
Italian: 
Negli ultimi video ho parlato di derivate di funzioni semplici, cose come potenze di
x, sin x e esponenziali, con lo scopo di avere un quadro chiaro o l'intuizione da tenere
a mente che spiega da dove vengono queste formule.
La maggior parte delle funzioni usate per modellizzare il mondo coinvolgono la combinazione di
queste funzioni semplici in qualche modo; quindi lo scopo ora è capire come fare derivate
di combinazioni più complicate; dove voglio che avete un quadro chiaro in mente
per ogni regola.
Questo si riduce a tre metodi di base per combinare funzioni: sommarle,

Spanish: 
En los último videos hablé acerca de las derivadas de funciones simples
Y la meta es tener una imagen clara o intuición
en tu mente que realmente expliquen de dónde provienen estas fórmulas.
La mayoría de las funciones que se utilizan para modelar el mundo
implicar mezclar, combinar y ajustar estos
estas funciones simples de alguna manera; entonces nuestro
objetivo ahora es entender cómo tomar derivadas
combinaciones más complicadas. De nuevo,
no quiero que sea algo que memorizar, si no una imagen
para ver de dónde proviene cada una.
Esto realmente se reduce en tres formas básicas para
combinar funciones :
Puedes sumarlas juntas,multiplicarlas, y poner una dentro de la otra
(también conocido como las "componerlas".)

Arabic: 
"استخدام قاعدة السلسلة هو مثل تقشير البصل، يجب أن تتعامل مع كل طبقة على حدة. وإذا كانت كبيرة جداً فستبدأ بالبكاء."
- بروفيسور مجهول
في المقاطع الأخيرة .. تكلمت عن مشتقات دوال بسيطة
والهدف كان الحصول على صورة واضحة أو بديهة تتشبث بها في ذهنك تشرح لك من أين أتت تلك المعادلات
لكن بالطبع معظم الدوال التي تتعامل معها في نمذجة العالم تتضمن بطريقة ما خلط أو دمج أو لفّ هذه الدوال البسيطة بطريقة أخرى
لذا خطوتنا الطبيعية التالية هي فهم كيف تجد المشتقات لمركّبات أكثر تعقيداً؟
ومجدداً .. لا أريد من هذا أن يكون شيئاً للحفظ .. أريد منكم أن تملكوا صورة واضحة في أذهانكم *تبين* من أين أتت كل واحدة
الآن .. هذا حقاً يستوي إلى ثلاث طرق أساسية لدمج الدوال
يمكنك جمعها معاً .. يمكنك ضربها .. ويمكنك الإلقاء بواحدة داخل الأخرى
ما يعرف بتركيب الدوال

Chinese: 
在上一个视频中，我谈到了简单的函数的导数
像x的幂函数，sin（x）和指数函数
目标是对这些表达式是怎么来的有清楚和直观的认识
但大多数况下，当你要描述这个世界的时候，就需要重新组合这些简单的导数表达式
所以我们现在的目标就是去了解怎么对更复杂的组合式求导
我希望你们能对以下的法则是怎么来的能有清晰的认识
函数可以归结为三个基本的组合方式
：加法，

English: 
In the last videos I talked about the derivatives
of simple functions, things like powers of
x, sin(x), and exponentials, the goal being
to have a clear picture or intuition to hold
in your mind that explains where these formulas
come from.
Most functions you use to model the world
involve mixing, combining and tweaking these
these simple functions in some way; so our
goal now is to understand how to take derivatives
of more complicated combinations; where again,
I want you to have a clear picture in mind
for each rule.
This really boils down into three basic ways
to combine functions together: Adding them,

German: 
In den letzten Videos habe ich über die Derivate gesprochen
von einfachen Funktionen, Dinge wie Kräfte von
x, sin (x) und Exponentiale, wobei das Ziel ist
ein klares Bild oder eine Intuition zu haben
in deinem Kopf erklärt das, wo diese Formeln sind
komme aus.
Die meisten Funktionen, mit denen Sie die Welt modellieren
beinhalten das Mischen, Kombinieren und Optimieren dieser
diese einfachen Funktionen in irgendeiner Weise; so unser
Ziel ist es nun zu verstehen, wie man Derivate nimmt
von komplizierteren Kombinationen; wo wieder
Ich möchte, dass Sie ein klares Bild haben
für jede Regel.
Dies läuft wirklich auf drei grundlegende Arten hinaus
Funktionen miteinander kombinieren: Hinzufügen,

Portuguese: 
Usar a Regra da Cadeia é como descascar uma cebola: Você deve lidar com cada camada por vez,  e se ela for muito grande, começará a chorar." (Professor Anônimo)
No último vídeo, eu falei sobre a derivada de funções simples
e o objetivo é ter uma imagem clara ou intuição para gravar
na sua  mente a explicação de onde essas fórmulas veem.
Porém, claro que a maioria das funções  que usamos para modelar o mundo evolve misturas, combinações e ajustes dessas
funções simples de algum modo. Então, nosso próximo passo natural será entender como obter
derivadas de combinações mais complicadas. E, novamente, eu não quero que isso seja algo para se decorar,
quero que você tenha uma imagem clara em mente de onde cada regra vem.
Agora, isso realmente se resume em três modos para se combinar funções: Podemos somá-las,

Polish: 
"Korzystanie z reguły łańcuchowej jest jak obieranie cebuli: warstwa po warstwie, a jeśli jest ich zbyt wiele, zaczniesz płakać." - anonimowy profesor
Poprzedni film mówił o pochodnych prostych funkcji.
Naszym celem było zrozumieć intuicję
stojącą za tymi wzorami i uświadomić sobie,
skąd się one wzięły.
Większość funkcji, za pomocą których opisujesz świat,
jest bardziej skomplikowanych i składają się one
z tych podstawowych cegiełek.
Dzisiaj zajmiemy się tym, jak obliczać pochodne
takich skomplikowanych funkcji.
Pamiętaj, nie chcę, żebyś bezmyślnie pamiętał wzory,
chciałbym, żebyś wiedział, skąd bierze się każdy z nich.
Funkcje możemy łączyć na trzy różne sposoby:
dodawać je, mnożyć i wkładać jedną w drugą,

French: 
Dans les dernières vidéos, j'ai parlé des dérivés
des fonctions simples, des puissances de
x, sin (x), et exponentielles, l'objectif étant
d'avoir une image claire ou l'intuition d'avoir
à l'esprit l'origine de ces formules
La plupart des fonctions que vous utilisez pour modéliser le monde
impliquer d'assembler, de combiner ou transformer ces
simples fonctions d'une certaine façon; de sorte que notre
objectif est maintenant de comprendre comment dériver
des combinaisons plus compliquées; encore une fois, je veux que vous ayez une image claire à l'esprit
pour chaque règle.
Cela se résume en trois façons
de combiner les fonctions ensemble: les ajoutant,

French: 
les multipliant et en mettant les uns dans les
autre; également connu sous le nom qui les composent.
Bien sûr, on pourrait dire les soustraire, mais
qui est vraiment juste multiplier la deuxième
par -1, puis l'addition.
De même, la division des fonctions est vraiment juste
le même que de brancher une dans la fonction
1 / x, puis en multipliant.
La plupart des fonctions que vous rencontrez juste impliquent
la superposition de ces trois types de combinaisons,
sans lié sur la façon dont les choses monstrueuses peut
devenir.
Mais aussi longtemps que vous savez comment les dérivés jouent
avec ces trois types de combinaisons, vous
peut toujours prendre juste étape par étape et peal
à travers les couches.
Donc, la question est, si vous connaissez les dérivés
de deux fonctions, ce qui est la dérivée de
leur somme, de leur produit, et de la fonction
compositions entre elles?
La règle de somme est le plus facile, si un peu Lingo torsion
dire à haute voix: La dérivée d'une somme de
deux fonctions est la somme de leurs dérivés.

German: 
Multiplizieren Sie sie und setzen Sie eine in die
andere; auch als Komponieren bekannt.
Sicher, man könnte sagen, sie zu subtrahieren, aber
das multipliziert wirklich nur die Sekunde
um -1, dann addieren.
Ebenso ist das Teilen von Funktionen wirklich gerecht
das gleiche wie das Einstecken eines in die Funktion
1 / x, dann multiplizieren.
Die meisten Funktionen, auf die Sie stoßen, betreffen nur
Schichtung auf diesen drei Arten von Kombinationen,
ohne daran gebunden zu sein, wie monströs die Dinge sein können
werden.
Aber solange Sie wissen, wie Derivate spielen
mit diesen drei Arten von Kombinationen, Sie
kann es immer nur Schritt für Schritt machen und schallen
durch die Schichten.
Die Frage ist also, ob Sie die Derivate kennen
von zwei Funktionen, was ist die Ableitung von
ihre Summe, ihres Produkts und der Funktion
Kompositionen zwischen ihnen?
Die Summenregel ist die einfachste, wenn auch etwas zungenverdrehende
laut sagen: Die Ableitung einer Summe von
zwei Funktionen ist die Summe ihrer Ableitungen.

English: 
multiplying them, and putting one inside the
other; also known as composing them.
Sure, you could say subtracting them, but
that’s really just multiplying the second
by -1, then adding.
Likewise, dividing functions is really just
the same as plugging one into the function
1/x, then multiplying.
Most functions you come across just involve
layering on these three types of combinations,
with no bound on how monstrous things can
become.
But as long as you know how derivatives play
with those three types of combinations, you
can always just take it step by step and peal
through the layers.
So, the question is, if you know the derivatives
of two functions, what is the derivative of
their sum, of their product, and of the function
compositions between them?
The sum rule is the easiest, if somewhat tounge-twisting
to say out loud: The derivative of a sum of
two functions is the sum of their derivatives.

Portuguese: 
multiplicá-las e colocar uma dentro da outra, também chamada de composição.
Claro, você poderia em subtrai-las, mas isso é nada mais que  multiplicar a segunda
por -1 e assim, somá-las.
Da mesma forma, dividir funções é o mesmo que colocar o 1 em cima da função
1/x² e multiplicá-los.
A maioria das funções que você encontra são apenas camadas sobre esses três tipos de combinações,
as quais podem se tornar monstruosas se não impusermos limites.
Entretanto, o quanto mais você souber operar derivadas com esses três tipos de combinações. você
sempre poderá prosseguir passo a passo atravessando as camadas.
Logo, a questão é, se você sabe a derivada de duas funções, qual será a derivada da
sua soma, do seu produto  e da composição de funções entre elas?
A regra da soma é a mais fácil, mesmo parecendo um trava-língua ao ser falado em voz alta: A derivada da soma
de duas funções é a soma de suas respectivas derivadas.

Spanish: 
Claro, podrías decir "restarlas", pero
e en realidad es sólo multiplicar la segunda
por -1, y sumarlas.
Del mismo modo, dividir las funciones es en realidad
lo mismo que multiplicar una elevada a -1 por la otra
 
La mayoría de las funciones que te encuentras solo implican formular estos tres tipos de combinaciones,
sin límites en cómo monstruosas puede
volverse  las cosas
Pero mientras sepas cómo las derivadas juegan
con esos tres tipos de combinaciones,
siempre puedes ir paso a paso e ir "pelando"
a través de las capas.
Entonces, la pregunta es, si se conocen los derivadas
de dos funciones, cuál es la derivada de
su suma, de su producto, y de la función
composicion entre ellas?
La regla de la suma es la más fácil, aunque algo "travalenguas" para
decir en voz alta: La derivada de una suma de
dos funciones es la suma de sus derivados.

Chinese: 
相乘，以及把一个函数放进去
另一个函数;或者说把他们组装在一起
当然，你可以这是一个减法，但是
这其实可以说成是第二项乘上-1
然后再加起来
同样，除法其实就是把其中一项
代入函数1 / x
然后两项相乘。
你遇到的大部分函数只是把
这三种基本组合进行叠加
无论是看起来多么畸形的函数
但只要你知道怎么对这三种基本组合求导
你就可以一层一层地解开这个求导过程
所以，问题是，如果你知道两个函数的导数是什么？
那么怎么对他们的和，他们乘积和组装函数进行求导？
首先和的规则是最简单的，说出来可能有点饶舌 ：两个函数的和的导数
就是这两个函数的导数的总和。

Italian: 
moltiplicarle, e metterne una dentro l'altra, cioè comporle.
Certo, potreste dire sottrarle, ma di fatto è come moltiplicare la seconda
per -1, poi sommare.
Allo stesso modo, le funzioni di divisione sono proprio come inserirne una nella funzione
1/x, per poi moltiplicare
La maggior parte delle funzioni che incontrate coinvolgono semplicemente la stratificazione su questi tre tipi di combinazioni,
senza limiti su come possano diventare mostruose le cose.
Ma finché sai come le derivate giocano con questi tre tipi di combinazioni, tu
puoi sempre farlo passo dopo passo e sfogliare gli strati.
Quindi, la domanda è, se consci le derivate di due funzioni, qual'è la derivata della
loro somma, o del loro prodotto, e della funzione composta tra loro?
La regola della somma è la più semplice, anche se sembra uno scioglilingua se detta ad alta voce: "La derivata della somma di
due funzioni è la somma delle loro derivate."

Polish: 
nazywa się to złożeniem funkcji.
Mógłbyś powiedzieć, że funkcje można też odejmować,
ale to jest to samo, co przemnożenie funkcji przez -1
i dodanie jej do drugiej funkcji.
Tak samo dzielenie można zastąpić złożeniem z 1/x,
a potem mnożeniem.
Większość funkcji to po prostu te trzy operacje.
Ostrożnie, funkcje mogą się być bardzo obszerne!
Ale tak długo, jak będziesz umiał poradzić sobie
z tymi trzema operacjami, krok po kroku,
warstwa po warstwie, obliczysz w końcu pochodną.
Pytanie więc brzmi: jeśli znasz pochodne dwóch funkcji,
jaka jest pochodna ich sumy, iloczynu i złożenia?
Pierwszy przypadek jest najprostszy i ładnie brzmi.
Pochodna sumy funkcji to suma ich pochodnych.

Arabic: 
بالتأكيد يمكنك أن تقول طرحها ..
لكن حقاً هذا مجرد ضرب الثانية بسالب واحد .. وجمعها معاً
وبالمثل قسمة الدوال لا يضيف أي شيء حقاً ..
لأن ذلك مثل وضع دالة داخــل الدالة 1/x .. ثم ضرب اثنتين ببعضهما
لذا .. حقاً .. معظم الدوال التي تمر عليها تتضمن فقط تشكيل هذه الأنواع الثلاثة المختلفة من الدمج
ورغم ذلك .. ليس هناك حد لمدى الوحشية الذي قد تؤول إليه الأمور
لكن طالما كنت تعرف كيف تلعب المشتقات مع هذه الأنواع الثلاثة من الدمج
سيكون بإمكانك دائماً أن تأخذها خطوة بخطوة .. وتقشر الطبقات عابراً خلال أية عبارة وحشية
لذا السؤال هو: إذا كنت تعرف مشتقة دالتين .. ما المشتقة لمجموعهما؟ لمضروبهما؟ ولتركيب الدالتين بينهما؟
قاعدة الجمع هي الأسهل .. ولو كانت نوعاً ما معثرة لسان إذا قيلت بصوت عالٍ
مشتقة مجموع دالتين .. هي مجموع مشتقتيهما

Chinese: 
但是这很值得通过这个例子去认真思考
对两个函数的和求导
是什么意思，
因为函数乘积
和组装函数的求导模式不会那么简单直接
，需要进行更深入的思考
函数f（x）= sin（x）+ x2是一个函数
每一个函数的输入值都是
sin（x）和x2的和。
例如，在x = 0.5时，
正弦图像的高度由这个bar表示
的x2抛物线的高度则由这个bar表示，而他们的和就是这两个bar
堆叠在一起的高度。
至于求导，就是在说
当你轻轻推动这个输入值时会发生什么，比如说
0.5 + dx。

Italian: 
Ma vale la pena riscaldarsi con questo esempio pensando a cosa significa realmente
presa la derivata della somma di due funzioni,  poiché i modelli di derivazione dei prodotti
e delle funzioni composte non saranno così diretti e richiederanno un tipo di ragionamento
più profondo.
La funzione f(x)=sin(x)+x^2 è una funzione dove, per ogni input(valore di x), sommi
i valori di si(x) e x^2 in quel punto
Per esempio, a x=0.5, l'altezza della funzione coseno è data da questa barra verticale, l'altezza
della parabola x^2 è data da questa barra, e la loro somma e la lunghezza che ottieni allineandole
insieme
Per la derivata, potreste chiedervi cosa accadrebbe se aumentassimo i valori di x leggermente, magari incrementandolo
a 0.5x+dx.

