
Bulgarian: 
 
Имаме функцията f(х) = х^3 - 12х + 2.
И в това видео искам
да помисля при каква точка
функцията ми f приема минимални или максимални стойности.
За да намеря това, първо трябва да намеря
критичните точки за функцията ми f.
И после при кои от тези критични точки
постигаме максимална или минимална стойност.
За да определим критичните точки,
трябва да намерим производната на нашата функция,
понеже критичните ни точки са просто
точката, при която производната ни е или равна на 0,
или не е зададена.
Производното на това нещо тук,
просто ще използваме едно от свойствата на степените няколко пъти,
а после, предполагам можеш да го наречеш правилото за константата...
Но производната на х^3 е 3х^2.
Производната на -12х е -12.
И производната на константа –
не се променя по отношение на х –
просто ще е равно на 0.
Така че ще получим критична точка,
когато това нещо тук, за някаква стойност на х,
е или 0, или не е зададено.
Това тук е зададено за всички стойности на х.

Korean: 
 
여기 f(x)에 관한 3차식
X^3-12X+2이 있습니다
이번 시간엔
어느 지점에서 함수f(x)의
극대값과 극소값을 가질 수 있는지에 대해
생각해 보려 합니다
이것을 알기 위해
함수 f(x)의 임계점이 
무엇인지 먼저 알아야 합니다
어떤 임계점에서
극소값과 극대값을 가질 수 있을까요?
그리고 임계점을 결정하기 위해
우리는 함수를 미분해야만 합니다
왜냐하면 임계점은
미분이 0이 되거나 정의되지 않기
때문입니다
그래서 바로 여기 이 식의 미분은
여러번 식을 사용할 겁니다
그리고 이것을 상수법칙이라고
 할 수 있습니다
x의 3제곱은 미분하면 3과 
x제곱의 곱입니다
-12x의 미분은 -12입니다
그리고 상수의 미분은
x에 관한 변화가 없습니다
그래서 상수는 0이 됩니다
이 지점에서 어떤 x의 값이
정의되어 있지 않거나
0일 때
우리는 임계값을 가지게 됩니다
이 식은 x의 모든 값에 대해 
정의되어 있습니다

Czech: 
Máme funkci f(x) rovná se
x na třetí minus (12 krát x) plus 2.
V tomto videu bych rád zjistil, ve kterých
bodech funkce nabývá minima nebo maxima.
Abychom to zjistili, musíme nejprve
najít stacionární body funkce f
a pak zjistit, ve kterém ze stacionárních
bodů funkce nabývá minima nebo maxima.
Abychom našli stacionární body,
potřebujeme spočítat derivaci naší funkce,
protože stacionární body
jsou ty body,
ve kterých je derivace buď
rovna nule, nebo není definovaná.
Ke zderivování tohoto výrazu několikrát
použijeme pravidlo pro derivaci mocniny
a zde pravidlo
pro derivaci konstanty.
Derivace (x na třetí)
je 3 krát (x na druhou).
Derivace (−12 krát x) je −12.
A derivace konstanty...
Konstanta se s x nemění,
proto je její derivace rovno nula.
Stacionární body
dostaneme,
když bude tento výraz pro nějaké x
buď nedefinovaný, nebo roven nule.
Tento výraz je
definovaný pro všechna x.

English: 
We've got the function f of x
is equal to x to the third power
minus 12x plus 2.
And what I want to
do in this video
is think about at
what points does
my function f take on
minimum or maximum values?
And to figure that out I
have to first figure out
what are the critical
points for my function f.
And then which of
those critical points
do we achieve a minimum
or maximum value?
And to determine
the critical points
we have to find the
derivative of our function
because our critical
points are just
the point at which our
derivative is either equal to 0
or undefined.
So the derivative of this
thing right over here,
we're just going to use the
power rule several times,
and then I guess you can
call it the constant rule.
But the derivative of x to
the third is 3x squared.
Derivative of negative
12x is negative 12.
And the derivative
of a constant, it
doesn't change
with respect to x,
so it's just going
to be equal to 0.
So we're going to get
a critical point when
this thing right over
here, for some value of x
is either undefined or 0.
Well this thing is defined
for all values of x.

Portuguese: 
Temos a função f de x igual a
x ao cubo menos 12x mais dois.
E o que quero fazer nesse vídeo
é pensar em quais pontos
a minha função f tem valores
mínimos e máximos?
E para descobrir, primeiro preciso achar
os pontos críticos da minha função f.
Então, quais desses pontos críticos
atinge um valor mínimo ou máximo?
E para determinar
os pontos críticos
precisamos achar a
derivada da nossa função
porque nossos pontos críticos são
os pontos em que nossa derivada
ou é igual a zero ou é indefinida.
Então, a derivada disso aqui,
vamos usar a regra da
potência várias vezes,
acho que podemos chamá-la
de regra constante.
Mas a derivada de x ao cubo
é três x ao quadrado.
Derivada de menos 12x é menos 12.
E a derivada da constante,
não muda em relação a x,
então será zero.
Então vamos ter um ponto crítico
quando isso aqui, para algum valor de x,
é ou indefinido ou zero.
Bem, isso aqui é definido para
todos os valores de x.

Thai: 
 
เรามีฟังก์ชัน f ของ x เท่ากับ x ยกกำลัง 3
ลบ 12x บวก 2
และสิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือคิดว่าฟังก์ชัน f
มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดที่ใด?
และเวลาหา ผมต้องหา
จุดวิกฤตสำหรับฟังก์ชัน f ของผมก่อน
แล้วที่จุดวิกฤตใดในนั้น
เราจึงจะได้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด?
และเวลาหาจุดวิกฤต
เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรา
เพราะจุดวิกฤตของเราก็แค่
จุดที่อนุพันธ์เท่ากับ 0
หรือไม่นิยาม
อนุพันธ์ของสิ่งนี้ตรงนี้
เราแค่ใช้กฎยกกำลังหลายครั้ง
แล้วก็ คุณจะเรียกว่ากฎค่าคงที่ก็ได้
แต่อนุพันธ์ของ x กำลัง 3 เท่ากับ 3x กำลัง 2
อนุพันธ์ของลบ 12x เท่ากับลบ 12
และอนุพันธ์ของค่าคงที่
มันไม่เปลี่ยนเทียบกับ x
มันจึงจะเท่ากับ 0
เราจะได้จุดวิกฤตเมื่อ
สิ่งนี้ตรงนี้ สำหรับค่า x บางค่า
ได้เป็นไม่นิยาม หรือไม่ก็ 0
พจน์นี้นิยามสำหรับทุกค่า x

