
English: 
- [Voiceover] So we've just
computed a vector-valued
partial derivative of a
vector-valued function,
but the question is What does this mean?
What does this jumble
of symbols actually mean
in a more intuitive geometric setting?
And that has everything to do with
how you visualize the function,
and with this specific function,
given that the input is two-dimensional
but the output is three-dimensional,
meaning the output has more
dimensions than the input,
it's nice to visualize it
as a parametric surface.
And the way that I do that,
maybe you could call this visualizing it
as a transformation also
'cause what I want to do is
basically think of the TS plane,
think of the TS plane
where all these input values live
and kind of think of how that's gonna map
into three-dimensional space,
but when I do that, I'm actually
gonna cheat a little bit.
Rather than having a
separate plane off there
as the TS plane, I'm
going to kind of overwrite
onto the XY plane itself
and plop the TS plane down like this,
and this isn't the full TS plane.

Korean: 
벡터 값 함수의 벡터 값 편미분을 계산 했습니다
벡터 값 함수의 벡터 값 편미분을 계산 했습니다
이것이 무엇을 의미할까요?
기하학적 관점에서 기호는 무엇을 의미할까요?
기하학적 관점에서 기호는 무엇을 의미할까요?
그것은 함수를 시각화하는 방법과 관련이 있습니다
그것은 함수를 시각화하는 방법과 관련이 있습니다
특정 함수를 사용하면
입력이 2차원이지만 출력은 3차원입니다
입력이 2차원이지만 출력은 3차원입니다
즉, 출력이 입력보다 더 많은 차원을 가지며
파라메트릭 서피스로 시각화하기 좋습니다
제가 그것을 합니다
어쩌면 시각화를 변환으로 생각할 수 있습니다
어쩌면 시각화를 변환으로 생각할 수 있습니다
제가 하고 싶은 것은
모든 입력 값이 표현되는 TS 평면을 생각하는 것입니다
모든 입력 값이 표현되는 TS 평면을 생각하는 것입니다
3차원 공간으로 어떻게 표현 될지 모르지만
3차원 공간으로 어떻게 표현 될지 모르지만
그 때 약간의 트릭을 사용합니다
TS 평면과는 별도의 평면을 가지기보다는
TS 평면과는 별도의 평면을 가지기보다는
XY 평면을 덮는 TS 평면을 만들겠습니다
XY 평면을 덮는 TS 평면을 만들겠습니다
이것은 전체 TS 평면이 아닙니다

Korean: 
T의 범위가 0부터 3까지이기 때문에
T의 범위가 0부터 3까지이기 때문에
그래프의 눈금은 반에 해당합니다
여기는 1, 2 그리고 여기가 3
S도 동일합니다
S의 범위도 0에서 3까지이며
쉽게 애니메이션을 만들기 위해
3차원 공간에 TS 평면이 XY 평면을 덮도록 했습니다
3차원 공간에 TS 평면이 XY 평면을 덮도록 했습니다
3차원 공간에 TS 평면이 XY 평면을 덮도록 했습니다
 
 
이것을 게으르다고 말할 수 있지만
이를 통해 각각의 점을 관찰할 수 있습니다
이를 통해 각각의 점을 관찰할 수 있습니다
이 점들은 TS 쌍에 해당되며
점 각각 출력을 나타냅니다
출력은 3차원 값, 3차원 벡터 또는 점입니다
출력은 3차원 값, 3차원 벡터 또는 점입니다
그러나 이 점을 애니메이션으로 만들면
그러나 이 점을 애니메이션으로 만들면
TS평면에 있는 각각의 점들은
특정한 곡면이 됩니다

