
Modern Greek (1453-): 
[Μάρκους ντι Σατοϊ]  Έχω εμμονή με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Γκέντελ εδώ και πολλά χρόνια επειδή είναι σαν να βάζει αυτόν τον καταπληκτικό
περιορισμό στο τι μπορούμε να ξέρουμε στα μαθηματικά. Πράγματι, είναι ένα αρκετά εκνευριστικό θεώρημα
επειδή στην ουσία λέει πως μπορεί να υπάρχουν
εικασίες εκεί έξω σχετικά με τους αριθμούς, για παράδειγμα κάτι σαν την Εικασία του Γκόλντμπαχ, οι οποίες μπορεί να είναι πραγματικά αληθείς
Δηλαδή ότι μπορεί να είναι αληθές ότι κάθε άρτιος αριθμός είναι το άθροισμα δύο πρώτων
αλλά μπορεί στα πλαίσια του
συστήματος αξιωμάτων που έχουμε για τα μαθηματικά, να μην υπάρχει απόδειξη γι αυτές.
Το μεγάλο πρόβλημα είναι το τι γίνεται αν υπάρχει μια αληθής πρόταση, με την οποία δουλεύω, και η οποία στην πραγματικότητα δεν
έχει απόδειξη.
Τώρα, αυτή είναι μια μεγάλη αποκάλυψη για τα μαθηματικά επειδή, πιστεύω από τους αρχαίους Έλληνες κι έκτοτε,
πιστεύαμε πως κάθε αληθής πρόταση σχετικά με τα μαθηματικά θα έχει απόδειξη. Μπορεί να είναι κάπως δύσκολο να βρεθεί, όπως για το
Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά χρειάστηκαν 350 χρόνια, έως ότου ο συνάδελφός μου στην Οξφόρδη, ο Άντριου Γουάιλς, βρήκε την απόδειξη.

Spanish: 
He estado bastante obsesionado con el teorema de la incompletitud de Gödel durante muchos años porque de alguna manera plantea esta extraordinaria
limitación de lo que podríamos ser capaces de saber en matemáticas. De hecho, es un teorema bastante desconcertante
porque en su corazón dice que podría haber
conjeturas sobre números, por ejemplo, algo como la conjetura de Goldbach, que en realidad podría ser cierta
así que podría ser cierto que cada número par es la suma de dos números primos
pero tal vez dentro del
sistema axiomático que tenemos para las matemáticas, no hay una prueba de ello.
La verdadera preocupación es qué pasa si hay un enunciado verdadero en el que estoy trabajando, el cual
no se puede probar.
La suya es una especie de revelación, Ahora, este es un gran tipo de revelación para las matemáticas porque creo que desde los antiguos griegos
creíamos que cualquier declaración verdadera sobre las matemáticas tendría una prueba, aunque pueda ser muy difícil de encontrar
como el último teorema de Fermat que requirió 350 años, antes de que mi colega en Oxford Andrew Wiles encontrara la prueba.

Serbian: 
[Markus du Satoj] Opsednut sam Gedelovom teoremom nepotpunosti već godinama, jer ona postavlja
veliko ograničenje tome šta možemo znati u matematici. U stvari, to je jedna vrlo razočaravajuća teorema
jer u svojoj osnovi ona kaže da mogu postojati
hipoteze povodom brojeva, kao što je Goldbajova hipoteza, na primer, koje mogu biti istinite
dakle, može biti istinito da je svaki paran broj zbir dva prosta broja
ali je moguće da unutar aksiomatskog sistema
koji imamo u matematici, ne postoji dokaz za to.
Najveća briga je u tome - šta ako radim na istinitoj tvrdnji, ali za nju zapravo
nema dokaza.
Sada, ovo je veliko otkriće za matematiku, jer još od Starih Grka
verujemo da svaka istinita tvrdnja u matematici može biti dokazana. Nekad ga je teško naći,
bilo je prošlo 350 god, dok moj kolega sa Oksforda Endrju Vajls nije dokazao Fermaovu poslednju teoremu, npr.

English: 
[Marcus du Sautoy] I've been quite obsessed with Gödel's incompleteness theorem for many years because it kind of places this extraordinary
limitation on what we might be able to know in mathematics. In fact, it's quite an unnerving theorem
because at its heart it says there might be
conjectures out there about numbers, for example something like Goldbach's conjecture, that might actually be true
So it might be true that every even number is the sum of two primes
but maybe within the
axiomatic system we have for mathematics, there isn't a proof of that.
The real worry is what if there's a true statement that I'm working away on which actually doesn't
have a proof.
Now his is a big kind of revelation for mathematics because I think ever since the ancient Greeks
we believed that any true statement about mathematics will have a proof. It might be quite difficult to find like
Fermat's last Theorem took 350 years to, before my colleague in Oxford Andrew Wiles found the proof.

Spanish: 
pero creo que todos tenemos esta especie de sensación de que seguramente toda declaración verdadera tiene una prueba.
pero Gödel muestra que en realidad hay una brecha entre
verdad y
prueba.
Lo escribí aquí porque es bastante bonito
Así ocurre con estas tarjetas: "la declaración del otro lado de esta tarjeta es falsa".
Supongamos que es verdad. Eso significa que la declaración del otro lado de la tarjeta es falsa
Así que la volteamos y resulta que dice: "la declaración del otro lado de esta tarjeta es verdadera".
O sea, que es falsa. Entonces, la del otro lado también es falsa
pero supusimos que era cierto, entonces es falsa
Entonces, el otro lado es verdad, lo que significa.., y te metes en una especie de ciclo infinito.
Las paradojas verbales están bien porque no esperas que toda
oración verbal tenga un valor de verdad.
Pero luego, cuando fui a la universidad, me di cuenta de que en las matemáticas no puedes tenerlas; sin embargo, cuando recibí el curso

English: 
But I think we all have this kind of feeling like well surely every true statement has a proof
but Gödel shows that actually there's a gap between
truth and
proof.
I wrote it down here because it's quite cute
So it's one of these cards: "the statement on the other side of this card is false".
So let's suppose that's true. So it means that the statement on the other side of the card is false
So we turn it over and then it says: "the statement on the other side of this card is true".
Well, that's meant to be false. So it means the one on the other side is also false
Oh, but we suppose that that was true, so that's false
So the other side is true, which means that --and you get into this kind of infinite loop.
Verbal paradoxes are fine because you don't expect every
verbal sentence to have a truth value to it.
But then, when I went up to university, I realized that [in] mathematics you can't have those; yet when I took this course

Serbian: 
Ali mislim da svi imamo ovaj osećaj da svaka istinita tvrdnja ima dokaz,
ali je Gedel dokazao da zapravo postoji jaz između
istine i
dokaza.
Zapisao sam to ovde jer je zgodno.
Evo na ovoj kartici: "Rečenica na drugoj strani ove kartice je lažna"
Hajde da pretpostavimo da je to istinito. To znači da je rečenica na drugoj strani kartice lažna.
Kada okrenemo, na kartici piše: "Rečenica na drugoj strani ove kartice je istinita".
E sada, to bi trebalo da je netačno. To znači da je on na drugoj strani takođe lažna.
Uh, ali pretpostavili smo da je ona bila istinita, što je bilo pogrešno...
pa je onda na onoj strani istinito, što znači da je ovde ... - i upadamo u beskonačan krug.
Jezički paradoksi ne predstavljaju veliki problem, jer i ne očekujemo da
svaka rečenica ima istinitosnu vrednost.
Ali, kada sam došao na fakultet shvatio sam da u matematici njih ne smemo da imamo; ipak na predavanjima

