
English: 
[Subtitles contributed by: Zacháry Dorris]
You're watching a Mathologer video, and that probably means you know that nature is crawling with
Fibonacci Numbers.
So they're in flower heads, in pineapples, in pine cones like that, but have you ever heard a really nice,
accessible explanation for why they're there?
Well, for the past three weeks, I've been trying to come up with an explanation like this, that really
gets to the mathematical core that makes this happen.
And I think I've found it, so let me know how I went with this at the end of this video.
There's quite a bit more nice maths to all this that I'm not going to talk about in this video; in particular,
there's a nice connection with the golden ratio (φ) - for that, check out part 2!
So I'll focus on flower heads like this, and let's just have a close look- what jumps out at you, of course, are the spirals

Russian: 
Вы смотрите видео Mathologer, и поэтому, вероятно, знаете, что природа кишит
числами Фибоначчи.
Они встречаются в соцветиях, в ананасах, в сосновых шишках, таких как эти. Но вы когда-нибудь слышали действительно хорошее,
доступное объяснение того, почему они там есть?
Что ж, в течение последних трех недель я пытался придумать такое объяснение, которое бы
продемонстрировало тот математический стержень, благодаря которому это происходит.
И я думаю, что мне удалось найти его. Так что дайте мне знать, хорошо ли мне удалось его рассказать, в конце этого видео.
С этой темой связано немного больше изящной математики, чем я покажу в этом видео. В частности,
в ней есть интересная связь с золотым сечением (φ). Для этого – смотрите часть 2.
Итак, я сконцентрируюсь на соцветиях наподобие этого. Давайте приглядимся – что сразу бросается в глаза? Конечно же, спирали.

French: 
La fabuleuse formule florale de Fibonacci
Tout commence avec 1 + 1 = 2
Vous regarder une vidéo de Mathologer
ce qui veut dire que vous savez sans doute déjà
que les nombres de Fibonacci apparaissent très souvent dans la nature.
Par exemple sur les capitules de certaines fleurs, sur les ananas et sur les pommes de pin.
Cependant vous a-t-on déjà proposé une explication simple et élégante de ce phénomène?
Et bien, j'ai passé les 3 dernières semaines a essayer d'en trouver une
qui s'attaque aux fondements mathématiques à l'origine de ce phénomène.
Et, je pense l'avoir trouvée!
Laissez-moi vous montrer comment j'ai résolu ce problème au cours de cette vidéo!
Derrière ce problème, se cachent quelques notions mathématiques supplémentaires assez sympa
dont je vais parler dans la suite de la vidéo.
En particulier, il y un lien étroit entre ce problème et le "nombre d'or".
A ce sujet, regardez la seconde partie de la vidéo.
Donc, je vais me concentrer sur les capitules de fleur comme celui-ci.
Regardons le plus en détail.
Ce qui saute au yeux sont bien sûr les spirales.
On en compte 55 dans ce sens
et 34 dans l'autre sens.

French: 
En se rapprochant du centre on en voit 21
puis 13.
Il s'agit bien sûr des nombres de Fibonacci.
Avant d'aller plus loin, remarquez que ces nombres ne sont pas visibles aux mêmes endroits sur le capitule.
Plus on se rapproche du centre plus les nombres deviennent petits.
On voit 13 ici,
puis 21 plus à l'extérieur.
Mais il y a toujours une zone de chevauchement.
Donc des nombres consécutifs visualisés  sur la plante
occupent des régions différentes
mais ces régions se chevauchent,
comme ici avec les deux nombres suivants 21 et 34.
OK.
Les plantes comme celle-ci poussent
en suivant la suite de Fibonacci.
En commençant avec les deux "graines" (points de départ) 1 et 1,
la suite "pousse" comme ceci:
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8 et ainsi de suite ...
Les plantes qui présentent ces spirales ont toutes un point commun.
Elles poussent toutes à partir d'un point central.
Donc il y a de plus en plus de nouveaux "boutons" introduits au centre.
Et lorsqu'ils apparaissent au centre,

