
Korean: 
로버트는 x의 세제곱인
g(x)가 변곡점을 어디서
가지는지 찾아야 합니다
풀이는 다음과 같습니다
로버트의 풀이가 맞나요?
틀렸다면 어디서
실수를 했나요?
영상을 잠시
멈추고 풀어보세요
이제 같이 풀어봅시다
g(x)는 x의 세 제곱근입니다
이는 x^1/3과 같죠
1단계에서 로버트는
일계도함수와
이계도함수를 구하고 있습니다
일계도함수는
멱의 법칙을 사용하면
1/3x의 -2/3제곱입니다
잘 구했네요
이계도함수는
지수와 1/3을 곱해서
-2/9가 됩니다
지수에 -2/3에 1을 빼서
-5/3이 되며 맞게 풀었습니다
여기서 로버트는
정리해서 쓰는군요
여기에 -2/9가 있습니다
하지만 이를 분모로 옮기면
x^5/3과 같죠
분모에 있는 x^5/3은
분모에 있는 x^5/3은

Czech: 
Robert měl za
úkol zjistit,
jaké inflexní body má funkce g(x),
která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘.
Toto je
jeho řešení.
Dole se nás
pak ptají:
„Postupoval Robert správně?
Pokud ne, v čem udělal chybu?“
Zastavte si video a zkuste
to nejprve vyřešit sami.
Teď se na to
podívejme společně.
Naše původní funkce g(x) se
rovná třetí odmocnině z ‚x‘,
což je totéž jako
x na (1 lomeno 3).
Vypadá to, že v kroku 1 chtěl
Robert spočítat první a druhou derivaci.
První derivace je derivace mocniny,
takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na...
Exponent zmenšíme o 1,
takže tohle vypadá dobře.
Druhou derivaci zjistíme tak,
že tohle vynásobíme (1 lomeno 3),
což se rovná
minus (2 lomeno 9),
a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1,
což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3),
takže tohle taky
vypadá dobře.
Nakonec se to
Robert pokusil přepsat.
Pořád tu máme
minus (2 lomeno 9)
a potom Robert
správně poznal,
že je to totéž jako mít
x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli

Bulgarian: 
Робърт трябва да намери къде g(x),
което е равно на cbrt(x) (корен трети), 
има инфлексни точки.
Това е решението му.
След това ни питат:
 "Вярно ли е решението на Робърт?
Ако не е, то къде е грешката му?".
Спри видеото и се опитай 
да откриеш отговора самостоятелно.
Добре, нека да разгледаме
заедно това.
Първоначалната функция g(x) = cbrt(x),
което е същото като x^(1/3).
В стъпка 1 изглежда, че 
Робърт се опитва
да намери първата и втора производни.
За първата производна просто 
ще използваме правилото за степенуване,
така че ще бъде 1/3 * x 
по намаления степенен показател,
така че това изглежда вярно.
За втората производна вземаме това,
умножаваме по 1/3,
което ще бъде –2/9.
Тогава намаляваме
степенния показател –2/3,
което всъщност ще бъде –5/3,
така че това изглежда вярно.
След това изглежда сякаш Робърт
 се опитва да го преработи.
Все още имаме –2/9,
но тогава забелязва, че това 
е същото нещо
като x^(5/3) в знаменател.

English: 
- [Instructor] Robert was
asked to find where g of x,
which is equal to the cube root
of x, has inflection points.
This is his solution.
And then later we are asked,
"Is Robert's work correct?
"If not, what's his mistake?"
So pause this video and try
to figure it out on your own.
All right, now let's work
through this together.
So our original g of x is
equal to the cube root of x,
which is the same thing as x to the 1/3.
So in step one it looks
like Robert's trying
to find the first and second derivative.
So the first derivative,
we just do the power rule,
so it'll be 1/3x to the
decrement of the exponent,
so this is looking good.
Second derivative, we take
this, multiply this times 1/3,
which would be negative 2/9.
And then decrement, negative 2/3,
which would indeed by negative
5/3, so that looks right.
And then it looks like
Robert's trying to rewrite it.
So we have the negative 2/9 still,
but then he recognized
that this is the same thing
as x to 5/3 in the denominator,
and x to the 5/3 is the same thing