English: 
This is actually supposed to represent
just values of T that range
from zero up to three,
so each tick mark on the graph
here corresponds with a half.
So this is one, that's two,
and then up here is three.
Same with S.
S also ranges from zero to three,
and the reason that I'm plopping it
inside three-dimensional
space to start with,
kind of overwriting the XY
plane with the TS plane,
is just to make the animating
a little bit easier.
You could call it laziness.
But the benefit here is what we can do
is watch each point, and
each one of these points
you're thinking of is corresponding
to some kind of TS pair,
an input point, which is
just a pair of numbers,
and we're gonna watch
each one of those points
move to the corresponding output.
The output is a three-dimensional value,
a three-dimensional vector or point,
however you wanna think about it,
and what that looks like when
we animate this actually is
each one of those points
in our square of TS plane
moves to the corresponding output,

English: 
and you end up with a certain surface.
And just to make it a
little more concrete,
what's actually going on here,
let's focus in on just one point,
and we'll focus in on this point
not just for the function visualization
but for the partial derivative as well,
and the function, or the point rather,
that I care about is gonna be at one, one.
So this point right here represents
the pair of TS
where each one of them is equal to one.
One, one.
And you can start by
predicting where you think
this is gonna get output,
and to do that, you just
plug it into the function.
This is kind of what
the visualization means
as we're plugging this in,
and for T and S, we're gonna
plug in just one and one.
So that top part is gonna
look like one squared
minus one squared, which becomes zero.
That middle part is gonna be
one times one, which is one,
and then over here we're gonna
have one times one squared,
which is one minus one
times one times one squared,
which is, again, one.
And you can probably see,
'cause of the symmetry there,

Korean: 
특정한 곡면이 됩니다
무엇이 진행되는지 좀 더 구체적으로 설명하기 위해
무엇이 진행되는지 좀 더 구체적으로 설명하기 위해
한 지점에만 초점을 맞추기로 하고
이 점을 봅시다
함수의 시각화뿐만 아니라
부분 파생 함수에 대해서도 집중할 것이며
부분 파생 함수에 대해서도 집중할 것이며
(1, 1)에 대해 생각해 봅시다
이 지점은 T와 S가 1인 TS 쌍을 나타냅니다
이 지점은 T와 S가 1인 TS 쌍을 나타냅니다
각각이 1을 나타내는 곳
(1, 1)
그리고 이것이 어디서 출력될지
예측하여 시작할 수 있습니다
그러기 위해서는 함수에 연결만 하면 됩니다
이것은 시각화가 의미하는 바를 나타냅니다
T와 S에 대해 1과 1을 연결한 것입니다
T와 S에 대해 1과 1을 연결한 것입니다
첫 번째는 1² - 1²으로 0이 됩니다
첫 번째는 1² - 1²으로 0이 됩니다
두 번째는 1×1로 1
두 번째는 1×1로 1
그리고 아래는 1×1² - 1×1²
즉, 1-1
대칭이 있기 때문에 상쇄되어 0이 됩니다

Korean: 
대칭이 있기 때문에 상쇄되어 0이 됩니다
즉, 이 입력에 해당하는 출력은
벡터 (0,1,0)으로
Y를 가리키는 단위벡터입니다
이것은 X축 입니다
여기는 Y축 입니다
이런 종류의 벡터가 되어야 한다고 생각할 것입니다
이런 종류의 벡터가 되어야 한다고 생각할 것입니다
Y 방향의 단위벡터이며
곡면의 점은 벡터의 끝 부분에 해당합니다
곡면의 점은 벡터의 끝 부분에 해당합니다
이것이 매개 변수를 시각화하는 방법입니다
벡터의 끝을 조금 움직여 무언가를 그릴 수 있습니다
벡터의 끝을 조금 움직여 무언가를 그릴 수 있습니다
이 경우 곡면을 그릴 수 있습니다
애니메이션을 실행하면
애니메이션을 실행하면
입력된 점이 벡터의 끝에 도착하게 됩니다
입력된 점이 벡터의 끝에 도착하게 됩니다
적어도 값은 틀리지 않았다는 것을
애니메이션을 통해 알 수 있습니다
이론상 모든 점에 대해 이 작업을 할 수 있습니다
애니메이션에서 볼 수 있듯이
어떤 점이 들어오든
함수에 대입해서
3차원 공간에 벡터를 그릴 수 있습니다
그래서