English: 
So there's 55 going this way, and 34 going the other way, and there's 21 if you focus in on the middle, and
even further in, there's 13. And of course all Fibonacci Numbers.
Alright, now before we move on, I just want to emphasize that these different numbers are visible in
different parts of the flower head, so the smaller, the further in. So 13 is visible here, 21; further out,
But there's always this region where they overlap, so  consecutive numbers, when you see them in the plant,
occupying different regions, but they're always overlapping.
Here, with the next two, 21 and 34. Okay, now plants like this grow, so does the Fibonacci sequence. Starting
with the two seeds, 1 and 1, we grow them like this; 1+1 is 2, 1+2 is 3, 2+3 is 5, 3+5 is 8, and so on.
Now the plants that exhibit these spirals all have something in common, they all grow from a central point,
so there's more and more of these buds being pushed here in the middle, and as they appear in the middle,

Russian: 
Так, есть 55 [спиралей] такой формы, и 34, идущих в другую сторону. Есть ещё 21, если сосредоточиться на середине, а
дальше мы найдём ещё 13. И, конечно, всё это – числа Фибоначчи.
Так, теперь, прежде чем двигаться дальше, я хочу подчеркнуть, что эти различные числа видны в
различных частях соцветия. Чем меньше – тем глубже внутри. Так, 13 видно здесь, 21 – немного дальше.
Но всегда есть область, где они перекрываются, так что последовательные числа, когда вы видите их в цветке,
хоть и занимая разные области, всегда будут перекрывать друг друга.
Вот следующие два, 21 и 34. Хорошо, подобное растение дальше растёт, и то же самое делает и последовательность Фибоначчи. Начиная
с двух семян, 1 и 1, мы "выращиваем" их таким образом: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, и так далее.
Все растения, в которых проявляются эти спирали, имеют нечто общее: все они растут из одной центральной точки,
то есть все больше и больше бутонов проталкиваются в середине, и по мере их появления в середине,

English: 
they push everything out to the boundary, and that gives this really nice homogeneous... flower head, in this case.
So a bit of a more detailed look, so here we've got the first guy sitting, just sitting there waiting for the second one,
the second one squeezes in like that, and then the third one has to squeeze in above or below,
there's a bit of asymmetry, so he goes for the top here, and then, well, there's this gap here, that's where
the next one is going to squeeze in, there's a gap there, where the next one is going to squeeze in
and as you can also see, these... seeds or buds are growing as they're being pushed out, so all this together
establishes a very nice pattern, very very quickly, very robust, and what that leads to is basically
every seed, or bud, playing the same role inside the flower head. So some consequences of all this:
When you have the plant growing, all the buds are being pushed out radially, so they actually move

Russian: 
они выталкивают всё остальное на границу, и это даёт такую красивую однородную ... цветочную головку, в этом случае.
Посмотрим на процесс в деталях. Итак, вот первый из них, который просто сидит и ожидает второго.
Второй протискивается вот так, затем уже третий должен влезть сверху или снизу,
есть небольшая асимметрия, поэтому он идет наверх, а потом, ну, есть вот этот пробел, так что там
появится следующий [бутон]; появляется разрыв вот здесь, где протиснется уже следующий,
и как вы можете видеть, эти ... семена или бутоны растут по мере того, как их выталкивают наружу, и всё это вместе
очень быстро создают изящную, устойчивую закономерность, которая, собственно, приводит к тому,
что каждое семя, или бутон, играет одинаковую роль внутри соцветия. Вот некоторые последствия всего этого:
Когда цветок растёт, все бутоны выталкиваются по радиусу, так что они двигаются

French: 
ils repoussent les autres vers l'extérieur,
ce qui donne ici un capitule élégant et homogène.
Maintenant, une approche un peu plus détaillée.
Voici ici le premier "luron" attendant le suivant.
Le second arrive ensuite "en jouant des coudes" comme ceci.
Puis le troisième doit s'insérer au dessus ou en dessous
Il y a une légère asymétrie
donc il choisit de s'insérer au dessus.
Ensuite il y a un peu de place en dessous
où le suivant va s'insérer
puis de la place ici où le suivant va s'insérer.
Et vous pouvez également voir que ces "graines" ou "boutons" grossissent
pendant qu'ils sont repoussés vers l'extérieur.
Tout ceci met en place une organisation vraiment élégante,
de manière très rapide et très régulière.
Et en fait la conséquence est que
chaque "graine" ou "bouton" joue le même rôle au sein du capitule.
Quelques conséquences de tout ceci:
Lorsque la plante pousse,
tous les boutons sont repoussés vers l'extérieur radialement
donc ils déplacent en définitive le long de lignes droites.
Maintenant, si vous vous concentrez sur une partie du capitule,

