
French: 
Les mathématiques requièrent une petite dose non pas de génie, mais d'une liberté imaginative qui dans des quantités plus importantes relèveraient d'insanité. ~Angus K. Rodgers
Dans la dernière vidéo, en plus de la notion d'addition et de multiplication scalaire, j'ai décrit la notion de coordonnées vectorielles, et cette idée d'allers/retours entre "couples de nombres" et "vecteurs 2-dimensionnelles"
J'imagine que les coordonnées de vecteurs vous sont familières
mais il y a une façon intéressante de penser à ces coordonnées
qui est assez capital dans l'algèbre linéaire
Quand vous avez une paire de nombres censés décrire un vecteur, comme [3,-2],
j'aimerais que vous pensiez à ces nombres comme des scalaires,
c'est à dire se concentrer sur comment ces 2 nombres étirent ou rétrécissent des vecteurs
dans un plan x y, il y a 2 vecteurs spéciaux
celui qui part vers la droite et de longueur 1 qu'on appelle î, ou le vecteur unitaire dans la direction x,

Chinese: 
在上一個錄像中，和矢量的相加以及
乘以係數的法想法一起，我描述了矢量的坐標，
在那裏兩者之間的來來囘囘，例如，在一對數字和一個2-維矢量之間。
現在，我想象中矢量坐標對你們中許多人都已熟悉
但是有另一種方法來考慮這些坐標，
它對綫性代數的是很核心。
如果你有一對數字它們是想用來描述一個矢量的，像[3,-2]，
而我想要你們把每個坐標考慮成一個標量，
意思是，想一想每一個怎樣伸長或者壓縮矢量。
在xy-坐標系統中，有兩個非常特殊的矢量：
一個長度為1指向右，通常叫做“i-hat”，
或者在x-方向上的單位矢量，

Arabic: 
في الفيديو الأخير ، جنبا إلى جنب مع أفكار
إضافة متجه وضرب العددية ،
لقد وصفت إحداثيات الخطوط المتجهة
أين هذا ذهابا وإيابا بين ، على سبيل المثال ، أزواج من الأرقام وناقلات ثنائية الأبعاد.
الآن ، أتخيل أن إحداثيات المتجهات كانت مألوفة لكثير منكم
ولكن هناك طريقة أخرى للتفكير في هذه الإحداثيات
وهو أمر أساسي في الجبر الخطي
عندما يكون لديك زوج من الأرقام يُقصد به وصف المتجه ، مثل [3 ، -2]
أريدك أن تفكر في كل تنسيق كحجمي
بمعنى أن تفكر في كيف يمتد كل واحد أو يسحق المتجهات
في نظام الإحداثيات xy ، هناك نوعان من المتجهات الخاصة جدا
واحد يشير إلى اليمين مع طول 1 ، وتسمى عادة 'آي قبعة' ، أو متجه الوحدة
في الاتجاه السيني ،
والأخرى تسير بشكل مستقيم ، مع الطول 1 ، وتسمى عادة 'j-hat

Turkish: 
~~ Giriş Müziği  ~~
Matematik için az miktarda; dehaya değil de, fazlası delilik olacak "hayal serbestliği"ne sahip olmak gereklidir.
 
 
~ Angus K. Rodgers
Son videoda, vektörel toplama ve skalar çarpım fikirleri ile birlikte "vektör koordinatları"nı tarif etmiştim.
Vektör koordinatları, sayı çiftleri ile iki boyutlu vektörler arasındaki dönüşümleri yaptığımız zemindi.
Şimdi, muhtemelen; pek çoğunuz koordinat sistemini biliyordunuz,
ama eminim bu koordinatları düşünmenin başka ilginç bir yolu olduğunu düşünmemiştiniz.
Doğrusal cebirde oldukça merkezi şu fikri düşünün:
Bir vektörü anlatmak üzere [3,-2] gibi bir sayı çifti varken elimizde,
bu iki değerin her birini skalar (boyutlandırıc) olarak düşünün istiyorum.
her birinin vektörü nasıl esnetip, sıkıştırdığını düşünün.
xy-koordinat sisteminde iki tane oldukça özel vektör vardır.
birincisi; şakpkalı i -> sağa bakan 1 birim büyüklükte, x eksenindeki birim vektör ve
ikincisi; şapkalı j  ^ yukarı bakan 1 birim büyüklükte,

Russian: 
Математика требует малых доз, но не гениальности, а свободы воображения, которая в больших дозах неминуемо приводит к сумасшествию. – Aнгус К. Роджерс
В прошлом видео, наряду с понятием сложения векторов и скалярного умножения, я описал понятие координат вектора,
как переход между, например, парами чисел и двумерными векторами.
Скорее всего, координаты векторов были знакомы вам и до этого,
но есть и другой интересный способ думать о координатах,
и он централен для линейной алгебры.
Когда у вас есть пара чисел, описывающие вектор, например [3;-2],
подумайте о каждом из них, как о скаляре,
т.е.представьте, как каждый из них растягивает или сжимает векторы.
В плоской системе координат ху есть два особенных вектора:
один, указывающий направо, с длиной 1, обычно называемый i или единичным вектором в направлении х,
и другой, указывающий вверх, с длиной 1, обозначаемый j,

Czech: 
V minulém videu jsem vedle konceptů sčítání vektorů a jejich násobení skalárem
vysvětlil souřadnice vektorů,
které slouží pro přepínání mezi náhledy na ně, třeba mezi dvojicemi čísel a šipkami v rovině.
Teď předpokládám, že se souřadnicemi vektorů už se kamarádíte,
ale je zde jiný způsob, jak se dívat na souřadnice,
který je v lineární algebře docela klíčový.
Když máte dvojici čísel, která popisuje vektor jako [3, -2],
chci, abyste každou ze souřadnic chápali jako skalár
v tom smyslu, že natáhnou nebo smrsknou vektory.
V rovině x,y jsou dva základní vektory:
jeden ukazující doprava s délkou 1, obvykle označovaný "i se stříškou", či jako jednotkový vektor
ve směru x,
a druhý ukazuje nahoru, má délku 1, a říká se mu "j se stříškou"

Korean: 
지난번 비디오에서 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈과 함께 벡터 좌표를 설명하였습니다.
(자막역자: 원본자막 타이밍이 동영상보다 한박자 빠릅니다. 그래서 자막이 음성보다 빨리나옵니다.ㅜ;)
예를들어 숫자쌍과 2차원 벡터라는 개념들 사이를 오가면서 말이죠.
이제, 여러분들에게 벡터 좌표가 많이 익숙해 익숙해졌다고 생각합니다.
그런데 이런 좌표들을 다른방식으로 볼 수 있는 흥미로운 또 다른 관점이 있습니다.
선형대수에서 꽤나 중심에 해당하는 것인데요.
[3, -2] 와 같은 벡터를 묘사하는 숫자쌍이 있을때
저는 각 좌표값을 하나의 스칼라(scalar)로써 생각해봤으면 합니다.
즉, 각각 좌표값이 벡터를 어떻게 늘리고 줄일지에 대한 정보라는 것이죠.
xy 좌표계에서, 매우 특별한 두가지 벡터가 있습니다.
바로, 오른쪽 방향의 길이 1 벡터로 "아이-헷(i-hat)" 이라 부르며, x 축의 단위벡터(unit vector)라고도 합니다.
그리고 위쪽 방향으로 길이 1인 벡터를 "제이-헷(j-hat)" 이라고 부르거나

iw: 
"מתמטיקה דורשת מנה קטנה, לא של גאונות, אלא של חופש יצירתי, שלמעשה, במנה גדולה יותר, תיחשב כשיגעון" - אגנוס ק. רוג'רס
בסירטון האחרון, לצד הרעיונות של חיבור וקטורי ומכפלה סקלרית, תיארתי גם קואורדינטות של וקטור.
בעוד שהלכנו הלוך ושוב, לדוגמא, בין זוגות מספרים לעולם הדו-מימדי.
עכשיו, אני מתאר כי קואורדינטות של וקטור היו מוכרים להרבה ממכם(הצופים),
אבל ישנה דרך מעניינת לחשוב על אותם קואורדינטות,
שהיא מאוד מרכזית באלגברה לינארית.
כשיש לך זוג מספרים שמיועדים לתאר וקטור, כמו  [2-,3],
אני רוצה שתחשוב על כל קוארדינטה כסקלר,
הכוונה היא, תחשוב תחשוב איך כל קוארדינטה מותחת או דוחסת את הוקטורים
במערכת הצירים X ו-Y ישנם שני וקטורים מיוחדים:
האחד שמכוון עם האורך 1 ימינה, נקרא לרוב "i כובע" בכיוון ציר ה-X,
ואחד שמכוון למעלה עם האורך 1, נקרא לרוב "j כובע"

Japanese: 
前回のビデオでは，ベクトルのたし算と
定数倍の考えに沿ってベクトルの座標を説明しました
たとえば，そこでは2つの数の組合せと
2次元ベクトルが対応していました
多くの人はベクトルの座標を
よく理解できたのではないでしょうか
しかし，この座標についてもうひとつ
興味深い考え方があります
線型代数の中心となるものです
ベクトルを表す1組の数
たとえば (3, -2) があるとします
それぞれの座標を
スカラーとして考えてください
つまり，それぞれの座標がベクトルを
伸縮させたりすると考えるのです
x-y座標系では，2つの特別なベクトルがあります
1つは，右方向を指し，長さが1のベクトルです
ｉ ベクトルと呼ばれる，x軸方向の単位ベクトルです
もう1つは，上方向を指し，長さが1のベクトルです
ｊ ベクトルと呼ばれる

Italian: 
Nell'ultimo video, insieme al concetto di addizione vettoriale e prodotto scalare,
ho descritto le coordinate vettoriali
dove c'è una corrispondenza tra, per esempio, una coppia di numeri e un vettore bidimensionale
Ora, immagino che le coordinate vettoriali siano già familiari a molti di voi
ma c'è un altro modo alquanto interessante di pensare a queste coordinate,
il quale è abbastanza fondamentale nell'algebra lineare.
Quando avete una coppia di numeri che descrivono un vettore, come [3, -2],
voglio che vi immaginiate ogni coordinata come uno scalare,
cioè, pensare a come ogni coordinata allunghi o schiacci i vettori.
Nel sistema di coordinate x-y, ci sono due vettori molto speciali:
quello che punta a destra con lunghezza 1, comunemente chiamato "versore-i" (i-cappuccio), o vettore unità
nella direzione x,

Polish: 
W ostatnim filmie, razem z koncepcją dodawania wektorów i mnożenia przez skalary, opisałem współrzędne wektorów,
gdzie można przekształcać tam i z powrotem np. pary liczb na wektory 2-wymiarowe.
Wydaje mi się że współrzędne wektorów są już znane większości was,
ale jest jeszcze jeden ciekawy sposób myślenia o tych koordynatach -
który jest w głębi algebry liniowej.
Kiedy mamy parę liczb które mają opisywać wektor, jak [3, -2],
chciałbym żebyście myśleli o każdej współrzędnej jako o skalarze, tj.
myślcie jak każda z nich rozciąga lub skraca wektory.
W kartezjańskim (XY) układzie współrzędnych istnieją dwa wyjątkowe wektory:
- wskazujący w prawo o długości 1, nazywany "i-z-daszkiem", lub wektorem jednostkowym w kierunku osi x,
i wskazujący prosto w górę, o długości 1, nazywany wersorem osi y - "j-z-daszkiem",

Portuguese: 
A Matemática requer uma pequena dose, não de brilhantismo, mas de liberdade imaginativa, e se esta passasse da dose, então seria loucura. -Angus K. Rodgers
No último vídeo , junto com as ideias de adição de vetores e multiplicação por um escalar, eu descrevi as coordenadas do vetor,
nas quais existem uma relação de ida e volta entre, por exemplo, pares de números e vetores bidimensionais.
Agora, eu imagino que as coordenadas de um vetor já sejam familiares para muitos de vocês,
mas há uma outra forma interessante de pensar sobre essas coordenadas,
que é fundamental em álgebra linear.
Quando você tem um par de números e os usa para descrever um vetor, como [3, -2],
pense que as coordenadas são cada uma um escalar,
ou seja, pense em como  cada um alonga ou encurta os vetores.
No sistema de coordenadas xy, existem dois vetores muito especiais:
o que aponta para a direita com comprimento 1, comumente chamado de vetor "i", ou o vetor unitário na direção x,
e aquele apontando para cima com comprimento 1, comumente chamado de vetor  "j",

English: 
In the last video, along with the ideas of
vector addition and scalar multiplication,
I described vector coordinates,
where's this back and forth between, for example,
pairs of numbers and two-dimensional vectors.
Now, I imagine that vector coordinates were
already familiar to a lot of you,
but there's another kind of interesting way
to think about these coordinates,
which is pretty central to linear algebra.
When you have a pair of numbers that's meant
to describe a vector, like [3, -2],
I want you to think about each coordinate
as a scalar,
meaning, think about how each one stretches
or squishes vectors,
In the xy-coordinate system, there are two
very special vectors:
the one pointing to the right with length
1, commonly called "i-hat", or the unit vector
in the x-direction,
and the one pointing straight up, with length
1, commonly called "j-hat",

Spanish: 
La Mátematica requiere una pequeña dosis, no de genialidad, sino de una libertad imaginativa que, en grandes dosis, sería locura
En el último video, además de las ideas de suma vectorial y multiplicación por un escalar, describí las coordenadas vectoriales,
que es donde ocurre el cambio entre, por ejemplo, pares de números y vectores bidimensionales.
Me imagino que las coordenadas vectoriales ya les eran familiares a muchos de ustedes,
pero hay otra manera interesante de pensar en estas coordenadas
la cual es bastante central para el algebra lineal.
Cuando tengan un par de números que pretenden describir un vector, como [3,-2],
Quiero que piensen en cada coordenada como un escalar,
es decir, piensen en cómo cada uno estira o encoge a los vectores.
En el sistema de coordenadas x-y, hay dos vectores muy especiales:
El que apunta a la derecha con longitud 1, llamado comunmente el vector "i" o vector unitario en la dirección "x"
y el que apunta hacia arriba  con longitud 1, comunmente llamado vector "j"

German: 
Im letzten Video habe ich zusätzlich zu Vektoraddition und Vektormultiplikation auch Vektorkoordinaten beschrieben,
wo es dieses Hin und Her zwischen, zum Beispiel, Zahlentupeln und zweidimensionalen Vektoren gibt.
Jetzt gehe ich davon aus, dass die meisten von euch Vektorkoordinaten schon verstehen,
aber es gibt eine andere sehr interessante Sichtweise auf diese Koordinaten,
die in der Linearen Algebra ziemlich zentral ist.
Wenn wir ein Tupel von Zahlen haben, die einen Vektor beschreiben sollen, wie zB [3,-2],
stellt euch jede Koordinate als einen Skalar vor,
also eine Zahl die Vektoren ausdehnt oder komprimiert.
Im xy-Koordinatensystem gibt es zwei ganz spezielle Vektoren:
Den, der nach rechts zeigt mit Länge 1, genannt "i-Dach", oder "der Einheitsvektor in x-Richtung",
und den der direkt nach oben zeigt mit Länge 1, genannt "j-Dach",

Chinese: 
上一期视频中，在介绍向量加法和数乘的同时
我介绍了向量坐标，这也是在数与向量之间反复出现的概念
比如说一对数和二维向量
我想，你们大部分人都很熟悉向量坐标这个概念
但是还有一种有趣的方式来看待这些坐标
它对线性代数非常重要
当你看到一对描述向量的数时，比如(3,-2)
我想让你把它的每个坐标看作一个标量
也就是说它们如何拉伸或压缩一个向量
在xy坐标系中，有两个非常特别的向量
一个指向正右方，长度为1，通常被称为“i帽”或者x方向的单位向量

Turkish: 
y-yönünde birim vektör diye anılan.
Şimdi, vektörümüzün x koordinatını, i yi 3 katına sündüren
bir skalar olarak düşünün,
y koordinatını, j yi ters çevirip, 2 katına sündüren bir
skalar olarak düşünün.
Bu bağlamda, bu koordinatların tarif ettiği vektörler iki esnetilmiş vektörün toplamı oldu.
"İki esnetilmiş vektörü birbirine eklemek" fikri şaşırtıcı derecede önemli bir olgudur.
İlgili iki vektör; ki özel isimleri vardır bu arada, i ve j vektörleri
birlikte, koordinat sisteminin esası olarak adlandırıılırlar.
Bu ne demek? Basitçe; koordinatları skalar olarak düşününce,
asıl vektörler, bu skalar değerlerin esnettikleri vektörlerdir.
Esasen daha teknik bir tanımı vardır ama ona sonra değineceğim.
Koordinat sistemimizi bu iki temel vektör çerçevesinde düzenleyince,
oldukça ilginç ve ince bir nokta ortaya çıkar:

German: 
oder "der Einheitsvektor in y-Richtung".
Nun stellt euch die x-Koordinate unseres Vektors als einen Skalar vor der i-Dach skaliert, also hier um den Faktor 3 ausdehnt,
und die y-Koordinate als einen Skalar der j-Dach skaliert, hier umkehrt und dann um den Faktor 2 ausdehnt.
In diesem Sinn ist der Vektor den diese Koordinaten beschreiben die Summe zweier skalierter Vektoren.
Das ist eine überraschend wichtige Erkenntnis, diese Idee zwei skalierte Vektoren zu addieren.
Diese zwei Vektoren, i-Dach und j-Dach, haben einen speziellen Namen.
Zusammen heißen sie die Basis eines Koordinatensystems.
Das bedeutet, dass, wenn wir uns die Koordinaten als Skalare vorstellen,
die Basisvektoren genau das sind, was diese Skalare ... skalieren.
Es gibt auch noch eine eher technische Definition, aber dazu komme ich später noch.
Wenn wir unser Koordinatensystem durch diese zwei speziellen Basisvektoren verstehen,
kommt eine recht interessante Frage auf:

Korean: 
y 축의 단위벡터(unit vector)라고 합니다.
이제, 벡터의 x 좌표값을 스칼라로서 i-hat 벡터를 늘리고 줄인다고 생각해봅시다. 팩터값 3 을 가지고 말이죠.
그리고 y 좌표값도 j-hat 벡터를 늘리고 줄이는 스칼라고 생각해봅시다. 방향을 반대로 뒤집고 팩터 2 만큼 늘리는 것이죠.
이런 방식에서 보면, 이 벡터를 2 개의 또 다른 벡터들을 스케일링하고 더한 결과로 볼 수 있습니다.
단순히 스케일링 된 두 벡터의 합이라고 보는 개념은 매우 중요한 컨셉입니다.
그런데 i-hat, j-hat 이라는 두 벡터는 매우 특별한 이름을 가지고 있는데요.
이 둘을 좌표계의 기저(basis) 라고 부릅니다.
즉, 설명하자면, 좌표값을 스칼라로 생각해보면,
기저(basis) 벡터들은 그 스칼라(좌표값)가 스케일링 하는 대상이 됩니다.
나중에 다루겠지만, 좀 더 기술적은 정의를 보자면,
우리의 좌표계를 이 두개의 특별한 기저벡터로 구성(framing) 하는 것입니다.
이렇게 하면 미묘하면서도 매우 흥미로운 것이 발생하는데요.

