
Korean: 
 
우리는 급수의 법칙을 압니다 그리고
저번 비디오에서 x^n을 x에 대해서 미분하면
n*x^(n-1)이라는 것을 알았습니다
n이 0이 아닌 경우에
미분의 더 많은 규칙이나 개념, 특성들을
소개하고자 합니다 어떠한 다항식도
미분할 수 있게 해주는
그래서 지금 하는 것은 강력한 것입니다
가장 먼저 n이 0이 아닐 때 성립하는
이 특별한 경우에 대해서 생각하고 싶습니다
n이 0이 되면 어떻게 될까요?
상황을 생각해 봅시다
x^0을 x에 대해
미분해 봅시다
x^0은 무엇인가요?
이 경우에 x는 0이 아니라고
가정해 봅시다
0^0은 이상합니다
x가 0이 아니라면
x^0은 어떻게 될까요?
이것은 x^1을 x에 대해

Czech: 
Nyní už umíme mocninové pravidlo
a viděli jsme
v minulém videu, 
že derivace podle proměnné x,
z 'x' na n-tou, bude rovna 
n krát x na (n minus 1)
pro 'n' různá od 0.
Myslel jsem si, že bych vám mohl
vysvětlit další pravidla
nebo vlastnosti derivací, 
které nám umožní
zderivovat jakýkoli mnohočlen.
Tohle jsou velmi důležité věci.
První věc, u které bych
se rád pozastavil:
proč právě pro 'n'
různá od 0?
Co by se stalo, 
pokud by 'n' bylo rovné 0?
Pojďme o tom chvíli
popřemýšlet.
Zkusme zderivovat 
'x' na nultou
podle proměnné x.
Co je vlastně 'x' na nultou?
A můžeme, v tomto konkrétním případě,
předpokládat,
že 'x' je různé od 0.
0 na nultou,
to je podivný případ.
Ale pokud je 'x' různé od 0,
čemu se potom
rovná 'x' na nultou?
Je to vlastně stejné, 
jako když zderivujete 'x',

Bulgarian: 
 
Вече знаем правилото
за намиране производна от степен
и видяхме в последното видео, 
че производната на
х на степен n е равна на
 n по х на степен n –1,
при n различно от 0.
Мислех да те запозная 
с още няколко правила, идеи
или свойства за диференциране, 
които ще ни позволят
да пресмятаме производната
на всеки полином.
Това са много важни неща.
Първото нещо, за което
 искам да помислим,
е защо го има този специален случай 
за n различно от 0?
Какво става, когато 
n e равно на 0?
Нека разгледаме ситуацията.
Хайде да се опитаме 
да сметнем производната
на х на степен 0.
Какво ще бъде х на степен 0?
Можем да предположим, 
че в този случай х
е различно от 0.
Ако е 0 на степен 0 – странни неща 
стават в този случай.
Но ако х не е равно на 0,
на какво е равно
 х на степен 0?

Thai: 
 
ตอนนี้เรารู้กฎยกกำลัง และเราเห็นว่า
ในวิดีโอที่แล้ว อนุพันธ์เทียบกับ
x ของ x กำลัง n จะเท่ากับ n คูณ x กำลัง n
ลบ 1 สำหรับ n ไม่เท่ากับ 0
ผมคิดว่าผมอยากให้คุณได้รู้จักกฎหรือหลักการ
หรือสมบัติของอนุพันธ์ที่ทำให้
เราหาอนุพันธ์ของพหุนามใดๆ ได้
นี่คือสิ่งที่ทรงพลัง
อย่างแรกที่ผมอยากคิด
คือ ทำไมจึงมีกรณีพิเศษสำหรับ n ไม่เท่ากับ 0?
เกิดอะไรขึ้นเมื่อ n เท่ากับ 0?
ลองคิดถึงกรณีนั้นดู
ลองพยายามหาอนุพันธ์เทียบกับ
x ของ x กำลัง 0 ดู
x กำลัง 0 จะเท่ากับอะไร?
และเราสมมุติได้ว่า x สำหรับกรณีนี่ตรงนี้
ไม่เท่ากับ 0
0 กำลัง 0 สิ่งประหลาดเกิดขึ้นที่จุดนั้น
แต่ถ้า x ไม่เท่ากับ 0
x กำลัง 0 จะเป็นเท่าใด?
นี่ก็เหมือนกับอนุพันธ์เทียบกับ

English: 
Now that we know the power
rule, and we saw that
in the last video, that
the derivative with respect
to x, of x to the n, is going to
be equal to n times x to the n
minus 1 for n not equal 0.
I thought I would expose you
to a few more rules or concepts
or properties of derivatives
that essentially will allow
us to take the derivative
of any polynomial.
So this is powerful
stuff going on.
So the first thing I
want to think about
is, why this little special
case for n not equaling 0?
What happens if n equals 0?
So let's just think
of the situation.
Let's try to take the
derivative with respect
to x of x to the 0 power.
Well, what is x to the
0 power going to be?
And we can assume that x for
this case right over here
is not equal to 0.
0 to the 0, weird things
happen at that point.
But if x does not
equal 0, what is
x to the 0 power going to be?
Well, this is the same thing
as the derivative with respect

Turkish: 
En son videoda gördüğümüz kuvvet kuralı videosundan sonra işte bir başkası daha.
d/dx[x^n]=nx^n-1, n'nin sıfıra eşit olmadığı durumlarda.
Size bir kaç tane daha türev kuralı ya da özelliği göstermeyi düşünüyorum.
Temel olarak herhangi bir polinomun türevini alacağım.
Yani burada yapacağımız kuvvet kuralı.
İlk bahsedeceğim burada gördüğümüz n'nin özel durumu.
Yani n'nin neden sıfır olamayacağı.
n sıfıra eşit olursa ne olur?
Sadece şu durumu düşünelim.
Türevini alalım.
d/dx[x^0]
x^0 ne olacak?
Burada x'in sıfır olmadığını varsayıyoruz.
0^0 garip bir şey.
x sıfıra eşit değilse x^0 ne olacak?

Portuguese: 
Agora que sabemos a regra do tombo, e vimos que
no último vídeo, a derivada com respeito
a x, de x elevado à n, será igual a n vezes x elevado a n
menos 1 para n diferente de 0.
Agora eu vou expô-los a mais algumas regras ou conceitos
ou propriedades das derivadas que irão permitir
que nós possamos fazer a derivada de qualquer polinômio.
Isso que será tratado é uma ferramenta muito poderosa.
A primeira coisa que quero pensar
é, porque esse caso especial de n ser diferente de 0?
O que acontece quando n é igual a 0?
Vamos pensar nessa situação.
Vamos tentar fazer a derivada com respeito
a x para x elevado a 0.
Bom, o que será x elevado a 0?
E podemos assumir que o x nesse caso aqui
seja diferente de 0.
0 elevado a 0, coisas estranhas acontecem nesse caso.
Mas se x for diferente de 0, o que
x elevado a 0 será?
Bom, isso é a mesma coisa que a derivada com respeito

English: 
to x of 1.
x to the 0 power is
just going to be 1.
And so what is the derivative
with respect to x of 1?
And to answer that question,
I'll just graph it.
I'll just graph f of
x equals 1 to make
it a little bit clearer.
So that's my y-axis.
This is my x-axis.
And let me graph y equals
1, or f of x equals 1.
So that's 1 right
over there. f of x
equals 1 is just
a horizontal line.
So that right over
there is the graph,
y is equal to f of x,
which is equal to 1.
Now, remember the derivative,
one way to conceptualize
is just the slope of the
tangent line at any point.
So what is the slope of the
tangent line at this point?
And actually, what's the
slope at every point?
Well, this is a line, so
the slope doesn't change.
It has a constant slope.
And it's a completely
horizontal line.
It has a slope of 0.
So the slope at every
point over here,

