
Italian: 
Vediamo se ho un certo tipo di funzione s di t
che è la posizione in funzione del tempo.
Posizione in funzione del tempo.
E lasciami disegnare un potenziale s di t proprio qui sopra
Abbiamo un asse orizzontale come asse del tempo
E lasciami disegnare. Disegnerò qualcosa che somiglia a una parabola.

Polish: 
Powiedzmy, że mam jakąś funkcję, s(t),
którą ustanawiamy funkcją czasu.
Pozwólcie, że naszkicuję wykres potencjalnej funkcji s(t) tutaj.
Mamy oś poziomą jako oś czasu.
Pozwólcie, że coś narysuję.
Niech wykres będzie podobny do paraboli.
Mógłbym to zrobić przy większej ogólności,
ale w ten sposób rzeczy się odrobinę uproszczą.
Zatem narysuję wykres przypominający parabolę.
Nazwijmy tę osią y.
Moglibyśmy nawet nazwać ten wykres y równa się s(t). TO jak najbardziej rozsądne
wyznaczać nasze położenie jako funkcję czasu.
A teraz pomyślmy co się dzieje
jeżeli rozważamy zmianę położenia pomiędzy dwoma
momentami w czasie, powiedzmy między chwilą a
a dokładnie tutaj-- i ta tutaj to chwila b.

Korean: 
 
s(t)함수가 있습니다
시간에 대한 위치 함수로 정의되어 있죠
시간에 대한 위치 함수로 정의되어 있죠
여기에 s(t)그래프를 그려보겠습니다
시간축인 가로축이 있습니다
그래프를 그려보죠
포물선처럼 보이는 그래프로 그릴 겁니다
임의의 모양으로 그릴 수도 있겠지만
설명을 간단하게 하기 위해
포물선같이 그리겠습니다
이걸 y축이라 부릅시다
y=s(t)라고 정의해서
시간에 대한 위치를 그래프로 그릴 수 있겠죠
이제 두 시간 사이에서 위치가
어떤 변화가 일어나는지 생각 해 봅시다
시간 a, 여기를 시간 a라 합시다
여기는 시간 b입니다

iw: 
נניח שיש לי
פונקציה כלשהי, s של t,
אשר מוצבת
כפונקציה של זמן.
ובואו תנו לי לצייר s של t פוטנציאלית
כאן.
יש לנו ציר אופקי
כציר הזמן.
תן לי רק לשרטט משהו.
אני אצייר סוג
של פרבולה.
למרות שיכולתי
לעשות את זה באופן כללי,
אבל רק כדי לעשות דברים
קצת יותר פשוטים בשבילי.
אז אני אצייר את זה כסוג
של פרבולה.
אנחנו קוראים לזה ציר ה- y.
אנחנו יכולים אפילו לקרוא y שווה
s של t הזה דרך הגיונית
לצייר את המקום שלנו
כפונקציה של זמן.
ועכשיו בואו נחשוב
על מה שקורה
אם אנחנו רוצים לחשוב על
שינוי במקום בין שתי
פעמים, נניח בין זמן a
-- נניח כי שהזמן
ה a כאן-- ולאחר מכן
כאן הוא זמן b.

Bulgarian: 
 
Нека е дадена функция s от t,
която е определена като функция
на времето.
Нека изобразя една възможна функция
s от t ето тук.
Хоризонталната ос представя времето.
Нека просто начертая нещо.
Ще изглежда като парабола.
Можеше да е някаква обща функция,
но искам да опростя нещата за себе си.
Чертая функция подобна на парабола.
Тази ос е оста у.
Може дори да означим функцията
y е равно на s от t,
която представя позицията като
функция на времето.
Нека сега помислим какво се случва,
ако разглеждаме промяната
в позицията
между два момента t. Нека единият
е момент a,
който е ето тук, а след това този момент
тук, е момент b.

Thai: 
 
สมมุติว่าผมมีฟังก์ชัน s ของ t
คือตำแหน่ง เป็นฟังก์ชันของเวลา
 
และขอผมวาด s ของ t ตรงนี้นะ
เรามีแกนนอนเป็นแกนเวลา
ขอผมวาดกราฟ
ผมจะวาดเป็นพาราโบลาแล้วกัน
ถึงแม้ว่าผมจะวาดโดยทั่วไปได้
เพื่อแต่เพื่อให้ง่ายสำหรับผม
ผมจะวาดมันเป็นเหมือนพาราโบลา
เราเรียกแกนนี้ว่าแกน y
เราบอกได้ว่า y เท่ากับ s ของ t เป็นวิธี
วาดกราฟตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลาที่ดี
แล้วตอนนี้ลองคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้น
ถ้าเราคิดถึงการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งระหว่าง
เวลา 2 ค่า สมมุติว่าระหว่างเวลา a
-- สมมุติว่านั่นคือเวลา
a ตรงนี้ -- แล้วจุดนี่ตรงนี้คือเวลา b

Portuguese: 
Vamos considerar a função s de t
que é colocada como função do tempo
E vou a colocar no gráfico
um possível s de t aqui
Temos um eixo horizontal
como eixo do tempo
Vou colocar no gráfico
como uma parábola.
Poderia ter feito de outro modo,
mas assim fica mais simples para mim.
Chamamos isso de eixo y.
Poderíamos dizer que 
y é igual a s de t
Para ter no gráfico 
a posição em função do tempo.
E agora vamos pensar no que acontece
se queremos pensar
na mudança de posição entre dois tempos
por exemplo entre o tempo a, 
que vamos marcar aqui,

English: 
Let's say that I have
some function, s of t,
which is positioned
as a function of time.
And let me graph a potential
s of t right over here.
We have a horizontal
axis as the time axis.
Let me just graph something.
I'll draw it kind
of parabola-looking.
Although I could
have done it general,
but just to make things a
little bit simpler for me.
So I'll draw it kind
of parabola-looking.
We call this the y-axis.
We could even call this y equals
s of t as a reasonable way
to graph our position as a
function of time function.
And now let's think
about what happens
if we want to think about the
change in position between two
times, let's say between time
a-- let's say that's time
a right over there-- and then
this right over here is time b.

English: 
So time b is right over here.
So what would be the change
in position between time a
and between time b?
Well, at time b, we
are at s of b position.
And at time a we were
at s of a position.
So the change in
position between time
a and time b-- let me write this
down-- the change in position
between-- and this
might be obvious to you,
but I'll write it
down-- between times a
and b is going to be equal
to s of b, this position,
minus this position,
minus s of a.
So nothing
earth-shattering so far.
But now let's think
about what happens
if we take the derivative of
this function right over here.

Portuguese: 
e o tempo b,
que vamos marcar aqui.
Então qual seria a mudança
de posição entre o tempo a
e o tempo b?
Bom, no tempo b
estamos na posição s de b
E no tempo a
estamos na posição s de a
Então a mudança
de posição entre os tempo a e b
Vou escrever isso aqui--
A mudança de posição
pode parecer fácil,
mas é importante--
entre os tempos a e b, a mudança de posição
será igual a s de b (essa posição)
menos a posição s de a (essa posição aqui)
Nada muito complicado, certo?
Vamos pensar no que acontece
se tiramos a derivada dessa função aqui.

Bulgarian: 
Момент b е ето тук.
Какво е изменението в позицията
между момент а и момент b?
В момент b, се намираме в позиция
s от b.
А в момент а, се намиране в позиция
s от а.
Тогава изменението в позицията
между момент а и момент b, е следното.
Нека да го запиша.
Може да е очевидно за теб,
но нека да го запишем. Изменението
между времената
a и b ще бъде равно на s от b, т.е
тази позиция,
минус ето тази позиция,
или минус s от а.
Това не е нещо неочаквано дотук.
Нека сега помислим обаче какво
се случва,
ако търсим производната от тази
функция тук.

Thai: 
เวลา b คือตรงนี้
แล้วการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
ระหว่างเวลา a
กับเวลา b เป็นเท่าใด?
ที่เวลา b เราอยู่ที่ตำแหน่ง s ของ b
และที่เวลา a เราอยู่ที่ตำแหน่ง s ของ a
การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งระหว่างเวลา
a กับเวลา b -- ขอผมเขียนมันลงไปนะ --
การเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง
ระหว่าง -- อันนี้อาจชัดเจนอยู่แล้ว
แต่ผมจะเขียนมันลงไป -- ระหว่างเวลา a
กับ b จะเท่ากับ s ของ b คือตำแหน่งนี้
ลบตำแหน่งนี้ คือลบ s ของ a
ไม่มีอะไรหลุดโลกตรงนี้
แต่ลองคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้น
เมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี่ตรงนี้

Korean: 
시간 b는 바로 여기입니다
a에서 b까지 시간이 흐르면서
어떤 일이 일어날까요?
시간 b에서 우린 s(b)위치에 있겠죠
그리고 시간 a에서 우리는 s(a)위치에 있습니다
a와 b사이에서 위치의 변화는
여기에 쓰겠습니다
a와 b사이의
당연 해 보이지만
여기에 쓰겠습니다
위치의 변화는
이 위치, s(b)에서
이 위치, s(a)를 뺸 것이죠
놀랍지는 않군요
하지만 이제 도함수을 살펴봅시다
s(t)의 도함수입니다, 바로 여기요

Polish: 
A więc chwila b jest dokładnie tutaj.
Zatem jaka będzie zmiana położenia pomiędzy czasem a
i czasem b?
Cóż, w chwili b znajdujemy się w położeniu s(b).
A w chwili a znajdujemy się w położeniu s(a).
Zatem zmiana położenia z upływem czasu
od a do b-- pozwólcie, że to zapiszę-- zmiana położenia
pomiędzy-- i to może być dla was całkiem oczywiste,
ale zapiszę to i tak-- pomiędzy chwilą a
i b będzie równa s(b), to położenie,
odjąć to położenie, odjąć s(a).
Czyli nic naprawdę zaskakującego.
Ale teraz pomyślmy co się stanie
jeśli policzymy pochodną dokładnie tutaj.

iw: 
אז זמן b כאן.
אז מה יהיה השינוי
במקום בין זמן a
ובין הזמן b?
ובכן, בזמן b , אנו
נמצאים במקום s של של עמדת b.
ובזמן a
אנחנו במקום של s.
אז את השינוי
בעמדה בין הזמנים
ה a ו b -- תנו לי לכתוב את זה
-- את השינוי בעמדה
בין -- וזה
יכול להיות ברור לכם,
אבל אני אכתוב את זה
-- בין כפול a
ו b הוא הולך להיות שווה
ל- s של b, המקום הזה,
מינוס המקום הזה,
מינוס s של a.
אז אין רעידת אדמה עד כה.
אבל עכשיו בואו נחשוב
על מה שקורה
אם ניקח את הנגזרת של
הפונקציה הזו ממש כאן.

