
Bulgarian: 
В това видео ще разгледаме дали ако 
имаме отсечка b с някаква дължина,
дали мога да създам отсечка а, така че 
отношението на а към b
да е равно на отношението на сумата от двете 
спрямо по-дългата страна.
Да е равно на отношението на (а + b)/а.
Ето над какво искам да направя –
да направя А, така, че в това златно сечение
Това, което се опитвам да постигна, е
отношението на по-дългата страна към по-късата
да е равно на отношението на цялото
към по-дългата страна.
И ако предположим, че постигнем такова отношение,
и го наречем с гръцката буква Фи,
нека видим какво можем да научим
за това специално отношение.
Фи е равно на a/b, което пък е равно 
на (a + b)/a.
Знаем, че (a + b)/a е равно на

Thai: 
สิ่งที่ผมอยากสำรวจในวิดีโอนี้ คือ ถ้ากำหนดความของเชือกหรือเส้นตรง หรือส่วนของเส้นตรงนี้ B
ผมจะตั้ง A, โดยอัตราของ A ต่อ B
เท่ากับอัตราส่วนของผลบวกสองตัวนี้ ต่อความยาวด้านที่ยาวกว่าได้ไหม
มันเท่ากับอัตราส่วนของ A บวก B ต่อ A
ผมอยากนั่งและคิดถึงมันสักหน่อย
ผมอยากเห็น, ว่าผมสามารถสร้าง A ที่มีสัดส่วนนี้, อัตราส่วนสมบูรณ์นี้
ที่ผมมักเรียกมันตรงนี้
อัตราของด้านที่ยาวกว่า, ต่อด้านที่สั้นกว่า
เท่ากับความยาวของทั้งหมด ต่อด้านที่ยาวกกว่า
และสมมติว่าเราหาอัตราแบบนั้น
และเราจะเรียกมัน, เราจะเรียกมันว่า φ (ไฟ). เราจะใช้ตัวอักษรกรีก ไพ
แทนอัตราส่วนนั่นตรงนี้
แล้วลองดูว่าเราสามารถเรียนรู้อะไรเกี่ยวกับอัตราส่วนพิเศษ ไฟ นี้บ้าง
ทีนี้, ไฟ เท่ากับ A ส่วน B, ซึ่งเท่ากับ A บวก B ส่วน A
เรารู้ว่า A บวก B ส่วน A ก็เหมือนกับ

Spanish: 
Lo que quiero explorar en este video es, si dada la longitud de una línea o de un segmento de línea como éste de aquí, B
puedo encontrar un A, tal que la proporción entre A y B
sea igual a la proporción entre la suma de ámbos (A+B) y el segmento más largo
entonces, es igual a A más B, dividido A
Quiero pararme un poco aquí, y pensar en ésto
¿puedo encontrar algún A, tal que esta proporción, esta perfecta proporción
de alguna manera me estoy refiriendo a esto
tal que la proporción entre el lado más largo y el más corto
es igual a la proporción del conjunto total con el lado más largo
y asumamos que podemos encontrar una proporción como esa
y la llamaremos, la llamaremos φ (Phi). Vamos a usar la letra griega phi ("fi")
para la proporción de aquí
así que vamos a ver qué podemos aprender sobre esta proporción especial llamada phi
Bueno, phi es igual a A sobre B, lo que es igual a A más B sobre A
sabemos que A más B sobre A es la misma cosa que

Chinese: 
首先在這影片中，我們設一線段為b。
另外我設下另一線段a，使得比例ab
等同於全長和最長線段的比例
註：全長(a+b)；最長線段(a)
所以我們想想看：
我要如何證明
我剛剛所說的理論：
a/b = (a+b)/a
「長邊對短邊的比例」等同於「總長對最常邊」?
我們假設我們可以找到如此比例
我們使用希臘一文字來表示
稱之為 φ (Phi)
所以我們來看看φ到底是在說什麼?
好吧! φ 就像 a/b， 也像(a+b)/a
我們知道

Slovak: 
V tomto videu by som chcel preskúmať určitú danú dĺžku nejakej priamky alebo úsečky B.
Môžem zostrojiť úsečku A tak, že pomer A ku B
sa bude rovnať pomeru ich súčtu ku dlhšej strane?
Čiže pomer A plus B lomeno A?
Pouvažujme nad tým.
Môžeme zostrojiť nejakú dĺžku A, ktorá je v tomto pomere,
ktorý sme si tu napísali,
tak, že pomer dlhšej strany ku kratšej strane
sa rovná pomeru ich súčtu ku dlhšej strane?
Predpokladajme, že takýto pomer môžeme nájsť
a nazveme ho φ (Fí). Na označenie tohto pomeru použijeme
grécke písmeno fí.
Poďme sa pozrieť na tento zvláštny pomer fí.
Takže fí sa rovná A lomeno B, čo sa rovná A plus B lomeno A.
Vieme, že A plus B lomeno A je to isté ako

Danish: 
I den her video har vi et linjestykke b her.
Vi vil se, om vi kan lave et linjestykke a,
så forholdet mellem a til b er det samme som
forholdet mellem a plus b til a.
Lad os tænke lidt over det.
Vi skal altså se,
om vi kan konstruere linjestykket a,
så forholdet mellem den lange side og den korte side
er lig med forholdet mellem begge sider og den lange side.
Lad os antage, at vi kan lave sådan et forhold.
Vi kalder forholdet phi. Det er et græsk bogstav.
Det bruger vi for forholdet.
Lad os se, om vi kan finde ud af noget om phi.
Phi er lig med a over b, som er lig med a plus b over a.
Vi ved, at a plus b over a

Indonesian: 
Yang akan saya lakukan di video ini adalah, diberikan sebuah garis atau bagian garis B
Bisakah saya menggambar garis A, sehingga perbandingan A dan B
sama dengan perbandingan jumlah keduanya dengan sisi yang panjang
jadi sama dengan perbandingan A tambah B dengan A
Jadi saya ingin duduk dan berpikir
Saya ingin tau, apakah bisa saya menggambar A
Jadi perbandingan bagian yang panjang dengan yang pendek
sama dengan perbandingan semuanya dengan bagian yang panjang
dan asumsikan kita bisa menemukan perbandingan seperti itu
dan kita sebut φ (Phi), kita gunakan abjad Yunani phi
untuk perbandingan itu
mari kita lihat apa yang dapat kita pelajari mengenai perbandingan spesial phi
Well, phi sama dengan A dibagi B yang sama dengan A tambah B dibagi A
kita tahu bahwa A ditambah B dibagi A sama dengan

Georgian: 
ამ ვიდეოში მე მაქვს მოცემული ხაზის ან მისი
სეგმენტის სიგრძე – B
და მე მინდა დავახაზო ისეთი A, 
რომ A/B შეფარდება
იყოს ამ ორის უფრო გრძელთან შეფარდების ტოლი
ანუ, A+B–ს A-სთან შეფარდების.
მინდა, ცოტა ხანი დავფიქრდეთ ამაზე:
შეგვიძლია თუ არა დავხაზოთ A ისეთი 
შეფარდებით, ისეთი იდეალური შეფარდებით,
როგორიც აქ დავხაზე?
დავხაზო ისე, 
რომ გრძელი ხაზის უფრო მოკლესთან შეფარდება
იყოს ამ ორივე ხაზის ჯამის გრძელ ხაზთან 
შეფარდების ტოლი?
დავუშვათ, შეგვიძლია ასეთი შეფარდების პოვნა
ვუწოდოთ მას φ (ფსი) 
და აღვნიშნოთ ბერძნული ასოთი.
ვნახოთ, რისი გაგება შეგვიძლია ამ 
საინტერესო თანაფარდობის – ფსის შესახებ.
ახლა ვიცით, რომ φ უდრის A/B–ს, 
რაც თავის მხრივ უდრის (A+B)/A-ს.

English: 
What I want to explore
in this video is,
given some length
of string or a line
or some line segment
right here, b,
can I set up an a, so
that the ratio of a to b
is equal to the ratio
of the sum of these two
to the longer side?
So it's equal to the
ratio of a plus b to a.
So I want to sit and think
about this a little bit.
I want to see is can I
construct some a that's
on this ratio,
this perfect ratio
that I'm somehow
referring to right here,
so that the ratio of the
longer side to the shorter side
is equal to the ratio of the
whole thing to the longer side.
And let's just assume that we
can find a ratio like that.
And we'll call it phi.
We'll use the Greek letter
phi for that ratio over there.
So let's see what we can learn
about this special ratio phi.
Well if phi is equal to a over
b, which is equal to a plus b
over a, we know that
a plus b over a is

Polish: 
Zajmijmy się tym, że jeśli mamy podany
odcinek lub wycinek o długości b jak tutaj
czy mogę skonstruować taki odcinek
o długości a, że stosunek a do b
jest równy stosunkowi sumy długości tych
dwóch odcinków do dłuższego z nich
czyli jest on równy a+b przez a
zatem usiądźmy i pomyślmy
czy da się skonstruować taki
odcinek o długości a, że stosunek...
odnoszę się do tego obrazka...
że stosunek dłuższej strony od krótszej
jest jak stosunek całości do dłuższej strony
załóżmy zatem że możemy znaleźć taki stosunek
nazwiemy go φ (Fi)
użyjemy greckiej litery fi
do tego stosunku
zobaczmy czego możemy się dowiedzieć
o tym specjalnym stosunku fi
A więc, fi równa się a przez b
co jest równe a+b przez a
wiemy, że a+b przez a to tyle samo

Japanese: 
このビデオでは紹介するのは
文字列または行のいくつかの長さBがあり、
a と bへの比率が
これらの 2 つの合計と長い側の比率と等しいように
aを
設定することができるでしょう？
少しこれについて考えましょう。
この完璧な比のaを
見つけられるかどうかです。
短い側と長い側面の比率が
長い側と合計の比に等しいです。
そのような比率を見つけることができると
仮定しましょう。
これを φ (ファイ) それを呼びます。
我々 はギリシャ文字のファイを使用します
この比です。
この特別な比について何がわかっているでしょう。
これは a／ b、かつ
a／a＋bに等しいです。

Czech: 
V tomto videu chci prozkoumat délku
daného vlákna nebo úsečky ,B'.
Můžu nastavit ,A' tak, že poměr mezi
,A' a ,B' je roven poměru součtu
těchto dvou k delší straně?
Tedy k poměru ,A plus B' ku ,A'?
Chce to trochu promyslet.
Chci zjistit, zda můžu vytvořit takové A, 
které je v tomto poměru,
v tomto ideálním poměru,
na který se odkazuji,
tak aby poměr delší strany ke kratší straně
byl roven poměru celé délky k delší straně
a předpokládejme, že můžeme najít takový poměr
a nazveme ho φ (Fí). 
Pro tento poměr použijeme
řecké písmeno φ (Fí).
Pojďme se podívat, co se můžeme
o tomto speciálním poměru fí naučit.
fí je rovno A lomeno B, což
je rovno (A plus B) lomeno A.
Víme, že (A plus B) lomeno A je stejné jako

Korean: 
주어진 선분 b에 대하여
b에 대한 a의 비율이
a에 대한 a+b의 비율과 같게 되는 
(즉, 긴 선분에 대한 전체 선분의 비율)
선분 a를 설정하는 방법을 알아보도록 하겠습니다
알아보려는
이 완벽한 비율에서 a를 정하는 것입니다
다시 말하면
짧은 선분에 대한 긴 선분의 비율과
긴 선분에 대한 전체 선분의 비율이 같게 되는
이런 비율을 생각해 보려는 것입니다
이 비율을 φ(파이) 라고 부릅니다
그리스 문자 φ(파이)를 사용합니다
특별한 비율 φ를 학습해 봅시다
φ = a/b = (a+b)/a
(a+b)/a 는

Norwegian: 
I denne videoen har vi linjestykke b.
Vi skal se om vi skal lage linjestykke a,
så forholdet mellom a til b 
er det samme som
forholdet mellom a pluss b til a.
La oss tenke litt over det.
Vi skal altså se om vi kan
konstruere linjestykke a,
så forholdet mellom den lange siden,
og den korte siden
er lik forholdet mellom begge sider,
på den lange siden.
La oss anstå 
at vi skal lage et sånt forhold.
Vi kaller forholdet pi.
det er en gresk bokstav.
Det bruker vi for forholdet.
La oss se om 
vi kan finne ut noe om pi.
Pi er lik a over b,
som er lik a pluss b over a.
Vi vet at a pluss b over a

Italian: 
Quello che voglio esplorare in questo video viene dato qualche lunghezza di stringa o linea o qualche riga di segmento B proprio qui
Posso impostare una A, così che il rapporto A/B
è uguale al rapporto tra la somma di questi due per il lato più lungo
modo suo pari al rapporto tra un plus B ad A
così ho voglia di sedersi e pensare a questo per un po '
Voglio vedere è, posso costruire alcuni A che è su questo rapporto, questo rapporto perfetto
In qualche modo mi riferisco qui
modo che il rapporto tra il lato più lungo, per il lato più corto
è uguale al rapporto di tutta la faccenda al lato più lungo
e lascia solo supporre possiamo trovare un rapporto come quello
e che chiameremo, che chiameremo φ (Phi). Useremo il phi lettera greca
per quel rapporto laggiù
così vediamo che cosa possiamo imparare su phi questo rapporto speciale.
Beh, phi è uguale ad A sopra B, che è uguale a un plus B over A
Sappiamo che A plus B over A è la stessa cosa come

Chinese: 
我在这个视频中想探索的是给定一定长度的线段b
能不能设定另一线段，使ab之比
等于ab之和和ab中较长的一边之比
即a加b比a
现在我想做的就是坐下来然后好好思考一会
我希望看到的是，能否设一线段A 使这个比例成立，这个完美比例
我已经提到过
较长边与较短边之比
等于线段和必上较长边
现在让我们假设我们找到了这样一个比例
然后我们叫它φ（phi），即希腊字母phi
表示这个比例
现在看看我们能从这个特殊比例φ得到什么

Turkish: 
Bu videoda b uzunluğunda bir doğru parçası ve a uzunluğunda doğru parçası kurmak istiyorum, öyle ki, a'nın b'ye oranı, bu ikisinin toplamının uzun kenara oranına, yani a artı b'nin a'ya oranına eşit olsun.
-
-
-
Şimdi bunu biraz düşünmek istiyorum.
Şimdi, bu orana uyan a değerleri oluşturabilir miyim, bakıyorum.
-
Uzun kenarın kısa kenara oranı, tamamının uzun kenara oranına eşit olmalıç
-
Böyle bir oran bulabileceğimizi varsayalım, buna fi diyelim. Bu oran için Yunan harfi fi'yi kullanıyorum.
-
-
Şimdi bu özel fi oranı hakkında neler öğrenebileceğimizi görelim.
fi eşittir a bölü b, bu da eşittir a artı b bölü a.
a artı b bölü a'nın a bölü a artı b bölü a ile aynı şeydir.

Czech: 
(A lomeno A) plus (B lomeno A)
A lomeno A je 1
a B lomeno A je jen převrácený zápis,
takže B lomeno A, tento zápis je fí,
takže B lomeno A bude 1 lomeno fí.
Toto bude 1 lomeno fí.
To je zajímavé, vytvořili jsme číslo,
které je... tento speciální
poměr nazveme fí,
fí je rovno 1 plus (1 lomeno fí).
Toto je elegantní zápis,
nejdříve odečtěte 1 od obou stran,
dostanete fí minus 1 je
rovno převrácenému fí.
To se zdá být pěkná
vlastnost jakéhokoliv čísla,
pokud od něj odečtu 1,
dostanu jeho převrácenou hodnotu.
A to vypadá velmi zajímavě.
Ale pak i tento zápis je docela zajímavý,
protože jste předefinovali fí 
ve smyslu 1 plus (1 lomeno fí),

Norwegian: 
er det samme som a over a pluss b over a.
a over a er lik 1,
og b over a er det omvendte av dette.
Dette er det samme som pi,
og b over a er det samme
som 1 over pi. Dette er 1 over pi.
Det er interessant!
Vi har nå funnet dette spesielle forhold.
Pi er lik 1 pluss 1 over pi.
Det er et fint uttrykk.
Vi kan trekke fra 1 på begge sider.
Vi får at pi minus 1
er lik det omvendte.
Det ser smart ut.
Hvis vi trekker fra 1 her,
får vi den multiplikative inverse.
Dette er spennende.
Dette er også spennende,
fordi vi har definert pi
som 1 pluss 1 over pi.

Slovak: 
A lomeno A plus B lomeno A.
A lomeno A je jedna
a B lomeno A je vlastne prevrátená forma tohto tu.
Toto tu je fí,
takže B lomeno A je vlastne 1 lomeno fí.
Vyšla nám zaujímavá rovnica. Dostali sme číslo,
ktoré budeme volať pomer fí.
Fí sa rovná 1 plus 1 lomeno fí.
Máme to tu pekne zapísané.
Poďme odčítať z oboch strán 1,
dostaneme fí mínus 1 sa rovná prevrátenému fí.
Vyzerá to byť naozaj zaujímavé číslo.
Ak by sme od fí odčítali 1, vyšla by nám jeho prevrátená hodnota.
To je naozaj zvláštne.
Aj tento zápis vyššie je zaujímavý.
Fí sme definovali ako 1 plus 1 lomeno fí.

Indonesian: 
A dibagi A ditambah B dibagi A
A dibagi A adalah satu
dan B dibagi A adalah kebalikan dari pernyataan ini
jadi B dibagi A, hal ini adalah phi

Thai: 
A ส่วน A บวก B ส่วน A
A ส่วน A ก็แค่ 1
และ B ส่วน A ก็แค่อินเวอร์สของตัวนี่ตรงนี้
ได้ B ส่วน A, เจ้านี่ตรงนี้ คือไฟ
แล้ว B ส่วน A จะเท่ากับ 1 ส่วน ไฟ. นี่จะเป็น 1 ส่วน ไฟ
นี่น่าสนใจ, เราได้ตั้งตัวเลข
ซึ่ง, เราจะเรียกอัตราส่วนพิเศษนี้
ว่าไฟ, เท่ากับ 1 บวก 1 ส่วน ไฟ
นั่นเป็นข้อความที่เนี๊ยบทีเดียวตรงนี้
อย่างแรกคือคุณลบ 1 จากทั้งสองข้างของอันนี้
คุณจะได้ ไฟ ลบ 1 เท่ากับอินเวอร์สของมัน
มันดูเป็นสมบัติที่เนี๊ยบทีเดียวสำหรับเลขใดๆ
ถ้าผมลบ 1 จากมัน, ผมจะได้อินเวอร์สการคูณ
แล้วมันก็ดูน่าทึ่งแล้ว
แม้แต่ประโยคนี่ตรงนี้ก็ดูน่าสนใจ
เพราะคุณได้นิยามไฟใหม่ ในรูปของ 1 บวก 1 ส่วนไฟ

Spanish: 
A sobre A, más B sobre A
A sobre A es uno
y B sobre A es justo la inversa de lo que tenemos aquí a la izquierda
así que B sobre A, lo que tenemos aquí es phi
así que B sobre A va a ser 1 sobre phi. Ésto va a ser uno sobre phi.
Aquí tenemos algo interesante; encontramos un número
que es, vamos a llamar a esta proporción especial
phi, es igual a 1, más 1 sobre phi
y eso sólo ya es una afirmación bonita
antes que nada, restás uno de ambos lados
y obtienes que phi menos 1 es igual a su inversa
que parece ser una muy buena propiedad de cualquier número;
que si le substraemos 1, obtenemos su inverso multiplicativo
Y eso ya parece intrigante
pero entonces esta parte de aquí también es interesante
porque redefinimos phi en términos de 1, más 1 sobre phi

Italian: 
A oltre un plus B over A
A over A è solo uno
e B over A è semplicemente l'inverso questa affermazione proprio qui
così B sopra A, questa cosa proprio sopra è phi
così B over A è solo andare a essere 1 sopra phi. Questo sta per essere 1 sopra phi.
Quindi questo è interessante, ora abbiamo abbiamo istituito un numero
cioè, stiamo andando a chiamare questo rapporto speciale
Phi, è uguale a 1 più 1 sopra phi
bene solo che è il tipo di un'istruzione accurata laggiù
è prima di tutto che si sottrae 1 da entrambi i lati di questo
ottenete phi-1 è uguale al suo inverso
che sembra essere una proprietà abbastanza carino di qualsiasi numero
che se basta sottrarre 1 da esso, ottenere la matrice invertibile
E così che già che sembra intrigante.
ma poi anche questa istruzione qui è tipo di interessante
perché tu hai ridefinito phi in termini di 1 più 1 sopra phi

Turkish: 
-
a bölü a 1'dir.
Ve b bölü a şuradaki ifadenin tersidir.
b bölü a, buradaki fi ise, b bölü a 1 bölü fi olur. Bu, 1 bölü fi olur.
-
Burası gayet ilginç, öyle bir fi sayısı kurduk ki, bu fi eşittir 1 artı 1 bölü fi.
-
-
Bu çok güzel bir ifade.
İlk olarak iki taraftan 1 çıkarırız.
Fi eksi 1 eşittir bunun tersi.
Bu bir sayı için ilginç bir özellik, sayıdan 1 çıkarınca, çarpmaya göre tersini elde ediyoruz.
-
Bu daha şimdiden merakımızı uyandırdı.
Bu ifade gerçekten ilginç, çünkü fi'yi 1 artı 1 bölü fi olarak yeniden tanımladık.
-

Korean: 
a/a + b/a
a/a =1
b/a 는 a/b의 역수
여기에 있는 φ 를 이용하면
b/a 는 1/φ
아주 흥미로운 수가 설정되었군요
이 특별한 비를 φ라고 부릅시다
φ= 1+ 1/φ
훌륭한 정리가 만들어졌습니다
우선, 양변에서 1을 빼면
φ-1 = 1/φ
더욱 훌륭한 정리군요
이 식에서 1을 제외하고 생각하면
이 부분은 φ의 역수입니다
이미 흥미롭지만
φ를 다시 1+1/φ 로 재정의한다면
더욱 흥미로워집니다

Chinese: 
這兩者的比例一樣

Danish: 
er det samme som a over a plus b over a.
a over a giver 1,
og b over a er den inverse af det her.
Det her er det samme som phi,
og b over a er det samme som 1 over phi. Det her er 1 over phi.
Det er interessant!
Vi har nu fundet det her specielle forhold.
Phi er lig med 1 plus 1 over phi.
Det er et fint udtryk.
Vi kan trække 1 fra på begge sider.
Vi får, at phi minus 1 er lig med den omvendte.
Det ser smart ud. Hvis vi trækker 1 fra det her,
får vi den multiplikative inverse.
Det her er spændende.
Det her er også spændende,
fordi vi har defineret phi som 1 plus 1 over phi.

Polish: 
co a przez a dodać b przez a
a przez a to po prostu 1
a b przez a jest odwrotnością tego tutaj
po drugiej stronie równości
więc b przez a, to coś jest równe fi
więc b przez a to po prostu będzie
1 przez fi
Interesujące. Mamy więc jakąś liczbę
nazwiemy ją specjalnym stosukiem
fi, gdzie fi równa się 1 plus 1 przez fi
już samo to jest dosyć ładne
na początku odejmiemy jeden
od obu stron
dostaniemy fi minus 1 jest równy
odwrotności fi
i to też jest całkiem ładną własnością
jakiejkolwiek liczby
że jak odejmę od niej jeden, to dostanę
jej odwrotność
już to samo jest intrygujące
ale nawet to tutaj jest już interesujące
ponieważ zdefiniowaliśmy fi jako
1 dodać 1 przez fi

English: 
the same thing as a
over a plus b over a.
a over a is just 1.
And b over a is just the
inverse of this statement
right over here.
So b over a-- this thing
right here over here
is phi-- so b over a is
going to be 1 over phi.
This is going to be 1 over phi.
So this is interesting.
We've now set up a
number, which we're
going to call this special
ratio, phi is equal to 1 plus 1
over phi.
Well just that is kind of a
neat statement right over there.
First of all, you
could, if you subtract 1
from both sides of this,
you get phi minus 1
is equal to its inverse.
That seems to be a pretty
neat property of any number
that if I just
subtract 1 from it,
I get its
multiplicative inverse.
And so that, already that
seems kind of intriguing.
But then even this
statement over here
is kind of interesting because
we've defined phi in terms of 1
plus 1 over phi.

Japanese: 
a／a＋b／a／aです。
a／aは１です。
b／a は、ちょうどこの逆になります。
この比です。
b／a は、 1 ／φ です。これが 1 ／φです。
では、数値を設定しましょう。
この特別な比率、
φは、１＋1 ／φに等しいです。
これは、さっぱりした式です。
まず、この両側から 1 を減算します。
φから 1 を引いたものが、その逆に等しいです。
かなりさっぱりした特性です。
ある値から 1 を引く場合、乗法的に逆の値を得ます。
興味深いと思われます。
こっちもこの声明も面白いです。
φは、１＋1 ／φです。

Bulgarian: 
a/a + b/а.
а върху а е 1,
b върху a е обратното на 
това отношение тук.
Така b/a, това тук, е фи,
така че b/a ще бъде 1/фи. 
Това ще бъде 1 върху фи.
И тук става интересно, получили сме число,
което е... ще го наречем златно сечение,
фи е равно на 1 плюс 1 едно върху фи.
Е това е хубаво твърдение,
първо ще извадим 1 от двете страни на това,
получаваме фи минус едно е равно 
на реципрочното си.
Звучи като хубаво свойство на което и да е число,
като извадим едно от него, 
да получим реципрочната му дроб.
Това вече звучи интригуващо.
Но пък дори това твърдение тук е интересно,
защото сме предефинирали фи като 1 едно плюс 1 върху фи.