Modern Greek (1453-): 
Αλλά πιστεύω πως όλοι μας έχουμε αυτήν την αίσθηση πως, σίγουρα, κάθε αληθής πρόταση έχει απόδειξη.
Όμως ο Γκέντελ δείχνει ότι στην πραγματικότητα υπάρχει ένα κενό μεταξύ
αλήθειας και
απόδειξης.
[Τα λεκτικά παράδοξα είναι εντάξει]
Το έγραψα εδώ επειδή είναι αρκετά χαριτωμένο.
Είναι λοιπόν μια απ' αυτές τις κάρτες: «Η πρόταση στην άλλη μεριά της κάρτας είναι ψευδής».
Οπότε ας υποθέσουμε ότι αυτό είναι αληθές. Επομένως σημαίνει ότι η πρόταση στην άλλη μεριά της κάρτας είναι ψευδής.
Οπότε την αναποδογυρίζουμε και λέει: «Η πρόταση στην άλλη μεριά της κάρτας είναι αληθής».
Λοιπόν, αυτή υποτίθεται ότι είναι ψευδές. Επομένως σημαίνει ότι και εκείνη στην άλλη μεριά είναι επίσης ψευδής.
Ω, μα υποθέσαμε ότι αυτή ήταν αληθής, οπότε αυτή είναι ψευδής
Οπότε η άλλη μεριά είναι αληθής, το οποίο σημαίνει οτι  -- και πέφτεις σε τέτοιου τύπου ατέρμονα βρόχο.
Τα λεκτικά παράδοξα είναι εντάξει επειδή δεν περιμένεις κάθε
λεκτική πρόταση να διακατέχεται από μια τιμή αλήθειας.
Αλλά τότε, όταν πρωτοπήγα στο πανεπιστήμιο, συνειδητοποίησα ότι στα μαθηματικά δεν μπορείς να έχεις τέτοια· εντούτοις, όταν πήρα αυτό το μάθημα

Modern Greek (1453-): 
πάνω στην μαθηματική λογική, και μάθαμε για το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Γκέντελ, εκείνος  χρησιμοποιούσε αυτού του τύπου
αυτοαναφορικές προτάσεις ώστε πραγματικά να υπονομεύσει την
πίστη μας πως όλες οι αληθείς προτάσεις μπορούν να αποδειχτούν.
[Τι πιστεύαμε πριν τον Γκέντελ]
Υπήρχε μια αίσθηση πως θα έπρεπε να μπορούμε να αποδείξουμε πως τα μαθηματικά είναι αυτό που ονομάζουμε, συνεπή.
Πως τα μαθηματικά δεν θα δημιουργούν αντιθέσεις.
Αυτό είναι εμπνευσμένο από συγκεκριμένα μικρά παράδοξα τα οποία
άθνρωποι σαν τον Μπέρτραντ Ράσσελ είχαν σκεφτεί.
Ο κόσμος μπορεί να έχει συναντήσει την ιδέα του «συνόλου όλων των συνόλων τα οποία δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως μέλη»
και τότε -- η πρόκληση λοιπόν είναι αν εκείνο το σύνολο είναι σε αυτό το σύνολο ή όχι;
Στην πραγματικότητα, μια πολύ ωραία εκδοχή αυτού είναι ένα άλλο, κάπως μαθηματικό,
τύπου λεκτικό παράδοξο το οποίο είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που μπορoύν να προσδιοριστούν με λιγότερες από 20 λέξεις· οπότε, για παράδειγμα
το 1789, το οποίο είναι ο Αριθμός των Ταξί για τον οποίο ο Ραμανουτζάν και ο Χάρντι έκαναν λόγο, μπορείς να το προσδιορίσεις με λιγότερες από 20 λέξεις.

Serbian: 
iz matematičke logike, učili smo Gedelovu teoremu, i on je koristio ovu vrstu
samo-referencijalnih rečenica da bi oborio
naše uverenje da sve istinite tvrdnje mogu biti dokazane.
Postojao je jak osećaj da bi trebalo da možemo da dokažemo da je matematika nešto konzistentno.
Da se u matematici ne mogu pojaviti protivurečnosti.
Sve ovo je bilo inspirisano određenom vrstom malih paradoksa, koje su
ljudi poput Bertranda Rasela otkrivali.
Gledaoci su možda naišli na ovu priču "skup svih skupova koji ne sadrže sami sebe kao člana"
i sada je pitanje, da li taj skup sadrži sebe ili ne?
Takođe, lepa verzija ovog paradoksa je jedan drugi tip matematičkog
jezičkog paradoksa: "svi oni brojevi koji mogu biti definisani sa manje od 20 reči". Sad, na primer
"1729" što je broj taksija o kojem su Ramanudžan i Hardi govorili, može biti definisan sa manje od 20 reči.

English: 
on mathematical logic, and we learned about Gödel's incompleteness theorem, he used this kind of
self-referential statement to really undermine our
Belief that all true statements could be proved.
There was a feeling like we should be able to prove that mathematics is something called consistent.
That mathematics won't give rise to contradictions.
This have been kind of inspired by certain kind of little paradoxes that
people like Bertrand Russell had come up with.
People might have come across this idea of "the set of all sets that don't contain themselves as members"
and then you-- the challenges well is that set in this set or not?
Actually, a really nice kind of version of this is another sort of mathematical
Kind of verbal Paradox is all those numbers that can be defined in less than 20 words so for example
[1729] which is the taxicab number that Ramanujan and hardy talked about you can define that in less than 20 words?

Spanish: 
de lógica matemática, y aprendimos sobre el teorema de incompletitud de Gödel que usó este tipo de
declaraciones autorreferenciales para realmente socavar nuestra
creencia de que todas las declaraciones verdaderas podrían ser probadas.
Hubo una sensación de que deberíamos poder demostrar que las matemáticas son  consistentes.
que las matemáticas no darán lugar a contradicciones.
Esto ha sido inspirado por cierto tipo de pequeñas paradojas que
a gente como Bertrand Russell se le habían ocurrido.
La gente podría haber encontrado esta idea de "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros"
y luego preguntar si ese conjunto está contenido en sí mismo o no.
En realidad, una versión muy buena de esto es otra clase de
paradoja verbal matemática, la de todos aquellos números que se pueden definir en menos de 20 palabras, por ejemplo,
[1729] , (la placa de taxi sobre la que hablaron Ramanujan y Hardy, Se puede definir en menos de 20 palabras, ya que

Modern Greek (1453-): 
Είναι: «Ο μικρότερος αριθμός ο οποίος είναι το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους», οπότε αυτό είναι μικρότερο από 20 λέξεις
Οπότε μπορείς να προσδιορίσεις τον εξής αριθμο: «Ο μικρότερος αριθμός που δεν μπορεί να προσδιοριστεί σε λιγότερες από είκοσι λέξεις».
Νομίζω τώρα, πως αν το μετρήσεις, μόλις προσδιόρισα αυτόν τον αριθμό σε λιγότερες από 20 λέξεις και σκέφτεσαι:
«Αυτό είναι κάπως ανησυχητικό επειδή  σίγουρα αυτός είναι τέτοιος αριθμός
που μπορούμε να τον ορίσουμε - ο μικρότερος που έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα.
Οπότε υπήρχε αυτό το έντονο αίσθημα πως αυτά τα παράδοξα, αυτά τα θεωρητικά παράδοξα περί των συνόλων, αρχίζαν να γίνονται αληθινή πρόκληση
για τα μαθηματικά κατά την αλλαγή του 20ού αιώνα και ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, ένας από τα
μεγάλα του προβλήματα τα οποία αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά στον 20ο αιώνα,
τα 23 του μεγάλα, μη επιλυμμένα προβλήματα· το δεύτερο ήταν να αποδειχτεί ότι τα μαθηματικά ήταν στην πραγματικότητα συνεπή.
Και συμπεριέλαβε σε αυτό ότι κάθε αληθής πρόταση θα πρέπει να είναι αποδείξιμη, αλλά, τι έκπληξη
έλαβε πραγματικά, 30 χρόνια αργότερα έρχεται αυτός ο Αυστριακός επιστήμονας της λογικής, ο Κουρτ Γκέντελ που καταρρίπτει την ιδέα πως μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα μαθηματικά είναι

