
Polish: 
W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej
W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej
macierzy A, wymiaru 3 na 3.
I powiedzieliśmy, że wartość własne to jest liczba
lambda, która spełnia to równanie, jeżeli v
jest niezerowym wektorem.
A to oznacza, dowolną wartość lambda, która spełnia
to równanie dla niezerowego wektora v.
Potem zrobiliśmy trochę przekształceń, które można nazwać
algebrą wektorową, żeby dostać to tutaj.
Możecie obejrzeć jeszcze raz tamten film, jak chcecie.
A potem ustaliliśmy, że jedyna możliwość, żeby
to miało niezerowe rozwiązanie jest taka, że ta macierz
ma nietrywialne jądro.
A tylko nieodwracalne macierze mają
nietrywialne jądro.
Albo inaczej, tylko macierze których wyznacznik jest równy 0
mają nietrywialne jądro.
Czyli robimy to, dostajemy wielomian charakterystyczny
i możemy go rozwiązać.
Obliczyliśmy nasze wartości własne, lambda równe 3
lub lambda równe minus 3.

Spanish: 
..
En el ultimo video nos propusimos a encontrar los valores propio valor
de este 3 por 3 matriz, A.
y nosotros dijimos, miren un valor proprio es cualquier valor,
lambda, que satisface esta ecuacion de v
es un distinto de cero valor.
y eso dice, cualquier valor, lambda, que satisface esta
ecuacion para v es un distinto de cero valor.
Luego que acabamos de hacer un poco de supongo que podriamos llamarlo
vector algebra hasta aqui para llegar a esa.
Usted puede revisar ese video, si le gustaria.
Y luego nosotros determinamos, mira sola mente la forma en que esto
va atener un solusion distinto de cero es si matriz tiene
un no trivial nulo espacio.
y no sólo las matrices invertibles tienen un no-trivial
espacio nulo.
O bien, sólo las matrices que tienen un determinante de 0
espacios nulos no triviales.
Para ello, tienes tu característica polinomial, y
hemos podido resolverlo.
Y tenemos nuestros valores propios donde lambda es igual a 3 y
lambda es igual a menos 3.

Arabic: 
حددنا في الفيدو السابق قيم القيم الذاتية لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة A
وقلما أن أي قيمة ذاتية هي أقية قيمة لامدا التي تحقق هذه المعادلة V تساوي متجه لا صفري
وقلنا أن أي قيمة , لامدا, التي تحقق هذه المعادلة للمتجه v تساوي متجه لاصفري
أظن أننا قمنا بما نستطيع تسميته جبر المتجه هنا في الأعلى كي تأتي بهذا
يمكنك مراجعة الفيديو إن أحببت
ثم قلنا أن الطريقة الوحيدة التي من خلالها يمكن أن يكون لهذا العنصر حل غير صفري هي إذا كان لهذه المصفوفة فضاء فارغ غير بسيط
حيث أن المصفوفات الغير قلابلة للعكس هي وحدها تختص بالفضاء الفارغ الغير بسيط
أو أي يمكن أن يكون لأية مصفوفة لها محدد صفري فضائات فراغية غير بسيطة
بإمكانك القيام بذلك لتحصل على خاصية تعدد الحدود, حيث كان بإمكاننا أن نحلها
وحصلنا على القيم الذاتية حيث اللامدا تساوي سالب ثلاثة

iw: 
בשיעור הקודם ניסינו למצוא את הערכים העצמיים
של המטריצה 3X3 הזו, A.
ואמרנו, שערך עצמי הוא כל ערך
למדה, שמקיים את משוואה זו, אם v
אינו וקטור האפס.
וזה בעצם אומר, כל ערך, למדה, שמקיים
את משוואה זו עבור וקטור v שאינו שווה לוקטור האפס.
לאחר מכן פשוט עשינו מעט, ניתן לקרוא לזה
"אלגברה וקטורית" פה כדי למצוא את מה שמופיע פה.
אתם יכולים לראות את השיעור הקודם אם תרצו.
ואז קבענו שהדרך היחידה שזה
הולך לתת פתרון שהוא לא אפס תהיה אם למטריצה הזו יש
בסיס גרעין לא טריוויאלי (קרנל עם לפחות וקטור אחד).
ורק למטריצות בלתי-הפיכות יש
בסיס גרעין לא-טריוויאלי.
או שניתן לומר, רק למטריצות שהדטרמיננט שלהן שווה לאפס יש
בסיס גרעין לא-טריוויאלי.
אז עושים את זה, מקבלים את הפולינום האופייני,
ופתרנו אותו.
עכשיו קיבלנו את הערכים העצמיים שבהם הלמדה שווה ל-3
ול 3-

Korean: 
 
저번 동영상에서는
이 3x3 행렬 A의 고유값을 구했습니다
그리고 고유값이란
어떤 값 λ 중에서 0이 아닌 어떤 벡터 v에 대해
이러한 식을 만족하는 값이라고 하였습니다
어떤 λ 중에서 영벡터가 아닌 v에 대해
이러한 식을 만족하는 값 말입니다
이를 구하기 위해 위쪽에서
벡터 대수학이라고 부를 무언가를 진행했습니다
원한다면 지난 동영상을 복습할 수 있습니다
이를 통해
v가 0이 아닌 해를 갖기 위해서는 이 행렬이
자명하지 않은 영공간을 
지녀야 한다는 것을 알 수 있었습니다
그리고 가역성을 지니지 않는 행렬만이
자명하지 않은 영공간을 지닙니다
내지는 행렬식이 0인 행렬만이
자명하지 않은 영공간을 지닙니다
행렬식을 구하면 고유다항식을 얻게 되고
이를 풀 수 있었습니다
그러고는 고유값을 얻었는데, λ=3이거나
λ=-3이었습니다

Thai: 
ในวิดีโออันล่าสุด เราพร้อมแล้วที่จะหาค่าลักษณะเฉพาะ
ของเมทริกซ์ A ขนาด 3X3
และเราบอกว่า ลองดูค่าลักษณะเฉพาะ
แลมด้า ซึ่งเป็นคำตอบของสมการนี้ ถ้า v
ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์
นี่หมายถึงว่า ค่าแลมด้าใดๆที่เป็นคำตอบ
ของสมการของ v ซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์
ซึ่งเราใช้เรื่อง พีชคณิตของเวกเตอร์
พีชคณิตของเวกเตอร์ นิดหน่อย เพื่อจะได้ผลลัพธ์นั้น
ลองไปทบทวนดูได้ถ้าหากมีเวลา
เอาล่ะ เราพร้อมแล้ว ทางเดียวที่สมการนี้
ทางเดียวที่สมการนี้จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ก็คือเมื่อเมทริกซ์มี
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
และเพราะว่า เมทริกซ์ที่สามารถผกผันได้เท่านั้นที่จะมี
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
หรือว่า เมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เท่านั้นจะมี
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
ดังนั้นเมื่อเราทำมัน เราก็จะได้พหุนามลักษณะเฉพาะ
แล้วเราก็จะแก้มันได้
เราก็จะได้ค่าลักษณะเฉพาะซึ่ง
แลมด้าเท่ากับ 3 และ
แลมด้าเท่ากับ -3

Chinese: 
上次影片中
我們開始著手計算特征值
對於這個3×3矩陣A
我們說過 看 特征值是任意值
λ 滿足這個等式
如果v是一個非零向量
那就是說 任意值 λ 滿足
對於任意非零v這個等式成立
然後我們就做了一些工作 我想我們可以稱它
向量代數上面我們給出的
你也可以再複習一下那個影片
然後我們確定 看 唯一的方法使得這個
有一個非零解就是如果這個矩陣有
一個非平凡的零核空間
只有非可逆的矩陣才有
一個非平凡的零核空間
或者 只有行列式爲0的矩陣
才有非平凡的零核空間
所以你那樣做 你得到特征多項式
我們能夠解它
我們得到特征值λ=3
和λ=-3
現在 我們來做

English: 
In the last video we set out to
find the eigenvalues values
of this 3 by 3 matrix, A.
And we said, look an eigenvalue
is any value,
lambda, that satisfies
this equation if v
is a non-zero vector.
And that says, any value,
lambda, that satisfies this
equation for v is a
non-zero vector.
Then we just did a little bit
of I guess we could call it
vector algebra up here
to come up with that.
You can review that
video if you like.
And then we determined, look
the only way that this is
going to have a non-zero
solution is if this matrix has
a non-trivial null space.
And only non-invertible matrices
have a non-trivial
null space.
Or, only matrices that have
a determinant of 0 have
non-trivial null spaces.
So you do that, you got your
characteristic polynomial, and
we were able to solve it.
And we got our eigenvalues where
lambda is equal to 3 and
lambda is equal to minus 3.

Chinese: 
上次视频中
我们开始着手计算特征值
对于这个3×3矩阵A
我们说过 看 特征值是任意值
λ 满足这个等式
如果v是一个非零向量
那就是说 任意值 λ 满足
对于任意非零v这个等式成立
然后我们就做了一些工作 我想我们可以称它
向量代数上面我们给出的
你也可以再复习一下那个视频
然后我们确定 看 唯一的方法使得这个
有一个非零解就是如果这个矩阵有
一个非平凡的零空间
只有非可逆的矩阵才有
一个非平凡的零空间
或者 只有行列式为0的矩阵
才有非平凡的零空间
所以你那样做 你得到特征多项式
我们能够解它
我们得到特征值λ=3
和λ=-3
现在 我们来做

Spanish: 
Ahora, vamos a hacer--lo que considero el más interesante
parte--es realmente saber los vectores propios o la
eigenspaces.
Así que podemos volver a esta ecuación, para cualquier valor propio
Esto debe ser verdad.
Esto debe ser cierto, pero esto es más fácil trabajar con.
Y por lo tanto, debe ser esta matriz aquí veces su vector propio
igual a 0 para cualquier valor propio determinado.
Esta matriz derecha aquí--yo sólo he copiado
y pegada desde arriba.
Marcó con la regla de Sarrus así que usted puede ignorar
esas líneas--es sólo esta matriz derecha
aquí para cualquier lambda.
Lambda veces menos A la matriz de identidad
termina siendo esto.
Así que vamos a tomar esta matriz para cada uno de nuestros lambdas y luego
resolver para nuestros vectores propios o de nuestros eigenspaces.
Así que permítanme tomar el caso de lambda es igual a 3 primero. Por lo tanto
Si lambda es igual a 3, esta matriz se convierte en lambda plus 1
es 4, lambda negativo 2 es 1, lambda negativo 2 es 1.

Polish: 
A teraz zróbmy -- ja uważam to za najciekawszą
część -- znajdźmy wektory własne
albo przestrzenie własne.
Czyli możemy wrócić do tego równania, dla dowolnej wartości własnej
to musi być spełnione.
To musi być spełnione, ale z tym łatwiej jest pracować.
A więc ta macierz tutaj razy nasz wektor własny musi
być równe 0 dla dowolnej danej wartości własnej.
Ta macierz tutaj -- po prostu skopiowałem
i wkleiłem ją z góry.
Zrobiłem na niej linie do reguły Sarrusa, które możecie
zignorować -- to jest po prostu ta macierz
tutaj dla dowolnego lambda.
Lambda razy macierz jednostkowa odjąć A
jest równe temu.
Weźmy więc tę macierz dla każdej z naszych wartości własnych
a potem znajdziemy wektory własne lub przestrzenie własne.
Zaczniemy od przypadku lambda równe 3.
Czyli jeżeli lambda jest równe 3, ta macierz przyjmuje postać lambda dodać 1
czyli 4, lambda odjąć 2 daje 1, lambda odjąć 2 daje 1.

