Y c2 fue responsable de asegurarse de que las segundas derivadas coincidan.
Esto asegura que la forma en que su aproximación
cambia a medida que se aleja de x = 0, y la
manera en que la propia tasa de cambio varía,
es lo más similar posible al comportamiento de cos(x),
dada la cantidad de control que tenemos.
Podríamos darnos más control al permitir
más términos en el polinomio y la coincidencia
de derivadas de orden superior de cos(x).
Por ejemplo, agreguemos el término c3·x³
para alguna constante c3.
Si tomas la tercera derivada de un polinomio cúbico,
todo término cuadrático o más pequeño
se va a 0.
En cuanto a ese último término, después de tres iteraciones de la regla de las potencias
se ve como 1 · 2 · 3 · c3.

French: 
que les dérivés correspondent en ce point, et c2 était responsable d'assurer que
les dérivées secondes correspondent.
Cela garantit que la façon dont votre approximation
varie quand vous vous éloignez de x=0, et la façon dont le taux de variation lui même varie,
est aussi similaire que possible au comportement de cos(x), compte tenu de la maîtrise que vous avez.
Vous pourriez vous donner plus de contrôle en ajoutant plus de termes dans votre polynôme, et faire correspondre
des dérivées d'ordre supérieur de cos(x). Par exemple, ajouter le terme c3*x^3 avec c3 constant.
Dans ce cas, si vous prenez la dérivée troisième d'un polynôme de degrés 3,
tout ce qui est de degrés inférieur ou égal à 2 s’annule.
Quant au dernier terme, après trois itérations de la règle des puissances, il ressemble à 1*2*3*c3.

English: 
sure the derivatives match at that point,
and c2 was responsible for making sure the
second derivatives match up.
This ensures that the way your approximation
changes as you move away from x=0, and the
way that the rate of change itself changes,
is as similar as possible to behavior of cos(x),
given the amount of control you have.
You could give yourself more control by allowing
more terms in your polynomial, and matching
higher order derivatives of cos(x).
For example, add on the term c3x3 for some
constant c3.
If you take the third derivative of a cubic
polynomial, anything quadratic or smaller
goes to 0.
As for that last term, after three iterations
of the power rule it looks like 1*2*3*c3.

Polish: 
wartości przybliżenia i cos(x) w punkcie x=0 były takie same. c1 dba o to, aby pochodne obu funkcji się zgadzały,
natomiast obowiązkiem c2 jest, aby drugie pochodne do siebie pasowały.
To zapewnia nam, że poziom zmian wartości wielomianu P(x)
w otoczeniu x=0 jest mniej więcej taki sam jak dla funkcji cos(x).
Możemy znaleźć lepsze przybliżenia używając większej ilości współczynników
i dopasowując je za pomocą kolejnych pochodnych. Na przykład, dodajmy współczynnik c3x^3 dla
jakiejś stałej c3.
Gdy weźmiemy trzecią pochodną funkcji
wszystko, co jest w kwadracie lub mniejszym stopniu zeruje się.
I tak jak ostatnio, po trzykrotnym użyciu zasady potęgi wygląda to jak: 1*2*3*c3.

German: 
sicher, dass die Derivate an diesem Punkt übereinstimmen,
und c2 war dafür verantwortlich, dass die
zweite Ableitungen stimmen überein.
Dies stellt sicher, dass die Art und Weise Ihrer Annäherung
ändert sich, wenn Sie sich von x = 0 entfernen, und die
wie sich die Änderungsrate selbst ändert,
ist dem Verhalten von cos (x) so ähnlich wie möglich,
angesichts der Kontrolle, die Sie haben.
Sie könnten sich mehr Kontrolle geben, indem Sie zulassen
Weitere Begriffe in Ihrem Polynom und Matching
Ableitungen höherer Ordnung von cos (x).
Fügen Sie beispielsweise für einige den Begriff c3x3 hinzu
Konstante c3.
Wenn Sie die dritte Ableitung einer Kubik nehmen
Polynom, alles quadratisch oder kleiner
geht auf 0.
Wie für das letzte Semester nach drei Iterationen
der Potenzregel sieht es aus wie 1 * 2 * 3 * c3.

Spanish: 
En el otro lado, la tercera derivada de cos(x) es sen(x), lo que es igual a 0 en x=0, entonces
para hacer que las terceras derivadas coincidan, la tercera derivada  debe ser 0.
En otras palabras, no solo es 1 -½*x2 es la mejor aproximación cuadrática de cos(x)
alrededor de x=0, tambien es la mejor aproximación cúbica
Incluso puedes hacer una mejora añadiendo un cuarto termino, c4*x^4. La cuarta derivada
de cos(x) es sí misma (cos(x)), que es 1 en x=0. Y ¿Cúal es la cuarta derivada de nuestro
polinomio con este nuevo termino? Bueno, cuando continúas aplicando la regla del exponente una y
otra vez, con todos esos exponentes pasando a multiplicar te queda 1*2*3*4*c4 lo que es
24*c4 por lo que si queremos igualar a la cuarta derivada

Italian: 
D'altra parte, la terza derivata di
cos (x) è sin (x), che equivale a 0 a x = 0, quindi
per far coincidere le terze derivate, la costante
c3 dovrebbe essere 0.
In altre parole, non solo è 1 - ½ x2 il
migliore approssimazione quadratica possibile di cos (x)
intorno a x = 0, è anche il migliore possibile
approssimazione cubica.
In realtà puoi apportare un miglioramento aggiungendo
un quarto mandato, c4x4. La quarta derivata
di cos (x) è sé stesso, che equivale a 1 a x = 0.
E qual è il quarto derivato del nostro
polinomio con questo nuovo termine? Bene, quando
continui ad applicare la regola di potere sopra e
finita, con quegli esponenti che saltano giù tutti
davanti, si finisce con 1 * 2 * 3 * 4 * c4, che è
24c4
Quindi se vogliamo che questo corrisponda alla quarta derivata

French: 
D'autre part, la dérivée troisième de
cos(x) est sin(x), qui est égal à 0 en x=0,
donc pour que les dérivées troisièmes correspondent, la constante c3 devrait être égal à 0.
Autrement dit, non seulement 1 - ½*x^2 est la meilleure approximation quadratique possible de cos(x)
autour de x=0, elle est aussi la meilleure approximation cubique possible.
Vous pouvez néanmoins faire une amélioration en ajoutant un terme du quatrième ordre, c4*x^4. La dérivée quatrième
de cos(x) est elle-même, qui est égal à 1 en x=0. Et qu'est-ce que la dérivée quatrième de notre
polynôme avec ce nouveau terme ? Eh bien, quand vous continuez à appliquer la règle des puissances encore et encore,
avec les exposants diminuant à chaque fois, on se retrouve avec 1*2*3*4*c4, qui est 24*c4.
Donc, si nous voulons que cela corresponde à la dérivée quatrième

Spanish: 
Por otro lado, la tercera derivada de
cos(x) es sin(x), que es igual a 0 en x = 0,
por lo que para hacer coincidir las terceras derivadas
la constante c3 debería ser 0.
En otras palabras, no solo es 1 - ½ x²
la mejor aproximación cuadrática posible de cos(x)
alrededor de x = 0, también es la
mejor aproximación cúbica.
En realidad se puede mejorar agregando
un término de cuarto orden, c4·x⁴.
La cuarta derivada de cos(x) es él mismo, que vale 1 para x = 0.
Y, ¿cuál es la cuarta derivada de nuestro polinomio con este nuevo término?
Bien, cuando sigues aplicando la regla de las potencias una y otra vez,
con esos exponentes todos saltando
al frente, terminas con 1 · 2 · 3 · 4 · c4,
que es 24·c4. Entonces, si queremos que esto
coincida con la cuarta derivada de cos(x),

German: 
Andererseits ist die dritte Ableitung von
cos (x) ist sin (x), was bei x = 0 gleich 0 ist
Damit die dritten Ableitungen übereinstimmen, ist die Konstante
c3 sollte 0 sein.
Mit anderen Worten, nicht nur 1 - ½ x2 ist die
bestmögliche quadratische Approximation von cos (x)
um x = 0 ist es auch das bestmögliche
kubische Näherung.
Sie können tatsächlich eine Verbesserung vornehmen, indem Sie hinzufügen
ein Term vierter Ordnung, c4x4. Die vierte Ableitung
von cos (x) ist selbst, was bei x = 0 gleich 1 ist.
Und was ist die vierte Ableitung von uns
Polynom mit diesem neuen Begriff? Na gut, wann dann
Sie wenden die Potenzregel weiterhin über und an
vorbei, mit diesen Exponenten, die alle hüpfen
Vorne erhalten Sie 1 * 2 * 3 * 4 * c4
24c4
Wenn wir also wollen, dass dies mit der vierten Ableitung übereinstimmt

Polish: 
Z drugiej strony, trzecia pochodna cos(x) to sin(x), który wynosi 0 dla x=0.
Więc aby trzecie pochodne się zgadzały, stała c3 powinna wynosić 0.
Innymi słowy, 1 - ½x^2 jest nie tyle najlepszym parabolicznym przybliżeniem cos(x)
w pobliżu x=0, jest również najlepszym przybliżeniem stopnia trzeciego.
W zasadzie możesz wprowadzić poprawkę dodając wyraz czwartego rzędu, c4*x^4. Czwarta pochodna
Czwartą pochodną cos(x) jest on sam i wynosi 1 dla x=0.
A co jest czwartą pochodną naszego wielomianu z nowym współczynnikiem?
Różniczkując ponownie potęgę, wykładniki wychodzą przed zmienną i zostaje nam w rezultacie 1*2*3*4*c4
,czyli 24*c4. Jeśli chcemy dopasować to do czwartej pochodnej

Hindi: 
दूसरी तरफ, तीसरा व्युत्पन्न
कॉस (एक्स) पाप (एक्स) है, जो एक्स = 0 पर 0 के बराबर है, इसलिए
तीसरे डेरिवेटिव मैच, निरंतर बनाने के लिए
सी 3 होना चाहिए 0।
दूसरे शब्दों में, न केवल 1 - ½ x2 है
कॉस (x) का सर्वोत्तम संभव वर्गिक अनुमान
लगभग x = 0, यह भी सबसे अच्छा संभव है
क्यूबिक अनुमान।
आप वास्तव में जोड़कर एक सुधार कर सकते हैं
चौथा आदेश शब्द, सी 4 एक्स 4। चौथा व्युत्पन्न
कॉस (एक्स) का ही है, जो एक्स = 0 पर 1 बराबर है।
और हमारे चौथे व्युत्पन्न क्या है
इस नए शब्द के साथ बहुपद? ठीक है, कब
आप पावर नियम को लागू करते रहेंगे और
खत्म हो गया, उन घाटियों के साथ सभी hopping नीचे
सामने, आप 1 * 2 * 3 * 4 * सी 4 के साथ समाप्त होते हैं, जो है
24c4
तो अगर हम चौथे व्युत्पन्न से मेल खाना चाहते हैं

English: 
On the other hand, the third derivative of
cos(x) is sin(x), which equals 0 at x=0, so
to make the third derivatives match, the constant
c3 should be 0.
In other words, not only is 1 - ½ x2 the
best possible quadratic approximation of cos(x)
around x=0, it’s also the best possible
cubic approximation.
You can actually make an improvement by adding
a fourth order term, c4x4. The fourth derivative
of cos(x) is itself, which equals 1 at x=0.
And what’s the fourth derivative of our
polynomial with this new term? Well, when
you keep applying the power rule over and
over, with those exponents all hopping down
front, you end up with 1*2*3*4*c4, which is
24c4
So if we want this to match the fourth derivative

English: 
of cos(x), which is 1, c4 must be 1/24.
And indeed, the polynomial 1 - ½ x2 + 1/24
x4, which looks like this, is a very close
approximation for cos(x) around x = 0.
In any physics problem involving the cosine
of some small angle, for example, predictions
would be almost unnoticeably different if
you substituted this polynomial for cos(x).
Now, step back and notice a few things about
this process.
First, factorial terms naturally come up in
this process.
When you take n derivatives of xn, letting
the power rule just keep cascading, what you’re
left with is 1*2*3 and on up to n.
So you don’t simply set the coefficients
of the polynomial equal to whatever derivative
value you want, you have to divide by the

Polish: 
cos(x), która wynosi 1, c4 musi wynosić 1/24. I w rzeczy samej, wielomian 1 - ½*x^2 + 1/24*x^4
Który tak właśnie wygląda, jest bardzo dokładnym przybliżeniem cos(x) w pobliżu x=0.
W każdym problemie fizycznym wymagającym policzenia cosinusa małego kąta
błąd przybliżenia jest praktycznie niezauważalny przy zastępowaniu cos(x) tym przybliżeniem.
Cofnijmy się na chwilę i zauważmy kilka ciekawych kwestii.
Po pierwsze, silnia pojawia się w tym procesie niezwykle naturalnie.
Gdy liczymy n-tą pochodną z x^n, używając zasady różniczkowania potęgi, mnożymy kolejne wykładniki
i zostaje nam po prostu 1*2*3*... aż do n. Więc nie ustawiasz jedynie współczynników
wielomianu na dowolną pochodną jaką chcesz, musisz jeszcze podzielić przez

