
Dutch: 
Eigenwaarden spelen een belangrijke rol in lineaire algebra.
Vandaag ga je enkele speciale matrices bekijken en de eigenwaarden die horen bij deze
matrices.
Bekijk eerst de getoonde matrix A.
Deze matrix is ​​de standaardmatrix van de
lineaire transformatie die een vector 30 graden tegen de klok in roteert.
Denk je dat er een reële vector x en een reëel getal lambda zijn zodanig dat A maal x gelijk is aan
lambda keer x?
Als je nadenkt over wat dit betekent, zie je
dat je een vector x zoekt zodanig dat A keer
x een veelvoud van x teruggeeft .
Een veelvoud van x ligt altijd in het span van x maar in ons voorbeeld kan A keer een niet-nulvector
x niet in het span van x liggen, omdat de
hoek tussen x en A maal x is gelijk aan
30 graden.
Dus je hebt geen andere keus dan te concluderen dat A geen reële eigenwaarden en eigenvectoren heeft.

English: 
Eigenvalues play an important role in linear
algebra.
Today you are going to see some special matrices
and the eigenvalues associated with these
matrices.
First consider the shown matrix A.
This matrix is the standard matrix of the
linear transformation that rotates a vector
over 30 degrees counter clockwise.
Do you think there is a real vector x and
a real number lambda such that A times x equals
lambda times x?
If you think about what this means, you see
that you want a vector x such that A times
x gives back a multiple of x.
A multiple of x always lies in the span of
x but in our example A times a nonzero vector
x can’t lie in the span of x because the
angle between x and A times x is equal to
30 degrees.
So you have no option but to conclude that
A has no real eigenvalues and eigenvectors.

English: 
If A does not have any real eigenvalues, does
it maybe have complex eigenvalues and eigenvectors?
Now let us go back to what an eigenvalue of
a matrix A should be.
An eigenvalue of an n-by-n matrix A is a scalar
lambda such that the equation A times x equals
lambda times x has a non-trivial solution.
You can reformulate this to: An eigenvalue
lambda of an n-by-n matrix A is a solution
to the characteristic equation of A.
So if you include all complex solutions of
this equation, A can have complex eigenvalues.
If you go back to the rotation matrix A, the
characteristic equation becomes the equation
shown here.
This equation has exactly two complex solutions,
namely the square root of 3 over 2, plus or
minus i over 2.

Dutch: 
Als A geen reële eigenwaarden heeft, heeft het dan misschien complexe eigenwaarden en eigenvectoren?
Laten we eens teruggaan naar wat een eigenwaarde van een matrix A zou moeten zijn.
Een eigenwaarde van een n-bij-n matrix A is een scalaire waarde lambda zodat de vergelijking A maal x is gelijk aan
lambda maal x een niet-triviale oplossing heeft.
Je kunt dit herformuleren naar: een eigenwaarde lambda van een n-bij-n matrix A is een oplossing
van de karakteristieke vergelijking van A.
Dus als je alle complexe oplossingen van
deze vergelijking meeneemt, kan A complexe eigenwaarden hebben.
Als je teruggaat naar de rotatiematrix A, dan zie je dat de karakteristieke vergelijking de vergelijking is die
hier getoond wordt.
Deze vergelijking heeft precies twee complexe oplossingen, namelijk de wortel van 3/2  +/- i/2.

English: 
So this means A has two complex eigenvalues
lambda_1 and lambda_2.
Do these eigenvalues have corresponding eigenvectors?
The definition of the eigenvalue states that
this should be the case, but can you find
them?
And are they real vectors?
You already have seen that A has no real eigenvectors.
So A must have complex eigenvectors!
At this point we need to define a new set
of vectors, C^n, which are all vectors with
n components, where each component is a complex
number.
The set C^n of complex vectors is an extension
of the set R^n of real vectors.
Each vector z in C^n can be written as x +
i times y where x and y are vectors in R^n.
In C^n we have the same rules and algebraic
properties as in R_n.
Now you are ready to calculate the eigenvectors
for the first eigenvalue lambda_1 of A.

Dutch: 
Dus dit betekent dat A twee complexe eigenwaarden heeft: lambda_1 en lambda_2.
Hebben deze eigenwaarden bijbehorende eigenvectoren?
De definitie van de eigenwaarde geeft dat aan dat dit het geval zou moeten zijn, maar kun je ze ook
vinden?
En zijn het reële vectoren?
Je hebt al gezien dat A geen reële eigenvectoren heeft.
Dus A moet complexe eigenvectoren hebben!
Op dit punt moeten we een nieuwe verzameling vectoren definiëren, C ^ n, die alle vectoren bevat met
n componenten, waarbij elke component een complex getal is.
De verzameling C ^ n van complexe vectoren is een uitbreiding van de verzameling R ^ n van reële vectoren.
Elke vector z in C ^ n kan worden geschreven als x + i*y waarbij x en y vectoren in R ^ n zijn.
In C ^ n hebben we dezelfde regels en algebraïsche eigenschappen als in R_n.
Nu ben je klaar om de eigenvectoren te berekenen voor de eerste eigenwaarde lambda_1 van A.

English: 
First write down the augmented matrix for
the equation A minus lambda _1 times I_n equals
zero.
Because we know that lambda_1 is an eigenvalue,
you must have a column without a pivot in
the reduced echelon form.
So you can safely say that the first and second
row of the augmented matrix represent the
same solution set and we can set the second
row to zero.
Division by i over 2 gives the reduced row
echelon form.
All eigenvectors of A corresponding to lambda_1
must be a nonzero multiple of the complex
vector [ minus i , 1 ].
In a similar way you can calculate that the
eigenspace for lambda_2 are all multiples
of the complex vector [ i , 1 ].
Now let us try to find all, possibly complex,
eigenvalues of the matrix B.
The characteristic equation gives the two
complex eigenvalues lambda_1 and lambda_2.
So again you have found complex eigenvalues.

