Bonjour
Bienvenue sur la chaîne Top Maths
Dans cette vidéo nous allons
définir la suite de Padovan.
Nous allons également calculer
son terme général
et voir en quoi le nombre plastique
intervient dans cette suite.
Voyons donc la définition
des nombres de Padovan.
Pour n un entier naturel
on va noter P indice n le nombre
des suites finies vérifiant
les deux propriétés suivantes :
elles ne sont constituées que des nombres
2 et 3
et la somme de tous ces nombres
est égale à n plus deux.
P indice n s'appelle le
n ième nombre de Padovan.
Pour clarifier tout ça
on va voir quelques exemples
en déterminant "à la main"
P indice 0 jusqu'à P indice 6.
Pour commencer déterminons
la valeur de P indice zéro.
la suite formée du seul élément deux
vérifie bien les deux conditions :
être formée uniquement avec des 2 ou des
3
et la somme des éléments vaut deux
et c'est bien sûr la seule
donc P indice 0 est égal à 1
Déterminons maintenant P indice 1
la suite formée du seul élément 3
vérifie bien les deux conditions :
être formée uniquement avec des 2 ou des
3
et la somme des éléments vaut 3
et c'est bien sûr la seule
donc P indice 1 est égal à 1
Déterminons P indice 2
la suite formée des deux éléments 2 et
2
vérifie bien les deux conditions :
être formée uniquement avec des 2 ou des
3
et la somme des éléments vaut 4
et c'est bien sûr la seule
donc P indice 2 est égal à 1
Déterminons P indice 3
la suite formée des deux éléments 2 et
3
vérifie bien les deux conditions :
être formée uniquement avec des 2 ou des
3
et la somme des éléments vaut 5
mais il y en a une autre :
c'est la suite formée des deux éléments
3 et 2
Comme il n'y en a pas d'autre,
P indice 3 est égal à 2
De même déterminons P indice 4
La suite 2, 2, 2 a bien 6 comme somme
ainsi que la suite 3, 3
mais il n'y en a pas d'autre
donc P indice 4 est égal à 2
P indice 5 maintenant
la suite 2,2,3 a bien comme somme 7
ainsi que la suite 2,3,2
et la suite 3,2,2
et il n'y en a pas d'autre
donc P indice 5 est égal à 3
et notre dernier exemple P indice 6 :
la suite 2,2,2,2 a une somme égale à 8
tout comme la suite 2,3,3
et la suite 3,2,3
et aussi la suite 3,3,2
et c'est tout
donc P indice 6 est égal à 4.
Maintenant que nous avons compris
ce que l'on compte exactement
on va pouvoir donner une formule
explicite de P indice n moins 2
On imagine la forme générale d'une suite
finie
formée uniquement de 2 et de 3
tel que la somme soit égale à n.
On va appeler k le nombre de termes qui la
compose
la valeur de k est minimale lorsque l'on utilise
que des 3.
Donc n est inférieur ou égal à 3 fois k.
Et on en déduit que k est supérieur ou égal
à la partie supérieure de n sur 3.
De la même façon,
k est maximal lorsque l'on utilise que des
2.
Donc 2 fois k est inférieur ou égal à n.
donc k est inférieur ou égal
à la partie entière de n sur 2.
En résumé k est compris entre
la partie supérieure de n sur 3
et la partie entière de n sur 2.
Déterminons maintenant le nombre de 2 et
de 3
contenus dans notre séquence.
En notant a le nombre de 2
et b le nombre de 3,
le nombre total de termes est
bien sûr égal à a plus b.
Donc a plus b est égal à k.
Et la somme de tous les éléments
est égale à 2 fois a plus 3 fois b,
qui est donc égal à n.
On résout alors facilement ce système formé
par ces deux équations,
ce qui donne a égal à 3 fois k moins n,
et b est égal à n moins 2 fois k.
Il reste à compter le nombre de façons
de placer les 3 dans la séquence :
il y a b 3 à placer parmi les k nombres de
la séquence,
les autres sont forcément des 2,
il y a donc (n moins 2 fois k) parmi k
façons de placer les 3.
