
Spanish: 
Mi prima Nadia está tomando un curso de cálculo de verano y
me llamó ayer por la noche.
Y que había algunos problemas que limitan y se
problema excelente.
Así que pensé que valía la pena hacer los vídeos sobre los problemas
que tenía que averiguar.
De todos modos, así que vamos a hacer.
Si yo les recuerdo mal.
Estoy haciendo esto en memoria.
Así que espero que las respuestas a cabo el trabajo como lo hicieron anoche, cuando
íbamos sobre ellos en el teléfono.
Así que, si mal no recuerdo, el primero era el límite
como z se aproxima a 2 de x.
¡Oh, no.
No es que - No hay x.
Se trata de una z.
Del cuadrado más 2z menos 8 z.
Todo eso en z al menos 16 cuarto.
Así que lo primero que quiere hacer cuando se intenta un límite
problema, así que sólo tratan de sustituir el valor en -
Tal vez no hay ningún problema cuando z es igual a 2 y se evalúa sólo
la función en z es igual a 2.
Si se trata de una función continua, entonces el límite z
se aproxima a 2 va a ser la función en dos.
Pero usted ver de inmediato un problema si se pone 2 a la derecha
aquí - 2 a la cuarta menos 16 - y se obtiene un 0 en el
denominador, que no está definido, así que tenemos que
buscar la manera de conseguir alrededor de eso.
Y nueve de cada 10 veces, cuando ves a un problema como este,
la solución, ya que tanto el numerador y el denominador
buscar factorizable, es el numerador y el factor de
el denominador.
Así que esto es igual al límite cuando z se aproxima a 2.
¿Cuál es el numerador factorizada?
Vamos a ver.
Algo cuando se suman dos números, se obtiene positivos
2, y los multiplicaré, se obtiene menos 8.
Así que es probablemente más 4 y menos dos, ¿verdad?
Así que esto va a ser x plus - No.
No es una x.
Estoy tan condicionados.
Soy como un perro.
Oh.
Ni siquiera se puede deshacer más.
De todos modos, así z - En realidad, permítanme que borrar.
Yo no quiero ser un poco incómodo.
Déjame borrar.
Traté de deshacer y no se acuerda de todo.
Por lo que es 4 veces más z z menos 2.
Eso es sólo un factoring de segundo grado.
¿Y qué es esto?
Esto tiene la forma de un cuadrado menos b al cuadrado, ¿verdad?
Así que va a ser -, pero al cuadrado uno - Si se trata de un cuadrado
menos cuadrado b, sería una z al cuadrado, ¿verdad?
Por lo que es z al cuadrado más 4 veces z al cuadrado menos 4.
Y luego, por supuesto, esto también tiene la forma de un cuadrado
más b al cuadrado, ¿verdad?
Por lo que este factor en z y 2 veces menos z 2.
Pues bien, nuestro factoring valió la pena.
Vemos un término en el numerador y el denominador
que son los mismos.
Y no sólo ellos son los mismos, pero - es este
el término que nos estaba dando los problemas, ¿verdad?
Debido a que poner un 2 en el aquí, tienes un 0.
Así que vamos a asumir que no lo estamos evaluando en z es igual a 2.
Y así, para todos los demás valores, podemos dividir los
porque esos van a ser los mismos valores.
Y entonces, ¿qué nos queda?
Esto es igual al límite - y he cambian de color
arbitrariamente - como z se aproxima a 2 de z más 4 más de z al cuadrado
más 4 veces z más 2.
Que es igual, ¿qué?
Esto equivale a más de 6 - 2 al cuadrado lo que es más 4?
Es de 8.
Y luego 2 más 2 es 4.
6 más de 12 es igual a 1 / 2.
Hay que ir.
Pensé que era un problema muy interesante.
Vamos a hacer otro.
Y este me pareció aún más interesante.
Ella me dio - Es realmente poniendo a prueba mi memoria para ver
si puedo - Pero me acuerdo de la esencia del problema.
Así que no podría obtener el número exacto que me había dado, pero
espero obtener las propiedades exactas.
Por lo que es el límite cuando x tiende a infinito de la
raíz cuadrada del cuadrado más 4x x más 1 menos x.
Así que cuando nos fijamos en esto, así es como vamos a ver.
¿Qué está pasando aquí?
Vamos a ver esto.
A medida que avanza hasta el infinito, este término son realmente grandes.
Pero entonces nos estamos tomando la raíz cuadrada de la misma.
Y parece que este término se apoderara de este término.
Y entonces, así que tal vez este tipo de converge a x, pero luego
nos resta una x.
Así que tal vez se acerca a 0.
Así que eso es, al menos, esa fue mi primera intuición
cuando hablé con ella.
Sin embargo, como veremos, la intuición aquí es malo.
Y realmente para hacer esto tienes que saber un poco
poco de truco.
Y este truco vale la pena un montón cada vez que veas algo con
la raíz cuadrada, restando algo más, si
quiere deshacerse de ese signo de raíz cuadrada.
Entonces, ¿qué vamos a hacer va a multiplicar - Esencialmente
el conjugado que se aplican normalmente a los números complejos.
Pero si tenemos algo así como una b más, el conjugado
está a menos b, ¿verdad?
O si tenemos algo parecido a un B menos, el
conjugado es un b. más
Y la razón por la cual - ¿Y qué vamos a hacer es que estamos
va a multiplicar por el conjugado de la presente.
¿Y por qué - ¿Por qué es esto normal?
¿Por qué es útil?
Debido a que tenemos un inconveniente b.
Si multiplicamos veces a, b, además, tenemos un cuadrado
b menos cuadrado.
Que harán de este signo radical desaparecen sin
demasiado trabajo.
Así que vamos a hacer eso.
Vamos a multiplicar por el conjugado de esta cosa.
Pero no sólo puede multiplicar, ¿verdad?
Tenemos que multiplicar por sobre sí misma.
Porque sólo se puede - no cambiar el valor de algo,
sólo se puede multiplicar por 1.
Así que vamos a multiplicar por el conjugado: x al cuadrado más
4x + 1 x más, ¿verdad?
Esa es la conjugada, ¿verdad?
En lugar de x menos, tenemos un plus x.
Y no sólo puede multiplicar.
Tenemos que multiplicar por 1, pues de lo contrario
se cambia el valor.
Por lo tanto, va a ser dividida por la misma cosa.
x al cuadrado más 4x + 1 x plus
Déjame borrar estas cosas por aquí, así que no
distraerse.
¿No quiere distraerse.
Y así, ¿qué tenemos?
Este será el límite cuando x tiende a infinito.
Bueno, esto es a menos b veces a la b. más
Así que terminamos con un cuadrado.
Bueno, ¿qué es esto cuadrado?
Eso es x al cuadrado más 1 menos 4 veces más b al cuadrado.
Bien lo que b al cuadrado?
Pues bien, b es x.
Por lo tanto, va a ser x cuadrado menos.
Esto es sólo el álgebra.
Dividido por esto: la raíz cuadrada de x al cuadrado
además de 4x más 1 más x.
Así que vamos a ver.
Hay una simplificación poco lo que podemos hacer.
Podemos restar - Podemos - Los dos primeros términos se anulan.
Por lo tanto x x menos cuadrado cuadrado.
Y ahora vamos a ver qué podemos hacer.
Bueno, ya estamos tomando x hasta el infinito, y esto es
lo que normalmente haces lo que te llevas x hasta el infinito.
Podemos dividir el numerador y el denominador por
nuestro más alto grado plazo.
Y en este caso, el más alto grado nuestros términos es x, ¿verdad?
Contamos con una x x aquí y una aquí.
Y luego, cuando usted toma - Y luego, por supuesto, cuando usted
dividir algo como esto por x, y que se necesita para,
infinito, este se acercará a 0.
Así que vamos a hacer eso.
Vamos a dividir el numerador y el denominador por x.
Y recuerda: todo lo que hagas en el numerador, que han
que hacer en el denominador.
De lo contrario va a modificar el valor.
Así veces más de 1 x 1 en más de x.
Estoy dividiendo el numerador y el denominador por x.
Así que esto es igual al límite cuando x tiende a infinito de -
Fulano - Eso va a ser de 4 más 1 más de x en -
Déjame hacerte una pregunta.
¿Qué es una más de x veces esta cosa?
¿Qué es - Esto es un poco de un examen de álgebra, pero uno más de x.
¿Qué es una más de x veces x al cuadrado más 4x + 1?
Sólo estoy haciendo un poco en el lado este.
Bueno, si tomamos el 1 por x, y lo ponemos en la
signo radical, se convierte en un sobre cuadrado de x, ¿verdad?
Esto es lo mismo que - Se puede decir un cuadrado
más cuadrado x, pero - más de un cuadrado de x.
Se podría decir que un cuadrado.
Se puede poner una plaza allí, pero - por x al cuadrado
además de 4x + 1.
Y que debe tener sentido para usted, ¿verdad?
Porque si empezamos con esto, podríamos fácilmente con sólo
la raíz cuadrada de esto y tomar fuera de ella.
Y la raíz cuadrada de esto es una más de x.
Voy en la dirección contraria, ¿verdad?
Por lo tanto, asumiendo que usted está cómodo con eso, todo lo
bajo el signo radical.
A pesar de que en realidad estamos dividiendo por 1 sobre x, ya que
estamos entrando en el signo radical, en realidad estamos
dividiendo por x al cuadrado.
Por lo tanto, se convierte en - este es el signo radical - x al cuadrado
dividido por el cuadrado de x es 1, ¿verdad?
Espero que entiendan por qué estamos dividiendo por x al cuadrado aquí.
De hecho, estamos dividiendo por 1 sobre x.
Pero cuando lo pones bajo el signo radical, se convierte en
1 sobre x al cuadrado.
Déjenme ponerlo de esta manera.
Uno más de x veces la raíz cuadrada de a.
Esa es la misma cosa.
Que es igual a la raíz cuadrada de un cuadrado en x
al cuadrado, ¿no?
Y esto es sólo una más de x al cuadrado.
Así que esa es la propiedad, o el álgebra que estamos utilizando.
Así que de todos modos, se divide todo esto por el cuadrado de x.
De manera que se convierte en un 1 más 4 más de x más 1 por x al cuadrado.
Y luego, por supuesto, se divide éste por - Este derecho plazo
aquí, se divide por x, ¿verdad?
Porque no es el signo radical.
De modo que sólo se convierte en un 1.
¿Y ahora qué es el límite cuando x tiende a infinito?
Así como x tiende a infinito, este término aquí
llega a 0, ¿no?
1 sobre infinito es 0.
Este derecho término que aquí va a 0.
Este derecho término que aquí va a 0.
Y por lo tanto lo que nos queda?
Esto es igual a 4 por la raíz cuadrada de 1 más 1.
Bueno, eso es sólo una.
Por lo que es igual a 4 más 2, que es igual a 2.
Hay que ir.
Ahora vamos a hacer un problema más.
Esta es la tercera que me había dado.
En ella, tuvimos que tipo de cepillo fuera de nuestras identidades trigonométricas.
Y realmente estos problemas límite más duro, que está sobre todos
tipo de saber que su álgebra y la trigonometría su
muy bien.
Solo para que sepan cómo manipular estas funciones.
Debido a que la parte límite - Usted sólo tiene que entrar en una forma
donde tomar el límite es bastante sencillo.
Así que vamos a hacer que el problema de trigonometría.
Imagen clara.
Invertir los colores.
Por lo que era el límite cuando x se aproxima a 0
de la cotangente de 2x.
¿Era eso?
Sí.
Fue cotangente de 2x en la cosecante de x.
Y éste, al igual que los problemas anteriores, más de
sabiendo que su pre-cálculo o el cálculo, es necesario
conocer sus identidades trigonométricas.
Así cosecante de x.
Eso es sólo una más de seno.
Recuerdo que al decir que no es intuitiva.
Se podría pensar que la cosecante es una más de coseno.
Pero no lo es.
Es una más de seno.
Así que recuerde que no es intuitiva.
Y cotangente de 2x es igual a 1 sobre la tangente de 2x.
Y la tangente es seno sobre coseno, por lo que la cotangente
todo lo contrario.
Y lo que es igual el coseno de 2x en seno de 2x, ¿verdad?
Aceptar.
Entonces, ¿qué es esto igual?
Así que esto va a ser el límite cuando x se aproxima a 0.
Cotangente de 2x, que dijo, fue el coseno de 2x en seno de 2x.
Y entonces va a ser todo eso en la cosecante de x.
Bueno, eso es sólo una más de seno de x.
Bueno, si se divide por uno más de seno de x, que es lo mismo
Lo que multiplicar por seno de x.
Así que tenemos - ¿Qué tenemos?
Tenemos coseno - Bueno, tenemos seno de x veces el coseno de 2x.
Todo esto dividido por seno de 2x.
Sólo con hacer un poco de aritmética.
Y tenemos un problema aquí todavía.
Porque cuando usted se acerca x 0, el término derecho
aquí va a 0 y que tienen un 0 en el denominador, que
no es aceptable.
Debido a que es indefinido.
Y esa es la razón por la qué estamos haciendo esto
límite para empezar.
Y en realidad eso es lo primero que debería haber hecho.
Usted debería haber tratado de poner y que se ha visto que
que se ha conseguido un valor 0 en el denominador y lo
han sido unevaluatable.
Derecha.
Porque, en realidad, esto es sólo - ni siquiera hemos
hecho aún ningún tipo de manipulación.
Esto es lo mismo que esto.
Y si pones el 0 aquí, usted consigue indefinido.
Entonces, ¿qué podemos hacer?
Pues aquí es donde el romper con la trigonometría o
sacudir su memoria.
¿Qué es el seno de la igualdad de 2x?
Y esta es su doble - Una de las fórmulas del ángulo doble.
Seno de 2x es igual a 2 x seno del coseno de x.
Así que si usted sabe que, después de haber pasado un largo camino por
entonces se vuelve bastante simple para simplificar.
Por lo tanto, se convierte en 2 seno de x coseno de x.
Y si suponemos que x no es 0, es sólo acercarse a 0,
puede dividir el numerador y el denominador por el seno de x.
¿Y qué nos queda?
Nos quedamos con el límite cuando x se aproxima a 0 del coseno
de 2 veces más de 2 coseno de x.
Bueno, ¿qué es el coseno de 0?
Coseno de 0 es 1, ¿verdad?
Así que el coseno de 2 tiempos 0, que es 0, que también es una.
Por lo que es igual a 1 más - a la derecha, el coseno de 0
1 - 2 veces más de uno.
Por lo que es igual a 1 / 2.
Hay que ir.
Creo que esos son los tres problemas limitar bastante sustancioso.
Y si usted sabe que usted está probablemente preparado para algo
que su profesor de matemáticas podría lanzar en usted.
Nos vemos en un video en el futuro.

Hindi: 
मेरी चचेरी बहन नादिया गर्मियों में एक कैल्कुलस पाठ्यक्रम ले रही है और
उसने कल रात मुझे फोन किया I
और उसे कुछ सीमा (लिमिट) में समस्या थी और वे
उत्कृष्ट समस्या थी I
तो मैंने सोचा कि में उन सार्थक समस्याओं पर वीडियो बनाऊ
जिस्का पता उसे लगाना था
तो चलो यह प्रोब्लेम्स हम करें I
अगर मूझे ठिक से याद है
मैं स्मृति पर यह कर रहा हूँ I
इसलिए मुझे आशा है कि कल रात की तरह जवाब आऐगा जब
हम उन्हे फोन पर करने जा रहे थे.
तो अगर मैं सही ढंग से याद है, पहले एक सीमा थी
जब झी २x के करीब जायेगा
ओह नहीं।
ऐसा नहीं है कि - वहाँ कोई एक्स है।
यह एक z है।
z 2+2z-8 का
जेड 16 शून्य से चौथा को खत्म कि सब के सब।
तो पहली बात जब आप चाहते हैं जब आप एक सीमा का प्रयास करने के लिए

Chinese: 
我的表妹 Nadia 正在修讀一個暑假微積分的課
她昨晚打電話給我
她在極限這方面有點問題
這些問題都很值得討論
所以我想不妨把她的問題
都錄制成影片
好吧，我們開始
如果我沒記錯的話
我只憑記憶來做這些題目
所以這些答案都正確
就像我昨晚在電話中討論的一樣
如果我記得沒錯的話
第一道是 當 z 趨近 2 時 x
噢不
錯了——不是 x
這是個 z
z^2 + 2x - 8
全部除以 z^4 -16
所以當你嘗試解一道極限的問題時

Czech: 
Moje sestřenice Nadia chodí na letní kurz kalkulu a
včera večer mi volala.
Měla problémy s některými příklady a byly to
parádní příklady.
Tak jsem si řekl, že to stojí za to udělat video na ty příklady,
které musela vyřešit.
Každopádně, pojďme na to.
Pokud si je pamatuju správně.
Dělám to všechno zpaměti.
Doufám, že se vše povede jako včera večer, když
jsme je dělali po telefonu.
Pokud si pamatuju správně, první byla limita
z přibližující se ke 2 funkce x.
Ale ne.
Tohle ne....Není tu žádné x.
Je to z.
z na druhou + 2z - 8 .
To celé lomeno z na čtvrtou mínus 16.
Takže první věc, kterou uděláte, když řešíte limitu je,

Turkish: 
Kuzenim Nadia, bu yaz cebir dersi alıyor.
Dün akşam aradı.
Bazı limit soruları sordu.
Harika sorulardı.
Ona verilen soruları dersimize alırsam
çok iyi olacağını düşündüm.
Neyse, çözelim bakalım.
Bakalım doğru hatırlayabilecek miyim?
Aklımda kaldığı kadarıyla yazıyorum.
Umarım dün akşam telefonda çözdüğüm gibi
kolayca çözebilirim.
Hatırladığım kadarıyla ilki şöyleydi:
ze, 2'ye yaklaşırken, fonksiyonumuz iks...
Hayır.
Olmadı. iks yok ki.
ze olacak.
"ze kare" artı "2 ze" eksi 8.
Bölü; "ze üzeri 4", eksi 16.
Limit sorusu çözerken yapmanız gereken ilk şey,

Portuguese: 
Minha prima Nadia está fazendo um curso de verão em cálculo e
ela me chamou na noite passada.
Ela tinha alguns problemas com limite e eles eram
problemas excelentes.
Então pensei que valia a pena fazer videos sobre esses problemas
que ela tinha que resolver.
Bom, vamos fazê-los.
Se eu me lembro corretamente.
Estou fazendo isso de memória.
Quero que as respostas sejam como as que que dei na noite passada
nós estávamos ao telefone.
Se eu me lembro corretamente, o primeiro foi o limite
de x quando z se aproxima de x.
O, não.
Note que -- não há x.
É um z.
De z ao quadrado mais 2z menos 8.
Tudo sobre z a quarta menos 16.
Então a primeira coisa quando você está resolvendo um problema de limite é,

German: 
Meine Cousine Nadia macht gerade einen Analysis Sommerkurs und
sie rief mich letzte Nacht an.
Sie hatte einige Aufgaben zur Grenzwertberechnund und das waren
ausgezeichnete Aufgaben.
Also dachte ich, dass es sich vielleicht lohnen würde, Videso zu diesen Aufgaben zu machen,
die sie lösen musste.
Also, lasst uns loslegen.
Wenn ich mich richtig an sie erinnern kann.
Ich mache das jetzt alles aus dem Gedächtnis.
Deswegen hoffe ich, dass ich auf die gleichen Antworten komme, wie gestern Abend, als
ich sie am Telefon besprochen habe.
Wenn ich mich also richtig entsinne, war das erste der Limes
von x für z gegen 2.
Oh nein.
So nicht - Da gibt es kein x in der Aufgabe.
Es ist ein z.
Also für z zum Quadrat plus 2z minus 8.
Das ganze geteilt durch z hoch 4 minus 16.
Das erste, was du machen möchtest, wenn du versuchst einen Grenzwert zu berechnen, ist,

English: 
My cousin Nadia is taking a
summer calculus course and
she called me last night.
And she had some limit
problems and they were
excellent problem.
So I thought it was worthwhile
to make videos on the problems
that she had to figure out.
Anyway, so let's do them.
If I remember them correctly.
I'm doing this on memory.
So I hope the answers work out
like they did last night when
we were going over
them on the phone.
So if I remember correctly,
the first one was the limit
as z approaches 2 of x.
Oh no.
Not that-- There's no x.
It's a z.
Of z squared plus 2z minus 8.
All of that over z to
the fourth minus 16.
So the first thing when you
want to do when you try a limit

Hungarian: 
Az unokahúgom Nadia nyári calculus kurzuson van,
és felhívott tegnap este.
Volt neki néhány határérték feladata,
és mondhatom remek példák voltak.
Úgy gondoltam, megérhet egy videót, hogy
megosszam amilyen feladatokkal találkozott.
Mindegy, csináljuk meg őket.
Már ha jól emlékszem rájuk.
Fejből fogom csinálni.
Remélem az eredmények kijönnek, mint tegnap,
amikor telefonon keresztül csináltuk őket.
Ha jól emlékszem, az első az volt, hogy miközben
a z tart a 2-höz, az x határértéke...
Ó nem...
Nem -- nincs is x-ünk.
Ez egy z,
z négyzet, meg 2z, mínusz 8.
Ez mind a nevezőben, és z a negyediken, mínusz 16 a számlálóban.
Az első dolog amit megpróbálsz, amikor határértéket számolsz,

Arabic: 
نادية ابنة عمي تأخذ دورة صيفية و
اتصلت بي في الليلة الماضية
وكان لديها بعض مسائئل النهايات والتي تعتبر
مسائل جيدة
لذا اعتقد انها جديؤة بالاهتمام وتستحق ان اصمم عروضاً على المسائل
التي كان عليها حلها
على اي حال، دعونا نقوم بحلهم
اذا كنت اتذكرهم بشكل صحيح
انني اقوم بهذا ذهنياً
لذا اتمنى ان الاجابات ستصلح كما كانت في اللية الماضية عندما
كنا نحلهم على الهاتف
فاذا كنت اتذكر بشكل صحيح، فإن الاولى كانت نهاية
اقتراب z من 2 لـ x
اوه لا
ليس ذلك --لا يوجد x
انه z
لـ z^2 + 2z - 8
كل ذلك مقسوماً على z^4 - 16
اذاً اول شيئ تفعله عندما تحاول حل مسألة نهاية

Chinese: 
我的表妹 Nadia 正在修读一个暑假微积分的课
她昨晚打电话给我
她在极限这方面有点问题
这些问题都很值得讨论
所以我想不妨把她的问题
都录制成视频
好吧，我们开始
如果我没记错的话
我只凭记忆来做这些题目
所以这些答案都正确
就像我昨晚在电话中讨论的一样
如果我记得没错的话
第一道是 当 z 趋近 2 时 x
噢不
错了——不是 x
这是个 z
z^2 + 2x - 8
全部除以 z^4 -16
所以当你尝试解一道极限的问题时

Polish: 
Moja kuzynka Nadia bierze udział u letnim kursie analizy i
zadzwoniła do mnie wczoraj w nocy.
Miała problemy związane z granicami i były to
doskonałe problemy.
Więc pomyślałem że warto poświęcić chwilę i zrobić film o problemach
które musiała rozwiązać
W każdym razie, do dzieła.
Jeżeli pamiętam je prawidłowo.
Robię to na pamięć.
Więc mam nadzieję, że odpowiedzi zadziałają tak jak ostatniej nocy kiedy
rozwiązywaliśmy je przez telefon.
Więc jeżeli pamiętam je, pierwszy problem to granica
gdzie z dąży do 2 z x.
O nie.
Nie ten-- Tu nie ma x.
To jest z.
Z z^2 dodać 2z odjąć 8.
Wszystko to dzielone przez z^4 odjąć 16.
Pierwsza rzecz, którą chcesz zrobić kiedy próbujesz rozwiązać

Thai: 
หลานผม นาเดีย กำลังลงเรียนวิชาแคลคูลัสช่วงฤดูร้อน
เธอโทรมาหาผมเมื่อคืนนี้
เธอมีโจทย์ปัญหาเรื่องลิมิต และมันเป็น
โจทย์ที่เยี่ยมยอด
ผมเลยคิดว่ามันคุ้มที่จะทำวิดีโอเกี่ยวกับ
โจทย์ที่เธอต้องแก้
เอาล่ะ ลองทำกันดู
หากผมจำถูกนะ
ผมทำจากความจำนะ
ผมหวังว่าคำตอบจะออกมาเหมือนกับที่ทำเมื่อคืน
ตอนที่เราช่วยกันทำโจทย์ทางโทรศัพท์
งั้นหากผมจำไม่ผิด อันแรกคือ ลิมิต
เมื่อ z เข้าใกล้ 2 ของ x
ไม่ใช่สิ
ไม่ใช่อันนั้น -- มันไม่มี x อยู่
มันคือ z
ของ z ยกกำลังสอง บวก 2z ลบ 8
ทั้งหมดนั้นหารด้วย z ยกกำลังสี่ ลบ 16
อย่างแรกที่คุณอยากทำเมื่อคุณเห็นปัญหาเรื่องลิมิต

Italian: 
Mia cugina Nadia sta facendo un corso estivo di calcolo e
mi ha chiamato l'altra notte
E aveva qualche limite da risolvere, ed erano
esercizi eccellenti.
Così ho pensato che valesse la pena fare qualche video su questi esercizi
che doveva risolvere.
Quindi, facciamoli.
Se li ricordo bene.
Lo sto facendo "a memoria".
Quindi spero che le soluzioni siano giuste come lo erano ieri sera quando
le stavamo facendo per telefono.
Se ricordo bene il primo era il limite
per z che tende a 2 di x.
Oh no.
Non c'erano x.
E' una z.
Di (z^2 + 2z - 8).
Tutto su (z^4 - 16).
Allora la prima cosa quando vuoi fare, quando provi un problema

Dutch: 
Mijn nicht Nadia neemt deel aan een zomercursus calculus en
ze belde me gisteravond.
Ze had wat limietproblemen en dat waren
uitstekende problemen.
Dus ik dacht dat het de moeite waard was om video's te maken over de problemen
die ze uit moest zoeken.
Hoe dan ook, dus laten we het doen.
Als ik ze me goed herinner.
Ik put uit mijn geheugen.
Dus ik hoop dat de antwoorden hetzelfde opleveren als gisteravond toen
we ze bespraken via de telefoon.
Dus als ik me goed herinner, was de eerste de limiet
z nadert 2 van x.
Oh nee.
Die niet -- er is geen x.
Het is een z.
Van z kwadraat plus 2z min 8.
Gedeeld door z tot de vierde min 16.
Het eerste dat je wilt doen als je een limietprobleem probeert

English: 
problem is, well you just try
to substitute the value into--
Maybe there's no problem when z
equals 2 and you just evaluate
the function at z equals 2.
If it's a continuous function,
then the limit as z
approaches 2 is going to
be the function at 2.
But you immediately see a
problem if you put 2 right
here-- 2 to the fourth minus
16 --and you get a 0 in the
denominator, which is
undefined, so we have to
figure out some way
to get around that.
And nine times out of 10, when
you see a problem like this,
the solution, because both the
numerator and the denominator
look factorable, is to factor
the numerator and
the denominator.
So this is equal to the
limit as z approaches 2.
What's the numerator factored?
Let's see.
Something when you add two
numbers, you get positive
2, and you multiply
them, you get minus 8.
So it's probably plus
4 and minus 2, right?
So this is going to
be x plus-- No.
Not an x.

