
French: 
Bienvenue pour une nouvelle vidéo de Mathologer.
Les plus avertis en mathématique connaissent
l'identité d'Euler, exponentiel de I pi est égal à -1, sauf que ce n'est pas vraiment
l'identité d'Euler. Le mathématicien Roger
Cotes l'avait déjà écrit en 1714
quand Euler n'avait seulement que sept ans. Je
trouve en fait un peu triste que les gens
associent le mérite à Euler
qui a déjà trouvé un million de fabuleuses découvertes.
bien sûr, c'est vraiment triste pour Roger Cotes
étant donné qu'il n'a été mentionné nulle part
et que personne n'a jamais entendu parler de lui.
Quoi qu'il en soit, je fais une vidéo sur
la véritable identité d'Euler, l'identité
qui a fait de lui une célébrité.
C'est celui-là. Très curieux, non? Il
dit que pi carré sur six est égal

English: 
Welcome to another Mathologer video.
Everybody who watches these videos knows
Euler's identity e to the I pi is equal
to minus one except it's not really
Euler's identity. The mathematician Roger
Cotes already wrote about it in 1714
when Euler was only seven years old. I
actually find it a bit sad that people
associate the math super hero Euler with
a result that's not really by him rather
than with one of the zillion's of his
really original amazing discoveries. Of
course it's really sad for Roger Cotes
since he doesn't get mentioned for
anything and nobody's ever heard of him.
Anyway I thought I make a video about
the real Euler identity, the identity that
made Euler into a mathematical celebrity.
It's this one here. Very curious, right? It
says that pi squared over six is equal

Spanish: 
Bienvenido a otro video de Mathloger. Todos los que vean este video saben
que la identidad de Euler es e elevado a la pi i es igual a -1, excepto que esta no es
realmente la identidad de Euler. El matemático Roger Cotes ya había escrito sobre ella en 1714
Cuando Euler solo tenía 7 años. Me parece un poco triste que las personas
asocien al héroe de la matemática Euler con un resultado que no es de su autoría
en lugar de un los millones de resultados que sí lo son.
Desde luego que es verdaderamente triste que Roger Cotes no sea mencionado nunca por
nada y nadie haya oído alguna vez de él. De todas formas pensé que haría un video sobre
la verdadera identidad de Euler, la identida que lo convirtió en una celebridad matemática
Es ésta de aquí. Curiosa, no? Dice que pi al cuadrado sobre 6 es igual a

Portuguese: 
Bem-vindo a outro vídeo do Mathologer. Todo mundo que assiste esses vídeos sabe
A identidade de Euler e para o I pi é igual a menos um, exceto que não é realmente
Identidade de Euler. O matemático Roger Cotes já escreveu sobre isso em 1714
quando Euler tinha apenas sete anos de idade. Eu realmente acho um pouco triste que as pessoas
associar o super-herói de matemática Euler com um resultado que não é realmente por ele, em vez
do que com um dos zilhões de suas incríveis descobertas realmente originais. Do
Claro que é muito triste para Roger Cotes desde que ele não é mencionado por
qualquer coisa e ninguém nunca ouviu falar dele.
De qualquer forma, pensei em fazer um vídeo sobre
a identidade real de Euler, a identidade que
fez de Euler uma celebridade matemática.
É esse aqui. Muito curioso, certo? isto
diz que pi ao quadrado mais de seis é igual

Dutch: 
Welkom bij een een nieuwe Mathologer video. Iedereen die deze video's bekijkt,
kent Euler's identiteit, e^(i*pi) = -1. Maar eigenlijk is dat niet
Euler's identiteit. De wiskundige Roger Cotes schreef er al in 1714 over,
toen Euler nog maar zeven jaar oud was. Ik vind het eigenlijk wat zielig dat men
de wiskunde-superheld Euler met een resultaat associëert dat niet van hem komt, in plaats van
een van de vele geweldige ontdekkingen die hij gedaan heeft.
Natuurlijk is het erg zielig voor Roger Cotes, want hij wordt nergens voor genoemd
en niemand heeft ooit van hem gehoord. In ieder geval, ik besloot een video te maken over
de echte identiteit van Euler, de identiteit die van Euler een wiskundige bekendheid maakten.
Het is deze hier. Best vreemd, hè? Het houdt in dat pi kwadraat gedeeld door zes gelijk is

Italian: 
Benvenuto a un altro video di Mathologer.
Tutti quelli che guardano questi video conoscono
l'identità di Eulero e alla i pi greco è uguale a 
meno uno, eccetto che non è davvero
l'identità di Eulero. Il matematico Roger Cotes ne 
aveva già scritto al riguardo nel 1714,
quando Eulero aveva solo sette anni. 
In realtà trovo un po' triste che la gente
associ al supereroe matematico Eulero 
un risultato che non è proprio suo, invece di
una delle miliardi delle sue 
originali scoperte sorprendenti.
Di certo è molto triste per Roger Cotes, 
dal momento che non viene affatto menzionato
e nessuno ha mai sentito parlare di lui.
Comunque pensavo di fare un video su
la vera identità di Eulero, l'identità che
ha fatto di Eulero una celebrità matematica.
È questa qui. Davvero curiosa, vero? Afferma 
che pi greco al quadrato diviso 6 è uguale

Russian: 
Добро пожаловать в новое видео на Mathologer. Все, кто смотрит подобные видео, знают
тождество Эйлера: e^iπ = -1. Вот только на самом деле оно принадлежит
не Эйлеру. Математик Роджер Котес (Roger Cotes) уже писал о нём в 1714 году,
когда Эйлеру было всего семь лет. Я считаю довольно грустным тот факт, что люди
связывают математического супергероя Эйлера с результатом, который ему не принадлежит, в то время как
существуют необъятные тучи действительно оригинальных и изумительных открытий, принадлежащих ему.
Конечно, ещё более печален этот факт для Роджера Котеса, так как его в итоге не упоминают вообще
ни за что, и никто никогда о нём не слышал. Так или иначе, я решил сделать видео о
настоящем тождестве Эйлера, о том тождестве, которое превратило Эйлера в математическую знаменитость.
Я говорю о вот этом [тождестве]. Очень любопытно, не так ли? Оно гласит, что π^2/6 равно

Esperanto: 
Bonvenon al plia videaĵo de Mathologer. Ĉiu, kiu spektas tiujn videaĵojn scias
la Eŭleran identecon e je potenco de I pi egalas al minus unu, krom tio, ke ĝi ne vere estas
la Eŭlera identeco. La matematikisto Roger Cotes jam skribis pri ĝi en 1714
kiam Eŭler havis nur 7 jarojn. Mi iomete bedaŭras ke homoj
konektas la matematik-super-heroon Eŭler kun rezulto kio ne vere devenas de li
anstataŭ kun unu el abundo de liaj vere originaj mirigaj malkovroj.
Kompreneble estas vere domaĝe por Roger Cotes, ĉar li ne estas menciata por
io ajn kaj neniu iam ajn aŭdis pri li. Kiel ajn, mi pensis krei videaĵon pri
la reala Eŭlera identeco, la identeco kiu fariĝis Eŭler famulon.
Estas ĉi-tiu. Tre stranga, ĉu? Ĝi diras, ke pi kvadratite dividite per ses egalas

French: 
à la somme infinie des inverses
des carrés. Cette identité est
surprenante car la réponse à savoir si la somme infinie à droite aboutie a
quelque chose de beau. Beaucoup de mathématiciens célèbres
 du temps d'Euler avaient tenté de  la résoudre
sans y répondre ainsi
Euler fut sensation lorsqu'en 1734
il réussit à trouver la réponse. Et
Bien sûr la réponse implique pi
sans avoir ajouter le moindre cercle nulle part ou pi en est la solution.
non seulement le résultat est remarquable, il marque un tournant important. dans la
définition de la célèbre fonction  zêta de Riemann
 qui est la fonction au
coeur de l'hypothèse de Riemann, l'un des plus important problème non résolu
en mathématiques. Ce que Euler a réussi à faire était de trouver
la valeur précise de fonction zêta de 2. Non seulement il trouve zêta de 2 mais

Esperanto: 
al la nefinia sumo de la reciprokoj de la kvadratoj. Tiu identeco estas tre
surpriza respondo al la problemo, ĉu la nefinia sumo dekstre sumiĝas al
io ajn agrabla. Multaj de la plej famaj matematikistoj en la tempo de Eŭler estis provintaj
kaj malsukcesintaj respondi al tiu problemo kaj tial estis iom sensacia kiam 1734
Eŭler sukcesis trovi la respondon. Kaj certe pro tio ke la respondo entenas pi
sen iu ajn cirklo videbla altiĝis la allogon de tiu solvo.
La rezulto ne nur estas bela sed evidentiĝas esti grava. Ĉi-supre estas la
difino de la fama Riemann Zeta funkcio kiu estas la funkcio ĉe
la koro de la Riemanna hipotezo, unu el la plej gravaj nesolvitaj problemoj en
matematiko. Do kion Eŭler sukcesis fari estis trovi
la precizan valoron de la Riemann Zeta funkcion ĉe 2. Ne nur tion, li ankaŭ faris

Russian: 
бесконечной сумме обратных квадратов. Это тождество является очень
неожиданным ответом на вопрос о том, составляет ли бесконечная сумма в правой части
что-нибудь хорошее. Многие из известнейших математиков времён Эйлера уже попытались
и не смогли найти решение этой задачи. Поэтому, когда в 1734 году Эйлеру удалось
найти ответ, это произвело небольшую сенсацию. И конечно, то, что ответ включает в себя π,
при отсутствии какого-либо круга в поле зрения, делает этот ответ ещё более привлекательным.
Этот результат не только красив, но также оказывается весьма важным. Сверху вы видите
определение знаменитой дзета-функции, которая лежит
в основе гипотезы Римана (Riemann hypothesis), одной из наиважнейших нерешённых проблем
в математике. Эйлеру удалось сделать следующее: найти
точное значение дзета-функции Римана в точке 2. Мало того, он сделал то же самое

English: 
to the infinite sum of the reciprocals
of the squares. This identity is a very
surprising answer to the problem of whether the infinite sum on the right adds up to
anything nice. A lot of the most famous
mathematicians of Euler's time had tried
and failed to answer this problem and so
it was a bit of a sensation when in 1734
Euler managed to find the answer. And of
course that the answer involves pi with
no circle in sight anywhere added really to
the appeal of this solution. The
result is not only pretty but also turns
out to be important. Up there is the
definition of the famous Riemann zeta
function which is the function at the
heart of the Riemann hypothesis, one of
the most important unsolved problems in
mathematics. So what Euler managed to do was to find
the precise value of the Riemann zeta
function at 2. Not only that, he also did

Spanish: 
a la suma infinita de los recíprocos de los cuadrados de los naturales. La identidad es una
respuesta muy sorprendente al problema de si la suma infinita de la derecha converge a algo agradable.
Mucho matemáticos famosos del tiempo de Euler habían intentado
y fallaron en solucionar el problema, así que era todo un tema en 1734.
Euler se las ingenió para encontrar la respuesta. Y por supuesto, la solución involucra a pi sin
ningún círculo a la vista adjunto a la solución. El resultado
no es solo bonito sino que resulta ser importante. Allí arriba está
la definición de la famosa función Zeta de Riemann, la cual
yace en el corazón de la Hipótesis de Riemann, uno de los problemas irresueltos más importantes
en la matemática. Así que lo que Euler hizo fue encontrar
el valor preciso de la función Zeta en 2. No solo eso, también

Italian: 
alla somma infinita dei reciproci
dei quadrati. Questa identità è
una risposta sorprendente alla questione del
se la serie a destra abbia come somma
qualcosa di carino. Molti dei più famosi matematici
del periodo di Eulero ci avevano provato
e non erano riusciti a rispondere al problema, 
e così fece scalpore quando nel 1734
Eulero riuscì a trovare la risposta.
E è ovvio che il coinvolgere pi greco con
nessun cerchio in vista ha reso ancora
più affascinante questa soluzione.
Il risultato non è solo carino, ma si rivela 
anche importante. Qua c'è la
definizione della famosa funzione Zeta 
di Riemann, che è la funzione al
centro dell'ipotesi di Riemann, uno 
dei più importanti problemi irrisolti della
matematica. Quindi quello che 
riuscì a fare Eulero fu trovare
il valore preciso della funzione zeta 
di Riemann in 2. Non solo, l'ha fatto

Dutch: 
aan de som van één gedeeld door de kwadraten van alle positieve gehele getallen. Deze identiteit is een erg
verrassende uitkomst op de vraag of de oneindige som aan de rechterkant uitkomt op
iets moois. Veel van de bekendste wiskundigen in Eulers tijd hadden tevergeefs geprobeerd
om deze vraag te beantwoorden, dus was het nogal sensationeel toen in 1734
Euler het antwoord vond. Het feit dat pi in het antwoord voorkomt, zonder
ergens een cirkel te bekennen, maakte de uitkomst natuurlijk extra bijzonder.
Het resultaat is alleen niet mooi, maar blijkt ook belangrijk. Hierboven is de
definitie van de bekende Riemann-zeta functie, de functie die
de kern uitmaakt van de Riemann-hypothese, een van de belangrijkste onopgeloste problemen binnen
de wiskunde. Waar Euler in slaagde was om de precieze waarde
van de Riemann-zeta functie te vinden bij 2. Niet alleen dat,

Portuguese: 
para a soma infinita dos recíprocos
das praças. Essa identidade é muito
resposta surpreendente ao problema de saber se a soma infinita à direita soma-se a
qualquer coisa legal. Muitos dos mais famosos
matemáticos do tempo de Euler tinham tentado
e não conseguiu responder a este problema e assim
foi um pouco de sensação quando em 1734
Euler conseguiu encontrar a resposta. E de
Claro que a resposta envolve pi com
nenhum círculo à vista em qualquer lugar adicionado realmente a
o apelo desta solução. o
resultado não é apenas bonito, mas também se transforma
para ser importante. Lá em cima é o
definição do famoso zeta de Riemann
função que é a função no
coração da hipótese de Riemann, um dos
os mais importantes problemas não resolvidos em
matemática. Então, o que Euler conseguiu fazer foi encontrar
o valor preciso do zeta de Riemann
função em 2. Não só isso, ele também fez

Russian: 
для всех чётных чисел. Оказывается, что все эти значения так или иначе связаны с кругом и
числом π. Например, вот значение дзета-функции в точке 4, а вот
значение дзета-функции в точке 6. Никто не знает и по сей день, равна ли
дзета-функция чему-то приятному в нечётных точках – 3, 5, 7, и т.д. Кроме этого, Эйлер
был также заинтересован в присвоении разумных значений расходящимся суммам,
которые возникают при попытке посчитать дзета-функцию в отрицательных значениях:
1 + 2 + 3 + ... вы знаете эту [сумму], не так ли? В сущности, он был одним из первых, если не
первым, математиком, кто продемонстрировал, что в этих суммах таится куда больше,
чем кажется на первый взгляд. Если в вас хватит решимости, посмотрите моё видео на эту
воистину умопомрачительную тему. Так или иначе, моя миссия сегодня состоит в том, чтобы мотивировать и показать вам анимацию
доказательства Эйлера для его замечательного тождества. Итак, поехали.

