
Korean: 
3Blue1Brown
자신이 미적분학을 처음 배우고 첫번째 과정을 시작하려고 한다고 생각해 보세요.
앞으로의 몇 달 동안 많은 계산을 수행하게 될 겁니다.
간단한 예시도 있을 거고, 간단하지 않은 것들도 있을 거고
물리학과 관련이 있는 것도, 기억하기 어려운 공식도 있을 거예요.
난관에 부딪히고 벽에 스스로 머리를 박는 순간도 수없이 많을 거고,  가끔씩은 놀라운 결과에 환호할 때도 있겠죠.
그럴 때는 순수하게 시각적, 직관적으로 이해하는 게 도움이 됩니다.
하지만 앞으로 보통의 대학과 같은 교육과정을 배우게 된다면
이 영상은  미적분학을 공부하면서 이후에 보지 못할 내용이지만
미적분학을 이해하는 데에는 큰 도움이 될 것입니다.
아마도 미적분을 이해하기 위해 첫 해에 보게 될 설명은 그래프를 바탕으로 하고 있을 겁니다.
미분은 그래프의 기울기, 적분은 그래프 아래의 넓이를 나타내죠.
하지만 함수를 벗어나서 미적분을 적용할 때, 예를 들어 함수 식이 수로만 이루어져 있는 경우,
단지 수로만 이루어진 식을 그래프로 나타내려면 복잡해집니다.

Chinese: 
3Blue1Brown
[古典音乐]
想象自己是一名刚刚入门的微积分学生
现在即将开始你的第一门课程：
你在之前的几个月为这次学习做了很多努力的工作。
要去记忆这些整洁的公式，不是那么简洁的公式，与物理学有联系的漂亮公式，成堆的复杂的公式，
很多时候你都会感到陷入困境并想要撞墙，当然也会有一些不错的'aha'时刻出现，
我想有可以通过建立一些有趣的图形直觉来帮助你解决这些问题。
但是，如果你面前的课程与我第一次介绍微积分或我当年见过的第一门课程一样
这里有一个你从来没有见过的话题，但我相信这会大大加速你的学习。
你几乎可以看到第一年​​的所有视觉直觉都是基于图表 -
导数是图的斜率，积分是该图下的某个区域，
但是当你将微积分推广到输入和输出都只是数字的函数之外时，

Polish: 
3Blue1Brown [Muzyka klasyczna]
Wyobraź sobie, siebie jako studenta dopiero zaczynającego kurs rachunku różniczkowego.
Masz przed sobą miesiące ciężej pracy.
Czekają Cię: przyjemne zadania, ale i też nieprzyjemne, piękne nawiązania do fizyki, niezbyt piękne wzory do zapamiętania,
pełno potknięć i chęci uderzania głową o ścianę, masa momentów w stylu "aha", oraz
pewne naturalne i urocze intuicje graficzne, pomagające w zrozumieniu tego wszystkiego.
Jeśli kurs, który Cię czeka jest choć trochę podobny do mojego pierwszego zetknięcia się z rachunkiem różniczkowym, albo do innych kursów
jakie od lat widuję, to wiedz, że istnieje pewien temat, który Cię ominie, a który mógłby znacznie przyspieszyć proces uczenia się.
Prawie wszystkie intuicje, przedstawione na pierwszym roku(kursu), bazują na wykresach-
pochodna informuje o nachyleniu wykresu, całka jest polem pod wykresem,
ale jeśli uogólnisz rachunek różniczkowy poza funkcje, których argumenty i wartości są zwykłymi liczbami,

English: 
3Blue1Brown
[Classical music]
Picture yourself as an early calculus student
 about to begin your first course:
The months ahead of you
 hold within them a lot of hard work
Some neat examples, some not so neat examples, beautiful connections to physics, not so beautiful piles of formulas to memorise,
plenty of moments of getting stuck and banging your head into a wall, a few nice 'aha' moments sprinkled in as well, and
some genuinely lovely graphical intuition to help guide you through it all.
But if the course ahead of you is anything like my first introduction to calculus or any of the first courses that I've seen in
the years since, there's one topic that you will not see, but which I believe stands to greatly accelerate your learning.
You see almost all of the visual intuitions from that first year are based on graphs -
the derivative is the slope of a graph, the integral is a certain area under that graph,
but as you generalize calculus beyond functions whose inputs and outputs are simply numbers,

Portuguese: 
3Blue1Brown [Música clássica]
Imagine você no passado como um aluno de cálculo prestes a começar sua primeira aula:
Os meses à sua frente prometem muito trabalho duro
alguns exemplos ótimos, outros nem tanto, belas conexões com a física, não tão belas pilhas de fórmulas para se decorar,
muitos momentos ficando travado e batendo sua cabeça em uma parede, alguns bons momentos 'aha' colocados também, e
certa intuição gráfica genuinamente amável para te guiar por tudo isso.
Mas se a aula à sua frente é minimamente parecida com a minha primeira introdução ao Cálculo ou qualquer uma das primeiras aulas que vi
nos anos desde então, há um tópico que você não vai ver, mas que acredito que acelera muito seu aprendizado.
Veja, quase todas as intuições visuais daquele primeiro ano são baseadas em gráficos -
a derivada é a inclinação de um gráfico, a integral é uma certa área sob esse gráfico,
mas conforme você generaliza o Cálculo além das funções cujos dados de entrada e saída são simplesmente números,

German: 
3Blue1Brown
[Klassische Musik]
Stellen Sie sich als frühen Kalkülschüler vor
 kurz vor dem Beginn Ihres ersten Kurses:
Die Monate vor dir
 halte in ihnen viel harte Arbeit
Einige nette Beispiele, einige nicht so nette Beispiele, schöne Verbindungen zur Physik, nicht so schöne Stapel von Formeln zum Auswendiglernen,
viele Momente, in denen man stecken bleibt und den Kopf gegen eine Wand schlägt, ein paar schöne Aha-Momente, und auch
eine wirklich schöne grafische Intuition, die Sie durch alles führt.
Aber wenn der Kurs vor Ihnen so etwas wie meine erste Einführung in die Analysis oder einer der ersten Kurse ist, in denen ich gesehen habe
In den letzten Jahren gibt es ein Thema, das Sie nicht sehen werden, das aber meines Erachtens Ihr Lernen erheblich beschleunigen wird.
Sie sehen, dass fast alle visuellen Intuitionen aus diesem ersten Jahr auf Grafiken basieren -
Die Ableitung ist die Steigung eines Graphen. Das Integral ist ein bestimmter Bereich unter diesem Graphen.
Wenn Sie jedoch die Berechnung über Funktionen hinaus verallgemeinern, deren Ein- und Ausgänge einfach Zahlen sind,

Modern Greek (1453-): 
3Blue1Brown
[Κλασσική μουσική]
Φανταστείτε τον εαυτό σας ως πρωτάρη φοιτητή Απειροστικού Λογισμού, έτοιμος να ξεκινήσετε το πρώτο σας μάθημα:
Οι μήνες που έρχονται θα περιέχουν πολλή σκληρή δουλειά.
Κάποια έξυπνα παραδείγματα, κάποια όχι και τόσο έξυπνα, όμορφες συνδέσεις με τη φυσική, όχι και τόσο όμορφοι σωροί τύπων για απομνημόνευση,
πολλές στιγμές να κολλάτε και να χτυπάτε το κεφάλι σας στον τοίχο, μερικές ωραίες στιγμές τύπου «αχά», και
κάποια πραγματικά υπέροχη γραφική διαίσθηση για να βοηθήσει στην καθοδήγησή σας σε όλα.
Αλλά, αν το μάθημα μπροστά σας είναι κάτι σαν και την πρώτη μου εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισμικό ή σε κάποιο από τα πρώτα μαθήματα που είχα δει
στα χρόνια από τότε, υπάρχει ένα θέμα που δεν θα δείτε, αλλά πιστεύω ότι μπορεί να επιταχύνει σημαντικά τη μάθησή σας.
Βλέπετε, σχεδόν όλες οι οπτικές διαισθήσεις από εκείνο το πρώτο έτος βασίζονται σε γραφήματα.
Η παράγωγος είναι η κλίση του γραφήματος, το ολοκλήρωμα είναι ένα συγκεκριμένο εμβαδόν κάτω από αυτό το γράφημα,
αλλά καθώς γενικεύετε τον λογισμό πέρα ​​από τις συναρτήσεις των οποίων τα δεδομένα εισόδου και εξόδου είναι απλοί αριθμοί,

Spanish: 
3Blue1Brown [Música clásica]
Imagínate que eres un estudiante principiante de Cálculo a punto de empezar tu primer curso:
Los meses que tienes por delante conllevan un gran esfuerzo
Algunos ejemplos interesantes, otros no tanto, bonitas conexiones con la Física, y un montón de fórmulas no tan bonitas para aprenderse.
Muchos momentos de atascarse y darse cabezazos contra la pared, y también unos pocos momentos "ajá".
Y una estupenda intuición gráfica para ayudarte con todo ello.
Pero, si el curso que tienes por delante se parece algo a mi primera introducción al cálculo, o a cualquiera de los cursos introductorios que he visto,
hay un tema que no darás, pero que creo que aceleraría mucho tu aprendizaje.
Verás que casi todas las intuiciones visuales de primer año están basadas en las gráficas.
La derivada es la pendiente de una gráfica, la integral es el área bajo esa gráfica,
pero al generalizar el cálculo más allá de las funciones que utilizan simplemente números,

