
English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is explore the notion of
differentiability at a point.
And that is just a fancy way of saying
does the function have a
defined derivative at a point?
So let's just remind ourselves
a definition of a derivative.
And there's multiple ways of writing this.
For the sake of this
video, I'll write it as
the derivative of our function at point C,
this is Lagrange notation
with this F prime.
The derivative of our function
F at C is going to be equal
to the limit as X approaches Z
of F of X, minus F of C,
over X minus C.
And at first when you see this formula,
and we've seen it before, it
looks a little bit strange,
but all it is is it's
calculating the slope,
this is our change in the
value of our function,
or you could think of
it as our change in Y,
if Y is equal to F of X,
and this is our change in X.

Czech: 
V tomto videu si představíme koncept 
diferencovatelnosti v určitém bodě funkce.
Diferencovatelnost znamená, jestli 
funkce má v daném bodě derivaci.
Připomeňme si
definici derivace.
Lze ji zapsat
několika způsoby.
Pro naše účely napíšu, 
že derivace funkce v bodě c…
Tohle je Lagrangeův 
způsob zápisu, f s čarou.
Je rovna limitě pro x jdoucí k c
z f(x) minus f(c) lomeno x minus c.
Tuhle rovnici nevidíme poprvé.
Přestože zprvu může působit zvláštně,
je to jen výpočet směrnice funkce.
Dělíme změnu y v čitateli
změnou x v jmenovateli.

Korean: 
이번 영상에서는
어떤 점에서의 미분 가능
여부에 대해 배울 것입니다
복잡하게 들리지만 사실
다음 질문과 같은 뜻입니다
함수가 해당 점에서 정의된
도함수를 가지고 있는가?
도함수의 정의에
대해 상기해 봅시다
다양한 방식으로
적어볼 수 있습니다
이 영상에서는
점 c에서의 도함수로
적어 보겠습니다
이것은 f'을 사용하는
라그랑주 표기법입니다
점 c에서의
함수 f의 도함수는
x가 z에 가까워질 때
다음 식의 극한값입니다
f(x) - f(c)/ x - c
f(x) - f(c)/ x - c
이 식을 처음 보았다면
물론 전에도 본 적이 있지만
매우 이상해 보입니다
하지만 이 식은 사실
기울기의 계산식이며
이것이 함수값의 변화량
혹은 y의 변화량입니다
만약 y가 f(x)이고 이것이
x의 변화량이라면 말입니다

Bulgarian: 
В настоящия урок
ще изследваме понятието за 
диференцируемост в точка.
Това е просто нарицателно за въпроса
дали функцията има дефинирана 
производна в тази точка?
Нека си припомним определението 
за производна.
Има множество начини да го изпишем.
За целите на настоящия урок 
ще го запиша
като производната 
на функцията в точка c.
Това f' е означението на Лагранж.
Производната на функцията f 
в точка c ще бъде равна
на границата, когато x клони към c,
от f(x) – f(c)
върху x – c.
Когато за първи път видиш тази формула,
а ние сме я срещали и преди, 
изглежда малко странна,
но всичко, за което служи тя, е изчисляване на 
наклона (ъгловия коефициент),
т.е. промяната в стойността на функцията.
Може да мислиш за това 
като за промяна на y,
когато y = f(x), и това е промяната на x.

Czech: 
Snažíme se určit směrnici, když se změna
x blíží k 0, neboli když se x blíží k c.
Tomu jsme se věnovali
v minulých videích.
Začneme s několika výroky.
Nebudu je dnes zevrubně dokazovat,
to necháme na jindy.
Dnes chceme jen
získat určitý náhled.
Zaprvé, pokud je funkce f v bodě x rovno c
diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá.
Takže pokud v bodě x rovno c existuje tato
limita, funkce je v tomto bodě spojitá.
Tahle implikace nefunguje obráceně, funkce
může být spojitá, ale ne diferencovatelná,
později si ukážeme
příklad takové funkce.

