
Turkish: 
Son videoda, e üzeri x'in Maclaurin serisini bulduk. Birkaç eksi dışında, bu serinin kosinüs x ve sinüs x'in polinom ifadelerinin birleşimi olduğunu fark ettik.
-
Bu eksileri yoketmek için, bir küçük hile yapacağım.
-
Şimdi, e üzeri x'in bu polinom açılımını alıyoruz,sonsuz sayıda terimle bu yakınsamadan ziyade eşitliğe dönüşür.
-
e üzeri ix, ne olur? Polinom açılımı olmasaydı, bir tabanın i üssünü almak bize garip gelebilirdi.

Portuguese: 
No ultimo video, nós achamos a série de MacLauren de e^x, e vimos que parecia com algum tipo de
combinação da aproximação polinomial de cos(x) e de sen(x), não exatamente, por que tinha
alguns negativos lá, se nós realmente fossemos adicionar os dois, nós não teriamos,
a representação de e^x. Mas para conciliar as duas coisas, eu vou usar, não sei se podemos chamar
disso, um truque. Vamos ver, se nós tomarmos essa série polinomial de e^x, essa aproximação, o que acontece,
e se dissermos que e^x é igual a isso, especialmente quando isso se torna um número infinito de termos, isso se torna menos um aproximação
e mais uma equalidade. O que acontece se tomarmos e^(ix)? E antes isso poderia ser uma coisa uma coisa estranha de se

Indonesian: 
(saya tak yakin apa dapat disebut ) trik
-1,i pangkat 3 =-i, dan seterusnya, jadi apa yang terjadi jika kita ambil e pangkat jx? sekali lagi, ini hanya seperti mengambil
bahwa kita tidak perlu ketika kita mengambil representasi dari e pangkat x tapi untuk rekonsiliasi ini, saya akan melakukan sedikit
dan lebih dari sebuah ketaksamaan, apa yang terjadi jika saya ambil e pangkat ix> dan sebelum itu menjadi semacam hal
dan makin sama, dan ini adalah ketika anda sampai pada intuisi, saya tidak sedang melakukan pembuktian yang teliti di sini, ini adalah
dapat mengambil i ke jumlah yang berbeda, ke pangkat yang berbeda, dan kita tahu apa hasilnya, anda tahu, i pangkat 2 adalah
e pangkat x sama dengan ini, khususnya karena ini menjadi bentuk bilangan tak terbatas dan menjadi kurang dari sebuah aproksimasi a
itu, tapi sekarang karena kita dapat memiliki sebuah ekspansi polinomial dari e pangkat x, mungkin kita bisa menjadikan masuk akal, karena kita
jadi ini akan menjadi, mari tulis di bawah sini, apa (ix) pangkat 2 per 2!?
jadi sangat aneh untuk dikerjakan, mengambil sesuatu ke pangkat xi, bagaimana anda memahami beberapa tipe fungsi seperti
kita harus menulis dalam ix, jadi mari lakukan itu, sehingga e pangkat ix seharusnya mendekati sama dengan, dan kita menjadi makin
mari lihat jika kita mengambil ekspansi polinomial e pangkat x, aproksimasi ini, apa yang terjadi..dan jika kita katakan
pada video yang lalu, kita menggunakan ekspandi maclauren dari e pangkat x dan kita lihat bahwa kelihatannya itu adalah beberapa
tetap mendalam, tidak mengabaikan itu, dan saya tidak berpikir bahwa saya dapat mengabaikan apa yang harus dilihat atau ditemukan pada
tipe kombinasi dari kombinasi polinomial cos(x) dan sin(x), tapi tidak benar-benar, karena ada beberapa pasang negatif di sana
video ini. Ini akan menjadi sama dengan 1 ditambah (daripada x) kita akan memiliki sebuah ix ditambah (jadi apa ix pangkat 2?)
x di atas ini dan menggantinya dengan ix, jadi di mana-mana kita lihat bahwa x pada aproksimasi polinomial,
yah (ix) pangkat 2 akan menjadi -1, dan kemudian anda bisa punya x pangkat 2/2! sehingga ini akan menjadi -x pangkat 2/2! dan
yang aneh untuk dilakukan, mari kita tuliskan, e pangkat ix. karena sebelum mendefenisikan e pangkat i , itu

Polish: 
W ostatnim filmie liczyliśmy rozwinięcie szeregu McLaurina
funkcji e^x i otrzymaliśmy
wynik, który przypomina w pewien sposób
wielomianowe przybliżenie cosx i sinx.
Jednakże nie jest on dokładny,
ponieważ w kilku miejscach pojawiają się minusy.
Jeśli byśmy je naprawdę do siebie dodali
to nie otrzymalibyśmy...
to nie otrzymalibyśmy e^x.
Ale zaniedbując to...
Zrobię coś, co nie wiem czy można nazywać sztuczką...
Zobaczmy czy jeśli rozpatrzymy to wielomianowe rozwinięcie.
Jest to przybliżenie,
co się stanie...
Załóżmy że e do potęgi x jest równe prawej stronie,
gdy po prawej ilość ułamków rośnie do nieskończoności
i przestaje to być przybliżenie
a staje się dokładnym wzorem.
Co się stanie, jeśli rozpatrzę e do potęgi ix.
Wcześniej mogłoby to się wydać bardzo dziwne
Pozwól, że to zapiszę
e do potęgi ix...

Bengali: 
cos(x) `এবং sin(x) এর বহুপদীর । কিন্তু যদিও এখানে কিছ ঋনাতক মান আছে
e^x এইটার সমান, বিশেষত এইটা একটা অনেকগুলা টার্ম এর ইনফিনিটে 
নাম্বার এবং এইটা অসমান ।
আমরা লিখব ix । তাহলে ix অনেক কাছাকাছি মান দিবে ,
এইটা এমন হবে যে সুধু x এর জায়গায় i x বসান । তাহলে যেখানেই আমরা এক্স দেখব সেখানেই i x লিখব.
এইটা কি কোন চালাকি নাকি না।
এইটা তে 1 + (x) এর পরিবর্তে লিখতে হবে i x + ( তাহলে ix ^ 2 কি হবে ?)
এখন (i x) ^ 2 হবে - 1.। তারপর তোমরা পাবে x ^2 / 2! তাহলে এইটা হবে -x ^ 2 / 2! এবং
এবং আমি এখন জানি না যে এই ভিডিও তে কি আবিষ্কার হতে যাচ্ছে ।
কাড়ন এইটাই e ^ i নিরণয় করার নিয়ম । কারন কন কিছু কে x i এর ঘাত এ নেয়া কিছুটা কঠিন কাজ।
কি হবে যদি e^i x নেয়া হয় ? এই অদ্ভুত জিনিস টা করার আগে , আমি লিখলাম e ^ i x
তাহলে আমরা অনেক কাছের একটা মান পাব ,
তাহলে আমাদের প্রথমে লিখতে হবে (i x) ^2 / 2! কি হবে ?
তাহলে কি হবে যদি e^i x নেই ?
তোমরা কিভাবে এই ধরনের ফাংশন লিখাবে ।
দেখা যাক ,যদি আমরা e^x এর এই বহুপদী বিস্তার টি নেই তাহলে কি হয়...,জদি আমরা বলি
ব।তম্রা জান যে i^2 হয় 1, i^3 = -i. এররম আর অনেক উদাহরণ আছে।
তাহলে কি হবে
যেগুলা আমরা e^x এর পরিবর্তে ব্যাবহার করি নাই।
যেহেতু আমাদের e^x এর বিস্তৃতি আছে ,সেহেতু আমরা কিছু ধারনা করতে পারবো।
েই ভিডিও টি তে মাক্লাউরিনের ধারা দেখান হয়েছে ।ধারাটি হল e^x এবং আমরা দেকতে পারি যে এইটা হল

Thai: 
ในวิดีโอที่แล้ว เราได้กระจาย e^x แบบแมคลอริน, และเราเห็นว่ามันดูเหมือน
การผสมกันระหว่างการประมาณ cos(x) กับ sin(x) ด้วยพหุนาม, แต่มันไม่ใช่เสียทีเดียว, เพราะมันมี
เครื่องหมายลบอยู่ในนี้, ถ้าเราบวกสองตัวนี้เข้าด้วย, มันจะไม่ตรง, กับตอน
ที่เราหารูป e^x. แต่เพื่อให้มันรวมกันได้ล ผมจะทำ, ผมไม่รู้ว่า คุณจะเรียกมัน
ว่ากลได้หรือเปล่า. ลองดู, ถ้าเราเอาการกระจาย e^x เป็นพหุนามนี้มา, การประมาณนี้, สิ่งเกิดขึ้น,
ถ้าเราบอกว่า e^x คือเจ้านี่, นี่กลายเป็นเทอมจำนวนนับไม่ถ้วน, มันเริ่มไม่ใช่การประมาณแล้ว
มันเหมือนเท่ากับมากกว่า. เกิดอะไรขึ้นหากผมใช้ e^(ix). และก่อนหน้านั้น มันเป็นเรื่องแปลกที่จะทำ

English: 
Voiceover: In the last video, we took the
Maclaurin expansion of E to the X
and we saw that it looked
like it was some type a
combination of the
polynomial approximations
of cosine of X and of sine of X.
But it's not quite, because there's
a couple of negatives in there.
If we were to add these
two together that we
did not have when we took
the representation of E to the X.
But to reconcile these,
I'll do a little bit of a
I don't know if you can
even call it a trick.
Let's see if we take
this polynomial expansion
of E to the X, this
approximation, what happens
if we say E to the X is equal to this,
especially as this
becomes an infinite number
of terms and becomes
less of an approximation
and more of an equality.
What happens if I take
E to the IX and before
that might have been kind
of a weird thing to do.
Let me write it down, E to the IX.
Because before, I said how do you define

Spanish: 
-1. me ^ 3 = - i. así sucesivamente y así sucesivamente. así que ¿qué ocurre si tomamos e ^ i x? así que una vez más, es al igual que toma el
En nuestro ultimo video, revisamos la expansion Maclauren de la expresion e^x y vimos que
ND más igual y esto es cuando te metes en intution, no estoy haciendo una rigurosa prueba aquí. se trata de
bien (yo x) ^ 2 va a ser - 1. y, a continuación, puede hacer que x ^ 2 / 2! Así va a ser - x ^ 2 / 2! y
bits de una (no saben si se puede llamar un) truco.
e ^ x es igual a esto, especialmente cuando esto se convierte en un número infinito de términos y se convierte en menos de una aproximación un
e puede llevar a diferentes cantidades, a diferentes potencias, y sabemos lo que da. sabes, me ^ 2 es
que escribimos en ix, por lo que permite hacer eso. así e ^ i x debe ser aproximadamente igual, y llegamos más un
que no teníamos cuando tomamos la representación de e ^ x pero al conciliar estos, voy a hacer un poco e
que. pero ahora que podemos tener una expansión de polynomical de e ^ x, tal vez podemos hacer algún sentido, porque w
raro lo. Permítanme anote. e ^ x. porque antes era cómo define e ^ poder, que de
tipo de combinación de la combinación polinómica de cos(x) y de sin(x). pero no es bastante, porque hay un par de negativos allí
todavía profundo, no a oversell y no creo que yo puedo oversell ¿qué es ser visto o descubierto en este
una cosa muy Cosmic, para tomar algo a la x que potencia. ¿Cómo usted comprender algún tipo de función como
vamos a ver si tomamos esta expansión polinomial de e ^ x, esta aproximación, lo que pasa... y si decimos
video. será igual a 1 + (en lugar de una x) tendremos una i x + (qué es ix ^ 2?)
x aquí y reemplazarla con una i x. así en todas partes vemos x en esta aproximación polinómica
y más de una desigualdad. ¿Qué sucede si tomo e ^ i x? y antes de que podría haber sido un (tipo de)
¿Así va a ser, así que permítanme escribir esto, lo que es (i x) ^ 2 / 2?

