- [Voiceover] Euler tiếp tục nghiên cứu
tính chất các con số, đặc biệt là
sự phân phối của số nguyên tố.
Ông đã định nghĩa một hàm quan trọng
gọi là hàm phi.
Nó tính toán khả năng phân rã của một số.
Giả sử cho một số N,
đầu ra của hàm là số các số nguyên bé hơn hoặc bằng N
mà không có chung thừa số với N.
Ví dụ, ta muốn tìm phi của 8
ta xét tất cả giá trị từ 1 đến 8,
và đếm xem có bao nhiêu số nguyên
mà không có thừa số chung với 8.
Để ý rằng số 6 sẽ không được tính,
vì cả hai đều có thừa số là 2,
trong khi 1, 3, 5 và 7 đều được tính,
vì chúng chỉ có thừa số chung là 1.
Vì thế, phi(8) = 4.
Điều thú vị là
tính hàm phi cũng khá khó khăn, ngoại trừ một trường hợp.
Xem đồ thị sau.
Nó là đồ thị biểu diễn các giá trị phi,
cho các số nguyên từ 1 đến 1,000, với mỗi 5 đơn vị.
Bây giờ, bạn có nhận ra các mô hình có thể dự đoán được?
Các đường thẳng dọc theo các điểm trên cùng
biểu diễn cho tất cả các số nguyên tố.
Vì các số nguyên tố không có thừa số lớn hơn 1,
nên phi của một số nguyên tố P,
sẽ luôn bằng P - 1.
Để tính phi của 7, đó là một số nguyên tố,
ta đếm tất cả số nguyên ngoại trừ 7,
vì không có số nào có thừa số chung với 7.
Nên phi(7) = 6.
Vậy nếu bạn được yêu cầu tìm phi(21377), mà cũng là một số nguyên tố,
bạn chỉ cần trừ đi 1
để ra đáp án, 21,376.
Phi của số nguyên tố rất dễ tính.
Điều này dẫn đến một kết quả thú vị dựa trên thực tế
là hàm phi cũng có tính chất nhân.
Đó là phi(a*b) cũng bằng phi(a)*phi(b).
Nếu chúng ta biết số N là tích của hai số nguyên tố,
P1 và P2, thì phi(N)
sẽ bằng tích của phi(P1) và phi(P2),
hoặc bằng P1 - 1 nhân với P2 - 1.