Polish: 
Ale warto pobudzić mózg do pracy i zastanowić się,
co to tak właściwie znaczy:
wziąć pochodną sumy dwóch funkcji.
Dla iloczynu i złożenia wzory nie będą już takie proste.
Ich wyprowadzenie będzie wymagało przemyśleń.
Rozważmy funkcję f(x) = sin(x) + x^2.
Dla każdego x dodajesz do siebie
wartości funkcji sin(x) i x^2 w tym punkcie.
Np. dla x = 0.5, wysokość funkcji w tym punkcie
jest dana tym pionowym paskiem, a dla paraboli,
wykresu funkcji x^2, tym mniejszym paskiem.
Ich suma to suma długości pasków.
Aby obliczyć pochodną, zastanówmy się, co się dzieje,
gdy delikatnie zmieniamy wartość x, np. do 0.5 + dx.

Portuguese: 
Porém, vale a pena nos aprofundarmos com esse exemplo, refletindo o que ele significa realmente
obter a derivada da soma de duas funções, já que as regras de derivada para os produtos
e as composições de funções não serão tão intuitivos, logo irão necessitar desse tipo de raciocínio aprofundado.
Por exemplo, vamos pensar na função f(x) = sen(x) + x² a qual para todo elemento x do domínio, irá adicionar os
os valore de sen(x) e x² a mesma abscissa.
Por exemplo, para x = 0.5, a ordenada do gráfico do seno é dado por essa barra vertical, por outro lado, a ordenada
da parábola x² é dado por essa pequena barra vertical e suas somas obtemos empilhando uma na outra
Agora, para a derivada, você deve perguntar o que acontece quando empurramos o domínio ligeiramente,
podendo ser um aumento para 0.5 + dx.

English: 
But it’s worth warming up with this example
by really thinking through what it means to
take a derivative of a sum of two functions,
since the derivative patterns for products
and function composition won’t be so straight
forward, and will require this kind of deeper
thinking.
The function f(x) = sin(x) + x2 is a function
where, for every input, you add together the
values of sin(x) and x2 at that point.
For example, at x = 0.5, the height of the
sine graph is given by this bar, the height
of the x2 parabola is given by this bar, and
their sum is the length you get by stacking
them together.
For the derivative, you ask what happens as
you nudge the input slightly, maybe increasing
it to 0.5+dx.

German: 
Aber es lohnt sich, sich mit diesem Beispiel aufzuwärmen
indem man wirklich darüber nachdenkt, was es bedeutet
nimm eine Ableitung einer Summe von zwei Funktionen,
da die abgeleiteten Muster für Produkte
und Funktionszusammensetzung wird nicht so gerade sein
vorwärts und wird diese Art von tiefer erfordern
Denken.
Die Funktion f (x) = sin (x) + x2 ist eine Funktion
Dabei addieren Sie für jede Eingabe die
Werte von sin (x) und x2 an diesem Punkt.
Zum Beispiel ist bei x = 0,5 die Höhe der
Der Sinusgraph wird durch diesen Balken als Höhe angegeben
der x2-Parabel ist durch diesen Balken gegeben, und
Ihre Summe ist die Länge, die Sie durch Stapeln erhalten
Sie zusammen.
Für das Derivat fragen Sie, wie es passiert
Sie stupsen die Eingabe leicht an und erhöhen sie möglicherweise
es auf 0,5 + dx.

French: 
Mais il vaut la peine de se réchauffer avec cet exemple
en pensant vraiment à travers ce que signifie
prendre un dérivé d'une somme de deux fonctions,
étant donné que les motifs dérivés des produits
et la composition de la fonction ne sera pas si droite
avant, et exigera ce genre de plus profond
en pensant.
La fonction f (x) = sin (x) + x2 est une fonction
où, pour chaque entrée, vous additionnez la
les valeurs de sin (x) et x2 à ce point.
Par exemple, x = 0,5, la hauteur de la
graphique sine est donnée par cette barre, la hauteur
de la parabole x2 est donnée par cette barre, et
leur somme est la longueur que vous obtenez en empilant
ensemble.
Pour le dérivé, demandez-vous ce qui se passe comme
vous décalez légèrement de l'entrée, peut-être de plus en plus
à 0,5 + dx.

Spanish: 
Pero vale la pena el calentamiento con este ejemplo
para pensar realmente a través de lo que significa
tomar una derivada de una suma de dos funciones,
ya que los patrones de derivadas de los productos
y la composición de funciones no será tan recta
en adelante, y requerirá este tipo de profunda
pensamiento profundo.
Por ejemplo, pensemos en esta función f (x) = sin (x) + x2, es una función
donde, para cada entrada, sumas los
valores de sin (x) y x2 en ese punto.
Por ejemplo, en x = 0,5, la altura de la
gráfica seno está dada por esta barra vertical, la altura
de la parábola x^2 viene dada por esta barra vertical mas pequeña, y la suma 
 de ambas es la longitud se obtiene apilándolas.
 
Para la derivada, le preguntas  lo que sucede cuando
mueve la entrada  un poco sin querer, tal vez aumentandolo
a 0,5 + dx.

Arabic: 
لكن الأمر يستحق الإحماء مع هذا المثال من خلال التفكير حقاً فيما يعنيه أخذ المشتقة لمجموع دالتين
لأن أنماط الاشتقاق للضرب ولتركيب الدوال .. لن تكون مباشرة جداً
وسيتطلبان هذا التفكير الأعمق ..
على سبيل المثال: دعونا نفكر في هذه الدالة البسيطة
f(x) = sin(x) + x^2
إنها دالة لكل مُدخل فيها .. تجمع معاً قيم كلٍّ من (sin(x و x^2 عند تلك النقطة
كمثال: فلنقل عند x=0.5 ..
ارتفاع رسمة الجيب sin يعطى بهذا العمود الرأسي ..
وارتفاع القطع المكافئ x^2 يعطى بهذا العمود الرأسي الأصغر قليلاً
ومجموعهما .. هو الطول الذي تحصل عليه بمجرد رصّهما ببعضهما
الآن للحصول على المشتقة .. تريد أن تسأل ما الذي سيحدث عندما تدفع ذلك المُدخل قليلاً
ربما بزيادته إلى x = 0.5 + dx

Polish: 
Różnica wartości funkcji w tych punktach to df.
Widać to na rysunku, więc myślę, że się zgodzisz:
Całkowita zmiana wysokości jest równa sumie
zmiany wysokości wykresu funkcji sin(x), czyli d(sin(x))
oraz zmiany wysokości x^2, d(x^2).
Wiemy, że pochodną sinusa jest cosinus.
Przypomnijmy sobie, co to znaczy.
Ta mała zmiana wysokości jest równa około cos(x)*dx.
Jest proporcjonalna do dx, z mniej więcej stałym
współczynnikiem, cosinusem początkowego punktu.
Podobnie, skoro pochodną x^2 jest 2x, to
zmiana wysokości wykresu funkcji x^2 wynosi 2x*dx.

Chinese: 
这些之间的f值的差异
两个值就是我们所说的df。
好吧，像这样，我想你会的
同意高度的总变化是无论如何
正弦图的变化是，我们可能会
调用d（sin（x）），加上任何改变
x2是d（x2）。
我们知道正弦的导数是余弦的，
而这意味着这个小变化
d（sin（x））约为cos（x）dx。
它与dx的大小成正比，
比例常数等于余弦
我们开始的任何投入。
同样，因为x2的导数是
2x，x2图形的高度变化
大约是2x * dx。

French: 
La différence de la valeur de f entre ceux-ci
deux valeurs est ce que nous appelons df.
Eh bien, la photo comme ça, je pense que vous allez
conviennent que le changement total de hauteur est tout
le changement au graphique sinus est, ce que nous pourrions
appel d (sin (x)), ainsi que quel que soit le changement
x2 est, d (x2).
Nous savons que le dérivé du sinus est cosinus,
et ce que cela signifie est que ce petit changement
d (sin (x)) serait d'environ cos (x) dx.
Il est proportionnel à la taille de dx, avec
une constante de proportionnalité égale à cosinus
quelle que soit l'entrée que nous avons commencé à.
De même, parce que la dérivée de x2 est
2x, la variation de la hauteur de la courbe x2
est d'environ 2x * dx.

Spanish: 
La diferencia en el valor de f entre estos
dos valores es lo que llamamos df.
Así que , en esta  imagen , creo que estarás
de acuerdo en que el cambio total en la altura es lo
el cambio en la gráfica de seno es, lo que podría
llamar  (sin (x)), más lo que el cambio de
x^2 es, d (x^2).
Sabemos que la derivada del seno es el coseno,
y lo que esto significa es que este pequeño cambio
d (sin (x)) sería de alrededor de cos dx (x).
Es proporcional al tamaño de dx, con
una constante de proporcionalidad igual al coseno
de cualquier entrada que empezamos a.
Del mismo modo, debido a que la derivada de x^2 es
2x, el cambio en la altura de la gráfica x^2
es aproximadamente 2x* dx. (cualsea 
 el valor dx)

German: 
Die Differenz im Wert von f zwischen diesen
Zwei Werte nennen wir df.
Nun, so abgebildet, ich denke du wirst
stimmen zu, dass die gesamte Höhenänderung gleich ist
Die Änderung des Sinusgraphen ist, was wir könnten
rufe d (sin (x)) plus was auch immer die Änderung an
x2 ist d (x2).
Wir wissen, dass die Ableitung von Sinus Cosinus ist,
und was das bedeutet ist, dass diese kleine Veränderung
d (sin (x)) wäre ungefähr cos (x) dx.
Es ist proportional zur Größe von dx mit
eine Proportionalitätskonstante gleich dem Kosinus
von welcher Eingabe auch immer wir angefangen haben.
Ebenso, weil die Ableitung von x2 ist
2x die Änderung der Höhe des x2-Graphen
ist ungefähr 2x * dx.

Italian: 
La differenza nel valore di f tra questi due valori è ciò che chiamiamo df.
Bene, immaginato in questo modo, penso che sarete d'accordo sul fatto che il totale cambiamento in altezza è la qualunque
modifica al grafico sinusoidale, cosa che potremmo chiamare d(sin(x)), più qualunque sia la modifica
a x^2 , d(x^2).
Sappiamo che la derivata del seno è il coseno, e ciò che significa è questo piccolo cambiamento
d(sin(x)) sarebbe circa cos(x) volte dx.
È proporzionale alla dimensione di dx, con una costante di proporzionalità uguale al coseno
di qualunque input (x) con cui siamo partiti.
Allo stesso modo, poiché la derivata di x^2 è 2x, la variazione nell'altezza del grafico x^2
è circa 2x*dx.

English: 
The difference in the value of f between these
two values is what we call df.
Well, pictured like this, I think you’ll
agree that the total change in height is whatever
the change to the sine graph is, what we might
call d(sin(x)), plus whatever the change to
x2 is, d(x2).
We know the derivative of sine is cosine,
and what that means is that this little change
d(sin(x)) would be about cos(x)dx.
It’s proportional to the size of dx, with
a proportionality constant equal to cosine
of whatever input we started at.
Similarly, because the derivative of x2 is
2x, the change in the height of the x2 graph
is about 2x*dx.

Portuguese: 
A diferença do valor de f entre esses dois valores é o que chamamos de df.
Bem, posto dessa forma, creio que você concorda que o total de mudança na imagem será
a variação do gráfico do seno, o que nós chamaremos de d(sen(x)), somado com a variação de x², d(x²).
Assim, sabemos que a derivada do seno é o cosseno. Lembre o que isso significa, que uma pequena mudança
d(sen(x)) representará um cos(x)dx.
É proporcional ao tamanho de dx, com a constante de proporcionalidade igual ao cosseno
do valor que nós começamos.
Analogamente, visto que a derivada de x² é 2x, a mudança da altura do gráfico de x²
será de 2x*dx, para um valor inicial de x.

Arabic: 
الفرق في قيمة f بين هذين الموضعين .. هو ما ندعوه df
وعندما تتصورها هكذا .. أظن أنك تتفق أن التغير الكلي في الارتفاع، هو أياً ما كان التغير في دالة الجيب..
ما يمكن أن نسميه [(d[sin(x  ..
مضافاً إلى التغير في x^2 مهما كان .. (d(x^2
نحن نعلم أن مشتقة sin هي cos .. وتذكروا ما يعنيه ذلك
يعني أن ذلك التغير الصغير [(d[sin(x .. هو تقريباً cos(x)*dx
إنه متناسب مع حجم دفعتنا الأصلية .. dx
وثابت التناسب يساوي جيب التمام cos لـ .. أيٍ ما كان المدخل الذي بدأنا عنده
بالمثل .. لأن مشتقة x^2 هي 2x ..
التغير في الارتفاع في رسمة x^2 .. سيكون 2x مضروبة في أيٍ ما كانت dx ..
لذا .. بإعادة الترتيب .. df/dx

Italian: 
Quindi, df / dx, il rapporto del piccolo cambiamento alla funzione somma, al piccolo cambiamento in x
che lo ha causato,  è infatti cos(x)+2x, la somma delle derivate delle sue parti.
Ma come ho detto, la cosa è leggermente differente per il prodotto.
Riflettiamo sul perché, in termini di piccoli impulsi.(piccoli valori di x)
In questo caso, non penso che i grafici siano la nostra migliore scommessa per visualizzare le cose.
Piuttosto comunemente in matematica, tutti i livelli di matematica in realtà, se hai a che fare con un prodotto
di due cose, aiuta a cercare di capirlo come una qualche forma di area.
in questo caso, potresti provare a configurare alcune impostazioni mentali di una scatola di cui sono presenti le lunghezze laterali
sin(x) e x^2
Cosa significherebbe?
Bene, dal momento che queste sono funzioni, si potrebbe pensare a questi lati come regolabili; dipendenti
dal valore di x, che potresti pensare come un numero che puoi regolare liberamente.
Quindi, per avere un'idea di questo, concentrati su quella parte superiore, i cui cambiamenti sono la funzione

English: 
So, df/dx, the ratio of the tiny change to
the sum function to the tiny change in x that
caused it, is indeed cos(x)+2x, the sum of
the derivatives of its parts.
But like I said, things are a bit different
for products.
Let’s think through why, in terms of tiny
nudges.
In this case, I don’t think graphs are our
best bet for visualizing things.
Pretty commonly in math, all levels of math
really, if you’re dealing with a product
of two things, it helps to try to understand
it as some form of area.
In this case, you might try to configure some
mental setup of a box whose side-lengths are
sin(x) and x2.
What would that mean?
Well, since these are functions, you might
think of these sides as adjustable; dependent
on the value of x, which you might think of
as a number that you can freely adjust.
So, just getting the feel for this, focus
on that top side, whose changes as the function

