
Korean: 
이곳에 그리려 한 것은
노란색 으로 그린 포물선이고,
이전의 영상에서 보았듯이,
포물선은 한 점과 직선까지의 거리가
같은 점들의 집합이며,
그 한 점을 포물선의 초점이라고 합니다
그리고 직선은 포물선의 준선이 됩니다
이 영상에서 다룰 것은
조금 어려운 대수입니다
주어진 정의를 통해서
보고싶은 것은
보고싶은 것은
초점(a,b)와
준선 y=k를 통해
포물선의 방정식이 어떻게
나오는 지 알아보는 것입니다.
a와 b, 그리고 k로 이 식을 표현할 것 입니다
해봅시다
포물선에서 임의의 한 점을 잡습니다
이 점이라고 해봅시다
점의 x좌표를 x라고 하고, y좌표를 y라 하면,
정의에 따라 이 점은 포물선이 되기 위해

German: 
Ich habe hier in gelb eine Parabel gezeichnet,
und in vorherigen Videos haben wir gelernt,
dass eine Parabel als eine Menge
aller Punkte definiert werden kann,
die abstandsgleich zu einem
Punkt und einer Gerade sind.
Und dieser Punkt wird Brennpunkt der Parabel genannt,
und die Gerade nennen wir Leitkurve der Parabel.
In diesem Video möchte ich diese Definition nutzen,
und die Information, dass wir einen
Brennpunkt beim Punkt x = a, y = b,
und eine Leitkurve an der Stelle y = k haben,
um herauszufinden, wie die
Gleichung der Parabel lautet.
Sie besteht aus den Variablen a, b und k.
Legen wir los.
Wir nehmen einen zufälligen Punkt auf der Parabel.
Wir nehmen diesen Punkt hier,
seine x-Koordinate ist x, seine y-Koordinate ist y,
und damit das hier eine Parabel sein kann,

Bulgarian: 
Тук в жълто се опитах да
начертая една парабола
и както вече видяхме в предишни видеа,
една парабола може да бъде определена като множеството на всички точки,
които са равноотстоящи от една точка и една права,
и точката се нарича фокус на параболата,
а правата се нарича директриса на параболата.
В това видео искам да направя нещо,
което ще стане малко сложно алгебрически,
но при дадено това определениe, искам да видя...
При дадени това определение и фокус
в точката х = а, у = b,
и една права, директриса, при у = k,
да открия какво ще е уравнението
на тази парабола.
И това ще е базирано на всички а, b и k,
така че нека направим това.
Нека вземем една произволна точка на параболата.
Да кажем, че взимаме тази точка ето тук,
нейната х координата е х, а у координатата е у.
И по определение, за да бъде това парабола,

Czech: 
To, co jsem se tady pokusil
nakreslit žlutě, je parabola.
A jak jste viděli v předešlém videu,
parabola je definována jako
množina bodů, které jsou
stejně vzdáleny od bodu jako od přímky.
Tento bod se jmenuje ohnisko paraboly,
přímka se nazývá řídící přímka paraboly.
V tomto videu bych chtěl
použít trochu výpočtů
na základě těchto definovaných prvků.
Rád bych,
na základě daných vlastností
a zadaného ohniska
v bodě ‚x‘ rovná se ‚a‘,
‚y‘ rovná se ‚b‘,
a řídící přímky ‚y‘ rovná se ‚k‘,
vyřešil, jaká ve skutečnosti bude
rovnice této paraboly.
Bude založená na ‚a‘, ‚b‘ a ‚k‘,
tak pojďme na to.
Zvolme si libovolný
bod paraboly.
Řekněme, že to bude tento.
Jeho x-ová souřadnice je ‚x‘,
y-ová souřadnice je ‚y‘,
a podle definice, aby toto 
byla parabola,

Thai: 
สิ่งที่ผมพยายามวาดตรงนี้
ด้วยสีเหลืองคือพาราโบลา
และอย่างที่เราเห็นในวิดีโอก่อนหน้นี้
พาราโบลานิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดทุกจุด
ที่ห่างจากจุดจุดหนึ่งกับเส้นตรงเส้นหนึ่งเท่าๆ กัน
และจุดนั้นเรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา
และเส้นตรงนั้นเรียกว่าไดเรกทริกซ์ของพาราโบลา
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
มันจะเกี่ยวข้องกับพีชคณิตยุ่งๆ หน่อย
แต่จากนิยามนั้น
ผมอยากเห็น
จากนิยามที่ให้มานั้น และจุดโฟกัส
ให้มาที่จุด x เท่ากับ a, y เท่ากับ b
และเส้นตรง เส้นไดเรกทริกซ์ ที่ y เท่ากับ k
หาว่าสมการ
ของพาราโบลานั้นจะเป็นอะไร
และมันจะขึ้นอยู่กับ a, b และ k
ลองทำกันดู
ลองเลือกจุดใดๆ บนพาราโบลาขึ้นมา
สมมุติว่าเราเลือกจุดนี่ตรงนี้
และพิกัด x ของมันคือ x และพิกัด y ของมันคือ y
ตามนิยามแล้ว เพื่อให้มันเป็นพาราโบลา

English: 
- [Voiceover] What I have
attempted to draw here
in yellow is a parabola,
and as we've already
seen in previous videos,
a parabola can be defined
as the set of all points
that are equidistant
to a point and a line,
and the point is called
the focus of the parabola,
and the line is called the
directrix of the parabola.
What I want to do in this video,
it's gonna get a little
bit of hairy algebra,
but given that definition,
I want to see,
and given that definition,
and given a focus
at the point x equals a, y equals b,
and a line, a directrix, at y equals k,
to figure out what is the equation
of that parabola actually going to be,
and it's going to be based
on a's, b's, and k's,
so let's do that.
So let's take a arbitrary
point on the parabola.
Let's say we take this
point right over here,
and its x-coordinate is x,
and its y-coordinate is y,
and by definition, in order
for this to be a parabola,

Czech: 
musí být stejně vzdálen od
ohniska i řídící přímky,
takže co to znamená?
To znamená, že vzdálenost
od řídící přímky,
kterou máme tady modrou,
musí být stejná jako
vzdálenost od ohniska,
které máme fialově.
A když měříme vzdálenost 
od řídící přímky,
doslova jenom spouštíme kolmici.
Určitě se dá říci,
že to bude nejkratší vzdálenost k přímce,
ale pokud jde o ohnisko,
tady je to přímka pod jiným úhlem,
takže nejspíš použijme
vzorec pro vzdálenost,
což je prostě Pythagorova věta.
Tak do toho.
Tato vzdálenost musí být
stejná jako tahle.
Takže jaká je tato modrá vzdálenost?
No to bude přesně
naše změna v ‚y‘.
Bude to ‚y‘ minus ‚k‘.
To je ta vzdálenost.
Bude to ‚y‘ minus ‚k‘.
Nyní si musíme dát pozor.
Tak, jak jsem to nakreslil,
‚y‘ je větší než ‚k‘,
tady nám vyjde kladná hodnota
a my potřebujeme nezápornou hodnotu,

