
English: 
BAM!!! Mr. Tarrou. In this math lesson we
are going to be taking a look at the precise
definition of a limit. We are going to work
through three examples. The first one is a
delta-epsilon proof involving a linear function,
the second one is a quadratic function, and
third example is going to be involving an
absolute value function. I don't give this
sort of preliminary statement in front of
all of my lessons, but I have been a high
school math teacher for 19 years now. Two
years ago I was given the opportunity to teach
Calculus. Of course, that meant a lot of dusting
off of my skills and reviewing it to teach
the course and prepare these lessons for YouTube.
Well, over the last couple of years I keep
getting comments and questions about having
a lesson about delta-epsilon proofs. One reason

Arabic: 
بام !!! السيد تارو. في درس الرياضيات هذا نحن
سنلقي نظرة على الدقة
تعريف الحد. نحن ذاهبون للعمل
من خلال ثلاثة أمثلة. الأول هو
دليل دلتا إبسيلون يتضمن دالة خطية ،
والثاني هو دالة تربيعية ، و
المثال الثالث سيشمل
دالة القيمة المطلقة. أنا لا أعطي هذا
نوع من البيان الأولي أمام
كل دروسي ، لكني كنت مرتفعا
مدرس رياضيات المدرسة لمدة 19 عاما حتى الآن. اثنان
قبل سنوات منحت لي الفرصة للتدريس
حساب التفاضل والتكامل. بالطبع ، هذا يعني الكثير من الغبار
من مهاراتي ومراجعتها للتدريس
الدورة وإعداد هذه الدروس لموقع YouTube.
حسنًا ، على مدى العامين الماضيين أحتفظ به
الحصول على تعليقات وأسئلة حول امتلاك
درس عن البراهين دلتا إبسيلون. سبب واحد

English: 
I would never say that I am mathematician
is because proofs do not come naturally to
me. I love my job teaching math and I feel
like I am hopefully good at. But, proofs are
not one of my strengths. So to prepare to
do this lesson I looked in my book, I read
it, I did all the problems, I looked at the
solutions guide, I turned to the other teachers
in my school that teach Calculus and while
they are usually very very helpful delta epsilon
proofs are not a part of any of the high school
curriculum that my county uses...even the
IB program. So, I never covered this. I am
doing this just for the preparation of YouTube,
you guys...my YouTube viewers. So, to make
sure that I had it nailed down I went to a
second textbook and I did all the problems
there and checked the solutions guide that
matched that book. Whether it was truth or
my misconception of how my first book was
preparing the proofs in the solutions guide
that I was checking my work with, it did not

Arabic: 
لن أقول أبداً أنني رياضيات
لأن البراهين لا تأتي بشكل طبيعي
أنا. أحب عملي في تدريس الرياضيات وأشعر
كما أتمنى أن أجيد. ولكن ، البراهين
ليست واحدة من نقاط قوتي. لذلك التحضير ل
قرأت هذا الدرس نظرت في كتابي
ذلك ، فعلت كل المشاكل ، نظرت إلى
دليل الحلول ، التفت إلى المعلمين الآخرين
في مدرستي التي تعلم حساب التفاضل والتكامل ووقت
هم عادة إبسيلون دلتا مفيدة للغاية
البراهين ليست جزءا من أي من المدارس الثانوية
المناهج الدراسية التي تستخدمها بلادي ... حتى
برنامج البكالوريا الدولية. لذا ، لم أقم بتغطية ذلك أبدًا. انا
القيام بذلك فقط لإعداد يوتيوب ،
يا رفاق ... مشاهدي YouTube. لذلك ، لجعل
متأكد من أنه كان مسمرًا ذهبت إلى
الكتاب الثاني وأنا فعلت كل المشاكل
هناك وتحقق من دليل الحلول ذلك
يطابق هذا الكتاب. سواء كانت الحقيقة أو
اعتقادي الخاطئ عن كيف كان كتابي الأول
إعداد البراهين في دليل الحلول
الذي كنت أتحقق من عملي معه ، لم يفعل ذلك

Arabic: 
يبدو أنها كانت هيكلة نفسها في الثانية
كتاب. للتأكد من أنني لم أحضر
أي مادة لكم يا رفاق كانت غير صحيحة ،
ذهبت إلى موقع يوتيوب وفعلت نفس الشيء
الذي تفعلونه جميعاً. لقد بحثت أخرى
المعلمين لنرى كيف علموا المواد.
بين كتابين دراسيين ودليلين للحل ،
وسوف تساعد بعض زملائي المعلمين يوتيوب
لقد طورت هذا الدرس. لاعطائهم
بعض الائتمان ، سأقوم بتضمين بعض الروابط
إلى دروس أخرى ساعدتني حقًا في الاستعداد
هذا الفيديو في وصف هذا الدرس.
مرة أخرى ، سأقوم بتضمين الطوابع الزمنية ل
الأمثلة الثلاثة التي نقوم بها حتى يتسنى لك
يمكنهم تخطي المستقبل ورؤية أي من هؤلاء الثلاثة
الأمثلة التي تريدها. لذا فلنبدأ.
تعريف الحد. نحن ذاهبون إلى
ليكن f دالة محددة في فاصل زمني مفتوح
تحتوي ج. لدينا وظيفة في هذه الحالة
في ازدياد. قد يكون أو لا يحتوي على ثقب
هنا بقيمة c التي نحددها
حدودنا في. لكن الفترة المفتوحة التي نحن
نتحدث ، نحن نتحدث عن هذا
فاصل مفتوح على المحور س. من ج نحن

English: 
seem they were structured the same in my second
book. To make sure that I did not present
any material to you guys that was incorrect,
I went onto YouTube and did the same thing
that you all are doing. I searched out other
teachers to see how they taught the material.
Between two textbooks and two solution guides,
and will some help of my fellow YouTube teachers
I have developed this lesson. To give them
some credit, I am going to include some links
to other lessons that really helped me prepare
this video in the description of this lesson.
Again, I am going to include time stamps to
the three examples that we do so that you
can skip ahead and see any of those three
examples that you desire. So let's started.
The definition of a limit. We are going to
let f be a function defined on an open interval
containing c. We have a function in this case
increasing. It may or may not have a hole
here at the value of c at which we are define
our limit at. But the open interval that we
are talking about, we are talking about this
open interval on the x axis. From c we are

Arabic: 
ذاهب للسماح X نهج ج. لدينا بعض مفتوحة
فترة. مرة أخرى أن الفاصل المفتوح يحتوي
ج ، ربما باستثناء ج. لذا دع f يكون وظيفة
المعرفة على فترة مفتوحة تحتوي على ج باستثناء
ربما في ج. أنا أتقدم على نفسي
لأن لدي هذا شطب الحق
هنا. ولكن فكرة ما عدا ربما في
ج هي فكرة أن الحد ، أو وظيفة
لا يجب أن تكون موجودة عند قيمة معينة
من ج لحد موجود. لقد فعلنا بالفعل
حلل الحدود مع عدد ورسومية
نهج ، وتحدثنا عن متى
كانت الوظيفة تقترب من اليسار
من ج وإلى يمين ج ... بعض الكتب استدعاء
أو تحديد تلك القيمة س باعتبارها ... ولكن طالما
كما تقترب من اليسار و
حق وأنت تقترب من نفس قيمة ص
هذا الحد سيكون موجودا طالما
حدود من جانب واحد متساوية. الجانبين
الحد موجود. الوظيفة ليس لها

English: 
going to let x approach c. We have some open
interval. Again that open interval containing
c, except possibly at c. So let f be a function
defined on a open interval contain c except
possibly at c. I am getting ahead of myself
because I have this written off the right
here. But, the idea of except possibly at
c is the idea that a limit, or a function
does not have to exist at a particular value
of c for the limit to exist. We have already
analyzed limits with a numerical and graphical
approach, and we talked about how as long
the function was approaching from the left
of c and to the right of c...some books call
it or define that x value as a...but as long
as you are approaching from the left and the
right and you are approaching the same y value
that limit is going to exist as long as the
one sided limits are equal. The two sided
limit will exist. The function does not have

English: 
to exist there. Think of a hole or a removable
discontinuity. Let L be a real number. We
are talking about finding the definition of
a limit...the definition of a real limit.
Later on we are going to be talking about
infinite limits. That is just a study of where
we are going to analyze the behavior of a
function as it approaches a vertical asymptote.
Please remember that when you say a limit
is infinity or negative infinity... You might
have a function approach a vertical asymptote
and go to positive infinity on the left and
the right hand side and thus you will say
that as x approaches something is infinity,
you are saying that there is no real limit,
or the real limit does not exist. This is
even though we will sometimes say the limit
is infinity or negative infinity. The statement
the limit as x approaches c of f(x) equals
L means that for each epsilon greater than

Arabic: 
للوجود هناك. فكر في حفرة أو قابلة للإزالة
انقطاع. دع L يكون رقم حقيقي. نحن
نتحدث عن إيجاد تعريف
حد ... تعريف الحد الحقيقي.
سنتحدث لاحقًا
حدود لانهائية. هذه مجرد دراسة لأين
سنقوم بتحليل سلوك أ
تعمل لأنها تقترب من خط مقارب رأسي.
يرجى تذكر أنه عندما تقول حد
هي اللانهاية أو اللانهاية السلبية ... قد
لديها وظيفة تقترب من خط مقارب رأسي
وتذهب إلى اللانهاية الإيجابية على اليسار و
على الجانب الأيمن وبالتالي ستقول
أنه مع اقتراب x من شيء ما لا نهاية ،
تقول أنه لا يوجد حد حقيقي ،
أو الحد الحقيقي غير موجود. هذا هو
على الرغم من أننا سنقول الحد في بعض الأحيان
هي اللانهاية أو اللانهاية السلبية. البيان
الحد مع اقتراب x من c (f (x يساوي
يعني L أنه لكل إبسيلون أكبر من

English: 
zero...what is epsilon? I never heard that
before. Epsilon is an arbitrary vertical distance
or sort of margin of error if you will from
the real limit. So as long as that epsilon
is greater than zero, now we are going below
and above and of course if you keep your subtraction
in the same order you might be talking about
a positive difference and a negative difference,
but we don't see a subtraction on both sides
of this. We are talking about epsilon and
delta's as being a distance and thus we need
to have those distances wrapped in absolute
value symbols to make sure that our distance
is positive. I am not concerned with trying
to identify whether a point is above or below
some value like you might be talking about
with residuals in statistics. As long as each
epsilon is positive. As long as we are not
right on the limit. Because the idea of limits
is approaching values, not actually being

Arabic: 
صفر ... ما هو إبسيلون؟ لم أسمع بذلك أبدًا
قبل. إبسيلون هي مسافة رأسية تعسفية
أو نوع من هامش الخطأ إذا شئت
الحد الحقيقي. طالما أن إبسيلون
أكبر من الصفر ، نحن الآن في الأسفل
وما فوق وبالطبع إذا حافظت على الطرح
بنفس الترتيب الذي قد تتحدث عنه
فرق إيجابي وفارق سلبي ،
لكننا لا نرى طرحًا على كلا الجانبين
من هذا. نحن نتحدث عن إبسيلون و
دلتا كمسافة وبالتالي نحن بحاجة
لجعل هذه المسافات ملفوفة بشكل مطلق
رموز القيمة للتأكد من أن بعدنا
أمر إيجابي. أنا لا أهتم بالمحاولة
لتحديد ما إذا كانت النقطة أعلى أو أسفل
بعض القيم التي قد تتحدث عنها
مع بقايا في الإحصاءات. طالما كل واحد
إبسيلون إيجابي. طالما نحن لسنا
الحق على الحد. لأن فكرة الحدود
يقترب من القيم وليس في الواقع