Korean: 
시간에 대한 함수의 도함수는
과연 어떨까요?
기억하세요, 도함수는 어떤 점에서의
접선의 기울기를 알려줍니다
한 점에 집중합니다
바로 여기요
접선의 기울기
t가 아주 조금 변할 때
-눈에 띄도록 과장하겠습니다-
위치가 얼마나 변할까요?
위치가 얼마나 변할까요?
ds/dt라고 쓰도록 하죠
임의의 시간에 대한 도함수입니다
시간 변화에 따른
위치의 변화율을 알아봅시다
이건 무엇과 같을까요?
바로 속도죠
네, 속도와 같습니다
하지만 다른 표기를 사용하겠습니다
이것 자체는 시간에 대한 함수입니다
이것을 s'(t)라 쓸 수 있죠
이건 s(t)의 도함수를
두 가지 방법으로 나타낸 것입니다
이것이 시간에 대한 함수라는게

Polish: 
Czyli co się stanie jeśli weźmiemy pochodną
położenia jako funkcji czasu?
Pamiętajcie, pochodna daje nam
w każdym punkcie tg kąta nachylenia stycznej do wykresu.
Powiedzmy,że patrzymy na punkt tutaj,
nachylenie stycznej do wykresu.
Pochodna mówi nam dla bardzo małych zmian czasu--
przesadzam tutaj odrobinę-- dla bardzo bardzo małych zmian
czasu, w jaki sposób zmienia się nasze położenie?
Zatem piszemy skoro ds dt jest ochodną naszej funkcji położenia
w zadanym momencie czasu.
Zatem jeśli mówimy o tempie w jakim zmienia się położenie
w stosunku do czasu, to co to będzie?
Cóż, to będzie równe prędkości.
Czyli to jest równe prędkości.
Ale niech to zapiszę wykorzystując inną notację.
Zatem to będzie funkcją czasu.
Więc moglibyśmy zapisać, że to jest równe s prim od t.
To są po prostu dwa sposoby
zapisu pochodnej funkcji s po zmiennej t.
To odrobinę wyjaśnia

iw: 
אז מה קורה כאשר
ניקח את הנגזרת
של המקום 
כפונקציה של זמן?
אז זכרו,
הנגזרת נותנת לנו
את השיפוע של המשיק
בכל נקודה.
אז נניח שאנחנו מסתכלים
על הנקודה ששם,
השיפוע של המשיק.
זה אומר לנו 
ששינוי קטן ב- t--
אני מגזים את זה וויזואלית-- עבור שינוי מאוד, מאוד קטן
ב t, כמה אנחנו
משנים במקום?
אז אנחנו כותבים את זה כמו dt ds היא
הנגזרת של המקום שלנו
פונקציה בכל זמן נתון.
לכן, כאשר אנחנו מדברים על
שיעור  השינוי בכל מקום
בהתייחס לזמן, מה זה יהיה?
ובכן, הוא שווה מהירות.
אז זה שווה מהירות.
אבל תנו לי לכתוב את זה
בסימונים שונים.
אז זה עצמו הולך
להיות פונקציה של זמן.
אז נוכל לכתוב את זה
כשווה ל s גרש של t .
אלה הם רק דרכים שונות
לכתיבת הנגזרת של s 
ביחס ל- t.
זה עושה את זה
קצת יותר ברור

Portuguese: 
O que acontece se
calculamos a derivada
de uma posição
em função do tempo?
Lembre-se, 
a derivada nos dá
o angulo de inclinação 
da tangente em qualquer ponto.
Então se consideramos um ponto aqui,
o ângulo de inclinação da tangente.
Nos mostra que 
para uma mudança muito pequena em t
--eu vou exagerar aqui visualmente--
para uma pequena mudança em t
quanto muda na posição?
Escrevemos que ds e dt
são derivadas da função de posição
em um dado tempo.
Então quando falamos da taxa
em que as posições mudam
em função do tempo,
o que é isso?
Isso é a velocidade.
Entáo isso é igual a velocidade.
Vou escrever isso de uma meneira diferente.
Então isto será em função do tempo
Então podemos escrever
que isso é igual a s linha de t.
São dois modos diferentes
de escrever
a derivada de s em função de t.
Isso torna um pouco mais claro

English: 
So what happens when
we take the derivative
of a position as a
function of time?
So remember, the
derivative gives us
the slope of the tangent
line at any point.
So let's say we're looking
at a point right over there,
the slope of the tangent line.
It tells us for a very
small change in t--
I'm exaggerating it visually--
for a very, very small change
in t, how much are we
changing in position?
So we write that as ds dt is
the derivative of our position
function at any given time.
So when we're talking about the
rate at which position changes
with respect to
time, what is that?
Well, that is equal to velocity.
So this is equal to velocity.
But let me write this
in different notations.
So this itself is going
to be a function of time.
So we could write this
is equal to s prime of t.
These are just
two different ways
of writing the derivative
of s with respect to t.
This makes it a
little bit clearer

Bulgarian: 
Какво се случва, когато намерим
производната
от позицията като функция на времето?
Припомни си, че производната
представлява
наклонът на допирателната във всяка
една точка.
Нека изберем ето тази точка тук
и покажем наклона на допирателната.
За едно много малко изменение
във времето t -
преувеличавам го визуално - за едно
много, много малко изменение
във времето t, какво е изменението
в позицията?
Означаваме го като ds/dt, което е и
производната
на функцията на позицията в кой да е
момент от време.
Когато говорим за скоростта,
с която се променя позицията,
спрямо времето, то как се нарича това?
Това представлява ускорението.
Ето този израз е равен на ускорението.
Нека обаче използвам различни
означения за това.
Този израз е функция на времето.
Можем да запишем, че е равен
на s' от t.
Това са просто два различни начина
да запишем производна на s,
спрямо времето t.
По този начин става малко по-ясно,

Thai: 
เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหาอนุพันธ์
ของตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา?
นึกดู อนุพันธ์จะให้
ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดใดๆ
สมมุติว่าเรากำลังหาจุดนี่ตรงนี้
ความชันของเส้นสัมผัส
มันบอกเราว่าสำหรับ
การเปลี่ยนแปลงของ t เล็กมาก --
ผมจะวาดให้มันเกินจริงหน่อย -- 
สำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กมากๆ
ของ t เราจะเปลี่ยนตำแหน่งไปเท่าใด?
 
เราเขียนมันว่า ds/dt เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตำแหน่งที่เวลาใดๆ
เมื่อเราพูดถึงอัตราที่ตำแหน่งเปลี่ยน
เทียบกับเวลา มันคืออะไร?
มันจะเท่ากับความเร็ว
อันนี้จึงเท่ากับความเร็ว
แต่ขอผมเขียนด้วยสัญลักษณ์อีกอย่างนะ
อันนี้เอง เป็นฟังก์ชันของเวลาอยู่แล้ว
เราเขียนอันนี้เป็น s ไพรม์ของ t ได้
นี่ก็แค่วิธีเขียน
อนุพันธ์ของ s เทียบกับ t ต่างกันสองวิธี
อันนี้ทำให้เห็นชัดขึ้น

Portuguese: 
que isso é diretamente
uma função do tempo.
E nós sabemos que isso
é exatamente a mesma coisa
que velocidade em função do tempo,
que expressaremos como v de t.
Vamos colocar no gráfico
como seria v de t nesse contexto.
Como seria isso?
Vou colocar outro eixo aqui em baixo
que se parece bastante com o original.
Vou deixar um pouco mais de espaço aqui,
agora está bom.
E agora vou colocar v de t no gráfico.
Outra vez, se esse é meu eixo y
esse é o eixo t,
e eu vou desenhar o gráfico
de y é igual a v de t.
E se isso realmente
é uma parábola,
a inclinação aqui é zero,
e a taxa de mudança é zero,
e segue aumentando.
A inclinação aumenta
mais e mais e mais...

Thai: 
ว่าตัวมันเองเป็นฟังก์ชันของเวลา
และเรารู้ว่านี่ก็เหมือนกับความเร็ว
เป็นฟังก์ชันของเวลา 
ซึ่งเราจะเขียนเป็น v ของ t
ลองวาดกราฟ v ของ t ว่าเป็นอย่างไรข้างล่างนี้
ลองวาดกราฟมันดู
ลองใช้แกนอีกชุดข้างล่างนี้
ให้ใกล้เคียงกับอันเดิม
ผมจะหาที่ว่างไว้หน่อย
มันดูดีแล้ว
แล้วขอผมวาดกราฟ v ของ t นะ
เหมือนเดม ถ้านี่คือแกน y นี่คือแกน t
และผมจะวาดกราฟ y เท่ากับ v ของ t
และถ้ามันเป็นพาราโบลาจริง
ความชันตรงนี้จะเป็น 0 
อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็น 0
แล้วมันก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
ความชันนั้นชันขึ้น ชันขึ้น และชันขึ้น
แล้ว v ของ t จะเป็นแบบนี้

iw: 
כי היא עצמה 
היא פונקציה של זמן.
ואנחנו יודעים שזהו
בדיוק אותו דבר כמו המהירות
כפונקציה של זמן, אשר
נכתוב כמו v של t.
אז בואו נצייר את איך v של t
עשויה להיראות כאן למטה.
בואו נצייר את זה.
אז תנו לי לשים עוד
ציר כאן למטה
שנראה קרוב למדי
למקור.
אני אתן לעצמי קצת קרדיט,
אז זה נראה די טוב.
ואז תנו לי לנסות
לצייר את v של t.
אז שוב, אם זה 
ציר ה- y שלי, זה ציר ה-t שלי,
ואני הולך לצייר את
y שווה ל v של t.
ואם זה באמת פרבולה,
אז השיפוע כאן הוא
0, שיעור השינוי הוא 0,
ואז זה ממשיך להגדול.
השיפוע הופך להיות 
יותר ויותר תלול.
ואז v  של t עשוי להיראות
בערך משהו כזה.

Korean: 
더 명확히 드러나죠
그리고 이것이 시간에 대한 함수인
속도, v(t)인 것을 압니다
v(t) 그래프가 어떻게 생겼는지 그려봅시다
그려볼게요
여기에 새로운 좌표축을 넣고
감쪽같네요
저한테 보수를 좀 줘야 겠어요
꽤 괜찮네요
그리고 v(t)그래프를 그려보겠습니다
다시 말하지만
이건 y축이고, 이건 t축입니다
y=v(t)그래프를 그릴 거에요
이게 진짜 포물선이라면
여기 기울기, 즉 변화율은 0이었다가
계속 커집니다
더, 더, 더 커집니다
그러면 v(t)는 이런 모습이겠네요

English: 
that this itself is
a function of time.
And we know that this is the
exact same thing as velocity
as function of time, which
we will write as v of t.
So let's graph what v of t
might look like down here.
Let's graph it.
So let me put another
axis down here that
looks pretty close
to the original.
I'll give myself
some real estate,
so that looks pretty good.
And then let me try
to graph v of t.
So once again, if this is my
y-axis, this is my t-axis,
and I'm going to graph
y is equal to v of t.
And if this really
is a parabola,
then the slope over here is
0, the rate of change is 0,
and then it keeps increasing.
The slope gets steeper
and steeper and steeper.
And so v of t might look
something like this.

