
English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is come up with a more rigorous
definition for continuity.
And the general idea of continuity,
we've got an intuitive idea of the past,
is that a function is
continuous at a point,
is if you can draw the
graph of that function
at that point without
picking up your pencil.
So what do we mean by that?
And this is...
What I just said is not that rigorous,
or not rigorous at all,
is that well, let's think about
the point right over here.
Let's say that's RC.
If I can draw the graph at that point,
the value of the function at that point
without picking up my pencil, or my pen,
then it's continuous there.
So I could just start here,
and I don't have to pick up my pencil,
and there you go.
I can go through that point,
so we could say that our
function is continuous there.
But if I had a function that looked
somewhat different that that,
if I had a function that looked like this,
let's say that it is
defined up until then,
and then there's a bit of a jump,

Korean: 
이번 영상에서는
연속성의 정의를 좀 더 엄격하게
내려보려고 합니다
연속성의 통상적인 개념에 대해서
우리가 이전에 직관적으로
이해하고 있었던 것은
함수가 어떤 점에서 연속되는 경우
연필을 들었다 놓지 않고도
그 점을 지나 함수의 그래프를
그릴 수 있다는 것이었습니다
이것의 정확한 의미가 무엇일까요?
방금 말했던 정의는 그렇게
엄격하지 않습니다
전혀 엄격하지 않아요
여기에 있는
점에 대해 고려해봅시다
이것을 점 C라고 합시다
연필을 들었다 놓지 않고도
이 점에서 함수의 그래프를
그릴 수 있다면
함수는 해당 점에서
연속됩니다
그러니 여기에서 시작해서
연필을 들었다 놓지 않고도
보시는 것처럼
해당 점을 지나갈 수 있죠
따라서 이 함수는 해당 점에서
연속된다고 말할 수 있습니다
하지만 만약
함수가 다르게 생겼다면 어떨까요
이렇게 생긴 함수입니다
점 c까지는 정의되어 있다가
중간에 점프를 해서

Czech: 
V tomto videu zavedeme
přesnější definici spojitosti.
A základní myšlenka spojitosti…
V minulosti jsme měli
intuitivní definici, a ta je taková,
že funkce je v bodě spojitá,
pokud můžeme nakreslit její graf
v tomto bodě bez zvednutí tužky.
A co tím přesně myslíme?
A tohle je…
Co jsem zrovna řekl není úplně přesný
popis, vlastně to vůbec není přesné.
Koukněme se
na tento bod.
Řekněme,
že to je ‚c‘.
Pokud můžeme nakreslit graf funkce
v tomto bodě bez zvednutí tužky,
pak je zde funkce spojitá.
Tedy můžu začít tady, nemusím
zvednout pero a pak pokračuji dál.
Můžu projít tímto bodem, takže můžeme
říct, že naše funkce je v něm spojitá.
Ale kdybych měl funkci,
která vypadá jinak,
kdybych měl funkci,
která vypadá takto.

Bulgarian: 
В настоящия урок ще
дадем по-точна дефиниция за
непрекъснатост.
Основната идея на непрекъснатостта –
имаме само интуитивна идея от преди –
е, че една функция е непрекъсната
в точка,
ако можеш да начертаеш графиката
на функцията
в тази точка, без да повдигаш
молива си от листа.
Какво имам предвид с това?
Това е следното.
Изказаното току-що определение
не е толкова точно,
или въобще не е точно,
но нека да разгледаме тази точка тук.
Нека да кажем, че това е точка C.
Ако мога да начертая графиката в тази
точка,
или стойността на функцията в тази
точка,
без да повдигам молива или химикала
си от листа,
то функцията е непрекъсната в тази
точка.
Мога да започна от тук и не е необходимо
да повдигам молива си,
и сме готови.
Мога да мина през тази точка,
така че може да кажем, че функцията е
непрекъсната в нея.
Но може да имаме и функция, която
изглежда
по-различно от сегашната.
Може да имаме функция, която
изглежда ето така.
Нека да кажем, че е дефинирана
до тази точка и след това има малък
скок.