Serbian: 
To je: "najmanji broj koji je zbir dva broja na kub na dva različita načina". To je manje od 20 reči.
Onda definišemo sledeći broj: "najmanji broj koji ne može biti definisan sa manje od 20 reči"
E sada, ako ste prebrojali, upravo sam definisao taj broj sa manje od 20 reči.
To je zabrinjavajuće, jer to je ipak nekakav broj
koji možemo definisati, najmanji broj sa nekakvim svojstvom
Zato je postojao jak osećaj da ovi paradoksi, vezani za teoriju skupova, počinju da budu pravi problem
za matematičare, na početku 20og veka. I Dejvid Hilbert je
u okviru velikih problema koje je postavio pred matematiku 20og veka -
ta 23 velika nerešena problema - drugi među njima je bio da se dokaže da je matematika konzistenta.
A to je podrazumevalo da svaka istinita tvrdnja treba da bude dokaziva. Ali kakav šok je usledio!
Trideset godina kasnije, pojavljuje se austrijski logičar Kurt Gedel, koji je potpuno porazio ovu ideju da je moguće

Spanish: 
es el número más pequeño que se puede escribir como suma de dos cubos de dos maneras diferentes,  definición con menos de 20 palabras.
Ahora definimos el número más pequeño que no se puede definir en menos de 20 palabras
Ahora creo que si cuentas, acabo de definir ese número en menos de 20 palabras, y va bien
Eso es un poco inquietante porque seguramente ese es una especie de tipo de número
Podríamos definir el número más pequeño que tiene una propiedad determinada.
Entonces, había una sensación real de que estas paradojas, que este conjunto de paradojas teóricas comenzaban a ser un verdadero desafío
A las matemáticas a finales del siglo XX y David Hilbert uno de sus
grandes problemas con los que desafió las matemáticas en el siglo XX
Sus 23 grandes problemas no resueltos. El segundo era demostrar que las matemáticas eran de hecho consistentes e
incluido en eso estaba que cada declaración verdadera debería ser comprobable. Pero qué shock
al que llegó en realidad 30 años más tarde junto con este lógico austríaco Kurt Gödel que sopla esta idea de que podemos demostrar que la matemática es

English: 
It's the smallest number which is the sum of two cubes in two different ways so that less than 20 words
So then you define the following number then the smallest number which cannot be defined in less than 20 words
Now I think if you count add up, I've just defined that number in less than 20 words, and you go well
That's a bit worrying because surely that is a sort of kind of number
We might define the smallest number which has a certain property.
So there was a real feeling that these paradoxes these set theoretic paradoxes were beginning to be a real challenge
To mathematics at the turn of the 20th century and David Hilbert one of his
big problems that he challenged mathematics with in the 20th -- 20th century
[his] 23 big on unsolved problems the second one was [to] prove that mathematics was in fact consistent and
included in that was that every true statement should be provable, but what a shock
he got actually 30 years later along comes this Austrian logician Kurt Gödel who blows this idea that we can prove math is

English: 
consistent out of the water and shows there are true statements which can't be proved within any mathematical system.
How does mathematics work? We set down things we called axioms which are the kind of things we believe are [the] way
numbers, geometry works, so for example if I take six and I add seven to that
I don't think it's going to be different from taking seven and adding six to that. That seems so blindingly obvious
and that's one of the axioms [of] the way numbers work. So maybe somewhere out there that [goes] wrong, but I don't really care
I'm interested in a mathematics where that is true of all numbers.
And I have rules which allow me to make deductions from those axioms
And that's how mathematics works. Each time we make these logical deductions
we expand the conclusions from these axioms. We can add new axioms if we feel like you know what we haven't actually
captured the whole of mathematics
and that was somehow the -- the mission was we want to have a set of axioms which are strong enough and that we

Serbian: 
dokazati da je matematika konzistentna, pokazavši da postoje istinite tvrdnje koje ne mogu biti dokazane unutar bilo kog matematičkog sistema.
Kako matematika radi? Prvo postavimo aksiome, koji predstavljaju ono kako mislimo da
brojevi ili geometrija rade. Na primer, ako uzmem šest i dodam tome sedam,
mislim da ne to neće biti drugačije nego da sam uzeo 7 i tome dodao 6. To je potpuno očigledno, i
to je jedan od aksioma o tome kako brojevi funkckionišu. Ipak, možda negde tamo to nije tačno, ali to nas ne zanima.
Zanima nas matematika u kojoj je to istinito za sve brojeve.
Pored toga imamo i pravila koja nam omogućavaju da dedukujemo iz tih aksioma.
Tako matematika radi. Svaki put kada napravimo ovakve logičke dedukcije
mi izvlačimo zaključke iz ovih aksioma. Možemo i dodati nove aksiome ako primetimo da da nismo
uhvatili celinu matematike.
I to je zapravo glavna misija. Želimo da imamo skup aksioma koji je dovoljno jak i koji predstavlja

Spanish: 
consistente. Salir fuera del agua y mostrar que hay declaraciones verdaderas que no se pueden probar dentro de ningún sistema matemático.
¿Cómo funcionan las matemáticas? Establecemos cosas que llamamos axiomas que son el tipo de cosas que creemos que son el camino.
En números, en la geometría funciona, así que, por ejemplo, si tomo 6 y sumo 7, eso
no creo que vaya a ser diferente de tomar 7 y sumar 6. Eso parece tan cegadoramente obvio
y ese es uno de los axiomas de la forma en que funcionan los números. Así que tal vez en algún lugar vaya mal, pero realmente no me importa
Yo estoy interesado en las matemáticas donde eso es cierto para todos los números.
Y tengo reglas que me permiten hacer deducciones de esos axiomas
Y así es como funcionan las matemáticas. Cada vez que hacemos estas deducciones lógicas
ampliamos las conclusiones de estos axiomas. Podemos agregar nuevos axiomas si creemos que, ya sabes,  no hemos
capturado la totalidad de las matemáticas.
Y eso fue de alguna manera la ... la misión era que queremos tener un conjunto de axiomas que sean lo suficientemente fuertes y que podamos

Modern Greek (1453-): 
συνεπή και δείχνει πως υπάρχουν αληθείς προτάσεις οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν σε οποιοδήποτε μαθηματικό σύστημα.
[Η σπουδαιότητα των αξιωμάτων]
Πως δουλεύουν τα μαθηματικα; Ορίζουμε πράγματα που ονομάζουμε αξιώματα τα οποία είναι αυτά που πιστεύουμε ότι κατά αυτόν τον τρόπο
οι αριθμοί, η γεωμετρία δουλεύουν. Οπότε για παράδειγμα αν έχω 6 και προσθέσω 7 σε αυτό
δεν πιστεύω πως θα είναι διαφορετικό από το να πάρω 7 και να του προσθέσω 6. Αυτό φάινεται να είναι πασιφανές
και αυτό είναι ένα από τα αξιώματα σύμφωνα με τα οποία δουλεύουν οι αριθμοί. Οπότε ίσως, κάπου εκεί έξω αυτό πάει στραβά, αλλά δεν με νοιάζει πολύ·
με ενδιαφέρουν τα μαθηματικά στα οποία είναι αληθές για όλους τους αριθμούς.
Και έχω κανόνες που μου επιτρέπουν αν κάνω επαγωγές από εκείνα τα αξιώματα.
Και αυτό είναι το πώς δουλεύουν τα μαθηματικά. κάθε φορά που κάνουμε αυτές τις λογικές επαγωγές
διευρύνουμε τα συμπεράσματα από αυτά τα αξιώματα. Μπορούμε να προσθέσουμε νέα αξιώματα αν αισθανόμαστε ότι, ξέρεις, δεν έχουμε πραγματικά
συλλάβει ολόκληρα τα μαθηματικά
και αυτό ήταν κατά κάποιο τρόπο η αποστολή --ήταν πως θέλουμε να έχουμε ένα σύνολο αξιωμάτων τα οποία είναι αρκετά ισχυρά και για τα οποία

