
Korean: 
지난 몇 개의 영상에서는
다변수함수의 편미분에
대해 다뤘습니다
이번에는 이계 편미분을 다루려 합니다
다변수함수를 하나 만들죠
예를 들어
sin(x)*y^2로
x의 사인값에 y를 곱한 것으로 합시다
편미분을 하려면
변수가 2개니까 두 가지가 있습니다
먼저 한 방향으로
이 편미분은 무엇일까요?
f의 x에 대한 편미분입니다
이 의미는
x는 변수이고
이 방향으로 미분하는 한
y는 상수로 취급합니다
그러므로 미분은
sin(x)의 도함수는 cos(x)로
x에 대해서만 미분합니다
그리고 상수 y에 대한 식을 곱합니다
미분한 것에 상수를 곱하는 겁니다
다른 방향으로도 미분이 가능합니다
y에 대한 편미분도
구해 볼 수 있습니다
그 경우에는 y가 변수가 되고

English: 
- [Voiceover] So in
the last couple videos,
I talked about partial derivatives
of multivariable functions.
And here, I want to talk about
second partial derivatives.
So I'm gonna write some kind
of multivariable function.
Let's say it's
well, sine of x times y squared.
Sine of x multiplied by y squared.
And if you take the partial derivative,
you have two options, given
that there's two variables.
You can go one way
and say what's the partial derivative?
Partial derivative of f with respect to x.
And what you do for that,
x looks like a variable
as far as this direction is concerned.
Y looks like a constant.
So we differentiate this by saying
the derivative of sine of x is cosine x.
You know, you're differentiating
with respect to x.
And then that looks like it's
multiplied by a constant.
So you just continue
multiplying that by a constant.
But you could also go another direction.
You could also say, you know,
what's the partial
derivative with respect to y?
And in that case, you're
considering y to be the variable.

Korean: 
여기 식을 보면
y^2는 변수에 대한 식이고
x는 상수로 취급합니다
sin(x) 부분은 x가 상수니까
상수가 됩니다
즉 상수 sin(x)에
y^2의 미분을 곱하게 됩니다
2y를 곱하면
2y입니다
이 푸른색 두 가지를
일계 편도함수라고 합니다
다른 표기법이 있는데
f 옆에 아래 첨자 y를 쓰는 것이죠
여기서도 같은 방식으로
f 아래첨자 x가 됩니다
구해진 두 가지 함수,
두 가지 편도함수도
마찬가지로 다변수함수입니다
변수 두 가지를 넣으면 스칼라 값이 나오죠
그러므로 원래 함수와 마찬가지로
이 함수에도 편미분을
x에 대해 적용시킬 수 있겠죠
원래 함수에 x에 대해 편미분을 해서
얻어진 결과입니다
상미분에서 이계도함수와 같습니다
하지만 대신 편미분을 두 번 하죠
x에 대해 미분하면

English: 
So here it looks at y.
And says y squared looks like a variable.
X looks like a constant.
Sine of x then just looks
like sine of a constant,
which is a constant.
So that will be that constant, sine of x,
multiplied by the derivative of y squared.
Which is gonna be two times y.
Two times y.
And these are what you might call
first partial derivatives.
And there's some alternate
notation here, df dy.
You could also say f and
then a little subscript y.
And over here, similarly,
you'd say f with a little subscript x.
Now each of these two functions,
these two partial derivatives that you get
are also multivariable functions.
They take in two variables
and they output a scalar.
So we can do something very similar,
where here you might then apply
the partial derivative with respect to x
to that partial derivative
of your original function
with respect to x, right.
It's just like a second
derivative in ordinary calculus,
but this time we're doing it partial.
So when you do it with respect to x,

English: 
cosine x looks like cosine of a variable.
The derivative of which is negative sine
times that variable.
And y squared here just
looks like a constant.
So it just stays constant at y squared.
And, similary, you could go down
a different branch of options here.
And say what if you did
your partial derivative
with respect to y?
Of that whole function,
which itself is a partial
derivative with respect to x.
And if you did that,
then y squared now
looks like the variable.
So you're gonna take
the derivative of that,
which is two y.
Two y.
And then what's in front of
it just looks like a constant
as far as the variable y is concerned.
So that stays as cosine of x.
And the notation here.
First of all, just as in
single-variable calculus,
it's common to kind of
do a abusive notation
with this kind of thing
and write partial squared of f

