
English: 
- [Instructor] A particle
moves along the x-axis.
The function x of t gives
the particle's position
at any time t is greater
than or equal to zero,
and they give us x of t right over here.
What is the particle's velocity
v of t at t is equal to two?
So pause this video, see
if you can figure that out.
Well, the key thing to
realize is that your velocity
as a function of time is
the derivative of position.
And so this is going to be equal to,
we just take the derivative
with respect to t up here.
So derivative of t to the third
with respect to t is three t squared.
If that's unfamiliar,
I encourage you to review the power rule.
The derivative of negative four t squared
with respect to t is negative eight t.
And derivative of three t with
respect to t is plus three.
Derivative of a constant doesn't change
with respect to time, so that's just zero.
And so here we have velocity
as a function of time.
And so if we want to know our
velocity at time t equals two,

Bulgarian: 
Една частица се движи по оста х.
Позицията на частицата е определена 
от функцията x от t
във всеки момент от време t, 
по-голямо или равно на 0.
Ето тук ни дават функцията х от t.
На какво е равна скоростта на частицата v от t
в момент от време t равно на 2?
Спри видеото и опитай да решиш 
задачата самостоятелно.
Ключовото нещо, което трябва
да разбереш, е, че скоростта
като функция на времето е производната
на функцията на позицията.
Следователно скоростта ще бъде
равна на следното.
Просто ще намерим производната
спрямо t от този израз.
Производна от t на трета степен
спрямо t е равно на 3 по t на квадрат.
Ако това не ти е познато,
те насърчавам да си преговориш правилото
за намиране производна на степен.
Производна от минус 4 по t на квадрат
спрямо t е равно на минус 8 по t.
Производна от 3 по t спрямо t
е равно на плюс 3.
Производната от константа
не се променя
спрямо времето, така че е равна на 0.
Така намерихме скоростта
като функция на времето.
Ако искаме да знаем скоростта
в момент от време t равно на 2,

Czech: 
Hmotná částice se
pohybuje podél osy x.
Funkce x(t) udává polohu této částice
v libovolném čase t větším nebo rovno 0.
Zde máme
předpis funkce x(t).
Jaká je rychlost v(t) této částice
v čase t rovno 2?
Zastavte si teď video
a zkuste na to přijít sami.
Hlavní je
si uvědomit,
že rychlost jakožto funkce času
je rovna derivaci polohy,
která se rovná...
Tohle musíme
zderivovat podle t.
Derivace (t na třetí) podle t
je 3 krát (t na druhou).
Pokud vám to
není povědomé,
tak doporučuji podívat se na
vzorec pro derivaci mocniny.
Derivace výrazu −4 krát (t na druhou)
podle t je −8 krát t.
Derivace (3 krát t)
podle t je +3.
Derivace konstanty, která se v
průběhu času nemění, je rovna 0.
Získali jsme tedy rychlost
jako funkci času.
Když chceme znát
rychlost v čase t rovná se 2,

Korean: 
입자가 x축을 따라
움직이고 있습니다
함수 x(t)는 t≥0일 때
입자의 위치를 나타냅니다
함수 x(t)는 t≥0일 때
입자의 위치를 나타냅니다
x(t)는 여기 주어졌습니다
t = 2일 때 
입자의 속력 v(t)는 무엇일까요?
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
여기서 중요한 것은
시간에 대한 속도의 함수는
위치 함수의 도함수입니다
따라서 이것은
이 위의
t에 대한 도함수를 구하면 됩니다
t에 대한 t³의 도함수는
t²입니다
이게 익숙치 않다면
멱의 법칙을 복습하세요
t에 대한 -4t²의
도함수는 -8t입니다
t에 대한 -4t²의
도함수는 -8t입니다
t에 대한 3t의
도함수는 3입니다
상수의 도함수는
시간에 따라
바뀌지 않기 때문에 0입니다
이제 시간에 대한
속도의 함수가 생겼습니다
v(2)를 고하려면

Bulgarian: 
то просто ще заместим 2 
на мястото на t в получения израз.
Следователно, ще се получи 3 по 4,
т.е. 3 по 2 на квадрат.
Получава се 12 минус 8 по 2, 
т.е. минус 16,
плюс 3, което е равно на минус 1.
Може би ще кажеш, че минус 1 
само по себе си не звучи като скорост.
Ако ни бяха дали мерни единици, 
например,
х щеше да е в метри, а t – в секунди.
Тогава х ще бъде в метри, 
както вече споменах,
а скоростта щеше да бъде
–1 метра в секунда.
Може би също така ще попиташ:
какво означава знакът минус?
Означава, че частицата
се движи наляво.
Спомни си, че се движим по оста х.
Ако скоростта е отрицателна,
това означава, че х намалява 
или се движим наляво.
На какво е равно ускорението
на частицата в момент от време t = 3?
Спри видеото отново и провери дали
можеш да отговориш самостоятелно.
Тук важното е да разберем,
че ускорението е функция на времето.
Ще бъде равно на производната
от скоростта,