Japanese: 
3Blue1Brown
[クラッシック]
あなたを微積分の講義を初めて受ける学生と思ってください
この先数か月は学ぶべきことがたくさんあることでしょう
わかりやすい例、わかりにくい例、物理学との美しいつながり、覚えるべき乱雑に積まれた公式たち
壁に頭を叩きつけたくなるのは日常茶飯事だけど、”そうか！”と思える閃きの瞬間も同じようにあって、
そしてそれらすべてをつなげる直感的にわかりやすい図解もあるでしょう。
しかし、あなたの受講する講義がもし私が経験したのと同じようなものであれば、
これからお話しすることは教えられないでしょう。しかし、あなたの学習を早めると自負しています。
あなたが最初の一年で見るほとんどの図解はグラフに基づいています、
導関数はグラフの傾きであり、積分はそのグラフの下の特定の領域であり、
しかし入力と出力が単に数値である関数を超えて微積分を一般化すると、

Arabic: 
تخيل نفسك كطالب في حساب التفاضل والتكامل على وشك أن تبدأ بدورتك الأولى :
الأشهر التي أمامك تحمل في طياتها الكثير من العمل الشاق
بعض الأمثلة المتقنة ، وبعضها ليس بالأمثلة المتقنة ، والصلات الجميلة بالفيزياء ، وليست أكوام جميلة من الصيغ لحفظها
في لحظات كثيرة تتعثر وتضرب رأسك بجدار ، وبعض اللحظات القليلة  "آها" اللطيفة
وبعض الرسوم البديهية الجميلة حقاً للمساعدة بصدق في إرشادك من خلال كل ذلك
لكن إذا كانت الدورة التي أمامك هي مثل مدخلي الأول إلى حساب التفاضل والتكامل أو أي من الدورات الأولى التي رأيتها
في السنوات التالية ، فهناك موضوع واحد لن تراه ،والتي أعتقد أن هذا يعني تسريع تعلمك بشكل كبير
ترى جميع البديهيات تقريبا من تلك السنة الأولى تستند إلى الرسوم البيانية
المشتق هو المنحدر من الرسم البياني ، حيث يُمثل التكامل جزءًا معينًا تحت هذا الرسم البياني
ولكن كلما قمت بتعميم حساب التفاضل والتكامل على الوظائف التي تكون مدخلاتها ومخرجاتها مجرد أرقام

Portuguese: 
não é sempre possível traçar o gráfico da função que se está analisando. Há diversas maneiras diferentes que você estaria visualizando essas coisas,
então se todas as suas intuições para ideias fundamentais,
como derivadas, estão enraizadas de forma muito rígida em gráficos, isso pode gerar um obstáculo muito alto e
amplamente desnecessário entre você e os tópicos "mais avançados", como Cálculo com múltiplas variáveis, e análises complexas, geometria diferencial...
Agora, o que eu quero compartilhar com vocês é uma maneira de pensar sobre derivadas
a qual irei me referir como a visão transformacional, que generaliza mais discretamente alguns desses contextos mais gerais onde o Cálculo aparece
E aí utilizaremos essa visão alternativa para analisar um certo quebra-cabeça divertido sobre frações repetidas.
Mas primeiro de tudo, eu gostaria de garantir que estamos todos na mesma página sobre o que é o visual padrão.
Se você fosse plotar uma função,
que simplesmente pega números reais como dados de entrada e saída, uma das primeiras coisas que você aprende em uma aula de Cálculo
é que a derivada te fornece a inclinação desse gráfico.
E o que queremos dizer com isso é que a derivada da função é uma nova função onde, para cada dado de entrada x, obtemos essa inclinação.

Korean: 
그럴 때는 다른 방법을 사용하게 되죠.
만약 지금까지 미적분을 이해하는 방법이 너무 그래프에만 치중해 있다면,
그런 방법은 다변수 미적분, 복소해석학이나 미분기하학 같이
심화된 과정을 공부하게 될 때 큰 장애물이 될 수 있습니다.
이제부터 여러분은 미적분을
제가 '변형적 관점' 이라고 부르는 방식으로 해석해서
다른 심화 과정을 공부하게 될 때에도 충분히 적용될 수 있는 것을 보게 될 것입니다.
그리고 이 새로운 방법을 반복되는 재미있는 함수에 적용해 볼 것입니다.
하지만 먼저,  저는 우리가 미적분에 대해 어떤 관점을 가지고 있는 지를 확실히 하고 싶습니다.
그래프를 그렸을 때 x값과 y값이 모두 실수라면,
우리가 미적분학에서 처음으로 배운 것은
미분을 하면 기울기가 나온다는 것입니다.
더 자세히 말하면,  어떤 함수를 미분하면 그 함수는 원래 함수의 기울기를 y값으로 하는 함수가 됩니다.

Japanese: 
分析している関数を常にグラフ化することはできません。これらを視覚化するためにはそれぞれ異なる方法があります、
なので基本的な概念、例えば
導関数など、のあなたの直感的な理解がグラフに依存しているのなら、多変量解析や複素解析、微分幾何学など、
もっと高度な話に行く前に、高く大きい概念的なハードルが立ちふさがることになるでしょう。。。
今、あなたと共有したいことは、導関数の考え方についてです
私はこれを変換的観点と呼びますが、これは、先ほどの概念を微積分学の普遍的な考え方へと一般化してくれます。
そして、この代替的観点を使用して、繰り返される分数に関するある面白いパズルを分析します。
しかし、まずは、普段の視覚化について、私たちが同様の考え方をしているか確認したいと思います。
関数をグラフ化する場合は、
これは単純に実数を入力と出力として取ります。これは、微積分学で学ぶ最初のものの1つです
導関数はこのグラフの傾きを与えます。
つまり、関数の導関数は、すべての入力xに対してその傾きを返す新しい関数です

Modern Greek (1453-): 
δεν είναι πάντα δυνατό να σχεδιάσετε τη συνάρτηση που αναλύετε. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους θα απεικονίζατε αυτά τα πράγματα
έτσι, αν όλες οι διαισθήσεις σας για τις θεμελιώδεις ιδέες,
όπως η παράγωγος, σχετίζονται βαθιά με γραφήματα, μπορεί προκαλέσει ένα πανύψηλο και σε μεγάλο βαθμό περιττό
εννοιολογικό εμπόδιο, μεταξύ εσάς και των πιο «ανωτέρων θεμάτων», όπως ο Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, και η Μιγαδική Ανάλυση, η Διαφορική Γεωμετρία ....
Τώρα, αυτό που θέλω να μοιραστώ μαζί σας είναι ένας τρόπος να σκεφτείτε τις παραγώγους
στον οποίο θα αναφερθώ ως τη μετασχηματιστική άποψη, που γενικεύεται καλύτερα σε μερικά από αυτά τα γενικότερα θέματα, όπου εμφανίζεται ο Απειροστικό Λογισμός
Και τότε θα χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εναλλακτική οπτική για να αναλύσουμε ένα συγκεκριμένο διασκεδαστικό παζλ σχετικά με τα επαναλαμβανόμενα κλάσματα.
Αλλά πρώτα, θέλω να σιγουρευτώ ότι είμαστε όλοι στην ίδια σελίδα σχετικά με το τι είναι το βασικό οπτικό.
Εάν θέλετε να σχεδιάσετε μια συνάρτηση,
που απλά παίρνει πραγματικούς αριθμούς ως δεδομένα εισόδου και εξόδου, ένα από τα πρώτα πράγματα που μαθαίνεις σε ένα μάθημα Απειροστικού Λογισμού
είναι ότι η παράγωγος σου δίνει την κλίση αυτού του γραφήματος.
Όπου αυτό που εννοούμε είναι ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι μια νέα συνάρτηση η οποία για κάθε δεδομένο εισόδου x επιστρέφει τη συγκεκριμένη κλίση

German: 
Es ist nicht immer möglich, die zu analysierende Funktion grafisch darzustellen. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, wie Sie diese Dinge visualisieren können
Also, wenn alle Ihre Intuitionen für die Grundideen,
Wie Derivate, die zu starr in Graphen verwurzelt sind, kann dies zu einem sehr hohen und weitgehend unnötigen Ergebnis führen
konzeptionelle Hürde zwischen Ihnen und den "fortgeschritteneren Themen", wie multivariable Analysis und komplexe Analyse, Differentialgeometrie ....
Was ich Ihnen jetzt mitteilen möchte, ist eine Möglichkeit, über Derivate nachzudenken
was ich als die Transformationsansicht bezeichnen werde, die sich nahtloser in einige der allgemeineren Kontexte verallgemeinert, in denen Kalkül auftaucht
Und dann werden wir diese alternative Ansicht verwenden, um ein bestimmtes lustiges Rätsel über wiederholte Brüche zu analysieren.
Aber zuerst möchte ich nur sicherstellen, dass wir alle auf der gleichen Seite sind, was das Standardbild angeht.
Wenn Sie eine Funktion grafisch darstellen würden,
Dabei werden einfach reelle Zahlen als Ein- und Ausgänge verwendet, eines der ersten Dinge, die Sie in einem Kalkülkurs lernen
ist, dass die Ableitung Ihnen die Steigung dieses Graphen gibt.
Damit meinen wir, dass die Ableitung der Funktion eine neue Funktion ist, die für jede Eingabe x diese Steigung zurückgibt

