
Bulgarian: 
В това видео ще започнем
да говорим за местоположението
на обект, който се движи
в едно измерение.
И за да си свършим работата,
ще въведа няколко термина.
Първият термин е преместване.
Вероятно използваш 
тази дума в ежедневието
и тя буквално означава промяна
на местоположението.
Другото понятие, което
често се бърка с преместването,
е изминатият път.
Може да кажеш, че
това е същото като преместването.
След малко ще видим, че това
не винаги е същото нещо.
Изминатият път, това е
общата дължина на пътя,
Какво имам предвид?
Сега ще използваме
малко математически анализ.

Korean: 
이번 동영상에서는
일차원에서 움직이는 물체의
위치에 대해 생각해 보겠습니다
그리고 이를 위해
몇 가지 새로운
개념을 소개할게요
첫 번째 개념은 변위입니다
첫 번째 개념은 변위입니다
위치의 변화를 의미합니다
위치의 변화를 의미합니다
연관되어 있지만 흔히 변위와
혼용되는 개념이 있는데
연관되어 있지만 흔히 변위와
혼용되는 개념이 있는데
이동한 거리입니다
위치의 변화와
무엇이 다르냐고
생각할 수 있는데
곧 보게 될텐데
항상 같은 것은 아닙니다
 
 
이동한 거리는
이동경로의 총 길이입니다
이게 무슨 말일까요?
이제 약간의
미적분학이 사용됩니다
이제 약간의
미적분학이 사용됩니다

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is start thinking about the position
of an object traveling in one dimension.
And to get our bearings there,
I'm going to introduce a few ideas.
So the first idea is that of displacement.
So you might use that
word in everyday language,
and it literally means
your change in position,
your change in position.
Now a related idea that
sometimes get confused
with displacement is a notion of
distance traveled.
You might say well doesn't that,
isn't that just the same
thing as change in position?
And you will see shortly, no, it isn't
always the same thing.
The distance traveled, this
is the total length of path,
total length
of path.
So what are we talking about?
Well let's say, and
we're going to introduce
a little bit of calculus now,

Korean: 
물체의 속도 함수가 있다고 합시다
시간에 대한 속도 함수가
5 - t와 같다고 해 봅시다
이것은 일차원
속도 함수입니다
가로 방향의 속도를
말해준다고 하죠
가로 방향의 속도를
말해준다고 하죠
보통 일차원의 경우
그것 또한 벡터량이 될 수 있음을
잊는 경우가 있습니다
사실 이 속도는
벡터량입니다
오른쪽으로 움직이면
양수에 해당하고
오른쪽으로 움직이면
양수에 해당하고
왼쪽으로 움직이면
음수라 할 수 있기 때문입니다
따라서 방향이 있습니다
이렇게 벡터량에
화살표를 넣기도 합니다
이렇게 벡터량에
화살표를 넣기도 합니다
이렇게 굵게
표기하기도 하고요
이렇게 굵게
표기하기도 하고요
저는 화살표를 선호합니다
모든 강의에서
그 표기를 사용하지는 않지만요
모든 강의에서
그 표기를 사용하지는 않지만요
이 속도 함수는
어떻게 생겼는지
그려봅시다
제가 이미 그려놓았습니다
여기 볼 수 있듯이
시간은 초단위이고
시간이 0일 때
속도는 m/s입니다

Bulgarian: 
Имаме функция на скоростта
на частицата.
Скоростта е функция
на времето,
равна е на 5 минус t.
Това е функция на скоростта
в едно измерение.
Това ни дава скоростта
в хоризонтална посока.
Често, когато движението
е в едно измерение,
хората забравят, че това
също е векторна величина.
Тази скорост е векторна величина,
защото можем да я разглеждаме
като положителна,
когато се движи надясно,
и е отрицателна, когато
се движи наляво.
Значи тя има посока.
Понякога ще видиш
векторните величини
с малка стрелка над тях,
или в плътен шрифт,
може да е в плътен шрифт ето така.
Аз предпочитам да пиша стрелка,
въпреки, че това не е
всеобщо прието.
Сега да начертаем как
изглежда тази функция на скоростта.
Направих го предварително.
Тук можеш да видиш,
че в момент t = 0, нека
времето да е в секунди.
Скоростта е в метри в секунда.