Georgian: 
ასევე ვიცით, რომ (A+B)/A იგივეა რაც
A/A + B/A.
A/A-ზე არის 1
და B/A არის ამ გაყოფის შებრუნებული.
ეს შეფარდება არის φ,
ანუ B/A იქნება 1/φ – ერთი გაყოფილი ფსიზე.
ნახეთ, რა საინტერესოა, ჩვენ დავადგინეთ,
რომ ეს რიცხვი, ეს განსაკუთრებული
თანაფარდობა,
რომელსაც ვეძახით φ –ს, უდრის 1 + 1/φ.
საკმაოდ საინტერესო ტოლობა გამოდის.
პირველ რიგში, ორივე მხარეს გამოვაკლოთ 1:
გამოვა, რომ φ –1 უდრის 
თავის შებრუნებულ რიცხვს.
ეს რიცხვის ძალიან საინტერესო თვისება ჩანს:
მას ვაკლებთ 1–ს და ვიღებთ მის შებრუნებულს.
ესეც კი უკვე საკმარისია
ინტერესის აღსაძვრელად.
მაგრმ ნახეთ,
ეს წინა გამოსახულებაც საინტერესოა:
იმიტომ რომ, 
თუ ჩავთვლით, რომ φ უდრის (1+1)/φ

Slovak: 
Môžeme sa na to pozerať aj takto.
Mohli by sme povedať, že fí sa rovná 1 plus 1 lomeno fí,
no namiesto fí môžeme napísať znova
1 plus 1 lomeno
a miesto fí znova napísať 1 plus 1 lomeno
a mohli by sme napísať fí,
alebo by sme takto mohli pokračovať
do nekonečna
a znova napísať 1 plus 1 lomeno
a takto pokračovať až do nekonečna.
Toto sa nazýva ako rekurzívna definícia funkcie,
kde rekurzívna definícia premennej
je definovaná pomocou seba samej.
Vyzerá to byť veľmi zaujímavé.
Poďme do toho kus hlbšie.
Chceme zistiť, čo presne je fí,
a aká je hodnota tohto zvláštneho pomeru,
ktorý tu skúmame.
Pozrime sa, či by sme to mohli zapísať vo forme kvadratickej rovnice a vyriešiť ju
pomocou našich tradičných metód.
Najjednoduchší spôsob ako to urobiť je vynásobiť obe strany

Japanese: 
このように考えることができます。
つまり、1φが 1 ＋1 ／φに等しく、
書き換えると
φを１＋1 ／φに置き換え
これを続けていき
無限に行くことができます。
単に続けて、このように永遠にできます。
このように
ちょうど行く続けます。
これは、再帰的な定義された関数です。
変数の再帰的な定義です。
それ自体の表現で定義されます。
でも、さっぱりした特性の様です。
しかし、さらに少し考え、
実際にはφがどのようなものか把握します。
φ、この奇妙な数値、この奇妙な比率
探索を始めています。
二次方程式にすることができるかどうかを見てみましょう。
そうすれば、従来の方法で解けるでしょう。
簡単な 方法は、両側を

Korean: 
이런 식으로 생각해보면
φ 를 1 +1/φ 로 바꾸고
또, φ 대신 1+1/φ 를 쓰고
다시 φ 를 1+1/φ 로 바꾸로
φ 를 바꾸어 나가는 것을
계속 반복할 수 있습니다
영원히 말이죠
φ를 바꾸고, 또 바꾸고
끝없이 할 수 있습니다
이것은 재귀함수입니다
변수가 되풀이하여 정의되는 함수
자기자신이 다시 정의되는 함수입니다
더욱 훌륭한 정리입니다
φ 가 무엇인지에 대해서
조금 더 생각해 봅시다
신비로운 비율, 신비로운 수, φ의 값은
무엇인지 찾아보도록 합시다
이차방정식으로 되돌아가 본다면
전통적인 풀이법을 사용하여
이 식을 쉽게 풀 수 있습니다

Polish: 
więc możemy o tym myśleć tak, że
możemy powiedzieć, że fi jest równe
1 dodać jeden przez fi
ale zamiast pisać fi, powiemy "hola!"
fi to po prostu 1 dodać 1 przez
i zamiast mówić fi, to po prostu
1 dodać jeden przez
i moglibyśmy napisać po prostu fi
albo robić tak dalej
i robić to w nieskończoność
mógłbym powiedzieć, że to 1 przez
1 dodać jeden przez
i tak dalej robić w nieskończoność.
To jest rekurencyjna definicja funkcji
gdzie rekurencyjna definicja zmiennej
jest zdefiniowana przez samą siebie.
Już nawet to wydaje się ładną własnością
ale my chcemy iść jeszcze dalej
i zobaczyć ile to fi się równa
jaka jest wartość fi, tej dziwnej liczby
tego dziwnego stosunku
to właśnie zaczynamy odkrywać
zobaczmy, czy możemy to zamienić w równanie
kwadratowe dające się rozwiązać
używając tradycyjnych metod
najłatwiej pomnożyć obie strony

Italian: 
così possiamo acutally pensare in questo modo
potremmo dire, che phi è uguale a 1 più 1 sopra
Phi, ma invece di scrivere phi, diciamo attesa
Phi è solo 1 più 1 più 1 più 1 sopra
e invece di dire phi. Questo è solo l'1 più 1 sopra
Basta potrei scrivere phi nuovamente e potuto solo andare avanti
potuto solo andare avanti come questa per sempre
Potrei dire che è 1 over, over 1 più 1
e basta andare avanti avanti e avanti e avanti per sempre.
e questa è una definizione ricorsiva di una funzione
erano un func...erano una definizione ricorsiva di una variabile
è stato definito in termini di se stessa
ma anche questa sembra una proprietà abbastanza carino
ma noi vogliamo ottenere un po ' più ulteriormente in
in realtà noi vogliamo capire cosa phi è
Qual è il valore del phi questo strano numero questo strano rapporto
che stiamo iniziando a esplorare
così vediamo se ci possiamo trasformarlo in un'equazione quadratica che possiamo risolvere
utilizzando metodi abbastanza tradizionali
e il modo di easiet per farlo è quello di moltiplicare entrambi i lati

Czech: 
takže o tom můžeme přemýšlet takto,
můžeme říct, že fí je rovno 
1 plus (1 lomeno fí),
ale místo zapsání fí, řekneme: počkat,
fí je 1 plus (1 lomeno (1 plus (1 lomeno...)
a místo fí, je to 1 plus (1 lomeno...)
a můžu napsat znovu fí, 
nebo můžu prostě pokračovat,
můžu takto pokračovat do nekonečna.
Můžu říct, že to je 1 lomeno 
(1 plus (1 lomeno...)
a pokračovat pořád dokola do nekonečna.
A toto je rekurzivní definice
funkce, kde funkce...
kde rekurzivní definice proměnné
byla definována sama sebou,
ale i toto se zdá být pěkná vlastnost,
ale chceme se dostat ještě dál,
vlastně chceme přijít na to, co je fí,
jaká je hodnota fí, tohoto divného
čísla, tohoto divného poměru,
který jsme začali zkoumat.
Pojďme se podívat, zda to můžeme převést 
na kvadratickou rovnici, kterou umíme řešit
použitím poměrně tradičních metod.
Nejjednodušší cesta jak to udělat,

Georgian: 
და გავაგრძელებთ ამ მიმართულებით ფიქრს,
ასეთ რამემდე მივალთ: φ უდრის 1+1/φ
მაგრამ φ –ს დაწერის მაგივრად
ხომ შეგვიძლია, ვთქვათ
φ უდრის 1+ 1 გაყოფილი..
და ისევ φ –ს მაგივრად, 1 + 1/
აქ შემიძლია დავწერო φ ან გავაგრძელო
და გავაგრძელო უსასრულოდ:
ისევ დავწერო აქ 1/ 1+1/...
და მივყვე და მივყვე ასე უსასრულოდ.
და ეს არის რეკურსიული ფუქნცია,
რეკურსიული ცვლადი, რომელიც
საკუთარი თავით განისაზღვრება.
უკვე ეს ძალიან საინტერესო თვისებაა,
მაგრამ კიდევ ცოტა ჩავუღრმავდეთ.
ჩვენ ზუსტად გვინდა გავიგოთ, რას უდრის φ
ეს უცნაური რიცხვი, უცნაური თანაფარდობა,
რომლის გამოკვლევაც გვინდა.
ვნახოთ, თუ შეგვიძლია ამისგან კვადრატული
განტოლება მივიღოთ, რომელსაც
ძველი ტრადიციული მეთოდით ამოვხსნიდით.
ამისთვის ყველაზე მარტივია, ორივე მხარე

Norwegian: 
Vi kan si at pi er lik
1 pluss 1 over pi.
I stedet for å skrive pi
kan vi si at pi 
e 1 pluss 1 over 1 pluss 1 over
og istedet for pi
kan vi igjen skrive 1 pluss 1 over.
Vi kan igjen skrive pi 
eller fortsette denne rekken.
Vi kan fortsette i det uendelige.
Vi kan skrive 1 over 1 pluss 1 over,
og fortsette med det
samme mønsteret i det uendelige.
Dette er en reskursiv definisjon
av en variabel,
fordi variabelen er utrykt ved seg selv.
Dette er også bra ut.
Men vi skal enda lengere,
for vi ønsker å 
finne ut av hva pi er.
Vi skal finne verdien av pi,
altså finne dette uendelige forholdet
som vi undersøker.
La oss se hva vi kan gjøre om
dette til en annengradsligning,
som vi kan løse på tradisjonelt vis.
Vi kan starte med å gange begge sider

English: 
So we can actually
think of it this way.
We could say that phi is
equal to 1 plus 1 over phi.
But instead of writing
phi, we're saying,
wait, phi is just 1
plus 1 over-- instead
of saying phi-- I could say,
well, that's just 1 plus 1 over
and I could just write phi again
or I could just keep on going.
I could just keep on
going like this forever.
I could say that's
1 over 1 plus 1 over
and just keep on going on
and on and on, forever.
And this is a recursive
definition of a function,
or a recursive
definition of a variable,
where it's defined
in terms of itself.
But even this seems like
a pretty neat property.
But we want to get a
little bit further into it.
We actually eventually want
to figure out what phi is.
What is the value of phi, this
weird number, this weird ratio
that we're beginning to explore?
So let's see if we can turn
it into a quadratic equation
that we can solve using
fairly traditional methods.
And the easiest
way to do that is

Danish: 
.
Vi kan sige, at phi er lig med 1 plus 1 over phi.
I stedet for at skrive phi
kan vi dog sige, at phi er 1 plus 1 over 1 plus 1 over
og i stedet for phi kan vi igen skrive 1 plus 1 over.
Vi kan igen skrive phi eller fortsætte den her række.
Vi kan fortsætte uendeligt.
Vi kan skrive 1 over 1 plus 1 over
og fortsætte med samme mønster uendeligt.
Det her er en reskursiv definition af en variabel,
fordi variablen er udtrykt ved sig selv.
.
Det her ser også meget godt ud.
Vi skal dog endnu længere,
fordi vi vil finde ud af, hvad phi er.
Vi skal finde værdien af phi,
altså finde det her underlige forhold, vi undersøger.
Lad os se, om vi kan lave det her om til en andengradsligning,
som vi kan løse på traditionel vis.
Vi kan starte med at gange begge sider

Turkish: 
Bunu şöyle de düşünebiliriz.
fi eşittir 1 artı 1 bölü fi, sma fi yerine 1 artı 1 bölü fi yazabiliriz.
Ve böyle devam edebiliriz.
-
-
-
-
1 artı 1 bölü 1 artı 1 bölü diye sonsuza kadar devam edebiliriz.
-
Bu, bir fonksiyonun özyineli tanımıdır.
Bir değişkenin kendi cinsinden özyineli tanımıdır.
-
Bu bile yeterince ilginç bir özellik.
Ama bunu daha incelemek istersek, bu garip fi sayısının değeri nedir?
-
-
-
Şimdi, geleneksel yöntemlerle bunu ikinci dereceden bir denkleme çevirelim.
-
Bunu yapmanın en kolay yolu, denklemin iki tarafını fi ile çarpmak.

Bulgarian: 
Можем да мислим по следния начин,
може да кажем, че фи е равно на 1 плюс едно върху
фи, но вместо да напишем фи, казваме
фи е просто 1 плюс 1 върху 1 върху
и вместо да кажа фи, това е просто 1 плюс 1 върху
и мога да напиша фи, или пък мога да продължа,
мога да продължа безкрайно.
Мога да кажа, че е 1 върху 1 плюс 1 вурху
и да продъжавам все така до безкрай.
И ето това е рекурентна дефиниция на функция,
където... рекурентна дефиниция на променлива,
която е дефинирана чрез самата себе си.
Това изглежда като хубаво свойство,
но ние искаме да задълбаем още.
Всъщност искаме да разберем какво е фи,
каква е стойността на фи, това странно число, това странно отношение,
което започваме да изучаваме.
Нека видим дали можем да го направим на квадратно уравнение, което можем да решим.
Ще използваме сравнително тривиални методи
и най-лесният начин е да умножим двете страни

Spanish: 
entonces podemos pensar sobre eso de ésta forma
podríamos decir, que phi es igual a 1 más 1 sobre
phi, pero en lugar de escribir phi, decimos, espera
phi es justo 1 más 1 sobre, 1 más 1 sobre
y en lugar de poner phi, es 1 más 1 sobre
y entonces podría escribir phi de nuevo, o podría seguir y seguir así
seguir y seguir para siempre
podría decir que es 1 sobre, 1 más 1 sobre
y sólo seguir infinitamente con eso
que es la definición recursiva de una función
donde una func... donde la definición recursiva de una variable
se define en términos de sí misma
pero incluso ésto se ve como una bonita y prolija propiedad
pero queremos llegar un poco más lejos
queremos encontrar qué es realmente phi
cuál es el valor de phi, éste raro número de esta rara proporción
que empezamos a explorar
asi que vamos a ver si podemos convertirlo en una ecuación cuadrática que sepamos resolver
usando métodos más tradicionales
y la forma más fácil de hacer esto es multiplicar ámbos lados

Thai: 
เราก็สามารถคิดถึงมันแบบนี้
เราบอกได้ว่า, ว่า ไฟ เท่ากับ 1 บวก 1 ส่วน
ไฟ, แต่แทนที่จะเขียนไฟ, เราบอกว่าเดี๋ยวก่อน
ไฟ ก็แค่ 1 บวก 1 ส่วน, 1 บวก 1 ส่วน
แทนที่จะเขียนว่าไฟ, นั่นก็แค่ 1 บวก 1 ส่วน
และผมก็เขียนไฟ อีกที, หรือผมจะทำต่อไป
ผมก็ทำต่อไปแบบนี้ตลอดไป
ผมก็บอกได้ว่า มันคือ 1 ส่วน 1 บวก 1 ส่วน
แล้วก็ทำไป ทำไป ทำไปตลอดกาล
และนี่คือนิยามแบบเรียกซ้ำของฟังก์ชัน
คือฟังก์ -- คือนิยามแบบเรียกซ้ำของตัวแปร
ที่นิยามในรูปของตัวเอง
แต่นี่ดูเหมือนเป็นสมบัติที่เนี๊ยบทีเดียว
แต่เรายังไปไกลกว่านั้น
ที่จริง เราอยากหาว่า ไฟ คืออะไร
ค่าของไฟคืออะไร เลขประหลาดนี้ อัตราส่วนประหลาดนี้
ที่เราเริ่มสำรวจ
ลองดูว่าเราจะสามารถแปลงมันเป็นสมการกำลังสอง ที่เราสามารถ
ใช้วิธีดั้งเดิมแก้ได้หรือไม่
และวิธีที่ง่ายที่สุด คือการคูณทั้งสองข้าง

Italian: 
di questa equazione di phi
e poi si ottiene phi quadrato
Plus, o phi al quadrato è uguale a phi
Phi plus 1
Phi al quadrato è uguale a phi plus 1
e poi, in realtà im andando a prendere un po ' di un lato qui
perché anche questo è interessante
a causa poi se prendiamo il marciume quadrato di entrambi i lati
di questo, si ottiene, scorrere verso il basso un po ', si get phi è uguale a
la radice quadrata e malato basta passare l'ordine qui
la radice quadrata di 1 plus, la radice quadrata di 1 plus
Phi
così ancora una volta possiamo impostare un'altra definizione ricorsiva
Phi è uguale alla radice quadrata di 1 plus phi
e potrei scrivere phi là, ma hey
Phi è uguale alla radice quadrata della
1 plus, è uguale alla radice quadrata di 1 plus
e potrei scrivere phi là, ma ehi phi è proprio uguale a
la radice quadrata di 1 plus
radice quadrata di 1 plus
e può solo andare avanti su e su come questa per sempre
quindi, anche questo è pulito

Czech: 
je vynásobit obě strany
této rovnice krát fí
a dostanete (fí na druhou) plus...
nebo (fí na druhou) se rovná fí plus 1
fí na druhou je rovno fí plus 1
a pak, trochu bych to protěžoval,
protože i tohle je zajímavé,
protože pokud vezmeme druhou
odmocninu obou stran, dostanete...
posunu to dolů...
dostanete fí rovná se
odmocnina z ... jen přehodním pořadí
odmocnina z 1 plus, 
odmocnina z (1 plus fí)
A zvovu, můžeme vytvořit 
další rekurzivní definici
fí je rovno odmocnině z (1 plus fí)
a můžu zde napsat fí, ale hele,
fí je rovno odmocnině z 1 plus
a můžu napsat fí zde, ale hele,
fí je rovno odmocnině z 1 plus
a můžete pokračovat pořád
dokola až do nekonečna.
Takže i toto je elegantní.

Thai: 
ของสมการด้วย ไฟ
แล้วคุณก็ได้ ไฟ กำลังสอง
บวก, หรือ ไฟ กำลังสอง เท่ากับ ไฟ
ไฟ บวก 1
ไฟ กำลังสอง เท่ากับ ไฟ บวก 1
แล้วล ที่จริง ผมจะทำมันข้างๆ ตรงนี้
เพราะแม้แต่อันนี้ก็น่าสนใจ
เพราะคุณหาสแควร์รูทของทั้งสองข้าง
ของอันนี้, แล้วคุณจะได้, ขอผมเลื่อนลงหน่อยนะ, คุณจะได้ ไฟเท่ากับ
สแควร์รูทของ, และผมจะสลับลำดับตรงนี้นะ
สแควร์รูทของ 1 บวก, สแควร์รูทของ 1 บวก
ไฟ
เหมือนเดิม เราสามารถตั้งนิยามแบบเรียกซ้ำ
ไฟ เท่ากับสแควร์รูทของ 1 บวก ไพ
และ ผมเขียน ไฟ ตรงนี้ได้, แต่เฮ้
ไฟ เท่ากับสแควร์รูทของ
1 บวก, เท่ากับสแควร์รูทของ 1 บวก
แล้วผมก็เขียน ไฟ ตรงนี้, แต่เฮ้ ไฟ นั่นเท่ากับ
สแควร์รูทของ 1 บวก
สแควร์รูทของ 1 บวก
แล้วคุณก็ทำไปเรื่อยๆ เรื่อยๆ แบบนี้ตลอดไป
ดั้งนั้นแม้แต่อันนี้ก็เนี๊ยบแล้ว

Polish: 
tego równania przez fi
i dostaniemy fi do kwadratu
dodać... albo jest równe fi
plus 1
fi kwadrat jest równe fi plus jeden
teraz się na chwilę zatrzymam
bo nawet to jest interesujące
bo jeśli weźmiemy pierwiastki obu stron
dostaniemy...trochę niżej...dostaniemy
fi jest równe
pierwiastek z... zmienię tutaj kolejność
pierwiastek z 1 plus fi
tak więc
znowu możemy napisać 
definicję rekurencyjną
fi równa się pierwiastek z 1 dodać fi
i mógłbym napisać fi, ale hej!
fi równa się pierwiastek z
1 dodać... równa się pierwiastek z 1 dodać
i mógłbym tu napisać fi, ale hej!
fi to po prostu
pierwiastek z 1 dodać...
pierwiastek z 1 dodać...
i moglibyśmy tak robić w nieskończoność.
Więc nawet to jest ładne, że

English: 
to multiply both sides
of this equation by phi.
And then you get
phi squared-- let
me write a little bit
different-- phi squared is
equal to phi plus 1.
phi squared is
equal to phi plus 1.
And then, actually, I'm going
to take a little bit of a side
here.
But even this is
interesting, because then
if we take the square root
of both sides of this,
you get-- let me scroll
down a little bit--
you get phi is equal to the
square root of-- and I'll just
switch the order here-- the
square root of 1 plus phi.
So once again, we can set up
another recursive definition.
phi is equal to the
square root of 1 plus phi.
And I could write phi
there, but hey, phi
is equal to the
square root of 1 plus
and I could write phi
there, but hey, phi
is just equal to the square root
of 1 plus, the square root of 1
plus.
And we could just keep going
on and on like this forever.
So even this is neat.
The same number that can
be expressed this way,

Danish: 
af ligningen med phi.
Vi får så phi i anden
er lig med phi plus 1.
phi plus 1.
phi i anden er lig med phis plus 1.
Det her er også spændende.
.
Hvis vi tager kvadratroden af begge sider,
får vi phi er lig med
kvadratroden
af 1 plus phi.
.
Igen har vi altså en rekursiv definition,
fordi phi er lig med kvadratroden af 1 plus phi.
Vi kunne skrive phi her,
men phi er jo lig med kvadratroden af 1 plus
phi, som er lig med kvadratoden af 1 plus phi,
som jo stadig er lig med kvadratoden af 1
plus kvadratoden af 1 og så videre.
.
Vi kan fortsætte sådan her uendeligt.
Det er altså mget interessant det her!

Turkish: 
-
Fi kare eşittir fi artı 1 bulursunuz.
-
-
Fi kare eşittir fi artı 1.
Burada biraz duralım, çünkü bu da ilginç.
-
İki tarafın karekökünü aldığımızda, fi eşittir , bunun sırasını değiştiriyorum, 1 artı fi'nin karekökü.
-
-
-
-
Bir özyineli tanım daha oluşturabiliriz.
fi eşittir karekök 1 artı fi.
Buraya fi yazabilirim, fi eşittir karekök 1 artı karekök 1 artı...
-
-
-
-
-
Böyle sonsuza kadar gidebilirim.
Bu da güzel.

Georgian: 
გავამრავლოთ φ –ზე.
შედეგად მივიღებთ, რომ φ კვადრატი
უდრის φ +1–ს.
φ კვადრატი იგივეა, რაც φ +1.
ახლა ცოტა ხნით გადავუხვიოთ მთავარ თემას,
იმიტომ რომ საინტერესო რაღაცა შეიძლება, მივიღოთ.
თუ ორივე მხარიდან კვადრატულ ფესვს ამოვიღებთ
მივიღებთ, რომ φ უდრის
(შევცვალოთ თანმიმდევრობა)
კვადრატულ ფუძეს ერთს + φ –დან.
აქ კიდევ ერთ რეკურსიულ 
განსაზღვრებამდე მივედით:
φ უფრის კვადრატულ ფესვს ერთს პლუს φ–დან;
და კი შემიძლია აქ დავწერო φ, მაგრამ
ის ხომ კვადრატულ ფესვს უდრის
ერთს პლუს კვადრატული ფესვი ერთიდან პლუს..
და აქაც შემიძლია ჩავწერო φ , მაგრამ φ ხომ
კვადრატული ფესვია ერთს პლუს
კვადრატული ფესვი ერთს პლუს..
და ამის გაგრძელებაც უსასრულოდ შეიძლება.
ასე რომ, ესეც კი საოცარია.

