
Thai: 
-
ในการตั้งพาราเมทริกที่เราทำถึงตอนนี้ ถึงการ
ตั้งพาราเมทริกให้เส้นโค้งโดยใช้พารามิเตอร์เดียว
สิ่งที่เราจะเริ่มทำในวิดีโอนี้ คือ การตั้งพาราเมทริก
ให้กับผิวในสามมิติ, โดยใช้พารามิเตอร์สองตัว
และเราจะเริ่มด้วยตัวอย่างของทอรัส (torus)
ทอรัส, หรือรู้จักทั่วไป, ว่าเป็นรูปทรงโดนัท
และเรารู้ว่าโดนัทหน้าตาเป็นยังไง
ขอผมวาดให้ดี, ผมมไม่มีสี
โดนัทเหมาะ ๆ เลย, งั้นผมจะใช้สีเขียวแล้วกัน
โดนัทมีรูปร่างแบบนี้
มันมีรูตรงกลาง, และอีกด้านนึง
ของโดนัทเป็นแบบนี้, และเราสามารถ
แรเงามันข้างในแบบนั้น
นั่นคือโดนัท
แล้วเราจะสร้างมันโดยใช้พารามิเตอร์สองตัวยังไง?
สิ่งที่เราอยากทำคือ, คุณสามารถจินตนาการ
โดนัท, หากคคุณวาดแกนขึ้นมาแบบนี้
นั่นคือโดนัทเรา
ขอผมวาดแกนหน่อยนะ

Spanish: 
Hasta ahora solamente hemos parametrizado
una curva con un solo parámetro.
Lo que vamos a hacer en este video es parametrizar una
superficie en tres dimensiones, usando dos parámetros.
Y vamos a empezar con un ejemplo de toro
Un toro, o más conocido como la forma de una dona.
Y sabemos a que se parece una dona.
Voy a dibujarla en un color, ejem, no tengo ningún
color apropiado para donas, así voy a usar verde.
Una dona es como esto.
Tiene un hueco en el centro, y tal vez el otro lado de
la dona se parece a algo como esto, y podemos
sombrearla así.
Asi es como se ve una dona.
Entonces, ¿cómo la construimos usando dos parámetros?
Lo que queremos hacer es que puedes visualizarla, una
dona, si dibujaras unos ejes aquí.
Eso es nuestra dona.
Voy a dibjuar unos ejes.

Polish: 
.
Wszystkie parametryzacje, które omówiliśmy do tej pory
parametryzowały krzywą używając jednego parametru.
Temat, który zaczniemy tym filmem to parametryzacja
powierzchni w trzech wymiarach z użyciem dwóch parametrów.
Więc zaczniemy od przykładu torusa.
Torus jest figurą w kształcie oponki,
każdy wie jak wygląda oponka.
Narysuję to w odpowiednim... Dobra, nie mam żadnego
odpowiedniego koloru dla oponki, więc użyję zielonego.
Oponka wygląda mniej więcej tak.
Ma ona dziurę w środku. Druga strona
oponki wygląda mniej więcej tak i możemy
zacieniować to tak.
Tak mniej więcej wygląda oponka.
Zatem, jak możemy to opisać używając dwóch parametrów?
To co chcemy uzyskać, to żebyś mógł wyobrazić sobie
oponkę w układzie współrzędnych.
Więc, to jest nasza oponka.
Narysuję osie.

Portuguese: 
Todas as parametrizações que fizemos até agora
foram de uma curva com apenas um parâmetro.
O que nós vamos começar a fazer nesse vídeo é parametrizar
uma superfície de três dimensões, usando dois parâmetros.
Vamos começar com um exemplo de um toróide.
O toróide é conhecido por ter sua superfície como a de uma rosca.
E nós sabemos como uma rosca parece.
Vou desenhar com uma que combine, bom, não tenho nenhuma
nenhuma cor que combine com rosca, vou usar verde mesmo.
A rosca se parece com isso.
Ela tem um buraco no centro e talvez o outro lado de
uma rosca pareca algo como isso, então podemos
desenhar assim.
Assim é como se parece uma rosca.
Então, como construímos isso usando dois parâmetros?
O que queremos fazer é uma
rosquinha, se você desenhar alguns eixos aqui...
Então essa é nossa rosquinha.
Vou desenhar alguns eixos.

Estonian: 
Kõik parametriseerimised mis me siiani teinud oleme on
olnud joone parametriseerimised ühe parameetri abil
Mida me hakkame siin videos tegema on
kolme dimensioonilise pinna defineerimine kahe parameetri abil
Ja me alustame toora näitega.
Toor, tuntud kui ka sõõrikukuju.
Me teame milline sõõrik on.
Las ma joonistan
rohelise sõõriku.
Sõõrik näeb välja selline.
Sellel on auk keskel, ja võib olla
teine külg näeb välja selline ja me saame
varjutada seda niivisi.
Selline näeb välja sõõrik.
Kuidas me konstrueerime siis seda kasutades kahte parameetrit.
Mida me tahame teha on selle ette kujutamine
joonistame siia mõned teljed.
See on meie sõõrik.
Las ma joonistan mõned teljed

Korean: 
매개변수 두개를 사용한 곡면의 매개변수화 | 다변수 미적분학 | 칸 아카데미
지금까지는 하나의 매개변수를 이용해
곡선을 매개변수화 할 수 있는 
방법을 알아보았습니다
본 동영상은 두개의
매개변수를 이용해
삼차원에서의 표면을 
매개변수화할 것입니다
토러스부터 시작하겠습니다
토러스는 도넛 모양으로 
더 잘 알려져 있습니다
도넛이 어떤 모양인지 
알고 있습니까?
도넛 색이 없어
녹색을 
이용하겠습니다
도넛은 이렇게 
생겼습니다
중심에 빈 공간이 있고,
다른 쪽은 이런
모양입니다
여기를 어둡게 하겠습니다
이것이 도넛의 모양입니다
두개의 매개변수를 이용하여 
어떻게 토러스를 만들 수 있을까요?
도넛을 시각화
하기 위해서는
여기에 몇 개의 축을 
그려야 합니다
우리의 도넛입니다
몇 개의 축을 그리겠습니다

English: 
All the parameterizations
we've done so far have been
parameterizing a curve
using one parameter.
What we're going to start doing
this video is parameterizing a
surface in three dimensions,
using two parameters.
And we'll start with an
example of a torus.
A torus, or more commonly
known, as a doughnut shape.
And we know what a
doughnut looks like.
Let me draw it in a suitable,
well, I don't have any
suitable doughnut colors,
so I'll just use green.
A doughnut looks
something like this.
It has a hole in the center,
And maybe the other side of
the doughnut looks something
like that, and we could
shade it in like that.
That is what a
doughnut looks like.
So how do we construct that
using two parameters?
So what we want to do, is you
can just visualize it, a
doughnut, if you were to
draw some axes here.
So that's our doughut.
Let me draw some axes.

Turkish: 
-
Bugüne kadar bulduğumuz tüm parametrik denklemler, bir eğri ve bir parametre içeriyordu.
-
Bu videoda, üç boyutlu bir yüzeyin iki parametreli denklemlerini yazmaya başlayacağız.
-
Bir simit örneğiyle başlıyoruz.
-
Simidin neye benzediğini biliyoruz.
-
-
Şöyle bir şeye benziyor.
Ortasında bir delik var, diğer tarafı şöyle bir şeye benziyor. Şöyle gölgelendirebiliriz.
-
-
Simit, şuna benzer.
Peki, iki parametre kullanarak bunu nasıl oluştururuz?
-
-
Bu simidimiz.
Eksenler çizeyim.

Czech: 
Všechny parametrizace,
které jsme dosud dělali,
byly parametrizace křivky
s jedním parametrem.
V tomto videu začneme parametrizaci
plochy ve třech rozměrech
s dvěma parametry.
A začneme příkladem anuloidu.
Anuloid (také torus) je těleso
tvaru americké koblihy.
Nakreslím ho nějakou vhodnou…
nemám žádnou vhodnou barvu na koblihu,
tak použiji zelenou.
Kobliha vypadá přibližně takto.
Uprostřed má díru,
a druhá strana koblihy vypadá asi takto,
a takto ji můžeme vystínovat.
Toto je tvar koblihy.
A jak ho sestrojíme s použitím dvou parametrů?
To, co chceme sestrojit,
si můžete představit
jako koblihu, když sem
zakreslíme nějaké osy.
Takže to je ta kobliha.
Zakreslím nějaké osy.

Hindi: 
सारे प्राचलीकरण जो हमने अब तक किए वो
वक्र का प्राचलीकरण हैं जो एक मापदण्ड का उपयोग कर रहा है |
अब हम इस वीडियो में शुरू करने जा रहे हैं प्राचलीकरण
एक सतह का, तीन आयामों में, दो मापदंडों का उपयोग करके |
और हम एक टोरस्र्स का एक उदाहरण के साथ शुरू करेंगे |
एक टोरस्र्स, या अधिक सामान्यतः एक डोनट आकार के रूप में जाना जाता है |
और हम जानते हैं कि डोनट किस तरह दिखता है
मुझे डोनट बनना है एक उपयुक्त रंग में, मेरे पास नहीं है
उपयुक्त डोनट रंग, मैं हरे रंग का उपयोग करता हूं |
एक डोनट कुछ इस तरह दिखता है |
डोनट के बीच में एक छेद है, और शायद डोनट के दूसरी ओर
कुछ इस तरह लग रहा है,
और हम इसके अंदर रंग भर देते हैं |
एक डोनट इस तरह दिखता है |
तो हम दो मापदंडों का उपयोग करके डोनट का निर्माण कैसे करते हैं ?
तो हम क्या करना चाहते हैं, तुम सिर्फ यह कल्पना कर सकते हो, एक
डोनट, अगर आप कुछ अक्षों को यहां ड्रॉ करते हैं
तो यह हमारा डोनट है |
मैं कुछ अक्ष बनाता हूँ |

Korean: 
위아래로 뻗어있는 z축이
있다고 합시다
여기에 z축을 그리고, 
도넛이 약간 기울어져
z축을 약간 
기울였습니다
따라서 z축은 
도넛의 중심을
통과합니다
따라서 이렇게 z축은 정확히
도넛의 가운데를 지납니다
이것이 z축이고, 
여러분은 z축이
이곳을 지나고 
여기에서 나오는 것이
x축이라고 생각
할 수 있습니다
여기가 x축이고,
 y축은
이렇게 나올 것 입니다
제가 도넛을 이런 방식
으로 그린 이유는
여러분이 도넛의 
횡단면을 생각할 때,
x-z축의 횡단면은
이렇게 생겼을
 것입니다
만약 도넛을 x-z축
에서 자른다면
이렇게 생겼을 
것입니다
 
이것이 그 조각일
것입니다

English: 
So let's say I have the z-axis
that goes straight up and down.
So we have drawn it here, the
doughnut's a little at a
tilt, so the z-axis, I'll
tilt it a little bit.
So our z-axis goes straight
through the center
of the doughnut.
So that right there, this is
going to be an exercise in
drawing more than
anything else.
So that is my z-axis, and then
you can imagine the z-axis goes
from there, and then this
coming out of here
will be my x-axis.
That right there is my x-axis,
and then maybe my y-axis
comes out like that.
And the whole reason why I drew
it this way, is that if you
imagine the cross section of
this doughnut, I'll draw a
little bit neater, but the
cross section of this doughnut
in the x-z axis, is going to
look something like this.
If I were to slice it in the
x-z axis, it would look
something like that.
That would be the slice.

Portuguese: 
Então vamos dizer que o eixo z vai para cima e para baixo.
Desenhamos aqui, a rosca está meio
vai ficar desse jeito.
Nosso eixo z vai exatamente pelo centro
da rosquinha.
Então até aqui temos, bom, isso vai ser mais um exercício
de desenho do que qualquer outra coisa.
Então meu eixo z, e você pode imaginar que o eixo z vai
daqui e então isso saindo por aqui
vai ser meu eixo x
Se esse for meu eixo x entao talvez o meu eixo y
saia dessa maneira
E a única razão pela qual eu desenhei isso é que se você
imaginar a seção dessa rosca, eu vou desnhar a
um pouco mais elegante, mas a seção dessa rosca
no plano XZ vai se parecer algo como isso
Se eu fosse cortar isso no plano XZ isso vai parecer como
algo assim.
Essa vai ser a fatia.

Polish: 
Mam zatem oś z, która przechodzi prosto w górę i w dół
Narysowaliśmy ją tak, ponieważ oponka jest lekko
przechylona, zatem narysowałem oś z lekko pochyloną.
Nasza oś z przechodzi przez środek
oponki.
Właśnie tak. To będzie bardziej ćwiczenie
rysowania niż czegokolwiek innego.
Więc, to jest moja oś z, możesz wyobrazić sobie, że oś z idzie
tędy i stąd będzie wychodzić
moja oś x.
Właśnie tutaj jest moja oś x i może tutaj moja oś y
idąca mniej więcej tak.
Głównym powodem, dla którego narysowałem to właśnie tak jest, to żebyś mógł
wyobrazić sobie przekrój tej oponki. Mogłem narysować
to nieco schludniej, ale przekrój tej oponki
wzdłuż osi x i z będzie wyglądał mniej więcej tak.
Gdybym przekroił to wzdłuż osi x i z, wyglądałoby
to tak.
.
To byłby przekrój.

Hindi: 
तो चलो मान लो कि मेरे पास z-अक्ष है जो सीधे ऊपर और नीचे चला जाता है |
तो हमने यहाँ बना दिया है, यह डोनट जो थोड़ा
झुका हुआ है, इसलिए z-अक्ष, मैं उसको कुछ झुकाव देता हूं
तो अब हमारे z-अक्ष सीधे केंद्र से चला जाता है
डोनट के |
तो यह यहां होने जा रही है एक अभ्यास
ड्राइंग की और कुछ नही |
तो यह मेरा z-अक्ष है, और तब आप कल्पना कर सकते हैं z-अक्ष वहाँ से चला
जाता है, और तब यहाँ से बाहर आने वाला
x-अक्ष होगा |
यह यहाँ मेरा x-अक्ष है, और फिर शायद मेरा y-अक्ष
ऐसे बाहर आता है |
और पूरा कारण क्यों मैंने इसे इस तरह से ड्रॉ किया है, कि अगर आप
इस डोनट के पार अनुभाग की कल्पना कर सकते हैं, मैं ड्रॉ
कुछ और सफाई से करुगा, लेकिन इस डोनट का पार अनुभाग
x-z धुरी में कुछ इस तरह लग रहा होगा |
अगर मैं x-z धुरी में टुकड़ा करता, यह दिखता
कुछ ऐसा |
यह वो टुकड़ा होगा |

Estonian: 
Ütleme, et mul on z telg mis läheb alt üles.
Joonistasimegi selle siia, sõõrik on veidi viltu
seega z telge liigutan samuti veidi.
Seega meie z telg läheb otse läbi selle keskme
.
See seal, see hakkab olema pigem joonistamise
harjutus kui midagi muud.
See on siis mu z telg, ja te võite ette kujutada et z telg
läheb sealt ja siis see mis tuleb siit
on minu x telg.
See parem seal on minu x telg, ja siis see on võib olla mu y telg
mis tuleb siit.
Ja kogu selle joonistamise põhjus on see
et kui te kujutate selle sõõriku põiklõiget, ma joonistan
selle veidi paremini, aga selle sõõriku põiklõige on
x-z teljel, seega see näib välja selline.
Kui ma lõikaks seda x-z telgedel, see näeks välja
selline.
See oleks viil.

Czech: 
Řekněme, že máme osu „z“,
jdoucí svisle.
Tady ji máme zakreslenou,
kobliha je trochu nakloněná,
takže nakloním i osu „z“.
Takže osa „z“ prochází přímo středem koblihy.
Takže tady máme osu…
Tohle bude cvičení z kreslení,
víc než cokoliv jiného.
Takže to je osa „z“,
a osu „x“ si můžete představit,
jak jde odsud, takže to, co vychází odsud,
bude moje osa „x“.
Takže tam je osa „x“, a pak osa „y“
prochází tudy.
Nakreslil jsem to právě takto,
protože když si představíte
řez touto koblihou…
Nakreslím ho trochu lépe…
Řez touto koblihou v rovině „xz“
vypadá asi takto.
To je tedy ten řez.
Řez povrchem koblihy v rovině „xz“,

Thai: 
สมมุติว่าผมมีแกน z ขึ้สลง
แล้วเราวาดมันตรงนี้, โดนัทนี่เอียงหน่อย
นั่นคือแกน z, ผมเอียงมันหน่อย
ดังนั้นแกน z จะลากตรงผ่านศูนย์กลาง
ของโดนัท
แล้วนั่นตรงนั้น, นี่จะเป็นการฝึก
วาดรูปมากกว่าอะไรทั้งนั้น
นั่นก็คือแกน z ผม, แล้วคุณก็นึกภาพแกน z
ลากผ่านจากตรงนี้, แล้วนี่ออกมาจากตรงนี้
เป็นแกน x
นั่นตรงนั้นคือแกน x, แล้วบางทีแกน y
ก็ออกมาเป็นแบบนั้น
สาเหตุที่ผมวาดมันแบบนี้, หากคุณนึกภาพ
ตัดขวางของโดนัท, ผมจะวาด
มันให้สวยหน่อย, แต่หน้าตัดของโดนันท
ในระนาบ x-z จะออกมาเป็นแบบนี้
หากผมหั่นมันในแกน x-z มันจะ
หน้าตาเป็นแบบนั้น
-
นั่นคือหน้าตัด

Turkish: 
z ekseni düşey yönde olsun.
Bu simit biraz eğik olduğu için, z eksenini de eğik çizeyim.
-
z ekseni simidin tam ortasından geçiyor.
-
Burada çizim kısmı önemli.
-
Bu z ekseni, z ekseninin şuradan geçtiğini düşünelim. Buradaki de x ekseni olur.
-
-
Bu, x ekseni. y ekseni de belki şöyledir.
-
Bunu böyle çizdiğimde, simidin x z eksenindeki kesitini şöyle görselleyebilirim.
-
-
-
x z ekseninde kesit alırsam, şöyle bir şeye benzer.
-
-
Kesit böyle olur.

Spanish: 
Supongamos que tengo el eje z que va recto de arriba a abajo.
Está dibujado aqui, la dona está un poco
inclinada, así voy a inclinar el eje z un poco.
Entonces nuestro eje z pasa a través del centro
de la dona
Si seguimos así, esto va a ser un ejercicio
de dibujo más que otra cosa
Entonces ese es mi eje z, y puedes imaginar que el eje z va
desde allí, y entonces esto que sale de aquí
será mi eje x.
Correcto, aquí esta mi eje x, y tal vez entonces mi eje y
sale por acá de esta manera.
Y la razón por la que lo dibujé de esta forma es que si tú
imaginas la sección de cruce de esta dona podrás
apreciarla más fácilmente. pero la sección de cruce de esta dona
en los ejes x-z se parecerá a algo como esto.
Si lo cortara en el eje x-z, se vería
como algo así.
Eso sería el segmento.

Spanish: 
Se traza, y estamos pensando acerca de la no
una rosquilla completa, sólo la superficie de un donut.
Por lo tanto sería trazar un círculo como este.
Si fueras a cortar los anillos en el eje z positivo-y tiene
va a rastrear a un círculo que tiene un aspecto
de esa forma, justo allí.
Y si se apaga aquí, vas a obtener el manojo de círculos.
Así que si pones a pensar, es un manojo de círculos girado
alrededor del eje z.
Si usted piensa de esa manera, nos daremos algunos buenos
intuición de la mejor forma de parametrizar esta cosa.
Así que vamos a hacerlo de esa manera.
Vamos a empezar con sólo el eje z-y.
Voy dibujar un poco mejor de lo que he hecho aquí.
Por lo que es el eje z y es y, sólo así.
Y supongamos que el centro de estos círculos, vamos a decirlo
mentiras sobre, ustedes saben, puede mentir, al cruzar el eje z-y,
el centro se sitúa en el eje y.
No señalo lo que claramente aquí, pero creo que
se pueden visualizar.

