
Turkish: 
Şimdiye kadar bir eğrinin altındaki alanı
bulmak için integralleri kullandık.
Bu konuyu iyice içinize sindirmiş olmanıza rağmen
şimdi sezgisel olarak tekrarlayalım.
Değilse, Belirli İntegral videolarını
gözden geçirmek isteyebilirsiniz
Bir fonksiyonum olsa--bu xy düzlemi, bu
x ekseni, y ekseni--ve bir fonksiyonum var diyelim.
Mesela, y eşittir
x'in herhangi bir fonksiyonu.
X'i verin, y'yi söyleyeyim.
Diyelim ki, x eşittir a ve x eşittir b arasındaki
eğrinin altındaki alanını bulmak istiyorum.
Burası bulmak istediğim alan.
Şöyle yapıyorum.
Alanı birkaç sütuna bölüyorum ya da birkaç dikdörtgene.
Bir tane dikdörtgen çizeyim.
Bunu yapmanın farklı yolları da var

iw: 
עד כה, השתמשנו באינטגרלים כדי לחשב את
השטח שמתחת לגרף.
ובואו נחזור על האינטואיציה, למרות
שאני מקווה שזה כבר ברור לחלוטין בשלב זה.
אם לא, אולי תרצו לחזור על
הסרטונים של האינטגרל המסויים.
אבל אם יש לי איזה פונקציה -- זהו מישור xy, זהו
ציר ה- x, זהו ציר ה- y -- וישי לי איזו פונקציה.
בואו נקרא לזה, אתם יודעים, זהו y שווה
לאיזה פונקציה של x.
תנו לי x ואתן לכם y.
אם רציתי לחשב את השטח מתחת לגרף הזה, בין
נאמר, x שווה a ובין x שווה b.
אז זהו השטח שאני רוצה לחשב.
מה שאני עושה, זה לחלק אותו להרבה עמודות,
או להרבה מלבנים.
כאשר -- בואו נצייר אחד מהמלבנים האלה -- כאשר
תוכל להתבונן -- וישנם מספר דרכים לעשות זאת,

French: 
Jusque là, nous nous sommes servis des intégrales
pour déterminer
l'aire située sous la courbe.
Ok, servons nous de notre intuition pour examiner cela, bien que
à ce stade l'intuition devrait être une seconde nature pour toi.
Si ce n'est pas le cas tu devrait revoir les vidéos
de l'Intégration définie.
Donc, si j'ai une fonction...
c'est le plan xy, ça c'est
l'axe des x, ça l'axe des y...
donc j'ai une fonction.
Voyons on va appeler ça...
Cet y est égal à
une fonction de x.
Donnes moi un x et je te donnerais un y.
Si je voulais déterminer l'aire dessous la courbe, entre,
disons, la valeur a et b pour x.
Donc c'est cette aire que je veux trouver.
Ce que je fais, je vais la diviser en un ensemble de colonnes,
ou plutôt en un ensemble de rectangle.
Où... Laisses-moi dessiner un de ces rectangles... Où tu
pourra voir... et il y a plusieurs façon de faire cela,

English: 
So far, we've used integrals
to figure out the
area under a curve.
And let's just review a little
bit of the intuition, although
this should hopefully be second
nature to you at this point.
If it's not, you might want
to review the definite
integration videos.
But if I have some function--
this is the xy plane, that's
the x-axis, that's the y-axis--
and I have some function.
Let's call that, you know,
this is y is equal to
some function of x.
Give me an x and
I'll give you a y.
If I wanted to figure out the
area under this curve, between,
let's say, x is equal to
a and x is equal to b.
So this is the area I
want to figure out.
What I do is, I split it up
into a bunch of columns
or a bunch of rectangles.
Where-- let me draw one of
those rectangles-- where you
could view-- and there's
different ways to do this,

Dutch: 
Tot nu toe hebben we integralen gebruikt om het gebied
onder de functie te berekenen
Laten we wat van die intuïtie herbekijken, ook al
zou dit eigenlijk een tweede natuur moeten zijn op dit punt.
Als dat niet zo is, zou je best de andere videos
over bepaalde integratie herbekijken.
Maar als ik een bepaalde funtie heb-- dit is het xy-vlak, dat is
de x-as, dat is de y-as-- en ik heb een bepaalde functie.
Laten we die zo noemen dat, je weet wel, dit is de y gelijk aan
een of andere functie van x.
Geef mij een x en ik zal jou een y geven.
Als ik het gebied onder deze functie wilde berekenen, tussen,
laten we zeggen, x gelijk aan a en x gelijk aan b.
Dus dit is het gebied waarvan ik de oppervlakte wil berekenen.
Dit gestreepte gebied.
Wat ik doe is: ik splits het op in een aantal kolommen
of een aantal rechthoeken.
Waar-- laat me één van die rechthoeken tekenen-- waar je
kan zien-- en er zijn andere manieren om dit te doen,

Estonian: 
Siia maani, me oleme kasutanud integraale, et välja nuputada
Pindala kõvera all.
Ja kordame natuke, et aimu saada.
See peaks loodetavasti olema teie jaoks selge.
Kui ei ole, siis võiksite korrata määratud
integreerimise videosi.
Kui mul on mingi funktsioon -- see on xy tasand, see
on x-telg, see on y-telg-- ja mul on mingi funktsioon.
Kutsume seda, teate küll, see on y võrdub
mingi x funktsiooniga.
Andke mulle x ja ma annan teile y.
Kui tahaksin nuputada pindala selle kõvera all,
ütleme, x on võrdne a'ga ja x on võrdne b'ga vahel.
Nii, see on pindala, mille väärtust ma tahan.
mida ma teen on, ma jaotan ta tulpadeks
või mitmeks ristkülikuks.
Kus -- laske mul joonistada üks neist ristkülikutest-- kus te
saaksite vaadata -- ja selleks on mitu moodust,

Korean: 
지금까지 우리는 어떤 곡선 함수 
아래의 넓이를 계산하기 위해
인테그랄을 사용해 왔습니다.
이 과정의 직관적인 설명을 조금만 복습합시다.
이때쯤이면 이 내용은 여러분들에게 아주
당연하게 느껴질텐데요,
만약 아니라면, 정적분 동영상을
복습하시는 것이 좋겠습니다.
xy 평면에 어떤 함수가 있다고 합시다.
이게 x축, 이게 y축, 
그리고 어떤 함수
함수가 있습니다. 이 y는 x에 대한
어떤 함수와 같습니다.
x 값을 하나 받으면 그에 대한 y 값이 
바로 나오게 되죠.
내가 이 곡선 아래의 넓이를 구하고 싶다면,
x=a인 지점에서부터 x=b인 지점까지의 넓이 말이죠.
그러면 이것이 제가 구하고자 하는 넓이가 됩니다.
여기서 뭘 하냐면, 이걸 나누는 겁니다.
여러 개의 직사각형들로.
이런 직사각형을 하나 그려드리죠.
직사각형의 모양은 좀 다양할 수는 있는데요,

Portuguese: 
Até agora, nós usamos integrais
para descobrir a área abaixo de uma curva.
Vamos rapidamente revisar a parte intuitiva,
apesar de isso já ser trivial para você.
Se não é, talvez você queira revisar
os vídeos de Integrais Definidas.
Se eu tenho uma função - esse é o plano xy,
eixo-x, eixo-y - eu tenho uma função.
Vamos chamá-la de y, que é igual a
uma função qualquer de x.
Me dê um x que eu te dou um y.
Se eu quiser achar a área debaixo dessa curva entre,
digamos x = a e x = b.
Logo essa é a área que eu quero descobrir.
Essa área bem aqui.
O que eu faço é dividir a curva em várias colunas
ou vários retângulos.
Onde - deixe-me desenhar um desses retângulos -
você pode ver (há várias maneiras de fazer isto),

Japanese: 
これまでのところは、積分を使用して、
曲線の下の面積を求めてきました。
少し復習しましょう。
直感的に解けるようになるでしょう。
そうではない場合
積分のビデオをもう一度見てください。
ある関数、これが xy 平面で
x 軸、y 軸 、そして、何かの関数があります。
ここでは、yは、xの関数であると
想定します。
ある x に対し、yが存在します。
この曲線の下の面積を把握したい場合は、
たとえば、 x が、a と b 間で
この面積を求めます。
まず、欄の束にします。
または、四角形の束です。
これらの四角形を描画します。
別の方法もありますが、

Polish: 
Jak dotąd używaliśmy całek do obliczania
pola powierzchni pod wykresem.
Powtórzmy trochę intuicji, chcociaż mam nadzieję,
że na tym etapie jest to dla Was całkiem zrozumiałe.
Jeśli nie, to może zechcielibyście powtórzyć
filmiki o całce oznaczonej.
Jeśli mam pewną funkcję - to jest płaszczyzna xy,
to jest oś x-ów, to jest oś y-ów - i mam pewną funkcję.
Nazywajmy to, jak wiecie, y równy
pewnej funkcji x.
Dajcie mi x, a ja dam wam y.
Jeśli chcę obliczyć pole powierzchni pod wykresem,
pomiędzy, powiedzmy, x równym a i x równym b.
To jest powierzchnia, której pole chcę policzyć.
To co robię, to dzielę ją na zbiór kolumn,
albo zbiór prostokątów.
Narysujmy jeden z tych prostokątów.
So także inne sposoby, żeby to zrobić,

Czech: 
Doposud jsme používali integrály
k výpočtu plochy pod křivkou.
A pojďme si nyní trochu připomenout tento intuitivní pohled,
přestože by vám měl být již zažrán pod kůži.
Pokud není, možná byste si měli znovu prohlédnout
videa o určitém integrálu.
Pokud tedy mám funkci - tohle je rovina xy, toto je osa x,
toto je osa y - a mám určitou funkci.
Budeme značit, však to znáte, y je rovno
nějaké funkci x.
Dejte mi x a já vám řeknu y.
Pokud bych chtěl zjistit plochu pod touto křivkou,
mezi, řekněme, body A a B.
Takže tohle je ta oblast, jejíž plochu chci spočítat.
Co udělám - rozdělím ji do spousty sloupců
nebo do spousty obdélníků.
A tady - nakreslím jeden z těch obdélníků - tady
vidíte (a jde to udělat i jinak,

Thai: 
ถึงตอนนี้, เราได้ใช้อินทิกรัลหา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งมาแล้ว
ลองมาทบทวนกันหน่อยถึงสัญชาตญาณ, แม้ว่า
นี่ควรจะอยู่ในตัวคุณ ณ ตอนนี้แล้ว
หากไม่, คุณอาจอยากกลับไปทวนวิดีโอเรื่อง
อินทิกรัลจำกัดเขต
แต่หากผมมีฟังก์ชันอันนึง -- นี่คือระนาบ xy, นั่น
คือแกน x, นั่นคือแกน y -- และผมมีฟังก์ชันอันนึง
เรียกมันว่า, คุณก็รู้, นี่คือ y เท่ากับ
ฟังก์ชันสักอันของ x
ขอ x ให้ผมแล้วผมจะบอก y
หากผมอยากหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง, ระหว่าง,
สมมุติว่า, x เท่ากับ a และ x เท่ากับ b
ดังนั้นนี่คือพื้นที่ที่ผมอยากหา
ที่ผมทำคือ ผมแบ่งมันเป็นคอลัมน์
หรือสี่เหลี่ยมหลาย ๆ อัน
โดยที่ -- ขอผมวาดสี่เหลี่ยมพวกนี้ -- โดยที่คุณอาจ
มอง -- มันมีวิธีทำหลายอย่าง,

German: 
Bis hierhr haben wir integrale benutzt, um
die Fläche unter einer Kurve heraus zu finden.
Nun wollen wir diese Erkenntnis noch etwas näher betrachten,
was für euch an dieser Stelle hoffentlich ganz selbstverständlich ist.
Falls nicht, solltet ihr evtl. die Videos zum Thema
"Definite Integration"
Aber wenn ich eine Funktion habe -- dies ist die xy Ebene, das
die x-Achse und hier die y-Achse -- und ich habe eine Funktion.
Wir wollen sie einfach mal so nennen, dies heißt, y isz gleich einer Funktion von x.
Gib mir ein x und ich geb dir ein y.
Wenn ich den Bereich unter dieser Kurve harausfinden möchte, zwischen,
sagen wir ma, x ist geich a und x ist gleich b.
Dann ist dies die Fläche, die ich herausfinden möchte
Was ich hier mache, ist sie in eine Reihe von Spalten aufteile
oder eine Reihe von Rechtecken.
Wo, lass mich eines dieser Rechtecke zeichnen, wo man
sehen kann -- und da gibt es verschiedene Arten dies zu tun,

Indonesian: 
Sejauh ini, kita menggunakan integral untuk mencari
luas di bawah kurva.
dan mari mengulang konsepnya sedikit, meskipun
kamu diharapkan untuk terbiasa dengan ini.
Jika tidak, kamu mungkin ingin mengulang
video integral tertentu
Tapi jika saya punya sebuah fungsi-- ini bidang xy, yaitu
sumbu x, itu sumbu y-- dan saya punya sebuah fungsi.
Sebut saja y sama dengan
fungsi dari x.
Berikan saya x, dan saya akan memberimu sebuah y.
Jika saya ingin mencari luas 
di bawah kurva, di antara
misalnya x = a dan x = b.
Jadi, inilah luas yang ingin saya cari.
Yang saya lakukan adalah membaginya
atau beberapa persegi.
--saya akan gambar salah satu perseginya-- yang bisa kamu
lihat-- dan ada cara lain untuk menyelesaikan ini,

Spanish: 
Hasta ahora, hemos usado las integrales para calcular
el área bajo una curva.
Y ahora revisemos un poco la intuición, aunque
esto debería serte natural a esta altura.
Si no lo es, convendría que revises los videos
de integrales definidas.
Pero si tengo alguna función-- esto es el plano xy,
ese el eje x y aquel el eje y-- y tengo alguna función.
Llamemos a eso, tú sabes, esto es "y" es igual a
alguna función de x.
Dame una x y yo te daré una y.
Si yo quería averiguar el area bajo este curva, entre,
digamos, "x" es igual a "a" y "x" es igual a "b".
Así que este es el área que quiero averiguar.
Lo que hago entonces es separarlo en un montón de columnas
o en un montón de rectángulos.
Donde-- déjame dibujar uno de esos rectángulos-- donde tú
puedas ver-- y hay varias maneras de hacer esto.