Spanish: 
lo hizo para todos los números pares. Puede apreciarse que todos estos números involucran a pi
Por ejemplo, este de aquí arriba es la función zeta evaluada en 4 y
ésta es la función Zeta evaluada en 6. Hasta la fecha nadie sabe si
la función Zeta es igual a algo "agradable" para 3,5,7 etc. Ahora bien, Euler
estaba interesado también en asignarle valores razonables a las sumas
que obtenés cuando evaluás la función Zeta con números negativos:
1+2+3+... conocés ésa no? De hecho, él fue uno de los primeros, si no el
primer matemático en realmente demostrar que hay mucho más
sobre estas sumas que lo que se ve a simple vista. Si te atreves a ver el video
sobre este tópico alucinante. Mi misión hoy es motivar y ensalzar
la demostración de Euler sobre su maravillosa identidad para vos. Así que aquí vamos.

Esperanto: 
tion por ĉiuj neparaj nombroj. Nun evidentiĝas, ke ĉi-ĉiuj valoroj entenas
la cirklan nombron pi. Ekzemple, ĉi-tio supre estas Zeta elvalorigita je 4 kaj tio
estas Zeta elvalorigita je 6. Nuntempe neniu scias ĉu Zeta
elvaloriĝas al iu agrabla ĉe la neparaj nombroj 3, 5, 7 ktp. Nun Eŭler
ankaŭ interesiĝis meti akcepteblajn valorojn al la ekplodantaj sumoj
kiujn vi ricevas se vi provas elvalorigi Zeta ĉe negativaj valoroj:
1+2+3+… vi scias tiun ĉi, ĉu? Fakte li estis inter la plej unuaj, se ne
la plej unua matematikisto por vere montri ke estas multe pli pri tiuj
sumoj ol okulfrapas dum unua rigardo. Se vi riskas, elprovu mian videaĵon pri tiu
vere freneza temo. Kiel ajn mi hodiaŭa misio estas motivigi kaj animacii
la pruvon de Eŭler pri liaj mirindaj identecoj por vi. Do jen ni iras.

Dutch: 
hem lukte dat ook voor alle even getallen. Nu blijkt dat bij al deze waardes het cirkelgetal
pi betrokken is. Dit hierboven bijvoorbeeld is Zeta berekend bij 4.
en dit is Zeta berekend bij 6. Tot op de dag van vandaag weet niemand of Zeta
mooie waardes heeft bij de oneven getallen: 3, 5, 7, etc. Euler
was ook geïnteresseerd in het vinden van redelijke waardes bij de exploderende sommen
die je krijgt wanneer je Zeta probeert te berekenen bij negatieve waardes:
1+2+3+... daar ben je wel mee bekend, niet? Sterker nog, hij was een van de eerste, misschien wel
de eerste wiskundige die liet zien dat deze sommen een stuk interessanter zijn
dan je op het eerste oog zou verwachten. Bekijk ook mijn video over dit verbijsteronde onderwerp,
als je durft. In ieder geval, mijn missie voor vandaag is om Eulers bewijs
van zijn prachtige identiteiten te vertellen en te animeren. Daar gaan we dan.

Portuguese: 
Então, para todos os números pares. Agora acontece
que todos esses valores envolviam o círculo
número pi. Por exemplo, este é o Zeta avaliado em 4 e este
é Zeta avaliado em 6. Até hoje ninguém sabe se zeta
avalia a qualquer coisa legal no estranho
valores 3, 5, 7, etc. Agora Euler
também estava interessado em atribuir
valores razoáveis ​​para as somas explosivas
que você começa quando você tenta avaliar
Zeta em valores negativos:
1 + 2 + 3 + ... você sabe disso, certo? Dentro
fato, ele foi um dos primeiros, se não o
primeiro matemático para realmente
demonstrar que há muito mais para estes
somas do que os olhos à primeira vista.
Se você ousa conferir meu vídeo sobre isso
assunto realmente incompreensível. De qualquer forma minha
missão hoje é motivar e animar
A prova de Euler do seu maravilhoso
identidades para você. Aqui vamos nos. Para

Italian: 
per tutti i numeri pari. Ora si vedrà
che tutti questi valori coinvolgono il
numero circolare, pi greco. Ad esempio, questa qui
è la Zeta valutata in 4, e questa
è valutata in 6. Fino ad oggi nessuno 
sa se la funzione zeta
abbia dei valori altrettanto carini nei numeri 
dispari 3, 5, 7, ecc. Ora Eulero
era anche interessato ad assegnare
valori ragionevoli alle somme divergenti
che si ottengono quando si prova a valutare 
la funzione Zeta nei numeri negativi:
1 + 2 + 3 + ... la conosci, giusto?
Infatti, è stato uno dei primi matematici, se non il
primo, a dimostrare per davvero che
 in queste somme c'è molto di più
di quello che si nota a prima vista. Se sei 
coraggioso, controlla il mio video su questo
argomento davvero sconvolgente. Ad ogni modo, la mia missione di oggi è motivare e animare per te
la dimostrazione di Eulero delle sue 
meravigliose identità. Perciò cominciamo.

English: 
so for all even numbers. Now it turns out
that all these values involved the circle
number pi. For example, this up there is Zeta evaluated at 4 and this
is Zeta evaluated at 6. To this day  nobody knows whether zeta
evaluates to anything nice at the odd
values 3, 5, 7, etc. Now Euler
was also interested in assigning
reasonable values to the exploding sums
that you get when you try to evaluate
Zeta at negative values:
1+2+3+... you know that one, right? In
fact, he was one of the first, if not the
first mathematician to really
demonstrate that there is a lot more to these
sums than meets the eye at first glance.
If you dare check out my video on this
really mind-boggling topic. Anyway my
mission today is to motivate and animate
Euler's proof of his wonderful
identities for you. So here we go. To

French: 
tous les zêta pairs. Maintenant, il se trouve
que toutes ces valeurs ont une coïncidence avec le
nombre pi. Par exemple,en haut Zeta de 4 puis
Zeta de 6. A ce jour, personne ne connait
Les valeurs exactes pour zêta de 3, 5, 7, etc. Maintenant, Euler
était également intéressé d'attribuer
un résultat a la somme d'inverse des puissances
que vous obtenez lorsque vous attribuez des valeurs négatives a zêta:
1 + 2 + 3 + ... vous connaissez celle la, non? 
en fait, il était l'un des premiers, sinon le
le premier mathématicien a vraiment
démontré qu'il y a beaucoup plus dans ces
sommes que ce qui est visible d'un premier coup d'œil.
Si vous osez consulter ma vidéo sur ce
sujet vraiment ahurissant. Quoi qu'il en soit ma
mission aujourd'hui est de motiver et d'animer
La merveilleuse preuve de l'identité d'Euler pour vous.
que nous allons voir ici.

Russian: 
Для начала, совсем неясно, составляет ли в сумме эта бесконечная сумма какое-нибудь
конечное значение. И, если она составляет что-то конечное, является ли это значение
чем-то хорошим. Если вы уже немного поработали с бесконечными суммами раньше, то, возможно, вам
встречалась вот эта близкая по духу, красивая бесконечная сумма, которая сильно поможет нам разобраться
в этом вопросе. Так что давайте разомнёмся на этой бесконечной сумме. Чтобы получить её, сначала
перепишем сумму Эйлера вот так. То есть, к примеру, мы переписали (1/2)^2
как 1/2 умножить на 1/2. Сделаем копию внизу и теперь сдвинем синие части вправо на один шаг.
В результате получается другая бесконечная сумма, также весьма приятная на вид. Давайте почленно сравним
эти две суммы. Итак, в зелёном квадрате мы имеем по единичке сверху и снизу.
Здесь же зелёные множители одинаковы, а синий множитель внизу больше. [Дальше]... Зелёные одинаковы,

Italian: 
Per iniziare, non è affatto chiaro che
questa serie converga realmente a
un valore finito e, nel caso converga, se abbia
come somma qualcosa di grazioso.
Se hai già visto un po' di somme infinite,  
potresti esserti imbattuto
in una bellissima serie strettamente connessa.
Fornisce molti approfondimenti
al riguardo, quindi scaldiamoci
con quella serie. Per arrivarci, prima
si riscrive la somma di Eulero in questo modo.
Quindi, per esempio, scriviamo 1 su 2 al quadrato
come 1/2 per 1/2. Facciamo una copia e 
spostiamo a destra i riquadri  blu. Quello
che si trova è quest'altra somma infinita, che
è anche molto carina. Confrontiamo le
due somme termine a termine. Ok, nel verde
abbiamo 1 in cima e in fondo. Qui
i fattori verdi sono gli stessi e
quello blu in basso è più grande ... il verde è uguale,

Spanish: 
Para empezar, no está nada claro si esta suma va a converger a
algún valor finito y si lo hace, si va a converger
a algo agradable. Si ya estudiaste un poco sumas infinitas entonces puede que te hayas
topado con una hermosa suma infinita, estrechamente relacionada que brinda mucho análisis
sobre esta suma, así que calentemos primero con ella. Para llegar a ella primero
reescribimos la suma de Euler de esta forma. Así que, por ejemplo, escribimos 1/4
como 1/2 por 1/2. Hacemos una copia y desplacemos los trozos azules hacia la derecha.
Lo que resulta es esta otra suma infinita la cual es también muy bonita.
 
 

French: 
Pour commencer, il n'est pas évident du tout que cette somme infinie va effectivement donner
un nombre fini et si nous obtenons un nombre "fini"  comme pi il y a là quelque chose de
surprenant. Si vous avez déjà vu
des sommes infinies vous avez peut-être rencontrer
cette belle somme infinie qui nous donne une belle opportunité
de nous échauffer avec
cette somme infinie. Pour commencer nous avons d'abord
réécrit la somme d'Euler comme cela.
Par exemple, nous écrivons 1 sur 2 au carré
comme 1/2 fois 1/2. Faites une copie puis nous allons
décaler les cases bleus vers la droite. Quelle
le résultats est que cette autre somme infinie
est également très joli. Comparons les
deux sommes terme par terme. D'accord, dans le vert
nous avons 1 en haut et en bas. Ici
les facteurs verts sont les mêmes et les
bleus sont plus grands en bas ... verts même,

Portuguese: 
começar com não é claro em tudo o que
esta soma infinita vai realmente adicionar a um
valor finito e se adicionar a um
valor finito se adiciona a qualquer coisa
bom. Se você já olhou um pouco
em somas infinitas você pode ter vindo
através de uma bela estreitamente relacionada
soma infinita. Dá muita visão
a este respeito então vamos aquecer com
essa soma infinita. Para chegar a isso, primeiro
reescreva a soma de Euler assim.
Então, por exemplo, escrevemos 1 sobre 2 ao quadrado
como 1/2 vezes 1/2. Faça uma cópia e vamos
desloque os bits azuis um para a direita. o que
resultados é essa outra soma infinita que
também é muito bonito. Vamos comparar o
duas somas a termo por prazo. Ok, no verde
temos 1 na parte superior e na parte inferior. Aqui
os fatores verdes são os mesmos e os
o azul do fundo é maior ... verde igual,

Esperanto: 
Komence tute ne klaras, ke tiu nefinia sumo efektive sumiĝas al
finia valoro kaj se ĝi sumiĝas al finia valoro ĉu ĝi sumiĝas al
iu ajn agrabla. Se vi jam iomete rigardis al nefiniaj sumoj vi eble venis
al bela proksime parenca nefinia sumo. Ĝi donas multe da kompreno
tiurilate. Do ni varmiĝu per tiu nefinia sumo. Por atingi ĝin ni unue
reskribas la Eŭleran sumon kiel tio-ĉi. Do, ekzemple, ni skribas 1 super 2 kvadratite
kiel ½ oble ½. Kopiu kaj ŝovu la bluajn partojn unu lokon dekstren. Kio
rezultiĝas estas tiu alia nefinia sumo kiu same vere belas. Komparu ni
la du sumojn termon post termo. Bone, en la verda ni havas 1 supre kaj malsupre. Ĉi-tie
la verdaj faktoroj estas samaj kaj la malsupra blua estas pli granda … verda la sama,

Dutch: 
Om te beginnen is het totaal niet evident dat deze oneindige som daadwerkelijk een
eindige waarde heeft, en als het een eindige waarde heeft, dat dat een mooie waarde is.
Als je al eens oneindige sommen hebt bekeken, zou je wel eens een
prachtige sterk gerelateerde oneindige som kunnen zijn tegengekomen. Het geeft in dit opzicht
veel inzicht, dus laten we met deze oneindige som opwarmen. Om hem te bereiken, herschrijven
we Euler's sum zo. Zo schrijven we bijvoorbeeld 1 gedeeld door 2 kwadraat
als 1/2 keer 1/2. Maak een kopie en verplaats de blauwe factoren een term naar  rechts. We
hebben nu een andere oneindige som, die ook erg mooi is. Laten we de
twee sommen term bij term vergelijken. Oké, in het groen hebben we 1 boven en 1 beneden. Hier
zijn de groene delen hetzelfde en is het blauwe gedeelte beneden groter. Groen hetzelfde,

English: 
start with it's not clear at all that
this infinite sum will actually add to a
finite value and if it does add to a
finite value whether it adds to anything
nice. If you've already looked a bit
at infinite sums you may have come
across a beautiful closely related
infinite sum. It gives a lot of insight
in this respect so let's warm up with
that infinite sum. To get to it we first
rewrite Euler's sum like this.
So, for example, we write 1 over 2 squared
as 1/2 times 1/2. Make a copy and let's
shift the blue bits one to the right. What
results is this other infinite sum which
is also very pretty. Let's compare the
two sums term by term. Okay, in the green
we have 1 on top and at the bottom. Here
the green factors are the same and the
bottom blue one is bigger ... green the same,

