
Korean: 
두 개의 곡선의
그래프가 있습니다
y가 x에 대한 함수인
것을 자주 보았지만
여기선 x가
y에 대한 함수입니다
따라서 위 식을
y에 대한 함수로
표현할 수 있습니다
그리고 이 두 번째 식은
다르게 적기 위해
g(y)라고 합시다
다시 말하지만 이는
y에 대한 함수입니다
해당 영상에서
신경써야 할 것은
이 두 곡선 사이의
파란색 부분의 넓이입니다
영상을 잠시 멈추고
혼자 풀어보세요
여기서 힌트는
y에 대해 적분을
할 것입니다
범위가 y로 표현된
정적분입니다
예를 들어서
해당 아래 접점은
y로 표현한
아래 경계입니다
이를 y1이라 부릅니다
그리고

English: 
- [Instructor] So I have
two curves graphed here.
And we're used to seeing things
where y is a function of x,
but here we have x as a function of y.
In fact, we can write this top expression
as being a function of y.
And this second one, just
to make it different,
we could view this as g of y.
Once again, it is a function of y.
And what we're concerning
ourselves with in this video is
how do we find this area
in this light blue color
between these two curves?
And I encourage you to pause the video
and try to work through it.
All right, so a huge hint here is
we're going to want to
integrate with respect to y,
a definite integral where
our bounds are in terms of y.
So for example, this is,
this lower point of
intersection right over here,
this would be our lower
bound in terms of y.
Let's call that y one.
And then,

Bulgarian: 
Тук са изобразени две криви.
Свикнали сме да виждаме
функциите като у =  f(х),
а тук имаме х = f (у).
Всъщност можем да преработим
горния израз като
функция от у.
Втората функция, за да
бъде различно,
можем да я напишем
като g(у).
Повтарям, това е функция от у.
В това видео нашата задача е
да намерим начин
да намерим тази площ,
която е в светло синьо между
тези две криви.
Препоръчвам ти да спреш
видеото и да опиташ самостоятелно.
Една голяма подсказка тук е,
че ще интегрираме спрямо у,
определен интеграл, където
границите са по отношение на у.
Например това тук е,
най-ниската точка е
пресечната точка ето тук,
това ще е нашата долна граница
спрямо у.
Нека да я означим у1.

English: 
this up here, this would
be our upper y bound.
So if we think about where do
these two curves intersect,
and we look at the y-coordinates
of those intersections,
well, that gives us two nice
bounds for our integral.
So we're gonna take our
integral from y one to y two,
from y one
to y two,
y two.
We're going to integrate
with respect to y, dy.
And so what are we going to sum up?
Well, when we integrate,
we can think about
taking the sum of
infinitely thin rectangles.
And in this case, it would
infinitely flat rectangles
since we're thinking about dy.
So dy would be the height
of each of these rectangles.
And what would be, in this case, the width
or the length of this
rectangle right over here?
Well, over this interval,
from y one to y two,
our blue function, f of y,
takes on larger x-values than g of y.

Bulgarian: 
После това тук горе
е нашата горна граница.
Ако разгледаме къде
се пресичат тези две криви,
ако погледнем у-координатата
на пресечните точки,
получаваме двете граници
на нашия интеграл.
Ще интегрираме от у1 до у2.
Интегрираме спрямо у, значи dу.
И какво ще събираме?
Когато интегрираме, ние все едно
събираме площта на 
безкрайно тънки правоъгълници.
В този случай това са безкрайно
плоски правоъгълници,
понеже ги разглеждаме като dу.
dу е височината на всеки
от тези правоъгълници.
А каква ще бъде в този случай
широчината или дължината
на тези правоъгълници?
В този интервал, от у1 до у2,
нашата синя функция f(у)
има по-големи стойности
от g(у).