Spanish: 
no siempre es posible dibujar la gráfica de la función que estás analizando.
Hay muchas maneras de visualizar estas cosas, así que, si todas tus intuiciones de las ideas fundamentales,
como las derivadas, están basadas de forma rígida en las gráficas, esto puede significar un importante e innecesario obstáculo conceptual
entre ti y los temas "más avanzados", como el cálculo en varias variables, el análisis complejo, la geometría diferencial...
Ahora, lo que quiero compartir contigo es una manera de pensar en las derivadas,
que llamaré visión transformacional, que se generaliza de forma más natural a algunos de estos contextos más generales donde aparece el cálculo.
Y usaremos esta visión alternativa para analizar un acertijo divertido sobre fracciones continuas.
Pero lo primero, quiero asegurarme de que todos estamos en la misma página sobre lo que es el estándar visual.
Si tienes que representar una función,
que simplemente tiene números reales como entrada y salida, una de las primeras cosas que aprendes en un curso de cálculo
es que la derivada te da la pendiente de esa gráfica.
Lo que queremos decir con eso es que la derivada de una función es otra función que por cada entrada x nos devuelve esa pendiente.

English: 
it's not always possible to graph the function that you're analyzing. There's all sorts of different ways that you'd be visualizing these things
so if all your intuitions for the fundamental ideas,
like derivatives, are rooted too rigidly in graphs, it can make for a very tall and largely unnecessary
conceptual hurdle between you and the more "advanced topics", like multivariable calculus, and complex analysis, differential geometry....
Now, what I want to share with you is a way to think about derivatives
which I'll refer to as the transformational view, that generalizes more seamlessly into some of those more general context where calculus comes up
And then we'll use this alternate view to analyze a certain fun puzzle about repeated fractions.
But first off, I just want to make sure that we're all on the same page about what the standard visual is.
If you were to graph a function,
which simply takes real numbers as inputs and outputs, one of the first things you learn in a calculus course
is that the derivative gives you the slope of this graph.
Where what we mean by that is that the derivative of the function is a new function which for every input x returns that slope

Polish: 
to nie zawsze jest możliwe narysowanie wykresu funkcji którą analizujesz. Jest mnóstwo sposobów na wyobrażenie sobie tego,
więc jeśli wszystkie Twoje intuicje o pojęciach fundamentalnych,
jak pochodne, są zależne od wykresów, może to doprowadzić do spięć między
Twoją wiedzą a bardziej "zaawansowanymi tematami", jak analiza wielowymiarowa, zespolona, czy nawet geometria różniczkowa...
Chcę się z Tobą podzielić pewnym spojrzeniem na zagadnienie pochodnych, do których
będę się odnosił w języku transformacji, co bardzo płynnie uogólnia zagadnienia w których występuje rachunek różniczkowy.
Mając już to alternatywne spojrzenie, użyjemy go do analizy zabawnej łamigłówki o ułamkach łańcuchowych.
Ale najpierw, chciałbym się upewnić, że wszyscy wiemy jakie intuicje są standardowe.
Jeśli narysujesz wykres funkcji,
którego sieczna i rzędna są rzeczywiste, jedną z pierwszych rzeczy na kursie rachunku różniczkowego
jest to, że pochodna jest nachyleniem stycznej do wykresu w tym punkcie.
Rozumiemy przez to, że pochodna funkcji wyjściowej jest nową funkcją, która dla argumentu x zwraca nachylenie stycznej w punkcie (x,f(x)).

Arabic: 
ليس من الممكن دائمًا رسم بياني للوظيفة التي تقوم بتحليلها ، هناك جميع أنواع الطرق المختلفة التي يمكنك تصور هذه الأشياء حتى إذا كان كل حدسك للأفكار الأساسية
لذلك إذا كانت جميع أفكارك للأفكار الأساسية
مثل المشتقات ، التي هي متجذرة بشدة في الرسوم البيانية ، يُمكنها أن تجعل عقبة مفاهيمية طويلة وغير ضرورية إلى حد بعيد
بينك وبين "الموضوعات المتقدمة" ، مثل حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، والتحليل المعقد ، الهندسة التفاضلية ...
الآن ، ما أريد مشاركته معك هو طريقة للتفكير في المشتقات
والتي سوف أشير إليها على أنها رؤية تحولية ، تعمم بسلاسة أكبر في بعض تلك السياق الأكثر عمومية حيث يظهر حساب التفاضل والتكامل
ومن ثم سنستخدم هذا العرض البديل لتحليل لغز مرح معين حول الكسور المتكررة
لكن أولاً ، أريد فقط التأكد من أننا جميعًا في الصفحة نفسها حول ما هو المعيار المرئي
إذا كًنت تريد دالة الرسم البياني
الذي يأخذ ببساطة أرقام حقيقية كمدخلات ومخرجات ، واحدة من الأشياء الأولى التي تتعلمها في دورة حساب التفاضل والتكامل
هو أن المشتق يمنحك منحدر هذا الرسم البياني
حيث أن ما نعنيه بذلك هو أن مشتق الدالة هو دالة جديدة لكل المدخلات x نتائج هذا المنحدر

Chinese: 
并不总是可以绘制您正在分析的功能。有各种不同的方式可以让你看到这些东西
所以如果你对所有基本想法有直觉，
像衍生品，在图表中过于严格，它可能会造成非常高的和很大程度上的不必要
你和更多“高级话题”之间的概念障碍，如多变量微积分，复杂分析，微分几何等。
现在，我想与你分享的是一种思考衍生品的方式
我将其称之为转换视图，将其更加无缝地推广到一些更一般的演算出现的环境中
然后，我们将使用这个替代视图来分析一个有关重复分数的特定有趣难题。
但首先，我只是想确保我们都在标准视觉的相同页面上。
如果你要绘制一个函数，
它只需要将实数作为输入和输出，这是你在微积分课程中学到的第一件事情
是衍生物给你这个图的斜率。
我们的意思是，函数的导数是一个新函数，对每个输入x返回该斜率

Portuguese: 
Agora, eu te encorajo a não pensar nessa derivada como a ideia de inclinação sendo a definição de derivada
mas sim pensar nisso como sendo mais fundamentalmente sobre quão sensível a função é a minúsculos empurrões ao redor do dado de entrada
e a inclinação é apenas uma maneira de pensar sobre essa sensibilidade relevante apenas a essa forma específica de enxergar as funções.
Eu não tenho apenas um outro vídeo, mas toda uma série sobre esse tópico se for algo que você quiser aprender mais.
Agora a ideia básica atrás da maneira alternativa de visualizar a derivada é pensar que esta função está
mapeando todos os pontos inseridos na reta numérica a seus dados de saída correspondentes em uma reta numérica diferente.
Nesse contexto, o que a derivada fornece é uma medida de quanto o espaço do dado de entrada é esticado ou espremido em vários regiões.
Isto é, se você desse um zoom ao redor de um dado de entrada específico e olhasse pontos igualmente espaçados ao seu redor,
a derivada da função daquele dado de entrada irá dizer quão espalhados ou
retraídos esses pontos estão após o mapeamento.

Spanish: 
Ahora, te animo a que no pienses en esa definición de "derivada como pendiente",
sino que lo pienses, fundamentalmente, como lo sensible que es la función a pequeños cambios alrededor de ese punto.
La pendiente es simplemente otra forma de pensar en esa sensibilidad, adaptada a esta forma de ver las funciones.
Tengo, no solo un vídeo, sino toda una serie sobre este tema, si quieres saber más sobre ello.
Ahora, la idea básica de la representación alternativa es pensar en la función como el hecho de
aplicar cada punto de entrada en la recta numérica, a sus correspondientes salidas en otra recta numérica.
En este contexto, lo que nos da la derivada es una medida de cómo el espacio de entrada se estira o se encoge en las diferentes zonas.
Es decir, si hacemos zoom en un punto de entrada, y consideramos unos puntos a intervalos regulares alrededor de él,
la derivada de la función en ese punto nos va a decir cómo de esparcidos o comprimidos
quedan esos puntos después de aplicarles la función.

Korean: 
지금부터는, 여러분이 미분의 정의 때문에 미분을 단지 기울기로만 생각하지 않기를 바랍니다.
그렇게 x값이 아주 작게 변화할 때 y값이 변화하는 정도로 미적분을 정의하는 것은
함수를 해석하는 수많은 방법 중 한 가지에 지나지 않습니다.
이런 주제에 대해 많은 영상이 제 채널에 있으니 관심있는 분들은 보시면 좋겠습니다.
자, 그러면 미적분을 해석하는 다른 방법의 첫걸음은
함수의 x값(Inputs)과 y값(Outputs)에 대한 각각의 대응관계를
두 개의 수직선 위에 표시하는 것입니다.
이 때 함수를 미분한다는 것은 x값에 해당하는 점들을 y값으로 이동시켰을 때
수직선이 얼마나 늘어나거나 줄어드는 지를 정도로 나타낸 것입니다.
x값이 일정한 간격으로 표현되어 있는 어떤 점을 기준으로 확대했을 때,
그 함수를 미분한 것은 x값을 각각의 y값에 대응시켰을 때
그 점에 대해 수직선이 늘어나거나 줄어든 정도를 나타냅니다.

