
English: 
- [Voiceover] So let's
get a basic understanding
of the comparison test when
we are trying to decide
whether a series is
converging or diverging.
So let's think of two series.
So let's say that I have
this magenta series here.
It's an infinite series from n equals one
to infinity of a sub n.
We're speaking in generalities here,
and let's have another one.
That's the series b sub n
from n equals one to infinity,
and we know some things
about these series.
The first thing we know
is that all the terms
in these series are non-negative.
So a sub n and b sub n
are greater than or equal
to zero, which tells us
that these are either
going to diverge to positive infinity
or they're going to converge
to some finite value.
They're not going to
oscillate, because you're not
going to have negative values here.
You can't go to negative
infinity, because you

Bulgarian: 
Искам да ти дам 
обща представа
за критерия за сравнение, когато
опитваме да определим
дали един ред е сходящ
или е разходящ.
Да вземем два реда.
Да кажем, че имаме
този ред в цикламен цвят.
Това е безкраен ред от a_n
за n от 1 до безкрайност.
Тук ще разглеждаме 
общия случай.
Сега да вземем още един ред.
Това е редът b_n за
n от 1 до безкрайност.
Дадени са ни някои 
неща за тези редове.
Първото е, че всички членове
на тези редове са неотрицателни.
Значи a_n и b_n са по-големи
или равни на нула,
което означава, че те са 
или разходящи
към плюс безкрайност,
или са сходящи към
някаква крайна стойност.
Те няма да се колебаят, защото тук 
няма отрицателни стойности.

Thai: 
ลองมาทำความเข้าใจพื้นฐาน
เรื่องการทดสอบเปรียบเทียบ โดยคุณตัดสินว่า
อนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
ลองคิดถึงอนุกรมสองตัว
สมมุติว่าผมมีอนุกรมสีบานเย็นนี่ตรงนี้
มันเป็นอนุกรมอนันต์จาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ a ห้อย n
เรากำลังพูดถึงโดยทั่วไปในที่นี้
และลองกำหนดอีกตัว
มีอนุกรม b ห้อย n จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
และเรารู้สิ่งต่างๆ เกี่ยวกับอนุกรมนี้
อย่างแรกที่เรารู้คือว่าทุกเทอม
ในอนุกรมนี้ไม่เป็นลบ
a ห้อย n กับ b ห้อย n มากกว่า
เท่ากับ 0 ซึ่งบอกเราว่าพวกมัน
จะลู่ออกหาบวกอนันต์
หรือพวกมันจะลู่เข้าหาค่าจำกัดค่าหนึ่ง
มันจะไม่แกว่งไปมาเพราะคุณจะ
ไม่มีค่าลบตรงนี้
คุณไปยังลบอนันต์ไม่ได้ เพราะคุณ

Portuguese: 
Vamos começar com o conhecimento básico
sobre o teste de comparação quando
tentamos decidir
qualquer que seja a séria, se está
convergindo ou divergindo
Vamos pensar em duas séries.
Vamos dizer que eu tenho essa
série magenta.
É uma série infinita
de n igual a um
até infinito de a índice n.
Estamos falando genericamente,
e tenhamos outra série.
Essa série b índice n de n igual a
um até infinito,
e sabemos algumas coisas sobre
essas séries.
A primeira coisa que sabemos
é que todos os termos
nessa série são não negativos.
Então a índice n, e b índice n,
são maiores ou igual a zero,
o que quer dizer que elas divergirão
quando
estiverem tendendo ao infinito positivo
ou convergirão para algum valor finito.
Elas não oscilarão, porque você
não terá valores negativos aqui.

Korean: 
[해설]자, 이제 급수가 수렴하는지 발산하는지
결정하기 위한 비교 판정법에 대한
기본적인 이해를 해 봅시다
두 개의 급수에 대해 생각해 봅시다
여기 자홍색 급수가 있습니다
이것은 n=1부터
무한대까지 a_n의 급수이고요
우리는 여기서 일반적인 것을 말해요
다른 것도 하나 쓰자면
이건 n=1부터 무한대까지의 b_n 의 급수입니다
우리는 이 급수들에 대해 몇 가지를 알죠
첫 번째로 우리는 모든 항들은
음수가 아니라는 것을 압니다
그래서 a_n과 b_n은
0이상이 되죠, 이것은 이 급수들이
양의 무한대로 발산하거나
유한한 값으로 수렴할 거라고 예측 가능하게 해 줍니다
그들은 진동하지는 않을 거에요,
음의 값은 없으니까요
음의 무한대로 발산할 수도 없어요