Korean: 
cos(x)는 변수에 대한 식이니
미분하면 -sin(x)가
되겠죠
y^2는 그대로 상수입니다
그대로 y^2이 됩니다
비슷하게 다른 방향으로도
미분이 가능합니다
여기서 y에 대해 편미분하면
어떻게 될까요?
이 함수는 이미
x에 대해 편미분한 값인데 말이죠
실행해 보면
이제 y^2이 변수이니까
그쪽을 미분하면
2y가 되고
2y요
앞부분은 상수 역할이니까
y에 관계없는 식이죠
그대로 cos(x)가 됩니다
이제 표기법을 알아보죠
일변수 미적분학에서처럼
조금 과감하게 표기해서
이런 연산을
라운드(편미분) 제곱 f

English: 
divided by partial x squared.
And this always, I don't know.
When I first learned about these things,
they always threw me off
because here, this Leibniz notation,
you have the great intution of, you know,
nudging the x and nudging the f.
But you kind of lose
that when you do this.
But it makes sense if you think of this
partial, partial x as being an operator
and you're just applying it twice.
And over here, the way
that that would look,
it's a little bit funny.
Because you still have that
partial squared f on top.
But then on the bottom,
you write partial y, partial x.
And, you know, I'm putting
them in these order
just because it's as if I
wrote it that way, right.
This reflects the fact that
first I did the x derivative.
Then I did the y derivative.
And you could do this on this side also.
And this might feel tedious,
but it's actually kind of worth doing
for a result that we end up seeing here
that I find a little bit
surprising, actually.
So here, if we go down the path
of doing, in this case,
like a partial derivative
with respect to x.
And, you know, you're thinking of this
as being applied to your
original partial derivative

Korean: 
라운드 x^2라고 씁니다
왜 이렇게 하는지는 모릅니다
제가 처음 이 표현을 배웠을 때는
항상 의아해했습니다
라이프니츠 표기법은
직관적으로 x와 f를 약간 바꾼다는
개념을 이해할 수 있는데
이렇게 쓰면 그 장점이 사라지거든요
하지만 다른 방식으로
라운드/라운드x를 연산자라고 생각해서
두 번 적용하는 것으로 이해하면 됩니다
여기서 다른 방향을 표현하는 방식은
좀 웃깁니다
라운드^2 x는 여전히 분자에 있으면서
분모에는
라운드y 라운드x로 써요
x y를 이 순서로 놓는 이유는
여기서 그 순서로 썼기 때문이죠
편미분을 x로 먼저 했다는 뜻입니다
그리고 y방향으로 했고요
이쪽에서도 할 수 있겠죠
조금 귀찮겠지만
저도 좀 신기하게 생각하는
결과 하나를 보기 위해
해 볼 가치가 있습니다
여기서 이 가지를 따라
이번에는 x에 대해 편미분을
해 보면
적용 대상은
원래 함수를 y로 미분한 결과인

English: 
with respect to y.
It looks here, it says sine
of x looks like a variable.
Two y looks like a constant.
So what we end up getting
is derivative of sine of x, cosine x.
Multiplied by that two y.
And a pretty cool thing
worth pointing out here
that maybe you take it for granted.
Maybe you think it's as surprising
as I did when I first saw it.
Both of these turn out to be equal, right.
Even though it was a very different way
that we got there, right?
You first take the partial
derivative with respect to x
and you get cosine x, y squared.
Which looks very different
from sine x, two y.
And then when you take the derivative
with respect to y,
you know, you get a certain value.
And when you go down the other path,
you also get that same value.
And maybe the way that you write this
is that you'd say
Let me just copy this guy over here.
And what you might say is that

Korean: 
편도함수입니다
sin(x)는 변수이고
2y는 상수 취급이니
결과적으로 sin(x)의
도함수인 cos(x)에
2y를 곱하면 됩니다
당연하게 생각하실지도 모르지만
짚고 넘어갈 중요한 사실이 있습니다
아니면 제가 처음 배웠을
때만큼 신기해할 수도 있고요
이 두 결과가 같습니다
꽤 다른 경로를 따라 왔는데도요
그렇죠?
처음에 x로 편미분하여 나온
cos(x)y^2는
sinx*2y와 매우 다르게 생겼지만
다시 y로 편미분을
해 보면
이 값이 나오고
다른 길을 따라왔는데도
같은 값이 나왔습니다
이것을 쓰는 방식은
아마도
얘를 복사해서
표기법이

