
Korean: 
안녕하세요 여러분
여기 변수 두개로 이루어진 그래프가 있습니다
그래서 여러분이 이 함수의 편도함수를 어떻게 구하는지
(편미분하는지) 이해할 수 있도록 설명하겠습니다
여러분이 보고 있는 함수 그래프는
 
f(x,y)=x^2*y+sin(y) 입니다
f(x,y)=x^2*y+sin(y) 입니다
그럼 이제 x를 고정하고(변수취급하고)
편미분을 해보도록 하죠
(-1,1)에서의
∂f/ ∂x 를 구해보도록 하겠습니다
특정 지점에서의
편미분값을 찾는 문제입니다
어떻게 이 전체 그래프에서 이 값을 구할까요?
먼저 (-1,1)이 어디있는지부터 고려해봅시다
그래프를 위에서 본다면
가로축이 x축이고 세로축이 y축입니다
그러므로 (-1,1)은
빨간점에 위치합니다
원점에서 x축 방향으로 -1만큼, y축 방향으로 1만큼
이동한 점입니다
여러분이 가장 먼저 할 것은
x를 고정하고 편미분을 할 때에는
우리는 y를 상수취급 할 것입니다
 

English: 
- [Voiceover] Hello everyone.
So I have here the graph
of a two-variable function
and I'd like to talk about
how you can interpret
the partial derivative of that function.
So specifically, the function
that you're looking at is f of x, y
is equal to x squared times y
plus sine of y.
And the question is, if I
take the partial derivative
of this function, so maybe I'm looking at
the partial derivative
of f with respect to x,
and let's say I want to do
this at negative one, one
so I'll be looking at
the partial derivative
at a specific point.
How do you interpret
that on this whole graph?
First, let's consider where
the point negative one, one is.
If we're looking above,
this is our x-axis, this is our y-axis
the point negative one, one
is sitting right there.
So negative one, move up one
and it's the point that's
sitting on the graph.
And the first thing you might do
is you say well, when we're
taking the partial derivative
with respect to x, we're going to pretend
that y is a constant

Korean: 
그럼 먼저  ∂f/ ∂x(-1,1)의 값을 구해보도록 하겠습니다
편미분을 할 때에는
x^2는 변수로 취급하고
y는 상수인 것처럼 취급합니다
그러므로 sin(y) 도 상수이죠
이것을 계산하는 방법은
x^2을 먼저 미분합니다
그러면 2xy가 되겠죠 그리고 sin(y)를 미분해보면
여기서 y는 상수이므로 0이 됩니다
x=-1, y=1 에서의
이 값을 구해봅시다
x, y에 각각 저 값을 대입하면
2*(-1)*(1)이 되므로
-2가 됩니다
그럼 이 값이 의미하는 바가 무엇일까요?
우리가 이 값을 구하고
분모  ∂x는 x값의 증가량이고
분모  ∂f는 f값의 증가량입니다
그것이 그래프에서 무슨 의미일까요?
y를 상수취급하는 것은
전체 그래프를 일정한 y값을 가지는 평면으로
자르는 것을 의미합니다
그러므로 이 세로축이 y축이고
저 축을 수직으로 자르는 평면이

English: 
so let's actually just go
ahead and evaluate that.
When you're doing this,
x squared looks like a variable,
y looks like a constant,
sine of y also looks like a constant.
So this is going to be...
We differentiate x squared
and that's two times x times
y which is like a constant,
and then the derivative of
a constant there is zero
and we're evaluating this whole thing
at x is equal to negative
one and y is equal to one.
So when we actually plug that in,
it would be two times negative
one multiplied by one,
which is two... Negative two, excuse me.
But what does that mean, right?
We evaluate this, and
maybe you're thinking
this is kind of slight
nudge in the x direction,
this is the resulting nudge of f.
What does that mean for the graph?
Well first of all,
treating y as a constant
is basically like slicing the whole graph
with a plane that represents
a constant y value.
So this is the y-axis,
and the plane that cuts it perpendicularly

Korean: 
특정한 y값을 포함하는 평면이죠
지금 이 평면은 y=1이라는 특정한 y값을 포함합니다
지금 이 평면을 y축 방향으로 위아래로 움직이면
다른 상황에서의 y값도
표현할 수 있다는 것을 상상할 수 있습니다
편미분을 일반화 시킨다면
아무 값을 상상해도 좋지만
지금은 y=1의 상황을 알아보고 있습니다
이제 원래 그래프를 y=1에서 자르고
그 단면을 빨간선으로 표시해보겠습니다
그러므로 이 빨간선은
그래프 상에서 y값이 1인 모든 점을 나타냅니다
y=1이라는 것을 노란색으로 강조해보겠습니다
 
