
Czech: 
Máme zde graf funkce r rovná se sinus
z (2 krát théta) v polárních souřadnicích.
Pokud si již nevybavujete,
co to jsou polární souřadnice,
vyhledejte si je na Khan Academy,
nebo se podívejte na předchozí lekce.
Trochu vám přiblížím základy.
Zkusme si vysvětlit, proč
tento graf vypadá tak, jak vypadá.
Každý bod v grafu bychom
mohli vyjádřit pomocí souřadnic x a y.
Můžeme je ale také vyjádřit
pomocí úhlu a poloměru.
Tento bod například má
nějakou souřadnici x a y.
Anebo můžeme nakreslit přímku
od počátku k tomuto bodu
a specifikovat ho pomocí úhlu théta a r,
což je vzdálenost od počátku k tomu bodu.
Zkusme si na této křivce vysvětlit,
proč je to tak intuitivní.

English: 
- [Instructor] What we
have here is the graph
of R is equal to sin of two
theta in polar coordinates
and if polar coordinates
look unfamiliar to you
or if you need to brush up on them
I encourage you to do a
search for polar coordinates
in Khan Academy or look at
our pre-calculus section
but I'll give you a little
bit of a primer here.
Let's just familiarize ourself
why this graph looks the way it does.
So, what we're doing for any point here,
we could obviously specify these points
in terms of X and Y coordinates
but we could also specify
them in terms of an angle
and a radius so for example,
this would have some X coordinate
and some Y coordinate
or we could draw a line
from the origin to that
point right over here
and specify it with some angle theta
and some R which is the distance
from the origin to that point.
And just to familiarize ourselves
with this curve
let's just see why it's intuitive.
So, when theta is zero,
R is going to be zero,

Korean: 
여기 극좌표에
r = sin(2θ)가 있고
여기 극좌표에
r = sin(2θ)가 있고
극좌표가 익숙하지 않다면
혹은 복습이 필요하다면
칸아카데미에서
극좌표에 대해 검색하거나
미적분학 예습 부분을
보길 권장합니다
그래도 살짝 알려드릴게요
왜 이 그래프가
이런 모습인지
익숙해져 봅시다
따라서, 이 그래프의
임의의 점에 대하여
x와 y좌표에 대하여
이 점들을 분명하게
특정할 수 있지만
각과 반지름에 대하여도
특정할 수 있습니다
예를 들어, 이 점은
x좌표와 y좌표가 있을 것이고
예를 들어, 이 점은
x좌표와 y좌표가 있을 것이고
혹은 원점에서 이 점까지
직선을 그릴 수 있습니다
그리고 이 점의 각도 θ와
원점에서 이 점까지의 거리인
r을 특정할 수 있습니다
이 곡선에 익숙해지기 위해서
이 곡선에 익숙해지기 위해서
왜 이것이 직관적인지
알아봅시다
θ가 0일 때
r은 0이 됩니다

Bulgarian: 
Дадена ни е графиката на функцията
 r = sin(2*θ) в полярни координати,
а ако не познаваш полярните координати
или имаш нужда да си ги припомниш,
те окуражавам да потърсиш
 за полярни координати
в Кан Академия или да провериш раздела за въведение в математическия анализ.
В настоящия урок ще ти дам
основни насоки.
Нека да разберем
защо тази графика изглежда по този начин.
Какво правим за всяка точка тук?
Очевидно може да определим тези точки
чрез x и y координати,
но можем също и да ги определим
чрез ъгъл и радиус. Например
това ще има някаква x координата 
и някаква y координата
или можем да начертаем права
от началото до ето тази точка тук
и да я определим чрез ъгъл θ
и някакъв радиус r, който е разстоянието
от началото до тази точка.
Нека да се запознаем с тази крива
и да осмислим защо се получава.
Когато θ = 0, то r = 0,

