Với bất kỳ phép biến đổi nào đi từ không gian Rn vào Rn, ta đã ngầm thực hiện các
phép biến đổi đó trong các bài giảng vừa qua, nhưng bây giờ ta sẽ tập trung vào
việc tìm một phép biến đổi sao cho nó chỉ kéo dài một vector
bất kỳ nào đó ra
Nên khi đó, vector của ta sẽ có dạng, phép biến đổi của
vector tôi xét sẽ bằng với một vector bội
bội số nào đó của chính nó
Và nếu như các bạn cảm thấy cái này lạ mắt, tôi có thể đưa các bạn
quay lại một số nội dung cũ một tí
Khi ta muốn tìm các vector cơ sở cho
để tôi vẽ nó ra
Đây là phép biến đổi từ R2 vào R2
Để tôi vẽ không gian R2 ngay đây
Và giả sử rằng tôi đã có một vector v1 bằng với
vector 1, 2.
Và tôi cũng đã có một đường thằng sinh bởi vector đó
Ta đã làm bài toán này trong vài bài giảng trước đây
Và tôi cũng đã chỉ ra một phép biến đổi làm lật ngược lại một vector qua một đường thẳng
Nên nếu như ta gọi đây là đường thẳng L, T là một phép biến đổi
từ R2 vào R2 sao cho nó chiếu đối xứng vector này qua đường thẳng này
Nghĩa là, nó sẽ lật ngược vector này qua đường thẳng L
Nên nếu như các bạn còn nhớ phép biến đổi đó, nếu tôi có
một vector bất kỳ nào đó trông như thế, ta hãy gọi nó là vector x
đó là vector x, khi đó ảnh của x qua phép biến đổi kia
sẽ có dạng trông như thế này
Nó sẽ chỉ được lật lại sang bên này đường thẳng
Đó là ảnh của x qua phép biến đổi này
Và nếu như bạn còn nhớ, trong bài giảng hôm đó, ta đã muốn
tìm một ma trận đổi cơ sở rồi từ đó dẫn tới việc ta tìm ra được
một ma trận biểu diễn cho phép biến đổi đó, trong một
cơ sở thay thế khác cơ sở ban đầu
Và rồi sau đó, từ đó ta chỉ ra ma trận cho
phép biến đổi trong cơ sở chính tắc
Và tập cơ sở thay thế mà ta chọn là các vector cơ sở nào mà sao cho chúng
không bị thay đổi quá nhiều bởi phép biến đổi đó, hoặc
là các vector mà chỉ bị kéo dài hoặc rút ngắn lại qua phép biến đổi đó
Ví dụ, khi đó tôi đã tôi lấy phép biến đổi tác động vào v1, nó sẽ chỉ
bằng với v1.
Hay ta có thể nói rằng ảnh của v1 qua phép biến đổi chỉ
bằng với 1 nhân v1
Nên nếu như ta đi theo dạng này, dạng mà tôi vừa viết ra
ở đây, hằng số lambda, trong trường hợp đó, sẽ bằng 1
Và dĩ nhiên là, vector ta lấy trong trường hợp này là v1
Phép biến đổi đó sẽ chỉ nhân vào v1 bằng hằng số 1
Cũng trong bài toán đó, ta đã có một vector khác
ta xét đến vector
Nó chính là vector trừ, giả sử tôi gọi đó là vector v2
nó chính là, giả sử cho nó bằng với 2, trừ 1
Và khi đó nếu ta lấy phép biến đổi của nó, bởi vì nó
vuông góc với đường thẳng này, nó sẽ chỉ bị
lật ngược lại như thế này thôi
Vector này là một trường hợp khá đặc biệt nhỉ
xem nào, bởi vì trong trường hợp này thì ảnh của vector v2
qua phép biển đổi sẽ bằng với gì đây?
Nó chỉ là trừ v2
Nó sẽ bằng với vector trừ vector v2
Hay ta có thể gọi ảnh của vector v2 khi đó bằng
bằng với trừ 1 nhân cho vector v2
Và các vector dạng như thế này sẽ giúp ích ta rất nhiều, bởi vì,
khi ta định nghĩa một cơ sở mới bằng các vector này, bằng các vector này làm vector cơ sở
thì việc ta tính ra cụ thể ma trận biểu diễn cho phép biến đổi sẽ dễ dàng hơn nhiều
Và thực vậy, với dạng cơ sở mới này, các phép tính sẽ đơn giản hơn nhiều
Và ta sẽ khảo sát chỗ này cụ thể hơn trong các bài giảng sau
Nhưng hy vọng là các bạn nhận ra được rằng các vector này đặc biệt
Cũng có một số trường hợp mà ta có một mặt phẳng nào đó
được sinh ra bởi một số vector nào đó
Và khi đó, ta có một vector khác có hướng đi ra khỏi
mặt phẳng như thế
Và ta muốn thực hiện một phép biến đổi bằng cách xem như
mặt phẳng này là mặt gương, đại loại thế, và trong phép biến đổi
đó, các vector màu đỏ này không thay đổi gì cả
còn vector này thì bị lật ngược lại thế này
Nên có thể khi đó các vector đó sẽ tạo nên một cơ sở mới tốt hơn
Chúng có thể tạo nên các vector cơ sở tốt hơn cho các bước tính toán ta cần
Và thực sự đúng là vậy
Nên, về mặt tổng quát, ta luôn chú trọng vào các phép biến đổi với vector
mà chúng chỉ bị kéo dài ra qua phép biến đổi
Ở đây, với phép biến đổi này thì không phải vector nào cũng được như vậy, đúng không?
