
Bulgarian: 
Разгледайте лявата и дясна Риманови суми,
които са приближение на площта под кривата y равно на g от х,
в интервала от х равно на 2 до х равно на 8.
Искаме да получим приближение за лицето на този светлосин участък.
Приближенията надхвърлят ли истинската стойност или са по-малки от нея?
Нека да помислим върху всяко от тях.
Нека да разгледаме лявата и дясна Риманови суми.
Първо левите.
Просто ще напиша съкратено 'Ляво'
за лявата Риманова сума.
Не са ни казали колко много подразделения може да направим,
за приближението, така че зависи от нас.
Нека да кажем, че имаме три подразделения.
И искаме те да са равни.
Не е нужно да бъдат, но нека да кажем, че ще ги направим.
Първото деление ще бъде от 2 до 4.
Следващото ще бъде от 4 до 6.
А по-следващото ще бъде от 6 до 8.
Ако образуваме лявата Риманова сума,
ще използваме лявата граница на всяко едно деление,
за да намерим височината.
Изчисляваме стойността на функцията за лявата граница на всяко едно
от тези подразделения, за височина на образуваните триъгълници.

English: 
- [Narrator] Consider the left
and right Riemann sums that
would approximate the area
under y is equal to g of x
between x equals two and x equals eight.
We want to approximate this
light blue area right here.
Are the approximations over
estimations or underestimations?
So, let's just think about each of them.
Let's consider the left
and right Riemann sums.
First the left.
I'm just gonna write left for
short but I'm talking about
the left Riemann sum.
They don't tell us how many
subdivisions to make for
our approximation so
that's up to us to decide.
Let's say we went with three subdivisions.
Let's say we want to make them equal.
They don't have to be,
but let's say we do.
The first one would go from two to four,
the next one would go from four to six,
and the next one would
go from six to eight.
If we do a left Riemann sum,
you use the left side of
each of these subdivisions
in order to find the height.
You evaluate the function at
the left end of each of those
subdivisions for the height of
our approximating rectangles.

Korean: 
왼쪽과 오른쪽
리만합이 있고
이는 x = 2와
x = 8 사이
 y = g(x) 아래의 넓이를
근사합니다
여기 옅은 파란색 부분을
근사계산하고자 합니다
근삿값은 참값보다 작을까요?
아니면 클까요?
각각을 생각해 봅시다
왼쪽과 오른쪽
리만합에서
먼저 왼쪽을 봅시다
left는
왼쪽 리만합을 의미합니다
left는
왼쪽 리만합을 의미합니다
부분 구간이 몇 개인지는
나와있지 않으니
알아서 정하면 됩니다
부분 구간을 
세 개로 해 보죠
부분 구간이
서로 같다고 해 봅시다
꼭 그럴 필요는 없지만
그렇다고 해 봅시다
첫 번째는 2에서 4까지
그 다음은 4에서 6까지
그 다음은 6에서 8까지입니다
왼쪽 리만합은
각 부분 구간의
왼쪽 끝점을
높이로 사용합니다
각 부분 구간의
왼쪽 끝점에서
함숫값을 계산해
근사할 사각형의 높이로 사용합니다

Korean: 
첫 번째 직사각형의 높이로는
g(2)를 사용합니다
이렇게요
다음 사각형에는
g(4)를 사용합니다
여기가 되겠죠
그리고 마지막으로
세 번째 사각형에는
g(6)을 높이로 합니다
이렇게 그려보고 나면
왼쪽 리만합은
참값보다 큽니다
왜 그렇냐고요?
근사계산하는 넓이는
사각형 안에 들어있는데
이 사각형들엔
남는 넓이가 있기 때문에
항상 근사하려고 하는
넓이보다 큽니다
항상 근사하려고 하는
넓이보다 큽니다
그리고 일반적으로
해당하는 구간에서
감소하는 함수가 있다면
해당하는 구간에서
감소하는 함수가 있다면
전체 구간에서
단조감소한다면
부분 구간의
왼쪽 끝값으로 근사하면