English: 
and then it goes like this,
well this would be very hard to draw at...
This function would be very hard to draw
going through x equals c
without picking up my pen.
Let's see, my pen is touching the screen,
touching the screen, touching the screen.
How do I keep drawing this function
without picking up my pen?
I would have to pick it up,
and then move back down here.
And so that is an intuitive sense
that we are not continuous
in this case right over here.
Well let's actually come up
with a formal definition for continuity,
and then see if it feels intuitive for us.
So the formal definition of
continuity, let's start here,
we'll start with continuity at a point.
So we could say the
function f is continuous...
Continuous at x equals c.
If, and only if...

Bulgarian: 
А след това продължава по следния
начин.
Ще бъде трудно да се начертае по този
начин...
Тази функция ще бъде трудно да се
начертае по този начин,
преминавайки през х = С 
без да повдигам молива си.
Нека проверим. Писецът ми
докосва екрана,
придвижва се по него ето така.
Как мога да продължа да чертая
функцията,
без да повдигам писеца от екрана?
Трябва да го повдигна
и да се преместя ето тук долу.
Това е интуитивното усещане,
че функцията е прекъсната в тази
точка ето тук.
Всъщност нека да дадем
формално определение за
непрекъснатост
и да видим дали ни се струва
интуитивно.
За формалното определение за
непрекъснатост нека започнем от тук.
Ще започнем от непрекъснатост в
точка.
Може да кажем, че една функция f
е непрекъсната...
Непрекъсната в точка х равно на С,
тогава и само тогава...

Korean: 
다른 지점에서 계속됩니다
이 함수의 경우에는
x가 c가 되는 지점을 지나면서
연필을 들었다 놓지 않고
함수 그래프를 그리기는 불가능합니다
연필이 종이에 닿아 있죠
계속 닿아 있습니다
그런데 이 지점에서
연필을 들지 않고도
어떻게 함수 그래프를
계속 그릴 수 있을까요?
연필을 들어서
이 지점에서 다시 놔야겠죠
따라서 이것이 함수가 해당
점에서 연속되지 않는다는 것을
직관적으로 이해하는 방법입니다
이제 연속성의 정의를
정식으로 내려봅시다
그리고 그 정의가 직관적으로
이해되는지 한 번 봅시다
어떤 점에서의 연속성부터
시작해 봅시다
함수 f는 x가
c가 되는 지점에서 연속됩니다
함수 f는 x가
c가 되는 지점에서 연속됩니다
다음 전제 하에서만 말입니다

Czech: 
Řekněme, že je definovaná až sem, poté
je tady skok a pak pokračuje takto.
To by bylo těžké
nakreslit v…
Tato funkce by se těžko nakreslila
v bodě x rovno ‚c‘ bez zvednutí tužky.
Moje pero se dotýká obrazovky,
dotýká obrazovky, dotýká obrazovky...
Jak ale můžu pokračovat v kreslení
grafu bez zvednutí pera?
Musel bych ho zvednout
a posunout sem dolů.
A to je intuitivní chápání toho,
že v tomto případě funkce není spojitá.
Teď zaveďme formální
definici spojitosti,
a pak uvidíme, jestli souhlasí
s naší intuitivní definicí.
Tedy formální definice,
začněme tady.
Začneme se spojitostí v bodě.
Řekneme, že funkce f je spojitá
v bodě x rovno ‚c‘ právě tehdy, když…