Spanish: 
Así que, reorganizando, df / dx, la proporción entre el pequeño cambio a
la función suma, al pequeño cambio en x que
causó, es de hecho cos (x) + 2x, la suma de
los derivados de sus partes.
Pero como he dicho, las cosas son un poco diferentes
para los productos.
Vamos a pensar , ¿por qué?, en términos de la pequeños
empujonsitos
En este caso, no creo que los gráficos son nuestra
mejor opción para visualizar las cosas.
Comúnmente en matemáticas, en todos los niveles de matemáticas
 realmente, si  está tratando con el producto
de dos cosas,  te ayudará entenderlo
 si lo ves como algún tipo de área.
En este caso, es posible que trates de figurar algunas
imagen mental de una caja cuyos son:
sin (x) y x^2.
¿Qué significaría eso?
Bueno, ya que se trata de funciones, es posible que
pensar en estos lados como ajustables; dependiendo
en el valor de x, que se podría pensar en
como un número que se puede ajustar hacia arriba y abajo.
Por lo tanto, sólo conseguir la sensación de  lo que esto significa ,  enfócate
en ese lado superior, cuyos cambios son como la función

Chinese: 
所以，df / dx，微小变化的比例
这个总和函数对x中的微小变化即为
造成它，确实是cos（x）+ 2x的总和
其部分的衍生物。
但就像我说的，事情有点不一样
为产品。
让我们来思考为什么，以微小的方式
碰了一下。
在这种情况下，我不认为图是我们的
最好的办法是将事物形象化。
通常在数学，数学的所有水平
真的，如果你正在处理一个产品
两件事情，这有助于理解
它作为某种形式的区域。
在这种情况下，您可能会尝试配置一些
精神设置一个盒子的边长是
sin（x）和x2。
那是什么意思？
那么，因为这些功能，你可能会
认为这些方面是可调整的;依赖的
关于x的价值，你可能会想到
作为一个你可以自由调整的数字。
所以，只是感受到这一点，重点
在顶端，其功能的变化

German: 
Also, df / dx, das Verhältnis der winzigen Änderung zu
die Summenfunktion zur winzigen Änderung in x das
verursacht es ist in der Tat cos (x) + 2x, die Summe von
die Derivate seiner Teile.
Aber wie gesagt, die Dinge sind ein bisschen anders
für Produkte.
Lassen Sie uns überlegen, warum, in Bezug auf winzig
stupst.
In diesem Fall denke ich nicht, dass Grafiken unsere sind
beste Wahl für die Visualisierung von Dingen.
Ziemlich häufig in Mathe, alle Niveaus der Mathematik
wirklich, wenn Sie mit einem Produkt zu tun haben
von zwei Dingen hilft es zu versuchen zu verstehen
es als eine Form von Fläche.
In diesem Fall können Sie versuchen, einige zu konfigurieren
mentale Einrichtung einer Box, deren Seitenlängen sind
sin (x) und x2.
Was würde das bedeuten?
Nun, da dies Funktionen sind, könnten Sie
Betrachten Sie diese Seiten als einstellbar. abhängig
auf den Wert von x, an den Sie vielleicht denken
als Zahl, die Sie frei einstellen können.
Konzentrieren Sie sich also darauf, nur das Gefühl dafür zu bekommen
auf dieser Oberseite, deren Änderungen sich als Funktion ändern

Arabic: 
النسبة بين التغير الصغير في دالة المجموع إلى التغير الصغير في x الذي سببها ..
هو بالفعل .. cos(x) + 2x
مجموع مشتقات أجزاء الدالة الأصلية
لكن كما قلت .. الأمور مختلفة قليلاً في المضروبات
ودعونا نفكر مليـاً لماذا .. دعونا نفكر ملياً باعتبار الدفعات الصغير مجدداً
في هذه الحالة .. لا أظن أن الرسومات هي أفضل شيء لإبصار الأمور
من الشائع في الرياضيات .. الكثير من مستويات الرياضيات في الواقع ..
إذا كنت تتعامل مع مضروب شيئين .. فمن المساعد أن تفهمه كنوع من المساحة
في هذه الحالة ربما تجرب أن تشكل تنظيماً ذهنياً عبارة عن صندوق أطوال أضلاعه هما (sin(x و x^2
لكن ماذا يعني ذلك ؟
حسناً .. لأن هذه دوال .. فبإمكانك أن تفكر في هذه الأضلاع على أنها قابلة للتغيير
معتمدة على قيمة x
ربما تفكر بها كهذا العدد الذي يمكنك تغييره بشكل حر للأعلى والأسفل
لذا بعد أن كوّنا شعوراً لما يعنيه هذا .. ركزوا على ذلك الضلع الذي في الأعلى هناك

Polish: 
Wobec tego df/dx, iloraz małej zmiany wartości funkcji
do małej zmiany argumentu funkcji,
jest równy cos(x) + 2x,
sumie pochodnych poszczególnych składników.
Ale, jak już mówiłem, dla iloczynów jest trochę inaczej.
Zastanówmy się, dlaczego, korzystając z małych zmian.
W tej chwili nie sądzę, żeby wykresy funkcji były tu
dobrym narzędziem.
W matematyce, jeśli badasz iloczyn dwóch wielkości,
dobrze jest wyobrazić to sobie jako pole prostokąta.
W tym przypadku o bokach sin(x) i x^2.
Ale co to znaczy?
Skoro są to funkcje, to długości boków się zmieniają
w zależności od x, którym możesz swobodnie ruszać.
Aby to zobaczyć, skupmy się na szerokości prostokąta,

French: 
Ainsi, df / dx, le rapport du petit changement
la fonction de somme au minuscule changement de x qui
causé, est en effet cos (x) + 2x, la somme de
les dérivés de ses parties.
Mais comme je l'ai dit, les choses sont un peu différentes
pour les produits.
Pensons par pourquoi, en termes de petit
coups de pouce.
Dans ce cas, je ne pense pas que les graphiques sont notre
meilleur pari pour visualiser les choses.
Assez souvent en mathématiques, tous les niveaux de mathématiques
vraiment, si vous avez affaire à un produit
de deux choses, il aide à essayer de comprendre
comme une certaine forme de zone.
Dans ce cas, vous pouvez essayer de configurer certains
configuration mentale d'une boîte dont les longueurs latérales sont
sin (x) et x2.
Qu'est-ce que cela veut dire?
Eh bien, puisque ce sont des fonctions, vous pourriez
penser que ces côtés réglable; dépendant
sur la valeur de x, que vous pourriez penser
comme un numéro que vous pouvez régler librement.
Donc, juste obtenir la sensation pour cela, foyer
sur la face supérieure, dont les changements que la fonction

Portuguese: 
Então, arrumando, df/dx, a razão de uma pequena mudança da função soma com uma pequena variação em x que
ela causa, será cos(x) + 2x na verdade, a soma das derivadas das suas partes.
Entretanto, como eu disse, as coisas são diferentes para os produtos.
Vamos pensar sobre o porquê, em termos de pequenos petelecos.
Nesse caso, não penso que gráficos serão nossa melhor aposta para a visualização.
Muito comum na matemática, em seus variados níveis, se você está lidando com um produto
de duas coisas, será útil tentarmos entendê-lo como uma forma de área.
Nesse caso, você deve tentar imaginar uma configuração de uma caixa imaginária cujos tamanhos
de seus lados são sen(x) e x².
Mas, o que isso significará?
Bem, já que eles são funções. você deve pensar que esses lados são ajustáveis; dependentes
de um valor de x, na qual você deve pensar em um número que você pode ajustar livremente.

Chinese: 
的sin（x）。
当你从0改变x的值时，
随着sin（x）增加至1的长度，
迈向高峰。
之后，它开始下降sin（x）
从1下降。
同样，高度变化为x2。
所以f（x）定义为这个产品，就是面积
这个盒子。
对于衍生物，想想如何一个微小的
由dx改变为x影响这个区域;那
造成面积变化是df。
轻推x使宽度改变
由一些小的d（sin（x））和高度来表示
改变一些d（x2）。
这给了我们三个新的小片段
面积：底部的一个薄的长方形

English: 
sin(x).
As you change the value of x up from 0, it
increases in up to a length of 1 as sin(x)
moves towards its peak.
After that, it starts decreasing as sin(x)
comes down from 1.
And likewise, that height changes as x2.
So f(x), defined as this product, is the area
of this box.
For the derivative, think about how a tiny
change to x by dx influences this area; that
resulting change in area is df.
That nudge to x causes the width to change
by some small d(sin(x)), and the height to
change by some d(x2).
This gives us three little snippets of new
area: A thin rectangle on the bottom, whose

Portuguese: 
Assim, pegando o espírito da coisa, foquemos na parte superior, cuja mudança depende da função sen(x).
Ao mudarmos o x para valores maiores que 0, aumentaremos o tamanho do lado até um valor 1 como sen(x)
movimenta-se em direção do seu máximo.
Depois disso, começa a decrescer como o seno decrescendo de 1.
E do mesmo modo, a altura muda junto com x²
Logo, f(x), definido como esse produto, será a área da caixa.
Para a derivada, pense sobre como uma minúscula mudança em x de dx influenciará a área
resultando em uma mudança na área de df
Bem,  um leve toque em x causa causará uma mudança na largura equivalente a um pequeno d(sen(x)) e na altura,
uma variação equivalente de d(x²).
Isso nos dá três pequenos fragmentos da nova área:  Um fino retângulo no fundo,  cuja

French: 
sin (x).
Lorsque vous modifiez la valeur de x à partir de 0, il
augmente en allant jusqu'à une longueur de 1 sin (x)
se déplace vers son sommet.
Après cela, il commence à diminuer comme sin (x)
descend de 1.
Et de même, que la hauteur change comme x2.
Donc, f (x), défini comme étant le produit, est la zone
de cette boîte.
Pour le dérivé, pensez à la façon dont un petit
changer de x par des influences dx cette région de; cette
la variation consécutive dans la zone est df.
Ce petit coup de pouce à la largeur x provoque changer
par un petit d (sin (x)), et la hauteur de
changer par un d (x2).
Cela nous donne trois petits extraits de nouvelles
zone: Un rectangle mince sur le fond, dont

Spanish: 
sin (x).
A medida que cambia el valor de x desde 0, se
aumenta en hasta una longitud de 1, así como sin (x)
se mueve hacia su punto más alto.
Después de eso, comienza a disminuir como sin (x)
desciende de 1.
Y del mismo modo,  cambia a medida que la altura x^2 lo hace.
Así que f (x), definida como el producto de estas dos funciones, será el área
de esta caja.
Para la derivada, pensemos  cómo un pequeño
cambio en x  influye esa  área ;
cuál es cambio resultante en el área ( df.)
Bueno, Ese empujón para  dx hace que el ancho cambie
por alguna pequeño d (sin (x)),  y causa que la altura
cambie por algún d (x^2).
Esto nos da tres pequeños fragmentos de nueva
área: Un rectángulo delgado en la parte inferior, cuya

Italian: 
sin(x).
Quando cambia il valore di x a partire da 0, esso aumenta fino a una lunghezza di 1 come sin (x)
si muove verso il suo picco
Dopodiché, inizia a diminuire quando sin (x) scende da 1.
E allo stesso modo, quell'altezza cambia come x^2.
Quindi f(x), definita come questo prodotto, è l'area di questa scatola.
Per la derivata, pensa a come una piccola modifica a x di dx influenza quest'area;
questo conseguente cambiamento di area è df.
Quel piccolo incremento di x fa si che la larghezza cambia di piccoli d(sein(x)),
e l'altezza cambia di alcuni d(x^2)
Questo ci dà tre piccoli frammenti della nuova area: Un sottile rettangolo sul fondo, la cui area

German: 
Sünde (x).
Wenn Sie den Wert von x von 0 nach oben ändern, wird es
nimmt bis zu einer Länge von 1 zu, wenn sin (x)
bewegt sich in Richtung seines Höhepunkts.
Danach beginnt es abzunehmen, wenn sin (x)
kommt von 1 runter.
Ebenso ändert sich diese Höhe als x2.
Also ist f (x), definiert als dieses Produkt, die Fläche
dieser Box.
Denken Sie für die Ableitung darüber nach, wie klein
Änderung zu x durch dx beeinflusst diesen Bereich; Das
Die resultierende Änderung der Fläche ist df.
Dieser Anstoß zu x bewirkt, dass sich die Breite ändert
durch ein kleines d (sin (x)) und die Höhe zu
ändere dich um ein d (x2).
Dies gibt uns drei kleine Schnipsel von Neuem
Bereich: Ein dünnes Rechteck auf der Unterseite, dessen

Polish: 
która zmienia się jak sin(x).
Gdy x rośnie od 0, długość boku rośnie aż do 1,
bo takie jest maksimum sinusa.
Potem bok maleje, gdy sin(x) zmniejsza wartość.
Tak samo wysokość zmienia się jak x^2.
Wobec tego f(x) = sin(x) * x^2 jest polem tego pudełka.
Aby obliczyć pochodną, zastanówmy się nad tym,
jak mała zmiana x o dx wpływa na to pole.
Ile wynosi mała zmiana pola df?
Zmiana x powoduje zmianę szerokości o d(sin(x))
i zmianę wysokości o d(x^2).
To daje nam trzy małe kawałki nowego pola:

Arabic: 
الذي يتغير باعتبار دالة الجيب (sin(x ..
بتغييرك لهذه القيمة لـ x .. للأعلى مبتدئاً من الصفر
فهو يزداد حتى يكون بطول 1 .. مع مضي (sin(x للأعلى حتى قمتها
وبعد ذلك .. يبدأ بالتناقص، مع نزول (sin(x من واحد للأسفل ..
وبنفس الطريقة ذلك الارتفاع هناك *للصندوق* يتغير دائماً باعتبار x^2
إذاً (f(x معرفة كمضروب هاتين الدالتين .. ستكون مساحة ذلك الصندوق
وللمشتقة .. دعونا نفكر كيف يمكن لتغير صغير في x بمقدار dx أن يؤثر في تلك المساحة
ما ذلك التغير الناتج في المساحة df ؟
حسناً .. الدفعة dx سببت تغيراً في العرض بمقدار صغير [(d[sin(x ..
وسببت تغيراً في ذلك الارتفاع بمقدار (d(x^2
وذلك يعطينا ثلاث قطيعات صغيرة من المساحة

Chinese: 
面积是它的宽度，sin（x），乘以其薄
身高，d（x2）;有一个薄的矩形
在右侧，其面积是其高度x2，
乘以其细宽d（sin（x））。
而且还有一点在角落里。
但是我们可以忽略它，因为它的区域会
最终与dx2成比例
由于DX变为0，可以忽略不计。
这和我上次展示的非常相似
视频，与x2图。
就像那样，请记住，我正在使用
如此一些有趣的改变来画东西
我们可以看到他们，但原则上可以想到
dx非常小，意思是d（x2）和d（sin（x））
也非常非常小。
应用我们所了解的衍生物
正弦和x2，微小的变化d（x2）是

Polish: 
wąski prostokąt na dole o wymiarach sin(x) i d(x^2),
cienki prostokąt po prawej o wymiarach d(sin(x)) i x^2
oraz mały kawałek w rogu, który możemy zignorować,
bo jego pole będzie proporcjonalne do (dx)^2.
Wiemy, że gdy dx zbiega do 0, możemy to zaniedbać.
Cały ten schemat jest podobny do tego, co
pokazywałem w poprzednim filmie,
gdy badaliśmy pochodną x^2.
Tak jak wtedy, pamiętaj, że rysuję dość duże dx,
żeby było ono widoczne na rysunku, ale
dx jest tak naprawdę bardzo małe,
więc d(x^2) i d(sin(x)) też są bardzo małe.
Korzystając z tego, co wiemy o pochodnej sinusa i x^2,
ta mała zmiana d(x^2) jest równa 2x * dx,