Bulgarian: 
Така че единствените места, където ще намерим критични точки,
е когато това нещо е равно на 0.
Нека го поставим да е равно на 0.
Кога 3х^2 - 12 = 0?
Нека добавим 12 към двете страни.
Получаваш 3х^2 = 12.
Делим двете страни на 3.
Получаваш х^2 = 4.
Това ще се случи, когато х = 2
и когато х = -2.
Да поясня...
f'(2), получаваш 3*4 - 12, което е равно на 0.
И f'(-2) е също – по същата причина –
също е равно на 0.
Можем да кажем – и ще сменя цветовете –
че f има критични точки при х = 2

Thai: 
ตำแหน่งที่เราจะหาจุดวิกฤต
คือเมื่อพจน์นี้เท่ากับ 0
ลองให้มันเท่ากับ 0 กัน
3x กำลังสองลบ 12 เท่ากับ 0 เมื่อใด?
ลองบวก 12 ทั้งสองข้าง
คุณจะได้ 3x กำลังสองเท่ากับ 12
หารทั้งสองข้างด้วย 3
คุณจะได้ x กำลังสองเท่ากับ 4
อันนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ x เท่ากับ 2
และ x เท่ากับลบ 2
เพื่อบอกให้ชัด f ของ 2 ขอผมบอกให้ชัดหน่อย
f ไพรม์ของ 2 คุณจะได้ 3 คูณ 4 
ลบ 12 ซึ่งเท่ากับ 0
และ f ไพรม์ลบ 2 ด้วยเหตุผลเดียวกัน
เท่ากับ 0 เช่นกัน
เราก็บอกได้ -- และผมจะเปลี่ยนสีตรงนี้ --
ที่ f มีจุดวิกฤตที่ x เท่ากับ 2

Portuguese: 
O único lugar que vamos
encontrar pontos críticos
é quando isso aqui
é igual a zero
Vamos fazer isso igual a zero.
Quando é que três x quadrado
menos 12 é igual a zero?
Vamos adicionar 12 aos dois lados.
Temos três x ao quadrado
igual a 12.
Dividimos os dois lados por três.
E temos x ao quadrado igual a quatro.
Bem, isso acontecerá quando x é
igual a dois e igual a menos dois.
Só para ser claro,
f de dois, quer dizer,
f linha de dois, temos três vezes quatro
menos 12, que é igual a zero.
E f linha de menos dois é o
mesmo, pela mesma razão,
também é igual a zero.
Então podemos dizer --
(vou mudar as cores aqui)
-- que f tem pontos críticos
em x igual a dois

Czech: 
Pro nalezení stacionárních bodů
tak stačí položit tento výraz rovný nule.
Položme ho tedy
rovný nule.
Kdy se 3 krát (x na druhou)
minus 12 rovná 0?
K oběma stranám přičteme 12 a dostaneme,
že 3 krát (x na druhou) se rovná 12.
Nyní obě strany vydělíme 3 a vyjde nám,
že x na druhou se rovná 4.
Toto nastane, když se x rovná 2
a když se x rovná −2.
Ještě to ujasním.
f(2) se rovná...
Vlastně ne,
bude to f s čárkou.
...se rovná (3 krát 4) minus 12,
což se rovná 0,
a ‚f‘ s čárkou v bodě −2
je ze stejného důvodu také rovno 0.
Můžeme tedy říct...
Vezmu si na to
novou barvu.

Korean: 
유일하게 임계점을 찾을 수 있는 지점은
이 식이 0과 같을 때입니다
이 식을 0과 같다고 둡시다
어디에서 3과 x제곱에  12를 빼면 
0이 될까요?
양변에 12을 같이 더합시다
그럼 3과 x제곱의 곱은 12가 됩니다
양변을 3으로 나눕니다
그럼 x제곱은 4가 됩니다
x가 2일 때와
x는 -2일 때 성립됩니다
정확하게 하자면
f(2)는
f´(2)는 3과 x제곱의 곱에 12x를 더하고
12를 뺀 식이고, 이것은 0입니다
그리고 f´(-2) 또한 똑같은 이유로
0이 됩니다
색을 바꿔서 해봅시다
f는 x가 2일 때

English: 
So the only places we're
going to find critical points
is when this thing
is equal to 0.
So let's set it equal to 0.
When does 3x squared
minus 12 equal 0?
So let's add 12 to both sides.
You get 3x squared
is equal to 12.
Divide both sides by 3.
You get x squared is equal to 4.
Well this is going to
happen when x is equal to 2
and x is equal to negative 2.
Just to be clear, f of
2, or let me be clear,
f prime of 2, you get 3 times 4
minus 12, which is equal to 0.
And f prime negative 2 is
also, same exact reason,
is also equal to 0.
So we can say-- and I'll
switch colors here--
that f has critical
points at x equals 2

Thai: 
และ x เท่ากับลบ 2
มันใช้ได้
แต่เรายังไม่รู้ว่าฟังก์ชันมีค่า
ต่ำสุดที่จุดเหล่านั้น ค่าสูงสุด
ที่จุดเหล่านั้น หรือไม่ใช่ทั้งคู่
เวลาหา เราต้องหา
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย
รอบจุดเหล่านี้หรือไม่
ลองพยายามวาดกราฟอนุพันธ์
เพื่อคิดดู
ลองวาดกราฟกัน
ผมจะวาดแกนตรงนี้นะ
ผมจะทำข้างล่างนี้เพราะบางทีเรา
จะได้ใช้ข้อมูลนั้นต่อไป กับกราฟ f ของ x
สมมุติว่านี่คือแกน x
นี่คือแกน y
แล้วเรามีจุดวิกฤตที่ x เท่ากับบวก 2
มันคือ 1, 2
และ x เท่ากับลบ 2, 1, 2
x เท่ากับลบ 2
อนุพันธ์นี้เป็น
อย่างไรถ้าเราอยากวาดกราฟมัน?
เรามี เมื่อ x เท่ากับ 0 สำหรับอนุพันธ์

Portuguese: 
e x igual a menos dois.
Bem, é justo.
Mas ainda não sabemos
onde a função tem
valores mínimos nesses pontos,
valores máximos nesses pontos
ou nenhum dos dois.
Para descobrir,
precisamos achar onde
a derivada muda de sinal
em torno desses pontos.
Vamos tentar fazer
o gráfico da derivada
para pensar sobre isso.
Vamos fazer.
Vou desenhar um eixo bem aqui.
Vou fazer aqui
porque talvez
possamos usar essa informação
para o gráfico de f de x.
Digamos que esse é o meu eixo x.
Esse é meu eixo y.
E temos pontos críticos em
x igual a mais dois.
Então é um, dois.
E x é igual a menos dois, um, dois.
x é igual a menos dois.
Então como se parece essa derivada
se quisermos fazer o gráfico?
Bem, quando x é igual a
zero para a derivada