Arabic: 
بقيمة. هذا واضح عندما نقوم بمقطعنا
حول تحليل الحدود مع رسومية و
نهج عددي. ولكن ، في كثير من الأحيان
يبدأ في الظهور ، ابحث عن الحد مع اقتراب x
اثنان فقط قم بتوصيل اثنين والحصول على إجابة.
لذا يبدو أن الحد يتعلق بالوظائف
القيمة ولكن على وشك الاقتراب. طالما
حيث أن إبسيلون أكبر من الصفر طالما أن
تحصل على هذه المسافة الصغيرة التعسفية
بعيدا عن الحد سيكون هناك
دلتا أكبر من صفر. دلتا
هي مسافة أفقية من c. ...أ
المسافة الأفقية من c التي تركتها
س نهج بحيث إذا كان الصفر أكبر من
القيمة المطلقة ج .... الآن أنا ذاهب
لإعادة قراءة هذا مرة أخرى في الملاحظات المكتوبة. يقول
أن xc أكبر من الصفر هو مرة أخرى
أكِّد على أن x لا يتم تعيينها مساوية لـ
ج انها تقترب ج. طالما المطلق
قيمة xc أكبر من صفر وأقل

English: 
at a value. That is clear when we do our section
about analyzing limits with a graphical and
numerical approach. But, a lot of times it
starts to seem like, find the limit as x approaches
two and you just plug two in and get an answer.
So it seems like a limit is about the functions
value but is about approaching. So as long
as epsilon is greater than zero, as long as
you are getting this arbitrarily small distance
away from the limit there is going to exist
a delta which is greater than zero.... A delta
is a horizontal distance from the c. ...a
horizontal distance from c which you are letting
x approach such that if zero is greater than
the absolute value of c.... Now I am going
to again reread this in written notes. Saying
that x-c is greater than zero is to again
emphasize that x is not being set equal to
c it is approaching c. As long as the absolute
value of x-c is greater than zero and less

English: 
than delta. As long as you have an x value
that is within the distance of delta from
c, then the absolute value of f(x) minus L
is less than epsilon. The value that you get
from the function when you plug x in minus
the limit at which you are approaching is
going to be epsilon. Ok, well I can just read
that over and over again, but that might never
be clearly understandable. Let's try a different
wording. You give me a vertical distance epsilon,
you pick any value for which you want to be
close to the real limit of L, you give my
any vertical distance epsilon and I will give
you a horizontal distance delta. You tell
me how close to the limit you want to be and
I am going to come over here and down and

Arabic: 
من الدلتا. طالما لديك قيمة س
التي هي على مسافة دلتا من
ج ، ثم القيمة المطلقة ل (س) ناقص L
أقل من إبسيلون. القيمة التي تحصل عليها
من الوظيفة عند توصيل س ناقص
الحد الذي تقترب منه
سيكون إبسيلون. حسنًا ، يمكنني القراءة
هذا مرارا وتكرارا ، ولكن هذا قد لا يحدث أبدا
تكون مفهومة بشكل واضح. لنجرب طريقة مختلفة
الصياغة. تعطيني إبسيلون مسافة عمودية ،
تختار أي قيمة تريد أن تكون لها
على مقربة من الحد الحقيقي لـ L ، تعطيني
أي إبسيلون مسافة عمودية وسوف أعطي
لك دلتا مسافة أفقية. تقول
لي مدى قرب من الحد الذي تريده و
انا ذاهب الى هنا والانخفاض

Arabic: 
تعطيك دلتا المقابلة بحيث إذا
ج هو داخل دلتا س ، لذلك مرة أخرى س التي
داخل دلتا c ... أو أن c داخل
delta of x ... أنا أقول نفس الشيء نوعًا ما
شيء إلى الأمام وإلى الوراء ... حسنا ، فأين
هل كنت؟ يمنحك دلتا مسافة أفقية
بحيث إذا كان c داخل دلتا x ثم f (x)
سيكون ضمن إبسيلون من الحد. حتى في
بعبارة أخرى ، أنت تعطيني بشكل تعسفي
مسافة صغيرة من إبسيلون نحن ذاهبون
تطابق ذلك مع بعض قيم دلتا و
طالما أنك تعطيني علامة × في الداخل
دلتا c ... بحيث إذا كانت c داخل دلتا
من س ... حتى هنا هو س وأنا ذاهب للذهاب
ضمن قيمة الدلتا التي نأتي إليها
معها ... طالما ج داخل دلتا

English: 
give you a corresponding delta such that if
c is within delta of x, so again an x which
is within delta of c...or that c is within
delta of x... I am kind of saying the same
thing forward and backwards... Ok, so where
was I? Give you a horizontal distance delta
such that if c is within delta of x then f(x)
will be within epsilon of the limit. So in
other words, basically you give me an arbitrarily
small distance of epsilon we are going to
match that up with some values of delta, and
as long as you give me an x that is within
delta of c...such that if c is within delta
of x...so here is my x and I am going to go
within this value of delta that we come up
with it...as long as c is within delta of

English: 
x, then f(x) is within epsilon of L. So, you
give me an epsilon, I will match that up with
a delta, and then guarantee that if I pick
an x that is within that value of delta then
I will be even closer to the limit than the
epsilon that you initially gave me. As you
see us go through these proofs, what we are
going to do is we are going to start off with
this notation of f(x)-L and rewrite it as
into a form of x-c. That will create a direct
relationship between epsilon and delta so
that going to this idea that we have written
in blue, develop that direct relationship
between delta and epsilon so that we can go

Arabic: 
x ، ثم f (x) ضمن إبسيلون من L. لذا ، أنت
أعطني إبسيلون ، وسأطابق ذلك
دلتا ، ثم ضمان ذلك إذا اخترت
س التي تقع ضمن تلك القيمة من دلتا ثم
سأكون حتى أقرب إلى الحد من
إبسيلون الذي أعطيته لي في البداية. مثلك
انظر إلينا من خلال هذه البراهين ، من نحن
سنفعله هو أننا سنبدأ
تدوين f (x) -L هذا وإعادة كتابته بالشكل
إلى شكل xc. هذا سيخلق مباشرة
العلاقة بين إبسيلون والدلتا ذلك
أن الذهاب إلى هذه الفكرة التي كتبناها
باللون الأزرق ، طور تلك العلاقة المباشرة
بين دلتا وإبسيلون حتى نتمكن من الذهاب

Arabic: 
مرة أخرى وأقول طيب ... لقد طورت هذه العلاقة.
تعطيني ه ، سأعطيك دلتا ،
وبعد ذلك يمكنني وضع علامة × ضمن ذلك
لي حتى قريبة من الحد الأقصى من إبسيلون الخاص بك
التي أعطيتني إياها. لذا ، هذا يحصل .. هذا
ربما سيكون في الطريق. فقط في
كلمات مكتوبة ما قلته بالفعل
أعتقد. أنت بحاجة إلى تدوين ... تدوين 1 ،
ليكن f دالة محددة في فاصل زمني مفتوح.
يجب أن تكون قادرًا على الاقتراب من c من كليهما
الجانبين. أساسا فهمي لذلك
حدودك على الجانبين سوف تكون موجودة فقط
إذا كان الحدان من جانب واحد متساويين. نحن
نتحدث عن الحد مع اقتراب x
ج. لا يوجد زائد أو ناقص هنا. هذا هو
ليس حد تعريف لحد جانب واحد.
لذلك عندما تتحدث عن جانبين
الحد الذي يجب أن تكون قادرًا على الاقتراب منه
كلا الجانبين. الملاحظة 2: هنا ... باستثناء
ربما في ج. آسف على ثابت. وظيفة

English: 
back and say ok... I have developed this relationship.
You give me an e, I will give you a delta,
and then I can put in an x within that gets
me even close to the limit than your epsilon
that you gave me. So, getting this.. This
is probably going to be in the way. Just in
words written out what I have already said
I believe. You need notation... Notation 1,
let f be a function defined on an open interval.
You need to be able to approach c from both
sides. Basically my understanding of that
your two sided limits are only going to exist
if the two one-sided limits are equal. We
are talking about the limit as x approaches
c. There is no plus or minus here. This is
not a definition limit for a one sides limit.
So when you are talking about a two sided
limit you have to be able to approach c from
both sides. Notation 2: Right here...except
possibly at c. Sorry about the static. A function

Arabic: 
لا يحتاج إلى وجود في ج لحد
يوجد. مرة أخرى فكر في تلك الثقوب ، تلك
التوقفات القابلة للإزالة. لماذا لدينا
القيمة المطلقة لـ xc أكبر من
صفر؟ على الرغم من أنه سيبدو
من خلال هذه البراهين أشعر بالقلق دائمًا
حول كونها أقل من دلتا ، وهذا يعزز
حقيقة أن س لا يمكن أن تساوي ج. مثل مرة أخرى
مثال لتلك الوظيفة التي لديها
الانقطاعات أو الثقوب القابلة للإزالة. دعونا
نصل إلى مثالنا الأول. بام !!! نانانانا ...
المثال الأول. سنجد الحد
L. ثم سنستخدم دلتا إبسيلون
تعريف لإثبات الحد في الواقع
L. هنا مثالنا الأول باستخدام ذلك الخطي
الدالة y تساوي 3x + 8. نحن ذاهبون
لإيجاد الحد عندما يقترب x من السلبية
اثنان من 3x + 8 ، ثم نثبت أن الجواب نحن
في الواقع هو الحد. لدينا فقط
تمشيا مع أي اعتراض من 8 ومنحدر

English: 
does not need to exist at c for a limit to
exist. Again think about those holes, those
removable discontinuities. Why do we have
the absolute value of x-c is greater than
zero? Even though it is going to seem like
through these proofs I am always concerned
about it being less than delta, that is reinforcing
the fact that x cannot equal c. Like again
an example for those function that have those
removable discontinuities or holes. Let's
get to our first example. BAM!!! Nananana...
First example. We are going to find the limit
L. Then we are going to use the epsilon delta
definition to prove the limit actually is
L. Here is our first example using that linear
function y is equal to 3x+8. We are going
to find the limit as x approaches negative
two of 3x+8, then prove that the answer we
get actually is the limit. We just have a
line with a y intercept of 8 and a slope of

Arabic: 
3. يمكننا أن ننظر إلى الرسم البياني ونرى بسهولة
أن الحد كما س يقترب من السلبي اثنين
هو اثنان إيجابي. يمكننا القيام بذلك عدديا
ببساطة عن طريق توصيل سلبيين. الحصول على
مرة أخرى أن الحد يساوي اثنين. لكن،
مشددا مرة أخرى على فكرة أن الوظيفة
الحد ليس بالضرورة كوظائف
القيمة. إذا كانت هذه وظيفة متدرجة ، ربما
يمكنك إدخال قيمة c في الوظيفة
والحصول على قيمة لم تكن في الواقع الحد الأقصى.
ربما تكون الوظيفة موجودة عند c عند ربما
الحد غير موجود. ربما كان هناك
الفجوة. أنا أشير إلى حيث استخدم الرسم البياني
حيث تكون الوظيفة غير موجودة ولكن
الحد الأقصى. نريد أن نثبت الحد
في الواقع يساوي اثنين. الآن كيف هيك
هل سنفعل ذلك؟ مع كل دلتا إبسيلون
أدلة على أننا سنعمل على هذه
هي الخطوات التي سنقوم بها. أنت
تريد أن تأخذ القيمة المطلقة f (x) -L

English: 
3. We can look at the graph and easily see
that the limit as x approaches negative two
is positive two. We can do this numerically
by simply plugging in negative two. Getting
again that the limit is equal to two. But,
again stressing the idea that a function's
limit is not necessarily as the functions
value. If this was a piecewise function, maybe
you could plug this value of c into the function
and get a value that was really not the limit.
Maybe the function is existing at c when maybe
the limit doesn't exist. Maybe there was a
hole. I am pointing to where the graph used
to be, where the function doesn't exist but
the limit does. We want to prove the limit
actually is equal to two. Now how the heck
are we going to do that? With all of the delta-epsilon
proofs that we are going to work on, these
are the steps that we are going to do. You
want to take the absolute value of f(x)-L

English: 
which is less than, we are going to be assuming
initially that it is less than epsilon, and
rewrite it to match the notation of the absolute
value of x-c minus delta. Again this being
greater than zero is just the emphasis that
x and c are not the same value, x is approaching
c. Really you are going to see me kind of
emphasis the right hand side here about the
absolute value of x-c being less than delta.
When we get this f(x)-L expression to match
this x-c notation, that is going to allow
us to create a direct relationship between
epsilon and delta. In that case, in this line
here you are going to see a relationship between
epsilon and delta that because this is just
simply a linear function you can kind of see
that relationship to some degree, you will
at the end of the example, right there inside
the linear function. Then to actually do the
proof, see there is no way that step one can