Polish: 
czemu samo to jest funkcją czsu.
I wiemy, że to jest dokładnie to samo co prędkość
jako funkcja czasu, którą oznaczymy przez v(t).
Naszkicujmy jak mógłby wyglądać wykres v(t).
Naszkicujmy to.
Narysuję więc tu na dole kolejne osie
zupełnie podobne do oryginalnych.
Zrobię sobie trochę miejsca,
żeby to dobrze wyglądało.
A teraz pozwólcie, ze narysuję wykres v(t).
Wiec jeszcze raz, jeśli to jest moja oś y, to jest moja oś t
i zamierzam narysować wykres y równa się v(t).
I jeśli to rzeczywiście jest parabola,
to nachylenie tutaj jest 0, tempo zmian wynosi 0
a potem wzrasta.
Stromizna stycznej wzrasta.
Czyli v(t) mogłoby wyglądać jakoś tak.

Bulgarian: 
че това представлява функция
на времето.
Знаем, че този израз е абсолютно
същото нещо
като ускорението, което е функция
на времето и го записваме с v от t.
Нека покажем ето тук долу как
би изглеждала v от t.
Нека я начертаем.
Нека поставя още едни оси тук долу.
Изглеждат много близко
до първоначалните.
Осигурявам си малко повече място,
така че да изглежда наистина добре.
Нека сега да изобразя v от t.
Отново, това е оста у, а това оста t,
и ще изобразя у е равно на v от t.
Ако функцията у наистина е парабола,
то тогава наклонът ето тук е 0,
т.е. скоростта на изменение е 0,
а след това продължава да нараства.
Наклонът става все по-стръмен
и по-стръмен.
Тогава v от t би могла да изглежда
ето така.

Polish: 
Więc to jest wykres y równa się v(t).
Teraz, używając tego wykresu, pomyślmy
czy możemy wykoncypować odległość tudzież zmianę
położenia, pomiędzy chwilą czasu a oraz chwilą b.
Cóż, powróćmy do naszych sum Riemanna.
Pomyślmy co mogłoby reprezentować pole
bardzo małego prostokąta.
Więc podzielmy to na prostokąty.
Narysuję dość duże te prostokąty
tak abyśmy mieli wystarczającą do naszych celów przestrzeń.
Możecie sobie wyobrazić dużo mniejsze.
Zastosuję tutaj lewą sumę Riemanna
tak też narysowaliśmy prostokąty.
Ale moglibyśmy zastosować też prawą sumę Riemanna.
Moglibyśmy uciec się do sumy trapezów.
Moglibyśmy zrobić cokolwiek byśmy zechcieli.
I dalej moglibyśmy w ten sposób dokładnie kontynuować do samego końca,
pozwólcie, że ja skończę na trzecim.
Pozwólcie, ze narysuję trzy.

iw: 
אז זהו הגרף של
y שווה ל v של t.
עכשיו, באמצעות 
הגרף, בואו נחשוב
אם אנחנו יכולים להמשיג את
המרחק, או השינוי
במקום, בין הזמן a
ובין הזמן b.
ובכן, בואו נחזור
לסכומי רימן שלנו.
בואו נחשוב על 
השטח של מלבן קטן מאוד
ייצג.
אז בואו נחלק את זה 
לכמה מלבנים.
אז אני אעשה אותם 
מלבנים די גדולים
רק כך יש לנו
שטח לעבוד איתו.
אתם יכולים לדמיין
אותם הרבה יותר קטנים.
ואני הולך לעשות
סכומי רימן שמאליים כאן,
רק בגלל שעשינו אותם כבר.
אבל אנחנו יכולים לעשות את זה
כסכום רימן ימני.
אנחנו יכולים לעשות סכום של טרפז.
אנחנו יכולים לעשות מה שאנחנו רוצים.
ואז נוכל להמשיך
כל הדרך -- למעשה,
תנו לי רק לעשות שלושה עכשיו.
תנו לי רק לעשות שלושה פה.

Thai: 
 
นี่ก็คือกราฟของ y เท่ากับ v ของ t
ทีนี้ เมื่อใช้กราฟนี้ ลองคิด
ว่าเราจะคิดถึงระยะทาง หรือการเปลี่ยนแปลง
ของตำแหน่ง ระหว่างเวลา a กับเวลา b ได้ไหม
 
ลองกลับไปยังผลบวกรีมานน์กัน
ลองคิดกันว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากเล็กๆ
นั้นแสดงอะไร
ลองแบ่งพื้นที่นี้เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากหลายๆ อัน
ผมจะวาดเป็นสี่เหลี่ยมใหญ่หน่อย
เราจะได้มีที่เขียน
คุณนึกว่ามันเล็กกว่านี้มากๆ ได้
และผมจะหาผลบวกรีมานน์ซ้ายมือตรงนี้
เพราะเราได้ทำมาหลายครั้งแล้ว
แต่เราทำผลบวกรีมานน์ขวามือก็ได้
เราทำผลบวกสี่เหลี่ยมคางหมูก็ได้
เราทำแบบไหนก็ได้ตามตัองการ
แล้วเราก็ทำไปเรื่อยๆ --
ขอผมทำสักสามอันแล้วกัน
ขอผมทำสามอันตรงนี้

English: 
So this is the graph of
y is equal to v of t.
Now, using this
graph, let's think
if we can conceptualize
the distance, or the change
in position, between time
a and between time b.
Well, let's go back
to our Riemann sums.
Let's think about what an
area of a very small rectangle
would represent.
So let's divide this into
a bunch of rectangles.
So I'll do it fairly
large rectangles
just so we have some
space to work with.
You can imagine
much smaller ones.
And I'm going to do a
left Riemann sum here,
just because we've
done those a bunch.
But we could do it
right Riemann sum.
We could do a trapezoidal sum.
We could do anything we want.
And then we could keep going
all the way-- actually,
let me just do three right now.
Let me just do three
right over here.

Korean: 
그러면 v(t)는 이런 모습이겠네요
이것이 y=v(t)그래프 입니다
이제 이 그래프를 이용해서
시간 a와 b사이에서 거리
즉 위치의 차이를 구체적으로 살펴 봅시다
즉 위치의 차이를 구체적으로 살펴 봅시다
리만합으로 돌아가서
아주 작은 직사각형이 무엇을 의미하는지
생각해 봅시다
이 그래프의 아래 부분을
직사각형들로 나눕시다
좀 크게 그릴게요
쓸 공간이 필요하니까요
원래는 더 작은 직사각형이지만요
왼쪽 리만 합을 할 예정입니다
이전에 해 본 적이 있으니까요
물론 오른쪽 리만 합을 할 수도 있고요
원한다면야
사다리꼴들을 더할 수도 있습니다
이렇게 계속 그려 나가면 됩니다
3개의 직사각형을 그리겠습니다
여기에 마저 그리겠습니다

Portuguese: 
E então v de t 
parecerá algo assim.
Então esse é o gráfico
de y igual a v de t.
Agora, usando esse gráfico
vamos começar a pensar
se podemos conceitualizar a distância
ou a mudança de posição,
entre os tempos a e b.
Bom, vamos voltar
a soma de Riemann.
Vamos pensar no que a área 
de um retângulo bem pequeno
representa
E vamos dividir isso 
em vários retângulos.
Entáo eu vou fazer retângulos maiores
para ter mais espaço para trabalhar.
Podemos imaginar 
que eles são muito menores
Vou fazer a soma de 
Riemann à esquerda,
Porque nós fizemos muitas vezes.
Mas podia fazer à direita,
a trapezoidal.
Podia fazer o que quisesse.
E continuaríamos indo
em frente...
Deixa eu fazer três agora.
Vou fazer três aqui.

Bulgarian: 
Това е графиката на y равно на v от t.
Нека разгледаме графиката.
Нека да помислим как да представим
разстоянието,
или изменението между момент
от време а и момент b.
Нека отново си припомним
Римановите суми
и да помислим какво представя площта
на един много малък правоъгълник
Нека разделим тази площ на
множество правоъгълници.
Ще ги направя сравнително големи
правоъгълници,
само за да имаме място за работа.
Представи си, че са много по-малки.
Ще използвам лява Риманова сума,
само защото сме правили много
такива.
Можеш да използваш и десни
Риманови суми.
Може да използваме и трапецовидни
суми.
Можем да използваме всичко,
което искаме.
След това продължаваме ето така.
Нека направя три броя сега.
Нека ето тук направя три.

Thai: 
นี่เป็นการประมาณที่หยาบมากๆ
แต่คุณจินตนาการได้ว่ามันจะใกล้กว่านั้นได้
แต่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมแต่ละรูป
-- มันกำลังประมาณอะไร?
อันนี้ตรงนี้ คุณมี f ของ a
หรือผมควรเรียกว่า v ของ a
ความเร็วของเราที่เวลา a คือความสูงตรงนี้
แล้วระยะนี่ตรงนี้
คือการเปลี่ยนแปลงของเวลา คูณเดลต้า t
พื้นที่สำหรับสี่เหลี่ยมมุมฉากนั้นคือความเร็ว
ที่ขณะนั้นคูณการเปลี่ยนแปลงของเวลา
ความเร็วที่ขณะนั้นคูณการเปลี่ยนแปลง
ของเวลาเป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
อันนี้จะบอกคุณ -- นี่คือการประมาณ
การเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง ส่วนเวลานี้
แล้วพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก คือการประมาณ
การเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง
ในช่วงเวลาเดลต้า t ต่อไป
แล้ว คุณคงนึกได้ รูปนี่ตรงนี้
คือการประมาณการเปลี่ยนแปลง
ตำแหน่งสำหรับเดลต้า t ต่อไป
ถ้าคุณอยากหาการเปลี่ยนแปลง

iw: 
ולכן זה למעשה
קירוב גס מאוד,
אבל אתם יכולים לדמיין
שזה עלול להתקרב.
אבל מה הוא השטח של
כל אחד מהמלבנים האלה
מנסים-- למה זה
מתקרב?
ובכן, זה 
שכאן, יש לכם f של a ,
או בעצם הייתי צריך להגיד v של a.
אז המהירות שלכם בכל פעם היא
הגובה המתאים לכאן.
ואז המרחק הזה פה
הוא השינוי
בזמן, כפול דלתא t.
אז השטח של
המלבן הוא המהירות שלך
באותו רגע כפול
השינוי שלכם בזמן.
מהי המהירות
באותו רגע
כפול השינוי שלכם בזמן?
ובכן, זה הולך להיות
השינוי במיקום שלכם.
אז זה יגיד לכם--
זהו קירוב
של השינוי שלכם
במיקום לאורך הזמן הזה.
ואז השטח של המלבן הזה
הוא עוד קירוב
לשינוי שלכם במיקום
בדלתא t הבא.
ואז, אתם יכולים לדמיין,
זה כאן
הוא הקירוב
לשינוי שלכם
במיקום של
הדלתא t הבא.
אז אם אתם באמת רוצים
להבין את השינוי שלכם