Chinese: 
我认为是更有意思的部分
是计算出特征向量或者特征空间
我们可以回到这个等式
对于任意的特征值这个一定成立
这个也一定成立但是这个好求
所以 这个矩阵乘以特征向量一定
等于0对任意给定的特征值
这个矩阵
我已经从上面拷贝和粘贴了
我把它按照Sarrus法则标记 因此你可以忽略
那些线 就是这个矩阵
对于任意的λ
λ乘以单位阵减A
结果就是这个
因此我们来取这个矩阵的每一个λ
然后去解它们对应的特征向量或特征空间
我们以λ=3为例先做一下
如果λ=3
这个矩阵就变成λ+1是4
λ-2是1 λ-2是1

Korean: 
이제는, 더욱 흥미로운 내용인
고유벡터나 고유공간을
실제로 구해보도록 하겠습니다
다시 이 방정식으로 돌아갑니다
모든 고유값에 대해 성립하는 식입니다
이 식도 성립하지만 이 식이 더 다루기 쉽습니다
그래서 여기 이 행렬과 고유벡터의 곱은
주어진 고유값에 대해 0이 되어야 합니다
여기 이 행렬은
위에서 가지고 온 행렬입니다
사루스 법칙 때문에 표시한 선들을 무시하면
어떤 λ에 대한 행렬이 됩니다
λ와 단위행렬의 곱에서 A를 뺀 값은
이렇게 나왔습니다
이 행렬에 각 λ를 대입하여
고유벡터나 고유공간을 구해 보겠습니다
우선 λ=3의 경우를 진행하겠습니다
만약 λ=3이라면, 이 행렬은 λ+1이
4이고, λ-2는 1이고, λ-2는 1입니다

English: 
So now, let's do-- what I
consider the more interesting
part-- is actually find out
the eigenvectors or the
eigenspaces.
So we can go back to this
equation, for any eigenvalue
this must be true.
This must be true but this
is easier to work with.
And so, this matrix right here
times your eigenvector must be
equal 0 for any given
eigenvalue.
This matrix right here--
I've just copied
and pasted from above.
I marked it up with the Rule
of Sarrus so you can ignore
those lines-- is just
this matrix right
here for any lambda.
Lambda times the identity
matrix minus A
ends up being this.
So let's take this matrix for
each of our lambdas and then
solve for our eigenvectors
or our eigenspaces.
So let me take the case of
lambda is equal to 3 first. So
if lambda is equal to 3, this
matrix becomes lambda plus 1
is 4, lambda minus 2 is 1,
lambda minus 2 is 1.

iw: 
אז עכשיו, בואו נעשה משהו, לדעתי, יותר מעניין
וזה, למצוא את הוקטורים העצמיים או
את המרחבים העצמיים
אנחנו יכולים לחזור אל המשוואה הזו, לכל ערך עצמי
זה בהכרח מתקיים.
זה בהכרח מתקיים אבל יהיה קל יותר לעבוד עם זה.
וכשזה נאמר, המטריצה הזו כאן, כפול הוקטור העצמי חייב להיות
שווה לאפס עבור כל ערך עצמי נתון.
המטריצה הזו שכרגע העתקתי
והדבקתי מלמעלה
סימנתי אותה לפי חוק סארוס אז אתם יכולים,
פשוט להתעלם מהסימונים, זו פשוט אותה מטריצה
עבור כל למדה.
למדה כפול מטריצת הזהות פחות מטריצה A
נותן לנו את זה
אז בואו ניקח את המטריצה הזו עבור כל אחת מערכי הלמדה שקיבלנו ואז
נפתור עבור הוקטורים או המרחבים העצמיים.
תחילה, ניקח את המקרה בו למדה שווה ל-3
אם למדה שווה ל-3, המטריצה שווה ללמדה ועוד 1
שזה שווה ל-4. למדה מינוס 2 שווה 1. למדה מינוס 2 שווה 1.

Arabic: 
والآن دعونا نقوم بما أعتبرته الجزء الأكثرأهمية وهو في الحقيقة إيجاد المتجهات الذاتية أو الفضائات الذاتية
ولهذا, نعود لهذه المعادلة, وهذا بالنسبة لأي قيمة ذاتية يجب أن يكون حقيقيا
يجب أن يكون هذا حقيقيا ولكن من الأسهل التعامل مع هذا
وبالتي, المصفوفة المتواجدة هاهنا مضروب في المتجه الذاتي يجب أن تساوي صفر بالنسبة لأي قيمة ذاتية معطاه
المصفوفة الموجودة هنا...نسخت ولصقت من الأعلى
كما أنني قمت بتحديدها يقانون ساروس لعلنا نستطيع تجاهل هذين الخطين ... هذه المصفوفة الموجودة هنا بالنسبة لأي لامدة
لامدا مضروبة في مصفوفة الوحدة وهيA- تساوي هذا
والآن دعونا نأخذ المصفوفة بالنسبة لأي من اللامدات الموجودة لدينا ومن ثم نحلها بالنسبة للمجهات الذاتية والفضائات الذاتية الموجودة لدينا
لنأخذ لامدا في حال ما كانت مساوي لثلاثة, وبالتالي إذا كانت اللامدا تساوي ثلاثة, فإن هذا المصفوفة ستساوي لامدا زائد واحد تساوي أربعة, و لامدا ناقص إثنين تساوي واحد, ولامدا ناقص إثنين تساوي واحد

Thai: 
เอาล่ะ เรามาลองทำอะไรที่ผมว่าน่าสนใจกว่าเมื่อครู่นี้หน่อย
มันคือการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและ
ปริภูมิลักษณะเฉพาะ
เรากลับไปที่สมการเดิม, สำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ
สมการนี้ต้องเป็นจริง
สมการนี้ต้องเป็นจริง ซึ่งนี่ง่ายกว่ามาก
เมทริกซ์อันนี้คูณกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะต้องเท่ากับศูนย์
ต้องเท่ากับศูนย์ สำหรับค่าใดๆก็ตามของค่าลักษณะเฉพาะ
ส่วนเมทริกซ์อันนี้ ผมคัดลอก
มาจากข้างบน
ผมเขียนกฎของซารุสลงไปด้วย แต่อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้
อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้ ตรงนี้คือเมทริกซ์
สำหรับค่าใดๆของแลมด้า
แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ลบด้วยเมทริกซ์ A
ก็จะมีหน้าตาเป็นอย่างนี้
เราเอาเมทริกซ์อันนี้สำหรับค่าใดๆของแลมด้า แล้วก็
แก้สมการหา เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หรือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะของเรา
เรามาลองในกรณีที่แลมด้ามีค่าเท่ากับ 3 กันก่อน
ถ้าแลมด้าเท่ากับ 3 เมทริกซ์อันนี้ก็จะกลายเป็น แลมด้า บวก 1
เท่ากับ 4, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1

Chinese: 
我認爲是更有意思的部分
是計算出特征向量或者特征空間
我們可以回到這個等式
對於任意的特征值這個一定成立
這個也一定成立但是這個好求
所以 這個矩陣乘以特征向量一定
等於0對任意給定的特征值
這個矩陣
我已經從上面拷貝和粘貼了
我把它按照Sarrus法則標記 因此你可以忽略
那些線 就是這個矩陣
對於任意的λ
λ乘以單位陣減A
結果就是這個
因此我們來取這個矩陣的每一個λ
然後去解它們對應的特征向量或特征空間
我們以λ=3爲例先做一下
如果λ=3
這個矩陣就變成λ+1是4
λ-2是1 λ-2是1

Arabic: 
وجميع القيم الأخرى تبقى كما هي وهي: سالب إثنان, سالب إثنان, سالب إثنان, واحد, سالب إثنان وواحد
ثم هذه القيمة مضروبة في المتجه V أو المتجه الذاتي الموجود V ستساوي صفر
أو بإمكاننا القول أن الفضاء الذاتي بالنسبة للقيمة الذاتية 3 يساوي الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة
و ليست لهذه المصفوفة
لامدا المصفوفة مضروبة في مصفوفة الوحدة ناقص A
وبالتالي فإن الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة يساوي الفضاء الذاتي
جميع القيم التي تحقق makeup هذه المتجهات الذاتية للفضاء الذاتي للامدا يساوي ثلاثة
دعونا نحل هذه الخطوة
الفضاء الفراغي لهذا العنصر- بإمكاننا أن نضعها على شكل نوذج صيغة الصف المخفض -
لذا, فإن الفضاء الفراغي لهذا العنصر هو نفس الفضاء الفراغي لهذا العنصر في صيغة نموذج صيغة الصف المخفض
والآن دعونا نصيغها على شكل نموذج صيغة الصف المخفض
أو ما أريد القيام به....دعوني أكتبها هنا في الأسفل
سأبقي الصف الأول كما هو لحتى الآن وهو: سالب أربعة, سالب إثنين

Korean: 
나머지 항들은 그대로 있습니다
-2, -2, -2, 1, -2, 1입니다.
그리고 이 값과 벡터 v, 혹은 고유벡터 v를
곱하면 0이 됩니다
고유값 3에 대한 고유공간이
이 행렬의 영공간이라고 할 수 있습니다
이 위의 행렬이 아닙니다
이 행렬은 λ를 단위행렬과 곱하고 A를 뺀 행렬입니다
그래서 이 행렬의 영공간이 고유공간이 됩니다
이 v를 만족하는 모든 값은
λ=3의 고유공간에 대한 고유벡터가 됩니다
한번 풀어 보겠습니다
이 행렬의 영공간은
기약행사다리꼴 형태로 나타낼 수 있는데
이 행렬의 영공간은
이 행렬의 기약행사다리꼴 형태의 영공간과 같습니다
이를 기약행사다리꼴 형태로 나타내 보겠습니다
가장 먼저 할 일은
여기서 진행하겠습니다
일단 첫 행은 그대로 두겠습니다

Chinese: 
然后所有其它项保持不变 -2
有-2 -2 1 -2 1
然后这时候向量v
或者我们的特征向量 等于0
或者我们可以说对于特征值为3的特征空间
是这个矩阵的零空间
不是这个矩阵
是λ乘以单位阵减A
因此这个矩阵的零空间是特征空间
因此所有的值满足这个组成
特征向量组成的特征空间
在λ=3时
我们来解一下这个
这个矩阵的零空间 我们可以就写
成行简化阶梯形 这个矩阵的零空间
等同于这个矩阵的
行简化阶梯形的零空间
因此我们来把它写成行简化阶梯形
首先我想要做的
我再往下点
我来 我现在保持第一行不变

iw: 
בעוד שכל שאר הערכים נשארים אותם ערכים, מינוס 2
מינוס 2, מינוס 2, 1, מינוס 2 ו-1.
ואז ניתן לומר שכל זה כפול הוקטור, v, או הוקטור העצמי
שווה לאפס
או שניתן לומר שהמרחב העצמי עבור הערך העצמי
3, הוא הגרעין של המטריצה הזו.
וזו לא המטריצה הזו.
זה שווה ללמדה כפול מטריצה הזהות פחות המטריצה A
אז הגרעין של המטריצה הזו הוא המרחב העצמי.
כל הערכים שמקיימים את זה מרכיבים
את הוקטורים העצמיים של המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3.
בואו פשוט נפתור עבור זה.
אז הגרעין של זה. אפשר פשוט להציג
את זה בצורה מדורגת. הגרעין של מה שיש לנו פה
זה אותו הגרעין של הצורה
המדורגת שלו
אז בואו נגיע לצורה מדורגת.
הדבר הראשון שאני רוצה לעשות, תנו לי רק
לעשות את זה פה למטה.
אני אשמור את השורה הראשונה כמו שהיא בינתיים.

Thai: 
ที่เหลือก็เหมือนเดิม คือ -2
-2, -2, 1, -2 และ 1
เอาอันนี้คูณกับเวกเตอร์ v หรือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ v เท่ากับ 0
เท่ากับ 0
หรือเราอาจจะพูดว่า ปริภูมิของค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 3
คือปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้
ซึ่งไม่ใช่เมทริกซ์อันนี้
มันคือ แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ลบเมทริกซ์ A
ดังนั้น ปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้คือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ
ดังนั้น ค่าใดๆก็ตามที่สอดคล้องกับสมการนี้
สร้าง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปริภูมิลักษณะเฉพาะของแลมด้าเท่ากับ 3
เอาล่ะ มาแก้สมการนี้กัน
ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ เราอาจจะทำให้มันอยู่ใน
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (reduced row echelon form) ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ก็คือ
อันเดียวกันกับปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ใน
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
เอาล่ะมาทำให้มันอยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวกันเถอะ
อย่างแรกที่ผมจะทำคือ --
ย้ายมาเขียนข้างล่างก่อน
ผมจะเก็บแถวแรกไว้อย่างเดิมก่อน

Spanish: 
Y, a continuación, todos los otros términos permanecen igual, menos 2,
menos 2, menos 2, 1, 2 y 1.
Y entonces este momento ese vector, v o nuestro vector propio
v es igual a 0.
O podríamos decir que el propio para el autovalor
3 es el espacio nulo de esta matriz.
No es que esta matriz.
Lambda es veces la identidad menos A.
Por lo que el espacio nulo de esta matriz es el propio.
Para todos los valores que satisfacen este conforman el
vectores propios de la propio de lambda es igual a 3.
Así que vamos a resolver sólo para esto.
Así el espacio de este tipo--nosotros podríamos sólo pone en
reducido fila echelon forma--el espacio nulo de este chico es el
lo mismo que el espacio nulo de este chico en fila reducida
forma de escalón.
Así que vamos a poner esto en forma escalón reducida.
Así que lo primero que quiero hacer--permítanme
sólo Hazlo aquí abajo.
Así que permítanme--I'll keep mi primera fila lo mismo por ahora.

Polish: 
A pozostałe elementy pozostają takie same, minus 2,
minus 2, minus 2, 1, minus 2 i 1.
A potem to razy ten wektor v, nasz wektor własny v,
ma być równe 0.
Albo możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla
wartości własnej 3 jest jądrem tej macierzy.
Która nie jest tą macierzą.
To jest lambda razy macierz jednostkowa odjąć A.
Czyli jądro tej macierzy jest przestrzenią własną.
Czyli wszystkie wartości, które to spełniają stanowią
wektory własne z przestrzeni własnej odpowiadającej lambda równemu 3.
Czyli rozwiążmy to.
Czyli jądro tej macierzy -- możemy sprowadzić ją
do postaci wierszowo zredukowanej -- jądro tej macierzy
jest tym samy to jądro tej macierzy sprowadzonej do
postaci wierszowo zredukowanej.
A więc zredukujmy ją wierszowo.
Pierwszą rzeczą którą chcę zrobić --
zrobię to tu.
Zaczynam -- na razie pierwszy wiersz zostawię bez zmian.

