
English: 
- [Lecturer] The number e has all sorts
of amazing properties.
Just as a review you can
define it in terms of a limit.
The limit as n approaches infinity of
1 + 1/n to the nth power.
You can also define it as
the limit as n approaches 0
of 1 + n to the 1/nth power.
What we're going to focus on this video
is an amazing property of e,
and e has many many amazing properties,
but this is the one that's maybe
the most relevant to calculus,
and that's the notion that if I take
the derivative with
respect to x of e to the x,
then it is equal to, drumroll,
equal to e to the x.
That to me is amazing.
Let's just appreciate it for a second
before we actually prove it.
This is part of the
graph of y = e to the x.
And so what this says is,
the derivative of e to the x
for any x is equal to e to the x!
The slope of the tangent line

Bulgarian: 
Числото 'е; има множество интересни свойства.
Да преговорим – можеш да го определиш като граница.
Границата, докато n доближава безкрайност,
на (1 + 1/n)^n,
Можеш също да го определиш като границата, докато n доближава 0,
на (1 + n)^1/n.
В това видео ще се фокусираме
върху едно удивително свойство на 'е',
а то има множество удивителни свойства,
но това е свойството, което може би
е най-важното за висшата математика.
Това е идеята, че ако взема
производната по отношение на х на е^х,
тогава е равно на – барабани, моля –
равно е на е^х.
Смятам това за удивително.
Нека му се възхитим за секунда,
преди да го докажем.
Това е част от графиката на у = е^х.
И това ни казва, че производната на е^х
за всяко х е равна на е^x!
Ъгловият коефициент на допирателната права

English: 
at any point here is equal
to the value of the function.
Let's just appreciate that.
So right over here the
value of the function is 1,
and the slope of the tangent line is 1.
Here the value of the function is 2,
and the slope of the tangent line is 2.
Here the value of the function is 4,
and the slope of the
tangent line is equal to 4.
So I could just go on,
this is just another
amazing thing about e,
and we'll see many more in calculus,
but let's now prove that
this is actually true.
So let's just use our
definition of a derivative.
So the derivative with
respect to x, of e to the x,
would be the limit of delta
x, or as delta approaches 0,
of e to the x + delta x, - e to the x,
all of that over, all
of that over delta x.
Now let's do some
algebraic manipulation here
to see if we can make some sense of it.

Bulgarian: 
при всяка точка тук е равен на стойността на функцията.
Нека оценим това.
Стойността на функцията тук е 1
и ъгловият коефициент на допирателната права е 1.
Тук стойността на функцията е 2
и ъгловият коефициент на допирателната права е 2.
Тук стойността на функцията е 4
и ъгловият коефициент на допирателната права е равен на 4.
Мога да продължа,
това е друго удивително нещо за е,
и ще виждаме много повече във висшата математика,
но нека сега докажем, че това наистина е вярно.
Нека използваме определението си за производна.
Производната по отношение на х на е^х
ще е границата на делта х или докато делта доближава 0
на е^(х + делта х) - е^х
и всичко това върху делта х.
Нека сега направим някои алгебрични действия,
за да видим дали можем да намерим някаква логика.

English: 
So this is going to be equal
to the limit as delta x
approaches 0 of, let's see,
what happens, well I
won't skip any steps here.
This is the same thing as e to
the x times e to the delta x,
this is just using our
exponent properties here
minus e to the x over delta x.
Just to be clear, I rewrote
this right over here
as this right over here.
Now I can factor out an e to the x,
and in fact, because e
to the x is not affected
as delta x approaches 0,
I can factor the e to the
x out of the entire limit.
So let's do that, let's take e to the x
out of the entire limit, let's
factor it completely out.
It does not get affected by the delta x.
So this is going to be equal to,
factor that e to the x out,

Bulgarian: 
Това ще е равно на границата, докато делта х доближава 0,
на, да видим какво се случва.
Няма да пропускам стъпки тук.
Това е същото нещо като е^х по е^делта х –
тук просто използвам свойствата на степенния показател –
минус е^х, върху делта х.
Да поясня, преобразувах това тук
в това ето тук.
Сега мога да изнеса е^х
и, всъщност понеже е^х не бива повлияно,
докато делта х доближава 0,
мога да изнеса е^х извън цялата граница.
Нека направя това, нека взема е^х
и да го изнеса извън цялата граница, да го изнеса напълно.
То не бива засегнато от делта х.
Това ще е равно на –
изнасяме това е^х –