French: 
de cos(x), qui est 1, c4 doit être égal à 1/24. Et en effet, le polynôme 1 - ½*x^2 + 1/24*x^4
qui ressemble à ceci, est une très proche approximation de cos(x) autour de x=0.
En tout problème de physique impliquant le cosinus d'un angle petit, par exemple, les prévisions
serait presque imperceptiblement différente si vous remplacez cos(x) par ce polynôme.
Maintenant, retour en arrière : notez quelques petites choses sur ce processus.
Tout d'abord, les termes factoriels apparaissent naturellement dans ce processus.
Lorsque vous appliquez n fois la dérivée de x^n, la cascade due à la règle des puissance vous laisse juste
avec 1*2*3 et ainsi de suite jusqu'à n.
Donc, vous ne définissez pas simplement les coefficients
du polynôme comme étant égaux aux valeurs des dérivées souhaités, vous avez à diviser par

Spanish: 
de cos(x), el cual es 1, c4 debe ser 1/24. Y en consecuencia, el polinomio 1 - ½ x2 + 1/24*x^4
, el cual se ve así, es una aproximación muy cercana de cos(x) alrededor de x=0
en cualquier problema de física que incluya coseno de un ángulo pequeño, por ejemplo, las predicciones
serán casi indiferenciables si se sustituye este polinomio por cos(x).
Ahora vuelvan y noten un par de cosas acerca de este método.
Primero, los factoriales aparecen naturalmente en este proceso
cuando tomas n derivadas de x^n, dejando que los exponentes bajen, lo que te
quedará será 1*2*3... hasta n.  Entonces no igualas los coeficientes del polinomio simplemente
al valor de la derivada que quieres, tienes que dividir por

Hindi: 
कॉस (एक्स) का, जो 1 है, सी 4 1/24 होना चाहिए।
और वास्तव में, बहुपद 1 - ½ x2 + 1/24
एक्स 4, जो इस तरह दिखता है, बहुत करीब है
x = 0 के आसपास cos (x) के लिए अनुमान।
कोसाइन से जुड़े किसी भी भौतिकी समस्या में
कुछ छोटे कोण, उदाहरण के लिए, भविष्यवाणियां
अगर लगभग अनजाने में अलग होगा
आपने cos (x) के लिए इस बहुपद को प्रतिस्थापित किया है।
अब, पीछे कदम और कुछ चीजों के बारे में नोटिस
यह प्रोसेस।
सबसे पहले, फैक्टोरियल शब्द स्वाभाविक रूप से अंदर आते हैं
यह प्रोसेस।
जब आप एक्सएन के एन डेरिवेटिव लेते हैं, तो दे रहे हैं
पावर नियम केवल कैस्केडिंग रखता है, आप क्या हैं
1 * 2 * 3 के साथ छोड़ दिया गया है और एन तक।
तो आप बस गुणांक सेट नहीं करते हैं
जो भी व्युत्पन्न के बराबर बहुपद का है
जो मूल्य आप चाहते हैं, आपको इसे विभाजित करना होगा

Spanish: 
que es 1, c4 debe ser 1/24.
Y de hecho, el polinomio 1 - ½ x² + 1/24· x⁴
es una aproximación muy cercana de
cos(x) alrededor de x = 0.
En cualquier problema de física que, por ejemplo,  involucre el coseno de algún ángulo pequeño,
las predicciones serían casi imperceptiblemente diferentes si se sustituye cos(x) por este polinomio.
Ahora da un paso atrás y observa algunas
cosas de este proceso.
En primer lugar, los términos factoriales aparecen
de forma natural en este proceso.
Cuando tomas n derivadas sucesivas de x^n, aplicando en cascada la regla de las potencias
lo que queda es 1 · 2 · 3... y así hasta n.
Entonces simplemente ponemos los coeficientes
del polinomio igual a la derivada del 
valor que se desea,  dividida por
el factorial apropiado para cancelar este efecto.

German: 
von cos (x), das 1 ist, muss c4 1/24 sein.
Und tatsächlich ist das Polynom 1 - ½ x2 + 1/24
x4, das so aussieht, ist sehr nah
Näherung für cos (x) um x = 0.
Bei jedem physikalischen Problem mit dem Kosinus
von einem kleinen Winkel, zum Beispiel Vorhersagen
wäre fast unmerklich anders, wenn
Sie haben cos (x) durch dieses Polynom ersetzt.
Treten Sie jetzt zurück und beachten Sie einige Dinge
dieser Prozess.
Erstens tauchen natürlich faktorielle Begriffe auf
dieser Prozess.
Wenn Sie n Ableitungen von xn nehmen, lassen Sie
Die Potenzregel kaskadiert einfach weiter, was du bist
links mit ist 1 * 2 * 3 und weiter bis zu n.
Sie stellen also nicht einfach die Koeffizienten ein
des Polynoms gleich der Ableitung
Wert, den Sie wollen, müssen Sie durch die teilen

Italian: 
di cos (x), che è 1, c4 deve essere 1/24.
E infatti, il polinomio 1 - ½ x2 + 1/24
x4, che assomiglia a questo, è molto vicino
approssimazione per cos (x) attorno a x = 0.
In qualsiasi problema di fisica che coinvolge il coseno
di qualche piccolo angolo, ad esempio, previsioni
sarebbe quasi inosservabilmente diverso se
hai sostituito questo polinomio per cos (x).
Ora, fai un passo indietro e nota alcune cose
questo processo.
Innanzitutto, i termini fattoriali entrano naturalmente in gioco
questo processo.
Quando prendi n derivati ​​da xn, lasciando
la regola di potere continua a cascata, quello che sei
lasciato con è 1 * 2 * 3 e fino a n.
Quindi non imposti semplicemente i coefficienti
del polinomio uguale a qualsiasi derivata
valore che vuoi, devi dividere per il

Spanish: 
el factorial acecuado para cancelar su efecto. Por ejemplo, el coeficiente x4 es la cuarta
derivada del coseno 1, dividido por 4 factorial, 24.
La segunda cosa a notar es que añadiendo nuevos terminos, como este c4*x^4
 
 
 
 
 
 
 

Hindi: 
इस प्रभाव को रद्द करने के लिए उपयुक्त फैक्टरियल।
उदाहरण के लिए, वह एक्स 4 गुणांक चौथा है
कोसाइन का व्युत्पन्न, 1, 4 फैक्टोरियल द्वारा विभाजित,
24।
ध्यान देने योग्य दूसरी बात यह है कि जोड़ना
नए शब्द, इस सी 4x4 की तरह, गड़बड़ नहीं है
क्या पुराने शब्द होना चाहिए, और वह है
जरूरी।
उदाहरण के लिए, इसका दूसरा व्युत्पन्न
x = 0 पर बहुपद अभी भी 2 गुना बराबर है
दूसरा गुणांक, शुरू करने के बाद भी
बहुपद के लिए उच्च आदेश शर्तें।
और ऐसा इसलिए है क्योंकि हम x = 0 में प्लगिंग कर रहे हैं,
तो किसी भी उच्च आदेश का दूसरा व्युत्पन्न
शर्तें, जिनमें सभी एक एक्स शामिल हैं, धो लेंगे।
वही अन्य व्युत्पन्न के लिए जाता है, जो
यही कारण है कि एक बहुपद का व्युत्पन्न
x = 0 को एक और केवल एक गुणांक द्वारा नियंत्रित किया जाता है।
यदि इसके बजाय आप एक के करीब अनुमान लगा रहे थे
0 के अलावा इनपुट, जैसे x = pi, क्रम में

German: 
geeignete Fakultät, um diesen Effekt aufzuheben.
Zum Beispiel ist dieser x4-Koeffizient der vierte
Ableitung von Cosinus, 1, geteilt durch 4 Fakultäten,
24.
Das zweite, was zu bemerken ist, ist das Hinzufügen
Neue Begriffe wie dieser c4x4 bringen nichts durcheinander
up was alte Begriffe sein sollten, und das ist
wichtig.
Zum Beispiel die zweite Ableitung davon
Polynom bei x = 0 ist immer noch gleich 2 mal
der zweite Koeffizient, auch nach der Einführung
Terme höherer Ordnung zum Polynom.
Und es ist, weil wir x = 0 einstecken,
also die zweite Ableitung einer höheren Ordnung
Begriffe, die alle ein x enthalten, werden weggespült.
Gleiches gilt für jedes andere Derivat, das
ist deshalb jede Ableitung eines Polynoms bei
x = 0 wird durch einen und nur einen Koeffizienten gesteuert.
Wenn Sie sich stattdessen in der Nähe eines näherten
andere Eingabe als 0, wie x = pi, um

Spanish: 
Por ejemplo, ese coeficiente x⁴ es la cuarta derivada de coseno, 1,
dividida por 4 factorial, 24.
Lo segundo a resaltar es que agregar
nuevos términos, como este c4·x⁴,
no trastoca los términos anteriores.
Y eso es realmente importante.
Por ejemplo, la segunda derivada de este
polinomio en x = 0 es igual a 2 veces
el segundo coeficiente, incluso después de la
introducción de términos de orden superior al polinomio.
Y es porque estamos conectando con x = 0,
por lo que la segunda derivada de cualquier término de orden superior,
que incluyen una x, desaparecerá.
Lo mismo ocurre con cualquier otra derivada,
que es porque cada derivada de un polinomio en
x = 0 está controlada por uno y solo un coeficiente.
Si, en cambio, estuvieras aproximando cerca de un
punto diferente de 0, como x = pi,

Polish: 
odpowiednią silnię aby zlikwidować ten efekt. Na przykład, współczynnik przy x^4 to
czwarta pochodna cosinusa, 1, ale podzielona przez 4 silnia, czyli 24
Drugą sprawą jest to, że dodawanie nowych współczynników nie psuje efektów działania starych, co jest ważne.
Na przykład, drugą pochodną tego wielomianu w punkcie x=0 nadal jest
drugi współczynnik, nawet mimo dodawania wyrazów wyższego rzędu.
To dlatego, że podstawiamy x=0, więc druga pochodna wyższych wyrazów,
które wszystkie zawierają x, zerują się. To samo odnosi się do każdej innej pochodnej, dzięki czemu
każda pochodna w x=0 kontrolowana jest przez jeden i tylko jeden współczynnik.
Jeśli będziesz przybliżać funkcję w otoczeniu innym niż 0, jak x=π, aby uzyskać ten sam efekt

English: 
appropriate factorial to cancel out this effect.
For example, that x4 coefficient is the fourth
derivative of cosine, 1, divided by 4 factorial,
24.
The second thing to notice is that adding
new terms, like this c4x4, doesn’t mess
up what old terms should be, and that’s
important.
For example, the second derivative of this
polynomial at x = 0 is still equal to 2 times
the second coefficient, even after introducing
higher order terms to the polynomial.
And it’s because we’re plugging in x=0,
so the second derivative of any higher order
terms, which all include an x, will wash away.
The same goes for any other derivative, which
is why each derivative of a polynomial at
x=0 is controlled by one and only one coefficient.
If instead you were approximating near an
input other than 0, like x=pi, in order to

Italian: 
appropriato fattoriale per cancellare questo effetto.
Ad esempio, quel coefficiente x4 è il quarto
derivata di coseno, 1, divisa per 4 fattoriale,
24.
La seconda cosa da notare è l'aggiunta
nuovi termini, come questo c4x4, non pasticciano
su quali vecchi termini dovrebbero essere, e questo è
importante.
Ad esempio, la seconda derivata di questo
il polinomio a x = 0 è ancora uguale a 2 volte
il secondo coefficiente, anche dopo l'introduzione
termini di ordine superiore al polinomio.
Ed è perché stiamo collegando x = 0,
quindi la seconda derivata di qualsiasi ordine superiore
i termini, che includono tutti una x, verranno eliminati.
Lo stesso vale per qualsiasi altro derivato, che
è il motivo per cui ogni derivato di un polinomio a
x = 0 è controllato da uno e solo un coefficiente.
Se invece stavi approssimando vicino a un
input diverso da 0, come x = pi, al fine di

French: 
la factorielle appropriée pour annuler cet effet. Par exemple, le coefficient de x^4 est la dérivée quatrième
de cosinus, 1, divisé par 4 factoriel, 24.
La deuxième chose à noter est que l'ajout de nouveaux termes, comme ce c4*x^4, ne perturbe pas
la valeur des anciens termes, et c'est très important.
Par exemple, la dérivée seconde de ce polynôme en x=0 est toujours égal à 2 fois
le second coefficient, même après l'introduction de termes de plus haut degrés au polynôme.
Et c'est parce que nous y mettons x=0,
de sorte que la dérivée seconde de tous termes d'ordre supérieur,
qui tous comprennent un x, vont se voir balayé. La même chose vaut pour toute autre dérivée,
ce qui est la raison pour laquelle chaque dérivée d'un polynôme en x=0 dépend uniquement d'une seul coefficient.
Si, au lieu de cela, vous souhaitiez approximer une fonction près d'un point autre que 0, comme x=pi,

German: 
erhalten Sie den gleichen Effekt, den Sie schreiben müssten
Ihr Polynom in Bezug auf Potenzen von (x - pi),
oder was auch immer Sie suchen.
Dies macht es deutlich komplizierter aussehen,
aber alles, was es tut, ist den Punkt pi zu machen
sehen aus wie 0, so dass das Einstecken von x = pi wird
führen zu vielen schönen Stornierungen, die verlassen
nur eine Konstante.
Und schließlich auf einer philosophischeren Ebene:
Beachten Sie, wie das, was wir hier tun, im Wesentlichen ist
Informationen über die höhere Ordnung nehmen
Ableitungen einer Funktion an einem einzelnen Punkt,
und es in Informationen über übersetzen
der Wert dieser Funktion in der Nähe dieses Punktes.
Wir können so viele Ableitungen von cos (x) nehmen
wie wir wollen, folgt es diesem schönen zyklischen Muster
cos (x), -sin (x), -cos (x), sin (x) und wiederholen.
Der Wert dieser Ableitung von x = 0 hat also

Spanish: 
para obtener el mismo efecto se tendría que escribir
el polinomio en términos de potencias de (x - pi),
o cualquier punto que estés considerando.
Esto hace que se vea notablemente más complicado,
pero todo lo que hace es hacer que el punto pi
se parezca a 0, de modo que enchufar x = pi
resultará en una gran cantidad de cancelaciones
que dejan solo una constante.
Y finalmente, en un nivel más filosófico, observa que lo que estamos haciendo aquí es esencialmente
tomar información sobre las derivadas de orden
superior de una función en un solo punto,
y traducirlo en información sobre el 
valor de esa función cerca de ese punto.
Podemos tomar tantas derivadas de cos(x) como queramos, que siguen este lindo patrón cíclico
cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x) y vuelta a empezar.