Korean: 
여기는 음수가 없으니까요
자, 이제 우리가 첫 번째 급수의
대응하는 항들이
두 번째 급수의 대응하는 항들보다 작거나 같다는 것을
안다고 해 봅시다
b_n보다 작거나 같은 거죠
다시 한 번, 이것은
모든 n에 대해 성립합니다
n은 1, 2, 3,...
등등의 값을 가지게 되죠
그래서 비교 판정법은
이 급수의 모든 대응하는 항들이
이 급수의 대응하는 항들보다 작고
동시에 0보다 크기 때문에
만약 더 큰 이 급수가 수렴한다면,
그것보다 작은
이 급수도, 이 급수에 의해
상한을 갖는다고 할 수도 있겠네요,
반드시 수렴해야 한다는 것을 알려 줍니다.
저는 여기서 정식 증명은 하지 않았지만,
이것이 당신에게 약간의 직관을 주었을 거에요
그래서 비교 판정법은, 만약에 - 제 머릿속에서 추측하는 바로는

Bulgarian: 
Не клонят към минус безкрайност, 
защото няма отрицателни стойности.
Да кажем, че знаем също, че
всеки от съответните членове
в първия ред
е по-малък или равен на съответния
член от втория ред.
По-малък или равен на b_n.
Това важи за всички n,
които ни интересуват.
n е равно на 1, 2, 3
и така нататък.
Критерият за сравнение
ни казва, че
понеже всички 
съответни членове
на този ред са по-малки
от съответните членове тук,
но са по-големи от нула,
че ако този ред е сходящ,
редът, който е по-голям,
ако този е сходящ,
тогава и този, който
е по-малък от него, 
предполагам, че
можем да кажем, че е
ограничен от този ред,
той също трябва да е сходящ.
Няма да го доказвам тук,
но се надявам, че
ще видиш логиката.
Критерият за сравнение ни казва,
че ако, поне аз така разсъждавам,

English: 
don't have negative values here.
Now, let's say we also know that each
of the corresponding
terms in the first series
are less than or equal
to the corresponding term
in the second series.
Less than or equal to b sub n.
Once again, this is true for all the ns
that we care about.
So n equals one, two, three,
all the way on, and on, and on.
So the comparison test
tells us that because
all the corresponding terms
of this series are less
than the corresponding
terms here, but they're greater than zero,
that if this series converges,
the one that's larger,
if this one converges, well then the one
that is smaller than
it, or I guess when we
think about it is kind
of bounded by this one,
must also converge.
I'm not doing a formal
proof here, but hopefully
that gives you a little bit of intuition.
So the comparison test tells
us if, I guess in my brain

Thai: 
ไม่มีค่าลบตรงนี้
ทีนี้ สมมุติว่าเรารู้ด้วยว่าแต่ละ
เทอมที่คู่กันในอนุกรมแรก
น้อยกว่าเท่ากับเทอมที่คู่กัน
ในอนุกรมที่สอง
น้อยกว่าเท่ากับ b ห้อย n
ย้ำอีกครั้ง อันนี้เป็นจริงสำหรับทุก n
ที่เราสนใจ
n เท่ากับ 1, 2, 3,
ไปเรื่อยๆ
การทดสอบเปรียบเทียบบอกเราว่า เนื่องจาก
เทอมที่คู่กันทุกตัว
ในอนุกรมนี้น้อยกว่าเทอมที่คู่กัน
ทุกตัวตรงนี้ แต่พวกมันมากกว่า 0
ถ้าอนุกรมนี้ลู่เข้า ตัวที่มากกว่า
ถ้าตัวนี้ลู่เข้า แล้ว
ตัวที่น้อยกว่านั้น เมื่อเรา
คิดว่ามันถูกจำกัดด้วยตัวนี้
มันต้องลู่เข้าด้วย
ผมไม่ได้พูดถึงอย่างรัดกุม แต่หวังว่า
คุณคงพอได้สัญชาตญาณ
การทดสอบเปรียบเทียบบอกเราว่าถ้า

Portuguese: 
Não poderá ir ao infinito negativo,
porque não haverão valores negativos.
Agora, digamos que também sabemos que cada
termo correspondente da primeira série
são menores ou iguais aos termos
correpondentes
na segunda série.
Menor ou igual a b índice n.
Mais uma vez, isso é verdade para
todos os ns
que precisamos.
Então, n igual a um, dois, três,
e assim por diante.
Então, o teste da comparação nos
diz que porque
todos os termos correspondentes
dessa série são menores que os
termos correspondentes
dessa, mas são maiores que zero,
se essa série converge, essa que
é a maior
se essa converge, então saberemos
que a menor, podemos pensar que ela
está meio que limitada por essa,
também convergirá.
Não farei a prova formal aqui,
mas espero que
pelo menos dê uma noção intuitiva.
Então, o teste da comparação
nos diz que se a série maior,

