
iw: 
מה שאני רוצה לעשות בסרטון זה
זה כמה דוגמאות שבוחנות את האינטואיציה  שלנו
בנוגע לנגזרת כמידת השינוי
או התלילות של עקום
או השיפוע של עקום
או השיפוע של משיק לעקום
כתלות באיך שאתם רוצים לחשוב על זה.
אז זה אומר F תג של 5
אז הסימון הזה, תג
זה עוד דרך להגיד, מה הנגזרת
בואו נבדוק מה הנגזרת של הפונקציה שלנו ב5.
וכשאנו אומרים F תג של 5 זה השיפוע
שיפוע של המשיק
המשיק ב5
או שתוכלו להסתכל על זה כ
תוכלו להסתכל על זה כקצב השינוי
של Y בהתאם לX
שזה למעשה איך שאנחנו מודדים שיפוע

English: 
- [Voiceover] What I
wanna do in this video
is a few examples that test our intuition
of the derivative as a rate of change
or the steepness of a curve
or the slope of a curve
or the slope of a tangent line of a curve
depending on how you actually
want to think about it.
So here it says F prime of five
so this notation, prime
this is another way of saying
well what's the derivative
let's estimate the derivative
of our function at five.
And when we say F prime
of five this is the slope
slope of tangent line
tangent line at five
or you could view it as the
you could view it as the rate of change
of Y with respect to X
which is really how we define slope

Bulgarian: 
В това видео искам
да разгледаме няколко примера,
за да проверим разбирането ни 
за производната като скорост на изменение
или стръмност на крива
или наклона на крива,
или наклон на допирателна
към крива,
в зависимост от това как точно
искаш да мислиш за нея.
Тук имаме f прим от 5, f'(5).
Това записване с прим
е друг начин да се каже, че 
се търси производната.
Нека пресметнем производната
на нашата функция за x = 5.
И когато кажем f прим от 5, f'(5), 
това е наклонът,
наклонът на допирателната в x = 5,
или може да си го представиш като...
може да си го представиш като
скоростта на изменение
на y по отношение на x,
което е точно нашата
дефиниция за наклон,

Korean: 
이번 수업에서는
 
미분계수가 순간변화율
또는 곡선의 가파름
또는 곡선의 기울기
또는 접선의 기울기가
될 것이라는 직관에 대해 맞는지
알아보겠습니다
여기 f'(5)라고 쓰여 있는데
여기서 '(프라임)은
x=5일때의 f(x)의
미분계수를 예측해 보자라는
말과 같습니다
x=5에서의 미분계수는
x=5에서의 
접선의 기울기
또는
x에 따른 
y의 변화율이라고
생각할 수 있는데
이것은 곧
우리가 x에 대한 
함수 f의

Czech: 
V tomto videu bych na pár příkladech rád
vyzkoušel naši intuici ohledně derivace,
ať už na ni nahlížíme jako na rychlost
změny funkční hodnoty, strmost křivky,
sklon křivky nebo
směrnici tečny ke křivce.
V zadání máme první
derivaci v bodě 5.
Tohle značení, tato čárka,
je jen způsob jak říci:
„Čemu se rovná derivace? Odhadněme
hodnotu derivace funkce f v bodě 5.“
Když říkáme první
derivace funkce f v bodě 5,
tak jde o směrnici
tečny v bodě 5,
nebo na to lze nahlížet jako na rychlost
změny hodnoty y vzhledem k x,

Bulgarian: 
по отношение на x на нашата функция f.
Нека помислим малко за това.
Виждаме, че е зададена точката
(5; f(5)), ето тук,
и ако искаме да пресметнем
наклона на допирателната,
да пресметнем колко е стръмна
тази крива,
може да начертаем права,
която да е допирателна в тази точка.
Нека видим дали ще мога
да се справя с това.
Ако начертая права, започваща от тук,
и искам тя да е допирателна,
мисля че трябва да бъде нещо такова.
Точно в тази точка разглеждаме 
стръмността на кривата,
а това, което го прави интересно
и нелинейно,
е че стръмността се изменя
постоянно.
Тук тя е по-ниска, а насам става
все по-стръмна
и по-стръмна, придвижвайки се надясно,
за по-големи и по-големи стойности на x.
Но ако погледнем във въпросната точка,
когато x = 5, спомни си f'(5),
ако трябваше да я пресметнеш,
резултатът би бил този наклон
на правата тук.
А наклонът на тази права показва, че