Japanese: 
これは、復習です。
1 つの四角形です。
四角形の面積は基本です。
底辺x高さです。いいですか？
これらの四角形を本当に細くし、
それらの無限の数を合計します。
つまり、無限小したと考えます。
この四角形の底辺を dx としましょう。
この四角形の高さは
f （x）です。
ここがX０で、
f（x）としましょう。
四角形の高さです。
これらすべての合計したい場合
いいですか？
多くの四角形の束になるでしょう。
これらです。
領域を得るに、無限数がある場合
これらの四角形を、無限に細くし、
正確な曲線の下の領域が得られます。
これが、定積分の背後の考え方です。
定積分です。
これらの四角形の合計を取るに、
x はaからb に制限します。
そして、合計している面積は

English: 
but this is just a review.
Where you could review-- that's
maybe 1 of the rectangles.
Well, the area of the
rectangle is just base
times height, right?
Well, we're going to make these
rectangles really skinny and
just sum up an infinite
number of them.
So we want to make them
infinitely small.
But let's just call the
base of this rectangle dx.
And then the height of this
rectangle is going to be
f of x, at that point.
It's going to be f of-- if this
is x0, or whatever, you can
just call it f of x, right?
That's the height
of that rectangle.
And if we wanted to take
the sum of all of these
rectangles-- right?
There's just going to
be a bunch of them.
One there, one there.
Then we'll get the area, and if
we have infinite number of
these rectangles, and they're
infinitely skinny, we
have exactly the area
under that curve.
That's the intuition behind
the definite integral.
And the way we write that--
it's the definite integral.
We're going to take the sums of
these rectangles, from x is
equal to a, to x is equal to b.
And the sum, or the areas that
we're summing up, are going to

Estonian: 
aga see on kõigest kordus.
Kus te saaksite korrata-- see on võib-olla 1 nendest ristkülikutest.
Nii, selle ristküliku pindala on vaid alus
korda kõrgus, eks?
Nii, Me teme need ristkülikud hästi peeneks ja
et kokku võtta lõpmatu arv neid.
Nii, et me tahame teha nad lõpmatult väikesed.
Aga loeme ristküliku alusee dx'ks
ja siis ristküliku kõrgus tuleb
f'xst, selles punktis.
See tuleb f-- kui see on x0, või misiganes, te võite
seda kutsuda f'iks x'ist, eks?
See on selle ristküliku kõrgus
ja kui me tahaksime võtta summat nendest kõikidest
ristkülikutest-- eks?
Kokku tuleb neid palju.
üks seal, üks seal.
Siis me saame pindala, ja kui meil on lõpmatu arv
neid ristkülikuid, ja nad on lõpmatult peenikesed, on meil
täpselt see pindala selle kõvera all.
Ja see ongi määratud integraali põhimõte.
Ja me kirjutame seda-- see on määratud integraal.
Me võtame summad nendest ristkülikutest, alustades x on
võrdne a'ga kuni x on võrdne b'ga.
Ja summa, või pindalad, mida me summeerime on

Thai: 
นี่เป็นการทวนนะ
โดยคุณสามารถทบทวน -- นั่นอาจเป็นหนึ่งในสี่เหลี่ยม
ทีนี้, พื้นที่ของสี่เหลี่ยมก็แค่ ฐาน
คูณสูง, จริงไหม?
ทีนี้, เราจะทำให้สี่เหลี่ยมพวกนี้ผอมมาก
แล้วบวกพวกมันถึงอนันต์แท่ง
ดังนั้นเราอยากทำให้มันเล็กสุด ๆ
ลองเรียกฐานของแต่ละแท่งว่า dx
แล้วความสูงของแท่งสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับ
f ของ x, ณ จุดนั้น
มันจะเป็น f ของ -- หากนี่คือ x0, หรืออะไรก็ตาม, คุณสามารถ
เรียกมันว่า f ของ x, จริงไหม?
นั่นคือความสูงของสี่เหลี่ยมนั่น
และหากเราหาผลบวกของสี่เหลี่ยมพวกนั้น
-- ใช่ไหม?
มันก็จะกลายเป็นพวกนั้นรวมกัน
อันนั้น, อันนั้น
แล้วเราจะได้พื้นที่, และหากเรามีจำนวนสี่เหลี่ยม
พวกนี้เป็นอนันต์, และพวกมันผอมสุด ๆ, เรา
จะได้พื้นที่ใต้เส้นโค้งนั้นพอดี
นั่นคือสัญชาตญาณเบื้องหลังอินทิกรัลจำกัดเขต
และวิธีที่เราเขียนคือว่า -- มันคืออินทิกรัลจำกัดเขต
เราจะหาผลบวกของสี่เหลี่ยมพวกนี้, จาก x
เท่ากับ a, ถึง x เท่ากับ b
และผลบวก, หรือพื้นที่ที่เราบวก, จะ

Dutch: 
maar dit is gewoon een voorbeeld.
Waar je kan zien-- dat is bijvoorbeeld 1 van de rechthoeken.
Wel, het gebied van de rechthoek is gewoon basis
maal hoogte, juist?
Wel, we gaan deze rechthoeken heel smal maken en
gewoon de som maken van een oneindig aantal van zo'n rechthoeken.
Dus we willen ze oneindig smal maken.
Laten we de basis van deze rechthoek dx noemen.
En de hoogte van deze rechthoek wordt
f(x), op dat punt.
Als dit x0 is, bijvoorbeeld, kan je
het gewoon f(x) noemen, juist?
Dat is de hoogte van die rechthoek.
En als we nu de som willen nemen van al deze
rechthoeken-- juist?
Er zullen gewoon een heleboel van deze zijn.
Een hier, een hier.
Dan zullen we het gebied kennen, en als we een oneindig aantal van
deze rechthoeken hebben, en ze zijn oneindig smal, dan
hebben we exact het gebied onder de functie.
Dat is de intuïtieve redenering achter de definitie van de integraal.
En op de manier waarop we dat schrijven-- het is de bepaalde integraal.
We gaan de som nemen van deze rechthoeken, van x
gelijk aan a, tot x gelijk aan b.
En de som, of de gebieden die we optellen, zullen

Korean: 
이건 그냥 복습이니까 대략적으로 그리죠.
이건 아마 직사각형들 중에 하나일 것입니다.
직사각형의 넓이는 그냥 밑변의 길이
곱하기 높이, 맞죠?
우리는 이런 직사각형들을 아주 좁게 만들 겁니다.
그래서 무한히 많은 직사각형을 만들고
그것들을 다 더하는 거죠.
이 직사각형의 밑변을 무한히 작게
만들고 싶습니다.
이 밑변을 dx라고 부르죠.
그러면 이 직사각형의 높이는
어떤 지점 x의 함수값,
또는 해당되는 지점 x0의 함수값
f(x)일 겁니다.
그게 직사각형의 높이입니다.
그리고 이런 모든 넓이들의 합을 구하고 한다면,
직사각형 넓이들 말이죠,
직사각형들이 아주 많을 겁니다.
여기 하나, 저기 하나.
그러면 우리는 전체 넓이를 얻게 됩니다.
이런 직사각형들이 무한히 많으면,
그리고 각각이 무한히 좁으면,
우리는 곡선 아래의 넓이를 정확히 구할 수 있게 됩니다.
이게 정적분이라는 연산에 담긴 직관적인 의미입니다.
그리고 이걸 우리가 표현하는 방법은,
정적분 말이죠,
이런 직사각형 넓이들을 x가
x=a일 때부터 x=b일 때까지 더해가는 거죠.
그리고 총합, 즉 우리가 더하는 직사각형들의 넓이는 각각

Portuguese: 
mas isso é só uma revisão.
Esse pode ser um dos retângulos.
Ora, a área do retângulo é somente a base
vezes a altura, certo?
Bem, nós vamos fazer retângulos bem finos e
somar infinitos deles. Logo, queremos
fazê-los infinitesimalmente pequenos.
Vamos chamar a base desse retângulo de dx.
Então a altura dele será
f(x), naquele ponto.
Então será f de - se aqui é x0, podemos
chamar esse ponto de f(x), certo?
Essa á a altura do retângulo.
E se nós quisermos somar todos esse retângulos?
Teremos infinitos deles.
Um aqui, outro ali.
Então nós teremos a área, se tivermos um número infinito
de retângulos, e eles são finíssimos,
nós achamos a área exata abaixo da curva.
Essa á a parte intuitiva por trás da integral definida.
E nós escrevemos isso através da integral definida.
Nós vamos achar a soma de todos esses retângulos, de
x = a até x = b.
E a soma, ou as áreas que estamos somando, serão -

Turkish: 
ama bu sadece bir tekrar.
Bu dikdörtgenlerin bir tanesi.
Evet, dikdörtgenin alanı taban
çarpı yüksekliktir, değil mi?
Dikdörtgenleri çok ince çizeceğiz
ve sonsuz sayıdaki dikdörtgenleri toplayacağız.
Bu yüzden son derece küçük olmaları lazım.
Şimdi, bu dikdörtgenin tabanına dx diyelim.
Ve böylece bu dikdörtgenin yüksekliği
f(x) olacak.
Başka isim de verebilirsiniz ama
sadece f(x) da diyebiliriz, değil mi?
Bu dikdörtgenin yüksekliğidir.
Ve tüm bu dikdörtgenlerin toplamını
almak istersek
sadece birkaç tane dikdörtgen olacaktır.
Bir orada, bir orada.
O zaman alanı buluruz, ama sonsuz sayıda dikdörtgen
varsa ve çok incelerse,
bu eğrinin altındaki alanı tam olarak buluruz.
İşte belirli integralin arkasındaki sezgi budur.
Bunu şöyle yazarız--bu belirli integral.
X eşittir a ve x eşittir b arasındaki dikdörtgenlerin
toplamını alacağız.
Topladığımız alanlar da

French: 
mais c'est juste un rappel.
Où tu … C'est, voilà, 1 des rectangles..
Bon, l'aire du rectangle c'est sa base
fois sa hauteur, non ?
Bien, je vais faire des rectangles vraiment fins et
en sommer une infinité.
Donc nous désirons les faire infinitésimaux.
Bon, appelons la base de rectangle dx.
Puis la hauteur sera
f(x), ici.
Donc ce sera f de ... si c'est x0, ou autre, ou tu peux
juste l'appeler x, non ?
C'est la hauteur du rectangle.
Et, nous voulions obtenir la somme de tout ces
rectangles... non?
Cela va être un groupe de rectangle.
1 ici, 1 là.
Puis nous obtiendrons l'aire, et si nous avons une infinité de
ces rectangles, et qu'ils soient infinitésimaux, nous
avons exactement l'aire sous la courbe.
C'est l'esprit de ce qu'est une intégrale définie.
Et la façon dont on l'écris cela...
c'est l'intégrale définie.
Nous allons faire la sommes de ces rectangles, à partir de la valeur a
pour x, jusqu'à la valeur b pour x.
Et la somme, ou bien les aires que l'on somme, seront...

Polish: 
ale to tylko powtórka.
To jest jeden z prostokątów.
Pole prostokąta to po prostu podstawa
razy wysokość, prawda?
Dobrze, zrobimy te prostokąty naprawdę wąskie
i po prostu zsumujemy nieskończoną ich liczbę.
A więc chcemy zrobić je nieskończenie małe.
Nazwijmy podstawę tego prostokąta dx.
A wysokością prostokąta będzie
f(x) w tym punkcie.
To będzie f od - jeśli to jest x0, lub cokolwiek innego,
możemy nazywać to po prostu f(x), prawda?
To jest wysokość tego prostokąta.
Teraz chcemy zsumować wszystkie te
prostokąty, prawda?
Będzie ich całkiem sporo.
Jeden tutaj, jeden tutaj.
Wtedy otrzymamy pole, a jeśli mamy nieskończoną liczbę
tych prostokątów i są one nieskończenie wąskie,
otrzymujemy dokładnie pole powierzchni pod wykresem.
Taka jest intuicja stojąca za całką oznaczoną.
A tak to zapisujemy - to jest całką oznaczona.
Bierzemy sumę tych prostokątów,
od x równego a do x równego b.
Suma, lub pola, które sumujemy, to będzie -

Spanish: 
pero esto es tan solo un repaso.
Donde tú puedes repasar-- este es quizás 1 de los rectángulos.
Bien, el área del rectángulo es solo base
por altura, verdad?
Bien, vamos a hacer estos rectángulos verdaderamente flaquitos y
simplemente les sumaremos un número infinito.
Queremos hacerlos infinitamente pequeños.
Pero simplemente llamemos la base de este rectángulo dx.
Y luego la altura de este rectángulo será
f de x, a ese punto.
Será f de f-- si este es x0, o lo que sea, tú puedes
simplemente llamarlo f de x, correcto?
Esa es la altura de ese rectángulo.
Y si quisiéramos llevar a cabo la suma de todos estos
rectángulos-- verdad?
Simplemente habrá un puñado de ellos
Uno allí, uno allí.
Luego obtendremos el área, y si tenemos un número infinito
de estos rectángulos, y son infinitamente flaquitos, nosotros
tenemos exactamente el área bajo esa curva.
Esa es la intuición detrás de la Integra definidia.
Y la manera en la que escribimos eso-- esto es la integral definida.
Llevaremos a cabo la suma de estos rectángulos, desde "x" es
igual a "a", hasta "x" es igual a "b".
Y la suma, o las áreas que estamos sumando, serán

iw: 
אבל זוהי רק חזרה.
כאשר תוכל להתבונן -- זהו אולי אחד המלבנים האלה.
טוב, השטח של המלבן הוא פשוט הבסיס
כפול גובה, נכון ?
טוב, נעשה את המלבנים האלה ממש רזים,
ונסכום אינסוף מלבנים כאלה.
אז אנו רוצים לעשות אותם קטנים באופן אינפיניטסימלי.
אבל בואו נקרא לבסיס המלבן הזה פשוט dx.
ואז הגובה של המלבן הזה יהיה
f של x, בנקודה הזו.
זה יהיה f של -- אם זהו x אפס, או משהו, אז תוכל
לקרוא לזה פשוט f של x, נכון ?
זהו גובה המלבן הזה.
ואם נרצה לקחת את הסכום של כל
המלבנים האלה, נכון ?
יהיו לנו הרבה כאלה.
אחד שם, אחד שם.
אז נקבל את השטח, ואם יש לנו אינסוף
מלבנים כאלה, והם רזים באופן אינפי', נקבל
בדיוק את השטח מתחת לגרף.
זוהי האינטואיציה מאחורי האינטגרל המסויים.
והאופן שבו כותבים זאת -- זהו האינטגרל המסויים.
אנו נקח את הסכום של המלבנים האלה, מ- x
שווה a, ועד x שווה b.
והסכום, או השטחים שאנו סוכמים, יהיו --

Indonesian: 
tapi ini hanya ulasan
Di sini kamu bisa mengulang lagi-- inilah salah satu perseginya.
Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah alas
dikali tinggi kan?
Sekarang kita akan membuat persegi tersebut sangat tipis dan
menjumlahkan persegi yang banyaknya tak hingga.
Kita ingin membuatnya sangat kecil.
Sebut saja alas dari persegi ini adalah dx.
dan tinggi dari persegi ini adalah
f(x).
Itu akan menjadi-- jika x = 0 atau berapapun, kita bisa
menyebutnya f(x), kan?
Ini adalah tinggi persegi tsb.
dan jika kita mau mencari jumlah dari semua
persegi itu
akan ada sangat banyak persegi.
Satu disini, satu disini.
Kemudian kita dapat luasnya, 
dan jika kita punya
persegi yang tidak terhingga jumlahnya, dan persegi-persegi itu sangat tipis, kita
akan mendapatkan luas dibawah kurva tsb.
Itulah pengertian dari integral tertentu.
dan cara kita menuliskannya-- itulah integral tertentu.
Kita akan mencari jumlah persegi-persegi itu, dari
x=a , sampai x=b.
Dan jumlahnya, atau luas yang akan kita hitung,

Czech: 
ale tohle je jen ukázka).
Tady vidíte - tohle je třeba jeden z těch obdélníků.
Takže, plocha obdélníku je prostě šířka
krát výška, správně?
No, takže vezmeme ty obdélníčky a nasekáme je strašně úzké
a sečteme je. Chceme jich nekonečně mnoho,
takže je potřebujeme nekonečně tenké.
Označme teď šířku obdélníku dx.
A výška tohoto obdélníku bude rovna f(x)
v onom bodě.
Bude to f v bodě -- pokud tenhle bod bude x0, no, ať je to, co chce,
prostě to nazveme f(x), OK?
A to je výška toho obdélníku.
A když vezmeme součet všech těchto
obdélníků, ...
Nakreslím jich jen pár.
Jeden tady, jeden sem,...
Pak dostaneme tu plochu, a pokud máme nekonečno
těch obdélníků a ony jsou nekonečně tenké,
tak dostaneme přesně tu plochu pod křivkou.
To je ten intuitivní pohled na určitý integrál.
Jak to zapisujeme - tohle je určitý integrál.
Vezmeme součet těchto obdélníků,
od X rovno A po X rovno B.
A ten součet, ty plochy, které sčítáme,

German: 
aber das hier ist nur eine Wiederholung.
wo du überprüfen könntest -- das ist wahrscheinlich eines der Rechtecke.
Also, die Fläche eine Rechtecks ist Grundlinie
mal Höhe, oder?
Also, wir machen diese rechtecke wirklich dünn
rechne einfac eine unendliche Anzahl von ihnen zusammen.
Also wollen wir sie unendlich klein machen.
Aber lass uns die Grundlinie dieses Rechtecks einfach dx nennen.
und dann ist die Höhe dieses Rechtecks
f von x an dieser Stelle.
Es wird f von --- wenn das x0 ist oder was auch immer, dann kann
man es doch einfach f von x nennen, oder
Das ist die Höhe des Rechtseckes
Und wenn wir die Summe all dieser Rechtecke
bilden wollen, ja?
Da gibt's einfach eine ganze Menge davon.
Hier eines und da.
Dann bekommen wir die Fläche, und wenn wir eine unendliche Anzahl
dieser Rechtecke haben und wenn diese unendlich dünn sind,
dann bekommen wir genau die Fläche unter dieser Kurve
Das ist die Idee hinter einem definitem Integral
Und wie wir das schreiben - das ist das definite Integral
Wir bilden die Summen dieser Rechtecke, aus x
gleich a, is x gleich b
Und die Summe oder die Flächen, die wir aufaddieren, sind

English: 
be-- the height is f of x,
and the width is d of x.
It's going to be f
of x times d of x.
This is equal to the
area under the curve.
f of x, y is equal to f
of x, from x is equal to
a to x is equal to b.
And that's just a
little bit of review.
But hopefully, you'll now
see the parallel of how we
extend this to taking the
volume under a surface.
So first of all,
what is a surface?
Well, if we're thinking
in three dimensions, a
surface is going to be
a function of x and y.
So we can write a surface as,
instead of y is a function
of f and x-- I'm sorry.
Instead of saying that y is a
function of x, we can write a
surface as z is equal to
a function of x and y.
So you can kind of view
it as the domain.
Right?
The domain is all of the set
of valid things that you
can input into a function.
So now, before, our domain was
just-- at least, you know, for
most of what we dealt with--
was just the x-axis, or kind of
the real number line
in the x direction.