English: 
let's say that we have a
particle's velocity function.
And so let's say our velocity
as a function of time
is equal to five minus t.
Now this is a one-dimensional
velocity function.
Let's say it's just
telling us our velocity
in the horizontal direction.
And oftentimes when
something's one dimension,
people forget well that too
can be a vector quantity.
In fact this velocity is a vector quantity
because you could think
of it if it's positive
it's moving to the right,
and if it's negative
it's moving to the left.
So it has a direction.
And so sometimes you will see
a vector quantity like this
have a little arrow on it,
or you will see it bolded,
or you will see it bolded like that.
I like to write an arrow in,
although that's not
always the convention used
in different classes.
Now let's plot what this velocity function
actually looks like,
and I did that ahead of time.
So you can see here,
at time equals zero, let's
say time is in seconds,
and our velocity's in meters per second.

Bulgarian: 
Това са метри в секунда,
на тази ос имаме секунди.
В момента t = 0
тялото се движи със скорост
5 метра в секунда.
Можем да кажем надясно, 
т.е. скоростта
е + 5 метра в секунда.
После равномерно се забавя,
така че след 5 секунди,
точно при t = 5 секунди
частицата има скорост нула.
И след това има 
отрицателна скорост,
което означава, че се 
движи наляво.
Да помислим за няколко неща.
Първо да помислим 
за преместването
през първите пет секунди.
През първите пет секунди.
Вече няколко пъти видяхме,
че ако искаме да намерим
промяната на стойността,
можем да изчислим интеграл
от функцията на скоростта на изменение.
Скоростта е скоростта на
преместване,
можем така да си я представим.

Korean: 
여기는 m/s이고
이 축은 초입니다
정확히 시간이 0일 때
물체는 5m/s로
이동하고 있습니다
오른쪽으로 속도가
+5m/s라고 할 수 있습니다
하지만 일정한 변화율로
감속하고 있네요
따라서 5초 후에
정확히 5초에
물체는 속도가 없습니다
그리고는 음의 속도를
가지기 시작하죠
이는 왼쪽으로 움직이는 것으로
생각할 수 있습니다
이는 왼쪽으로 움직이는 것으로
생각할 수 있습니다
몇 가지를 생각해 봅시다
먼저 처음 5초 동안의
변위를 생각해 봅시다
먼저 처음 5초 동안의
변위를 생각해 봅시다
먼저 처음 5초 동안의
변위를 생각해 봅시다
먼저 처음 5초 동안의
변위를 생각해 봅시다
이미 여러 번 보았듯이
양의 변화를 찾을 땐
변화율 함수의
적분을 구하면 됩니다
속도는 변위의
변화율이라고 생각할 수 있습니다
속도는 변위의
변화율이라고 생각할 수 있습니다

English: 
So this is meters per
second right over here,
and this is seconds on this axis.
At exactly time zero,
this object is traveling
at five meters per second.
We can say to the right, it has a velocity
of positive five meters per second.
But then it keeps decelerating
at a constant rate,
so five seconds into it,
right at five seconds,
the particle has no velocity,
and then it starts
having negative velocity,
which you could interpret as
moving to the left.
So let's think about a few things.
First let's think about
what is the displacement
over the first five seconds,
over first
five seconds?
Well we've seen already multiple times,
if you wanna find the change in quantity,
you can take the integral
of the rate function of it.
And so velocity is actually
the rate of displacement
is one way to think about it.