Chinese: 
第一步通常是把數字代入
可能當 z 等於 2 時 你把數字代入
一切都沒問題
如果這是個連續函數
當 z 趨近 2 時的極限將會等於函數在 2 的數值
不過你會馬上發現當你把 2 代入時
這兒 —— 2^4 -16 ——
分母等於 0 這整個函數是未定義的
所以我們得想些方法來避開這問題
當你遇到這種題目時
十之八九 分子和分母都能因式分解
所以第一個可行的
就是因式分解分子和分母
所以這等於當 z 趨近 2 時的極限
分子的因式是什麽？
瞧瞧
當你有兩個號碼 加起來等於 2
乘起來等於 -8
所以這可能是 4 和 -2，對吧？
所以這等於 x+ —— 不
不是 x

Arabic: 
هو، حسناً، تحاول ان تعوض القيمة في
--ربما انه لا يوجد مشكلة عندما z = 2 وتقوم بتقييم
الاقتران على z = 2
اذا كان الاقتران تاماً، بالتالي تكون نهاية
اقتراب z من 2 هي الاقتران على 2
لكنك ترى مشكلة مباشرة اذا وضعت 2
هنا --2^4 - 16-- وتحصل على 0 في
المقام، وهذا غير معرف، اذاً علينا ان
نحدد طريقة ما للتخلص من هذا
و 9 مرات من اصل 19، عندما ترى مسالة كهذه
فإن الحل --لأن كل من البسط والمقام
يمكن تحليلهما-- هو ان نحلل البسط و
المقام
اذاً هذا يساوي نهاية اقتراب z من الـ 2
ما هو تحليل البسط الى عوامله؟
دعونا نرى
شيئ ما عندما تجمع عددان، تحصل على موجب
2، وعندما تضربهما، تحصل على -8
وهو ربما موجب 4 و -2، اليس كذلك؟
اذاً سيكون x + --لا
ليس x

German: 
dass du versuchst den Wert zu substituieren...
Vielleicht ergibt sich erst gar kein Problem wenn du für z die 2 einsetzt
und die Funktion löst.
Bei einer stetigen Funktion wird der Grenzwert für z gegen 2
der Funktionswert an der Stelle 2 sein.
Bei dieser Gleichung sieht man aber sofort, dass wenn du 2 hier einsetzt...
... 2 hoch 4 minus 16... ergibt 0
im Nenner und da das nicht geht müssen wir
eine Weg finden, dieses Problem zu umgehen.
Bei neun von 10 Fällen, bei denen dieses Problem auftritt,
ist die Lösung, da sowohl Zähler und Nenner aussehen,
als ließen sie sich in Faktoren zerlegen,
genau dieses zu tun.
Das hier lässt sich also schreiben als Limes für z gegen 2...
Wie lässt sich der Zähler zerlegen?
Mal sehn.
Ich suche Zahlen, die addiert 2
und multipliziert -8 ergeben.
Wahrscheinlich also 4 und -2, richtig?
Das hier ist dann also x plus... Nein.
Kein x.

Chinese: 
第一步通常是把数字代入
可能当 z 等于 2 时 你把数字代入
一切都没问题
如果这是个连续函数
当 z 趋近 2 时的极限将会等于函数在 2 的数值
不过你会马上发现当你把 2 代入时
这儿 —— 2^4 -16 ——
分母等于 0 这整个函数是未定义的
所以我们得想些方法来避开这问题
当你遇到这种题目时
十之八九 分子和分母都能因式分解
所以第一个可行的
就是因式分解分子和分母
所以这等于当 z 趋近 2 时的极限
分子的因式是什么？
瞧瞧
当你有两个号码 加起来等于 2
乘起来等于 -8
所以这可能是 4 和 -2，对吧？
所以这等于 x+ —— 不
不是 x

Italian: 
sui limiti è, beh vuoi giusto sostituire il valore nel ---
magari non c'è problema quando z è uguale a 2 e calcoli solo
la funzione a z = 2.
Se è una funzione continua allora il limite per z che
tende a 2 sara' la funzione a 2.
Ma vedi immediatamente il problema se metti 2
qua --- 2^4 - 16 --- e ottieni uno zero nel
denominatore, che è indefinito, quindi dobbiamo
trovare un modo per risolverlo.
E 9 volte su 10, quando hai un problema come questo,
la soluzione, perchè sia numeratore che denominatore
sembrano fattorizzabili, è di fattorizzare numeratore e
denominatore.
Percio' questo è uguale al limite per z che tende a 2.
Come è il numeratore fattorizzato?
Vediamo.
Qualcosa che quando sommi 2 numeri ottieni
2 e quando li moltiplichi ottieni -8.
Quindi probabilmente sono +4 e -2, giusto?
Quindi sara' x piu' --- No.
Non x.

Polish: 
problem z granicą to, cóż , musisz spróbować podstawić wartość do funkcji
Może nie ma żadnego problemu kiedy z równa się 2 i tylko wyliczysz
wartość funkcji dla z równego 2.
Jeżeli to jest ciągła funkcja, to granica dla z
dążącego do 2 będzie wartością funkcji w 2.
Ale od razu widać problem jeżeli włożymy 2
tutaj - 2^4 odjąć 16 - i dostajemy 0 w
mianowniku, co jest nieokreślone, więc musimy
wymyślić coś, aby to obejść.
i 9 na 10 przypadków, kiedy widzisz taki problem,
rozwiązaniem, ponieważ licznik i mianownik
wyglądają na takie które da się rozłożyć na czynniki,
jest rozłożenie na czynniki licznik i mianownik.
Więc to jest równe granicy gdy z dąży do 2.
Jaki jest rozłożony licznik?
Zobaczmy.
Coś co kiedy dodasz dwie liczby, dostaniesz
2, a gdy pomnożysz dostaniesz minus 8.
Więc jest to prawdopodobnie 4 i minus 2, prawda?
Więc to będzie x dodać - Nie
Nie x.

Hindi: 
समस्या है, अच्छी तरह से आप बस में मूल्य स्थानापन्न करने की कोशिश-
शायद वहाँ कोई समस्या नहीं है जब z, 2 के बराबर है और तुम सिर्फ का मूल्यांकन
समारोह z में 2 के बराबर है।
यदि यह एक सतत समारोह, तो सीमा के रूप में z है
दृष्टिकोण 2 समारोह 2 पर होना करने के लिए जा रहा है।
लेकिन अगर तुम सही 2 डाल तुम तुरंत एक समस्या देखते हैं
यहाँ - चौथा 16 - और आप शून्य के लिए 2 एक 0 जाओ
भाजक है, तो हम करने के लिए है, जो अपरिभाषित, है
कुछ तरीका है कि चारों ओर पाने के लिए बाहर आंकड़ा।
और 10, जब आप एक समस्या इस तरह देखने से नौ बार बाहर,
समाधान, क्योंकि दोनों अमेरिका और विभाजक
factorable देखो, अमेरिका कारक है और
भाजक है।
तो यह z दृष्टिकोण 2 के रूप में सीमा को बराबर है।
क्या अमेरिका में सकारात्मक असर है?
चलो देखते हैं।
कुछ जब आप दो संख्याओं, आप सकारात्मक हो जोड़ने के लिए
2, और आप उन्हें गुणा, आप 8 शून्य से मिलता है।
तो शायद 4 धन और ऋण 2, सही है?
तो यह एक्स प्लस - नहीं होने जा रहा है
नहीं एक एक्स।

Czech: 
že zkusíte dosadit.
Možná tam není žádný problém, když z je rovno 2 a vy prostě
vypočítáte funkci v bodě z=2.
Pokud je to spojitá funkce, pak limita z blížící se
ke 2 bude funkce v bodě 2.
Ale okamžitě vidíte problém, když zkusíte dosadit 2,
2 na čtvrtou mínus 16.. a dostanete 0
ve jmenovateli, což není definované, takže musíme
přijít na to jak to obejít.
A 9 z 10 problémů jako je tento,
vypadá díky čitateli a jmenovateli, že
bude stačit jednoduše rozložit čitatel a
jmenovatel.
Takže tohle je rovno jako limita z blížící se ke 2.
Jak rozložíme čitatel?
Na to se podíváme.
Něco, když dvě čísla sečtete, dostanete
2, a když je vynásobíte, dostanete mínus 8.
Takže je to asi 4 a mínus 2, že?
Takže tohle bude x plus... Ne.
Ne x.

Thai: 
คือว่า คุณแค่แทนค่าลงไป --
บางทีมันอาจไม่มีปัญหาเมื่อ z เท่ากับ 2 ก็ได้ คุณก็แค่
แทนค่าฟังก์ชัน ที่ z เท่ากับ 2
หากมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ลิมิตเมื่อ z เข้าใกล้
2 จะเท่ากับ ค่าฟังก์ชันที่ 2 พอดี
แต่คุณจะเห็นปัญหาในทันใดหากคุณแทนค่า 2 ลงไป
ตรงนี้ -- 2 ยกกำลังสี่ ลบ 16 -- คุณจะได้ 0 ใน
ตัวส่วน ซึ่งนิยามไม่ได้ ดังนั้นเราต้องหา
วิธีที่จะหลีกเลี่ยงมัน
และเก้าในสิบครั้งที่คุณเห็นโจทย์แบบนี้
คำตอบนั้น เพราะตัวเศษกับตัวส่วน
ดูจะแยกตัวประกอบได้ ควรมาจากการแยกตัวประกอบของตัวเศษ
และตัวส่วน
ดังนั้นนี่คือเท่ากับ ลิมิต เมื่อ z เข้าใกล้ 2
ตัวเศษนี่แยกตัวประกอบได้เป็นอะไร
ลองดูกัน
ตอนคุณบวกเลขสองตัว คุณได้
บวก 2 แล้วพอเอามาคูณกัน ได้ ลบ 8
มันน่าจะเป็น บวก 4 กับ ลบ 2 จริงไหม
ดังนั้น นี่จะเป็น x บวก --- ไม่ใช่
ไม่ใช่ x

Dutch: 
is, dat je gewoon probeert de waarde te vervangen in --
Misschien is er geen probleem als z gelijk is aan 2 en je de functie gewoon
kunt evalueren op z is gelijk aan 2.
Als het een continue functie is, dan de limiet van z
benadert 2, gaat worden de functie op 2.
Maar je ziet onmiddellijk een probleem als je 2 rechts invult
hier -- 2 tot de vierde min 16 -- en je krijgt een 0 als
noemer, die niet gedefinieerd is, dus we moeten
een manier bepalen om daar onderuit te komen.
En negen van de 10 keer, wanneer u een probleem als dit ziet,
is de oplossing, omdat zowel de teller en de noemer
te ontbinden lijken, zowel de teller als de noemer
te ontbinden in factoren.
Dus dit is dit gelijk aan de limiet van z nadert naar 2.
Hoe ziet de teller er ontbonden uit?
Laten eens kijken.
Iets waarbij je twee getallen optelt, levert een positieve
2, en als je ze vermenigvuldigt, krijg je min 8.
Dus is het waarschijnlijk plus 4 en min 2, toch?
Dus dit gaat worden x plus -- Nee.
Geen x.

Hungarian: 
hogy behelyettesíted az értéket.
Lehet, hogy nincs semmi probléma amikor z=2
és csak meg kell vizsgálni a függvényértéket z=2-re.
Ha ez egy folyamatos függvény, akkor a határértéke,
ahogy a z tart a 2-höz, megegyezik a függvényértékkel z=2-nél.
De egyből egy problémát láthatsz, a behelyettesíted a 2-t
ide -- 2 a negyediken mínusz 16 -- és 0-t kapsz a nevezőben,
ami pedig nincs definiálva,
így találnunk kell valami módot arra, hogy kikerüljük ezt.
Tízből kilenc alkalommal, amikor ilyen feladatot látsz mint ez,
a megoldás, mivel mind a számláló és a nevező
felbonthatónak tűnik, fel kell bontani a számlálót és
a nevezőt.
Ez egyenlő a határértékkel, ahogy a z tart a 2-höz.
Mire bontható fel a számláló?
Lássuk.
Valamire amiben két számot összeadva 2-t kapunk,
és ha összeszorozzuk őket, akkor mínusz 8-lesz.
Ez valószínű, hogy a plusz 4 és a mínusz 2. Igaz?
Szóval ez x plusz -- Neeeem.
Nem egy x.

Turkish: 
değişkenin değerini yerine koymaktır.
Belki de; ze'nin 2'ye eşit olmasında herhangi bir sorun yoktur.
2'yi yerine koyup fonksiyonu çözersiniz.
Fonksiyon sürekliyse; ze, 2'ye yaklaşırkenki limit,
fonksiyonun, 2'deki çözümüne eşittir.
Ama 2'yi payda'da yerine koyunca sorun çıktığı hemen görünüyor.
2 üzeri 4, eksi 16. Buradan sıfır gelir,
ki bu da tanımsız yapar. Bu sorunu aşmak için,
bir yol bulmalıyız.
Karşımızı çıkan bunun gibi 10 sorunun 9'unda,
hem pay hem de payda çarpanlarına ayrılabilir göründüğü için,
yapılması gereken şey,
bunları çarpanlarına ayırmaktır.
Bu ifadenin eşitini yazayım: ze, 2'ye yaklaşırken...
Pay nasıl çarpanlarına ayrılır?
Bakalım.
Karesi var, artı iki katı var.
Bunlara bir de "eksi 8" eklenmiş.
Muhtemelen "artı 4" ve "eksi 2" olacak.
O hâlde burası, iks artı... Hayır.
iks değil.

Portuguese: 
você simplesmente tenta substituir o valor na função.
Talvez não haja problema quando z é igual a 2 e você somente avalia
a função em z igual a 2.
Se a função é contínua, então o limite de quando z
se aproxima de 2 será a função em 2.
Mas você imediatamente vê um problema quando coloca 2
aqui -- 2 ao quadrado menos 16 -- você obtém 0 no
denominador, que é indefinido, então nós temos
que encontrar alguma forma resolver isto.
Em 9 de 10, quando você vê um problema como esse,
a solução, porque ambos, numerador e denominador
parecem ser fatoráveis, é o fatorar o numerador e
o denominador.
Isto é igual ao limite quando z se aproxima de 2.
Como o numerador pode ser fatorado?
Vamos ver.
Quais são os números que quando você adiciona 2, obtém 2 positivo,
e quando você os multiplica, obtem menos 8.
Por isso é provavelmente mais 4 e menos dois, certo?
Então, isso vai ser x mais - Não.
Não é um x.

Italian: 
Sonno condizionato.
Sono come un cane.
Oh.
Non posso nemmeno più annullare.
Comunque, beh z --- Fammi cancellare.
Non voglio essere disordinato.
Fammi cancellare.
Ho provato ad annullare ma non si ricorda tutto.
Quindi è (z + 4) * (z - 2).
E' la fattorizzazione della quadratica.
E questo com'è?
Questo è nella forma (a^2 - b^2), giusto?
Quindi questo sara' --- ma a^2 --- se questo è a^2
meno b^2, a sarebbe z^2, giusto?
Quindi è (z^2 + 4) * (z^2 - 4).
E poi, ovviamente, anche questo ha la forma di a^2
più b^2, giusto?

Chinese: 
我已經很習慣用 x 了
像是一只狗似的 [編按：這幽默來自巴甫洛夫的經典心理學實驗]
哦
我都無法複原這了
無論如何 z —— 讓我擦掉這
我不想弄得亂糟糟的
擦掉這些
我嘗試複原 但它不記得我之前做了什麽
所以這是 (z + 4)(z - 2)
所以這只是因式分解一個二次方程式
那麽這是什麽？
這的形式像是 a^2 - b^2，對嗎？
所以這將是——如果是 a^2 - b^2——
a 是 z^2，對嗎？
所以這等於 (z^2 +4)(z^2 - 4)
而這個式子當然也有
a^2 - b^2，對嗎？[老師講成 a^2 + b^2]

Dutch: 
Ik ben zo geconditioneerd.
Ik lijk wel een hond.
Oh.
Ik kan het zelfs niet meer ongedaan maken.
Goed dan, z -- ik kan dit beter wissen.
Ik wil niet dat het rommelig wordt.
Ik zal het wissen.
Ik probeerde het ongedaan te maken en het herinnert zich niet alles.
Dus is het z plus 4 keer z min 2.
Dat is gewoon een kwadraat ontbinden.
En wat is dit?
Dit heeft de vorm van a kwadraat min b kwadraat, toch?
Dus dat gaat worden -- maar een kwadraat -- als dit a kwadraat is
min b kwadraat, dan zou a worden: z kwadraat, toch?
Dus is het z kwadraat plus 4 keer z kwadraat min 4.
En dan heeft dit natuurlijk ook de vorm van a kwadraat
plus b kwadraat, toch?

Hungarian: 
Úgy be vagyok idomítva.
Pont, mint egy kutya.
Ó...
Nem tudom visszavonni sem.
Mindegy, z... Inkább letörlöm ezt.
Nem akarok rendetlen lenni.
Hadd töröljem.
Megpróbáltam visszavonni, de nem emlékszik ez mindenre.
No szóval, ez z meg 4, szorozva z mínusz 2-vel.
Ez még csak egy négyzetösszeg felbontása.
És ez mi?
Ez olyan, mint az 'a' négyzet, mínusz b négyzet. Így van?
Szóval ez -- de 'a' négyzet -- ha ez 'a' négyzet,
mínusz b négyzet, az 'a' megfelel a z négyzetnek.
Szóval ez z négyzet meg 4, szorozva z négyzet mínusz 4-gyel.
És akkor természetesen, ez pedig az 'a' négyzet,
meg b négyzetre hajaz.

Hindi: 
मैं तो वातानुकूलित कर रहा हूँ।
मैं एक कुत्ते की तरह कर रहा हूँ।
ओह।
मैं भी यह अब और पूर्ववत् नहीं कर सकते।
वैसे भी, अच्छी तरह से z - वास्तव में मुझे कि मिटा दें।
नहीं मैं गंदा बनना चाहता हूँ।
मुझे मिटा।
मैं इसे पूर्ववत् करने की कोशिश की और यह सब कुछ याद नहीं है।
तो यह z प्लस 4 बार z 2 शून्य से है।
कि सिर्फ एक द्विघात फैक्टरिंग है।
और यह क्या है?
यह फार्म बी squared, सही शून्य से एक squared है?
यदि यह एक squared है तो इसलिए कि - एक लेकिन squared - होने जा रहा है
ख चुकता, शून्य से एक z, सही चुकता हो जाएगा?
तो यह z चुकता प्लस 4 बार z शून्य से 4 चुकता है।
और फिर, बेशक, यह भी फार्म एक squared है
इसके अलावा बी squared है, है ना?

Chinese: 
我已经很习惯用 x 了
像是一只狗似的 [编按：这幽默来自巴甫洛夫的经典心理学实验]
哦
我都无法复原这了
无论如何 z —— 让我擦掉这
我不想弄得乱糟糟的
擦掉这些
我尝试复原 但它不记得我之前做了什么
所以这是 (z + 4)*(z - 2)
所以这只是因式分解一个二次方程式
那么这是什么？
这的形式像是 a^2 - b^2，对吗？
所以这将是——如果是 a^2 - b^2——
a 是 z^2，对吗？
所以这等于 (z^2 +4)*(z^2 - 4)
而这个式子当然也有
a^2 - b^2，对吗？[老师讲成 a^2 + b^2]

Czech: 
Jsem na to tak zvyklý.
Jsem jako pes.
Oh.
Ani to už neumím vymazat.
Každopádně, z ....No radši tohle smažu.
Nechci být nepořádný.
Smažu to.
Zkoušel jsem to vrátit, ale nepamatuje si to všechno.
Takže to je (z plus 4) krát (z mínus 2).
To je prostě rozložení.
A co je tohle?
To má tvar A na druhou mínus B nadruhou, že? (vzoreček)
Takže to bude..Ale na druhou.. Když tohle je A na druhou
mínus B na druhou, A bude z nadruhou, že?
Takže to je (z na druhou plus 4) krát (z na druhou mínus 4).
A potom, tohle má samozřejmě taky tvar A na druhou
plus B na druhou, že?

Thai: 
ผมติดไปแล้ว
ผมเหมือนกับเจ้าหมาเลย
โอ้
ผมยกเลิกมันไม่ได้อีกแล้ว
เอาล่ะ เรามี z -- ผมขอลบมันหน่อยเถอะ
ผมไม่อยากให้มันเลอะเทอะ
ขอผมลบนะ
ผมพยายามจะยกเลิกมัน แต่มันจำอะไรไม่ได้เลย
ดังนั้น มันคือ z บวก 4 คูณ z ลบ 2
นี่เราแค่แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองนี่
แล้วนี่คืออะไร
มันมีรูป เป็น a ยกกำลังสอง ลบ b ยกกำลังสอง ถูกไหม
ดังนั้นมันจะเป็น -- แต่ a กำลังสอง -- หากนี่คือ a กำลังสอง
ลบ b กำลังสอง a ก็คือ z ยกกำลังสอง ถูกไหม
มันจะเป็น z กำลังสอง บวก 4 คูณ z กำลังสอง ลบ 4
จากนั้น แน่นอนว่า นี่ก็อยู่ในรูป a กำลังสอง
ลบ b กำลังสอง เหมือนกัน จริงไหม

German: 
Ich bin so auf x konditioniert.
Wie ein Hund.
Oh.
Jetzt kann ich es nicht mehr ändern.
Also z... nein lasst mich das löschen.
Ich will nicht so rumschmieren,
Lasst es mich schnell löschen.
Ich hab versucht es rückgängig zu machen, aber das geht nicht mehr.
Also, das ergibt z plus 4 mal z minus 2.
Einfach die quadratische Gleichung in ihre Faktoren zerlegen.
Und was ergibt das?
Das müsste die Form a zum Quadrat minus b zum Quadrat haben, oder?
Das ist also....Wenn das hier a zum Quadrat ist
minus b zum Quadrat, dann ist a gleich z zum Quadrat, richtig?
Das ergibt also z zum Quadrat plus 4 mal z zum Quadrat minus 4.
Und dann ist das hier natürlich auch noch einmal die Form a zum Quadrat
plus b zum Quadrat, richtig?

Turkish: 
Amma şartlanmışım.
Tıpkı bir köpek gibi.
-
Artık geri bile alamıyorum.
Neyse. ze... En iyisi, sileyim.
Düzensiz olmayayım.
Sileyim şunu.
Geri almaya çalıştım ama her işlemi hatırlamıyor.
"ze artı 4", çarpı, "ze eksi 2".
İkinci dereceden bir denklem ayırdık.
Peki payda nasıl olacak?
Burası; "a kare" eksi "be kare" biçiminde, değil mi?
O hâlde burası... Burası "a kare"
eksi "be kare" biçimindeyse, a, "ze kare"ye eşit olmalı, değil mi?
Yani; "ze kare" artı 4; çarpı, "ze kare" eksi 4.
Burası da, "a kare" eksi "be kare" biçiminde,
değil mi?

Portuguese: 
Estou tão condicionado.
Eu sou como um cão.
Oh.
Eu não posso nem desfazer-lo mais.
De qualquer forma, bem z - Na verdade, deixe-me apagar isso.
Eu não quero ser confuso.
Deixe-me apagar.
Tentei desfazer-lo e ele não se lembra de tudo.
Então é z mais 4 vezes menos 2 z.
Isso é apenas uma função quadrática.
E o que é isso?
Este tem a forma de um quadrado a menos quadrado b, certo?
Assim que vai ser - Mas um quadrado - Se este é um quadrado
menos b quadrado, seria z ao quadrado, certo?
Então é z ao quadrado mais 4 vezes z ao quadrado menos 4.
E depois, claro, isso também tem a forma de um quadrado
mais b ao quadrado, certo?

English: 
I'm so conditioned.
I'm like a dog.
Oh.
I can't even undo it anymore.
Anyway, well z-- Actually
let me erase that.
I don't want to be messy.
Let me erase.
I tried to undo it and it
doesn't remember everything.
So it's z plus 4
times z minus 2.
That's just factoring
a quadratic.
And what is this?
This has the form a squared
minus b squared, right?
So that's going to be-- But a
squared-- If this is a squared
minus b squared, a would
be z squared, right?
So it's z squared plus 4
times z squared minus 4.
And then, of course, this
also has the form a squared
plus b squared, right?

Polish: 
Jestem taki uwarunkowany.
Jestem jak pies.
Oh.
Nie mogę już tego cofnąć.
W każdym razie, cóż z - Właściwie pozwólcie, że to usunę.
Nie chcę być bałaganiarzem.
Pozwólcie mi usunąć.
Próbowałem to cofnąć i to nie pamięta wszystkiego.
Więc jest to z dodać 4 razy z odjąć 2
To tylko rozkładanie funkcji kwadratowej.
A to co?
To ma formę a^2 odjąć b^2, co nie?
Więc to będzie - ale do kwadratu - jeżeli to jest a^2
odjąć b^2, to a będzie z^2, tak?
Więc jest to z^2 dodać 4 razy z^2 odjąć 4.
I to oczywiście też ma formę a^2
odjąć b^2, co nie?

Arabic: 
انني مشروط
كما الكلب
اوه
لا استطيع التراجع
على اي حال، حسناً z --في الواقع دعوني امحو ذلك
لا اريد ان اكون فوضوياً
دعوني امحو
حاولت التراجع عنه ولا يتذكر اي شيئ
اذاً هو (z + 4) (z - 2)
ان هذا عبارة عن تحليل معادلة تربيعية الى عواملها
وما هذا؟
لقد اتخذت شكل a^2 - b^2، اليس كذلك؟
لذا سيكون --لكن a^2-- اذا كانت هذه a^2
- b^2، فإن a تكون z^2، اليس كذلك؟
اذاً هي (z^2 + 4) (z^2 - 4)
ومن ثم، بالطبع، هذه ايضاً لها شكل a^2
+ b^2، اليس كذلك؟

Chinese: 
所以這進一步分解成 (z + 2)(z - 2)
嗯 看起來蠻成功的
在分子和分母
我們看到有一項是一樣的
不只是一樣
他們還是之前令我們頭疼的那項，對嗎？
因爲當你把 2 代入時 你得到 0
所以我們假設我們沒有計算它在 z = 2 時的值
因此在其它的值
我們可以相除上下這兩項 因爲它們都是一樣的值
所以我們剩下什麽？
這等於——我已經換顏色了——
當 z 趨近 2 時
z + 4 除以 z^2 +4z +2
這等於什麽呢?
這等於 6 除以—— 2 平方 + 4 等於什麽？
8
2 + 2 是 4
6 除以 12 是 1/2

German: 
Dies lässt sich also wiederum zerlegen in z plus 2 mal z minus 2.
Unsere Zerlegung zahlt sich aus.
Wir sehen einen Term sowohl im Zähler als auch im Nenner,
der genau gleich ist.
Und nicht nur genau gleich, sondern... das hier
ist ja der Term, der uns Probleme bereitet, oder?
Weil er 0 ergibt, wenn man 2 einsetzt.
Nehmen wir also an, dass wir nicht z gegen 2 untersuchen
Dann können wir für alle anderen Werte, diese zwei Streichen,
weil sie den gleichen Wert haben würden.
Und was bleibt dann übrig?
Das entspricht nun dem Limes... ich hab die Farbe willkürlich geändert...
mit z gegen 2 von z plus 4 geteilt durch z zum Quadrat
plus 4 mal z plus 2.
Und was ergibt das?
Das hier oben ergibt 6 geteilt durch ... was ist 2 zum quadrat plus 4?
8.
Und 2 plus 2 ergibt 4.
6 geteilt durch 12 ergibt 1/2.