Modern Greek (1453-): 
Τώρα, θα ήθελα να σας ενθαρρύνω να μην σκεφτείτε αυτή τη ιδέα ότι η παράγωγος είναι κλίση, ως τον ορισμό της παραγώγου.
Αντ' αυτού, σκεφτείτε το ότι είναι πιο θεμελιώδες σχετικά με το πόσο ευαίσθητη είναι η συνάρτηση σε απειροελάχιστες αλλαγές γύρω από το δεδομένο εισόδου, και
η κλίση είναι απλά ένας τρόπος να σκεφτείτε την ευαισθησία, που σχετίζεται μόνο με αυτόν τον συγκεκριμένο τρόπο οπτικής συναρτήσεων.
Δεν έχω μόνο ένα άλλο βίντεο, αλλά μια πλήρη σειρά πάνω σε αυτό το θέμα αν υπάρχει κάτι για το οποίο θέλετε να μάθετε περισσότερα.
Τώρα η βασική ιδέα πίσω από την εναλλακτική οπτική της παραγώγου είναι να σκεφτείτε αυτή τη συνάρτηση ως
τη καταγραφή όλων των σημείων εισόδου στη γραμμή αριθμών, στις αντίστοιχες τιμές εξόδου πάνω σε διαφορετική γραμμή αριθμών.
Σε αυτό το πλαίσιο, το τι δίνει η παράγωγος, είναι ένα μέτρο για το πόσο ο χώρος εισόδου τεντώνεται ή συμπιέζεται σε διάφορες περιοχές.
Αυτό είναι εάν επρόκειτο να μεγενθύνετε γύρω από ένα συγκεκριμένο δεδομένο εισόδου και να ρίξετε μια ματιά σε κάποια ομοιόμορφα κατανεμημένα σημεία γύρω του,
η παράγωγος της συνάρτησης αυτού του δεδομένου εισόδου πρόκειται να σας πει πόσο διάσπαρτα ή
συμπυκνωμένα γίνονται αυτά τα σημεία μετά την καταγραφή.

Arabic: 
الآن ، أود أن أشجعك على عدم التفكير في هذا المشتق باعتبار فكرة المنحدر أنها تعريف لمشتق
وبدلاً من ذلك ، فكر في الأمر على أنه أكثر جوهرية حول مدى حساسية هذه الدالة ، وهي عبارة عن وكزات صغيرة للغاية حول المدخلات
والانحدار هي مجرد طريقة واحدة للتفكير في هذه الحساسية ذات الصلة فقط بهذه الطريقة الدالية المحددة للعرض
ليس لدي فيديو آخر فقط ، بل سلسلة كاملة حول هذا الموضوع إذا كنت تريد معرفة المزيد عنها
الآن الفكرة الأساسية وراء البصرية البديلة للمشتق هو التفكير في هذه الدالة
كخريطة جميع نقاط المُدخلات على خط الأعداد إلى مخرجاتها المقابلة على خط عدد مختلف
في هذا السياق ، ما يمنحك المشتق هو قياس لمقدار مساحة المدخلات أو ضغطها في مناطق مختلفة.
هذا إذا كنت تريد تكبير مدخلات محددة وإلقاء نظرة على بعض النقاط المتساوية حوله
سوف يخبرك المشتق دالة هذه المدخلات حول كيفية انتشارها
أو كيف تصبح هذه النقاط مزدحمة بعد التماثل

Chinese: 
现在，我鼓励你不要把这个衍生物看作是一个导数的定义
相反，认为它更基础的是这个函数对于输入和输入的微小变动有多敏感
斜率只是考虑仅与这种观看功能的特定方式相关的灵敏度的一种方式。
我不只是另一个视频，而是关于这个话题的一个完整系列，如果这是你想了解更多的东西。
现在衍生物的替代视觉背后的基本思想是把这个函数想成是
将数字线上的所有输入点映射到不同号码线上的相应输出。
在这种情况下，衍生物给你的是衡量输入空间在不同区域拉伸或挤压的程度。
这就是说，如果您要放大某个特定输入并查看周围的一些均匀间隔的点，
该输入的函数的导数将告诉你如何散列或
映射后变成这些点

German: 
Nun möchte ich Sie ermutigen, diese Ableitung nicht als Steigungsidee als Definition einer Ableitung zu betrachten
Stellen Sie sich stattdessen grundlegender vor, wie empfindlich die Funktion gegenüber winzigen kleinen Stößen um den Eingang und ist
Die Steigung ist nur eine Möglichkeit, über diese Empfindlichkeit nachzudenken, die nur für diese bestimmte Art der Betrachtung von Funktionen relevant ist.
Ich habe nicht nur ein weiteres Video, sondern eine vollständige Serie zu diesem Thema, wenn Sie mehr darüber erfahren möchten.
Die Grundidee hinter dem alternativen Bild für die Ableitung besteht nun darin, diese Funktion als zu betrachten
Zuordnen aller Eingabepunkte auf der Zahlenlinie zu den entsprechenden Ausgängen auf einer anderen Zahlenlinie.
In diesem Zusammenhang gibt Ihnen die Ableitung ein Maß dafür, wie stark der Eingaberaum in verschiedenen Regionen gedehnt oder gequetscht wird.
Das heißt, wenn Sie eine bestimmte Eingabe vergrößern und sich einige gleichmäßig verteilte Punkte ansehen,
Die Ableitung der Funktion dieses Eingangs zeigt Ihnen, wie verteilt oder
Kontrahiert werden diese Punkte nach dem Mapping.

Japanese: 
さて、私は、この導関数を傾きと捉える考え方を、導関数の定義とは思わないことをお勧めします。
代わりに、もっと根本的に、関数の入力の周りの小さな動きをどれだけ知覚できるのかを示すものを導関数だと考えると、
傾きは、このグラフ化においてのみ使用できる感度について考えるための1つの道具なのです。
もっと知りたいのであれば、このお話に関するビデオのシリーズがありますので、そちらもご覧ください。
さて、導関数を視覚化するための基本的な考え方は、この関数を
数直線上のすべての入力をもう一つの数直線上にある出力とつなぎ合わせることです
ここで導関数があなたに与えるものは、入力同士の間隔がさまざまな地域でどのくらい伸びるか、または押しつぶされるかの尺度になります。
つまり、特定の入力を中心にズームインし、その周りに均等に配置されたいくつかの点を見ていたら、
その入力を持つ関数の導関数は、入力がどのように広がっているか
もしくは収縮されるかを教えてくれるということです。

Polish: 
Teraz, zachęcam Cię żebyś przestał myśleć o pochodnej jako o nachyleniu, ale
zaczął o niej myśleć, jako o wrażliwości funkcji na małą zmianę argumentu.
Nachylenie stycznej właśnie o tym nas informuje ale wymaga narysowania wykresu.
Mam całe mnóstwo filmów omawiających to zagadnienie, jeśli chcesz wiedzieć o tym coś więcej.
Naszą bazą za tym alternatywnym spojrzeniem na pochodną, jest wyobrażenie sobie tej funkcji
jako przekształcenia między dwoma prostymi: prostą argumentów i wartości.
W tej sytuacji, pochodna mierzy jak przestrzeń argumentów jest ściskana lub rozciągana, w różnych miejscach.
Jeśli przyjrzysz się pewnemu otoczeniu w dziedzinie, to pochodna funkcji
powie Ci jak bardzo rozrzucone lub, odpowiednio, ściśnięte zostało to otoczenie
przy przekształceniu f.

English: 
Now, I'd encourage you not to think of this derivative as slope idea as being the definition of a derivative
instead think of it as being more fundamentally about how sensitive the function is to tiny little nudges around the input and
the slope is just one way to think about that sensitivity relevant only to this particular way of viewing functions.
I have not just another video, but a full series on this topic if it's something you want to learn more about.
Now the basic idea behind the alternate visual for the derivative is to think of this function as
mapping all of the input points on the number line to their corresponding outputs on a different number line.
In this context what the derivative gives you is a measure of how much the input space gets stretched or squished in various regions.
That is if you were to zoom in around a specific input and take a look at some evenly spaced points around it,
the derivative of the function of that input is going to tell you how spread out or
contracted those points become after the mapping.

German: 
Hier hilft ein spezielles Beispiel, die Funktion x im Quadrat zu übernehmen
es ordnet 1 zu 1 und 2 zu 4 3 zu 9 und so weiter zu
und Sie konnten auch sehen, wie es auf alle Punkte dazwischen wirkt
und wenn Sie eine kleine Gruppe von Punkten um die Eingabe 1 und vergrößern würden
Sehen Sie dann, wo sie um den relevanten Ausgang landen, der für diese Funktion ebenfalls 1 ist
Sie würden bemerken, dass sie dazu neigen, sich auszudehnen.
Tatsächlich sieht es ungefähr so ​​aus, als würde man sich um den Faktor 2 ausdehnen, und je näher man zoomt, desto stärker ist dieses lokale Verhalten
Sieht so aus, als würde man mit dem Faktor 2 multiplizieren.
Dies bedeutet, dass die Ableitung von x im Quadrat am Eingang x gleich 1 gleich 2 ist.
So sieht diese Tatsache im Kontext von Transformationen aus.
Wenn Sie sich eine Nachbarschaft von Punkten um den Eingang 3 ansehen, werden diese grob um den Faktor 6 gestreckt.
Dies bedeutet, dass die Ableitung dieser Funktion am Eingang 3 gleich 6 ist.

