
English: 
- [Voiceover] Let's explore
a bit the infinite series
from n equals one to infinity
of one over n squared.
Which of course is equal
to one plus one fourth,
that's one over two
squared, plus one over three
squared, which is one
ninth, plus one sixteenth
and it goes on and on and on forever.
So there's a couple of
things that we know about it.
The first thing is that all of
the terms here are positive.
So all of the terms here are positive.
So they're all positive and
that they're decreasing.
It looks like they're
decreasing quite quickly
here from one to one fourth
to one ninth to one sixteenth,
and so they're quickly approaching zero,
which makes us feel pretty good that
this thing has a chance of converging.
And because they're all
positive we know that
this sum right over
here, if it does converge

Portuguese: 
Exploremos agora um pouco as séries 
infinitas de n igual a um ao infinito
de um sobre n ao quadrado que,
obviamente, é igual 
a um mais um quarto.
Isto é um meio ao quadrado, mais 
um terço ao quadrado,
que é um nono, mais um dezesseis avos
e assim continua indefinidamente.
Há uma lista de coisas que 
sabemos a respeito dela.
Primeiramente, todos seus 
termos são positivos.
Todos os termos aqui são positivos.
E eles estão diminuindo.
Parece que eles estão 
decrescendo rapidamente.
De um para um quarto, para um 
nono, para um dezesseis avos.
Eles estão rapidamente se 
aproximando de zero,
o que é um bom indicativo de que
esta expressão possivelmente convirja.
E porque todos eles são positivos, 
sabemos que esta soma aqui,

Bulgarian: 
Нека да изследваме 
безкраен ред
от n = 1 до n безкрайност
с общ член 1/n^2.
Което е равно на 1 плюс 1/4,
това е 1/1^2, плюс 1/2^2,
плюс 1/3^2,
което е 1/9, плюс 1/16,
и така до безкрайност.
Тук има няколко неща,
които трябва да знаем.
Първото е, че всички
членове са положителни.
Всички членове са положителни.
Всички членове са положителни
и намаляващи.
Изглежда, че те намаляват
доста бързо,
от 1 до 1/4, до 1/9 и до 1/16,
те бързо се приближават до нула,
което ни дава увереност, че
това е много вероятно
да е сходящо.
И понеже те всички са
положителни,
тази сума тук горе,
ако тя е сходяща,

Thai: 
ลองสำรวจอนุกรมอนันต์
จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
ของ 1 ส่วน n กำลังสองหน่อย
ซึ่งแน่นอน เท่ากับ 1 บวก 1/4
นั่นคือ 1 ส่วน 2 กำลังสอง 
บวก 1 ส่วน 3
กำลังสอง ซึ่งก็คือ 1/9 บวก 1/16
แล้วก็ไปเรื่อยๆ ตลอดไป
มันมีสิ่งที่เรารู้สองอย่าง
อย่างแรกคือว่า ทุกเทอมตรงนี้เป็นบวก
ทุกเทอมตรงนี้เป็นบวก
พวกมันเป็นบวกและพวกมันลดลง
มันดูเหมือนว่าพวกมันลดลงเร็วทีเดียว
จาก 1 เป็น 1/4 เป็น 1/9 เป็น 1/16
และพวกมันเข้าหา 0 อย่างรวดเร็ว
ซึ่งทำให้เรารู้สึกดีทีเดียว
ว่าตัวนี้มีโอกาสลู่เข้า
และเนื่องจากพวกมันเป็นบวกหมด เราจึงรู้ว่า
ผลบวกนี่ตรงนี้ ถ้ามันลู่เข้า

Korean: 
1/n²을 n의 값이 1부터 무한대까지 더한
무한 급수를 조금 더 살펴봅시다
1/n²을 n의 값이 1부터 무한대까지 더한
무한 급수를 조금 더 살펴봅시다
이 무한 급수의 값은 1에 1/2²인 1/4을 더하고
1/9인 1/3²을 더하고
1/16을 더하고
이런 식으로 계속 더한 값과 같습니다
우리가 알아야 할 몇가지 것들이 있습니다
첫 번째로 모든 항들이 양수라는 것입니다
따라서 여기있는 모든 항들이 양수입니다
그리고 항들의 값이 감소합니다
1부터 1/4, 1/9, 1/16까지 
항들이 꽤 빨리 감소하는 것 같습니다
1부터 1/4, 1/9, 1/16까지 
항들이 꽤 빨리 감소하는 것 같습니다
항들이 빠르게 0에 가까워지는데
이것은 수렴할 가능성을 갖는다는 
매우 좋은 느낌이 들게 합니다
이것은 수렴할 가능성을 갖는다는 
매우 좋은 느낌이 들게 합니다
항들이 모두 양수이기 때문에
만약 수렴한다고하면 여기 있는 합은