Korean: 
양변에 φ를 곱해보죠
φ의 제곱이 되고
φ^2 = φ+1
φ+1 이 됩니다
φ^2 =φ+1
양변에 근호(루트)를 씌워보죠
그러면 더욱 흥미로워집니다
양변에 근호를 씌워본다면
φ = 루트(1+φ)
순서를 바꾸어 써보죠
φ는 루트( 1+ 루트( 1+φ))
또 다시 되풀이되는 정의가 정해집니다
φ= 루트(1+φ)
φ를 다시 바꾸어 쓰고
φ= 루트(1+φ)
다시 φ를 바꾸어 쓰고
다시 φ를 바꾸어 쓰고
반복합니다
다시 φ를 바꾸고
끝없이 계속 바꾸어 나갑니다
아주 훌륭합니다

Slovak: 
rovnice veličinou fí.
Dostaneme fí na druhú
sa rovná fí
plus 1.
Fí na druhú sa rovná fí plus 1.
Ešte kus upravíme túto ľavú stranu.
Je to zaujímavé,
pretože ak odmocníme obe strany rovnice,
dostaneme fí sa rovná
odmocnina z, a teraz vymeníme poradie,
odmocnina z 1 plus fí.
Takže sme znova vytvorili ďalšiu rekurzívnu definíciu.
Fí sa rovná odmocnine z 1 plus fí.
Tu by sme mohli napísať fí, ale fí sa vlastne rovná
odmocnine z 1 plus,
a miesto fí by sme zase mohli napísať
odmocnina z 1 plus,
odmocnina z 1 plus,
a takto by sme mohli pokračovať do nekonečna.
Aj toto je pekné.
To isté číslo môže byť vyjadrené takto,

Bulgarian: 
на това уравнение с фи.
Така получаваме фи на квадрат
плюс, или фи на квадрат е равно на фи
фи плюс 1
фи квадрат е равно на фи плюс 1
И сега всъщност ще взема страна тук,
защото дори това е интересно,
защото ако коренуваме двете страни
на това [уравнение], получаваме... ще се преместя
малко надолу... получаваме фи е равно на
корен квадратен от, и тук ще разменя местата,
корен квадратен от 1 плюс фи.
Отново можем да дадем рекурентна дефиниция:
фи е равно на корен квадратен от 1 плюс фи.
Тук мога да напиша фи, но
фи е равно на корен квадратен от
1 плюс, е равно на корен квадратен от 1 плюс
и мога да напиша фи тук, но пък фи е равно на
корен квадратен от 1 плюс
корен квадратен от 1 плюс
и можем да продължим така безкрайно.
Така че и това е готино,
едно и също число може да се изрази по този начин

Japanese: 
φで掛けます。
φで掛けると
φ＾２＝φ＋１です。
いいですか？
φ＾２＝φ＋１
ここで、すこし、横に移ります。
これは興味深いのは、
双方を2乗の形とします。
ここでは、φ＝
この平方根です。
1 ＋φの平方根です。
いいですか？
だからもう一度別の再帰的な定義を設定することができます。
φ が 1 ＋φの平方根と等しいです。
φを書くと
φは
１＋φの二乗根と等しいです。
これを書き換えて、
１＋（１＋φ）の平方根です。
これを繰り返せます。
このように永遠に、続けていけます。
これもさっぱりしています。

Norwegian: 
av ligningen med pi.
Da får vi pi i annen
Pi i annen.
er lik pi pluss 1.
Pi pluss 1.
Pi i annen er lik pi pluss 1.
Dette er også spennende.
Hvis vi tar kvadratroten av begge sider,
får vi pi er lik kvadratroten
av 1 pluss pi.
Igjen har vi altså en rekursiv definisjon,
fordi pi er lik kvadratroten
av 1 pluss pi.
Vi kunne skrevet pi her,
men pi er jo lik
kvadratroten av 1 pluss pi,
som er lik kvadratroten av 1 pluss pi,
som jo igjen er lik kvadratroten av 1,
Vi kan fortsette i det uendelige.
Dette er veldig interessant!
Det samme tallet

Spanish: 
de esta ecuación por phi
y así obtenemos phi al cuadrado
más, o phi al cuadrado es igual a phi
phi más uno
phi al cuadrado es igual a phi más uno
y ahi, me voy a detener un poco en esto
porque incluso ésto es interesante
porque entonces, si sacamos raiz cuadrada a ambos miembros
de ésto, tenemos, bajemos un poco, tenemos que phi es igual a
la raíz cuadrada de, y sólo voy a cambiar el orden aquí
la raíz cuadrada de 1 más, la raíz cuadrada de 1 más
phi
así que una vez más podemos armar una definición recursiva
phi es igual a la raíz cuadrada de 1 más phi
y puedo escribir phi aquí, pero hey!
phi es igual a la raíz cuadrada de
uno más, es igual a la raíz cuadrada de uno más
y podría escribir phi ahí, pero hey, phi es igual a
la raíz cuadrada de uno más
la raíz cuadrada de uno más
y así podrías seguir y seguir por siempre
así que incluso esto es fantástico

Bulgarian: 
същото число, от което като извадя единица
получавам реципрочното му,
може да бъде изразено и чрез тези рекурентни квадратни корени
един под друг.
И така това започва да бъде много,
много интригуващо.
Да се върнем на въпроса.
Нека в крайна сметка да решим това,
това магическо число,
това магическо, това магическо отношение,
за което се замислихме
и от една проста идея
че отношението на по-дългата страна
към по-късата страна е равно на 
отношението между сбора им
към по-дългата страна
Нека решим това като обикновено 
квадратно уравнение.
Да сложим всичко в лявата страна,
ще извадим фи плюс 1 от двете страни
и получаваме фи квадрат
минус фи, минус 1
е равно на нула.
Сега можем да намерим фи с помощта
на формулата за корени на квадратно уравнение,
която сме доказвали в други клипчета,
можеш да го докажеш, използвайки 
допълнението на квадрата,
а формулата за намиране на корените
на квадратно уравнение
казва минус b, минус b е коефициентът
на този член тук,
нека само го запиша,
а е равно на 1,

Thai: 
เลขเดียวกันสามารถเขียนแบบนี้ได้
เลขเดียวกันถ้าผมลบ 1 จากทั้งสองข้าง
คุณจะได้อินเวอร์สของมัน
มันยังสามารถเขียนเป็นสแควร์รูท
ใต้ตัวเองซ้ำอีก
และนี่ดูเหมือนว่า, มันเริ่มดูน่าทึ่งมากๆ
ทีนี้ กลับไปยังธุระเดิม
ลองแก้หาอันนี้, เลขอัศจรรย์นี้กัน
อัตราส่วนมหัศจรรย์, มหัศจรรย์นี่ที่เราเริ่มคิด
และที่จริงมาจกาแนวคิดที่ง่ายมาก
ว่าอัตราส่วนของด้านที่ยาวกว่า
ต่อด้านที่สั้นกว่า เท่ากับอัตราส่วนของผลบวกสองตัว
ต่อด้านที่ยาวกว่า
แล้วลองแก้อันนี้ตามสมการกำลังสองดั้งเดิม
ลองเขียนทุกอย่างทางซ้ายมือ
แล้วเราจะลบ ไฟ บวก 1 จากทั้งสองข้าง
แล้วเราได้ ไฟ กำลังสอง
ลบ ไฟ, ลบ 1
เท่ากับ 0
และเราแก้หา ไฟ ตอนนี้ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง
ซึ่งเราพิสูจน์ไว้ในวิดีโออื่น
คุณสามารถพิสูจน์มันได้โดยใช้การเติมเต็มกำลังสอง
แต่สูตรสมการกำลังสอง
คุณบอกว่า ลบ B, ลบ B คือสัมประสิทธิ์
ของเทอมนี่ตรงนี้
ขอผมเขียนมันลงไปนะ

Georgian: 
რიცხვი,
რომელიც ასე შეიძლება გამოიხატოს,
იგივე რიცხვია,
რომელსაც თუ 1–ს გამოაკლებ,
მის შებრუნებულს მიიღებ;
და იგივე რიცხვია, რომელიც გამოიხატება 
ერთი მეორის ქვემოთ განლაგებული
რეკრუსიული კვადრატული ფესვებით.
ეს უკვე ძალიან დამაბნეველი და საინტერესოა.
მაგრამ, მივუბრნდეთ საქმეს.
ამოვხსნათ ეს მაგიური რიცხვი
ეს მაგიური თანაფარდობა, რომელზეც ვფიქრობთ.
ამოვხსნათ ძალიან მარტივი იდეით:
თუ უფრო გრძელი მხარის შეფარდება
უფრო მოკლესთან უდრის 
ორივეს ჯამის შეფარდებას
გრძელ მხარესთან,
ამოვხსნათ ეს როგორც ჩვეულებრივი
კვადრატული განტოლება.
გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს,
ანუ გამოვაკლოთ φ +1 ორივე მხარეს;
გამოგვივა, φ კვადრატს გამოკლებული
φ და გამოკლებული 1
უდრის 0–ს.
და ახლა φ –ს პოვნა კვადრატული განტოლების
ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია.
(რომელიც უკვე გამოვიყენეთ სხვა ვიდეოებში;
შეგიძლიათ, გამოიყენოთ კვადრატამდე შევსების
ფორმულა)
მაგრამ ჩვენ გამოვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფორმულას.
B კოეფიციენტი არის უარყოფითი
აი, ამ წევრის;
მოდი, ჩავწეროთ.

Czech: 
Stejné číslo, jež může být vyjádřeno takto,
stejné by bylo, kdybych od něj odečetl 1,
dostanete jeho převrácenou hodnotu.
Může být také vyjádřeno těmito
rekurzivními odmocninami pod sebou.
To začíná být opravdu hodně zajímavé.
Ale pojďme zpět k věci,
pojďme to vyřešit, toto magické číslo,
tento magický poměr,
o kterém jsme začali uvažovat.
a opravdu z jednoduché myšlenky,
že poměr delší strany
ke kratší je roven poměru 
součtu těch dvou k delší straně.
Pojďme to vyřešit jako 
tradiční kvadratickou rovnici.
Převeďme vše na levou stranu,
takže odečteme fí plus 1
od obou stran
a dostaneme fí na druhou, minus fí,
minus 1 rovná se 0.
A můžeme vyřešit fí pomocí vzorce
pro výpočet kořenů kvadratické rovnice,
jak jsme si ukázali v jiných videích,
že ho můžete dokázat 
pomocí doplnění na čtverec,
ale ve vzorci říkáme
-B, -B je koeficient tady v tomto výrazu.
Jen to zapíšu.

Italian: 
lo stesso numero che può essere espresso in questo modo
lo stesso numero erano se basta sottrarre uno da esso
si ottiene la sua inversa
può anche essere espressa in questo tipo di radici quadrate ricorsiva
sotto ogni altro
quindi questo è già apparente, iniziando a ottenere molto molto intrigante
bene consente di tornare al business
permette di risolvere effettivamente per questo, questo numero magico
questa magia, questo rapporto magico che abbiamo iniziati a pensare
e e davvero da un'idea molto semplice
che il rapporto tra il lato più lungo
il shorther è uguale a reatio della somma dei due
per il lato più lungo
così lascia solo risolve questo come un tradizionale quadratica
consente di ottenere tutto sul lato sinistro
così ci accingiamo a sottrarre phi plus 1 da entrambi i lati
e otteniamo phi quadrato
meno phi, meno 1
è uguale a zero
e possiamo risolvere per una phi ora usando la formula quadratica
che noi abbiamo dimostrato in altri video
si può dimostrare tramite completamento del quadrato
ma la formula di qaurdatic
dici B negativo, negativo B è il coefficiente di
su questo termine proprio qui
così mi permetta di scrivere appena

English: 
the same number where if
I just subtract 1 from it,
you get its inverse.
It can also be
expressed in these kind
of recursive square roots
underneath each other.
So this is already starting
to get very, very, very
intriguing, but let's
get back to business.
Let's actually solve for this
magic number, this magic ratio
that we started thinking about.
And really from a
very simple idea,
that the ratio of the longer
side to the shorter side
is equal to the ratio of the sum
of the two to the longer side.
So let's just solve this
as a traditional quadratic.
Let's get everything
on the left-hand side.
So we're going to subtract
phi plus 1 from both sides.
And we get phi squared minus
phi minus 1 is equal to 0.
And we can solve
for phi now using
the quadratic formula, which
we've proven in other videos.
You can prove using
completing the square.
But the quadratic formula
you say, negative b.
Negative b is the coefficient
on this term right here.
So let me just
write it down, a is

Spanish: 
el mismo número que puede expresarse de esta manera
el mismo número al que si le resto uno
obtienes su inverso
puede ser expresado también con esta cadena recursiva de raíces cuadradas
una debajo de otra
así que todo esto en verdad comienza a verse muy muy intrigante
bien, volvamos a lo nuestro
vamos a resolver para este mágico número
esta mágica, mágica proporción en la que empezamos a pensar
y, y realmente a partir de una idea muy simple
de que la proporción entre el lado más largo
y el más corto es igual a la proporción entre la suma de ámbos
y el lado más largo
así que vamos a resolverlo como una cuadrática normal
pongamos todo del lado izquierdo
y vamos a restar phi más 1 de ámbos lados
y obtenemos phi al cuadrado
menos phi, menos 1
es igual a 0
y podemos resolverlo para un phi ahora usando la fórmula cuadrática
que probamos en otros videos
puedes probar completando cuadrados
pero la fórmula cuadrática
dices - B, - B es el coeficiente
en este término de aquí
así que déjenme escribir abajo

Japanese: 
同じ数をこういう表現できます。
それから 1 を減算
それの逆を得ます。
このような再帰的な平方根で表現することもできます。
いいですか？
だから、これは非常に興味深いです。
元の問題に戻りましょう。
このマジック ナンバーを実際に解決することができます。
この魔法の比は
本当に、非常にシンプルなアイデアから生まれ、
長い辺の比が
短い辺 に対する比が、 2 つの合計が長い辺に対する比と
等しいです。
伝統的な二次方程式として解くには
左手側にすべてを移します。
１＋φを両辺から減算します。
つまり、
φ＾２−φ−１＝０です。
いいですか？
これで、二次方程式を使用してφの解けます。
これは他のビデオに証明しました。
完全な2乗を使用して証明することができます。
２次方程式は
ー bが、この項の
係数です。
書き留めましょう

Turkish: 
Aynı sayıyı bu şekilde de ifade edebiliriz.
1 çıkardığımızda tersini elde ettiğimiz sayıyı.
-
Burada olduğu gibi, iç içe özyineli karekökler olarak da ifade edebiliriz.
-
Bu gittikçe ilginçleşiyor.
Neyse, işimize dönelim.
Bu sihirli sayıyı bulalım.
Bu sihirli sayıyı uzun kenarın kısa kenara oranının kenarlar toplamının uzun kenara oranına eşit olduğu gibi basit bir fikirden bulmuştuk.
-
-
-
-
Bunu geleneksel olarak çözelim.
Tüm terimleri sol tarafta toplayalım.
İki taraftan fi artı 1'i çıkarıyoruz.
Ve fi kare eksi fi eksi 1 eşittir 0 elde ederiz.
-
-
Ve daha önceki videolarda ispatladığımız kuadratik formülü kullanarak fi'yi bulabiliriz. Tam kareye tamamlayarak ispatlamıştık.
-
-
Kuadratik formüle göre, eksi b, b bu terimin katsayısıdır.
-
-
Bunları yazayım.

Slovak: 
to isté číslo by sme dostali, ak by sme od fí odčítali 1,
dostali by sme jeho obrátenú hodnotu,
a to isté číslo môže byť vyjadrené týmito rekurzívnymi odmocninami
pod sebou.
Začína to byť veľmi, veľmi zaujímavé.
Ale vráťme sa k našej úlohe.
Poďme vyriešiť, vypočítať toto magické číslo,
tento magický pomer, o ktorom sme začali rozprávať,
na základe tejto jednoduchej myšlienky,
že pomer dlhšej strany
ku kratšej strane sa rovná súčtu oboch strán
lomeno dlhšia strana.
Poďme to vypočítať ako typickú kvadratickú rovnicu.
Prenesme všetko na ľavú stranu.
Odčítame fí plus 1 od oboch strán
a dostaneme fí na druhú
mínus fí, mínus 1
sa rovná 0.
Teraz to môžeme vypočítať pomocou kvadratického vzorca,
ktorý sme dokázali v iných videách
pomocou úpravy na úplný štvorec.
Takže kvadratická rovnica.
Záporne B, mínus B nám predstavuje
tento výraz.
Napíšme si to.
A sa rovná 1,

Norwegian: 
som vi tidligere uttrykte ved
dens invese ved å trekke fra 1
kan altså også utrykkes sånn som dette
med en rekursiv kvadratrot,
som fortsetter i det uendelige.
Dette er allerede veldig spennende.
La oss komme oss videre.
La oss prøve å finne det magiske tallet,
eller det magiske forholdet 
som vi snakker om.
Husk at forholdet er ganske enkelt.
Forholdet mellom den lange siden,
og den korte siden
er lik forholdet mellom begge sider
og den lange siden.
La oss løse dette som
en tradisjonell annengradsligning.
La oss flytte alt over på den venstre siden.
Vi trekker fra pi pluss 1 på begge sider,
og vi får pi i annen
minus pi minus 1
er lik 0.
Nå kan vi finne pi ved å bruke
formelen våres til løsningen av annengradsligningen,
som vi har bevist i andre videoer.
I den formelen skal vi først finne minus b.
Minus b er minus ganger koeffisienten
for dette leddet.
La oss skrive ned koeffisientene.
a er lik 1,

Danish: 
Det samme tal,
som vi før udtrykte ved dets inverse ved at trække 1 fra det,
kan altså også udtrykkes sådan her
med en rekursiv kvadratrod,
som fortsætter uendeligt.
Det her er allerede virkelig spændende.
Lad os komme videre.
Lad os prøve at finde det her magiske tal
eller det her magiske forhold, som vi snakker om.
Husk på, at forholdet er ret simpelt.
Forhold mellem den lange side og den korte side
er lig med forholdet mellem begge sider
og den lange side.
Lad os løse det her som en traditionel andengradsligning.
Lad os flytte alt over på venstre side.
Vi trækker phi plus 1 fra begge sider,
og vi får phi i anden
minus phi minus 1
er lig med 0.
Nu kan vi finde phi ved at bruge vore formel til løsning af andensgradsligning,
som vi har bevist i andre videoer.
.
I den formel skal vi først finde
minus b. Minus b er minus gange koefficienten
for det her led.
Lad os skrive koefficienterne ned.

Korean: 
같은 수를 이런 식으로 표현할 수도 있군요
아까는 1을 제외한 부분을 φ의 역수로
되풀이하였습니다
이번에는 근호를 되풀이하여 표현하였습니다
근호 안에 근호를 계속 바꾸었습니다
흥미로운 것들을 해보았습니다
다시 본론으로 돌아가죠
이 마법의 숫자를 계산해 봅시다
간단한 개념에서부터 시작된
마법의 비율이지요
짧은 선분에 대한
긴 선분의 비율은
긴 선분에 대한 전체 선분의 비율과 같다는 것이죠
이차방정식의 풀이법을 사용합시다
식은 모두 좌변으로
이항합니다
그러면 이차방정식이 됩니다
φ^2-φ+1=0
근의 공식을 사용하여 φ 를 구할 수 있습니다
이전 단원에서 학습한 내용입니다
완전제곱식을 이용하여 증명해 보았죠
근의 공식은
-b
b 는 일차항의 계수입니다
아랫 줄에 적어봅시다

Polish: 
ta sama liczba może być wyrażona w ten sposób,
też jeśli odjąłem od niej 1
dostałem jej odwrotność
można też ją wyrazić w ten sposób
jako rekurencyjne pierwiastki
jeden pod drugim
więc to się już wydaje bardzo, bardzo intrygujące
ale teraz z powrotem do roboty
rozwiążmy to, tę magiczną liczbę
ten magiczny stosunek o którym myślimy
i z bardzo prostego pomysłu
że stosunek dłuższej strony
do krótszej jest równy stosunkowi sumy
tych dwóch
do dłuższej strony
rozwiążmy to tradycyjnie
przełóżmy wszystko na lewą stronę
więc odejmiemy fi dodać 1 od obu stron
i dostaniemy fi kwadrat
odjąć fi, odjąć 1
równa się 0
i rozwiążemy to standardową formułą
udowodnioną w innych filmach
można to udowodnić dopełniając do kwadratu
ale w równaniu kwadratowym
mówimy minus b, -b jest współczynnikiem
tego wyrazu
także napiszę

Spanish: 
A es igual a 1
ése es el coeficiente en este término
B es igual a - 1
ése es el coeficiente en este término
C es igual a -1
ése es el coeficiente que realmente es la constante en todo esto
así que la solución a esto - phi
nos va a preocupar sólo la solución positiva
porque estamos buscando un positivo
los que, si volvemos a nuestro problema original de aquí
estamos asumiendo que son las dos distancias positivas
así que nos preocupa el resultado positivo aquí
tenemos phi es igual a
voy a hacerlo en naranja
- B, bueno, - (- 1) es 1
más menos la raíz cuadrada de
B al cuadrado, B al cuadrado va a ser 1
menos 4AC
A es 1, C es -1
entonces cuatro veces -1 es -4, negado es 4
1 más 4, todo sobre 2A
entonces A es 1, nos queda todo sobre 2
y phi es igual a 2, y una vez más, sólo nos preocupa
la solución positiva
esto es la raíz cuadrada de 5
va a quedar 1 menos la raíz de 5
podemos encontrar un negativo en el numerador

Norwegian: 
og det er koeffisienten på dette leddet.
b er lik minus 1,
fordi det er koeffisienten her.
c er lik minus 1.
Det er det konstante leddet, vi har her.
La oss finne løsningen til pi.
Vi ønsker kun å ha den positive løsningen,
fordi vi i forholdet våres
går ut fra
at begge avstandene er positive.
Vi vil altså kun ha 
de positive verdiene her.
Vi får at pi er lik.
La oss skrifte til orange.
minus b, som er minus minus 1,
som er 1.
Pluss eller minus kvadratroten av
b i annen, som gir 1
minus 4ac.
a er 1,
og c er minus 1.
Så minus 4 ganger 
minus 1 gir pluss 4.
Så vi får 1 pluss 4.
Det skal alt sammen over 2a.
a er 1, så det er over 2.
Husk at vi kun 
vil ha de postive løsningene.
Her har vi kvadratroten av 5.
Hvis vi tar 1 minus 
kvadratroten av 5,
ender vi med å få
et negativt tall i telleren,

Turkish: 
a eşittir 1.
Bu terimin katsayısı.
b eşittir eksi 1.
Şu terimin katsayısı.
c eşittir eksi 1.
Bu da şuradaki sabit terim.
Yalnızca pozitif çözüme bakacağız.
-
-
Sorunun orijinaline bakarsanız, bunların ikisinin de pozitif uzunluk olduğunu varsayıyoruz.
-
Bu nedenle, pozitif değeri alıyoruz.
-
-
fi eşittir eksi eksi 1 eşittir 1, artı eksi karekök b kare, b kare 1 olur,
-
-
eksi 4 a c, a 1, c de eksi 1.
-
Yani eksi 4 çarpı eksi 1, artı 4.
Yani 1 artı 4, bunun tamamı bölü 2 a.
a eşittir 1, yani bunun tamamı bölü 2.
Burada yalnızca pozitif çözüme bakıyoruz.
-
Bu, karekök 5 olacak.
1 eksi karekök 5, pay kısmı negatif olacak.
-

Thai: 
A เท่ากับ 1
นั่นคือสัมประสิทธิ์ของเทอมนี้
B เท่ากับลบ 1
นั่นคือสัมประสิทธิ์ของเทอมนี้
c เท่ากับลบ 1
นั่นคือสัมประสิทธิ์ที่เป็นเทอมคงที่นี่ตรงนี้
แล้วคำตอบของอันนี้ -- ไฟ
เราจะสนใจแค่คำตอบที่เป็นบวก
เพราะเราถึงคือค่าบวก
ทั้งคู่, ถ้าเราไปยังปัญหาเดิมตรงนี้
เราบอกว่า พวกนี้เป็นระยะบวกทั้งคู๋
เราจึงสนใจเฉพาะค่าบวกตรงนี้
เราได้ ไฟ เท่ากับ
ผมจะใช้สี้สมนะ
ลบ B, ทีนี้ ลบ ลบ 1 เป็น 1
บวกหรือลบ สแควร์รูทของ
B กำลังสอง, B กำลังสอง จะเป็น 1
ลบ 4AC
A เป็น 1, C เป็นลบ 1
แล้วลบ 4 คูณลบ 1 เป็นบวก 4
แล้ว 1 บวก 4 ไปจนถึง ส่วน 2A
แล้ว A เป็น 1, แล้วทั้งหมดนั่นส่วน 2
แล้วไฟ เท่ากับ 1, เหมือนเดิม เราสนใจเฉพาะ
คำตอบที่เป็นบวกตรงนี้
นี่จะเท่ากับสแควร์รูทของ 5
คุณจะได้ 1 ลบ สแควร์รูทของ 5
คูณจะได้ค่าลบเป็นตัวเศษ

Georgian: 
A უდრის 1–ს
ეს არის ამ წევრის კოეფიცინეტი;
B უდრის -1–ს;
ესაა ამ წევრის კოეფიციენტი;
C უდრის -1–ს
ეს არის კოეფიცინტი.. პრინციპში, მუდმივი წევრი.
φ –ს ამონახსნებიდან
ჩვენ მხოლოდ დადებითი ამონახსნი გვაინტერესებს
იმიტომ რომ ორივე–
თუ დავუბრუნდებით საწყის ამოცანას –
ორივე მანძილი, ჩვენი დაშვებით, დადებითია.
ასე რომ, აქაც დადებითი ამონახსნი გვჭირდება.
φ უდრის..
(ნარინჯისფერით დავწერ)
- B, -1 არის 1
პლუს ან მინუს კვადრატული ფესვი
B კვადრატს, რაც 1–ს უდრის
მინუს 4AC-დან.
A არის 1, C -1.
-4 გამრავლებული -1–ზე არის 4
ანუ, 1 პლუს 4 ერთად გაყოფილი 2A–ზე
A არის1, ანუ, ვყოფთ 2–ზე;
ანუ, φ უდრის – და კიდევ ერთხელ, ჩვენ
მხოლოდ დადებითი პასუხი გვაინტერესებს:
ეს უდრის კვადრატულ ფესვს 5–დან
თუ ჩვენ ავირჩევთ 1 - 5
მაშინ მრიცხველი გვექნება უარყოფითი;

Danish: 
a er lig med 1,
og det er koefficienten på det her led.
b er lig med minus 1,
fordi det er koefficienten her.
c er lig med minus 1.
Det er det konstante led, vi har her.
Lad os finde løsningerne til phi.
Vi vil kun have den positive løsning,
fordi vi i vores forhold
går ud fra,
at begge afstande er positive.
Vi vil altså kun have de positive værdier her.
Vi får, at phi er lig med.
Lad os skfite til orange.
Minus b, som er minus minus 1, som er 1.
Plus eller minus kvadratroden af
b i anden, som giver 1
minus 4ac.
a er 1, og c er minus 1,
så minus 4 gange minus 1 giver plus 4,
så vi får 1 plus 4. Det skal altsammen over 2a.
a er 1, så det er over 2.
Husk, at vi kun vil have de positive løsninger.
Vi har her kvadratoden af 5.
Hvis vi tager 1 minus kvadratroden af 5,
vil vi ende med at få
et negativt tal i tælleren,

Polish: 
a równa się 1
to współczynnik tego wyrazu
b równa się -1
to współczynnik tego wyrazu
c równa się -1
co jest tak naprawdę współczynnikiem
wyrazu stałego o tutaj
więc rozwiązaniem tego jest fi...
ale chcemy tak naprawdę tylko
dodatnie rozwiązanie
bo myślimy o tym dodatnim
wracając do początkowego problemu
zakładamy, że to są dodatnie długości
więc dbamy tylko o dodatnie wartości
dostajemy fi jest równe
napiszę to pomarańczowym
minus b, a więc minus minus 1
to plus 1
plus minus pierwiastek
z b kwadrat, b kwadrat równy jest 1
odjąć 4ac
a równa się 1, c równa się -1
więc -4 razy -1 równa się 4
więc 1 dodać 4, to wszystko
podzielone przez 2a
a równa się 1, czyli podzielone przez 2
więc fi równa się 2... i znowu chcemy
tylko dodatnie rozwiązanie
więc to będzie pierwiastek z 5
mamy 1 minus pierwiastek z 5
to będzie ujemne

Slovak: 
predstavuje ho tento výraz,
B sa rovná mínus 1,
predstavuje ho tento výraz,
a C sa rovná mínus 1,
to je tento konštantný výraz.
Takže výsledok bude,
a budeme uvažovať len nad pozitívnym výsledkom,
pretože ak sa pozrieme na naše pôvodné zadanie,
predpokladáme, že obidve tieto vzdialenosti sú pozitívne.
Takže tu uvažujeme tiež len nad pozitívnym číslom.
Dostaneme fí sa rovná
napíšem to oranžovou,
mínus B, to je mínus mínus 1, čo je plus 1
plus alebo mínus odmocnina
z B na druhú, B na druhú je 1,
mínus 4AC.
A je 1, C je mínus 1.
Takže mínus 4 krát mínus 1 je plus 4.
Čiže 1 plus 4 a celé lomeno 2A.
A je 1, takže tu bude lomeno 2.
Čiže fí sa rovná...a znova pripomeniem, že berieme do úvahy
len pozitívne riešenie.
Toto je odmocnina z 5,
takže máme 1 mínus odmocnina z 5,
z čoho by nám vyšlo negatívne číslo,

English: 
equal to 1, that's the
coefficient on this term.
b is equal to negative 1, that's
the coefficient on this term.
c is equal to negative 1,
that's the coefficient,
or it's really the constant
term right over there.
So the solutions to
this, phi-- and we're
actually only going to care
about the positive solution
because we're thinking
about a positive--
when we go to our
original problem here,
we're assuming that these
are both positive distances,
so we care about a positive
value right over here.
We get phi is equal to-- do
it in orange-- negative b.
Well negative negative
1 is 1 plus or minus
the square root of b squared.
b squared is going
to be 1 minus 4ac.
a is 1, c is negative 1.
So negative 4 times
negative 1 is positive 4.
So 1 plus 4, all
of that over 2a.
So a is 1, so all
of that over 2.
So phi is equal to 1.
And once again, we only care
about the positive solution
here.
This is going to be
the square root of 5.
If you have 1 minus
the square root of 5,
you're going to get a
negative in the numerator.