Korean: 
sin(2 × 0) = 0이므로
r은 0이 됩니다
θ가 커질수록
r도 커집니다
꽃 모양, 아니면 클로버 모양에
계속 이어서 그리면
이런 식으로 되고
계속해서 그려 나갑니다
θ = π/4일 때
무슨 일이 생기나요?
θ = π/4일 때
sin(2 × π/4)는
sin(π/2)이므로
r = 1이 됩니다
따라서 r이 최대가 되고
그 후 θ가 커질수록
r은 다시 작아집니다
r은 다시 작아집니다
이를 미적분학의 관점에서
살펴볼 것입니다
첫 번째 문제입니다
θ에 대하여 r의 변화율을
어떻게 나타낼까요?
강의를 멈추고
풀어 보세요
r'(θ)는 무엇일까요?
사실, 새로운 내용은 없습니다
다른 함수에 변수가
하나 있는 셈입니다
연쇄 법칙을 사용합니다
여기서 θ에 대하여
미분을 취합니다
여기서 θ에 대하여
미분을 취합니다

English: 
sin of two times zero is just zero,
so our R we're just gonna be at the origin
and then as theta get larger,
our R gets larger
and so, we start tracing out
this pedal of this flower
or clover-looking thing,
so it starts looking like that
and we could keep going all the way.
What happens when theta
is equal to pi over four?
When theta is equal to pi
over four right over there,
well, sin of two times pi over four
is sin of pi over two,
R is equal to one.
So, we reach a kind of a maximum R there
and then and as theta increases,
our R once again starts to get smaller
and smaller and smaller.
Now, we're going to do
this in a calculus context,
so the first question might be
well, how do we express
the rate of change of R
with respect to theta?
Pause this video and see
if you can figure it out.
What is R prime of theta?
Well, there's really nothing new here.
You just have one variable
as a function of another.
You just use the chain rule.
Take the derivative with respect to theta
right over here.

Czech: 
Když théta je 0,
potom r bude taky 0.
R tedy bude v počátku,
a jak se théta bude zvětšovat,
r se také bude zvětšovat, a začne se
nám tvořit tento tvar květiny/čtyřlístku.
Začne to tedy vypadat jako naše křivka
a můžeme pokračovat dokola.
Co se stane, když se
théta rovná pí lomeno 4?
Pokud se tedy théta
rovná pí lomeno 4,
potom sin(2 krát pí lomeno 4) bude
sin(pí lomeno 2) a r se bude rovnat 1.
Dosáhneme tedy
maximálního r.
Následně jak se théta bude
zvětšovat, r se bude zmenšovat.
Nyní si to zkusme vyjádřit
pomocí diferenciálního počtu.
První otázka by mohla být, jak
vyjádříme rychlost změny r podle théty?
Pozastavte video
a zkuste si to sami.
Jaká je první
derivace r(théta)?
Nemáme tu ve
skutečnosti nic nového.
Máme pouze
jednu proměnnou.
Můžeme použít vzorec
pro derivaci složené funkci.
Uděláme derivaci
podle théty.

Bulgarian: 
тогава sin(2*0) = 0,
тогава за r се получава, че е в началото и,
когато θ нараства,
то и r нараства,
и започваме да поставяме тези точки
от това листенце на цветето, или детелината,
така че започва да придобива този вид
и продължаваме така през цялото време.
Какво се случва, когато θ = π/4?
Когато θ = π/4 ето тук,
то sin(2π/4),
e sin(π/2),
то r = 1.
Функцията достига до вид максимум там,
и като θ намалява, r започва
да намалява и става
все по-малък и по-малък.
Сега ще свържем това с 
математическия анализ,
така че първият въпрос може да бъде
как да изразим скоростта на промяна на r,
в зависимост от ъгъла θ?
Сложи видеото на пауза и разбери дали
 можеш да отговориш самостоятелно.
Какво е r'(θ)?
Тук наистина няма нищо ново.
Просто имаш една променлива
като функция на друга.
Просто прилагаш верижното правило
(производна на съставна функция).
Намиране на производна
спрямо θ от тази функция.