German: 
Fläche ist seine Breite, sin (x), mal seine dünne
Höhe d (x2); Es gibt ein dünnes Rechteck
rechts, dessen Fläche die Höhe ist, x2,
mal seine dünne Breite, d (sin (x)).
Und es gibt auch etwas in der Ecke.
Aber wir können es ignorieren, da sein Gebiet wird
letztendlich proportional zu dx2 sein, was wird
vernachlässigbar, da dx auf 0 geht.
Dies ist sehr ähnlich zu dem, was ich zuletzt gezeigt habe
Video mit dem x2-Diagramm.
Denken Sie genau wie damals daran, dass ich benutze
etwas bullige Änderungen, um Dinge zu zeichnen, also
wir können sie sehen, aber im Prinzip denken
dx als sehr sehr klein, was d (x2) und d (sin (x)) bedeutet
sind auch sehr sehr klein.
Anwenden, was wir über das Derivat wissen
von Sinus und x2 ist diese winzige Änderung d (x2)

Italian: 
è la sual larghezza, sin(x), volte la sua sottile altezza, d(x^2); C'è un rettangolo sottile
alla destra,  la cui area è la sua altezza, x^2 volte la sua sottile larghezza , d(sin(x)).
E c'è anche un po 'nell'angolo.
Ma possiamo ignorarlo, poiché la sua area sarà in definitiva proporzionale a d(x^2), che diviene
trascurabile al tendere di dx a 0.
Questo è molto simile a quello che ho mostrato nello scorso viedo, con il diagramma di x^2.
Proprio come allora, tieni presente che sto usando dei cambiamenti(delta) un po 'grandi per disegnare le cose,
così da poterli vedere, ma in principio pensa dx come molto piccolo e quindi anche d(x^2) e d(sin(x))
sono molto piccoli
Applicando ciò che conosciamo sulle derivate del seno e di x^2,  quel piccolo cambiamento d(x^2) è

French: 
zone est sa largeur, sin (x), fois son mince
hauteur, d (x2); il y a un rectangle mince
sur la droite, dont la surface est sa hauteur, x2,
fois sa largeur mince, d (sin (x)).
Et il y a aussi peu dans le coin.
Mais nous pouvons l'ignorer, puisque sa zone sera
en fin de compte être proportionnelle à dx2, qui devient
négligeable dx va à 0.
Ceci est très similaire à ce que je l'ai montré la dernière
vidéo, avec le diagramme de x2.
Tout comme alors, gardez à l'esprit que j'utilise
changements un peu costaud pour tirer les choses, donc
nous pouvons les voir, mais en principe, penser
dx comme très très petite, ce qui signifie d (x2) et d (sin (x))
sont également très très faible.
L'application de ce que nous savons sur le dérivé
de sinus et x2, ce petit changement d (x2) est

Arabic: 
مستطيل نحيف في الأسفل مساحته هي عرضه: (sin(x مضروباً في ارتفاعه: (d(x^2
وهناك هذا المستطيل النحيف على اليمين ومساحته هي ارتفاعه: x^2 مضروباً في عرضه النحيف والصغير: [(d[sin(x
وهناك أيضاً هذه القطعة الصغيرة أيضاً في الزاوية .. لكن يمكننا تجاهل ذلك
مساحتها ستكون في نهاية المطاف متناسبة مع dx)^2)
وكما رأينا سابقاً: ذاك يصبح مهملاً عندما تقترب dx من الصفر
أعني كل هذا التنظيم مشابه جداً لما عرضته في الفيديو السابق .. مع شكل الـ x^2
وبالضبط كالسابق: ابق في بالك أنني أستخدم نوعاً  ما تغييرات سمينة هنا لرسم الأشياء
فقط ليمكننا حقاً رؤيتها ..
لكن من ناحية المبدأ .. dx هي شيء صغير جداً جداً
أعني أن (d(x^2 و [(d[sin(x هي أيضاً صغيرة جداً جداً ..
إذاً .. مطبقين ما نعرفه عن مشتقة الجيب sin و مشتقة x^2 ..
ذاك التغير الصغير (d(x^2 .. سيكون قرابة 2*x*dx

Spanish: 
área  es su anchura, sin (x), por su delgada
altura, d (x^2); hay un rectángulo delgado
a la derecha, cuya área es su altura, x2,
por  su anchura delgada, d (sin (x)).
Y también hay  un poco en la esquina.
Pero podemos ignorarlo, ya que su área será
en última instancia, ser proporcional a (dx)^2, y como vimos antes
eso se vuelve insignificante como dx tiende a  0.
Esto es muy similar a lo que mostré el pasado
video, con el diagrama de x^2.
Al igual que antes , ten en cuenta que estoy usando
 cambios un poco gordos para dibujar las cosas, por eso los
vemos realmente, pero, en principio, piensa en 
dx  como muy, muy pequeño, lo que significa d (x^2) y d (sin (x))
También son muy, muy pequeños.
Aplicando lo que sabemos acerca de la derivada
de seno y x^2, ese  pequeño cambio d (x^2) es

English: 
area is its width, sin(x), times its thin
height, d(x2); there’s a thin rectangle
on the right, whose area is its height, x2,
times its thin width, d(sin(x)).
And there’s also bit in the corner.
But we can ignore it, since its area will
ultimately be proportional to dx2, which becomes
negligible as dx goes to 0.
This is very similar to what I showed last
video, with the x2 diagram.
Just like then, keep in mind that I’m using
somewhat beefy changes to draw things, so
we can see them, but in principle think of
dx as very very small, meaning d(x2) and d(sin(x))
are also very very small.
Applying what we know about the derivative
of sine and x2, that tiny change d(x2) is

Portuguese: 
área é a largura, sen(x), multiplicado pela sua fina altura, d(x²);  Existe um fino retângulo
a direita,  cuja a área será a altura, x², vezes sua fina largura, d(sen(x)).
E ainda existe uma pequena parte no canto,
mas podemos ignorá-la, já que sua área acabará sendo proporcional ao d(x²), o qual se tornará
insignificante quando dx tende a 0.
Portanto, isso é bastante similar com o que eu mostrei no video passado, com o diagrama de x².
Assim como então, mantenha em mente que estou usando desenhos robustos para as variações, para que
possamos visualizá-las, entretanto o principal pensamento de dx é que ele muito muito pequeno, assim d(x²) e d(sen(x))
também são muito pequenos.
Aplicando o que nós sabemos sobre a derivada do seno e de x², que uma pequena mudança d(x²) é

Polish: 
a mała zmiana d(sin(x)) jest równa cos(x) * dx.
Jak zwykle, dzielimy stronami przez dx,
by otrzymać pożądany wynik:
df/dx = sin(x) * 2x + x^2 * cos(x).
Nie korzystaliśmy tu z własności sinusa lub x^2.
Moglibyśmy powtórzyć to samo rozumowanie
dla dowolnych dwóch funkcji.
Niektórzy zapamiętują ten wzór
z pomocą mnemotechniki:
"lewy Do prawego, prawy Do lewego".
(oryginał: "left d right, right d left")
W naszym przypadku, sin(x) * x^2, najpierw bierzemy
funkcję po lewej, sin(x),
razy pochodna funkcji po prawej, czyli 2x.
Drugi składnik wygląda tak: funkcja po prawej, x^2,
razy pochodna funkcji po lewej, czyli cos(x).
Reguła ta, podana tak po prostu, bez uzasadnienia,

Portuguese: 
2x*dx, e uma pequena mudança d(sen(x)) é cos(x)dx,
Como costume, dividindo-as por dx, a derivada, a razão queremos, df/dx, é sen(x) vezes a derivada de x²,
somado com x² vezes a derivada do seno.
Essa linha de raciocínio funciona para quaisquer duas funções.
Um mnemônico comum para a regra do produto é cantar mentalmente "left d(right), right d(left)".
Nesse exemplo,  sen(x)*x², "left d(right)" significa que você deve pegar a função da esquerda, sen(x),
vezes a derivada da direita, x², o que será 2x.
Então, você adiciona "right d(left)", a função da direita, x², vezes a derivada
da esquerada, cos(x).

Chinese: 
2x * dx，那么微小的变化d（sin（x））就是cos（x）dx。
用dx除以df / dx的导数
是由x2的导数加上x2得出的sin（x）
由正弦的衍生物。
这条推理适用于任何两个函数。
产品规则的一个通用助记符是
在你的脑海里说“左派对，右派
离开“。
在这个例子中，sin（x）* x2，“left d right”
意味着你在这个左边的功能
case sin（x），乘以右边的导数，
X2，它给2倍。
然后你添加“右边左边”：右边
函数，x2乘以的导数
左边，cos（x）。

Italian: 
2x*dx, e quel piccolo cambiamento di d(sin(x)) è cos(x)dx.
Dividendo per dx, la derivata che vogliamo df / dx è sin (x) per la derivata di x^2 più x^2
per la derivata del seno.
???? Questo ragionamentoi funziona per qualsiasi tipo di funzione: G(x) e h(x).
Alcune volte alle persone piace ricordare questo schema con un mnemonico "A sinistra d a destra, a destra d a sinistra"
- originale:"left d right, right d left"-
In questo esempio, sin(x)*x^2, "a sinistra d a destra" significa che lasci la funzione di sinistra, in questo
caso sin(x), moltiplicata per la derivata di destra, x^2, che risulta 2x.
Quindi aggiungi "a destra d a sinistra": la funzione di destra, x^2, moltiplicata per la derivata del termine
a sinistra, cos(x)

French: 
2x * dx, et ce petit changement d (sin (x)) est cos (x) dx.
En divisant par dx que, le dérivé df / dx
est sin (x) par la dérivée de x2, plus x2
par le dérivé de sinus.
Ce raisonnement fonctionne pour deux fonctions.
Un mnémonique commun pour la règle du produit est
dire dans votre tête « gauche droite d, droit
d gauche ».
Dans cet exemple, sin (x) * x2, « gauche à droite d »
signifie que vous prenez la fonction gauche, dans ce
sin de cas (x), multiplié par le dérivé de la droite,
x2, qui donne 2x.
Ensuite, vous ajoutez « droit d gauche »: le droit
fonction, x2, fois la dérivée de la
gauche, cos (x).

Arabic: 
وذاك التغير الصغير [(d[sin(x .. ذاك سيكون cos(x)*dx
وكالعادة .. نقسم الكل على تلك الـ dx
لنرى أن النسبة التي نريدها .. df/dx ..
(sin(x مضروبة في مشتقة x^2
مضافة إلى: x^2 مضروبة في مشتقة sin
ولا شيء مما قمنا به هنا هو خاص بـ sin أو بـ x^2 ..
هذا الخط نفسه من الاستنتاج سيعمل لأي دالتين .. g و h
وبعض الأحيان يحب الناس أن يتذكروا هذا النمط بعبارة ذاكرية .. يمكنك أن تغنيها في رأسك
Left  d right .. right d left
وفي هذا المثال حيث لدينا (sin(x و x^2 ..
left d right
يعني أن تأخذ تلك الدالة اليسرى: (sin(x .. مضروبة في مشتقة اليمين، في هذه الحالة 2x
ثم تضيف right d left .. تلك الدالة اليمنى: x^2 .. مضروبة في مشتقة اليسرى: (cos(x

German: 
2x * dx, und diese winzige Änderung d (sin (x)) ist cos (x) dx.
Teilen durch diesen dx die Ableitung df / dx
ist sin (x) durch die Ableitung von x2 plus x2
durch die Ableitung von Sinus.
Diese Argumentation funktioniert für zwei beliebige Funktionen.
Eine übliche Mnemonik für die Produktregel ist
in deinem Kopf zu sagen „links d rechts, rechts
d links ”.
In diesem Beispiel ist sin (x) * x2, "left d right"
bedeutet, dass Sie hier die linke Funktion übernehmen
Fall sin (x), mal die Ableitung des Rechts,
x2, was 2x ergibt.
Dann fügen Sie "rechts d links" hinzu: rechts
Funktion x2 mal die Ableitung der
links cos (x).

English: 
2x*dx, and that tiny change d(sin(x)) is cos(x)dx.
Dividing out by that dx, the derivative df/dx
is sin(x) by the derivative of x2, plus x2
by the derivative of sine.
This line of reasoning works for any two functions.
A common mnemonic for the product rule is
to say in your head “left d right, right
d left”.
In this example, sin(x)*x2, “left d right”
means you take the left function, in this
case sin(x), times the derivative of the right,
x2, which gives 2x.
Then you add “right d left”: the right
function, x2, times the derivative of the
left, cos(x).

Spanish: 
2x dx, y que el cambio minusculo (d) (sin (x)), es cos (x)* dx.
Cómo común, Dividiendo ambos lados por dx,  conseguimos la derivada que queríamos..df /dx es: (sin (x) por la derivada de x^2),  mas
(x^2  por la derivada de seno.)
Nada de lo que hemos hecho es específico para seno o x^2, esta línea de razonamiento funciona para cualquiera de las dos funciones.
g(x) y h(x)
A veces a la gente le gusta recordad este patrón
con un cierto mnemotécnico que puedes cantar en tu mente:
“izquierda  d derecha, derecha dizquierda."
En este ejemplo, sin (x) * x^2, “izquierda d derecha”
significa que tomas la función de la izquierda (seno(x)),
por la derivada de la derecha
En este caso 2x
A continuación, se suma “derecho d izquierda”: la  función a la derecha, x^2,
por la derivada de la
izquierda, cos (x).
Fuera de contexto, presentada como una regla para memorizar.