Dutch: 
Schrijf eerst de aangevulde matrix op voor de vergelijking A - lambda _1*I_n is gelijk aan
nul.
Omdat we weten dat lambda_1 een eigenwaarde is, moet er een kolom zijn zonder een pivot
in de gereduceerde echelonvorm.
Dus je kunt gerust zeggen dat de eerste en de tweede rij van de aangevulde matrix dezelfde
oplossingsverzameling weergeven en we kunnen de tweede rij gelijk stellen aan nul.
Delen door i/2 geeft de gereduceerde rij-echelon vorm.
Alle eigenvectoren van A die horen bij lambda_1 moeten een niet-nul veelvoud van de complexe
vector [-i, 1] zijn. Op een vergelijkbare manier kun je berekenen dat het
eigenruimte voor lambda_2 alle veelvouden van de complexe vector [i, 1] zijn.
Laten we nu proberen alle, mogelijk complexe, eigenwaarden van de matrix B te vinden.
De karakteristieke vergelijking geeft de twee complexe eigenwaarden lambda_1 en lambda_2.
Dus je hebt opnieuw complexe eigenwaarden gevonden.

English: 
To understand what complex eigenvalues represent,
let us repeatedly multiply B with a vector.
Let us start with the blue vector x given
by [1,0].
B times x_0 gives the green vector x_1.
If you multiply B and x_1, you get the orange
vector x_2.
For clarity, we now only draw the heads of
the new vectors.
If we repeat the multiplication by B twenty
more times, you get the shown picture.
You can see this is a spiral going away from
the origin.
Apparently multiplication of a vector by B,
rotates and scales the vector.
Could you have seen this from the shape of
B?
If we compare the length of x_0 and x_1, we
see that x_1 is a factor 21 over 20 longer
than x_0.
The same holds for x_2 compared to x_1.

Dutch: 
Om te begrijpen wat complexe eigenwaarden voorstellen, laten we eens B herhaaldelijk vermenigvuldigen met een vector.
Laten we beginnen met de blauwe vector x gegeven door [1,0].
B maal x_0 geeft de groene vector x_1.
Als je B en x_1 vermenigvuldigt, krijgt je de oranje vector x_2.
Voor de duidelijkheid tekenen we nu alleen de toppen van de nieuwe vectoren.
Als we de vermenigvuldiging met B nog eens twintig keer herhalen, krijg je het getoonde plaatje.
Je kunt zien dat dit een spiraal is die weg beweegt van de oorsprong.
Blijkbaar zorgt vermenigvuldiging van een vector met B ervoor dat de vector roteert en geschaald wordt.
Had je dit kunnen zien aan de vorm van
B?
Als we de lengte van x_0 en x_1 vergelijken, zien we dat x_1 een factor 21/20 langer is
dan x_0.
Hetzelfde geldt voor x_2 vergeleken met x_1.

English: 
So apparently B scales vectors at least with
a factor 21 over 20, which is a linear operation
with the shown matrix S.
You can show that B equals S times R, with
R as shown.
But this matrix is the matrix for rotation
over 30 degrees counter clockwise.
So indeed, B is a composition of a scaling
and a rotation.
Would this conclusion hold in general for
2-by-2 matrices with complex eigenvalues?
Let’s consider another example.
Have a look at this matrix C.
This matrix has eigenvalues 4 over 5, plus
or minus 3 over 5 times i.
If you start again with the vector [1,0] and
repeatedly multiply by C, you see this special
pattern emerging.
The ellipse emerging from repeated multiplication
of a vector by C is similar to a circle.
Could this mean that C is related somehow
to a pure rotation matrix?
As it turns out, this is true.

Dutch: 
B schaalt vectoren dus blijkbaar tenminste met een factor 21/20, wat een lineaire bewerking is
met de getoonde matrix S. Je kunt aantonen dat B gelijk is aan S keer R, met
R zoals getoond.
Maar deze matrix is ​​de matrix voor rotatie
van 30 graden tegen de klok in.
Dus inderdaad, B is een samenstelling van een schaling en een rotatie.
Zou deze conclusie in het algemeen gelden voor 2-bij-2-matrices met complexe eigenwaarden?
Laten we een ander voorbeeld bekijken.
Bekijk deze matrix C.
Deze matrix heeft eigenwaarden 4/5 +/- 3/5 * i.
Als je opnieuw begint met de vector [1,0] en deze herhaaldelijk vermenigvuldigt met C, zie je dit speciale
patroon ontstaan.
De ellips die voortkomt uit het herhaaldelijk vermenigvuldigen van een vector met C is vergelijkbaar met een cirkel.
Zou dit kunnen betekenen dat C op de één of andere manier gerelateerd is aan een pure rotatiematrix?
Het blijkt dat dit waar is.

Dutch: 
Je kunt aantonen dat C gelijksoortig is met een rotatie matrix, waarbij de rotatie in een ander
coördinatenstelsel voorkomt.
In college leer je meer over complexe eigenwaarden en eigenvectoren.
Je zult ook de relatie ontdekken tussen
gelijkvormigheid en coördinaattransformaties.

English: 
You can show that C is similar to a rotation
matrix, where the rotation occurs in a different
coordinate system.
In class you will learn more on complex eigenvalues
and eigenvectors.
You will also discover the relation between
similarity and coordinate transformations.