Chinese: 
这里有一个具体的例子有助于把函数x平方
它将1映射到1和2映射到4 3到9等等
你也可以看到它是如何作用于所有这两个点之间的
并且如果您要放大输入1和1周围的一小组点
然后看看他们在相关输出周围的位置，这个函数也恰好是1
你会注意到它们往往会被拉长。
实际上，它大致看起来延伸了2倍，越靠近放大这个本地行为
看起来就像乘以2倍。
这就是在输入x等于1时x平方的导数为2的意思。
这就是变革背景下的事实。
如果您查看输入3周围的邻近点，则它们将粗略地拉伸6倍。
这就是这个函数在输入3的导数等于6的意义。

Spanish: 
Aquí ayudará un ejemplo concreto. Tomemos la función x al cuadrado
Lleva el 1 al 1, el 2 al 4, el 3 al 9, etc.
y también se ve cómo actúa en los puntos intermedios.
y si hacemos zoom en un pequeño grupo de puntos alrededor del número de entrada 1.
se ve a dónde van a parar alrededor del número de salida, que para esta función también es el 1.
Notaréis que tienden a estirarse.
De hecho, es más o menos como estirarlos en un factor de 2, y cuanto más nos acerquemos, más se parece
este comportamiento local a multiplicar simplemente por 2.
Esto es lo que significa que la derivada de x al cuadrado, en el punto 1, vale 2.
Así es como se visualiza ese hecho en el contexto de las transformaciones.
Si miramos a un entorno de puntos alrededor del 3, más o menos se estirarían en un factor 6.
Esto es lo que significa que la derivada de esta función en el punto 3, vale 6.

Modern Greek (1453-): 
Ορίστε, ένα συγκεκριμένο παράδειγμα βοηθά. Πάρτε τη συνάρτηση x τετράγωνο:
Αντιστοιχεί το 1 στο 1 και το 2 στο 4, 3 στο 9, και ούτω καθεξής,
και θα μπορούσατε επίσης να δείτε πώς συμπεριφέρεται σε όλα τα σημεία μεταξύ τους
και αν επρόκειτο να μεγεθύνετε σε μια μικρή ομάδα σημείων γύρω από το δεδομένο εισόδου 1 και
να δείτε πού αντιστοιχούν γύρω από το ανάλογο δεδομένο εξόδου, το οποίο για αυτή τη συνάρτηση τυγχάνει επίσης να είναι το 1,
θα παρατηρούσατε ότι τείνουν να απλώνονται.
Στην πραγματικότητα, μοιάζει περίπου σαν να απλώνονται με συντελεστή 2, και όσο πιο κοντά μεγεθύνετε, τόσο περισσότερο αυτή η τοπική συμπεριφορά
μοιάζει όπως με τον πολλαπλασιασμό με συντελεστή 2.
Αυτό είναι το τί σημαίνει η παράγωγος του x τετράγωνο στο δεδομένο σημείο x που ισούται με 1, να είναι 2.
Είναι το πώς αυτό το γεγονός φαίνεται στο πλαίσιο των μετασχηματισμών.
Αν κοιτάξατε σε μια γειτονιά σημείων γύρω από το δεδομένο εισόδου 3, θα απλώνονταν χονδρικά με συντελεστή 6.
Αυτό είναι το τί σημαίνει για την παράγωγο αυτής της συνάρτησης στο δεδομένο εισόδου 3 να ισούται με 6.

Japanese: 
ここで具体的な例としてxの二乗を出しましょう。
1に1をマッピングし、2から4を3から9にマッピングするなど
もちろん間にあるすべてのポイントも同様です
入力1の周りの点の群れを拡大する場合は、
それらが入力1の周りのどこに行くのかを見ることができます。この関数だと1はまた１に行くわけですが、
周りの点は引き伸ばされる傾向があることに気付くでしょう。
実際、おおよそ2倍に伸びているように見えますが、この局所的な動きをさらに拡大すると
2倍されたのと同じように見えます。
これは、入力xにおける2乗の微分に1を代入したときの２という答えが示すものになります。
変換という操作の中ではこのように見えるわけです。
入力3の周りの点の近傍を見ると、それらはおよそ6倍に伸びます。
これは、入力3でのこの関数の微分係数が6に等しいことを意味します。

Portuguese: 
Aqui, um exemplo específico ajuda: admita a função x²:
liga o 1 ao 1 e o 2 ao 4, 3 ao 9 e assim por diante
e você poderia também ver como ela atua em todos os pontos no meio
e se você desse um zoom em um pequeno conjunto de pontos ao redor do dado de entrada 1 e
então visse onde eles caem ao redor do dado de saída relevante - que para essa função também acaba sendo o 1
- você iria notar que eles tendem a se esticar.
De fato, parecem esticar por um fator de 2 e quanto mais você dá zoom, mais esse comportamento local
parece estar multiplicando por um fator de 2.
É isso que significa a derivada de x² no dado de entrada x igual a 1 ser 2.
É o que esse fato parece no contexto de transformações.
Se você olhasse a vizinhança dos pontos ao redor do dado de entrada 3, eles estariam aproximadamente esticados por um fator de 6.
É isso que significa a derivada dessa função no dado de entrada 3 ser igual a 6.

Polish: 
Konkretny przykład pomoże nam lepiej zrozumieć o co chodzi, weźmy funkcję kwadratową
zamieniająca 1 na 1, 2 na 4, 3 na 9 itd.
wtedy możesz zobaczyć jak działa to na wszystkich puntach pomiędzy
i jeśli miałbyś zrobić zbliżenie na mały pasek wokół 1, potem
zobaczyć gdzie ten pasek ląduje po przekształceniu(akurat też wokół jedynki)
zauważyłbyś, że się rozszerzył.
W zasadzie wygląda na to, że rozszerzył się o czynnik 2, zbliżając jeszcze bardziej zauważyłbyś,
lokalnie to wygląda jak mnożenie długości przedziału przez dwa.
To właśnie oznacza fakt, że pochodna funkcji x^2 w 1 wynosi 2.
Tak to wygląda w języku transformacji.
Gdybyś spojrzał na otoczenie punktu 3, zauważyłbyś, że ulega rozciągnięciu o czynnik 6.
To właśnie oznacza fakt, że pochodna funkcji x^2 w 3 wynosi 6.

Korean: 
어려우시면 y=x²이라는 함수를 예로 들어보겠습니다.
이 함수에서 1은 1에, 2는 4에, 3은 9에 각각 대응됩니다.
그리고 그 사이에 있는 점들도 어떻게 대응되는 지 볼 수 있습니다.
한번 x값 1을 중심으로 확대를 하고,
각 점을 y값에 대응시켰을 때 1 주위에 점들에 무슨 일이 일어나는 지 봅시다.
점의 간격이 벌어진 것을 확인할 수 있습니다.
이 점들은 거리가 약 두 배만큼 멀어진 것처럼 보입니다.
더 많이 확대한다면 2배 확대하는 것과 다를 바가 없어집니다.
이것은 x²을 미분했을 때 x에 1을 넣은 값이 2라는 것을 의미합니다.
지금 우리는 함수를 변형했다고 할 수 있습니다.
만약 x값 3을 중심으로 확대한다면, 각 점을 y값에 대응시키는 것은 6배 확대하는 것처럼 보입니다.
물론 이것은 이 함수를 미분한 함수에서 x=3일 때의 함숫값이 6이라는 의미입니다.

Arabic: 
هنا مثال دقيق يساعد على اتخاذ الدالة x  التربيع
تمثيل 1 إلى 1 و 2 إلى 4 3 إلى 9 وهلم جراً
ويمكنك أيضًا رؤية كيف يعمل على جميع النقاط بينهما
وإذا كنت تقوم بتكبير مجموعة صغيرة من النقاط حول المُدخل1
ثم شاهد إلى أين يتجهون نحو المخرجات ذات الصلة والتي تكون لهذه الدالة أيضًا 1
ستلاحظ أنها تميل إلى التمدد
في الواقع ، يبدو أنها تقريبًا تشبه عامل 2 ، وكلما اقتربت من تكبير هذا السلوك الموضعي
يبدو الأمر وكأنه يتضاعف بمعامل 2
هذا ما يعنيه بالنسبة لمشتق x التربيع عند إدخال x يساوي 1 ليكون 2
هذا ما تبدو عليه هذه الحقيقة في سياق التحولات
إذا نظرت إلى جوار النقاط حول الإدخال 3 ، فسيتم تشغيلها تقريبًا بواسطة عامل 6
هذا ما يعنيه بالنسبة لمشتقات هذه الدالة عند الإدخال 3 لتساوي 6

English: 
Here a specific example helps take the function x squared
it maps 1 to 1 and 2 to 4 3 to 9 and so on
and you could also see how it acts on all of the points in between
and if you were to zoom in on a little cluster of points around the input 1 and
then see where they land around the relevant output which for this function also happens to be 1
you'd notice that they tend to get stretched out in.
In fact, it roughly looks like stretching out by a factor of 2 and the closer you zoom in the more this local behavior
Looks just like multiplying by a factor of 2.
This is what it means for the derivative of x squared at the input x equals 1 to be 2.
It's what that fact looks like in the context of transformations.
If you looked at a neighborhood of points around the input 3, they would get roughly stretched out by a factor of 6.
This is what it means for the derivative of this function at the input 3 to equal 6.