Japanese: 
a は 1 に等しいです。
それはこの項の係数で
bがー 1 と等しいです。
この項の係数です。
c がー 1 と等しいです。
定数項です。
φの解は
ここでは、正数の解について見ます。
なぜなら
元の問題に戻ると
これらは両方が正数の距離です。
ここでは、
φは正数です。
オレンジ色で、書きます。
負のB です。ー 1
＋またはーの平方根で、
平方根内は、b＾２の１と
−４acで、
４＊１＊ー１
これは、＋４です。
つまり、平方根内は１＋４です。
分母は、２aで、
これは２です。
φは、正数で
これを解くと
ここが５の平方根で
１−５の平方根では、
分子が負になります。

Korean: 
a= 1
이차항의 계수입니다
b= -1
일차항의 계수입니다
c= -1
상수항입니다
φ는
양의 근이어야 합니다
φ는 선분의 길이이기 때문에
근의 공식을 사용하여 나온 근 중에서
양수인 것을
답으로 해야 합니다
φ 는
주황식으로 식을 적어보죠
공식에 맞추어서
-b 
b 가 -1 이므로, -b 는 1
+, - 루트 b의 제곱
b의 제곱은 1
- 4ac
a 는 1, c는 -1 이므로
-4 곱하기 -1은 4
근호 안은 1+4 가 되고,
분모에는 2a
a는 1 이므로, 분모는 2가 됩니다
아까 말한 것처럼
양수인 해를
생각해야합니다
근호 안은 5가 되고
중간 부호가 - 인 경우는

Bulgarian: 
това е коефициентът пред този член;
b е равно на –1
това е коефициента на този член;
с е равно на –1,
това е коефициентът, всъщност е свободният член,
така че решението на това - фи
всъщност ни интересува само положителното решение
защото мислим за положителни...
и в двете ни началния уравнения
приемаме, че това са положителни разстояния,
за това търсим само положителната стойност тук.
Получаваме фи е равно на...
... ще го направя оранжево...
минус b, е минус минус 1 е 1
плюс/минус корен квадратен от
b квадрат, b квадрат е 1
минус 4ac
a е 1, c е минус 1,
така че минус 4 пъти минус 1 е плюс 4.
И така 1 плюс 4 върху 2a.
a е едно, цялото е равно на 2.
И така фи е равно на 2, и отново,
интересува ни само
положителното решение.
Това ще бъде корен квадратен от 5
имаме 1 минус корен квадратен от 5
В числителя се получава отрицателно число,

Italian: 
A è uguale a 1
che è il coefficiente su questo termine
B è uguale al negativo 1
che è il coefficiente su questo termine
c è uguale al negativo 1
che è il coefficiente che è davvero il termine costante proprio laggiù
così le soluzioni a questo - phi
in realtà siamo solo andando a cura circa la soluzione positiva
causa che stiamo pensando a un positivo
entrambi, se andiamo al nostro problema originale qui
stiamo assumendo che questi sono entrambi positive distanze
così ci preoccupiamo per il valore positivo qui
otteniamo phi è uguale a
Lo farò in arancione
B negativo, è bene negativo negativo 1 1
più o meno la radice quadrata di
B al quadrato, quadrato B sta per essere 1
meno 4AC
A è 1, C è 1 negativo
così negativo 4 volte 1 negativo è positivo 4
così 1 più 4 tutti che sopra 2A
quindi A è 1, quindi tutto questo sopra 2
così phi è uguale a 2 e ancora una volta ci preoccupiamo solo per
la soluzione di positve qui
Ciò sta andando essere la radice quadrata di 5
Hai hanno 1 meno il quadrato di 5
avete intenzione di ottenere un negativo al numeratore

Czech: 
A je rovno 1,
to je koeficient v tomto výrazu,
B je rovno -1
to je koeficient v tomto výrazu
C je rovno -1,
to je koeficient, který je 
vlastně konstantní výraz
takže výsledek fí,
my se budeme zajímat 
pouze o kladný výsledek
protože se zajímáme pouze o kladné výsledky,
pokud se vrátíme k našemu
původnímu úkolu,
předpokládáme, že obě
vzdálenosti jsou kladné,
takže se zde zajímáme o kladnou hodnotu.
Dostaneme fí rovná se..
udělám to oranžovou,
-B, minus -1 je 1
plus nebo minus odmocnina
z B na druhou, (B na druhou) bude 1
minus 4AC
A je 1, C je -1
takže -4 krát -1 je 4,
1 plus 4 to celé lomeno 2A,
A je 1, to celé lomeno 2
fí je rovno 1, a znovu, zajímáme se
pouze o kladné výsledky.
toto bude odmocnina z 5,
máte 1 minus odmocnina z 5.

Thai: 
เราจึงสนใจแค่คำตอบที่เป็นบวก
1 บวกสแควร์รูทของ 5
ส่วน 2
นี่ดูเหมือนน่าสนใจ
ทีเดียว, เป็นเลขที่น่าสนใจ
ลองเอาเครื่องคิดเลขออกมา
แล้วดูว่าเราสามารถหาตัวแรก, ค่าทศนิยม
ตัวแรกของเลขมหัศจรรย์ ไฟ นี่
ขอผมเอาเครื่องคิดเลขออกมานะ
แล้วลองหาค่ามัน
และคุณอาจสังเกตว่าสแควร์รูทของไฟ
เป็นจำนวนอตรรกยะ
และนี่จริงแล้ว, ทั้งหมดนี้จะเป็นจำนวนอตรรกยะ
แต่ผมจะพิสูจน์มันในวิดีโออื่น
ซึ่งหมายความว่ามันไม่เคยซ้ำ
มันจะเป็นต่อไป ต่อไปตลอดไป
แต่ลองหาค่ามันดู
แล้วมันคือ 1 บวกสแควร์รูทของ 5
1 บวกสแควร์รูทของ 5
หารด้วย 2
แล้วมันคืออันนนี้
1.6180339
ขอผมเก็บมันไว้ข้างๆ , ใส่มันไว้ข้างๆ
และขอผมเเขียนมันลงไปนะ
นี่คือที่ที่มันเริ่มน่าสนใจจริงๆ
และเป็นปริศนาด้วย
จำนวนนี่ตรงนี้

Japanese: 
だから、正数の解には
1 ＋ 5 の平方根を
２で割った値です。
これはかなり
非常に興味深い、面白い数です。
電卓を取り出しましょう。
では、
このマジック ナンバーを見てみましょう。
電卓で
計算することができます。
φの平方根は
無理数かも知れません。
この全体は、無理数です。
しかし、これは別のビデオで証明します。
つまり、永遠に繰り返される値に
なります。
計算することができます。
1＋ 5 の平方根
1 ＋ 5 の平方根を
2 で割った値は
これで
1,6180339
これを脇に置きましょう。
書きます。
これは本当に興味深い
神秘的な値です。
この数は

Italian: 
quindi ci interessa solo la soluzione positiva
1 più la radice quadrata di 5
oltre 2
così questo mi sembra una bella
abbastanza interessante, interessante il numero
permette di prendere effettivamente una calcolatrice
e vedere se possiamo ottenere il primo, i primi pochi posti
di questo magico numero phi
così mi permetta di uscire la mia calcolatrice
e consente di valutare solo in realtà si
e si potrebbe riconoscere che la radice quadrata del phi
è un numero irrazionale
e così questo in realtà, tutto ciò sta andando essere un numero irrazionale
ma io dimostrerò che in un altro video
che significa il mai si ripete,
va su e su e su per sempre
ma consente effettivamente di valutarlo
modo suo 1 più la radice quadrata di 5
1 più la radice quadrata di 5
diviso 2
così è questo
1,6180339
così mi permetta che mettere da parte, mettere da parte che le
e permettetemi di scriverlo
e questo è dove inizia a diventare veramente interessante
e misterioso
quindi questo numero giusto qui

Czech: 
Dostanete záporné číslo v čitateli,
my se zajímáme jen o kladné výsledky,
1 plus (odmocnina z 5, lomeno 2).
To vypadá pěkně,
zajímavé číslo.
Vezměme kalkulačku
a vypočtěme prvních několik míst
tohoto magického čísla fí.
Vezmu si svou kalkulačku
a vypočteme to
a možná poznáváte, že odmocnina
z fí je iracionální číslo.
A tedy tohle celé bude iracionální číslo,
ale to dokáži v jiném videu,
což znamená, že se neopakuje,
pokračuje dál a dál do nekonečna.
Ale vypočtěme to.
Takže to je 1 plus odmocnina z 5,
1 plus odmocnina z 5,
děleno 2.
To je 1,6180339.
Dejme to stranou a já to zapíšu.
Tady to začíná být opravdu
zajímavé a záhadné.

Polish: 
a chcemy to dodatnie rozwiązanie
1 + √5
przez 2
wygląda jak dosyć...
dosyć interesująca liczba
wyciągnijmy kalkulator
i zobaczmy parę pierwszych cyfr
tej magicznej liczby fi
wyciągnę kalkulator
policzmy to
może już zauważyłeś, że pierwiastek z 5
jest niewymierny
więc całe to też będzie niewymierne
co udowodnię kiedy indziej
ale to znaczy, że się nie powtarza
ciągnie się w nieskończoność
ale policzmy to
więc 1 plus pierwiastek z 5
1+√5
podzielone przez 2
to jest
1,6180339
przesunę to
i przepiszę
i tu zaczyna się robić naprawdę ciekawie
i tajemniczo
więc ta liczba

English: 
So we only care about
the positive solution.
1 plus the square
root of 5 over 2.
So this seems like a
pretty interesting number.
Let's actually take
a calculator out
and see if we can get the first
few places of this magic number
phi.
So let me get my calculator out.
Let's just actually evaluate it.
And you might recognize
that square root of 5
is an irrational number.
And so this whole thing is going
to be an irrational number,
but I'll prove that in
another video, which
means it never repeats.
It goes on and on
and on forever.
But let's actually evaluate it.
So it's 1 plus the square
root of 5 divided by 2.
So it says 1.6180339.
So let me put that aside.
Let me write it down.
And this is where
it starts to get
really interesting
and mysterious.

Korean: 
분자가 음수가 되므로
양수인 근이 되지 않기 때문에
1 + 루트 5 를 답으로 합니다
더 훌륭한
흥미로운 숫자입니다
계산기를 사용해 보죠
계산기를 사용해본다면
신비한 수 φ를
숫자로 살펴볼 수 있습니다
실제로 계산해보죠
φ 의 제곱근이
무리수라는 것을 알고 있을 지도 모릅니다
실제로 해보면 이 수는 무리수입니다
그것은 다음 시간에 증명 해보록 하죠
무리수라는 것은 반복되는 부분없이 끝없이 계속되는
소수로 나타내지는 수입니다
계산해봅시다
1+ 루트5
입력하고
2로 나눕시다 그러면
1.6180339......
적어보죠
적어보면
또 다시 흥미로운 것을 발견합니다
수수께끼입니다
이 숫자는

Norwegian: 
og vi vil kun ha de positive løsningene.
Vi har derfor 1 pluss 
kvadratroten av 5 over 2.
Der ser ut som et spennende tall.
La oss finne fram kalkulatoren
og se om vi med den
kan finne dette magiske tallet pi.
La oss få fatt på kalkulatoren,
og regne ut dette.
Kanskje man har opptaget
at kvadratroten av pi
er et irrasjonelt tall.
Faktisk er alt dette et irrasjonelt tall.
Det vil vi se nærmere på i en annen video.
Det betyr at desimalene
aldri gjentar seg i et bestemt mønster.
De fortsetter i det uendelige.
La oss regne det ut.
Det gir 1 pluss kvadratroten av 5.
1 pluss kvadratroten av 5
dividert med 2.
Det er 1,6180339.
La oss fjerne dette,
og skrive det ned.
Nå blir det veldig interessant, spennende
og ikke minst mystisk.
Dette tallet

Slovak: 
takže tu môžeme mať len plus,
1 plus odmocnina z 5 lomeno 2.
Bude to veľmi
zaujímavé číslo.
Zoberme si kalkulačku
a pozrime sa z akých čísel sa toto fí
skladá.
Vytiahnem kalkulačku
a vypočítame to.
Všimnite si, že odmocnina z fí
je iracionálne číslo,
takže aj celé toto bude iracionálne číslo,
ale to si dokážeme v inom videu.
V takom čísle sa číslice nikdy neopakujú,
a je ich nekonečno.
Poďme to vypočítať.
Takže máme 1 plus odmocnina z 5,
1 plus odmocnina z 5,
deleno 2.
Výsledok je 1,6180339.
Odložme si kalkulačku nabok,
a napíšme si to.
Teraz to začína byť zaujímavé a záhadné.
Toto číslo má hodnotu

Bulgarian: 
но ни интересуват само положителни корени.
Едно плюс корен квадратен от 5
върху 2.
Изглежда като доста
доста интересно число.
Да извадим все пак калкулаторите
и да видим дали можем да видим първите цифри
на това магическо фи.
Нека си извадя калкулатора
и да го пресметна,
и можеш да видиш, че корен квадратен от фи
е ирационално число,
и така цялото това нещо 
ще бъде ирационално число.
Но в друго видео ще докажа,
че това означава, че то никога не се повтаря
продължава безкрай,
но нека все пак да го оценим
Имаме 1 плюс корен квадратен от 5
1 плюс корен квадратен от 5
делено на 2
и така това е
1,6180339
нека го оставим настрани,
и нека го запиша,
и тук идва интересната част,
както и мистериозна.
Това число тук

Danish: 
og vi vil kun have de positive løsninger.
Vi har derfor 1 plus kvadratroden af 5
over 2.
Det ser ud til at være et spændende tal.
.
Lad os finde en lommeregner
og se, om vi med den
kan finde det her magiske tal phi.
Lad os få fat i lommeregneren
og udregne det her.
Måske har man opdaget,
at kvadratroden af phi er et irrationelt tal.
Faktisk er hele det her et irrationelt tal.
Det vil vi se på i en anden video.
Det betyder, at decimalerne aldrig gentager sig i et bestemt mønster.
De fortsætter uendeligt.
Lad os udregne det.
Det giver 1 plus kvadratroden af 5.
1 plus kvadratroden af 5
divideret med 2.
Sådan.
Det er 1,6180339.
Lad os få den her væk
og skrive det ned.
Nu bliver det rigtigt interessant, spændende
og ikke mindst mystisk.
Det her tal

Turkish: 
Biz yalnızca pozitif çözüme bakıyoruz.
1 artı karekök 5 bölü 2.
-
Bu da gayet ilginç bir sayıya benziyor.
-
Hesap makinesini çıkaralım ve fi'nin birkaç basamağını bulalım.
-
-
Hesap makinemi çıkarıyorum ki değerini bulalım.
-
Fi'nin irrasyonel bir sayı olacağını görmüş olabilirsiniz.
-
Bunun tamamı irrasyonel bir sayı olacak.
Ama, bunu başka bir videoda ispatlayacağım.
Bunun anlamı, fi'deki rakamların tekrarlamadığı ve sonsuza kadar devam ettiğidir.
-
Şimdi değerini buluyoruz.
1 artı karekök 5 bölü 2.
-
-
Bu eşittir 1, 6180339
-
Bunu kenara alalım ve değeri yazayım.
-
Şimdi her şey ilginç ve gizemli bir hal alıyor.
-
Bu sayı 1,618033988...

Georgian: 
ანუ, მხოლოდ + გვაინტერესებს.
1 + კვადრატული ფესვი 5–დან
გაყოფილი 2–ზე
გამოდის ძალიან, ძალიან
საინტერესო რიცხვი.
ამოვიღოთ კალკულატორი
და ვნახოთ, თუ შეგვიძლია ამ უცნაური რიცხვის
φ –ს პირველი ხუთი რიცხვის გამოთვლა.
ამოვიღოთ კალკულტარი
და გამოვთვალოთ;
ალბათ, ხვდებით, რომ ფესვი აქედან
ირაციონალური რიცხვი გამოვა,
რაც იმას ნიშნავს, რომ φ ასევე ირაციონალურია.
მაგრამ ამას სხვა ვიდეოში დავამტკიცებ;
ირაციონალური ნიშნავს, რომ არასდროს მეორდება
და უსასრულოდ გრძელდება.
მაგრამ, დროა გამოვთვალოთ.
1 + კვადრატული ფესვი 5–დან
გაყოფილი 2–ზე
არის
1,6180339
მოვაშოროთ კალკულატორი
და ჩავწეროთ.
ახლა კი ნამდვილად საინტერესო
და მისტიკური ამბები მოხდება.
ეს რიცხვი არის

Spanish: 
así que sólo buscamos la solución positiva
1 más la raíz cuadrada de 5
sobre 2
y eso se ve como un muy
muy interesante número
tomemos una calculadora
y tratemos de encontrar los primeros dígitos
de este mágico número phi
así que déjenme sacar mi calculadora
y evaluémoslo
y vas a a tener que reconocer que la raíz cuadrada de phi
es un número irracional
y por eso, toda esta cosa va a ser irracional
pero eso lo probaré en otro video
lo que significa que nunca repite
sigue y sigue por siempre
pero ahora vamos a evaluarlo
entonces, 1 más la raíz cuadrada de 5
1 más la raíz cuadrada de 5
dividido 2
y esto es
1,6180339
dejemos eso de lado, por ahora
y permíteme escribirlo
y aquí es donde en verdad comienza a ponerse interesante
y misterioso
así que este número de aquí

Norwegian: 
er 1,618033988,
og uendelig mange fler desimaler.
Desimalene fortsetter og fortsetter,
men de gjentar seg aldri i et bestemt mønster.
Det er også et forhold,
som har alle de kule egenskapene
som vi har snakket om.
La oss gå litt tilbake nå
og se på dette.
Nå kan vi finne ut av
hva 1 over pi skal være.
Vi har altså 1 over pi.
Hvis det er det vi mener,
skriver vi noen ganger et stort pi her.
Vi vet allerede at 1 over pi
er det samme som 
pi minus 1
så det kan vi løse i hodet.
Det vil være lik
0,619033988.
Det foregår altså noe veldig merkelig her.
Den inverse til dette
er lik de desimalene som er igjen,
hvis vi fjerner 1-tallet.
Det i seg selv er en merkelig egenskap.
Men det blir enda villere!
Dette tallet viser seg alle mulige steder.
Som det kanskje er mulig å forestille seg,
på bakgrunn av tittelen på denne videoen,

Polish: 
to 1,618033988....
ciągnie się w nieskończoność
nigdy się kończy ani nie powtarza
więc hej! co za fajna liczba!
to ten podział, który ma
wszystkie ładne własności
co jest całkiem fajne
jakkolwiek to powiedzieć
ale co jest naprawdę ładne to że jeśli
spojrzymy z powrotem tutaj
bo co to jest 1 przez fi?
więc 1 przez fi... 1 przez fi
co czasami piszemy
jako wielkie Fi (Φ)
już wiemy, że 1 przez fi
to fi minus 1
a to możemy zrobić w głowie
1 przez fi to będzie
0,618033988...
nie wiem, coś tu nie gra
że odwrotnością liczby są miejsca po przecinku
pozostałe po wytarciu jedynki
to jest szalone
ale będzie jeszcze bardziej!
bo ta liczba jest wszędzie!
jak mogłeś sobie wyobrazić po tytule filmu

Korean: 
1.618033988......
끝없이 이어집니다
끝나지 않고, 반복되지도 않지요
재미있는 수군요
여러가지 훌륭한 정리를 가지고 있는
이 비율은 매우 흥미롭습니다
이것을 다른 방법으로 표현해보죠
아까 살펴보았던 이것을 재논의 해 본다면
더욱 훌륭해집니다
1/φ 를
대문자 Φ 라고 정해봅시다
위의 식에서
1/φ 는 φ-1 이었습니다
암산을 해보면
1/φ 는
0.618033988...
참 익살스러운 수군요
φ의 역수가
φ의 값에서 1를 빼고 난 후
얻어지는 소수가 되는 군요
재미있습니다
이 숫자는 실생활에서
다양하게 보여집니다

Thai: 
คือ 1.618033988 --
และมันไปเรื่อยๆ เรื่อยๆ
ไปเรื่อยๆ ไม่มีหยุด, ไม่มีซ้ำ
และโดยตัวมันเองแล้ว, เฮ้ มันเป็นเลขที่จ๋งดี
อัตรานี้ มีสมบัติที่เนี๊ยบทั้งหมดนี่
ซึ่งมันบ้าทีเดียว
เอาล่ะ วิธีที่คุณแสดงมัน
แต่สิงที่เนี๊ยบคือว่า ถ้าเรากลับไปที่เจ้านี่ตรงนี้
เพราะ 1 ส่วนไฟ จะเป็นเท่าไหร่?
แล้ว 1 ส่วนไฟ, 1 ส่วน ไฟ. ซึ่งบางครั้งเราเขียน
ว่า ไฟใหญ่ (Φ)
เรารู้แล้วว่า, 1 ส่วน ไฟ
ก็แค่ ไฟ ลบ 1
ที่จริงเรา, เราทำได้ในใจ
1 ส่วนเจ้านี่จะเท่ากับ
0.618033988
ผมไม่รู้, มันมีอะไรแปลๆ เกี่ยกวับ
อินเวอร์สของเลขนี้ ก็แค่ทศนิยม
ที่เหลือหลังจกาที่คุณกำจัด 1
ไปเอง มันเป็นแนวคิดบ้าๆ
แต่มันบ้ากว่านี้อีก!
เพราะเลขนี้ปรากฏขึ้นทุกที่
และอย่างที่คุณจินตนการได้จากหัวข้อวิดีโอนี้

Spanish: 
es 1,618033988....
y sigue y sigue
nunca termina, nunca repite
así que por sí mismo, hey, ya es un número genial
es la proporción que tiene todas estas propiedades geniales
que son muy locas
de cualquier forma que las expreses
pero lo realmente genial, si revisamos esto de aquí
porque, qué es 1 sobre phi?
1 sobre phi, 1 sobre phi, que a veces denotamos
con la letra capital phi (Φ)
ya sabemos, 1 sobre phi
es sólo phi menos 1
asi que podemos hacer ésto en nuestras cabezas
uno sobre esto va a ser
0,618033988
Si no lo sabes, hay algo absurdo sobre esto
de que la inversa del número sea en realidad sus decimales
una vez que sacas el uno
por sí misma es una idea loca
pero que se vuelve más loca!!
porque este número aparece en todos lados
y como podrás imaginar por el título de este video