Bulgarian: 
Ние просто се опитваме да разберем
 какъв е този наклон,
когато x се доближава все по-близо до c, 
т.е. когато промяната на x
се доближава до 0.
За това става дума 
в други видео уроци.
В настоящия урок ще изкажа 
няколко твърдения,
които няма да доказвам строго.
Има друг видео урок, който ще
навлезе повече в доказателствата.
Това е повече да придобиеш усещане.
Първото твърдение, което ще направя,
е,  че ако f е диференцируема 
в точка x = c,
x = c,
то f е непрекъсната
в точка x = c.
Aко знаем, че е диференцируема,
ако можем да намерим тази граница,
ако може да намерим производната за x = c,
то тогава функцията е също
 непрекъсната в точката x = c.
Това не означава със сигурност,
 че обратното е вярно,
и всъщност ще разгледаме случай, където
обратното не е вярно, т.е.
ако функцията е непрекъсната, то 
тя задължително е диференцируема.

English: 
And we're just trying to
see, well, what is that slope
as X gets closer and closer
to C, as our change in X
gets closer and closer to zero?
And we talk about that in other videos.
So I'm now going to make a
few claims in this video,
and I'm not going to
prove them rigorously.
There's another video that
will go a little bit more
into the proof direction.
But this is more to get an intuition.
And so the first claim
that I'm going to make
is if F is differentiable,
at X equals C,
at X equals C,
then F is continuous
at X equals C.
So I'm saying if we know
it's differentiable,
if we can find this limit,
if we can find this
derivative at X equals C,
then our function is also
continuous at X equals C.
It doesn't necessarily
mean the other way around,
and actually we'll look
at a case where it's not
necessarily the case the
other way around that
if you're continuous, then
you're definitely differentiable.

Korean: 
그리고 우리가 봐야 하는 것은
x가 c에 점점 가까워지고
x의 변화량이 0에 가까워지면서
기울기는 어떻게 되는지이죠
다른 영상에서도
이야기한 내용입니다
이제 이 영상에서
몇 가지 명제들을 보여줄 건데
그것들을 모두 엄격하게
증명하지는 않을 겁니다
다른 영상에서 그것들에 대한
증명에 초점을 맞출 것입니다
하지만 지금으로써는
직관적인 이해를 먼저 가져봅시다
첫 명제는
만약 f가
x가 c가 되는 점에서
미분이 가능하다면
x가 c가 되는 점에서
f는 연속된다는 것입니다
즉, 만약 함수가
미분이 가능하고
이 극한이 존재하며
x가 c인 점에서 이 도함수를
구할 수 있다면
그 함수는 x가 c인 점에서
연속된다는 것입니다
하지만 그 반대의 경우는
항상 성립하지는 않는데
그러한 예를
이따가 살펴보도록 하겠습니다
만약 함수가 연속된다면
함수는 미분이 가능합니다

Czech: 
Každopádně, pokud funkce není v bodě 
spojitá, rozhodně není diferencovatelná.
Jestliže f v bodě x rovno c není spojitá,
pak v tomto bodě f není diferencovatelná.
Uvedeme si pár příkladů nespojité funkce,
zamyslete se, zda u nich lze najít limitu.
První příklad je tato
nespojitá funkce.
Funkce má v bodě ‚c‘ určitou hodnotu, ale
pro x větší než ‚c‘ hodnota skočí dolů.
Takže co by se stalo, kdybychom
se pokusili najít tuhle limitu?
Tenhle vzorec vyjadřuje směrnici úsečky
určené libovolným bodem x a bodem c.

Korean: 
이를 다르게 해석하면
함수가 연속되지 않으면
그 함수는 미분가능하지 않습니다
f가 x가 c인 점에서
연속되지 않으면
f는 해당 점에서
미분가능하지 않습니다
불연속 함수의 예를
몇 가지 살펴보고
이 극한값을 찾을 수 있을지에
대해 생각해 봅시다
첫 번째 예는 불연속성이
존재하는 경우입니다
함수는 c에서 정의되어 있고
이 값과 같은데
x가 c보다 커지면서
함수가 도약하여
여기 아래로 이동합니다
이 극한값을 구하려고 하면
어떻게 될까요?
기억해야 할 것은
이 식이 나타내는 것은
x가 어떤 임의의 값일 때
직선의 기울기라는 것입니다

Bulgarian: 
Друг начина да обясним това, 
което току-що написах, е
че ако функцията не е непрекъсната, 
то със сигурност
не е диференцируема.
Ако f не е непрекъсната
в точката x = c, то f
не е диференцируема,
не е диференцируема за x = c.
Нека да дам няколко примера 
за прекъсната функция
и да помислим дали ще е възможно 
да намерим тази граница.
Ето първия, в който имаш 
прекъсната функция.
Функцията е дефинирана в точка c,
 равна е на тази стойност,
но виждаш, че когато x има
по-голяма стойност от c,
функцията пада надолу 
и се измества ето тук.
Какво ще се случи, ако се опиташ
 да намериш тази граница?
Спомни си, че всичко това 
е наклон на права
между произволна стойност на x,

