
Thai: 
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือพิสูจน์ว่าถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้
ที่จุด C จุดหนึ่ง มันจะ
ต่อเนื่องที่จุด C นั้นด้วย
แต่ ก่อนที่เราจะพิสูจน์ ลองทบทวน
ว่าการหาอนุพันธ์ได้หมายถึงอะไร
และความต่อเนื่องหมายถึงอะไร
อย่างแรก การหาอนุพันธ์ได้
การหาอนุพันธ์ได้
ลองคิดถึงมันก่อน
มันมีประโยชน์เสมอถ้าเราวาด
ฟังก์ชันขึ้นมาก่อน
นั่นคือแกน y
นี่คือแกน x
แล้วลองวาดฟังก์ชัน ตรงนี้
สมมุติว่าฟังก์ชันของเราเป็นแบบนี้
และเราสนใจจุด x เท่ากับ c
ซึ่งอยู่ตรงนี้
นั่นคือจุด x เท่ากับ c
แล้ว ค่านี้ แน่นอน
จะเท่ากับ f ของ c
f ของ c
และวิธีที่เราหาอนุพันธ์

Korean: 
이 영상에서 하려는 것은
어떤 함수가 한 점 C에서
미분가능하면
어떤 함수가 한 점 C에서
미분가능하면
그 점 C에서 연속임을
증명하는 것입니다
하지만 그 전에
미분가능성과 연속성이
무엇을 의미하는지 봅시다
먼저
미분가능성에 대해
생각해봅시다
함수를 그려보는 것이
도움이 될 겁니다
이것이 y축이고
이것이 x축입니다
여기에 적당한 함수를 그려봅시다
이렇게 생긴 함수에서
x = c인 지점을 살펴봅시다
x = c인 지점을 살펴봅시다
x = c인 지점을 살펴봅시다
그리고 c에 해당하는 함수값은
f(c)가 되겠죠
f(c)가 되겠죠
x = c에서의 미분계수

Czech: 
V tomto videu bych
rád dokázal tvrzení,
že pokud je funkce diferencovatelná v
bodě c, pak je v tomto bodě i spojitá.
Ale před tím, než to
uděláme, si připomeňme,
co znamená diferencovatelnost
a co znamená spojitost.
Nejdříve diferencovatelnost.
Nejprve se
zamyslíme nad ní.
Vždycky se hodí si
nakreslit nějakou funkci.
Tohle je y-ová osa.
Tohle je x-ová osa.
A nakreslíme si
libovolnou funkci.
Řekněme, že máme takovou funkci,
a zajímá nás bod x rovno c,
který je tady.
Toto je bod x rovno c a tato
hodnota je samozřejmě f(c).
Jedním ze způsobů, jak
nalézt derivaci pro x rovno c,

Bulgarian: 
В това видео се надявам
да докажем, че ако една функция
 е диференцируема
в дадена точка с, тя също
ще бъде непрекъсната
в тази точка с.
Преди да направим доказателството, 
нека си припомним
какво означава диференцируемост
и непрекъснатост.
Първо диференцируемост.
Диференцируемост.
Нека помислим върху това.
Винаги е полезно да си начертаем
една функция.
Това е оста у.
Това е оста х.
Хайде да начертаем някаква
функция.
Да кажем, че функцията ми
изглежда ето така
и нас ни интересува точката х = С,
която е ето тук.
Това е точката х = с.
Тази стойност, разбира се,
ще бъде f(c).
Единият вариант за намиране
на производната

English: 
- [Voiceover] What I
hope to do in this video
is prove that if a
function is differentiable
at some point, C, that it's also
going to be continuous at that point C.
But, before we do the proof,
let's just remind ourselves
what differentiability means
and what continuity means.
So, first, differentiability.
Differentiability
So, let's think about that, first.
And it's always helpful to draw ourselves
a function.
So, that's our Y-axis.
This is our X-axis.
And let's just draw some function, here.
So, let's say my function looks like this
and we care about the point X equals C,
which is right over here.
So, that's the point X equals C,
and then, this value, of course,
is going to be F of C.
F of C.
And one way that we
can find the derivative

Bulgarian: 
при х = с, иначе казано наклона
 на допирателната
в х= с, е... Можем да започнем
и с друга точка.
Произволна стойност на х.
Да кажем, че това е произволна
 стойност на х.
Тази точка, тази стойност,
тази стойност за у ще е f(x).
Това е графиката у = f(x).
Искаме да намерим наклона на
тази права,
тази секуща права между 
тези две точки,
за да намерим границата при х, 
клонящо към с.
Когато х клони към с, наклонът
на тази секуща линия 
ще клони към
наклона на допирателната, т.е.
ще бъде производната.
Можем да сметнем границата
при х, клонящо към с,
на наклона на тази секуща линия.
Какъв е наклонът?
Ще бъде изменението на у 
спрямо изменението на х.

Thai: 
ที่ x เท่ากับ c หรือความชันของเส้นสัมผัส
ที่ x เท่ากับ c ก็คือ เราเริ่มที่จุดอื่นจุดหนึ่ง
เช่น ค่า x ตามใจตรงนี้
สมมุติว่านี่คือค่า x ตามใจตรงนี้
แล้ว จุดนี่ตรงนี้ ค่านี้
ค่า y นี้ จะเป็น f ของ x
นั่นคือ f ของ x
กราฟนี้ แน่นอนคือกราฟของ y เท่ากับ f ของ x
และเราคิดถึงการหารความชันเส้นตรงนี้
เส้นตัดนี้ระหว่างสองจุดนี้
แต่แล้ว เราหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ได้
เมื่อ x เข้าใกล้ c เส้นตัดนี้
ความชันของเส้นตัดนี้จะเข้าใกล้
ความชันของเส้นสัมผัส
หรือจะเท่ากับอนุพันธ์
แล้ว เราก็หาลิมิต --
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
เมื่อ x เข้าใกล้ c
ของความชันของเส้นตัดนี้
แล้วความชันเป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของ y
ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