Bulgarian: 
Това е същото като
 производната на 1.
х на степен 0 просто ще е 1.
Тогава каква е производната 
спрямо х на 1?
За да отговоря на този въпрос, 
ще го начертая.
Ще начертая f(х)= 1, 
за да стане
малко по-ясно.
Това е оста у.
Това е оста х.
Нека начертая графиката 
у = 1 или f(x) = 1.
Това тук е 1.
f(x) = 1 е просто 
хоризонтална линия.
Това тук е графиката
у = f(x), което е равно на 1.
Запомни, че един начин да 
представим производната е
като наклона на допирателната 
права за всяка точка.
Какъв е наклонът на 
допирателната във тази точка?
И всъщност, какъв е 
наклонът във всяка точка?
Това е права, така че наклонът
 не се променя.
Има постоянен наклон.
Това е напълно хоризонтална 
права.
Тя има наклон 0.
Следователно наклонът
 във всяка точка

Turkish: 
Bu şununla aynı şey: d/dx[1].
x^0=1
O zaman x'e göre 1'in türevi nedir?
Bu soruya cevap vermek için grafik çizeceğim.
f(x)=1'in grafiğini çizeceğim.
Biraz daha netleştirmek için.
Bu benim y eksenim.
Bu x eksenim.
y=1 yani f(x)=1'i çizelim.
Sadece yatay bir çizgi çizeceğiz.
İşte bu y=f(x)=1 idir.
Şimdi, hatırlayın türev herhangi bir noktadaki teğetin eğimi.
O zaman bu noktadaki teğetin eğimi ne?
Aslında her noktadaki eğim nedir?
Bu bir doğru olduğu için eğim değişmez.
Sabit bir eğimi var.
Tamamen yatay bir doğru.
Eğimi sıfırdır.

Thai: 
x ของ 1
x ยกกำลัง 0 จะเท่ากับ 1
แล้วอนุพันธ์เทียบกับ x ของ 1 เป็นเท่าใด?
เพื่อตอบคำถามนั้น ผมจะวาดกราฟมัน
ผมจะวาดกราฟ f ของ x เท่ากับ 1 เพื่อให้
มันเห็นได้ชัดขึ้น
นั่นคือแกน y
นั่นคือแกน x
แล้วขอผมวาดกราฟ y เท่ากับ 1 หรือ
f ของ x เท่ากับ 1
นั่นคือ 1 ตรงนั้น f ของ x
เท่ากับ 1 ก็แค่เส้นแนวนอน
ค่านั่นตรงนั้นก็คือกราฟ
y เท่ากับ f ของ x ซึ่งเท่ากับ 1
ทีนี้ นึกถึงอนุพันธ์ วิธีคิดหลักการ
ก็แค่ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดใดๆ
แล้วความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนี้เป็นเท่าใด?
ที่จริง ความชันที่ทุกจุดเป็นเท่าใด?
นี่คือเส้นตรง ความชันจึงไม่เปลี่ยน
มันมีความชันคงที่
และมันเป็นเส้นแนวนอนสมบูรณ์
มันมีความชันเป็น 0
ความชันที่จุดทุกจุดตรงนี้

Korean: 
미분한 것과 같습니다
x^0은 1이 될것입니다
1의 x에 대한 미분은 어떻게 될까요?
답을 알기 위해 그래프를 그려보겠습니다
f(x)=1의 그래프를 그려보겠습니다
분명히 하기 위해서
이것이 y축이고
이것은 x축입니다
y=1 혹은 f(x)=1의 그래프를 그려보겠습니다
저기가 1입니다
f(x)=1은 단순히 수평선입니다
저기 있는 그래프가 y=f(x)=1의
그래프입니다
이제 미분을 기억하세요 미분을 생각하는 방법 중 하나는
임의의 점에서 접선의 기울기 입니다
이 점에서 접선의 기울기는 무엇입니까?
모든 점에서의 기울기는 무엇입니까?
이것은 선이라서 기울기는 변하지 않습니다
일정한 기울기를 가지고 있습니다
그리고 이것은 완전한 수평선 입니다
기울기는 0입니다
모든 점에서의 기울기는

Portuguese: 
a x de 1.
x elevado a 0 será 1.
E então qual é a derivada com respeito a x de 1?
E para responder a essa pergunta, eu vou fazer um gráfico.
Farei um gráfico de f(x)=1 para tornar
isso um pouco mais claro.
Este é o meu eixo y.
Esse é o meu eixo x.
E deixe-me fazer y igual a 1, ou f(x)=1.
Então isso aqui é 1. f(x)
igual a 1 é apenas uma linha horizontal.
Aquilo ali é o gráfico,
y é igual a f(x), que é igual a 1.
Agora, lembre da derivada, uma maneira de conceituar
é verificando a inclinação da tangente em qualquer ponto.
Então qual é a inclinação da tangente nesse ponto?
E realmente, qual é a inclinação da tangente em qualquer ponto?
Bom, isso é uma reta, então a inclinação não muda.
Ela possui uma inclinação constante.
E é uma reta completamente horizontal.
Ela tem um inclinação de 0.
Então a inclinação em qualquer ponto aqui,

Czech: 
které je rovno 1
(tedy konstantu).
'x' na nultou je rovné 1.
Co dělat, pokud chceme
zderivovat 'x', které se rovná 1?
K odpovědění otázky
vám to načrtnu.
Nakreslím graf funkce 
'x se rovná 1'
pro zjednodušení.
Toto je osa y.
A toto je osa x.
A načrtnu 'y se rovná 1', neboli
'f(x) se rovná 1'.
Tady máme 1.
Funkce proměnné x,
kde 'x' je rovno 1,
je horizontální přímka.
Takže toto zde je graf
y se rovná f(x), 
což se rovná 1.
Jeden z možných výkladů
derivace říká,
že derivace je směrnice tečny
v jakémkoli bodě.
Jaká je tedy směrnice tečny
v tomto bodě?
Obecně, jaký je sklon
tečny ve všech bodech?
Vzhledem k tomu, že jde o přímku,
směrnice se nemění.
Zde máme
konstantní směrnici.
Jde o horizontální přímku.
Sklon je nulový.
Tedy ve všech bodech

Czech: 
bude směrnice rovná 0.
Směrnice naší přímky
bude v každém bodě
rovněž rovná 0.
Obecně to platí pro
jakoukoli konstantu.
Mějme funkci f proměnné x,
kde 'x' je rovno 3.
Nechť 'y' je rovno 3.
Čemu je rovná derivace
funkce y
podle proměnné x?
Záměrně vám ukážu
různé možnosti zápisu derivace.
Takže, jaká je derivace 
y podle proměnné x?
Také to může být napsáno 
jako 'y' s čárkou.
Čemu se to bude rovnat?
Bude to směrnice v jakémkoliv bodě.
Vidíme, že nezáleží na tom, 
jaké 'x' hledáme,
směrnice tam bude 0.
Takže, derivace bude 0.
To neplatí jen pro 'x' na nultou.
Když máte derivaci konstanty,
dostanete 0.
Takže to napíšu.
Derivace podle 'x' jakékoliv konstanty...