Estonian: 
Ja me ei räägi tervest
sõõrikust vaid ainult selle pinnast.
Nii et see kujuneb välja selliseks ringiks.
Ja kui te lõikaks sõõrikut mööda positiivset z-y telge
see tekitab ringi mis näeb välja
selline, see seal.
Ja kui te läheks siia, te saate hunniku ringe.
Kui te mõtlete sellele, see on punt ringe
keeratud ümber z telje.
Kui te mõtlete sellest nii, sii see annab meile
ideid kuidas seda kõige parem parametriseerida on.
Teeme seda siis nii.
Alustame lihtsalt z-y telgedega.
Ma joonistan nüüd veidi paremini.
See on sii z telg ja see on y, vot nii.
Ütleme, et ringide keskpunkt
on siin, kui te ristate z-y telje,
keskpunkt asub y teljel.
Ma ei joonistanud seda väga hästi, aga ma arvan
et te suudate seda ette kujutada.

Portuguese: 
Seria assim, e nós não estamos pensando
numa rosca inteira, somente a superfície de uma.
Então ficaria um traço como esse.
Então se cortarmos a rosquinha na parte positiva de ZY isso
vai ficar um círculo parecido
com algo assim.
E se você ir por aqui, você está indo para obter muitos círculos.
Então, se você pensar nisso, é um monte de círculos rotacionados
em torno do eixo z.
Se você pensar desse jeito, ele vai dar-nos uma boa
intuição para a melhor maneira de parametrizar essa coisa.
Então, vamos fazê-lo dessa maneira.
Vamos começar com apenas um eixo ZY.
Vou desenhá-lo um pouco mais claro do que eu fiz aqui.
Então esse é o eixo z, e que é y, apenas como aquele.
E digamos que o centro destes círculos, vamos dizer que
encontra-se, você sabe, ele pode mentir, quando você cruza o eixo zy,
o centro está assentado sobre o eixo-y.
Eu não desenhá-la perfeitamente que aqui, mas eu acho que
você pode visualizar.

Czech: 
a neuvažujeme celou koblihu,
jen její povrch,
řez by byla takováto kružnice.
Kdybychom vedli řez koblihou
v rovině „yz“,
byla by to takováto kružnice.
Když řez povedete tady,
dostanete opět kružnici.
Takže na celý povrch koblihy se můžete dívat
jako na spoustu kružnic kolem osy „z“.
Když o tom takto přemýšlíte,
dobře odhadneme
nejlepší způsob,
jak to celé parametrizovat.
Budeme postupovat takto:
Začneme s rovinou „yz“.
Zakreslím ji trochu lépe než tady.
Takže to je osa „z“ a osa „y“.
A řekněme, že střed těchto kružnic
leží na ose „y“.
Nenakreslil jsem to úplně nejlépe,
ale myslím, že si to dokážete představit.

Polish: 
Tak by to wyglądało i myślimy nie
o całej oponce, ale o powierzchni tej oponki,
więc nakreśliłem taki okrąg.
Gdybyśmy przecięli oponkę wzdłuż osi z i y, po ich dodatnich stronach,
widzielibyśmy okrąg, który wyglądałby mniej więcej
tak jak tutaj.
Gdybyśmy dalej tak szli, dostalibyśmy zbiór okręgów,
więc jeśli się nad tym zastanowisz, to zbiór okręgów krąży
wokół osi z.
Jeżeli pomyślimy o tym w taki sposób, to da nam to
intuicję, jak w najlepszy sposób parametryzować taką rzecz.
Zatem zróbmy to według tej myśli.
Zacznijmy właśnie wzdłuż osi z i y.
Narysuję to nieco staranniej niż tutaj.
Więc to będzie oś z, a to y, właśnie tak.
Powiedzmy, że środek tych okręgów, powiedzmy, że on
leży... Gdy przetniemy wzdłuż osi z i y
środek leży na osi y.
Nie narysowałem tego zbyt ładnie tutaj, ale myślę,
że możesz to sobie wyobrazić.

Thai: 
มันจะเป็นรอย, เรากำลังไม่ได้พูดถึง
ตัวโดนทั, แค่พื้นผิวของโดนัทนะ
มันจะเป็นรอยรูปวงกลมแบบนี้
หากคุณตัดโดนัทในแกน z-y
มันจะเป็นรอยวาดแบบนั่น
ตรงนั้น
และหากคุณออกไปตรงนี้, คุณจะได้วงกลมหลายอัน
ดังนั้นหากคุณคิด ๆ มันมีวงกลมหลาย ๆ อันหมุน
รอบ ๆ แกน z
หากคุณคิดอย่า่งนั้น, มันจะบอกวิธีดี ๆ
ในการตั้งพาราเมทริกให้สิ่งนี้
ลองทำแบบนั้นดู
ลองเริ่มด้วยแค่แกน z-y
ผมจะวาดมันให้สวยกว่าที่ผมทำตรงนี้
นั่นก็คือแกน z, และนั่นคือ y, แบบนัั้น
และสมมุติว่าศูนย์กลางของวงกลมพวกนี้, สมมุติว่ามัน
วางตัว, คุณก็รู้, ตอนคุณตัดแกน z-y
ศูนย์กลางจะอยู่บนแกน y
ผมไม่ได้วาดมันดี ๆ ตรงนี้, แต่ผมว่า
คุณคงนึกภาพออก

Turkish: 
Simidin tamamından bahsetmiyoruz, simit yüzeyinden bahsediyoruz.
-
Böyle bir çember oluşur.
Pozitif z y ekseninde kesersek de şöyle bir çember oluşur.
-
-
Bu tarafa gidersek de bir grup çember elde ederiz.
z ekseninde döndürülmüş çemberler.
-
Böyle düşünmek parametrik denklemleri elde etmemiz için gereken fikri bize verir.
-
Böyle yapalım.
z y ekseniyle başlayalım.
Biraz daha düzgün çizeyim.
z ekseni, y ekseni.
Bu çemberlerin merkezinin y ekseni üzerinde olduğunu düşünelim.
-
-
Sanıyorum, gözünüzde canlandırabiliyorsunuz.
-

Hindi: 
यह ऐसा दिख रहा होगा, और हम नहीं सोच रहे हैं
पूर्ण डोनट के बारे में, बस एक डोनट की सतह के बारे में |
तो यह इस तरह से एक चक्र का निशान लगा देगा |
यदि आप सकारात्मक z-y अक्ष में डोनट को काट दो, यह
यह कुछ एक चक्र की तरह लग रहा है
वहाँ पता लगाने के लिए जा रहा है.
और अगर आप यहाँ से बाहर जाते हो, आपको वृत्त का गुच्छा मिलेगा |
तो अगर आप इसके बारे में सोचो, यह वृत्त का गुच्छा घुमा हुआ है
z-अक्ष के चारों ओर |
अगर अाप इस तरह से सोचो, यह देगा हमें कुछ अच्छा
अंतर्ज्ञान सबसे अच्छे तरिके से प्राचलीकरण करने के लिये इस चीज़ का ।
तो चलिये इस तरह से करते हैं ।
चलिये शूरू करते हैं सिर्फ z-y अक्ष से ।
मैं खिंच रहा हूं

Korean: 
이렇게 그어질 것이고,
완전한 도넛이 아니라 
도넛의 표면을 보고 있습니다.
이처럼 원이 
그려질 것입니다
만약 양의 z-y축에서
 도넛을 자른다면,
바로 이러한
 모양의 원이
그려질 것입니다
여기에서 매우 많은
원이 나옵니다
즉 여러분은 도넛을 
매우 많은 원이
z축을 중심으로 회전한
것으로 이해할 수 있습니다
이러한 방식의 사고는
도넛을 매개변수화
하기 쉽습니다
따라서 이 방법으로
매개변수화를 해봅시다
먼저 z-y축에서
시작해봅시다
조금 더 깔끔하게 
그려보겠습니다
이것이 z축이고 
이것이 y축입니다
이 원의 중심이
z-y축을 자르면
y축에 위치합니다
깔끔하게 
그리지 않았지만
여러분이 시각화할 수 
있을 것입니다

English: 
It would trace out, and
we're thinking about not
a full doughnut, just the
surface of a doughnut.
So it would trace out
a circle like this.
If you were to cut the doughnut
in the positive z-y axis, it's
going to trace out a circle
that looks something
like that, right there.
And if you go out here, you're
going to get bunch of circles.
So if you think about it, it's
a bunch of circles rotated
around the z-axis.
If you think of it that way,
it'll give us some good
intuition for the best way
to parameterize this thing.
So let's do it that way.
Let's start off with
just the z-y axis.
I'll draw it a little bit
neater than I've done here.
So that is the z-axis, and
that is y, just like that.
And let's say that the center
of these circles, let's say it
lies on, you know, it can lie,
when you cross the z-y axis,
the center sits on the y-axis.
I didn't draw it that
neatly here, but I think
you can visualize.

Polish: 
Więc on leży tutaj na osi y.
I powiedzmy, że jest on w odległości b od środka
torusa lub od osi z. To jest odległość b.
Każdy środek będzie w odległości b.
Zawsze tak będzie, ponieważ gdy wyobrazisz sobie górną część oponki,
zaznaczę górę oponki.
Jeżeli patrzysz z góry na oponkę, może narysuję
oponkę w taki sposób, jakbyś patrzył na nią z góry.
Będzie to wyglądać mniej więcej tak.
Oś z będzie przebijała środek.
Oś x mogłaby iść w dół tak, a oś y
będzie szła w prawo tak.
Więc możesz to sobie wyobrazić, patrzę na to z lotu ptaka.
Znajduję się na osi z patrząc w dół na oponkę.
To będzie wyglądać właśnie tak.
Zatem jeśli wyobrazisz sobie przekrój, ten okrąg jak
tutaj, górna część okręgu, jeśli patrzysz z góry
wyglądałaby właśnie tak.

Estonian: 
See asub siis siin y teljel.
Ütleme, et see on vahemaa b ja toora keskpunkti vahel.
või z telje vahemaa b.
See alati hakkab olema b pikkus.
See on alati, kui te kujutate ette sõõriku tippu, las ma
joonistan sõõriku pealse.
Kui ta vaatate sõõrikut ülevalt, las ma joonistan
sõõriku ringi siia, kui te vaatate ülevalt sõõrikut,
see näeb välja nagu midagi sellist.
Z telg on püsti.
X telg tuleks tuleks alla nagu midagi sellist, ja siis y telg
läheks paremale.
Te võite ette kujutada, ma lihtsalt lendan selle kohal.
Ma istun z telje otsas ja vaatan alla sõõrikule.
see näeks välja selline.
Ja kui te kujutate ette põiklõiget, see ring
siin, see pealmine osa ringist kui te vaatate alla,
näeks välja selline.

Spanish: 
Así que allí se asienta en el eje y.
Y digamos que es una distancia b del centro
del Toro, o desde el eje z es una distancia de b.
Siempre va a estar a una distancia de b.
Ha siempre, si te imaginas la parte superior de la rosquilla, permítanme
Dibuja la parte superior de la rosquilla.
Si usted está buscando hacia abajo en una rosquilla, permítanme llamar un
donut justo aquí, si usted está buscando hacia abajo en una rosquilla,
sólo se ve algo así.
El eje z sólo va a ir apareciendo directamente hacia afuera.
El eje x vendría como esta, y luego sería el eje y
ir a la derecha, como ese.
Por lo que te imaginas, sólo estoy volando por encima de esto.
Estoy sentada en el eje z hacia abajo mirando el donut.
Se verá igual a ésta.
Y si te imaginas la sección transversal, este círculo derecha
aquí, la parte superior del círculo si lo que buscas,
quedaría sólo como ese.

Portuguese: 
Então ele fica ali mesmo, no eixo-y.
E digamos que é uma b distância do centro
do toro, ou a partir do eixo z é uma distância de b.
É sempre vai ser uma distância de b.
É sempre, se você imaginar o topo da rosca, deixe-me
desenhar o topo da rosca.
Se você estiver olhando para baixo em um donut, deixe-me desenhar uma
donut bem aqui, se você está olhando para baixo em um donut, que
só olha algo parecido.
O eixo z é apenas vai ser de estalo para fora.
O eixo x viria para baixo como este, em seguida, o eixo y seria
ir para a direita, assim.
Então você pode imaginar, eu só estou voando sobre isso.
Estou sentado sobre o eixo z olhando para o donut.
Ele vai olhar assim.
E se você imaginar a seção transversal, este direito círculo
aqui, a parte superior do círculo, se você está olhando para baixo,
ficaria assim.

Korean: 
따라서 중심은 
y축에 존재하고
토러스의 중심 
혹은 z축으로부터
b만큼 떨어져 
있다고 합시다
이 원의 중심은 항상 
b의 거리에 존재합니다
 
 
만약 도넛을 위에서 
내려다 본다면
 
이것은 다음과 같은
 모양일 것입니다
z축은 수직으로 
튀어나올 것입니다
x축은 이렇게 
나올 것이고
y축은 오른쪽으로 
지나갈 것입니다
제가 토러스 위에 있다고
생각해 봅시다
z축 위에서 도넛을 
내려다 보고 있습니다
도넛은 이렇게 
보일 것입니다
횡단면을 상상하면, 
여기 이 원은
이렇게 그려질 것이고 
원의 꼭대기는
만약 여러분이 아래를 보면 
이렇게 그려질 것입니다

English: 
So it sits right
there on the y-axis.
And let's say that it is a
distance b away from the center
of the torus, or from the
z-axis it's a distance of b.
It's always going to
be a distance of b.
It's always, if you imagine the
top of the doughnut, let me
draw the top of the doughnut.
If you're looking down on a
doughnut, let me draw a
doughnut right here, if you're
looking down on a doughnut, it
just looks something like that.
The z-axis is just going to
be popping straight out.
The x-axis would come down like
this, and then the y-axis would
go to the right, like that.
So you can imagine, I'm
just flying above this.
I'm sitting on the z-axis
looking down at the doughnut.
It will look just like this.
And if you imagine the cross
section, this circle right
here, the top part of the
circle if you're looking down,
would look just like that.

Czech: 
Takže střed leží na ose „y“.
A řekněme, že je ve vzdálenosti
„b“ od středu toru,
tedy od osy „z“.
Pokaždé to bude vzdálenost „b“.
Pokaždé to bude…
Když si představíte vršek koblihy…
Nakreslím koblihu seshora.
Když se na koblihu díváte shora,
vypadá to asi takto.
Osa „z“ kouká svisle vzhůru.
Osa „x“ jde dolů
a osa „y“ pak jde doprava.
Představte si,
jako kdybych nad tím letěl.
Sedím na ose „z“
a dívám se dolů na koblihu.
Bude to vypadat takto.
A když si představíte řez,
potom tato kružnice bude vypadat takto.

Thai: 
มันก็นั่งอยู่ตรงนั้นบนแกน y
และสมมุติว่ามันห่างจากศูนย์กลางของ
ทอรัสเป็นระยะ b, หรือเป็นระยะ b จากแกน z
มันจะห่างไปเป็นระยะ b เสมอ
เป็นเช่นนั้นเสมอ, หากคุณนึกถึงยอดของโดนัท, ขอผมวาด
ด้านบนของโดนัทนะ
หากคุณมองลงมาที่โดนัท, ขอผมวาด
โดนัทตรงนี้นะ, หากคุณมองลงมาที่โดนัท, มันจะ
มีหน้าตาแบบนี้
แกน z จะพุ่งออกมาตรง ๆ
แกน x จะนอนลงแบบนี้ แล้วแกน y
ก็จะอยู่ทางขวา, แบบนั้น
คุณก็นึกภาพ, ผมบินมาเหนือเจ้านี่
ผมนั่งอยู่บนแกน z มองลงไปยังโดนัท
มันจะออกมาเป็นแบบนี้
และหากคุณนึกภาพตัดขวาง, วงกลมนี่ตรงนี้
, ด้านบนของวงกลมหากคุณมองลงมา,
จะเป็นแบบนั้น

Turkish: 
y ekseni üzerinde duruyor.
z ekseninde b uzaklıkta diyelim.
-
-
Simidin üstünü çizeyim.
-
Simide yukarıdan bakarsanız, şöyle görünür.
-
-
z ekseni ortasından geçiyor.
x ekseni şöyle gelir. y ekseni de sağa doğru, şöyle.
-
-
z ekseninde oturup aşağıdaki simide bakarsam, böyle görünür.
-
Kesit de, şuradaki çember de, böyle görünür.
-
-

Estonian: 
Ja see vahemaa b on pikkus z teljest
kõigi nende ringide keskele.
Siis see vahemaa, las ma joonistan selle sama värviga,
keskpunktist nende ringide keskele, see hakkab olema b.
Ja see hakkab alati minema nende ringide keskele
see on b.
See hakkab olema b.
See hakkab olema b.
Meie toora keskelt meie ringi keskele
mis defineerib toora, see on b pikkus.
See vahemaa siin, see vahemaa siin on b.
Ja b juurest, me saame ette kujutada et meil on raadius.
Raadius pikkusega a.
Nendel ringidel on raadius a.
See vahemaa siin on a, see vahemaa siin on
a, see vahemaa siin on a, see vahemaa
seal on a.
Kui me vaatame neid ringe, nendel ringidel
on raadius a.
Ja meil on kaks parameetrit.

Czech: 
A tato vzdálenost „b“
je vzdálenost od osy „z“
ke středu každé z těchto kružnic.
Takže tato vzdálenost...
nakreslím ji stejnou barvou...
vzdálenost od středu toru
ke středu těchto kružnic, bude „b“.
Vždycky jde od ke středu kružnice.
Všechny tyto vzdálenosti jsou „b“.
Od středu toru ke středu kružnice,
která určuje torus,
je vždy vzdálenost „b“.
Takže tato vzdálenost je „b“.
A ze vzdálenosti „b“
může vycházet poloměr.
Poloměr délky „a“.
Takže tyto kružnice
mají poloměr délky „a“.
Takže tato vzdálenost je „a“,
všechny tyto vzdálenosti jsou „a“.
Když se podívám na tyto kružnice,
tyto kružnice mají poloměr „a“.
Takže budeme mít dva parametry.

Thai: 
และระยะ b นี้ คือระยะจากแกน z
ถึงศูนย์กลางของแต่ละวงกลมพวกนี้
ดังนั้นระยะนี้, ขอผมวาดมันด้วยสีเดิมนะ,
จากศูนย์กลางถึงศูนย์กลางวงกลมพวกพนี้, จะเท่ากับ b
มันจะห่างจากศูนย์กลาง
ของวงกลมพวกนี้อยู่ b
นั่นก็ b, นั่นก็ b
นั่นก็ b
จากศูนย์กลางของทอรัสถึงศูนย์กลางของวงกลม
ที่สร้างทอรัสขึ้น, เป็นระยะ b
ดังนั้นระยะนี่ตรงนี้, ระยะนั่นตรงนั้น, เท่ากับ b
และจาก b, เราอาจจินตนาการรัศมีขึ้นมา
รัศมียาว a
ดังนั้นวงกลมพวกนี้มีรัศมียาว a
แล้วระยะนี่ตรงนี้คือ a, ระยะนี่ตรงนี้คือ a
ระยะนี่ก็ a, ระยะนั่น
ก็ a
หากเรามองวงกลมพวกนี้, จะมี
รัศมี a
และสิ่งที่เราทำคือ มีพารามิเตอร์สองตัว

Spanish: 
Y esta distancia b es la distancia desde el eje z
en el centro de cada uno de estos círculos.
Para esta distancia, permítanme dibujar en el mismo color, desde el
Centro para el centro de estos círculos, que va a ser b.
Sólo va a seguir yendo al centro
de los círculos, b.
Va a ser b, que va a ser b.
Va a ser b.
Desde el centro de nuestro Toro en el centro de nuestro círculo
define el toro, es una distancia de b.
Así que esta distancia aquí, esa distancia allí es b.
Y de b, podemos imaginar que tenemos un radio.
Un radio de longitud un.
Para estos círculos tienen radio de longitud un.
Así es esta distancia aquí una, esta distancia es aquí
una, esta distancia derecha hay una, esa distancia
derecha hay un.
Si yo fuera mirar estos círculos, estos círculos
tienen radio un.
Y lo que vamos a hacer es tener dos parámetros.

Korean: 
거리 b는 z축에서
각각의 원까지의
거리입니다
같은 색으로 그리면,
토러스 중심에서 이 원의 
중심의 거리가 바로 b입니다
여기도 b일 것입니다
 
이것도 b이고
이것도 b입니다.
 