Czech: 
Derivace funkce sin(2 krát théta)
podle théty bude cos(2 krát théta),
násobeno derivací (2 krát théta)
podle théty, což je 2.
Násobíme tedy krát 2 nebo
můžeme pouze napsat 2 dopředu.
To bylo zajímavé, ovšem zkusme si
vyjádřit tuto křivku pomocí x a y.
Potom se zamysleme
nad touto derivací.
Pokud chcete přecházet mezi polárním
světem a světem kartézských souřadnic,
je nutné si uvědomit, že y se rovná r krát
sin(théta) a x se rovná r krát cos(théta).
Proč to dává smysl?
Vezměme si jeden z těchto úhlů
a řekněme, že toho je théta a toto je r.

Korean: 
2θ에 대한
sin(2θ)의 도함수는
cos(2θ)입니다
cos(2θ)입니다
그 다음
θ에 대한 2θ의 도함수
그 다음
θ에 대한 2θ의 도함수
즉, 2를 곱합니다
따라서 여기에 2를 곱하거나
앞에 2를 붙여주면 됩니다
좋습니다, 흥미롭군요
이번에는 이 곡선을
x와 y에 대하여
나타낼 수 있는지 알아보고
이 도함수들에 대하여
생각해 봅시다
미적분학 예습 부분의
복습으로써
극좌표의 세계와
직사각형의 세계라고도 할 수 있는
세계 사이를 살펴볼 때
다음 변환을 떠올려야 합니다
y = r·sin(θ)이고
x = r·cos(θ)입니다
빠르게 알려드리죠
왜 이것이 성립할까요?
여기 θ와 r의 조합
하나를 선택합니다
여기 θ와 r의 조합
하나를 선택합니다
이것이 θ이고
이것이 r입니다

English: 
So, the derivative of sin of two theta
with respect to two theta
is going to be cosine
of two theta
and then you multiply that,
times the derivative of two theta
with respect to theta which is two,
so we could just say times two here
or we could write a two out front.
Alright, that was interesting
but let's see if we can express this curve
in terms of Xs and Ys
and then think about those derivatives.
So, one primer, a review from pre-calculus
is that when you wanna go
between the polar world
and the, I guess you can
say rectangular world,
you have to remember the transformation
that Y is equal to R sin of theta
and that X is equal to R cosine of theta.
Now, just as a really quick primer,
why does that make sense?
Well, let's just take one of
these angle R combinations
right over here,
so let's say this is
theta and that is our R.
Well, the height of that side

Bulgarian: 
Производната на sin(2*θ),
спрямо θ ще бъде cos(2*θ)
Тогава можеш да го умножиш 
по производната на 2*θ,
спрямо θ, което e 2,
така че може да кажем само 2,
или може да напишем 2 отпред.
Това беше интересно,
но нека да видим дали може
да представим тази крива
чрез x и y и тогава да помислим
за производните.
Подобен пример, разгледан във въведението
в математическия анализ,
е, че когато искаш да преминеш
от полярни координати към правоъгълни,
трябва да запомниш трансформацията, че
y = r.sinθ,
a x = r.cosθ
Един много бърз пример,
защо това е така?
Нека да разгледаме една от комбинациите
между r и θ ето тук.
Нека това да е θ, а това r.

Czech: 
Čili výška této strany bude y
a délka této strany bude x.
Z trigonometrie víme, že sinus je
protilehlá strana lomeno přepona.
Zde je tedy sin(théta) roven
y lomeno přepona, což je r.
A kosinus z théty je roven přilehlé
straně, nebo pro nás x, lomeno r.
Obě strany rovnice musíme vynásobit r,
abychom dostali to samé co zde.
To je pouze opakování základů, pokud
by pro vás postup byl moc rychlý.
Nyní to můžeme vyjádřit
pouze pomocí thety.
Jak to uděláme?
Víme, že r se rovná sin(2 krát théta),
tak každé r nahradíme sin(2 krát théta).