Arabic: 
اذاً هذه ايضاً تحلل الى (z + 2) (z - 2)
حسناً، لقد تم التحليل الى العوامل
نرى عبارة في البسط والمقام
هي نفسها
وليس فقط نفسها، وانما --هذه
العبارة التي كانت تعطينا المسائل، اليس كذلك؟
لأنك وضعت 2 هنا، فحصلت على 0
لذا دعونا نفترض اننا لا نقيمها على z = 2
ولهذا، بالنسبة لباقي القيم الاخرى، يمكننا ان نقسمهم
لانهما سيكونان نفس القيم
ومن ثم ماذا تبقى لدينا؟
هذا مساوياً لنهاية --وقد غيرت الالوان
بشكل اعتباطي-- اقتراب z من 2 لـ z + 4 / (z^2
+ 4) (z + 2)
وهو ماذا يساوي؟
هذا يساوي 6 / --كم ناتج 2^2 + 4؟
انه 8
ثم 2 + 2 = 4
6/12 = 1/2

Turkish: 
O hâlde burası da, "ze artı 2", çarpı, "ze eksi 2" olur.
Çarpanlara ayırmak işe yaradı.
Hem pay'da, hem de payda'da
aynı terimi görüyoruz.
Aynı olmalarının yanı sıra,
bize sorun çıkaran bölüm de o terim, değil mi?
Çünkü, ze yerine 2 koyduğumuzda, sıfır elde ediyoruz.
O hâlde, ze'nin 2 olduğu noktada çözmediğimizi varsayıyoruz.
Diğer tüm ze değerleri için sadeleştirebiliriz
çünkü bu ikisi aynı değeri verir.
Peki, geriye ne kaldı?
Şimdi fonksiyonun eşitini yazayım. Rengi de değiştireyim.
ze, 2'ye yaklaşırken; "ze artı 4" bölü; "ze kare"
artı 4, çarpı, "ze artı 2".
Peki, bu kaça eşit?
Burası da, 6 bölü... 2'nin karesi artı 4, kaçtır?
8'dir.
2 artı 2 de 4'tür.
6 bölü 12. Bu da, 1 bölü 2'dir.

Dutch: 
Dit kan dus verder ontbonden worden in z plus 2 keer z min 2.
Nou, onze ontbinding leverde resultaat op.
We zien een term in zowel de teller als de noemer
die hetzelfde zijn.
En ze zijn niet alleen hetzelfde, maar ze -- dit is
de term die ons de problemen gaf, toch?
Als je hier een 2 invult, krijg je een 0.
Dus laten we aannemen dat we het niet evalueren als z is gelijk aan 2.
En dus, voor alle andere waarden kunnen we die delen
omdat zij dezelfde waarden zullen worden.
En wat hebben we dan over?
Dit is gelijk aan de limiet -- ik heb de kleur willekeurig
veranderd -- van z nadert naar 2 van z plus 4 gedeeld door z kwadraat
plus 4 keer z plus 2.
Die is gelijk aan?
Dat is gelijk aan 6 gedeeld door -- wat is 2 kwadraat plus 4?
Is 8.
En dan 2 plus 2 is 4.
6 gedeeld door 32 (8 keer 4) is gelijk aan 3/16. [erratum]

Portuguese: 
Então, isso vai mais fator em z mais 2 vezes menos 2.
Bem, a nossa função paga.
Vemos um termo no numerador e denominador
que são os mesmos.
E não só eles são o mesmo, mas eles - Este é
o termo que estava a dar-nos os problemas, certo?
Porque você colocar um 2 aqui, você tem um 0.
Então, vamos supor que não estamos avaliando isso em z é igual a 2.
E assim, para todos os outros valores, podemos dividir os
porque aqueles vão ser os mesmos valores.
E então o que nos resta?
Este é igual ao limite - e eu tenho mudam de cor
arbitrariamente - como z se aproxima de 2 de z mais 4 sobre z ao quadrado
mais 4 vezes z mais 2.
Que é igual o que?
Isso é igual a 6 mais - o que é 2 ao quadrado mais 4?
é 8
E então 2 mais 2 são 4.
6 mais de 12 é igual a 1/2.

Italian: 
Quindi lo fattorizziamo ulteriormente in (z + 2) * (z - 2).
Bene, la fattorizzazione ci e' convenuta.
Vediamo un termine nel numeratore e nel denominatore
che sono uguali.
E non solo sono uguali, ma ---- questo è
il termine che ci stava creando problemi, giusto?
Perchè se metti un 2 qua, ottieni uno 0.
Quindi assumiamo che non lo stiamo calcolando con z uguale a 2.
E quindi, per tutti gli altri i valori, possiamo dividerli
perchè saranno gli stessi valori.
E quindi cosa ci rimane?
Questo è uguale al limite --- e ho cambiato colore
arbitrariamente --- per z che tende a 2 di (z + 4) su
(z^2 + 4) * (z + 2).
Che è uguale a?
E' uguale a 6 su --- quanto fa 2 al quadrato più 4?
Fa 8.
E poi 2 + 2 fa 4.
6 / 12 = 1/2.

Hindi: 
तो यह आगे z से अधिक 2 बार z 2 शून्य में कारक होगा।
खैर, हमारे फैक्टरिंग लाए।
हम एक शब्द में अमेरिका और विभाजक देखें
कि एक ही कर रहे हैं।
और इतना ही नहीं हैं, वे एक ही है, लेकिन वे - यह है
कि हमें दे रहा था समस्याएं, सही शब्द?
क्योंकि तुम यहाँ में एक 2 डाल दिया है, आप 0 एक मिल गया।
तो चलो मान लेते हैं कि हम यह z बराबरी 2 पर नहीं मूल्यांकन कर रहे हैं।
और तो, अन्य सभी मानों के लिए, हम उन विभाजित कर सकते हैं
क्योंकि वे एक ही मूल्यों होने जा रहे हैं।
और फिर क्या हम साथ रह रहे हैं?
यह सीमा - करने के लिए बराबर है और मैं रंग बदलें
मनमाने ढंग से - z दृष्टिकोण z के 2 प्लस 4 चुकता z से अधिक के रूप में
प्लस 4 बार z प्लस 2।
कौन सा क्या बराबर है?
यही 2 प्लस 4 चुकता 6 से अधिक - करने के लिए बराबर है?
8 है।
और फिर 2 प्लस 2 4 है।
12 से अधिक 6 1/2 से बराबर है।

Czech: 
Takže tohle se ještě rozloží na (z plus 2) krát (z mínus 2).
A naše rozkládání se vyplatilo.
Vidíme, že ve jmenovateli i čitateli je
stejná závorka.
A ne jenom, že jsou stejné, ale to je
to co nám dělalo problémy, že?
Protože, když dosadíte 2, dostanete 0.
Takže budeme předpokládát, že nepočítáme s z=2.
A pro každou jinou hodnotu, tohle můžeme vydělit
protože budou mít stejnou hodnotu.
A co nám tu zůstalo?
To je rovno limitě... A omylem jsem změnil barvu...
z blížící se ke 2 funkce (z+4) lomeno
(z na druhou +4) krát (z + 2).
Což se rovná čemu?
To je rovno 6 lomeno.. kolik je 2 na druhou plus 4?
To je 8.
A dále 2+2 je 4.
6 lomeno 12 je 1/2.

Thai: 
ดังนั้น เราก็แยกตัวประกอบต่อเป็น z บวก 2 คูณ z ลบ 2 ได้
แล้วที่เราทำมาก็เกิดผลแล้ว
เราเห็นว่ามีเทอมนึงในตัวเศษ และตัวส่วน
ที่เหมือนกัน
ไม่ใช่แค่มันเหมือนกัน แต่มัน --
นี่คือเทอมที่ทำให้เกิดโจทย์นี้ขึ้นมา ถูกไหม
เพราะหาคุณแทน 2 ลงไปในนี้ คุณจะได้ 0
ดังนั้นเราจะไม่แทนค่ามันด้วย z เท่ากับ 2
และสำหรับค่าอื่นใด เราสามารถหาร
ทั้งสองได้ เพราะมันจะมีค่าเท่ากัน
แล้วเราจะเหลืออะไรทีนี้
นี่จะเท่ากับ ลิมิต -- ผมจะเปลี่ยนสีตามใจผม
นะ -- เมื่อ z เข้าใกล้ 2 ของ z บวก 4 ส่วน z กำลังสอง
บวก 4 คูณ z บวก 2
ซึ่งเท่ากับอะไร
มันจะเท่ากับ 6 ส่วน -- 2 กำลังสอง บวก 4 ได้เท่าไหร่นะ
ได้ 8
แล้ว 2 บวก 2 ได้ 4
6 ส่วน 12 เท่ากับ 1/2

English: 
So this will further factor
into z plus 2 times z minus 2.
Well, our factoring paid off.
We see a term in the numerator
and the denominator
that are the same.
And not only are they the
same, but they-- This is
the term that was giving
us the problems, right?
Because you put a 2 in
here, you got a 0.
So let's assume that we're not
evaluating it at z equals 2.
And so, for all other
values, we can divide those
because those are going
to be the same values.
And then what are we left with?
This is equal to the limit--
and I've change colors
arbitrarily --as z approaches
2 of z plus 4 over z squared
plus 4 times z plus 2.
Which is equal what?
That's equal to 6 over--
what's 2 squared plus 4?
Is 8.
And then 2 plus 2 is 4.
6 over 12 is equal to 1/2.

Polish: 
Więc to dalej rozłożymy na z dodać 2 razy z odjąć 2.
Więc, nasze rozkładanie się opłaciło.
Widać napisy w liczniki i mianowniku
które są takie same.
I nie tylko są one takie same, ale one - To jest
napis który stwarzał nasz problem, racja?
Ponieważ kładąc tu 2, dostajemy 0.
Więc załóżmy, że nie wyliczamy tego dla z równego 2.
Dla każdej innej wartości, możemy to podzielić
ponieważ to będą te same wartości.
Więc z czym zostajemy?
To jest równe granicy - i zmieniłem teraz kolory
celowo - gdy z dąży do 2 z (z+4) nad z^2
dodać 4 razy z dodać 2.
Która jest równe czemy
To jest równe 6 nad - czym jest 2^2 dodać?
To 8.
I następnie 2 dodać 2 to 4.
6 nad 12 równa się 1/2.

Chinese: 
所以这进一步分解成 (z + 2)*(z - 2)
嗯 看起来蛮成功的
在分子和分母
我们看到有一项是一样的
不只是一样
他们还是之前令我们头疼的那项，对吗？
因为当你把 2 代入时 你得到 0
所以我们假设我们没有计算它在 z = 2 时的值
因此在其它的值
我们可以相除上下这两项 因为它们都是一样的值
所以我们剩下什么？
这等于——我已经换颜色了——
当 z 趋近 2 时
z + 4 除以 z^2 +4*z +2
这等于什么呢?
这等于 6 除以—— 2 平方 + 4 等于什么？
8
2 + 2 是 4
6 除以 12 是 1/2

Hungarian: 
Ez tovább bontható z meg 2, szorozva z mínusz 2-re.
A felbontás megérte a fáradtságot.
Látunk olyan tagokat a számlálóban és nevezőben,
amelyek megegyeznek.
Nem csak megegyeznek, de -- nem ez volt az,
amelyik miatt a problémánk adódott?
Mert ha behelyettesíted ide a 2-t, 0-t kapsz.
Tételezzük fel, hogy nem a z=2-nél vizsgáljuk a függvényt.
Minden más értékre, el tudjuk osztani ezeket,
mert ezek ugyanazok lesznek.
És akkor mink maradt?
Ez egyenlő a határértékével -- szándékosan váltottam színt --
a z meg 4, per z négyzet meg 4, szorozva z meg 2-vel,
ahogy a z tart a 2-höz.
Ez mivel egyenlő?
Ez egyelő lesz 6 per -- mennyi is 2 a négyzeten meg 4?
Ez 8.
És aztán a 2 meg 2, az 4.
A FORD: végeredményt elszámolta (ld. a címét a leckének :-)
6/32 a végeredmény és nem 1/2!!! Mert nem 8+4 van nevezőben, hanem 8x4...

English: 
There you go.
I thought that was a pretty
interesting problem.
Let's do another one.
And this one I found
even more interesting.
She gave me-- It's really
testing my memory to see
if I can-- But I remember
the gist of the problem.
So I might not get the exact
numbers she'd given me, but
hopefully I get the
exact properties.
So it's the limit as x
approaches infinity of the
square root of x squared
plus 4x plus 1 minus x.
So when you look at this
you're like well let's see.
What's happening here?
Let's see this.
As you go to infinity, this
term will get really big.
But then we're taking
the square root of it.
And it seems like this term
would overpower this term.
And then, so maybe this kind
of converges to x, but then
we would subtract an x.

Dutch: 
Daar is het.
Ik dacht dat het een behoorlijk interessant probleem was.
Laten we nog een andere doen.
En deze vond ik nog interessanter.
Ze gaf me -- het is echt het testen van mijn geheugen om te zien
of ik het kan-- maar ik herinner me de kern van het probleem.
Misschien krijg ik niet de exacte getallen die ze mij gaf, maar
hopelijk krijg ik de exacte kenmerken.
Dus het is de limiet van x nadert oneindig van de
vierkantswortel van x kwadraat plus 4x plus 1 min x.
Dus als je hier naar kijkt, goed, laten we eens zien.
Wat gebeurt hier?
Laten we dit bekijken.
Als je tot in het oneindige gaat, wordt deze term echt groot.
Maar we nemen daar de vierkantswortel van.
En het lijkt alsof deze term deze term zou overheersen.
En vervolgens, dus misschien convergeert dit naar x, maar dan
zouden we een x aftrekken.

Hindi: 
वहाँ तुम जाओ।
मैंने सोचा था कि एक बहुत ही रोचक समस्या थी।
चलो एक और एक है।
और यह एक मैं इससे भी ज्यादा दिलचस्प पाया।
उसने मुझे दिया है-यह वास्तव में देखने के लिए मेरी स्मृति परीक्षण कर रहा है
अगर मैं कर सकता हूँ - लेकिन मैं इस समस्या का सार याद है।
तो मैं सही संख्या वह मुझे दिया था नहीं मिल सकता है, लेकिन
उम्मीद है मैं सटीक गुण मिलता है।
तो यह दृष्टिकोण अनंत के रूप में एक्स सीमा
एक्स चुकता का वर्गमूल प्लस 4 x प्लस 1 एक्स शून्य।
जब तुम इसे देखो की तरह अच्छी तरह से चलो देख तो तुम हो।
यहाँ क्या हो रहा है?
चलो यह देखते हैं।
तुम अनंत को जाने के रूप में, इस शब्द का बहुत बड़ा मिल जाएगा।
लेकिन फिर हम इसे का वर्गमूल ले जा रहे हैं।
और ऐसा लगता है जैसे यह शब्द इस शब्द पर प्रबल होगा।
और फिर, तो शायद इस तरह के एक्स, लेकिन फिर से converges
हम एक एक्स घटाना होगा।

Polish: 
No i mamy.
Myślałem, że to dosyć interesujący problem.
Zróbmy kolejny.
I ten okazał się dla mnie jeszcze bardziej interesujący.
Dała mi - na prawdę testuje moją pamięć sprawdzając
czy pamiętam - ale pamiętam sedno problemu.
Więc mogę nie podać dokładnym liczb, które dostałem od niej, ale
na szczęście mogę dostarczyć te same właściwości.
Więc jest to granica gdy x dąży do nieskończoności z
pierwiastka kwadratowego z x^2 dodać 4x dodać jeden i odjąć x.
Kiedy spojrzysz na to, myślisz, spróbujmy.
Co się tu dzieje?
Zobaczmy.
Gdy dochodzisz do nieskończoności ten napis staje się naprawdę wielki.
Ale następnie bierzemy pierwiastek kwadratowy z tego.
i wygląda jakby ten napis przeważał nad tym.
Następnie ten napis może jakoś zbiega do x , ale następnie
odejmujemy x.

Hungarian: 
6/32 = 3/16, egyébként készen vagyunk.
Gondolom ez egy érdekes feladat volt.
Csináljunk egy másikat.
Ezt még érdekesebbnek találtam.
Amit mondott nekem -- ez tényleg próbára teszi az emlékezetemet --
de a lényegére emlékszem a feladatnak.
Lehet, hogy nem pont ezek a számok voltak amiket megadott,
de remélem ugyanolyan tulajdonságai lesznek a feladatnak.
Szóval a határérték akkor, ha x tart a végtelenbe,
a négyzetgyök x négyzet, meg 4x, meg 1, mínusz x,
Ha ránézel akkor ez olyan mint... lássuk csak,
mi lesz itt ebből?
Nézzük.
Ahogy a végtelenbe tartasz, ez a tag jó nagy lesz.
De négyzetgyököt vonunk belőle.
És ez úgy tűnik, hogy lenyomja ezt a tagot.
És akkor ez talán x-hez konvergál,
de kivonunk belőle x-et.

Thai: 
เสร็จแล้ว
ผมว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจดี
ลองทำอีกข้อดีกว่า
และผมว่าอันนี้น่าสนใจยิ่งกว่าอีก
เธอให้ผมมา -- มันเป็นการทดสอบความจำผมว่า ผมนั้น
จำได้ไหม -- แต่ผมก็จำแก่นมันได้แล้วกัน
ผมอาจจำเลขเป๊ะ ๆ ที่เธอบอกผมไม่ได้
แต่หวังว่ามันจะมีคุณสมบัติเหมือนกันนะ
นี่คือ ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ ของ
สแควร์รูทของ x ยกกำลังสอง บวก 4x ลบ 1 ลบ x
เมื่อคุณเห็นโจทย์ คุณคงบอกว่า
นี่มันเกิดอะไรขึ้น
ลองดูกัน
เมื่อคุณเข้าหาอนันต์ เทอมนี้จะโตมาก
แต่เราใส่สแควร์รูทให้มัน
มันดูเหมือนว่าเทอมนี้จะนำเทอมนี้
จากนั้น บางทีมันอาจจะลู่เข้าหา x แต่จากนั้น
เราก็ลบมันด้วย x

Turkish: 
İşte yanıt.
Bence bu çok ilginç bir soru.
Bir tane daha çözelim.
Bence bu çok daha ilginç.
Kuzenim bunu da sordu. Bakalım hatırlayabilecek miyim?
Sorunun ana hatlarını hatırlıyorum.
Kuzenimin sorduğu soruyu aynen yazamayabilirim
ama umarım içerik aynı olur.
Fonksiyon şöyle: iks, sonsuza yaklaşırken,
kök içinde, "iks kare", artı "4 iks", artı 1 ve eksi iks.
Soruya baktığınızda düşünmeye başlarsınız.
Fonksiyon nasıl bir fonksiyon?
-
Sonsuza yaklaştıkça bu terim çok büyür
ama daha sonra karekökünü alıyoruz.
"iks kare" terimi, "4 iks"ten daha büyük olur.
Sanki burası iks'e yakınsıyor gibi ama ardından
"eksi iks" geliyor.

Italian: 
Ecco qua.
Ho pensato fosse un problema davvero interessante.
Facciamone un altro.
E quest'altro è pure più interessante.
Lei mi ha dato --- Sto mettendo alla prova la mia memoria per vedere
se riesco --- ma ricordo il succo del problema.
Quindi potrei non usare gli stessi numeri che mi ha dato, ma
spero che siano le stesse proprietà.
Quindi è il limite per x che tende ad infinito della
√(x^2 + 4x - 1) - x.
Allora, quando guardi questo fai tipo: beh, vediamo.
Cosa succede?
Vediamo.
Quando vai ad infinito, questo termine sarà davvero grande.
Ma poi ne prendiamo la radice.
E sembra come se questo termine finisca col sopraffare questo.
E quindi, magari questo tipo converge su x, ma poi
gli sottraiamo una x.

Czech: 
Tady to máte.
Myslím, že tohle byl zajímavý příklad.
Pojďme na další.
A tenhle mi připádá ještě více zajímavý.
Dala mi.. Opravdu si procvičuju paměť...
Ale pamatuji si podstatu problému.
Takže možná nebudu mít úplně přesná čísla, které mi dala, ale
doufejme, že budu mít stejné vlastnosti.
Takže limita x blížící se k nekonečnu funkce
odmocnina (x na druhou + 4x + 1) - x.
Tak když se na to podíváme,
Co se to tu děje?
Koukneme na to.
Jak jdete k nekonečnu, tahle část bude opravdu velká.
Ale když to odmocníme
Vypadá to, že tahle část bude větší než tato.
ale možná to bude stejně jako x, ale pak
bychom odečetli x.

Chinese: 
完成了
我想这道是蛮有趣的题目
我们再解另一题
这个我觉得更有趣
她问我——这在考验我的记忆——
但我记得题目的重点在哪里
所以可能这数字不是她问我的
但是希望我能得到相同的特性
所以这题是当 x 趋近无穷大时
x^2 + 4x +1 的平方根 - x
所以当你看到这的时候 你会——
嗯 这该如何下手
我们来解解看
当你趋近无穷大 这项会变得很大很大
当然我们在取它的平方根
看起来这项将会大过这项
而且这项会收敛成 x
这里又减去 x

German: 
Da habens wir's.
Ich dachte, dass wäre doch eine sehr interessante Aufgabe.
Lasst uns eine weitere lösen.
Diese fand ich noch interessanter.
Sie gab mit... das stellt jetzt wirklich mein Gedächtnis auf die Probe ob
ich das hinbekomme.... Aber ich glaube ich erinnere mich an das Wesentliche der Aufgabe.
Ich habe vielleicht also nicht die genauen Zahlen, die sie ir gegeben hat, aber
ich bekomme hoffentlich dieselben Verhältnisse hin.
Also, es war der Limes für x gegen Unendlich
für Wurzel aus x zum Quadrat plus 4x plus 1 minus x.
Wenn du dir das anguckst, was sehen wir dann.
Was passiert hier.
Mal schaun.
Wenn du ins Unendliche gehst wird dieser Term sehr groß.
Aber dann ziehen wir die Wurzel.
Und es sieht so aus, als wenn dieser Term diesen überwältigt.
Also das hier nähert sich vielleicht x aber dann
subtrahieren wir ein x.

Chinese: 
完成了
我想這道是蠻有趣的題目
我們再解另一題
這個我覺得更有趣
她問我——這在考驗我的記憶——
但我記得題目的多重點在哪裏
所以可能這數字不是她問我的
但是希望我能得到相同的特性
所以這題是當 x 趨近無窮大時
x^2 + 4x +1 的平方根 - x
所以當你看到這的時候 你會——
嗯 這該如何下手
我們來解解看
當你趨近無窮大 這項會變得很大很大
當然我們在取它的平方根
看起來這項將會大過這項
而且這項會收斂成 x
這裡又減去 x

Arabic: 
هيا بنا
اعتقدت انها مسألة مثيرة للاهتمام
دعونا نقوم بحل واحدة اخرى
وهذه وجدتها مثيرة اكثر للاهتمام
اعطتني --انها تقوم باختبار ذاكرتي لأرى
اذا كان بوسعي ذلك-- لكنني اتذكر جوهر المسألة
لذا ربما لن اضع الاعداد نفسها التي اعطتني اياها، لكن
اتمنى انني سأتبع الاجراءات نفسها
اذاً هي نهاية اقتراب x من ما لا نهاية
للجذر التربيعي لـ x^2 + 4x + 1 - x
اذاً عندما تنظرون الى هذا ستقولون، حسناً، سنرى
ماذا يحدث هنا؟
دعونا نرى
كلما اقتربت من ما لا نهاية، فإن هذه العبارة ستكبر
لكن لاحقاً سنأخذ الجذر التربيعي لها
ويبدو ان هذه العبارة ستغلب هذه العبارة
ومن ثم، ربما ان هذا يشكل تقاطع مع x، لكننا لاحقاً
سنطرح x

Portuguese: 
Lá você vai.
Eu pensei que era um problema muito interessante.
Vamos fazer outro.
E este eu achei ainda mais interessante.
Ela me deu - É realmente testando minha memória para ver
se eu puder - Mas eu me lembro a essência do problema.
Então eu não poderia obter os números exatos que ela tinha me dado, mas
espero obter as propriedades exatas.
Então é o limite quando x tende a infinito do
raiz quadrada de x ao quadrado mais 4x mais 1 menos x.
Então, quando você olha para isso, você é como bem vamos ver.
O que está acontecendo aqui?
Vamos ver isso.
Como você vai para o infinito, este termo vai ficar muito grande.
Mas, então, nós estamos tirando a raiz quadrada do mesmo.
E parece que este termo deveria dominar este termo.
E então, talvez por isso esse tipo de converge para x, mas depois
que subtrairia um x.

Chinese: 
所以可能趨近 0
至少 當我和她說話時
這是我的第一個直覺
當然我們會發現 我的直覺是錯的
要發現這的話
你還真的需要一些小技巧
每當你看見一個項的平方根 減去另一些項
如果你想除掉那個平方根
這是很管用的技巧
所以下一步我們將乘於——
基本上是我們在複數裏的共轭
如果我們有一項是 a + b
共轭數是 a - b 對嗎？
又或者我們有 a - b
共轭數是 a + b
這原因——還有我們會做的——
是乘以這個的共轭數
爲什麽這很普遍？
爲什麽這麽有用？
因爲我們有 a - b
如果我乘以 a + b
我們會得到 a^2 - b^2
就可以去掉這根號
沒花太多力氣
讓我們嘗試看看
上下乘於這的共轭數
但我們不能直接乘於它 對吧？
我們必須乘於它除以它自己

Italian: 
Quindi magari tende a 0.
Percio' questa, quantomeno, era la mia intuizione iniziale
quando le ho parlato.
Ma come vedremo, l'intuizione era sbagliata.
E per fare questo devi conoscere
un trucchetto.
E questo trucco ti ripaga molto quando vedi qualcosa
con la radice quadrata, a cui poi sottrai qualche altra cosa, se
ti vuoi liberare di quella radice quadrata.
Quindi quello che fai e' moltiplicare --- essenzialmente
il coniugato che normalmente applichiamo ai numeri complessi.
Ma se abbiamo una cosa come a + b, il coniugato
e' a - b, giusto?
O se ho un cosa come a - b, il
coniugato e' a + b.
E il motivo per cui --- e quello che faremo sara'
moltiplicare per il coniugato di questo.
E perche' --- perche' e' normale?
Perche' e' utile?
Perche' abbiamo a - b.
Se lo moltiplichiamo per a + b, otteniamo
a^2 - b^2.
Che fa scomparire questo segno di radice senza
troppo sforzo.
Facciamolo.
Moltiplichiamo per il coniugato di questa cosa.
Ma non possiamo semplicemente moltiplicare, giusto?
Dobbiamo moltiplicare per questo fratte se' stesso.

Czech: 
Takže se to možná blíží 0.
To byl můj první nápad,
když jsem s ní mluvil.
Ale jak uvidíme, intuice se zde zmýlila.
A na zvládnutí tohoto, musíte umět takovej
malej trik.
A tenhle trik se hodně vyplatí, kdykoli uvidíte něco s
odmocninou co se odečítá od něčeho dalšího a
chcete se zbavit té odmocniny.
Takže, to co uděláme je, že vynásobíme.. V podstatě
konjugaci, kterou normálně používáme na komplexní čísla.
Když máme něco jak A+B, konjugace
je A-B, že?
Nebo když máme A-B,
konjugace je A+B.
A to co tady uděláme je,
že vynásobíme konjugaci tohohle.
A proč to je normální?
Proč je to užitečné?
Protože máme A-B.
Když to vynásobíme A+B, dostaneme A nadruhou
mínus B nadruhou.
Což nám odstraní odmocninu bez
tolika dřiny.
Tak to pojďme udělat.
Pojďme to vynásobit tou konjugací.
Ale nemůžeme to jen tak vynásobit,že?
Musíme to vynásobit trochu jinak.

English: 
So maybe it approaches 0.
So that's, at least, that
was my first intuition
when I spoke to her.
But as we will see, the
intuition here is wrong.
And really to do this you
have to know a little
bit of a trick.
And this trick pays off a lot
whenever you see something with
the square root sign, then
subtracting something else, if
you want to get rid of
that square root sign.
So what we are going to do is
going to multiply-- Essentially
the conjugate we normally
apply to complex numbers.
But if we have something like
a plus b, the conjugate
is a minus b, right?
Or if we have something
like a minus b, the
conjugate is a plus b.
And the reason why-- And what
we're going to do is we're
going to multiply by
the conjugate of this.
And why does-- Why
is that normal?
Why is that useful?
Because we have a minus b.
If we multiply it times a
plus b, we get a squared
minus b squared.
Which will make this radical
sign disappear without
too much work.
So let's do that.
Let's multiply by the
conjugate of this thing.
But we can't just
multiply it, right?
We have to multiply it
by it over itself.