French: 
le bleu du bas plus grand, vert même puis bleu plus grand et ainsi de suite dans l'ensemble c'est
clair que la somme inférieure est plus grande que
La somme du dessus. Maintenant, pour le bien
ingénieux argument qui évalue la somme
au fond. Nous allons couper cette
somme infinie au quatrième terme, puis calculer de la somme partielle. maintenant obtenir
prêt pour un peu de magie mathématique. Ici 1 fois
1/2 est égal à 1 moins 1/2, non?
1/3 1/2 fois est égale à 1/2 moins 1/3, et
ainsi de suite, maintenant nous nous débarrassons des parenthèse et
cela vous donne une étrange mathématique
télescope de la variété pirate :) Laissez-moi vous expliquer. Ceci est l'un des segments
du télescope puis un autre ici.
Bon maintenant, nous allons réduire le télescope:

Italian: 
il blu in basso più grande, il verde uguale, il blu in 
basso più grande e così via. Nel complesso è
chiaro che la somma inferiore è più grande
della somma di Eulero in alto. Ora tocca
al trucco ingegnoso per valutare la somma 
in basso. Tronchiamo questa
serie qui al quarto termine e 
calcoliamo la somma parziale.
Ora preparati per un po' 
di magia matematica. Qui 1 per
1/2 è uguale a 1 meno 1/2, giusto?
1/2 per 1/3 è uguale a 1/2 meno 1/3,
e così via. Ora ci liberiamo delle parentesi e
questo ti dà uno strano telescopio
matematico, come quello dei pirati :)
Lasciami spiegare. Questo qui è uno dei segmenti
del telescopio ed eccone un altro.
Okay, ora chiudiamo il nostro telescopio:

Esperanto: 
malsupra blua pli granda, verda la sama, malsupra blua pli granda kaj tiel plu. Finfine estas
klare, ke la malsupra sumo estas pli granda ol la Eŭlera sumo supre. Nun la vere
genia argumento kiu elvalorigas la malsupran sumon. Eltranĉu ni tiun
nefinian sumon je la 4-a termo ĉi-tie kaj kalkulu la partan sumon. Nun pretiĝu
por iom da matematika magio. Jen 1 fojo
½ egalas al 1 minus ½, lerta, ĉu? ½ oble 1/3 egalas al ½ minus 1/3, kaj
tiel plu. Nun ni forigas la krampojn kaj tio donas al vi strangan matematikan
teleskopon de la pirata tipo. 😊 Lasu min ekspliki. Tiu ĉi estas unu de la segmentoj
de la teleskopo kaj jen estas alia. Bone, nun ni kolapsu la teleskopon:

English: 
bottom blue bigger,  green the same bottom blue bigger and so on overall it's
clear that the bottom sum is bigger than
Euler's sum at the top. Now for the really
ingenious argument that evaluates the sum
at the bottom. Let's chop off this
infinite sum at the fourth term there
and calculate this partial sum. Now get
ready for a bit of mathematical magic. Here 1 times
1/2 is equal to 1 minus 1/2, neat right?
1/2 times 1/3 is equal to 1/2 minus 1/3, and
so on, now we get rid of the brackets and
this gives you a strange mathematical
telescope of the pirate variety :) Let me
explain. This here is one of the segments
of the telescope and here's another one.
Okay now let's collapse the telescope:

Russian: 
а нижний синий больше. Зелёные одинаковы, нижний синий больше, и так далее. В целом, становится
ясно, что нижняя сумма больше, чем сумма Эйлера сверху. Теперь время воистину
гениального аргумента, который поможет нам посчитать нижнюю сумму. Давайте отсечём эту
бесконечную сумму на четвёртом члене и посчитаем получающуюся частичную сумму. Приготовьтесь
увидеть элемент математической магии. Вот тут 1*1/2
равно (1-1/2). Изящно, не так ли? 1/2*1/3 равно (1/2-1/3), и
так далее. Теперь избавимся от скобок, и это даёт нам необычный математический
телескоп, наподобие пиратского :) Позвольте мне
объяснить. Вот один из сегментов
телескопа, и вот еще один. Итак, теперь давайте схлопнем этот телескоп.

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dutch: 
blauw beneden groter, groen hetzelfde, blauw beneden groter, enzovoort. Het geheel is dus
beneden groter dan Euler's som daarboven.  Laten we nu de briljante
methode bekijken om de som beneden te berekenen. Laten we eerst deze
oneindige som bij de vierde term afkappen en de gedeeltelijke som berekenen. Maak je nu
klaar voor wat wiskundige hocuspocus. 1 keer
1/2 is gelijk aan 1 min 1/2, geinig hè? 1/2 keer 1/3 is gelijk aan 1/2 min 1/3, enzovoort.
Nu halen we de haakjes weg en krijgen we een soort wiskundige
telescoop van de piratensoort. Laat me dat uitleggen. Hier is een van de segmenten
van de telescoop en hier is een ander, oké? Nu schuiven we de telescoop in:

Portuguese: 
fundo azul maior, verde o mesmo fundo azul maior e assim por diante
claro que a soma inferior é maior do que
A soma de Euler no topo. Agora para o realmente
argumento engenhoso que avalia a soma
no fundo. Vamos cortar isso
soma infinita no quarto termo lá
e calcule essa soma parcial. Agora pegue
pronto para um pouco de magia matemática. Aqui 1 vezes
1/2 é igual a 1 menos 1/2, certo?
1/2 vezes 1/3 é igual a 1/2 menos 1/3 e
então, agora nos livramos dos colchetes e
isso lhe dá uma estranha matemática
telescópio da variedade pirata :) Deixe-me
explicar. Este aqui é um dos segmentos
do telescópio e aqui está outro.
Ok, agora vamos colapsar o telescópio:

Russian: 
- 1/2 плюс 1/2 составляет 0, - 1/3 плюс 1/3 равно 0, и поэтому наша частичная сумма
оказывается равна (2-1/4). Так, мы отсекли бесконечную сумму на
вот этом члене. Если бы вместо этого мы провели черту на вот этом члене, то
получился бы (гораздо) более длинный телескоп, который в итоге дал бы нам (2-1/100). Чем дальше
мы обрубаем сумму, тем меньше число с минусом становится. На бесконечности оно окончательно исчезает,
и поэтому наша телескопическая сумма даёт нам в точности 2. Итак, эти бесконечные суммы и правда
могут давать в сумме хорошие значения, поэтому Эйлер & Co. имели некоторую надежду, что то же самое
может произойти и в случае той близкой бесконечной суммы, которую они преследовали. Также,
поскольку эта сумма больше суммы Эйлера, мы знаем, что сумма Эйлера должна равняться
конечному числу, которое меньше 2. И, на самом деле, π^2/6 примерно

Portuguese: 
- 1/2 mais 1/2 é 0, - 1/3 mais
1/3 é 0, e então nossa soma parcial
avalia para 2 menos 1/4.
Agora nós cortamos a soma infinita em
este termo lá. Se ao invés disso nós
ter cortado nesse prazo aqui um
telescópio mais longo teria nos dado o
soma parcial 2 menos 100. Agora, quanto mais
a soma que cortamos, quanto menor a
número que menos recebe. No infinito desaparece
e assim nossa soma telescópica soma 2,
exatamente. Ok, então essas somas infinitas podem
realmente adicionar bons valores e assim Euler
& Co. tinha alguma esperança de que o mesmo
pode ser o caso para o relacionado estreitamente
soma infinita que eles estavam perseguindo. Além disso
desde que a soma é maior que o Euler
soma sabemos a soma de Euler adiciona a um
número finito inferior a 2. E,
na verdade, pi quadrado dividido por 6 é

Italian: 
- 1/2 più 1/2 è 0, - 1/3 più 1/3 
è 0, e quindi la nostra somma parziale
vale 2 meno 1/4.
Ora abbiamo troncato la somma infinita a
questo termine qua. Se invece l'avessimo 
troncata a questo termine,
il telescopio più lungo ci avrebbe dato la
somma parziale 2 meno 100. Ora, meno tronchiamo
la somma, più piccolo diventa il numero 
che sottraiamo. All'infinito diventa zero
e così la nostra somma telescopica vale esattamente  2.
Ok, quindi queste serie possono avere come
somma dei bei valori e perciò Eulero
& Co. avevano qualche speranza che
potesse essere lo stesso caso 
anche per le serie iniziale. Inoltre,
poiché la somma è maggiore di quella di Eulero,
sappiamo che quest'ultima avrà un
valore finito, che è inferiore a 2. E,
infatti, pi greco al quadrato diviso per 6 è

English: 
- 1/2 plus 1/2 is 0, - 1/3 plus
1/3 is 0, and so our partial sum
evaluates to 2 minus 1/4.
Now we chopped off the infinite sum at
this term over there. If instead we would
have chopped off at that term here a
longer telescope would have given us the
partial sum 2 minus 100. Now the further
down the sum we cut, the smaller the
number we minus gets. At infinity it vanishes
and so our telescoping sum adds up to 2,
exactly. Okay so these infinite sums can
really add to nice values and so Euler
& Co. had some hope that the same
might be the case for the closly related
infinite sum they were chasing. Also
since the sum is greater than the Euler
sum we know the Euler sum adds to a
finite number which is less than 2. And,
in fact, pi square divided by 6 is

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dutch: 
-1/2 plus 1/2 is 0, -1/3 plus 1/3 is 0, dus onze gedeelltelijke som
wordt 2 min 1/4. Nu hebben we de oneindige som afgekapt bij
deze term hier. Als we hem in plaats daarvan bij deze term hadden afgekapt, had
een langere telescoop ons de gedeeltelijke som 2 min 1 honderdste gegeven. Des te verder
we de som afkappen, des te kleiner het getal wordt dat we van 2 aftrekken. Bij oneindigheid verdwijnt het,
dus onze telescoopsom wordt exact 2. Oké, dus deze oneindige sommen kunnen
echt mooie waardes bereiken, wat Euler & Co. hoop gaf dat hetzelfde
het geval zou zijn voor de nauw verwante som die zij wilden berekenen. Bovendien
is deze som groter dan Eulers som, dus Eulers som wordt een
eindig getal, kleiner dan 2. En pi kwadraat gedeeld door 6 is inderdaad

Esperanto: 
-½ plus ½ estas 0, -1/3 plus 1/3 estas 0, kaj tiamaniere nia parta sumo
elvaloriĝas al 2 minus ¼. Nun ni fortranĉis la nefinian sumon ekde
la kvara termo tie. Se anstataŭe ni estus fortranĉinta je tiu termo tie
iu pli longa teleskopo estus doninta la partan sumon 2 minus 1/100. Ju pli
fore ni fortranĉas la sumon, des pli malgranda la nombro iĝas, kiun ni subtrahas. Ĉe nefinio ĝi malaperas
kaj tiel nia teleskopanta sumo adicias al 2 ekzakte. Bone, do tiuj nefiniaj sumoj
povas vere sumiĝi al agrablaj valoroj kaj tiamaniere Eŭler k.s. havis iom da espero ke la samo
povus okazi por la proksima nefinia sumo kiun ili ĉasis.
Krome ĉar la sumo estas pli granda ol la Eŭlera sumo ni scias, ke la Eŭlera sumo sumiĝas
al finia nombro malpli granda ol 2. Kaj fakte pi kvadratite dividite per 6 estas

French: 
- 1/2 plus 1/2 est égal à 0, - 1/3, plus
1/3 est égal à 0, ainsi notre somme partielle
est réduite à 2 moins 1/4.
parce que nous venons de coupeer la somme infinie à
ce terme là-bas 1/4. Si nous aurions coupé la suite télescopique  ici un peut
plus longue  la somme partielle nous aurait donné 2 moins 1/100. Maintenant, l'autre
le plus petit en bas de la somme que nous réduisons, la
nous obtenons nombre. À l'infini, il disparaît
et donc notre somme de télescopage ajoute jusqu'à 2,
exactement. Bon si ces sommes infinies peuvent
vraiment ajouter à belles valeurs et donc Euler
& Co. avait quelque espoir que le même
pourrait être le cas pour les closly connexes
somme infinie qu'ils chassaient. Aussi
puisque la somme est supérieure à la Euler
somme que nous connaissons les quelques-uns Euler ajoute à une
nombre fini qui est inférieur à 2. Et,
en fait, pi divisé par carré 6 est

Dutch: 
ongeveer 1,644, wat minder is dan 2. Het ziet er dus allemaal goed uit.
Oké, dat was de warming up. Dus: hoe wist Euler zijn identiteit te bewijzen? Welnu, hij
begint met de zogenaamde Maclaurin reeks van de sinusfunctie. De meeste van jullie
die wat analyse hebben gedaan, zijn ermee bekend dat sinus kan worden geschreven als dit soort
oneindige polynoom. Euler en zijn tijdgenoten waren hier in ieder geval goed mee
bekend. Om een compleet beeld te geven en te laten zien waar Eulers idee voor
zijn bewijs vandaan kwam, is het belangrijk te weten hoe wiskundigen deze formule
afleiden, dat zal ik zo ook uitleggen, maar laten we voor nu de identiteit
bestuderen. De sinusfunctie komt natuurlijk van cirkels en het is
daarom niet verrassend dat pi er in bepaalde manieren
in terugkomt. Bij x is pi bijvoorbeeld wordt sinus 0, en zo krijgen we

Esperanto: 
ĉirkaŭ 1.644 kio estas malpli granda ol 2. Do ĉio aspektas vere bone.
Bone, varmiĝo finis. Kiamaniere Eŭler sukcesis pruvi sian identecon?
Li startis per la tiel nomata MacLaŭrin serio de la sinusa funkcio. Plejmulto de vi
kiuj lernis iom pri analizo konas la prezentadon de la sinuso kiel tiu tipo de
nefinia polinomo. Certe Eŭler kaj ĉiuj siaj kunvivuloj sciis tiun bone.
Por prezenti kompletan bildon kaj de kie venas la Eŭlera
ideo pri sia pruvo, estas grave scii kiamaniere matematikistoj ricevas tiun
formulon kaj mi post momento klarigos. Sed por nun rigardu tiun ĉi
identecon. Videble la sinus funkcio devenas de la cirklo kaj
pro tio ne surprizas, ke pi kaŝiĝas en sinuso en kelkaj
diversaj manieroj. Ekzemple metante X al pi, la sinuso iĝos 0 kaj do ni ricevas