Thai: 
จะมากกว่า 0
สาเหตุเดียวที่มันจะไม่ลู่เข้า คือ
ถ้ามันมีค่าไม่จำกัดไปหาอนันต์
ซึ่งเรารู้ว่าถ้านี่คือ 1 ส่วน n
มันจะมีค่าไม่จำกัดไปถึงอนันต์
อันนี้บอกว่ามีความเป็นไปได้ตรงนี้
ถ้าเราแสดงได้ว่า อันนี้ไม่มีขีดจำกัด
แล้วเราก็ได้เหตุผลที่ดีว่า
ทำไมตัวนี้ตรงนี้ถึงลู่เข้า เพราะ
สาเหตุที่คุณจะลู่ออกคือว่า คุณได้
ค่าเป็นบวกอนันต์หรือลบอนันต์
เรารู้แล้วว่าตัวนี้จะไม่ไปยัง
ลบอนันต์ เพราะมันเป็นบวกทั้งนั้น
หรือคุณลู่ออกได้ถ้าตัวนี้แกว่งไปมา
แต่มันไม่แกว่งเพราะเทอมทั้งหมดนี้
จะเพิ่มค่าให้ผลบวก ไม่มีตัวไหน
ทำให้ค่าลดลง เพราะไม่มีตัวใดเป็นลบ
ลองดูว่าเราหาเหตุผลดีๆ ได้ไหมว่าทำไม
ผลบวกนี่ตรงนี้จึงมีค่าจำกัด
ยิ่งถ้าเราหาขอบเขตได้
มันจะกลายเป็นเหตุผลที่ดีว่า
อนุกรมอนันต์นี้ควรลู่เข้า
และวิธีที่เราจะทำคือว่า
เราจะสำรวจฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

Bulgarian: 
тя ще е по-голяма от нула.
Единствената причина да не е сходяща, 
е ако тя няма крайна граница,
докато n клони към безкрайност.
Така че това е възможно.
Ако покажем, че 
това има граница,
ще получим много добър
аргумент за това, че
редът е сходящ, защото
единствената причина
да е разходящ, е 
границата да клони към
плюс безкрайност или
към минус безкрайност.
Знаем, че това няма да клони
към минус безкрайност, защото 
всички членове са положителни.
Може да е разходящо, ако 
се колебае около някаква стойност,
но то няма да се колебае,
защото всички членове
се прибавят към сумата,
никой от тях
не изваждаме, защото няма
отрицателни членове.
Да видим дали можем
да се аргументираме добре
защо тази сума тук
има граница,
особено ако намерим
тази граница,
това е добро доказателство, че
че този безкраен ред е сходящ.
Ще направим това, като
изследваме една свързана функция.

English: 
is going to be greater than zero.
So the only reason why it
wouldn't converge is if
somehow it goes unbounded
towards infinity,
which we know if this was one over n
it would be unbounded towards infinity.
So this says that's a possibility here.
So if we could show that this is bounded,
then that will be a pretty
good argument for why
this thing right over here
converges because the only
reason why you could
diverge is if you went to
either positive infinity
or negative infinity.
We already know that this
thing isn't going to go
to negative infinity because
it's all positive terms.
Or you could diverge if
this thing oscillates,
but it's not going to
oscillate because all of these
terms are just adding
to the sum, none of them
are taking away because none
of these terms are negative.
So let's see if we can make
a good argument for why
this sum right over here is bounded,
especially if we can
come up with the bound,
then that's a pretty good argument that
this infinite series should converge.
And the way that we're going to do that is
we're going to explore a related function.

Portuguese: 
se convergir,
será maior que zero.
O único motivo pelo qual ela não 
convergiria é se,
de algum modo, ela continuasse 
ilimitada rumo ao infinito,
que sabemos, se fosse um sobre n
seria ilimitada rumo ao infinito.
Isto mostra que há uma possibilidade aqui.
Se pudéssemos mostrar que isto tem limite,
então haverá um bom argumento do
porquê isto converge, já que a única razão
pela qual isto divergiria é se você 
fosse para mais ou menos infinito.
Sabemos que isto não irá para o menos
infinito, dado que todos 
termos são positivos.
Ou poderia divergir, 
se ela oscilar.
Mas isto não vai oscilar, já que todos 
termos estão sendo
adicionados à soma, nenhum deles
está sendo subtraído, pois não 
há termos negativos.
Vejamos se encontramos um bom 
argumento do porquê
desta soma não ter limite.
Particularmente, se descobrirmos o limite,
este seria um ótimo argumento para dizer
que esta série infinita deve convergir.
A forma como faremos isto é explorar
uma função relativa a esta.

Korean: 
0보다 클 것입니다
수렴하지 않을거라는 단 하나의 이유는
만약 어쩌다가 무한대로 계속 향한다면
만약 식이 1/n이라고 하면
무한대로 계속 향할거라는 것을 알고 있기 때문입니다
따라서 수렴할 가능성이 있다는 것을 알 수 있습니다
만약 유계라는 것을 보일 수만 있다면
왜 이 식이 수렴하는지에 대한 좋은 근거가 될 것입니다
왜냐하면 발산하는 단 하나의 이유는
양의 무한대나 음의 무한대로 향할 때입니다
양의 무한대나 음의 무한대로 향할 때입니다
이 식이 음의 무한대로 향하지 않을 것이라는 
것은 이미 알고 있습니다
왜나하면 모든 항이 양수이기 때문입니다
또는 진동하면 발산하는데
이 식은 진동하지는 않을 것입니다
왜냐하면 모든 항을 더해가고
어떤 항도 음수가 아니기때문에
제거되지 않기 때문입니다
왜 이 합이 유계인지에 대한 좋은 근거를 알아봅시다
왜 이 합이 유계인지에 대한 좋은 근거를 알아봅시다
특히 경계를 찾아낸다면
무한 급수가 수렴한다는 좋은 근거가 됩니다
무한 급수가 수렴한다는 좋은 근거가 됩니다
그리고 우리가 하려고하는 방법은
관련된 함수를 살펴보고자 합니다