English: 
But another way to interpret
what I just wrote down is,
if you are not continuous,
then you definitely
will not be differentiable.
If F not continuous
at X equals C, then F
is not differentiable,
differentiable at X is equal to C.
So let me give a few examples
of a non-continuous function
and then think about would we
be able to find this limit.
So the first is where
you have a discontinuity.
Our function is defined at
C, it's equal to this value,
but you can see as X
becomes larger than C,
it just jumps down and
shifts right over here.
So what would happen if you
were trying to find this limit?
Well, remember, all this
is is a slope of a line
between when X is some arbitrary value,

Czech: 
x si zvolíme třeba tady, 
takže tady leží bod [x;f(x)],
A tady je bod [c;f(c)].
Když budeme hledat limitu pro
hodnoty zleva, dostaneme tuto úsečku.
Když se pak přiblížíme k ‚c‘,
dostaneme tuto úsečku.
A pak ještě blíž,
dostaneme tuto úsečku.
Směrnice ve všech třech případech bude 0.
Takže zleva se limita zdánlivě blíží 0.
Zkusme teď najít limitu zprava, 
zvolíme si x někde tady.

Korean: 
만약 이 값이라고 해 보죠
이 점이 x와 f(x)에
해당하는 점이고
이 점이 c와 f(c)에
해당하는 점입니다
이것이 c와 f(c)에
해당하는 점입니다
이 점에서의 좌극한을 구하면
이 부분의 기울기를
구하는 것과 같습니다
x를 좀 더 가까이
가져간 후에
다시 기울기를 구해 봅시다
그리고 x를 좀 더
가까이 가져간 후
다시 기울기를 구해 봅시다
이 모든 경우에서
기울기는 0입니다
기울기는 0입니다
따라서 왼쪽에서 가까워질 때
도함수 혹은 이 극한이
0에 가까워지고 있습니다
x가 오른쪽에 있으면 어떨까요?
x가 여기 있는 대신
x를 여기로
가져가 보면 어떨까요?
x와 f(x)에
해당하는 이 점에서

English: 
let's say it's out here,
so that would be X,
this would be the point X comma F of X,
and then this is the point C
comma F of C right over here.
So this is C comma F of C.
So if you find the left side
of the limit right over here,
you're essentially saying
okay, let's find this slope.
And then let me get a little bit closer,
and let's get X a little bit closer
and then let's find this slope.
And then let's get X even closer than that
and find this slope.
And in all of those
cases, it would be zero.
The slope is zero.
So one way to think about it,
the derivative or this limit
as we approach from the left,
seems to be approaching zero.
But what about if we were
to take Xs to the right?
So instead of our Xs being there,
what if we were to take
Xs right over here?
Well, for this point, X comma F of X,

Bulgarian: 
нека да кажем, че е ето тук, това ще е x,
това ще е точката (x; f(x)),
тогава това ще е 
точката (c; f(c)) ето тук.
Това е (c; f(c)).
Ако намериш лявата граница ето тук,
всъщност казваш:
 добре, нека да намерим този наклон.
Нека да се приближа малко повече
и нека x да се доближи по-близо,
и нека да намерим този наклон.
А след това нека x да се доближи
дори по-близко от това
и да намерим наклона.
Във всички тези случаи ще бъде 0.
Наклонът е 0.
Възможен начин да мислиш за това е,
че производната или тази граница,
като де приближаваме вляво,
 изглежда, че клони към 0.
Какво става обаче ако вземем 
x стойности отдясно?
Вместо нашите x да бъдат там,
какво става ако бяхме взели x ето тук?
За тази точка (x; f(x)),

Bulgarian: 
наклонът ако вземем f(x) – f(c)
върху x – c, това ще бъде
 наклонът на тази права.
Ако изберем x да бъде дори по-близо, 
да кажем ето тук,
тогава това ще бъде 
наклонът на тази линия.
Ако се приближим дори повече, тогава този израз
ще бъде наклонът на тази линия.
Когато се приближаваме 
повече и повече до x = c,
виждаме, че наклонът действително
клони към -∞ (минус безкрайност).
И по-важното е, че клони към
много различна стойност отдясно.
Този израз клони към 
много различна стойност
отдясно в сравнение с тази отляво.
В този случай, тази граница тук
няма да съществува.
Следователно може ясно да заявим, 
че "Не е диференцируема".
Припомням, че това не е доказателство.
Просто давам логиката дали ако нещо
не е непрекъснато, което е 
очевидно поне в този случай,
че няма да бъде диференцируемо.