English: 
So this number right
over here is 1.618033988
and it just keeps on going
on and on and on, keeps
on never terminating,
never repeating.
So that by itself,
it's this cool number.
It's this ratio that has all
of these neat properties, which
are pretty crazy anyway
that you express it.
But what's really neat is if
we revisit this thing right
over here.
Because what is 1
over phi going to be?
So 1 over phi, which we
sometimes denote with a capital
phi.
We already know 1 over
phi is just phi minus 1.
So we actually can
do this in our heads.
1 over this is just
going to be 0.618033988.
I don't know.
There's just something
wacky about that,
that the inverse of
the number is really
just the decimals left over
after you get rid of the 1.
That, by itself, is
kind of a crazy idea.
But it gets even crazier
because this number
is showing up everywhere.
And as you might imagine
from the title of this video,

Bulgarian: 
е 1,618033988
и то си продължава и продължава
никога не свършва, никога не се повтаря.
Само по себе си е готино число –
то е това отношение с всичките тези готини свойства,
които са доста шантави,
както и да го изразим.
И което е наистина яко, ако се върнем пак тук.
Защото какво ще бъде 1 въху фи?
Така, 1 въху фи, което понякога бележим
с главно фи (Ф)
Вече имаме 1 върху фи
е просто фи минус 1,
можем да го направим и наум,
1 върху това е просто
0,618033988.
Знам ли, има нещо странно тук,
че реципрочното на числото е 
просто числата след запетаята,
оставащи като се отървем от единицата.
Само по себе си това е странна идея,
но става още по-странно,
защото това число се появява навсякъде,
и както може да си представиш
от заглавието на видеото,

Danish: 
er 1,618033988
og uendeligt mange flere decimaler.
Decimalerne fortsætter og fortsætter,
men de gentages aldrig i et bestemt mønster.
Det er også det forhold,
der har alle de seje egenskaber, vi har talt om.
Lad os nu lige gå tilbage
og se på det her.
Nu kan vi finde ud af, hvad 1 over phi vil være.
Vi har altså 1 over phi.
Hvis det er det, vi mener, skriver vi nogle gange et stort phi her.
VI ved, at 1 over phi
er det samme som phi minus 1 allerede,
så det her kan vi løse i hovedet.
Det vil være lig med
0,619033988.
Der foregår altså noget meget underligt her.
Den inverse til det her er lig med de decimaler,
der er tilbage, hvis vi fjerner 1-tallet.
Det i sig selv er en mærkelig egenskab.
Det bliver dog endnu vildere!
Det her tal viser sig alle mulige steder.
Som det måsker er muligt at forestille sig på baggrund af titlen på den her video,

Turkish: 
-
Böyle devam ediyor, hiç bitmiyor ve devirli değil.
--
Bu sayının, oranın çok çılgın özellikleri var.
-
-
-
Buraya tekrar baktığımızda, 1 bölü fi ne olacak?
-
1 bölü fi, bunu bazen büyük fi olarak da yazarız, eşittir fi eksi 1.
-
-
-
Bunu aklımızdan da yapabiliriz.
1 bölü bu, 0,618033988'e eşit olacak.
-
Bir sayının tersinin 1'i attıktan sonra kalan ondalıklı kesire eşit olması biraz çılgınca bir fikir.
-
-
-
Ama olay daha da çılgınlaşıyor!
Çünkü, bu videonun adından da tahmin edebileceğiniz gibi, bu sayı her yerde karşımıza çıkıyor.
-

Japanese: 
1,618033988 です。
行き続けると
決して終了せず、二度と繰り返さない値です。
魅力的な数です。
この数が、この比率とは、
不思議です。
どのように表現してもいいです。
ここで、元に戻り、
１／φは何か見てみましょう。
１／φは、
大文字のΦも使われます。
すでに知っているのは、１／φは
φから 1 を引いたものです。
実際には、頭でこれを行うことができます。
1 引くと、これです。
0,618033988
それは、奇抜です。
実際には、小数の逆数には
1 つの取り除くと
それ自体という、クレイジーなアイデアです。
しかしそれはスゴいです ！
この数が、どこにでも現れるか
このビデオのタイトルから想像できるかもしれませんが

Czech: 
Toto číslo je 1,618033988....
a pokračuje dál a dál a dál
nikdy nekončí, nikdy se neopakuje.
Samo o sobě to je parádní číslo.
Je to tento poměr, který má
všechny tyto pěkné vlastnosti,
které jsou vlastně šílené, ať už
to vyjádříte jakoukoliv formou.
Ale co je opravdu pěkné, je,
pokud se znovu podíváme na tuto část,
protože co bude 1 lomeno fí?
1 lomeno fí, což někdy
označujeme velkým fí (Φ).
Již víme, že 1 lomeno fí
je fí minus 1.
To můžeme vlastně vypočítat zpaměti,
1 lomeno toto bude 0,618033988.
Nevím, ale na tom je něco praštěného.
To, že převrácená hodnota čísla
je skutečně desetinné číslo,
které zbyde potom,
co vynecháte jedničku.
To je samo o sobě šílený nápad,
ale bude to ještě šílenější!
Protože toto číslo se objevuje všude,
a jak si dokážete představit
z názvu tohoto videa,

Slovak: 
1,618033988...
a takto pokračuje do nekonečna,
nikdy sa neskončí a nikdy sa neopakuje.
V podstate je to úžasné číslo.
Má všetky tie zvláštne vlastnosti,
ktoré ho robia bláznivým,
nech ho vyjadríte akokoľvek.
Ak sa vrátime naspäť ku tomuto vyjadreniu rovnice,
koľko bude 1 lomeno fí?
Takže 1 lomeno fí, čo niekedy označujeme aj ako
veľké fí.
Takže už vieme, že 1 lomeno fí
sa rovná fí mínus 1.
Vypočítajme si to v hlave,
1 lomeno fí sa rovná
0,618033988.
Je to zvláštne,
že obrátená hodnota čísla sa rovná tomuto desatinnému číslu,
ktoré sme dostali po odpočítaní 1.
Je to šialené.
A bude to ešte viac šialené,
pretože toto číslo sa objavuje všade,
a ako ste si určite domysleli z názvu videa,

Italian: 
è 1,618033988...
e solo mantiene in corso su e su e su
continua a non terminare mai, mai ripetere
modo che di per sé, Ehi relativo questo cool numero
il presente rapporto che ha questa proprietà pulito tutti
che sono abbastanza folli
qualsiasi modo che si esprimono
ma che cosa è veramente pulito è se noi rivedere questa cosa proprio sopra
perché che cosa è 1 sopra sarà phi?
così, 1 sopra 1 su phi phi. che denotiamo a volte
con una capitale phi (Φ)
Sappiamo già, 1 sopra phi
è solo phi-1
così siamo in realtà, possiamo farlo nella nostra testa
solo uno su questo sta per essere
0,618033988
Non so, lì qualcosa di stravagante che
che l'inverso del numero è davvero solo i decimali
dopo che si fa a sbarazzarsi di quella a sinistra
che di per sé è il tipo di un'idea folle
ma diventa ancora più folle!
perché questo numero sta mostrando in tutto il mondo
e come potete immaginare dal titolo di questo video

Georgian: 
1,618033988...
და ის გრძელდება და გრძელდება
და არასდროს არც სრულდება და არც მეორდება.
ეს უკვე თავისთავად მაგარი რიცხვია.
ესაა შეფარდება, რომლის ყველა გამოსახულება
აბსოლუტურად გამაგიჟებელია,
როგორც არ უნდა სცადო მისი ჩაწერა.
მაგრამ, რაც მართლა გაგაკვირვებთ, აი ეს ჩანაწერია.
რას უდრის 1 გაყოფილი φ –ზე?
1 გაყოფილი φ –ზე
φ –ს ხანდახან დიდი ასოთი აღვნიშნავთ;
უკვე ვიცით, რომ 1 გაყოფილი φ–ზე
არის φ -1
ზეპირად შეიძლება გამოვთვალოთ, რომ ეს უდრის
0,618033988
ჩემთვის ეს რაღაც უცნაურია,
რომ რიცხვის შებრუნებული არის მისი ათწილადი,
რაც დარჩა ერთის მოშორების შემდეგ.
ეს თავისთავადაც გიჟური იდეაა,
მაგრამ კიდევ უფრო დაუჯერებელი ხდება!
ეს რიცხვი არის ყველგან:
როგორც ვიდეოს სათაურიდან ხვდებით,

Norwegian: 
kaller vi også dette pi
for det gyldne forholdet,
eller det gydne snitt.
Dette er det gyldne snitt.
Det viser seg alle mulige forskjellige stedet.
Det gyldne snitt.
Det viser deg i kunst,
det viser seg i musikk,
og det viser seg i naturen.
I naturen viser det seg
i noen av de rene idéer.
La oss prøve å tegne
en perfekt stjerne.
Vi tegner en regulær stjerne.
Vi tegner den her,
og den ser ut som dette.
Dette er en regulær stjerne.
Alle lengdene er like.
La oss tegne den litt bedre.
En stjerne som denne
kaller vi noen ganger
for et pentagram.
Nå blir det virkelig fantastisk.
Forholdet mellom denne rosa siden,
og denne blå siden
er det gyldne snitt.
Forholdet mellom den lilla siden,
og den rosa siden er også det gyldne snitt.
Akkurat som definisjonen sier det skal være.

Korean: 
이 동영상의 제목을 보고 상상보세요
φ 는 황금비라고 부릅니다
황금비
여러 곳에서
황금비를 확인할 수 있습니다
미술, 음악
자연에서도 나타납니다
자연에서 찾아볼까요
간단한 예를 들어볼게요
완벽한 모양의 별을
그려봅시다
이것처럼 일반적인 별을 그려본다면
이렇게 그려봅시다
여기에 그려보죠
일반적인 별입니다
모든 길이는 같습니다
이 별 모양을 '펜타드램' 이라고 부르기도 합니다
놀라운 일이 시작됩니다
파란 선분에 대한 분홍 선분의 비율
이것이 황금비입니다
분홍색 선분에 대한 진홍색 선분의 비율

Bulgarian: 
това фи тук
се нарича златно сечение.
Това е златното сечение,
което се появява навсякъде.
"Златното сечение".
Появява се в изкуството, в музиката,
в природата.
И само да ти покажа къде се появява в природата,
появява се в много чисти идеи
и ако просто нарисувам...
ако нарисувам перфектна звезда,
ако нарисувам нормална звезда като тази
нека само я нарисувам
ето тук.
Това е обикновена звезда,
всичките дължини са равни,
всички... нека я нарисувам по-добре от това.
Ако просто нарисувам звезда тук,
или понякога се нарича пентаграм.
Някои невероятни неща се случват.
Отношението между тази розова страна
към тази синя дължина ето тук,
това е златното сечение.
Отношението между пурпурното и 
розовото е златното сечение,

Danish: 
kalder vi også det her phi
for det gyldne forhold eller det gyldne shit.
Det her er det gyldne snit.
Det viser sig alle mulige forskellige steder.
Det gyldne snit.
Det viser sig i kunst, det viser sig i musikken,
og det viser sig i naturen.
I naturen viser det sig
i nogle af de rene idéer.
Lad os prøve at tegne
en perfekt stjerne.
Vi tegner en regulær stjerne.
Vi tegner den her,
og den ser sådan her ud.
Det her er en regulær stjerne.
Alle længderne er lig med hinanden.
Lad os lige tegne det her lidt bedre.
Sådan en stjerne her
kalder vi også nogle gange for et pentagram.
Nu vil det blive rigtig fantastisk.
Forholdet mellem den pink side og den blå side her
er det gyldne snit.
Forholdet mellem den lilla side og den pink side er også det gyldne snit,

English: 
this phi right over here, this
is called the golden ratio.
This is the golden ratio
and it shows up everywhere.
It shows up in art.
It shows up in music.
It shows up in nature.
And just to get an idea of
where it shows up in nature,
it shows up in very pure ideas.
So if I were to just
draw a perfect star,
if I were to just draw a
regular star like this.
Let me just draw it like this.
I'll draw it right over here.
So this is just a regular star.
All the lengths are equal.
So I want to draw it a
little bit better than that.
So if I just draw a star
like this right over here
or sometimes this would
be called a pentagram,
some amazing things
start to happen here.
The ratio of this pink
side to this blue length
right over here, that's
the golden ratio.
The ratio of this
magenta to this pink
is the golden ratio, as
it should, by definition.

Spanish: 
este phi de por aquí
es el llamado número áureo
éste es el número áureo
y aparece en todos lados
"Número Áureo"
aparece en el arte, aparece en la música
aparece en la naturaleza
y sólo para tener una idea de su importancia en la naturaleza
aparece en muchas ideas puras
así que si yo dibujase
si quisiera dibujar una estrella perfecta
si dibujo una estrella regular como esta de aquí
déjenme dibujarla así
dibujar esto bien
esto es una estrella regular
todos los lados son iguales
todos los, déjenme dibujarlo un poco mejor que eso
asi que si dibujo una estrella como esta de aquí
a veces llamado un pentagrama
algunas cosas maravillosas comienzan a pasar
la proporción de este lado rosa con este lado azul
de aquí, es el número áureo
la proporción entre este magenta y este rosa, es el número áureo

Georgian: 
ეს φ
არის იგივე ოქროს პროპორცია,
ოქროს პროპორცია,
რომელიც ჩნდება ყველგან.
"ოქროს პროპორცია":
ის გვხვდება ხელოვნებაში, მუსიკაში,
ბუნებაში,
ბუნებაში ეს
იდეებშიც კი ჩანს.
დავუშვათ, ვაპირებ დავხატო
იდეალური ვარსკვლავი,
ან ჩვეულებრივი ვარსკვლავი, ასეთი
აი აქ როგორსაც ვხატავ;
მოკლედ, ეს არის ჩვეულებრივი ვარსკვლავი.
ყველა სიგრძე ტოლია.
ასეთი ვარსკვლავი რომ დავხატო –
ან ამას კიდევ პენტაგრამას უწოდებენ –
აქ საოცარი რამეები მოხდება.
ვარდისფერი მხარის შეფარდება ცისფერთან
არის ოქროს პროპორცია!
ამ მეწამული ფერის შეფარდება ვარდისფერთდან
ასევე ოქროს კვეთაა!

Thai: 
ไฟนี่ตรงนี้
นี่เรียกว่า อัตราส่วนทองคำ
นี่คืออัตราส่วนทองคำ
และมันปรากฏขึ้นทุกที่
"อัตราส่วนทองคำ"
มันปรากฏในศิลปะ, มันปรากฏในดนตรี
มันปรากฏในธรรมชาติ
และเพื่อให้เข้าใจว่ามันปรากฏในธรรมชาติ
มันปรากฏในแนวคิดบริสุทธิ์ต่างๆ
ถ้าผมวาด
ถ้าผมวาดดาวที่สมบูรณ์แบบ
ถ้าคุณวาดดาวปกติแบบนี้
ขอผมวาดมันแบบนี้
วาดมันตรงนี้
นี่ก็คือดาวปกติ
ความยาวทั้งหมดเท่ากัน
ทั้งหมด, ขอผมวาดมันให้ดีกว่านั้นหน่อย
ถ้าผมวาดดาวแบบนี้ตรงนี้
หรือบางครั้งนี่เรียกว่า เพนตาแกรม
สิ่งที่มหัศจรรย์เริ่มเกิดขึ้นตรงนี้
อัตราส่วนของด้านสีชมพูต่อด้านสีฟ้า
ตรงนี้, นั่นคืออัตราส่วนทองคำ
อัตราส่วนของสีบานเย็น ต่อสีชมพูนี่, คืออัตราส่วนทองคำ

Italian: 
Questo phi destra sopra
Questo è chiamato il golden raito
Questa è la sezione aurea
e mostra in tutto il mondo
"Golden Ratio"
si presenta in arte, si presenta in musica
si presenta in natura
e solo per avere un'idea di erano che si presenta in natura
si presenta in idee molto puri
così se dovessi solo disegnare
Se dovessi disegnare una perfetta stella
Se dovessi disegnare una stella regolare come questo
Lasciatemi solo disegnarlo come questo
disegnarlo proprio qui
quindi questa è solo una stella regolare
tutte le lunghezze sono uguali
tutti i, mi permetta di disegnare un po ' meglio rispetto a quello
così se ho solo disegnare una stella come questo diritto qui
o a volte questo sarebbe chiamato un pentagramma
alcune cose incredibili iniziano ad accadere qui
il rapporto tra questo lato rosa a questa lunghezza blu
destra sopra qui, che sono il rapporto aureo
il rapporto di questo magenta a questo rosa, è il golden raito

Polish: 
to fi tutaj
nazywamy "złotym podziałem"
to jest "złoty podział"
który pojawia się wszędzie
"Złoty podział"
pojawia się w sztuce, muzyce, naturze
i żebyś sobie wyobraził
gdzie to się pojawia w naturze
pojawia się w prostych pomysłach
jeśli chcę narysować gwiazdę
idealną gwiazdę
po prostu regularną gwiazdę
narysuję to tak
narysuję to tutaj
to po prostu regularna gwiazda
wszystkie długości są równe
może narysuję to trochę lepiej
więc jeśli narysuję gwiazdę jak tu
lub inaczej pentagram
niesamowite rzeczy zaczynają się dziać
stosunek różowej strony do niebieskiej odległości
o tutaj, to jest złoty podział
stosunek tego fioletowego do różowego
to też złoty podział

Czech: 
právě toto fí
toto se nazývá zlatý řez.
Toto je zlatý řez,
který se objevuje všude.
"Zlatý řez"
Objevuje se v umění,
objevuje se v hudbě,
objevuje se v přírodě,
a abychom získali představu,
kde se v přírodě objevuje,
objevuje se ve velmi prostých myšlenkách.
Pokud bych kreslil...
pokud bych nakreslil dokonalou hvězdu,
pokud bych nakreslil
pravidelnou hvězdu jako tuto,
nakreslím to takto,
nakreslím to zde,
takže toto je pravidelná hvězda.
Všechny délky jsou stejné,
nakreslím to trochu lépe,
pokud nakreslím hvězdu jako je tato,
někdy se tomu říká pentagram,
začnou se zde dít úžasné věci.
Poměr této růžové strany
k této modré délce,
to je zlatý řez.
Poměr této purpurové
k této růžové, je zlatý řez,

Slovak: 
toto fí
sa nazýva zlatý pomer.
Toto je zlatý pomer.
Nájdeme ho všade.
"Zlatý pomer"
Nájdeme ho v umení, v hudbe,
v prírode...
A aby ste pochopili, kde v prírode to napríklad nájdeme,
nájdeme ho vo veľmi jednoduchých veciach.
Napríklad keby som
nakreslil pravidelnú hviezdu,
keby som nakreslil typickú hviezdu,
nakreslím ju takto,
sem,
takže toto je pravidelná hviezda.
Všetky strany má rovnaké.
Nakreslím ju kus krajšie.
Nakreslím ju takto.
Niekedy sa takýto obrazec nazýva aj pentagram.
A tu uvidíte zaujímavé veci.
Pomer tejto ružovej strany ku modrej strane
je zlatý pomer.
Pomer tejto purpurovej strany ku tejto ružovej strane je zlatý pomer.
Tak hovorí definícia.

Turkish: 
Bu fi sayısının adı altın orandır.
-
Bu, altın orandır.
Ve her yerde karşımıza çıkar.
"Altın Oran"
Sanatta, müzikte ve doğada bulunur.
-
Doğada nerede bulunduğu ile ilgili bir fikir vermek için, mükemmel bir yıldız çizmek istersek. şurada çiziyorum.
-
-
-
-
-
-
Bu bildiğimiz yıldız.
Tüm kenarları eşit uzunlukta.
Bunu daha iyi çizeyim.
Şöyle bir yıldız çizersem, buna pentagram da diyebiliriz.
-
Çok ilginç durumlar ortaya çıkabilir.
Şu pembe kenarın bu mavi uzunluğa oranı, altın orandır.
-
Bu morun şu pembeye oranı da altın orandır.

Japanese: 
このφは
黄金比と呼ばれるます。
これは、黄金比です。
あちこちに現れます。
「黄金比」
芸術、音楽に
自然に現れます。
自然で現れます。
それは非常に純粋なアイデアに現れます。
描画します。
完璧な星を描画するには場合、
このような通常の星を描画するには
このように
ここに
通常の星を描きます。
すべての長さが等しいです。
いいですか？
このような星を描画します。
時々 これは、五芒星と呼ばれるでしょう。
いくつかの驚くべきことは、ここが起こります。
このブルーの長さとピンクの辺の比は
ここ二ある黄金比です。
このピンクとマゼンタの比率は黄金比です。

English: 
Now the ratio of the
magenta to this orange
is also the golden ratio.
It just keeps on showing up
in a ton of different ways
when you look at a
pentagram like this.
If you look at something
like a pentagon,
a regular pentagon
where all the angles
are the same and all
the sides are the same,
a regular pentagon.
If you take any of the
diagonals of a regular pentagon,
so right over here, if you take
this diagonal right over here,
the ratio of this green side
to--and when I'm talking about
the diagonals, ones
that actually aren't one
of the edges-- the ratio of
any of the diagonals to any
of the sides is once
again, this golden ratio.
So it keeps showing
up on and on and on.
And we can do interesting
things with the golden ratio.
Let's say that we had
a rectangle, where
the ratio of the width to the
height is the golden ratio.
So let's try that out.
So let's say that
this is its height.
This is its width.

Bulgarian: 
както трябва по дефиниция.
Отношението между пурпурното и оранжевото
е също златното сечение.
Появява се по куп различни начини,
като погледнем пентаграма като тази,
ако разгледаме нещо като петоъгълник,
правилен петоъгълник,
където всички ъгли са равни и всички страни са равни,
правилен петоъгълник,
ако вземеш някой от диагоналите
на този правилен петоъгълник,
ето този тук, ако вземеш този диагонал тук,
отношението между тази зелена страна към...
... и като казвам диагонал имам предвид
тези, които не са ръбове,
отношението на който и да е диагонал,
към която и да е от страните, за пореден път
се появява това златно сечение.
Продължава да се поява отново и отново
и можем да правим интересни неща
със златното сечение.
Нека кажем, че имаме правоъгълник,
в който отношението между широчината и височината е златното сечение,
нека пробваме това,
да кажем че това е височината,
а това е широчината,
и това е отношението,

Spanish: 
como debería, por definición
ahora la proporción del magenta con este naranja
es también el número áureo
y así aparece en una tonelada de formas diferentes
cuando miras un pentagrama como éste
Si miras un pentágono
un pentágono regular
donde todos los ángulos son iguales y todos los lados son iguales
un pentágono regular
si tomas alguna de las diagonales
de un pentágono regular
justo aquí, si tomas esta diagonal de aquí
la proporción de este lado verde
y cuando hablo de diagonales
es las que no son los bordes
la proporción entre cualquiera de las diagonales
con cualquiera de los bordes, es, una vez más
el número áureo
así sigue apareciendo y apareciendo
y podemos hacer cosas interesantes
con el número áureo
digamos que tenemos un rectángulo
donde la proporción del ancho con el alto es el número áureo
intentemos
digamos que éste es elalto
éste es el ancho
y ésta la proporción

Danish: 
ligesom definitionen siger, det skal være.
Det viser sig også, at forholdet mellem den lilla og den orange
er det gyldne snit.
Det gyldne snit kan findes på rigtig mange måder
i sådan et pentagram som det her.
Vi kan også se på en regulær pentagon.
En pentagon er en femkant.
Når den er regulær, er alle sider og alle vinkler ens.
.
Vi skal se på diagonalerne i pentagonet først.
.
Det her er eksempelvis en diagonal.
Den her grønne side
er altså en diagonal i den regulære pentagon.
Det viser sig,
at forholdet mellem den grønne diagonal
og en hvilken som helst af siderne
er det gyldne snit.
Vi kan altså se,
at det gyldne snit viser sig mange forskellige steder.
.
Lad os nu se på et rektangel,
hvor forholdet mellem bredden og højden er det gyldne snit.
Lad os gøre det.
Lad os sige, at det her er højden,
og det her er bredden.
Vi kalder den her a,

Norwegian: 
Det viser seg også
at forholdet mellom den lilla og den orange
er det gyldne snitt.
Det gyldne snitt kan finnes på mange måter
i et pentagram som dette.
Vi kan også se på et regulært pentagon.
Et pentagon er en femkant.
Når den er regulær
er alle sider og vinkler like.
Vi skal se på diagonalene i pentagonet først.
Dette er for eksempel en diagonal.
De grønne sidene
er altså et diagonal 
i det regulære pentagon.
Det viser seg
at forholdet mellom den grønne diagonal,
og hvilken som helst av sidene,
er det gyldne snitt.
Vi kan altså se
at det gyldne snitt
viser seg mange forskjellige steder.
La oss se på en rektangel,
hvor forholdet mellom bredden
og høyden er det gyldne snitt.
La oss gjøre det.
La oss si at dette er høyden,
og dette er bredden.

Czech: 
jak by mělo, podle definice.
Nyní poměr této purpurové k této oranžové,
je také zlatý řez.
Objevuje se ve spoustě různých forem,
pokud se podíváte na pentagram jako tento.
Pokud se podíváte
na něco jako pětiúhelník,
pravidelný pětiúhelník,
kde jsou všechny úhly stejné 
a všechny strany jsou stejné,
pravidelný pětiúhelník.
Pokud vezmete některou z úhlopříček
pravidelného pětiúhelníku,
přímo tady, pokud vezmete tuto úhlopříčku,
poměr této zelené strany k...
a mluvím o úhlopříčkách, o těch,
které vlastně nejsou jedněmi z hran,
poměr kterékoliv z úhlopříček
k některé ze stran, je opět zlatý řez.
Objevuje se znovu a znovu.
Se zlatým řezem můžeme
dělat zajímavé věci.
Řekněme, že máme obdélník,
kde poměr délky k šířce je zlatý řez.
Tak to vyzkoušejme.
Řekněme, že toto je šířka,
toto je délka,
a toto je poměr.