Korean: 
여기 이 접점이
윗 경계입니다
따라서 곡선이
어디에서 만나는지 찾으면
그리고 해당 점의
y 좌표를 찾아야 합니다
이는 적분의 경계값
두 개를 줍니다
따라서 y1 부터 y2 까지
적분을 해야 합니다
y1 부터
y2입니다
y2
y 에 대해 적분을
할 것입니다 dy
이 합이 얼마인가요?
적분을 하려면
무한히 얇은
직사각형들의 합을 구해야 합니다
dy를 구하는 것이기 때문에
무한히 얇은 직사각형입니다
따라서 dy는 해당
직사각형들의 세로입니다
이 경우에는 직사각형의
세로 길이는 얼마인가요?
따라서 y1 부터 y2의 구간은
파란색 함수 f(y)는
g(y)보다 큰 x 값을 가집니다

Korean: 
따라서 여기 세로 길이는
f(y)입니다
여기 x 값 빼기
여기 x 값입니다
빼기 g(y)입니다
따라서 이는 f(y)
빼기 g(y)입니다
g(y)
이제 f(y)와
g(y)의 값을 압니다
여기서 여러운 점은
이 접점을
구하는 것입니다
이제 두 곡선이 어디에서
만나는지 찾아봅시다
이 둘은 x와 같기 때문에
두 y에 대한 값이
같다고 할 수 있습니다
따라서
다른 색으로 적어봅시다
따라서 -y^2 + 3y
더하기 11은 이와 같습니다
이는 y^2
+y
-1과 같죠
따라서 이 모든
것을 양 변에서 빼서
오른쪽 변이 0이
되도록 합시다
그리고 왼변은
이차 함수가 남습니다

Bulgarian: 
Така че тази дължина ето тук,
това ще бъде f(у),
тази стойност на х минус тази
стойност на х, минус g(у).
Това ще бъде f(у) минус g(у).
Ние знаем колко са f(у) и g(у).
Най-хитрата част е,
да намерим пресечните точки.
Да помислим къде 
се пресичат двете криви.
И двете са равни на х,
значи можем да приравним
тези изрази за у.
Знаем, че отрицателно...
Ще го направя с друг цвят,
знаем че –у^2 + 3у + 11
ще бъде равно на това,
ще е равно на у^2 + у – 1.
Затова просто да извадим
всичко това от двете страни,
така че отдясно 
да остане само нула,
а от лявата страна ще имаме
израз от втора степен.

English: 
So this length right over
here, this would be f of y,
f of y,
this x-value minus this x-value,
minus g of y.
So this is going to be f of y
minus g of y,
g of y.
Well, we know what f of y and g of y are.
Really, the trickiest part is,
is figuring out these
points of intersection.
So let's think about where
these two curves intersect.
They are both equal to x,
so we can set these two y
expressions equal to each other.
So we know that negative,
let me do it in that other color,
so we know that negative
y squared plus three y
plus 11 is going to be equal to this,
is going to be equal to y squared
plus y
minus one.
So let's just subtract all
of this from both sides
so that on the right side we have a zero
and on the left side we
just have a quadratic.

English: 
So let's subtract y squared.
Let's subtract y.
And then subtract negative
one, which is just adding one.
And over here, we're going
to do the same thing,
minus y plus one.
And what we are left
with is going to be a,
hopefully, a straightforward quadratic.
So let's see, this is going
to be negative two y squared
plus two y.
Am I doing that right?
Yep, plus two y, plus 12
is equal to zero.
And then this over here I can
factor out a negative two,
and I get negative two
times y squared minus y
minus six is equal to zero.
This we can factor from inspection.
What two numbers, when we
add, equal negative one?
When we take their product,
we get negative six?
Well, that would be
negative three and two.
So this is going to be negative
two times y minus three
times y plus two.
That's just straightforward
factoring a polynomial,
a quadratic.

Korean: 
양변에 y^2을 뺍시다
y를 뺍니다
그리고 -1을 뺍시다
이는 1을 더하는 것과 같죠
그리고 여기에
같은 것을 해줄게요
-y + 1
그리고 여기 남은 것은
이차 함수입니다
따라서 이는 -2y^2
+2y입니다
맞나요?
맞네요 +2y + 12
는 0입니다
그리고 이 식을 -2로 묶으면
-2 곱하기 y^2 - y
-6 = 0이 됩니다
이는 인수분해를 할 수 있죠
어떤 두 수가 더해서
-1이 나오나요?
그리고 곱이 -6이 나오나요?
이는 -3과 2입니다
따라서 이는 2y - 3y
+2입니다
이 다항식의
인수분해는 매우 간단하죠
이차방정식이죠