Portuguese: 
a série que tem os termos correspondentes
maiores
que essa aqui, se essa converge,
se ela não seguir ilimitadamente
até o infinito,
a soma e chegará a algum valor finito,
nos dizendo então que de algum jeito
poderemos dizer que a menor também
convergirá.
Então essa daqui também deverá convergir .
Então ela convergirá.
Mas por que isso nos é útil?
Veremos em vídeos futuros.
Bem, se você tivesse essa série a índice n
e por acaso quisesse provar que
ela converge,
você vendo intuitivamente que ela
parece convergir, o teste da comparação
nos diz que,
devemos encontrar alguma outra série
em que
os termos correspondentes são
maiores do que esses,
e se você conseguir provar que
ela converge,
então saberemos algo sobre essa.
Claro que isso se aplica somente ao caso
em que na sua série original
cada um dos termos são não-negativos.

Thai: 
อนุกรมตัวใหญ่ ตัวที่มีเทอมที่คู่กัน
น้อยกว่ามากเท่ากับค่าตรงนี้ ถ้าตัวนี้
ลู่เข้า แล้วถ้าตัวนี้ไม่มีค่าไร้ขอบเขต
เข้าหาอนันต์ มันบวกได้ค่าจำกัด
แล้วอันนี้จะบอกเราว่า ตัวนั้น
จะเรียกว่าตัวเล็กกว่าก็ได้ มันต้องลู่เข้าด้วย
อันนี้ตรงนี้ต้องลู่เข้าด้วย
อันนั้นต้องลู่เข้าด้วย
ทำไมมันถึงมีประโยชน์?
เราจะเห็นในวิดีโอหน้า
ทีนี้ ถ้าคุณพบว่า ถ้าคุณดูแล้ว คุณมี
a ห้อย n แล้วคุณบอกว่า โอ้ ฉันอยาก
พิสูจน์ว่ามันลู่เข้า ฉันรู้สึกลึกๆ
ว่ามันลู่เข้า การทดสอบเปรียบเทียบจะบอกเรา
ว่าลองหาอนุกรมอีกตัวที่มีเทอมที่คู่กัน
ที่อย่างน้อยโตเท่ากับเทอมที่คู่กัน
ตรงนี้ และถ้าคุณพิสูจน์ได้ว่าอนุกรมนั้นลู่เข้า
แล้วคุณก็ได้อันนี้ลู่เข้าด้วย
แน่นอน มันจะใช้ได้ในกรณี
ที่อนุกรมเดิมของคุณ แต่ละเทอม
ไม่เป็นลบ

Bulgarian: 
по-големият ред, този, чиито
съответни членове
са по-големи от тези тук,
ако този ред е сходящ,
ако този ред не клони към
безкрайност,
ако сумата му е някакво
крайно число,
тогава този критерий ни казва, че
по някакъв начин
по-малкият ред също
е сходящ.
Значи този ред тук също
трябва да е сходящ.
Този ред трябва да е сходящ.
Защо това ни е полезно?
Ще разберем в следващите видеа.
Ако разглеждаш това a_n
и си казваш:
"Искам да докажа, че
този ред е сходящ,
имам предчувствие, че 
е сходящ."
Тогава критерият за 
сравнение ни казва, че
просто трябва да намерим
друг ред, чиито съответни
членове са поне равни на
съответните членове тук,
и ако можем да докажем, че
той е сходящ,
тогава това важи 
и за този ред.
Това важи само в случаи,
когато членовете на
оригиналния ред 
са неотрицателни.

Korean: 
대응하는 항들이 여기 있는 것보다 더 큰
더 큰 급수가 수렴한다면
만약 이것이 무한으로 무한정 발산하지 않는다면,
이것은 유한한 어떤 값으로 수렴할 것이고
그것은 우리에게 그것보다 더 작은 급수도
당연히 수렴할 것이라고 말해 줍니다
그러니까 여기 오른쪽에 있는 것도 수렴해야겠죠
이 급수는 수렴합니다
그래서 이게 왜 유용하죠?
이것은 이후의 영상에서 보게 될 거에요
만약 당신에게 a_n이 있고
이것이 수렴함을 증명하고 싶으며,
이것이 수렴할 거라는 느낌이 올 때,
비교 판정법을 이용하면
그냥 대응하는 항들이 이것보다
더 큰 다른 급수를 하나 찾아
그것이 수렴함을 증명할 수 있다면
이것도 보일 수 있는 거죠
물론 이것은 당신의
원래 급수의 항이
음수가 아닌 경우에 적용이 되겠죠

