
Russian: 
По пути Архимеда
Архимед, наиболее значимый 
математик древней Греции
и всей античности,
жил в городе Сиракузы
на острове Сицилия.
Много важных открытий в геометрии,
сделанных Архимедом,
были достигнуты благодаря физическим
моделям эквивалентности и равновесия.
К примеру, он мог представлять круг
как множество концентрических окружностей
взяв за пример модель из верёвки.
Выпрямляя окружности из верёвки
он вычислил и со временем доказал,
что площать круга

English: 
On Archimedes' Path
Archimedes considered the most 
important of the Greek methematicians
and of the hole of Antiquity
lived in Syracuse in Great Greece
on the island known today 
as Sicily in Italy.
Many of the important discoveries
in geometry made by Archimedes
were achieved through the equivalence
and equilibrium of physical models.
We can imagine for example that 
he visualized a disk shape
as being composed of concentric circles
extrapolating a model made with rope.
By straightening the circles of rope
he could estimate and later prove
that the area of a circle

English: 
is equivalent to the area 
of a right-angled triangle
whose longest side adjacent 
to the right angle
is equal to the circumference 
of the circle
and whose shortest side adjacent 
to the right angle
is equal to the radius of the circle.
His ideas were so revolutionary
that they influence the large part 
of the mathematics still used today.
Cavalieri the disciple of Galileo
and the professor 
the University of Bologna
is famous for having set out 
inspired by Archimedes
what came to be known
as Cavalieri's principle.
This principle is based on the conception
of a flat area as a juxtaposition 
infinite segments.
Let's look at this rectangle
made up of sticks.
If we move any of these sticks or segments
a new shape is produced
but the area remains the same.

Russian: 
равна площади правильного треугольника,
у которого длинный катет
равен длинне окружности,
а короткий катет
равен радиусу окружности.
Его идеи быль настолько революционны,
что их влияние ощутимо во многих 
областях современной математики.
Кавальери, ученик Галилея
и профессор Болонского университета,
известен тем, что, будучи вдохновленным 
работами Архимеда, разработал
так называемый метод неделимых
для вычисления площадей и объемов.
Этот метод основан 
на модели плоской фигуры
как набора примыкающих друг к другу
безконечно маленьких сегментов.
Рассмотрим этот треугольник,
сделанный из палочек.
Если переместить любые из них,
то получится новая фигура.
Но площадь не изменится.

Russian: 
Метод неделимых утверждает,
что фигуры с одинаковыми по длинне
поперечными сечениями
имеют одинаковую площадь.
Как эти треугольники, которые 
отличаются друг от друга,
но составлены из одних и тех же сегментов,
которые по разному сложены.
Все они равны по площади.
Этот метод применим к трехмерным телам.
Но теперь мы говорим 
не о длинне сегментов,
а о плоских сечениях 
с одинаковой площадью.
Это можно показать на примере
этой слоистой пирамиды.
Перемещая слои мы получим 
разные по форме пирамиды.
Но их объем остается неизменным,
поскольку их слои одни и те же
и их площать не изменяется.
Метод неделимых пусть интуитивно,
но блестяще Архимед применил для того,
чтобы найти соотношение
между объемами полусферы, 
конуса и цилиндра

English: 
Cavalieri's principle states therefore
that shapes witch have transversal
segments of the same length
have the same area.
Like these triangles which are 
different from each other
but are formed from the same segments
put together in different ways.
They all have the same area.
This principle also applies 
to the volume of solids.
But here we no longer talk 
of length of segment
but rather of equal areas 
of plane sections.
This is illustrated by this pyramid 
made up of slices.
If we move these slices we make 
a pyramid of a different shape.
But the volume remains the same
because the slices are the same.
And therefore their areas are not altered.
Cavalieri's principle was used brilliantly
yet intuitively by Archimedes
as a means of doscovering the relationship
between the volumes of a half-sphere, 
a cone and a cylinder

English: 
of the same base and the same hight.
Archimedes noticed that when we cut 
through the three solids at the same level
we obtain three slices.
And that the slice of the cylinder
is always equal in area
to the slices of the cone
and the half-sphere together.
He was inspired by the principle
of physical equilibrium.
Whatever sections are measured
the area and weight of the slices
always balance.
He concluded that the sum of the volumes
of the half-sphere and the cone
is equal to the volume of the cylinder.
The volume of the cone is one third 
of the volume of the cylinder.
So the volume of the half-sphere
can only be two thirds.
Which means that the ratio
between the three volumes
is of three to two to one.
It's easy to prove Archimedes 
discovery in practice.

Russian: 
с общим основанием и высотой.
Архимед заметил, что когда мы разрезаем
эти фигуры на одном уровне,
то получаем сечения,
среди которых сечение цилиндра
всегда равно по площади
сумме площадей сечений конуса
и полусферы.
Его вдохновил принцип 
физического равновесия.
Какие бы сечения мы не измерили,
их площадь и вес находятся 
в представленном равновесии.
Он сделал вывод, что сумма объемов 
полусферы и конуса
равна объему цилиндра.
Объем конуса равен одной трети
объема цилиндра.
Значит, объем полусферы равен
оставшемся двум третям.
Соответственно, отношение между 
тремя объемами
равно три к двум и к одному.
Открытие Архимеда можно 
проверить на практике.