French: 
et celui qui part vers le haut de longueur 1 qu'on appelle ĵ, ou le vecteur unitaire dans la direction y
Pensez maintenant à la coordonnée x comme un scalaire s'appliquant sur î
ce qui revient à le tripler
et la coordonnée y comme un scalaire s'appliquant sur ĵ, l'inversant et le doublant
le vecteur que ces coordonnées décrivent est alors la représentation de la somme des 2 vecteurs MIS À L'ÉCHELLE
C'est un concept surpenant et intéressant
cette idée d'additionner 2 vecteurs mises à l'échelle.
Les vecteurs unitaires î et ĵ ont un nom spécial: ils sont ensemble ce qu'on nomme
la BASE DU REPÈRE xy
Tout ceci signifie qu'on peut imaginer les coordonnées comme des scalaires agissant sur les vecteurs de base, dont on fera la somme.
Il existe aussi une définition plus technique mais on y reviendra plus tard
Utiliser ces deux vecteurs unitaires, la base,
fait apparaître une remarque assez subtile: on aurait pu choisir des vecteurs de base complètement différents

Arabic: 
أو متجه الوحدة في اتجاه y.
الآن ، فكر في الإحداثيات السينية لمتجهنا كحجم قياسي يقيس i-hat ، وتمتد
من خلال عامل 3
و y-coordinate كجدول قياسي يقيس j-hat ، وقلبه وتمديده بواسطة
عامل 2
بهذا المعنى ، المتجهات التي تقوم بتنسيقها
وصف هو مجموع اثنين من نواقل تحجيمها.
هذا مفهوم مهم بشكل مدهش ، هذا
فكرة الجمع بين اثنين من المتجهات المقاسة.
هذين الموجهين ، i-hat و j-hat ، لهما
اسم خاص ، بالمناسبة.
معا ، انهم يسمى أساس التنسيق
النظام
ما يعنيه هذا ، في الأساس ، هو أنه عندما
ففكر في الإحداثيات مثل scalars ،
ناقلات الأساس هي ما هذه scalars في الواقع ،
أنت تعرف ، مقياس.
هناك أيضًا تعريف تقني أكثر ،
لكن سأصل إلى ذلك لاحقًا.
من خلال تأطير نظام التنسيق لدينا من حيث
من هذين الموجهين الخاصين ،
إنه يثير اهتمامًا رائعًا ودقيقًا
نقطة:

Russian: 
или единичный вектор в положительном направлении у.
Теперь подумайте об х-координате нашего вектора, как о скаляре, который удлиняет i в три раза,
и об у-координате, как о скаляре, который переворачивает j и удлиняет его в два раза.
В этом смысле, вектор, который представляют эти координаты является суммой двух “масштабированных” векторов.
Это удивительно важное понятие - идея о сложении двух “масштабированных” векторов.
Кстати, эти два вектора, i и j, имеют особое название:
Вместе их называют базисом системы координат.
Проще говоря, это означает, что когда вы думаете о координатах как о скалярах,
базисные векторы – это именно те векторы, которые "масштабируются" координатами .
Есть более строгое определение базиса, но я вернусь к нему позже.
Когда мы сформировали нашу систему координат из двух специальных базисных векторов,
у нас может возникнуть интересный и тонкий вопрос:

iw: 
או הוקטור יחידה בכיוון ציר ה-Y.
עכשיו, תחשוב על הקואורדינטה בציר ה-X של הוקטור שלנו בתור סקלר שמבצע סקלריות על ה"i כובע", מותח אותו בפקטור של 3.
במערכת הקואורדינטה Y, הסקלר שמבצע סקלריות על "j כובע", הופך את הוקטור ומותח אותו בפקטור של 2.
במובן הזה, הוקטורים הללו שהקואורדינטות הנ"ל מתארות הוא  סכום שני הוקטורים שבוצעה עליהם סקלריות.
באופן מפתיע, זהו רעיון חשוב, הרעיון שלחבר שני וקטורים שבוצע עליהם סקלריות.
לשני הוקטורים הללו, ה-i כובע וה-j כובע - קיים שם מיוחד.
ביחד, הם נקראים הבסיס של מערכת הקואורדינטות.
מה שזה אומר, באופן בסיסי, כשאתה חושב על קואורדינטות בתור סקלרים,
וקטורי הבסיס הם בעצם הסקלרים, אתה יודע, scale(שזה גם למדוד בעברית).
ישנה הגדרה יותר טכנית, אבל אגיע לכך בהמשך.
ע"י בניית מערכת הקואורדינטות שלנו ביחס לשני וקטורי הבסיס המיוחדים האלה,
זה מעלה נקודה מאוד מעניינת ועדינה.

English: 
or the unit vector in the y-direction.
Now, think of the x-coordinate of our vector
as a scalar that scales i-hat, stretching
it by a factor of 3,
and the y-coordinate as a scalar that scales
j-hat, flipping it and stretching it by a
factor of 2.
In this sense, the vectors that these coordinates
describe is the sum of two scaled vectors.
That's a surprisingly important concept, this
idea of adding together two scaled vectors.
Those two vectors, i-hat and j-hat, have a
special name, by the way.
Together, they're called the basis of a coordinate
system
What this means, basically, is that when you
think about coordinates as scalars,
the basis vectors are what those scalars actually,
you know, scale.
There's also a more technical definition,
but I'll get to that later.
By framing our coordinate system in terms
of these two special basis vectors,
it raises a pretty interesting, and subtle,
point:

Chinese: 
另一个指向正上方，长度为1，通常被称为“j帽”或者y方向的单位向量
现在想象向量(3, -2)的x坐标是一个标量，它将i帽拉伸为原来的3倍
y坐标也是一个标量，它将j帽反向并拉伸为原来的2倍
从这个角度去看，这个向量实际上是两个经过缩放的向量的和
“缩放向量并且相加”这一概念至关重要
顺便说一句，i帽和j帽两个向量有着特殊的名称
它们合起来被称为坐标系的基
这是在说，当你把坐标看作标量时
基向量实际上就是这些标量缩放的对象
基有着更加严格的定义，但是我们后面再说这一点
我们根据这两个特殊的基向量构建坐标系时
也浮现了一个有趣而微妙的问题

Spanish: 
o vector unitario en la dirección "y".
Ahora piensen en la coordenada x de nuestro vector como un escalar que "escala" al vector "i", estirándolo por un factor de 3,
y en la coordenada "y" como un escalar que "escala" al vector "j", volteándolo y estirándolo por un factor de 2.
En este sentido los vectores que describen estas coordenadas es la suma de estos dos vectores "escalados".
Ese es un concepto sorprendentemente importante, esta idea de sumar dos vectores "escalados".
Esos dos vectores, "i" y "j", tienen un nombre especial, por cierto.
Juntos son llamados la base de un sistema de coordenadas
Esto quiere decir, básicamente, que cuando piensen en unas coordenadas como escalares,
los vectores de la base son lo que esos escalares, pues, escalan.
Hay también una definición más técnica, pero la dejaré para más tarde.
Al entender nuestro sistema de coordenadas en términos de estos dos vectores especiales,
sale a colación un punto muy interesante y sutil:

Italian: 
e quello che punta in alto, con lunghezza 1, comunemente chiamato versore-j ("j-cappuccio"),
Ora, pensa alla coordinata x del nostro vettore come uno scalare che ridimensiona il versore i, allungandolo di 3
e la coordinata y come scalare che ridimensiona il versore j, capovolgendolo e allungandolo di 2
In questo senso, i vettori che queste coordinate descrivono sono la somma di due vettori scalati (versore i e j).
L'idea di addizionare insieme due vettori scalati è un concetto sorprendentemente importante.
Questi due vettori, versore-i e versore-j , hanno un nome speciale.
Insieme, sono chiamati la base di un sistema di coordinate
Ciò significa, fondamentalmente, che quando si pensa alle coordinate come scalari,
i vettori di base sono ciò questi scalari, scalano.
C'è anche una definizione più tecnica, ma ci arriveremo più tardi.
Inquadrando il nostro sistema di coordinate in termini di questi due vettori speciali di base,
ciò solleva un punto piuttosto interessante e sottile:

Japanese: 
y軸方向の単位ベクトルです
ベクトルのx座標を ｉ ベクトルをスケーリングする
スカラーと考えます． ｉ ベクトルを3倍に伸ばすのです
また，ベクトルのy座標を ｊ ベクトルをスケーリングする
スカラーと考えます． ｊ ベクトルを反転し2倍に伸ばすのです
この意味において，座標が表すベクトルは
スケーリングされた2つのベクトルの和になるのです
これは，驚くほど大切な考え方です
スケーリングされた2つのベクトルの和と見るのです
これら2つのベクトル， ｉ ベクトルと ｊ ベクトルには
特別な名前あります
ともに，座標系の「基底ベクトル」と呼ばれます
これは，座標をそれぞれスカラーと考えるとき
基底ベクトルは，実際にスカラーによって
スケーリングされることを意味します
もっと厳密な定義がありますが
それはあとで説明します
私たちの座標系をこれら2つの
特別な基底ベクトルで捉えることにより
とても興味深い，そして微妙なことが
浮かび上がってきます

Polish: 
lub wektorem jednostkowym w kierunku osi y.
Wyobraźmy sobie współrzędną X naszego wektora jako skalar zmieniający i-z-daszkiem, rozciągający go o współczynnik 3,
i współrzędna y jako skalar skalujący j-z-daszkiem, zmieniając mu zwrot i rozciągający go o współczynnik 2.
W tym rozumieniu, wektory opisywany przez te współrzędne jest sumą dwóch rozciągniętych wektorów.
To zaskakująco ważna idea - pomysł dodawania dwóch przeskalowanych wektorów.
Te 2 wektory, i-z-daszkiem i j-z-daszkiem, mają tak przy okazji własną nazwę.
Razem, tworzą podstawę układu współrzędnych.
To oznacza iż, kiedy myślimy o współrzędnych jako skalarach,
podstawowe wektory to te które te skalary, zasadniczo - skalują.
(jest bardziej techniczna definicja, ale wrócimy do tego później)
Opierając nasz system współrzędnych na bazie tych dwóch specjalnych wektorów,
pojawia się pewne interesując i subtelne spostrzeżenie:

Portuguese: 
ou o vetor unitário na direção y.
Agora, pense na coordenada x do nosso vetor como um escalar que causa o escalamento do vetor i, o esticando por um fator de 3,
e a coordenada y como um escalar que escala o vetor j, invertendo sua direção e o esticando por um fator de 2.
Neste sentido, os vetores descritos por essas coordenadas são a soma de dois vetores escalados.
Isso é um conceito surpreendentemente importante, esta ideia de soma de dois vetores escalados.
Esses dois vetores, i e j, tem um nome especial.
Juntos, eles são chamados de a base de um sistema de coordenadas.
Isto significa, basicamente, que quando você pensa em coordenadas como escalares,
os vetores da base são o que esses escalares, bem, escalam.
Existe uma definição mais aprofundadada, que explicarei mais à frente.
Ao definir o nosso sistema de coordenadas em termos desses dois vetores da base,
nos leva a uma idea interessante e sutil:

Chinese: 
而另一個長度為1指向上面的，通常叫做“j-hat” ，或者在y方向上的單位矢量。
現在，把我們矢量的x-坐標想作i-hat定量刻度的一個標量，按3倍的因素拉長
而y--軸上的坐標作爲 為j-hat作定量刻度的一個標量並拉長2倍並反一個方向
這這個意義上，這些坐標所描述是兩個經係數修改過的矢量之和。
那可是一個令人驚訝的重要概念，把兩個乘過係數的矢量相加的想法。
順便提一下，這些兩個矢量，i-hat，和j-hat，有一個特別的名字
兩個在一起，它們被稱作一個坐標的基本單位（basis）。
這是什麽意思，基本上來說，就是在你把坐標考慮成一些標量的時候，
單元矢量就是那些刻度標量，實際上，你們知道，係數。
還有一個更技術性的定義，但我將在以後來談。
以這兩個特殊的單元矢量來構建我們的坐標系統，
它提出了一個相當有趣，和深刻的觀點：

Czech: 
nebo jednotkový vektor ve směru y.
Teď si představte, že souřadnice x našeho vektoru je skalár, který škáluje i se stříškou, natahuje
jej s koeficientem 3,
a souřadnice y je skalár, který škáluje j se stříškou, překlápí jej a natahuje
s koeficientem 2.
V tomhle smyslu popisují souřadnice vektoru tento vektor jako součet dvou škálovaných vektorů.
To je překvapivě důležitá myšlenka, tento proces sečtení dvou škálovaných vektorů.
Tyhle dva vektory i, j mají mimochodem speciální název,
dohromady se nazývají bází souřadnicového systému.
To v podstatě znamená, že když se na souřadnice díváte jako na skaláry,
bázové vektory jsou to, co tyhle skaláry, však víte, škálují.
Taky existuje techničtější definice, ale k tomu se dostaneme později.
Když se na souřadnicový systém díváme skrze dva speciální bázové vektory,
nabízí se zajímavá myšlenka:

Polish: 
Moglibyśmy wybrać inne wektory bazowe, i dostać w wyniku rozsądny, nowy układ współrzędnych.
Na przykład, moglibyśmy wybrać wektor wskazujący w górę i w prawo, razem z
innym wektorem wskazującym w dół i w prawo.
Zastanówmy się przez chwilę o tych wszystkich różnych wektorach które możemy uzyskać wybierając dwa skalary,
używając każdego z nich do przeskalowania wektora, a później dodania ich.
Jakie 2-wymiarowe wektory można uzyskać wybierając różne skalary?
Odpowiedź jest taka że można uzyskać dowolny wektor 2-wymiarowy.
I wydaje mi się że to dobra łamigłówka nad która można się zastanowić.
Nowa para wektorów bazowych ciągle pozwala nam przejść uzyskać dowolny wektorem z
pary liczb - i odwrotnie -
lecz to powiązanie jest zupełnie inne niż to które mamy
wybierając bardziej typowo i-z-daszkiem oraz j-z-daszkiem.
Jest to temat który poruszę bardziej szczegółowo później, omawiając związek pomiędzy
różnymi układami współrzędnych. W tym momencie jednak warto zwrócić uwagę na fakt iż

Spanish: 
Pudiéramos haber escogido unos vectores base distintos y haber obtenido un nuevo sistema de coordenadas completamente razonable.
Por ejemplo, tomen algún vector apuntando hacia arriba y hacia la derecha, junto con
algún otro vector apuntando hacia abajo y a la derecha de alguna manera.
Tómense un momento para pensar sobre todos los vectores diferentes que pueden obtener escogiendo dos escalares,
usando cada uno para "escalar" uno de los vectores y sumando luego lo que obtengan.
¿Qué vectores bidimensionales pueden alcanzar alterando la escogencia de los escalares?
La respuesta es que pueden alcanzar cualquier vector bidimensional posible
y creo que es una buena interrogante preguntarse el por qué.
Un nuevo par de vectores base como éste también nos da una forma válida de cambiar entre
pares de números y vectores bidimensionales,
pero la asociación es definitivamente distinta de la que obienen
usando la base más estándar de "i" y "j".
Esto es algo que explicaré con mucho más detalle más tarde, describiendo la relación exacta entre
distintos sistemas de coordenadas, pero por ahora , sólo quiero que aprecien el hecho de que

Russian: 
мы могли выбрать другие векторы и получить новую равноправную систему координат
Например, выберем некоторый вектор, направленный вверх и вправо,
и другой, направленный немного вниз и вправо.
Подумайте на минутку о всех векторах, которые можно получить, выбрав два скаляра
и использовав каждый из них на соответствующем векторе, а потом сложив полученное.
Какие векторы можно получить, произвольно выбирая скаляры?
Ответ: вы могли бы достать абсолютно любой вектор в этой плоскости,
и я думаю, хорошим упражнением будет объяснение почему это так.
Такой новый базис все еще позволяет нам переходить между
парами чисел и двумерными векторами,
но соответствие между ними определенно иное, чем при использовании
более стандартного базиса i и j.
Это то, о чем я буду говорить подробнее позже, описывая точное соотношение между
разными системами координат, но сейчас я хочу, чтобы вы оценили тот факт, что

Korean: 
만약 다른 기저 벡터를 선택한다면, 또 하나의 완전한 새 좌표계를 얻게됩니다.
예를 들어, 위-오른쪽을 가리키는 벡터가 있고,
아래-오른쪽을 가리키는 벡터가 있다고 할 때,
다른 모든 벡터들을 이 두 백터에 적절한 두 개의 스칼라를 선택함으로써 표현할 수 있다는 것입니다.
각 스칼라는 각 기저벡터 하나를 스케일링하는 것이고, 두 스케일링 된 벡터를 더하는 방법으로요.
어떤 2차원 벡터들이 이러한 스칼라와 기저벡터 조합으로 표현 가능할까요?
정답은 모든 2차원 벡터들이 가능하다는 것입니다.
그리고 왜 그런지에 대한 고민은 좋은 수수께끼라고 생각합니다.
여기 소개된 새로운 기저벡터 쌍은 우리에게
숫자쌍과 2차원 벡터들 사이를 오갈 수 있는 유효한 길을 제공해줍니다.
하지만 그 앞뒤로 오가는 연관성은
좀 더 표준적인 기저, i-hat 과 j-hat 를 사용했을때와는 확실히 다릅니다.
좀 더 세부사항은 나중에 다루겠지만,
다른 좌표 시스템들 사이의 구체적 관계는, 당장은 다음 설명정도만 언급하고  넘어가겠습니다.

German: 
Wir hätten andere Basisvektoren wählen können, und so ein neues ebenfalls sinnvolles Koordinatensystem bekommen.
Zum Beispiel, nehmen wir einen Vektor der nach rechts oben zeigt,
und einen anderen, der nach rechts unten zeigt, auf beliebige Weise.
Lasst euch einen Moment Zeit um darüber nachzudenken, welche Vektoren wir beschreiben können, indem wir zwei Skalare nehmen,
die beiden Skalare benutzen um je einen der Vektoren zu skalieren, und dann die beiden addieren.
Welche zwei-dimensionale Vektoren können wir erreichen indem wir die Skalare beliebig wählen?
Die Antwort ist, dass wir jeden beliebigen zwei-dimensionalen Vektor erreichen können.
Und ich denke warum das so ist, ist ein gutes Kniffelproblem.
Ein neues Paar Basisvektoren wie dieses gibt uns einen zuverlässigen Weg,
um zwischen Zahlentupeln und zwei-dimensionalen Vektoren hin-und her zu wechseln,
aber die Zuordnung unterscheidet sich natürlich von der,
die wir mit der Standardbasis aus i-Dach und j-Dach bekommen haben.
Dies werde ich später deutlich detaillierter betrachten und den genauen Zusammenhang beschreiben zwischen
verschiedenen Koordinatensystemen. Aber zuerst möchte ich nur, dass klar ist,

Arabic: 
كان بإمكاننا اختيار ناقلات أساسية مختلفة ،
وتحصل على تنسيق جديد معقول تماما
النظام.
على سبيل المثال ، خذ بعض المتجه مشيرا
وإلى اليمين ، جنبا إلى جنب مع
بعض المتجهات الأخرى مشيرا إلى أسفل وإلى
صحيح ، بطريقة ما.
تأخذ لحظة للتفكير في كل مختلف
المتجهات التي يمكنك الحصول عليها عن طريق اختيار اثنين من scalars ،
باستخدام كل واحد لقياس أحد المتجهات ،
ثم جمع ما تحصل عليه.
أي ناقلات ثنائية الأبعاد يمكنك الوصول إليها
عن طريق تغيير الخيارات من scalars؟
الجواب هو أنه يمكنك الوصول إلى كل ما هو ممكن
ناقل ثنائي الأبعاد ،
وأعتقد أنه لغز جيد للتفكير
لماذا ا.
زوج جديد من المتجهات الأساسية مثل هذا لا يزال
يعطينا وسيلة صالحة للذهاب ذهابا وإيابا
ما بين
أزواج من الأرقام وناقلات ثنائية الأبعاد ،
لكن الجمعية مختلفة بالتأكيد
من الذي تحصل عليه
باستخدام أساس أكثر اعتيادية من آي قبعة و
ي-قبعة.
هذا شيء سأذهب إلى مزيد من التفاصيل
في وقت لاحق ، واصفا العلاقة بالضبط
ما بين
أنظمة إحداثيات مختلفة ، ولكن بشكل صحيح
الآن ، أنا فقط أريدك أن تقدر الحقيقة
أن

French: 
et aurait obtenu un système de coordonnées parfaitement saine et nouvelle.
Par exemple, prenons un vecteur orienté vers le haut/droite
et un autre vers le bas/droite.
Prenez le temps d'imaginer
tous les différents vecteurs qu'on peut obtenir en choisissant
2 scalaires et en les appliquant sur chaque vecteur pour ensuite en faire la somme.
Quels vecteurs du plan peuvent être créés en modifiant les valeurs des 2 scalaires?
la réponse : n'importe quel vecteur du plan.
Et c'est intéressant de voir pourquoi.
Une nouvelle base de 2 vecteurs unitaires nous permet toujours
ces allers/retours entre flèche et liste de nombres
mais on n'obtient plus la même liste
ni les mêmes coordonnées qu'avec î et ĵ, plus courants.
On étudiera cela beaucoup plus en détails par la suite
en montrant la relation exacte entre 2 systèmes de coordonnées mais pour le moment