Korean: 
준선과 초점 까지의 거리가 같아야 합니다
이게 어떤 의미입니까?
여기 파란색으로 그리고 있는
준선까지의 거리는
분홍색으로 그리는
초점까지의 거리와 같아야합니다
준선까지의 거리를 보면
(x,y) 에서 준선까지 수직으로 내린 거리입니다
이 준선까지
가장 짧은 선을 이렇게
수직으로 그려서 구할 수 있지만
초점까지의 거리는
각도가 있는 것으로 보이니
거리를 구하는 공식을 사용합시다
이 공식은 그냥 피타고라스 식의 응용입니다
해봅시다
준선까지의 거리는 초점까지의 거리와 같아야 합니다
준선까지의 거리는?
(x,y)의 y값의 변화량 입니다
y값과 k 값의 차가
이 파란색 거리가 됩니다
이 파란색 거리가 됩니다
여기서 조심해야 할 것은
지금 그린 것과 같이
y의 값이 k의 값보다 크다면
y-k는 양의 값을 가지겠지만
거리에 대해 이야기 할 때는

English: 
it has to be equidistant to
its focus and its directrix,
so what does that mean?
That means that the
distance to the directrix,
which I'm drawing here in blue,
has to be the same as the
distance to the focus,
which I am drawing in magenta,
and when we take the
distance to the directrix,
we literally just drop a perpendicular,
I guess you could say say,
that is, that's going to be
the shortest distance to that line,
but the distance to the focus,
well we see that's at a bit of an angle,
and we might have to use
the distance formula,
which is really just
the Pythagorean Theorem.
So let's do that.
This distance has to be
the same as that distance.
So, what's this blue distance?
Well, that's just gonna
be our change in y.
It's going to be this y, minus k.
It's just this distance.
So it's going to be y minus k.
Now we have to be careful.
The way I've just drawn it,
yes, y is greater than k,
so this is going to give
us a positive value,
and you need a non-negative value

Bulgarian: 
това трябва да е равноотстоящо от фокуса и директрисата ѝ,
но какво означава това?
Това означава, че разстоянието до директрисата,
която чертая тук в синьо,
трябва да е същото като разстоянието до фокуса,
който чертая в пурпурно,
и когато вземем разстоянието до директрисата,
буквално просто спускаме перпендикуляр,
който ще е най-краткото разстояние до тази права.
Но виждаме, че разстоянието до фокуса е под ъгъл,
и може да трябва да използваме формулата за разстоянието,
която всъщност е просто питагоровата теорема.
Нека направим това.
Това разстояние трябва да е 
същото като това разстояние.
Какво е това синьо разстояние?
Това просто ще е промяната ни в у.
Това ще е това у минус k.
Просто това разстояние.
То ще е (у - k).
Сега трябва да внимаваме.
По начина, по който го начертах,
у е по-голямо от k,
така че това ще ни даде положителна стойност
а на нас ни трябва неотрицателна стойност,

Thai: 
มันต้องห่างจากโฟกัสและไดเรกทริกซ์เท่าๆ กัน
นั่นหมายความว่าอะไร?
นั่นหมายความว่าระยะถึงไดเรกทริกซ์
ซึ่งผมจะวาดตรงนี้ด้วยสีฟ้า
ต้องเท่ากับระยะถึงจุดโฟกัส
ซึ่งผมวาดด้วยสีบานเย็น
และเมื่อเราหาระยะถึงไดเรกทริกซ์
เราก็แค่ลากเส้นตั้งฉาก
ผมว่าคุณบอกได้ว่า
นั่นคือ นั่นจะเท่ากับ
ระยะที่สั้นที่สุดถึงเส้นตรงนั้น
แต่ระยะถึงจุดโฟกัส
เราเห็นว่ามันทำมุมอยู่
และเราต้องใช้สูตรระยะห่าง
ซึ่งก็แค่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ลองทำกันดู
ระยะนี้ต้องเท่ากับระยะนั้น
ระยะสีฟ้านี่เท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของ y
มันจะเท่ากับ y นี้ลบ k
มันก็แค่ระยะนี้
มันจะเท่ากับ y ลบ k
ทีนี้เราต้องระวัง
วิธีที่ผมวาดมัน
ใช่ y มากกว่า k
อันนี้จะให้ค่าเป็นบวก
และคุณจะได้ค่าที่ไม่เป็นลบ

German: 
muss er abstandsgleich zum
Brennpunkt und der Leitkurve sein.
Was bedeutet das?
Es bedeutet, dass die Entfernung zur Leitkurve,
die ich hier in blau einzeichne,
genauso groß sein muss wie
die Entfernung zum Brennpunkt,
den ich in pink einzeichne.
Wenn wir die Entfernung zur Leitkurve messen,
zeichnen wir einfach einen senkrechten Strich,
der die kürzeste Entfernung zu dieser Geraden darstellt.
Aber bei der Entfernung zum
Brennpunkt haben wir einen Winkel,
und wir müssen vielleicht den
Satz des Pythagoras anwenden.
Das machen wir jetzt.
Diese beiden Entfernungen müssen gleich sein.
Wie groß ist diese blaue Entfernung?
Das ist unsere Differenz in y.
Wir rechnen y - k.
Das ist diese Entfernung.
Also haben wir y - k.
Wir müssen vorsichtig sein.
So wie ich es gezeichnet habe ist y größer als k,
also gibt uns das einen positiven Wert,
und wir brauchen einen nicht-negativen Wert,

Bulgarian: 
ако говорим за разстояния.
Но определено можеш да имаш парабола, при която
у координатата на фокуса е
по-малка от у координатата на директрисата,
в който случай това ще е отрицателно.
Така че всъщност искаме абсолютната стойност на това
или можем да го повдигнем на квадрат,
а после можем да вземем корен квадратен,
положителният квадратен корен, което ще е равносилно
на това да вземем абсолютната стойност на (у - k).
Това е това разстояние ето тук,
а според определението за парабола,
за да може (х; у) да е точка от параболата,
това разстояние трябва да е същото като разстоянието
от (х; у) до (а; b), до фокуса.
Какво ще е това?
Просто прилагаме формулата за разстоянието,
просто питагоровата теорема.
Това ще е промяната ни в х,
тоест (х - а) на квадрат,
плюс промяната в у –
(у - b) на квадрат
и корен квадратен от цялото това нещо,
корен квадратен от всичко това.

