
Korean: 
입자가 시간 t가 0보다 크거나 같을 때
그 속도 v(t)가
-t^3+6t^2+2t가 되도록
x축을 따라 움직입니다
어떤 t의 값에서
입자의 가속도가 최대일까요?
언제 최대 가속도가 되는지를
알아야 하는군요
주어진 조건을 정리해 봅시다
속도를 시간의 함수로 주었습니다
복습을 해 봅시다
예를 들어 위치가 시간의 함수라면
x(t)로 놓죠
이것을 미분해서
x'(t)로 놓으면
그것이 시간에 대한 위치의 변화율
또는 속도를 시간에 대해 나타낸 것이고
또 속도를 미분하게 되면
시간에 대한 속도의 변화율이
되겠죠
곧 가속도를 시간의 함수로
나타낸 것입니다
속도가 주어졌군요

Thai: 
อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ตามแกน x
ที่เวลา t มากกว่าเท่ากับ 0 ใดๆ
ความเร็วของมันกำหนดโดย v ของ t เท่ากับ
ลบ t กำลังสามบวก 6t กำลังสองบวก 2t
ที่ค่า t ใด อนุภาคจะ
มีความเร่งสูงสุด?
เราอยาหาว่ามันมี
ความเร่งสูงสุดที่ใด
ลองทบทวนสิ่งที่เขาให้เรามากัน
เขาให้ความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลามา
ลองทบทวนกันดู
ถ้าเรามี สมมุติว่าตำแหน่งของเราเป็น
ฟังก์ชันของเวลา
สมมุติว่า x ของ t 
คือตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
แล้วถ้าเราหาอนุพันธ์ของมัน
x ไพรม์ของ t
มันจะเท่ากับอัตรา
การเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
เทียบกับเวลา หรือความเร็วเป็น
ฟังก์ชันของเวลา
และถ้าเราหาอนุพันธ์ของความเร็วเรา
มันจะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว
เทียบกับเวลา
มันจะเท่ากับความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
เขาให้ความเร็วเรามา

Bulgarian: 
Една частица се движи по оста х, така че
във всеки момент от време
 t по-голямо или равно на 0,
скоростта ѝ се определя 
от функцията v(t)
равно на минус t на трета степен, плюс
 6 по t на квадрат, плюс 2 по t.
В кой момент от време t частицата
достига максимално ускорение?
Искаме да намерим кога 
частицата достига
своето максимално ускорение.
Нека да преговорим отново
 какво ни е дадено.
Дадена ни е скоростта като 
функция на времето.
Нека само да си припомним нещо.
Ако позицията ни е определена 
като функция на времето –
нека това да е x от t
като функция на времето –
то ако намерим производната на тази функция, х' от t ,
то това ще бъде равно на скоростта 
на изменение на позицията
спрямо времето или на скоростта 
като функция на времето.
Ако тогава намерим 
производната на скоростта,
тогава тя ще бъде равна на скоростта
 на изменение на скоростта
спрямо времето.
Тоест, този израз ще бъде равен на 
ускорението като функция на времето.
Дадена ни е скоростта.

Czech: 
Hmotná částice
se pohybuje po ose x.
Její rychlost v libovolném čase t větším
nebo rovno 0 je dána funkcí:
v(t) rovná se minus (t na třetí) plus
6 krát (t na druhou) plus 2 krát t.
Pro kterou hodnotu t
dosáhne částice největšího zrychlení?
Chceme zjistit, kdy částice
dosáhne největšího zrychlení.
Projděme si,
co známe.
Známe rychlost částice,
která je zadána jako funkce času.
Připomeňme si, že když máme
polohu danou jako funkci času...
Řekněme, že x(t) je poloha částice
vyjádřená jako funkce času.
Když tohle zderivujeme,
tedy spočítáme ‚x‘ s čárkou v bodě t,
tak to bude rychlost změny
polohy vzhledem k času,
tedy rychlost částice
vyjádřená jako funkce času.
Když zderivujeme
rychlost,
získáme rychlost změny rychlosti
vzhledem k času,
což je zrychlení částice
vyjádřené jako funkce času.

