
Bulgarian: 
Имаме различни определения
за d(t) вляво и вдясно
и, да кажем, че d е разстоянието, 
а t е времето,
така че това ни дава разстоянието 
като функция на времето.
Вляво е равно на 3t + 1.
Можеш да видиш на графиката как разстоянието 
се променя като функция на времето.
Тук е права –
и, като преговор от алгебрата,
скоростта на изменение на една права
наричаме ъглов коефициент (наклон) 
на правата и можем да намерим
каква е промяната в разстоянието
за всяка промяна във времето.
В тази ситуация,
ако преминаваме от "времето е равно на 1" 
до "времето е равно на 2",
промяната във времето, делта t, е равно на 1.
Каква е промяната в разстоянието?
Преминаваме от разстояние равно на 4 метра
при време равно на 1
до разстояние от 7 метра при време равно на 2
и промяната в разстоянието е равнa на 3.

German: 
Wir haben verschiedene Definitionen für d(t),
einmal links und einmal rechts,
d steht für Distanz und t für Zeit.
Also wird unsere Distanz als
eine Zeitfunktion angegeben.
Links haben wir 3t + 1, und du siehst,
dass der Graph, der zeigt, wie sich die Distanz
als Zeitfunktion verändert, eine Gerade ist.
In der Algebra nennen wir die
Änderungsrate einer Geraden "Steigung".
Und wir können für jede Zeitveränderung herausfinden,
wie sich unsere Distanz verändert.
Wenn wir in diesem Fall von t=1 auf t=2 wechseln,
dann ist unsere Zeitveränderung Δt=1.
Welche Veränderung haben wir in der Distanz?
Wir gehen von einer Distanz von 4 Metern bei t=1
zu einer Distanz von 7 Metern bei t=2.
Unsere Distanzveränderung ist hier also gleich 3.

Korean: 
두 그래프에서 d와 t는
다르게 정의되어 있습니다
d는 거리
t는 시간이라고 합시다
그러므로 이 식은
시간에 대한 거리의 함수입니다
왼쪽은 d(t) = 3t + 1
이 그래프에서
시간의 변화에 따라
거리의 변화를
직선상으로 확인할 수 있습니다
대수학을 복습해 보았습니다
직선상에서 변화율
즉, 기울기에 대해서 말이죠
일정 시간만큼 변화했을 때
거리는 얼마나 변화할까요?
여기서
1초에서 2초로 변화한다면
시간의 변화량
즉, Δt는 1입니다
그렇다면 거리의
변화량은 무엇일까요?
1초에 해당하는
4m에서
2초에 해당하는
7m까지 변화합니다
따라서 거리의 변화량은
3입니다

English: 
- So we have different definitions
for d of t on the left and the right
and let's say that d is
distance and t is time,
so this is giving us our
distance as a function of time,
on the left, it's equal to 3t plus one
and you can see the graph
of how distance is changing
as a function of time here is a line
and just as a review from algebra,
the rate of change of a line,
we refer to as the slope of a
line and we can figure it out,
we can figure out, well,
for any change in time,
what is our change in distance?
And so in this situation,
if we're going from time
equal one to time equal two,
our change in time,
delta t is equal to one
and what is our change in distance?
We go from distance is
equal to four meters,
at time equals one,
to distance in seven
meters at time equal two
and so our change in distance
here is equal to three

English: 
and if we wanna put our units,
it's three meters for
every one second in time
and so our slope would be
our change in our vertical
divided by our change in our horizontal,
which would be change in
d, delta d over delta t,
which is equal to three over one
or we could just write that
as three meters per second
and you might recognize this as a rate,
if you're thinking about
your change in distance
over change in time,
this rate right over here
is going to be your speed.
This is all a review of
what you've seen before
and what's interesting about a line,
or if we're talking
about a linear function,
is that your rate does
not change at any point,
the slope of this line
between any two points
is always going to be three,
but what's interesting about
this function on the right
is that is not true,
our rate of change is constantly changing
and we're going to study
that in a lot more depth,
when we get to differential calculus
and really this video's a little bit
of a foundational primer
for that future state,