Italian: 
ottieni lo stesso effetto che dovresti scrivere
il tuo polinomio in termini di poteri di (x - pi),
o qualunque input tu stia guardando.
Questo lo fa apparire notevolmente più complicato,
ma tutto ciò che sta facendo è rendere il punto pi
assomiglia a 0, in modo che collegando x = pi lo farà
il risultato è un bel annullamento che lascia
solo una costante
E infine, a un livello più filosofico,
nota come ciò che stiamo facendo qui è essenzialmente
prendere informazioni sull'ordine superiore
derivati ​​di una funzione in un singolo punto,
e traducendolo in informazioni su
il valore di quella funzione vicino a quel punto.
Possiamo prendere il maggior numero di derivati ​​di cos (x)
come vogliamo, segue questo bel modello ciclico
cos (x), -sin (x), -cos (x), sin (x), e ripeti.
Quindi il valore di queste derivate di x = 0 ha

French: 
afin d'obtenir le même effet, vous auriez dû écrire votre polynôme en terme de puissances de (x-pi),
ou n’importe laquelle des entrées souhaitées. Cela apparaît comme plus compliqué,
mais tout ce cela fait est de rendre le point pi similaire à 0, de sorte que mettre x=pi
entraîne beaucoup de belles annulations qui ne laissent qu'une seule constante.
Enfin, sur un plan plus philosophique,
remarquez que ce que nous faisons ici est essentiellement
prendre des informations sur les dérivées d'ordre supérieures de la fonction en un unique point,
et traduire cela en informations sur la valeur de cette fonction à proximité de ce point.
Nous pouvons prendre autant de dérivés de cos(x) que l'on veut, cela suit ce jolie motif cyclique :
cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), et ainsi de suite. Donc la valeur de la dérivée en x=0 possède

Polish: 
musiałbyś zapisać swój wielomian jako potęgi (x-π),
lub innego argumentu, którym się zajmujesz. To czyni rzeczy zauważalnie trudniejszymi,
ale chodzi jedynie o to, by π wyglądało jak zero, żeby podstawienie x=π
skutkowało ładnym skróceniem i zostawieniem jednego współczynnika.
I w końcu, na bardziej filozoficznym poziomie, zauważ, że to co robimy jest w zasadzie
czerpaniem informacji o pochodnych wyższego rzędu funkcji w jednym punkcie
i tłumaczenie ich na informację o wartości funkcji w pobliżu tego punktu.
Możemy brać tyle pochodnych cos(x), ile chcemy, podlegają one ładnemu cyklicznemu wzorowi:
cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x) i od nowa. Tak więc wartości pochodnych w x=0

English: 
get the same effect you would have to write
your polynomial in terms of powers of (x - pi),
or whatever input you’re looking at.
This makes it look notably more complicated,
but all it’s doing is making the point pi
look like 0, so that plugging in x = pi will
result in a lot of nice cancelation that leaves
only one constant.
And finally, on a more philosophical level,
notice how what we’re doing here is essentially
taking information about the higher order
derivatives of a function at a single point,
and translating it into information about
the value of that function near that point.
We can take as many derivatives of cos(x)
as we want, it follows this nice cyclic pattern
cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), and repeat.
So the value of these derivative of x=0 have

Hindi: 
वही प्रभाव प्राप्त करें जो आपको लिखना होगा
(x - pi) की शक्तियों के संदर्भ में आपका बहुपद,
या जो भी इनपुट आप देख रहे हैं।
यह इसे विशेष रूप से अधिक जटिल लग रहा है,
लेकिन यह सब कुछ कर रहा है बिंदु पीआई बना रहा है
0 की तरह दिखें, ताकि x = pi में प्लगिंग हो
परिणामस्वरूप बहुत अच्छी रद्द हो जाती है
केवल एक स्थिर।
और अंत में, एक और दार्शनिक स्तर पर,
ध्यान दें कि हम यहां क्या कर रहे हैं अनिवार्य रूप से
उच्च आदेश के बारे में जानकारी लेना
एक बिंदु पर एक समारोह के डेरिवेटिव,
और इसके बारे में जानकारी में अनुवाद
उस बिंदु के पास उस समारोह का मूल्य।
हम कॉस (एक्स) के कई डेरिवेटिव ले सकते हैं
जैसा कि हम चाहते हैं, यह इस अच्छा चक्रीय पैटर्न का पालन करता है
कॉस (एक्स), -सिन (एक्स), -कोस (एक्स), पाप (एक्स), और दोहराना।
तो एक्स = 0 के इन व्युत्पन्न का मूल्य है

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

French: 
aussi un motif cyclique 1, 0, -1, 0, et ainsi de suite. Et connaître les valeurs de toutes ces dérivées d'ordres supérieurs
correspond à beaucoup d'informations sur cos(x), même si elle n'implique de regarder
en une seule entrée, x=0. Cette information est mise à profit pour obtenir une approximation
autour de cette entrée en créant un polynôme dont les dérivées d'ordre supérieur sont conçues pour correspondre avec
celles de cos(x), suivant le même motif cyclique 1, 0, -1, 0.
Pour ce faire, faites en sorte que chaque coefficient de ce polynôme suive le même motif, mais divisez
chacun d'eux par la factorielle appropriée, comme mentionné plus tôt, de façon à annuler
les effets de cascade de l'application multiple de la loi des puissances. Les polynômes que vous obtenez en arrêtant ce processus
en n'importe quel point sont appelés « polynômes de Taylor » pour cos(x) autour de l'entrée x=0.
De manière plus générale, et donc plus abstraire, si nous avions affaire à une autre fonction

German: 
das zyklische Muster 1, 0, -1, 0 und wiederholen.
Und die Werte all jener höheren Ordnung zu kennen
Derivate ist eine Menge Informationen über
cos (x), obwohl es nur um das Einstecken ging
in einer einzelnen Eingabe ist x = 0.
Diese Informationen werden genutzt, um eine Annäherung zu erhalten
um diese Eingabe herum, indem ein Polynom erstellt wird
deren Ableitungen höherer Ordnung mit übereinstimmen
die von cos (x) nach derselben 1, 0,
-1, 0 zyklisches Muster.
Machen Sie dazu jeden Koeffizienten daraus
Polynome folgen demselben Muster, teilen sich jedoch
jeder durch die entsprechende Fakultät, wie
Ich habe bereits erwähnt, um das aufzuheben
Kaskadeneffekte vieler Stromregelanwendungen.
Die Polynome, die Sie erhalten, wenn Sie diesen Prozess stoppen
zu jedem Zeitpunkt werden "Taylor-Polynome" genannt
für cos (x) um den Eingang x = 0.
Allgemeiner und damit abstrakter
wenn wir es mit einer anderen Funktion zu tun hätten

Hindi: 
चक्रीय पैटर्न 1, 0, -1, 0, और दोहराना।
और उन सभी उच्च आदेशों के मूल्यों को जानना
डेरिवेटिव्स के बारे में बहुत सारी जानकारी है
कॉस (एक्स), भले ही इसमें केवल प्लगिंग शामिल है
एक इनपुट में, x = 0।
अनुमान लगाने के लिए वह जानकारी लीवरेज की गई है
एक बहुपद बनाकर इस इनपुट के आसपास
जिनके उच्च आदेश डेरिवेटिव्स के साथ मेल खाते हैं
कॉस (एक्स) के, इस 1, 0 के बाद,
-1, 0 चक्रीय पैटर्न।
ऐसा करने के लिए, इस के प्रत्येक गुणांक बनाओ
बहुपद इस समान पैटर्न का पालन करें, लेकिन विभाजित करें
प्रत्येक एक उपयुक्त फैक्टोरियल, जैसे
मैंने पहले उल्लेख किया था, ताकि रद्द कर दिया जा सके
कई पावर नियम अनुप्रयोगों के कैस्केडिंग प्रभाव।
इस प्रक्रिया को रोककर आपको प्राप्त बहुपद
किसी भी बिंदु पर "टेलर बहुपद" कहा जाता है
इनपुट x = 0 के आसपास cos (x) के लिए।
अधिक आम तौर पर, और इसलिए अधिक संक्षेप में,
अगर हम कुछ समारोह के साथ काम कर रहे थे

Italian: 
il modello ciclico 1, 0, -1, 0 e ripetizione.
E conoscendo i valori di tutti quelli di ordine superiore
i derivati ​​sono molte informazioni su
cos (x), anche se riguardava solo il collegamento
in un singolo input, x = 0.
Questa informazione è sfruttata per ottenere un'approssimazione
attorno a questo input creando un polinomio
i cui derivati ​​di ordine superiore, combaciano con
quelli di cos (x), seguendo questo stesso 1, 0,
-1, 0 modello ciclico.
Per fare ciò, fai ogni coefficiente di questo
il polinomio segue questo stesso schema, ma divide
ciascuno con l'appropriato fattoriale, come
Ho menzionato prima, in modo da cancellare il
effetti a cascata di molte applicazioni di regole di potenza.
I polinomi che ottieni interrompendo questo processo
in qualsiasi punto sono chiamati "polinomi di Taylor"
per cos (x) attorno all'ingresso x = 0.
Più in generale, e quindi in modo più astratto,
se avessimo a che fare con qualche altra funzione

English: 
the cyclic pattern 1, 0, -1, 0, and repeat.
And knowing the values of all those higher-order
derivatives is a lot of information about
cos(x), even though it only involved plugging
in a single input, x=0.
That information is leveraged to get an approximation
around this input by creating a polynomial
whose higher order derivatives, match up with
those of cos(x), following this same 1, 0,
-1, 0 cyclic pattern.
To do that, make each coefficient of this
polynomial follow this same pattern, but divide
each one by the appropriate factorial, like
I mentioned before, so as to cancel out the
cascading effects of many power rule applications.
The polynomials you get by stopping this process
at any point are called “Taylor polynomials”
for cos(x) around the input x=0.
More generally, and hence more abstractly,
if we were dealing with some function other

Spanish: 
Entonces el valor de estas derivadas en x = 0 tiene el patrón cíclico 1, 0, -1, 0 y así sucesivamente.
Y conocer los valores de todas las derivadas de orden superior es tener mucha información sobre cos(x),
aunque solo impliquen a un solo punto, x = 0.
Esa información se aprovecha para obtener una aproximación
alrededor de este punto mediante la creación de un
polinomio diseñado para que sus derivadas de orden superior
coincidan con las de cos(x), siguiendo este mismo patrón cíclico 1, 0, -1, 0...
Para hacer eso, hacemos que los coeficientes de este
polinomio sigan este mismo patrón,
pero dividiendo cada uno por el factorial apropiado,
como mencionamos antes,
para cancelar el efecto de cascada de aplicar sucesivamente la regla de las potencias.
Los polinomios que obtienes al detener este proceso en algún momento se llaman "polinomios de Taylor"
del cos(x) alrededor del punto x = 0.
De manera más general, y por lo tanto de manera más abstracta, si estuviéramos tratando con alguna otra

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Polish: 
mają powtarzający się wzór 1, 0, -1, 0 i od nowa. Znając wartości wszystkich tych pochodnych wyższego rzędu,
mamy wiele informacji o cos(x), nawet mimo tego, że jedynie wstawiliśmy
jeden argument, x=0. Ta informacja jest wykorzystywana do przybliżenia
w pobliżu tego argumentu przez stworzenie wielomianu, którego pochodne wyższych rzędów zgadzają się
z pochodnymi cos(x), podążając tym samym, cyklicznym wzorem 1, 0, -1, 0.
Aby to osiągnąć, każdy współczynnik wielomianu śledzi ten sam wzór, ale jest dzielony
przez odpowiednią silnię, jak już wspomniałem, aby zniwelować
kaskadowy efekt iteracji różniczkowania potęgi. Wielomiany, które dostajesz zatrzymując ten proces
w dowolnym punkcie nazywane są "wielomianami Taylora" dla cos(x) wokół punktu x=0.
Bardziej ogólnie i tym samym bardziej abstrakcyjnie, jeśli mamy do czynienia z jakąś funkcją inną

