
English: 
[ Bells Ringing ]
[ Applause ]
Hi. I can see the audience tonight, so I can see also from the size
of it (which last time was a black splot in front of my eyes), that there must be many
of you here who are not thoroughly familiar with physics,
and also a number that are not too versed in mathematics-and I don't doubt
that there are some who know neither physics nor mathematics very well.
That puts a considerable challenge on a speaker who is going to speak on the relation of physics

Portuguese: 
[Sinos tocando]
[Aplausos]
Oi. Eu posso ver o público esta noite, então também posso ver pelo tamanho
dele (que da última vez foi uma mancha preta na frente dos meus olhos), que deve haver muitos
de vocês aqui que não estão totalmente familiarizados com a física,
e também um número que não é muito versado em matemática - e não tenho dúvidas
que há alguns que não sabem nem física nem matemática muito bem.
Isso representa um desafio considerável para um palestrante que vai falar sobre a relação da física

English: 
and mathematics-a challenge which I, however, will not accept: I published the title
of the talk in clear and precise language, and didn't make it sound
like it was something it wasn't-it's the relation of physics and mathematics-and
if you find that in some spots it assumes some minor knowledge of physics
or mathematics, I cannot help it.
It was named.
In thinking of the applications of mathematics to physics, it's perfectly natural
that mathematics will be useful when large numbers are involved in complex situations.
Although, for example, if we took biology, the action of a virus on a bacterium is,
if you watch it under the microscope, unmathematical: a jiggling virus finds some spot
on this odd-shape bacterium-they're all different shapes-and finds some spot;

Portuguese: 
e matemática - um desafio que eu, no entanto, não aceitarei: publiquei o título
da conversa em linguagem clara e precisa, e não soou
como se fosse algo que não era - é a relação da física e da matemática - e
se você descobrir que em alguns pontos, pressupõe algum conhecimento menor de física
ou matemática, não posso evitar.
Foi nomeado.
Ao pensar nas aplicações da matemática à física, é perfeitamente natural
que a matemática será útil quando um grande número estiver envolvido em situações complexas.
Embora, por exemplo, se pegássemos a biologia, a ação de um vírus sobre uma bactéria é,
se você observar no microscópio, não é matemático: um vírus jiggling encontra algum ponto
nesta bactéria de forma estranha - todas elas têm formas diferentes - e encontra algum ponto;

Portuguese: 
talvez empurre seu DNA para dentro, talvez não, e assim por diante.
E ainda, se fizermos o experimento com milhões e bilhões de bactérias e vírus,
então podemos aprender muito sobre o vírus - é como tirar médias e trabalhar
com números grandes: podemos usar a matemática envolvida na média;
podemos ver se os vírus desenvolvem na bactéria algumas novas cepas e qual a porcentagem,
para que possamos estudar a genética, a mutação e assim por diante.
Para pegar outro exemplo mais trivial,
imagine um enorme tabuleiro - um tabuleiro de damas - para jogar damas (ou damas):
se a placa for muito grande, a operação real
de qualquer etapa não é matemático - ou muito simples, se for matemático:
ou vai para um lado ou para o outro na diagonal, ou atinge [o fim]
e se torna um rei, e pode retroceder quando chegar ao fim.
Em outras palavras, o enunciado das regras é muito simples,
e não envolvem realmente nenhuma matemática.

English: 
maybe it pushes its DNA in, and maybe it doesn't, and so forth.
And yet, if we do the experiment with millions and billions of bacteria and viruses,
then we can learn a great deal about the virus-it's like taking averages and working
with large numbers: we can use the mathematics involved in the averaging;
we can see whether the viruses develop in the bacteria some new strains, and what percentage,
so we can study the genetics, the mutation, and so forth.
To take another-more trivial-example,
imagine an enormous board-a checkerboard-to play checkers (or draughts):
if the board is very large, the actual operation
of any one step is not mathematical-or very simple, if it is mathematical:
it either goes one side or the other on the diagonal, or it reaches [the end]
and becomes a king, and can go backwards when it reaches the end.
In other words, the statement of the rules are very simple,
and do not really involve any mathematics.

English: 
But you could imagine that on an enormous board with lots and lots of pieces,
some analysis of the best move-or good moves or bad moves-might be made by a deep kind
of reasoning, which would involve somebody having gone off first and thought about it
in great depth-and that becomes mathematics, this abstract reasoning.
Another example is switching, in computers.
If you have one switch, it's either on or off, and there's nothing very mathematical
about that (although mathematicians like to start there with their mathematics).
But with all the interconnections and wires to figure
out what a very large system will do, one requires a mathematics.
I would like immediately to say
that a mathematics has its primary application-it has a tremendous application-in
physics in the discussion of the detailed phenomena in complicated situations,
granting the fundamental rules of the game.
And that is something which, if I were talking only about the relation of mathematics
and physics, I would spend most of my time discussing.

Portuguese: 
Mas você pode imaginar que em um enorme tabuleiro com muitas e muitas peças,
alguma análise do melhor movimento - ou movimentos bons ou ruins - pode ser feita por um tipo profundo
de raciocínio, o que envolveria alguém ter ido primeiro e pensado sobre isso
em grande profundidade - e isso se torna matemática, esse raciocínio abstrato.
Outro exemplo é a troca, em computadores.
Se você tiver um botão, ele está ligado ou desligado e não há nada muito matemático
sobre isso (embora os matemáticos gostem de começar por aí com sua matemática).
Mas com todas as interconexões e fios para descobrir
para saber o que um sistema muito grande fará, é necessária uma matemática.
Eu gostaria de dizer imediatamente
que uma matemática tem sua aplicação primária - ela tem uma aplicação tremenda - em
física na discussão dos fenômenos detalhados em situações complicadas,
garantindo as regras fundamentais do jogo.
E isso é algo que, se eu estivesse falando apenas sobre a relação da matemática
e física, eu passaria a maior parte do tempo discutindo.

Portuguese: 
Mas, uma vez que isso é parte de uma série de palestras sobre o caráter da lei física,
Não tenho tempo para discutir as aplicações da matemática e da física
para calcular o que acontece em situações complicadas.
Mas iremos imediatamente para outra questão, que é o caráter da lei fundamental.
Se voltarmos ao nosso jogo de damas,
as leis fundamentais são as regras pelas quais as peças se movem.
A matemática pode ser aplicada em uma situação complexa - para descobrir o que acontece
na próxima jogada, o que é uma boa jogada a fazer
em uma situação complicada, mas muito pouca matemática é necessária no fundamental,
caráter simples das leis básicas.
Agora, o estranho sobre a física é,
que para as leis fundamentais, ainda precisamos da matemática.
Por exemplo, bem, dou dois exemplos: um em que realmente não fazemos e outro em que fazemos.
Existe uma lei da física chamada Lei de Faraday, que diz que na eletrólise a quantidade
do material que é depositado é proporcional à corrente,

English: 
But since this is part of a series of lectures on the character of physical law,
I do not have the time to discuss the applications of mathematics and physics
to calculating what happens in complicated situations.
But we'll go immediately to another question, which is the character of the fundamental law.
If we go back to our checker game,
the fundamental laws are the rules by which the checkers move.
The mathematics may be applied in a complex situation-to figure out what happens
in the next move, what's a good move to make
in a complicated situation-but very little mathematics is needed in the fundamental,
simple character of the basic laws.
Now, the strange thing about physics is,
that for the fundamental laws, we still need mathematics.
For example-well, I give two examples: one in which we really do not, and one in which we do.
There's a law in physics called Faraday's Law, which says that in electrolysis the amount
of material which is deposited is proportional to the current,

Portuguese: 
e ao tempo que a corrente está agindo - e isso significa que a quantidade
de material é proporcional à carga que passa pelo sistema.
Bem, parece muito matemático.
Mas o que realmente está acontecendo é que cada um dos elétrons que passam pelo fio carrega uma carga.
Para dar um exemplo, um exemplo particular,
pode ser que para depositar um átomo seja necessário que um elétron venha, e assim o número de átomos
que são depositados são necessariamente proporcionais ao número de elétrons que fluem,
e, portanto, para a carga que passa pelo fio.
Portanto, a lei que aparece matematicamente não tem como base nada muito profundo,
não requerendo nenhum conhecimento real de matemática, que um elétron é necessário para cada átomo
para que se possa depositar.
Isso não é profundo - isso é matemática, se eu tivesse que dizer, número um, mas não é o tipo
da matemática que estou falando esta noite.
Agora, se tomarmos, por outro lado, a lei da gravitação de Newton (que tem esses aspectos
que escrevi da última vez apenas para impressionar você com a velocidade
em que os símbolos matemáticos podem transmitir-podem transportar-informações),

English: 
and to the time that the current is acting-and that means that the amount
of material is proportional to the charge which goes through the system.
Well, it sounds very mathematical.
But what's actually happening is that electrons going through the wire each carry one charge.
To take an example, a particular example,
it may be that to deposit one atom requires one electron to come, and so the number of atoms
that are deposited are necessarily proportional to the number of electrons that flow,
and thus to the charge that goes through the wire.
So the mathematically-appearing law has as its basis nothing very deep,
requiring no real knowledge of mathematics, that one electron is needed for each atom
in order for it to deposit itself.
That's not a deep-that's mathematics, if I had to say, number one, but it's not the kind
of mathematics I'm talking about tonight.
Now, if we take, on the other hand, Newton's law for gravitation (which has these aspects
which I wrote down last time just to impress you with the speed
at which mathematical symbols can convey-can carry-information),

English: 
we said that the force was proportional to the product of the masses of two objects,
and inversely as the square of the distance between them, and that bodies react to forces
by changing their speeds-or changing their motions-in a direction of the force
by amounts proportional to the force, and inversely proportional to their masses.
Now that's words all right, and I didn't have to write the equation, but nevertheless it's kind
of mathematical, and we would wonder: how can this be a fundamental law?
How can this planet out there look-what does it do?
It looks at the sun, and it sees how far away it is, and it decides to calculate
on its internal adding machine the inverse of the square
of the distance-and that tells it how much to move?
This is certainly no explanation of the machinery of gravitation!
So you might want to look further, and various people have tried to look further:
Newton was originally asked, "It doesn't mean anything; it doesn't tell us anything!"
He says, "It tells you how it moves.

Portuguese: 
dissemos que a força era proporcional ao produto das massas de dois objetos,
e inversamente como o quadrado da distância entre eles, e que os corpos reagem às forças
mudando suas velocidades - ou mudando seus movimentos - na direção da força
por quantidades proporcionais à força e inversamente proporcionais às suas massas.
Agora, essas são palavras certas, e eu não tive que escrever a equação, mas mesmo assim é gentil
da matemática, e nos perguntaríamos: como pode esta ser uma lei fundamental?
Como pode este planeta lá fora parecer - o que ele faz?
Ele olha para o sol e vê a que distância ele está e decide calcular
em sua máquina de somar interna o inverso do quadrado
da distância - e isso diz quanto mover?
Certamente, isso não explica o mecanismo da gravitação!
Então, você pode querer olhar mais longe, e várias pessoas tentaram olhar mais longe:
Newton foi originalmente questionado: "Isso não significa nada; não nos diz nada!"
Ele diz: "Diz a você como se move.