Modern Greek (1453-): 
πιστεύουμε πως είναι βασικά σχετικά με τους αριθμούς από τα οποία
μπορούμε να εξάγουμε όλες τις αληθείς προτάσεις για τις οποίες θα έχουμε απόδειξη. Και οπότε η αίσθηση ήταν
λοιπόν ναι, ίσως δεν έχουμε όλα τα αξιώματα και αν έχουμε μια αληθή πρόταση που δεν μπορεί να αποδειχτεί
θα μπορούσαμε να την προσθέσουμε ως ένα νέο αξίωμα και θα διευρύνει το τι μπορούμε να αποδείξουμε στα πλαίσια των μαθηματικών.
Αυτό λοιπόν είναι πολύ σημαντικό για τον Γκέντελ επειδή προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι θα υπάρξει ένα σύνολο από αξιώματα από το οποίο μπορούμε
να συμπεράνουμε όλες τις αλήθειες των μαθηματικών.
[Τι έκανε ο Γκέντελ;]
Ο γκέντελ έκανε κάτι
πολύ έξυπνο επειδή μαγείρεψε έναν τρόπο να επιτρέψει στα μαθηματικά να μιλάνε για τον εαυτό τους.
Αυτό που παρήγαγε λοιπόν ήταν αυτό που τώρα ονομάζουμε Κωδικοποίηση Γκέντελ.
Δηλαδή έδειξε ότι οποιοδήποτε πρόταση που αναφέρεται σε αριθμούς
έχει τον δικό της συγκεκριμένο κωδικό αριθμό. Στην πραγματικότητα πρέπει να χρησιμοποιήσεις πρώτους αριθμούς για να φτιάξεις αυτήν την κωδικοποίηση. Επομένως κάθε πρόταση για τα
μαθηματικά θα μπορούσε να μετατραπεί σε έναν αριθμό, οπότε για παράδειγμα, τα αξιώματα των μαθηματικών από τα οποία προσπαθούμε να φτιάξουμε όλες μας

Serbian: 
osnovu za brojeve, i
iz kojeg možemo da dedukujemo sve istinite tvrdnje, tj. možemo da imamo dokaz. Dakle, postojao je osećaj...
Ok, moda nemamo sve neophodne aksiome, pa ako imamo neku istinitu tvrdnju koju je nemoguće dokazati
možemo da dodamo to kao novi aksiom, i to će proširiti ono što možemo da dokažemo u okviru matematike
Ovo je vrlo važno za Gedela, jer pokušavamo da dokažemo da će postojati skup aksioma iz kojeg je
moguće dedukovati sve istine matematike.
Gedel je uradio nešto
veoma pametno, jer je osmislio način na koji matimatika može da govori sama o sebi
Ono što je osmislio je danas zovemo
 Gedelovim kodiranjem
Napravio je da bilo koja tvrdnja o brojevima
ima sopstveni kod. U stvari, koristio je proste brojeve da bi napravio ovo kodiranje. Svaku tvrdnju
matematike je tako moguće pretvoriti u neki broj. Na primer, aksiomi matematike, iz kojih pokušavamo da napravimo sve naše dedukcije,

English: 
believe are basic about numbers from which
we can deduce all through statements that we will have a proof and so there was a feeling like well, yeah.
Well, maybe we haven't got all of the axioms and if we got a true statement which can't be proved
We could add that as a new axiom and it will expand what we can prove within mathematics
So this is very important for Gödel because we are trying to prove that there will be a set of axioms from which we can
deduce all truths of mathematics.
Gödel did something
very clever because he cooked up a way of allowing mathematics to talk about itself.
So what he produced was the thing we now called the Gödel Coding.
So he showed that any statement about numbers
has its own particular code number. In fact you use prime numbers in order to make this coding. So every statement about
mathematics could be turned into a number so for example the axioms of mathematics from which we are trying to make all of our

Spanish: 
creer que son básicos acerca de los números. De los cuales
podemos deducir a través de las declaraciones una prueba y entonces hubo un sentimiento como bueno, sí.
Bueno, tal vez no tenemos todos los axiomas y si tenemos una declaración verdadera que no puede ser probada
Podríamos agregar eso como un nuevo axioma y expandir lo que podemos probar dentro de las matemáticas
Entonces, esto es muy importante para Gödel porque estamos tratando de demostrar que existirá un conjunto de axiomas del que podamos
deducir todas las verdades de las matemáticas.
Gödel hizo algo
muy astuto porque inventó una forma de permitir que las matemáticas hablaran de sí mismas.
Entonces, lo que produjo fue lo que ahora llamamos Codificación de Gödel.
Entonces él mostró que cualquier declaración sobre números
tiene su propio número de código particular. De hecho, usó números primos para hacer esta codificación. Entonces cada declaración sobre
las matemáticas se podrían convertir en un número. Así que por ejemplo los axiomas de las matemáticas de los cuales estamos tratando de hacer todas nuestras

Serbian: 
imaće svoje kodove u vidu brojeva, i
istinite tvrdnje o matematici, na primer Fermaova poslednja teorema, će takođe imati svoj broj
ali i lažne rečenice, kao na primer "17 je paran broj"
će imati svoj broj.
(Brejdi) Ok, ali kako ovi kodovi tj. brojevi izgledaju. Očigledno će biti ogromni.
Da, oni su ogromni.
ali ovo kodiranje je jedinstveno, pa
pa svaki takav broj može da bude preveden nazad u tvrdnju. Neće svaki broj biti smislena matematička tvrdnja
ali važnije je ovo u drugom smeru: svaka matematička tvrdnja imaće jedinstven broj koji joj je dodeljen.
U nekom smislu nalik kako na kompjuteru skoro sve ima jedinice i nule. Ako sada kucam
i napišem "Gedel" to će biti preveden u ASCII kod, i imaće neki broj
koji je tome dodeljen. Dakle, Gedel je smislio ovo
ali čemu ovo služi? Tome da sada možemo govoriti o dokazu u matematici koristeći ove brojeve.

Spanish: 
deducciones tendrían números de código y
afirmaciones verdaderas sobre las matemáticas, por ejemplo, el último teorema de Fermat, por ejemplo tendrá un número de código, también
declaraciones falsas como "17 es un número par"
tendrá un número de código.
(Brady): Bien, entonces, ¿cómo se ven estos números de código? Obviamente son bestiales.
(Marcus): Son absolutamente enormes
pero es una codificación única por lo
cada número de código se puede trabajar hacia atrás en una declaración; no todos los números tendrán una declaración matemática significativa
pero es más interesante a la inversa: cada enunciado matemático tendrá un número único asociado a él
(Brady): Un poco como la mayoría de las cosas en una computadora, tienen ceros y unos. 
(Marcus): Muy bien. Entonces si estoy tecleando
y escribo el nombre 'Gödel' que se cambiará a código ASCII. Tendrá un número
asociado a ello. Entonces Gödel inventó esto
pero ¿por qué es útil? Porque ahora puedes hablar de pruebas en matemáticas usando estos números

Modern Greek (1453-): 
τις επαγωγές, θα έιχαν κωδικούς αριθμούς και
αληθείς προτάσεις για τα μαθηματικά, όπως για παράδειγμα το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα είχε για παράδειγμα έναν κωδικό αριθμό, επίσης
ψευδείς προτάσεις όπως «το 17 είναι άρτιος αριθμός»
θα έχουν έναν κωδικό αριθμό.
- Οκ, οπότε με τί μοιάζουν αυτοί οι κωδικοί αριθμοί; Είναι προφανώς γιγαντιαίοι.
- Ναι, είναι σαφώς τεράστιοι
αλλά είναι μια μοναδική αρίθμιση οπότε
από κάθε κωδικό αριθμό μπορούμε να γυρίσουμε πίσω σε μία πρόταση -- δεν σημαίνει ότι κάθε αριθμός θα έχει μια μαθηματική πρόταση με κάποιο νόημα
αλλά είναι πιο ενδιαφέρον ανάποδα: Κάθε μαθηματική πρόταση θα έχει έναν μοναδικό αριθμό ο οποίος σχετίζεται με αυτήν.
- Κάπως σαν τα περισσότερα πράγματα στους υπολγιστές μας έχουν μηδέν και ένα. 
- Πολύ καλά. Οπότε, αν πληκτρολογώ
και γράψω το όνομα  «Γκέντελ» θα μεταφραστεί σε ASCII κώδικα. Θα έχει έναν αριθμό
να σχετίζεται με αυτό. Ο Γκέντελ λοιπόν το μαγείρεψε αυτό
αλλά γιατί είναι χρήσιμο; Επειδή μπορείς τώρα να μιλάς για αποδείξεις στα μαθηματικά χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς.