English: 
respect to X of our function F.
So let's think about that a little bit.
We see they put the point
the point five comma F
of five right over here
and so if we want to estimate
the slope of the tangent line
if we want to estimate the
steepness of this curve
we could try to draw a line
that is tangent right at that point.
So let me see if I can do that.
So if I were to draw a line starting there
if I just wanted to make a tangent
it looks like it would
do something like that.
Right at that point that looks to be
about how steep that curve is
now what makes this an
interesting thing in non-linear
is that it's constantly changing
the steepness it's very low
here and it gets steeper
and steeper and steeper
as we move to the right
for larger and larger X values.
But if we look at the point in question
when X is equal to five
remember F prime of five
would be if you were estimating it
this would be the slope of this line here.
And the slope of this line it looks like

Korean: 
기울기를 정의하는 
방법입니다
그럼 생각을 해 봅시다
점 (5,f(5))가
여기 있네요
접선의 기울기를 
구하려면
이 곡선의 가파른 
정도를 예상하려면
이 점과 접한
선을 하나 
그어 보면 좋겠지요.
그럼 해 봅시다
여기서 시작하는
접선을 그리려면
이렇게 될 겁니다
바로 이 점이
곡선의 가파른 
정도를 나타냅니다
자, 비선형그래프에서 
흥미로운 점은
항상 기울기가 
변한다는 것이죠
여기서는 아주 완만하고
오른쪽으로 이동할수록
 x값이 커질수록
점점 더 가팔라집니다
그런데 문제의 
점을 봅시다.
x=5에서 f'(x)는
이 접선의 기울기를
구하는 것과 같습니다
그리고 이 선에서는

iw: 
בהתאם לX של הפונקציה F.
אז בואו נחשוב על זה טיפה.
אנחנו רואים שהם שמו נקודה
הנקודה 5 פסיק F של 5 כאן
ואם אנחנו רוצים להעריך את השיפוע שח המשיק
אם אנחנו רוצים להעריך את תלילות העקום
אנחנו יכולים לצייר קו
שמשיק בנקודה הזו.
אז תנו לי לראות אם אני יכול לעשות זאת.
אז אם הייתי צריך לצייר קו המתחיל כאן
אם רק הייתי רוצה לצייר משיק
נראה שהוא יעשה משהו כזה.
בנקודה הזו נראה שזה
כמה תלול העקום.
עכשיו מה שעושה את זה מעניין בלא לינאריים
הוא שזה כל הזמן משתנה
התלילות מאוד נמוכה כאן וזה נהיה יותר תלול
ויותר תלול ויותר תלול כשאנו זזים ימינה
כשערכי X גדלים.
אבל אנחנו מדברים על הנקודה בשאלה
כשX שווה ל5 תזכרו F תג של 5
תהיה אם הייתם מעריכים
תיהיה השיפוע של הקו הזה כאן.
והשיפוע של הקו נראה

Czech: 
přičemž přesně takhle definujeme
směrnici vzhledem k x funkce f.
Tak se nad tím zamysleme.
Vidíme, že zde je
vyznačen bod [5;f(5)].
Chceme-li tedy odhadnout směrnici
tečny, neboli strmost této křivky,
můžeme zkusit nakreslit přímku,
která bude v tomto bodě tečnou.
Tak já to zkusím.
Přímka, která má v tomto bodě být tečnou,
by mohla vypadat nějak takto.
Vypadá to, že dobře odpovídá
tomu, jak je v tomto bodě křivka strmá.
Zajímavé je na tom to,
že strmost se neustále mění.
V tomto bodě je strmost malá,
ale pak je čím dál větší,
když jdeme směrem doprava, tedy
když máme větší a větší hodnoty x.
Pokud se nyní podíváme na bod
ze zadání, bod x rovná se 5,
tak odhadem první derivace funkce f
v bodě 5 by byla směrnice této přímky.