Korean: 
또는 x=c에서의 접선의 기울기를 구하는
하나의 방법을 알아봅시다
임의의 x를 잡습니다
임의의 x를 잡습니다
그러면 이 점의 y좌표는
f(x)입니다
f(x)입니다
물론 이 그래프는
y = f(x)의 그래프입니다
이때 이 선분의 기울기
즉 두 점 사이의
할선의 기울기를 구해서
x가 c에 가까워질 때의
극한을 구할 수 있습니다
x가 c로 다가가면
할선의 기울기는
접선의 기울기
또는 미분계수에
가까워 질 것입니다
그러니 x가 한없이 c에
가까워질 때
그러니 x가 한없이 c에
가까워질 때
그러니 x가 한없이 c에
가까워질 때
할선 기울기의 극한을 구합시다
그래서, 기울기가 뭘까요?
(y의 변화량)/ (x의 변화량)입니다

Czech: 
neboli směrnici tečny
v bodě x rovno c,
je začít s nějakým
jiným bodem.
S libovolným x
někde tady.
Řekněme, že toto je
naše libovolné x.
Tato y-ová hodnota
pak bude f(x).
Tento graf je samozřejmě
graf y rovná se f(x).
Můžeme nalézt
směrnici této přímky,
tedy sečny procházející
těmito dvěma body,
a pak najdeme limitu
pro x jdoucí k ‚c‘.
Jak se x blíží k ‚c‘,
tak sečna…
Směrnice této sečny se blíží ke
směrnici tečny, takže půjde o derivaci.
Můžeme tedy spočítat limitu pro
x jdoucí k ‚c‘ ze směrnice této sečny.
Čemu se
směrnice rovná?
Rovná se změně y
dělené změnou x.

English: 
at X equals C, or the
slope of the tangent line
at X equals C is, we could
start with some other point.
Say, some arbitrary X out here.
So, let's say this is
some arbitrary X out here.
So, then, this point right
over there, this value,
this Y value, would be F of X.
Would be F of X.
This graph, of course, is
a graph of Y equals F of X.
And we can think about finding
the slope of this line,
this secant line between these two points,
but then, we can find the
limit as X approaches C.
And as X approaches C, this secant,
the slope of the secant
line is going to approach
the slope of the tangent line, or,
it's going to be the derivative.
And so, we could take the limit...
The limit as X approaches C,
as X approaches C,
of the slope of this secant line.
So, what's the slope?
Well, it's gonna be change
in Y over change in X.

Czech: 
Změna y je f(x) minus f(c),
jde o tuto vzdálenost.
Tohle je jen opakování, jedná se o jednu z
definic derivace, o jeden způsob pohledu.
Tady tedy bude f(x) minus f(c), což je
změna y, lomeno změna x.
Změna x je
x minus c.
Pokud tato limita existuje, tak jsme
schopni najít směrnici tečny v tomto bodě,
a tuto směrnici tečny nazýváme
derivací v bodě x rovno c.
Značíme to jako
f s čárkou v bodě c.
Tohle všechno je
jen opakování.
Takže když říkáme, že funkce je
diferencovatelná v bodě x rovno c,
tak vlastně říkáme, že
tato limita existuje.
A pokud tato limita existuje, tak
ji označíme jako f s čárkou v bodě c.

Thai: 
การเปลี่ยนแปลงของ y คือ f ของ x ลบ f ของ c
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของ y ตรงนี้
นี่คือการทบทวนทั้งนั้น นี่แค่นิยามอันหนึ่ง
ของอนุพันธ์ หรือวิธีคิดถึงอนุพันธ์วิธีหนึ่ง
มันจะเท่ากับ f ของ x ลบ f ของ c
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของ y
ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x
ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x ซึ่งก็คือ x ลบ c
มันคือ x ลบ
x ลบ c
ถ้าลิมิตนี้มีจริง แล้วเราจะหา
ความชันเส้นสัมผัสเส้นตรงที่จุดนี้ได้
และเราเรียกความชันของเส้นสัมผัสนั้น
เราเรียกมันว่าอนุพันธ์ที่ x เท่ากับ c
เราบอกว่ามันจะเท่ากับ f ไพรม์
f ไพรม์ของ c
ทั้งหมดนี้คือการทบทวน
ถ้าเราบอกว่า วิธีคิดอย่างหนึ่ง
ถ้าเราบอกว่าฟังก์ชัน f
หาอนุพันธ์ได้ที่ x เท่ากับ c
เราก็แค่บอกว่า ลิมิตนี้
ตรงนี้มีอยู่จริง
และถ้าลิมิตนี้มีจริง
เราก็เรียกค่านั้นว่า f ไพรม์ของ c

Bulgarian: 
Изменението на у е f(x) минус f(c).
Това е изменението на у.
Всичко това е преговор. Това е 
просто една дефиниция
за производна, един начин за 
разглеждане на производната.
Получаваме f(x) минус f(c),
което е нашето изменени на у, 
върху изменението на х,
което е х минус с.
То е х
минус с.
Ако тази граница съществува, 
тогава ще можем да намерим
наклона на допирателната
 в тази точка
и ще наречем този наклон 
на допирателната
производната при х = с.
Казваме, че това ще бъде f'(с).
Всичко това е преговор.
Единият вариант за разглеждане...
Ако кажем, че функцията f
е диференцируема при х = с,
просто казваме, че тази граница
всъщност съществува.
И ако тази граница съществува,
просто наричаме тази стойност f '(с).

English: 
The change in Y is F of X minus F of C,
that's our change in Y right over here.
This is all review, this
is just one definition
of the derivative, or one way
to think about the derivative.
So, it's going to be F of X minus F of C,
that's our change in Y,
over our change in X.
Over our change in X, which is X minus C.
It is X minus,
X minus C.
So, if this limit exists,
then, we're able to find
the slope of the tangent
line at this point,
and we call that slope
of the tangent line,
we call that the derivative at X equals C.
We say that this is going
to be equal to F prime,
F prime of C.
All of this is review.
So, if we're saying, one
way to think about it,
if we're saying that the function, F,
is differentiable at X equals C,
we're really just saying that this limit
right over here actually exists.
And if this limit actually exists,
we just call that value F prime of C.