English: 
deductions they would have code numbers and
true statements about mathematics, so for example Fermat's last theorem for example will have a code number, also
false statements like "17 is an even number"
will have a code number.
OK so what do these code numbers look like? They're obviously whoppers.
They're absolutely huge
but it's a unique coding so
every code number can be worked backwards into a statement -- not every number will have a meaningful mathematical statement
but it's more interesting the other way: every mathematical statement will have a unique number associated with it
A bit like how most things in a computer [have] zeroes and ones. Very good. So if I'm typing away
and I write the name 'Gödel' that be changed into ASCII code. It will have a number
associated with it. So Gödel cooked this up
but why is that useful? Because you can now actually talk about proof in mathematics using these numbers

English: 
So you can start to talk about mathematics using mathematics. So for example
you might want to know well, is this particular statement
provable from the axioms?
That -- I'm going to completely simplify this but it'll give you a
feel for it. Essentially it's a bit like saying any statement
whose code number is divisible by the code number of the axioms
will be provable from the axioms. That's an incredible simplification
but it's good because it means now we can talk about proof within --
mathematically to say that something is provable is to say for example that it's code number
must be divisible by the axioms
So now Gödel challenges you with the following
statement: "This statement
cannot be proved from the axioms that we have for our system of mathematics"
So this is actually something that has a code number
We can talk about proof

Spanish: 
Entonces puedes comenzar a hablar sobre las matemáticas usando las matemáticas. Así por ejemplo
es posible que desee saber bien, es esta declaración particular
demostrable a partir de los axiomas?
Eso - voy a simplificar completamente esto pero te dará una
sensación de lo que es. Esencialmente es un poco como decir que cualquier afirmación
cuyo número de código es divisible por el número de código de los axiomas
será demostrable a partir de los axiomas. Esa es una simplificación increíble
pero es bueno porque significa que ahora podemos hablar de pruebas dentro de -
matemáticamente. Decir que algo es comprobable es decir, por ejemplo, que el número de código
debe ser divisible por los axiomas
Entonces ahora Gödel te reta con la siguiente
declaración: "Esta declaración
no se puede probar a partir de los axiomas que tenemos en nuestro sistema de matemáticas "
Entonces, esto es realmente algo que tiene un número de código.
Podemos hablar de la prueba

Serbian: 
Dakle, možemo početi da govorimo o matematici koristeći matematiku. Pa, na primer,
možemo želeti da znamo da li je ova konkretna tvrdnja
dokaziva iz datih aksioma?
Ovo ću potpuno uprostiti, ali daću vam ideju
kako to izgleda. U suštini, to je kao da kažete: "Bilo koja tvrdnja
čiji je kod deljiv kodnim brojem aksioma
biće dokaziva iz datih aksioma." Ovo je ogromno pojednostavljenje,
ali je dobro jer to sada znači da možemo da govorimo o dokazima
matematički. Reći da je nešto dokazivo, sada znači nešto kao reći da je njegov kodni broj
deljiv kodnim brojem aksioma.
E sada, Gedel postavlja izazov sledećom
tvrdnjom: "Ova tvrdnja
ne može biti dokazana iz datih aksioma" koje imamo u našem matematičkom sistemu.
Ovo je nešto što ima svoj kodni broj.
Možemo govoriti o dokazu

Modern Greek (1453-): 
Επομένως, μπορείς να ξεκινήσεις να μιλάς για τα μαθηματικά χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Οπότε για παράδειγμα
μπορεί να θες να ξέρεις, είναι λοιπόν αυτή η συγκεκριμένη πρόταση
αποδείξιμη από τα αξιώματα;
Αυτό --πρόκειται να το απλοποιήσω τελείως αυτό αλλά θα σου δώσει
την άισθηση γι αυτό. Στην ουσία είναι κάπως σαν να λέμε πως οποιαδήποτε πρόταση
της οποίας ο κωδικός αριθμός διαιρείται με τον κωδικό αριθμό των αξιωμάτων
θα είναι αποδείξιμη από τα αξιώματα. Αυτό είναι μια απίστευτη απλούστευση
αλλά είναι καλή γιατί σημαίνει πως τώρα μπορούμε να μιλήσουμε για απόδειξη μέσα στα --
με μαθηματικό τρόπο. Να πούμε ότι κάτι είναι αποδείξιμο είναι σαν να λέμε για παράδειγμα ότι ο κωδικός αριθμός του
πρέπει να διαιρείται από τους αριθμούς των αξιωμάτων
[Η πρόκληση του Γκέντελ]
Οπότε τώρα, ο Γκέντελ σε προκαλεί με την ακόλουθη
πρόταση: «Αυτή η πρόταση
δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα που έχουμε στο συστημα των μαθηματικών μας».
Οπότε, αυτό είναι πράγματι κάτι που έχει έναν κωδικό αριθμό.
Μπορούμε να μιλήσουμε για απόδειξη

Spanish: 
usando números. Entonces esta será una declaración que se puede cambiar a una ecuación matemática. Ahora esto tiene sentido porque una ecuación en
matemáticas, es verdad o es falsa.
Comencemos diciendo que la declaración es falsa. Eso significa que esta declaración es
comprobable a partir de los axiomas, es cierto, pero una declaración demostrable debe ser cierta
Entonces, comenzamos con algo que asumimos que era falso y ahora dedujimos que es cierto.
Entonces tenemos una contradicción y asumimos que las matemáticas son consistentes así que no podemos tener contradicciones
- esto es importante - eso significa que no puede ser falso
Esto significa que debe ser verdadera porque una declaración matemática es verdadera o falsa. No es como estas
paradojas lingüísticas que simplemente no tienen un valor de verdad. Es una ecuación de las matemáticas.
Es verdadera o falsa.
Acabamos de mostrar que si es falsa, eso lleva a una contradicción. Esto significa que
esta declaración debe ser verdadera

Serbian: 
koristeći brojeve, pa će ovo biti tvrdnja koju je moguće pretvoriti u jednačinu. Sada, pošto je ovo neka jednačina
u matematici, ona je ili istinita ili lažna.
Hajde da pretpostavimo da je lažna. To znači da "Ova tvrdnja je
dokaziva iz datih aksioma" je istinito. Ali dokaziva tvrdnja mora biti istinita.
Pošli smo sa pretpostavkom da je nešto lažno, a sada smo zaključili da je to istinito.
Dakle, upali smo u protivurečnost, a pretpotsavljamo da je matematika konzistentna i da u njoj nema protivurečnost
- ovo je važno - to znači da ona ne može biti lažna.
To znači da mora da bude istinita , jer tvrdnje matematike su ili istinite ili lažne. To nije nalik onim
jezičkim paradoksima koji naprosto nemaju istinitosne vrednosti. Ovo je neka matematička jednačina.
Ili je istinita ili je lažna.
Upravo smo videli da ako je lažna, to vodi u protivurečnosti. To znači da
data tvrdnja mora biti istinita.

English: 
using numbers so this will be a statement that can be changed into a mathematical equation. Now this means because it's an equation in
mathematics, it's either true or it's false
So let's start by saying that the statement is false. That means that "This statement is
provable from the axioms" is true, but a provable statement must be true
So now we've started with something which we assumed was false and now we've deduced that it's true
so we've got a contradiction and we're assuming that mathematics is consistent so we can't have contradictions
-- this is important -- so that means it can't be false
This means it must be true because a mathematical statement is either true or false. It's not like these
linguistic paradoxes which just don't have a truth value. It is an equation of mathematics
It's either true or it's false
We've just shown if it's false, that that leads to a contradiction. This means that
this statement must be true

Modern Greek (1453-): 
χρησιμοποιώντας αριθμούς ώστε αυτή να γίνει μια πρόταση που μπορεί να αλλάξει σε μαθηματική εξίσωση. Τώρα αυτό σημαίνει πως επειδή είναι εξίσωση στα
μαθηματικά, είναι είτε αληθής ή είναι ψευδής.
Επομένως ας αρχίσουμε λέγοντας πως αυτή η πρόταση είναι ψευδής. Αυτό σημαίνει πως το «Αυτή η πρόταση είναι
αποδείξιμη από τα αξιώματα" είναι αληθές, αλλά μια αποδείξιμη πρόταση πρέπει να είναι αληθής
Οπότε τώρα, ξεκινήσαμε με κάτι το οποίο υποθέσαμε πως ήταν ψευδές και τώρα καταλήξαμε στο ότι είναι αληθές
άρα έχουμε αντίφαση και υποθέτουμε ότι τα μαθηματικά είναι συνεπή, οπότε δεν μπορούμε να έχουμε αντιφάσεις
-- αυτό είναι σημαντικό -- οπότε αυτό σημαίνει πως δεν μπορεί να είναι ψευδής.
Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είναι αληθής. Επειδή μια μαθηματική πρόταση είναι είτε αληθής είτε ψευδής.  Δεν είναι σαν αυτά
τα γλωσσικά παράγωγα τα οποία δεν έχουν τιμή αλήθειας. Αν είναι μια εξίσωση των μαθηματικών
τότε είναι είτε αληθής είτε ψευδής.
Μόλις δείξαμε ότι αν είναι ψευδής, αυτό μας οδηγεί σε αντίφαση. Αυτό σημαίνει ότι
αυτή η πρόταση πρέπει να είναι αληθής.