Korean: 
x방향으로 한 칸씩 
갈때마다
y방향으로 두 칸씩 
가기에
x값의 변화량이 1일때
y값의 변화량은 2입니다
즉 x에 대한
y의 변화량은
적어도 이 
접선에서는
이 점에서의
 x에 대한 y의
변화율과 같고
2/1=2가 되겠네요
나머지 선택지는 다 
틀렸습니다
미분계수가 -2이면
x가 증가할수록
y가 감소한다는 것이겠지요
그래서 접선이
이렇게 생겼을 때
기울기는 -2가
될 것입니다
기울기가
0.1이면
여기 밑에서
아주 완만한 접선만이
기울기가 0.1이
되겠지요
-0.1의 기울기는
이쪽에서
아주 살짝 기울어진 
접선입니다

iw: 
שכל פעם שנזוז אחד בכיוון X
אנחנו זזים שניים בכיוון Y.
דלתא Y שווה ל 2 כשדלתא X שווה ל-1.
אז השינוי שלנו בY
כתלול בX
לפחות לקו המשיק כאן
שיסמל את השינוי שלנו בY
כתלול בX בנקודה
יהיה שווה ל2 חלקי 1, או 2.
וזה כמעט הערה, אבל כל אלה ממש רחוקים.
שיהיה לנו נגזרת מינוס 2
אומר שככל שנגדיל את X הY שלנו יקטן.
אז אם העקום נראה משהו כזה
יהיה לנו שיפוע של מינוס 2.
אם יהיה לנו שיפועים כמו
פלוס נקודה אחד
זה יהיה משהו מאוד שטוח משהו כאן למטה
אולי יהיה לנו שיפוע קרוב לנקודה אחד.
מינוס נקודה אחד שאולי יהיה קרוב יותר בצד הזה
עכשיו יהיה לנו שיפוע אבל קרוב יותר לשטוח.

Bulgarian: 
с всяка стъпка по посока на
увеличаване на x,
графиката се предвижва с две стъпки
по посока на увеличаване на y.
Тогава делта y е равно на 2, 
когато делта x е равно на 1.
Така че нашето изменение на y
по отношение на x,
поне за тази допирателна тук,
която представлява промяната в y
по отношение на x точно в тази точка,
ще бъде равна на 2 върху 1,
или направо 2.
Казват ни да го определим
приблизително,
но останалите възможности
няма как да бъдат верни.
Да имаме –2 като резултат за
производната
означава, че когато x се увеличава,
y намалява.
Ако нашата крива изглежда така,
ще имаме наклон от –2.
Ако имаме наклон
от плюс 0,1,
тогава кривата ще бъде почти плоска, 
някъде тук долу
може да имаме наклон близък до 0,1.
Минус 0,1 също ще бъде някъде там, 
но от другата страна,
тук има наклон, но кривата в тази
област е почти плоска.
Наклон със стойност 0 
би се намирал на дъното,

English: 
for every time we move
one in the X direction
we're moving two in the Y direction.
Delta Y is equal to two when
delta X is equal to one.
So our change in Y
with respect to X
at least for this tangent line here
which would represent our change in Y
with respect to X right at that point
is going to be equal to
two over one, or two.
And it's almost estimated,
but all of these are way off.
Having a negative two derivative
would mean that as we increase
our X our Y is decreasing.
So if our curve looks something like this
we would have a slope of negative two.
If having slopes in this
a positive of point one
that would be very flat
something down here
we might have a slope closer to point one.
Negative point one that
might be closer on this side
now we're sloping but very close to flat.

Czech: 
Vypadá to, že kdykoliv se na přímce
posuneme o 1 ve směru osy x,
tak se posuneme o 2
ve směru osy y.
Změna y se tedy rovná 2
a změna x je rovna 1.
Takže změna y vzhledem
k x pro naši tečnu,
která představuje změnu
y vzhledem k x v tomto bodě,
se rovná 2 děleno 1, a to je 2.
Je to sice jen náš odhad, ale všechny
ostatní možnosti jsou podstatně jiné.
Derivace rovná -2 by znamenala,
že když x roste, y klesá.
Kdyby naše křivka vypadala
nějak takto, měla by sklon rovný -2.
Kdyby měla křivka sklon 0,1,
tak by byla velmi rovná.
Někde tady dole by naše
křivka mohla mít sklon blízko 0,1.
Sklon -0,1 by mohl
být na této straně,
křivka sice směřuje dolů,
ale je téměř rovná.