Polish: 
Więc może to zbiega do 0.
To jest, przynajmniej, to była moja pierwsza intuicja
kiedy z nią rozmawiałem.
Ale jak zobaczymy, ta intuicja była zła.
I na prawdę, aby to zrobić musicie znać
malutki trik.
I ten trik opłaca się bardzo, jeżeli widzicie coś z
znakiem pierwiastka kwadratowego, następnie odejmując coś, jeżeli
chcesz się pozbyć tego pierwiastka.
To co mamy zamiar zrobić to pomnożyć - Zasadniczo to
sprzężenie, które normalnie stosujemy w liczbach zespolonych.
Ale jeżeli mamy coś takiego jak a dodać b, to sprzężeniem
jest a odjąć b, racja?
Lub jeżeli mamy coś takiego jak a odjąć b,
sprzężeniem jest a dodać b.
I powód dlaczego - Co zamierzamy zrobić to
pomnożyć to przez swoje sprzężenie.
A dlaczego tak - dlaczego tak jest ok?
Dlaczego jest to użyteczne?
Ponieważ mamy a odjąć b.
Jeżeli pomnożymy to przez a dodać b, dostaniemy a^2
odjąć b^2.
Co zaskutkuje w zniknięciu znaku pierwiastka
bez zbędnej prazy.
Więc zróbmy to.
Pomnóżmy przez sprzężenie tego.
Ale my nie możemy tak po prostu mnożyć, racja?
Musimy pomnożyć przez to nad sobą.

Chinese: 
所以可能趋近 0
至少 当我和她说话时
这是我的第一个直觉
当然我们会发现 我的直觉是错的
要发现这的话
你还真的需要一些小技巧
每当你看见一个项的平方根 减去另一些项
如果你想除掉那个平方根
这是很管用的技巧
所以下一步我们将乘于——
基本上是我们在复数里的共轭
如果我们有一项是 a + b
共轭数是 a - b 对吗？
又或者我们有 a - b
共轭数是 a + b
这原因——还有我们会做的——
是乘以这个的共轭数
为什么这很普遍？
为什么这么有用？
因为我们有 a - b
如果我乘以 a + b
我们会得到 a^2 - b^2
就可以去掉这根号
没花太多力气
让我们尝试看看
上下乘于这的共轭数
但我们不能直接乘于它 对吧？
我们必须乘于它除以它自己

German: 
Also geht es vielleicht gegen 0.
Das war zumindest meine erste Intuition
als ich mit ihr sprach.
Aber wie wir gleich sehen werden, was die Intuition falsch.
Um das hier zu lösen muss man einen kleinen
Trick kennen.
Dieser Trick ist immer dann sehr nützlich, wenn du
ein Wurzelzeichen siehst, von dem etwas abgezogen werden soll.
Du möchtest dann das Wurzelzeichen los werden.
Was wir also machen werden ist Multiplizeren... Im Grunde
das Prinzip, welches wir sonst bei komplexen Zahlen anwenden.
Wenn wir etwas haben wie a plus b, dann ergibt es konjugiert
a minus b, richtig?
Oder wenn wir etwas haben wie a minus b,
dann ist das konjugiert a plus b.
Und der Grund dafür... und was wir jetzt machen weren ist
wir multiplizieren mit dem conjugierten Werten.
Und was bringt das... Warum macht man das?
Wozu dient das?
Weil wir a minus b haben.
Wenn wir das mit a plus b multiplizieren
bekommen wir a um Quadrat minus b zum Quadrat.
Und das lässt das Wurzelezeichen verschwinden
ohne zu viel machen zu müssen.
Also los geht's.
Lasst uns dies mit dem konjugierten Wert multiplizieren.
Aber wir können ja nicht einfach nur multiplizieren, oder?
Wir müssen es multiplizieren und gleichzeitig teilen.

Arabic: 
اذاً ربما انه يقترب من 0
اذاً هذا على الاقل، كان حدسي الاولي
عندما تحدثت معها
لكن كما نرى، فإن البداهة هنا خاطئة
ولكي تقوم بهذا عليك ان تعرف
الخدعة قليلاً
وهذه الخدعة تؤتى ثمارها عندما ترون شيئ ما
برمز الجذر التربيعي، ثم تطرح شيئ آخر، اذا
اردتم التخلص من رمز الجذر التربيعي ذلك
اذاً ما سنقوم بفعله هو ان نضرب
المقارن الذي غالباً ما نطبقه على الاعداد المركبة
لكن اذا كان لدينا شيئ ما مثل a + b، فإن المقارن
هو a - b، اليس كذلك؟
او اذا كان لدينا شيئ ما مثل a - b
فإن المقارن هو a + b
والسبب --وما سنفعله هو اننا
سنضرب بمقارن هذا
ولماذا --لما يعتبر هذا طبيعياً؟
لما هذا مفيداً؟
لأن لدينا a - b
اذا ضربناه بـ a + b، سنحصل على a^2
- b^2
وهو ما يجعل اشارة الجذر هذه تختفي دون
عناء شديد
اذاً دعونا نقوم بذلك
دعونا نضرب بمقارن هذا الشيئ
لكن لا يمكننا ان نضربه، اليس كذلك؟
علينا ان نضربه بنفسه مقسوماً على نفسه

Hungarian: 
Szóval lehet, hogy ez 0-hoz tart.
Szóval ez volt az első megérzésem,
amikor vele beszéltem.
De ahogy látni fogjuk, a megérzés rossz volt.
Ahhoz, hogy megoldd ezt,
szükség lesz némi trükkre.
És ez a trükk sokszor bejön, ha valami olyasmit látsz,
amiben gyökvonás van, amit egy kivonás követ,
és ha el akarod tüntetni ezt a gyökvonást.
Azt fogjuk csinálni, hogy megszorozzuk a
konjugáltjával, amit komplex számokra szoktunk alkalmazni.
Ha van valami 'a + b' félénk,
akkor a konjugáltja 'a - b'. Rendben?
Vagy ha van valami ami az 'a - b'-re hasonlít,
akkor a konjugált az 'a + b'.
Amit teszünk most,
hogy megszorozzuk és elosztjuk
ezt a konjugáltjával. Normális ez?
Mire jó ez?
Mert van nekünk egy 'a - b'.
Ha megszorozzuk 'a + b'-vel,
akkor 'a' négyzet, mínusz b négyzetet kapunk.
Ami eltünteti a gyökvonást,
túl sok macera nélkül.
Csináljuk meg.
Szorozzuk meg ennek a konjugáltjával ezt.
De nem szorozhatjuk csak úgy meg. Igaz?
Szorozni és osztani is kell vele.

Dutch: 
Dus misschien nadert het 0.
Althans, dat was mijn eerste intuïtie
toen ik haar sprak.
Maar zoals we zien zullen, die intuïtie is hier verkeerd.
En om dit echt te doen moet je een
trucje kennen.
En aan deze truc heb je veel wanneer je iets ziet met
een wortelteken, daar iets anders van aftrekken, als
je dat wortelteken wilt kwijtraken.
Dus we gaan vermenigvuldigen -- in wezen
het conjugaat dat we normaal op de complexe getallen toepassen.
Maar als we iets hebben zoals a plus b, is het conjugaat
a min b, toch?
Of als we iets als a min b hebben, het
conjugaat is a plus b.
En de reden waarom -- en wat we gaan doen is
vermenigvuldigen met het conjugaat hiervan.
En waarom doet -- waarom is dat normaal?
Waarom is dat nuttig?
Omdat we a min b hebben.
Als we het a plus b keer vermenigvuldigen, krijgen we a kwadraat
min b kwadraat.
Waardoor dit wortelteken verdwijnt zonder
veel moeite.
Dus laten we dat doen.
Laten we vermenigvuldigen met het conjugaat hiervan.
Maar we kunnen niet gewoon vermenigvuldigen, toch?
We moeten het met zichzelf vermenigvuldigen.

Hindi: 
तो शायद यह 0 दृष्टिकोण।
ताकि था कम से कम, कि मेरी पहली अंतर्ज्ञान
जब मैं उसे करने के लिए बात की थी।
लेकिन हम देखेंगे के रूप में, यहाँ अंतर्ज्ञान गलत है।
और वास्तव में ऐसा करने के लिए आप थोड़ा पता है
एक चाल का सा।
और जब भी आप के साथ कुछ देख इस चाल से एक बहुत कुछ देता है
वर्गमूल के हस्ताक्षर, तब subtracting के कुछ और, अगर
आप के वर्गमूल हस्ताक्षर से छुटकारा पाने के लिए चाहते हैं।
तो क्या हम क्या करने जा रहे हैं - अनिवार्य रूप से गुणा करने के लिए जा रहा है
संयुग्मी हम सामान्य रूप से जटिल संख्याओं को लागू करें।
एक प्लस बी, संयुग्मी पसंद है, लेकिन अगर हम कुछ है
एक शून्य बी, सही है?
या अगर हम एक शून्य बी, ऐसा कुछ है
संयुग्मी एक प्लस ख है।
और कारण क्यों - और क्या हम क्या करने जा रहे हैं हम हो रहा है
इस संयुग्मी द्वारा गुणा करने के लिए जा रहा।
और क्यों करता है - क्यों है कि साधारण?
क्यों यह उपयोगी है?
क्योंकि हम एक शून्य बी है।
अगर हम इसे एक प्लस बी बार गुणा, हम एक squared हो
शून्य से बी चुकता।
जो इस कट्टरपंथी पर हस्ताक्षर के बिना गायब कर देगा
बहुत ज्यादा काम करते हैं।
तो चलो करते हैं।
चलो इस बात का संयुग्मी द्वारा गुणा।
लेकिन हम सिर्फ यह, सही गुणा नहीं कर सकते?
हम इसे यह द्वारा के साथ खुद गुणा करने के लिए है।

Thai: 
ดังนั้นบางทีมันอาจเข้าหา 0
อย่างน้อย นั่นคือสัญชาตญาณผม
บอกมาตอนผมคุยกับเธอ
แต่เราจะเห็นต่อไปว่า สัญชาตญาณนี้ผิด
และเพื่อแก้โจทย์นี้ คุณต้องใช้กลเม็ด
นิดหน่อย
และกลเม็ดนี้ได้ผลมากเมื่อไหร่ก็ตามที่คุณเห็น
อะไรที่มีเครื่องหมายสแควร์รูท ลบด้วยอะไรอีกอย่าง
แล้วคุณต้องการกำจัดเครื่องหมายสแควร์รูทนั่น
และที่เราจะทำคือ การคูณ --
ด้วยคอนจูเกตที่เรามักทำกับจำนวนเชิงซ้อน
แต่หากเรามีอะไรเช่น a บวก b คอนจูเกต
ก็คือ a ลบ b จริงไหม
หรือหากเรามีอะไรเช่น a ลบ b
คอนจูเกตก็คือ a บวก b
และสาเหตุที่เราใช้มัน -- อย่างที่เราจะทำ
คือการคูณด้วยคอนจูเกตนี้
ทำไมเราถึงทำอย่างนั้นโดยทั่วไป
ทำไมมันถึงมีประโยชน์
เพราะเรามี a ลบ b
หากเราคูณมันด้วย a บวก b เราจะได้ a กำลังสอง
ลบ b กำลังสอง
ซึ่งทำให้เครื่องหมายรูทหายไปโดยไม่ต้อง
ทำอะไรมาก
งั้นลองทำดูกัน
ลองคูณมันด้วยคอนจูเกตของเจ้านี่
แต่เราคูณเฉย ๆ ไม่ได้ จริงไหม
เราต้องคูณมันด้วย ตัวนี่ส่วนตัวเอง

Turkish: 
O nedenle, sıfıra yakınsıyor olabilir.
Kuzenimle konuşurken sezgisel olarak
aklıma ilk gelenler bunlardı.
Ama şimdi göreceğimiz üzere, sezgilerim yanlıştı.
Bu soruyu çözebilmek için bilmeniz gereken
bir numara var.
Karekök işleminin ardından çıkarma işlemi varsa,
karekökten kurtulabilmek için
bu numara gerçekten çok işe yarar.
Bu nedenle, soruyu çözerken yapmamız gereken...
"Eşleniklik" olgusu normalde "karmaşık sayılarda" kullanılır.
Örneğin, "a artı b"nin eşleniği,
"a eksi b"dir.
Ya da tam tersi. "a eksi b"nin eşleniği
"a artı b"dir.
Bu soruda... Bu ifadeyi,
eşleniğiyle çarpacağız.
Peki bunun bize
yararı ne olacak?
Elimizde "a eksi b" varsa
ve biz onu "a artı b" ile çarparsak, "a kare"
eksi "b kare" elde ederiz.
Bu da, karekök ifadesinden kolayca
kurtulmamızı sağlar.
Yapalım o zaman.
Bu ifadeyi, eşleniğiyle çarpalım.
Ama yalnızca eşleniğiyle çarpamayız, değil mi?
"Eşleniği bölü eşleniği" ile çarpmalıyız.

Portuguese: 
Talvez por isso, tende a 0.
Então, isso é, pelo menos, essa foi a minha primeira intuição
quando falei com ela.
Mas, como veremos, a intuição aqui é errado.
E realmente para fazer isso você tem que saber um pouco
pouco mais de um truque.
E esse truque compensa muito quando você vê algo como
o sinal de raiz quadrada, em seguida, subtrair algo mais, se
você quer se livrar desse sinal de raiz quadrada.
Então, o que nós vamos fazer é ir para multiplicar - Essencialmente
o conjugado que normalmente se aplicam aos números complexos.
Mas, se temos algo como a mais b, o conjugado
é a menos b, certo?
Ou se temos algo como a menos b, o
conjugado é a mais b.
E a razão pela qual - E o que nós vamos fazer é que estamos
vai multiplicar pelo conjugado deste.
E por que - Por que é normal?
Por que isso é útil?
Porque temos a menos b.
Se multiplicarmos entre eles em a mais b, temos a quadrado
menos b quadrado.
Que fará com que este sinal radical desapareça sem
muito trabalho.
Então, vamos fazer isso.
Vamos multiplicar pelo conjugado desta coisa.
Mas não podemos simplesmente multiplicar-lo, certo?
Temos de multiplicar-lo sobre si mesmo.

Hindi: 
चूँकि आप केवल - कुछ के मूल्य परिवर्तन करने के लिए नहीं कर सकते हैं,
आप केवल यह 1 से गुणा करें कर सकते हैं।
तो चलो इसे द्वारा संयुग्मी गुणा: squared प्लस x
4 x प्लस 1 प्लस एक्स, है ना?
यह संयुग्मी, सही है?
इसके बजाय के एक्स शून्य से, हम एक प्लस x है।
और हम बस कि गुणा करना नहीं कर सकते।
हम इसे 1 से गुणा करें करने के लिए है, नहीं तो हम करेंगे
मान परिवर्तित हो।
तो यह एक ही बात से विभाजित होने जा रहा है।
x 4 x प्लस 1 प्लस एक्स प्लस चुकता।
मुझे तो नहीं हम यह सब यहाँ नीचे मिटाएँ
विचलित हो।
विचलित हो नहीं करना चाहती।
और इसलिए हम क्या है?
यह दृष्टिकोण अनंत के रूप में एक्स सीमा बन जाएगा।
खैर, यह एक शून्य बी एक प्लस बी टाइम्स है।
तो हम एक squared के साथ खत्म।
खैर, इस चुकता क्या है?

German: 
Um den Wert nicht zu verändern.
Und so multiplizieren wir mit 1.
Also, wir multiplizieren mit x zum Quadrat plus
4x plus 1, richtig?
Das wäre der Term mit getauschten Vorzeichen.
Statt minus x haben wir plus x.
Aber wir können das ja nicht nur multiplizieren.
Wir müssen es mit 1 multiplizieren, da
sich sonst der Wert ändert.
WIr teilen es also auch noch einmal durch denselben Term.
x zum Quadrat plus 4 plus 1 plus x.
Lasst mich das hier unten wegwischen, damit wir hier
nicht abgelenkt werden.
Wir wollen nicht abgelenkt werden!
Also, was haben wir hier?
Das hier wird der Grenzwert für x gegen Unendlich.
Nun, das is a minus b mal a plus b.
Wir haben also a zum Quadrat.
Und was ergibt das?

Turkish: 
Çünkü bir sayıyı değiştirmemek için
onu 1 ile çarpmalısınız.
Eşleniğiyle çarpalım bakalım. Karekök içinde "iks kare"
artı "4 iks", artı 1 ve ARTI iks.
Eşleniği bu, değil mi?
"Eksi iks" yerine "artı iks" yazıyoruz.
Yalnızca bu ifadeyle çarpamayız.
1 ile çarpmalıyız, aksi takdirde
değer değişir.
Yani, aynı ifadeye bölmeliyiz.
Karekök içinde "iks kare" artı "4 iks", artı 1 ve artı iks.
Şunları sileyim de
aklımızı karıştırmasın.
Aklımız karışsın istemem.
Elimizde ne var?
Fonksiyon nasıl oldu: iks, sonsuza yaklaşırken...
Pay, "a eksi b", çarpı, "a artı b" biçiminde.
Yani, "a kare"li bir terim gelecek.
Bunun karesi nedir?

Czech: 
Protože abychom nezměnili některé hodnoty,
můžeme to vynásobit jen jedničkou.
Tak to pojďme vynásobit: x na druhou plus
4x plus 1 plus x , že?
To je konjugace, ano?
Místo mínus x máme plus x.
Ale nemůžeme to vynásobit takhle.
Musíme násobit jedničkou. Jinak bychom
změnili hodnoty (funkci).
Takže to bude lomeno to samé.
(x na druhou +4x+1) + x.
Smažu tohle dole, aby nás to
nerušilo.
Nechceme se nechat rušit.
A co to teda máme?
Tohle bude limita x blížící se k nekonečnu.
Tohle je (A-B) krát (A+B)
takže nám zbyde A na druhou.
A co je tohle na druhou?

Polish: 
Ponieważ możecie tylko - aby nie zmienić wartości
możecie mnożyć tylko przez 1.
Więc pomnóżmy przez sprzężenie: x^2 dodać
4x dodać 1 i dodać x, racja?
To jest sprzężenie, tak?
Zamiast odjąć x mamy dodać x.
Ale nie możemy tak sobie tego mnożyć.
Musimy mnożyć to przez 1, inaczej
zmienilibyśmy wartość wyrażenia.
Więc będzie to podzielone przez to samo.
x^2 dodać 4x dodać 1 i dodać x.
Pozwólcie, że usunę to co jest na dole żeby
nam nie przeszkadzało.
Nie chcemy aby nam coś przeszkadzało.
I co my tu mamy?
To będzie granica gdy x dąży do nieskończoności.
Cóż, to jest a odjąć b razy a dodać b.
Więc skończymy z a^2.
Cóż, a jaki jest kwadrat z tego?

Thai: 
เพราะคุณสามารถ -- เพื่อไม่ให้เปลี่ยนค่า
คุณคูณได้แค่ 1 เท่านั้น
งั้นลองคูณมันด้วยคอนจูเกตดู : x กำลังสอง บวก
4x บวก 1 บวก x ใช่ไหม
นั่นคือคอนจูเกต ถูกไหม
แทนที่จะเป็น ลบ x เราใช้บวก x แทน
และเราคูณมันเฉย ๆ ไม่ได้
เราคูณได้แค่ 1 เท่านั้น ไม่อย่างนั้นเราจะ
เปลี่ยนค่าของสิ่งที่เราจะหาไป
มันจะต้องหารด้วยสิ่งเดียวกัน
x กำลังสอง บวก 4x บวก 1 บวก x
ขอผมลบพวกนี้ออกหน่อย จะได้
ไม่กวนใจเรา
ผมไม่อยากให้มันกวนใจ
ทีนี้เราต้องทำอะไรต่อ
นี่จะกลายเป็น ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์
ที่จริง นี่คือ a ลบ b คูณ a บวก b
แล้วเราจะได้ a กำลังสอง
แล้วเจ้านี่กำลังสองได้เท่าไหร่

Arabic: 
لأنه يمكنك فقط --كي لا تغير قيمة شيئ ما
يمكنك فقط ان تضربه بـ 1
لذا دعونا نضربه بالمقارن: x^2 +
4x + 1 + x، اليس كذلك؟
ذلك هو المقارن، اليس كذلك؟
بدلاً من -x ، لدينا موجب x
ولا يمكننا ان نضرب ذلك
علينا ان نضربه بـ 1، والا
سنغير القيمة
اذاً سيكون مقسوماً على نفس الشيئ
x^2 + 4x + 1 + x
دعوني امحو هذا كله كي لا
نذهل
لا نريد ان نصبح مذهولين
والآن ماذا لدينا؟
هذه ستصبح نهاية اقتراب x من ما لا نهاية
حسناً، هذا (a - b) (a + b)
اذاً ينتهي بنا المطاف الى a^2
حسناً، ما هو مربع هذا؟

Hungarian: 
Mert csak akkor nem fog megváltozni valaminek az értéke,
ha 1-gyel szorozzuk meg.
Szorozzuk meg a konjugáltjával: x négyzet,
meg 4x, meg 1, meg x.
Ez a konjugált.
A mínusz x helyett, plusz x van.
Nem szorozhatjuk meg csak úgy.
1-gyel kell szorozni,
különben az értéke megváltozik.
Ezért ugyanezzel el is osztjuk.
x négyzet, meg 4x, meg 1, meg x.
Hadd töröljem le ezt a cuccot itt lent,
hogy ne terelje el a figyelmünket.
Nem akarom, hogy megzavarjon.
Akkor mink is van nekünk?
Ez lesz a határérték, ahogy az x tart a végtelenbe.
Ez egy 'a - b' szorozva 'b - a'-val.
Így négyzeteket kapunk.
Mi lesz ennek a négyzete?

Italian: 
Perche' puoi solo --- per non cambiare il valore di qualcosa
puoi solo moltiplicare per 1.
Quindi moltiplichiamolo per il coniugato: x^2 +
4x + 1 + x, giusto?
E' questo il coniugato, giusto?
Invece di meno x, abbiamo un piu' x.
E possiamo semplicemente moltiplicare.
Dobbiamo moltiplicare per 1, altrimenti
ne staremmo cambiando il valore.
Quindi sara' diviso la stessa cosa.
x^2 + 4x + 1 + x.
Fammi cancellare questa roba qui sotto cosi' non
ci distraiamo.
Non mi voglio distrarre.
Percio' cos'abbiamo?
Questo diventa il limite per x che tende a infinito.
Beh, questo e' (a - b) * (a + b).
Quindi finisce con a^2.
Beh, quant'e' a^2?

English: 
Because you can only-- To not
change the value of something,
you can only multiply it by 1.
So let's multiply it by the
conjugate: x squared plus
4x plus 1 plus x, right?
That's the conjugate, right?
Instead of minus x,
we have a plus x.
And we can't just
multiply that.
We have to multiply it by
1, otherwise we would
be changing the value.
So it's going to be divided
by the same thing.
x squared plus 4x
plus 1 plus x.
Let me erase this stuff
down here so we don't
get distracted.
Don't want to get distracted.
And so what do we have?
This will become the limit
as x approaches infinity.
Well, this is a minus
b times a plus b.
So we end up with a squared.
Well, what's this squared?

Chinese: 
因爲你不能改變它的數值
只能乘以 1
乘以共轭數：
x^2 +4x + 1 的根號 + x 對吧
這是共轭數 對吧？
我們有個 +x 而不是 -x
我們不能直接乘
我們必須乘於 1
不然會改變它的數值
所以除以相同的東西
x^2 + 4x +1 的根號+ x
讓我把這些擦掉
不然會被幹擾
不想被幹擾
所以我們有什麽？
這是當 x 趨近無窮大時的極限
嗯 這是 a - b 乘於 a + b
所以得到了一個平方項
所以這平方項是什麽？

Dutch: 
Want je mag alleen -- om niet de waarde van iets te wijzigen
kun je het alleen vermenigvuldigen met 1.
Dus laten we vermenigvuldigen met het conjugaat: x kwadraat plus
4x plus 1 plus x, toch?
Dat is de geconjugeerde, toch?
In plaats van min x, hebben we een plus x.
En we kunnen dat niet gewoon vermenigvuldigen.
We moeten het vermenigvuldigen met 1, anders zouden we
de waarde veranderen.
Dus gaat het erom te worden gedeeld door het zelfde.
x kwadraat plus 4x plus 1 plus x.
Ik zal dit hier beneden wissen zodat we niet
worden afgeleid.
Ik wil niet afgeleid worden.
En dus wat hebben we?
Dit wordt de limiet als x tot oneindig nadert.
Nou, is dit a min b keer a plus b.
Dus eindigen we met een kwadraat.
Nou, wat is dit kwadraat?

Portuguese: 
Porque você só pode - Para não alterar o valor de alguma coisa,
você só pode multiplicar por 1.
Então, vamos multiplicar pelo conjugado: x quadrado mais
4x mais 1 + , certo?
Isso é o conjugado, certo?
Em vez de menos x, temos x mais a.
E nós não podemos apenas multiplicar isso.
Nós temos que multiplicá-lo por um, caso contrário, seria
a alteração do valor.
Por isso, vai ser dividido por a mesma coisa.
x quadrado mais 4x mais 1 mais x
Deixe-me apagar essas coisas aqui em baixo para não
se distrair.
Não quero me distrair.
E então o que temos?
Este será o limite quando x tende a infinito.
Bem, isto é a menos b vezes a mais b.
Então vamos acabar com um quadrado.
Bem, o que é quadrado?

Chinese: 
因为你不能改变它的数值
只能乘以 1
乘以共轭数：
x^2 +4x + 1 的根号 + x 对吧
这是共轭数 对吧？
我们有个 +x 而不是 -x
我们不能直接乘
我们必须乘于 1
不然会改变它的数值
所以除以相同的东西
x^2 + 4x +1 的根号+ x
让我把这些擦掉
不然会被干扰
不想被干扰
所以我们有什么？
这是当 x 趋近无穷大时的极限
嗯 这是 a - b 乘于 a + b
所以得到了一个平方项
所以这平方项是什么？

Thai: 
มันก็คือ x กำลังสอง บวก 4x บวก 1 ลบ b กำลังสอง
แล้ว b กำลังสอง คืออะไร
b ก็คือ x
ดังนั้นมันจะเป็น ลบ x กำลังสอง
นั่นแค่เลขง่าย ๆ
หารด้วยสิ่งนี้: สแควร์รูทของ x กำลังสอง
บวก 4x บวก 1 บวก x
ลองดูกัน
เราสามารถลดรูปมันได้นิดหน่อย
เราสามารถลบ -- เราทำได้ -- เทอมข้างบนสองเทอมหักล้างกัน
คือ x กำลังสอง ลบ x กำลังสอง
แล้วลองดูว่าเราจะทำอะไรได้อีก
เนื่องจากเราให้ x เข้าหาอนันต์ และ
นี่คือสิ่งที่คุณมักทำเมื่อคุณให้ x เข้าหาอนันต์
เราสามารถหารทั้งตัวเศษ และตัวเศษ ด้วย
เทอมที่มีดีกรีสูงสุด
และในกรณีนี้ เทอมที่มีดีกรีสูงสุดคือ x จริงไหม
เรามี x ตรงนี้ กับ x ตรงนี้
จากนั้นเมื่อคุณเอา -- แน่นอน เมื่อคุณหาร
อะไรแบบนี้ด้วย x แล้วให้มันเข้าหาอนันต์
เจ้านี่จะเข้าหา 0
ลองทำดู
ลองหารทั้งตัวเศษ และตัวส่วนด้วย x

Hindi: 
कि एक्स चुकता प्लस 4 x प्लस 1 शून्य बी चुकता है।
अच्छी तरह से क्या चुकता बी है?
खैर, ख है एक्स।
तो यह शून्य एक्स चुकता होने जा रहा है।
यह सिर्फ बीजगणित है।
इस बात से विभाजित: एक्स चुकता का वर्गमूल
प्लस 4 x प्लस 1 प्लस एक्स।
तो चलो देखते हैं।
वहाँ एक छोटा सा सरलीकरण हम क्या कर सकते है।
हम घटाना कर सकते हैं - हम कर सकते हैं - इन शीर्ष दो शर्तों के बाहर रद्द।
तो एक्स एक्स चुकता शून्य चुकता।
और अब देखते हैं क्या हम कर सकते हैं।
अच्छी तरह से हमें ले जा रहे हैं एक्स इन्फिनिटी है, और इस के लिए है
क्या आप प्राय: करते क्या तुम ले लो करने के लिए अनन्तता एक्स।
हम अमेरिका और भाजक है द्वारा विभाजित कर सकते हैं
हमारे सर्वोच्च डिग्री शब्द।
और इस मामले में, हमारी सर्वोच्च डिग्री शर्तों है एक्स, सही?
हम एक एक्स और यहाँ एक एक्स है यहाँ।
और फिर जब तुम ले - और फिर, बेशक, जब तुम
कुछ इस तरह एक्स से विभाजित है, और आप इसे करने के लिए ले लो,
इन्फिनिटी, यह 0 दृष्टिकोण होगा।
तो चलो करते हैं।
चलो अमेरिका और भाजक एक्स से फूट डालो।

Italian: 
E' (x^2 + 4x + 1) - b^2.
Beh, quant'e' b^2?
Beh, b e' x.
Quindi sara' meno x^2.
E' semplicemente algebra.
Diviso per questa cosa:
√(x^2 + 4x + 1) + x.
Dunque vediamo.
C'e' una semplificazioncina che possiamo fare.
Possiamo sottrarre --- possiamo --- questi termini in alto si annullano.
Quindi x^2 - x^2.
E adesso vediamo che possiamo fare.
Beh, visto che stiamo portando x a infinito e questo
e' quello che faresti normalmente quando porti x a infinito.
Puoi dividere il numeratore e il denominatore per
il termine piu' alto.
E in questo caso il termine piu' alto e' x, giusto?
Abbiamo una x qui e una x qui.
E poi quando prendi --- e poi, ovviamente, quando
dividi per una cosa come questa per x e la porti a
infinito, questo tende a 0.
Quindi facciamolo.
Dividiamo il numeratore e il denominatore per x.