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Polish: 
niż cosinus, liczyłbyś jej pochodną, drugą pochodną i tak dalej, dostając tyle wyrazów,
ile byś chciał, i wyliczałbyś każdy w x=0.
Wówczas dla twojego wielomianowego przybliżenia, współczynniki przy x_n powinny być
wartością n-tej pochodnej funkcji w 0, dzieloną przez n!.
Z tym abstrakcyjnym wzorem spotkasz się raczej w każdym podręczniku lub kursie
dotyczącym wielomianów Taylora. Kiedy go zobaczysz, pomyśl sobie,
że wyraz stały zapewnia, że wartość wielomianu zgadza się z wartością f(x) w x=0,
następny wyraz zapewnia równość nachylenia wielomianu i funkcji,
następny wyraz zapewnia, że tempo zmiany nachylenia jest takie samo, i tak dalej, w zależności
od tego, ile chcesz mieć wyrazów. Im więcej wyrazów wybierzesz, tym dokładniejsze

English: 
than cosine, you would compute its derivative,
second derivative, and so on, getting as many
terms as you’d like, and you’d evaluate
each one at x=0.
Then for your polynomial approximation, the
coefficient of each xn term should be the
value of the nth derivative of the function
at 0, divided by (n!).
This rather abstract formula is something
you’ll likely see in any text or course
touching on Taylor polynomials.
And when you see it, think to yourself that
the constant term ensures that the value of
the polynomial matches that of f(x) at x=0,
the next term ensures that the slope of the
polynomial matches that of the function, the
next term ensure the rate at which that slope
changes is the same, and so on, depending
on how many terms you want.
The more terms you choose, the closer the

Italian: 
di coseno, calcoleresti la sua derivata,
seconda derivata, e così via, ottenendo altrettanti
termini che vorresti e valuterai
ognuno a x = 0.
Quindi per la tua approssimazione polinomiale, il
il coefficiente di ciascun termine xn dovrebbe essere il
valore dell'ennesima derivata della funzione
a 0, diviso per (n!).
Questa formula piuttosto astratta è qualcosa
probabilmente vedrai in qualsiasi testo o corso
toccando i polinomi di Taylor.
E quando lo vedi, pensa a te stesso
il termine costante garantisce che il valore di
il polinomio corrisponde a quello di f (x) a x = 0,
il prossimo termine assicura che la pendenza del
polinomio corrisponde a quello della funzione, il
il prossimo termine garantisce la velocità a cui quella pendenza
le modifiche sono le stesse e così via, a seconda
su quanti termini vuoi
Più termini scegli, più il

Spanish: 
función distinta que el coseno, calcularías su derivada,
segunda derivada, y así sucesivamente,
obtenieniendo tantos términos como desees,
y evaluando cada uno en x = 0.
Luego, para su aproximación polinómica,
el coeficiente de cada término x^n debe ser el
valor de la n-ésima derivada de la función evaluada en 0, dividido por n!.
Esta fórmula bastante abstracta es algo
que probablemente verás en cualquier texto o curso
que trate los polinomios de Taylor.
Y cuando la veas, piensa que
el término constante asegura que el valor de
el polinomio coincide con el de f(x) en x = 0,
el siguiente término asegura que la pendiente del
el polinomio coincide con la de la función en x=0,
el siguiente término garantiza que las velocidades a las
que esa pendiente cambia son las mismas, y así sucesivamente,
dependiendo de cuántos términos quieres.
Cuantos más términos elijas, más cerca estará

German: 
als Kosinus würden Sie seine Ableitung berechnen,
zweite Ableitung und so weiter, so viele bekommen
Begriffe, wie Sie möchten, und Sie würden bewerten
jeweils bei x = 0.
Dann für Ihre Polynomnäherung die
Der Koeffizient jedes xn-Terms sollte der sein
Wert der n-ten Ableitung der Funktion
bei 0 geteilt durch (n!).
Diese eher abstrakte Formel ist etwas
Sie werden wahrscheinlich in jedem Text oder Kurs sehen
Taylor-Polynome berühren.
Und wenn Sie es sehen, denken Sie sich das
Der konstante Term stellt sicher, dass der Wert von
das Polynom stimmt mit dem von f (x) bei x = 0 überein,
Der nächste Term stellt sicher, dass die Steigung des
Polynom entspricht dem der Funktion, der
nächste Amtszeit sicherstellen, die Rate, mit der diese Steigung
Änderungen sind gleich und so weiter, je nachdem
zu wie vielen Begriffen Sie möchten.
Je mehr Begriffe Sie wählen, desto näher ist der

Hindi: 
कोसाइन की तुलना में, आप इसकी व्युत्पन्न गणना करेंगे,
दूसरा व्युत्पन्न, और इसी तरह, बहुत से हो रही है
जैसा आप चाहें उतनी शर्तें, और आप मूल्यांकन करेंगे
प्रत्येक x = 0 पर।
फिर आपके बहुपद सन्निकटन के लिए,
प्रत्येक एक्सएन अवधि का गुणांक होना चाहिए
समारोह के एनएच व्युत्पन्न का मूल्य
0 पर, विभाजित (एन!)।
यह बल्कि अमूर्त सूत्र कुछ है
आप किसी भी पाठ या पाठ्यक्रम में देखेंगे
टेलर बहुपदों पर छूना।
और जब आप इसे देखते हैं, तो अपने आप को सोचें
निरंतर अवधि सुनिश्चित करता है कि इसका मूल्य
x (0) पर x (0) पर बहुपद मिलान,
अगली अवधि सुनिश्चित करता है कि ढलान
समारोह के बहुपद मेल, द
अगली अवधि उस ढलान पर दर सुनिश्चित करें
परिवर्तन समान है, और इसी तरह, निर्भर करता है
आप कितने शर्तों पर चाहते हैं।
आपके द्वारा चुने गए अधिक शब्द, करीब

French: 
que cosinus, vous devriez calculer sa dérivée, sa dérivée seconde, et ainsi de suite, obtenant ainsi autant
de termes que vous le souhaiteriez, et vous auriez évalueriez chacune en x=0.
Ensuite, pour votre approximation polynomiale, le coefficient de chaque terme x^n devrait être
la valeur de la dérivée nième de la fonction en 0, divisé par (n!).
Cette formule plutôt abstraite est quelque chose que vous verrez probablement dans n'importe que texte ou cours
à propos des polynômes de Taylor.
Et quand vous le voyez, pensez en vous-même
que le terme constant assure que la valeur du polynôme corresponde à celle de f(x) au point x=0,
que le prochain terme veille à ce que la pente du polynôme corresponde à celle de la fonction,
le terme encore après assure que la vitesse à laquelle cette pente évolue est la même, et ainsi de suite, en fonction de
combien de termes vous souhaitez. Plus vous mettrez de termes, plus votre approximation sera proche,

Spanish: 
la aproximación, pero como contrapartida su
polinomio será más complicado.
Y si quiere aproximarse cerca de algún punto
a distinto de 0, se escribe el polinomio
en términos de (x - a) en su lugar, y se evalúan
todas las derivadas de f en ese punto a.
Este es el aspecto que tienen las series de Taylor en su
versión más general.
Cambiando el valor de a se varía el punto donde la aproximación se abraza a la función original,
donde sus derivadas de orden superior serán iguales a
las de la funcion original.
Uno de los ejemplos más simples y significativos es e^x
alrededor del punto x = 0. Calcular sus derivadas
es sencillo, ya que la derivada de e^x es ella misma,
por lo que su segunda derivada también es e^x,
como también la tercera, y así sucesivamente.
Entonces, en el punto x = 0, son todas 1.

Polish: 
przybliżenie, jednak z drugiej strony twój wielomian jest bardziej skomplikowany.
Z kolei jeśli chcesz przybliżyć w innym miejscu niż 0, zapisz wielomian w języku
wyrazów (x-a) i wylicz wszystkie pochodne funkcji f w punkcie a.
Oto, jak wielomiany Taylora wyglądają w największej ogólności. Zmiana wartości a
zmienia punkt, w którym przybliżenia dotyka pierwotnej funkcji; gdzie jego pochodne wyższych rzędów
będą zgadzać się z pierwotną funkcją.
Jednym z najprostszych znaczących przykładów jest e^x wokół x=0. Liczenie jego pochodnych
jest przyjemne, jako że pochodną e^x jest on sam, więc druga pochodna to również e^x, tak samo
jak trzecia, i tak dalej. W związku z tym dla punktu x=0, wszystkie są równe 1.

Italian: 
approssimazione, ma il compromesso è tuo
il polinomio è più complicato.
E se vuoi approssimare vicino ad alcuni input
a diverso da 0, si scrive il polinomio in
termini di (xa) invece, e valutare tutto il
derivati ​​di f a quell'input a.
Ecco come appaiono le serie di Taylor nella loro
massima generalità. Modifica del valore di
un cambiamento in cui l'approssimazione si sta abbracciando
la funzione originale; dove è il suo ordine superiore
i derivati ​​saranno uguali a quelli del
funzione originale
Uno dei più semplici esempi significativi è
ex, attorno all'ingresso x = 0. Calcolo dei suoi derivati
è bello, dato che la derivata di ex è di per sé,
quindi la sua seconda derivata è anche ex, così com'è
il suo terzo, e così via.
Quindi nel punto x = 0, questi sono tutti 1. Questo

Hindi: 
अनुमान, लेकिन ट्रेडऑफ यह है कि आपका
बहुपद अधिक जटिल है।
और यदि आप कुछ इनपुट के करीब अनुमान लगाना चाहते हैं
0 के अलावा, आप बहुपद लिखते हैं
इसके बजाए (xa) की शर्तें, और सभी का मूल्यांकन करें
उस इनपुट पर एफ के डेरिवेटिव ए।
टेलर श्रृंखला उनके जैसा दिखती है
पूर्ण सामान्यता। के मूल्य को बदलना
एक बदलाव जहां अनुमान लगाया जा रहा है
मूल कार्य; जहां इसका उच्च आदेश है
डेरिवेटिव्स के बराबर होंगे
मूल कार्य
सबसे सरल अर्थपूर्ण उदाहरणों में से एक है
पूर्व, इनपुट x = 0 के आसपास। अपने डेरिवेटिव कंप्यूटिंग
अच्छा है, क्योंकि पूर्व का व्युत्पन्न स्वयं ही है,
तो इसका दूसरा व्युत्पन्न भी पूर्व जैसा है
इसका तीसरा, और इसी तरह।
तो बिंदु x = 0 पर, ये सभी हैं 1. यह

German: 
Annäherung, aber der Kompromiss ist, dass Ihre
Polynom ist komplizierter.
Und wenn Sie sich einer Eingabe annähern möchten
Bei einer anderen als 0 schreiben Sie das Polynom in
Begriffe von (xa) stattdessen und bewerten Sie alle
Ableitungen von f an diesem Eingang a.
So sehen Taylor-Serien in ihrer aus
vollste Allgemeinheit. Ändern des Werts von
eine Änderung, wo die Annäherung umarmt
die ursprüngliche Funktion; wo seine höhere Ordnung
Derivate werden gleich denen der
ursprüngliche Funktion.
Eines der einfachsten aussagekräftigen Beispiele ist
zB um den Eingang x = 0. Berechnung seiner Derivate
ist schön, da die Ableitung von ex selbst ist,
so ist seine zweite Ableitung auch ex, wie es ist
seine dritte und so weiter.
Am Punkt x = 0 sind dies also alle 1. Dies

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

English: 
approximation, but the tradeoff is that your
polynomial is more complicated.
And if you want to approximate near some input
a other than 0, you write the polynomial in
terms of (x-a) instead, and evaluate all the
derivatives of f at that input a.
This is what Taylor series look like in their
fullest generality. Changing the value of
a changes where the approximation is hugging
the original function; where its higher order
derivatives will be equal to those of the
original function.
One of the simplest meaningful examples is
ex, around the input x=0. Computing its derivatives
is nice, since the derivative of ex is itself,
so its second derivative is also ex, as is
its third, and so on.
So at the point x=0, these are all 1. This

French: 
mais le compromis est que votre polynôme est plus complexe.
Et si vous voulez approximer autour d'une valeur différente de 0, vous écrivez votre polynôme
en terme de (x-a) à la place, et vous évaluez toutes les dérivés de f en ce point a.
C'est à quoi ressemble les séries de Taylor dans toute leur généralité. Changer la valeur de a,
c'est changer où l'approximation embrasse la fonction d'origine ; où les dérivées d'ordre supérieur
seront égales à celles de la fonction d'origine.
L'un des exemples les plus significatifs est e^x, autour de l'entrée x=0. Le calcul de ses dérivés
est facile, puisque la dérivée de e^x est elle-même, de sorte que sa dérivée seconde est également e^x, tout comme
sa dérivée troisième, et ainsi de suite. Donc, au point x=0, elles valent toutes 1.