English: 
we just substitute two
wherever we see the t's.
So it's gonna be three times four,
three times two squared,
so it's 12 minus eight
times two, minus 16,
plus three, which is
equal to negative one.
And you might say negative one
by itself doesn't sound like a velocity.
Well, if they gave us
units, if they told us
that x was in meters and
that t was in seconds,
well, then x would be,
well, I already said would be in meters,
and velocity would be negative
one meters per second.
You might also be saying,
well, what does the negative means?
Well, that means that we
are moving to the left.
Remember, we're moving along the x-axis.
So if our velocity's negative,
that means that x is decreasing
or we're moving to the left.
What is the particle's acceleration a of t
at t equals three?
So pause this video again,
and see if you can do that.
Well, here the realization is
that acceleration is a function of time.
It's just the derivative of velocity,

Korean: 
t에 2를 대입하기만 하면 됩니다
이건 3 x 4가 됩니다
3 x 2²이니까요
따라서 12에 8 x 2인 16을 빼고
3을 더하면 -1입니다
-1이라고만 하면
속도같아 보이지 않는다
생각할 수 있습니다
만약 단위가 주어졌다면
x가 m이고
t가 초라고 했다면
x가 m이고
t가 초라고 했다면
아 이미
x가 m라고 했네요
그러면 속도는
-1m/s입니다
음수는 어떤 의미냐고요?
음수는 어떤 의미냐고요?
왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다
x축에서 움직이고 있기 때문에
따라서 속도가 음수라면
x가 줄어든다거나
왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다
t = 3일 때 입자의
가속도는 얼마일까요?
t = 3일 때 입자의
가속도는 얼마일까요?
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
여기서는 가속도가
시간에 대한
함수라는 것을
알아야 합니다
속도의 도함수이고

Czech: 
tak musíme všude
za t dosadit 2.
Vyjde nám 3 krát 4,
protože to je 3 krát (2 na druhou),
takže zde bude
12 minus (8 krát 2), tedy 12 minus 16,
a ještě plus 3,
což se celé rovná −1.
Možná si říkáte, že jenom číslo −1
nevypadá zrovna jako nějaká rychlost.
Pokud bychom měli
zadané jednotky,
pokud by bylo řečeno,
že ‚x‘ je v metrech a ‚t‘ v sekundách,
tak by x bylo...
Už jsem řekl,
že to bude v metrech,
a rychlost by byla
−1 metr za sekundu.
Také si možná říkáte,
co znamená to minus.
Znamená to, že se
pohybujeme směrem doleva.
Vzpomeňme si, že částice
se pohybuje podél osy x,
takže pokud je
rychlost záporná,
tak to znamená,
že x klesá,
tedy že jdeme
směrem doleva.
Jaké je zrychlení a(t) této částice
v čase t rovno 3?
Opět si zastavte video
a zkuste to spočítat.
V tomto případě
je třeba si uvědomit,
že zrychlení jakožto funkce času
je derivace rychlosti,

Korean: 
위치 함수의 이계도함수입니다
이것의 도함수입니다
이것의 도함수입니다
무엇이 되냐면
t에 대한 3t²의
도함수는 6t입니다
t에 대한 -8t의
도함수는 -8입니다
t에 대한 -8t의
도함수는 -8입니다
상수의 도함수는 0입니다
따라서 이는
6t - 8입니다
따라서 t = 3일 때
가속도는
6 x 3인 18에서 -8을 뺀
10입니다
좋습니다 이제
t = 2일 때
입자 움직임의
방향을 물어보네요
이미 말하긴 했지만
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
이미 여기서
부호를 확인했습니다
속도에
음수 부호가 있다는 것은
왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다
이것을 고릅니다
t = 3일 때  입자의 속력은
증가하나요, 감소하나요
아니면 둘 다 아닌가요?

Bulgarian: 
което е равно на втората производна
на функцията на позицията.
Следователно ускорението ще бъде равно
на производната на ето този израз.
Просто ще се получи
производна от 3 по t на квадрат
спрямо t, което е равно на 6 по t.
Производна от минус 8 по t,
спрямо t, което е равно на –8.
И производната на константата, 
която е равно на 0.
Тогава се получава 6 по t минус 8.
Следователно ускорението на частицата
в момент от време t равно на 3,
ще бъде равно на 6 по 3,
което е 18, минус 8.
Тогава ще се получи, че 
е равно на плюс 10.
И после ни питат следното:
Каква е посоката
на движение на частицата 
в момент от време t = 2?
Вече говорих за това, но все пак 
спри видеото
и провери дали можеш 
да отговориш самостоятелно.
Вече разгледахме знака пред
скоростта ето тук.
Фактът, че имаме отрицателен знак
пред скоростта
означава, че частицата
се движи наляво.
Следователно ще избера
този отговор тук.
В момент от време t = 3
скоростта на частицата
нараства ли, намалява ли,
или нито едното?