French: 
environ 1,644, qui est moins
que 2. Il est tout à la recherche vraiment bon.
Ok warm-up est terminée. Maintenant, comment avez Euler
gérer pour prouver son identité. Eh bien, il
commence par le soi-disant Maclaurin
série de la fonction sinus. La plupart d'entre vous
qui ont fait quelques calculs sont familiers
avec l'écriture sine que ce genre de
polynôme infini. Certainement Euler et
tous ses contemporains savaient très
bien. Maintenant, pour présenter une image complète
et de motiver où idée d'Euler pour
sa preuve vient, il est important de
savoir comment les mathématiciens extraient ces
formule et je vais vous expliquer dans un moment
mais pour l'instant nous allons jeter un oeil à ce
identité. De toute évidence, la fonction sinus est
dérivé du cercle et il devrait
donc pas une surprise que pi
se cache dans le sinus dans quelques
différentes façons. Par exemple, la mise en X
égale à sinus pi 0 et donc devient nous obtenons

Italian: 
all'incirca 1.644, che è meno di 2. Quindi 
al momento sembra che stia funzionando tutto.
Ok, Il riscaldamento è finito. Adesso, come ha fatto Eulero a dimostrare la sua identità? Bene, lui
inizia con la cosiddetta serie di  Maclaurin 
della funzione seno. Molti di voi
che hanno fatto un po' di analisi saranno familiari
con lo scrivere il seno come una specie
di polinomio infinito. Sicuramente Eulero e
tutti i suoi contemporanei lo sapevano molto bene.
Ora, per fornire un'immagine completa
e per motivare da dove proviene l'idea di Eulero
per la sua dimostrazione, è importante
sapere come i matematici derivarono questa
formula, e lo spiegherò tra un momento,
ma per ora diamo un'occhiata a questa
identità. Ovviamente, la funzione seno è
collegata al cerchio e non dovrebbe
quindi sorprendere che pi greco
si nasconde nel seno in un paio di
modi differenti. Ad esempio, impostando X
uguale a pi greco, il seno diventa 0 e quindi otteniamo

Portuguese: 
aproximadamente 1.644, que é menos
de 2. Então está tudo muito bom.
Ok, o aquecimento acabou. Agora como é que Euler
consegue provar sua identidade. Bem ele
começa com o chamado Maclaurin
série da função senoidal. A maioria de vocês
quem já fez alguns cálculos estão familiarizados
com a escrita sine como este tipo de
polinômio infinito. Definitivamente Euler e
todos os seus contemporâneos sabiam disso muito
bem. Agora para apresentar uma imagem completa
e motivar onde a ideia de Euler para
sua prova vem, é importante
sabe como matemáticos derivam isso
fórmula e eu vou explicar isso em um momento
mas por enquanto, vamos dar uma olhada nisso
identidade. Obviamente, a função seno é
derivado do círculo e deve
Portanto, não é uma surpresa que pi
está escondido em seno em um par de
jeitos diferentes. Por exemplo, definindo X
igual a pi sine se torna 0 e assim ficamos

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Russian: 
равно 1.644, что меньше, чем 2. Так что пока всё выглядит хорошо.
Итак, разминка окончена. Как же Эйлеру удалось доказать своё тождество? Что ж, он
начинает с так называемого ряда Маклорена (Maclaurin series) функции синуса. Большинство из вас,
кто занимался матанализом, будет знакомо с выражением синуса в виде такого
бесконечного многочлена. Безусловно, Эйлер и все его современники очень хорошо знали про это.
Теперь, для полноты картины и в качестве мотивации Эйлеровской идеи
для его доказательства, нам важно выяснить, как математики выводят эту
формулу. Я объясню её вам через минуту. Но пока что давайте присмотримся к этому
тождеству. Очевидно, функция синуса выводится при помощи круга, и поэтому
неудивительно, что π "прячется" в синусе в парочке
различных мест. Например, если назначить X равным π, синус становится равен 0, и мы получаем

English: 
approximately 1.644 which is less
than 2. So it's all looking really good.
Ok warmup is over. Now how did Euler
manage to prove his identity. Well he
starts with the so called Maclaurin
series of the sine function. Most of you
who've done some calculus are familiar
with writing sine as this sort of
infinite polynomial. Definitely Euler and
all his contemporaries knew this very
well. Now to present a complete picture
and to motivate where Euler's idea for
his proof comes from, it's important to
know how mathematicians derive this
formula and I'll explain it in a moment
but for now let's have a look at this
identity. Obviously, the sine function is
derived from the circle and it should
therefore not come as a surprise that pi
is hiding in sine in a couple of
different ways. For example, setting X
equal to pi sine becomes 0 and so we get

Italian: 
questa strana espressione qui per pi greco,  che è
carina come l'identità di Eulero,
vero? Domanda per te: come potresti usare
questa espressione per calcolare pi greco con
approssimazioni sempre migliori? Se hai
un'idea, scrivila nei commenti.
Bene, supponiamo che tu sospetta che il ​
seno di x può essere espresso
come un polinomio infinito, come questo. 
Come trovi i suoi coefficienti?
Beh, a è semplice. Basta impostare x uguale a 0, il seno è uguale a 0 e lo stesso per l'espressione
laggiù. Questo significa che a deve
essere uguale a 0. Ora facciamo la
derivata ​​su entrambi i lati dell'equazione.
Se non sai cosa sia una derivata,
segui la corrente. La derivata del seno 
di X è coseno di X, la
derivata di a è 0, la derivata di b x è b,
 la derivata di c x quadro è

Portuguese: 
esta expressão funky para pi aqui que
é quase tão legal quanto a identidade de Euler,
certo? Pergunta para você: como você poderia usar
esta expressão para calcular melhor e
melhores aproximações para pi? Se você tiver
Tenho uma idéia nos dizer nos comentários. Todos
certo, digamos que você suspeita seno de x
pode ser expresso como um infinito
polinomial assim. Como você vai
encontrar esses coeficientes? Bem é
fácil. Basta definir x igual a 0 e seno é
igual a 0 e assim é esta expressão
lá e isso significa que a tem que
ser igual a 0. Agora vamos encontrar o
derivados de ambos os lados do
equação. Se você não sabe o que é
Derivado é apenas ir com o fluxo. Aqui
a derivada do seno X é cosseno X, o
derivada de a é 0, a derivada de bx é b, a derivada de cx ao quadrado é

Russian: 
вот такое неординарное выражение для π, которое почти столь же замечательно, как тождество Эйлера.
Вопрос для вас: как можно использовать это выражение, чтобы вычислять всё лучшие и
лучшие аппроксимации числа π? Если у вас есть идея, расскажите о ней в комментариях.
Хорошо! Допустим, вы подозреваете, что sin(x) может быть выражен как бесконечный
многочлен, вот таким образом. Как нам подобрать все эти коэффициенты? Что ж, a найти
просто. Достаточно положить X равным 0; синус равен 0, как и вот это выражение
справа сверху, и это означает, что a должно равняться 0. Теперь давайте найдём
производные от обеих частей этого уравнения. Если вы не знаете, что такое
производная, просто следуйте за остальными. Производная синуса X равна косинусу X,
производная от a равна 0, производная от bx равна b, производная от cx^2 равна

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

English: 
this funky expression for pi here which
is almost as nice as Euler's identity,
right? Question for you: How could you use
this expression to calculate better and
better approximations for pi? If you've
got an idea tell us in the comments. All
right, let's say you suspect sine of x
can be expressed as an infinite
polynomial like this. How do you go about
finding those coefficients? Well  a  is
easy. Just set  x  equal to 0 and sine is
equal to 0 and so is this expression
over there and this means that a has to
be equal to 0. Now let's find the
derivatives on both sides of the
equation. If you don't know what a
derivative is just go with the flow. Here
the derivative of sine X is cosine X, the
derivative of a is 0, the derivative of b x is b, the derivative of c x squared is

Esperanto: 
tiun nekutiman esprimon por pi ĉi tie kiu estas preskaŭ same beleta kiel la Eŭlera identeco, ĉu?
Demando por vi: Kiamaniere vi povus uzi tiun esprimon por kalkuli pli kaj pli
bonaj alproksimiĝojn por pi? Se vi ricevis ideon, rakontu en la komentoj.
Diru ni, ke vi suspektas, ke sinuso de x estas esprimebla kiel nefinia
polinomo kiel tiu ĉi. Kiamaniere vi povas eltrovi la koeficientojn? Ricevi a
estas simple. Simple metu x al 0 kaj sinuso egalas al 0 kaj same la esprimo
tie kaj tio signifas ke a devas esti 0. Nun ni eltrovu
la derivaĵojn ambaŭflanke de la ekvacio. Se vi ne scias pri
derivaĵoj simple sekvu la prezentadon. Jen la derivaĵo de sinuso de X estas la kosinuso de X.
La derivaĵo de a estas 0, la derivaĵo de b x estas b, la derivaĵo de c x kvadratite estas

French: 
cette expression funky pour pi ici qui
est presque aussi belle que l'identité d'Euler,
droite? Question: Comment pourriez-vous utiliser
cette expression pour calculer et mieux
de meilleures approximations pour pi? Si vous avez
a eu une idée de nous dire dans les commentaires. Tout
à droite, disons que vous pensez sinus de x
peut être exprimé comme un infini
polynôme comme celui-ci. Comment allez-vous
trouver les coefficients? Eh bien un est
facile. Il suffit de régler x égal à 0 et sinus est
égal à 0 et alors cette expression
là-bas et cela signifie que doit
être égal à 0. Maintenant, nous allons trouver la
les dérivés des deux côtés de la
équation. Si vous ne savez pas ce qu'est un
dérivé est juste aller avec le courant. Ici
le dérivé de X sinus cosinus est X, le
dérivé de a est 0, le dérivé de bx est b, le dérivé de cx carré est

Dutch: 
deze leuke vergelijking voor pi, die bijna net zo mooi is als Eulers identiteit,
niet? Vraag voor jou: hoe kunnen we deze vergelijking gebruiken om steeds betere benaderingen
voor pi te berekenen? Als je een idee hebt, laat het weten in de reacties. Oké,
stel dat je vermoedt dat sin(x) kan worden uitgedrukt als een oneindige
polynoom als deze. Hoe vind je dan die coëfficiënten? Wel, a is
makkelijk. We nemen gewoon x is 0 and sinus is 0, net als de som
daar, wat betekent dat a 0 moet zijn. Laten we nu de afgeleides
vinden voor beide kanten van de vergelijking. Als je niet weet wat een
afgeleide is, maak je daarover nu geen zorgen. Hier is de afgeleide van sinus cosinus, de
afgeleide van a is 0, de afgeleide van b*x is b, de afgeleide van c*x^2 is

Russian: 
2cx, производная от dx^3 равна 3dx^2, и т.д. Теперь же, если вновь назначить X равным 0,
это даст нам 1 в левой части, и b+0 в правой части.
Поэтому b = 1. Теперь повторим всё сначала: возьмём производную, положим X равным
0 и получим, что c = 0. И снова, и снова, и снова...
И это даст нам все коэффициенты. Так что если синус может быть записан как бесконечный
многочлен, то он будет выглядеть так. В общем, вот откуда берётся ряд Маклорена
для функции синуса. Это тождество работает для любых X, но этот факт
на самом деле требует отдельного доказательства.
Позвольте мне продемонстрировать, насколько хорошо оно работает, а именно как частичные
суммы этой бесконечной суммы являются всё лучшими и лучшими аппроксимациями к sin(x).

French: 
2 cx, le dérivé de dx dx 3 est coupé en cubes
au carré, etc. Ok, maintenant si nous fixons x égal à 0
encore. Cela donne sur le côté gauche
 1 et ici sur le côté droit 0. Et
si b est égal à 1. Maintenant, il suffit de rincer et
répéter, pour le dérivé, fixé x égal
à 0 et conclure que c est égal à 0.
Et encore et encore et encore et encore
et qui vous donne tous les coefficients.
Donc, si peut être écrit sine comme infini
polynôme qui est ce que ça va être.
Quoi qu'il en soit c'est là la série Maclaurin
pour sinus vient. cette identité
fonctionne réellement pour tout x, mais qu'il
a vraiment bien sûr nécessite une
preuve distincte.
Permettez-moi de démontrer à quel point cette
fonctionne en vous montrant comment la partie
sommes de cette somme infinie sont meilleures et
de meilleures approximations de sinus de x. Là

English: 
2 c x, the derivative of d x cubed is 3 d x
squared, etc. Ok, now if we set  x  equal to  0
again. This gives on the left side
 1 and here on the right side 0. And
so b is equal to 1. Now just rinse and
repeat, find the derivative, set x equal
to 0 and conclude that c is equal to 0.
And again and again and again and again
and that gives you all the coefficients.
So if sine can be written as an infinite
polynomial that's what it's going to be.
Anyway that's where the Maclaurin series
for sine comes from. This identity
actually works for all  x   but that it
really does of course requires a
separate proof.
Let me just demonstrate how well this
works by showing you how the partial
sums of this infinite sum are better and
better approximations to sine of x. There

Italian: 
2 c x, la derivata di dx cubo è 3 d x
al quadrato, ecc. Ok, ora impostiamo ancora x
uguale a 0. Questo dà sul lato sinistro
 1 e qui sul lato destro 0. E
quindi b è uguale a 1. Ora basta ripetere: trova 
la derivata, imposta x uguale
a 0 e concludi che c è uguale a 0.
E ancora e ancora e ancora e ancora
e questo ti dà tutti i coefficienti.
Allora, se il seno può essere scritto come un polinomio
infinito, deve essere questo.
Comunque è da qui che viene la serie di Maclaurin
della funzione seno. Questa identità
funziona davvero per ogni x, ma
richiede ovviamente una
dimostrazione separata.
Lasciami solo dimostrare quanto bene funzioni, mostrandoti come le somme parziali
di questa serie sono delle approssimazioni 
sempre migliori per il seno di x.

Esperanto: 
2 c x, la derivaĵo de d x je potenco de 3 estas 3 d x kvadratite ktp. Bone, nun ni metas x egale al 0
denove. Tio donas ĉe maldekstra flanko 1 kaj jen ĉe dekstra flanko 0. Kaj
tiel b egalas al 1. Nun simple ripetu, trovu la derivaĵon, metu x
al 0 kaj konkludu, ke c egalas al 0. Kaj denove kaj denove kaj denove kaj denove
Kaj tio donas al vi ĉiujn koeficientojn. Do se sinuso povas estis skribita kiel nefinia
polinomo tiu ĉi estas kiel ĝi estos. Kiel ajn tio estas de kie la MacLaŭrin serio
por sinuse devenas. Tiu identeco funkcias por ĉiuj x. Sed ke ĝi
vere funkcias, tio kompreneble necesas apartan pruvon.
Lasu min prezenti kiom bone tio funkcias, montrante kiel la partaj
sumoj de tiu nefinia sumo pli kaj pli bone alproksimiĝas al sinuso de x.