Korean: 
제가 하고 싶은 것은
f(x) = 1/x²를 살펴보는 것입니다
이 식에서 1/n²을 f(n)으로 볼 수 있습니다
제가 이런식으로 썼다면 말이죠
왜 이것이 흥미로울까요?
그래프로 나타내봅시다
y=f(x) 그래프입니다
연속이고, 양수이고, 감소하는 함수임을 주목해주세요
특히 이 구간
제가 관심 갖는 이 부분을 주목해주세요
x의 양의 값에 대해
연속이고, 양수이고, 감소하는 함수라고 할 수 있습니다
그리고 흥미로운 것은 이것을
여기있는 이 넓이를 추산하는데 사용할 수 있습니다
무슨 의미 일까요?
이 식의 첫 항인 1은
여기있는 이 사각형의 넓이라고 볼 수 있습니다

English: 
So what I wanna do is I wanna explore
f of x is equal to one over x squared.
You could really view this right over here
one over n squared as f of n
if I were to write it this way.
So why is this interesting?
Well let's graph it.
So that's the graph of
y is equal to f of x.
And notice this is a
continuous, positive, decreasing
function, especially
over the interval that
I care about right over here.
I guess we could say for
positive values of x,
it is a continuous, positive,
decreasing function.
And what's interesting is
we can use this as really
an underestimate for this
area right over here.
What do I mean by that?
Well one, this first term right over here,
you could view that as the area

Thai: 
สิ่งที่ผมอยากทำคือผมอยากสำรวจ
f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x กำลังสอง
คุณมองอันนี้ตรงนี้
เป็น 1 ส่วน n กำลังสองว่า f ของ n ก็ได้
ถ้าคุณเขียนมันแบบนี้
ทำไมอันนี้ถึงน่าสนใจ?
ลองวาดกราฟมันดู
นั่นคือกราฟของ y เท่ากับ f ของ x
และสังเกตว่านี่คือฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง เป็นบวก
และลดลง โดยเฉพาะช่วงที่
เราสนใจตรงนี้
เราจะเรียกว่าค่า x ที่เป็นบวกก็ได้
มันเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง เป็นบวก และลดลง
และสิ่งที่น่าสนใจคือว่า เราใช้อนุกรมนี้เป็น
ค่าประมาณอย่างต่ำสำหรับพื้นที่นี่ตรงนี้ได้
ผมหมายความว่าอะไร?
อันนีี้ เทอมแรกนี่ตรงนี้
คุณมองมันเป็นพื้นที่

Portuguese: 
Eu quero explorar f de x é 
um sobre x ao quadrado.
Você pode ver isto, um sobre 
n ao quadrado, como f de n,
se eu fosse escrever desta forma.
Porque isto é interessante?
Façamos um gráfico.
Este é o gráfico de y é igual a f de x.
Note que está é uma função 
decrescente contínua
-- pelo menos no intervalo 
que nos interessa --
Digamos, para valores positivos de x
é uma função positiva, 
decrescente e contínua.
O interessante é que nós podemos usar isto
como uma subestimativa 
para esta área aqui.
O que eu quero dizer com isto?
Primeiramente, este primeiro termo aqui,

Bulgarian: 
Искам да изследвам
f(x) = 1/x^2.
Можеш да разглеждаш това тук
1/n^2 като функцията f(n),
ако я напиша по този начин.
Защо това е интересно?
Нека да начертаем
графиката на функцията.
Това е графиката на y = f(x).
Забележи, че това е непрекъсната,
положителна, намаляваща функция,
особено в интервала, който
ни интересува ето тук.
Предполагам, че можем да кажем, 
че за положителните стойности на х
функцията е непрекъсната,
положителна и намаляваща.
Интересно е, че можем
да използваме това като
за приблизителна оценка
на тази площ ето тук.
Какво имам предвид?
Първият член ето тук,
можем да го разглеждаме
като площта

English: 
of this block right over here.
That is f of n or I guess
you can say f of one high
and one wide, so it's going to be
one times one over one squared or one.
Let me make sure I'm
using different colors.
This term right over
here, that could represent
the area of this block,
which is one fourth high
and one wide so it is going
to have an area of one fourth.
What could this one represent?
Well the area of the next
block if we're trying
to estimate the area under the curve.
And this might look
familiar from when we first
got exposed to the integral
or even before we got
exposed to the integral and
we were taking Riemann sums.
So that right over here, that area,
is going to be equal to one ninth.
So what's intriguing about
this is we know how to
find the exact area, or
the exact area from one

