Veamos con la resolución de este
ejercicio si existe el inverso de "3"
módulo "3559".
Esto es si existe un entero en "Z" módulo "3559",
de manera que multiplicado por "3" sea
congruente con "1" módulo este número.
Para buscar este "x" lo que haremos en primer lugar será
utilizar el algoritmo de Euclides para
calcular el máximo común divisor entre
"3559" y "3", recordad que si el
máximo común divisor era "1" estaba
garantizada la existencia de tal "x" y en
el caso de que no, no existía
el inverso. Para calcular el algoritmo de
Euclides recordad que lo primero que hacíamos
es la división entera de "3559"
entre "3".
Si la realizamos obtenemos este cociente y
como resto "1" y, puesto que "1" es diferente de "0", calculamos la división entera de "1186" entre "1",
que esta claro que nos dará de resto "0",
por lo que "1" será
el máximo común divisor. Puesto que "1"
es el último resto diferente de "0" en
el algoritmo de Euclides.
Al ser el máximo común divisor entre
estos dos números "1", sabemos que
existirá el inverso de "3" módulo "3559". Para ello utilizaremos el
algoritmo de Euclides extendido, que en este
caso será sencillo y corto puesto que
solo ha habido dos pasos del algoritmo de
Euclides y lo que
tendemos que hacer es en primer lugar, como
siempre, despejar de la ecuación donde
obtenemos el máximo común divisor, el máximo común divisor.
Así, esta ecuación será válida en los
enteros y sabemos que si realizamos la
división entera y nos quedamos con el
resto en ambos lados de la igualdad
tendremos qué también será cierta
en "Z" módulo "3559". Así pues
"-1186" será el inverso de "3"
módulo "3559".
Ahora bien, si calculamos la clase de
equivalencia en "3559"
obtenemos que es
"373".
Por lo que "373" será
el inverso de "3" módulo "3559".