Chinese: 
从上下文来看，这感觉就像一个
奇怪的规则，但是当你想到这个可调
你可以真正看到这些术语是如何表示的
区域的薄片。
“左右”是这个底部的区域
长方形，“左右”是该区域
在这个矩形的右边。
顺便说一句，如果你增加，我应该提到
通过一个常数，说2 * sin（x），事情就结束了
简单得多。
导数就是这个常数
乘以这个函数的导数
情况2 * cos（x）。
我会留给你暂停和思考
验证这是有道理的。
除了增加和乘法之外，
其他常见的方式来结合功能
一直出现是功能组成。
例如，假设我们采取这个功能
x2，把它推到sin（x）里面得到一个

Polish: 
wydaje się dziwna, nieprawdaż?
Ale gdy myślisz o rozciągającym się pudełku, widać,
jak te składniki reprezentują kawałki powierzchni:
pierwszy składnik pole prostokąta na dole,
a drugi pole prostokąta po prawej.
Przy okazji, powinienem wspomnieć, że
mnożymy funkcję przez stałą, np. 2 * sin(x),
sprawa jest prosta.
Pochodna tego wyrażenia to po prostu
pochodna funkcji razy ta stała, tutaj 2 * cos(x).
Przemyśl to sobie później. Sprawdź, że tak jest.
Oprócz dodawania i mnożenia, standardową operacją
(uwierz mi, korzysta się z tego cały czas)
jest wkładanie jednej funkcji do drugiej: złożenie funkcji.
Przykład: weźmy funkcję x^2 i włóżmy ją do sinusa,

French: 
Hors contexte, cela se sent comme une sorte de
règle étrange, mais quand vous pensez à ce réglage
boîte, vous pouvez réellement voir comment ces termes représentent
éclats de zone.
« Droite gauche d » est la zone de ce fond
rectangle, et « droit d gauche » est la zone
de ce rectangle sur la droite.
Soit dit en passant, je dois mentionner que si vous multipliez
par une constante, disons 2 * sin (x), les choses finissent par
beaucoup plus simple.
Le dérivé est juste que même constante
fois la dérivée de la fonction, dans ce
cas 2 * cos (x).
Je vous laisse le soin de faire une pause et réfléchir
pour vérifier que cela a du sens.
Mis à part l'addition et la multiplication, la
autre façon courante de combiner des fonctions
vient tout le temps est la composition de la fonction.
Par exemple, disons que nous prenons la fonction
x2, et le pousser à l'intérieur sin (x) pour obtenir un

English: 
Out of context, this feels like kind of a
strange rule, but when you think of this adjustable
box you can actually see how those terms represent
slivers of area.
“Left d right” is the area of this bottom
rectangle, and “right d left” is the area
of this rectangle on the right.
By the way, I should mention that if you multiply
by a constant, say 2*sin(x), things end up
much simpler.
The derivative is just that same constant
times the derivative of the function, in this
case 2*cos(x).
I’ll leave it to you to pause and ponder
to verify that this makes sense.
Aside from addition and multiplication, the
other common way to combine functions that
comes up all the time is function composition.
For example, let’s say we take the function
x2, and shove it on inside sin(x) to get a

Spanish: 
esto se siente como una especie de regla
extraña ,
pero cuando realmente  piensa en esta  caja
ajustable, puedes ver cómo esos términos representan
astillas de la área
“Derecho d izquierda” es el área  de este
rectángulo inferior .
y “derecha dizquierda ” es el área
de este rectángulo de la derecha.
Por cierto, debo mencionar que si se multiplica
por una constante, digamos 2 * sen (x), las cosas terminan
siendo mas simples.
La derivada es sólo eso mismo que la constante multiplicado
por la derivada de la función, en este
caso 2 * cos (x).
Lo dejo a usted para hacer una pausa y reflexionar
para verificar que esto tiene sentido.
Aparte de adición y multiplicación, la
otra forma común de combinar funciones que
viene todo el tiempo, es la composición de funciones.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la función
x^2,  a su vez dentro de  sin (x), para así obtener una

German: 
Aus dem Zusammenhang heraus fühlt sich das wie eine Art an
seltsame Regel, aber wenn man an diese einstellbare denkt
In diesem Feld können Sie tatsächlich sehen, wie diese Begriffe dargestellt werden
Splitter der Fläche.
"Links d rechts" ist der Bereich dieses Bodens
Rechteck und "rechts d links" ist der Bereich
dieses Rechtecks ​​auf der rechten Seite.
Übrigens sollte ich das erwähnen, wenn Sie multiplizieren
durch eine Konstante, sagen wir 2 * sin (x), enden die Dinge
viel einfacher.
Die Ableitung ist genau dieselbe Konstante
mal die Ableitung der Funktion, in dieser
Fall 2 * cos (x).
Ich überlasse es dir, innezuhalten und nachzudenken
um zu überprüfen, ob dies sinnvoll ist.
Abgesehen von Addition und Multiplikation ist die
andere gängige Methode, um Funktionen zu kombinieren, die
kommt die ganze Zeit auf Funktion Zusammensetzung.
Nehmen wir zum Beispiel an, wir übernehmen die Funktion
x2 und schiebe es in sin (x), um a zu erhalten

Arabic: 
خارجة عن السياق.. ومقدمة كقاعدة للتذكر، أعتقد أن ذلك سيبدو غريباً بعض الشيء، أليس كذلك؟
لكن عندما تفكر فعلاً في هذا الصندوق القابل للتغيير .. يمكنك أن ترى ما تمثله كل من هذه العبارات
left d right هي مساحة ذلك المستطيل السفلي
و right d left هي مساحة ذلك المستطيل على الجنب
بالمناسبة .. ينبغي أن أقول بأنك إذا ضربت بثابت .. فلنقل 2 مضروبة في (sin(x ..
تنتهي الأمور إلى ما هو أبسط بكثير ..
المشتقة هي الثابت نفسه مضروباً في مشتقة الدالة
في هذه الحالة 2*(cos(x
سأترك الأمر لكم لتتوقفوا وتفكروا وتتأكدوا من أن ذلك يبدو معقولاً
غير الجمع والضرب .. الطريقة الشائعة الأخرى لدمج الدوال، وصدقوني .. هذه تظهر طوال الوقت
هو حشر واحدة داخل الأخرى
تركيب الدوال

Portuguese: 
Agora, saindo do contexto, iss parece uma regra estranha, mas quando você pensa nessa caixa
ajustável, você pode realmente ver como esses termos representa lascas da área.
"Left d(right)" é a área do retângulo embaixo
e "right d(left)" é a área do retângulo da direita
A propósito, deveria ter mencionado que se você multiplicar por uma constante, digamos 2*sen(x), as coisas terminarão
muito mais simples.
A derivada será essa mesma constante vezes a derivada da função,
nesse caso, 2*cos(x).
Deixarei para você que pause e reflita se isso faz sentido.
Além da adição e da multiplicação, a outra maneira comum de combinar funções
que, acredite em mim, sempre aparece, é colocarmos uma função dentro da outra, composição de funções.
Por exemplo, vamos dizer que nós tomemos a função x² e a coloque dentro de sen(x) para obter

Italian: 
Fuori dal contesto, sembra una specie di strana regola, ma quando si pensa a questa scatola
regolabile potete  effettivamente vedere come quei termini rappresentano frammenti di area.
"a sinsitra la d a destra"è l'area di questo rettangolo in basso, e " a destra la d a sinistra" è l'area
di questo rettangolo a destra.
A proposito, dovrei dire che se si moltiplica per una costante, diciamo 2 * sin (x), le cose finiscono
molto più semplicemente
La derivata è solo la stessa costante per la derivata della funzione,
in questo caso 2*cos(x).
Ti lascio a fermarti e a riflettere per verificare che questo abbia un senso.
A parte la somma e la moltiplicazione, l'altro modo comune per combinare le funzioni che
viene sempre in mente è la funzione composta.
Ad esempio, diciamo che prendiamo la funzione x^2,e la spingiamo dento al sen(x)

French: 
nouvelle fonction, sin (x2).
Quelle est la dérivée de cette nouvelle fonction?
Ici, je vais choisir une autre façon de visualiser
les choses, juste pour souligner que, dans la création
mathématiques, nous avons beaucoup d'options.
Je vais mettre en place trois lignes numériques.
Celui du haut contiendra la valeur de x, la
une seconde représentera la valeur de x2,
et que la troisième ligne contiendra la valeur de
sin (x2).
Autrement dit, la fonction x2 vous obtient de la ligne
1 à la ligne 2 et la fonction sinus vous obtient
à partir de la ligne 2 à la ligne 3.
Comme je déplace cette valeur de x, peut-être jusqu'à la
la valeur 3, la valeur alors sur le second se déplace vers
quel que soit x2 est, dans ce cas 9.
Et que la valeur inférieure, étant la sin (x2),
ira vers quel que soit le péché (9) est.

Chinese: 
新函数sin（x2）。
这个新功能的派生是什么？
在这里，我将选择另一种可视化的方式
事情，只是为了强调在创意
数学，我们有很多选择。
我会提出三个号码。
最高的一个将保持x的值
第二个将代表x2的值，
那第三行将保持价值
SIN（X2）。
也就是说，函数x2从行中获取
1到第2行，函数正弦得到你
从第2行到第3行。
当我转移x的这个价值，也许到了
价值3，然后在第二班值转移到
无论x2是多少，在这种情况下是9。
而这个最低的价值，就是罪（x2）
将会继续下去（9）。

Polish: 
otrzymując funkcję sin(x^2).
Jak sądzisz, jaka jest pochodna tej funkcji?
Tutaj zwizualizuję problem w jeszcze inny sposób po to,
by pokazać, że w matematyce mamy dużo możliwości.
Narysuję trzy różne osie liczbowe.
Ta na górze będzie przechowywać wartość x,
ta środkowa wartość x^2, a dolna sin(x^2).
Funkcja x^2 przeprowadza cię z górnej osi na środkową,
a sinus ze środkowej na dolną.
Gdy zmieniam wartość x na 3, wartość na drugiej osi
odpowiednio się zmienia, tutaj na 9.
A na dolnej osi wartość zmieni się na sin(9).

Arabic: 
على سبيل المثال: ربما نأخد الدالة x^2 .. ونحشرها داخل (sin(x لنحصل على هذه الدالة الجديدة (sin(x^2
برأيكم ما مشتقة تلك الدالة الجديدة؟
للتفكير ملياً في هذه .. سأختار أيضاً طريقة أخرى لرؤية الأشياء
فقط لأؤكد أن في الرياضيات الإبداعية لدينا الكثير من الخيارات
*والجزرات هاهاها*
سأضع ثلاثة خطوط أعداد مختلفة
العلوي سيحمل قيمة x، الثاني سيحمل قيمة x^2، وذلك الخط الثالث سيحمل قيمة (sin(x^2
بمعنى .. الدالة x^2 تأخذك من الخط 1 إلى الخط 2
ودالة الجيب sin تأخذك من الخط 2 إلى الخط 3
بينما أراوح هذه القيمة لـ x .. ربما رافعاً إياها للقيمة 3
تلك القيمة الثانية تظل مشبكة أينما كانت x^2 .. في هذه الحالة تنتقل إلى 9
تلك القيمة السفلية .. بكونها (sin(x^2
ستذهب إلى .. حيثما يجب أن تكون (sin(9

Italian: 
per ottenere una nuva funzione, sin(x^2).
Qual'è la derivata della nuova funzione?
Qui sceglierò un altro modo di visualizzare le cose, solo per enfatizzarlo in modo creativo
in matematica, abbiamo molte opzioni.
Metterò tre righe di numeri.
Il primo manterrà il valore di x, il secondo rappresenterà il valore di x^2,
e la terza riga avrà il valore di sin(x^2).
Quindi, la funzione x^2 ti porta dalla linea 1 alla linea 2, e la funzione seno ti porta
dalla linea 2 alla linea 3.
Mentre sposto quel valore di x, forse fino al valore 3, il secondo valore resta ancorato
per qualunque x^2, in questo caso 9.
E quel valore di fondo, essendo il sin(x^2), passerà a qualunque valore sia il sin(9).

Spanish: 
nueva función, sin (x^2).
¿Cuál es la derivada de esta nueva función?
Aquí voy a elegir otra manera de visualizar las
cosas, ¡simplemente destacar que en  la
matemática creativa, tenemos un montón de opciones.
Voy a poner tres líneas de números.
La de arriba tendrá el valor de x, la
segunda tendrá el valor de x^2,
y la tercera línea albergará  el valor de
sen (x^2).
Es decir, la función x^2 se obtiene de la línea
1 para línea 2, y la función seno se consigue
de la línea 2 a la línea 3.
Como Puedo cambiar ese valor de x, tal vez hasta el
valor 3, entonces el valor en la segunda se desplaza hacia
lo X^2 es, en este caso 9.
Y que el valor inferior, siendo seno (x^2),
irá a cualquier valor   que seno(9) sea.

English: 
new function, sin(x2).
What’s the derivative of this new function?
Here I’ll choose yet another way to visualize
things, just to emphasize that in creative
math, we have lots of options.
I’ll put up three number lines.
The top one will hold the value of x, the
second one will represent the value of x2,
and that third line will hold the value of
sin(x2).
That is, the function x2 gets you from line
1 to line 2, and the function sine gets you
from line 2 to line 3.
As I shift that value of x, maybe up to the
value 3, then value on the second shifts to
whatever x2 is, in this case 9.
And that bottom value, being the sin(x2),
will go over to whatever the sin(9) is.

German: 
neue Funktion, sin (x2).
Was ist die Ableitung dieser neuen Funktion?
Hier wähle ich noch einen anderen Weg zur Visualisierung
Dinge, nur um das in kreativen zu betonen
Mathe, wir haben viele Möglichkeiten.
Ich werde drei Zahlenreihen aufstellen.
Das oberste enthält den Wert von x, the
zweite wird den Wert von x2 darstellen,
und diese dritte Zeile enthält den Wert von
Sünde (x2).
Das heißt, die Funktion x2 bringt Sie von der Linie
1 bis Zeile 2, und die Funktion Sinus bringt Sie
von Zeile 2 bis Zeile 3.
Wenn ich diesen Wert von x verschiebe, vielleicht bis zum
Wert 3, dann verschiebt sich der Wert in der Sekunde zu
was auch immer x2 ist, in diesem Fall 9.
Und dieser untere Wert, der die Sünde ist (x2),
wird zu dem übergehen, was auch immer die Sünde ist (9).

Portuguese: 
uma nova função, sen(x²).
Qual será a derivada dessa nova função?
Aqui, eu escolherei, ainda, uma nova maneira de visualizar o problema, apenas enfatizando numa matemática
criativa, nós teremos muitas opções.
Colocarei três linhas numéricas.
A primeira irá determinar o valor de x, segunda representará o valor de x²,
e a última, indicará o valor de sen(x²).
Então, a função x² o leva da linha 1 para linha 2 assim como a função seno o leva
da linha 2 para linha 3.
Quando eu mudo os valore de x, talvez até o valor 3, então o valor na segunda linha mudará para
x², nesse caso, 9.
E o último valor, sendo sen(x²), irá para o o qual seja o valor de sen(9).

French: 
Donc, pour le dérivé, réfléchissons à nouveau
de x-que poussant du coude valeur par une petite dx,
et je pense toujours qu'il est utile de penser
de x à partir comme un certain nombre réel, peut-être
1.5.
Le coup de coude résultant à cette seconde valeur,
le changement de x2 causé par un tel dx, est ce que
nous pourrions appeler d (x2).
Vous pouvez étendre cette dx comme 2x *, qui pour notre
entrée spécifique que la longueur serait de 2 * (1,5) * dx,
mais il aide à garder ce écrit d (x2) pour
à présent.
En fait me laisser aller un peu plus loin et donner
un nouveau nom à x2, peut-être h, donc ce petit coup de pouce d (x2)
est juste dh.
Maintenant, pensez à cette troisième valeur, qui est arrimé
à sin (h).
Il Changeons d (sin (h)); le petit changement causé
par la dh coup de coude.

Spanish: 
Así que para la derivada, vamos a pensar de nuevo,
empujar  ese valor de x por algún pequeño dx,
y yo siempre pienso que es útil pensar
 ,x comenzando como un número real, tal vez
1.5, en este caso.
El empujón resultante a este segundo valor,
el cambio a x2 causada por un dx tal, es lo
que podríamos llamarlo d (x^2).
Puede ampliar esto como hemos echo antes, dx * 2x, que para nuestra
entrada específica sería 2 * (1,5) * dx,
Pero ayuda  que se mantenga escrito como d (x^2) por
ahora.
De hecho iré un paso más allá y voy a darle
un nuevo nombre a x^2, quizá h, por lo que este empujón d (x2)
es sólo dh.
Ahora piensa en que el tercer valor, que está vinculado
a seno (h).
Su cambio  es d (sen (h)); el pequeño cambio causado
 por el empujón dh.

German: 
Denken wir also noch einmal über die Ableitung nach
diesen x-Wert um ein wenig dx zu stupsen,
und ich denke immer, dass es hilfreich ist zu denken
von x beginnend als eine tatsächliche Zahl, vielleicht
1.5.
Der resultierende Anstoß zu diesem zweiten Wert,
Die Änderung zu x2, die durch einen solchen dx verursacht wird, ist was
wir könnten d (x2) nennen.
Sie können dies als 2x * dx erweitern, was für unsere
spezifische Eingabe, dass die Länge 2 * (1,5) * dx betragen würde,
aber es hilft, es als d (x2) für geschrieben zu halten
jetzt.
Lassen Sie mich noch einen Schritt weiter gehen und geben
ein neuer Name für x2, vielleicht h, also dieser Anstoß d (x2)
ist nur dh.
Denken Sie nun an diesen dritten Wert, der gebunden ist
bei Sünde (h).
Es ist Veränderung d (Sünde (h)); die winzige Veränderung verursacht
durch den Schubser dh.