English: 
and x equals negative 2.
Well that's fair enough.
But we still don't know
whether the function takes
on a minimum values at
those points, maximum values
of those points, or neither.
To figure that out
we have to figure out
whether the derivative changes
signs around these points.
So let's actually try
to graph the derivative
to think about this.
So let's graph.
I'll draw an axis
right over here.
I'll do it down here
because maybe we
can use that information
later on to graph f of x.
So let's say this is my x-axis.
This is my y-axis.
And so we have critical points
at x is equal to positive 2.
So it's 1, 2.
And x is equal to negative 2,
1, 2. x is equal to negative 2.
So what does this
derivative look
like if we wanted to graph it?
Well we have when x is equal
to 0 for the derivative

Korean: 
그리고 x가 -2일 때 임계점을 가집니다
충분하죠
그러나 여전히 이 함수가
이 점들에서 최소값을 가지는지
최대값을 가지는지 아니면 둘다
존재하지를 모릅니다
이것을 알기 위해
이 지점에서 도함수의 변화가 
있는지를 알아봐야 합니다
그래프를 그려서
생각해봅시다
그래프를 그려봅시다
여기 축을 그립니다
여기에 그리겠습니다
나중에 함수 f(x)에 쓸 수도 
있기 때문입니다
이것을 x축이라고 합시다
이것은 y축입니다
x는 2에서  임계점을 가집니다
이 점은 1, 2입니다
x는 -2입니다
이 미분함수는 어떻게
그릴 수 있을까요?
도함수에서 x가 0일 때

Bulgarian: 
и при х = -2.
Добре.
Но все още не знаем дали функцията приема
минимални стойности при тези точки,
максимални стойности при тези точки или нито едно от двете.
За да намерим това, трябва да открием
дали производната променя знаците си около тези точки.
Нека опитаме да начертаем графика на производната
и да помислим върху това.
Нека начертаем графика.
Ще начертая една ос ето тук.
Ще я направя тук долу, понеже може би
можем да използваме тази информация по-късно, за да начертаем графика на f(х).
Да кажем, че това е моята ос х.
Това е моята ос у.
И имаме критични точки при х = +2.
Това са 1, 2...
И х = -2...1, 2.
х = -2.
Как изглежда производната,
ако искахме да начертаем графиката ѝ?
Когато х = 0, за производната,

Czech: 
...že stacionárními body funkce f jsou
body x rovno 2 a x rovno −2.
To je zatím hezké,
ale pořád nevíme,
zda má funkce v těchto bodech
minimum, maximum, nebo ani jedno.
Abychom to určili, musíme zjistit, zda
derivace v těchto bodech mění znaménko.
Zkusme si za tím účelem
nakreslit graf derivace.
Nakreslím si zde osy.
Nakreslím je sem dolů, protože tyto
informace možná později využijeme k tomu,
abychom nakreslili
funkci f(x).
Toto je moje osa x
a tohle bude
moje osa y.
Jedním stacionárním bodem
je bod x rovno 2,
takže si tu
vyznačím 1 a 2.
Druhým stacionárním bodem
je bod x rovno −2.
1, 2...
Bod x rovná se −2.
Jak bude tato derivace vypadat,
pokud chceme nakreslit její graf?

Portuguese: 
estamos em menos 12.
Então esse é o ponto y
igual a menos 12.
Isso é, estamos fazendo o gráfico
de y igual a f linha de x.
Então se parece com algo assim.
Esses são, obviamente, os zeros
da nossa derivada.
Então tem que subir para cortar
o eixo x ali e aqui.
E o que a derivada
está mostrando
em cada um desses pontos críticos?
Bem aqui nossa derivada
está passando de ser positiva,
temos uma derivada positiva,
se torna uma derivada negativa.
Então estamos passando
de derivada positiva
para derivada negativa,
que é nosso critério
para um ponto crítico
ser um ponto de máximo.
Bem aqui estamos cruzando
de ser uma derivada negativa

Czech: 
Když je x rovno 0,
derivace se rovná −12.
Vyznačím si tu tedy
bod y rovná se −12.
Kreslíme tu graf funkce
y rovná se f s čárkou,
který vypadá
nějak takto.
V těchto bodech je
derivace nulová,
takže derivace musí zespoda
protnout osu ‚x‛ tady a také tady.
Jak se derivace chová v každém
z těchto stacionárních bodů?
V tomto bodě se derivace
mění z kladné na zápornou.
Derivace se změnila
z kladné na zápornou,
což byla naše podmínka pro to, aby byl
stacionární bod bodem lokálního maxima.
V tomto bodě se derivace
mění ze záporné na kladnou,

Bulgarian: 
ние сме при -12.
Това е точката у = -12.
Чертаем графика на у = f'(х).
Изглежда ето така.
Това очевидно са нулите на нашата производна.
Така че трябва да се премести нагоре, за да пресече оста х тук и ето тук.
Какво прави производната при
всяка от тези критични точки?
Тук производната ни пресича от положителни стойности,
имаме положителна производна, до отрицателни – отрицателна производна.
Пресичаме от положителна производна към
отрицателна производна, това бяха критериите ни,
за да бъде една критична точка максимална точка.
Ето тук преминаваме от отрицателна производна

English: 
we're at negative 12.
So this is the point y
is equal to negative 12.
So this is, we're graphing
y is equal to f prime of x.
So it looks something like this.
These are obviously the
0's of our derivative.
So it has to move up to cross
the x-axis there and over here.
So what is the
derivative doing at each
of these critical points?
Well over here our derivative
is crossing from being positive,
we have a positive derivative,
to being a negative derivative.
So we're crossing from being
a positive derivative to being
a negative derivative,
that was our criteria
for a critical point
to be a maximum point.
Over here we're crossing
from a negative derivative

Thai: 
เราอยู่ที่ลบ 12
นี่คือจุด y เท่ากับลบ 12
นี่ก็คือ เรากำลังวาดกราฟ y 
เท่ากับ f ไพรม์ของ x
มันดูเป็นแบบนี้
 
พวกนี้คือรากของอนุพันธ์เราแน่นอน
มันต้องขึ้นเพื่อผ่านแกน x ตรงนี้กับตรงนี้
 
อนุพันธ์จะเป็นอย่างไรที่
จุดวิกฤตแต่ละจุดนี้?
ตรงนี้ อนุพันธ์ของเรากำลังข้ามจากเป็นบวก
เรามีอนุพันธ์เป็นบวก มีอนุพันธ์เป็นลบ
เรากำลังข้ามจากอนุพันธ์เป็นบวกเป็น
อนุพันธ์เป็นลบ นั่นคือเงื่อนไขของเรา
เพื่อให้จุดวิกฤตเป็นจุดสูงสุด
 