Arabic: 
وهو أقل مما سنفترض
في البداية أنه أقل من إبسيلون ، و
أعد كتابتها لتتناسب مع تدوين المطلق
قيمة Xc ناقص دلتا. مرة أخرى هذا الكائن
أكبر من الصفر هو مجرد التركيز على ذلك
س و ج ليسا نفس القيمة ، س يقترب
ج. حقا سوف تراني نوعا ما
التركيز على الجانب الأيمن هنا
القيمة المطلقة لكون xc أقل من دلتا.
عندما نحصل على هذا التعبير f (x) -L للمطابقة
هذا التدوين xc ، الذي سيسمح
لنا لخلق علاقة مباشرة بين
إبسيلون ودلتا. في هذه الحالة ، في هذا الخط
هنا سترى علاقة بين
إبسيلون ودلتا لأن هذا عادل
ببساطة وظيفة خطية يمكنك رؤيتها
تلك العلاقة إلى حد ما ، سوف
في نهاية المثال ، هناك بالداخل
الدالة الخطية. ثم فعل ذلك في الواقع
برهان ، انظر أنه لا توجد طريقة يمكن أن الخطوة الأولى

English: 
be the proof because we are trying to prove
that... We are going to find delta greater
than zero such that the absolute value of
f(x)-L is less than epsilon whenever basically
the absolute value of x-c...I am don't know
why I am saying basically...is greater than
zero and really emphasizing the absolute value
of x-c is less than delta. As long as we give
an x that is within delta of c, then we are
going to get a function value that is within
epsilon of the limit right here. That distance
between the functions value and the limit
is less than the epsilon that you gave me,
that I have you a delta that matched, and
then we get this function's value that is
within that epsilon. Getting the infinity
close idea for limits. Ok, so we are tying
to prove this part. We are trying to prove
that whenever the absolute value of x-c is
less than delta, that the absolute value of

Arabic: 
كن الدليل لأننا نحاول أن نثبت
هذا ... سنجد دلتا أكبر
من الصفر بحيث تكون القيمة المطلقة
f (x) -L أقل من إبسيلون في الأساس
القيمة المطلقة لـ xc ... أنا لا أعرف
لماذا أقول أساسا ... أكبر من
صفر والتأكيد حقا على القيمة المطلقة
من XC أقل من دلتا. طالما نعطي
س داخل دلتا ج ، ثم نحن
ذاهب للحصول على قيمة دالة داخل
إبسيلون من الحد هنا. تلك المسافة
بين قيمة الدالات والحد
أقل من إبسيلون الذي أعطيته لي ،
التي لدي دلتا مطابقة ، و
ثم نحصل على قيمة هذه الوظيفة
داخل إبسيلون. الحصول على اللانهاية
فكرة وثيقة للحدود. حسنا ، نحن نربط
لإثبات هذا الجزء. نحن نحاول أن نثبت
أنه كلما كانت القيمة المطلقة لـ xc
أقل من دلتا ، أن القيمة المطلقة

Arabic: 
f (x) -L أقل من إبسيلون. لذا في الخطوة 1
حيث تراني أبدأ هذا العمل وأنا
قائلا f (x) ناقص L ، القيمة المطلقة
أن أقل من إبسيلون ... أنا أستخدم
افتراض في بداية هذا العمل الذي
أحاول أن أثبت. عليك أن تعرف ذلك
الخطوة الأولى ليست جزءًا من الإثبات ، إنها خدش
العمل فقط لتطوير هذه العلاقة بين
دلتا وإبسيلون. ثم نبدأ بالفعل
الدليل بالقول أننا ذاهبون
دع القيمة المطلقة لـ xc تكون أقل من
تلك الدلتا التي نحصل عليها نوعًا ما مثل المتعلمين
تخمين من الخطوة الأولى ، وإثبات ذلك
القيمة المطلقة لـ f (x) -L أقل من
إبسيلون. مع الانتهاء من هذا البيان
أن القيمة المطلقة لـ f (x) -L أقل
من إبسيلون ، فهذا هو الانتهاء من إثباتنا.
تقول مرة أخرى مرة أخرى ، تعطي
لي مسافة تعسفية ، وصغيرة بشكل تعسفي
المسافة من الحد وسأعطيك

English: 
f(x)-L is less than epsilon. So in step 1
where you see me start this work and I am
saying f(x) minus L, the absolute value of
that, is less than epsilon...I am using an
assumption at the beginning of this work that
I am trying to prove. You have to know that
step one is not part of the proof, it is scratch
work just to develop this relationship between
delta and epsilon. Then we actually start
the proof by stating that we are going to
let the absolute value of x-c be less than
that delta that we get sort of like an educated
guess about from step one, and prove that
the absolute value of f(x)-L is less than
epsilon. With the finish of that statement
that the absolute value of f(x)-L is less
than epsilon, then that is finishing our proof.
It is saying again one more time, you give
me arbitrary distance, and arbitrarily small
distance from the limit and I will give you

Arabic: 
دلتا مطابقة بحيث إذا اخترنا س
هذا أقرب إلى ج من دلتا ثم سأفعل
الاقتراب من الحد الأقصى في البداية
تعسفي قيمة إبسيلون. لذا دعنا
أنجز هذا البرهان. حسنا ، لذلك نحن ذاهبون
بالنظر إلى حقيقة أن إبسيلون أن الصفر. نحن
سنبدأ بهذا المطلق
قيمة f (x) ناقص L أقل من إبسيلون.
حسنًا ، وظيفتنا هي 3x + 8. الحد الذي
وجدنا عندما ندع x يقترب من اثنين سلبيين
كان اثنان. أعتقد أن ما سأفعله
حسنًا ، هذا هو الهدف الذي نريد تحقيقه.

English: 
a matching delta such that if we pick an x
that is closer to c than delta then I will
move even closer to the limit than this initially
arbitrarily small value of epsilon. So let's
get that proof done. Ok, so we are going to
given the fact that epsilon that zero. We
are going to start off with that absolute
value of f(x) minus L is less than epsilon.
Well, our function is 3x+8. The limit that
we found when we let x approach negative two
was two. I think what I am going to do as
well, this is the goal that we want to do.

English: 
But let's put in some notation from the actual
problem so it is not so quite generic. The
limit that we did find was again equal to
2 and the c that we are concerned about in
this particular problem is...and I am not
sure if I am going to fit this in here...is
negative two. So, I am basically going to
try and get this expression, this f(x)-L expression
to look like the absolute value of x+2. If
I do, then I will be able to...I mean it is
absolute value...absolute value...it is less
than and less than, then epsilon and delta
so I will get that direct relationship. Well,
8 minus 2 is 6 so we have the absolute value
of 3x plus 6 is less than epsilon. We can
take a 2 out of that absolute value. The absolute

Arabic: 
ولكن دعونا نضع بعض الترميز من الفعلي
المشكلة لذلك فهي ليست عامة جدا. ال
الحد الذي وجدنا أنه يساوي مرة أخرى
2 و c التي نهتم بها
هذه المشكلة بالذات ... وأنا لست كذلك
بالتأكيد إذا كنت سأناسب هذا هنا ... هو
اثنان سلبيان. لذلك ، أنا ذاهب أساسا
حاول الحصول على هذا التعبير ، هذا التعبير f (x) -L
لتبدو مثل القيمة المطلقة لـ x + 2. إذا
أفعل ، ثم سأكون قادرا على ... أعني ذلك
القيمة المطلقة ... القيمة المطلقة ... أقل
من وأقل من ثم إبسيلون والدلتا
لذلك سأحصل على تلك العلاقة المباشرة. حسنا،
8 ناقص 2 يساوي 6 لذا لدينا القيمة المطلقة
3x زائد 6 أقل من إبسيلون. نحن نقدر
خذ 2 من تلك القيمة المطلقة. المطلق

English: 
of 3x+6 is the same as the absolute value
of 2 times the absolute value of x+2.... Wait
a minute. I am taking a 2 out, I am taking
a 3. I am thinking of the answers. Let's just
change that. We are factoring a three out.
There we go:) So the absolute value of 3x+6
is equal to the absolute value of 3 times
the absolute value of x+2. Of course the absolute
value of 3 is 3 and we are going to move that
three over to the other side. We have the
absolute value of x+2 is less than epsilon
over 3. Well, so I have changed my f(x)-L
expression to have that matching x+2 on the
inside. So if the absolute value of x+2 is
less than delta and the absolute value of
x+2 is less than e/3, then I can say that

Arabic: 
3x + 6 هي نفس القيمة المطلقة
2 أضعاف القيمة المطلقة لـ x + 2 .... انتظر
دقيقة. سأخرج 2 ، سأخرج
أ 3. أفكر في الإجابات. دعونا فقط
قم تبديله. نحن نحسب ثلاثة خارج.
ها نحن ذا: :) إذن القيمة المطلقة 3x + 6
يساوي القيمة المطلقة 3 مرات
القيمة المطلقة لـ x + 2. بالطبع المطلق
قيمة 3 هي 3 وسنقوم بنقل ذلك
ثلاثة إلى الجانب الآخر. لدينا ال
القيمة المطلقة لـ x + 2 أقل من إبسيلون
أكثر من 3. حسنًا ، لذلك قمت بتغيير f (x) -L
التعبير لجعل هذا المطابقة x + 2 على
في داخل. لذا إذا كانت القيمة المطلقة لـ x + 2 هي
أقل من دلتا وقيمة مطلقة
x + 2 أقل من e / 3 ، ثم يمكنني أن أقول ذلك

Arabic: 
نحن ذاهبون للسماح .... أو أن د ... لا
دلتا دلتا تساوي إبسيلون
ثلاثة. هذا حقا لا ينبغي أن يكون صدمة
الوحي بأن دلتا ستكون 1/3 في الأساس
من إبسيلون لأن منحدر هذا الخط
هو 3. لكل وحدة على طول المحور x ،
والدلتا نوعًا ما ... إنها أفقية
الحركة على المحور x من c ، تلك الوظيفة
المنحدر هو 3. لكل حركة على
محور س تحرك المسافة العمودية مستمرة
للتغيير بمضاعف ثلاثة. لذا إذا كنت
تريد وضعها في شروط دلتا ، دلتا
هي مسافة أفقية على طول خط الأعداد
هو 1/3 من إبسيلون. الآن ، أنت لست دائمًا

English: 
we are going to let.... or that d is...not
d delta is equal to epsilon... epsilon over
three. That really should not be a shocking
revelation that delta is going to be 1/3 basically
of epsilon because the slope of this line
is 3. For every one unit along the x axis,
and delta is sort of...it is a horizontal
movement on the x axis from c, that the function's
slope is 3. For every one movement on the
x axis you move the vertical distance is going
to change by a multiple of three. So if you
want to put it into terms of delta, delta
is a horizontal distance along a number line
is 1/3 of epsilon. Now, you are not always

English: 
going to be able to see that. Many of your
problems are not going to be linear functions.
But, there is that relationship. Now, what
you want to do is remember this is our scratch
work. This is that direct relationship between
delta and epsilon that we were talking about.
Now I just want to make sure that I don't
write this the wrong way. You want to start
the proof by writing this. For every 
delta greater than zero let delta equal epsilon
over three, and zero is less than the absolute
value of x minus -2 which is less than delta.
Or just to add that idea that we are going

Arabic: 
ستكون قادرة على رؤية ذلك. العديد منكم
المشاكل لن تكون دالات خطية.
ولكن ، هناك تلك العلاقة. ماذا الآن
ما عليك القيام به هو تذكر أن هذا هو خدشنا
عمل. هذه هي العلاقة المباشرة بين
دلتا وإبسيلون التي كنا نتحدث عنها.
الآن أريد فقط التأكد من أنني لا
اكتب هذا بطريقة خاطئة. تريد أن تبدأ
الدليل بكتابة هذا. لكل 
دلتا أكبر من الصفر دع دلتا تساوي إبسيلون
أكثر من ثلاثة ، والصفر أقل من المطلق
قيمة س ناقص -2 أقل من دلتا.
أو لمجرد إضافة فكرة أننا ذاهبون