English: 
along pretty much straight lines. Another thing is, if you focus in on part of the flower head, and take snapshots
you basically always see the same thing; even if you kind of turn around like this, you always see the same thing.
Then, when you have a close look, again, you see that everything here is packed very very densely.
Okay? So things are being squeezed into the middle, and everything gets kind of pushed out, and you're really
packing things as densely as you can.
Now, if this was absolutely optimal, the densest packing of circle-like things like these,
these buds, would really be this pattern here, you don't quite get there but you get fairly close,
so you've got these layers here, and they're interleaving like this, and then you also get these
circles aligning in certain ways, and you've got another one going the other way.
Now let's see where this sort of packing comes up in a real plant, there it is, you can pretty much take any part of
the plant, you'll be able to fit this pattern in there.

French: 
et prenez des clichés photo [régulièrement]
en fait vous verrez toujours la même chose,
même si vous tournez l'appareil comme cela, toujours la même chose
Ensuite, en regardant de plus près,
De nouveau, vous pouvez voir une forte densité
OK.
Donc tous les boutons sont introduits de force au centre
puis repoussés vers l'extérieur
et sont placés les uns par rapport aux autres de la manière la plus dense possible.
En fait, si les boutons étaient arrangés de manière optimale,
on aurait la figure suivante.
Ce n'est pas exactement comme ce que l'on vient de voir mais ça reste assez proche
Il y a ces strates ici,
arrangées en quinconce
Et les cercles sont aussi alignés de façons particulières dans cette direction
et dans cette autre direction.
Voyons maintenant où se manifeste cet arangement dans une vraie plante.
Le voilà. Il est possible de reconnaître cette figure un peu partout sur la plante.
Faisons un agrandissement.
Voici nos deux familles:
Ici, la première famille

Russian: 
практически по прямым линиям. Кроме того, если сосредоточиться на одной части головки цветка и делать мгновенные снимки,
вы всегда будете видеть примерно одно и то же; даже если повернуть картинку как-то так, вы всегда увидите то же самое.
Если посмотреть ещё ближе, опять же, то можно увидеть, что всё [бутоны] очень тесно скучено.
Хорошо? Итак, [бутоны] внедряются в самую середину, а всё остальное как бы выталкивается наружу, и в процессе
всё место занимается так плотно, насколько возможно.
Если бы это была абсолютно оптимальная, самая плотная укладка места предметами круглой формы,
этими бутонами, то выглядело бы эта закономерность вот так. В реальности картина немного другая, но достаточно близкая;
получаются такие слои, и они перемежаются между собой таким образом. Также получается, что эти
круги выстраиваются определённым образом, и есть ещё одно [построение] в другую сторону.
Теперь давайте посмотрим, где этот вид укладки можно найти в настоящем цветке – вот оно. По большей части, можно взять любую часть
растения, и вы всегда будете в состоянии втиснуть этот шаблон туда.

Russian: 
Ещё один пристальный взгляд: где наши два семейства? Так, вот первое из них, это семейство спиралей
на равном расстоянии друг от друга, оборачивающихся вокруг центра соцветия. И есть второе [семейство], идущее в другую сторону.
Накладывается очень естественно, просто от этой маленькой стабильной закономерности, созданной в центре цветка,
и того факта, что всё "упаковано" настолько плотно, насколько возможно.
Отсюда получаются эти два семейства спиралей. Теперь, если мы сосредоточимся на этой части цветка, то можем на самом деле увидеть
другое семейство спиралей, вот такое. Оно не так явно выражено, как два других, но оно есть; и на самом деле, оно
бросается в глаза куда больше, если продлить их дальше, во внешнюю часть растения, сверху.
Внимательно посмотрим: первые два семейства спиралей образуют вот такие алмазные ячейки, а
спирали третьего типа... они образуют диагонали, рассекающие эти алмазы, так что я называю их диагональными спиралями.
Хорошо? И то, как эти спирали связаны между собой, на самом деле воплощает то математическое ядро, благодаря которому

