
Korean: 
여기 있는 이 그래프가
x+y=1의 그래프입니다.
제 1사분면 상에서 이 그래프 밑에
있는 영역은 입체 도형의 바탕모형
입니다.
여기 이 부분이요.
우리가 이 입체 도형에 대해 아는 것은
만약 우리가 이것을 x축에 수직으로
횡단면을 자른다면, 
다시 말해 y축에 평행으로
이렇게
횡단면을 자른다면
우리는 그 횡단면이 반원임을 압니다.
같은 입체도형을 약간만 다른 시각에서
본다면 우리는
이런 것을 볼 수 있겠죠.
좌표평면을 바닥에 두고
위에서 이 도형을 보는 겁니다.
이 도형이 투명하다고 생각하고
이 횡단면을 비스듬히 본다면

Bulgarian: 
Това е графиката на 
функцията х + у = 1.
Нека областта под тази графика,
но все още в първи квадрант,
да е основата на тримерно тяло.
Значи тази област ето тук
е основата на тримерно тяло.
За това тримерно тяло
знаем, че ако
направим сечения, които са
перпендикулярни на оста х,
за тези сечения можем да кажем,
това е успоредно на оста у,
да кажем, че тук
ето така правим сечение,
и знаем, че то 
е с формата на полукръг.
Ако имаме малко 
по-различна гледна точка
към същото тримерно тяло,
ще видим нещо такова.
Координатната система
сега лежи тук отдолу,
и ние гледаме отгоре.
Това сечение, ако гледаме
под ъгъл,
и ако тялото е прозрачно,
това тук е това сечение.

Portuguese: 
Isto aqui é o gráfico
de x mais y é igual a um.
Vamos dizer que esta região
abaixo deste gráfico,
mas ainda no primeiro
quadrante, que esta é a base
de uma figura tridimensional.
Portanto, esta região aqui é a base
de uma figura tridimensional.
O que sabemos sobre esta
figura tridimensional é,
se fôssemos tomar seções
transversais que são perpendiculares
ao eixo X, então seções
transversais, poderíamos dizer,
são paralelas ao eixo y,
vamos dizer que estamos
tomando uma seção
transversal assim,
sabemos que isto
será um semi-círculo.
Se olharmos diferente
a mesma figura tridimensional,
veríamos algo assim.
Coloquei o plano de
coordenadas embaixo
e estou olhando de cima.
Este corte transversal, estamos
olhando em um ângulo,
e se a figura for transparente,
seria esta seção
transversal aqui.

Thai: 
รูปนี่ตรงนี้คือกราฟ
ของ x บวก y เท่ากับ 1
สมมุติว่าเขตที่อยู่ใต้กราฟนี้
แต่ยังอยู่ในจตุภาคแรก นี่คือฐาน
ของรูปทรงสามมิตินี้
เขตนี่ตรงนี้คือฐาน
ของรูปสามมิติ
สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับรูปสามมิตินี้คือว่า
ถ้าเราหาหน้าตัดที่ตั้งฉาก
กับแกน x เราจะเรียกว่าหน้าตัด
ที่ขนานกับแกน y ก็ได้ สมมุติว่าเรา
หาหน้าตัดแบบนั้น
เรารู้ว่าอันนี้จะเป็นครึ่งวงกลม
ถ้าเรามองมุม
รูปสามมิติเดียวกันอีกมุม
เราจะเห็นแบบนี้
ผมวางระนาบพิกัดราบลง
และผมกำลังดูจากข้างบน
หน้าตัดนี้ ถ้าเราดูแบบทำมุม
และถ้ารูปนั้นโปร่งใส
มันจะเป็นหน้าตัดนี่ตรงนี้

Portuguese: 
Isso bem aqui é
o gráfico de
x mais y igual a um.
Vamos dizer a região que 
está abaixo desse gráfico
mas ainda no primeiro 
quadrante, que é a base
de uma figura tridimensional.
Portanto, esta região bem aqui é a base
de uma figura tridimensional.
O que sabemos sobre essa
figura tridimensional é que
se fôssemos cruzar seções 
que são perpendiculares
em relação ao eixo X, seções transversais 
acho que poderíamos dizer
que são paralelas ao eixo y, 
então vamos dizer que
tendo uma seção transversal como aquela,
sabemos que este será um semi-círculo.
Se dermos uma olhada 
um pouco diferente
do mesmo tridimensional,
veríamos algo como isto.
Eu coloquei o plano 
de coordenadas para baixo
e eu estou olhando para ele de cima.
Este corte transversal, se estamos 
olhando para ele em um ângulo,
e se a figura fosse transparente,
seria esta secção transversal bem aqui.