Portuguese: 
Deve ser o suficiente, eu disse a você como se move, não por quê. "
Mas as pessoas muitas vezes ficam insatisfeitas sem um mecanismo,
e eu gostaria de descrever uma teoria que foi inventada (entre outras) do tipo
que você pode querer, que isso é o resultado de grandes números - e é por isso que é matemático.
E eu dou esta teoria - talvez você tenha pensado nisso;
de vez em quando algum aluno entra correndo; ele de repente explica a gravitação.
Suponha que no mundo, em todos os lugares, existam,
voando através de nós em alta velocidade, muitas partículas.
Eles vêm igualmente em todas as direções; eles estão apenas atirando, atirando,
atirando - e de vez em quando nos atingia em um bombardeio.
Nós e o sol somos praticamente transparentes para eles, quase, mas alguns atingem,
e por isso não é totalmente transparente.
E veja o que aconteceria: se o sol estivesse aqui e a terra aqui,
então, se o sol não estivesse aqui, haveria partículas bombardeando de todos os lados,
dando pequenos impulsos pelo chocalho desses-bang, bang,
os poucos que atingiram - o que não abalaria a terra em nenhuma direção particular,

English: 
It should be enough-I told you how it moves, not why."
But people are often unsatisfied without a mechanism,
and I would like to describe one theory which has been invented (among others) of the type
that you might want, that this is a result of large numbers-and that's why it's mathematical.
And I give this theory-perhaps you've thought of it yourself;
every once in a while some student comes running in; he suddenly explains gravitation.
Suppose that in the world, everywhere, there are,
flying through us at very high speed, a lot of particles.
They come equally in all directions; they're just shooting by, shooting by,
shooting by-and once in a while hit us in a bombardment.
We and the sun are practically transparent for them-nearly-but some hit,
and so it's not completely transparent.
And look what would happen: if the sun is here and the earth is here,
then if the sun weren't here, there would be particles bombarding from all sides,
giving little impulses by the rattle of these-bang, bang,
the few that hit- which would not shake the earth in any particular direction,

Portuguese: 
porque tem tantos vindo de um lado quanto do outro, de cima, de baixo.
No entanto, quando o sol está aqui, as partículas que estão vindo
nesta direção são parcialmente absorvidos pelo sol,
porque alguns deles atingem o sol e não passam.
Portanto, o número que está vindo desta direção em direção à terra é menor
do que o número que vem do outro lado,
porque aqui eles não têm oposição do sol ali.
E é fácil ver (depois de algum esforço mental) que quanto mais longe o sol está,
quanto menos (na proporção de todas as partículas) estão sendo tiradas das direções possíveis
em que as partículas podem vir, quero dizer,
o tamanho solar parece menor - na verdade, inversamente ao quadrado da distância.
Portanto, haverá um impulso em direção ao sol na terra que é inversamente
como o quadrado da distância, e é o resultado de um grande número de operações muito simples;
basta bater um após o outro em todas as direções.
E, portanto, a estranheza
da relação matemática seria muito reduzido,

English: 
because there's as many coming from one side as the other, from top, from bottom.
However, when the sun is here, the particles which are coming
in this direction are partly absorbed by the sun,
because some of them hit the sun and don't go through.
Therefore, the number that are coming from this direction toward the earth is less
than the number that are coming from the other side,
because here they have no opposition from the sun there.
And it's easy to see (after some mental effort) that the further the sun is away,
the less (in proportion of all of the particles) are being taken out of the possible directions
in which particles can come-I mean,
the solar size appears smaller-in fact inversely as the square of the distance.
So there will, therefore, be an impulse toward the sun on the earth that's inversely
as the square of the distance, and is a result of large numbers of very simple operations;
just hit one after the other from all directions.
And, therefore, the strangeness
of the mathematical relation would be very much reduced,

Portuguese: 
porque a operação fundamental é muito mais simples do que calcular o inverso
do quadrado da distância: essa "máquina" faz os cálculos - essas partículas saltam.
O único problema é que não funciona, por outros motivos:
cada teoria que você inventa deve ser analisada em relação a todas as consequências possíveis,
para ver se prediz algo mais - e isso prediz algo mais.
Se a Terra estiver se movendo dessa maneira, mais partículas a atingiriam pela frente do que por trás.
Se você está correndo na chuva, mais chuva atinge você na frente do rosto do que nas costas
da cabeça, porque você está correndo para a chuva.
E assim, conforme a Terra está se movendo nesta direção, ela está entrando nas partículas,
em vez disso, e fugindo daqueles que o estão perseguindo por trás,
de modo que mais partículas o atingem pela frente do que por trás.
E haveria uma força também lateralmente sempre que houvesse algum movimento [dessa forma].
Esta força lateral diminuiria a velocidade da Terra na órbita
e certamente não teria durado três ou quatro bilhões de anos
que tem girado em torno do sol.

English: 
because the fundamental operation is much simpler than calculating the inverse
of the square of the distance: this "machine" does the calculating-these particles bouncing.
The only trouble with it is that it doesn't work-for other reasons:
every theory that you make up has to be analyzed against all the possible consequences,
to see if it predicts anything else-and this predicts something else.
If the earth is moving this way, more particles would hit it from the front than from the back.
If you're running in the rain, more rain hits you in the front of the face than in the back
of the head, because you're running into the rain.
And so, as the earth is moving in this direction, it's running into the particles,
rather, and running away from the ones that are chasing it from behind,
so that more particles hit it from the front than from the back.
And there would be a force also sideways whenever there was any motion [that way].
This sideways force would slow the earth up in the orbit
and certainly would not have lasted the three or four billion years
that it has been going around the sun.

Portuguese: 
Então esse é o fim dessa teoria.
Bem, você diz, essa foi uma boa, porém: livrou-se da matemática
por um tempo; talvez eu possa inventar um melhor.
E talvez você possa, porque ninguém sabe o que há de melhor.
Mas até hoje, desde o tempo de Newton, ninguém inventou outra descrição teórica
da máquina matemática por trás desta lei que faz qualquer outra coisa, mas diz a mesma coisa
de novo, ou tornar a matemática mais difícil,
e ao mesmo tempo não produz algum fenômeno errado - quero dizer
como este modelo faz - mas produz algo que não é verdade.
Portanto, não há nenhum modelo da teoria
da gravitação hoje, diferente da forma matemática.
Se essa fosse a única lei desse caráter, seria interessante e um tanto chato.
Mas o que acaba sendo verdade é que quanto mais investigamos, e quanto mais leis encontramos,
e quanto mais profundamente penetramos na natureza, esta doença - que cada um
de nossas leis é uma declaração puramente matemática em algo bastante complexo

English: 
So that's the end of that theory.
Well, you say, that was a good one, though: it got rid of the mathematics
for a while; maybe I can invent a better one.
And maybe you can, because nobody knows the ultimate.
But up to today, from the time of Newton, no one has invented another theoretical description
of the mathematical machinery behind this law which does anything else but say the same thing
over again, or make the mathematics harder,
and at the same time doesn't produce some wrong phenomenon-I mean
like this model does it-but it produces something which isn't true.
So there is no model of the theory
of gravitation today other than the mathematical form.
If this were the only law of this character, it would be interesting and rather annoying.
But what turns out to be true is that the more we investigate, and the more laws we find,
and the deeper we penetrate nature, this disease-that every one
of our laws is a purely mathematical statement in rather complex

Portuguese: 
e matemática abstrusa (esta é matemática relativamente simples) - torna-se cada vez mais complicada,
e cada vez mais difícil, como matemática.
Por quê? Não tenho a menor ideia do porquê.
É apenas meu propósito nesta palestra falar sobre este fato.
Em outras palavras, é meu objetivo nesta palestra explicar, realmente, por que não posso satisfazê-lo,
se você não entende matemática muito bem, tentando explicar a natureza de qualquer outra maneira.
É o peso desta palestra, na verdade, apenas dizer a vocês o fato de que é impossível
para responder - de verdade, honestamente - o desafio de explicar, de uma forma que uma pessoa possa sentir,
as belezas das leis da natureza sem que eles tenham algum conhecimento profundo da matemática.
Sinto muito, mas parece ser o caso.
Você pode dizer: "Tudo bem, então, não há explicação para a lei;
pelo menos me diga o que é a lei - por que não me diz em palavras em vez de nos símbolos?
Matemática é apenas uma linguagem e eu quero ser capaz de traduzir a linguagem. "
E, de fato, posso - e com paciência, acho que em parte consegui.

English: 
and abstruse mathematics (this is relatively simple mathematics)-gets more and more abstruse,
and more and more difficult, as mathematics.
Why? I haven't the slightest idea why.
It is only my purpose in this lecture to tell you about this fact.
In other words, it's my purpose in this lecture to explain, really, why I cannot satisfy you,
if you do not understand mathematics too well, in trying to explain nature in any other way.
It is the burden of this lecture, in fact, to just tell you the fact that it is impossible
to answer-really, honestly-the challenge of explaining, in a way that a person can feel,
the beauties of the laws of nature without their having some deep understanding of mathematics.
I'm sorry, but it seems to be the case.
You might say, "All right, then, there's no explanation of the law;
at least tell me what the law is-why not tell me in words instead of in the symbols?
Mathematics is just a language, and I want to be able to translate the language."
And, in fact, I can-and with patience, I think I partly did.

English: 
I could go a little further and explain more detail-that this means if it's twice
as far away the force is one-fourth as much, and so on-and can convert all these into words.
I would be, in other words, kind to the layman, as they all sit,
hopeful that you will explain something.
Various different people get different reputations for their skill at explaining
to the layman in layman's language these difficult and abstruse subjects.
The layman then searches for book after book with the hope that he will avoid the complexity
which ultimately sets in, even by the best expositor of this type.
He reads the things, hoping-he finds, as he reads, a generally increased confusion,
one complicated statement after the other, one difficult-to-understand thing after the other,
all apparently disconnected from one another-and it becomes a little obscure,
and he hopes that maybe in some other book there's some explanation which avoids-I mean,

Portuguese: 
Eu poderia ir um pouco mais além e explicar mais detalhes - isso significa que se for duas vezes
quanto longe a força é um quarto da mesma, e assim por diante - e pode converter tudo isso em palavras.
Eu seria, em outras palavras, gentil com o leigo, pois todos eles se sentam,
esperançoso de que você vai explicar algo.
Várias pessoas diferentes obtêm reputações diferentes por sua habilidade em explicar
para o leigo, na linguagem do leigo, esses assuntos difíceis e obscuros.
O leigo então procura livro após livro com a esperança de evitar a complexidade
que finalmente se estabelece, mesmo pelo melhor expositor deste tipo.
Ele lê as coisas, esperando encontrar, conforme lê, uma confusão geralmente maior,
uma declaração complicada após a outra, uma coisa difícil de entender após a outra,
todos aparentemente desconectados uns dos outros - e fica um pouco obscuro,
e ele espera que talvez em algum outro livro haja alguma explicação que evite - quero dizer,

English: 
the man almost made it, you see-maybe another fellow makes it right.
I don't think it's possible, because there's another feature:
mathematics is not just a language; mathematics is a language plus reasoning;
it's like a language plus logic.
Mathematics is a tool for reasoning.
It's in fact a big collection of the results of some person's careful thought and reasoning.
By mathematics it is possible to connect one statement to another.
For instance, I can say that the force is directed toward the sun.
I can also tell you, as I did before, that the planet moves-so if I draw a line from the sun
to the planet, and draw another one at some definite period like three weeks later,
the area that is swung out by the planet is exactly the same
as it will be the next three weeks, and the next three weeks,
and so on, as it goes around the sun.
Now, I could explain both of those statements to you carefully,

