
English: 
So, today I'm going to tell you about
what's called Catalan's conjecture.
So even though it's called a conjecture,
it's actually known,
so this was proved by a mathematician
about 15 years ago.
And it's a question about,
or a statement about,
perfect powers, okay?
So... What do I mean
by perfect powers, first of all?
I mean, take some whole number -
1, 2, 3, so on -
and raise it to a power which is larger than 1, okay,
so squares, cubes and so on.
So if you start to write these things down, 1 is a perfect power, in fact a power of itself to any exponent,
2 is not, 3 is not,
But then we get 4, which is 2 squared. Then we have to go up to I guess 8, which is 2 cubed, and
9 is 3 squared, and
16, 25
Am I gonna run into any cube soon? Let's see Oh 27 and
36 and
49 and so on
- so these are numbers that can be built by taking two integers and raising one to the power of another? -that's exactly right

Spanish: 
Entonces, hoy voy a contarte sobre
lo que se llama la Conjetura del Catalan
Así que a pesar de que se llama  conjetura,
en realidad es conocido,
Ya que esto fue probado por un matemático
hace unos 15 años.
Y es un asunto sobre,
o una proposición sobre,
potencias perfectas, ¿de acuerdo?
Entonces ... ¿Qué quiero decir
con potencias perfectas, antes que nada?
Quiero decir, tomas un número entero 
1, 2, 3, etc. -
y lo elevas a una potencia mayor que 1, ¿está bien?,
cuadrados, cubos, etc.
Entonces, si comienzas a escribir estas cosas, 1 es una potencia perfecta, de hecho es potencia de sí mismo para cualquier exponente,
2 no es, 3 no es,
Pero luego obtenemos 4, que es 2 al cuadrado. Luego tenemos que subir a  8, que es 2 al cubo, y
9 es 3 al cuadrado, y
16, 25
Voy a encontrarme con algún cubo pronto. Veamos Oh! 27 y
36 y
49 y así sucesivamente
BRADY: Entonces, ¿estos son números que se pueden construir tomando dos enteros y elevando uno a la potencia del otro? -Eso es  correcto

English: 
Yeah, so of course all we've seen so far mostly squares and cubes
I guess 16 is also a fourth power
But you can take the exponent to be as large as you want, raise it as high of a power as you want, and you
Can take the number to be as large as you want to. I'm just trying to put them in order. -so do these numbers become
More common or less common as we go down the number line? -so they become less common and generally you think they're spread out right,
like just think about squares for example if you hand me a big number like a million and you want to know
"about how many squares are less than a million?" well,
It's about square root of a million right because that's how small the number has to be
To be less than a million after you square it. they're cool numbers
They're kind of spread out as you go along and get bigger and bigger
But notice that in the beginning here some of them are close together, so we've got actually a pair of consecutive
Powers, so separated only by one, I guess here
We have separated by two and three and four and so on so there's some separation here
But what Catalan conjectured and this is a question people have been interested in for hundreds of years actually is

Spanish: 
Sí, así que por supuesto todo lo que hemos visto hasta ahora en su mayoría son cuadrados y cubos
Creo que 16 también es una cuarta potencia
Pero puedes tomar el exponente tan grande como desees, aumentarlo con la potencia que desees y
puedes tomar el número para que sea tan grande como lo desees. Solo estoy tratando de ponerlos en orden.
BRADY: ¿Estos números se vuelven más comunes o menos comunes a medida que avanzamos por la recta numérica?
Se vuelven menos comunes y, en general, crees que están distribuidos correctamente.
Como si piensas solo en cuadrados. Por ejemplo, si me das un gran número como un millón y quieres saber
"¿Cuántos cuadrados hay menores a un millón?"
Bien, se trata de la raíz cuadrada de un millón ¿correcto?. Porque así de pequeño debe ser el número
para ser menor de un millón después de elevarlo al cuadrado. Son números geniales.
Se expanden a medida que avanzas y se hacen más grandes y más grandes
Pero notemos que al principio aquí algunas de ellas están muy juntos, así que tenemos un par de
potencias consecutivas, apenas separados por uno. Luego aquí
nos hemos separado por dos y tres y cuatro, y así sucesivamente, así que hay algo de separación aquí
Pero lo que Catalan conjeturó y ésta es una pregunta en la que la gente ha estado interesada durante cientos de años en realidad es