Bulgarian: 
Изваждаме у^2, изваждаме у,
и после изваждаме –1,
което е все едно да прибавим 1.
Тук ще направим същото нещо,
–у + 1.
И накрая ни остана, надявам се,
прост израз от втора степен.
Това ще бъде –2у^2 + 2у.
Вярно ли е това?
Да, плюс 2у плюс 12 е равно на нула.
И после можем да изнесем
пред скоби –2,
и получаваме 
–2(у^2 – у – 6) = 0.
Това можем да разложим
с малко налучкване.
Кои две числа, като ги съберем,
дават –1?
А като ги умножим, дават –6?
Това са –3 и 2.
Значи тук ще бъде –2(у – 3)(у + 2).
Това просто е разлагане на полином
от втора степен.

Korean: 
맞게 풀었나요?
맞네요 이는 0과 같죠
그렇다면 두 개의
접점은 무엇인가요?
접점은
y = 3 그리고 y = -2입니다
따라서 여기는 y = -2이며
위는 y = 3입니다
따라서 이 적분값의
-2 부터
3까지의 값을 구합니다
구해봅시다
정리를 해볼게요
자리를 만들죠
따라서 이는 적분식의
-2부터
3까지의 값입니다
식은 -y^2
+3y
+11
빼기 이 모든 값이죠
따라서 - 부호를 분배하면
이는 -y^2
-y + 1입니다
그리고 dy가 있죠

English: 
Did I do that right?
Yep, that looks right, is equal to zero.
So what are the points of intersection?
The points of intersection are going to be
y is equal to three and y
is equal to negative two.
So this right over here is
y is equal to negative two,
and then the upper bound
is y is equal to three.
So now we just have to evaluate
this from negative two,
all the way until three.
So let's do that.
I'm gonna clear this out,
so I get a little bit of real estate.
So this is equal to the integral from
negative two
to three of
negative y squared,
plus three y,
plus 11,
minus all of this stuff.
So if we just distribute
a negative sign here,
it's minus y squared,
minus y, plus one,
and then we have a dy,

Bulgarian: 
Вярно ли го направих?
Да, изглежда вярно,
и е равно на нула.
Кои са точките на пресичане?
Точките на пресичане 
ще бъдат
у = 3 и у = –2.
Това тук е у= –2,
а горната граница е у = 3.
И сега само трябва да сметнем
това от –2 до 3.
Да го направим.
Ще изчистя това, за да
имам повече място.
Това е равно на интеграл
от –2 до 3
от –у^2 + 3у + 11
минус всичко това.
Ако разкрием скобите
и поставим този отрицателен знак,
става –у^2 минус у плюс 1,

Korean: 
dy
그리고 이는 -2부터
3까지의 적분값
그리고 이는 -2부터
3까지의 적분값
-y^2 -y^2은
-2y^2입니다
그리고 3y - y는
+ 2y입니다
그리고 11 + 1은 12입니다
y에 대해 푸는 것이기
때문에 dy입니다
이 값은 얼마인가요?
여기서 부정적분을 합니다
이는 -2
지수를 1 증가시키면
y^3
나누기 지수입니다 이는 멱의
법칙을 역으로 이용한 것이죠
+2y^2 나누기 2
이는 y^2이죠
멱의 법칙을 역으로
사용하는 것이요
그리고 더하기 12y입니다
그리고 이 식이 3일 경우와
-2일 경우의 값을 구합니다

Bulgarian: 
а после dу.
Това е равно на определен
интеграл от
–2 до +3 от...
да видим, –у^2 минус у^2,
това е –2у^2, а после
3у – у става 2у.
После 11 плюс 1 е 12,
виждаме това сега,
като търсим у, dу.
И така, на какво е равно това?
Просто намираме 
примитивната функция.
Това тук ще бъде –2.
Да увеличим степенния 
показател, у^3.
Делим на този степенен показател,
правилото за производна от степен наобратно,
плюс 2у^2, делено на 2,
което е просто у^2,
просто обратното на намирането
на производна от степен,
и после + 12у.
И сега ще сметнем това
за 3 и за –2.