Portuguese: 
Nós poderíamos ter escolhido diferentes vetores de base, e obter com isso um novo sistema de coordenadas completamente razoável.
Por exemplo, tome algum vetor apontando para cima e para a direita, junto com
algum outro vetor que aponta para baixo e para a direita, de alguma forma.
Pare um momento para pensar sobre todos os diferentes vetores que podem ser escolhidos tomando dois escalares,
usando cada um para escalar um dos vetores, e somando os resultados.
Quais vetores bidimensionais podemos alcançar escolhendo escalares diferentes?
A resposta é que você pode chegar a qualquer vetor bidimensional possível,
e eu acho que é um bom desafio investigar por que isso ocorre.
Um novo par de vetores de base como este aqui ainda nos dá uma forma válida para ir e voltar de
pares de números para vetores bidimensionais,
mas a associação é decididamente diferente do que você obtém
utilizando a base mais padrão de vetores i e j.
Isso é algo que eu vou me aprofundar mais à frente, definindo a relação entre diferentes sistemas de coordenadas,
mas no momento, gostaria de notar que sempre que descrevemos vetores numericamente

Chinese: 
我們可以選擇不同的單元矢量並得到一個完全合理的新的坐標系統的。
 
例如，就取一個朝上朝右的矢量一起和一個朝下朝右的。
化點時間來想一下通過選擇兩個不同的標量係數，用每一個來刻度一個矢量，
然後加起來，你可以得到所有的矢量。
什麽樣的2-維矢量你可以用變化係數的選擇來達到呢？
這答案是你可以達到每一個可能有的2-維矢量，
而我想這是一個很好的疑問來想一下為什麽？
像這樣一對新的單位矢量仍給我們一種
成立的方法
在數字對和2-維矢量之間來來囘囘的，
但是這種關係肯定和你用更標準的i-hat
和j-hat單元是不同的。這我將來要更深入來講的一件事
在不同的坐標系統裏的關係問題

iw: 
יכולנו לבחור וקטורי בסיס שונים, והיינו מקבלים מערכת קוארדינטות חדשה שהיא הגיונית לחלוטין.
לדוגמא, תיקח כמה וקטור כלשהו שמכוון למעלה וימינה, ביחד עם
וקטור כלשהו אחר, שכיוונו כלפי מטה וימינה בדרך כלשהי.
תיקח לעצמך רגע לחשוב על כל הוקטורים השונים שאתה יכול לקבל ע"י בחירת שני סקלרים.
להשתמש בכל אחד מהם כדי לבצע סקלריות על כל אחד מהוקטורים ולחבר ביחד את כל מה שקיבלת.
איזה וקטורים דו-מימדיים אתה יכול למצוא ע"י שינוי בחירת הסקלרים?
התשובה היא: שאתה יכול למצוא כל וקטור אפשרי שהוא דו-מימדי,
ואני חושב שזו חידה טובה להרהר למה.
זוג וקטורי בסיס חדשים כמו אלה עדיין נותנת לנו דרך אפשרית ללכת הלוך ושוב בין
זוגות מספרים ווקטורים דו-מימדיים, אבל האסוציאציה היא בהחלט שונה ממה שאתה מקבל
ע"י כך שאתה משתמש בבסיס סטדנדרטי של i כובע ו-j כובע.
זהו דבר שאכנס אליו יותר בפירוט בהמשך, בו אתאר את היחס המדויק בין
מערכות קוארדינטות שונות, אבל בשביל עכשיו, אני רק רוצה שתעריכו את העובדה

Japanese: 
異なる基底ベクトルをとることで，まったく合理的な
新しい座標系を得られるかもしれないのです
たとえば，右上を指すベクトルと
右下を指すベクトルがあるとします
これらのベクトルをスケーリングする
2つのスカラーを選び
スケーリングしたベクトルを足して
得られるベクトルについて考えてみましょう
スカラーの選び方を変えることで
どんな2次元ベクトルが得られるでしょう？
答えは，すべての2次元ベクトルが得られる，です
なぜ得られるのか，じっくり考えてみるとよいでしょう
このような新しい基底ベクトルを用いてもなお
数の組合せと2次元ベクトルの間を
行き来することができます
しかし，その関係は
より標準的な基底ベクトル ｉ ベクトルと ｊ ベクトルを
用いたときの関係とは，はっきり異なります
異なる座標系の間の正確な関係は
あとで説明しますが
今は，数値的にベクトルを表すとき

Chinese: 
我们完全可以选择不同的基向量，获得一个合理的新坐标系
比如说，随便选一个指向右上方的向量
再随便选一个指向右下方的向量
想象一下，通过选择两个标量，分别用于缩放二者的其中一个
然后把它们相加，你能得到不同的结果
通过改变所选择的标量，你可以得到哪些二维向量？
答案是，你可以得到所有的二维向量。为什么呢？
我想，这也是一个值得细思的好问题
这样的一对新的基向量，同样允许我们在一对数和二维向量之间自由转化
但是这种变换关系与之前用i帽和j帽的变换关系完全不同
后续我会详细说明不同坐标系之间的确切关系
但是就目前而言，我希望你能接受一点

Italian: 
Potremmo aver scelto diversi vettori di base e ottenuto un nuovo sistema di coordinate completamente ragionevole
Ad esempio, prendi alcuni vettori che puntano in alto a destra, insieme ad altri vettori che puntano in basso a destra
Prenditi un momento per pensare a tutti i diversi vettori che puoi ottenere scegliendo due scalari,
utilizzando ognuno per ridimensionare uno dei vettori, ed in seguito sommarli
Quali vettori bidimensionali puoi ottenere alterando le scelte degli scalari?
La risposta è che puoi ottenere ogni possibile vettore bidimensionale,
e penso che sia un buon enigma contemplare il perché.
Una nuova coppia di vettori base, come questa,
ci offre ancora un modo valido per avere una corrispondenza
tra coppie di numeri e vettori bidimensionali,
ma l'associazione è decisamente diversa
rispetto all'uso della base standard di versori i e j
Questo è qualcosa che approfondirò in seguito, descrivendo la relazione esatta tra due differenti sistemi di coordinate
ma per ora, voglio solo che tu apprezzi il fatto che
ogni volta che descriviamo i vettori numericamente,

Turkish: 
Farklı temel vektörler seçebilirdik,
ve tamamen makul, yeni bir koordinat sistemi elde edebilirdik.
Örneğin, yönü "sağ yukarı" bakan bir vektör düşünelim, birlikte
aynı şekilde "sağ aşağı" işaret eden başka bir vektör düşünelim.
Farklı iki skalar değer seçerek elde edebileceğin farklı vektörleri düşün bir süre...
her bir değer ile bir vektörü boyutlandırıp, sonra toplamını alacağını hatırla.
skalar değerleri değiştirerek hangi iki-boyutlu vektörlere ulaşabilirsin?
Cevap, olası her iki boyutlu vektör ulaşabileceğinizdir.
ve bence bu, neden olduğunu düşünmesi eğlenceli bir bulmaca.
Böylesi yeni temel vektör çifti
hala sayı çiftleri ile iki-boyutlu vektörler arasında
dönüşüm yapma imkanı tanıyor.
Fakat elbette ilişki daha evvel kullandığımız
standart olan i ve j vektörleri ile olandan farklı.
Bu daha sonra detaylarına gireceğim bir konu, farklı koordinat sistemleri
arasındaki
ilişkiyi tam bir şekilde anlatacağım ama şimdilik, şunu takdir etmenizi umuyorum
öyle ki

Czech: 
Mohli bychom si zvolit jiné bázové vektory a dostat zcela novou, ale smysluplnou soustavu
souřadnic.
Vezměme si například nějaký vektor ukazující nahoru doprava spolu
s jiným, který ukazuje nějak dolů doprava.
Zamyslete se na chvíli, jaké všechny vektory můžeme dostat tím, že si zvolíte dva skaláry,
každý aplikujete a jeden vektor a výsledky sečtete.
Které dvourozměrné vektory dokážete získat pouze tím, že obměňujete volbu skalárů?
Odpověď zní: Můžete dostat naprosto všechny dvourozměrné vektory,
a řekl bych, že stojí za to si rozmyslet proč.
Nová dvojice bázových vektorů nám stále dává funkční způsob, jak převádět
dvojice čísel
na dvourozměrné vektory a naopak,
ale toto propojení vypadá rozhodně jinak než to, které používá
klasickou bázi i, j.
Později se tomu budu věnovat dopodrobna a popíšu přesný vztah
mezi
různými souřadnicovými systémy, ale teď chci jenom zdůraznit skutečnost,
že

English: 
We could've chosen different basis vectors,
and gotten a completely reasonable, new coordinate
system.
For example, take some vector pointing up
and to the right, along with
some other vector pointing down and to the
right, in some way.
Take a moment to think about all the different
vectors that you can get by choosing two scalars,
using each one to scale one of the vectors,
then adding together what you get.
Which two-dimensional vectors can you reach
by altering the choices of scalars?
The answer is that you can reach every possible
two-dimensional vector,
and I think it's a good puzzle to contemplate
why.
A new pair of basis vectors like this still
gives us a valid way to go back and forth
between
pairs of numbers and two-dimensional vectors,
but the association is definitely different
from the one that you get
using the more standard basis of i-hat and
j-hat.
This is something I'll go into much more detail
on later, describing the exact relationship
between
different coordinate systems, but for right
now, I just want you to appreciate the fact
that

Japanese: 
基底ベクトルの選び方によって
その関係は変わる，と理解しておいてください
このように，2つのベクトルを
スケーリングして足し合わせたものを
ベクトルの「線型結合」といいます
どこから「線型」という言葉が出てきたのでしょう？
どのようにこれが「線」と関係しているのでしょう？
語源ではありませんが
私の好きな考え方は
もし，1つのスカラーを固定し
もう1つのスカラーを自由に変化させると
足し合わせたベクトルの終点は
直線を描く，というものです
両方のスカラーが自由に変化して得られる
すべてのベクトルを考えると
2つのことが起こりえます
ほとんどの場合，ベクトルの組合せで
平面内のすべての点を示すことができます
すべての2次元ベクトルが得られるのです
しかし，2つのベクトルが
同じ直線上に並ぶ不運な場合
足し合わせたベクトルの終点は
原点を通るただ1つの直線上に制限されます
実際，厳密には3つ目の可能性もあります

Chinese: 
任何時侯我們用數字來描述矢量，
這取決矢量暗指用的什麽樣的單元，
這叫做這兩個矢量的一個綫性組合。
“綫性”這個字是從哪裏來的？
為什麽這和綫條有關係呢？
嗯，這不是詞源學，而我喜歡來考慮的
一個方法是保持提矢量不變而只變另一個矢量的係數，其結果得出來的矢量的
箭頭畫出一條直綫。現在，假如你讓兩個標量係數都有自由的變化範圍并且
考慮你所有可能得出的每個矢量。
可以發生兩種情況：
對大多數的一對矢量，你將可以達到在平面中每一個可能的點上。
每一個2-維矢量都在於你控制之中。
但是在運氣不好的情況下原先的兩個矢量箭頭的方向都只限于在一根綫上，這就成了一根穿過原點的綫條。
實際從技術上來說還有第三種的可能性，你有兩個矢量都可能是0，
這樣你就不得不陷在原點上了。

English: 
any time we describe vectors numerically,
it depends on an implicit choice of what basis
vectors we're using.
So any time that you're scaling two vectors
and adding them like this,
it's called a linear combination of those
two vectors.
Where does this word "linear" come from?
Why does this have anything to do with lines?
Well, this isn't the etymology, but one way
I like to think about it is that
if you fix one of those scalars, and let the
other one change its value freely,
the tip of the resulting vector draws a straight
line.
Now, if you let both scalars range freely,
and consider every possible vector that you
can get,
there are two things that can happen:
For most pairs of vectors, you'll be able
to reach every possible point in the plane;
every two-dimensional vector is within your
grasp.
However, in the unlucky case where your two
original vectors happen to line up,
the tip of the resulting vector is limited
to just this single line passing through the
origin.
Actually, technically there's a third possibility
too:

Russian: 
каждый раз, когда мы описываем векторы численно, это описание неявно зависит от выбора базисных векторов.
Процедура, когда вы “масштабируете” два вектора и складываете их,
называется линейной комбинацией этих двух векторов
Откуда берется слово “линейная”? Почему это вообще как-то связано с линиями?
На самом деле, это неправильная этимология слова, но я оправдываю это тем,
что фиксируя значение одного из скаляров и позволяя другому меняться свободно,
мы видим, как конец результирующего вектора рисует в пространстве прямую линию.
Если позволить обоим скалярам свободно меняться и рассмотреть каждый возможный вектор, полученный таким способом,
могут произойти две вещи:
в случае большинства пар векторов можно будет достать до любой точки пространства,
т.е. каждый двумерный вектор будет в пределах вашей досигаемости.
Однако, в неудачном случае, когда ваши изначальные векторы параллельны,
движение результирующего вектора будет ограничено прямой, проходящей через начало координат.
На самом деле, есть еще третья возможность:

iw: 
שבכל זמן שאנו מתארים את הוקטורים בצורה מספרית, זה תלוי בבחירה מרומזת של איזה וקטורי בסיס אנו משתמשים.
אז בכל זמן שאתה מבצע כפל בסקלר על שני וקטורים ומחבר אותם ביחד כך,
זה נקרא צירוף לינארי(או צ"ל) של אותם שני וקטורים
מאיפה המילה "לינארי"(Linear) באה?
למה יש לה קשר בכלל לקווים?
ובכן, כאן זה לא אטימולוגיה(חקר מילים), אבל הדרך אחת שאני אוהב לחשוב עליה היא
אם תקבע את אחד מן הסקלרים הללו למקום, ותיתן לסקלר אחר לשנות ערכו באופן חופשי
הקצה של הוקטור שנוצר יוצר לנו קו ישר.
עכשיו, אם תיתן לשני הסקלרים לנו בחופשיות, ותחשוב על כל וקטור אפשרי שתוכל לקבל,
ישנם שני דברים שיכולים להתרחש:
עבור רוב זוגות הוקטורים, אתה תוכל להגיע לכל נקודה אפשרית במישור.
כל וקטור דו-מימדי הוא בהישג ידך.
אולם, במקרה החסר מזל בו שני הוקטורים המקוריים שלך הם במקרה אחד על השני.
הקצה של הוקטור הנוצר הוא מוגבל לרק קו אחד שיוצא מהראשית.
למען האמת, מבחינה טכנית, אין אפשרות שלישית גם:

Polish: 
zawsze jak opisujemy wektor liczbowo, jego interpretacja zależy od wyboru konkretnych wektorów bazowych.
Zawsze gdy skalujemy dwa wektory i dodajemy je jak tutaj,
nazywamy to kombinacją liniową tych dwóch wektorów.
Skąd się wzięło tu słowo "liniową"? Czy ma to jakiś związek z liniami?
Cóż, jest sposób w którym lubię o tym myśleć (niekoniecznie etymologicznie poprawny).
Jeśli zablokujemy jeden z tych skalarów, i pozwolimy się drugiemu zmieniać dowolnie,
koniec wektora wypadkowego nakreśli nam linię.
Jeśli pozwolimy się zmieniać dowolnie obu skalarom i zastanowimy się jakie możliwe wektory możemy uzyskać,
mogą się zdarzyć dwie rzeczy:
Dla większości par wektorów, będziemy mogli dojść do dowolnego punktu na płaszczyźnie,
i każdy 2-wymiarowy wektor jest w naszym zasięgu.
W szczególnym przypadku gdy nasze wektory bazowe są równoległe,
koniec wektora zawsze znajdzie się na jednej linii przechodzącej przez środek układu.
Technicznie rzecz biorąc jest jeszcze trzecia możliwość:

Portuguese: 
dependemos implicitamente dos vetores de base que escolhemos utilizar.
Então toda vez que você escala dois vetores e os adiciona como estou fazendo agora,
temos a chamada combinação linear desses dois vetores.
Por quê usamos a palavra "linear"?
O que isto tem a ver com linhas?
Bem, a palavra não deriva disto, mas um jeito legal de visualizar o conceito
é se você fixar um desses escalares e deixar que o outro mude seu valor livremente,
a ponta do vetor resultante desenhará uma linha reta.
Mas se você deixar ambos os escalares variando livremente, e considerar cada vetor possível de se obter,
duas coisas podem acontecer:
Para a maioria dos pares de vetores, você será capaz de chegar a qualquer ponto possível no plano;
todos os vetores bidimensionais estão ao seu alcance.
No entanto, nos casos em que os dois vetores originais estão sobre uma mesma linha,
a ponta do vetor resultante é limitado a apenas esta única linha que passa através da origem.
Tecnicamente, existe também uma terceira possibilidade:

Italian: 
essi dipendono da una scelta implicita su quale BASE VETTORIALE stiamo utilizzando
Quindi ogni volta che scaliamo due vettori e li sommiamo come in questo modo
si chiama COMBINAZIONE LINEARE di questi due vettori.
Da dove viene fuori questa parola "lineare"?
Perché questo ha qualcosa a che fare con le linee?
Beh, questa non è l'etimologia, ma un modo con cui mi piace pensarlo
se fissiamo uno di questi scalari, e lasciamo l'altro cambiare i suoi valori liberamente
la punta del vettore risultante traccia una linea retta
Ora, se lasciamo che entrambi gli scalari si muovano liberamente,
e prendiamo in considerazione tutti i possibili vettori che possiamo ottenere
ci sono due cose che possono accadere
Per la maggior parte delle coppie di vettori, sarete in grado di raggiungere ogni punto possibile del piano;
ogni vettore bidimensionale è a portata di mano.
Tuttavia, nel caso sfortunato in cui i tuoi due vettori originali si presentano allineati
la punta del vettore risultante è limitata solo a questa singola linea che passa attraverso l'origine
In realtà, tecnicamente esiste anche una terza possibilità

Korean: 
수치로 벡터들을 표현할 때,  우리는 암묵적으로 특정 기저 벡터들을 선택한 상태라는 것입니다.
그래서 두 벡터를 스켈링하고 나서 더하는 것을
두 벡터의 선형조합(linear combination)이라고 부릅니다.
근데 "선형(linear)" 이라는 단어는 어디서 온걸까요?
왜 이런 동작이 선과 관련이 있는 걸까요?
글쎄요. 어원과는 다르지만, 
저는 이런식으로 생각합니다.
만약 그 스칼라 중 하나를 고정하고, 
다른 하나만을 자유롭게 변경해보면,
결과 벡터의 끝은 하나의 직선을 만듭니다.
지금, 두 스칼라 모두를 자유롭게 바꿔놓고 결과 벡터를 살펴보면,
두 가지 상황이 발생합니다.
하나는 대부분의 벡터쌍의 경우, 
평면 모든 점에 도달할 수 있을 것입니다.
즉, 모든 가능한 2차원 벡터를 만들어 낼 수 있죠.
그러나,  두번째로, 불행히도 두 벡터 조합 결과가 선(line) 하나만 가능한 경우도 있습니다.
결과 벡터의 끝이 원점을 통과하는 직선위로 제한되는 것이죠.
사실, 기술적으로 보자면  세 번째 가능성도 있습니다.