Korean: 
높이는 x에서의 함수값 f(x), 
넓이는 x축에서의 밑변 dx이어서,
f(x) 곱하기 dx가 됩니다.
이것이 곡선 아래의 넓이와 같게 됩니다.
f(x), 즉 y는 f(x)와 같고, x는 x=a부터
x=b까지.
이렇게 잠깐 개념을 복습하였습니다.
하지만 이를 통해 앞으로 설명할 내용,
즉 어떤 표면 아래의 부피를 계산하는 방법이라는
유사한 개념에 대한 직관이 생겼기를 바랍니다.
그럼 먼저, 표면(surface)이란 뭘까요?
만약 우리가 3차원적으로 생각을 하면,
어떤 표면은 x와 y에 대한 함수가 될 것입니다.
그래서 우리는 표면을,
f와 x에 대한 함수 y, 아 죄송합니다,
x에 대한 함수 y가 아니라,
x와 y에 대한 함수 z로 
표현할 수 있습니다.
그래서 이걸 어떤 영역으로 
볼 수 있습니다,
맞죠?
영역(domain)이란 건 
함수에 대입할 수 있는
모든 것들을 말하는 건데요,
전에는 우리 영역이,
--- 우리가 다뤄온 거의 모든 함수들에
대해선 말이죠, ---
그냥 x축 뿐,
아니면 x축 방향으로 놓인
실수 축이었다면요,

Polish: 
wysokość to f(x), szerokość to dx,
suma to będzie f(x) razy dx.
To jest równe polu powierzchni pod wykresem f(x),
y jest równe f(x), od x równego a,
do x równego b.
To była tylko krótka powtórka.
Mam nadzieję, że teraz widzicie sposób, w jaki
rozszerzymy to w celu obliczania objętości pod powierzchnią.
Po pierwsze, co to jest powierzchnia?
Jeśli myślimy w trzech wymiarach
powierzchnia będzie funkcją od x i y.
Zatem możemy zapisać powierzchnię nie jako funkcję y
od f i x -- o przepraszam.
Zamiast mówić, że y jest funkcją x, możemy zapisać
powierzchnię jako z równe funkcji x i y.
Zatem możecie traktować to jako dziedzinę,
prawda?
Dziedzina to zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości
jakie mogą być argumentami funkcji.
A więc, poprzednio naszą dziedziną była,
przynajmniej w większości wypadków, była po prostu oś x-ów,
lub inaczej mówiąć prosta rzeczywista w kierunku x.

Spanish: 
-- la altura es "f" de "x" y el ancho es "d" de "x".
Será "f" de "x" multiplicado por "d" de "x".
Esto es igual al área bajo la curva.
"f" de "x", "y" es igual a "f" de "x", desde "x" es igual a "a"
hasta "x" es igual a "b".
Y eso es sólo un poco de repaso.
Pero esperemos, que ahora tú verás el paralelo de como
extendremos esto para obtener el volumen bajo una superficie.
Ante todo, qué es una superficie?
Bien, si pensamos en tres dimensiones, una
superficie será una función de x e y.
Entonces podemos escribir superficie como, en vez de "y" es una función
de "f" y "x"-- Perdón.
En vez de decir que "y" es una función de "x", podemos definir una
superficie como "z" es igual a una función de "x" e "y".
Entonces podrás verlo como el dominio.
Correcto?
El dominio es todo el conjunto de cosas válidas que tú
puedes asignar a una función.
Ahora, antes, nuestro dominio era sólo-- al menos, lo sabes por
la mayoría de las cosas que hemos tratado-- fue sólo el eje "x", o
la línea de número real en la dirección "x".

Dutch: 
zijn-- de hoogte is f(x), en de breedte is dx.
Het zal f(x) keer dx zijn.
Dit is gelijk aan het gebied onder de functie.
f(x), y gelijk aan f(x), van x gelijk aan
a tot x gelijk aan b.
En dat is eigenlijk wat herhaling.
Maar hopelijk, zul je nu begrijpen hoe we hiermee
een volume onder een oppervlak kunnen berekenen.
Dus allereerst, wat is een oppervlak?
Wel, als we redeneren in drie dimensies, dan zal
een oppervlak een functie zijn van x en y.
Dus we kunnen het oppervlak schrijven als, in plaats van y als functie te zien
van f en x-- Sorry.
In plaats van te zeggen dat y een functie is van x, kunnen we
een oppervlak schrijven als: z is een functie van x en y.
Dus je kan het zowat zien als een domein.
Het domein is de verzameling van alle mogelijke dingen die je
in een functie kan steken.
Hiervoor was ons domein gewoon -
Voor de meeste dingen waarmee we hebben gewerkt -
was het domein gewoon de x-as, of
eigenlijk de lijn van de reële getallen in de x-richting.

Thai: 
เป็น -- ความสูงคือ f ของ x, และความกว้างคือ d ของ x
มันจะเท่ากับ f ของ x คูณ d ของ x
นี่เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
f ของ x, y เท่ากับ f ของ x, จาก x เท่ากับ
a ถึง x เท่ากับ b
และนั่นก็คือการทวนนิดหน่อย
แต่หวังว่า, คุณจะเห็นความคล้ายกันกับวิธีที่เรา
จะขยายมันไปถึงการหาปริมาตรใต้พื้นผิว
อยากแรกเลย, พื้นที่ผิวคืออะไร?
ทีนี้, หากเรากำลังคิดถึงสามมิติ,
พื้นผิวจะเป็นฟังก์ชันของ x กับ y
ดังนั้นเราสามารถเขียนพื้นผิวเป็น, แทนที่จะเป็น y เท่ากับ
ฟังก์ชันของ f ของ x -- ขอโทษที
แทนที่จะบอกว่า y เป็นฟังก์ชันของ x, เราเขียนเป็น
พื้นผิว เมื่อ z เท่ากับฟังก์ชันของ x กับ y
ดังนั้นคุณอาจมองนี่เป็นโดเมน
จริงไหม?
โดเมนคือเซตของสิ่งต่าง ๆ ที่คุณ
ยอมให้ใส่ลงในฟังก์ชันได้
ทีนี้, ก่อนหน้านี้, โดเมนของเราก็แค่ -- อย่างน้อย, คุณก็รู้,
สำหรับฟังก์ชันที่เราเคยเจอมาส่วนใหญ่ -- ก็แค่แกน x, หรือ
จำนวนจริงทั้งหมดในทิศ x

Estonian: 
-- kõrgus on f x'ist ja laius on d'xst
See tuleb f x'ist korda d x'ist.
See on võrdne pindalaga kõvera all.
f x'ist on võrdne f'iga xõist, x on võrdne
a'ga kuni x on võrdne b'ga.
Ja see on natuke kordamist.
Aga loodetavasti, te nüüd näete paralleelsust, kuidas me
kasutame seda ruumala mõõtmisel pinna all.
Nii, esmalt, mis on pind?
Nii, kui me mõtleme kolmes dimensioonis
pind tuleb funktsioon x'ist ja y'ist
Nii, et me saame kirjutada pinna, kui, selle asemel et y on funktsioon
f'ist ja x'ist-- vabandust.
Selle asemel, et öelda, et y on funktsioon x'ist, me võime kirjutada
et pind z'ina on võrdne funktsiooniga x'ist ja y'ist.
Nii, et te saate seda vaadata, kui piirkonda.
Eks?
Piirkond on kõik õiged väärtused, mida saate
funktsiooni panna.
Nüüd, enne, meie piirkond oli vaid-- vähemalt teate,
enamus millega tegeleme-- oli vaid x-telg, või
arvu joon x-suunas.

German: 
die Höhe ist f von x und die Breite ist d von x
Daraus wird f von x mal d von x.
Und das ist gleich der Fläche unter der Kurve.
f von x, y ist gleich f von x, von x ist gleich
x ist gleich b
Und das ist jetzt ein bisschen Wiederholung.
Hoffenlich seht hr jetzt die Paralelle dazu, wie wir das
ausweiten, um das Volumen unter einer Oberfläche zu ermitteln
Also, zuerst mal: Was ist eine Oberfläche?
Also, wenn wir in drei Dimensionen denken,
ist eine Oberfläche eine Funktion von x und y.
Daher können wir eine Oberfläche beschreiben, anstatt y ist eine Funktion
von f und y - tut mir leid.
Anstatt zu sagen, dass y eine Funktion von x ist, können wir eine
Oberfläche als z beschreiben, die gleich einer Funktion von x und y ist.
das kannst du so als Definitionsbereich sehen.
Oder?
Der Definitionsberich ist der Satz der gültigen Dinge, die du
in eine Funktion einsetzen kannst.
Vorher war unser Definitionegebiet nur - zumindest kennst du das für die meisten Dinge, mit denen wir uns beschäftigt haben -
war also nur die x-Achse oder eine Art von
Linie vn echten Zahlen in die x Richtung

French: 
la hauteur est f de x f(x),
et la largeur est d de x, dx.
Ce sara donc f(x) fois dx.
C'est égal à l'aire sous la courbe.
f(x), y est égal à f(x),
de x=a à x= b.
Et voilà pour ce qui est du petit rappel.
Ainsi je l'espère, tu verras le parallèle avec la façon
d'étendre cela pour mesurer un volume au dessous d'une surface.
Donc avant tout,
qu'est-ce une surface ?
Bon, si nous pensons en 3 dimensions, une
surface sera une fonction de x et de y
Donc nous pouvons écrire que, à la place de y est une fonction
de f(x)... Je suis désolé.
au lieu de dire qu'y est une 
fonction de x, nous pouvons écrire qu'une
surface est z=f(x,y).
Donc tu peux voir cela comme un domaine..
D'accord ?
Le domaine est l'ensemble des valeurs définies en entrée de
la fonction.
Donc maintenant, avant, notre domaine était juste...
du moins, enfin, pour ce dont on s'occupait..
c'était simplement l'axe des x, ou
la droite des nombres dans la direction des x.

Czech: 
výška je f(x), šířka je dx.
Výsledek bude f(x) krát dx.
Což je stejně jako plocha pod tou křivkou.
Funkce f(x), y = f(x), pro x od bodu A do bodu B
Funkce f(x), y = f(x), pro x od bodu A do bodu B
A to je jenom krátké připomenutí.
Ale doufám, že teď pochopíte, jak to rozšíříme
pro výpočet objemu pod povrchem.
Takže nejdřív, co je to povrch?
Tedy, pokud bereme v úvahu tři rozměry, pak
povrch bude funkcí x a y.
Takže můžeme zapsat povrch jako, místo "y je funkcí f a x" ...
Omlouvám se.
Místo toho, abychom řekli, že y je fukcí x, můžeme popsat
povrch takto: z je funkcí x a y.
Takže to můžete chápat jako obor, žejo
Protože obor je všechno,
co můžete do funkce správně vložit.
Takže předtím byl náš obor jenom
-- alespoň po většinu času --
jenom osa x, nebo spíš osa reálných čísel
ve směru x.

Turkish: 
--yükseklik f(x) ve en dx--
f(x) ile dx'in çarpımına eşit olacak.
Bu eğrinin altındaki alana eşittir.
f(x), y eşittir f(x), x eşittir a'dan
x eşittir b'ye kadar.
Ve kısa bir tekrar yapmış olduk.
Umarım ki, şimdi yüzeyin altındaki hacmi bulmak için
bu yöntemi nasıl ilerlettiğimizi göreceksiniz.
Öncelikle, yüzey nedir?
Üç boyutlu olarak düşünürsek,
yüzey, x ve y'nin bir fonksiyonu olacaktır.
Yani yüzeyi şöyle yazabiliriz;
y, f ve x'in fonksiyonudur demek yerine--Pardon.
Y, x'in fonksiyonudur demek yerine,
z, x ve y fonksiyonuna eşittir şeklinde bir yüzey yazabiliriz.
Yani, tanım kümesi olarak düşünebilirsiniz.
Değil mi?
Tanım kümesi, bir fonksiyonun içine koyabileceğiniz
şeylerin setidir.
Sizin bildiklerinize göre tanım kümesi sadece
x ekseni ya da x yönündeki
reel sayılar çizgisiydi.

Indonesian: 
adalah --tinggi = f(x) , dan lebar (alas) = dx.
Itu akan menjadi f(x) dikalikan d(x).
Ini sama dengan luas dibawah kurva.
f(x), y = f(x), dari
x = a sampai x = b.
Dan tadi itu hanya sedikit review.
Tapi semoga sekarang kamu mengerti bagaimana kita
akan menggunakan konsep ini untuk mencari volume dibawah sebuah permukaan.
Jadi pertama-tama, apakah sebuah permukaan itu?
Jika kita memikirkan tiga dimensi, sebuah
permukaan adalah fungsi dari x dan y.
Jadi kita bisa menuliskan permukaan sebagai, daripada
y = f(x)--- Maaf.
Daripada mengatakan kalau y adalah fungsi dari x, kita bisa menulis sebuah
permukaan sebagai z = f(x,y)
Jadi kamu bisa menganggap itu domain nya.
benar kan?
Domain adalah semua himpunan dari sesuatu yang valid yang bisa
dimasukkan ke sebuah fungsi.
sekarang, sebelumnya, domain kita hanya-- setidaknya, kamu tahu, untuk
sebagian besar yang kita hadapi-- hanya sumbu x, atau semacam
garis angka real di arah x.

iw: 
הגובה הוא f ב- x, והרוחב הוא d של x.
זה יהיה f של x כפול d של x.
זה שווה לשטח מתחת לגרף.

Japanese: 
高さ f（ x ）のと幅 dx です。
それは、 f （x）＊ d xになります。
これは、曲線の下の領域に相当します。
y＝f（ x）で、
x はa とb の間です。
これは、復習です。
できれば、
これから、表面下の体積の求め方が分かります。
そこでまず、表面は何でしょうか。
3 次元で考えている場合、
表面 は、x とyの関数になります。
表面は、
f（x）の代わりに
表面は
zで、 x とyの関数といえます。
領域として表示できます。
いいですか？
領域とは、
関数に入力することができるすべてのものです。
だから、前は、領域は
x 軸に沿った、または
x 方向の実数線でした。

Portuguese: 
a altura é f(x) e a largura é dx.
Será f(x) vezes x.
Essa é a área debaixo da curva.
f(x0, y = f(x) de
x = a até x = b.
Isso é só uma revisão.
Mas acho que você vai conseguir ver como
estender isso para achar o volume abaixo de uma superfície.
Primeiramente, o que é uma superfície?
Bem, se nós pensarmos em 3 dimensões,
uma superfície será uma função de x e y.
Então nós podemos escrever a superfície como, ao invés de
y = f(x) - desculpe.
Ao invés de dizer que y é uma função de x, nós desenhamos
uma superfície z = f(x,y).
Então nós podemos ver isso como o domínio da função.
Certo?
O domínio são todos os pontos que você pode
achar em uma função.
Antes, o nosso domínio era somente - pelo menos
para a maior parte do que nós vimos - era somente o eixo-x, ou
a reta dos reais na direção do eixo-x.