Korean: 
단위를 써볼게요
1초당 3m 변화합니다
따라서 기울기는
세로축의 변화량을
가로축의 변화량으로
나눈 값이 됩니다
즉, Δd/Δt 입니다
3/1이 되겠죠
3m/s로 나타낼 수 있습니다
이 비율이 무엇인지
눈치챘나요?
시간에 대한 거리의 변화량은
이 비율은
속력이 됩니다
여러분이 공부한 것을
복습하고 있습니다
직선에 대하여 흥미로운 것은
혹은 직선의 방정식에서
어떤 점에서든
비율이 변하지 않습니다
어떤 두 점 사이의 기울기는
항상 3이 됩니다
오른쪽 함수에서
흥미로운 점은
여기선 사실이 아니라는 것입니다
변화율은 계속 바뀝니다
이 부분을 깊게 공부합니다
미분에 대해서 말이죠
이 강의는
나중에 미분학을 공부할 때

Bulgarian: 
И, ако искаме да поставим мерните единици,
това са три метра за една секунда време
и ъгловият ни коефициент ще е промяната по вертикалата,
делено на промяната по хоризонталата,
което ще е промяна на d, 
делта d върху делта t,
което е равно на 3/1,
или просто можем да запишем това
 като 3 метра в секунда.
И може да разпознаеш това като скорост,
ако разглеждаш резултата от промяната
на разстоянието върху промяната на времето,
това отношение горе вдясно е твоята скорост.
Всичко това е преговор на нещата от преди
и интересното при правата,
или ако говорим за линейна функция,
е, че скоростта не се променя в никоя точка,
ъгловият коефициент на тази права
между всеки две точки
винаги ще е 3.
Но интересното при функцията вдясно е,
че това не е вярно,
скоростта ни постоянно се променя
и ще проучим това в повече детайли,
когато стигнем до диференциалното смятане.
Това видео полага някои основи за това,

German: 
Wenn wir die Einheiten dazuschreiben,
sind das 3 Meter pro Sekunde.
Unsere Steigung ist die vertikale Veränderung
dividiert durch die horizontale Veränderung,
also die Veränderung bei d, Δd dividiert durch Δt,
was 3 dividiert durch 1 ergibt.
Wir können es auch als 3 Meter pro Sekunde schreiben,
und du erkennst es vielleicht als eine Rate.
Wenn du über die Distanzveränderung
in Bezug auf die Zeit nachdenkst,
dann ist diese Rate hier deine Geschwindigkeit.
Das ist alles eine Wiederholung.
Das interessante an einer Geraden,
oder einer linearen Funktion, ist,
dass sich deine Rate sich an keinem Punkt verändert.
Die Steigung dieser Geraden
zwischen beliebigen zwei Punkten
wird immer 3 sein.
Das interessante an der rechten Funktion ist,
dass das nicht stimmt.
Unsere Änderungsrate verändert sich ständig
und wir schauen uns das genauer an,
wenn wir zur Differentialrechnung kommen.

German: 
Dieses Video ist quasi eine Grundlage für
die Zukunft, wenn wir Differentialrechnung lernen.
Wir schauen uns die momentane
Änderungsrate irgendwo an,
zum Beispiel hier.
Wenn du über die Steigung einer Geraden nachdenkst,
die gerade so den Graph berührt,
sieht sie ungefähr so aus,
die Steigung einer Tangente.
Und hier drüben sieht sie etwas steiler aus,
und hier sieht sie etwas steiler aus.
Es sieht also so aus, als ob deine
Änderungsrate sich erhöht,
während t sich erhöht.
Wie erwähnt, beschäftigen wir uns später
mit der momentanen Änderungsrate.
Aber wir können bereits über die
durchschnittliche Änderungsrate nachdenken.
Wenn wir über die durchschnittliche
Änderungsrate nachdenken wollen,
nutzen wir das Wissen, das wir in Algebra gelernt haben,
wir denken über die Steigung von Sekanten nach.
Was ist eine Sekante?
Wir nutzen sie in der Geometrie.
Eine Sekante ist etwas, das eine
Kurve an zwei Punkten schneidet.