English: 
- [Voiceover] This right
over here is the graph
of x plus y is equal to one.
Let's say the region
that's below this graph
but still in the first
quadrant, that this is the base
of a three dimensional figure.
So this region right over here is the base
of a three dimensional figure.
What we know about this
three dimensional figure is
if we were to take cross
sections that are perpendicular
to the x axis, so cross
sections I guess we could say
that are parallel to the y
axis, so let's say we were
taking a cross-section like that,
we know that this will be a semi-circle.
If we take a slightly different view
of the same three-dimensional,
we would see something like this.
I've laid the coordinate plane down flat
and I'm looking at it from above.
This cross-section, if we're
looking at it at an angle,
and if the figure were transparent,
it would be this
cross-section right over here.

Bulgarian: 
Може да е това сечение тук, което
има форма на полукръг.
Ако направим сечение тук,
по протежение на оста у,
това ще е това сечение.
По-голям полукръг.
Като имаш предвид казаното,
те насърчавам да спреш видеото
и да опиташ самостоятелно
да намериш
обема на това, което
съм щриховал.
Обемът на това тяло, 
което направих.
Това тримерно тяло, което
се опитвам да илюстрирам.
Предполагам, че опита.
Един начин за разсъждение
е да разгледаме
всяко от тези сечения,
да разделим тялото
на много такива дискове.
Ако намерим обема
на всеки от тези дискове,
и после ги сумираме, това
ще е доста добро приближение
за обема на цялото тяло.

Korean: 
이 횡단면은 바로 여기 있을 겁니다.
반원인 바로 그 횡단면 말이죠.
만약 여기 y축에 있는 이 부분을 보자면
그것은 이 횡단면이겠네요.
더 큰 반원이죠.
제가 방금 말씀드린 것들을 가지고
여러분이 이 비디오를 잠시 멈추고
제가 색칠한 이 도형의 부피를 
구할 수 있는지 봅시다.
제가 시작했던 이 도형의 부피말입니다.
우리가 시각화하고자 하는
이 입체도형말이죠.
여러분들이 시도해봤다고
생각하겠습니다.
그것을 구하는 방법은, 일단
이것들의 각각을 구하는 겁니다.
도형을 여러 개의 원판으로 나누고
여러분들이 각각의 원판의 부피를 구할 수 있다면
그것들을 합쳤을 때 이 전체 도형의
부피의 꽤 정확한 근삿값이
나올겁니다.

Thai: 
มันจะเป็นหน้าตัดนั่นตรงนั้น
ซึ่งก็คือครึ่งวงกลม
ถ้าเรานำพื้นที่หน้าตัดนี่ตรงนี้
ตามแกน y มา มันจะเป็นหน้าตัดนี้
ครึ่งวงกลมที่ใหญ่ขึ้น
จากสิ่งที่ผมบอกคุณ ผมแนะนำให้คุณหยุด
วิดีโอแล้วลองดูว่าคุณหา
ปริมาตรของรูปที่ผมแรเงาอยู่ได้ไหม
ปริมาตรของรูปนี้ที่ผมเริ่มไว้
รูปทรงสามมิตินี้
ที่เราพยายามมองภาพอยู่
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า ลองคิด
ถึงแต่ละรูป ลองแยกรูป
เป็นจานหลายๆ อันดู
ถ้าคุณหาปริมาตรของจานแต่ละใบได้
แล้วบวกพวกมันเข้าด้วยกัน มันจะ
ประมาณ
ปริมาตรท้้งรูปได้ดี

Portuguese: 
Seria esta seção
transversal aqui,
que é um semi-círculo.
Se tomarmos esta seção
transversal aqui,
ao longo do eixo y, seria
esta seção transversal.
Este semi-círculo maior.
Dado o que acabei de dizer,
encorajo você a pausar
o vídeo e ver se
consegue descobrir
o volume desta coisa
que eu hachurei.
O volume desta coisa
que eu comecei.
Esta figura tridimensional
que estamos tentando visualizar.
Estou assumindo
que tenha tentado.
Uma maneira de pensar é,
vamos apenas pensar
sobre cada um destes,
vamos dividir a figura
em um monte de discos.
Se você descobrir o volume
de cada um desses discos,
e somá-los, então isto seria
uma boa aproximação
para o volume da coisa toda.

Portuguese: 
Seria esta secção transversal bem aqui,
qua é um semi-círculo.
Se pegássemos esta seção 
transversal aqui,
ao longo do eixo y, que 
seria esta secção transversal.
Este semi-círculo maior.
Dado o que eu acabei de dizer, encorajo 
você a fazer uma pausa
no vídeo e ver se descobre
o volume dessa coisa 
que eu sombreei um pouco.
O volume desta coisa que eu só comecei.
Esta figura tridimensional
que estamos tentando visualizar.
Estou assumindo que você pausou.
Bom, vamos só pensar
sobre cada um desses, 
vamos fatiar a figura
num monte de discos.
Se você descobri o volume 
de cada um desses discos,
e somar eles, então isso seria
um boa aproximação
para o volume de toda a coisa.