Korean: 
지난 시간에
e^x에 매클로린 전개를 하였고
이는 cosx와 sinx의
근사 다항식의 조합과
비슷하게 생긴 것도
확인했습니다
하지만 그렇지는 않습니다
마이너스 부호가
있기 때문이죠
이 둘을 더하면
e^x의 근사식과
다릅니다
하지만 이들을 조화시키면
속임수로 생각할지도
모르겠습니다
e^x를 다항식으로 전개하면
e^x를 다항식으로 전개하면
e^x가 이 식과 동일하다면
항의 개수가 무한대로 되면서
근사가 아닌 등식이 된다면
근사가 아닌 등식이 된다면
e^ix는 무엇일까요?
하기 꺼려질 수도 있습니다
적어볼게요
e^ix
그 전에 e^ix을
어떻게 정의하죠?

Bulgarian: 
В последното видео
разгледахме развиване
като ред на Маклорен на
функцията е^х
и видяхме, че тя много прилича
на някаква комбинация
от полиномите, с които
апроксимираме
функциите cos(х) и sin(х).
Но не напълно, защото има
няколко минуси тук.
Ако съберем тези двете,
тогава няма да получим
апроксимацията на е^х.
За да съгласуваме тези, трябва
да направим един малък трик,
ако можем да го наречем така.
Да видим, ако вземем развиването
като полином
на e^х, тази апроксимация,
ако кажем, че е^х е равно на това,
особено когато имаме 
безкраен брой членове,
и това вече не е 
толкова апроксимация,
а по-скоро е равенство.
Какво ще стане, ако взема
е на степен iх, което
е доста странно нещо.
Ще го запиша, е^(ix).

Catalan: 
(ix) on hi havia una x. Així que a tot arreu on veiem x en aquesta aproximació polinomial
(no sé ni si se'n pot dir així) truc.
-1, i^3=-i, etc. Per tant, què passa si prenem e^(ix)? Altra vegada, només cal escriure
Al darrer vídeo, vam fer la sèrie de Maclaurin de la funció exponencial (e^x) i vam veure que semblava algun
Anem a veure què passa si prenem aquesta expansió polinòmica de e^x... I diem
Però ara que tenim una expansió polinòmica de e^x, podem donar-hi un senit, perquè
aquí heu de fer servir la intuïció, no estic fent una demostració rigorosa. Això és
bé (i)^2 serà -1, i aleshores tens x^2/2!, així que dóna -x^2/2! i
e^x és igual a això, quan els termes són infinits i deixa de ser una aproximació per
escriurem ix, anem a fer-ho. Aleshores, e^(ix) hauria de ser aproximadament igual a, i ens acostem a la igualtat,
passar a ser una igualtat. Què passa si prenem e^(ix)? Abans d'això hauria pogut semblar
podem agafar potències de i, i sabem què donen. Sabem que i^2 és
profund, no s'ha de menystenir, i no crec que jo pugui menystenir el que s'ha de veure o descobrir en aquest
que no teníem quan vam fer la representació de e^x; per arreglar-ho, faré un petit
serà, deixeu-me escriure-ho, quant val (ix)^2/2! ?
tipus de combinació entre la sèrie de cos(x) i la de sin(x). No era ben bé així, perquè hi apareixen coeficients negatius
una cosa estranya. Deixeu-me escriure-ho: e^(ix). Hauríem hagut de definir e^i, que és
una cosa molt estranya, elevar un nombre a la potència i. Com s'entén una funció com aquesta?
vídeo. Serà igual a 1+ (enlloc de x) tindrem un ix + (què és (ix)^2?)

Portuguese: 
No último vídeo nós pegamos 
a expansão MacLaurin de e elevado a x,
e vimos que ela parecia uma combinação 
das aproximações polinomiais
do cosseno de x e seno de x, 
mas não é exatamente isso,
porque tinha dois negativos lá,
e se fôssemos adicionar esses dois juntos
que não tínhamos quando pegamos
a representação de e elevado a x.
Para reconciliá-los, vou fazer um--
nem sei se posso chamar de um-- truque.
Se pegarmos essa expansão polinomial
de e elevado a x, esta aproximação,
o que acontece? E se dissermos 
que e elevado a x é igual a esse,
especialmente ao se tornar
um número infinito de termos,
ele se parece menos com uma aproximação
e mais com uma igualdade.
O que acontece se eu pegar 
e elevado a ix?
E antes parecia que fizemos algo estranho.
Vou escrever isto: e elevado a ix.

Chinese: 
i^2会是-1，剩下的是x^2/2!，于是结果是-x^2/2!
i^3是-i，以此类推。所以我们计算e^ix时候会怎样呢？事实上这就是再一次简单的
但是现在我们有了e^x的多项式展开，或许可以试图理解这个式子了，
因为我们可以对i做乘法，做幂计算，并且我们知道结果。看，i^2是-1，
在上一个视频中我们对e^x做了麦克劳林展开，发现展开的结果
在我们对e^x做展开的时候并不存在。为了调整一下，
它会等于1+（替换x）我们有ix+（ix^2是什么呢？）
就把它换成ix。这样做，e^ix就会近似等于，而且会越来越接近等于，
我们来考虑对e^x的多项式展开近似。我们
我在这里应用一个小技巧（不知道是否甚至可以算作一个技巧）
把这里的x换成ix。所以在这个多项式近似里的任何地方我们看到x，
看起来像cos(x)和sin(x)展开后的多项式合并起来的结果。但是不完全是这样，因为有些负系数的项
而变成了一个等式。如果我们计算e^ix，会怎么样呢？这看起来或许是件很奇怪的事情，
计算一个东西的x i次方是一件很奇怪的事情。这怎么可能被理解呢？
认为e^x就等于这个近似展开，尤其当展开有无穷多项的时候，这就不再是一个近似，
让我把它写下来。e^ix。在你对e^i做定义之前，
这仍然是个很深刻的结果，这并不是夸张，而且我不认为我应该夸张你们在这个视频中看到的或发现的。
这会变成，让我把它写下来，(ix)^2/2! 是什么？
这是直觉的结果，我这里没有做严格证明。

Turkish: 
-
-
Ama, şimdi e üzeri x'in polinom açılımı olduğu için, biraz mantıklı gelebilir, çünkü i'nin kuvvetlerini alabilirim. Örneğin, i kare eşittir eksi 1, i küp eşittir eksi i, vesaire.
-
Peki, e üzeri ix'i aldığımızda, ne olacak? x yerine ix'i koymakla aynı şey.
Polinomda x gördüğümüz her yere, ix yazalım. Burada olayın mantığını göstermeye çalışıyoruz, ispat yapmıyoruz. Ama, yine de bu videoda son derece önemli bir sonuca varacağız.
-
-
-

Bulgarian: 
Преди казах как
дефинираме е на степен i.
Това е много странно нещо,
да повдигнем нещо
на степен ix.
Как изобщо да разбираме
нещо подобно на тази функция.
Но сега, когато можем
да го развием като полином
от е^х, можем да
видим някакъв смисъл.
Можем да получаваме
различни стойности
за различни степени на „i“ и знаем 
какво ще се получи:
i на квадрат е –1, i на трета
степен е равно на –1,
и така нататък.
Какво става, ако
повдигнем е на степен ix?
Пак да повторя, просто
взимаме това х тук
и го заместваме с ix,
така че навсякъде, където
имаме х в това приближение,
развито като полином,
сега ще запишем ix.
Да го направим.
Значи е^(ix) ще е 
приблизително равно на,
то ще се приближава все
повече и повече,
и това ще ти покаже 
само логиката, защото
аз не правя стриктно доказателство,
но това е вярно.
Да не прекалявам с хвалбите, макар че
мисля ,че не мога
да похваля прекалено това,
което ще докажем или видим
в това видео, това 
ще е равно на 1 +

Thai: 
ขอผมเขียนลงไปนะ: e^(ix). เพราะก่อนหน้านี้, แบบว่า, คุณจะกำหนดค่า e ยกกำลัง i อย่างไร, มันเป็นสิ่ง
ที่ประหลาดมาก, การจับอะไรสักอย่างยกกำลัง xi, เราจะเข้าใจ
ฟังก์ชันแบบนั้นได้อย่างไร. แต่ตอนนี้เรามี e^x กระจายเป็นพหุนามได้แล้ว, เราจึงอาจ
ทำความเข้าใจมันได้, เพราะเราสามารถจับ i ยกกำลังค่าต่างๆ ได้, และเรารู้ว่ามันจะให้, คุณก็รู้
i^2 = -1, i^3 = -i, ไปเรื่อยๆ. แล้วเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณหา e^(ix)? เหมือนเดิม, มันก็เหมือน
ตอนใส่ x ตรงนี้, แต่แทนที่มันด้วย ix. แล้วทุกที่ที่เราเห็น x ในพหุนามที่
ประมาณนี้ เราสามารถเขียนมันเป็น ix ได้. งั้นลองทำดูกัน. e^(ix) ควรมีค่าประมาณเท่ากับ, มันจะ
ใกล้คำว่าเท่ากับมากขึ้นเรื่อยๆ. และนี่เป็นเรื่องของสัญชาตญาณมากกว่าเพราะผมไม่ได้พิสูจน์อย่างรัดกุมตรงนี้. แต่มันก็ยัง
น่าตื่นเต้นอยู่ได้... ผมไม่อยากอวดเกินไป, แต่ผมไม่คิดว่าผมจะอวดสิ่งที่กำลังจะปรากฏในวิดีโอนี้ได้