Korean: 
f(x) - f(c) /x - c를 계산하면
그것이 이 선의
기울기일 것입니다
x를 더 가까이 움직여
여기로 가져간다면
이것이 선의 기울기가
될 것입니다
x를 좀 더 가까이 움직이면
이 식이 선의 기울기가
될 것입니다
따라서 x가 c를 향해
계속 가까워짐과 동시에
기울기가
음의 무한대를 향해
가까워지는 것을 알 수 있습니다
가장 중요한 것은
오른쪽과 왼쪽에서 서로
전혀 다른 값을 향해
가까워진다는 점입니다
이 식은 오른쪽 방향과
왼쪽 방향에서
전혀 다른 값을 향해
가까워지고 있습니다
이 경우에 여기에서의
극한은 존재하지 않습니다
즉 이 점에서 함수는
미분가능하지 않습니다
다시 말하지만
증명이 아닙니다
그저 함수가 연속되지 않을 때
적어도 이 경우에는
미분가능하지 않다는
직관적 이해를 주기 위함입니다

Czech: 
Směrnice úsečky s bodem [x;f(x)] se rovná
f(x) minus f(c), to celé lomeno x minus c.
To by byla
směrnice této úsečky.
Pokud se s x přiblížíme k ‚c‘, třeba sem,
dostaneme směrnici téhle úsečky.
Pokud se ještě přiblížíme, 
dostaneme směrnici této úsečky.
Takže čím blíž jsme k bodu x rovno c,
tím blíž jsme zápornému nekonečnu.
Ale především, blížíme se zprava
úplně jiné hodnotě než zleva.
Proto v tomto bodě tato limita neexistuje,
funkce v tomto bodě není diferencovatelná.
Raději zopakuji,
že tohle není důkaz.
Jen tu můžeme jasně vidět, proč nespojitá
funkce bude zároveň i nediferencovatelná.

English: 
our slope, if we take F of X minus F of C
over X minus C, that would
be the slope of this line.
If we get X to be even closer,
let's say right over here,
then this would be the slope of this line.
If we get even closer,
then this expression
would be the slope of this line.
And so as we get closer and
closer to X being equal to C,
we see that our slope is actually
approaching negative infinity.
And most importantly, it's approaching
a very different value from the right.
This expression is approaching
a very different value
from the right as it is from the left.
And so in this case, this
limit up here won't exist.
So we can clearly say this
is not differentiable.
So once again, not a proof here.
I'm just getting an
intuition for if something
isn't continuous, it's pretty
clear, at least in this case,
that it's not going to be differentiable.

English: 
Let's look at another case.
Let's look at a case where we
have what's sometimes called
a removable discontinuity
or a point discontinuity.
So once again, let's say we're
approaching from the left.
This is X, this is the
point X comma F of X.
Now what's interesting is
where as this expression
is the slope of the line
connecting X comma F of X
and C comma F of C, which is
this point, not that point,
remember we have this removable
discontinuity right over here,
and so this would be this
expression is calculating
the slope of that line.
And then if X gets even closer
to C, well, then we're gonna
be calculating the slope of that line.
If X gets even closer to C,
we're gonna be calculating
the slope of that line.
And so as we approach from
the left, as X approaches C
from the left, we
actually have a situation
where this expression
right over here is going
to approach negative infinity.
And if we approach from
the right, if we approach

