Như ta đã bàn ở video trước,
ta đã được xem nhiều ví dụ bắt đầu với
khai triển của một chuỗi hình học,
và khi đó giả sử rằng tỉ số chung của nó,
rằng giá trị tuyệt đối của tỉ số chung thì nhỏ hơn 1,
hãy tìm tổng khả dĩ của nó.
Ta đã chứng minh công thức này ở những video trước.
Nhưng giờ hãy thử dùng cách khác.
Hãy thử lấy vài hàm số--
cho rằng h(x) bằng 1 trên 3 cộng x bình phương--
và thử biến nó thành dạng này.
Và khi đó, một lần nữa, ta lại biến nó thành dạng đó,
khi đó ta có thể biết a và tỉ số chung của ta là gì.
Và sau đó thử biểu diễn nó như là một chuỗi hình học thực sự.
Vì vậy tôi khuyến khích bạn nên tạm dừng video này lại
và thử làm điều đó bây giờ.
Vậy để xem, điều đầu tiên mà bạn có thể nhận ra
là ta có số 1 ở đây thay vì số 3.
Vậy thử đặt 3 ra làm nhân tử chung.
Vậy cái này bằng với 1 trên 3 nhân với 1 cộng x bình phương trên 3.
Và bây giờ, bởi vì ta không muốn số ở 3 đó ở mẫu,
ta có thể xem đây như là 1/3.
Vậy ta có thể xem như 1/3 trên--
để tôi viết bằng màu đỏ.
1/3 trên 1.
Và ta không muốn cộng,
ta muốn trừ với tỉ số chung.
Vậy 1 trừ-- và để tôi viết tỉ số chung của ta
bằng màu vàng.
1 trừ -x bình phương trên 3.
Vậy giờ ta đã viết biểu thức này theo dạng đó.
Và vậy giờ ta có thể nói rằng tổng-- để tôi viết ở đây
-- để tôi viết bằng màu mới.
Vậy để tôi viết bằng màu xanh biển.
Vậy giờ ta có thể nói rằng tổng từ n
bằng 0 tới vô cực của-- để xem, số hạng đầu tiên của ta là 1/3.
1/3 nhân với tỉ số chung của ta luỹ thừa mũ n.
Tỉ số chung bằng trừ x bình phương trên 3.
Và nếu ta muốn khai triển cái này ra,
nó sẽ bằng với-- vậy số hạng đầu tiên là 1/3 nhân với
tất cả cái này luỹ thừa mũ 0.
Vậy nó sẽ bằng 1/3.
Và mỗi số hạng tiếp theo sẽ bằng
số hạng trước nhân với tỉ số chung.
Vậy 1/3 nhân với trừ x bình phương trên 3
sẽ bằng trừ 1/9 nhân x bình phương.
Để đi từ đó tới đó, bạn phải
nhân với-- để xem, 1/3 tới -1/3,
bạn phải nhân nó với -1/3.
Và ta nhân với x bình phương nữa.
Bây giờ ở số hạng tiếp theo, ta sẽ
nhân với trừ x bình phương trên 3 một lần nữa.
Vậy nó sẽ cộng-- một số âm nhân với một số âm là
một số dương-- cộng 1/27 nhân x luỹ thừa 4.
x bình phương nhân với x bình phương, x luỹ thừa 4.
Và ta cứ tiếp tục như thê.
Và khi dãy này hội tụ, ở trên khoảng hội tụ,
cái này sẽ hội tụ tới h(x).
Bây giờ, khoảng hội tụ ở đây bằng bao nhiêu?
Và tôi khuyến khích bạn nên tạm dừng video và suy nghĩ về nó.
Nào, khoảng hội tụ
là khoảng mà trên đó tỉ số chung,
giá trị tuyệt đối của tỉ số chung, nhỏ hơn 1.
Vậy để tôi viết điều này ở đây.
Vậy giá trị tuyệt đối của trừ x bình phương trên 3
phải nhỏ hơn 1.
Nào, giá trị tuyệt đối, đây sẽ
là một số âm.
Điều này tương tự như nói rằng--
để tôi kéo xuống một chút.
Điều này tương tự như việc nói rằng giá trị tuyệt đối của x
bình phương trên 3 phải nhỏ hơn 1.
Và đây là cách khác để nói rằng--
nào, một điều có thể lôi cuốn bạn là x bình phương,
cái này sẽ là số dương bất kể thế nào đi nữa.
Hoặc tôi đoán tôi nên nói rằng, cái này
sẽ không âm bất kể thế nào.
Vậy đây là cách khác để nói rằng x bình phương trên 3
phải nhỏ hơn 1.
Đúng không?
Tôi không muốn làm bạn bối rối ở bước này.
Nhưng giá trị tuyệt đối của x bình phương trên 3
sẽ bằng x bình phương trên 3, bởi vì cái này
sẽ không bao giờ nhận giá trị âm.
Và vậy ta có thể nhân cả 2 vế cho 3.
Giờ tôi sẽ lên trên đây để làm.
Nhân cả 2 vế với 3 để nói rằng x bình phương
phải nhỏ hơn 3.
Và vậy điều đó có nghĩa là giá trị tuyệt đối của x
phải bé hơn căn bậc hai của 3.
Hoặc ta có thể nói rằng x lớn hơn
trừ căn bậc 2 của 3,
và nó nhỏ hơn căn bậc 2 của 3.
Vậy đây là khoảng hội tụ.
Vậy đây là khoảng hội tụ của chuỗi số này,
cho chuỗi luỹ thừa này.
Nó là một chuỗi hình học,
là một trường hợp đặc biệt của chuỗi luỹ thừa.
Và trên khoảng hội tụ,
nó sẽ bằng 1 trên 3 cộng x bình phương.
Vậy miễn là x nằm trong khoảng này,
nó sẽ nhận giá trị giống như nhau
như hàm số ban đầu của chúng ta, đó là một ý tưởng rất tuyệt vời.
