
Vietnamese: 
Xin chào.
Bây giờ chúng ta đã biết cách xác định nếu một chuỗi hội tụ
chúng ta cần phải xác nhận rằng chuỗi Taylor hội tụ về hàm số chúng ta mong đợi.
Hoặc, nếu chúng ta sử dụng một đa thức  gần đúng giá trị của một chuỗi
cách nào tính chính xác là xấp xỉ đó?
Nếu chúng ta có một chuỗi hình học, chúng ta biết rằng một số lượng hữu hạn
các số trong một chuỗi hình học không bao gồm một chuỗi hình học từ tổng.
Và như vậy chúng ta có thể nói chính xác cách  một số hữu hạn các số
sẽ được tổng vô hạn nếu chuỗi của chúng ta là hình học.
Đối với chuỗi phi hình học, chúng ta tìm kiếm sự khác biệt mà
mà không sử dụng công nghệ.
Chúng ta có thể lấy bất kỳ đa thức, sử dụng giá trị của nó gần đúng giá trị chuỗi,
và sau đó sử dụng máy tính của chúng ta để kiểm tra sự khác biệt
và xem sự khác biệt ấy nhỏ như thế nào.

English: 
JANE WORTMAN: Hello.
Now that we know how to determine if a series converges,
we need to validate that Taylor series converge to the function we expect.
Or, if we use a polynomial to approximate the value of a series,
how accurate is that approximation?
If we have a geometric series, we know that a finite number
of terms in a geometric series excludes another geometric series from the sum.
And so we could say exactly how close a finite number of terms
would be to the infinite sum if our series is geometric.
For non-geometric series we're looking at that difference
without using technology.
We could take any polynomial, use its value to approximate a series value,
and then use our calculator to check the difference
and see how small that difference could be.

Vietnamese: 
Việc của chúng ta là phải tìm một cách để đặt một ràng buộc
về sự khác biệt đó ngay cả khi không sử dụng công nghệ.
Vì vậy, điều đầu tiên chúng ta sẽ xem xét
Chúng ta sẽ xem lại chuỗi đan xen.
Và chúng ta sử dụng dãy số để hình dung những gì
đã xảy ra khi chuỗi đan xen của chúng ta phóng to trên giới hạn của nó.
Chúng ta thấy rằng số đầu tiên vượt quá giới hạn của chúng ta
nếu số đầu tiên là dương.
Và vì vậy chúng ta biết rằng số đầu tiên khác với giới hạn bởi một lượng đã định,
nhưng chúng ta không biết giá trị đó lớn như thế nào.
Nếu chúng ta nhìn thêm vào số thứ hai, mặc dù bây giờ chúng ta có thể nói,
oh, tổng đầu tiên của chúng ta đã
được ngắt từ giới hạn của chúng ta, nhưng đã được giảm nhỏ hơn giá trị của số thứ hai,
vì số thứ hai đưa chúng ta trở lại phía bên kia giới hạn.
Nó là a2.
S1 khác với giới hạn của chúng ta ít hơn a2.
Và nếu chúng ta thêm vào số thứ ba, a3, chúng ta một lần nữa gần hơn với giới hạn của chúng ta.

English: 
Our job is to find a way to put a bound on that
difference even without using technology.
So the first thing we're going to look at—we're
going to revisit our alternating series.
And we use that number line to visualize what
was happening as our alternating series zoomed in on its limit.
We saw that our first term overshot our limit
if our first term was positive.
And so we know that our first term differs from the limit by a set amount,
but we don't know how big that amount is.
If we look at adding in the second term though, we can now say,
oh, our first sum was off from our limit,
but was off by less than the value of the second term,
because the second term took us back to the other side of the limit.
So it's a2.
S1 differed from our limit by less than a2.
And if we throw in a third term, a3, we again get closer to our limit.

Vietnamese: 
Nhưng khoảng cách s2 từ giới hạn của chúng ta là bao nhiêu?
Tôi không biết chính xác, nhưng tôi biết nó nhỏ hơn giá trị tuyệt đối a3.
S2 nhỏ hơn giới hạn của chúng ta, S1 lớn hơn giới hạn của chúng ta,
và S3 sẽ, một lần nữa, lớn hơn giới hạn của chúng ta.
Lớn hơn bao nhiêu?
Nhỏ hơn S4
Và vì vậy chúng ta có những gì được gọi là ràng buộc chuỗi đan dấu,
Rang buộc lỗi đan dấu.
Và điều đó cho chúng ta biết rằng S n sẽ khác  giới hạn vô cùng của chuỗi của chúng ta-
từ giới hạn của chuỗi của chúng ta, khi nói chuỗi hội tụ, bởi ít hơn giá trị tuyệt đối
của số tiếp theo trong chuỗi.
Trong thực tế, chúng ta có thể sử dụng dấu của số tiếp theo trong chuỗi
để xác định tổng  của chúng ta là quá lớn hay quá nhỏ.
Hãy xem xét một ví dụ về cách nó hoạt động.