English: 
slope is going to be equal to 0.
So the slope of this
line at any point
is just going to be equal to 0.
And that's actually going
to be true for any constant.
The derivative, if I had a
function, let's say that f of x
is equal to 3.
Let's say that's
y is equal to 3.
What's the derivative
of y with respect
to x going to be equal to?
And I'm intentionally showing
you all the different ways
of the notation for derivatives.
So what's the derivative
of y with respect to x?
It can also be
written as y prime.
What's that going
to be equal to?
Well, it's the slope
at any given point.
And you see that no matter
what x you're looking at,
the slope here is going to be 0.
So it's going to be 0.
So it's not just x to the 0.
If you take the derivative
of any constant,
you're going to get 0.
So let me write that.
Derivative with respect
to x of any constant--

Korean: 
0이 될 것입니다
이 선의 모든 점에서의 기울기는
0입니다
모든 상수 함수에 대해 만족하는 것입니다
예를 들어 f(x)=3이라는 함수를
생각해 봅시다
저것이 y=3이라고 해봅시다
y의 x에 대한 미분값은
무엇이 될까요?
의도적으로 미분의 다양한 표기법을
보여주고 있습니다
dy/dx는 무엇일까요?
이것은 또한 y' 으로 쓸 수 있습니다
저것이 무엇이 될까요?
바로 임의의 점에서의 기울기입니다
x값이 무엇이 되던지 간에
기울기는 0이 됩니다
0이 될 것입니다
이것은 단순히 x^0이 아닙니다
어떤 상수함수를 미분해도
0이 됩니다
써봅시다
모든 상수 함수의 x에대한 미분은

Bulgarian: 
ще бъде равен на 0.
Наклонът на тази права 
във всяка точка
просто ще бъде равен на 0.
Всъщност това ще бъде вярно
 за всяка константа.
Да кажем, че имаме 
функцията f(x) =3
Да кажем, че у е равно на 3.
Каква ще бъде 
производната на у спрямо х?
Умишлено ти показвам всички
 различни начини
за записване на производните.
Каква е производната на
 у спрямо х?
Може също да запишем
 като y' (прим).
На какво ще е равно това?
Това е наклонът за всяка точка.
И виждаш, че няма значение
 на колко е равно х,
наклонът тук ще бъде 0.
Ще бъде 0.
Следователно не важи 
само за х на степен 0.
Ако вземем производната
на всяка константа,
ще получим 0.
Нека запиша това.
Производната спрямо х 
на всяка константа...

Turkish: 
Yani buradaki her noktada eğim sıfır olacaktır.
Yani bu doğruda üzerindeki herhangi bir noktanın eğimi sıfırdır.
Bu durum aslında herhangi bir sabit sayıda da geçerli olacaktır.
Mesela f(x)=3 olduğunu düşünelim.
y=3, y'nin x'e göre türevi ne olur?
dy/dx=? Özellikle türevi ifade eden bütün simgeleri kullanmaya özen gösteriyorum.
dy/dx aynı zamanda y' şeklinde de gösterilebilir.
y' neye eşit olacak?
Burada eğim, gördüğünüz gibi hangi x noktasına bakarsanız bakın, sıfır olacaktır.
Yani y'=0.
Yani sadece x^0 değil, herhangi sabit bir sayıda da yine sıfır elde edeceksiniz.
Şöyle yazalım.

Portuguese: 
a inclinação será igual a 0.
Então a inclinação dessa reta em qualquer ponto
será igual a 0.
E isso será verdade para qualquer constante.
A derivada, se eu tivesse uma função, digamos que f(x)
seja igual a 3.
Digamos que y seja igual a 3.
A derivada de y com respeito
a x será igual a quanto?
E estou intencionalmente mostrando à vocês todos os diferentes tipos
de notação para derivadas.
Então qual é a derivada de y com respeito a x?
Também pode ser escrita como y linha.
Isso será igual a quanto?
Bom, é a inclinação em qualquer ponto.
E você vê que não importa para qual x você esteja olhando,
a inclinação aqui será igual a 0.
Então será 0.
Então não é apenas x elevado a 0.
Se você fizer a derivada de qualquer constante,
você chegará em 0.
Deixe-me escrever isso.
A derivada com respeito a x de qualquer constante--

Thai: 
ความชันจะเท่ากับ 0
ความชันของเส้นตรงนี้ที่จุดใดๆ
จะเท่ากับ 0
และนั่นเป็นจริงสำหรับค่าคงที่ใดๆ
อนุพันธ์ ถ้าผมมีฟังก์ชัน สมมุติว่า f ของ x
เท่ากับ 3
สมมุติว่านั่นคือ y เท่ากับ 3
อนุพันธ์ของ y เทียบกับ
x จะเท่ากับอะไร?
ผมตั้งใจแสดงสัญลักษณ์สำหรับอนุพันธ์
ต่างๆ ทั้งหมด
แล้วอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เป็นเท่าใด?
มันเขียนได้เป็น y ไพรม์
มันจะเท่ากับอะไร?
มันคือความชันที่จุดที่ให้มาใดๆ
และคุณเห็นว่า ไม่ว่าคุณจะดูที่ x เป็นเท่าใด
ความชันตรงนี้จะเท่ากับ 0
มันจะเท่ากับ 0
มันไม่ใช่แค่ x กำลัง 0
ถ้าคุณหาอนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ
คุณจะได้ 0
ขอผมเขียนลงไปนะ
อนุพันธ์เทียบกับ x ของค่าคงที่ใดๆ --

Portuguese: 
digamos que onde for constante, isso
será igual a 0.
Uma ideia bem direta.
Vamos agora explorar mais algumas propriedades.
Digamos que eu queira fazer a derivada com respeito
a x de -- vamos usar o mesmo A. Digamos
que eu tenha uma constante vezes uma função.
multiplicando uma função
Bom, derivadas funcionam muito bem.
Você pode pegar esse multiplicador escalar,
essa pequena constante, e tirá-la da derivada.
Isso será igual a A. Eu não
queria fazer na cor roxa.
Será igual a A vezes a derivada de f(x).
Deixe-me fazer em azul.
E outra maneira de mostrar a derivada de f(x)
é apenas dizer que isso é a mesma coisa.
Isso é igual a A vezes isso aqui

Korean: 
A가 상수라고 해봅시다
0이 될 것입니다
꽤 직접적인 생각입니다
조금 더 많은 특성에 대해 알아봅시다
x에 대한 미분을 알고 싶다고 해봅시다
같은 A를 사용합시다
상수 곱하기 어떤 함수가 있습니다
 
미분이 꽤 잘 됩니다
여기 곱해진 것을, 이 상수를
미분 밖으로 뺄 수 있습니다
이것은 A가 될 것입니다
마젠타 색으로 하고 싶지 않습니다
이것은 A곱하기 df(x)/dx가 될 것입니다
 
파란색으로 써보겠습니다
f(x)의 미분을 의미하는 다른 방법은
이것이 같은거라고 말하는 것입니다
이것은 A곱하기 여기 있는 것입니다

English: 
so let's say of a where this
is just a constant, that's
going to be equal to 0.
So pretty straightforward idea.
Now let's explore a
few more properties.
Let's say I want to take
the derivative with respect
to x of-- let's use
the same A. Let's say
I have some constant
times some function.
Well, derivatives
work out quite well.
You can actually take this
little scalar multiplier,
this little constant, and
take it out of the derivative.
This is going to be
equal to A. I didn't
want to do that magenta color.
It's going to be equal to A
times the derivative of f of x.
Let me do that blue color.
And the other way to denote
the derivative of f of x
is to just say that
this is the same thing.
This is equal to A times
this thing right over here

Bulgarian: 
да кажем А, където А
е просто константа,
това ще бъде равно на 0.
Доста просто е.
Нека разгледаме 
още няколко свойства.
Да кажем, че искаме да сметнем
 производната спрямо х на...
Нека използваме същото А. 
Да кажем, че
имаме някаква константа
 по някаква функция.
Производните се смятат 
доста лесно.
Можеш да вземеш този 
 скаларен множител,
тази константа, и да я извадиш
 пред производната.
Това ще бъде равно на А... 
Не исках
да го правя в този цвят.
Ще бъде равно на А по 
производната на f(x).
А по производната на f(x).
Нека го направя в син цвят.
Другият начин за записване на 
производната на f(x)
е просто да кажем, че това е 
същото нещо като
А по това нещо тук