Korean: 
이 화살표는 명제가 아래 조건
하에서만 성립한다는 뜻입니다
x가 c에 한없이 가까워질 때
f(x)의 양쪽 극한은
f(c)와 같습니다
상당히 기술적이고
복잡해 보이네요
하지만 이 명제가 내포하는
의미에 대해 생각해 봅시다
그것은 바로
x가 양쪽 방향으로부터
c에 한없이 가까워질 때
f(x)가 그 지점에서의
실제 함수값과 동일하다면
해당 점에서 함수는
연속된다는 것입니다
세 가지 예제를 살펴봅시다
첫 번째 예제부터 살펴보아요
연필 들었다 놓기 정의에서는
어떤 점에서 연속되다는 것이
무슨 느낌인지 알았습니다
이제 어떤 점에서 연속되지
않는 것이란 무엇인지
두 가지 정도의 예제를
통해 알아보고
우리가 내린 엄격한 정의가
어떻게 적용되는지 알아봅시다
우리의 함수
여기 그려진 함수 그래프가
y는 f(x)라고 가정합시다
우리가 신경써야 할 부분은
x가 c인 이 점에서
함수가 어떻게 되는지입니다
이것이 x축이고
이것이 y축입니다

Czech: 
Nakreslím zde oboustrannou šipku,
která značí „právě tehdy, když“.
...oboustranná limita f(x)
pro x blížící se k ‚c‘ je rovna f(c).
To působí velmi technicky.
Ale zamysleme se nad
tím, co nám to říká.
Říká to, že pokud se limita funkce f(x)
zprava a zleva v bodě ‚c‘…
Pokud se rovná funkční hodnotě,
tak je v tomto bodě funkce spojitá.
Koukněme se
na tři příklady.
Podíváme se
na jeden příklad,
v němž to použitím našeho „zvedání pera“
vypadá, že funkce je v bodě spojitá.
A pak se zamyslíme
nad dvěma příklady,
kde to nevypadá, že by funkce
v daném bodě byla spojitá,
a uvidíme, jak se použije
tato přesná definice.
Řekněme tedy,
že moje funkce…
Toto je y se rovná f(x).
A zajímá nás chování
v bodě x rovná se ‚c‘.
Toto je osa x a
tohle bude osa y.

English: 
I'll draw this two-way arrow
to show if, and only if,
the two-sided limit of f of x,
as x approaches c,
is equal to f of c.
So this seems very technical.
But let's just think
about what it's saying.
It's saying look,
if the limit as we approach c
from the left and the right of f of x,
if that's actually the
value of our function there,
then we are continuous at that point.
So let's look at three examples.
Let's look at one
example, we are, we're...
By our picking-up-the-pencil idea,
it feels like we are
continuous at a point.
And then let's think
about a couple of examples
where it doesn't seem like
we're continuous at a point,
and see how this more
rigorous definition applies.
So, let's say that my function...
So let's say this right over here
is y is equal to f of x.
And, we care about the
behavior right over here
when x is equal to c.
This is my X-axis, that's my Y-axis.

Bulgarian: 
ще начертая тази двойна стрелка, за да
означа "тогава и само тогава"...
границата и от двете страни на f от x,
когато х клони към С,
е равна на f от С.
Това звучи много техническо.
Нека да помислим обаче какво ни
казва.
Гласи следното. Ако границата
когато х клони към С,
от лявата страна и дясната страна
на f от х,
действително е равна на стойността на
функцията в точка С,
то функцията е непрекъсната в тази
точка.
Нека да разгледаме три примера.
Нека да разгледаме първия пример...
Когато използваме идеята за
"повдигане на молива"
изглежда, че функцията е непрекъсната
в дадена точка.
Нека след това да разгледаме няколко
примера,
където не изглежда, че функцията
е непрекъсната в дадена точка,
и да видим как може да приложим това
по-точно определение.
Нека да кажем, че имам дадена функция.
Нека да кажем, че това тук
е у равно на f от х.
Интересува ни поведението на
функцията ето тук,
където х е равно на С.
Това е оста х, а това е оста у.