Spanish: 
Ah, genial. Tenemos una declaración verdadera
pero ahora vamos
reinterpretar lo que dice
Dice: "Esta declaración no puede probarse a partir de los axiomas". Ahora tenemos una declaración verdadera
que no puede probarse que es verdadera a partir de los axiomas de las matemáticas
Y eso es exactamente lo que Gödel quería. Ahora tiene una declaración de matemáticas
la cual es cierta pero no puede ser probada. Pero entonces, un momento, ¿cómo es que realmente
demostramos que era verdad? Acabamos de probar que
es verdad. Y es muy importante articular lo que hemos hecho dentro de un sistema matemático con ciertos axiomas.
Encontramos una declaración verdadera dentro de ella que no puede probarse verdadera dentro de ese sistema.
Hemos demostrado que es cierto trabajando fuera del sistema y mirando porque ahora podemos agregar eso como un axioma
Es una declaración verdadera, por lo que no hará algo que era consistente
inconsistente. Entonces podríamos agregar eso como un axioma y ahora podemos decir, bien ahora tenemos una prueba porque es solo un axioma
Es uno de estos tipos de infinitos

Serbian: 
A, super. Imamo istinitu tvrdnju.
Ali hajde da sada
utvrdimo šta kaže.
Ona kaže:"Ova tvrdnja ne može biti dokazana iz datih aksioma". Sada imamo istinitu tvrdnju
koja ne može biti dokazana kao istinita iz aksioma matematike.
I to je baš ono što Gedel hteo. Sada ima tvrdnju matematike
koja je istinita ali koju je nemoguće dokazati. Pada nam napamet: stani, kako smo zapravo
dokazali da je istinita? Mi smo samo dokazali
da je istinita. Vrlo je važno prepoznati da ono što smo uradili je - unutar sistema matematike sa određenim aksiomima
smo našli istinitu tvrdnju koja ne može biti dokazana kao istinita unutar tog sistema
Dokazali smo da je istinita radeći van sistema i gledajući unutra. I sad to možemo dodati kao aksiom.
To je istinita tvrdnja, pa neće učiniti nešto što je konzistentno
inkonzistentnim. Dakle, možemo dodati to kao aksiom i, reći ćete - ok sada imamo dokaz jer je to naprosto aksiom.
Ali to je jedan od onih beskonačnih

English: 
Ah, great. We've got a true statement
but let's now
reinterpret what it says
It says "This statement cannot be proved from the axioms." We have now got a true statement
which cannot be proved true from the axioms of mathematics
And that's exactly what Gödel wanted. He's now got a statement of mathematics
which is true but cannot be proved. And you go hold on, how do we actually
prove that was true? We just proved
it's true. And it's very important to articulate what we have done is within a system of mathematics with certain axioms
we found a true statement within there which can't be proved true within that system
We've proved it's true by working outside the system and looking in because we can now add that as an axiom
It's a true statement, so it won't make something which is consistent
inconsistent. So we could add that as an axiom and you say well now we've got a proof because it's just an axiom
It's one of these kind of infinite

Modern Greek (1453-): 
Α, τέλεια! Έχουμε μια αληθή πρόταση
αλλά τώρα ας
ξαναμερμηνεύσουμε αυτό που λέει.
Λέει "Αυτή η πρόταση δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα". Τώρα έχουμε μια αληθή πρόταση
η οποία δεν μπορεί να αποδειχτεί αληθής από τα αξιώματα των μαθηματικών.
Και αυτό είναι ακριβώς αυτό που ήθελε ο Γκέντελ. Τώρα έχει μια μαθηματική πρόταση
που είναι αληθής αλλά δεν μπορεί να αποδειχτεί. Κι εσύ σκέφτεσαι: Περίμενε, πώς
αποδείξαμε ότ ήταν αληθής; Μόλις αποδείξαμε
ότι είναι αληθής. Και είναι πολύ σημαντικό να διατυπώσουμε ότι αυτό που κάναμε είναι ότι στα πλαίσια ενός συστήματος μαθηματικών με κάποια αξιώματα
βρήκαμε μια αληθή πρόταση εκεί μέσα η οποία δεν μπορεί να αποδειχτεί αληθής μέσα σε εκείνο το σύστημα
Εμεία αποδείξαμε ότι είναι αληθής δουλεύοντας έξω από το σύστημα και κοιτώντας μέσα του · επειδή τώρα μπορούμε να την προσθέσουμε εκείνη ως αξίωμα
Είναι μια αληθής πρόταση, άρα δεν θα κάνει κάτι το οποίο είναι συνεπές
ασυνεπές. Οπότε θα μπορούσαμε να την προσθέσουμε ως αξίωμα και τώρα να πούμε ότι έχουμε απόδειξη επειδή είναι απλά ένα αξίωμα.
Είναι ένα από αυτού του τύπου τις άπειρες

Modern Greek (1453-): 
οπισθοχωρήσεις. Ο Γκέντελ λέει πως αυτό δεν θα σε βοηθήσει επειδή μπορώ ακόμα να μαγειρέψω μέσα στο νέο σύστημα
μια άλλη πρόταση που είναι αληθής
αλλά μη αποδείξιμη.
Οπότε είναι αυτό το ζήτημα της άπειρης οπισθοδρόμισης που λέει πως δεν έχει σημασία πόσο διευρύνεις τα μαθηματικά, προσθέτοντας αξιώματα,
πάντα θα λείπει κάτι, κάπως σαν, αν θυμάστε την απόδειξη ότι υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί
Λες υποθέτουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένοι σε πλήθος πρώτοι, τότε αποδεικνύεις ότι υπάρχουν κάποιοι πρώτοι που λείπουν από εκείνη την λίστα και λες, ωραία
θα τους προσθέσω αυτούς και ο Ευκλείδης συνεχίζει να κάνει το ίδιο κόλπο
Λοιπόν, αυτό εξακολουθεί να μην είναι ικανοποιητικό επειδή υπάρχουν ακόμα πράγματα που λείπουν .
Ο Γκέντελ έχει ένα παρόμοια αίσθηση με αυτό, ότι
θα μπορούσες να διευρύνεις τα μαθηματικά σου για να την προσθέσεις αυτήν ως αξίωμα
αλλά αυτό δεν θα βοηθήσει επειδή μπορεί να συνεχίζει να παίζει το ίδιο παιχνίδι
[Περίερεγες "Γκεντελιακές" προτάσεις]
-Μοιάζει σαν αυτό το πρόβλημα να είναι απλά περιορισμένο σε αυτήν
την μικρή γωνιά της αυτοαναφοράς, σαν να μην μοιάζει να βγάζει [την Εικασία] του Γκόλντμπαχ εκτός εμβέλειας
και άλλα πράγματα εκτός εμβέλειας.
Είναι απλά ένα μικρό παιχνίδι που μπορείς να παίξεις με το να αναφέρεσαι στον εαυτό σου.

