
Bulgarian: 
На графиката са показани 
двойно диференцируемата функция g
и втората ѝ производна g''.
Можеш да видиш ето тук.
В момента работя върху статия
от Кан Академия, която се нарича
"Доказателство чрез използване
на втора производна"
Наблюдаваме функцията g.
Забелязваме, че тук е изобразена
не първата, а втората производна, 
в кафяв цвят.
В задача от статията се споменава, че
на на четирима ученици 
било зададено да открият
математически обосновано доказателство
за факта, че g има 
инфлексна точка за x = –2.
Поне интуитивно изглежда,
че това е вярно за x = –2.
Нека припомним 
какво е инфлексна точка.
Това е място, където функцията
се променя от изпъкнала към вдлъбната.
Или обратно, от вдлъбната
към изпъкнала.
Друг начин, по който да мислиш
за това, е тогава, когато
наклонът (ъгловият коефициент) се променя
от намаляващ към нарастващ
или от нарастващ към намаляващ.
Като наблюдаваме ето тук, изглежда, че

Korean: 
두 번 미분할 수 있는 
함수 g와
이계도함수 g''의
그래프를 그렸습니다
여기에 보이죠
이계도함수를
이용해 정의하기라는
칸아카데미의 글을 통해
설명을 드리는 것입니다
여기 함수 g를 봅시다
이는 일계도함수가 아니라
이계도함수입니다
갈색으로 표시했죠
해당 글에서는
해당 글에서는
네 명의 학생이
함수 g가 x = -2에서
변곡점을 가지는
미적분학적 증명을
하라고 합니다
이는 직감적으로
맞다고 생각이 됩니다
x = -2일 경우
변곡점이 무엇인지
복습해봅시다
이는 오목성이 아래에서
위로 변하는 점입니다
혹은 위에서 아래로 변하죠
다른 말로 설명하면
기울기가 감소에서 증가로
혹은 증가에서 감소로
변하는 점입니다
여기서 이를 확인하면

English: 
- [Instructor] The twice
differentiable function G
and its second derivative
G prime prime are graphed.
And you can see it right over here.
I'm actually working off of the article
on Khan Academy called
Justifying Using Second Derivatives.
So we see our function G.
And we see not its first derivative
but its second derivative here
in this brown color.
So then, the article goes on to say,
or the problem goes on to say,
four students were asked
to give an appropriate
calculus-based justification for the fact
that G has an inflection point
at X equals negative two.
So let's just feel good
that at least intuitively
it feels right.
So X equals negative two, remember what
an inflection point is.
It's where we're going
from concave downwards
to concave upwards.
Or, concave upwards to concave downwards.
Or another way to think about it
it's a situation where
our slope goes from
decreasing to increasing,
or from increasing to decreasing.
And when we look at it
over here, it looks like

Czech: 
Máme graf dvakrát diferencovatelné funkce
g a její druhé derivace g se dvěma čarami.
Pracuji se článkem na Khan Academy,
'Průběh funkce a druhá derivace'.
Tady máme modrý graf funkce g, a oranžový
graf její ne první, ale až druhé derivace.
Zadání pokračuje: 'Čtyři studenti měli 
zdůvodnit pomocí diferenciálního počtu,
proč je bod funkce g na 
x rovno −2 inflexním bodem.'
Hned ze začátku vidíme,
že by to mohla být pravda.
Připomeňme si, 
co je inflexní bod.
Je to místo, kde se křivka mění 
z konkávní na konvexní nebo naopak.
Jinými slovy, je to bod, kde sklon funkce
přechází z klesání do stoupání či naopak.

Bulgarian: 
наклонът е намаляващ и положителен,
и достига до 0.
Тогава продължава да намалява
и става отрицателен.
Продължава да намалява, докато 
не достигне точката x = –2.
Сега изглежда сякаш нараства и
става все по-малко, по-малко
и по-малко отрицателен.
Ето тук изглежда, че е 0 и
продължава да нараства, като достига
все по-високи положителни стойности.
Действително изглежда, че 
в точката x = –2
функцията се променя от вдлъбната
към изпъкнала.
Математически обосновано
доказателство е,
когато използваме
втората производна
и видим къде пресича оста x.
Кога втората производна е отрицателна
това означава, че наклонът
е намаляващ
и функцията е вдлъбната.
А там, където втората производна
е положителна, означава,
че първата производна е нарастваща.
Наклонът на първоначалната функция
е нарастващ и функцията е изпъкнала.
Може да забележиш, 
че втората производна
действително пресича оста x
в точката x = –2.