Hindi: 
इसका मतलब है कि हमारे बहुपद सन्निकटन दिखता है
1 + एक्स + ½ x2 + 1 / (3!) X3 + 1 / (4!) X4, और
इस पर निर्भर करता है कि आप कितने नियम चाहते हैं।
ये टेलर बहुपद हैं
पूर्व के लिए
आपको दिखाए जाने की भावना में कि कैसे जुड़ा हुआ है
कैलकुस के विषय हैं, मुझे बारी करने दो
इसे समझने का एक बिल्कुल अलग तरीका है
ज्यामिति के दूसरे आदेश शब्द। यह संबंधित है
कैलकुस के मौलिक प्रमेय के लिए, जो
मैंने अध्याय 1 और 8 में बात की थी।
जैसे हमने उन वीडियो में किया था, एक फ़ंक्शन पर विचार करें
जो क्षेत्र को कुछ ग्राफ के नीचे देता है
एक निश्चित बाएं बिंदु और एक चरणीय दाएं बिंदु।
हम क्या करने जा रहे हैं इस बारे में सोचते हैं

English: 
means our polynomial approximation looks like
1 + x + ½ x2 + 1/(3!) x3 + 1/(4!) x4, and
so on, depending on how many terms you want.
These are the Taylor polynomials 
for ex.
In the spirit of showing you just how connected
the topics of calculus are, let me turn to
a completely different way to understand this
second order term geometrically. It’s related
to the fundamental theorem of calculus, which
I talked about in chapters 1 and 8.
Like we did in those videos, consider a function
that gives the area under some graph between
a fixed left point and a variable right point.
What we’re going to do is think about how

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 

French: 
Cela signifie que notre approximation polynomiale ressemble à 1 + x + ½ x^2 + 1/(3!) x^3 + 1/(4!) x^4, et ainsi de suite,
selon le nombre de termes que vous voulez. Ce sont les polynômes de Taylor pour e^x.
Avec cela comme fondations, et dans l'esprit de vous montrer à quel point les sujets d'analyse sont connectés, laissez moi passer
à une manière complètement différente de comprendre ce terme du second ordre géométriquement. C'est lié
au théorème fondamental de l'analyse, dont j'ai parlé dans les chapitres 1 et 8.
Comme nous l'avons fait dans ces vidéos, envisagez une fonction qui donne l'aire sous un graphique entre
un point fixe à gauche et un point variable à droite. Ce que nous allons faire est de penser à la façon dont

Spanish: 
Esto significa que nuestra aproximación polinómica es
1 + x + ½ x² + 1 / (3!) x³ + 1 / (4!) x⁴ etc.
dependiendo de cuántos términos se deseen.
Estos son los polinomios de Taylor para  e^x.
En el espíritu de mostrar cómo están conectados
los diferentes conceptos del cálculo,
permíteme recurrir a una forma completamente
diferente de entender este término de segundo orden
de los polinomios de Taylor pero esta vez geométricamente.
Está relacionado con el Teorema Fundamental del
Cálculo, del que hablé en los capítulos 1 y 8.
Como hicimos en esos videos, considere una función
que da el área bajo una gráfica entre
un punto fijo a la izquierda y un punto
variable a su derecha.
Lo que vamos a hacer es pensar en cómo aproximar

German: 
bedeutet, dass unsere Polynomnäherung so aussieht
1 + x + ½ x2 + 1 / (3!) X3 + 1 / (4!) X4 und
usw., je nachdem, wie viele Begriffe Sie möchten.
Dies sind die Taylor-Polynome
zum Beispiel.
Im Geiste, Ihnen zu zeigen, wie verbunden
Die Themen der Analysis sind, lassen Sie mich wenden
eine ganz andere Art, dies zu verstehen
Term zweiter Ordnung geometrisch. Es ist verwandt
zum Grundsatz des Kalküls, der
Ich habe in den Kapiteln 1 und 8 darüber gesprochen.
Betrachten Sie wie in diesen Videos eine Funktion
das gibt den Bereich unter einem Diagramm zwischen
ein fester linker Punkt und ein variabler rechter Punkt.
Was wir tun werden, ist darüber nachzudenken, wie

Italian: 
significa che la nostra approssimazione polinomiale è simile
1 + x + ½ x2 + 1 / (3!) X3 + 1 / (4!) X4, e
così via, a seconda di quanti termini vuoi.
Questi sono i polinomi di Taylor
per es.
Nello spirito di mostrarti quanto connesso
gli argomenti del calcolo sono, lasciami passare
un modo completamente diverso per capirlo
secondo ordine geometricamente. È correlato
al teorema fondamentale del calcolo, che
Ho parlato nei capitoli 1 e 8.
Come abbiamo fatto in quei video, considera una funzione
che dà l'area sotto un grafico tra
un punto di sinistra fisso e un punto a destra variabile.
Quello che faremo è pensare a come

Polish: 
Oznacza to, że nasz wielomian wygląda jak 1 + x + ½ x$2 + 1/(3!) x$3 + 1/(4!) x^4,
i tak dalej, w zależności od tego, jak wiele wyrazów chcesz dostać. Są to wielomiany Taylora dla e^x.
W celu pokazania ci, jak powiązane są tematy analizy, pozwól, że przejdę do
zupełnie innego sposobu na zrozumienie wyrazu drugiego rzędu geometrycznie. Jest on związany
z podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego, o którym mówiłem w częściach 1 i 8.
Tak samo jak w tych filmach, rozważmy funkcję, która zwraca pole pod jakimś wykresem pomiędzy
ustalonym lewym krańcem i zmiennym prawym. Będziemy myśleć o tym, jak

English: 
to approximate this area function, not the
function for the graph like we were doing
before. Focusing on that area is what will
make the second order term pop out.
Remember, the fundamental theorem of calculus
is that this graph itself represents the derivative
of the area function, and as a reminder it’s
because a slight nudge dx to the right bound
on the area gives a new bit of area approximately
equal to the height of the graph times dx,
in a way that’s increasingly accurate for
smaller choice of dx.
So df over dx, the change in area divided
by that nudge dx, approaches the height of
the graph as dx approaches 0.
But if you wanted to be more accurate about
the change to the area given some change to
x that isn’t mean to approach 0, you would
take into account this portion right here,
which is approximately a triangle.
Let’s call the starting input a, and the
nudged input above it x, so that this change

French: 
on approxime cette fonction aire, non pas la fonction de la courbe comme nous le faisions avant.
Se concentrer sur ce domaine est ce qui va faire éclater le terme du second ordre.
Rappelez-vous, le théorème fondamental de l'analyse nous dit que ce graphe représente la dérivée
de la fonction aire, et, pour rappel, c'est parce que un légère déviation dx du bord droit de la surface
nous donne une petite surface approximativement égale à la hauteur du graphique multiplié par dx,
Et cette approximation est d'autant plus précise que dx est petit.
Mais si vous voulez être plus précis à propos de l'évolution de la surface
étant donné un changement de x qui n'a pas à tendre vers 0, vous devriez
prendre en compte la partie ici,
qui est approximativement un triangle.
Appelons l'entrée de départ a,  et la déviation au-dessus x, afin que la déviation soit (x-a).

Spanish: 
esta función de área, no la
función del gráfico como estábamos haciendo antes.
Centrarse en esa área es lo que hará que surja el término de segundo orden.
Recuerde que en el Teorema Fundamental del Cálculo
esta gráfica en sí misma representa la derivada
de la función de área, y eso es porque ese
pequeño incremento dx en el extremo derecho
da un nuevo pedazo de área aproximadamente
igual a la altura del gráfico multiplicado por dx,
de manera cada vez más precisa
según se tomen dx más pequeños.
Pero si se quiere ser más preciso acerca del
cambio del área dado un cambio en la
x, que eso no significa acercarse a 0,
se podría tener en cuenta esta porción justo aquí,
que es aproximadamente un triángulo.
Llamemos al punto de inicio a, y el punto al
extremo x, por lo que este cambio es (x - a).

Polish: 
przybliżyć tą funkcję pola, nie zaś funkcję przedstawioną przez wykres, jak robiliśmy to
wcześniej. Skupienie się na tym polu sprawi, że pojawi się wyraz drugiego rzędu.
Pamiętaj, że zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego, ten wykres sam przedstawia
pochodną funkcji pola, i dla przypomnienia, dzieję się tak, ponieważ drobne przemieszczenie dx w stronę
prawego krańca obszaru daje nowy kawałek, w przybliżeniu równy wysokości wykresu razy dx,
w sposób, którego dokładność rośnie przy coraz mniejszym dx.
Tak więc df/dx, zmiana pola dzielona przez to zaburzenie dx, przybliża wysokość
wykresu gdy dx dąży do 0. Jeśli jednak chciałbyś być bardziej dokładny odnośnie
zmiany pola mając daną jakąś zmianę x, która nie dąży do 0, wziąłbyś
pod uwagę tę część tutaj, która jest w przybliżeniu trójkątem.
Nazwijmy początkowy argument a i zaburzony argument x, tak, żeby ta zmiana wyniosła

German: 
um diese Flächenfunktion zu approximieren, nicht die
Funktion für den Graphen wie wir
Vor. Sich auf diesen Bereich zu konzentrieren, ist das, was wird
Lassen Sie den Begriff zweiter Ordnung herausspringen.
Denken Sie daran, der Grundsatz der Analysis
ist, dass dieser Graph selbst die Ableitung darstellt
der Bereichsfunktion, und als Erinnerung ist es
weil ein leichter Stoß dx nach rechts gebunden
auf dem Gebiet gibt ein neues Stück Fläche ungefähr
gleich der Höhe des Graphen mal dx,
auf eine Weise, die für immer genauer wird
kleinere Auswahl von dx.
Also df über dx, die Änderung der Fläche geteilt
durch diesen Stoß nähert sich dx der Höhe von
Der Graph als dx nähert sich 0.
Aber wenn Sie genauer sein wollten
die Änderung des Gebiets gegeben einige Änderung zu
x das soll nicht gegen 0 gehen, würdest du
Berücksichtigen Sie diesen Teil hier,
Das ist ungefähr ein Dreieck.
Nennen wir die Starteingabe a und die
stupste Eingabe darüber x, so dass sich dies ändert

Italian: 
per approssimare questa funzione area, non il
funzione per il grafico come stavamo facendo
prima. Concentrarsi su quell'area è ciò che sarà
fai uscire il termine del secondo ordine.
Ricorda, il teorema fondamentale del calcolo
è che questo grafico stesso rappresenta la derivata
della funzione area, e come promemoria è
perché una lieve spinta dx al limite destro
sulla zona dà un nuovo pezzo di area approssimativamente
uguale all'altezza del grafico tempi dx,
in un modo sempre più accurato
più piccola scelta di dx.
Quindi df over dx, il cambio di area diviso
da quel nudge dx, si avvicina all'altezza di
il grafico come dx si avvicina a 0.
Ma se volessi essere più preciso
il cambio all'area dato qualche cambiamento in
x che non significa avvicinarsi a 0, lo faresti
prendere in considerazione questa parte proprio qui,
che è approssimativamente un triangolo.
Chiamiamo l'input di partenza a, e il
input nudged sopra di x, in modo che questo cambiamento

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hindi: 
इस क्षेत्र के फ़ंक्शन का अनुमान लगाने के लिए, नहीं
ग्राफ के लिए काम करें जैसे हम कर रहे थे
पहले। उस क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करना क्या होगा
दूसरा ऑर्डर टर्म पॉप आउट करें।
याद रखें, गणित के मौलिक प्रमेय
यह है कि यह ग्राफ खुद व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है
क्षेत्र समारोह के, और एक अनुस्मारक के रूप में यह है
क्योंकि दाहिनी तरफ थोड़ा मामूली डीएक्स
क्षेत्र में लगभग एक नया क्षेत्र देता है
ग्राफ समय डीएक्स की ऊंचाई के बराबर,
इस तरह से तेजी से सटीक है
डीएक्स की छोटी पसंद।
तो डीएक्स पर डीएफ, क्षेत्र में परिवर्तन विभाजित
उस नजदीक डीएक्स द्वारा, ऊंचाई की ओर जाता है
डीएक्स दृष्टिकोण के रूप में ग्राफ 0।
लेकिन अगर आप के बारे में अधिक सटीक होना चाहते थे
क्षेत्र में परिवर्तन कुछ बदलाव दिया गया है
एक्स जो 0 तक पहुंचने का मतलब नहीं है, आप करेंगे
इस भाग को यहां ध्यान में रखें,
जो लगभग एक त्रिकोण है।
आइए शुरूआती इनपुट को कॉल करें, और
इसके ऊपर nudged इनपुट एक्स, ताकि यह परिवर्तन

German: 
ist (xa).
Die Basis dieses kleinen Dreiecks ist diese Veränderung
(xa), und seine Höhe ist die Steigung des
Graphzeiten (xa). Da dieser Graph der ist
Ableitung der Flächenfunktion, dieser Steigung
ist die zweite Ableitung der Flächenfunktion,
ausgewertet am Eingang a.
Also die Fläche dieses Dreiecks, ½ Basiszeiten
Höhe ist die Hälfte der zweiten Ableitung
der Flächenfunktion, ausgewertet bei a, multipliziert
durch (xa) 2.
Und genau das sehen Sie bei Taylor
Polynome. Wenn Sie die verschiedenen Ableitungen kennen
Informationen zur Bereichsfunktion an der
Punkt a, Sie würden diesen Bereich bei annähern
x ist die Fläche bis a, f (a) plus die Fläche
dieses Rechtecks, das die erste Ableitung ist
Zeiten (xa) plus die Fläche dieses Dreiecks,