Korean: 
다른 경우를 살펴봅시다
없앨 수 있는 불연속성 혹은
점 불연속성이 있는
경우를 살펴봅시다
아까와 마찬가지로
왼쪽에서 가까워진다고 해 봅시다
이것이 x와 f(x)에
해당하는 점입니다
여기서 흥미로운 것은 이 식이
x와 f(x)에 해당하는 점과
c와 f(c)에 해당하는 점을
잇는 직선의 기울기의 식인데
참고로 이 점이 아닌
바로 이 점에서죠
없앨 수 있는 불연속성이
여기 있다는 것을
잊지 마세요
따라서 이 식은
이 직선의 기울기를
계산하는 식입니다
그런데 x가 c에 더욱 가까워지면
이 직선의 기울기를
계산하게 됩니다
x가 c에 더욱 가까워지면
이제 이 직선의
기울기를 계산하게 되죠
따라서 왼쪽 방향에서
x가 c에 가까워지면
이 식은 곧
음의 무한대를 향해
가까워지게 됩니다
오른쪽 방향에서 c보다
큰 값들로부터 가까워지면

Czech: 
Ukážeme si další příklad.
V téhle funkci máme takzvanou
odstranitelnou nespojitost.
Znovu se začneme k c blížit
zleva, přičemž tady leží bod [x;f(x)].
A tímto vzorcem bychom spočítali směrnici
úsečky určené body [x;f(x)] a [c;f(c)].
Ten je ale tady dole, funkce je nespojitá,
takže bychom dostali směrnici této úsečky.
Když se s x přiblížíme k ‚c‘,
dostaneme směrnici téhle úsečky.
Když půjdeme ještě blíž,
dostaneme směrnici této úsečky.
Takže když se x blíží k ‚c‘ zleva, zase se
směrnice blíží zápornému nekonečnu.

Bulgarian: 
Нека да разгледаме друг случай.
Нека да разгледам случай, където 
имаме нещо, което се нарича
"отстранима точка на прекъсване" или "прекъснатост в точка".
Още веднъж, нека x да клони отляво.
Това е x, това е точката (x; f(x)).
Сега това, което е интересно, 
е, че този израз
е наклонът на линията, 
която свързва (x; f(x))
и (c; f(c)), което е тази, а не тази точка,
припомни си, че имаме
отстранима точка на прекъсване ето тук,
така че това означава, че 
този израз пресмята
наклонът на тази права.
Тогава ако x се приближава 
дори повече до c, тогава
ще пресмятаме наклона на тази линия.
Ако x се приближава 
дори повече до c, тогава
ще пресмятаме наклона на тази линия.
Когато x клони към c отляво
всъщност имаме ситуация,
когато този израз ето тук
ще клони към -∞ (минус безкрайност).
А когато се приближаваме отдясно,

Korean: 
이것이 x와 f(x)에
해당하는 점인데
그렇게 되면 양수인
기울기가 생기고
c에 더욱 가까워지면서
기울기는 양의 무한대를
향해 가까워집니다
어느 경우이던 유한한 값을
향해 가까워지지는 않습니다
한쪽 방향에서는 양의
무한대에 가까워지고
반대 방향에서는 음의
무한대에 가까웢비니다
이 식의 극한은
존재하지 않습니다
다시 강조하지만 엄격한
증명을 하는 것이 아닙니다
연속되지 않으면서
이 극한이 존재하는
함수를 찾아보려고
하는 것뿐입니다
정말 어려운 일입니다
이런 질문이 생길지도 모르겠네요
f가 c에서 정의되지 않는
경우는 어떨까요
그러한 경우에는 함수가
연속되지 않는데 말이죠
f가 c에서 정의되지 않으면
식의 이 부분은
말이 되지 않을 겁니다
따라서 당연히
미분가능하지 않겠죠
이제 다른 질문을 해 보죠
방금 연속되지 않는 함수는
미분가능하지 않다는
명제를 확인했습니다
그러면 함수가 연속된다면
무조건 미분가능하다는
명제도 성립할까요?
사실 정말 많은 수의 함수들이

Bulgarian: 
със стойности x > c, т.е. 
ако това е (x, f(x)), така че
имаме положителен наклон тук. 
Тогава като се приближаваме повече,
наклонът става все повече положителен
и клони към  +∞ (плюс безкрайност).
Във всеки случай не клони
към крайна стойност.
От едната страна клони към 
+∞ (плюс безкрайност),
а от другата страна клони към 
-∞ (минус безкрайност).
Границата на този израз 
няма да съществува.
Още веднъж, не правя строго 
доказателство тук,
но се опитай да построиш 
непрекъсната функция,
където ще може да намериш това.
Това е много, много трудно.
Сигурно ще попиташ
какво става в ситуации,
когато f дори не е дефинирана в точка c,
 която със сигурност
няма да е непрекъсната,
 ако f не е дефинирана в точка c.
Ако f не е дефинирана в точка c, 
тогава тази част
от израза няма да има смисъл,
така че определено 
няма да е диференцируема.
Нека сега попитаме друго нещо.
Току-що ти дадох добри аргументи, 
че когато
функцията е прекъсната, 
то няма да е диференцируема,
Можем ли обаче да изкажем и друго твърдение, 
че ако е непрекъсната,
тогава със сигурност ще е диференцируема?
Получава се, че със сигурност има