Polish: 
Wychodzi na to, że to jest bardzo niedokładne przybliżenie,
ale możecie sobie wyobrazić, że mogłoby być dokładniejsze.
Ale co to jest za obszar, którego pole każdy z prostokątów
próbuje-- co one aproksymują?
Cóż, ten tutaj, macie f(a),
właściwie powinienem powiedzieć v(a).
Czyli wasza prędkość w momencie a jest równa dokładnie tej wysokości tutaj.
A ta odległość tutaj
jest zmianą czasu, razy delta t.
Czyli pole tego prostokąta to nasza prędkość
w tym momencie razy nasz przyrost czasu.
Ile wynosi prędkość w tym momencie
razy przyrost czasu?
Cóż, to będzie właśnie równe naszej zmianie położenia.
Zatem to powie nam-- to jest aproksymacja
naszej zmiany położenia w przeciągu tego czasu.
Dalej, pole tego prostokąta jest kolejnym przybliżeniem
zmiany położenia w przeciągu kolejnego delta t.
Następnie, możecie sobie wyobrazić, że tutaj
to jest aproksymacja dla naszej zmiany
położenia dla kolejnego delta t.
Więc jeśli naprawdę chcecie przekonać się jak duża jest zmiana

English: 
And so this is actually a
very rough approximation,
but you can imagine
it might get closer.
But what is the area of
each of these rectangles
trying-- what is it
an approximation for?
Well, this one right over
here, you have f of a,
or actually I should say v of a.
So your velocity at time a is
the height right over here.
And then this distance
right over here
is a change in
time, times delta t.
So the area for that
rectangle is your velocity
at that moment times
your change in time.
What is the velocity
at that moment
times your change in time?
Well, that's going to be
your change in position.
So this will tell you--
this is an approximation
of your change in
position over this time.
Then the area of this rectangle
is another approximation
for your change in position
over the next delta t.
And then, you can imagine,
this right over here
is an approximation
for your change
in position for
the next delta t.
So if you really wanted
to figure out your change

Korean: 
사실 이건 대략적일 뿐이지만
더 비슷한 걸 머릿속으로 그려 볼 수 있겠죠
그렇다면 이 직사각형 넓이가 무엇을 뜻하고
이것의 근삿값는 무엇일까요?
여기가 바로 f(a)입니다
사실 v(a)라고 해야겠네요
v(a)의 크기는
바로 여기까지 높이와 같습니다
그리고 이곳까지의 거리 차는
시간의 변화입니다
곱하기 Δt
그래서 이 직사각형의 넓이는
이 순간의 속도와
시간 변화를 곱한 값입니다
그 순간의 속도와 시간 변화를 곱한 것이
과연 무엇일까요?
그건 위치 변화입니다
이것은 이 시간 동안의
위치 변화의 근삿값입니다
그리고 또다른 직사각형은
다음 Δt동안의
위치 변화의 근삿값입니다
감이 오죠
바로 이 옆은
다음 Δt 동안의
위치 변화의 근삿값입니다
그러니 a와 b사이의 위치 변화를

Bulgarian: 
Това действително е много грубо
приближение,
но можеш да си представиш,
че може да е още по-близко.
Какво представлява площта
на всеки един от тези правоъгълници?
На какво е приближение?
За този ето тук имаме f от а
или мога да кажа v от а.
Скоростта в момент от време а,
е височината в тази точка.
А разстоянието ето тук,
е изменението на времето t,
което е ∆t.
Площта на този правоъгълник
е ускорението
в дадения момент по изменението
във времето.
На какво е равно ускорението
в този момент по изменението
във времето.
Това ще бъде равно на изменението
в позицията.
Получаваме приближение
на изменението
в позицията върху ето този
интервал от време.
Тогава площта на ето този
правоъгълник отново е приближение
на изменението в позицията върху
следващото ∆t.
След това можеш да си представиш,
че това ето тук,
е приближение на изменението
в позицията върху следващото ∆t.
Ако наистина искаш да намериш
изменението

Portuguese: 
Como uma aproximação,
mas você pode imaginar
mais proximos.
Mas o que a área de cada um
desses retângulos...
Do que isso é uma aproximação?
Bom, esse aqui
você tem f de a.
Ou eu deveria dizer v de a.
Então a velocidade 
no tempo a é essa altura aqui.
E a distancia, essa aqui,
é uma mudança no tempo,
tempo delta t.
Então a área do retângulo é a velocidade
nesse momento, multiplicada
pela mudança no tempo.
O que é a velocidade
nesse momento
multiplicada pela
mudança no tempo?
É exatamente 
a mudança na posição.
Então, isso te diz--
isso é uma aproximação
da mudança na posição
durante esse tempo.
A área desse retângulo
também é uma aproximação
para a mudança de posição
do próximo delta t.
E você pode imaginar--
isso aqui
é uma aproximação
da mudança da posição
para o próximo delta t
Se você realmente quer entender

Polish: 
położenia pomiędzy a i b możecie
chcieć posłużyć się sumą Riemanna dla jej oszacowania.
Będziecie wówczas chcieli wziąć sumę od i równego 1
do i równego n z v od-- i chcę mieć lewą sumę Riemanna,
ale powtarzam, możemy równie dobrze brać punkt środkowy.
Albo moglibyście brać trapezy.
Moglibyśmy wziąć prawą sumę Riemanna.
Ja jednak biorę lewą, bowiem
to odpowiada rysunkowi-- v(ti-1).
Więc to byłoby t0 równe a.
Zatem to jest pierwszy prostokąt.
Zatem pierwszy prostokąt, używamy wartości funkcji w t0.
Dla drugiego prostokąta używamy
wartości funkcji w t1.
Robiliśmy tak już jak dotąd w wielu filmach.
Następnie mnożymy to przez każdą ze zmian czasu.
To będzie aproksymacja dla naszej łącznej--
niech to wyjaśnię-- gdzie delta t jest

English: 
in position between
a and b, you might
want to just do a Riemann sum
if you wanted to approximate it.
You would want to take
the sum from i equals 1
to i equals n of v of-- and
I'll do a left Riemann sum,
but once again, we
could use a midpoint.
We could do trapezoids.
We could do the
right Riemann sum.
But I'll just do a left
one, because that's
what I depicted right
here-- v of t of i minus 1.
So this would be t0, would be a.
So this is the first rectangle.
So the first rectangle, you use
the function evaluated at t0.
For the second
rectangle, you use
the function evaluated at t1.
We've done this in
multiple videos already.
And then we multiply it times
each of the changes in time.
This will be an
approximation for our total--
and let me make it
clear-- where delta t is

Thai: 
ตำแหน่งระหว่าง a กับ b จริงๆ คุณอาจ
จะอยากหาผลบวกรีมานน์ 
ถ้าคุณอยากประมาณมัน
คุณก็หาผลบวกจาก i เท่ากับ 1
ถึง i เท่ากับ n ของ v ของ -- 
ผมจะหาผลบวกรีมานน์ทางซ้าย
แต่ย้ำอีกครั้งว่า เราใช้จุดกึ่งกลางก็ได้
เราใช้สี่เหลี่ยมคางหมูก็ได้
เราใช้ผลบวกรีมานน์ขวามือก็ได้
แต่ผมจะใช้อันซ้ายมือ เพราะนั่นคือ
สิ่งที่ผมวาดตรงนี้ -- v ของ t ของ i ลบ 1
อันนี้ควรเป็น t0 ก็คือ a
อันนี้คือสี่เหลี่ยมมุมฉากแรก
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปแรก 
คุณใช้ฟังก์ชันหาค่าที่ t0
สำหรับสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สอง คุณใช้
ฟังก์ชันหาค่าที่ t1
เราทำแบบนี้ในหลายวิดีโอแล้ว
แล้วเราคูณแต่ละตัว
ด้วยการเปลี่ยนแปลงของเวลา
อันนี้จะเป็นการค่าประมาณสำหรับ --
ขอผมบอกให้ชัดนะ -- เมื่อเดลต้า t

Korean: 
계산하고 싶으면
단지 리만 합을 합시다
근삿값을 구하고 싶다면요
i=1 부터 i=n 까지 합을 구하고 싶습니다
v의 왼쪽 리만 합을 할텐데요
중점을 이용해도 괜찮습니다
사다리꼴을 이용할 수도
오른쪽 리만 합을 할 수도 있지만
왼쪽 리만 합을 할 텐데요
왜냐하면 그것이
여기 v(ti-1)에 그린 것이기 때문이죠
이건 t0이자 a입니다
이 첫 번째 직사각형의 넓이는
t0의 값을 이용하여 구할 것이고
이 두 번째 직사각형의 넓이는
t1의 값을 이용할 것입니다
이것에 관한 동영상은 이미 많이 올렸습니다
그리고 각각 시간의 변화를 곱하겠습니다
이건 근삿값이네요
Δt는

Bulgarian: 
в позицията между a и b,
може би ще искаш да намериш
Римановата сума като приближение.
Тогава намираме сумата от i равно на 1
до i равно на n, от v от t. Ще използваме
лява Риманова сума,
но можеш да използваш средна точка,
или трапеци,
или дясна Риманова сума.
Просто ще използвам обаче лява
такава,
защото това е, което изобразих
ето тук - v от t от i минус 1.
Това ще бъде t0 или точка а.
Това е първият правоъгълник.
За първия правоъгълник използваме
функцията, изчислена в t0.
За втория правоъгълник използваме
функцията, изчислена в t1.
Това вече сме го правили в множество
видео уроци.
След това умножаваме по всяко
едно от измененията във времето.
Това ще бъде приближение
на цялата площ.
Нека да го изясня. ∆t е равно

iw: 
במקום בין a ו b, אתם עלולים
לרצות רק לעשות סכומי רימן
אם אתם רוצים למצוא קירוב.
הייתם רוצים לקחת
את הסכום מ i שווה 1
ל- i  שווה ל- n -- 
ואני אעשה סכום רימן שמאלי,
אבל שוב, אנחנו
יכול להשתמש בנקודת אמצע.
אנחנו יכולים לעשות טרפזים.
אנחנו יכולים לעשות את
סכום רימן ימני.
אבל אני פשוט אעשה שמאלי
, כי זה
מה ששרטטתי כאן
--v  של t של i מינוס 1.
אז זה יהיה t0, יהיה.
אז זהו מלבן הראשון.
אז המלבן הראשון, אתם משתמשים
בפונקציה מוערכת ב t0.
עבור המלבן השני
, אתם משתמשים
בפונקציה מוערכת ב t1.
עשינו את זה
כבר בכמה סרטונים.
ואז נכפיל את זה 
בכל השינויים בזמן.
זה יהיה
קירוב עבור הסכום הכולל שלנו
ותנו לי לעשות את זה
ברור --כאשר דלתא t