Korean: 
f의 이계 편도함수인데
다른 순서로 하면
x를 한 다음 y로 하는 대신
y 다음 x로 씁니다
편미분 x
이 두 결과가 같습니다.
꽤 멋진 결과입니다
이 함수의 예시에는
원래 함수가
두 식의 곱이었기 때문에
당연하게 이해가 되실지도 모릅니다
하지만 놀라운 사실은 이것이
아, 모든 함수는 아니고요
약간의 기준이 있습니다
특수한 정리로
슈바르츠 정리입니다
어떤 함수의 이계도함수가
해당 점에서 연속이면
이 둘이 같게 됩니다
하지만 여러분이 만날 대부분의
함수에서는 이것이
당연하게 되죠
이계도함수의 순서는 관계가 없습니다
모두 같은 값임이 참이 되죠
상당히 놀랍습니다
다른 함수로도 확인해 보는 것을
추천드리는 바입니다
다변수함수를 하나 만들어서
여기서처럼 두 식을 곱한 것보다는

English: 
the partial derivative of f.
When you do it the other way around,
when instead of doing x and then y,
you do y and then x.
Partial x.
That these guys are equal to each other.
And that's a pretty cool result.
And maybe in this case,
given that the original function
just looks like the product of two things,
you can kind of resaon
through why it's the case.
But what's surprising is that
this turns out to be true
for, I mean, not all functions.
There's actually a certain criterion.
There's a special theorem,
it's called Schwarz's theorem.
Where if the second partial derivatives
of your function are continuous
at the relevant point,
that's the circumstance
for this being true.
But for all intents and purposes,
the kind of functions you
can expect to run into,
this is the case.
This order of partial
derivatives doesn't matter.
Truth turns out to hold.
Which is actually pretty cool.
And I'd encourage you to play around
with some other functions.
Just come up with any
multivariable function,
maybe a little bit more complicated

English: 
than just multiplying two
separate things there,
and see that it's true.
And maybe try to convince yourself
why it's true in certain cases.
I think that ought to actually
be a really good exercise.
And just before I go,
one thing that I should probably mention,
a bit of notation that
people will commonly use.
With the second partial derivative,
sometimes instead of saying
partial squared f, partial x squared,
they'll just write it as
partial and then x, x.
And over here, this would be partial.
Let's see, first you
did it with x, then y.
So over here you do it first x and then y.
Kind of the order of these reverses.
Because you're reading left to right.
But when you do it with this,
you're kind of reading right to left
for how you multiply it in.
Which would mean that this guy,
let's see, this guy over here.
Now he would be partial.
First you did the y,
and then you did the x.
So those two guys are
just different notations
for the same thing.
I mean, that can make it a
little bit more convenient
when you don't want to write out
the entire partial squared f
divided by partial x squared
or things like that.

Korean: 
좀 더 복잡하면 좋겠죠
정리가 참임을 확인합니다
왜 이 경우에 참이 되는지
추론해 볼 수도 있겠죠
매우 좋은 연습이라고 생각합니다
마치기 전에
언급할 것이 하나 있는데
자주 사용되는 표기법입니다
이계 편도함수에서
라운드^2 f 라운드 x^2
라고 쓰는 대신
f 아래첨자 xx라고 씁니다
이것도 편미분이니
먼저 x를 하고 y를 했으니
x를 먼저 쓰고 y를 쓰죠
순서가 두 표기법에서 거꾸로입니다
여기서는 왼쪽부터 읽는데
원래 표기법은
오른쪽부터 읽어내려서
미분의 순서를 적죠
그러면 얘는
여기 이 식 말이죠
f 뒤에 아래첨자가
y를 먼저 했으니 y
x를 그 다음 했으니 x
이 두 표기법은 같은 의미를
나타냅니다
새 표기법은 좀 더 간편하게
전체 식 라운드^2 f
라운드 x^2을 쓰고 싶지 않을 때 대신
쓸 수 있겠죠

Korean: 
이것을 끝으로 마치겠습니다

English: 
And with that, I'll call it an end.