Korean: 
따라서 처음 5초의 변위는
적분을
0에서 5까지
0에서 5까지
속도 함수에 대해
구하면 됩니다
속도 함수에 대해
구하면 됩니다
이렇게요
계산도 빠르게 할 수 있습니다
이건 바로 이 넓이이므로
기하학을 이용해
구할 수 있습니다
5 x 5인 삼각형이니
5 x 5는 25이고
1/2을 곱하면
삼각형의 넓이는
높이와 밑에 1/2을 곱한 것이니까요
그러면 12.5가 나옵니다
m/s에
초(s)를 곱한 것이니
12.5m입니다
이것이 처음 5초 동안의
물체의 위치에 대한
변화량입니다
어디서 시작했던
거기에서 1.25m
오른쪽에 있을 것입니다
양수가 오른쪽이라고
가정하면요
이제 처음
10초 동안엔 어떨까요?
이제 처음
10초 동안엔 어떨까요?
이제 처음
10초 동안엔 어떨까요?
이제 흥미로워집니다

Bulgarian: 
Значи преместването
през първите 5 секунди –
можем да изчислим
интеграла от 0 до 5
от нашата функция на 
скоростта на преместване.
Ето така.
Можем да го изчислим
много бързо.
Това е площта ето тук,
за което можем да
използваме геометрия.
Това е триъгълник пет на пет,
5 по 5 е 25, по 1/2,
спомни си, че лицето на триъгълника
е 1/2 по основата по височината.
Значи това е 12,5.
Това са метри върху секунда,
по секунда, значи 12,5 метра.
Това е промяната на
местоположението
на тази частица през
първите пет секунди.
Където и да е стартирала,
сега тя е на 12,5 метра
надясно от там,
като приемаме, че надясно
е положителната посока.
А колко се премества
през първите 10 секунди?
Това е интересно

English: 
So displacement over
the first five seconds,
we can take the integral
from zero to five,
zero to five,
of our velocity function,
of our velocity function.
Just like that.
And we can even calculate
this really fast.
That would just be this
area right over here,
which we can just use a
little bit of geometry.
This is a five by five triangle,
so five times five is 25, times 1/2,
remember area of a triangle's
1/2 base times height.
So this is going to be 12.5,
and let's see this is going
to be meters per second
times seconds, so 12.5 meters.
So that's the change in position
for that particle over
the first five seconds.
Wherever it started,
it's now going to be 12.5
meters to the right of it,
assuming that positive is to the right.
Now what about over,
over the first
10 seconds?
Now this gets interesting,

English: 
and I encourage you to pause
your video and think about it.
What would be the displacement
over the first 10 seconds?
Well we would just do the same thing,
the integral from zero to 10
of our velocity function,
our one-dimensional velocity function, dt.
And so that would be the area from here
all the way to right over there.
So this entire area.
But you might appreciate,
when you're taking a definite integral,
if we are below the t-axis
and above the function like this,
this is gonna be negative area.
And in fact this area and this area
are going to exactly cancel out,
and you're going to get zero meters.
Now you might be saying how can that be?
After 10 seconds how do we,
what why is our displacement
only zero meters?
This particle's been
moving the entire time.
Well remember what's going on.
The first five seconds,
it's moving to the right,
it's decelerating the whole time,
and then right at five seconds,

Bulgarian: 
и те насърчавам да спреш видеото
и да помислиш върху това.
Какво е преместването
през първите 10 секунди.
Ще направим същото,
интеграл от 0 до 10 от функцията
на скоростта на преместване,
нашата функция на скоростта
в едно измерение, dt.
Това е площта от тук
чак до ето тук.
Цялата тази област.
Но може да се досетиш,
когато изчисляваш 
определения интеграл,
че когато сме под оста t
и над функцията,
това е отрицателна област.
И всъщност тази област тук
ще компенсира напълно тази
и ще получим нула метра.
Тук може да се зачудиш 
как става така?
Как така след 10 секунди
преместването е нула метра?
Частицата се е движила
през цялото време.
Спомни си какво се случи.
Първите пет секунди
тя се движи надясно,
като се забавя през 
цялото време,
а после точно в петата секунда

Korean: 
동영상을 멈추고
생각해 보세요
처음 10초 동안의
변위는 무엇일까요?
방금과 똑같이
0부터 10까지 속도 함수의
적분을 구하면 됩니다
0부터 10까지 속도 함수의
적분을 구하면 됩니다
일차원 속도 함수에 dt입니다
여기부터 여기까지의
넓이입니다
여기부터 여기까지의
넓이입니다
여기 전체의 넓이입니다
좋은 점은
정적분을 구할 때
t축 밑에 있고
함수 의에 있다면
이건 음수 넓이입니다
사실 이 넓이와
이 넓이는
정확히 소거됩니다
그리고 0m를 얻습니다
왜 그렇냐고요?
10초 후에
변위가 왜 0m일까요?
이 물체는
계속 움직였습니다
이 상황을 생각해 보세요
처음 5초는 오른쪽으로 움직이며
계속 감속합니다
그렇게 정확히 5초까지