English: 
It would be that
cross-section right over here,
which is a semi-circle.
If we were to take this cross
section right over here,
along the y axis, that
would be this cross section.
This larger semi-circle.
Given what I've just told
you, I encourage you to pause
the video and see if you can figure out
the volume of this thing that
I've shaded in a little bit.
The volume of this thing
that I've just started.
This three dimensional figure
that we are attempting to visualize.
I'm assuming you've had a go at it.
One way to think about it
is, well let's just think
about each of these,
let's split up the figure
into a bunch of discs.
If you figure out the volume
of each of those discs,
and sum them up then that would be
a pretty good approximation
for the volume of the whole thing.

Portuguese: 
Então, se chegou no limite 
conforme pegou um número
infinito de discos que 
são infinitamente finos,
então você terá o volume exato.
Vamos apenas pegar primeiro
o caso de aproximação.
Vamos dizer que bem aqui no x,
que vai ser o diâmetro do disco em x.
Bom, para pensar sobre isso
temos só que re-expressar
x mais y é igual a um.
Isso é o mesmo que 
dizer que a função
F de x ou y é igual a F 
de x é igual a um menos x.
O diâmetro desse círculo bem aqui,
vamos deixar isso claro, o 
diâmetro desse círculo
vai ser essa altura,
vai ser a diferença
entre um menos x e o eixo x,
ou entre um menos x e x igual a zero.
Isso vai ser, como uma função de x,
o diâmetro vai ser um menos x.

English: 
Then, if you took the limit
as you get an infinite
number of discs that are infinitely thin,
then you're going to get the exact volume.
Let's just take the
approximating case first.
Let's say that right over here at x,
what is going to be the
diameter of the disc at x.
Well, to think about that
we just have to re-express
x plus y is equal to one.
That's the same thing as
saying that the function
that F of x or y is equal to F
of x is equal to one minus x.
The diameter of this
circle right over here,
let me make it clear, the
diameter of this circle
is going to be this height,
is going to be the difference
between one minus x and the x axis,
or between one minus x and x equals zero.
This is just going to
be, as a function of x,
the diameter's going to be one minus x.

Korean: 
만약 이 도형을 무한히 얇은 무한히
많은 수의 원판으로 나누면 정확한
부피를 구할 수 있겠네요.
근삿값부터 먼저 구해봅시다.
여기는 원판의 x축 상의
지름이 되겠네요.
다시 말하지만
x+y=1이니까
이것은 f(x)=1-x와 같네요.
여기 이 원의 지름은
좀 더 분명히 말하자면
이 높이가 될 거구요
1-x와 x축, 혹은
1-x와 x=0의
의 차이가 되겠네요.
여기는 f(x)가 될 거구요
길이는 1-x가 되겠네요.

Thai: 
แล้วถ้าคุณหาลิมิต เมื่อคุณมีจำนวนจาน
นับไม่ถ้วนที่บางสุดๆ
แล้วคุณได้ปริมาตรพอดี
ลองหากรณีประมาณก่อน
สมมุติว่าอันนี้ตรงนี้คือ x
เส้นผ่านศูนย์กลางของจานที่ x จะเป็นเท่าใด
เวลาคิด เราต้องเขียน x
บวก y เท่ากับ 1 ใหม่
มันเหมือนกับบอกว่าฟังก์ชัน
ว่า f ของ x หรือ y เท่ากับ 
f ของ x เท่ากับ 1 ลบ x
เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี่ตรงนี้
ขอผมบอกให้ชัดนะ 
เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้
จะเท่ากับความสูงนี้ จะเท่ากับผลต่าง
ระหว่าง 1 ลบ x กับแกน x
หรือระหว่าง 1 ลบ x กับ y เท่ากับ 0
อันนี้จะเท่ากับ เป็นฟังก์ชันของ x
เส้นผ่านศูนย์กลางจะเท่ากับ 1 ลบ x

Portuguese: 
Se você tomar o limite
quando usa um número
infinito de discos que
são infinitamente finos,
então você obterá
o volume exato.
Vamos fazer primeiro o
caso da aproximação.
Digamos que aqui em x,
qual será o diâmetro
do disco em x.
Para pensar sobre isto
temos que re-expressar
x mais y é igual a um.
Isso é o mesmo que
dizer que a função
F de x ou y é igual a F
de x é igual a um menos x.
O diâmetro deste
círculo aqui,
deixando claro, o
diâmetro do círculo
será esta altura,
será a diferença
entre um menos
x e o eixo x,
ou entre um menos x
e x igual a zero.
Isto será apenas, como
uma função de x,
o diâmetro será
um menos x.

Bulgarian: 
После, ако вземем границата,
като имаме безкраен брой
такива дискове, които
са безкрайно тънки,
тогава ще получиш точния обем.
Първо да видим случая
с приближението.
Да кажем, че точно тук на оста х,
ще имаме диаметър на диска х.
Сега просто трябва да
преработим
х + у = 1.
Това е същото като функцията
f(х) или у = 1 – х.
Диаметърът на този кръг тук,
само да поясня – диаметърът
на този кръг
е тази височина, която е
равна на разликата
между у = 1 – х и оста х,
или между 1 – х и х = 0.
Това ще бъде, като
функция от х,
диаметърът ще бъде 1– х.

