
Korean: 
이전 영상에서는
3차원 벡터장에 대해 이야기했습니다
그리고 마지막으로
항등함수 같은 예로
입력과 출력 벡터가
(x, y ,z)인 걸 들었었죠
여기서는 좀 더 복잡한
예로 넘어가려 합니다
일단 이 벡터장을 없애고
이번 예는
출력의 x성분은 y*z
y성분은 x*z
z성분은 x*y입니다
그래서 벡터장을 일단 나타내고
이제 방금 쓴 함수가
벡터들과 어떤 의미로
연결되는지 알아봅시다
어떤 벡터들은
원점에서 멀어지는 방향이고
다른 벡터들은 다가가는군요
이 벡터장을 함수 쪽에서는
어떻게 이해할까요?
알아보기 좋은 방법은
성분 하나를 0으로 놓는 것입니다
이번에 저는 출력의

English: 
- [Voiceover] So in the last video,
I talked about
3-dimensional vector fields.
And I finished things off
with a sort of identity function example
where at an input point x, y, z
the output vector is also x, y, z.
And here, I want to go through
a slightly more intricate example.
So I'll go ahead and get
rid of this vector field
and in this example,
the x component of the
output will be y times z.
The y component of the
output will be x times z.
And the z component of the
output will be x times y.
So I'll just show this vector field
and then we can start to get a feel for
how the function that I just wrote
relates to the vectors that you're seeing.
So you see some of the vectors
are kind of pointing away from the origin.
Some are pointing in towards the origin.
So how can we understand this vector field
in terms of the function itself?
And a good step is to just zero in
on one of the components.
So in this case, I'll
choose the z component

English: 
of the output
which is made up of x times y
and kind of start to understand
what that should be.
The z component will represent
how much the vector's pointing up or down.
This is the z axis
and the x-y plane here
so I'll point the z axis
straight at our face.
This is the x axis, this is the y axis.
The values of x and y are
going to completely determine
that z component.
So I'm going to go off to the side here
and just draw myself a little
x-y plane for reference.
So this is my x value,
this is my y value.
And I want to understand the meaning
of the term "x times y."
So when both x and y are positive,
the product is positive.
And when both of them are negative,
the product is also positive.
If x is negative and y is positive,
the product is negative,
but if x is positive and y is negative,
the product is also negative.
So what this should mean,
in terms of our vector field,
is that when we're in this first quadrant,
vectors tend to point
up in the z direction,
same over here in the third quadrant.
But over in the other two

Korean: 
z성분인
x*y를 0으로 놓고
그 의미를
해석해 보지요
z성분은 벡터가
위아래로 가리키는 것을 나타냅니다
이것이 z축
xy평면은 여기 있고
z축이 우리를 바라보게 하죠
이게 x축 이게 y축입니다
여기서 보는 x와 y값만 알면
z가 결정됩니다
약간 옆에
참고용으로 xy평면을 작게 그리죠
x축이고
y축입니다
그 다음 x*y라는
항의 의미를 이해해 봅시다
x와 y가 모두 양수일 때
그 곱은 양수입니다
둘 다 음수여도
역시 곱이 양수죠
x가 음수고 y가 양수면
곱은 양수고
x가 양수고 y가 음수여도
곱이 음수입니다
그것은 곧
이 벡터장에서는
1사분면에서는
벡터들이 z방향으로 위로 뻗고
3사분면에서도 윗 방향이지만 나머지
사분면에는