Thai: 
สมมุติว่า A โดยค่านี้คือค่าคงที่ มัน
จะเท่ากับ 0
คิดตรงไปตรงมา
ทีนี้ ลองสำรวจสมบัติอื่นๆ กัน
สมมุติว่าผมอยากหาอนุพันธ์เทียบกับ
x ของ -- ลองใช้ A เดิม สมมุติว่า
ผมมีค่าคงที่คูณฟังก์ชันตัวหนึ่ง
 
อนุพันธ์ทำตัวดี
คุณนำตัวคูณสเกลาร์เล็กๆ นี่มา
ค่าคงที่เล็กๆ นี่ แล้วนำมันออกจากอนุพันธ์ได้
อันนี้จะเท่ากับ A ผมไม่ได้
อยากเขียนด้วยสีบานเย็น
มันจะเท่ากับ A คูณอนุพันธ์ของ f ของ x
 
ขอผมใช้สีฟ้านะ
และวิธีเขียนอนุพันธ์ของ f ของ x อีกวิธี
คือบอกว่าค่านี้เท่ากัน
อันนี้เท่ากับ A คูณค่านี่ตรงนี้

Czech: 
Takže řekněme, že A je pouze konstanta,
se bude rovnat 0.
Je to celkem jasné.
Pojďme se podívat na další vlastnosti.
Řekněme, že chci derivaci
podle 'x' z toho samého A.
Mám konstantu vynásobenou 
nějakou funkcí.
Pro tento případ 
derivace fungují dobře.
Můžete vzít tento 
malý skalární násobitel,
tu malou konstantu,
a dát ji před derivaci.
Takže se to bude rovnat A...
(Nechtěl jsem použít tuto fialovou.)
Takže se to bude rovnat 
A krát derivace f(x).
(Napíšu to modrou barvou.)
Další způsob,
jak zapsat derivaci f(x), je:
Toto se rovná A krát
tohle napravo,

Turkish: 
d/dx[A]=0, x'e göre herhangi bir sabitin türevi, bu sabite A diyelim, sıfıra eşittir.
d/dx[A]=0
Oldukça basit.
Şimdi bir kaç tane daha özellik inceleyelim.
Mesela diyelim ki, bir sabit ile çarpılmış bir fonksiyonun türevi.
d/dx[Af(x)]
Türev çok güzel çalışır. Burada sabit sayıyı alıp türevin dışına koyabilirsiniz.
Yani d/dx[Af(x)]= A.d/dx[f(x)] olacaktır.
f(x)'in türevini göstermenin başka bir yolu daha var. Onu da yazalım.

Bulgarian: 
е същото нещо като f прим от х.
Това може да изглежда 
като доста сложен запис,
но мисля, че ако ти дам пример,
ще разбереш по-лесно.
Ако те попитам за
 производната спрямо х
на 2 по х на степен 5?
Това свойство, което ти показах,
казва, че това ще бъде
 същото като
2 по производната на х^5. 
2 по производната
спрямо х на х^5.
Мога просто да взема този
 скаларен множител
и да го поставя
 пред производната.
Следователно това тук е
 производната
на х на степен 5.
И знаем как да направим това, 
използвайки правилото за степента.
Това ще бъде равно на 2 по...
 нека го запиша.

English: 
is the exact same
thing as f prime of x.
Now this might all look
like really fancy notation,
but I think if I
gave you an example
it might make some sense.
So what about if I were to ask
you the derivative with respect
to x of 2 times x
to the fifth power?
Well, this property
that I just articulated
says, well, this is going
to be the same thing as 2
times the derivative of x to the
fifth, 2 times the derivative
with respect to x
of x to the fifth.
Essentially, I could just
take this scalar multiplier
and put it in front
of the derivative.
So this right here,
this is the derivative
with respect to x
of x to the fifth.
And we know how to do
that using the power rule.
This is going to be equal to
2 times-- let me write that.

Thai: 
เท่ากับ f ไพรม์ของ x พอดี
ทีนี้ อันนี้อาจดูเป็นสัญลักษณ์สวยหรู
แต่ผมว่า ถ้าผมยกตัวอย่าง
มันอาจจะดูง่ายขึ้น
ถ้าเกิดผมถามคุณว่าอนุพันธ์เทียบกับ
x ของ 2 คูณ x กำลัง 5 เป็นเท่าใด?
สมบัตินี้ที่ผมเพิ่งเล่า
บอกว่า อันนี้จะเท่ากับ 2
คูณอนุพันธ์ของ x กำลัง 5, 2 คูณอนุพันธ์
เทียบกับ x ของ x กำลัง 5
ที่สุดแล้ว ผมก็แค่นำตัวคูณสเกลาร์นี้
มาใส่หน้าอนุพันธ์
ค่านี่ตรงนี้ นี่คืออนุพันธ์
เทียบกับ x ของ x กำลัง 5
และเรารู้วิธีทำโดยใช้กฎยกกำลัง
ค่านี้จะเท่ากับ 2 คูณ -- ขอผมเขียนนะ

Czech: 
což to přesně to samé
jako f'(x).
Tohle může vypadat
jako příliš vyšperkovaný zápis,
ale myslím, že po příkladu
to začne dávat smyl.
Takže, co kdybych se vás zeptal
na derivaci
podle 'x' z (2 krát x na pátou)?
Tato vlastnost, 
kterou jsem zrovna vyložil,
říká, že toto bude 
to samé jako
2 krát derivace z (x na pátou).
2 krát derivace podle 'x'
z (x na pátou).
V podstatě jsem mohl
vzít tento skalár
a dát ho před derivaci.
Takže tady vpravo
je derivace
podle 'x'
z (x na pátou).
To umíme vyřešit pomocí
pravidla o derivaci mocnin.
Takže to se bude rovnat...
2 krát... Jen to napíšu.

Turkish: 
Yani d/dx[Af(x)]= A.f '(x)
Bu bütün gördükleriniz çok karmaşık gösterim biçimleri gibi duruyor.
Fakat şimdi yapacağımız örneklerle daha anlamlı olacaklarını düşünüyorum.
Mesela d/dx[2x^5] nedir?
Bu bir önceki verdiğimiz özelliğin bir örneği yani bunu şöyle de yazabiliriz.
2d/dx[x^5]
d/dx[2x^5]= 2d/dx[x^5].
Tek yaptığımız bu 2'yi alıp türevin dışına koymak oldu.
Şimdi bulmamız gereken x^5'in türevi.
Bunu da nasıl yapacağımızı biliyoruz.
Kuvvet kuralı ile.

Portuguese: 
é exatamente a mesma coisa que f '(x).
Isso tudo pode parecer uma notação bem extravagante,
mas eu acho que se eu te der um exemplo
isso fará algum sentido.
Então, e se eu perguntasse a você a derivada com respeito
a x de 2 vezes x elevado a 5?
Bom, essa propriedade que eu acabei de mostrar
diz, bom, isso será o mesmo que 2
vezes a derivada de x elevado a 5, 2 vezes a derivada
com respeito a x de x elevado à quinta.
Essencialmente, eu poderia apenas pegar esse multiplicador escalar
e colocá-lo na frente da derivada.
Então isso aqui, isso é a derivada
com respeito a x de x elevado à quinta.
E sabemos como resolver isso usando a regra do tombo.
Isso será igual a 2 vezes -- deixe-me escrever isso.