Arabic: 
للسماح لـ x بالاقتراب من السلبيين ،
حتى تتمكن من كتابة س ناقص -2 أو يمكنك الكتابة
س + 2. الآن مرة أخرى هدفنا هو إثبات أن f (x) -L
أقل من إبسيلون عندما يكون لديك هذه العلاقة
أن دلتا ثلث ... يساوي 1/3 من
إبسيلون. سنبدأ بـ f (x)
الذي سيكون .... أنا أتوقف مؤقتًا لأنه
أنا أدرك أنني لن يكون لدي
غرفة لكتابة كل هذا. و (خ) يساوي 3x + 8 ناقص
حدنا الذي يساوي 2. لن أذهب
لكتابة ما هو أقل من إبسيلون ، أي
ما أحاول إثباته. لذلك دعونا نرى ما

English: 
to letting the x approach that negative two,
so you can write x minus -2 or you can write
x+2. Now again our goal is to prove that f(x)-L
is less than epsilon when you have this relationship
that delta is one-third...equal to 1/3 of
epsilon. We are going to start off with f(x)
which is going to be.... I am pausing because
I am realizing that I am not going to have
room to write all this. f(x) is 3x+8 minus
our limit which is equal to 2. I am not going
to write that is less than epsilon, that is
what I am trying to prove. So let's see what

English: 
we have here. We have 8 minus 2 which of course
is going to be 6. Actually I want to pause
here for a second. Let's say that this expression
is our absolute value of f(x)-L. I want to
just have that there so we have it to reference
at the end of our proof. The absolute value
of f(x)-L is equal to the absolute value of
3x+8 minus 2. 8 minus 2 of course is equal
to 6. We can take... Now this is equal to...
Now we have 3x+6 and we are going to take
our factor of 3 and get 3 times the absolute
value of x+2. This f(x)-L is still equal to
that expression of 3|x+2| but now see for
every delta greater than zero let delta equal
epsilon over 3 and the assumption that we
are going to picking x's x-2 is less than

Arabic: 
لدينا هنا. لدينا 8 ناقص 2 وهو بالطبع
سيكون 6. في الواقع أريد التوقف
هنا لثانية. دعنا نقول أن هذا التعبير
هي القيمة المطلقة لـ f (x) -L. أريد أن
فقط لدينا ذلك لذلك علينا الرجوع إليها
في نهاية دليلنا. القيمة المطلقة
من f (x) -L يساوي القيمة المطلقة لـ
3x + 8 ناقص 2. 8 ناقص 2 بالطبع متساوي
إلى 6. يمكننا أن نأخذ ... الآن هذا يساوي ...
الآن لدينا 3x + 6 وسنتخذها
عاملنا 3 واحصل على 3 أضعاف المطلق
قيمة س + 2. هذا f (س) -L لا يزال يساوي
هذا التعبير عن 3 | x + 2 | ولكن انظر الآن ل
كل دلتا أكبر من الصفر تجعل دلتا متساوية
إبسيلون أكثر من 3 وافتراض أننا
سنقوم باختيار x's x-2 أقل من

English: 
delta. So I can bring this in here and now
say that this expression is less than 3 times
delta. Because it says right there the absolute
value of x+2 basically is less than delta.
Well, delta we have set up to be equal to
e/3. Now that is... Now this inequality is
going to be in reference to our absolute value
of f(x)-L and that is going to be less than
3...I hope my next problem does not have 3's
and d's together...3 times delta which we
are setting equal to epsilon over 3. Of course
multiplying by 3 and dividing by 3 are going
to cancel out and we have that when those
cancel out we have less than epsilon. We have

Arabic: 
دلتا. لذا يمكنني إحضار هذا هنا والآن
يقولون أن هذا التعبير أقل من 3 مرات
دلتا. لأنه يقول هناك المطلق
قيمة x + 2 هي في الأساس أقل من دلتا.
حسنًا ، لقد أنشأنا دلتا لتكون مساوية لـ
هـ / 3. الآن هذا ... الآن هذا التفاوت
سيكون في اشارة الى قيمتنا المطلقة
من f (x) -L وهذا سيكون أقل من
3 ... آمل أن لا تكون مشكلتي التالية 3
و د معا ... 3 مرات دلتا التي نحن
يتم تعيين يساوي إبسيلون على 3. بالطبع
الضرب في 3 و القسمة على 3 سوف تستمر
للإلغاء ولدينا ذلك عندما
إلغاء لدينا أقل من إبسيلون. نملك

Arabic: 
أثبت أن القيمة المطلقة لـ f (x) -L هي
أقل من إبسيلون عندما يكون لدينا هذا مباشرة
العلاقة بين الدلتا المتساوية
إلى 1/3 إبسيلون. علاقة الاتجاه
حصلنا عليه من أعمالنا الأولية
التعبير f (x) -L الخاص بنا ليتناسب مع تعبير xc.
هذه هي نهاية أول دليل لدينا. لهذا السبب
يقول طالما أنك تعطيني بشكل تعسفي
مسافة صغيرة من إبسيلون ، يمكنني أن أعطيك
دلتا هي 1/3 قيمة إبسيلون و
ثم عندما أخرج بعلامة x في الداخل
تلك الدلتا التي هي 1/3 إبسيلون ، يمكنني أن أعطيها
أنت س ... انتقل إلى الوظيفة ... والحصول على
قيمة من تلك الوظيفة الموجودة داخل

English: 
proven that the absolute value of f(x)-L is
less than epsilon when we have this direct
relationship between delta which is equal
to 1/3 epsilon. That direction relationship
we got from our initial scratch work getting
our f(x)-L expression to match that x-c expression.
That is the end of our first proof. So that
is saying as long you give me an arbitrarily
small distance of epsilon, I can give you
a delta that is 1/3 the value of epsilon and
then when I come up with an x that is inside
that delta which is 1/3 epsilon, I can give
you an x...go to the function...and get a
value from that function that is within the

Arabic: 
مسافة إبسيلون إلى الحد الأقصى. هذا هو
نهاية مثالنا الأول. بام !!! إلا
أريد أن أشير على الرغم من أن الأولي الأولي
الارتباك الذي كان لدي من عمل كل هذه
مشاكل في حساب التفاضل والتكامل والنظر في
دليل الحلول ثم كما قلت الذهاب
لكتاب آخر ثم الذهاب إلى مستخدمي YouTube
والحصول على بعض المراجع الإضافية
للمساعدة في تطوير هذا الدرس ، سأوضح ذلك
أنت. رأيت بعض البراهين خاصة مع هذه
أمثلة أبسط حيث تكون الوظائف فقط
وظائف خطية حيث هذا في الواقع هذا
كان الهيكل الفعلي للدليل مثل
إلى الوراء. بدأ بعض الناس من الدليل
مع هذا البيان صفر أقل من
القيمة المطلقة لـ xc وهي أقل من دلتا
ثم عملوا إلى الوراء حتى حصلوا على
بيان أن f (x) -L كان أقل من إبسيلون.
أعتقد أنني أرى نوعًا ما كيف يتدفق ذلك
أمثلة أبسط ولكن عندما نصل إلى الثانية

English: 
distance of epsilon to the limit. That is
the end of our fist example. BAM!!! Except
I want to point out though that initial initial
confusion that I had from working all these
problems in one Calculus and looking at the
solutions guide and then like I said going
to another book and then going to the YouTubes
and getting some additional references to
help develop this lesson, I will show it to
you. I saw some proofs especially with these
simpler examples where the functions are just
linear functions where this actually this
actual structure of the proof was kind like
in reverse. Some people started off the proof
with this statement zero is less than the
absolute value of x-c which is less than delta
and then worked backwards until they got a
statement that f(x)-L was less than epsilon.
I guess I kind of see how that flows for the
simpler examples but when we get to our second

English: 
example dealing with an epsilon delta proof
involving a quadratic I think that does not
really flow well. So, I am going to show all
my examples in this fashion where we start
with the absolute value of f(x)-L statement
and prove in this sequence ultimately that
it is less than epsilon using whatever direct
relationship we come up with in the scratch
work. So before we move onto those last two
examples I wanted to show you how I initially
did all of these proofs. It did kind of bother
me the way this worked. We would take our
limit statement and find the limit. Again
say that given that epsilon is greater than
zero start with our preliminary scratch work.
The absolute value of f(x)-L is less than
epsilon, work it again until we got that match
of |x-c| is less than delta expression to

Arabic: 
مثال على التعامل مع دليل دلتا إبسيلون
تنطوي على تربيعية أعتقد أن هذا لا
تتدفق بشكل جيد حقا. لذا ، سأريكم كل شيء
أمثلتي بهذه الطريقة حيث نبدأ
بالقيمة المطلقة لعبارة f (x) -L
ويثبت في هذا التسلسل في نهاية المطاف
أنها أقل من إبسيلون باستخدام أي شيء مباشر
العلاقة التي نأتي بها من الصفر
عمل. لذا قبل أن ننتقل إلى هذين الأخيرين
أمثلة أردت أن أبين لكم كيف كنت في البداية
فعل كل هذه البراهين. لقد فعلت نوعا من الإزعاج
لي بالطريقة التي عملت بها. سوف نأخذ
بيان الحد والعثور على الحد. مرة أخرى
أقول ذلك بالنظر إلى أن إبسيلون أكبر من
ابدأ الصفر بعمل خدشنا الأولي.
القيمة المطلقة لـ f (x) -L أقل من
إبسيلون ، قم بعملها مرة أخرى حتى نحصل على تلك المباراة
من | xc | أقل من تعبير دلتا إلى

English: 
get that direct relationship between epsilon
and delta. Then make a statement that if we
chose delta is equal to 1/3 epsilon. Then
if zero is less then the absolute value of
x-c, or in this case of course negative two,
is less than delta. The proofs again kind
of work backwards to the maybe slightly clearer
way that another textbooks solutions guide
were showing theirs and how I saw people on
YouTube working out these delta-epsilon proofs.
Especially with the more complicated examples
involving something like quadratics or absolute
value functions. I think... So with my experience
or maybe lack of experience with the delta-epsilon
proofs I am not really sure what way is better.
I don't really think this is the better way.
Again I found examples on these simpler epsilon-delta
proofs in my book and on line, or at least

Arabic: 
الحصول على تلك العلاقة المباشرة بين إبسيلون
والدلتا. ثم أدلى ببيان أننا إذا
دلتا المختارة تساوي 1/3 إبسيلون. ثم
إذا كان الصفر أقل من القيمة المطلقة لـ
xc ، أو في هذه الحالة بالطبع السلبية اثنين ،
أقل من دلتا. البراهين نوع مرة أخرى
من العمل إلى الوراء إلى ربما أكثر وضوحا قليلا
الطريقة التي توجه بها حلول الكتب المدرسية الأخرى
كانوا يظهرون لهم وكيف رأيت الناس على
يوتيوب يعمل على هذه البراهين دلتا إبسيلون.
خاصة مع الأمثلة الأكثر تعقيدًا
تنطوي على شيء مثل التربيعية أو المطلقة
وظائف القيمة. أعتقد ... لذلك مع تجربتي
أو ربما نقص الخبرة مع دلتا إبسيلون
البراهين لست متأكدا حقا ما هي الطريقة الأفضل.
لا أعتقد حقًا أن هذه هي الطريقة الأفضل.
مرة أخرى وجدت أمثلة على هذه دلتا إبسيلون أبسط
البراهين في كتابي وعلى الخط ، أو على الأقل

Arabic: 
ما فسرت ما يقوله كتابي
وعلى الخط ، يظهر بعض الناس هذه الأعمال
إلى الوراء. ثم ننزل إلى المطلق
قيمة f (x) -L أقل من إبسيلون. نعم هو كذلك
لا تجلس معي بشكل جيد ، مع العلم كيف
هيكلة البراهين الخاصة بي عند العمل
مع صف بريكالكولوس أو حساب علم المثلثات.
يبدو بالتأكيد أنه يترك الباب
مفتوح لبعض الارتباك عند التعامل مع
أمثلة مثل القادمة القادمة. العمل
مع دليل إبسيلون-دلتا يتضمن تربيعي.
الوصول إلى هذا المثال التربيعي. تجد
الحد ، ثم استخدم تعريف Epsilon Delta
لإثبات أن الحد في الواقع أن L ، هذا
الحد الحقيقي الذي تعتقد أنه سيكون. نحن
ذاهب للعثور على الحد حيث يقترب س من خمسة