English: 
- [Voiceover] A particle
moves along the x-axis
so that at any time T
greater than or equal to zero
its velocity is given
by V of T is equal to
negative T to the third power
plus six T squared plus two T.
At what value of T does the particle
obtain its maximum acceleration?
So we want to figure
out when does it obtain
its maximum acceleration.
So let's just review what they gave us.
They gave us velocity
as a function of time.
So let's just remind ourselves.
If we have let's say our
position is a function of time,
so let's say X of T is
position as a function of time,
then we if were to take
the derivative of that,
so X prime of T,
well that's going to be the
rate of change of position
with respect to time or the
velocity as a function of time
and if we were to take the
derivative of our velocity,
then that's going to be the
rate of change of velocity
with respect to time.
Well that's going to be
acceleration as a function of time.
So they gave us velocity.

Korean: 
속도에서 가속도를 구할 수 있습니다
다시 그대로 써 보죠
v(t)가
-t^3+6t^2+2t니까
거기서 가속도를
시간의 함수로 구할 수 있고
그 식은 속도 함수를
t에 대해 미분한 것입니다
x^n 미분 공식을 몇 번 쓰면 되죠
먼저 t^3의 지수가 계수로 가니까
-3t^2+
6*2=12니까
12t+2가 되죠
가속도를 시간의 함수로 구했는데
이것이 최대가 되는 게
언제인지 알아야 하죠
가속도 함수를 보니까
이차함수네요
2차 다항식이고
최고차항의 계수가
음수이니까
이차항의 계수가 음수죠

Czech: 
V zadání je rychlost a z rychlosti
už dokážeme určit zrychlení.
Přepíšu si to.
Víme, že v(t) se rovná minus (t na třetí)
plus 6 krát (t na druhou) plus 2 krát t.
Z toho už určíme
zrychlení jako funkci času.
Bude to derivace
rychlosti podle t.
Několikrát použijeme pravidlo pro
derivaci mocniny a vyjde nám...
Toto je na třetí…
Bude to
−3 krát (t na druhou) plus…
2 krát 6 je 12,
tohle krát t na prvou,
a ještě plus 2.
Toto je tedy zrychlení
vyjádřené jako funkce času.
My chceme zjistit,
kdy bude zrychlení největší.
Při pohledu na tuto
funkci udávající zrychlení vidíme,
že je to
kvadratická funkce.
Jejím předpisem je
polynom druhého stupně.
Vidíme, že u členu nejvyššího
stupně je záporný koeficient,
tedy u členu
druhého stupně.

Thai: 
จากความเร็ว เราหาความเร่งได้
ขอผมเขียนมันใหม่นะ
เรารู้ว่า v ของ t เท่ากับ
ลบ t ยกกำลังสามบวก 6t กำลังสองบวก 2t
แล้วจากนั้น เราหา
ความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลาได้
ซึ่งจะเท่ากับอนุพันธ์
เทียบกับ t ของความเร็ว
แค่ใช้กฎยกกำลังหลายๆ ที
มันจะเท่ากับ นี่คือยกกำลังสาม ตรงนี้
ลบ 3t กำลังสอง
บวก 2 คูณ 6 ได้ 12
t ยกกำลังหนึ่งบวก 2
นั่นคือความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
และเราอยากหาว่าเราได้
ความเร่งสูงสุดเมื่อใด
และเมื่อตรวจดูฟังก์ชันความเร่งนี่ตรงนี้
เราเห็นว่ามันเป็นสมการกำลังสอง
มันมีพหุนามดีกรีสอง
และเรามีสัมประสิทธิ์เป็นลบ
หน้าเทอมดีกรีสูงสุด
หน้าเทอมดีกรีสอง

English: 
So from velocity, we can
figure out acceleration.
So let me just rewrite that.
So we know that V of T is equal to
negative T to the third power
plus six T squared plus two T
and so from that we can figure out
the acceleration as a function of time,
which is just going to be the derivative
with respect to T of the velocity.
So just use the power rule a bunch.
So that's going to be, this
is a third power right there.
So negative three T squared
plus two times six is twelve
T to the first plus two.
So that's our acceleration
as a function of time
and we want to figure out when we obtain
our maximum acceleration
and just inspecting this
acceleration function here,
we see it's a quadratic,
it has a second degree polynomial
and we have a negative coefficient
out in front of the highest degree term,
in front of the second degree term.