German: 
Das hat x quadriert plus 4 X plus 1 minus b kariert.
Ist nun was b kariert?
Nun, das ist b X.
Es wird also minus x kariert sein.
Dies ist nur Algebra.
Geteilt durch diese Sache: die Quadratwurzel von x kariert
Plus 4 X plus 1 plus X.
Also mal sehen.
Es gibt eine kleine Vereinfachung, die wir tun können.
Wir können abziehen--wir können--diese top zwei Begriffe Abbrechen aus.
Also kariert x minus x kariert.
Und jetzt mal sehen, was wir tun können.
Nun da wir dabei sind X, Infinity, und dies ist
Was tun Sie normalerweise, was Sie nehmen x bis unendlich.
Wir können den Zaehler und den Nenner durch aufteilen.
unsere höchsten Grad Begriff.
Und unsere höchsten Grad in diesem Fall ist X, richtig?
Wir haben einen x hier und ein x hier.
Und dann, wenn Sie nehmen-- und dann natürlich, wenn Sie
Teilen Sie etwas von X, und nehmen Sie es an,
unendlich, dieser Ansatz wird 0.
Also lassen Sie uns tun.
Dividieren Sie den Zaehler und den Nenner durch X.

English: 
That's x squared plus 4x
plus 1 minus b squared.
Well what's b squared?
Well, b is x.
So it's going to be
minus x squared.
This is just algebra.
Divided by this thing: the
square root of x squared
plus 4x plus 1 plus x.
So let's see.
There's a little
simplification we can do.
We can subtract-- We can--
These top two terms cancel out.
So x squared minus x squared.
And now let's see
what we can do.
Well since we're taking x
to infinity, and this is
what you normally do what
you take x to infinity.
We can divide the numerator
and the denominator by
our highest degree term.
And in this case, our highest
degree terms is x, right?
We have an x here
and an x here.
And then when you take-- And
then, of course, when you
divide something like this
by x, and you take it to,
infinity, this will approach 0.
So let's do that.
Let's divide the numerator
and the denominator by x.

Polish: 
To jest x^2 dodać 4x dodać 1 odjąć b^2.
Jakie jest b^2?
Cóż, b to x.
Więc to będzie odjąć x^2
To po prostu algebra.
Podzielone przez to: pierwiastek kwadratowy z x^2
dodać 4x dodać 1 i odjąć x.
Więc zobaczmy.
Troszkę możemy tu uprościć.
Możemy odjąć - możemy - Te dwa napisy usuwają się.
Więc x^2 odjąć x^2.
A teraz zobaczmy co możemy zrobić.
Cóż, skoro x dąży do nieskończoności, a to jest
co robi się zwykle przy granicy w nieskończoności.
Możemy podzielić licznik i mianownik przez
wyraz z najwyższą potęgą.
A w tym przypadku wyraz z najwyższą potęgą to x, racja?
Mamy x tutaj i tutaj.
I następnie, kiedy weźmiesz - Następnie, oczywiście, kiedy
podzielisz coś takiego przez x i weźmiesz wartość w
nieskończoności, to będzie 0.
Więc zróbmy to.
Podzielmy licznik i mianownik przez x.

Arabic: 
انه x^2 + 4x + 1 - b^2
حسناً، ما هو b^2؟
حسناً، b عبارة عن x
لذا سيكون -x^2
ان هذا عبارة عن الجبر
مقسوماً على هذا الشيئ: الجذر التربيعي لـ x^2
+ 4x + 1 + x
اذاً دعونا نرى
يوجد تبسيط صغير يمكننا فعله
يمكننا ان نطرح --يمكننا-- هاتان العبارتان العلويتان يتم حذفهما
x^2 - x^2
والآن دعونا نرى ما يمكن فعله
حسناً، بما اننا ناخذ x الى ما لا نهاية، وهذا
ما تفعله بشكل طبيعي عندما تأخذ x الى ما لا نهاية
يمكننا ان نقسم البسط والمقام على
عبارة اعلى درجة لدينا
وفي هذه الحالة، عبارة اعلى درجة هي x، اليس كذلك؟
لدينا x هنا و x هنا
ومن ثم عندما ناخذ --ثم بالطبع، عندما
نقسم شيئ ما مثل هذا على x، تاخذه الى
ما لا نهاية، فإن هذا يقارب الصفر
لذا دعونا نقوم بذلك
دعونا نقسم البسط والمقام على x

Chinese: 
这是 x^2 + 4x + 1 - b^2
那么 b^2 是什么？
b 是 x
所以减去 x^2
这都是代数的活儿
除以这东西：
x^2 + 4x +1 的平方根 + x
让我瞧瞧
我们可以再简化一下
我们可以减去——上面这两项互相抵消
所以 x^2 - x^2
所以让我检查一下我们还能做什么
嗯 既然我们取 x 趋向无穷大
你通常会这么做
我们可以分子和分母都除以
最高次方的项
在这里 最高次方的项是 x，对吗？
这有个 x 这里也有 x
当你取——当然 当你用 x 除这个时
再趋近无穷大
这会趋近 0
让我做做看
x 除分子和分母

Chinese: 
這是 x^2 + 4x + 1 - b^2
那麽 b^2 是什麽？
b 是 x
所以減去 x^2
這都是代數的活兒
除以這東西：
x^2 + 4x +1 的平方根 + x
讓我瞧瞧
我們可以再簡化一下
我們可以減去——上面這兩項互相抵消
所以 x^2 - x^2
所以讓我檢查一下我們還能做什麽
嗯 既然我們取 x 趨向無窮大
你通常會這麽做
我們可以分子和分母都除以
最高次方的項
在這裡 最高次方的項是 x，對嗎？
這有個 x 這裡也有 x
當你取——當然 當你用 x 除這個時
再趨近無窮大
這會趨近 0
讓我做做看
x 除分子和分母

Hungarian: 
Ez x négyzet, meg 4x, meg 1, mínusz b négyzet.
Mennyi a b négyzet?
Nos b, az x.
Szóval ez mínusz x négyzet lesz.
Ez csak algebra.
Osztva ezzel: négyzetgyöke az x négyzet,
meg 4x, meg 1-nek, meg x.
Nézzük.
Tudunk némi egyszerűsítést csinálni.
Tudunk kivonni... Tudunk... Ez a két felső tag kiesik.
x négyzet, mínusz x négyzet.
Nézzük mit tehetünk.
Mivel x-et a végtelenhez közelítjük, ez az amit
normális esetben csinálsz, hogy közelíted a végtelenhez.
A számlálót és a nevezőt is eloszhatjuk
a legmagasabb fokú taggal.
Ebben az esetben, a legmagasabb rendű tagunk az x.
Van egy x itt, és egy x itt.
És aztán természetesen, amikor
elosztasz valami ilyesmit x-szel, és x közben tart a végtelenbe,
akkor ez a 0-hoz tart.
Csináljuk ezt.
Osszuk el a számlálót és a nevezőt x-szel.

Czech: 
To je (x nadruhou + 4x+1) mínus B na druhou.
A co je B nadruhou?
No B je x.
Takže to bude: mínus x na druhou.
To je jenom algebra.
Děleno tímhle: odmocnina (x nadruhou...
... +4x+1) + x.
Tak se podívejme.
Můžeme udělat malé zjednodušení.
Můžeme....Tohle nahoře se vyruší.
Takže x na druhou mínus x na druhou.
A co můžeme dělat dál?
Jelikož x se blíží nekonečnu, a to je
to co normálně děláme, když x jde k nekonečnu.
Můžeme vydělit čitatel a jmenovatel
členem s největším exponentem.
A v tomhle případě to je x , že?
Máme x tady a x tady.
A potom když
dělíte něco jako tohle x-em, a jde to
k nekonečnu, bude se to blížit 0.
Tak to uděláme.
Vydělíme čitatel a jmenovatel x - em.

Portuguese: 
Isso é x ao quadrado mais 4x mais 1 menos b quadrado.
Bem o que é b quadrado?
Bem, b é x.
Por isso, vai ser menos x ao quadrado.
Isto é apenas álgebra.
Dividido por esta coisa: a raiz quadrada de x ao quadrado
mais 4x mais 1 mais x.
Então, vamos ver.
Há uma pequena simplificação q podemos fazer.
Podemos subtrair - Nós podemos - Estes dois principais termos cancelar.
Assim x quadrado menos x ao quadrado.
E agora vamos ver o que podemos fazer.
Bem, já que estamos tomando x ao infinito, e este é
que você normalmente faz o que você leva x até o infinito.
Podemos dividir o numerador e o denominador por
nosso termo de maior grau.
E, neste caso, nossos termos mais alto grau é x, certo?
Temos um x aqui e um x aqui.
E então, quando você tomar - E depois, claro, quando você
divide algo assim por x, e você levá-lo para,
infinito, isto irá aproximar no 0.
Então, vamos fazer isso.
Vamos dividir o numerador e o denominador por x.

Turkish: 
"iks kare", artı "4 iks", artı 1. Eksi "b kare" gelecek.
"b kare" neye eşit?
b, iks olduğuna göre,
"eksi iks kare" olacak.
Bu bölüm tamamen cebirsel işlemler.
Bölü; payda'daki bu ifade. Karekök içinde "iks kare"
artı "4 iks", artı 1 ve artı iks.
Tamamdır.
Küçük bir sadeleştirme yapabiliriz.
Pay'daki bu iki terim birbirini götürür.
"iks kare" eksi "iks kare", eşittir sıfırdır.
Şimdi fonksiyonu inceleyebiliriz.
iks, sonsuza yaklaşıyor.
iks, sonsuza yaklaşırken ne yaparız?
Hem pay'ı, hem de payda'yı, en yüksek dereceden
terime böleriz.
Bu soruda, en yüksek dereceli terim, iks'tir.
Pay'da ve payda'da iks var.
Tabii, doğal olarak, 1'i iks'e bölerseniz
ve iks de sonsuza yaklaşıyorsa,
o terim, sıfıra yakınsar.
Yapalım bakalım.
Pay'ı ve payda'yı iks'e bölelim.

Dutch: 
Dat is x kwadraat plus 4x plus 1 min b kwadraat.
En wat is b kwadraat?
Nou, b is x.
Dus het gaat worden min x kwadraat.
Dit is gewoon algebra.
Gedeeld door dit: de vierkantswortel van x kwadraat
plus 4x plus 1 plus x.
Dus laten we zien.
We kunnen het een beetje vereenvoudigen.
We kunnen aftrekken -- We kunnen -- deze twee termen wegstrepen.
Dus x kwadraat min x kwadraat.
En laten we nu eens kijken wat we nog kunnen doen.
Omdat we x naar oneindig laten lopen, en dit is
wat je normaal doet als x oneindig nadert.
We kunnen de teller en de noemer delen door
onze grootste gemene deler.
En in dit geval is onze grootste gemene deler x, toch?
We hebben een x hier en een x hier.
En als je dan neemt -- en dan, natuurlijk, als je
zoiets deelt door x, en je laat het naar
oneindig lopen, dan zal dit naderen naar 0.
Dus laten we dat doen.
Laten we de teller en de noemer delen door x.

Chinese: 
记得：你对分子做了什么
分母也得做相同的动作
不然你就会改变式子的数值
所以乘以 1/x 除以 1/x
我只是用 x 除分子和分母
这将等于当 x 趋近无穷大时的极限
这将是 4 + 1/x 除以 ——
让我问你个问题
1/x 乘于这个是什么？
这是个代数的复习
1/x 乘于 x^2 + 4x +1 的平方根 是什么？
我在这边上做一下
嗯 1/x 放进这平方根内
会变成 1/x^2 对吗？
当然你可以说是 1^2/x^2
这是一样的东西
你可以说是 1^2
你可以在这平方 但是——

Thai: 
และจำไว้: เมื่คุณทำอะไรทำตัวเศษ คุณต้อง
ทำกับตัวส่วนด้วย
ไม่อย่างนั้น คุณจะเปลี่ยนค่ามันไป
ได้ คูณ 1 ส่วน x ส่วน 1 ส่วน x
ผมแค่หารตัวเศษกับตัวส่วนด้วย x
ดังนั้นนี่จะเท่ากับ ลิมิตเมื่อ x เข้าหาอนันต์ของ --
อะไร -- มันจะเป็น 4 บวก 1 ส่วน x ส่วนด้วย --
ขอผมถามคุณสักหน่อย
1 ส่วน x คูณเจ้านี่คืออะไร
-- นี่เป็นการทบทวนวิชาพีชคณิตหน่อย แต่ 1 ส่วน x นี่
1 ส่วน x คูณ x กำลังสอง บวก 4x บวก 1 ได้เท่าไหร่
ผมจะเขียนข้าง ๆ ตรงนี้นะ
หากเราเอา 1 ส่วน x มาใส่ไว้ใต้เครื่องหมาย
รูท มันจะกลายเป็น 1 ส่วน x กำลังสอง จริงไหม
นี่มันจะเท่ากับ -- อาจบอกว่าคือ 1 ยกกำลังสอง
ส่วน x กำลังสองก็ได้ -- สุดท้ายก็คือ 1 ส่วน x กำลังสอง
จะบอกว่า 1 กำลังสองก็ได้
คุณจะใส่กำลังสองไว้ก็ได้ -- คูณ x กำลังสอง

English: 
And remember: anything you do
in the numerator, you have
to do in the denominator.
Otherwise you're
changing the value.
So times 1 over x
over 1 over x.
I'm just dividing the numerator
and the denominator by x.
So this is equal to the limit
as x approaches infinity of--
What's-- That's going to
be 4 plus 1 over x over--
Let me ask you a question.
What is 1 over x
times this thing?
What is-- This is a bit of an
algebra review, but 1 over x.
What's 1 over x times x
squared plus 4x plus 1?
I'm just doing a little
on the side here.
Well if we take the 1 over
x and we put it into the
radical sign, it becomes
1 over x squared, right?
This is the same thing as--
You can say 1 squared
over x squared, but--
1 over x squared.
You could say 1 squared.
You could put a square there,
but-- Times x squared

Portuguese: 
E lembre-se: tudo o que você faz no numerador, você tem
que fazer no denominador.
Caso contrário, você está mudando o valor.
Então vezes 1 sobre x mais de 1 sobre x.
Eu só estou dividindo o numerador e o denominador por x.
Portanto, este é igual ao limite quando x tende a infinito de -
O que é - Isso vai ser 4 mais 1 sobre x sobre -
Deixe-me fazer uma pergunta.
O que é 1 sobre x vezes isto?
O que é - Isto é um pouco de uma revisão de álgebra, mas 1 sobre x.
O que é 1 sobre x vezes x ao quadrado mais 4x mais 1?
Eu só estou fazendo um pouco sobre o lado aqui.
Bem, se tomarmos a 1 sobre x e nós vamos colocá-lo no
sinal radical, torna-se um sobre x ao quadrado, certo?
Esta é a mesma coisa que - Você pode dizer um quadrado
sobre x ao quadrado, mas - 1 sobre x ao quadrado.
Você poderia dizer que um quadrado.
Você poderia colocar um quadrado lá, mas - Vezes x ao quadrado

Italian: 
E ricordati: qualsiasi cosa che fai al numeratore devi
farla al denominatore.
Altrimenti cambi il valore.
Quindi per 1 fratto x fratto 1 fratto x.
Sto solo dividendo il numeratore e il denominatore per x.
Quindi questoe' uguale al limite per x che tende a infinito di ---
quant'e' --- questo sara' 4 + 1 fratto x fratto ---
fammiti porre una domanda.
QUant'e' 1 / x per questa cosa?
Quant'e' --- questo e' un po' un ripassi di algebra, ma 1 / x.
Quant'e' (1 / x) * x^2 + 4x + 1 ?
Lo faccio un po' qui sul lato.
Beh se prendiamo 1 / x e lo mettiamo sotto il
segno di radice, diventa (1 / x^2), giusto?
Lo stesso che se --- puoi dire 1^2 / x^2,
ma --- 1 / x^2.
Potresti dire 1^2.
Qui ci puoi mettere un quadrato, ma --- per x^2

Hungarian: 
Ne feledd, mindazt, amint a számlálóval csinálsz,
a nevezővel is meg kell csinálnod.
Különben megváltozik a függvényed értéke.
Szorozva 1/x per 1/x-szel.
Elosztom a számlálót és nevezőt is x-szel.
Ez lesz a határérték, ahogy x tart a végtelenhez,
ez 4 meg 1/x per --
hadd kérdezzek valamit:
mennyi 1/x-szer ez?
Mennyi -- ez olyan mint egy algebra ismétlés, 1/x...
Mennyi 1/x szorozva x négyzet, meg 4x, meg 1?
Itt oldalt fogok számolni.
Vesszük az 1/x-et, és bevisszük a négyzetgyök alá,
akkor az 1 per x négyzet lesz.
Ez megegyezik azzal, hogy 1 négyzet, per x négyzet,
de most csak 1 per x négyzetet írunk.
Mondhatod, hogy 1 négyzet.
Rakhatsz ide egy négyzetet ... szorozva x négyzet,

Dutch: 
En vergeet niet: alles wat je met de teller doet, moet je
ook met de noemer doen.
Anders wijzig je de waarde.
Dus keer 1 gedeeld door x gedeeld door 1 gedeeld door x.
Ik deel gewoon de teller en de noemer door x.
Dus dit is gelijk aan de limiet van x nadert oneindig van --
Wat is -- dat gaat worden 4 plus 1 gedeeld door x gedeeld door --
Laat ik eens vragen.
Wat is 1 gedeeld door x keer dit?
Wat is -- dit is een algebratestje, maar 1 gedeeld door x.
Wat is 1 gedeeld door x keer x kwadraat plus 4x plus 1?
Ik doe gewoon wat aan deze kant hier.
Nou als we de 1 gedeeld door x nemen en wij zetten het binnen het
wortelteken, wordt het 1 gedeeld door x kwadraat, toch?
Dit is hetzelfde als -- zeg maar 1 kwadraat
gedeeld door x kwadraat, maar -- 1 gedeeld door x kwadraat.
Je kunt zeggen 1 kwadraat.
Je kunt daar een kwadraat neerzetten, maar -- keer x kwadraat

Polish: 
I pamięta, cokolwiek zrobisz w liczniku musisz
zrobić w mianowniku.
Inaczej zmieniasz wartość.
Więc pomnóżmy razy jeden nad x nad jeden nad x.
Tylko dzielę licznik i mianownik prze x.
Więc to jest równe granicy gdy x dąży do nieskończoności z -
Co - To będzie 4 dodać 1 nad x nad -
Pozwólcie, że zadam wam pytanie.
Czym jest 1 nad x razy to coś?
Czym jest - Troszkę powtórki z algebry, ale 1 nad x.
Czym jest 1 nad x razy x^2 dodać 4x dodać 1?
Liczę sobie troszkę na boku.
Cóż, jeżeli weźmiemy 1 nad x i włożymy
w znak pierwiastka, to dostaniemy 1 nad x do kwadratu, racja?
To jest to samo co - można powiedzieć 1^2
nad x^2, ale - 1 nad x^2.
Można powiedzieć 1^2.
Możesz to podnieść do kwadratu ale - razy x^2

Hindi: 
और याद रखें: कुछ है आप अमेरिका में हैं, आपके पास
भाजक है में करने के लिए।
अन्यथा आप मान बदल रहे हैं।
बहुत से अधिक 1 एक्स से अधिक से अधिक 1 एक्स टाइम्स।
मैं बस एक्स से अमेरिका और भाजक विभाजन कर रहा हूँ।
एक्स इन्फिनिटी के दृष्टिकोण के रूप में तो यह सीमा को बराबर है-
क्या है - कि जा रही हो एक्स से अधिक - से अधिक 4 प्लस 1
मुझे तुमसे एक सवाल पूछना है।
क्या खत्म x 1 है यह बात बार?
क्या है-- यह एक्स पर एक बीजगणित की समीक्षा की है, लेकिन 1 के एक बिट है।
क्या खत्म 1 बार x है एक्स चुकता प्लस 4 x प्लस 1?
मैं बस एक छोटी तरफ यहाँ कर रही हूँ।
ठीक है, अगर हम 1 से अधिक एक्स लेते हैं और हम इसे में डाल
कट्टरपंथी साइन इन करें, यह एक्स चुकता, ठीक से अधिक 1 बन जाता है?
यह एक ही बात है के रूप में आप कह सकते हैं 1 चुकता-
एक्स चुकता, नहीं है लेकिन-1 से अधिक एक्स चुकता।
आप कह सकते हैं 1 चुकता।
तुम एक वर्ग डाल सकता है, वहाँ, लेकिन - एक्स चुकता टाइम्स

German: 
Und denken Sie daran: alles, was Sie im Zähler tun, Sie haben
im Nenner zu tun.
Andernfalls ändern Sie den Wert sind.
Also mal 1 über x über 1 über X.
Ich bin nur den Zaehler und den Nenner durch x teilen.
Das ist also gleich dem Grenzwert nähert X Unendlichkeit des--
Was ist--, die gehen zu 4 plus 1 über x über--sein
Lassen Sie mich Ihnen eine Frage stellen.
Was ist 1 X mal dieses Ding?
Was ist--ist ein bisschen wie eine Algebra-Wiederholung, aber 1 über X.
Was ist 1 über x mal X Quadrat plus 4 X plus 1?
Ich mache gerade ein wenig auf der Seite hier.
Nun, wenn wir die 1 X übernehmen und wir es in setzen die
wird Radical Zeichen, es 1 über x quadriert, richtig?
Dies ist dasselbe wie--Sie sagen können kariert 1
über x kariert kariert aber--1 über X.
Man könnte sagen, 1 Quadrat.
Sie konnte einen Platz dort, aber--mal X Quadrat setzen.

Chinese: 
記得：你對分子做了什麽
分母也得做相同的動作
不然你就會改變式子的數值
所以乘以 1/x 除以 1/x
我只是用 x 除分子和分母
這將等於當 x 趨近無窮大時的極限
這將是 4 + 1/x 除以 ——
讓我問你個問題
1/x 乘於這個是什麽？
這是個代數的複習
1/x 乘於 x^2 + 4x +1 的平方根 是什麽？
我在這邊上做一下
嗯 1/x 放進這平方根內
會變成 1/x^2 對嗎？
當然你可以說是 1^2/x^2
這是一樣的東西
你可以說是 1^2
你可以在這平方 但是——

Arabic: 
وتذكروا ان اي شيئ تفعلوه في البسط، عليكم
ان تفعلوه في المقام
والا سوف تغير القيمة
اذاً × 1 / x / 1 / x
انني اقسم البسط والمقام على x
وهذا مساوياً لنهاية اقتراب x من ما لا نهاية لـ
--ماذا-- هذا يساوي 4 + 1 / x /
--اسمحوا لي ان اسألكم سؤالاً
ما ناتج 1 / x × هذا الشيئ؟
ما هو --ان هذه تعتبر مراجعة للجبر، لكن 1 / x
ما هو ناتج 1 / x × x^2 + 4x + 1؟
انني اقوم ببعض العمليات على هذا الجانب
حسناً، اذا اخذت الـ 1 / x ووضعناها داخل
رمز الجذر، فستصبح (1 / x)^2، اليس كذلك؟
هذا يعادل --يمكنك ان تقول 1^2
/ x^2، لكن --1 / x^2
يمكنك ان تقول 1^2
يمكن ان تضع مربعاً هنا، لكن --× x^2

Turkish: 
Pay'a uyguladığınız her işlemi
payda'ya da uygulamalısınız.
Aksi takdirde, değeri değiştirirsiniz.
Çarpı; "1 bölü iks", bölü, "1 bölü iks".
Pay'ı ve payda'yı iks'e böldüm.
Fonksiyonu son hâlini yazalım: iks, sonsuza yaklaşırken...
4 artı "1 bölü iks", bölü...
Size bir soru sorayım.
"1 bölü iks"i bu ifade ile çarpsak ne olur?
Cebir bilgilerimizi hatırlayacağız.
"1 bölü iks" çarpı; karekök içinde, "iks kare" artı "4 iks" artı 1 nedir?
Bu bölümü yanda çözüyorum.
"1 bölü iks"i karekök içine alırsak,
"1 bölü iks kare" olur, değil mi?
Bu ifadenin eşiti de... Tabii, "1'in karesi"
bölü "iks kare" de diyebilirsiniz. "1 bölü iks kare"
"1'in karesi" de yazabilirsiniz.
Hiç fark etmez. Çarpı; "iks kare"

Czech: 
A pamatujte: všechno co děláte v čitateli, musíte
dělat i ve jmenovateli.
Jinak změníte hodnotu.
Takže krát (1/x) lomeno (1/x).
Jen dělím čitatel a jmenovatel tím samým.
Takže tohle se rovná.. limita x blížící se nekonečnu funkce
To bude (4 + 1/x) lomeno ...
Na něco se vás zeptám.
Co je 1/x krát tohle?
To je tak trochu opakování algebry, ale 1/x.
Co je 1/x krát (x na druhou +4x+1)?
Udělám to tu na straně.
No když vezmeme 1/x a dáme to pod
odmocninu , stane se z toho 1/x na druhou, že?
Je to to samé jako.. Můžete říct 1 nadruhou
lomeno x nadruhou, ale ... 1/x na druhou.
Mohli byste říct 1 na druhou.
Mohli byste tam dát na druhou... ale... krát x na druhou

Portuguese: 
mais 4x mais 1.
E isso deve fazer sentido para você, certo?
Porque, se nós começamos com isso, nós poderíamos facilmente apenas
tirar a raiz quadrada deste e levá-la fora.
E a raiz quadrada desta é 1 sobre x.
Eu só vou no outro sentido, certo?
Então, supondo que você está confortável com isso, tudo
sob o sinal radical.
Mesmo que na verdade estamos dividindo por 1 sobre x, uma vez que
estamos indo para o sinal radical, na verdade estamos
dividindo por x ao quadrado.
Assim torna-se - este é o sinal radical - x ao quadrado
dividido por x ao quadrado é um, certo?
Espero que você entenda por que estamos dividindo por x quadrado aqui.
Na verdade, estamos dividindo por 1 sobre x.
Mas quando você colocá-lo sob o sinal radical, torna-se
1 sobre x ao quadrado.
Deixe-me colocar desta forma.
1 x vezes sobre a raiz quadrada de um.
Isso é a mesma coisa.
É igual à raiz quadrada de um quadrado sobre x
quadrado vezes um, certo?
E este é apenas 1 sobre x ao quadrado.
Então essa é a propriedade, ou a álgebra que estamos usando.