Polish: 
Bo jak zdefiniować stałą e do potęgi i,
to bardzo dziwne podnosić coś do potęgi ix
Jak w ogóle rozumieć funkcję tego rodzaju.
Ale teraz kiedy możemy wyrazić to w formie
wielomianowego przybliżenia e^ix
może zrozumiemy co to tak naprawdę jest,
bo możemy podnosić e do różnych potęg
i wiemy co otrzymamy w wyniku takiego działania
bo i do kwadratu to minus 1
i do sześcianu daje minus i
i tak dalej...
Co jeśli rozpatrzymy e^ix
Jeszcze raz, to tak jak podnoszenie e do potęgi x
tylko x zastępujemy ix
Wszędzie gdzie widzimy x po prawej stronie,
w tym wielomianowym przybliżeniu,
zastępujemy go przez ix.
Zróbmy tak więc
e do ix powinno w przybliżeniu równać się,
a będzie to coraz bardziej dokładne,
i jest to bardziej kwestia intuicji,
nie będę tego tu dowodził,
ale dalej jest to ważne.
Nie chcę wyolbrzymiać na zapas,
ale wątpię żeby dało się nie wyolbrzymiać tego, co zaraz się tu stanie.
Będzie to się równać
jeden plus i, zamiast x podstawiamy ix

English: 
E to the Ith power?
That's a very bizarre thing to do,
take something to the XI power.
How do you even comprehend some type
of a function like that.
But now that we can have
a polynomial expansion
of E to the X, we can
maybe make sense of it.
Because we can take I to different amounts
to different powers and
we know what that gives,
I squared is negative one, I
to the third is negative I,
and so on and so forth.
So what happens if we take E to the IX.
So once again, just like
taking the X up here
and replacing it with
an IX, so every where
we see the X in it's
polynomial approximation,
we would write an IX.
So let's do that.
So E to the IX should be
approximately equal to,
and it will become more and more equal,
and this is more to give
you an intuition I'm not
doing a rigorous proof here,
but it's still profound.
Not to oversell it,
but I don't think I can
oversell what is about
to be discovered or seen
in this video, it would
be equal to one plus

Korean: 
그 전에 e^ix을
어떻게 정의하죠?
어떤 수의 거듭제곱이
ix인 것은
좀 특이한데요
이런 유형의 함수를
어떻게 이해할 것인가요?
이런 유형의 함수를
어떻게 이해할 것인가요?
하지만 e^x의 다항식 전개를
알고 있으므로
느낌이 올 것입니다
제곱수가 다른 항에
i를 대입하면
i² = -1, i³ = -i
이런 식으로 됩니다
그렇다면
e^ix는 무엇일까요?
여기 x를 ix로 바꿉니다
여기 x를 ix로 바꿉니다
다항식에 있는 모든 x를
ix로 바꿉니다
해봅시다
따라서 e^ix을
다음과 같이 근사합니다
이것은 더 같게
만들어지고
여러분에게
직관을 줄 것입니다
엄격하게 증명을 하진 않겠지만
여전히 심오합니다
과장하는 것이 아니라
이 강의에서 발견되거나
보여지는 것에 대해
과장할 수
없을 것 같습니다

Portuguese: 
Porque antes pensamos: 
"Como você define e elevado a i-ésimo?"
é muito estranho fazer isso, 
pegar algo elevado a x i,
como você entende algum tipo de
uma função como esta.
Mas agora que podemos ter 
uma expansão polinomial de e elevado a x,
podemos ter uma noção, porque é possível
pegar i elevado a potências diferentes,
e nós sabemos o resultado, 
i ao quadrado é igual a um negativo,
i ao cubo é igual a menos i, 
e assim por diante.
O que acontece quando
temos e elevado a ix?
De novo é só pegar o x aqui em cima, 
e substituí-lo por um ix.
Em todos os lugares que encontrarmos
um x na sua aproximação polinomial
escreveremos um ix. Vamos fazer isso.
e elevado a ix deve ser aproximadamente 
igual a, e isso vai ficar mais igual--
Isto é uma intuição, não estou fazendo
uma prova rigorosa.
Mas ainda assim é profundo.
Não quero exagerar isto,
mas eu não acho que é possível 
exagerar o que será visto neste vídeo.--

Portuguese: 
fazer. Deixe-me escrever: e^(ix). Porque antes, era como, como você define e elevado a potência i, isso seria
uma coisa muito bizarra de se fazer, elevar alguma coisa a potência ix, como compreender um tipo
de função como essa? Mas agora que podemos ter uma série polinomial, nós talvez possamos fazer
algum sentido disso, porque podemos elevar i a diferentes potências, e sabemos no que resulta, por exemplo
i^2=-1, i^3=-i, e assim vai. Então o que acontece quando voce tem e^(ix)? Então, de novo, é como se
tirassemos o x daqui, e trocassemos por ix. Então em todo lugar que temos x, na aproximação
polinomial, nós escrevemos ix. Então vamos fazer isso. Então e^(ix) deve ser aproximadamente, e vai se tornar
mais e mais igual. E isso é mais uma intuição, eu não estou fazendo uma prova rigorosa aqui. Mas ainda assim é
profunda... Sem querer exagerar, mas eu não acho que eu posso exagerar o que esta para ser descoberto nesse

Korean: 
이는 1 + x 대신 ix
(ix)²은 무엇일까요?
적어볼게요
(ix)²/2!은 무엇일까요?
i² = -1이므로
-x²/2! 입니다
-x²/2! 입니다
어떻게 될지
보일 것 같습니다
(ix)³은 무엇일까요?
이 식의 모든 x 대신
ix로 바꿉니다
(ix)³은 무엇일까요?
적어볼게요
생략하지 않겠습니다
(ix)²/2!
다시 하겠습니다
(ix)²/2!
(ix)³/3!

Thai: 
มันจะเท่ากับ 1+, แทนที่จะเป็น x, เราจะได้ ix, + ix +, แล้ว
(ix)^2 คืออะไร? มันจะเป็น, ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ, (ix)^2/2 เป็นเท่าไหร่? ทีนี้ i^2 จะเป็น -1 และ
คุณจะได้ (x^2)/2!. มันจะเป็น -(x^2)/2!, และผมว่าคุณคงเห็นแล้วว่ามันจะเป็นอย่างไรต่อ. แล้วก็,
ix นี่, จำไว้, ทุกที่ที่เราเห็น x เราจะแทนที่มันด้วย ix. แล้ว (ix)^3 คืออะไร, ที่จริง
ขอผมเขียนนี่ออกมานะ, ผมจะไม่ข้ามขั้นต่อตรงนี้. นี่ก็จะเป็น ((ix)^2)/2!. ที่จริงขอผม

Polish: 
plus ix plus...
Więc co to jest ix do kwadratu
Będzie się to równać...
Pozwólcie że zapiszę...
ix do kwadratu nad dwa silnia
i kwadrat równa się minus jeden
i otrzymamy x kwadrat
nad dwa silnia
co daje minus x kwadrat nad dwa silnia.
Myślę, że może zaczynasz widzieć co to przypomina.
I teraz,
ile równa się ix do sześcianu?
Pamiętaj, wszędzie, gdzie widzisz x
wstawiasz ix
Więc ile równa się ix do sześcianu przez trzy silnia?
Pozwól, że to zapiszę.
Zapiszę to jeszcze raz, nie pomijając czegokolwiek.
W takim razie otrzymujemy
ix kwadrat przez dwa silnia
Chwila, zrobię to dokładnie tak, jak powinno być.
plus ix kwadrat przez dwa silnia
plus ix do sześcianu nad trzy silnia

English: 
instead of an X will have
an IX, plus IX, plus,
so what's IX squared?
So let me write this down.
What is IX squared over two factorial?
Well I squared is going
to be negative one,
and then you'd have X
squared over two factorials.
It's going to be minus X
squared over two factorial,
I think you might see
where this is going to go.
And then what is IX?
Remember everywhere we saw an X,
we're going to replace it with an IX.
So what is IX to the third power?
Actually let me write this out,
let me not skip some steps over here.
So this is going to be IX
squared over two factorial,
actually let me, I want
to do it just the way.
So plus IX squared over two factorial,
plus IX to the third over three factorial,

Portuguese: 
Ele seria igual a um mais-- ao invés de x,
teremos um ix-- mais ix mais,
então o que é ix ao quadrado?
Vai ser-- vou escrever isto,
quanto é ix ao quadrado 
sobre dois fatorial?
i elevado ao quadrado vai ser um negativo,
Seria x ao quadrado sobre dois fatorial.
Então ele vai ser menos x 
ao quadrado sobre dois fatorial.
Eu acho que você já sabe
onde isto vai dar.
Quanto é ix,-- lembra, todos os lugares
que vimos um x vamos substituir por ix.--
Quanto é ix ao cubo? Vou escrever
para não pular alguns passos aqui.
Então este vai ser ix 
ao quadrado sobre dois fatorial.
--vou fazer do jeito certo.-- mais ix
ao quadrado sobre dois fatorial.

Portuguese: 
video. Isso seria igual a 1+, em vez de um x, nós teremos um ix, +ix+, então o que é
(ix)^2? Então vai ser, deixe-me escrever isso, o que é (ix)^2/2!? Bom, i^2 vai ser -1 e
você teria (x^2)/2!. Então vai ser -(x^2)/2!, e, eu acho que você talvez ja esteja vendo onde isso vai dar. E então,
o que ix, lembre-se, todo lugar que nós vemos um x, nós vamos trocar por ix. Então o que (ix)^3? Alias,
deixe-me escrever isso aqui, irei não pular alguns passos aqui. Então isso aqui vai ser ((ix)^2)/2!. Alias,

Turkish: 
Eşittir 1 artı ix artı, peki ix'in karesi nedir? Terim, ix'in karesi bölü 2 faktöriyel. i kare eşittir eksi 1 ve yanında, x kare bölü 2 faktöriyel var.
-
O zaman, eksi x kare bölü 2 faktöriyel olacak. Sanıyorum, örüntüyü görmeye başladınız.
Şimdi, ix'in kübü nedir?
Aslında, öncelikle, açılımının tamamını yazmak istiyorum. Artı ix'in karesi, bölü 2 faktöriyel, artı ix'in kübü, bölü 3 faktöriyel, artı ix'in dördüncü kuvveti, bölü 4 faktöriyel, artı ix'in beşinci kuvveti, bölü 5 faktöriyel, ve böyle devam ederiz.

Bulgarian: 
и вместо х ще имаме ix, 
плюс ix, плюс,
колко е (ix)^2?
Ще го запиша тук.
Колко е (ix)^2 върху 2 факториел?
i на квадрат е –1,
после имаме х на квадрат
върху 2 факториел.
Това става –х^2 върху 2!
вероятно започваш да разбираш
какво става тук.
После колко е ix...
Спомни си, че навсякъде, 
където има х,
ние го заместваме с ix.
Колко е ix на трета степен?
Ще го напиша, няма
да прескачам стъпки.
Това е (ix)^2 върху 2!
всъщност ще го направя ето така.
Значи плюс (ix)^2 върху 2!
плюс (ix)^3 върху 3!