Bulgarian: 
Тогава от скоростта може 
да намерим ускорението.
Нека да запиша отново 
дадения израз.
Знаем, че v от t е равно
на минус t на трета степен, плюс 6 по
t на квадрат, плюс 2 по t.
Оттук може да намерим
ускорението като функция на времето,
което ще бъде равно на производната
на скоростта спрямо t.
Просто ще приложим правилото за намиране 
производна на степен няколко пъти.
Ето тук имаме трета степен, така че
се получава минус 3 по t на квадрат,
плюс... 2 по 6 е равно на 12...
по t на първа степен, плюс 2.
Този израз е ускорението
като функция на времето.
Искаме да намерим кога ускорението
има максимална стойност.
Като разглеждаме функцията 
на ускорението,
виждаме, че е квадратно уравнение.
Представлява полином от втора степен
с отрицателен коефициент
пред члена с най-висока степен,
т.е. пред члена на втора степен.

Thai: 
มันจะเป็นพาราโบลาคว่ำ
มันจะคว่ำ
ขอผมวาดด้วยสีเดิมนะ
มันจะมีรูปร่างทั่วไปอย่างนั้น
มันจะมี
มันจะมีค่าสูงสุดแน่นอน
แต่เราจะหาค่านั้นได้อย่างไร?
ค่าสูงสุดจะเกิดขึ้น
เมื่อค่าความเร่ง
เมื่อความชันเส้นสัมผัสของมันเท่ากับ
เมื่อความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ 0
และเราทดสอบได้ว่ามันเว้าลง
ที่จุดนั้นโดยการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
โดยแสดงว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบตรงนี้
ลองทำดู ลองดูอนุพันธ์
อันดับหนึ่งและสอง ของฟังก์ชันความเร่ง
ผมจะเปลี่ยนสีนะ
อันนั้นดูยากไปหน่อย
อนุพันธ์อันดับหนึ่ง 
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง
จะเท่ากับ
นี่คือลบ 6t บวก 12

English: 
So it is going to be a
downward opening parabola.
So it is going to be a downward opening,
let me draw it in the same color,
so it is going to have that general shape
and so it will indeed take on,
it will indeed take on a maximum value.
But how do we figure
out that maximum value?
Well that maximum value's going to happen
when the acceleration value,
when the slope of its
tangent line is equal to,
when the slope of its
tangent line is equal to zero
and we could also verify
that it is concave downwards
at that point using the
second derivative test
by showing that the second
derivative is negative there.
So let's do that, let's look at the first
and second derivatives of
our acceleration function.
So and I'll switch colors.
That one's actually a
little bit hard to see.
So the first derivative, the
rate of change of acceleration
is going to be equal to,
so this is negative six T plus 12.

Czech: 
Grafem tak bude
parabola otevřená dolů.
Nakreslím to
stejnou barvou.
Graf bude vypadat
nějak takhle.
Zrychlení tedy skutečně nabude
nějakou maximální hodnotu.
Jak tuto maximální
hodnotu najdeme?
Maximální hodnotu nabudeme,
když hodnota zrychlení…
Když bude směrnice
tečny rovna nule.
Také bychom mohli ověřit,
že funkce je v tomto bodě konkávní,
a to pomocí
druhé derivace.
Stačí ukázat, že druhá derivace
je v tomto bodě záporná.
Tak to udělejme.
Podívejme se na první a druhou derivaci
naší funkce udávající zrychlení.
Takže…
Změním barvu, protože tahle
jde trochu špatně vidět.
První derivace,
tedy rychlost změny zrychlení,
bude rovna
−6 krát t plus 12.