Korean: 
양의 값을 이야기 해야 하므로
y 값이 준선 보다 낮은 경우의 포물선은
y 값이 준선 보다 낮은 경우의 포물선은
y-k의 값이 음수가 될 수도 있습니다
y-k의 값이 음수가 될 수도 있습니다
그래서 거리는 절대값을 씌워 줘야 합니다
또는, 값을 제곱한 후
근호를 씌우면
그 제곱근이
y-k의 절대값과 같습니다
그러면 이 거리는
포물선의 정의에 따라
(x,y)가 포물선의 한 점이기 때문에
(x,y)에서 (a,b), 즉 초점까지의 거리와
같아야 합니다
어떻게 될까요?
그냥 거리 공식을 적용하거나,
피타고라스 정리를 사용하면 됩니다
x의 변화에 따라 값이 달라지는데,
(x-a)의 제곱
더하기
(y-b)의 제곱을 하고
이 전체에 근호를 씌워 주면 됩니다
이 전체에 근호를 씌워 주면 됩니다

Czech: 
protože mluvíme o vzdálenosti.
Také ale můžeme mít parabolu,
kde y-ová souřadnice ohniska
je níže než y-ová souřadnice přímky,
v tomto případě vyjde záporná hodnota.
Tedy doopravdy chceme absolutní
hodnotu tohoto výrazu,
nebo také ji můžeme umocnit
a následně odmocnit,
vyjde kladný odmocněnec,
který je roven
absolutní hodnotě (‚y‘ minus ‚k‘).
Takže to je vzdálenost tady
a díky definici paraboly
aby bod [x, y] patřil na parabolu,
vzdálenost musí být stejná jako
vzdálenost z bodu [x, y]
do [a, b], tedy ohniska.
Takže kolik to bude?
Použijeme vzorec pro vzdálenost,
nebo vlastně Pythagorovu větu.
Bude to změna v ‚x‘,
takže ‚x‘ minus ‚a‘,
to celé na druhou,
plus změna v ‚y‘,
tedy ‚y‘ minus ‚b‘ to celé na druhou.
A to celé je pod odmocninou,
odmocnina z celého tohoto výrazu.

Thai: 
ถ้าเราพูดถึงระยะทาง
แต่คุณมีพาราโบลาที่
พิกัด y ของจุดโฟกัส
อยู่ใต้พิกัด y ของไดเรกทริกซ์ได้
ในกรณีนั้น ค่านี้จะเป็นลบ
สิ่งที่เราต้องการก็คือค่าสัมบูรณ์ของค่านี้
หรือเรากำลังสองมันได้
แล้วเราค่อยหารากที่สอง
รากที่เป็นบวก ซึ่งเท่ากับ
การหาค่าสัมบูรณ์ของ y ลบ k
นั่นก็คือระยะนี่ตรงนี้
และตามนิยามของพาราโบลาแล้ว
เพื่อให้ (x, y) อยู่บนพาราโบลา
ระยะนั้นต้องเท่ากับระยะนั้น
จาก (x, y) ถึง (a, b) คือถึงโฟกัส
แล้วมันจะเท่ากับอะไร?
เราแค่ใช้สูตรระยะห่าง
หรือก็แค่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
มันจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของ x
x ลบ a กำลังสอง
บวกการเปลี่ยนแปลงของ y
y ลบ b กำลังสอง
แล้วรากที่สองของทั้งหมดนั้น
รากที่สองของท้้งหมดนั้น

English: 
if you're talking about distances,
but you can definitely
have a parabola where
the y-coordinate of the focus is
lower than the y-coordinate
of the directrix,
in which case this would be negative.
So what we really want is
the absolute value of this,
or, we could square it,
and then we could take the square root,
the principle root,
which would be equivalent
to taking the absolute value of y minus k.
So that's this distance right over here,
and by the definition of a parabola,
in order for (x,y) to be
sitting on the parabola,
that distance needs to be
the same as the distance
from (x,y) to (a,b), to the focus.
So what's that going to be?
Well, we just apply the distance formula,
or really, just the Pythagorean Theorem.
It's gonna be our change in x,
so, x minus a, squared,
plus the change in y,
y minus b, squared,
and the square root of that whole thing,
the square root of all of that business.

German: 
wenn es um Entfernungen geht.
Aber es ist definitiv möglich, eine Parabel zu haben,
bei der die y-Koordinate des Brennpunkts
kleiner als die y-Koordinate der Leitkurve ist,
und in diesem Fall wäre das hier negativ.
Wir wollen also den absoluten Wert hiervon haben,
wir könnten den Wert auch quadrieren,
und dann die positive Quadratwurzel davon ziehen,
wobei dasselbe herauskommt, wie wenn
man den absoluten Wert von y - k nimmt.
Das ist also diese Entfernung hier.
Damit (x|y) auf der Parabel liegen kann,
muss diese Entfernung genauso groß sein, wie die
Entfernung von (x|y) zu (a|b), also dem Brennpunkt.
Wie groß ist diese Entfernung?
Wir wenden einfach die Distanzformel an,
die wir auch Satz des Pythagoras nennen.
Wir nehmen die Differenz in x,
also (x - a)²,
und addieren die Differenz in y,
also (y - b)².
Und davon nehmen wir die Quadratwurzel.

Czech: 
Nyní už zde vidíme rovnici paraboly.
Nevypadá tak, je
trošku zmatečná.
Ale je to rovnice paraboly,
a abych vám to dokázal,
musíme tohle zjednodušit
a pokud máte nějaký nápad,
doporučuji zkusit si to sami,
je to jen troška počítání,
ale není to nijak těžké.
Vyjde vám rovnice paraboly,
kterou možná poznáte
a bude obsahovat souřadnice
ohniska [a, b]
a řídící přímky, ‚y‘ rovná se ‚k‘,
tak do toho.
Takže nejlehčí čím se dá začít,
je umocnit obě strany,
takže se zbavíme odmocnin.
Pokud umocníme obě strany,
na levé straně vyjde
‚y‘ minus ‚k‘ to celé na druhou,
rovná se
‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou
plus ‚y‘ minus ‚b‘ to celé na druhou.
Jasné?
Co bych teď chtěl,
je pouhé ‚y‘ na levé straně,
a nějaká ‚x‘, ‚a‘, ‚b‘ a ‚k‘ na pravé.
První, co bych mohl udělat,

Thai: 
ทีนี้ อันนี้ตรงนี้คือสมการของพาราโบลา
มันไม่เป็นอย่างนั้น มันดูยุ่งเหยิง
แต่มันคือสมการของพาราโบลา
เพื่อแสดงให้เห็น เราแค่ต้องจัดรูปสมการนี้
และถ้าคุณอยากทำ
ผมแนะนำให้คุณลองจัดรูปด้วยตัวเอง
มันเป็นแค่พีชคณิตที่ยุ่งหน่อย
แต่มันไม่แย่เกินไปนัก
คุณจะได้สมการสำหรับพาราโบลา
ที่คุณอาจสังเกตได้
และมันจะอยู่ในรูปโฟกัสทั่วไป (a, b)
และเส้นไดเรกทริกซ์ทั่วไป y เท่ากับ k
ลองทำกันดู
จุดเริ่มต้นที่ง่ายที่สุดตรงนี้
คือลองยกกำลังสองทั้งสองข้าง
เรากำจัดเครื่องหมายรากได้
ถ้าคุณกำลังสองทั้งสองข้าง ทางซ้ายมือ
คุณจะได้ y ลบ k กำลังสอง
เท่ากับ
x ลบ a กำลังสอง
บวก y ลบ b กำลังสอง
ใช้ได้นะ?
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำคือ ผมอยากได้
แค่ y ทางซ้ายมือของสมการ
และ x, a, b และ k ทางขวามือ
อย่างแรกที่ผมอยากทำ