English: 
it has gone 12.5 meters to the right.
But then it starts, it's velocity
starts becoming negative,
and the particle starts
moving to the left.
And so over the next five seconds,
it actually moves 12.5 meters to the left,
and then these two things net out.
So the particle has gone
over 10 seconds 12.5 meters
to the right and then
12.5 meters to the left,
and so its change in
position is zero meters.
It has not changed.
Now you might start,
you might start to be appreciating
what the difference between displacement
and distance traveled is.
So distance,
if you're talking about
your total length of path,
you don't care as much about direction.
And so instead of thinking about velocity,
what we would do is think about speed.
And speed is,
you could view
in this case, especially in
this one-dimensional case,
this is equal to the
absolute value of velocity.
Later on when we do multiple dimensions,
it would be the magnitude
of the velocity function,

Korean: 
오른쪽으로 12.5m를 갑니다
하지만 속도가
음수가 되기 시작하고
물체가 왼쪽으로
움직이기 시작합니다
그리고 이후 5초 동안
왼쪽으로 12.5m를 갑니다
그리고 이 둘은 소거됩니다
따라서 물체는
10초 동안
오른쪽으로 12.5m
왼쪽으로 12.5m를 갑니다
따라서 위치의 변화는
0m입니다
변하지 않죠
이제
변위와 움직인 거리의
차이가 보이시나요?
변위와 움직인 거리의
차이가 보이시나요?
변위와 움직인 거리의
차이가 보이시나요?
거리는
총 경로의 길이를 말하고
방향이 상관 없을 때입니다
속도를 생각하는 대신
속력을 생각해 봅시다
속력은
이 경우
특이 일차원의 경우에
속도의 절댓값입니다
나중에 여러 차원을 다룰 땐
속도 함수의 크기를
나타내는데

Bulgarian: 
е изминала 12,5 метра
надясно.
Но после скоростта започва
да става отрицателна,
и частицата започва
да се движи наляво.
През следващите пет секунди
частицата се придвижва
12,5 метра наляво,
и тези двете се компенсират.
Частицата е изминала
за 10 секунди 12,5 метра надясно
и после 12,5 метра наляво,
така че промяната на 
местоположението е нула метра.
То не е променено.
Сега може би вече разбираш
каква е разликата между
преместване
и изминат път.
Ако разгледаме общата
дължина на пътя,
тогава не ни интересува
посоката.
Вместо да разглеждаме
скоростта на преместване,
ние разглеждаме скоростта
на движение.
В този случай можем
да разглеждаме скоростта –
особено тук при едномерно движение,
това е равно на абсолютната
стойност на скоростта на преместване.
По-късно, когато разглеждаме
няколко измерения,
това ще бъде големината
на функцията на скоростта на преместване,

Korean: 
일차원에선 절댓값 함수가
그 역할을 합니다
일차원에선 절댓값 함수가
그 역할을 합니다
일차원에선 절댓값 함수가
그 역할을 합니다
그래프를 그리면
어떻게 될까요?
속도 함수의 절댓값은 
이렇게 생겼습니다
속도 함수의 절댓값은 
이렇게 생겼습니다
거리를 원한다면
이동 거리를 원한다면
적절한 시간의 구간에서
이 속력 함수의
적분을 구하면 됩니다
이 그래프 말이죠
이동한 거리를 원한다면
적어 보겠습니다
처음 5초 동안
이동한 거리는
처음 5초 동안
이동한 거리는
처음 5초 동안
이동한 거리는
얼마일까요?
0에서 5까지
속도 함수의 절댓값의
적분입니다
속력 함수라고 생각할 수도 있습니다
dt도 붙여줍니다
이 넓이입니다