Czech: 
Sklon rovný 0 je úplně dole, protože právě
v tuto chvíli y neroste ani neklesá.
Směrnice tečny v tomto
dolním bodě je rovna 0.
Naše odpověď
tedy vypadá dobře.
Udělejme si ještě
jeden příklad.
Máme porovnat derivaci funkce g v bodě 4 a
v bodě 6 a říci, která z nich je větší.
Jako vždy si zastavte video
a zkuste na to přijít sami.
Když si uděláme přímku,
která ukazuje sklon této křivky,
můžeme se na ni
dívat jako na tečnu…

English: 
A slope of zero, that would be
right over here at the bottom
where right at that moment as we change X
Y is not increasing or decreasing
the slope of the tangent line
right at that bottom point
would have a slope of zero.
So I feel really good about that response.
Let's do one more of these.
So alright, so they're
telling us to compare
the derivative of G at four
to the derivative of G at six
and which of these is greater
and like always, pause the video
and see if you can figure this out.
Well this is just an exercise
let's see if we were to
if we were to make a line
that indicates the slope there
you can do this as a tangent line
let me try to do that.
So now that wouldn't,
that doesn't do a good job
so right over here at
that looks like a
I think I can do a better job than that
no that's too shallow to see
not shallow's not the
word, that's too flat.
So let me try to really

Bulgarian: 
където при изменение на x,
y нито се увеличава, нито намалява,
наклонът на допирателната 
точно в тази точка на дъното
би имал стойност нула.
Приемам този отговор като
достатъчно добър.
Нека направим още едно
подобно упражнение.
Тук имаме да сравним
стойностите на производната на
функцията g за стойностите 4 и 6
и да определим коя от двете е по-голяма.
Както винаги, първо спри видето
и се опитай да намериш
решението самостоятелно.
Това е просто упражнение,
да видим дали ако...
да видим дали ако прокараме права, 
която определя наклона тук...
Може да го направиш и с допирателна,
нека пробвам.
Тази не става, не върши работа...
точно тук над...
... тази изглежда...
... мисля, че мога да се справя по-добре от това...
... тази е прекалено повърхностна, за да се види,
не, повърхностна не е точната дума, 
твърде плоска.
Нека се опитам наистина...

Korean: 
기울기가 0이라면
최하단에
x값이 변화해도
y값은 증가하지도 않고
감소하지도 않는
꼭짓점의 접선의
기울기가
0이 되겠네요
그래서 제 답에
확신이 갑니다
이런 유형의 문제를 
하나 더 풀어봅시다
자, 이 문제는
x=4에서의 미분계수와 
x=6에서의 미분계수 중
어느 것이 더 큰지
비교하는 문제입니다
동영상을 잠깐
멈추고
이 문제를 스스로
풀어보세요
풀어보죠
자, 이 점에서의
기울기를 나타내는
 접선을
기울기를 나타내는
접선을
이렇게 
그어보겠습니다
흠, 별로 잘
못그렸네요.
그래서 여기에 
다시 하겠습니다
 
좀 더 잘 그릴 수
 있을것 같습니다
너무 옅어요
잘못 그렸군요
다시 한번
잘 그려보겠습니다

iw: 
שיפוע של 0, זה יהיה כאן למטה
איפה שברגע זה כשמשנים X
ה-Y אינו גדל או קטן
השיפוע של המשיק בנקודה התחתונה
יהיה לו שיפוע של 0.
אז אני מרגיש מאוד טוב לגבי התשובה.
בואו נעשה עוד אחד כזה.
בסדר, אז הם אומרים לנו להשוות
את הנגזרת של G ב-4 לנגזרת של G ב-6
ואיזה מהם גדול יותר
וכמו תמיד, נעצור את הסרטון
ונראה אם תצליחו לפתור.
ובכן זה רק תרגיל
בואו נראה אם אנחנו
אם אנחנו נצייר קו שמעיד על השיפוע שם
אתם יכולים לעשות את זה כקו משיק
תנו לי לנסות לעשות את זה.
אז עכשיו זה לא יהיה, זה לא יעשה עבודה טובה
אז כאן
זה נראה כמו
אני חושב שאני יכול לעשות עבודה יותר טובה מזו
לא זה רדוד מדי לראות
לא רדוד זו לא המילה, זה שטוח מדי.
אז תנו לי לנסות באמת