토러스의 중심에서
토러스를 만드는
원의 중심까지의 
거리가 b입니다
따라서 이 거리도 b이고 
저것도 b입니다
우리는 또다른 반지름을 
생각할 수 있습니다
길이 a의 반지름
따라서 이 원은 길이 a의 
반지름을 갖고 있습니다
따라서 이 거리는 a이고
여기도
a입니다.
이 원들을 보면
반지름이 a입니다
우리가 필요한 것은
두 개의 매개변수입니다

English: 
And this distance b is a
distance from the z-axis
to the center of each
of these circles.
So this distance, let me draw
it in the same color, from the
center to the center of these
circles, that is going to be b.
It's just going to keep
going to the center
of the circles, b.
That's going to be b,
that's going to be b.
That's going to be b.
From the center of our torus
to the center of our circle
that defines the torus,
it's a distance of b.
So this distance right here,
that distance right there is b.
And from b, we can imagine
we have a radius.
A radius of length a.
So these circles have
radius of length a.
So this distance right here is
a, this distance right here is
a, this distance right there
is a, that distance
right there is a.
If I were look at these
circles, these circles
have radius a.
And what we're going to do
is have two parameters.

Polish: 
I ta odległość b, to odległość od osi z
do środka każdego z tych okręgów.
Ta odległość więc, zaznaczę tym samym kolorem, od
środka do środka tych okręgów, będzie oznaczona b.
To po prostu stała odległość od środków
okręgów - b.
To będzie b, to będzie b.
To będzie b.
Odległość środka naszego torusa do środka naszego okręgu,
który definiuje torus, to będzie b.
Więc ta odległość tutaj, ta odległość tutaj to b.
Idąc z b, możemy wyobrazić sobie, że mamy promień.
Promień długości a.
Zatem te okręgi mają promień długości a.
Więc ta odległość tutaj to a, ta odległość tutaj to
a, ta odległość tutaj to a, ta odległość
tutaj to a.
Jeśli patrzę na te okręgi, wszystkie one
mają promień a.
I to co chcemy teraz zrobić, to znaleźć dwa parametry.

Turkish: 
Bu b uzaklığı, z ekseninden bu çemberlerin her birinin merkezine olan uzaklıktır.
-
Merkezden, bu çemberlerin merkezine olan uzaklık b olacak.
-
-
-
Bu b olacak, şu b olacak, şu da b olacak.
-
Simidin merkezinden çemberin merkezine olan uzaklık, b.
-
Bu uzaklık ve şu uzaklık b.
b'den de bir yarıçap hayal edebiliriz.
a uzunluğunda bir yarıçap.
Bu çemberlerin yarıçapı a olacak.
Bu uzunluk a, bu uzunluk a, şu uzunluk, şuradaki uzunluk da a.
-
-
Bu çemberlerin hepsinin yarıçapı a.
-
İki parametremiz olacak.

Portuguese: 
E este b distância é uma distância do eixo z
para o centro de cada um destes círculos.
Então, esta distância, deixe-me desenhá-la na mesma cor, a partir do
centro para a centro desses círculos, que vai ser b.
É só ir a manter-se ir ao centro
dos círculos, b.
Que vai ser b, que vai ser b.
Que vai ser b.
Do centro do nosso toro para o centro do nosso círculo
que define o toro, é uma distância de b.
Então, esta distância aqui, que a distância é logo ali b.
E de b, podemos imaginar que temos um raio.
Um raio de comprimento a.
Então, esses círculos têm raio de comprimento a.
Então, esta distância aqui é um, este direito distância aqui é
a, esta distância direita há uma, a distância que
ali é a.
Se eu fosse olhar para estes círculos, os círculos
tem raio a.
E o que vamos fazer é ter dois parâmetros.

Thai: 
ตัวนึงบอกมุมที่รัศมีนี้ทำในระนาบ x-z
คุณก็นึกภาพว่าแกน x ออกมา
ขอผมใช้สีเดิมนะ
คุณก็นึกภาพแกน x ออกมาตรงนี้
นี่ก็คือระนาบ x-z
ดังนั้นพารามิเตอร์หนึ่งจะเป็นมุมทระหว่างรัศมี
เรากับระนาบ x-z
เราจะเรียกมุม, หรือพารามิเตอร์นั้น, เรา
จะเรียกมันว่า s
ดังนั้น s อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 ไพ, s อยู่ระหว่าง 0 กับ
2 ไพ, โดย 0 จถเป็นจุดนี่ตรงนี้,
แล้วมันไปยัง 2 ไพ, เราจะเดินตามวงกลม
ที่หน้าตาแบบนั้น
ตอนนี้, เรามีแค่พารามิเตอร์เดียว
สิ่งที่เราอยากได้ในหมุนวงกลมไปรอบ ๆ
สิ่งที่ผมเพิ่งวาดคือวงกลมนั่นตรงนั้น
สิ่งที่เราอยากทำคือ ปั่นวงกลมนี้ไปรอบ ๆ

Portuguese: 
Um deles é o ângulo que este raio faz com o xz
avião, para que você possa imaginar o eixo x saindo.
Deixe-me fazer isso na mesma cor.
Você pode imaginar o eixo-x que sai aqui.
Portanto, este é o plano xz.
Assim, um parâmetro que vai ser o ângulo entre o nosso
raio eo plano xz.
Vamos chamar esse ângulo, ou esse parâmetro, estamos
vai chamar esse s.
E assim como s vai entre 0 e 2 pi, como s vai de 0 em 2
pi, quando o 0 é apenas vai ser neste ponto aqui,
e depois como ele vai para 2 pi, você vai traçar um
círculo que se parece com isso.
Agora, só temos um parâmetro.
O que nós queremos fazer é, então, spin este círculo ao redor.
O que eu apenas desenhei é que ali mesmo círculo.
O que nós queremos fazer é girar todo o círculo ao redor.

Czech: 
Jedním je úhel, který tento poloměr
svírá s rovinou „xz“.
Osa „x“ jde tudy.
Udělám to stejnou barvou.
Osa „x“ jde tudy.
Takže toto je rovina „xz“.
Tedy jeden parametr bude úhel
mezi poloměrem a rovinou „xz“.
Tento úhel, tento parametr označíme „s“.
A když parametr „s“ nabývá hodnot
od 0 do 2 pi,
pro hodnotu 0 jsme v tomto bodě,
a jak roste do 2 pi, vykreslí kružnici,
která vypadá takto.
Zatím máme jeden parametr.
A teď chceme, aby tato kružnice obíhala.
Teď jsem nakreslil tuto kružnici
a chceme,
aby se celá tato kružnice otáčela.

Estonian: 
Üks on nurk mida see raadius tekitab x-z
alaga, seega te võite kujutada et x telg tuleb välja.
Las ma teen seda sama värviga.
Te võite ette kujutada x-telge siit tulemas.
Seega see on x-z tasand.
Seega üks parameeter hakkab olema nurk
meie raadiuse ja x-z tasapinna vahel.
Me hakkame seda nurka kutsuma, või seda parameetrit, me
hakkame seda kutsuma s-ks.
Seega s on nulli ja kahe pi vahel,
seega null on siin punktis
ja kuna see läheb kahe pini, te saate joonistada
sellise ringi.
Nüüd meil on üks parameeter.
Mida me tahame teha on keerutada seda ringi.
Mida ma just tegin, ma joonistasin selle ringi.
Mida me tahame teha on keerata seda ringi ümber.

Turkish: 
Birincisi, yarıçapın x z düzlemiyle yaptığı açı.
-
-
x ekseninin buradan çıktığını düşünün.
Bu, x z düzlemi.
Bir parametre yarıçap ile x z düzlemi arasındaki açı olacak.
-
Bu açıyı veya parametreyi s olarak adlandıracağız.
-
s 0'dan 2 Pi'ye giderken, 0 şu noktayı verecek. 2 Pi'ye giderken de şöyle bir çember çizecek.
-
-
-
Şimdi bir parametremiz var.
Bu çemberi döndürmek istiyoruz.
Bu çemberi çizdim.
Şimdi çemberi çevirmek istiyorum.

Polish: 
Jednym jest kąt, który promień tworzy z płaszczyzną wyznaczoną przez osie x i y.
więc wyobraź sobie oś x idącą tak,
zaznaczę ją w tym samym kolorze.
Możesz wyobrażać sobie, że oś x wygląda tak,
zatem to jest płaszczyzna wyznaczona przez x i y
Jeden z naszych parametrów to będzie kąt pomiędzy naszym
promieniem, a płaszczyzną wyznaczoną przez x i y.
Nazwiemy ten kąt lub jak kto woli parametr,
nazwiemy go s.
I teraz, jeśli s zmienia się od 0 do 2 pi, jeśli s zmienia się od 0 do 2 pi,
to gdy jest równe 0, to będę się znajdował w tym punkcie
i kiedy on rośnie do 2 pi, to zakreśla
okrąg, który wygląda właśnie tak.
Na razie mamy tylko jeden parametr.
To, co chcemy teraz zrobić to obracać ten okrąg.
To, co właśnie narysowałem to właśnie ten okrąg jak tu.
To co chcemy zrobić to obracać cały okrąg.

Spanish: 
Uno es el ángulo que esta radio se hace con el x-z
plano, por lo que puede imaginar el eje que sale.
Permítanme hacer eso en el mismo color.
Se puede imaginar el eje que sale de aquí.
Este es el plano x-z.
Para un parámetro va a ser el ángulo entre nuestros
radio y el plano x-z.
Vamos a llamar a ese ángulo, o ese parámetro, estamos
vamos a llamar que s.
Y así como s va entre 0 y 2 pi, como s va entre 0 en 2
PI, cuando el 0 solo va a ser en este momento aquí,
y luego como va a 2 pi, vas a rastrear a un
círculo que se ve sólo como ese.
Ahora, tenemos sólo un parámetro.
Lo que queremos hacer es girar entonces este círculo alrededor.
Sólo saqué es ese círculo allí.
Lo que queremos hacer es exprimido todo el círculo alrededor.

English: 
One is the angle that this
radius makes with the x-z
plane, so you can imagine
the x-axis coming out.
Let me do that in
the same color.
You can imagine the
x-axis coming out here.
So this is the x-z plane.
So one parameter is going to
be the angle between our
radius and the x-z plane.
We're going to call that angle,
or that parameter, we're
going to call that s.
And so as s goes between 0 and
2 pi, as s goes between 0 in 2
pi, when the 0 is just going to
be at this point right here,
and then as it goes to 2 pi,
you're going to trace out a
circle that looks
just like that.
Now, we only have
one parameter.
What we want to do is then
spin this circle around.
What I just drew is that
circle right there.
What we want to do is spin
the entire circle around.

Korean: 
하나는 이 반지름이
 x-y와 이루는 각도이고
 
같은 색으로 
해보겠습니다
여기로 x축이 나옵니다
이것이 x-y평면입니다
따라서 하나의 변수는
반지름과 x-y평면
사이의 각도가
 될 것입니다
이 변수를
s라 하겠습니다
s는 0에서 2π 
사이가 되고
0일 때는 바로 
이 점일 때이고,
원을 한바퀴 돌면
s는 2π가 될 것입니다
이제 매개변수가 
하나 더 필요합니다
이 원을 
회전해 봅시다
방금 그린것은
여기 이 원입니다
우리는 전체 원을
돌릴 것입니다

Portuguese: 
Portanto, vamos definir um outro parâmetro.
Vamos chamar essa t uma, e eu vou tomar a visão de cima novamente.
Este está ficando um pouco confuso.
Deixe-me chamar uma outra visão de cima.
Como você pode ver, isso é tudo sobre visualização.
Então, digamos que este é o meu eixo-x, que é meu eixo-y.
E nós dissemos que começamos aqui no plano zy.
Estamos b longe do eixo z, de modo que a distância é b.
Neste diagrama, o eixo z é apenas pulando para fora de nós.
É pulando para fora da página.
Nós estamos olhando para baixo.
É como o ponto de vista mesmo que logo ali.
E o que eu desenhava, quando s é igual a 0 radianos, vamos
estar aqui, exatamente um raio de mais
ao longo do eixo-y.
E então vamos rodar.
À medida que giram em torno, vamos rodar e, em seguida,
vir todo o caminho até aqui.
Isso é quando nós estamos bem ali, e depois voltar para baixo.
Então, se você olhasse na parte superior do círculo, é
vai ficar assim.
Agora, para fazer a rosca, vamos ter que
girar esta configuração todo em torno do eixo z.
Lembre-se, o eixo z é pulando para fora.
É olhando para cima de nós.

Estonian: 
Defineerime teise parameetri.
Nimetame selle t, ja ma võtan pealtvaate uuesti.
See tuleb veidi segane.
Las ma joonistan uue pealtvaate.
Nagu te näete, see on ettekujutuses.
Ütleme, et see on mu x telg ja see on mu y telg.
Nagu öeldud, me alustasime siin, z-y tasandil.
Me oleme b kaugusel z teljest, seega see vahe on b.
Siin diagrammil z telg vahib meile vastu.
See on otsaga lehelt väljas.
Me vaatame otse alla.
See on sama vaade kui siin.
Ja mida ma just joonistasin, kui s on võrdne 0 radiaaniga, me
oleme siin, täpselt üks raadius eemal
mööda y telge.
Ja siis me pöörame.
Me pöörame ümber, je pöörame ja siis
me tuleme siia.
Nüüd me oleme siin, ja siis tuleme tagasi alla.
Ja kui te vaatasite ringi peale, see
hakkab olema selline.
Nüüd et teha sõõrikut, me peame
keerama kõike seda ümber z telje.
Jätke meelde, et z-telg on siin püsti.
Vaatab meile vastu.

Spanish: 
Así que vamos a definir otro parámetro.
Llamaremos a este una t, y voy a tomar nuevamente la vista superior.
Este está un poco desordenado.
Permítanme llamar otra vista superior.
Como puede ver, esto es todo acerca de la visualización.
Así que vamos a decir que esto es mi eje x, es mi eje y.
Y dijimos que comenzamos aquí en el plano z-y.
Somos b lejos del eje z, por lo que la distancia es b.
En este diagrama, el eje z es saltando sólo a nosotros.
Está apareciendo fuera de la página.
Estamos viendo hacia abajo.
Es como la misma vista como allí.
Y lo acaba de dibujar, cuando s es igual a 0 radianes, vamos
estar aquí, exactamente un radio más
a lo largo del eje y.
Y luego vamos a rotar.
Como nos girar alrededor, vamos a girar y luego
venir aquí durante todo el camino.
Es entonces cuando estamos por allí y luego volver hacia abajo.
Así que si has buscado en la parte superior del círculo, tiene
va a ver como ese.
Ahora, para hacer el donut, vamos a tener que
Gire esta configuración toda alrededor del eje z.
Recuerde, el eje z es saltando.
Está mirando hacia arriba en nosotros.

English: 
So let's define
another parameter.
We'll call this one t, and
I'll take the top view again.
This one's getting a
little bit messy.
Let me draw another top view.
As you can see, this is
all about visualization.
So let's say this is my
x-axis, that is my y-axis.
And we said we started
here on the z-y plane.
We are b away from the z-axis,
so that distance is b.
In this diagram, the z-axis
is just popping out at us.
It's popping out of the page.
We're looking straight down.
It's just like the same
view as right there.
And what I just drew, when s is
equal to 0 radians, we're going
to be out here, exactly
one radius further
along the y-axis.
And then we're going to rotate.
As we rotate around, we're
going to rotate and then
come all the way over here.
That's when we're right over
there, and then come back down.
So if you looked on the
top of the circle, it's
going to look like that.
Now, to make the doughnut,
we're going to have to
rotate this whole setup
around the z-axis.
Remember, the z-axis
is popping out.
It's looking straight up at us.

Korean: 
이제 또다른 변수를 
정의해봅시다
우리는 이것을 t라 할 것입니다
맨 위에서 바라봅시다
살짝 지저분합니다
맨 위에서 본 그림을 
다시 그려보겠습니다
여러분이 알 수 있듯이,
모든 것은 시각화에 달렸습니다
이것이 x축이고 
이것이 y축이라고 합시다
우리는 yz 평면에서
 시작했습니다
z축으로부터 b만큼 
떨어져 있습니다
아래 그림에서 z축은
평면을 뚫고
들어가는 방향입니다
아래 그림은 위 그림을
위에서 내려다 본 것입니다
아래 그림에서
s가 0라디안일때,
y축으로 반지름만큼 
떨어져 있습니다
그리고 원주 위를 회전합니다
위 그림에서 회전하면,
아래 그림에서 왼쪽으로 갔다가
다시 오른쪽으로 돌아옵니다
따라서 위 그림의 원을
위에서 내려다보면
왼쪽, 오른쪽을 왔다갔다 합니다
이제 도넛을 만들기 위해,
이것을 z축을 중심으로
회전해야 합니다
z축은 앞으로 튀어 나왔습니다
z축은 우리를 향해
수직으로 뻗어있습니다

Thai: 
งั้นลองนิยามพารามิเตอร์อีกตัวนึง
เราจะเรียกตัวนี้ว่า t, ผมจะไปดูมุมสูงอีกรอบ
อันนี้เริ่มเลอะเทอะแล้ว
ขอผมวาดมุมบนอีกอันนึง
อย่างที่คุณเห็น, นี่เป็นเรื่องการมองภาพทั้งนั้น
งั้นสมมุติว่านี่คือแกน x, นี่คือแกน y
และเราอบกว่า เราเริ่มตรงนี้บนระนาบ z-y
เราห่างจากแกน z ไป b, ระยะนั่นก็คือ b
ในแผนภาพนี้, แกน z พุ่งออกมาหาเรา
มันพุ่งออกมาจากแผ่น
เรากำลังมองลงไป
มุมมองเดียวกันกับอันนั้น
สิ่งที่ผมเพิ่งวาด, ตอน s เท่ากับ 0 เรเดียน, เรา
กำลังออกมาตรงนี้, รัศมีนึงออกไปจาก
แกน y
แล้วเราก็หมุน
เมื่อเราหมุน, เราจะหมุนแล้ว
ออกมาถึงตรงนี้
นั่นคือตอนที่อยู่บนนั้น, แล้วกลับลงไป
ดังนั้นหากคุณมองด้านบนของวงกลม, มัน
จะดูเป็นแบบนั้น
ทีนี้, เพื่อสร้างโดนัท, เราจะต้องหมุน
ทั้งชุดนี่รอบแกน z
จำไว้ แกน z พุ่งออกมา
มันชี้ตรงมายังเรา

Czech: 
Takže definujeme další parametr:
Označíme ho „t“,
a znovu se podíváme shora.
Teď je to trochu nepřehledné,
nakreslím další pohled shora.
Je důležité si to celé správně představit.
Řekněme, že toto je osa „x“,
toto je osa „y“.
A řekli jsme, že začínáme v rovině „yz“,
Jsme ve vzdálenosti „b“ od osy „z“,
takže tato vzdálenost je „b“.
Osa „z“ v tomto nákresu
směřuje přímo k nám.
Vystupuje z nákresny.
Díváme se přímo dolů.
Je to stejný pohled jako tady.
A teď jsem nakreslil polohu
pro „s“ rovno 0 radiánů.
Budeme v tomto bodě,
o jeden poloměr dál po ose „y“.
A ten bod nyní rotuje.
Jak rotuje, dojde až sem.
Teď je v této poloze a pak se vrátí zpět.
Tak při pohledu na kružnici shora
to vypadá takto.
Abychom vznikla celá kobliha,
celá sestava se bude otáčet
kolem osy „z“.
Pamatujete,
osa „z“ směřuje před nákresnu.
Směřuje přímo k nám.