English: 
A closer look here, now where are our two families? There's the first one, that's a family of spirals,
equally spaced, going around the center of the flower head. And there's a second one going the other way.
Comes about very naturally, just from this little stable pattern being established in the center of the flower,
and then everything being packed as closely as you can.
Um, you get these two families of spirals happening. Now if we focus in on this plant, we can actually see
another family of spirals, there it is. It doesn't jump out at you like the other two, but it's there, and actually, it does
jump out if you extend them out further, into this part of the plant, up there.
Let's have a close look, so the first two families of spirals, they make these diamond cells, and
the third type of spiral, they form diagonals cutting through those diamonds, so I call them the diagonal spirals.
Okay? And these three spirals being connected like this actually translates into the mathematical core that makes

French: 
C'est une famille de spirales espacées régulièrement et disposées en cercle autour du centre du capitule.
Il y en a une seconde disposée dans l'autre sens.
Cette figure stable est mise en place très simplement
à partir du centre du capitule
et au final les boutons sont placés les uns par rapport aux autres de la manière la plus dense possible.
On obtient ces deux familles de spirales.
Maintenant, si on se concentre sur cette zone,
On peut en fait voir une autre famille de spirales.
La voilà.
Elle ne saute pas aux yeux comme les deux autres.
Mais elle est bien là.
En fait, elle saute aux yeux si on la prolonge vers cette partie de la plante au dessus.
Regardons plus en détail!
Donc, les deux premières familles de spirales
forment des losanges
et le troisième type de spirales constituent les diagonales de ces losanges.
Je les appelle les "spirales diagonales". Ok.
Et ces trois [types de] spirales interconnectées de cette manière
contiennent en elles-mêmes la notion mathématique

English: 
Fibonacci numbers appear in flower heads like this. So what is it? Well, if you have
a family of spirals twirling this way, equally spaced like that, and another one twirling that way equally spaced,
and you look at the diagonal family like this, and you count the number of spirals in these families,
you'll always find that the number of green ones plus the number of red ones is exactly equal to the number of blue ones.
And you can already see the connection, right, so there's two numbers, and they're being added up to
give a third number, just like the way the Fibonacci sequence grows.
I'm actually going to prove this to you, at the end of this video, and it's my own proof, very proud of it!
[MATHOLOGER: I have a brilliant proof of this, but this part of the video is too short to contain it. Sorry :)]
So I have to do it!
So let's just run with this, so we've got one number visible, that's the greens, and we've got another
number visible, that's the reds. We don't have the blue ones yet, so how does the blue one come up as
the next number in the sequence, visually? Well, let's have a look here. I'll highlight one of the green spirals,
I highlight one of the red spirals, and I'll also draw in one of the blue ones, there.

Russian: 
в таких соцветиях появляются числа Фибоначчи. Так что же это за ядро? Ну, если у вас есть
семейство спиралей, закрученных таким образом и равномерно распределенных, и еще одно [семейство], закрученное в другую сторону и тоже равномерно распределенное,
если вы смотрите на диагональное семейство, такое как это, и если вы сосчитаете число спиралей в этих семьях,
то вы всегда получите, что количество зеленых [спиралей] плюс количество красных [спиралей] в точности равно количеству синих [спиралей].
И уже можно заметить связь: вот два числа, которые в сумме дают
третье число, аналогично правилу приращения последовательности Фибоначчи.
Я на самом деле докажу вам этот факт в конце этого видео, и это мое собственное доказательство, очень им горжусь!
Так что я должен сделать это!
Но пока давайте продолжим без него. Итак, мы видим одно число, соответствующее зелёным, и другое
число, соответствующее красным. Пока мы не видим явно синих [спиралей], так как же синее число возникает
в качестве следующего числа в последовательности, визуально? Что ж, давайте посмотрим. Я выделю одну из зелёных спиралей,
одну из красных спиралей, и я также нарисую одну из синих вот здесь.

French: 
qui fait apparaître les nombres de Fibonacci dans les capitules comme celui-ci.
Donc, de quoi s'agit-il?
Bon, avec une familles de spirales courbées dans ce sens,
espacées régulièrement comme cela,
et une autre dont les spirales sont courbées dans ce sens, espacées régulièrement,
si on regarde la famille de "spirales diagonales" comme cela,
et si on compte le nombre de spirales dans ces familles
On trouve toujours
que le nombre des vertes plus le nombre des rouges
est exactement égal au nombre des bleues.
Et on voit bien le lien, n'est-ce pas?
Donc, il y a deux nombres
et on les additionne pour obtenir un troisième nombre
C'est comme cela que la suite de Fibonacci "pousse".
En fait, je vais vous le prouver à la fin de cette vidéo
C'est ma propre preuve, j'en suis très fier!
Donc, je veux vraiment en parler.
Continuons!
Donc, nous avons un premier nombre visible en vert.
Nous avons un second nombre visible en rouge.
Nous n'avons pas encore celui en bleu.
Donc, comment ce fait-il que celui en bleu apparaît comme le nombre suivant dans la séquence?
Et bien,
concentrons-nous sur cette zone!
Je fais apparaître une des spirales vertes,
je fais apparaître une des spirales rouges,
et je trace une des bleues également ici.
ça ne saute pas encore aux yeux.
Concentrons-nous sur ce point!