English: 
with Xs larger than C, well,
this is our X comma F of X,
so we have a positive slope
and then as we get closer,
it gets more positive, more positive
approaches positive infinity.
But either way, it's not
approaching a finite value.
And one side is approaching
positive infinity,
and the other side is
approaching negative infinity.
This, the limit of this
expression, is not going to exist.
So once again, I'm not
doing a rigorous proof here,
but try to construct a
discontinuous function
where you will be able to find this.
It is very, very hard.
And you might say, well,
what about the situations
where F is not even defined
at C, which for sure
you're not gonna be continuous
if F is not defined at C.
Well if F is not defined
at C, then this part
of the expression
wouldn't even make sense,
so you definitely wouldn't
be differentiable.
But now let's ask another thing.
I've just given you good
arguments for when you're
not continuous, you're not
going to be differentiable,
but can we make another claim
that if you are continuous,
then you definitely
will be differentiable?
Well, it turns out that there are for sure

Czech: 
A když se budeme blížit naopak
zprava, tady bude bod [x;f(x)].
Směrnice této úsečky je kladná, navíc
se zvětšuje s tím, jak se blížíme k ‚c‘,
a dostáváme se ke
kladnému nekonečnu.
Každopádně se neblížíme
konkrétní hodnotě.
Zleva se blížíme zápornému nekonečnu,
zprava se blížíme kladnému nekonečnu.
Tato limita taky
nebude existovat.
Znovu, toto není důkaz, ale zkuste přijít
s nespojitou funkci, kde limitu najdete.
Je to opravdu těžké.
A možná si říkáte, co funkce,
kde f(c) ani není definované.
Taková funkce je
potom určitě nespojitá.
Navíc, pokud c není definováno, pak tato
část vzorce nedává žádný smysl.
Taková funkce je
taky nediferencovatelná.
Teď se však zaměřme
na něco jiného.
Uvedl jsem pár argumentů, proč nespojitá
funkce nutně bude i nediferencovatelná.
Teď si ukážeme, jestli spojitá funkce
musí naopak být nutně i diferencovatelná.

Czech: 
Inu, existuje nekonečně mnoho funkcí,
které sice jsou v bodě c spojité,
ale nejsou v bodě c diferencovatelné,
například funkce s absolutní hodnotou.
Tohle je funkce y rovná se 
absolutní hodnotě x minus c.
Proč tato funkce v bodě c
není diferencovatelná?
Musíme si uvědomit, že tento výraz udává
směrnici mezi body [x;f(x)] a [c;f(c)].
Takže pokud tady vlevo je [x;f(x)], 
ze vzorce dostaneme směrnici této úsečky.
A když se přiblížíme k ‚c‘, dostaneme 
směrnici této úsečky, která bude stejná.
Směrnice této funkce bude -1 pro x blížící
se c od hodnot menších než c, tedy zleva.

Bulgarian: 
много функции, безкраен брой функции,
които могат да са непрекъснати в точка c, 
но не са диференцируеми.
Например това може да е функция 
с абсолютна стойност (модул).
Не е задължително да е функция 
с абсолютна стойност,
но може да е y = Ix – cI,
т.е. абсолютната стойност на x – c.
И защо тази функция не е 
диференцируема в точка c?
Помисли какво се случва.
Помисли за този израз.
Припомни си, че всичко, което
 прави този израз, е
да изчислява наклона между точката (x, f(x))
и точката (c, f(c)).
Така че, ако това ето тук, е (x; f(x)),
пресмятането ще се получи,
 като вземем границата,
когато x клони към c отляво,
и ще наблюдаваме ето този наклон.
И когато се приближаваме,
 ще наблюдаваме този наклон,
който действително ще бъде същият.
В този случай ще бъде отрицателен.
Когато x клони към c отляво,
този израз ще бъде –1.
Но когато x клони към c отдясно,