Portuguese: 
o homem quase acertou, veja você - talvez outro sujeito acerte.
Não acho que seja possível, porque há outro recurso:
matemática não é apenas uma linguagem; matemática é uma linguagem mais raciocínio;
é como uma linguagem mais lógica.
A matemática é uma ferramenta de raciocínio.
Na verdade, é uma grande coleção dos resultados do pensamento cuidadoso e do raciocínio de alguma pessoa.
Pela matemática, é possível conectar uma afirmação a outra.
Por exemplo, posso dizer que a força é direcionada para o sol.
Também posso dizer, como já disse, que o planeta se move, então, se eu desenhar uma linha a partir do sol
para o planeta, e desenhe outro em algum período definido como três semanas depois,
a área que é movida pelo planeta é exatamente a mesma
como será nas próximas três semanas, e nas próximas três semanas,
e assim por diante, conforme gira em torno do sol.
Agora, eu poderia explicar essas duas declarações para você cuidadosamente,

English: 
but I cannot explain why they're both the same-so
that if you don't appreciate the mathematics, you cannot see that the great variety of facts,
the enormous apparent complexity of nature-with all its funny laws and rules,
each of which have been carefully explained to you-are really very closely interwoven,
that logic permits you to go from one to the other.
It may be unbelievable that I can demonstrate that equal times will be swept
out if the forces are directed toward the sun.
If I may try, I will show you one demonstration,
to show you that those two things really are equivalent, so that you can appreciate
that there's more to merely the statement of the two laws; that the two laws are connected
such that reasoning alone will bring you from one to the other;
that mathematics is this organized reasoning, and that it's good to know how
to do that-so you will appreciate the beauty of the relationship of the statement.
So I'm going to prove, if I may,

Portuguese: 
mas não posso explicar por que são ambos iguais, então
que se você não aprecia a matemática, você não pode ver que a grande variedade de fatos,
a enorme complexidade aparente da natureza - com todas as suas leis e regras engraçadas,
cada um dos quais foi cuidadosamente explicado para você - estão realmente muito intimamente ligados,
essa lógica permite que você vá de um para o outro.
Pode ser inacreditável que eu possa demonstrar que tempos iguais serão varridos
se as forças são direcionadas para o sol.
Se eu puder tentar, vou mostrar uma demonstração,
para mostrar que essas duas coisas são realmente equivalentes, para que você possa apreciar
que há mais para meramente a declaração das duas leis; que as duas leis estão conectadas
de forma que só o raciocínio o levará de um para o outro;
que a matemática é esse raciocínio organizado, e que é bom saber como
para fazer isso, então você apreciará a beleza da relação da declaração.
Vou provar, se puder,

Portuguese: 
a relação que se as forças são direcionadas para o sol,
que as áreas iguais são varridas em tempo igual.
Então, vamos começar.
Aqui está o sol, e imaginamos em um determinado momento, digamos que o planeta está aqui,
e está se movendo de tal forma que digamos um segundo depois - ou uma hora, escolha a qualquer hora,
digamos um segundo depois - ele se moveu de tal maneira que atingiu a posição 2.
Agora, se o sol não exerceu nenhuma força sobre ele, então pelo princípio de Galileu,
continuaria indo em linha reta.
Então, no mesmo intervalo de tempo - mais tarde, no próximo segundo - ele se moverá exatamente na mesma distância
na mesma linha reta até a posição 3, não havia força.
Tudo certo.
Agora, primeiro vamos mostrar que, se não houver força, áreas iguais serão varridas em tempo igual.
Lembro a você que a área de um triângulo é a metade da base vezes a altitude,
e que a altitude é a distância vertical até a base.

English: 
the relationship that if the forces are directed toward the sun,
that the equal areas are swept out in equal time.
So, we start.
Here's the sun, and we imagine at a certain time, let's say the planet is here,
and is moving in such a way that let's say one second later-or one hour, pick any time,
say one second later-it's moved in such a manner that it has gotten to the position 2.
Now, if the sun did not exert any force on it, then by Galileo's principle,
it would keep right on going in a straight line.
So in the same interval of time- later, the next second-it'll move exactly the same distance
in the same straight line to the position 3, were there no force.
All right.
Now first we're going to show that if there's no force, equal areas are swept out in equal time.
I remind you that the area of a triangle is half the base times the altitude,
and that the altitude is the vertical distance to the base.

Portuguese: 
E que se o triângulo for meio torto (há um nome para ele que esqueci - obtuso!
obtuso!), então a altitude é esta altura vertical aqui.
(Eu sei sobre os triângulos; só não sei seus nomes.)
Agora, vamos traçar as linhas desses dois pontos no caso de não haver movimento algum.
A questão é: não desenha muito bem; Eu não sou preciso,
mas essas duas distâncias são iguais, lembre-se.
A questão é: essas duas áreas são iguais?
Bem, considere o triângulo feito do sol e os dois pontos 1 e 2; é este aqui.
Qual é a sua área?
É esta base multiplicada por esta altura.
E o outro triângulo, que é o triângulo em movimento de 2 para 3?
É esta base vezes a mesma altitude: os dois triângulos têm a mesma altitude,
e como indiquei, a mesma base e tem a mesma área.
Então, até agora tudo bem.

English: 
And that if the triangle is sort of cockeyed (there's a name for it which I forget-obtuse!
obtuse!), then the altitude is this vertical height here.
(I know about the triangles; I just don't know their names.)
Now, let us draw the lines to these two points in the case that there was no motion whatsoever.
The question is-it doesn't draw very well; I'm not accurate,
but these two distances are equal, remember.
The question is: are these two areas equal?
Well, consider the triangle made from the sun and the two points 1 and 2; it's this one.
What's its area?
It's this base multiplied by this height.
And what about the other triangle, which is the triangle in motion from 2 to 3?
It's this base times the same altitude: the two triangles have the same altitude,
and as I indicated, the same base and have the same area.
So, so far so good.

Portuguese: 
Se não houvesse força do sol, áreas iguais seriam varridas em tempos iguais;
os dois triângulos têm áreas iguais.
Mas existe uma força do sol, e durante este intervalo de 1 a 2
para 3 o sol está puxando e mudando o movimento
em várias direções - desta forma, desta forma, daquela forma.
Para obter uma boa aproximação disso, vamos tomar a posição central, ou posição média, aqui,
e dizer que todo o efeito durante este intervalo foi mudar o movimento em alguma quantidade
nesta direção, em direção ao sol.
Isso significa que embora as partículas estivessem se movendo dessa maneira, e teriam se movido dessa maneira
no próximo segundo; por causa da influência do sol, o movimento é alterado
por uma quantidade que está apontando nessa direção, que é paralela a isso,
exatamente paralelas - essas linhas são paralelas.
É a direção em que este novo movimento - há um novo movimento,
uma combinação do que eu queria fazer e da mudança que foi induzida pela ação do sol.

English: 
If there were no force from the sun, equal areas would be swept out in equal times;
the two triangles have equal areas.
But there is a force from the sun, and during this interval from 1 to 2
to 3 the sun is pulling and changing the motion
in various directions-this way, this way, that way.
To get a good approximation to that, we'll take the central position, or average position, here,
and say that the whole effect during this interval was to change the motion by some amount
in this direction, toward the sun.
That means that although the particles were moving this way, and would have moved this way
in the next second; because of the influence of the sun the motion is altered
by an amount that's poking in this direction, that's parallel to this,
exactly parallel-these lines are parallel.
It's the direction in which this new motion-there's a new motion,
a compound of what I wanted to do and the change that's been induced by the action of the sun.

English: 
So it doesn't really end up at position 3, but rather at position 4.
So now we would like to compare (it's getting complicated in the diagram) the triangle 2-4-S
and 2-3-S-I show you that those are equal.
Because they have the same base [2-S] those two triangles-this one here,
and the one that happened when we had no force; the one with force,
and with no force have the same base.
And do they have the same altitude?
Sure-because they're included between parallel lines [2-S and 3-4],
and so they have the same altitude.
And thus the area of the last triangle I drew [S-2-4] is the same
as the second one I drew, this [S]-2-3.
And that, I had proved earlier, was the same as the first one [S-1-2].
So in the actual orbital motion of the planet, the areas-you have the first
in the first second, and in the second second-are equal.
So by reasoning we can see a connection between the the fact
that that the force is toward the sun, and that the areas are equal.
Ingenious, no?
I borrowed this from Newton: it comes right out of the Principia, diagram and all.

Portuguese: 
Portanto, não termina realmente na posição 3, mas sim na posição 4.
Agora gostaríamos de comparar (está ficando complicado no diagrama) o triângulo 2-4-S
e 2-3-SI mostram que eles são iguais.
Porque eles têm a mesma base [2-S] aqueles dois triângulos - este aqui,
e o que aconteceu quando não tínhamos força; aquele com força,
e sem força tem a mesma base.
E eles têm a mesma altitude?
Claro, porque eles estão incluídos entre as linhas paralelas [2-S e 3-4],
e então eles têm a mesma altitude.
E, portanto, a área do último triângulo que desenhei [S-2-4] é a mesma
como o segundo que desenhei, este [S] -2-3.
E isso, eu tinha provado antes, era o mesmo que o primeiro [S-1-2].
Então, no movimento orbital real do planeta, as áreas - você tem o primeiro
no primeiro segundo e no segundo - são iguais.
Então, pelo raciocínio, podemos ver uma conexão entre o fato
que a força é voltada para o sol e que as áreas são iguais.
Engenhoso, não?
Peguei emprestado de Newton: vem direto dos Principia, com diagrama e tudo.

English: 
The letters are different, that's all-because he wrote in Latin.
(These are Arabic numerals.)
Incidentally, Newton made his proof geometrical like this, and made all his proofs
in his book geometrical, of this type.
Today, we don't use that kind of reasoning; we use a kind of analytic reasoning with symbols.
This [geometrical] kind of reasoning requires an ingenuity-to draw the right triangles (the
correct triangles, I mean) to notice about the areas-and to figure
out how to do it, you have to be clever.
But there have been improvements in the methods of analysis,
so that one can be quite more stupid-and I write much faster, and much more efficient, then.
I want only to show what it looks like in the notation of the more modern mathematics,
where you don't do anything but write a lot of symbols to figure it out.
First, we would like to talk about how fast the area changes,
and we represent that by "area dot".

Portuguese: 
As letras são diferentes, só isso - porque ele escreveu em latim.
(Estes são algarismos arábicos.)
A propósito, Newton fez sua prova geométrica assim, e fez todas as suas provas
em seu livro geométrico, deste tipo.
Hoje, não usamos esse tipo de raciocínio; usamos uma espécie de raciocínio analítico com símbolos.
Este tipo [geométrico] de raciocínio requer uma engenhosidade para desenhar os triângulos retângulos (o
triângulos corretos, quero dizer) para notar sobre as áreas e para descobrir
como fazer, você tem que ser inteligente.
Mas houve melhorias nos métodos de análise,
para que se possa ser bem mais estúpido - e escrevo muito mais rápido e muito mais eficiente.
Eu quero apenas mostrar o que parece na notação da matemática mais moderna,
onde você não faz nada além de escrever muitos símbolos para descobrir.
Primeiro, gostaríamos de falar sobre a rapidez com que a área muda,
e nós representamos isso por "ponto de área".