French: 
Faisons un agrandissement là!
Bon,
les spirales constituent les liens les plus courts.
En fait, je veux dire que les spirales ne pas rééllement là,
On les représente nous-mêmes en fait.
Et ce que l'on fait est de rechercher des "boutons" voisins
Puis on extrapole ces connections que l'on voit.
Et, les "boutons" voisins sont repérés par les lignes verte et rouge pour l'instant.
Que se passe-il lorsque tout est repoussé plus loin vers l'extérieur?
Regardons!
On voit le même arrangement tout autour,
mais il y eu un étalement le long d'anneaux de plus en plus grands.
Et on peut également voir que
les rapports des longueurs ont changé.
En fait cette connexion est devenue la plus longue,
et les autres sont plus courtes.
Et, si je retire les traits,
et si on ferme les yeux un instant puis les rouvre,
on ne peut plus voir la ligne verte.
Mais ce que l'on peut voir maintenant
très distinctement,
sont les lignes bleue et rouge.
Donc, voilà ce qui se passe.
Et bien, on voit apparaître le type suivant de spirales au milieu,

English: 
It's not jumping out at you yet? Focus in on this point, magnify it out, over here, now
the spirals correspond to the shortest connections. Now, I mean, the spirals are not there -
you're just making them up, basically, and what you do is you're looking for neighboring buds, and then
extrapolate these connections that you see here, and the neighboring buds here are indicated by the green and the
red at the moment.
So what happens when now everything gets pushed out further, let's just go, so you can see
I mean, we've got the same arrangement all the way throughout, but everything kind of gets spread
along larger and larger rings here, and what you can also see is that
the length ratios change. In fact, this one has now become the longest connection, and the other ones
are shorter, and when I take away the highlighting here, and you close your eyes for a second, and open them
up again, you can actually no longer see the green. But what you can see now, very clearly, is the blue and the red.
So, that's how it goes. And, well, you see the next type of spiral appearing there in the middle, and it will

Russian: 
Всё ещё не бросается в глаза? Сосредоточьте внимание на этом участке; давайте увеличим его. Итак,
спирали соответствуют кратчайшим соединениям. Точнее, спиралей как таковых нет,
мы их фактически воображаем сами. Для этого мы ищем соседние бутоны, и затем
продлеваем эти соединения, которые вы видите здесь. В данный момент соседние бутоны обозначены зелёным
и красным цветом.
Что же происходит, когда теперь всё выталкивается ещё дальше? Посмотрим... Итак, видно, что
у нас по-прежнему остаётся то же расположение [бутонов], но оно как бы распространяется
вдоль всё больших и больших колец. Также вы можете видеть, что
соотношение длин изменяется. На самом деле, вот это [зелёное] соединение стало самым длинным, а остальные
короче; если я теперь уберу подсветку, а вы зажмуритесь на секунду,
то уже вряд ли сможете увидеть зелёную спираль. Но зато сейчас вы можете очень ясно видеть красные и синие [спирали].
Вот как это происходит. А также, вы уже можете видеть следующий тип спирали, появляющийся в середине [между синей и красной].