Korean: 
여기있는 이 사각형의 넓이라고 볼 수 있습니다
이것은 f(n) 또는 높이가 f(1)이고
너비가 1이라고 할 수 있습니다
따라서 1과 1/1²의 곱 또는 1이 될 것입니다
제가 다른 색깔을 사용하고 있는지 확인해볼께요
여기있는 이 항은 이 사각형의 넓이를 나타내는데
높이가 1/4이고 너비가 1입니다
따라서 넓이는 1/4이 됩니다
이것은 무엇을 나타낼까요?
우리가 구하고자하는 다음 사각형의 넓이는
이 곡선 아래의 넓이입니다
이것은 살펴본 적이 있을텐데
우리가 처음 적분을 접했을 때
또는 그 보다 먼저 적분과 리만 합을 접했을 때 입니다
따라서 여기 있는 이 넓이는
1/9와 같습니다
아주 흥미로운 사실은
정확한 넓이는 구하는 법을 안다는 것입니다

Bulgarian: 
на този участък ето тук.
Това е f(n) или може
да кажем f от височина 1
и широчина 1, така че
това ще бъде
1 по 1 върху 1 на квадрат, или 1.
Ще използвам различни цветове.
Този член ето тук,
това може да представлява
площта на този участък,
който има височина 1/4,
широчина 1 и следователно 
площ 1/4.
Какво представлява това?
Площта на следващия участък,
ако се опитваме да определим
приблизително площта
под нашата крива.
Това може да ти се струва
познато, когато
за пръв път се запознахме
с интегралите, или даже
преди интегралите, когато
правихме Риманови суми.
Така че това тук, тази площ,
ще бъде равна на 1/9.
Интересното тук е, че
знаем как
да намерим точната площ или
точната площ от 1

Thai: 
ของแท่งนี่ตรงนี้ได้
นั่นือ f ของ n หรือจะเรียกว่าสูง f ของ 1
กว้าง 1 ก็ได้ มันจึง
เท่ากับ 1 คูณ 1 ส่วน 1 กำลังสอง หรือ 1
ขอผมดูให้แน่ใจว่าผมใช้คนละสีนะ
เทอมนี่ตรงนี้ มันแทน
พื้นที่ของแท่งนี้ ซึ่งสูง 1/4
และกว้าง 1 มันจึงมีพื้นที่เท่ากับ 1/4
แล้วอันนี้แทนอะไร?
พื้นที่ของแท่งต่อไป ถ้าเราพยายาม
พาค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
และอันนี้ดูคุ้นๆ ตอนที่เรา
เรียนเรื่องอินทกิรัล หรือแม้แต่ก่อนที่เรา
จะเรียนเรื่องอินทิกรัล ตอนเราหาผลบวกรีมานน์
ตัวนี่ตรงนี้ พื้นที่
จะเท่ากับ 1/9
สิ่งที่น่าคิดคือว่า เรารู้วิธีหา
พื้นที่พอดี หรือพื้นที่พอดีจาก

Portuguese: 
você poderia isto como a área 
deste bloco aqui.
Isto é f de n, ou f de um de 
altura e um de largura,
que é um vezes um sobre um 
ao quadrado, ou um.
-- Deixe-me assegurar que estou 
usando cores diferentes --
Este termo aqui poderia representar a área
deste bloco, que é um quarto 
de altura e um de largura
e tem uma área de um quarto.
O que este poderia representar?
Bem, a área do próximo bloco, 
se estamos tentando
estimar a área abaixo da curva.
Talvez isto lhe pareça familiar,
de quando fomos
apresentados à integral, 
ou antes mesmo,
quando estávamos calculando 
as somas Riemann.
Esta parte aqui, esta área
será igual a um nono.
O intrigante a respeito disto é que 
sabemos como encontrar

Bulgarian: 
до безкрайност за
х от 1 до безкрайност.
Може би това
ще ни помогне някак.
Знаем колко е тази
площ ето тук,
което можем да представим
като несобствен интеграл
от 1 до безкрайност
от f(x) dx.
Знаем какво е това
и аз ще го реша.
Ако знаем колко е това,
тогава можем да определим
стойността, която
ще бъде горна граница
за 1/4 плюс 1/9 плюс 1/16 и т.н.
Това ще ни позволи практически 
да свържем тази стойност
с това, което представя този ред,
и както казах по-рано,
това ще е много добър довод,
че той е сходящ.
Идеята е, че няма
да правя подробно доказателство,
а само ще ти представя
идеята,
теоретичната представа за
това популярно изследване
за сходимост или разходимост,
което се нарича интегрален
критерий на Коши.
Ще го запиша, за да знаеш
каква е основата на това.
Какво имам предвид?

English: 
to infinity, from x
equals one to infinity.
So maybe we can use that somehow.
We know what this area is right over here,
which we can denote as
the improper integral
from one to infinity of f of x dx.
We know what that is and I'll
figure it out in a little bit.
And if we know what this
is, if we can figure out
the value that's going
to be an upper-bound for
one fourth plus one ninth plus one
sixteenth on and on and on and on.
And so that will allow
us to essentially bound
what this series evaluates
to and as we said earlier
that would be a very good
argument for its convergence.
So the whole point here,
I'm not doing a rigorous
proof, but really getting
you the underlying
conceptual understanding
for a very popular test
for convergence or divergence
which is called the integral test.
Let me just write that
down just so you know
what this is kind of the
mental foundations for.
So what do I mean here?