French: 
on se contentera de bien comprendre que quand on décrit des vecteurs numéricalement, les coordonnées dépendent des vecteurs de base choisies.
Chaque fois qu'on met à l'échelle et qu'on somme 2 vecteurs
on fait une COMBINAISON LINÉAIRE de ces 2 vecteurs.
Pourquoi linéaire? Quelle relation avec des droites? ("line" en anglais)
Ceci n'est pas une étymologie, mais une explication possible est qu'en fixant un des scalaires
tout en faisant varier l'autre
la pointe du vecteur résultant de la somme décrit une droite
Maintenant, si les 2 scalaires peuvent varier librement
et on regarde toutes les vecteurs-sommes possibles
deux résultats sont possibles.
Avec la plupart de couples de vecteurs, vous pouvez obtenir TOUS les vecteurs du plan:
tous les vecteurs du plan sont à votre portée.
Mais dans le cas particulier malchanceux où vos 2 vecteurs sont alignés (colinéaires)
vos vecteurs-somme seront tous coincés sur la droite
bon, il existe une 3eme solution: deux vecteurs nuls

Czech: 
kdykoli popíšeme vektor numericky, závisí na implicitní volbě, které bázové
vektory zrovna používáme.
Takže, kdykoli takto škálujeme dva vektory a následně je sečteme,
nazýváme tento proces "lineární kombinací" daných dvou vektorů.
Kde se zde vzalo slovo "lineární"?
Co to má co do činění s přímkami (angl. line)?
Neučíme se tu etymologii, ale já se na to rád dívám tak,
že zafixujete jeden skalár a necháte ten druhý, aby volně měnil svou hodnotu.
Špička výsledného vektoru pak kreslí přímku.
Když teď necháte oba skaláry se volně měnit, a uvážíte všechny možné vektory, které
lze dostat,
můžou nastat dva případy:
Většinou dosáhnete na všechny možné body v rovině;
máte na dosah každý dvou-rozměrný vektor.
Může se vám ale přihodit, že jsou původní vektory srovnané.
Špička výsledného vektoru se pak omezí jen na jednu přímku procházející
počátkem.
Technicky vzato je tu vlastně ještě třetí možnost:

Chinese: 
每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基
两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
“线性”这个词从哪来的？这跟直线又有什么关系？
虽然不是这个词的根源
但是我喜欢这样看待它
如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化
所产生的向量的终点会描出一条直线
如果你让两个标量同时自由变化，考虑所有可能得到的向量
可能有两种情况
大部分情况下，对于一对初始向量，你能到达平面中的每一个点
所有二维向量都尽在掌握
但是也有糟糕的情况，当两个初始向量恰好共线时
所产生的向量的终点被限制在一条过原点的直线上
实际上还有第三种可能：两个向量都是零向量

Turkish: 
vektörleri her sayısal olarak tarif etmek; kullanacağımız "asli vektör"
seçimimize ilişkin imaya sahiptir.
Yani, iki vektörü, her esnettiğinde ve bu şekilde topladığında
yaptığın işlemin sonucuna, "iki vektörün doğrusal birleşimi" denir.
"" Doğrusal kelimesi nereden geliyor? ""
"" Çizgilerle bunun ne ilgili var ? ""
Şimdi, kelime kökeni değilse de şöyle düşünmeyi seviyorum:
Eğer iki skalardan bir tanesini sabitler ve diğerinin değerini serbestçe değiştirirsek,
"sonuç vektörü"nün ucu, bir çizgi çizer.
Şimdi, iki skaların da  serbestçe değişmesine izin verir,
ve mümkün olan her vektörü düşünürsen;
iki şey olabilir:
Çoğu çift vektör çifti için;
düzlemde mümkün olan her noktaya ulaşabilirsin,
her iki boyutlu vektör elinizin altında olur.
Bununla birlikte, şansınız kötüyse, her iki orijinal vektör üst üste gelir,
ve sonuç vektörü orijinden geçen tek bir doğruya sınırlanmış olur.
Aslında teknik olarak üçüncü olasılık da var:

German: 
dass wenn wir Vektoren numerisch beschreiben, es darauf ankommt welches Koordinatensystem wir benutzen.
Also jedes Mal, wenn wir zwei Vektoren skalieren und addieren,
ist das Ergebnis eine Linearkombination dieser beiden Vektoren.
Warum "linear"? Was hat das Ganze mit Linien (oder Geraden) zu tun?
Nun, das hier ist nicht die Wortherkunft aber eine Art sich das vorzustellen ist die Folgende:
Wenn man einen der beiden Skalare festhält, und den anderen frei lässt,
zeichnet die Spitze des Ergebnisvektors eine gerade Linie.
Wenn wir jetzt beide Skalare frei lassen, und uns überlegen welche Ergebnisvektoren wir so bekommen können,
gibt es zwei Dinge die passieren können:
Für die meisten Paare von Vektoren, werden wir jeden Punkt in der Ebene beschreiben können,
jeden zwei-dimensionalen Vektor den es gibt.
Aber, in dem besonderen Fall in dem die beiden Vektoren gleich ausgerichtet sind,
kann die Spitze des Ergebnisvektors nur auf dieser einen Geraden durch den Ursprung liegen.
Es gibt sogar noch eine dritte Möglichkeit:

Arabic: 
في أي وقت نصف فيه المتجهات عدديًا ،
يعتمد على اختيار ضمني لأي أساس
المتجهات التي نستخدمها.
لذا في أي وقت تقوم بتوسيع متجهين
وإضافتهم مثل هذا ،
يطلق عليه مزيج خطي من تلك
متجهين.
من أين تأتي هذه الكلمة "الخطية"؟
لماذا هذا له علاقة بالخطوط؟
حسنا ، هذا ليس أصل الكلمة ، لكن بطريقة واحدة
أحب أن أفكر في ذلك
إذا قمت بإصلاح واحد من تلك scalars ، والسماح لل
واحد آخر يغير قيمته بحرية ،
غيض من المتجه الناتج يرسم على التوالي
خط.
الآن ، إذا سمحت لكلا العددين بحرية ،
والنظر في كل ناقل ممكن أن أنت
يستطيع الحصول على،
هناك شيئان يمكن أن يحدث:
بالنسبة لمعظم أزواج المتجهات ، ستكون قادرًا
للوصول إلى كل نقطة ممكنة في الطائرة.
كل ناقلات ثنائية الأبعاد تقع داخل جهازك
يفهم، يمسك، يقبض.
ومع ذلك ، في حالة سيئ الحظ حيث اثنين الخاص بك
ناقلات أصلية تحدث لتتماشى
غيض من ناقلات الناتج محدودة
إلى هذا الخط الوحيد الذي يمر عبر
الأصل.
في الواقع ، هناك احتمالية ثالثة
جدا:

Spanish: 
cada vez que describimos vectores numéricamente, implícitamente depende de los vectores base que estamos usando.
Así que, siempre que "escalen" dos vectores y los sumen así,
se dice que hicieron una combinación linal de estos dos vectores.
¿De dónde sale esta palabra "lineal"? ¿Qué tiene esto que ver con líneas?
Pues, esto no es la etimología, pero una forma en la que me gusta pensarlo es que
si fijan a uno de estos escalares y dejan que el otro cambie su valor libremente,
la punta del vector resultante dibuja una línea recta.
Ahora, si dejan que ambos escalares cambien libremente y consideran todos los vectores posibles que pueden obtener,
hay dos cosas que pueden pasar:
Para la mayoría de los pares de vectores, podran alcanzar cada punto del espacio;
todo vector bidimensional estará a tu alcance.
Sin embargo, en el caso desafortunado en el que tus dos vectores originales están alidenados,
la punta del vector resultante estará limitada a una línea que pasa por el origen.
En realidad, técnicamente hay una tercera posibilidad:

Spanish: 
tus dos vectores pudieran ser el vector cero, en cuyo caso estarías atascado en el origen.
Aquí viene algo más de terminología:
El conjunto de todos los vectores posibles que pueden alcanzar con una combinación lineal de un par de vectores dado
es llamado el espacio generado por esos dos vectores.
Entonces, reformulando lo que ya vimos en esta jerga,
el espacio generado por la mayoría de los pares de vectores 2-D, es todo el espacio 2-D,
pero cuando ellos están alineados, su espacio generado son todos los vectores cuya punta se encuentra en una línea particular.
¿Recuerdan que dije que el algebra lineal gira alrededor de la suma vectorial y la multiplicación por un escalar?
Bueno, el espacio generado por dos vectores es básicamente una forma de preguntar:
¿Cuáles son todos los vectores posibles que puedo alcanzar usando sólo éstas dos operaciones fundamentales,
Suma vectorial y multiplicación por un escalar?
Éste es un buen momento para pensar en cómo la gente comunmente piensa en los vectores como puntos.
Es muy sobrecargado pensar en una colección de vectores situados en una línea
y más sobrecargado todavía pensar en todos los vectores bidimensionales abarcando el espacio al mismo tiempo.
Así que cuando se encuentren con conjuntos de vectores como estos,

Chinese: 
那你就只能乖乖待在原点了
n,,0,0,0,,这里还有一些术语
n,,0,0,0,,所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合
n,,0,0,0,,被称为给定向量张成的空间(span)
n,,0,0,0,,现在我们用行话重新叙述刚才的内容
n,,0,0,0,,对大部分二维向量对来说
n,,0,0,0,,它们张成的空间是所有二维向量的集合
n,,0,0,0,,但当共线时，它们张成的空间就是
n,,0,0,0,,终点落在一条直线上的向量的集合
n,,0,0,0,,还记得我曾说的\N“线性代数紧紧围绕向量加法与数乘”吗？
n,,0,0,0,,两个向量张成的空间实际上是问
n,,0,0,0,,仅通过向量加法与向量数乘这两种基础运算
n,,0,0,0,,你能获得的所有可能向量的集合是什么
现在是时候讨论一下通常我们是如何将向量看作点的
想象落在一条直线上的一些向量时，你会觉得拥挤
而同时想象所有二维向量填满平面时，你会觉得非常拥挤
所以为了对付这种情况

Russian: 
Если оба ваши вектора нулевые, то в этом случае вы попросту “застрянете” в начале координат.
Вот более подробная терминология:
Множество всех векторов, которые вы можете получить линейной комбинацией данной пары векторов,
называется линейной оболочкой этих двух векторов.
Перефразируя то, что мы уже увидели, в этих терминах:
линейная оболочка почти любой пары 2D векторов покрывает все векторы 2D пространства.
Но когда они параллельны, линейная оболочка - это векторы, концы которых лежат на определенной прямой.
Помните, я сказал, что линейная алгебра вертится вокруг сложения векторов и умножения их на скаляр?
Так вот, линейная оболочка – это своеобразный способ спросить себя:
“Какие векторы можно построить, используя только эти две основные операции:
сложение векторов и умножение вектора на число?”
Сейчас самое время поговорить о том, что люди обычно представляют векторы в виде точек.
Очень трудно себе представить всю совокупность векторов, лежащих на одной прямой
и еще труднее представить все двумерные векторы, разом заполняющие всю плоскость.
Поэтому, когда векторов становится слишком много,

Korean: 
두 벡터 모두 제로(zero)벡터여서, 모든 결과 벡터가 원점안으로 갇혀버립니다.
좀 더 전문용어를 사용하면 다음과 같습니다.
주어진 두 벡터 쌍의 조합으로 나타날 수 있는 결과 벡터들의 집합을
두 벡터의 스팬(span = 확장공간?) 이라고 합니다.
그래서 전문용어를 사용해서 다시 과정을 살펴보면,
2-차원 벡터쌍의 스팬(span) 은 
대부분의 경우 2차원 공간 전체가 되지만,
스팬(span)이 특정 선 위로 제한되는 경우도 있습니다.
제가 예전에 선형대수는 벡터합과 스칼라곱의 주위를 돌며 이뤄진다는 말 기억하시나요?
두 벡터의 스팬(span)은 기본적으로 이렇게 묻는 것과 같습니다.
"오로지 두 가지 기본 연산을 가지고 도달 가능한 벡터들의 집합은 어떠한가?"
"오직 벡터합과 스칼라곱 연산만을 가지고서."
이제 벡터(vector)를 점(point)으로 옮겨 생각하는 방법을 알아봅시다.
벡터 집합전체가 하나의 선위에 놓여있다고 생각해보면 매우 혼잡하게 느껴집니다.
더욱 혼잡하게 느껴지는 것은 평면을 채우고 있는 모든 2차원 벡터들을 한번에 떠올리는 것입니다.
그래서 벡터 집합을 다룰 때는 다음처럼 생각해봅시다.

French: 
ce qui conduirait à avoir toutes les sommes à l'origine...
Une définition:
toutes les solutions atteignables avec une combinaison linéaire
de 2 vecteurs est appelée l'étendue de ces 2 vecteurs
donc en gros l'étendue de 2 vecteurs est la plupart du temps tout le plan
mais quand ils sont colinéaires: l'étendue est la droite qu'ils décrivent
Souvenez-vous que l'algèbre linéaire repose sur les notions d'addition vectorielle et de multiplication de vecteurs par un scalaire?
Eh bien l'étendue de 2 vecteurs est une façon de demander
"Quels sont les vecteurs que l'on peut créer en utilisant seulement
ces 2 opérations?
(l'addition vectorielle et la multiplication de vecteurs par un scalaire)"
C'est le moment de comprendre comment certains pensent aux vecteurs comme à des points
Ils existe un sacré paquet de vecteurs possibles sur une seule droite
et pire encore dans le plan

Portuguese: 
se ambos seus vetores forem zero, nesse caso você ficará restrito à origem.
Agora vamos introduzir alguns termos novos:
O conjunto de todos os vetores possíveis de se alcançar com uma combinação linear de um determinado par de vetores
é chamado de (sub)espaço gerado por esses dois vetores.
Assim, definindo o que dissemos anteriormente nesses termos,
o espaço gerado pela maioria dos pares de vetores de 2d, é todo o espaço 2d,
porém, quando eles estão alinhados, o espaço gerado é formado por todos os vetores cuja ponta se encontra em uma linha em particular.
Lembra quando eu disse que a álgebra linear gira em torno de adição de vetores e multiplicação por escalar?
Bem, o espaço gerado por dois vetores é basicamente uma forma de perguntar
"Quais são todos os possíveis vetores que podemos montar usando apenas essas duas operações fundamentais,
adição de vetores e multiplicação por escalar? "
Este é uma boa hora para falar que podemos pensar em vetores como pontos no espaço.
É muito sobrecarregado pensar em uma coleção de vetores situados uma linha,
e mais sobrecarregado ainda pensar sobre todos os vetores bidimensionais preenchendo o espaço ao mesmo tempo.
Então, quando lidamos com conjuntos de vetores como este,

English: 
both your vectors could be zero, in which
case you'd just be stuck at the origin.
Here's some more terminology:
The set of all possible vectors that you can
reach with a linear combination of a given
pair of vectors
is called the span of those two vectors.
So, restating what we just saw in this lingo,
the span of most pairs of 2-D vectors is all
vectors of 2-D space,
but when they line up, their span is all vectors
whose tip sits on a certain line.
Remember how I said that linear algebra revolves
around vector addition and scalar multiplication?
Well, the span of two vectors is basically
a way of asking,
"What are all the possible vectors you can
reach using only these two fundamental operations,
vector addition and scalar multiplication?"
This is a good time to talk about how people
commonly think about vectors as points.
It gets really crowded to think about a whole
collection of vectors sitting on a line,
and more crowded still to think about all
two-dimensional vectors all at once, filling
up the plane.

Japanese: 
両方のベクトルが0の場合です
このときは，原点から動けません
さらにいくつか用語があります
与えられた1組のベクトルの線型結合で得られる
すべてのベクトルの集まりを
ベクトルの「スパン」といいます
この用語から捉えなおすと
ほとんどの2次元ベクトルのスパンは
2次元空間のすべてのベクトルになります
しかしベクトルが同じ直線上に並ぶとき
スパンは直線上に終点があるすべてのベクトルになります
線型代数は，ベクトルのたし算と定数倍のまわりで
展開される，と言ったことを覚えていますか？
2つのベクトルのスパンは
基本的に，こう尋ねることと同じです
「たった2つの基本的なベクトル操作
（ベクトルのたし算と定数倍）
だけで得られるあらゆるベクトルとは？」
ここで，しばしばベクトルが点として
考えられることについて話しましょう
1つの直線上にあらゆるベクトルがあると
考えると，とても混み合います
平面上にあらゆる2次元ベクトルがあると
考えると，さらに混み合います
そのため，このようなベクトルの集まりを扱うときは

Czech: 
Oba vektory by mohly být nulové. V tomto případě uvíznete v počátku.
Naučíme se novou terminologii:
Množina všech možných vektorů, které můžete získat jako lineární kombinaci
daných vektorů
se nazývá "lineární obal" těchto vektorů.
Takže můžeme přeformulovat, co jsme viděli tak, že
lineární obal většiny dvojic 2D vektorů jsou všechny vektory 2D prostoru,
ale když leží v přímce, jsou jejich lineárním obalem vektory, jejichž špička leží v této přímce.
Pamatujete, jak jsem říkal, že se lineární algebra točí okolo sčítání vektorů a jejich násobení skalárem?
Lineární obal vektorů je v podstatě otázka:
"Jaké všechny vektory můžeme získat jen používáním těchto dvou základních operací,
tedy sčítání a násobení skalárem?"
Teď je dobrý čas si říct, jak si lidi představují vektory jako body.
Působí celkem přecpaně si představovat celé množiny vektorů ležící v přímce,
a ještě víc přecpaná je pak představa najednou všech dvourozměrných vektorů, které
vyplňují rovinu.

Polish: 
jeżeli oba wektory są zerowe, nie będziemy mogli wyjść z środka układu.
Podam tu trochę więcej terminów:
Zbiór wszystkich możliwych wektorów możliwych do uzyskania przez liniową kombinację danej pary wektorów
nazywamy podprzestrzenią liniową tych dwóch wektorów.
Innymi słowami,
podprzestrzeń liniowa większości par 2-wymiarowych wektorów to zbiór wszystkich wektorów na płaszczyźnie,
ale gdy wektory są równoległe, ta podprzestrzeń to wszystkie wektory które siedzą na konkretnej linii.
Pamiętacie jak mówiłem że algebra liniowa obraca się wokół dodawania wektorów i mnożenia przez skalary?
Cóż, podprzestrzeń liniowa 2 wektorów to zasadniczo sposób na spytanie:
"Jakie możliwe wektory możemy uzyskać używając tylko tych dwóch podstawowych operacji,
dodawania wektorów i mnożenia przez skalar?"
To dobry moment by wspomnieć że zwykle ludzie myślą o wektorach jako o punktach.
Z uwagi na zagęszczenie trudno sobie wyobrazić zbiór wektorów na jednej prostej,
a jeszcze trudniej wyobrazić sobie wszystkie wektory 2-wymiarowe na raz, zapełniające płaszczyznę.
Zatem, gdy będziemy zajmować się zbiorami wektorów jak ten,

Turkish: 
her iki vektör de sıfır olabilirdi ki bu durumda orijinde tıkılı kalırdık.
Buyrun, biraz daha terminoloji:
Verilen vektör çifti ile ulaşabileceğiniz tüm vektör setine,
Bu iki vektörün "erişim aralığı" denir. (Ç.N. kapsam ı ?)
Gördüklerimizi bu jargonla tekrar edecek olursak,
iki boyutlu vektör çiftlerinin kapsamı 2 boyutta olan tüm vektörler olmuş olur.
fakat üst üste geldiklerinde ise kapsam, yalnıca üzerinde oldukları çizgidir.
"Doğrusal cebir, vektörel toplam ve skalar çarpım demektir" dediğimi hatırla.
Şimcik, iki vektörün kapsamı, şunu sormaktır:
"Ulaşabileceğim tüm olası vektörler neler olurdu, şayet sadece şu temel  işlemler olan
vektörel toplama ve skalar çarpım işlemlerini yapsaydım?"
Şuan, insanların genelde vektörleri nasıl nokta olarak düşündükleri hakkında konuşmak için iyi bir zaman.
Bir çizgi üzerindeki tüm vektör kümesini düşünmek  sahne yoğunluğunu çok yükseltiyor,
hatta ikiboyutlu düzlemdeki tüm vektörleri düşünmek ki sormayın!
tüm sahneyi dolduruyor!