Chinese: 
然後所有其它項保持不變 -2
有-2 -2 1 -2 1
然後這時候向量v
或者我們的特征向量 等於0
或者我們可以說對於特征值爲3的特征空間
是這個矩陣的零核空間
不是這個矩陣
是λ乘以單位陣減A
因此這個矩陣的零核空間是特征空間
因此所有的值滿足這個組成
特征向量組成的特征空間
在λ=3時
我們來解一下這個
這個矩陣的零核空間 我們可以就寫
成行簡化階梯形 這個矩陣的零核空間
等同於這個矩陣的
行簡化階梯形的零核空間
因此我們來把它寫成行簡化階梯形
首先我想要做的
我再往下點
我來 我現在保持第一行不變

English: 
And then all of the other terms
stay the same, minus 2,
minus 2, minus 2, 1,
minus 2 and 1.
And then this times that vector,
v, or our eigenvector
v is equal to 0.
Or we could say that the
eigenspace for the eigenvalue
3 is the null space
of this matrix.
Which is not this matrix.
It's lambda times the
identity minus A.
So the null space of this matrix
is the eigenspace.
So all of the values that
satisfy this make up the
eigenvectors of the eigenspace
of lambda is equal to 3.
So let's just solve for this.
So the null space of this guy--
we could just put in
reduced row echelon form-- the
null space of this guy is the
same thing as the null space
of this guy in reduced row
echelon form.
So let's put this in reduced
row echelon form.
So the first thing I
want to do-- let me
just do it down here.
So let me-- I'll keep my first
row the same for now.

Korean: 
4, -2, -2
두 번째 행을 두 번째 행의 두 배에서
첫 번째 행을 더한 것으로 하겠습니다
그래서 -2 곱하기 2 더하기 4는 0이고
1 곱하기 2 빼기 2는 0입니다
1 곱하기 2 빼기 2는 0이고요
이 행이 이 행과 같습니다
같은 일을 다시 반복합니다
-2 곱하기 2 더하기 4는 0입니다
1 곱하기 2 더하기 2는 0이고요
그리고 1 곱하기 2 더하기 -2는 0입니다
그래서 방정식의 해답은
이 식의 해답과 같습니다
다르게 적어 보겠습니다
벡터 v라고 적는 대신
한번 적어 보겠습니다
v1, v2, v3을 대입하면 영벡터가 됩니다
0, 0, 0
약간 다르게 써 보았습니다
이들 두 행은, 혹은 이들 두 식은
어떠한 정보도 주지 않습니다
오직 맨 위의 줄만이

Chinese: 
有4 -2 -2
我們替換第二行用第二行
乘以2加第一行
-2乘以2加1是0
1乘以2加-2是0
1乘以2加-2是0
這一行等同於這一行
我將做同樣的事情
-2乘以2加4是0
1乘以2加2是0
然後1乘以2加上-2是0
這個等式的解等同於
這個等式的解
我這麽寫
我不把它寫成向量v
我把它具體寫出來
即[v1；v2；v3] 將等於0向量
是0 0
就是把它寫得有點不同罷了
所以這兩行 或者這兩個等式
沒給我們任何信息
唯一的信息就是這一行 它告訴我們

Polish: 
4, minus 2, minus 2.
A teraz zastąpię drugi wiersz sumą drugiego pomnożonego przez 2
i pierwszego wiersza.
Czyli minus 2 razy2 dodać 1 daje 0.
1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.
1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.
Ten wiersz jest taki sam jak ten wiersz.
Czyli zrobię to samo.
Minus 2 razy 2 dodać 4 daje 0.
1 razy 2 dodać 2 daje 0.
A potem 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.
Czyli rozwiązania tego równania są takie same
jak rozwiązania tego równania.
Zapiszę to w ten sposób.
Zamiast pisać po prostu wektor v,
napiszę składowe.
Czyli v1, v2, v3. To ma być równe wektorowi 0.
0, 0, 0.
Przepisałem to trochę inaczej.
Czyli te dwa wiersze, czy te dwa równania, nie dają
nam żadnej informacji.
Jedyną informację niesie ten wiersz tutaj na górze, który mówi

Thai: 
4, -2, -2
และให้ผมแทนที่แถวที่สองด้วย แถวที่สองคูณด้วย 2
บวกกับแถวแรก
-2 คูณ 2 บวก 1 เท่ากับ 0
1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
เพราะว่าแถวนี้ก็เหมือนกับแถวนี้
ผมก็จะทำอย่างเดียวกัน
-2 คูณ 2 บวก 4 เท่ากับ 0
1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
และ 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
คำตอบของสมการนี้ก็เป็นคำตอบของสมการ
นี้เช่นเดียวกัน
ให้ผมเขียนอย่างนี้แล้วกัน
แทนที่จะเขียนด้วยเวกเตอร์ v
เราเขียนออกมาเลยแบบนี้
v1, v2, v3 ก็จะเท่ากับเวกเตอร์ 0
0, 0, 0
เราแค่เขียนให้แตกต่างออกไปนิดนึง
เห็นมั้ยว่าสองแถวนี้ หรือสองสมการนี้ไม่ได้บอกอะไรเราเลย
ไม่ได้บอกอะไรเราเลย
มีแต่แถวนี้เท่านั้นที่บอกเราว่า

Chinese: 
有4 -2 -2
我们替换第二行用第二行
乘以2加第一行
-2乘以2加1是0
1乘以2加-2是0
1乘以2加-2是0
这一行等同于这一行
我将做同样的事情
-2乘以2加4是0
1乘以2加2是0
然后1乘以2加上-2是0
这个等式的解等同于
这个等式的解
我这么写
我不把它写成向量v
我把它具体写出来
即[v1；v2；v3] 将等于0向量
是0 0
就是把它写得有点不同罢了
所以这两行 或者这两个等式
没给我们任何信息
唯一的信息就是这一行 它告诉我们

Spanish: 
4 menos 2, menos 2.
Y me deja cambiar mi segunda fila con mi segunda fila veces 2
Además mi primera fila.
Lo menos 2 veces 2 plus 1 es 0.
más de 2 veces 1 menos 2 es 0.
más de 2 veces 1 menos 2 es 0.
Esta fila es igual a la de esta fila.
Así que voy a hacer lo mismo.
Menos 2 veces 2 plus 4 es 0.
veces 1 2 más 2 es 0.
Y, a continuación, más de 2 veces 1 menos 2 es 0.
Por lo que las soluciones a esta ecuación están igual a la
soluciones a esta ecuación.
Me permito escribir como este.
En lugar de simplemente escribir el vector v,
me permito escribir hacia fuera.
Así v1, v2, v3 va a ser igual al vector de 0.
0, 0.
Sólo reescribir ligeramente diferente.
Y así nos dan estas dos filas, o estas dos ecuaciones,
no hay información.
El único es esta fila aquí, que nos dice que 4

Arabic: 
ودعونا نقوم بإستبدال الصف الثاني بالصف الثاني مضربا في إثنين زائد الصف الأول
سالب إثنين مضروبة في إثنين زائد واحد تساوي صفر
واحد مضروب في إثنين زائد سالب إثنين يساوي صفر
هذا الصف هو نفس هذا الصف
ولهذا, سأقوم بنفش الشئ هنا : سالب إثنين مضروبة في إثنين زائد أربعة تساوي صفر
و واحد مضروبة في إثنين زائد إثنين يساوي صفر
ثم: واحد مضروب في إثنين زائد سالب إثنين يساوي صفر
لذا, تكون حلول هذه المعادلة هي نفس حلول هذه المعادلة
سأكتبها على هذا الشكل. بدلا من كتابة المتجه V
سأكتبها بشئ من التفصيل, V1, V2 , V3, تساوي المتجه الصفري
صفر, صفر
سأكتبها بشكل مختلف قليلا
لن تعطينا هذين الصفين أو هاتين المعادلتين معلومات
لكن العنصر الوحيد الذي سيقوم بذلك هو هذا الصف الموجود هنا في الأعلى والذي يخبرنا بأن: أربعة مضروبة في v1 ناقص إثنين مضروبة في V2 ....في الواقع لم يكن نموذج صيغة الصف المخفض هذا كاملا إلا انه كان قريبا بشكل كاف

iw: 
4 מינוס 2, מינוס 2
עכשיו נחליף את השורה הראשונה בשורה השניה כפול 2
ועוד השורה הראשונה.
זה יוצא מינוס 2 כפול 2 פלוס 1 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
השורה הזו זהה לשורה הזו.
אני עומד לעשות את אותו הדבר
מינוס 2 כפול 2 ועוד 4 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד 2 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
ניתן לראות שהפתרונות של משוואה זו זהים
לפתרונות של משוואה זו.
אני אכתוב את זה כך
במקום פשוט לרשום את הוקטור V
אני ארשום אותו כך
אז, V1, V2, V3, שווים לוקטור האפס.
0,0.
נכתוב את זה בצורה מעט שונה.
ולכן, שתי השורות האלו, או, שתי המשוואות האלו
לא נותנות לנו מידע נוסף.
השורה היחידה היא העליונה, שאומרת ש-4 כפול V1

English: 
4 minus 2, minus 2.
And let me replace my second row
with my second row times 2
plus my first row.
So minus 2 times
2 plus 1 is 0.
1 times 2 plus minus 2 is 0.
1 times 2 plus minus 2 is 0.
This row is the same
as this row.
So I'm going to do
the same thing.
Minus 2 times 2 plus 4 is 0.
1 times 2 plus 2 is 0.
And then 1 times 2 plus
minus 2 is 0.
So the solutions to this
equation are the same as the
solutions to this equation.
Let me write it like this.
Instead of just writing
the vector, v,
let me write it out.
So v1, v2, v3 are going to
be equal to the 0 vector.
0, 0.
Just rewriting it slightly
different.
And so these two rows, or these
two equations, give us
no information.
The only one is this row up
here, which tells us that 4

Korean: 
4v1+2v2, 적다가 보니
완전한 기약행사다리꼴행렬이 아니었네요
하지만 비슷했습니다
그래도 다루기 쉽습니다
4v1-2v2-2v3=0이 되어야 합니다
4로 나누어 줍니다
여기서 4로 나누어 줄 수도 있었는데
그러다 실수할 수도 있었을 것입니다
그래서 4로 나누어 주면
v1-1/2v2-1/2v3=0을 얻게 됩니다
혹은 v1은 1/2v2+1/2v3과 같습니다
양변에 이들을 더해준 것입니다
혹은 v2가 어떤 임의의 숫자
a와 같고
v3은 어떤 임의의 숫자 c와 같다고 해 봅시다

iw: 
מינוס 2 כפול V2...למען האמת זה לא היה
דירוג מושלם של המטריצה אבל זה קרוב מספיק.
קל מאד עבורנו לעבוד בצורה הזו. 4 כפול V1 פחות 2
כפול V2 פחות 2 כפול V3 שווה לאפס.
נחלק ב-4
יכולתי לחלק פה ב-4, שהיה עושה את אותו הדבר
דילגתי על שלב.
אבל אם תחלקו ב-4 תקבלו V1 פחות חצי V2 פחות חצי V3
כל זה שווה לאפס.
או, V1 שווה לחצי V2 ועוד חצי V3.
פשוט הוספתי את שני אלה לשני צדדי המשוואה.
ניתן גם לומר, בואו נגיד שV2 שווה ל...
נשים פה מספר אקראי a
ו-V3 יהיה שווה לb אז נוכל לומר שV1

English: 
times v1 minus 2 times v2--
actually this wasn't complete
reduced row echelon form
but close enough.
It's easy for us to work with--
4 times v1 minus 2
times v2 minus 2 times
v3 is equal to 0.
Let's just divide by 4.
I could've just divided by 4
here, which might have made it
skipped a step.
But if you divide by 4 you get
v1 minus 1/2 v2 minus 1/2 v3
is equal to 0.
Or, v1 is equal to 1/2
v2 plus 1/2 v3.
Just added these guys to both
sides of the equation.
Or we could say, let's say that
v2 is equal to-- yeah I
don't know, I'm going to just
put some random number-- a,
and v3 is equal to b, then we
can say-- and then v1 would be

Chinese: 
4v1-2v2 實際上這個還不是
完整的行簡化階梯形但是已經足夠
它已經達到了簡化的目的 4v1-2
v2-2v3等於0
整體除以4
我本應該在這就除以4
可能就多走一步
除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3
等於0
或者v1=1/2v2+1/2v3
只要在等式兩邊都加上這個就行了
或者我們可以說 比方說v2等於
我不知道
我將寫某個隨機數
a v3=b 然後我們可以說
v1將等於1/2a+1/2b

Polish: 
że 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 -- właściwie to nie była do końca
zredukowana wierszowo macierz, ale wystarczająco blisko,
żeby łatwo się z nią pracowało -- 4 razy v1 odjąć 2 razy v2
odjąć 2 razy v3 równa się 0.
Podzielmy przez 4.
Mogłem podzielić przez 4 tutaj.
Pominąłem wtedy ten krok.
Ale jak podzielimy przez 4 dotaniemy v1 odjąć 1/2 v2 odjąć 1/2 v3
równa się 0.
Albo v1 równa się 1/2 v2 dodać 1/2 v3.
Po prostu dodałem tych dwóch kolesi do obu stron równania.
Moglibyśmy powiedzieć, powiedzmy, że v2 jest równe -- no nie wiem
wybiorę jakąś losową liczbę -- a
a v3 jest równe b, wtedy możemy powiedzieć -- wtedy v1 będzie