Portuguese: 
a mudança de posição
entre a e b, você poderia
fazer uma soma de Riemann,
se quiser uma aproximação.
Você iria querer fazer
a soma de i igual 1
para i igual a n de v--
vou fazer a soma de Riemann à esquerda,
Mas podíamos 
usar um ponto médio,
trapezóides,
a soma de Riemann à direita
Eu farei à esquerda, porque
já coloquei aqui--
v de t de i menos um.
Então isso seria tzero, seria a.
Esse é o primeiro retângulo.
Para o primeiro retângulo,
você usa a função avaliada em t zero
Para o segundo, você usa
a função avaliada em t um.
Já fizemos isso em vários vídeos.
E então multiplicamos isso 
por cada mudança no tempo.
Será uma aproximação do nosso total:
onde o delta t é igual a b menos a

iw: 
שווה ל b מינוס a חלקי
מספר הקטעים שלנו.
אנחנו כבר יודעים, 
מסרטוני וידאו רבים, רבים
כשהסתכלנו
על סכומי רימן, שזה
יהיה קירוב
של שני דברים.
כבר דיברנו על שזה יהיה
קירוב לשינוי שלנו
במקום, אבל זה גם
קירוב עבור השטח שלנו.
אז זה ממש כאן.
אז אנחנו מנסים להתקרב
לשינוי במיקום.
וזה גם הערכה
של השטח מתחת לעקומה.
אז אני מקווה שזה
מספק אתכם שאם אתם
מסוגלים לחשב את השטח
שתחת העקום-- ולמעשה,
זה די קל ,
כי זה טרפז.
אבל גם אם זו היתה פונקציה,
אם זו היתה פונקציה ומטורפת,
זה היה עדיין חל
כי כשאתם
מחשבים את השטח שמתחת
לעקומה של פונקציית מהירות,
אתם בעצם מוצאים
את השינוי במיקום.
אלו הם שני דברים.
ובכן, אנחנו כבר
יודעים, מה יכולנו
לעשות כדי לקבל את במדויק את
השטח שמתחת לעקומה,
או לקבל את במדויק את
השינוי במיקום?

Polish: 
równa b odjąć a nad liczbę przedziałów.
Wiemy już z wielu wielu filmów,
w których przyglądaliśmy się sumom Riemanna, że to
będzie aproksymacja dwóch wielkości.
Właśnie opowiedzieliśmy sobie, że będzie to aproksymacja naszej zmiany
położenia, ale to jednocześnie aproksymacja dla naszego pola powierzchni.
Czyli to tutaj.
Próbujemy aproksymować zmianę położenia.
Ale to jest także przybliżenie pola obszaru pod krzywą.
Miejmy nadzieję, że wydaje się wam to satysfakcjonujące, iż jeśli
jesteście w stanie policzyć pole pod krzywą-- właściwie
w naszym przykładzie jest całkiem łatwo, bo to jest trapez.
Ale nawet gdyby była to funkcja, gdyby była to jakaś zwariowana funkcja,
to nadal pozostaje w mocy stwierdzenie, że kiedy
obliczacie pole pod wykresem funkcji prędkości,
to właściwie obliczacie zmianę położenia.
To są te dwie rzeczy.
Cóż, już wiemy co moglibyśmy
zrobić żeby otrzymać dokładne pole pod krzywą,
lub żeby otrzymać dokładną zmianę położenia?

Portuguese: 
dividido pelo número de intervalos.
Já sabemos de muitos vídeos que,
quando temos a soma de Riemann,
teremos uma aproximação para duas coisas.
Como dissemos, para a mudança de posição,
mas também será uma aproximação
para a nossa área.
Como você pode ver aqui.
Estamos aproximando a mudança de posição
E isso também é a aproximação
da área abaixo da curva.
Espero que isso te satisfaça
Se você é capaz de calcular 
a área abaixo da curva
Essa aqui é muito fácil,
porque é um trapezóide.
Mas mesmo que fosse uma função,
seria o mesmo:
se pode se calcular
a área abaixo da curva 
da função da velocidade
você está calculando
uma mudança na posição.
Essas são as duas coisas.
Sabemos o que 
podemo fazer
para determinar
a área abaixo da curva,
ou para ter a exata mudança na posição?

English: 
equal to b minus a over the
number of intervals we have.
We already know, from
many, many videos
when we looked at
Riemann sums, that this
will be an approximation
for two things.
We just talked about it'll be
an approximation for our change
in position, but it's also an
approximation for our area.
So this right over here.
So we're trying to approximate
change in position.
And this is also approximate
of the area under the curve.
So hopefully this
satisfies you that if you
are able to calculate the area
under the curve-- and actually,
this one's pretty easy,
because it's a trapezoid.
But even if this was a function,
if it was a wacky function,
it would still apply
that when you're
calculating the area under the
curve of the velocity function,
you are actually figuring
out the change in position.
These are the two things.
Well, we already
know, what could we
do to get the exact
area under the curve,
or to get the exact
change in position?

Korean: 
(b-a)/n
n은 간격의 수입니다
리만 합과 관련된 많은 동영상에서
다루었다시피 말입니다
본론으로 넘어가서,
이건 두 가지의 근삿값입니다
이건 위치 변화의 근삿값이기도 하고
또한 넓이의 근삿값이기도 합니다
여기에
위치 변화의 근삿값을 구할 것입니다
위치 변화의 근삿값을 구할 것입니다
이건 또한 곡선 아래의 넓이 근삿값 입니다
이건 또한 곡선 아래의 넓이 근삿값 입니다
이 곡선 아래 넓이를 계산하는 데에
잘 이해가 되기를 바랍니다
사실 사다리꼴이니 어렵지 않지만
하지만 만약에
만약에 함수가 괴상하게 생겼다면
그때도 여전히, 속도 함수의
곡선 아래 넓이를 계산하려고 할 때
위치 변화를 생각할 것입니다
이 두가지를 말이에요
우린 이미 알고 있어요
곡선 아래 정확한 넓이를 계산하려면
무엇을 해야 하는지
아니면 정확한 위치 변화라고도 할 수 있고요

Bulgarian: 
на b минус а върху броя интервали,
които имаме.
Вече знаем от множеството видео
уроци,
когато погледнем Римановите суми,
че това ще бъде приближение
на две неща.
Току-що говорихме за приближение
в изменението на позицията.
Това обаче е приближение за нашата
площ.
Записвам го ето тук.
Искаме да получим приближение
в позицията.
Това е изменение на площта
под кривата.
Надявам се, че това те удовлетворява.
Можеш да изчислиш площта
под кривата,
което в случая би било много лесно,
защото е трапец.
Дори и обаче, ако това беше някаква
странна функция,
все още е валидно, че, ако изчисляваш
площта под кривата на функция
на ускорението,
то всъщност намираш изменението
в позицията.
Това са двете неща.
Вече знаем какво можем да направим,
за да намерим площта под кривата,
или да получим точното изменение
в позицията.

Thai: 
เท่ากับ b ลบ a ส่วนจำนวนช่วงที่เรามี
เรารู้แล้ว จากหลายๆ วิดีโอ
ตอนเราดูผลบวกรีมานน์ ว่า
ค่านี้คือการประมาณของสองอย่าง
เราเพิ่งบอกไปว่า มันคือ
การประมาณการเปลี่ยนแปลง
ตำแหน่ง แต่มันเป็นการประมาณพื้นที่เช่นกัน
อันนี้ตรงนี้
เราพยายามประมาณ
การเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
 
และนี่ก็คือการประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งเช่นกัน
 
หวังว่าคุณคงพอใจแล้ว
ถ้าคุณคำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้งได้ -- ที่จริง
อันนี้ง่ายทีเดียว เพราะมันคือสี่เหลี่ยมคางหมู
แต่หากนี่เป็นฟังก์ชัน 
ถ้ามันเป็นฟังก์ชันที่เหวี่ยงไปมา
มันก็ยังใช้ได้ ถ้าคุณ
คำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชันความเร็ว
คุณจะหาการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งได้
มันมีสองอย่าง
เรารู้แล้ว เราทำอะไรได้
ถึงจะเจอพื้นที่ใต้เส้นโค้งพอดี
หรือได้การเปลี่ยนแปลง
ของตำแหน่งที่ถูกต้องพอดี?

Bulgarian: 
Просто имаме множество
правоъгълници.
Вземаме границата от броя на
правоъгълниците,
които имаме, когато броят клони
към безкрайност.
Намираме границата, когато n
клони към безкрайност.
Когато n клони към безкрайност,
а ∆t е b minus a, разделено на n,
то ∆t ще бъде безкрайно малка
стойност.
Ще бъде равно на dt и това един от
начините да го разглеждаш.
Вече имаме израз за тази идея.
Това е един от начините да разглеждаш
Риманов интеграл.
Просто използваме лява Риманова
сума.
Припомням, че можем да
използваме
дясна Риманова сума и т.н., и т.н.
Можехме да използваме по-общ вид
на Римановата сума, но този също
ще свърши работи.
Тогава този израз е равен на определен
интеграл
от a до b, v от t dt.
Това е един от начините да кажем,
че ако търсим точната площ под
кривата на ускорението -
което е равно на точното изменение
в позицията
между a и b, то можем да го представим
по този начин.
Това е границата на тази Риманова
сума, когато n клони към безкрайност,
или определен интеграл от a до b,
v от t dt.
Какво обаче открихме току-що?

iw: 
ובכן, אנחנו רק צריכים
המון מלבנים.
אנחנו לוקחים את הגבול
כשמספר המלבנים
שיש לנו שואף לאינסוף.
אנחנו לוקחים את הגבול 
כש-n שואף לאינסוף.
וכאשר n מתקרב 
לאינסוף, כי דלתא t הוא
ה b מינוס a חלקי
n, דלתא t הוא
הולך וקטן לאין שיעור.
זה הולך להפוך ל dt,
היא דרך אחת לחשוב על זה.
וכבר יש לנו
סימון לזה.
זוהי דרך אחת לחשוב
על אינטגרל רימן.
אנחנו פשוט משתמשים
בסכום רימן שמאלי.
שוב, נוכל להשתמש
בסכום רימן ימני, וכולי,
וכולי.
יכולנו להשתמש
בסכום רימן כללי יותר,
אבל זה יעבוד.
אז זה יהיה שווה
לאינטגרל המסוים
מ- a ל- b של v של dt ,t.
אז הנה דרך אחת לומר, תראו,
אם אנחנו רוצים את השטח המדויק שמתחת
העקום, של המהירות
עקום, אשר הולך להיות
השינוי המדויק במקום
בין a ו- b, אנחנו
ניתן לסמן זאת כך.
זהו הגבול זה של הסכום רימן
כאשר n שואף לאינסוף,
או האינטגרל המסוים
מ- a ל- b של v של dt t.
אבל מה רק גילינו?