Portuguese: 
2 cx, a derivada de dx cubed é 3 dx
ao quadrado, etc. Ok, agora se definirmos x igual a 0
novamente. Isso dá no lado esquerdo
 1 e aqui no lado direito 0. E
então b é igual a 1. Agora basta enxaguar e
repita, encontre a derivada, defina x igual
para 0 e conclua que c é igual a 0.
E de novo e de novo e de novo e de novo
e isso te dá todos os coeficientes.
Então, se seno pode ser escrito como um infinito
polinomial é o que vai ser.
De qualquer forma é aí que a série Maclaurin
para o seno vem de. Essa identidade
realmente funciona para todo x mas que
realmente exige, naturalmente, um
prova separada.
Deixe-me apenas demonstrar o quão bem esta
funciona, mostrando-lhe como o parcial
somas desta soma infinita são melhores e
melhores aproximações para seno de x. Lá

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dutch: 
2*c*x, de afgeleide van d*x^3 is 3*d*x^2, etc. Oké, als we nu weer x is 0 nemen,
krijgen we links 1 en hier rechts 0.
b moet dus gelijk zijn aan 1. Nu doen we weer hetzelfde, vind de afgeleide, stel x gelijk
aan 0 en concludeer dat c gelijk is aan 0. En opnieuw, en opnieuw, en opnieuw
en dat geeft ons alle coëfficiënten. Dus als de sinusfunctie geschreven kan worden als een oneindige
polynoom, is dat wat het gaat worden. Dat is dus waar de Maclaurin reeks
voor de sinusfunctie vandaan komt. Deze identiteit werkt zelfs voor alle x-waardes, maar dat dat
echt zo is, behoeft natuurlijk een apart bewijs.
Ik zal eens laten zien hoe goed dit werkt, door je te laten zien hoe de gedeeltelijke
sommen van deze oneindige som steeds betere benaderingen zijn van sin(x). Daar

Russian: 
Итак, давайте начертим график синуса и первую частичную сумму, которая
является просто линией. Вторая частичная сумма – это вот этот кубический [многочлен], и мы продолжаем в том же духе.
Как видите, эти [многочлены] всё ложатся ближе и ближе к синусу, и на бесконечности они
совпадут. Так или иначе, как вы уже видели, бесконечная сумма справа строится
почленно на основе всё более и более высоких производных синуса в точке 0. Этот [метод] действительно
восхитителен, и также даёт похожие формулы для всех знаменитых
функций, таких как экспонента, косинус, и т.д. В то же время,
этот метод построения нужного бесконечного многочлена отличается от
того, что большинство из нас попытались бы сделать в первую очередь для конечных многочленов, не так ли? К примеру,
для линейной функции, как эта, мы бы построили его (многочлен), возможно, с помощью двух точек
на его графике. Или для квадратной функции – через три различные точки. Поэтому довольно

French: 
nous allons. Laissez-le sinus de la parcelle de x, il nous allons et première somme partielle qui est
juste une ligne, la deuxième somme partielle est la suivante
cube ici, et nous continuons à aller, vous
peut voir ces gars-là enveloppent et plus
plus proche de sinus et à l'infini, ils
coïncider. Quoi qu'il en soit, comme vous l'avez vu, la
somme infinie sur la droite est construite
terme à terme sur la base plus haut
des dérivés de sinus à zéro. C'est vraiment
merveilleux et donne en fait similaire
formules pour tous les très célèbre
fonctions, comme la fonction exponentielle
ou cosinus, etc. En même temps
cette méthode de mettre le doigt sur cette
polynôme infini est différent de
ce que la plupart d'entre nous essayer d'abord pour
polynômes finis, non? Par exemple, pour
une fonction linéaire comme celui-ci nous
construire peut-être de deux points sur son
graphique. Ou pour une fonction quadratique
trois points différents. Et donc il est un peu

Dutch: 
gaan we. Laten we sin(x) plotten, daar is het, en deze eerste gedeeltelijke som, dat
is slechts een lijn, de tweede gedeeltelijke som is deze derdemachtsfunctie, en we gaan nog even door. Zoals
je kunt zien wikkelen ze zich steeds dichter om de sinusfunctie en bij oneindig veel termen
vallen ze samen. Dus, zoals je hebt gezien wordt de oneindige som rechts term bij term
gevormd met steeds diepere afgeleides van sinus bij 0.
Dat is prachtig en geeft ons vergelijkbare formules voor allerlei bekende
functies, zoals de exponentiële functie, cosinus, etc. Tegelijkertijd verschilt
deze methode om de oneindige polynoom te verkrijgen van
wat de meeste van ons zouden proberen voor eindige polynomen, niet? Voor een lineaire
functie als deze bijvoorbeeld construeren we hem wellicht door twee punten op de
grafiek. Voor een kwadratische functie door drie verschillende punten. Het is dus best

Portuguese: 
nós vamos. Vamos traçar o seno de x, lá vamos nós e a primeira soma parcial que é
apenas uma linha, segunda soma parcial é essa
cúbico aqui, e depois continuamos, você
pode ver esses caras se aproximam e
mais perto de seno e no infinito eles
coincidir. Enfim, como você viu, o
soma infinita à direita é construída
termo a termo com base em maior e maior
derivados de seno em zero. Isso é realmente
maravilhoso e realmente dá semelhante
fórmulas para todos os realmente famosos
funções, como a função exponencial
ou cosseno, etc. Ao mesmo tempo
este método de fixar este
polinômio infinito é diferente de
o que a maioria de nós iria tentar primeiro para
polinômios finitos, certo? Por exemplo, para
uma função linear como esta nós
construí-lo, talvez, a partir de dois pontos em sua
gráfico. Ou para uma função quadrática de
três pontos diferentes. E então é gentil

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Esperanto: 
Jen ni iras. Ni desegnas sinuso de x, jen ni iras, kaj la unuan partan sumon
tio simple estas linio. La dua parta sumo estas tiu trigrada polinomo tie, kaj poste ni daŭrigas,
vi povas vidi tiujn ulojn volvi pli kaj pli proksime al la sinuso kaj ĉe nefinio
ili koincidas. Kiel ajn, kiel vi vidis, la nefinia sumo dekstre estas konstruita
termo post termo surbaze de pli kaj pli altaj derivaĵoj de la sinuso ĉe 0. Tio vere
belas kaj donas similajn formulojn por ĉiuj vere famaj
funkcioj, kiel la eksponenta funkcio aŭ la kosinuso ktp. Samtempe
Tiu metodo por fiksi tiun nefinian polinomon estas malsama al
kio plejmulto de ni elprovus unu por nefiniaj polinomoj, ĉu? Ekzemple
por lineara funkcio kiel tiu ĉi ni konstruas ĝin eble de du punktoj sur ĝia
grafeo. Aŭ por kvadrata funkcio de tri diversaj punktoj. Kaj tiel estas kvazaŭ

Italian: 
Si parte. Tracciamo il grafico di seno di x. 
La prima somma parziale è
solo una retta, la seconda somma parziale è questa
cubica qui, e continuando
puoi vedere che si avvolgono sempre più vicino 
al seno, e all'infinito
coincidono. Ad ogni modo, come hai visto, 
la serie a destra è costruita
termine a termine basandosi sulle derivate sempre più alte della funzione seno in zero. Questo è davvero
veramente meraviglioso e in realtà dà 
formule simili per tutti le funzioni
più famose, come la funzione esponenziale
o il coseno, ecc. Allo stesso tempo
questo metodo di fissare il
polinomio infinito è diverso da
ciò che molti di noi proverebbero subito per i
polinomi finiti, giusto? Ad esempio,
una funzione lineare come questa, si costruisce da due punti sul suo
grafico. O una funzione quadratica attraverso
tre punti diversi. E quindi è abbastanza

English: 
we go. Let's plot sine of x,  there we go and first partial sum that's
just a line, second partial sum is this
cubic here, and then we keep on going, you
can see these guys wrap closer and
closer to sine and at infinity they
coincide. Anyway, as you've seen, the
infinite sum on the right is constructed
term-by-term based on higher and higher
derivatives of sine at zero. That's really
wonderful and actually gives similar
formulas for all the really famous
functions, like the exponential function
or cosine, etc. At the same time
this method of pinning down this
infinite polynomial is different from
what most of us would try first for
finite polynomials, right? For example, for
a linear function like this we
construct it maybe from two points on its
graph. Or for a quadratic function from
three different points. And so it's kind

French: 
de naturel pour voir si nous pouvons aussi
déterminer ce côté droit infini jusqu'à
il en adoptant une approche similaire. Et
c'est exactement ce que fait Euler. Ce qu'il
Does est il construit l'infini
polynôme d'une manière différente de ces
points spéciaux ici qui, bien sûr,
correspondent aux zéros de sinus. d'accord
laisser se concentrer d'abord sur les trois de milieu
zéros. Cette partie de sinus ressemble à un
courbe cube et nous pouvons tout de suite
écrire un polynôme cubique qui a
ces trois zéros. C'est ici. Assez évident
il a obtenu ces trois zéros. Nous allons tracer le graphe
il. Eh bien, il ne les trois zéros
mais sinon ce n'est pas un ajustement parfait. De
Bien sûr, cela est juste un des
une infinité de polynômes cubiques
a ces zéros. Nous obtenons les autres par
mettre une constante à l'avant et faire varier lui.
Alors, faisons cela. Ok vers le bas, vers le bas
vers le bas, vers le bas, revenir un peu et nous obtenons un

English: 
of natural to see whether we can also
determine that infinite right side up
there by taking a similar approach. And
that's exactly what Euler does. What he
does is he constructs the infinite
polynomial in a different way from these
special points here which, of course,
correspond to the zeros of sine. Okay
let's first focus on the middle three
zeros. That part of sine looks like a
cubic curve and we can straight away
write down a cubic polynomial that has
those three zeros. Here it is. Pretty obvious
it's got these three zeros. Let's graph
it. Well it does have those three zeros
but otherwise it's not a great fit. Of
course this is just one of the
infinitely many cubic polynomials that
has these zeros. We get the other ones by
putting a constant in front and varying it.
So let's just do that. Okay down, down
down, down, back up a bit and so we get a

Italian: 
naturale vedere se possiamo inoltre
determinare il polinomio a destra
adottando un approccio simile. E questo è 
esattamente ciò che fa Eulero. Precisamente,
costruisce il polinomio infinito in un modo diverso,  utilizzando questi
punti speciali qui che, ovviamente,
corrispondono agli zeri del seno. Ok,
concentriamoci innanzitutto sui tre zeri centrali. 
Quella parte di seno sembra una
curva cubica e possiamo subito
esprimere un polinomio cubico che ha
quei tre zeri. Ecco qui. E' abbastanza ovvio che
abbia questi tre zeri. Facciamone il grafico.
Bene, ha quei tre zeri ma per 
il resto non si adatta bene. Di
certo questo è solo uno degli
infiniti polinomi cubici che
hanno questi zeri. Otteniamo gli altri 
mettendo una costante davanti e poi variandola.
Quindi facciamolo. Ok, giù, giù
giù, giù, indietro leggermente e così otteniamo un

Esperanto: 
nature elprovi ĉu ni povas krei la nefinian dekstran flankon
ĉi-supre per simila maniero. Kaj tio estas ekzakte kion Eŭler faras.
Li konstruas la nefinian polinomon en alia maniero de tiuj
specialaj punktoj ĉi tie kiuj, kompreneble, korespondas al la nuligantoj de la sinuso.
Unue ni enfokusiĝu al la mezaj tri nuloj. Tiu parto de la sinuso aspektas kiel
trigrada kurbo kaj ni povas rekte skribi trigradan polinomon kiu havas
tiujn tri nuligantojn. Jen ĝi estas. Sufiĉe evidente ĝi ricevis tiujn tri nulojn. Ni grafikigu ĝin.
Bone, ĝi havas tiujn tri nulojn, sed aliloke ĝi ne estas granda alproksimiĝo.
Kompreneble tio estas simple unu el senfine multaj trigradaj polinomoj kiuj
havas tiujn nuligantojn. Ni ricevas la aliajn per antaŭmeto de konstanto kaj variante ĝin.
Do ni simple faru tion. Bone, malsupren, malsupren, malsupren, malsupren, reen supren iomete kaj tiel ni ricevas

Portuguese: 
de natural para ver se podemos também
determinar que o lado direito infinito para cima
lá, adotando uma abordagem semelhante. E
é exatamente o que Euler faz. O que ele
faz é ele constrói o infinito
polinômio de uma maneira diferente destes
pontos especiais aqui que, claro,
correspondem aos zeros de seno. OK
vamos primeiro focar no meio três
zeros. Essa parte do seno parece um
curva cúbica e podemos imediatamente
anote um polinômio cúbico que tem
esses três zeros. Aqui está. Muito obvio
tem esses três zeros. Vamos gráfico
isto. Bem, tem esses três zeros
mas por outro lado não é um ótimo ajuste. Do
Claro que este é apenas um dos
infinitamente muitos polinômios cúbicos que
tem esses zeros. Nós pegamos os outros por
colocando uma constante na frente e variando.
Então vamos apenas fazer isso. Ok para baixo, para baixo
para baixo, para baixo, de volta um pouco e por isso temos um

Russian: 
естественно задаться вопросом, можно ли сделать то же самое для определения нашей бесконечной части
справа сверху, используя похожий подход. И это именно то, что сделал Эйлер. Он делает
следующее: строит бесконечный многочлен другим способом, на основе вот этих
специальных точек, которые, само собой, соответствуют нулям синуса. Итак,
давайте сперва сосредоточимся на трёх нулях в середине. Эта часть синуса похожа на
кубическую кривую, и мы можем моментально записать кубический многочлен, который
имеет такие же нули. Вот он. Достаточно очевидно, что его нули совпадают с этими тремя. Давайте начертим
его. Ну, у него совпадают эти три нуля, однако в остальном это не очень близкое совпадение.
Конечно, это лишь один из бесконечного множества кубических многочленов, которые
обладают этими нулями. Остальные мы получаем путём постановки и изменения константы перед [многочленом].
Давайте сделаем это. Идём вниз, вниз, вниз, теперь немножко обратно наверх, и мы получаем

Dutch: 
intuïtief om te kijken of we die oneindige rechterkant daar kunnen bepalen
met een vergelijkbare methode. En dat is precies wat Euler doet. Hij construeert
de oneindige polynoom op een andere manier, namelijk met behulp van deze
speciale punten hier, die natuurlijk de nulpunten van de sinusfunctie aangeven. Oké,
laten we de middelste drie punten beschouwen. Dit onderdeel van sinus ziet eruit als een
derdemachtsfunctie, en we kunnen meteen een polynoom opschrijven die deze
drie nulpunten heeft. Daar is het. Best duidelijk dat het die drie nulpunten heeft. Laten we het
plotten. Welnu, het heeft die drie nulpunten, maar verder past het niet zo goed.
Natuurlijk is dit slechts een van de oneindige derdemachtsfuncties die
deze drie nulpunten heeft. De andere krijgen we door er een constante voor te plaatsen en die te veranderen.
Laten we dat doen. Oké, lager, lager, lager, een stukje terug, en zo krijgen we