Russian: 
Он будет становится доминирующим дальше, по мере дальнейшего вытеснения бутонов. Итак, мы уже успели посмотреть на четыре разных вида спиралей
здесь; мы начали с этими двумя, мы знаем, что цифры здесь в сумме дают третье число.
Сначала видны эти два, затем становится видимым это [синее]. Эти [красное и синее] два числа в сумме дают вот это [жёлтое].
Они видны в данный момент, вслед за чем станет видимым вот это [жёлтое], и так далее.
Так, начиная с двух чисел-семян здесь, мы получаем последовательность типа Фибоначчи, стартующую с этого момента.
Хорошо, это, безусловно, часть объяснения, однако пока оно не проливает свет на то,
почему мы начинаем с семенами Фибоначчи, такими как 1 и 1, или 1 и 2, или 2 и 3, или 3 и 5, а не с каких-нибудь других чисел?
Хорошо, может быть, здесь появятся другие числа, и как только это произойдёт, всё остальное
будет определяться нашим правилом. Ну, я должен кое-в-чём сознаться. Довольно часто утверждается, что

French: 
et il deviendra prédominant dans la suite de l'étalement.
Ok.
Donc, nous avons déjà rencontré quatre types de spirales
Nous avons commencé avec ces deux là.
Nous savons que les deux nombres ici donnent le troisième en les additionnant.
Ces deux-là sont visibles
Celui là devient visible ensuite
Ces deux nombres ici donnent celui-ci en les additionnant.
Ils sont visibles pour l'instant
Celui-ci sera visible ensuite.
Et ainsi de suite...
Donc en commençant avec deux "nombres-graines" ici,
on obtient une séquence de type Fibonacci
à partir de ce point.
OK, c'est donc bien une partie de l'explication.
Ce qui n'est pas encore bien expliqué pour l'instant est
Et bien,
Pourquoi commençons-nous avec des "graines" de Fibonacci comme
1 and 1, and 1 and 2, 2 and 3, and 3 and 5,
et pas avec d'autres nombres?
OK.
D'autres nombres pourraient apparaître en premier,
et une fois qu'ils ont été introduits
tout le reste est déterminé par notre règle.
Bon, je dois vous faire une petite confession.
Je veux dire, on dit souvent que
les seuls nombres qui apparaissent chez ces plantes
sont les nombres de Fibonacci

English: 
become dominant further out, as we push things further out. Okay, so we've had like 4 different kinds of spirals
here already, so we kind of start with those two, we know that the numbers here add up to the third number.
These two are visible - this one becomes visible next, these two numbers add up to that one here,
they are visible at the moment, that one's going to be visible next, and so on.
So starting with two seed numbers here, we get a Fibonacci like sequence happening from that point onwards.
Okay, so that's definitely part of the explanation, what it doesn't quite explain yet is, well,
why do we start with Fibonacci seeds, like 1 and 1, or 1 and 2, and 2 and 3, or 3 and 5, and not some other numbers?
[Good question]
M'kay, could be some other numbers that pop up here first, and once they're established, everything else is
determined by our rule. Well, there's a bit of a confession I have to make. I mean, it's often claimed that

Russian: 
все числа, возникающие в этих растениях, являются числами Фибоначчи. Но это совсем не так.
На самом деле, в них встречается очень много разных последовательностей.
Бывают числа Фибоначчи, но также бывают числа в два раза больше чисел Фибоначчи, например.
А также есть встречаются вот эти ребята, которые называются числами Лукаса.
Все они встречаются довольно часто, но у них есть общее свойство – они следуют нашему правилу.
То есть, если два последовательных числа прибавить друг к другу, то получится следующее.
Хорошо. И всё же последовательность Фибоначчи продолжает доминировать над остальными. Как это можно объяснить? Что ж,
для этого необходимо очень близко следить за одним цветком и провести на нём детальный анализ.
И... ну, я добавил пару статей в описание [видео], поскольку это куда более сложный вопрос, далеко за пределами
того, что я собираюсь объяснить здесь. Я могу лишь дать небольшую часть понимания, почему нам встречаются именно эти типы последовательностей
и никакие другие. Если вдуматься, цветок в действительности начинается с очень маленьких чисел, верно?

French: 
Mais en fait, ce n'est pas du tout vrai.
Il y a en fait de nombreuses séquences différentes qui apparaissent.
Donc, les nombres de Fibonacci,
mais également les nombres de Fibonacci "doublés" par exemple.
Et il y a également ceux là appelés les nombres de Lucas
Tous ceux-là apparaissent assez souvent.
Mais ce qu'ils ont tous en commun,
est qu'ils sont obtenus à partir de notre règle.
Donc deux nombres donnent le suivant en les additionnant.
Ok.
Bon, il y a quand même une surreprésentation
de la suite de Fibonacci.
Et, comment on l'explique?
Et bien, il faut regarder précisément
chaque plante individuellement
et il faut faire une analyse très détaillée
Et, j'ai mis des liens vers quelques articles dans la description.
C'est bien plus compliqué.
ça va au delà de ce que je vais expliquer ici.
Je peux quand même vous donner une petite idée de pourquoi
ces séquences-là et pas d'autres apparaissent forcément.
Si on y réfléchit,
une plante
commence toujours avec des nombres petits, n'est-ce pas,
Elle comme avec 1
1, 2, 3 et ainsi de suite.
Et, comme cette organisation dont nous avons parlée