Bulgarian: 
... добре, тази вече изглежда доста добре.
Така, тази права, която току-що начертах,
изглежда определя
скоростта на изменение на y
по отношение на изменението на x,
или иначе казано – наклона на кривата
или тази права, която може
да разглеждаш като допирателна.
Може да мислим за наклонът ѝ
и след това, ако продължим
още надолу, насам,
например в тази точка, изглежда, че
става все по-стръмна, но в отрицателна посока.
Определено изглежда по-стръмна,
но в отрицателна посока.
С увеличаването, мисли го по този начин,
с увеличаването на x с 1 тук
изглежда, че намаляваме y
с около единица.
Изглежда, че g'(4),
g'(4), производната на g при x равно на 4,
е приблизително, оценявам я на –1.
Докато производната на g, 
когато увеличим x...

Korean: 
꽤 괜찮은 것 같아요
제가 방금 그린 저 선은
x에 대한 y값의
변화율
즉, 곡선의 기울기
또는 접선의 기울기를
나타내는 듯 합니다
접선의 기울기를
잠깐 살펴보고
밑의 점으로
넘어갑시다
여기 이건
 
분명 가파르지만
음의 기울기를
가지고 있네요
이렇게 생각해 보세요
x값이 1만큼 커질수록
y는 1정도 
작아지는듯 하네요
그래서 x=4일때
g의 미분계수는
대략
-1이고
여기 이쪽에서는

iw: 
בסדר, זה נראה די טוב.
אז הקו הזה שציירתי עכשיו
נראה שהוא מעיד על
קצב השינוי של Y כתלות בX
השיפוע של העקום
או שהקו הזה אתם יכולים לראות אותו גם כמשיק
אז נוכל לחשוב על מה השיפוע שלו יהיה
ואז אם נרד עוד למטה לכאן
זה כאן, נראה כאילו
הוא תלול יותר אבל בכיוון השלילי
אז נראה שהוא תלול יותר זה בטוח
אבל הוא בכיוון השלילי.
כשאנחנו מגדילים, תחשבו על זה כך
כשאנחנו מגדילים את X אחד לכאן
זה נראה שאנחנו מקטינים את Y בערך ב1.
אז נראה שG תג של 4.
ג'י של 4, הנגזרת כשX שווה ל4
היא בערך, אני מעריך אותה
במינוס 1.
כשהנגזרת כאן כשאנו מגדילים את X

English: 
okay, that looks pretty good.
So that line that I just drew
seems to be indicative of
the rate of change of Y with respect to X
or the slope of that curve
or that line you can
view it as a tangent line
so we could think about what
its slope is going to be
and then if we go further down over here
this one is, it looks like it is
steeper but in the negative direction
so it looks like it is steeper for sure
but it's in the negative direction.
As we increase, think of it this way
as we increase X one here
it looks like we are
decreasing Y by about one.
So it looks like G prime of four
G prime of four, the derivative
when X is equal to four
is approximately, I'm estimating it
negative one
while the derivative
here when we increase X

Czech: 
…
Přímka, kterou jsem právě
nakreslil, docela dobře ukazuje,
jaká je rychlost změny hodnoty y vzhledem
k x, neboli jaký je sklon této křivky.
Také lze na tuto přímku nahlížet jako na
tečnu a ptát se, jaká je její směrnice.
Když se nyní přesuneme
sem dolů, tak to vypadá,
že křivka je strmější,
a to v záporném směru.
Křivka je zde určitě strmější,
ale v záporném směru.
Když zde x zvětšíme o 1,
y se zhruba o 1 zmenší.
Vypadá to tedy, že derivace g v bodě 4,
tedy derivace pro x rovno 4,
je přibližně rovna -1,

Korean: 
x값을
1만큼 증가하면
y값이 3정도로
줄어들기에
x=6일때의 g의
미분계수는
-3에 가까워 보이네요
자, 그럼 어떤 숫자가
클까요?
이 미분계수가 더 적게
음의 방향으로 가기 때문에
다른 미분계수보다 크겠지요
이 문제를 직관적으로
곡선만 보고 
풀 수도 있었습니다
이 곡선은 사인 곡선과
비슷하네요
이 점은 곡선이
직선이 되는 바로
그 자리네요
x값에 따라 y값이
 변하지 않다가
변화율이 작아지고
더 빠르게 작아지고
매우 빠르게 작아지다가
아직 작아지긴 하지만
더 느리게 작아집니다
그리고 바로 
이 점에서
접선의 기울기가
0이고