Thai: 
4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 -- จริงๆอันนี้ยังไม่ได้อยู่ใน
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปโดยสมบูรณ์ แต่ก็ใกล้เคียง
แล้วก็ง่ายกว่าที่จะคำนวณ -- 4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2
4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 ลบ 2 คูณ v3 เท่ากับ 0
เราหารมันด้วย 4
ผมอาจจะหารด้วย 4 ตั้งแต่ตรงนี้ ซึ่งอาจจะข้ามขั้น
ไปหน่อย
แต่ถ้าเราหารด้วย 4 เราก็จะได้ v1 ลบ 1/2 v2 ลบ 1/2 v3
เท่ากับ 0
หรือ v1 เท่ากับ 1/2 v2 บวก 1/2 v3
เราบวกพวกนี้เข้าไปในทั้งสองข้างของสมการ
หรือเราอาจจะบอกว่า ให้ v2 เท่ากับ เอ่อ...
ผมจะสมมติมันขึ้นมาเป็น a ละกัน
แล้วก็ให้ v3 เท่ากับ b จากนั้นเราก็จะบอกได้ว่า v1 ก็จะเท่ากับ

Chinese: 
4v1-2v2 实际上这个还不是
完整的行简化阶梯形但是已经足够
它已经达到了简化的目的 4v1-2
v2-2v3等于0
整体除以4
我本应该在这就除以4
可能就多走一步
除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3
等于0
或者v1=1/2v2+1/2v3
只要在等式两边都加上这个就行了
或者我们可以说 比方说v2等于
我不知道
我将写某个随机数
a v3=b 然后我们可以说
v1将等于1/2a+1/2b

Spanish: 
veces v1 menos veces 2 v2--en realidad esto no era completa
forma escalón reducida pero lo suficientemente cerca.
Es fácil para nosotros trabajar con--4 veces v1 menos 2
veces v2 menos veces 2 v3 es igual a 0.
Vamos a dividir simplemente por 4.
Pude has sólo dividido por 4 aquí, que pudo haber hecho
saltarse un paso.
Pero si dividir por 4 Haz v1 menos 1/2 v2 menos v3 1/2
es igual a 0.
O, v1 es igual a 1/2 v2 y v3 1/2.
Acaba de agregar a estos chicos a ambos lados de la ecuación.
O podríamos decir, digamos que v2 es igual a--sí me
no sé, voy a poner solo algunos número aleatorio--a,
v3 es igual a b, entonces podemos decir--y entonces sería v1

Arabic: 
من السهل لنا التعامل مع ....أربعة مضروبة في V1 ناقص إثنين مضروبة في V2 ناقص إثنين مضروبة في V3 تساوي صفر
والآن دعونا نقسمها على أربعة
كان بإمكاني أن أقسمها على أربعة هنا وبالتي كان من الممكن أن نقفز على خطوة
ولكن إذا ما قسمتها بإستخدام أربعة ستحصل على: v1 ناقص نصف مضروبا في v2 ناقص 1 تقسيم إثنين مضروبا في v3 وهذا يساوي صفر
أو V1 تساوي نصف مضروبا في V2 زائد نصف مضربا في V3
قمت فقط بإضافة هاتين القيمتين لطرفي المعادلة
أو بإمكاني أن أقول, v2 تساوي صفر ....لا أعرف ...سأكتب حرفا عشوائيا ما...a و v3 يساوي b , لذا, بإمكاننا القول ....v1 تساوي نصف زائد نصف B

Spanish: 
igual a 1/2 un plus 1/2 b.
Podemos decir que el propio para lambda es igual a 3, es
el conjunto de todos los vectores, v1, v2, v3, que equivalen a un
¿tiempos tiempos--v2 es un, derecho?
Por lo que es igual a una veces v2 1.
V3 no tiene una en ella.
Por lo que es un momento 0.
Además b veces--v2 es sólo una.
v2 no tiene ninguna b.
Así que es 0.
V3 es a veces 1--0 veces así un plus b 1 veces.
Y entonces v1 es 1/2 un plus 1/2 b.
..
Para cualquiera una y b, tal que a y b son
miembros de los reales.
Para ser un poco formal sobre ella.

Chinese: 
我們可以說λ=3的特征空間
是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合
滿足等於a倍的 v2=a 對吧？
所以v2等於a乘1
v3沒有a
它是a乘以0
加b乘以 v2就是a了
v2沒有b
所以它是0
v3是1倍的 0倍的a加1倍的b
然後v1=1/2a+1/2b
對於任意的a和b 使得a和b是
實數
正式一些
它就是 任意的向量

Korean: 
그렇다면 v1은 1/2a+1/2b와 같습니다
λ=3일 때의 고유공간이
벡터 v1, v2, v3의 모든 집합들 중
a 곱하기, v2는 a입니다. 맞나요?
그래서 v2는 a곱하기 1입니다
v3에는 a가 없습니다
그래서 a 곱하기 0입니다
더하기 b 곱하기, v2는 a이기 때문에
b가 없습니다
그래서 0이 됩니다
v3은 1 곱하기 b이므로 
0 곱하기 a 더하기 1 곱하기 b입니다
그리고 v1은 1/2a+1/2b입니다
 
이러한 a와 b는 실수입니다
조금 더 엄밀하게 적어 보았습니다

Chinese: 
我们可以说λ=3的特征空间
是所有这些向量v1 v2 v3组成的集合
满足等于a倍的 v2=a 对吧？
所以v2等于a乘1
v3没有a
它是a乘以0
加b乘以 v2就是a了
v2没有b
所以它是0
v3是1倍的 0倍的a加1倍的b
然后v1=1/2a+1/2b
对于任意的a和b 使得a和b是
实数
正式一些
它就是 任意的向量

Polish: 
równe 1/2 a dodać 1/2 b.
Możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest
zbiorem wszystkich wektorów, v1, v2, v3, które są równe
a razy, razy -- v2 równa się a, zgadza się?
Czyli v2 równa się a razy 1.
v3 nie ma w sobie a.
Czyli to jest a razy 0.
Dodać b razy -- v2 to jest po prostu a.
v2 nie ma w sobie b.
Czyli tu jest 0.
v3 równa się 1 razy -- czyli 0 razy a dodać 1 razy b.
A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b.
A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b.
Dla każdego a i b, takiego że a i b są
dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Robię to dosyć formalnie.

Arabic: 
يمكننا القول أن الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا يساوي ثلاثة, أو هو عبارة عن مجموعة المتجهات v1, v2, v3 ولتي تساوي a مضروبة في .....v2 تساوي a , أليس كذلك؟
وبالتالي v2 تساوي a مضروبة في واحد
لا يوجد a في v3, لذا ستكون a مضروبة في صفر ....كما لدينا: موجب be...مضروبة في .....V2 تساوي a
لا يوجد be في V2 , لذا فهي تساوي صفر
V3 تساوي واحد مضروبا في.....صفر مضروبا في موجب واحد مضروبا في B
ومن ثم, v1 تساوي نصف , موجب نصف b
بالنسبة لأي a أو b من ال a و ال b عناصر في الأرقام الحقيقية
كي نكون جادين قليلا حول هذه

Thai: 
1/2 a บวก 1/2 b
เราก็บอกได้เลยว่า ปริภูมิลักษณะเฉพาะสำหรับแลมด้าเท่ากับ 3 คือ
เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด v1, v2, v3 ซึ่งเท่ากับ
a คูณด้วย .. v2 คือ a ใช่มั้ย?
v2 คือ a คูณ 1
v3 ไม่มี a อยู่
ก็จะเป็นการคูณด้วย 0
บวกกับ b คูณ... v2 คือ a
v2 ไม่มี b อยู่ข้างใน
ก็เป็นศูนย์ตรงนี้
v3 เท่ากับ 1 คูณ... เอ่อ 0 คูณ a บวก 1 คูณ b
จากนั้น v1 เท่ากับ 1/2 a บวก 1/2 b
สำหรับค่า a และ b ใดๆ ซึ่ง a และ b เป็นสมาชิก
ของจำนวนจริง
ตรงนี้เราแค่ทำให้รัดกุมอีกหน่อย

iw: 
שווה לחצי a ועוד חצי b.
ניתן לומר שהמרחב העצמי כאשר למדה שווה ל-3
הוא הקבוצה של כל הוקטורים, V1,V2,V3, השווים ל-a
כפול.... V2 זה a, נכון?
אז V2 שווה לa כפול 1
וV3 לא תלוי ב-a
אז זה 0 כפול a
ועוד b כפול....V2 זה רק a.
ל-V2 אין תלות ב-b.
אז הוא שווה לאפס
וV3 שווה לאחד כפול אפס ועוד b כפול אחד.
וזה אומר ש V1 שווה לחצי ועוד חצי b.
עבור כל a ו-b, כך ש-a ו-b
מספרים ממשיים
רק כדי להיות קצת יותר רשמי.

English: 
equal to 1/2 a plus 1/2 b.
We can say that the eigenspace
for lambda is equal to 3, is
the set of all of vectors, v1,
v2, v3, that are equal to a
times times-- v2 is a, right?
So v2 is equal to a times 1.
v3 has no a in it.
So it's a times 0.
Plus b times-- v2 is just a.
v2 has no b in it.
So it's 0.
v3 is 1 times-- so 0 times
a plus 1 times b.
And then v1 is 1/2
a plus 1/2 b.
For any a and b, such
that a and b are
members of the reals.
Just to be a little bit
formal about it.

Arabic: 
أي متجه يعمل على تحقيق هذه فهو متجه ذاتي
وهم المتجهات الذاتية التي تتطابق مع القيمة الذاتية: حيث أن لامدا تساوي ثلاثة
وبالتالي إذا قمت بتطبيق تحويل المصفوفة لأي من هذه المتجهات, فإنك ستقوم بتكبيرهم بمقدار ثلاثة
لنكتبها بهذه الطريقة
الفضاء الذاتي للمدا يساوي ثلاثة , وهذا يساوي الإمتداد, أي كل التراكيب الخطية الممكنة لهذا وذاك العنصر
وهي نصف, واحد, صفر
وهذا عبارة عن فضاء ذاتي واحد وهو الذي يتطابق مع اللامدا المساوية لثلاثة
ا
لنقوم بحساب الفضاء الذاتي الذي يتطابق مع اللامدا المساوية لسالب ثلاثة
فإذا كانت اللامدا تساوي سالب ثلاثة....سأقوم بكتابتها في الأعلى هنا.....أعتقد أنه يوجد لدي مساحة كافية : لامدا تساوي سالب ثلاثة
حيث تصبح هذه المصفوفة ...سأكتب الأقطار....سالب ثلاثة زائد واحد تساوي سالب إثنان

English: 
So that's our-- any vector
that satisfies this is an
eigenvector.
And they're the eigenvectors
that correspond to eigenvalue
lambda is equal to 3.
So if you apply the matrix
transformation to any of these
vectors, you're just going
to scale them up by 3.
Let me write this way.
The eigenspace for lambda is
equal to 3, is equal to the
span, all of the potential
linear combinations of this
guy and that guy.
So 1/2, 1, 0.
And 1/2, 0, 1.
So that's only one of
the eigenspaces.
That's the one that
corresponds to
lambda is equal to 3.
Let's do the one that
corresponds to lambda is equal
to minus 3.
So if lambda is equal to minus
3-- I'll do it up here, I
think I have enough space--
lambda is equal to minus 3.
This matrix becomes-- I'll do
the diagonals-- minus 3 plus 1
is minus 2.

iw: 
אז....כל וקטור שמקיים את זה
הוא וקטור עצמי.
והם הוקטורים העצמיים שמייצגים את הערכים העצמיים.
למדה שווה ל-3.
אז אם מיישמים את טרנספורציית המטריצה לכל אחד
מהוקטורים האלו, פשוט מגדילים אותם פי 3.
בואו פשוט נכתוב אז בצורה אחרת.
המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3, שווה
לקבוצה הפורשת. כל הקומבינציות הלינאריות של
האחד הזה והאחד הזה.
אז, חצי, אחד, אפס.
וחצי, אפס, אחד.
וזה רק אחד מהמרחבים העצמיים.
המרחב הזה נכון
רק כאשר למדה שווה ל-3.
בואו נעשה אותו הדבר כאשר למדה
שווה ל 3-
אז אם למדה שווה ל 3-. נעשה את זה פה...
אני חושב שיש מספיק מקום....למדה שווה למינוס 3.
המטריצה הזו הופכת...אני אחשב את האלכסון....מינוס 3 ועוד 1
זה מינוס 2

Korean: 
이를 만족하는 어떤 벡터는
고유벡터입니다
그리고 그러한 고유벡터는
고윳값 λ=3에 대응합니다
행렬 변환을 이러한 벡터들에 적용한다면
이들을 세 배로 늘릴 뿐입니다
한번 적어 보겠습니다
λ=3의 고유공간은
이것과 이것의 모든 가능한 선형결합
내지는 생성입니다
1/2, 1, 0입니다
그러고 1/2, 0, 1이고요
고유공간들 중 하나입니다
고유공간들 중에서
λ=3에 대응하는 것입니다
이제 λ=-3에 대응하는 고유공간을 찾아봅시다
λ=-3이라면, 여기 위에서 진행하겠습니다
공간이 충분할 것 같습니다
λ=-3이라면
행렬이 어떻게 되느냐 하면
대각선을 먼저 해 보겠습니다
-3 더하기 1은 -2입니다

Chinese: 
滿足這個是一個特征向量
它們是特征向量
對應於特征值λ=3
因此如果你把這個矩陣變換作用到
任意的這些向量
你就將把它擴大3倍
我這麽寫
λ=3的特征空間
等於空間
所有可能的線性組合 這個向量
和這個向量
即[1/2；1；0]
和[1/2；0；1]
它只是其中一個特征空間
它是那個特征空間
對應於λ=3的
我們來做一下那個特征空間
對應於特征值λ=-3
如果λ=-3 我在上面做
我想我有足夠的空間
λ等於-3
這個矩陣就變成 我做一下對角
-3加1是-2

Chinese: 
满足这个是一个特征向量
它们是特征向量
对应于特征值λ=3
因此如果你把这个矩阵变换作用到
任意的这些向量
你就将把它扩大3倍
我这么写
λ=3的特征空间
等于空间
所有可能的线性组合 这个向量
和这个向量
即[1/2；1；0]
和[1/2；0；1]
它只是其中一个特征空间
它是那个特征空间
对应于λ=3的
我们来做一下那个特征空间
对应于特征值λ=-3
如果λ=-3 我在上面做
我想我有足够的空间
λ等于-3
这个矩阵就变成 我做一下对角
-3加1是-2

Spanish: 
Para que la nuestra--cualquier vector que satisfaga esta es una
vector propio.
Y son los vectores propios que corresponden al valor propio
lambda es igual a 3.
Así que si se aplica la transformación de matriz a cualquiera de estos
vectores, sólo va a aumentar por 3.
Déjame escribir de esta manera.
El propio para lambda es igual a 3, es igual a la
palmo, todas las posibles combinaciones de lineal de este
chico y ese chico.
Tan 1/2, 1, 0.
Y 1/2, 0, 1.
Eso es sólo uno de los eigenspaces.
Es la que corresponde a
lambda es igual a 3.
Vamos a hacer uno que corresponde a lambda es igual
a menos de 3.
Así que si lambda es igual a menos 3--lo haré aquí, me
Creo que tengo suficiente espacio--lambda es igual a menos 3.
Esta matriz se convierte en--voy a hacer diagonales--menos 3 más 1
es menos 2.