우리가 자른 단면(빨간선)을 보면
편미분값을 접선의 기울기로
볼 수 있다는 것을 알 수 있습니다
왜냐하면 ∂f/∂x(-1,1)은 이 빨간점에서
x축 방향으로 이동하면서
어떻게 함수(f값)이 변하는지를 묻고 있기 때문입니다
변수가 한 개인 미적분에서 배웠듯이
그것을 접선의 기울기로 받아들일 수 있습니다
조금 더 구체화한다면
빨간점(-1,1)에서 시작해서
x값의 증가량을 그릴 수 있습니다
아주 조금만 증가한 것을 눈에 보이도록 그리는 중입니다

English: 
that represents a constant y value.
This one represents the
constant y value one
but you could imagine sliding
the plane back and forth
and that would represent
various different y values.
So for the general partial derivative,
you can imagine whichever one you want
but this one is y equals one
and I'll go ahead and slice
the actual graph at that point
and draw a red line.
And this red line is basically
all the points on the graph
where y is equal to one.
So I'll emphasize that...
where y is equal to one.
This is y is equal to one.
So, when we're looking at that
we can actually interpret the
partial derivative as a slope
because we're looking at the point here,
we're asking how the function changes
as we move in the x direction.
From single variable calculus,
you might be familiar
with thinking of that
as the slope of a line
and to be a little more
concrete about this,
I could say you're starting here,
you consider some nudge over
there, just some tiny step.
I'm drawing it as a sizable one

English: 
but you imagine it as a
really small step, as your dx,
and then the distance
to your function here
the change in the value
of your function...
I said dx, but I should say
partial x or del x... Partial f.
And as that tiny nudge
gets smaller and smaller,
this change here is going to correspond
with what the tangent
line does, and that's why
you have this rise over
run feeling for the slope.
And you look at that
value, and the line itself
looks like it has a slope
of about negative two
so it should actually
make sense that we get
negative two over here
given what we're looking at.
But let's do this
with the partial derivative
with respect to y.
Let's erase what we've got going on here
and I'll go ahead and move
the graph back to what it was,
get rid of these guys,
so now we're no longer
slicing with respect to y,
but instead let's say we slice
it with a constant x value.
So this here is the x-axis;
this plane represents
the constant value x equals negative one

Korean: 
이 증가량을 ∂x처럼 아주 작게 상상할 수 있습니다
그리고 여기서의 함수값(f값)까지의 거리
다시말해 빨간점에서부터의 f값의 증가량은
∂f 이라고 할 수 있습니다
각 증가량이 점점 작아질수록(0으로의 극한)
이 변화량(∂f/∂x)은
접선의 기울기와 가까워질 것입니다
기울기를 의미하는
y값의 증가량/x값의 증가량이라는 느낌이 오죠
우리가 앞서 구한 값과 새로 그린 접선을 살펴 보면
저 파란선의 기울기가 -2라는 것을 알 수 있습니다
파란선을 딱 봐도
우리가 구한 기울기 -2가 맞는 것 같이 보이네요
 
이제 y를 고정하고(변수로 취급하고) 편미분을 해봅시다
아까 해놓은 필기는 지우고
자르기 전 원래 모양으로 그래프를 돌려놓겠습니다
 
이번에는 y값을 기준으로 그래프를 자르지 않습니다
이제 일정한 x값을 포함한 평면으로 잘라봅시다
이 가로축이 x축입니다
화면에 보이는 평면은 x=-1을 의미합니다

English: 
and we can slice the graph there.
Kind of slice it, I'll
draw the red line again
that represents the curve
and this time, that curve represents
that value x equals negative one.
It's all the points on the graph
where x equals negative one.
And now when we take
the partial derivative,
we're going to interpret it as a slice...
As the slope of this resulting curve.
So that slope ends up looking like this,
that's our blue line, and
let's go ahead and evaluate
the partial derivative
of f with respect to y.
So I'll go over here,
use a different color
so the partial derivative of f
with respect to y, partial y.
So we go up here, and it says,
okay. So x squared times y.
It's considering x squared
to be a constant now.
So it looks at that and
says x, you're a constant,
y, you're the variable,
constant times a variable,
the derivative is just
equal to that constant.
So that x squared.
And over here, sine of y,

Korean: 
저기서 그래프를 잘라보겠습니다
그리고 단면의 그래프에 다시 빨간선을 그어보겠습니다
 
이번에 자른 단면의 저 곡선은
x=-1을 의미합니다
그래프에서 x=-1인 모든 점을 연결하면
빨간선이 되는 것이죠
이제 편미분값을 구해봅시다
아까와 같이 이 곡선의
접선의 기울기로 이해해봅시다
접선을 파란선으로 그려보겠습니다
그리고 먼저 y를 고정한(변수 취급한)
편미분값을 계산해보도록 하죠
아까와는 다른 색깔로 적어보죠
∂f/∂y 값을 구해봅시다
이번에는 주어진 식 x^2y에서
x^2을 상수로 취급합니다
그러므로 x는 상수이고
y는 변수이므로 상수(계수)*변수 형태입니다
그것을 미분하면 그냥 계수만 남죠
그러므로 x^2이 됩니다
그리고 sin(y)를