English: 
which is what the absolute function,
which is what the absolute
value function does,
in one dimension.
So what would this look
like if we plotted it?
Well the absolute value
of the velocity function
would just look like that.
And so if you want the distance,
you would find, the distance
traveled I should say,
you would find the integral
over the appropriate
change in time of the speed
function right over here,
which we have graphed.
So notice, if we want
the distance traveled,
so I'll just say I'll write it out,
distance traveled
over first five seconds,
first five seconds,
what would it be?
Well it would be the
integral from zero to five
of the absolute value of
our velocity function,
which is you can just view
it as our speed function
right over here, dt.
And so it would be this area,

Bulgarian: 
която е какво прави функцията на 
абсолютна стойност
в едно измерение.
Как ще изглежда това,
като го начертая?
Абсолютната стойност 
на скоростта на преместване
ще изглежда ето така.
Ако търсим изминатия път,
ще получим, че изминатият път...
ще получим интеграл върху 
съответната промяна на времето
за функцията на скоростта ето тук,
което начертахме.
Обърни внимание, че ако
търсим изминатия път,
ще го запиша:
изминатият път
през първите пет секунди,
колко ще бъде той?
Това е интеграл от 0 до 5
от абсолютната стойност на функцията 
на скоростта на преместване
което е един вид функция
на скоростта на движение, dt.
Това ще бъде ето тази площ,

Korean: 
이미 12.5m라고 구했죠
따라서 처음 5초 동안
거리와 변위는 동일합니다
그 이유는
이 경우에
속도 함수가 양수이고
절댓값도 양수이기 때문입니다
하지만 처음 10초를 생각하면
거리는
10초 동안
얼마일까요?
동영상을 멈추고
생각해 보세요
0부터 10까지
속도 함수의 절댓값의
적분입니다
이건 얼마일까요?
이 넓이와
이 넓이를 더한 값입니다
이 넓이를 더한 값입니다
5 · 5 · 1/2 + 5 · 5 · 1/2입니다
5 · 5 · 1/2 + 5 · 5 · 1/2입니다
25가 나옵니다
물체는 오른쪽으로
12.5m로 가고
다시 왼쪽으로
12.5m를 갑니다
변위, 그러니까
위치의 총 변화량은 0이지만

English: 
which we already know to be 12.5 meters.
So for the first five seconds,
your distance and
displacement are consistent.
Well that's because you have in this case
the velocity function is positive,
so the absolute value of it
is still going to be positive.
But if you think about over
the first 10 seconds, your distance,
10 seconds,
what is it going to be?
Pause the video and try to think about it.
Well that's gonna be the
integral from zero to 10
of the absolute value of
our velocity function,
which is going to be equal to what?
It's going to be this area plus this area
right over here.
So plus this area right over here.
And so this is going to
five times five times 1/2
plus five times five times 1/2,
which is going to be 25 meters.
The particle has gone
12.5 meters to the right,
and then it goes back
12.5 meters to the left.
Your displacement, your net
change in position is a zero,

Bulgarian: 
която вече знаем, че е
12,5 метра.
Значи през първите 5 секунди
преместването и изминатият 
път съвпадат.
Това е така, защото в този случай
функцията на скоростта на
преместване е положителна,
а абсолютната ѝ стойност
също е положителна.
Но ако разглеждаме
първите 10 секунди,
изминатият път за 10 секунди
колко ще бъде?
Постави видеото на пауза
и помисли за това.
Това е интеграл от 0 до 10
от абсолютната стойност
на функцията на скоростта на преместване,
което на какво ще бъде равно?
Ще бъде тази площ
плюс тази площ ето тук.
Значи плюс тази площ ето тук.
Значи тук става 5 по 5 по 1/2
плюс 5 по 5 по 1/2,
което общо е 25 метра.
Частицата изминава
12,5 метра надясно,
после се връща 12,5
метра наляво.
Преместването, общата промяна 
на местоположението е 0,

Bulgarian: 
но общата дължина на 
изминатия път е 25 метра.

English: 
but the total length of path traveled
is 25 meters.

Korean: 
총 이동한 경로의
길이는 25m입니다
총 이동한 경로의
길이는 25m입니다