Korean: 
x가 c일 때 함수가 어떻게
되는지가 중요합니다
여기서 눈여겨볼 것은
직관적으로 봤을 때
연필을 들었다 놓지 않고도
x가 c가 되는 점을 지나며
함수를 그릴 수 있습니다
함수가 연속되는 것처럼 느껴집니다
중간에 점프나 불연속성이 있는
것처럼 느껴지지 않고
함수가 계속되는 것처럼 보입니다
함수 전체가 연결되어 있다고
볼 수 있습니다
하지만 이 정의에 대해
고려해 봅시다
x가 왼쪽으로부터
c에 가까워질 때
마치 f(c)에 가까워지는
것처럼 보입니다
여기 표시된 것이
f(c)의 값입니다
x가 오른쪽으로부터
c에 가까워질 때
이때도 역시 f(c)에 
가까워지는 것처럼 보입니다
x가 c인 점에서 함수는
정의되어 있고요

English: 
So we care about the behavior
when x is equal to c.
And so, notice,
from our first intuitive sense,
I can definitely draw this function
as we go through x equals c
without picking up my pencil,
so it feels continuous there.
There's no jumps or
discontinuities that we can tell.
It just kind of keeps on going.
It seems all connected, is
one way to think about it.
But let's think about this definition.
Well, the limit as x approaches
c from the left, it is...
As we approach from the left,
it looks like it is approaching...
It looks like it is approaching f of c.
So this is the value,
f of c right over here.
And as we approach from the right,
as we approach from the right,
it also looks like it's
approaching f of c.
And we are defined right at x equals c.

Czech: 
Zajímá nás chování
v bodě x rovno ‚c‘.
Všimněme si, že
intuice nám radí,
že tuhle funkci můžeme nakreslit
a projít bodem ‚c‘ bez zvednutí tužky.
Takže funkce se
zde zdá být spojitá.
Není tu žádný skok ani jiné nespojitosti,
o kterých bychom věděli.
Prostě to pořád
pokračuje.
Můžeme nad tím přemýšlet tak,
že to vypadá všechno spojeně.
Ale zamysleme
se nad definicí.
No, limita pro x
blížící se k ‚c‘ zleva je…
Když se blížíme zleva,
tak se zdá, že jsme skoro u…
...vypadá to, že
se blížíme k f(c).
Zde je funkční hodnota f(c).
A když se blížíme zprava…
Když se blížíme zprava,
tak se zdá, že se také blížíme k f(c).
Funkční hodnota je v bodě
x rovno ‚c‘ definovaná

Bulgarian: 
Интересува ни поведението на
функцията, когато х е равно на С.
Забележи,
че от нашето първоначално усещане,
определено мога да начертая
функцията,
като не повдигам молива си, когато
преминавам през х равно на С.
Следователно изглежда непрекъсната
в тази точка.
Няма скокове или прекъсвания, които
може да видим.
Сякаш просто продължава по пътя си.
Всички точки изглеждат свързани. Това
е един от начините за разсъждение.
Нека да помислим върху това
определение.
Границата, когато х клони към С
отляво, е...
Когато се приближаваме отляво
изглежда, че се приближаваме,
сякаш се приближаваме към f от С.
Това ето тук е стойността на f от С.
Когато се приближаваме отдясно...
Приближаваме се отдясно
изглежда, че отново функцията клони
към f от С.
Функцията е дефинирана точно
в точката х равно на С.

Czech: 
a zároveň je to ta hodnota,
ke které se blížíme zprava i zleva.
Takže to vypadá celkem dobře.
Koukněme se na případy,
kde musíme zvednout tužku, když
kreslíme funkci v nějakém bodě,
Když se x rovná ‚c‘.
Tak se na to podíváme.
Podíváme se na případ
takzvané odstranitelné nespojitosti,
i když tuto terminologii
ještě nemusíte znát.
Mějme tedy funkci…
Tady bude ‚c‘.
A naše funkce by mohla
vypadat nějak takto.
Funkce jde takto a v
bodě ‚c‘ je rovna tomuto.
f(c) je zde.
f(c) je tato hodnota.
Ale jaká je limita
pro x blížící se k ‚c‘?
Limita pro x blížící se k ‚c‘,
je to oboustranná limita...