Hungarian: 
meg 4x, meg 1-gyel.
Érted nem?
Mert kezdtük ezzel, aminek vehetjük
a gyökét, és kivihetjük a gyök elé,
a gyöke ennek, 1/x.
Most viszont a másik irányba haladok.
Felteszem, hogy nincs ezzel semmi bajod,
ami a gyökjel alá került.
Igaz, hogy eredetileg 1/x-szel osztottuk,
de mivel bevisszük a gyökjel alá,
x négyzettel osztunk.
Ebből -- ez a gyökjel -- x négyzet leszl
osztva x négyzettel, ami 1 lesz. Így van?
Remélem érthető miért osztunk x négyzettel itt.
1/x-szel osztunk.
De amint beviszed a négyzetgyök alá,
az 1/x négyzet lesz.
Hadd magyarázzam el.
1/x szorozva négyzetgyök a-val.
Ez ugyanaz.
Ez egyenlő négyzetgyök
1/x négyzet, szorozva a-val.
És ez éppen 1/x négyzet.
Ez a tulajdonságot, vagy másképp az algebrát használjuk.

Thai: 
บวก 4x บวก 1
คุณคงเข้าใจนะ
เพราะหากเราเริ่มตรงนี้ เราสามารถใส่
สแควร์รูทให้เจ้านี่ แล้วดึงออกมา
และสแควร์รูทของเจ้านี่ก็คือ 1 ส่วน x
ผมแค่ทำมันในทางกลับกัน จริงไหม
งั้นหากคุณเข้าใจแล้ว ทุกอย่าง
อยู่ใต้เครื่องหมายรูท
แม้ว่าเรากำลังหารมันด้วย 1 ส่วน x แต่
เพราะเรากำลังอยู่ในเครื่องหมายรูท เรา
จึงหารด้วย x กำลังสอง
แล้วมันจะเป็น -- นี่คือเครื่องหมายรูท -- x กำลังสอง
หารด้วย x กำลังสองได้ 1 จริงไหม
ผมหวังว่าคุณจะเข้าใจว่าทำไมเราจึงหารด้วย x กำลังสองตรงนี้
ที่จริงเราหารด้วย 1 ส่วน x เหมือนเดิม
แต่เมื่อคุณใส่มันใต้เครื่องหมายรูท มันจะ
กลายเป็น x ยกกำลังสอง
ขอผมบอกอย่างนี้แล้วกัน
1 ส่วน x คูณ สแควร์รูทของ a
มันก็เหมือนกับ
มันเท่ากับ สแควร์รูทของ 1 กำลังสองส่วน x กำลังสอง
คูณ a จริงไหม
และนี่ก็แค่ 1 ส่วน x กำลังสอง
และนี่คือสมบัติ หรือกฏพีชคณิตที่เราใช้ในข้อนี้

Chinese: 
乘以 x^2 + 4x +1
這對你來說蠻合理的 對吧？
因爲如果我們先這麽做
我們可以輕松地取這的平方根 再拿到外面
這的平方根是 1/x
我只是反過來做 對吧？
所以假設你還能接受這
這平方根的全部東西
即使我們其實在除以 1/x
因爲我們把它拿進平方根內
我們其實在除以 x^2
這等於——這是平方根——
x^2/x^2 等於 1 對吧？
我希望你能理解爲什麽我會除以 x^2
其實我們是在除以 1/x
當你把它放進平方根內
它變成了 1/x^2
讓我這麽說
1/x 乘於 a 的平方根
這是一樣的東西
這等於 1^2/x^2 的平方根
乘於 a 對吧？
這只是 1/x^2
所以這是我們用的代數

Polish: 
dodać 4x dodać 1
I to powinno mieć dla was jakiś sens, racja?
Ponieważ, jeżeli zaczęliśmy z tym, możemy spokojnie
wziąć pierwiastek kwadratowy z tego i wyjąć na zewnątrz.
A pierwiastek kwadratowy z tego to 1 nad x.
Idę teraz w innym kierunku, ok?
Więc zakładając, że jesteś z tym zaznajomiona, wszystko
pod pierwiastkiem.
Nawet jeżeli właściwie dzielimy przez 1 nad x, skoro
wchodzimy pod pierwiastek, właściwie
dzielimy przez x^2.
Więc to staje się - to jest pierwiastek - x^2
dzielone przez x^2 jest równe 1, racja?
Mam nadzieję, że rozumiesz dlaczego dzielimy tutaj przez x^2.
Właściwie dzielimy przez 1 nad x.
Ale kiedy włożysz to pod znak pierwiastka, to
dostajesz 1 nad x^2.
Pozwólcie, że ujmę to w ten sposób.
1 nad x razy pierwiastek kwadratowy z a.
To jest to samo.
To jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z 1 nad
x^2 razy a, racja?
I to jest tylko 1 nad x^2.
To jest własność algebraiczna, której używamy.

Italian: 
+ 4x + 1.
E dovrebbe avere senso per te, giusto?
Perche' se avessimo iniziato con questo, potremmo facilmente
prendere la radice quadrata di questo e portarlo fuori.
E la radice quadrata di questo e' 1/x.
Vado solo al contrario, giusto?
Quindi, assumendo che tu sia a tuo agio con questo, tutto
sotto al segno di radice.
Anche se in realta' stiamo dividendo per 1/x, dato che
stiamo andando sotto al sgno di radice, in realta'
dividiamo per x^2.
Quindi diventa --- questo e' il segno di radice --- x^2
diviso per x^2 fa 1, giusto?
Spero tu capisca perche' qui stiamo dividendo per x^2.
In realta' stiamo dividendo per 1/x.
Ma quando lo metti sotto al segno di radice, diventa
1/x^2.
Mettiamola cosi'.
1/x * √a.
E' la stessa cosa.
E' uguale alla √(1^2/x^2)
per a, giusto?
E questo e' semplicemente 1 / x^2.
Quindi questa e' la proprieta', o l'algebra che stiamo usando.

Turkish: 
artı "4 iks" artı 1.
Gayet mantıklı, değil mi?
Soru böyle verilseydi,
"1 bölü iks kare"yi karekök dışına çıkardığınızda,
"1 bölü iks" olacaktı.
Bunun tersini yaptık.
Bu bölümü anladığınızı varsayıyorum.
Tüm ifade karekök içinde.
Normalde iks'e bölüyor olmamıza rağmen,
karekök içine girdiğimiz için
"iks kare"ye bölüyor gibiyiz.
Bu nedenle de... Karekökü yazayım. "iks kare"
bölü "iks kare", 1 eder.
Umarım, neden "iks kare"ye böldüğümüzü anlamışsınızdır.
Aslında iks'e bölüyorsunuz
ama karekök içine girdiğinden,
"iks kare" oluyor.
Şuraya yazayım.
"1 bölü iks" çarpı "kök a",
şuna eşittir...
Eşittir; karekök içinde, 1'in karesi, bölü,
"iks kare", çarpı a.
Burası, "1 bölü iks" aslında.
Bu, cebirin bir özelliği.

German: 
Plus 4 X plus 1.
Und das sollte Sinn, richtig?
Denn wenn wir damit begannen, wir einfach nur konnten
nehmen Sie die Quadratwurzel von dies und es draußen.
Und die Wurzel davon ist 1 X.
Werde ich einfach in die andere Richtung, richtig?
Also, angenommen, Sie sind wohl dabei, alles
unter dem Zeichen der radikale.
Obwohl wir tatsächlich von 1 über X, da geteilt sind
Wir gehen in die radikale Zeichen, wir sind tatsächlich
Division durch x kariert.
So wird es--dies ist der radikal-Zeichen--X kariert
geteilt durch X-squared ist 1, richtig?
Ich hoffe, dass Sie verstehen, warum wir von X-squared hier geteilt sind.
Wir sind tatsächlich die Division von 1 über X.
Aber wenn Sie es unter dem Radical Zeichen setzen, wird es
1 über x kariert.
Lassen Sie es mich so.
1 über x mal die Quadratwurzel aus einer.
Das ist das gleiche.
Das entspricht der Quadratwurzel von 1 Quadrat über x
kariert Zeiten, Recht?
Und das ist nur 1 über x kariert.
Also das ist die Eigenschaft oder der Algebra, die wir verwenden.

Dutch: 
plus 4x plus 1.
En dat is logisch, toch?
Want als we hier waren begonnen, konden we gewoon
de vierkantswortel hiervan nemen en het erbuiten plaatsen.
En de vierkantswortel hiervan is 1 gedeeld door x.
Ik ga gewoon via de andere kant, toch?
Zo, ik ga ervan uit dat je daarmee vertrouwd bent, alles
onder het wortelteken.
Hoewel we eigenlijk delen door 1 gedeeld door x, maar omdat
we onder het wortelteken zijn, delen we eigenlijk
door x kwadraat.
Dus wordt het -- dit is het wortelteken -- x kwadraat
gedeeld door x kwadraat is 1, toch?
Ik hoop dat je begrijpt waarom wij hier delen door x kwadraat.
Eigenlijk delen we door 1 gedeeld door x.
Maar wanneer het onder de wortelteken staat, wordt het
1 gedeeld door x kwadraat.
Of anders gezegd:
1 gedeeld door x keer de vierkantswortel van a.
Dat is hetzelfde.
Dat gelijk is aan de vierkantswortel van x kwadraat gedeeld door 1
kwadraat keer a, toch?
En dit is gewoon 1 gedeeld door x kwadraat.
Dus dat is het kenmerk of de algebra die we gebruiken.

Czech: 
+ 4x +1.
A to by vám měla dávat smysl, ne?
Protože, když jsme s tím začali, jednoduše můžeme
vzít odmocninu a dát jí takhle před.
A odmocnice tohohle je 1/x.
Jdu na to trochu jinak, co?
Tak budu předpokládat, že jste spokojení s tím,
že je všechno pod odmocninou.
Přesto, že dělíme 1/x
jelikož jsme pod odmocninou, ve skutečnosti
dělíme x nadruhou.
Takže to bude... tohle je odmocnina.. x na druhou
děleno x na druhou je 1, že?
Doufám, že tomu rozumíte proč tady dělíme x na druhou.
Ve skutečnosti dělíme 1/x.
ale když to dáte pod odmocninu stane se z toho
1/x na druhou.
Řeknu to jinak.
1/x krát odmocnina A
To je to samé.
To se rovná odmocnině (1 na druhou) lomeno...
(x na druhou) krát A, že?
A tohle je jen 1/x nadruhou.
To je pravidlo nebo prostě algebra,kterou teď používáme.

Hindi: 
प्लस 4 x प्लस 1।
और कि आप करने के लिए, सही मतलब होना चाहिए?
क्योंकि यदि हम इस के साथ शुरू किया था, तो हम आसानी से बस कर सकते थे
इस का वर्गमूल ले लो और इसे बाहर ले जाओ।
और इस का वर्गमूल 1 एक्स से अधिक है।
मैं सिर्फ दूसरी दिशा में सही जा रहा हूँ?
तो, तुम उस के साथ, आराम कर रहे हैं संभालने सब कुछ
कट्टरपंथी के तहत साइन इन करें।
भले ही हम वास्तव में द्वारा 1 से अधिक एक्स, के बाद से विभाजित कर रहे हैं
हम कट्टरपंथी हस्ताक्षर में जा रहे हैं, हम वास्तव में कर रहे हैं
एक्स द्वारा जायें dividing चुकता।
तो यह हो जाता है - यह कट्टरपंथी संकेत है - एक्स चुकता
एक्स चुकता द्वारा विभाजित 1, सही है?
मुझे आशा है कि आप समझ में क्यों हम यहाँ चुकता एक्स से विभाजित कर रहे हैं।
हम वास्तव में एक्स से अधिक 1 द्वारा विभाजित कर रहे हैं।
लेकिन जब तुम यह कट्टरपंथी पर दस्तखत डाल, यह हो जाता है
1 एक्स चुकता खत्म।
मुझे इसे इस तरह से डाल दिया।
1 एक्स पर समय का वर्गमूल एक।
कि एक ही बात है।
कि 1 से अधिक एक्स चुकता का वर्गमूल के बराबर होती है
एक, सही टाइम्स चुकता?
और यह सिर्फ 1 एक्स चुकता खत्म।
जिससे कि संपत्ति है, या बीजगणित हम द्वारा उपयोग किए जा रहे है।

English: 
plus 4x plus 1.
And that should make
sense to you, right?
Because if we started with
this, we could easily just
take the square root of
this and take it outside.
And the square root
of this is 1 over x.
I'm just going in the
other direction, right?
So, assuming you're comfortable
with that, everything
under the radical sign.
Even though we're actually
dividing by 1 over x, since
we're going into the radical
sign, we're actually
dividing by x squared.
So it becomes-- this is the
radical sign --x squared
divided by x squared
is 1, right?
I hope you understand why we're
dividing by x squared here.
We're actually
dividing by 1 over x.
But when you put it under the
radical sign, it becomes
1 over x squared.
Let me put it this way.
1 over x times the
square root of a.
That's the same thing.
That equals the square
root of 1 squared over x
squared times a, right?
And this is just 1
over x squared.
So that's the property, or the
algebra that we're using.

Arabic: 
+ 4x + 1
وهذا يجب ان يكون منطقياً بالنسبة لكم، اليس كذلك؟
لأنه اذا بدأنا بهذا، فيمكننا بكل سهولة ان
نأخذ الجذر التربيعي لهذا وناخذه خارجاً
والجذر التربيعي له هو 1/x
انني اتجه في الاتجاه الآخر، اليس كذلك؟
اذاً على افتراض اننا مرتاحين حيال ذلك، فإن كل شيئ
تحت رمز الجذر
حتى وان كنا نقسم على 1/x، بما
اننا ذهبنا تحت رمز الجذر، فنحن في الوافع
نقسم على x^2
اذاً يصبح --هذا هو رمز الجذر-- x^2
÷ x^2 = 1، اليس كذلك؟
اتمنى انكم تفهمون لماذا نقسم على x^2 هنا
اننا في الواقع نقسم على 1/x
لكن عندما تضعونها تحت رمز الجذر، تصبح
1/x^2
دعوني اضعها بهذه الطريقة
1/x × الجذر التربيعي لـ a
هذا نفس الشيئ
ذلك يساوي الجذر التربيعي لـ 1^2 / x^2
× a، اليس كذلك؟
وهذا عبارة عن 1/x^2
اذاً تلك هي الخاصية، او الجبر الذي نستخدمه

Chinese: 
乘以 x^2 + 4x +1
这对你来说蛮合理的 对吧？
因为如果我们先这么做
我们可以轻松地取这的平方根 再拿到外面
这的平方根是 1/x
我只是反过来做 对吧？
所以假设你还能接受这
这平方根的全部东西
即使我们其实在除以 1/x
因为我们把它拿进平方根内
我们其实在除以 x^2
这等于——这是平方根——
x^2/x^2 等于 1 对吧？
我希望你能理解为什么我会除以 x^2
其实我们是在除以 1/x
当你把它放进平方根内
它变成了 1/x^2
让我这么说
1/x 乘于 a 的平方根
这是一样的东西
这等于 1^2/x^2 的平方根
乘于 a 对吧？
这只是 1/x^2
所以这是我们用的代数

Portuguese: 
De qualquer forma, nós dividimos tudo isso por x ao quadrado.
Então, que se torna um quadrado 1 mais 4 x mais sobre 1 sobre x.
E depois, claro, dividimos este por - Este termo aqui,
dividimos por x, certo?
Porque não é no sinal radical.
De modo que se torna apenas um 1.
Então agora o que é o limite quando x tende a infinito?
Bem como x tende a infinito, este termo aqui
vai para 0, certo?
1 sobre o infinito é 0.
Este direito termo aqui vai para 0.
Este direito termo aqui vai para 0.
E então o que nos resta?
Isto é igual a 4 sobre a raiz quadrada de 1, mais 1.
Bem, isso é apenas 1.
De modo que é igual a 4 ao longo de 2, que é igual a 2.
Lá você vai.
Agora vamos fazer mais um problema.
Esta é a terceira que ela tinha me deu.

Thai: 
เอาล่ะ เราหารทั้งหมดด้วย x กำลังสอง
นั่นจะกลายเป็น 1 บวก 4 ส่วน x บวก 1 ส่วน x กำลังสอง
จากนั้น แน่นอน เราหารเจ้านี่ด้วย -- เทอมตรงนี้
เราหารด้วย x จริงไหม
เพราะมันไม่มีเครื่องหมายรูท
ดังนั้นมันจะกลายเป็น 1
ทีนี้ ลิมิตเมื่อ x เข้าหาอนันต์จะเป็นเท่าไหร่
เมื่อ x เข้าหาอนันต์ เทอมนี้ตรงนี้
จะเข้าหา 0 จริงไหม
1 ส่วน อนันต์ เป็น 0
เทอมนี้ตรงนี้กลายเป็น 0
เทอมตรงนี้ก็เข้าหา 0
แล้วเราเหลืออะไรบ้าง
นี่จะเท่ากับ 4 ส่วน สแควร์รูทของ 1 บวก 1
นั่นก็แค่ 1
แล้วนั่นเท่ากับ 4 ส่วน 2 ซึ่งเท่ากับ 2
เสร็จแล้ว
ทีนี้ลองทำโจทย์อีกข้อนึง
นี่คือโจทย์ข้อสามที่เธอให้มา

Czech: 
Každopádně, vydělíme tohle celý x na druhou.
To bude 1+4/x+1/(x na druhou).
A potom tohle vydělíme tímto
tady, vydělíme to x
protože není pod odmocninou.
To bude 1.
A teď, co je limita x přibližující se k nekonečnu?
No jak se x přibližuje nekonečnu, tenhle zlomek
bude 0, že?
1 lomeno nekonečno je 0.
Tohle bude taky 0.
Tohle bude taky 0.
A co nám zbylo?
Je to rovno 4 lomeno (odmocnina z 1 plus 1).
To je jen 1.
Takže je to rovno 4/2, což je 2.
Tady to máte.
A teď pojďme na další.
To je třetí, který mi dala.

Arabic: 
على اي حال، نقسم جميع هذا على x^2
ويصبح 1 + 4 / x + 1 / x^2
ومن ثم، بالطبع، نقسم هذا على --هذه العبارة
هنا، نقسم على x، اليس كذلك؟
لأنه ليس في رمز الجذر
انه يصبح 1
اذاً الآن ما هي نهاية اقتراب x من ما لا نهاية؟
حسناً، كلما اقتربت x من ما لا نهاية، فإن هذه العبارة الموجودة هنا
ستصبح 0، اليس كذلك؟
1 / ما لا نهاية = 0
هذه العبارة تصبح 0
هذه العبارة هنا تصبح 0
وبهذا ماذا يتبقى لدينا؟
هذا يساوي 4 / الجذر التربيعي لـ 1 + 1
حسناً، هذا يساوي 1
اذاً هذا يساوي 4/2، اي يساوي 2
هيا بنا
الآن دعونا نحل مسألة اخرى
هذه المسألة الثالثة التي اعطتني اياها

Italian: 
Ad ogni modo, dividiamo tutto questo per x^2.
Quindi diventa 1 + 4) / x + 1/x^2).
E poi, ovviamente, dividiamo questo uno per --- questo termine
qui, lo dividiamo per x, giusto?
Perche' non sta sotto al segno di radice.
Quindi diventa un 1.
Quindi ora quant'e' il limite per x che tende a infinito?
Beh, quando x si avvicina a infinito, questo termine qui
arriva a 0, giusto?
1 / infinito fa 0.
Questo termine qui va a 0.
Questo termine qui va a 0.
E quindi cosa ci rimane?
Questo e' uguale a 4 / √1 + 1.
Beh, e' semplicemente 1.
Quindi questo e' uguale a 4 / 2, che e' uguale a 2.
Ecco qua.
Facciamo un altro problema.
E' il terzo che mi ha dato.

Hindi: 
तो वैसे भी, हम इस सब के द्वारा एक्स चुकता फूट डालो।
इतना कि एक 1 प्लस एक्स पर 4 प्लस 1 एक्स चुकता खत्म हो जाता है।
और फिर, बेशक, हम इस एक ने - इस शब्द का सही विभाजन
यहाँ, हम एक्स, सही द्वारा विभाजन?
क्योंकि यह कट्टरपंथी साइन इन नहीं है।
इतना कि बस एक 1 हो जाता है।
तो अब क्या दृष्टिकोण अनंत के रूप में एक्स की सीमा है?
यह शब्द सही यहाँ के रूप में अच्छी तरह से अनंत एक्स दृष्टिकोण,
0, सही करने के लिए चला जाता है?
इन्फिनिटी पर 1 0 है।
इस शब्द का सही यहाँ 0 करने के लिए चला जाता है।
इस शब्द का सही यहाँ 0 करने के लिए चला जाता है।
और तो क्या हम साथ रह रहे हैं?
यह 1 प्लस 1 का वर्गमूल से अधिक 4 के बराबर है।
ठीक है कि सिर्फ 1।
इतना कि 4 से अधिक 2, जो 2 के बराबर है बराबर है।
वहाँ तुम जाओ।
अब चलो एक और समस्या है।
यह वह मुझे दिया था एक तिहाई है।

Dutch: 
Dus hoe dan ook, we delen dit alles door x kwadraat.
Dat wordt dus een 1 plus 4 gedeeld door x plus 1 gedeeld door x kwadraat.
En dan, natuurlijk, delen we dit door -- deze term
hier, delen we door x, toch?
Omdat het niet in de wortelteken.
Zo wordt dat alleen maar een 1.
Dus wat is nu de limiet als x naar oneindig nadert?
Als x oneindig nadert, dan gaat deze term hier rechts
naar 0, toch?
1 gedeeld door oneindig is 0.
Deze term hier gaat naar 0.
Deze term hier gaat naar 0.
En dus wat blijft er over?
Dit is gelijk aan 4 gedeeld door de vierkantswortel van 1 plus 1.
Nou dat is gewoon 1.
Dus dat resulteert in 4 gedeeld door 2, wat gelijk is aan 2.
Dat is het.
Laten we nog een probleem doen.
Dit is het derde dat ze mij had gegeven.

German: 
Wie auch immer, teilen wir dies alles von x kariert.
So wird, dass eine 1 plus 4 über x plus 1 über x kariert.
Und dann, natürlich, wir teilen das ein von--dieser Begriff Recht
Hier teilen wir von X, richtig?
Weil es nicht im radikalen Zeichen.
So wird, dass nur eine 1.
Was ist nun die Grenze als x Ansätze unendlich?
Sowie x unendlich nähert, dieser Begriff hier
geht auf 0, richtig?
1 über unendlich ist 0.
Dieser Begriff hier geht auf 0.
Dieser Begriff hier geht auf 0.
Und so was sind wir?
Dies ist über die Quadratwurzel von 1 plus 1 gleich 4.
Auch das ist nur 1.
Also gleich die 4 über 2, gleich 2 ist.
Dort gehen Sie.
Jetzt machen wir ein weiteres Problem.
Dies ist die dritte, die sie mir gegeben hatte.

Hungarian: 
Elosztjuk ezt mind x négyzettel.
Ez 1, meg 4/x, meg 1/x négyzet lesz.
És aztán természetesen elosztjuk ezt, ezzel a taggal itt,
x-szel osztjuk. Nemde?
Mivel ez nincs a gyökjel alatt.
Ezért ez 1 lesz.
Mennyi ennek a határértéke, ha x tart a végtelenbe?
Ahogy x tart a végtelenbe, ez a tag itt,
tart a 0-ba.
1/végtelen, az 0.
Ez a tag itt, tart a 0-ba.
Ez a tag itt tart a 0-ba.
Mi maradt nekünk?
Ez egyenlő 4 per négyzetgyök 1 meg 1.
Ez pedig éppen 1.
Így ez egyenlő 4/2-vel, ami egyenlő 2-vel.
Meg is vagyunk.
Most csináljunk még egy feladatot.
Ez a harmadik amit mondott nekem.

Turkish: 
Tüm ifadeyi "iks kare"ye bölüyoruz.
1 artı "4 bölü iks", artı, "1 bölü iks kare".
Ardından bu terimi de
iks'e bölüyoruz.
Çünkü bu, karekök içinde değil.
Bu nedenle, burası 1 olur.
Peki, BU İFADENİN, iks, sonsuza yaklaşırken limiti nedir?
iks, sonsuza yaklaşırken, bu terim
sıfıra gider.
"1 bölü sonsuz", sıfırdır.
Bu terim de sıfıra gider.
Bu terim de sıfıra gider.
Elimizde ne kaldı?
İfadenin eşiti: 4, bölü, karekök 1, artı 1.
Bu, 1 eder.
İfade de, 4 bölü 2, yani 2 eder.
İşte yanıt.
Bir soru daha çözelim.
Kuzenimin sorduğu üçüncü soruyu çözelim.

Chinese: 
無論如何 我們用 x^2 除這全部
這等於 1 + 4/x + 1/x^2
當然我用 x
除以這這個項 對吧？
因爲這不在根號內
這等於 1
所以現在 當 x 趨近無窮大時的極限是什麽？
嗯 當 x 趨近無窮大時
這個項等於 0 對嗎？
1 除 無窮大等於 0
這項等於 0
這項等於 0
所以我們剩下什麽？
這等於 4 除 1 的平方根 + 1
這是 1
所以是 4/2 等於 2
完成了
讓我們再做多一題
這是她問我的第三題

Polish: 
W każdym razie, dzielimy wszystko przez x^2.
Więc dostajemy 1 dodać 4 nad x dodać 1 nad x^2.
I następnie, oczywiście, dzielimy to przez - ten napis,
dzielimy przez x, racja?
Ponieważ to nie jest pod znakiem pierwiastka.
Więc to staje się 1.
więc jaka jest teraz granica gdy x dąży do nieskończoności?
Cóż, gdy x dąży do nieskończoności, ten napis
zbiega do 0, tak?
1 nad nieskończonością jest równe 0.
Ten napis zbiega do 0.
Ten napis zbiega do 0.
I z czym zostajemy?
To jest równe 4 nad pierwiastek kwadratowy z 1, dodać 1.
Cóż, to jest równe 1.
Więc to jest równe 4 nad 2, co jest równe 2.
No i proszę.
Teraz rozwiążmy jeszcze jeden problem.
To jest trzeci, który mi dała.

English: 
So anyway, we divide all
of this by x squared.
So that becomes a 1 plus 4
over x plus 1 over x squared.
And then, of course, we divide
this one by-- This term right
here, we divide by x, right?
Because it's not in
the radical sign.
So that just becomes a 1.
So now what's the limit as
x approaches infinity?
Well as x approaches infinity,
this term right here
goes to 0, right?
1 over infinity is 0.
This term right here goes to 0.
This term right here goes to 0.
And so what are we left with?
This is equal to 4 over the
square root of 1 plus 1.
Well that's just 1.
So that equals 4 over 2,
which is equal to 2.
There you go.
Now let's do one more problem.
This is the third
one she'd given me.