Bulgarian: 
е^х по границата, докато делта х доближава 0,
на е^(делта х) - 1, всичко това върху делта х.
Сега малко ще си поиграем с границите.
Ще направим нещо, което е познато като промяна на променлива.
Да видим, не знам
как директно да намеря тази граница ето тук,
но може би мога да я опростя
и, кой знае, може би мога да стигна до
една от тези форми тук.
А ако направя заместването...
нека го направя ето тук.
Да кажем, че направя заместването,
че n = е^(делта х) - 1.
Колко ще е това, ако трябва да намерим делта х?
Да видим, мога да добавя 1 към двете страни,
n + 1 = е^(делта х).
За да намерим делта х,
можем просто да вземем естествения логаритъм, логаритъм при основа е от двете страни.

English: 
e to the x times the limit
as delta x approaches 0,
of e to the delta x - 1,
all of that over delta x.
So now we're gonna get a little
bit fancy with our limits.
We're gonna do what's known
as a change of variable.
So I'm gonna say, well
let's see I don't know
how to directly find this
limit right over here,
but maybe I can simplify it,
and who knows, maybe I can get it into
one of these forms up here.
So what if I were to
make the substitution,
and let me do it over here.
Let's say I would make
the substitution that
n = e to the delta x - 1.
So what would this be if we
were to solve for delta x?
Well let's see, we could
add 1 to both sides,
n + 1 = e to the delta x.
To solve for delta x we could just take
the natural logarithm,
log base e of both sides.
And we would get the natural
log of n + 1 = delta x.

Bulgarian: 
И ще получим, че естествения логаритъм на n + 1 = делта х.
И можем да направим това заместване,
това може да бъде заместено с това,
а това, което е в числителя тук,
може да бъде заместено с n
и какво ще се случи с границата?
Докато делта х доближава 0,
какво доближава n?
Това че делта х доближава 0 подсказва, че n доближава колко?
Да видим, докато делта х доближава 0,
това ще е е^0, което е 1 - 1,
тоест изглежда n доближава 0.
И можеш да погледнеш това тук,
докато n доближава 0, ето тук,
естествен логаритъм от 0 + 1, естествен логаритъм от 1 –
това е 0.
Докато всяко от тях, докато делта х доближава 0,
n доближава 0,
докато n доближава 0, делта х доближава 0.
После, ако направиш промяната на променливата, можеш да заместиш
делта х с n и все още можеш да кажеш,
докато n доближава 0.
Нека преобразувам всичко това.
Това беше най-сложната стъпка в цялото това нещо,

English: 
And so, we can make that substitution,
this could be replaced with this,
and what we have in
the numerator over here
can be replaced with n, right over there,
and what would happen to the limit?
Well, as delta x approaches 0,
what does n approach?
So delta x approaches 0
implies that n approaches what?
Let's see, as delta x approaches 0,
this would be e to the 0 which is 1 - 1,
so looks like n approaches 0.
And you can look at it over here,
as n approaches 0, right over here,
natural log of 0 + 1, natural log of 1,
that is 0.
So as each of them, as
delta x approaches 0,
n approaches 0, as n approaches 0,
delta x approaches 0.
So then you can replace, if
you make the change of variable
from delta x to n, you could still say
as n approaches 0.
So let me rewrite all of this.
That was the fanciest
step in this entire thing

English: 
that we're about to do.
So this is gonna be e to the x times
the limit, since we changed our variables
now gonna be as n approaches 0,
because as delta x
approaches 0, n approaches 0,
and vice versa.
And this numerator here, we said hey,
that's gonna be equal to n over,
delta x is now the natural
log of n + 1, ln(n+1).
Now what does that do for us?
Well what if we were
to divide the numerator
and the denominator by n?
So let's multiply down here by 1/n,
and let's multiply up here by 1/n.
Well our numerator's
just gonna be equal to 1.
What does our denominator equal?
Well here we can just use
our exponent properties.
All of this is gonna be equal to,
this is gonna be equal to, we
have our e to the x out front,
e to the x, and then we have the limit,