Bulgarian: 
И това е стойността, към която клони
функцията
и отдясно, и отляво.
В този случай това изглежда добре.
Нека сега разгледаме други случаи,
където ще се наложи да повдигнем
молива си,
когато чертаем функцията и
преминаваме през тази точка.
През точката,
когато х е равно на С.
Нека да разгледаме такъв случай.
Нека да разгледаме случай, където
имаме
нещо, което често се нарича точка
на прекъсване.
Въпреки че не е необходимо да знаеш
точната терминология в този случай.
Да кажем, че имаме следната функция.
Нека да видим. Това е точката С.
Нека функцията да изглежда ето така.
Да има следния вид.
Движи се ето така
и нека в точката С да е равна на това.
f от С се намира ето тук.
f от С ще бъде ето тази стойност.
На какво обаче е равна границата,
когато х клони към С?
Границата, когато х клони към С,
ще бъде двустранна граница на f от х.

English: 
And it is the value
that we are approaching
from both the left or the right.
So this seems good in this scenario.
So now let's look at some scenarios
that we would have to pick up the pencil
as we draw the function through
that point, through that...
Through that...
When x is equal to c.
So let's look at a scenario.
Let's look at a scenario where we have
what's often called a point discontinuity,
although you don't have
to know at this point,
no pun intended, the
formal terminology for it.
So let's say we have a function that...
Let's see, this is c.
Now let's say our function
looks something...
Something like this.
So we go like this,
and at c let's say it's equal to that.
So, f of c is right over here.
F of c would be that value.
But what's the limit as x approaches c?
So the limit as x approaches c,
this would be a two-sided limit of f of x.

Korean: 
그리고 정의된 함수값은
왼쪽과 오른쪽 양 방향으로부터
가까워지는 값이기도 합니다
이 경우에는 정의가 잘 맞아떨어집니다
이제 다른 경우들을 좀 살펴보죠
함수 그래프를 그리려면
연필을 들었다 놔야지만
x가 c가 되는 점을
지날 수 있는
경우들을 살펴봅시다
한 가지 경우를 살펴봅시다
점 불연속성이라 불리는
경우에 대해 살펴봅시다
물론 이 시점에서
점 불연속성의
정식 정의에 대해
반드시 알 필요는 없습니다
이런 함수가 있다고 가정합시다
이것이 점 c입니다
이제 주어진 함수가
이렇게 생겼다고 가정합시다
함수 그래프는 이렇게 생겼고
c에서의 함수값은
이 값입니다
f(c)는 이 값과 같을 겁니다
x가 c에 가까워질 때
극한값은 무엇일까요?
x가 c에 가까워지면서
이처럼 f(x)의 양쪽 극한이 됩니다

Czech: 
Když se blížíme zleva, tak to vypadá,
že se blížíme k této hodnotě.
A když se blížíme zprava,
tak se blížíme ke stejné hodnotě.
Tuto hodnotu
si nazveme 'L'.
A 'L' není rovno f(c).
V tomto případě tak podle naší formální
definice nejde o funkci spojitou v…
f není spojitá
v bodě ‚c‘.
To můžeme vidět i tak,
že si to zkusíme nakreslit.
Tužka se dotýká papíru,
dotýká se, dotýká se papíru.
Ale ne! Pokud chci pokračovat v kreslení,
tak musím tužku zvednout a posunout ji.
Pak ji musím znovu zvednout 
a zase se vrátit sem dolů.
A podle přesné definice
dojdeme ke stejnému závěru.
Limita pro x blížící se k ‚c‘ zprava
a zleva je jiná hodnota než f(c).
Tudíž funkce
není spojitá.
Není tedy spojitá.