English: 
But how far was S2 from our limit?
I don't know exactly, but I know it was less than a3 in absolute value.
S2 was less than our limit, S1 was bigger than our limit,
and S3 will, again, be greater than our limit.
How much greater?
By less than S4.
And so we have what's known as the alternating series bound,
the alternating error bound.
And that tells us that S sub n will differ from our infinite limit—from the limit of our series,
when said series converges, by less than the absolute value of the next term
in our series.
In fact, we could use the sign of that next term
to determine if our sum was too big or too small.
Let's look at an example of how this works.

Vietnamese: 
Nếu chúng ta muốn ước tình lỗi trong sử dụng
Xấp xỉ Talor thứ 3 cho ln của 1 cộng x để lấy một giá trị cho 1 cộng x.
Nói các khác, nếu hcungs ta sử dụng đa thức talor, chúng ta có 1 giá trị.
Giá trị đó gần giá trị thực của ln 1,5 như thế nào?
Nhớ lại những chuỗi Taylor cho ln của 1
cộng với x -chúng ta sẽ sử dụng đa thức bâc ba Taylor
Và đa thức bậc ba Taylor sẽ được x trừ x bình phương trên 2
cộng với x mũ ba trên 3.
Và chúng ta muốn đánh giá đó cho một giá trị x của 0,5.
Chú ý chúng ta đang xem xét chuỗi cho ln của 1 cộng với x.
Nên 1.5 là 1 cộng 0.5.
Nên chúng ta đang quan tâm đến đâu là giá trị xấp xỉ này ở mức 1,5 ?
Nó gần với giá trị thực của ln của 1,5 như thế nào?

English: 
If we want to estimate the error in using the third order Taylor
approximation for ln of 1 plus x to get a value for ln of 1 plus x.
In other words, if we use the Taylor polynomial, we get a value.
How close would that value be to the actual value of ln of 1.5?
Recall the Taylor series for ln of 1 plus x
to be—we'll use our third-order Taylor polynomial,
and that third-order Taylor polynomial would be x minus x squared over 2
plus x cubed over 3.
And we want to evaluate that for an x value of 0.5.
Notice we're looking at the series for ln of 1 plus x.
So 1.5 is 1 plus 0.5.
So we're interested in what is this approximation value at 1.5?
How close is it to the actual value of ln of 1.5?

Vietnamese: 
Bạn có thể xác nhận rằng 0,5 là, trên thực tế, trong khoảng  hội tụ
với chuỗi này.
Vì đây sẽ là một chuỗi xen kẽ khi chúng ta thay 0.5,
chúng ta thấy lỗi của chúng ta sử dụng kiểm tra lỗi đan dấu.
Một lần nữa, chúng ta đang tìm kiếm các giá trị tuyệt đối, vì vậy chúng ta thực sự không quan tâm đến việc số tiếp theo là âm hay dương
thực sự không quan tâm đến việc số tiếp theo là âm hay dương.
Nhưng chúng ta đang tìm kiếm tại số tiếp theo là x mũ bốn
Và vì vậy chúng ta có thể nói lỗi của chúng ta sẽ có một giá trị tuyệt đối nhỏ hơn x
mũ 4
Và x của chúng ta trong trường hợp này là 0,5 trên 4.
Là 1 phân số, 1/64.
Chỉ tò mò, số thập phân đó là 0.015625, tôi tin vậy.
Trong thực tế, nếu chúng ta so sánh nó, nếu chúng ta thay 0,5 với xấp xỉ của chúng ta,

English: 
You can confirm that 0.5 is, in fact, within the interval of convergence
for this series.
Since this will be an alternating series when we plug in 0.5,
we get to look at our error using the alternating error test.
Again, we're looking at absolute values, so we really
are not concerned with whether the next term is positive or negative.
But we are looking at the next term being x to the fourth.
And so we can say our error will have an absolute value less than x
to the fourth.
And our x in this case is 0.5 over 4.
As a fraction, that's 1/64.
Just for curiosity, as a decimal that's 0.015625, I believe.
In fact, if we compare this—if we plugged in 0.5 to our approximation,