ตรงนี้ เรากำลังข้ามจากอนุพันธ์เป็นลบ

Korean: 
-12가 됩니다
y는 -12입니다
이것이 f´(x)의 함수입니다
이렇게 그릴 수 있습니다
 
여기에서 분명하게 도함수가 0입니다
x축 위로 여기서 그립니다
 
이 임계점에서
도함수는 무엇일까요?
이 지점에서 도함수가 양수에서
음수로 바뀝니다
도함수가 양수에서
음수로 바뀔 때
이 임계점에서 
극대값을 가집니다
 
이 점에서는
음수에서

English: 
to a positive
derivative, which is
our criteria for a critical
point for the function
to have a minimum value
at a critical point.
So a minimum.
And I just want to make sure
we have the correct intuition.
If our function, if some
function is increasing
going into some point,
and at that point
we actually have
a derivative 0--
the derivative could
also be undefined--
but we have a derivative
of 0 and then the function
begins decreasing, that's why
this would be a maximum point.
Similarly, if we have a
situation where the function is
decreasing going into a point,
the derivative is negative.
Remember this is the
graph of the derivative.
Let me make this clear.
This is the graph of y is equal
to not f of x, but f prime
of x.
So if we have a situation
we're going into the point,
the function has
a negative slope,
we see we have a negative slope
here-- so the function might
look something like this.
And then right at this
point the function

Bulgarian: 
към положителна производна, което е
критерият ни, за да бъде една критична точка – за функцията
да има минимална стойност при една критична точка.
Минимална стойност.
Исках да се уверя, че мислим логично.
Ако една функция се увеличава
към някаква точка и при тази точка
имаме производна 0 –
производната може също да не е зададена –
но имаме производна 0 и после функцията
започне да намалява, това е причината това да е максимална точка.
Подобно, ако имаме ситуация, при която функцията
намалява към една точка, производната е отрицателно.
Помни, това е графиката на производната.
Нека поясня.
Това е графиката на у равно не на f(х), а на
f'(х).
Ако имаме ситуация, при която отиваме към точката,
функцията има отрицателен ъглов коефициент,
виждаме, че тук имаме отрицателен ъглов коефициент –
функцията може да изглежда ето така.
И после точно при тази точка

Czech: 
což je naše podmínka pro to, aby byl
stacionární bod bodem lokálního minima.
Rád bych se ujistil,
že to intuitivně chápeme.
Pokud nějaká funkce roste
až do určitého bodu a v tom bodě...
Vidíme, že máme derivaci rovnou 0,
ale také může být nedefinovaná.
...a v tom bodě je derivace rovna 0,
načež pak funkce začíná klesat,
tak jde o bod
lokálního maxima.
Podobně platí, že pokud máme funkci,
která klesá až do určitého bodu,
neboli derivace
je záporná...
Nezapomeňme, že toto
je graf derivace.
Raději to tam napíšu.
Jde o graf funkce y rovná se
nikoliv f(x), nýbrž f(x) s čárkou.
Pokud jdeme do nějakého bodu
a funkce má záporný sklon...
Vidíme, že funkce zde má záporný sklon,
takže její graf bude vypadat nějak takto.

Thai: 
กลายเป็นอนุพันธ์บวก ซึ่งก็คือ
เงื่อนไขของเราสำหรับจุดวิกฤต เพื่อให้ฟังก์ชัน
มีค่าต่ำสุดที่จุดวิกฤต
ค่าต่ำสุด
และผมอยากแน่ใจว่า
เรามีสัญชาตญาณที่ถูกต้อง
ถ้าฟังก์ชันของเรา ถ้าฟังก์ชันเพิ่ม
ไปถึงจุดหนึ่ง และที่จุดนั้น
เรามีอนุพันธ์เป็น 0 --
อนุพันธ์จะไม่นิยามก็ได้ --
แต่เรามีอนุพันธ์เป็น 0 แล้วฟังก์ชัน
จะเริ่มลดลง นั่นคือสาเหตุที่อันนี้เป็นจุดสูงสุด
เช่นเดียวกัน ถ้าเรามีกรณีที่ฟังก์ชัน
ลดลงถึงจุดหนึ่ง อนุพันธ์เป็นลบ
นึกดู นี่คือกราฟของอนุพันธ์
ขอผมบอกให้ชัดนะ
นี่คือกราฟของ y เท่ากับ ไม่ใช่ f ของ x
แต่ f ไพรม์ของ x
 
ถ้าเรามีกรณีที่เราไปยังจุดหนึ่ง
ฟังก์ชันมีความชันเป็นลบ
เราเห็นว่าเรามีความชันเป็นลบตรงนี้ -- ฟังก์ชัน
อาจเป็นแบบนี้
แล้วตรงจุดนี้ ฟังก์ชัน

Korean: 
양수로 바뀌고
그리고 여기서
함수의 극소값을
가지게 됩니다
극소값입니다
우리의 직감이 맞다고 확신합니다
만약 어떤 함수가 증가한다면
이 지점에서
실제로 도함수는 0이 됩니다
도함수가 또한 정의되지 않습니다
그러나 도함수가 0이고
함수는 다시 감소하기 시작하고
그래서 이 점이 극대값이 됩니다
비슷하게 
함수가 감소하면
도함수는 음수가 됩니다
이것이 바로 도함수의 그래프입니다
정확하게 해봅시다
y의 그래프는 
f(x)의 그래프가 아니라
f´(x)함수입니다
이 지점을 보면
함수의 기울기는 음수입니다
여기서 기울기는 음수이고
함수는
이렇게 모양처럼 보일 겁니다
이 지점에서 함수는 정의되지 않거나

Portuguese: 
para uma derivada
positiva, que é
nosso critério para um
ponto crítico para a função
ter um valor mínimo
em um ponto crítico.
Então um mínimo.
Só queremos ter certeza
que temos a intuição correta.
Se nossa função, uma
função está crescendo
e indo para um ponto,
e nesse ponto nós temos
uma derivada zero,
-- a derivada também
pode ser indefinida --
mas temos uma derivada
de zero e quando a função
começa a descer, é porque
deve ser um ponto de máximo.
Da mesma forma, se temos
uma situação onde a função
está diminuindo e indo para algum 
ponto, a derivada é negativa.
Lembre, este é o
gráfico da derivada.
Deixe-me esclarecer isso.
Este é o gráfico de y
igual não a f de x,
mas a f linha de x.
Então se temos uma situação
de descer a um ponto,
a função tem uma
inclinação negativa,
vemos que temos uma inclinação
negativa aqui-- então a função
pode ser algo assim.
Então bem neste
ponto, a função