English: 
Well, this is, as we
approach from the left,
it looks like we are approaching
this value right over here.
And from the right,
it looks like we are
approaching that same value.
And so, we could call that L.
And L is different than f of c.
And so, in this case, by
our formal definition,
we will not be continuous at, for...
F will not be continuous for x is equal...
Or at the point x...
Or when x is equal to c.
And you can see that there.
If we try to draw this, okay,
my pencil is touching the paper,
touching the paper, touching the paper.
Uh oh, if I needed to keep
drawing this function,
I'd have to pick up my
pencil, move it over here,
then pick it up again and
then jump right back down.
And but this rigorous definition
is giving us the same conclusion.
The limit as we approach x equals c
from the left and the right,
it's a different value than f of c.
And so, this is not continuous.
Not...
Not continuous.
And let's think about another scenario.

Bulgarian: 
Когато се приближаваме към С отляво,
изглежда, че се приближаваме към тази
стойност тук.
А когато се приближаваме отдясно,
изглежда, че се приближаваме към
същата стойност.
Може да наречем тази стойност L.
И L е различно от f от С.
В този случай, според формалното
определение,
функцията не е непрекъсната,
тоест не е непрекъсната в точката х равно
на...
Или в точка х...
Тоест в точката х равно на С.
И може да видиш това тук.
Ако се опитаме да го начертаем,
ето, че моливът ми докосва листа,
продължава да се движи по него.
Ох, ако искам да продължа да чертая
функцията,
трябва да повдигна молива си, да го
преместя ето тук,
да го повдигна отново и след това да
се върна ето тук.
Чрез формалното определение
достигаме до същото заключение.
Границата, когато х клони към С,
отляво и отдясно,
е различна стойност от f от С.
Следователно функцията не е
непрекъсната.
Не е...
Не е непрекъсната.
Нека да разгледаме и друг случай.

Korean: 
왼쪽으로부터 가까워지면서
여기 이 값을 향해 
가까워지는 것처럼 보입니다
그리고 오른쪽으로부터
가까워지는 값 역시
같은 값으로 보입니다
이 값을 L이라고 부릅시다
L은 f(c)와는
다른 값입니다
여기에서 정식 정의에 따르면
함수 f(x)는
x가 c일 때
연속되지 않습니다
여기서 볼 수 있죠
이것을 그려보려고 하면
연필이 표면에 닿아 있고
계속 닿아 있다가
이 지점에서
함수를 계속 그리려면
연필을 들어서
이 지점으로 옮긴 다음
다시 연필을 들어 원래의
지점으로 내려와야 합니다
전에 내렸던 엄격한 정의 역시
같은 결론을 내리고 있습니다
왼쪽과 오른쪽
양 방향으로부터
x값이 c에 가까워질 때의
극한값은
f(c)와는 다른 값입니다
따라서 이 함수는
연속되지 않습니다
연속되지 않음

Bulgarian: 
Да разгледаме следния случай.
Може би това да е случай,
където границата,
тоест двустранната граница дори
не съществува.
Това са осите х и у.
Нека да кажем, че функцията прави
нещо такова.
Да кажем, че прави ето така.
Прави ето това и след това продължава
ето така.
Нека да кажем, че това тук
е стойността С.
Нека да видим. Това тук е f от С.
Това е...
Нека го начертая малко по-хубаво.
Това е f от С.
Изглежда, че границата,
когато х клони към С отляво,
тоест със стойности по-малки от С,
изглежда, че функцията клони към
f от С.
Когато обаче погледнем границата,
когато х клони към С отдясно,
изглежда, че функцията клони към
някаква друга стойност.
Изглежда, че функцията клони към тази
стойност тук.