Korean: 
f'(x)와 같습니다
꽤 멋있는 표기법으로 보입니다
어떤 예시를 주면
이해가 될 것입니다
2*x^5을 x에 대해 미분하면
어떻게 될까요?
방금 명확히한 성질에 따르면
이것은 2곱하기
x^5을 x에 대해 미분한 것입니다
2곱하기 x^5의 x에 대한 미분입니다
이 상수를 미분 밖으로
뺄 수 있습니다
여기 있는 것이 x^5을
x에 대해 미분한 것입니다
급수의 법칙을 이용해서 계산할 수 있습니다
이것은 2곱하기

Turkish: 
x^5'in türevi ne? Kuvvet kuralı söylüyor bunu bize.
5 çarpı x üssü 5-1 yani 5x^4.
Yani 2d/dx[x^5]= 2.5.x^4= 10x^4.
Yani (2x^5)' bulmak için şöyle de düşünebilirsiniz.
x^5'in türevi nedir? 5x^4. Onu da 2 ile çarpınca 10x^4.
Bu bizim hayatımızı baya kolaylaştıran bir özellik.
Artık kuvvet kuralını ve bu özelliği kullanarak Ax^n formatında herhangi bir ifadenin türevini bulabilirsiniz.
Şimdi başka kullanışlı bir özelliğe geçelim.
Bu sadece kuvvet kuralı ile değil herhangi bir türeve de uygulanabilir.
Ancak kuvvet kuralıyla daha kullanışlıdır.
İki fonksiyonun toplamının türevini alalım.

Bulgarian: 
Искам да съм постоянен с 
цветовете.
Това ще бъде 2 по производната 
на х на пета.
Правилото за степента 
ни казва, че щом n e 5,
получаваме 5 по 
х на степен 5 минус 1,
което е 5 по х на четвърта.
Следователно ще бъде
 5 по х^4,
което ще бъде равно на:
 2 по 5 е 10, по х^4.
2х^5 можем
 буквално да кажем:
Добре, правилото за степента
 ми казва, че производната
на това е 5х^4.
5 по 2 е 10.
Това доста опростява 
живота ни.
Сега можем, използвайки правилото 
за степента и това свойства,
да сметнем производната
 на всичко,
което има вида
 А по х на степен n.
Нека сега разгледаме 
друго много полезно
свойство на диференцирането.
И тези не важат само 
за правилото за степента,
а за всяка производна.
Но те са особено полезни
 при правилото за степента,
защото ни позволяват 
да построяваме полиноми
и да им смятаме 
производните.
Но ако смятах производната
на сбор от две функции...
Да кажем, че едната
 функция е f(x),

Korean: 
색깔을 일치시키고 싶습니다
이것은 2곱하기 x^5의 x에 대한 미분입니다
n은 5입니다
급수의 법칙에 의해 5곱하기 x^(5-1)
즉 5*x^4이 됩니다
5*x^4에
2를 곱하면 10*x^4 입니다
2*x^5은
급수의 법칙에 따라
미분값이 5*x^4입니다
5*2는 10입니다
간단하게 되었습니다
우리는 급수의 법칙과 한가지 특성을 이용해서
A곱하기 x^n 형태의 미분을
할 수 있습니다
또 다른 매우 유용한 미분법에 대해서
생각해 봅시다
이것은 급수 법칙에만 적용되는 것은 아닙니다
어떠한 미분에도 적용됩니다
하지만 급수 법칙에 특히 유용합니다
왜냐하면 이것은 다항식을
미분할 수 있게 해주기 때문입니다
하지만 만약에 두 함수의 합을
미분하고 싶으면
하나의 함수는 f(x)라고 하고

Portuguese: 
Quero me manter coerente com as cores.
Isso será 2 vezes a derivada de x elevado à quinta.
Bom, a regra do tombo no diz que, n é 5.
Será 5 vezes x elevado a 5 menos 1 ou
5 vezes x elevado à quarta.
Será então 5 vezes x elevado à quarta, que
será igual a 2 vezes 5 é 10, x elevado à quarta.
Então 2 vezes x à quinta, você pode literalmente
dizer, OK, a regra do tombo me diz que a derivada
disso é 5 vezes x à quarta.
5 vezes 2 é 10.
Isso simplifica um bocado a nossa vida.
Agora podemos, usando a regra do tombo e esse propriedade,
fazer a derivada de qualquer coisa
que tenha a forma Ax^n.
Vamos agora pensar sobre outra
propriedade de derivada muito útil.
E isso não se aplica apenas à regra do tombo,
elas se aplicam à qualquer derivada.
Mas elas são especialmente úteis para a regra do tombo
pois nos permite criar polinômios e fazer
as derivadas deles.
Mas e se eu fosse fazer a derivada
da soma de suas funções -- então a derivada de,
digamos que uma função seja fx) e

English: 
I want to keep it
consistent with the colors.
This is going to be 2 times the
derivative of x to the fifth.
Well, the power rule
tells us, n is 5.
It's going to be 5x
to the 5 minus 1 or 5x
to the fourth power.
So it's going to be 5x to
the fourth power, which
is going to be equal to 2
times 5 is 10, x to the fourth.
So 2x to the fifth,
you can literally just
say, OK, the power rule
tells me derivative
of that is 5x to the fourth.
5 times 2 is 10.
So that simplifies
our life a good bit.
We can now, using the power
rule and this one property,
take the derivative
anything that
takes the form Ax
to the n power.
Now let's think about
another very useful
derivative property.
And these don't just
apply to the power rule,
they apply to any derivative.
But they are especially
useful for the power rule
because it allows us to
construct polynomials and take
the derivatives of them.
But if I were to
take the derivative
of the sum of two functions--
so the derivative of,
let's say one function
is f of x and then

Czech: 
Chci používat
stejné barvy.
Bude se to rovnat 
2 krát derivace (x na pátou).
Pravidlo o derivaci mocnin
nám říká, že 'n' je 5.
Takže to bude 5x
na (5 minus 1) neboli
5x na čtvrtou.
Takže to bude 
5x na čtvrtou,
což se rovná 
2 krát 5 je 10, x na čtvrtou.
Pro 2x na pátou tedy
můžete říct,
ok, mocninné pravidlo říká,
že derivace je 5x na čtvrtou.
5 krát 2 je 10.
To nám dost 
zjednoduší život.
Díky pravidlu o mocninách 
a této vlastnosti
umíme spočítat derivaci
ve tvaru Ax na 
nějaké 'n'.
Zaměřme se nyní na 
jinou velice užitečnou
vlastnost derivace.
A ta se netýká pouze
pravidla o mocninách,
platí pro všechny derivace.
Zejména je užitečná
pro pravidlo mocnin,
protože nám dovoluje
sestavit mnohočleny
a počítat jejich derivace.
Ale kdybych měl
počítat derivaci
ze součtu dvou funkcí...
Takže derivaci...
Řekněme, že je jedna funkce
f(x) a pak

Thai: 
ผมอยากใช้สีให้ตรงกันต่อไป
อันนี้จะเท่ากับ 2 คูณอนุพันธ์ของ x กำลัง 5
กฎยกกำลังบอกเราว่า n คือ t5
มันจะเท่ากับ 5x กำลัง 5 ลบ 1 หรือ 5x
ยกกำลัง 4
มันจะเท่ากับ 5x ยกกำลัง 4 ซึ่ง
จะเท่ากับ 2 คูณ 5 ได้ 10, x กำลัง 4
2x กำลัง 5 คุณก็แค่
บอกว่า โอเค กฎยกกำลังบอกเราว่าอนุพันธ์
ของมันเท่ากับ 5x กำลัง 4
5 คูณ 2 ได้ 10
มันทำให้ชีวิตเราง่ายขึ้นหน่อย
ตอนนี้เราใช้กฎยกกำลังและสมบัติหนึ่งนี้
หาอนุพันธ์อะไรก็ตามที่
อยู่ในรูป Ax ยกกำลัง n
ทีนี้ ลองคิดถึงสมบัติของอนุพันธ์ที่มีประโยชน์มาก
อีกอันหนึ่ง
และสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ใช้กับกฎยกกำลังอย่างเดียว
มันใช้ได้กับอนุพันธ์ใดๆ
แต่มันมีประโยชน์เป็นพิเศษสำหรับกฎยกกำลัง
เพราะมันทำให้เราสร้างพหุนามใดๆ และหา
อนุพันธ์ของพวกมันได้
แต่ถ้าผมหาอนุพันธ์
ของผลบวกฟังก์ชันสองตัว -- อนุพันธ์ของ
สมมติว่าฟังก์ชันหนึ่งคือ f ของ x แล้ว

English: 
the other function is g of x.
It's lucky for us
that this ends up
being the same thing
as the derivative of f
of x plus the
derivative of g of x.
So this is the same
thing as f-- actually,
let me use that derivative
operator just to make it clear.
It's the same thing as the
derivative with respect
to x of f of x plus the
derivative with respect
to x of g of x.
So we'll put f of
x right over here
and put g of x right over there.
And so with the
other notation, we
can say this is going
to be the same thing.
Derivative with respect to x
of f of x, we can write as f
prime of x.
And the derivative with
respect to x of g of x,
we can write as g prime of x.
Now, once again, this might
look like kind of fancy notation
to you.
But when you see an example,
it'll make it pretty clear.

