Ahoj, vítejte zpátky!
Dnes se podíváme na další, hodně starou zkoušku.
Je to přijímací zkouška na MIT
z roku 1869
a našla jsem ji na webových stránkách archivu MIT.
Link na web dám do popisku
a může stát za to se tam podívat, protože tam najdete mnoho jejich starých zkoušek
někdy i s řešením.
Zdá se, že přijímačky na MIT byly zavedeny v roce 1869,
nicméně škola začala fungovat už od roku 1865,
takže zde bylo několik let, kdy nebyla vyžadována přijímací zkouška
a jedinou podmínkou pro aplikanty bylo, aby měli patřičné vzdělání.
Tahle zkouška, kterou jsem našla, je z angličtiny, algebry, geometrie a aritmetiky,
ale projdu jen algebru, aby video bylo tak nějak krátké,
a také proto, že už jsem se zabývala staršími úlohami z aritmetiky v minulém videu.
Na webu byla fotka nějaké skupiny, z roku 1873,
a je pravděpodobné, že právě tito lidé dělali tuhle zkoušku, kterou chci teď projít.
A to je docela zajímavé vědět.
Řeknu, že (a říkám to s jistou opatrností); ale myslím si, že tahle algebraická část je překvapivě jednoduchá.
Myslím, že má daleko k tomu, aby to byla opravdu kompetitivní zkouška,
spíš má sloužit k tomu, abyste ukázali, že máte základní znalosti v něčem, jako je algebra,
a že jste připraveni jít na MIT.
Myslím, že je dobré mít na paměti, že tehdy v 19. století
nebylo tak běžné, aby lidi měli maturitu nebo něco podobného,
nebo měli patřičné vzdělání,
takže školy jako MIT měly omezený výběr studentů, které chtěly nalákat ke studiu a dosáhnout tak úspěchu.
Takže si myslím, že tahle myšlenka, kdy dostat se na top školu vyžaduje soupeřit s mnoha dobrými studenty,
je celkem nová pro naši generaci,
a při pohledu zpět do 19. století, to tehdy nejspíš nebyl ten případ.
Tak se na to pojďme podívat.
Takže tohle je algebra
a já projdu všechny otázky,
ale už jen při letmém pohledu možná víte, jak většinu z nich vyřešit,
pokud máte vzdělání nebo znalosti z matematiky.
Děláme jen věci jako zjednodušení výrazu,
násobení něčeho, upravení něčeho do nejjednodušší podoby
zjednodušení, řešení algebraické rovnice,
a jsou to celkem základní rovnice.
Myslím, že to jsou věci, které uvidíte možná už někde na základce
a určitě je uvidíte ve středoškolské matematice.
Je také zajímavé si všimnout, že i jazyk je stejný jako dnes,
takže tahle zkouška zestárla celkem bez problému.
Myslím že je to proto, že nejdu příliš do kontextu a nesnažím se věci pořádně vysvětlit,
ale výrazy jako vynásob, uprav do nejjednodušší podoby,
zjednoduš - víte, ty nikdy nezestárnou, to jsou prostě základy matematiky
a přesně takto píšeme matematické úlohy i dnes,
takže rozumím, co se po mně chce u všech úloh.
Část 1. Máme tenhle výraz, který v sobě obsahuje písmenka "e".
No a já jsem se nejdřív nechala nachytat, když jsem měla za to, že to je, no víte, e jako 2.7 atd,
ale je to jen proměnná, je tu řečeno, že e = 8.
Nevím teda, jestli to nemá být nejhorší aproximace Eulerova čísla v historii,
ale zase to dělá tuto úlohu docela jednoduchou.
Prostě musíme dosadit za e osmičku sem, takže máme 8 mínus odmocnina z 8+1,
což je devět.
Osm mínus třetí odmocnina z osmi, což je dvě,
a odmocnina ze čtyř,
což bude... Pojďme prvně vyřešit něco tady
a napíšu to sem
osm mínus tři plus dva
plus osm mínus dva... Dobře, to je vlastně šest
krát odmocnina ze čtyř, což bude krát dva,
takže tahle část bude přičtení dvanáctky.
Osm mínus pět, takže to bude tři, plus dvanáct a dostaneme patnáct jako řešení.
Hádám, že tu akorát předvádím své dovednosti v aritmetice a algebře,
snad mi to nejde až tak špatně.