Spanish: 
Este par particular de ocho y nueve. El hecho de que
tres al cuadrado menos dos al cubo es igual a uno. Realmente tienes dos potencias diferentes que difieren en uno
No se conoce ningún otro ejemplo de eso, y lo que Catalán conjeturó es que
esta es la única vez que esto sucede, tienes dos potencias cuya diferencia es exactamente uno
BRADY: Pero no se sabía si pasaba con números muy grandes
Sí, eso es exactamente correcto
Así que no supimos, por mucho tiempo, si esta conjetura era cierta o no. Hace algunas décadas atrás
supimos que si no era cierto, al menos  solo habría un número finito de excepciones
Entonces, esto tiende a ser más fácil de mostrar en general, ¿está bien?
Sé que hay una gran cantidad de cosas que suceden o solo muchas veces sucede
Pero mostrar que solo hay un caso es lo que no sabíamos hasta hace poco. Ahora es conocido
Sí, entonces esto es lo que probó este matemático Mihăilescu. De hecho,

English: 
this
particular pair of eight and nine so the fact that
Three squared minus two cubed is equal to one or  really that you have any two powers which differ by one
No other example of that was known and so what Catalan conjectured is that
this is the only time that this happens that you have two powers whose difference is exactly one
But it was unknown if like a gajillion and four
Yeah, that's exactly right
so we didn't know for a long time whether or not this conjecture was true so back a few decades ago
We did know that if it wasn't true there would be only finitely many exceptions
So this tends to be easier to show in general right that okay?
I know that there's a really large number of things happening or only finitely many times it happens
But to show that there's only one is what we didn't know until recently so it's known
Yes, so this is what was proved by this mathematician Mihăilescu. In fact,

English: 
These are the only consecutive perfect powers, okay, so this notion that okay?
They probably kind of spread out as time goes on is it least true if spreading out means bigger than one
I mean the proof of this is really advanced and so okay
We don't have time for I don't know the next couple of years to go through it
but I want to tell you at least about sort of a special case of this and
Something that's been known for a while
But it gives you an idea of kind of the type of manipulation you can do to understand this kind of problem. all right,
So solving this equation showing that there's only one solution and that's it
is pretty hard
But let me show you a special case: let's look at the case of x squared minus
Y cubed equals one so for example that has some solution
We know because we have these consecutive powers, so we're really just asking about a square differing from a cube by one okay
So why doesn't this have any other solutions?
Well, here's what you want to do: general rule adding and understanding factors at the same time is hard
That's why Fermat's Last Theorem is hard, that's why this kind of question is hard. So let's change it to a question about multiplication.

Spanish: 
estas son las únicas potencias perfectas consecutivas, ¿está bien? Esta noción
de que se van separando a medida que pasa el tiempo es menos cierta si la separación es mayor a uno.
Quiero decir que la prueba de esto es realmente avanzada y
no tenemos tiempo para, no lo sé, tal vez un par de años para desarrollarla
Pero quiero hablarte al menos sobre un caso especial de esto.
Algo que se ha sabido desde hace algún tiempo
Pero te da una idea del tipo de manipulación que puedes hacer para comprender este tipo de problema.
Resolver esta ecuación y mostrar que solo tiene una solución y nada más
es bastante duro
Pero dejame mostrarte un caso especial: veamos el caso de X al cuadrado menos
Y al cubo igual a uno que, por ejemplo, tiene alguna solución.
Lo sabemos porque tenemos estas potencias consecutivas, ya que solo estamos preguntando por un cuadrado que difiere de un cubo en uno.
Entonces, ¿por qué esto no tiene otras soluciones?
Bueno, esto es lo que deseas hacer: Usar reglas generales y comprender los factores al mismo tiempo es difícil
Es por eso que el último teorema de Fermat es difícil. Por eso este tipo de pregunta es difícil. Cambiemos a una pregunta sobre la multiplicación.