Bulgarian: 
което ще направим.
Това ще е
e^х по границата, след като променихме променливите,
сега това ще е докато n доближава 0,
понеже докато делта х доближава 0, n доближава 0,
и обратно.
И този числител тук
ще е равен на n върху...
делта х сега е естествен логаритъм от n + 1, In (n + 1).
Какво върши това за нас?
Ако разделим числителя
и знаменателя на n?
Нека умножим тук долу по 1/n
и да умножим тук горе по 1/n.
Числителят ни е просто равен на 1.
На колко е равен знаменателя?
Тук можем просто да използваме свойствата на степенните показатели.
Всичко това ще е равно на...
имаме е^х отпред,
е^х и после имаме границата,

Bulgarian: 
докато n доближава 0, и числителят ни сега е 1,
и ще преобразувам това,
като използвам логаритмичните свойства.
Ще го направя ето тук.
Ако имам а по естествен логаритъм b,
това е същото нещо като
естествен логаритъм от b^а,
това е просто от свойствата на естествения логаритъм.
Това ще е същото нещо като
естествен логаритъм n+1 – нека го запиша
по другия начин – 1+n, просто смених местата им,
(1+n)^(1/n), тоест естествения логаритъм на цялото това нещо.
Сега може да започнеш да чувстваш гъделичкащо умение,
понеже нещо започва да изглежда познато.
Това, което построих в логаритъма,
изглежда много подобно на това, което имаме тук.
И границата, докато n доближава 0.
Можем да използваме свойствата на границата,
това не е засегнато, а нещото, което е засегнато,

English: 
as n approaches 0, our numerator is now 1,
over, and now I'm gonna rewrite this,
just using our logarithm properties.
If I have, I'll do it right over here.
If I have a times the natural log of b,
this is the same thing as
the natural log of b to
the a power, the ath power,
this is just natural log properties.
So we have down here, this
would be the same thing
as the natural log of n+1,
actually let me write it
the other way around, 1+n,
1+n, I just swapped these two,
to the 1/n power, so the
natural log of that whole thing.
Now, you might be getting
that tingly feeling,
because something is
starting to look familiar.
What I just constructed
inside the logarithm here,
looks an awful lot like what
we have right over here.
And the limit as n approaches 0,
limit as n approaches 0.
And in fact we can use
our limit properties,
this one isn't affected,
what's really affected

Bulgarian: 
е онова, което е в логаритъма.
Тоест можем да кажем, че това ще е равно на...
и доближаваме края и барабаните,
е^х по (1 върху естествения логаритъм...–
ще направя това в синьо
и ще си дам малко място –
границата, докато n доближава 0,
от това ето тук,
което мога да запиша като (1 + n)^(1/n).
Това е много интересно.
Какво е това?
Какво имам тук в знаменателя
с тази граница?
На колко е равно това?
Вече казахме, това е определение на е.
Това е това ето тук,
което е равно на това ето тук.
Това е равно на е.
До колко се свежда всичко това?

English: 
is what's inside the logarithm.
So we could say that this
is going to be equal to,
and we're approaching our drumroll,
e to the x times 1 over,
1 over the natural log,
I'll do that blue color, natural log of,
I'll give myself some space,
the limit, the limit as n approaches 0
of this business right over here,
which I could just write
as, 1+n to the 1/nth power.
So this is really interesting.
What is this?
What did I just, what do I
have there in the denominator
with this limit?
What is this thing equal to?
Well we already said,
that is a definition of e.
That is this right over here,
which is equal to this over here.
So this is equal to e.

Bulgarian: 
Мисля, че виждаш накъде вървим,
но това е забавно, вече сме близо.
Това е e^n по 1/In(e).
При In(e) на каква степен трябва да повдигна е,
за да получа е?
Просто трябва да го повдигна на степен 1.
Тоест това ни дава е^х и сме готови.
Доказахме, че производната по отношение на х
на е^х наистина е равна на е^х.
Това е удивително откритие, което ни показва
още едно измерение на красотата на числото е.

English: 
So what does this all boil down to?
I think you see where this is going,
but this is fun, we're downhill from here.
This is e to the x times 1/ln(e).
Well, ln(e), what power
do I have to raise e
to get to e?
Well I just have to raise it to 1.
So this gets us e to
the x, and we're done.
We've just proven that the
derivative with respect to x
of e to the x is indeed
equal to e to the x.
That's an amazing finding, that shows us
one more dimension of the
beauty of the number e.