Il ne reste plus qu'à récapituler :
P indice (n moins 2) est égal à
la somme pour k variant
de la partie supérieure de n sur 3
à la partie entière de n sur 2
de (n moins 2 fois k) parmi k.
Bien qu'ayant déterminé une expression explicite,
il est parfois utile de
connaître une relation de récurrence.
Nous allons en déterminer une maintenant.
Reprenons l'exemple qui
nous a permis de calculer P indice 6.
Les suites finies formées de 2 et de 3 uniquement
dont la somme vaut 8 sont le suites
2,2,2,2
2,3,3
3,2,3
et 3,3,2.
Occultons le dernier terme de chacune de ces
suites.
Regardons celles qui finissaient par un 2.
Après suppression du 2,
il nous reste les deux suites
2,2,2
et 3,3.
Tiens mais ce sont exactement les suites
qui donnent P indice 4 !
Et si nous regardons
celles qui finissaient par un 3,
après suppression du 3,
il nous reste les suites
2,3 et 3,2.
Mais ce sont exactement les suites
qui nous ont donné P indice 3.
On en déduit donc que
P indice 6 est égal à
P indice 3 plus P indice 4.
Et on peut généraliser ce mécanisme,
ce qui donne que pour tout entier naturel
n
P indice n plus 3 est égal à
P indice n+1 plus P indice n.
Nous allons avoir besoin tout à l'heure
des solutions de l'équation
x au cube moins x moins 1 égal à 0.
Les formules de Cardan que l'on a vu
dans ma vidéo sur les équations polynomiales
de degré 3 nous donnent :
que les racines de l'équation sont les trois
nombres
que je note ici psi, tau et tau' définis
par
les formules suivantes :
en posant u égal à la racine cubique de
9 plus racine carrée de 69 divisé par 18
et v égal à la racine cubique de
9 moins racine carrée de 69 divisé par 18,
la racine réelle de l'équation est psi égal
à u plus v
Ce nombre s'appelle le nombre plastique.
l'une des racines imaginaires est
tau égal à j fois u plus j au carré fois
v,
et la dernière racine est sa conjuguée tau'
égale à j au carré fois u plus j fois v,
j désignant le nombre complexe exponentielle
de 2 i pi sur 3
ou si on préfère j est égal à
moins un demi plus i fois racine carrée de
3 sur 2.
Voyons quelques petites propriétés
des nombres psi tau et tau'.
Considérons la fonction polynomiale f
qui à tout x associe x au cube moins x moins
1.
On a f de 1 égal à moins 1
donc f de 1 est strictement négatif
et f de 2 égal à 5 est strictement positif.
Donc l'unique racine réelle psi est donc
strictement comprise entre 1 et 2.
De plus connaisant les racines du polynôme
on peut le factoriser :
pour tout x on a
f de x est égal à x moins psi facteur de
x moins tau, facteur de x moins tau'.
Et en redéveloppant cette factorisation,
on obtient les trois formules :
psi plus tau plus tau' est égal à 0
psi fois tau plus psi fois tau'
plus tau fois tau' est égal à -1,
et enfin
psi fois tau fois tau' est égal à 1.
Comme tau' est le conjugué de tau,
tau et tau' on le même module.
Et la troisième formule prouve alors que
le module de tau au carré est
égal à 1 sur psi.
En particulier les modules de tau et de tau'
sont donc strictement inférieurs à 1.
Une autre relation concernant le nombre plastique
s'obtient de la suivante :
on a vu que
psi au cube est égal à psi plus 1
en multipliant cette relation par psi au carré
on obtient
psi puissance 5 est égal à psi au cube plus
psi au carré.
Mais en remplaçant psi au cube par psi plus
1,
on obtient
psi puissance 5 égal à psi au carré plus
psi plus 1.
Mais psi au carré plus psi est égal à psi
puissance 4.
Donc psi puissance 5 est égal à psi puissance
4 plus 1.
C'est à dire psi puissance 5 moins psi puissance
4 est égal à 1.
Et en divisant cette relation par psi puissance
4,
on obtient
psi moins 1 est égal à 1 divisé par psi
puissance 4.