Spanish: 
De acuerdo, entonces, ¿cómo hacemos eso? Vamos a mover las cosas al otro lado, así que digamos
Vamos a resolver esta ecuación.
Ahora, ¿por qué esto nos mejora la vida? La razón es porque esto se divide en dos factores
Cada vez que veas una diferencia de cuadrados como esta, puedes factorizarlo de esta manera, y así
esto simplemente cambia de un problema muy difícil sobre suma y multiplicación
interactuando juntos, a solo una multiplicación.
De acuerdo, ahora ¿por qué es esto mejor? ¿Cómo averiguo si esto tiene o no soluciones?
Aquí está la idea: los factores de Y.
Cualquier número que divida a Y tiene que dividir a una de estas dos cosas,
así que vamos a ignorar dos por el momento
Supongamos que Y es impar, por lo que dos no dividen a Y
Entonces, si Y es impar, eso significa que cualquier factor de Y debe dividir una de estas dos cosas
Pero no puede dividir a los dos a la vez y la razón es que sean cuales sean estos dos números, difieren solo en dos.

English: 
All right, so how do we do that? Let's move things to the other side, so let's say instead
We're gonna solve this equation.
Now why have I just made my life better? The reason why is because this thing breaks up into two factors
Any time you see a difference of squares like this, you can factorize it in this way, and so
this just changes from a very hard problem about addition and multiplication
interacting together to just multiplication. Okay, so now why is this better? Why do I find out whether or not this has solutions?
Here's the idea: the factors of Y.
Any number that divides y has gotta divide one of these two things and so let's ignore two for the moment
Let's pretend that Y is odd, so two doesn't divide Y
So if Y is odd that means then that any factor of y has to divide one of these two things
But it can't divide both of them at once and the reason why is that whatever these two numbers are, they differ only by two

Spanish: 
Entonces, por la misma razón, no pueden tener un factor común que no sea posiblemente dos.
Entonces, si Y es impar cada factor de Y o bien
divide a (X-1) o divide a (X+1), pero no ambos al mismo tiempo
Lo que significa que ambos números deben ser cubos. Entonces estos son dos cubos porque cualquier número que divida a Y
Sabemos que hay al menos tres copias de él aquí
Pero todas esas copias tienen que dividir al mismo de estos dos números, así que tenemos dos cubos
Que están separados por dos.
¿Correcto?, entonces la diferencia entre estos dos cubos es solo dos.
Pero eso nunca sucede con los cubos, ¿verdad ?, porque sabemos que los cubos son 1, 8,
27 y así sucesivamente y eso seguro
se extiende a medida que avanzas y por lo tanto no puedes tener cubos separados por dos
Y entonces no puedes tener ninguna solución para esta ecuación al menos si Y es impar.
BRADY: ¿Qué pasa si Y es par?
Bueno, entonces es un poco más difícil, pero no tanto.
BRADY: No has hecho toda la prueba

English: 
So for the same reason they can't have a common factor other than possibly two.
so if Y is odd all the factors of Y either
divide X minus one or a factor of Y divides X plus one, but not both at the same time
Which means that both of these numbers have to be cubes. So these are both cubes because any number which divides Y
We know there's at least three copies of
But all of those copies have to go to the same one of these two numbers, and so we've got two cubes
Which are only two apart.
Right so the difference between these two cubes is only two,
but that never happens with cubes, right, because we know what the cubes are 1 8
27 and so on and that for sure
spreads out as you go along and so you can't have any cubes which are separated by two
And so you can't have any solution to this equation (at least if Y is odd).  -What if Y is even?
Well then it's a little bit harder, but not that much -You haven't done the whole proof