English: 
if we increase X by
if we increase X by one
it looks like we're
decreasing Y by close to three
so G prime of six
looks like it's closer to negative three.
So which one of these is larger?
Well, this one is less negative
so it's going to be
greater than the other one
and you could have done this intuitively
if you just look at the curve
this is some type of a sinusoid here
you have right over here the curve is flat
you have right at that moment
you have no change in Y with respect to X
then it starts to decrease
then it decreases at an even faster rate
then it decreases at a faster rate
then it starts, it's still decreasing
but it's decreasing at
slower and slower rates
decreasing at slower rates
and right at that moment
you have your slope of
your tangent line is zero

Bulgarian: 
Ако увеличим x с 1,
изглежда, че намаляме y с приблизително 3,
така че g'(6)
изглежда по-близо до –3.
Коя от двете стойности е по-голяма?
Тази е по-близко до нулата,
така че тя ще бъде по-голяма
от другата.
А това можеше и да се прецени
само по логика,
ако просто разгледаш кривата,
това е някакъв вид синусоида.
Ето тук кривата е плоска
и точно в този момент
нямаш никакво изменение
на y по отношение на x,
след което започва снижаване,
чиято скорост се увеличава все повече,
и повече.
След това скоростта намалява
и снижението се осъществява
с все по-бавни и по-бавни темпове.
И точно в този момент
наклонът на допирателната
в тази точка е 0,

Czech: 
zatímco když zde zvětšíme x o 1,
tak se y zmenší skoro o 3.
Derivace g v bodě 6 se
tudíž zdá být blízko -3.
Která z derivací
je tedy větší?
Tato derivace je méně záporná,
takže je větší než ta druhá.
Tohle se dá
zvládnout i intuitivně.
Když se podíváte na tuto křivku,
která vypadá jako nějaká sinusoida,
tak zde je křivka rovná, protože v tomto
bodě není žádná změna y vzhledem k x,
potom křivka stále
rychleji klesá,
následně sice pořád klesá,
ale už stále pomaleji,
v tomto bodě je
směrnice tečny rovna 0,

iw: 
אם נגדיל את X ב
אם נגדיל את X ב-1
זה נראה שאנחנו מקטינים את Y בקרוב ל-3
אז G תג של 6
נראה קרוב יותר למינוס 3.
אז איזה מהם גדול יותר?
ובכן, זה פחות שלילי
אז הוא יהיה גדול יותר מהשני
והייתם יכולים לעשות את זה בצורה אינטואטיבית
אם פשוט הייתם מסתכלים על העקום
זה סוג של עקומה גלית כאן
יש לכם כאן את העקום שטוח
יש לכם ברגע הזה
איו שינוי בY כתלות בX
אז זה מתחיל לקטון
ואז זה קטן בקצב גדול יותר
ואז זה קטן בקצב גדול יותר
ואז זה מתחיל, עדיין קטן
אבל קטן בקצב איטי יותר ויותר
קטן בקצב איטי יותר וברגע זה
יש לכם את שיפוע המשיק שהוא 0

Czech: 
načež křivka začíná
stoupat a tak pořád dokola.
Na tuto úlohu lze tedy
nahlížet i intuitivněji.

iw: 
ואז הוא מתחיל לגדול, לגדול, וכך הלאה
וזה ממשיך לקרות שוב ושוב.
אז ניתן לחשוב על זה בצורה אינטואטיבית יותר.

Bulgarian: 
след което започва да се увеличава
и да се увеличава, и така нататък,
и това се повтаря отново и отново.
Така че можеш да си представяш
задачата и по по-интуитивен начин.

Korean: 
그 다음부터 
계속 증가합니다
이 패턴이 반복되죠
이렇게 직관적으로
생각 해 볼 수도 있습니다

English: 
then it starts to increase,
increase, so on and so forth
and it just keeps happening
over and over again.
So you can also think about
this in a more intuitive way.