English: 
what I interpreted what my book was saying
and on line, some people showing these working
in reverse. Then getting down to the absolute
value of f(x)-L is less then epsilon. It does
not really sit well with me, knowing how I
structure my trig proofs when I work those
out with my Precalculus or Trigonometry class.
It certainly feels like it leaves the door
open for some confusion when dealing with
examples like are coming up next. Working
with an epsilon-delta proof involving a quadratic.
Getting on to that quadratic example. Find
the limit, then use the Epsilon Delta definition
to prove that the limit actually that L, that
real limit that you believe it to be. We are
going to find the limit as x approaches five

English: 
of x squared minus x minus 6. Ok, well let's
just get the limit out of the way. The limit
as x approaches five of x squared minus x
minus six, well I kind of gave it away there,
is going to be equal to five squared minus
five minus six. Well that is 25 minus 5 minus
6 which is going to be equal to 14. So, we
are going to try and prove that the limit
of this expression is 14 when x approaches
5. We are going to that like the last example.
The first thing that we need to do is some
scratch work to develop a direct relationship
between the variables of epsilon and delta.
We are going to do that again by starting
off with this expression here the absolute
value of f(x) minus 14 is less than epsilon
and rewrite it into this format where we have
the absolute value of x - c alone and then

Arabic: 
من مربع x ناقص × ناقص 6. حسنًا ، حسنًا
مجرد الحصول على الحد من الطريق. الحد
بينما تقترب x من خمسة من مربع x ناقص x
ناقص ستة ، حسنا أنا نوع من التخلي عنها هناك ،
ستكون تساوي خمسة مربعات ناقص
خمسة ناقص ستة. حسنا هذا هو 25 ناقص 5 ناقص
6 التي ستكون تساوي 14. لذا ، نحن
سنحاول أن نثبت أن الحد
هذا التعبير هو 14 عندما يقترب س
5. سنذهب إلى ذلك مثل المثال الأخير.
أول شيء علينا القيام به هو بعض
عمل الصفر لتطوير علاقة مباشرة
بين متغيرات إبسيلون ودلتا.
سنفعل ذلك مرة أخرى من خلال البدء
مع هذا التعبير هنا المطلق
قيمة f (x) ناقص 14 أقل من إبسيلون
وإعادة كتابتها في هذا الشكل حيث لدينا
القيمة المطلقة لـ x - c وحدها ثم

English: 
on the right hand side it is less than something,
and we hopefully get that direct relationship
between epsilon and delta like we had in the
last example. We have the absolute value of,
oops...I dropped this chalk earlier and now
it is all busted up... the absolute value
of our function is x squared minus x minus
6, so there is our f(x), minus the limit that
we found to be 14. That probably should have
been L there originally and then fill it in.
That is going to be initially in our scratch
work assumed to be less than epsilon. We are
really trying to prove that in the end. Combine
like terms. We have the absolute value of
x squared minus x minus 20 is less than epsilon.
That left hand side is factorable and when
you have a expression inside of an absolute
value symbol that is factorable you can still
factor it, just make sure you leave each of
those factors in their own absolute value

Arabic: 
على الجانب الأيمن أقل من شيء ،
ونأمل أن نحصل على تلك العلاقة المباشرة
بين إبسيلون ودلتا كما كان لدينا في
المثال الأخير. لدينا القيمة المطلقة ،
عفوًا ... أسقطت هذا الطباشير في وقت سابق والآن
كل شيء تم ضبطه ... القيمة المطلقة
وظيفتنا هي x مربعة ناقص x ناقص
6 ، لذلك هناك f (x) ، ناقص الحد الذي
وجدنا أن تكون 14. ربما كان يجب أن يكون
كان L هناك أصلاً ثم ملئه.
سيكون هذا في البداية في نقطة الصفر
يفترض أن يكون العمل أقل من إبسيلون. نحن
تحاول حقا أن تثبت ذلك في النهاية. ادمج
شروط الأعجاب. لدينا القيمة المطلقة
س مربعة ناقص س ناقص 20 أقل من إبسيلون.
هذا الجانب الأيسر هو عامل ومتى
لديك تعبير داخل المطلق
رمز القيمة الذي هو عامل لا يزال بإمكانك
عامل ذلك ، فقط تأكد من ترك كل من
تلك العوامل في قيمتها المطلقة

Arabic: 
رمز. لدينا القيمة المطلقة س ناقص
5 أضعاف القيمة المطلقة لـ x plus 4
أقل من إبسيلون. تحاول عزل ذلك
القيمة المطلقة لـ x-5 ومعالجتها
بيان f (x) -L الأصلي لمطابقة xc
التعبير كما فعلنا في المشكلة الأخيرة.
لقد فعلنا كلا الجانبين بالقيمة المطلقة
س + 4. يجب أن يكون علامة ناقص. طيب جيدا
يمكننا أن نرى الآن أن هناك مشكلة في
هذا وقد نسيت أن إبسيلون

English: 
symbol. We have the absolute value of x minus
5 times the absolute value of x plus 4 is
less than epsilon. Trying to isolate that
absolute value of x-5 and manipulate that
original f(x)-L statement to match the x-c
expression like we did in the last problem.
We did both sides by the absolute value of
x+4. That should be a minus sign. Ok, well
we can see now that there is a problem with
this and I forgot my given that epsilon is

English: 
greater than zero. I will sneak that in a
little bit neater later. We can see that we
do not, yes I have the absolute value of x-5
by itself but less then delta and less than
epsilon over the absolute value of x+4. We
don't have a direct relationship between these
two variables and we need that to...you know...do
our proof. Oh, man. Ok, how the heck are we
going to do that? We need to remember that
we are finding limits. We are trying to let
x approach c and in this case that c value
is 5. We are trying to let x approach five.
We don't need to be 10 or 15 units away from
5, we want to let x approach 5. To create
a direct relationship between delta and epsilon
we need to eliminate this absolute value of
x plus 4 or at least rewrite it in a form
that does not have a variable in it. What

Arabic: 
أكبر من الصفر. سوف تسلل ذلك في
أكثر دقة قليلا في وقت لاحق. يمكننا أن نرى أننا
لا ، نعم لدي القيمة المطلقة لـ x-5
في حد ذاته ولكن أقل من دلتا وأقل من
إبسيلون فوق القيمة المطلقة لـ x + 4. نحن
ليس لديهم علاقة مباشرة بين هذه
متغيرين ونحن بحاجة إلى ذلك ... تعلمون
دليلنا. يا رجل. حسنا ، كيف نحن بحق الجحيم
ذاهب للقيام بذلك؟ ونحن بحاجة إلى أن نتذكر ذلك
نجد حدود. نحن نحاول السماح
س نهج ج وفي هذه الحالة تلك القيمة ج
هو 5. نحن نحاول ترك x تقترب من خمسة.
لا نحتاج أن نكون على بعد 10 أو 15 وحدة من
5 ، نريد أن ندع x النهج 5. لخلق
علاقة مباشرة بين دلتا وإبسيلون
نحن بحاجة للقضاء على هذه القيمة المطلقة
x زائد 4 أو على الأقل إعادة كتابته في شكل
لا يحتوي على متغير فيه. ماذا

Arabic: 
ما نريد القيام به ، هو ما يتعين علينا القيام به
حد على دلتا ... تعيين أقصى مسافة
من قيمة ج ، بعض الكتب تسمي ذلك
بالمناسبة ، نحن على استعداد لنا
الدليل ... وضع شرطا عليه. بعدها نحن
تريد أن تجد أقصى قيمة هذا المطلق
قيمة x زائد 4 ستستمر. وبالتالي،
هذا الرسم البياني الصغير ، أخذت تربيعي التربيعي
ووضعها في شكل قياسي أو شكل قمة
أو أيا كانت كتبك المدرسية تسميها. لدي
رسم هنا. مرة أخرى ، أنا فقط أحاول
تظهر لك أن دلتا هي مسافة أفقية
بعيدا عن ج. سنضع ذلك كحد أقصى
واحد. سأكتب كل ذلك ثم
من فكرة التأكد من أن المطلق
من قيمة س ناقص 5 لا تأخذ أو
مقارنة بالدلتا أكبر من واحد ،
الحصول على نوع من العلاقة ... نوع ما

English: 
we want to do, what we need to do, is set
a limit on delta...set a maximum distance
from the value of c, some books call that
a by the way, that we are willing to us for
the proof...put a condition on it. Then we
want to find the maximum value that this absolute
value of x plus 4 is going to take on. So,
this little diagram, I just took my quadratic
and put into standard form or vertex form
or whatever your textbooks call it. I have
a sketch here. Again, I am just trying to
show you that delta being a horizontal distance
away from c. We are going to set that a maximum
of one. I will write all that out and then
from that idea of making sure that the absolute
of value of x minus 5 does not take on or
compare to a delta that is greater than one,
get some kind of relationship...some kind

Arabic: 
من القيمة القصوى التي القيمة المطلقة
x زائد 4 سيستغرق. حتى مجرد كتابة
ما قلته ، نحن بحاجة إلى تلك العلاقة المباشرة
بين إبسيلون والدلتا. الآن ، إذا قمنا بالتعظيم
أن دلتا أو تسمح لها أن تكون بحد أقصى فقط
واحد أو أصغر ، لدينا دلتا أقل من
أو يساوي واحد. سنذهب مرة أخرى كلما
القيمة المطلقة لـ x-5 أقل من دلتا
من هذا البيان ، لدينا المطلق
قيمة x-5 أقل من دلتا ثم الإعداد
أن يكون الحد الأقصى ، لدينا مطلق
قيمة x-5 أقل من واحد وكتبت
لأنه عدم مساواة مركب لأنه من الواضح
من عدم وجود مساحة. أحاول الحصول على كل شيء
هذا المثال هنا في الحال. نحن بحاجة إلى إعادة الكتابة
هذا التعبير س 5 في شكل س زائد
4 مرة أخرى لمعرفة القيمة القصوى للعثور
الحد الأقصى ، القيمة التي ستأخذها. لذا نحن

English: 
of maximum value that the absolute value of
x plus 4 will take on. So just writing out
what I said, we need that direct relationship
between epsilon and delta. Now, if we do maximize
that delta or allow it to be only a maximum
of one or smaller, we have delta is less than
or equal to one. We are going to again whenever
the absolute value of x-5 is less than delta
from that statement, we have the absolute
value of x-5 is less than delta and then setting
that to be a maximum of one, we have the absolute
value of x-5 is less than one and I wrote
it as a compound inequality because obviously
of a lack of room. I am trying to get all
this example up here at once. We need to rewrite
that x-5 expression into the form of x plus
4 again to see the maximum value, to find
the maximum, value that will take on. So we

English: 
add each of these three parts of our compound
inequality by 9, getting this x plus 4 that
we need. While we can see that it is greater
than 8, we are tying to find the maximum value
that x plus 4 can take on and that is going
to be 10. So, from that we have the absolute
value of x plus 4 is going to be less than
10. So, from this I can come over here and
write one more line. The absolute value of
x-5 is less than epsilon over 10. So now from
here it would seem that we could let delta
equal epsilon over 10. But for the rest of
this proof is it really acceptable to say
that delta is equal to epsilon over 10? This
not as simple of a direct relationship as
it was with the linear function of course.

Arabic: 
أضف كل جزء من الأجزاء الثلاثة لمركبنا
عدم المساواة بنسبة 9 ، والحصول على هذا س زائد 4 ذلك
نحن نحتاج. بينما يمكننا أن نرى أنه أكبر
من 8 ، نحن نحاول إيجاد القيمة القصوى
التي يمكن أن يأخذها x plus 4 وهذا ما يحدث
لتكون 10. لذا ، من ذلك لدينا المطلق
قيمة x زائد 4 ستكون أقل من
10. لذا ، من هذا يمكنني أن آتي هنا و
اكتب سطرًا آخر. القيمة المطلقة
x-5 أقل من إبسيلون فوق 10. لذا من الآن
هنا يبدو أننا يمكن أن نسمح دلتا
يساوي epsilon أكثر من 10. ولكن لبقية
هذا البرهان من المقبول حقا أن نقول
أن دلتا تساوي إبسيلون أكثر من 10؟ هذه
ليس مجرد علاقة مباشرة
كان مع الوظيفة الخطية بالطبع.

