
Korean: 
 
Rn의 선형 부분공간을 이해하기 위한
도구를 가지고 있습니다
적어보겠습니다
이것을 Rn의 부분공간이라고
부르겠습니다
우리가 하는 모든 것은 선형입니다
Rn의 부분공간
여기서 정의를 내리겠습니다
벡터의 집합 V가 있다고 합시다
V는 특정한 벡터의 부분집합
Rn의 특정한 부분집합입니다
Rn은
각 벡터가 n개의 성분을 가지고 있는
무한히 큰 벡터의 집합입니다
공식적으로 정의하지는 않겠지만
이것은 벡터의 집합입니다
즉, 때때로 이 집합을
다차원 공간으로 시각화하곤 하지만
추상적으로 생각하자면
그것은 단지 모든 집합입니다

Estonian: 
Ma arvan, et nüüd on meil tööriistad, et mõista ideed
lineaarsest alamruumist Rn-s.
Las ma kirjutan selle üles.
Ma kutsun seda alati Rn-i alamruumiks.
Kõik, mis me teeme on lineaarne.
Rn-i alamruum.
Ma teen siin ühe definitsiooni.
Ma ütlen, et vektorite hulk V.
V on vektorite alamhulk, mingi alamhulk Rn-st.
Me juba ütlesime, et Rn, kui me mõtleme sellest, siis see on
lihtsalt lõputult suur vektorite hulk, kus
igal vektoril on n komponente.
Ma ei defineeri seda ametlikult, aga see on
lihtsalt vektorite hulk.
Mõnikord me kujutame seda ette kui mitme dimensioonilist ruumi
ja kõik see, aga kui me tahaksime olla nii abstraktsed selle koha pealt,
kui võimalik, siis see on terve hulk.

Spanish: 
Ahora tenemos las herramientas, me parece, para entender la idea.
de un subespacio lineal de Rn.
Déjame escribir eso.
Simplemente lo voy a llamar "subespacio de Rn".
Todo que estamos haciendo es lineal.
Subespacio de Rn.
Voy a definir algo aquí.
Voy a decir que un juego de vectores V.
Entonces V es algún subconjunto de vectores, algún subconjunto de Rn.
Entonces vamos a llamarlo Rn, cuando lo pensamos, es
simplemente un conjunto infinitamente grande de vectores, donde
cada uno de esos vectores tienen "n" componentes.
No lo voy a definir formalmente, pero esto es simplemente un
conjunto de vectores.
A veces lo visualizamos como un espacio multidimensional
y todo eso, pero si queremos ser lo más abstracto
posible, se trata simplemente de un conjunto.

Thai: 
-
ตอนนี้ผมว่าเรามีเครื่องมือพอจะเข้าใจแนวคิด
เรื่องสเปซย่อยเชิงเส้นของ Rn แล้ว
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
ผมเรียกมันว่าสเปซย่อยของ Rn แล้วกัน
ทุกอย่างที่เราทำเป็นเชิงเส้นหมด
สเปซย่อยของ Rn
ผมจะกำหนดนิยามตรงนี้
ผมจะบอกว่าคือเซตของเวกเตอร์ V
V ก็คือสับเซตของเวกเตอร์, สับเซตของ Rn
-
เราบอกแล้วว่า Rn, เวลาคิด, มันคือ
เซตของเวกเตอร์ขนาดใหญ่เป็นอนันต์,
โดยเวกเตอร์แต่ละตัวมีองค์ประกอบ n ตัว
ผมจะไม่นิยามมันอย่างเป็นทางการ, แต่นี่ก็คือ
เซตของเวกเตอร์
ผมหมายถึงว่า บางครั้งเรามองภาพมันเป็นสเปซหลายมิติ
อะไรพวกนั้น, แต่ถ้าเราอยากให้มันเป็นนามธรรม
เท่าที่จะเป็นไปได้, มันก็คือเซตทั้งหมด

Turkish: 
.
Rn'in altuzayını anlamak için gerekli araçlara sahibiz.
.
Bunu yazalım.
Buna her zaman Rn'in altkümesi diyeceğim
Yaptığımız her şey doğrusal.
Rn'nin altkümesi
Burada bir tanım yapacağım.
V vektörleri kümesi.
V bazı vektörlerin altümesi ve Rn'in bir altkümesi.
.
Bunun hakkında düşündüğümüzde zaten Rn'in gerçekten sonsuz büyüklükte bir vektörler kümesi olduğunu ve her bir vektörün n bileşeninin olduğunu söylemiştik.
.
.
Bunu resmen tanımlamayacağım ama bu sadecebir vektörler kümesi.
.
Yani bazen biz bunu çok-boyutlu uzay olarak görselleştiriyoruz ama eğer bunu mümkün olduğu kadar özetlersek bu sadece bir küme.
.
.

Portuguese: 
Nós agora temos as ferramentas, eu acho, para entender a ideia
de um subespaço linear do Rn.
Deixe-me escrever isso.
Eu chamarei de subespaço do Rn.
Tudo que estamos fazendo é linear
subespaço de Rn.
Eu irei fazer uma definição aqui.
Direi que um conjunto de vetores V.
Então V é algum subconjunto de vetores, do algum subespaço Rn.
Então como dissemos antes o Rn, quando nós pensamos sobre ele, é realmente
um conjunto inifinitamente grande de vetores, onde
cada um dos vetores tem n componentes.
Irei agora definir informalmente, como sendo simplemente
um conjunto de vetores.
Entendo que algumas vezes nós visualizamos um espaço multi-dimensional
como um todo, mas se queremos ser tão abstratos
quanto possível, ele é somente um conjunto.

Chinese: 
我們現在擁有了
用來理解Rn的線性次空間的工具
我寫下來
我們常稱其爲Rn的一個次空間
我們處理的東西都是線性的
Rn的次空間
我要在這裡給出定義
假設已知向量組V
V是向量的子集合 即Rn的某個子集合
我們已經講過 當考慮Rn時
把它看做是無窮大的向量集合
其中的每個向量都含有n個分量
我不給出正式的定義
它就是向量的集合
我的意思是有時候
我們把它看做多維空間
但是如果我們想
進行抽象的描述
則它就是所有向量的集合
它是一個集合――

Bulgarian: 
 
Смятам, че вече разполагаме
с инструментите да разберем
идеята за линейно 
подпространство на Rn.
Ще го запиша.
Просто винаги ще го наричам
подпространство на Rn.
Всичко, което разглеждаме,
е линейно.
Подпространство на Rn.
Ще дам определението.
Ще кажа, че имаме едно 
множество от вектори V.
Значи V е подмножество от вектори,
някакво подмножество на Rn.
Вече казахме, че Rn, когато
мислим за него, то всъщност
е просто едно безкрайно 
множество от вектори, като
всеки от тези вектори
има n на брой компоненти.
Няма да го дефинирам формално,
но това е просто множество от вектори.
Понякога го изобразяваме като
многомерно пространство
и всичко това, но ако искаме
да остане толкова абстрактно понятие,
колкото е възможно, това е просто 
цялото множество.

English: 
We now have the tools, I think,
to understand the idea
of a linear subspace of Rn.
Let me write that down.
I'll just always call
it a subspace of Rn.
Everything we're doing
is linear.
Subspace of Rn.
I'm going to make a
definition here.
I'm going to say that
a set of vectors V.
So V is some subset of vectors,
some subset of Rn.
So we already said Rn, when we
think about it, it's really
just really an infinitely large
set of vectors, where
each of those vectors
have n components.
I'm going to not formally define
it, but this is just a
set of vectors.
I mean sometimes we visualize it
as multi-dimensional space
and all that, but if we wanted
to be just as abstract about
it as possible, it's
just all the set.

Arabic: 
 
لدينا الآن الأدوات، كما أعتقد،
لفهم فكرة
الفضاء الجزئي الخطي ل Rn.
اسمحوا لي أن أكتب ذلك .
اسميه  دائما
الفضاء الجزئي لRn.
كل شيء تقومون به هو
خطي.
فضاء جزئي لRn.
سوف اعطيكم
تعريفا هنا.
أنه
مجموعة من متجهات  V.
لذا V مجموعة فرعية  لمتجهات،
مجموعة فرعية لRn.
 
قلنا Rn، و حين نمعن
التفكير في الامر نجد انه
فقط مجموعة لا حد لها من المتجهات
حيث تحتوي كل واحدة من تلك المتجهات على مكونات n.
لا احدده  بصورة نهائية
، ولكني اقول انه مجرد
مجموعة من متجهات.
أو شيئ يمكن  تصوره احيانا كفضاء متعدد الأبعاد
ولكن إذا أردنا
التجريد
فمن الممكن ان نقول  انه
فقط كل المجموعة.

Chinese: 
我们现在拥有了
用来理解Rn的线性子空间的工具
我写下来
我们常称其为Rn的一个子空间
我们处理的东西都是线性的
Rn的子空间
我要在这里给出定义
假设已知向量组V
V是向量的子集合 即Rn的某个子集合
我们已经讲过 当考虑Rn时
把它看做是无穷大的向量集合
其中的每个向量都含有n个分量
我不给出正式的定义
它就是向量的集合
我的意思是有时候
我们把它看做多维空间
但是如果我们想
进行抽象的描述
则它就是所有向量的集合
它是一个集合――

Spanish: 
Es un juego de todo lo - to sabes que podemos llamar x1, x2,
hasta xn - cuando cada uno de estos, cuando cada uno de los
xi's son un miembro de numeros reales por todo las i's.
Verdad?
Eso era nuestra definición de Rn.
Era simplemente un juego grande de vectores.
Un juego infinitamente grande.
V, lo estoy llamando así, voy a llamar eso un subconjunto de Rn,
y nadamas quiere decir que es - Tu sabes, puede ser todos
de estos vectores, y hablaré sobre eso en un segundo.
O puede ser un subconjunto de estos vectores.
Talvez son todos pero un vector particular.
Para poder hacer V un subespacio - entonces ya estoy diciendo
que es un subconjunto de Rn.
Tal vez esto te ayudará.
Si escribo Rn como esta cosa aqui
Entonces estos son todos los vectors que estan en Rn.
V es un subconjunto de eso.
Puede ser todo de Rn.
Enseñaré todo eso en un momento.
Pero diremos que esto es V.

Bulgarian: 
Това е множеството от всички –
знаеш, можем да ги наречем х1, х2,
и така нататък до xn, като
всяко от тези xi
принадлежи на множеството на
реалните числа за всяко от тези i.
Нали? Това беше
нашето определение на Rn.
Това е просто огромно
множество от вектори.
Безкрайно голямо множество
от вектори.
V ще нарека подмножество
на Rn,
което означава, че е само част...
досещаш се, то може да е
всички тези вектори, и аз 
ще обясня това след секунда.
Или може да е някакво
подмножество от вектори.
Може да е всички вектори
без един определен вектор.
За да може това V да бъде
подпространство...
вече казах, че е 
подмножество на Rn.
Може би това ще ти помогне.
Ако нарисувам всички елементи
на Rn тук като един огромен балон,
това са всички вектори, 
които са в Rn.
V е подмножество на това.
То може да включва
всичко в Rn.
Ще ти го покажа след малко.
Но нека кажем, че
това е V.

Thai: 
มันคือเซตของค่าทั้งหมด -- คุณรู้ว่าเราเรียกมันเป็น x1, x2,
ไปจนถึง xn -- โดยแต่ละตัวพวกนี้, โดย xi แต่ละตัว
เป็นสมาชิกของจำนวนจริงของ i ทุกตัว
จริงไหม?
นั่นคือนิยามของ Rn เรา
มันก็แค่เซตของเวกเตอร์ที่ใหญ่มาก
เป็นเซตของเวกเตอร์ที่ใหญ่เป็นอนันต์
V, ผมจะเรียกมันอย่างนั้น, ผมจะเรียกมันเป็นสับเซตของ Rn
และมันหมายความว่า -- คุณก็รู้, มันอาจะเป็นเวกเตอร์
ทั้งหมดนี้ก็ได้, ผมจะพูดถึงมันต่อไป
หรือมันอาจเป็นแค่สับเซตของเวกเตอร์พวกนี้
บางทีคือทั้งหมดยกเว้นเวกเตอร์ตัวเดียว
ในการทำให้ V นี่เป็นสเปซย่อย -- ผม
ได้บอกไปว่ามันเป็นสับเซตของ Rn
บางทีนี่อาจช่วยคุณได้
ถ้าผมวาด Rn ทั้งหมดเป็นก้อนใหญ่นี่
พวกนี้ก็คือเวกเตอร์ทั้งหมดที่อยู่ใน Rn
V คือสับเซตของมัน
มันอาจเป็น Rn ทั้งหมด
ผมจะแสดงให้ดูในไม่ช้า
แต่สมมุติว่านี่คือ V แล้วกัน

Chinese: 
可以記分量爲x1 x2 直到xn――
其中的每一項
每一個xi 對於任意的i
都是實數集中的一員
對嗎？
這就是Rn的定義
它就是包含所有向量的巨大的集合
一個無限大的集合
對於V 我稱之爲
我稱之爲Rn的一個子集
這意味著――
它可以是所有的向量
我一會兒會講解
也可以是這些向量的一個子集
也許它是所有向量去掉某個向量
爲了使V稱爲次空間――
我已經說了它是Rn的一個次空間
這可能會有幫助
如果這個小圓圈代表Rn
這是Rn中所有向量的集合
V是它的一個子集
它可以是整個的Rn
我一會在說明
假設這個代表V

Turkish: 
Bu tüm Xi'ların i'lere göre reel sayı oldukları bir set.-Biliyorsunuz ki xn'e kadar olan her bir elemanı x1,x2 olarak adlandırabiliriz-
.
.
Değil mi?
Bu bizim Rn için olan tanımımızdı.
Sadece kocaman bir vektörler kümesi.
Sonsuz büyüklükte bir vektörler kümesi.
V'yi Rn'nin bir alt kümesi olarak adlandıracağım ve biliyorsunuz ki o bu vektörlerin hepsi olabilirdi,bunun hakkında birazdan konuşacağım.
.
.
Ya da bu vektörlerin altkümeleri olabilirdi.
Belki bunların hepsidir fakat belirli bir vektördür.
V'nin bir altuzay olması için--yani bunun Rn'nin bir alt uzayı olduğunu söylüyorum.
.
Belki bu size yardımcı olur.
Rn'nin tamamını buraya büyük bir daire olarak çiziyorum.
Yani buradakilerin hepsi Rn'de bulunan vektörler.
V onun bir altkümesi.
Rn'nin hepsi olabilirdi.
Bunu birazdan göstereceğim.
Fakat,şimdilik bunun V olduğunu farz edelim.

Arabic: 
انها كما تعلمون مجموعة 
 ما يمكن ان نسميه X1، X2،
حتى نصل إلى xn - حيث تكون كل من xi
عضوا  في  مجموعة i ذات الارقام الحقيقية كلها
هذا هو  التعريف لRn.
انها مجرد
مجموعة ضخمة من المتجهات.
مجموعة ضخمة لا حد لها من المتجهات.
اني اعتبر V مجموعة فرعية لRn ،
وهذا يعني انه مجرد بعضا من - وربما كل
-
هذه المتجهات، وسأحدثكم
عن ذلك على الفور.
أو قد يكون مجموعة  فرعية
من هذه المتحهات.
ربما يضمهم كلهم عدا متجه واحد بعينه.
كيما  يكون V 
فضاءا جزئيا -- وقد فلت مسبقا انه مجموعة
فرعية لRn.
ربما هذا سوف يساعدكم.
اذا رسمت كل Rn هنا
بهذا الشكل.
اذا فهذه كل المتجهات
داخل Rn.
وان V محموعة فرعية منها.
يمكن أن يكون كل Rn.
سوف اريكم هذا على الفور.
ولكن لتقولوا فقط
أن هذا هو V.

Estonian: 
See on kõige hulk--me võime nimetada x1,x2
kuni xn--kus igaüks nendest, kus iga
xi on reaalarv.
Õigus?
See oli meie Rn-i definitsioon.
See on suur vektorite hulk.
Lõputu vektorite hulk.
V, ma kutsun seda nii, on Rn-i alamruum, mis
tähendab, et see on--see võib olla
kõik need vektorid ning ma räägin sellest hetke pärast.
Või see saab on nende vektorite alamruum.
Võib-olla see on kõik need, aga üks konkreetne vektor.
Et see V saaks olla alamrumm--ma juba väidan, et
see on Rn-i alamhulk.
Võib-olla see aitab sind.
Kui ma joonistan terve Rn siia suure laiguna.
Need on kõik vektorid, mis on Rn-s.
V on selle alamhulk.
See võib olla terve Rn.
Ma nätain seda hetke pärast.
Oletame, et see on V.

Chinese: 
可以记分量为x1 x2 直到xn――
其中的每一项
每一个xi 对于任意的i
都是实数集中的一员
对吗？
这就是Rn的定义
它就是包含所有向量的巨大的集合
一个无限大的集合
对于V 我称之为
我称之为Rn的一个子集
这意味着――
它可以是所有的向量
我一会儿会讲解
也可以是这些向量的一个子集
也许它是所有向量去掉某个向量
为了使V称为子空间――
我已经说了它是Rn的一个子空间
这可能会有帮助
如果这个小圆圈代表Rn
这是Rn中所有向量的集合
V是它的一个子集
它可以是整个的Rn
我一会在说明
假设这个代表V

English: 
It's the set of all of the --
you know we could call x1, x2,
all the way to xn-- where each
of these, where each of the
xi's are a member of the real
numbers for all of the i's.
Right?
That was our definition of Rn.
It's just a huge
set of vectors.
An infinitely large
set of vectors.
V, I'm calling that, I'm going
to call that a subset of Rn,
and which means it's just some
-- you know, it could be all
of these vectors, and I'll talk
about that in a second.
Or it could be some subset
of these vectors.
Maybe it's all of them but
one particular vector.
In order for this V to be a
subspace-- so I'm already
saying it's a subset of Rn.
Maybe this'll help you.
If I draw all of Rn here
as this big blob.
So these are all of the vectors
that are in Rn.
V is some subset of it.
It could be all of Rn.
I'll show that a second.
But let's just say
that this is V.

Korean: 
x1, x2, ..., xn 이라고 불리는
것들의 집합입니다
단, 모든 i에 대하여 
각각의 xi가 실수입니다
알겠죠? 이것이 Rn의 정의입니다
방대한 벡터 집합입니다
무한히 커다란 벡터의 집합인 셈이죠
V를 Rn의 부분집합이라고 하겠습니다
이 집합은 이러한
모든 벡터의 전부를 의미합니다
그 집합에 대해 
잠깐 이야기하겠습니다
또는 이런 벡터들의
어떤 부분집합일 수도 있습니다
아니면 모든 벡터들 가운데
하나의 벡터를 나타내는 것일 수도 있습니다
이러한 V가 부분공간이 되기 위해선
V는 Rn의 부분집합이라고 
언급했었죠?
아마 이것이 도움이 될 것입니다
Rn을 큰 방울로 표현한다면
여기에 Rn에 속하는 
모든 벡터들이 있습니다
V는 이것의 한 부분집합입니다
Rn의 전부가 될 수도 있습니다
한번 보시죠
이것을 V라고 합시다

Portuguese: 
É o conjunto de todo os -- você sabe podemos chamar x1, x2,
e todos até xn -- onde cada um desses, cada um dos
xi's é um membro dos números reais para todo i.
Certo?
Isto é nossa definição de Rn.
Somente um conjunto de vetores.
Um conjunto infinitamente grande de vetores.
V, estou chamando, e irei chamar de um conjunto do Rn,
e que significa somente que alguns - você sabe, poder ser todos
os vetores, e eu falarei sobre eles em um segundo.
Ou pode ser somente um subconjunto de vetores.
Talvez sejam todos menos um vetor particular.
Para que este V seja um subespaço -- estou chamando
de um subespaço de Rn.
Talvez isto lhe ajude.
Se eu desenhar todos os R teremos um grande bolha.
Então todos os vetores que estão em Rn,
V é algum subconjunto dele.
Pode ser todo o Rn.
Isso será mostrado em um segundo.
Mas vamos somente dizer que isto é V.

Portuguese: 
V é um subconjunto de vetores.
Agora para que V seja um subespaço, e isto é uma
definição, se V é um subespaço, ou subespaço linear
de Rn, isto significa, isto é minha definição,
isto significa três coisas,
Isto significa que V deve conter o vetor 0.
Eu farei isso literalmente, este é o vetor 0.
Isto é igual a 0 em todos os sentidos e você tem n 0's.
Então V contém o vetor 0, e isto é
um V grande aqui.
Se nós temos vetores x em V
Deixe-me escrever isto, se meu vetor x está em V, se x é um

Turkish: 
V tüm vektörlerin altkümesi.
.
Şimdi V'nin bir altuzay olabilmesi için,eğer V altuzaysa veya Rn'nin doğrusal altuzayı ise bu 3 farklı anlama gelir.
.
.
.
Bu V'nin 0 vektörünü içerdiğini gösterir.
.
Bunu gerçekten yapıcağım,bu 0 vektörü.
Bu 0'a eşittir ve şimdi n sayıda 0'a sahibiz.
Yani V 0 vektörünü içerir ve tam buradaki şey büyük bir V .
.
V'de x vektörümüz olduğunu varsayalım.
Eğer x vektörüm V kümesinde yer alıyorsa,x'i reel sayıların herhangi bir elemanıyla çarpıyorum.

Estonian: 
V on vektorite alamhulk.
Et V saaks olla alamruum peab, see on
definitsioon, kui V on alamhulk või Rn-i
alamruum, see tähendab, see on minu definitsioon,
see tähendab kolme asja.
See tähendab, et V sees on nullvektor.
Ma teen selle, see on nullvektor.
See on võrdne nulliga kuni sul on n nulle.
V hõlmab nullvektorit ja
see on suur V siin.
Kui meil on mingi vektor x V-s.
Ma panen selle kirja, kui mu vektor x on V-s, kui x on üks

Thai: 
V คือสับเซตของเวกเตอร์
-
ทีนี้ เพื่อให้ V เป็นสเปซย่อย, และนี่คือ
นิยาม, ถ้า V คือสเปซย่อย, หรือสับสเปซเชิงเส้น,
ของ Rn, นี่มหายความว่า, นี่คือนิยามของผม,
มันหมายถึงสามอย่าง
นี่หมายความว่า V มีเวกเตอร์ 0 อยู่
-
ผมเขียนมัน, มันคือเวกเตอร์ 0
นี่เท่ากับ 0 ไปจนคุณได้ 0 n ตัว
V บรรจุเวกเตอร์ 0, และนี่คือ
V ใหญ่ตรงนี้
เรามีเวกเตอร์ x อยู่ใน V
ขอผมเขียนอันนี้นะ, ถ้าเวกเตอร์ผมอยู่ใน V, ถ้า x คือ

English: 
V is a subset of vectors.
Now in order for V to be a
subspace, and this is a
definition, if V is a subspace,
or linear subspace
of Rn, this means, this
is my definition,
this means three things.
This means that V contains
the 0 vector.
I'll do it really, that's
the 0 vector.
This is equal to 0 all the
way and you have n 0's.
So V contains the 0 vector,
and this is
a big V right there.
If we have some vector x in V.
So let me write this, if my
vector x is in V, if x is one

Chinese: 
V是这些向量的一个子集合
若要使V称为一个子空间
下面是定义 如果V是子空间
或者说是Rn的线性子空间
这是定义 它要满足三个条件
受限V中要包含0向量
这是0向量
每个分量都是0 总共有n个0
V要包含0向量
这应该是大写的V
如果对于V中的某个向量x
我写下来 如果向量x在V中
如果x是V中的一个向量

Bulgarian: 
V е подмножество от вектори.
За да бъде V подпространство,
това е дефиницията,
ако V е подпространство,
или линейно пространство в Rn,
това означава, това е
по определение,
това означава три неща.
Това означава, че V
съдържа нулевия вектор.
Това е нулевият вектор.
Той е равен на 0 във всички посоки
и имаш n на брой нули.
Значи V съдържа нулевия вектор, 
който е това удебелено V ето тук.
Ако имаме някакъв вектор
х, който принадлежи на V...
ще го запиша – ако 
моят вектор х принадлежи на V,

Arabic: 
هو مجموعة فرعية  لمتجهات.
 
الآن كيما تكون  V 
فضاءا جزئيا، وهذا تعريف، لو ان V
فضاء جزئي،
أو فضاء جزئي خطي
لRn، وهذا يعني، وهذا
هو تعريفي،
هذا يعني ثلاثة أشياء.
يعني أن V يحتوي على متجه 0
.
 