Polish: 
Czyli to jest nasza -- każdy wektor, który to spełnia
jest wektorem własnym.
I to są wektory własne, które odpowiadają wartości własnej
lambda równej 3.
Czyli jeżeli na dowolny z tych wektorów zadziałamy naszą macierzą,
to dostaniemy ten sam wektor przeskalowany 3 razy.
Zapiszę to w ten sposób.
Przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest równa
przestrzeni rozpiętej -- wszystkim możliwym kombinacjom liniowym
tego kolesia i tego kolesia.
Czyli 1/2, 1, 0,
i 1/2, 0, 1.
Czyli to jest jedna z przestrzeni własnych.
To jest ta, która odpowiada wartości własnej
lambda równej 3.
Zajmijmy się tą odpowiadającą lambda
równemu minus 3.
Czyli jeżeli lambda jest równe minus 3 -- zrobię to tutaj,
myślę, że mam wystarczająco dużo miejsca -- lambda równa się minus 3.
Ta macierz przyjmuje postać-- zacznę od diagonali -- minus 3 plus 1
daje minus 2.

Chinese: 
-3减2是-5
-3减2是-5
所有其它不变
是-2 -2 1
是-2 -2 1
然后乘以特征空间内的向量
对应于λ=-3
是等于0的
我们正在应用这个等式
我们就从这个等式中得到的
因此 特征空间对应于
λ=-3 是零空间
这个矩阵的
是所有的向量满足这个等式
这个矩阵的零空间等同于
这个矩阵的行简化阶梯形的零空间
我们把它写成行简化阶梯形
首先我想做的
保持第一行不变
我写得小一点
因为我怕写不开
是-2 -2 -2

English: 
Minus 3 minus 2 is minus 5.
Minus 3 minus 2 is minus 5.
And all the other things
don't change.
Minus 2, minus 2, 1.
Minus 2, minus 2 and 1.
And then that times vectors
in the eigenspace that
corresponds to lambda is equal
to minus 3, is going to be
equal to 0.
I'm just applying this equation
right here which we
just derived from that
one over there.
So, the eigenspace that
corresponds to lambda is equal
to minus 3, is the null space,
this matrix right here, are
all the vectors that satisfy
this equation.
So what is-- the null space of
this is the same thing as the
null space of this in reduced
row echelon form So let's put
it in reduced row
echelon form.
So the first thing I want to do,
I'm going to keep my first
row the same.
I'm going to write a little bit
smaller than I normally do
because I think I'm going
to run out of space.

Arabic: 
وسالب ثلاثة ناقص إثنين تساوي سالب خمسة
وسالب ثلاثة ناقص إثنين تساوي سالب خمسة
ولا يتك تغير العناصر الاخرى . سالب إثنان, سالب إثنان, واحد
سالب إثنان, سالب إثنان و واحد
وبعدها يتم ضرب هذا في المتجهات في الفضاء الذاتي الذي ييطابق مع اللامدا تساوي سالب ثلاثة وهذا سيساوي صفر
ما أفعله الآن هو أنني أطبق هذه المعادلة الموجودة هنا والتي إشتقناها من تلك المعادلة المعادلو الموجودة هاهنا
لذا, فالفضاء الذاتي الذي يتطابق مع اللامدا يساوي سالب ثلاثة وهذا يساوي الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة الموجودة هنا, وهم المتجهات التي تحقق هذه المعادلة
الفضاء الفراغي لهذه نفس الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة الموجودة في نموذج صيغة الصف المخفض. ولهذا, دعونا نضعها في نموذج صيغة الصف المخفض
أو ما سأفعله هو إبقاء الصف الأول كما هو
سأكتب أقل بقليلا من ما كنت عادة أكتب لعدم وجود متسع من المساحة

Spanish: 
Menos 3 menos 2 es menos 5.
Menos 3 menos 2 es menos 5.
Y todas las cosas no cambian.
Menos 2, menos 2, 1.
Menos 2, menos 2 y 1.
Y luego que veces vectores en el hecho que
corresponde a lambda es igual a menos 3, va a ser
igual a 0.
Sólo estoy solicitando esta ecuación justo aquí lo que nos
sólo se deriva de que uno allí.
Así, el propio que corresponde a lambda es igual
al menos 3, es el espacio nulo, esta matriz aquí, son
todos los vectores que satisfacen esta ecuación.
Así que lo que es--el espacio nulo de esto es lo mismo que el
reduce el espacio nulo de esta forma escalón así que vamos a poner
que en forma escalón reducida.
Así que lo primero que quiero hacer, voy a mantener mi primer
de la misma fila.
Voy a escribir un poco más pequeño que yo normalmente
porque creo que me voy a quedar sin espacio.

iw: 
מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5
מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5
וכל השאר נשארים ללא שינוי
מינוס 2, מינוס 2, 1.
מינוס 2, מינוס 2 ו-1.

Korean: 
-3 빼기 2는 -5이고
-3 빼기 2는 -5입니다
나머지 항들은 변하지 않습니다
-2, -2, 1
-2, -2, 1
그리고 이 행렬과
λ=-3에 대응하는 고유공간의
벡터의 곱이 0이 됩니다
여기 이 방정식을 적용했는데
저 방정식에서 따 온 방정식입니다
λ=-3에 대응하는 고유공간을 찾고 있습니다
여기 이 행렬과 곱하면
영공간이 되는 모든 벡터들이 이 방정식을 만족합니다
그래서 이 행렬의 영공간은
이 행렬의 기약행사다리꼴 형태의 영공간과 같습니다
이 행렬을 기약행사다리꼴 형태로 나타내 보겠습니다
가장 먼저 할 일은, 첫 번째 행을 그대로 두겠습니다
공간이 조금 부족해 보여서
글자를 더 작게 적겠습니다

Polish: 
Minus 3 odjąć 2 daje minus 5.
Minus 3 odjąć 2 daje minus 5.
Pozostałe elementy się nie zmieniają.
Minus 2, minus 2, 1.
Minus 2, minus 2 i 1.
A potem mnożymy to przez wektor z przestrzeni własnej
odpowiadającej lambda równemu minus 3 i mamy
dostać 0.
Po prostu stosuję to równanie tutaj, które wyprowadziliśmy
z tego tutaj.
Czyli przestrzeń własna, odpowiadająca lambda równemu
minus 3 jest jądrem tej macierzy tutaj, jest
zbiorem wektorów spełniających to równanie.
Jądro tego jest tym samym, co
jądro postaci wierszowo zredukowanej tej macierzy, a więc
sprowadźmy ją do postaci wierszowo zredukowanej.
Pierwszą rzeczą, którą chcę zrobić -- pierwszy
wiersz zachowam bez zmian.
Będą pisał trochę mniejszymi literami niż zwykle
bo obawiam się, że zabraknie mi miejsca.

Chinese: 
-3減2是-5
-3減2是-5
所有其它不變
是-2 -2 1
是-2 -2 1
然後乘以特征空間內的向量
對應於λ=-3
是等於0的
我們正在應用這個等式
我們就從這個等式中得到的
因此 特征空間對應於
λ=-3 是零核空間
這個矩陣的
是所有的向量滿足這個等式
這個矩陣的零核空間等同於
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
我們把它寫成行簡化階梯形
首先我想做的
保持第一行不變
我寫得小一點
因爲我怕寫不開
是-2 -2 -2

Chinese: 
我來這麽做
我會跳過幾步
我們就把第一行除以-2
我們得到1 1 1
然後我們來替換第二行用第二行
加上這個第一行
這個加上那個是0減5加-
或者我這麽說
我替換它用第一行
減第二行
-2減-2是0
-2減-5是+3
然後-2減1是-3
然後我來做最後一行
用不同的顏色
我會做同樣的事情
我用這一行減這一行
-2減-2是0
-2加2
-2減1是-3

Spanish: 
Por lo tanto menos 2, menos 2, menos 2.
Realmente quiero hacerlo de esta manera.
Saltarán algunos pasos.
Vamos a dividir sólo la primera fila por menos 2.
Así obtenemos 1, 1, 1.
Y luego vamos a reemplazar esta segunda fila con la segunda fila
Además de esta versión de la primera fila.
Este chico además de ese tipo es 0 5 menos más menos--o Déjame
dicen que de esta manera.
Me deja reemplazarlo con la primera fila
menos la segunda fila.
Por lo menos 2 menos negativo 2 es 0.
Menos menos menos 2 5 es más 3.
Y, a continuación, menos 2 menos 1 es menos de 3.
Y luego me deja hacer la última fila una
diferentes colores para la diversión.
Y yo haré lo mismo.
Voy a hacer esta fila menos esta fila.
Por lo tanto menos menos menos 2 2 es 0.
Menos 2 más 2.
Menos 2 menos 1 es menos de 3.

English: 
So minus 2, minus 2, minus 2.
Actually let me just
do it this way.
I will skip some steps.
Let's just divide the first
row by minus 2.
So we get 1, 1, 1.
And then let's replace this
second row with the second row
plus this version of
the first row.
So this guy plus that guy is 0
minus 5 plus minus-- or let me
say this way.
Let me replace it with
the first row
minus the second row.
So minus 2 minus minus 2 is 0.
Minus 2 minus minus
5 is plus 3.
And then minus 2 minus
1 is minus 3.
And then let me do
the last row in a
different color for fun.
And I'll do the same thing.
I'll do this row
minus this row.
So minus 2 minus
minus 2 is a 0.
Minus 2 plus 2.
Minus 2 minus 1 is minus 3.

Arabic: 
سالب إثنان, سالب إثنان, سالب إثنان
دعوني أكتبها بهذه الطريقة, سأقفز عن بعض الخطوات
نقسم الصف الأول على إثنين
فيصبح لدينا 1,1,1
ثم نستبدل الصف الثاني هذا بالصف الثاني زائد هذه النسخة للصف الأول
فتكون, هذا العنصر زائد ذلك العنصر يساوي صفر ناقص خمسة زائد سالب....أو لنعبر عنها بهذه الطريقة
نقوم باستبدالها بالصف الأول ناقص الصف الثاني وبالتالي تصبح: سالب إثنان ناقص سالب إثنين يساوي صفر
سالب إثنان ناثص سالب خمسة تساوي ثلاثة
كما أن سالب إثنان ناقص واحد تساوي سالب ثلاثة
سأكتب الصف الأخير بلون مختلف للتميز#
سأقوم بنفس الشئ, لذا, سأقوم بطرح هذا الصف من هذا الصف: سالب إثنان ناقص سالب إثنان يساوي صفر
سالب إثنان زائد إثنان.
سالب إثنان ناقص واحد يساوي ثلاثة

Chinese: 
我来这么做
我会跳过几步
我们就把第一行除以-2
我们得到1 1 1
然后我们来替换第二行用第二行
加上这个第一行
这个加上那个是0减5加-
或者我这么说
我替换它用第一行
减第二行
-2减-2是0
-2减-5是+3
然后-2减1是-3
然后我来做最后一行
用不同的颜色
我会做同样的事情
我用这一行减这一行
-2减-2是0
-2加2
-2减1是-3

Polish: 
Czyli minus 2, minus 2, minus 2.
Właściwie zrobię to w ten sposób.
Pominę niektóre kroki.
Podzielmy pierwszy wiersz przez minus 2.
Dostajemy 1, 1, 1.
A teraz zamieńmy ten drugi wiersz sumą drugiego wiersza
i tej wersji pierwszego wiersza.
Czyli ten koleś dodać tamten koleś daje 0, minus 5, minus -- albo
sformułuję to inaczej.
Zastąpię ten wiersz różnicą:
pierwszy wiersz odjąć drugi wiersz.
Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0.
Minus 2 odjąć minus 5 daje plus 3.
A potem minus 2 odjąć 1 daje minus 3.
Teraz napiszę dla zabawy
ostatni wiersz innym kolorem.
I zrobię to samo.
Odejmę od tego wiersza ten wiersz.
Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0.
Minus 2 dodać 2.
Minus 2 odjąć 1 daje minus 3.