Portuguese: 
E a área muda, porque quando o raio está oscilando, é o componente da velocidade
em ângulos retos com o raio, vezes o raio, que indica a rapidez com que a área muda.
Portanto, este é o componente da distância radial, multiplicado pela velocidade,
ou taxa de variação da distância.
Agora, a questão é se a taxa de variação da própria área muda.
O princípio é que não deve mudar; a taxa de mudança
da área não deve mudar.
Então, nós diferenciamos (assim chamados) isso novamente; significa algum pequeno truque
sobre colocar os pontos no lugar certo.
E isso é tudo; você tem que aprender os truques - é apenas uma série de regras
que as pessoas descobriram que são muito poderosos para tal.
E isso diz, o componente da velocidade perpendicular à velocidade:
não é nenhum - não há nenhum; a velocidade está na mesma direção que ela.
E a aceleração, que é essa coisa, a segunda derivada,
ou a derivada da velocidade, é a força dividida pela massa.

English: 
And the area changes, because when the radius is swinging, it's the component of velocity
at right angles to the radius, times the radius, that tells how fast the area changes.
So this is the component of the radial distance, multiplied by the velocity,
or rate of change of the distance.
Now, the question is, whether the rate of change of area itself changes.
The principle, is it's not supposed to change; the rate of change
of area is not supposed to change.
So we differentiate (so called) this again; it means some little trick
about putting dots in the right place.
And that's all; you have to learn the tricks-it's just a series of rules
that people have found out that are very powerful for such a thing.
And this says, the component of the velocity at right angles to the velocity:
it is none-there is none; the velocity is in the same direction as itself.
And the acceleration, which is this thing, the second derivative,
or the derivative of velocity, is the force divided by the mass.

Portuguese: 
Então, isso diz que a taxa de variação da taxa de variação da área é o componente
de força perpendicularmente ao raio.
Mas se a força está na direção do raio, como disse Newton, então não há força
em ângulos retos com o raio e isso significa que a taxa de variação da área não muda.
Eu só queria ilustrar os diferentes tipos de notação.
Agora, Newton sabia como fazer isso, mais ou menos, com uma notação ligeiramente diferente,
mas ele escreveu tudo assim porque tentou
para possibilitar que as pessoas leiam seus jornais.
Ele inventou o cálculo, que é esse tipo de matemática, e é uma boa ilustração
da relação da matemática com a física.
Quando os problemas de física ficam difíceis, muitas vezes podemos olhar para os matemáticos
que já estudaram tal coisa, e raciocinaram sobre tal item antes,
e preparamos uma linha de raciocínio para seguirmos.
Por outro lado, eles podem não ter, caso em que temos que inventar nossa própria linha
de raciocínio, que então passará de volta para os matemáticos,
porque todo mundo que raciocina cuidadosamente sobre qualquer coisa está fazendo uma contribuição
ao conhecimento do que acontece quando você pensa sobre algo.

English: 
So this says that the rate of change of the rate of change of the area is the component
of force at right angles to the radius.
But if the force is in a direction of the radius, as Newton said, then there's no force
at right angles to the radius and that means that the rate of change of area doesn't change.
I just wanted to illustrate the different kinds of notation.
Now, Newton knew how to do this, more or less, with slightly different notation,
but he wrote everything this way because he tried
to make it possible for people to read his papers.
He invented the calculus, which is this kind of mathematics, and is a good illustration
of the relation of mathematics to physics.
When the problems in physics get difficult, we may often look to the mathematicians
who have already studied such a thing, and have reasoned about such an item before,
and have prepared a line of reasoning for us to follow.
On the other hand, they may not have-in which case we have to invent our own line
of reasoning, which will then pass back to the mathematicians,
because everybody who reasons carefully about anything is making a contribution
to the knowledge of what happens when you think about something.

Portuguese: 
E se você abstrair e enviar para o departamento de matemática,
eles o colocaram nos livros como um ramo da matemática.
A matemática, então, é uma maneira de passar de um conjunto de afirmações para outro.
É evidentemente útil na física, porque temos todas essas maneiras diferentes
que poderíamos falar de coisas, e isso nos permite desenvolver consequências e analisar situações,
e mudar as leis de maneiras diferentes, e conectar todas as várias declarações.
De modo que, na verdade, a quantidade total que um físico conhece é muito pequena:
ele só precisa se lembrar das regras para ir de um lugar
para outro, e ele é capaz de fazer isso então.
Em outras palavras, todas as várias declarações - sobre tempos iguais,
as forças em uma direção do raio, e assim por diante - estão todas interconectadas pelo raciocínio.
Agora, surge uma questão interessante: existe algum padrão para isso?
Existe um lugar para começar - princípios fundamentais - e deduzir todas as obras?
Ou existe algum padrão particular, ou ordem na natureza, em que podemos entender

English: 
And if you abstract it away, and send it to the department of mathematics,
they put it in the books as a branch of mathematics.
Mathematics, then, is a way of going from one set of statements to another.
It's evidently useful in physics, because we have all these different ways
that we could speak of things, and it permits us to develop consequences, and analyze situations,
and change the laws in different ways, and to connect all the various statements.
So that, as a matter of fact, the total amount that a physicist knows is very little:
he has only to remember the rules for getting from one place
to another, and he's able to do it then.
In other words, all of the various statements-about equal times,
the forces in a direction of the radius, and so on-are all interconnected by reasoning.
Now, an interesting question comes up: is there some pattern to it?
Is there a place to begin-fundamental principles-and deduce the whole works?
Or, is there some particular pattern, or order in nature, in which we can understand

English: 
that these are more fundamental statements, and these are more consequential statements?
There are two kinds of ways of looking at mathematics, which for the purpose
of this lecture I will call the Babylonian tradition, and the Greek tradition.
In Babylonian schools in mathematics, the student would learn something
by doing a large number of examples, until he caught onto the general rule.
Also, a large amount of geometry was known-a lot of properties of circles, Theorem of Pythagoras,
formulas for the areas of cubes and triangles and everything else-and some degree
of argument was available to go from one thing to another.
Tables of numerical quantities were available so that you could solve elaborate equations
and so on-everything was prepared for calculating things out.
But Euclid discovered that there was a way in which all of the theorems
of geometry could be ordered from a set of axioms

Portuguese: 
que essas são declarações mais fundamentais, e essas são declarações mais consequentes?
Existem dois tipos de maneiras de olhar para a matemática, que para o efeito
desta palestra chamarei de tradição babilônica e tradição grega.
Nas escolas babilônicas de matemática, o aluno aprenderia algo
fazendo um grande número de exemplos, até que ele pegou a regra geral.
Além disso, uma grande quantidade de geometria era conhecida - muitas propriedades dos círculos, Teorema de Pitágoras,
fórmulas para as áreas de cubos e triângulos e tudo mais - e algum grau
de argumento estava disponível para ir de uma coisa a outra.
Tabelas de quantidades numéricas estavam disponíveis para que você pudesse resolver equações elaboradas
e assim por diante - tudo estava preparado para calcular as coisas.
Mas Euclides descobriu que havia uma maneira pela qual todos os teoremas
da geometria pode ser ordenado a partir de um conjunto de axiomas

English: 
that were particularly simple-and you're all familiar with that much geometry, I'm sure.
But the Babylonian attitude was-if I make my way of talking what I call Babylonian mathematics-is
that you know all these various theorems and many of the connections in between,
but you've never really realized that it could all come up from a bunch of axioms.
Modern mathematics, the most modern mathematics, concentrates on axioms and demonstrations
within a very definite framework of conventions
of what's acceptable and not acceptable as axioms.
For example, in geometry, it takes something like Euclid's axioms (modified
to be made more perfect), and then to show the deduction of the system.
For instance, it would not be expected that a theorem like Pythagoras'-that the sum
of the squares (of the areas of squares) put on the sides of the triangle will equal the area
of a square on a hypotenuse-should be an axiom.
On the other hand, from another point of view of geometry-that
of Descartes-the Pythagorean Theorem is an axiom.

Portuguese: 
que eram particularmente simples - e todos vocês estão familiarizados com muita geometria, tenho certeza.
Mas a atitude babilônica era - se eu usar o que chamo de matemática babilônica - é
que você conhece todos esses vários teoremas e muitas das conexões entre eles,
mas você nunca percebeu que tudo poderia surgir de um monte de axiomas.
A matemática moderna, a matemática mais moderna, concentra-se em axiomas e demonstrações
dentro de uma estrutura muito definida de convenções
do que é aceitável e não aceitável como axiomas.
Por exemplo, na geometria, leva algo como os axiomas de Euclides (modificados
para ser feito mais perfeito), e então mostrar a dedução do sistema.
Por exemplo, não seria de esperar que um teorema como o de Pitágoras - que a soma
dos quadrados (das áreas dos quadrados) colocados nas laterais do triângulo serão iguais à área
de um quadrado em uma hipotenusa - deveria ser um axioma.
Por outro lado, de outro ponto de vista da geometria, que
do Teorema de Descartes-o Pitagórico é um axioma.

Portuguese: 
Portanto, a primeira coisa com que devemos nos preocupar é que, mesmo em matemática,
você pode começar em lugares diferentes.
Como todos esses vários teoremas estão interligados pelo raciocínio,
não há nenhuma maneira real de dizer: "Bem, estes no fundo, aqui, estão no fundo,
e estes são conectados através da lógica. "
Porque se lhe dissessem este, ou este,
você também pode executar a lógica de outra maneira,
se você não disse isso, e resolva isso.
É como uma ponte com muitos membros e está superconectada: se pedaços caíram,
você pode reconectá-lo de outra maneira.
A tradição matemática de hoje é começar com alguns outros particulares,
que são escolhidos por algum tipo de convenção para serem axiomas,
e então construir a estrutura a partir daí.
A coisa "babilônica" de que estou falando (que eu sei que realmente não é babilônica) é
dizer: "Bem, por acaso eu sei disso e por acaso sei disso, e talvez eu saiba disso,
e eu resolvo tudo a partir daí.
E então amanhã eu esqueci que isso era verdade, mas lembrei que isso era verdade,
e então eu o reconstruo, e assim por diante - nunca tenho certeza de onde devo começar,

English: 
So the first thing we have to worry about is that, even in mathematics,
you can start in different places.
Because all these various theorems are interconnected by reasoning,
there isn't any real way to say, "Well, these on the bottom, here, are the bottom,
and these are connected through logic."
Because if you were told this one instead, or this one,
you could also run the logic the other way,
if you weren't told that one, and work out that one.
It's like a bridge with lots of members, and it's overconnected: if pieces have dropped out,
you can reconnect it another way.
The mathematical tradition of today is to start with some particular ones,
which are chosen by some kind of convention to be axioms,
and then to build up the structure from there.
The "Babylonian" thing that I'm talking about (which I know is really not Babylonian) is
to say, "Well, I happen to know this, and I happen to know that, and maybe I know that,
and I work everything out from there.
And then tomorrow I forgot that this was true, but I remembered that this was true,
and then I reconstruct it again, and so on-I'm never quite sure of where I'm supposed to begin,

English: 
and where I'm supposed to end; I just remember enough all the time so that as the memory fades,
and the pieces fall out, I put this thing back together again every day.
The method of starting from the axioms is not efficient in obtaining the theorems;
in working something out in geometry, you're not very efficient
if each time you have to start back at the axioms.
But if you have to remember a few things in the geometry, you can always get somewhere else;
it's much more efficient to do it the other way: what the best axioms are,
are not exactly the same-in fact, are not ever the same-as the most efficient way
of getting around in the territory.
In physics, we need the Babylonian method, and not the Euclidean
or Greek method, and I would like to say why.
The problem in the Euclidean method is to make something
about the axioms a little bit more interesting or important.
But the question that we have is, in the case of gravitation,