English: 
is going to by our Y
and then the length of this side
is going to be our X.
Well, we know from trigonometry
from our unit circle definition,
the SOHCAHTOA definition
of our trig functions,
sin of theta is opposite over hypotenuse,
sin of theta is equal
to Y over our hypotenuse
which is R and cosine of theta
is equal to the adjacent or X over R
and you just have multiply both sides
of these equations by R
to get to what we have right over there
and once again, if this is going too fast,
this is a review
of just polar coordinates
from pre-calculus.
But now we can use these to express
purely in terms of theta.
How do we do that?
Well, we know that R is
equal to sin of two theta,
so you just have to replace these Rs
with sin of two theta.
So, Y would be equal to sin of two theta,
sin of two theta times sin of theta,

Korean: 
이 높이는 y가 되고
이 높이는 y가 되고
이 길이는 x가 됩니다
이 길이는 x가 됩니다
삼각함수의
SOHCAHTOA 정의인
단위원 정의로부터의
삼각법을 알고 있으므로
sin(θ) = 대변/빗변이므로
sin(θ) = y/r이고
cos(θ) = x/r입니다
cos(θ) = x/r입니다
이 방정식들의 양변에
r을 곱하여
이 방정식들의 양변에
r을 곱하여
위와 같은 식을 얻습니다
다시 한 번 말씀드리죠
속도가 너무 빠르겠지만
이는 미적분학 예습 부분에서
극좌표에 대한
복습이었습니다
하지만 이 식들을 이용하여
오직 θ에 대하여만
나타낼 수 있습니다
어떻게 할까요?
r = sin(2θ)이므로
r 대신 sin(2θ)를 대입합니다
r 대신 sin(2θ)를 대입합니다
따라서 y = sin(2θ)·sin(θ)이고

Bulgarian: 
Височината на тази страна
ще е координатата y,
а дължината на тази страна
ще бъде координатата x.
Знаем от тригонометрията,
от определението за окръжност,
и от определенията на
тригонометричните функции,
че sinθ е срещулежащият катет
върху хипотенузата.
sinθ e равна на y върху хипотенузата,
 т.е. sinθ = y/r
която е r, а cosθ е равна на
прилежащия катет, или x, 
върху r, т.е. cosθ = x/r
Просто трябва да умножиш
и двете страни на тези уравнения с r,
за да получиш това, което написахме тук.
Повтарям, ако това
 ти се струва твърде бързо,
това е само преговор
на полярните координати
от въведение в математическия анализ.
Сега обаче може да изразим тези формули
изцяло като зависимост от θ.
Как да го направим?
Знаем, че r = sin(2*θ),
така че трябва просто да замениш
радиусите r със sin(2*θ).
y ще бъде равно на sin(2*θ),

Bulgarian: 
т.е. sin(2*θ) умножено по sinθ,
умножено по sinθ.
x ще бъде равно на sin(2*θ),
умножено по cosθ,
умножено по cosθ.
Сега може да използваме тези изрази,
за да открием скоростта на промяна
 на y спрямо θ.
Търсим общ вид за това.
Сложи видеото на пауза и провери
 дали можеш да го направиш.
Нека го направим заедно.
Това е отново случай,
в който ще използваме техниките
 за намиране на производна.
Мога да напиша y'(θ),
производната на y спрямо θ.
Просто ще приложа правилото
за производна на произведение.
Производната на първия израз
е 2*cos(2*θ),
cos(2*θ) като това
вече го видяхме веднъж.
Този резултат следва
от верижното правило.
След това умножаваме 
по втория израз sinθ
и прибавяме първия израз,