Bulgarian: 
Тогава графиката ще е 
отворена отдолу парабола.
Ще се получи парабола, 
която се отваря отдолу.
Нека да я начертая със същия цвят.
Графиката притежава ето тази
основна форма
и действително ще достига
до максимална стойност.
Как обаче ще намерим
максималната стойност?
Максималната стойност ще се получи,
когато стойността на ускорението...
или когато наклонът на допирателната
е равен на 0.
Може дори да проверим,
че графиката е вдлъбната
в тази точка, като използваме правилото на втората производна.
Тоест, като покажем, че втората производна
е отрицателна в тази точка.
Нека да го направим. Нека
да разгледаме първата
и втората производни
на функцията на ускорението.
Ще сменя цветовете.
Това е такъв, който действително
е трудно да се види.
Първата производна, т.е. скоростта
на изменение на ускорението,
ще бъде равна на следното.
Получава се –6 по t плюс 12.

Korean: 
아래쪽으로 뻗는 포물선이 될 겁니다
아래쪽으로 벌어지는 포물선이요
같은 색으로 그리면
모양이 대강 이렇게 되고
실제로 최댓값을
가지는군요
그 최댓값은 어떻게 찾을까요?
최대가 될 때는
가속도 값이, 아니
가속도의 접선의 기울기가
0이 될 때이고
이계도함수 판별법을 통해
거기서 부호가 음수임을 보여서
아래로 오목이라는 것을 확인할 수 있습니다
한번 해 보죠, 먼저
가속도 함수의 
이계도함수를 구해야 합니다
색을 바꿔서
이 색은 좀 희미하군요
가속도의 변화율인 도함수가
어떻게 되나면
-6t+12이군요

Czech: 
Teď se zamysleme,
kdy se tohle rovná nule.
Když od obou stran odečteme 12,
dostaneme, že −6 krát t se rovná −12.
Po vydělení obou stran −6
nám vyjde, že t se rovná 2.
Takže pár věcí.
Mohli bychom říct, že víme,
že grafem je dolů otevřená parabola,
protože máme záporný koeficient
u členu druhého stupně.
Dále víme, že směrnice tečny je nula,
pro případ kdy je t rovno 2,
takže to bude
bod maxima.
Nebo bychom mohli jít dál 
a spočítat druhou derivaci.
Tak to udělejme,
jen tak pro zábavu.
Spočítejme druhou derivaci
naší funkce udávající zrychlení.
Bude se to
rovnat −6.
Derivace −6 krát t je −6
a derivace konstanty je 0.
Druhá derivace
je tudíž vždy záporná,

Bulgarian: 
Нека сега да видим кога този израз
ще бъде равен на 0.
Ако извадим 12 от двете страни,
то ще получим, че минус 6 по t
е равно на –12.
Разделяме двете страни на –6
и получаваме, че t e равно на 2.
Няколко неща.
Може да си помислиш: "Добре,
знам, че това е парабола, която 
е отворена отдолу ето тук.
Коефициентът пред члена
с втора степен е равен на 0.
Знам, че наклонът на допирателната
е равен на 0 в точката t = 2.
Следователно това ще бъде точка,
в която функцията достига максимум.
Може да продължиш дори
още по-напред.
Може да намериш
втората производна.
Нека да го направим просто
за наше удовлетворение.
Може да намерим втората производна
на функцията за ускорение.
a'' от t ще бъде равно на –6.
Производната на –6 по t
е равна на –6,
защото производната
на константа е равна на 0.
А това число, т.е. втората производна,
винаги е отрицателна.

Korean: 
언제 이 값이 0이 되나요?
양변에 12를 빼면
-6t=-12가 되고
양변을 -6으로 나누니
t=2이군요
다양하게 설명이 가능합니다
여기 보니까
이차항의 계수가 음수라서
이 포물선은
아래로 벌어지는 걸 아는데
접선의 기울기가 t=2에서
0이니까
이건 최댓값이야
라고 말할 수도 있고
더 자세하게 이계도함수를 구해서
초보자를 위해
가속도함수의 이계도함수를
구하면
-6이 되니까
-6t의 도함수는 -6이고
상수의 도함수는 0이기 때문에
이계도함수가 항상 음수이게 돼
항상 아래로 오목이니까