Chinese: 
還有更多的術語：
對你可以達到的所有可能的矢量加上對給出的矢量的一個綫性組合可以得到的矢量的集合
叫做這些兩個矢量的伸展（span）.
因此，重說一下我們剛看到的這一說法，
大多數2-維矢量的數字對的伸展就是在2-維空間裏所有的矢量。
但是在它們排起來的時候，它們的span（伸展）就是所有的矢量，其箭頭都在某一根綫上。
還記得我說過綫性代數環繞著矢量相加和比例係數的乘法。
好吧，兩個矢量的伸展基本上就是一方法來問
"用這兩個基本運算，矢量相加和與係數的相乘
你可以得到所有的什麽樣可能有的矢量？“
這是個好時機來談到人們通常把一些矢量看成一些點。
把全部在一根綫上的矢量的集合想一下
那這真是太擠了，而在同時再想一下
所有佔滿這平面的的那些2-維矢量，那就更擠了。

Italian: 
entrambi i tuoi vettori potrebbero essere zero, nel qual caso verrai bloccato sull'origine.
Qui un po' di terminologia
L'insieme di tutti i possibili vettori che puoi ottenere con una combinazione linerare da una data coppia di vettori
È chiamata SPAN dei due vettori
Quindi, riaffermando ciò che abbiamo detto in gergo,
lo span della maggior parte delle coppie di vettori 2-D sono tutti i vettori dello spazio 2-D,
ma quando si allineano, lo span sono tutti i vettori la cui punta si trova su una determinata linea.
Ricordi quanto ho detto che l'algebra lineare ruota intorno alla somma vettoriale e alla moltiplicazione per scalare?
Bene, lo span di due vettori è fondamentalmente un modo di chiedere:
Quali sono tutti i possibili vettori che possiamo ottenere utilizzando solo queste due fondamentali operazioni,
cioè l'addizione vettoriale e la moltiplicazione per uno scalare?
Questo è un buon momento per parlare di come le persone pensano comunemente ai vettori come punti.
Diventa molto complicato pensare a un'intera collezione di vettori seduti su una linea,
e ancora più complicato è pensare a tutti i vettori bidimensionali che riempiono un piano
 

German: 
Beide Vektoren könnten der Nullvektor sein. In dem Fall bleiben wir im Ursprung stecken.
Hier noch ein bisschen Fachsprache:
Die Menge aller möglichen Vektoren, die man durch eine Linearkombination zweier gegebener Vektoren bilden kann,
nennt man die "lineare Hülle" dieser zwei Vektoren.
Was wir gerade gesehen haben also nochmal in Fachlatein:
Die lineare Hülle der meisten 2-D Vektorenpaare ist der gesamte 2-D Raum,
aber wenn beide gleich ausgerichtet sind, besteht die Hülle aus allen Vektoren deren Spitze auf einer bestimmten Geraden sitzt.
Vorhin hatte ich gesagt, dass sich in der Linearen Algebra alles um Vektoraddition und Skalarmultiplikation dreht.
Und die Hülle zweier Vektoren ist tatsächlich eine Antwort auf die Frage:
"Welche Vektoren können wir bilden indem wir nur diese zwei Operationen benutzen,
Vektoraddition und Skalarmultiplikation?"
Dies ist der richtige Moment um darüber zu sprechen warum sich viele Leute Vektoren gern als Punkte vorstellen.
Es entsteht ein ziemliches Durcheinander wenn man sich eine ganze Menge Vektoren auf einer Linie vorstellt,
und das wird nicht besser wenn man sich alle zwei-dimensionalen Vektoren auf einmal vorstellt, die die ganze Ebene abdecken.
Wenn man also so eine Menge von Vektoren hat,

Arabic: 
يمكن أن تكون كل نواقلك صفرًا ، وفيها
حالة كنت مجرد أن تكون عالقة في الأصل.
هنا بعض المصطلحات أكثر:
مجموعة من جميع المتجهات الممكنة التي يمكنك
تصل مع مزيج خطي من معين
زوج من المتجهات
يسمى نطاق هذين الموجهين.
لذا ، نكرر ما رأيناه في هذه اللغة ،
تمتد معظم أزواج المتجهات ثنائية الأبعاد
ناقلات الفضاء 2-D ،
ولكن عندما يصطفون ، فإن امتدادهم هو كل النواقل
الذي يجلس طرفه على خط معين.
تذكر كيف قلت أن الجبر الخطي يدور
حول إضافة ناقلات وضرب العددية؟
حسنًا ، إن نطاق الموجهين هو بشكل أساسي
طريقة للسؤال ،
"ما هي جميع المتجهات الممكنة التي يمكنك القيام بها
الوصول باستخدام هذه العمليات الأساسية اثنين فقط ،
إضافة ناقلات وضرب العددية؟ "
هذا هو الوقت المناسب للتحدث عن كيف الناس
عادة التفكير في المتجهات كنقاط.
يحصل مزدحم حقا للتفكير في الكل
مجموعة من المتجهات يجلس على خط ،
وأكثر ازدحاما لا يزال للتفكير في كل شيء
ناقلات ثنائية الأبعاد دفعة واحدة ، ملء
فوق الطائرة.

iw: 
שני הוקטורים שלך יכולים להיות אפס, שבמקרה כזה אתה תהיה תקוע בראשית.
הנה עוד כמה טרמינולוגית(מונחים):
הקבוצה של כל הוקטורים האפשריים שאתה יכול למצוא עם צירוף לינארי של זוג וקטורים נתון
נקרא הפורש של אותה קבוצה(Span) - "קבוצה פורשת\יוצרת"(בעברית).
אז, בחזרה של מה שראינו בהקשר הזה,
הקבוצה הפורשת של רוב הזוגות של הוקטורים הדו-מימדיים הם כל הוקטורים במרחב הדו-מימדי.
אבל כשהם אחד על השני, הפורש שלהם הוא כל הוקטורים שקצהם נמצאים על קו מסוים.
זוכרים איך אמרתי בהתחלה שאלגברה סובבת סביב חיבור וקטורי וכפל בסקלר?
ובכן, הפורש של שני וקטורים זו בעצם דרך לשאול,
"מהם כל הוקטורים האפשריים שאתה יכול למצוא ע"י שימוש רק(!) בפעולות הבסיסיות הללו,
חיבור וקטורי וכפל בסקלר?"
זהו זמן טוב לדבר על איך בדרך כלל אנשים חושבים על וקטורים כנקודות.
זה נהיה ממש צפוף לחשוב על כל אוסף הוקטורים שיושבים על הקו,
ויותר צפוף לחשוב על אותם וקטורים דו-מימדיים בבת אחת, אשר ממלאים את המישור.
אז כשמתעסקים עם אוסף וקטורים כמו זה,

Russian: 
обычное дело – представлять каждый из них в виде точки в пространстве.
А именно точки, находящейся на конце данного вектора, при условии что начало вектора лежит в начале координат.
Таким образом, пытаясь представить себе все векторы, лежащие на какой-то прямой,
просто представьте себе эту прямую.
Аналогично, пытаясь представить себе плоскость, заполненную векторами,
представьте каждый из них в виде точки, куда указывает конец этого вектора.
и тогда в воображении появится бесконечный плоский лист, т.е. само двумерное пространство,
лишенное каких-либо стрелок.
В общем случае, когда представляете вектор сам по себе, представляйте его в виде стрелки,
но занимаясь совокупностями векторов, удобнее думать о них как о точках.
Так, в нашем примере линейная оболочка большинства пар векторов занимает
все представленное двумерное пространство,
но если они параллельны, то их линейная оболочка - это всего лишь прямая.

iw: 
זה נפוץ לייצג את כל אחד מהם בתור פשוט נקודה במרחב.
הנקודה בקצה הוקטור, היא איפה, שבדרך כלל, אני רוצה שתחשבו על הוקטור הזה כאשר זנבו הוא בראשית.
בדרך הזו, אם אתה רוצה לחשוב על כל וקטור אפשרי שקצהו נמצא על קו מסוים,
פשוט תחשוב על הקו עצמו.
באופן דומה, לחשוב על כל הוקטורים הדו-מימדיים בבת אחת,
מפרש כל אחד מהם(הוקטורים) כנקודה שקצהו נמצא בה.
אז, בפועל, מה שאתה תחשוב עליו הוא דף שטוח, דו-מימדי ואינסופי של המרחב עצמו(2D),
בו לא תתייחס לחיצים.
באופן כללי, אם אתה חושב על וקטור בעצמו, תחשוב עליו כחץ(בודד),
ואם אתה מתמודד עם קבוצות של וקטורים, זה נוח לחשיב את כל הוקטורים כנקודות.
אז, לדוגמת הקבוצה הפורשת שלנו, הפורש של רוב זוגות הוקטורים בסופו של דבר
הוא הדף המייצג לנו מרחב דו-מימדי אינסופי,
אבל אם הם אחד על השני, הפורש(SPAN) הוא פשוט קו.

Turkish: 
Bu şekilde bir sürü vektörle uğraşırken,
her bir vektör genelde bir nokta olarak gösterilir.
Bu vektörü, okun ucunda bir nokta ve orijinde de kuyruğunu temsilen bir nokta olarak düşünmeyi öneriyorum
Bu şekilde, bir çizgi üzerindeki olası tüm vektörleri düşünmek istersen,
sadece çizgiyi düşünmen yeterli olur.
Aynı şekilde, tüm olası 2 boyutlu vektörlerin hepsini birden düşünmek için de
okun ucunda bir nokta olarak hayal edelim vektörleri.
Dolayısıyla,, neticede düşündüğünüz şey, iki boyutlu sınırsız düzlem olacak,
okları işin dışında tutarak.
Genel olarak: eğer yalnızca bir vektörü düşünüyorsanız, ok olarak düşünün;
yok eğer, küme halinde vektörü
düşünüyorsanız, uygun olan
tümünü nokta olarak düşünmektir.
Kapsam örneğimize dönecek olursak; çoğu vektör çiftinin kapsamı, sonuç itibariyle,
sınırsız iki boyutlu katmanın bütünü olacaktır ama
eğer vektörler üst üste gelirlerse de
sadece bir doğru olacaktır.

Spanish: 
es común respresentar cada uno como un punto en el espacio.
El punto siendo la punta del vector, donde, como es usual, quiero que piensen en el vector con su cola en el origen.
De esa forma, si quieren pensar en todos los vectores posbles cuya punta se encuentra en una línea,
sólo piensen en la línea misma.
De la misma manera, para pensar en todos los posibles vectores bidimensionales al mismo tiempo,
piensen en cada uno como el punto donde se encuentra su punta.
En efecto, en lo que estarán pensando es en el plano infinito que es el espacio bidimensional,
sin pensar en las flechas.
En general, si piensan en un vector en sí mismo, piensen en una flecha,
y si se encuentran con una colección de vectores, es conveniente pensar en ellos como puntos.
Volviendo a nuestro ejemplo, el espacio generado por la mayoría de pares de vectores termina siendo
todo el plano infinito que es el espacio bidimensional,
pero si este par de vectores están alineados, su espacio generado es sólo una línea.

Japanese: 
それぞれのベクトルを
空間内の点として表すのが普通です
原点を始点とするベクトルの終点が
その点と考えてください
このように，直線上に終点がある
あらゆるベクトルを考えるときは
その直線のみを考えましょう
同じく，あらゆる2次元ベクトルを考えるときは
それぞれの終点が点であると考えましょう
つまり，無限に広い平面である
2次元空間を考えるとき
そこから矢印は取り除きます
一般に，1つのベクトルそのものを
考えるときは「矢印」として
ベクトルの集まりを考えるときは
「点」として考えるのがよいでしょう
ほとんどのベクトルによるスパンは
無限に広い平面全体，2次元空間になりますが
もしベクトルが直線上に並ぶと
スパンはただの直線になります

Chinese: 
所以我們在處理像這樣的一些矢量的集合時侯，
這是很經常來代表這些矢量，和平常一樣，我要你把那個矢量的箭頭看成一個點而它的箭尾在原點上。
這樣如果你來想可能有的所有箭頭都在
某一根綫上矢量就想這根綫的本身就行了。
與此類似，在同一個時閒來想所有可能有的2-維的矢量
在概念上就把每一個矢量它的箭頭作爲一個點。
這樣，在效果上，對這你將來想到的
是無限，2-維的一張平紙的本身，
而把箭頭從紙上拿掉了。
一般來說，如果你在處理矢量的集合
時，把它們對想成一些點，這就比較方便。
因此對我們span（伸展）的例子，大多數的矢量伸展的結果就是整張無限
的紙，整個2-維空間，但如果它們在同一條綫上，它們的伸展結果就只是一條綫了

Korean: 
벡터하나를 공간상 하나의 점으로 여기는 것이죠.
지금까지와 같이, 벡터의 끝이 각각의 점이되고, 모든 벡터의 꼬리는 원점에 있는 상황을 말이죠.
이런 식으로 보면, 
특정 선에 놓여있는 결과벡터들을 생각할 때는,
그저 선(line) 그 자체로 보면됩니다.
(선은 점들의 집합)
마찬가지로, 평면에 대해서도 모든 2차원 벡터들을 떠올리때면,
각 벡터들의 끝이 가리키는 점(point) 들로 개념화하면 좋습니다.
그럼 결과적으로, 무한하고 평평한 2차원 평면 그 자체를 떠올리는 것과 같아집니다.
화살표라는 개념은 잠시 남겨두고요.
일반적으로, 하나의 벡터를 생각할 때는 하나의 화살표로 생각하는 것이 좋습니다.
벡터의 집합을 다룰때는 모든 점들로 생각하는 것이 편리하고요.
그래서, 예로 든 스팬을 보면, 대부분의 벡터쌍의 경우 스팬 결과는
무한한 2 차원 공간 그 자체가 됩니다.
하지만, 선모양을 이룬다면, 스팬은 그냥 선(line) 이 될 뿐입니다.

English: 
So when dealing with collections of vectors
like this,
it's common to represent each one with just
a point in space.
The point at the tip of that vector, where,
as usual, I want you thinking about that vector
with its tail on the origin.
That way, if you want to think about every
possible vector whose tip sits on a certain
line,
just think about the line itself.
Likewise, to think about all possible two-dimensional
vectors all at once,
conceptualize each one as the point where
its tip sits.
So, in effect, what you'll be thinking about
is the infinite, flat sheet of two-dimensional
space itself,
leaving the arrows out of it.
In general, if you're thinking about a vector
on its own, think of it as an arrow,
and if you're dealing with a collection of
vectors, it's convenient to think of them
all as points.
So, for our span example, the span of most
pairs of vectors ends up being
the entire infinite sheet of two-dimensional
space,
but if they line up, their span is just a
line.

Portuguese: 
é comum representar cada um com apenas um ponto no espaço.
O ponto sendo a ponta desse vetor, onde, como de costume, eu quero que você pense no vetor com sua cauda sobre a origem.
Dessa forma, se você quiser pensar em cada vetor possível cuja ponta fica em uma determinada linha,
basta pensar sobre a linha em si.
Da mesma forma, ao pensar em todos os vetores bidimensionais possíveis de uma só vez,
basta conceituar cada um como o ponto em que sua ponta se encontra.
Então, na verdade, basta pensar no plano infinito que é o próprio espaço bidimensional,
ignorando as pontas dos vetores.
Em geral, quando pensar em um vetor por si só, pense nele como uma seta,
e se você está lidando com um conjunto de vetores, é conveniente pensar de todos eles como pontos.
Então, para nosso exemplo, o espaco gerado pela maioria dos pares de vetores acaba sendo
todo o plano infinito do espaço bidimensional,
mas se eles se alinham, o espaço gerado será apenas uma linha.

Arabic: 
لذلك عند التعامل مع مجموعات من النواقل
مثله،
من الشائع أن تمثل كل واحدة فقط
نقطة في الفضاء.
النقطة في طرف ذلك الناقل ، أين ،
كالمعتاد ، أريدك أن تفكر في هذا المتجه
مع ذيله على الأصل.
بهذه الطريقة ، إذا كنت تريد التفكير في كل شيء
ناقلات ممكن الذي يجلس على طرف معين
خط،
مجرد التفكير في الخط نفسه.
وبالمثل ، للتفكير في كل ممكن ثنائي الأبعاد
المتجهات في وقت واحد ،
تصور كل واحد كنقطة حيث
طرفها يجلس.
لذلك ، في الواقع ، ما سوف تفكر فيه
هو اللانهائي ، ورقة مسطحة من ثنائي الأبعاد
الفضاء نفسه ،
ترك الأسهم خارجها.
بشكل عام ، إذا كنت تفكر في ناقلات
من تلقاء نفسها ، فكر في الأمر على أنه سهم ،
وإذا كنت تتعامل مع مجموعة من
المتجهات ، من السهل التفكير فيها
كل النقاط.
لذلك ، على سبيل المثال لدينا سبيل المثال ، فإن معظم
أزواج من ناقلات ينتهي بها الأمر
ورقة لانهائية كاملة من ثنائي الأبعاد
الفراغ،
ولكن إذا صطفوا ، فامتدادهم هو مجرد
خط.

Polish: 
łatwiej nam przestawić każdy jako punkt w przestrzeni.
Punkt na końcu wektora, gdzie - jak zwykle - będę chciał byś myślał o końcu wektora z początkiem w środku układu.
Tzn, jeśli chcesz myśleć o wszystkich możliwych wektorach których koniec znajduje się na pewnej prostej,
wyobraź sobie raczej tą prostą.
Podobnie, by wyobrazić sobie wszystkie 2-wymiarowe wektory na raz,
wyobraź sobie każdego jako punkt gdzie znajduje się jego koniec.
Zatem w efekcie to o czym pomyślisz jest nieskończony, płaski arkusz przestrzeni 2-wymiarowej,
po wyjęciu strzałek.
Zasadniczo, jeśli myślisz o wektorze jako takim, myśl o nim jako o strzałce,
a kiedy myślisz o ich zbiorze, wygodniej myśleć o nich jako o punktach.
Zatem, patrząc na nasz przykład z podprzestrzenią liniową, podprzestrzeń liniowa większości par wektorów jest
po prostu całym nieskończonym arkuszem 2-wymiarowej przestrzeni.
Lecz gdy są one równoległe, podprzestrzeń liniowa jest tworzona przez prostą.

Chinese: 
通常我们就用向量的终点代表该向量
而像以往一样，它的起点仍旧位于原点
用这种方法来看，如果你要考虑落在一条直线上的所有向量时
只需要考虑直线本身就行了
类似地，同时考虑所有二维向量时
将每个向量抽象为它的终点
实际上，你就不必考虑所有的箭头了，只需要考虑无限大的二维平面本身即可
当你只考虑一个向量时，就把它看作箭头
当你考虑多个向量时，就把它们都看作点
还是之前的例子
对大部分二维向量对来说，它们张成的空间是整个无限大的二维平面
但如果共线，它们张成的空间就是一条直线

French: 
donc souvent il est préférable d'imaginer les vecteurs comme un point dans le plan
le point montrant le bout, la pointe du vecteur
les vecteurs étant tous originaires de l'origine (!).
De cette façon, penser à tous les vecteurs sur une droite revient à penser aux points constituant cette droite lui-même.
de même dans le plan,
pour visualiser tous les vecteurs du plan en même temps,
on imagine chaque vecteur à un point représentant sa pointe
Donc au final on pensera au plan infini, complet lui-même...
en oubliant les flèches
En général, si on pense à un vecteur tout seul,
on peut le voir comme une flèche
mais si on pense à un ensemble de vecteurs, mieux vaut les voir chacun comme un point.
par exemple pour l'étendue de 2 vecteurs se traduit par tous les points du plan.
Mais dans le cas où les 2 vecteurs sont colinéaires,
leur étendue n'est qu'une droite.

German: 
ist es üblich jeden nur durch einen einzigen Punkt im Raum darzustellen.
Den Punkt an der Spitze des Vektors, wobei, wie üblich, der Vektor am Ursprung seinen Anfang hat.
Wenn ihr euch also alle Vektoren vorstellen wollt, deren Spitzen auf einer bestimmten Geraden sitzen,
denkt einfach an die Gerade selbst.
Genauso wenn ihr euch alle möglichen zwei-dimensionalen Vektoren auf einmal vorstellen wollt:
Jeder Vektor ist durch den Punkt an seiner Spitze repräsentiert.
Auf die Weise seht ihr also die unendliche Ebene des 2-D Raums selbst,
ohne die verwirrenden Pfeile.
Im Allgemeinen, wenn ihr euch einen einzigen Vektor vorstellt, denkt an einen Pfeil,
und wenn ihr euch eine Menge von Vektoren vorstellt ist es einfacher nur an Punkte zu denken.
Also in unserem Beispiel: Die Hülle der meisten Vektorenpaare ist einfach
die gesamte unendliche Scheibe des zwei-dimensionalen Raums,
aber wenn sie gleich ausgerichtet sind, ist die Hülle nur eine Gerade.

Czech: 
Takže, abychom se s takovými množinami vypořádali,
je běžné reprezentovat každý vektor jedním bodem v prostoru.
Tím bodem, kde leží špička příslušného vektoru, přičemž jako obvykle požaduji,
aby jeho začátek ležel v počátku souřadnic.
Takhle, když si chceme představit všechny možné vektory, jejichž špička leží na jisté
přímce,
stačí si představit samotnou přímku.
Podobně, když si chceme představit všechny možné dvou-rozměrné vektory najednou,
ztotožníme každý vektor s bodem, kde leží jeho špička,
takže si ve výsledku představíme nekonečný plochý list samotného
dvou-rozměrného prostoru,
a šipky z toho vynecháme.
Obecně, když si představujeme jeden samotný vektor, máme na mysli šipku,
když se potřebujeme vyrovnat s celou množinou vektorů, je pohodlné si je představovat
jen jako body.
Takže v našem příkladě s lineárním obalem bude výsledným obalem
většinou celá dvou-rozměrná rovina,
ale když se zarovnají do přímky, jejich obalem je jenom přímka.