Polish: 
W otoczeniu punktu 1/4, zauważyłbyś, że obszar ulega zwężeniu,
dokładnie o czynnik 1/2 i tak to wygląda dla punktów mniejszych od 1.
Punkt 0 jest interesujący, nie widzimy aby jego otoczenie zostało jednostajnie
ściśnięte lub rozciągnięte. Wszystkie punkty na lewo od zera odbijają się na prawo
jeśli weźmiemy coraz
większe zbliżenie, np. 100-krotne lub 1000-krotne
Wygląda to jakby bardzo małe otoczenia zera, po prosu zapadły się w ten punkt.
I to właśnie oznacza mieć pochodna równą zero, lokalne zachowanie wygląda coraz bardziej
jak mnożenie przez 0. Nie musi być tak, że wszystko się zapadnie w punkt, przy pewnym zbliżeniu. Raczej
jest to kwestia, tego jakie jest zachowanie w granicy, będąc coraz bliżej i bliżej.
Pożyteczne jest też spojrzenie na ujemne argumenty.

Chinese: 
在输入端1/4周围，一个小区域实际上往往会收缩
特别是1/2的因子，这就是导数小于1的情况。
现在输入0很有趣，
放大10倍
它看起来并不像一个不断的拉伸或压扁，因为所有的输出结果都在右边
积极的一面
并且当你缩小近100倍或1000倍时
它看起来越来越像一个围绕零点的小邻域，它本身就被折叠为零。
这就是导数为零的原因，本地行为看起来越来越像
将整个数字线乘以零。它不必将所有内容都完全折叠到特定缩放级别的点上。代替
当你放大和缩小距离时，这是一个限制行为的问题。
在这里看一下负面的投入也很有意义。

Modern Greek (1453-): 
Γύρω από το δεδομένο εισόδου 1/4, μια μικρή περιοχή τείνει να συσταλεί
συγκεκριμένα κατά συντελεστή 1/2 και αυτό είναι το πώς φαίνεται μια παράγωγος να είναι μικρότερη του 1.
Τώρα, αν δώσουμε 0 έχει ενδιαφέρον:
μεγεθύνοντας με συντελεστή 10,
δεν μοιάζει και τόσο με ένα συνεχές τέντωμα ή συμπύκνωση, για ένα πράγμα που όλα τα δεδομένα εξόδου καταλήγουν στη δεξιά
θετική πλευρά των πραγμάτων.
Και καθώς μεγεθύνετε όλο και πιο κοντά κατά 100 x ή κατά 1000 x
Μοιάζει όλο και περισσότερο σαν μια μικρή γειτονιά σημείων γύρω από το μηδέν να καταρρέει στο ίδιο το μηδέν.
Και αυτό είναι το πώς φαίνεται για τη παράγωγο να είναι μηδέν. Η τοπική συμπεριφορά φαίνεται όλο και περισσότερο
σαν να πολλαπλασιάζεις ολόκληρη τη γραμμή των αριθμών με μηδέν. Δεν χρειάζεται να καταρρεύσουν πλήρως τα πάντα σε ένα σημείο σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο μεγένθυνσης. Αντ' αυτου
είναι ζήτημα της οριακής συμπεριφοράς καθώς μεγεθύνετε όλο και πιο κοντά.
Είναι επίσης χρήσιμο να ρίξετε μια ματιά στα αρνητικά δεδομένα εισόδου εδώ.

Korean: 
¼ 주위의 점을 봤을 때, 각 점을 y값에 대응시키면
점 사이의 거리가 ½로 줄어든 것 처럼 보입니다.
어떤 점에서 미분한 값이 1보다 작을 수도 있다는 뜻이죠.
0 주위를 10배 확대해 볼까요? 신기한 결과가 나올 겁니다.
이번에는 늘어나거나 줄어드는 것처럼 보이지는 않지만,
왼쪽에 있는 점들이 모두 오른쪽에 있는 양수로 옮겨갔습니다.
100배, 1000배 더 확대해 보면
더 많이 확대할수록 0 주위의 점들이 0쪽으로 모여드는 것처럼 보입니다.
그리고 이건 미분값이 0이 될 때를 나타내죠.
좁은 범위만 보면 수직선에 0을 곱한 것과 같습니다.
특정한 배율에서는 점들이 완벽하게 0으로 모이지 않지만,
배율이 극한으로 커지면 0 주위의 점들이 어떻게 대응되는 지가 중요합니다.
음수의 x값은 y값에 어떻게 대응되는지 보는 것도 좋은 경험일 겁니다.

English: 
Around the input 1/4 a small region actually tends to get contracted
specifically by a factor of 1/2 and that's what it looks like for a derivative to be smaller than 1.
Now the input 0 is interesting,
zooming in by a factor of 10
It doesn't really look like a constant stretching or squishing, for one thing all of the outputs end up on the right
positive side of things
and as you zoom in closer and closer by 100x or by 1000 X
It looks more and more like a small neighborhood of points around zero just gets collapsed into zero itself.
And this is what it looks like for the derivative to be zero, the local behavior looks more and more like
multiplying the whole number line by zero. It doesn't have to completely collapse everything to a point at a particular zoom level. Instead
it's a matter of what the limiting behavior is as you zoom in closer and closer.
It's also instructive to take a look at the negative inputs here.

Arabic: 
حول المدخلات 1/4 ، تميل منطقة صغيرة بالفعل إلى الإزدحام
على وجه التحديد بواسطة عامل 1/2 وهذا ما يبدو أن المشتق أصغر من 1
الآن ، الإدخال 0 مثير للاهتمام ، مع التكبير بعامل 10
لا يبدو في الواقع مثل تمدد مستمر أو ضغط ، لشيء واحد ، ينتهي كل المخرجات على الجانب الإيجابي الصحيح من الأشياء
وأنت تقترب أكثر وأقرب من 100x أو 1000 X
يبدو أكثر وأكثر مثل مقدار تقريبي صغير من النقاط حول الصفر فقط يحصل تساقط في الصفر نفسه
وهذا هو الشكل الذي تبدو عليه المشتقة صفر ، ويبدو السلوك الموضعي أكثر
وأكثر مثل ضرب خط العدد بالكامل بمقدار صفر .
يس من الضروري أن يتساقط كل شيء إلى حد معين عند مستوى تكبير معين
من المفيد أيضًا إلقاء نظرة على المدخلات السلبية هنا

Japanese: 
入力1/4付近では、小さな領域が収縮する傾向があります
具体的には1/2になり、1よりも小さい時の微分係数はこのような形になりそうです。
入力0は面白いですよ、
10倍のズームインをしてみましょう
それはあまり一定の伸びや収縮はしませんが、ひとつ面白いのはすべての出力が
右側のプラスの軸に行くことです。
あなたが100倍または1000倍近く拡大するにつれて
ゼロの周りの小さな点の集まりがちょうどゼロ自体に衝突するように見えます。
これが、微分係数ががゼロの時のふるまいの見え方ですが、局所的に見ると
数直線上の数すべてに0をかけたようになります。特定の拡大段階ですべてのポイントが完全に重なるわけではありません。しかし、
あなたがもっと近くに拡大するとき、この振る舞いは強くみられます。
負の入力を見ることも有益です。

German: 
Um den Eingang 1/4 herum neigt eine kleine Region tatsächlich dazu, sich zusammenzuziehen
speziell um den Faktor 1/2 und so sieht es aus, wenn eine Ableitung kleiner als 1 ist.
Jetzt ist die Eingabe 0 interessant,
Vergrößern um den Faktor 10
Es sieht nicht wirklich nach ständigem Dehnen oder Quetschen aus, zum einen landen alle Ausgänge rechts
positive Seite der Dinge
und wenn Sie näher und näher um das 100-fache oder um das 1000-fache zoomen
Es sieht immer mehr so ​​aus, als würde eine kleine Nachbarschaft von Punkten um Null einfach zu Null zusammenfallen.
Und so sieht es aus, wenn die Ableitung Null ist, das lokale Verhalten sieht immer mehr so ​​aus
Multiplizieren Sie die ganze Zahlenzeile mit Null. Es muss nicht alles vollständig auf einen Punkt bei einer bestimmten Zoomstufe reduziert werden. Stattdessen
Es ist eine Frage des einschränkenden Verhaltens, wenn Sie näher und näher heran zoomen.
Es ist auch lehrreich, sich hier die negativen Eingänge anzusehen.