English: 
Now, this right over here is
an equation of a parabola.
It doesn't look like it,
it looks really hairy,
but it IS the equation of a parabola,
and to show you that, we
just have to simplify this,
and if you get inspired,
I encourage you to try to
simplify this on your own,
it's just gonna be a little
bit of hairy algebra,
but it really is not too bad.
You're gonna get an
equation for a parabola
that you might recognize,
and it's gonna be in terms
of a general focus, (a,b),
and a gerneral directrix, y equals k,
so let's do that.
So the simplest thing to start here,
is let's just square both sides,
so we get rid of the radicals.
So if you square both sides,
on the left-hand side,
you're gonna get y minus k, squared
is equal to
x minus a, squared,
plus y minus b, squared.
Fair enough?
Now what I want to do
is, I just want to end up
with just a y on the left-hand side,
and just x's, ab's, and
k's on the right-hand side,
so the first thing I might want to do,

Korean: 
여기 이 식이 바로 포물선의 방정식이 됩니다
포물선의 방정식이 아닌 것 같지만,
맞습니다
이 식이 포물선의 방정식이라는 것을 보여주기 위해
간단하게 만들어 보겠습니다
직접해보는 것을 추천합니다
조금 이상해 보일 수 있지만
그렇게 어렵지 않습니다
포물선의 방정식을 구해본다면
알아볼 수 있을 것입니다
초점 (a,b)와
준선인 y=k와 관련된 식으로 나타날 테니
한번 구해보겠습니다
가장 간단한 것 부터 시작하자면
양 변을 제곱한다면
근호를 없앨 수 있을 것입니다
왼쪽 변에는
(y-k)의 제곱이 있을 것이고,
오른쪽 변에는
(x-a)의 제곱
더하기 (y-b)의 제곱이 있을 것 입니다
더하기 (y-b)의 제곱이 있을 것 입니다
다음으로 할 것은
좌변에 y만을 남기고
나머지를 모두 우변으로 넘기는 것 입니다
첫번째로 할 것은

Bulgarian: 
Това ето тук е уравнение на парабола.
Не изглежда така, изглежда доста сложно,
но това Е уравнението на параболата.
И за да ти покажа това, просто трябва да опростим.
И ако те е налегнало вдъхновението,
те съветвам да опиташ да опростиш това самостоятелно,
просто ще е малко по-сложна алгебра,
но не е толкова трудно.
Ще получиш уравнение на парабола,
което може да разпознаеш,
и това ще е спрямо генералния фокус, (а; b),
и генералната директриса, у = k.
Нека направим това.
Най-простото нещо за начало
е просто да повдигнем двете страни на квадрат,
за да се отървем от радикалите.
Ако повдигнеш двете страни на квадрат, от лявата страна
ще получиш (у - k) на квадрат
е равно на
(х - а) на квадрат
плюс (у - b) на квадрат.
Добре.
Сега искам от лявата страна
да ми остане само у,
а в дясната страна само х, a, b и k.
Така че първото нещо, което искам да направим,

German: 
Das hier ist die Gleichung einer Parabel.
Sie sieht ziemlich kompliziert aus,
aber es ist wirklich die Gleichung einer Parabel,
ich muss sie nur vereinfachen.
Und wenn du Lust dazu hast, ermutige ich dich,
diese Vereinfachung selbst zu machen.
Du musst nur etwas Algebra anwenden,
aber es ist nicht allzu schwierig.
Du erhältst eine Gleichung für eine Parabel,
die du vielleicht erkennst,
und sie wird in der Form eines
allgemeinen Brennpunkts (a|b)
und einer allgemeinen Leitkurve y = k angegeben sein.
Legen wir also los.
Zu Beginn ist es am einfachsten,
wenn wir beide Seiten quadrieren,
um die Wurzeln loszuwerden.
Dann erhalten wir auf der linken Seite (y - k)².
Rechts haben wir dann (x - a)² + (y - b)².
Okay.
Jetzt möchte ich, dass links nur noch ein y übrig bleibt,
und rechts nur x, a, b und k.

German: 
Zuerst erweitere ich also
alle Ausdrücke, die ein y beinhalten.
Dieser blaue Ausdruck auf der
linken Seite lautet dann y² - 2yk + k².
Rechts lassen wir den ersten
Ausdruck (x - a)² so stehen.
Den zweiten Ausdruck wollen wir jetzt erweitern.
Dafür verwende ich grün.
Er lautet dann y² - 2yb + b².
Ich habe einfach nur (y - b) mit (y - b) multipliziert.
Mal sehen, ob wir vereinfachen können.
Ich habe ein y² auf der linken Seite,
ich habe ein y² auf der rechten Seite,
also kann ich y² von beiden Seiten subtrahieren.
Das macht es etwas einfacher.
Was können wir jetzt machen?
Wir wollen k² auf diese Seite bringen,

Korean: 
이 y와 관계가 있는 항 들을
전개하는 것 입니다
파란색으로 쓴 좌변은
파란색으로 쓴 좌변은
y의 제곱 빼기 2yk
더하기 k의 제곱이 됩니다
이와 같은 우변에는
아직 전개하지 않았습니다
즉, 그대로 (x-a)의 제곱 더하기 (y-b)의 제곱인데,
이제 전개하자면
이제 전개하자면
(y-b)의 제곱을 전개하자면
y의 제곱 빼기 2yb 더하기 b의 제곱이 됩니다
(y-b) 곱하기 (y-b)를 한 값입니다
이제 간단하게 만들어 보겠습니다
좌변에 y의 제곱이 있고,
우변에도 있기 때문에
양 변에서 y의 제곱을 없앨 수 있습니다
양 변에서 y의 제곱을 없앨 수 있습니다
이렇게 간단히 만들고
무엇을 할 수 있는지 보겠습니다
무엇을 할 수 있는지 보겠습니다
k의 제곱을 우변으로 넘기려면
양 변에 k의 제곱을 빼주면 됩니다

Bulgarian: 
е да разкрием всеки от тези изрази,
които включват у.
Това синьото вляво –
това ще е
у на квадрат минус 2уk
плюс k на квадрат
и това ще е равно на...
няма да променям това първото,
тоест това ще е (х - а) на квадрат.
И нека сега разкрием скобите,
ще намеря цвят,
разкриваме скобите на това в зелено –
тоест плюс у на квадрат минус 2уb плюс b на квадрат.
Просто умножих (у - b) по (у - b).
Да видим дали можем да опростим.
Вляво имам у на квадрат,
вдясно имам у на квадрат.
Ако извадя у на квадрат от двете страни,
мога да направя това...
Това малко опрости нещата
и сега мога...
Да видим какво мога да направя.
Нека преместим k на квадрат от тази страна,
така че нека извадим k на квадрат от двете страни,