Bulgarian: 
функцията или не е зададена, или има ъглов коефициент 0.
В този случай има ъглов коефициент 0.
И после, след тази точка, нека направя това точно отдолу.
Това отива насам и имаме отрицателен ъглов коефициент.
И после ето тук имаме ъглов коефициент 0.
Което мога да начертая дори по-добре от това.
Ако си представим, че отиваме насам,
имаме отрицателен ъглов коефициент, точно при тази точка имаме ъглов коефициент 0,
а после имаме положителен ъглов коефициент.
Тоест функцията започва да се увеличава.
Ето защо казваме, че тук имаме минимална точка.
Това, което направих тук,
е да опитам да концептуализирам как ще изглежда самата функция,
при дадена производната, в този случай
при променяне от положителна производна към отрицателна производна
през тази критична точка или
преминаване от отрицателна производна към положителна производна.
Ето защо това е критерият за максимална точка,
а това е критерият за минимална точка.
Като изяснихме това, можем ли да използваме тези разсъждения,
за които говорихме току-що,
за да опитаме да скицираме графиката на f(х)?
Нека опитаме да направим това.

Thai: 
ไม่นิยามหรือมีความชันเป็น 0
ในกรณีนี้ มันมีความชันเป็น 0
แล้วหลังจากจุดนั้น ขอผมเขียนข้างล่างมันนะ
ตอนไปหาจุดนั้น เรามีความชันเป็นลบ
แล้วตรงนี้ เรามีความชันเป็น 0
ซึ่งผมวาดได้ดีกว่านั้น
ถ้าเรานึกภาพว่าเรากำลังไปหามัน เรามี
ความชันเป็นลบ ตรงจุดนั้น เรามีความชันเป็น 0
แล้วเรามีความชันเป็นบวก
ฟังก์ชันจะเริ่มเพิ่มขึ้น
นั่นคือสาเหตุที่เราบอกว่า เรามีจุดต่ำสุดตรงนี้
สิ่งที่ผมทำตรงนี้คือ
พยายามสร้างหลักการว่าฟังก์ชันเองมีหน้าตา
อย่างไรเมื่อกำหนดอนุพันธ์มา 
ในกรณีนี้คือเปลี่ยน
จากอนุพันธ์บวก เป็นอนุพันธ์ลบ
ข้ามจุดวิกฤตนั้น หรือไปจาก
อนุพันธ์ลบเป็นอนุพันธ์บวก
นั่นนคือสาเหตุที่อันนี้เป็น
เงื่อนไขสำหรับจุดสูงสุด
นี่คือเงื่อนไขสำหรับจุดต่ำสุด
พักเรื่องนั้นไว้ เราใช้สัญชาตญาณนี้
ที่เราเพิ่งพูดถึงไป พยายาม
วาดกราฟ f ของ x คร่าวๆ ได้ไหม?
ลองทำดู
 

English: 
is either undefined
or has 0 slope.
So in this case it has 0 slope.
And then after that point,
let me do it right under it.
So going into it we
have a negative slope.
And then right over
here we have a 0 slope.
Which I could draw it
even better than that.
So if we were to imagine
going into it we have
a negative slope, right at
that point we have a 0 slope,
and then we have
a positive slope.
So the function
begins increasing.
That's why we say we have a
minimum point right over there.
So what I did it
right over here is
to try to conceptualize what
the function itself could look
like given the derivative,
in this case switching
from a positive derivative
to a negative derivative,
across that critical
point, or going
from a negative derivative
to a positive derivative.
That's why this is the
criteria for a maximum point,
this is the criteria
for a minimum point.
Well with that out of the
way, can we use this intuition
that we just talked
about to at least try
to sketch the graph of f of x?
So let's try to do it.

Portuguese: 
ou é indefinida
ou tem inclinação zero.
Então é o caso de inclinação zero.
E então depois desse ponto,
vamos fazer bem embaixo.
Então descendo, temos
uma inclinação negativa.
E bem aqui temos
uma inclinação zero.
Que eu poderia desenhar
bem melhor que isso.
Então se imaginarmos
uma descida, temos
uma inclinação negativa, bem
no ponto temos uma inclinação zero,
e então temos uma
inclinação positiva.
Então a função
começa a crescer.
Isso é o porquê de dizermos
que temos um mínimo bem aqui.
Então o que
fizemos aqui foi
tentar conceitualizar como
a função se mostraria
dada a derivada,
neste caso mudando
de uma derivada positiva
para uma derivada negativa,
atravessando o
ponto crítico, ou indo
de uma derivada negativa
para uma positiva.
É o porquê disso ser o critério
para um ponto de máximo,
este é o critério
de um ponto mínimo
Bem com isso fora do caminho,
podemos usar essa intuição
da qual falamos para tentar
rascunhar o gráfico de f de x?
Então vamos tentar fazê-lo.

Czech: 
...a pak je derivace v tomto bodě buď
nedefinovaná, nebo je směrnice rovna 0.
V tomto případě má
směrnice hodnotu 0.
A pak, za tímto bodem...
Udělám to pod tím.
...pod ním má směrnice
zápornou hodnotu.
A zde máme hodnotu směrnice 0.
Mohl bych to nakreslit lépe.
Pokud si to představíme,
tak máme zápornou směrnici,
v tomto bodě máme směrnici 0
a pak máme kladnou směrnici.
Funkce začíná růst.
To je důvod, proč zde máme
bod lokálního minima.
Zde jsem se pokusil naznačit funkci tak,
jak by vypadala zadaná derivacemi,
v tomto případě, když přechází z kladné do
záporné derivace přes stacionární bod
nebo ze záporné do kladné derivace.
To je důvod, proč je to
podmínka bodu v lokálním maximu
a toto je podmínka bodu
v lokálním minimu.
Můžeme použít tento poznatek,
o kterém jsem mluvili,
a načrtnout graf f(x)?
Zkusme to.