Serbian: 
regresa. Gedel kaže da to neće pomoći, jer ja uvek mogu da u tom novom sistemu napravim
drugu tvrdnju koja je istinita
ali nedokaziva.
Dakle, to je beskonačni regres koji nam kaže - nebitno je koliko proširujete matematiku, dodajući aksiome,
uvek će nešto nedostajati. Kao, ako se sećate, u dokazu da ima beskonačno mnogo prostih brojeva.
Pretpostavimo da imamo konačno mnogo prostih brojeva, onda dokažete da postoji prost broj koji nedostaje na toj listi i kažete - ok
dodaćemo taj u listu. Ali Euklid nastavlja sa istim trikom.
"Ali to i dalje nije dovoljno dobro, jer i dalje postoje oni koji nedostaju..."
Gedel ima sličan momenat ovde.
Vi možete da probate da proširite matematiku dodavanje toga kao aksioma
alito neće pomoći, jer on može da nastavi da igra istu igru.
(Brejdi) Deluje kao da je ovaj problem ograničen na
ovaj samo-referencijalni ćošak, ne deluje kao da ovo stavlja Goldbaha van domašaja
ili druge stvari van domašaja...
Kao da je samo neka igrica koju možeš da se igra sa samo-referencijalnošću.

English: 
regresses. Gödel says that's not going to help you because I can still cook up within this new system
another statement which is true
but unprovable
So it's a sort of infinite regress thing that says that no matter how much you expand mathematics, adding axioms,
they will always be missing something, a little bit like if you remember the proof that there are infinitely many primes
You say suppose there are finitely many primes, then you prove that there's some primes missing from that list and you say well
I'll add those and Euclid just keeps playing the same trick
Well that's still not good enough because there are still some things missing
Gödel has a similar kind of feel to it that
you might try and expand your mathematics to add that as an axiom
but that won't help because he can keep on playing the same game
It feels like though this problem is just restricted to this
little self-referential corner, like it doesn't feel like this puts Goldbach out of reach
and other things out of reach
It's just this one little game you can play with referencing to itself

Spanish: 
regresivos. Gödel dice que eso no te va a ayudar porque todavía puedo cocinar dentro de este nuevo sistema
otra declaración que es verdadera
pero no comprobable
Entonces, es una especie de regresión infinita que dice que no importa cuánto expandas las matemáticas, agregas axiomas,
igual siempre faltará algo. Un poco como si recuerdan la prueba de que hay infinitos primos
Dice que supongamos que hay muchos primos, finitos, y luego pruebas que faltan algunos primos de esa lista y dices bien,
agregaré esos y Euclides solo sigue jugando el mismo truco
Bueno, esto todavía no es lo suficientemente bueno porque todavía faltan algunas cosas
Gödel tiene un sentimiento similar al de que
puedes intentar expandir tus matemáticas agregando estas cosas como axiomas
pero eso no ayudará porque puedes seguir jugando el mismo juego
(Brady): Parece que este problema solo se limita a este
pequeño rincón autorreferencial, ya que no parece que esto ponga a Goldbach fuera de alcance
y otras cosas fuera de alcance
Es solo este pequeño juego con el que puedes jugar haciendo referencia a sí mismo

Serbian: 
Tome su se matematičari nadali: "Ok, postoje neke čudne
logičke bizarne rečenice, koga je briga za njih, one ionako nemaju neki matematički sadržaj".
Mislim da su se ljudi ponadali da hipoteze kao što je Goldbahova
neće biti među tim tvrdnjama. Ali ta nada je razbijena.
U 1977.
neki matematičari su ukazali na tvrdnje o brojevima koje liče na one Goldbahove, i pomislio bi:
"Da, to je nešto što bi želeo da bude dokazivo kao istinito". I onda su oni pokazali da su ove tvrdnje
koje su
istinite, ali nisu dokazive u vrlo standardnom sistemu matematike.
Stoga, otkrili smo da nemamo pravo da se nadamo da su to samo čudne
samo-referencijalne
blesave rečenice koje će ostati izvan domašaja.
To bi mogla biti i ona Goldbahova. Mogla bi biti Goldbahova.
Hipoteza "prostih brojeva - blizanaca" takođe može biti takva. Gedel je čak govorio i o Rimanovoj hipotezi.

Modern Greek (1453-): 
- Αυτή ήταν η ελπίδα των μαθηματικών, ότι, εντάξει, υπάρχουν κάποιες μυριάδες περίεργες
λογικές προτάσεις, για τις οποίες ποιός νοιάζεται; Επειδή δεν έχουν και πολύ μαθηματικό περιεχόμενο
και πιστεύω ότι ο κόσμος απλά ήλπιζε πως πράγματα όπως [η Εικασία] του Γκόλντμπαχ
δεν θα ήταν ένα από αυτές, αλλά αυτή η ελπίδα έσβησε πράγματι
το 1977
κάποιοι μαθηματικοί εφηύραν κάποιες προτάσεις σχετικά με τους αριθμούς οι οπόιες θα νόμιζες ότι είναι κάπως σαν του Γκόλντμπαχ εκ φύσεως ώστε να σκέφτεσαι, λοιπόν,
ναι, αυτό είναι κάτι που θα ήθελα να μπορώ να αποδείξω ότι είναι αληθές. Και έδειξαν ότι αυτές ήταν προτάσεις οι οποίες
ήταν
ήταν αληθείς, αλλά μη αποδείξιμες μέσα σε κάποιο στάνταρ σύστημα για τα μαθηματικά
Οπότε τώρα έχουμε ανακαλύψει πως δεν μπορούμε να ελπίζουμε ότι είναι οι περίεργες,
αυτοαναφορικές,
μυριάδες προτάεις που χτυπιούνται.
Θα μπορούσε να είναι του Γκόλντμπαχ. Θα μπορούσε να έιναι του Γκόλντμπαχ.
Οι δίδυμοι πρώτοι θα μπορούσαν επίσης να είναι κάτι τέτοιο. Ο Γκέντελ μίλησε ακόμα και για την Υπόθεση Ρίμαν.

English: 
This was mathematicians hope that, okay, there's some weird
logical Gajillion sentences which who really cares about because they don't really have much mathematical content
And I think people just hoped that things like Goldbach would
not be one of these, but that hope was really blown away
in 1977
mathematicians came up with some statements about numbers that you think of a kind of like Goldbach nature that you think well
yeah, that's something I'd want to be able to prove is true. And they showed that these were sentences which
were
were true, but not provable within quite a standard system for mathematics
So we've now discovered that we can't hope that it's just weird
self-referential
Gazillion sentences that are going to be knocked out.
It could be Goldbach. It could be Goldbach
Twin primes might also be something like that. Gödel even talks about the Riemann hypothesis

Spanish: 
(Marcus): Esto era lo que los matemáticos esperaban. Está bien, hay algunas raras
declaración lógicas a las que realmente les importa porque en realidad no tienen mucho contenido matemático
Y creo que la gente solo esperaba que cosas como Goldbach
no sea una de estas, pero esa esperanza realmente se desbordó
en 1977
A los matemáticos se les ocurrieron algunas declaración acerca de los números que te hacen pensar en el tipo de cosas como Goldbach.
Y piensas, oh sí, eso es algo que me gustaría poder probar que es cierto. Y luego mostraron que estas eran declaración que
eran ciertas, pero no demostrables dentro de un sistema bastante estándar para las matemáticas
Así que ahora hemos descubierto que no podemos esperar que sea extraño
que estas autorreferenciales
declaraciones vayan a ser noqueadas.
Podría ser Goldbach. Podría ser Goldbach
Los primos gemelos también pueden ser algo así. Gödel incluso habla sobre la hipótesis de Riemann

Modern Greek (1453-): 
Μπορεί να έχουμε πρόβλημα να την αποδείξουμε, αλλά απλά και μόνο  επειδή δεν έχουμε
διευρύνει τα αξιώματα των μαθηματικών
σε τέτοιο επίπεδο ώστε να είναι αποδείξιμη.
Τώρα, υπάρχουν μερικές προτάσεις, σαν του Ρίμαν οι οποίες είναι πολύ ενδιαφέρουσες επειδή αν η Ρίμαν αποδειχτεί να είναι μια
μαθηματική πρόταση η οποία δεν έχει απόδειξη, αν μπορούσαμε να το αποδείξουμε αυτό, ότι δεν έχει απόδειξη,
περιέργως, αυτό θα αποδείκνυε πως η Υπόθεση Ρίμαν πρέπει να είναι αληθής
Τώρα είσαι «ααα, γιατι;» Επειδή αν η Υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής
αυτό σημαίνει πως υπάρχει ένα μηδενικό εκτός γραμμής
το οποίο σημαίνει πως στην πραγματικότητα υπάρχει ένας κατασκευαστικός τρόπος να το βρεις αυτό. Μπορείς να βάλεις τον υπολογιστή σου
και τελικά, μετά από πεπερασμένη επεξεργασία αν είναι ψευδής, θα βρει τον λόγο γιατί είναι ψευδής.
Οπότε, αν είναι ψευδής, τότε πρέπει να είναι αποδείξιμα ψευδής.
Άρα, αν βρούμε ότι η Ρίμαν είναι στην πραγματικότητα μη αποφασίσιμη, ότι δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα στα μαθηματικά,
δεν είναι με τίποτα ψευδής επειδή αυτό θα ήταν αποδείξιμο, άρα πρέπει να είναι αληθής.