Korean: 
이제는 우리의 영역이 
xy평면이 되는 겁니다.
우리는 어떤 x, 어떤 y도 입력할 수 있는데요,
일단 지금은 실수만 고려하겠습니다.
그러면 어떤 새로운 숫자가 튀어나올텐데요,
그 숫자를 그래프에서 표현한다면, 
바로 높이가 됩니다.
그래서 그게 표면의 높이가 
될 수 있는 겁니다.
일단 임의의 표면이 어떻게 
생겼는지 한번 보여드리죠.
혹시 기억 못하실지 모르니까요,
그러고 나서 실제로 표면 아래의
부피를 계산하도록 하겠습니다.
이게 표면입니다.
이것의 함수를 곧 알려드릴텐데,
먼저, 보기에 꽤 근사하죠?
그런데, 보이시는대로,
어떤 표면입니다.
꼭 구부러진 종이 조각 같죠.
좀 더 전형적인 형태로 보이도록 
시점을 바꿔보죠.
그래서 이게 x축 방향,
이게 y축 방향,
그리고 높이는 xy평면에 대한 
함수입니다.
그럼 도대체 어떻게 
이런 평면 아래의
부피를 구하는 걸까요?
부피를 어떻게 구하면 될까요?
좀 무리해 보이죠?
우리가 지금까지 배운
내용만 생각하면
그렇지만, 만약,
여기선 어떤 추상적인 표면만

Polish: 
Teraz naszą dziedziną jest płaszczyzna xy.
Możemy wybrać dowolny x i dowolny y - na tą chwilę ograniczymy się
do liczb rzeczywistych, nie chcę wchodzić w techniczne szczegóły.
I wtedy pojawi nam się kolejna liczba, Jeśli będzie chcieli
ją narysować, to będzie nasza wysokość.
Zatem to może być wysokość powierzchni.
Pokażę wam jak wygląda powierzchnia,
na wypadek gdybyście nie pamiętali.
Nastepnie policzymy objętość pod tą powierzchnią.
To jest powierzchnia.
Podam wam wzór funkcji za chwilę,
ale wygląda całkiem zgrabnie.
Jak możecie zobaczyć, to powierzchnia.
Wygląda jak wygięty kawałek papieru.
Obrócę ją do tradycyjnej formy.
To jest kierunek osi x-ów, a to osi y-ów.
A wysokość to funkcja tego, gdzie znajdujemy się na płaszczyźnie xy.
Zatem jak policzyć objętość pod powierzchnią
taką jak ta?
Jak obliczyć objętość?
Wydaje się to dość trudne, biorąc pod uwagę
co się nauczyliśmy dotychczas.
Narysuję teraz abstrakcyjną powierzchnię,

Thai: 
ตอนนี้โดเมนของเราคือระนาบ xy
เราสามารถให้ค่า x กับ y ใด ๆ -- เราเลยยุ่งกับ
จำนวนจริงหลายตัว, ผมไม่อยากลงรายละเอียดนัก
แล้วมันก็จะบอกเลขอีกตัวมา, และหากเราอยากวาด
กราฟมัน, มันจะเป็นความสูงเรา
โดยมันอาจเป็นความสูงของพื้นผิว
งั้นขอผมแสดงให้คุณเห็นว่าพื้นผิวหน้าตาเป็นอย่างไร, ในกรณี
ที่คุณจำไม่ได้
และเราจะหาปริมาตรใต้ผิวนี้กัน
งั้นนี่คือพื้นผิว
ผมจะบอกฟังก์ชันของมันในไม่ช้า, แต่มัน
ดูเจ๋งดี
แต่อย่างที่คุณคงเห็น, มันเป็นที่เล่นเสิร์ฟ
มันดูเหมือนแผ่นกระดาษที่งอ
ลองดู, ขอผมหมุนมันไปในรูปดั้งเดิม
งั้นนี่คือทิศ x, นี่คือทิศ y
และความสูงจะเป็นฟังก์ชันของที่ที่เราอยู่ในระนาบ xy
แล้วเราจะหาปริมาตรใต้พื้นผิว
อย่างนี้ยังไง?
เราจะหาปริมาตรได้อย่างไร?
ดูเหมือนยากเหมือนกัน, เทียบจากสิ่งที่เราได้
เรียนมา
แต่เกิดอะไรขึ้น -- ผมจะวาดรูป

English: 
Now our domain is the xy plane.
We can give any x and any y--
and we'll just deal with the
reals right now, I don't
want to get too technical.
And then it'll pop out another
number, and if we wanted to
graph it, it'll be our height.
And so that could be the
height of a surface.
So let me just show you what
a surface looks like, in
case you don't remember.
And we'll actually figure out
the volume under this surface.
So this is a surface.
I'll tell you its function
in a second, but it's
pretty neat to look at.
But as you can see,
it's a server.
It's like a piece of
paper that's bent.
Let's see, let me rotate it
to its traditional form.
So this is the x direction,
this is the y direction.
And the height is a function of
where we are in the xy plane.
So how do we figure out
the volume under a
surface like this?
How do we figure
out the volume?
It seems like a bit of a
stretch, given what we've
learned from this.
But what if-- and I'm just
going to draw an abstract

French: 
Maintenant notre domaine est le plan xy.
Nous pouvons choisir un x et un y, pour prendre un cas réel,
Je ne veux pas devenir trop technique.
Donc ça nous donne un autre nombre,
si nous voulions le représenter
graphiquement, cela serait notre hauteur.
Et donc ça semblerait correspondre à la « hauteur » d'une surface.
Donc laisses moi te montrer ce à quoi ressemble une surface, 
au cas
où vous l'auriez oublié.
Et nous déterminerons le
volume sous la surface.
Donc c'est une surface.
Je te dirais à quelle fonction elle correspond
dans deux secondes,
Mais c'est plus clair de le visualiser.
Comme tu peux le voir,
c'est un serveur.
C'est comme une feuille de qui se courbe.
Voyons voir, laisses-moi le faire tourner pour la remettre à l'endroit.
Donc c'est la direction des x (les abscisses),
Et ça des y (les ordonnées).
Et la hauteur et fonction de l'endroit ou tu aies te situes
dans le plan xy.
Donc comment pouvons nous déterminer
le volume sous
une surface, comme celle-ci ?
Comment peut-on déterminer le volume ?
Cela semble un petit peu ambitieux,
étant donnée ce que nous avons
appris pour le moment.
Mais que serais... bon je vais pour l'instant
dessiner une surface

Portuguese: 
Agora, nosso domínio é o plano xy.
Nós podemos pegar qualquer x e qualquer y - considerando somente
os números reais, não vamos nos aprofundar tanto.
Aí aparecerá outro número, que se desenharmos
o gráfico, será a nossa altura.
Então essa será a altura da superfície.
Deixe-me mostrar como uma superfície se parece,
caso você não se lembre.
Nós vamos descobrir o volume abaixo dessa superfície.
Isso é uma superfície.
Já já eu mostro a função, é
bem legal de ver o gráfico.
Como você pode ver, é uma superfície.
É como um pedaço de papel dobrado.
Vamos rodar de volta até a forma tradicional.
Então, essa é a direção x, e essa é a direção y.
E a altura é a função de onde estamos no plano xy.
Assim, como podemos calcular o volume debaixo
de uma superfície como essa?
Como nós descobrimos o volume?
Parece uma extensão do que nós já
estudamos sobre isso
Mas e se - eu vou desenhar uma superfíce

German: 
Nun ist unser Definitionsbereich auf der xy Ebene
Wir können jedes x oder y nehmen - und wir beschäftigen uns
jetzt nur mit realen Zahlen.
Und dann wirft es eine andere Zahl aus, und wenn wir das in einer Graphik darstellen wollten,
so wäre das unsere Höhe.
Und das könnte die Höhe unserer Oberfläche sein.
Lasst mich euch kurz zeigen, wie eine Oberfläche aussieht,
falls ihr euch nicht mehr erinnert.

Czech: 
Teď je ovšem náš obor celá rovina xy.
Můžeme vložit jakékoliv x a jakékoliv y,
a budeme se teď zabývat jen reálnými čísly,
nechtěl bych teď zabíhat do technikálií.
A pak z toho vyskočí další číslo
a pokud to chceme načrtnout, 
může to být výška grafu
Může to být výška naší plochy.
Takže mě nechte, abych vám ukázal,
jak takový povrch vypadá.
Pokud byste třeba zapomněli.
A my dokonce přijdeme 
na objem pod tímto povrchem.
Takže toto je nějaký povrch.
Hned vám řeknu, že je to nějaká funkce, ale
je to docela pěkné na pohled.
Vidíte, že je to jako zprohýbaný kus papíru.
Pojďme to teď otočit do obvyklé pozice.
Takže toto je směr x,
toto je směr y
A výška je funkce toho, 
kde jsme v rovině xy
Takže jak přijdeme na objem pod takovým povrchem?
Jak přijdeme na ten objem?

Dutch: 
Nu is ons domein het xy-vlak.
We kunnen nu een willekeurige x en y pakken -
en we zullen nu alleen met de reële getallen werken,
om het simpel te houden. -
En dan zal er een ander nummer uitkomen, als we het zouden willen
tekenen, zou het onze hoogte zijn.
En dat is dan de hoogte zijn van het oppervlak.
Dus laat me je gewoon even tonen hoe een oppervlak eruit ziet,
voor het geval je het je niet herinnert.
En we zullen het volume onder dit oppervlak uitrekenen.
Dus dit is een oppervlak.
Ik zal je zijn functie zo meteen zeggen, maar het is
wel leuk om naar te kijken.
Maar zoals je kan zien, het is een ....
Het lijkt wel een geplooid stuk papier.
Laat eens zien, laat me het terugdraaien naar zijn traditionele vorm.
Dus dit is de x-richting, dit is de y-richting.
En de hoogte is een functie van waar we zijn in het xy-vlak.
Dus hoe kunnen we het volume onder een
oppervlak zoals dit berekenen?
Hoe berekenen we het volume?
Het lijkt een beetje ver gezocht, gezien wat we
hiervan geleerd hebben.
Maar wat als-- en ik ga gewoon een abstract oppervlak

Estonian: 
nüüd meie piirkond on x-y tasand.
Me võime anda suvalise x ja suvalise y-- ja me tegeleme vaid
realsetega, hetkel, ma ei taha liiga tehniliseks minna.
Ja siis annab ta teise arvu, ja kui tahaksime
graafikuna kujutada, saab sellest meie kõrgus.
Ja nii, see võiks olla pinna kõrgus.
Las ma näitan, milline pind on, juhuks
kui te ei mäleta.
Ja me nuputame välja ruumala selle pinna all.
Nii, see on pind.
Ma ütlen selle funktsiooni hetke pärast, aga
see on päris korralik, kui seda vaadata.
Aga nagu näha on see teenindaja.
See on nagu tükk paberit, mis on painutatud.
Vaatame, las ma keeran ta tema traditsioonilisele kujule.
See on x-suund ja see on y-suund.
Ja kõrgus on funktsioon sellest, kus oleme xy tasandil.
Nii, kuidas me leiame ruumala pinna all
nagu see?
Kuidas me ruumala välja nuputame?
Tundub nagu tükk tööd, teades, mida me
oleme sellest õppinud.
Aga, mis saab, kui-- ja ma joonistan vaid abstraktse

Japanese: 
ここでは、領域が xy 平面です。
任意の x と任意の y を与えることができます。
あまりにも技術的に話さないようにします。
別の数が得られ、
グラフでは、それが高さになります。
表面の高さです。
これは、表面がどのようなものか
描いてみましょう。
実際にこの表面の下の体積を求めます。
これは、表面です。
その関数を設定する前に
視覚化してみましょう。
ご覧のとおり、
それは曲がっている紙のようです。
伝統的な向きに回転させてみましょう。
X 方向と、これは y 方向です。
関数が、このxy 平面がどの高さを示します。
どのように、 表面の下の
体積が得られるでしょう。
体積を求めましょう。
これまでに習っとことより、
かなり離れているように見えます。
しかし、抽象な表面を描画します。

Turkish: 
Şimdi, tanım kümesi xy düzlemi.
Herhangi bir x ve herhangi bir y'ye--şuan sadece
reel sayılarla ilgileniyoruz, çok teorikleşmek istemiyorum.
Sonra, başka bir sayı daha çıkacak ve grafiğini
çizersek, yüksekliğimiz olur.
Ve böylece bir yüzeyin yüksekliği olur.
Şimdi size yüzeyine neye benzediğini göstereyim,
hatırlamazsanız diye.
Bu yüzeyin altındaki hacmi bulacağız aslında.
Yani, bu bir yüzeydir.
Fonksiyonunu hemen söyleyeceğim, zaten
bakması zor bir şekil değildir.
Gördüğünüz gibi bükülmüş bir
kağıt parçasına benziyor.
İlk haline çevireyim.
Bu x yönü, bu da y yönü.
Yükseklik de xy düzleminde nerede olduğumuzu gösteren bir fonksiyondur.
Şimdi, böyle bir yüzeyin altındaki
hacmi nasıl buluruz?
Hacmi nasıl bulabiliriz?
Burada öğrendiğimizden
biraz daha zor görünüyor.
Şuraya bir soyut yüzey çizeceğim.

Spanish: 
Ahora nuestro dominio es el plano "xy".
Podemos dar cualquier "x" e "y"-- y trataremos solamente con los
reales por ahora, no quiero ser demasiado técnico.
Y luego saldrá otro número, y si nosotros queríamos
graficarlo, este será nuestra altura.
Y entonces eso podría ser la altura de una superficie.
Déjame mostrarte cómo luce una superficie, en
caso de que no lo recuerdes.
Y nosotros averiguaremos el volumen bajo esta superficie.
Así que esto es una superficie.
Te diré su función en un segundo, pero es
bastante interesante de observar.
Pero como puedes ver, es una servilleta.
Es como un pedazo de papel que está doblado.
Veamos, déjame rotarlo hacia su forma tradicional.
Entonces esta es la dirección "x", esta es la dirección "y".
Y la altura es una función de dónde nos situamos en el plano "xy".
Cómo calculamos, entonces. el volumen bajo una
superficie como esta?
Cómo averiguamos el volumen?
Parece como un poco de esfuerzo, dado que hemos
aprendido de esto.
Pero que si-- y voy simplemente a dibujar una superficie

Indonesian: 
Sekarang domain kita adalah bidang xy.
Kita bisa memberi berapapun x dan y-- dan kita hanya akan berhadapan dengan
angka real sekarang, saya tidak mau membahas yang terlalu teknis.
dan kemudian fungsi itu akan menghasilkan angka lain, dan jika kita ingin
menggambarnya, ini akan menjadi tingginya.
Jadi z akan menjadi tinggi permukaan.
Saya akan memperlihatkan bagaimana bentuk sebuah permukaan, jika
kamu tidak ingat.
Dan kita akan mencari volume dibawah permukaan ini.
Jadi inilah permukaan.
Saya akan memberi tahu fungsinya sebentar lagi, tapi
lihat dulu ini.
Seperti yang bisa dilihat, inilah permukaan.
Ini seperti sebuah kertas yang miring.
Coba kita putar ke bentuk awalnya.
Jadi ini arah x, ini arah y.
Dan tingginya adalah fungsi dimana kita berada di bidang xy.
Jadi bagaimana kita mencari volume dibawah
permukaan seperti ini?
Bagaimana kita mencari volume nya?
Ini adalah sedikit pengembangan dari yang
telah kita pelajari disini.
Tapi bagaimana jika-- dan saya akan menggambar

Polish: 
narysuję osie.
Popatrzmy, to jest moja oś x-ów,
to jest moja oś y-ów,
a to oś z-ów.
Nie ćwiczę tych wykładów wcześniej, więc często
zastanawiam się co narysować.
Dobrze.
Zatem to jest x, to jest y, a to jest z.
Powiedzmy, że mam pewną powierzchnię.
Po prostu coś narysuję.
Nie wiem co to jest.
Jakaś powierzchnia.
To jest nasza powierzchnia.
z jest funkcją od x i y.
Przykładowo, dajecie mi współrzędne na płaszczyźnie xy.
Powiedzmy tutaj, wstawiam je do funkcji
i otrzymuję wartość z.
Narysuję ją tutaj i będzie to
punkt na płaszczyźnie.
Zatem chcemy policzyć objętość
pod powierzchnią.
Musimy najpierw ustalić granice całkowania, prawda?
Od, powiedzmy, x równego a do x równego b.
Zróbmy najpierw kwadratowy obszar, bo jest

Portuguese: 
abstrata agora, desenhar os eixos.
Vejamos, esse é o meu eixo-x.
Esse é o meu eixo-y.
E esse é o eixo-z.
Eu não pratico esse vídeos antes, então eu tenho
que imaginar o que eu vou desenhar agora.
Certo, então, esses são os eixos x, y e z.
Então, digamos que eu tenha uma superfície.
Vou desenhar qualquer coisa.
Eu não sei o que é...
Uma superfície qualquer.
Essa é a nossa superfície.
Z, que é uma função de x e y.
Então, por exemplo, se você me der uma coordenada (x,y)
Digamos, aqui. Eu colocarei na função e
teremos o valor de z naquele ponto.
Eu ponho ali e será um ponto na superfície.
O que nós queremos calcular é o volume
debaixo de uma superfície
Ora, nós temos que especificar os limites, certo?
Daqui, dizemos que x = a até x = b.
Vamos fazer uma fronteira quadrada,