Korean: 
(ix)⁴/4!
계속 진행합니다
(ix)^5/5!
계속 진행합니다
(ix)^5/5!
이렇게 계속 더합니다
ix의 거듭제곱들을
계산해 봅시다
ix의 거듭제곱들을
계산해 봅시다
1 + ix
(ix)²은 i²과 x²의 곱입니다
i² = -1 이므로
-x²/2!
이것은 i³과 x³의 곱입니다
이것은 i³과 x³의 곱입니다
i³은 i² × i 입니다
따라서 -i 입니다
-ix³/3!
-ix³/3!
다음 항을 계산합니다
i⁴은 무엇일까요?

Turkish: 
-
Şimdi, bu ix'in kuvvetlerini bulalım. Bu, eşittir 1 artı ix, artı ix'in karesi, yani i kare x kare, i kare eşittir eksi 1. Yani, eksi x kare, bölü 2 faktöriyel.
Sonra, i küp x küp var, i küp eşittir i kare çarpı i, yani eksi i. Demek ki, terimimiz eksi i x küp, bölü 3 faktöriyel.
Ve, artı, i üzeri 4 nedir? i karenin karesi, yani eksi 1'in karesi, bu da 1. Buna göre, i üzeri 4 eşittir 1. Sonrasında da x üzeri 4 var. Yani, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel.

Portuguese: 
deixe-me... Eu vou fazer isso aqui do jeito... Então, +((ix^2))/2!+((ix)^3)/3!+((ix)^4)/4!+((ix)^5)/5! e nós podemos continuar
e assim vai. Mas vamos avaliar esses 'ix' elevados a diferentes potências. Então isso vai ser igual a 1+ix...
(ix)^2, isso é a mesma coisa que (i^2)(x^2), i^2 é -1. Então isso é -(x^2)/2!. E então isso vai ser a mesma
coisa que (i^3)(x^3), i^3 é a mesma coisa que (i^2)i, entao vai ser -i, então vai ser -i, então vai ser -i(x~3)/3!. E então,

Thai: 
... ผมอยากทำแบบนี้... ได้ + ((ix)^2)/2! + ((ix)^3)/3! + (ix)^4)/4! + ((ix)^5)/5! แล้วเราก็ทำ
ไปเรื่อยๆ ได้. แต่ลองหาค่า ix ยกกำลังค่าต่างๆ ก่อนแล้วกัน. นี่ก็จะเท่ากับ 1+ix ...
(ix)^2, มันก็เหมือนกับ (i^2)(x^2), i^2 ได้ -1. แล้วนี่ก็คือ -(x^2)/2!. แล้วนี่ก็
เท่ากับ (i^3)(x^3), i^3 ก็เหมือนกับ (i^2)i, แล้วมันจะเป็น -i, มันจะเท่ากับ -i(x^3)/3!. แล้ว,

English: 
plus IX to the fourth over four factorial,
and we can keep going,
plus IX to the fifth
over five factorial, and
we can just keep going
so on and so forth.
Let's evaluate if these
IXs raised to these
different powers.
So this will be equal to one plus IX,
IX squared, that's the
same thing as I squared
times X squared, I
squared is negative one.
So this is negative X
squared over two factorial,
and this is going to be the same thing as
I to the third times X to the third.
I to the third is the same thing as
I squared times I, so it's
going to be negative I.
So this is going to be minus I times X to
the third over three factorial.
So then plus, you're going to have,
what's I to the fourth power?

Polish: 
plus ix do potęgi czwartej przez cztery silnia
i tak możemy kontynuować
plus ix do potęgi piątej przez pięć silnia
i tak do nieskończoności
Teraz obliczmy wartość tych ix-ów przy różnych silniach
Otrzymujemy jeden plus ix
ix do kwadratu równa się i do kwadratu razy x do kwadratu
i do kwadratu równa się minus jeden
więc otrzymujemy minus x kwadrat nad dwa silnia
i z tego otrzymujemy i do sześcianu razy x do sześcianu
i do trzeciej równa się i kwadrat razy i
co daje minus i
więc otrzymujemy minus i razy x do potęgi trzeciej
nad trzy silnia
i teraz,
plus
otrzymujemy...
Ile równa się ix do potęgi cztery?

Bulgarian: 
плюс (ix)^4 върху 4!
и можем да продължим така,
плюс (ix)^5 върху 5!
и можем да продължим така
до безкрай.
Да сметнем тези ix, повдигнати
на различни степени.
Това е равно на 1 + ix,
(ix)^2, което е същото като 
i^2 по х^2, i^2 е равно на –1.
Значи това е –х^2 върху 2!
и това ще е равно на
i^3 по х^3.
i^3 е равно на i^2 по i,
значи е равно на –i.
Значи това е равно на
–ix^3 върху 3!
После плюс, тук ще имаме...
колко е i на четвърта степен?

Portuguese: 
mais ix ao cubo sobre três fatorial
mais ix à quarta sobre quatro fatorial
mais ix à quinta sobre
cinco fatorial e assim por diante
Vamos avaliar estes ix's 
elevado a potências diferentes.
Este vai ser igual a um 
mais ix ao quadrado,
é o mesmo que i ao quadrado
vezes x ao quadrado,
i ao quadrado é um negativo. 
Este é x negativo ao quadrado
sobre dois fatorial.
Este vai ser o mesmo que 
i ao cubo vezes x ao cubo,
i ao cubo é o mesmo que 
i ao quadrado vezes i,
vai ser i negativo, vezes x ao cubo
sobre três fatorial mais, você terá--

Bulgarian: 
Това е i на квадрат на квадрат.
Значи това е –1 на квадрат,
което е просто 1.
Значи i на четвърта е 1
и после имаме х^4.
Плюс х^4 върху 4!
И след това ще имаме,
даже още не съм написал плюс,
плюс i^5.
i^5 е равно на 1 по i,
значи става i по х^5 върху 5!
плюс i по х^5
върху 5!.
Вероятно забелязваш 
закономерността.
Коефициентът е 1, после i,
после –1,
после 1, после i, после –1,
после х^6 върху 6!
и после –i по х на седма степен
върху 7!
Значи някои от членовете
са имагинерни числа,
умножени са по i,
а някои членове са 
реални числа.

Portuguese: 
então temos +, você terá, o que é i^4? então isso é (i^2)^2, entãp isso é (-1)^2, isso vai ser apenas 1, então i^4
é 1 e voce vai ter x^4, então +(x^4)/4!. E então voce vai ter +, eu não vou nem escrever o +
ainda, i^5, então i^5 será 1i, então vai fser i(x^5)/5!, então +(x^5)/5!, e eu acho que voce já vê o
padrão aqui. Os coeficientes são 1, i, -1, -i, 1, i e então -1(x^6)/6!, e então -i(x^7)/7!. Então nós teremos alguns termos, alguns deles
são imaginários, eles tem um i, eles estão sendo multiplicados por i, alguns deles são reais, por que nós não separamos

Portuguese: 
Quanto é i à quarta?
É i ao quadrado ao quadrado.
Ele é um negativo ao quadrado,
que vai ser um, então i à quarta é um.
Você tem x à quarta então-- mais 
x à quarta sobre quatro fatorial.
E então você terá mais,--
nem vou escrever o mais ainda--
i à quinta, então i à quinta
vai ser um vezes i,
então vai ser i vezes x à quinta
sobre cinco fatorial.
mais i vezes x à quinta 
sobre cinco fatorial.
Acho que você já consegue
ver um padrão aqui.
Coeficiente é um, depois i, 
um negativo, i negativo, um, i,
então um negativo x à sexta
sobre seis fatorial,
e então i negativo x à sétima
sobre sete fatorial.
Então nós temos alguns termos,
alguns deles são imaginários,
eles têm um i, são multiplicados 
por i, alguns são reais.

Turkish: 
-
-
i üzeri 5, 1i olacak. Demek ki, bir sonraki terim, i çarpı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. Sanıyorum bir örüntü görüyorsunuz. Katsayılar, 1, i, eksi 1, eksi i, 1 , i, ve eksi 1 çarpı x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel, ve sonra, eksi i çarpı x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel.
-
Buna göre, bazı terimlerde i var, yani bunlar imajiner terimler, bazı terimler de gerçel. Bu ikisini neden ayırmıyoruz?

Thai: 
แล้วก็ +, คุณจะได้, i^4 เป็นเท่าไหร่? มันจะเป็น (i^2)^2, แล้วมันคือ (-1)^2, นั่นจะเท่ากับ 1, แล้ว i^4
ได้ 1 แล้วคุณจะได้ x^4, เป็น +(x^4)/4!. แล้วคุณก็ได้ +, ผมไม่อยากเขียน +
ตอนนี้, i^5, i^5 จะเท่ากับ 1i, มันจึงเป็น i(x^5)/5!, ผมว่าคุณคงเริ่มเห็น
รูปแบบตรงนี้แล้ว. สัมประสิทธิ์เป็น 1, i, -1, -i, 1, i แล้ว -1(x^6)/6! แล้วก็ -i(x^7)/7!. เราได้เทอมมา, บางตัวเป็น
จำนวนจินตภาพ, พวกมันมี i อยู่, มันคูณอยู่กับ i, บางตัวเป็นจำนวนจริง, ทำไมเราไม่ลอง

Polish: 
to się równa i kwadrat razy i kwadrat
minus jeden razy minus jeden daje jeden
i do czwartej daje jeden
otrzymujemy więc x do czwartej przez cztery silnia
i teraz otrzymujesz
plus ix do piątej
więc plus i razy x do piątej przez pięć silnia.
Myślę że teraz możesz zauważać wzorzec
współczynnik równa się jedne, potem i, dalej minus jeden
później minus i oraz jeden
później i oraz i razy x do szóstej przez sześć silnia
i dalej minus i razy x do siódmej przez siedem silnia.
Mamy więc różne ułamki,
niektóre z nich są rzeczywiste, inne urojone

English: 
So that's I squared squared.
So that's negative one
squared, that's just
going to be one.
So I to the fourth is one and
then you have X to the fourth.
Plus X to the fourth over four factorial.
And then you're going
to have, I don't even
write the plus yet, I to the fifth.
So I to the fifth is
going to be one times I,
so it's going to be I times X to the fifth
over five factorials plus
I times X to the fifth
over five factorial.
I think you might see a pattern here.
Coefficient is one, then
I, then negative one,
then negative I, then one,
then I, then negative one,
X to the sixth over six factorial,
and then negative IX to the seventh
over seven factorial.
So we have some terms,
some of them are imaginary,
they're being multiplied by I.
Some of them are real.