Korean: 
여기서 y의 변화량은
f(x) - f(c)입니다
여기서 y의 변화량은
f(x) - f(c)입니다
이건 미분계수의 정의 중
한 가지일 뿐입니다
말하자면
y 변화량인 f(x) - f(c)를
x 변화량인
x-c로 나눈 식에 대해
x-c로 나눈 식에 대해
극한값이 존재한다면
이 점에서 접선의 기울기를
구할 수 있으며
이 값을 x = c에서의
미분계수라고 부릅니다
이것은 f'(c)라고 적습니다
이것은 f'(c)라고 적습니다
따라서 어떤 함수 f가
따라서 어떤 함수 f가
x = c에서 미분가능하다는 것은
이 식의 극한값이
존재한다는 것을 의미합니다
그리고 이 극한값이 존재한다면
이 식의 값을 f'(c)라고 부릅니다

Czech: 
Tím jsme si tedy zopakovali
diferencovatelnost.
Teď si zopakujeme
definici spojitosti.
Funkce je v bodě c spojitá, když se limita
pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) rovná f(c).
Tohle se někomu může zdát intuitivní, ale
taky si možná říkáte, odkud se to vzalo.
Nakreslíme si to a snad
nám to bude dávat smysl.
Když máme funkci…
Lepší bude podívat se na
případy, kdy funkce není spojitá.
Pak to snad bude
trochu jasnější.
Když máme odstranitelnou
nespojitost v bodě x rovná se c…
Tohle je bod
x rovno c.
Když máme odstranitelnou
nespojitost...
Nakreslím to
trochu jinak.
Tady v bodě x rovno c
bude mezera
a f(c) bude až
tady nahoře.

Korean: 
여기까지 미분가능성에 대한
복습이었습니다
이제 연속성에 대해
복습합시다
 
연속성의 정의는
x가 한없이 c에 가까워질 때
f(x)의 극한이
f(c)와 같다는 것입니다
이 식이 여러분에게
직관적으로 보일 수도 있겠지만
잘 이해가 되지 않을수도 있습니다
이 식을 시각화해서
직관적으로 받아들이기 쉽게 해봅시다
일단 연속적이지 않은 함수를
먼저 살펴봅시다
그러는 편이 개념을
더 명확하게 만들어 줄 겁니다
만약 x = c에서 불연속적이면
만약 x = c에서 불연속적이면
만약 x = c에서 불연속적이면
만약 x = c에서 불연속적이면
x=c에서 틈이 생기고
실제 f(c)값은 위의 값이 됩니다

Thai: 
นั่นก็แค่การทบทวนเรื่องการหาอนุพันธ์ได้
ทีนี้ ลองทบทวนเรื่องความต่อเนื่องกัน
ความต่อเนื่อง
นิยามของความต่อเนื่อง
คือถ้าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
เท่ากับ f ของ c
แล้ว อันนี้มันดู คุณก็รู้
มันโผล่ขึ้นมาตรงตามสัญชาตญาณ
หรือมันอาจจะตรงนิดหน่อย มันมาจากไหน
ลองนึกภาพดูแล้วหวังว่า
มันจะช่วยให้เข้าใจมากขึ้น
ถ้าคุณมีฟังก์ชัน
ลองดูกรณ๊
ที่คุณไม่ต่อเนื่องกัน
และมันอาจจะช่วยให้เห็นชัดขึ้น
ถ้าคุณมีจุดไม่ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ c
นี่คือ x เท่ากับ c ถ้าคุณมี
จุดไม่ต่อเนื่อง
ขอผมวาดแบบนี้นะ
คุณมีช่องว่าง ตรงนี้ และ x เท่ากับ
เมื่อ x เท่ากับ c, f ของ c จะขึ้นไปบนนี้

Bulgarian: 
Това е просто преговор върху
диференцируемост.
Нека сега си направим преговор
 върху непрекъснатост.
Непрекъснатост.
Дефиницията за непрекъснатост е:
ако границата при х,
 клонящо към с, на f(x)
е равна на f(c).
Това може да ти изглежда малко...
Може да ти се стори малко 
очевидно
или пък да се зачудиш 
откъде дойде.
Нека го визуализираме
и се надявам,
че ще стане ясно.
Ако имаме една функция...
Хайде всъщност да разгледаме 
някои случаи,
които са прекъснати.
Това всъщност може да направи 
нещата малко по-ясни.
Ако имахме прекъсване 
в точка х = с...
Това е х = с. Ако имахме
прекъсване...
Нека го начертая така.
Имаме дупка тук,
където х е равно на с, а f(с) 
всъщност е чак тук горе.

English: 
So, that's just a review
of differentiability.
Now, let's give ourselves
a review of continuity.
Continuity.
So, the definition for continuity is
if the limit as X approaches C of F of X
is equal to F of C.
Now, this might seem a
little bit, you know,
well, it might pop out
to you as being intuitive
or it might seem a little,
well, where did this come from,
well, let's visualize it and hopefully
it'll make some intuitive sense.
So, if you have a function,
so, let's actually look at some cases
where you're not continuous.
And that actually might make
it a little bit more clear.
So, if you had a point
discontinuity at X equals C,
so, this is X equals C, so, if you had
a point discontinuity, so,
lemme draw it like this, actually.
So, you have a gap, here, and X equals,
when X equals C, F of C
is actually way up here.

Czech: 
Tohle je f(c) a pak
funkce pokračuje takto.
Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x)
je tato hodnota, což zjevně není f(c).
Tato hodnota…
Když děláme limitu pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x), tak se blížíme k této hodnotě.
Tohle je limita pro x jdoucí
k ‚c‘ z f(x) a ta je různá od f(c).
Takže tato definice spojitosti vypadá
rozumně, aspoň pro tento případ,
protože toto zjevně není spojitá funkce,
dochází zde k odstranitelné nespojitosti.
Alespoň v tomto případě tedy
definice spojitosti správně řekne,
že nejde o
spojitou funkci.
Můžeme se taky zamyslet nad
nespojitostí 1. druhu.
Podívejme se na ni.

Bulgarian: 
Това е f(c).
После функцията си продължава
ето така.
Границата при х, клонящо към с, 
на f(x)
ще бъде тази стойност, която 
очевидно е различна
от f(c).
Тази стойност тук... 
Ако смяташ границата
при х, клонящо към с, на f(x),
ще приближаваш тази стойност.
Това тук е границата
при х, клонящо към с, на f(x), 
което е различно от f(c).
Следователно тази дефиниция 
за непрекъснатост
изглежда правилна поне 
за този случай.
Тъй като това е прекъсната функция,
имаме точка на прекъсване.
Поне за този случай
тази дефиниция за непрекъснатост
 правилно ще
определи, че това е 
прекъсната функция.
Можем да разгледаме също и напрекъснатост със скок.
Нека разгледаме това.