Thai: 
เราก็ทำให้มีสี่เหลี่ยมมุมฉากจำนวนมหาศาล
เราหาลิมิตเมื่อจำนวนสี่เหลี่ยมมุมฉาก
เราเข้าหาอนันต์
เราหาลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ เพราะเดลต้า t
คือ b ลบ a หารด้วย n, เดลต้า t
จะเล็กจิ๋ว
มันจะเปลี่ยนเป็น dt นั่นคือวิธีคิดอย่างหนึ่ง
และเรามีสัญลักษณ์สำหรับลิมิตนี้แล้ว
นี่คือวิธีคิดถึงอินทิกรัลแบบรีมานน์อย่างหนึ่ง
เราแค่ใช้ผลบวกรีมานน์ซ้ายมือ
ย้ำอีกครั้ง เราใช้ผลบวกรีมานน์ขวามือ 
และอื่นๆ ได้
ฯลฯ
เราใช้ผลบวกรีมานน์ที่ทั่วไปกว่านี้ได้
แต่อันนี้จะก็ใช้ได้
อันนี้จะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก a ถึง b ของ v ของ t dt
อันนี้ตรงนี้คือวิธีบอกว่า ดูนะ
ถ้าเราต้องการพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ของเส้นโค้ง
ความเร็ว ซึ่งก็คือการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
ระหว่าง a กับ b พอดี เราก็เขียนแบบนี้ได้
มันคือลิมิตของผลบวกรีมานน์
เมื่อ n เข้าหาอนันต์
หรืออินทิกรัลจำกัดเขตจาก a ถึง b
ของ v ของ t dt
แต่เราเพิ่งหาอะไรไป?

English: 
Well, we just have
a ton of rectangles.
We take the limit as
the number of rectangles
we have approaches infinity.
We take the limit as
n approaches infinity.
And as n approaches
infinity, because delta t is
b minus a divided
by n, delta t is
going to become
infinitely small.
It's going to turn into dt,
is one way to think about it.
And we already have
notation for this.
This is one way to think
about a Riemann integral.
We just use the
left Riemann sum.
Once again, we could use the
right Riemann sum, et cetera,
et cetera.
We could have used a
more general Riemann sum,
but this one will work.
So this will be equal
to the definite integral
from a to b of v of t dt.
So this right over here is
one way of saying, look,
if we want the exact area under
the curve, of the velocity
curve, which is going to be
the exact change in position
between a and b, we
can denote it this way.
It's the limit of this Riemann
sum as n approaches infinity,
or the definite integral
from a to b of v of t dt.
But what did we just figure out?

Polish: 
Cóż, mamy tylko mnóstwo prostokątów.
Bierzemy granicę przy liczbie prostokątów
dążących do nieskończoności.
Bierzemy granicę przy n dążącym do nieskończoności.
I podczas gdy n zbiega do nieskończoności, ponieważ delta t jest równe
b minus a podzielić przez n, delta t
staje się nieskończenie małe.
"Przejdzie" w dt, to jeden ze sposobów jak można o tym myśleć.
A my mamy już na to oznaczenie.
To jeden ze sposobów myślenia o całce Riemanna.
Po prostu używamy lewej sumy Riemanna.
Znowu, moglibyśmy użyć prawej sumy, et cetera,
et cetera.
Moglibyśmy użyć bardziej ogólnej sumy Riemanna,
ale ta wystarczy.
Więc to będzie równe całce określonej
od a do b z v(t) dt.
Czyli ten tutaj to jeden ze sposobów powiedzenia, spójrzcie,
jeśli chcemy mieć dokładne pole pod krzywą, pod krzywą
prędkości, które będzie równe dokładnej zmianie położenia
w czasie od a do b, możemy zapisać to w ten sposób.
To jest granica sum Riemanna przy n dążącym do nieskończoności,
albo całka określona od a do b z v(t) dt.
Ale czego właśnie udało się dociec?

Portuguese: 
Bom, temos muitos retângulos.
Usamos o limite como 
número de retângulos
porque nos aproximamos 
de infinito.
Usamos o limite quando
n se aproxima de inifinito
E n se aproxima de infinito,
porque delta t é
b menos a dividido por n,
delta t será infinitamente pequeno.
Uma maneira de pensar é que
se transformará em dt.
E já aprendemos a notação para isso.
Essa é uma maneira de pensar
numa integral de Riemann.
Usamos a soma de 
Riemann à esqueda
Outra vez podíamos usar
a soma à direita
Podíamos usar 
qualquer soma de Riemann
Mas essa funcionará.
Então isso será igual 
a integral definida
de a para b de v de t dt.
Essa é uma maneira de dizer,
se queremos a área 
abaixo da curva da velocidade
que será exatamente a mudança
de posição entre a e b,
podemos escrever assim.
É o limite dessa soma de Riemann
quando n tende a infinito,
ou a integral definida
de a para b de v de t dt.
O que acabamos de entender?

Korean: 
아주 많은 직사각형을 가지고 있죠
직사각형 개수를 무한대로 갈 때
극한을 취하면 됩니다
n을 무한대로 갈 때의
극한을 취했습니다
n이 무한으로 커지면
Δt는 (b-a)/n 이기 때문에
Δt는 무한정 작아집니다
이것이 dt가 된다고 생각해도 좋습니다
이미 이런 표기법이 있기도 하고요
이건 리만 적분을 받아들이는 한 방법입니다
그냥 왼쪽 리만 합을 이용하겠습니다
다시 말하지만, 다른 방법도 괜찮습니다
오른쪽 리만 합처럼요
좀더 일반적인 리만합을 써도 괜찮지만
이것도 괜찮습니다
이건 분명 a부터 b까지
∫v(t)dt 입니다
이건 표현의 차이일 뿐입니다, 보세요
속도에 대한 곡선의
아래 넓이 즉
a와 b사이의 위치 차를 구하고 싶다면
이런 방법으로 나타낼 수 있습니다
n을 무한대로 보냄으로서
리만 합의 극한을 취합니다
아니면 a부터 b까지 ∫v(t)dt를 계산함으로서요
그래서 뭘 알아낼 수 있는거죠?

English: 
So remember, this is
the-- we could call this
the exact change in position
between times a and b.
But we already figured
out what the exact change
in position between
times a and b are.
It's this thing right over here.
And so this gets interesting.
We now have a way of evaluating
this definite integral.
Conceptually, we
knew that this was
the exact change in
position between a and b.
But we already figured
out a way to figure out
the exact change of
position between a and b.
So let me write all this down.
We have that the definite
integral between a and b
of v of t dt is equal
to s of b minus s of a

Thai: 
นึกดู นี่คือ -- เราเรียกมันว่าการเปลี่ยน
ของตำแหน่งพอดีระหว่างเวลา a กับ b
แต่เราหาการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งพอดี
ระหว่างเวลา a กับ b ไปแล้ว
มันก็คือสิ่งนี่ตรงนี้
และอันนี้น่าสนใจ
ตอนนี้เรามีวิธีหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขตนี้แล้ว
โดยหลักการแล้ว เรารู้ว่านี่คือ
การเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งระหว่าง a กับ b
แต่เราเพิ่งหาวิธีหา
การเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
ระหว่าง a กับ b ไป
ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ลงไปนะ
เรามีอินทิกรัลจำกัดเขตระหว่าง a กับ b
ของ v ของ t dt เท่ากับ s ของ b ลบ s ของ a

Bulgarian: 
Припомни си следното. Можем да
наречем този интеграл
точното изменение в позицията между
момент от време a и b.
Вече обаче намерихме на какво
е равно
точното изменение в позицията
между моментите a и b.
Равно е на този израз ето тук.
Сега вече става интересно.
Разполагаме с начин за изчисление
на този определен интеграл.
Като идея знаем, че това е точното
изменение в позицията между
моментите a и b.
Вече обаче открихме начин за намиране
на точното изменение в позицията
между моментите a и b.
Нека запиша всичко това.
Знаем, че определеният интеграл
между a и b,
v от t dt, е равен на s от b минус s от а -

Polish: 
Zatem pamiętajcie, to jest-- moglibyśmy nazwać to
dokładną zmianą położenia między chwilą a i b.
Ale już dowiedliśmy jaka jest dokładna zmiana
położenia między chwilą a i b.
To jest ten napis tutaj, o to chodzi.
A zatem robi się ciekawie.
Mamy teraz sposób na policzenie tej całki oznaczonej.
Koncepcyjnie wiedzieliśmy, że to była
dokładna zmiana położenia w przeciągu od a do b.
Ale wymyśliliśmy właśnie jak znajdywać
dokładną zmianę położenia w czasie od a do b.
Pozwólcie, że wszystko to zapiszę.
Mamy że całka określona od a do b
z v(t) dt jest równa s(b) odjąć s(a)

Korean: 
이것이
시간 a와b사이의 '정확한'
위치 차를 뜻한다는 것이 기억 나나요?
하지만 우린 이 a와 b사의 위치 차를
이미 알고 있습니다
바로 여기에 있죠
흥미롭군요
이제 우린 이 정적분 값을
확인할 방법을 얻었습니다
개념상으로, 이건 a와 b사이의
위치 차이입니다
하지만 a와 b사이의 위치 차이는
이미 알아냈습니다
여기에 쓰겠습니다
a부터 b까지의 ∫v(t)dt는
s(b)-s(a)입니다

iw: 
אז זכרו, זהו-- נוכל לקרוא לזה
השינוי המדויק במיקום
בין הזמנים a ו- b.
אבל אנחנו כבר הבנו
מה השינוי המדויק
במיקום בין
הזמנים a ו- b .
זהו זה דבר כאן.
וכך זה מתחיל להיות מעניין.
עכשיו יש לנו דרך להעריך
את האינטגרל המסוים הזה.
מבחינה מושגית, אנו
ידענו שזה היה
השינוי המדויק
במיקום בין a ו- b.
אבל כבר מצאנו דרך להבין
את השינוי המדויק של
במיקום בין a ו- b.
אז תנו לי לכתוב את כל זה.
יש לנו שאינטגרל המסוים בין a ו- b
של v של dt tשווה ל b מינוס s של a