Polish: 
Zdefiniujmy zatem kolejny parametr.
Nazwiemy go t i przejdę znowu do widoku z góry.
Ten jest już zamazany,
zatem narysuję kolejny.
Jak widzicie, wszystko opiera się na wyobraźni.
Powiedzmy zatem, że to jest moja oś x, a to moja oś y.
I powiedzieliśmy, że zaczynamy tutaj na płaszczyźnie z-y.
Jesteśmy w odległości b od osi z, więc ta odległość to b.
Na tym rysunku, oś z skierowana jest w naszym kierunku,
"przebija kartkę".
Patrzymy w dół.
To jest taki sam widok jak tutaj.
I to co przed chwilą narysowałem, kiedy s jest równe 0 radianów, będziemy
tutaj, dokładnie o długość promienia dalej
wzdłuż osi y.
Następnie obracamy się
Jak będziemy się obracać, będziemy krążyć i
przechodzimy całą drogę tutaj.
Więc jeśli jesteśmy tutaj, to teraz idziemy w dół.
Zatem jeśli patrzysz na górę okręgu, to będzie
wyglądało tak.
Teraz aby stworzyć oponkę, będziemy musieli
obracać cały ten okrąg wokół osi z.
Pamiętaj oś z jest skierowana w naszym kierunku.
Grot jest skierowany w naszą stronę,

Turkish: 
Bir parametre daha tanımlayalım.
Buna t diyelim ve yine üstten bakalım.
Bu grafik biraz karıştı.
Başka bir tane çizeyim.
Olay, görsellemekten ibaret.
Bu x ekseni, bu da y ekseni. z y düzleminde başlamıştık.
-
z ekseninden b uzaklıktaydık, yani bu uzunluk b.
Bu çizimde z ekseni dışarı doğru çıkıyor.
-
Aşağıya bakıyoruz.
Buradakiyle aynı şey.
s 0 radyan eşit olduğunda, şurada olacağız. y ekseninde bir yarıçap uzaklıkta.
-
-
Sonra da dönmeye başlayacağız.
Dönerek buraya geleceğiz.
-
Ve buradan tekrar geri döneceğiz.
Çemberin üstüne bakarsanız, böyle görünecek.
-
Şimdi simidi oluşturmak için, bunun tamamını z ekseni etrafında döndürmemiz gerekiyor.
-
Hatırlarsanız, z ekseni dışarı doğru çıkıyordu.
-

Spanish: 
Está saliendo de su pantalla de vídeo.
Ahora para rotarlo, vamos a rotar este
un círculo alrededor del eje z.
Y para ello, vamos a definir un parámetro que nos dice cómo
mucho nos hemos girado.
Esto es cuando nos hemos rotado 0 radianes.
En algún momento, vamos a estar aquí, y lo haríamos
han girado, esto es b así, y va nuestro círculo
estar buscando como este.
Quizás es este punto nuestros anillos, justo ahí.
En ese momento, nos habría girado
digamos radianes p.
Por lo que este parámetro de cuánto tienen gira alrededor de la
eje z, cuánto hemos llegado alrededor de esa manera, estamos
vamos a llamar que t.
Y t también va a variar entre 0 y 2 pi.
Y quiero dejar esto muy claro.

Estonian: 
See tuleb teie ekraanist välja.
Nüüd keerame, me keerame
seda rinngi ümber z telje.
Ja et seda teha, me defineerime parameetri mis
ütleb meile kui palju me seda keerasime.
See on kui me oleme pööranud seda 0 radiaani.
Mingil hetkel, me oleme siin, ja me
oleme seda keeranud, see on samuti b, ja meie ring
hakkab olema selline.
See punkt on võib olla meie sõõrikul siin.
Sellel hetkel me oleme seda juba pööranud.
ütleme p radiaani.
See parameeter kui palju me oleme pööranud ümber
z telje, kui palju me oleme läinud selles suunas, me
kutsume seda t-ks.
Ja t hakkab samuti muutuma nulli ja kahe pi vahel.
Ja ma tahan seda teha väga selgeks.

Portuguese: 
Ele está saindo da tela de vídeo.
Agora, para girá-lo, vamos rodar este
círculo em torno do eixo z.
E para fazer isso, vamos definir um parâmetro que nos diz como
quanto temos que rodar.
Portanto, este é quando temos rodado 0 radianos.
Em algum momento, vamos ser aqui, e nós
ter rodado, este é b bem, e nosso círculo vai
para ser desse jeito.
Este é talvez este ponto em nosso donut, bem ali.
Nesse ponto, gostaríamos de ter rodado ele,
digamos p radianos.
Assim, este parâmetro de quanto temos girado em torno do
eixo z, o quanto temos ido ao redor dessa forma, estamos
vai chamar esse t.
E t também vai variar entre 0 e 2 pi.
E quero deixar isso bem claro.

English: 
It's coming out of
your video screen.
Now to rotate it, we're
going to rotate this
circle around the z-axis.
And to do that, we'll define a
parameter that tells us how
much we have rotated it.
So this is when we've
rotated 0 radians.
At some point, we're going to
be over here, and we would
have rotated it, this is b as
well, and our circle is going
to be looking like this.
This is maybe this point on
our doughnut, right there.
At that point, we would
have rotated it,
let's say p radians.
So this parameter of how much
have we rotated around the
z-axis, how much have we gone
around that way, we're
going to call that t.
And t is also going to
vary between 0 and 2 pi.
And I want to make
this very clear.

Czech: 
Vystupuje z obrazovky.
Tato kružnice teď bude rotovat
kolem osy „z“.
Míra této rotace bude určena
dalším parametrem, který teď definujeme.
Takto to vypadá pro rotaci o 0 radiánů.
Po rotaci o nějaký úhel budeme tady,
toto je pořád „b“,
a kružnice bude vypadat takto.
To odpovídá bodu někde tady na koblize.
Řekněme, že to je výsledek rotace
o „p“ radiánů.
Takže tento parametr, který určuje
míru rotace kolem osy „z“,
označíme „t“.
A „t“ také nabývá hodnoty mezi 0 a 2 pi.
A to bych chtěl objasnit.

Turkish: 
Video ekranından dışarı doğru.
Bu çemberi z ekseni etrafında çevirmemiz gerekiyor.
-
Ne kadar çevirdiğimizi bize söyleyecek bir parametreye ihtiyacımız var.
-
0 radyan çevirdiğimizde böyle olur.
Bir başka noktada ise, böyle olur, bu da b ve çemberimiz böyle görünür.
-
-
Belki simit üzerindeki bu noktadan bahsediyorum.
Diyelim ki, bu noktada p radyan çevirdik.
-
z ekseninde ne kadar çevirdiğimizin parametresine t diyeceğim.
-
-
t de 0 ile 2 Pi arasında değer alacak.
Bunu açıkça belirtmek istiyorum.

Polish: 
"wychodzi z twojego ekranu".
Teraz aby zrobić taki obrót, będziemy obracać
okrąg wokół osi z.
I aby to zrobić, zdefiniujemy parametr, który będzie nam mówił, jak
bardzo go obróciliśmy.
Więc, tu jesteśmy, gdy obrócimy się o 0 radianów.
W jakimś punkcie, będziemy tutaj i gdybyśmy
obracali, to to jest także b i nasz okrąg będzie
wyglądał tak.
To jest mniej więcej ten punkt na naszej oponce, tutaj.
Do tego punktu obróciliśmy się,
powiedzmy o t radianów.
Zatem parametr, mówiący jak bardzo się obróciliśmy wokół
osi z, jak daleko przeszliśmy po tej drodze, będziemy
nazywać t.
I t również będzie zmieniał się od 0 do 2 pi.
Chcę aby to było dobrze wyjaśnione.

Thai: 
มันออกมาจากหน้าจอวิดีโอ
ตอนนี้หมุนมัน, เราจะหมุนวงกลมนี่
รอบแกน z
เพื่อทำเช่นนั้น, เราจะกำหนดพารามิเตอร์ที่บอกเราว่า
เราหมุนไปมากแค่ไหน
นี่คือตอนที่เราหมุนไป 0 เรเดียน
ณ จุดนั้น, เราจะอยู่ตรงนี้, และเราก็หมุนมัน
นี่คือ b เหมือนกัน, วงกลมเราจะ
ออกมาเป็นแบบนี้
นี่อาจเป็นจุดบนโดนัท, ตรงนี้
ณ จุดนั้น, เราก็หมุนมัน,
สมมุติว่า p เรเดียน
พารามิเตอร์ที่บอกว่าเราหมุนรอบแกน z ไปเท่าไหร่,
เราหมุนไปแบบนั้นเท่าไหร่, เรา
เรียกมันว่า t
และ t จะแปรค่าระหว่าง 0 ถึง 2 ไพ
และผมอยากทำให้มันชัดเจน

Korean: 
이것은 영상 화면을 뚫고 나옵니다
이제 z축을 중심으로
이 원을 회전시켜야 합니다
따라서 얼마나 회전했는지를
나타내는 매개변수를 
정의할 것입니다
즉,  현재 상태는 0라디안을 
회전한 것입니다
어떤 시점에서 이만큼 
회전했을 것입니다
원의 중심까지 거리는 b이고,
원은 이렇게 선으로 나타납니다
이 시점은 아마 도넛에서 
이 상태일 것입니다
이 시점까지 p 라디안을
회전했다고 합시다
따라서 z축을 기준으로
얼마나 회전했는지를 나타내는
매개변수를 t 라고 합시다
t의 범위는 0이상 2π 입니다
다시 명확하게 표현해 보겠습니다

Czech: 
Nakresleme definiční obor,
množinu, jejíž body přiřazujeme ploše,
abychom tomu lépe porozuměli.
Takže nakreslíme to množinu a řekneme si,
jak tu plochu můžeme parametrizovat
pomocí funkce
s hodnotami polohových vektorů.
Takže tady máme osu „t“.
To odpovídá úhlu, o který jsme
provedli rotaci kolem osy „z“.
A tady dole máme osu „s“.
A myslím, že tohle vám pomůže
tomu porozumět.
Takže pro „s“ rovno 0,
když budeme měnit hodnotu „t“…
„s“ i „t“ se budou měnit od 0 do 2 pi.
Takže tady je 0, tady je 2 pi
a přidáme nějaké hodnoty mezi nimi.
Toto je pi, tady potom pi děleno 2,
tady je 3 krát pi děleno 2.
Stejně to uděláme na ose „t“.

Turkish: 
Tanım kümemizi çizelim ki, bunu tamamen anlayalım.
-
Şimdi biraz daha çizim yapayım, sonra da bunu nasıl konum vektör değerli fonksiyon halinde ifade edebileceğimizi konuşuruz.
-
-
Burası t ekseni. Hatırlarsanız, bu, z ekseni etrafında ne kadar döndürdüğümüzü belirtiyordu.
-
-
Buna da s ekseni diyelim.
Bu, işleri çok kolaylaştıracak.
s 0'a eşit olduğunda sadece t'yi değiştiriyoruz. İkisi de 0 ile 2 Pi arasında değer alacak.
-
Burası 0, bu da 2 Pi.
Aradaki değerlere bakayım.
Bu Pi, bu Pi bölü 2, bu da 3 Pi bölü 2.
-
t ekseninde de aynı şeyi yaparız.
2 Pi'ye kadar gidecek.

Polish: 
Narysujmy zbiór, który przekształcamy w
naszą powierzchnię, po to abyśmy dokładnie to zrozumieli.
Pozwól, że zrobię rysunek i powiemy, jak możemy
faktycznie to parametryzować w postaci
funkcji o wartościach wektorowych.
Zatem tutaj, nazwijmy to osią t.
To jest, jak pamiętasz, jak bardzo obróciliśmy się wokół
osi z, tutaj.
I nazwijmy tę oś poziomą, osią s.
Myślę, że to w dużym stopniu pomoże.
Więc kiedy s jest równe 0 i zmieniamy tylko t... oczywiście
obie zmieniają się od 0 do 2 pi.
Zatem tu będzie 0, a tu będzie 2 pi.
Zaznaczę kilka punktów pomiędzy.
To jest pi, tutaj będzie oczywiście pi przez 2,
tutaj będzie 3 pi przez 2
Robimy to samo na osi t.
Też będzie wzrastać do 2 pi.

Thai: 
ลองวาดโดเมนที่เราจับคู่ไปยัง
พื้นผิว, เราจะได้เข้าใจถ่องแท้
ขอผมวาด, แล้วผมจะอธิบายว่าเราจะ
ตั้งพารามิเตอร์มันเป็นฟังก์ชัน
มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่งอย่างไร
ตรงนี้, เรียกมันว่าแกน t แล้วกัน
จำไว้, นั่นคือปริมาณที่เราหมุน
ไปรอบแกน z ตรงนี้
ลองเรียกนี่ข้างล่างนี้ว่าแกน s
และผมว่านี่จะช่วยเราได้หน่อย
ตอน s เท่ากับ 0, เราแปรค่า t, ทั้งคู่
ก็จะแปรค่าระหว่าง 0 ถึง 2 ไพ
งั้นนี่ตรงนี้เป็น 0, นี่ตรงนี้คือ 2 ไพ
ขอผมเขียนอะไรสักอย่างระหว่างมัน
นี่คือ ไพ, นี่คือ ไพส่วน 2 แน่นอน, ไพ ส่วน 2,
นี่คือ 3 ไพ ส่วน 4
คุณทำแบบเดียวกันกับแกน p
มันจะขึ้นไปถึง 2 ไพ

English: 
Let's actually draw the domain
that we're mapping from to
our surface, so that we
understand this fully.
So let me draw some, and then
we'll talk about how we can
actually parameterize
that into a position
vector-valued function.
So right here, let's
call that the t-axis.
That's, remember, how much
we're rotated around
the z-axis right there.
And let's call this
down here our s-axis.
And I think this will help
things out a good bit.
So when s is equal to 0, and
we vary just t, so they're
both going to vary
between 0 and 2 pi.
So this right here is 0,
this right here is 2 pi.
Let me do some
things in between.
This is pi, this would be pi
over 2 obviously, pi over 2,
this would be 3 pi over 4.
You do the same thing
on the p-axis.
It's going to go up to 2 pi.

Spanish: 
Vamos a llamar realmente el dominio que le estamos asignando de a
nuestra superficie, por lo que entendemos esto completamente.
Así que permítanme señalar algunas, y luego hablaremos sobre cómo podemos
realmente parametrizar en una posición
función con valores vectoriales.
Tan derecho aquí, vamos a llamar el t-eje.
Que es, recuerda, cuánto estamos girados en torno a
el eje z en allí.
Y vamos a llamar a esto aquí abajo nuestra s-eje.
Y creo que esto ayudará a las cosas un poco bueno.
Cuando s es igual a 0, y variamos t justo, así que son
ambos vamos a variar entre 0 y 2 pi.
Así que aquí esto es 0, esto aquí es 2 pi.
Permítanme hacer algunas cosas en el medio.
Esto es pi, esto sería pi sobre 2 obviamente, pi más 2,
Esto sería pi 3 más 4.
Haces lo mismo en el eje de p.
Va a ir hasta 2 pi.

Estonian: 
Joonistame selle piirkonna mida me kujutame
meie pinnale, et me saaks sellest täielikult aru.
Las ma joonistan veidi ja siis räägime kuidas me saame
tegelikult parametriseerida seda
positsiooni vektorväärtusega funktsiooniks.
See siin, kutsume seda t teljeks.
Jätke meelde kui palju me pöörasime ümber
z telje.
Kutsume seda siin meie s teljeks.
Ma arvan, et see aitab veidi.
Kui s on võrdne nulliga ja me muudame ainult t, siis
mõlemad muutuvad nulli ja kahe pi vahel.
See siin on null ja see siin on kaks pi.
Las ma teen vahepeal mõned asjad.
See on pi, see oleks 0,5 pi,
see oleks 3 pi jagatud neljaga.
Te teete sama asi p teljel.
See hakkab olema kuni 2 pi.

Korean: 
이해를 돕기 위해
나타낸 정의역을 
그려보겠습니다
그림을 그린 후, 이것을 실제
위치벡터 함수로 
매개변수화하는 것에
대해 다루겠습니다
이것을 t 축이라고 합시다
t 는 z축을 기준으로
얼만큼 회전했는지를 
나타냅니다
아래 축을 s 축이라고 합시다
이것이 이해하는데 
도움을 줄 것입니다
s가 0이고 t 만 변화시키면,
0 부터 2π 사이에서 변화합니다
따라서 이 점이 0이고
이 점이 2π 입니다
0과 2π 사이에서 
진행하겠습니다
0과 2π의 중간이 π이고,
0과 π의 중간이 π/2 입니다
π 와 2π의 중간이
 3π/2 입니다
p 축에 대해서도 
같은 일을 반복합니다
이것은 0과 2π 사이에서
변화합니다

Portuguese: 
Vamos realmente tirar o domínio que estamos a mapeamento de
nossa superfície, de modo que compreendemos isso totalmente.
Então deixe-me tirar algumas, e depois vamos falar sobre como podemos
realmente parametrizar que em uma posição
função vectorial.
Tão certo aqui, vamos chamá-t que o eixo.
Que, lembre-se, o quanto estamos girado em torno de
o direito do eixo z lá.
E vamos chamar este aqui em baixo o nosso s eixo.
E eu acho que isso vai ajudar as coisas um bom bocado.
Então, quando s é igual a 0, e variam apenas de t, assim que são
tanto vai variar entre 0 e 2 pi.
Portanto, este aqui é 0, esta aqui é de 2 pi.
Deixe-me fazer algumas coisas no meio.
Este é pi, pi isso seria mais de 2 obviamente, mais de 2 pi,
isso seria mais de 4 pi 3.
Você faz a mesma coisa sobre o p-axis.
Vai para ir até 2 pi.

Spanish: 
Vamos a hacer eso.
Así que vamos a ir hasta 2 pi.
Realmente quiero que visualizar esto, porque entonces el
parametrización, creo, será bastante sencilla.
Eso es 2 pi, pi, esto es pi más 2, y
entonces esto es pi 3 más 4.
Así que vamos a pensar en lo que parece si sólo tienes s
constante en 0 y nosotros sólo variar t entre cero y 2 pi.
Y me deja hacer eso en magenta, aquí.
Así que estamos manteniendo constante s, y nosotros sólo estamos variando
el pi de parámetro 2.
Así, si lo piensas, debe simplemente formar una curva en
tres dimensiones, no de una superficie.
Porque somos sólo variable un parámetro aquí.
Así que vamos a pensar en lo que se trata.
Recuerde, es s, permítanme llamar mis ejes.
Por lo que es mi eje x, que es mi eje y, y luego

Turkish: 
-
-
Bunu iyice görsellemenizi istiyorum, çünkü o zaman parametrik denklemleri kolayca anlayabileceksiniz.
-
Bu 2 Pi, bu Pi, bu Pi bölü 2 ve 3 Pi bölü 2.
-
Şimdi s'yi 0'da tutarsak ve t'nin 0 ile 2 Pi arasında değer almasına izin verirsek ne olur, bunu düşünelim.
-
-
s sabit ve t parametresini değiştiriyoruz.
-
Bu, üç boyutta bir eğri oluşturur, yüzey değil.
-
Çünkü sadece bir parametre değiştiriyoruz.
Bunun ne olduğunu düşünelim.
Eksenleri çizeyim.
x ekseni, y ekseni.