Korean: 
실제 f(c)값은 위의 값이 됩니다
x가 c로 갈 때 f(x)의 극한은
이 값을 가지며
분명히 f(c)와 다릅니다
x가 c로 갈 때
f(x)의 극한을 취하면
이 값으로 다가가게 됩니다
이 값으로 다가가게 됩니다
이 극한값은 f(c)와 다릅니다
이 경우에서 연속성의 정의는
꽤 잘 들어맞는 것 같습니다
이 함수는 연속적이지 않으며
불연속점을 가집니다
그러니 적어도 이 함수에서는
연속성의 정의가
이 함수를 불연속적인 함수로
잘 분류합니다
점프 불연속도 생각해 봅시다
점프 불연속도 생각해 봅시다

Thai: 
นี่คือ f ของ c แล้ว
ฟังก์ชันต่อไปแบบนี้
ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
จะเท่ากับค่านี้ ซึ่งต่างจาก
f ของ c ชัดเจน
ค่านี่ตรงนี้ ถ้าคุณหาลิมิต
ถ้าคุณหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
คุณจะเข้าใกล้ค่านี้
ค่านี่ตรงนี้ คือลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x ซึ่งต่างจาก f ของ c
นั่นทำให้ นิยามของความต่อเนื่องนี้
จึงดูดี อย่างน้อยก็สำหรับกรณีนี้
เพราะนี่ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่อง
คุณมีจุดไม่ต่อเนื่อง
อย่างน้อยในกรณีนี้
นิยามความต่อเนื่องนี้จะระบุ
ว่าฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องจริง
ทีนี้ ลองคิดถึงความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดบ้าง
คุณคิดถึงความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด
ลองคิดดู

English: 
So, this is F of C, and then,
the function continues like this.
The limit, as X approaches C of F of X
is going to be this value,
which is clearly different
than F of C.
This value right over here,
if you take the limit,
if you take the limit as
X approaches C of F of X,
you're approaching this value.
This, right over here, is the limit,
as X approaches C of F of X,
which is different than F of C.
So, it makes it, so, this
definition of continuity
seems to be good, at least for this case,
because this is not a continuous function,
you have a point discontinuity.
So, for at least in this case, our,
this definition of
continuity would properly
identify this as not
a continuous function.
Now, you could also think
about a jump discontinuity.
You can also think about
a jump discontinuity.
So, let's look at this.

Czech: 
Tohle všechno je pro
vás snad jen opakování.
Nespojitost 1. druhu v bodě
x rovno c může vypadat třeba takto.
Zde je bod
x rovno c.
Tohle je f(c).
Když ale chceme zjistit, čemu se rovná
limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x),
dostaneme jinou hodnotu,
když se blížíme zleva,
dostaneme tuto
hodnotu,
než když se k ‚c‘ blížíme zprava,
protože v tom případě jdeme k f(c).
Limita tedy neexistuje.
Tato limita tedy v případě
nespojitosti 1. druhu neexistuje.
Tato definice tak opět správně říká,
že tato funkce není spojitá,
protože tato limita
ani neexistuje.
Nyní se můžeme kouknout na
funkci, která už skutečně je spojitá.

Thai: 
แล้ว อันนี้เป็นการทบทวน
ความไม่ต่อเนื่องแบบไม่กระโดดที่ c, ที่ x เท่ากับ c,
อาจเป็นแบบนี้
อาจเป็นแบบนี้
นี่่คือที่ x เท่ากับ c
นี่คือ x เท่ากับ c ตรงนี้
นี่ก็คือ f ของ c
แต่ ถ้าคุณพยายามหาค่าที่ลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
คุณจะได้ค่าต่างไปเมื่อคุณเข้าใก้
x จากด้านลบ คุณจะเข้าใกล้ค่านี้
และเมื่อคุณเข้าใกล้ c จากด้านบวก
คุณจะเข้าใกล้ f ของ c แล้วลิมิตจะไม่มีจริง
ลิมิตนี่ตรงนี้จึงไม่มีจริง
ในกรณีของการกระโดด ความไม่ต่อเนื่อง
แบบกระโดดอย่างนี้
ย้ำอีกครั้ง นิยามนี้จะ
บอกว่ามันไม่ใช่ ฟังก์ชันนี่ตรงนี้
จะไม่ต่อเนื่องจริง ลิมิตนี้ไม่มีจริงด้วยซ้ำ
แล้ว คุณดูที่
คุณดูที่ฟังก์ชันได้ว่ามันต่อเนื่องจริง
ถ้าคุณดูฟังก์ชันที่ต่อเนื่องจริง

Bulgarian: 
Надявам се, че всичко това е 
малко като преговор.
Прекъснатост със скок при х= с
може да изглежда ето така.
Това е при х равно с.
Това тук е х = с.
Това ще е f(c).
Ако се опиташ да намериш 
стойността на границата
при х, клонящо към с, на f(x),
ще получиш различна стойност. 
Приближавайки
с откъм отрицателната страна, 
ще приближаваш тази стойност,
а ако приближаваш с откъм 
положителната страна,
ще клониш към f(c), следователно
границата няма да съществува.
Тази граница тук няма 
да съществува
в случаите на прекъснатост 
с такъв вид скок.
Отново дефиницията правилно
ще определи, че това е
прекъснато, и че тази граница всъщност
няма даже да съществува.
Сега можем да разгледаме
функция, която наистина е 
непрекъсната.
Ако разглеждаме функция, която
 наистина е непрекъсната...

Korean: 
x = c에서의 점프 불연속은
이렇게 생겼을 것입니다
이렇게 생겼을 것입니다
이 위치가 x = c이고
이 위치가 x = c이고
여기는 f(c)입니다
만약 여러분이
x가 c로 갈 때
f(x)의 극한을 구하려고 한다면
양 극한값이 서로 다를 것입니다
왼쪽에서 c에 다가가면
아래값에 도달하고
오른쪽에서 c에 다가가면
f(c)에 도달하므로
극한이 존재하지 않습니다
따라서 이 경우에는
극한값이 
존재하지 않습니다
따라서 연속성의 정의는
이 함수는 극한값이 없으며
불연속임을
잘 알려줍니다
이제 진짜로 연속인 함수를 봅시다

English: 
And all this is, hopefully,
a little bit of review.
So, a jump discontinuity
at C, at X equals C,
might look like this.
Might look like this.
So, this is at X equals C.
So, this is X equals C right over here.
This would be F of C.
But, if you tried to
find a value at the limit
as X approaches C of F of X,
you'd get a different
value as you approach
C from the negative side, you
would approach this value,
and as you approach C
from the positive side,
you would approach F of C, and
so, the limit wouldn't exist.
So, this limit right
over here wouldn't exist
in the case of jump, of this
type of a jump discontinuity.
So, once again, this
definition would properly
say that this is not,
this one right over here,
is not continuous, this limit
actually would not even exist.
And then, you could even look at a,
you could look at a function
that is truly continuous.
If you look at a function
that is truly continuous.