Korean: 
그래서 -2, -2, -2
이런 식으로 해 봅시다
몇 단계를 건너뛸 것입니다
첫 번째 행을 -2로 나누겠습니다
그래서 1, 1, 1을 얻습니다
그러고 두 번째 행을
두 번째 행과 바꾸기 전의 첫 번째 행의
합으로 나타낼 것입니다
이 값과 이 값을 더하면 0이 되고, -5 더하기 -
다른 식으로 써 보겠습니다
첫 번째 행에서
두 번째 행을 뺀 값으로 바꾸겠습니다
그래서 -2에서 -2를 뺀 값은 0입니다
-2에서 -5를 빼면 3이고요
그리고 -2에서 1을 빼면 -3이 됩니다
마지막 행은
다른 색으로 적을 것입니다
그리고 같은 식으로 진행하겠습니다
첫 번째 행에서 마지막 행을 뺄 것입니다
그래서 -2에서 -2를 빼면 0입니다
-2 더하기 2니까요
-2에서 -1을 빼면 -3입니다

Polish: 
I wreszcie mamy minus 2 odjąć minus 5.
Czyli minus 2 dodać 5.
A to jest 3.
Teraz zastąpię -- zrobię to w dwóch krokach.
Czyli to jest 1, 1, 1.
Zostawię to tak.
Właściwie -- no niech już zostanie tak.
Zastąpię teraz mój trzeci wiersz sumą trzeciego
i drugiego wiersza.
To się po prostu wyzeruje.
Jeżeli dodamy te elementy, to wszędzie dostaniemy 0.
Ten koleś się wyzerował.
A drugi wiersz podzielę przez 3.
Dostanę 0, 1, minus 1.
Już prawie skończyłem.
Zrobię to na pomarańczowo.
Teraz zastąpię pierwszy wiersz różnicą pierwszy wiersz
odjąć drugi wiersz.
Czyli dostajemy 1, 0, a potem 1 odjąć minus 1 daje 2.
1 odjąć minus 1 daje 2.

Arabic: 
لدينا هنا, سالب إثنان ناقص سالب خمسة , فهي سالب إثنان زائد خمسة تساوي ثلاثة
والآن دعونا نستبدل ...سأحلها في خطوتين
1,1,1
سأبقيها بهذا الشكل.
حسنا دعني أبقيها بهذا بهذا الشكل
و سأقوم بإستبدال الصف الثالث بالصف الثالث زائد الصف الثاني
سأساوي هذه القيم بصفر
وإذا أضفت هذه العناصر, فإن جميع هذه العناصر ستصبح صفر. كما يصبح هذا العنصر صفر
والآن سأقسم الصف الثاني على ثلاثة, وبالتالي سيكون الناتج صفر, واحد, سالب واحد
سأكتبها باللون البرتقالي
دعونا نستبدل الصف الأول بالصف الأول ناقص الصف الثاني
يصبح لدينا واحد, صفر, وثم واحد ناقص سالب واحد يساوي إثنان

Spanish: 
Y luego tenemos menos 2 menos menos 5.
Por lo que es menos 2 más 5.
Por lo es 3.
Ahora permítanme reemplazar--y lo voy a hacer en dos pasos.
Esto es 1, 1, 1.
Sólo voy mantenerlo así.
Y en realidad, bueno Déjame sólo mantenerlo así.
Y luego me deja reemplazar mi tercera fila con mi tercera fila
Además mi segunda fila.
Voy solo cero fuera.
Si agrega estos términos, estas se convierten simplemente en 0.
Ese muchacho tiene cero.
Y me deja tomar mi segunda fila y dividirlo por 3.
Para que esto se convierte en 0, 1, menos 1.
Y estoy casi allí.
Lo voy a hacer en naranja.
Así que permítanme reemplazar mi primera fila con mi primera fila menos mi
segunda fila.
Para que esto se convierte en 1, 0 y luego 1 menos menos 1 son 2.
1 menos menos 1 es 2.

English: 
And then we have minus
2 minus minus 5.
So it's minus 2 plus 5.
So that is 3.
Now let me replace-- and I'll
do it in two steps.
So this is 1, 1, 1.
I'll just keep it like that.
And actually, well let me
just keep it like that.
And then let me replace my third
row with my third row
plus my second row.
It'll just zero out.
If you add these terms, these
all just become 0.
That guy got zeroed out.
And let me take my second
row and divide it by 3.
So this becomes 0, 1, minus 1.
And I'm almost there.
I'll do it in orange.
So let me replace my first row
with my first row minus my
second row.
So this becomes 1, 0, and then
1 minus minus 1 is 2.
1 minus minus 1 is 2.

Korean: 
그리고 -2 빼기 -5가 있습니다
-2 더하기 5입니다
3이 되겠네요
한 번 더 진행할 것입니다
두 단계에 걸쳐 진행할게요
첫 행은 1, 1, 1입니다
그대로 둘 것입니다
그러고 나서, 일단은 그냥 둡시다
그러고 나서 세 번째 행을
세 번째 행과 두 번째 행의 합으로 바꿀 것입니다
서로 상쇄되겠네요
이들을 서로 더하면 모두 0이 됩니다
행이 모두 상쇄되었습니다
그리고 두 번째 행을 3으로 나누겠습니다
그래서 0, 1, -1이 됩니다
거의 다 되었습니다
오렌지색으로 적겠습니다
첫 번째 행을 첫 번째 행에서
두 번째 행을 뺀 값으로 두겠습니다
그래서 1, 0, 그러고 1 빼기 -1이므로 2가 됩니다
1 빼기 -1은 2입니다

Chinese: 
然後我們有-2減-5
就是-2加5
是3
現在我替換 我分兩步來做
這是1 1 1
我把它保持不變像這樣
實際上 我會保持它不變
然後我來替換第三行用第三行
加上第二行
就變成0了
如果你加上這些項 這些全變成0
這一項就被消掉了
我把第二行再除以3
這就變成了0 1 -1
再差一點了
我用橘色筆
我替換第一行用第一行
減去第二行
這就變成1 0 然後1減-1就是2
1減-1是2

Chinese: 
然后我们有-2减-5
就是-2加5
是3
现在我替换 我分两步来做
这是1 1 1
我把它保持不变像这样
实际上 我会保持它不变
然后我来替换第三行用第三行
加上第二行
就变成0了
如果你加上这些项 这些全变成0
这一项就被消掉了
我把第二行再除以3
这就变成了0 1 -1
再差一点了
我用橘色笔
我替换第一行用第一行
减去第二行
这就变成1 0 然后1减-1就是2
1减-1是2

Chinese: 
然后第二行是0 1 -1
最后一行0 0 0
因此任意v满足这个等式同样
满足这个等式
这个矩阵的零空间将会是
这个矩阵的行简化阶梯形的零空间
[v1；v2；v3] 等于[0；0；0]
我移一下这个
因为我已经正式地没地方了
我把这个往下移一点
这有点地方
我把它移到这
这个对应于λ=-3
这是λ=-3 就使得
它和这些没有关系
那么所有[v1；v2；v3]满足这个的是什么
如果我们说v3=t

Polish: 
A potem w drugim wierszu mamy 0, 1, minus 1.
A ostatni wiersz jest równy 0, 0, 0.
Czyli dowolny v, który spełnia to równanie, będzie również
spełniał to równanie.
Jądro tej macierzy jest również jądrem
tamtej macierzy w postaci wierszowo zredukowanej.
Czyli v1, v2, v3 jest równe 0, 0, 0.
Przesunę to.
Ponieważ oficjalnie brakuje mi miejsca.
Przesunę to tutaj na dół, gdzie
mam trochę wolnego miejsca.
Przesuwam to na dół.
To odpowiada lambdzie równej minus 3.
To było dla lambda równego minus 3 --
to nie jest związane z tymi rzeczami tutaj.
Czyli jakie są wszystkie v1, v2 i v3, które spełniają to?

Korean: 
그리고 두 번째 행은 0, 1, -1입니다
마지막 행은 0, 0, 0입니다
그래서 이 방정식을 만족하는 모든 v는
이 행렬 또한 만족합니다
이 행렬의 영공간은
이 행렬의 기약행사다리꼴 형태의 영공간과 같습니다
그래서 v1, v2, v3과 곱하면 0, 0, 0이 됩니다
옆으로 들고 가겠습니다
이제 공간이 부족해졌습니다
공간이 남은 아래쪽으로 이동하겠습니다
여기로 가지고 왔습니다
이는 λ=-3인 경우입니다
 
λ=-3을 만족한 경우였으며
여기 위 내용과는 관련이 없습니다
그렇다면 이를 만족하는 v1, v2, v에는
 어떤 값이 있을까요?

Spanish: 
Y, a continuación, en la segunda fila es 0, 1, menos 1.
Y entonces la última fila es 0, 0, 0.
Por lo tanto cualquier v que satisface esta ecuación será también
satisfacer a este chico.
Espacio nulo de este chico va a ser el espacio de
Guy en forma escalón reducida.
Así v1, v2, v3 es igual a 0, 0, 0.
Permítanme pasar esto.
Porque oficialmente he agotado espacio.
Déjenme bajar este inferior donde tengo
algunos inmuebles gratis.
Permítaseme pasar aquí abajo.
Esto corresponde a lambda es igual a menos 3.
Esto fue lambda es igual a menos 3, simplemente para hacernos--
no está relacionado con estas cosas aquí.
¿Cuáles son todos los v1s, V2 y v3s que satisfacer esto?

Arabic: 
كما يوجد في الصف الثاني: صفر, واحد, سالب واحد
والصف الأخير: صفر, صفر, صفر
وبالتالي فإن أي v تحقق هذه المعادلة
حيث أن الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة سيكون الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة في نموذج صيغة الصف المخفض
فيصبح لدينا: V1,V2,V3 تساوي 0,0,0
سأحرك هذا العنصر
ولأنني قد نفذت من المساحة فعليا, دعوني أنقله هنا في الأسفل حيث لدينا free real estate
سأقوم ينقلها للأسفل
يتطابق هذا مع اللامدا تساوي سالب ثلاثة
حيث كانت عبارة عن لامدا تساوي سالب ثلاثة, من أجل...
حيث أنها ليس لها علاقة بهذه العناصر الموجودة هنا
ما هي كل من V1,V2, و V3 التي تحقق هذه

Chinese: 
然後第二行是0 1 -1
最後一行0 0 0
因此任意v滿足這個等式同樣
滿足這個等式
這個矩陣的零核空間將會是
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
[v1；v2；v3] 等於[0；0；0]
我移一下這個
因爲我已經正式地沒地方了
我把這個往下移一點
這有點地方
我把它移到這
這個對應於λ=-3
這是λ=-3 就使得
它和這些沒有關係
那麽所有[v1；v2；v3]滿足這個的是什麽
如果我們說v3=t

English: 
And then in the second
row is 0, 1, minus 1.
And then the last
row is 0, 0, 0.
So any v that satisfies this
equation will also
satisfy this guy.
This guy's null space is going
to be the null space of that
guy in reduced row
echelon form.
So v1, v2, v3 is equal
to 0, 0, 0.
Let me move this.
Because I've officially
run out of space.
So let me move this lower
down where I have
some free real estate.
Let me move it down here.
This corresponds to lambda
is equal to minus 3.
This was lambda is equal to
minus 3, just to make us--
it's not related to this
stuff right here.
So what are all of the v1s, v2s
and v3s that satisfy this?