English: 
as the cube root of x to the fifth.
So this is all looking good.
Step one looks good.
And then step two, it
looks like he's trying
to find the solution or
he's trying to find x values
where the second derivative
is equal to zero,
and it is indeed true
that this has no solution,
that you can never make
this second derivative
equal to zero.
In order to be zero, the
numerator would have to be zero.
And, well, two is never
going to be equal to zero.
So this is correct.
And then step three,
he says g doesn't have
any inflection points.
Now, this is a little bit suspect.
It is in many cases our
inflection point is a situation
where our second derivative
is equal to zero,
and even then we don't know
it's an inflection point.
It would be a candidate inflection point.
We would have to confirm
that our second derivative crosses signs
or switches signs as
we cross that x value.
But here we can't find a situation
where our second derivative
is equal to zero,
but we have to remind ourselves
that other candidate inflection points

Czech: 
a že x na (5 lomeno 3) je to samé co
třetí odmocnina z (x na pátou).
Zatím to všechno
vypadá dobře.
Krok 1 je správně.
V kroku 2 to vypadá, že
se Robert snažil najít řešení...
Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro
která je druhá derivace rovna 0.
Je skutečně pravda, že
tato rovnice nemá řešení,
tedy že tato druhá derivace
nebude nikdy rovna 0.
Aby to bylo rovno 0,
čitatel by musel být rovný 0,
ale 2 se nikdy
nebude rovnat 0,
takže tohle
je správně.
V kroku 3 Robert říká, že funkce
g nemá žádné inflexní body.
Tohle je trochu
podezřelé.
V mnoha případech je inflexní bod ten bod,
ve kterém je druhá derivace rovna 0,
i když v té chvíli ještě nevíme, že je to
inflexní bod, je to jen bod podezřelý,
u kterého musíme ověřit, že druhá derivace
mění znaménko při průchodu tímto bodem x.
Zde nenastává situace, že by
se druhá derivace rovnala 0,
ale nesmíme zapomenout, že dalšími
kandidáty na inflexní bod jsou body,

Korean: 
x^5의 세 제곱근과 같죠
아직까진 좋습니다
1단계는 맞습니다
2단계에서는
이계도함수가 0일 경우
x의 값을 구하려고 합니다
이는 해가 존재하지
않으며 맞습니다
이계도함수가 0과
같을 수 없죠
0과 같으려면
분자가 0이 되야 합니다
2는 0이 될 수 없습니다
따라서 2 단계는 맞습니다
3단계는
g(x)는 변곡점이
없다고 합니다
이 단계가 의심스럽네요
다수의 경우에 이계도함수가
0일 경우에도
변곡점인지
확실하지 않습니다
이는 후보 변곡점이죠
이계도함수가 해당
x 값을 지날 때
부호가 바뀌는 것을
확인해야 합니다
하지만 이 경우는
이계도함수가 0인
경우가 없습니다
하지만 다른
변곡점의 후보 중
이계도함수가

Bulgarian: 
А x^(5/3) е същото нещо 
като cbrt(x)^5.
Това цялото изглежда добре.
Стъпка 1 изглежда добре.
В стъпка 2 изглежда, че се опитва
да намери отговор или се опитва 
да намери стойности за x,
където втората производна 
е равна на 0.
И действително е вярно, 
че това няма решение,
т.е. не може да приравниш
втората производна на 0.
За да бъде 0, то числителят 
трябва да е нула.
Обаче 2 никога няма да е равно на 0.
Така че това е вярно.
Следва стъпка 3,
където заявява, че
g няма инфлексни точки.
Това е малко съмнително.
В много случаи 
инфлексните точки са места,
където втората производна 
е равна на 0,
а дори и тогава не знаем
дали е инфлексна точка.
Ще бъде кандидат за
инфлексна точка.
Трябва да потвърдим,
че втората производна
променя знака си,
когато се намира в съответната стойност за x.
Но тук не може да намерим ситуация,
в която втората производна е равна на 0,
но трябва да си напомним,
че други кандидати 
за инфлексни точки са тези,

Bulgarian: 
където втората производна не е дефинирана.
Следователно Робърт не може 
да заяви това без да види
къде втората производна 
не е дефинирана.
Може например да каже,
"При какви условия g'' е недефинирана?".
Това ще бъде недефинирано, 
когато x = 0.
0^5, корен трети от това ще бъде 0.
Но тогава се оказва, че разделяш на 0.
Следователно g'' е недефинирана, 
когато x = 0.
Тогава, когато x = 0, може да кажем,
че това е кандидат за инфлексна точка.
Тогава искаме да я проверим.
Може да направим стандартната таблица,
която сме използвали преди,
където имаме интервал или интервали.