Portuguese: 
e onde devo terminar; Só me lembro o suficiente para que, à medida que a memória se desvanece,
e os pedaços caem, eu recomponho essa coisa todos os dias.
O método de partir dos axiomas não é eficiente na obtenção dos teoremas;
em trabalhar algo em geometria, você não é muito eficiente
se a cada vez você tiver que recomeçar nos axiomas.
Mas se você precisa se lembrar de algumas coisas na geometria, você sempre pode chegar a outro lugar;
é muito mais eficiente fazer de outra maneira: quais são os melhores axiomas,
não são exatamente os mesmos - na verdade, nem sempre são os mesmos - como a maneira mais eficiente
de se locomover no território.
Na física, precisamos do método babilônico, e não do euclidiano
ou método grego, e eu gostaria de dizer por quê.
O problema do método euclidiano é fazer algo
sobre os axiomas um pouco mais interessantes ou importantes.
Mas a questão que temos é, no caso da gravitação,

English: 
is it more important-is it more basic, is it more fundamental, is it a better axiom-to say
that the force is directed toward the sun, or to say that equal areas are swept in equal time?
Well, from one point of view, the force is better,
because once I state what the forces are, I can deal with a system with many particles,
in which the orbits are no longer ellipses-because of the pull of one
on the other-and the theorem about equal areas fails.
Therefore, I think that the force law ought to be an axiom, instead of the other.
On the other hand, the principle that equal times is swept
out in equal-equal areas are swept out in equal times-can be generalized, when there's a system
of a large number of particles, to another theorem (which I had prepared to explain,
but I see I'm running out of time): there's another statement,
which is a little more general than equal areas in equal time.
Well, I have to state what it is.
It's rather complicated to say, and it's not quite as pretty as this one,
but it's obviously the son of this one-I mean it's the offspring.

Portuguese: 
é mais importante - é mais básico, é mais fundamental, é um axioma melhor - dizer
que a força é direcionada para o sol, ou dizer que áreas iguais são varridas em tempo igual?
Bem, de um ponto de vista, a força é melhor,
porque uma vez que declaro quais são as forças, posso lidar com um sistema com muitas partículas,
em que as órbitas não são mais elipses - por causa da atração de um
por outro - e o teorema sobre áreas iguais falha.
Portanto, eu acho que a lei da força deveria ser um axioma, ao invés do outro.
Por outro lado, o princípio de que tempos iguais são varridos
em áreas iguais - áreas iguais são varridas em tempos iguais - pode ser generalizado, quando há um sistema
de um grande número de partículas, para outro teorema (que eu havia preparado para explicar,
mas vejo que estou ficando sem tempo): há outra declaração,
que é um pouco mais geral do que áreas iguais em tempo igual.
Bem, eu tenho que dizer o que é.
É bastante complicado de dizer, e não é tão bonito quanto este,
mas é obviamente o filho deste - quero dizer, é a prole.

Portuguese: 
Se você olhar para todas essas partículas - Júpiter, Saturno, o sol,
e todas essas coisas acontecendo; muitas estrelas, ou o que quer que sejam,
todos interagindo uns com os outros - e olham para eles de longe, e os projetam em um plano
como esta foto, então tudo está se movendo - desta forma,
e aquele movimento dessa forma, e assim por diante.
Em seguida, pegue qualquer ponto - digamos este ponto - e calcule o quanto cada um está mudando
área - quanta área está sendo varrida pelo raio
a cada partícula e adicione-as todas juntas.
Mas espere: aquelas massas que são mais pesadas - isto é duas vezes mais pesado que este;
então, essa área conta o dobro.
Então você conta cada uma das áreas que estão sendo varridas em proporção
para a massa que está fazendo a varredura, e o total de tudo isso não está mudando
no tempo - isso é uma generalização, obviamente, do outro.
Aliás, o total disso é chamado de momento angular, e isso é chamado de lei
de conservação do momento angular.

English: 
If you look at all these particles-Jupiter, Saturn, the sun,
and all these things going around; lots of stars, or whatever they are,
all interacting with each other-and look at it from far away, and project it on a plane
like this picture, then everything is moving-this moving this way,
and that moving that way, and so on.
Then take any point at all-say this point-and then calculate how much each one is changing its
area-how much area is being swept out by the radius
to every particle, and add them all together.
But wait: those masses which are heavier-this is twice as heavy as this one;
then this area counts twice as much.
So you count each of the areas that are being swept out in proportion
to the mass that's doing the sweeping, and the total of all of that is not changing
in time-that's a generalization, obviously, of the other one.
Incidentally, the total of that is called the angular momentum, and this is called the law
of conservation of angular momentum.

Portuguese: 
("Conservação" significa apenas que não muda.)
Agora, uma das consequências disso é, apenas para mostrar para o que é bom, imagine muito
de estrelas caindo juntas para formar uma nebulosa ou uma galáxia.
À medida que se aproximavam, se estivessem muito longe, e se movendo lentamente, havia um pouco
da área sendo gerada, mas em braços muito longos (distâncias do centro),
então se a coisa cair, as distâncias
ao centro são mais curtos agora (se todas as estrelas estão próximas), então esses raios são menores.
E para varrer a mesma área, eles têm que ir muito mais rápido.
Assim, conforme as coisas entram, elas balançam, giram em volta e, assim, podemos entender aproximadamente o
forma qualitativa das nebulosas espirais.
Você também pode entender, da mesma maneira - exatamente da mesma maneira - a maneira como um patinador gira:
quando você começa com uma perna para fora, movendo-se lentamente, e conforme você puxa a perna para dentro,
ele gira mais rápido (porque quando a perna está para fora, está contribuindo, quando está se movendo lentamente,

English: 
("Conservation" just means that it doesn't change.)
Now, one of the consequences of this is-just to show what it's good for-imagine a lot
of stars falling together to form a nebula or a galaxy.
As they come closer in- if they were very far out, and moving slowly so there was a little bit
of area being generated but on very long arms (distances from the center),
then if the thing falls in, the distances
to the center are shorter now (if all the stars are now close in), then these radii are smaller.
And in order to sweep out the same area, they have to go a lot faster.
So as the things come in, they swing-swirl around-and thus we can roughly understand the
qualitative shape of the spiral nebulae.
You can also understand, in the same way-exactly the same way-the way a skater spins:
when you start with a leg out, moving slowly, and as you pull the leg in,
it spins faster (because when the leg is out, it's contributing, when it's moving slowly,

English: 
a certain amount of area per second), and then, when it comes in,
to get the same area you have to go around faster.
But I didn't prove it for the skater: the skater uses muscle force;
gravity is a different force-yet it's proof for the skater.
Now we have a problem: we can deduce often from one part of physics,
like the law of gravitation, a principle which turns
out to be much more valid than the derivation!
This doesn't happen in mathematics-that theorems come out in places
where they're not supposed to be.
In other words, if we were to say that the postulates of physics were this law
of gravitation, we could deduce the conservation of angular momentum, but only for gravitation.
But we discover experimentally that the conservation
of angular momentum is a much wider thing.
Now, Newton had other postulates by which he could get the more general conservation law
of angular momentum, but Newtonian laws were wrong: there's no forces;

Portuguese: 
uma certa área por segundo), e então, quando chega,
para obter a mesma área, você tem que circular mais rápido.
Mas não provei para o patinador: o patinador usa a força muscular;
a gravidade é uma força diferente - mas é uma prova para o patinador.
Agora temos um problema: podemos deduzir muitas vezes de uma parte da física,
como a lei da gravitação, um princípio que gira
parece ser muito mais válido do que a derivação!
Isso não acontece na matemática - que teoremas aparecem em alguns lugares
onde eles não deveriam estar.
Em outras palavras, se disséssemos que os postulados da física fossem esta lei
da gravitação, podemos deduzir a conservação do momento angular, mas apenas para a gravitação.
Mas descobrimos experimentalmente que a conservação
de momento angular é uma coisa muito mais ampla.
Agora, Newton tinha outros postulados pelos quais ele poderia obter a lei de conservação mais geral
de momento angular, mas as leis newtonianas estavam erradas: não há forças;

Portuguese: 
é tudo bobagem; as partículas não têm órbitas e assim por diante.
Ainda assim, o análogo - a transformação exata deste princípio sobre a área como a conservação
de momento angular - é verdade para os movimentos atômicos na mecânica quântica - e ainda é,
tanto quanto podemos dizer hoje, exato.
Portanto, temos esses princípios amplos que abrangem todas as diferentes leis,
e se alguém leva muito a sério suas derivações, e sente que isso só é válido
porque isso é válido, você não pode entender as interconexões
dos diferentes ramos da física.
Algum dia, quando a física estiver completa, então talvez com este tipo de argumento conheçamos todas as leis,
então poderíamos começar com alguns axiomas - e sem dúvida alguém descobrirá de uma maneira particular
de fazer isso, e então todas as deduções serão feitas.
Mas embora não conheçamos todas as leis, podemos usar algumas para fazer suposições
em teoremas, que vão além da prova.
Portanto, para compreender a física, deve-se sempre ter um equilíbrio perfeito e conter

English: 
it's all a lot of baloney; the particles don't have orbits, and so on.
Yet, the analog-the exact transformation of this principle about the area as the conservation
of angular momentum-is true for the atomic motions in quantum mechanics-and is still,
as far as we can tell today, exact.
So we have these wide principles which sweep across all the different laws,
and if one takes too seriously his derivations, and feels that this is only valid
because this is valid, you cannot understand the interconnections
of the different branches of physics.
Someday, when physics is complete, then maybe with this kind of argument we know all the laws,
then we could start with some axioms-and no doubt somebody will figure out a particular way
of doing it, and then all of the deductions will be made.
But while we don't know all the laws, we can use some to make guesses
at theorems, which extend beyond the proof.
So in order to understand the physics, one must always have a neat balance and contain

English: 
in his head all of the various propositions and their interrelationships,
because the laws often extend beyond the range of their deductions.
This will only have no importance when all the laws are known.
Another thing that's interesting in the relation of mathematics
to physics is this-a very strange thing: that by mathematical arguments you can show
that you can start from very many different apparent starting points,
and come to the same thing.
That's pretty clear, if you have axioms; you can use some of the theorems.
But actually, the physical laws are so delicately constructed that the statements
of them have such qualitatively different characters, that it's very interesting.
So, if you'll permit me, I'm going to state the law of gravitation in three different ways-all
of which are exactly equivalent, it turns out-but they sound completely different.
One: there's the forces between the objects as described before, and each object,

Portuguese: 
em sua cabeça todas as várias proposições e suas inter-relações,
porque as leis muitas vezes se estendem além do alcance de suas deduções.
Isso só não terá importância quando todas as leis forem conhecidas.
Outra coisa que é interessante na relação da matemática
para a física é isso - uma coisa muito estranha: que por argumentos matemáticos você pode mostrar
que você pode começar de muitos pontos de partida aparentes,
e chegar à mesma coisa.
Isso é muito claro, se você tiver axiomas; você pode usar alguns dos teoremas.
Mas, na verdade, as leis físicas são construídas tão delicadamente que as declarações
deles têm personagens qualitativamente diferentes, que é muito interessante.
Então, se você me permitir, vou declarar a lei da gravitação de três maneiras diferentes - todas
dos quais são exatamente equivalentes, ao que parece - mas eles soam completamente diferentes.
Um: há as forças entre os objetos, conforme descrito antes, e cada objeto,

English: 
when it sees the force on it, accelerates-or changes its motion,
rather-at a certain amount per second,
as I've described before-the regular way; I call it Newton's Law.
Now, there's a completely different way: that law says that the force depends
on something at a finite distance away.
See, it has what we call an "unlocal" quality:
the force on this depends on where that one is over there.
Now, you may not like the idea of action at a distance-that it can "know" what's going
on over there-so then there's another way of stating the laws, which are very strange,
and it's called the field way of representing the laws-and it's so very hard to explain,
but I just want to give you some rough idea of what it's like.
And it says a different thing, a completely different thing: that there's a number
at every point in space-I know it's a number; it's not a mechanism;
it's the trouble with this whole physics, that it must be mathematical.
There's a number at every point in space- here's a number, here's a number, and so on.
And the number is changing-it changes, rather-when you go from place to place.