Chinese: 
无论如何 我们用 x^2 除这全部
这等于 1 + 4/x + 1/x^2
当然我用 x
除以这这个项 对吧？
因为这不在根号内
这等于 1
所以现在 当 x 趋近无穷大时的极限是什么？
嗯 当 x 趋近无穷大时
这个项等于 0 对吗？
1 除 无穷大等于 0
这项等于 0
这项等于 0
所以我们剩下什么？
这等于 4 除 1 的平方根 + 1
这是 1
所以是 4/2 等于 2
完成了
让我们再做多一题
这是她问我的第三题

Thai: 
ในข้อนี้ เราต้องปัดฝุ่นเรื่องกฏในตรีโกณฯ หน่อย
และมันเป็นปัญหาลิมิตที่ยากกว่าเดิม เพราะใช้ความรู้
ทั้งพีชคณิตและตรีโกณมิติ
ให้ดี
แค่คุณต้องรู้ว่าจะเล่นกลกับฟังก์ชันพวกนี้ยังไงแค่นั้น
เพราะในส่วนลิมิตนั้น -- คุณแค่จัดมันให้อยู่ในรูป
ที่การใส่ลิมิตนั้นตรงไปตรงมา
งั้นลองทำโจทย์ตรีโกณฯ กันดู
ลบรูป
เปลี่ยนสี
เอาล่ะ นี่คือ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
ของ โคแทนเจนต์ ของ 2x
แค่นี้เหรอ
ใช่
มันคือ cotangent ของ 2x ส่วน cosecant ของ x
และอันนี้ เช่นเดียวกับปัญหาข้อที่แล้ว มันมีมากกว่า
แค่เรื่อง พรีแคลคูลัส หรือ แคลคูลัส คุณต้อง
รู้สมบัติตรีโกณฯ ด้วย
cosecant ของ x
มันก็แค่ 1 ส่วน sine
ผมจำว่า ชื่มันไม่ได้ตรงตามสัญชาตญาณนัก
คุณอาจคิดว่า cosecant คือ 1 ส่วน cosine

Turkish: 
Bu soruda, trigonometri bilgilerimizi tazeleyeceğiz.
Zor limit sorularını çözmek için,
cebri ve trigonometriyi
çok iyi bilmelisiniz.
Çünkü fonksiyonlara takla attırıyorsunuz.
Limitini bulmak için, fonksiyonu,
anlaşılır bir hâle sokmanız gerekiyor.
Şu trigonometri sorusunu yapalım.
Temizleyelim.
Renkleri tersine çevir.
Fonksiyonumuz şöyle: iks, sıfıra yaklaşırken,
kotanjant "2 iks"...
Böyle miydi?
Evet.
Evet, kotanjant "2 iks", bölü, kosekant iks.
Bu da, tıpkı önceki sorular gibi,
yalnızca cebir bilmeyi değil, trigonometri bilmeyi de
gerektiren bir soru.
Kosekant iks nedir?
1 bölü sinüs'tür.
Burada neye dikkat ediyorduk?
Kosekant, sanki, "1 bölü kosinüs"e eşitmiş gibi gelir

Italian: 
In questo, dobbiamo tipo rispolverare le nostre identita' trigonometriche.
E sul serio questi problemi sui limiti piu' difficili, girano tutti attorno
a tipo conoscere l'algebra e la trigonometria
molto bene.
Giusto per sapere come manipolare queste funzioni.
Perche' la parte sui limiti --- devi solo metterli in una forma
dove prendere il limite e' piuttosto semplice.
Quindi facciamo il problema di trigonometria.
Pulisci immagine.
Inverti colori.
Quindi era il limite per x che tende a 0
della cotangente di 2x.
Era cosi'?
Si'.
Era cotangente di 2x fratto la cosecante di x.
E questo, proprio come i problemi precedenti, piu' che
conoscere precalcolo o calcolo, devi
conoscere le identita' trigonometriche.
Allora, cosecante di x.
E' solo 1 fratto seno.
Me lo ricordo dicendo che non e' intuitivo.
Penseresti che la cosecante sia 1 fratto coseno.

Hungarian: 
Ebben szükség lesz arra, hogy leporoljuk a trigonometria tudásunkat.
Ezek a nehezebb határérték problémák, ezek mind
arról szólnak, mennyire vagy tisztában
az algebrával és a trigonometriával.
Hogy tudjad, hogyan alakíthatod át ezeket a függvényeket.
Mert a határérték része eléggé egyszerű,
ha átalakítod a megfelelő formára a függvényt.
Csináljunk egy trigonometriai feladatot.
Töröljük a táblát.
Fordítsuk meg a színeket.
x tartson a 0-hoz, és ekkor a határértéke a
kotangens 2x-nek.
Ez volt?
Igen.
Kotangens 2x, per koszekáns x.
És ez, mint az előző feladatok mindegyike,
több mint ismerni a pre-calculus, vagy calculus témakörét,
ismerned kell a trigonometriát is.
Koszekáns x.
Ez 1 per szinusz.
Emlékszem, hogy azt mondtam ez nem intuitív.
Gondolhattad, hogy a koszekáns az 1 per koszinusz.

German: 
Darin mussten wir Art Pinsel aus unserem trigonometrischen Identitäten.
Und wirklich diese härter Grenzwert-Probleme, sie sind alle über
Art zu wissen Ihre Algebra und Ihre Trigonometrie
wirklich gut.
Nur damit Sie wissen, wie man diese Funktionen bearbeiten.
Da der Grenzwert Teil--nur musst du es in einem Formular zu erhalten
wo ist die Grenze recht unkompliziert.
Also lassen Sie uns, das Problem trig.
Klares Bild.
Invertieren Sie Farben.
So war es die Grenze als x Ansätze 0
der Kotangens von 2 X.
War es?
Ja.
Es war über die Cosecant x Kotangens von 2 X.
Und diese, genau wie die bisherigen Probleme, mehr als
Sie müssen wissen Ihre Algebra oder Ihr Kalkül,
kennen Sie Ihre trigonometrischen Identitäten.
Also Cosecant von X.
Das ist nur 1 über Sinus.
Ich erinnere mich, dass es mit den Worten: nicht intuitiv ist.
Sie hätte gedacht, daß der Cosecant 1 über Kosinus ist.

Polish: 
W nim, musimy w przypomnieć sobie własności trygonometryczne.
I na prawdę, te trudniejsze problemy z granicami, chodzi w nich o
znajomość algebry i trygonometrii,
dobrą znajomość.
Po to aby wiedzieć jak manipulować danymi funkcjami.
Ponieważ część z granicami - musicie po prostu dotrzeć do formy
w której branie granic jest stosunkowo prostolinijne.
Więc zróbmy problem trygonometryczny.
Wyczyść obraz.
Odwróć kolory.
Więc, to była granica gdy x dąży do 0
z cotangensa z 2x
to było to?
Taaak.
To był kotangens z 2x nad kosekansem z x.
I w tym, tak jak poprzednich problemach, bardziej niż
znajomości analizy, potrzebujesz
wiedzy na temat własności trygonometrycznych.
Więc kosekans z x.
To jest po prostu 1 nad sinusem.
Pamiętam to przez powiedzenie, że to nie jest intuicyjne.
Pomyślelibyście, że kosekans to 1 nad cosinusem.

Portuguese: 
Nele, tivemos que tipo de escova fora nossas identidades trigonométricas.
E realmente esses problemas limite rígido, todos eles são sobre
tipo de saber sua álgebra e trigonometria seu
muito bem.
Só para você saber como manipular essas funções.
Porque a parte limite - Você apenas tem que colocá-lo em uma forma
onde tomando o limite é bastante simples.
Então vamos fazer esse problema de trigonometria.
Limpando a imagem.
Invertendo as cores.
Por isso, foi o limite como x tende a 0
de cotangente de 2x.
Foi isso?
sim.
Foi cotangente de 2x em relação ao cossecante de x.
E este, assim como nos problemas anteriores, mais de
conhecer o seu pré-cálculo ou o seu cálculo, é preciso
conhecer suas identidades trigonométricas.
Assim cossecante de x.
Isso é apenas 1 sobre seno.
Lembro-me que, dizendo que não é intuitivo.
Você teria pensado que a cossecante é 1 sobre cosseno.

Czech: 
Tady musíme trochu oprášit trigonometrii.
Ve skutečnosti tyhle těžší limity jsou o tom
znát algebru a trigonometrii
opravdu dobře.
Abyste prostě věděli jak s těmi funkcemi nakládat.
Musíte to dostat do tvaru,
kde už je výpočet limity přímočará záležitost.
Tak se do toho pustíme.
Smazat to.
Prohodit barvy.
Tak, limita x blížící se k 0
funkce cotangens 2x.
Bylo to ono?
Ano.
Bylo to cotangents 2x lomeno kosekans x. (kosekans = 1/sinx).
a tohle, tak jako to předtím, je více než
znát pre-kalkulus nebo klakulus spíše
o trigonometrických funkcích.
kakže kosekans x.
To je 1/sin .
Pamatuji si to, protože to není intuitivní.
Mysleli by jste si, že kosekans je 1/cos .

Chinese: 
這題我們必須複習一下三角函數的恆等式
比較難的極限問題
通常都在考你的代數和三角學
非常非常地難
所以你必須了解如何處理這些函數
因爲極限的部分 你必須簡化它
直到取極限時 是十分直截了當的事情
讓我解這三角問題
清空
換個顏色
所以這是 當 x 趨近 0 時
cot 2x 的極限
是這嗎？
對
cot 2x 除以 cosec x
這個 就像是之前的問題
除了要了解微積分之外
還需要了解三角恆等式
cosec x
等於 1/sin x
我之所以會記得 因爲它並不很直觀
你可能覺得 cosec 是 1/cos

Chinese: 
这题我们必须复习一下三角函数的恒等式
比较难的极限问题
通常都在考你的代数和三角学
非常非常地难
所以你必须了解如何处理这些函数
因为极限的部分 你必须简化它
直到取极限时 是十分直截了当的事情
让我解这三角问题
清空
换个颜色
所以这是 当 x 趋近 0 时
cot 2x 的极限
是这吗？
对
cot 2x 除以 cosec x
这个 就像是之前的问题
除了要了解微积分之外
还需要了解三角恒等式
cosec x
等于 1/sin x
我之所以会记得 因为它并不很直观
你可能觉得 cosec 是 1/cos

English: 
In it, we had to kind of brush
off our trig identities.
And really these harder limit
problems, they're all about
kind of knowing your algebra
and your trigonometry
really well.
Just so you know how to
manipulate these functions.
Because the limit part-- You
just have to get it into a form
where taking the limit is
fairly straightforward.
So let's do that trig problem.
Clear image.
Invert colors.
So it was the limit
as x approaches 0
of cotangent of 2x.
Was that it?
Yeah.
It was cotangent of 2x
over the cosecant of x.
And this one, just like
previous problems, more than
knowing your pre-calculus or
your calculus, you need to
know your trig identities.
So cosecant of x.
That's just 1 over sine.
I remember that by saying
it's not intuitive.
You would have thought that the
cosecant is 1 over cosine.

Hindi: 
इसे में, हम दूर हमारे trig आईडेंटिटीज़ ब्रश की तरह करने के लिए किया था।
और वास्तव में इन कठिन सीमा समस्याओं, वे सब के बारे में
की तरह जानने के अपने बीजगणित और अपने त्रिकोणमिति
वास्तव में अच्छी तरह से।
बस इतना तुम कैसे इन कार्यों में हेरफेर करने के लिए पता है।
क्योंकि सीमा हिस्सा है - तुम सिर्फ इसे किसी प्रपत्र में पाने के लिए है
जहां सीमा ले काफी सरल है।
तो चलो कि trig समस्या है।
स्पष्ट छवि।
रंग पलटें।
तो यह दृष्टिकोण के रूप में 0 x सीमा थी
2 एक्स के cotangent की।
कि यह गया था?
हाँ.
यह एक्स के cosecant से अधिक 2 एक्स के cotangent था।
और यह एक, पिछले समस्याओं, जैसे बस से अधिक
जानते हुए भी अपने पूर्व या आपके पथरी, आप की जरूरत है
अपने trig आईडेंटिटीज़ पता है।
X का इतना cosecant.
ज्या पर कि सिर्फ 1।
मुझे याद है कह रही द्वारा यह सहज ज्ञान युक्त नहीं है कि।
तुम सोचा होगा कि cosecant से अधिक कोसाइन 1 है।

Arabic: 
كان علينا ان نوضح نظريات المثلثات التي لدينا
وفي الحقيقة ان هذه مسائل نهايات اصعب، انها عبارة عن
معرفتنا عن الجبر وعلم المثلثات
بشكل جيد
لكي تعرفون كيفية معالجة هذه الاقترانات
لأن جزء النهاية --عليكم وضعها بصورة
بحيث نأخذ النهاية بشكل مباشر
لذا دعونا نقوم بحل مسألة المثلثات تلك
نمحو الصورة
نعكس الالوان
اذاً كانت نهاية اقتراب x من الـ 0
لظل التمام لـ 2x
هل كانت كذلك؟
اجل
كان ظل التمام لـ 2x / قاطع التمام لـ x
وهذه، كما في المسألة السابقة، اكثر من
معرفة علم التفاضل والتكامل، فأنت بحاجة
لمعرفة هويات علم حساب المثلثات
اذاً قاطع تمام الـ x
عبارة عن 1 / الجيب
اتذكر من خلال القول انه غير بديهي
ستعتقد ان قاطع التمام هو 1 / جيب التمام

Dutch: 
Daarvoor moesten we onze trigonometrie-kennis afstoffen.
Voor deze moeilijkere limiet-problemen, moet je
je algebra en je trigonometrie
echt goed kennen.
Alleen zo weet je hoe je deze functies moet manipuleren.
Want het limiet-deel -- je hoeft het te krijgen in een vorm
waar de limiet nemen vrij eenvoudig is.
Dus laten we dat trigonometrie probleem doen.
Duidelijk beeld.
Kleuren omkeren.
Het was dus de limiet van x nadert 0
van de cotangens van 2x.
Was dat het?
Ja.
Het was de cotangens van 2x gedeeld door de cosecans van x.
En hierbij is, als bij de vorige problemen, minder het
kennen van je pre-calculus of je calculus van belang, maar moet je
je trigonometrie kennen.
Dus de cosecans van x.
Dat is slechts 1 gedeeld door de sinus.
Ik herinner me dat doordat het niet intuïtief is.
Je zou verwachten dat de cosecans 1 gedeeld door de cosinus is.

Chinese: 
不是的
是 1/sin
所以它并不直观 所以我才会记得
而 cot 2x 等于 1/tan 2x
而 tan 是 sin/cos
所以 cot 是相反过来的
所以这等于 cos 2x/sin 2x 对吧？
OK
那这等于什么？
这是当 x 趋近 0 时的极限
cot 2x 是 cos 2x 除以 sin 2x
所以这是这些除以 cosec x
这是 1/sin x
所以你除以 1/sin x
正等于乘于 sin x
所以我们得到什么？

Turkish: 
ama değildir.
1 bölü sinüs'tür.
Bunu unutmayın.
Kotanjant "2 iks" de; 1 bölü, tanjant "2 iks"e eşittir.
Tanjant; "sinüs bölü kosinüs" olduğundan,
kotanjant da tam tersidir.
O hâlde burası; kosinüs "2 iks", bölü, sinüs "2 iks"tir.
Burası tamam.
Peki, fonksiyonun eşiti nedir?
Baştan yazalım: iks, sıfıra giderken...
Kotanjant "2 iks"; kosinüs "2 iks", bölü, sinüs "2 iks"tir.
Bölü; kosekant iks. Bu da neyi eşitti?
1 bölü sinüs iks. 1 bölü sinüs iks.
"1 bölü sinüs iks"e bölmek,
sinüs iks ile çarpmak demektir.
Fonksiyon ne oldu? Yazalım.

English: 
But it's not.
It's 1 over sine.
So I remember that
it's not intuitive.
And cotangent of 2x is equal
to 1 over tangent of 2x.
And tangent is sine over
cosine, so cotangent's
the opposite.
And so that equals cosine of
2x over sine of 2x, right?
OK.
So what is this equal to?
So this is going to be the
limit as x approaches 0.
Cotangent of 2x, we said, was
cosine of 2x over sine of 2x.
And then it's going to be all
of that over the cosecant of x.
Well that's just 1
over sine of x.
Well if you divide by 1 over
sine of x, that's the same
thing as multiplying
by sine of x.
So we have-- What do we have?

Hindi: 
लेकिन ऐसा नहीं है।
1 यह ज्या पर।
तो मुझे याद है कि यह सहज ज्ञान युक्त नहीं है।
और cotangent 2 एक्स के 2 एक्स की स्पर्शज्या पर 1 के बराबर है।
और स्पर्शरेखा कोसाइन खत्म, तो cotangent की ज्या है
विपरीत।
और इसलिए कि 2 एक्स, सही की ज्या पर 2 एक्स की कोज्या बराबरी?
ठीक है.
तो क्या इस के बराबर है?
तो यह दृष्टिकोण के रूप में 0 x सीमा होने जा रहा है।
2 X, का cotangent हम ने कहा, 2 एक्स की कोज्या 2 एक्स की ज्या पर था।
और फिर यह कि सभी एक्स के cosecant से अधिक होने जा रहा है।
ठीक है कि सिर्फ 1 एक्स की ज्या पर।
यदि अच्छी तरह से आप एक्स की ज्या पर 1 द्वारा विभाजित, कि एक ही है
एक्स की ज्या द्वारा गुणा करने के रूप में बात।
तो हम - हम क्या है?

Chinese: 
不是的
是 1/sin
所以它並不直觀 所以我才會記得
而 cot 2x 等於 1/tan 2x
而 tan 是 sin/cos
所以 cot 是相反過來的
所以這等於 cos 2x/sin 2x 對吧？
OK
那這等於什麽？
這是當 x 趨近 0 時的極限
cot 2x 是 cos 2x 除以 sin 2x
所以這是這些除以 cosec x
這是 1/sin x
所以你除以 1/sin x
正等於乘於 sin x
所以我們得到什麽？

Dutch: 
Maar dat is het niet.
Het is 1 gedeeld door de sinus.
Ik herinnerde me dat het is niet intuïtief was.
En de cotangens van 2x is gelijk aan 1 gedeeld door de tangens van 2x.
En tangens is sinus gedeeld door cosinus, dus de cotangens van
het tegenovergestelde.
En dus dat is gelijk aan de cosinus van 2x gedeeld door de sinus van 2x, toch?
Oké.
Dus waar is dit gelijk aan?
Dit wordt dus de limiet van x nadert 0.
De cotangens van 2x was de cosinus van 2x gedeeld door de sinus van 2x.
En dan gaat het om dat allemaal te delen door de cosecans van x.
Nou dat is gewoon 1 gedeeld door de sinus van x.
Goed als je deelt door 1 gedeeld door de sinus van x, is dat hetzelfde
als te vermenigvuldigen met de sinus van x.
Dus we hebben -- wat hebben we?

Polish: 
Ale tak nie jest.
To jest 1 nad sinusem.
Więc pamiętam, że to nie jest intuicyjne.
I cotangens z 2x jest równy 1 nad tangens z 2x.
A tangens to sinus na cosinusem, więc cotangens
to odwrotność.
Więc to jest równe cosinus z 2 nad sinusem z 2x, racja?
Ok.
Więc czemu to się równa?
Więc to będzie granica, gdy x dąży d 0.
Cotangens z 2x, powiedzieliśmy, że to cosinus z 2x nad sinusem z 2x.
I następnie to wszystko nad kosekansem z x.
Cóż, to jest poprostu 1 nad sinusem z x.
Cóż, jeżeli podzielisz przez 1 nad sinus z x, to to samo
co mnożenie przez sinus z x.
Więc mamy - co my mamy?

German: 
Aber es ist nicht.
Es ist 1 über Sinus.
Also denken Sie daran, dass es nicht intuitiv ist.
Und Kotangens von 2 X über Tangens von 2 X gleich 1 ist.
Und Tangente ist Sinus Kosinus, also Kotangens
im Gegenteil.
Und also gleich, der Kosinus von 2 X über Sinus von 2 X, richtig?
Okay.
Also, was ist diesem gleich?
Das wird also die Obergrenze als x Ansätze 0 sein.
Kotangens von 2 X, wir sagten, war Sinus 2 X Kosinus von 2 X.
Und dann ist es alles über die Cosecant von X.
Auch das ist nur 1 über Sinus von X.
Nun, wenn Sie über Sinus von x durch 1 teilen, ist, dass das gleiche
etwas wie Multiplizieren mit Sinus von X.
So haben wir--was haben wir?

Portuguese: 
Mas não é.
É um longo senoidal.
ntão, eu me lembro que não é intuitiva.
E cotangente de 2x é igual a 1 ao longo da tangente de 2x.
E tangente é seno sobre cosseno, então cotangente
do oposto
E assim que é igual a cosseno de 2x mais seno de 2x, certo?
Ok.
Então, o que é igual a este?
Portanto, este vai ser o limite quando x tende a 0.
Cotangente de 2x, que disse, foi co-seno de 2x mais seno de 2x.
E, então, vai ser tudo isso sobre o cossecante de x.
Bem, isso é apenas 1 sobre seno de x.
Bem, se você dividir por um longo seno de x, que é o mesmo
coisa que multiplicar por seno de x.
Então nós temos - O que temos?

Czech: 
Ale není.
Je to 1/sin.
Takže si pamatuju, že to nedává smysl.
A kotangens 2x se rovná 1/tangens 2x.
A tangents je sinus/kosinus, takže kotangens
je opak.
Takže to je cos2x/sin2x, že?
OK.
Takže čemu se to rovná?
Bude to limita x blížící se k 0.
Kotangens 2x jsme řekli, že je cos2x/sin2x.
A místo toho kosekans x budeme mít..
No to je jen 1/sinx.
a když vydělíte 1/sinx , to je to samé
jako vynásobit to sinx.
Tak máme... Co máme?

Thai: 
แต่มันไม่ใช่
มันคือ 1 ส่วน sine
ผมเลยจำไว้สเมอว่ามันไม่ได้ตรงอย่างที่เราคิด
แล้ว cotangent ของ 2x เท่ากับ 1 ส่วน tangent ของ 2x
และ tangent ก็คือ sine ส่วน cosine ดังนั้น cotangent
ก็ตรงกันข้าม
จึงเท่ากับ โคไซน์ของ 2x ส่วน 2x จริงไหม
โอเค
แล้วมันเท่ากับอะไร
นี่จะเท่ากับ ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ 0
cotangent ของ 2x เราบอกว่า มันคือ cosine ของ 2x ส่วน sine ของ 2x
จากนั้นมันจะเท่ากับทั้งหมดนั่นส่วน cosecant ของ x
มันก็แค่ 1 ส่วน sine ของ x
หากคุณหารด้วย 1 ส่วน sine ของ x
มันก็เหมือนกับการคูณด้วย sine ของ x
แล้วเราได้ -- เราได้อะไรทีนี้

Italian: 
Ma non e' cosi'.
E' 1 fratto seno.
Quindi mi ricordo che non e' intuitivo.
E cotangente di 2x e' uguale a 1 fratto tangente di 2x.
E tangente e' seno fratto coseno, quindi la cotangente
e' l'opposto.
E quindi e' uguale a cos(2x) / sin(2x), giusto?
Ok.
Percio' a quanto e' uguale?
Allora, questo sara' il limite per x che tende a 0.
Cotangente di 2x, abbiamo detto, era il coseno di 2x fratto il seno di 2x.
E poi sara' tutto questo fratto la cosecante di x.
Beh, e' semplicemente 1 fratto il seno di x.
Beh, se dividi per 1 / sin(x), e' lo stesso
che moltiplicare per il seno di x.
Quindi abbiamo --- cosa abbiamo?

Arabic: 
لكنه ليس كذلك
انه 1 / الجيب
لذا اتذكر انه غير بديهي
وقاطع التمام لـ 2x = 1 / ظل 2x
وظل الزاوية عبارة عن الجيب / جيب التمام، اذاً ظل التمام هو
عكس ذلك
وبهذا فهو يساوي جيب التمام لـ 2x / جيب 2x، اليس كذلك؟
حسناً
اذاً كم يساوي هذا؟
سيكون نهاية اقتراب x من 0
ظل تمام 2x، كما قلنا، عبارة عن جيب تمام 2x / جيب 2x
ومن ثم انه سيكون عبارة عن جميع ذلك / قاطع تمام الـ x
حسناً، هذا عبارة عن 1 / جيب x
حسناً، اذا قسمت على 1 / جيب x، فإن ذلك يعادل
الضرب بجيب x
اذاً لدينا --ماذا لدينا؟

Hungarian: 
De nem.
Az 1 per szinusz.
Emlékszem, hogy ez nem intuitív.
És a kotangens 2x, egyenlő 1 per tangens 2x.
A tangens pedig szinusz per koszinusz,
ezért a kotangens az ellentettje.
Ez egyenlő koszinusz 2x, per szinusz 2x.
Ok.
Ez mennyivel lesz egyenlő?
Ez lesz a határérték ahogy x közelít a 0-hoz.
Kotangens 2x, azt mondtuk, hogy ez koszinusz 2x, per szinusz 2x.
És ez aztán egyenlő, ez mind, per koszekáns x-szel.
Ez pedig, 1 per szinusz x.
Ha elosztod 1 per szinusz x-szel,
az ugyanaz mint szorozni szinusz x-szel.
Akkor van itt nekünk... mink is van?

English: 
We have cosine-- Well we have
sine of x times cosine of 2x.
All of that divided
by sine of 2x.
Just doing a little arithmetic.
And we have a
problem here still.
Because when you take x
approaches 0, this term right
here goes to 0 and we have a 0
in the denominator, which
is just not acceptable.
Because it's undefined.
And that's the whole reason
why we're doing this
limit to begin with.
And actually that's the first
thing you should have done.
You should have tried to put it
and you would have seen that
you would've gotten a 0 value
in the denominator and it would
have been unevaluatable.
Right.
Because really, this is
just-- We haven't even
done any manipulation yet.
This is the same thing as this.
And if you put the 0 right
here, you get undefined.
So what can we do?
Well this is where your
break out the trig or you
brush off your memory.
What is the sine of 2x equal?
And this is your double-- One
of the double angle formulas.

Czech: 
Máme sínus x krát kosínus 2x.
To celé děleno sínus 2x.
Jen trochu aritmetiky.
A máme tu stále problém.
Protože když se x blíží 0, tohle tady
bude 0 a najednou máme 0 ve jmenovateli, což
prostě není přípustné.
Protože to není definované.
A to je proč tohle s touhle limitou
začínáme.
Ve skutečnosti to je první věc, kterou byste měli udělat.
Měli byste zkusit dosadit a viděli byste,
že jste dostali 0 ve jmenovateli a nebylo by možné
to spočítat.
Tak.
Tohle je jen... Ještě jsme ani
s ničím nemanipulovali.
Tohle je to samé jako tohle.
A když sem dáte 0, dostanete nedefinováno.
Tak co můžeme dělat?
Tohle je místo, kde byste si raději měli
osvěžit paměť.
Čemu se sínus 2x rovná?
A tohle je jeden ze vzorečků.

Portuguese: 
Temos cosseno - Bem, temos seno de x vezes cosseno de 2x.
Tudo isso, dividido pelo seno de 2x.
Apenas fazendo um pouco de aritmética.
E nós temos um problema aqui ainda.
Porque quando você toma abordagens x 0, direito este termo
aqui vai a 0 e temos um 0 no denominador, que
não é apenas aceitável.
Porque ele é indefinido.
E essa é a razão porque estamos fazendo isso
limitar, para começar.
E, na verdade, essa é a primeira coisa que você deve ter feito.
Você deveria ter tentado colocá-lo e você teria visto que
você teria obtido um valor 0 no denominador e seria
não avaliáveis​​.
Direita.
Porque realmente, este é apenas - Nós não conseguimos fazer
qualquer manipulação ainda.
Esta é a mesma coisa como esta.
E se você colocar o direito 0 aqui, você começa indefinido.
Então o que podemos fazer?
Bem, este é o lugar onde a sua pausa a trigonometria ou você
jogar fora de sua memória.
O que é o seno de igual 2x?
E este é o seu duplo - Uma das fórmulas ângulo duplas.