Korean: 
x가 1부터 무한대 까지의 넓이말입니다
이 사실을 어떻게든 사용할 수 있을 것입니다
여기있는 이 넓이를 알 수 있는데요
1부터 무한대까지 f(x)dx의 이상적분으로 
나타낼 수 있습니다
1부터 무한대까지 f(x)dx의 이상적분으로 
나타낼 수 있습니다
이미 거기까지는 알고 있고
조금 있다가 계산해보겠습니다
만약 이미 알고 있다면
만약 상한값을 계산할 수 있다면
1/4 더하기 1/9 더하기 1/16 더하기
등등에 대한 상한값을 계산할 수 있다면
이 급수가 향하는 값의 경계값을 구할 수 있을 것입니다
앞에서 말한대로
이러한 사실은 이 급수의 수렴에 대한 좋은 근거가 됩니다
여기있는 모든 점에 대해서 
엄밀한 증명을 하려는 것이 아니라
기본적인 개념에 대해 이해시키는 것이고
수렴과 발산에 대해 아주 잘 알려진 테스트로
수렴과 발산에 대해 아주 잘 알려진 테스트로
적분판정법이라고 불리는 테스트입니다
참고로 여기에 적어봅시다
이것은 정신적인 토대같은 것입니다
무엇을 뜻하는 걸까요?

Portuguese: 
a área exata, ou a área exata de 
um ao infinito, de x.
Tavez possamos usar isto de alguma forma.
Sabemos qual é esta área aqui,
que podemos chamar de integral imprópria
de um ao infinito de f de xdx.
Nós sabemos como calcular isto e 
mostraremos logo.
Sabendo o que é isto e conhecendo
o valor, temos um limite superior
para um quarto mais um nono, mais um 
dezesseis avos e assim successivamente.
Isto nos permitirá limitar 
o resultado desta série e,
como dissemos anteriormente,
será um ótimo argumento 
para a sua convergência.
Não estou apresentando 
uma prova rigorosa,
mas espero que você compreenda 
conceitualmente um teste bastante popular
para convergência ou divergência
chamado teste integral.
Deixe-me escrever, para que você saiba
para que isto é base.
O que eu quero dizer com isto?

Thai: 
1 ถึงอนันต์ จาก x เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
บางทีเราอาจจะใช้มันได้
เรารู้ว่าพื้นที่นี้อยู่ตรงนี้
ซึ่งเราเขียนได้เป็นอินทิกรัลไม่แท้
จาก 1 ถึงอนันต์ของ f ของ x dx
เรารู้ว่ามันคืออะไร ผมจะหามันออกมา
และถ้าเรารู้ว่าค่านี้ ถ้าเราหา
ค่าได้ มันจะเป็นขอบบน
ของ 1/4 บวก 1/9 บวก
1/16 ไปเรื่อยๆ
แล้วมันจะทำให้เราหาขอบ
ว่าอนุกรมนี้หาค่าได้เท่าใด 
อย่างที่เราบอกไปก่อนหน้านี้
มันเป็นเหตุผลที่ดีมากเพื่อบอกว่าอนกุรมลู่เข้า
ประเด็นตรงนี้ ผมไม่ได้พิสูจน์
อย่างรัดกุม แต่มันทำให้คุณเข้าใจ
หลักการเบื้องหลัง ของการทดสอบการลู่เข้า
หรือลู่ออกชื่อดัง
ที่เรียกว่าการทดสอบอินทิกรัลตรงนี้
ขอผมเขียนลงไป คุณจะได้รู้
ว่าพื้นฐานการคิดนี้คืออะไร
ผมหมายความว่าอะไรตรงนี้?

English: 
So let me write this sum again.
Let me write it a little bit different.
So our original series from n equals one
to infinity of one over n squared.
It's going to be equal
to this first block,
the area of this first
block plus the area of
all the rest of the
blocks, the one fourth plus
one ninth plus one sixteenth,
let me do this in a new color.
Which we could write as
the sum from n equals two
to infinity of one over n squared.
So I just kind of expressed this as a sum
of this plus all of that stuff.
Now what's interesting
is that this, what I just
wrote in this blue
notation that's this block
plus this block plus the next block,
which is going to be less than
this definite integral right over here.