English: 
So, something like this.
Something like this.
That is X equals C.
Well, this is F of C.
This is F of C.
And if you were to take the
limit as X approaches C,
as X approaches C from
either side of F of X,
you're going to approach F of C.
So, here, you have the
limit as X approaches C
of F of X, indeed, is equal to F of C.
So, it's what you would expect
for a continuous function.
So, now that we've done that review
of differentiability and continuity,
let's prove that differentiability
actually implies continuity,
and I think it's important
to kinda do this review,
just so that you can
really visualize things.
So, differentiability implies this limit
right over here exists.
So, let's start with a
slightly different limit.
Lemme draw a line, here, actually.
Lemme draw a line just so we're
doing something different.
So, let's take, let us take the limit

Thai: 
อย่างเช่นอันนี้
อะไรแบบนี้
นั่นคือ x เท่ากับ c
นี่คือ f ของ c
นี่คือ f ของ c
และถ้าคุณหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
เมื่อ x เข้าใกล้ c จากด้านใดด้านหนึ่งของ f ของ x
คุณจะเข้าใกล้ f ของ c
ตรงนี้ คุณมีลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
ของ f ของ x มันเท่ากับ f ของ c จริง
นั่นคือสิ่งที่คุณคาดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง
ทีนี้ เราได้ทบทวน
การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องไป
ลองพิสูจน์ว่าการหาอนุพันธ์ได้
จริงๆ แล้วสื่อถึงความต่อเนื่อง 
และผมว่าการทบทวนนี้
เป็นสิ่งสำคัญ เพื่อให้คุณสามารถ
มองภาพสิ่งต่างๆ ได้
การหาอนุพันธ์ได้แปลว่าลิมิต
ตรงนี้มีอยู่จริง
ลองเริ่มด้วยลิมิตที่ต่างไปเล็กน้อย
ขอผมวาดเส้นตรง ตรงนี้
ขอผมวาดเส้นตรงเราจะทำสิ่งที่ต่างออกไป
ลองหา ลองหาลิมิต

Korean: 
이제 진짜로 연속인 함수를 봅시다
이제 진짜로 연속인 함수를 봅시다
여기가 x = c이고,
여기가 f(c)입니다
여기가 f(c)입니다
x가 한없이 c로 가까워질 때,
f(x)의 극한을 구하면
f(c)에 가까워질 것입니다
따라서 x가 c로 갈 때
f(x)의 극한이 f(c)와 같습니다
이것이 연속함수에서
기대되는 성질입니다
이것으로 우리는
미분가능성과 연속성에 대한
복습을 마쳤습니다
이제 한 점에서 미분 가능하면
그 점에서는 연속임을 증명합시다
우리가 한 복습은
문제를 시각화하는데
도움을 줄 겁니다
미분가능성은 극한값이
존재함을 의미합니다
조금 다르게 생긴
극한에서부터 시작합시다
x가 c로 갈 때,

Bulgarian: 
Нещо като това.
Това е х = с.
Това е f(c).
Ако сметнеш границата при х, 
клонящо към с,
от която и да е страна на f(x),
ще приближаваш f(c).
Тук имаме, че границата при х, 
клонящо към с,
на f(x) наистина е равна на f(c).
Това се очаква от една 
непрекъсната функция.
След като направихме този 
преговор
върху диференцируемост и 
непрекъснатоност,
нека докажем, че диференцируемост
всъщност води и до непрекъснатост.
 Мисля, че е важно
да направим този преговор, 
просто за да можеш
наистина да си представиш 
нещата.
Диференцируемостта означава, 
че тази
граница тук съществува.
Нека започнем с
 малко по-различна граница.
Нека начертая пунктирана
линия,
за да е ясно, че правим
нещо различно.
Нека сметнем границата

Czech: 
Třeba takováto funkce.
Zde je bod
x rovno c.
Toto je f(c).
Když nyní uděláme oboustrannou
limitu pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x),
vyjde nám
hodnota f(c).
Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x)
se v tomto případě skutečně rovná f(c),
což bychom u
spojité funkce čekali.
Když jsme si teď zopakovali 
spojitost a diferencovatelnost,
můžeme konečně dokázat,
že z diferencovatelnosti plyne spojitost.
Naše opakování bylo důležité,
protože si to teď lépe představíme.
Diferencovatelnost tedy znamená,
že tato limita existuje.
Začněme ale s
trochu jinou limitou.
Nakreslím zde čáru.
Nakreslím zde čáru, aby bylo
jasné, že děláme už něco jiného.

Thai: 
เมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
ของ f ของ x ลบ f ของ c
ของ f ของ x ลบ f ของ c
เราเขียนอันนี้ใหม่ได้อย่างไร?
เราเขียนมันได้ใหม่เป็นลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ c แล้วเราก็
นำพจน์นี้มาแล้วคูณ
กับหารด้วย x ลบ c
ลองคูณมันด้วย x ลบ c
x ลบ c แล้วหารมันด้วย x ลบ c
เราได้ f ของ x ลบ f ของ c
ทั้งหมดนั้นส่วน x ลบ c
ที่ผมทำคือ ผมคูณและหาร
ด้วย x ลบ c
แล้ว ลิมิตนี้จะเท่ากับอะไร?
อันนี้จะเท่ากับ
มันจะเท่ากับลิมิต ผมแค่ใช้
สมบัติของลิมิต ใช้สมบัติของลิมิตตรงนี้
ลิมิตของผลคูณจะเท่ากับ
ผลคูณของลิมิตเหล่านี้
มันก็คือลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ x ลบ c
คูณลิมิต ขอผมเขียนแบบนี้นะ