Thai: 
ก็คือกระจายแต่ละพจน์
ที่เกี่ยวกับ y
ตัวสีฟ้านี่ทางซ้ายมือ
มันจะเท่ากับ
y กำลังสองลบ 2yk
บวก k กำลังสอง
และนั่นจะเท่ากับ
ผมจะเก็บเทอมแรกไว้เหมือนเดิม
มันจะเท่ากับ x ลบ a กำลังสอง
และตอนนี้ขอผมกระจาย
ผมจะหาสี
กระจายอันนี้ด้วยสีเขียว
บวก y กำลังสองลบ 2yb บวก b กำลังสอง
ที่ผมทำ คือผมคูณ y ลบ b เข้ากับ y ลบ b
ทีนี้ ลองดูว่าเราจัดรูปได้ไหม
ผมมี y กำลังสองทางซ้าย
ผมมี y กำลังสองทางขวา
ถ้าผมลบ y กำลังสองจากทั้งสองข้าง
ผมทำได้
มันจะลดรูปลงหน่อย
และตอนนี้ผม
ลองดูว่าผมทำอะไรได้
ลองให้ k กำลังสองไปด้านนี้
ลองลบ k กำลังสองจากทั้งสองด้าน

Czech: 
je umocnit závorky,
které obsahují ‚y‘,
tedy tahle modrá nalevo
se bude rovnat
‚y‘ na druhou minus 2yk
plus ‚k‘ na druhou.
A to se bude rovnat,
první závorku nechám být,
pořád bude ‚x‘ minus ‚a‘
to celé na druhou,
a nyní umocním druhou.
Vyberu si barvu,
rozepíšu závorku zeleně,
tedy ‚y‘ na druhou minus 2yb
plus ‚b‘ na druhou.
Vše co jsem udělal, že jsem
násobil (‚y‘ minus 1) tímtéž.
Schválně jestli to teď 
zvládneme zjednodušit.
Takže máme ‚y‘ na druhou vlevo,
máme ‚y‘ na druhou vpravo,
proto odečteme ‚y‘ na druhou
od obou stran rovnice,
to lze provést.
To nám trochu zjednoduší rovnici,
a nyní se podíváme,
co se dá dělat dál.
Pojďme dostat ‚k‘ na druhou
na tuto stranu,
takže odečteme ‚k‘ na druhou
od obou stran rovnice,

English: 
is let's expand each of these expressions
that involve with y,
so this blue one on the left-hand side,
that is going to be
y squared minus 2yk,
plus k squared,
and that is going to be equal to,
I'm gonna keep this first one the same,
so it's gonna be x minus a, squared,
and now let me expand,
I'm gonna find a color,
expand this in green,
so plus y squared, minus
2yb, plus b squared.
All I did, is I multiplied
y minus b, times y minus b.
Now let's see if we can simplify things.
So, I have a y squared on the left,
I have a y squared on the right,
well, if I subtract y
squared from both sides,
so I can do that.
Well, that simplified things a little bit,
and now I can,
let's see what I can do.
Well let's get the k squared on this side,
so let's subtract k
squared from both sides,

German: 
also subtrahiere ich k² von beiden Seiten,
um es auf der linken Seite loszuwerden.
Jetzt addieren wir 2yb zu beiden Seiten,
damit wir alle y-Werte auf der linken Seite haben.
Wir addieren 2yb.
Dann haben wir 2yb auf der linken Seite.
Was steht auf der rechten Seite?
Ich schreibe hier drüben weiter,
damit ich mehr Platz habe.
Was habe ich also auf der linken Seite?
Wir haben 2yb - 2yk.
Wir können 2y ausklammern,
dann haben wir 2y(b - k).
Also machen wir das.

Korean: 
양 변에 k의 제곱을 빼주면 됩니다
그러면 좌변의 k제곱은 사라집니다
이제 양 변에 2yb를 더하겠습니다
좌변에는 y만 남게 만들어야 합니다
그래서 2yb를 더해주고,
그래서 2yb를 더해주고,
그래서 2yb를 더해주고,
이 방정식이 무엇과 같을까요?
그래프를 살펴 보겠습니다
나 자신에게
부동산을 조금 주도록 하겠습니다
그래서 좌변은 어떤 식이
나올지 봅시다
2yb 빼기 2yk는
어떤 것과 같냐면,
적어 보겠습니다
초록색으로 적어보면
이 식은,
그냥 다른 색으로 적도록 하겠습니다
그냥 다른 색으로 적도록 하겠습니다
2yb 빼기 2yk가 됩니다
2yb 빼기 2yk가 됩니다
여기서 2y를 앞에 빼서 묶어주면
2y(b-k)라는 식을 가지게 됩니다
그렇게 해보겠습니다
적어보자면

English: 
so, subtract k squared from both sides,
so that's gonna get rid of
it on the left-hand side,
and now let's add 2yb to both sides,
so we have all the y's
on the left-hand side,
so, plus 2yb,
that's gonna give us a
2yb on the left-hand side,
plus 2yb.
So what is this going to be equal to?
And I'm starting to run into my graph,
so let me give myself
a little bit more real estate over here.
So on the left-hand side,
what am I going to have?
This is the same thing as 2yb minus 2yk,
which is the same thing,
actually let me just write that down.
That's going to be 2y--
Do it in green, actually,
well, yeah, why not green?
That's going to be--
Actually, let me start
a new color. (chuckles)
That's going to be 2yb
minus 2yk.
You can factor out a 2y,
and it's gonna be 2y times, b minus k.
So let's do that.
So we could write this as

Czech: 
odečítám ‚k‘ od obou stran,
takže nám nalevo zmizí
a nyní přičteme 2yb k oběma stranám,
abychom měli všechna ‚y‘ nalevo.
Tedy plus 2yb,
potom vyjde 2yb na levé straně,
plus 2yb.
Čemu se to bude rovnat?
Tady už se střetávám s grafem,
takže si nechám trochu
místa ještě tady.
Na levé straně,
co to tam máme?
Je tu 2yb minus 2yk,
což je totéž, jako…
Nechte mě to napsat.
Bude to 2y…
Vlastně to chci mít zeleně,
proč by ne, že?
Bude to…
Nebo radši zkusím
novou barvu.
To bude rovno 2yb
minus 2yk.
Dá se vytknout 2y,
takže vyjde 2y krát (‚b‘ minus ‚k‘).
Tak pojďme na to.
Takže to přepíšeme jako

Bulgarian: 
изваждаме k на квадрат от двете страни,
това ще се махне от лявата страна,
а сега нека добавим 2yb към двете страни,
така че ще имаме всички у вляво.
Тоест плюс 2уb,
това ще ни даде 2уb вляво,
плюс 2уb.
На колко ще е равно това?
Започвам да стигам до графиката си,
така че нека си дам
малко повече пространство.
Какво ще
имам вляво?
Това е същото нещо като 2yb минус 2yk,
което е същото нещо –
всъщност нека запиша това.
Това ще е 2у –
нека го направя в зелено.
Това ще е,
всъщност нека започна с нов цвят.
Това ще е 2уb
минус 2уk.
Можеш да изнесеш 2у пред скоби,
така че това ще е 2у по (b - k).
Нека направим това.
Можем да запишем това като