سأكتب ذلك، وهذا متجه 0
.
هذا يساوي 0 حتى النهاية  وكان لديكم عدد n من الاصفار.
لذلك فان V يحتوي على متجه 0 ،
وهذا V
بالخط الكبيرهناك.
اذا كان لديكم   متجه  x في V.
لذلك اسمحوا لي أكتب هذا، إذا كان 
متجه x  في V، إذا كان x  واحدا

Spanish: 
V es un subconjunto de vectores.
Ahora para ser V un subespacio, y esto es una
definición, si V es un subespacio, o un subespacio lineal
de Rn, esto significa, esto es mi definición,
esto significa tres cosas.
Significa que V contiene el vector 0.
Lo haré, eso es el vector 0.
Esto es egual a 0 y tienes cantidad ´n´ de 0´s.
Entonces V contiene el vector 0, y esto es
una V grande ahí.
Si tenemos algun vector x en V.
Entonces déjame escribir esto, si mi vector x es en V, si x es uno

Korean: 
V는 벡터들의 부분집합입니다
V가 부분공간이 되려면
V가 부분공간이거나 
Rn의 선형 부분공간이라면
3가지를 의미합니다
V가 영벡터를 
포함한다는 것을 의미합니다
이것이 영벡터입니다
0과 같으며 0이 n개 있는 벡터입니다
따라서 V는 영벡터를 포함합니다
이것은 대문자 V 입니다
만약 V가 어떤 벡터 x를 가지고 있다면
이렇게 써보겠습니다
만약 벡터 x가 V에 있으면

Chinese: 
V是這些向量的一個子集合
若要使V稱爲一個次空間
下面是定義 如果V是次空間
或者說是Rn的線性次空間
這是定義 它要滿足三個條件
受限V中要包含0向量
這是0向量
每個分量都是0 總共有n個0
V要包含0向量
這應該是大寫的V
如果對於V中的某個向量x
我寫下來 如果向量x在V中
如果x是V中的一個向量

English: 
of these vectors that's included
in my V, then when I
multiply x times any member
of the reals.
So if x is in V, then if V is a
subspace of Rn, then x times
any scalar is also in V.
This has to be the case.
For those of you who are
familiar with the term, this
term is called closure.
If I have any element of a set,
this is closure under
multiplication.
Let me write that down--
in a new color.
This is closure under scalar
multiplication.
And that's just a fancy way of
saying, look, if I take some
member of my set and I multiply
it by some scalar,
I'm still going to
be in my set.
If I multiplied it by some
scalar and I end up outside of

Turkish: 
.
.
Dolayısıyla eğer x, V kümesinin bir elemanıysa ve V,Rn'nin altuzayıysa,x çarpı herhangi bir skaler de V'nin elemanıdır.
.
Durum bu olmalı.
Bu terimle tanıdık olanlar için bu terimin adı kapanıştır.
.
Eğer elimde bir kümenin herhangi bir elemanı varsa bu kümenin çarpmaya göre kapanışıdır.
.
Bunu farklı bir renkle yazalım.
Bu çarpmaya göre kapanıştır.
.
Bu sadece bunu söylemenin farklı bir yolu,bakın eğer kümemin herhangi bir elemanını alır ve bir skaler ile çarparsam,hala kendi setimde olacağım.
.
.
Eğer elemanımı bir skaler ile çarpıp kümemin dışına çıkmış olsaydım,yani eğer kümemde olmayan bir vektör elde etseydim,bu bir altuzay olmazdı.

Portuguese: 
desses vetores que está incluído no meu V, então quando eu
multiplicar x vezes qualquer membro dos reais.
Então se x está em V, então se V é um subespaço de Rn, então x vezes
qualquer escalar também está em V.
Isto é o caso.
Para aqueles que estão familiarizados com o termo, este
termo é chamado de fechamento.
Se eu tenho qualquer elemento do conjunto, este é um fechamento sob
multiplicação.
Deixe-me escrever isso -- em uma nova cor.
Este é o fechamento sob multiplicação escalar.
E aqui está um modo engraçado de dizer, veja, se eu pego algum
membro de meu conjunto e multiplico por algum escalar,
Eu ainda estarei no meu conjunto.
Se eu multiplico por algum escalar e termino fora do

Estonian: 
vektoritest, mis on V-s, kui ma
korrutan x korda reaalarv.
Kui x on V-s, siis kui V on Rn-i alamruum, siis x korda
suvaline skalaar on samuti V-s.
Selline on juhtum.
Neile, kes on tuttavad sellise terminiga,
see termin on sulund.
Kui sul on suvaline hulga element, siis see on
korrutise sulund.
Ma panen selle kirja uue värviga.
See on sulund skalaar korrutisest.
See on ilustatud viis ütlemaks, et kui ma võtan
mingi hulga osa ja korrutan selle mingi skalaariga, siis
ma olen ikka oma hulgas.
Kui ma oleksin selle korrutanud mingi skalaariga ja ma

Thai: 
หนึ่งเวกเตอร์ที่ผมรวมเข้าไปใน V ของผม, และเมื่อผม
คูณ x ด้วยสมาชิกของจำนวนจริงใดๆ
ถ้า x อยู่ใน V, แล้วถ้า V เป็นสับสเปซของ Rn, แล้ว x คูณ
สเกลาร์ใดๆ จะอยู่ใน V ด้วย
นี่ต้องเป็นจริงเสมอ
สำหรับคนที่คุ้นเคยกับคำนี้แล้ว, คำนี้
เรียกว่าสมบัติปิด
ถ้าผมมีสมาชิกของเซต, นี่มันมีสมบัติปิดภายใต้
การคูณ
ขอผมเขียนมันลงไป -- ด้วยสีใหม่นะ
นี่คือสมบัติปิดภายใต้การคูณด้วยสเกลาร์
-
และนั่นก็คือวิธีสวยหรูเพื่อบอกว่า, ดูสิ, ถ้าผมมี
สมาชิกของเซต แล้วผมคูณมันด้วยสเกลาร์,
ผมจะยังอยู่ในเซตนั้น
ถ้าผมคูณมันด้วยสเกลาร์ค่าหนึ่ง แล้วผมออกไป

Chinese: 
那麽當對x乘以任何實數時
如果x在V中
要使得V是Rn的一個次空間
那麽就需要x乘以任何純量後仍在V中
這是滿足的第二個條件
這個性質大家應該很熟悉
這就是封閉性
對於集合中的任何元素
這表示對數乘的封閉性
我換一種顏色寫出來――
這是對於數乘的封閉性
以下是一種通俗的解釋
如果取集合中的一個元素
將它乘以一個純量
結果仍在這個集合中
如果乘以一個純量之後
結果不在原集合中

Chinese: 
那么当对x乘以任何实数时
如果x在V中
要使得V是Rn的一个子空间
那么就需要x乘以任何标量后仍在V中
这是满足的第二个条件
这个性质大家应该很熟悉
这就是封闭性
对于集合中的任何元素
这表示对数乘的封闭性
我换一种颜色写出来――
这是对于数乘的封闭性
以下是一种通俗的解释
如果取集合中的一个元素
将它乘以一个标量
结果仍在这个集合中
如果乘以一个标量之后
结果不在原集合中

Spanish: 
de estos vectores que esta incluido en mi V, entonces cuando yo
multiplico x por cualquier miembro de los reales.
Si x es en V, entonces si V es un subespacio de Rn, x por
cualquier escalar esta tambien en V.
Esto tiene que ser el caso.
Para los que tienen familiaridad con el significado, este
vocabulario se llama cierre

Korean: 
x가 V에 포함된 벡터 중 하나라면
임의의 실수를 x에 곱했을 때
x가 V에 있고
V가 Rn의 부분공간이라면
x에 임의의 스칼라를 곱한 값 또한
V에 있습니다
이와 같은 경우입니다
이 용어에 익숙할지 모르겠지만
이러한 성질을 '닫혀있음'
이라고 합니다
만약 집합의 
임의의 원소를 가지고 있다면
곱셈에 대해 닫혀있는 것입니다
새로운 색깔로 써보겠습니다
이것은 스칼라 곱셉에 대해
닫혀있습니다
근사하게 표현해 보았습니다
집합에서 어떤 원소를
다른 스칼라와 곱하더라도
그 값은 집합에 여전히
있을 것입니다
만약 어떤 스칼라랑 곱했는데
집합에서 벗어나게 된다면

Arabic: 
من هذه المتجهات  المتضمنة
في  V، ثم عندما
اضرب x في  أي عضو
.
فإذا كان x في V، ثم إذا كان V هو
فضاء جزئي من Rn، فان ضرب x في
أي عددية سيكون أيضا في V.
هذا ما يجب أن يكون عليه الحال.
لأولئك منكم الذين هم على
دراية بالمصطلح الذي
يسمى الإغلاق.
إذا كان لدي أي عنصر من عناصر مجموعة،
هذا هو إغلاق
بعمليه ضرب.
اسمحوا لي أن أكتب --
ب لون جديد.
هذا  إغلاق 
بعمليه الضرب العددية.
 
وهذا هو مجرد وسيلة جذابة للقول: انظروا، إذا أخذت بعض
عضو من مجموعتي وضربته 
في عددية،
فاني ساظل باقيا في مجموعتي.
إذا  ضربته في
عددية وأتى خارج

Bulgarian: 
ако х е един от векторите 
в подмножеството V, тогава
умножаваме х по всеки
член на множеството на реалните числа.
Ако х се съдържа във V, тогава, ако V е
подпространство в Rn,
то х по всяко число (скалар) 
също е член на V.
Това условие
трябва да е изпълнено.
Множеството V се описва с
термина "затворено".
Ако това условие е изпълнено за 
всеки елемент от множеството,
то е затворено множество
по отношение на умножението
Ще го запиша с нов цвят.
Множеството е затворено по отношение 
на умножението със скалар (число).
Това е просто завъртян начин
да кажем, че
ако вземем някакъв елемент 
от множеството
и го умножим по някакъв 
скалар (число),
полученият вектор отново е
част от нашето множество.
Ако умножим този елемент по някакъв скалар
 и резултатът е извън множеството,

Arabic: 
مجموعتي ، وإذا انتهى بي الأمر الى بعض
المتجهات الاخرى
غيرالمدرجة في مجموعتي الفرعية، فان هذا
لن يكون فضاءا جزئيا.
كيما يكون
فضاءا  جزئي،فينبغي إذا ضربت أي
متجه في مجموعتي الفرعية  في عددية حقيقية
،  اكون قد حددت هذا
الفضاء الجزئي على الأعداد الحقيقية،و إذا
ضربتها في عدد حقيقي
ساحصل على
عضو آخر في هذه المجموعة الفرعية.
لذلك فهذا  واحد من
المتطلبات.
ثم متطلب آخر
هو إذا كان لدي  متجهان،
قولو  لدي متجه a هنا،
 ولدي
متجه b هنا.
فهذا هو متطلبي الآخر
لاجعل من v فضاءا جزئييا.
اذا كان متجه a
في مجموعتي V، و
ومتجه b في مجموعتي V، ثم إن
V هو فضاء جزئي من Rn،
فمعنى ذلك ان bو a لا بد ان
يكونا في V كذلك.

Thai: 
นอกเซต, ถ้าผมได้เวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ไม่
รวมอยู่ในสับเซตของผม, แล้วนี่จะไม่ใช่สับสเปซ
เพื่อให้มันเป็นสับสเปซ, ถ้าผมคูณเวกเตอร์
ใดๆ ในสับเซตด้วยสเกลาร์, ผมกำหนด
สับสเปซนี้ทั่วจำนวนจริง, ถ้าผมคูณมันด้วย
จำนวนจริงใดๆ, ผมควรได้สมาชิกอีกตัวในสับเซตนี้
นี่คือเงื่อนไขอย่างหนึ่ง
แล้วเงื่อนไขอีกอย่างคือว่าล ถ้าผมหาเวกเตอร์สองตัว,
สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์ a, มันอยู่ในนี้, และผมมี
เวกเตอร์ b ในนี้
นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นอีกอย่างหนึ่ง
เพื่อให้ v เป็นสับสเปซ
ถ้า a อยู่ใน -- ขอโทษที, ถ้าเวกเตอร์ a อยู่ในเซต V,
และเวกเตอร์ b อยู่ในเซต V ของผมด้วย, แล้วถ้า V เป็นสับสเปซของ Rn,
นั่นบอกผมว่า a บวก b ต้องอยู่ใน V เช่นกัน

Bulgarian: 
ако получа някакъв друг вектор,
който не е част от моето подмножество,
тогава това не е 
подпространство.
За да бъде определено като 
подпространство,
ако умножа произволен вектор от 
подмножеството по някакво реално число,
тогава дефинираме това като 
подпространство над реалните числа,
ако го умножа по произволно реално число, 
ще получа друг елемент от това подмножество.
Това е едно от условията.
Друго условие е, ако взема
два вектора,
да кажем, че имаме вектор а,
който е ето тук,
и имам вектор b ето тук.
Това е другото условие
V да е подпространство.
Ако а, извинявам се, ако вектор а
принадлежи на множеството V,
и вектор b принадлежи на множеството V, 
тогава, ако V е подпространство на Rn,
това означава, че а плюс b също трябва
да принадлежи на V.

Korean: 
부분집합에 없는
다른 벡터가 나오게 된다면
이 부분집합은
부분공간이 아니게 됩니다
이 집합이 부분공간이 되기 위해서는
이 부분집합에 있는 임의의 벡터에
어떤 실수 스칼라를 곱하더라도
지금 실수에서의 부분공간을
정의하고 있습니다
이 부분집합에 있는
또다른 원소를 얻어야 합니다
이것이 조건들 중 하나입니다
다른 조건은
만약 두 벡터가 있다고 한다면
하나는 벡터 a
다른 하나는 벡터 b라고 합시다
이것이 V가 부분공간이 되기 위한
또 다른 조건입니다
만약 벡터 a가 집합 V에 있고
벡터 b도 집합 V에 있다면
그리고 V가 Rn의 부분공간이라면
a+b가 무조건 V에 있습니다

Chinese: 
如果得到的向量
不在原集合中
那麽它就不是一個次空間
爲了使它成爲一個次空間
如果將子集中的每個向量乘以一個實數
我是在實數係中定義的次空間
如果將它乘以任意的實數
我會得到這個子集中的另一個元素
這是需要滿足的第二個條件
第三個條件是 如果取兩個向量
比如說這是向量a
這是向量b
這是使得V是次空間的
第三個必要條件
如果a在―― 抱歉――
如果向量a在集合V中
並且b也在集合V中
要使得Rn是一個次空間
就需要a+b也在V中

Turkish: 
.
.
Onun bir altuzay olması için,eğer kümemdeki herhangi bir eleman ile bir reel skaleri çarparsam,bunu reel sayıların üzerinde bir altuzay olarak tanımlarım;eğer onu herhangi bir reel sayı ile çarparsam,bu altkümenin farklı bir elemanını elde ederim.
.
.
.
Bu koşullardan biri.
Başka bir gereksinim ise eğer iki vektörü ele alırsam,farz edelim ki burada bir a vektörüm ve burada da bir b vektörüm var.
.
.
Yani v'nin altuzay olması için bu benim diğer koşulum.
.
Eğer a ve b vektörleri benim V kümemde ise ve eğer V, Rn'nin altuzayı ise bu bana a ve b'nin de V'de bulunması gerektiğini söyler.
.
.

Chinese: 
如果得到的向量
不在原集合中
那么它就不是一个子空间
为了使它成为一个子空间
如果将子集中的每个向量乘以一个实数
我是在实数系中定义的子空间
如果将它乘以任意的实数
我会得到这个子集中的另一个元素
这是需要满足的第二个条件
第三个条件是 如果取两个向量
比如说这是向量a
这是向量b
这是使得V是子空间的
第三个必要条件
如果a在―― 抱歉――
如果向量a在集合V中
并且b也在集合V中
要使得Rn是一个子空间
就需要a+b也在V中

English: 
my set, if I ended up with some
other vector that's not
included in my subset, then this
wouldn't be a subspace.
In order for it to be a
subspace, if I multiply any
vector in my subset by a real
scalar, I'm defining this
subspace over real numbers, if
I multiply it by any real
number, I should also get
another member of this subset.
So this is one of the
requirements.
And then the other requirement
is if I take two vectors,
let's say I have vector a,
it's in here, and I have
vector b in here.
So this is my other requirement
for v being a subspace.
If a is in a-- sorry-- if vector
a is in my set V, and
vector b is in my set V, then if
V is a subspace of Rn, that
tells me that a and b must
be in V as well.

Portuguese: 
meu conjunto, se eu termino com algum outro vetor que não está
incluído no meu conjunto, então isto não pode ser um subespaço.
Para que isto seja um subespaço, se eu multiplico qualquer
vetor em mu subespaço por um escalar real, estou definindo este
subespaço sobre o conjunto do números reais, se eu multiplico por qualquer número real,
Então devo obter outro número neste subconjunto.
Então este é um dos requisitos.
E então os outros requisitos é que se eu pego dois vetores,
vamos dizer que eu tenho o vetor a, ele está aqui, e eu tenho
o vetor b aqui.
Então este é meu requisito
para v ser um subespaço.
Se a estão em um - desculpe - se o vetor a está no meu conjunto V, e
vetor b está no meu conjunto V, então se V é um subespaço de Rn, que
me diz que a e b devem estar em V também.

Estonian: 
satuksin väljaspool oma hulka, kui ma lõpetaksin mingi vektoriga, mis ei ole
minu alamhulgas, siis see ei oleks alamruum.
Et see saaks olla alamruum, kui ma korrutan
suvalise vektori oma alamhulgas reaal skalaariga, ma defineerin
seda alamruumi reaalarvudega, kui ma korrutan seda suvalise
reaalarvuga, siis ma peaksin saama ühe osa sellest alamhulgast.
See on üks tingimustest.
Teine tingimuse on, et kui ma võtan kaks vektorit,
ütleme, et mul on vektor a, see on siin sees ning mul on
vektor b siin.
See on minu teine tingimus, et
V oleks alamruum.
Kui a on--vabandust--kui vektor a on V hulgas ja
vektor b on ka V hulgas, siis kui V on Rn-i alamruum, siis see
ütleb mulle, et a ja b on ka V-s.

English: 
So this is closure
under addition.
Let me write that down.
Closure under addition.
Once again, just a very fancy
way of saying, look, if you
give me two elements that's in
my subset, and if I add them
to each other -- these could be
any two arbitrary elements
in my subset -- and I add them
to each other, I'm going to
get another element
in my subset.
That's what closure under
addition means.
That when you add two vectors in
your set, you still end up
with another vector
in your set.
You don't somehow end up
with a vector that's
outside of your set.
If I have a subset of Rn, so
some subset of vectors of Rn,
that contains the 0 vector,
and it's closed under
multiplication and addition,
then I have a subspace.
So subspace implies all of these
things, and all of these
things imply a subspace.
This is the definition
of a subspace.

Bulgarian: 
Това е множество, затворено
по отношение на събирането.
Ще го запиша.
Множество, затворено
по отношение на събирането.
Това също е завъртян начин
да кажем, че
ако взема два елемента на това
подмножество, и ако ги събера,
като това може да са кои да е
два произволни елемента
на моето подмножество, и ако ги
събера, то тогава
ще получа друг елемент
на моето подмножество.
Ето това означава затворено множество
по отношение на събирането –
че когато събереш два вектора
в твоето множество, получаваш
друг вектор в същото множество.
Няма начин да получиш вектор,
който е извън твоето множество.
Ако имаме подмножество 
от вектори в Rn,
което включва нулевия вектор,
и което е затворено по отношение
на умножението и събирането,
тогава имаме подпространство.
Подпространство означава, че
имаме всички тези условия,
и всички тези условия означават,
че имаме подпространство.
Това е определението
за подпространство.

Chinese: 
這是對於加法的封閉性
我寫下來
加法的封閉性
以下是通俗的理解方法
如果已知子集中的兩個元素
將它們相加――
這是子集中的任意兩個元素――
將它們相加
則它們的和也在原子集中
這就是對於加法的封閉性
就是說當對集合中的兩個向量相加時
其得到的向量仍在這個集合中
得到的向量
不會在集合之外
若有一個Rn的子集
即Rn中的一些向量構成的子集
其中包含0向量
並且滿足對數乘和加法的封閉性
則其構成一個次空間
故次空間需要滿足這些條件
並且滿足這些條件的空間是次空間
這就是次空間的定義

Chinese: 
这是对于加法的封闭性
我写下来
加法的封闭性
以下是通俗的理解方法
如果已知子集中的两个元素
将它们相加――
这是子集中的任意两个元素――
将它们相加
则它们的和也在原子集中
这就是对于加法的封闭性
就是说当对集合中的两个向量相加时
其得到的向量仍在这个集合中
得到的向量
不会在集合之外
若有一个Rn的子集
即Rn中的一些向量构成的子集
其中包含0向量
并且满足对数乘和加法的封闭性
则其构成一个子空间
故子空间需要满足这些条件
并且满足这些条件的空间是子空间
这就是子空间的定义

Arabic: 
لذلك هذا هو إغلاق
تحت الإضافة.
اسمحوا لي أن أكتب أسفل.
إغلاق تحت الإضافة.
مرة أخرى، هذه مجرد طريقة جذابة للقول اذا
اعطيتني عنصرين في مجموعتي الفرعية وجمعتهما
يمكن أن يكونا
أي عنصرين
في مجموعتي الفرعية - وتمت إضافتها
لبعضها البعض،
سوف احصل عتى عنصر اخر في مجموعتي الفرعية.
هذا ما اعنيه بالإغلاق تحت الإضافة .
أنه عند جمع متجهين في
مجموعتكم ، فإنكم في نهاية المطاف
ستكونون مع متجه أخر
في مجموعتكم الخاصة .
لن تكونوا بطريقة أو بأخرى في نهاية المطاف
مع متجه
خارج مجموعتكم.
إذا كان لدي مجموعة فرعية ل Rn،او محموعة فرعية  لمتجهات Rn،
تضم  متجه 0 ،
وهي مغلقة تحت
الضرب وبالإضافة ،
سيكون لدي فضاء جزئي.
لذا فضاء جزئي يعني كل هذه
الأشياء، وجميع هذه الاشياء
تعني  فضاء جزئي.
هذا هو التعريف
ل فضاء جزئي.

Turkish: 
Bu toplamaya göre kapanıştır
Bunu yazalım.
Toplamaya göre kapanış.
Bir kere daha,eğer elimde olan altkümeki iki elemanı birbirine eklersem-bunlar altkümemdeki herhangi bir eleman olabilir- bu altkümede yeni bir eleman elde ederim.
.
.
.
.
Bu toplamaya göre kapanışın ne demek olduğudur.
Kümenizdeki iki vektörü eklediğinizde,yine farklı bir vektör elde edersiniz.
.
Kümenizde olmayan bir vektör elde etmezsiniz.
.
Eğer elimde Rn'nin altkümesi varsa,yani Rn'nin vektörlerinin 0 vektörü içeren herhangi bir altkümesi varsa ve bu çarpmaya ve toplamaya göre kapalıysa,sonuç olarak bir altuzay elde ettiğimi gösterir.
.
.
Yani altuzay tüm bu şeyleri gösterir ve tüm bunlar da altuzayı gösterir.
.
Bu altuzayın tanımıdır.

Estonian: 
See on sulund liitmisega.
Ma panen selle kirja.
Sulund liitmisega.
Uhkem viis on seda öelda, kui
sa annad mulle kaks elementi, mis on minu alamhulgas ja kui ma liidan
need kokku -- need on kaks suvalist elementi
minu alamhulgast -- ja ma liidan need omavahel kokku, siis ma
saan uue elememndi oma alamhulka.
Seda tähendabki liitmise sulund.
Kui sa liidad kaks vektorit oma hulgast, siis sa
ikka saad vektori, mis on sinu hulgas.
Sul ei ole võimalik saada vektorit, mis
ei ole sinu hulgas.
Kui mul on Rn-i alamhulk, mingi Rn-i vektori alamhulk, mille
sees on nullvektor ning see on
korrutise ja liitmise sulundi all, siis mul on alamruum.
Alamruum eeldab kõiki neid asju ning kõik need
asjad eeldavad alamruumi.
See on alamruumi definitsioon.

Thai: 
นี่ก็คือสมบัติปิดภายใต้การบวก
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
สมบัติปิดภายใต้การบวก
เหมือนเดิม, แค่วิธีสวยหรูในการบอกว่า, ดูสิ, ถ้าคุณ
ให้สมาชิกสองตัวที่อยู่ในสับเซตของผม, แล้วถ้าผมบวก
พวกมันเข้าด้วยกัน -- พวกมันเป็นสมาชิกอะไรก็ได้ 2 ตัวใน
สับเซตของผม -- และผมบวกพวกมันเข้าด้วยกัน, ผมจะ
ได้สมาชิกอีกตัวในสับเซตของผม
นั่นคือความหมายของสมบัติปิดภายใต้การบวก
คือว่าเมื่อคุณบวกเวกเตอร์ 2 ตัวในเซต, คุณจะได้
เวกเตอร์อีกตัวในเซตนั้น
คุณจะไม่มีทางได้เวกเตอร์ที่
อยู่นอกเซตของคุณ
ถ้าผมมีสับเซตของ Rn, แล้วสับเซตของเวกเตอร์ใน Rn,
ที่มีเวกเตอร์ 0, และมีสมบัติปิดภายใต้
การคูณและการบวก, แล้วผมมีสับสเปซ
สับสเปซหมายถึงสามอย่างนี้, และสามอย่างนี้
หมายถึงสับสเปซน
นี่คือนิยามของสับสเปซ

Korean: 
즉, 이 집합은 덧셈에
대해 닫혀있습니다
한 번 써보겠습니다
덧셈에 대해 닫혀있음
다시 한번 멋지게 말하자면
부분집합의 원소 2개가 있다고 합시다
두 원소를 더하면
이것은 부분집합 내의
임의의 두 원소가 됩니다
그리고 두 원소를 서로 더하면
부분집합 내의 또 다른
원소를 얻게 됩니다
이것이 바로 덧셈에 대해
닫혀있다는 뜻입니다
집합의 두 벡터를 더했을 때
그대로 집합 내의 또 다른 벡터가 나옵니다
집합 밖의 다른 벡터를 얻게 되는 일은
없습니다
만약 Rn의 부분집합이 있다면
즉 영벡터를 포함하는
Rn 안의 어떤 벡터들의
집합을 가지고 있다면
그리고 곱셈과 덧셈에 대해 닫혀있다면
부분공간이 존재합니다
따라서 부분공간은 이 모든 것을
함축하고 있습니다
그리고 이러한 모든 것들은
부분공간을 의미하죠
이것이 부분공간의 정의입니다

Portuguese: 
Então isso é fechado sob adição.
Deixe-me escrever isso.
Fechamento sob adição.
Novamente, como um jeito legal de dizer, veja, se você
me der dois elementos que estão no meu subconjunto, e se eu adicionar
um ao outro - estes podem ser quaisquer dois elementos arbitrários
no meu subconjunto -- e adicionando um ao outro, irei
obter outro elemento no emu subconjunto.
Isto é o que fechamento sob adição significa.
Quando você adiciona dois vetores em um conjunto, você ainda termina
com outro vetor do seu conjunto.
Não há maneira de você terminar com um vetor que está
fora do seu conjunto.
Se eu tenho um conjunto de Rn, algum subconjunto de vetores do Rn,
que contém o vetor 0, e é fechado sob
multiplicação e adição, então eu tenho um subespaço.
Assim subespaço implica em todas essas coisas, e todos as
coisas implicam em um subespaço.
Esta é uma definição de um subespaço.