English: 
Let's do that.
So we're going to
go up to 2 pi.
I really want you to visualize
this, because then the
parameterization, I think, will
be fairly straightforward.
So that's 2 pi, this is pi,
this is pi over 2, and
then this is 3 pi over 4.
So let's think about what it
looks like if you just hold s
constant at 0, and we just
vary t between zero and 2 pi.
And let me do that in
magenta, right here.
So we're holding s constant,
and we're just varying
the parameter 2 pi.
So this, if you think about it,
should just form a curve in
three dimensions,
not a surface.
Because we're only varying
one parameter right here.
So let's think about
what this is.
Remember, s is, let
me draw my axes.
So that is my x-axis, that
is my y-axis, and then

Thai: 
ลองทำดู
เราจะขึ้นไปถึง 2 ไพ
ผมอยากให้คุณนึกภาพนี้, เพราะ
การตั้งพาราเมทริก, ผมว่า, เป็นเรื่องตรงไปตรงมา
นั่นก็คือ 2 ไพ, นี่คือ ไพ, นี่คือ ไพ ส่วน 2, แล้ว
นี่คือ 3 ไพ ส่วน 4
งั้นลองคิดดูว่ามันจะเป็นยังไง หากคุณจับ s คงที่
ที่ 0, แล้วเราแปรค่าระหว่างศูนย์ถึง 2 ไพ
ขอผมเขียนด้วยสีบานเย็น, ตรงนี้
เราก็จับ s คงที่, เราจะแปร
พารามิเตอร์ 2 ไพ
งั้นนี่, หากคุณคิดดู, ควรสร้างเส้นโค้ง
ในสามมิติ, ไม่ใช่พื้นผิว
เพราะเราแปรค่าแค่พารามิเตอร์เดียวตรงนี้
งั้นลองคิดดูว่ามันคืออะไร
จำไว้, s คือ, ขอผมวาดแกนผมหน่อย
นั่นก็คือแกน x, นั่นคือแกน y, และนี่คือ

Polish: 
Zaznaczmy to.
Więc, będzie rosnąć do 2 pi.
Naprawdę chcę, żebyście to sobie wyobraził, ponieważ później
parametryzacja, tak myślę, będzie dosyć prosta.
Więc to jest 2 pi, to jest pi, to jest pi przez 2 i
tutaj jest 3 pi przez 2
Więc pomyślmy jak to wygląda, jeżeli s będzie
stale równe 0, a będziemy zmieniać tylko t od zera do 2 pi.
Pozwól, że narysuję to w kolorze fioletowym.
Zatem s jest stałe i zmieniamy tylko
parametr t do 2 pi.
Więc to, jeśli chwilę pomyśleć, powinno stworzyć krzywą w
trzech wymiarach, nie powierzchnię.
Ponieważ tutaj zmieniamy tylko jeden parametr.
Więc pomyślmy co to jest.
Pamiętaj, s jest... Narysuję najpierw moje osie.
Więc to jest oś x, to jest oś y i w końcu

Estonian: 
Teeme seda.
Meil hakkab olema kuni 2 pi.
Ma väga tahan et te kujutaks seda ette, kuna
siis parametriseerimine on üpris otsene.
See on 2 pi, see on pi, see on pi jagatud kahega, ja
see siis on 3 pi jagatud neljaga.
Mõtleme kuidas see välja näeb kui te lihtsalt hoiate
s konstanti nullis, ja muudate t nulli ja 2 pi vahel.
Las ma teen seda punasega, siin.
Me peame s konstandina, ja me muudame
parameeter 2 pi.
nii, kui te mõtlete selle üle, see peaks moodustama joone
kolmes dimensioonis, mitte pinna.
Sest me muudame ainult ühte parameetrit siin.
Mõtleme mis see siis on.
Jätke meelde, s on, las ma joonistan oma teljed.
See on mux telg, see on mu y telg ja siis

Czech: 
Jde to až do 2 pi.
Toto je dobré si představit,
protože potom bude parametrizace zřejmá.
Takže toto je 2 krát pi, toto je pi, toto
je pi děleno 2 a toto 3 krát pi děleno 2.
Pojďme se zamyslet, jak to bude vypadat,
když necháme „s“ konstantní rovno 0
a „t“ bude nabývat hodnot mezi 0 a 2 pi.
Udělám to purpurově.
Takže „s“ držíme konstantní,
a „t“ se mění mezi 0 a 2 pi.
Když se nad tím zamyslíte, mělo by to
vytvořit křivku ve 3 rozměrech, ne plochu.
Teď měníme hodnotu jen jednoho parametru.
Takže co to vlastně je?
Víme, že „s“ je…
Nakreslím osy.

Korean: 
해봅시다
2π 까지 올라갑니다
매개변수화를 쉽게 하려면,
이것을 정말로 시각화 
할 수 있어야 합니다
각가 2π, π, π/2,
3π/2 입니다
s를 0으로 고정시키고, 
t를 0부터 2π사이에서
변화시키면 어떤 모양이 
나오는지 생각해봅시다
주홍색으로 그려보겠습니다
s를 0으로 상수 취급하고,
t를 0부터 2π 까지 
변화시킵니다
이것을 3차원 공간에서,
평면이 아니라 곡선입니다
하나의 변수만 변화하기
때문입니다
그게 무언이지
 알아봅시다
축을 그려보겠습니다
각각 x축, y축,

Portuguese: 
Vamos fazer isso.
Então, nós estamos indo para ir até 2 pi.
Eu realmente quero que você visualize isso, porque então o
parametrização, eu acho, vai ser bastante simples.
Então, isso é 2 pi, pi este é, este é mais de 2 pi, e
então este é de 3 pi mais de 4.
Então, vamos pensar sobre o que parece que se você apenas segurar s
constante a 0, e nós apenas t variam entre zero e 2 pi.
E deixe-me fazer isso em magenta, aqui mesmo.
Então, nós estamos segurando s constante, e nós somos apenas diferentes
o parâmetro 2 pi.
De modo que este, se você pensar sobre isso, deve apenas formar uma curva em
três dimensões, e não uma superfície.
Porque estamos variando apenas um parâmetro aqui.
Então, vamos pensar sobre o que é isso.
Lembre-se, s, deixe-me tirar o meu eixos.
Então esse é o meu eixo-x, que é o meu eixo-y, e depois

Thai: 
ผมทำเลอะขึ้นเรื่อย ๆ แล้ว
นั่นคือแกน z ใช่ -- ที่จริง, ขอผมวาดมัน
ใหญ่กว่านั้นหน่อย
ผมว่ามันช่วยให้เห็นภาพง่ายขึ้น
ใช้ได้แล้ว
นี่คือแกน x, นั่นคือแกน y, แล้วแกน z ผม
ขึ้นมาแบบนั้น, แกน z
ทีนี้จำไว้ล ตอน s เท่ากับ 0, นั่นหายถึงเราไม่ได้
หมุนทรงกลมนี้เลย
นั่นหมายความว่าเราอยู่ตรงนี้
เราห่างออกไป b, แล้ว a ออกไปอีกที
จริงไหม?
เราไม่ได้หมุนรอบนี่เลย
เราตั้ง s เท่ากับศูนย์
ดังนั้น, ที่สุดแล้วเราอยู่ห่างออกไป b, ดังนั้นนี่จะ
ห่างออกไป b, แล้วเราจะ
ห่างออกไปอีก a
b คือศูนย์กลางของวงกลม, แล้วเราก็ห่างออกไป
อีก a
เราจะไปอยู่ตรงโน้น
นี่คือ a บวก b ออกไป
แล้วเราจะแปรค่า t
จำไว้, t คือปริมาณที่เราไปรอบแกน z

Polish: 
to jest moja... Robię to coraz mniej starannie.
To jest oś z, dobrze... Nie, lepiej narysuję to
trochę większe.
Myślę, że to pomoże wszystkim w wyobrażeniu sobie.
Dobrze.
Więc to jest moja oś x, to jest oś y i to jest oś z
idąca do góry, oś z.
Teraz jak pamiętasz, kiedy s jest równe 0, to znaczy, że w ogóle
nie obracaliśmy się po tym okręgu.
To znaczy, że jesteśmy tutaj.
Czyli będziemy w odległości b i jeszcze dodać a.
Dobrze?
Nie obracaliśmy tutaj w ogóle.
Ustaliliśmy s równe zero.
Więc istotnie, będziemy w odległości b stąd, więc to
będzie odległość b i trzeba jeszcze
dodać a.
b jest środkiem okręgu, więc oddalamy się
od niego o a.
Będziemy właśnie w tym miejscu.
Więc tutaj będzie a plus b.
I teraz będziemy zmieniać t.
Pamiętasz, t oznaczało, jak daleko obróciliśmy się wokół osi z.

Czech: 
Takže toto je osa „x“,
toto osa „y“,
a toto je osa „z“…
Nakreslím to větší.
Pomůže to názornosti.
Takže toto je osa „x“,
toto osa „y“,
a potom osa „z“ jde takto.
A víme, že když „s“ je rovno 0,
znamená to,
že po této kružnici nebyla žádná rotace.
Takže jsme tady.
Budeme ve vzdálenosti „b“ a k tomu „a“.
Po této kružnice nebyla žádná rotace.
Hodnota „s“ je rovna 0.
Takže budeme ve vzdálenosti „b“,
toto je vzdálenost „b“,
a ještě k tomu jsme vzdáleni o „a“.
„b“ je poloměr kružnice, a my jsme ještě
o „a“ dál od středu.
Budeme v tomto bodě.
Takže tento bod je vzdálen „a“ plus „b“.
A bude se měnit hodnota „t“.
Pamatujete, „t“ odpovídá tomu,
o kolik jsme se otočili kolem osy „z“.

Spanish: 
Esto es mío, estoy recibiendo messier y messier.
Esa es mi eje z, derecho--en realidad, permítanme dibujar un
un poco más grande que eso.
Creo que ayudará a todos nuestros visualizaciones.
Muy bien.
Así que esta es mi eje x, que es mi eje y y luego mi z
sube como ese. eje z.
Ahora recuerdo, cuando s es igual a 0, lo que significa que no tenemos
gira alrededor de este círculo en absoluto.
Eso significa que estamos aquí.
Vamos a estar lejos b y luego un lejos otra vez.
¿Verdad?
No hemos girado alrededor de esto en absoluto.
S que nos estamos fijando como igual a cero.
Así que básicamente, vamos a ser b, por lo que esto va a
mantener una distancia de b lejos, y, a continuación, vamos a
otro ser un visitante.
El b es el centro del círculo, y luego vamos
a ser otro un lejos.
Vamos a estar por allí.
Esto es un plus b lejos.
Y, a continuación, vamos a variar t.
Recuerde, la t fue cuánto nos hemos ido alrededor del eje z.

Turkish: 
-
z ekseni. Biraz büyüteyim.
-
-
Tamam.
x ekseni, y ekseni ve z ekseni de böyle çıkar.
-
s 0 olduğunda, çemberi çevirmemiş olurum.
-
Yani buradayız. b uzaklığında olacağız ve de a uzaklığında.
-
Öyle değil mi?
Hiç bir çevirme yapmadık.
s'yi 0'a eşitledik.
Yani b uzaklıktayız ve bir de a uzaklıkta olacağız.
-
-
b çemberin merkezi ve bir de a uzaklığı olacak.
-
Burada olacağız.
a artı b uzaklığında.
t değişik değerler alacak.
Hatırlarsanız, t, z ekseni etrafında en kadar hareket ettiğimizdi.

Korean: 
그리고 z축입니다
조금만 더 크게
그려보겠습니다
시각화에 도움이 될
것입니다
 
각각 x축, y축, z축입니다
위로 뻗은 것이 z축입니다
s를 0으로 고정한다는 의미는
맨 위 그림에서 원주를 따라
회전하지 않았다는 것입니다
원점으로 부터 원의 중심이
b만큼 떨어져 있고,
원의 중심에서 a만큼 
떨어져 있습니다
s를 0으로 고정시키겠습니다
b만큼 떨어지고,
또 a만큼 떨어져야
합니다
b는 원의 중심까지 거리이고,
원의 중심에서 a만큼 
떨어져 있습니다
따라서 y축 위에서
원점으로부터 a+b 만큼
떨어진 곳에 있습니다
그리고 t를 변화시킵니다
t는 z축을 기준으로 얼마나 
회전시켰냐 입니다

Estonian: 
see on mu-- ma muutun aina segasemaks.
See on mu z telg, tegelikult sas ma joonistan
selle veidi suuremana.
Ma arvan et see aitab meie kõiki ettekujutamisi.
Olgu.
See on siis mu x-telg, see on mu y telg ja see siis z telg
mis läheb nii üles
Jätke meelde, kui s on null see tähendab, et me
ei ole seda ringi üldse pööranud.
See tähendab, et me oleme siin.
Me oleme b kaugusel, siis a kaugusel.
on nii?
Me pole seda üldse pööranud.
Me paneme s võrduma nulliga.
Põhimõtteliselt me oleme b kaugusel, siis
see on b kaugusel ja siis me
oleme a kaugusel.
b on ringi keskel ja siis me
oleme a kaugusel.
Me oleme seal.
See on a plus b kaugusel.
Ja siis me muudame t.
Jätkem meelde, t oli nii palju kui palju me oleme ümber z telje käinud.

Portuguese: 
este é o meu, estou ficando mais confuso e mais confusa.
Esse é o meu eixo z, direito - na verdade, deixem-me chamar-lhe um
pouco maior do que isso.
Eu acho que vai ajudar todos os nossos visualizações.
Tudo certo.
Então este é o meu eixo-x, que é meu eixo-y, e então o meu eixo z
sobe assim. z-eixo.
Agora lembre-se, quando s é igual a 0, isso significa que não temos
girado em torno deste círculo em tudo.
Isso significa que nós estamos aqui.
Vamos ser b longe, e então uma outra vez.
Certo?
Nós não temos girado em torno de tudo isso.
Estamos montando s igual a zero.
Então, basicamente, vamos ser b afastado, assim que isso vai
ser uma distância de b de distância, e depois vamos
ser outra de distância.
A b é o centro do círculo, e depois vamos
ser outra de distância.
Vamos ser bem ali.
Então este é um b mais longe.
E depois vamos variar t.
Lembre-se, t foi o quanto nós fomos ao redor do eixo z.

English: 
this is my, I'm getting
messier and messier.
That is my z-axis, right--
actually, let me draw it a
little bit bigger than that.
I think it will help all
of our visualizations.
All right.
So this is my x-axis, that is
my y-axis, and then my z-axis
goes up like that. z-axis.
Now remember, when s is equal
to 0, that means we haven't
rotated around this
circle at all.
That means we're out here.
We're going to be b away,
and then a away again.
Right?
We haven't rotated
around this at all.
We're setting s as
equal to zero.
So essentially, we're going to
be b away, so this is going to
be a distance of b away, and
then we're going to
be another a away.
The b is the center of the
circle, and then we're going
to be another a away.
We're going to be
right over there.
So this is a plus b away.
And then we're going to vary t.
Remember, t was how much we've
gone around the z-axis.

Korean: 
위 그림은 z축에서
내려다 볼때의 그림입니다
s가 0이고 t축을 0부터 2π까지
변화시키는 것은,
도넛의 단면의 원주곡선에
해당합니다
도넛의 단면에서,
바깥쪽 원주와 같습니다
바깥쪽 원주를 그리겠습니다
그림을 잘 그리기 위해
축에서 정의역의 양과 음의 부분을
모두 그리겠습니다
3차원 공간에서
 시각화하기 쉬워 졌습니다
점선은 x,y,z축의 음의 부분입니다
t-s 평면에서 주홍색 선은
s를 0으로 고정하고 t를 
증가시키면
t는 각 0, 2π,
그리고 π, 3π/2이고
다시 도착하면  2π가 됩니다

Portuguese: 
Estas foram vistas superior aqui.
Então, essa linha aqui, em nosso domínio st, podemos dizer, quando nós
mapeá-lo, ou parametrizar isso, ele vai corresponder à curva
que é essencialmente a borda externa são donut.
Se esta é a visão de cima da rosca, que será o exterior
borda da rosca, assim mesmo.
Então deixe-me chamar a borda externa.
E para fazer isso um pouco melhor, deixe-me tirar dos eixos
em ambos os aspectos positivos e negativos do domínio.
Pode fazer meu gráfico um pouco mais fácil de visualizar as coisas.
Domínio positivo e negativo, este é negativo z ali.
Então esta linha no nosso plano ts, eu acho que poderíamos dizer, este
linha magenta, temos s em 0 radianos e aumentamos t, este
é t é zero, isto é t é igual a 2 pi, que t é
igual a pi, isto é t é igual a 3 pi sobre 2, todo o caminho
de volta para t é igual a 2 pi.

Thai: 
นี่คือมุมด้านบนตรงนี้
ดังนั้นเส้นนี่ตรงนี้, ในโดเมน s-t, เราก็บอกได้ว่า, ตอนเราโยงมัน
หรือตั้งพาราเมทริกให้มัน, มันจะตรงเป็นเส้นโค้ง
ที่เป็นขอบนอกของโดนัท
หากนี่คือมุมบนของโดนัท, มันจะเป็นขอบนอก
ของโดนัท, แบบนั้น
ขอผมวาดขอบนอกหน่อยนะ
และถ้าทำให้ดีกว่านี้ล ขอผมวาดแกน
ทั้งโดเมนบวกและลบนะ
มันอาจทำให้กราฟผมดูง่ายขึ้น
โดเมนบวกและลบ, นี่คือลบ z ตรงนั้น
งั้นเส้นนี้ในระนาบ t-s เรา, ผมเดาว่าเราบอกได้ว่า, เส้น
สีบานเย็นนี่, เราให้ s อยู่ที่ 0 เรเดียนแล้วเราเพิ่ม t,
นี่คือ t เป็นศูนย์, นี่คือ t เท่ากับ 2 ไพ, นั่นคือ t
เท่ากับ ไพ, นี่คือ t เท่ากับ 3 ไพส่วน 2, ไปจนถึง
t เท่ากับ 2 ไพ

English: 
These were top views over here.
So this line right here, in our
s-t domain, we can say, when we
map it, or parameterize it,
it'll correspond to the curve
that's essentially the outer
edge of are doughnut.
If this is the top view of the
doughnut, it will be the outer
edge of the doughnut,
just like that.
So let me draw the outer edge.
And to do that a little bit
better, let me draw the axes
in both the positive and
the negative domain.
It might make my graph a little
bit easier to visualize things.
Positive and negative domain,
this is negative z right there.
So this line in our t-s plane,
I guess we could say, this
magenta line, we hold s at 0
radians and we increase t, this
is t is zero, this is t is
equal to 2 pi, that's t is
equal to pi, this is t is equal
to 3 pi over 2, all the way
back to t is equal to 2 pi.

Spanish: 
Estos fueron vistas superiores aquí.
Por lo tanto esta línea justo aquí, en nuestro dominio de s-t, podemos decir, cuando nos
mapa, o parametrizarlo, le corresponden a la curva
que es esencialmente el borde exterior del son circulares.
Si esta es la vista superior de la rosquilla, será el exterior
borde de la rosquilla, nomás.
Así que permítanme dibujar el borde exterior.
Y para hacer un poco mejor, me deja dibujar los ejes
en tanto el positivo y el dominio negativo.
Mi gráfico puede ser un poco más fácil de visualizar las cosas.
Dominio positivo y negativo, esto es negativo z allí.
Para esta línea en nuestro avión t-s, supongo que podríamos decir, esto
línea magenta, tenemos s a 0 radianes y aumentamos t, esto
es t es cero, esto es t es igual a 2 pi, t que es
Esto es igual a pi, t es igual a pi 3 más 2, completamente
Back to t es igual a 2 pi.

Polish: 
To było na rysunkach na górze.
Zatem ta linia tutaj, na naszym wykresie s i t, możemy powiedzieć, że kiedy
ją przekształcamy albo parametryzujemy, będzie odpowiadać krzywej,
która będzie zewnętrznym brzegiem naszej oponki.
Jeśli to jest widok z góry na oponkę, to będzie zewnętrzny
brzeg oponki, właśnie ten.
Więc narysuję zewnętrzny brzeg.
I aby to zrobić trochę lepiej, narysuję osie
zarówno z liczbami dodatnimi jak i ujemnymi.
Może wtedy wykres lepiej zadziała na wyobraźnię.
Dodatnia i ujemna strona... to jest ujemna strona z-ów.
Więc ta kreska na naszym układzie t-s, może powiem: ta
fioletowa linia, trzymamy s w zerze i zmieniamy t, tutaj
jest t równe zero, tutaj t równe pi przez 2, tutaj t
równe pi, tutaj t równe 3 pi przez 2 i na końcu drogi
t jest równe 2 pi.