Portuguese: 
quando vê a força sobre ele, acelera ou muda seu movimento,
em vez de uma certa quantidade por segundo,
como descrevi antes - a maneira normal; Eu chamo isso de Lei de Newton.
Agora, há uma maneira completamente diferente: aquela lei diz que a força depende
em algo a uma distância finita.
Veja, tem o que chamamos de qualidade "não local":
a força disso depende de onde ele está ali.
Agora, você pode não gostar da ideia de ação à distância, que pode "saber" o que está acontecendo
lá, então há outra maneira de declarar as leis, que são muito estranhas,
e é chamado de forma de campo de representar as leis - e é muito difícil de explicar,
mas só quero dar uma ideia geral de como é.
E diz uma coisa diferente, uma coisa completamente diferente: que há um número
em cada ponto do espaço - eu sei que é um número; não é um mecanismo;
é o problema com toda essa física, que deve ser matemático.
Há um número em cada ponto do espaço - aqui está um número, aqui está um número e assim por diante.
E o número está mudando - muda, na verdade - quando você vai de um lugar para outro.

Portuguese: 
Se um objeto é colocado em um desses pontos em algum lugar do espaço, a força sobre ele é
em uma direção em que esse número - vou chamá-lo do nome que é dado, chamado de potencial - é
na direção em que esse potencial muda o mais rápido possível.
E a força é proporcional a quão rápido ela muda conforme você se move.
Essa é uma afirmação; isso não é suficiente, ainda, porque eu tenho que te dizer, agora,
como determinar como o potencial varia.
Eu poderia dizer que o potencial varia como 1 ao longo da distância de cada objeto,
mas isso está de volta à ideia de ação à distância.
No entanto, a força está à distância, mas você pode estabelecer a lei de outra maneira,
e diz o seguinte: você não precisa saber o que está acontecendo fora
de uma pequena bola; se você quiser saber qual é o potencial aqui, diga-me qual é
na superfície de qualquer bola, não importa quão pequena - você não precisa olhar para fora,
você acabou de me dizer o que é
na vizinhança - e quanta massa há na bola.

English: 
If an object is placed at one of these points somewhere in space, the force on it is
in a direction in which that number-I'll call it the name it's given, called a potential-is
in the direction in which that potential changes as quick as it can.
And the force is proportional to how fast it changes as you move.
That's one statement; that's not enough, yet, because I have to tell you, now,
how to determine how the potential varies.
I could say the potential varies as 1 over the distance from each object,
but that's back to the action-at-a-distance idea.
However-the force is at a distance, but- you can state the law in another way,
and it says the following: you don't have to know what's going on anywhere outside
of a little ball; if you want to know what the potential is here, you tell me what it is
on the surface of any ball, no matter how small-you don't have to look outside,
you just tell me what it is
in the neighborhood-and how much mass there is in the ball.

English: 
The rule is this: that the potential at the center is equal to the average of the potential
on the little ball surface, minus this constant (that's over there on the other equation),
divided by twice the radius of the ball (let's suppose the radius of the ball is called a),
and then multiplied by the mass that's inside the ball-if the ball is small enough.
Now you see that this law is different than the other one, because it only tells what happens
at one point in terms of what happens very close by.
Newton's laws tell what happen at one time in terms of what happens
at another instant-it skips from instant to instant, how to work it out-but
in space it leaps from place to place.
But this thing is both local in time, and also local in space,
because it depends only on what's in the neighborhood.
And [so] there's another way
of representing-that's another way-a completely different way.
See, there's a difference in the philosophy, in the qualitative ideas involved.
You don't like action at a distance?

Portuguese: 
A regra é esta: que o potencial no centro é igual à média do potencial
na superfície da bolinha, menos esta constante (que está ali na outra equação),
dividido pelo dobro do raio da bola (suponhamos que o raio da bola seja chamado de a),
e então multiplicado pela massa que está dentro da bola - se a bola for pequena o suficiente.
Agora você vê que esta lei é diferente da outra, porque ela apenas diz o que acontece
em um ponto em termos do que acontece muito perto.
As leis de Newton dizem o que acontece ao mesmo tempo em termos do que acontece
em outro instante, ele salta de um instante para outro, como resolver isso, mas
no espaço, ele salta de um lugar para outro.
Mas essa coisa é local no tempo e também local no espaço,
porque depende apenas do que está na vizinhança.
E [então] há outra maneira
de representar - essa é outra maneira - uma maneira completamente diferente.
Veja, há uma diferença na filosofia, nas ideias qualitativas envolvidas.
Você não gosta de ação à distância?

Portuguese: 
Você pode escapar sem ele.
Agora vou mostrar um que filosoficamente é exatamente o oposto,
em que não há nenhuma discussão sobre como a coisa funciona de um lugar para outro,
em que a coisa toda é uma declaração geral, e funciona da seguinte forma:
quando você tem outras partículas por perto e quer saber como esta se move de um lugar
para outro, você faz da seguinte maneira.
Você calcula uma certa quantidade para - você inventa um possível movimento que vem de um determinado lugar
para algum outro lugar de seu interesse, em um determinado período de tempo.
Digamos que ele queira ir daqui para aqui em uma hora e você queira saber por qual caminho ele pode pegar
de lá para lá em uma hora - por qual curva.
Então o que você faz é calcular uma quantidade, adivinhando a curva; se você tentar esta curva,
você calcula um certo número para esta quantidade.
(Não quero apenas dizer qual é a quantidade, mas para aqueles que já ouviram falar desses termos,
esta quantidade nesta rota é a média da diferença
entre a energia cinética e potencial.)

English: 
You can get away without it.
Now I'll show you one which is philosophically the exact opposite,
in which there's no discussion at all about how the thing works its way from place to place,
in which the whole thing is an overall statement, and goes as follows:
when you have other particles around, and you want to know how this one moves from one place
to another, you do it as follows.
You calculate a certain quantity for-you invent a possible motion that gets from one given place
to some other place that you're interested in, in a given amount of time.
Say it wants to go from here to here in an hour, and you want to know by what route it can get
from there to there in an hour-by what curve.
So what you do is, you calculate a quantity, guessing the curve; if you try this curve,
you calculate a certain number for this quantity.
(I don't want to just tell you what the quantity is, but for those who have heard of these terms,
this quantity on this route is the average of the difference
between the kinetic and potential energy.)

Portuguese: 
Agora, se você calcular esta quantidade para esta rota, então para outra rota, você obterá,
claro, números diferentes para a resposta.
Mas há uma rota que oferece o menor número possível para isso,
e esse é o caminho que a partícula segue.
Agora estamos descrevendo o movimento real - a elipse - dizendo algo
sobre toda a curva.
Perdemos a ideia de causalidade - que a partícula está aqui,
ele vê a atração, ele se move para aqui.
Em vez disso, de uma forma grandiosa, "cheira" todas as curvas
por aqui - todas as possibilidades - e "decide" qual escolher.
Este é um exemplo da ampla gama de belas maneiras de descrever a natureza.
E que quando as pessoas falam que a natureza deve ter causalidade, bem,
você poderia falar sobre isso desta forma; a natureza deve ser declarada em termos de um princípio mínimo - bem,
você pode falar sobre isso desta forma; a natureza deve ter um campo local - para que possa fazer isso, e assim por diante.

English: 
Now, if you calculate this quantity for this route, then for another route, you'll get,
of course, different numbers for the answer.
But there's one route which gives the least possible number for that,
and that's the route that the particle takes.
Now we're describing the actual motion-the ellipse-by saying something
about the whole curve.
We have lost the idea of causality-that the particle is here,
it sees the pull, it moves to here.
Instead of that, in some grand fashion, it "smells" all the curves
around here-all the possibilities-and "decides" which one to take.
This is an example of the wide range of beautiful ways of describing nature.
And that when people talk that nature must have causality-well,
you could talk about it this way; nature must be stated in terms of a minimum principle-well,
you can talk about it this way; nature must have a local field-so it can do that, and so on.

Portuguese: 
E a questão é: qual está certo?
Agora, se essas várias alternativas são matematicamente não exatamente equivalentes,
e se para alguns haverá consequências diferentes do que para outros,
então está tudo bem, porque temos apenas que fazer os experimentos para encontrar
de que maneira a natureza realmente escolhe fazer isso.
Principalmente, as pessoas vêm e argumentam filosoficamente que gostam mais deste
do que aquele, mas aprendemos com muita experiência que todas as intuições
sobre o que a natureza vai fazer filosoficamente falhar - nunca funciona.
Basta calcular todas as possibilidades e tentar todas as alternativas.
Agora, neste caso particular de que estou falando aqui,
essas teorias são exatamente equivalentes.
As consequências matemáticas em cada uma das diferentes formulações
das três formulações - as leis de Newton, o método de campo local,
e este princípio mínimo - dá exatamente as mesmas consequências.

English: 
And the question is, which one is right?
Now, if these various alternatives are mathematically not exactly equivalent,
and if for certain ones there will be different consequences than for others,
then that's perfectly all right, because we have only to do the experiments to find
out which way nature actually chooses to do it.
Mostly, people come along and they argue philosophically they like this one better
than that one, but we have learned from much experience that all intuitions
about what nature's going to do philosophically fail-it never works.
One just has to work out all the possibilities, and just try all the alternatives.
Now, in this particular case that I'm talking about here,
these theories are exactly equivalent.
The mathematical consequences in every one of the different formulations
of the three formulations-Newton's laws, the local field method,
and this minimum principle-give exactly the same consequences.

English: 
What do we do then?
You will read in all the books that we therefore cannot decide scientifically
on one or the other.
That's true.
They're not equivalent-they are equivalent, scientifically;
it is impossible to make a decision, because there's no experimental way to distinguish
if all the consequences are the same.
Psychologically they're very different in two ways.
First, philosophically, you like them or don't
like them-training is the only thing you can do to beat that disease.
Second, psychologically they're different because they're completely unequivalent
when you go to guess at a new law.
As long as physics is incomplete, and we're trying to find out the other laws,
and to understand the other laws, then the different possible formulations give clues
as to what might happen in another circumstance.
And they become not equivalent in psychologically suggesting to us to guess
as to what the laws might look like in a wider situation.