Korean: 
심지어는 무한한
개수의 함수들이
c에서 연속되지만
미분가능하지 않습니다
예를 들어
이것이 절댓값 함수라고 합시다
꼭 절댓값 함수일
필요는 없지만
이 식이
y = |x - c|라고 합시다
이 식이
y = |x - c|라고 합시다
왜 이 함수는 c에서
미분가능하지 않을까요?
자, 무슨 일이 일어나는지
생각해 봅시다
이 식에 대해 생각해 보세요
기억하세요, 이 식은
x와 f(x)에 해당하는 점과
c와 f(c)에 해당하는 점 사이의
기울기를 계산하는 식입니다
만약 이 점에 x와 f(x)에
해당하는 점이고
이를 계산해 볼 건데
만약 x가 왼쪽으로부터
c에 가까워지면
이 직선에 해당합니다
그리고 x가 점점 더 가까워지면
이 직선에 해당하는데
두 직선은 같은 기울기를
가집니다
이 경우에는 음수의 기울기를
가지게 되겠죠
따라서 x가 왼쪽 방향에서
c에 가까워지면
이 식은 -1이 됩니다
하지만 x가 오른쪽 방향에서
c에 가까워지면

English: 
many functions, an infinite
number of functions,
that can be continuous at
C, but not differentiable.
So for example, this could be
an absolute value function.
It doesn't have to be an
absolute value function,
but this could be Y is equal to
the absolute value of X minus C.
And why is this one not
differentiable at C?
Well, think about what's happening.
Think about this expression.
Remember, this expression
all it's doing is calculating
the slope between the point X comma F of X
and the point C comma F of C.
So if X is, say, out here,
this is X comma F of X,
it's going to be calculated,
so if we take the limit
as X approaches C from the left,
we'll be looking at this slope.
And as we get closer, we'll
be looking at this slope
which is actually going to be the same.
In this case it would be a negative one.
So as X approaches C from the left,
this expression would be negative one.
But as X approaches C from the right,

Czech: 
Ale pro x blížící se c zprava
bude vzorec mít hodnotu 1.
Směrnice úsečky
bude 1.
Takže tento vzorec nám dává dvě různé
hodnoty, když se x blíží c zleva a zprava.
Zleva se směrnice
blíží -1, zprava 1.
V takovém případě
limita neexistuje.
Tato funkce v bodě
c není diferencovatelná.
Dává to smysl, protože derivace je vlastně
směrnice tečny, těch je v ‚c‘ nekonečno.
Tečna by mohla
klidně vést třeba tudy.
Ale klidně i tudy, tato přímka se také
dotýká grafu funkce jen v bodě c.

Bulgarian: 
този израз ще бъде 1.
Наклонът на линията, която 
свързва тези точки, е 1.
Наклонът на линията, която 
свързва тези точки, е 1.
Следователно границата на този израз,
 или бих казал стойността
на този израз, клони 
към различни стойности,
когато x клони към c 
отляво или отдясно.
Отляво клони към –1,
или е постоянно –1 и следователно
може да се каже, че клони към –1.
А отдясно е 1,
и клони към 1 през цялото време.
А ние знаем, че когато се приближаваме 
към две различни стойности,
отляво или отдясно на границата,
то тази граница няма да съществува.
Следователно това тук 
не е диференцируемо.
Дори интуитивно мислим за производната
като за наклон на допирателната.
Можеш да начертаеш безкраен брой
допирателни ето тук.
Това е един начин да мислиш за това.
Може би ще кажеш, че допирателната,
е това тук, но тогава защо не мога
да направя нещо подобно 
да е допирателната?

Korean: 
이 식은 1이 됩니다
이 점들을 연결하는 직선의
기울기는 1입니다
이 점들을 연결하는 직선의
기울기도 1입니다
따라서 이 식의 극한값
혹은 이 식이 가지는 값은
x가 c에 왼쪽과 오른쪽 방향에서
가까워질 때 서로 다릅니다
왼쪽 방향에서는
-1에 가까워지며
지속적으로 -1의 값입니다
오른쪽 방향에서는 값이 1이며
지속적으로 1에 가까워집니다
따라서 왼쪽과 오른쪽 방향에서
서로 다른 값을
향해 가까워진다면
극한값은 존재하지 않습니다
따라서 이 경우는
미분가능하지 않습니다
직관적으로 생각해 봐도
도함수를 접선의 
기울기로 생각해 보면
이 점에서는 무한한 개수의
다른 접선들을 그릴 수 있습니다
이것도 하나의 관점입니다
만약 이것이
접선이라고 한다면
이런 접선 또한 존재할
수 있지 않을까요?