Indonesian: 
permukaan abstrak disini-- saya akan menggambar beberapa sumbu.
Ini adalah sumbu x.
Ini sumbu y.
Ini sumbu z.
Saya tidak terlalu sering berlatih untuk video-video , jadi saya sering
bingung apa yang akan saya gambar.
OK.
Jadi inilah x, ini y, dan ini z.
Katakanlah saya punya sebuah permukaan
Saya akan menggambar sesuatu.
Saya tidak tahu apa ini.
Sebuah permukaan.
Inilah permukaan kita.
z adalah fungsi dari x dan y.
Jadi, contohnya, kamu memberi saya sebuah koordinat di bidang xy.
Katakanlah, disini, saya akan memasukkannya ke fungsi dan itu akan
memberikan kita nilai z.
Dan saya akan meletakkannya disini dan ini akan menjadi sebuah titik
di permukaan
Jadi kita ingin mencari volume
dibawah kurva.
dan kita harus memberi batasnya, kan?
Dari sini, kita mengatakan x=a , sampai x=b.
Mari buat batas kotak dulu, karena ini

English: 
surface here-- let
me draw some axis.
Let's see, that's my x-axis.
That's my y-axis.
That's my z-axis.
I don't practice these videos
ahead of time, so I'm often
wondering what I'm
about to draw.
OK.
So that's x, that's
y, and that's z.
And let's say I
have some surface.
I'll just draw something.
I don't know what it is.
Some surface.
This is our surface.
z is a function of x and y.
So, for example, you give me a
coordinate in the xy plane.
Say, here, I'll put it into
the function and it'll
give us a z value now.
And I'll plot it there
and it'll be a point
on the surface.
So what we want to figure
out is the volume
under the surface.
And we have to specify
bounds, right?
From here, we said x is equal
to a, to x is equal to b.
So let's make a square
bound first, because this

Estonian: 
pinna siin-- las ma joonistan mingi telje.
Vaatame, see on minu x-telg.
See on minu y-telg.
See on minu z-telg.
Ma ei harjuta nendeks videoteks ette, nii et tihti
mõtlen, mida ma nüüd joonsitama hakkan.
OK.
Nii, see on x ja see on y ja see on z.
Ütleme, et mul on mingi pind.
Ma lihtsalt joonistan midagi.
Ma ei tea, mis see on.
Mingi pind.
See on meie pind.
z on funktsioon x-ist ja y-st.
Nii, näiteks, te andke mulle koordinaat xy tasandil.
Ütleme, siin, ma panen ta funktsiooni ja ta
annab meile z väärtuse nüüd.
Ja ma joonestan ta siia ja ta on punkt
pinnal
Nii, mida me tahame on nuputada välja pindala
pinna all.
Ja me peame täpsustapa piirid, eks?
Siit, me ütlesime x on võrdne a'ga, kuni x on võrdne b'ga.
Teeme ruut piiri esmalt, kuna

Spanish: 
abstracta aquí-- dejame dibujar un eje.
Veamos, ese es mi eje "x".
Ese es mi eje "y".
Ese es mi eje "z".
No practico estos videos con anticipación, así que suelo
preguntarme que estoy por dibujar ahora.
Ok.
Eso es "x", eso es "y", y eso es "z".
Y digamos que tengo alguna superficie.
Simplemente dibujaré algo.
No sé que es esto.
Alguna superficie.
Esta es nuestra superficie
"z" es una función de "x" e "y".
Así, por ejemplo, tú me das una coordenada en el plano "xy".
Digamos, aquí, yo lo pondré en la función y este nos
dará un valor "z" ahora.
Y graficaré allí y ese será un punto
en la superficie.
Lo que queremos averiguar es el volumen
bajo la superficie.
Y tenemos que especificar límites, verdad?
Desde aquí, dijimos "x" es igual a "a" hasta "x" es igual a "b".
Hagamos un límite cuadrado primero, porque esto

Japanese: 
軸を描画しましょう。
x 軸です。
y 軸です。
z 軸です。
ビデオの作成は、事前に練習してないので
思いがけない物を描いたりしますが、
いいですか？
これは x、y、および z です。
ある表面があるとしましょう。
何か描画します。
こんな感じです。
あの表面です。
これが表面です。
z は x と yの関数です。
したがって、たとえば、xy 平面の座標が
あると、この関数が、
z 値を与えます。
それを、グラフすると、
表面に置かれます。
この表面の下の体積を
求めます。
境界を指定されています。
ここでは、x が、aと b間です。
それでは、正方形の領域を指定し

Turkish: 
Eksenler çizeyim.
Bu benim x eksenim.
Bu y eksenim.
Bu da benim x eksenim.
Bu videoları önceden planlamıyorum, o yüzden
ben de ne çizeceğimi merak ediyorum.
Tamam.
Bu x, bu y ve bu da z.
Ve diyelim ki bir yüzeyim var.
Hemen bir şey çizeceğim.
Ne olduğunu bilmiyorum.
Bir yüzey.
Bu bizim yüzeyimiz.
z, x ve y'nin fonksiyonu.
Örneğin, xy düzleminde bir koordinat veriyorsunuz.
Mesela, buraya. Koordinatı fonksiyona yerleştiririz ve
bize bir z değeri verir.
Oraya çizeriz ve yüzey üzerinde
bir nokta olur.
Bulmak istediğimiz şey yüzeyin altındaki
hacim.
Ve sınırları belirlememiz lazım, değil mi?
Burada, x eşittir a'dan , x eşittir b'ye kadar dedik.
İlk olarak kare şeklinde bir sınır çizelim,

French: 
abstraite ici – dessinons
les axes.
Voyons, ça c'est mes x (les abscisses).
ça c'est mon axe des y (mes ordonnées).
ça mon z (mes cotes).
Je ne m'entraine pas à l'avance, donc souvent, je
me demande ce que je vais dessiner.
OK.
Donc c'est x, ça y et ça z.
Maintenant disons que j'ai une surface.
Je vais dessiner un truc.
Je ne sais pas ce que c'est.
Une surface.
C'est notre surface.
z est fonction de x et de y.
Donc, par exemple, tu me donnes des 
coordonnés dans le plan xy.
Disons , ici, je les passerai dans la fonction
et cela nous donnera un z.
Donc je le dessinerai ici et donc je mettrai un point
sur la surface.
So what we want to figure
out is the volume
under the surface.
nous avons à spécifier les limites n'est-ce pas ?
D'ici, disons de x=a à x=b.
Donc commençons par délimiter un carré, pour

Korean: 
그려볼텐데요,
여기 축을 그려보죠.
자 이게 제 x축입니다.
자 이게 제 y축입니다.
자 이게 제 z축입니다.
비디오 만들 때 미리 연습하는 게
아니라서
뭘 그릴지 잘 고민하게 되는데요
OK
그래서 이건 x축, 이건 y축, 이건 z축입니다.
그리고 어떤 표면이 있다고 합니다.
4:28~4.30.33
그냥 이렇게 그려볼까요?
이게 뭔진 저도 잘 모르겠는데요,
어떤 표면
이게 우리의 표면 z이고요,
z는 x와 y에 대한 함수입니다.
그래서, 예를 들어, xy 평면 위의
어떤 좌표가 주어진다고 합시다.
자, 여기. 이걸 함수에 대입하면,
함수는 바로 z 값을 도출해 줍니다.
그럼 전 이걸 점으로
그려넣을 수 있죠.
표면 위의 점이요.
그래서 표면 밑의 부피를
구하고 싶습니다.
그리고 우리는 제한구간을
설정해야겠죠?
여기서, 우린 
x=a부터 x=b까지라고 했었죠.
그럼 이번엔 네모난 구간을
우선 설정해 보도록 하죠.

Thai: 
พื้นผิวขึ้นมาตรงนี้ -- ขอผมวาดแกนหน่อย
ลองดู, นั่นคือแกน x ผม
นั่นคือแกน y
นั่นคือแกน z
ผมไม่ได้เตรียมวิดีโอพวกนี้ล่วงหน้า ผมเลย
สงสัยว่าผมจะวาดอะไรอยู่บ่อย ๆ
โอเค
งั้นนั่นคือ x, นั่นคือ y, และนั่นคือ z
และสมมุติว่าผมมีผิวสักอัน
ผมแค่วาดอะไรสักอย่างขึ้นมา
ผมไม่รู้ว่ามันคืออะไร
พื้นผิวสักอัน
นี่คือผิวของเรา
z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y
งั้น, ตัวอย่างเช่น, คุณบอกพิกัดในระนาบ xy กับผม
เช่น, ตรงนี้, ผมจะใส่มันลงในฟังก์ชัน แล้วมันจะ
ให้ค่า z ตรงนี้กับเรา
และผมจะพลอตมันตรงนี้ และมันจะเป็นจุด
บนผิว
แล้วสิ่งที่เราอยากหา คือปริมาตร
ใต้พื้นผิวนี้
และเราต้องจำกัดเขตมัน, จริงไหม?
จากตรงนี้, เราบอกว่า x เท่ากับ a, ถึง x เท่ากับ b
และขอทำใช้ขอบเขตรูปจัตุรัสก่อน, เพราะนี่

Dutch: 
tekenen hier-- ik zal enkele assen tekenen.
Dit is mijn x-as.
Dat is mijn y-as.
Dat is mijn z-as.
Ik oefen deze videos niet op voorhand, dus ik denk vaak
aan wat ik nu eigenlijk ga tekenen.
Dus dat is x, dat is y, dat is z.
En laten we zeggen dat ik een of ander oppervlak heb.
Ik zal gewoon iets tekenen.
Ik weet niet wat het is.
Een oppervlak.
Dit is ons oppervlak.
z is een functie van x en y.
Dus, bijvoorbeeld, je geeft mij een coordinaat van het xy-vlak.
Laten we zeggen dat ik die in mijn functie stop
Dan geeft de functie ons een bijbehorende z-waarde
En ik kan het hierop afbeelden en het zal een punt zijn
op het oppervlak.
Wat we willen berekenen is het volume
onder het oppervlak.
Dan moeten we grenzen bepalen.
Hier waren die grenzen x = a, tot x = b.
Dus laten we eerst een vierkant begrenzen, want dit

Polish: 
to najprostszy przypadek.
Zatem obszar x-ów i y-ów
tej części powierzchni,
pod którą chcemy obliczyć objętość,
jej cień, jeśli słońce byłoby dokładnie ponad nią, byłby tutaj.
Postaram się narysować to porządnie.
Zatem to jest to, czego objętość chcemy obliczyć.
Jeśli będziemy chcieli narysować to w płaszczyźnie xy,
tak jakby zobaczyć rzut tej powierzchni na płaszczyznę xy,
lub cień powierzchni na płaszczyźnie xy.
Jakie są granice?
Praktycznie to widać - jakie są granice dziedziny?
Powiedzmy, że ten punkt, dokładnie tutaj,
to (0, 0) na płaszczyźnie xy.
Powiedzmy, że to jest
y równe a.
To jest ta linia.

Indonesian: 
akan simple.
Katakanlah domain atau daerah-- bukan domainnya--
daerah dari-- daerah x dan y dari partisi
permukaan ini, bayangannnya akan ada disini.
Saya coba untuk menggambar ini dengan baik/
Jadi daerah inilah yang akan kita cari
volume nya.
dan katakanlah-- jadi, jika kita mau menggambarnya di bidang xy,
seperti yang bisa kamu lihat di proyeksi dari
permukaan di bidang xy, atau bayangan dari
permukaan di bidang xy.
Apakah batasnya?
Kamu bisa lihat-- apa batas dari domainnya?
katakanlah titik ini
disini, adalah (0,0) di bidang xy.
katakanlah ini adalah
y=a.
Itu adalah garis disini.

Turkish: 
çünkü çok daha basit olur.
Yani diyelim ki, tanım kümesi veya bölge--tanım kümesi değil,
bölge-- Yüzeyin bu bölümündeki x ve y bölgesinin
gölgesi burada olacaktır.
En düzgün şekilde çizmeye çalışacağım.
Şimdi, bunun hacmini bulmaya
çalışacağız.
Diyelim ki, xy düzleminde çizmek istiyoruz,
xy düzlemindeki yüzeyin yansıması
ya da xy düzleminin yüzeyinin
gölgelerini görebilirsiniz.
Sınırlar nereler?
Tanım kümesinin sınırları nereler?
Diyelim ki,
xy düzleminde 0,0.
Diyelim ki, y eşittir--mesela,
y eşittir a.
Bu çizgi.

Korean: 
이러면 간단하게 볼 수 있으니까요.
이걸 영역(domain)이 아니라
지역(region)이라고 표현합시다.
5:05.15-5:13
즉 표면의 부피를 구하고자 하는 
x와 y의 범위 말이죠.
5:13-5:19.80
만약 해가 위에 있다면 표면 아래
그림자가 이렇게 생깁니다.
이걸 최대한 예쁘게 그려보겠습니다.
그래서 우리가 부피를 구하려고 하는 게
이겁니다.
그리고 xy 평면에서 이걸 그린다면,
표면이 xy 평면에 투영된 모습,
또는 xy 평면에 표면이 드리운 그림자,
가 되는 것이죠.
구간은 뭔가요?
거의 볼 수 있는데,
영역의 구간은 뭔가요?
자 이 점, 바로 여기
있는 이 점 말이죠,
이게 xy 평면에서 (0,0)이고,
여기 y값은, 음, 그냥
y=a라고 하죠.
이게 바로 여기 있는 선이고요.

Dutch: 
houdt het veel gemakkelijker.
Dus laten we zeggen dat het domein - nee, het gebied
Het xy-gebied van dit deel van het
oppervlak, waaronder we het volume willen weten
Als de zon recht boven dit gebied zou schijnen
Dan zou de schaduw hier zijn.
Ik zal mijn best doen om dit netjes te tekenen.
Dus dit is het gebied waarvan we het volume willen weten.
Laten we zeggen: we willen de grenzen in het xy-vlak tekenen.
Het deel wat je in het xy-vlak tekent is dan een projecie van het oppervlak.
Dit kun je zien als de schaduw van het oppervlak op het xy-vlak.
Wat zijn de grenzen?
Je kan bijna zien-- wat zijn de grenzen van het domein?
Wel, laten we zeggen dat dit punt-- laten we zeggen dat dit
op deze plaats, dat is 0, 0 in het xy-vlak.
Laten we zeggen dat voor dit deel geldt
dat y = a.
Dat is deze lijn hier.

Thai: 
ทำให้ทุกอย่างง่ายขึ้นเยอะ
งั้นสมมุติว่าโดเมนหรือขอบเขต -- ไม่ใช่โดเมนนะ --
แค่เขตของ -- เขตของ x กับ y ในส่วนนี้
ของพื้นผิว, เงาจะเป็นตรงนี้
ขอผมพยายามวาดให้เนี๊ยบที่สุดนะ
ดังนั้นนี่คือสิ่งที่เราพยายามหา
ปริมาตรให้ได้
และสมมุติว่า -- หากเราวาดมันในระนาบ
xy, เช่นเคุณอาจมองโปรเจกชัน
ของพื้นผิวของระนาบ xy, หรือเงาของผิว
ของระนาบ xy
ขอบจะเป็นยังไง?
คุณอาจมอง -- ว่าขอบเขตของโดเมนคืออะไร?
ทีนี้, สมมุติว่า ณ จุดนี้ -- สมมุติว่านี่
ตรงนี้, มันคือ 0, 0 ในระนาบ xy
สมมุติว่านี่คือ y เท่ากับ -- ไม่รู้สิ,
นั่นคือ y เท่ากับ a
นั่นคือเส้นตรงนี่ตรงนี้

Japanese: 
簡単にしておきます。
この部分の表面のxとyの領域で、
この部分の表面のxとyの領域で、
影はここになります。
わかりますか？
この体積を
求めようとしています。
xy 平面を描画したい場合-、
一種の投影を表示することができます。
影の表面です。
xy 平面上の表面の影です。
境界とは何ですか？
ドメインの境界です。
この位置では、
xy 平面の（０、０）です。
この y が
aに等しいとします。
この線です。

English: 
keeps it a lot simpler.
So let's say that the domain or
the region-- not the domain--
the region of-- the x and y
region of this part of the
surface under which we want
to calculate the volume.
Let's say, the shadow-- if
the sun was right above
the surface, the shadow
would be right there.
Let me try my best to
draw this neatly.
So this is what we're
going to try to figure
out the volume of.
And let's say-- so, if we
wanted to draw it in the xy
plane, like you can kind of
view the projection of the
surface of the xy plane,
or the shadow of the
surface of the xy plane.
What are the bounds?
You can almost view-- what are
the bounds of the domain?
Well, let's say that this
point-- let's say that this
right here, that's 0,
0 in the xy plane.
Let's say that this is y is
equal to-- I don't know,
that's y is equal to a.
That's this line right here.