English: 
Let's think about a scenario...
And actually, maybe let's
think about a scenario
where the limit...
The two-sided limit doesn't even exist.
So, there are my axes, x and y.
And let's say it's doing
something like this.
Let's say it's doing something like this,
and that it does something
like this and goes like that.
And let's say that this
right over here is our c.
And so let's see, this is
f of c right over here.
That is...
Lemme draw a little bit neater.
That is f of c.
And it does look like the limit,
as x approaches c from the left,
so from values less than c,
it does look like that
is approaching f of c.
But if we look at the limit
as x approaches c from the right,
that looks like it's
approaching some other value.
That looks like it's approaching
this value right over here,

Korean: 
다른 경우도
한 번 생각해봅시다
이런 경우를 한 번 생각해 보죠
양쪽 극한이
아예 존재하지 않는 경우 말이죠
여기 x축과 y축이 있습니다
그리고 함수가
이런 식으로 그려진 후
이 지점에서 이렇게
된다고 해 봅시다
여기 이 점이 c라고 합시다
이 점의 값이 f(c)입니다
좀더 깔끔하게 그려볼게요
이것이 f(c)입니다
x가 왼쪽으로부터
c에 가까워질 때
극한값은 어떻게 될까요
c보다 작은 값들으로부터
f(c)에 가까워지는 것처럼 보입니다
하지만 x가 오른쪽으로부터
c에 가까워질 때의
극한값을 살펴보면
다른 값을 향해 가까워지는
것처럼 보입니다
여기 이 값을 향해
가까워지는 것처럼 보입니다

Czech: 
Zamysleme se
nad dalším příkladem.
Vlastně se koukněme
na příklad, kde limita…
Kde oboustranná limita
ani neexistuje.
Zde máme osy ‚x‘ a ‚y‘
a řekněme, že funkce
vypadá nějak takto.
Chová se nějak takto, pak
udělá toto a pokračuje dál tudy.
A toto bude bod ‚c‘.
Zde je f(c).
Zkusím to nakreslit lépe.
Toto je f(c).
Skutečně se zdá, že limita
pro x blížící se k ‚c‘ zleva,
tedy po hodnotách
menších než ‚c‘,
skutečně to vypadá, že
tato limita se rovná f(c).
Ale když se podíváme na limitu
pro x blížící se k ‚c‘ zprava,
tak ta se rovná
jiné hodnotě.

Czech: 
Vypadá to, že se rovná této
hodnotě, označme si ji ‚L‘.
Ta se rovná ‚L‘,
ale ‚L‘ se nerovná f(c).
Proto v této situaci oboustranná 
limita ani neexistuje.
Blížíme se k rozdílným hodnotám,
když se blížíme zprava a zleva.
Jelikož limita v bodě ‚c‘ ani neexistuje,
tak zde funkce ani nemůže být spojitá.
A to souhlasí s naším očekáváním,
s naším testem kreslením tužkou.
Když to chci nakreslit, přiložím
tužku, je na papíře, je na papíře,
je na papíře, je na papíře.
Jak ale budu pokračovat v kreslení
grafu této funkce bez zvednutí tužky?
Zvednu ji, vrátím ji zpátky dolů
a pak budu pokračovat.
Takže ještě jednou,
funkce není spojitá.
Intuitivně pomocí zvedání tužky
i skrze přesnou definici.
V tomto případě oboustranná limita
pro x blížící se k ‚c‘ ani neexistuje,
a tak se určitě nejedná
o spojitou funkci.

English: 
let's call it L.
That's approaching L,
and L does not equal f of c.
And so in this situation,
the two-sided limit doesn't even exist.
We're approaching two different values
when we approach from the
left and from the right.
And since so the limit
doesn't even exist at c,
this is definitely not
going to be continuous.
And this matches up to our expectations
with our little
do-we-have-to-pick-up-the-pencil test.
If I have to draw this,
I can leave my pencil,
it's on the paper, it's on the paper,
it's on the paper, it's on the paper.
How am I going to continue
to draw this function,
this graph of the function,
without picking up my pencil?
Pick it up, put it back down,
and then keep drawing it.
And so once again, this right
over here is not continuous.
Both intuitively, by our
pick-up-the-pencil definition,
and also by this more
rigorous definition where,
in this case the limit,
the two-sided limit at x
equals c doesn't even exist,
so we're definitely not
gonna be continuous.
But even when the
two-sided limit does exist,