Thai: 
ลบ k กำลังสองจากทั้งสองด้าน
มันจะกำจัดทางซ้ายมือไป
แล้วทีนี้ลองบวก 2yb ทั้งสองข้าง
เราจะได้ y ทั้งหมดอยู่ทางซ้ายมือ
บวก 2yb
มันจะได้ 2yb ทางซ้ายมือ
บวก 2yb
แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
ผมจะเริ่มเขียนบนกราฟแล้ว
ขอผม
หาที่วางตรงนี้อีกหน่อย
ทางซ้ายมือ
ผมจะได้อะไร?
อันนี้เหมือนกับ 2yb ลบ 2yk
ซึ่งก็เท่ากับ
ขอผมเขียนอันนั้นลงไปนะ
มันจะเท่ากับ 2y --
ทำด้วยสีเขียว ใช่ ทำไมไม่ใช้สีเขียวล่ะ?
มันจะเท่ากับ --
ที่จริง ขอผมใช้สีใหม่ดีกว่า [หัวเราะ]
มันจะเท่ากับ 2yb
ลบ 2yk
คุณแยก 2y ออกมาได้
และมันจะเท่ากับ 2y คูณ b ลบ k
ลองทำดู
เราเขียนอันนี้ได้เป็น

Bulgarian: 
2 по (b - k)у,
ако изнесеш 2 и у,
така че това е лявата страна,
това е тази част тук.
Тези неща се унищожават.
Сега вдясно,
обещах ти малко сложна алгебра,
надявам се виждаш, че си изпълнявам обещанието.
Вдясно
имаш (х - а) на квадрат,
а после, да видим, тези се унищожават,
така че ти остава b на квадрат минус k на квадрат,
така че тези две ще са b на квадрат минус k на квадрат –
плюс b на квадрат минус k на квадрат.
Казах, че вляво искам само у,
така че нека разделим всичко на 2 по (b - k).
Нека разделим всичко.
2 по (b - k).
Ще разделя всичко това на
2 по (b - k).
Очевидно вляво
тези се съкращават, остава ти само у,

Czech: 
2 krát (‚b‘ minus ‚k‘) krát ‚y‘,
poté co vytkneme 2 a ‚y‘.
To je naše levá strana,
tady tenhle kousek.
Tyhle věci zmizí.
Nyní se podíváme na pravou stranu,
slíbil jsem vám trochu úprav výrazů,
a nyní vidíte, že slib jsem dodržel.
Na pravé straně máme
‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou,
a koukněme, tyto výrazy se vyrušily
a zbývá nám ‚b‘ na druhou
minus ‚k‘ na druhou.
Takže tyto dvě části budou
‚b‘ na druhou minus ‚k‘ na druhou,
plus ‚b‘ na druhou minus ‚k‘ na druhou.
Jak jsem říkal, chceme
mít vlevo pouze ‚y‘,
vydělme proto všechno 
2 krát (‚b‘ minus ‚k‘).
Takže vydělíme všechno
2 krát (‚b‘ minus ‚k‘),
A já vlastně chci tohle vše
vydělit tím výrazem,
2 krát (‚b‘ minus ‚k‘).
Nyní samozřejmě se nám na levé straně
tohle všechno pokrátí,
zbude pouze ‚y‘

German: 
Wir können es als 2(b - k)y schreiben,
wenn wir eine 2 und ein y ausklammern.
Das ist dieser Teil der linken Seite.
Diese Terme kürzen sich weg.
Auf der rechten Seite müssen
wir etwas Algebra anwenden.
Rechts haben wir (x - a)².
Diese beiden kürzen sich weg.
Es bleibt b² - k² übrig.
Ich habe gesagt, dass links
nur noch ein y übrig bleiben soll,
also dividiere ich das alles hier durch 2(b - k).

Korean: 
2y로 (2b-ky)를 묶어주면
2y로 (2b-ky)를 묶어주면
좌변이 됩니다
이 k의 제곱은 상쇄되었습니다
이 k의 제곱은 상쇄되었습니다
이제 우변을 보자면
조금 어려운 대수가 될 수 있다고 했습니다
전달하고자 하는 것을 이해해 주었으면 좋겠습니다
우변에는
(x-a)의 제곱이 있을 것 입니다
2yb 또한 사라지게 되었습니다
그러므로 남은 것은 b의 제곱 빼기 k의 제곱입니다
b의 제곱 빼기 k의 제곱 더하기
b의 제곱 빼기 k의 제곱이 됩니다
이제 할 일은 좌변에 y 만을 남겨 두는 것입니다
이제 양 변을 2(b-k)로 나눠 보겠습니다
이제 양 변을 2(b-k)로 나눠 보겠습니다
2 곱하기 (b-k)
2 곱하기 (b-k)
2 곱하기 (b-k)로 이렇게 모두 나누겠습니다
2 곱하기 (b-k)
이제 명백하게 좌변에는
모두 사라지고 y만 남게 됩니다

Thai: 
2 คูณ b ลบ k, y
ถ้าคุณแยก 2 กับ y ออกมา
นั่นคือทางซ้ายมือ
นั่นคือส่วนนั่นตรงนั้น
พวกนี้ตัดกัน
แล้วทางขวามือ
ผมสัญญากับคุณแล้วว่าพีชคณิตจะยุ่งหน่อย
หวังว่าคุณคงเห็นแล้วว่าผมทำตามสัญญา
ทางขวามือ
คุณมี x ลบ a กำลังสอง
แล้ว ลองดู พวกนี้ตัดกันหมด
แล้วคุณเหลือแค่ b กำลังสองลบ k กำลังสอง
สองตัวนี้จะเท่ากับ b กำลังสองลบ k กำลังสอง
บวก b กำลังสองลบ k กำลังสอง
ทีนี้ ผมบอกว่าสิ่งที่ผมอยากได้ คือ y ทางซ้ายมือ
งั้นลองหารทุกอย่างด้วย 2 คูณ b ลบ k
ลองหารทุกอย่าง
2 คูณ b ลบ k
2 คูณ b ลบ k
และผมจะหารทั้งหมดนี้ด้วย
2 คูณ b ลบ k
ทีนี้ แน่นนอทางซ้ายมือ
พวกนี้ตัดกันหมด คุณจะเหลือแค่ y