Korean: 
기울기가 0이 됩니다
이 경우에는 기울기가 0입니다
그리고 나서
우리는 음수인 기울기를 가지고
바로 여기서는 기울기가 0이 됩니다
좀 더 잘 그릴 수 있을 것 같습니다
우리가 바로 이 지점에서
음수인 기울기를 가진다면
바로 이 지점에서는 
기울기는 0이 됩니다
그리고 나서 양수인 기울기를 가집니다
함수는 다시 증가합니다
바로 여기 이 지점에서 
극소값을 가진다고 말할 수 있습니다
여기서 한 것은
도함수가 주어졌을 때
함수를 어떻게 보이는 지를
개념화하려고 한 것입니다
이 경우
임계점을 지나
도함수가 양수에서
음수로 바뀌거나
도함수가 음수에서 양수로 바뀝니다
이것이 바로  극대값이 되고
여기에서 극소값이 됩니다
이 방법에서
f(x)의 그래프를 그리는 방법에 대해
앞에서 말한 직관대로 그릴 수 있을까요?
한번 해봅시다
 

English: 
And it's just going
to be a sketch,
it's not going to be very exact.
But at least it'll
give us a sense
of the shape of what
f of x looks like.
So my best attempt.
So it might not be drawn
completely to scale.
So it's my x-axis,
this is my y-axis.
We know we have a critical point
at x is equal to positive 2.
And we have a critical point
at x is equal to negative 2.
We know just from inspection
that the y-intercept right
here, if the graph
of y is equal to f
of x, when x is 0 f of x is 2.
So we're going to
hit right over--
I don't want to
draw this completely
to the same scale as the x-axis.
So let's say that this
is 2 right over here.
So this is where
we're going to cross.
This is going to
be our y-intercept.
And so we said
already that we have
a maximum point at x
is equal to negative 2.

Czech: 
Bude to jen náčrt, ne příliš přesný.
Ale dá nám náhled na to,
jak vypadá tvar f(x).
Budu se snažit to nakreslit co nejlépe.
Není nutné to celé kreslit v měřítku.
Toto je moje osa ‚x‛
a toto je moje osa ‚y‛.
Víme, že máme stacionární bod
v ‚x‛ je rovno 2 a ‚x‛ je rovno −2.
Z naší analýzy už víme, že ‚y‛ protíná
graf f(x), když je ‚x‛ rovno 0,
tudíž f(x) je rovno 2.
Osu proto protneme zde...
Nechci to kreslit celé
ve stejném měřítku, jako osa ‚x‛.
Řekněme, že toto je 2.
Zde se budeme křížit,
tady bude průsečík s osou ‚y‛.
Už jsme řekli, že máme
bod lokálního maxima v ‚x‛ je rovno −2.

Korean: 
정확하진 않고
대충 그려 보겠습니다
적어도 f(x)함수가
어떤 모양인지를 보여줄 것입니다
최선을 다해 볼게요
완전하게 그려 지진 않았습니다
여기는 x축이고 
여기는 y축입니다
x가 +2일 때
우리는 임계값을 가집니다
그리고 -2일 때도 임계점을 가집니다
여기서 y절편임을 알고 있습니다
만약 y의 그래프가 
f(x)와 같다면
x가 0이면 f(0)은 2가 됩니다
바로 여기에 찍을게요
이 축을 완전하게
x축가 같은 크기로 그리기를 
원하지 않습니다
이 점을 2라고 합시다
이 지점을 지날 것이빈다
이 점이 바로 y절편입니다
이미 말했듯이
 x가 -2일 때
극대값을 가집니다

Bulgarian: 
И това просто ще е скициране,
а няма да е много точно.
Но поне ще ни даде представа
за формата на f(х).
Това е най-добрият ми опит.
Може да се е начертано напълно в мащаб.
Това е оста х, това е оста у.
Знаем, че имаме критична точка при х = +2.
И имаме критична точка при х = -2.
Знаем от наблюдения, че пресечната точка с оста у (Оу)
ето тук, ако графиката на у е равна на f(х),
когато х е 0, f(х) е 2.
Така че ще стигнем ето тук –
не искам да чертая това
напълно в същия мащаб като оста х.
Да кажем, че това тук е 2.
Ще пресечем тази точка.
Това ще е пресечната ни точка с оста у.
И казахме, че имаме
максимална точка при х = -2.

Portuguese: 
E será apenas um rascunho,
não muito exato.
Mas ao menos vai
nos dar uma noção
da forma de como
f de x se parece.
Vamos tentar.
Pode não estar desenhado
completamente em escala.
Este é meu eixo x,
este é meu eixo y.
Temos um ponto
crítico em x igual a mais 2.
E temos um ponto crítico
em x igual a menos 2.
Reparamos que
o y intercepta bem aqui,
se o gráfico de y
é igual a f de x,
quando x é zero, f de x é 2.
Então vamos chegar em
--não quero desenhar tudo
na mesma escala que o eixo x.--
Então digamos que
é 2 bem aqui.
Então aqui é onde
vamos cruzar.
Essa é nossa inteseção no y.
Então já dissemos que temos
um ponto de máximo em
x igual a menos dois.

Thai: 
และมันเป็นแค่ภาพคร่าวๆ
มันจะไม่ถูกต้องพอดี
แต่อย่างน้อย มันจะทำให้เราเข้าใจ
รูปร่างว่า f ของ x เป็นอย่างไร
ผมพยายามที่สุดแล้ว
มันอาจวาดไม่ตรงสัดส่วนนัก
มันคือแกน x นี่คือแกน y
เรารู้ว่าเรามีจุดวิกฤตที่ x เท่ากับบวก 2
และเรามีจุดวิกฤตที่ x เท่ากับลบ 2
เรารู้จากการตรวจดูว่า ค่าตัดแกน y ตรงนี้
ถ้ากราฟของ y เท่ากับ f
ของ x เมื่อ x เป็น 0, f ของ x เป็น 2
เราจะตัดตรง --
ผมไม่อยากวาดอันนี้ให้
มีสัดส่วนตรงกับแกน x พอดี
สมมุติว่านี่คือ 2 ๖รงนี้
นี่่คือตำแหน่งที่เราจะตัด
อันนี้จะเป็นค่าตัดแกน y
และเราบอกไปแล้วว่า เรามี
จุดสูงสุดที่ x เท่ากับลบ 2

Korean: 
f(-2)의 값은 무엇입니까?
f(-2)는 -8입니다
-8입니다
여기에 -2를 12배하면
-24가 됩니다
이것을 더합니다
-24를 빼면
+24가 됩니다
그리고 마지막으로 2를 더합니다
-8+24+2이고
-8+24는 16이고
여기에 2를 더하면 18이 됩니다
f(-2)는 18이 됩니다
정확하게 그리지 않습니다
여기를 18이라고 합시다
이것은 함수입니다
이점이 (-2,18)입니다
이것이 극대점입니다
이 점에서 도함수는 음수입니다
이 점에서 도함수는 음수입니다
아니 
이 점에서 도함수는 양수입니다

Bulgarian: 
Колко е f(-2)?
f(-2) = 8
или -8, нека внимавам.
Това е -8.
И после ще имаме 12*(-2),
което е -24.
Но ще съберем това.
Изваждаме -24.
Тоест, това е +24.
И накрая имаме +2.
Тоест -8 + 24 + 2, като това ще е,
да видим, -8 + 24 е 16, + 2 е 18.
Тоест f(-2) = 18.
Не чертая напълно в мащаб.
Но да кажем, че това тук е 18.
Това е функцията.
Това е точката (-2; 18).
И знаем, че е максимална точка.
Производната, стигаща до тази точка, е отрицателна.
Производната, стигаща до тази точка, е отрицателна – извинявай,
производната, стигаща до тази точка, е положителна.