Úkol číslo 2, zjednoduš následující výraz,
odstraň závorky a sečti, co se sečíst dá.
Tak to pojďme udělat úroveň po úrovni. Naší první úrovní budou tyto kulaté závorky,
takže se jich zbavíme, čímž tady dostaneme b + 2a - b - a + b.
Pak se zbavíme další úrovně závorek a budeme mít 3a - b - 2a + b + a - b.
Zjednodušme tohle.
OK. Tady plus a, takže tohle přijde sem
Myslím, že tímhle končíme, a nakonec budeme mít 2a - b.
Úkol číslo 3: vynásob tenhle výraz tady tím a výsledek vyděl a + b.
Teď by ale byl špatný přístup k řešení, kdybychom začali násobením
a kompletně vyjádřili to, však víte, co získáme vynásobením tohoto v závorce tímto výrazem,
a nakonec výsledek zkoušeli vydělit a + b.
To by nebylo moc příjemné.
Namísto toho bych doporučila vytknout a + b
z některého z těchto výrazů,
což by znamenalo, že už bych ho ve finále nemusela dělit.
Tak pojďme zkusit dostat a + b tady z tohoto výrazu.
Vytkneme a + b.
A pokud je to možné, tak v této závorce budeme mít
a, které nám udělá to a^2. Pak je tam ještě b^2, ale máme tam i mínus tři, tak zkusme tohle.
Jo, to nám dá a^2 - 3ab + ab - 3b^2.
A to je správná faktorizace.
A teď jen vezmeme tohle a vynásobíme tři a^2 + ab - b^2, což byl tamten výraz.
A nesmíme zapomenout, že musíme i vydělit toto a + b,
což v podstatě znamená, že se ho zbavíme,
a to znamená, že už jen násobíme tuhle závorku touto závorkou, abychom dospěli k řešení.
Z toho nám vyjde 3a^3 plus - OK, dál udělám tenhle výraz - a^2*b -b^2*a.
Teď udělám tento výraz.
Z čehož nám vyjde 3a^3, a máme a^2*b zde a zde,
což nám dá -8a^2*b.
A zbavíme se tohoto.
Dál b^2*a, což zde máme -1 a -3,
a nakonec naše 3b^3.
Takže tohleto je náš výsledek pro úkol tři.
Úkol číslo 4: uprav následující zlomek do nejjednodušší podoby.
Takže to jen chci zjednodušit.
Takže pojďme zkusit vytknout, co jen bude možné.
Když to tu jen oddělíme...
V obou výrazech v čitateli mám x, to je x^6 + a^2*x^3*y,
takže co můžu udělat, je vytknout x^3
a budeme mít další x^3 + a^2*y.
To bude náš nový čitatel, a jednodušší už ho, myslím, udělat nemůžeme,
a co by bylo skvělé, by bylo vytknout tohle x^3 + a^2*y také ze spodní části, ze jmenovatele.
Tak to pojďme zkusit.
Takže se to snažím vytknout z druhého řádku
a co mě zbyde, bude x^3 mínus - a tohle bude rozdíl dvou mocnin, protože chceme dostat jen dva výrazy - další a^2*y.
Dobře, tak tohle by měl být náš jmenovatel, čili můžeme zkrátit tuhletu dvojici,
a naše nejjednodušší řešení bude x^3 lomeno x^3 - a^2*y.
Fajn, tak pojďme na úkol číslo 5.
Chceme zjednodušit tady ten výraz a máme tohle v závorkách děleno tímhle v závorkách.
A tyhle dva výrazy v závorkách jsou stejné až na to, že tenhle má uprostřed plus, a tenhle mínus.
Abychom mohli sčítat zlomky nebo odečítat zlomky, potřebujeme, aby měly společného jmenovatele.
Takže v podstatě vezmu tuhle stranu a vynásobím a + b, a pak vezmu tuhle stranu a vynásobím a - b,
což je převede na společného jmenovatele, takže je budeme moci sečíst. Bude to vypadat takto.
a + b
A to chceme vydělit touhle další věcí, se kterou provedu to samé,
ale mějte na paměti, že dělení zlomkem je stejné jako násobení jeho převrácenou hodnotou,
což znamená prohození čitatele a jmenovatele, takže to vynásobím
převrácenou hodnotou tohohle, ale převedenou na společného jmenovatele,
takže to bude vypadat takhle.
Teď můžeme něco zkrátit.