English: 
2 times, b minus k, y
if you factor out a 2 and a y,
so that's the left-hand side,
so that's that piece right over there.
These things cancel out.
Now, on our right-hand side,
I promised you a little
bit of hairy algebra,
so hopefully you see that I'm
delivering on that promise.
On the right-hand side,
you have x minus a, squared,
and then, let's see, these
characters cancel out,
and you're left with b
squared minus k squared,
so these two are gonna be
b squared minus k squared,
plus b squared minus k squared.
Now, I said all I want is
a y on the left-hand side,
so let's divide everything
by two times, b minus k.
So, let's divide everything,
two times, b minus k,
so, two times, b minus k.
And I'm actually gonna
divide this whole thing by
two times, b minus k.
Now, obviously on the left-hand side,
this all cancels out,
you're left with just a y,

English: 
and then it's going to be y equals,
y is equal to one over,
two times, b minus k,
and notice, b minus k is the difference
between the y-coordinate of the focus,
and the y-coordinate,
I guess you could say,
of the line, y equals k,
so it's one over, two times that,
times x minus a, squared.
So if you knew what b minus k was,
this would just simplify to some number,
some number that's being multiplied
times x minus a, squared,
so hopefully this is starting
to look like the parabolas
that you remember from
your childhood, (chuckles)
if you do remember parabolas
from your childhood.
Alright, so then let's see if we could
simplify this thing on the right,
and you might recognize,
b squared minus k squared,
that's a difference of squares,
that's the same thing as
b plus k, times b minus k,

German: 
Links kürzt es sich weg und es bleibt nur ein y übrig.
Rechts haben wir 1/(2(b - k)),
und du siehst, dass (b - k) die Differenz
zwischen der y-Koordinate des Brennpunkts,
und der y-Koordinate der Gerade y = k ist.
Wir haben also 1/(2(b - k)) (x - a)².
Wenn du also weißt, was b - k ist,
dann hätten wir hier einfach eine Zahl,
die mit (x - a)² multipliziert wird.
Ich hoffe, dass das so aussieht, wie bei
den Parabeln, die du aus deiner Kindheit kennst.
Jetzt wollen wir den rechten Term vereinfachen.
Du siehst vielleicht, dass b² - k²
eine Differenz von Quadraten ist.
Es ist dasselbe wie (b + k)(b - k).

Bulgarian: 
а после това ще е у, равно на
1 върху
2 по (b - k).
Забележи, (b - k) е разликата
между у координатата на фокуса
и у координатата, предполагам, можеш да кажеш,
на правата у = k,
така че това е 1 върху 2 по това,
по (х - а) на квадрат.
Ако знаеше колко е (b - k),
това щеше да се опрости до някакво число,
някакво число, което е умножено
по (х - а) на квадрат,
така че се надявам, че това започва да изглежда като
параболите, които помниш от детството си.
Ако помниш параболите от детството си.
Да видим дали можем
да опростим това нещо вдясно.
Може да разпознаеш, че b на квадрат минус k на квадрат,
това е разлика на квадрати.
Тоест това е същото като
(b + k) по (b - k).

Korean: 
그래서 y는
그래서 y는
2(b-k)의 역수가 됩니다
b-k는 준선과 초점의 차이이라는 것을 알 수 있습니다
b-k는 준선과 초점의 차이이라는 것을 알 수 있습니다
이 주황색 선에서 이 점은
y좌표값이 k가 됩니다
그렇기 때문에 2 곱하기
(x-a)의 제곱을 곱해줘야 합니다
(b-k)가 무엇인지 알고 있다면
간단하게 숫자로 바꿔질 겁니다
그 숫자에
(x-a)의 제곱이 곱해진다면
이제 점점 포물선처럼 보이기 시작합니다
아마 어린 시절이 기억난다면,
만약 유년기의 포물선을 기억한다면 말입니다
자 이제 이 우변을
간단화 시킬 수 있는 지 보겠습니다
b의 제곱 빼기 k의 제곱을 본다면
제곱의 차이이기 때문에
(b+k)와 (b-k)의 곱과 같습니다
(b+k)와 (b-k)의 곱과 같습니다

Czech: 
a tedy už máme ‚y‘ rovná se,
‚y‘ rovná se 1 lomeno
2 krát (‚b‘ minus ‚k‘)
a všimněte si, že ‚b‘ minus ‚k‘
je rozdíl mezi y-ovou souřadnicí ohniska
a y-ovou souřadnicí
řídící přímky ‚y‘ se rovná ‚k‘.
Takže máme 1 lomeno
2 krát tohle,
krát ‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou.
Takže pokud víte, kolik je ‚b‘ minus ‚k‘,
pak se to zjednoduší na nějaké číslo,
nějaké číslo, které bude násobeno
(‚x‘ minus ‚a‘) na druhou,
takže snad už tohle začíná
vypadat jako parabola,
které si pamatujete z dřívějška.
Pokud si teda nějaké pamatujete.
Bezva, podívejme se ještě,
zda nemůžeme zjednodušit výraz napravo,
a možná si všimnete ‚b‘ na druhou
minus ‚k‘ na druhou,
cože je rozdíl druhých mocnin,
což je stejné jako
(‚b‘ plus ‚k‘) krát (‚b‘ minus ‚k‘),

Thai: 
แล้วมันจะได้ y เท่ากับ
y เท่ากับ 1 ส่วน
2 คูณ, b ลบ k
สังเกตดู b ลบ k คือผลต่าง
ระหว่างพิกัด y ของจุดโฟกัส
กับพิกัด y จะเรียกว่างั้นก็ได้
ของเส้นตรง y เท่ากับ k
มันก็คือ 1 ส่วน 2 คูณค่านั้น
คูณ x ลบ a, กำลังสอง
แล้วถ้าคุณรู้ว่า b ลบ k คืออะไร
อันนี้จะลดรูปเหลือตัวเลขตัวหนึ่ง
ตัวเลขที่คูณอยู่
กับ x ลบ a กำลังสอง
หวังว่าอันนี้คงเริ่มดูเหมือนพาราโบลา
ที่คุณจำได้สมัยยังเด็กนะ [หัวเราะ]
ถ้าคุณยังจำพาราโบลาจากสมัยเด็กได้ล่ะก็
เอาล่ะ ลองดูว่าเรา
จะจัดรูปตัวนี้ทางขวาได้ไหม
และคุณอาจสังเกตได้ว่า b กำลังสองลบ k กำลังสอง
นั่นคือผลต่างกำลังสอง
นั่นก็เหมือนกับ
b บวก k คูณ b ลบ k

German: 
Die beiden (b - k) kürzen sich also weg,
und es bleibt nur 1/2(b + k) übrig.
Fertig.
Wir hatten einen Brennpunkt an der Stelle (a|b) gegeben,
und eine Leitkurve bei y = k,
und konnten davon die Formel
der Parabel herausfinden.
Wenn ich zum Beispiel einen
Brennpunkt an der Stelle (1|2) hätte,
und eine Leitkurve bei y = -1,
wie würde dann die Gleichung der Parabel lauten?