Korean: 
기울기가
줄어들며 양수입니다
하지만 줄어들며
0에 도달합니다
계속 줄어들며
음수가 됩니다
x = -2에 도달할 때까지
감소합니다
그 다음 다시 증가합니다
그다음 음수가
될 때까지 계속 감소합니다
여기 0에 도달한 뒤
계속 증가합니다
계속 증가하며
양수에 도달합니다
결국 x = -2일 경우
오목성이 위에서
아래로 바뀝니다
미적분학적 정의에 따르면
이계도함수에선
이계도함수가 x축을
가로지르는
부분을 봐야합니다
왜냐하면
이계도함수가 음수이면
기울기가 감소합니다
오목성이 아래쪽이죠
이계도함수가 양수라면
일계도함수가
증가하는 것이고
원래 함수의 기울기가
증가하며 오목성이
위를 향합니다
따라서 x = -2에
이계도함수가 x축을
가로지르게 됩니다

Czech: 
A sklon naší funkce je tu kladný, snižuje
se, až je záporný, pořád se snižuje...
Až se dostaneme na x rovno −2, odkud se
sklon zase zvyšuje, je stále méně záporný,
v tomto bodě je nulový, dál 
je kladný a pořád se zvyšuje.
Skutečně se zdá, že v bodě x rovno −2
se křivka mění z konkávní na konvexní.
Ke zdůvodnění pomocí diferenciálního počtu
je potřeba se zaměřit na druhou derivaci.
Musíme najít bod, kde graf
druhé derivace protíná osu x.
Záporná druhá derivace znamená, že sklon g
se snižuje, kladná znamená, že se zvyšuje.
A druhá derivace skutečně protíná osu x 
v bodě x rovno −2, což značí inflexní bod.

English: 
our slope is decreasing, it's positive,
but it's decreasing, it goes to zero.
Then it keeps decreasing, it becomes
it's negative now.
It keeps decreasing until we get to about
X equals negative two
and then it seems that it's increasing,
it's getting less and less
and less and less negative.
It looks like it's a zero right over here
then it just keeps
increasing, it gets more
and more and more positive.
So it does, indeed, look
like at X equals negative two
we go from being concave downwards
to concave upwards.
Now a calculus based justification
is we could look at its,
at the second derivative
and see where the second derivative
crosses the X-axis.
Because where the second
derivative is negative
that means our slope is decreasing
we are concave downwards.
And where the second
derivative is positive
it means our first derivative
is increasing, our slope
of our original function
is increasing and we are concave upwards.
So notice, we do indeed,
the second derivative
does indeed cross the X-axis
at X equals negative two.

English: 
It's not enough for it to just be zero
or touch the X-axis,
it needs to cross the
X-axis in order for us
to have an inflection point there.
So given that, let's look at the students
in justifications and see
what we can, if we can kind of play
put the teacher hat in our mind
and say what a teacher would say
for the different justifications.
So the first one says,
the second derivative of G
changes signs at X equals negative two.
Well that's exactly what
we were just talking about.
If the second derivative changes signs
in this case, it goes
from negative to positive,
that means our first derivative went from
decreasing to increasing.
Which is indeed, good for saying this is a
calculus-based justification.
So, at least for now I'm gonna put
kudos you are correct there.
It crosses the X-axis.
So this is ambiguous.
What is crossing the X-axis?
If a student wrote this I'd say,
what are they talking about, the function,
are they talking about
the first derivative,
the second derivative.
And so I would say, please
use more precise language.

Bulgarian: 
Не е достатъчно просто да е 0 
или да достига до оста x.
Необходимо е да пресича оста x,
за да има инфлексна точка
на това място.
Като вземем това предвид, нека
да разгледаме доказателствата
на учениците.
Това, което може да направим, е да
влезем в ролята на учителя
и да оценим като него 
различните доказателства.
Първият заявява:
"Втората производна на g
променя знака си при x = –2."
Точно това, което току-що обяснихме.
Ако втората производна
променя знака си
като в този случай 
от отрицателна към положителна,
значи първата производна се променя
от намаляваща към нарастваща.
Действително за това
е подходящо да кажем,
че е математически обосновано
доказателство.
Така че поне засега
ще поставя отговора
"Страхотно! Това е вярно."
"Пресича оста x."
Това е двусмислено.
Какво пресича оста x?
Ако ученик напише това,
бих попитал за какво говори:
за функцията, за първата
производна или за втората?
И бих отговорил "Моля използвай
по-специфичен изказ.