Portuguese: 
O que fazemos então?
Você vai ler em todos os livros que, portanto, não podemos decidir cientificamente
em um ou outro.
Isso é verdade.
Eles não são equivalentes - eles são equivalentes, cientificamente;
é impossível tomar uma decisão, porque não há uma forma experimental de distinguir
se todas as consequências forem as mesmas.
Psicologicamente, eles são muito diferentes de duas maneiras.
Primeiro, filosoficamente, você gosta deles ou não
como eles - treinar é a única coisa que você pode fazer para vencer essa doença.
Em segundo lugar, psicologicamente eles são diferentes porque são completamente inigualáveis
quando você vai adivinhar uma nova lei.
Enquanto a física estiver incompleta e estivermos tentando descobrir as outras leis,
e para entender as outras leis, então as diferentes formulações possíveis fornecem pistas
quanto ao que pode acontecer em outra circunstância.
E eles não se tornam equivalentes em sugerir psicologicamente para adivinharmos
sobre como as leis podem parecer em uma situação mais ampla.

Portuguese: 
Por exemplo, Einstein percebeu que a lei da gravidade, ele disse que percebeu
que os sinais não podiam se propagar mais rápido do que a velocidade da luz para luz, [ou] para eletricidade.
Ele adivinhou que era um princípio geral - o mesmo jogo de adivinhação
como tomando este momento angular, e estendendo-o de um caso
onde você provou isso, para o resto do universo.
Ele adivinhou que isso era verdade para tudo e que seria verdade para a gravitação.
Se os sinais não podem ir mais rápido do que a velocidade da luz, verifica-se que o método
de descrever as forças instantaneamente é muito pobre.
E na generalização da gravitação de Einstein,
este método de descrever a física é irremediavelmente inadequado e enormemente complicado, enquanto,
este é limpo e simples - e este também - então não decidimos entre os dois ainda.
Na verdade, acontece que a mecânica quântica diz que, exatamente como eu disse,
nenhum dos dois está certo, mas o fato de que existe um princípio mínimo acaba sendo uma consequência

English: 
For instance, Einstein noticed that the law of gravi-he said that he realized
that signals couldn't propagate faster than the speed of light for light, [or] for electricity.
He guessed that it was a general principle-the same guessing game
as taking this angular momentum, and extending it from one case
where you proved it, to the rest of the universe.
He guessed that it was true of everything, and he guessed that it would be true of gravitation.
If the signals can't go any faster than the speed of light, it turns out that the method
of describing the forces instantaneously is very poor.
And in the Einstein generalization of gravitation,
this method of describing physics is hopelessly inadequate and enormously complicated, whereas,
this one is neat and simple-and so is this one-so we haven't decided between those two yet.
In fact, it turns out that the quantum mechanics says that, exactly as I stated them,
neither is right-but the fact that a minimum principle exists turns out to be a consequence

English: 
of the fact that, on a small scale, particles obey quantum mechanics.
And the fact is, the best laws, as presently understood, are really a combination of the two,
in which we use minimum principles plus local force-local laws.
And present day believes that the laws of physics have to have the local character,
and also the minimum principle- but we don't really know.
So, it's this way: if you have a structure that's only partly accurate,
and something is going to fail, if you write it with just the right axioms,
maybe only one axiom fails- and the rest remain; you [only have to] change one little thing.
But if you write it with another set of axioms,
they all collapse, because they all lean on that.
But we can't tell ahead of time, without some intuition and guesswork,
as to which is the best way to write it, until we find out the new situation.

Portuguese: 
do fato de que, em pequena escala, as partículas obedecem à mecânica quântica.
E o fato é que as melhores leis, como entendidas atualmente, são realmente uma combinação das duas,
em que usamos princípios mínimos mais leis locais de força local.
E a atualidade acredita que as leis da física têm que ter o caráter local,
e também o princípio mínimo - mas não sabemos realmente.
Então, é desta forma: se você tem uma estrutura que é apenas parcialmente precisa,
e algo vai falhar, se você escrever apenas com os axiomas certos,
talvez apenas um axioma falhe - e o resto permaneça; você [só precisa] mudar uma coisinha.
Mas se você escrever com outro conjunto de axiomas,
todos eles entram em colapso, porque todos se apoiam nisso.
Mas não podemos dizer com antecedência, sem alguma intuição e suposições,
sobre qual a melhor forma de escrevê-lo, até descobrirmos a nova situação.

English: 
So we must, therefore, always keep all of the alternative ways of looking at the thing
in our heads; so the physicists do "Babylonian" mathematics, and pay little attention
to the precise reasoning from fixed axioms.
One of the amazing characteristics of nature is this variety
of interpretational schemes which is possible.
It turns out that it's only possible because the laws are just so, and special, and delicate.
For instance, that the law is the inverse square is what permits it
to become local-if it were the inverse cube, it couldn't be done this way.
That the other end of the equation-that the force is related to the rate of change
of the velocity-that permits this kind of a way of writing the laws (the minimum principle),
because if, for instance, the force were proportional to the rate of change
of position instead of velocity, you couldn't write it in that way.
If you try to modify the laws much, you find you can only write them in very much fewer ways.

Portuguese: 
Portanto, devemos, portanto, sempre manter todas as formas alternativas de olhar para a coisa
em nossas cabeças; então os físicos fazem matemática "babilônica" e prestam pouca atenção
ao raciocínio preciso a partir de axiomas fixos.
Uma das características surpreendentes da natureza é esta variedade
de esquemas interpretativos possíveis.
Acontece que isso só é possível porque as leis são tão, e especiais e delicadas.
Por exemplo, que a lei é o inverso do quadrado é o que permite
para se tornar local - se fosse o cubo inverso, não poderia ser feito dessa forma.
Que a outra ponta da equação - que a força está relacionada à taxa de mudança
da velocidade - que permite esse tipo de forma de escrever as leis (o princípio do mínimo),
porque se, por exemplo, a força fosse proporcional à taxa de mudança
de posição em vez de velocidade, você não poderia escrever dessa forma.
Se você tentar modificar muito as leis, descobrirá que só pode escrevê-las de muito menos maneiras.

English: 
I always find that mysterious-and I don't understand the reason why it is that the laws
of physics always seem to be possible to be expressed in such a tremendous variety
of ways-they seem to be able to get through several wickets at the same time.
Now, I would like to make a number of remarks on the relation of mathematics
and physics, which are a little more general.
The first is, that the mathematicians only are dealing with the structure of the reasoning,
and they do not really care about what they're talking.
They don't even need to know what they're talking about-or,
as they themselves say, whether what they say is true.
Now, I explain that.
If you state the axioms-you say: such-and-such is so, and such-and-such is so,
and such- and-such is so; what then?-then the logic can be carried

Portuguese: 
Sempre achei isso misterioso - e não entendo o motivo pelo qual as leis
da física sempre parece ser possível expressar em uma variedade tão tremenda
de maneiras, eles parecem ser capazes de passar por vários postigos ao mesmo tempo.
Agora, eu gostaria de fazer uma série de observações sobre a relação da matemática
e física, que são um pouco mais gerais.
A primeira é que os matemáticos estão lidando apenas com a estrutura do raciocínio,
e eles realmente não se importam com o que estão falando.
Eles nem precisam saber do que estão falando, ou,
como eles próprios dizem, se o que dizem é verdade.
Agora, eu explico isso.
Se você enuncia os axiomas, você diz: tal e tal é assim, e tal e tal é assim,
e tal e tal é assim; o que então? - então a lógica pode ser realizada

Portuguese: 
sem saber o que as palavras "tal e tal" significam.
Ou seja, se as afirmações sobre os axiomas forem cuidadosamente formuladas e completas o suficiente,
não é necessário para o homem que está fazendo o raciocínio
ter algum conhecimento do significado dessas palavras.
E ele poderá deduzir, na mesma linguagem, novas conclusões:
se eu usar a palavra "triângulo" em um dos axiomas, haverá alguma declaração
sobre "triângulos" na conclusão.
Ao passo que o homem que está fazendo o raciocínio pode não saber o que é o "triângulo".
Mas então posso ler o que ele disse e dizer: "Oh, um triângulo ... bem,
isso é apenas um "sei lá o quê" de três lados, então eu conheço esse novo fato.
Em outras palavras, os matemáticos preparam o raciocínio abstrato que está pronto para ser usado
se você tiver apenas um conjunto de axiomas sobre o mundo real.
Mas o físico tem significado para todas as frases.
E há uma coisa muito importante que as pessoas que - muitas pessoas que estudam física
que vêm da matemática não apreciam: que a física não é matemática,
e matemática não é física; um ajuda o outro.
[Na física] você tem que ter algum entendimento da conexão das palavras

English: 
out without knowing what the "such-and-such" words mean.
That is, if the statements about the axioms are carefully formulated, and are complete enough,
it is not necessary for the man who is doing the reasoning
to have any knowledge of the meaning of these words.
And he'll be able to deduce, in the same language, new conclusions:
if I use the word "triangle" in one of the axioms, there'd be some statement
about "triangles" in the conclusion.
Whereas, the man who's doing the reasoning might not know what the "triangle" is.
But then I can read his thing back and say, "Oh, a triangle-well,
that's just a three-sided what-have-you that's a so-and-so"-and so I know this new fact.
In other words, mathematicians prepare abstract reasoning that's ready to be used
if you will only have a set of axioms about the real world.
But the physicist has meaning to all the phrases.
And there's a very important thing that the people who-a lot of people who-study physics
that come from mathematics don't appreciate: that physics is not mathematics,
and mathematics is not physics; one helps the other.
[In physics] you have to have some understanding of the connection of the words

Portuguese: 
com o mundo real: é preciso, no final, traduzir o que você imaginou
para o inglês - para o mundo, para os blocos de cobre e vidro que você está indo
para fazer os experimentos com - para descobrir se as consequências são verdadeiras.
Este é um problema que não é, de forma alguma, um problema da matemática.
Já mencionei a única outra relação que, claro,
é óbvio como os raciocínios matemáticos que foram desenvolvidos são
de grande poder e utilidade para físicos.
Por outro lado, às vezes o raciocínio do físico é útil para os matemáticos.
Os matemáticos também gostam de tornar seu raciocínio o mais geral possível.
Se você disser que tenho um espaço tridimensional - um espaço comum,
Eu quero falar sobre o espaço comum, você sabe, você está nele, você mede distâncias
e há três números que você precisa para dizer onde algo está, você vai muito,
largura e altura, espaço tridimensional - e você começa a perguntar a ele sobre teoremas.

English: 
with the real world: it's necessary, at the end, to translate what you figured
out into English-into the world, into the blocks of copper and glass that you're going
to do the experiments with-to find out whether the consequences are true.
This is a problem which is not a problem with mathematics at all.
I've already mentioned the only other relationship that-of course,
it's obvious how the mathematical reasonings which have been developed are
of great power and use for physicists.
On the other hand, sometimes the physicist's reasoning is useful for mathematicians.
Mathematicians also like to make their reasoning as general as possible.
If you say I have a three dimensional space-an ordinary space,
I want to talk about ordinary space, you know, you're in it, you measure distances
and there are three numbers you need to tell where something is, you go breadth,
width and height, three dimensional space-and you begin to ask him about theorems.