Spanish: 
Así que si decimos v3 es iguales a t.
Si v3 es igual a t, entonces ¿qué tenemos aquí?
Tenemos--esto nos dice que v2 menos v3 es igual a 0.
Por lo nos dice v2 menos v3--0 veces v1 y v2 menos
V3 es igual a 0.
O v2 es igual a v3, que es igual a t.
Eso es lo que nos dice segunda ecuación.
Y luego la tercera ecuación dice nosotros, o la ecuación superior
nos dice, v1 veces 1--v1 más 0 veces v2 plus 2 veces
V3 es igual a 0.
O v1 es igual a menos 2v3 es igual a menos t 2 veces.
Por lo que el propio que corresponde a lambda es igual
al menos 3 es igual al conjunto de todos los vectores v1, v2 y

Polish: 
Czyli jeżeli powiemy, że v3 jest równe t.
Jeżeli v3 jest równe t, to co będziemy mieli tutaj?
Mamy -- to nam mówi, że v2 odjąć v3 jest równe 0.
Czyli to nam mówi, że v2 odjąć v3 -- 0 razy v1 dodać v2
odjąć v3 równa się 0.
Albo że v2 równa się v3, które jest równe t.
Tyle nam mówi drugie równanie.
A trzecie równanie mówi nam, albo górne równanie
mówi nam, v1 razy 1 -- czyli v1 dodać 0 razy v2 dodać 2 razy
v3 równa się 0.
Albo v1 równa się minus 2 v3, równa się minus 2 razy t.
Czyli przestrzeń własna odpowiadająca lambdzie równej
minus 3 jest równa zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2

English: 
So if we say that v3
is equal to t.
If v3 is equal to t, then
what do we have here?
We have-- this tells us that
v2 minus v3 is equal to 0.
So that tells us that v2 minus
v3-- 0 times v1 plus v2 minus
v3 is equal to 0.
Or that v2 is equal to v3,
which is equal to t.
That's what that second
equation tells us.
And then the third equation
tells us, or the top equation
tells us, v1 times 1-- so v1
plus 0 times v2 plus 2 times
v3 is equal to 0.
Or v1 is equal to minus 2v3 is
equal to minus 2 times t.
So the eigenspace that
corresponds to lambda is equal
to minus 3 is equal to the set
of all the vectors, v1, v2 and

Arabic: 
إذا إفترضنا ان V3 تساوي t...
إذا كلنت V3 تساوي t, فماذا سينتج لدينا هنا؟
لدينا....يخبرنا هذا أن V2 ناقص V3 يساوي صفر
وهذا يخبرنا أن V2ناقص V3...صفر ناقص V1 زائد V2 ناقص V3 تساوي صفر
أو أن V2 يساوي V3 وهذا يساوي t
حيث أن هذا ما تخبرنا به المعادلة الثانية
ومن ثم, تخبرنا المعادلة الثالثة أن , أو أعني أعلى المعادلة يخبرنا أن V1 مضروبا في واحد...لذا, فإن V1 زائد صفر مضروبا في V2 زائد إثنين ضرب V3 يساوي صفر
أو V1 يساوي سالب 2V3 يساوي سالب إثنين ضرب t
وبالتالي, فإن الفضاء الذاتي التي يتطابق مع اللامدا يساوي سالب ثلاثة يساوي مجموعة جميع المتجهات التي تشتمل على V1, V2 و V3 حيث... حسنا, تساوي T مضروبة في...V3 هي عبارة عن ال t

Korean: 
만약 v3가 t와 같다고 한다면
v3가 t와 같다고 한다면 여기에 무슨 값이 나올까요?
여기서 v2-v3=0이라고 보이고 있습니다
그래서 v2-v3이, 0 곱하기 v1 더하기 v2
빼기 v3이 0입니다
혹은 v2가 v3과 같고, t가 됩니다
두 번째 방정식이 의미하는 내용입니다
그리고 세 번째 방정식은, 혹은 맨 위의 방정식은
1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2
더하기 2 곱하기 v3이 0과 같음을 보입니다
혹은 v1이 -2v3과 같기 때문에 
-2t가 된다고 할 수 있습니다
그래서 λ=-3에 대응하는 고유공간은
모든 벡터 v1, v2, v3의 집합 중에서

Chinese: 
如果v3=t 然後我們有什麽
我們有 這個告訴我們v2-v3=0
那就是告訴我們v2-v3
0乘以v1加v2減v3等於0
或者v2=v3 就等於t
這就是第二個等式告訴我們的
然後第三個等式告訴我們
或者上面的等式告訴我們 v1乘以1
v1加0乘以v2加2乘以v3等於0
或者v1等於-2v3等於-2t
所以特征空間對應於λ=
-3就是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合

Chinese: 
如果v3=t 然后我们有什么
我们有 这个告诉我们v2-v3=0
那就是告诉我们v2-v3
0乘以v1加v2减v3等于0
或者v2=v3 就等于t
这就是第二个等式告诉我们的
然后第三个等式告诉我们
或者上面的等式告诉我们 v1乘以1
v1加0乘以v2加2乘以v3等于0
或者v1等于-2v3等于-2t
所以特征空间对应于λ=
-3就是所有这些向量v1 v2 v3组成的集合

Chinese: 
其中 它等於t倍的 v3就是t
v3就是t
v2結果也是t
1倍的t
v1是-2t
對於t是任意實數
或者換一句話說它是特征空間對於
λ=-3就是空間
我寫得有點亂
λ=-3就是
向量[-2；1；1]張成的空間
就像這樣
它看起來挺有意思
因爲如果你取這個向量把它點乘
這兩個向量任意一個 我想都會是0
這確實是事實嗎？
算-2乘以1/2 得到1

Korean: 
t 곱하기, v3은 t입니다
v3은 그냥 t이고
v2도 t입니다
그래서 1 곱하기 t입니다
그리고 v1은 -2 곱하기 t입니다
t는 임의의 실수이고요
다른 식으로 말하자면
λ=-3에 대응하는 고유공간은
λ=-3일 때
벡터 -2, 1, 1의 생성과 같습니다
이렇게요
흥미로워 보입니다
왜냐하면 이 벡터를 위의 이들 벡터와 내적하면
0을 얻을 것 같기 때문입니다
진짜 그런가요?
-2 곱하기 1/2는 -1입니다

English: 
v3, where-- well, it's equal
to t times-- v3 is just t.
v3 was just t.
v2 also just ends up being t.
So 1 times t.
And v1 is minus 2 times t.
For t is any real number.
Or another way to say it is that
the eigenspace for lambda
is equal to minus 3 is equal
to the span-- I wrote this
really messy-- where lambda is
equal to minus 3 is equal to
the span of the vector
minus 2, 1, and 1.
Just like that.
It looks interesting.
Because if you take this guy
and dot it with either of
these guys, I think you get 0.
Is that definitely the case?
Take minus 2 times 1/2, you
get a minus 1 there.

Chinese: 
其中 它等于t倍的 v3就是t
v3就是t
v2结果也是t
1倍的t
v1是-2t
对于t是任意实数
或者换一句话说它是特征空间对于
λ=-3就是空间
我写得有点乱
λ=-3就是
向量[-2；1；1]张成的空间
就像这样
它看起来挺有意思
因为如果你取这个向量把它点乘
这两个向量任意一个 我想都会是0
这确实是事实吗？
算-2乘以1/2 得到1

Arabic: 
كانت الV3 عبارة عن الt
V2 تصبح t
و واحد مضروبا في t. وV1 تساوي سالب إثنين مضروبا في الt
حيث أن t تكون العدد الحقيقي
أو يمكن التعبير عنها بطريقة أخرى وهي أن الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا يساوي سالب ثلاثة يساوي الإمتداد....يبدو أنني كتبت هذه بشكل غير منظم
عندما تكون اللامدا مساوية لثلاثة, فإنها تساوي إمتداد المتجه وهو: سالب إثنان, واحد, و واحد. بهذا الشكل
يبدو أنها شيقة
وذلك أنك إذا أخذت هذا العنصر وضربته ضربا قياسيا مع أي من هذه العناصر, أعتقد أنك ستحصل على صفر
هل هذه هي القضية قطعا؟
خذ سالب إثنين ضرب نصف, ستحصل على سالب واحد

Polish: 
i v3, gdzie -- cóż, jest równa t razy -- v3 jest równe po prostu t.
v3 to jest po prostu t.
v2 również okazuje się być równe t.
Czyli 1 razy t.
A v1 równa się minus 2 razy t.
Dla t będącego dowolną liczbą rzeczywistą.
Albo inny sposób wysłowienia tego, to: przestrzeń własna dla lambda
równego minus 3 jest równa przestrzeni rozpiętej -- napisałem to
nieporządnie -- gdzie lambda równa się minus 3, jest równa
przestrzeni rozpiętej na wektorze minus 2, 1 i 1.
Tak po prostu.
Wygląda to interesująco,
ponieważ jeżeli weźmiecie iloczyn skalarny tego kolesia
z którymś z tych kolesi, myślę, że dostaniecie 0.
Czy to jest na pewno prawda?
Weźmy minus 2 razy 1/2, dostajemy minus 1 tutaj.

Spanish: 
V3, donde--bueno, es igual a t veces--v3 es justa.
V3 fue t justo.
V2 también termina siendo t.
T tan 1 veces.
Y v1 es menos t 2 veces.
Para t es cualquier número real.
U otra manera de decirlo es que el propio para lambda
es igual a menos 3 es igual a la duración--escribí esto
realmente desordenado--donde lambda es igual a menos 3 es igual a
el palmo del vector menos 1, 2 y 1.
Asi como asi.
Parece interesante.
Porque si usted toma este chico y punto con cualquiera de
estos chicos, creo que tienes 0.
¿Definitivamente es así?
Tomar menos veces 2 1/2, obtendrá un negativo 1 allí.

Chinese: 
然後有個加1
這是0
然後-2乘以1/2
對吧
你點乘任意一個向量都是0
所以這條線正交於那個平面
很有意思
我們來把它畫出來 這樣我們就有
很好的直觀印象 我們到底在做什麽
我們有那個33矩陣A
它表示R3中的某個變換
它有兩個特征值
每一個特征值對應一個特征空間
特征空間對應於
特征值3是一個R3中的平面
這個特征空間對應λ=3
它是這兩個向量張成的
如果我畫它們 它們可能是這樣
就像這樣
然後特征空間對於λ=-3
是一條線
它是一條垂直於這個平面的線
它是一條直線像這樣
它是由這個向量張成的
可能如果我畫那個向量
向量看起來像這樣
它就是那個向量張成的空間

Spanish: 
Entonces usted tiene un plus 1.
Es 0.
Y entonces menos veces 2 1/2.
Sí.
Le dot con cualquiera de estos chicos te 0.
Así que esta línea es ortogonal a ese avión.
Muy interesante.
Así que vamos a sólo gráfico lo justo para que tengamos una buena visualización
de lo que estamos haciendo.
Por eso no tuvimos esa matriz de 3 por 3.
Representa alguna transformación en R3.
Y tiene dos valores propios.
Y cada uno de ellos tiene un propio correspondiente.
Por lo tanto el hecho que se corresponde con el autovalor
3 es un avión en R3.
..
Así que esto es el propio para lambda es igual a 3.
Y es el lapso de estos dos vectores allí.
Así que si les llamo, tal vez son así.
Asi como asi.
Y luego el propio para lambda es igual a
menos 3 es una línea.
Es una línea que es perpendicular a este plano.
Esa es una línea.
Es la duración de este tipo.
Tal vez si señalo vector, puede parecer vector
algo como esto.
Y es el lapso de ese tipo.

Chinese: 
然后有个加1
这是0
然后-2乘以1/2
对吧
你点乘任意一个向量都是0
所以这条线正交于那个平面
很有意思
我们来把它画出来 这样我们就有
很好的直观印象 我们到底在做什么
我们有那个3*3矩阵A
它表示R3中的某个变换
它有两个特征值
每一个特征值对应一个特征空间
特征空间对应于
特征值3是一个R3中的平面
这个特征空间对应λ=3
它是这两个向量张成的
如果我画它们 它们可能是这样
就像这样
然后特征空间对于λ=-3
是一条线
它是一条垂直于这个平面的线
它是一条直线像这样
它是由这个向量张成的
可能如果我画那个向量
向量看起来像这样
它就是那个向量张成的空间

Korean: 
그리고 1이 있습니다
더하면 0이 되겠네요
그리고 -2와 1/2를 곱하면
네
이 두 벡터들과 내적하면 각각 0을 얻게 됩니다
그래서 이 선은 저 평면과 직교합니다
아주 흥미롭습니다
무엇을 하는지 시각화시키고자 그림으로 나타내 보겠습니다
3x3 행렬 A가 있었고
R3의 어떤 변환을 나타내는 행렬이었습니다
그리고 두 개의 고유값을 지닙니다
각 고유값에 대응하는 고유공간이 있었고요
고유값 3에 대응하는 고유공간은
R3의 평면이었습니다
 
그래서 이는 λ=3에 대응하는 고유공간입니다
이는 여기 두 벡터의 생성이고요
이들을 그린다면 이런 식으로 나오겠네요
이렇게요
그리고 λ=-3에 대응하는 고유공간은
직선이었습니다
이 평면에 수직인 직선이었습니다
이런 식으로 생긴 직선입니다
이 벡터의 생성입니다
이 벡터를 그린다면
이런 식으로 나타날 것입니다
이 벡터로 생성됩니다

Polish: 
Potem mamy plus 1.
Razem 0.
A potem minus 2 razy 1/2.
Taak.
Jak zrobicie to z każdym z tych kolesi, dostajecie 0.
Czyli ta linia jest prostopadła do tamtej płaszczyzny.
Bardzo interesujące.
Narysujmy to więc, żeby mieć dobre wyobrażenie
tego co robimy.
Czyli mieliśmy macierz A rozmiaru 3 na 3.
Reprezentuje ona jakieś przekształcenie w R3.
I ma dwie wartości własne.
A każda z nich ma odpowiadającą wartość własną.
Czyli przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej
3 jest płaszczyzna w R3.
3 jest płaszczyzna w R3.
Czyli to jest przestrzeń własna dla lambda równego 3.
To jest przestrzeń rozpięta na tych dwóch wektorach.
Jeżeli je narysuję, to może wyglądają jakoś tak.
Tak po prostu.
A przestrzeń własna dla lambda równego
minus 3 jest prostą.
To jest prosta prostopadła do tej płaszczyzny.
Czyli taka prosta.
To jest przestrzeń rozpięta na tym kolesiu.
Jeżeli narysuję ten wektor, to może on wyglądać
jakoś tak.
A to jest przestrzeń na nim rozpięta.

English: 
Then you have a plus 1.
That's 0.
And then minus 2 times 1/2.
Yeah.
You dot it with either of
these guys you get 0.
So this line is orthogonal
to that plane.
Very interesting.
So let's just graph it just so
we have a good visualization
of what we're doing.
So we had that 3
by 3 matrix, A.
It represents some
transformation in R3.
And it has two eigenvalues.
And each of those have a
corresponding eigenspace.
So the eigenspace that
corresponds to the eigenvalue
3 is a plane in R3.
So this is the eigenspace for
lambda is equal to 3.
And it's the span of these
two vectors right there.
So if I draw them, maybe
they're like that.
Just like that.
And then the eigenspace
for lambda is equal to
minus 3 is a line.
It's a line that's perpendicular
to this plane.
It's a line like that.
It's the span of this guy.
Maybe if I draw that vector,
that vector might look
something like this.
And it's the span of that guy.