Korean: 
방향이 아래라는 걸 의미하죠
1사분면에 집중해서
어떤 일이 벌어지는지 봅시다
여기 이 벡터와 이 벡터에서
모두가 위쪽 방향을 가리키고
이들은 z성분이 양수죠
우리의 예상과 일치합니다
반면 여기
xy평면의 4사분면에 해당하는
곳은
각 벡터의 z성분이 아래를 향합니다
그리고 x성분과 y성분에도
비슷한 효과가 있죠
벡터가 z성분만 있진 않지만
일단 위아래 방향만 봅시다
여기 3사분면을 보면
벡터들이 윗 방향이고
이는 x*y가 양수라는
사실을 나타냅니다
전체적으로 봐도
규칙적으로 정렬되어 있습니다
그리고 대칭적인 함수이기 때문에
이런 분석도 할 수 있습니다
y성분을 대상으로 삼거나
x성분 y*z를 분석해도
아까와 유사하게 보입니다
언제 벡터의 x성분이
양수이고
여기서처럼요
언제 음수인지
여기서처럼
언제 벡터의 y성분이
음수인지
y성분이 양수인지도요

English: 
they should tend to point down.
So let's focus in on that first quadrant
and try to look at what's going on.
So, you see like this vector
here applies, this vector.
And all of them generally point upwards,
they have a positive z component.
So that seems in line with
what we were predicting.
Whereas over here,
which corresponds to the fourth quadrant
of the x-y plane,
the z component of each
vector tends to be down.
And they're doing other things
in terms of the x and y components,
it's not just z component action,
but right now we're just
focusing on up and down.
And if you look over
in the third quadrant,
they tend to be pointing up,
and that corresponds to the fact
that x times y will be positive.
And when you look at it,
it all starts to align that way.
And because I chose a
rather symmetric function
you could imagine doing this where you,
you analyze also the y component here,
you analyze the x component
in terms of y and z,
and it's actually going
to look very similar
for understanding when the
x component of a vector
tends to be positive,
like up here,
or when it turns out to be negative,
like over here,
and same with when the y
component of the vector
tends to be negative,
or if the y component
tends to be positive.

Korean: 
전체적으로는 매우 복잡한 양상이지만
부분부분 어떤 느낌인지 알 수 있습니다
2차원 벡터장의 경우처럼
좋은 이해 방법은
이것이 유체 흐름을 나타낸다고 보는 것입니다
여러분 주변 공기가
여기서는 안쪽으로 불어들고
이쪽에서는 불어나가고
이 주변에서는 회전하죠
다변수함수를 더 공부하면
함수와 변수의 수식만 가지고도
다루는 방법을 여러 가지 배웁니다
이를 이용하면 유체가 어떻게 이동할지
상상하기 매우 복잡해도
직접 그리거나
소프트웨어로 나타내기 힘들어도
강력한 해석적인 도구로는
결과를 얻을 수 있습니다
이런 대상은 물리학에서 자주 다룹니다
3차원적으로 생각할 때
유체 흐름뿐만 아니라
전기장과 중력장 같이
역장을 표현해서
벡터들로 입자에 작용하는
힘을 알려 주기도 합니다
다변수 미적분학을 계속해 나가면서
더 많은 예를 보실 겁니다
하지만 여기서 다룬 예가
복잡하게 표현된 것을

English: 
And overall, it's a very
complicated image to look at,
but you can slowly piece
by piece get a feel for it.
And just like with
2-dimensional vector fields,
the kind of neat thing to do
is imagine that this
represents a fluid flow.
So you imagine like maybe air around you,
flowing in towards the origin here,
flowing out away from the origin there,
it would kind of be rotating around here,
and later on in multi-variable calculus,
you'll learn about
various ways you can study
just the function itself
and just the variables
and get a feel for how that
fluid itself would behave,
even though it's a very
complicated thing to think about,
it's even complicated to draw
or use graphic software with,
but just with analytic tools,
you can get very powerful results.
And these kind of things come
up in physics all the time
because you're thinking
in 3-dimensional space
and it doesn't just have to be fluid flow,
it could be a force field
like an electric force field
or gravitational force field,
where each vector tells you
how a particle tends to get pushed.
And as we continue on with
multi-variable calculus,
you'll get to see lots more examples.
But hopefully this helps give a small feel
for how you can go piece by piece

English: 
and understand something
that's kind of a complicated expression.

Korean: 
쪼개서 이해할 수 있는
방법을 알려 주었길 바랍니다