English: 
which is the second
derivative of our position,
which is just going to be equal to
the derivative of this right over here.
And so I'm just going to get
derivative of three t squared
with respect to t is six t.
Derivative of negative eight t
with respect to t is minus eight.
And derivative of a constant is zero.
So it's just going to
be six t minus eight.
So our acceleration at time t equals three
is going to be six times three,
which is 18, minus eight,
so minus eight, which is going
to be equal to positive 10.
All right, now they ask
us what is the direction
of the particle's motion at t equals two?
Well, I already talked about
this, but pause this video and
see if you can answer that yourself.
Well, we've already looked
at the sign right over here.
The fact that we have a
negative sign on our velocity
means we are moving towards the left.
So I'll fill that in right over there.
At t equals three, is the particle's speed
increasing, decreasing, or neither?

Czech: 
která je rovna
druhé derivaci polohy,
a to se rovná
derivaci tohohle.
Vyjde nám,
že to je...
Derivace výrazu 3 krát (t na druhou)
podle t je 6 krát t.
Derivace (−8 krát t)
podle t je −8
a derivace
konstanty je 0,
takže to bude
6 krát t minus 8.
Zrychlení částice v čase t rovná se 3 je
tedy 6 krát 3, což je 18, minus 8,
což se
rovná +10.
Dále se nás ptají, kterým směrem se
částice pohybuje v čase t rovná se 2.
O tom už jsem
sice mluvil,
ale zastavte si video
a zkuste na to odpovědět sami.
Už jsme si říkali,
co znamená tohle znaménko.
Když máme
u rychlosti minus,
tak to znamená,
že se pohybujeme doleva.
Vybereme tedy
tuto možnost.
V čase t rovná se 3 velikost rychlosti
částice roste, klesá, nebo ani jedno?

Korean: 
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
좋습니다
아주 조심해야 합니다
입자의 속도가
증가하는지, 감소하는지
아니면 둘 다 아닌지 묻는다면
그냥 가속도만 보면 됩니다
가속도가 양수이므로
속도가 증가하고 있음을
알 수 있습니다
하지만 여기는
속도가 아니라 속력입니다
기억을 돕자면 속력은
속도의 크기입니다
따라서 t = 2일 때
속도는 -1입니다
만약 단위가 m/s라면
-1m/s입니다
하지만 속력은
1m/s죠
속력은 방향을 따지지 않습니다
그러니 여기 부호가
필요 없습니다
따라서 속력이 증가하는지
감소하는지
아니면 둘 다
아닌지 보려면
가속도가 양수고
속도가 양수면
속도의 크기가
증가하고 있다는 뜻입니다
따라서 속력이
증가하고 있는 것이죠
속도가 음수고
가속도도 음수면
이 또한 속력이
증가한다는 뜻입니다

Czech: 
Zastavte si video
a zkuste na to odpovědět.
U této otázky musíme
být velmi opatrní.
Kdyby se ptali, zda rychlost částice
roste, klesá, nebo ani jedno z toho,
tak by se stačilo
podívat na zrychlení,
které vidíme,
že je kladné,
z čehož už plyne,
že rychlost roste.
V otázce však není rychlost,
ale velikost rychlosti.
Připomeňme si, že velikost rychlosti
je její absolutní hodnota.
Například v čase t rovná se 2
je naše rychlost −1.
Kdyby jednotkou byly metry za sekundu,
tak by to bylo −1 metr za sekundu.
Velikost rychlosti je však
1 metr za sekundu.
U velikosti rychlosti
zanedbáváme směr,
takže u ní nebude
tohle znaménko.
Abychom tedy zjistili, zda velikost
rychlosti roste, klesá, nebo ani jedno,
tak pokud je zrychlení kladné
a rychlost je také kladná,
tak to znamená,
že velikost rychlosti roste.
Pokud je rychlost záporná
a zrychlení je také záporné,
tak to rovněž znamená,
že velikost rychlosti roste.

English: 
So pause this video,
and try to answer that.
All right, now we have
to be very careful here.
If it says is the particle's velocity
increasing, decreasing, or neither,
then we would just have to
look at the acceleration.
We see that the acceleration is positive,
and so we know that the
velocity is increasing.
But here they're not saying
velocity, they're saying speed.
And just as a reminder, speed
is the magnitude of velocity.
So, for example, at time t equals two,
our velocity is negative one.
If the units were meters and second,
it would be negative
one meters per second.
But our speed would just
be one meter per second.
Speed, you're not talking
about the direction,
so you would not have that sign there.
And so in order to figure out
if the speed is increasing
or decreasing or neither,
if the acceleration is positive
and the velocity is positive,
that means the magnitude of
your velocity is increasing.
So that means your speed is increasing.
If your velocity is negative
and your acceleration is also negative,
that also means that
your speed is increasing.