Italian: 
è (xa).
La base di quel piccolo triangolo è quel cambiamento
(xa), e la sua altezza è la pendenza del
tempi del grafico (xa). Poiché questo grafico è il
derivata della funzione area, quella pendenza
è la seconda derivata della funzione area,
valutato all'ingresso a.
Quindi l'area di quel triangolo, ½ base
altezza, è una volta e mezzo la seconda derivata
della funzione area, valutata in a, moltiplicata
da (xa) 2.
E questo è esattamente quello che vedi con Taylor
polinomi. Se conoscessi i vari derivati
informazioni sulla funzione area presso
punto a, approssimerai quest'area a
x essere l'area fino a a, f (a), più l'area
di questo rettangolo, che è la prima derivata
volte (xa), più l'area di questo triangolo,

French: 
La base de ce petit triangle est que cette déviation (x-a),
et sa hauteur est la pente du graphique fois (x-a). Étant donné que ce graphique est la
dérivée de la fonction aire, cette pente
est la dérivée seconde de la fonction aire,
évaluée en l'entrée a. Ainsi, l'aire de ce triangle, ½ de la base fois la hauteur,
est ½ fois la dérivée seconde de la fonction aire, évaluée en a, multipliée par (x-a)^2.
Et c'est exactement ce que nous donne les polynômes de Taylor.
Si vous connaissiez les différentes dérivées de la fonction aire au point a,
Comment approximeriez-vous cette aire au point x ?
Eh bien, vous avez à inclure toute l'aire jusqu'en a, soit f(a), plus l'aire du rectangle,
qui est la dérivée première fois (x-a),

Polish: 
(x-a). Podstawa trójkąta to ta zmiana
(x-a), a jego wysokość to nachylenie wykresu razy (x-a). Jako, że ten wykres jest
pochodną funkcji pola, jego nachylenie to druga pochodna funkcji pola,
wyliczona w punkcie a. Tak więc pole tego trójkąta, połowa podstawy razy
wysokość, to ½ razy druga pochodna funkcji pola, wyliczona w punkcie a, mnożona
przez (x-a)^2. Jest to dokładnie to, co widzisz w wielomianach Taylora.
Gdybyś miał informacje o różnych pochodnych funkcji pola
w punkcie a, przybliżałbyś pole w punkcie x jako pole do punktu a, f(a) plus pole tego prostokąta,
czyli pierwszą pochodną razy (x-a), plus pole trójkąta,

Spanish: 
La base de ese pequeño triángulo es ese cambio (x - a),
y su altura es la pendiente
de la gráfica multiplicada por (x - a).
Dado que esta gráfica es la
derivada de la función de área, esa pendiente
es la segunda derivada de la función de área,
evaluada en el punto a. De manera que el
área de ese triángulo, ½ base por la altura,
es la mitad de la segunda derivada
de la función de área, evaluada en a,
multiplicada por (x - a)².
Y esto es exactamente lo que ves con los
polinomios de Taylor.
Si tenemos información sobre las derivadas de la función de área en el punto a,
podemos aproximar esta área en
x por el área hasta a, f(a), más el área
de este rectángulo, que es la primera derivada por (x - a), más el área de este triángulo,

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hindi: 
है (एक्सए)।
उस छोटे त्रिकोण का आधार वह परिवर्तन है
(xa), और इसकी ऊंचाई ढलान है
ग्राफ समय (xa)। चूंकि यह ग्राफ है
क्षेत्र समारोह के व्युत्पन्न, ढलान
क्षेत्र समारोह का दूसरा व्युत्पन्न है,
इनपुट ए पर मूल्यांकन किया गया।
तो उस त्रिकोण का क्षेत्र, ½ आधार के समय
ऊंचाई, दूसरा व्युत्पन्न एक आधा गुना है
क्षेत्र समारोह का, एक पर मूल्यांकन, गुणा
द्वारा (xa) 2।
और यह वही है जो आप टेलर के साथ देखते हैं
बहुआयामी पद। यदि आप विभिन्न व्युत्पन्न जानते थे
क्षेत्र समारोह के बारे में जानकारी
एक बिंदु, आप इस क्षेत्र का अनुमान लगाएंगे
एक्स को ए, एफ (ए), साथ ही क्षेत्र तक क्षेत्र होना चाहिए
इस आयत का, जो पहला व्युत्पन्न है
बार (xa), साथ ही इस त्रिकोण के क्षेत्र,

English: 
is (x-a).
The base of that little triangle is that change
(x-a), and its height is the slope of the
graph times (x-a). Since this graph is the
derivative of the area function, that slope
is the second derivative of the area function,
evaluated at the input a.
So the area of that triangle, ½ base times
height, is one half times the second derivative
of the area function, evaluated at a, multiplied
by (x-a)2.
And this is exactly what you see with Taylor
polynomials. If you knew the various derivative
information about the area function at the
point a, you would approximate this area at
x to be the area up to a, f(a), plus the area
of this rectangle, which is the first derivative
times (x-a), plus the area of this triangle,

Italian: 
che è ½ (la seconda derivata) * (x - a) 2.
Mi piace, perché anche se sembra
un po 'disordinato tutto scritto, ogni termine ha
un chiaro significato che puoi indicare sul diagramma.
Potremmo chiamarlo una fine qui, e tu lo faresti
avresti uno strumento incredibilmente utile
per approssimazioni con questi polinomi di Taylor.
Ma se stai pensando come un matematico,
una domanda che potresti chiederti è se lo fa
senso di non fermarsi mai e sommarsi all'infinito
molti termini.
In matematica, una somma infinita è chiamata "serie",
quindi anche se una delle approssimazioni con
Finalmente molti termini si chiama "Taylor"
polinomiale "per la tua funzione, aggiungendo tutto
infiniti termini dà ciò che viene chiamato
una "serie di Taylor".
Ora devi stare attento con l'idea di
una serie infinita, perché in realtà non lo è
ha senso aggiungere infinitamente molte cose;
puoi solo premere il pulsante più sulla calcolatrice
così tante volte.

Polish: 
a więc ½(druga pochodna)*(x-a)^2. Lubię to podejście, bo choć wygląda
tak sobie gdy je wypisać, każdy wyraz ma jasne znaczenie, które możesz wskazać na diagramie.
Moglibyśmy tutaj zakończyć i miałbyś niezwykle przydatne narzędzie
do przybliżania funkcji wielomianami Taylora. Jeśli jednak myślisz jak matematyk,
możesz zadać pytanie, czy ma sens nigdy się nie zatrzymać i dodać do siebie nieskończenie
wiele wyrazów. W matematyce, nieskończoną sumę nazywamy "szeregiem",
więc nawet chociaż przybliżenia o skończonej liczbie wyrazów nazywamy
"wielomianami Taylora" dla twojej funkcji, dodanie nieskończenie wielu wyrazów zwraca coś, co nazywa się
"szeregiem Taylora". Należy być ostrożnym z pomysłem
nieskończonych szeregów, ponieważ dodawanie nieskończenie wielu rzeczy nie ma tak naprawdę sensu;
na kalkulatorze możesz wcisnąć przycisk plusa tylko ileś razy.

English: 
which is ½ (the second derivative) * (x - a)2.
I like this, because even though it looks
a bit messy all written out, each term has
a clear meaning you can point to on the diagram.
We could call it an end here, and you’d
have you’d have a phenomenally useful tool
for approximations with these Taylor polynomials.
But if you’re thinking like a mathematician,
one question you might ask is if it makes
sense to never stop, and add up infinitely
many terms.
In math, an infinite sum is called a “series”,
so even though one of the approximations with
finitely many terms is called a “Taylor
polynomial” for your function, adding all
infinitely many terms gives what’s called
a “Taylor series”.
Now you have to be careful with the idea of
an infinite series, because it doesn’t actually
make sense to add infinitely many things;
you can only hit the plus button on the calculator
so many times.

French: 
plus l'aire de ce petite triangle, qui est ½ fois la dérivée seconde fois (x-a)^2.
J'apprécie vraiment cela, parce que même si cela semble un peu confus lorsqu'on l'écrit,
chaque terme possède une signification propre que l'on peut montrer sur un graphique.
Nous pourrions nous arrêté ici, et avoir un outil phénoménalement utile
pour approximer grâce à ces polynômes de Taylor.
Mais si vous pensez comme un mathématicien,
une question que vous pourriez vous demander est, est-ce que cela a un sens de ne pas s'arrêter, et d’additionner indéfiniment.
En mathématiques, une somme infinie est appelée une « série »,
Ainsi, même si l'une de ces approximations avec un nombre fini de termes est appelé « polynôme de Taylor »,
en ajoutant une infinité de termes, cela donne ce qu'on appelle une « série de Taylor ».
Mais, vous devez être très prudent avec l'idée d'une une série infinie,
car cela n'a pas de sens d'additionner un nombre infini de choses ;
vous ne pouvez taper le bouton plus sur votre calculatrice qu'un nombre fini de fois.

Spanish: 
que es ½ (la segunda derivada) * (x - a)².
Me gusta esto, porque a pesar de que parece un poco lioso al escribir,
cada término tiene un significado claro que se puede señalar en el diagrama.
Podríamos acabar aquí y tendrías una herramienta extraordinariamente útil
para las aproximaciones con estos
polinomios de Taylor.
Pero si estás pensando como un matemático,
una pregunta que te puedes hacer es
si tendría sentido no detenerse nunca
y sumar infinitos términos.
En matemáticas, una suma infinita se llama una "serie",
así que aunque una de las aproximaciones con una cantidad finita de términos
se llama "polinomio de Taylor", sumando los infinitos términos obtenemos lo que se llama una "serie de Taylor".
Ahora debes tener cuidado con la idea de una serie infinita,
porque en realidad no
tiene sentido agregar infinitas cosas;
ni puedes presionar el botón "+" en la calculadora
tantas veces.

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hindi: 
जो ½ (दूसरा व्युत्पन्न) * (x - ए) 2 है।
मुझे यह पसंद है, क्योंकि यह दिखता है
कुछ गड़बड़ सभी लिखित, प्रत्येक शब्द है
एक स्पष्ट अर्थ है कि आप आरेख पर इंगित कर सकते हैं।
हम इसे यहां समाप्त कर सकते हैं, और आप चाहते हैं
क्या आपके पास एक असाधारण रूप से उपयोगी उपकरण होगा
इन टेलर बहुपदों के साथ अनुमान के लिए।
लेकिन अगर आप गणितज्ञ की तरह सोच रहे हैं,
एक प्रश्न जो आप पूछ सकते हैं वह है अगर यह बनाता है
कभी नहीं रुकने की भावना, और असीम रूप से जोड़ें
कई शर्तें
गणित में, एक अनंत राशि को "श्रृंखला" कहा जाता है,
तो भले ही अनुमानों में से एक
अंततः कई शर्तों को "टेलर" कहा जाता है
बहुपद "आपके कार्य के लिए, सभी जोड़ना
अनगिनत कई शर्तें जो कहती हैं उसे देता है
एक "टेलर श्रृंखला"।
अब आपको इस विचार से सावधान रहना होगा
एक अनंत श्रृंखला, क्योंकि यह वास्तव में नहीं है
अनन्त कई चीजें जोड़ने के लिए समझ में आता है;
आप केवल कैलकुलेटर पर प्लस बटन हिट कर सकते हैं
कई बार।

German: 
das ist ½ (die zweite Ableitung) * (x - a) 2.
Ich mag das, denn obwohl es aussieht
ein bisschen chaotisch alles ausgeschrieben, jeder Begriff hat
Eine klare Bedeutung, auf die Sie im Diagramm verweisen können.
Wir könnten es hier ein Ende nennen, und Sie würden
Hättest du ein phänomenal nützliches Werkzeug?
für Annäherungen mit diesen Taylor-Polynomen.
Aber wenn Sie wie ein Mathematiker denken,
Eine Frage, die Sie stellen könnten, ist, ob es macht
Sinn, niemals aufzuhören und sich unendlich zu summieren
viele Begriffe.
In der Mathematik wird eine unendliche Summe als "Reihe" bezeichnet.
also obwohl eine der approximationen mit
endlich viele Begriffe heißt „Taylor
Polynom “für Ihre Funktion, indem Sie alle hinzufügen
unendlich viele Begriffe geben an, was genannt wird
eine "Taylor-Serie".
Jetzt muss man mit der Idee von vorsichtig sein
eine unendliche Serie, weil es eigentlich nicht so ist
Sinn machen, unendlich viele Dinge hinzuzufügen;
Sie können nur die Plus-Taste am Taschenrechner drücken
so oft.