Thai: 
ทีนี้ ถ้าคุณอยากหาพื้นที่ผิวของวงกลม
ถ้าเราอยากหาพื้นที่วงกลม
เรารู้ว่าพื้นที่คือพาย r กำลังสอง
สำหรับครึ่งวงกลม คุณจะหารด้วย 2
แล้วรัศมีจะเป็นเท่าใด?
ขอผมขยายเข้าไปหน่อย
รัศมีของครึ่งวงกลมรูปหนี่งจะเป็นเท่าใด?
รัศมี ผมวาดมันได้แบบนี้
ผมพยายามวาดรูปนี้ให้ดีที่สุดแล้ว
มันจะเป็นแบบนี้
ผมพยายามวาดทำมุม
รัศมี ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง
เป็นเท่าใด?
เส้นผ่านศูนย์กลางคือ 1 ลบ x
รัศมีจะเท่ากับ 1 ลบ x ส่วน 2
ใช่ ระยะนั้นคือ 1 ลบ x ส่วน 2
ระยะนั้นคือ 1 ลบ x ส่วน 2
ระยะนั้นคือ 1 ลบ x ส่วน 2
นั่นคือ 1 ลบ x ส่วน 2 เท่ากับรัศมี
แล้วพื้นที่ของด้านนี่ตรงนี้เป็นเท่าใด?

Portuguese: 
Agora se você quer encontrar 
a área da superfície de um círculo,
ou se queremos encontrar 
a área de um círculo,
sabemos que a área é Pi r ao quadrado.
Para o nosso semi-círculo, 
vamos dividir por dois.
Quanto vai ser o raio?
Só vamos aproximar um pouco.
Qual será o raio de 
um desses círculos?
O raio eu poderia desenhar assim.
Minha melhor tentativa 
de desenhar um desses.
Vai se parecer com algo assim.
Estou tentando desenhar um ângulo.
O raio, qual vai ser a metado do diâmetro?
O diâmetro é um menos x.
O raio vai ser um menos x sobre dois.
Certo, a distância é 
um menos x sobre dois.
A distância é um menos z sobre dois.
Aquela distância é um menos x sobre dois.
Então, um menos x 
sobre dois é igual ao raio.

Portuguese: 
Agora, se quiser encontrar a
área superficial para um círculo,
ou se quisermos encontrar
a área de um círculo,
sabemos que a área é
pi r ao quadrado.
Para nosso semi-círculo,
você dividirá por dois.
Então, qual o valor do raio?
Deixe-me ampliar um pouco.
Qual é o raio de um
destes semi-círculos ?
Poderia desenhar
o raio assim.
Minha melhor tentativa de
desenhar estas coisas.
Será algo assim.
Estou tentando desenhar
em um ângulo.
O raio, qual será
a metade do diâmetro?
O diâmetro é um menos x.
O raio será um menos
x sobre dois.
Esta distância é
um menos x sobre dois.
Esta distância é um
menos x sobre dois.
Esta distância é um
menos x sobre dois.
Um menos x sobre
dois é igual ao raio.
Qual seria a área
deste lado aqui?

Korean: 
이제 원의 영역을
구하고 싶다면
우리는 원의 넓이가 (πxrxr) 인 걸 알죠.
이 반원을 구하려면 
이 식을 2로 나누어야 합니다.
그래서 반지름은 얼마일까요?
이 반원들 중 하나의 반지름은 얼마일까요?
이렇게 그릴 수 있겠네요.
비스듬하게 그리려고 하고 있습니다.
지름의 반, 즉 반지름은 얼마일까요?
지름은 1-x입니다.
그러니 반지름은 (1-x)/2입니다.
여기 이 부분이 말입니다.
(1-x)/2가 반지름입니다.
그래서 이 부분의 넓이는 얼마일까요?

English: 
Now, if you want to find the
surface area for a circle,
or if we want to find
the area of a circle,
we know that area is pi r-squared.
For our semi-circle, you're
going to divide by two.
So what's the radius going to be?
Just let me zoom in a little bit.
What is the radius of one of
these semi-circles going to be?
The radius I could draw it like this.
My best attempt to draw
one of these things.
It's gonna look something like this.
I'm trying to draw it at an angle.
The radius, what's gonna
be half the diameter?
The diameter is one minus x.
The radius is going to
be one minus x over two.
Right, that distance is
one minus x over two.
That distance is one minus x over two.
That distance is one minus x over two.
So, that is one minus x over
two is equal to the radius.
What would be the area of of
this side right over here?