Vietnamese: 
chúng ta sẽ nói ln 1,5 là xấp xỉ- thay1/2 vào chuỗi đó
chúng ta được 5/12.
Và vì vậy những gì chúng ta đang nói là xấp xỉ của chúng ta là,
trên thực tế, 1/64 của 5/12.
Và, khi chúng ta đi xa hơn  xấp xỉ Taylor của chúng ta,
lỗi trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn, và vì vậy chúng ta
và vì vậy chúng ta sẽ có thể xác nhận rằng, với chuỗi xen kẽ này, đa thức của chúng ta, khi đa thức của chúng ta tăng lên,
gần đến chuỗi, chúng ta mong đợi-ln của 1 cộng với x.
Chuỗi nào mà không xen dấu?
Chúng ta cần, một lần nữa khái quát để cụ thể hơn một chút.
Vì vậy, chúng ta hãy nhìn vào chuỗi Taylor
f của x tại chuỗi x = a.
Vì vậy, mà chuỗi Taylor sẽ là f của a cộng f phẩy a nhân x trừ a

English: 
we would say ln of 1.5 is approximately—plugging 1/2 into this series
we get 5/12.
And so what we're saying is that our approximation
is, in fact, within 1/64 of 5/12.
And, as we go further out in our Taylor approximation,
that error gets smaller and smaller, and so we
would be able to confirm that, with this alternating series, our polynomial, as our polynomial order increases,
approaches the series we expect—ln of 1 plus x.
What about series that don't alternate?
We need to, again, generalize, get a little less specific.
So let's look at our general Taylor series—
f of x at the series about x equals a.
So that Taylor series would be f of a plus f prime of a times x minus a plus

Vietnamese: 
f hai phẩy của a nhân x trừ a bình phương trên 2 giai thừa.
Chúng ta đi đến số thứ n, đạo hàm bậc n tại a nhân x trừ đi a
mũ n trên n giai thừa.
Và vẫn sẽ tiếp tục.
Và chúng ta hãy gọi tất cả mọi thứ trong việc tiếp tục R n.
Đó là phần dư nếu chúng ta dừng lại tại một đa thức bậc n -
chúng ta sẽ có tất cả các công cụ bổ sung này.
nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng công cụ bổ sung ngày càng giảm đi đến hầu như không có gì,
sau đó chúng tôi biết chúng ta có, trên thực tế, bằng nhau không chỉ tại x = a,
mà  với nhiều giá trị hơn của x.
Và chúng ta sẽ có thể nói chính xác những giá trị chính xác
của x tùy thuộc vào khi nào và ở đâu mà phần dư đến 0
Hóa ra phần dư này có một giá trị rất đẹp.
Và phần dư đó là, trên thực tế, đạo hàm tiếp theo

English: 
f double prime of a x minus a squared over 2 factorial.
We go out to the nth term, the nth derivative at a times x minus a
to the nth over n factorial.
And that would continue.
And let's call everything in the continuation R sub n.
That's the remainder if we stopped at a polynomial of nth
degree—we would have all this extra stuff.
Well, if we can show that extra stuff dwindles away to virtually nothing,
then we know we have, in fact, equality not just at x equals a,
but for more values of x.
And we'll be able to say exactly what values
of x depending on when and where that remainder goes to zero.
It turns out this remainder has a very nice value.
And that remainder is, in fact, the next derivative

English: 
evaluated somewhere times the next power of x minus a over the next factorial.
Looks a lot like our next term in the alternating series test,
but the condition is we need to find this next derivative somewhere.
And that c value is somewhere between x and a.
Usually, we can't find an exact value for c, but we don't have to.
We just have to find a value that bounds this expression.
If we can find something this expression has to be smaller than,
and that expression goes to zero, then our expression will go to 0 as well.
For example, if we have an increasing function,
we might use the derivative at the right endpoint
of the interval of x's we care about.
Because we know then our value will be greater than or equal to all
the other derivative values.
Or, if we had a decreasing function, we could use the left endpoint value.
If we had, for example, sine x as our function,
we could use one as a value that is greater than