Czech: 
Nestačí, aby byla nulová nebo se osy x jen
dotýkala, musí ji protínat, tak jako tady.
Pojďme si teď projít odpovědi studentů a 
zkusme přiřadit učitelovy poznámky.
První napsal: 'Hodnota druhé derivace 
mění znaménko v bodě x rovno −2.'
Přesně o tom jsem právě mluvil, kde druhá
derivace mění znaménko, protíná osu x,
tam první derivace přechází z klesání 
do stoupání, což znamená inflexní bod.
Takže tohle je dobré zdůvodnění
pomocí diferenciálního počtu.
Pro tuto chvíli přiřadím profesorovu
odpověď: 'Bravo! Máš pravdu.'
Druhý student napsal: 
'Protíná to osu x.'
To je příliš vágní,
co protíná osu x?
Nevíme, jestli mluví o původní funkci,
o první, nebo snad o druhé derivaci?

Korean: 
0에 도달하거나
x축에 닿는 것이
다가 아닙니다
임계점을 찾으려면
x축을 가로지르는
점을 찾아야 합니다
다음이 주어진 경우의
학생들의 정의를 보고
선생님이 된 기분으로
각 정의에 따라
선생님이 정의에 대해
뭐라고 할지 생각해 봅시다
첫 번째 학생은
g의 도함수는
x = -2에서 부호를
바꾼다고 합니다
방금 저희가 말한 내용이죠
이계도함수가 부호를 바꾼다면
음수에서 양수로 바뀌며
일계도함수는
감소에서 증가로 바뀝니다
그리고 이는 미적분학적
정의에 해당합니다
따라서 지금까지는
맞게 풀었다는
이 보기를 첫 번째
학생에게 주겠습니다
x축을 가로지릅니다
이 증명은 애매하네요
어떤 것이 x축을
가로지르나요?
만약 학생이 이와
같은 증명을 적었다면
어떤 것인지
일계도함수인지
이계도함수인지 물을 것입니다
따라서 더 명확히
표현하라고 할 것입니다

Korean: 
이 정의는 올바르지 않습니다
다른 보기를 봅시다
이계도함수 g는
x = -2일 경우
증가합니다
이 증명은 임계점이
왜 여기에 있는지
증명하지 않습니다
예를 들어
이계도함수는
x = -2.5일 경우
증가합니다
이계도함수는
x = -1일 경우도
증가합니다
하지만 이 부분에서
임계점을 가지지 않습니다
따라서 이는 g가
왜 임계점을 가지는지
설명하지 않습니다
마지막 학생은
g의 그래프의 오목성이
x = -2일 경우
바뀐다고 합니다
이는 참입니다
하지만 미적분학적
증명이 아니죠
여기선 이계도함수를
사용해야 합니다

Czech: 
Profesor by napsal: 'Buď prosím přesnější,
takhle neúplnou odpověď nelze uznat.'
Jdeme dál, třetí student napsal: 'Druhá
derivace se zvyšuje v bodě x rovno −2.'
Jenže to nevysvětluje, proč je
na x rovno −2 inflexní bod.
Druhá derivace se zvyšuje třeba i
na x rovno −2,5 nebo na x rovno −1.
To ale neznamená, že je
v tom místě inflexní bod.
A poslední student napsal: 'Graf g mění
křivost na konvexní v bodě x rovno −2.'
Ano, ale tahle odpověď vůbec nezahrnuje
diferenciální počet, tedy druhou derivaci.

English: 
This cannot be accepted as
a correct justification.
I will read the other ones.
The second derivative of G is
increasing at X equals
negative two.
Well no, that doesn't justify
why you have an inflection point there.
For example,
the second derivative is increasing
at X equals negative 2.5.
The second derivative is even increasing
at X equals
negative one.
But you don't have an inflection point
at those places.
So I would say, this doesn't justify
why G has an inflection point.
And then the last student response,
the graph of G changes concavity
at X equals negative two.
That is true
but that isn't a
calculus-based justification.
We'd want to use our
second derivative here.

Bulgarian: 
Това не може да се приеме
за вярно доказателство."
Ще прочета останалите.
"Втората производна на g e
нарастваща за x = –2."
Това обаче не доказва
защо там има инфлексна точка.
Например втората производна
е нарастваща за x = 2,5.
Втората производна е нарастваща
дори и за x = –1.
Но на тези места няма
инфлексни точки.
Затова бих отговорил:
"Това не доказва защо g има
инфлексна точка."
Отговорът на последния ученик е,
че "Графиката на g показва
смяна на вдлъбнатостта за x = –2."
Това е вярно, но
"Това не е математически
обосновано доказателство."
Изисква се да използваме
втората производна.