Portuguese: 
Então eles dizem: "Agora veja, se você tinha um espaço com n dimensões, então aqui estão os teoremas."
"Bem, sim, mas eu só quero o caso 3."
"Bem, substitua n = 3" - e então acontece que muitos
dos teoremas complicados que eles têm são muito mais simples,
porque é um caso especial.
Agora, o físico está sempre interessado no caso especial;
ele nunca se interessa pelo caso geral.
Ele está falando sobre algo; ele não está falando abstratamente sobre nada;
ele sabe do que está falando: ele quer discutir a lei da gravidade;
ele não quer o caso de força arbitrária; ele quer a lei da gravidade.
E então há uma certa redução
porque os matemáticos prepararam essas coisas para uma ampla gama
de problemas, o que é muito útil.
E mais tarde, sempre acontece que o pobre físico tem que voltar e dizer: "Com licença,

English: 
Then they say, "Now look, if you had a space of n dimensions, then here are the theorems."
"Well, yeah, but I only want the case 3."
"Well, substitute n = 3"-and then it turns out that very many
of the complicated theorems they have are much simpler,
because it happens to be a special case.
Now, the physicist is always interested in the special case;
he's never interested in the general case.
He's talking about something; he's not talking abstractly about anything;
he knows what he's talking about: he wants to discuss the gravity law;
he doesn't want the arbitrary force case; he wants the gravity law.
And so there's a certain amount of reducing
because the mathematicians have prepared these things for a wide range
of problems, which is very useful.
And later on, it always turns out that the poor physicist has to come back and say, "Excuse me,

Portuguese: 
quando você quis me falar sobre as quatro dimensões ... "
Agora, outro item que é interessante
nessa relação está a questão de como fazer uma nova física.
É importante ter um sentimento, uma espécie de intuição - ah, devo mencionar outro item:
quando você sabe do que está falando - que essas coisas são forças,
e essas são massas, e isso é inércia, e isso é demais - então você pode usar uma quantidade enorme
da sensação de senso comum sobre o mundo: você viu várias coisas;
você sabe mais ou menos como o fenômeno vai se comportar.
Bem, o pobre matemático, ele traduz em equações,
e os símbolos não significam nada para ele, e ele não tem guia
mas rigor matemático preciso e cuidado no argumento.
Já o físico, que sabe mais ou menos como a resposta vai sair,
pode meio que adivinhar no meio do caminho e seguir em frente rapidamente - o rigor matemático

English: 
when you wanted to tell me about the four dimensions..."
Now, another item that's interesting
in this relationship is the question of how to do new physics.
Is it important to have a feeling, a kind of intuition-oh, I must mention one other item:
when you know what it is you're talking about-that these things are forces,
and these are masses, and this is inertia, and this is so on-then you can use an awful lot
of commonsense seat-of-the-pants feeling about the world: you've seen various things;
you know more or less how the phenomenon is going to behave.
Well, the poor mathematician, he translates it into equations,
and the symbols don't mean anything to him, and he has no guide
but precise mathematical rigor and care in the argument.
Whereas the physicist, who knows more or less how the answer is going to come out,
can sort of guess part way and go right along rather rapidly-the mathematical rigor

Portuguese: 
de grande precisão não é muito útil na física, nem é a atitude moderna
em matemática para olhar para os axiomas.
Agora, os matemáticos podem fazer o que quiserem.
Não se deve criticá-los, porque não são escravos da física.
Não é necessário que, só porque isso seria útil para você, eles tenham que fazer
dessa maneira; eles podem fazer o que quiserem - é o seu próprio trabalho - e
se você quiser outra coisa, resolva você mesmo.
O próximo ponto é a questão de saber se devemos adivinhar, quando tentamos obter uma nova lei,
se devemos usar um sentimento de confiança e um princípio filosófico - eu não
gosto de um princípio mínimo, ou gosto de um princípio mínimo; ou não gosto de ação à distância,
ou gosto de ação - a questão é: até que ponto os modelos ajudam.
É uma coisa muito interessante: muitas vezes, os modelos ajudam - e a maioria dos professores de física tenta
para ensinar como usar esses modelos e obter uma boa "sensação física"
para saber como as coisas vão funcionar.

English: 
of great precision is not very useful in the physics, nor is the modern attitude
in mathematics to look at axioms.
Now, mathematicians can do what they want to do.
One should not criticize them, because they are not slaves to physics.
It is not necessary that, just because this would be useful to you, they have to do it
that way; they can do what they will-it's their own job-and
if you want something else, then you work it out yourself.
The next point is the question of whether we should guess, when we try to get a new law,
whether we should use a seat-of-the-pants feeling, and philosophical principle-I don't
like a minimum principle, or I do like a minimum principle; or I don't like action at a distance,
or I do like action-the question is, to what extent models help.
It's a very interesting thing: very often, models help-and most physics teachers try
to teach how to use these models and get a good "physical feel"
for how things are going to work out.

English: 
But the greatest discoveries, it always turns out,
abstract away from the model; it never did any good.
Maxwell's discovery of electrodynamics was first made with a lot of imaginary wheels and idlers
and everything else in space; if you got rid of all the idlers
and everything else in space, the thing was okay.
Dirac discovered the correct laws
of quantum mechanics-for relativity quantum mechanics-simply by guessing the equation.
The method of guessing the equation seems to be a pretty effective way of guessing new laws.
This shows, again, that mathematics is a deep way of expressing nature,
and attempts to express nature in philosophical principles,
or in seat-of-the-pants mechanical feelings, is not an efficient way.
I must say, that it is possible-and I've often made the hypothesis-that physics ultimately will
not require a mathematical statement,
that the machinery ultimately will be revealed-it's just a prejudice,
like one of these other prejudices.

Portuguese: 
Mas as maiores descobertas, sempre acontece,
abstrair fora do modelo; nunca adiantou.
A descoberta da eletrodinâmica de Maxwell foi feita pela primeira vez com muitas rodas e polias imaginárias
e tudo o mais no espaço; se você se livrar de todos os ociosos
e tudo o mais no espaço, a coisa estava bem.
Dirac descobriu as leis corretas
da mecânica quântica - para a mecânica quântica da relatividade - simplesmente adivinhando a equação.
O método de adivinhar a equação parece ser uma forma bastante eficaz de adivinhar novas leis.
Isso mostra, mais uma vez, que a matemática é uma forma profunda de expressar a natureza,
e tentativas de expressar a natureza em princípios filosóficos,
ou em sentimentos mecânicos de tirar o fôlego, não é uma forma eficiente.
Devo dizer que é possível - e muitas vezes fiz a hipótese - que a física, em última análise,
não requer uma declaração matemática,
que o maquinário será finalmente revelado - é apenas um preconceito,
como um desses outros preconceitos.

English: 
It always bothers me that, in spite of all this "local" business, what goes on-in no-matter-
how-tiny a region of space, and no-matter-how-tiny a region of time,
according to the laws as we understand them today-takes a computing machine an infinite
number of logical operations to figure out.
Now, how could all that be going on in that tiny space?
Why should it take an infinite amount of logic to figure out what one stinky,
tiny bit of space-time is going to do?
So I made the hypothesis often that the laws are going to turn out to be, in the end,
simple like the checkerboard, and that all the complexity is from size-but that is
of the same nature as the other speculations that other people make that say, "I like it;
you don't like it"-it's not good to be too prejudiced about the thing.
To summarize, I would use the words of J. H. Jeans, who said that the great architect seems

Portuguese: 
Sempre me incomoda que, apesar de todo esse negócio "local", o que acontece, não importa
quão pequena é uma região do espaço, e não importa quão pequena seja uma região de tempo,
de acordo com as leis como as entendemos hoje - leva uma máquina de computação um infinito
número de operações lógicas para descobrir.
Agora, como tudo isso pode estar acontecendo naquele pequeno espaço?
Por que deveria ser necessária uma quantidade infinita de lógica para descobrir o que um fedorento,
um pouquinho de espaço-tempo vai servir?
Então, muitas vezes eu fiz a hipótese de que as leis vão acabar sendo, no final,
simples como o tabuleiro de damas, e que toda a complexidade vem do tamanho, mas isso é
da mesma natureza que as outras especulações que outras pessoas fazem que dizem: "Eu gosto;
você não gosta "- não é bom ser muito preconceituoso sobre a coisa.
Para resumir, eu usaria as palavras de JH Jeans, que disse que o grande arquiteto parece

English: 
to be a mathematician-and for you who don't know mathematics, it's really quite difficult
to get a real feeling across as to the beauty, the deepest beauty, of nature.
C.P. Snow talked about two cultures.
I really think that those two cultures are people who do, and people who do not-people
who have had, and people who have not had this experience
of understanding mathematics well enough to appreciate nature once.
It's too bad that it has to be mathematics, and that mathematics for some people is hard.
When one of the [kings] (it's reputed, I don't know if it's true,
that when one of the kings) was trying to learn geometry from Euclid,
he complained that it was difficult.
And Euclid said, "There's no royal road to geometry."
There's no royal road.
It's not the job-we cannot, as people who look at this thing, the physicists,
cannot convert this thing to any other language.
You have-if you want to discuss nature, to learn about nature, and to appreciate nature,

Portuguese: 
ser um matemático - e para você que não sabe matemática, é realmente muito difícil
para obter um sentimento real quanto à beleza, a beleza mais profunda da natureza.
CP Snow falou sobre duas culturas.
Eu realmente acho que essas duas culturas são pessoas que fazem e pessoas que não
que tiveram, e pessoas que não tiveram essa experiência
de compreender a matemática bem o suficiente para apreciar a natureza uma vez.
É uma pena que tenha que ser matemática, e que matemática para algumas pessoas seja difícil.
Quando um dos [reis] (tem fama, não sei se é verdade,
que quando um dos reis) estava tentando aprender geometria de Euclides,
ele reclamou que era difícil.
E Euclides disse: "Não existe um caminho real para a geometria."
Não há estrada real.
Não é o trabalho - não podemos, como pessoas que olham para isso, os físicos,
não pode converter isso para qualquer outro idioma.
Você tem, se quiser discutir a natureza, aprender sobre a natureza e apreciar a natureza,

Portuguese: 
é necessário descobrir a língua que ela fala.
Ela oferece suas informações apenas em um formulário.
Não somos tão indelicados a ponto de exigir que ela mude antes de prestarmos atenção.
Parece-me que é assim: todos os argumentos intelectuais
que você pode fazer não comunicaria de forma alguma - ou muito, muito pouco
para ouvidos surdos o que a experiência da música realmente é; todos os argumentos intelectuais
no mundo não vai convencer aqueles da "outra cultura" - os filósofos que tentam
para ensiná-lo, falando qualitativamente sobre isso.
[Pessoas como] eu, que estou tentando descrever para você (mas não está conseguindo transmitir,
porque é impossível), estamos falando para ouvidos surdos.
Talvez seus horizontes sejam tão limitados, o que permite que essas pessoas imaginem

English: 
it's necessary-to find out the language that she speaks in.
She offers her information only in one form.
We are not so unhumble as to actually demand that she change before we pay any attention.
It seems to me that it's like: all the intellectual arguments
that you can make would not in any way-or very, very little-communicate
to deaf ears what the experience of music really is; all the intellectual arguments
in the world will not convince those of "the other culture"- the philosophers who try
to teach you by telling you qualitatively about this thing.
[People like] me, who's trying to describe it to you (but is not getting it across,
because it's impossible), we're talking to deaf ears.
It's perhaps that their horizons are [so] limited, which permit such people to imagine

Portuguese: 
que o centro do universo de interesse é o homem.
Obrigado.

English: 
that the center of the universe of interest is man.
Thank you.

English: 
[ Applause ]

Portuguese: 
[Aplausos]