Bulgarian: 
Сега, за да намерим 
повърхнината на кръг,
или ако искаме да намерим
площта на кръг,
знаем, че тя е равна на πr^2.
За полукръг трябва
да я разделим на две.
Значи колко ще бъде радиусът?
Само да увелича малко.
Колко е радиусът на един
от тези полукръгове?
Можем да начертаем
радиуса ето така.
Това е най-добрият ми опит да 
го направя.
Ще изглежда като нещо такова.
Опитвам се да го направя 
под ъгъл.
Радиусът е половината
на диаметъра, нали?
Диаметърът е 1– х.
Радиусът ще бъде (1–х)/2.
Значи това разстояние е
(1 – х)/2, също и това.
Това разстояние е (1 – х)/2.
Значи (1 – х)/2 е
равно на радиуса.

Korean: 
이게 완전한 원이었다면 (πxrxr) 이겠지만
반원이니까 (πxrxr)/2이네요.
이 영역을 f(x)라 한다면
f(x)는 π/2 에다가
(1-x)/2를 제곱한 것이
될겁니다.
만약 이 원판의 넓이만 구하고 싶다면
그러면 이 넓이에다가 이 깊이만
곱하면 될 겁니다.

Bulgarian: 
Каква е площта на тази
страна ето тук?
Ако това е пълен кръг,
ще бъде πr^2,
за полукръг ще бъде πr^2/2.
Ще го запиша, площта
е равна на πr^2/2,
защото това е полукръг.
По отношение на х
площта е функция от х,
ще го запиша така: 
площта е функция от х,
равна е на π/2
по ((1 – х)/ 2)^2.
И ако търсим обема
само на този диск,
тогава умножаваме
тази площ по дебелината.
Просто умножаваме
по дебелината.

Thai: 
ถ้ามันเป็นวงกลมเต็ม 
มันจะเท่ากับพาย r กำลังสอง
แต่มันเป็นครึ่งวงกลม จึงได้ 
พาย r กำลังสองส่วน 2
ขอผมเขียนแบบนี้นะ 
พื้นที่เท่ากับพาย r กำลังสอง
ส่วน 2 เพราะมันเป็นครึ่งวงกลม
ในรูปของ x พื้นที่ของเรา
เป็นฟังก์ชันของ x ตรงนี้
ขอผมเขียนแบบนี้นะ 
พื้นที่ของเราเป็นฟังก์ชันของ x
จะเท่ากับพายส่วน 2
มันจะเป็นพายส่วน 2
คูณ 1 ลบ x ส่วน 2 กำลังสอง
มันคือ 1 ลบ x ส่วน 2 กำลังสอง
ถ้าผมอยากได้ปริมาตรแค่จานนี่ตรงนี้
ผม ก็คูณพื้นที่นั้นด้วยความลึก
ผมแค่คูณพื้นที่ด้วยความลึกนี่ตรงนี้

Portuguese: 
Qual será a área desse lado aqui?
Bom, se fosse um círculo completo,
seria pi r ao quadrado,
mas é um semi-círculo, 
então é pi r ao quadrado sobre dois.
Deixe-me escrever isso, 
então a área é igual a pi r-quadrado
sobre dois porque é um semi-círculo.
Em termos de x, nossa área 
como um função de x logo ali,
deixe-me escrever isso dessa forma, 
a área em função de x,
Vai ser pi sobre dois.
Isso vai ser pi sobre dois
vezes um menos x sobre dois ao quadrado.
É um menos x sobre dois ao quadrado.
Se eu quero o volume só
desse disco bem aqui,
Eu, então, multiplico aquela
área vezes a profundidade.
Eu só multiplico a área 
vezes a profundidade aqui.

English: 
Well, if it was a full circle,
it would be pi r-squared,
but it's a semi-circle so
it's pi r-squared over two.
Let me write this, so the
area is equal to pi r-squared
over two 'cause it's a semi-circle.
In terms of x, our area as a
function of x right over there,
let me write it that way,
our area as a function of x,
is gonna be pi over two.
It's gonna be pi over two
times one minus x over two squared.
It's one minus x over two squared.
If I wanted a volume of just
this disc right over here,
I, then, multiply that
area times the depth.
I just multiply the area
times this depth here.

Portuguese: 
Se fosse um círculo completo,
seria pi r ao quadrado,
mas é um semi-círculo, então
é pi r ao quadrado sobre dois.
Deixe-me escrever isto, a
área é igual a pi r ao quadrado
sobre dois porque é
um semi-círculo.
Em termos de x, a área
como função de x ali,
deixe-me escrever dessa forma,
a área em função de x,
será pi sobre dois.
Será pi sobre dois
vezes um menos x sobre
dois ao quadrado.
É um menos x sobre
dois ao quadrado.
Se eu quisesse o volume
deste disco aqui,
eu multiplico esta
área pela profundidade.
Eu multiplico a área
por esta profundidade.