Czech: 
Toto jsou pohledy shora.
Takže tato přímka v oblasti „s, t“
se zobrazí, když ji parametrizujeme.
Bude odpovídat křivce,
která je vnější hranou koblihy.
Pokud toto je pohled na koblihu shora,
bude to její vnější hrana.
Takže nakreslím vnější hranu.
Aby to bylo o něco lepší,
nakreslím osy pro kladné i záporné hodnoty.
Graf tak bude názornější.
Kladná a záporná oblast,
tady je „z“ záporné.
Takže tato purpurová přímka v rovině „ts“,
když „s“ držíme rovno 0 radiánů
a zvětšujeme „t“,
tady je „t“ rovno 0,
tady pi děleno 2,
tady je „t“ rovno pi,
tady 3 krát pi děleno 2,
a na konci je „t“ rovno 2 pi.
Tato přímka odpovídá této křivce,

Turkish: 
Bunlar üstten baktığımız zaman gördüklerimizdi.
s t tanım kümemizdeki bu doğru, simidimizin dışındaki eğriye denk gelecek.
-
-
Simidin üstünden baktığımızda, burası simidin dış tarafı olacak.
-
Dışını çizeyim.
Artı ve eksi yöndeki tanım kümesi eksenlerini de çizeyim.
-
Grafikte olan biteni daha iyi görsellememizi sağlayabilir.
Eksi z bu yönde.
t s düzlemindeki bu doğru için, s'yi 0 radyanda tutuyoruz ve t'yi artırıyoruz. Burada t 0, burada Pi bölü 2, burada Pi ve 3 Pi bölü 2. Ve, 2 Pi'ye geri döner.
-
-
-
-

Estonian: 
Need olid pealtvaated.
See joon siin, see on meie s-t piirkond, kui me
kujutame seda, või parametriseerime, see vastab sellele joonele
mis on meie sõõriku välisjoon.
Kui see on sõõriku pealtvaade, siis see on
sõõriku välisjoon.
Las ma joonistan selle ääre.
ja et seda teha veidi paremini ma joonistan
teljed nii positiivses kui ka negatiivses piirkonnas.
See võib olla teeb mu graafiku veidi selgemaks.
Positiivne ja negatiivne piirkond, see on negatiivne z.
See on meie t-s tasand, ma arvan et me võime nii öelda,
see punane joon, me hoiame s nullil radiaanil ja me suurendame t, see
t on null, see t on võrdne 2 pi-ga, see t on
võrgne pi-ga, see t on võrddne 3 pi jagatud kahega, minnes tagasi t juurde
mis on võrdne 2 pi.

Czech: 
rotaci s rostoucím „t“
a s konstantním „s“ rovným 0.
Pojďme se na to podívat jinak.
Řekněme, že „s“ je rovno pi.
Když „s“ je rovno pi,
otočili jsme se o 180 stupňů
po této kružnici,
po každé z těchto kružnic.
Takže jsme tady.
A teď budeme držet „s“ rovno pi
a rotovat, abychom dostali koblihu.
Tak vytvoříme vnitřek koblihy.
Když „s“ je rovno pi, a „t“ začne na 0,
když „s“ je pi a „t“ je 0, budeme
blíž ke středu, než je střed kružnice.
Budeme přesně tady.
A potom, když zvětšujeme „t“ a jdeme dál,
„s“ držíme rovno pi,

Turkish: 
s'yi 0'da sabit tutup, t'yi artırdığımızda, bu doğru şu doğruya denk gelir.
-
Şimdi bir başka değere bakalım.
s eşittir Pi olduğunda, Pi 180 dereceye denktir.
-
s Pi olduğunda, çemberin etrafında 180 derece gitmiş oluyoruz.
-
Yani buradayız.
Pi'de sabit tutalım ve simidi oluşturmak için döndürelim.
-
Böylece simidin içini oluştururuz.
s eşittir Pi için, t'yi 0'dan başlatıyoruz.
Burası çemberin merkeziydi, bunun a altında olacağız.
-
Şurada olacağız.
t'yi artırdıkça, s Pi'de sabit olduğunda, simidin içini çizeceğiz. Şöyle bir şeye benzeyecek.
-

Spanish: 
Esta línea corresponde a esa línea, como nos gire, como nos
aumentar t y mantenga constante s a 0.
Ahora vamos a hacer otro punto.
Vamos a decir cuando s es pi, derecho, recuerda, cuando es s
en pi, hemos ido exactamente, pi es 180 grados.
Cuando s es pi, hemos ido exactamente 180 grados
alrededor del círculo, alrededor de cada uno de estos círculos.
Así que estamos por allí.
Y ahora vamos a mantenerla constante en pi y girarla
alrededor para formar nuestros anillos.
Así que vamos a formar el interior de nuestros anillos.
Cuando s está en pie, y vamos a tomar t de 0, cuando
s es pi y t es 0, vamos a estar, esto fue el centro de
nuestro círculo, vamos a ser una por debajo.
Vamos a estar por allí.
Y entonces, como nos varían, ya que incrementamos t, así que a medida que avanzamos hacia arriba
a lo largo, sostiene s en pi y aumentamos t, vamos a

Korean: 
s를 0으로 상수 취급하고
t를 증가하여
주홍색 선과 원주는 대응됩니다
또 다른 것을 해봅시다
s가 π라도 하면,
π는 180° 입니다
s가 π일 때, 원에서 180°만큼
회전한 곳입니다
여기 있습니다
s를 π로 상수 취급하고,
도넛을 만들기 위해
회전시켜 봅시다
따라서 도넛의 안쪽을
얻습니다
즉, s가 π이고 t이면,
y축 위에 나타낸 b에 있는
원의 중심에서 a만큼 
왼쪽으로 간 지점이 됩니다
여기에 있습니다
s를 π로 고정하고
t를 증가시키면,

Thai: 
เส้นนี้ตรงกับเส้นนั้น, เมื่อเราหมุน, ตอนเริ่ม
t ไปและจับ s คงที่ที่ 0
ลองทำอีกจุดนึง
สมมุติว่าตอน s เท่ากับไพ, ตรงนี้, จำไว้, ตอน s
เท่ากับ ไพ, เราไปตรงที่, ไพ เท่ากับ 180 องศา
ตอน s คือ ไพ, เราจะไป 180 องศาเป๊ะ
รอบวงกลม, รอบวงกลมพวกนี้แต่ละอัน
เราก็จะอยู่ตรงนี้
และตอนนี้ให้มันอยู่ที่ ไพ คงที่, แล้วหมุนมัน
เป็นรอบ ๆ เพื่อสร้างโดนัท
เราก็จะได้ขอบในของโดนัท
ตอน s อยู่ที่ไพ, และเราให้ t ไปจาก 0, แล้ว
ตอน s เท่ากับ ไพ และ t เท่ากับ 0, เราจอะได้, นี่คือศูนย์กลาง
ของวงกลมเรา, เราจอยู่ใต้นั่น
เราะจอยู่ตรงนั้น
แล้วเมื่อเราแปรค่า, เมื่อเราเพิ่ม t, เราก็เคลื่อนที่ขึ้น
ไปตาม, จับ s อยู่ที่ไพ, และเราเพิ่ม t, เราจะเดินตาม

Portuguese: 
Esta linha corresponde a essa linha, como girar, como nós
aumentar a t s e mantenha constante a 0.
Agora vamos fazer um outro ponto.
Digamos que quando s está no pi, certo, lembre-se, quando é s
na pi, fomos exatamente, pi é de 180 graus.
Quando s está no pi, fomos exatamente 180 graus
ao redor do círculo, em torno de cada um destes círculos.
Então, nós estamos bem ali.
E agora vamos segurá-la constante em pi, e gire-o
ao redor para formar a nossa rosquinha.
Então, vamos para formar o interior do nosso donut.
Então, quando s está em pizza, e nós vamos tomar t de 0, então quando
s é pi e t é 0, nós vamos ser, este era o centro do
nosso círculo, vamos ser um abaixo disso.
Vamos ser bem ali.
E então como nós variar, à medida que aumentamos t, de modo que subimos
junto, segurando s na pi, e nós aumentamos t, vamos

English: 
This line corresponds to that
line, as we rotate, as we
increase t and hold
s constant at 0.
Now let's do another point.
Let's say when s is at pi,
right, remember, when s is
at pi, we've gone exactly,
pi is 180 degrees.
When s is at pi, we've
gone exactly 180 degrees
around the circle, around
each of these circles.
So we're right over there.
And now let's hold it constant
at pi, and then rotate it
around to form our doughnut.
So we're going to form the
inside of our doughnut.
So when s is at pie, and we're
going to take t from 0, so when
s is pi and t is 0, we're going
to be, this was the center of
our circle, we're going
to be a below that.
We're going to be
right over there.
And then as we vary, as we
increase t, so as we move up
along, holding s at pi, and we
increase t, we're going to

Polish: 
Ta linia odpowiada tej linii, kiedy obracamy, kiedy
zmieniamy t, a s jest stale równe 0.
Teraz przejdźmy do kolejnego punktu.
Powiedzmy, że kiedy s jest równe pi, dobrze, pamiętasz - kiedy s jest
równe pi, przeszliśmy dokładnie (pi to 180 stopni)...
Kiedy s jest w pi, zatoczyliśmy dokładnie kąt 180 stopni
na okręgu, na każdym z tych okręgów.
Więc jesteśmy w tym miejscu.
I teraz trzymajmy s stale równe pi i obracajmy
wokół, aby utworzyć oponkę.
Zatem będziemy tworzyć wnętrze naszej oponki.
Więc kiedy s jest w punkcie pi i będziemy brali t od 0... Kiedy
s jest równe pi i t równe 0, będziemy... To był środek
naszego okręgu. Będziemy po jego lewej stronie.
Będziemy w tym miejscu.
I następnie, gdy będziemy zmieniać, gdy t będzie wzrastać, czyli będziemy poruszać się
w górę, trzymając s w pi, zwiększamy t, będziemy

Estonian: 
See joon vastab tollele joonele kui me seda pöörame, kui me
suurendame t ja hoiame s konstanti nullis.
Teeme nüüd uue punkti.
Ütleme kui s on pi,
me oleme liikunud 180 kraadi.
Kui s on pi me oleme liikunud 180 kraadi
ümber ringi, ümber kõigi nende ringide.
Me oleme siin.
Ja nüüd hoiame seda konstantsena pi-s, jasiis pöörame seda
ümber, et moodustada meie sõõrikut.
Nüüd formuleerime meie sõõriku sisemuse.
Kui s on pi, ja me võtame t nullist, siis
s on pi ja t on null, see oli
meie ringi keskpunkt, me oleme selle all.
Me oleme seal.
Ja siis kui me muudame, me suurendame t, nii et kui me liigume
üles, hoides s pi-s, ja me suurendame t-d, me

Spanish: 
trazar el interior de nuestras circulares, que se verán
algo así.
Fue mi mejor tiro a introducirlo.
Y, a continuación, podemos hacer esto varias veces.
Cuando s es pi 2 más, quiero hacer varios colores diferentes,
Cuando s es pi 2 más, nos hemos girado hasta aquí exactamente
¿90 grados, correctas?
En este punto, el PI más 2 es 90 grados.
Y, a continuación, si variamos t, nos estamos esencialmente seguimiento la
¿parte superior de la rosquilla, correcto?
Así que permítanme Asegúrese de que lo llamo.
Para la sección de la Cruz, la parte superior de la rosquilla, vamos
para empezar por aquí.
Así que cuando s es pi 2 más y que lo varían a derecho y luego le
muy t, estoy teniendo problemas para dibujar líneas rectas.
Y entonces usted variar t, va a tener este aspecto.
Es la parte superior de ese círculo allí.
La parte superior de este círculo va a estar allí.
La parte superior de este círculo va a ser justo por allí.
Parte superior del círculo va a ser justo por allí.
Entonces acabo de conectar los puntos.
Va a ser algo así.

English: 
trace out the inside of our
doughnut, that will look
something like that.
That was my best
shot at drawing it.
And then we can do
that multiple times.
When s is pi over 2, I want to
do multiple different colors,
when s is pi over 2, we've
rotated up here exactly
90 degrees, right?
Pi over 2 is 90 degrees
at this point.
And then if we vary t, we're
essentially tracing out the
top of the doughnut, right?
So let me make sure I draw it .
So the cross section, the top
of the doughnut, we're going
to start off right over here.
So when s is pi over 2, and you
vary it right, and then you
very t, I'm having trouble
drawing straight lines.
And then you vary t, it's
going to look like this.
That's the top of that
circle right there.
The top of this circle is
going to be right there.
The top of this circle is
going to be right over there.
Top of the circle is going
to be right over there.
So then I just
connect the dots.
It's going to look
something like that.

Polish: 
zakreślać wewnętrzny brzeg naszej oponki, który będzie wyglądał
mniej więcej tak.
Narysowałem to najlepiej jak umiałem.
I tak możemy to robić wiele razy.
Kiedy s jest równe pi przez 2, chcę to zrobić różnymi kolorami,
kiedy s równa się pi przez 2, obróciliśmy się tutaj, dokładnie
90 stopni, tak?
Pi przez 2 to 90 stopni w tym punkcie.
I teraz jeśli zmieniamy t, zakreślamy dokładnie
szczyt oponki, dobrze?
Dla pewności narysuję to.
Tak więc przekrój... Szczyt oponki,
zaczniemy w tym miejscu.
Więc kiedy s równa się pi przez 2 i zmieniamy, następnie
zmieniamy t. Mam problem z rysowaniem prostych linii.
I kiedy zmieniamy t, będzie to wyglądało tak.
To jest wierzchołek tego okręgu.
Wierzchołek tego okręgu będzie tutaj.
Wierzchołek tego okręgu będzie tutaj.
Wierzchołek tego okręgu będzie tutaj.
I teraz połączę kropki.
I będzie to wyglądało mniej więcej tak.

Portuguese: 
traçar o interior do nosso donut, que vai olhar
algo assim.
Essa foi a minha melhor chance de desenhá-lo.
E então nós podemos fazer isso várias vezes.
Quando s é pi sobre 2, eu quero fazer várias cores diferentes,
quando s é pi mais de 2, temos rodado aqui exatamente
90 graus, certo?
Pi mais de 2 é de 90 graus neste momento.
E então se nós variam t, estamos essencialmente traçando o
topo da rosca, certo?
Então deixe-me garantir que eu desenhá-lo.
Assim, a seção transversal, na parte superior da rosca, vamos
para começar bem aqui.
Então, quando s é pi mais de 2, e você variar a direita, e então você
t muito, estou tendo problemas para desenhar linhas retas.
E então você variar t, que vai ficar assim.
Isso é o topo do círculo ali.
A parte superior do círculo vai ser ali mesmo.
A parte superior do círculo vai ser bem ali.
Parte superior do círculo vai ser bem ali.
Então eu apenas ligar os pontos.
Vai ser algo como isso.

Czech: 
když jdeme dál s rostoucím „t“,
pohybujeme se po vnitřní hraně koblihy.
Ta vypadá asi takto.
Lépe už to nenakreslím.
A to celé můžeme udělat několikrát.
Když „s“ je rovno pi děleno 2…
Použiji na to různé barvy.
Když „s“ je rovno pi děleno 2,
otočil jsme se právě o 90 stupňů.
Po otočení o 90 stupňů jsme v tomto bodě.
A když potom měníme hodnotu „t“,
pohybujeme se po vršku koblihy.
Tak to teď nakreslím.
Takže v řezu koblihou je vršek…
začneme tady.
Když je „s“ rovno pi/2,
a měníte hodnotu „t“…
Rovné čáry mi nejdou.
A když měníte hodnotu „t“,
vypadá to takto.
Tady je vršek té kružnice,
tady vršek další kružnice,
Potom spojím tečky.
Bude to vypadat takto.

Korean: 
도넛의 안쪽 원주를
따라 갑니다
최대한 잘 그린 것입니다
그리고 우리는 이것을
여러번 할 수 있습니다
여러 색을 이용하겠습니다
s가 π/2 일때, 맨 위 그림에서
90° 를 회전한 것입니다
π/2 는 90° 인 지점입니다
그리고 t를 변화시키면
도넛의 꼭대기를 따라 갑니다
그것을 그려 보겠습니다
도넛의 횡단면의 꼭대기에서
시작해 보겠습니다
s는 π/2 이고 
t를 변화시킵시다
선을 수직으로 그리기 
조금 어렵습니다
t를 변화시키면 이렇게 됩니다
이것은 맨 위그림에서 
원의 꼭대기 입니다
원의 꼭대기는
다음과 같습니다
원의 꼭대기는
다음과 같습니다
원의 꼭대기는 
다음과 같습니다
따라서 점들을 
연결하면 됩니다
이렇게 생겼습니다

Estonian: 
kujutame sõõriku sisemuse mis näeb välja
selline.
Paremini ma seda joonistada ei oska
Ja siis me saame seda teha mitu korda.
Kui s on pi jagatud kahega, ma tahan teha mitu erinevat värvi,
kui s on pi jagatud kahega, me oleme pööranud
90 kraadi.
Pi jagatud kahega on 90 kraadi siin punktis.
Ja siis kui me muudame t, me põhimõtteliselt kujutame
sõõriku pealse.
Teeme kindlaks kas ma ikka joonistasin selle.
See põiklõige siis, see sõõriku pealne, me
alustame siit.
Kui s on 0,5 pi ja kui te muudate seda ja siis te
muudate t, mul on sirgete joonte joonistamine problemaatiline.
Ja kui te muudate t, see hakkab välja nägema selline.
See on selle ringi pealne.
See ringi peale hakkab olema siin.
See ringi pealne hakkab olema siin.
Ringi pealne hakkab olema seal.
Ja siis ma ühendan punktid.
See hakkab välja nägema selline.

Turkish: 
-
-
En iyi çizimim buydu.
-
-
s Pi bölü 2 olduğunda, tam 90 derece döndürmüş oluruz, öyle değil mi?
-
Pi bölü 2, 90 dereceye denktir.
t değiştikçe, simidin üstünü çizmiş olacağız, öyle değil mi?
-
Şimdi çizmeye çalışayım.
Simidin üstü için, buradan başlıyoruz.
-
s Pi bölü 2 olduğunda ve t değiştiğinde, eğri şöyle görünecek.
-
-
Burası bu çemberin üstü.
Bu çemberin üstü böyle olacak.
Bu çemberin üstü de burada olacak.
Şu çemberin üstü de burada olacak.
Şimdi noktaları birleştiririm.
Şöyle bir şeye benzeyecek.

Thai: 
ด้านในโดนัทเรา, นั่นจะ
ออกมาเป็นแบบนั้น
นี่คือภาพที่ดีที่สุดที่ผมวาดมา
แล้วเราทำแบบนั้นหลาย ๆ ครั้ง
ตอน s เท่ากับ ไพ ส่วน 2, ผมอยากใช้หลาย ๆ สีหน่อย
ตอน s เท่ากับ ไพ ส่วน 2, เราก็หมุนขึ้นตรงนี้
ที่ 90 องศา, จริงไหม?
ไพ ส่วน 2 เท่ากับ 90 องศา ณ จุดนี้
แล้วตอนเราแปรค่า t, เราก็เดินตามด้านบน
ของโดนัท, จริงไหม?
ขอผมตรวจหน่อยว่าผมวาดมันแล้ว
แล้วหน้าตัด, ด้านบนของโดนัท, เราจะเริ่ม
ตรงนี้
แล้วตอน s เท่ากับ ไพ ส่วน 2, และคุณแปรค่ามัน, คุณแปร
ค่า t, ผมมีปัญหาในการวาดเส้นตรงจังเลย
แล้วคุณแปรค่า t, มันจะออกมาเป็นแบบนี้
นั่นคือด้านบนของวงกลมตรงนี้
ด้านบนของวงกลมนี้จะอยู่ตรงนี้
ด้านบนของวงกลมนี้จะอยู่ตรงนัั้น
ด้านบนวงกลมจะอยู่ตรงนั้น
แล้วผมก็ต่อจุด
มันจะออกมาเป็นแบบนั้น

Czech: 
To je vršek koblihy.
Kdybychom se dívali shora,
byl by to tento vršek koblihy.
A kdybych chtěl zakreslit spodek koblihy,
...v obrázku to bude jasné...
vezmu „s“ rovno 3 krát pi děleno 2
a budu měnit „t“.
To je spodek koblihy.
Takže nakreslím kružnici, ta bude tady.
Kdyby to nebylo průhledné,
celé byste to neviděli.
Takže bychom se pohybovali
po spodní hraně koblihy.
Vím, že ten graf už je trochu nepřehledný,
ale snad to v něm uvidíte.
Když je „s“ opět rovno 2 pi,
budeme zpět na vnější hraně koblihy.
To bude také fialovou barvou.
Takže to se děje,
pokud držíme konstantní hodnotu „s“
a měníme hodnotu „t“.
A teď to uděláme naopak.

Spanish: 
Es la parte superior de nuestros anillos.
Si estaba haciendo esta vista superior, que sería la parte superior de la
anillos, al igual.
Y si quería hacer sólo a la parte inferior de la dona,
aclarar la imagen, si tuviera que hacer la parte inferior de la
Donut, sería la parte inferior de los anillos--ver, si me
tomar s 3 pi más 4 y yo variar t, que es el fondo
de nuestras donas.
Así que permítanme dibujar el círculo, es justo ahí, el círculo es
derecho, no podrá ver todo
Si esto no era transparente.
Así sería rastrear desde el fondo de la dona,
sólo así.
Sé que este gráfico se está volviendo un poco confuso, pero
Esperamos que usted consigue la idea.
Cuando s es pi 2 nuevamente, usted va a ser hacia el exterior
de nuevo de la dona.
Eso también va a ser de color púrpura.
Eso es lo que sucede cuando tenemos la constante s en determinado
valores y variar la t.
Ahora vamos a hacer lo contrario.
¿Qué sucede si mantenemos t 0, y nosotros muy la s?