English: 
times sin of theta
and X is going to be
equal to sin of two theta,
sin of two theta
times cosine of theta,
times cosine of theta, just like that
but now we can use these expressions
to find the rate of change
of Y with respect to theta,
find a general expression for it.
Pause the video and
see if you can do that.
Right, let's work through it together.
Well, this is once again,
we're just gonna use our
derivative techniques,
so I could write Y prime of theta,
the derivative of Y with respect to theta,
just gonna use the product
rule right over here,
derivative of this first expression
is two cosine of two theta,
cosine of two theta,
we've already seen that.
That's just coming out of the chain rule
and then times the second expression,
sin of theta
and then plus, plus the first expression,
sin of two theta,
sin of two theta

Czech: 
Y tak bude rovno sin
(2 krát théta) krát sin(théta)
a x bude rovno sin
(2 krát théta) krát cos(théta).
Tyto výrazy nyní můžeme využít
k nalezení rychlosti změny y podle théty.
Pozastavte video
a zkuste si to sami.
Nyní to zkusíme společně.
Využijeme našich
znalostí derivací.
Derivace y podle théty a
použijeme součinové pravidlo.
Derivace prvního výrazu bude 2 krát
cos(2 krát théta), to už jsme viděli.
To vychází z pravidla
pro derivaci složené funkci.

Korean: 
따라서 y = sin(2θ)·sin(θ)이고
따라서 y = sin(2θ)·sin(θ)이고
x = sin(2θ)·cos(θ)입니다
x = sin(2θ)·cos(θ)입니다
x = sin(2θ)·cos(θ)입니다
x = sin(2θ)·cos(θ)입니다
이 식들을 이용하여
θ에 대한
y의 변화율을 구합니다
일반화된 식을 구합니다
강의를 멈추고
한 번 해보세요
좋아요
같이 해봅시다
이번에도
도함수 기법을 사용합니다
y'(θ)
즉, θ에 대한 y의 도함수는
여기에 곱셈 법칙을
적용합니다
이 첫 번째 식의
도함수는
2cos(2θ)입니다
2cos(2θ)입니다
연쇄 법칙을 적용한 결과입니다
연쇄 법칙을 적용한 결과입니다
여기에 두 번째 식을 곱합니다
2cos(2θ)·sin(θ)이죠
그 다음 이 식을 더합니다
sin(2θ)

Czech: 
Potom krát druhý výraz, sin(théta),
plus první výraz, sin(2 krát théta),
potom krát derivace druhého
výrazu, což je cos(théta).
To samé můžeme udělat
pro x, derivace prvního výrazu,
což bude 2 krát cos(2 krát théta)
krát cos z théty,
poté první výraz, sin(2 krát théta)
krát derivace druhého výrazu,
to je −sin(théta).
Můžeme to vypočítat
pro určité body.
Můžeme například říci,
že théta se rovná pí lomeno 4.
Když se théta
rovná pí lomeno 4,
potom budeme
v tomto bodě.
Zkusme si
to vypočítat.

English: 
times the derivative of
the second expression,
derivative of the sin of
theta is cosine of theta.
Fair enough and we could
do the same thing for X.
X prime of theta,
derivative of the first expression,
it is going to be two
times cosine of two theta,
two times cosine of two theta,
times the second expression,
cosine of theta
and then you're gonna
have the first expression,
sin of two theta,
times the derivative of
the second expression
which is negative sin of theta,
negative sin of theta
and we could use this,
we could actually
evaluate these at points.
For example, we could say
well, what's happening
when theta is equal to pi over four?
So, when theta's pi over four,
I'll do that in black right over here.
We are going to be at this point
right over there.
Well, let's evaluate it.
So, if I were to say Y prime

Korean: 
sin(2θ)
두 번째 식의 도함수인
sin(θ)의 도함수인
cos(θ)를 여기에 곱합니다
좋습니다
x도 똑같이 합니다
x'(θ)는
첫 번째 식의 도함수는
2cos(2θ)이고
2cos(2θ)이고
여기에 두 번째 식
cos(θ)를 곱합니다
그 다음 첫 번째 식
sin(2θ)와
두 번째 식의 도함수인
-sin(θ)를 곱합니다
-sin(θ)를 곱합니다
이를 이용하여
특정한 점에서 이들을
계산할 수 있습니다
예를 들어, θ = π/4일 때
무슨 일이 일어날까요?
θ = π/4일 때
검은색으로 해볼게요
이 점이 되겠죠
이 점이 되겠죠
계산해 봅시다