Bulgarian: 
което ще учим в диференциалното смятане.
Едно нещо да оценим тук
е да помислим за моментната скорост
 на промяна някъде,
да кажем, ето тук.
Ако помислиш за ъгловия коефициент
 на една права,
който една докосва тази графика,
той може да изглежда ето така,
ъгловият коефициент на една 
допирателна права
и после ето тук изглежда 
е малко по-стръмен.
Изглежда скоростта на промяна 
се увеличава,
докато t нараства.
Както споменах, натрупваме знания,
за да можем по-късно да говорим
за моментната скорост на промяна,
но можем да започнем да мислим 
за средната скорост на промяна.
И начинът, по който разглеждаме
средната скорост на промяна,
е да използваме същите знания, 
които първо научихме в алгебрата,
мислим за ъглови коефициенти на секущи прави.
Какво е секуща права?
По геометрия говорим за това,
че една секуща права е нещо, което
пресича една крива в две точки.
Да кажем, че тук има една права,

Korean: 
어느 정도 토대를 마련해 줍니다
여기서 알아볼 것은
어떤 점에서의
순간변화율입니다
여기서
이 그래프를 살짝 스치는
직선의 기울기는
이런 모습일 것입니다
접선의 기울기가 되겠죠
여기서는
더 가파른 모양이 됩니다
여기서는 더 가파르겠죠
변화율이 시간이 증가함에 따라
같이 증가하는 것 같네요
앞서 언급했듯이
후에 순간변화율에 대해서
토대를 다지고 있습니다
하지만 먼저
평균변화율을 알아봅시다
평균변화율
평균변화율
평균변화율을 알아보기 위해
대수학 초반에 배웠던
할선의 기울기에 대해
알아봅니다
할선이 뭐죠?
기하학에서 공부했었죠
할선은 곡선에 있는
두 점을 지나는 직선입니다

English: 
where we learn about differential calculus
and the thing to appreciate here
is think about the instantaneous
rate of change someplace,
so let's say right over there,
if you ever think about
the slope of a line,
that just barely touches this graph,
it might look something like that,
the slope of a tangent line
and then right over here,
it looks like it's a little bit steeper
and then over here, it looks
like it's a little bit steeper,
so it looks like your rate of change
is increasing as t increases.
As I mentioned, we will build the tools
to later think about
instantaneous rate of change,
but what we can start to think about
is an average rate of change,
average rate
of change,
and the way that we think about
our average rate of change
is we use the same tools, that
we first learned in algebra,
we think about slopes of secant lines,
what is a secant line?
Well, we talk about this in geometry,
that a secant is something
that intersects a curve
in two points, so let's
say that there's a line,

Korean: 
t=0 과 t=1 을 지난다고 합시다
직선을 그려보죠
따라서 이 직선은 할선입니다
할선의 기울기는
t=0 과 t=1 사이의
평균변화율이라고 할 수 있습니다
그렇다면, 평균변화율은 무엇일까요?
할선의 기울기는
Δd/Δt
즉
Δt = 1 이고
단위를 적을게요
Δd는 무엇일까요?
t=0 또는 d(0)는1이고
d(1)은 2입니다
따라서 1m 증가하였습니다
1m/1s 가 되겠네요
혹은 t=0에서 t=1 사이의
평균변화율이
1m/s 입니다
그러나 t=2에서
t=3까지에서는 어떤지