English: 
so the b minus k's cancel out,
and we are just left with,
and we deserve a little
bit of a drum roll,
we are just left with
1/2 times, b plus k.
So, there you go.
Given a focus at a point (a,b),
and a directrix at y equals k,
we now know what the
formula of the parabola
is actually going to be.
So, for example,
if I had a focus at the point,
I don't know, let's say the point (1,2),
and I had a directrix at
y is equal to,
I don't know, let's make it
y is equal to -1,
what would the equation
of this parabola be?
Well, it would be y is equal to one over,

Thai: 
แล้ว b ลบ k ก็ตัดกัน
แล้วเราเหลือ
เราพร้อมตีกลองฉลองแล้ว
เราจะเหลือ
1/2 คูณ b ลบ k
ได้แล้ว
เมื่อกำหนดโฟกัสที่จุด (a, b)
และไดเรกทริกซ์ที่ y เท่ากับ k
ตอนนี้เรารู้สูตรของพาราโบลา
ว่าเป็นอะไรแล้ว
ตัวอย่างเช่น
ถ้าผมมีจุดโฟกัสที่จดุ
ไม่รู้สิ สมมุติว่าจุด (1, 2)
และผมมีไดเรกทริกซ์ที่
y เท่ากับ
ไม่รู้สิ ลองให้มันเป็น
y เท่ากับลบ 1
สมการของพาราโบลานี้จะเป็นอะไร?
มันจะเป็น y เท่ากับ 1 ส่วน

Korean: 
(b-k)는 나눠져 없어지게 되고,
이제 남은 것은
조금 생각을 해보아야 하는데,
이제 남은 것은
1/2 곱하기 (b+k) 입니다
자 이제
초점(a,b)가 주어지고
준선 y=k가 주어졌으니
포물선의 방정식이 무엇인지 알아낼 수 있습니다
포물선의 방정식이 무엇인지 알아낼 수 있습니다
예를 들어보겠습니다
초점이 설정되어 있다면,
(1,2)가 초점이라고 해봅시다
그리고 준선으로는
y가 어떤 값이라고 할까요
y가 어떤 값이라고 할까요
y가 -1이라는 준선이 있다면,
포물선의 방정식이 어떻게 될까요
k에 -1이 들어가므로 방정식이

Czech: 
takže (‚b‘ minus ‚k‘) se vykrátí
a zbude nám pouze a jedině,
to by si zasloužilo potlesk,
zbude nám pouze
1 lomeno 2 krát (‚b‘ plus ‚k‘).
Tady to máme.
Podle ohniska, zadaného v [a, b]
a řídící přímky ‚y‘ se rovná ‚k‘ víme,
jaká bude rovnice
této paraboly.
Takže například,
pokud budeme mít ohnisko
řekněme v bodě [1, 2]
a řídící přímku takovou, že
‚y‘ se rovná,
já nevím třeba -1,
jaká bude rovnice této paraboly?
Bude to ‚y‘ se rovná 1 lomeno

Bulgarian: 
Тези (b - k) се съкращават,
а после просто ни остава...
и заслужаваме аплодисменти,
остава ни само 1/2 по (b + k).
Готово.
При даден фокус в точка (a; b)
и директриса при у = k,
сега знаем каква ще е формулата на
параболата.
Например
ако имам фокус в точката...
не знам, да кажем, точката (1; 2),
и имам директриса в
у, равно на...
не знам, нека го направим у = -1,
какво щеше да е уравнението на тази парабола?
Това ще е у, равно на 1 върху...
2 по (b - k), тоест (2 минус -1),

Thai: 
2 คูณ b ลบ k ได้ 2 คูณลบ 1
นั่นก็เหมือนกับ 2 บวก 1
มันก็แค่ 3
2 ลบลบ 1 ได้ 3
คูณ x ลบ 1
กำลังสอง
บวก 1/2 คูณ b บวก k
2 บวกลบ 1 ได้ 1
ได้ 1
แล้วอันนี้จะเป็นอะไร?
คุณจะได้ y เท่ากับ
1/6, x ลบ 1
กำลังสองบวก 1/2
ได้แล้ว
นั่นคือพาราโบลา
ที่มีโฟกัสอยู่ที่ (1, 2)
และไดเรกทริกซ์ที่ y เท่ากับลบ 1
น่าตื่นเต้นมาก

English: 
two times, b minus k, so two minus -1,
that's the same thing as two plus one,
so that's just three,
two minus -1 is three,
times x minus one,
squared,
plus 1/2 times, b plus k.
Two plus -1 is one,
so one,
and so what is this going to be?
You're gonna get y is equal to
1/6, x minus one,
squared, plus 1/2.
There you go.
That is the parabola
with a focus at (1,2)
and a directrix at y equals -1.
Fascinating.

Korean: 
2(b+1)의 역수로 시작합니다
b는 2 이므로 3이 되겠군요
b는 2 이므로 3이 되겠군요
2 빼기 -1은 3 입니다
이 값에 (x-1)의 제곱을 곱해주어야 하고,
이 값에 (x-1)의 제곱을 곱해주어야 하고,
1/2곱하기 (b+k)를 더해주어야 합니다
2 더하기 -1은 1이고
그래서 이 값이 1이라면
어떤 식이 나오게 될까요
y는
1/6 곱하기 (x-1)의 제곱
더하기 1/2과 같습니다
자 이 방정식이
(1,2)의 초점과
준선 y=-1을 가지는
포물선이 됩니다
환상적입니다

German: 
Wir setzen die Werte ein und
erhalten im ersten Term 1/(2 - (-1)),
was dasselbe ist wie 2 + 1,
das ergibt also 3.
2 - (-1) = 3.
Dann multiplizieren wir mit (x - 1)²,
und addieren 1/2(b + k),
wir haben also 2 + (-1), was 1 ergibt.
Welches Ergebnis erhalten wir?
Das Ergebnis lautet y = 1/6 (x - 1)² + 1/2.
Fertig.
Das ist die Parabel mit einem Brennpunkt
an der Stelle (1|2) und einer Leitkurve bei y = -1.
Faszinierend.

Czech: 
2 krát (‚b‘ minus ‚k‘), takže 2 minus -1,
to je totéž jako 2+1,
prostě 3,
2 minus -1 je 3
krát (‚x‘ minus 1) na druhou,
plus 1 lomeno 2 krát (‚b‘ plus ‚k‘).
2 plus -1 je 1,
takže 1,
tedy co bude tady?
Vyjde nám ‚y‘ se rovná
1 lomeno 6 krát (‚x‘ minus 1) na druhou
plus 1 lomeno 2.
Tady to máme.
To je hledaná parabola
s ohniskem v [1, 2]
a řídící přímkou 
‚y‘ rovná se -1.
Fascinující.

Bulgarian: 
което е същото като (2 плюс 1),
така че това е просто 3,
2 минус -1 е 3,
по (х - 1)
на квадрат,
плюс 1/2 по (b + k).
2 плюс -1 е 1,
тоест записваме 1.
И колко ще е това?
Ще получиш у, равно на
1/6 по ((х - 1) на квадрат) плюс 1/2.
Готово.
Това е параболата
с фокус в (1; 2)
и директриса при у = -1.
Удивително.