English: 
So what is f of negative 2?
f of negative 2 is equal to 8
or negative 8,
let me be careful.
It's negative 8.
And then we're going to have
12 times negative 2, which
is negative 24.
But then we're going to add it.
So we're subtracting
negative 24.
So this is plus 24.
And then we finally have plus 2.
So negative 8 plus 24 plus 2,
so that's going to be negative,
let's see, negative 8 plus
24 is 16, plus 2 is 18.
So f of negative
2 is equal to 18.
And I'm not drawing it
completely to scale.
But let's say that this
is 18 right over here.
So this is the function.
This is the point
negative 2 comma 18.
And we know that
it's a maximum point.
The derivative going into
that point is negative.
The derivative going into that
point is negative-- sorry,
the derivative going into
that point is positive.

Portuguese: 
Então qual é f de menos 2?
f de menos 2 é igual a 8
ou menos 8,
tome cuidado.
É menos 8.
E então vamos ter 12
vezes menos 2, que é
menos 24.
Mas então vamos adicioná-lo.
Então vamos subtrair
menos 24.
Isto é mais 24.
E então nós finalmente temos mais 2.
Então menos 8 mais 24 menos 2,
então será negativo,
vejamos, menos 8
mais 24 é 16, mais 2 é 18.
Então f de menos 2
é igual a 18.
E não estou desenhando
completamente em escala.
Mas digamos que isto
é 18 bem aqui.
Então esta é a função.
Este é o ponto
menos 2 vírgula 18.
E nós sabemos que
é um ponto de máximo.
A derivada indo
nesse ponto é negativa.
A derivada indo nesse
ponto é negativa -- perdão,
a derivada indo nesse
ponto é positiva.

Czech: 
Jaké bude f(−2)?
f(−2) je rovno −8.
A pak budeme mít 12 krát −2,
což je −24.
Ale mi to odečítáme.
Je to tedy plus 24.
A nakonec máme plus 2.
−8 plus 24 plus 2,
to bude záporné...
−8 plus 24
je 16 plus 2 je 18.
f(−2) je rovno 18.
Nenakreslím to celé v měřítku,
ale řekněme, že zde je 18.
Toto je funkce.
Toto je bod [−2; 18].
A víme, že je to bod lokálního maxima.
Derivace jdoucí do tohoto bodu je
záporná, tedy omlouvám se, je kladná.

Thai: 
f ของลบ 2 เป็นเท่าใด? f ของลบ 2 เท่ากับ 8
หรือลบ 8 ขอผมระวังหน่อยนะ
มันคือลบ 8
แล้ว เราจะได้ 12 คูณลบ 2 ซึ่ง
ก็คือลบ 24
แต่เราจะบวกมันเข้าไป
เราจะลบ ลบ 24
นี่ก็คือบวก 24
แล้วสุดท้ายเรามีบวก 2
ลบ 8 บวก 24 บวก 2 มันจะเป็นลบ
ลองดู ลบ 8 บวก 24 เป็น 16, บวก 2 เป็น 18
f ของลบ 2 จึงเท่ากับ 18
ผมไม่ได้วาดตามสัดส่วนจริง
และสมมุติว่านี่คือ 18 ตรงนี้
นี่คือฟังก์ชัน
นี่คือจุด (-2, 18)
และเรารู้ว่ามันคือจุดสูงสุด
อนุพันธ์ไปยังจุดนั้นจะเป็นลบ
อนุพันธ์ไปยังจุดนั้นเป็นลบ -- โทษที
อนุพันธ์ไปยังจุดนั้นเป็นบวก

Thai: 
เรากำลังเพิ่มขึ้น
ความชันเป็นบวก
แล้วหลังจากเราข้ามจุดนั้นไป
ความชันจะกลายเป็นลบ
อนุพันธ์ข้ามแกน x ความชันจะเป็นลบ
ผมอยากใช้สีเดิม
มันเป็นแบบนี้
แล้ว แน่นอน กราฟ
จะข้าม -- มันจะมี
ค่าตัดแกน y อะไรแบบนั้น
แล้ว เมื่อเราเข้าใกล้ 2 เราจะ
เข้าใกล้จุดวิกฤตอีกจุดหนึ่ง
ทีนี้ f ของ 2 เป็นเท่าใด?
f ของ 2 จะเท่ากับบวก 8 ลบ 24 บวก 2
นี่ก็คือ 10 ลบ 24 ซึ่งเท่ากับลบ 14
สมมุติว่านี่คือจุดลบ 14 ตรงนี้
ผมวาดมันได้นิดหน่อย
สมมุติว่านี่คือลบ 14
นี่ก็คือ f ของ 2 ตรงนี้
และเราเห็นแล้วว่า ความชันเป็นลบ

Korean: 
여기서 증가합니다
이 기울기는 양수입니다
이 점을 지난 후에
기울기는 다시 음수가 됩니다
x축을 지나는 도함수는
기울기가 음수가 됩니다
실제로 똑같은 색을 사용합니다
이렇습니다
물론
이 그래프는
y절편을 지나고
이렇게 됩니다
그리고 나서 x가 점점 2에 가까이 갈수록
또 다른 임계점을 가집니다
f(2)의 값은 무엇인가요?
f(2)는 +8-24+2와 같습니다
이것은 10-24이고
-14가 됩니다
바로 이 점을 -14라고 합시다
실제로 약간 그려 볼 수 있습니다
이 점을 -14라고 합시다
바로 여기가 f(2)의 값입니다
이미 알고 있듯이
여기에 다가갈수록

Bulgarian: 
Тоест увеличаваме.
Ъгловият коефициент е положителен.
И после, след като пресечем тази точка,
ъгловият коефициент става отрицателен.
Производната пресича оста х, ъгловият коефициент става отрицателен.
Искам да използвам същия цвят.
Изглежда ето така.
После, разбира се, графиката
ще пресече – ще има
пресечна точка с оста у, нещо подобно.
И после, докато доближаваме 2,
доближаваме друга критична точка.
Колко е f(2)?
f(2) ще е равно на +8 - 24 + 2.
Това е 10 - 24, което е равно на -14.
Да кажем, че това ето тук е точката -14.
Всъщност мога да го начертая малко по-добре.
Да кажем, че това е -14.
Това тук е f(2).
И вече видяхме, че ъгловият коефициент е отрицателен,