Můžeme zkrátit celý tenhle řádek s tímto.
A naše řešení bude jen tohle lomeno toto,
ale nejspíš po nás chtějí, abychom to roznásobili, tak to rychle uděláme.
OK, teď chceme posčítat některé výrazy.
A můžeme napsat naše konečné řešení, kterým je
2a^2 + 2b^2 lomeno 4ab
a ještě se dá i vytknout dvojka, takže se zbavíme dvojky, zbavíme dvojky a zde se ze čtyřky stane dvojka.
A tohle je řešení.
Úkol 6: chceme  vyřešit tento výraz.
A co chci udělat, je zbavit se těchto věcí dole, což věc dost zjednodušší.
Tak to pojďme udělat jedno po druhém.
Nejprve se zbavíme téhle dvojky tady dole.
Takže vynásobím všechny členy dvojkou,
čímž se jí zbavím, a dostaneme
dvojku tady nahoře, což je stejné, jako když tohle změníme na čtyřku.
A stejně tak se tohle změní na osmičku.
V dalším kroku se chceme zbavit této čtyřky vynásobením všech členů čtyřkou,
což nás zbaví tohoto, dál se objeví čtyřka na tomto horním řádku
a tohle se změní na dvojku.
OK, poslední krok, chceme se zbavit téhle dvojky vynásobením všech členů dvojkou.
To nás jí zbaví.
Tahle čtverka se změní na osmičku. Snad to není moc nepřehledné.
A všechno zde se vynásobí dvojkou.
Teď to pojďme na papíře sepsat, roznásobit.
Takže 8 krát 3x - 4
24x - 4 krát 8
32 mínus 2 krát 6
12x. Tady je dvakrát mínus, takže přičteme 10.
A to je rovno 3x - 1.
OK, sečteme, co se sečíst dá. 24x - 12x bude 12x.
Mínus 22 rovná se 3x - 1.
Dostaneme x na tuhle stranu a konstanty na tamtu,
čímž dostaneme 12 - 3, čili 9x je rovno 21.
x bude rovno 21 lomeno 9,
což můžeme napsat jako 7 lomeno 3.
To by bylo a náš poslední je úkol 7, který je - dvě proměnné,
dvě neznámé a dvě rovnice, takže to je jako, jak se tomu říká, soustava rovnic nebo tak něco.
Takže co uděláme je, že vezmeme jednu z nich a upravíme ji tak, abychom měli vyjádření jedné z proměnných.
Tak si vezměme tuhletu. Vyjádřím z ní x,
takže x se bude rovnat 11 + 3y lomeno 4.
Dosadím toto vyjádření x do téhleté rovnice.
Vím, že je několik způsobů, jak řešit tyhle úlohy, tohle může být blbá cesta, ale nevím,
tohle mi teď prostě připadá jako jednoduchá cesta, s ohledem na to, že už jsem tyto problémy nějakou dobu neřešila.
Vezmu tuhle čtyřku a vynásobím jí všechny členy,
protože myslím, že je to jednodušší, než dělení všech těchto čísel čtyřkou.
OK, odečteme tohle.
Což bude 19.
A to bude y = 19. Cool!
A teď to musíme dosadit zpátky do výrazu pro x.
A konečně x bude, to bude 11 + 3*19,
což vyjde celkem 68, děleno čtyřmi.
x se rovná 17.
Dobře, takže tady máte vyřešenou zkoušku, i když možná jste mě k tomu ani nepotřebovali,
protože, nevím, ale docela si myslím, že tahle zkouška je překvapivě jednoduchá, jak už jsem říkala.
Je to docela základní algebra, takže možná bylo v 19. století jednodušší se dostat na MIT než dnes udělat zkoušky eighth grade.
Nevím, možná se doba trochu změnila. Řekla bych, mějte na paměti, že tato zkouška
možná nesloužila ke stejným účelům jako dnes, což je hodně zúžit počet uchazečů.
Možná jen dokládá fakt, že tyhle univerzity byly fakt jen pro horní vrstvu
a měly velmi úzký výběr studentů, ze kterých se rekrutovali uchazeči,
takže asi nebylo v jejich zájmu zbavit se v této fázi mnoha studentů.
Takže díky za sledování a napište mi své úvahy do komentářů.
Pravděpodobně se ještě vrátím k některé z dalších částí, možná geometrii, v některém z příštích videí.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