Italian: 
Quindi quando si tratta di insiemi di vettori come questo, è comune rappresentare ognuno di essi come un punto nello spazio.
Il punto sulla testa di quel vettore, voglio che la pensi come il vettore stesso, con la coda nell'origine.
In questo modo, se vuoi pensare a tutti i possibili vettori la cui punta è situata su una certa linea, pensa solo alla linea stessa
Allo stesso modo, per pensare a tutti i possibili vettori bidimensionali in una sola volta,
concettualizziamo ognuno di essi come il punto in cui la punta si trova
Quindi, in effetti, ciò a cui penserai è l'infinito foglio piatto bidimensionale, ergo,
lo spazio stesso
lasciando fuori le frecce.
In generale, se stai pensando a un vettore da solo, pensalo come una freccia,
e se hai a che fare con un insieme di vettori, è conveniente pensarli tutti come punti
Quindi, per il nostro esempio dello span, lo span della maggior parte delle coppie di vettori finisce per essere
l'intero foglio infinito dello spazio bidimensionale (tutto il piano)
ma se si allineano, il loro span è solo una linea.

German: 
Die lineare Hülle wird deutlich interessanter wenn wir uns Vektoren im drei-dimensionalen Raum ansehen.
Zum Beispiel, wenn wir uns zwei Vektoren im 3-D Raum vorstellen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen,
was ist deren Hülle?
Nun, die Hülle ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen dieser beiden Vektoren, also
aller Vektoren die wir bilden können indem wir jeden der beiden irgendwie skalieren und sie dann addieren.
Man kann sich vorstellen zwei Regler zu verschieben, die die Skalare ändern, welche die Linearkombination definiere,.
die skalierten Vektoren zu addieren und der Spitze des Ergebnisvektors zu folgen.
Diese Spitze wird sich auf einer flachen Scheibe bewegen, die durch den Ursprung des drei-dimensionalen Raums schneidet.
Diese flache Scheibe ist die Hülle der beiden Vektoren,
oder genauer, die Menge aller Vektoren, deren Spitze auf dieser Scheibe sitzen ist die Hülle unserer beiden Vektoren.
Ist das nicht ein schönes Bild im Kopf?
Was passiert also, wenn wir einen dritten Vektor hinzufügen und die Hülle aller drei anschauen?

English: 
The idea of span gets a lot more interesting
if we start thinking about vectors in three-dimensional
space.
For example, if you take two vectors, in 3-D
space, that are not pointing in the same direction,
what does it mean to take their span?
Well, their span is the collection of all
possible linear combinations of those two
vectors, meaning
all possible vectors you get by scaling each
of the two of them in some way, and then adding
them together.
You can kind of imagine turning two different
knobs to change the two scalars defining the
linear combination,
adding the scaled vectors and following the
tip of the resulting vector.
That tip will trace out some kind of flat
sheet, cutting through the origin of three-dimensional
space.
This flat sheet is the span of the two vectors,
or more precisely, the set of all possible
vectors whose tips sit on that flat sheet
is the span of your two vectors.
Isn't that a beautiful mental image?

Arabic: 
فكرة الامتداد تحصل على الكثير من الاهتمام
إذا بدأنا بالتفكير في المتجهات في ثلاثية الأبعاد
الفراغ.
على سبيل المثال ، إذا كنت تأخذ اثنين من المتجهات ، في ثلاثي الأبعاد
الفضاء ، والتي لا تشير في نفس الاتجاه ،
ماذا يعني أن تأخذ فترة عملهم؟
حسنا ، امتدادها هو جمع كل شيء
ممكن تركيبات خطية من هذين
المتجهات ، وهذا يعني
جميع المتجهات المحتملة التي تحصل عليها عن طريق توسيع كل منهما
من الاثنين منهم بطريقة ما ، ثم يضيف
معا.
يمكنك أن تتخيل نوعين مختلفين
المقابض لتغيير اثنين من scalars تحديد
تركيبة خطية،
إضافة المتجهات المقياس ومتابعة
طرف المتجه الناتج.
هذا الطرف سوف يتتبع نوعا من شقة
ورقة ، من خلال قطع أصل ثلاثي الأبعاد
الفراغ.
هذه الورقة المسطحة هي امتداد الموجهين ،
أو على وجه التحديد ، مجموعة من كل ما هو ممكن
المتجهات التي تجلس أطرافها على تلك اللوحة المسطحة
هو امتداد الموجهين الخاصين بك.
أليست هذه صورة ذهنية جميلة؟

Chinese: 
伸展的思路變得更為有趣了如果我們開始考慮在一個三維空間裏的矢量。
例如，如果你在3維空間裏取二個不在同一方向上的矢量，
把它們的伸展是什麽意思呢？
嗯，它們的伸展是這兩個矢量所有可能有的綫性組合，意思是所有你所得到的
以某些方法通過對每個矢量乘以係數，然後把它們向加起來。
你可能想象一下轉動兩個旋鈕來改變
定義其綫性組合，把這乘過係數的矢量並跟隨著合成後矢量的箭頭。
那個箭頭將畫出某種平面的紙，穿過
三維空間的原點。
或者跟精確地來說，所以可能有的矢量那些箭頭在那張平面的紙上
就是你們那兩個矢量的伸展。

Japanese: 
スパンの考え方は，3次元空間のベクトルでは
さらにおもしろくなります
たとえば，3次元空間内で
違う方向を指す2つのベクトルがあるとします
これらのスパンは何を意味するのでしょう？
これらのスパンは，2つのベクトルの
あらゆる線型結合の集まりになります
つまり，それぞれのベクトルをスケーリングして
足し合わせて得られる，あらゆるベクトルです
線型結合をつくる2つのスカラーを変化させることは
異なる2つのツマミを回すとみることもできます
スケーリングした2つのベクトルを
足し合わせて，その終点を追うのです
その終点は，1枚の平面上を動きます
平面は3次元空間の原点を通ります
この平面が，2つのベクトルのスパンです
より正確には，平面上に終点のある
あらゆるベクトルの集まりが2つのベクトルのスパンです
美しいイメージではないですか？
では，もし3つ目のベクトルを加え
それら3つのベクトルのスパンを考えたらどうでしょう？

Korean: 
스팬과 같은 개념은 3차원 공간을 다룰때 더욱 흥미로워집니다.
예를 들어, 3차원 공간에서 서로다른 두 벡터를 선택하면
그 두 벡터의 스팬(span) 은 어떤 모양일까?
흠,  두 벡터의 모든 선형조합의 결과과 스팬(span)이라 하고,
이는 두 벡터를 벡터합과 스칼라곱을 통해 이리저리 조합해서 만들 수 있는 모든 벡터들을  의미합니다.
당신은 두 스칼라를 변화시키는 두 개의 손잡이로 생각해볼 수 있습니다.  선형조합 정의에서 나온 스칼라들로
두 스케일링 된 벡터의 합에 영향을 주고,  따라서 결과 벡터의 끝에도 영향을 줍니다.
그 끝은 3 차원 공간의 원점을 가로지르는 평평한 공간이 될 것입니다.
이 평면이 두 벡터의 스팬(span, 확장공간)입니다.
좀 더 정확하게 말하자면, 평면위에 끝(tip)을 놓는 모든 벡터들의 집합이 두 벡터의 스팬입니다.
어때요? 매우 아름다운 마음의 상이지 않나요?

Portuguese: 
A ideia de espaço gerado fica muito mais interessante se pensarmos em vetores no espaço tridimensional.
Por exemplo, se você tiver dois vetores, no espaço 3d, que não estão apontando na mesma direção,
qual é o espaço gerado por eles?
Bem, o espaço gerado é a coleção de todas as combinações lineares possíveis desses dois vetores,
ou seja, todos os vetores possíveis que podem ser obtidos escalando cada um deles, e somando-os.
Podemos imaginar dois botões giratórios, que ao girar mudam os dois escalares que definem a combinação linear,
somando os vetores escalados e seguindo a ponta do vetor resultante.
Essa ponta definirá uma espécie de lâmina plana, passando pela origem do espaço tridimensional.
Esta lâmina plana é o espaço gerado por esses dois vetores.
Ou, mais precisamente, o conjunto de todos os vetores possíveis cujas pontas se encontram nessa lâmina plana, é o espaço gerado de seus dois vetores.
Isso não forma uma linda imagem mental?
Então o que acontece se adicionarmos um terceiro vetor e considerarmos o espaço gerado pelos três?

iw: 
הרעיון של קבוצה פורשת הופך להיות הרבה יותר מעניין אם נתחיל לחשוב על וקטורים במרחב תלת-מימדי.
לדוגמא, אם במרחב התלת-מימדי תיקח שני וקטורים, אשר לא מצביעים לאותו כיוון,
מה זה אומר למצוא את הפורש שלהם?
ובכן, הפורש שלהם הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים של השני וקטורים הללו, הכוונה ש..
שכל הוקטורים האפשריים שתקבל ע"י כפל סקלרי לכל אחד מהם בדרך מסוימת(הכפלה בגודל - מספר), ותחבר אותם ביחד.
אתה יכול לדמיין שאתה מסובב שתי ידיות שונות כדי לשנות את השני סקלרים שמגדירים לנו את הצירוף הלינארי,
הוספת הוקטורים לאחר כפל סקלרי ומעקב אחר הקצה של הוקטור שקיבלנו.
הקצה יאתר לנו סוג של דף שטוח העובר דרך ראשית הצירים של המרחב התלת-מימדי.
הדף השטוח הזה הוא הפרישה של של שני הוקטורים,
או ליתר דיוק, הקבוצה של כל הוקטורים שקצותיהם יושבים על הדף השטוח היא הפרישה של שני הוקטורים שלך.
האם לא התיאור הזה יותר יפה ומובן?
אז מה יקרה אם נוסיף וקטור שלישי ונחשב את הפורש של כל שלושת הוקטורים הללו?

Polish: 
Koncepcja podprzestrzeni liniowej robi się ciekawsza gdy pomyślimy o wektorach trójwymiarowych.
Na przykład, jeśli weźmiemy 2 wektory w przestrzeni trójwymiarowej, nie wskazujące tego samego kierunku,
co oznacza ich podprzestrzeń liniowa?
Cóż, jest to zbiór wszystkich liniowych kombinacji tych wektorów, tzn.
wszystkie możliwe wektory które możemy uzyskać poprzez skalowanie każdego z nich i dodawanie ich do siebie.
Można sobie wyobrazić kręcenie dwoma pokrętłami zmieniającymi skalary definiujące kombinację liniową,
dodające przeskalowane wektory i pokazujące koniec wektora wynikowego.
Jego koniec będzie się poruszał na płaskim arkuszu przechodzącym przez środek przestrzeni trójwymiarowej.
Ta płaszczyzna jest podprzestrzenią liniową dwóch wektorów,
lub bardziej precyzyjnie, zbiór wszystkich możliwych wektorów których koniec znajduje się na tej płaszczyźnie to podprzestrzeń liniowa dwóch wektorów.
Czy to nie wspaniała koncepcja?
A co się stanie gdy dodamy trzeci wektor i rozważymy podprzestrzeń liniową tych trzech strzałek?

Turkish: 
Kapsam olgusu, 3-Boyutlu düşünmeye başlarsak
daha da ilginç hale gelmektedir.
Örneğin, 3-B ortamda aynı yöne bakmayan
 iki vektörü düşünürsek,
bu vektörlerin kapsamlarını ölçmek ne anlama gelir?
Şöyle: 2 tane 3-B vektörün kapsamı, bu iki vektörün olası tüm doğrusal birleşimlerinin toplamıdır.
Yani, her birim vektörü çeşitli skalarla esnetip, birleştirerek elde edebileceğin vektörlerin tümü
kapsamı oluşturacaktır.
tıpkı, kolun masaya yatay, yapışık bir şekilde duruyormuş da sen elinle masanın üzerindeki eşyalara ulaşmaya çalışıyormuşsun gibi.
Kolunun ve elinin uzayabildiğini düşün.
Parmak ucunla masada gösterebildiğin tüm noktalar kapsam içerisinde olurdu değil mi?
Bu uçların değdikleri yerler,  3-B düzlemi orijinden kesen düz bir sayfa gibi olacaktır.
Bu düz zemin iki vektörün erişim aralığıdır,
ya da daha doğrusu, uçları düz zeminde olan tüm olası vektör serileri
iki vektörünün erişim aralığıdır.
Bu şekilde düşünmek güzel değil mi?

Spanish: 
La idea de espacio generado es más interesante si pensamos en los vectores en el espacio tridimensional.
Por ejemplo, si toman dos vectores, en el espacio 3-D, que no apunten en la misma dirección,
¿Qué es su espacio generado?
Su espacio generado es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de estos dos vectores, es decir,
todos los posibles vectores que pueden obtener "escalando" cada uno de ellos y luego sumándolos.
De cierta forma pueden imaginarse dos manillas que al girar cambian los dos escalares que definen la combinación lineal,
sumando los vectores "escalados" y siguiendo la punta del vector resultante.
Esa punta definirá una especie de lámina plana, pasando por el origen del espacio tridimensional.
Esta lámina plana es el espacio generado por estos dos vectores
o, de manera más precisa, el conjunto de todos los vectores posibles cuya punta se encuentra en esa lámina, es el espacio generado por tus dos vectores.
¿No tiene cierta belleza esa imagen mental?
¿Y qué pasa si agregamos un tercer vector y consideramos el espacio generado por los tres?

Russian: 
Идея линейной оболочки становится интереснее, если начать рассматривать векторы в 3D.
Например, возьмем два вектора в пространстве, не указывающие в одном направлении,
что тогда означает найти их линейную оболочку?
Ну, их линейная оболочка – это совокупность всех значений их линейных комбинаций, то есть
все возможные векторы, полученные умножением каждого из них на число и затем сложением.
Можете представить себе настройку «крутилок» для двух скаляров в линейной комбинации,
сложение “масштабированных” векторов и движение в пространстве получившегося вектора.
Его конец будет выписывать плоский лист, прорезающий пространство в начале координат
Этот лист и есть линейная оболочка двух векторов,
точнее: множество всех векторов, чьи концы лежат на этом листе – это линейная оболочка ваших двух векторов.
Красивая картинка, не правда ли?
Так, что происходит с линейной оболочкой векторов, когда мы добавляем третий вектор?

Czech: 
Myšlenka lineárního obalu se stane zajímavější, když si začneme představovat tří-rozměrné
vektory.
Když si třeba vezmeme dva takové vektory, které ukazují různým směrem,
jak bude vypadat jejich lineární obal?
Jejich lineární obal je množina všech možných lineárních kombinací těchto dvou
vektorů, tedy
všechny možné vektory, které můžeme dostat tím, že ty původní zvlášť nějak vyškálujeme, a pak
je sečtem.
Můžete si představit otáčení dvou různých knoflíků, abyste nastavili dva skaláry, které určují
lineární kombinaci,
pak provést součet vektorů, a nakonec sledovat špičku výsledného vektoru.
Tahle špička bude kreslit jakousi rovinu procházející počátkem tří-rozměrného prostoru.
 
Tahle rovina je lineárním obalem dvou vektorů,
či přesněji množina všech vektorů, jejichž špička leží v této rovině,
je lineárním obalem našich vektorů.
Není to úchvatná představa?

Chinese: 
如果我们再去考虑三维空间，张成空间这个概念就开始变得有趣了
举个例子，在三维空间中取两个指向不同方向的向量
它们张成的空间是什么？
这两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合
也就是缩放再相加之后所有可能得到的向量
你大概可以想象一下，逐渐改变线性组合中的两个标量
把缩放后的向量相加，然后跟着最终向量的终点走
这个终点会画出三维空间中某个过原点的平面
这个平面就是这两个向量张成的空间
或者更确切地说
所有终点落在这个平面上的向量的集合是这两个向量张成的空间
这个图像不是很美妙吗？
如果我们再加上第三个向量，那么它们张成的空间又是什么样的呢？

Italian: 
L'idea dello span diventa molto più interessante se iniziamo a pensare ai vettori in spazi tridimensionali
Ad esempio, se si prendono due vettori, nello spazio 3D, che non puntano nella stessa direzione,
Cosa significa considerare il loro span?
Bene, il loro span è la raccolta di tutte le possibili combinazioni lineari di quei due vettori
ovvero, tutti i possibili vettori che si ottengono scalando uno dei due vettori di partenza (o tutti e due), e poi sommandoli insieme
Puoi immaginare di girare due manopole diverse per cambiare i due scalari che definiscono la combinazione lineare
aggiungendo vettori scalati e seguendo la punta del vettore risultante
Quella punta traccerà una specie di lastra piana, tagliando attraverso l'origine dello spazio tridimensionale
Questo foglio piatto è lo span dei due vettori
o più precisamente, l'insieme di tutti i possibili vettori la cui punta ricade su quel foglio piatto
è lo span dei due vettori
Non è questo una bella rappresentazione mentale?
Quindi cosa succede se aggiungiamo un terzo vettore e prendiamo in considerazione l'estensione di tutti e tre questi tipi?

French: 
Le notion d'étendue devient beaucoup plus intéressant
si on commence à contempler les vecteurs de l'espace.
Par exemple, si on prend 2 vecteurs dans l'espace qui n'ont pas la même direction
Que signifie vraiment de déterminer leur étendue?
Leur étendue est en faite la collectivité de tous les combinaisons linéaires possibles
de ces 2 vecteurs, ce qui signifie que tous les vecteurs possibles qu'on obtient en les mettant à l'échelle
d'une certaine façon, puis en trouvant leur vecteur-somme.
On peut imaginer comme si on tournait 2 boutons pour changer les 2 scalaires définissant la combinaison linéaire,
additionnant les vecteurs mises à l'échelle et suivant la pointe de leur vecteur-somme.
Cette pointe décrira une sorte de plan passant par l'origine de l'espace.
Ce plan est l'étendue des 2 vecteurs,
ou plus précisément, l'ensemble de tous les vecteurs possibles lesquels leurs pointes sont sur ce plan
est l'étendue des 2 vecteurs.
C'est pas beau comme image mentale ça?
Qu'est-ce qui se passe alors si on met une 3ème vecteur et on considère l'étendue des 3 vecteurs ensemble?