Czech: 
druhá g(x).
Naštěstí pro nás, 
toto je
to samé jako
derivace funkce f(x)
plus derivace
funkce g(x).
Takže je to 
stejná věc jako f...
Vlastně, použiju tady ten derivační 
operátor, aby to bylo jasné.
Je to stejná věc jako
derivace podle 'x'
z funkce f(x) plus
derivace podle 'x'
z funkce g(x).
Teď dáme f(x) sem
a g(x) dáme sem.
A tak s použitím
druhého zápisu
můžeme říct, 
že to bude stejné.
Derivace podle 'x' z funkce f(x), 
což napíšeme jako
f'(x).
A derivaci podle 'x'
z funkce g(x)
napíšeme jako 
g'(x).
Teď vám to znovu může
připadat jako příliš krkolomný zápis.
Ale až uvidíte příklad, 
bude to vám zápis jasný.

Turkish: 
d/dx[f(x)+g(x)]
Şanslıyız ki bu şununla aynı şey:
d/dx[f(x)]+d/dx[g(x)]
Yani d/dx[f(x)+g(x)]= d/dx[f(x)]+d/dx[g(x)]
Başka bir şekilde yazacak olursak, d/dx[f(x)]=f'(x) ve d/dx[g(x)]=g'(x) olur.
Yani d/dx[f(x)]+d/dx[g(x)]=f'(x)+g'(x).
Yine burada gördüğünüz ifade size çok gösterişli, karmaşık gelebilir ama örnek yaptığımızda daha açık olacaktır.

Bulgarian: 
а другата функция е g(x).
Късмет е, че това 
се получава
същото нещо като 
производната на f(x)
плюс производната на g(x).
Следователно това е 
същото като...
всъщност нека използвам този оператор
 за производни, за да бъде ясно.
Това е същото нещо като 
производната спрямо х
на f(x) плюс производната 
спрямо х на g(x).
Ще сложим f(x) тук
и ще сложим g(x) тук.
Използвайки другия запис,
можем да кажем, че това 
ще бъде същото нещо.
Производната спрямо х на f(x), 
можем да запишем като
f прим от х.
Производната спрямо х на g(x),
можем да запишем като
 g прим от х.
Това може да ти изглежда
 като сложен запис,
но когато видиш пример, 
ще ти стане доста ясно.

Korean: 
다른 함수는 g(x)라고 합시다
이것이 d(x)/dx + dg(x)/dx과
같다는 것은
행운입니다
명확히 하기 위해서
미분 연산자를 사용합시다
이것은 df(x)/dx 더하기
dg(x)/dx과
같습니다
f(x)를 여기에 놓고
g(x)를 저기에 놓겠습니다
다른 표기법으로
이것이 같다고 말할 수 있습니다
df(x)/dx을
f'(x)라고 쓸 수 있습니다
또한 dg(x)/dx는
g'(x)라고 쓸 수 있습니다
이것은 여러분에게 어려운 표기법으로
보일 수 있습니다
하지만 예시를 보면 분명해질 것입니다

Thai: 
ฟังก์ชันอีกตัวคือ g ของ x
โชคดีของเรา อันนี้ออกมา
เท่ากับอนุพันธ์ของ f
ของ x บวก อนุพันธ์ของ g ของ x
อันนี้จึงเท่ากับ f -- ที่จริง
ขอผมใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์เพื่อให้ชัดเจน
มันเท่ากับอนุพันธ์เทียบกับ
x ของ f ของ x บวกอนุพันธ์เทียบกับ
x ของ g ของ x
เราจะใช้ f ของ x ตรงนี้
และใส่ g ของ x ตรงนี้
แล้วสัญลักษณ์อีกอย่าง เรา
บอกได้ว่าอันนี้จะเท่ากับ
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ f ของ x
เราเขียนได้เป็น f
ไพรม์ของ x
และอนุพันธ์เทียบกับ x ของ g ของ x
เราเขียนได้เป็น g ไพรม์ของ x
ทีนี้ เหมือนเดิม อันนี้อาจเป็นสัญลักษณ์สวยหรู
สำหรับคุณ
แต่เมื่อคุณเห็นตัวอย่าง มันจะชัดเจนขึ้น

Portuguese: 
a outra seja g(x).
Para nossa sorte isso acaba
sendo a mesma coisa que a derivada de f
de x mais a derivada de g de x.
Então isso é o mesmo que f --
deixe-me usar aquele operador de derivadas para tornar mais claro.
É o mesmo que a derivada com respeito
a x de f(x) mais a derivada com respeito
a x de g(x).
Colocaremos f(x) aqui
e g(x) aqui.
E então com a outra notação,
podemos dizer que isso será a mesma coisa.
Derivada com respeito a x de f(x), podemos escrever como f
linha de x.
E a derivada com respeito a x de g(x),
podemos escrever como g linha de x.
Agora, mais uma vez, isso pode parecer uma notação muito elegante
para você.
Mas quando você for ver um exemplo, isso se tornará muito mais claro.

Bulgarian: 
Ако искаме да сметнем 
производната спрямо х
на х на трета
плюс х на –4, това просто
ни казва, че 
производната на сбора
е просто 
сборът на производните.
Можем да сметнем производната на този член, 
използвайки правилото за степента.
Ще бъде 3 по х на квадрат.
А към това можем да добавим 
производната на това тук.
Ще бъде плюс... това
е друг нюанс на синьо... 
n е –4.
Следователно плюс –4 по х на 
степен –4 минус 1.
Получаваме х на степен –5.
Можем да опростим малко.
Това ще бъде равно на
 3 по х на квадрат
минус 4 по х на –5.

English: 
If I want to take the
derivative with respect
to x of let's say x
to the third power
plus x to the negative
4 power, this just
tells us that the
derivative of the sum
is just the sum of
the derivatives.
So we can take the derivative of
this term using the power rule.
So it's going to be 3x squared.
And to that, we can add the
derivative of this thing right
over here.
So it's going to
be plus-- that's
a different shade of blue--
and over here is negative 4.
So it's plus negative 4 times
x to the negative 4 minus 1,
or x to the negative 5 power.
So we have-- and I could
just simplify a little bit.
This is going to be
equal to 3x squared
minus 4x to the negative 5.

Czech: 
Když chci spočítat
derivaci podle 'x',
řekněme z 
(x na třetí
plus x na minus čtvrtou), 
tak už víme,
že derivace součtu
je stejná jako součet derivací.
Takže dostaneme derivaci tohoto 
výrazu pomocí pravidla o mocninách.
Takže to bude 3x na druhou.
A k tomu můžeme přičíst
derivaci tohoto
tady napravo.
Takže to bude...
(To je jiný odstín modré...)
A tady je -4.
Takže, plus -4 krát
x na (-4 minus 1),
neboli x na minus pátou.
Takže máme... Mohl bych
to trochu zjednodušit.
Toto bude rovno
3x na druhou
minus 4x na minus pátou.