English: 
We would use g of two to
set the height of our first
approximating rectangle, just like that.
Then we would use g of four
for the next rectangle.
We would be right over there.
Then you would use g of six
to represent the height of
our third and our final
rectangle, right over there.
Now, when it's drawn out like
this, it's pretty clear that
our left Riemann sum is going
to be an overestimation.
Why do we know that?
Because these rectangles, the
area that they're trying to
approximate is contained
in the rectangles.
And these rectangles have
this surplus area so they're
always going to be larger than the areas
that they're trying to approximate.
And in general,
if you have a function that's
decreasing over the interval
that we care about right over here,
strictly decreasing the entire time.
If you use the left edge of
each subdivision to approximate,

Bulgarian: 
Ще използваме g от 2, за да намерим височината на първия
правоъгълник, ето така.
След това ще използваме g от 4 за следващия правоъгълник.
Намираме се ето тук.
След това ще използваме g от 6, за да представим височината
на третия последен правоъгълник, ето тук.
Когато сме направили чертежа така, е очевидно,
че лявата Риманова сума ще бъде по-голямо приближение.
Откъде разбираме, че е така?
Защото тези правоъгълници, или площта, която се опитваме
да получим с приближение се съдържа в правоъгълниците.
А тези правоъгълници имат по един остатък ето тук,
който винаги увеличава площта под кривата,
която се опитваме да апроксимираме.
Като правило,
когато работим с функция, която е намаляваща,
в избрания интервал ето тук,
строго намаляваща през цялото време,
ако използваме лявата граница на всяко подразделение,

English: 
you're going to have an overestimate.
Because the left edge,
the value of the function there,
is going to be higher than
the value of the function at
any of the point in the subdivision.
That's why for decreasing function,
the left Riemann sum is going
to be an overestimation.
Now let's think about the
right Riemann sum and you might
already guess that's
going to be the opposite
but let's visualize that.
Let's just go with the
same three subdivisions.
But now let's use the
right side of each of these
subdivisions to define the height.
For this first rectangle the
height is going to be defined
by g of four.
That's right over there.
And then for the second one
it's going to be g of six.
That is right over there.
For the third one it's
going to be g of eight.
Let me shade these in to make
it clear which rectangles
we're talking about.
This would be the right Riemann
sum to approximate the area.
It's very clear here
that this is going to be an underestimate.

Korean: 
참값보다
큰 값을 얻게 됩니다
왼쪽 끝점에서
함숫값은
부분 구간의 다른 어느 점보다
함숫값이 큽니다
부분 구간의 다른 어느 점보다
함숫값이 큽니다
이것이
감소하는 함수일 때
왼쪽 리만합이
참값보다 큰 이유입니다
이제 오른쪽 리만합을
생각해 봅시다
이미 이 반대일 것이라
추측할 수도 있겠지만
시각화 해 봅시다
같은 부분 구간
세 개를 사용합시다
이번엔 부분 구간의
오른쪽 끝점을
높이로 사용하겠습니다
이 첫 번째 사각형의
높이는 g(4)입니다
이 첫 번째 사각형의
높이는 g(4)입니다
바로 여기죠
두 번째는 g(6)이고
여기에 해당합니다
세 번째는 g(8)입니다
해당하는 사각형을
칠해 놓겠습니다
해당하는 사각형을
칠해 놓겠습니다
이것이 이 넓이를 근사하는
오른쪽 리만합입니다
이것은 참값보다 작다는 것이
확실히 보여집니다
이것은 참값보다 작다는 것이
확실히 보여집니다