Thai: 
ขอผมเขียนผลบวกนี้อีกที
ขอผมเขียนต่างออกไปหน่อย
อนุกรมเดิมของเราจาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน n กำลังสอง
มันจะเท่ากับแท่งแรกนี้
พื้นที่ของแท่งแรกบวกพื้นที่ของ
แท่งที่เหลือ 1/4 บวก
1/9 บวก 1/16
ขอผมใช้สีใหม่นะ
ซึ่งเราเขียนได้เป็นผลบวกจาก n เท่ากับ 2
ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน n กำลังสอง
ผมแค่แสดงพจน์นี้เป็นผลบวก
ของอันนี้บวกทั้งหมดนั้น
ทีนี้ สิ่งที่น่าสนใจคือว่าอันนี้ สิ่งที่ผม
เขียนด้วยสีฟ้า นั่นคือแท่งนี้
บวกแท่งนี้บวกแท่งต่อไป
ซึ่งน้อยกว่า
อินทิกรัลจำกัดเขตนี่ตรงนี้

Portuguese: 
Deixe-me reescrever esta 
soma de outra forma.
Nossa série original de n igual a um ao
infinito de um sobre n ao quadrado
será igual à área deste primeiro bloco
mais a área do resto dos blocos,
que é um quarto mais um nono,
mais um dezesseis avos
-- deixe-me fazer isto em outra cor --
que nós poderíamos escrever como a 
soma de n igual a dois ao infinito
de um sobre n ao quadrado.
Estou apenas expressando isto como a
soma disto mais tudo isto aqui.
O interessante é que isto
-- que acabo de escrever em azul --
é este bloco mais este bloco,
mais o próximo bloco,
que será menor que esta 
integral definida aqui.

Korean: 
합을 다시 적어보는데요
이전과는 조금 다르게 적어봅시다
원래의 급수는 n이 1부터
무한대까지 1/n²의 합입니다
이 급수는 여기있는 첫번째 블록
첫번째 블록의 넓이에
나머지 모든 블록들의 넓이를 더한 것과 같습니다
1/4 더하기 1/9 더하기 1/16
새로운 색을 사용해봅시다
나머지 모든 블록들의 넓이는 n은 2부터 무한대까지
1/n²의 합으로 나타낼 수 있습니다
따라서 이 급수를 1과 나머지 모든 값들의
합으로 나타내었습니다
흥미로운 것은
방금 파란색으로 적은 이 식이
이 블록 더하기 이 블록 더하기 다음 블록으로
여기 오른쪽에 있는 정적분 값보다 작아집니다
여기 오른쪽에 있는 정적분 값보다 작아집니다

Bulgarian: 
Ще запиша отново тази сума,
но малко по-различно.
Оригиналният ред е от
n = 1 до безкрайност
от 1/n^2.
Това е равно на първия блок,
площта на този първи блок,
плюс площта на
всички останали блокове,
1/4 плюс + 1/9 + 1/16...
ще използвам нов цвят.
Това можем да запишем като
сума от n = 2
до безкрайност от 1/n^2.
Просто го представих като
сума от този член
плюс всичко това нататък.
Интересното тук е, че
това, което написах току-що
в синьо, това е този блок
плюс този блок, плюс
следващия блок,
което ще е по-малко
от този определен интеграл ето тук.

Thai: 
อินทิกรัลจำกัดเขตนี้ 
สังเกตว่ามันประมาณต่ำไป
มันอยู่ใต้เส้นโค้งเสมอ มันจึง
น้อยกว่าอินทิกรัลจำกัดเขตนั้น
เราจึงเขียนตัวนี้ได้ว่าน้อยกว่า
1 บวก แทนที่จะเขียนอันนี้
ผมจะเขียนอินทิกรัลจำกัดเขต
1 บวกอินทิกรัลจำกัดเขตจาก 1
ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน x กำลังสอง dx
ทีนี้ ทำไมมันถึงมีประโยชน์?
เรารู้วิธีหาค่าพจน์นี้ และผมแนะนำ
ให้คุณทบทวนบทเรียนในคานอะคาเดมี่
เรื่องอินทิกรัลไม่แท้ ถ้าคุณไม่คุ้น
แต่ผมจะหาค่าตัวนี้ข้างล่างนี้
เรารู้ว่าอันนี้เท่ากับลิมิตเมื่อ
ผมจะใส่ตัวแปรตรงนี้
t เข้าหาอนันต์ของอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก 1 ถึง t และผมจะเขียน
ตัวนี้เป็น x กำลังลบ 2 dx
ซึ่งเท่ากับลิมิตเมื่อ t เข้าหาอนันต์

Portuguese: 
Note que esta integral definida é uma 
subestimativa.
Ela está sempre abaixo da curva.
Ela será menor 
que aquela integral definida.
Podemos escrever que isto será
menor que um mais
-- no lugar de escrever isto, vou escrever
a integral definida --
Um mais a integral definida 
de um ao infinito
de um sobre x ao quadrado dx.
Porque isto é útil?
Porque sabemos como evaluar isto,
e eu o encorajo a revisar a 
seção no Khan Academy
em integrais impróprias se isto
não lhe é familiar,
mas eu vou resolver isto aqui embaixo.
Sabemos que isto é o mesmo que
o limite
-- vou introduzir uma variável aqui --
t tendendo ao infinito da 
integral definida
de um a t de x na menos dois dx.
Que é igual ao limite 
-- quanto t tende ao infinito --