Bulgarian: 
sin(2*θ),
умножен по производната
на втория израз.
Производната на sinθ e cosθ.
Можем да направим същото и за x.
x'(θ) е равна на производната
 на първия израз,
което ще бъде 2*cos(2*θ),
умножено по втория израз, cosθ.
След това взимаме
 първия израз sin(2*θ)
и го умножаваме по производната
на втория израз,
който е –sinθ.
Можем да използваме резултите
и дори да ги определим
за различни точки.
Например можем да се запитаме
какво се случва,
когато θ = π/4?
Когато θ = π/4...
Ще оцветя това тук в черно.
Ще се намираме в тази точка,
точно там.
Нека да направим оценка.

Czech: 
Derivace y v bodě (pí lomeno 4) se
rovná 2 krát cos(pí lomeno 2).
krát sin(pí lomeno 4) plus
sin(2 krát pí lomeno 4),
což je sin(pí lomeno 2),
krát cos(pí lomeno 4).
Čemu se to
bude rovnat?
Cos(pí lomeno 2) je 0,
čili toto celé bude 0.
Zde je sin(pí lomeno 2), což je 1, cos(pí
lomeno 4) je odmocnina ze 2 lomeno 2,
takže toto bude
odmocnina ze 2 lomeno 2.
Bude se to tedy rovnat
odmocnině ze 2 lomeno 2.

English: 
of pi over four is equal to, let's see,
this is going to be equal to two cosine
of pi over two, two times pi over four,
times sin of pi over four
plus sin of two times pi over four
is sine of pi over two
times cosine of pi over four.
Cosine of pi over four.
What is this going to be equal to?
Well, cosine of pi over two is zero,
so if that's zero all of
this stuff's gonna be zero
and here's sin of pi over two,
this is one, cosine of pi over four
is square root of two over two,
square root of two over two,
so this is going to be equal
to square root of two over two
and actually just for the
sake of saving some space
I'll just write it right over here.
It's going to be equal to
square root of two over two.

Korean: 
y'(π/4)를 계산해 보죠
y'(π/4)를 계산해 보죠
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4)
이를 정리하면 무엇이 될까요?
cos(π/2) = 0이므로
이 값이 0이면
이 식은 0이 됩니다
sin(π/2) =  1이고
cos(π/4) = √2/2이므로
cos(π/4) = √2/2이므로
cos(π/4) = √2/2이므로
√2/2입니다
공간 확보를 위해
여기에 적을게요
정답은 √2/2입니다

Bulgarian: 
Ако приема, че
y'(π/4) е равно на...
това ще е равно на 2*cos(π/2),
т.е. cos от 2π/4,
умножено по sin(π/4)
плюс sin(2π/4),
което е sin(π/2),
умножено по cos(π/4)
Косинус от π/4.
На какво ще бъде равно това?
Косинус от π/2 е 0,
така че ако това е 0, всичко това
 ще е равно на 0,
а тук има sin(π/2),
което е 1, следващото cos(π/4),
е sqrt(2)/2,
квадратен корен от две, 
цялото върху две,
така че цялото ще бъде равно
 на sqrt(2)/2
Всъщност с цел да спестим място,
ще го напиша ето тук.
Ще бъде равно на sqrt(2)/2.