Portuguese: 
Lembre-se que isso é
exatamente a mudança de posição
entre os pontos a e b.
Nós já descobrimos antes
a mudança de posição
entre a e b.
É isso aqui.
Então fica mais interessante.
Temos uma maneira de avaliar
essa integral definida.
Conceitualmente, 
sabemos que
isso é a mudança
de posição entre a e b.
Mas já descobrimos
um modo de determinar
a exata mudança 
de posição entre a e b.
Vou escrever aqui.
Temos que a integral 
definida entre a e b
de v de t dt é igual a 
s de b menos s de a

Bulgarian: 
нека го запиша с нов цвят - където
s от t е следното.
Знаем, че v от t е производната на s от t,
така че можем да заявим, че s от t
е примитивната функция на v от t.
Това означение, въпреки, че съм
го записал
по много нестандартен начин, чрез
ускорението,
е Втората фундаментална теорема
на математическия анализ.
Може би се чудиш коя е първата.
Ще я разгледаме в друг урок.
Това обаче е много полезен начин
за изчисление
на определен интеграл и намиране
на площ под крива.
Тоест чрез Втората фундаментална
теорема на анализа,
която е много тясно свързана
с Първата фундаментална теорема,
която няма да разглеждаме сега.
Защо това е толкова важно?
Нека да го запиша в по-общ вид,
т.е. по начин, по който може би
имаш навика
да го виждаш в учебника ти по анализ.
Теоремата гласи, че, ако искаме
да намерим площта
под кривата - между две точки
от оста х a и b,

Portuguese: 
-- vou usar outra cor aqui--
onde s de t é --
Sabemos que v de t
é a derivada de s de t,
então podemos dizer que s de t
é a antiderivada de v de t.
E essa definição, apesar de estar
escrita de modo pouco tradicional
(eu usei posição e velocidade--)
É o segundo teorema 
fundamental do cálculo.
E qual é o primeiro?
Falaremos sobre ele em outro vídeo.
Esse é um modo
muito útil de avaliar
integrais definidas
e de encontrar áreas
abaixo de uma curvas.
Segundo teorema fundamental do cálculo
Porque ele é tão importante?
Vou escrevê-lo usando
uma notação mais genérica,
do modo que você 
está acostumado
no seu livro de cálculo.
Nos indica que
se queremos a área
abaixo da curva entre 
os pontos a e b

iw: 
כאשר-- תן לי לכתוב את זה
בצבע -- כש s של t
הוא ה-- אנחנו ש v של t היא 
הנגזרת של s של t,
כדי שנוכל לומר ש- s של t היא
אנטינגזרת של v של t.
והסימן הזה,
למרות שכתבתי את זה
באופן מאוד לא מסורתי--
השתמשתי במיקום מהירות--
זהו המשפט היסוד השני
של החדו"א.
ואתם כנראה
תוההים לגבי הראשון.
נדבר על זה
בסרטון אחר.
אבל זוהי 
דרך מאוד יעילה לחשב
אינטגרלים מסוימים
ולמצוא שטח
מתחת לעקומה, 
המשפט היסודי השני
של החדו"א, מאוד 
קשור למשפט היסוד הראשון
שלא אדבר עליו בהרחבה.
אז למה הוא כזה עניין גדול?
ובכן, הרשו לי לכתוב את זה
בסימון כללי יותר,
האופן שבו אולי הייתם
רגילים לראות אותו
בספר החדו"א שלכם.
זה אומר לנו
שאם אנחנו רוצים את השטח
שמתחת לעקומה בין
שני x הנקודות A ו- B

Polish: 
gdzie-- napiszę to innym kolorem-- gdzie s(t)
jest-- wiemy,że v(t) jest pochodną s(t),
więc możemy powiedzieć, że s(t) jest funkcją pierwotną v(t).
I ta idea, jakkolwiek zapisałem ją
w mało tradycyjny sposób-- użyłem położenia prędkości
to jest drugie fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego.
Prawdopodobnie zastanawia was o czym mówi pierwsze.
O tym jednakże pomówimy innym razem.
Ale to jest fantastyczny użyteczny sposób liczenia
całek określonych oraz znajdywania pola
pod krzywą, drugie podstawowe twierdzenie
rachunku różniczkowego, bardzo blisko powiązane z pierwszym,
o którym jednak teraz nie powiemy.
A więc czemu to tak ogromnie ważne?
Cóż, pozwólcie, że zapiszę to ogólniej,
tak jak mogliście to widywać ujęte
w literaturze przedmiotu.
Twierdzenie mówi nam, że jeśli chcemy mieć pole obszaru
pod krzywą pomiędzy punktami a i b

Korean: 
v(t)는
s(t)의 도함수이니
s(t)가 v(t)의 역도함수라고 할 수 있습니다-
이에 따라, 제가 관례적으로 쓰진 않았지만
속도, 위치를 사용하였습니다
이건 미적분학의 제 2 기본정리입니다
이건 미적분학의 제 2 기본정리입니다
첫번째가 뭔지 궁금할텐데
그건 다른 동영상에서 다루도록 하죠
하지만 이것은 곡선 아래 면적 구하거나
정적분 확인하는 데 아주 유용한 방법입니다
미적분학 제 2 기본정리는
첫 번째와 밀접한 관련이 있습니다
지금 설명하진 않을 테지만요
이게 왜 중요할까요?
미적분학 책에서 자주 보았을
더 일반적인 표기법을
써보겠습니다
이건 곡선 아래 넓이
즉 x=a와 x=b 사이 넓이

English: 
where-- let me write this in
a new color-- where s of t
is the-- we know v of t is
the derivative of s of t,
so we can say where s of t is
the antiderivative of v of t.
And this notion,
although I've written it
in a very nontraditional--
I've used position velocity--
this is the second fundamental
theorem of calculus.
And you're probably
wondering about the first.
We'll talk about that
in another video.
But this is a super
useful way of evaluating
definite integrals
and finding the area
under a curve, second
fundamental theorem
of calculus, very closely
tied to the first fundamental
theorem, which we
won't talk about now.
So why is this such a big deal?
Well, let me write it in
the more general notation,
the way that you might
be used to seeing it
in your calculus book.
It's telling us that
if we want the area
under the curve between
two x points a and b

Thai: 
โดย -- ขอผมเขียนอันนี้ด้วยสีใหม่นะ 
-- โดย s ของ t
คือ -- เรารู้ว่า v ของ t คืออนุพันธ์ของ s ของ t
เราจึงบอกได้ว่า เมื่อ s ของ t
คือปฏิยานุพันธ์ของ v ของ t
แล้วสัญลักษณ์นี้ ถึงแม้ผมจะเขียนมัน
ไม่เหมือนที่คนทั่วไปทำ -- 
ผมใช้ตำแหน่งกับความเร็ว --
แต่นี่คือทฤษฎีบทพื้นฐาน
ข้อที่สองของแคลคูลัส
 
และคุณอาจสงสัยว่าข้อแรกคืออะไร
เราจะพูดถึงในวิดีโออื่น
แต่นี่คือวิธีหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต
และหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งทีมีประโยชน์มาก
ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สอง
ของแคลคูลัสนี่ 
ซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพื้นฐาน
ของแรกมาก แต่เราจะไม่พูดถึงมันตอนนี้
แล้วทำไมมันถึงสำคัญ?
ขอผมเขียนในรูปทั่วไปกว่านี้หน่อย
วิธีที่คุณน่าจะเห็นใน
หนังสือแคลคูลัสของคุณ
มันกำลังบอกเราว่า ถ้าเราอยากได้พื้นที่
ใต้เส้นโค้งระหว่างสองจุด a กับ b

iw: 
של f של x-- וזה
איך היינו מסמנים
את השטח שמתחת לעקומה
בין שני הקטעים האלה.
אז תנו לי לצייר את זה
רק כדי להבהיר
על מה אני מדבר
במונחים כלליים.
אז זה ממש 
כאן יכול להיות f של x.
ואכפת לנו מהשטח
שמתחת לעקומה בין a ו- b.
אם אנחנו רוצים למצוא את
השטח המדויק מתחת לעקומה,
אנחנו יכולים להבין את זה על ידי לקיחת
אנטינגזרת של f.
ובואו נגיד ש
F גדולה של x היא האנטינגזרת--
או היא האנטינגזרת, משום
שאתם יכולים לקבל כמה
שמוזזים על ידי קבועים--
היא האנטינגזרת של f.
ואז אתם פשוט צריכים למצוא--
לחשב-- את האנטינגזרת
בנקודות הקצה 
ולקחת את ההפרש.
אז אתם לוקחים את הקצה הראשון.
אני מניח שאתם מחסרים את
האנטינגזרת מוערכת

Thai: 
ของ f ของ x -- และนี่คือวิธีที่เราเขียน
บอกพื้นที่เส้นโต้ระหว่างจุดทั้งสองนั้น
ขอผมวาดภาพ จะได้ชัดเจน
ว่าผมกำลังพูดถึงในเทอมทั่วไป
เส้นนี่ตรงนี้คือ f ของ x
และเราสนใจพื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง a กับ b
ถ้าเราอยากหาพื้นที่พอดีใต้เส้นโค้ง
เราก็หามันได้โดยหาปฏิยานุพันธ์ของ f
และลองสมมุติว่า 
F ใหญ่ของ x คือปฏิยานุพันธ์ --
หรือปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่ง 
เพราะคุณมีได้หลายตัว
แค่เลื่อนด้วยค่าคงที่ -- 
คือปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่งของ f
แล้วคุณแค่ต้องหา -- หาค่า -- ปฏิยานุพันธ์
ที่จุดปลายแล้วหาผลต่าง
คุณนำจุดปลายมาก่อน
แล้วคุณก็ลบค่าปฏิยานุพันธ์ ที่หาค่า

Polish: 
funkcji f(x)-- czyli w ten sposób zapisujemy
pole pod krzywą na tym przedziale.
Dla jasności narysuję
o czym jest mowa w ogólnym przypadku.
Zatem niech to będzie f(x).
A nam chodzi o pole pod krzywą pomiędzy a i b.
Jeśli chcemy znaleźć dokładne pole pod krzywą
dochodzimy do tego znajdując funkcję pierwotną f.
Ustalmy że F(x) będzie tą funkcją pierwotną--
tak czy inaczej którąś z nich, bowiem jest ich mnóstwo różniących
się o stałe.
Wtedy jedyne co to musicie wziąć-- obliczyć-- wartość funkcji pierwotnej
w punktach krańcowych i wziąć różnicę.
Zatem bierzecie najpierw punkty krańcowe.
Odejmujecie wartość funkcji pierwotnej