English: 
dy.
This is equal to the
definite integral from
negative two to positive three of,
let's see, negative y
squared minus y squared,
negative two y squared,
and then three y minus y
is going to be plus two y.
And then 11 plus one, plus
12, we saw this just now,
when we were trying to solve for y, dy.
And so what is that going to be equal to?
Well, we just take the
antiderivative here.
This is going to be,
let's see, negative two.
Let's increment the
exponent, y to the third.
Divide by that exponent,
reverse power rule,
plus two y squared divided by
two, which is just y squared,
just the reverse power rule,
and then plus 12 y.
And we're going to evaluate that at three
and at negative two.

English: 
So if we evaluate that at
three, we are going to get,
let's see, negative two
times 27
over three,
plus nine,
plus 36.
And then we are going to
want to subtract, minus
all of this evaluated at negative two.
So it's going to be negative
two times negative eight
over three,
plus four,
minus 24.
So we just have a little bit
of mathematics ahead of us.
So let's see,
this is going to be 27
divided by three is nine.
So this is negative 18.
Negative 18
plus nine is going to be negative nine,
plus 36, all of that is
going to be equal to,
so the stuff in blue is equal to 27.
Right, did I do that right?
Get negative 18 plus nine, yep, 27.
And then all the stuff in red over here,

Bulgarian: 
Ако заместим с 3,
ще получим, да видим,
–2 по 27, върху 3
плюс 9, плюс 36.
После искаме да извадим, 
минус
всичко това, като заместим с –2.
Това ще бъде –2 по –8, върху 3,
плюс 4, минус 24.
Сега да направим сметките.
Това 27 делено на 3 е 9.
Това е –18.
Плюс 9 става –9,
плюс 36, всичко това
ще е равно,
всичко това в синьо е 27.
Вярно ли е?
–18 плюс 9, да 27.
Сега всичко това в червено.

Korean: 
3일 경우의 값을 구하면
-2
x 27
나누기 3
+ 9
+ 36입니다
그리고 여기서 빼기
이 식이 -2일 경우입니다
따라서 이는 -2 x -8
나누기 3
+ 3
- 24 입니다
이제 사칙연산을 하면 끝납니다
봅시다
27/3은 9입니다
따라서 이는 -18입니다
-18
+ 9는 -9입니다
+ 36
결과는
27입니다
맞나요?
18 +9 = 27입니다
그리고 여기 빨간색 값은

Bulgarian: 
Това е отрицателно
 по отрицателно,
значи 16 върху 3, плюс 4, 
минус 24.
Това става 16 върху 3, 
и после минус 20.
После имаме този минус 
тук, така че,
като разкрием скобите,
става +20, минус,
вместо 16/3 можем да
напишем 5 и 1/3,
минус 5 и 1/3.
И какво получаваме?
Ще преместя малко надолу,
или може би надясно,
за да имам повече място.
Това ще бъде равно на –
аплодисменти, моля,
47 минус 5 минус 1/3,
което е равно на, 47 – 5 е 42,
минус 1/3, отново аплодисменти,

Korean: 
이는 음수 곱하기 음수이므로
16/3 더하기 4 빼기 24입니다
따라서  이는 16
나누기 3
빼기
- 20
- 20입니다
하지만 여기에 -가 있기 때문에
분배를 하면 더하기 20
빼기 16/3 대신
5와 1/3으로 적습니다
빼기 5와 1/3
이 결과가 무엇인가요?
화면을 내려서
오른쪽으로 갑니다
자리가 더 있군요
따라서 이 값은
47
- 5
- 1/3
이는 47 - 5인 42
- 1/3인
41과 2/3입니다

English: 
we have, this is going to be
negative times a negative,
so it's 16 over three,
plus four, minus 24.
So that is going to be 16
over three,
and then minus,
minus 20,
minus 20.
But then we have this
negative out here, so it's,
if we distribute that, we'll get plus 20,
minus, we could say
instead of 16 over three,
we could rewrite that as 5 1/3,
minus 5 1/3.
And so what is that going to get us?
Let me scroll down a little
bit, or let me go to the right,
so I have a little bit
more real estate here.
So then that is going to be equal to,
get a minor drum roll here, 47
minus five
minus 1/3,
which is equal to, let's see,
47 minus five, that's 42,
minus 1/3 is, now we get a drum roll,
41 2/3.

Bulgarian: 
41 и 2/3.
И сме готови.

English: 
And we are done.

Korean: 
끝났네요