Korean: 
x에 대해서도 똑같이 합니다
x'(π/4)를 계산합니다
보시죠
2cos(2·π/4)는
2cos(2·π/4)는
2cos(π/2)입니다
첫 번째 부분은 똑같이
0이 됩니다
그 다음
이 식은 0이고
-sin(π/2)·sin(π/4)
-sin(π/2)·sin(π/4)
-sin(π/2)·sin(π/4)
-sin(π/2)·sin(π/4)
-sin(π/2)·sin(π/4)
sin(π/2) = 1이고
sin(π/4) = √2/2이므로
sin(π/4) = √2/2이므로
계산하면 -√2/2입니다
왜 이것이 성립하는지
확인해 봅시다
여기서 θ가 증가하면서
무슨 일이 일어나는지
상상해 봅시다
π/4에서
θ가 살짝 증가하면
π/4에서
θ가 살짝 증가하면
살짝 증가하면

English: 
Well, we could do the
same exercise with X.
We could say X prime of pi over four.
Let's see.
We're still gonna have
two times cosine of two
times pi over four,
so that's going to be two
times cosine of pi over two.
This first part right over
here is gonna look the same,
so that first term's gonna be zero.
Then we're gonna have minus,
so this is all gonna be zero,
so then we're gonna have minus sin
of pi over two times pi over four
is sin of pi over, sin of pi over two,
and then times sin of pi over four,
sin of pi over four.
Now, this is just going to be one
and so, this is gonna be equal to
and this is square root
of two over two as well,
so this is negative square
root of two over two.
Now let's see why that that makes sense.
So, let's think about what happens
as theta increases here.
If you increase theta a little bit
from pi over four,
if you increase it just a little bit,

Czech: 
To samé můžeme udělat s x.
Derivace x(pí lomeno 4).
Máme 2 krát cos(2 krát pí lomeno 4),
což bude 2 krát cos(pí lomeno 2).
První část bude vypadat stejně,
takže první výraz bude 0.
Dál minus sin(pí lomeno 2),
2 krát (pí lomeno 4),
to je sin(pí lomeno 2),
krát sin(pí lomeno 4).
Toto bude 1, toto bude
odmocnina ze 2 lomeno 2,
čili výsledek bude minus
odmocnina ze 2 lomeno 2.
Pojďme si ukázat,
proč to dává smysl.
Co se stane, když ze
bude zde théta zvětšovat?

Bulgarian: 
Може да направим същото и с x.
Тоест, x'(π/4).
Нека да видим.
Отново имаме 2*cos(2π/4),
така че това ще бъде cos(π/2).
Първата част ето тук ще изглежда
по същия начин,
така че първият член ще бъде 0.
След това имаме минус,
а това цялото ще е 0,
следователно имаме
–sin(2π/4),
което е sin(π/2).
След това е умножено по sin(π/4),
Това ще бъде 1, така че
това ще бъде равно на...
това е sqrt(2)/2 също, следователно
е равно на –sqrt(2)/2.
Нека да видим защо това е така.
Нека да помислим какво се случва,
когато θ нараства тук.
Ако θ нарасне малко
от π/4,
ако съвсем малко нарасне,

Bulgarian: 
y координатата продължава да нараства,
така че логично наклонът (ъгловият коефициент)
 тук е положителен.
Какво обаче се случва с x,
когато θ нарасне малко,
например от тук стигне до тук?
Тогава x координатата 
започва да намалява,
когато θ нараства,
и това обяснява защо
има отрицателна скорост 
на изменение (намалява) ето тук.
Следващия въпрос, който може
 да зададеш, например:
ако искам да определя
скоростта на изменение
на y спрямо x,
защото искам да открия наклона
на тангентата в тази точка.
Изглежда, че наклонът е –1,
но как действително ще го изчислим?
Един начин да мислим за това
е производната на y,
производната на y спрямо x,
и това ще е равно на 
производната на y спрямо θ,
върху производната на x спрямо θ.
В тази стойност,
или за θ = π/4
това ще е равно
на sqrt(2)/2,