Arabic: 
كان علي أن أعمل على الحد من دلتا ل
الحصول على تلك العلاقة المباشرة. بسبب ذلك ،
سنقول أن الدلتا سوف
يساوي واحد على الأقل وإبسيلون
10. مرة أخرى ، مع هذا الشرط الإضافي الآن
على هذا ما سأقوله هو مباشرتي
العلاقة بين دلتا وإبسيلون ، هي
سيكون من المقبول استبداله في أي وقت
أرى دلتا مع إبسيلون أكثر من 10. حسنًا ،
إذا كانت دلتا تساوي إبسيلون على 10 ، ثم
بناء على هذا الشرط يعني أن إبسيلون
يجب أن يكون أكثر من عشرة أقل من واحد. منذ الدلتا
هو الحد الأدنى من هاتين القيمتين
المضي قدما ويقول أن لدينا مع

English: 
I had to work on a limitation on delta to
get that direct relationship. Because of that,
we are going to say that delta is going to
be equal to minimum of one and epsilon over
10. Again, with this extra condition now put
on this what I am going to say is my direct
relationship between delta and epsilon, is
it going to be acceptable to replace any time
I see a delta with epsilon over 10. Well,
if delta is equal to epsilon over 10, then
based on this condition that means that epsilon
over ten must be less than one. Since delta
is the minimum of these two values we can
go ahead and say that we have got with the

English: 
idea starting off with the absolute value
of x-5 has to be...again whenever that is
less than epsilon...then the absolute value
of x-5 is going to be less than epsilon over
10. Close up that absolute value symbol. Ok,
let's keep that in the back of our minds as
we work through our proof. What if we have
the condition where delta is equal to one?
That epsilon is given is such a manor that
has this fraction be larger than one. Again,
we only came up with that expression, that
direct relationship delta is epsilon over
10 with the condition that delta can be no
more than one. So, if delta comes out...if
we have to set delta equal to one, well then
that means that one had to have been less

Arabic: 
تبدأ الفكرة بالقيمة المطلقة
من x-5 يجب أن يكون ... مرة أخرى كلما كان ذلك
أقل من إبسيلون ... ثم القيمة المطلقة
من x-5 ستكون أقل من إبسيلون
10. أغلق رمز القيمة المطلقة. حسنا،
دعونا نضع ذلك في أذهاننا
نحن نعمل من خلال دليلنا. ماذا لو كان لدينا
حالة الدلتا تساوي واحد؟
يتم إعطاء إبسيلون مثل هذا القصر
قد يكون هذا الكسر أكبر من واحد. مرة أخرى،
لقد توصلنا فقط إلى هذا التعبير ، ذلك
دلتا علاقة مباشرة انتهى إبسيلون
10 بشرط أن لا يكون الدلتا
أكثر من واحد. لذا ، إذا خرج الدلتا ... إذا
يجب أن نضع دلتا مساوية لواحدة ، حسناً
هذا يعني أن المرء كان يجب أن يكون أقل

Arabic: 
من قيمة إبسيلون على مدى عشرة. حسنا اذا
مرة أخرى بهذه الفكرة التي تبدأ من
تجد دلتا أكبر من الصفر بحيث
القيمة المطلقة ل (س) ناقص L أو في هذا
حالة 14 أقل من إبسيلون كلما
القيمة المطلقة لـ x-5 أقل من دلتا.
إذا كان لدينا القيمة المطلقة لـ x-5 أقل
ثم الدلتا التي نقولها هي واحدة ، نحن
يقولون أنه واحد لأن إبسيلون
كان هذا الجزء الذي خرج منه هذا الكسر
أكبر من واحد ، ما زلت أرغب في ذلك
تكون قادرة على معرفة ذلك عندما أرى مطلقة
قيمة x-5 التي يمكنني ربطها بهذا
إبسيلون أكثر من 10 فكرة. حسنًا ، إذا اخترت واحدة
ثم كان واحد أقل من إبسيلون على 10. إذا
القيمة المطلقة لـ x-5 أقل من واحد ،

English: 
than the value of epsilon over ten. Ok, so
again with this idea that starting off with
find delta greater than zero such that the
absolute value of f(x) minus L or in this
case 14 is less than epsilon whenever the
absolute value of x-5 is less then delta.
If we have the absolute value of x-5 is less
then delta which we are saying is one, we
are saying that it is one because the epsilon
was such that this fraction came out to be
bigger than one, well I would still like to
be able to know that when I see an absolute
value of x-5 that I can relate it to this
epsilon over 10 idea. Well, if I picked one
then one was less than epsilon over 10. If
the absolute value of x-5 is less than one,

Arabic: 
لأنه كان علينا تعيين دلتا مساوية لواحد لأن
كان أصغر من e / 10 ، حسنًا فهو كذلك
أيضا أقل من إبسيلون على 10. قلت للتو
ه. هذا يعني أنه يمكننا تنظيف هذا و
لنفترض أنه إذا كانت القيمة المطلقة لـ x-5 أقل
من واحد أقل من إبسيلون فوق 10 ،
فهو ببساطة القيمة المطلقة
من x-5 أقل من إبسيلون فوق 10. لذا ، أنا
لا يزال بإمكانه كتابة هذا البيان أن السماح
دلتا تساوي إبسيلون فوق 10 ، هذا مباشرة
العلاقة التي حصلنا عليها عن طريق وضع دلتا
يجب أن يكون أقل من واحد
أو يساوي الواحد ، سواء كان الدلتا
سيتم تعيين يساوي إبسيلون أكثر من 10
أو إذا كانت الدلتا تساوي واحدة بهذا الشرط
دلتا هي الحد الأدنى من 1 أو e / 10 لا يزال

English: 
because we had to set delta equal to one because
it was smaller than e/10, well then it is
also less than epsilon over 10. I just said
e. That means that we can clean this up and
say that if the absolute value of x-5 is less
than one which is less than epsilon over 10,
then it is just simply the absolute value
of x-5 is less than epsilon over 10. So, I
can still write that statement that letting
delta be equal to epsilon over 10, that direct
relationship that we got by setting delta
to be a maximum of one has to be less than
or equal to one, either way whether the delta
is going to be set equal to epsilon over 10
or if delta is equal to one, with that condition
delta is the minimum of 1 or e/10 it is still

Arabic: 
مقبول لكتابة نفس البيان الذي
القيمة المطلقة لـ x-5 أقل من e / 10.
الآن نحن مستعدون لبدء دليلنا. لذا نحن
بدأوا الدليل رسميًا الآن
كل هذا العمل خدش. لكل
إبسيلون أكبر من الصفر ، دع دلتا تساوي
الحد الأدنى واحد أو إبسيلون أكثر من 10 و
فليكن الصفر أقل من القيمة المطلقة
X-5 وهو أقل من دلتا. الآن مع هذه
الشروط التي نحاول أن تثبت أن
القيمة المطلقة لـ f (x) -L أقل من إبسيلون.
لدينا القيمة المطلقة مرة أخرى f (x) ناقص
الحد L يساوي الوظيفة مرة أخرى
هو x مربعة ناقص × ناقص 6. حدنا ذلك

English: 
acceptable to write the same statement that
the absolute value of x-5 is less than e/10.
Now we are ready to start our proof. So we
are officially starting the proof now that
all of this scratch work is done. For every
epsilon greater than zero, let delta equal
the minimum of one or epsilon over 10 and
let zero be less than the absolute value of
x-5 which is less than delta. Now with these
conditions we are trying to prove that the
absolute value of f(x)-L is less than epsilon.
We have the absolute value of again f(x) minus
the limit L is equal to the function again
is x squared minus x minus 6. Our limit that

English: 
we found when we plugged in 5 came out to
be 14. Can I manipulate this expression and
show that ultimately this is less than epsilon.
So this is going to be, just like the before,
the absolute value of x squared minus x minus
20. This is equal to the absolute value of
x-5 times the absolute value of x+4. Now we
start working with these relationships that
we just came up with. We were able to show
or actually not show but we have the initial
assumption that the absolute value of x-5
has to be less than delta. You know, we are
trying to prove that the absolute value of
f(x) minus L is less than epsilon whenever
this is true. This now, this is going to be
come.  I don't have room to right it over

Arabic: 
وجدنا عندما وصلنا 5 خرج
يكون 14. هل يمكنني معالجة هذا التعبير و
تبين أن هذا في النهاية أقل من إبسيلون.
لذا سيكون هذا ، مثل السابق ،
القيمة المطلقة لـ x مربعة ناقص x ناقص
20. هذا يساوي القيمة المطلقة
5 أضعاف القيمة المطلقة لـ x + 4. الآن نحن
بدء العمل مع هذه العلاقات التي
توصلنا للتو. تمكنا من إظهار
أو في الواقع لا تظهر ولكن لدينا الأولية
افتراض أن القيمة المطلقة لل X-5
يجب أن يكون أقل من دلتا. تعلمون ، نحن
تحاول أن تثبت أن القيمة المطلقة
و (خ) ناقص L أقل من إبسيلون كلما
هذا صحيح. هذا الآن ، هذا سيكون
تأتي. I don't have room to right it over

Arabic: 
هناك ، أقل من دلتا و ... أنا لا
أعرف لماذا أستخدم قوسين ... مطلق
قيمة س ناقص أربعة. لدينا من الصفر
العمل هنا أن القيمة المطلقة
× 4 أقل من عشرة. حسنا ، نحن نحاول
لإثبات أن هذا أقل من إبسيلون بذلك
نحتاج إلى إخراج الدلتا واستبدالها
مع تعبير يحتوي على إبسيلون
فيه.نحن فقط حصلنا عليها هناك
وتمكنا من التحقق من صدقنا
أو عملنا هنا. العمل مع هذا اضافية
بشرط أن نكون قد خلقنا ذلك الدلتا
لا يمكن أن يكون أكثر من واحد ، في كل مرة
نرى قيمة مطلقة لـ x-5 نعم
أقل من دلتا لكننا أظهرنا ذلك أيضًا
أقل من إبسيلون من العشرة التي وضعناها

English: 
there, less than delta and the, I don't
know why I am using parenthesis, absolute
value of x minus four. We have from our scratch
work over here that the absolute value of
x-4 is less then ten. Ok, well we are trying
to prove that this is less than epsilon so
we need to take the delta out and replace
it with an expression that has an epsilon
in it. We just happen to have it right there
and we were able to validate with our check
or our work here. Working with this extra
condition that we created which was that delta
can be no more than one, that every time that
we see an absolute value of x-5 yes that is
less than delta but we also showed that it
is less than epsilon over ten which we set

Arabic: 
لتكون مساوية للدلتا. الآن يمكننا أن نرى ذلك
العشرة ستلغي. جلب
هذا أسفل الآن ، لدينا القيمة المطلقة
من f (x) ناقص L يظهر بالفعل مع هذه
الشروط التي تكون أقل من إبسيلون. حرر ،
بحكم التعريف لذلك ، أو مربع ، أو
مهما كان كتابك يستخدمه بحكم التعريف
الحد حيث يقترب x من خمسة من مربع x
ناقص س ناقص 6 يساوي بالفعل 14. هذا
هي نهاية مثالنا الثاني. nanananana ...
الآن قبل أن ننتقل إلى آخر أعمالناexample
والتي ستكون دالة قيمة مطلقة.
كنت أرغب في وضع بعض الحسابات الحسابية ،
بعض الأمثلة التي تتوافق مع هذا الدليل. عدم التحقق من صحة الدليل لأنك
لا يمكن أن تفعل برهان مع مجرد مجموعة من الأمثلة.
ولكن ، أريكم بعض الأمثلة حول كيفية ارتباطهم

English: 
to be equal to delta. Now we can see that
the 10's are going to cancel out. Bringing
this down now, we have the absolute value
of f(x) minus L is indeed shown with these
conditions that it is less than epsilon. So,
by definition so therefore, or box, or whatever
your book is using by definition 
the limit as x approaches five of x squared
minus x minus 6 is indeed equal to 14. That
is the end our second example. nanananana...
Now before we move on to our last example
which is going to be an absolute value function.
I wanted to put some concrete arithmetic,
some examples that go along this proof. Not
validating the proof is true because you can't
do a proof with a just bunch of examples.
But, show you some examples on how they relate