Korean: 
(i²)² 입니다
(-1)² = 1 입니다
(-1)² = 1 입니다
따라서 i⁴ = 1 이고
x⁴/4!이 있습니다
x⁴/4!이 있습니다
다음 항을 계산해 봅시다
i^5을 계산합니다
i^5 = 1 × i 이므로
ix^5/5! 입니다
ix^5/5! 입니다
ix^5/5! 입니다
패턴이 보이네요
계수가
1, i, -1, -i, 1, i, -1 이므로
계수가
1, i, -1, -i, 1, i, -1 이므로
-x^6/6! 입니다
다음은 -ix^7/7! 입니다
다음은 -ix^7/7! 입니다
어떤 항에는
i가 곱해져 있습니다
어떤 항은 실수이고요

Turkish: 
-
Şimdi, gerçel ve imajiner terimleri ayıralım. Bu, gerçel. Bunlar da gerçel. O zaman, gerçel terimler, 1 eksi x kare, bölü 2 faktöriyel, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel, eksi x üzeri 6 bölü 6 faktöriyel. Böyle devam edebiliriz.
-
-
-
İmajiner terimler nelerdir? i çarpanını ayırayım. Bu, ix, o zaman x kalır, bir sonraki terimde i'yi ayırırsak, eksi x küp, bölü 3 faktöriyel kalır. Sonra, artı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel, eksi x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel. Artı, eksi sonsuza kadar terim ekleriz.

Thai: 
แยกมันจากกันล่ะ? ทำไมเราไม่ลองแยกมันดู? เหมือนเดิม, e^(ix) จะเท่ากับเจ้านี่, โดยเฉพาะ
ตอนที่เรามีเทอมเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน. งั้นลองแยกมันออกมา, เทอมจริงกับเทอมไม่จริง, หรือเทอมจริง
กับเทอมจินตภาพ, ผมว่าอย่างนั้นดีกว่า. นี่คือจำนวนจริง. นี่คือจำนวนจริง, นี่คือจำนวนจริง, และเจ้านี่ตรงนี้เป็นจำนวนจริง, แล้วเรา
ก็ทำต่อไปเรื่อยๆ. แล้วเทอมจำนวนจริงตรงนี้คือ 1 -(x^2)/2! + (x^4)/4! แล้วคุณก็เริ่มตื่นเต้นแล้ว
ตอนนี้, -(x^6)/6! แล้วนั่นคือที่ผมทำตรงนี้, แต่มันยังมีต่อไป, เป็น +, ต่อไปเรื่อยๆ. นั่นคือเทอม
จำนวนจริงทั้งหมด. แล้วเทอมจินตภาพมีอะไรบ้างตรงนี้? ขอผมลอง, ผมจะแยก i ออกมาตรงนี้นะ. มันจะเป็น

English: 
Why don't we separate them out?
So once again, E to the IX, is going to be
equal to this thing, especially as we add
an infinite number of terms.
Let's separate out the real
and the non-real terms.
Or the real and the
imaginary terms I should say.
So this is real, this
is real, this is real,
and this right over here is real.
And obviously we could
keep going on with that.
So the real terms here are
one minus X squared over two factorial
plus X to the fourth over four factorial,
you might be getting excited now,
minus X to the sixth over six factorial
and that's all I've done
here, but they would
keep going so plus so on and so forth.
So that's all of the real terms.
And what are the imaginary terms here.
And I'll just factor out the I over here.
Actually, let me just factor out.

Polish: 
dlaczego nie mielibyśmy ich od siebie oddzielić
jeszcze raz, e do potęgi ix
będzie się równać prawej stronie
w przypadku nieskończonej ilości ułamków
rozdzielmy ułamki rzeczywiste i nierzeczywiste
albo rzeczywiste i urojone, jak powinienem powiedzieć
to jest rzeczywiste i to
to również
i to też jest rzeczywiste
a także to
i tak moglibyśmy kontuować
rzeczywiste części równają sie
jeden minus x kwadrat przez dwa silnia
plus x do czwartej nad cztery silnia
i teraz możesz się już podniecać
minus x do szóstej przez sześć silnia
plus, to już wszystko co zapisałem powyżej ale moglibyśmy tak dalej.
To są wszystkie części rzeczywiste.
Które są zatem urojone?
Pozwól, że wyłączę i przed nawias
więc otrzymujemy plus i

Korean: 
분리시켜 볼까요?
다시 한번, e^x는
무한하게 항을 더한
이 식과 같습니다
무한하게 항을 더한
이 식과 같습니다
실수와 실수가 아닌
항을 구별해 봅시다
실수항과 허수항으로
얘기해야 할 것 같네요
표시한 이 항들이
실수입니다
표시한 이 항들이
실수입니다
뒤에 이어서
계속 있겠죠
따라서 실수항은
1 - x²/2! + x⁴/4!
1 - x²/2! + x⁴/4!
뭔가 흥분되지 않나요?
- x^6/6!
여기까지 하겠지만
뒤이어 계속 있습니다
이들은 실수항입니다
허수항을 구해봅시다
i를 빼내겠습니다
i를 빼내겠습니다

Portuguese: 
eles? Por que nós não separamos eles? Então, novamente, e^(ix) vai ser igual a essa coisa aqui, especialmente
conforme nós adicionamos um número infinitos de termos. Então vamos separa-los, os termos reais e os não reais, ou, os termos reais e os
imaginários, quero dizer. Então esse é real, esse é real, esse é real, esse é real e esse aqui é real. And nós
podemos continuar fazendo isso. Então os termos reais são 1-(x^2)/2!+(x^4)/4!, e você deve estar ficando animado
agora, -(x^6)/6!, e isso é tudo o que eu fiz aqui, mas poderíamos continuar, então +, e assim vai. Então isso aqui são todos os
termos reais. E quais são os termos imaginários aqui? Então deixe-me apenas, eu vou apenas fatorar esse i aqui. Então vai

Portuguese: 
Por que nós não os separamos?
Mais uma vez, e elevado a ix
vai ser igual a isto.
Especialmente porque adicionamos
um número infinito de termos.
Então vamos separar, os termos reais
e os não reais, ou os reais e imaginários.
Este é real, este é real, 
este é real, e este aqui é real.
E podemos continuar assim.
Os termos reais são um menos 
x ao quadrado sobre dois fatorial.
mais x à quarta sobre quatro fatorial--
Você deve estar ficando empolgado agora.
--menos x à sexta sobre seis fatorial, 
foi isso que eu fiz aqui,
mas eles continuariam indo, 
então mais, e assim por diante.
Estes são todos os termos reais. 
Quais são os termos imaginários?
Vou só fatorar o i aqui. 
Então vai ser mais i vezes,

Bulgarian: 
Защо да не ги разделим?
Отново, е на степен iх
ще бъде равно на това, особено
като добавим безкраен
брой членове.
Сега да разделим членовете, които
са реални числа, от тези, които не са.
Или по-точно реалните
и имагинерните членове.
Този е реален, този
е реален, този е реален
и този тук е реален.
Определено можем
да продължим така.
Значи реалните членове са
1 – х^2/2!
+ х^4/4!
може би вече се развълнува,
–х^6/6!
и тук съм стигнал дотук, но 
те продължават до безкрайност.
Това са реалните членове.
Да видим кои са 
имагинерните членове.
Просто ще изнеса пред скоби i.

Korean: 
+ i
이 항은 ix이므로
x가 됩니다
다음 허수항은
이 항입니다
다음 허수항은
이 항입니다
i를 빼내면
-x³/3!
다음 허수항은
이 항입니다
+ x^5/5!
다음 허수항은
이 항입니다
i를 빼내면
-x^7/7! 입니다
이렇게 계속 진행됩니다
부호가 바뀌면서
계속 진행됩니다
무한대로 항이 늘어날수록
근사하기 더 좋아집니다
따라서 e^(ix)는
이 식입니다
지난 두 강의에서
여기 이 실수부는
x=0에서의 
매클로린 근사

Thai: 
+i คูณ, ทีนี้, นี่คือ ix, นี่จะเป็น x, แล้วตัวต่อไป... นี่ก็คือเทอมจินตภาพ, นี่คือ
เทอมจินตภาพ, เราแยก i ออกมา, แล้ว -- (x^3)/3!, แล้วเทอมจินตภาพตัวต่อไปอยู่ตรงนี้, เรา
แยก i ออกมา, +(x^5)/5!, แล้วเทอมจินตภาพตัวต่อไปอยู่ตรงนี้, เราแยก i ออกมา, มันก็คือ
-(x^7)/7! แล้วเราทำต่อไปได้อีก. ได้ บวก, ลบ, ต่อไป, ต่อไปเรื่อยๆ. ไปจนถึงอนันต์,
แล้วเราก็ได้ค่าประมาณดีเท่าที่ต้องการ. เราจึงได้ e^(ix) เท่ากับ
เจ้าพวกนี้. แต่คุณอาจจำได้จากวิดีโอก่อนๆ ว่า, ส่วนจริง, นี่คือ
พหุนาม, นี่คือการประมาณแมคลอรินของ cos(x) รอบ 0, หรือผมควรบอกว่าการประมาณ

English: 
So it's going to be plus I times,
well this is IX, so this will be X.
And then the next, so
that's an imaginary term,
this is an imaginary term.
We're factoring out the
I, so minus X to the third
over three factorial, and then the next
imaginary term is right over there.
We factor out the I,
plus X to the fifth over
five factorial and then
the next imaginary term
is right there, we factored out the I.
So it's minus X to the
seventh over seven factorial.
And then we would obviously keep going.
So plus minus keep going,
so on and so forth,
preferably to infinite
so that we get as good
of a approximation as possible.
So we have a situation where E to the IX
is equal to all of this business here.
But you probably remember
from the last two videos
the real part, this was the polynomial,
this was the Maclaurin
approximation of cosine

Polish: 
razy ix co daje x
i teraz...
to urojona część
i to również
wyciągnąłem i przed nawias
tak więc minus x do sześcianu przez trzy silnia
kolejny urojony ułamek jest tutaj, wyciągamy i przed nawias
plus x do piątej przez pięć silnia
i kolejny urojony ułamek
jest tutaj
wyciągnęliśmy i przed nawias
otrzymujemy więc minus x do siódmej ponad siedem silnia
i oczywiście tak byśmy kontynuowali
plus minus tak dalej
najlepiej do nieskończoności, aby otrzymać jak najdokładniejszy wzór.
Jesteśmy więc w sytuacji
że e do potęgi ix jest równe całej prawej stronie
ale, prawdopodobnie pamiętasz
z ostatnich kilku wideo,
że ta część rzeczywista równa się temu
przybliżeniu Mclaurina cosx
w otoczeniu punktu zero

Bulgarian: 
Това ще стане + i по... това е
ix, значи ще остане х.
След това следващия
имагинерен член,
това също е имагинерен член.
Изнасяме пред скоби i,
значи –х^3 върху 3!
После следващия
имагинерен член е този.
Като изнесем i, остава
х^5 върху 5!
и после следващия имагинерен
член е този тук,
изнасяме пред скоби i.
Става –х^7/7!
И очевидно продължаваме така.
Продължаваме плюс, минус,
още и още,
до безкрайност, така че да можем
да получим максимално добро приближение.
Имаме случай, в който e^(ix)
е равно на всичко това тук.
Но може би си спомняш
от последните два видео урока,
че реалната част, този
полином тук,
това е приближение с ред
на Маклорен на косинус от х,