English: 
Now let's think about when
does this thing equal zero?
Well if we subtract 12 from both sides,
we get negative six T
is equal to negative 12,
divide both sides by negative six,
you get T is equal to two.
So a couple of things.
You could just say alright look,
I know that this is a downward opening
parabola right over here.
I have a negative coefficient
on my second degree term.
I know that the slope
of the tangent line here
is zero at T equals two.
So that's gonna be my maximum point.
Or you could go a little bit further.
You could take the second derivative.
Let's do that just for kicks.
So we could take the second derivative
of our acceleration function.
So this is going to be equal
to negative six, right.
The derivative of
-6t is -6
the derivative constant is just zero.
So this thing, the second
derivative is always negative.
So we are always, always concave downward

Thai: 
ทีนี้ ลองคิดดูว่าอันนี้เท่ากับ 0 เมื่อใด?
ถ้าเราลบ 12 จากทั้งสองด้าน
เราจะได้ลบ 6t เท่ากับลบ 12
หารทั้งสองข้างด้วยลบ 6
คุณจะได้ t เท่ากับ 2
มีวิธีทำต่อสองวิธี
คุณอาจบอกได้ว่า ดูนะ
ฉันรู้ว่านี่คือพาราโบลา
คว่ำตรงนี้
ฉันมีสัมประสิทธิ์เป็นลบหน้าเทอมดีกรีสอง
ฉันรู้ความชันของเส้นสัมผัสตรงนี้
เท่ากับ 0 ที่ t เท่ากับ 2
นั่นจะเป็นจุดสูงสุดของฉัน
หรือคุณทำมากกว่านั้นก็ได้
คุณหาอนุพันธ์อันดับสองก็ได้
ลองทำต่อไป
เราหาอนุพันธ์อันดับสอง
ของฟังก์ชันความเร่ง
อันนี้จะเท่ากับลบ 6 ใช่
อนุพันธ์ของลบ 60 คือลบ 6
อนุพันธ์ของค่าคงที่ก็แค่ 0
อันนี้ อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบเสมอ
เราได้เว้าลงเสมอ

English: 
and so by the second derivative
test at T equals two,
well at T equals two our second derivative
of our acceleration function's
going to be negative
and so we know that this
is our maximum value.
Our max at T is equal to two.
So at what value of T does the particle
obtain its maximum acceleration?
At T is equal to two.

Thai: 
และด้วยการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
ที่ t เท่ากับ 2
ที่ t เท่ากับ 2 อนุพันธ์อันดับสองของเรา
ของฟังก์ชันความเร่งจะเท่ากับลบ
เรารู้ว่านี่คือค่าสูงสุดของเรา
ค่าสูงสุดอยู่ที่ t เท่ากับ 2
อนุภาคมีความเร่ง
สูงสุดที่ค่า t ใด?
ที่ t เท่ากับ 2

Czech: 
což znamená,
že funkce je všude konkávní.
Když nyní použijeme test pomocí
druhé derivace v bodě t rovno 2,
tak v bodě t rovno 2 je druhá derivace
funkce udávající zrychlení záporná,
z čehož víme, že toto je
hledaná maximální hodnota,
přesněji že maximum
nastává pro t rovno 2.
Pro kterou hodnotu t tedy
částice dosáhne největšího zrychlení?
Pro t rovno 2.

Korean: 
t=2에서 이계도함수 판별법을 쓰면
t=2에서 가속도함수의 이계도함수가
음수이니까
이게 최댓값이라는 게 확실하죠
t=2에서 최대가 됩니다
그래서 이 입자가 가속도가 최대가
될 때는 언제라고요?
t=2일 때입니다

Bulgarian: 
Следователно графиката
винаги е вдлъбната.
От правилото на втората производна
в точката t = 2...
всъщност в точката t = 2
втората производна
на ускорението ще бъде отрицателна.
Следователно разбираме, че в тази
точка функцията достига максимум.
Максималната стойност на функцията
се намира в точката t = 2.
И така, за коя стойност на t частицата
достига своето максимално ускорение?
В момент от време t = 2.