English: 
those also cancel out, you get zero,
which means the output
corresponding with this input
should be the vector zero, one, zero,
a vector that's of unit length
pointing in the Y direction.
So if we look here, this is the X axis.
This here is the Y axis.
So you would think it should be a vector
that looks kind of like this.
Unit vector in the Y direction,
and the point of the
surface is what corresponds
to the tip of that vector.
This is how we visualize
parametric things.
You just think of the tip of the vector
as kinda moving through space
and drawing out the thing.
In this case, the thing
it's drawing is a surface.
So if we watch that animation again
and we let things play forward,
that dot corresponding
with the input one, one
does indeed land at
the tip of that vector.
So, at least for that value,
you can see that I'm not lying
to you with the animation.
And in principle, you could do
that for every single point.
If any given input point, you
plug it through the function,
and you draw the vector in
three-dimensional space,
as you watch this animation,
it'll land at the tip of that vector.
So...

English: 
Now, if we want to start thinking about
what the partial derivative means,
remember this little DT, this partial T,
is telling you to nudge
it in the T direction.
So what does movement,
not even nudges but just
movement in general,
look like in the T direction
for our little snippet
of the TS plane here?
Well, the T direction,
I'm saying is in this direction here
where this represents one,
two, three of T values,
and this line here represents
the constant value for S,
so this would be S
constantly equaling one,
which you can know because
it's passing through
the point one, one.
And then otherwise you're
just letting T range freely.
And if we watch how this gets transformed
under the transformation,
under the mapping to
the parametric surface,
you can get a feel for
what varying the input T
does in the output space.
So this whole pink line
is basically telling you

Korean: 
이제 편미분의 의미에 대해 생각해보려면
T의 부분인 DT를 떠올려봅시다
DT는 T의 방향으로 나타납니다
DT는 T의 방향으로 나타납니다
그러면 TS평면의 작은 조각에 대해
그러면 TS평면의 작은 조각에 대해
T방향으로 어떻게 움직일까요?
T방향으로 어떻게 움직일까요?
T의 방향
이것이 T의 값이고
이것이 T의 값이고
선은 S값을 나타냅니다
따라서 S는 1이고
점(1, 1)을 나타냅니다
점(1, 1)을 나타냅니다
그렇지 않으면 T의 범위를 자유롭게 하는 것입니다
그리고 만약 파라메트릭 곡면에서
어떻게 변형되는지를 살펴보려면
출력 공간에서 입력 T를
변화시켜야 합니다
 
분홍색 선들은 기본적으로

Korean: 
S를 일정하게 유지시켰을 때를 보여주지만
변수 T를 자유롭게 한다면
3차원 공간의 일정한 곡선을 볼 수 있습니다
다른 상수에 대해서는
다른 곡선이 만들어집니다
격자 무늬에서 다른 곡선들이
어떤 모양을 가지는지 볼 수 있습니다
그리고 그 곡선들은 모두 기존의 곡선과 평행하고
S는 1이 됩니다
그래서 T의 모든 움직임을 생각하기 전에
작은 움직임을 상상하는 것입니다
T의 작은 부분에 대한 움직임이요
T의 작은 부분에 대한 움직임이요
 
크지 않은 아주 작은 부분이요
부분 T를 기록하는 것인데
0.01과 같은 작은 T의 부분을 정하는 것입니다
0.01과 같은 작은 T의 부분을 정하는 것입니다
극한으로 작은 변수를 잡을 수 있습니다
극한으로 작은 변수를 잡을 수 있습니다
그러나 저는 실제 값의 1/100 정도가 좋다고 생각합니다
그러나 저는 실제 값의 1/100 정도가 좋다고 생각합니다
모든 부분들이 변형을 겪게 하고
모든 부분들이 변형을 겪게 하고
입력 값에 대한 T를 나타내는 작은 조각이
입력 값에 대한 T를 나타내는 작은 조각이