Portuguese: 
ficar +i vezes, bom, esse aqui é ix, então isso vai ser x, e então o próximo... então esse é um termo imaginário, esse é um
termo imaginário, nós estamos fatorando o i, então -(x^3)/3!, então o próximo termo imaginário esta aqui, nós
fatoramos o i, +(x^5)/5!, e então o próximo termo imaginário esta bem aqui, nós fatoramos o i, então fica
-(x^7)/7!, e obviamente você continuaria, então, +, -, continuaríamos, e assim vai. Preferivelmente até o infinito, para
podermos conseguir uma aproximação tão boa quanto possível. Então temos uma situação onde e^(ix) é igual a
toda essa coisa aqui. Mas provavelmente se lembra, dos ultimos vídeos, a parte real, isso era a
aproximação polinomial, isso era a aproximação de MacLauren de cos(x) próxima a 0, ou, devo dizer, a aproximação

Portuguese: 
este é ix, então este vai ser x,
aquele é um termo imaginário
este é um termo imaginário, 
estamos fatorando o i.
Menos x ao cubo sobre três fatorial.--
O próximo termo imaginário está ali.
Nós fatoramos o i.--
mais x à quinta sobre cinco fatorial.
O próximo termo imaginário 
está ali, nós fatoramos o i.
Menos x à sétima sobre sete fatorial.
E obviamente iríamos continuar,
mais, menos, e assim por diante.
Preferivelmente ao infinito, para termos
a melhor aproximação possível.
Então temos uma situação onde 
e elevado a ix é igual a tudo isso aqui.
Mas, você provavelmente se lembra
dos últimos vídeos, a parte real--
este era o polinômio, a aproximação de
MacLaurin do cosseno de x tendendo a 0,

Turkish: 
-
-
-
-
e üzeri ix, bunların toplamına eşit.
Son birkaç videodan hatırlarsanız, gerçel kısım, kosinüs x'in Maclaurin serisine eşitti. Yani, bu ikisi aynı.
-

Thai: 
เทย์เลอร์รอบจุด 0 มากกว่า, หรือเราเรียกมันว่าการประมาณแมคลอรินก็ได้. นี่และนี่
ก็เหมือนกัน. นี่ก็คือ cos(x), เฉพาะตอนที่เราบวกเทอมไปจนถึงอนันต์, cox(x). เจ้านี่ตรงนี้, คือ
sin(x), เหมือนกันเลย. ดูเหมือนว่าเราจะสามารถหาวิธีรวม cos(x) กับ sin(x)
เพื่อให้ได้อะไรอย่างเช่น e^x แล้ว. เจ้านี่ตรงนี้คือ sin(x) แล้ว, เรายอมรับมันเลย, ผมไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู
อย่างรัดกุม, ว่าถ้าคุณเอาเทอมจำนวนเป็นอนันต์มา, มันจะกลายเป็น cos(x) พอดี, และถ้าคุณเอา
เทอมพวกนี้มาเป็นอนันต์, มันจะเป็นกลายเป็นอนันต์. มันกลายเป็นสูตรที่น่าอัศจรรย์, เราบอกได้ว่า
e^(ix) ก็เหมือนกับ cos(x), แล้วคุณควรรู้สึกขนลุกแล้วตอนนี้, เท่ากับ

English: 
of X around I should say
the Taylor approximation
around zero or you could also call it the
Maclaurin approximation.
So this and this are the same thing.
So this is cosine of
X, especially when you
added an infinite power
of terms, cosine of X.
This over here is sine of
X, the exact same thing.
So it looks like we're
able to reconcile how
you can add up cosine of X and sine of X
to get something that's like E of the X.
This right here is sine of X.
And so if we take it for granted,
I'm not rigorously proving it to you,
and if you were to take an infinite number
of terms here that this
will essentially become
cosine of X and if you
take an infinite number
of terms here this will become sine of X.
It leads to a fascinating formula.
We could say that E to the IX, is the same
thing as cosine of X,
and you should be getting
goose pimples right around now.

Korean: 
혹은 테일러 근사입니다
매클로린 근사로
불러도 됩니다
매클로린 근사로
불러도 됩니다
따라서 이 두 식은
동일합니다
이것은 cosx입니다
항을 무한히 더하면
cosx가 됩니다
이 식은
sinx와 똑같습니다
따라서
cosx와 sinx를 합해서
어떻게 e^x가 나오는지
알 수 있을 것 같습니다
이 식은 sinx입니다
이것을 당연하게 여긴다면
엄격하게 증명하지 않겠습니다
항을 무한히 더하면
cosx가 되고
이 식에서
항을 무한히 더하면
sinx가 됩니다
엄청난 공식이 나왔습니다
e^ix = cosx + isinx
e^ix = cosx + isinx
e^ix = cosx + isinx

Portuguese: 
ou melhor, a aproximação 
de Taylor tendendo a 0,
ou podemos chamá-lo de 
aproximação MacLaurin.
Então este e este são a mesma coisa.
Este é cosseno de x, especialmente quando
adicionamos um número infinito de termos.
Cosseno de x.
Este aqui é seno de x,
exatamente a mesma coisa.
Parece que podemos reconciliar 
como você pode adicionar
cosseno de x e seno de x para
conseguir algo parecido com e elevado a x.
Este é seno de x e, se os ignorarmos,
não estou provando isto rigorosamente
se pegarmos um número infinito de termos,
este vai se tornar cosseno de x
se pegarmos um número infinito de termos,
este vai se tornar seno de x,
ele leva a uma fórmula fascinante.
Nós poderíamos dizer que e elevado a ix
é a mesma coisa que cosseno de x,--
e você deve estar arrepiado agora,--

Turkish: 
-
-
Buradaki de, sinüs x. Öyle görünüyor ki, kosinüs x ve sinüs x'i bir şekilde toplayıp, e üzeri x'i elde edebileceğiz.
Bu, sinüs x, ve sonsuz sayıda terim toplarsak, bu da kosinüs x olur.
-
Sonuçta, mükemmel bir formül elde ediyoruz. Şunu diyebiliriz: e üzeri ix eşittir, kosinüs x artı i sinüs x. Bu, Euler'ın formülü.
-

Portuguese: 
de Taylor próxima a 0, ou então poderiamos chamar de aproximação de MacLauren. Então isso e isso são a
mesma coisa. Então esse é o cos(x), especialmente quando voce adiciona um numero infinito de termos, cos(x). Esse aqui, é
sen(x), exatamente a mesma coisa. Parece então que nós somos capazes de reconciliar como podemos adicionar cos(x) e sen(x) para obtermos
alguma coisa que é e^x. Esse aqui é sen(x), e entoão, e, se nós admitirmos, e eu não estou rigorosamente provando
para vocês, que se pegarmos esse infinito numero de termos aqui, que isso essencialmente se torna cos(x), e se você
pegar um infinito numero de termos aqui, isso vai se tornar sen(x), isso nos leva a uma formula fascinanete. Nós podemos dizer
que e^(ix) é a mesma coisa que cos(x), e voce deve estar tendo arrepios agora, é igual a

Bulgarian: 
или можем да кажем 
апроксимация с ред на Тейлър
около нула, или можем да го наричаме 
също апроксимация на Маклорен.
Значи това и това
са едно и също.
Това е косинус от х, особено
когато добавим
безкраен брой членове, 
на косинус от х.
Това ето тук е синус от х,
абсолютно същия случай.
Изглежда, че можем да
съгласуваме как
да съберем косинус от х
и синус от х,
за да получим нещо
като e(х).
Това тук е синус от х.
Приемаме го за дадено,
няма да го доказвам тук,
и ако вземем безкраен
брой членове
и това по принцип е равно
на косинус от х,
и ако вземем безкраен
брой членове тук,
това става синус от х.
Така получаваме една
удивителна формула.
Можем да кажем, че е^(ix)
е равно на
косинус от х, като тук сигурно 
ти настръхва кожата!

Polish: 
właściwie to przybliżenie Taylora w otoczeniu zera
które możemy również nazywać przybliżeniem Mclaurina
Tak więc to i to są sobie równe
to jest więc cosx
Szczególnie, jeśli będziesz miał nieskończoną ilość ułamków
cosx
to tutaj jest sinx
dokładnie to samo
wygląda na to, że otrzymaliśmy sposób
który pozwala nam przybliżyć sinx i cosx żeby otrzymać
coś takiego
to tutaj jest równe sinx
Tak więc, jeśli uznasz to za prawdę,
nie będę tego dowodził,
że jeśli weźmiesz nieskończoną ilość ułamków w tym miejscu
to stanie się cosx
i jeśli weźmiesz nieskończoną ilość ułamków tutaj,
to stanie się sinx
co prowadzi do fascynującego, fascynującego wzoru
Możemy powiedzieć,
że e do ix,
e do potęgi ix
jest równe
cosx...
cosx
Powinieneś mieć już jakieś prześwity

Bulgarian: 
Това е равно на cos(х) + i.sin(х).
Това е формулата на Ойлер.
Това тук е формулата
на Ойлер.
Надявам се, че оценяваш
колко е изумителна,
защото тя наистина е.
Дотук направихме някои
наистина страхотни неща.
Включихме е, което идва от
непрекъсната сложна
връзка (влияние).
Имаме косинус и синус от х,
които са отношения
в правоъгълен триъгълник,
свързан с единичната окръжност.
И някак вътре включихме
и квадратен корен от –1.
Това изглежда като много
яка зависимост.
Но става още по-яко, и ще предположим, 
че работим с радиани.
Ако приемем, че е вярна
формулата на Ойлер,
какво се случва, когато
х е равно на π?
Просто заместваме с
още едно удивително число.
Отношението между
обиколката на окръжността
и диаметъра на окръжността.
Какво става, когато
заместим с π?

Korean: 
e^ix = cosx + isinx
e^ix = cosx + isinx
오일러 식입니다
흥분되지 않나요?
그래야만 합니다
엄청난 것들을 했습니다
e는 연속 복리에서
나온 수입니다
e는 연속 복리에서
나온 수입니다
cosx와 sinx는
단위원의
직각삼각형에서의 비입니다
√(-1)을 넣었을 뿐인데
√(-1)을 넣었을 뿐인데
멋진 관계식이 나왔네요
그런데 더 멋진 것이 있습니다
단위를
라디안이라고 한다면
오일러 식에서
x=π일 때
무슨 일이 생길까요?
다른 희한한 값이
주어졌습니다
원의 원주와
지름 사이의 비이죠
원의 원주와
지름 사이의 비이죠
x=π일 때
어떻게 될까요?

Turkish: 
Bu size çok heyecanlı ve çılgın gelmeli, çünkü çok klas şeyler yaptık.
-
Sürekli bileşik faizden elde ettiğimiz e, dik üçgen oranları olan ve birim çemberden elde edilen kosinüs x ve sinüs x'i formülün içine kattık, bir de tabii eksi 1'in 1 bölü 2'nci kuvvetini.
-
Ve, bu süper bağıntıyı elde ettik. Daha da mükemmeline ulaşmak için, radyan kullandığımızı, ve x'in pi'ye eşit olduğunu varsayalım.
-
Bir çılgın sayı daha eklemiş olalım, çemberin çevresinin çapına oranı.