Vietnamese: 
đánh giá đâu đó nhân lần lũy thừa tiếp theo của x trừ a trên giai thừa tiếp theo.
Trông giống như số tiếp theo của chúng ta trong kiểm tra chuỗi đan dấu,
nhưng điều kiện là chúng ta cần phải tìm đạo hàm sau tiếp theo ở đâu.
Và giá trị c đó nằm đâu đó giữa x và a.
Thông thường, chúng ta không thể tìm thấy một giá trị chính xác cho c, nhưng chúng ta không phải làm
Chúng ta chỉ phải tìm một giá trị chính xác mà rang buộc biểu thức này
Nếu chúng ta có thể tìm thấy một cái gì đó biểu thức có, nó sẽ  phải nhỏ hơn,
và biểu thức đó đi đến số không, sau đó biểu thức của chúng ta sẽ đi đến 0.
Ví dụ, nếu chúng ta có một hàm số ngày càng tăng,
chúng ta có thể sử dụng đạo hàm tại
điểm cuối bên phải của khoảng của x chúng ta quan tâm.
Bởi vì chúng ta biết sau đó giá trị của chúng ta sẽ lớn hơn hoặc bằng với tất cả
những giá trị đạo hàm khác.
Hoặc, nếu chúng ta có một hàm giảm, chúng ta có thể sử dụng giá trị cuối bên trái.
Nếu chúng ta đã có, ví dụ, sin x như hàm số
chúng ta có thể sử dụng một giá trị mà lớn hơn

English: 
or equal to all other values of sine.
We call this error the Lagrange error.
And our job is just to find a value that this expression has to be smaller than,
and then we know that we can confirm that our Taylor series does,
in fact, converge to the functional values we need,
and we can also find just how accurately a Taylor
polynomial is to our functional values.
Let's look at an example.
If we're looking at the Taylor series for e to the x,
or the Maclaurin polynomial for e to the x, the second-order polynomial.
And we want to see the values we get using this polynomial give us
a certain degree of accuracy on an interval.
So on the interval from negative 0.1 to 0.1,
will the values we get from the polynomial
be accurate to three decimal places?
Which is pretty good when you consider how small a degree polynomial we're
dealing with—how small the degree.

Vietnamese: 
hoặc bằng tất cả các giá trị khác của sin.
Chúng ta gọi lỗi này lỗi Lagrange.
Và công việc của chúng ta chỉ là tìm một giá trị mà biểu thức này phải nhỏ hơn,
và sau đó chúng ta biết rằng chúng ta có thể xác nhận rằng chuỗi Taylor của chúng ta,
trên thực tế, hội tụ các giá trị hàm số chúng ta cần
,
và chúng ta cũng có thể tìm thấy một cách chính xác
đa thức Taylor là giá trị hàm số của chúng ta.
Hãy xem xét một ví dụ.
Nếu chúng ta nhìn vào chuỗi Taylor cho e mũ x,
hoặc đa thức Maclaurin cho e mũ x, đa thức bậc hai.
Và chúng ta muốn nhìn thấy các giá trị, chúng ta sử dụng này đa thức đưa ra
một mức độ chính xác trên khoảng của chúng ta.
Vì vậy, vào khoảng từ âm 0,1 đến 0,1,
sẽ có các giá trị, chúng ta nhận được từ đa thức
được chính xác đến ba chữ số thập phân?
Đó là khá tốt khi bạn xem xét bậc đa thức của chúng ta
đang đối mặt - nhỏ thế nào

English: 
So second-order polynomial for e to the x—e to the x.
Our second-order Taylor polynomial would be 1 plus x plus x squared
over 2 factorial, or x squared over 2.
This doesn't alternate, so we can't use the alternating series error,
we'll use the Lagrange error.
So our job is to note that our error—the absolute value of our error—
will be less than or equal to that Lagrange error expression.
I'll write that down again.
The n plus first derivative somewhere times x.
Now our a in this case is zero.
So I'll just write x n plus 1 over n plus 1 factorial.
And what would be a derivative that would
be greater than or equal to all the derivatives on this interval?
Well, all the derivatives of e to the x are e to the x.
That's an increasing function.

Vietnamese: 
Vì vậy đa thức bậc hai cho e mũ x-e mũ x.
đa thức bậc hai Taylor của chúng ta sẽ là 1 cộng với x cộng với x bình phương
trên 2 giai thừa, hoặc x bình phương trên 2.
Đa thức này không xen kẽ, vì vậy chúng ta không thể sử dụng lỗi chuỗi xen kẽ,
chúng ta sẽ sử dụng các lỗi Lagrange.
Vì vậy, công việc của chúng ta là lưu ý rằng lỗi của chúng ta, giá trị tuyệt đối của lỗi của chúng ta
sẽ nhỏ hơn hoặc tương đương với biểu thức lỗi Lagrange.
Ta sẽ viết nó một lần nữa.
n cộng đạo hàm đầu tiên nhân x.
Bây giờ a của chúng ta trong trường hợp này là 0.
Vì vậy, tôi chỉ sẽ viết x n + 1 trên n + 1 giai thừa .
Và cái gì sẽ là một đạo hàm mà
lớn hơn hoặc bằng với tất cả các đạo hàm trong khoảng  này?
Tất cả các đạo hàm của e mũ x là e mũ x.
Đó là một hàm số tăng.