English: 
this expression is going to be one.
The slope of the line that
connects these points is one.
The slope of the line that
connects these points is one.
So the limit of this expression,
or I would say the value
of this expression, is
approaching two different values
as X approaches C from
the left or the right.
From the left, it's
approaching negative one,
or it's constantly negative
one and so it's approaching
negative one, you could say.
And from the right, it's one,
and it's approaching one the entire time.
And so we know if you're
approaching two different values
from on the left side or
the right side of the limit,
then this limit will not exist.
So here, this is not, not differentiable.
And even intuitively, we
think of the derivative
as the slope of the tangent line.
And you could actually
draw an infinite number
of tangent lines here.
That's one way to think about it.
You could say, well, maybe
this is the tangent line
right over there, but
then why can't I make
something like this the tangent line?

English: 
That only intersects at
the point C comma zero.
And then you could keep
doing things like that.
Why can't that be the tangent line?
And you could go on and on and on.
So the big takeaways here,
at least intuitively,
in a future video I'm
going to prove to you
that if F is differentiable at
C that it is continuous at C,
which can also be interpreted
as that if you're not
continuous at C, then you're
not gonna be differentiable.
These two examples will hopefully give you
some intuition for that.
But it's not the case that
if something is continuous
that it has to be differentiable.
It oftentimes will be
differentiable, but it doesn't have
to be differentiable, and
this absolute value function
is an example of a
continuous function at C,
but it is not differentiable at C.

Bulgarian: 
Това само пресича в точката (c; 0).
След това може да продължиш 
да правиш неща като това.
Защо не може това да е допирателната?
И така може да продължаваш и продължаваш.
Важните изводи тук са, поне интуитивно,
в бъдещ видео-урок ще го докажа,
че ако f е диференцируема в точка c, то тя е непрекъсната в точка c,
което може да се интерпретира, 
че ако функцията
е прекъсната в точка c, то 
няма да е диференцируема.
Надявам се, че с тези два примера
 ще развиеш
повече интуицията си за това.
Но случаят не е, че ако 
нещо е непрекъснато,
то трябва да бъде диференцируемо.
Понякога ще бъде диференцируемо, 
но не задължително
ще е диференцируемо. Функцията
 с абсолютна стойност
е пример за непрекъсната 
функция в точка c,
която обаче не е 
диференцируема в точка c.

Korean: 
이 접선 역시 c와 0에 해당하는
점만을 지납니다
이와 같이 접선들을
계속 그어나갈 수 있습니다
이것 역시 접선이 될 수 있죠?
이렇게 계속할 수 있습니다
여기에서 기억해야 할 것은
추후 다른 영상에서
f가 c에서 미분가능하다면
c에서 연속된다는
명제를 증명할 건데
이 명제는 또한
함수가 c에서 연속되지 않으면
c에서 미분가능하지 않다고
해석될 수도 있습니다
이야기한 두 예제가
그에 대한 직관적인 이해를
주었기를 바랍니다
하지만 어떤 함수가
연속된다고 해서
무조건 미분가능한 것은 아닙니다
물론 미분가능한
경우가 종종 있지만
무조건 미분가능한 것은 아니고
이 절댓값 함수가 바로
c에서 연속되는 함수이지만
c에서 미분가능하지 않은
함수의 좋은 예입니다

Czech: 
Můžu jich tu nakreslit
nekonečně mnoho.
Nejdůležitější myšlenka, kterou jsme si
dnes nastínili a příště ji dokážeme, zní:
pokud je f v bodě c diferencovatelná,
pak je v tomto bodě nutně i spojitá.
Což znamená, že pokud f v bodě c spojitá
není, není v bodě c ani diferencovatelná.
Snad vám tyto dva příklady
pomohly si to představit.
To, že f je v bodě c spojitá, však nutně
neznamená, že je tu i diferencovatelná.
Často to bude
platit, ale ne vždycky.
Třeba tato funkce s absolutní hodnotou je
v bodě c spojitá, ale nediferencovatelná.