Portuguese: 
Poderíamos chamar
isto de dx ou delta x.
Poderíamos chamar a
profundidade de delta x.
Na verdade, deixando
claro, esta é a área.
O volume de uma dessas
conchas será igual a,
escreverei  nesta cor,
será pi sobre dois
vezes um menos x
sobre dois ao quadrado,
vezes a profundidade.
A área vezes a profundidade.
Este é o volume de um
desses meio discos.
O volume de toda esta coisa
podemos aproximar como a soma
destes, ou podemos tomar o
limite quando delta x ficar
muito, muito menor, e
tivermos um infinito
número destas coisas,
que são essencialmente,
se estamos tomando
este limite,
tomaremos a integral definida.
Poderíamos tomar
a integral definida,

Bulgarian: 
Можем да означим това като dх,
или делта х.
Можем да наречем
дебелината делта х.
Само да поясня – това е площта.
Обемът на един от тези дискове
е равен на...
ще използвам един и същ цвят,
е равен на π/2 по ((1 – х)/2)^2,
по височината.
Площта по височината.
Това е обемът на един
от тези полудискове.
Обемът на цялото тяло
можем да намерим приблизително,
като съберем тези, или като
вземем граница за нашето делта х,
което е много, много малко
и имаме безкраен брой
от тези супер тънки дискове.
Ако вземем границата,
ще съставим определен интеграл.
Можем да вземем
определен интеграл,

Korean: 
이 깊이를 dx 또는 델타 x라고 하죠.
다시 분명히 말하자면
이 하나의 원판의 부피는
(π/2)x{(1-x)/2의 제곱}x(깊이)가
될겁니다.
(넓이)x(깊이)인거죠.
이것이 이 반쪽 원판들 중 하나의 부피입니다.
전체의 부피를 추정하자면 이것들의
합을 구하거나, 델타 x를 아주 아주
아주 작게 만들어서 무한 개의
이것들을 구하면 됩니다.
사실 이렇게 하는 건
정적분을 취하는 거죠.
정적분을 통해서

Thai: 
เราเรียกมันว่า dx 
หรือเราเรียกมันว่าเดลต้า x ก็ได้
เราเรียกความลึกตรงนี้ว่าเดลต้า x
ที่จริง ขอผมบอกให้ชัดนะ มันคือพื้นที่
ปริมาตรของเปลือกอันหนึ่งจะเท่ากับ
ผมจะเขียนอันนี้สีหนึ่งนะ
จะเท่ากับพายส่วน 2 คูณ 1 ลบ x
ส่วน 2 กำลังสอง คูณความลึก
พื้นที่คูณความลึก
นี่คือปริมาตรของจานครึ่งวงกลมหนึ่งอัน
ปริมาตรของรูปนี้ทั้งหมด
เราประมาณเป็นผลบวก
ของอันนี้ หรือเราหาลิมิต เดลต้า x
เล็กมากๆๆๆๆๆ แล้วเราได้
จำนวนแผ่นนับไม่ถ้วน ซึ่งก็คือ
ถ้าเราหาลิมิตนั้น
เราจะหาอินทิกรัลจำกัดเขต
เราหาอินทิกรัลจำกัดเขต

English: 
We could call that d x or
we could call that delta x.
We could call the depth there delta x.
Actually, let me be
clear, that's the area.
The volume of one of those
shells is going to be equal
to, and I'll just write this in one color,
is gonna be pi over two times one minus x
over two squared, times the depth.
The area times the depth.
This is volume of one of these half discs.
The volume of the whole thing
we can approximate is the sum
of these, or we can take the
limit is our delta x's get
much, much, much, much,
smaller and we have an infinite
number of these things,
which is essentially,
if we're taking that limit,
we're gonna take the definite integral.
We could take the definite integral,

Portuguese: 
Nós poderíamos chamar isso de d x 
ou poderíamos chamar de delta x.
Poderíamos chamar a 
profundidade lá delta x.
Na verdade, deixe-me 
ser claro, essa é a área.
O volume de uma dessas 
conchas vai ser igual a,
e eu vou escrever em uma cor,
vai ser pi sobre dois vezes um menos x
mais dois ao quadrado, 
vezes a profundidade.
A área vezes a profundidade.
Este é o volume de um desses meio discos.
O volume de tudo podemos 
aproximar é a soma
destes, ou podemos pegar 
o limite é nossa delta x
muito, muito, muito, muito, 
menor e temos um infinito
número dessas coisas, 
que é, essencialmente,
se pegamos o limite,
nós vamos pegar a integral definida.
Poderíamos pegar a integral definida,

English: 
so the volume that we care
about, the volume of this figure,
is going to be equal to
the definite integral
from x equals zero to x equals one.
That's where we intersect the x axis.
X equals zero to x equals
one of, we're integrating
an infinite number of these
things that are infinitely thin.
It's going to be pi over two times,
what's one minus x-squared?
Let me just expand it out
for fun right over here.
That's the same thing
as x minus one squared.
So it's going to be x
squared minus two x plus one,
and then two squared is four, over four.
Instead of delta x, I'm
going to right d x now.
I'm gonna write d x because
I'm taking the limit
as these become infinitely small
and I have an infinite nine.
I'm summing an infinite number of them.
The volume is just going
to be, we just have
to evaluate this definite integral.