German: 
Wenn wir z.B. eine Gerade haben, 
die bei t=0 und t=1 Schnittpunkte hat.
Ich zeichne diese Gerade in Orange.
Das hier ist eine Sekante.
Du könntest die Steigung der Sekante
als die durchschnittliche Änderungsrate
von t=0 zu t=1 ansehen.
Welche durchschnittliche Änderungsrate haben wir?
Die Steigung unserer Sekante
ist die Distanzveränderung dividiert 
durch unsere Zeitveränderung.
Was ergibt das?
Unsere Zeitveränderung ist 1 Sekunde.
Ich schreibe die Einheit dazu.
Welche Distanzveränderung haben wir?
Bei t=0 oder d(0)=1 und d(1)=2.
Unsere Distanz hat sich um 1 Meter vergrößert,
also haben wir 1 Meter in 1 Sekunde zurückgelegt,
oder wir könnten sagen, dass unsere
durchschnittliche Änderungsrate
in dieser ersten Sekunde von t=0 zu t=1
1 Meter pro Sekunde beträgt.

English: 
that intersects at t equals
zero and t equals one
and so let me draw that
line, I'll draw it in orange,
so this right over here is a secant line
and you could do the
slope of the secant line
as the average rate of change
from t equals zero to t equals one,
well, what is that average
rate of change going to be?
Well, the slope of our
secant line is going to be
our change in distance
divided by our change in time,
which is going to be equal to,
well, our change in time is one second,
one, I'll put the units here, one second
and what is our change in distance?
At t equals zero or d of zero is one
and d of one is two,
so our distance has
increased by one meter,
so we've gone one meter in one second
or we could say that our
average rate of change
over that first second from t equals zero,
t equals one is one meter per second,
but let's think about what it is,
if we're going from t equals two

Bulgarian: 
която пресича при t = 0 и t = 1
и нека начертая тази права в оранжево.
Това ето тук е секущата ни.
И можеш да гледаш на
 ъгловия коефициент на секущата права
като средната скорост на промяна 
от t = 0 до t = 1.
Каква е средната скорост на промяна?
Ъгловият коефициент на секущата ни ще е
промяната в разстоянието, разделена 
на промяната във времето,
което ще е равно на...
промяната във времето е една секунда,
ще поставя мерните единици тук...
и каква е промяната в разстоянието?
При t = 0 или d(0) е 1
и d(1) е 2,
така че разстоянието ни се е увеличило с един метър.
Така че сме изминали един метър в секунда
или можем да кажем, че 
средната скорост на изменение
в тази първа секунда от t(0) до t(1)
е един метър в секунда.
Но нека помислим колко е,

Bulgarian: 
ако преминаваме от t = 2 до t = 3.
Отново можем да погледнем 
тази секуща права
и да намерим ъгловия коефициент,
който можем да използваме за средната скорост на промяна
от t = 2 до t = 3.
Както вече споменах,
скоростта на промяна изглежда 
постоянно се променя,
но можем да помислим 
за средната скорост на промяна
и това ще е промяната в разстоянието
върху промяната във времето,
което ще е равно на – когато t = 2, 
разстоянието ни е равно на 5,
1, 2, 3, 4, 5, това тук е 5.
И когато t = 3, разстоянието ни 
е равно на 10,
6, 7, 8, 9, 10, това тук е 10.
Промяната във времето – това е доста лесно,
преминали сме напред с една секунда,
така че това е една секунда,
а промяната в разстоянието – преминали сме
 от 5 до 10 метра – то е 5 метра,

Korean: 
생각해 봅시다
다시 한번, 할선을 이용하여
기울기를 구해봅시다
여기 이 기울기는
t=2 에서 t=3 까지의
평균변화율이죠
앞서 언급했듯이
변화율은 계속 변화합니다
여기서 평균변화율은
즉, Δd/Δt는
즉, Δd/Δt는
t=2 에서
d=5 입니다
1, 2, 3, 4, 5
5가 되고
t=3 일 때
d=10 입니다
6, 7, 8, 9, 10
Δt는 아주 간단하죠
1초가 됩니다
Δd는
5m입니다