Vietnamese: 
Vì vậy, trong khoảng này, tôi sẽ tìm giá trị lớn nhất cho đạo hàm
tại điểm cuối bên phải.
Vì vậy, tôi sẽ sử dụng e mũ 0.1 để đưa ra một ràng buộc về đạo hàm này.
Còn về giá trị x trong khoảng này?
Vâng, các giá trị x mà sẽ đưa cho chúng ta  giá trị lớn nhất của x trong trường hợp này,
lũy thừa ba, sẽ là 0.1.
Khi chúng ta đang làm giá trị tuyệt đối, âm 0.1 cũng sẽ làm việc.
0.1 mũ ba trên 3 giai thừa.
Vì vậy, lỗi của chúng ta sẽ được ít hơn.
Và chúng ta muốn lỗi của chúng ta cung cấp cho chúng ta ba địa điểm chính xác.
Điều đó có nghĩa là gì?
Vâng, chúng ta cần những điều để làm tròn đến ba chữ số thập phân.
Vì vậy, chúng ta lưu ý rằng chúng ta đang tìm kiếm một lỗi ít hơn 0,0005,
do đó mọi thứ, nếu nó đúng chỗ, sau đó chũng sẽ được làm tròn đúng ba số thập phân.

English: 
So on this interval, I'll find the greatest value for that derivative
at the right endpoint.
So I'm going to use e to the 0.1 to give a bound on this derivative.
What about x values in this interval?
Well, the x values that would give us the greatest value of x to the, in this case,
third power, would be 0.1.
Since we're doing absolute value, negative 0.1 would also work.
0.1 cubed over 3 factorial.
So our error will be less than this.
And we wanted our error to give us three places of accuracy.
What would that mean?
Well, we'd need things to round off to three places correctly.
So we'll make a note that we're looking for an error less than 0.0005,
so that things, if they were correct to that place, then

Vietnamese: 
sau đó chúng sẽ được làm tròn đúng ba số thập phân.
Là lỗi chúng ta tính toán ít hơn 0,005?
Vâng, chúng ta biết rằng e chính nó là nhỏ hơn ba,
nên e mũ 0,1 là chắc chắn nhỏ hơn ba.
Vì vậy, nó nhỏ hơn 3 trên 3 giai thừa nhân 1/1000.
Và 3 trên 3 giai thừa, trong thực tế, là 1/2.
Vì vậy, thực sự, chúng ta có giá trị chính xác chúng ta đang tìm kiếm.
Biểu thức này là bằng 0,0005 chúng ta đang tìm kiếm.
Trong thực tế, nó là nhỏ hơn rất nhiều, vì e mũ 0.01 là nhỏ hơn rất nhiều so với 3.
Vì vậy, chúng ta chắc chắn có sự chính xác, chúng ta được yêu cầu xác nhận.
Tôi có một bảng giá trị đó sẽ giúp bạn nhìn thấy
xấp xỉ của chúng ta tốt như thế nào
Nếu chúng ta nhìn vào giá trị x giữa âm 0.1 và 0.1,

English: 
they would round correctly to three decimal places.
Is the error we computed less than 0.005?
Well, we know that e itself is less than three,
so e to the 0.1 is definitely less than three.
So this is less than 3 over 3 factorial times 1/1000.
And 3 over 3 factorial is, in fact, 1/2.
So yes, indeed, we get the accuracy we're looking for.
This expression is equal to the 0.0005 we were looking for.
In fact, it's a lot less, because e to the 0.01 is a lot less than 3.
So we definitely have the accuracy we were asked to confirm.
I have a table of values that will help you see
just how good our approximations are.
If we look at x values between negative 0.1 and 0.1,

English: 
we see the computed values of e to the x versus the computed values
of our second-degree Taylor polynomial.
And we see the differences are well within our 0.0005 boundary.
In fact, they're about 1/3 better than that kind of accuracy.
So, why don't you go practice finding alternating series errors,
Lagrange errors to determine how accurately Taylor series converge?

Vietnamese: 
ta thấy các giá trị tính toán của e mũ  x so với các giá trị tính toán
các đa thức Taylor bậc hai của chúng ta.
Và chúng ta thấy sự khác biệt cũng nằm trong ranh giới 0,0005.
Trong thực tế, chúng là khoảng 1/3 tốt hơn so với loại chính xác.
Vì vậy, tại sao bạn không thực hành tìm lỗi chuỗi xen kẽ,
lỗi Lagrange để xác định chính xác chuỗi Taylor hội tụ?