Portuguese: 
para simplificar.
Então, digamos que o domínio, ou região - domínio não,
a região - a região xy desta parte da superfície,
Que abaixo dela nós queremos calcular o volume
Vamos dizer que a sombra da superfície seria bem aqui
Tentarei meu máximo para desenhar bem.
Então, é daqui que nós partimos para
calcular o volume.
Então, se eu quiser desenhar no plano xy,
para você pode ver a projeção da
superfície no plano xy, ou a sombra da
.superfície no plano xy
Quais são as fronteiras?
Quais são as fronteiras do domínio?
Bem, digamos que neste ponto, esse aqui,
por exemplo, (0,0) no plano xy.
Digamos que y é igual a - não sei,
que y = a.
Essa linha aqui.

French: 
simplifier.
Donc, disons que le domaine ou plutôt la région... pas le domaine...
la région de... donc les xy de la région du plan qui correspondent
à cette partie de la surface. L'ombre serait là.
Bon je vais faire de mon mieux la dessiner proprement.
Donc ce que nous allons essayé de déterminer
c'est le volume de.
Disons, donc, si nous voulions dessiner dans le plan xy
qe tel sorte que tu puisses voir cela comme soit une projection
de la surface sur le plan xy, soit l'ombre de
la surface sur le plan xy.
Quelles sont les délimitations ?
Tu peux voir... quelles sont les limites du domaine.
Bon, disons que cela est un point... disons que c'est,
ici, c'est 0, 0 dans le plan des xy.
Disons que cet y est égal à... Je ne sais pas,
Que y=a
C'est donc cette droite là

Spanish: 
hace las cosas mucho más simples.
Entonces digamos que el dominio o la región-- no el dominio--
la región de-- la región "x" e "y" de esta parte de la
superficie, la sombra estaría justo allí.
Haré lo mejor que pueda para dibujarlo precisamente.
De esto intentaremos averiguar
el volumen.
Y digamos-- entonces, si quisieramos dibujarlo en el plano "xy",
como si puedieras ver la proyección de la
superficie del plano "xy", o la sombra de la
superficie del plano "xy".
Cuáles son los límites?
Tu casi puedes ver-- cuáles son los límites del dominio?
Bien, digamos a este punto-- digamos que ese
justo aquí, esto es 0,0 en el plano "xy".
Digamos que ese es "y" igual a-- no lo sé,
esto es "y" es igual a "a".
Esto es esta línea justo aquí.

Estonian: 
see jätab asjad palju kergemaks.
Ütleme, et piirkond, või regioon-- mitte piirkond
et piirkond-- x ja y piirkond sellest osast
pinnasl, vari oleks siin.
Las ma proovin oma parimat, et joonistada see korraliklt.
Nii, see on mida me üritame välja nuputada
pindalast.
Ja ütleme-- kui me tahaksime joonistada teda xy
tasandil, nagu saate kuidagi vaadata pinna projektsiooni
xy pinnal, või pinna varju
xy tasandil
Mis on piirded
Saate peaegu vaadata-- mis on piirkonna piirded?
Ütleme, et see punkt-- ütleme et see
siin, see on 0,0 xy tasandil.
Ütleme, et see on y võrdne-- ma ei tea,
et y on võrdne a'ga.
See on see joon siin.

Thai: 
y เท่ากับ a
และสมมุติว่าเส้นตรงตรงนี้คือ x เท่ากับ b
หวังว่าคุณคงเข้าใจ, จริงไหม?
นี่คือระนาบ xy
หากผมมี x คงที่, มันจะเป็นเส้นตรงแบบนี้
y คงที่, ไดเส้นแบบนี้
แล้วเราก็มีพื้นที่ระหว่างมัน
แล้วเราจะหาปริมาตรใต้อันนี้ยังไง?
ทีนี้ล หากเราหาพื้นที่ของ --
อย่างเช่น แผ่นบางนี่
สมมุติเรามี -- ที่จริง ขอผม
ทำอีกแบบนึง
สมมุติว่าเรามีค่า y คงที่
สมมุติว่าผมมีแผ่นบาง
ผมไม่อยากให้คุณงง
สมมุติว่าผมมี y คงที่
ผมอยากให้คุณเข้าใจหลักการ
คุณก็รู้, สมมุติ
ผมไม่รู้ว่ามันคืออะไร
เป็นค่า y ตามใจ
แต่สำหรับ y คงที่ค่านึง, จะเกิดอะไรขึ้นหากผมสามารถ
หาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้ได้?
ผมจะหาแค่พื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้อย่างไร?

Japanese: 
Y はaに等しいです。
この線では、x は b に等しいとしましょう。
わかりますか？
これは、xy 平面です。
一定の x がある場合は、そのような線でしょう。
定数 yは、この様な線です。
そして、この間の領域があります。
どのようにその下の体積を求めることができるでしょう
まず、面積を把握する場合-
このスライスを取ります。
では、実際に
他の向きに行いましょう。
一定の y があるとします。
スライスを取ります。
いいですか？
あの定数 y としましょう。
いいですか？
いいですか？
これは何でしょう？
これは、任意の y です。
ある一定の y の場合、
そこの曲線の下の面積が求められれば、
曲線の下の面積は把握する方法は何ですか？

English: 
Y is equal to a.
And let's say that this line
right here is x is equal to b.
Hope you get that, right?
This is the xy plane.
If we have a constant x, it
would be a line like that.
A constant y, a line like that.
And then we have the
area in between it.
So how do we figure out
the volume under this?
Well, if I just wanted to
figure out the area of--
let's just say, this sliver.
Let's say we had a--
well, actually let
me go the other way.
Let's say we had a constant y.
So let's say I had some sliver.
I don't want to confuse you.
Let's say that I had
some constant y.
I just want to give
you the intuition.
You know, let's say.
I don't know what that is.
It's an arbitrary y.
But for some constant y, what
if I could just figure out the
area under the curve there?
How would I figure out just
the area under that curve?

Estonian: 
Y on võrdne a'ga.
Ja ütleme, et see joon siin on x on võrdne b'ga
Loodan, et saite aru, eks?
See on xy tasand.
Kui meil on konstant x, oleks see joon nagu see.
Konstant y, selline joon.
Ja siis meil on ala selle vahel.
Nii, kuidas välja mõelda ruumala selle all?
Kui ma tahaksin välja nuputada ruumala--
ütleme sellest lõigust.
Ütleme, meil on-- tegelikult las
ma lähen teisele poole.
meil oli konstant y.
Ütleme, et mul on mingi lõik.
Ma ei taha teid segadusse ajada.
Ütleme, et mul on mingi konstant y.
Ma tahan anda teile vaid aimu.
Teate, ütleme.
Ma ei tea mis see on.
See on mistahes y.
Aga mingi konstandi y jaoks, mis siis, kui ma saaksin vaid välja nuputada
ala selle kõvera all siin?
Kuidas ma nuputaksin välja ala vaid selle kõvera all?

Portuguese: 
y = a
E digamos que essa linha aqui é x = b.
Fácil de ver, certo?
Esse é o plano xy.
Se nós temos uma constante x, seria uma linha como essa.
Um y constante, uma linha assim.
Logo, nós temos a área entre as linhas.
Então, como nós descobrimos o volume abaixo da curva?
Então, se eu quiser descobrir a área
digamos, desta casca.
Nós temos a - não, deixa eu tentar de outro jeito.
Digamos que eu tenha uma constante y.
Podemos pensar que eu tenho uma casca...
Eu não quero confundir vocês.
Digamos que eu tenha um y constante.
Quero que vocês peguem a intuição.
Você sabe, vamos dizer.
Não sei, aqui temos um y qualquer.
Para alguma constante y, e se nós pudéssemos descobrir
a área debaixo da curva aqui?
Como eu poderia calcular apenas a área debaixo dessa curva?

French: 
Y est égal à a.
Et disons que cette droite là est égal à b
En espérant que tu as compris, ok ?
C'est le plan xy.
Si nous avons une constante x, ce serait une droite comme cela.
Une constante y, une droite comme ceci.
et puis nous avons une aire entre les deux droites
Alors, comment est-ce qu'on calcule le volume sous cette aire?
Bon, si je veux juste calculer l'aire de
disons, de cette partie
Disons que nous avons un, bon en fait, laisse-
-moi faire dans l'autre sens
Disons qu'on a une constante y
Et disons qu'on a une partie
Je ne veux pas t'emmêles les pinceaux
Disons que j'ai une constante y
je veux juste te donner une intuition
Je sais, disons
Je sais pas ce que c'est cà
C'est un y arbitraire
Mais pour une certaine constante y, est-ce-que je pourrais juste calculer
l'aire sous la courbe ?
Comment est ce que je pourrais calculer l'aire sous cette courbe là?

Turkish: 
Y eşittir a.
Ve bu çizgi de x eşittir b.
Anlamışsınızdır umarım.
Bu xy düzlemi.
Eğer x sabit olsaydı, böyle bir çizgi olurdu.
Sabit bir y için de böyle bir çizgi.
Ve aralarındaki alan.
Peki, bu alanın altındaki hacmi nasıl bulabiliriz?
Mesela, bu şeridin alanını
bulmak istersek.
Diyelim ki elimizde-- aslında
diğer türlü yapayım.
Diyelim ki, sabit bir y var.
Ve elimizde bir şerit var.
Kafanızı karıştırmak istemiyorum.
Sabit bir y olduğunu farz edelim.
Sadece sezgiyi almanızı istiyorum.
Şöyle diyelim.
Ne olduğunu bilmiyorum.
Rastgele bir y.
Herhangi bir sabit y için, sadece bu eğrinin altındaki
alanı bulsam?
Sadece bu eğrinin altındaki alanı nasıl bulabilirim?

Dutch: 
Y is gelijk aan a.
En laten we zeggen dat voor deze lijn geldt: x = b.
Dit kun je als volgt begrijpen:
Dit is het xy-vlak.
Als we een constante x hebben, dan zou het een lijn zijn zoals dit.
Een constante y, een lijn zoals hier.
De ruimte ertussen is dan de schaduw van het oppervlak.
Hoe berekenen we het volume tussen het oppervlak en de schaduw?
Wel, als ik gewoon het gebied wilde berekenen van--
laten we zeggen, deze ....
Laten we zeggen dat we een-- wel, laten eigenlijk
een andere kant opgaan.
Stel dat we een constante y hebben.
Dus stel ik heb een smal stukje.
Ik wil je niet in de war brengen.
Stel ik heb een constante y.
Ik wil je gewoon het intuïtieve denken meegeven.
De y-waarde kiezen we willekeurig
Wat als ik voor een of andere y-waarde,
het gebied onder de kromme wil berekenen?
Hoe zou ik dit aanpakken?

Korean: 
y=a 입니다.
그리고 바로 여기 이 선은
x=b인 선이고요.
이해되시죠?
이게 xy 평면입니다.
우리가 상수 x가 있으면, 
이런 모양의 선이겠죠.
상수 y는 이런 모양의 선.
그러면 우리는 그 아래의 넓이가 있습니다.
그럼 이 표면 아래의 부피는 어떻게 구하나요?
제가 여기, 여기의 넓이,
이 슬라이스의 넓이를 구한다면,
으음 다른 방법으로
설명하죠.
우리는 상수 y가 주어졌다 합시다.
그래서 이런 슬라이스가 있다고 말이죠.
혼란스럽게 하고 싶지 않은데요,
어떤 상수 y가 주어졌다 합시다.
여러분께 직관적 그림을 보여주고 싶은데요,
그래서,
이게 뭔지 모르겠지만,
어떤 임의의 y라 합시다.
그럼 임의의 상수 y에 대해
이 곡선 아래의 넓이를 알 수 있다면 어떨까요?
이 곡선 아래의 넓이를 어떻게 구할까요?

Indonesian: 
y = a.
dan anggap garis ini adalah x=b.
apa kamu mengerti?
Ini adalah bidang xy.
Jika kita punya x yang konstan, itu akan menjadi garis seperti ini.
y konstan, garis seperti ini.
dan kemudian kita punya luas diantara itu.
Jadi bagaimana kita mencari volume dibawahnya?
Jika saya ingin mencari luas dari--
anggap saja, irisan ini.
anggap kita punya-- saya akan
gunakan cara lain.
anggap kita punya y konstan.
katakanlah saya punya sebuah irisan.
saya tidak ingin membuat kamu bingung.
Anggap saya punya sebuah y konstan
Saya hanya ingin memberi kamu konsepnya.
Anggaplah,
apa ya.
Ini adalah y sembarang.
Tapi untuk sebuah y konstan, bagaimana jika saya bisa mencari
luas dibawah kurva disana?
Bagaimana saya akan mencari luas dibawah kurva saja?

Spanish: 
"y" es igual a "a".
y digamos que esta línea aquí es "x" es igual a "b".
Espero que entendiste eso, si?
Este es el plano "xy".
Si tenemos una "x" constante, sería una línea como esa.
Una "y" constante, una línea como esa.
Y luego tenemos el área entre esto.
Entonces, cómo averiguamos el volumen bajo esto?
Bien, si yo sólo quisiera calcular el área de --
digamos, esta raja.
Digamo que tenemos una -- bien, mejor déjame
hacerlo de otra manera.
Digamos que tenemos una constante "y".
Entonces, digamos que tenemos alguna raja.
No quiero confundirte.
Digamos que yo tengo alguna constante "y".
Yo solo quiero darte la intuición.
Tú sabes, digamos.
No sé qué es eso.
Es una "y" arbitraria.
Pero por alguna constante "y", que si yo simplemente pudiera averiguar el
área bajo la curva allí?
Cómo calcularía yo, simplemente el área bajo esa curva?

Polish: 
y jest równe a.
I powiedzmy, że ta linia to x równe b.
Mam nadzieję, że rozumiecie?
To jest płaszczyzna xy.
Jeśli x byłoby stałe, byłaby to taka linia.
Przy stałym y taka linia.
I obszar pomiędzy nimi.
Zatem jak obliczamy objętość pod powierzchnią?
Jeśli chciałbym obliczyć pole
tego kawałka.
Powiedzmy, że mamy a - nie, pozwólcie,
że przedstawię to inaczej.
Powiedzmy, że mamy stałe y.
Zatem mam jakiś kawałek.
Nie chcę Wam namieszać.
Powiedzmy, że mam stały y.
Chcę tylko dać intuicję.
Dobrze,
nie wiem co to jest,
to jest dowolny y.
Ale dla stałego y, co jeśli mógłbym obliczyć
pole powierzchni pod tą krzywą?
Jak mógłbym obliczyć pole powierzchni pod tą krzywą?

Indonesian: 
Itu akan menjadi sebuah fungsi dari y yang saya pilih, iya kan?
Karena saya memilih y disini, itu akan menjadi luas yang berbeda.
Jika saya pilih y disini, akan menjadi luas yang berbeda.
Tapi sekarang saya bisa melihat ini sebagai masalah yang sama
dengan yang diatas ini.
Saya punya banyak dx-- saya akan ganti warna
agar kamu bisa melihatnya.
Ini dx nya kan?
ini adalah perubahan di x.
dan tingginya adalah fungsi dari x yang
saya punyai dan y yang saya pilih.
Jadi apa yang akan menjadi luas dari selembar kertas ini?
Ini adalah semacam y konstan
Ini merupakan bagian dari-- ini adalah selembar kertas dalam volume ini,
seperti yang bisa kamu lihat.
ini akan menjadi-- kita katakan tinggi dari setiap
persegi ini adalah f(x,y), kan?
Itulah tingginya.

Estonian: 
See oleks funktsioon sellest y'st mis ma valin, eks?
Kuna, kui ma valin y siin, tuleb see erinev ala.
Kui ma valin y siin, on see erinev ala.
Kui ma saaksin seda nüüd jälgida sarnase ülesandena
sellega siin üleval.
Võiksin võtta oma dx'id-- las ma valin erksa värvi
et näeksite seda.
Ütleme, et see on dx, eks?
See on muutus x'is.
Ja siis kõrgus tuleb funktsioon x'ist
Mul on ja y, mille valisin.
Mis oleks siis selle paberi pindala?
See on põhimõtteliselt konstant y.
See on osa-- ta on paberileht selles ruumalas,
Saate seda vaadata.
Nii, ta oleks-- me ütlesime, et kõrgus igast neist
Ristkülikutest on f xy'st, eks?
See on kõrgus.