Polish: 
Kombinacja liniowa trzech wektorów jest zdefiniowana zasadniczo tak samo jak dwóch:
wybieramy trzy dowolne skalary, skalujemy każdy z tych wektorów, i dodajemy je na końcu.
I ponownie - podprzestrzeń liniowa tych wektorów jest zbiorem wszystkich możliwych kombinacji liniowych.
Mogą się tu zdarzyć 2 rzeczy:
Jeśli trzeci wektor zawiera się w podprzestrzeni tworzonej przez pierwsze dwa,
wtedy podprzestrzeń się nie zmienia, i w pewien sposób jesteśmy uwięzieni na tej samej płaszczyźnie.
Innymi słowy mówiąc, dodanie przeskalowanej wersji tego trzeciego wektora do kombinacji liniowej dwóch pierwszych
tak naprawdę nie pozwala nam uzyskać żadnych nowych wektorów.
Jeśli wybierzemy trzeci wektor w sposób losowy, prawie na pewno nie będzie znajdować się w płaszczyźnie tworzonej przez pierwsze dwa.
Zatem, skoro wskazuje w innymi kierunku,
otwiera nam drzwi do wszystkich możliwych wektorów trójwymiarowych.
Lubię sobie to wyobrażać tak że gdy skalujemy nowy trzeci wektor,

Czech: 
A co se stane, když přidáme třetí vektor a uvážíme obal všech tří vektorů?
Lineární kombinace tří vektorů se definuje stejně jako kombinace pro dva;
vyberete si tři různé skaláry, vyškálujete jimi tyhle vektory a pak je všechny tři
sečtete.
A lineární obal je opět množina všech možných lineárních kombinací.
Můžou nastat dva případy:
Když se třetímu vektoru přihodí, že se strefí do obalu předchozích dvou,
tak se obal nezmění; jste uvězněni ve stále stejné rovině.
Jinými slovy, přidáním vyškálované verze takového třetího vektoru do lineární kombinace
nám nedá přístup k žádným novým vektorům.
Ale když si náhodně zvolíte třetí vektor, skoro určitě neskončí
v obalu prvních dvou.
V takovém případě ukazuje mimo tuto rovinu,
a odemyká přístup ke všem možným tří-rozměrným vektorům.
Jeden způsob, jak se na to dívat, je, že jak škálujete tento nový třetí vektor,

German: 
Eine Linearkombination dreier Vektoren ist genauso definiert wie im Falle von zwei;
wir nehmen drei Skalare, skalieren jeden der drei Vektoren und addieren sie alle zusammen.
Und wieder ist die Hülle die Menge aller möglichen Linearkombinationen.
Zwei Dinge können hier passieren:
Falls der dritte Vektor genau in der Hülle der ersten beiden liegt,
ändert sich die Hülle nicht; wir bleiben auf der gleichen flachen Scheibe stecken.
In anderen Worten, wenn wir eine skalierte Version dieses dritten Vektors zur Linearkombination addieren
gibt uns das keinen Zugang zu irgendwelchen neuen Vektoren.
Aber, wenn wir den dritten Vektor einfach zufällig auswählen, liegt er fast sicher nicht in der Hülle der ersten beiden.
Dann, da er in eine andere Richtung zeigt,
gibt er uns Zugang zu allen drei-dimensionalen Vektoren.
Ich stelle mir gerne vor, dass indem ich den dritten Vektor skaliere,

iw: 
הצירוף הלינארי של שלושת הוקטורים מוגדר פחות או יותר באופן זהה כפי שזה היה עבור שני וקטורים.
אתה תבחר שלושה סקלרים שונים, תכפיל כל וקטור בנפרד בסקלר ותחבר את כולם יחדיו.
ושוב, הפורש של שלושת הוקטורים הללו היא קבוצת כל הצירופים הלינאריים האפשריים.
שני דברים שונים יכול לקרות כאן:
אם הוקטור השלישי שלך נמצא בפורש של שני הוקטורים הראשוניים,
אז המרחב הנפרש ע"י הוקטורים לא משתנה. במובן מסוים, אתה "כלוא" בתוך אותו דף שטוח.
במילים אחרות, הוספת עוד וקטור שהוכפל בסקלר לצירוף הלינארי
לא באמת מאפשר לך להשיג וקטורים חדשים.
אך אם תבחר באופן אקראי וקטור נוסף, הוא כמעט בוודאות לא יהיה במרחב הנפרש ע"י שני הוקטורים שנבחרו קודם.
אז, בגלל שזה מצביע על כיוון שונה,
זה פותח גישה לכל וקטור תלת-מימדי.
דרך אחת שאני אוהב לחשוב על זה, זו הדרך שאתה מכפיל את הוקטור החדש הזה בסקלר,

Turkish: 
Peki üçüncü bir vektör eklersek ne olur?
Bu üç delikanlının hepsinin kapsamını düşünün?
üç tane vektörün doğrusal birleşimi, tıpkı iki tane gibi tarif edilir.
üç farklı skaleri seçersiniz, 
bu vektörlerin her birini ölçeklendirir
 ve daha sonra hepsini birleştirirsiniz.
üç farklı skaleri seçersiniz, 
bu vektörlerin her birini ölçeklendirir
 ve daha sonra hepsini birleştirirsiniz.
Ve yine, bu vektörlerin erişim aralığı
olası tüm doğrusal birleşimlerinin toplamıdır.
yine iki farklı olasılığı düşünmek gerekli sanırım.
Eğer üçüncü vektörümüz, ilk iki tanesinin erişim aralığında oturuyor olursa
o zaman erişim aralığı değişmez;
aynı düz zeminde sıkışmış oluruz.
Başka bir deyişle, düzlemdeki herhangi bir vektörü skalar ile esnetip, bu iki vektöre eklemek kapsamı etkilemez,
bizi yeni bir erişim aralığına ulaştırmaz.
Ancak rastgele üçüncü bir vektör seçerseniz,
İlk iki vektörün  erişim aralığında olmayan,
bu vektör ayrı bir yöne işaret ettiği için,
tüm olası 3-B vektöre kapı açılmış olur.
Bu durumu şöyle düşünmeyi seviyorum; üçüncü vektörü esnettikçe,

Italian: 
Una combinazione lineare di tre vettori è definita più o meno allo stesso modo di quella per due;
Potremmo scegliere tre differenti scalari, scalare ognuno di questi vettori, e infine addizionarli insieme
E ancora, l'estensione di questi vettori è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari.
Due cose diverse potrebbero accadere qui:
Se il tuo terzo vettore è situato sullo span dei primi due,
allora lo span non cambia; sei un po intrappolato su quello stesso foglio piatto.
In altre parole, aggiungendo una versione ridimensionata di quel terzo vettore alla combinazione lineare
in realtà non ti dà accesso a nuovi vettori.
Ma se si sceglie a caso un terzo vettore, quasi certamente non situato sullo span di questi primi due
Allora, poiché punta in una direzione separata
sblocca l'accesso a tutti i possibili vettori tridimensionali.
un modo a cui mi piace pensare a ciò, è che allo scalare del terzo (nuovo) vettore

English: 
So what happens if we add a third vector and
consider the span of all three of those guys?
A linear combination of three vectors is defined
pretty much the same way as it is for two;
you'll choose three different scalars, scale
each of those vectors, and then add them all
together.
And again, the span of these vectors is the
set of all possible linear combinations.
Two different things could happen here:
If your third vector happens to be sitting
on the span of the first two,
then the span doesn't change; you're sort
of trapped on that same flat sheet.
In other words, adding a scaled version of
that third vector to the linear combination
doesn't really give you access to any new
vectors.
But if you just randomly choose a third vector,
it's almost certainly not sitting on the span
of those first two.
Then, since it's pointing in a separate direction,
it unlocks access to every possible three-dimensional
vector.
One way I like to think about this is that
as you scale that new third vector,

Arabic: 
ماذا يحدث إذا أضفنا متجه ثالث و
النظر في مدى ثلاثة من هؤلاء الرجال؟
يتم تعريف مجموعة خطية من ثلاثة متجهات
إلى حد كبير بنفس الطريقة كما هو الحال مع اثنين.
ستختار ثلاثة مقاييس مختلفة ، مقياس
كل من تلك المتجهات ، ثم إضافتها كلها
سويا.
ومرة أخرى ، فإن نطاق هذه النواقل هو
مجموعة من جميع التركيبات الخطية الممكنة.
يمكن أن يحدث شيئان مختلفان هنا:
إذا كان ناقل الثالث الخاص بك يحدث للجلوس
على مدى الأولين ،
ثم لا يتغير النطاق. أنت نوع
من المحاصرين على نفس الورقة المسطحة.
وبعبارة أخرى ، مضيفا نسخة محسوبة من
هذا المتجه الثالث إلى التركيبة الخطية
لا يمنحك حقًا الوصول إلى أي جديد
ثلاثة أبعاد.
ولكن إذا اخترت بشكل عشوائي متجه ثالث ،
من شبه المؤكد أنه لا يجلس على المدى
من اول اثنين.
ثم ، نظرًا لأنه يشير في اتجاه منفصل ،
فإنه يفتح الوصول إلى كل ممكن ثلاثي الأبعاد
قوه موجهة.
طريقة واحدة أحب أن أفكر في هذا هو ذلك
كما قمت بقياس هذا المتجه الثالث الجديد ،

Japanese: 
3つのベクトルの線型結合は
2つの時とほとんど同じように定義されます
3つの異なるスカラーを選び
各ベクトルをスケーリングし，足し合わせます
そしてまた，これらベクトルのスパンは
あらゆる線型結合の集まりとなります
ここで，2つの異なることが起こりえます
もし，3つ目のベクトルが
はじめ2つのベクトルのスパン内にある場合
そのスパンは変わりません
平面上に閉じ込められる感じです
言いかえると，スケーリングされた
3つ目のベクトルを加えても
新しいベクトルにはならないのです
しかし，もし3つ目のベクトルをランダムに選ぶと
それがはじめ2つのベクトルのスパン内に
あることはほとんどありません
そして，異なる方向を指しているため
あらゆる3次元ベクトルとなることができます
これについて，私の好きな考え方はこうです
新たな3つ目のベクトルをスケーリングすることで

Spanish: 
Una combinación lineal de tres vectores se define de la misma manera que la de dos;
Escogeran tres escalares diferentes, "escalaran" cada uno de esos vectores y luego los sumarán.
Y de nuevo,  el espacio generado por estos vectores, es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles.
Dos casos distintos pueden ocurrir aquí:
Si su tercer vector sucede que está en el espacio generado por los otros dos,
entonces el espacio generado no cambia; están de alguna forma atrapados en la misma lámina plana.
En otras palabras,  sumar una versión "escalada" de ese nuevo vector a la combinación lineal
no les da acceso a nuevos vectores.
Pero si escogen aleatoriamente un tercer vector, es casi seguro que no estará en el espacio generado por los otros dos.
Entonces, como apunta en una dirección distinta,
brinda acceso a todos los vectores tridimensionales posibles.
Una forma en la que me gusta pensarlo es que a medida que escalan este nuevo vector,

Chinese: 
三个向量线性组合的定义跟之前的方法基本一致：
选择三个标量，对三个向量分别进行缩放，然后把结果相加
而这三个向量所有可能的线性组合构成了它们张成的空间
这里会有两种情况
如果第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上
它们张成的空间并不改变，你还是被困在这个平面中
换句话说，在线性组合中引入第三个向量并没有让你“走得更远”
但是如果你随机选一个向量，它几乎不可能落在前两个向量所张成的平面中
这种情况下，由于第三个向量指向不同的方向
我们就能得到所有的三维向量
我喜欢用这种方式来思考：当你缩放第三个向量时

Portuguese: 
Uma combinação linear de três vetores é definida praticamente da mesma maneira como a de dois vetores:
escolhemos três escalares diferentes, escalamos cada um desses vetores, e depois adicionamos todos eles.
E, novamente, o espaço gerado desses vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis.
Duas coisas podem acontecer aqui:
Se o seu terceiro vetor estiver no espaço gerado pelos outros dois vetores já mencionados,
então o espaço gerado não muda, ficando presos naquela mesma lâmina plana.
Em outras palavras, somar uma versão escalada desse terceiro vetor na combinação linear
não irá nos dar acesso a quaisquer novos vetores.
Mas se você simplesmente escolher aleatoriamente um terceiro vetor, é quase certo que não estará no espaço gerados pelos dois primeiros.
Assim, uma vez que ele está apontando em uma direção diferente,
ele liberará o acesso a todos os vetores tridimensionais possíveis.
Uma maneira que eu gosto de pensar sobre isso é que, à medida que você escala esse novo vetor,

French: 
Une combinaison linéaire de 3 vecteurs est défini
en faite de la même façon que pour 2:
on choisit 3 scalaires différentes, on met à l'échelle chacun des vecteurs, puis on trouve le vecteur-somme.
Et encore une fois, l'étendue de ces vecteurs est l'ensemble de tous les combinaisons linéaires possibles.
2 choses peuvent se passer:
si la 3ème vecteur se trouve être sur l'étendue des 2 premiers,
alors l'étendue ne change pas; on est de quelque sorte coincé dans le même plan,
ou dans d'autres mots, le fait d'ajouter une version mise à l'échelle du 3ème vecteur à la combinaison linéaire
n'aboutit pas vraiment à de nouvelles vecteurs.
Mais si on choisit une 3ème vecteur complètement au hasard,
c'est presque sûr qu'il n'est pas dans l'étendue des 2 premiers.
Donc, comme il est orienté dans une autre direction,
cela ouvre la possibilité à n'importe quel vecteur de l'espace imaginable.
Une manière d'y penser est que quand on met à l'échelle le nouveau 3ème vecteur,

Russian: 
Линейная оболочка трех векторов определяется так же, как и в случае двух векторов:
вы выбираете три разных скаляра, действуете ими на каждый вектор и складываете все вместе.
И снова, линейная оболочка этих векторов – это множество всех возможных линейных комбинаций.
В этом случае возможны два исхода:
Если ваш третий вектор лежит в линейной оболочке первых двух,
то тогда линейная оболочка не меняется: вы как бы “заперты” внутри того же самого плоского листа.
Другими словами, в этом случае добавление третьего вектора к линейной комбинации
не дает доступа к новым векторам.
Но если выбрать третий вектор случайно, почти наверняка он окажется вне оболочки других двух.
Тогда, потому как он указывает в отдельном направлении,
это откроет путь ко всем возможным трехмерным векторам.
Один из способов представить себе это: когда вы меняете скаляр перед третьим вектором,

Chinese: 
這樣，如果我們加上第三個矢量然後我們來考慮這三個傢夥會怎麽樣呢？
三個矢量的綫性組合的定義基本和兩個的是同樣的方法；
你選擇三個不同的係數，然後再加起來。
而又是一次，這些矢量的伸展是所有可能有的綫性組合的集合。
在這裏可能發生兩個不同的事：
如果你的那個第三個矢量正好是在前兩個的伸展上
那麽這個伸展並沒有發生改變；你就像是被關在那個平的紙上了一樣。
換句話說，把一個乘過係數的第三個矢量加到這綫性組合
並沒有真正地讓你接近任何新的矢量。
但是如果你只是隨便選一個第三個矢量，這幾乎肯定不在
那前兩個的伸展上的。
然後既然它是指著一個不同的方向

Korean: 
그럼 3번째 벡터를 추가하고 나면, 
이 벡터들이 만드는 스팬(span)은 어떨까요?
이 세 벡터의 선형조합은 두 벡터의 선형조합 방식과 거의 같습니다.
이번엔 3개의 스칼라를 가지고 세 벡터를 스케일링하고 나서 합하는 선형조합입니다.
그리고 또다시, 세 벡터의 스팬은 모든 가능한 선형조합의 결과집합입니다.
단, 두가지 다른 상황이 발생할 수 있습니다.
세 번째 추가한 벡터가 다른 두 벡터가 만드는 스팬(span, 여기선 평면일듯) 에 놓여있다면,
세번째 벡터를 추가해도 스팬이 바뀌지 않습니다. 똑같은 평면에 그대로 입니다.
다른말로 설명하자면, 
세번째 벡터를 추가하고 아무리 선형조합을 해봐도,
기존 스팬 밖에 새로운 벡터를 만들어내지 못합니다.
하지만, 무작위로 세번째 벡터를 선택하면, 다시말해 두 벡터의 스팬 평면에 놓여있지 않은 벡터를 선택한다면,
그럼, 새로운 방향을 가리키는 것이 가능해져서
이제 3차원의 모든 벡터들에 대한 접근이 가능해집니다.
제가 이것에 대해 생각하는 좋은 방법은 다음과 같습니다. 세번째 벡터를 스케일링해보면서

Korean: 
기존 두 벡터의 스팬 평면위에 갇혔는지 확인해봅니다.
생각해보는 또 다른 방법으로는,  스칼라를 마음껏 변화시켜서
3차원 공간 전체에 대해 접근가능한지 판단해 보는 것입니다.
그럼, 세번째 벡터가 두 벡터의 스팬 위에 놓여있거나,
아님 두 벡터의 스팬이 이미 선인 경우라면,
이런 상황을 설명하는 용어가 있으면 좋겠는데요,
불필요한 벡터가 있어서 그 벡터를 추가해도 스팬을 더 확장되지 않는 상황을 말이죠.
즉 스팬의 축소없이 하나 이상의 벡터를 제외시켜도 되는 경우,
전문용어로 "선형 종속(linear dependent)" 이라고 합니다.
또다른 표현으로는, 벡터들 중 하나가 다른 벡터들의 선형조합으로 표현 가능한 경우입니다.
이미 다른 벡터의 스팬에 포함되는 경우를 말하죠.
반면에, 각각의 벡터가 기존 스팬에 또 다른 차원을 추가해주는게 가능하다면

Russian: 
он передвигает двумерную линейную оболочку первых двух, заметая все пространство.
Другой способ – подумать о том, что вы полностью используете три неограниченно меняющихся скаляра,
имеющихся у вас в наличии, чтобы достичь всех трех измерений пространства.
Теперь, если третий вектор лежит в линейной оболочке первых двух,
или в случае, когда они два вектора параллельны,
нам нужен термин, чтобы описать факт избыточности по крайней мере одного из этих векторов
т.е. того, что он ничего не добавляет к линейной оболочке.
Когда это происходит и вы можете убрать один из векторов, не изменяя нисколько линейную оболочку,
подходящим термином для этого является то, что эти векторы “линейно зависимы”.
Можно сказать по-другому, что один из векторов может быть представлен
в виде линейной комбинации оставшихся, так как он уже лежит в их линейной оболочке.
С другой стороны, если каждый из векторов действительно добавляет дополнительное измерение в линейную оболочку,

Arabic: 
يتحرك حول تلك الورقة تمتد من الأول
اثنين ، تجتاحها في كل من الفضاء.
طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي أنك
الاستفادة الكاملة من الثلاثة ، المتغيرة بحرية
scalars ذلك
لديك تحت تصرفك للوصول إلى كامل
ثلاثة أبعاد الفضاء.
الآن ، في الحالة التي كان فيها ناقلات الثالث
يجلس بالفعل على مدى الأولين ،
أو الحالة التي يحدث فيها خطان
فوق،
نريد بعض المصطلحات لوصف الحقيقة
أن
واحد على الأقل من هذه المتجهات
غير مكرر - لا تضيف أي شيء إلى موقعنا
امتداد.
كلما حدث هذا ، حيث لديك متعددة
ناقلات ويمكنك إزالة واحد دون تقليل
الامتداد،
المصطلحات ذات الصلة هو القول بأنهم
هي
"تعتمد خطيا".
طريقة أخرى للصياغة التي يمكن قولها
يمكن التعبير عن أحد المتجهات
مزيج خطي من الآخرين منذ ذلك الحين
بالفعل في نطاق الآخرين.
من ناحية أخرى ، إذا كان كل ناقلات فعلاً
إضافة بعد آخر إلى الامتداد ،

Spanish: 
éste mueve la lámina generada por los primeros dos barriéndo todo el espacio.
Otra forma de verlo es que están haciendo uso de toda la libertad que brindan los escalares variables
que tienen a su disposición para acceder a todo el espacio tridimensional.
Ahora, en el caso donde el tercer vector se haya en el espacio generado por los primeros dos,
o en el caso donde sucede que dos vectores están alineados,
queremos una terminología para describir el hecho de que al menos uno de estos vectores
es redundante; no agrega nada nuevo a nuestro espacio generado.
Cuando sea que esto pase, que tenemos varios vectores y pudiéramos remover uno sin cambiar el espacio  generado,
diremos que los vectores son "linealmente dependientes".
Otra forma de decirlo es que uno de los vectores puede ser expresado como
una combinación de los demás, ya que está en el espacio generado por los otros.
Por otro lado, si cada vector en realidad sí agrega  otra dimensión al espacio generado,

English: 
it moves around that span sheet of the first
two, sweeping it through all of space.
Another way to think about it is that you're
making full use of the three, freely-changing
scalars that
you have at your disposal to access the full
three dimensions of space.
Now, in the case where the third vector was
already sitting on the span of the first two,
or the case where two vectors happen to line
up,
we want some terminology to describe the fact
that
at least one of these vectors
is redundant—not adding anything to our
span.
Whenever this happens, where you have multiple
vectors and you could remove one without reducing
the span,
the relevant terminology is to say that they
are
"linearly dependent".
Another way of phrasing that would be to say
that one of the vectors can be expressed as
a linear combination of the others since it's
already in the span of the others.
On the other hand, if each vector really does
add another dimension to the span,

Chinese: 
它将前两个向量张成的平面沿它的方向来回移动，从而扫过整个空间
另一种思考方式是，你完全利用了你掌握的自由变化的三个标量
从而得到空间中所有的三维向量
至于第三个向量已经落在前两个向量张成的空间当中
或者两个向量恰好共线的情况
我们需要一些术语来描述它们
即一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献
你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间
当这种情况发生时，我们称它们是“线性相关”的
另一种表述方法是其中一个向量
可以表示为其它向量的线性组合，因为这个向量已经落在其它向量张成的空间之中
另一方面，如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度
它们就被称为是“线性无关”的

German: 
ich die flache Hülle der ersten beiden bewege und durch den gesamten Raum schiebe.
Man kann sich auch überlegen, dass man die drei freien Skalare benutzt,
um Zugang zu allen drei Dimensionen des Raumes zu erhalten.
In dem Fall in dem er dritte Vektor genau in der Hülle der ersten beiden liegt,
oder in dem Fall in dem zwei Vektoren gleich ausgerichtet sind,
ist es nützlich einen Begriff zu haben um zu beschreiben dass zumindest einer dieser Vektoren
überflüssig ist - nichts zu unserer Hülle beiträgt.
Wenn dies der Fall ist, wenn von mehreren Vektoren einer entfernt werden könnte ohne dass sich die Hülle verkleinert,
nennt man die Vektoren "linear abhängig".
Man könnte auch sagen, dass einer der Vektoren als Linearkombination
der anderen ausgedrückt werden kann, weil er schon in der Hülle der anderen liegt.
Andererseits, wenn jeder Vektor tatsächlich eine Dimension zur Hülle beisteuert,