Portuguese: 
Logo, para a derivada, vamos voltar a pensar em peteleco no valor de x por um infinitesimal dx.
Além disso, eu sempre penso que será útil pensarmos em um valor numérico inicial,
talvez 1.5 nesse exemplo .
A variação resultante para o segundo valor, a mudança para x², causada por um dx, será
o que chamaremos de  d(x²).
E você poderia expandi-lo como 2x*dx, o qual para nosso valor específico, teria tamanho 2*(1.5)*dx,
Porém, no momento, irá nos ajudar mais mantendo-o escrito como d(x²) por enquanto.
De fato, darei um passo a diante e darei um novo nome a x², talvez h, então ao invés de escrevermos d(x²),
nós escreveremos dh.
Isso deixará mais fácil ao pensarmos no terceiro valor, o qual está atrelado a sen(h).
Sua mudança será d(sen(h)), uma pequena variação causada por um peteleco dh.

English: 
So for the derivative, let’s again think
of nudging that x-value by some little dx,
and I always think it’s helpful to think
of x starting as some actual number, maybe
1.5.
The resulting nudge to this second value,
the change to x2 caused by such a dx, is what
we might call d(x2).
You can expand this as 2x*dx, which for our
specific input that length would be 2*(1.5)*dx,
but it helps to keep it written as d(x2) for
now.
In fact let me go one step further and give
a new name to x2, maybe h, so this nudge d(x2)
is just dh.
Now think of that third value, which is pegged
at sin(h).
It’s change d(sin(h)); the tiny change caused
by the nudge dh.

Italian: 
Quindi, per la derivata, di nuovo, pensiamo  di spingere quel valore x di qualche piccolo dx,
e penso sempre che sia utile pensare ad x come un numero reale, forse 1.5
 
Il risultato dello spostamento di questo secondo valore, il cambiamento a x^2 causato da tale dx, è
ciò che potremmo chiamare d(x^2)
È possibile espandere questo come 2x * dx, che per il nostro specifico valore di x quella lunghezza sarebbe 2 * (1,5) * dx,
ma aiuta a tenerlo scritto come d(x^2) per ora
In effetti lasciatemi fare un ulteriore passo avanti e dare un nuovo nome a x^2, forse h, quindi questa spinta d(x2)
è solo dh.
Ora pensa a quel terzo valore, che è ancorato al sin(h).
Il suo cambiamento è d(sin (h)); il piccolo cambiamento causato dalla variazione d(h).

Arabic: 
إذاً لأجل المشتقة .. دعونا مجدداً نبدأ بدفع تلك القيمة لـ x بشيءٍ يسير من الـ dx
ودائماً ما أفكر بأنه من المفيد التفكير بـ x على أنها تبتدئ عند رقم واقعي وملموس.. ربما x=1.5 في هذه الحالة
الدفعة الناتجة لتلك القيمة الثانية .. التغير الناتج في x^2 الذي سببته تلك الـ x.. هو (d(x^2
ويمكننا فك هذه .. كما فعلنا في السابق .. ونجعلها 2*dx*x
والتي ستكون لمُدخلنا المحدد: 2*1.5*dx ..
لكن في الواقع من المفيد الإبقاء على الأشياء مكتوبة كـ (d(x^2 .. على الأقل الآن
وفي الحقيقة .. سأتقدم خطوة للأمام .. سأعطي اسماً جديداً لهذه الـ x^2
ربما h ..
إذاً بدلاً من أن نكتب (d(x^2 لهذه الدفعة نكتب dh
وهذا يجعل الأمور أسهل في التفكير في تلك القيمة الثالثة..
والتي تعد الآن مشبكة كـ (sin(h ..
إنها تتغير باعتبار [(d[sin(h .. التغير الصغير الناتج بسبب الدفعة dh
وبالمناسبة .. حقيقة كونها تتحرك إلى اليسار، بينما تتحرك نتأة dh إلى اليمين ..

Chinese: 
所以对于衍生物，让我们再想一想
通过一些小的dx来推动x值，
我一直认为这有助于思考
的x开始作为一些实际的数字，也许
1.5。
由此产生的第二个值，
由这样的dx引起的x2的变化是什么
我们可以称之为d（x2）。
你可以把它扩展为2x * dx，这对于我们的
具体的输入长度将是2 *（1.5）* dx，
但它有助于将其保存为d（x2）
现在。
其实让我更进一步，给予
一个新的名字x2，也许h，所以这个微调d（x2）
只是dh。
现在想想那个挂钩的第三个价值
在罪（h）。
这是变化d（sin（h））;造成的微小变化
由轻推dh。

Polish: 
Aby obliczyć pochodną, zmieńmy x o małe dx.
Uważam, że łatwiej jest o tym myśleć, jeśli na początku
x ma jakąś konkretną wartość, np. 1.5.
Wynikająca z tego mała zmiana drugiej wartości x^2 to d(x^2).
Moglibyśmy to rozpisać: d(x^2) = 2x * dx = 2 * 1.5 * dx,
ale teraz lepiej zostawić to w postaci d(x^2).
Co więcej, nazwę funkcję x^2 nową literą, np. h,
więc zamiast d(x^2), będziemy pisać dh.
Wtedy będzie łatwiej myśleć o wartości na trzeciej osi,
teraz jest to sin(h).
Mała zmiana wartości tej funkcji to d(sin(h)),
spowodowana jest ona małą zmianą h o dh.
Przy okazji, wartość sin(h) przesuwa się w lewo,
gdy h przesuwamy w prawo.

Spanish: 
Por cierto, el hecho de que se  está moviendo hacia la izquierda
mientras que la protuberancia dh va hacia  a la derecha siginifica
que este cambio d (sen (h)) es de algunos  número negativo
Y una vez más,Podemos usar lo que sabemos de la derivada del seno, este d (sen (h)), va a ser  cos (h) * dh; eso es
lo que significa para la derivada del seno 
ser coseno.
desplegado las cosas, pordemos sustituir   h con x^2 de nuevo, sabemos
que empujón parte inferior es:  cos(x^2) *d(x^2).
Y podríamos desarrollarlo aún más, teniendo en cuenta ese empujón intermedio d (x^2)
es 2x dx.
Y siempre es bueno recordar
 lo que toda esta expresión significa en realidad .
En este caso en el que arriba empezamos en x = 1,5 ,  la expresión completa nos dice que el tamaño del empujón

Portuguese: 
E a propósito, o fato que o movimento para a esquerda enquanto o dh empurra para a direita significa
que essa mundança d(sin(h)) é um número negativo.
E. uma vez mais, podemos usar nosso conhecimento da derivada do seno, expandindo d(sen(h)) como cos(h)dh,
o que significa que a derivada do seno é o cosseno
Desdobrando as coisas, substituindo h por x² novamente, nosso pequeno peteleco final será cos(x²)d(x²).
E podemos ir mais a fundo, notando que nosso diferencial intermediário d(x²) é 2x*dx.
E é sempre bom lembrar a si mesmo o que isso realmente significa:
Nesse caso, onde nós começamos com x = 1.5, toda essa expressão nos diz que o tamanho desse diferencial

German: 
Übrigens die Tatsache, dass es sich nach links bewegt
während die dh Beule rechts ist nur gemeint
dass diese Änderung d (sin (h)) etwas negativ ist
Nummer.
Weil wir die Ableitung von Sinus kennen, wir
kann d (sin (h)) als cos (h) * dh erweitern; das ist
was es für die Ableitung von Sinus bedeutet
Kosinus sein.
Dinge entfalten, h wieder durch x2 ersetzen,
dieser untere Stoß ist cos (x2) d (x2).
Und wir könnten uns weiter entfalten und feststellen, dass d (x2)
ist 2x * dx.
Und es ist immer gut, sich daran zu erinnern
von dem, was das alles eigentlich bedeutet.
In diesem Fall haben wir bei x = 1,5 angefangen
oben bedeutet dies, dass die Größe dieses Anstoßes

Chinese: 
顺便说一下，它正在向左移动的事实
而颠簸是正确的手段
这个变化d（sin（h））是一些负面的
数。
因为我们知道正弦的衍生物
可以将d（sin（h））扩展为cos（h）* dh;那是
这对于正弦的衍生物意味着什么
成为余弦。
展开的东西，再次用x2替换h，
底部微调是cos（x2）d（x2）。
我们可以进一步展开，注意到d（​​x2）
是2x * dx。
提醒自己总是很好的
这一切实际上是什么意思。
在这种情况下，我们从x = 1.5开始
顶部，这意味着那个微调的大小

Polish: 
Oznacza to, że d(sin(h)) jest liczbą ujemną.
Po raz kolejny skorzystamy z tego,
czym jest pochodna sinusa.
Możemy rozpisać d(sin(h)) = cos(h) * dh,
bo pochodną sinusa jest cosinus.
Ale za h kryje się funkcja x^2, więc podstawmy:
d(sin(x^2)) = cos(x^2) * d(x^2).
Ostatecznie, pochodną x^2 jest 2x, więc
d(sin(x^2)) = cos(x^2) * 2x * dx.
Zawsze warto sobie przypomnieć, co to znaczy.
Tutaj zaczęliśmy od x = 1.5 na pierwszej osi,
więc mała zmiana funkcji na trzeciej osi jest równa

Arabic: 
هذا يعني فحسب أن هذا التغير: [(d[sin(h .. سيكون عدداً سالباً
ومرة أخرى .. يمكننا استخدام معرفتنا بمشتقة دالة الجيب sin ..
هذه الـ [(d[sin(h ستكون قرابة cos(h)*dh.. هذا ما يعنيه أن تكون مشتقة sin هي cos
وبكشف الأشياء .. يمكننا استبدال تلك الـ h بـ x^2 مجدداً
إذاً نعلم أن تلك الدفعة السفلية سيكون لها حجم(cos(x^2)*d(x^2
وفي الحقيقة .. دعونا نكشف الأشياء لحد أكبر ..
تلك الدفعة الوسطى: (d(x^2 .. ستكون قرابة 2*x*dx
وإنها لعادة جيدة دائماً أن تذكر نفسك بما تعنيه عبارة مثل هذه حقاً ..
في هذه الحالة .. حيث بدأنا عند x=1.5 في الأعلى ..
هذه العبارة كاملة تخبرنا أن حجم الدفعة على ذلك الخط الثالث ..

Italian: 
A proposito, il fatto che si muova a sinistra mentre dh bump (?) è a destra significa solo
che questo cambiamento d (sin(h)) è un numero negativo.
Poiché conosciamo la derivata del seno, possiamo espandere d(sin(h)) come cos(h)*d(h); che
cosa significa per il derivato del seno essere coseno.
Sviluppando le cose, sostituendo di nuovo h con x^2, quell'incremento inferiore è cos (x2) d (x2).
E potremmo sviluppare ulteriormente, notando che d (x2) è 2x * dx.
Ed è sempre bene ricordare a te stesso cosa significa realmente tutto ciò.
In questo caso, iniziando da x = 1.5  in cima, questo significa che la dimensione di quell' incremento

French: 
D'ailleurs, le fait qu'il se déplace à gauche
tandis que la bosse dh est à droite seulement des moyens
que ce changement d (sin (h)) est un peu négatif
nombre.
Parce que nous savons que le dérivé du sinus, nous
peut se dilater d (sin (h)) sous la forme cos (h) * dh; c'est
ce que cela signifie pour le dérivé de sinus à
être cosinus.
les choses déplier, en remplaçant h avec x2 encore,
qui est poussée en bas cos (x2) d (x2).
Et on pourrait se dérouler plus loin, en notant que d (x2)
est 2x * dx.
Et il est toujours bon de vous rappeler
de ce que cela signifie tout fait.
Dans ce cas, où nous avons commencé à x = 1,5 jusqu'à
dessus, cela signifie que la taille de ce coup de pouce

English: 
By the way, the fact that it’s moving left
while the dh bump is to the right just means
that this change d(sin(h)) is some negative
number.
Because we know the derivative of sine, we
can expand d(sin(h)) as cos(h)*dh; that’s
what it means for the derivative of sine to
be cosine.
Unfolding things, replacing h with x2 again,
that bottom nudge is cos(x2)d(x2).
And we could unfold further, noting that d(x2)
is 2x*dx.
And it’s always good to remind yourself
of what this all actually means.
In this case where we started at x = 1.5 up
top, this means that the size of that nudge

Arabic: 
ستكون قرابة cos(1.5^2)*2*1.5*...
مضروبة في أي ما كان حجم dx ..
إنها متناسبة مع حجم dx ، وهذه المشتقة تعطينا ثابت التناسب ذاك ..
لاحظوا ما الذي ظهر لنا هنا ..
لدينا مشتقة الدالة الخارجية .. ولا تزال تحوي بداخلها الدالة الداخلية غير المتغيرة
ثم نضربها بمشتقة تلك الدالة الداخلية
أكرر .. ليس هناك شيء مميز في (sin(x أو x^2
إذا كان لديك أي دالتين .. ولتكن (g(x و (h(x
مشتقة تركيبهما .. ((g(h(x .. ستكون:
مشتقة g محسوبة عند h .. مضروبة في مشتقة h
هذا النمط هنا .. هو ما ندعوه عادة:
قاعدة السلسلة
لاحظوا .. لمشتقة g .. أنا أكتبها كـ dg/dh .. عوضاً عن dg/dx

French: 
sur la troisième ligne est d'environ cos (1,52) * 2 (1,5) * (l '
taille de dx); proportionnelle à la taille de dx,
où le dérivé nous donne ici que la proportionnalité
constante.
Remarquez ce que nous avons ici, nous avons dérivé
de la fonction en dehors, en prenant toujours en
inaltéré fonction à l'intérieur, et on multiplie
par la dérivée de la fonction à l'intérieur.
Encore une fois, au sujet du péché il n'y a rien de spécial (x)
et x2.
Si vous avez deux fonctions g (x) et h (x), la
Dérivé de leur fonction de composition g (h (x))
est la dérivée de g, évalué à h (x),
fois la dérivée de h.
C'est ce que nous appelons la « règle de la chaîne ».
Avis, pour le dérivé de g, j'écris
comme dg / dh au lieu de dg / dx.

German: 
in der dritten Zeile steht ungefähr cos (1,52) * 2 (1,5) * (die
Größe von dx); proportional zur Größe von dx,
wo die Ableitung hier uns diese Verhältnismäßigkeit gibt
Konstante.
Beachten Sie, was wir hier haben, wir haben die Ableitung
der äußeren Funktion, immer noch in der
unveränderte innere Funktion, und wir multiplizieren
es durch die Ableitung der inneren Funktion.
Auch hier ist nichts Besonderes an Sünde (x)
und x2.
Wenn Sie zwei Funktionen g (x) und h (x) haben, wird die
Ableitung ihrer Zusammensetzungsfunktion g (h (x))
ist die Ableitung von g, bewertet bei h (x),
mal die Ableitung von h.
Dies nennen wir die „Kettenregel“.
Beachten Sie, dass ich für die Ableitung von g schreibe
es als dg / dh anstelle von dg / dx.

Polish: 
około cos((1.5)^2) * 2 * 1.5 * dx.
Jest ona proporcjonalna do dx, a wyliczenie pochodnej
daje nam wartość współczynnika przy dx.
Podsumujmy: mamy pochodną funkcji zewnętrznej,
która bierze jako argument funkcję wewnętrzną.
Mnożymy ją przez pochodną funkcji wewnętrznej.
Nie korzystamy ze specjalnych własności sinusa i x^2.
Dla dowolnych dwóch funkcji g(x) i h(x)
pochodna ich złożenia g(h(x)) jest równa
iloczynowi pochodnej g obliczonej w punkcie h(x)
i pochodnej h.
Nazywamy to regułą łańcuchową.
Zauważ, że pochodną g piszę dg/dh, a nie dg/dx.