English: 
the larger series, the one
whose corresponding terms
are at least as large as
the ones here, if this one
converges, if this one
doesn't go unbounded
towards infinity, it sums
to some finite value,
then that tells us that the
one that is in some ways
I guess you could say
smaller must also converge.
So this one right over
here must also converge.
So that must also converge.
So why is that useful?
We'll see this in future videos.
Well if you find if you're
looking you have your
a sub n and you're like
gee, I wish I could prove
that it converges, I kind
of have a gut feeling
it converges, the comparison
test tells us, well,
just find another series
that whose corresponding
terms are at least as
large as the corresponding
terms here, and if you can
prove that one converges,
then you're good with this one.
Of course it would only apply to the case
where your original
series, each of the terms
are non-negative.

Thai: 
แล้วถ้าเกิดคุณมีกลับกันล่ะ?
ถ้าเกิดคุณพิสูจน์ได้ว่าอนุกรมสีบานเย็น
ตัวเล็ก จะใส่ในเครื่องหมาย
คำพูดก็ได้ ตัวนี่ตรงนี้
คือตัวเล็ก เทอมที่คู่กันแต่ละเทอม
นั้นน้อยกว่า ถ้าเกิดคุณพิสูจน์ได้ว่า
ตัวนี้ลู่ออกล่ะ?
ถ้าตัวนี้ลู่ออก มันจะ
มีค่าไปหาอนันต์
มันจะไม่ไปหาลบอนันต์
ทุกเทอมเป็นบวก
มันจะไม่ลู่ออกเพราะ
มันแกว่งไปมาระหว่างสองค่า
ย้ำอีกครั้ง ถ้ามันแกว่างระหว่างสองค่า
วิธีเดียวที่จะเป็นไปได้ คือคุณ
มีเทอมลบตรงนี้ ดังนั้นตัวนี้จะ
มีค่าไม่จำกัดไปหาอนันต์
ถ้าตัวนี้ไม่มีขอบเขต แต่ละเทอมที่
คู่กันนั้นมากกว่า แล้วอนุกรมนี้
จะต้องไม่มีขอบเขตด้วย
ลองเขียนมันลงไป
การทดสอบเปรียบเทียบบอกเราว่า ถ้าอนุกรม
ตัวเล็กลู่ออก ถ้าตัวนี้ลู่ออก
แล้วตัวใหญ่ต้องลู่ออกด้วย

Bulgarian: 
А дали това важи
наобратно?
Ако можем да докажем,
че редът в цикламено,
по-малкият, може би 
трябва да сложа кавички,
по-малкият ред, всеки съответен 
член на който
е по-малък, дали можем
да докажем, че той е разходящ?
Ако този е разходящ,
той клони към безкрайност.
Но няма да клони
към минус безкрайност.
Всички членове са положителни
и той няма да е разходящ,
ако се колебае между
две стойности.
Когато се колебае между
две стойности,
единственият начин това
да стане, е ако
имаме отрицателни членове,
тогава редът
ще клони към безкрайност.
Ако този няма граница,
всеки от тези
съответни членове е
по-голям, тогава
за този ред също
няма да има граница.
Ще го запиша.
Критерият за сравнение
ни казва, че ако по-малкият
ред е разходящ, ако
този е разходящ,

Portuguese: 
Agora, e se você quiser fazer o
caminho contrário?
Se você pudesse provar que essa
série magenta,
a menor, acho que podemos por entre aspas
que essa série bem aqui é a "menor",
Que cada um dos termos correspondentes
são menores.
e se quisermos provar que
essa série diverge?
Bem, se ela diverge, teremos um valor
ilimitado indo ao infinito.
Isso não vai para o infinito negativo,
Todos os termos são positivos.
E não divergirá porque
oscilará entre dois valores.
De novo, se estiver oscilando
entre valores
o único jeito de termos isso aqui é se
tivermos termos negativos presentes,
então ela tenderá
a seguir ilimitadamente ao infinito.
Bem, se essa for ilimitada, cada um
dos termos correspondetes
serão maiores, então essa daqui
também deverá ser ilimitada.
Vamos escrever isso.
Então, se o teste da comparação
nos diz que
a série menor diverge, se essa
aqui diverge,
então a maior também deverá divergir.