Turkish: 
Burası simidimizin üstü.
Buna üstten baktığımda, simidin üstü böyle olur.
-
Eğer simidin altını çizmek istersem, s'yi 3 Pi bölü 2 olarak almam gerekir. Bu da simidin alt kısmını verir.
-
-
-
-
Bu çemberi şöyle çizeyim. Bu şeffaf olmasa, şeklin tamamını göremezsiniz.
-
-
Böylelikle simidin altını çizmiş olursunuz.
-
Grafiğin biraz karıştığını biliyorum, ama umarım anlamışsınızdır.
-
s tekrar 2 Pi olduğunda, simidin dışına geri dönersiniz.
-
-
s'yi bazı değerlerde sabitleyip t'nin değişik değerler almasına izin verirsek bunu buluruz.
-
Şimdi bunun tam tersini yapalım.
t'yi 0'da sabitleyip s'yi değiştirirsek ne olur?

Korean: 
이것이 도넛의 
맨 꼭대기입니다
위에서 바라본 그림에서는,
안쪽과 바깥쪽의 중간입니다
도넛의 아래쪽을
그리고 싶으면,
도넛의 아래 쪽은
s를 3π/2 로 고정하고
t를 변화시킨 것입니다
원을 그려 보겠습니다
원이 투명하지 않으면
볼 수 없을 것입니다
도넛의 아래쪽을 따라
그리고 있습니다
그림이 혼란스럽지만,
이해가 되었을 것입니다
s가 다시 2π가 되면,
다시 도넛의 바깥쪽
원주가 됩니다
그것도 보라색입니다
즉, s를 특정 값으로 
상수 취급하고
t를 변화시키면
생기는 일입니다
반대로 해 봅시다
t를 0으로 고정하고,
s를 변화시켜 봅시다

Estonian: 
See on meie sõõriku pealne.
Kui ma teeks seda pealtvaates, siis see oleks
sõõriku pealne, vot nii.
Ja kui ma tahaksin teha sõõriku alumise osa,
lihtsalt et asja selgust tuua, kui ma teeksin
sõõriku põhja, siis see oleks-- näete
kui ma võtan 3 pi jagatud 4 ja ma muudaksin t, see oleks
meie sõõriku põhi.
Las ma joonistan ringi, see on seal, ring on
seal, te ei näe tervet asja
kui see poleks läbipaistev.
Te joonestaks sõõriku põhja,
just nii.
Ma tean et see graafik muutub veidi segaseks, aga
loodetavasti te saate aru.
Kui s on 2 pi jälle, te olete jälle sõõrikust
väljas.
See on lillas.
See on mis juhtub kui me hoiame s konstanti kindlaL
väärtusel ja muudame t.
Teeme nüüd vastupidiselt.
Mis juhtub kui t on null ja me muudame s-i?

Polish: 
To jest szczyt naszej oponki.
Jeśli bym robił to na tym widoku z góry, wtedy to byłby szczyt
oponki, tak jak zaznaczam.
I jeśli chciałbym stworzyć spód oponki, po to
aby obrazek był kompletny, gdybym tworzył spód
oponki, to spód ten robię tak - jeśli
biorę s równe 3 pi przez 2 i zmieniam t, to jestem na dnie
naszej oponki.
Może narysuję okrąg, spód będzie tu, na tym okręgu jest
w tym miejscu, nie byłbyś w stanie zobaczyć całości,
gdyby to nie było przezroczyste.
Zatem, zakreślamy spód oponki,
właśnie tak
Wiem, że ten wykres staje się nieco zagmatwany, ale
mam nadzieję, że rozumiesz ideę.
Kiedy s jest równe 2 pi, wracamy znowu do zewnętrznego
brzegu oponki
To także będzie fioletowe.
Więc to się dzieje kiedy s jest stale równe pewnym
wartościom i zmieniamy t.
Teraz zróbmy odwrotnie.
Co się stanie, jeśli t będzie stałe równe 0 i będziemy zmieniać s?

Thai: 
นั่นคือด้านบนของโดนัท
หากผมวาดภาพมุมมองด้านบน, มันจะเป็นด้านบน
ของโดนัท, แบบนั้น
และหากผมอยากทำด้านล่างของโดนัท, แค่ให้
ภาพชัดเจน, หากผมอยากได้ด้านล่างของโดนัท
ด้านล่างโดนัทจะเป็น -- เห็นไหม, หากผม
ให้ s เท่ากับ 3 ไพส่วน 4 แล้วผมแปรค่า t, นั่นคือด้านล่าง
โดนัทเรา
งั้นขอผมวาดวงกลม, มันอยู่ตรงนั้น, วงกลม
ตรงนี้, คุณจะไม่เห็นทั้งหมด
หากมันไม่ได้โปร่งใส
ดังนั้นคุณจะเดินตามด้านล่างของโดนัท,
แบบนี้
ผมรู้ว่ากราฟนี้ชวนงงหน่อย, แต่หวังว่า
คุณคงเข้าใจ
ตอน s เป็น 2 ไพ อีกครั้ง, คุณก็จะกลับด้านนอก
โดนัทอีกครั้ง
นั่นก็จะเป็นสีม่วง
และนั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นตอนเราให้ s คงที่ที่ค่า
ค่านึง แล้วแปรค่า t
ทีนี้ลองทำตรงกันข้าม
จะเกิดอะไรขึ้นหากผมให้ t อยู่ที่ 0 แล้วเราแปรค่า s บ้าง?

Portuguese: 
Que é o topo de nossa donut.
Se eu estava fazendo este ponto de vista superior, que seria o topo da
donut, apenas como aquele.
E se eu queria fazer parte inferior da rosca, apenas para
tornar a imagem mais clara, se eu fosse fazer parte inferior da
donut, o fundo do donut seria - ver, se eu
s tomar como 3 pi mais de 4 e eu variar t, que é o fundo
da nossa donuts.
Então deixe-me desenhar o círculo, é ali mesmo, o círculo é
ali mesmo, você não seria capaz de ver a coisa toda
se isso não era transparente.
Então você estaria traçando o fundo da rosca,
apenas como aquele.
Eu sei que este gráfico está se tornando um pouco confuso, mas
espero que você começa a idéia.
Quando s é 2 pi novamente, você vai estar de volta para o exterior
da rosca novamente.
Que também vai ser em roxo.
Então é isso que acontece quando temos o s constante em certos
valores e variar o t.
Agora vamos fazer o contrário.
O que acontece se mantivermos a 0, e muito é o?

English: 
That is the top
of our doughnut.
If I was doing this top view,
it would be the top of the
doughnut, just like that.
And if I wanted to do the
bottom of the doughnut, just to
make the picture clear, if I
were to make the bottom of the
doughnut, the bottom of the
doughnut would be-- see, if I
take s as 3 pi over 4 and I
vary t, that's the bottoms
of our doughnuts.
So let me draw the circle, it's
right there, the circle is
right there, you wouldn't be
able to see the whole thing
if this wasn't transparent.
So you'd be tracing out the
bottom of the doughnut,
just like that.
I know this graph is becoming
a little confusing, but
hopefully you get the idea.
When s is 2 pi again, you're
going to be back to the outside
of the doughnut again.
That's also going
to be in purple.
So that's what happens when we
hold the s constant at certain
values and vary the t.
Now let's do the opposite.
What happens if we hold t
at 0, and we very the s?

Korean: 
 
t가 0이라는 의미는
회전하지 않았다는 것입니다
따라서 yz 평면 위에 있습니다
t가 0이고
s가 0에서 π/2로 갑니다
바로 이 지점입니다
그리고 s가 π로 갑니다
이 지점은 s가 π일 때 입니다
그리고 s가 3π/2 로 가고,
다시 2π로 돌아옵니다
즉, 주황색 선과 원은 
대응됩니다
이번엔 t가 π/2일 때로 해봅시다
다른 색으로 해보겠습니다
t가 π/2이면,
z축을 기준으로 
90° 회전한 것입니다
여기에 있습니다
이제 s를 변화시키면,

Spanish: 
T es 0, esto significa que no hemos girado todavía a todos.
Así que estamos en el plano z-y.
Entonces t es 0, s comenzará a 0 y lo voy a pi más 2,
ese punto está allí.
Luego iré a pi.
Este punto es lo mismo que ese punto.
Luego irá a pi 3 más 4, luego que volveré
todo el camino a 2 pi.
Así, esta línea se corresponde con este círculo, allí.
Nosotros podríamos mantener estas haciendo si recogemos cuando t es pi--permítanme utilizar
un color diferente, que no es lo suficientemente diferente.
Cuando t es pi más 2, sólo así.
Nos habría girado alrededor del eje z de 90 grados,
así que ahora estamos aquí.
Y ahora cuando variamos s, s comenzará aquí, y

Polish: 
Co się stanie, jeśli t będzie stałe równe 0 i będziemy zmieniać s?
Więc t jest zerem, to znaczy, że jeszcze się wcale nie obróciliśmy.
Więc jesteśmy na płaszczyźnie z-y.
Więc t równa się 0, a s zaczyna w zerze i idzie do pi przez dwa,
czyli do tego punktu.
Potem idzie do pi.
Ten punkt odpowiada temu punktowi.
Potem idzie do 3 pi przez 2 i na końcu wraca
do 2 pi.
Zatem ta linia odpowiada temu okręgowi, w tym miejscu.
Możemy robić to samo, gdy ustalimy t równe pi przez 2 - uzyję
innego koloru, ten nie odróżnia się zbytnio.
Kiedy t równa się pi przez 2, właśnie tak.
Obróciliśmy się wokół osi z o 90 stopni,
zatem jesteśmy tutaj.
I teraz, kiedy zmieniamy s, s zaczyna tutaj i

Turkish: 
-
t eşittir 0 henüz döndürmedik demek.
z y düzlemindeyiz.
t eşittir 0 ve s 0'dan başlasın ve Pi bölü 2'ye gitsin. Bu da şu nokta.
-
Sonra Pi'ye gider. Bu nokta şu noktayla aynı.
-
Sonra 3 Pi bölü 2'ye gidecek ve 2 Pi'ye dönecek.
-
Yani bu doğru bu çembere denk gelecek.
-
-
t Pi bölü 2 olduğunda, z ekseni etrafında 90 derece döndürmüş oluruz. Yani buradayız.
-
-
Şimdi s değişik değerler alacak. s buradan başlayıp, şöyle tam tur atacak.

Thai: 
-
งั้น t เป็น 0, นั่นหมายความว่าเราไม่ได้หมุนเลย
เราก็อยู่ในระนาบ z-y
งั้น t เป็น 0, s เริ่มจาก 0 แล้วไปยัง ไพ ส่วน 2
นั่นคือจุดนั้น
แล้วมันก็ไปยัง ไพ
จุดนี้ก็เหมือนกับจุดนั้น
แล้วมันจะไปยัง 3 ไพ ส่วน 4, แล้วมันก็กลับมา
ถึง 2 ไพ
ดังนั้นเส้นนี้จะตรงกับวงกลมนี่, ตรงนี้
เราสามารถทำแบบนี้ได้หากเราเลือก t เท่ากับ ไพ -- ขอผมใช้
สีอื่นนะ, นั่นไม่ต่างกันเท่าไหร่
ตอน t เท่ากับ ไพ ส่วน 2, แบบนั้น
เราหมุนรอบแกน z ไป 90 องศษ
ตอนนี้เราก็อยู่ตรงนี้
ทีนี้ตอนเราแปรค่า s, s จะเริ่มจากตรงนี้, แล้ว

Portuguese: 
Então t é 0, isso significa que não ter rodado em todas ainda.
Então, estamos no plano zy.
, Então t é 0, e s terá início às 0, e ele vai para mais de 2 pi
que é aquele ponto ali.
Então ele vai para pi.
Este ponto é a mesma coisa que esse ponto.
Em seguida, ele irá para o 3 pi mais de 4, então ele vai voltar
todo o caminho até 2 pi.
Portanto, esta linha corresponde a este círculo, ali mesmo.
Poderíamos continuar fazendo essas se escolher quando t é pi - deixe-me usar
uma cor diferente, isso não é diferente o suficiente.
Quando t é pi mais de 2, apenas como aquele.
Teríamos girado em torno do eixo z 90 graus,
então agora que estamos aqui.
E agora, quando nós variamos s, s vai começar aqui, e

English: 
So t is 0, that means we
haven't rotated at all yet.
So we're in the z-y plane.
So t is 0, and s will start at
0, and it'll go to pi over 2,
that's that point over there.
Then it'll go to pi.
This point is the same
thing as that point.
Then it will go to 3 pi over
4, then it'll come back
all the way to 2 pi.
So this line corresponds to
this circle, right there.
We could keep doing these if we
pick when t is pi -- let me use
a different color, that's
not different enough.
When t is pi over
2, just like that.
We would have rotated around
the z-axis 90 degrees,
so now we're over here.
And now when we vary s, s will
start off over here, and

Estonian: 
t on null, see tähendab et me pole üldse veel pööranud.
Me oleme z-y teljestikus.
t on null ja s alustab nullist ja see hakkab olema 0,5 pi
see on see punkt seal
Siis see läheb pi-le.
See punkt on sama asi kui see punkt seal.
Siis see hakkab olema 3 pi jagatud 4ga, ja siis see tuleb
tagasi 2 pi peale.
See joon vastab sellele ringile, seal.
Me võime seda jääda tegema kui me valime koha kus t on pi-- las ma
kasutan teist värvi, need pole piisavalt erinevad.
Kui t on 0,5 pi, just nii.
Siis me pöörame ümber z telja 90 kraadi,
nüüd me oleme siin.
Ja kui me muudame s-i, s alustab siit,

Czech: 
Co se stane, když držíme „t“ rovno 0,
a měníme hodnotu „s“?
Takže „t“ je rovno 0, což znamená,
že jsme vůbec nerotovali.
Takže jsme v rovině „yz“.
„t“ je rovno 0 a „s“ začne v 0
a půjde do pi děleno 2,
to je tento bod.
Pak půjde do pi.
Tento bod je to stejné, co tento bod.
Potom půjde do 3 krát pi děleno 2,
a pak se vrátí do 2 pi.
Takže tato přímka odpovídá této kružnici.
Takto můžeme pokračovat
pro „t“ rovno pi děleno 2.
Použiju jinou barvu, není to výrazné.
Když „t“ je rovno pi děleno 2, takto.
To odpovídá rotaci kolem osy „z“
o 90 stupňů, takže teď jsme tady.
A teď budeme měnit hodnotu „s“,
„s“ začne tady,

Czech: 
a takto půjde kolem dokola.
Takže tato přímka odpovídá této kružnici.
Takto bychom mohli pokračovat.
Když „t“ je rovno pi, znamená to,
že jsme obešli kružnici po celé délce.
Teď budeme měnit „s“ od 0 do pi děleno 2,
začneme tady.
Budeme měnit hodnotu,
půjdeme po celé délce kružnice
a protneme všechny hrany,
o kterých jsme předtím mluvili.
Udělám ještě jednu,
aby výsledný tvar byl zřejmější.
To je tato tmavě fialová,
snad je vidět.
Když je „s“ rovno 3 krát pi děleno 2,
otočili jsme se až sem,
takže jsme v rovině „xz“.
A když teď měníte hodnotu „s“,
„s“ začne tady a jak roste,
jde takto po kružnici.
Samozřejmě, když potom obejdete
celou kružnici,
„t“ rovno 2 pi, je to stejné.
Jste zpátky tady.

Estonian: 
ja see läheb siia.
See joon vastab sellele ringile.
Me võiks jäädagi seda tegema.
Kui t on pi, see tähendab, et me oleme jõudnud
ümber ringi vot nii, ja nüüd kui me muudame s nullist
kahe pi peale, me alustame siit,
ja me muudame, kogu tee, me lähme
alla ja jõuame kõikide nende kontuurideni millest me enne rääkisime,
ja ma teen seda korra veel, lihsalt et teha
tellingud, selgeks.
See tume lilla, loodetavasti te näete seda.
Kui 3 pi on jagatud 4ga, me oleme pööranud terve ringi.
Me oleme x-z tasandikul.
Ja kui te muudate s, s alustab siit, ja
kui te suurendate s-i, siis te lähete ümber ringi, ümber
ringi, vot nii.
Ja muidugi, kui te jõuate täisringilt tagasi,
t jagatud piga jagatud kahega, see on sama asi.
Te olete siin jälle.

English: 
it'll go all the way
around like that.
So this line corresponds
to that circle.
We could keep doing
it like this.
When t is equal to pi, that
means we've got all the way
around the circle like that,
and now when we vary s from 0
to pi over 2, we're going to
start all the way over here,
and then we're going to vary,
all the way, we're going to go
down and hit all those contours
that we talked about before,
and I'll do one more, just
to kind of make this,
the scaffold, clear.
This dark purple,
hopefully you can see it.
When t is 3 pi over 4,
we've rotated all the way.
So we're in the x-z plane.
And then when you vary s, s
will start off over here, and
as you increase s, you're going
to go around the circle, around
the circle, just like that.
And of course, when you get all
the way back full circle, t
over pi over 2, that's
the same thing.
You're back over here again.

Portuguese: 
que vai percorrer todo o caminho em torno de como isso.
Assim, esta linha corresponde ao círculo.
Poderíamos continuar fazendo isso assim.
Quando t é igual a pi, que significa que temos todo o caminho
em torno do círculo do assim, e agora, quando nós variam de 0 s
para mais de 2 pi, vamos começar tudo até aqui,
e depois vamos variar, todo o caminho, nós estamos indo para ir
para baixo e bater todos os contornos que falamos antes,
e eu vou fazer mais uma, só para fazer este tipo de,
o andaime, claro.
Este roxo escuro, espero que você pode vê-lo.
Quando t é de 3 pi mais de 4, temos rodado todo o caminho.
Então, estamos no plano xz.
E então, quando você varia s, s vai começar aqui, e
à medida que aumenta s, você está indo para ir ao redor do círculo, em torno de
o círculo, apenas como aquele.
E, claro, o círculo quando você começa todo o caminho completo, t
mais de pi com mais de 2, que é a mesma coisa.
Você está de volta por aqui de novo.

Turkish: 
-
Yani bu doğru, bu çembere denk gelecek.
Böyle devam edebiliriz.
t Pi'ye eşit olduğunda, şuraya gitmiş oluruz. s 0'dan 2 Pi'ye değiştiğinde, buradan başlayacağız ve böyle gideceğiz.
-
-
-
-
Bir değer için daha bu işlemi yapayım.
-
-
t 3 Pi bölü 2'ye eşit olduğunda, x z düzlemindeyiz.
-
s buradan başlayacak ve s arttıkça, çember etrafında bu şekilde hareket edeceksiniz.
-
-
t 2 Pi olduğunda, yine buraya dönmüş olursunuz.
-
-

Polish: 
przebiega całą drogę wokół właśnie tak.
Zatem ta linia odpowiada temu okręgowi.
Możemy robić to dalej.
Kiedy t jest równe pi, to znaczy, że przeszliśmy całą tę drogę
po tym okręgu i teraz zmieniamy s od 0
do pi przez 2, zaczynamy drogę tutaj
i następnie będziemy zmieniać, idziemy w
dół i przecinamy wszystkie kontury, o których mówiliśmy przedtem
i narysuję jeszcze jeden, aby dokończyć model
tego "szkieletu".
To jest ciemny fiolet, mam nadzieję, że to widzisz.
Kiedy t jest równe 3 pi przez 2, obracamy się aż tutaj,
zatem jesteśmy na płaszczyźnie x-z.
I teraz kiedy zmieniamy s, s będzie zaczynać się tutaj i
jeśli zwiększamy s, idziemy po obwodzie okręgu, po
okręgu, właśnie tak.
I oczywiście, kiedy zataczamy cały okrąg, t
jest równe 2 pi, więc wracamy do tego samego punktu.
Wracamy znowu tutaj.

