Olá!
Meu nome é Rafael Pacheco, sou aluno do curso
de Física e este é meu trabalho de iniciação
científica: Estudo de diagramas de fases
da matéria hadrônica e de quarks sob orientação
pelo Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini.
O trabalho vai se dividir nas seguintes partes.
Em 1957 Bardenn-Cooper-Schrieffer (BCS) criaram
um modelo para descrever supercondutividade,
se baseando nisso Yogiro Nambu e Giovanni
Jona-Lasinio criaram seu modelo para descrever
a interação entre núcleons mediante troca
de mésons. Com o advento da Cromodinâmica
Quântica (QCD), uma teoria mais robusta,
porém de difícil tratamento matemático
o Modelo de Nambu Jona--Lasinio (NJL) foi
reinterpretado como uma teoria efetiva da
QCD. Algumas das características desse modelo
são: a não renormalização, o que significa
que técnicas de regularização tem que ser
empregadas para obtermos resultados fisicamente
razoáveis; também nota-se que o modelo de
NJL não apresenta o fenômeno do confinamento
como a QCD, pois não há glúons em sua teoria,
e que por isso existe a conservação parcial
da simetria quiral.
O Modelo de NJL em SU(2), ou seja, 2 sabores,
quarks up e down é dado pela densidade lagrangiana
em (1), onde: em (2) psi são os espinores
up (u) e down; m~ são as matrizes das massas
onde dada a simetria de isospin podemos considerar
as massas dos quarks u e d iguais em (3);
G é a constante de acoplamento com dimensão
de MeV^(-2) em 3 + 1 dimensões; gamma as
matrizes de Dirac, tau o vetor de Pauli.
Para obter diagramas de fase temos que observar
uma relação entre grandezas físicas, no
nosso caso massa e temperatura. Uma maneira
é obter a equação de gap para deste modelo
e assim as massas constituintes. Para obter
a equação de gap a partir da densidade lagrangiana
é necessário um formalismo um pouco complicado
e que não foi o foco do trabalho nesse momento,
então partimos de uma expressão geral para
o potencial termodinâmico.
Utilizando o formalismo grã-canônico em
teoria de campos, pode-se obter a expressão
(4), que é uma expressão geral para o potencial
termodinâmico desse modelo. Daí podemos
obter a equação de gap tomando a derivada
de omega em relação a M e igualando a zero
e assim obtendo (5)
Definindo Ep como a raiz do momento ao quadrado
mais a massa M ao quadrado e identificando
o nível de ocupação de Fermi (6) obtemos
a expressão (7) que é a equação de gap.
Obtida a equação de gap, notasse que esta
é uma equação transcendental, isto é,
não conseguimos obter M como função T e
vice-versa analiticamente. Assim definimos
(8) como a função de gap e partimos para
a resolução numérica para dois casos: T
igual a zero e T finito.
Como a função de gap só depende de T em
n_p, tomando o limite (9) vemos que esse termo
vai para 1 e assim f_gap é escrita como (10).
Utilizando a regularização cut-off 3 momento
não covariante regularizamos a integral (11)
e utilizando uma substituição trigonométrica
simples obtemos (12).
Definindo novas variáveis (13) podemos reescrever
f_gap (14). Utilizando o método de Ridder
para obter os zeros dessa função podemos
encontrar um valor para x, e sabendo lambda,
obtemos a massa constituinte M.
Temos o gráfico de f_gap por x, onde temos
4 sets de parâmetros dados por Buballa (2005),
observando o set 2, temos M igual a 400 MeV,
resultado que condiz com a bibliografia.
Para T finito, lembrando da expressão (4)
podemos dividir o potencial em dois termos,
omega 1 e omega 2 (15) e assim temos (16).
Utilizando novamente uma substituição trigonométrica
obtemos a contribuição de omega 1 analiticamente
(17). Já para Omega 2 novamente temos que
utilizar um método numérico, nesse caso
o de quadratura gaussiana.
Assim obtemos essa figura onde temos um diagrama
de fase de M por T. Nota se que o ponto obtido
na figura anterior correponde apenas a um
ponto com T igual a zero e M igual a 400 MeV
nessa figura.
Conclusões e perpectivas futuras: Conseguimos
reobter os resultados da bibliografia; Os
métodos numéricos empregados se mostraram
confiáveis;No futuro desejamos continuar
o trabalho adicionando o
efeito de campos magnéticos.
Obrigado pela atenção. Tchau!