Korean: 
지금 당장은 모든게 추상적으로
들릴지 모릅니다
몇 가지 예제를 풀어보죠
이 예제들이 이 내용을
더 구체적으로 만들어 줄지는 모르겠습니다
하지만 충분히 연습한다면
공간이 의미하는 것이 무엇인지
직감할 수 있을 것입니다
몇 가지 예제를 풀어 봅시다
어느 정도 수학적으로
형식적인 걸 원하기 때문이에요
간단한 집합이 있다고 해봅시다
벡터 집합에 
오직 한 개의 벡터만 있다고 해봅시다
그리고 영벡터를 가지고 있습니다
그래서 그냥 굵은 0을 쓰겠습니다
또는 이렇게 쓸 수도 있죠
집합의 유일한 벡터는
영벡터입니다
지금 R3에 대해 이야기하고 있습니다
R3 안의 벡터가 이렇게
생겼다고 하죠
집합 V는 R3의 부분공간인가요?
이것이 부분공간이 되려면
세 가지 조건을 만족해야 합니다
그것은 영벡터를 포함해야 합니다

Estonian: 
See kõik võib sulle tunduda abstraktsena praegu seega
teeme paar näidet.
Ma ei tea, kas need näited teevad asja
konkreetsemaks, aga ma arvan, et kui me teeme seda piisavalt, siis sa
peaksid midagigi aru saama, mida see ruum eeldab.
Ma teen paar näidet.
Ma tahan jääda suhteliselt
ametlikuks oma matemaatikaga.
Ütleme, et mul on peaaegu triviaalselt tavaline hulk.
Ütleme, et minu vektorite hulk, mul on ainult üks vektor seal sees
ja mul on nullvektor.
Ma teen väga tumeda nulli siia.
Aga seda saab ka niimoodi kirjutada, ainus vektor minu hulgas
on nullvektor.
Ütleme...
Me räägime R3-st.
Ütleme, et minu nullvektor näeb välja selline R3-s.
Mida ma tahan teada saada on, kas minu V hulk on R3-e alamruum?
Et see saaks olla alamruum, peab olema täidetud kolm tingimust.
Selles peab olema nullvektor.

Arabic: 
قد يبدو كل هذا امر تجريدي بالنسبة لكم، لذلك دعونا نتناول
بضعة أمثلة.
وأنا لا أعرف ما إذا كانت هذه
الأمثلة تجعل منه شيئا
ملموسا، ولكن أعتقد انه لو ركزتم
بما فيه الكفاية، فسوف تحصلون بالحدس الطبيعي
على معنى كلمة فضاء.
 
دعوني اعطيكم  بعض الأمثلة.
لأنني أريد أن
البقاء نسبيا
في الاطارالرسمي للرياضيات.
دعوني  افترض انه لدي تقريبا
مجموعة أساسية بسيطة.
لدي مجموعة  متجهات، 
لا املك إلا متجه واحد فيها، و
لدي متجه 0 .
ولذا  سوف ارسم  0 اللون الداكن  هناك.
أو يمكنني أن أكتبه مثل هذا،
المتجه الوحيد في مجموعتي
هو متجه 0
الآن قولوا؟
انكم تتحدثون عن R3.
قولوا متجهكم 0 
في R3 يشبه ذلك.
ما أريد أن أعرفه هو، هل
مجموعة V  فضاء جزئي ل R3؟
حسنا، من أجل أن يكون
فضاء جزئي، هناك ثلاثة شروط.
يجب ان تحتوى على
متجه 0 .

Thai: 
นี่อาจดูเป็นนามธรรมไปหน่อยตอนนี้, งั้นลอง
ทำตัวอย่างกัน
และผมไม่รู้ว่าตัวอย่างพวกนี้จะ
ช่วยให้มันชัดขึ้นไหม, แต่ผมว่าถ้าเราทำไป, คุณจะได้
สัญชาตญาณว่าสเปซนี้หมายถึงอะไร
-
ขอผมทำตัวอย่างหน่อยนะ
เพราะผมยังอยากให้มัน
มีคณิตศาสตร์เป็นทางการพอสมควร
สมมุติว่าผมมีเซตที่ง่ายมากเซตหนึ่ง
สมมุติว่าเซตของเวกเตอร์ผม, ผมมีเวกเตอร์ตัวเดียวในนั้น, นั่นคือ
มีเวกเตอร์ 0
ผมจะเขียน 0 ตัวหนาๆ ตรงนี้
หรือผมเขียนมันแบบนี้ก็ได้, เวกเตอร์ตัวเดียวในเซตของผม
คือเวกเตอร์ 0
แล้วสมมุติว่า?
เรากำลังพูดถึง R3
สมมุติว่าเวกเตอร์ 0 ใน R3 เป็นแบบนั้น
แล้วสิ่งที่ผมอยากรู้คือว่า, เซต V ของผมเป็นสับสเปซใน R3 หรือเปล่า?
ทีนี้, เพื่อให้มันเป็นสับสเปซ, มีเงื่อนไขอยู่ 3 อย่าง
มันต้องมีเวกเตอร์ 0

Chinese: 
这可能有些太抽象了
我们来做一些例子
我不知道通过这些例题
是否能够让大家了解得更透彻
但我认为如果训练足够多
那么你就能对子空间
形成一种直观的感觉
我们来做些例题
因为我要保持
数学上相对的正规性
比如已知最基本的集合
对于向量的集合
其中只含有一个向量 就是0向量
我写一个粗体的0
或者也可以这么写
集合中的唯一向量是0向量
那么
我们在空间R3中讨论
从而R3中的0向量就像这样
我要知道的是
已知的集合V是否是R3的子空间
要想其成为子空间必须满足三个条件
它要包含0向量

Turkish: 
Bu şimdi size çok teorik gelebilir bu nedenle birkaç örnek yapalım.
.
Bu örneklerin olayı kavramanıza yardımcı olup olmayacağını bilemiyorum fakat bence eğer yeterli derecede örnek yaparsak,yaklaşık olarak bir uzayın neyi gösterdiğini anlamaya başlayacaksınız.
.
.
.
Birkaç örnek yapalım.
Çünkü matematiksel olarak elimden geldiğince resmi olmak istiyorum.
.
Farz edelim ki elimde sıradan basit bir küme var.
Kümemde yanlızca bir vektör var o da 0 vektörü.
.
Buradaki 0'ı kalın yazıyorum.
Bunu bu şekilde de yazabilirim,kümemdeki tek vektör 0 vektörü.
.
Şimdi varsayalım.
R3 hakkında konuşuyoruz
R3'teki 0 vektörümün bu şekilde göründüğünü düşünelim.
Bilmek istediğim ise V kümemin, R3'ün bir altuzayı olup olmadığı.
Onun bir altuzay olması için üç adet koşul var.
0 vektörünü içermeli.

Portuguese: 
Isto pode parece abstrato para você agora, então vamos fazer
alguns exemplos.
E eu não sei se esses exemplos tornarão mais
concreto, mas eu acho que se fizermos o suficiente, você irá pegar
o senso intuitivo do que um subespaço implica.
Vamos fazer alguns exemplos.
Como que quero permanecer relativamente
matematicamente formal.
Vamos considerar que eu tenho um conjunto trivialmente básico.
Vamos dizer o conjunto de vetores, eu some tenho um vetor nele e
eu tenho o vetor 0.
Então irei fazer um 0 em negrito aqui.
Ou eu posso escrever algo como isto, o único vetor no meu conjunto é
o vetor 0.
Agora vamos dizer?
Nós estamos falando sobre o R3.
Então vamos dizer que meu vetor 0 aparenta no R3 como isto.
O que eu quero conhecer é, é meu conjunto V um subespaço R3?
Bem, para fazê-lo ser um subespaço, três condições.
Ele deve conter o vetor 0.

Chinese: 
這可能有些太抽象了
我們來做一些例子
我不知道通過這些例題
是否能夠讓大家了解得更透徹
但我認爲如果訓練足夠多
那麽你就能對次空間
形成一種直觀的感覺
我們來做些例題
因爲我要保持
數學上相對的正規性
比如已知最基本的集合
對於向量的集合
其中只含有一個向量 就是0向量
我寫一個粗體的0
或者也可以這麽寫
集合中的唯一向量是0向量
那麽
我們在空間R3中討論
從而R3中的0向量就像這樣
我要知道的是
已知的集合V是否是R3的次空間
要想其成爲次空間必須滿足三個條件
它要包含0向量

English: 
This might seem all abstract to
you right now, so let's do
a couple of examples.
And I don't know if these
examples will make it any more
concrete, but I think if we do
it enough, you'll kind of get
the intuitive sense of
what a space implies.
Let me just do some examples.
Because I want to
stay relatively
mathematically formal.
Let's just say I have the almost
trivially basic set.
Let's say my set of vectors, I
only have one vector in it and
I have the 0 vector.
So I'll just do a really
bold 0 there.
Or I could write it like this,
the only vector in my set is
the 0 vector.
Now Let's say?
We're talking about R3.
So let's say my 0 vector
in R3 looks like that.
What I want to know is, is my
set V a subspace of R3?
Well, in order for it to be a
subspace, three conditions.
It has to contain
the 0 vector.

Bulgarian: 
Всичко това може би изглежда
доста абстрактно в момента, но
нека да видим няколко
примера.
Не знам дали тези примери
ще направят нещата по-конкретни,
но мисля, че ако видим
достатъчно, ще разбереш
логически какво означава
пространство.
Да решим няколко примера.
Искам да запазим сравнително
математическа формалност.
Да кажем, че имам едно 
почти елементарно множество.
Да кажем, че моето множество 
от вектори съдържа само един вектор
и това е нулевият вектор.
Ще направя едно 
удебелено 0 тук.
Мога да го запиша ето така,
единственият вектор в моето множество
е нулевият вектор.
И сега какво?
Имаме R3.
Нека моят нулев вектор в
R3 да изглежда ето така.
Искам да знам дали моето
множество V е подпространство на R3?
За да бъде подпространство
има три условия.
Трябва да съдържа нулевия вектор.

English: 
Well the only thing it does
contain is the 0 vector.
So it definitely contains
the 0 vector.
So 0 vector, check.
Now, is it closed under
multiplication?
So that means, if I take any
member of the set, there's
only one of them, and I multiply
it by any scalar, I
should get another member
of the set.
Or I should get maybe itself.
So let's see, there's only
one member of the set.
So the one member of the
set is the 0 vector.
If I multiply it times
any scalar, what
am I going to get?
I'm going to get c times 0 which
is 0, c times 0, which
is 0, and c times 0.
I'm going to get its
only member.
But it is closed.
So it is closed under
multiplication.
You can multiply this one vector
times any scalar, and
you're just going to get
this vector again.
So you're going to end up being
in your 0 vector set.
That's a check.
Is it closed under addition?

Estonian: 
Ainuke asi, mis selle sees on ongi nullvektor.
See kindlasti sisaldab nullvektorit.
Nullvektor, olemas.
Kas see on korrutise sulund?
See tähendab, et kui ma võtan hulgast suvalise liikme, ainult
üks ongi, ning korrutan selle suvalise skalaariga, siis ma
peaksin saama teise hulga liikme.
Või ma saan selle sama liikme.
Vaatame... hulgas on ainult üks liige.
Hulga ainus liige on nullvektor.
Kui ma korrutan selle skalaariga, siis
mis ma saan?
Ma saan c korda null, mis on null, c korda null,
mis on null ja c korda null.
Ma saan selle ainsa liikme.
Aga see on suletud.
Seega see on korrutise sulund.
Sa võid selle vektori korrutada suvalise skalaariga ja
sa saad selle sama vektori.
Seega lõpuks oled sa oma nullvektori hulgas.
See on korras.
Kas see on liitmise sulund?

Turkish: 
Aslında kümemin içerdiği tek şey 0 vektörü.
Bu nedenle kesinlikle 0 vektörünü bulundurur.
0 vektörü,kontrol edelim.
Şimdi bu çarpmaya göre kapalı mıdır?
Bu demek oluyor ki,eğer kümemin herhangi bir elemanını alırsam,onlardan sadece birini, ve herhangi bir skaler ile çarparsam,kümemdeki farklı bir elemanı elde etmem gerekir.
.
.
Ya da belki de kendisini elde etmem gerekir.
Bakalım,kümemde sadece bir eleman var.
Bu eleman da 0 vektörü.
Eğer bunu herhangi bir skaler ile çarparsam,ne elde ederim?
.
c çarpı 0 eşittir 0,c çarpı 0 eşittir 0 ve yine c çarpı 0 eşittir 0'ı elde edeceğim.
.
Onun sadece bir elemanını elde edeceğim.
Fakat bu kapalı.
Yani çarpmaya göre kapalı.
Bu vektörü herhangi bir skaler ile çarpabilirsiniz ve sonuç olarak yine bu vektörü elde edersiniz.
.
Yani 0 vektör içeren kümenizde son bulacaksınız.
Bu şekilde kontrol ettik.
Peki,toplamaya göre kapalı mı?

Arabic: 
حسنا الشيء الوحيد الذي يحتويه هو متجه 0 .
اذا  بالتأكيد يحتوي على متجه 0
.
لذلك متجه 0 ، وقد تحققتم من ذلك.
الآن، هل هو مغلق تحت
عمليه الضرب؟
وهذا يعني، إذا أخذت أي
عضو في المجموعة، سيكون هناك
واحد منهم فقط، اذا  ضربتموه في اي  عددية،
يجب ان تحصلوا على عضو آخر
من المجموعة.
أو  تحصلون عليه هو نفسه.
لذلك دعونا نرى، هناك فقط
عضو واحد من المجموعة.
هذا العضو الواحد من
المجموعة هو متجه 0 .
إذا ضربته في
أي عددية، على ماذا
سوف احصل؟
ساضرب c في 0 ، تساوي 0
 
ساحصل على عضوها الوحيد.
لكنها مغلقة.
اذا هي مغلقة تحت عمليه الضرب.
يمكنكم ضرب هذا المتجه 
في  أي عددية، و
سوف تحصلون على
نفس هذا المتجه مرة أخرى.
لذا ستظلون في مجموعتكم لمتجه 0.
وهكذا قد تحققتم.
هل تم إغلاقه تحت الاضافة؟

Korean: 
그것이 유일하게 포함하는 것은 
영벡터입니다
따라서
그 집합은 영벡터를 포함합니다
영벡터
확인했습니다
그렇다면
곱셈에 대해 닫혀있을까요?
무슨 말인지 봅시다
집합의 임의의 원소를
하나 밖에 없네요
그것을 임의의 스칼라랑 곱하면
집합의 다른 원소를 얻게 됩니다
혹은 어쩌면 
그 원소 그대로 나올지도 모릅니다
자, 봅시다
집합에는 원소가 하나밖에 없습니다
즉, 집합의 유일한 원소는
영벡터입니다
만약 그 벡터에 임의의 스칼라를
곱한다면
뭐가 나올까요?
c 곱하기 0
즉 0이 나올 것입니다
집합의 유일한 원소를 얻게 됩니다
하지만 그것은 닫혀있죠
즉, 이 집합은 곱셈에 대해 
닫혀있습니다
이 벡터에 임의의 
스칼라를 곱할 수 있고
다시 이 벡터가 나올 것입니다
따라서 결국엔 영벡터 집합을
얻게 될 것입니다
이것도 확인했습니다
그렇다면 덧셈에 대해서는
닫혀있을까요?

Chinese: 
其实集合中的唯一元素就是0向量
故其确实含有0向量
含有0向量 满足
那么它对数乘封闭吗？
这意味着 如果取集合中的任何元素
其实只有一个元素
然后将其乘以一个标量
应该得到这个集合中其他向量
或者得到原向量本身
我们看 这个集合中仅有一个向量
所以取集合中的一个元素 即0向量
将其乘以任意标量
得到什么呢？
得到c乘以0
结果还是0
得到的结果就是仅有的这个向量
它是封闭的
所以说它对数乘封闭
也可以对这个向量乘以任何标量
得到的结果肯定还是这个
得到的结果总是0向量
这个条件也满足
那么它对加法封闭吗？
如果对向量本身加上该集合中的任意元素

Portuguese: 
Bem a única coisa que ele contém é o vetor 0.
Então ele definitivamente contém o vetor 0.
Então o vetor 0, verificado.
Agora, ele é fechado sob multiplicação?
Então isso significa, seu eu pegar qualquer membro do conjunto, existe
somente um deles, e eu multiplico ele por um escalar, eu
posso obter outro membro do conjunto.
Ou eu posso obter ele mesmo.
Então vamos ver, existe somente um membro do conjunto.
Então o membro do conjunto é o vetor 0.
Se eu multiplico ele por qualquer escalar, o que
eu irei obter?
Eu irei obter c vezes 0 que é 0, c vezes 0, que
é 0, e c vezes 0.
Eu irei obter somente este membro.
Mas ele é fechado.
Então ele é fechado sob a multiplicação.
Você pode multiplicar este vetor um vezes qualquer escalar, e
você somente estará obtendo este vetor novamente.
Então você terminará com o seu conjunto vetor 0.
Isto é uma verficação.
Ele é fechado sob adição?

Thai: 
ทีนี้ สิ่งเดียวที่มันมีคือเวกเตอร์ 0
มันจึงบรรจุเวกเตอร์ 0 แน่นอน
ดังนั้นเวกเตอร์ 0, ใช้ได้
ทีนี้, มันมีสมบัติปิดภายใต้การคูณหรือเปล่า?
นั่นหมายความว่า, ถ้าผมเอาสมาชิกใดๆ ในเซตมัน,
มันมีแค่ตัวเดียว, แล้วผมคูณมันด้วยสเกลาร์ใดๆ, ผม
ควรได้สมาชิกอีกตัวในเซต
หรือผมควรได้ตัวมันเอง
ลองดู, มันมีสมาชิกแค่ตัวในเซต
สมาชิกตัวเดียวในเซตนั้นคือเวกเตอร์ 0
ถ้าผมคูณมันด้วยสเกลาร์, ผม
จะได้อะไร?
ผมจะได้ c คูณ 0 เท่ากับ 0, c คูณ 0, ซึ่งก็คือ
0, แล้วก็ c คูณ 0
ผมจะได้เลขตัวเดียวนี้
แต่มันมีสมบัติปิด
มันจึงมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ
คุณสามารถคูณเวกเตอร์ตัวเดียวนี้ กับสเกลาร์ใดๆ, และ
คุณจะได้เวกเตอร์นี้อีกครั้ง
คุณจะอยู่ในเซตของเวกเตอร์ 0 นี้เสมอ
สมบัตินี้ผ่านแล้ว
แล้วมันปิดภายใต้การบวกหรือเปล่า?

Bulgarian: 
Да, единственото нещо, което
съдържа, е нулевият вектор.
Значи определено съдържа
нулевият вектор.
Така че условието за
нулевия вектор е изпълнено.
А дали е затворено множество
по отношение на умножението?
Това означава, че ако взема
произволен елемент от множеството,
тук има само един член, и ако
го умножа по произволен скалар,
ще получа друг член 
от множеството
или може би ще получа 
самия него.
Да видим, имаме само един
член в множеството.
Единственият член на множеството
е нулевият вектор.
Ако го умножа по произволно число,
какво ще получа?
Ще получа с по 0, което е 0,
с по 0, което също е нула,
и с по 0.
Ще получа единствения
му член.
Значи е затворено множество
по отношение на умножението.
Можеш да умножиш този вектор
по всяко число,
и отново ще получиш
същия този вектор.
Така че оставаш в същото
множество на нулевия вектор.
Това условие е изпълнено.
Затворено ли е множеството
по отношение на събирането?

Chinese: 
其實集合中的唯一元素就是0向量
故其確實含有0向量
含有0向量 滿足
那麽它對數乘封閉嗎？
這意味著 如果取集合中的任何元素
其實只有一個元素
然後將其乘以一個純量
應該得到這個集合中其他向量
或者得到原向量本身
我們看 這個集合中僅有一個向量
所以取集合中的一個元素 即0向量
將其乘以任意純量
得到什麽呢？
得到c乘以0
結果還是0
得到的結果就是僅有的這個向量
它是封閉的
所以說它對數乘封閉
也可以對這個向量乘以任何純量
得到的結果肯定還是這個
得到的結果總是0向量
這個條件也滿足
那麽它對加法封閉嗎？
如果對向量本身加上該集合中的任意元素

Korean: 
집합의 어떤 원소에 
그 자신을 더한다면
즉, 원소가 하나밖에 없는 상황에서
집합의 원소를 더한다면
여기에는 오직 한 경우밖에 없습니다
만약 이 벡터와 이 벡터를 더하면
어떻게 될까요?
이 벡터 그대로 나오겠죠
이 벡터를 그대로 얻게 됩니다
따라서 이 집합은 명백하게
덧셈에 대해 닫혀있습니다
확인했습니다
결론적으로 영벡터만을 가지고 있는
아주 단순한 R3의 이 부분집합이
부분공간이라는 게 
확실히 밝혀졌습니다
이 집합이 그저 사소하고 단순한
부분공간일지라도
부분공간이 되기 위한 조건을
만족시킵니다
그 어떤 방법으로도
이 안에 있는 벡터를
부분공간 밖으로 빠져나오게 
할 수 없습니다
적어도 스칼라
곱셈 혹은 덧셈을 다루고 있다면요
하나 보여드리겠습니다
어쩌면 부분공간이 아닌
예시를 보여준다면
이 아이디어가
보다 명확해질지 모르니까요
여기에 좌표 축이 있습니다
특정 부분공간과 부분집합이
있다고 가정합니다

Arabic: 
حسنا، من الواضح إنني  اذا أضفت أي
عضو في هذه المجموعة لنفسه،
أعني، هناك عضوواحد فقط،
لعضو اخر
عضو في مجموعة.
هناك خيار واحد فقط هنا.
فإذا  أضفت هذا الى هذا، على ماذا سوف  احصل؟
ساحصل على هذا.
سوف احصل عليه مرة أخرى.
لذلك بالتأكيدهو مغلق
تحت الإضافة.
اذا تم التحقق.
هكذا قد تحققنا من ان هذه الفرعية الأساسية البسيطة لR3،
التي تحتوي فقط على متجه 0 ،
هي فضاء جزئي.
ربما 
فضاء جزئي جزئي بسيط، لكنه يحقق
قيود الفضاء الجزئي.
لا يمكنكم أن تفعلوا أي شيء فيما يخص المتجهات، فان هذا سوف يخرجكم بطريقة أو بأخرى
من هذا الفضاء الجزئي.
أو على الأقل حينما تتعاملون مع العددية
ضربا أو اضافة.
اسمحوا لي أن اتعامل مع واحدة ربما تعطيكم صورة اوضح
لو عرضت عليكم مثالا لشئ لا يمت
للفضاء الجزئي بصلة.
اسمحوا لي أن أضع 
محاور الاحداثيات هنا.
افترضوا ان المطتوب ايجاد فضاء جزئي ، مجموعة فرعية.

English: 
Well, clearly if I add any
member of this set to itself,
I mean, there's only one
member, to another
member of the set.
There's only one option here.
If I just add that to
that, what do I get?
I just get that.
I just get it again.
So it definitely is closed
under addition.
Check.
So it does turn out that this
trivially basic subset of r3,
that just contains the 0 vector,
it is a subspace.
Maybe a trivially simple
subspace, but it satisfies our
constraints of a subspace.
You can't do anything with the
vectors in it, they'll somehow
get you out of that subspace.
Or at least if you're
dealing with scalar
multiplication or addition.
Let me do one that maybe the
idea will be a little clearer
if I show you an example
of something
that is not a subspace.
Let me get my coordinate
axes is over here.
Let's say I were to find some
subspace, some subset.