Spanish: 
Alrededor del punto 1/4, esta pequeña zona en realidad se contrae,
concretamente en un factor 1/2, y así es como se visualiza que la derivada sea menor que 1.
Ahora, el punto 0 es interesante. Haciendo un zoom que aumente 10 veces,
en realidad no parece estirarse o encogerse de manera constante, porque todas las salidas van a parar
al lado positivo.
Y si hacemos más zoom, aumentando 100 o 1000 veces,
se parece cada vez más a un pequeño entorno de puntos alrededor del cero que colapsan hacia el propio cero.
y así es como se visualiza que la derivada sea cero. El comportamiento local se parece cada vez más
a multiplicar toda la recta numérica por cero. Pero no hace falta que todo colapse completamente hacia el cero en un nivel de zoom.
Es más bien cuál es el comportamiento límite según el zoom se acerca más y más.
Aquí también es instructivo mirar las entradas negativas.

Portuguese: 
Ao redor do dado de entrada 1/4 uma pequena região tende na verdade a se retrair,
especificamente por um fator de 1/2, e é isso que significa uma derivada ser menor do que 1.
Agora o dado de entrada 0 é interessante. Dando zoom por um fator de 10
na realidade não parece que há espalhamento ou aperto constante, posto que todos os dados de saída acabam caindo no lado
direito das coisas.
E conforme você dá um zoom cada vez mais próximo, 100x ou 1000x,
parece cada vez mais que uma pequena vizinhança de pontos ao redor do zero simplesmente colapsam no próprio zero.
E é isso que significa uma derivada ser zero. O comportamento local parece cada vez mais estar
multiplicando toda a reta numérica por zero. Não precisa colapsar por completo tudo a um ponto num nível de zoom específico. Pelo contrário,
é uma questão de qual é o comportamento limitante conforme você dá um zoom cada vez mais perto.
Também é instrutivo olhar os dados de entrada negativos aqui.

Portuguese: 
As coisas começam a parecer um pouco restringidas dado que eles colidem com onde todos os valores positivos vão,
e essa é uma das desvantagens de se pensar em funções como transformações. Mas para derivadas, de qualquer modo nos importamos somente com
o comportamento local, o que acontece ao redor de uma faixa pequena ao redor de determinado dado de entrada.
Aqui, note que os dados de entrada em uma vizinhança pequena ao redor de, digamos, -2. Eles não serão apenas esticados, mas também invertidos.
Especificamente, a ação em tal vizinhança se parece cada vez mais com multiplicar por -4 quanto mais você dá zoom.
É isso que significa a derivada de uma função ser negativa.
E eu acho que você entendeu a ideia. Está tudo muito bem,
mas vamos ver como isso é de fato útil para resolver um problema.
Um amigo meu recentemente me fez uma pergunta bem divertida sobre a fração infinita um mais um dividido por um mais um dividido por um
mais um dividido por um e assim por diante
e claramente você assiste vídeos de matemática online,

Modern Greek (1453-): 
Τα πράγματα αρχίζουν να γίνονται λίγο πιο στενά, καθώς συγκρούονται εκεί όπου πηγαίνουν όλες οι θετικές τιμές εισόδου,
και αυτό είναι ένα από τα μειονεκτήματα του να σκεφτείτε τις συναρτήσεις ως μετασχηματισμούς, αλλά για τις παραγώγους, μας ενδιαφέρει μόνο η τοπική συμπεριφορά
όπως και να χει. Τί συμβαίνει σε μια μικρή περιοχή γύρω από ένα δεδομένο εισόδου.
Εδώ, παρατηρήστε ότι τα δεδομένα εισόδου σε μια μικρή γειτονιά γύρω από έστω το - 2, όχι μόνο τεντώνονται, αλλά επίσης γυρίζουν από την άλλη.
Συγκεκριμένα, η δράση σε μια τέτοια γειτονιά μοιάζει όλο και περισσότερο σαν να πολλαπλασιάζετε με - 4, όσο πιο κοντά μεγεθύνετε
Αυτό είναι το πώς φαίνεται για την παράγωγο μιας συνάρτησης να είναι αρνητική.
Και νομίζω ότι πήρατε το νόημα. Όλα αυτά είναι ωραία και καλά,
αλλά ας δούμε πώς αυτό είναι πραγματικά χρήσιμο για την επίλυση ενός προβλήματος.
Ένας φίλος μου μου ζήτησε πρόσφατα μια αρκετά ενδιαφέρουσα ερώτηση για το άπειρο κλάσμα 1 συν 1 διαιρεμένο με 1 συν 1 διαιρεμένο με 1
συν 1 διαιρεμένο με 1, και λοιπά και λοιπά και λοιπά και
προφανώς παρακολουθείτε βίντεο μαθηματικών στο διαδίκτυο

Arabic: 
تبدأ الأمور في الشعور بالضغط منذ أن بدأت تتصادم مع كل قيم المدخلات الإيجابية
وهذا هو واحد من سلبيات التفكير في الدالة كما التحولات ، ولكن بالنسبة للمشتقات ، نحن نهتم فقط بالسلوك الموضعي
على أي حال ، ما يحدث في نطاق صغير حول مدخلات محددة
هنا ، لاحظ أن المدخلات في مقدار تقريبي صغير حول سالب إثنان . انها لا تمتد فقط - انها انقلبت حولها أيضاً
على وجه التحديد ، يبدو الإجراء على مثل هذا المقدار التقريبي أكثر وأكثر مثل الضرب بأربعة سالب  كلما اقتربت من تكبيرها
هذا هو ما يبدو لمشتق دالة لتكون سالبة
وأعتقد أنك تحصل على هذه النقطة. هذا كله شيء جيد
ولكن دعونا نرى كيف هذا مفيد بالفعل في حل مشكلة
سألني أحد أصدقائي مؤخراً سؤال ممتع جداً حول الجزء اللانهائي زائد واحد مقسوم على واحد زائد واحد مقسوم على واحد
زائد واحد مقسوم على واحد وهلم جرا ...
من الواضح أنك تشاهد مقاطع فيديو حول الرياضيات عبر الإنترنت

Japanese: 
負の入力はすべての正の入力が行く場所と同じ場所に行きつくので、少し窮屈に感じるかもしれません。
これは関数を変換として考えるときの１つの欠点ですが、今は局所的ふるまいのみに注目します。
とにかく、与えられた入力の周囲の小さな範囲では何が起こるでしょう
ここでは、マイナス2という入力の周辺だけに注目しましょう。彼らは単に伸びているだけでなく、逆さまになります。
具体的には、この近傍での動きは、拡大するほどマイナス4倍されるように見えます
これが関数の微分係数が負であるときのふるまいになります
さて、これでコツはつかんだでしょうか。
さらにこれが問題の解法として実際にどのように役立つのかを見てみましょう。
私の友人は最近、面白い連分数、1+1/(1+1/(1+1/(...)))、という問題を教えてくれました
1を足して割る、それを繰り返して
もちろんこれはオンラインの数学講座ですので、

Korean: 
점이 휘어져서 곡선을 이루고 결국에는 양수 x값과 만나게 됩니다.
지금까지 한 것이 함수를 '변형'으로 해석하는 방법입니다.
하지만 미분을 구하기 위해서는 점 근처를 확대한 부분에만 집중해야 합니다.
주어진 점 주위에서 무슨 일이 일어나는 지 말이죠.
여기에서 작은 이웃의 입력은 음수 2라고 말합니다. 그들은 뻗어 나가는 것이 아니라 주위를 뒤집어 쓴다.
특히, 같은 이웃에 대한 행동은 네거티브 네 배로 확대하는 것처럼 점점 더 가까이에 가까워집니다.
이것은 함수의 파생물이 음수가되는 것처럼 보입니다.
당신이 요점을 얻은 것 같아요. 이것은 모두 훌륭하고 좋은 것입니다.
문제 해결에 이것이 실제로 어떻게 유용한 지 보겠습니다.
내 친구는 최근에 나에게 무한한 분수 1에 1을 더한 다음 1로 나누고 1을 하나로 나눈 것에 대해 꽤 재미있는 질문을했다.
1을 하나씩 나눈다.
여러분은 분명히 온라인으로 보고 있겠죠.