Thai: 
อย่างที่มันควรเป็น, ตามนิยามแล้ว
ทีนี้ อัตราส่วนของสีบานเย็นต่อสีส้มนี้
ก็เป็นอัตราส่วนทองคำด้วย
มันยังปรากฏขึ้นในหลายวิธีต่างๆ กัน
เมื่อคุณดูที่เพนตาแกรมแบบนี้
ถ้าคุณดูอย่างอื่นเช่นห้าเหลี่ยม (pentagon)
ห้าเหลี่ยมปกติ
คือมุมทุกมุมเท่ากัน และด้านทุกด้านเท่ากัน
ห้าเหลี่ยมปกติ
ถ้าคุณหาเส้นแทยงมุม
ของห้าเหลี่ยมปกติใดๆ
เจ้านี่ตรงนี้, ถ้าคุณหาเส้นทแยงมุมตรงนี้
อัตราส่วนของด้านสีเขียวนี่ ต่อ
สิ่งที่ผมกำลังพูดถึงเส้นทแยงมุม
อันที่มันไม่ได้อยู่ตรงขอบ
อัตราส่วนของเส้นทแยงมุมใดๆ
ของด้านใดๆ, เหมือนเดิมคือ
อัตราส่วนทองคำนี้
มันยังปรากฏ, ต่อไป ต่อไป ต่อไป
และเราสามารถทำสิ่งที่น่าสนใจ
เกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำได้
สมมุติว่าเรามีสี่เหลี่ยม
โดยอัตราส่วนของความกว้างต่อความสูง เท่ากับอัตราส่วน
ทองคำ ลองทำดู
สมมุติว่านี่คอืความสู.
นี่คือความกว้าง
และนั่นคืออัตราส่วน

Turkish: 
-
Bu morun şu turuncuya oranı da altın oran.
-
Altın oran çok değişik şekillerde ortaya çıkar.
-
Bir düzgün beşgeni incelediğinizde, tüm açıların ve kenarların eşit olduğu bir beşgen.
-
-
-
Düzgün beşgenin herhangi bir köşegenini aldığınızda, örneğin şu köşegen.
-
-
Köşegen olarak kastettiğim, kenar olmayan doğru parçaları.
Herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranı yine altın orandır.
-
-
-
-
Yani sürekli karşımıza çıkmakta olan bir orandır.
Bu altın oranla ilginç şeyler yapabiliriz.
-
Diyelim ki, bir dikdörtgenimiz var. Ve dikdörtgende boyun ene oranı, altın oran olsun.
-
Bunu deneyelim.
Bu en olsun, bu da boy.
-
-

Slovak: 
Pomer tejto purpurovej a oranžovej strany
je taktiež zlatý pomer.
Na takomto pentagrame nájdeme
milión príkladov na zlatý pomer.
Keď sa pozriete na nejaký päťuholník,
pravidelný päťuholník,
v ktorom sú všetky uhly a všetky strany rovnaké.
Pravidelný päťuholník.
Ak si zoberieme akúkoľvek uhlopriečku
pravidelného päťuholníka,
napríklad ak zoberieme túto uhlopiečku,
pomer tejto zelenej strany...
myslíme tým uhlopriečku,
ktorá nie je jednou z hrán päťuholníka,
takže pomer takejto uhlopriečky
ku akejkoľvek strane je znova
zlatý pomer.
Môžeme ho nájsť na veľa miestach.
So zlatým pomerom môžeme robiť
zaujímavé veci.
Povedzme, že máme obdĺžnik,
v ktorom pomer šírky ku výške je zlatý pomer.
Skúsme to.
Povedzme, že toto je výška,
toto je šírka,
a že ich pomer,

Italian: 
come si deve, per definizione
ora il rapporto di questo magenta per questo arancione
è anche il golden raito
solo mantiene su mostrando in un sacco di modi diversi
Quando si guarda un pentagramma come questo
Se si guarda a qualcosa come un pentagono
un pentagono regolare
sono stati tutti gli angoli sono uguali e tutti i lati sono uguali
un pentagono regolare
Se si prende una delle diagonali
di un pentagono regolare
così destra sopra qui, quindi se si prende questo diagonale destra sopra
il rapporto tra questo lato verde
e che cosa sto parlando le diagonali
quelli che actaully non sono uno dei bordi
il rapporto di una qualsiasi delle diagonali
a uno qualsiasi dei lati, è ancora una volta
Questo rapporto aureo
così mantiene mostrando fino, su e su e su
e possiamo fare cose interessanti
con il rapporto aureo
diciamo che abbiamo avuto un rettangolo
sono stati che il rapporto tra la larghezza per l'altezza è la sezione aurea
così lascia che provare
così lascia dire che questa è la sua altezza
Questa è la sua larghezza
e che il rapporto

Polish: 
tak jak powinno być z definicji
stosunek fioletowego do tego pomarańczowego
to też złoty podział
pojawia się on na wiele różnych sposobów
kiedy się spojrzy na taki pentagram
i na coś jak pięciobok
foremny pięciokąt
gdzie wszystkie kąty są sobie równe
i wszystkie boki są takie same
foremny pięciokąt
jeśli weźmiemy jedną z przekątnych
foremnego pięciokąta
o tutaj, jak wezmę tę przekątną
to jej stosunek do...
mówię tu o przekątnych
które nie są bokami
to stosunek takiej przekątnej
do któregokolwiek boku, to znowu
złoty podział
więc pojawia się cały czas
możemy robić ciekawe rzeczy
ze złotym podziałem
weźmy prostokąt
gdzie stosunek szerokości do długości
to złoty podział
spróbujmy
załóżmy, że to jego wysokość
a to szerokość
więc stosunek

Japanese: 
それが定義です。
このオレンジにマゼンタの比率も
黄金比です。
さまざまな方法で
このような五芒星を見られます。
あるいは、正五角形の場合も
黄金比が見られます。
すべての角度が同じで、すべての辺が同じの
正五角形です。
正五角形の対角線のいずれかを取る場合
正五角形の対角線のいずれかを取る場合
ここでは、右上を引きこの斜めであれば
この緑の側の比率は
この対角線の比は
実際は頂点への線、
対角線のいずれかの比
また
この黄金比です。
いろいろなところに黄金比が見受けられます。
黄金比で面白いことを行うことができます。
黄金比で面白いことを行うことができます。
四角形があると
幅と高さの比が、黄金比では、
これを試してみてください。
この高さと
これは幅が
その比率とすると

Georgian: 
როგორც უნდა იყოს, განსაზღვრების მიხედვით.
ახლა: ამ მეწამულის შეფარდება ნარინჯისფერთან
ასევე ოქროს პროპორციაა.
ის ყველგანაა.
შეხედეთ ამ ხუთკუთხედს:
ჩვეულებრივი ხუთკუთხედია:
ყველა კუთხე და ყველა გვერდი ტოლია.
მოკლედ, ჩვეულებრივი ხუთკუთხედი.
თუ ნებისმიერ დიაგონალს აიღებთ
მაგალითად, ამ დიაგონალს
მისი შეფარდება
(მიაქციეთ ყურადღება, რომ დიაგონალს
და არა კუთხეების შემაერთებელ მხარეებს ვგულისხმობ)
ნებისმიერი დიაგონალის შეფარდება
ნებისმიერ მხარესთან, ისევ
ოქროს პროპორცია იქნება.
მოკლედ, ის ჩნდება ყველგან
და ბევრი საინტერესო რამის
გაკეთება შეგვიძლია ოქროს პროპორციით.
დავუშვათ, გვაქვს მართკუთხედი,
რომელშიც სიგანისა და სიგრძის შეფარდება
ოქროს პროპორიცაა,
დავხაზოთ
ვთქვათ, ეს არის მისი სიგანი
ეს სიგრძე
და შეფარდება

Korean: 
이것도 황금비입니다
주황색에 대한 진홍색의 비율
역시 황금비입니다
별모양에서
여러가지 황금비를 찾을 수 있습니다
이제 오각형을 생각합시다
정오각형입니다
모든 내각의 크기가 같고
모든 변의 길이가 같은 정오각형입니다
정오각형의 한 대각선을 그려봅시다
여기 이렇게 그린
대각선을 생각해보면
정오각형의 한 변의 길이에 대한
초록색 대각선의 비율
즉, 어떤 변이든간에
어떤 대각선이든간에
한 변에 대한 한 대각선의 비율
이것도 황금비입니다
계속 보여드리죠
황금비에 대한
흥미로운 것들이 많습니다
직사각형이 있습니다
세로에 대한 가로의 비율이 황금비인 직사각형입니다
그려보죠
이쪽이 세로
이쪽이 가로
그리고 비율

Italian: 
quindi, consente di chiamare questa A, permette di chiamare questa B
e il rapporto di A B è uguale a phi
è quel 1,61... così via e così via
e lasciatemi scorrere un po '
modo che sta per essere uguale a phi
modo che s, sapete forse che è qualcosa di
interessante da fare, forse è un bel rettangolo cercando
di qualche tipo
ma lasciate che mi metta fuori un quadrato qui
così mi permetta di separare questo in un quadrato di B di B
così questo è un B b piazza proprio qui
e poi, in realtà mi permetta di fare un po '
mi permetta di disegnare un po ' diverso
questo rettangolo, non è esattamente il modo vorrei disegnarlo
così il rapporto potrebbe sembrare un po ' come questo
così il rapporto tra la larghezza alla lunghezza
o la larghezza per l'altezza, sta per essere il rapporto aureo
così A over B sta per essere
tale rapporto aureo
e lasciatemi separato fuori una piccola piazza B di B
qui
una piccola piazza B di B
Questo ha larghezza B pure

Czech: 
Nazvěme toto A a toto nazveme B
a poměr A ku B je roven fí,
to je těch 1,61... a tak dále.
Posunu to trochu dolů.
A to se bude rovnat fí.
A to je, však víte, něco zajímavého,
možná to je hezky vypadající obdélník.
Ale udělejme sem ještě čtverec,
rozdělme to na čtverec o straně B krát B,
takže tohle je čtverec o rozměrech B krát B,
a pak, vlastně udělám to trochu...
Nakreslím to trochu jinak, tento obdélník
vypadá jinak, než jak bych chtěl.
tento obdélník, to není zrovna způsob,
jak bych to chtěl nakreslit.
Poměr by měl vypadat přibližně takto,
poměr délky a šířky, nebo délky a výšky,
bude zlatý řez.
A lomeno B bude ten zlatý řez.
Trochu oddělím čtverec B krát B, tady.
Malý čtverec B krát B.
Tohle má také délku B

Norwegian: 
Vi kaller denne for a,
og denne for b.
Forholdet mellom a og b
er lik pi.
Det er altså 1,61 og så videre.
La oss rulle litt ned.
Det er altså lik pi.
Her har vi altså
en flott rektangel.
La oss også se på en kvadrat.
La oss lage en kvadrat.
Dette er altså 
et b ganger b-kvadrat.
La oss gå tilbake
og tegne alt dette litt bedre.
Rektangelen er ikke helt som den skal være.
Rektangelen ser ca ut som dette.
Forholdet mellom lengden og bredden
er altså det gyldne snitt.
a over b er lik 
med det gyldne snitt.
Vi tegner en liten b ganger b-kvadrat her.
Dette er en kvadrat,
som er b ganger b.
Den har bredden og lengen b.
Denne avstanden

Spanish: 
llamemos a esto A, a eso B
y la proporción entre A y B es igual a phi
que es 1,61... y así sigue
y déjenme bajar un poco
así que eso va a ser igual a phi
entonces, quizás sabes que hay algo
interesante para hacer, este es un bonito rectángulo
de algún tipo
pero déjame poner un cuadrado aquí
y déjame separar esto en un cuadrado de B por B
este de aquí es un cuadrado de B por B
y entonces, déjame hacer un poco más
déjame dibujarlo de manera diferente
este rectángulo no es exactamente el modo en que quería dibujarlo
porque la proporción debería verse un poco más así
entonces la proporción entre el ancho y el largo
o entre el ancho y el alto, va a ser el número áureo
y entonces A sobre B va a ser
el número áureo
y déjame separar un pequeño cuadrado de B por B
por aquí
u pequeño cuadrado de B por B
tiene ancho B

Polish: 
nazwijmy to a, to b
stosunek a do b równy jest fi
czyli 1,61.. i tak dalej
przesunę się trochę wyżej
więc to będzie fi
może to jest coś ciekawego
do zrobienia, może to ładny prostokąt
w jakimś sensie
ale dorysuję tutaj kwadrat
podzielę to na kwadrat b na b
więc ten kwadrat tutaj
i potem...może to zrobię...
narysuję to inaczej
niedokładnie tak chciałem narysować
ten prostokąt
więc stosunek może wyglądać tak
więc stosunek szerokości do długości
lub szerokości do wysokości,
to będzie złoty podział
więc a przez b
to złoty podział
wydzielę teraz mały kwadrat o boku b
o tutaj
mały kwadrat b na b
więc to jest też b

English: 
And that the ratio--
So let's call this a.
Let's call this b.
And the ratio of a
to b is equal to phi.
That 1.61 so on and so forth.
Let me scroll down a little bit.
So that is going
to be equal to phi.
So that's something
interesting to do.
Maybe that's a nice looking
rectangle of some sort.
But let me put
out a square here.
So let me separate this
into a b by b square.
So this is a b by b
square right over here.
And then-- actually let me do
it a little bit, let me draw it
a little bit differently,
this rectangle actually
isn't exactly the way I
would want to draw it--
so the ratio might look
a little bit like this.
So the ratio of the
width to the length,
or the width to the height, is
going to be the golden ratio.
So a over b is going to
be that golden ratio.
And let me separate out a
little b by b square over here.
So this has width b as well.

Bulgarian: 
да означим това като а, а това b.
И отношението между a и b е фи,
то е 1,61.... и така нататък.
Нека да се преместя малко надолу,
това ще е равно на фи,
и така, може би това е нещо
интересно, може да е добре изглеждащ правоъгълник
от някакъв вид,
но нека да направя един квадрат ето тук.
Нека да направя тук квадрат със страна b,
ето това е квадрат със страна b,
и нека, всъщност нека
го нарисувам малко по-различно,
този правоъгълник не е точно както 
бих искал да го начертая,
така че отношението би изглеждало така.
Отношението между широчината и дължината
или широчината и височината, ще бъде златното сечение.
a/b ще бъде златното сечение.
И нека отделя квадрат със страна b
ето тук.
Малък квадрат със страни b на b.
Това също има широчина b.
Това разстояние ето тук

Korean: 
여기를 a, 여기를 b 라고 합시다
b에 대한 a의 비율은 φ와 같습니다
1.61........
조금 아래로 내려보죠
φ와 같아집니다
흥미로운 일을 해보죠
이런 직사각형에서 해볼 수 있습니다
여기에 다시 정사각형을 그립니다
가로,세로가 b가 되도록
나누어 봅니다
가로 b, 세로b
다시 정확하게 그려보죠
직사각형이 있고
비율은
높이에 대한 가로의 비율
세로에 대한 가로의 비율이 황금비가 되는
a/b 가
황금비가 되는 직사각형입니다
이것을 가로, 세로가 b가 되도록 나눕니다
이렇게하면
가로, 세로가 b
여기 가로가 b 이므로

Thai: 
แล้วลองเรียกว่า A, เรียกนี่ว่า B
แล้วอัตราส่วน A ต่อ B เท่ากับไฟ
นั่นคอื 1.61 -- ไปเรื่อยๆ
และขอผมเลื่อนลงมาหน่อย
แล้วนั่นจะเท่ากับ ไฟ
แล้วนั่น, คุณรู้ว่า บางที มันมีอะไรบางอย่าง
น่าสนใจให้ทำ, บางทีมันอาจเป็นสี่เหลี่ยมที่ดูดี
สักอย่าง
แต่ขอผมใส่สี่เหลี่ยมจัตุรัสไปตรงนี้
ขอผมแยกนี่จาก B ได้ B กำลังสอง
นี่ก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด B คูร B ตรงนี้
แล้ว, ขอผมทำหน่อย
ขอผมวาดมันให้ต่างออกไปหน่อย
สี่เหลี่ยมมุมฉากนี่, มันไม่ใช่วิธีที่ผมอยากวาดมัน
อัตราส่วนอาจเป็นแบบนี้
อัตราส่วนของความกว้างต่อความยาว
หรือความกว้างต่อความสูง, จะเท่ากับอัตราส่วนทองคำ
แล้ว A ส่วน B จะ
เป็นอัตราส่วนทองคำ
และขอผมแยกสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด B คูณ B เล็กๆ ออกมา
ตรงนี้
สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด B คูณ B เล็กๆ
นี่มีความกว้าง B เช่นกัน

Japanese: 
これはaとし、これをbとします。
この比率は φ と同じです。
1,61.などなどなどなどです。
いいですか？
φ に等しくなるようにします。
多分、何か興味深いことを知っています。
こそれは素敵な四角形です。
いいですか？
ここで正方形を
b によって正方形を分割しましょう。
これは正方形 b b です。
実際に
描いてみよう。
この四角形は、正確ではないですが、
このような比率は
その長さに幅の比率は
黄金比のはずです。
a/b は、
この黄金比です。
小さい b で正方形を分離させ
ここで
小さなbの正方形は
これは、同様の幅 bで

Danish: 
og vi kalder den her b.
Forholdet mellem a og b er lig med phi.
Det er altså 1,61 og så videre.
Lad os scrolle lidt ned.
Det er altså lig med phi.
Her har vi altså
et flot rektangel.
Lad os også tegne et kvadrat.
Lad os lave et kvadrat,
der er b gange b.
Det her er altså et b gange b-kvadrat.
Lad os lige gå tilbage
og tegne alt det her lidt bedre.
Rektanglet er ikke helt, som det skal være.
Rektanglet skal se nogenlunde sådan her ud.
Forholdet mellem længden og bredden
er altså det gyldne snit.
a over b er altså lig
med det gyldne snit.
Vi tegner et lille b gange b-kvadrat her.
.
Det her er et kvadrat, der er b gange b.
Det har bredden og længden b.

Turkish: 
Buna a, buna b diyelim.
a'nın b'ye oranı eşittir fi.
1,61.. vesaire.
-
-
Bu ilginç bir dikdörtgen olabilir.
-
-
Şimdi buraya bir kare çizelim.
b'ye b karesi.
-
-
Bunu biraz değişik çizeyim.
-
Oran böyle görünebilir.
Boyun ene oranı, altın oran olacak.
-
a bölü b altın oran olacak.
-
Şimdi şurada bir b'ye b karesi ayırayım.
-
b'ye b karesi.
Boyu da b olacak.

Slovak: 
označme si toto ako A a toto ako B,
že pomer A ku B sa rovná fí,
čo je 1,61... a tak ďalej.
Posuniem kus obrazovku.
Takže toto bude rovné fí.
Je to veľmi zaujímavé.
Vznikol nám takýto pekný obdĺžnik.
Poďme tu vytvoriť štvorec.
rozdeľme to na štvorec B krát B,
takže tu máme štvorec B krát B.
A teraz poďme,
poďme tento obdĺžnik nakresliť kus inak,
nechcel som ho nakresliť takto,
takže pomer by mohol vyzerať nejako takto,
pomer šírky ku dĺžke,
teda šírky ku výške, je zlatý pomer.
A lomeno B
je zlatý pomer.
Teraz si vytvoríme štvorec B krát B,
štvorec B krát B.
Toto je tiež šírka B,

Georgian: 
ვუწოდოთ ამას A და ამას B
მოკლედ A/B შეფარდება უდრის φ–ს
ანუ ის 1,61... რიცხვი არის.
ცოტა ჩამოვწიოთ ეკრანი.
მოკლედ, ეს უდრის φ–ს,
იმისთვის, რომ ეს ისედაც 
საინტერესო მართკუთხედი
უფრო საინტერესო გავხადოთ
ჩავხატოთ მასში კვადრატი
B ზომით
ანუ,ყველა მხარე B-ს ტოლი იქნება.
ერთი წუთი მოიცადეთ
თავიდან დავხაზავ
ეს მართკუთხედი ისე არ გამოიყურება, როგორც მჭირდება.
შეფარდება ცოტა განსხვავებული უნდა იყოს.
(სიგრძის და სიგანის შეფარდება)
ნამდვილად ოქროს პროპორცია უნდა იყოს.
A/B უნდა იყოს
ოქროს პროპორცია.
გამოვყოთ პატარა კვადრატი მხარით B
რომლის სიგანეც და სიგრძეც არის B.

Japanese: 
だからこの距離はここで、
a-bです。
bとa-b の正方形です。
いいですか？
bの正方形があります。
ここにあります。
bxbです。
その後残っていた部分を、a- b とbの長方形で、
これも
これも黄金比です。
試してみると
a-b to bの比率を調べることができます。
だから a-b とb の比率も
等しくなります。
1 ／a-b ／bです。
この逆数を取りました。
これに等しくなるようになります。
1／(a/b-1)
書き直します。
これは、
１／ φ、aとbの比は、
その定義で、φ から 1 を引いたものです。
φ −１は何ですか？

Slovak: 
a táto dĺžka má veľkosť
A mínus B.
Takže toto je štvorec B krát A mínus B.
Vznikli nám tu vlastne dva tvary:
máme tu štvorec B krát B,
toto je B krát B,
a potom tu máme obdĺžnik B krát A mínus B.
Nebolo by super keby aj toto bol
zlatý pomer?
Poďme to skúsiť.
Poďme zistiť pomer B ku A mínus B.
Pomer B ku A mínus B,
sa rovná
1 lomeno A mínus B ku B.
Len som prevrátil tento zlomok,
a to sa bude rovnať
1 lomeno A lomeno B mínus 1.
Áno? Len som rozložil tento zlomok.
A to sa rovná 1 lomeno
fí, pretože podľa definície pomer A ku B sa rovná fí,
takže fí mínus 1,
ale čomu sa rovná fí mínus 1?

Thai: 
แล้วระยะนี่ตรงนี้
จะเท่ากับ A ลบ B
ทีนี้ มันคือสี่เหลี่ยมขนาด B คูณ A ลบ B
แล้วเรามี -- ที่จริงผมควรบอกว่า
เรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด B คูณ B
ตรงนี้
นี่คือ B คูณ B
แล้วเราจะเหลือแค่สี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด B คูณ A ลบ B
ทีนี้มันจะดีมากถ้านี่เป็น
นี่เป็นอัตราส่วนทองด้วยหรือเปล่า?
งั้นลองทำดู
ลองหาอัตราส่วนของ B ต่อ A ลบ B
อัตราส่วนของ B ต่อ A ลบ B
ทีนี้ มันจะเท่ากับ
1 ส่วนอัตราส่วนของ A ลบ B ต่อ B
ผมแค่หาส่วนกลับของเจ้านี่ตรงนี้
และนี่ก็จะเท่ากับ
1 ส่วน A ส่วน B ลบ 1
ใช่แล้ว, ผมแค่เขียนนี่ตรงนี้ใหม่
และนั่นจะเท่ากับ 1 ส่วน
ไฟ, อัตราส่วนของ A ต่อ B เราบอกว่าตามนิยามแล้ว คือ ไฟ
ไฟ ลบ 1
แล้ว ไฟ ลบ 1 คืออะไร?

English: 
And so this distance right over
here is going to be a minus b.
So now it is a b by
a minus b square.
Actually, I should say,
we have a b by b square,
right over here.
This is b by b.
And then we're left with a
b by a minus b rectangle.
Now wouldn't it be cool if
this was also the golden ratio?
And so let's try it out.
Let's find the ratio
of b to a minus b.
So the ratio of b to a minus b.
Well, that's going to be equal
to 1 over the ratio of a minus
b to b.
I just took the reciprocal
of this right over here.
And this is just going to
be equal to 1 over a over b.
Let me write this,
a over b minus 1.
I just rewrote this right there.
And that's just going to
be equal to 1 over phi.
The ratio of a to b, we said,
by definition was phi minus 1.
But what is phi minus 1?
Well phi minus 1 is 1 over phi.

Georgian: 
და, აი, ეს მანძილი იქნება
A მინუს B
ამ მართკუთხედის ზომებია B და A მინუს B
გავიმეოროთ:
გვაქვს კვადრატი მხარით B
აი, აქ
ესაა ჩვენი კვადრატი~
და მოგვრჩა მართკუთხედი მხარეებით
B და A მინუს B
და ხომ ძალიან მაგარი იქნებოდა, ეს ასევე
ოქროს პროპორცია რომ ყოფილიყო?
აბა, ვნახოთ.
ვნახოთ B და A მინუს B–ს შეფარდება.
B და A მინუს B–ს შეფარდება
იქნება
1 გაყოფილი A მინუს B და B–ს შეფარდება.
(უბრალოდ შებრუნებული ავიღე)
ეს კი, თავის მხრივ უდრის
1 გაყოფილი A გაყოფილი B მინუს 1–ზე.
(ახლა უბრალოდ ეს გადავწერე)
ეს კი უდრის 1–ს გაყოფილი
φ, A/B შეფარდება ხომ დათქმისამებრ არის φ
φ მინუს 1–ს.
მაგრამ, რა არის φ მინუს 1?

Polish: 
i ta odległość tutaj
to będzie a minus b
więc teraz to jest b na a-b
czyli mamy teraz
mamy kwadrat o boku b
tutaj
to jest b na b
i pozostaje nam prostokąt b na a-b
nie byłoby fajnie, gdyby też to
było złotym podziałem?
spróbujmy
znajdźmy stosunek b do a-b
więc stosunek b do a-b
to będzie równe
1 przez stosunek a-b do b
po prostu wziąłem odwrotność tego tutaj
i to będzie równe
1 przez a przez b minus 1
przepisałem to coś tutaj
i to jest po prostu
1 przez fi, stosunek a do b to z definicji fi
fi minus 1
ale co to jest fi minus 1?