Vector ở đây mà tôi đã vẽ, vector x này, nó không được
kéo dài ra, mà thực sự là nó sẽ bị thay đổi, hướng của nó
sẽ bị thay đổi
Vector mà chỉ được kéo dài ra thì vẫn phải giữ theo cùng phưon7g,
phải đi từ hướng này sang hướng đó, hay có thể là
chúng đi từ hướng đó
Có thể đó là x và sau đó ảnh của x qua phép biến đổi sẽ có được
là một vector bội số của vector x
Có thể là như thế
Ý tôi là, tôi nghĩ là, đường thẳng sinh bởi các vector đó sẽ không thay đổi
Và đó là những gì mà ta sẽ chú trọng đến hôm nay
Các vector đó sẽ có một cái tên riêng đặc biệt
Và chúng có một cái tên đặc biệt, tôi muốn làm mọi thứ một cách
rõ ràng bởi vì chúng sẽ rất hữu ích
Nó không chỉ là một phép đố vui toán học nào đó
mặc dù đôi khi ta vẫn vướng vào những vấn đề như vậy
Nhưng thực sự là chúng rất hữu ích
Chúng sẽ giúp ta định nghĩa các cơ sở mới, bởi vì trong các cơ sở đó
việc tìm các ma trận biểu diễn phép biến đổi sẽ dễ dàng hơn nhiều
Chúng tạo nên một hệ tọa độ tự nhiên, và
trong hầu hết trường hợp, ma trận biểu diễn phép biến đổi trong các cơ sở đó
rất dễ tính được
Và vì vậy chúng có một cái tên riêng
Bất kỳ vector nào thỏa điều ngay đây được gọi là
một vector riêng cho phép biến đổi T
Và giá trị lambda, hằng số đứng trước nó trở thành, đây là
được gọi là trị riêng tương ứng với vector riêng đó
Nên trong ví dụ đó, tôi đã đưa ra một phép biến đổi làm cho
các vector lật ngược lại, đối xứng lại qua đường thẳng này, và v1, vector 1,2, là một
vector riêng của phép biến đổi này
Nên 1,2 là một vector riêng
Và trị riêng tương ứng với nó sẽ là 1
Vector này cũng là một vector riêng, vector
vector 2, trừ 1.
Nó cũng chính là một vector riêng
Từ vector riêng đó thường được dùng, nó chỉ có ý nghĩa là nó là một vector
mà chỉ bị kéo dải ra hoặc rút ngắn lại và không làm đổi phương qua phép biến đổi
Nó sẽ không bị thay đổi gì cả, chỉ trừ việc nó được nhân vào
một giá trị thực vào nó
Và trị riêng tương ứng với vector riêng đó lúc này là trừ 1
Nếu phép biến đổi này, tôi không biết  ma trận
biểu diễn cho nó là gì
Tôi quên nó là gì rồi
Trong lát nữa, tí nữa tôi ta sẽ chỉ ra
Nếu phép biến đổi này có thể được biểu diễn dưới dạng tích của
ma trận và vector, và thực sự là được, vì nó là một
phép biến đổi tuyến tính, khi đó, bất kỳ vector v nào
trong phép biến đổi này, ý tôi là, tôi sẽ nói là ảnh của v sẽ bằng với
lambda v, và nó cũng sẽ là, bạn biết đấy,
ảnh của vector v qua phép biến đổi
cũng sẽ là A nhân v
Nên các vector này bây giờ cũng được gọi là vector riêng của A
bởi vì A cũng chỉ là dạng biểu diễn bằng ma trận
của phép biến đổi này mà thôi
Nên trong trường hợp này, đây cũng sẽ là vector riêng của A, và đây
sẽ là các trị riêng tương ứng với
cac vector riêng đó
Nên nếu như ta có một ma trận biểu diễn phép biến đổi cho một
phép biến đổi tuyến tính nào đó
Ta cũng có thể chỉ ra được các vector riêng, trị riêng này
Bây giờ, trong bài giảng tiếp theo, ta sẽ thực sự chỉ ra
một cách để tìm các vector riêng, trị riêng này ra
Nhưng những gì mà tôi muốn các bạn ghi nhớ trong bài giảng này
là, nói một cách đơn giản là, đó là các vector
không bị làm thay đổi nhiều qua phép biến đổi
Tôi muốn các bạn hiểu được ý nghĩa của nó
Chúng thực sự chỉ bị kéo dài ra, hoặc có thể chỉ là lật ngược lại
Phương của chúng, hay đường thẳng mà chúng
sinh ra ban đầu không bị thay đổi gì cả
Và lý do mà tại sao tôi lại nói nhiều về các vector này là vì, xem nào
một trong những lý do khiến chúng quan trọng và ta phả biết là vì
chúng tạo ra một cơ sở vector khá thú vị,
cơ sở vector đó, và trong cơ sở đó, các ma trận biểu diễn phép biến đổi ta cần sẽ có thể
được tính toán dễ dàng hơn rất nhiều, và hơn nữa, chúng tạo ra một hệ tọa độ tốt.