English: 
as X approaches C of F of X,
of F of X minus F of C.
Of F of X minus F of C.
Well, can we rewrite this?
Well, we could rewrite this as the limit,
as X approaches C, and
we could essentially
take this expression and multiply
and divide it by X minus C.
So, let's multiply it times X minus C.
X minus C, and divide it by X minus C.
So, we have F of X minus F of C,
all of that over X minus C.
So, all I did is I
multiplied and I divided
by X minus C.
Well, what's this limit
going to be equal to?
This is going to be equal to,
it's going to be the limit,
and I'm just applying
the property of limit, applying
a property of limits, here.
So, the limit of the product is equal to
the same thing as a product of the limits.
So, it's the limit as X
approaches C of X minus C,
times the limit, lemme write this way,

Czech: 
Uvažujme limitu pro x
jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus f(c).
Můžeme toto
nějak přepsat?
Můžeme to přepsat jako
limitu pro x jdoucí k ‚c‘…
Tento výraz můžeme vynásobit
a vydělit výrazem x minus c,
takže to vynásobíme výrazem x minus c
a pak to vydělíme výrazem x minus c.
Zde tedy bude f(x) minus f(c),
to celé lomeno x minus c.
Jen jsem vynásobil a vydělil
výrazem x minus c.
Čemu se rovná
tato limita?
Toto je rovno limitě…
Jen používám
vlastnosti limit.
Limita součinu je
rovna součinu limit.
...limitě pro x jdoucí k ‚c‘
z x minus c

Bulgarian: 
при х, клонящо към с, на f(x)
минус f(c).
F(x) минус f(c).
Можем ли да запишем това
по друг начин?
Можем да запишем това
като границата
при х, клонящо към с, и по същество
можем да вземем този израз
и да умножим
и да разделим на х – с.
Нека го умножим по х – с
и да го разделим на х – с.
Получаваме f(x) минус f(c),
цялото върху х – с.
Просто умножих и разделих
на х – с.
На какво ще е равна 
тази граница?
Тя ще е равна на...
Просто прилагам
свойството на границите.
Границата на произведение 
е равна на
произведението от границите.
Границата при х, клонящо към с, 
на х минус с
по границата... 
Нека го запиша така.

Korean: 
f(x) - f(c)의 극한을 취합시다
f(x) - f(c)의 극한을 취합시다
f(x) - f(c)의 극한을 취합시다
다시 써 볼까요?
앞의 식을 다시 쓰면
x가 c에 가까이 가면
우리는 앞의 식에
x - c를 곱한 뒤
다시 나눌 수 있습니다
x - c를 곱해주고
다시 x - c로 나눕시다
(f(x) - f(c)) / (x - c)
(f(x) - f(c)) / (x - c)
제가 한 일은 단지
x - c를 곱하고 나눈 것 뿐입니다
이 극한은 무엇이 될까요?
여기에서 극한의 성질을
사용하겠습니다
극한들의 곱은
전체곱의 극한과 같습니다
따라서 이 값은
 
x가 c로 갈 때

Bulgarian: 
По границата при х, 
клонящо към с,
на f(x) минус f(c),
цялото върху х минус с.
Какво е това нещо тук?
Ако приемем, че f е 
диференцируема при с,
а ние правим това всъщност,
трябваше с това да започна.
Нека го приемем, тъй като искахме
 да покажем, че диференцируемостта
доказва непрекъснатостта.
Ако приемем, че f е диференцируема
в точка с, тогава
това тук ще бъде f прим от с.
Видяхме, че това
е същото нещо.
Това е f прим от с.
А какво е това нещо тук?
Границата при х, клонящо към с, 
на х – с?
Това ще бъде просто 0.
При х, клонящо към с, 
това ще стане

English: 
times the limit as X approaches C
of F of X minus F of C,
all of that over X minus C.
Now, what is this thing right over here?
Well, if we assume that
F is differentiable at C,
and we're going to do that, actually,
I should have started off there.
Let's assume 'cause we wanted
to show the differentiability,
it proves continuity.
If we assume F differentiable,
differentiable at C, well then,
this right over here is just
going to be F prime of C.
This right over here, we
just saw it right over here,
that's this exact same thing.
This is F prime, F prime of C.
And what is this thing right over here?
The limit as X approaches C of X minus C?
Well, that's just gonna be zero.
As X approaches C, there's gonna become,

Korean: 
x-c의 극한값에
(f(x) - f(c)) / (x - c)의 극한값을
곱한 것과 같습니다
이 식은 무엇일까요?
f가 c에서
미분가능이라면
사실 여기서부터
시작했어야 하죠
사실 여기서부터
시작했어야 하죠
우리는 미분가능성이
연속성을 포함함을 증명하려고 하니
함수가 c에서
미분가능이라고 가정하면
함수가 c에서
미분가능이라고 가정하면
이 식은 그냥 f'(c)입니다
바로 위에서 본 식과
완전히 같은 것이죠
이 값은 f'(c)입니다
그러면 이 식은 무엇일까요?
x가 c로 갈 때 x - c의 극한은?
그냥 0이 됩니다
x가 c로 가면 이 식은

Thai: 
คูณลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
ของ f ของ x ลบ f ของ c
ทั้งหมดนั้นส่วน x ลบ c
ทีนี้ สิ่งนี้ตรงนี้คืออะไร?
ถ้าเราสมมุติว่า f หาอนุพันธ์ได้ที่ c
เราจะทำอย่างนั้น
ผมควรเริ่มตั้งแต่ตรงนี้
ลองสมมุติเช่นนั้น เพราะเราอยากแสดงว่า
การหาอนุพันธ์ได้
มันแปลว่ามีความต่อเนื่อง
ถ้าเราสมมุติว่า f หาอนุพันธ์ได้
หาอนุพันธ์ได้ที่ c แล้ว
ค่านี่ตรงนี้จะเท่ากับ f ไพรม์ของ c
ค่านี่ตรงนี้ เราเพิ่งเห็นมันตรงนี้
มันก็คือสิ่งเดียวกันพอดี
นี่คือ f ไพรม์, f ไพรม์ของ c
แล้วค่านี่ตรงนี้เป็นเท่าใด?
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ x ลบ c เป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับ 0
เมื่อ x เข้าใกล้ c มันจะกลายเป็น

Czech: 
krát limita pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x) minus f(c),
to celé lomeno
x minus c.
Co je tento výraz?
Předpokládáme, že f je
diferencovatelná v bodě c.
Tím jsem měl
vlastně začít.
Chceme dokázat, že
z diferencovatelnosti plyne spojitost,
proto předpokládejme, že f je
diferencovatelná v bodě c.
Tento výraz pak bude roven
f s čárkou v bodě c.
Před chvílí jsme viděli,
že jde úplně o totéž.
Tohle je f s čárkou
v bodě c.
A co je tohle?
Limita pro x jdoucí
k ‚c‘ z x minus c?
To je jednoduše 0.