Italian: 
e così questa distanza a destra qui
sta per essere A meno B
così ora è un B di A meno B quadrato
così abbiamo a.... in realtà dovrei dire
abbiamo un quadrato B di B
destra sopra
Questo è B di B
e poi sono stati lasciati con un B da un rettangolo di B negativo
ora non sarebbe cool se questo è anche
Questo è stato anche il rapporto aureo?
e così lascia provare
permette di trovare il rapporto di B di A meno B
Così il rapporto di B di A meno B
bene che sta per essere uguale a
1 sopra il rapporto di un minus B a B
Ho appena preso il reciproco di questo diritto qui
e questo è solo andare a essere uguale a
1 over A corso B-1
a destra, ho appena riscritto questo proprio lì
e solo che sta per essere uguale a 1 sopra
Phi, il rapporto di A B abbiamo detto per definizione era phi
Phi-1
ma che cosa è phi meno 1?

Danish: 
Den her afstand
er altså a minus b.
Nu har vi altså et b gange a minus b-rektangel.
.
Vi har et b gange b-
kvadrat her.
Det her er b gange b.
Her har vi et b gange a minus b-rektangel tilbage.
Ville det ikke være fedt,
hvis det her forhold også var det gyldne snit?
Lad os finde ud af, om det er sådan.
Lad os finde forholdet mellem b og a minus b.
Vi har altså forholdet mellem b og a minus b.
Det er lig med
1 over forholdet mellem a minus b og b.
Vi har taget den reciprokke af det her,
og det her er lig med
1 over a over b minus 1.
Vi har altså omskrevet det her.
Det vil være lig med 1 over phi,
fordi forholdet mellem a og b er phi
minus 1.
Hvad er phi minus 1?

Norwegian: 
er altså a minus b.
Nå har vi altså et b ganger a minus b-rektangel.
Vi har b ganger b- kvadrat her.
Dette er b ganger b.
Her har vi et b ganger a
minus b-rektangel igjen.
Ville det ikke vært kult
hvis dette forholdet også var det gyldne snitt?
La oss finne ut av
om det er det.
La oss finne forholdet
mellom b og a minus b.
Vi har altså forholdet
mellom b og a minus b.
Det er lik
1 over forholdet mellom
a minus b og b.
Vi har tatt denne resiprokken av denne,
og dette er lik
1 over a over b minus 1.
Vi har altså skrevet det litt om.
Det vil være lik 1 over pi,
fordi forholdet mellom a og b er lik pi
minus 1.
Hva er pi minus 1?
Vi vet at pi minus 1 er 1 over pi.

Bulgarian: 
ще бъде а – b,
и това е b на (a – b) квадрат
и имаме... всъщност трябва да кажа
имаме квадрат b на b ето тук,
това е b на b,
и остава правоъгълник със страни
b на (a – b).
Не би ли било яко, ако това
също беше златното сечение?
Нека пробваме.
Да намерим отношението на b към (a – b).
Отношението на b към (a – b)
ще бъде равно на
1 върху отношението (a – b) към b.
Просто взех реципрочното тук
и това ще даде
1 върху а/b минус 1.
Така го представих ето тук.
И това ще е равно на 1 върху фи,
отношението на а към b по дефиниция е фи,
фи минус 1
Но какво е фи минус 1?
Е, фи минус 1 е 1 върху фи!

Spanish: 
y la distancia de aquí
va a ser A menos B
asi que ahora tenemos este cuadrado de B por A - B
entonces tenemos... en realidad debría decir
tenemos un cuadrado de B por B
por aquí
éste es B por B
y luego está el rectángulo de B por a menos B
ahora, no sería genial si también
aquí estuviese el número áureo?
vamos a intentarlo
vamos a buscar la proporción entre B y A menos B
La proporción entre B y A menos B
bueno, va a ser igual a
1 sobre la proporción entre B y A menos B
parece recíproco a esto de aquí
y va a ser igual a
1 sobre A sobre B menos 1
bien, solo lo reescribo por aqui
y esto va a ser igual a 1 sobre
phi, la proporción entre A y B dijimos por definición que era phi
phi menos 1
pero qué es phi menos 1?

Turkish: 
Ve buradaki uzaklık, a eksi b olur.
-
Bu dikdörtgen de b'ye a eksi b boyutlarında olur.
-
Burada bir b'ye b karesi var.
-
Bu, b'ye b.
Geriye, b'ye a eksi b dikdörtgeni kalır.
Bu oran da altın oran olsa, süper olmaz mıydı?
-
O zaman deneyelim bakalım.
Önce, b'nin a eksi b'ye oranını bulalım.
b'nin a eksi b'ye oranı eşittir 1 bölü a eksi b'nin b'ye oranı.
-
-
Sadece bunun çarpmaya göre tersini aldım.
Bu da eşittir 1 bölü a bölü b eksi 1.
-
Evet, bunu tekrardan yazmış oldum.
a bölü b oranını fi olarak tanımladığım için, bu da 1 bölü fi eksi 1 olur.
-
-
Peki, fi eksi 1 nedir?

Czech: 
a tato vzdálenost bude A minus B.
Takže tohle je teď B krát (A minus B)
máme... vlastně bych měl říct,
že máme čtverec B krát B, přímo zde.
Toto je B krát B,
a pak zbývá obdélník 
o stranách B krát (A minus B).
Nebylo by parádní, kdyby toto také...
kdyby tohle byl také zlatý řez?
Pojďme to vyzkoušet.
Najděme poměr B ku (A minus B).
Takže poměr B ku (A minus B),
Takže to se bude rovnat
1 lomeno poměr (A minus B) ku B.
Vezmu pouze převrácenou hodnotu tohoto,
a to se bude rovnat
1 lomeno ((A lomeno B) minus 1).
Dobře, pouze jsem tohle přepsal,
a to se bude rovnat 1 lomeno fí,
poměr A ku B, jak jsme řekli
podle definice, bylo fí minus 1.
ale co je fí minus 1?

Korean: 
이쪽의 남은 길이는
a-b 가 됩니다
한 변은 b, 다른 한 변은 a-b
왼쪽 사각형은
가로, 세로가 b인 정사각형이고
오른쪽 사각형은
b 와 a-b 인 변을 갖는 직사각형입니다
이 직사각형에서도 황금비를 찾을 수 있다면
멋지겠죠?
해봅시다
a-b 에 대한 b의 비율을 계산해 봅시다
b/a-b 는
역수로 나타내면
1/ {(a-b)/b}
이것을 따로 나타내면
1/{(a/b)-1}
다시 써 보면
a/b 는 φ 이므로
φ 로 바꾸어 써보면
φ-1
φ-1 은 뭐였었죠?

Bulgarian: 
Супер яко число!
Това е равно на 1 върху
1 върху 1 върху фи,
което отново е равно на фи.
Отново, отношението в този малък правоъгълник
на височината към широчината му,
е за пореден път златното сечение,
това число, което продължава да се появява.
И тук можем да направим същото нещо отново
можем да отделим един квадрат
със страни (a – b) на (a – b).
Ето така.
И имаме още един "Златен правоъгълник",
както понякога се нарича,
и можем да отделим още един квадрат,
и отново се получава златен правоъгълник.
Можем да отделим това като квадрат
и пак получаваме златен правоъгълник.
Всъщност нека го направя така,
ще бъде по-добре.
Нека отделя, нека сложа квадрата тук горе,
и така това е квадрат със страни (a – b) на (a – b),
и тук имаме още един златен правоъгълник.
Мога да сложа квадрат тук и ще имаме още един златен правоъгълник,
в който можем да сложим друг квадрат ето тук

Turkish: 
fi eksi 1 eşittir 1 bölü fi!
Bu süper sayı.
Yani bu eşittir, 1 bölü 1 bölü fi, yani sadece fi.
-
-
Bu küçük dikdörtgenin eninin boyuna oranını da altın oran olarak bulmuş olduk.
-
-
Bu sayı yine karşımıza çıktı.
Aynı şeyi tekrardan yapabiliriz.
Bundan bu a eksi b'ye a eksi b karesi ayırabiliriz.
Şöyle.
Ve yine bir "Altın Dikdörtgen" kalır.
-
Ve tekrar bir kare ayırdığımızda, bir başka altın dikdörtgen oluşur.
-
-
Bundan da kare ayırırız ve başka bir altın dikdörtgen.
-
Aslında, gösterirsem daha iyi olacak.
-
Kareyi burada ayırıyorum.
Bu bir a eksi b'ye a eksi b karesi.
Ve burada başka bir altın dikdörtgen kalıyor.
Buraya bir kare daha koyabilirim ve bir başka altın dikdörtgen oluşur.
Sonra başka bir kare ve başka bir altın dikdörtgen...

Spanish: 
Bueno, phi menos 1 es 1 sobre phi!
Es un número genial
Entonces es igual a 1 sobre
1 sobre 1 sobre phi
que una vez más es igual a phi
Y de nuevo, la proporción del rectángulo pequeño
entre su altura y su ancho
es, una vez más, el número áureo
este número que sigue apareciendo
y podemos hacer lo mismo otra vez
podemos separar éste en un cuadrado (A - B) * (A - B)
Justo así
y así vamos a tener otro "Rectángulo Áureo"
a veces lo llaman así, justo ahí
y entonces podemos separarlo en
un cuadrado
y otro rectángulo áureo
y ése podemos separarlo en un cuadrado
y luego otro rectángulo áureo
realmente, déjenme hacerlo así
va a ser mejor
permíteme, prtmítemehacer el cuadrado aquí
es un cuadrado de A menos B por A menos B
y ahí tenemos otro rectángulo áureo, justo ahí
podría poner un cuadrado ahí dentro, tendríamos otro rectángulo áureo
en el que podríamos poner otro cuadrado

Slovak: 
Fí mínus 1 je 1 lomeno fí!
Je to toto krásne číslo.
Takže sa to rovná 1 lomeno
1 lomeno fí,
čo sa znova rovná fí.
Takže pomer tohto menšieho obdĺžnika,
jeho dĺžky ku jeho šírke
je znova zlatý pomer.
Znova nám vyšlo toto číslo.
A môžeme znova urobiť to isté.
Môžeme tento obdĺžnik rozdeliť na štvorec A mínus B krát A mínus B,
a na tento "Zlatý Obdĺžnik".
Niekedy sa tak zvykne nazývať.
A ten môžeme zase rozdeliť na
štvorec
a ďalší zlatý obdĺžnik.
Ten môžeme znova rozdeliť na štvorec
a ďalší zlatý obdĺžnik.
Vlastne, urobme to takto,
bude to lepšie,
keď štvorec dáme sem hore.
Takže toto je štvorec A mínus B krát A mínus B.
A tu nám vznikol zlatý obdĺžnik.
Tu dáme ďalší štvorec, a ďalší zlatý obdĺžnik.
Máme ďalší štvorec, a ďalší zlatý obdĺžnik.

Polish: 
fi minus 1 to 1 przez fi!
to ta fajna liczba
więc to jest równe
1 przez 1 przez fi
co jest po prostu równe fi
a więc znowu, stosunek w tym
mniejszym prostokącie
jego wysokości do szerokości
to znowu złoty podział
ta liczba cały czas się pojawia
i to samo możemy zrobić znowu
możemy podzielić to na kwadrat a-b na a-b
o tak
i dostaniemy kolejny "Złoty Prostokąt"
czasami tak się go nazywa
który możemy podzielić na
kwadrat
i następny złoty prostokąt
i jego też możemy podzielić na kwadrat
i na złoty prostokąt
może zrobię to tak
tak będzie lepiej
więc wydzielę kwadrat tutaj
to jest a-b na a-b
i mamy kolejny złoty prostokąt tutaj
mogę w nim zrobić kwadrat,
dostaniemy kolejny złoty prostokąt
potem zrobimy kolejny kwadrat

Georgian: 
φ - 1, როგორ უკვე ვნახეთ არის 1/φ!
მოკლედ, ეს უდრის 1–ს
გაყოფილ 1 გაყოფილი φ–ზე,
რაც, თავის მხრივ, უდრის φ–ს!
დავამტკიცეთ, რომ ამ პატარა მართკუთხედის 
შეფარდებაც
მისი სიგანისა და სიგრძის შეფარდება
ისევ და ისევ ოქროს პროპორციაა.
ეს პროპორცია არ ქრება.
ჩვენ შეგვიძლია იგივე გავაკეთოთ ახლა:
გამოვყოთ აქ კვადრატი მხარით A მინუს B
აი, ასე
და გვექნება კიდევ ერთი "ოქროს მართკუთხედი",
როგორც უწოდებენ ხოლმე.
შეგვიძლია აქაც გამოვყოთ
კვადრატი
და მივიღოთ სხვა ოქროს მართკუთხედი,
მერე მასშიც გამოვყოთ კვადრატი
და კიდევ სხვა ოქროს მართკუთხედი მივიღოთ.
მოდი, თავიდან გავაკეთოთ, სხვანაირად
კვადრატს გავაკეთებ აქ
ანუ, ეს არიც ჩვენი კვადრატი მხარით A-B
და ოქროს მართკუთხედი გვექნება, აი, აქ
მერე მასშიც გამოვყოფთ კვადრატს, და მივიღებთ
სხვა ოქროს მართკუთხედს
რომელშიც ასევე გამოვყოფთ კვადრატს

Japanese: 
φ −１は１／φ です ！
この奇妙な数です。
これは、１／φ です。
いいですか？
もう一度φ に等しいです。
だから、この小さい四角形の比率も
それのそれの幅の高さが
黄金比です。
この数が続き、
もう一度同じことを行うことができます。
a-bの正方形 を分割できます。
このようになります。
そして、また「黄金の四角形」です。
ここでは、
これを
正方形に分割していけます。
黄金矩形です。
正方形に分離することができます、
もう黄金矩形と
実際には、やって見ましょう。
それが良くなります。
四方形をやってみましょう。
これはa-bの正方形 です。
そして、ここにもう一つの黄金の四角形があり、
もう一つの黄金の四角形は、そこにあります。
また別の正方形に置くことができます。

English: 
It's this cool number.
So it's equal to 1 over 1 over
1 over phi, which is once again,
just equal to phi.
So once again, the ratio
of this smaller rectangle,
of its height to its
width, is once again
this golden ratio, this
number that keeps showing up.
And then we could do
the same thing again.
We could separate this into an
a minus b by a minus b square.
Just like that.
And then we'll have
another golden rectangle,
sometimes it's called,
right over there.
And then we could separate
that into a square
and another golden rectangle.
Then we could separate
that into a square and then
another golden rectangle.
Then another golden rectangle.
Actually let me do it like this.
This would be better.
So let me separate.
Let me do the square up here.
So this is an a minus
b by a minus b square
and then we have another golden
rectangle right over here.
I could put a square
right in there.
Then we'll have another
golden rectangle.
Then we could put another
square right over there,

Danish: 
Vi ved, at phi minus 1 er 1 over phi.
.
Det er altså lig med 1 over 1
over phi.
Det er igen lig med phi.
Vi har altså, at forholdet mellem det her mindre rektangels
højde og bredde
er lig med det gyldne snit.
Det her tal viser sig igen og igen.
Vi kan gøre det her igen.
Vi deler det her op, så vi får et a minus b gange a minus b-kvadrat.
Sådan.
Vi har nu igen et gyldent rektangel.
Det er det her.
Det kan vi også dele op i et kvadrat
og endnu et gyldent rektangel.
.
Det nye rektangel kan vi også dele op
i et kvadrat og endnu et gyldent rektangel.
Lad os lige lave lidt om.
Så bliver det bedre.
Vi tegner kvadratet her.
Det her er et a minus b gange a minus b-kvadrat.
Her har vi et nyt gyldent rektangel.
Vi kan lave et kvadrat her, og så har vi endnu et gyldent rektangel her.
Vi kan nu lave endnu et kvadrat her,

Thai: 
ทีนี้ ไฟ ลบ 1 คือ 1 ส่วนไฟ!
มันคือเลขที่เจ๋งมาก
นี่ก็เท่ากับ 1 ส่วน
1 ส่วน 1 ส่วนไฟ
ซึ่งก็เท่ากับ ไฟ เหมือนเดิม
เหมือนเดิม, อัตราส่วนของสี่เหลี่ยมอันเล็ก
ของความสูงต่อความกว้าง
เหมือนเดิม, คืออัตราส่วนทองคำ
เลขนี้จะยังปรากฏต่อไป
แล้วเราก็ทำเหมือนเดิมอีก
เราสามารถแบ่งมันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด A ลบ B คูณ A ลบ B
แบบนั้น
แล้วเราจะได้ "สี่เหลี่ยมทองคำ" อีกอันหนึ่ง
บางครั้งมันเรียกอย่างนั้น, ตรงนั้น
แล้วเราก็สามารถแยกมันเป็น
สี่เหลี่ยมจัตุรัส
และสี่เหลี่ยมทองคำอีกตัว
แล้วเราก็แยกมันอีกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
แล้วก็สี่เหลี่ยมทองคำอีกตัวหนึ่ง
ที่จริง, ขอผมทำแบบนี้นะ
มันดีกว่า
ขอผมแยก, ขอผมสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนนี้
นี่ก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด A ลบ B คูณ A ลบ B
แล้วเรามีสี่เหลี่ยมทองคำอีกตัวตรงนี้
ผมสามารถใส่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงนี้ได้, เราก็ได้สี่เหลี่ยมทองคำอีกตัว
แล้วเราก็ใส่สี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกตัวตรงนี้

Korean: 
φ-1 은 1/φ
신기한 수입니다
1/(1/φ)
이렇게 바꾸어보면
결국 φ 가 됩니다
이 작은 직사각형에서도
가로에 대한 높이의 비율이
황금비가 됩니다
이 수는 계속 찾을 수 있습니다
같은 방법으로
a-b 인 정사각형으로 나누면
또 다시
황금 직사각형이 만들어지죠
황금직사각형이라는 말을 사용합니다
직사각형을
정사각형으로 나누었을 때
또 다른 황금 직사각형이 만들어지면
또 다시 정사각형을 나누었을 때
또 황금직사각형이 만들지고
이쪽에다 그리는게 더 낫겠군요
나누어서 정사각형을 만들고
a-b 인 정사각형을 만들고
황금직사각형이 생기고
정사각형을 만들면 황금직사각형이 또 만들어집니다
또 다시 반복

Italian: 
Ben phi-1 è 1 sopra phi!
È questo numero cool
Quindi questo è uguale a 1 sopra
1 sopra 1 sopra phi
che è ancora una volta solo uguale a phi
Così ancora una volta, il rapporto di questo rettangolo più piccolo
di esso è l'altezza e la larghezza
è ancora una volta, questa dorata raito
Questo numero che mantiene mostrando
e poi possiamo fare la stessa cosa ancora
possiamo dividere questo in una A meno B di A meno B quadrato
Proprio così
e allora avremo un altro "Rettangolo aureo"
a volte è denominato, proprio laggiù
e poi possiamo dividere che in a
una piazza
e un altro rettangolo aureo
e possiamo dividere in un quadrato
e poi un altro rettangolo aureo
in realtà, mi permetta di farlo come questo
sarà meglio
così mi permetta di separare, mi permetta di fare la piazza fino a qui
quindi questo è un A meno B di A meno B quadrato
e poi abbiamo un altro rettangolo aureo destra sopra
Potrei mettere una piazza proprio lì, avremo un altro rettangolo aureo
che possiamo mettere in un altro quadrato destra laggiù

Czech: 
No, fí minus 1 je 1 lomeno fí!
Je to to naše parádní číslo.
Toto je rovno 1 lomeno (1 lomeno fí),
což je opět rovno fí.
Ještě jednou, poměr
tohoto menšího obdélníku,
jeho výšky ku šířce,
je opět zlatý řez,
číslo, které se pořád objevuje.
A pak to můžeme udělat znovu,
můžeme toto rozdělit na čtverec
( A minus B) krát (A minus B),
přesně takto,
a máme další "zlatý obdélník".
Někdy se mu tak říká.
A pak to můžeme rozdělit na čtverec
a na další zlatý obdélník.
A to můžeme rozdělit na čtverec
a další zlatý obdélník.
Vlastně, udělám to takto,
to bude lepší.
Rozdělím... udělám čtverec tady.
Toto je čtverec (A minus B) 
krát (A minus B)
a pak tady máme další zlatý obdélník.
Můžu dát čtverec přímo sem
a budeme mít další zlatý obdélník.
Pak sem můžeme dát další čtverec,

Norwegian: 
Det er altså lik 1 over 1 over pi.
Det er igjen lik pi.
Vi har at forholdet
mellom denne mindre rektangelens
høyde og bredde
er lik det gyldne snitt.
Dette tallet viser seg igjen og igjen.
Vi deler det opp,
så vi får et a minus b
ganger a minus b-kvadrat.
Vi har igjen et gyldent rektangel.
Det kan vi også dele opp i et kvadrat,
og enda et gyldent rektangel.
Det nye rektangelet kan vi også dele opp
i et kvadrat 
og enda et gyldent rektangel.
La oss gjøre det om litt.
Så det blir bedre.
Vi tegner kvadraten her.
Dette er et a minus b
ganger a minus b-kvadrat.
Her har vi et nyt gyldent rektangel.
Vi kan lage et kvadrat her,
og så har vi enda et gyldent rektangel.

Thai: 
คุณก็จะได้สี่เหลี่ยมทองคำอีกตัว -- ผมว่าคุณคง
เห็นว่านี่จะไปยังไงต่อ
สี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกตัว และสี่เหลี่ยมทองคำอีกตัว
ซึ่งตัวมันเองเริ่มสร้างรูปแบบเจ๋งๆ ที่เราลงไป
วนเข้าไปข้างใน ข้างใน และข้างใน
แล้วถ้าเราวาดส่วนโค้งตรงนี้
บางสิ่งที่เจ๋งมากก็เกิดขึ้น
ถ้าเรามีส่วนโค้งที่ลากพวกนี้ไป
เราได้บางอย่าง, รูปบบที่คุณอาจเห็น
หลายครั้งมาก่อน
และรูปแบบนั้นไม่ได้ต่างจาก
สิ่งที่คุณในของอย่างเช่น
เปลือกหอยทาก
และมันปรากฏไปทั่วในธรรมชาติ
และมันเข้าใจได้
เพราะวิธีที่เซลล์สร้างตัวเอง
มันก็มีเหตุผลที่จะเหมือนกัน
ในระดับต่างๆ, และอัตราส่วนจากสเกลหนึ่ง
ไปยังสเกลต่อไป, ก็น่าจะเหมือนกับ
อัตราส่วนที่ตั้งมา
เจ้านี่ตรงนี้, มันปรากฏในงานศิลปะ
งานวาดของลีโอนาร์โด ดา วินชีมากมาย
เขาไม่เคย, ไม่เคยบอกตรงๆ แต่มันมี
อัตราส่วนที่น่าสนใจในนั้น
แต่ซาลวาดอร์ ดาลี, ภาพวาดนี่ตรงนี้
"พิธีศักดิ์สิทธิ์แห่งอาหารค่ำมื้อสุดท้าย"
เขาได้ใช้อัตราส่วนทองคำอย่างชัดเจน
โดยอัตราส่วนของความกว้างต่อความสูง
เท่ากับอัตราส่วนทองคำ

Norwegian: 
Forhåpentligvis kan man nå se mønsteret.
Enda en kvadrat,
og enda en gylden rektangel.
Dette gir et flott utseende,
og vi kan fortsette med å kjøre rundt i ring.
Vi kan prøve å tegne en bue her.
Det er også kult.
Denne buen følger de gyldne rektangelene,
og det mønsteret kan noen kanskje gjenkjenne.
Det er et mønster,
som ligner det
som man kan se på Nautils hus.
Det er en snegle,
som bor i havet.
Vi kan finne det mønsteret
mange stedet i naturen.
Og det gir mye mening
for når cellene konstruerer seg selv,
blir disse like
med forskjellige målestokkforhold.
Det er altså et forhold,
som alltid er det samme
mellom disse delene.
Vi ser også ofte det gyldne snitt i kunst.
Man kan se det i mange av 
Leonardo da Vincis malerier.
Han sa aldri noe om det selv,
men det er mange interessante
forhold i maleriene hans.
Dette er et Salvador Dalí maleri.
Det heter "The sacrement og the last supper",
og det viser den siste nattverd.
I det maleriet har Dalí brukt det gyldne snitt.
Forholdet mellom bredden og høyden
er altså det gyldne snitt.
Dette er altså et gyldent rektangel.