English: 
to what we said in this proof. That if delta
is the minimum of 1 and epsilon over 10, and
we are looking for x approaching 5 or letting
the absolute value of x-5 be less than delta,
we showed that the absolute value of f(x)
minus L is indeed less than epsilon. But,
that idea of you give me an arbitrarily small
epsilon and from that I will develop a delta
such that if x is within delta of c, that
when you plug that x into the original function
you get a difference between the functions
value and the limit which is less than epsilon.
So let's let epsilon be equal to 20. If that
is the case, then delta is the minimum between
and 1 and epsilon over 10. If our vertical
distance from the limit is set to be 20, then
20 over 10 is going to be equal to 2. So,
in that case your epsilon over 10 expression

Arabic: 
لما قلناه في هذا الدليل. أنه إذا دلتا
هو الحد الأدنى 1 و إبسيلون فوق 10 و
نحن نبحث عن س تقترب من 5 أو السماح
تكون القيمة المطلقة لـ x-5 أقل من دلتا ،
أظهرنا أن القيمة المطلقة لـ f (x) ناقص L هي بالفعل أقل من إبسيلون. لكن،
هذه الفكرة منكم تعطيني صغيرة تعسفية
إبسيلون ومن ذلك سأطور دلتا
بحيث إذا كان x ضمن دلتا c ، فهذا
عندما تقوم بتوصيل ذلك x بالوظيفة الأصلية
تحصل على فرق بين الوظائف
القيمة والحد الذي هو أقل من إبسيلون.
لذلك دعونا نترك إبسيلون يساوي 20 إذا كان ذلك
هو الحال ، ثم دلتا هي الحد الأدنى بين
و 1 و epsilon فوق 10. إذا كان رأسيًا
يتم تعيين المسافة من الحد إلى 20 ، ثم
20 فوق 10 ستكون تساوي 2. لذا ،
في هذه الحالة إبسيلون الخاص بك أكثر من 10 تعبير

Arabic: 
هو في الواقع أكبر من 1 ... هو 2. لكننا
يتم تعيين دلتا لتكون الحد الأدنى 1 و
هـ / 10. لذا سنجعل دلتا متساوية
إلى 1. في هذه الحالة ، الدلتا كونها أفقية
المسافة من ج أو كتابك
تدل على ذلك ، ونحن نجد الحد
حيث أن x تقترب من 5 ، فإن c هي 5 و c ناقص
دلتا 4 و دلتا زائد 6. لذا ، قطف
علامة x داخل دلتا c دعنا x
يكون 4.5. إذا سمحنا أن تكون x 4.5 ، f (x) ... f (4.5)
هو 9.75. مطلقة f (x) -L هي بالفعل
أقل من إبسيلون؟ حسنا ، هي القيمة المطلقة
9.5 ناقص 14 أقل من 20؟ نعم إنه كذلك. الآن ،
إذا اخترنا قيمة إبسيلون ، مرة أخرى هذا العمودي

English: 
is indeed bigger than 1...it is 2. But we
are setting delta to be the minimum of 1 and
e/10. So we are going to let delta be equal
to 1. In that case, delta being the horizontal
distance from c or a however your book is
denoting that, and we are finding the limit
as x approaches 5 then c is 5 and c minus
delta is 4 and c plus delta is 6. So, picking
an x that is within delta of c let's let x
be 4.5. If we let x be 4.5, f(x)...f(4.5)
is 9.75. The absolute of f(x)-L is it indeed
less than epsilon? Well, is the absolute value
of 9.5 minus 14 less than 20? Yes it is. Now,
if we pick an epsilon value, again that vertical

English: 
distance from our limit, that is 1...that
is smaller. If we let epsilon be 1, then we
have again delta is the minimum between 1
and epsilon over 10. Well, if I say epsilon
is equal to delta is the minimum of 1 and
1/10. Since delta is the minimum of one of
these two values, delta...I keep saying d
all of a sudden...delta is going to be set
equal to 1/10. Again we are finding the limit
as x approaches 5 and moving to the left and
the right of five by a delta of 1/10, we get
c minus delta is 4.9 and c plus delta is 5.1.
We need to pick an x that is within delta
of c or that c is within delta units of x,
so we are going to let x be 5.05... somewhere
within this interval. Well if you take 5.05
and you plug into your function you get a
value of 14.4525. Indeed, or with this example,

Arabic: 
المسافة من حدودنا ، أي 1 ... ذلك
أصغر. إذا تركنا إبسيلون واحدًا ،
دلتا مرة أخرى هي الحد الأدنى بين 1
وإبسيلون على 10. حسنًا ، إذا قلت إبسيلون
يساوي دلتا الحد الأدنى 1 و
1/10. منذ الدلتا هي الحد الأدنى من واحد
هاتان القيمتان ، دلتا ... ما زلت أقول د
فجأة ... سيتم تعيين دلتا
يساوي 1/10. مرة أخرى نجد الحد
كما تقترب س 5 وتتحرك إلى اليسار و
على اليمين خمسة من دلتا 1/10 ، نحصل
دلتا c هي 4.9 ودلتا c زائد 5.1.
نحتاج إلى اختيار علامة x داخل دلتا
من c أو تلك c ضمن وحدات دلتا من x ،
لذلك سوف نترك x 5.05 ... في مكان ما
خلال هذه الفترة. حسنًا إذا أخذت 5.05
وقمت بتوصيل وظيفتك تحصل على
قيمة 14.4525. في الواقع ، أو مع هذا المثال ،

Arabic: 
هي القيمة المطلقة ل (س) ناقص L أقل
من إبسيلون. حسنا f (x) مرة أخرى ، قلتها للتو
من الآلة الحاسبة ، 14.4525. الحد
يساوي 14. القيمة المطلقة لهذا يأتي
إلى أن يكون .4525 وهذا أقل مما لدينا
إبسيلون ، إبسيلون ، أو تعسفي
إبسيلون من 1. لذلك ، هناك بعض الحساب
الأمثلة تتماشى مع ما بالضبط هذه
البراهين تخبرنا وكيف تعمل. بام !!!
nananana ... المثال الأخير. ابحث عن الحد ،
ثم استخدم تعريف إبسيلون دلتا لإثبات ذلك
الحد هو في الواقع L. هذه المرة لدينا
دالة مطلقة. سوف نجد
الحد كما تقترب س السلبية سبعة
القيمة المطلقة 2x-14. فأين بلدي
الطباشير؟ ها نحن ذا ، لدي الكثير من الطباشير
لكن الذي في الحامل. نحن ذاهبون إلى
دع x يقترب من سبعة سلبيين وهذا يعني

English: 
is the absolute value of f(x) minus L less
than epsilon. Well f(x) again, just said it
from the calculator, 14.4525. The limit is
equal to 14. The absolute value of this comes
out to be .4525 and that is less than our
epsilon, our given epsilon, or our arbitrary
epsilon of 1. So, there is some arithmetic
examples go along with what exactly these
proofs are telling us and how they work. BAM!!!
nananana... Last example. Find the limit,
then use the Epsilon Delta definition to prove
the limit is actually L. This time we have
an absolute function. We are going to find
the limit as x approaches negative seven of
the absolute value of 2x-14. So where is my
chalk at? Here we go, I have lots of chalk
but the one in the holder. We are going to
let x approach negative seven and that means

English: 
that we are looking at the absolute value
of 2 times negative seven minus fourteen.
That is going to be the absolute value of
negative 28 which is equal to 28 because the
absolute value function tells you how far
a number is away from zero on the number line...even
though we just always say it gets rid of the
negative. Now, one thing to take a note of
as we do our proof is to pay attention to
the idea that when we let x approach negative
seven, the absolute value function had to
change the sign of our answer because...well
2 times negative 7 minus 14 came out to be
negative 28 so we had to change the sign to
get the limit. We see the graph is here, here
is negative seven, and we are approaching
that y value...that limit of 28. So, again
we are going to say given that epsilon is

Arabic: 
أننا ننظر إلى القيمة المطلقة
من 2 مرات سالب سبعة ناقص أربعة عشر.
هذه ستكون القيمة المطلقة
سلبي 28 وهو يساوي 28 لأن
دالة القيمة المطلقة تخبرك بمدى المسافة
الرقم بعيد عن الصفر على خط الرقم ... حتى
على الرغم من أننا نقول دائما أنه يتخلص من
سلبي. الآن ، شيء واحد لتدوينه
كما نفعل دليلنا هو الانتباه
فكرة أنه عندما ندع x يقترب من السلبية
سبعة ، كان على دالة القيمة المطلقة
تغيير علامة إجابتنا لأن ... حسنا
2 مرات سلبية 7 ناقص 14 خرج
سلبي 28 لذلك كان علينا تغيير العلامة إلى
احصل على الحد. نرى الرسم البياني هنا ، هنا
سلبي سبعة ، ونحن نقترب
أن قيمة y ... هذا الحد من 28. لذا ، مرة أخرى
سنقول بالنظر إلى أن إبسيلون هو

Arabic: 
أكبر من الصفر ، أن القيمة المطلقة
من f (x) -L أقل من إبسيلون. مرة أخرى ، على افتراض
أن يكون صحيحا ونحن نعمل على العلاقة
بين دلتا وإبسيلون ، مرة أخيرة
هذا عمل الصفر هذه ليست البداية
البرهان. لذا ، فإن القيمة المطلقة لدينا
الدالة هي القيمة المطلقة 2x-14
ناقص الحد الذي وجدناه وهو 28
أقل من إبسيلون. حسنا ، حسنا لدينا
القيمة المطلقة داخل القيمة المطلقة و
كيف سنحصل على هذا التعبير
تبدو ... أوه ، نعم. دعنا نغير هذه الملاحظات.
أنا حقا قصدت كتابة x ناقص c هناك ، ولكن
كنت سأغيرها إلى شروط هذا
مشكلة بأي شكل من الأشكال. ابحث عن دلتا أكبر من الصفر
بحيث أن القيمة المطلقة ل (س) ناقص

English: 
greater than zero, that the absolute value
of f(x)-L is less than epsilon. Again, assuming
that to be true as we work out the relationship
between delta and epsilon, so one last time
this is scratch work this is not the beginning
of the proof. So, the absolute value, our
function, is again the absolute value of 2x-14
minus the limit that we found which was 28
is less than epsilon. Ok, well we have an
absolute value inside an absolute value and
how are we going to get this expression to
look like...oh, yes. Let's change these notes.
I really meant to write x minus c there, but
I was going to change it into terms of this
problem any way. Find delta great than zero
such that the absolute value of f(x) minus

Arabic: 
28 ، الحد الذي وجدنا أنه هو ونحن
ربط لإثبات أنها أقل من
إبسيلون كلما كان 0 أقل من المطلق
قيمة س ناقص سالب سبعة ، أو بشكل فعال
فقط x + 7 أقل من دلتا. كيف نحصل على هذا التعبير برمز القيمة المطلقة
فيه لتبدو ببساطة س + 7؟ حسنًا ، هذا هو المكان الذي نحتاج إليه بالفعل
تأخذ بعين الاعتبار فكرة ما حدث ،
ماذا فعل رمز القيمة المطلقة عندما
حاولنا إيجاد الحد مع اقتراب x
سبعة سلبي. غيرت العلامة وجعلت
السلبية 28 تكون إيجابية بشكل أساسي 28. ماذا
تدوين الرياضيات الذي نستخدمه ، أو ما هي العملية الحسابية
هل يمكن أن نستخدمه لتغيير اللافته فقط ...
حسنًا ، إنها ليست نفس القيمة المطلقة
وظيفة بالطبع ، ولكن إذا كنت تريد أن تفعل
عدد سالب في موجب لك
من قبل سلبي. لذا ، فهم ذلك
كما س تقترب من سبعة سلبي أن هذا

English: 
28, the limit that we found it to be and we
are tying to prove that it is, is less than
epsilon whenever 0 is less than the absolute
value of x minus negative seven, or effectively
just x+7 is less than delta. How do we get
this expression with an absolute value symbol
in it to look like simply x+7? Well this is
just right there already where we need to
take into account the idea of what happened,
what did the absolute value symbol do when
we tried to find the limit as x approached
negative seven. It changed the sign and made
negative 28 be basically positive 28. What
math notation do we use, or what math operation
can we use to change the sign other than just...
Well, it is not the same as the absolute value
function of course, but if you want to make
a negative number into a positive you multiply
it by negative one. So, understanding that
as x approaches negative seven that this is

English: 
going to be a negative answer, that 2x-14
is going to be less than zero, that absolute
value is going to change the sign of that
answer. We can replace this set of absolute
value symbols with a set of negative parenthesis.
Not all the time, just for this particular
problem with x approaching negative seven.
We have the absolute value of the negative
parenthesis 2x minus 14 minus 28 is less than
epsilon. Distribute the negative through and
we get the absolute value of negative 2x,
that is going to be negative times negative
is positive...I am not sure why I am pausing
there... plus 14 minus 28 is less than epsilon.