Turkish: 
ilk iki vektörün oluşturduğu düzlemi bi aşağı bir yukarı hareket ettirmiş oluruz.
Bunu düşünmenin başka bir yolu da,
üçü de özgürce değişen
skalarlar kullanmak ve
uzayın üç boyutuna erişmenin mümkün olması şeklindedir.
Üçüncü vektörün ilk ikisinin erişim alanında olduğu durumda,
ya da iki vektörün aynı çizgide olduğu durumda,
şu gerçeği tarif edebilmek için bir terim istiyoruz:
bu vektörlerden en az birisi
"gereksiz"
bizim "kapsammızı" arttırmıyor!
birçok vektöre sahipken birini çıkarmak kapsamı düşürmeden çıkarabildiğinde,
kapsam,
uygun terimsel ifade şunu söylemek şeklindedir:
vektörler "doğrusallığa bağlı".
Başka bir şekilde de şöyle denebilirdi,
"vektörlerden biri, diğer iki vektörün
kapsamlarında olduğundan, iki vektörün doğrusal birleşimi olarak ifade edilebilir."
Öte yandan, eğer her bir vektör gerçekten
kapsama, başka bir boyut ekliyorsa,

Chinese: 
它為接近每一個可能的3-維矢量解了鎖。
它圍著第一和第二個（矢量）的伸展平面移動，將它掃過所有的空間。
另一種方法來考慮是你充分利用供你使用的係數，自由地改變著來
接近完全的3-維空間。
現在，在這樣的情況下，第三個矢量已經在前兩個的伸展上了
或者那兩個矢量正好在同一條綫上
我們想要什麽術語來描述這個事實
至少這些矢量中的一個是重復的-沒有為我們的伸展加上什麽。
每次發生這樣的，你有多個矢量而你
可以拿掉一個而沒有影響到這伸展，
這有關的術語是“綫性上依賴的”，
一種其它（矢量）的綫性組合因爲它已經在其它（矢量）的伸展之中了。
在另一個方面，如果每個矢量確實是對這伸展另外加上了一維的話

French: 
il se déplace autour de l'étendue des 2 premiers, le balayant dans tout l'espace.
Une autre manière d'y penser est qu'on exploite au maximum les 3 scalaires
variant librement à notre disposition pour accéder aux 3 dimensions de l'espace.
Encore dans le cas où le 3ème vecteur fait partie de l'étendue des 2 premiers,
ou dans le cas de figure où les 2 vecteurs du plan sont colinéaires,
on veut un terme pour définir le fait qu'au moins un de ces vecteurs
est redondant, n'apportant rien à notre étendue.
Quand cela se passe, quand on a des vecteurs et qu'on peut en enlever un sans changer l'étendue de ces vecteurs,
le terme approprié est de dire que ces vecteurs sont *linéairement dépendant* l'un de l'autre.
Une autre manière d'exprimer cette idée est de dire qu'un vecteur peut être exprimé comme
une combinaison linéaire des autres, comme c'est déjà dans l'étendue des autres.
D'une autre part, si un vecteur ajoute réellement une autre dimension à l'étendue,

Czech: 
posouváte rovinu, která obaluje první dva vektory, a proplujete s ní celým prostorem.
Jiná představa je, že když máte plně k dispozici tři volně měnící se
skaláry, tak
máte přístup ke všem třem rozměrům v prostoru.
Pro ty případy, kdy třetí vektor leží v rovině původních dvou,
případně když se vyrovnají do přímky,
bychom chtěli nějakou terminologii vystihující, že
alespoň jeden z těchto vektorů
je nadbytečný — nepřidává do obalu nic nového.
Kdykoli se to stane, že máte několik vektorů a můžete některý odebrat, aniž by se zmenšil
lineární obal,
podle příslušné terminologie říkáme, že jsou
"lineárně závislé".
Ekvivalentně by se dalo říct, že některý vektor lze vyjádřit
jako lineární kombinaci ostatních vzhledem k tomu, že leží v jejich lineárním obalu.
Naopak, když každý vektor opravdu přidává do obalu nový rozměr,

Japanese: 
はじめ2つのベクトルのスパン平面が動き
空間内をすべて掃くことができるのです
また，自由に変えられる3つのスカラーを用いて
3次元空間内のすべてを
指すことができる，とも考えられます
3つ目のベクトルが
はじめ2つのベクトルのスパン内にある場合
または，2つのベクトルが
同じ直線上に並んでいる場合
少なくとも1つのベクトルは余分である
つまり，スパンには何も加わらない
ということを表す用語が欲しいですね
いくつかベクトルがあり，スパンを小さくせずに
あるベクトルを取り除けるとき
それらのベクトルは
「線型従属である」といいます
あるベクトルをほかの
ベクトルの線型結合として表せる
とも言いかえられます
すでにスパン内にあるからです
一方，もしそれぞれのベクトルが
スパンに新たな次元を加えるなら

Portuguese: 
este move a lâmina gerada pelos primeiros dois vetores, varrendo todo o espaço.
Outra maneira de pensar sobre isso é que você está fazendo uso completo desses três escalares que mudam livremente que você tem à disposição
para acessar todas as três dimensões do espaço.
Agora, no caso em que o terceiro vetor esteja no espaço gerado pelos dois primeiros,
ou no caso em que dois vetores estão alinhados,
precisamos de termos para descrever o fato de que
pelo menos um destes vetores é redundante,
não acrescentando nada ao nosso espaço gerado.
Quando isso acontece e você tem vários vetores e poderia remover um sem reduzir o espaço gerado,
dizemos que eles são "linearmente dependentes".
Uma outra maneira de dizer isso é dizer que um dos vetores pode ser expresso como
uma combinação linear dos outros vetores, uma vez que já está no espaço gerado deles.
Por outro lado, se cada vetor realmente acrescentar uma outra dimensão ao espaço gerado,

Polish: 
przesuwa on płaszczyznę pierwszych dwóch poprzez całą przestrzeń.
Wyobrażając sobie to w inny sposób, wykorzystujemy w pełnym zakresie trzy dowolnie zmienne skalary które
mamy do dyspozycji uzyskując dostęp do wszystkich 3 wymiarów przestrzeni.
W przypadku zaś gdy trzeci wektor znajdował się w podprzestrzeni liniowej tworzonej przez pierwsze dwa,
lub w przypadku gdy 2 wektory są równoległe,
potrzebujemy terminologii do opisu tego że przynajmniej jeden z tych wektorów
jest nadmiarowy - nie dodaje niczego do naszej podprzestrzeni.
Gdy taka sytuacja ma miejsce, gdy możemy usunąć jeden z nich bez zmniejszania podprzestrzeni liniowej,
odpowiednim zwrotem jest stwierdzenie że są one "liniowo zależne".
Innymi słowy mówiąc, można powiedzieć że jeden z wektorów można wyrazić
jako liniową kombinacje innych skoro znajduje się w podprzestrzeni przez nie tworzonej.
Z drugiej strony, jeśli wektor faktycznie dodaje nowy wymiar do podprzestrzeni,

Italian: 
esso si muove attorno allo span del foglio dei primi due, spazzandolo attraverso tutto lo spazio.
Un altro modo per pensarlo è che stai facendo pieno uso dei tre, che cambiano liberamente
avete a vostra disposizione per accedere a tutte e tre le dimensioni dello spazio.
Ora, nel caso in cui il terzo vettore fosse già situato nell'arco dei primi due,
o nel caso in cui i due vettori si presentano allineati,
vogliamo una terminologia per descrivere il fatto
che almeno uno di questi vettori è non-ridondante e non aggiunge nulla al nostro span
Ogni volta che succede, quando hai più vettori e puoi rimuoverne uno senza ridurre lo span
la terminologia pertinente è dire che sono "linearmente dipendenti"
un altro modi di esprimerlo (phrasing) potrebbe essere quello di dire che uno dei due vettori può essere espresso
come una combinazione lineare degli altri poiché è già nello span degli altri.
D'altra parte, se ogni vettore aggiunge davvero un'altra dimensione allo span,
si dice che siano "linearmente indipendenti".

iw: 
זה נע סביב המרחב הנפרש ע"י שני הוקטורים הקודמים, מחליק סביב כל המרחב.
עוד דרך לחשוב על זה, זה אם אתה מנצל עד תום את שלושת הסקלרים שנמצאים באמתחתך ומשנה אותם באופן חופשי
שמאפשרים גישה מלאה לכל המרחב התלת-מימדי.
עכשיו, במקרה והוקטור השלישי כבר נמצא במרחב הנפרש ע"י שני הוקטורים הקודמים,
או במקרה בו שני הוקטורים נמצאים אחד על השני,
אנחנו רוצים טרמינולוגיה שתתאר לנו את העובדה שלפחות אחד הוקטורים הללו
הוא מיותר. כלומר, לא מוסיף כלום למרחב הנפרש ע"י שני הוקטורים האחרים.
כשזה קורה, כשיש לך מספר וקטורים ואתה יכול להוריד אחד מהם - מבלי להפחית את המרחב הנפרש ע"י הוקטורים האחרים,
הטרמינולוגיה שמשתמשים בה לתאר זאת היא שהוקטורים הללו הם "תלויים לינארית"(ת"ל).
עוד דרך לנסח זאת היא להגיד שאחד הוקטורים הללו נוכל להביע
אותו כצירוף לינארי של האחרים. זאת מכיוון שהוא כבר נמצא במרחב הנפרש ע"י הוקטורים האחרים.
מצד שני, אם כל וקטור שניקח יוסיף מימד נוסף למרחב הפורש,

Turkish: 
Onlara "doğrusallıktan bağımsız" denir.
Tüm bu terimsel bilgilenim ve kafanızda oluştuğunu umduğum görsel algılarla,
gitmeden sizi bir bulmacayla başbaşa bırakmama müsade edin.
Bir uzayın esas vektörlerinin teknik tanımı;
doğrusallıktan bağımsız, o alanı kapsayan
vektörler kümesi şeklindedir.
Daha önceki "esas vektör" tanımım dikkate alınarak;
ve artık sahip olduğunuz "kapsam" ve "doğrullaktın bağımsız"lık anlayışınızla
bu tanımın neden mantıklı geldiğini düşünün.
Bir sonraki videoda, matrislere ve uzay dönüşümü konularına gireceğim.
Görüşürüz.
[ Şayet ingilizce biliyorsanız, siz de boş zamanınızda ya da zamanınızı boşaltarak belki, çeviriye katkı sağlayabilirsiniz ,dilerim.]

Spanish: 
se dice que son "linealmente independientes".
Entonces con toda esa terminología y, ojalá, con algunas buenas imágenes mentales que la acompañen,
les dejo algo para que piensen antes de irnos.
La definición técnica de la base de un espacio, es un conjunto de vectores linealmente independientes que generen al espacio.
Ahora, dado cómo describí una base anteriormente
y dado su entendimiento actual de los terminos "espacio generado" y "linealmente independiente",
piensen por qué esta definición tendría sentido.
En el siguiente video, me adentraré en las matrices y en las transformaciones del espacio ¡Nos vemos entonces!

Korean: 
"선형 독립적(linear independent)"라고 합니다.
자 그럼 여러 용어들과, 
좋은 이미지 개념들을 잘 지니길 바랍니다.
다음으로 넘어가기전에 아래와 같은 질문을 생각해보길 바랍니다.
기술적 정의로 보면, '공간의 기저(basis) 는 선형독립적인 벡터들의 집합으로 스팬하면 그 공간이 된다' 입니다.
이제, 앞에서 기저(basis) 를 설명한 것과
그리고 "스팬(span)" 과 "선형 독립(linear independent)" 라는 개념을 가지고
이 정의가 왜 맞는말인지 생각해보세요.
다음 동영상에서는 행렬과 공간변형에 대해 다룰 것입니다. 그때 만나요!
싱크 맞추느라 죽는줄

iw: 
אזי הם יקראו "בלתי תלויים לינארית"(בת"ל).
אז עם כל הטרמינולוגיה הזאתי, ובתקווה שעם דימויים טובים להמשיך איתם הלאה,
הרשה לי להשאיר אותך עם חידה לפני שנפרד.
ההגדרה הטכנית של וקטורי הבסיס במרחב, היא שהם(הוקטורים) בלתי תלויים לינארית הפורשים את המרחב.
עכשיו, בהינתן שאיך שתיארתי את הבסיס מוקדם יותר,
ובהינתן ההבנה שלך כרגע של המילים "קבוצה פורשת" ו"בלתי תלויים לינארית",
תחשוב למה ההגדרות האלה בכלל הגיוניות.
בסירטון הבא, אני אכנס למטריצות ולטרנספורמציות במרחב. נתראה שם!
תורגם ע"י סער קטלן

French: 
on dit que les 2 vecteurs sont *linéairement indépendant* l'un de l'autre.
Avec tous ces définitions, et des bonnes images mentales (j'espère) les accompagnant,
je vous propose un petit énigme avant de partir.
La définition technique de la base: c'est l'ensemble des vecteurs linéairement indépendants qui font l'étendue de toute l'espace.
Sachant comment j'ai décrit la base toute à l'heure,
et connaissant les définitions de l'étendue et l'indépendance linéaire,
réfléchissez comment ce définition technique fait sens.
Dans la prochaine vidéo, je toucherai à la notion de matrice et à la transformation de l'espace.
À la prochaine!
Peut-être que certains de vous ont vu la définition d'indépendance linéaire qui dit que les vecteurs v, w, u sont linéairement indépendants si la seule solution de: av+bw+cu=0 est: a=b=c=0.
Pour des raisons de pédagogie, je trouve le notion que n'importe lequel ne fait pas partie de l'étendue des 2 autres est plus intuitif: u≠av+bw pour tout scalaire a et b
Les mathématiciens préfèrent en général la première définition car il traite tous les vecteurs de manière égale. Pouvez-vous voir comment on dit 2 fois la même chose?

Arabic: 
يقال إنهم "مستقلين خطيًا".
لذلك مع كل هذا المصطلح ، ونأمل
مع بعض الصور العقلية الجيدة للذهاب معها ،
دعني أتركك مع اللغز قبل أن نذهب
التعريف الفني لأساس الفضاء
هي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا
تمتد تلك المساحة.
الآن ، بالنظر إلى كيف وصفت أساسًا في وقت سابق ،
وبالنظر إلى فهمك الحالي لل
الكلمات "span" و "مستقلة خطيًا" ،
فكر في سبب هذا التعريف
إحساس.
في الفيديو التالي ، سأدخل المصفوفات
وتحويل الفضاء.
اراك لاحقا!

English: 
they're said to be "linearly independent".
So with all of that terminology, and hopefully
with some good mental images to go with it,
let me leave you with puzzle before we go.
The technical definition of a basis of a space
is a set of linearly independent vectors that
span that space.
Now, given how I described a basis earlier,
and given your current understanding of the
words "span" and "linearly independent",
think about why this definition would make
sense.
In the next video, I'll get into matrices
and transforming space.
See you then!

German: 
nennt man die Vektoren "linear unabhängig".
Mit all diesen Begriffen, und hoffentlich mit einigen nützlichen Bildern im Kopf,
möchte ich euch noch ein kleines Rätsel aufgeben.
Die technische Definition einer Basis eines Raums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren deren Hülle der Raum selbst ist.
Auf Grundlage der Beschreibung einer Basis von vorhin,
und eures jetzigen Verständnisses der Begriffe "Hülle" und "linear unabhängig",
überlegt euch, warum diese Definition sinnvoll ist.
Im nächsten Video werde ich Matrizen und Abbildungen beschreiben. Bis dann!

Portuguese: 
dizemos que são "linearmente independentes".
[Texto na tela: linearmente independentes:
Para todos os valores de a e b]
Assim, depois de tanta terminologia, e espero que algumas boas imagens mentais para acompanhá-las,
deixo um desafio a vocês.
A definição teórica de base de um (sub)espaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que se estendem por esse espaço.
Usando minha descrição anterior de base,
e usando o seu entendimento atual das palavras "span" ("espaço gerado" em inglês, literalmente "estender") e "linearmente independentes", pense por que essa definição faria sentido.
No próximo vídeo, irei abordar matrizes e transformações lineares. Até breve!
Você pode ter visto a definição de independência linear que diz que os vetores v, w, u são linearmente independentes se a unica solução para av + bw + cu = 0 é quando a = b = c = 0. Para fins de ensino, eu acho mais intuitivo pensar quando qualquer um dos vetores está fora do espaço gerado dos outros dois: u ≠ av + bw, para todos os escalares a e b. Matemáticos possuem tendência a preferir a primeira definição pois ela trata todos os vetores de maneira igual. Você consegue enxergar o porquê destas definições diferentes dizerem a mesma coisa?

Czech: 
říkáme, že jsou "lineárně nezávislé".
Takže s touto terminologií, a k tomu snad nějakou dobrou představou
nechám vám, než skončíme, něco na rozmyšlení.
Technická definice báze prostoru je: Seznam lineárně nezávislých vektorů, jehož lineární
obal je celý prostor.
Teď, když už jsem dříve popsal bázi,
a teď jsme si vysvětlili pojmy "lineární obal" a "lineární nezávislost",
zamyslete se, proč by tahle definice měla dávat smysl.
V příštím videu se podíváme na matice a transformace prostoru. Na shledanou, příště!
 

Russian: 
то эти векторы называются “линейно независимыми”.
Со всей этой терминологией и, надеюсь, вкупе с полезными картинками в голове,
позвольте оставить вам небольшую задачку, прежде закончить.
Строго говоря, базис в пространстве – это множество линейно независимых векторов, линейная оболочка которых покрывает все пространство.
Теперь, зная мое предыдущее описание базиса и
имея под рукой понятия “линейной оболочки” и “линейной (не)зависимости”,
подумайте, почему это определение имеет смысл.
В следующем видео, я расскажу о матрицах и преобразованиях пространства. До встречи!
*Дождитесь математического послесловия*
Некоторые из вас могли видеть определение, в котором сказано, что векторы v, w, u линейно независимы, если единственное решение уравнения av+bw+cu=0 это a=b=c=0.
В преподавательских целях я предпочитаю показывать, как один из них не принадлежит линейной оболочке остальных: uav+bw для всех пар (a,b).
Математики предпочитают первое определение ввиду его симметричности. Можете ли вы показать, почему эти определения эквивалентны?

Chinese: 
介绍完以上这些术语，但愿你的脑海里也有相关的图像
我在结束之前留给你们一道谜题
空间的一组基的严格定义是这样的：张成该空间的一个线性无关向量的集合
根据我之前对基的描述
以及你目前对“张成”和“线性无关”这两个词的理解
思考一下为什么这个定义合乎情理
下一期视频，我们将进入矩阵与空间变换这一部分
到时候再见！
（下期视频：矩阵与空间变换）

Japanese: 
それらは「線型独立である」といいます
では，これらの用語と
いくつかのイメージとともに
クイズを残しておきます
基底ベクトルの厳密な定義は
「空間を張る線型独立なベクトルの集まり」です
はじめに基底ベクトルを表した方法と
「スパン」「線型独立」という用語の理解を合わせて
なぜこの（厳密な）定義が
意味をなすのか考えてみましょう
次のビデオでは，行列と変換について話します
ではまた！

Chinese: 
它們就被稱爲“綫性上獨立的”。
這樣有了所有的那種術語，并且也希望與它一起在腦子裏對它有些形象。
在我們分手前讓我留給你些猜想。
一個空間的基本矢量是一組伸展
那個空間的綫性上獨立的矢量。
現在，給出了我剛剛那樣的描述
想一下為什麽這個定義會有道理的。

Polish: 
mówimy że jest "liniowo niezależny".
Z tą całą terminologią, i - mam nadzieję - dobrym sposobem wyobrażania sobie wektorów,
zostawię na koniec pewną zagadkę.
Techniczna definicja bazy przestrzeni to zbiór liniowo niezależnych wektorów tworzących tą przestrzeń.
Zatem, mając na uwadze jak opisywałem bazę wcześniej,
i biorąc pod uwagę bieżące rozumienie słów "przestrzeń" i "liniowo niezależne",
zastanów się dlaczego ta definicja ma sens.
W następnym filmie, zabierzemy się za macierze i transformaty przestrzenne. Do zobaczenia!

Italian: 
Quindi con tutta questa terminologia, sperando anche con alcune buone immagini mentali,
lasciate che vi lasci con un puzzle prima di andare
La definizione tecnica di base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che si estendono attraverso lo spazio
Ora, visto come ho descritto una base in precedenza,
e data la corrente comprensione delle parole "span" e "indipendenza lineare"
pensa a perché questa definizione dovrebbe avere senso.
Nel prossimo video, parleremo di matrici e trasformazioni
Ci vediamo!