Italian: 
sulla terza linea è circa cos(1.52)*2(1.5)*(grandezza di dx); proporzionale alla dimensione di dx,
dove la derivata qui ci dà quella proporzionalità costante.
Notate quello che abbiamo qui, abbiamo la derivata della funzione esterna, che ancora contiene la
funzione inalterata all'interno, e la moltiplichiamo per la derivata della funzione interna.
Di nuovo, non c'è niente di speciale in sin (x) e x^2.
Se hai due funzioni g (x) eh (x), la derivata della loro funzione composta g(h(x))
è la derivata di g, valutata a h (x), moltiplicata per la derivata di h.
Questo schema è la derivata delle funzioni composte -chain rule-
Nota, per la derivata di g, la scrivo come d(g) /d(h) invece di d(g)/d(x).

English: 
on the third line is about cos(1.52)*2(1.5)*(the
size of dx); proportional to the size of dx,
where the derivative here gives us that proportionality
constant.
Notice what we have here, we have the derivative
of the outside function, still taking in the
unaltered inside function, and we multiply
it by the derivative of the inside function.
Again, there’s nothing special about sin(x)
and x2.
If you have two functions g(x) and h(x), the
derivative of their composition function g(h(x))
is the derivative of g, evaluated at h(x),
times the derivative of h.
This is what we call the “chain rule”.
Notice, for the derivative of g, I’m writing
it as dg/dh instead of dg/dx.

Chinese: 
在第三行是关于cos（1.52）* 2（1.5）*（the
dx大小）;与dx的大小成正比，
这里的衍生物给了我们这种相称性
不变。
注意我们在这里有什么，我们有衍生物
的外部功能，还在服用
内部功能没有改变，我们相乘
它由内部函数的导数。
再一次，罪（x）没有什么特别之处，
和x2。
如果你有两个函数g（x）和h（x），那么
其组成函数g（h（x））的导数
是在h（x）处评估的g的导数，
乘以h的导数。
这就是我们所说的“连锁规则”。
注意，对于g的派生，我正在写
它作为dg / dh而不是dg / dx。

Spanish: 
en la tercera línea es alrededor de cos (1,52) * 2 (1,5) * (cual sea fuera
tamaño de dx); proporcional al tamaño de dx,
y esta derivada nos da  la proporcionalidad
constante.
Nota lo que tenemos aquí, tenemos la derivada
de la función de fuera, aún teniendo en el
función inalterada dentro , y multiplicamos
por la derivada de la función  del interior.
Una vez más, no hay nada especial acerca de sin (x)
y x^2.
Si tienes dos funciones g(x) y h(x), la
derivada  de su función composición g (h (x))
es la derivada de g, evaluada en h (x),
por la derivada de h.
Este patrón es  lo que llamamos la “regla de la cadena”.
Aviso, para la derivada de g, estoy escribiendo
como dg/dh  en lugar de  dg/dx.

Portuguese: 
na terceira linha será algo como cos(1.52)*2(1.5)*(o tamanho de dx), proporcional ao tamanho de dx,
onde a derivada nos dará a constante de proporcionalidade.
Note o que temos aqui, temos que a derivada da função externa, mantendo
inalterada a função interna, multiplicada pela derivada da função interna
De novo, não há nada de especial sobre sen(x) e x²,
se você pegar duas funções g(x) e h(x), a derivada da sua função composta g(h(x))
será a derivada de g, calculada para h(x), vezes a derivada de h.
Isso é o que chamamos de "Regra da Corrente" (Regra da Cadeia).
Note, para a derivada de g, estou escrevendo-a como dg/dh ao invés de dg/dx

German: 
Auf der symbolischen Ebene dient dies als Erinnerung
dass Sie noch die innere Funktion einstecken
zu dieser Ableitung.
Aber es ist auch ein wichtiges Spiegelbild von
was diese Ableitung der äußeren Funktion
tatsächlich darstellt.
Denken Sie daran, in unserem dreizeiligen Setup, wenn wir
nahm die Ableitung von Sinus auf den Boden,
wir haben die Größe des Stups d (sin) als erweitert
cos (h) * dh.
Das lag daran, dass wir es nicht sofort wussten
wie die Größe dieses unteren Schubs davon abhing
auf x, das ist so ziemlich das Ganze, was wir sind
versuchen herauszufinden, aber wir könnten das nehmen
Ableitung in Bezug auf das Zwischenprodukt
Variable h.
Finden Sie heraus, wie Sie die Größe ausdrücken können
von diesem Anstoß als Vielfaches von dh.
Dann entfaltete es sich, indem es herausfand, was dh war.
In diesem Kettenregelausdruck sind wir es also
sagen Sie, schauen Sie sich das Verhältnis zwischen einer winzigen Veränderung an

Spanish: 
En el nivel simbólico, esto sirve como un recordatorio
que todavía se enchufa la función interna
a esta derivada.
Pero mas que eso, una reflexión  importante sobre
lo que la derivada de la función externa
representa en realidad.
Recuerda, en nuestra configuración de tres líneas, cuando
tomó la derivada del seno en la parte inferior,
ampliamos el tamaño del  empujón  d(seno) como
cos (h) * dh.
Esto se debió a que no sabíamos de inmediato
cómo el tamaño de ese empujón final dependía
en x, eso es el todo
eso del todo lo que queremos figurar.
Pero podríamos tomar la derivada
con respecto a la variable intermedia (h)
Es decir, encontrar la manera de expresar el tamaño
de ese empujón como algún  múltiplo de DH.
Y solo fue después  se desarrolló para averiguar lo que era dh.
Así que en esta expresión regla de la cadena, estamos
mirada que dice en la relación entre un cambio minúsculo

English: 
On the symbolic level, this serves as a reminder
that you still plug in the inner function
to this derivative.
But it’s also an important reflection of
what this derivative of the outer function
actually represents.
Remember, in our three-lines setup, when we
took the derivative of sine on the bottom,
we expanded the size of the nudge d(sin) as
cos(h)*dh.
This was because we didn’t immediately know
how the size of that bottom nudge depended
on x, that’s kind of the whole thing we’re
trying to figure out, but we could take the
derivative with respect to the intermediate
variable h.
That is, figure out how to express the size
of that nudge as multiple of dh.
Then it unfolded by figuring out what dh was.
So in this chain rule expression, we’re
saying look at the ratio between a tiny change

Portuguese: 
Em nível simbólico, isso serve como um lembrete que você ainda está ligado a função intermediária h.
Entretanto, mais que isso, também é uma importante reflexão sobre o que a derivada dessa função externa
realmente representa.
Lembre-se, na nossa configuração de três linhas, quando pegamos a derivada do seno no final,
nós expandimos o tamanho do diferencial d(sen(h)) como cos(h)*dh
Isso ocorre porque não sabemos imediatamente como o tamanho do diferencial final varia em x,
isso é o tipo de coisa que estamos querendo descobrir, mas podemos pegar a
derivada com respeito a variável intermediária h
Ou seja, descobrir como expressar o tamanho desse deslocamento como múltiplo de dh.
Então se desdobrou ao descobrir o que dh era.
Então, nessa expressão de regra da cadeia, estamos falando da proporção entre uma pequena alteração

Italian: 
A livello simbolico, questo serve a ricordare che la funzione interna è ancora collegata
a questa derivata.
Ma è anche un importante riflessione su cosa la derivata esterna
rappresenta in realtà.
Ricorda, nella nostra impostazione delle 3 linee,  abbiamo presola derivata del seno sul fondo
abbiamo ampliato la dimensione dell'incremnto d(sin) come cos (h) * d(h).
Questo perché non sapevamo immediatamente come dipendesse la dimensione di quell'incremento inferiore
su x, è una specie di tutto ciò che stiamo cercando di capire, ma possiamo prendere
la derivata rispetto all'intermedia variabile h.
Cioè, capire come esprimere la dimensione di quell'incremento come multiplo di d(h).
Poi si è sviluppato cercando di capire cosa fosse.
Quindi, in questa espressione della regola della catena, stiamo osservando il rapporto tra un piccolo cambiamento

Arabic: 
على المستوى الرمزي .. هذا تذكير أن الشيء الذي تضعه في تلك المشتقة، سيظل يمثل تلك الدالة الوسيطة h
لكن علاوة على ذلك .. هي انعكاس لمهم لما تمثله مشتقة هذه الدالة الخارجية حقاً ..
تذكروا .. في تنظيمنا ذي الخطوط الثلاثة .
عندما أخذنا مشتقة sin في الخط السفلي
فككنا حجم تلك الدفعة: ((d(sin(h .. لتكون cos(h)*dh
هذا كان بسبب أننا لم نكن نعلم مباشرة كيف اعتمد حجم تلك الدفعة السفلى على x ..
كان هذا هو الأمر الذي نحاول الوصول إليه ..
لكن كان بإمكاننا أن نأخذ المشتقة بالنسبة إلى ذلك المتغير الوسيط .. h
بمعنى .. اكتشفنا كيف نعبر عن حجم تلك الدفعة على الخط الثالث كمضاعفٍ لـ dh .. حجم الدفعة على الخط الثاني
وبعد ذلك فحسب تكشفت الأمور أكثر بإيجادنا ما تساويه dh ..
إذاً في عبارة قاعدة السلسلة هذه .. كأننا نقول:

Polish: 
Przypomina to, że argumentem funkcji g jest funkcja h.
Ale też warto się zastanowić nad tym, czym
jest pochodna funkcji zewnętrznej g.
W naszym rysunku z trzema osiami,
gdy braliśmy pochodną funkcji na dole,
zapisaliśmy małą zmianę sinusa jako cos(h) * dh.
Nie wiedzieliśmy od razu, jak
mała zmiana na dole zależy od małej zmiany na górze.
Na tym polegał cały problem.
Mogliśmy wziąć pochodną dla wartości pośrodku: h,
to znaczy zapisać małą zmianę końcowej funkcji
jako wielokrotność dh, małej zmiany na drugiej osi.
Dopiero potem rozwikłaliśmy, co się za tym kryje.
W regule łańcuchowej patrzymy więc na iloraz dg/dh:

French: 
Sur le plan symbolique, cela sert de rappel
que vous branchez toujours la fonction intérieure
de ce dérivé.
Mais il est aussi une réflexion importante
ce que ce dérivé de la fonction extérieure
représente en fait.
Rappelez-vous, dans notre configuration trois lignes, lorsque nous
a pris le dérivé de sinus sur le fond,
nous avons élargi la taille du petit coup de pouce d (sin) comme
cos (h) * dh.
En effet, nous ne l'avons pas savoir immédiatement
comment la taille de ce petit coup de pouce en bas dépendait
sur x, c'est le genre de la chose que nous sommes
à essayer de comprendre, mais nous pourrions prendre la
dérivée par rapport à l'intermédiaire
variables h.
À savoir, de savoir comment exprimer la taille
de ce coup de coude comme multiple de dh.
Ensuite, il se déroulait par déterminer ce que dh était.
Donc, dans cette expression de la règle de la chaîne, nous sommes
disant regard sur le rapport entre un petit changement

Chinese: 
在象征层面，这是一个提醒
你仍然插入内部函数
到这个派生。
但这也是一个重要的反映
这个外部函数的派生是什么
实际上代表。
请记住，在我们的三线设置，当我们
在底部采取了正弦的衍生物，
我们把d（sin）的大小扩大了
COS（H）* DH。
这是因为我们没有立即知道
底部微调的大小是如何依赖的
在x上，这就是我们所有的东西
试图弄清楚，但我们可以采取的
相对于中间产品而言
变量h。
也就是说，弄清楚如何表达大小
这个微调是dh的倍数。
然后通过弄清楚什么是展开的。
所以在这个链式规则表达式中，我们是
说看看一个微小的变化之间的比例

Spanish: 
en g, la salida final, y un cambio minúsculo
en h ,que causó, h siendo el valor que
estamos enchufando  en g.
A continuación, se multiplican por el pequeño cambio en h
dividido por el pequeño cambio en x que causó
h.
Nota que los de dh se anulan para dar la relación entre
un pequeño cambio en el resultado final, y el
pequeño cambio a la entrada que, a través de un cierto
cadena de eventos, salió.
la cancelación de dh es más que sólo
un truco de notación, que es un reflejo auténtico
de lo que pasa con los pequeños empujones en que se basa las derivadas.
Así que esas son las tres herramientas básicas en su
cinturón para manejar derivadas de funciones que
combinar muchas cosas más pequeñas: La regla de la suma,
la regla del producto y de la regla de la cadena.
Debo decir, que hay una gran diferencia entre
saber que es la regla   de la cadena y la  de productos
y siendo fluida con aplicación en
incluso la más peluda de las situaciones.

French: 
en g, la sortie finale, et un petit changement
h en ce qui a provoqué, h étant la valeur que
nous brancher g.
Puis, multiplier par le petit que le changement dans h
divisé par le petit changement de x qui a causé
il.
Les années dh annulent pour donner le rapport entre
un petit changement dans la sortie finale, et
petit changement à l'entrée qui, à travers un certain
chaîne d'événements, a occasionné.
Cette annulation de dh est plus que
un truc notationnelle, c'est une véritable réflexion
des petits coups de pouce qui sous-tendent le calcul.
Donc, ce sont les trois outils de base dans votre
courroie de traiter les dérivés de fonctions
combiner plusieurs petites choses: La règle de somme,
la règle du produit et de la règle de la chaîne.
Je devrais dire, il y a une grande différence entre
sachant que la règle de la chaîne et des règles produit
sont et parler couramment avec les appliquer dans
même les plus poilu des situations.

Polish: 
małej zmiany wartości g i małej zmiany wartości h,
która ją spowodowała,
gdzie argumentem funkcji g jest h.
Ten stosunek mnożymy przez dh/dx: stosunek
małej zmiany wartości funkcji h i jej argumentu x.
Zauważ, że dh skracają się, dając nam dg/dx:
stosunek małej zmiany końcowej funkcji
i małej zmiany jego argumentu, o który nam chodziło.
Ten zapis jest czymś więcej niż tylko trikiem.
Przypomina nam on, co tak właściwie się dzieje
i jak wyglądają pochodne.
Omówiliśmy więc trzy podstawowe reguły, dzięki którym
możesz liczyć pochodne skomplikowanych funkcji:
pochodną sumy, iloczynu i złożenia funkcji.
Ale to dwie różne rzeczy: znać te reguły
i umieć je płynnie stosować.

German: 
in g die endgültige Ausgabe und eine winzige Änderung
in h, das es verursacht hat, ist h der Wert, der
wir stecken in g.
Dann multiplizieren Sie das mit der winzigen Änderung in h
geteilt durch die winzige Änderung in x, die verursacht hat
es.
Der Dh bricht ab, um das Verhältnis zwischen anzugeben
eine winzige Änderung in der endgültigen Ausgabe, und die
winzige Änderung an der Eingabe, die durch eine bestimmte
Kette von Ereignissen, brachte es zustande.
Diese Aufhebung von dh ist mehr als nur
Ein Notationstrick, eine echte Reflexion
der winzigen Stupser, die den Kalkül stützen.
Das sind also die drei grundlegenden Werkzeuge in Ihrem
Gürtel, um Ableitungen von Funktionen zu handhaben, die
kombiniere viele kleinere Dinge: Die Summenregel,
die Produktregel und die Kettenregel.
Ich sollte sagen, es gibt einen großen Unterschied zwischen
Wissen, was die Kettenregel und Produktregeln
sind und fließend mit der Anwendung in
selbst die haarigsten Situationen.