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

English: 
very close fit when the slopes of sine
and the cubic coincide at zero.
And it's not hard to see that this
happens when the constant is 1/pi
squared. Well  let's just run with it. Let's
clean up a bit. first pull those
constants into the brackets. Two 1s there
and there, put the factors in order and
combine the last two factors as you
learned in primary school. Hope you paid
attention. Okay looks neat and now it's
also easy to check that this cubic just
like sine of x has slope 1 at 0. Next
let's repeat the same calculation for
the middle 5 zeros. The polynomial we get
here is of order 5 and it looks like
this. In terms of the algebra you get
exactly the same answer as before except
you get another factor that features 2pi instead of a pi and which takes care

French: 
très proche ajustement lorsque les pentes du sinus
et le cube coïncident à zéro.
Et ce n'est pas difficile de voir que cette
qui se produit lorsque la constante est 1 / pi
au carré. Eh bien nous allons juste avec elle courir. Faisons
nettoyer un peu. d'abord tirer les
constantes dans les supports. Deux 1s là
et là, mettre les facteurs dans l'ordre et
combiner les deux derniers facteurs que vous
appris à l'école primaire. Je espère que vous avez payé
attention. Ok a l'air soigné et maintenant il est
aussi facile de vérifier que ce cube juste
comme sinus de x a une pente de 1 à 0. Suivant
nous allons répéter le même calcul pour
les 5 moyens de zéros. Le polynôme nous obtenons
ici est d'ordre 5 et il ressemble à
ce. En termes de l'algèbre que vous obtenez
exactement la même réponse que précédemment, sauf
vous obtenez un autre facteur qui met en vedette 2pi au lieu d'une pi et qui prend soin

Portuguese: 
ajuste muito perto quando as encostas de seno
e o cúbico coincide em zero.
E não é difícil ver que isso
acontece quando a constante é 1 / pi
ao quadrado. Bem, vamos apenas correr com isso. Vamos
limpe um pouco. primeiro puxar aqueles
constantes nos parênteses. Dois 1s lá
e lá, colocar os fatores em ordem e
combinar os dois últimos fatores como você
Aprendi na escola primária. Espero que você tenha pago
atenção. Ok parece puro e agora é
Também é fácil verificar que este cúbico apenas
como seno de x tem declive 1 em 0. Próximo
vamos repetir o mesmo cálculo para
os 5 zeros do meio. O polinômio que recebemos
aqui é de ordem 5 e parece
esta. Em termos da álgebra você obtém
exatamente a mesma resposta de antes, exceto
você ganha outro fator que apresenta 2pi em vez de um pi e que cuida

Russian: 
очень близкое совпадение тогда, когда наклоны синуса и кубической [кривой] совпадают в точке 0.
И несложно заметить, что это происходит тогда, когда константа равна 1/π^2.
Примем это на веру. Немного упростим [выражение]: сначала внесём
константы внутрь скобок; получаем две единицы; поменяем порядок сомножителей; и
совместим два последних множителя так, как вас учили в начальной школе. Надеюсь, вы тогда слушали
внимательно. Итак, выглядит изящно! И теперь стало совсем просто проверить, что эта кубическая [кривая],
как и sin(x), имеет наклон 1 в точке 0. Далее, давайте повторим ту же операцию для
пяти нулей посередине. Многочлен, который получается в рзультате, имеет порядок 5 и выглядит
вот так. Касаемо алгебры, мы получаем абсолютно тот же ответ, что и раньше, за исключением
возникновения дополнительного сомножителя, в котором присутствует 2π вместо π и который берёт на себя

Esperanto: 
tre proksiman alproksimiĝon kiam la deklivo de sinuso kaj de la polinomo koincidas ĉe nulo.
Kaj ne estas malfacile vidi ke tio okazas kiam la konstanto estas 1/pi kvadratite.
Ni simple kuru per tio. Ni iomete purigu. Unue tiru tiujn
konstantojn al krampoj. Du 1-oj tie kaj tie, metu la faktorojn en vico kaj
kombinu la lastajn du faktorojn kiel vi lernis en lernejo. Espereble vi estis atentema.
Aspektas bela kaj nun ankaŭ estas facile kontroli ke tiu trigrada polinomo simple
kiel sinuso de x havas deklivon 1 ĉe 0. Sekve ni ripetu la saman kalkuladon
por la mezaj 5 nuloj. La polinomo ni ricevas ĉi tie estas de ordo 5 kaj ĝi aspektas kiel
tio. El vidpunkto de algebro vi ricevas ekzakte la saman respondon kiel antaŭe escepte
ke vi ricevas alian faktoron kiu reprezentas 2pi anstataŭ de pi kaj kiu zorgas

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dutch: 
een passende functie, wanneer de helling van de functies bij 0 gelijk aan elkaar zijn.
Het is niet moeilijk te zien dat dat gebeurt wanneer de constante 1/pi^2
is. Laten we daarmee verdergaan. Eerst wat opruimwerkzaamheden: trek de
constantes de haakjes binnen. Twee 1en daar en daar, zet de factoren op volgorde en
combiineer de laatste twee factoren zoals je op de basisschool hebt geleerd. Ik hoop dat je hebt
opgelet. Oké, ziet er goed uit. Nu is het ook makkelijk te controleren dat deze derdemachtsfunctie,
net als sinus, bij 0 een helling heeft van 1. Laten we nu dezelfde berekening uitvoeren voor
de middelste 5 nulpunten. De polynoom die we dan krijgen is een vijfdemachtsfunctie en
ziet er zo uit. Wat betreft de algebra krijgen we precies hetzelfde antwoord als zojuist,
met een extra factor. Deze factor bevat 2*pi in plaats van pi, ten behoeve

Italian: 
un grafico molto vicino quando le pendenze del seno
e della cubica coincidono in zero.
E non è difficile vedere che
succede quando la costante è 1 / pi
al quadrato. Bene, accettiamolo. 
Sistemiamo un po'. Prima metti quelle
costanti dentro le parentesi. Due 1 lì
e lì, metti in ordine i fattori e
combina gli ultimi due fattori come hai
imparato alla scuola media. Spero che tu abbia prestato
attenzione. Ok, sembra giusto e ora è
anche facile controllare se questa cubica ha
pendenza 1 in 0, come il seno. Successivamente
ripetiamo lo stesso calcolo per
i 5 zeri al centro. Il polinomio che otteniamo
è di ordine 5 e assomiglia a
questo. In termini di algebra si ottiene
esattamente la stessa risposta di prima tranne che
ottieni un altro fattore che presenta 2pi invece 
di pi, e che prende in considerazione

Portuguese: 
dos zeros externos 2pi e -2pi.
Agora basta repetir mais e mais adicionando dois
zeros de cada vez. Você pode ver um mais perto e
ajuste mais próximo e no infinito nós temos
coincidência novamente. E então Euler agora tem
dois polinômios infinitos que são ambos
igual a seno x, certo? Agora desde o
expressões infinitas são iguais de certa forma,
expandindo o produto infinito nós
espere recuperar a soma infinita.
Vamos dar uma olhada em como essas panelas
fora numericamente. Primeiro para o infinito
soma. Então é isso que é e aqui o
menores termos que você obtém quando expande
os primeiros dois fatores do
produto infinito. Como você pode ver, você consegue
muito boa coincidência no
coeficientes que fica melhor e melhor
mais fatores você usa. Então isso realmente
parece funcionar. Agora, como você expande

Russian: 
два внешних нуля, 2π и -2π. Теперь можно повторить то же самое снова и снова, добавляя по два
нуля за раз. Можно заметить, что мы получаем всё более и более близкое совпадение, и на бесконечности мы вновь получим
полное совпадение. Итак, теперь у Эйлера оказалось два бесконечных многочлена, которые оба
равны синусу X. Отлично! Поскольку бесконечные выражения в определённом смысле равны,
мы можем ожидать, что при раскрытии скобок в бесконечном произведении [снизу] мы получим бесконечную сумму [сверху].
Давайте посмотрим, как это выражается численно. Сначала – бесконечная
сумма. Она выглядит вот так. А вот наименьшие члены, которые мы получаем при раскрытии
первые несколько скобок в бесконечном произведении. Как видите, у нас получаются
довольно хорошие совпадения в коэффициентах, которые становятся ещё лучше и лучше по мере
того, как мы используем больше скобок. Так что похоже, что это действительно так.
Но как же нам раскрыть скобки во

Dutch: 
van de buitenste nulpunten 2*pi en -2*pi. Nu doen we dit steeds opnieuw en voegen we telkens twee
nulpunten toe. Je ziet dat de functies steeds meer op elkaar gaan lijken en bij oneindigheid
zijn ze weer hetzelfde. Euler heeft nu dus twee oneindige polynomen die allebei gelijk
zijn aan sin(x), toch? Nu, omdat de oneindige expressies op een manier gelijk zijn,
verwachten we de oneindige som te krijgen als we het oneindige product uitwerken.
Laten we eens bekijken hoe dat er numeriek aan toe gaat, eerst voor de oneindige
som - dat is dus wat je krijgt - en hier de kleinste termen die je krijgt wanneer je de
eerste paar factoren van het oneindige product uitwerkt. Zoals je kunt zien,  krijg je een
vrij goede overeenkomst tussen de coëfficiënten, wat steeds beter wordt
naarmate je meer factoren gebruikt. Dit lijkt dus echt te werken. Hoe werken we nu het

English: 
of the outer zeros 2pi and -2pi.
Now just repeat over and over adding two
zeros at a time. You can see a closer and
closer fit and at infinity we've got
coincidence again. And so Euler now has
two infinite polynomials that are both
equal to sine x, right? Now since the
infinite expressions are equal in a way,
by expanding the infinite product we
expect to recover the infinite sum.
Let's just have a look at how this pans
out numerically. First for the infinite
sum. So that's what it is and here the
smallest terms you get when you expand
the first couple of factors of the
infinite product. As you can see, you get
pretty good coincidence in the
coefficients which gets better and better
the more factors you use. So this really
seems to work. Now how do you expand the

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Italian: 
gli zeri esterni 2pi e -2pi.
Ora ripeti ancora e ancora, aggiungendo due
zeri alla volta. Puoi notare un grafico sempre più vicino, e all'infinito coincidono nuovamente.
E così ora Eulero ha due polinomi 
infiniti che sono entrambi
uguali a sen x, giusto? Ora dal momento che
le espressioni infinite devono essere uguali,
espandendo il prodotto infinito ci 
si aspetta di riavere la serie del seno.
Diamo solo un'occhiata a come funziona numericamente. Prima la somma infinita.
Perciò questo è quello che viene e questi sono
i termini più piccoli che ottieni quando si espande
il primo paio di fattori del prodotto infinito. 
Come puoi vedere, ottieni dei
coefficienti sempre più coincidenti all'aumentare dei fattori che usi.
Quindi sembra funzionare per davvero. Ora come espandi l'intero

French: 
des zéros externe 2pi et -2pi.
Maintenant, il suffit de répéter encore et ajouter deux
zéros à la fois. Vous pouvez voir de plus près et
plus en forme et à l'infini, nous avons
encore une fois par hasard. Et donc Euler a maintenant
deux polynômes infinies qui sont à la fois
égal à x sinus, droit? Maintenant, depuis le
expressions infinies sont égales d'une manière,
en élargissant l'on produit infini
attendre à récupérer la somme infinie.
Ayons juste un regard sur la façon dont ce casseroles
sur numériquement. Tout d'abord pour l'infini
somme. Donc, c'est ce qu'il est et ici la
les plus petits termes que vous obtenez lorsque vous développez
les deux premiers facteurs du
produit infini. Comme vous pouvez le voir, vous obtenez
assez bonne coïncidence dans le
coefficients de mieux en mieux
les facteurs plus que vous utilisez. Donc ce vraiment
semble fonctionner. Maintenant, comment peut-on agrandir la

Esperanto: 
por la eksteraj nuligantoj 2pi kaj -2pi. Nun simple ripetu ree kaj ree sumante du
nuligantojn ĉiujfoje. Vi povas observi pli kaj pli proksiman alproksimiĝon kaj ĉe nefinio ne ricevas
konicidon denove. Kaj tiel Eŭler nun havas du nefiniajn polinomojn kiuj ambaŭ
egalas al sinuso de x, bone? Nun ĉar la nefiniaj esprimoj egalas en iu maniero
dismultiplikante la nefinian produton ni ekzpektas rekrei la nefinian sumon.
Ni simple rigardu, kiel tio elbatiĝas laŭnombre. Unue por la nefinia sumo.
Jen kio ĝi estas kaj tie la plej malgrandaj termoj kiujn vi ricevas se vi disvastiĝas
la plej unuajn faktorojn de la nefinia produto. Kiel vi povas vidi, vi ricevas
relative bonan koincidon en la koeficientojn kio iĝas pli kaj pli bone
ju pli da faktoroj vi uzas. Do tio vere ŝajnas funkcii. Nun kiel vi dismultipliku

English: 
whole infinite product? Well, just start
expanding one factor at a time. So
highlight the first two factors and
multiply them together and you get this.
Take the result and the next factor,
multiply and you get this guy. Now let's
also highlight the x cubed term
because that's going to be very
important in a second, and focus on how it
evolves. Okay, next factor is there.
Multiply and you get this one here, and
again. And now just have a look at the
green. It's pretty clear what's going to
happen in the end
once you've finished expanding. The x
cubed term will look like this. But
remember this x cubed term of the
expanded infinite product has to be
equal to the x cubed term of the
infinite sum and so we get this equation
here which simplifies. First multiply by minus 1 then times pi squared and there you have it,

Russian: 
всём бесконечном произведении? Что ж, начнём раскрывать по одной скобке за раз.
Выделим первые два сомножителя и перемножим. Получается вот это.
Возьмём результат и следующий множитель, перемножим их и получим вот эту штуку. Давайте
также выделим член с x^3 в нём, поскольку это будет очень
важно через несколько секунд. Следите за тем, как он меняется. Итак, следующий множитель.
Перемножим и получим вот такую штуку, и ещё раз. Теперь внимательно посмотрите на
зелёную часть. Достаточно ясно, что произойдёт в итоге,
когда мы закончим раскрывать скобки: член с x^3 будет выглядеть вот так.
Однако вспомните: этот член с x^3 в раскрытом бесконечном произведении должен быть
равен члену с x^3 в бесконечной сумме [сверху], и поэтому мы получаем вот такое уравнение.
Его можно упростить. Сначала умножим на (-1), затем на π^2, и вот оно!