German: 
Aber wenn Sie eine Serie haben, in der Sie mehr hinzufügen
und mehr Begriffe bringen Sie immer näher
zu einem bestimmten Wert sagen Sie die Serie
konvergiert zu diesem Wert. Oder wenn Sie sich wohl fühlen
Erweiterung der Definition von Gleichheit um
Diese Art der Serienkonvergenz würde man sagen
die ganze Serie, diese unendliche Summe,
entspricht dem Wert, zu dem es konvergiert.
Schauen Sie sich zum Beispiel die Taylor-Polynome an
Zum Beispiel, und stecken Sie einen Eingang wie x = 1 ein.
Wenn Sie mehr und mehr Polynomterme hinzufügen,
Die Gesamtsumme kommt dem immer näher
Wert e, also sagen wir, dass die unendliche Reihe
konvergiert gegen die Zahl e. Oder was sagt das?
das gleiche, dass es gleich der Zahl ist
e.
In der Tat stellt sich heraus, dass, wenn Sie einstecken
einen anderen Wert von x, wie x = 2, und schauen Sie sich an

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

English: 
But if you have a series where adding more
and more terms gets you increasingly close
to some specific value, you say the series
converges to that value. Or, if you’re comfortable
extending the definition of equality to include
this kind of series convergence, you’d say
the series as a whole, this infinite sum,
equals the value it converges to.
For example, look at the Taylor polynomials
for ex, and plug in some input like x = 1.
As you add more and more polynomial terms,
the total sum gets closer and closer to the
value e, so we say that the infinite series
converges to the number e. Or, what’s saying
the same thing, that it equals the number
e.
In fact, it turns out that if you plug in
any other value of x, like x=2, and look at

Hindi: 
लेकिन अगर आपके पास एक श्रृंखला है जहां अधिक जोड़ना है
और अधिक शर्तें आपको तेजी से बंद कर देती हैं
कुछ विशिष्ट मूल्य के लिए, आप श्रृंखला कहते हैं
उस मूल्य में अभिसरण। या, यदि आप आरामदायक हैं
समानता की परिभाषा को शामिल करने के लिए विस्तार
इस प्रकार की श्रृंखला अभिसरण, आप कहेंगे
श्रृंखला पूरी तरह से, यह अनंत राशि,
वह मान के बराबर है जो इसे परिवर्तित करता है।
उदाहरण के लिए, टेलर बहुपदों को देखें
पूर्व के लिए, और x = 1 जैसे कुछ इनपुट में प्लग करें।
जैसे ही आप अधिक से अधिक बहुपद शब्दों को जोड़ते हैं,
कुल योग करीब और करीब आता है
मूल्य ई, तो हम कहते हैं कि अनंत श्रृंखला
संख्या ई में अभिसरण। या, क्या कह रहा है
वही बात, यह संख्या के बराबर है
ई।
वास्तव में, यह पता चला है कि अगर आप प्लग इन करते हैं
x का कोई अन्य मान, जैसे x = 2, और देखें

Spanish: 
Pero si tienes una serie donde agregando más
y más términos te acercas cada vez más
a algún valor específico, se dice que la serie
converge a ese valor. O, si te sientes cómodo
extendiendo la definición de igualdad para incluir este tipo de convergencia de series, dirías que
la serie como un todo, esta suma infinita,
es igual al valor al que converge.
Por ejemplo, mira los polinomios de Taylor de e^x para un valor de entrada como x = 1.
A medida que se agregan más y más términos del polinomio, la suma total se acerca cada vez más al
valor de e, entonces decimos que la serie infinita
converge al número e.
O lo que es lo mismo, que es igual al número e.
De hecho, resulta que si se toma
cualquier otro valor de x, como x = 2,

Italian: 
Ma se hai una serie in cui aggiungi di più
e più termini ti fanno sempre più vicino
ad un certo valore specifico, dici la serie
converge a quel valore. Oppure, se sei a tuo agio
estendendo la definizione di uguaglianza da includere
questo tipo di convergenza in serie, diresti tu
la serie nel suo complesso, questa somma infinita,
è uguale al valore a cui converge.
Ad esempio, guarda i polinomi di Taylor
per esempio, e inserisci alcuni input come x = 1.
Mentre aggiungi sempre più termini polinomiali,
la somma totale si avvicina sempre di più al
valore e, quindi diciamo che la serie infinita
converge al numero e. O, cosa sta dicendo
la stessa cosa, che è uguale al numero
e.
In realtà, si scopre che se si collega
qualsiasi altro valore di x, come x = 2, e guarda

French: 
Mais si vous avez une série où l'ajout de plus en plus de termes vous amène de plus en plus près
d'une valeur spécifique, vous dites que la série converge vers cette valeur.
Ou, si vous êtes à l'aise pour étendre la définition de l'égalité pour inclure la convergence des séries, vous pourriez dire
la série dans son ensemble, cette somme infinie, est égale à la valeur vers laquelle elle converge.
Par exemple, regardez le polynôme de Taylor pour e^x, et mettez-y une certaine entrée comme x=1.
Plus vous ajoutez de termes dans votre polynôme, plus la somme totale se rapproche de la valeur e,
donc nous disons que la série infinie
converge vers le nombre e.
Ou, ce qui est la même chose, qu'elle est égal au nombre e.
En fait, il se trouve que si vous y mettez n'importe quelle autre valeur de x, comme x=2, et regardez

Polish: 
Jeśli jednak masz szereg, w którym dodawanie coraz to więcej wyrazów coraz bardziej przybliża cię
to pewnej konkretnej wartości, mówimy, że szereg zbiega do tej wartości. Lub, jeśli czujesz się swobodnie
z rozszerzeniem definicji równości by zawierała tego typu zbieżność szeregów, powiedziałbyś,
że szereg jako taki, nieskończona suma, równa się wartości, do której zbiega.
Dla przykładu, spójrz na wielomiany Taylora dla e^x, i wstaw pewien argument, jak x=1.
Dodając coraz więcej wyrazów wielomianowych, łączna suma zbliża się
do wartości e, więc mówimy, że nieskończony szereg zbiega do liczby e.
Lub, równoważnie , że równa się liczbie e.
Okazuje się, że jeśli wstawisz dowolną inną wartość x, jak x=2, i spojrzysz na

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

French: 
la valeur obtenue avec des ordres de plus en plus supérieurs du polynôme de Taylor converge vers e^x, dans ce cas e^2.
Cela est vrai pour toute les entrées, quelle que soit la distance de 0,
même si ce polynôme de Taylor est construit uniquement à partir des informations sur les dérivées recueillies pour l'entrée 0.
Dans un cas comme celui-ci, nous disons que e^x est égale à sa
série de Taylor pour toutes les entrées x, ce qui est un peu de la magie.
Bien que cela soit vrai aussi pour d'autres fonctions importantes, comme comme sinus et cosinus,
parfois ces séries convergent uniquement dans un certain intervalle autour de l'entrée dont les informations
de dérivées sont tirées. Si vous calculez la série de Taylor pour le
logarithme naturel de x autour de l'entrée x=1, qui est construite en évaluant les dérivées d'ordre supérieur
de ln(x) en x=1, voilà à quoi cela ressemble.

German: 
der Wert von Taylor höherer und höherer Ordnung
Polynome bei diesem Wert werden konvergieren
in Richtung ex, in diesem Fall e2.
Dies gilt für jede Eingabe, egal wie
weit weg von 0 ist es, obwohl diese Taylor
Polynome werden nur aus Ableitungen konstruiert
am Eingang 0 gesammelte Informationen.
In einem Fall wie diesem sagen wir, dass ex gleich seinem ist
Taylor-Reihe an allen Eingängen x, was nett ist
von einer magischen Sache geschehen zu sein.
Dies gilt zwar auch für einige andere
wichtige Funktionen wie Sinus und Cosinus,
manchmal konvergieren diese Reihen nur innerhalb
ein bestimmter Bereich um den Eingang, dessen Ableitung
Informationen, die Sie verwenden.
Wenn Sie die Taylor-Serie für die ausarbeiten
natürliches Protokoll von x um die Eingabe x = 1, die
wird aus der Bewertung der höheren Ordnung aufgebaut
Ableitungen von ln (x) bei x = 1, das ist was
es sieht aus wie.

Hindi: 
उच्च और उच्च आदेश टेलर का मूल्य
इस मूल्य पर बहुपद, वे अभिसरण करेंगे
पूर्व की ओर, इस मामले में ई 2।
यह किसी भी इनपुट के लिए सच है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे
0 से बहुत दूर है, भले ही ये टेलर
बहुपद केवल व्युत्पन्न से निर्मित होते हैं
इनपुट 0 पर एकत्र की गई जानकारी।
इस तरह के मामले में, हम कहते हैं कि पूर्व इसके बराबर है
सभी इनपुट एक्स पर टेलर श्रृंखला, जो दयालु है
होने के लिए एक जादुई चीज का।
हालांकि यह किसी अन्य के लिए भी सच है
महत्वपूर्ण कार्य, जैसे साइन और कोसाइन,
कभी-कभी ये श्रृंखला केवल भीतर ही मिलती है
इनपुट के चारों ओर एक निश्चित सीमा जिसका व्युत्पन्न
जानकारी जो आप उपयोग कर रहे हैं।
यदि आप टेलर श्रृंखला के लिए काम करते हैं
इनपुट x = 1 के आसपास एक्स का प्राकृतिक लॉग, जो
उच्च आदेश का मूल्यांकन करने से बनाया गया है
एक्स = 1 पर एलएन (एक्स) के व्युत्पन्न, यह वही है
ऐसा लग रहा है।

English: 
the value of higher and higher order Taylor
polynomials at this value, they will converge
towards ex, in this case e2.
This is true for any input, no matter how
far away from 0 it is, even though these Taylor
polynomials are constructed only from derivative
information gathered at the input 0.
In a case like this, we say ex equals its
Taylor series at all inputs x, which is kind
of a magical thing to have happen.
Although this is also true for some other
important functions, like sine and cosine,
sometimes these series only converge within
a certain range around the input whose derivative
information you’re using.
If you work out the Taylor series for the
natural log of x around the input x = 1, which
is built from evaluating the higher order
derivatives of ln(x) at x=1, this is what
it looks like.

Italian: 
il valore dell'ordine superiore e superiore di Taylor
polinomi a questo valore, convergeranno
verso ex, in questo caso e2.
Questo è vero per qualsiasi input, non importa come
lontano da 0 è, anche se questi Taylor
i polinomi sono costruiti solo da derivata
informazioni raccolte all'ingresso 0.
In un caso come questo, diciamo ex uguale al suo
Serie di Taylor a tutti gli input x, che è gentile
di una cosa magica che deve accadere.
Anche questo è vero anche per altri
funzioni importanti, come seno e coseno,
a volte queste serie convergono solo all'interno
un certo intervallo attorno all'input la cui derivata
informazioni che stai utilizzando.
Se risolvi la serie di Taylor per il
log naturale di x attorno all'ingresso x = 1, che
è costruito dalla valutazione dell'ordine superiore
derivate da ln (x) a x = 1, questo è ciò che
sembra.

Spanish: 
y se mira el valor de polinomios de Taylor de grados cada vez mayores, vemos que este valor converge
hacia e^x, en este caso e².
Esto es cierto para cualquier entrada, sin importar cómo
de lejos esté de 0, aunque estos polinomios de Taylor se construyen solo a partir de derivadas
evaluadas en el punto de entrada 0.
En un caso como este, decimos que
e^x es igual a su serie de Taylor en todas las entradas x, que es algo como de magia que ocurra.
Aunque esto también es cierto para algunas otras
funciones importantes, como seno y coseno,
a veces estas series solo convergen dentro
un cierto rango alrededor de la entrada de cuyas
derivadas estamos utilizando la información.
Si construimos la serie de Taylor para el
logaritmo natural de x alrededor x = 1, que se construye a partir de la evaluación de
las derivadas de orden superior de ln(x) en x = 1,
esto es lo que se obtiene.

Polish: 
wartość wielomianów Taylora coraz wyższego rzędu w tym punkcie, będą zbiegać
do e^x, w tym przypadku do e^2. Jest to prawdą dla dowolnego argumentu, nieważne
jak daleko jest od 0, nawet jeśli wielomiany Taylora są konstruowane jedynie z informacji o
pochodnych zebranych w punkcie 0. W takich przypadkach mówimy, że e^x równa się
swojemu szeregowi Taylora dla wszystkich argumentów x, co jest dość magiczną sprawą.
Chociaż jest to prawdą dla niektórych innych ważnych funkcji, jak sinus i cosinus,
czasem szeregi zbiegają tylko w pewnym przedziale wokół argumentu, w którym
badamy pochodne. Jeśli chciałbyś policzyć szereg Taylora dla
ln(x) wokół x=1, który jest liczony przez ewaluację pochodnych
wyższego rzędu ln(x) w x=1, dostałbyś coś takiego.

German: 
Wenn Sie einen Eingang zwischen 0 und 2 anschließen,
Hinzufügen von immer mehr Begriffen dieser Reihe
wird Sie in der Tat näher und näher an die bringen
natürliches Protokoll dieser Eingabe.
Aber außerhalb dieses Bereichs, auch nur ein bisschen,
Die Serie nähert sich nichts.
Wenn Sie mehr und mehr Begriffe hinzufügen, springt die Summe
wild hin und her, es nähert sich nicht
das natürliche Protokoll dieses Wertes, obwohl
Das natürliche Protokoll von x ist perfekt definiert
für Eingänge über 2.
In gewissem Sinne die abgeleiteten Informationen
von ln (x) bei x = 1 verbreitet das nicht
weit.
In einem Fall wie diesem, in dem weitere Begriffe hinzugefügt werden
der Serie nähert sich nichts,
Sie sagen, die Serie geht auseinander.
Und dieser maximale Abstand zwischen dem Eingang
Sie nähern sich in der Nähe und zeigen, wo
die Ausgaben dieser Polynome tatsächlich
konvergieren, wird als "Konvergenzradius" bezeichnet
für die Taylor-Serie.