Les deux autres solutions de l'équation vérifient
la même propriété :
tau moins 1 est égal à 1 sur tau puissance
4,
et tau' moins 1 est égal à 1 sur tau' puissance
4.
Nous allons maintenant pouvoir
déterminer une expression
explicite du terme général.
On a vu que la suite (Pn)
vérifie la relation de récurrence
p indice n plus 3 est égal à
p indice n plus 1 plus P indice n.
C'est à dire que cette suite
est une suite récurrente linéaire d'ordre
3,
d'équation caractéristique
x au cube moins x moins 1 égal à 0,
dont les solutions sont justement psi, tau
et tau'.
On en déduit qu'il existe a, b et c des nombres
complexes
tel que pour tout entier naturel n
p indice n soit égal à
a fois psi puissance n
plus b fois tau puissance n
plus c fois tau' puissance n.
Calculons alors les coefficients a, b, c
satisfaisant la relation précédente.
Avec n égal à 0 on obtient a plus b plus
c
égal à P indice 0 qui vaut 1.
Puis avec n égal 1 on obtient
a fois psi plus b fois tau plus c fois tau'
égal à P indice 1 qui vaut 1.
Et avec n égal 2 on obtient
a fois psi au carré
plus b fois tau au carré
plus c fois tau' au carré
égal à P indice 2 qui vaut aussi 1.
La résolution du système linéaire
formé par ces trois dernières équations
donne :
a est égal à tau moins 1 facteur de tau'
moins 1
divisé par
tau moins psi facteur de tau' moins psi
et on obtient des relations similaires pour
b et c.
En particulier, psi, tau et tau' étant distincts
de 1
les coefficients a, b et c sont non nuls.
Voyons son comportement asymptotique,
c'est à dire son comportement global
lorsque n tend vers plus l'infini.
On vient de voir
qu'il existe a, b et c des nombres complexes
tel que pour tout entier naturel n
p indice n soit égal à
a fois psi puissance n
plus b fois tau puissance n
plus c fois tau' puissance n
mais on a vu tout à l'heure que
tau et tau' ont un module
strictement plus petit que 1
mais que psi est strictement plus grand que
1.
On en déduit que P indice n est équivalent
à a fois psi puissance n
lorsque n tend vers plus l'infini.
Et on en déduit que la limite quand n tend
vers plus l'infini
de P indice n+1 divisé par P indice n est
égal à psi.
Passons à la simplification des coeffcients
a, b et c.
Reprenons la fonction polynomiale f
qui à x associe x au cube moins x moins 1.
Connaissant ses racines, on peut la factoriser
par x moins psi facteur de
x moins tau facteur de x moins tau'.
D'une part,
le calcul de f de 1 nous donne alors
tau moins 1 facteur de tau' moins 1
est égal à
f de 1 divisé par 1 moins psi.
C'est à dire égal à 1 sur psi -1
donc égal à psi exposant 4.
D'autre part,
le calcul de la dérivée de f
à partir de ses deux expressions nous donne
:
tau moins psi facteur de tau' moins psi
est égal à f prime de psi,
lui même égal à
3 fois psi au carré moins 1.
On en déduit l'expression simplifiée pour
a :
a égal à psi exposasnt 4
divisé par 3 fois psi au carré moins 1.
Et on obtient des expressions similaires
pour b et pour c.
L'expression simplifiée de P indice n est
donc maintenant
P indice n égal
à psi exposant n plus 4 divisé par trois
psi au carré moins 1
plus
tau exposant n plus 4 divisé par trois tau
au carré moins 1
plus
tau' exposant n plus 4 divisé par trois tau'
au carré moins 1.
Bon c'est bien joli, mais pour le caclcul
effectif,
il est sûrement plus efficace d'utiliser
ou bien la relation de récurrence
ou bien la relation donnée plus haut sur
P indice n-2.
Voila cette vidéo est terminée.
N'hésitez pas à me laisser des commentaires
à partager mes vidéos
et même à vous abonner.
vous pouvez aussi me retrouver sur facebook
À bientôt sur la chaîne Top Maths.