Czech: 
pro které druhá derivace
není definovaná.
Robert tak tento závěr
nemůže učinit bez toho,
aby se podíval, kde není
druhá derivace definovaná.
Například mohl napsat,
že g se dvěma čárkami
není definovaná pro...
Pro které body?
Tento výraz není
definovaný pro x rovno 0.
0 na 5 je 0 a třetí
odmocnina z toho je zase 0,
takže bychom
dělili nulou.
g se dvěma čárkami tedy
není definovaná pro x rovno 0.
Z toho důvodu je
bod x rovno...
Můžeme říci, že kandidátem na
inflexní bod je bod x rovná se 0.
Tento bod teď
musíme vyzkoušet.
Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku,
kterou jste možná už někdy dřív viděli.
V tabulce bude interval,
nebo spíše intervaly,

English: 
are where our second
derivative is undefined.
And so he can't make this
statement without seeing
where our second derivative
could be undefined.
So, for example, he could say
that g prime prime is undefined when what?
Well, this is going to be undefined
when x is equal to zero.
Zero to the fifth, cube root
of that, that's gonna be zero.
But then you're dividing by zero.
So g prime prime undefined
when x is equal to zero.
So therefore x equals,
so we could say candidate
inflection point when x equals zero.
And so then we would want to test it.
And we could set up a traditional table
that you might have seen before
where we have our interval or intervals.

Korean: 
정의되지 않을
경우가 존재합니다
따라서 이계도함수가
정의되지 않는 경우를
확인해보지 않은
것이 실수입니다
예를 들어
g'(x)이 언제
정의되지 않나요?
x = 0일 경우
정의되지 않겠죠
0^5의 세 제곱근은
0이 됩니다
하지만 0으로
나누는 것이 되겠죠
따라서 g'(x)는 x = 0일 경우
정의가 되지 않습니다
따라서 x = 0일 경우가
변곡점의 후보가 됩니다
이제 검사를 해봅시다
이전에 보았던
테이블을 그려서
구간이 들어가는 칸입니다

Bulgarian: 
Може да имаме
стойности за проверка в интервалите.
Трябва да внимаваме с тези.
Увери се, че са показателни.
Тогава да искаме да отбележим и знака
на втората производна g''.
След това имаме изпъкналост.
Изпъкналост на g.
За да бъде x = 0 инфлексна точка,
ще трябва да имаме промяна в знака
на втората производна,
когато преминава през точката x = 0.
Това означава, че изпъкналостта на g
също сменя знаците си,
когато преминава x = 0.
Нека да вземем стойности,
които са по-малки от 0,
т.е. минус безкрайност до 0.
След това стойности по-големи от 0
 или от 0 до безкрайност.
Може да проверя тези стойности.
Нека да избера –1 и 1.
Трябва да внимаваш, 
когато използваш тези,
и да се увериш, че си достатъчно близо,
така че нищо необичайно 
не се случва между тези стойности,
докато не стигнем до точката,
кандидат за инфлексна.
А сега, какъв е знакът 
на втората производна,

English: 
We could have test
values in our intervals.
We have to be careful with those.
Make sure that they are indicative.
And then we would say the sign
of our second derivative of g prime prime.
And then we would have our concavity.
Concavity of g.
And in order for x equals zero
to be an inflection point,
we would have to switch signs,
or our second derivative
would have to switch signs
as we cross x equals zero,
which would mean our
concavity of g switches signs
as we cross x equals zero.
So let's do values less than zero,
negative infinity to zero
and then values greater
than zero, zero to infinity.
I could do test values.
Let's say, I'll use negative one and one.
And you have to be careful
when you use these.
You have to make sure
that we are close enough
that nothing unusual happens
between these test values
up until we get to that
candidate inflection point.
And, now, what's the sign
of our second derivative

Czech: 
dále dosazované hodnoty
z těchto intervalů,
u kterých musíme být pozorní, aby
opravdu ležely v daném intervalu,
pak znaménko druhé derivace,
tedy g se dvěma čárkami,
a nakonec sloupeček pro
konvexitu funkce g.
Aby byl bod x rovno 0
inflexním bodem,
musíme změnit
znaménko při...
Druhá derivace musí změnit znaménko
při průchodu bodem x rovno 0,
což by znamenalo, že konvexita funkce g
se mění při průchodu bodem x rovno 0.
Podívejme se tedy na čísla menší než 0,
což je interval od minus nekonečna do 0,
a pak na čísla větší než 0,
tedy interval od 0 do nekonečna.
Dosazovanými hodnotami
budou řekněme −1 a 1.
U těchto hodnot
si musíte dát pozor.
Musíte vybrat něco
dostatečně blízko tak,
aby mezi těmito dosazovanými
hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému,
dokud se nedostaneme k danému
kandidátovi na inflexní bod.
Jaké je znaménko druhé
derivace, když je x rovno −1?