English: 
approach C minus C, that's
just going to be zero.
So, what's zero times F prime of C?
Well, F prime of C is just
going to be some value,
so, zero times anything
is just going to be zero.
So, I did all that work to get a zero.
Now, why is this interesting?
Well, we just said, we just assumed
that if F is differentiable at C,
and we evaluate this limit, we get zero.
So, if we assume F is differentiable at C,
we can write, we can write the limit,
I'm just rewriting it, the
limit as X approaches C
of F of X minus F of
C, and I could even put
parenthesis around it like that,
which I already did up here,
is equal to zero.
Well, this is the same thing,
I could use limit properties again,
this is the same thing as saying,
and I'll do it over, well, actually,
lemme do it down here.
The limit as X approaches C of F of X
minus the limit as X approaches C

Thai: 
เข้าใกล้ c ลบ c มันจะเท่ากับ 0
แล้ว 0 คูณ f ไพรม์ของ c เป็นเท่าใด?
f ไพรม์ของ c จะเท่ากับค่าค่าหนึ่ง
0 คูณอะไรก็ตามจะเท่ากับ 0
ผมทำมาทั้งหมดได้ 0
แล้ว ทำไมอันนี้ถึงน่าสนใจ?
เราเพิ่งบอกไปว่า เราสมมุติว่า
f หาอนุพันธ์ได้ที่ c
แล้วเราหาค่าลิมิตนี้ เราได้ 0
ถ้าเราสมมุติว่า f หาอนุพันธ์ได้ที่ c
เราเขียน เราเขียนลิมิตได้
ผมแค่เขียนมันใหม่ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
ของ f ของ x ลบ f ของ c และผมใส่
วงเล็บรอบมันแบบนั้นได้
ซึ่งผมทำไปแล้วบนนี้
เท่ากับ 0
นี่ก็เหมือนกับ
ผมใช้สมบัติลิมิตได้อีกครั้ง
นี่ก็เหมือนกับบอกว่า
ผมจะทำตรงนี้นะ
ขอผมทำข้างล่างนี้
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
ลบลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c

Czech: 
Jak se x blíží k ‚c‘, tak se toto
blíží k ‚c‘ minus ‚c‘, což je 0.
Kolik je 0 krát
f(c) s čárkou?
f(c) s čárkou je nějaké reálné číslo
a 0 krát číslo je zase 0.
Po výpočtu jsem
tedy dostal 0.
Proč mě to
ale zajímalo?
Právě jsme zjistili, že když je
f diferencovatelná v bodě c
a když spočítáme tuto
limitu, dostaneme 0.
Když tedy předpokládáme,
že f je diferencovatelná v bodě c,
můžeme napsat,
že limita...
Jenom to opíšu.
...limita pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x) minus f(c)...
Můžu okolo toho napsat závorky,
jako to mám nahoře.
...je rovna 0.
To je totéž, když použijeme
vlastnosti limit, jako když napíšu, že…
Napíšu to
sem dolů.

Korean: 
c - c이므로 0 됩니다
0 곱하기 f'(c)는 무엇일까요?
f'(c)는 상수이고
0에는 어떤 수를 곱해도 0이 됩니다
최종적으로 0을 얻었습니다
왜 이 결과가 흥미로울까요?
우리는 단지 함수가 c에서
미분가능이라고 가정하였고
이 극한을 계산해서
0을 얻었습니다
따라서 함수가 c에서
미분가능이라면
따라서 함수가 c에서
미분가능이라면
x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는
x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는
x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는
x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는
0이 됩니다
0이 됩니다
극한의 성질을 사용해서
아래에 똑같이 적겠습니다
아래에 똑같이 적겠습니다
아래에 똑같이 적겠습니다
x가 c로 가까이 갈 때
f(x)-f(c)는 0입니다

Bulgarian: 
с минус с, което ще е просто 0.
Колко е 0 по f'(с)?
f'(с) ще бъде просто някаква стойност.
0 по каквото и да е ще бъде
 просто 0.
Направих всичко това, 
за да получа 0.
Защо това е интересно?
Току що приехме,
че ако f е диференцируема при с
и пресметнем тази граница, 
получаваме 0.
Ако приемем, че f е 
диференцируема при с,
можем да запишем границата...
Просто я записвам отново. 
Границата при х, клонящо към с,
на f(x) минус f(c)... 
Мога дори да сложа
около това скоби ето така,
което вече направих тук горе.
Равно на 0.
Това е същото нещо...
Мога пак да използвам
свойствата на границите.
Това е същото нещо като...
Ще го направя отново.
Нека отида тук долу.
Границата при х, клонящо към с, 
на f(x)
минус границата при х, 
клонящо към с,

Thai: 
ของ f ของ c, ของ f ของ c, เท่ากับ 0
ผลต่าง ลิมิตของผลต่าง
เท่ากับผลต่างของลิมิต
ค่านี่ตรงนี้จะเท่ากับอะไร?
f ของ c ก็แค่จำนวนหนึ่ง
มันไม่ใช่ฟังก์ชันของ x อีกต่อไป
มันก็แค่ f ของ c จะมีค่าออกมาเป็นเลขตัวหนึ่ง
พจน์นี้จึงเท่ากับ f ของ c
นี่จะเท่ากับ f ของ c
แล้ว ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ c
ลบ f ของ c เท่ากับ 0
แล้วบวก f ของ c ทั้งสองข้าง คุณจะได้อะไร?
คุณจะได้ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c
ของ f ของ x เท่ากับ f ของ c
และนี่คือนิยามของความต่อเนื่อง
ลิมิตของฟังก์ชันผมเมื่อ x เข้าใกล้ c
เท่ากับฟังก์ชัน เท่ากับค่า
ฟังก์ชันที่ c
นี่คือ นี่หมายความว่าฟังก์ชันของเราต่อเนื่อง
ต่อเนื่องที่ c

Czech: 
...limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus
limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(c)
se rovná 0.
Limita rozdílu výrazů je totéž
jako rozdíl jejich limit.
Čemu se rovná
tato limita?
f(c) je jen nějaké číslo, není to funkce
proměnné x, ale je to nějaká hodnota.
Takže tato limita
je prostě rovna f(c).
Limita z f(x) pro x jdoucí
k ‚c‘ minus f(c) je tedy rovno 0.
Teď jen přičteme f(c) k oběma
stranám rovnice a co dostaneme?
Dostaneme, že limita pro x jdoucí
k ‚c‘ z f(x) je rovna f(c).
To je přesně
definice spojitosti.
Limita funkce pro x jdoucí k ‚c‘ je
rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘.
Toto tedy znamená, že naše
funkce je v bodě ‚c‘ spojitá.