Korean: 
이 값을 L이라고 부릅시다
x가 L에 가까워지고 있고
L은 f(c)와 다른 값입니다
따라서 이 상황에서는
양쪽 극한이 아예
존재하지 않습니다
왼쪽과 오른쪽 양 방향에서
서로 다른 값을 향해
가까워지고 있습니다
따라서 c에서 극한값이
아예 존재하지도 않으니
함수는 당연히 연속되지 않습니다
이것은 우리가 이전에 사용한
연필 들었다 놓기 테스트와도
맞아떨어집니다
이 함수를 그려 봅시다
연필이 종이에 닿아 있습니다
계속 닿아 있죠
이 지점에서 연필을 들지 않고
어떻게 그래프를 계속
그릴 수 있을까요?
연필을 들었다가 다시 놓고
계속 그려야만 하겠죠
따라서 이 함수 역시
연속되지 않습니다
연필 들었다 놓기 정의를
통한 직관적인 이해와
이전에 내렸던 엄격한 정의
이 경우에는
x가 c일 때 양쪽 극한이
존재하지 않으니
당연히 함수 또한
연속되지 않습니다
하지만 양쪽 극한이 존재하더라도

Bulgarian: 
Нека да я наречем L.
Функцията клони към L,
а L не е равна на f от С.
В този случай
двустранната граница не съществува.
Функцията клони към две различни
стойности,
когато х клони към С отляво и отдясно.
Поради това границата на функцията
в точка С не съществува.
Тази функция определено не е
непрекъсната.
Това отново съвпада с нашите
очаквания,
или с нашия тест "Трябва ли да
повдигам молива си?".
Ако трябва да начертая тази функция,
мога да поставя молива си
върху листа. Продължавам по листа,
продължавам и продължавам по листа.
Как ще продължа да чертая функцията,
т.е. графиката ѝ, без да повдигам
молива си?
Повдигам го, спускам го отново ето тук
и продължавам да чертая.
Отново, тази функция тук не
е непрекъсната.
Интуитивно, чрез дефиницията за
"повдигане на молива",
а също така и чрез формалното
определение,
където в този случай границата,
или двустранната граница в точката х
равно на С, не съществува.
Следователно функцията определено
не е непрекъсната.
Но дори и когато двустранната граница
съществува,

English: 
but the limit is a different value
than the value of the function,
that will also not be continuous.
The only situation that
it's going to be continuous
is if the two-sided limit
approaches the same value
as the value of the function.
And if that's true, then we're continuous.
If we're continuous,
that is going to be true.

Bulgarian: 
но има различна стойност от двете
страни,
от стойността на функцията,
то функцията отново не е непрекъсната.
Единственият случай, когато ще бъде
непрекъсната,
е ако двустранната граница клони към
една и съща стойност
и тя е равна на стойността на
функцията.
Ако това е вярно, то функцията
е непрекъсната.
Ако функцията е непрекъсната, то това
е вярно.

Czech: 
Ale i když limita existuje,
avšak nerovná se funkční hodnotě,
tak se také nejedná
o spojitou funkci.
Jediná situace, kdy půjde
o spojitou funkci, je tehdy,
když se oboustranná limita rovná
funkční hodnotě v daném bodě.
Pokud je toto pravda,
pak je funkce spojitá,
a pokud je funkce spojitá,
pak bude toto pravda.

Korean: 
극한값이 함수값과 다르다면
함수는 연속되지 않습니다
함수가 연속되는 유일한 경우는
양쪽 극한이 함수값과
같은 값을 가질 때입니다
이 조건이 성립한다면
함수는 연속되며
함수가 연속된다면
이 조건 역시 성립합니다