Korean: 
y좌표는 계속 증가하므로
변화율은 양수가 맞습니다
그러나 θ가 살짝 증가하면
그러나 θ가 살짝 증가하면
x좌표는 어떻게 되나요?
θ가 증가할 때
x좌표는 감소하기 시작합니다
따라서 변화율은
음수가 맞는 것입니다
따라서 변화율은
음수가 맞는 것입니다
따라서 변화율은
음수가 맞는 것입니다
다음 문제입니다
x에 대한 y의 변화율을
구하고자 합니다
x에 대한 y의 변화율을
구하고자 합니다
여기 접선의 기울기를
구하고 싶기 때문이죠
기울기가 -1인 것처럼 보이지만
실제로 어떻게 계산하나요?
한 가지 방법은
x에 대한 y의 도함수는
x에 대한 y의 도함수는
θ에 대한 y의 도함수를
θ에 대한 x의 도함수로
나눈 것과 같습니다
θ = π/4일 때
θ = π/4일 때
이 값은
(√2/2)/(-√2/2)입니다
이 값은
(√2/2)/(-√2/2)입니다

Czech: 
Pokud trochu zvýšíme thétu z pí lomeno 4,
souřadnice y se bude i nadále zvětšovat.
Proto dává smysl,
že tu máme kladný sklon.
Co se ale stane souřadnici x,
když se théta zvětší?
X se zmenšuje, jak se théta zvětšuje, proto
dává smysl tato záporná rychlost změny.
Další věc, kterou můžeme zkusit,
je najít rychlost změny y podle x.
Chceme totiž
najít sklon tečny.
Vypadá to, že je to −1,
ovšem jak to spočítáme?
Můžeme to pojmout
jako derivaci y podle x,
která bude rovna derivaci y podle théty
lomeno derivací x podle théty.
Pro tuto hodnotu,
théta rovno pí lomeno 4,

English: 
your Y coordinate continues to increase,
so it makes sense you have
a positive slope here.
But what happens to your X coordinate
as theta increases a little bit,
as theta goes from there to there?
Well, then your X coordinate
starts to decrease
when theta increases,
so that's why it makes sense
that you have a negative rate of change
right over here.
Now, the next question that you might say
is say is well, I wanna
find the rate of change
of Y with respect to X
because I want to figure out the slope
of the tangent line right over there.
And it looks like it has
a slope of negative one
but how would we actually calculate it?
Well, one way to think about it is
the derivative of Y,
the derivative Y with respect to X
is going to be equal
to the derivative of Y
with respect to theta
over the derivative of X
with respect to theta.
And so, at that value,
so at theta is equal to pi over four,
this is going to be equal
to positive square root
of two over two

Korean: 
이 값은
(√2/2)/(-√2/2)입니다
이 값은
(√2/2)/(-√2/2)입니다
간단히 하면 -1입니다
맞네요
실제로도 이 접선의 기울기는
-1인 것처럼 보이네요
따라서 이 식을 모두 합치면
조금 더 편안해지고
극좌표에 대한
복습을 살짝 했지만
도함수를 구함으로써
지식을 확장하였습니다

English: 
over negative square root of two over two,
negative square root of two over two
and this all simplifies to
being equal to negative one,
which makes sense.
This does look indeed like a tangent line
that has a slope of negative one.
So, hopefully this puts it altogether,
you're feeling a little
bit more comfortable,
you got a review a little bit
of the polar coordinates
but we've augmented that knowledge
by starting to take some derivatives.

Bulgarian: 
върху –sqrt(2)/2.
След опростяване, това цялото
 е равно на –1,
което изглежда логично.
Това изглежда точно като тангента,
която има наклон от –1.
Надявам се, че това изяснява задачата,
и се чувстваш малко по-уверено.
Припомнихме си малко
полярните координати,
но и научихме нещо ново
като започнахме 
да намираме производни.

Czech: 
to bude rovno odmocnina ze 2 lomeno 2, to 
celé lomeno minus odmocnina ze 2 lomeno 2.
To se dá zjednodušit
a vyjde nám −1, což dává smysl.
Toto vypadá jako tečna,
která má sklon −1.
Doufám, že to všechno do sebe zapadá,
a že už se v tom trochu více vyznáte.
Zopakovali jsme si polární souřadnice
a trochu jsme to rozšířili o derivace.