English: 
the derivative of that with respect to y
is cosine y.
Cosine y.
And if we actually want to evaluate this
at our point negative one, one
what we'd get is negative one squared
plus cosine of one.
And I'm not sure what the cosine of one is
but it's something a little bit positive,
and the ultimate result that we see here
is going to be one plus something,
I don't know what it is,
but it's something positive,
and that should make sense
'cause we look at the slope here
and it's a little bit more than one.
I'm not sure exactly, but it's
a little bit more than one.
So you often hear about people
talking about the partial derivative
as being the slope of
the slice of a graph.
Which is great,
if you're looking at a function that has
a two-variable input and
a one-variable output,
so that we can think about its graph.
And in other contexts,
that might not be the case.
Maybe it's something that has
a multidimensional output,
we'll talk about that later,
when you have a vector-valued function,
what its partial derivative looks like,
but maybe it's also something
that has a hundred inputs
and you certainly can't
visualize the graph

Korean: 
y에 대해서 미분하면
cos(y)가 됩니다
 
(-1,1)에서의 편미분값을 구해보면
 
(-1)^2+cos(1) 이 나옵니다
(-1)^2+cos(1) 이 나옵니다
cos(1) 값을 정확히 알 수는 없지만
양수인 것 같네요
그러므로 우리가 구한 ∂f/∂y 값은
1+(어떤 양수) 가 될 것입니다
정확한 값을 구할 수는 없지만 양수라는 것은 알 수 있죠
그것은 말이 됩니다
왜냐하면 그래프상에서의 접선의 기울기가
접선의 기울기가 1보다는 더 가파르기 때문이죠
정확한 값을 구할 수는 없지만 1보다 가파른 건 확실하죠
여러분은 사람들이
편미분을 그래프의 단면에서의 기울기로
표현하는 것을 종종 들어봤을 겁니다
아주 훌륭한 표현이죠
어떤 함수가 f(x,y)처럼 2개의 변수로 이루어져 있지만
1개의 변수만 가지고 있다고 생각하고 싶다면
그것의 그래프를 생각할 수 있는 것이죠
다르게 생각하면 굳이 그렇지 않을 수도 있습니다
만약에 그대로 다변수함수로 나타내고 싶다면
나중에 수업하겠지만
벡터로 나타내는 함수로
그것의 편미분값을 구할 것입니다
그러나 원래 함수가 100개의 변수를 가지고 있어서
그래프를 시각화할 수 없을 수도 있습니다

English: 
but the general idea of saying,
"Well, if you take a tiny
step in a direction"--
here, I'll actually walk through it
in this graph's context again.
You're looking at your point here
and you say we're going
to take a tiny step
in the y direction.
And I'll call that partial y.
And you say that makes
some kind of change,
it causes a change in the function
which you'll call partial f.
And as you imagine this
getting really really small,
and the resulting change
also getting really small
the rise over run of
that is going to give you
the slope of the tangent line.
So this is just one way of
interpreting that ratio,
the change in the output
that corresponds to a
little nudge in the input.
But later on we'll talk
about different ways
that you can do that.
So I think graphs are
very useful (laughs)...
When I move that, the text doesn't move.
I think graphs are very
useful for thinking
about these things, but
they're not the only way
and I don't want you to
get too attached to graphs
even though they can be handy
in the context of two-variable
input, one-variable output.
See you next video!

Korean: 
그러나 일반적으로
만약 여러분이 이 방향으로
조금 나아간다면(특정 값의 증가량)
 
그래프로 다시 설명하도록 하죠
빨간점에서
y축방향으로 조금 간다고 생각할 수 있습니다
(y값의 증가량)
그것을 ∂y라고 부르겠습니다
y가 증가했으니까
그에 따른 함수값(f값)도 변했을 겁니다
그 증가량(변화량)을 ∂f라고 부르겠습니다
y값의 증가량이 아주아주 작아진다면
결과적으로 f값의 증가량도 굉장히 작아지겠죠
그러므로 f값의 증가량/y값의 증가량은
그 점에서의 접선의 기울기와 가까워질 것입니다
이것은 이 비율(∂f/∂y)을 나타내는 한 방법일 뿐입니다
y값의 증가량에 따른
f 값의 증가량 말입니다
나중에 이것을 표현할 수 있는
다른 방법에 대해서도 배워보겠습니다
그래서 저는 그래프가 아주 쓸모있다고 생각합니다
그래프를 움직이는데 글씨는 그대로 있네요(웃음)
그래프가 편미분 같은 것들을 표현할 때
굉장히 쓸모있다고 생각하지만, 유일한 방법은 아닙니다
그래서 여러분이 그래프에
너무 집착하지는 않았으면 합니다
2개의 변수로 이루어진 함수를
1개의 변수로 이루어진 결과물로
만들 때에는 상당히 편리할 수는 있지만 말입니다
다음 영상에서 봅시다