Portuguese: 
cos(x)+i(sen(x)), e isso é a Formula de Euler. Isso aqui é a Formula de Euler, e se isso por conta própria não
é provocante e maluco o suficiente para você, porque realmente deveria ser, porque nós já fizmeos coisas
bem legais. Nós envolvemos e, que nós obtemos de composição continua de juros, nós temos cos(x) e
sen(x), que são razões de triangulos retangulos, que vem do circulo unitário, e de algum jeito nós colocamos (-1)^(1/2),
parece que temos essa relação interessante aqui. Mas ela se torna extra interessante, e nós vamos assumir que
estamos operando em radianos aqui, se assumirmos a Formula de Euler, o que acontece quando x é igual a pi. Apenas para
colocar um outro numero louco aí, a razão entre a circunferencia e o diametro de um circulo,

Portuguese: 
é igual a cosseno de x mais i vezes
seno de x, e esta é a Fórmula de Euler.
Esta aqui é a Fórmula de Euler.
e se isto sozinho não for empolgante
e louco o suficiente pra você,
ele realmente deveria ser, porque
já fizemos algumas coisas bem legais.
Estamos envolvendo e, que pegamos da
combinação contínua de interesse,
temos cosseno e seno de x, 
que são razões de triângulos retângulos,
ele vem do círculo unitário, 
e de alguma forma jogamos isto em
uma raiz quadrada de um negativo.
Parece que existe um
relacionamento legal aqui.
Mas ele se torna super legal, 
e supondo que estamos
operando em radianos,
se assumirmos a Fórmula de Euler,
o que acontece quando x é igual a pi?
Só para jogar outro número
maluco aqui dentro,
a razão entre a circunferência
e o diâmetro de um círculo.
O que acontece quando
jogamos pi lá dentro?

Thai: 
cos(x) + i sin(x). และนี่คือสูตรของออยเลอร์. เจ้านี่ตรงนี้คือสูตรของออยเลอร์, และถ้าสูตรนี้ไม่
น่าตื่นเต้นหรือบ้าบอพอสำหรับคุณ, คงเป็นเพราะเราได้ทำอะไรเจ๋งๆ
มาเยอะแล้ว. เราได้ยุ่งเกี่ยวกับ e, ซึ่งเราได้จากการหาดอกเบี้ยทบต้น, เราได้ cos(x) กับ
sin(x), ซึ่งก็คืออัตราของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก, มันมาจากวงกลมหน่วย, เราโยน (-1)^(1/2) ลงไป
แล้วมันก็เกิดความสัมพันธ์เจ๋งๆ ตรงนี้. แต่มันเจ๋งเป็นพิเศษ, แล้วเราจะสมมุติว่าเรา
กำลังคิดหน่วยเป็นเรเดียนตรงนี้, ถ้าเราสมมุติสูตรของออยเลอร์ถูกต้องแล้ว, เกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เท่ากับ ไพ? แค่
แทนค่าเลขเพี้ยนๆ ลงไปตรงนี้, อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง กับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

Polish: 
...jest równe cosx plus i razy sinx
i to jest formuła Eulera!
to tutaj to Formuła Eulera
i jeśli to samo w sobie nie jest dla Ciebie wystarczająco
szalone i podniecające
a naprawdę powinno,
ponieważ zrobiliśmy naprawdę fascynujące rzeczy
mamy tutaj e do ix
które otrzymaliśmy z przybliżania nieskończoną ilością
ułamków prostych
mamy cos x i sinx
które są stosunkami trójkątów
które pochodzą wprost z okręgu jednostkowego
i w jakiś sposób
wrzuciliśmy tu pierwiastek z minus jeden
wygląda, jakby istniało fascynujące połączenie,
ale staje się ono jeszcze bardziej fascynujące
założymy że posługujemy się teraz radianami [miara łukowa kąta],
jeśli założymy, że formuła Eulera...
Co dzieje się, gdy x jest równe π,
po to żeby wrzucić tutaj kolejną szaloną liczbę,
stosunek pomiędzy obwodem okręgu i promieniem.
Co się stanie jeśli wstawimy tutaj π?
otrzymymy e do potęgi iπ
e do potęgi π

English: 
is equal to cosine of X,
plus I times sine of X,
This is Euler's Formula.
And this right here is Euler's Formula.
And if that by itself isn't exciting and
crazy enough for you,
because is really should be.
Because we've already done
some pretty cool things.
We're involving E, which we get from
continuous compounding interest.
We have cosine and sine
of X, which are ratios
of right triangles, it comes
out of the unit circle.
And some how we've
thrown in the square root
of negative one.
There seems to be this
cool relationship here.
But it becomes extra
cool, and we're going to
assume we're operating in radians here.
If we assume Euler's Formula, what happens
when X is equal to pi?
Just to throw in another
wacky number in there.
The ratio between the circumference and
the diameter of a cirle.
What happens when we throw in pi?

Bulgarian: 
Става e^(iπ) е равно на cos(π).
Колко е косинус от π?
π е половин оборот около
единичната окръжност,
така че косинус от π е –1,
а синус от π е нула, 
така че този член изчезва.
Ако го изчислим за π,
получаваме нещо удивително,
което се нарича тъждество
на Ойлер.
Винаги се затруднявам
да произнеса Ойлер.
Тъждество на Ойлер, което
можем да запишем ето така,
или можем да добавим
1 към двете страни
и да го запишем ето така.
Ще го запиша в различни
цветове, за да акцентирам по-добре.
е^(iπ) + 1 е равно на...
ще използвам неутрален цвят,
е равно на... ще добавя
1 към двете страни на това,
което е равно на нула.

Turkish: 
Pi'yi katarsak, ne olur? e üzeri i çarpı pi eşittir, kosinüs pi, kosinüs pi nedir? pi, çemberin yarısı demek, yani kosinüs pi eşittir eksi 1 ve sinüs pi eşittir 0. Bu terim, ortadan kalkar.
-
Formüle pi sayısını koyarsak, inanılmaz bir şey elde ederiz, Euler Özdeşliği.
Böyle yazabiliriz, veya iki tarafa 1 ekleyebiliriz. Vurgulamak için farklı bir renkte yazayım. e üzeri i pi artı 1 eşittir 0.

Thai: 
เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราใส่ ไพ ลงไป? เราจะได้ e^((i)(pi)) มันเท่ากับ cos(pi), cos(pi) คืออะไร? cos(pi) คือ, ไพ คือ
ครึ่งทางของวงกลมหน่วย, ดังนั้น cos(pi) เป็น -1, แล้ว sin(pi) เป็น 0. เทอมนี้ก็หายไป. แล้วถ้าคุณ
หาค่ามันที่ ไพ, คุณจะได้สิ่งมหัศจรรรย์ขึ้นมา, นี่คือ สมการของออย์เลอร์!! สมการของออยเลอร์! ผมมีปัญหา
การอ่านชื่อออยเลอร์ตลอด. สมการของออย์เลอร์!! ซึ่งเราสามารถเขียนมันแบบนี้ได้, หรือเราจะบวก 1 ทั้งสองข้างก็ได้, แล้วเรา

English: 
We get E to the Ipi is
equal to cosine of pi.
Cosine of pi is what?
Pi is half way around the unit circle,
so cosine of pi is negative one and then
sine of pi is zero, so
this term goes away.
So if you evaluated at pi
you get something amazing,
it's called Euler's Identity.
I always have trouble pronouncing Euler's.
Euler's Identity, which
we could write like this,
or we could add one to both sides and
we could write it like this.
And I'll write it in
different colors for emphasis.
E to the I times pi plus one is equal to ,
I'll do that in a neutral color,
is equal to, I'm just
adding one to both sides
of this thing right over
here, is equal to zero.

Korean: 
e^(iπ)
cosπ는 무엇이죠?
π는 단위원을
반바퀴 돈 것이므로
cosπ = -1이고
sinπ는 0이므로
이 항은 사라집니다
π를 대입하면
놀라운 것이 나옵니다
오일러 항등식입니다
오일러는 발음이 어렸습니다
오일러 항등식은
다음과 같습니다
아니면 양변에 1을 더하여
이렇게 나타낼 수도 있습니다
강조를 위해
다른 색을 이용할게요
e^(iπ) + 1
중립적인 색을 쓸게요
이 식에서 양변에
1을 더한 결과
e^(iπ) + 1 = 0 입니다

Portuguese: 
o que acontece quando colocamos pi? Nós temos que e^((i)(pi)) é igual a cos(pi), cos(pi) é o que? cos(pi) é, pi é
meio caminho em volta do circulo, então cos(pi) é -1, e então sin(pi) é 0. Então esse termo some. Então se você
avaliar isso em pi, você obtem algo surpreendente, isso é chamado Identidade de Euler!! Identidade de Euler! Eu sempre tive
problemas pronunciando Euler. Identidade de Euler!! Que nós podemos escrever assim, ou adicionar 1 aos dois lados, e nós

Portuguese: 
Nós temos e elevado a i pi
é igual a cosseno de pi,
Qual é o cosseno de pi?
Cosseno de pi é...
pi é a metade da circunferência 
da unidade do circulo,
cosseno de pi é um negativo, 
e seno de pi é zero.
Este termo vai embora.
Se avaliá-lo em pi,
você terá algo incrível.
Isto se chama Identidade de Euler!
Sempre achei difícil pronunciar Euler.
Identidade de Euler!!
Que podemos escrever assim, 
ou adicionamos um nos dois lados.
e podemos escrever assim. Vou escrever
com cores diferentes para enfatizar.
e elevado a i vezes pi mais um é igual a--
só vou adicionar um nos dois lados--
é igual a zero.

Polish: 
jest równe cosπ
Czym jest cosπ?
cosπ to...
π to pół drogi przez okrąg jednostkowy
cosπ daje więc minus jeden
i teraz
sinπ
daje zero
tak więc ta część jest równa zero.
Tak więc jeśli podstawisz π,
otrzymujesz coś niesamowitego,
i jest to nazywane tożsamością Eulera
tożsamość Eulera
(zawsze miałem problemy z pisownią nazwiska Euler)
tożsamość Euleta
które możemy zapisać jak teraz,
ale możemy też dodać jeden do dwóch stron
i zapisać to tak jak teraz
zapisze to różnymi kolorami żeby to podkreślić
e do i razy π plus 1 jest równe
(dodaję po prostu jeden do dwóch stron)

English: 
And this is thought provoking.
I mean here we have, this
tells you that there's
some connectedness to the universe that we
don't fully understand or at least I don't
fully understand.
I is defined by engineers
for simplicity so that
they can find the roots of
all sorts of polynomials.
As you could say the square
root of negative one.
Pi is the ratio between the circumference
of a circle and it's diameter.
Once again another interesting number but
seems like it comes from
a different place as I.
E comes from a bunch of different places.
E you could either think of it comes out
of continuing compounding interest,
super valuable for finance.
It also comes from the
notion that the derivative
of E to the X is also E to the X,
another fascinating number.
But once again seemingly
unrelated to how we came
up with I and seemingly unrelated
with how we came up with pi.
And then of course you
have some of the most
profound basic numbers right over here.