English: 
what happens if you let
S constantly equal one
but you let the variable T,
the input T, vary freely,
and you get a certain curve
in three-dimensional space.
And if you had a different constant for S,
it would be another curve,
and maybe you can kinda
see on the grid lines
what shape those other curves would have,
and they're all, in a sense, parallelish
to this curve corresponding
to S equals one.
So if, instead of thinking
about movement of T as whole,
you start thinking about nudges,
this whole partial T
is something where we're just imagining
a tiny, tiny, little
movement in the T direction.
Not really that much,
just a tiny, little move.
It's like you're recording
its value as partial T,
so maybe, if you're being concrete,
you'd say partial T would
be something like 0.01.
And really it's gonna
be a limiting variable
that gets smaller and smaller,
but I find it's kind
of nice to think about
an actual value like one one-hundredth.
And then if you let this whole thing
undergo the transformation
and we kind of watch the input point,
watch the line representing T,

English: 
that little nudge, that little nudge
is gonna get maybe stretched or squished,
and it's gonna result
in some kind of vector
pointing along that curve,
and it'll be tangent to that curve.
The vector that tells you how you move
just a tiny, tiny little bit
will be tangent in some way,
and that vector, that output nudge,
is what you're thinking
of as your tiny change
to the output vector, that partial V.
And when you divide it by the tiny value,
if your tiny value was 0.01
and you divide it by that,
it's gonna become something bigger,
so the actual derivative isn't gonna be
just some tiny, little nudge
that's hardly, hardly visible,
but it's gonna be that nudge
vector scaled appropriately.
In this case, it would be
divided by one one-hundredth
and multiplied by 100,
and it would be something that
remains tangent to the curve,
but maybe it's pointing big.
And the larger it is, the longer it is,
that's telling you that as you let T vary
and you're kind of moving
along this pink curve,
tiny nudges in T correspond
with larger movements.

Korean: 
늘어나거나 찌그러져 벡터가 되고
늘어나거나 찌그러져 벡터가 되고
그것이 곡선의 기울기가 됩니다
그것이 곡선의 기울기가 됩니다
 
작은 조각에 대한 벡터는
어떤 식으로든 접하게 될 것입니다
어떤 식으로든 접하게 될 것입니다
그리고 출력 벡터에 대한
아주 작은 변화인 부분 V로 생각합니다
아주 작은 변화인 부분 V로 생각합니다
아주 작은 값으로 나누면
만약 0.01로 나누고 그것을 다시 나누면
더 큰 것이 될 것이기 때문에
실제 값은 거의 보이지 않겠지만
실제 값은 거의 보이지 않겠지만
그것은 적절한 크기의 벡터가 될 것입니다
그것은 적절한 크기의 벡터가 될 것입니다
이 경우는 100분의 1로 나눠서
그리고 100을 곱해서
곡선에 가깝게 될 수도 있고
크게 보일 수도 있습니다
그리고 더 큰 것은 길어질수록
T가 다양해지고
분홍색 곡선을 따라 움직이는 것처럼 보입니다
T의 작은 조각은 큰 움직임과 일치합니다

English: 
The ratio of the nudge size is bigger.
So if you were to have a very
long partial derivative vector
that's still tangent but
really goes out there,
that would tell you that as you vary T
you're zipping along super quickly.
And if we just look at this particular one
that's zooming off of one,
you kind of get a feel for
the curve around that point.
You say, "Okay, okay."
And that curve, you're moving
positively in the X direction.
You're moving to the right.
You're moving positively
in the Z direction.
Not Z, sorry, the Y.
Positively in the Y direction up there.
And the Z direction is
actually negative, isn't it?
This curve kind of goes down
as far as Z is concerned.
So before even computing it,
if I were to tell you
that I'm gonna plug in
the value one, one to
this partial derivative
that we computed in the last video,
you would say, "Oh, well,
just looking at the picture,
"you can kind of tell that the X value
"is gonna be something positive,
something greater than zero."
The Y value is also gonna
be something positive,
and, again, that's because
the movement is to the right,
so positive X.
It's moving up, so positive Y,