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

French: 
Quand on branche une entrée comprise entre 0 et 2, ajouter de plus en plus de termes de cette série
va en effet vous rapprocher de plus en plus du logarithme naturel de cette entrée.
Mais en dehors de cet intervalle, même d'un peu, la série ne parvient pas à approcher quoi que ce soit.
Lorsque vous ajoutez de plus en plus de termes, la sommes fait un va-et-vient violent, il n'approche pas
le logarithme naturel de cette valeur, même si le logarithme naturel de x est parfaitement bien défini
pour les entrées au-dessus de 2. Dans un certain sens, les informations sur les dérivées
de ln(x) pour x=1 ne se propage pas très loin.
Dans un cas comme celui-ci, où l'ajout de termes de la série ne se rapproche de rien,
on dit que la série diverge. Et la distance maximale entre l'entrée
sur laquelle vous approximer et les points où les polynômes convergent,
est appelé le « rayon de convergence »
pour la série de Taylor.

English: 
When you plug in an input between 0 and 2,
adding more and more terms of this series
will indeed get you closer and closer to the
natural log of that input.
But outside that range, even by just a bit,
the series fails to approach anything.
As you add more and more terms the sum bounces
back and forth wildly, it does not approaching
the natural log of that value, even though
the natural log of x is perfectly well defined
for inputs above 2.
In some sense, the derivative information
of ln(x) at x=1 doesn’t propagate out that
far.
In a case like this, where adding more terms
of the series doesn’t approach anything,
you say the series diverges.
And that maximum distance between the input
you’re approximating near, and points where
the outputs of these polynomials actually
do converge, is called the “radius of convergence”
for the Taylor series.

Polish: 
Jeśli wstawisz dowolny argument pomiędzy 0 i 2, dokładanie większej liczby wyrazów do tego szeregu
faktycznie zbliży cię do logarytmu naturalnego tej liczby.
Jednak poza tym przedziałem, nawet tuż za nim, szereg przestaje zbiegać do czegokolwiek.
Gdy dodajesz coraz więcej wyrazów, szereg skacze dziko w przód i w tył; nie zbliża się
to logarytmu naturalnego tej liczby, nawet mimo tego, że ln(x) jest bardzo dobrze zdefiniowany dla
argumentów powyżej 2. W pewnym sensie,  informacja o pochodnej
ln(x) w x=1 nie rozszerza się tak daleko.
W takich przypadkach, gdy przy dodawaniu nowych wyrazów szereg do niczego się nie zbliża,
mówimy, że szereg rozbiega. Z kolei największa odległość między punktem,
wokół którego przybliżamy, i punktami gdzie wartości tego wielomianu faktycznie
zbiegają, nazywa się "promieniem zbieżności" dla szeregu Taylora.

Spanish: 
Cuando se considera una valor de entrada entre 0 y 2,
sumando más y más términos de esta serie
nos acercaremos más y más al
logaritmo natural de esa entrada.
Pero fuera de ese rango, aunque sea por muy poco,
la serie no se acerca a nada.
A medida que se agregan más y más términos, la suma oscila salvajemente, no se acerca
al logaritmo natural de ese valor, aunque el logaritmo natural de x está perfectamente definido
para entradas superiores a 2.
En cierto sentido, la información de las derivadas de ln(x) en x = 1 no se propaga lejos.
En un caso como este, donde la suma de más y más términos de la serie no se acerca a nada,
se dice que la serie diverge.
Y a la distancia máxima entre la entrada donde estás aproximando
y los puntos donde los valores de estos polinomios en realidad convergen
se llama "radio de convergencia" de la serie de Taylor.

Hindi: 
जब आप 0 और 2 के बीच इनपुट प्लग करते हैं,
इस श्रृंखला के अधिक से अधिक शब्द जोड़ना
वास्तव में आप के करीब और करीब आ जाएगा
उस इनपुट का प्राकृतिक लॉग।
लेकिन उस सीमा के बाहर, यहां तक ​​कि थोड़ा सा भी,
श्रृंखला कुछ भी संपर्क करने में विफल रहता है।
जैसा कि आप अधिक से अधिक शर्तों को जोड़ते हैं
आगे और पीछे जंगली, यह नहीं आ रहा है
उस मूल्य का प्राकृतिक लॉग, भले ही
एक्स का प्राकृतिक लॉग पूरी तरह से परिभाषित है
2 से ऊपर इनपुट के लिए।
कुछ अर्थ में, व्युत्पन्न जानकारी
x = 1 पर ln (x) का प्रचार नहीं करता है
दूर।
इस तरह के मामले में, जहां अधिक शर्तें जोड़ रही हैं
श्रृंखला का कुछ भी संपर्क नहीं करता है,
आप कहते हैं कि श्रृंखला अलग हो जाती है।
और इनपुट के बीच अधिकतम दूरी
आप निकटतम अनुमान लगा रहे हैं, और कहां बताते हैं
वास्तव में इन बहुपदों के आउटपुट
अभिसरण करें, "अभिसरण का त्रिज्या" कहा जाता है
टेलर श्रृंखला के लिए।

Italian: 
Quando si inserisce un input tra 0 e 2,
aggiungendo sempre più termini di questa serie
ti porterà davvero sempre più vicino al
registro naturale di quell'input.
Ma al di fuori di questo intervallo, anche solo un po ',
la serie non riesce ad avvicinarsi a nulla.
Man mano che si aggiungono sempre più termini, la somma rimbalza
avanti e indietro selvaggiamente, non si avvicina
il registro naturale di quel valore, anche se
il registro naturale di x è perfettamente definito
per ingressi superiori a 2.
In un certo senso, l'informazione derivata
di ln (x) in x = 1 non si diffonde
lontano.
In un caso come questo, dove si aggiungono più termini
della serie non si avvicina a nulla,
tu dici che la serie diverge.
E quella distanza massima tra l'input
ti stai avvicinando e punti dove
le uscite di questi polinomi in realtà
convergere, è chiamato il "raggio di convergenza"
per la serie di Taylor.

Hindi: 
टेलर श्रृंखला के बारे में जानने के लिए और भी कुछ है,
उनके कई उपयोग मामलों, रखने के लिए रणनीति
इन अनुमानों की गलती पर सीमाएं,
इन श्रृंखलाओं को समझने के लिए परीक्षण
करो और अभिसरण मत करो।
उस मामले के लिए सीखने के लिए और भी बनी हुई है
पूरी तरह से गणक के बारे में, और अनगिनत
विषयों को इस श्रृंखला से छुआ नहीं है।
इन वीडियो के साथ लक्ष्य आपको देना है
मौलिक अंतर्ज्ञान जो आपको महसूस करते हैं
आपके ऊपर आत्मविश्वास और कुशल सीखना
खुद, और संभावित रूप से और भी rediscovering
अपने लिए विषय का।
टेलर श्रृंखला के मामले में, मौलिक
जब आप अधिक खोजते हैं तो ध्यान में रखने के लिए अंतर्ज्ञान
यह है कि वे व्युत्पन्न जानकारी का अनुवाद करते हैं
अनुमानित जानकारी के लिए एक बिंदु पर
उस बिंदु के आसपास।
इस तरह की अगली श्रृंखला संभावना पर होगी,
और यदि आप उन वीडियो के रूप में प्रारंभिक पहुंच चाहते हैं
बने होते हैं, आप जानते हैं कि कहां जाना है।

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

German: 
Es bleibt noch mehr über Taylor-Serien zu lernen,
ihre vielen Anwendungsfälle, Taktiken zum Platzieren
Grenzen des Fehlers dieser Annäherungen,
Tests zum Verständnis, wann diese Serien
konvergieren und nicht konvergieren.
Für diese Angelegenheit bleibt noch mehr zu lernen
über Kalkül als Ganzes und die unzähligen
Themen, die von dieser Reihe nicht berührt werden.
Das Ziel mit diesen Videos ist es, Ihnen zu geben
die grundlegenden Intuitionen, die Sie fühlen lassen
Selbstbewusstes und effizientes Lernen mehr über Ihre
besitzen und möglicherweise sogar mehr wiederentdecken
des Themas für sich.
Im Fall der Taylor-Reihe ist die grundlegende
Intuition zu beachten, wenn Sie mehr erforschen
ist, dass sie abgeleitete Informationen übersetzen
an einem einzigen Punkt zur Annäherungsinformation
um diesen Punkt.
Die nächste Serie wie diese wird auf Wahrscheinlichkeit sein,
und wenn Sie frühzeitig auf diese Videos zugreifen möchten
gemacht sind, wissen Sie, wohin Sie gehen müssen.

English: 
There remains more to learn about Taylor series,
their many use cases, tactics for placing
bounds on the error of these approximations,
tests for understanding when these series
do and don’t converge.
For that matter there remains more to learn
about calculus as a whole, and the countless
topics not touched by this series.
The goal with these videos is to give you
the fundamental intuitions that make you feel
confident and efficient learning more on your
own, and potentially even rediscovering more
of the topic for yourself.
In the case of Taylor series, the fundamental
intuition to keep in mind as you explore more
is that they translate derivative information
at a single point to approximation information
around that point.
The next series like this will be on probability,
and if you want early access as those videos
are made, you know where to go.

Spanish: 
Todavía queda más por aprender sobre las series de Taylor, sus muchos usos, tácticas para colocar
límites en el error de estas aproximaciones,
pruebas para saber cuándo estas series
convergen y no convergen.
Para ese asunto, queda mucho más por aprender
sobre el cálculo como un todo, y los innumerables
temas no tocados por esta serie.
El objetivo de estos videos es brindarte
las intuiciones fundamentales que te hacen sentir
seguro y eficiente aprendiendo más por tu cuenta, y posiblemente incluso redescubriendo más
del tema por ti mismo.
En el caso de las series de Taylor, la fundamental intuición a tener en cuenta  a medida que explores más
es que traducen información de las derivadas en un solo punto
a información sobre la aproximación
alrededor de ese punto.
 
La próxima serie como esta será sobre probabilidad,
y si quieres acceder a los videos
según se van produciendo, ya sabes a dónde ir.

Italian: 
Rimane altro da sapere sulle serie di Taylor,
i loro molti casi d'uso, tattiche per l'immissione
limita l'errore di queste approssimazioni,
test per capire quando queste serie
fare e non convergere.
Del resto rimane ancora da imparare
sul calcolo nel suo complesso e sull'infinito
argomenti non toccati da questa serie.
L'obiettivo di questi video è darti
le intuizioni fondamentali che ti fanno sentire
apprendimento sicuro ed efficiente di più sul tuo
possedere e potenzialmente anche riscoprire di più
dell'argomento per te.
Nel caso della serie Taylor, la fondamentale
intuizione da tenere a mente mentre esplori di più
è che traducono le informazioni derivate
in un singolo punto delle informazioni di approssimazione
intorno a quel punto.
Le prossime serie come questa saranno su probabilità,
e se vuoi un accesso anticipato come quei video
sono fatti, sai dove andare.

Polish: 
Zostaje więcej do nauki donośnie szeregów Taylora, wiele przypadków ich stosowań, sposoby na
szacowanie błędu tych przybliżeń, testy na zrozumienie, kiedy te szeregi
zbiegają, a kiedy nie. W tym celu, zostaje wiele do nauki
o analizie jako takiej i całe mnóstwo tematów nieporuszanych przez tę serię.
Celem tych filmów jest przekazać ci podstawową intuicję, która sprawia,
że czujesz się pewny i uczysz się lepiej samemu, i potencjalnie odkryjesz znowu większą część
tego tematu dla siebie. W przypadku szeregów Taylora, podstawową
intuicją, o której należy pamiętać przy dalszych odkryciach, jest to, że tłumaczą informacje o pochodnych
w jednym punkcie na przybliżenie wokół tego punktu.
Następna taka seria będzie dotyczyć prawdopodobieństwa i jeśli chcesz uzyskać
dostęp do tych filmów, gdy są tworzone, wiesz gdzie się udać.

French: 
Il reste beaucoup à apprendre sur les séries de Taylor, leurs nombreux cas d'utilisation, les techniques mises en places
pour borner l'erreur de ces approximations, les tests pour comprendre quand ces séries
convergent ou pas. Et d'ailleurs, il reste plus à apprendre
au sujet de l'analyse dans son ensemble, et les innombrables
sujets non abordés dans cette série.
L'objectif de ces vidéos est de vous donner les intuitions fondamentales qui vous font sentir
assez confiant pour apprendre plus efficacement de votre côté, et peut-être même redécouvrir
de ce sujet par vous-même. Dans le cas des séries de Taylor, l'intuition fondamentale
à garder à l'esprit quand vous explorez plus est qu'elles traduisent des informations de dérivées
en un point unique en approximation 
autour de ce point.
Merci encore à ceux qui ont sponsorisés cette série.
La prochaine série comme celle-ci sera sur les probabilités, et si vous voulez avoir un accès anticipé à ces vidéos,
vous savez où aller.