Japanese: 
何が起こったいるか
分かりますか？
別の四角形と四角形の黄金
クールなデザインを作成できます。
旋回の種類です。
ここで円弧を描画する場合、
何かが起こります。
これらの物に沿った弧がある場合
パターンがあります。
以前に見たことがあるでしょう。
このパターンは、オウムガイの殻のパターンと
あまり
違いません。
すべての自然の中で見られます。
理にかなっています。
細胞は自分自身を構築する必要があります。
同じように理にかなっています。
別のスケールで 、1 つの尺度の比を
次と同じにする
構成比です。
これは芸術でも見られます。
レオナルド ・ ダ ・ ヴィンチの絵の多くに見られます。
明示的ではないですが、
この面白いの比率が使用されています。
この絵はサルバドール ・ ダリの
「最後の晩餐の sacrement」で
ここでは、明示的に黄金比の使用されています。
だから、幅と高さの実際の比率が
黄金比は

Italian: 
Hai un altro rettangolo d'oro...Penso che si vede
erano che questo sta
un altro quadrato e un altro rettangolo aureo
Che di per sé inizia a creare un design fresco che possiamo mantenere
tipo di circonduzione in e in e in
e poi se vogliamo realmente disegnare un arco qui
succede qualcosa tipo di fresco
Se abbiamo un arco che ripercorre un pò queste cose fuori
Abbiamo qualcosa, un modello che si potrebbe avere visto
molte volte prima di
e quel modello non sembra troppo diverso da
che cosa si potrebbe vedere in qualcosa di simile
una conchiglia nautilus
e si presenta in tutto il luogo in natura
e questo ha un senso
perché solo le cellule modo costruire se stessi
fa un pò senso a essere lo stesso
a scale diverse e il rapporto da una scala
per il prossimo è forse la stessa
un pò i rapporti costitutivi
Questo qui e si rivela in tutto arte
un sacco di dipinti di Leonardo da Vinci
Egli mai, Beh, non esplicitamente dichiarato, ma c'è un sacco di
rapporti di interesing in loro.
Ma Salvador Dali, questo dipinto proprio qui
"Il sacramento dell'ultima cena"
esplicitamente ha usato il rapporto aureo
Così il rapporto effettivo della larghezza all'altezza
è la sezione aurea

Spanish: 
y tienes otro rectángulo áureo... creo que ves
a dónde va esto
otro cuadrado y otro rectángulo áureo
Y empieza a crear un diseño muy bueno que podemos seguir
envolviéndose sobre sí mismo una y otra vez.
y si dibujamos un arco aquí
algo genial pasa
si tenemos un arco trazados a través de éstas
Conseguimos algo, un patrón que ya debes haber visto
muchas veces antes
y ése patrón no luce muy diferente
a lo que puedes encontrar en cosas como
el caparazón de un nautilus
y aparece en toda la naturaleza
y eso tiene sentido
simplemente por la forma en que la células se construyen a sí mismas
tiene sentido que sea igual
a diferentes escalas, y la proporción de una escala
a la siguiente puede ser la misma que
en cierto modo una proporción constitutiva.
Esto de aquí, y aparece en todo el arte
un montón en las pinturas de Da Vinci
Él nunca, bueno, no explícitamente, lo planteó, pero hay un montón
de proporciones ahí.
Pero Salvador Dalí, esta pintura de aquí
"El Sacramento de la Última Cena"
explícitamente usó el número áureo
Por lo que la proporción entre el ancho y el alto
es e número áureo

Georgian: 
და მივიღებთ ახალ ოქროს მართკუთხედს..
ვფიქრობ, ხვდებით, 
როგორც გაგრძელდება ეს.
ახალი კვადრატი, ახალი ოქროს მართკუთხედი
რაც თავისთავად ქმნის მაგარ ფორმას, რომელიც
თითქოს დაუსრულებლად ტრიალდება;
და თუ მასში ჩავხატავთ რკალს,
ძალიან მაგარი რაღაც მოხდება
თუ ჩავხატავთ რკალს, რომელიც მიყვება ამათ 
მოძრაობას
მივიღებთ ისეთ ფორმას, რომელიც უკვე
არაერთხელ გინახავთ,
ფორმას, რომელიც არ განსხვავდება
მაგალითად,
ლოკოკინის ნიჟარისგან.
ეს შეფარდება ყველგან გვხვდება ბუნებაში
რაც არაა აზრს მოკლებული,
იმიტომ რომ თუნდაც უჯრედების კონსტრუქცია,
ალბათ, უნდა იყოს ერთი და იგივე
სხვადასხვა დონეზე შეფარდება
მაინც ერთი და იგივე უნდა იყოს.
რაღაც მუდმივი შეფარდების მსგავსი.
აქაც – და ეს ხშირად ხდება ხელოვნებაში,
მაგალითად, დავინჩის ბევრი ტილოში,
იმისდა მიუხედავად, რომ ღიად არასდროს უთქვამს,
ძალიან საინტერესო პროპორციებია.
სალვადორ დალიმ კი ამ ნახატში
"საიდუმლო სერობა"
განზრახ გამოიყენა ოქროს პროპორცია;
სიგანისა და სიგრძის შეფარდება
ოქროს პროპორციაა,

Turkish: 
Bunun nereye varacağını görüyorsunuz.
-
Başka kare ve altın dikdörtgen.
Bu da çok güzel bir tasarım oluşturur.
-
Buraya bir yay çizdiğimizde, süper bir şey görürüz.
-
Bu şekillerin izini çizen bir yay çizdiğimizde, daha önceden görmüş olabileceğiniz bir örüntü buluruz.
-
-
Ve bu örüntü, deniz kabuğunda görebileceğiniz bu şekle çok benzer.
-
-
Doğa da bu örüntüye çok rastlanır.
Bu mantıklıdır, çünkü hücrelerin bu şekilde ölçekli oluşması gibi bir durum söz konusudur.
-
-
-
-
-
Bu oran sanatta da karşımıza çıkar, özellikle Leonardo da Vinci'nin tablolarında.
-
Da Vinci bu konudan açıkça söz etmese de, tablolarında ilginç oranlar bulunmaktadır.
-
Ancak, Salvador Dali, buradaki "Son Yemek Ayini"' adlı tablosunda açık olarak altın oranı kullanmıştır.
-
-
Boyun ene oranı, altın orandır.
-

Polish: 
i dostaniemy jeszcze jeden złoty prostokąt
chyba widać dokąd
zmierzamy, kolejny kwadrat i złoty prostokąt
co samo w sobie zaczyna tworzyć
fajny kształt, który możemy
zawijać i zawijać
i jeśli tu narysujemy łuk
coś bardzo fajnego się dzieje
jeśli mam łuk idący o tak
dostajemy wzór który mogliście już widzieć
wiele razy wcześniej
i nie różni się on bardzo od czegoś, co może
już kiedyś widzieliście
skorupa łodzika
i to pojawia się wszędzie w naturze
i ma to sens
ponieważ sposób w jaki tworzą się komórki
ma sens by taki być
w różnych skalach
i stosunek jeden skali
do drugiej może jest taki sam jak
jakiś ustalony podział
O to tutaj, to się pokazuje w wielu
miejscach w sztuce
wiele obrazów Leonardo da Vinci
on nigdy wyraźnie tego nie stwierdził,
ale w jego pracach jest mnóstwo
interesujących stosunków
Ale Salvador Dali, na tym obrazie
"Sakrament ostatniej wieczerzy"
wyraźnie użył złotego podziału
faktyczny stosunek szerokości do długości
to złoty podział

Czech: 
máte další zlatý obdélník... 
Myslím, že vidíte,
kam to směřuje,
další čtverec a další zlatý obdélník.
Což samo o sobě vytváří parádní motiv,
ve kterém můžeme pokračovat
jakoby kroužit dovnitř,
a pak, pokud zde nakreslíme oblouk,
stane se něco parádního.
Pokud bychom měli oblouk, 
který opisuje tyto tvary,
máme něco...
vzor, kterého jste si možná
všimli mnohokrát předtím.
A tento vzor se tolik neliší od toho,
co můžete vidět na něčem,
jako je hlemýždí ulita.
A objevuje se na všech
možných místech v přírodě.
A to dává smysl,
protože to je způsob,
jakým se vytváří buňky.
Dává smysl, že to bude stejné
v různých měřítkách,
a poměr z jednoho měřítka do jiného
bude zřejmě stejný, konstantní poměr.
Tohle, to se objevuje všude v umění,
hodně v malbách Leonarda da Vinciho
On nikdy, tedy ne výslovně, neuvedl,
ale je v nich spousta
zajímavých poměrů.
Ale Salvador Dali, tato malba zde
"Svátost poslední večeře"
zde výhradně použil zlatý řez.
Takže poměr šířky a výšky je zlatý řez.

Korean: 
또 다시
계속합니다
정사각형과 황금직사각형
신기한 디자인이 만들어집니다
안으로 안으로 순환됩니다
이것을 호로 연결하여 보면
멋진일이 생깁니다
애매모호한 자취를 갖는 호들이지만
일정한 패턴이 보이면서
여러 번 반복하면
이 패턴은
앵무조개의 패턴과 비슷해집니다
앵무조객
자연의 여러 곳에서 발견되어집니다
세포는 자신을 구성하고
애매모호하지만
다른 규모에서 같은 모습을 나타냅니다
다음 것에 대한 지금 것의 비율
애매모호한 구성 비율은 같게 됩니다
또 다른 미술작품을 봅시다
레오나르도 다빈치의 그림입니다
그는 명쾌하게 정의 내리지는 않았지만
많은 흥미로운 비율들이 숨어있습니다
살바로드 달리는 이 그림에 대해서
" 최후 만찬 성화" 에 대해서
황금비를 사용하여 설명하였습니다
세로에 대한 가로의 비율이
황금비입니다

Danish: 
og så har vi et gyldent rektangel her.
Forhåbentlig kan man nu se mønsteret.
Endnu et kvadrat og endnu et gyldent rektangel.
Det her giver et flot udseende,
og vi kan bliver med at køre rundt i ring.
Vi kan prøve at tegne en bue her.
Det er også sejt.
Den her bue følger de gyldne rektangler,
og det mønster kan nogen måske genkende.
Det er et mønster,
der ligner det,
man kan se på Nautils hus.
Det er en snegl, der bor i havet.
Vi kan se det mønster mange steder i naturen,
og det giver god mening,
for når cellerne konstruerer sig selv,
bliver de her dele ens med forskellige målestoksforhold.
Der er altså et forhold,
der altid er det samme
mellem de her dele.
Vi ser også ofte det gyldne snit i kunst.
Det kan ses i mange af Leonardo da Vincis malerier.
Han sagde aldrig selv noget om det,
men der er mange interessante forhold i hans malerier.
Det her er et Salvador Dali-maleri.
Det hedder "The Sacrement of the Last Supper", og det viser den sidste nadver.
I det maleri har Dali brugt det gyldne forhold.
Forholdet mellem bredden og højden
er altså det gyldne snit.

English: 
you have another
golden rectangle.
I think you see
where this is going.
Another square, another
golden rectangle,
which by itself starts to create
a cool design that we can keep
kind of circling
in and in and in.
And then, if we actually
draw an arc here,
something kind of cool happens.
If we have an arc that
traces these things out,
we have something,
a pattern that you
might have seen
many times before.
And that pattern does not
look too different than what
you might see in something
like a nautilus shell.
And it shows up all over
the place in nature.
And that makes sense
because just the way
cells construct themselves.
It kind of makes sense to be
the same at different scales
and the ratio from
one scale to the next
is maybe the same as
the constituent ratios.
This right here,
and it shows up all
over a lot of Leonardo
DaVinci's paintings.
He never explicitly
stated it, but there's
a lot of interesting
ratios in them.
But Salvador Dali, this painting
right here, The Sacrament
of the Last Supper,
he explicitly
used the golden ratio.
So the actual ratio of
the width to the height
is the golden ratio, so
this is a golden rectangle.

Slovak: 
Myslím, že chápete, ako to funguje.
Ďalší štvorec a ďalší zlatý obdĺžnik.
Vytvoril sa nám určitý špirálovitý vzor,
točiaci sa do vnútra,
a ak by sme sem nakreslili oblúk,
stane sa niečo zvláštne.
Ak nakreslíme oblúk, ktorý prechádza všetkými týmito tvarmi,
vznikne nám vzor, s ktorým ste sa už
určite stretli.
Tento vzor vyzerá podobne,
ako ten, ktorý nájdete napríklad
na ulite.
Nájdete ho hocikde v prírode.
Dáva to zmysel.
Keď si zoberiete, že bunky sa vytvárajú tak,
že sú vlastne rovnaké,
len v rôznych mierkach, a pomer jednej ku druhej
je možno rovnaký
ako jednotlivé pomery.
Nájdeme to napríklad aj v umení,
v maľbách Leonarda da Vinciho.
Nikdy to sám nepotvrdil, no v jeho maľbách
je veľa zaujímavých pomerov.
Aj Salvador Dalí, v tejto jeho maľbe
"Sviatosť poslednej večere"
použil zlatý pomer.
Pomer šírky ku výške
je zlatý pomer.
Takže toto je zlatý obdĺžnik.

Bulgarian: 
и отново златен правоъгълник... 
виждаш накъде отиват нещата.
Пак квадрат и пак златен правоъгълник,
което само по себе си дава готин дизайн,
който можем да запазим,
нещо като кръжене навътре.
И ако всъщност нарисуваме дъга тук,
става нещо яко.
Ако имаме дъга, която следва тези неща...
Получихме нещо, което може да ти е известно вече.
И тази крива не изглежда различно от това,
което може да се види при
черупка на морски охлюв
и изниква навсякъде в природата.
Има причина за това,
защото клетките така се изграждат,
и изглежда логично да бъде същото
в различен мащаб,
и отношението на един мащаб
към следващия е може би същото като
горе-долу съставните отношения.
Това тук се появява и навсякъде в изкуството,
в много от картините на Леонардо да Винчи.
Той никога... няма изрично отбелязани, но има много
интересни отношения в тях.
Но Салвадор Дали в тази картина тук,
"Тайната вечеря",
нарочно е използвал златното сечение,
действителното отношение между 
височина и широчина
е златното сечение
така това е златен правоъгълник.

Danish: 
Det her er altså et gyldent rektangel.
Der er en masse interessante forhold i det her maleri,
forhold mellem forskellige ting og dele af malerier.
Forholdet mellem forskellige dele er
i mange tilfælde det gyldne snit.
Det gyldne snit viser sig mange gange i det her maleri.
Herovre har vi også nogle pentagoner,
og vi ved, at forholdet mellem diagonalerne og sider i en regulær pentagon
er det gyldne snit.
Dali syntes, det var sjovt at bruge det gyldne forhold meget.
Der er mange sjove ting i maleriet.
Vi kan se på de 2,
der bukker sig ned her.
Hvis vi tegner den her linje,
har vi igen det gyldne snit.
Forholdet mellem den her længde
og den her længde er lig med det gyldne snit.
Det er her igen og igen i det her maleri.
Det her er virkelig spændende,
og man kan selv undersøge det yderligere,

Thai: 
นี่ก็คืออัตราส่วนทองคำ
และมันยังมีอัตราส่วนต่างๆ ที่ผมจะแนะนำให้คุณ
สำรวจดู, อัตราส่วนของส่วนต่างๆ ของโต๊ะ
ที่วางอยู่ในภาพวาด
เป็นอัตราส่วนทองคำ
มันปรากฏขึ้นมากมายในภาพวาดนี้
แล้วเขาวาดห้าเหลี่ยมตรงนี้
และเรารู้ว่าอัตราส่วนของเส้นทแยงมุมต่อด้านของห้าเหลี่ยม
เป็นอัตราส่วนทองคำด้วย
และเขาคิดว่ามันเป็นสิ่งที่เจ๋ง
และมันมีสิ่งที่เนี๊ยบต่างๆ มากมาย
และถ้าคุณพบ, คุณรู้ว่าตรงที่สองคนนี้
โค้งคำนับลงมา
ถ้าคุณวาดเส้นนั่นตรงนั้น
นี่คืออัตราส่วนทองคำ
อัตราส่วของความยาวนี่ตรงนี้
ต่อความยาวนั่นตรงนั้น, เหมือนเดิมคืออัตราส่วนทองคำ
มันยังปรากฏขึ้นมากมายในภาพวาดนี้
มันคือสิ่งที่เจ๋งมากจริงๆ
และผมแนะนำให้คุณลองสำรวจเรื่องนี้ต่อไป

Georgian: 
ანუ, ნახატი ოქროს მართკუთხედია;
და აქ ძალიან ბევრი სხვა შეფარდებაა, და მინდა
აღმოვაჩინოთ ისინი: მაგიდის სხვადასხვა ნაწილები,
ან როგორაა ისინი განლაგებული ტილოზე,
აქაც ბევრი ოქროს პროპორციაა;
ის ყველგანაა ამ ტილოზე.
მას ასევე გამოყენებული აქვს ხუთკუთხედები
და ჩვენ ხომ ვიცით, რომ ხუთკუთხედის დიაგონალის
და მხარის შეფარდება
იგივე ოქროს პროპორციაა,
ალბათ, დალიც ფიქრობდა რომ ეს პროპორცია 
მაგარი რამეა.
აქ ბევრი რამეა დამალული.
მაგალითად, შეხედეთ ამ ორ
ქედჩახრილ ადამიანს;
თუ აქ გავავლებთ ხაზს
ისევ მივიღებთ ოქროს პროპორციას:
ამის სიგრძე
ამის სიგრძესთან 
ოქროს პროპორციითაა შეფარდებული.
მოკლედ, ეს მართლა ძალიან საინტერესოა
და მინდა, რომ გააგრძელოთ ამის კვლევა
და ბევრი რამე აღმოაჩინოთ.

Korean: 
이것은 황금직사각형입니다
많은 비율이 있습니다
찾아보도록 하죠
그림에서 탁자에 많은 부분들이 비율이 성립합니다
황금비입니다
그림 안에
여기에 정오각형이 있습니다
우리가 알고 있듯이 
정오각형의 변에 대하여 대각선의 비율이
황금비에 해당됩니다
재미있고 신기한 사실들을
가르쳐주었습니다
바닥에 인사하고 있는
두 사람을 찾았다면 
이렇게 선을 그었을 때
황금비가 됩니다
여기 길이에 대한
여기 길이의 비율 역시 황금비입니다
그림을 더 살펴보면
흥미로운 것이 있습니다
더 찾아보도록 해보세요
흥미로워질테니까요

Japanese: 
これは、黄金の四角形です。
比のすべての並べ替えがあります。
絵画のテーブルのさまざまな部分の比率を見ると、
これらは
黄金比です。
この絵におおく使われています。
彼はここで五角形を使っています。
正五角形の側面の比率も
黄金比です。
そしてそれは本当にクールなのは
多くのものが
見つけられます。
頭を下げている人の
ここに線を引くと
これも、黄金比です。
ここにこの長さの比率も
また、黄金比です。
この絵は、
本当にクールなものです。
これをさらに探求していくことを

English: 
And also there's
all sorts of ratios
and I'll invite
you to explore it.
The ratio of the different
parts of the tables
to where it sits
in the painting.
The golden ratio shows up
a ton in this painting.
And then he does have
the pentagons over here.
And we know that the ratio of
the diagonal of the pentagon
to the sides of the pentagon
are also the golden ratio.
And so he just thought it
was a really cool thing.
There's all sorts
of neat things.
That if you find where these
two guys are bowing down are,
if you draw that line right over
here, this is the golden ratio.
The ratio of this
length right over here
to that length over there.
Once again, the golden ratio.
It just keeps showing
up in this painting.
So it's a really,
really, really cool thing
and I really encourage
you to explore this
further because it's
kind of exciting.

Slovak: 
Ďalej tu nájdeme veľa ďalších pomerov, ukážem
vám ich. Jednotlivé časti a objekty,
ktoré sú na obraze
sú v zlatom pomere.
Je ich tu množstvo.
Ďalej tu sú aj tieto päťuholníky,
kde pomer uhlopriečky ku stranám päťuholníka
je tiež zlatý pomer.
Takže tiež asi zlatý pomer považoval za veľmi zaujímavý.
Sú to veľmi zaujímavé veci,
ktoré keď nájdete, pochopíte, kam sa
títo dvaja muži klaňajú.
Ak sem nakreslíte priamku,
toto je zlatý pomer.
Pomer tejto dĺžky
ku tejto dĺžke je znova zlatý pomer.
Na tejto maľbe toho nájdete naozaj veľa.
A je to veľmi, veľmi zaujímavé.
Odporúčam vám skúmať to ďalej,
pretože to je zaujímavé.

Italian: 
quindi questo è un rettangolo aureo
E inoltre c'è ogni sorta di rapporti e ti invito
per esplorarlo, i rapporti delle varie parti nelle tabelle
a sono stati che si siede nella pittura
è la sezione aurea
Essa mostra una tonnellata in questo dipinto
e poi ha i pentagoni qui
e sappiamo che il rapporto tra la diagonale ai lati del Pentagono
sono anche il rapporto aureo
e così ha pensato appena è stata una cosa davvero cool
e theres tutte le specie di cose pulite
Se trovi, sai dove questi due
ragazzi sono inchinandosi in giù sono
Se si disegna quella linea proprio qui
Questa è la sezione aurea
il rapporto di questa lunghezza destra sopra
a quella lunghezza laggiù, ancora una volta il rapporto aureo
Solo mantiene mostrando in questo dipinto
Quindi è una cosa davvero davvero davvero cool
e veramente vi incoraggio ad esplorare ulteriormente questa

Turkish: 
Yani bu bir altın dikdörtgendir.
Sizi tablodaki değişik oranları keşfetmeye davet ediyorum. Tablonun masalarının farklı kısımlarının tablodaki konumlarına oranları vesaire, hep altın orandır.
-
-
-
Bu tabloda bir sürü altın oran var.
Ve burada beşgenler de var. Biliyoruz ki, beşgenin köşegeninin kenara oranı, yine altın orandır.
-
-
-
Örneğin, şu iki kişinin eğildiği kısımda bir çizgi çizerseniz de, altın oran bulursunuz.
-
-
-
-
Buradaki uzunluğun şuradaki uzunluğa oranı da yine altın orandır.
-
Bu tabloda bir sürü altın oran var.
Yani bu çok süper bir orandır ve bunu daha keşfetmenizi öneririm.
-

Spanish: 
así que éste es un rectángulo áureo
Y hay un montón de proporciones aquí, y te invito
a explorarlas, las proporciones de las distintas mesas
en donde se sientan en la pintura
es el número áureo
Está un montón en esta pintura
y después tiene los pentágonos de aquí
y sabemos que la proporción de la diagonal con los lados del pentágono
es también el número áureo
y él sólo pensó que era una cosa genial
y hay todo tipo de cosas maravillosas
que si las encuentras, sabes que dónde estos dos
tipos están reverenciando aquí
si dibujas esa línea por aquí
es el número áureo
la proporción del largo aquí
con este largo de aquí es, una vez más, el número áureo
Simplemente sigue apareciendo en la pintura
Así que es realmente una GRAN cosa
y te animo a explorar más

Bulgarian: 
Има и всякакви други отношения 
и те каня да ги разгледаш,
отношенията на различните части на масата
и мястото им в картината,
това е златното сечение.
В тази картина се появява много
а ето тук са и петоъгълниците,
а ние знаем, че отношението диагонал 
към страна на петоъгълника
е също златното сечение.
Мисля, че е доста интересно
и има много готини неща.
Тези двама, които се покланят,
ако начертаем тази линия,
това е златното сечение –
отношението на тази дължина тук
към тази тук, отново е златното сечение.
Непрекъснато се появява в картината.
И е доста яко нещо.
И те съветвам да се поинтересуваш още,
защото е вълнуващо.

Czech: 
Toto je zlatý obdélník.
A také jsou zde všechny druhy poměrů
a pobízím vás je prozkoumat,
poměry různých částí na stolech k místu,
kde v malbě stojí, to je zlatý poměr.
Objevuje se toho zde mnoho.
A pak tu má pětiúhelník zde
a víme, že poměr úhlopříček
ku stranám pětiúhelníku
je také zlatý poměr.
A to, že se to naučil,
byla opravdu skvělá věc.
A je zde spoustu pěkných věcí,
které pokud najdete,
budete vědět kam se
tito dva muži klaní dolů.
Pokud zde nakreslíte čáru,
toto je zlatý řez.
Poměr této délky zde
ku této délce zde, opět zlatý řez.
Stále se v této malbě objevuje
Je to opravdu parádní věc
a opravdu vám doporučuji
to prozkoumat více,
protože to je velmi zajímavé.

Polish: 
więc to jest złoty prostokąt
jest wiele różnych podziałów i zaproszę Was
do odkrycia ich, stosunków różnych części
na stołach do tego gdzie się znajdują
na obrazie, to złoty podział
wiele razy się tu pokazuje
i ma też pięcioboki na obrazie
a wiemy, że stosunek przekątnej do boku
pięciokąta
to też złoty podział
więc Dali po prostu myślał, że to bardzo fajne
są tu różne ciekawe rzeczy
jeśli zobaczymy gdzie ci dwaj goście
się pochylają
jeśli narysujesz tę linię
to to będzie złoty podział
stosunek tej długości
do tej długości, to też złoty podział
cały czas się pojawia na obrazie
więc to bardzo fajna rzecz
i naprawdę zachęcam to dalszego odkrywania
tego obrazu
ponieważ to jest ekscytujące

Norwegian: 
Det er masse interessante forhold
i dette maleriet,
forhold mellom forskjellige ting
og deler av maleriet.
Forholdet mellom forkjellige deler
er i mange tilfeller det gyldne snitt.
Det gyldne snitt viser seg
mange ganger i dette maleriet.
Her borte har vi også noen pentagoner,
og vi vet at forholdet mellom diagonalene
og sidene i et regulært pentagon
er det gyldne snitt.
Dalí syntes at det var morsomt
å bruke det gyldne snitt ofte.
Det er mange morsomme ting i maleriet.
Vi kan se på de to
som bøyer seg ned her.
Hvis vi tegner denne linjen
har vi igjen det gyldne snitt.
Forholdet mellom denne lengen,
og denne lengen 
er lik det gyldne snitt.
Det dukker opp igjen og igjen
i dette maleriet.
Dette er veldig spennende,
og man kan undersøke det ytterlige selv,
fordi det er veldig interessant!

Japanese: 
勧めます。

Turkish: 
-

Danish: 
fordi det er virkelig interessant!

Spanish: 
porque de alguna manera es excitante.

Thai: 
เพราะมันน่าตื่นเต้นดี

Italian: 
causa è tipo di eccitante