Portuguese: 
de f de x-- e essa é a notação
para a área abaixo da curva
entre esses intervalos.
Vou desenhar para ficar mais claro
o que estou falando em termos gerais.
Esse aqui seria f de x.
E nós queremos a área abaixo da curva
entre a e b.
Se queremos achar a área exata,
calculamos a antiderivada de f.
Vamos dizer que 
F maiúscula de x é a antiderivada--
ou uma antiderivada, porque
você pode ter várias
modificadas por constantes--
uma antiderivada de f.
Então basta avaliar a antiderivada
nos pontos finais e subtrair.
Você usa o primeiro ponto.
Subtrai a antiderivada avaliada

Bulgarian: 
от f от x dx  - то следва да използваме
ето този начин
за представяне на площта под кривата
между тези две точки.
Нека направя един чертеж,
за да изясня за какво говоря
в общ вид.
Ето това тук може да бъде f от x.
Искаме да намерим площта под
кривата между a и b.
Ако искаме да намерим точната площ
под кривата,
то можем да го направим като намерим
примитивната функция на f.
Нека кажем, че главно F от x,
е примитивната функция -
или е примитивна функция , защото можем
да имаме множество функции,
отместени с константа 
от функцията F от х.
Тогава просто следва да изчислим
примитивната функция
в крайните точки и да намерим
разликата.
Първо записваме стойността
в крайната точка.
Изваждаме изчислената стойност
на примитивната функция
в първата точка от изчислената стойност 
на примитивната функция

Korean: 
f(x)그래프의 넓이를 구할 때
이게 우리가 간격 사이의
곡선 아래 넓이를 나타내는 방법이죠
더 확실히 하기 위해서
일반적인 용어와 함께 그림을 그리겠습니다
이건 f(x)이고요
a와 b사이에서의
곡선 아래 넓이에 관심이 있습니다
이 부분 넓이를 구하고 싶다면
f의 역도함수를 구하여 계산할 수 있겠죠
F(x)를 f의 역도함수라 합시다
역도함수에 상수를 붙일 수 있으니
역도함수 중 한가지라고도 할 수 있죠
그리고 양 끝의 역도함수 값을 구해서
그 차를 구합니다
종점을 먼저 살펴보죠
시점의 역도함수 값을

English: 
of f of x-- and so this
is how we would denote
the area under the curve
between those two intervals.
So let me draw that
just to make it clear
what I'm talking about
in general terms.
So this right over
here could be f of x.
And we care about the area
under the curve between a and b.
If we want to find the
exact area under the curve,
we can figure it out by taking
the antiderivative of f.
And let's just say that capital
F of x is the antiderivative--
or is an antiderivative, because
you can have multiple that
are shifted by constants--
is an antiderivative of f.
Then you just have to take--
evaluate-- the antiderivative
at the endpoints and
take the difference.
So you take the endpoint first.
I guess you subtract the
antiderivative evaluated

iw: 
בנקודת ההתחלה מהאנטינגזרת מוערכת
בנקודת הסיום.
אז אתם מקבלים F גרש של b
מינוס F גדולה של a.
אז אם אתם רוצים למצוא את
השטח המדויק מתחת לעקומה,
אתם לוקחים את
האנטינגזרת שלו
ומעריכים כי
בנקודת הקצה,
ואילך, אתם מחסרים את
נקודת ההתחלה.
אז אני מקווה, שזה נראה לכם הגיוני.
בסרטונים הקרובים,
אנחנו בעצם ניישם את זה.

Korean: 
종점의 역도함수 값에서
빼야 합니다
따라서 F(b) - F(a)입니다
즉, 곡선 아래쪽 넓이를 구하고 싶다면
곡선의 역도함수를 구하세요
그리고 종점의 값에서
시점의 값을 빼세요
이해가 잘 되었길 바라며
다음 몇개의 동영상에서 실제로
적용해 보도록 하겠습니다

Polish: 
w punkcie początkowym od wartości funkcji pierwotnej w
punkcie końcowym.
Dostajecie F(b) odjąć F(a).
Zatem jeśli szukacie pola pod krzywą,
bierzecie funkcję pierwotną dla niej
i obliczacie jej wartość w punkcie końcowym,
po czym odejmujecie od niej wartość w punkcie początkowym.
Miejmy nadzieję, że ma to sens.

Portuguese: 
no ponto inicial da 
antiderivada avaliada no ponto final.
Então você tem F maiúscula de b
menos F maiúscula de a.
Assim, se buscamos
a área exata abaixo da curva,
basta calcular sua antiderivada
avaliada no ponto final,
e a partir daí, subtrair o ponto inicial.
Espero que isso faça sentido.
Aplicaremos nos próximos vídeos
Legendado por: Clara Nascimento Silva

Bulgarian: 
в крайната точка.
Тоест получаваме главно F от b
минус главно F от a.
Следователно, ако искаме да намерим
точната площ под крива,
то намираме нейната примитивна функция,
изчисляваме я в крайната точка,
а след това от тази стойност 
изваждаме стойността ѝ в началната точка.
Надявам се, че разбираш
представената идея на практика.
В следващите няколко урока
ще разгледаме как се прилага.

English: 
at the starting point from
the antiderivative evaluated
at the end point.
So you get capital F of
b minus capital F of a.
So if you want to figure out
the exact area under the curve,
you take the
antiderivative of it
and evaluate that
at the endpoint,
and from that, you subtract
the starting point.
So hopefully, that makes sense.
In the next few videos,
we'll actually apply it.

Thai: 
ตรงจุดเริ่มต้น ออกจากปฏิยานุพันธ์หาค่า
ที่จุดปลาย
คุณจึงได้ F ใหญ่ของ b ลบ F ใหญ่ของ a
ถ้าคุณอยากหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งพอดี
คุณหาปฏิยานุพันธ์ของมัน
แล้วหาค่าที่จุดปลายนั้น
จากตรงนั้น คุณก็ลบจุดเริ่มต้น
หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
ในวิดีโอต่อๆ ไป เราจะประยุกต์ใช้มันจริงๆ

Italian: 
E lasciami disegnare a tentativi. Disegnerò qualcosa di simile a una parabola
Anche se avrei potuto farlo generale, ma giusto per rendere le cose un po' più semplici per me
quindi disegnero qualcosa che somigli a una parabola.
Se chiamiamo questa asse y possiamo anche chiamare questo y è uguale a s di t
come un ragionevole modo di disegnare in grafico la nostra posizione come funzione del tempo
E ora pensa a cosa accade se vogliamo pensare al cambiamento della posizione
tra due momenti, diciamo tra il tempo a, diciamo che questo è il tempo a lì e questo qui è il tempo b
QUindi il tempo b è qui. Quindi quale sarà il cambaiamento nella posizione tra il tempo a e il tempo b
Bene al tempo b siamo a alla posizione s di b
E al tempo a eravamo alla posizione s di a
Quindi il cambiamento di posizione tra il tempo a e il tempo b ...
Lasciamelo scrivere: il cambiamento nella posizione tra - e questo può sembrare ovvio ma lo scrivo lo stesso - tra il tempo a e b
sarà s di b, questa posizione, meno questa posizione, s di a
????? fino a questo punto.
Ma pensiamo a cosa accade se prendiamo al derivata di questa funzione qui
Quindi cosa accade se prendiamo la derivata della posizione come funzione del tempo?
RIcorda la derivata misura la pendenza della tangente in ciascun punto.
QUindi diciamo che stiamo guardando a punto là
La pendenza della linea tangente ci dice che per una piccola variazione in t - sto esagerando nella visualizzazione -
...per una veramente piccola variazione in t, quanto stiamo variando nella posizione?
Quisndi scriviamo questo come ds su dt. E' la derivata della nostra funzione della posizione
a ogni dato punto. Quindi quando stiamo parlando di come la posizione varia in funzione del tempo,
cos'è questo? QUesta è la velocità
Quindi questa è uguale alla velocità.
Lascimelo scrivere in diversa notazione.
Quindi questa stessa sarà una funzione del tempo.
Quindi possiamo scriverla... Questa è uguale a s primo di d
questi sono due modi diversi di scrivere la derivata di s rispetto a t
Questo rende un po' più chiaro che questa stessa è una funzione del tempo
e noi sappiamo che questa è la stessa cosa della velocità
La velocità come funzione del tempo
che noi scriviamo come v di t: v(t).
Mettiamo in grafico cosa possa sembrare v(t).
Disegniamola. Quindi lasciami mettere un altro asse, altri assi qui giù che sembrano
abbastanza vicino all'originale
Mi da qualche stato reale???. Sembra molto bello.
E allora lasciami provare a disegnare v(t).
Quindi ancora una volta questo è il mio asse x questo è il mio asse y
E voglio disegnare y= v (t). E questa è una parabola
Quindi la pendenza qui è zero
Il coefficiente di cambaimanto è zero. E continua a
a incrementare . La pendenza diventa sempre più ripida.
Quindi v(t) può sembare qualcosa del genere.
Quindi questo è il grafico di y è uguale a v di t, v(t).
Ora usando questo grafico pensiamo se possiamo
concettualizzare la distanza o la variazione di posizione tra
tra el tempo a e il tempo b. Andiamo indietro alle nostre Somme di Riemann.
Pensiamo a come una area molto piccola di un rettangolo si mostrerebbe.
Dividiamo questo in un mucchio di rettangoli
Farò dei rettangoli molto larghi così abbiamo dello spazio su cui lavorare.
Puoi immaginarne di molto più piccoli.
E farò una Somma di Riemann sinistra qui.
Possiamo fare una Somma di Riemann destra.
Possiamo fare una Somma di Riemann trapezioidale.
Possiamo fare quel che vogliamo.
Quindi possiamo continuare ad andare così.
Lasciamene fare 3 per ora. Lasciamene fare 3 proprio qui.
E questa è una molto grossolana approssimazione.
Puoi immaginare che diventino più vicini.
Cosa approssima l'area di questi rettangoli?
Bene, questo proprio qui ... hai f di a o dovrei dire v di a v(a)
Quindi la tua velocità al tempo a è l'altezza
qui è allora questa distanza qui è un cambiamento nel tempo
delta t, quindi l'area per questo rettangolo è la tua velocità in quel momento per
la variazione nel tempo. Qual'è la tua velocità ???? varia nel tempo.
Questa sarà un cambiamento di posizione.
Questo ti dice che questa è una approssimazione del cambiamento
nella posizione durante questo tempo.
Allora l'area di questo rettangolo è un'altra approssimazione per
per il tuo cambiamento nella posizione durante il prossimo
delta t. E allora puoi immaginare che questa qui sia una approssimazione per
il tuo cambiamento nella posizione durante il successivo delta t.
Quindi se vuoi veramente figurarti il tuo cambiamento nella posizione
tra a e b, potresti semplicemente fare una somma di Riemann, se vuoi approssimarla
se vuoi prendere la somma da "a" è uguale a 1 "a" è uguale a n
di - e faro una somma di Riemann da sinistra, e ancora una volta potremmo farne una centrale, una trapezioidale
una da destra...- di v di t di i meno 1. Questo è il primo rettangolo. Per il primo