Bulgarian: 
Спри видеото и се опитай
да отговориш самостоятелно.
Добре, сега следва да бъдем
много внимателни.
Питат ни дали скоростта на частицата
нараства, намалява или нито едното.
Тогава просто следва
да разгледаме ускорението.
Виждаме, че ускорението
е положително,
тогава знаем, че скоростта нараства.
Но не ни питат за скоростта,
а за абсолютната ѝ стойност.
Припомни си, че абсолютната стойност на скоростта
е равна на големината на скоростта.
Например, в момент от време t = 2
скоростта е равна на –1.
Ако мерните единици 
бяха метри в секунда,
то скоростта щеше да бъде
равна на –1 метра в секунда.
Абсолютната скорост обаче просто
ще бъде равна на 1 метър в секунда.
Тук става дума за абсолютна
скорост, а не за посока,
така че няма да имаме
този знак минус тук.
Искаме да намерим дали
абсолютната скорост нараства, 
намалява или нито едното.
Ако ускорението е положително
и скоростта е положителна,
това означава, че големината
на скоростта нараства.
Следователно абсолютната
скорост също нараства.
Ако скоростта е отрицателна, 
и ускорението също е отрицателно,
това също означава, че 
абсолютната скорост нараства.

Bulgarian: 
Но ако скоростта и ускорението
на частицата имат различни знаци,
то това означава, че абсолютната скорост намалява.
Големината на скоростта намалява.
Нека да разгледаме скоростта
в момент от време t = 3.
За да намерим на какво е равна,
просто ще се върнем към този израз.
Ще бъде равно на 3 по 9,
което е равно на 27, т.е. 
3 по 3 на квадрат,
минус 24,
плюс 3.
Следователно целият израз
е равен на 6.
Може да заявим, че и скоростта, 
и ускорението
имат една и съща посока.
И двете са положителни стойности.
Скоростта ще нараства и ще става
все повече положителна,
т.е. големината на скоростта
ще нараства все повече.
Следователно абсолютната
скорост нараства.
Ако скоростта беше отрицателна
в момент от време t = 3,
то абсолютната скорост щеше да намалява, защото ускорението
и скоростта щяха да имат
различни посоки.

Czech: 
Když však rychlost a zrychlení
mají rozdílná znaménka,
tak velikost
rychlosti klesá.
Velikost rychlosti
se bude zmenšovat.
Podívejme se tedy, jaká je
naše rychlost v čase t rovno 3.
Rychlost v čase 3...
Musíme se
vrátit sem.
Bude to 3 krát 9,
což je 27...
3 krát (3 na druhou) je 27.
...minus 24 plus 3,
což se celkem
rovná 6.
Rychlost i zrychlení mají tedy
můžeme říct stejný směr.
Obě jsou to
kladná čísla.
Naše rychlost se tedy
stane ještě víc kladnou,
neboli velikost naší
rychlosti vzroste.
Velikost rychlosti
tedy roste.
Kdyby naše rychlost v čase
t rovná se 3 byla záporná,
tak by velikost
naší rychlosti klesala,
protože zrychlení a rychlost
by měly opačný směr.

Korean: 
하지만 속도와 가속도의
부호가 다르다면
속력은 감소합니다
속도의 크기가 줄어들겠죠
그러면 t = 3일 때
속도를 봅시다
여기로 돌아가서
3 x 9인 27에
3 x 9인 27에
24를 빼고
3을 더하면
3을 더하면
6이 나옵니다
따라서 속도와 가속도가 모두
같은 방향입니다
둘 다 양수이죠
따라서 속도는 계속해서
더 큰 양수가 되고
속도의 크기는
계속 증가하기 때문에
따라서 속력은 증가합니다
만약 속도가
t = 3에 음수였다면
속력은 감소했을 것입니다
속도와 가속도가
다른 방향으로 가기 때문입니다

English: 
But if your velocity and
acceleration have different signs,
well, that means that
your speed is decreasing.
The magnitude of your
velocity would become less.
So let's look at our velocity
at time t equals three.
Our velocity at time three, we
just go back right over here,
it's going to be three times nine,
which is 27, three times three squared,
minus 24
plus three,
plus three.
So this is going to be equal to six.
So our velocity and acceleration are both,
you could say, in the same direction.
They are both positive.
And so our velocity's only
going to become more positive,
or the magnitude of our velocity
is only going to increase.
So our speed is increasing.
If our velocity was
negative at time t equals three,
then our speed would be decreasing
because our acceleration
and velocity would be going
in different directions.