Portuguese: 
todo produto infinito? Bem, apenas comece
expandindo um fator por vez. assim
destacar os dois primeiros fatores e
multiplique-os e você terá isso.
Pegue o resultado e o próximo fator,
multiplique e você consegue esse cara. Agora vamos
também destacar o termo x em cubos
porque isso vai ser muito
importante em um segundo, e focar em como
evolui. Ok, próximo fator está lá.
Multiplique e você consegue este aqui, e
novamente. E agora basta dar uma olhada no
verde. Está bem claro o que vai acontecer
acontecer no final
quando terminar de expandir. O x
termo em cubos ficará assim. Mas
lembre-se este x termo em cubos do
produto infinito expandido tem que ser
igual ao termo x em cubos do
soma infinita e por isso temos esta equação
aqui que simplifica. Primeiro multiplique por menos 1 depois vezes pi ao quadrado e aí está,

Italian: 
prodotto infinito? Beh, cominciamo
espandendo un fattore alla volta.
Evidenzia i primi due fattori, 
moltiplicali tra loro e ottieni questo.
Prendi il risultato e il fattore successivo,
moltiplicali e ottieni questo. Ora evidenziamo
anche il termine di x cubo
perché sarà molto
importante fra poco, e concentriamoci su come
si evolve. Ok, il prossimo fattore è lì.
Moltiplichiamo e si ricava questo, e ancora. 
E ora dai un'occhiata al quadretto verde.
È abbastanza chiaro cosa succederà alla fine,
una volta che hai finito di espandere. Il termine di x cubo apparirà così. Ma
ricorda che il termine dell'x cubo dell'espansione 
del prodotto infinito deve essere
uguale a quello della somma infinita, 
e quindi otteniamo questa equazione
qui, che semplifichiamo. Prima moltiplica per meno 1, poi moltiplica per pi quadro e infine eccola,

French: 
tout produit infini? Eh bien, il suffit de commencer
l'expansion d'un facteur à la fois. Alors
mettre en évidence les deux premiers facteurs et
ensemble et vous obtenez cette manière de multiplier.
Prenez le résultat et le facteur suivant,
multiplier et vous obtenez ce gars-là. Maintenant, nous allons
mettent également en évidence le terme x cubed
parce que ça va être très
important dans une seconde, et de se concentrer sur la façon dont il
évolue. D'accord, facteur suivant est là.
Multiplier et vous obtenez celui-là, et
encore. Et maintenant, jetez un oeil à la
vert. Il est assez clair ce qui se passe à
se produire dans la fin
une fois que vous avez terminé l'expansion. x
terme ressemblera coupé en cubes cela. Mais
rappelez-vous ce terme x cubed du
élargi produit infini doit être
égale à la durée x de cubes de la
somme infinie et donc nous obtenons cette équation
ici ce qui simplifie. Tout d'abord multiplier par moins 1 fois alors pi carré et là vous l'avez,

Dutch: 
gehele oneindige product uit? Welnu, we werken één factor per keer uit. Markeer
dus de eerste twee facotren en vermenigvuldig ze en je krijgt dit.
Neem het resultaat en de volgende factor, vermenigvuldig en je krijg deze jongen. Laten we nu
ook de x^3-term markeren, want dat gaat zometeen
erg belangrijk worden, en in de gaten houden hoe deze evolueert. Oké, daar is de volgende factor.
Vermenigvuldig en je krijgt deze, en opnieuw. Bekijk nu het groene
gedeelte. Het is vrij evident wat er uiteindelijk gaat gebeuren,
wanneer je klaar bent met vermenigvuldigen. De x^3-term gaat er zo uitzien.
Onthoud nu dat de x^3-term van het uitgewerkte oneindige product gelijk moet
zijn aan de x^3-term in de oneindige som, dus we krijgen deze vergelijking
hier. Laten we simplificeren. Eerst vermenigvuldigen met -1 en dan met pi^2 en voila,

Esperanto: 
la tutan nefinian produton? Nu, simple startu dismultipliki unu faktoron ĉiufoje.
Do marku la unuajn du faktorojn kaj kunmultobligu ilin kaj vi ricevas tion.
Prenu la rezulton kaj la sekvan faktoron, multobligu kaj vi ricevas tiun ulon. Nun ni
marku ankaŭ la termon x je potenco de 3 ĉar tio iĝos tre
grava post sekundo, kaj atentu kiel ĝi evoluiĝas. Bone, sekva faktoro estas jen.
Multobligu kaj vi ricevas ĉi-tion, kaj denove. Kaj nun simple rigardu al la
verda. Estas sufiĉe klare kio okazos fine
kiam vi foje finas dismultiplikadon. La termo x je potenco de 3 aspektas kiel tio. Sed
rememorigu, ke tiu x^3 termo de la disvastigita nefinia produto devas esti
egale al la x^3 termo de la nefinia sumo kaj tiel ni ricevas tiun ekvacion
jen kiu simplifiĝas. Unue multobligu per minus 1, poste per pi kvadratite kaj jen vi havas ĝin,

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Italian: 
la vera identità di Eulero. Piuttosto ingegnoso come
ragionamento, non è vero? E tutti le altre
identità che ho menzionato prima,
come questa quassù,
le ottieni confrontando i coefficienti
della somma infinita e del prodotto espanso.
Ad esempio, l'identità lassù si 
ottiene confrontando il coefficiente
della potenza quinta di x nella serie di Maclaurin
e quello nel prodotto infinito.
Prova a fare un tentativo da solo.
È davvero molto gratificante se ci
riesci a farlo da solo. Se rimani bloccato, farò il calcolo formale
in un video separato su
Mathologer 2. Alla fine ovviamente
c'è molto di più da dire su
questa identità. Soprattutto dovrei
sottolineare che ciò che ti ho mostrato non è una dimostrazione completa. Ci vuole ancora un po '
di lavoro per rendere questo ragionamento completamente rigoroso, ma si può fare. Tuttavia,
cosa ti ho mostrato è praticamente tutto ciò che fece
Eulero quando decise di pubblicare

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Esperanto: 
la Eŭlera vera identeco, sufiĉe genia argumento, ĉu? Kaj ĉiuj aliaj
identetecojn kiujn mi menciis antaŭe, kiel tiu-ĉi supre jen,
vi ankaŭ ricevas komparante koeficientojn de la nefinia sumo kaj la disvastigita
produto. Ekzemple, vi ricevas la identecon supre tie komparante la koeficientojn
de x^5 en la MacLaŭrin serio al tio en la disvastigita nefinia
produto. Eble pripensu mem. Estas vere tre rekompenca se vi
sukcesas fari tion memstare. Se vi ne scias plu, mi ankaŭ faros la ruzan
kalkuladon en iu aparta videaĵo ĉe Mathologer 2. Kompreneble
estas multe pli kion mi povus diri pri tiu identeco. Plej grave mi
streĉu, ke tio, kion vi vidis, ne estas kompleta pruvo. Necesas ankoraŭ
iom da laboro por igi la argumenton komplete rigora, sed ĝi povas esti farata. Kiel ajn, kion
mi montris al vi estas pli malpli ĉio kion Eŭler havis kiam li decidis publikiĝi

Russian: 
Настоящее тождество Эйлера, и довольно-таки остроумный аргумент, не так ли? :) Все остальные
тождества, которые я упоминал ранее, (такие как вот это)
получаются также из сравнения коэффициентов бесконечной суммы и раскрытого
произведения. К примеру, вот это тождество сверху получается из сравнения коэффициентов
при x^5 в ряде Маклорена и в раскрытом бесконечном
произведении. Может быть, попробуйте свои силы в этом. Это принесёт вам необычайное удовлетворение, если
у вас получится сделать это самостоятельно. Если вы застрянете где-то, я собираюсь проделать эти искусные
вычисления в отдельном видео на канале Mathologer 2. В конечном счёте, разумеется,
я мог бы сказать ещё очень многое об этом тождестве. Самое важное, что мне следует
подчеркнуть, что то, что я вам показал, не является полным доказательством. Требуется ещё немного
работы, чтобы сделать этот аргумент полноценным и строгим. Это можно сделать. Однако то, что
я вам показал, это практически всё, что имел на руках Эйлер, когда решил опубликовать

Portuguese: 
A verdadeira identidade de Euler, bastante engenhosa
argumento não é isso. E todos os outros
identidades que mencionei anteriormente,
como este lá em cima,
você também obtém comparando coeficientes
da soma infinita e o expandido
produtos. Por exemplo, você obtém a identidade
lá em cima, comparando os coeficientes
de x ao poder de 5 no Maclaurin
série para o um no infinito expandido
produtos. Talvez dê uma chance a isso.
É realmente muito gratificante se você
conseguiu fazer isso sozinho. Se vocês
ficar preso também vou fazer o bacana
cálculo em um vídeo separado em
Mathologer 2. Eventualmente, claro
há muito mais que eu poderia dizer sobre
essa identidade. Mais importante que eu deveria
salientar que o que eu mostrei a você não é
uma prova completa. Ainda leva um pouco
de trabalho para fazer este argumento completamente
rigoroso, mas pode ser feito, no entanto, o que
Eu mostrei a você é praticamente tudo isso
Euler teve quando ele decidiu ir a público

English: 
Euler's real identity, pretty ingenious
argument isn't it. And all of other
identities that I mentioned earlier,
like this one up there,
you also get by comparing coefficients
of the infinite sum and the expanded
product. For example, you get the identity
up there by comparing the coefficients
of x to the power of 5 in the Maclaurin
series to the one  in the expanded infinite
product. Maybe give this a shot yourself.
It's really very rewarding if you
managed to do this on your own. If you
get stuck I'll also do the nifty
calculation in a separate video on
Mathologer 2. Eventually of course
there's a lot more I could say about
this identity. Most importantly I should
stress that what I've shown you is not
a complete proof. It still takes a bit
of work to make this argument completely
rigorous but it can be done, However, what
I showed you is pretty much all that
Euler had when he decided to go public

Dutch: 
Eulers echte identiteit. Best een vernuftige methode, niet? En al die andere
identiteiten waar ik het eerder over had, zoals deze hierboven,
krijg je ook door coëfficiënten van de oneindige som en het uigewerkte product met elkaar te
vergelijken. Zo krijg je de identiteit daarboven door de coëfficiënt
van x^5 in de Maclaurin reeks te vergelijken met die in het uitgewerkte oneindige
product. Dit kun je ook zelf proberen. Als je dat alleen kunt,
is dat het echt waard. Als je vast komt te zitten, zal ik uiteindelijk ook de
vernuftige berekening uitvoeren in een aparte video op Mathologer 2. Natuurlijk
is er veel meer wat ik over deze indentiteit zou kunnen zeggen. Ik moet er vooral de nadruk op
leggen dat wat ik heb laten zien geen compleet bewijs is. Het vereist nog wat
werk om dit bewijs grondig te maken, maar het is mogelijk. Desalniettemin is
wat ik heb laten zien vrijwel alles wat Euler had toen hij besloot zijn bewijs

French: 
véritable identité d'Euler, assez ingénieux
argument est pas. Et tous les autres
identités que je l'ai mentionné plus tôt,
comme celui-ci là-bas,
vous obtenez également en comparant les coefficients
de la somme infinie et l'étendu
produit. Par exemple, vous obtenez l'identité
là en comparant les coefficients
de x à la puissance 5 dans le Maclaurin
série à celle de l'étendue infinie
produit. Peut-être donner un coup de feu vous-même.
Il est vraiment très enrichissante si vous
réussi à le faire vous-même. Si vous
Coincé Je vais aussi faire la nifty
calcul dans une vidéo séparée sur
Mathologer 2. Finalement, bien sûr
il y a beaucoup plus je pourrais dire au sujet de
cette identité. Plus important encore que je devrais
souligner que ce que je vous ai montré est pas
une preuve complète. Il faut encore un peu
de travail à faire cet argument complètement
rigoureux, mais il peut être fait, cependant, que
Je vous ai montré est à peu près tout ce que
la tête d'Euler quand il a décidé de rendre public

French: 
avec son résultat. En fait, croyez
ou non:) il n'a pas eu accès à
Mathematica et donc tous les numériques
preuves à l'appui de son argumentation, il a dû
produire à la main et il avait en fait une
beaucoup moins de preuves numériques que je ne
vous a montré. Maintenant, il a fallu une Euler
deux ans après avoir publié son
identité à venir avec un tout
la preuve rigoureuse. Maintenant, pour finir permettez-moi
mentionner deux faits plus étonnants au sujet
La somme d'Euler. Pour mon premier fait étonnant, nous allons
ont un autre regard sur la façon d'Euler
écriture sinusoïdale comme infinie
produit là-bas. Si l'on fait x égal à pi
divisé par 2, sinus devient 1 et quand nous
écrire les facteurs à droite
en tant que fraction, nous obtenons cela. La résolution de pi
divisé par 2 donne le soi-disant Wallis
produit, du nom du mathématicien
John Walli, un très beau et
produit infini utile avec
carrés de tous les nombres pairs dans la
numérateur et des carrés de tous les impairs
chiffres dans le dénominateur, vraiment vraiment
belle en elle. nombre incroyable de fait deux: beaucoup

Esperanto: 
la rezulton. Fakte, nekredeble 😊 li ne havis aliron al
Mathematica kaj tial ĉio nombra evidenteco subtenanta lian argumenton li devis
produkti permane kaj li efektive havis multe pli malpli nombran evidentecon kiel mi
montris al vi. Nun Eŭler bezonis ankoraŭ kelkajn jarojn post kiam li publikigis sian
identecon ĝis li alvenis kun tute rigoran pruvon. Por fini simple lasu min
mencii du pliajn mirigajn faktojn pri la Eŭlera sumo. Por mia unua miriga fakto,
ni havu alian rigardon al la Eŭlera maniero de reprezento de sinuso kiel nefinia
produto supre tie-ĉi. Se ni metas x egale al pi/2, sinuso iĝas 1 kaj se ni
skribas la faktorojn ĉe la dekstra flanko kiel frakcio, ni ricevas tion. Solvante por pi/2
donas la tiel nomita Wallis produton, nomita laŭ la matematikisto
John Wallis, vere bela kaj uzebla nefinia produto prezentante
kvadratojn de ĉiuj paraj nombroj en la numeratoro kaj kvadratojn de ĉiuj neparaj nombroj
en la denominatoro, vere vere bele en ĝi. Mirinda fakto nombro du: multaj