English: 
the only numbers that come up in these plants are Fibonacci numbers. But that's actually not true at all.
There's actually a lot of different sequences that come up.
So there are the Fibonacci numbers, here,  but there are also, like, double the Fibonacci numbers, for example
and there are also these guys here, they're called Lucas Numbers.
So all of these come up quite,  quite a bit, but what they all have in common is that they follow our rule.
So, two numbers always add up to the next one in the sequence.
Okay. Well, there's still a bit of a predominance of the Fibonacci sequence, and how do you explain that? Well,
you really have to have a close look at the individual plant, and you have to do very detailed analysis there,
and, well, I link in a couple of papers in the description, it's a lot more complicated, and it goes beyond
what I'm going to explain here, I can just give you one more bit of insight into why, you know, these sorts of sequences should come up
and nothing else. If you just think about it, a plant really also starts from very small numbers, right?

French: 
est mise en place très rapidement,
On voit très vite comme un anneau
au sein duquel ces deux familles apparaissent.
On aura un faible nombres de spirales
dans ces familles de spirales, n'est-ce pas?
On aura donc 2 et 3, ou 3 et 5 ou 6 et 10, 4 et 6,
l'une de ces combinaisons.
et ça continuera à partir de là.
Donc tout à fait envisageable.
Très bien! Je suis plutôt satisfait de cette explication.
Dites moi si vous aussi!
A côté de cela,
je veux toujours vous montrer ma démonstration
expliquant pourquoi rouge + vert = bleu.
Donc on commence avec ces deux familles de spirales également espacées.
Et en fait je les ai construites avec un logiciel de dessin
Et une autre se courbant dans l'autre sens.
On les superpose comme cela.
Et on trace la famille de "spirales diagonales".
Et bien j'affirme que lorsqu'on trace une telle figure,
peu importe les spirales de départ,
on obtient toujours vert + rouge = bleu.
Ok, voici ma démonstration.
Donc nous allons faire le tour de cet anneau.

English: 
It starts from 1, 1, 2, 3, and so on. And since this pattern that I've been talking about is established very quickly,
you also very quickly see, like a ring in which two of these families are apparent, it's going to be small numbers of spirals
in these families of spirals, right? And so it's going to be either 2 and 3, or 3 and 5,
or, 6 and 10, 4 and 6, one of those guys, and it's going to take off from there. So, you know, it's quite plausible.
Alright, so I'm quite happy with this explanation, so tell me whether you're happy too. Apart from that,
I still want to give you my proof,
for why green plus red is equal to blue.
So we start out with these two families of equally spaced spirals, and I've actually just made this up
in a, in a drawing program, and another one which kind of twirls the other way, we overlap them, like that,
And we draw in the family of diagonal spirals. Now I claimed that, whenever we do something like this,
doesn't matter how this comes about, we always get green plus red is equal to blue. Okay, so here's my proof.

Russian: 
Он начинается с 1: 1, 2, 3, и так далее. И поскольку эта закономерность, о которой я говорил, возникает очень быстро,
можно очень быстро увидеть вот такое кольцо, в котором два этих семейства становятся очевидными. Мы увидим небольшое число спиралей
в этих семействах, верно? Это будет 2 и 3, или 3 и 5,
или 6 и 10, 4 и 6 – короче, одна из таких пар, и с неё всё начнётся. Ну, это достаточно правдоподобно.
Хорошо. Итак, я достаточно доволен этим объяснением; скажите, довольно ли вы? Кроме того,
я всё ещё хочу дать вам мое доказательство того,
почему зелёное плюс красное равняется синему.
Итак, мы начинаем с этих двух семейств равномерно расположенных спиралей (на самом деле, я только что нарисовал их
в программе рисования). Второе [семейство] закручено в другую сторону; теперь мы их накладываем друг на друга, таким образом.
И теперь пририсуем сюда семейство диагональных спиралей. Я утверждал, что всякий раз, когда мы делаем что-то наподобие этого,
(не имеет значения, как именно), мы всегда получаем: зеленое [число] плюс красное [число] равно синее [число]. И вот мое доказательство.