Spanish: 
va a ir todo el camino alrededor como ese.
Así, esta línea se corresponde con ese círculo.
Lo podríamos seguir haciendo como este.
Cuando t es igual a pi, eso significa que tenemos todo el camino
alrededor del círculo de esa forma y ahora cuando variamos s desde 0
para pi más 2, vamos a empezar todo el camino aquí,
y luego nos vamos para variar, todo el camino, vamos a ir
abajo y golpear todos aquellos contornos que hablábamos antes,
y voy a hacer uno más, sólo para tipo de hacer esto,
el andamio, claro.
Este color púrpura oscuro, con suerte puedes verla.
Cuando t es pi 3 más 4, hemos girado completamente.
Así que estamos en el plano x-z.
Y luego cuando el usuario cambia de s, s comenzará aquí, y
a medida que aumenta s, vas a ir alrededor del círculo, alrededor de
el círculo, al igual.
Y por supuesto, cuando llegue el círculo completo, t
sobre pi más 2, es lo mismo.
Eres nuevo por aquí nuevamente.

Thai: 
มันจะไปตามนั้นอย่างนั้น
ดังนั้นเส้นนี้จะตรงกับวงกลมนั่น
เราก็ทำไปเรื่อย ๆ แบบนี้
ตอน t เท่ากับ ไพ, มันหมายถึงเรามาถึง
รอบวงกลมแบบนั้น, ตอนนี้เราก็แปรค่า s
จาก 0 ถึง ไพ ส่วน 2, เราจะเริ่มตรงนี้, แล้ว
เราก็แปรค่า, ไปเรื่อย, เราจะลงไป
และชนเส้นขอบที่เราพูดถึงมาก่อน
ผมจะทำอีกที, เพื่อทำให้นี่
เจ้านี่ชัดเจน
สีม่วงเข็มนี่, หวังว่าคุณคงเห็นนะ
ตอน t เท่ากับ 3 ไพ ส่วน 4, เราก็หมุนมาถึงนี้
แล้วเราก็อยู่ในระนาบ x-z
แล้วตอนคุณแปรค่า s, s จะเริ่มตรงนี้, แล้ว
เมื่อคุณเพิ่ม s, คุณจะไปรอบ ๆ วงกลม, รอบ
วงกลม, แบบนั้น
และแน่นอน, ตอนคุณกลับมาเต็มวงกลม, t
ตลอด ไพ ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกัน
คุณก็กลับมาเหมือนเดิม

Korean: 
다음 경로를 따라 갑니다
즉, 파란색 선과 원은 대응됩니다
이것을 계속 합니다
t가 π일 때는 원의 반바퀴를
회전했다는 것이고,
s를 0부터 2π까지
변화시킵니다
다음과 같이 회전하고,
이전에 다룬 모든 
윤곽과 닿습니다
이것을 좀 더 깨끗하게
해보겠습니다
어두운 보라색은 
t가 3π/2인 지점이고,
회전하여  xz 평면에
위치합니다
그리고 s를 변화시키면,
원들 안으로
원이 그려집니다
다시 t가 2π가 되면,
처음에 했던 것으로
돌아옵니다
다시 돌아옵니다

English: 
So this is going to be, we can
even shade it the same color.
And hopefully you're
getting a sense now of
the parameterization.
I haven't done any math yet.
I haven't actually showed you
how to mathematically represent
it as a vector value function,
but hopefully you're getting
a sense of what it means to
parameterize by two parameters.
And just to get an idea of what
these areas on our s-t plane
correspond to onto this
surface, in I guess you could
say, in R3, this little square
right here, let's see
what's bounded by.
This little square, I want to
make sure I picked a square
that I can draw neatly.
So this square right here, that
is between, when you look at t,
it's between 0 and pi over 2.
And s is between
0 and pi over 2.

Korean: 
같은 색으로 그리겠습니다
이제 매개변수화에 대한
감각을 가졌을 것입니다
아직 어떤 수학도
 하지 않았습니다
이것을 벡터 함수로 어떻게
수학적으로 나타내는지
알려주지 않았지만,
두 매개변수로 매개변수화하는
것의 의미를 알 것입니다
s-t 평면에서 각 영역이
이 표면에서 어디에 
대응되는지는
경계로 이루어진
작은 사각형들이
삼차원 공간에서 
무엇인지 입니다
잘 그릴 수 있는
작은 사각형을 
선택하겠습니다
왼쪽 아래 사각형
즉 t가 0과 π/2 사이를 봅시다
 
s도 0과 π/2 입니다

Estonian: 
See hakkab olema, me isegi võime seda varjutada sama värviga.
Ja loodetavasti te saate ettekujutuse
parametriseerimisest.
Ma ei ole teinud matemaatikat veel.
Ma ei ole tegelikult näidanud teile kuidas matemaatiliselt
esitada seda vektorväärtus funktsioonina, aga loodetavasti te saate
ette kujutuse mida tähendab kahe parameetri defineerimine.
Ja kui te saate ettekujutuse millega need alad meie s-t tasandil
vastavuses on sellel pinnal, ma arvan te võite
öelda, R3, see väike ruut siin, vaatame millega
see piiritletud on.
See väike ruut siin, ma tahan kindlaks teha et ma valisin
ruudu mida ma saan ilusasti joonistada.
See ruut siis siin, see mis on siin vahel, kui te vaatate t-d,
see on nulli ja 0,5 pi vahel.
Ja s on nulli ja 0,5 pi vahel.

Polish: 
Zatem to będzie tu, możemy zaznaczyć w tym samym kolorze.
Mam nadzieję, że załapałeś już ideę
parametryzacji.
Nie zrobiłem jeszcze nic z matematyki.
Nie pokazałem jeszcze, jak matematycznie reprezentować
to jako funkcję o wartościach wektorowych, ale mam nadzieję, że zrozumiałeś
mniej więcej, co znaczy parametryzacja dwoma parametrami.
I właśnie aby zrozumieć, w jaki sposób te obszary na naszym układzie s-t
odpowiadają obszarom na tej powierzchni w, myślę, że mogę
powiedzieć w R3, ten mały kwadrat tutaj, zobaczmy
przez co jest ograniczony.
Ten mały kwadrat, dla pewności, wziąłem kwadrat
który mogę ładnie zakreślić.
Więc ten kwadrat, jest pomiędzy, kiedy spojrzysz na t,
jest pomiędzy 0 i pi przez 2.
t jest między 0 i pi przez 2.
I s jest pomiędzy 0 i pi przez 2.

Portuguese: 
Portanto, esta vai ser, podemos até mesmo enrolá-lo da mesma cor.
E esperamos que você está recebendo um sentido agora de
a parametrização.
Eu não fiz nenhuma matemática ainda.
Eu realmente não mostrou como representar matematicamente
como uma função de valor de vetor, mas espero que você está recebendo
um sentido do que significa para parametrizar por dois parâmetros.
E só para se ter uma idéia do que essas áreas em nosso plano st
correspondem a para esta superfície, em que eu acho que você poderia
dizer, em R3, este pequeno quadrado aqui, vamos ver
o que é delimitada por.
Esta pequena praça, quero me certificar de que escolheu um quadrado
que eu possa desenhar ordenadamente.
Assim, esse direito praça aqui, que é entre, quando você olha para t,
é entre 0 e pi mais de 2.
E s está entre 0 e pi mais de 2.

Thai: 
นี่ก็จะเป็น, เราสามารถแรเงาด้วยสีเดิมได้
หวังว่าคุณคงเข้าใจว่า
การตั้งพาราเมทริกจะเป็นยังไง
ผมยังไม่ได้ทำเลขเลย
ผมยังไม่ได้แสดงวิธีการแสดงมันโดยคณิตศาสตร์
เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์, แต่หวังว่าคุณ
จะเข้าใจว่ามันหมายความว่ายังไง ตอนเราตั้งพาราเมทริกด้วยสองตัวแปร
และเพื่อให้เข้าใจแนวคิดว่าพื้นที่นี้บนระนาบ s-t
ตรงกับจุดบนผิวนี้ยังไง, ผมเดาว่าคุณ
คงบอกได้, ใน R3, สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ตรงนี้, ลองดู
ว่ามันมีขอบแบบไหน
สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ นี่, ผมอยากแน่ใจว่าผมเลือก
สี่เหลี่ยมที่ผมวาดได้สวย
งั้นสี่เหลี่ยมตรงนี้, นั่นคือระหว่าง, ตอนคุณดู t,
มันอยู่ระหว่าง 0 กับ ไพ สว่น 2
-
และ s อยู่ระหว่าง 0 กับ ไพ ส่วน 2

Spanish: 
Así que esto va a ser, incluso podemos oscurecerlo del mismo color.
Y esperemos que está recibiendo un sentido ahora de
la parametrización.
Yo no he hecho ningún matemáticas.
Realmente no he mostró usted cómo representar matemáticamente
como un vector función de valor, pero esperemos que obtendrá
un sentido de lo que significa parametrizar por dos parámetros.
Y sólo para tener una idea de lo que estas áreas en nuestro avión s-t
corresponden a esta superficie, en que supongo que se podría
decir, en R3, esta pequeña plaza aquí, vamos a ver
lo que está rodeado.
Esta pequeña plaza, quiero hacer que escogí un cuadrado
que puedo llamar perfectamente.
Así que esto aquí, cuadrado que entre, cuando observas t,
es entre 0 y pi más 2.
Y s está entre 0 y pi más 2.

Czech: 
Takže to bude stejné,
můžu použít stejnou barvu.
A teď už je vám snad
parametrizace zřejmější.
Zatím v tom nebyla žádná matematika.
Ještě jsem vám neukázal,
jak to matematicky zapsat
jako funkci s vektorovými hodnotami.
Ale snad už je jasné, co znamená
parametrizace se dvěma parametry.
Abych vám ukázal, čemu tyto body
v rovině „st“ odpovídají
na výsledné ploše v 3D prostoru se
podíváme, čím je ohraničen tento čtverec.
Vyberu si čtverec, který dokážu nakreslit.
Takže tento čtverec je mezi t se rovná 0
a t se rovná pi děleno 2.
A „s“ je mezi 0 a pi děleno 2.

Turkish: 
-
Umarım parametrik denklemlerin nasıl yazılacağını anlamaya başladınız.
-
Daha matematiksel bir ifade bile yazmadım.
Bunu vektör değerli fonksiyon olarak nasıl tanımlayacağımızı göstermedim, ama umarım, iki parametreyi nasıl kullanacağınızı anladınız.
-
-
s t düzlemindeki hangi kısımların yüzeyin neresine denk geldiğini anlamak için, şöyle bir örnek verebiliriz.
-
-
-
Şu kareyi alalım.
-
t ve s'nin 0 ile Pi bölü 2 arası olduğu kare.
-
-
-

Spanish: 
Esto aquí es esta parte de nuestro Toro.
Si se está viendo desde la parte superior, se vería
de esa forma, justo allí.
Os podéis imaginar, nos hemos transformado esta plaza.
Incluso yo no he demostrado cómo hacerlo matemáticamente todavía.
Pero nos hemos transformado esta plaza a este
parte de los anillos.
Ahora, creo que hemos hecho sobre todo lo que puedo hacer en
el lado de visualización.
I'll stop este video aquí.
En el siguiente video, vamos a hablar realmente acerca de cómo
¿Estamos realmente parametrizar usando estos dos parámetros?
Recuerde, s toma alrededor de cada uno de estos círculos y, a continuación, t
nos lleva alrededor del eje z.
Y si se toman todas las combinaciones de s y t, eres
va a tener cada punto a lo largo de la superficie de este
Toro o este donut.
¿Realmente ir de una s y una t que va desde 0 a
2 pi, en ambos casos y convertirlo en una tridimensional

Polish: 
Więc to odpowiada tej części naszego torusa.
tej części naszego torusa.
Jeśli patrzysz na to z góry, to będzie wyglądało
tak jak tutaj.
Możesz sobie wyobrażać, że przekształciliśmy ten kwadrat.
Nie pokazałem Ci jeszcze jak to opisać matematycznie.
Ale przekształcamy ten kwadrat na tę
część oponki.
Teraz myślę, że zrobiliśmy już tyle, ile mogliśmy
od strony wyobraźni.
Zakończę ten film w tym miejscu.
Na następnym filmie, będziemy dokładniej rozmawiać, jak
rzeczywiście parametryzować z użyciem dwóch parametrów.
Zapamiętaj, że s okrąża każdy z tych okręgów, natomiast t
okrąża oś z.
I jeśli weźmiesz każdą kombinację s i t,
dostaniesz każdy punkt na powierzchni tego
torusa lub też oponki.
Jak rzeczywiście wygląda przechodzenie z s i t od 0
do 2 pi i opisywanie tego przy pomocy trójwymiarowej

Estonian: 
See siin on meie toora osa.
Kui te vaatate seda ülalt, see
näeks välja selline, see seal.
Te võite ette kujutada, me oleme selle ruudu muutnud.
Ma ei ole isegi veel näidanud kuidas seda teha matemaatiliselt.
Aga me oleme selle ruudu siin muutnud selleks
sõõriku osaks.
Nüüd me oleme teinud umber nii palju kui ma saan teha
ettekujutamise külje pealt.
Ma lõpetan selle video.
Järgmises videos, me räägime kuidas
me tegelikult parametriseerime kasutades neid kahte parameetrit.
Jätke meelde, s on ümber nende ringide, ja siis t
viib meid ümber z telje.
Ja kui te võtate s ja t kombinatsioonid, te
näete kõiki neid punkte mööda
selle sõõriku või toora pinda.
Kuidas te tegelikult lähete s-st ja t-st mis läheb nullist
2 pini ja siis muutub kolmedimensiooniliseks

Korean: 
이 작은 사각형 영역은
토러스의 이 부분입니다
 
이것을 위에서 보면,
이렇게 보일 것입니다
작은 사각형을 변형
했다고 생각해도 됩니다
아직 수학적으로 어떻게
하는지는 다루지 않았습니다
그러나 이 작은 사각형을
도넛의 이 부분으로 
바꾸었습니다
이제 시각화에 관해서는
전부 다 한것 같습니다
여기에서 이번 영상을
마치겠습니다
다음 영상은 두 개의
매개변수를 이용하여
매개변수화 하는 
것을 다루겠습니다
s는 각각의 원을 회전하고,
t는 z축을 회전하는 것임을
기억하십시오
s와 t의 모든 조합을 보면,
토러스의 표면이나 도넛의
모든 지점을 알 것입니다
어떻게 실제로 
s와 t가 0부터 2π까지 변하고,
이 표면을 정의하는 
삼차원 위치 벡터 함수를

Czech: 
Takže tato část je částí našeho toru.
Když byste se podívali shora,
vypadalo by to takto.
Dokážete si představit,
že jsme tento čtverec transformovali.
Ještě jsem vám neukázal,
jaký je pro to matematický postup.
Ale tento čtverec jsme zobrazili
na tuto část koblihy.
Myslím, že jsem pro znázornění
udělal všechno,
co bylo v mých možnostech.
Tady video ukončím.
V dalším videu si řekneme,
jak paramatrizujeme se dvěma parametry.
Pamatujte, „s“ vede po každé z těchto
kružnic a „t“ otáčí kolem osy „z“.
A když vezmete všechny kobinace „s“ a „t“,
dostanete každý bod na povrchu tohoto toru
nebo koblihy.
Jak se dostanete od „s“ a „t“
s hodnotami od 0 do 2 pi
k trojrozměrné funkci s hodnotami
polohových vektorů,

English: 
So this right here is
this part of our torus.
If you're looking at it from
the top, it would look
like that, right there.
You can imagine, we've
transformed this square.
I haven't even shown you how
to do it mathematically yet.
But we've transformed
this square to this
part of the doughnut.
Now, I think we've done about
as much as I can do on
the visualization side.
I'll stop this video here.
In the next video, we're going
to actually talk about, how
do we actually parameterize
using these two parameters?
Remember, s takes around each
of these circles, and then t
takes us around the z-axis.
And if you take all of the
combinations of s and t, you're
going to have every point
along the surface of this
torus or this doughnut.
How do you actually go from an
s and a t that goes from 0 to
2 pi, in both cases, and turn
it into a three-dimensional

Thai: 
นี่ตรงนี้ก็คือส่วนหนึ่งของทอรัส
-
หากคุณดูมันจากด้านบน, มันจะเป็น
แบบนั้น, ตรงนั้น
คุณอาจนึกภาพ, เราแปลงสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้
ผมยังไม่เคยแสดงให้คุณดูวิธีการทำโดยคณิตศาสตร์เลย
แต่เราได้แปลงสี่เหลี่ยมนี้เป็น
ส่วนนึงของโดนัทไปแล้ว
ตอนนี้, ผมว่าเราทำเท่าที่ได้ ในการมอง
ภาพแล้ว
ผมจะหยุดวิดีโอนี้ไว้แค่นี้
ในวิดีโอหน้า, เราจะพูดถึง, วิธี
ที่เราจะตั้งพาราเมทริกโดยใช้พารามิเตอร์สองตัวจริง ๆ สักที
จำไว้, s ไปรอบ ๆ วงกลมแต่ละอัน, แล้ว t
พาราไปรอบแกน z
หากคุณเลือก s กับ t ทุกแบบที่เป็นไปได้มา,
คุณจะได้ทุกจุดบนพื้นผิวของทอรัส
นี่หรือโดนัทนี่
คุณจะไปจาก s และ t ที่เริ่มจาก 0 ถึง
2 ไพ, ทั้งคู่, แล้วแปลงมันเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็น

Turkish: 
Buradaki, simidin bu parçasıdır.
-
Üstten bakarsanız, şöyle görünür.
-
Bu kareyi şöyle dönüştürdüğümüzü düşünebilirsiniz.
Henüz bunun matematiksel olarak nasıl yapıldığını size göstermedim, ama bu kareyi simidin bu parçasına dönüştürdük.
-
-
Görsel olarak yapabileceğimiz ne varsa yaptık.
-
Bu videoyu burada keselim.
Bir sonraki videoda parametrik denklemleri nasıl oluşturacağımızı göstereceğim.
-
Hatırlarsanız, s bizi çemberlerin etrafında, t de z ekseni etrafında döndürüyordu.
-
s ve t'nin birleşimini alırsanız, bu simidin yüzeyindeki her noktayı elde edersiniz.
-
*
0'dan 2 Pi'ye giden s ve t değerlerini nasıl bu yüzeyi tanımlayan bir üç boyutlu konum vektör değerli fonksiyona dönüştürürsünüz?
-

Portuguese: 
Portanto, este aqui é essa parte do nosso toro.
Se você está olhando para ele de cima, ele ficaria
assim, ali mesmo.
Você pode imaginar, nós transformou essa praça.
Eu nem sequer lhe mostrado como fazê-lo matematicamente ainda.
Mas nós transformou essa praça para este
parte do donut.
Agora, eu acho que fizemos tanto quanto eu posso fazer na
o lado de visualização.
Vou parar este vídeo aqui.
No vídeo seguinte, vamos realmente falar, como
é que vamos realmente parametrizar com estes dois parâmetros?
Lembre-se, leva em torno de cada s desses círculos, e depois t
leva-nos ao redor do eixo z.
E se você pegar todas as combinações de s e t, você está
vai ter todos os pontos ao longo da superfície desta
toro ou este donut.
Como você realmente ir de uma s e no que vai de 0 a
2 pi, em ambos os casos, e transformá-lo em uma imagem tridimensional

Thai: 
เวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติ ที่กำหนดพื้นผิวนี้ได้ยังไง?
เราจะทำมันในวิดีโอหน้ากัน

Portuguese: 
posição função vetorial que define essa superfície?
Nós vamos fazer isso no próximo vídeo.

English: 
position vector-valued function
that would define this surface?
We're going to do that
in the next video.

Turkish: 
-
Bunu bir sonraki videoda yapacağız.

Czech: 
která definuje tuto plochu?
To si ukážeme v dalším videu.

Korean: 
구할 것입니까?
이것을 다음 영상에서 합시다

Estonian: 
positsiooni vektorväärtusega funktsiooniks mis defineeriks seda pinda?
me teeme seda järgmises videos.

Polish: 
funkcji o wartościach wektorowych, która będzie definiować tę powierzchnię?
Zrobimy to na następnym filmie.

Spanish: 
¿Posicionar la función vectorial que definiría esta superficie?
Vamos a hacerlo en el siguiente vídeo.