Arabic: 
ستكون إجابة سلبية ، تلك 2 × 14
سيكون أقل من الصفر ، هذا مطلق
القيمة ستغير علامة تلك الإجابة. يمكننا استبدال هذه المجموعة المطلقة
رموز القيمة مع مجموعة من الأقواس السالبة.
ليس في كل وقت ، لهذا فقط
مشكلة X تقترب من السلبي سبعة.
لدينا القيمة المطلقة للسالب
قوس 2x ناقص 14 ناقص 28 أقل من
إبسيلون. توزيع السلبية من خلال و
نحصل على القيمة المطلقة 2x سالبة ،
التي ستكون سلبية مرات سلبية
أمر إيجابي ... لست متأكدًا من سبب وقتي
هناك ... بالإضافة إلى 14 ناقص 28 أقل من إبسيلون.

English: 
Now we have the absolute value of negative
2x minus 14 is less than epsilon. This is
going to be the absolute value of negative
2 times the absolute value of x +7, because
negative two divided by negative two is one
and negative fourteen divided by negative
two is seven, is less than epsilon. This is
going to be the absolute value of negative
two is two. Bring that over to the other side,
we have...I want to make sure that I don't
run out of room here... the absolute value
of x+7 is less than epsilon over 2. So we
have basically x plus seven is less than delta,
we have x plus seven is less than epsilon/2,
really understanding how to deal with that
absolute value symbol. Now if we are finding
the limit as x approached...I don't know...five
or six or seven, or some where to the right

Arabic: 
الآن لدينا القيمة السلبية المطلقة
2x سالب 14 أقل من إبسيلون. هذا هو
ستكون القيمة المطلقة للسلبية
2 أضعاف القيمة المطلقة لـ x +7 ، لأن
اثنان سلبيان مقسومان على اثنين سلبيين
والسالب أربعة عشر مقسومًا على السالب
اثنان سبعة ، أقل من إبسيلون. هذا هو
ستكون القيمة المطلقة للسلبية
اثنان هو اثنان. ضع هذا في الجانب الآخر ،
لدينا ... أريد التأكد من أنني لا
نفد من الغرفة هنا ... القيمة المطلقة
من x + 7 أقل من إبسيلون فوق 2. لذا نحن
بشكل أساسي x زائد سبعة أقل من دلتا ،
لدينا x زائد سبعة أقل من إبسيلون / 2 ،
فهم حقًا كيفية التعامل مع ذلك
رمز القيمة المطلقة. الآن إذا وجدنا
الحد كما اقترب س ... لا أعرف ... خمسة
أو ستة أو سبعة ، أو بعضها إلى اليمين

Arabic: 
من هذا الانحناء الحاد حيث القيمة المطلقة
الدالة لم يكن لديك لتغيير علامة
تلك القيمة ، ثم نسقط تلك فقط
القيم المطلقة معًا ولكن في هذه الحالة
نحن بحاجة إلى تلك الأقواس السلبية. التعامل
مع ذلك نحصل على الخفافيش لطيف
علاقة مباشرة بين دلتا وإبسيلون.
هذا أسهل قليلاً مما كان عليه في السابق
مثال على التعامل مع التربيعية. نحن
ذاهب للسماح دلتا ، لا د ، ولكن دلتا متساوية
إبسيلون أكثر من اثنين. الآن نحن مستعدون للبدء
دليلنا. لذا ، الدليل لكل شخص
أعرف ما أعرف أنني سأضطر إلى حشرته
هذا هنا ، لكل إبسيلون أكبر من

English: 
of that sharp bend where the absolute value
function did not have to change the sign of
that value, then we would just drop those
absolute values all together but in this case
we needed those negative parenthesis. Dealing
with that we get right off the bat a nice
direct relationship between delta and epsilon.
This is a bit easier that it was in our previous
example dealing with the quadratics. We are
going to let delta, not d, but delta equal
epsilon over two. Now we are ready to start
our proof. So, the proof is for every, you
know what I know I am going to have to cram
this in here, for every epsilon greater than

Arabic: 
الصفر السماح دلتا ابسيلون يساوي اثنين و
الصفر أقل من القيمة المطلقة لـ x
- (-7) اقل من الدلتا. لدي هذا البيان هنا ، لكنني لا أريد حقًا
للحصول على هذه البداية في التدفق وأنا أكره البراهين
التي تنتشر في كل مكان. لذا دعني أخطو
، امسح كل هذا وقم بتنظيفه ،
ووضع هذا البيان البرهان في أعلى
اللجنة. هذا أفضل. كنت أرغب في وضع كل هذا على السبورة حتى تتمكن من التوقف مؤقتًا
في النهاية ونرى كل شيء معا.
مرة أخرى دليلنا ، لكل إبسيلون أكبر
من الصفر دع دلتا تساوي إبسيلون أكثر من اثنين ،
ويكون الصفر أقل من القيمة المطلقة لـ
x + 7 وهو بعد ذلك أقل من دلتا. مع هؤلاء
الظروف مرة أخرى نحاول كلما
يتم استيفاء هذه الشروط ، أن المطلق
القيمة ... نحن نحاول إثبات المطلق

English: 
zero let delta equal epsilon over two and
zero is less than the absolute value of x
- (-7) which is less than delta. I have this
statement up here, but I really don't want
to have this start to flow and I hate proofs
that go all over the place. So let me step
off, erase all of this and clean this up,
and put this proof statement at the top of
the board. That is better. I wanted to have
all of this on the board so you could pause
it at the end and see everything together.
Again our proof, for every epsilon greater
than zero let delta equal epsilon over two,
and zero be less than the absolute value of
x+7 which is then less than delta. With those
conditions again we are trying to whenever
these conditions are met, that the absolute
value...we are trying to prove the absolute

Arabic: 
قيمة f (x) -L أقل من إبسيلون. دعونا
نبدأ بهذا مرة أخيرة مطلقة
قيمة f (x) ناقص L. وهذا يساوي مطلق
قيمة القيمة المطلقة 2x-14 ناقص
الحد الذي وجدنا أنه إيجابي 28.
هذا سيكون مساويا لمجرد النظر
تشبه إلى حد كبير هذا العمل هنا ، أو أكثر
هناك ، القيمة المطلقة للسالب
الوقت 2x ناقص 14 ناقص 28. هذا يساوي
القيمة المطلقة للسالبة 2x ، التوزيع
السلبية الموجبة مرة أخرى 14 ناقص 28
سالب 14. احسب ذلك السالب اثنين
السلبية الموجبة مرة أخرى 14 ناقص 28
سالب 14. احسب ذلك السالب اثنين

English: 
value of f(x)-L is less than epsilon. Let's
start off with that one last time absolute
value of f(x) minus L. That is equal to absolute
value of the absolute value of 2x-14 minus
our limit that we found to be positive 28.
That is going to be equal to just looking
very similar to this work over here, or over
there, the absolute value of negative one
time 2x minus 14 minus 28. That is equal to
the absolute value of negative 2x, distributing
the negative again positive 14 minus 28 is
negative 14. Factoring out that negative two
and writing the absolute value of negative
two is not just completely factoring it out

Arabic: 
لكن فصل بيان القيمة المطلقة هذا
إلى عبارات ذات قيمة مطلقة. المطلق
قيمة سالبة ضعف القيمة المطلقة
من س + 7 ، أو س سالب سبعة. الآن
القيمة المطلقة لسالبين تساوي
موجب اثنين وأه بالطبع المطلق
قيمة x + 7 ، أظهرنا أن المطلق
قيمة x + 7 كانت ... أين هي .. صحيح
هنا ... القيمة المطلقة لـ x + 7 أقل
من الدلتا. لذا ، أوه ... أقل من معذرة.
This expression, this absolute of f(x)-L is
equal to this, and this is less than the absolute
القيمة إذا كنت تريد ترك ذلك هناك
الثانية ، القيمة المطلقة للاثنين السلبيين

English: 
but separating this one absolute value statement
into two absolute value statements. The absolute
value of negative two times the absolute value
of x+7, or x minus negative seven. Now the
absolute value of negative two is equal to
positive two and uh of course the absolute
value of x+7, we showed that the absolute
value of x+7 was...where is it at...oh right
here... the absolute value of x+7 is less
than delta. So, oh...less than excuse me.
This expression, this absolute of f(x)-L is
equal to this, and this is less than the absolute
value if you want to leave that in there for
a second, the absolute value of negative two

Arabic: 
مرات دلتا لأن | x + 7 | أقل من دلتا.
لذلك عندما أستبدل ذلك المطلق لـ x + 7 بـ
دلتا ، حسناً هذا أقل من دلتا لذا هذا
التعبير بأكمله أقل من المطلق
قيمة السالب دلتا مرتين. حسنا اذا
الآن على أي حال ، القيمة المطلقة السلبية
اثنان بالطبع اثنان فقط ، والدلتا وجدنا
تلك العلاقة المباشرة بين دلتا و
إبسيلون ليكون دلتا يساوي إبسيلون
اثنان. مثل قبل ولله الحمد هذه القيم
عشرة أو في حالة اثنين أو أيا كان
كان في المثال السابق ، سنلغي
كل شيء حتى نحصل على إبسيلون فقط
ونعود لحسن الحظ مرة أخرى
الانتهاء من إثبات لدينا والتحقق من صحة البيان
أننا وجدنا أن الحد مع اقتراب x
سبعة سالب من القيمة المطلقة 2x-14
هو 28 لأنه في ظل هذه الظروف

English: 
times delta because |x+7| is less than delta.
So when I replace that absolute of x+7 with
delta, well that is less than delta so this
entire expression is less than the absolute
value of negative two times delta. Ok, so
now at any rate, the absolute value of negative
two is of course just two, and delta we found
that direct relationship between delta and
epsilon to be delta is equal to epsilon over
two. Like before thankfully these values of
ten or in this case of two, or whatever it
was in the previous example, we are canceling
everything out until we get just an epsilon
and we are right back to thankfully again
finishing our proof and validating the statement
that we found that the limit as x approaches
negative seven of the absolute value of 2x-14
is 28 because with these conditions in this

English: 
proof we have that the absolute value of f(x)
minus L is indeed less than epsilon when we
have the zero is less than the absolute value
of x plus seven which is less than delta and
than delta has this relationship with epsilon
which is it is going to be half of whatever
epsilon is. By definition, we have the limit...I
am just going to write what I said a second
ago...as x approaches negative seven of the
absolute value of 2x-14 is indeed equal to
28. That is the end of my last third example.
I am Mr. Tarrou. BAM!!! Go Do Your Homework:)

Arabic: 
دليل على أن القيمة المطلقة لـ f (x)
ناقص L هو بالفعل أقل من إبسيلون عندما نكون
أن يكون الصفر أقل من القيمة المطلقة
من س زائد سبعة وهو أقل من دلتا و
من دلتا لها هذه العلاقة مع إبسيلون
وهو سيكون نصف أي شيء
إبسيلون. بحكم التعريف لدينا الحد ... أنا
سأقوم فقط بكتابة ما قلته في الثانية
منذ ... بينما تقترب س السلبية سبعة من
القيمة المطلقة 2x-14 تساوي بالفعل
28- هذه هي نهاية مثالي الثالث الأخير.
أنا السيد تارو. بام !!! اذهب هل لديكHomework:)