Chinese: 
其实集合中仅有一个向量
要加上集合中的另一个元素
我们只有一个选择
如果加上它 能得到什么？
结果是这样的
结果还是这个
故其对加法满足封闭性
这条也满足
所以得出结论
这个R3的平凡的子集
它含有0向量 它是一个子空间
虽然它是一个平凡的子空间
但是它确实满足子空间定义的条件
无论对集合中的元素进行怎样的处理
它都不会跑到子空间外面去
也就是说
它对数乘和加法封闭
我们再来做一道例题
这可能是你能够理解更加清楚
这是一个关于
不构成子空间的例子
这是坐标轴
若已知某个子集

Chinese: 
其實集合中僅有一個向量
要加上集合中的另一個元素
我們只有一個選擇
如果加上它 能得到什麽？
結果是這樣的
結果還是這個
故其對加法滿足封閉性
這條也滿足
所以得出結論
這個R3的平凡的子集
它含有0向量 它是一個次空間
雖然它是一個平凡的次空間
但是它確實滿足次空間定義的條件
無論對集合中的元素進行怎樣的處理
它都不會跑到次空間外面去
也就是說
它對數乘和加法封閉
我們再來做一道例題
這可能是你能夠理解更加清楚
這是一個關於
不構成次空間的例子
這是坐標軸
若已知某個子集

Bulgarian: 
Очевидно, ако прибавя произволен 
член на множеството към самия него,
имам предвид, че има само един член, 
към друг член на множеството.
Тук има само един вариант.
Ако събера това с това,
какво ще получа?
Получавам отново това.
Получавам пак него.
Значи определено множеството
е затворено по отношение на събирането.
Условието е изпълнено.
Оказва се, че това елементарно
просто подмножество на R3,
което съдържа само нулевия вектор,
представлява подпространство.
Може би елементарно просто
подпространство, но то изпълнява
условията за подпространство.
Не можеш да направиш нищо с
векторите в него, което по някакъв начин
да те отведе извън това 
подпространство.
Или поне по отношение на
умножение със скалар или събиране.
Сега да разгледаме пример, в който
може би идеята ще стане по-ясна,
като ти покажа нещо, което
не е подпространство.
Нека това да са 
координатните оси.
Да кажем, че искам да намеря
подпространство, някакво подмножество,

Portuguese: 
Bem, claramente se eu adiciono um membro deste conjunto a ele mesmo,
eu digo, existe somente um membro, para outro
membro do conjunto.
Existe somente uma opção.
Se eu somente faço isso, o que eu obtenho?
Eu somente pego isto.
E obtenho ele novamente.
Então eu definitivamente é fechado sob adição.
Verificado.
Então isso se tornou que este é trivialmente um subconjunto básico do R3,
que somente contém o vetor 0, é um subespaço.
Talvez um supespaço trivialmente simples, mas ele satisfaz nossas
restrições de um subespaço.
Você não pode fazer nada com os vetores nele, eles levarão
você de alguma forma fora do subespaço.
Ou pelo menos você está tratando com a
multiplicação ou adição escalar.
Vamos fazer um que talvez seja um pouco mais claro
se eu mostrar um exemplo de algo
que não é um subespaço.
Deixe-me pegar meu eixos de coordenadas aqui.
Vamos dizer que eu quero encontrar um subespaço, algum subconjunto.

Thai: 
ทีนี้, แน่นอนถ้าผมบวกสมาชิกของเซตนี้ คือบวกตัวเอง,
ผมหมายความว่า, มันมีสมาชิกแค่ตัวเดียว, หรือ
สมาชิกอีกตัวของเซต
มันมีตัวเลือกตัวเดียวตรงนี้
ถ้าผมบวกมันเข้ากับเจ้านั่น, ผมจะได้อะไร?
ผมได้อันนี้
ผมได้มันอีกแล้ว
มันจะมีสมบัติปิดภายใต้การบวกแน่นอน
ผ่าน
มันจึงได้ว่า เจ้านี่เป็นสับเซตของ R3 จริง
มันมีเวกเตอร์ 0 อยู่ด้วย, มันเป็นสับสเปซ
บางทีเป็นสับสเปซง่ายๆ ไม่มีอะไร, แต่ตรงตาม
เงื่อนไขของสับสเปซทั้งหมด
คุณทำอะไรกับเวกเตอร์ในนั้นไม่ได้, พวกมัน
จะพาคุณออกไปนอกสับสเปซ
หรืออย่างน้อยถ้าคุณใช้การคูณ
ด้วยสเกลาร์ หรือการบวก
ขอผมทำอีกอันที่ น่าจะทำให้แนวคิดชัดขึ้น
ถ้าผมยกตัวอย่างสิ่งที่
ไม่ใช่สับสเปซ
ขอผมเขียนแกนพิกัดตรงนี้นะ
สมมุติว่าผมอยากหาสับสเปซ, สับเซตสักตัว

Estonian: 
Kui ma liidan hulga suvalise liikme endaga,
ongi ainult üks liiga, teise
hulga liikmega.
Siin on ainult üks valik.
Kui ma liidan need kokku, mis ma saan?
Ma saan selle.
Ma saan selle uuesti.
Seega see on kindlasti liitmise sulund.
Korras.
Tuleb välja, et see tavaline R3-e alamhulk,
milles on ainult nullvektor, on alamruum.
Võib-olla liiga kerge alamruum, aga see
on ikkagi alamruum.
Sa ei saa nende vektoritega, mis seal sees on, midagi teha, sest nad
viivad su alamruumist välja.
Seda juhul, kui sul on tegemist skalaar
korrutamise või liitmisega.
Las ma proovin uuesti, võib-olla sellega on idee selgem, kui
ma näitan sulle näidet millegist, mis
ei ole alamruum.
Ma toon oma koordinaatteljed siia.
Oletame, et ma leidsin mingi alamruumis, mingi alamhulga.

Turkish: 
Eğer bu kümenin herhangi bir elemanını kendisine eklersem,yani kümede yalnızca bir eleman var ve bunu başka bir elemana ekliyoruz.
.
.
Burada sadece bir seçeneğimiz var.
Bunu buna eklersem, ne elde ederim?
Sadece bunu elde ederim.
Yani tekrar aynısını elde ederim.
Bu nedenle kesinlikle toplamaya göre kapalıdır.
Kontrol edelim.
Sonuç olarak R3'ün bu sıradan basit kümesi sadece 0 vektörünü içerir ve bu bir altuzaydır.
.
Belki basit bir altuzay fakat bu bizim altuzayımızın koşullarını yerine getiriyor.
.
İçindeki vektörlerle herhangi bir şey yapamazsınız,onlar bir şekilde o uzayın dışında kalırlar.
.
Ya da en azından skaler çarpma veya toplamasıyla uğraşıyorsanız.
.
Size altuzay olmayan bir şeyin örneğini göstererek bu fikri sizin için basitleştirmeye çalışalım.
.
.
Koordinat doğrularımı buraya çizelim.
Bir altuzay veya altküme bulmaya çalıştığımı farz edelim.

Turkish: 
Bir altuzay olup olmadığını bilmiyorum.
Bunu S kümesi olarak adlandıralım.
Ve bu R2'nin elemanı olan,x1 ve x2 'deki tüm vektörlere eşittir,burada bir kısıtlamaya yapıyoruz,x1 0'a eşit veya 0'dan büyüktür.
.
.
İlk kısım için bu, R2'deki, 0 veya 0'dan büyük tüm vektörleri içerir.
.
Bunu buraya çizersek,ne elde ederiz?
Herhangi bir şeyi elde edebiliriz.
Yukarı veya aşağı herhangi bir yönde hareket edebiliriz.
Değil mi?
Aşağı veya yukarı istediğimiz yöne gidebiliriz fakat kendimizi kısıtlıyoruz.
.
Bunların hepsi 0 veya 0'dan daha büyük olacak.
Yani bu ilk koordinatların hepsi 0 veya daha büyük olacaktır.
.
Ve burada,istediğimiz gibi yukarı veya aşağı gidebiliriz.

Estonian: 
Ma ei tea, kas see on alamruum.
Ma panen oma hulga tähiseks S.
See on võrdne vektoriga x1,x2, mis on R2
liikmed, ma teen siia väikse kitsenduse, et
x1 on suurem võrdne nulliga.
See sisaldab kõike vektoreid, mis on R2-s, mille
esimene element on suurem võrdne nullist.
Kui me joonistaks selle siia, siis mis me saaks?
Me võime saada ükskõik mida.
Me võime liikuda üles alla suvalises suunas.
Õigus?
Me võime minna üles ja alla suvalises suunas, aga me
piirame ennast.
Need kõik on nullid või sellest suuremad.
Kõik need esimesed koordinaadid saavad olema nullid
või sellest suuremad.
Siin me võime minna üles ja alla suvaliselt.

Chinese: 
我們不知道它是否能構成次空間
稱這個集合爲S
它等於向量[x1,x2]
這是R2中的某個向量
我要加一些限制條件
即x1大於等於0
所以這個集合包含R2中
所有第一分量大於等於0的向量
如果作個圖 將會是什麽樣呢？
我們會得到一些東西
我們可以沿著任何方向移動
對嗎？
可以任意上下移動
但是有限制條件
即這些要大於等於0
所以所有的第一個坐標
都大於等於0
對於這個分量 我們可以上下任意移動

Bulgarian: 
за което не знам дали
е подпространство.
Ще означа множеството като S.
То се състои от векторите с координати
 х1 и х2, които принадлежат на R2,
такива че – и тук ще посоча
едно ограничение,
такива че, х1 е по-голямо от
или равно на 0.
Съдържа всички вектори в R2,
чиято първа координата е 0
или по-голяма от нула.
Ако трябва да начертаем това,
какво ще получим?
Нищо няма да получим.
Можем да се движим нагоре
и надолу във всяка посока.
Нали?
Можем да отиваме нагоре
и надолу във всяка посока,
но има ограничение.
Всички вектори имат първа координата
0 или по-голяма от нула.
Всички тези първи координати
ще бъдат 0 или по-големи.
Ето този, можем да отиваме
нагоре и надолу произволно.

Thai: 
ผมไม่รู้ว่ามันเป็นสับสเปซหรือเปล่า
ขอผมเรียกมันว่าเซต S แล้วกัน
และมันเท่ากับเวกเตอร์ x1, x2 ที่เป็นสมาชิกของ R2
โดยที่, ผมจะใส่เงื่อนไขตรงนี้, โดยที่
x1 มากกว่าหรือเท่ากับ 0
มันบรรจุเวกเตอร์ทุกตัวใน R2 ที่เทอมแรกอย่างน้อย
เป็น 0 หรือมากกว่า
แล้วถ้าเราวาดกราฟมันตรงนี้, คุณจะได้อะไร?
เราจะได้อะไรก็ได้
คุณสามารถเลื่อนขึ้นลงในทิศใดก็ได้
จริงไหม?
เราสามารถขึ้นหรือลงในทิศใดก็ได้, แต่เรา
จะจำกัดตัวเองไว้
พวกนี้จะเป็น 0 หรือมากกว่า
ทั้งหมดนี้ พิกัดแรกจะเป็น 0
หรือมากกว่า
และอันนี้, เราสามารถขึ้นหรือลงได้ตามใจ

Arabic: 
أنا لا أعرف عما إذا كانت فضاءا جزئييا.
اسمحوا لي أن أسميها  مجموعة S.
وتساوي كل متجهات
X1، X2 التي هي عضو  في R2
بحيث ، وانا بصدد وضع قيد هنا،
بحيث يكون X1 أكبر من
أو يساوي 0.
فهو يحتوي على كل المتجهات
في R2 التي تساوي 0 على الأقل
أو أكثر للحد الأول.
لذا لو رسمتم ذلك رسما بيانيا 
، على ماذا ستحصلون؟
يمكنكم الحصول على أي شيء.
اننا يمكنكم ان تتحركوا  صعودا أو هبوطا
في أي اتجاه.
اليس كذلك؟
يمكنكم أن تذهبوا صعودا وهبوطا في أي
الاتجاه، ولكنكم
تقييدون أنفسكم.
هذه سوف
تكون 0 أو أكثر.
لذلك كل هذه
الإحداثيات الاولى ستكون 0
أو أكبر.
وهذه احداهما، و يمكنكم ان ترتفعوا
وتهبطوا كما تشاءون.

Portuguese: 
Eu não se se ele é um subespaço.
Deixe-ma chamá-lo de meu conjunto S.
E ele é igual aos vetores x1, x2 que são membros do R2
tal que, eu irei fazer uma pequena restrição aqui, tal que
que x1 é maior ou igual a 0.
ele contém todos os vetores em R2 que são pelo menos 0
ou maior para o primeiro termo.
Então se estivermos no gráfico aqui, o que eu obtenho?
Nós não obtemos nada.
Nós podemos mover abaixo em qualquer direção.
Certo?
Nós podemos subir e descer em qualquer direção, mas nós estamos
nos restringindo.
Estes estão todos indo para 0 ou maior.
Então todas as primeiras coordenadas estão indo para 0
ou maior.
E este aqui, nśo podemos subir e descer arbitrariamente.

English: 
I don't know whether
it's a subspace.
Let me call it my set S.
And it equals all the vectors
x1, x2 that are a member of R2
such that, I'm going to make a
little constraint here, such
that x1 is greater than
or equal to 0.
It contains all of the vectors
in R2 that are at least is 0
or greater for the first term.
So if we were to graph that
here, what do you get?
We can get anything.
We can move up or down
in any direction.
Right?
We can go up and down in any
direction, but we're
constraining ourselves.
These are all going to
be 0 or greater.
So all of these first
coordinates are going to be 0
or greater.
And this one, we can go up
and down arbitrarily.

Korean: 
그것이 부분공간인지 아닌지 모릅니다
집합을 S라고 합시다
그리고 이것은 R2의 
벡터 x1, x2의 집합과 같습니다
여기에 다음과 같은 조건 
하나를 붙이겠습니다
x1은 0보다 크거나 같습니다
이것은 첫 번째 항이 최소 0이상인
모든 R2의 벡터들을 가지고 있습니다
그래프로 표현하면 어떻게 되나요?
어떤 것이든 나올 것입니다
위, 아래 모든 방향으로 이동할 수 있습니다
그렇지 않나요?
위, 아래 모든 방향으로 이동할 수 있지만
제한 사항이 있습니다
모든 움직임이 0보다
크거나 같다는 것입니다
따라서 첫 번째 좌표들은
모두 0보다 크거나
같을 것입니다
이것은 임의로 위, 아래로 갈 수 있습니다

Chinese: 
我们不知道它是否能构成子空间
称这个集合为S
它等于向量[x1,x2]
这是R2中的某个向量
我要加一些限制条件
即x1大于等于0
所以这个集合包含R2中
所有第一分量大于等于0的向量
如果作个图 将会是什么样呢？
我们会得到一些东西
我们可以沿着任何方向移动
对吗？
可以任意上下移动
但是有限制条件
即这些要大于等于0
所以所有的第一个坐标
都大于等于0
对于这个分量 我们可以上下任意移动

Estonian: 
Põhimõtteliselt me, see R2-e alamhulk, R2 on minu terve
kartesiaani tasand.
Aga see R2-e alamhulk sisaldab vertikaalset telge,
mida tavaliselt kutsutakse y-teljeks.
See sisaldab vertikaalset telge ja
esimest ning neljandat veerandit.
Kui ma mäletad, milline veerand oli milline.
See on esimene veerandik ja
see on neljas veerandik.
Minu küsimus sulle on, kas S on R2-e alamruum?
Esimene küsimus, kas see sisaldab nullvektorit?
Kas R2-e sees on 0,0?
On küll.
0,0 on siin.
Me väitsime, et x on suurem võrdne nullist, seega see
võib olla null ja siin ei ole mingit kitsendust, seega
vektor 0,0 on kindlasti
hulgas S.

Portuguese: 
Então nós estamos essencialmente, este subconjunto de R2, R2 é meu
plano Catesiano inteiro.
Mas este conjunto de R2 incluirá este eixo vertical,
frequentemente chamado de eixo y.
Isso incluirá o eixo vertical, e essencialmente os
primeiro e quartos quadrantes.
Se você relembra seu rotulamento de quadrantes.
Então este é o primeiro quadrante e
este é o quarto quadrante.
Então minha questão é. S é um subespaço de R2.
Então a primeira questão, ele contém o vetor 0?
No caso de R2, ele contém 0,0?
Bem, claro.
Ele inclui 0,0 exatamente aqui.
Nós dizemos que x é maior ou igual a 0, então isto pode ser 0
e obviamente, não existe restrição aqui, então
definitivamente o vetor 0,0 está definitivamente aqui
contido no nosso conjunto S.

Chinese: 
这是R2的一个子集
R2是整个的笛卡尔坐标平面
这个R2的子集包括所有的纵坐标
常简称为y坐标
它包括所有纵坐标
以及第一和第四象限
希望你还记得象限的方位
这是第一象限
这是第四象限
现在的问题是 S是否是R2的子空间
第一个问题 它是否包含0向量？
在R2空间的情形
就是它是否包含[0,0]？
显然
它包含[0,0]
已知x大于等于0
所以第一个分量可以是0
而第二个分量没有限制条件
故向量[0,0]
一定在集合S中

Turkish: 
Sonuç olarak R2 benim kartezyen düzlemimin tamamı.
.
Fakat R2'nin bu altkümesi dikey eksenini yani y eksenini içerecek.
.
Dikey eksenini içerecek ve sonuç olarak ilk ve dördüncü düzlemi içerecek.
.
Eğer düzlem etiketlendirmesi hatırlarsanız.
Yani bu ilk düzlem bu da dördüncü düzlem.
.
Benim size sorum ise S,R2'nin bir altuzayı mı?
İlk soru,0 vektörünü içerir mi?
R2 durumunda 0,0 koordinatını içerir mi?
Evet,tabi ki.
0.0'ı tam burada içerir.
x,0'a eşit veya ondan büyüktür demiştik,yani bu 0 olabilirdi ve kesinlikle burada bir kısıtlama yok bu yüzden 0,0 kesinlikle S kümesinde bulunuyor.
.
.
.

Arabic: 
لذلك فانتم في الأساس، وهذا
فرعية من R2، R هو  كامل
مستواي الديكارتي.
ولكن هذا المجموعة الفرعية لR2 سوف
تشمل المحور الرأسي،
غالبا ما يشار إليه
بالمحور الصادي.
وسوف تشمل  المحورالعمودي
، وأساسا
والربعية الاولى والرابعة.
إذا كنتم تتذكرون 
وضع العلامات الربعية.
اذافأن هذا 
الربعي الاول و
هذا هو  الرابع.
لذا سؤالي لكم هو،
هل S  فضاء جزئي ل R2.
اذا فإن السؤال الأول، هل
يحتوي على متجه 0 ؟
حتى في حالة R2، هل
 تحتوي على 0، 0؟
نعم بالتاكيد.
يشمل 0، 0 هناك .
قلتم x  أكبر من أو
يساوي 0، لذلك يمكن أن يكون هذا 0
وبالطبع، ليس هناك
قيد على هذا، لذلك
فان متجه 0، 0 
هو بالتأكيد
داخل مجموعة S.

Thai: 
ดังนั้นเราจะได้, สับเซตของ R2 นี่, R2 คือระนาบ
คาร์ทีเชียนทั้งหมด
แต่สับเซตของ R2 นี่จะรวมแกนดิ่ง,
หรือมันเรียกว่าแกน y
มันรวมแกนดิ่ง แล้วก็จตุภาค
ที่หนึ่งกับสี่
ถ้าคุณจำการระบุจตุภาคได้
นั่นก็คือจตุภาคแรก และ
นั่นคือจตุภาคที่สี่
คำถามให้คุณคือว่า, S เป็นสับสเปซของ R2 หรือเปล่า
งั้นคำถามแรก, มันมีเวกเตอร์ 0 หรือเปล่า?
ในกรณีนี้ ของ R2, มันบรรจุ 0,0 หรือเปล่า?
แน่อนน
มันรวม 0, 0 ตรงนี้
เราบอกว่า x มากกว่าหรือเท่ากับ 0, นี่จึงเป้น 0 ได้
และแน่นอน, มันไม่มีเงื่อนไขตรงนี้, ดังนั้น
เวกเตอร์ 0, 0 ย่อม
อยู่ในเซต S ของเรา

Chinese: 
這是R2的一個子集
R2是整個的笛卡爾坐標平面
這個R2的子集包括所有的縱坐標
常簡稱爲y坐標
它包括所有縱坐標
以及第一和第四象限
希望你還記得象限的方位
這是第一象限
這是第四象限
現在的問題是 S是否是R2的次空間
第一個問題 它是否包含0向量？
在R2空間的情形
就是它是否包含[0,0]？
顯然
它包含[0,0]
已知x大於等於0
所以第一個分量可以是0
而第二個分量沒有限制條件
故向量[0,0]
一定在集合S中

Korean: 
따라서 근본적으로 
R2의 부분집합은
R2는 모든 데카르트 평면입니다
하지만 R2의 부분집합은
 y축이라고도 불리는
수직 축을 포함할 것입니다
그것은 수직 축, 그리고 기본적으로
제 1사분면, 제 4사분면을
포함할 것입니다
사분면 표시를 기억한다면요
즉, 이게 제 1사분면이고
이게 제 4사분면입니다
그렇다면 S가 R2의 부분공간일까요?
자, 첫번째
영벡터를 포함하고 있나요?
즉 R2에서 (0,0)을 포함하고 있나요?
물론입니다
여기 (0,0)을 포함하고 있습니다
x가 0보다 크거나 같다고 했으므로
이것은 0이 될 것입니다
그리고 명백하게
여기에는 아무런 제한이 없습니다
따라서 벡터 (0,0)은 명백하게
집합 S에 포함되어 있습니다

English: 
So we're essentially, this
subset of R2, R2 is my entire
Cartesian plane.
But this subset of R2 will
include the vertical axis,
often referred to
as the y-axis.
It will include the vertical
axis, and essentially the
first and fourth quadrants.
If you remember your
quadrant labelling.
So that's the first
quadrant and
that's the fourth quadrant.
So my question to you is,
is S a subspace of R2.
So the first question, does
it contain the 0 vector?
So in the case of R2, does
it contain 0, 0?
Well, sure.
It includes 0, 0 right there.
We said x is greater than or
equal to 0, so this could be 0
and obviously, there's no
constraint on this, so
definitely the 0, 0 vector
is definitely
contained in our set S.

Bulgarian: 
Значи това всъщност е 
подмножество на R2, като
R2 е цялата декартова
равнина.
Но това подмножество на R2
ще включва вертикалната ос,
най-често е означавана
като оста у.
Ще включва вертикалната ос
и по същество
първи и четвърти квадрант,
ако си спомняш как
номерираме квадрантите.
Това е първи квадрант,
а това е четвърти квадрант.
Въпросът ми към теб е дали
S е подпространство на R2.
Първият въпрос: дали съдържа
нулевият вектор?
В случая с R2 дали съдържа
вектора [0;0]?
Да, разбира се.
То включва вектор [0;0] ето тук.
Казахме, че х е по-голямо или равно на
0, така че първата координата може да е 0,
очевидно няма ограничение
за втората координата, така че
определено вектор [0;0]
се съдържа в множеството S.

Arabic: 
وهكذا تم التحقق في هذه.
فلتحاولوا اخرى .
إذا أضفتم أي متجهين في هذه
المجموعة، هل
هل ينعكس هذا على مجموعتكم؟
واسمحوا لي أن اتناول شيئا
من الأمثلة على ذلك.
ربما لا يكون هذا  دليلا.
إذا  أضفتم  هذه المتجه
الى ذاك، على
ماذا سوف تحصلون ؟
لو وضعتم هذا  هنا ستحصلون على ذلك المتجه.
إذا أنا أضفتم  ذ لك المتجه الى
ذاك، على
ماذا سوف تحصلون؟
وعن طريق لعبة طرة وكتابة ستحصلون على
ما يشبه ذلك.
وإذا فعلت ذلك بصورة منضبطة، إذا اضفت
متجهين  هما
عضو في مجموعتكم.
افرضوا ان الأول b، a ثم اضفته إلى c،
الى d، c، على ماذا سوف احصل؟
أحصل aزائد c على - وهذا
كان b- d زائد d .
لذلك هذا شيء يسير
أن تكون أكبر من 0.

Estonian: 
See on korras.
Proovime veel ühte.
Kui ma liidan kaks suvalist vektorit selles hulgas, kas need
on ka minu hulgas?
Ma teen paar näidet.
Võib-olla see ei ole tõestus.
Kui ma liidan selle vektori sellele, siis
mis ma saan?
Kui ma panen selle siia, siis ma saan selle vektori.
Kui ma liidan selle vektori tollele, siis
mis ma saan?
Ma panen selle siia ning ma saaks
vektori, mis on selline.
Kui ma teeks selle ametlikult, kui ma liidaks--oletame, et mul on
kaks vektorit, mis on mõlemad minu hulgas.
Ütleme, et esimene on a,b ja ma liidan sellele
c,d, mis sa sis saan?
Ma plaan a pluss c üle b pluss d.
Seega see on suurem kui null.