Bulgarian: 
Това предизвиква
размисъл.
Искам да кажа, че
това ни казва, че
има някаква свързаност
във вселената, която
ние не разбираме напълно, или
поне аз не я разбирам напълно.
i е дефинирано от учените
за простота, така че
да намират корени от
всякакви полиноми.
Можеш да го разглеждаш
като квадратен корен от –1.
π е отношението между
обиколката на окръжността
и нейният диаметър.
Още едно интересно число, което
изглежда идва от различно място от i.
е идва от съвсем
различно място.
Можеш да приемеш, че
е идва от
непрекъснато
сложно взаимодействие,
което е много
ценно във финансите.
То следва също така от 
идеята, че производната
на е^х е също е^х,
друго изумително число.
Но това изглежда, че
не е свързано с начина,
по който изведохме i
и изглежда, че няма връзка
как изведохме π.
Но тук имаме най-основните
числа на едно място.

Portuguese: 
podemos escrever assim. E eu vou escrever numa cor diferente para ênfase. e^((i)(pi))+1=0. E ISSO, isso é
instigante. Quer dizer, aqui nós temos, só para você ver, quer dizer, isso aqui nos diz que existe uma conexão
no Universo que nós não compreendemos completamente, eu pelo menos, eu não compreendo completamente. i é definido por engenheiros
para simplicidade para que eles possam achar raizes de todos os tipos de polinomios, como, poderia-se dizer, a raiz quadrada de -1.
pi é a razão entre a circunferencia de um circulo com seu diametro, novamente, outro número
interessante, mas que aparentemente vem de um lugar diferente de i. e vem de vários lugares.
e você pode pensar nele, como vindo de composição continua de juros, super importante para Finanças
vem também da noção de que a derivada de e^x também é e^x, então outro número fascinante, mas de
novo, aparentemente sem relação com como definimos i, e aparentemente sem relação com como definimos pi.

Korean: 
짜증나게 생겼네요
완전히 이해되지 않는
저조차도 이해되지 않는
무언가 연관성이 있습니다
무언가 연관성이 있습니다
i는 모든 종류의 다항식의
근을 구할 수 있도록
단순성을 위해 엔지니어들이
정의한 것입니다
이는 √(-1)이기도 합니다
π는 원의 원주와 지름
사이의 비입니다
π는 원의 원주와 지름
사이의 비입니다
i처럼 다른 곳에서
유래한 것처럼 보이는
흥미로운 수가 있습니다
e는 다른 여러곳에서
왔습니다
e는 또한
금융에서 매우 가치있는
연속 복리에서
나왔습니다
e^x의 도함수가 e^x인
개념도 있죠
e^x의 도함수가 e^x인
개념도 있죠
흥미로운 또 다른 수입니다
하지만 i, π와 관련이
없는 것처럼 보입니다
하지만 i, π와 관련이
없는 것처럼 보입니다
하지만 i, π와 관련이
없는 것처럼 보입니다
물론 기본적인 수도 있습니다
물론 기본적인 수도 있습니다

Portuguese: 
E isto é para nos fazer pensar.
Temos, só para você ver, este nos diz
que há alguma conexão com o Universo
que não entendemos, pelo menos
eu não entendo, completamente.
i é definido por engenheiros
por simplicidade.
Eles podem encontrar as raízes
de todos os tipos de polinômios,
como você poderia dizer, 
a raiz quadrada de um negativo.
Pi é a relação entre a circunferência
de um círculo e seu diâmetro.
Mais uma vez, outro número interessante.
Parece que ele vem de
um lugar diferente como i.
e vem de vários lugares diferentes.
Ou ele vem de uma combinação de interesse
contínuo, super valoroso para Finanças,
ou vem da noção que o derivado de e
elevado a x também é e elevado a x.
Outro número fascinante.
Mais uma vez aparentemente não
relacionado a como nós chegamos a i,
e aparentemente não relacionado
com como nós chegamos a pi.
E é claro que temos alguns dos
números básicos mais profundos.

Turkish: 
Bu, size, kainatta henüz anlamadığımız, en azından benim henüz anlamadığım, bir bağlanmışlık olduğunu haber veriyor.
-
-
i sayısı, mühendisler tarafından, polinom köklerini bulmak için tanımlanmış.
Pi, çemberin çevresinin, çapına oranı. Yine ilginç bir sayı, ama tamamen farklı bir alanda bulunmuş.
-
e'nin ise, finans için çok önemli olan sürekli bileşik faizden veya türevi kendiyle aynı olan e üzeri x'ten geldiğini düşünebilirsiniz. Yine mükemmel bir sayı, ama i veya pi'yle alakası yok gibi.
-
-

Polish: 
jest równe zero
I TO JEST...
...zmuszające do myślenia
mam na myśli,
tutaj mamy
to nam pokazuje że są we wszechświecie powiązania
których nie rozumiemy w pełni
...albo przynajmniej ja nie rozumiem
i jest zdefiniowane
przez inżynierów, dla prostoty, po to żeby mogli
znajdować pierwiastki różnych wielomianów
jako, jak można powiedzieć, pierwiastek z minus jeden
pierwiastek kwadratowy z minus jeden
π jest stosunkiem obwodu łuku i jego promienia
jeszcze raz, niezwykle ciekawa liczba
ale z zupełnie innego miejsca niż i
e pochodzi z wielu innych miejsc
jest to procent składany
bardzo ważna stała w finansach
pochodzi także z zależności, że pochodna e do x jest równa e do x
kolejna niezwykle fascynująca liczba
jeszcze raz
pozornie niepowiązane
z tym jak otrzymaliśmy i,
pozornie niepowiązane z tym jak otrzymaliśmy π
i oczywiście masz jedną z najbardziej podstawowych stałych

Thai: 
เขียนมันได้อย่างนี้. ผมจะเขียนมันอีกสีเพื่อเน้นหน่อย. e^((i)(pi)) + 1 = 0 และนี่, นีเป็นการกระตุ้นความคิดจริงๆ
ผมหมายความว่า, ตรงนี้, เรามี, คุณจะเห็นว่า, ผมหมายความว่า, นี่บอกคุณว่ามันมีความเชื่อมโยง
ในจักรวาลที่เรายังไม่เข้าใจทั้งหมด, หรืออย่างน้อย ผมเองยังไม่เข้าใจทั้งหมด. i นิยามโดยวิศวกร
เพื่อให้ง่าย เวลาเขาต้องหารากของพหุนามทั้งหมด, เช่น, คุณบอกว่า, สแควร์รูทของ -1
ไพ คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม กับเส้นผ่านศูนย์กลาง, เป็นเลขที่น่าสนใจอีกตัว
แต่ดูเหมือนว่ามันมาจากคนละที่กับ i. e มาจากหลายที่
e ถ้าคุณคิดดู, มันมาจากดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง, สำคัญมากในไฟแนนซ์,
มันยังมาจากการหาอนุพันธ์ของ e^x เท่ากับ e^x, เป็นเลขที่น่าตื่นเต้น, แต่เหมือนเดิม
ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกับวิธีที่เราได้ i มา และดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกับวิธีที่เราได้ ไพ มาเช่นกัน

Turkish: 
Sonra da en temel sayılardan olan 1 ve 0 var.
-
Bu özdeşlik, tüm bu temel sayıları mistik bir şekilde birbirine bağlıyor ve kainattaki bağlanmışlığı bize gösteriyor.
Gerçekten de, bundan etkilenmiyorsanız, duygudan yoksunsunuz demektir.
-

Bulgarian: 
Имаме единица и няма
да обяснявам защо
1 е яко число.
Не е нужно да обяснявам защо
нула е яко число.
И това тук свързва всички
тези фундаментални числа
по един мистичен начин,
който ни показва, че има
някаква свързаност във Вселената.
Честно, ако това не те изумява,
ти просто не можеш
да изпитваш удивление.

Polish: 
jeden
nawet nie muszę tłumaczyc dlaczego jeden jest taką ważną liczbą
i oczywiście nie powininem tłumaczyć dlaczego zero jest taką ważna liczbą
to równanie wiąże ze sobą wszystkie te podstawowe liczby
w jakiś tajemniczy sposób
który pokazuje że jest jakieś powiązanie ze wszechświatem
szczerze
szczerze,
jeśli to równanie nie powala Cię z nóg...

English: 
You have one, I don't have to explain
why one is a cool number.
And I shouldn't have to explain
why zero is a cool number.
And so this right here connects all
of these fundamental
numbers in some mystical
way that shows that there's some
connectedness to the universe.
So frankly, if this
does not blow your mind,
you really have no emotion.

Korean: 
1이 왜 멋진 수인지
굳이 설명하지 않겠습니다
0도 마찬가지로
설명을 생략하겠습니다
여기 이 기본적인 수들을
신비로운 방법으로 연결하여
우주와 어떤 연관성이
있는지 보여줍니다
우주와 어떤 연관성이
있는지 보여줍니다
솔직히 말해서
이 식을 보고도 설레지 않는다면
여러분은 감정이
없는 것입니다

Thai: 
และแน่นอน, คุณมีตัวเลขพื้นฐานที่สุดตรงนี้, คุณมี 1, ผมคง
ไม่ต้องอธิบายว่าทำไม 1 ถึงเป็นเลขที่เจ๋ง, และผมไม่ควรต้องอธิบายว่าทำไม 0 ถึงเป็นเลขที่เจ๋งด้วย และเจ้านี่
ตรงนี้, เชื่อมโยงจำนวนพื้นฐานเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน, ในแบบที่น่าพิศวง, มันบอกเราว่า มีความเชื่อมโยง
แบบนี้ในจักรวาล, และพูดกันตามตรง, ว่ากันตรงๆ เลย, ถ้านี่ไม่ทำให้คุณสมองกระจายล่ะก็, คุณก็...
คุณไม่มีหัวใจแล้วล่ะ

Portuguese: 
Temos um. Não preciso explicar
porque um é um número legal.
E não preciso explicar porque
zero é um número legal.
Então este aqui, conecta todos
estes números fundamentais,
de alguma forma mística, que mostra que
existe alguma conexidade com o Universo,
E então sinceramente, se isto não
te deixar louco, você não tem emoção.
Legendado por: Rosana Cabral

Portuguese: 
E então, é claro, você tem dois dos mais profundos e básicos números aqui, você tem 1, eu não
tenho que explicar porque 1 é um número interessante, e eu não deveria ter que explicar porque 0 é um número interessante. Então isso bem
aqui, conecta todos esses números fundamentais, de uma forma mistica, que nos mostra que existe alguma
conexão no Universo, então, francamente, francamente, se isso aqui não te deixa chocado, você realmente...
você não possui emoção.

Polish: 
...naprawdę, nie masz uczuć