Bulgarian: 
Това е определен интеграл,
тази сума винаги е по-малка,
винаги е под кривата,
така че това
ще е по-малко от този
определен интеграл.
Можем да напишем, че
това ще е по-малко
от 1 + , и вместо
да пиша това,
ще напиша определен интеграл.
Едно плюс определен
интеграл от 1 до безкрайност
от 1/x^2 dx.
С какво ни помага това?
Знаем как да изчислим
това и те насърчавам
да преговориш раздела в
Кан Академия
за несобствени интеграли, ако
ти се струва непознато,
а аз ще го сметна тук.
Знаем, че това е равно на
границата,
тук ще въведа една променлива,
t клони към безкрайност, 
от определен интеграл
от 1 до t, от...
и аз просто ще напиша,
това като х^(2) dx.
Което е равно на границата,
когато t клони към безкрайност,

English: 
This definite integral,
notice it's an underestimate
it's always below the
curve, so it's going to
be less than that definite integral.
So we can write that this
thing is going to be less
than one plus instead of writing this
I'm gonna write the definite integral.
One plus the definite integral from one
to infinity of one over x squared dx.
Now why is that useful?
Well we know how to evaluate
this and I encourage
you to review the section on Khan Academy
on improper integrals if
this looks unfamiliar,
but I'll evaluate this down here.
We know that this is the
same thing as the limit as,
I'm going to introduce a variable here,
t approaches infinity
of the definite integral
from one to t of and I'll just write
this as x to the negative two dx.
Which is equal to the limit
as t approaches infinity

Korean: 
이 정적분은 너무 적게 잡은 값으로
항상 곡선보다 아래에 있기때문에
정적분 값보다 작아집니다
이제 이 식을 다음과 같이 적을 수 있는데
1 더하기 급수로 적는 대신
정적분으로 적으면 이 식보다 작아집니다
1일 더하기 1부터 무한대까지
1/x² dx의 정적분입니다
왜 이것이 유용할까요?
이 정적분을 계산하는 것을 알고 있을텐데요
칸 아카데미의 이상적분에 대한 섹션을 참고하시기 바랍니다
이 부분이 생소하다면 말입니다
하지만 여기에 아래에 계산해보겠습니다
이 식은 이 극한값과 같다는 것을 알 수 있습니다
여기서 변수를 사용하려고 하는데요
1 부터 t까지 정적분의 t가 무한대로 갈 때의 극한값입니다
이 식을 x의 -2 제곱 dx로 적겠습니다
이 식을 x의 -2 제곱 dx로 적겠습니다
이 식은 t가 무한대로 갈 때

Korean: 
마이너스 x의 -1 제곱의 극한값과 같은데
실은 이 식을 -1/x로 적을 수 있습니다
이제 이 식을 t와 1에서 계산하려고 하는데요
t가 무한대로 갈 때
-1/t에서 -1/1을 뺀 극한값과 같습니다
따라서 +1이 됩니다
t가 무한대로 갈 때 여기 있는 이 항은
1이 되기때문에 이 식은
1로 간단해집니다
따라서 이 전체 값이 1로 계산되고
이 급수의 상한을 구할 수 있었습니다
이 급수의 상한을 구할 수 있었습니다
문제로 주어진 이 급수에 대해 말할 수 있는데
n이 1부터 무한대까지
1/n²의 무한 합은
1 더하기 1 또는 2보다 작아집니다

Thai: 
ของลบ x กำลังลบ 1 หรือผม
เขียนได้ว่า ลบ 1 ส่วน x
และเราจะหาค่ามันที่ t กับ 1
ซึ่งเท่ากับลิมิตเมื่อ t เข้าหาอนันต์
ของลบ 1 ส่วน t แล้วลบลบ
1 ส่วน 1 มันจะได้บวก 1
และเมื่อ t เข้าหาอนันต์ เทอมนี่ตรงนี้
จะเท่ากับ 0 แล้วตัวนี้
จะลดรูปเหลือ 1
ทั้งหมดนี้จึงหาค่าได้ 1
อย่างนั้น เราหา
ขอบบนของอนุกรมนี้ได้
เราบอกได้ว่าอนุกรมที่สงสัย
ในคำถามนี้ อนุกรมอนันต์จาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน n กำลังสอง จะเท่ากับ
น้อยกว่า 1 บวก 1 หรือมันน้อยกว่า 2

Bulgarian: 
от –x на степен –1,
или всъщност
мога да го напиша като –1/х.
Ще изчислим това за t
и за 1,
което е равно на границата,
когато t клони към безкрайност,
от –1/t и после минус –1/1,
което е просто +1.
Когато t клони към безкрайност,
този член тук
ще бъде нула, така че
можем да опростим като 1.
Цялото това нещо е 1.
И ето така можахме
да поставим
горна граница на
този безкраен ред.
Можахме да кажем, че
интересуващият ни ред
безкрайната сума от 1/n^2 за
n от 1 до безкрайност ще бъде

English: 
of negative x to the
negative one, or actually I
could write that as negative one over x.
And we're going to evaluate
that at t and at one,
which is equal to the limit
as t approaches infinity
of negative one over t
and then minus negative
one over one so that
would just be plus one.
And as t approaches infinity
this term right over here
is going to be zero, so this is
just going to simplify to one.
So this whole thing evaluates to one.
So just like that we were able to place
an upper-bound on this series.
We're able to say that
the series under question
or in question, so the
infinite sum from n equals one
to infinity of one over
n squared is going to be
less than one plus one or it's
going to be less than two.