Serbian: 
Možda imamo problem da je dokažemo samo zato što nismo
dovoljno proširili skup aksioma matematike
do te mere da je ona dokaziva.
Opet, postoje neke rečenice, nalik Rimanovoj, koje su intrigantne jer ako ispadne da je Rimanova hipoteza
matematička tvrdnja koja nema dokaz, ako to uspemo da dokažemo:da nema ona nema dokaz
to bi značilo da Rimanova hipoteza mora da bude istinita.
I sada ti dođe da uradiš:aaaa! Zašto? Jer ako je Rimanova hipoteza lažna
to znači da postoji nula van line...
to znači da postoji konstruktivan način da se nađe. Možeš da pustiš kompjuter
i nakraju, ako je hipoteza pogrešna, naći će razlog zašto je pogrešno.
Dakle, ako je lažna, mora biti dokazivo da je lažna.
Dakle, ako je Rimanova hipoteza neodlučiva, ako ne može biti dokazan iz aksioma matematike,
onda ne postoji mogućnost da bude lažna, jer to bi bilo dokazivo, pa mora da bude istinita

English: 
We might be having trouble proving it, but just because we haven't
expanded the axioms of mathematics
to such a level that it is provable
Now there are some sentences like Riemann which are intriguing because if Riemann turns out to be a
mathematical statement which doesn't have a proof, if we could prove that, that it doesn't have a proof
weirdly this would prove that the Riemann hypothesis must be true
Now you go ahh why? Because if the Riemann hypothesis is false
this means that there's a zero off the line
this means there's actually a constructive way to find that. You can set computer off and
eventually after a finite process if it's false it will find the reason why it's false
So if it's false it must be provably false
So if we find that Riemann is actually undecidable, cannot be proved from the axioms of mathematics,
there's no way it can be false because that will be provable, so it must be true

Spanish: 
Puede que tengamos problemas para probarlo, pero solo porque no hemos
ampliado los axiomas de las matemáticas
a un nivel tal que es demostrable
Ahora hay algunas declaraciones como Riemann que son intrigantes porque si Riemann resulta ser una
declaración matemática que no tiene una prueba, si podemos probar eso, que no tiene una prueba
extrañamente, esto probaría que la hipótesis de Riemann debe ser cierta
Ahora ve ahh ¿por qué? Porque si la hipótesis de Riemann es falsa
esto significa que hay un cero fuera de la línea
esto significa que en realidad hay una forma constructiva de encontrar eso. Puedes apagar la computadora y
eventualmente después de un proceso finito, si es falso, encontrará la razón por la cual es falso
Entonces, si es falso, debe ser probadamente falso
Entonces, si descubrimos que Riemann es realmente indecidible, no puede probarse a partir de los axiomas de las matemáticas,
no hay manera de que sea falso porque eso será comprobable. Por lo que debe ser cierta.

English: 
So this is a really weird way that you might prove Riemann
Hypothesis is to prove that is actually an undecidable statement within the axioms of mathematics
If you're watching this video thinking you've got even more questions about Gödel incompleteness
Don't worry so did I and there's a whole lot of extra interview footage. Click the links on the screen or in the video description
Also in the video description you'll find a link to
professor du Sautoy's recent book which has a whole bunch of extra stuff about Gödel incompleteness and other stuff that
science maybe just can't know
To think that you know, I [think] it's still interesting to explore
The things which might always transcend our knowledge, and of course religion just gives these things far too many properties
They should never have but I think that rather abstract idea of the unknown [it] is still quite an intriguing one

Serbian: 
Eto, ovo je vrlo čudan način kojim bi mogao da dokažeš Rimanovu hipotezu.
To je dokaz da je ona zapravo neodlučiva tvrdnja u okviru aksioma matematike.
Ako gledajući ovaj video mislite kako sada imate još više pitanja o Gedelovoj teoremi
Ne brinite, imao sam i ja i postoji veliki dodatni video intrevju. Klinite na link na ekranu ili u dole u informacijama
Takođe, u informacijama ćete naći i link ka
novoj knjizi profesora du Sutoja, koja sadrži gomilu stvari o Gedelovoj teoremi i drugih stvari koje
nauka možda, naprosto, ne može da zna.
Mislim da je ipak i dalje važno istraživati
čak stvari koje će možda uvek biti izvan našeg znanja. Naravno, religija daje tim stvarima svakojaka svojstva
koja one ne mogu da imaju. Ja mislim da je pre ova apstraktna ideja nepoznatog ipak ona intrigantnija.

Modern Greek (1453-): 
Αυτός λοιπόν είναι ένας πάρα πολύ περίεργος τρόπος για να αποδείξεις τη Υπόθεση Ρίμαν·
είναι να αποδείξεις ότι αυτή είναι στην πραγματικότητα μη αποφασίσιμη στα πλαίσια των αξιωμάτων των μαθηματικών
Αν βλεπετε αυτό το βίντεο κι έχετε ακόμα περισσότερες ερωτήσεις σχετικά με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Γκέντελ
Μην ανησυχείτε, το ίδιο κι εγώ και υπάρχει πολύ παραπάνω έξτρα υλικό από την συνέντευξη. Κάντε κλικ στους συνδέσμους στην οθόνη ή στην περιγραφή του βίντεο
Επίσης στην περιγραφή του βίντεο θα βρείτε έναν σύνδεσμο
για το πρόσφατο βιβλίο του Καθηγητή Ντι Σότοϊ το οποίο έχει τόνους από έξτρα πράγματα σχετικά με την Μη Πληρότητα του Γκέντελ και άλλα πράγματα
που η επιστήμη ίσως απλά να μην μπορεί να γνωρίζει
Να σκέφτεσαι, ξερεις, πιστεύω είναι ακόμα ενδιαφέρον να εξερευνείς
τα πράγματα που θα μπορούσαν πάντα να υπερβαίνουν την λογική μας και φυσικά η θρησκεία απλά δίνει σε αυτά τα πράγματα υπερβολικά πολλές ιδιότητες
που δεν θα έπρεπε ποτέ να έχουν, αλλά υποθέτω ότι αυτή η εν πολλοίς αφηρημένη ιδέα του αγνώστου είναι ακόμα μια άκρως ενδιαφέρουσα ιδέα.

Spanish: 
Esta es una forma muy extraña de demostrar la hipótesis
de Riemann. Es demostrar que en realidad es una afirmación indecidible dentro de los axiomas de las matemáticas
Si estás viendo este video pensando que tienes aún más preguntas sobre la incompletitud de Gödel
No te preocupes yo también, y hay muchas imágenes adicionales de entrevistas. Haga clic en los enlaces en la pantalla o en la descripción del video
También en la descripción del video encontrarás un enlace a
el libro reciente del profesor du Sautoy que tiene un montón de cosas extra sobre la incompletitud de Gödel y otras cosas que
la ciencia tal vez simplemente no puede saber
Pensar que sabes, creo que todavía es interesante explorar
las cosas que siempre pueden trascender nuestro conocimiento, y por supuesto, la religión simplemente le da a estas cosas demasiadas propiedades
Nunca deberían haberlo hecho, pero creo que esa idea bastante abstracta de lo desconocido todavía es bastante intrigante.