English: 
in g, the final output, and a tiny change
in h that caused it, h being the value that
we’re plugging into g.
Then multiply that by the tiny change in h
divided by the tiny change in x that caused
it.
The dh’s cancel to give the ratio between
a tiny change in the final output, and the
tiny change to the input that, through a certain
chain of events, brought it about.
That cancellation of dh is more than just
a notational trick, it’s a genuine reflection
of the tiny nudges that underpin calculus.
So those are the three basic tools in your
belt to handle derivatives of functions that
combine many smaller things: The sum rule,
the product rule and the chain rule.
I should say, there’s a big difference between
knowing what the chain rule and product rules
are, and being fluent with applying them in
even the most hairy of situations.

Italian: 
in g, l'output finale, e un piccolo cambiamento in h che lo ha causato, essendo h il valore che
stiamo collegando in g.
Quindi moltiplicalo per il piccolo cambiamento in h diviso per il piccolo cambiamento in x che lo ha causato
 
 
 
 
 
 
 
 

Chinese: 
克，最后的输出，和一个微小的变化
在h造成它，h是值
我们正在接入g。
然后乘以h中的微小变化
除以造成的x的微小变化
它。
这个dh的取消给了之间的比例
最终产出的微小变化
微小的变化，通过一定的输入
事件链，带来了。
dh的取消不仅仅是
一个标志性的伎俩，这是一个真实的反映
支持微积分的微小微移动。
所以这些是你的三个基本工具
皮带来处理功能的衍生物
结合许多较小的东西：总和规则，
产品规则和连锁规则。
我应该说，两者之间有很大的区别
知道什么是连锁规则和产品规则
是，而且能够流利地运用它们
即使是最毛茸茸的情况。

Arabic: 
انظر إلى النسبة بين التغير الصغير في g .. المُخرج النهائي.. إلى -مسببه- التغير الصغير في h
حيث h هي القيمة التي ندخلها في g ..
ثم اضرب ذلك بالتغير الصغير في h مقسوماً على -مسببه- التغير الصغير في x
إذاً لاحظ: هذه الـ dhـات تلغي بعضها
وتعطينا نسبة بين التغير في ذلك المخرج النهائي والتغير في المدخل، الذي -عبر سلسلة من الأحداث- سببه
وذاك الإلغاء لـ dh ليس مجرد خدعة ترميزية ..
هذا انعكاس حقيقي لما يحدث مع التغييرات الصغيرة التي وراء كل ما نقوم به مع المشتقات
إذاً كانت هذه هي الأدوات الثلاث الأساسية لتحملها في جعبتك ..
لتتعامل مع مشتقات دوال تدمج العديد من الأشياء الأصغر..
لديك قاعدة الجمع .. قاعدة الضرب .. وقاعدة السلسلة
وسأكون صريحاً معكم .. هناك فرق شاسع بين معرفة ما قاعدة السلسلة وما قاعدة الضرب..
وبين كونك سلساً حقاً في تطبيقها حتى في أكثر الحالات تعقيداً

Portuguese: 
em g, o valor final, e uma pequena mudança em h que é responsável por isso, h sendo o valor que
nós colocamos dentro de g.
Assim, multiplica-se por uma pequena variação em h dividido por uma pequena variação em x que causou isso
Os dh's cancelarão para resultar na razão entre uma pequena variação do valor final
e uma minúscula variação no valor inicial que, por meio de eventos em cadeia, resultou nisso.
Esse cancelamento do dh é mais do que apenas um truque notacional, é uma verdadeira reflexão
dos minúsculos toques que sustentam tudo que fazemos em derivadas.
Então, essas são as três ferramentas básicas no seu bolso para lidar com derivadas de funções que
combine muitas coisas menores: a regra da soma, a regra do produto e a regra da cadeia.
E serei honesto com você, há uma grande diferença entre saber o que é a regra da cadeia e o que é a regra do produto
e ser fluente em aplicá-las mesmo nas situações mais difíceis.

Spanish: 
Lo dije en el inicio de la serie, pero
vale la pena repetirlo: Ver vídeos, cualquier
vídeos, sobre estos mecánica de cálculo
nunca sustituirá  la práctica de esas mecánicas
a sí mismo, ni la construcción de los músculos para hacer estas
cálculos por ti mismo.
Me gustaría poder ofrecerme a hacer eso por ti, pero
Me temo que la pelota está en tu tejado, mi
amigo, ve a buscar a la práctica.
Lo que puedo ofrecer, y espero haberlo ofrecido,
es   mostrar de dónde estas provienen estas reglas,
para demostrar que no son sólo es algo
para ser memorizado y martillado de distancia; en lugar
son los patrones naturales que usted también podrías haber
descubierto por sólo pensar pacientemente a través
lo que es una media derivada.
¡Gracias a todos los que apoyaron esta serie,
y una vez más me gustaría decir un especial
Gracias a Brilliant.org.
Para aquellos de ustedes que quieren ir a flexionar los
músculos de resolución de problemas,  Brilliant ofrece
una plataforma destinada a la formación del pensamiento
 matemático.

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Portuguese: 
Assistir videos, qualquer video,  sobre a mecânica do Cálculo,
nunca irá substituir a prática por você mesmo
e a construção desses músculos para fazer esses cálculos por conta própria.
Eu realmente gostaria de poder oferecer isso para você, mas temo que a bola esteja em sua quadra, meu amigo,
para procurar a prática.
O que posso oferecer, e o que espero ter oferecido, é mostrar de onde vêm essas regras,
para mostrar que eles não são apenas algo para serem memorizados e martelados; mas
são padrões naturais que você também poderia ter descoberto apenas pensando pacientemente
o que a derivada realmente significa.
Obrigado a todos que apoiaram esta série e, mais uma vez, gostaria de dizer um
obrigado especial para Brilliant.org.
Para aqueles de vocês que querem ir flexionar os músculos que resolvem problemas, a Brilliant oferece
uma plataforma destinada a treinar você para pensar como um matemático.

French: 
Je l'ai dit au début de la série, mais
il vaut la peine de répéter: Regarder des vidéos, des
vidéos, au sujet de ces mécanique de calcul
ne sera jamais se substituer à les pratiquer
vous et construire les muscles pour faire ces
vous les calculs.
Je voudrais pouvoir offrir de le faire pour vous, mais
Je crains que la balle est dans votre cour, mon
ami, de rechercher la pratique.
Ce que je peux offrir, et ce que j'espère avoir offert,
est de vous montrer où ces règles viennent,
pour montrer qu'ils ne sont pas seulement quelque chose
à mémoriser et martelé; mais plutôt
sont des motifs naturels que vous pourriez aussi avoir
découvert par tout penser patiemment
ce moyen dérivé.
Merci à tous ceux qui ont soutenu cette série,
et une fois de plus, je voudrais dire un spécial
grâce à Brilliant.org.
Pour ceux d'entre vous qui veulent aller fléchir les
muscles résolution de problèmes, offres Brilliant
une plate-forme destinée à la formation que vous de penser
comme un mathématicien.

Chinese: 
我在这个系列开始的时候说过，但是
值得重复的是：观看视频，任何
视频，关于这些微积分机制
永远不会替代他们的实践
自己，并建立肌肉做这些
你自己计算。
我希望我可以为你这样做，但是
恐怕球在你的球场上了，我的球
朋友，寻求练习。
我可以提供什么，我希望我提供什么，
是告诉你这些规则来自哪里，
以表明他们不只是一些东西
被记忆和敲打;但反而
是你也可以拥有的自然模式
通过耐心思考发现
什么是派生手段。
感谢大家支持这个系列，
再一次我想说一个特别的
感谢Brilliant.org。
对于那些想要弯曲这些的人
问题解决肌肉，辉煌的提议
一个平台，旨在训练你思考
像数学家一样。

Polish: 
Powtórzę jeszcze raz: żadne filmy nie zastąpią
własnej, samodzielnej pracy. Musisz to przećwiczyć.
Bardzo chciałbym ci w tym pomóc, ale
w tym przypadku musisz się sam wykazać.
Ja mogę ci jedynie wytłumaczyć, jakie są reguły gry
i pokazać, że nie są to bezmyślne wzory do wkucia,
ale coś naturalnego, na co sam mógłbyś wpaść, gdybyś
głęboko przemyślał, czym tak właściwie jest pochodna.
Dziękuję wszystkim, którzy mnie wspierają.
Po raz kolejny chcę tu wyróżnić serwis brilliant.org.
Dla tych, którzy chcą poćwiczyć zdobyte umiejętności,
Brilliant oferuje problemy, które
pomogą ci myśleć jak matematyk.

Arabic: 
مشاهدة المقاطع .. أية مقاطع .. حول آليات التفاضل، لن يكون أبداً بديلاً للتدرب على هذه الآليات بنفسك
وبناء العضلات للقيام بهذه الحسابات بنفسك
أتمنى حقاً لو أنني أستطيع أن أوفر لك ذلك .. لكن أخشى أن الكرة في ملعبك يا صديقي، لتسعى إلى التدريب
ما أستطيعه أن أوفره .. وما آمل أن أكون قد وفرته ..
هو أن أريك من أي أتت هذه القواعد حقاً ..
لأريك أنها ليست مجرد أشياء للحفظ والكدّ ..
لكنها أنماط طبيعية .. أشياء كان يمكنك أنت أيضاً اكتشافها فقط عبر التفكير ملياً في ما تعنيه المشتقة حقاً

German: 
Ich habe das zu Beginn der Serie gesagt, aber
Es lohnt sich zu wiederholen: Videos ansehen, keine
Videos über diese Mechanik der Analysis
wird sie niemals ersetzen
sich selbst und bauen die Muskeln auf, um dies zu tun
Berechnungen selbst.
Ich wünschte, ich könnte anbieten, das für Sie zu tun, aber
Ich fürchte, der Ball ist in deinem Spielfeld, mein Gott
Freund, um Übung zu suchen.
Was ich anbieten kann und was ich hoffentlich angeboten habe,
soll Ihnen zeigen, woher diese Regeln kommen,
um zu zeigen, dass sie nicht nur etwas sind
auswendig gelernt und weggeschlagen werden; aber stattdessen
sind natürliche Muster, die auch Sie haben könnten
entdeckt durch nur geduldiges Durchdenken
was ein Derivat bedeutet.
Vielen Dank an alle, die diese Serie unterstützt haben.
und noch einmal möchte ich ein besonderes sagen
danke an Brilliant.org.
Für diejenigen von euch, die diese biegen wollen
Problemlösung Muskeln, bietet Brilliant
Eine Plattform, die Sie zum Nachdenken anregen soll
wie ein Mathematiker.

English: 
I said this at the start of the series, but
it’s worth repeating: Watching videos, any
videos, about these mechanics of calculus
will never substitute for practicing them
yourself, and building the muscles to do these
computations yourself.
I wish I could offer to do that for you, but
I’m afraid the ball is in your court, my
friend, to seek out practice.
What I can offer, and what I hope I have offered,
is to show you where these rules come from,
to show that they’re not just something
to be memorized and hammered away; but instead
are natural patterns that you too could have
discovered by just patiently thinking through
what a derivative means.
Thank you to everyone who supported this series,
and once more I’d like to say a special
thanks to Brilliant.org.
For those of you who want to go flex those
problem solving muscles, Brilliant offers
a platform aimed at training you to think
like a mathematician.

Italian: 
 
 
 
 
 
 
 
 

German: 
Ich weiß nichts über dich, aber ich habe es immer getan
fand es allzu leicht, sich daran zu gewöhnen
nur Mathe lesen oder Vorträge schauen
ohne sich die Zeit zu nehmen, um echte Probleme zu lösen
dazwischen, obwohl das immer das ist
Teil, wo ich am meisten lerne.
Brilliant ist ein großartiger Ort, um diese Übung zu bekommen.
und wenn Sie brillant.org/3b1b oder mehr besuchen
Folgen Sie einfach dem Link auf dem Bildschirm und in
Die Beschreibung lässt sie wissen, dass Sie gekommen sind
von diesem Kanal.
Ihr Kalkülmaterial ist eine schöne Ergänzung
zu dieser Serie, aber einige meiner anderen Favoriten
sind ihre Wahrscheinlichkeit und komplexe Algebra
Sequenzen.

Portuguese: 
Eu não sei sobre você, mas eu sempre achei muito fácil cair no hábito
de apenas ler matemática ou assistir a palestras sem ter tempo para resolver problemas reais.
Embora seja sempre a parte em que eu aprendo mais.
Brilhante é um ótimo lugar para praticar, e se você visitar o site brilhante.org/3b1b, ou mais
basta seguir o link na tela e na descrição, isso permite que eles saibam que você veio desse canal.
Seu material de cálculo é um bom complemento para esta série, mas alguns dos meus outros favoritos
são suas sequências de probabilidade e álgebra complexa.

Chinese: 
我不知道你，但我一直
发现这很容易陷入习惯
只是读数学或看讲座
没有花时间做一些真正的问题解决
在两者之间，即使这是永远的
我学习最多的部分。
辉煌是一个很好的地方，
如果你访问brilliant.org/3b1b，或更多
只需按照屏幕上和中的链接
说明，它让他们知道你来了
从这个频道。
他们的微积分材料是一个很好的补充
到这个系列，但我的一些其他的最爱
是他们的概率和复数代数
序列。

Spanish: 
No sé ustedes, pero siempre he
encontrado que es muy fácil caer en el hábito
de sólo leer o ver las conferencias
sin tomarse el tiempo para hacer algo de resolución de problemas reales
en el medio, a pesar de que siempre es el
parte en la que los más aprendo.
Brillante es un gran lugar para conseguir  la práctica,
y si  visitas brilliant.org/3b1b, o simplemente
basta con seguir el enlace en la pantalla y en
la descripción, se les hace saber que viniste
de este canal.
Su material de cálculo es un buen complemento
de esta serie, pero algunos de mis otros favoritos
son su material de probabilidad y 
secuencias álgebráicas  complejas.

English: 
I don’t know about you, but I’ve always
found it all too easy to fall into the habit
of just reading math or watching lectures
without taking the time to do some real problem-solving
in between, even though that’s always the
part where I learn the most.
Brilliant is a great place to get that practice,
and if you visit brilliant.org/3b1b, or more
simply follow the link on the screen and in
the description, it lets them know you came
from this channel.
Their calculus material is a nice complement
to this series, but some of my other favorites
are their probability and complex algebra
sequences.

Polish: 
Nie wiem, jak ty, ale ja często wpadałem w nawyk
tylko czytania o matematyce, zamiast
rozwiązywania też problemów samemu,
nawet jeśli wtedy się najwięcej uczę.
Brilliant to świetne miejsce, by móc poćwiczyć.
Jeśli wejdziesz na stronę brilliant.org/3b1b
(możesz kliknąć na link w opisie lub na górze ekranu),
dasz im znać, że przyszedłeś do nich z tego kanału.
Ich materiały o rachunku różniczkowym
są dobrym uzupełnieniem tych filmów.
Od siebie polecam też materiały o liczbach zespolonych
i rachunku prawdopodobieństwa.

French: 
Je ne sais pas pour vous, mais je l'ai toujours
Je l'ai trouvé trop facile de tomber dans l'habitude
de simplement lire ou regarder des conférences mathématiques
sans prendre le temps de faire un peu de résolution de problèmes réels
entre les deux, même si c'est toujours
partie où j'apprends le plus.
Brillant est un excellent endroit pour obtenir cette pratique,
et si vous visitez brilliant.org/3b1b, ou plus
il suffit de suivre le lien à l'écran et
la description, il leur permet de savoir vous êtes venu
de ce canal.
Leur calcul est matériel un bon complément
à cette série, mais certains de mes autres favoris
sont la probabilité et de l'algèbre complexe
séquences.