Thai: 
ปริมาตรที่เราสนใจ ปริมาตรของรูปทรงนี้
จะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก x เท่ากับ 0 ถึง x เท่ากับ 1
นั่นคือจุดที่เราตัดแกน x
x เท่ากับ 0 ถึง x เท่ากับ 1 ของ, 
เรากำลังอินทิเกรต
จำนวนแผ่นบางเฉียบจำนวนนับไม่ถ้วน
มันจะเท่ากับพายส่วน 2 คูณ
1 ลบ x กำลังสองเป็นเท่าใด?
ขอผมกระจายออกมาเพื่อความสนุกตรงนี้
มันก็เหมือนกับ x ลบ 1 กำลังสอง
มันจะเท่ากับ x กำลังสองลบ 2x บวก 1
แล้ว 2 กำลังสองได้ 4, ส่วน 4
แทนที่จะเป็นเดลต้า x ผมจะเขียน dx ตอนนี้
ผมจะเขียน dx เพราะผมกำลังหาลิมิต
เมื่อค่านี้น้อยมาก
และผมมีจำนวนนับไม่ถ้วน
ผมกำลังบวกจำนวนนับไม่ถ้วน
ปริมาตรจึงเท่ากับ เราแค่ต้อง
หาค่าอินทิกรัลจำกัดเขตนี้

Bulgarian: 
така че обемът, който търсим,
обемът на това тяло,
ще бъде равен на определен
интеграл
от х = 0 до х = 1.
Тук пресичаме оста х.
х = 0 и х = 1, после 
интегрираме
безкраен брой от тези дискове,
които са безкрайно тънки.
Става π/2, и колко е (1 – х)^2?
Ще го реша за чисто удоволствие.
Това е равно на (х – 1)^2.
Това ще стане х^2 – 2х + 1.
и после 2 на квадрат е 4,
върху 4.
Вместо делта х, ще запиша dх.
Ще запиша dх, защото
търся границата,
тъй като тези стават безкрайно малки,
а имаме безкрайно много.
Събираме безкрайно
голям брой от тях.
Обемът ще бъде – само трябва
да решим този интеграл.

Korean: 
이 도형의 부피,
x=0부터 x=1까지의 정적분으로
구할 수 있습니다.
x=0에서 x=1까지 아주 아주 얇은
무한한 이것들의 합을 구하면
(π/2)x
{(1-x)/2의 제곱}인데
여기서 (1-x)의 제곱을 전개하면
x제곱-2x+1이 되겠네요.
2의 제곱은 4니까 /4이고요.
델타 x 대신 dx로 쓰면
이제 이것들을 무한히 더해주면
부피는 이 정적분을 취한 값이
될겁니다.

Portuguese: 
para que o volume que interessa,
o volume desta figura,
será igual a integral
definida
de x igual a zero
até x igual a um.
É aí que cruzamos
com o eixo x.
x igual a zero até x igual
um, estamos integrando
um número infinito destas
coisas  infinitamente finas.
Será pi sobre dois vezes,
o que é um menos
x ao quadrado?
Deixe-me expandi-lo.
Isto é o mesmo que
um menos x ao quadrado.
Será x ao quadrado menos
dois x mais um,
dois ao quadrado é quatro,
sobre quatro.
Em vez de delta x,
escreverei dx agora.
Escreverei dx porque
estou tomando o limite
quando se tornam
infinitamente pequenos
e tenho um infinito nove.
Estou somando um
número infinito deles.
O volume será, só temos
que avaliar esta integral definida.

Portuguese: 
de modo que o volume que nos 
importa, o volume desta figura,
vai ser igual a integral definida
de x igual a zero para x igual a um.
É aí que se cruzam o eixo x.
X é igual a zero e X é igual 
um dos, estamos integrando
um número infinito dessas coisas 
que são infinitamente finas.
Vai ser pi sobre dois vezes,
o que é um menos x ao quadrado?
Deixe-me expandi-lo por diversão bem aqui.
Isso é a mesma coisa que 
x menos um ao quadrado.
Por isso, vai ser x 
ao quadrado menos dois x mais um,
e, em seguida, dois quadrado 
é quatro, sobre quatro.
Em vez de delta x, estou 
indo para a direita d x agora.
Eu vou escrever d x porque 
estou pegando o limite
conforme tornam-se 
infinitamente pequeno
e eu tenho um nove infinito.
Estou somando um número infinito desses.
O volume é só vai ser, só temos
que avaliar esta integral definida.