Korean: 
구간에 검사할
값들을 선택하죠
조심해야 합니다
의미가 있는
값들을 선택하세요
그 다음 g'(x)의
이계도 함수의
부호가 들어가겠죠
그 다음 오목성이 있습니다
g의 오목성이죠
x = 0이 변곡점이 되려면
부호가 바뀌거나
이계도함수가
x = 0을 지날 때
부호가 바뀌어야 합니다
이는 x = 0을 지날 때
g의 오목성이
부호를 바꾸는 것이죠
0보다 작은 수를 봅시다
음의 무한대부터 0까지
그리고 0보다 큰 값인
0 부터 무한대가 있습니다
실험할 값을 정합니다
-1과 1을 고릅시다
이 두 값을 사용할 때
주의해야 합니다
이 두 값 사이에 어떤 일이
일어나지 않도록
값의 간격이 좁아야 합니다
후보 변곡점을
구할 때 까지 말이죠
x = -1일 경우

Bulgarian: 
когато x = –1?
Когато x = –1.
Нека да видим, това е –1^5,
което е равно на –1.
cbrt(–1) = –1.
Следователно ще имаме –2/9, 
разделено на –1.
Ще бъде 2/9.
Тоест знакът тук ще бъде положителен.
И това по принцип ще е вярно,
когато имаме коя да е отрицателна стойност,
защото ако вземеш коя да е 
отрицателна стойност на пета степен,
отново ще бъде отрицателна.
Имаш корен трети от това
и отново получаваш отрицателна стойност.
Тогава обаче имаш отрицателна
 стойност, разделена на това.
Ще получиш положителна стойност.
Може да се успокоиш, че тези 
стойности за проверка са показателни
за целия интервал.
А ако имаш положителна стойност и
повдигната на пета степен, 
ще бъде положителна.
Корен трети от това все пак 
ще бъде положително число.
Тогава обаче ще имаш –2/9,
разделено на тази положителна стойност,
така че това ще бъде
отрицателно число.
Следователно действително 
изпъкналостта на g се променя,
когато функцията преминава 
през x = 0.
Тогава функцията е изпъкнала, 
когато x < 0.
Втората производна е положителна.

Czech: 
Když je x rovno −1...
(−1) na pátou je −1,
třetí odmocnina z −1 je −1,
takže budeme mít minus
(2 lomeno 9) děleno −1,
což bude
plus (2 lomeno 9).
Znaménko tak bude
v tomto případě kladné.
Tohle platí obecně pro
libovolné záporné číslo,
protože libovolné záporné číslo
na pátou je zase záporné číslo,
třetí odmocnina z tohohle
bude taky záporné číslo
a záporné číslo dělené záporným
číslem bude nějaké kladné číslo.
Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota
dobře odráží chování na celém intervalu.
Když dosadíme
nějaké kladné číslo,
tak po umocnění na pátou
to bude stále kladné,
třetí odmocnina z toho
bude taky kladné číslo,
ale minus (2 lomeno 9) pak
budeme dělit kladným číslem,
takže to
bude záporné.
Konvexita funkce g se tedy skutečně
mění při průchodu bodem x rovno 0.
Pro x menší než 0
je funkce konvexní,
protože druhá
derivace je kladná,

Korean: 
이계도함수의
부호가 무엇인가요?
x = -1일 경우요
-1의 5제곱은 -1입니다
-1의 5제곱은 -1입니다
-1의 3제곱근은
-1입니다
따라서 결과는
-2/9 / -1입니다
따라서 결과는
-2/9 / -1입니다
이는 2/9가 됩니다
따라서 여기 부호는
양으로 바뀝니다
그리고 음수를 다룰 경우에
그리고 음수를 다룰 경우에
모든 음수의 5제곱은
음수이기 때문이죠
그리고 그 수의
세제곱근은
음수가 됩니다
하지만 음수를
음수로 나누었습니다
양수를 갖게 되겠죠
따라서 이 실험한 값은
이 전체 구간에
의미가 있습니다
양수일 경우를 보면
5제곱은 양수이고
세제곱근도 양수입니다
하지만 -2/9를
양수로 나누면
하지만 -2/9를
양수로 나누면
음수가 됩니다
따라서 x = 0을 지날 때
오목성이 바뀝니다
x가 0보다 작을 경우
위로 오목하겠죠
이계도함수가 양수입니다