Korean: 
x에 대해 미분하고 싶다고 해봅시다
x^3+x^(-4)을
이것은 단지
합의 미분이
미분의 합과 같다고 말하고 있습니다
그래서 이것을 급수의 법칙을 이용해 미분할 수 있습니다
이것은 3*x^2이 될 것입니다
우리는 이것의 미분값을
여기에 쓸 수 있습니다
더하기
저건 파란색입니다
지수가 -4 입니다
더하기 -4*x^(-4-1)가 됩니다
혹은 x^(-5)이라고 할 수 있습니다
이것을 간단히 해보면
3*x^2
빼기 4*x^(-5)입니다

Turkish: 
Mesela d/dx[x^3+x^-4].
Bu sadece bize şunu söyler; toplamlarının türevi, türevlerinin toplamına eşittir.
Yani biz bu ilk terimin türevini kuvvet kuralı kullanarak bulalım. 3x^2.
Daha sonra bunu 2. terimin türeviyle yani (-4)x^-5 ile toplayacağız.
Yani d/dx[x^3+x^-4]= 3x^2+(-4)x^-5.
Biraz düzenleyelim.
d/dx[x^3+x^-4]= 3x^2-4x^-5.

Portuguese: 
Se eu quiser fazer a derivada com respeito
a x de digamos x ao cubo
mais x elevado a menos 4, isso
nos diz que a derivada da soma
é a soma das derivadas.
Podemos então fazer a derivada desse termo usando a regra do tombo.
Isso será 3 vezes x ao quadrado.
E a isso, nós podemos adicionar a derivada disso
aqui.
Então será mais -- isso é
um tom diferente de azul-- e aqui é menos 4.
Então é mais menos 4 vezes x elevado à menos 4 menos 1,
ou x elevado à menos 5.
Então temos -- e eu poderia simplificar um pouco.
Isso será igual a 3 vezes x ao quadrado
menos 4 vezes x elevado à menos 5.

Thai: 
ถ้าผมอยากหาอนุพันธ์เทียบกับ
x ของ สมมุติว่า x ยกกำลัง 3
บวก x ยกกำลังลบ 4 อันนี้ก็แค่
บอกเราว่าอนุพันธ์ของผลบวก
ก็แค่ผลบวกของอนุพันธ์
เราหาอนุพันธ์ของเทอมนี้โดยใช้กฎยกกำลังได้
มันจะเท่ากับ 3x กำลังสอง
จากนั้น เราบวกอนุพันธ์ของสิ่งนี้
ตรงนี้ได้
มันจะเท่ากับบวก -- นั่นคือ
สีฟ้าอีกเฉดหนึ่ง -- และตรงนี้คือลบ 4
มันคือบวกลบ 4 คูณ x กำลังลบ 4 บวก 1
หรือ x กำลังลบ 5
เราได้ -- ผมแค่จัดรูปมันหน่อย
อันนี้จะเท่ากับ 3x กำลังสอง
ลบ 4x กำลังลบ 5

Czech: 
Takže teď máme všechny
nástroje, které potřebujeme,
abychom uměli získat
derivaci libovolného mnohočlenu.
Takže pojďme to procvičit.
Řekněme, že mám...
(A napíšu to bílou.)
Řekněme, že funkce 
f(x) se rovná
2x na třetí minus 7x na druhou
plus 3x minus 100.
Jaká je první derivace f podle 'x'?
Čemu se derivace f podle 'x'
bude rovnat?
Použijeme vlastnosti,
které jsme probrali.
Derivace z tohoto se bude rovnat
2 krát derivace z
'x' na třetí.
Derivace z 'x' na třetí
bude 3x na druhou,
takže to bude
2 krát 3x na druhou.
Čemu se rovná 
derivace z -7x na druhou?
Bude to -7 krát
derivace z 'x' na druhou,
což je 2x.
Čemu se rovná 
derivace z 3x?

Korean: 
우리는 도구함에 우리가 필요한 도구들을 모두 가지고 있습니다
어떠한 다항식도 미분할 수 있는
연습을 조금 해봅시다
흰색으로 쓰겠습니다
f(x)가 2*x^3
빼기 7*x^2+3x - 100 이라고 합시다
f'(x)는 무엇입니까?
f(x)를 x에 대해 미분하면 어떻게 될까요?
우리가 사용한 성질을 사용하면 됩니다
이것의 미분은
2곱하기 x^3의 미분
x^3의 미분은 3*x^2이 될 것입니다
즉 2*3*x^2입니다
-7*x^2의 미분은
어떻게 될까요?
이것은 -7 곱하기 x^2의 미분입니다
x^2 미분은 2x입니다
3x의 미분은 어떻게 될까요?

English: 
And so now we have all the
tools we need in our toolkit
to essentially take the
derivative of any polynomial.
So let's give ourselves
a little practice there.
So let's say that I have--
and I'll do it in white.
Let's say that f
of x is equal to 2x
to the third power minus 7x
squared plus 3x minus 100.
What is f prime of x?
What is the derivative of f
with respect to x going to be?
Well, we can use the
properties that we just said.
The derivative of
this is just going
to be 2 times the derivative
of x to the third.
Derivative of x to the third
is going to be 3x squared,
so it's just going to
be 2 times 3x squared.
What's the derivative
of negative 7x
squared going to be?
Well, it's just going
to be negative 7 times
the derivative of x
squared, which is 2x.
What is the derivative
of 3x going to be?

Portuguese: 
E agora nós temos todas as ferramentas que precisamos em nosso kit de ferramentas
para fazer a derivada de qualquer polinômio.
Vamos nos dar um pouco de prática aqui.
Digamos que eu tenha -- e vou fazer isso em branco.
Digamos que f(x) é igual a 2 vezes x
ao cubo menos 7 vezes x ao quadrado mais 3 vezes x menos 100.
Qual é a f linha de x?
Qual é a derivada de f com respeito a x?
Bom, podemos usar as propriedades que acabamos de ver.
A derivada disso será
2 vezes a derivada de x ao cubo.
Derivada de x ao cubo é 3 vezes x ao quadrado,
então isso será 2 vezes 3 vezes x ao quadrado.
Qual a derivada de menos 7 vezes x
ao quadrado?
Bom, será menos 7 vezes
a derivada de x ao quadrado, que é 2x.
Qual é a derivada de 3x?

Turkish: 
Şimdi herhangi bir polinomun türevini bulmak için ihtiyacımız olan her şeyi biliyoruz.
Biraz pratik yapalım o zaman.
Mesela diyelim ki f(x)=2x^3-7x^2+3x-100 olsun.
f(x) fonksiyonunun türevi nedir?
f '(x)=?
Az önce kullandığımız özellikleri kullanacağız.
2x^3'ün türevi 2 çarpı x^3 ile aynıdır.
x^3'ün türevi 3x^2'ye eşittir.
O zaman 2x^3'nin türevi 2.3x^2 idir.
-7x^2'nin türevi nedir?
-7 çarpı x^2'nin türevi yani -7.2x.
3x'in türevi nedir?

Thai: 
แล้วตอนนี้เรามีเครื่องมือทุกอย่างที่ต้องการ
เพื่อหาอนุพันธ์ของพหุนามใดๆ แล้ว
ลองมาฝึกกันหน่อยดีกว่า
สมมติว่าผมมี -- ผมจะใช้สีขาวนะ
สมมติว่า f ของ x เท่ากับ 2x
กำลัง 3 บวก 7x กำลังสองบวก 3x ลบ 100
f ไพรม์ของ x คืออะไร?
อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x จะเป็นเท่าใด?
เราใช้สมบัติที่เราบอกว่า
อนุพันธ์ของสิ่งนี้จะ
เท่ากับ 2 คูณอนุพันธ์ของ x กำลังสาม
อนุพันธ์ของ x กำลังสามจะเท่ากับ 3x กำลังสอง
มันก็คือ 2 คูณ 3x กำลังสอง
อนุพันธ์ของลบ 7x
กำลังสองจะเป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับลบ 7 คูณ
อนุพันธ์ของ x กำลังสอง ซึ่งก็คือ 2x
อนุพันธ์ของ 3x จะเป็นเท่าใด?