Russian: 
свой результат. Фактически, как ни невероятно, у него не было доступа к
программе Mathematica, поэтому все численные обоснования в поддержку своего аргумента ему пришлось
проделывать вручную, и у него, на самом деле, было куда меньше этих численных обоснований, чем я
вам показал. Эйлеру потребовалась ещё пара лет после публикации своего
тождества для написания полного, строгого доказательства. В качестве завершения [видео], позвольте мне
упомянуть ещё два потрясающих факта о сумме Эйлера. Первый изумительный факт кроется в
альтернативном способе Эйлера выразить синус как бесконечное
произведение. Если положить X равным π/2, синус окажется равным 1, и если
переписать множители справа как дроби, у нас получится вот такая штука. Выразив π/2,
мы получим так называемое формулу Валлиса (Wallis product), названную в честь математика
Джона Валлиса (John Wallis). Действительно красивая и полезная бесконечная формула, в которой присутствуют
квадраты всех четных чисел в числителе и квадраты всех нечётных
чисел в знаменателе. Невероятно изящно, не так ли? :)
Изумительный факт номер два:

Portuguese: 
com o seu resultado. Na verdade, acredite
ou não:) ele não teve acesso a
Mathematica e assim todos os numéricos
evidência para apoiar o seu argumento que ele teve que
produzir à mão e ele realmente teve um
muito menos evidência numérica do que eu
te mostrei. Agora ainda levava Euler
par de anos depois que ele publicou sua
identidade para chegar a um completamente
prova rigorosa. Agora, para terminar, deixe-me apenas
mencionar mais dois fatos surpreendentes sobre
A soma de Euler. Para o meu primeiro fato incrível, vamos
ter outra olhada no modo de Euler de
escrevendo sine como um infinito
produto lá em cima. Se nós definirmos x igual a pi
dividido por 2, o seno se torna 1 e quando
escreva os fatores à direita
como fração, nós entendemos isso. Resolvendo para pi
dividido por 2 dá o chamado Wallis
produto, em homenagem ao matemático
John Walli, realmente lindo e
produto infinito útil apresentando
quadrados de todos os números pares no
numerador e quadrados de todo o estranho
números no denominador, realmente muito
bom nisso. Fato surpreendente número dois: muito

Dutch: 
te publiceren. Geloof het of niet :), hij had geen toegang tot
Mathematica, dus al het numerieke bewijs dat zijn bewijs ondersteunde moest hij
met de hand uitwerken, en hij had een stuk minder zulk bewijs dan ik heb
laten zien. Het kostte Euler nog enkele jaren nadat hij zijn identiteit had
gepubliceerd om met een volledig grondig bewijs te komen. Laat me tot slot nog
twee verbazingwekkende feiten noemen over Eulers som. Laten we voor mijn eerste verbazingwekkende
nog eens kijken naar Eulers manier om sinus te schrijven als oneindig
product, daarboven. Als we x gelijkstellen aan pi gedeeld door 2, wordt sinus 1 en wanneer we
de factoren rechts herschrijven als breuk, krijgen we dit. Oplossen voor
pi gedeeld door 2 geeft het zogenaamde Wallisproduct, genoemd naar de wiskundige
John Wallis, een erg mooi en nuttig oneindig product, met
kwadraten van alle even getallen in de teller en kwadraten van alle oneven
getallen in de noemer. Heel, heel mooi, vind je niet? Verbazingwekkend feit nummer twee: vele

Italian: 
il suo risultato. Puoi crederci o no :) 
Non aveva accesso a
Mathematica e così doveva produrre a mano 
tutte le sue dimostrazioni numeriche,
e in realtà aveva molte meno 
evidenze numeriche di quelle
ti ho mostrato. Dopo la pubblicazione della sua identità, ci è voluto un altro paio d'anni a Eulero
per trovare una dimostrazione completamente 
rigorosa. Ora per finire, lasciami solo
menzionare altri due fatti sorprendenti sulla somma di Eulero. Come primo incredibile aspetto,
diamo un'altra occhiata al modo di Eulero di 
scrivere il seno come il prodotto
infinito lassù. Se mettiamo x uguale a pi/2, il seno diventa 1 e quando
si scrivono i fattori sulla destra come una frazione, otteniamo questo. Risolvendo rispetto a pi greco
diviso due, si ricava il cosiddetto prodotto di Wallis, dal nome del matematico
John Wallis, un prodotto infinito davvero magnifico e utile, in cui compaiono
i quadrati di tutti i numeri pari nel
numeratore e i quadrati dei dispari
al denominatore, davvero davvero carino. 
Fatto incredibile numero 2: molti di voi

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

English: 
with his result. In fact,  believe it
or not :)he didn't have access to
Mathematica and so all the numerical
evidence to support his argument he had to
produce by hand and he actually had a
lot less numerical evidence than I
showed you. Now it still took Euler a
couple of years after he published his
identity to come up with a completely
rigorous proof. Now to finish let me just
mention two more amazing facts about
Euler's sum. For my first amazing fact, let's
have another look at Euler's way of
writing sine as an infinite
product up there. If we set x equal to pi
divided by 2, sine becomes 1 and when we
write the factors on the right
as fraction, we get this. Solving for pi
divided by 2 gives the so called Wallis
product, named after the mathematician
John Walli, a really beautiful and
useful infinite product featuring
squares of all the even numbers in the
numerator and squares of all the odd
numbers in the denominator, really really
nice in it. Amazing fact number two: a lot

French: 
vous serez familiarisé avec Leibniz
formule, ce absolument merveilleux
identité là-bas. Je ne savais pas
moi-même jusqu'à une date récente, mais Euler
souligne en fait dans l'un de ses papiers
que cette identité peut être dérivée
exactement de la même manière que la somme d'Euler, la
somme que cette vidéo est sur le point, par écrit
la fonction 1 - sinus x en tant que produit
en utilisant ses zéros donc il y a assez
bien tout ce que vous avez besoin, puis comparer la
x coefficient de la série de Maclaurin
avec celle de l'Internet élargi
produit pas difficile une fois que vous savez peut-être que
l'un d'entre vous peut également être en mesure de fournir
les détails dans les commentaires. Oh, par le
Ainsi, bien que cette identité est étonnante
nommé d'après Leibniz, il, ainsi que la
MacLaurin série de tous les principaux
fonctions trigonométriques étaient déjà
connu des mathématiciens indiens au moins
300 ans avant Leibniz et Maclaurin

Italian: 
conosceranno la formula di Leibniz, 
questa assolutamente meravigliosa
identità quassù. Non la conoscevo fino a 
poco tempo fa, ma Eulero
in realtà sottolinea in uno dei suoi scritti
che questa identità può essere derivata in
esattamente allo stesso modo della somma di Eulero, quella di cui parla questo video, scrivendo
la funzione 1 - sen x come un prodotto
usando i suoi zeri. Qui c'è tutto
ciò di cui hai bisogno, e poi confronta il 
coefficiente della x nella serie di Maclaurin
con quello del prodotto infinito espanso. 
Non è difficile una volta che lo sai,  quindi forse
uno di voi potrebbe anche essere in grado di fornire
i dettagli nei commenti. Oh, a ogni modo,
anche se questa incredibile identità è
intitolata a Leibniz, in realtà, così come le
le serie di Maclaurin delle principali funzioni trigonometriche erano già
note ai matematici indiani almeno 
300 anni prima che Leibniz e Maclaurin

Spanish: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Portuguese: 
de vocês estarão familiarizados com o Leibniz
fórmula, isso absolutamente maravilhoso
identidade lá em cima. Eu não sabia sobre
isso mesmo até recentemente, mas Euler
realmente aponta em um de seus papéis
que essa identidade pode ser derivada em
exatamente da mesma forma que a soma de Euler, o
soma que este vídeo é sobre, por escrito
a função 1 - seno x como um produto
usando seus zeros por isso há muito
muito tudo que você precisa e, em seguida, comparando o
x coeficiente para a série Maclaurin
com o do infinito expandido
produto não é difícil, uma vez que você sabe, então talvez
um de vocês também pode ser capaz de fornecer
os detalhes nos comentários. Ah, pelo
maneira, embora esta identidade surpreendente é
nomeado em homenagem a Leibniz, assim como
Maclaurin série de todos os principais
funções trigonométricas já eram
conhecido por matemáticos indianos, pelo menos
300 anos antes de Leibniz e Maclaurin

Dutch: 
van jullie zullen bekend zijn met de Leibniz-formule, deze beeldschone
identiteit hierboven. Ik weet dit pas sinds kort, maar Euler
noemt in een van zijn documenten dat deze identiteit op precies dezelfde manier
kan worden bereikt als Euler sum, de som waar deze video over gaat, door
de functie 1 - sin(x) als een product te schrijven, doro gebruik te maken van de nulpunten - dat daar
is vrijwel alles watje nodig hebt - en dan de x-coëfficiéntbij de Maclaurin reeks.
te vergelijken met die van het uitgewerkte oneindige product. Met die informatie niet moeilijk, dus misschien
kan een van jullie de details in de reacties achterlaten. Oh, trouwens,
ondanks dat deze geweldige identiteit genoemd is naar Leibniz, was hij, net als de
Maclaurin reeksen van alle standaard goniometrische functies,
bekend bij Indiase wiskundigen, minstens 300 jaar voordat Lebniz en Maclaurin

Russian: 
многие из вас будут знакомы с формулой Лейбница (Leibniz formula) – вот этим совершенно потрясающим
тождеством сверху. Я сам этого не знал до недавнего времени, но Эйлер,
оказывается, указал в одной из своих работ, что это тождество может быть выведено
точно тем же способом, как и сумма Эйлера (та сумма, о которой это видео). А именно, можно записать
функцию (1-sin(x)) как произведение, используя её нули. Вот, по сути,
всё, что требуется для этого. И теперь нужно сравнить коэффициенты в ряде Маклорена
и в раскрытом бесконечном произведении, что не так уж сложно, когда уже известно, что делать.
Так что, возможно, кто-нибудь из вас сможет предоставить детали этого в комментариях. О, кстати
говоря, хотя это восхитительное тождество названо в честь Лейбница, оно, так же как и
ряды Маклорена для всех основных тригонометрических функций, было уже
известно индийским математикам по меньшей мере за 300 лет до рождения Лейбница и Маклорена.

Esperanto: 
de vi konas la formulon de Leibniz, tiun-ĉi absolute mirindan
identecon ĉi-supre. Mi mem ne sciis ĝis antaŭ nelonge, sed Eŭler
efektive indikas en unu de siaj verkoj ke tiu identeco povas esti ricevata
en ekzakte la sama maniero kiel la Eŭlera sumo, la sumo, pri kiu tiu ĉi videaĵo estis, skribante
1-sin(x) kiel produto uzante la nuliganton, do tie estas
preskaŭ ĉio, kion vi bezonas kaj poste kompari la x-koeficienton al la MacLaŭrin-serio
kun tio de la disvastigita nefinia produto, ne malfacile kiam ajn vi scipovas, do eble
unu el vi eble same kapablas provizi la detalojn al la komentoj. Ho,
parenteze, kvankam tiu mirinda identeco estas nomita laŭ Leibniz, ĝi, same kiel la
MacLaŭrin serioj de ĉiuj ĉefaj trigonometriaj funkcioj jam
estis konataj al Hindiaj matematikistoj almenaŭ 300 jaroj antaŭ Leibniz kaj MacLaŭrin

English: 
of you will be familiar with the Leibniz
formula, this absolutely wonderful
identity up there. I didn't know about
this myself until recently but Euler
actually points out in one of his papers
that this identity can be derived in
exactly the same way as Euler's sum, the
sum that this video is about, by writing
the function 1 - sine x as a product
using its zeros so there's pretty
much all you need and then comparing the
x coefficient to the Maclaurin series
with that of the expanded infinite
product not hard once you know so maybe
one of you may also be able to supply
the details in the comments. Oh, by the
way, although this amazing identity is
named after Leibniz, it, as well as the
Maclaurin series of all the main
trigonometric functions were already
known to Indian mathematicians at least
300 years before Leibniz and Maclaurin

English: 
were born and it may very well be due to the mathematician Madhava of Sanggammagrammar. And hardly anybody knows about
this or cares how very say it anyway
knows about this or cares. How very sad. And this is it for today. As usual let me know how well this video work for you
and see you next time.
 

Dutch: 
werden geboren, en zou kunnen zijn ontdekt door de wiskundige Madhava van Sangamagrama. Vrijwel niemand is dit bekend of maakt het iets uit.
Hoe enorm zielig. In ieder geval, dit is het voor vandaag. Zoals gebruikelijk, laat me weten hoe goed deze video voor jou werkte
en tot de volgende keer.

Esperanto: 
estis naskitaj kaj povas esti de la matematikisto Madhava de Sanggammagrammar. Kaj preskaŭ neniu scias pri tiu aŭ zorgas. Tre bedaŭrinde.
Tre bedaŭrinde. Kaj tio estas ĉio por hodiaŭ. Kiel kutime informu min kiel bone tiu videaĵo funkcias por vi
kaj ni renkontiĝos venontfoje.

Russian: 
И, вполне возможно, они были открыты математиком Мадхавой из Сангамаграмы (Madhava of Sanggammagrammar). И едва ли кто-либо знает об этом или кому-то есть до этого дело... Как печально.
Так или иначе, это всё на сегодня. Как обычно, дайте мне знать, хорошо ли это видео усвоилось для вас.
Увидимся в следующий раз.

French: 
sont nés et il peut très bien être dû au mathématicien Mâdhava de Sanggammagrammar. Et presque personne ne sait
ceci ou se soucie dire de toute façon très
sait à ce sujet ou soucis. Et ce qu'il est aujourd'hui. Comme d'habitude faites-moi savoir à quel point ce travail vidéo pour vous
et à la prochaine fois
 

Spanish: 
 
 
 
 

Italian: 
nascessero, potrebbe benissimo essere dovuta al matematico Madhava di Sanggammagrammar. E quasi nessuno lo sa o gli importa
chi l'abbia effettivamente detto. Che tristezza. E questo è tutto per oggi. Come al solito fammi sapere secondo te quanto è efficace questo video
e ci vediamo la prossima volta.
 

Portuguese: 
Nasceram e pode muito bem ser devido ao matemático Madhava de Sanggammagrammar. E quase ninguém sabe sobre
isso ou se importa como dizer isso de qualquer maneira
sabe disso ou se importa. Que muito triste. E é isso por hoje. Como de costume, deixe-me saber como esse vídeo funciona bem para você
e até a próxima.
 