Spanish: 
No, así que, en general, por supuesto, la prueba no es a través de este plan, aunque el cambio de la suma a la multiplicación es la parte importante de
la prueba en realidad. Una parte importante de la prueba.
Pero esto es solo la pieza más pequeña, el paso en la dirección correcta para probar este tipo de cosas.
Hola a todos, gracias por ver este video, estoy trabajando en
El problema de la semana de Brilliant. ¿Cuál triángulo tiene el mayor área? No puedo decidir si ésta es una pregunta capciosa o
tienen el mismo área, déjame marcar c,  ah!
Dice que, .. ah ok. Lo tengo mal, pero  aquí dice
Y esto es cierto, quedarse perplejo es parte del aprendizaje y ahora podemos continuar y discutir las soluciones
Sí, mira, probablemente debería haber hecho un mejor trabajo como lo hizo esa persona, pero sabes que ahora estamos grabando aquí con prisa.
Brilliant.org es un fantástico sitio web para la resolución de problemas
También es el patrocinador del video de hoy en caso de que no lo hayas notado y lo que me gusta de Brilliant es que
está lleno de todo tipo de cuestionarios y cursos y lecciones verificadas. No solo

English: 
No, so in general of course the proof is not via this plan although changing from addition to multiplication is the important part of
the proof actually. An important part of the proof.
But this is just sort of the smallest tiniest piece the step in the right direction towards proving this kind of thing.
Hi everyone thanks for watching this video, I'm just working on
Brilliant's problem of the week, which triangle has the greatest area. I can't decide if this is a trick question or
do they have the same area let me get 4c ah
It says it's okay. I got it wrong, but it says here
And this is true getting stumped is part of learning and now we get to continue and discuss the solutions
Yeah, see I probably should have done better working out like that person did, but you know we're recording here in a hurry now
Brilliant dog is a fantastic problem-solving website
It's also the sponsor of today's video in case you hadn't noticed and the thing I like about brilliant is
it's full of all sorts of quizzes and courses and curated lessons that doesn't just

Spanish: 
te cuenta cosas para que las sepas. Te ayuda a entender, te ayuda a profundizar
Y creo que eso es realmente importante- Puedes ver montones de videos y aprender muchas cosas nuevas, pero realmente
comprendes que a veces tienes que hacer los problemas con alguien que te tome de la mano mientras lo haces
Y eso es lo bueno de Brilliant. Obviamente cubren un montón de matemáticas
También cubren ciencia. También cubren informática. Hay física. Aquí hay todo tipo de cosas
Deberías echarle un vistazo por cierto si disfrutaste el video de hoy con Holly
Me dijeron que el grupo de problemas abiertos aquí en Brilliant también podría ser un gran lugar para pasar el rato
Entonces qué! ¿vas a echarle un vistazo a esto?
Voy a incluir un enlace en la descripción del video ahora, mientras regreso a estos triángulos y resuelvo las cosas
Lo que debes hacer es ir a brilliant.org/numberphile y puedes inscribirte en Brilliant de forma gratuita.
Pero si usas la barra oblicua, acabo de mencionarlo y habrá un enlace en la descripción
También obtendrás un 20% de descuento en una membresía premium. Ve y echa un vistazo y no solo te dirán cosas,

English: 
Tell you stuff so that you'll know it it helps you understand that it helps you go deeper
And I think that's a really important thing you can watch loads of videos and learn lots of new things but to really
Understand that sometimes you actually have to do the problems have someone hold your hand as you go through it
And that's what's great about brilliant. They obviously cover loads of mathematics
They also cover science. They also cover computer science. There's physics. There's all sorts of things here
You really should have a look by the way if you enjoyed today's video with Holly
I'm told the open problems group here on brilliant could also be a great place for you to be hanging out
So what are you going to have a look at that?
I'll include a link down in the video description now while I get back into these triangles and figure things out
What you should do is go to brilliant org slash numberphile you can sign up to brilliant for free?
But if you use the slash numberphile, I just mentioned and there'll be a link in the description
You'll also get 20% off a premium membership go and have a look and don't just get told stuff

English: 
understand stuff
There is a difference

Spanish: 
entenderás cosas
Hay una diferencia