Bulgarian: 
то ще получим по-голяма площ.
Поради лявата граница,
т.е. стойността на функцията ето тук,
която ще бъде по-високо от стойността на функцията
във всяка една друга точка от подраздаделнието.
Ето защо за намаляващи функции,
лявата Риманова сума ще бъде по-голямо приближение.
Нека сега да разгледаме дясната Риманова сума. Може би
вече предполагаш, че ще се получи обратното,
но нека да го визуализираме.
Ще използваме същите три подразделения.
Нека обаче, сега да използваме дясната страна на всяко едно
от тези подразделения, за да дефинираме височината.
За първия правоъгълник, височината ще бъде
дефинирана от стойността на g от 4.
Това е ето тук.
След това за втория ще се получи за g от 6.
Това е ето тук.
за третия, ще бъде равна на g от 8.
Нека да ги защриховам, за да стане ясно, за кои правоъгълници
става дума.
Това ще бъде дясната Риманова сума, за да апроксимираме площта.
Тук е много ясно,
че приближението ще е по-малко.

Korean: 
이 각각의 구간에서
오른쪽 리만합에
사용하는 사각형들은
구하고자 하는 넓이의
일부분입니다
구하고자 하는 넓이의
일부분입니다
여기 있는 넓이를
포함하지 않습니다
여기 있는 넓이를
포함하지 않습니다
그리고 이는 다시
이 함수가
단조감소함수이기 때문입니다
따라서 어느
부분 구간에서라도
오른쪽 끝점을 사용해
높이를 정의하면
오른쪽 끝점을 사용해
높이를 정의하면
오른쪽 g의 값은
부분 구간에서
가장 낮은
g의 값이기 때문에
그 구간에서 평균 높이라고
할 수 있는 값보다 낮은 값입니다
그 구간에서 평균 높이라고
할 수 있는 값보다 낮은 값입니다
그래서 이 경우에는 
참값보다 낮습니다
만약 함수가
단조증가한다면
이 두 개는 
반대로 바뀌고
당연히 단조증가도
단조감수도 아닌 함수도 많습니다
당연히 단조증가도
단조감수도 아닌 함수도 많습니다
그러면 그땐
함수에 따라 달라집니다 
어떤 경우엔
정한 부분 구간에 따라

Bulgarian: 
По-малко е, защото виждаме във всеки от тези интервали,
дясната Риманова сума, или правоъгълника, който използваме,
за дясната Риманова сума, е някаква по-малка част от площта,
която се опитваме да пресметнем.
Не успяваме да го направим. Не обхваща ето тази допълнителна площ,
точно ето тук.
И отново,
това се получава, защото функцията е строго намаляваща.
Следователно, ако използваш точката от десния край на всяко деление,
или дясната страна, на всяко едно деление,
за да дефинираш височината,
то дясната стойност на g ще бъде най-ниската стойност на g,
за избраното деление. Следователно, ще е по-ниска височина
от това, което може да определим като средната стойност на височината
за функцията в интервала.
Следователно, в тази ситуация имаме по-малко по стойност приближение.
Ако функцията беше строга нарастваща,
тогава тези два резултата биха разменили мястото си.
Има много функции, които не са нито строго нарастващи,
нито строго намаляващи.
Тогава, ще зависи от функцията.
Понякога дори
ще зависи от вида на делението, което избереш

English: 
Underestimate because we see
in each of these intervals,
the right Riemann sum or the
rectangle that we're using
for the right Riemann sum
is a subset of the area
that its trying to estimate.
We're not able to, it doesn't
capture this extra area
right over there.
And once again,
that is because this is a
strictly decreasing function.
So if you use the right end
point of any one of these or
the right side of any of
these subdivisions in order to
define the height,
that right value of g is going
to be the lowest value of g
in that subdivision so it's
going to be a lower height than
what you could say is even the
average height of the value
of the function over that interval.
So you're going to have an
underestimate in this situation.
Now, if your function
was strictly increasing,
then these two things would be
swapped around and of course,
there are many functions
that are neither strictly
increasing or decreasing
and then it would depend on the function.
Sometimes even,
it would depend on the type
of subdivisions you choose to

Bulgarian: 
да използваш, за това дали ще се получи по-голямо или по-малко приближение.

English: 
decide whether you have an
overestimate or an underestimate.

Korean: 
참값보다 큰지
작은지가 정해집니다