Korean: 
확인되었습니다
그러면 다른 부분을 확인해 봅시다
만약 이 집합의 두 벡터를 더한다면
그 더한 벡터도
이 집합에 속해있을까요?
몇 가지 예시를 들어보겠습니다
아마 증명은 아닐 것입니다
만약 이 벡터와 이 벡터를 더한다면
어떻게 될까요?
이걸 여기에 놓으면
이 벡터를 얻을 것입니다
만약 이 벡터와 이 벡터를 더한다면
어떻게 될까요?
이 벡터의 꼬리를 머리에다 붙일 수 있습니다
그럼 한 벡터가 나오겠지요
이런 식입니다
만약 정식으로 한다면
다음 두 벡터가 집합의 원소라고 합시다
(a,b) 벡터에 (c,d)를 더한다면
어떻게 되나요?
(a+c,b+d)가 나옵니다
따라서 이것은 0보다 크게 됩니다

Portuguese: 
Então isto está verificado.
Vamos tentar outro.
Se eu adicionar dois vetores neste conjunto, o resultato aparecerá
no meu conjunto?
Deixe-me fazer alguns exemplos.
Talvez isso não é uma prova.
Se eu adicionar este vetor a aquele vetor, o que
eu irei obter?
Se eu colocar isto aqui, eu irei obter este vetor.
Se adicionar este vetor a aeuqle vetor, o que
eu obtenho aqui?
Eu posso colocar uma cabeça na cauda, eu irei obter um vetor
que parece como este.
E se eu fizer isto formalmente, se eu adicionar -- deixe-me dizer que eu tenho
dois vetores que são membros do nosso conjunto.
Deixe-me dizer que o primeiro é a, b e eu adiciono a c,
d, o que eu obtenho?
Eu obtenho a mais c sobre -- este era um d -- sobre b mais d.
Então isto será maior ou igual a 0.

English: 
So that is a check.
Let's try another one.
If I add any two vectors in this
set, is that also going
to show up in my set?
Let me just do a couple
of examples.
Maybe this isn't a proof.
If I add that vector to
that vector, what
am I going to get?
If I put this up here, I'm
going to get that vector.
If I add that vector to
that vector, what
am I going to get?
I could put this one heads to
tails, I would get a vector
that looks like that.
And if I did it formally, if I
add -- let's say that I have
two vectors that are a
member of our set.
Let's say the first one is
a, b and I add it to c,
d, what do I get?
I get a plus c over -- this
was a d -- over b plus d.
So this thing is going
to be greater than 0.

Turkish: 
Bu bizim kontrol etmek için kullandığımız yöntemlerden biriydi.
Şimdi bir başkasını deneyelim.
Eğer bu kümede herhangi iki vektörü toplarsam,sonuç yine benim setimde bir eleman çıkar mı?
.
Birkaç örnek yapalım.
Belki bu bir kanıt değil.
Eğer bu vektörü diğer vektöre eklersem,ne elde ederim?
.
Eğer bunu buraya koyarsam,buradaki vektörü elde ederim.
Eğer bu vektörü bu vektöre eklersem,sonuç ne olur?
.
Bunu uç uca ekleyebilirim ve sonuç olarak şuna benzeyen bir vektör elde ederim.
.
Eğer bunu resmi olarak yaparsam,diyelim ki elimde kümemizde bulunan iki adet vektör var.
.
Farz edelim ki ilki a,b ve bunu c,d'ye ekliyorum,ne elde ederim?
.
Sonuç olarak b artı d üzeri a artı c.
Yani bu 0'dan büyük olacak.

Chinese: 
第一个条件满足
我们继续进行
如果将集合中的任意两个向量相加
其结果是否还在这个集合中？
我来举几个例子
这不是证明
如果将这两个向量相加
会得到什么？
把这个放到上面 得到这个向量
将两个向量相加
得到什么？
将它们首尾相接
会得到这样一个向量
我正式将它写出来
比如已知
集合中的两个向量
假设第一个是[a,b]
将它加上[c,d] 结果是多少？
得到a+c―― 这里是d――
下面是b+d
由于这一项大于0

Thai: 
นั่นจึงผ่าน
ลองดูอันต่อไป
ถ้าผมบวกเวกเตอร์สองตัวในเซตนี้, มันจะ
ยังอยู่ในเซตของผมหรือเปล่า?
ขอผมยกตัวอย่างให้ดู
บางทีนี่ไม่ใช่การพิสูจน์สักทีเดียว
ถ้าผมบวกเวกเตอร์นั่น เข้ากับเวกเตอร์นั่น, แล้ว
ผมจะได้อะไร?
ถ้าผมใส่นี่บนนี้, ผมจะได้เวกเตอร์นั่น
ถ้าผมบวกเวกเตอร์นั่น เข้ากับเวกเตอร์นั่น,
ผมจะได้อไะร?
ผมจับเจ้านี่หัวต่อหาง, ผมจะได้เวกเตอร์
ที่เป็นแบบนั้น
และถ้าผมทำแบบเป็นทางการ, ถ้าผมบวก -- สมมุติว่าผมมี
เวกเตอร์สองตัวที่เป็นสมาชิกของเซตเรา
สมมุติว่าอันแรกคือ a, b และผมบวกมันเข้ากับ c,
d, ผมจะได้อะไร?
ผมได้ a บวก c กับ -- นี่คือ d -- กับ b บวก d
เจ้านี่ตรงนี้ จะมากกว่า 0

Bulgarian: 
И това условие е изпълнено.
Да видим следващото условие.
Ако събера кои да е два вектора
от това множество, дали
полученият вектор
ще е част от нашето множество?
Да опитаме с няколко примера.
Вероятно това не е
доказателство.
Ако събера този вектор
и този вектор, какво ще получа?
Ако прибавя това тук, ще
получа този вектор.
Ако събера този вектор
и този вектор, какво ще получа?
Ще ги поставя начало
към край, и ще получа вектор,
който изглежда ето така.
Ако го направя формално, ако
събера... да кажем, че имам
два вектора, които принадлежат 
на нашето множество.
Да кажем, че първият вектор е [а;b]
и го събера с вектора [c;d],
какво ще получа?
Получавам вектор
с координати [(а + с); (b + d)].
Това нещо тук 
ще е по-голямо от 0.

Chinese: 
第一個條件滿足
我們繼續進行
如果將集合中的任意兩個向量相加
其結果是否還在這個集合中？
我來舉幾個例子
這不是證明
如果將這兩個向量相加
會得到什麽？
把這個放到上面 得到這個向量
將兩個向量相加
得到什麽？
將它們首尾相接
會得到這樣一個向量
我正式將它寫出來
比如已知
集合中的兩個向量
假設第一個是[a,b]
將它加上[c,d] 結果是多少？
得到a+c―― 這裡是d――
下面是b+d
由於這一項大於0

Portuguese: 
Este negócio está ficando maior ou igual a 0.
Este era meu requisito para estar no conjunto.
Então se ambos são maiores que 0 e nós adicionar eles
uns aos outros, este negócio está se tornando
maior que 0.
E nós não nos importamos com eles, eles podem ser qualquer coisa, eu
não coloquei qualquer restrição no segundo
componente do meu vetor.
Então parece que ele é fechado sob adição.
E sobre a multiplicação por um escalar?
Vamos pegar um caso particular aqui.
Deixe-me pegar meus a, b novamente.
Eu tenho meu vetor a, b.
Agora que pego um escalar real qualquer.
Então qualquer escalar real.
Que tal se eu multiplicar por menos 1?
Então menos 1.
Então se eu multiplicar por menos 1, eu obtenho a, menos b.
Se eu representar isso visualmente, se isto é -- vamos dizer a, b
era o vetor 2, 4.
Então ele é como este.

Turkish: 
Ayrıca bu da 0'dan büyük olacak.
Bu kümede olan elemanlar için koşulumdu.
Şimdi eğer her ikisi de 0'dan büyükse ve bu ikisini birbiriyle topluyorsam,o zaman toplamları da 0'dan büyük olur.
.
.
Bunların ne olduğu bizim için önemli değil,herhangi bir şey olabilirler,vektörümün diğer bileşeni için bir kısıtlama koymadım.
.
.
Bundan dolayı toplamaya göre kapalı gözükebilir.
.
Şimdi skaler çarpma hakkında ne diyebiliriz?
Belirli bir durumu ele alalım.
Tekrar a,b'yi alalım.
Elimde a,b vektörüm var.
Şimdi herhangi bir reel skaleri seçebilirim.
Yani herhangi bir reel skaler.
Eğer onu eksi 1 ile çarparsam ne olur?
Eksi 1.
Yani eğer eksi 1 ile çarparsam,sonuç olarak eksi a,eksi b elde ederim.
Görsel bir şekilde çizmem gerekirse,varsayalım a,b; 2,4 vektörüdür.
.
Yani o bu şekilde olur.

Thai: 
เจ้านี่ตรงนี้จะมากกว่า 0 ด้วย
นั่นคือเงื่อนไขในการอยู่ในเซตนนั้น
แล้วถ้าสองตัวนี้มากกว่า 0 และเราบวกมัน
เข้าด้วยกัน, เจ้านี่จะ
มากกว่า 0 ด้วย
และเราไม่สนใจว่านี่, พวกนี้เป็นอะไรก็ได้, ผม
ไม่ใส่เงื่อนไขลงใน
องค์ประกอบที่สองของเวกเตอร์ผม
มันจึงดูเหมือนว่า มันมีสมบัติปิดภายใต้การบวก
-
แล้วการคูณด้วยสเกลาร์ล่ะ?
ลองดูกรณีเฉพาะตรงนี้
ลองเลือก a, b มาอีกที
ผมมีเวกเตอร์ a, b
ตอนนี้ผมเลือกสเกลาร์จำนวนจริงใดๆ ก็ได้
สเกลาร์เป็นจำนวนจริงใดๆ
แล้วถ้าผมคูณมันด้วยลบ 1 ล่ะ?
งั้นลบ 1
แล้วถ้าผมคูณมันด้วยลบ 1, ผมจะได้ ลบ a, ลบ b
ถ้าผมวาดมันเป็นภาพ, ถ้านี่คือ, สมมุติว่า a, b
คือเวกเตอร์ 2, 4
มันจะเป็นแบบนี้

Chinese: 
这一项也大于0
这是集合的限制条件
如果这两项都大于0
并将它们相加
那么这一项就大于0
我们不用管这一项
它可以是任何东西
我们没有对第二个分量
加任何的限制条件
因此它对加法封闭
那么对数乘是否封闭呢？
考虑一个特殊的情况
取向量[a,b]
已知向量[a,b]
取任意的实标量
任意的实标量
比如将其乘以-1
乘以-1
乘以-1之后 得到[-a,-b]
如果把它画出来 如果这是――
令[a,b]=[2,4]
就像这样

Estonian: 
See on kindlasti suurem kui null.
See oli minu tingimus, et see saaks olla hulgas.
Kui need mõlemad on suuremad nullist ja me liidame
need kokku, siis ka ssee summa
on suurem nullist.
Meid ei huvita, mis need, need võivad olla suvalised, sest ma
ei pannud mingeid tingimusi teisele
vektori komponendile.
Seega tundub, et see on liitmise sulund.
Aga skalaarkorrutis?
Proovime erilist juhtumit siin.
Võtame a,b jälle.
Mul on mu vektor a,b.
Nüüd ma võin valida suvalise reaal skalaari.
Suvaline reaal skalaar.
Mis siis, kui ma korrutan selle miinus ühega?
Seega miinus 1.
Kui ma korrutan selle miinus ühega, ma saan miinus a, miinus b.
Kui ma joonistaks selle, siis--oletame, et
a,b on vektor 2,4.
See oleks selline.

Bulgarian: 
Това също ще е по-голямо от 0.
Това е първото условие,
за да принадлежи на множеството.
Значи, ако първите координати на двата вектора са 
по-големи от 0, като ги съберем,
новата първа координата също
ще е по-голяма от 0.
Не ни интересува колко са вторите 
координати, те могат да са всяко число,
нямаме ограничения за
втория компонент на векторите.
Изглежда, че множеството
е затворено по отношение на събирането.
А какво да кажем за умножението
по скалар (число)?
Да вземем конкретен случай.
Да вземем отново вектор [a;b].
Мога да избера произволен
скалар.
Произволно реално число.
Какво ще стане, ако
умножим вектора по –1?
Значи по –1.
Ако го умножа по –1,
ще получа [–a; –b].
За да го представя графично,
ако това е... нека  [a;b]
да е вектор  [2;4].
Ще изглежда ето така.

Chinese: 
這一項也大於0
這是集合的限制條件
如果這兩項都大於0
並將它們相加
那麽這一項就大於0
我們不用管這一項
它可以是任何東西
我們沒有對第二個分量
加任何的限制條件
因此它對加法封閉
那麽對數乘是否封閉呢？
考慮一個特殊的情況
取向量[a,b]
已知向量[a,b]
取任意的實純量
任意的實純量
比如將其乘以-1
乘以-1
乘以-1之後 得到[-a,-b]
如果把它畫出來 如果這是――
令[a,b]=[2,4]
就像這樣

English: 
This thing is also going
to be greater than 0.
That was my requirement
for being in the set.
So if both of these are greater
than 0 and we add them
to each other, this thing
is also going to be
greater than 0.
And we don't care what these,
these can be anything, I
didn't put any constraints
on the second
component of my vector.
So it does seem like it is
closed under addition.
Now what about scalar
multiplication?
Let's take a particular
case here.
Let's take my a, b again.
I have my vector a, b.
Now I can pick any
real scalar.
So any real scalar.
What if I just multiply
it by minus 1?
So minus 1.
So if I multiply it by minus
1, I get minus a, minus b.
If I were to draw it visually,
if this is-- let's say a, b
was the vector 2, 4.
So it's like this.

Arabic: 
هذا الشيء  أيضا
سيكون أكبر من 0.
وكان ذلك من متطلباتي
كي يكون في المجموعة.
فإذا كان كل من هاتين أكبر
من 0 واضفتموهما
إلى بعضهما البعض، وهذا الشيء
سيكون ايضا
أكبر من 0.
ونحن لا يهمني ما هذه،
هذه يمكن أن تكون أي شيء، وأنا
لم اضع أية قيود
على المكون الثاني
من متجهاتي.
لذلك يبدو وكأنه 
أغلق تحت الإضافة.
 
الآن ماذا عن
عمليه الضرب في العددية؟
فلتنظروا الى هذه الحالة الخاصة
.
فلتنظروا الى b، a مرة أخرى.
لديكم المتجه b، a.
الآن يمكنكم اختيار أي
عددية حقيقية.
أي عددية حقيقية.
ماذا لو ضربتموها
في  ناقص 1؟
ناقص 1.
لو  ضربتموها في ناقص
1، ستحصلون على ناقصa، ناقص b.
لذ فستكون شيئا من هذا القبيل.

Korean: 
이것 또한 0보다 큰 값을 가지게 됩니다
이것이 집합의 원소가 되기 위한
조건입니다
따라서 만약 둘 다 0보다 크고
이들을 더하게 된다면
이 또한
0보다 크게 됩니다
그리고 이 벡터가 어떤 값이든
상관없습니다
벡터의 두번째 성분에 대해
아무런 제한을 두지 않았습니다
따라서 덧셈에 대해 
닫혀있는 것 같습니다
덧셈에 대해 닫혀있음
그러면 스칼라 곱셈은 어떨까요?
특정한 상황을 만들어 봅시다
다시, (a,b)가 있습니다
벡터 (a,b)를 가지고 있습니다
임의의 실수 스칼라를 고르겠습니다
임의의 실수 스칼라
만약 -1을 곱하면 어떨까요?
-1
이 벡터에 -1을 곱한다면
(-a,-b)이 됩니다
시각적으로 그려보겠습니다
(a,b)가 벡터 (2,4)였다고 합시다
따라서 다음과 같습니다

Portuguese: 
Quando eu multiplico por menos 1, o que eu obtenho?
Eu obtenho a, menos b.
Eu obtenho este vetor.
Que você pode visualizar claramente que está fora, se
nós vemos estes com as posições do vetor, ele sai fora
do nosso subespaço.
Ou se você somente não deseja visualizar, você somente faz
matematicamente, clarament se este é positico então este esta
indo para - e vamso dizer se nós assumimos que isto é positivo, e
definitavemnte não 0.
Então é definitivamente um número positivo.
Então isto definitvamente se torna um número negativo.
Então quando eu multiplico por um 1 negativo, por realmente qualquer
elemento disto ele não tem um 0, você terminará
que algumas coisa cai fore dele, tudo bem?
Está não é um membro do conjunto, porque para ser um membro do
conjunto, seu primeiro componente tem que ser maior que 0.
O primeiro componente é menor que 0.
Então o conjunto que eu desenhei aqui, o subconjunto de R2, não é
um subespaço, porque?
Ele não é fechado sobe multiplicação ou
multiplicação por um escalar.

English: 
When I multiply it by minus
1, what do I get?
I get minus a, minus b.
I get this vector.
Which you can be visually
clearly see falls out of, if
we view these as kind of
position vectors, it falls out
of our subspace.
Or if you just view it not even
visually, if you just do
it mathematically, clearly if
this is positive then this is
going to-- and let's say if we
assume this is positive, and
definitely not 0.
So it's definitely a
positive number.
So this is definitely going
to be a negative number.
So when we multiply it by
negative 1, for really any
element of this that doesn't
have a 0 there, you're going
to end up with something that
falls out of it, right?
This is not a member of this
set, because to be a member of
the set, your first component
had to be greater than 0.
This first component
is less than 0.
So this subset that I drew out
here, the subset of R2, is not
a subspace, Because?
It's not closed under
multiplication or scalar
multiplication.

Bulgarian: 
Когато го умножа по –1,
какво ще получа?
Получавам [–а; –b].
Получавам този вектор.
Който можем графично веднага
да видим, че се намира извън,
това е един вид позиционен вектор, 
който е извън нашето подпространство.
Но дори да не го разглеждаш графично, дори 
да го направиш само математически,
очевидно е, че ако това
е положително, то това ще е...
да кажем, че приемаме, че това е 
положително, и определено не е нула.
Това категорично е
положително число.
Значи това категорично
ще е отрицателно число.
Когато го умножим по –1,
за всеки елемент от това множество,
който не съдържа нула тук,
ще получим
нещо, което е извън множеството,
нали?
Този вектор не принадлежи на това
множество, защото за да принадлежи на него,
първият му компонент трябва
да е по-голям от нула.
А този първи компонент
е по-малък от нула.
Така че това подмножество, което
начертах тук, подмножеството на R2,
не е подпространство, защо?
Защото не е затворено
по отношение на умножение или

Chinese: 
對它乘以-1之後得到什麽？
得到[-a,-b]
得到這個向量
顯然能夠看出它在限制區域之外
如果把它看成位置向量的話
它落在次空間之外
或者不用從圖像中觀察
而是從理論上考慮
如果這項是正的
那麽這一項――
我們先假設這是正的
它一定不爲0
它一定是一個正數
那麽這一項一定是負數
當對其乘以-1時
對於它的任意一個元素
都不爲0
最終得到的結果
落在次空間之外
結果不是原集合中的一員
因爲集合中的元素要滿足
第一個分量大於0
而這裡的第一個分量少於0
所以我畫出的這個R2的子集
不是一個次空間 爲什麽呢？
因爲它對
數乘不封閉

Turkish: 
Eksi 1 ile çarparsam,ne elde ederim?
Eksi a,eksi b elde ederim.
Elimde bu vektör var.
Sizin de görebileceğiniz gibi,eğer bu tip konum vektörlerini incelersek,bunlar bizim altuzayımızdan ortaya çıkar.
.
.
Ya da eğer görsel olarak incelemezsiniz ve sadece matematiksel olarak ele alırsanız,açıkça bu pozitif ise bu - ve bunu pozitif olarak ele alıyoruz fakat kesinlikle 0 olarak değil.
.
.
.
Yani o kesinlikle pozitif sayıdır.
Bu nedenle bu kesinlikle negatif sayı olacaktır.
Onu negatif 1 ile çarparsak,bu kümenin hiç bir elemanı 0 değildir,sonuç kümenin dışında olur,değil mi?
.
.
Bu,kümenin bir elemanı değildir çünkü kümenin bir elemanı olabilmek için ilk bileşenin 0'dan büyük olması gerekir.
.
İlk bileşen 0'dan daha az.
Buraya çizdiğim altküme,R2'nin alt kümesi,bir altuzay değildir.Çünkü?
.
O, çarpmaya göre kapalı veya skaler çarpma değildir.
.

Chinese: 
对它乘以-1之后得到什么？
得到[-a,-b]
得到这个向量
显然能够看出它在限制区域之外
如果把它看成位置向量的话
它落在子空间之外
或者不用从图像中观察
而是从理论上考虑
如果这项是正的
那么这一项――
我们先假设这是正的
它一定不为0
它一定是一个正数
那么这一项一定是负数
当对其乘以-1时
对于它的任意一个元素
都不为0
最终得到的结果
落在子空间之外
结果不是原集合中的一员
因为集合中的元素要满足
第一个分量大于0
而这里的第一个分量小于0
所以我画出的这个R2的子集
不是一个子空间 为什么呢？
因为它对
数乘不封闭

Thai: 
ถ้าผมคูณมันด้วยลบ 1, ผมจะได้อะไร?
ผมจะได้ ลบ a, ลบ b
ผมได้เวกเตอร์นี้
ซึ่งคุณได้เห็นชัดว่ามันหลุดออกไป, ถ้า
เรามองมันเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง, มันจะหลุด
ออกไปนอกสับเซตของเรา
หรือถ้าคุณมองไม่ต้องเป็นภาพก็ได้, ถ้าคุณ
คิดเลขออกมา, ถ้านี่เป็นบวก แล้วนี่
จะเป็น -- สมมุติว่าถ้าเราให้นี่เป็นบวก,
ไม่ใช่ 0 แน่ๆ
มันเป็นจำนวนบวกจริงๆ
แล้วนี่ก็จะเป็นจำนวนลบจริงๆ
แล้วเมื่อเราคูณมันด้วย ลบ 1, สำหรับ
สมาชิกใดๆ ของเซตนี้ ที่ไม่มี 0 ตรงนี้, คุณจะ
ได้สิ่งที่อยู่นอกเซต, จริงไหม?
นี่ไม่ใช่สมาชิกของเซตนี้, เพราะสมาชิก
ของเซต, องค์ประกอบตัวแรกต้องมากกว่า 0
องค์ประกอบแรกน้อยกว่า 0
ดังนั้นสับเซตนี่ที่ผมวาดตรงนี้, สับเซตของ R2 ไม่ใช่
สับสเปซ, เพราะอะไร?
มันไม่มีสมบัติปิดภายใต้การคูณ หรือการคูณ
ด้วยสเกลาร์

Korean: 
-1을 곱했을 때 무엇이 나오나요?
(-a,-b)가 나옵니다
이 벡터가 나옵니다
시각적으로 볼 수 있듯이
명백하게 빠지게 됩니다
만약 이들을 위치 벡터의 하나로 본다면
그것은 부분공간에서
빠지게 됩니다
또는 시각적으로 뿐만 아니라
수학적으로도
이것이 명백히 양의 값을 가지면
이것을 양의 값으로 가정하면
0은 물론 아닙니다
이것은 당연히 양수입니다
따라서 이것은 명백히 
음수가 될 것입니다
즉, 0이 아닌 원소에
-1을 곱했을 때
벗어난 값이 나오지 않나요?
이것은 집합의 원소가 아닙니다
왜냐하면 집합의 원소가 되려면
첫 번째 원소는 0보다
커야하기 때문이죠
이 첫 번째 원소는 0보다 작습니다
그러므로 그림에서 R2의 부분집합은
부분공간이 아닙니다
왜냐고요?
이것은 곱셈 혹은 스칼라 곱셈에 대해
닫혀있지 않기 때문입니다

Arabic: 
عندما  اضربه في ناقص
1، ماذا يمكنني الحصول عليه؟
كمتجه موقع - ترون إنه يخرج
من فضائكم الجزئي .
أو إذا نظرتم اليه ليس فقط
بصريا، بل فعلتموه
رياضيا، من الواضح ان لو كان هذا
 إيجابيا
ولنفترضوا أنه كذلك، و
بالتأكيد ليس 0.
لذلك فمن المؤكد أنه
رقم موجب، عدد إيجابي.
لذلك هذا  بالتأكيد
سيكون رقما سالبا.
لذاعندما واضربه في
سلبي 1، اي
عنصر من العناصرالتي لا
تضم ال 0 ، فأنت تسيرون
في نهاية المطاف الى شيء
يخرج منه، أليس كذلك؟
هذه ليس عضوا في هذه المجموعة
، فلأن تكون عضوا
في هذه المجموعة،لا بد ان يكون المكون  الأول
 أكبر من 0.
وهذا المكون الأول
أقل من 0.
لذلك هذا الفرعية التي رسمتها هنا
هنا، المجموعة الفرعية ل R2، ليست
فضاءا جزئيا، لماذا؟
انها ليست مغلقة تحت
الضرب أو الضرب
في العددية.

Estonian: 
Kui ma korrutan selle miinus ühega, siis mis ma saan?
Ma saan miins a, miinus b.
Ma saan selle vektori.
See on selgesti näha, et see ei ole sobilik,
vaatleme neid kui kohavektoreid, see ei kuulu
meie alamruumi.
Kui sa ei vaata joonist, vaid teed selle
matemaatiliselt, siis on selgesti näha, et kui see on positiivne, siis
see on--oletame, et see on positiivne
ja kindlasti mitte null.
See on kindlasti positiivne number.
See muutub kindlasti negatiivseks arvuks.
Kui me korrutame selle miinus ühega, iga element,
milles ei ole nulli sees, sa saad
vastuseks millegi, mis ei sobi siia sisse, õigus?
See ei ole selle hulga liige, sest et see saaks olla selle hulga liige pidi
esimene liige olema suurem võrdne nullist.
Esimene liige on väiksem nullist.
See alamhulk, mille ma siia joonistasin, R2-e alamhulk
ei ole alamruum, sest...
See ei ole suletud korrutamise või skalaar
korrutamisega.