Russian: 
Итак, мы должны обогнуть это кольцо, и мы начинаем в этом углу, и первым делом давайте следовать по одной из красных спиралей, пока можем это делать.
Затем мы переходим к одной из зеленых спиралей и следуем по ней некоторое время. Затем мы снова перейти к красной [спирали],
затем снова к зелёной, красной, зелёной... Не важно, как именно вы это делаете; главное –
у вас должен получиться замкнутый путь, как вот этот жёлтый.
Теперь выделим точки пересечения на этом жёлтом пути. Сначала мы окрашиваем их в зелёный цвет,
то есть зеленым от этого угла и досюда. В этом углу мы меняем цвет на красный и продолжаем двигаться с ним досюда.
Затем, опять же, переключаемся на зеленый и продолжаем в том же духе.
Хорошо, теперь мы можем реально увидеть с первого взгляда, что зеленый плюс красный равно синий. Вот таким образом!
Каждая красная точка относится к ровно одной красной спирали, и это означает, что красных спиралей столько же, сколько красных точек.

English: 
So, we circumnavigate this ring and we start at this corner, and first we follow one of the red spirals until we can't go any further.
Then, we switch to one of the green spirals, follow that one for awhile. Then, we switch to a red one again,
and then to a green one, red one, green one, it doesn't really matter how you do it exactly, doesn't matter,
as long as you make a closed path like this yellow path, okay?
Now, the points of intersection here on the yellow path, we highlight. So first, make those all green,
so green from this corner on up to there, then, in this corner here, we put red, and we go up to here with red,
and then, again, switch to green, and then keep on going like this all the way around.
Alright, and now we can actually see, at a glance, that green plus red is equal to blue. Here we go!
Every red point is exactly one red spiral, and that means there's exactly as many red spirals as red points.

French: 
et on commence dans ce coin
et pour commencer on suit l'une des spirales rouges jusqu'à son extrémité.
Ensuite on passe sur l'une des spirales vertes.
On la suit pendant un certain temps.
Puis on passe sur une rouge à nouveau,
et puis sur une verte, une rouge, une verte
La façon dont on le fait n'a pas d'importance
à condition de former un chemin fermé comme celui-ci,
le chemin jaune, OK.
Maintenant, on met en évidence les points d'intersection sur le chemin jaune
D'abord on marque ceux-là en vert.
Vert de ce point jusque là.
Ensuite, de ce point on met des marques rouges jusque là.
Et ensuite on repasse au vert.
Et ensuite on continue de cette manière tout autour.
Très bien.
Et maintenant, on peut voir d'un seul regard que vert + rouge = bleu.
Alons-y!
Chaque point rouge est exactement sur une seule spirale rouge
ce qui veut dire
qu'il y a autant de spirales rouges que de points rouges.
Et de même,
il y a autant de points verts que de spirales vertes.
Par ailleurs,

English: 
and the same way, there's exactly as many green points as the green spirals. On the other hand, there's exactly as many points
as there are blue spirals.
And that shows, *delighted giggle* at a glance, that green plus red is blue. Isn't that nice?
*Inhale*
And that's it for this video. Um, so eventually we'll also make part 2, so watch out for this one, that's
going to be, then, highlighting the connection with, um, φ.
[Subtitles contributed by: Zacháry Dorris]

Russian: 
И таким же образом, зелёных спиралей ровно столько же, сколько зелёных точек. С другой стороны, всего точек у нас ровно столько,
сколько есть синих спиралей.
И это показывает, с первого же взгляда, что зеленый плюс красный равно синий. Разве это не здорово?
И это всё для этого видео. В конце концов, мы также сделаем вторую часть [видео], так что ждите его.
Оно должно продемонстрировать связь этой темы с [золотым сечением] φ.

French: 
il y a autant de points
que de spirales bleues
Ce qui montre,
hi hi,
en un seul regard,
que vert + rouge = bleu.
N'est-ce pas élégant?
Et voilà c'est tout pour cette vidéo.
Euh, donc je devrais faire la seconde partie.
Donc attendez-vous à la suivante qui sera en lien avec le "nombre d'or".
La fabuleuse formule florale de Fibonacci
par Burkard Polster