English: 
when x is equal to negative one?
When x equals negative one.
So, let's see, negative one
to the fifth power is negative one.
Cube root of negative one is negative one.
And so we're gonna have negative 2/9
divided by negative one.
It's gonna be positive 2/9.
So our sign right over
here is gonna be positive.
And this is gonna be in general
when we're dealing with
any negative value,
'cause if you take any negative
value to the fifth power,
it's gonna be negative.
And you take the cube root of that
and you're gonna have negative.
But then you have a negative
value divided by that.
You're gonna get a positive value.
So you can feel good that
this test value's indicative
of actually this entire interval.
And if you're dealing
with a positive value,
well, that to the fifth
power is gonna be positive.
Cube root of that is still
going to be positive.
But then you're gonna have negative 2/9
divided by that positive value,
so this is going to be negative.
So it is indeed the case that
our concavity of g switches
as we cross x equals zero.
We're concave upwards
when x is less than zero.
Our second derivative is positive.

Bulgarian: 
А функцията е вдлъбната, 
когато x >0.
Нека да запиша това.
Вдлъбната.
Вдлъбната, когато x > 0.
Изпъкналостта се променя, 
когато преминава през x = 0.
Това ни казва за x,
нека да видим, ето тук 
знаците се сменят.
Промяна в знака.
Да кажем, че g'' сменя знака си,
когато функцията преминава 
през x = 0.
А функцията е дефинирана за x = 0.
Функцията е дефинирана за x = 0.
Следователно точката 
x = 0 е инфлексна.
Инфлексна точка за x = 0.
И ако познаваш
графиката на корен трети,

Czech: 
a pro x větší než 0
je funkce konkávní.
Napíšu to trochu...
Konkávní, a to pro
x větší než 0.
Při průchodu bodem x rovno 0
tedy došlo ke změně konvexity,
což znamená, že x...
Měníme znaménko...
g se dvěma čárkami mění znaménko
při průchodu bodem x rovno 0
a naše funkce je v bodě
x rovno 0 definovaná,
z čehož plyne, že bod
x rovno 0 je inflexní bod.
Pokud víte, jak vypadá
graf třetí odmocniny,

Korean: 
그리고 x가 0보다 작을 경우
아래로 오목합니다
적어봅시다
아래
x가 0보다
클 경우 아래입니다
따라서 x가 0일 경우
오목성이 변화합니다
따라서 이는 x가
부호를 바꾸고 있죠
부호를 바꾸고 있죠
g'(x)가 x = 0일 경우
부호를 바꿉니다
그리고 x = 0일 경우
함수가 정의됩니다
그리고 x = 0일 경우
함수가 정의됩니다
따라서 x = 0일 경우
변곡점을 가집니다
따라서 변곡점은
x = 0입니다
세 제곱근의
그래프에 익숙하다면

English: 
And we're concave downwards
when x is greater than zero.
Let me write that a little bit.
Downwards.
Downwards when x is greater than zero.
So we are switching concavity
as we cross x equals zero,
and so this tells us that x.
So let's see, we are switching signs.
Switching.
Let me say g prime prime switching signs
as we cross x equals zero.
And our function is
defined at x equals zero.
And function defined at x equals zero.
So we have an inflection
point at x equals zero.
So inflection point at x is equal to zero.
And if you're familiar with
the graph of the cube root,

English: 
you would indeed see an
inflection point at that point.
So there we go.
He was wrong in step three.
There actually is an inflection point.
It's not when the second
derivative is equal to zero.
It's actually where the second
derivative is undefined.

Korean: 
이 점에서 변곡점을
가지는 것을 알겠죠
다 풀었네요
3단계가 틀렸습니다
변곡점이 있습니다
이는 이계도함수가
0일 경우가 아닙니다
이는 이계도함수가
정의되지 않았을 경우입니다

Czech: 
tak byste viděli, že funkce má
v tomto místě skutečně inflexní bod.
A máme to.
Robert udělal chybu v kroku 3,
protože g má inflexní bod.
Druhá derivace v něm však
není rovna 0, ale je nedefinovaná.

Bulgarian: 
действително ще видиш, че има 
инфлексна точка за тази стойност.
Ето, че го решихме.
Робърт е сгрешил в стъпка 3.
Действително има инфлексна точка.
Но не, когато 
втората производна е равна на 0,
а когато втората производна
не е дефинирана.