English: 
If you feel so inspired,
feel free to pause
and try to evaluate
this definite integral.
Let's just take some
of these constants out.
Let's take pi over eight out.
Our volume is going to be
equal to pi over eight times
the definite integral from zero to one
of x-squared minus two x plus one d x,
which is equal to pi over eight.
The antiderivative of this
is x to the third over three
minus x-squared plus x.
We're going to evaluate
that at zero and one.
This is going to be
equal to pi over eight.
When you evaluate it at one,

Thai: 
ถ้าคุณอยากลอง ก็หยุดวิดีโอ
แล้วลองหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขตนี้ได้เลย
ลองเอาค่าคงที่ออกมา
ลองเอาพายส่วน 8 ออกมา
ปริมาตรของเราจะเท่ากับพายส่วน 8 คูณ
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก 0 ถึง 1
ของ x กำลังสองลบ 2x บวก 1 dx
ซึ่งเท่ากับพายส่วน 8
ปฏิยานุพันธ์ของอันนี้คือ x กำลัง 3 ส่วน 3
ลบ x กำลังสองบวก x
เราจะหาค่ามันที่ 0 กับ 1
อันนี้จะเท่ากับพายส่วน 8
เมื่อคุณหาค่ามันที่ 1

Bulgarian: 
Ако усещаш прилив на вдъхновение,
спри видеото
и опитай да решиш интеграла.
Нека да изнесем част 
от тези константи.
Тук ще стане π/8.
Обемът ще бъде равен
на π/8 по
определен интеграл от нула до 1
от (х^2 – 2х + 1)dх,
което е равно на π/8...
Примитивната функция на това
е х^3/3 – х^2 + х.
Ще го изчислим за 0 и за 1.
Това ще бъде равно на π/8...
Когато го сметнем за 1,

Portuguese: 
Se se sentir inspirado,
sinta-se livre para fazer uma pausa
e tentar avaliar
esta integral definida.
Vamos tirar algumas
destas constantes.
Vamos tirar o pi
sobre oito.
Nosso volume será
igual a pi sobre oito vezes
a integral definida
de zero a um
de x ao quadrado menos
dois x mais um dx,
que é igual a pi sobre oito.
A antiderivada disto é x
elevado a três sobre três
menos x ao quadrado
mais x.
Avaliaremos isto
em zero e um.
Isto será igual a
pi sobre oito.
Quando avaliá-lo em um,

Korean: 
할 수 있다는 생각이 들면
비디오를 멈춰서 정적분을 구해보세요.
여기서 π/8을
앞으로 빼내주면
부피는 (π/8)x
0에서 1까지
{(x제곱)-2x+1} dx를 정적분한 값인데
이는 (π/8)x
이것의 부정적분, {(x세제곱)/3-(x제곱)
+x}을 0에서 1까지의
범위에서 구한 값입니다.
그 값은 (π/8)을 (1/3-1+1)
=(π/8)x(1/3)

Portuguese: 
Se você se sente tão inspirado, 
sinta-se livre para fazer uma pausa
e tentar avaliar esta integral definida.
Vamos apenas tirar algumas constantes.
Vamos pegar pi sobre oito.
Nosso volume vai ser igual, 
a pi sobre oito vezes
a integral definida a partir de zero a um
de x ao quadrado menos dois x mais um d x,
que é igual a pi sobre oito.
A anti-derivada dessa
x ao cubo sobre três
menos x ao quadrado mais x.
Nós vamos avaliar 
isto em zero e um.
Isso vai ser igual a pi sobre oito.
Quando você avalia isso em um,

Portuguese: 
você tem um terço menos um mais um.
Vai ser um terço.
Quando avaliar em zero,
você tem zero menos zero mais zero.
Vai ser menos zero, 
então é só pi sobre 8 vezes
um terço que é igual 
a pi sobre 24 e terminamos.
Legendado por [Soraia Novaes]

Bulgarian: 
получаваме 1/3 –1 + 1.
Това е 1/3.
Когато го сметнем за нула,
получаваме 0 – 0 + 0.
Това е нула, така че
става просто
π/8 (1/3), което е π/24
и сме готови.

Portuguese: 
obterá um terço
menos um mais um.
Será um terço.
Quando você
avalia em zero,
obtém zero menos
zero mais zero.
Será menos zero, então
é apenas pi sobre oito vezes
um terço que é igual a
pi sobre 24 e pronto.

Korean: 
에다가
(0-0+0)을
뺀 값에
곱한 것과 같습니다.
따라서 답은 (π/8)x(1/3)이므로
(π/24)가 되겠네요.

English: 
you get one third minus one plus one.
It's going to be one third.
When you evaluate at zero,
you get zero minus zero plus zero.
It's going to be minus zero so
it's just pi over eight times
one third which is equal to
pi over 24 and we are done.

Thai: 
คุณจะได้ 1/3 ลบ 1 บวก 1
มันจะเท่ากับ 1/3
เมื่อคุณหาค่ามันที่ 0
คุณจะได้ 0 ลบ 0 บวก 0
มันจะเท่ากับลบ 0 มันจึงได้แค่พายส่วน 8 คูณ
1/3 ซึ่งเท่ากับพายส่วน 24 แล้วเราก็เสร็จแล้ว