Portuguese: 
Isto não é um subespaço de R2.
Agora eu perguntarei uma questão inteligente.

Estonian: 
Seega see ei ole R2-e alamruum.
Ma küsin sult ühe huvitava küsimuse.
Ma küsin sult mingite vektorite hulga ulatuse.
Ütleme, et ma tahan teada saada vektori ulatust.
Oletame, et mul on vektor v1,v2 ja v3.
Ma isegi ei ütle, kui mitu elementi
on igas vektori. Kas see on kehtiv Rn-i alamruum?
Kus n on elementide arv, mis on iga selle sees.

English: 
This is not a sub space of R2.
Now I'll ask you one interesting
question.
What if I ask you just the span
of some set of vectors?
Let's say I want to know the
span of, I don't know, let's
sat I have vector
v1, v2, and v3.
I'm not even going to tell you
how many elements each of
these vectors have. Is this
a valid subspace of Rn?
Where n is the number of
elements that each of these
have.

Korean: 
스칼라 곱셈에 대해 닫혀있지 않음
이것은 R2의 부분공간이 아닙니다
재밌는 질문 하나 할까요?
어떤 벡터집합의 
선형생성을 묻는다면 어떨까요?
어떤 집합의 선형생성을 
알고 싶다고 해봅시다
벡터 v1, v2, v3를 가지고 있습니다
이 벡터들의 성분이 몇 개인지
모른다고 합시다
이것은 Rn의 유효한 부분공간입니까?
n은 이들이 가지고 있는 성분의
개수입니다

Chinese: 
從而它不是R2的次空間
現在我要問一個有趣的問題
某些向量張成的空間是什麽？
比如說要求
v1 v2 v3張成的空間
我不告訴你
這些向測定工具體有幾個分量
它是Rn的一個次空間嗎？
其中n是每個向量
所含有的分量數

Turkish: 
.
R2'nin bir altuzayı değildir.
Şimdi size ilginç bir soru soracağım.
Diyelim ki size vektörlerin kümesinin uzunluğunu sordum,o zaman ne olur?
Farz edelim vektörlerin uzunluğunu bilmek istiyorum,elimde v1 vektörü,v2 vektörü ve v3 vektörü var.
.
Bu vektörlerin kaç elemanı olduğunu söylemeyeceğim.Bu,R2'nin geçerli bir altuzayı mıdır?
.
n,bunların sahip olduğu eleman sayısını gösterir.
.

Chinese: 
从而它不是R2的子空间
现在我要问一个有趣的问题
某些向量张成的空间是什么？
比如说要求
v1 v2 v3张成的空间
我不告诉你
这些向量具体有几个分量
它是Rn的一个子空间吗？
其中n是每个向量
所含有的分量数

Arabic: 
 
هذه ليست الفضاء الفرعي لR2.
الآن  سأسألك 
سؤالا مهما.
ما هو المدى لبعض مجموعات المتجهات؟
دعني اقول اني أريد أن أعرف
مدى، فأنا لا أعرف،
متجهات
V1، V2، V3 و.
ولن اخبركم حتى بعدد العناصر التي تحتويها
هذه المتجهات. هل هذه صالحة
لان تكون  فضاءا جزئيا لRn ؟
حيث n هو عدد
العناصر التي تتكون منها كل واحدة
من هذه المتجهات.

Thai: 
-
นี่จึงไม่ใช่สับสเปซของ R2
ตอนนี้ผมจะถามสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่งกับคุณ
ถ้าเกิดผมถามคุณว่า แล้วสแปนของเซตเวกเตอร์ล่ะ?
สมมุติว่าผมอยากรู้ว่าสแปนของ, ไม่รู้สิ,
สมมุติผมมีเวกเตอร์ v1, v2 และ v3
ผมจะไม่บอกคุณด้วยว่าเวกเตอร์แต่ละตัว
มีองค์ประกอบกี่ตัว. นี่เป็นสับสเปซของ Rn หรือเปล่า?
เมื่อ n เป็นจำนวนองค์ประกอบที่แต่ละตัว
มี

Bulgarian: 
на умножение със скалар.
Това не е подпространство
на R2.
Сега ще ти задам
един интересен въпрос.
Ще те попитам каква е линейната 
обвивка на някакво множество вектори.
Да кажем, че ме интересува линейната
обвивка на, не знам,
да кажем, че имаме векторите
v1, v2 и v3.
Даже няма да ти казвам колко компонента 
има всеки от тези вектори.
Дали това е валидно
подпространство на Rn?
Като n е броят на компонентите, 
които има всеки от тези вектори.

Chinese: 
我们选一个元素
我们定义U为――
这些线性组合张成的空间中所有向量的集合
定义U为张成的空间
要确定U是否是一个子空间？
我们这么考虑
在U中随机取一个元素
这个集合含有0向量吗？
当然
如果对所有这些向量乘以0
比如0v1+0v2
这些都是向量
我们刚刚有把它们加粗
再加上0*v3
就得到0向量
所有项都是0
所以它一定含有0向量
这是三个向量的线性组合
它在张成的线性空间中
现在从中任意取一些向量

English: 
Let's pick one of
the elements.
Let me define, let me just call
u to be the set-- the set
of all linear combinations
of this is the span.
So let me just define
u to be the span.
So I want to know, is
u a valid subspace?
So let's think about
it this way.
Let me just pick out a
random element of u.
Actually, does this contain
the 0 vector?
Well, sure.
If we just multiply all of these
times 0, if we just say
0 times v1, plus 0 times v2,
these are all the vectors, I
didn't write them bold, plus
0 times v3, we get
the 0 vector, right?
We did everything
just zeroed out.
So it definitely contains
the 0 vector.
This is a linear combination
of those three vectors, so
it's included in the span.
Now let me just pick some
arbitrary member of this span.

Bulgarian: 
Да изберем един 
от елементите.
Ще дефинирам, да кажем, че
u е множеството от всички
линейни комбинации на
тази линейна обвивка.
Ще дефинирам u да е
линейната обвивка.
Искам да знам дали u
е валидно подпространство.
Да го разгледаме 
по следния начин.
Ще избера един случаен
елемент на u.
Дали това съдържа
нулевия вектор?
Да, със сигурност.
Ако умножим всички тези по 0,
ако просто кажем
0 по v1, плюс 0 по v2, 
всички тези са вектори,
не съм удебелил символите (у нас 
поставяме стрелка над символа)
плюс 0 по v3, получаваме
нулевия вектор, нали?
Просто направихме всичко нула.
Така че определено съдържа
нулевия вектор.
Това е линейна комбинация
на тези три вектора,
значи тя е част от
линейната обвивка.
Сега ще избера някакъв произволен 
елемент от линейната обвивка.

Chinese: 
我們選一個元素
我們定義U爲――
這些線性組合張成的空間中所有向量的集合
定義U爲張成的空間
要確定U是否是一個次空間？
我們這麽考慮
在U中隨機取一個元素
這個集合含有0向量嗎？
當然
如果對所有這些向量乘以0
比如0v1+0v2
這些都是向量
我們剛剛有把它們加粗
再加上0v3
就得到0向量
所有項都是0
所以它一定含有0向量
這是三個向量的線性組合
它在張成的線性空間中
現在從中任意取一些向量

Turkish: 
Elemanlardan birini seçelim.
u,kümemizin ismi olsun ve bunun tüm doğrusal kombinasyonlarının oluşturduğu küme bizim uzunluğumuzdur.
.
u'yu uzunluğumuz olarak tanımlayalım.
Bilmek istediğim,u geçerli bir altuzay mıdır?
Bir de şu açıdan düşünelim.
u'dan gelişi güzel bir element seçelim.
.
Aslında,bu 0 vektörünü içerir mi?
Evet,tabi ki.
Eğer bunların hepsini 0 ile çarparsak yani 0 çarpı v1 artı 0 çarpı v2 --bunların hepsi vektörler,kalınla yazmadım-- artı 0 çarpı v3 eşittir 0 vektörüne değil mi?
.
.
.
Hepsini sıfırladık.
Yani o kesinlikle 0 vektörünü içeriyor.
Bu üç vektörün doğrusal bir kombinasyonudur bu nedenle uzunlukta bulur.
.
Bu uzunluğun istediğim bir elemanını seçiyorum.

Korean: 
원소 중 하나를 뽑아오죠
집합의 모든 선형결합이 선형생성인
집합을 U라고 정의합시다
즉, U를 그 선형생성으로
정의하도록 하죠
그래서 알고 싶은 것은
과연 U가 유효한 부분공간이냐는 것입니다
그러면 이러한 방식으로 생각해보죠
U의 임의의 원소를 
한 번 뽑아보겠습니다
실제로 이것은
영벡터를 포함하고 있나요?
물론입니다
이 모든 것을 0과 곱한다고 하면
( 0 × v1 ) + ( 0 × v2) + (0 x v3) 은
영벡터를 얻습니다, 맞죠?
모든 것이 0이 되어버렸습니다
따라서 이것은 당연히 영벡터를
포함하고 있습니다
이것은 이 세 벡터들의 선형결합입니다
따라서 이것은 생성 안에 포함됩니다
이제 이 생성의 
임의의 원소를 선택하겠습니다

Estonian: 
Valime ühe elementidest.
Ma defineerin, et U on alam-- kõigi lineaar
kombinatsioonide hulk on ulatus.
Ma defineerin, et U on ulatus.
Ma tahan teada, kas U on kehtiv alamruum?
Mõtleme sellest nii.
Ma võtan suvalise elemendi U-st.
Kas see sisaldab nullvektorit?
Muidugi.
Kui me korrutame kõik need nulliga, et
0 korda v1, pluss 0 korda v2, need on võik vektorid, ma
ei kirjutanud need tumedalt, pluss 0 korda v3, me saame
nullvektori, õigus?
Me vähendasime kõik nulliks.
See kindlasti sisaldab nullvektorit.
See on lineaar kombinatsioon nendest kolmest vektorist, seega
see on kaasa arvatud ulatusse.
Ma valin suvalise liikme sellest ulatusest.

Thai: 
ลองเลือกสมาชิกขึ้นมาตัวหนึ่ง
ขอผมนิยาม, ขอผมเรียกว่า u แทนเซต -- เซต
ของผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของเจ้านี่ คือสแปน
ขอผมกำหนดให้ u เป็นสแปน
แล้วผมอยากรู้, ว่า u เป็นสับสเปซหรือเปล่า?
ลองคิดแบบนี้ดู
ขอผมเลือกเวกเตอร์สุ่มจาก u มาหนึ่งตัว
-
ที่จริง, เจ้านี่มีเวกเตอร์ 0 หรือเปล่า?
มีแน่นอน
ถ้าเราคูณทั้งหมดนี้ด้ว 0, ถ้าเราบอกว่า
0 คูณ v1, บวก 0 คูณ v2, พวกนี้เป็นเวกเตอร์ทั้งหมด,
ผมไม่ต้องทำตัวหนาก็ได้, บวก 0 คูณ v3, เรา
จะได้เวกเตอร์ 0, จริงไหม?
เราทำให้ทุกอย่างเป็น 0 หมด
มันจึงบรรจุค่าเวกเตอร์ 0 แน่นอน
นี่คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์สามตัวนี้,
มันจึงอยู่ในสแปนด้วย
ทีนี้ ขอผมเลือกสมาชิกตามใจใดๆ ในสแปนนี้

Arabic: 
فلتختاروا واحدة من
العناصر.
اسمحوا لي أن احدد، اسمحوا لي أجعل 
u أن تكون المجموعة-- مجموعة
جميع التركيبات الخطية
لهذا المدى.
لذلك اسمحوا لي فقط ان اعرف 
u بأنها المدى.
لذلك أريد أن أعرف، هل u  صالحة لان تكون فضاءا جزئيا ؟
لذلك دعونا نفكرفي الامر
بالطريقة التالية.
واسمحوا لي أن اختار
عنصرا عشوائيا من u.
 
هل تحتوي هذه على متجه 0
نعم بالتأكيدا.
لو ضربتم كل هؤلاء في 0
فصار عندكم 0 ضربV1، زائد 0 ضرب V2، 
هذه كلها متجهات
لم اكتبها بالخط الاسود التخين ،زائد
0 ضرب V3، تحصلون على
متجه 0، أليس كذلك؟
قمتم بكل شئ فكانت النتيجة 0.
لذا من المؤكد انه يحتوى على متجه 0.
انه مزيج خطي للمتجهات الثلاثة
انه متضمن في المدى.
الآن اسمحوا لي ان اخذ عشوائيا عضوا من المدى .

Thai: 
เพื่อให้มันเป็นสมาชิกของเซตนี้, มันหมายความว่า
คุณสามารถแทน -- ขอผมเรียกมันว่าเวกเตอร์ x นะ --
มันหมายความว่า คุณสามารถแสดงนี้เป็น
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้
งั้นผลรวม, c1 คูณ v1 บวก c2 คูณ v2
บวก c3 คูณ v3
จริงไหม?
ผมแค่แทนเวกเตอร์ x นี่, เป็นสมาชิก
ของเจ้านี่, มันจึงสามารถแทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอร์สามตัวพวกนี้
เซตนี้มีสมบัติปิดภายใต้การคูณหรือเปล่า?
ทีนี้ ลองคูณเจ้านี่ด้วยค่าคงที่ตามใจค่าหนึ่ง
แล้ว c คูณ x คืออะไร?
ขอผมเลื่อนลงมาหน่อย
c คูณ x เท่ากับอะไร?
ขอผมใช้ค่าคงที่อีกตัวดีกว่า
ขอผมคูณมันด้วยค่าคงที่ตามใจ a
แล้ว a คูณ x คืออะไร?
a คูณ c1 คูณ v1 ได้อะไร -- ผมก็แค่คูณ
ทั้งสองข้างของสมการด้วย a -- a คูณ c2 คูณ v2

Arabic: 
ولاجل أن تكون عضوا في
هذه المجموعة، هذا يعني فقط أنه
يمكنك أن تكون ممثلا-- اسمحوا لي
ان اسميه متجه x--
فهذا يعني أن u يمكن أن تمثل
مزيجا  خطيا
لهذه المتجهات.
لذا مزيج C1 ضرب  v1زائد c2  ضرب v2
زائد C3ضرب V3.
صحيح ؟
حسنا دعونا فقط ضرب هذا
في ثابت افتراضي.
ما هو c ضرب x؟
اسمحوا لي أن انتقل لأسفل
قليلا.
ماذا ستساوي c ضرب x ؟
اسمحوا لي أن اتعامل مع 
ثابت مختلف في الواقع.
اسمحوا لي اضربه في
الثابت الافتراضي a.
ماذا سيساوي a ضرب x؟
ماذا سيساوي a ضرب c1 ضرب v1 - انني اضرب طرفي
المعادلة في a  - a ضرب c2  ضرب  v2

Chinese: 
为了保证它是集合中的成员
意味着你可以表示――
称之为向量x――
这意味着它可以用
这些向量的线性组合表出
线性组合
是c1v1+c2v2+c3*v3
对吗？
我表示出了x
它是集合中的成员
所以它可以由
这三个向量的线性组合表出
那么它对数乘封闭吗？
我将它乘以
任意的常数
c*x是多少？
我向下移动一下
c*x等于多少？
我换一个不同的记号
将它乘以任意的常数a
a*x等于多少？
a乘以c1乘以v1――
我就是将等式两边同时乘以a――

Korean: 
이 집합의 원소가 된다는 것은
이것을 벡터 x라고 부르겠습니다
x가 이 벡터들의 선형결합으로
표현된다는 것을 의미합니다
따라서 어떤 결합
c1 × v1 + c2 × v2
+ c3 × v3 이 있습니다
맞죠?
벡터 x를 나타내고 있습니다
벡터 x는 이것의 원소입니다
따라서 이 세 벡터들의 선형결합으로
표현될 수 있죠
이 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있나요?
임의의 상수를 여기다가 곱해 봅시다
c × x = ?
잠시 아래로 스크롤 하겠습니다
c × x는 무엇일까요?
다른 상수랑 곱해보겠습니다
임의의 상수 a랑 곱해 봅시다
a × x = ?
a × c1 × v1
등식의 양변에다가
a를 곱합니다
a × c2 × v2

Turkish: 
Bu kümenin bir elemanı olabilmek için-şunu x vektörü olarak adlandıralım-,bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilmesi gerekir
.
..
.
Yani bir kombinasyon olarak c1 çarpı v1 artı c2 çarpı v2 artı c3 çarpı v3.
.
Değil mi?
Bu x vektörünü gösteriyorum,bunun bir elemanı,yani 3 vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir.
.
.
Peki bu çarpmaya göre kapalı bir küme mi?
Şimdi bunu istediğimiz bir sabit sayı ile çarpalım.
c çarpı x nedir?
Şunu biraz aşağı kaydıralım.
c çarpı x neye eşittir?
Farklı bir sabit sayı ile deneyelim.
Bunu sıradan sabit sayı olan a ile çarpalım.
a çarpı x nedir?
a çarpı c1 çarpı v1--burada her iki tarafı da a ile çarpıyorum--a çarpı c2 çarpı v2 artı a çarpı c3,v3
.

Chinese: 
爲了保證它是集合中的成員
意味著你可以表示――
稱之爲向量x――
這意味著它可以用
這些向量的線性組合表出
線性組合
是c1v1+c2v2+c3v3
對嗎？
我表示出了x
它是集合中的成員
所以它可以由
這三個向量的線性組合表出
那麽它對數乘封閉嗎？
我將它乘以
任意的常數
cx是多少？
我向下移動一下
cx等於多少？
我換一個不同的記號
將它乘以任意的常數a
ax等於多少？
a乘以c1乘以v1――
我就是將等式兩邊同時乘以a――

Estonian: 
Olemaks selle hulga liige, see tähendab, et
seda saab esitada-- ma kutsun seda vektor x-ks --
see tähendab, et seda saab esitada lineaar
kombinatsiooniga nendest vektoritest.
Mingi kombinatsioon c1 korda v1 pluss c2 korda v2
pluss c3 korda v3.
Õigus?
Ma esitan selle vektor x-i, see on selle hulga liige,
seega seda saab esitada lineaar kombinatsiooniga
nendest kolmest vektorist.
Kas see hulk on suletud korrutuste suhted?
Korrutame selle mingi väljamõeldud konstandiga.
Kui palju on c korda x?
Ma kerin natukene alla?
Mis on c korda x vastus?
Tegelikult ma teen selle teise konstandiga.
Ma korrutan selle konstandiga a.
Mis on a korda x?
Kui palju on ac1v1 -- ma korrutan
mõlemad võrrandi pooled a-ga -- ac2v2

English: 
So in order to be a member of
this set, it just means that
you can be represented-- let me
just call it the vector x--
it means that you can be
represented as a linear
combination of these vectors.
So some combination, c1 times
v1 plus c2 times v2
plus c3 times v3.
Right?
I'm just representing this
vector x, it's a member of
this, so it can be represented
as a linear combination of
those three vectors.
Is this set closed under
multiplication?
Well let's just multiply this
times some arbitrary constant.
What is c times x?
Let me scroll down
a little bit.
What does c times x equal?
Let me do a different
constant actually.
Let me multiply it times some
arbitrary constant a.
What is a times x?
What's a times c1 times v1--
I'm just multiplying both
sides equation times a--
a times c2 times v2

Bulgarian: 
За да принадлежи към това множество,
това означава, че
трябва да е представен от...
просто ще го нарека вектор х...
това означава, че може да го
представим като
линейна комбинация на
тези вектори.
Значи някаква комбинация,
c1 по v1 плюс c2 по v2,
плюс c3 по v3.
Нали?
Просто изразявам този вектор х,
който принадлежи към това множество,
така че да бъде изразен като
линейна комбинация
на тези три вектора.
Това множество затворено ли е
по отношение на умножението?
Нека да умножим това по
някаква произволна константа.
Колко е с по х?
Ще слеза малко надолу.
На колко е равно с по х?
Всъщност ще умножа
по друга константа.
Ще умножа по някаква
произволна константа а.
Колко е а по х?
Колко е а по с1 по v1 –
просто умножавам двете страни
на равенството по а –
а по с2 по v 2

Turkish: 
.
Değil mi?
Eğer bu bir sabit sayı olsaydı,bunu başka bir sabit sayı olarak yazabilirdiniz.
.
Bu başka bir sabit sayıdır.
.
Açık olmak istiyorum.
Tüm yaptığım denklemin her iki tarafını da bir skaler ile çarpmaktı.
.
Ama açık bir biçimde,buradaki ifadeyi, c4 çarpı v1 artı c5 çarpı v2 artı c6 çarpı v3 olarak tekrar yazabilirim.
.
.
.
Anlaşıldığı gibi bu,buradaki üç vektörün, farklı bir doğrusal kombinasyonu.
.
Yani,uzunluk,buradaki üç vektörün tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesidir.
.
Bu,doğrusal kombinasyonlardan biri olduğuna göre uzunluğa bu da dahildir.
.
Yani bu da u kümesinin içindedir.
Bu üç vektörün uzunluğuna dahildir.
Bu yüzden çarpmaya göre kapalıdır.
.
Şimdi sadece bunun toplamaya göre kapalı olduğunu göstermemiz gerekiyor ve biliyoruz ki--bu üçünü buraya yazdım fakat eğer vektörlerin kümesinin uzunluğu geçerli bir altuzaysa,vektörlerin herhangi bir n sayısını genişletebilirsiniz--

Chinese: 
ac2v2 加上ac3v3
對嗎？
它是任意的常數
這是另一個任意的常數
這是另一個任意的常數
這是另一個任意的常數
我要聲明
我所做的就是
將等式兩邊乘以一個純量
顯然 這裡的表達式
我可以將它改寫
改寫成c4v1+c5v2
其中這是c5 這是c4
再加上c6v3
這是這三個向量的
另一個線性組合
所以這是這三個向量的線性組合
張成的空間
顯然這是其中的一個線性組合
它在張成的線性空間中
這項也在U中
它在那三個向量張成的空間中
所以它對數乘封閉
下面要說明它對加法封閉
然後就能知道――

Thai: 
บวก a คูณ c3, v3
จริงไหม?
ถ้านี่คือค่าคงที่ตามใจ, คุณก็สามารถเขียน
นี่เป็นค่าคงที่ตามใจอีกตัว
นี่ก็แค่ค่าคงที่ตามใจอีกตัว
นี่ก็แค่ค่าคงที่ตามใจอีกตัว
ผมอยากบอกให้ชัด
ที่ผมทำก็แค่ ผมคูณทั้งสองข้างของสมการ
ด้วยสเกลาร์
แต่แน่นอน, พจน์นี่ตรงนี้, ผมหมายถึง ผม
เขียนเจ้านี่ได้, ผมเขียนนี่ใหม่เป็น c4 คูณ v1 บวก c5
คูณ v2, โดยนี่คือ c5, นี่คือ c4
บวก c6 คูณ v3
นี่ก็คือผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอร์สามตัวนี้
ดังนั้น, สแปนคือเซตของผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอร์สามตัวนี้
แน่อนน นี่คือผลรวมเชิงเส้น, มันจึง
รวมอยู่ในสแปนด้วย
นี่จึงอยู่ใน u ด้วย
มันจึงอยู่ในสแปนของเวกเตอร์สามตัวนั้น
มันจึงปิดภายใต้การคูณ
-
ทีนี้ เราต้องแสดงว่ามันมีสมบัติปิดภายใต้การบวก,

Arabic: 
زائد a ضرب  C3، V3.
صحيح؟
إذا كان هذا
ثابت افتراضي،  يمكنكم  مجرد كتابة
هذا كثابة كثابت افتراضي  آخر
.
هذا ثابت افتراضي اخر
.
هذا هو .
أريد أن أكون واضحا.
كل ما فعلته هو أنني ضربت
كلي الجانبين من المعادلة
في عددية.
لكن من الواضح أن هذا التعبير
هنا، يعني أنني يمكن
أكتب هذا، اعيد كتابته  ك c4 ضرب v1 زائد c5
ضرب  v2 حيث هذه c5 ، هذه c4.
.زائد   c6ضرب v3.
ومن الواضح أن هذi
تركيبة خطية اخرى
من هذه المتجهات الثلاثة.
لذا، فان المدى هو مجموعة  كل
التركيبات الخطية
لهذه المتجهات الثلاثة.
لذلك من الواضح أن هذه  واحدة من تلك
التركيبات الخطية، لذلك
فهي متضمنة في المدى.
لذلك هذا أيضا في u.
كما انها في مدى
تلك المتجهات الثلاثة.
اذا فهي مغلقة تحت
عمليه الضرب.
 