Bulgarian: 
Сега имаме всички 
нужни инструменти,
за да смятаме производната
 на всеки полином.
Хайде да се упражним
 малко.
Да кажем, че имаме...
ще го направя в бяло.
Да кажем, че 
f(x) = 2х^3 – 7x^2 + 3х – 100
Колко е f прим от х?
Каква ще е производната 
на f спрямо х?
Можем да използваме свойствата,
 които ти показах.
Производната на това 
просто ще бъде
2 по производната на х^3.
Производната на х^3 
ще бъде 3х^2.
Следователно получаваме 
2 по 3 по х^2.
Каква ще е производната на –7х^2?
Тя ще бъде –7 по
производната на х^2, която е 2х.
Каква ще е производната на 3х?

Czech: 
Bude to
3 krát derivace z 'x',
neboli 3 krát derivace
z 'x' na prvou.
Derivace z 'x' na prvou
je prostě 1.
Takže to bude
plus 3 krát...
Můžeme říct 1x na nultou...
... ale to je prostě 1.
Nakonec, čemu se
rovná derivace
konstanty?
Napíšu to jinou barvou.
Čemu se rovná
derivace konstanty?
To jsme probrali
na začátku tohoto videa.
Derivace jakékoli konstanty
se rovná 0, 
takže plus 0.
Teď můžeme začít se
zjednodušováním.
Derivace f bude
2 krát 3x na druhou,
což je 6x na druhou.
-7 krát 2x je
-14x, plus 3.
Tu nulu psát nemusíme.
A máme hotovo!
Takže teď ovládáme
všechny nástroje
pro nalezení derivací
mnohočlenů
a vlastně i věcí, 
které mnohočleny přesahují.

Portuguese: 
Bom, será 3 vezes a derivada de x,
ou 3 vezes a derivada de x elevado à primeira.
A derivada de x elevado à primeira é 1.
Então isso será mais 3 vezes --
poderíamos dizer 1 vezes x elevado à 0-- mas isso é apenas 1.
E finalmente, qual será a derivada de uma constante?
Deixe-me fazer isso em uma cor diferente.
Qual é a derivada de uma constante?
Bom, nós vimos no começo desse vídeo.
A derivada de qualquer constante é
0, então mais 0.
E agora estamos prontos para simplificar.
A derivada de f é
2 vezes 3 vezes x ao quadrado que é 6 vezes x ao quadrado.
Menos 7 vezes 2 vezes x que é menos 14 vezes x mais 3.
E não precisamos escrever o 0 ali.
E terminamos.
Agora temos todas as propriedades em nosso cinto de ferramentas
para encontrar a derivada de qualquer polinômio
e até coisas que vão além de polinômios.

English: 
Well, it's just going to be
3 times the derivative of x,
or 3 times the derivative
of x to the first.
The derivative of x to
the first is just 1.
So this is just going
to be plus 3 times--
we could say 1x to the
0-- but that's just 1.
And then finally, what's
the derivative of a constant
going to be?
Let me do that in
a different color.
What's the derivative of
a constant going to be?
Well, we covered that at
the beginning of this video.
The derivative of
any constant is just
going to be 0, so plus 0.
And so now we are
ready to simplify.
The derivative of
f is going to be
2 times 3x squared
is just 6x squared.
Negative 7 times 2x is
negative 14x plus 3.
And we don't have to
write the 0 there.
And we're done.
We now have all the
properties in our tool belt
to find the derivative
of any polynomial
and actually things that
even go beyond polynomials.

Korean: 
이것은 3곱하기 x의 미분이 될 것입니다
혹은 3곱하기 x^1의 미분입니다
x^1의 미분은 1입니다
그래서 이것은 그냥 3*1^0
그냥 1입니다
마지막으로 상수의 미분은
어떻게 될까요?
다른색으로 쓰겠습니다
상수의 미분은 어떻게 될까요?
이 영상의 처음 부분에
상수의 미분은
0 이라고 했습니다
이제 간단히 하면 됩니다
f의 미분은
2*3*x^2은 6*x^2이고
-7*2x는 -14x가 되고 거기에 3을 더하면 됩니다
0을 쓸 필요는 없습니다
다 했습니다
이제 어떠한 다항식도 미분할 수 있는
능력을 갖추었습니다
사실 다항식 이상의 것까지도 미분 할 수 있는

Turkish: 
3 çarpı x'in türevi ya da 3 çarpı x^1'in türevi.
x^1'in türevi 1'e eşittir.
Yani bu 3 çarpı x^0 olacaktır ki o da 1'e eşit olduğu için kısacası 3.
Son olarak buradaki sabit sayımızın türevi ne olacak?
Bunu biraz az önce öğrendik.
Sabit herhangi bir sayının türevi sıfırdır.
Yani f'(x)=2.3x^2-7.2x+3+0.
Şimdi düzenleyelim.
2 çarpı 3 6x^2, -7 çarpı 2 -14x, artı 3 ve de 0'ı yazmamıza gerek yok.
f'(x)= 6x^2-14x+3.
Ve türevi bulduk.
Polinomların türevini bulmak için her şeyi öğrendik, hatta daha fazlasını.

Bulgarian: 
Ще бъде 3 по производната на х
или 3 по производната на х^1.
Производната на х^1 е просто 1.
Следователно това ще бъде
 плюс 3 по...
можем да кажем 1 по х^0, 
но това е просто 1.
И накрая каква ще е 
производната на константа?
Нека го направя в друг цвят.
Каква ще е производната
 на константа?
Това го разгледахме
 в началото на това видео.
Производната на всяка константа
е просто 0, следователно плюс 0.
Сега сме готови да опростим.
Производната на f ще бъде
2 по 3х^2 е просто 6х^2.
–7 по 2х е –14х плюс 3.
Няма нужда да записваме нулата.
И сме готови.
Сега разполагаме 
с всички правила
за намиране на производната 
на всеки полином
и дори на неща,
 които са над полиномите.

Thai: 
มันจะเท่ากับ 3 คูณอนุพันธ์ของ x
หรือ 3 คูณอนุพันธ์ของ x กำลัง 1
อนุพันธ์ของ x กำลัง 1 ก็แค่ 1
อันนี้จะเท่ากับบวก 3 คูณ --
เราบอกได้ว่า 1x กำลัง 0 -- แต่นั่นก็แค่ 1
แล้วสุดท้าย อนุพันธ์ของค่าคงที่
จะเป็นเท่าใด?
ขอผมใช้อีกสีนะ
อนุพันธ์ของค่าคงที่จะเป็นเท่าใด?
เราได้พูดถึงตอนต้นของวิดีโอนี้ไว้แล้ว
อนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ ก็แค่
0 ได้บวก 0
และตอนนี้เราพร้อมจะจัดรูปแล้ว
อนุพันธ์ของ f จะเป็น
2 คูณ 3x กำลังสอง ได้ 6x กำลังสอง
ลบ 7 คูณ 2x ได้ลบ 14x บวก 3
และเราไม่ต้องเขียน 0 ตรงนั้น
เราก็เสร็จแล้ว
ตอนนี้เรามีสมบัติทุกอย่างในกล่องเครื่องมือ
เพื่อหาอนุพันธ์ของพหุนามใดๆ
และฟังก์ชันที่ไปไกลกว่าพหุนามด้วย