Portuguese: 
A área será uma função do y que eu escolher, certo?
Porque se eu escolher um y aqui, será uma área diferente.
Se eu escolher um y aqui, será uma outra área.
Mas eu posso ver esse problema como uma extensão
desse aqui.
Eu poderia ter os meus dx - vou pegar uma cor forte
para vocês verem.
Digamos que esse é o meu dx, certo?
Essa é uma variação de x.
Então a altura será uma função do x que eu tenho e
do y que eu escolhi.
Mesmo, que, no entanto, eu esteja assumindo que y é constante.
Então o que seria a área dessa folha de papel?
É como se fosse um y constante.
É uma folha de papel desse volume.
Podemos analisar dessa forma.
Logo, seria - nós dizemos que a altura de cada um
desse retângulo é f(x,y), certo?
Essa é a altura.

Thai: 
มันจะเป็นฟังก์ชันของ y ที่ผมเลือก, จริงไหม?
เพราะหากผมเลือก y ตรงนี้, มันจะเป็นพื้นที่อีกอัน
หากผมเลือก y ตรงนี้, มันจะเป็นพื้นที่อีกอัน
แต่ผมอาจมองอันนี้เป็นปัญหาแบบเดียวกัน
กับอันข้างบนตรงนี้
ผมมี dx ได้ -- ขอผมเลือกสีสว่าง ๆ
ให้คุณเห็นได้หน่อย
สมมุติว่านั่นคือ dx, จริงไหม?
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงใน x
แล้วความสูงจะเป็นฟังก์ชันของ x
ที่ผมมี และ y ที่ผมเลือก
แล้วพื้นที่ของแผนกระดาษนั้นเป็นเท่าไหร่?
มันก็เหมือนกับ y คงที่
มันเป็นส่วนหนึ่งของ -- มันคือแผ่นกระดาษภายใต้ปริมาตรนี้,
คุณอาจมองมันอย่างนั้นก็ได้
ทีนี้, มันจะเป็น -- เราบอกว่าความาสูงของสี่เหลี่ยมแต่ละอัน
คือ f ของ x y, จริงไหม?
นั่นคือความสูง

French: 
Mais je peux voir ce maintenant
Je peux avoir mes dx's--permettez moi choisis un coloure vibrant
J'ai et le y j'ai choisi.

Turkish: 
Seçtiğim y'nin fonksiyonu olacak, değil mi?
Çünkü, eğer burada y seçersem farklı bir alan çıkar.
Burada bir y seçersem, yine farklı bir alan çıkar.
Şimdi bu problemi yukarıdakiyle
benzer olarak düşünebilirim.
Daha canlı bir renk seçeyim,
görebilmeniz için.
Diyelim ki bu dx.
X'teki bir değişiklik.
Ve yükseklik elimdeki x ve seçtiğim y'nin
bir fonksiyonu olacak.
Yani, bu kağıdın alanı ne olur?
Bir çeşit sabit y.
Bu hacmin içinde bir kağıt,
rahatça görebilirsiniz.
Her dikdörtgenin yüksekliği için
x,y fonksiyonu dedik, değil mi?
Bu yüksekliktir.

Spanish: 
Sería una función de la "y" que yo elija, correcto?
Porque si yo elijo una "y" aquí, sería un área diferente.
Si yo elija una "y" allí, será un área diferente.
Pero yo podría ver esto ahora como un problema muy similar
a este aquí arriba.
Podría tener mis "dx"-- déjame elegir un color vibrante
para que puedas verlo.
Digamos que eso es "dx".
Eso es un cambio en "x".
Y luego la altura será una función de la "x"
que tengo y la "y" que he elegido.
Entonces cuál sería el área de esta hoja de papel?
Es como una constante "y".
Es parte de -- es una hoja de papel dentro de este volumen,
tú puedes como verlo.
Bien, este sería-- dijimos que la altura de cada uno de estos
rectángulos es "f" de "xy", verdad?
Esa es la altura.

Dutch: 
Het zou een functie zijn van welke y ik neem, niet?
Want als ik hier een y neem, zal het een ander gebied zijn.
Als ik hier een y neem, zal het een ander gebied zijn.
Merk nu op hoe dit probleem heel veel lijkt
op dit probleem waarmee we waren begonnen
Ik zou mijn dx'en hebben-- laat mij een andere kleur nemen
zodat je het kan zien.
Stel dat dat dx is, juist?
Dat is een verandering in x.
En dan zal de hoogte een functie zijn van de x
die ik heb en de y die ik heb genomen.
Hierbij nemen we steeds aan dat y een constante is
Dus wat zou het gebied zijn van dit blad papier?
Het is eigenlijk een constante y.
Het is een deel van-- het is een blad papier in dit volume,
je kan het wel zien.
Wel, het zou-- we hebben gezegd dat de hoogte van elk van deze
rechthoeken f(x,y) is, juist?

Japanese: 
それは 、どのyを選ぶかに依存します。いいですか？
ここのy を選べば、また別の面積が得られます。
ここの y を選ぶ場合は、また別の面積がされます。
これは非常に似た問題として見ることができます。
これは非常に似た問題として見ることができます。
これが、 dx で、
いいですか？
これがdx です。いいですか？
X の変更です。
高さは x の関数になります。
yを選択しました。
だからこの面積はどうなりますか？
それは、一定の y です。
この紙面はこの体積の中です。
このように、それを表示できます。
それぞれの四角形の高さは
f（x、y）です。いいですか？
これは、高さです。

Korean: 
어떤 y 값을 선택하느냐에 따라 달라지겠죠?
왜냐면 여기 y를 선택하면,
다른 넓이가 되겠죠.
저기 y를 선택하면,
또 다른 넓이가 되겠죠.
하지만 지금 이제 이걸
여기 위에 있는 것과
아주 비슷한 문제로 볼 수 있어요.
여기 dx들, 좀 밝은 색을 골라볼까요?
여러분이 잘 볼 수 있게요.
이게 dx라고 합시다.
x에서의 작은 변화죠.
그럼 높이... 이 높이는...
함수가 됩니다.
여기 주어진 이 x값,
그리고 제가 선택한 y값에 대한 함수 말이죠.
여기서의 y값은 상수가 되겠지만요.
그럼 이 종이장의 넓이는 어떻게 될까요?
y는 상수라고 보시면 되고요.
이건 이 부피 안에 있는
종이 한 장이라고
볼 수 있는데요.
여기 그건, 여기 이 직사각형들의 높이는
f(x, y)이라고 했죠?

Polish: 
To będzie funkcja od y, którego wybrałem.
Jesli wybiorę y tutaj, będzie to inna powierzchnia.
A jeśli wybiorę y tutaj, będzie to jeszcze inna powierzchnia.
Ale teraz otrzymałem problem bardzo podobny do tego,
co robiłem powyżej.
Mam moje dx - użyję jaskrawego koloru,
żebyście mogli to zobaczyć.
To jest dx, tak?
To jest zmiana w x.
Wówczas wysokość będzie funkcją od x
i od y, którego wybrałem.
Chociaż zakładam, że y jest stałe.
Zatem jakie będzie pole tego kawałka papieru.
To jest ustalony y.
Jest częścią, jest kawałkiem papieru wewnątrz tej bryły.
Możecie to zobaczyć.
Wysokość każdego prostokąta
to będzie f(x,y).
To jest wysokość.

English: 
It'll be a function of
which y I pick, right?
Because if I pick a y here,
it'll be a different area.
If I pick a y there, it'll
be a different area.
But I could view this now
as a very similar problem
to this one up here.
I could have my dx's-- let
me pick a vibrant color
so you can see it.
Let's say that's dx, right?
That's a change in x.
And then the height is going
to be a function of the x
I have and the y I picked.
Although I'm assuming,
to some degree, that
that's a constant y.
So what would be the area
of this sheet of paper?
It's kind of a constant y.
It's part of-- it's a sheet
of paper within this volume,
you can kind of view it.
Well, it would be-- we said
the height of each of these
rectangles is f of xy, right?
That's the height.

Polish: 
Zależy od x i y, które wybraliśmy.
A szerokość to będzie dx.
Teraz jeśli to scałkujemy od x równego 0,
do x równego b,
jak to będzie wyglądać?
Będzie wyglądać tak: x chodzi od 0 do b.
Dość dokładnie.
A to da nam funkcję od y.
To da nam takie wyrażenie, że będę
znał pole powierzchni tego kawałka dla dowolnej
wartości y.
Jeśli dacie mi y, ja podam Wam pole powierzchni kawałka
odpowiadającemu temu y.
Co mogę zrobić dalej?
Jeśli znam pole każdego kawałka, co jeśli pomnożę
pole tego kawałka razy dy?
To jest dy.
Narysuję go w nowym jaskrawym kolorze.
dy to bardzo mała zmiana y.

Spanish: 
Depende cuál "x" e "y" elijamos aquí abajo.
Y luego si lo integramos, desde "x" igual a 0, lo cual era
aquí atrás, hasta "x" es igual a "b",
cómo luciría?
Se vería como eso. "x" va desde 0 hasta "b".
Suficiente.
Y esto nos daría justamente una función de "y".
Esto nos daría una expresión tal que yo sabría
el área de esta especie de raja del volumen, para cualquier
valor dado de "y".
Si tú me das una "y" yo puedo darte el área de la raja.
Eso corresponde a esa "y".
Ahora que podría hacer?
Si conozco el área de cual quier raja dada, qué si multiplico el
área de esa raja por "dy"?
Este es un "dy".
Hagámoslo con un color vibrante.
Entonces "dy, un muy pequeño cambio en "y".

Portuguese: 
Vai depender de que x e y eu escolher aqui.
E, então, sua largura será dx
E se nós integrarmos, de x = 0
Que é daqui até o x = b
O que nós acharíamos?
Seria algo assim. x varia de 0 até b.
Perfeito.
E isso vai dar em uma função de y.
Seria uma expressão que eu poderia achar
a área dessa casca de volume, para cada
valor de y.
Se você me der um y, eu digo a área daquela casca
que corresponde àquele y.
Agora, o que eu posso fazer?
Se eu sei a área de cada casca, e se eu multiplicar
essa área por dy?
Este é o dy, vou desenhar em uma cor forte.
Logo dy, uma pequena variação de y.

Korean: 
이게 높이죠.
이건 여기 아래서 어떤 x, y를 고르는지에 따라 좌우돼요.
이것의 두께는 dx일 거에요
그리고 이걸 적분하면, 
즉 x=0, 여기서부터죠,
여기까지, 즉 x=b인 지점까지 말이죠,
그럼 어떻게 될까요?
그러면 이렇게 보일 겁니다.
x는 0부터 b까지죠.
네 그렇습니다.
그리고 이건 결국 y에 대한 함수가 됩니다.
이 함수는 제가 이런 슬라이스의 넓이를
알 수 있게 해주는 표현이 됩니다.
임의의 y값의 슬라이스 넓이 말이죠.
어떤 y값을 주든, 그 y값에 해당되는
슬라이스의 넓이를 계산할 수 있습니다.
자 그럼 이제 뭐하면 되죠?
어떤 슬라이스든 넓이를 알 수 있으면
이 슬라이스 넓이 곱하기 dy하면 뭐가 되죠?
이게 dy입니다
또 좀 선명한 색으로 그려보죠.
이게 dy, y축에 대한 미세한 길이입니다.

Dutch: 
Dat is de hoogte.
Die hoogte hangt af van welke x en y we hiervan nemen.
Dan noemen we de dikte van het papier 'dx'.
En als we het dan integreerden, van x gelijk aan 0, wat
hier is, helemaal tot x gelijk aan b, hoe
zou het er dan uitzien?
Het zou er zo uitzien. x gaat van 0 tot b.
En dit zou ons eigenlijk een functie van y geven.
Dit zou ons een uitdrukking geven zodat ik het gebied zou weten
van deze kleine strook van het volume, voor elke
gegeven waarde van y.
Als je mij een y geeft, kan ik jou het gebied van de smalle strook
geven dat correspondeert met die y.
Nu, wat kan ik doen?
Als ik het gebied ken van om het even welke gegeven strook, wat als ik het
gebied van die strook vermenigvuldidg met dy?
Dit is dy.
Laat me dat even in een betere kleur zetten.
Dus dy is een zeer kleine verandering in y.

Indonesian: 
Ini bergantung x dan y yang kita pilih disini.
Dan jika kita meng-integralkan nya, dari x=0, yang ada
dibelakang sini, sampai ke x=b, seperti
apa bentuknya?
akan terlihat seperti ini. x dari 0 ke b.
begitulah.
dan ini akan memberi kita fungsi dari y
Ini akan memberi kita sebuah ekspresi sehingga saya akan tahu
luas dari irisan dari volume ini, untuk berapapun
nilai y yang diberikan.
Jika kamu memberi saya nilai y, saya bisa memberi tahu luas dibawah irisan.
yang bersesuaian dengan y tsb.
Sekarang apa yang bisa saya lakukan?
Jika saya tahu luas dibawah irisan manapun, bagaimana jika saya mengalikan
luas irisan tsb dengan dy?
Ini adalah dy.
Saya akan menandai nya dengan warna lain.
jadi dy, perubahan yang sangat kecil pada y.

English: 
It depends which x and
y we pick down here.
And then its width is
going to be d of x.
Not d of x, dx.
And then if we integrated it,
from x is equal to 0, which was
back here, all the way to x
is equal to b, what
would it look like?
It would look like that.
x is going from 0 to b.
Fair enough.
And this would actually
give us a function of y.
This would give us an
expression so that I would know
the area of this kind of sliver
of the volume, for any
given value of y.
If you give me a y, I can tell
you the area of the sliver
that corresponds to that y.
Now what could I do?
If I know the area of any given
sliver, what if I multiply the
area of that sliver times dy?
This is a dy.
Let me do it in a
vibrant color.
So dy, a very small
change in y.

Japanese: 
それは、ここで選択されているx と yに依存します。
それを統合する場合は、x は 0 から
b までで、
どのようになりますか？
このように見えます。x は 0 から b になります。
いいですか？
これは実際に y の関数を与えるでしょう。
これにより、一定のyの値で、
このスライスの体積を求める式を
得ることができます。
y が与えられた場合は、
そのy に対応するスライスの面積が求められます。
いいですか？
任意の一部の面積が分かっている場合。
スライスの面積を dy で掛けるとどうなるでしょう？
これは、dy です。
鮮やかな色で描きましょう。
dyは、y の非常に小さな変化です。

Estonian: 
See sõltub sellest, millise x ja y me valime siit alt.
Ja siis, kui me integreerime selle, x'ist on võrdne nulliga, mis oli
siin taga, terve tee x on võrdne b'ni, milline
see välja näeks?
See näeks välja nagu see. x tuleb 0'ist b'ni.
Sobib küll.
Ja see tegelikult annaks meile funktsiooni y'st.
See annaks meile avaldise nii et ma teaksin
pindala sellisest lõigust ruumalast,
ükskõik, mis väärtuse y juures.
Kui te annaksite mulle y, ma võiks öelda teile selle lõigu pindala
mis vastab sellele y'le
Nii, mida saaksin ma teha?
Kui ma tean iga antud lõigu pindala, mis siis, kui ma korrutan
pindala sellest lõigust dy'ga
See on dy
Las ma teen seda erksas värvis.
Nii, dy, väga väike muutus y's

Thai: 
มันขึ้นอยู่กับ x และ y ที่เราเลือกข้างล่างนี้
แล้วหากเราอินทิเกรตมัน, จาก x เท่ากับ 0, ซึ่งก็
คือข้างล่างนี้, จนถึง x เท่ากับ b, มันจะ
เป็นยังไง?
มันดูเหมือนอย่างนั้น x ไปจาก 0 ถึง b
ใช้ได้
นี่บอกเราเป็นฟังก์ชันของ y
นี่จะบอกเราถึงพจน์ที่ทำให้ผมรู้
พื้นที่ของแผ่นบางนี่ของปริมาตร, สำหรับ
ค่า y ที่กำหนดใด ๆ
หากคุณบอกค่า y ผม, ผมก็บอกพื้นที่ของแผ่นบาง
ที่ตรงกับค่า y นั้นได้
แล้วผมทำอะไรต่อได้?
หากผมรู้พื้นที่ของสีเงินใด ๆ, จะเกิดอะไรขึ้นหากผมคูณ
พื้นที่ของสีเงินนั้นด้วย dy?
นี่คือ dy
ขอผมใช้สีสว่างหน่อย
งั้น dy, การเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ใน y

Turkish: 
Hangi x ve y'yi seçtiğimize bağlı olarak değişir.
Sonra da onu x eşittir 0 ile x eşittir b ile
birleştirseydik
neye benzerdi?
Böyle olurdu. X, 0'dan b'ye kadar.
Tamamdır.
Aslında bu da bize bir y fonksiyonu verir.
Bu da, verilen herhangi bir y ile
bu hacimdeki şeridin alanını bilmem için
bana izlenim verir.
Bana bir y verirseniz, o değere karşılık gelecek
şeridin alanını söyleyebilirim.
Şimdi ne yapabilirim?
Verilen şeridin alanını biliyorsam,
o şeridin alanıyla dy'yi çarpsam ne olur?
Bu bir dy.
Canlı bir renkle yapayım.
Dy, y'de çok küçük bir değişiklik.