Korean: 
조각의 비율이 더 큽니다
만약 매우 긴 조각을 갖고 있다면
만약 매우 긴 조각을 갖고 있다면
다른 T처럼 보이게 할 것입니다
다른 T처럼 보이게 할 것입니다
특정한 부분을 확대하면
특정한 부분을 확대하면
그 점에 대한 곡선을 느낄 수 있습니다
"좋아요"라고 말합니다
그리고 그 곡선은 X방향으로 움직입니다
오른쪽으로 움직이고
Z의 양의 방향으로 움직입니다
죄송합니다 Z가 아니라 Y
Y의 양의 방향으로 올라갑니다
Z방향은 음의 방향이죠
이러한 곡선은 Z와 멀리 떨어져 있습니다
그래서 제가 계산하기 전에
그래서 제가 계산하기 전에
저번 영상에서 계산한
(1, 1)의 편미분 값은
그림에서 볼 때
X값이 양수라고
말한 것입니다
 
움직임이 오른쪽이기 때문에
Y값도 어떤 양수가 되고
X값도 양수입니다
위로 올라가서 Y값은 양수지만

Korean: 
Z값은 조금 음수일 것입니다
이 곡선을 보면
아래로 조금 내려가는 것을 볼 수 있습니다
예측한 것처럼
하나의 T와 S를 연결하면
1×2는 2가 되고
S는 1
그래서 1²-2×1×1
그래서 1²-2×1×1
즉, 1-2가 됩니다
그것은 음수입니다
그래서 양수, 양수, 음수가 나오게 됩니다
아마 이 곡선에서
X방향의 움직임이
Y의 움직임의 두 배가 되는 이유를 알 것입니다
Y방향으로 올라가는 것보다
더 오른쪽으로 움직이고 있습니다
다시 말하지만
특정 지점에서만 할 수 있는 것이 아닌
모든 지점에서 할 수 있습니다
 
그리고 이 움직임은
T방향으로 움직이는 방향으로 움직입니다
3차원 공간에서 약간의 벡터를 얻을 수 있습니다
이것이 해석입니다

English: 
but the Z value should actually
be a little bit negative
because as you look at this curve,
it's going down in a sense.
And with that being our prediction,
if you start plugging
in one, one to T and S,
what you'll see is that
two times one is two,
S equals one, so that's just one,
and then over here this
looks like one squared
minus two times one times one,
so this will be one minus two.
That's negative one, so
it is in fact that kind of
positive, positive, negative
pattern that you were seeing.
And maybe even from this curve,
you can get a feel for why the
movement in the X direction
is twice as much in the movement in the Y.
It's moving more to the right
than it is up in the Y direction.
Then, again, in principle
you can imagine doing this
not just at the point one,
one but at any given point,
maybe any given point along this curve
or any given point along the surface.
And the corresponding movement,
the direction that nudges
in the T direction,
will give you some vector
in three-dimensional space,
and that's the interpretation.

Korean: 
그것은 벡터 값 함수의
부분 도함수의 의미입니다
다시 말하지만 이건 실제 값이 아닙니다
입력 값을 볼 때
작은 부분을 작은 벡터보다 더 작은 크기로 나눕니다.
작은 부분을 작은 벡터보다 더 작은 크기로 나눕니다.
그래서 작은 벡터를 얻습니다
 
다음 비디오에서는 방금 한 일에 대해 더 잘 알기 위해
S방향으로 움직일 때 일어나는 일에 대해
같은 작업을 할 것입니다
 

English: 
That is the meaning of
the partial derivative
of the vector-valued function here.
And, again, it's not the
actual nudge vector itself,
when you nudge the input
and you get just a little
smidgen in the output space here,
but it's that divided by
the size of the nudge,
so that's why you'll get
kind of normal-sized vectors
rather than tiny vectors.
And in the next video, I'll
do kind of the same thing
for what happens when you
nudge in the S direction
just to get a better
feel for what's going on
in this example.