اذا فقد بقي لنا ان نوضح انها ايضا مغلقة تحت الاضافة،

Bulgarian: 
плюс а по с3 по v3.
Нали?
Ако това е произволна константа,
можеш просто да представиш това
като друга произволна константа.
Това е друга произволна
константа.
Искам да поясня.
Просто умножиш двете страни
на равенството по скалар (число).
Очевидно, този израз ето тук,
имам предвид, че мога да го представя,
мога да го преработя като 
с4 по v1 плюс с5 по v2,
като това е с5, а това е с4.
Плюс с6 по v3.
Това очевидно е друга
линейна комбинация
на тези три вектора.
Линейната обвивка е множеството от
всички линейни комбинации
на тези три вектора.
Очевидно това е една
линейна комбинация,
значи тя принадлежи на
линейната обвивка.
Това също принадлежи и на u.
Също така е в линейната обвивка
на тези три вектора.
Значи е затворено по отношение
на умножение.
Сега само трябва да покажем, че
е затворено по отношение на събирането,

Korean: 
+ a × c3 × v3 입니다
맞죠?
만약 이것이 임의의 상수라면
이것을 또다른 임의의 
상수로 쓸 수 있습니다
이것은 또다른 임의의 상수입니다
확실하게 합시다
그냥 등식의 양변에다가
스칼라를 곱하였습니다
하지만 명백하게 이 식은
이렇게도 쓸 수 있습니다
c4 × v1 + c5 × v2
이것이 c5고 이것이 c4입니다
+ c6 × v3
이것은 명백히 세 벡터들의 또 다른
선형결합입니다
선형생성은 세 벡터의
모든 선형결합들의 집합입니다
따라서 이것은 
그 선형결합들 중 하나이고
따라서 이 또한 선형
생성 안에 포함됩니다
말하자면 U에 속해있다는 것입니다
이 또한 세 벡터의 
선형생성 안에 있습니다
따라서 이것은 곱셈에 대해 
닫혀있습니다
이제 이것이 덧셈에 대해
닫혀있다는 것을 보여야 합니다

Estonian: 
pluss ac3v3.
Õigus?
Kui see oleks suvaline konstant, siis sa võid
selle kirjutada uue suvalise konstandina.
See on järjekordne suvaline konstant.
See on järjekordne suvaline konstant.
Ma tahan olla selge.
Ainus asi, mis ma tegin, oli et ma korrutasin mõlemad
võrrandi pooled skalaariga.
Aga selgestis, see avaldis siin, ma võiksin
selle kirjutada kui c4v1 + c5v2, kus
see on c5, see on c4.
Pluss c6*v3.
See on jällegi lineaar kombinatsioon
nendest kolmest vektorist.
Ulatus on nende kolme vektori lineaarsete
kombinatsioonide hulk.
Nagu näha on see linaar kombinatsioon seega
see on kaasa arvatud ulatusse.
Seega see on ka U-s.
Lisaks on see ka nende kolme vektori ulatuses.
Seega see on korrutamise suhtes kinnine.
Nüüd me peame näitama, et see on liitmise suhtes kinnine ning

English: 
plus a times c3, v3.
Right?
If this was an arbitrary
constant, you could just write
this as another arbitrary
constant.
This is another arbitrary
constant.
This is another arbitrary
constant.
I want to be clear.
All I did is I just multiplied
both sides of the equation
times a scalar.
But clearly, this expression
right here, I mean I could
write this, I could rewrite this
as c4 times v1 plus c5
times v2, where this
is c5, this is c4.
Plus c6 times v3.
This is clearly another
linear combination
of these three vectors.
So, the span is the set of all
of the linear combinations of
these three vectors.
So clearly this is one of the
linear combinations, so it's
also included in the span.
So this is also in u.
It's also in the span of
those three vectors.
So it is closed under
multiplication.
Now we just have to show that
it's closed under addition,

Chinese: 
ac2v2 加上ac3v3
对吗？
它是任意的常数
这是另一个任意的常数
这是另一个任意的常数
这是另一个任意的常数
我要声明
我所做的就是
将等式两边乘以一个标量
显然 这里的表达式
我可以将它改写
改写成c4v1+c5v2
其中这是c5 这是c4
再加上c6*v3
这是这三个向量的
另一个线性组合
所以这是这三个向量的线性组合
张成的空间
显然这是其中的一个线性组合
它在张成的线性空间中
这项也在U中
它在那三个向量张成的空间中
所以它对数乘封闭
下面要说明它对加法封闭
然后就能知道――

Turkish: 
.
.
.
Bunu kanıtlayalım.
Buradaki bir x'i çoktan tanımlamıştık.
u kümesinin bir elemanı olan başka bir vektörü ya da bu vektörlerin uzunluğuna dahil olan başka bir vektörü tanımlayalım.
.
Bu d1 çarpı v1 artı d2 çarpı v2 artı d3 çarpı v3'e eşittir.
.
Şimdi x artı y neye eşittir?
Eğer buradaki iki vektörü toplarsam,neye eşit olur?
Evet,sadece toplayabilirim.
x artı y,buradaki tüm bu şeyler ile buradakilerin toplamına eşittir.
Sonuç neye eşittir?
Bu demek olur ki eğer bu ikisini toplarsanız,c1 artı d1 çarpı v1 artı c2 artı d2 çarpı v2 artı c3 artı d3 çarpı v3 elde edersiniz.

Korean: 
그러고 난 뒤 여기선 세 개로 했지만
임의의 벡터집합의 선형생성이
유효한 부분공간이 된다면
임의의 n개 벡터로 확장할 수 있습니다
증명해 봅시다
x를 이미 정의했습니다
U 안에 있는
혹은 이 벡터들의 생성 내의 또 다른
벡터를 정의해보겠습니다
그리고 그것은 d1 × v1
+ d2 × v2 + d3 × v3 입니다
자 그럼 x+y 는 무엇일까요?
만약 이 두 벡터를 더한다면
그 결과는 어떻게 되나요?
물론, 그냥 더해도 됩니다
x+y 는 이것들 더하기 
이것들을 의미합니다
그래서 그 결과는 어떻게 되나요?
이 모든 것들을 더한다면
(c1+d1)v1 +

Chinese: 
這個例子是三維的
但是如果向量張成的空間是次空間
則你可以將它拓展到n維的情況
我來證明
這裡已經定義了x
再定義U中的另一個向量
它可以寫成這三個向量的線性組合
令它等於
d1乘以v1
加上d2乘以v2 加上d3乘以v3
那麽x+y是多少？
兩個向量相加 結果是多少？
簡單地相加即可
x+y表示這一項加上這一項
它等於多少？
將它們相加會得到
式子(c1+d1)v1+(c2+d2)v2

Arabic: 
ثم نحن نعلم أن المدى ل - وقد تناولت ثلاثة متجهات هنا،
ولكن يمكنكم مدها الى اي عدد n
إذا كان المدى لاي مجموعة من مجموعات المتجهات  تعد فضاءا جزئيا  صحيحا.
اسمحوا لي أن اثبت ذلك.
لقد عرفتم x من قبل .
اسمحوا لي أن اعرف متجها أخر من u
، أو  هو موجود في
مدى هذه المتجهات
ويساوي، لا أدري،
دعنا نقول أنه يساوي  D1
ضرب  v1 زائد d2 ضرب v2 زائد d3 ضرب v3.
الآن ما هو X زائد y؟
،
ماذا يساوي المتجهان لو جمعتهما؟
حسنا، يمكنني أن أجمع
فقط. x زائد y يعني كل هذه الاشياء
زائد  كل هذه الاشياء.
فماذا يساوي هذا؟
وهذا يعني ان جمع هاتين
يساوي C1 زائد D1

English: 
and then we know that the span
of -- and I did three, here
but you can extend an arbitrary
n number of vectors
if the span of any set of
vectors is a valid subspace.
Let me prove that.
We already defined one x here.
Let me define another vector
that's in u, or that's in the
span of these vectors.
And it equals, I don't know,
let's say it equals d1 times
v1 plus d2 times v2
plus d3 times v3.
Now what is x plus y?
If I add these two vectors,
what does it equal to?
Well, I could just add.
x plus y means all of this stuff
plus all of this stuff.
So what does that equal?
It means if you just add these
together you get c1 plus d1

Bulgarian: 
а после ще знаем, че линейната 
обвивка на... тук направих три,
но можеш да включиш произволен
брой n вектори,
ако линейната обвивка на всяко множество
от вектори е валидно подпространство.
Ще докажа това.
Вече дефинирахме един вектор х тук.
Ще дефинирам и друг вектор,
който принадлежи на u, или който
е в линейната обвивка на 
тези вектори.
Той е равен на, не знам,
да кажем, че е равен на
d1 по v1, плюс d2 по v2,
 плюс d3 по v3.
И колко е х + у?
Ако събера тези два вектора,
на колко е равен сборът им?
Мога просто да ги събера.
х + у означава, че всичко това тук
плюс всичко това тук.
На колко ще е равно?
Ако просто ги събереш, 
ще получиш (с1 + d1) по v1,

Chinese: 
这个例子是三维的
但是如果向量张成的空间是子空间
则你可以将它拓展到n维的情况
我来证明
这里已经定义了x
再定义U中的另一个向量
它可以写成这三个向量的线性组合
令它等于
d1乘以v1
加上d2乘以v2 加上d3乘以v3
那么x+y是多少？
两个向量相加 结果是多少？
简单地相加即可
x+y表示这一项加上这一项
它等于多少？
将它们相加会得到
式子(c1+d1)v1+(c2+d2)v2

Thai: 
แล้วเรารู้ว่าสแปนของ -- ผมทำ 3 ตัวตรงนี้,
แต่คุณสามารถขยายเป็นเวกเตอร์จำนวน n ตัวตามใจ
ว่าสแปนของเซตของเวกเตอร์ เป็นสับสเปซเสมอ
ขอผมพิสูจน์ให้ดูนะ
เราได้นิยาม x ไว้ตัวหนึ่งตรงนี้
ขอผมนิยามเวกเตอร์อีกตัวที่อยู่ใน u, หรืออยู่ใน
สแปนของเวกเตอร์เหล่านั้น
และมันเท่ากับ, ไม่รู้สิ, สมมุติว่ามันเท่ากับ d1 คูณ
v1 บวก d2 คูณ v2 บวก d3 คูณ v3
แล้ว x บวก y เป็นเท่าไหร่?
ถ้าผมบวกเวกเตอร์สองตัวนี้เข้า, มันจะเท่ากับอะไร?
ทีนี้, ผมก็บวกไป
x บวก y หมายถึงเจ้าพวกนี้ บวกเจ้าพวกนี้
แล้วนั่นเท่ากับอะไร?
มันหมายความว่า ถ้าคุณบวกพวกนี้เข้าด้วยกัน คุณจะได้ c1 บวก d1

Estonian: 
siis me teame, et ulatus -- ma tegin siin kolm, aga
sa võid seda suurendada suvalise n vektori võrra, kui
suvaliste vektorite hulk on kehtiv alamruum.
Ma tõestan selle.
Me defineerisime x-i siin.
Ma defineerin uue vektori, mis on U-s või, mis on
nende vektori ulatuses.
See on võrdne, ma ei tea, oletame, et see on võrdne
d1v1 + d2v2 + d3*v3-ga.
Kui palju on x+y?
Kui ma liidan need kaks vektorit, siis mis on vastuseks?
Ma võin lihtsalt liita.
x+y tähendab, et kõik see pluss kõik see.
Millega on see võrdne?
Kui sa need lihtalt kokku liidad, siis sa saad

Arabic: 
ضرب v1 زائد c2 زائد d2 ضرب v2 زائد c3 زائد  d3 ضرب v3
صحيح؟
كان لديكم V3 هنا، كان لديكم
V3 هناك، عليكم فقط  جمع
معامليهما.
ومن الواضح أن هذه مجرد 
تركيبة خطية اخرى.
هذه هي الثوابت
مرة أخرى.
هذا ثابت افتراضي،
وهذا ثابت افنراضي،
ثم هذا ايضا ثابت التعسفي.
لذلك فهذا الشيء هو مجرد تركيبة خطية
مزيج من V1، V2، V3 .
لذلك فهي، بحكم تعريفها، في
 مدى V1، V2، V3 و.
لذلك فهي بالتأكيد مغلقة
تحت الإضافة.
الآن، ربما تقولون، مهلا ، ياستاذ  تقول
 أن المدى
لأي متجه هو فضاء جزئي صحيح،
ولكن اسمح لي أن اريك
مثالا واضحا، 
لو أخذت مدى متجه واحد
واسمحوا لي أن اعرف u
بانه سيكون مساويا لمدى
المتجه، ودعوني اقوم فقط
بفعل واحد بسيط حقا.
مجرد متجه 1، 1.

Chinese: 
再加上(c3+d3)*v3 对吗？
这里有个v3 这里也有个v3
将它们的系数相加
显然它是另一个线性组合
这些都是常数
这是任意的常数
这是任意的常数
这是任意的常数
所以这项就是v1 v2 v3的
线性组合
有定义可得
它是v1 v2 v3张成的空间
因此它对加法封闭
现在你也许会说
你讲的是
任何向量张成空间是子空间
我具体举一个例子
例如取由一个向量张成的空间
定义U是由
这个向量张成的空间
举个简单的数
假设这个向量是[1,1]

Thai: 
คูณ v1, บวก c2 บวก d2 คูณ v2, บวก c3 บวก d3 คูณ v3
จริงไหม?
คุณมี v3 ตรงนี้, คุณมี v3 ตรงนี้, คุณก็แค่
บวกสัมประสิทธิ์พวกมัน
แน่นอนนี่เป็นแค่ผลรวมเชิงเส้นอีกตัวหนึ่ง
พวกนี้เป็นค่าคงที่เหมือนเดิม
นั่นคือค่าคงที่ตามใจ, นันคือค่าคงที่ตามใจ,
นั่นก็ค่าคงที่ตามใจ
เจ้านี่ตรงนี้ ก็แค่ผลรวมเชิงเส้นของ v1, v2 และ v3
มันจึงต้อง, ตามนิยามแล้ว, อยู่ในสแปนของ v1, v2 และ v3
เราจึงมีสมบัติปิดภายใต้การบวก
ตอนนี้, คุณบอกว่า, เฮ้, ซาล, คุณบอกว่า สแปนของ
เวกเตอร์ใดๆ เป็นสับสเปซตามนิยาม, แต่ขอผมแสดงให้คุณ
เป็นตัวอย่างชัดเจนว่า, ถ้าผมหาสแปนของเวกเตอร์
ตัวหนึ่งมา, ขอผมกำหนดให้ u เท่ากับสแปน
ของเวกตอร์นั้น, ขอผมทำอันง่ายๆ ให้ดูอันนึง
แค่เวกเตอร์ 1, 1

Estonian: 
c1 + d1v1 + c2 + d2v2 + c3 + d3*v3.
Õigus?
Sul oli siin v3, siin v3, sa lihtsalt liidad
nende kordajad.
Jällegi on tegemist lineaar kombinatsiooniga.
Need on jälle konstandid.
See on suvaline konstant, see on suvaline konstant,
see on suvaline konstant.
See on lineaar kombinatsioon v1,v2 ja v3-st.
Definitsiooni järgi peaks see olema v1,v2 ja v3-e ulatuses.
Seega me oleme kindlasti kinnised liitmise suhtes.
Nüüd sa võid öelda, et kuule Sal, sa ütlesid, et
suvalise vektori ulatus on kehtiv alamruum, aga las ma näitan sulle
ühe näite, mis selgesti, kui ma võtan ühe vektori ulatse,
las ma defineerin, et U on võrdne
ainult vektoriga, ma teen väga kerge.
Vektor 1,1.

Turkish: 
.
Değil mi?
Burada bir v3'ümüz vardı ve burada da bir v3 vardı,onların katsayılarını topluyoruz.
.
Bu da başka bir doğrusal kombinasyondur.
Bunlar tekrar sabit terimler.
Bu sıradan bir sabit terim,bu da bir sabit terim ve bu da bir sabit terim.
.
Yani bu şey v1,v2 ve v3'ün doğrusal bir kombinasyonudur.
v1,v2 ve v3'ün uzunluğuna dahil olmalıdır.
Bu nedenle toplamaya göre kapalıdır.
Şimdi diyebilirsiniz ki herhangi bir vektörün uzunluğunun geçerli bir altuzay olduğunu söylüyorsun fakat size bir örnek göstereceğim,--u'yu vektörün uzunluğuna eşit tanımlayalım--basit bir örnek yapalım.
.
.
.
.
1,1 vektörü.

Korean: 
(c2+d2)v2 + (c3+d3)v3 가 나옵니다
맞나요?
v3는 여기도 있고 저기도 있으므로
그들의 계수만 더해주면 됩니다
명백하게 이것은 
또 다른 선형결합입니다
이것들은 그저 상수에 불과합니다
저것도, 저것도
저것도 임의의 상수입니다
따라서 이것은 v1, v2, v3의
선형결합입니다
즉, 정의에 의해
이것은 v1, v2, v3의 생성입니다
따라서 명백히 덧셈에 대해 
닫혀있습니다
자, 임의의 벡터의 생성이
유효한 부분공간이라고 하였습니다
하지만 예를 들어보겠습니다
한 벡터의 생성에 대해서
U를 그 벡터의 생성으로 정의합시다
아주 간단하게
그 벡터를 (1,1) 이라고 하겠습니다

English: 
times v1 plus c2 plus d2 times
v2 plus c3 plus d3 times v3.
Right?
You had a v3 here, you had a
v3 there, you just add up
their coefficients.
Clearly this is just another
linear combination.
These are just constants
again.
That's an arbitrary constant,
that's an arbitrary constant,
that's an arbitrary constant.
So this thing is just a linear
combination of v1, v2, and v3.
So it must be, by definition, in
the span of v1, v2, and v3.
So we are definitely closed
under addition.
Now, you might say, hey, Sal,
you're saying that the span of
any vector is a valid subspace,
but let me show you
an example that clearly, if I
just took the span of one
vector, let me just define u
to be equal to the span of
just the vector, let me just
do a really simple one.
Just the vector 1, 1.

Bulgarian: 
плюс (c2 + d2) по v2, плюс 
(c3 + d3) по v3.
Нали?
Тук има v3, тук има v 3,
просто събираш коефициентите.
Това очевидно е просто
още една линейна комбинация.
Отново това са просто
константи.
Това е произволна константа,
това е произволна константа,
това е произволна константа.
Значи това е просто линейна
комбинация на v1, v2 и v3.
Значи по определение трябва да принадлежи 
на линейната обвивка на v1, v2 и v3.
Значи определено множеството
е затворено по отношение на събирането.
Сега може да кажеш: "Хей, Сал,
ти казваш, че линейната обвивка
на всеки вектор е валидно 
подпространство."
Но ще ти покажа пример, в който, 
ако вземем линейната обвивка
само на един вектор – ще дефинирам
u да е линейната обвивка
само на един вектор, ще го 
направя наистина лесен пример.
Ще е просто векторът [1;1].

Chinese: 
再加上(c3+d3)v3 對嗎？
這裡有個v3 這裡也有個v3
將它們的係數相加
顯然它是另一個線性組合
這些都是常數
這是任意的常數
這是任意的常數
這是任意的常數
所以這項就是v1 v2 v3的
線性組合
有定義可得
它是v1 v2 v3張成的空間
因此它對加法封閉
現在你也許會說
你講的是
任何向量張成空間是次空間
我具體舉一個例子
例如取由一個向量張成的空間
定義U是由
這個向量張成的空間
舉個簡單的數
假設這個向量是[1,1]

English: 
Clearly this can't be
a valid subspace.
Let's think about
this visually.
What does vector
1, 1 look like?
Vector 1, 1 looks like this.
Right?
And the span of vector 1, 1--
this is in its standard
position -- the span of vector
1, 1 is all of the linear
combinations of this vector.
Well, there's nothing else to
add it to, so it's really just
going to be all of the
scaled up and scaled
down versions of this.
So if you scale it up
you get things that
look more like that.
If you scale it down, you get
things that look more like
that if you go into the
negative domain.
So just by multiplying this
vector times different values,
and if you're going to put
them all into a standard
position, you'd essentially
get a line
that looks like that.
You say, gee, that doesn't look
like a whole subspace.
But a couple of things.
Clearly, it contains
the 0 vector.
We can just scale it by 0.
The span is just all of the
different scales of this.
And if there are other vectors,
you would add it to

Chinese: 
顯然它不是一個次空間
從圖像上來考慮
向量[1,1]是什麽樣子呢？
向量[1,1]就像這樣
對嗎？
而向量[1,1]張成的空間是――
它處在標準位置――
向量[1,1]張成的空間
是這些向量的所有線性組合
我們沒有別的項可加了
所以這就是
原向量伸縮後的形式
如果將它按比例放大
則得到的向量就像這樣
如果將它縮小
則得到的向量就像這樣
如果進入負的區域
用不同的數值乘以這個向量
將它們都化成
標注形式
則會得到
這樣的一條直線
你可能覺得它不像這個次空間
那我們就來驗證條件
顯然它包含0向量
我們可以將它乘以0
它張成的空間就是對原向量進行伸縮
如果還有其他向量

Turkish: 
Açık bir biçimde bu bir geçerli altuzay olamaz.
Bunu görsel olarak düşünelim.
1,1 vektörü nasıl görünür?
1,1 vektörü bu şekilde görünür.
Değil mi?
1,1 vektörünün uzunluğu--bu standart konumundadır-- bu vektörün tüm doğrusal kombinasyonlarıdır.
.
.
Peki,ona ekleyeceğimiz daha fazla bir şey yok bu nedenle onun arttırılmış ve azaltırılmış tüm biçimlerine eşit olacaktır.
.
.
Eğer onu artırırsanız buna daha çok benzeyen şeyler elde edersiniz.
.
Eğer azaltırsanız ve negatif tanım kümesine giderseniz ise daha çok buna benzeyen şeyler elde edeceksiniz.
.
Yani sadece bu vektörü farklı değerlerle çarparak ve hepsini standart konumlarına koyarak buna benzeyen bir çizgi elde edersiniz.
.
.
.
Bunun tamamen bir altuzay gibi görünmediğini söylersiniz.
Fakat burada birkaç şey var.
0 vektörünü içeriyor.
.
Onu 0 ile ölçeklendirebiliriz.
Uzunluk,bunun tüm farklı ölçekleridir.
Eğer başka vektörler varsa,onu da bu vektörlere eklersiniz.

Chinese: 
显然它不是一个子空间
从图像上来考虑
向量[1,1]是什么样子呢？
向量[1,1]就像这样
对吗？
而向量[1,1]张成的空间是――
它处在标准位置――
向量[1,1]张成的空间
是这些向量的所有线性组合
我们没有别的项可加了
所以这就是
原向量伸缩后的形式
如果将它按比例放大
则得到的向量就像这样
如果将它缩小
则得到的向量就像这样
如果进入负的区域
用不同的数值乘以这个向量
将它们都化成
标注形式
则会得到
这样的一条直线
你可能觉得它不像这个子空间
那我们就来验证条件
显然它包含0向量
我们可以将它乘以0
它张成的空间就是对原向量进行伸缩
如果还有其他向量

Estonian: 
See ei saa olla kehtiv alamruum.
Mõtleme sellele visuaalselt.
Milline näeb välja vektor 1,1?
Vektor 1,1 on selline.
Õigus?
Vektori 1,1 ulatus -- see on selle standard
positsioonis -- vektori 1,1 ulatus on kõik lineaarsed
kombinatsioonid sellest vektorist.
Pole midagi, millele seda liita seega see on
kõik suurenenvad ja vähenevad
versioonid sellest.
Kui sa suurendad seda, siis sa saad
midagi selle laadset.
Kui sa seda vähendad, siis sa saa midagi sellist, kui
sa lähed negatiivsesse piirkonda.
Korrutades seda vektorit erinevate väärtustega
ja kui sa paned need kõik tavalisse
positsiooni, siis sa saaksid
sellise joone.
Sa ütled 'derp', see ei näe välja nagu terviklik alamruum.
Paar asja.
Selle sees on nullvektor.
Me saame seda skaleerida nulliga.
Ulatus on erinevad skaleeringud sellest.
Ning kui seal on teisi vektoreid, siis sa liidaks

Thai: 
แน่นอนนี่ไม่ใช่สับสเปซ
ลองคิดเป็นภาพดู
เวกเตอรื 1, 1 นั้นเป็นอย่างไร?
เวกเตอร์ 1, 1 เป็นแบบนี้
จริงไหม?
แล้วสแปนของเวกเตอร์ 1, 1 -- นี่คือตำแหน่ง
มาตรฐาน -- สแปนของเวกเตอร์ 1, 1 คือผลรวมเชิงเส้น
ทั้งหมดของเวกเตอร์นี้
ทีนี้, มันไม่มีอย่างอื่นให้บวก, มันจึง
เท่ากับพวกนี้ขยาย หรือ
หดเจ้านี่
ถ้าคุณดึงมันขึ้น คุณจะได้
ออกมาแบบนั้น
ถ้าคุณดึงมันลง, คุณจะได้แบบว่า
คุณออกไปในทิศลบได้
แต่คูณเวกเตอร์พวกนี้ด้วยค่าต่างๆ,
และถ้าคุณใส่พวกมันทั้งหมดลงในตำแหน่งมาตรฐาน,
คุณจะได้เส้นตรง
ที่ออกมาเป็นแบบนั้น
คุณก็บอกว่า, นาย, มันดูไม่เหมือนสับสเปซทั้งหมดเท่าไหร่
แต่มีหลายอย่างต้องเช็ค
แน่นอน, มันบรรจุเวกเตอร์ 0
-
เราสามารถคูณมันด้วย 0 ได้
สแปนของแค่เจ้านี่ย่อขยายด้วยอัตราต่างๆ
แล้วถ้าคุณมีเวกเตอร์อื่น, คุณก็บวกมัน

Bulgarian: 
Очевидно това не може да е
валидно подпространство.
Да го разгледаме графично.
Как изглежда вектор [1;1]?
Вектор [1;1] изглежда така.
Нали?
Линейната обвивка на вектор [1;1]...
той е в стандартна позиция –
линейната обвивка на вектор [1;1]
съдържа всички линейни
комбинации на този вектор.
Няма с какво да го съберем, 
така че наистина това ще са
всички уголемени и умалени
(мащабирани) версии на това.
Ако го уголемиш, ще получиш
вектори, които изглеждат
по-скоро ето така.
Ако го смалиш, ще получиш
вектори, които изглеждат
по-скоро така, ако отидеш
в отрицателната област.
Значи само като умножаваме този 
вектор по различни стойности,
и ако поставиш всички получени
вектори в стандартна позиция,
то ще получиш реално
една права, която изглежда ето така.
Ще кажеш: "Чакай, това не изглежда 
като цяло подпространство."
Няколко бележки.
Ясно е, че съдържа
нулевия вектор.
Можем просто да умножим по 0.
Линейната обвивка е просто различните
мащабирани версии на това.