Korean: 
f(x)-f(c)는 0입니다
각 극한값의 차는
전체 식의 극한값과 같습니다
이 식은 무슨 값이 될까요?
f(c)는 상수입니다
더이상 x에 대한 함수가 아닙니다
더이상 x에 대한 함수가 아닙니다
이것은 그냥 f(c)입니다
이것은 그냥 f(c)입니다
따라서 x가 c로 갈 때
f(x)-f(c)는 0입니다
양 변에 f(c)를 더하면
x가 c에 가까이 갈 때 f(x)는
f(c)와 같습니다
이것은 연속성의 정의입니다
x가 c로 갈 때 함수의 극한은
c에서의 함수값과 같습니다
c에서의 함수값과 같습니다
이것은 이 함수가
c에서 연속임을 의미합니다
이것은 이 함수가
c에서 연속임을 의미합니다
되짚어봅시다

English: 
of F of C, of F of C, is equal to zero.
The different, the limit of the difference
is the same thing as the
difference of the limits.
Well, what's this thing
over here going to be?
Well, F of C is just a number,
it's not a function of X anymore,
it's just, F of C is going
to valuate it to something.
So, this is just going to be F of C.
This is just going to be F of C.
So, the limit of F of X as X approaches C,
minus F of C is equal to zero.
Well, just add F of C to both
sides and what do you get?
Well, you get the limit as X approaches C
of F of X is equal to F of C.
And this is the definition of continuity.
The limit of my function as X approaches C
is equal to the function,
is equal to the value
of the function at C.
This is, this means that
our function is continuous.
Continuous at C.

Bulgarian: 
на f(c) е равно на 0.
Границата на разлика
е същото нещо като 
разликата на границите.
Какво ще бъде това нещо тук?
f(c) е просто число.
Не е функция на х вече.
f(c) ще бъде нещо...
Това ще бъде просто f(c).
Границата на f(x) при х, 
клонящо към с,
минус f(c) е равна на 0.
Какво ще получиш, ако добавиш 
от двете страни f(c)?
Получаваш границата при х, 
клонящо към с,
на f(x) равно на f(c),
което е дефиницията за 
непрекъснатост.
Границата на моята функция при х, 
клонящо към с,
е равна на стойността
на функцията при с.
Това означава, че нашата
функция е непрекъсната.
Непрекъсната при с.

Bulgarian: 
Просто като напомняне. 
Започнахме като приехме,
че f е диференцируема при с, 
използвахме този факт,
за да пресметнем тук границата,
получихме, че тя е 0,
и ако тази граница е
равна на 0,
тогава след малко сметки
и използване на свойствата 
на границите,
следва че границата при х, 
клонящо към с, на f(x)
е равна на f(c), което е нашата
дефиниция за непрекъснатост.
Непрекъснатост в точка с.
Надявам се, че това 
те удовлетворява.
Ако знаем, че производната
 съществува в дадена точка,
ако функцията е 
диференцируема за точка с,
това означава, че също е и 
непрекъсната в тази точка.
Функцията също е непрекъсната
в тази точка.

Korean: 
우리는 f가 c에서
미분가능이라고 가정하였고
그 사실을 이 극한이
0이 됨을 증명하는데
이용하였습니다
그리고 이 극한이 0이 되면
간단한 대수적 과정과
극한의 성질에 의해
x가 c로 갈 때 f(x)가
f(c)와 같아지므로
연속임을 보였습니다
점 c에서 연속임을 보였습니다
점 c에서 연속임을 보였습니다
한 점에서
미분계수가 존재함을 알면
즉 c에서 미분가능함을 알면
그것은 또한
c에서 연속임을 의미합니다
함수는 그 점에서 연속이 됩니다

English: 
So, just a reminder, we started assuming
F differentiable at C, we use that fact
to evaluate this limit right over here,
which, we got to be equal to zero,
and if that limit is equal to zero,
then, it just follows, just
doing a little bit of algebra
and using properties of limits,
that the limit as X approaches C of F of X
is equal to F of C, and
that's our definition
of being continuous.
Continuous at the point C.
So, hopefully, that satisfies you.
If we know that the
derivative exists at a point,
if it's differentiable at a point C,
that means it's also
continuous at that point C.
The function is also
continuous at that point.

Czech: 
Jen připomínám, že jsme předpokládali
diferencovatelnost funkce f v bodě c,
toho jsme pak využili k výpočtu
této limity, která nám vyšla jako 0,
a když je tato limita rovna 0,
tak už z toho plyne,
když použijeme algebraické
úpravy a vlastnosti limit,
že limita pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x) je rovna f(c),
což je přímo naše definice
spojitosti funkce v bodě ‚c‘.
Doufám, že to
takto stačilo.
Pokud víme, že existuje derivace v bodě c,
že funkce je v bodě c diferencovatelná,
tak to znamená, že funkce
je v tomto bodě také spojitá.

Thai: 
เพื่อทบทวน เราเริ่มโดยสมมุติว่า
f หาอนุพันธ์ได้ที่ c เราใช้ข้อเท็จริงนั้น
หาค่าลิมิตนี่ตรงนี้
ซึ่งเราได้ว่าเท่ากับ 0
และถ้าลิมิตนั้นเท่ากับ 0
มันจะได้ว่า แค่ใช้พีชคณิตนิดหน่อย
และใช้สมบัติของลิมิต
ได้ว่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c ของ f ของ x
เท่ากับ f ของ c และนั่นคือนิยาม
ของความต่อเนื่อง
ต่อเนื่องที่จุด c
หวังว่า คุณคงพอใจแล้ว
ถ้าเรารู้ว่าอนุพันธ์มีอยู่จริงที่จุดจุดหนึ่ง
ถ้ามันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด c
นั่นหมายความว่ามันจะต่อเนื่องที่จุด c นั้นด้วย
ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดนั้นด้วย