Portuguese: 
de menos x na menos um 
-- podemos escrever menos um sobre x --
Vamos calcular isto em t e em um,
que é igual ao limite com t
tendendo ao infinito
de menos um sobre t menos
menos um sobre um,
que resulta em mais um.
Quando t se aproxima de infinito,
este termo aqui
será zero, então isto 
simplificará para um.
Esta coisa toda aqui é um.
Desta forma somos capazes de 
calcular um limite superior
para esta série.
Podemos dizer que a série em questão
-- a soma infinita de n igual a um
ao infinito de um sobre n ao quadrado --
será menor que um mais um,
ou seja, -- deixe-me usar outra cor --

Portuguese: 
menor que dois.
Outra forma de pensarmos a respeito seria
pensarmos que o dois é esta área
mais esta área aqui.
Estamos dizendo que esta 
soma é menor que dois,
assim definimos um limite superior.
Desta forma sabemos que ela não
crescerá até mais infinito.
Já que todos os termos são positivos,
ela não será menos infinito.
E já que todos termos 
são positivos sabemos
que a soma não oscilará entre 
dois valores.
Desta forma isto nos dá uma boa impressão
de que esta série converge.
A lógica que usamos aqui, para convencer
porque a série converge,
novamente, esta não é uma prova rigorosa,
mas é a lógica subjacente 
do teste integral.
Legendado por [ José Irigon ]
Revisado por [Victor Oliveira]

Thai: 
วิธีคิดอีกอย่างคือว่า มันจะเท่ากับ 2
ในพื้นที่นี้ นั่นคือ 1 ตรงนี้
บวกพื้นที่นี่ตรงนี้
เราจึงบอกว่าผลบวกนี้จะน้อยกว่า
2 เราจึงมีขอบให้มันข้างบน
เราจึงรู้ว่ามันไม่ถึงบวกอนันต์ไม่ได้
เนื่องจากทุกเทอมเป็นบวก มันจึง
ไปไม่ถึงลบอนันต์แน่นอน
และเนื่องจากทุกเทอมเป็นบวก เราจึงรู้
ว่าตัวนี้ไม่แกว่งไปมาระหว่าง
ค่าต่างกันสองค่า อันนี้ทำให้เรา
รู้แล้วว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า
และเหตุผลที่เราเพิ่งใช้ว่าทำไม
อนุกรมนี้ลู่เข้า ย้ำอีกครั้ง 
มันไม่ใช่การพิสูจน์อย่างรัดกุม
แต่นี่คือเหตุผลเบื้องหลัง
ของการทดสอบอินทิกรัล

English: 
Or another way to think about
it, it's going to be the two
is this area, that's one right over there
plus this area right over here.
So we're saying that this
sum is going to be less
than two so we have bounded it above.
So we know that it cannot
go to positive infinity.
Because all the terms are
positive it's definitely
not going to go to negative infinity.
And because all the terms
are positive we also know
that this isn't going to oscillate between
two different values, so
this gives us a pretty
good sense that this series converges.
And the logic we just
used here to argue for why
this converges, once again
not a rigorous proof, but
this is the underlying
logic of the integral test.

Korean: 
또는 다른 방법으로 생각해보면 이 부분의 넓이는 2가 됩니다
여기 있는 이 부분인 1에
이 부분의 넓이를 더한 것입니다
이 합은 2보다 작다고 할 수 있고
따라서 위로 유계입니다
따라서 이 급수는 양의 무한대로 갈 수 없다는 것을
알 수 있습니다
모든 향이 양수이기 때문에
확실히 음의 무한대로 가진 않을 것입니다
그리고 모든 향이 양수이기 때문에
두가지 다른 값 사이를 진동하지 않을 것을
알 수 있습니다
따라서 이 급수가 수렴할 것이라는 아주 좋은 느낌을 줍니다
따라서 이 급수가 수렴할 것이라는 아주 좋은 느낌을 줍니다
왜 이 급수가 수렴하는지를 주장하기 위해 사용한 논리는
다시 한번 말하지만 엄밀한 증명이 아니라
적분판정법의 근본적인 논리입니다

Bulgarian: 
по-малко от 1 + 1, т.е.
ще е по-малка от 2.
Друг начин да го разглеждаме е,
че ще бъде 2 в този участък,
ето тук плюс този участък тук.
Казваме, че тази сума
ще бъде по-малка от 2,
т.е. поставихме горна граница.
Знаем, че няма да стигне
до плюс безкрайност.
Защото всички членове са 
положителни, тя определено
няма да достигне до
минус безкрайност.
И понеже всички членове
са положителни, знаем също,
че това няма да се колебае
между две различни стойности,
което е добро доказателство,
че този ред е сходящ.
Логиката, която използвахме,
за да обосновем защо
това е сходящо, повтарям пак, 
че това не е стриктно доказателство,
а това е логиката на
интегралния критерий на Коши.