Korean: 
명백히 이 벡터는 
부분공간이 될 수 없습니다
시각적으로 생각해 봅시다
벡터 (1,1)은 어떻게 생겼나요?
이렇게 생겼습니다
그렇지 않나요?
그리고 표준 위치에 있는
벡터(1,1)의 생성은 이 벡터의
모든 선형결합입니다
따로 더할 것이 없기 때문에
이 벡터를 확대하거나
축소할 것입니다
따라서 만약 이 벡터를 확대한다면
이렇게 생긴 것을 얻게 됩니다
만약 축소한다면
이렇게 생긴 것을 얻게 됩니다
만약 음의 영역으로 갈 경우에 말이죠
따라서 다른 값을 이 벡터에
곱해주는 것만으로도
그리고 이 모든 것을 표준 위치에
위치시키고 싶다면
본질적으로
이렇게 생긴 직선을 얻을 것입니다
이 직선은 전체 부분공간이
아닌 것 같습니다
하지만 몇 가지 확인할 게
있습니다
명백히, 이것은 영벡터를 포함합니다
벡터에 0을 곱합니다
0의 비율로 확대 또는
축소할 수 있습니다
생성은 비율들 모두를 말합니다
그리고 만약 다른 벡터들이 있다면

Arabic: 
ومن الواضح أن هذا لا يمكن أن يكون
 فضاءا جزئيا صحيحا.
دعونا نفكر في
هذا بصريا.
كيف يبدو شكل متجه 1،1؟
متجه 1، 1 يبدو مثل هذا.
صحيح؟
ومدى متجه 1، 1 - وهو في
موقعه القياسي - هو كل
المزيج الخطي لهذا المتجه
حسنا، لا يوجد شيء آخر ل
إضافته، ولا يبقى
سوى الارتقاء بها او خفضها
في صيغ جديدة
لذا إذا ارتقيتم بها
حصلتم على شئ مثل هذا
إذا خفضتموها حصلتم على شئ مثل هذا
إذا ذهبتم إلى
النطاق السلبي.
لذا ولمجرد ضرب هذا
المتجه في قيم مختلفة،
وإذا كنتم تريدون وضعه في موقع
قياسي ستحصلون على
خط يشبه هذا.
تقولون هذا  لا يبدو
مثل فضاء جزئي متكامل.
لكن ثمة بضعة أشياء.
ومن الواضح، أنه يحتوي على
متجه 0.
 
يمكننا فقط  رفعه الى 0.
المدى هو مجرد جميع
هذا.
وإذا كانت هناك متجهات أخرى،
تودون إضافتها إلى

Chinese: 
可以将它们加起来
但显然这是0向量
所以说它含有0向量
那么它对数乘封闭吗？
张成的空间是所有这些向量的集合
如果对c取任意的实数
将它乘以[1,1]
这就是张成的空间
显然 将它乘以任意的数值
则它就会等于张成空间中的其他向量
最后验证它是否对加法满足封闭性
对于张成空间中的任意两个向量
假设已知空间中的向量a
可以将它
用某个标量c1乘以向量[1,1]表出
又已知另一个向量b
我可以用c2乘以向量[1,1]
将它表出
那么这等于什么呢？
它等于
它本质上等于――

Korean: 
그 벡터들을 더할 것입니다
하지만 이것은 명백히
영벡터가 될 것입니다
따라서 이것은 영벡터를 포함합니다
곱셈에 대해 닫혀있나요?
생성은 모든 벡터들의 집합입니다
만약 모든 실수 c에 대해서
(1,1)에 곱한다면
그것이 생성입니다
명백히, 이것에 무엇을 곱하든 그것은
생성 안에 있는 다른 것과
동일할 것입니다
마지막으로
덧셈에 대해 닫혀있나요?
즉, 생성 안에 있는 임의의 두 벡터
이 생성에 있는 한 벡터 a는
임의의 스칼라 c1과 여기 있는 벡터의
곱으로 표현할 수 있습니다
그리고 또 다른 벡터 b를
c2와 이 집합에 있는 벡터 하나의
곱으로 나타낼 수 있습니다
그렇다면 그 값은 어떻게 될까요?
이것은 본질적으로

Chinese: 
可以將它們加起來
但顯然這是0向量
所以說它含有0向量
那麽它對數乘封閉嗎？
張成的空間是所有這些向量的集合
如果對c取任意的實數
將它乘以[1,1]
這就是張成的空間
顯然 將它乘以任意的數值
則它就會等於張成空間中的其他向量
最後驗證它是否對加法滿足封閉性
對於張成空間中的任意兩個向量
假設已知空間中的向量a
可以將它
用某個純量c1乘以向量[1,1]表出
又已知另一個向量b
我可以用c2乘以向量[1,1]
將它表出
那麽這等於什麽呢？
它等於
它本質上等於――

Bulgarian: 
Ако тук има други вектори,
можеш да събереш и тях, разбира се.
Но това определено ще бъде
нулевият вектор.
Значи съдържа нулевия вектор.
Затворено ли е по отношение
на умножението?
Линейната обвивка е множество
от всички вектори, за които, ако
с са всички реални числа 
и ги умножиш
по [1;1], получаваш
линейната обвивка.
Очевидно, ще умножиш това
по всичко, тогава ще е равно
на нещо друго, което определено 
ще е в тази линейна обвивка.
И последно – затворено ли е
по отношение на събирането?
Всеки два вектора от линейната
обвивка могат... да вземем
вектор а, който принадлежи
на линейната обвивка.
Мога да го представя като с1,
някакво число, по моя вектор.
После, нека да имам друг вектор b,
който ще представя като
с2 по единствения вектор
в моето множество ето тук.
На колко ще е равно това?
Това ще е равно на с...

Thai: 
เพิ่มได้เช่นกัน
แต่นี่แน่นอนว่าเป็นเวกเตอร์ 0
มันจึงบรรจุเวกเตอร์ 0 อยู่
มันปิดภายใต้การคูณหรือเปล่า?
ทีนี้, สแปนคือเซตของเวกเตอร์ทุกตัวที่, ถ้าคุณ
เอาจำนวนจริง c มาแล้วคูณกับ
1, 1, นั่นคือสแปน
แน่นอน, คุณคูณนี่ด้วยอะไรก็ตาม มันจะ
เท่ากับอีกตัวที่อยู่ในสแปนแน่นอน
แล้วอย่างสุดท้าย, มันมีสมบัติปิดภายใต้การบวกหรือเปล่า?
-
เวกเตอร์สองตัวใดๆ ในสแปนสามารถ, สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์หนึ่งตัว
ที่อยู่ในสแปนของผม
ผมสามารถแทนมันด้วย c1 สเกลาร์ค่าหนึ่งคูณเวกเตอร์ผมตรงนี้
แล้วผมมีเวกเตอร์ b อีกตัวหนึ่ง, และผมสามารถเขียนมัน
เป็น c2 คูณวกเตอร์ตัวหนึ่งในเซตของผมตรงนี้
แล้วนี่จะเท่ากับอะไร?
นี่จะเท่ากับ -- สุดท้ายนี่จะเท่ากับ

Estonian: 
ka need sinna.
Aga see on kindlasti nullvektor.
See sisaldab nullvektorit.
Kas see on korrutamise suhtes suletud?
Ulatus on on kõigi vektorite hulk, kus
kui sa võtad kõik reaalarvud c asemel ja korrutad need
vektoriga 1,1, see ongi ulatus.
Kui sa korrutad selle ükskõik millega, siis see
on võrdne millegi teisega, mis on kindlasti sinu ulatuses.
Viimane asi, kas see on liitmise suhtes kinnine?
Suvalised kaks vektorit selles hulgas, ütleme, et mul
on vektor a, mis on ulatuses.
Ma võin seda esitada, kui c1 korda mingi skalaar korda minu vektor.
Mul on ka teine vektor b, mida saab esitada kui
c2 korda see vektor, mis on mul siin hulgas.
Millega on see võrdne?
See on võrdne, põhimõtteliselt on see

Turkish: 
.
Fakat bu açıkça 0 vektörü olacaktır.
0 vektörünü içerir.
Peki çarpmaya göre kapalı mıdır?
Uzunluk tüm vektörlerin kümesidir,eğer c için tüm reel sayıları alır ve 1,1 ile çarparsanız bu uzunluğa eşit olur.
.
.
Anlaşılır bir biçimde,bunu herhangi bir şeyle çarparsanız, sonuç kesinlikle uzunluğunuzda olan başka bir şeye eşit olacaktır.
.
Son olarak toplamaya göre kapalı mıdır?
.
Uzunluktaki herhangi iki vektör,diyelim ki uzunluğuma dahil olan bir a vektörüm var.
.
Onu, c1 çarpı buradaki vektörüme eşit olacak şekilde gösterebilirim.
Sonra,elimde olan diğer vektör,b vektörümü de c2 çarpı buradaki kümeme dahil olan vektörüme eşit olacak şekilde gösterebilirim.
.
Yani bu neye eşit olacaktır?
Sonuç olarak bu c1 artı c2 çarpı benim vektörüme eşit olur.

Arabic: 
تلك أيضا.
ولكن من  الواضح
أنها ستكون متجه 0.
لذا فأنه يحتوي على متجه 0 .
هل تم إغلاقه تحت
عمليه الضرب؟
حسنا، المدى هو مجموعة كل
المتجهات، حيث، إذا كنتم
ستاخذون جميع الأعداد الحقيقية
لc وضربتموها
في 1، 1، وهذا هو المدى.
من الواضح انه اذا ضربتم هذه في اي شئ
فانه بالتاكيد  سيساوي شيئا اخر في  المدى
.
واخيرا هل تم إغلاقه
تحت إضافة؟
 
لذلك فإن أي متجهين في المدى، دعني اقول انه لدي
متجه a 
في المدى.
يمكن أن تمثل C1 ضرب المتجه هناك.
ثم لدي متجه b  الذي يمكن
تمثيله  كC2 ضرب المتجه هناك
ماذا يمكن ان يساوي هذا؟
هذا سيكون مساويا

English: 
those as well.
But this is clearly going
to be the 0 vector.
So it contains the 0 vector.
Is it closed under
multiplication?
Well, the span is the set of all
the vectors, where, if you
take all of the real numbers
for c and you multiply it
times 1, 1, that is the span.
Clearly, you multiply this times
anything it's going to
equal another thing that's
definitely in your span.
The last thing, is it closed
under addition?
So any two vectors in the span
could, let's say that I have
one vector a that's
in my span.
I can represent it as c1 some
scalar times my vector there.
And then I have another vector
b, and I could represent it
with c2 times my one vector
in my set right there.
And so what is this going
to be equal to?
This is going to be equal to,
this is essentially going to

Korean: 
같아질 것입니다
이것은 (c1 + c2) 와 
집합의 한 벡터의 곱이 됩니다
너무나도 당연합니다
하지만 명백히 생성 안에 있습니다
이것은 저것을 
늘여놓은 것에 불과합니다
이것은 선형생성 안에 있고
저것을 늘여놓은 것 안에 있습니다
이것 또한 이 벡터의 선형생성
안에 들어갈 것입니다
왜냐하면 이것은 결국 또다른
스칼라이기 때문이죠
이것을 c3라고 부르겠습니다
시각적으로 표현하자면
여기 있는 이 벡터에 대해서
그것을 이 벡터와 더한다면
꼬리와 머리를 붙인다면
결국 이 벡터를 얻게 됩니다
녹색으로 된 것입니다
잘 보일지 모르겠습니다
빨간색으로 하겠습니다
결국 이 벡터를 얻게 됩니다
이 직선에 있는 임의의 벡터와
다른 임의의 벡터의 합이
직선 위의 또 다른 벡터가 되도록
할 수 있습니다
스칼라가 곱해진
직선상의 어떤 벡터도
직선상의 또 다른 벡터가 됩니다
따라서 이것은
곱셈에 대해 닫혀있습니다
덧셈에 대해서도 닫혀있습니다

Estonian: 
võrdne c-ga -- ma teen siia natukene rohkem ruumi -- see on
võrdne c1+c2 korda minu vektor.
See on ilmselge.
Aga selgesti see on ulatuses.
See on suurendatud versioon sellest.
See on ulatuses, see on suurendatud versioonis sellest.
Ka see on selle vektori ulatuses, sest see
on järjekordne skalaar.
Kutsume seda c3-ks.
Kui sa teed seda visuaalselt, kui ma võtan selle vektori
ja kui ma liidaks selle sellele vektorile, siis
sa saaksid sellise vektori.
Selle rohelise vektori.
Ma ei ole kindel, kas sa näed seda.
Ma teen selle siia punasega.
Sa lõpetad selle vektoriga.
Sa võid võtta kaks suvalist vektorit sellelt joonelt
ning saad vastuseks teise vektori sellel joonel.
Iga vektor sellel joonel korutatud mingi skalaariga on
võrdne mingi teise vektoriga sellel joonel.
Seega sa oled korrutamise suhtes suletud.
Suletud liitmise suhtest.

Chinese: 
我需要一些空间――
它等于(c1+c2)乘以向量[1,1]
这是显然的
显然它在张成的空间中
它就是这个向量按比例伸长
这项也在张成的空间中
它也是这个向量按比例伸长
并且这项也在这个向量张成的空间中
因为这是另一个标量
可以称之为c3
从图像上考虑
如果取这个向量
将它加上这个向量
即将它们首尾相接
就会得到这个向量
这个绿色的向量
不知道你是否能看清
我用红色来写
结果得到这个向量
你可以将这条直线上的
任何两个向量相加
结果得出的向量还会在这条直线上
这条直线上的任何向量乘以一个标量之后
其结果将会等于这条直线上的另一个向量
所以它对数乘是封闭的
对加法也是封闭的

Turkish: 
.
.
Bu apaçık ortada.
Fakat bu,uzunluğa dahil.
O,bunun sadece artırılmış biçimidir.
Bu,uzunluğa dahil ve bunun artırılmış biçiminde.
Ayrıca bu da,buradaki vektörün uzunluğuna dahil olacaktır çünkü bu başka bir skalerdir.
.
Onu c3 olarak adlandırabiliriz.
Bunu görselleştirmemiz gerekirse,buradaki vektörü aldığımda ve buradaki diğer vektörle topladığımda yani uç uca eklediğimizde,sonuç olarak buradaki vektörü elde edeceğiz.
.
.
Tam burada yeşille yazılan şey.
.
Şimdi onu kırmızıyla yazıcağım.
Bu vektörü elde edersiniz.
Bunu,bu çizgideki istediğiniz herhangi iki vektörü ekleyerek de yapabilirsiniz ki bu da bu çizgideki başka bir vektöre eşit olacaktır.
.
Bu çizgideki herhangi bir vektörün herhangi bir skaler ile çarpılması durumunda da bu çizgideki başka bir vektörü elde ederiz.
.
Yani çarpmaya göre kapalıdır.
Aynı zamanda toplamaya göre de kapalıdır.

Bulgarian: 
ще си направя малко  място.
това ще е равно на с1 + с2 по
моя вектор.
Това е супер лесно и очевидно.
Но очевидно, това не е 
линейната обвивка.
Това е просто мащабирана
версия на този вектор.
То е в линейната обвивка, то е
мащабирана версия на този вектор.
Това също ще бъде в линейната
обвивка на този вектор,
защото това е просто
друг скалар.
Можем да го означим като с3.
Ако го представиш графично,
ако взема този вектор ето тук,
и ако го събера с този вектор,
ако ги поставя начало към край,
ще получа ето този вектор.
Ето този в зелено.
Не знам дали можеш
да го видиш.
Ще го направя в червено.
Ще получиш този вектор.
Можеш да направиш така, че ако събереш така 
всеки вектор с всеки друг вектор
на тази права, и ще получиш друг
вектор на тази права.
Всеки вектор на тази права, 
умножен по някакво число,
ще бъде друг вектор
на тази права.
Значи множеството е затворено
по отношение на умножението.
Затворено е по отношение
на събирането.

Thai: 
c -- ทีนี้, ได้ที่เพิ่มขึ้นหน่อย -- นี่
จะเท่ากับ c1 บวก c2 คูณเวกเตอร์ของผม
นี่มันชัดเจนมาก
แต่นี่อยู่ในสแปนชัดเจน
มันคือเจ้านี่ยืดขึ้น
นี่อยู่ในสแปน, มันคือเจ้าน่แบบยืดหด
และนี่จะอยู่ในสแปนของเวกเตอร์นี้
เพราะมันเป็นแค่สเกลาร์อีกตัว
เราเรียกมันว่า c3 ได้
ถ้าคุณทำมันเป็นภาพ, ถ้าคุณเอาเวกเตอร์นี่ตรงนี้มา
และผมบวกนี่เข้ากับเวกเตอร์นี้, ถ้าคุณจับมันหัว
ต่อหาง, คุณจะได้เวกเตอร์นี้มา
ตรงนี้สีเขียว
ไม่รู้คุณเห็นไหม
ผมจะใช้สีแดงตรงนี้นะ
คุณจะได้เวกเตอร์นั้น
และคุณสามารถนำเวกเตอร์ใดๆ บวกเวกเตอร์อีกตัว
บนเส้นมารวม จะได้เวกเตอร์อีกตัวบนเส้นนี้
เวกเตอร์บนเส้นตรงนี้ คูณสเกลาร์ค่าหนึ่งจะ
เท่ากับเวกเตอร์อีกตัวบนเส้นตรงนี้
คุณจึงมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ
มีสมบัติปิดภายใต้การบวก

English: 
be equal to c-- well, get a
little more space-- this is
going to be equal to c1 plus
c2 times my vector.
This is almost trivially
obvious.
But clearly this
is in the span.
It's just a scaled up
version of this.
This is in the span, it's in a
scaled up version of this.
And this is also going to be
in the span of this vector,
because this is just
another scalar.
We could call that c3.
If you just do it visually, if I
take this vector right there
and I were to add it to this
vector, if you put them head
to tails, you would end
up with this vector.
Right there in green.
I don't know if you
can see it.
I'll do it in red right there.
You end up with that vector.
And you could do that any vector
plus any other vector
on this line is going to equal
another vector on this line.
Any vector on this line
multiplied by some scalar is
just going to be another
vector on this line.
So you're closed under
multiplication.
Your closed under addition.

Arabic: 
يكون مساويا - احتاج لفراغ هنا
سيساويC1 زائد  C2 ضرب المتجه.
هذا واضح بسيط .
لكن من الواضح أن هذا
في المدى.
انها مجرد نسخة معلاة من هذا
هذا هو في فترة، أنه كان
الارتقاء بها نسخة من هذا.
وهذا أيضا سيكون
في مدى  هذا المتجه،
لأن هذا  فقط
مجرد عددية آخرى.
يمكننا أن نسميها C3.
إذا  فعلتم ذلك بصريا، إذا أخذت  هذا المتجه هناك
و أضفته إلى هذا
المتجه،
سوف ينتهي بكم الامر
الى هذا المتجه.
هناك  باللون الأخضر.
لا أدري ما إذا كنتم ترونه.
.
سأفعل ذلك باللون الأحمر هناك.
ينتهي بكم الأمر الى ذلك المتجه.
ويمكنك أن تفعل ذلك مع أي متجه
بالإضافة إلى متجه  أخر
على هذا الخط  سيساوي متجه اخر في هذا الخط.
أي متجه على هذا الخط
مضروبا في بعض عددية
سيكون فقط متجها آخر
على هذا الخط.
لذلك ستكونون مغلقين تحت
عمليه الضرب.
مغلقا تحت الإضافة.

Chinese: 
我需要一些空間――
它等於(c1+c2)乘以向量[1,1]
這是顯然的
顯然它在張成的空間中
它就是這個向量按比例伸長
這項也在張成的空間中
它也是這個向量按比例伸長
並且這項也在這個向量張成的空間中
因爲這是另一個純量
可以稱之爲c3
從圖像上考慮
如果取這個向量
將它加上這個向量
即將它們首尾相接
就會得到這個向量
這個綠色的向量
不知道你是否能看清
我用紅色來寫
結果得到這個向量
你可以將這條直線上的
任何兩個向量相加
結果得出的向量還會在這條直線上
這條直線上的任何向量乘以一個純量之後
其結果將會等於這條直線上的另一個向量
所以它對數乘是封閉的
對加法也是封閉的

English: 
And you include the 0 vector.
So even this trivially simple
span is a valid subspace.
And that just backs up the
idea that we showed here.
That, in general, I could
have just made
this a set of n vectors.
I picked three vectors right
here, but it could've been n
vectors and I could have used
the same argument that the
span of n vectors is a
valid subspace of Rn.
And I showed it right there.

Chinese: 
并且还包含0向量
所以这个简单的空间是一个子空间
这也支持了上述观点
一般地
我可以令其为n个向量的集合
在这选出三个向量
也可以选n个向量
讨论的方法相同
那么这n个向量张成的空间
就是Rn的一个子空间
我已经在那做过说明

Arabic: 
وتقومون بتضمين متجه 0 .
اذا فحتى هذا المدى البسيط  هو فضاء فرعي صالح .
مما يدعم 
الفكرة ألتي أظهرناها هنا.
أنها، بشكل عام ما استطعت 
ان  أقوم به للتو
هو مجموعة متجهات n.
تناولت ثلاثة متجهات
هنا، ولكن يمكن ان تكون n متجه
وكان يمكن أان ا ستخدم
نفس الحجة للقول بأن
مدى متجهات n هو
فضاء جزئي صالح لRn.
وقدأظهرتها هنا.

Estonian: 
Ja sul on nullvektor seal hulgas.
Isegi selline kerge ulatur on kehtiv alamruum.
See lihtsalt kinnitab seda ideed, mis me siin näitasime.
Ma oleks võinud selle teha n vektori hulgaks.
Ma oleks võinud selle teha n vektori hulgaks.
Ma valisin siin kolm vektorid, aga oleks võinud olla
ka n vektorit ja ma oleks võinud kasutada samu argument, et
n vektori ulatus on kehtiv Rn-i alamruum.
Ma näitasin seda siin.

Chinese: 
並且還包含0向量
所以這個簡單的空間是一個次空間
這也支持了上述觀點
一般地
我可以令其爲n個向量的集合
在這選出三個向量
也可以選n個向量
討論的方法相同
那麽這n個向量張成的空間
就是Rn的一個次空間
我已經在那做過說明

Korean: 
그리고 영벡터를 포함하고 있습니다
즉, 이러한 사소하고 간단한 
생성도 유효한 부분공간입니다
그리고 그것은 여기서
보여준 개념을 뒷받침합니다
일반적으로, n개의 벡터들로
이루어진 집합을 만들 수 있습니다
여기서 세 벡터를 골랐지만
그것은 n개의 벡터가 될 수도 있습니다
그리고 n개 벡터들의 생성이
Rn의 부분공간이라는 것에
같은 논리를 적용할 수 있습니다
여기서 그것을 보여드렸습니다

Turkish: 
0 vektörünü dahil edersiniz.
Açık bir şekilde bu basit uzunluk geçerli bir altuzaydır.
Ve bu,tam burada gösterdiğimiz fikri destekler.
Aslında bunu n vektörlerinin bir kümesi olarak yapabilirdim.
.
Burada üç vektör seçtim fakat o,n vektörü olabilirdi ve aynı tezi yani n vektörünün uzunluğunun Rn'nin geçerli bir altuzayı olduğunu kullanabilirdim.
.
.
Onu tam burada gösterdim.

Thai: 
และคุณมีเวกเตอร์ 0 ด้วย
ดังนั้นแม้แต่ในสแปนง่ายๆ อย่างนี้ ก็เป็นสับสเปซ
และนั่นสนับสนุนแนวคิดที่เราแสดงไปตรงนี้
นั่นคือ, โดยทั่วไป, ผมก็แค่
ทำให้นี่เป็นเซตของเวกเตอร์ n ตัว
ผมเลือกเวกเตอร์ 3 ตัวตรงนี้, แต่มันเวกเตอร์ n
ตัวได้ และผมก็ใช้เหตุผลว่าสแปน
ของเวกเตอร์ n ตัวเป็นสับสเปซของ Rn
และผมแสดงมันแล้วตรงนี้

Bulgarian: 
Включва нулевия вектор.
Следователно тази толкова проста
линейна обвивка е валидно подпространство.
Това просто потвърждава идеята,
която показах тук.
Че, по принцип, можех
просто да направя
това множество
от n вектора.
Тук избрах три вектора, но можеха 
да бъдат n на брой вектори
и можех да използвам същите
аргументи, че
линейната обвивка на n вектора
е валидно подпространство на Rn.
И го показах ето тук.