English: 
to t equals three.
Well, once again, we can
look at this secant line
and we can figure out its slope,
so the slope here,
which you could also use
the average rate of change
from t equals two to t equals three,
as I already mentioned,
the rate of change seems
to be constantly changing,
but we can think about
the average rate of change
and so that's going to
be our change in distance
over our change in time,
which is going to be equal
to when t is equal to two,
our distance is equal to five,
so one, two, three, four, five,
so that's five right over there
and when t is equal to three,
our distance is equal to 10,
six, seven, eight, nine, 10,
so that is 10 right over there,
so our change in time, that's
pretty straightforward,
we've just gone forward one
second, so that's one second
and then our change in
distance right over here,
we go from five meters to
10 meters is five meters,

German: 
Schauen wir uns an, welche Rate wir
haben, wenn wir von t=2 zu t=3 gehen.
Wir können uns wieder die Sekante anschauen,
und ihre Steigung herausfinden.
Du könntest auch die durchschnittliche
Änderungsrate von t=2 zu t=3 verwenden.
Wie ich bereits erwähnt habe,
scheint sich die Änderungsrate ständig zu verändern,
aber wir können uns die durchschnittliche Änderungsrate anschauen.
Das ist also unsere Distanzveränderung
dividiert durch unsere Zeitveränderung.
Was ergibt das? Wenn t=2, ist unsere Distanz=5,
1, 2, 3, 4, 5.
Hier haben wir also 5.
Und wenn t=3 haben wir eine Distanz gleich 10.
Also 10 hier drüben.
Unsere Zeitveränderung ist offensichtlich,
wir sind 1 Sekunde weiter gegangen, also 1 Sekunde,
und unsere Distanzveränderung hier drüben,
steigt von 5 auf 10 Meter, also ein Anstieg von 5 Metern.

Bulgarian: 
така че това е равно на 5 метра в секунда
и това пояснява,
че средната скорост на промяна 
се е променила от t = 0 до t = 1 и от t = 2 до t = 3,
средната скорост на промяна е 
по-висока в този втори интервал,
отколкото в първия интервал,
и както можеш да си представиш,
много е интересно да помислим
какво ще стане, ако разгледаме 
ъгловите коефициенти
на секущи прави на все по-близки 
и близки точки?
Тогава ще се приближиш 
все повече и повече
до приблизителното изчисление на 
ъгловия коефициент на допирателната права
и точно това ще правим, когато 
стигнем до математическия анализ.

German: 
Das ergibt also 5 Meter pro Sekunde.
Dadurch zeigt sich deutlich,
dass sich unsere durchschnittliche Änderungsrate
sich zwischen t=0 zu t=1 und t=2 zu t=3 verändert hat.
Unsere durchschnittliche Änderungsrate ist
im zweiten Intervall höher als im ersten.
Es ist sehr interessant, darüber
nachzudenken, was passieren würde,
wenn du die Steigung der Sekante an immer enger zusammenliegenden Punkten untersuchen würdest.
Dann würdest du der Steigung der
Tangente immer näher kommen,
und das ist etwas, was wir in Analysis machen werden.

English: 
so this is equal to five meters per second
and so this makes it very clear,
that our average rate
of change has changed
from t equals zero, t equals one
to t equals two to t equals three,
our average rate of change is higher
on this second interval,
than on this first one
and as you can imagine,
something very interesting to think about
is what if you were to take the slope
of the secant line of
closer and closer points?
Well, then you would get closer and closer
to approximating that
slope of the tangent line
and that's actually what we
will do when we get to calculus.

Korean: 
따라서 5m/s가 되겠죠
평균변화율을 보면
t=0에서 t=1까지보다
그리고 t=2에서 t=3까지가
더 크다고 볼 수 있습니다
예측할 수 있듯이
흥미로운 점은
기울기를 구할 때
가까운 점끼리 구하면 어떨까요?
점들이 가까워져서
접선의 기울기에 가까워지면
그것이 바로
미적분학에서 공부할 내용입니다