Hungarian: 
Van koszinusz -- van szinusz x, szorozva koszinusz 2x-szel.
Ez mind osztva szinusz 2x-szel.
Egy kis aritmetika következik.
Még mindig van itt egy kis problémánk.
Mert ha x tart a 0-ba, ez a tag itt,
tart a 0-ba, és akkor 0-lesz a nevezőbe,
ami nem elfogadható.
Mert nem lesz értelmezhető.
Ez az oka annak, amiért a határértékkel
foglalkozni kezdtünk.
Az első dolog amivel foglalkozni kellett volna.
Meg kellett volna próbálni behelyettesíteni és
láthattuk volna, hogy 0-t kapunk a nevezőben,
ami miatt nem lett volna értelmezhető.
Rendben.
És akkor még nem is csináltunk
semmi átalakítást az ég világon.
Ez ugyanaz, mint ez.
Ha ebbe behelyettesíted a 0-t, ugyanúgy nem értelmezhető.
Mit tudunk akkor csinálni?
Ez az amikor a trigonometria előtör,
vagy leporolod a memóriádat.
Mennyi a szinusz 2x?
Ez itt a kétszeres -- az egyik "két alfa" formula.

Thai: 
เรามี cosine -- อืม เรามี sine ของ x คูณกับ cosine ของ 2x
ทั้งหมดนั่นหารด้วย sine ของ 2x
แค่คิดเลขนิดหน่อย
แล้วเราก็ยังมีปัญหาอยู่
เพราะเมื่อคุณให้ x เข้าหาศูนย์ เทอม
ตรงนี้จะเข้าหา 0 แล้วเราจะได้ 0 ตรงตัวส่วน
ซึ่งเรายอมไม่ได้
เพราะมันนิยามไม่ได้
และนั่นคือสาเหตุที่เราต้อง
ทำปัญหาลิมิตนี้แต่แรก
และที่จริง นี่คือสิ่งแรกที่คุณควรทำ
คุณควรลองใส่ค่าดู แล้วจะเห็น
ว่าคุณได้ 0 ตรงตัวส่วน และ
มันจะกลายเป็นตัวค่าหาไม่ได้
ใช้ได้
เพราะจริง ๆ แล้ว นี่มัน -- เรายังไม่ได้
ทำอะไรเลย
นี่มันยังเหมือนกับเจ้านี่อยู่
และหากคุณใส่ 0 ตรงนี้ คุณจะได้ค่านิยามไม่ได้
แล้วเราทำอะไรดีทีนี้
นี่คือจุดที่คุณต้องเอาตรีโกณออกมา
ปัดฝุ่นความจำกันหน่อย
sine ของ 2x เท่ากับอะไร
และนี่คือ สองท่า -- หนึ่งในสูตรมุมสองเท่า

Hindi: 
हम कोज्या है है-अच्छी तरह से हम एक्स की ज्या है 2 एक्स की टाइम्स कोज्या।
कि 2 एक्स की ज्या द्वारा विभाजित के सभी।
बस एक छोटी सी गणित कर रही।
और हम एक समस्या यहाँ अभी भी है।
क्योंकि जब तुम ले एक्स इस शब्द सही 0, दृष्टिकोण
यहाँ 0 करने के लिए चला जाता है और एक 0 भाजक है में, हमारे पास जो
स्वीकार्य बस नहीं है।
क्योंकि यह है अपरिभाषित।
और है कि पूरे कारण इसलिए हम यह कर रहे हैं
शुरू करने के साथ सीमा।
और वास्तव में यह पहली बात यह है तुम किया जाना चाहिए है।
आप इसे डाल करने की कोशिश करनी चाहिए और तुम्हें देखा था कि
आप विभाजक में एक 0 मूल्य मिल गया होगा और यह होगा
unevaluatable किया गया है।
ठीक है।
क्योंकि वास्तव में, यह सिर्फ है - हम भी नहीं
किसी भी गड़बड़ी अभी तक किया है।
यह इस के रूप में एक ही बात है।
और यदि आप 0 यहीं डाल, तुम अपरिभाषित मिलता है।
तो हम क्या कर सकते हैं?
अच्छी तरह से यह वह जगह है जहाँ आपके टूट trig या आप बाहर
बंद अपनी याददाश्त ब्रश।
क्या 2 एक्स बराबर की ज्या है?
और यह अपने डबल-डबल कोण सूत्रों में से एक है।

German: 
Wir haben Cosinus--nun wir haben Sinus von x mal Kosinus von 2 X.
Alles geteilt durch Sinus von 2 X.
Nur tun, ein wenig rechnen.
Und wir haben ein Problem hier noch.
Denn wenn Sie nehmen X 0, nähert sich dieser Begriff Recht
hier auf 0 geht und wir haben eine 0 im Nenner, die
ist einfach nicht akzeptabel.
Denn es ist nicht definiert.
Und das ist der ganze Grund, warum wir das tun
Zunächst begrenzen.
Und das ist eigentlich das erste, was, das Sie getan haben sollten.
Sie sollten haben versucht, es zu sagen und Sie würde haben gesehen, dass
Sie würde einen 0 Wert im Nenner bekommen haben und es würde
unevaluatable wurden.
Recht.
Denn wirklich, das ist einfach--haben wir noch nicht
jede Manipulation noch getan.
Dies ist die gleiche Sache wie diese.
Und wenn Sie die 0 direkt hier gesetzt, Sie nicht definiert.
Also, was können wir tun?
Gut, das ist wo Ihr ausbrechen der Trig oder Sie
Bürsten Sie Ihr Gedächtnis.
Was ist der Sinus von gleich 2 X?
Und das ist Ihr Doppel--eine der doppelten Winkels Formeln.

Turkish: 
Sinüs iks, çarpı, kosinüs "2 iks",
bölü, sinüs "2 iks".
Basit hesap kitap yapıyoruz.
Sorunumuz devam ediyor
çünkü; iks, sıfıra yaklaşırken bu terim de
sıfıra yaklaşır ve payda'da sıfır olması
kabul edilemez
çünkü tanımsız yapar.
Bu soruyu bu şekilde çözmemizin nedeni
bu zaten.
Aslında bunu en başında yapmalıydık.
iks değerini yerine koyup
payda'da sıfır elde ettiğimizi,
yani çözemeyeceğimizi görmeliydik.
Pekâlâ.
Aslında şu ana kadar
herhangi bir numara çekmedik.
Bu iki ifade birbirine eşittir.
Burada da iks yerine sıfır koyarsanız, tanımsız olur.
Peki, ne yapabiliriz?
Trigonometri bilgilerinizi tazeleyeceğiniz yer
işte tam da burası.
sinüs "2 iks" neye eşittir?
Bu, iki katlı açı formüllerinden biridir.

Dutch: 
We hebben de cosinus -- we hebben de sinus van x keer de cosinus van 2x.
En dat alles gedeeld door de sinus van 2x.
Gewoon een beetje rekenen.
En we hebben hier nog steeds een probleem.
Omdat als x nadert naar 0, gaat deze term
hier naar 0 en krijgen we een 0 in de noemer, wat
gewoon niet acceptabel is.
Want dat is ongedefinieerd.
En dat is precies de reden waarom we deze limiet
juist doen.
Eigenlijk is dat het eerste wat je had moeten doen.
Je had moeten proberen het in te vullen en je zou hebben gezien dat
je een waarde 0 in de noemer had gekregen en het zou
niet te evalueren geweest zijn.
Mooi.
Want echt, dit is gewoon -- We hebben nog niet eens
enige manipulatie gedaan.
Dit is hetzelfde als dit.
En als je hier de 0 invult, krijg je ongedefinieerd.
Dus wat kunnen we doen?
Nou dit is waar je uitkomt met trigonometrie oftewel
stof je geheugen af.
Wat is gelijk aan de sinus van 2x?
En dit is de dubbele -- een van de dubbele hoek formules.

Chinese: 
我們有 cos —— 嗯 sin x 乘於 cos 2x
全部除以 sin 2x
一些小演算
我們這有個問題
因爲當 x 趨近 0
這項趨近 0 而分母是個 0
這不是個可以接受的答案
因爲它是未定義的
所以這就是原因
爲什麽我們會解這個極限
而你應該先嘗試這個
你必須先嘗試代入這數字
才會發現你在分母會算到一個 0
這變得完全無法計算
對
因爲真的
我們還沒碰到任何一項
這和這是同樣的東西
當你把 0 代入這裡 這變成未定義
所以我們還可以做什麽？
嗯 這時就是三角函數派上用場時
該好好回憶一下
sin 2x 等於？
這是你其中一個倍角公式

Arabic: 
لدينا جيب تمام --حسناً، لدينا جيب x × جيب تمام 2x
كل ذلك مقسوماً على جيب 2x
باستخدام بعض الحساب
ولا يزال لدينا مسألة هنا
لانه عندما نأخذ اقتراب x من 0، فإن هذه العبارة
هنا ستصبح 0 ولدينا 0 في المقام، وهذا
غير مقبول
لانه غير معرف
وهذا هو السبب وراء
بدأنا بهذه النهاية
وفي الواقع كان هذا اول شيئ يجب عليكم ان تفعلوه
عليكم ان تحاولوا وضعه وسترون ذلك
لن تحصلون على قيمة 0 في المقام و
ستكون غير قابلة للتقييم
اليس كذلك
لانه في الحقيقة، ان هذا عبارة عن --لم نقم
بأي عملية معالجة بعد
هذا يعادل هذا
واذا وضعتم 0 هنا، ستحصلون على قيمة غير معرفة
اذاً ماذا بوسعنا ان نفعل؟
حسناً، من هنا قمنا بكسر علم حساب المثلثات او
مسحنا الذاكرة
ما هو جيب 2x؟
وهذا بمثابة ازدواجية --واحد من ازدواجية صيغ الزاوية

Polish: 
Mamy cosinus - Cóż, mamy sinus z x razy cosinus z 2x.
To wszystko dzielone przez sinus z 2x.
Troszkę arytmetyki.
Ale ciągle mamy tu problem.
Ponieważ, kiedy bierzemy x dążący do 0, ten napis
dąży do 0 i mamy z w mianowniku, co
jest nie do zaakceptowania.
Ponieważ jest niezdefiniowane.
I to jest powód, dla którego zaczeliśmy
liczyć tę granicę
I właściwie to jest pierwsza rzecz jaką powinniście zrobić.
Powinniście spróbować włożyć tu 0 i zobaczylibyście,
że dostaliście 0 w mianowniku, co
jest nie do obliczenia
Racja.
Ponieważ na prawdę, to jest - nie zrobiliśmy
jeszcze żadnej manipulacji.
To jest to samo co to.
I jeżeli położysz tu 0, dostajesz coś niezdefiniowanego.
Więc co możemy zrobić?
Cóż, to jest moment, w którym możecie popisać się trygonometrią
lub odświeżyć pamięć.
Czemu jest równy sinus z 2x?
I to jest podwójny - jedna z formuł o podwójnych kątach.

Italian: 
Abbiamo coseno --- beh, abbiamo sin(x) * cos(2x).
Tutto questo diviso per il seno di 2x.
Sto solo facendo un po' di aritmetica.
E ancora abbiamo un problema.
Perche' quando prendi x che si avvicina a 0, questo termine
qui va a 0 e abbiamo uno 0 al denominatore, che
proprio non e' accettabile.
Perche' e' indefinito.
E questo e' il motivo per cui stiamo facendo questo
limite tanto per cominciare.
E in realta' e' la prima cosa che avresti dovuto fare.
Avresti dovuto provare a mettercelo e avresti visto che
avresti ottenuto un valore 0 nel denominatore e
sarebbe stato incalcolabile.
Bene.
Perche' sul serio, questo e' solo --- non abbiamo nemmeno
fatto ancora nessuna manipolazione.
QUesto e' come questo.
E se qui ci metti uno 0 ottieni indefinito.
Percio' che possiamo fare?
Beh qui e' dove usi la trigonometria o dove
ti rinfreschi la memoria.
A quant'e' uguale il seno di 2x?
E questo e' il tuo doppio --- una delle formule sugli angoli doppi.

Chinese: 
我们有 cos —— 嗯 sin x 乘于 cos 2x
全部除以 sin 2x
一些小演算
我们这有个问题
因为当 x 趋近 0
这项趋近 0 而分母是个 0
这不是个可以接受的答案
因为它是未定义的
所以这就是原因
为什么我们会解这个极限
而你应该先尝试这个
你必须先尝试代入这数字
才会发现你在分母会算到一个 0
这变得完全无法计算
对
因为真的
我们还没碰到任何一项
这和这是同样的东西
当你把 0 代入这里 这变成未定义
所以我们还可以做什么？
嗯 这时就是三角函数派上用场时
该好好回忆一下
sin 2x 等于？
这是你其中一个倍角公式

Arabic: 
جيب 2x = 2 × جيب x × جيب التمام لـ x
فاذا كنتم تعلمون ذلك، بالتالي ستسلكون طريقاً طويلة لانه
بالتالي ستصبح سهلة للتبسيط
اذاً تصبح 2 جيب x × جيب تمام الـ x
واذا افترضنا ان x لا يساوي 0، فإنه يقترب من الـ 0
يمكننا ان نقسم البسط والمقام على جيب الـ x
وماذا تبقى لدينا؟
يتبقى لدينا نهاية اقتراب x من الـ 0 لجيب التمام
لـ 2x / 2 × جيب التمام لـ x
حسناً، ما هو جيب تمام الـ 0؟
جيب تمام الصفر هو 1، اليس كذلك؟
اذاً جيب التمام لـ 2 × 0، اي 0، هو ايضاً 1
اذاً هذا يساوي 1 / --صحيح، جيب تمام الـ 0 هو
1-- / 2 × 1
اذاً يساوي 1/2
هيا بنا
اعتقد ان هؤلاء المسائل الثلاثة مباشرة
واذا كنتم تعلمون ذلك، فربما انكم قد حضرتم شيئاً
سيسأله استاذ التفاضل والتكامل لكم

Polish: 
Sinus z 2x jest równy 2 razy sinus z x razy cosinus z x.
Więc jeżeli to wiesz, to już większość pracy za Tobą ponieważ,
to staje się dosyć proste do uproszczenia.
To staje się 2 razy sinus z x razy cosinus z x.
I jeżeli założymy, że x jest różne od 0, on tylko dąży do 0,
możemy podzielić licznik i mianownik przez sinus z x.
I z czym zostajemy?
Zostajemy z granicą, gdy x dąży do 0 z cosinus
z 2x nad 2 razy cosinus z x.
Cóż, jaki jest cosinus z 0?
Cosinus z 0 to 1, racja?
Więc cosinus z 2 razy 0, co jest równe 0, też równa się 1.
Więc to jest równe 1 nad - racja, cosinus z 0 jest
równy 1 - nad 2 razy 1.
Więc to jest równe 1/2.
Proszę bardzo.
Wydaje mi się, że są to trzy porządne problemy z granic.
I jeżeli to umiesz, to jesteście prawdopodobnie przygotowani na coś
co wasz nauczyciel analizy dla was przygotował.

Chinese: 
sin 2x 等於 2 sin x cos x
如果你記得這公式的話
簡化這個會變得十分簡單
所以這是 2 sin x cos x
假設 x 不是 0 只是趨近於 0
我們可以在分子和分母都除以 sin x
我們剩下什麽？
剩下當 x 趨近 0 時
cos 2x 除以 2 cos x 的極限
cos 0 等於什麽？
cos 0 是 1 對吧？
所以 cos 20 20 等於 0 所以這項是 1
所以是 1 除以——
嗯 cos 0 是 1 —— 2 乘以 1
所以是 1/2
完成了
這三道極限題都蠻有分量的
當然如果你知道了
你可能已經有心理準備 你的老師會問你什麽了

Thai: 
sine ของ 2x เท่ากับ 2 sine ของ x cosine ของ x
หากคุณรู้แล้ว คุณก็คงไปไกลแล้ว
เพราะมันจะง่ายมากในการลดรูปต่อไป
นี่กลายเป็น 2 sine ของ x cosine ของ x
และหากเราถือว่า x ไม่เท่ากับ 0 มันแค่เข้าใกล้ 0 เรา
ก็หารทั้งเศษและส่วนด้วย sine ของ x ได้
แล้วเราจะเหลืออะไร
เราก็เหลือ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ cosine
ของ 2x ส่วน 2 cosine ของ x
cosine ของ 0 เท่ากับเท่าไหร่
cosine ของ 0 เท่ากับ 1 จริงไหม
ดังนั้น cosine ของ 2 คูณ 0 ซึ่งเท่ากับ 0 จะได้เป็น 1
ดังนั้น นั่นเท่ากับ 1 ส่วน -- ใช่ cosine ของ 0 คือ
1 -- ส่วน 2 คูณ 1
ดังนั้นมันเท่ากับ 1/2
เสร็จแล้ว
ผมว่ามันเป็นปัญหาลิมิตแบบเนื้อ ๆ สามข้อเลย
และหากคุณเข้าใจหมดแล้ว คุณน่าจะพร้อมสำหรับ
อะไรก็ตามที่ครูสอนแคลคูลัสจะโยนใส่คุณ

German: 
Sinus von 2 X ist gleich 2 Sinus von x Kosinus von X.
Also wenn Sie, dass wissen, dann Sie einen langen Weg da gegangen
dann wird es ziemlich einfach zu vereinfachen.
So wird es 2 Sinus von x Kosinus von X.
Und wenn wir davon ausgehen, dass x nicht 0, es nähert sich nur 0, wir
können den Zaehler und den Nenner durch Sinus von x teilen.
Und was sind wir?
Wir sind mit dem Limit als x 0 Ansätze des Kosinus Links
2 x über 2 Kosinus von X.
Ist nun was Kosinus von 0?
Ist Kosinus von 0 1, richtig?
Kosinus von 2 mal 0, die 0 ist, ist, dass auch 1.
Das ist also gleich 1 über--Recht, ist Kosinus von 0
1--mehr als 2 mal 1.
Es ist also gleich 1/2.
Dort gehen Sie.
Ich denke, dass die drei ziemlich fleischig Grenzwert-Probleme sind.
Und wenn Sie wissen, sind Sie wahrscheinlich bereit, für etwas
dass Ihr Kalkül Lehrer auf Sie werfen könnte.

Hindi: 
2 एक्स की ज्या की 2 ज्या एक्स की कोज्या एक्स के लिए बराबर है।
यदि आप जानते हैं कि, तो फिर तुम एक लंबा रास्ता तय क्योंकि चले गए
तो यह सुंदर को सरल करने के लिए आसान हो जाता है।
तो यह की 2 ज्या एक्स की कोज्या x बन जाता है।
और अगर हम मान लें कि एक्स 0 नहीं है, यह सिर्फ 0, आ रहा है हम
अमेरिका और भाजक एक्स की ज्या द्वारा विभाजित कर सकते हैं।
और क्या हम साथ रह रहे हैं?
हम दृष्टिकोण कोसाइन के रूप में 0 x सीमा के साथ छोड़ रहे हैं
2 का पर 2 एक्स की कोज्या x.
अच्छी तरह से क्या 0 की कोज्या है?
0 की कोज्या 1, सही है?
कि इसके अलावा 1 है तो 0, 0 है, जो 2 की कोज्या बार।
तो यह है कि 1 से अधिक - अधिकार के बराबर, 0 की कोज्या है
1 - 2 बार 1 से अधिक।
तो यह 1/2 के बराबर होती है।
वहाँ तुम जाओ।
मुझे लगता है कि उन तीन काफी भावपूर्ण सीमा समस्याओं कर रहे हैं।
और अगर तुम्हें पता है कि, आप शायद कुछ के लिए तैयार कर रहे हैं
कि आपके पथरी शिक्षक तुम पर फेंक सकता है।

Portuguese: 
Seno de 2x é igual a 2 seno de xcosseno de x
Então, se você sabe que, em seguida, você foi um longo caminho, porque
então torna-se muito simples para simplificar.
Assim torna-se 2 x seno cosseno de x.
E se nós assumimos que não é x 0, ele é apenas aproximando 0,
podemos dividir o numerador e o denominador por seno de x.
E o que nos resta?
Ficamos com o limite quando x tende 0 de cosseno
2x de mais de 2 cosseno de x.
Bem, o que é coseno de 0?
Cosseno de 0 é 1, certo?
Então cosseno de 2 vezes 0, que é 0, que é também 1.
Então, que é igual a 1 sobre - direito, coseno de 0 é
1 - mais de 2 vezes 1.
Por isso, é igual a 1/2.
Lá você vai.
Eu acho que são três problemas limites bastante bons.
E se você sabe disso, você provavelmente está preparado para algo
que seu professor de cálculo pode atirar em você.

Czech: 
sínus 2x se rovná 2 krát sínus x kosínus x.
Takže když jste si vzpoměli, urazili jste dlouhou cestu,
protože to už je pak jednoduché zjednodušit.
Takže to bude 2sin(x)cos(x).
A když předpokládáme, že x není 0, jen se přibližuje 0,
můžeme vydělit čitatel a jmenovatel sínus x.
A co nám zbyde?
Limita x blížící se 0 kosínu 2x ...
.. lomeno 2 krát kosínus x.
A kolik je kosínus 0?
Kosínus 0 je 1, že?
Takže Kosínus 2 krát 0, což je 0, je také 1,.
Takže je to rovno 1 lomeno...správně, kosínus nuly je jedna...
... lomeno 2 krát 1.
Takže je to 1/2.
Tady to máte.
Myslím, že tohle jsou 3 takové pořádné příklady.
A pokud tohle znáte, pravděpodobně jste připraveni na to,
co na vás váš učitel kalkulu připraví.

Hungarian: 
Szinusz 2x, az egyenlő 2 szinusz x koszinusz x.
Ha tudod ezt, akkor sokat segítettél magadon,
mert ezzel viszonylag könnyen lehet egyszerűsíteni.
Ez itt 2 szinusz x koszinusz x lesz.
Ha feltételezzük, hogy x nem 0, csak közelít a 0-hoz,
eloszthatjuk a számlálót és a nevezőt is szinusz x-szel.
Mi maradt?
Maradt a limesz, x tart a 0-hoz,
koszinusz 2x per 2 koszinusz x.
Mennyi koszinusz 0?
Koszinusz 0, az 1.
Koszinusz két nulla, ami nulla, az szintén 1.
Ez itt fent egyenlő 1-gyel, per --
koszinusz 0, az 1 -- per 2-szer 1.
Ez egyenlő 1/2.
Meg is vagy.
Azt hiszem ezek jó kis húsos határérték feladatok voltak.
És ha ezeket ismered, akkor készen állsz mindarra,
amit a matektanár hozzád dobhat feladatként.

Chinese: 
sin 2x 等于 2 sin x cos x
如果你记得这公式的话
简化这个会变得十分简单
所以这是 2 sin x cos x
假设 x 不是 0 只是趋近于 0
我们可以在分子和分母都除以 sin x
我们剩下什么？
剩下当 x 趋近 0 时
cos 2x 除以 2 cos x 的极限
cos 0 等于什么？
cos 0 是 1 对吧？
所以 cos 20 20 等于 0 所以这项是 1
所以是 1 除以——
嗯 cos 0 是 1 —— 2 乘以 1
所以是 1/2
完成了
这三道极限题都蛮有分量的
当然如果你知道了
你可能已经有心理准备 你的老师会问你什么了

English: 
Sine of 2x is equal to 2
sine of x cosine of x.
So if you know that, then
you've gone a long way because
then it becomes pretty
simple to simplify.
So it becomes 2 sine
of x cosine of x.
And if we assume that x isn't
0, it's just approaching 0, we
can divide the numerator and
the denominator by sine of x.
And what are we left with?
We're left with the limit as
x approaches 0 of cosine
of 2x over 2 cosine of x.
Well what's cosine of 0?
Cosine of 0 is 1, right?
So cosine of 2 times 0,
which is 0, that's also 1.
So that is equal to 1 over--
right, cosine of 0 is
1 --over 2 times 1.
So it equals 1/2.
There you go.
I think those are three
fairly meaty limit problems.
And if you know that, you're
probably prepared for something
that your calculus teacher
might throw at you.

Turkish: 
sinüs "2 iks"; 2 sinüs iks, çarpı, kosinüs iks'e eşittir.
Bunu biliyorsanız, büyük bölümü hallettiniz demektir.
Artık sadeleştirmek çok kolay.
Burası; 2 sinüs iks, çarpı, kosinüs iks oldu.
iks'in sıfır olmadığını, sıfıra yaklaştığını kabul edersek,
pay'daki ve payda'daki "sinüs iks"leri sadeleştirebiliriz.
Geriye ne kaldı?
Fonksiyonumuz: iks, sıfıra yaklaşırken, kosinüs
"2 iks", bölü, 2 kosinüs iks.
"Kosinüs sıfır" nedir?
"Kosinüs sıfır" 1'dir, değil mi?
Kosinüs "2 çarpı sıfır" da "kosinüs sıfır"dır, yani 1'dir.
Eşittir, 1 bölü... Çünkü "kosinüs sıfır", 1'dir
Bölü, 2 çarpı 1.
Eşittir: 1 bölü 2.
İşte yanıt.
Üç adet kapsamlı limit sorusu çözdük.
Bu soruları çözmeyi öğrendiğinizde,
matematik öğretmeninizin sorduğu her soruya hazırlıklı olursunuz.

Italian: 
sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Quindi se conosci questo, sei arrivato lontano perche'
poi diventa facile da semplificare.
Quindi diventa 2sin(x)cos(x).
E se assumiamo che x non sia 0, sta solo tendendo a 0,
possiamo dividere il numeratore e il denominatore per il seno di x.
E cosa ci resta?
Ci resta il limite per x che tende a 0 del coseno
di 2x fratto 2 coseno di x.
Beh, quant'e' il coseno di 0?
Coseno di 0 e' 1, giusto?
Quindi coseno di 2 per 0, che fa 0, anche questo fa 1.
Quindi e' uguale a 1 fratto --- giusto, coseno di 0 e'
1 --- fratto 2 per 1.
Quindi e' uguale a 1/2.
Ecco qua.
Penso che siano tre problemi sui limiti belli carnosi.
E se conosci questi, probabilmente se i preparato per un qualcosa
che il tuo insegnante di calcolo potrebbe tirarti.

Dutch: 
Sinus van 2x is gelijk aan 2 keer de sinus van x keer de cosinus van x.
Als je dat weet, dan ben je een eind op weg, want
dan wordt het vrij simpel vereenvoudigen.
Dus het wordt 2 keer de sinus van x keer de cosinus van x.
En als we veronderstellen dat x niet 0 is, het nadert slechts 0,
kunnen we de teller en de noemer delen door de sinus van x.
En wat hebben we dan over?
We zitten met de limiet van x nadert 0 van de cosinus
van 2x gedeeld door 2 cosinus x.
Wat is de cosinus van 0?
De cosinus van 0 is 1, toch?
Dus de cosinus van 2 keer 0, die 0 is, is dus ook 1.
Dus dat is gelijk aan 1 gedeeld door -- de cosinus van 0 is
1 -- dan gedeeld door 2 keer 1.
Dus het is gelijk aan 1/2.
Dat is het.
Ik denk dat dit drie vrij vlezige limietproblemen waren.
En als je die kunt maken, ben je waarschijnlijk voorbereid op iets
waar je calculus leraar op je af kan vuren.

Turkish: 
Önümüzdeki videolarda görüşmek üzere.

Hindi: 
तुम एक भविष्य वीडियो में देखते हैं।

Dutch: 
Tot ziens in een toekomstige video.

Arabic: 
اراكم في العرض التالي

German: 
Sehen Sie in einem künftigen Video.

Portuguese: 
Vejo você em um vídeo futuro.

Chinese: 
我們下個影片見

Czech: 
Uvidíme se v dalším videu.

Thai: 
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

Chinese: 
我们下个视频见

Italian: 
Ci vediamo in un video futuro.

English: 
See you in a future video.

Polish: 
Do zobaczenia w następnych filmach.

Hungarian: 
Találkozunk a következő előadáson.