French: 
C'est bien.
Maintenant que puis-je fait?
C'est un dy
Permettez moi fait ca dans un colour vibrant

Spanish: 
Si yo multiplicara este área por un pequeño "dy", luego
todo derepente, yo tengo una raja de volumen.
Espero que esto os haga sentido.
Estoy haciendo ese-- ese pequeño corte que yo tomé del área de--
haciéndolo tridimensional.
Entonces cuál sería el volumen de esa raja?
El volumen de esa raja será esta función de "y" por "dy",
o toda esta cosa por "dy".
Entonces sería la integral desde 0 hasta "b" de "f" de "xy" "dx".
Eso nos da el área de esta lámina azul.
Ahora si yo multiplico toda esta cosa por "dy",
obtengo este volumen.
Obtiene alguna profundidad.
Esta pequeña área que estoy sombreando aquí, obtiene
profundidad de esa lámina.
Ahora si añadiera todas esas láminas que ahora tienen profundidad, si
yo tomara la suma infinita-- entonces si tomo la integral de esto

English: 
If I multiplied this area
times a small dy, then
all of a sudden I have
a sliver of volume.
Hopefully that
makes some sense.
I'm making that-- that little
cut that I took the area of--
by making it three dimensional.
So what would be the
volume of that sliver?
The volume of that sliver will
be this function of y times dy,
or this whole thing times dy.
So it would be the integral
from 0 to b of f of xy dx.
That gives us the area
of this blue sheet.
Now if I multiply this
whole thing times dy,
I get this volume.
It gets some depth.
This little area that I'm
shading right here gets
depth of that sheet.
Now if I added all of those
sheets that now have depth, if
I took the infinite sum-- so if
I took the integral of this

Thai: 
หากผมคูณพื้นที่ด้วย dy เล็ก ๆ, แล้ว
ในทันใดผมจะได้ปริมาตรบาง ๆ มา
หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
ผมทำให้มัน -- รอยตัดเล็ก ๆ ที่เอาพื้นที่ของ --
ทำให้มันเป็นสามมิติ
แล้วปริมาตรของชิ้นบางนั่นเป็นเท่าไหร่?
ปริมาตรของชิ้นบ้าง จะเป็นฟังก์ชันของ y คูณ dy,
หรือทั้งหมดนั่นคูณ dy
ดังนั้นมันจะเป็นอินทิกรับจาก 0 ถึง b ของ f ของ x y dx
นั่นบอกเราถึงพื้นที่ของแผ่นสีฟ้านี่
ทีนี้หากผมคูณทั้งหมดนั่นด้วย dy,
ผมจะได้ปริมาตรนี้
มันมีความลึกแล้ว
พื้นที่เล็ก ๆ นี่ที่ผมแรเงาตรงนี้
บอกถึงความลึกของแผ่น
ทีนี้หากผมรวมแผ่นพวกนั้นทั้งหมด จะได้ความหนา, หาก
ผมบวกมันถึงอนันต์ -- งั้นหากผมหาอินทิกรัลของอันนี้

Japanese: 
この面積を小さな dy で掛ければ
体積が得られます。
分かりますか？
小さな領域を
3 次元で作成しています。
このスライスの体積は何でしょう？
体積は、この関数に dyを掛けたもの,
またはこの全部 にdy を掛けたものです。
したがって、f（x、y）dxの　0 から b の積分になるでしょう。
この青い面の領域を与えます。
次に、この全体をdyで乗算する場合
この体積が得られます。
深さを取得します。
この小さな影をつけた領域を取得します。
その面の深さです。
この厚みのある面を合計すれば、
これの積分を取った場合は、

Indonesian: 
Jika saya mengalikan luas dengan dy yang kecil, kemudian
saya akan mendapatkan volume sebuah irisan.
Semoga ini bisa dimengerti.
Saya membuat potongan kecil yang saya cari luasnya
dengan membuatnya dalam tiga dimensi.
Jadi apa yang akan menjadi volume irisan tersebut?
Vokume dari irisan itu adalah fungsi dari y dikali dy,
atau semua ini dikali dy.
Sehingga ini akan menjadi integral dari 0 sampai b dari f(x,y) dx
Ini akan memberi kita luas dari irisan biru ini.
Sekarang jika saya mengalikan semua ini dengan dy,
Saya mendapatkan volume nya.
Ini mendapat ketebalan.
Daerah yang saya arsir ini adalah
tebal dari irisan itu
Sekarang jika saya menambahkan semua irisan yang telah mempunyai ketebalan, jika
saya menghitung jumlah tak hingga nya-- jadi jika saya menghitung integral nya

Polish: 
Jeśli przemnożę pole powierzcni razy małe dy,
otrzymam wycinek bryły.
Mam nadzieję, że to brzmi sensowanie.
Robię to poprzez przenoszenie tego małego wycinka,
którego liczyłem pole, do trzech wymiarów.
Zatem jaka będzie objętość tego kawałka.
Objętością tego kawałka będzie ta funkcja y,
albo cała ta całka, razy dy.
Zatem to będzie całka od 0 do b z f(x, y,) dx,
to daje nam pole tego niebieskiego obszaru.
Teraz jeśli pomnożę to wszystko przez dy,
otrzymuję objętość.
To dostaje głębokości.
Ten mały obszar, który właśnie zarysowuję,
dostaje głębokości tego fragmentu.
Teraz, jeśli zsumuję wszystkie fragmenty, które mają głębokość.
Jeśli policzę nieskończoną sumę, czyli jeśli policzę całkę z tego

Turkish: 
Eğer bu alanla küçük bir dy'yi çarparsam,
şeridin hacmini bulmuş olurum.
Umarım mantıklı geliyordur.
Alanını aldığım o küçük kesiği
üç boyutlu hale getiriyorum.
Yani, bu şeridin hacmi ne olurdu?
Şeridin hacmi, y'nin fonksiyonu ile dy'nin çarpımı olur
ya da bu bütünün dy ile çarpımı.
Yani, integral 0'dan b'ye, xy'nin fonksiyonu ve dx.
Bu bize mavi şeridin alanını verir.
Eğer bu bütünü dy ile çarparsam,
hacmi bulurum.
Biraz derinlik kazanıyor.
Bu karaladığım alan
şeride derinlik kazandırıyor.
Şimdi, derinlik kazanan şeritlerin hepsini toplarsam,
yani, aşağıdaki y sınırının--0'dan yukarı y sınırına--

Korean: 
이 넓이 곱하기 dy를 하면,
값자기 이 슬라이스의 부피가 되는 거죠.
이게 여러분께 말이 잘 되고 있기를 바랍니다.
방금 넓이를 구했던 이 작은 단면을 3차원으로
만들어서 부피를 구하는 거죠.
그럼 이 슬라이스의 부피는 뭐죠?
이 y에 대한 함수 곱하기 dy가 되겠죠.
이거 전체 곱하기 dy.
즉 x, y에 대한 함수 f(x,y)를
0부터 b까지 적분하면
이 파란 종이에 대한 넓이가 나오고,
이거 전체를 dy랑 곱하면
이 부피가 나오는 거죠.
어떤 두께 또는 깊이가 생기는 셈이죠.
제가 지금 명암 넣고 있는 이 작은 부분이
이 종이의 깊이가 되는 거죠
이제, 깊이를 갖는 이런 종이들을 모두 더하면,
무한히 합하면, 즉 이것의 인테그랄을 구하면

Estonian: 
Kui ma korrutaksin seda ala väikse dy'ga, siis
järsult on mul ruumala lõik.
Loodetavasti on see loogiline.
Ma teen selle-- selle väikese lõike, millest ma pindala võtsin--
tehes ta kolmedimensiooniliseks.
Mis oleks selle lõigu ruumala?
Selle lõigu ruumala tuleb see funktsioon y'st korda dy,
või terve asi korda dy.
Nii, et see oleks integraal nullist b'ni f'ist xy'st dx.
See annab meile pindala sellest sinisest osast.
Nüüd, kui ma korrutan terve selle asja korda dy,
saan ma selle ruumala.
Ta saab veidi sügavust.
See väike ala, mida ma varjutan siin saab
tolle lehe sügavuse.
Nüüd, kui ma lisasin kõik need lehed, millel nüüd on sügavus, kui
ma võtan selle lõpmatu summa-- kui ma võtan integraali sellest

Portuguese: 
Se eu multiplicar essa área por um pequeno dy, então
eu tenho uma fina porção de volume.
Espero que faça sentido.
Eu estou pegando aquele pequeno corte que eu tomei a área
e tornando-o tridimensional.
Então, qual seria o volume daquela casca?
O volume sera essa função de y vezes dy,
ou tudo isso vezes dy.
Então seria a integral, variando de 0 a b de f(x,y) dx.
Que vai nos dar a área dessa folha azul.
Agora, se eu multiplicar tudo isso por dy,
eu tenho esse volume.
Ganha profundidade.
Essa pequena área sombreada aqui ganha
profundidade.
Agora, se nós somarmos todas essas folhas que têm profundidade, se
eu somar infinitamente, ou seja, tomar a integral,

Dutch: 
Als ik dit gebied vermenigvuldig met een kleine dy, dan
heb ik plots een strook van het volume.
Hopelijk klinkt dit logische.
Ik ben dit aan het maken-- dat kleine stukje dat ik heb genomen van het gebied--
door het driedimensionaal te maken.
Dus wat zou het volume zijn van die strook?
Het volume van die strook zal de functie van y keer dy zijn,
of dat hele ding keer dy.
Dus het zou de integraal zijn van 0 tot b van f(xy)dx.
Dat geeft ons het gebied van dit blauwe deel.
Als we nu dit hele ding vermeningvuldigen met dy,
dan krijg ik dit volume.
Het krijgt wat diepte.
Dit kleine gebied dat ik aan het inkleuren ben krijgt
diepte van dat deel.
Als ik nu alle delen optel dat nu diepte hebben, als
ik de oneindige som nam-- dus als ik de integraalnam van dit

French: 
Je fait ca- ca petit
par faire ce trois-dimensionale
Danc quel est
Maintenant, si je

Thai: 
จากขอบล่างของ y -- จาก 0 ถึงขอบบนของ y คือ a, แล้ว --
อย่างน้อยตามสัญชาตญาณตรงนี้ -- บางทีผมจะ
หาปริมาตรใต้พื้นผิวได้
แต่ช่างเถอะ, ผมไม่อยากทำให้คุณงง
แต่นั่นคือสัญชาตญาณของสิ่งที่เราจะทำ
และผมว่าคุณจะพบว่า ที่จริงการคำนวณ
ปริมาตรนั่นตรงไปตรงมาทีเดียว
โดยเฉพาะเมื่อคุณมีขอบเขต x กับ y คงที่
และนั่นคือสิ่งที่เราจะทำในวิดีโอหน้ากัน
แล้วพบกันใหม่ครับ

Korean: 
y의 구간 최소값, 0부터, 
구간 최대값, a까지 말이죠,
그럼 적어도 우리가 직관적으로 봤을 때,
이 표면 아래의 부피를 구할 수 있을 것 같죠.
암튼, 여러분을 혼란스럽게 하고 싶진 않은데,
이게 앞으로 우리가 하려는 계산에 대한
직관적 설명입니다.
그리고 나서는 사실 실제 부피를 구하는 계산은
사실 꽤 단순하다고 느낄 수 있을 겁니다.
특히나 x와 y에 대한 구간이 고정될 때 말이죠.
그게 바로 다음 비디오에서 할 겁니다.
또 봐요.

Spanish: 
desde my límite inferior-- desde 0 hasta mi límite "y" superior, luego,
al menos basado en nuestra intuición aquí-- quizás yo voy a haber
calculado el volumen bajo esta superficie.
Pero de todas maneras, no quería confundirte.
Pero esa es la intuición de lo que haremos.
Y pienso que tu vas a descubrir que en realidad
calcular los volúmenes es bastante sencillo,
especialmente cuando has fijado los límites "x" e "y".
Y eso es lo que haremos en el próximo video.
Nos vemos pronto.

Indonesian: 
dari batas bawah y-- dari 0 ke batas atas y, a, kemudian--
setidaknya berdasarkan konsep kita ii-- mungkin saya akan
mendapatkan volume dibawah kurva
Tapi saya tidak ingin membuat kamu bingung.
itulah konsep dari apa yang akan kita kerjakan,
dan saya rasa kamu akan mengetahui bahwa
menghitung volume tidaklah rumit,
terutama saat kamu punya batas tetap x dan y.
dan itulah yang akan kita lakukan di video selanjutnya.
sampai bertemu kembali.

Estonian: 
minu madalamast y sidemest-- nullist minu ülemise y sidemeni, siis--
vähemalt meie aimu järgi-- võibolla
nuputan ma välja selle ruumala selle pinna all.
Aga igal-juhul, ma ei tahtnud teid segadusse ajada.
Aga see on see aim sellest, mida me tegema hakkame.
Ja ma arvan, et te leiate et tegelikult
ruumalade arvutamine on üsna otsekohene,
eriti, kui teil on fikseeritud x ja y sidemed.
Ja see on, mida me järgmises videos teeme.
Kohtume varsti.

Portuguese: 
da fronteira de 0 a y, então -
baseado na nossa intuição até aqui, talvez eu tenha conseguido
calcular o volume debaixo dessa superfície.
De qualquer modo, não quero confundir vocês.
Essa é a parte intuitiva do que nós faremos.
E eu acredito que que vocês vão achar que calcular
volumes debaixo de curvas é bastante simples,
ainda mais se as fronteiras x e y forem fixas.
E é isso que nós faremos no próximo vídeo
Até.

Dutch: 
vanaf mijn laagste y-grens-- van 0 tot mijn hoogste y-grens, a, dan--
of toch gebaseerd op onze intuïtie hier-- misschien zal ik
dan het volume onder dit oppervlak vinden.
Maar zowieso, ik wilde je niet verwarren.
Maar dit is de intuïtieve redenering van wat we gingen doen.
En ik denk dat je wel zult ontdekken dat het eigenlijke
berekenen van de volumes eerder direct is,
vooral wanneer je vaste x en y grenzen hebt.
En dat is wat we gaan doen in de volgende video.
Zie je binnenkort.

Japanese: 
yの０からaの積分を取ると
少なくとも直感的に分かると思いますが
この表面の下の体積が得られます。
いいですか。
直観的にわかりましたか。
実際に体積の計算をするのは、
非常に簡単です。
特に、 x と y の境界が与えられている場合は、簡単です。
次のビデオをするつもりです。
じゃあね。

Turkish: 
integralini alırsam
-edindiğimiz sezgiye göre-belki de
bu yüzeyin altındaki hacmi bulmuş olacağım.
Neyse, kafanızı karıştırmak istemedim.
Ama bu yapacaklarımız hakkında bir sezgi.
Ve bence siz de anlayacaksınız ki
hacimleri hesaplamak olduça basit.
Özellikle sabit x ve y sınırlarınız varsa.
Bunu da bir sonraki videoda yapacağız.
Görüşmek üzere.

Polish: 
od mojej dolnej granicy y, czyli od 0, do mojej górnej granicy y, czyli a,
wtedy, intuicyjnie, obliczę
objętość bryły pod tą powierzchnią.
Tak czy inaczej, nie chcę Was zdezorientować.
Taka jest intuicja stojąca za tym, co będziemy robić.
I myślę, że odkryjecie, że obliczanie
objętości jest właściwie dość proste,
szczególnie jeśli mamy ustalone granice x i y.
Tym zajmiemy się w następnym filmiku.
Do zobaczenia.

French: 
Et je croix vous allez
Et c'est que nous allons fait dans le video prochain
Au revoir

English: 
from my lower y bound-- from 0
to my upper y bound, a, then--
at least based on our intuition
here-- maybe I will have
figured out the volume
under this surface.
But anyway, I didn't
want to confuse you.
But that's the intuition of
what we're going to do.
And I think you're going to
find out that actually
calculating the volumes are
pretty straightforward,
especially when you have
fixed x and y bounds.
And that's what we're going
to do in the next video.
See you soon.