English: 
Now what if you went the other way around?
What if you could prove
that the magenta series,
the smaller one, and I
guess I could kind of
put them in quotes,
this one right over here
is the smaller, I guess
each of its corresponding
terms are smaller, what if you could prove
this one diverges?
Well if this one
diverges, it's going to go
unbounded to infinity.
It's not going to go to negative infinity.
All the terms are positive.
It's not going to diverge because
it oscillates between two values.
Once again, if it's
oscillating between values
the only way you could do that is if you
had negative terms here,
so this would kind of
be unbounded towards infinity.
Well if this one is
unbounded, each of these
corresponding terms
are larger, so this one
must also be unbounded.
So let's write that down.
So the comparison test
tells us if our smaller
series diverges, if this one diverges,
then the larger one must also diverge.

Korean: 
이제 만약 당신이 다른 방법으로 갔다면요?
만약 당신이 자홍색 급수가,
더 작은 쪽이죠,
따옴표로 묶을게요, 여기 이것은
더 작습니다,
대응하는 항들이 더 작아요,
만약 당신이 이것이 발산함을 증명한다면요?
만약 이것이 발산하면,
무한으로 발산하겠죠
음의 무한대로 가지는 않을 거에요
모든 항들이 양수니까요
진동하면서 발산하지는 않을 거에요
그러려면 두 값 사이에서 진동해야 하니까요
다시 말하면 이것은 두 값 사이에서 진동해야 하고,
그럴 수 있는 방법은
음수 항을 갖는 방법뿐이기 때문에
이것은 무한대로 발산하게 됩니다
만약 이것에 상한이 없다면,
대응하는 이 값들이 더 크므로,
이것 역시 상한이 없겠죠
그걸 써 봅시다
비교 판정법에 의하면 만약
더 작은 급수가 발산하면,
더 큰 급수도 반드시 발산해야 한다

Thai: 
เหมือนเดิม ถ้าคุณอยากพิสูจน์ว่า
ตัวนี้ตรงนี้ลู่ออก
ถ้าคุณมี ถ้าคุณรู้
ว่า b ห้อย n ทุกตัวมากกว่าเท่ากับ 0
และคุณอยากพิสูจน์ว่ามันลู่ออก
คุณก็ลองหาอนุกรมอีกตัว
โดยแต่ละเทอมที่คู่กันน้อยกว่า
เทอมที่ตรงกันตรงนี้ แล้วคุณก็
พิสูจน์ว่าตัวนี้ลู่ออก แล้วคุณก็ได้ตัวนี้ลู่ออกด้วย
เราจะเริ่มใช้มันในวิดีโอต่อๆ ไป

Portuguese: 
Então, de novo, se quiser provar que
essa coisa aqui irá divergir,
se você tiver a, de novo você
sabe que todos
os b índices n são maiores que ou iguais
a zero e você quer provar que ela diverge,
bem, talvez você encontre outra série
em que cada termo correspondente
será menor
que os termos presentes nessa aqui e
poderemos provar que essa diverge,
e teremos tudo resolvido.
Vamos começar a fazer isso nos
próximos vídeos.
Legendado por [Victor Oliveira]

Korean: 
다시 말하면, 당신은
여기 이것이 발산함을 증명하고 싶었습니다
만약 당신이
모든 b_n의 항들이 0 이상임을 알고
이것이 발산함을 증명하고 싶을 때,
당신은 다른 급수를 찾아 볼 수 있겠죠
대응하는 모든 항이 더 작은 급수를요
이 급수보다요
그리고 이것이 발산함을 증명하면 끝나겠죠
다음 비디오에서 그것들을 시작해 볼게요

English: 
So once again, if you wanted to prove that
this thing right over
here is going to diverge,
and if you have a, once
again you know that
all the b sub ns are greater
than or equal to zero
and you want to prove it diverges,
well, maybe you could try
to find another series
where each of the
corresponding terms are less
than the corresponding
terms here and you could
prove this one diverges,
then you would be all set.
We're going to start doing
that in the next few videos.

Bulgarian: 
тогава по-големият ред
също трябва да е разходящ.
Отново, ако искаш
да докажеш това,
това тук ще е рязходящо,
повтарям, ако знаеш, че
всички b_n са по-големи
или равни на нула,
и искаш да докажеш, че
това е разходящо,
може би трябва да намериш
друг ред,
всеки съответен член на
който е по-малък от
съответстващия му член тук
и можеш да докажеш, че
е разходящ, тогава имаш резултат.
Ще започнем да прилагаме
това в следващите клипове.