Arabic: 
ومن ثم, لديك موجب واحد. واهذا صفر
سالب إثنان ضرب نصف
إذا قمت بضربها ضربا قياسيا مع واحد من هذه العناصر, سيكون الناتج صفر
وبالتالي, سيكون هذا الخط متعامدا على ذلك المستوى
إنه مثير للإهتمام
ودعونا الآن نقوم برسمها كي يصبح لدينا تصور جيد لما نفعله
لدينا مصفوفة ثلاثة في ثلاثة A والتي تمثل تحويل ما في r3 كما أن لها قيمتين ذاتيتين
وكل منها له فضاء ذاتي مطابق
وبالتالي فإن الفضاء الذاتي الذي يتطابق مع القيمة الذاتية ثلاثة هو عبارة عن مستوى في r3
هذا هو الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا التي تساوي ثلاثة
ومن ثم فإن هذا هو الإمتداد لهذين المتجهين الموجودين هاهنا
لذلك, إذا قمت برسم هذين المتجهين, ربما يبدو هكذا
ومن ثم فإن الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا المساوية لسالب ثلاثة هو خط
عبارة عن خط متعامد على المستوى
إنه خط هكذا. وهو إمتداد لهذا العنصر
وربما إذا رسمت المتجه, ذلك المتجه سيبدو بهذا الشكل
وهو إمتداد لذلك العنصر

Chinese: 
這個告訴我們 這是特征空間
對於λ=-3
那個告訴我們 爲了確保我們
解釋特征值和特征空間是準確的
就是 看 你給我任意的特征向量
你給我任意的向量屬於這個集合
你給我任意向量在這
比方說那是向量x
如果我應用這個變換 把它乘以A
我就會得到3倍的這個向量
因爲它是特征空間滿足λ=3
所以如果我想用A乘以x Ax會是
3倍的x
那是Ax
那就是它想告訴我們的
這個是成立的對於任意的這些向量
如果這是x 你算A乘以x 它會是
3倍那麽長
現在上面的這些向量 如果你有某個向量
在這個特征空間內對應於
λ等於3
你應用這個變換
比方說這是x
如果你計算x的這個變換 它將會
沿著反方向變成原來的3倍
它仍會在這條直線上

Polish: 
Czyli co to nam mówi -- to jest przestrzeń własna dla lambda
równego minus 3.
Czyli co to nam mówi -- tak tylko żeby się upewnić,
że poprawnie interpretujemy nasze wartości i przestrzenie własne --
to, że jak mi dacie dowolny wektor własny, dacie mi dowolny
wektor stąd, dacie mi dowolny wektor leżący tu,
powiedzmy, że to jest wektor x.
Jeżeli zadziałam na niego przekształceniem, jeżeli pomnożę go przez A,
dostanę minus 3 razy to.
Ponieważ to jest przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 3.
Czyli jeżeli zadziałamy A na x, A razy x, to dostaniemy
3 razy to, tak po prostu.
Czyli to będzie A razy x.
Tyle mi to mówi.
To będzie prawda dla każdego z tych kolesi.
Jeżeli to było x i wzięliśmy A razy x, to dostaniemy
3 razy dłuższy wektor.
Teraz ci kolesie tutaj, jeżeli mamy jakiś wektor
w tej przestrzeni własnej, który odpowiada lambda równemu 3
i zastosujemy przekształcenie...
Powiedzmy, że x leży tutaj.
Jeżeli weźmiemy przekształcenie x, to dostaniemy wektor
3 razy dłuższy, przeciwnie skierowany.
Nadal będzie leżał na tej linii.

Chinese: 
这个告诉我们 这是特征空间
对于λ=-3
那个告诉我们 为了确保我们
解释特征值和特征空间是准确的
就是 看 你给我任意的特征向量
你给我任意的向量属于这个集合
你给我任意向量在这
比方说那是向量x
如果我应用这个变换 把它乘以A
我就会得到3倍的这个向量
因为它是特征空间满足λ=3
所以如果我想用A乘以x Ax会是
3倍的x
那是Ax
那就是它想告诉我们的
这个是成立的对于任意的这些向量
如果这是x 你算A乘以x 它会是
3倍那么长
现在上面的这些向量 如果你有某个向量
在这个特征空间内对应于
λ等于3
你应用这个变换
比方说这是x
如果你计算x的这个变换 它将会
沿着反方向变成原来的3倍
它仍会在这条直线上

Spanish: 
Por lo que es lo que esto nos dice, que esto es el propio para lambda
igual al menos 3.
Así que lo que nos dice--sólo para asegurarse de que somos
la interpretación de nuestros valores propios y eigenspaces correctamente--es
Mira, me dais cualquier vector propio, usted me da cualquiera
vector en esto, me das cualquier vector aquí, vamos a
dicen que es vector x.
Si aplico la transformación, si multiplíquelo por una, soy
va a tener 3 veces.
Porque es en el propio donde lambda es igual a 3.
Así que si tuviera que aplicar una veces x, una veces x sería sólo 3
veces mayor que.
Por lo que sería una veces x.
Eso es lo que me dice.
Esto es así para cualquiera de estos chicos.
Si se trata de x, y se tomó un momento x, va a ser 3
veces tan largo.
Ahora estos chicos aquí, si tienes algún vector en este
propio que corresponde a lambda es igual a 3 y
aplicar la transformación.
Digamos que se trata de x ahí.
Si usted tomó la transformación de x, va a hacer 3
veces más en la dirección opuesta.
Todavía va a estar en esta línea.

Arabic: 
لذا, ماذا يخبرنا هذا, هين أن هذا هة الفضاء الذاتي للامدا التي تساوي سالب ثلاثة
مرة أخرى, ماذا يخبرنا هذا؟... فقط كي نتأكد أننا نحلل الفضائات و القيم الذاتية بالشكل الصحيح, نقوم ب..إنظر هنا....أعطيني أي متجه ذاتي, أعطيني أي متجه ذاتي في هذا, أعطيني أي متجه هنا,,,
لنقل أن هذا هو المتجه x, وبالتالي إذا طبقنا التحويل, و إذا ضربناها ب a, سيكون لدينا ثلاثة مضروبة في هذه
ولأنها في الفضاء الذاتي حيث اللامدا تساوي ثلاثة
و لو طبقنا a مضروبة في x, a مضروبة في x تساوي 3 مضروبة في ذلك العنصر
وبالتالى هذا سيكون a مضروبة في x
حيث أن هذا ما تخبرنا إياه
وهذا سيكون حقيقيا بالنسبة لأي من هذه العناصر
وإذا كان هذا x, و أخذت a مضؤوبة في x فإن هذا سيساوي ثلاثة مضروبة على طول
والآن, بالنسبة هذه العناصر الموجودة هنا, إن كان لديك متجه ما في الفضاء الذاتي هذا والذي يتطابق مع اللامدا المساوية لثلاثة, تقوم بتطبيق التحويل
ولنقل أن هذا يساويx الموجود هنا
وإذا أخذت تحويل x, فإنها ستجعلها تساوي ثلاثة مضروبة على الطول في الإتجته المقابل
ستبقى على هذا الخط, أي أنها ستبقى متجه للأسفل بهذا الشكل

Korean: 
λ=-3에 대응하는 고유공간이라는 것입니다
고유값과 고유공간을
제대로 해석하는 게 맞는지 확인해 보겠습니다
어떤 고유벡터가 주어졌을 때
고유벡터 x라고 합시다
여기에 변환을 적용하면
행렬 A와 곱하면
세 배 확대됩니다
λ=3인 고유공간에 있기 때문입니다
그래서 Ax를 구하면 x의 세 배가 됩니다
이는 Ax가 되며 여기서 의미하는 바입니다
여기의 모든 벡터에 대해 해당됩니다
만약 이 벡터가 x라면, 그리고 Ax를 구한다면
세 배 길어질 것입니다
이제 여기 위에 벡터가 있다고 해 봅시다
λ=-3에 해당하는 이 고유공간에 있는 벡터에
변환을 적용한다고 해 봅시다
이 벡터를 x라고 해 봅시다
x의 변환을 적용하면
반대 방향으로 세 배 길어질 것입니다
여전히 이 직선 위에 있습니다

English: 
So what this tells us, this is
the eigenspace for lambda is
equal to minus 3.
So what that tells us-- just
to make sure we are
interpreting our eigenvalues and
eigenspaces correctly-- is
look, you give me any
eigenvector, you give me any
vector in this, you give me any
vector right here, let's
say that is vector x.
If I apply the transformation,
if I multiply it it by a, I'm
going to have 3 times that.
Because it's in the eigenspace
where lambda is equal to 3.
So if I were to apply a times
x, a times x would be just 3
times that.
So that would be a times x.
That's what it tells me.
This would be true for
any of these guys.
If this was x, and you took a
times x, it's going to be 3
times as long.
Now these guys over here, if you
have some vector in this
eigenspace that corresponds to
lambda is equal to 3, and you
apply the transformation.
Let's say that this
is x right there.
If you took the transformation
of x, it's going to make it 3
times longer in the opposite
direction.
It's still going to
be on this line.

Polish: 
Czyli będzie wskazywał w dół właśnie tak.
Czyli to będzie A razy x.
To będzie to samo, będzie 3 razy dłuższy, ale
skierowany w przeciwną stronę.
Ponieważ odpowiada wartości lambda równej minus 3.
Tak czy inaczej, myślę że udało nam się dużo osiągnąć.
Nie tylko znaleźliśmy wartości własne macierzy 3 na 3,
ale teraz znaleźliśmy wszystkie jej wektory własne.
Jest ich nieskończenie wiele, ale składają się
na dwie przestrzenie własne, które odpowiadają
tym dwóm wartościom własnym: minus 3 i 3.
Do zobaczenia w następnym filmie.
Do zobaczenia w następnym filmie.

Chinese: 
它會像這樣往下走
那就是Ax
它會是一樣的 它是3倍的這個長度
但是是反方向
因爲它對應於λ=-3
無論怎樣 我們已經 我想 做出很大的成果了
我們不僅算出了
一個3×3矩陣的特征值
我們現在還算出了所有的特征向量
特征向量有無限多個
但是它們表示成兩個特征空間
對應於那兩個特征值 或者-3和3
下次影片見

English: 
So it's going to go
down like this.
And that would be a times x.
It would be the same, it'd be
3 times this length, but in
the opposite direction.
Because it corresponds to lambda
is equal to minus 3.
So anyway, we've, I think,
made a great achievement.
We've not only figured out the
eigenvalues for a 3 by 3
matrix, we now have figured out
all of the eigenvectors.
Which are-- there's an infinite
number-- but they
represent 2 eigenspaces that
correspond to those two
eigenvalues, or minus 3 and 3.
See you in the next video.

Korean: 
그래서 아래쪽으로 이렇게 길어집니다
그리고 이는 Ax입니다
동일하게 길이가 세 배 길어지지만
방향이 반대로 될 것입니다
왜냐하면 λ=-3에 대응되기 때문입니다
그래서 어찌 되었건 중요한 내용을 다루었습니다
3x3 행렬의 고유값을 알아냈을 뿐 아니라
모든 고유벡터도 알아냈습니다
무한히 존재하는 고유벡터들입니다
그러나 이들은 두 개의 고유공간을 나타내는데
각각 두 고유값 3과 -3에 대응하는 공간입니다
다음 동영상에서 뵙겠습니다
 

Arabic: 
وهذا سيكون a مضروبة في x
ستكون نفس الشئ, حيث أنها ستكون ثلاثة مضروبة في هذا الطول, ولكن في الإتجاه المقابل
لأن هذه تتطابق مع اللامدا المساوية لسالب ثلاثة
وعلى أي حال! أعتقد أننا حققنا إنجاز كبير
حيث أننا لم نحدد القيم الذاتية لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة فقط و لكننا أيضا حدننا جميع المتجهات الذاتية
وهي....هناك عدد لا محدود من ...إلا أنهم يمثلون فضائين ذاتيين يتطابقان مع هاتين القيمتين الذاتيتين, أو سالب ثلاثة و ثلاثة
نراكم في الفيديو القادم

Chinese: 
它会像这样往下走
那就是Ax
它会是一样的 它是3倍的这个长度
但是是反方向
因为它对应于λ=-3
无论怎样 我们已经 我想 做出很大的成果了
我们不仅算出了
一个3×3矩阵的特征值
我们现在还算出了所有的特征向量
特征向量有无限多个
但是它们表示成两个特征空间
对应于那两个特征值 或者-3和3
下次视频见

Spanish: 
Así que va a bajar como este.
Y que sería un veces x.
Sería el mismo, sería 3 veces esta longitud, pero en
la dirección opuesta.
Porque corresponde a lambda es igual a menos 3.
Así que de todos modos, creo, hicimos un gran logro.
No sólo hemos averiguado de los valores propios de un 3 por 3
matriz, ahora hemos descubierto todos los vectores propios.
Que son--allí es un número infinito--pero
representan 2 eigenspaces que corresponden a los dos
valores propios, o menos de 3 y 3.
Nos vemos en el siguiente video.
..