English: 
So we are increasing.
The slope is positive.
And then after we
cross that point,
the slope becomes negative.
The derivative cross the x-axis,
the slope becomes negative.
I actually want to
use that same color.
It looks like this.
And then, of
course, the graph is
going to cross the--
it's going to have
a y-intercept,
something like that.
And then, as we
approach 2, we are
approaching another
critical point.
Now what is f of 2?
f of 2 is going to be equal
to positive 8 minus 24 plus 2.
So this is 10 minus 24, which
is equal to negative 14.
So let's say this is the point
negative 14 right over here.
Actually I can draw
it a little bit.
Let's say this is negative 14.
So this is f of 2
right over there.
And we saw already that
the slope is negative

Czech: 
Tudíž roste a
směrnice je kladná.
A poté, co překročíme tento bod,
směrnice se stane zápornou.
Derivace protne osu ‚x‛
a směrnice se stane zápornou.
Použiji stejnou barvu.
Vypadá to takto.
A pak graf protne
osu ‚y‛ takto.
A pak, jak se budeme blížit 2, tak se
přiblížíme dalšímu stacionárnímu bodu.
A teď, čemu je rovno f(2)?
f(2) bude rovno 8 minus 24 plus 2.
To je 10 minus 24, což je rovno −14.
Řekněme, že bod −14 je zde.
Vlastně to můžu nakreslit.
Řekněme, že je to −14.
Toto f(2) zde.

Portuguese: 
Estamos crescendo.
A inclinação é positiva.
E então depois de
cruzar esse ponto,
a inclinação fica negativa.
A derivada cruza o eixo x,
a inclinação fica negativa.
(Realmente queria usar
a mesma cor.)
Se parece assim.
Então, claro, o gráfico
vai cruzar o
-- vai ter uma
interseção em y,
algo assim.
E então, se aproximando de 2,
nos aproximamos
de um ponto crítico.
Agora quanto é f de 2?
f de 2 será mais 8
menos 24 mais 2.
Então é 10 menos 24,
que é menos 14.
Então vamos dizer que é
neste ponto menos 14 aqui.
Na verdade eu posso
desenhar um pouco.
Digamos que isso é menos 14.
Então é f de 2
bem aqui.
E já vimos que
a inclinação é negativa

Czech: 
Už jsme viděli, že směrnice je záporná,
jakmile se tomu přiblížíte.
Naše funkce je klesající,
když se k tomu přibližujeme.
A zde je směrnice 0.
Toto jsme zjistili už dříve, takto jsme
totiž identifikovali stacionární body.
A pak směrnice roste,
derivace je kladná.
Směrnice roste.
Takto by vypadal náš náčrt f(x)
s těmito stacionárními body.
Identifikovali jsme 2,
jako bod lokálního minima.
Toto byl bod lokálního minima.
Funkce dosahuje svého lokálního minima,
když je ‚x‛ rovno 2.
A funkce dosahuje svého lokálního maxima,
když je ‚x‛ rovno −2.

Bulgarian: 
докато я доближаваме.
Функцията ни намалява, докато я доближаваме.
И после, ето тук, ъгловият коефициент е 0.
Намерихме това по-рано,
така идентифицирахме, че това е критична точка.
И след това ъгловият коефициент се увеличава,
производната е положителна.
Ъгловият коефициент се увеличава.
Това е скицата ни на f(х),
при положение, че това са критичните точки.
И успяхме да намерим, че минималната точка е 2.
Това беше минимална стойност.
Функцията приема минимална стойност, когато х = 2.
И функцията приема максимална стойност,
когато х = -2.

Portuguese: 
quando nos aproximamos.
Então nossa função está
diminuindo quando nos aproximamos.
E então bem aqui
a inclinação é zero.
Nós descobrimos
isso antes, foi
como nós identificamos
que era um ponto crítico.
E então a inclinação está
aumentando depois disso,
a derivada é positiva.
A inclinação está aumentando.
Então este é nosso
rascunho de como f de x
se parece dado que esses
são os pontos críticos.
E fomos capazes de
identificar 2 como um máximo.
Então este era um valor mínimo.
A função toma um valor
mínimo quando x é igual a 2.
E toma um valor máximo
quando x é igual a menos 2.
[legendas: tinyprog.tk]

English: 
as we approach it.
So our function is
decreasing as we approach it.
And then right there
the slope is 0.
We figured that
out earlier, that's
how we identified it
being a critical point.
And then the slope is
increasing after that,
the derivative is positive.
The slope is increasing.
So this is our
sketch of what f of x
could look like given that
these are the critical points.
And we were able to identify
2 as a minimum point.
So this was a minimum value.
The function takes on a minimum
value when x is equal to 2.
And the function took
on a maximum value
when x was equal to negative 2.

Thai: 
เมื่อเราเข้าหามัน
ฟังก์ชันของเราจึงลดลงเมื่อเราเข้าใกล้มัน
แล้วตรงนี้ ความชันเป็น 0
เราหาไปแล้วก่อนหน้า นั่นคือ
วิธีที่เราระบุว่ามันเป็นจุดวิกฤต
แล้วความชันจะเพิ่มขึ้นหลังจากนั้น
อนุพันธ์เป็นบวก
ความชันเพิ่มขึ้น
นี่ก็คือภาพร่างว่า f ของ x
เป็นอย่างไร จากที่รู้มาว่าพวกนี้คือจุดวิกฤต
และเราระบุได้ว่า 2 เป็นจุดต่ำสุด
นี่คือค่าต่ำสุด
ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดเมื่อ x เท่ากับ 2
และฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
เมื่อ x เท่ากับลบ 2

Korean: 
기울기는 음수입니다
함수는 여기에 다가갈수록 감소합니다
그리고 바로 이 점에서
기울기는 0입니다
이미 이 식을 찾았습니다
이것이 우리가 임계점을 정의한 방법입니다
그리고 나서 이후에는 
도함수가 양수이므로
기울기는 증가합니다
기울기는 증가합니다
이것이 주어진 임계점을 이용해서 그린
f(x)함수의 그래프라 말할 수 있습니다
2가 극소값을 정의할 수 있습니다
이것이 극소값입니다
이 함수는 x가 2일 때 
극소값을 가집니다
그리고 x가 -2일 때
이 함수는 극대값을 가집니다