Chinese: 
事物开始感到有点狭窄，因为它们与所有积极的输入值相冲突，
这是将功能视为转变的缺点之一，但对于衍生工具，我们只关心当地的行为
无论如何，围绕给定输入的小范围内会发生什么。
在这里，请注意，周围小邻居的输入说负两。它们不会被拉伸 - 它们也会翻转。
具体来说，对这样一个邻域的操作看起来越来越像放大后越接近负四
这就是函数的导数为负的情况
我想你明白了。这一切都很好，
但让我们看看这对于解决问题是如何有用的
最近我的朋友问我一个关于无限小分的问题，加一分除以1加1
再加上一个，一个，一个，一个，一个，一个
显然你在线观看数学视频

English: 
Things start to feel a little cramped since they collide with where all the positive input values go,
and this is one of the downsides of thinking of functions as transformations, but for derivatives, we only really care about the local behavior
Anyway, what happens in a small range around a given input.
Here, notice that the inputs in a little neighborhood around say negative two. They don't just get stretched out -  they also get flipped around.
Specifically, the action on such a neighborhood looks more and more like multiplying by negative four the closer you zoom in
this is what it looks like for the derivative of a function to be negative
and I think you get the point. This is all well and good,
but let's see how this is actually useful in solving a problem a
Friend of mine recently asked me a pretty fun question about the infinite fraction one plus one divided by one plus one divided by one
plus one divided by one on and on and on and on and
Clearly you watch math videos online

German: 
Die Dinge fühlen sich etwas eng an, da sie mit all den positiven Eingabewerten kollidieren.
und dies ist einer der Nachteile des Denkens von Funktionen als Transformationen, aber für Derivate kümmern wir uns nur wirklich um das lokale Verhalten
Wie auch immer, was passiert in einem kleinen Bereich um einen bestimmten Eingang.
Beachten Sie hier, dass die Eingaben in einer kleinen Nachbarschaft negative zwei sagen. Sie werden nicht nur ausgestreckt, sondern auch herumgedreht.
Insbesondere sieht die Aktion in einer solchen Nachbarschaft immer mehr nach Multiplikation mit negativen vier aus, je näher Sie zoomen
So sieht es aus, wenn die Ableitung einer Funktion negativ ist
und ich denke, Sie verstehen den Punkt. Das ist alles schön und gut,
Aber mal sehen, wie nützlich dies tatsächlich bei der Lösung eines Problems ist. a
Ein Freund von mir hat mir kürzlich eine ziemlich lustige Frage über den unendlichen Bruchteil eins plus eins geteilt durch eins plus eins geteilt durch eins gestellt
plus eins geteilt durch eins weiter und weiter und weiter und weiter und weiter
Natürlich sehen Sie sich Mathe-Videos online an

Polish: 
Sprawy zaczynają się komplikować, bo z kolidują na wyjściu z dodatnimi argumentami,
i to jest jedna z wad takiego spojrzenia, pochodnych jako transformacji, ale dla pochodnych właśnie interesuje nas
lokalne zachowanie,czyli to co zachodzi w małym otoczeniu punktu.
Popatrzmy na argumenty wokół, powiedzmy -2. Nie tylko się to otoczenie rozszerza, ale też zostaje odwrócone.
Dokładniej, działanie na takie otoczenie przypomina mnożenie go przez -4, jeśli zrobimy zbliżenie,
To właśnie oznacza to, że pochodna funkcji w punkcie jest ujemna. Wydaje mi się, że już
wiesz o co chodzi. Wszystko fajnie, ale zobaczmy jak
ale zobaczmy jak to działa w praktyce.
Mój przyjaciel ostatnio zadał mi bardzo zabawne pytanie, o ułamek nieskończony: 1+1/(1+1/(1+...
i tak dalej.
Na pewno oglądasz filmy online o matematyce.

Spanish: 
La cosa queda un poco apiñada, porque se junta con el lugar al que van todas las entradas positivas,
y este es uno de los inconvenientes de pensar en las funciones como transformaciones, pero para las derivadas solo nos interesa el comportamiento local.
es decir, lo que pasa en una pequeña zona alrededor de un cierto punto de entrada.
Aquí, fijémonos en los puntos de un pequeño entorno, digamos alrededor del -2. No solo se estiran, sino que se dan vuelta.
En particular, al hacer zoom, la acción en ese entorno se parece cada vez más a multiplicar por -4.
Así es como se visualiza que la derivada de una función sea negativa.
Seguro que captáis la idea. Y eso está muy bien,
pero vamos a ver cómo esto se puede utilizar de verdad para resolver un problema.
Un amigo me ha hecho una pregunta divertida sobre la fracción infinita: 1 más 1 dividido por 1 más 1 dividido por 1 más 1...
etcétera etcétera, y como seguro que veis vídeos
de matemáticas en internet, quizá esto ya lo hayáis visto

German: 
Vielleicht haben Sie das schon einmal gesehen, aber die Frage meines Freundes geht tatsächlich auf etwas über, an das Sie vorher vielleicht noch nicht gedacht haben
Relevant für die Ansicht von Derivaten, die wir hier betrachten
die typische Art und Weise, wie Sie könnten
Wenn Sie einen Ausdruck wie diesen auswerten, setzen Sie ihn gleich X und stellen Sie dann fest, dass sich eine Kopie des gesamten Bruchs in sich befindet
Sie können diese Kopie also durch ein anderes X ersetzen und dann einfach nach X auflösen
Das ist, was Sie wollen, ist einen festen Punkt der Funktion 1 plus 1 geteilt durch X.
Aber hier ist die Sache, es gibt tatsächlich zwei Lösungen für X zwei spezielle Zahlen waren eins plus eins geteilt durch diese Zahl
Gibt dir das Gleiche zurück
Eines ist der goldene Schnitt phi Φ φ um 1,618
 und der andere ist negativ
0,618, was zufällig -1 / φ ist.
Ich nenne diese andere Nummer gerne Phis kleinen Bruder, da fast jede Eigenschaft, die Phi hat, diese Nummer auch und hat
Dies wirft die Frage auf:

Portuguese: 
então talvez você já viu isso antes, mas a pergunta do meu amigo na verdade vai para algo que você talvez não tenha pensado antes,
relevante à maneira de visualizar derivadas que estamos buscando aqui.
A maneira típica que você
avaliaria uma expressão como essa seria defini-la como igual a x e então notar que há uma cópia da fração completa dentro de si mesma,
de modo que você pode repor essa cópia por outro x e então resolver para x.
Isto é, o que você quer é encontrar um ponto fixo da função 1+ 1/x.
Mas na verdade o que ocorre é que há duas soluções para x, dois números especiais onde 1 mais 1 dividido por esse número
retorna o mesmo valor.
Uma é a razão áurea, φ, ao redor de 1.618, e a outra é  -0.618,
que acaba sendo -1/φ.
Eu gosto de chamar este outro número de irmão mais novo de φ, já que praticamente qualquer propriedade que φ possui, esse número também possui,
e isso levanta a seguinte dúvida:

Korean: 
어쩌면 전에도 이런 것을 보셨을 수도 있습니다. 그러나 제 친구의 질문은 당신이 전에 생각하지 못했던 것을 일깨워 줍니다.
우리가 여기에서 보고있는 것은 파생 상품의 관점과 관련이 있습니다.
여러분이 할 수 있는 전형적인 방법으로
이와 같이 표현식을 평가하는 것은 X와 같게 설정 한 다음 그 내부에 전체 분수의 사본이 있음을 확인하는 것입니다.
그래서 그 사본을 다른 X로 대체 한 다음 X에 대해 풀 수 있습니다.
그것이 당신이 원하는 것은 함수 1의 고정 된 점을 X로 나눈 1을 찾는 것입니다
하지만 여기에 X에 대한 두 가지 해결책이 실제로 존재합니다. 두 개의 특수 숫자는 1 더하기 1을 나눈 값 입니다.
여러분에게 똑같은 것을 보여 드리죠.
하나는 황금비율 φ = 1.618... , 나머지 하나는 음수입니다.
0.618... 은 -1 / φ가 됩니다.
저는 이런 숫자를 파이와 유사한 성질을 가진 파이 동생이라고 부르기로 하겠습니다.
이런 의문이 듭니다.

Polish: 
Więc może spotkałeś się już z tym, ale pytanie mojego kolegi dotyczy czegoś, czego mogłeś nie wiedzieć.
Czegoś istotnie związanego z naszym spojrzeniem na pochodne.
Zazwyczaj aby
określić wartość czegoś takiego, to podstawić, że jest to równe x, oraz zauważyć, że mamy w środku kopię tego x.
Więc możemy ją zastąpić tym x i rozwiązać równanie ze względu na tą zmienną.
Inaczej chciałbyś znaleźć punkt stały przekształcenia 1+1/x.
Ale tak się składa, że istnieją dwa rozwiązanie tego równania, czyli dwie liczby które odrwócone i powiększone o 1
z powrotem będą sobą.
Jedną z nich jest tzw. złoty podział phi φ, równy około 1.618, druga wynosi około
-0.618, a w przybliżeniu jest to -1/φ.
Chciałbym nazwać tę drugą liczbę młodszym bratem phi, ponieważ ma te same własności co phi, stąd
rodzi się pytanie:

Modern Greek (1453-): 
άρα ίσως το έχετε ξαναδεί, αλλά η ερώτηση του φίλου μου στην πραγματικότητα φτάνει σε κάτι που ίσως να μην είχατε σκεφτεί στο παρελθόν,
σχετικά με την οπτική των παραγώγων που εξετάζουμε εδώ.
Ο τυπικός τρόπος που θα μπορούσατε να
εκτιμήστε μια έκφραση όπως αυτή, είναι να την ορίσετε ως X και στη συνέχεια να παρατηρήσετε ότι υπάρχει ένα πλήρες αντίγραφο του κλάσματος στο εσωτερικό του.
Έτσι μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτό το αντίγραφο με ένα άλλο X και στη συνέχεια απλά να λύσετε ως προς το X.
Αυτό είναι,  αυτό που θέλετε είναι να βρείτε ένα σταθερό σημείο της συνάρτησης 1 συν 1 διαιρεμένο με Χ
Αλλά εδώ είναι το θέμα.  Στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο λύσεις για το Χ. Δύο ειδικοί αριθμοί όπου 1 συν 1 διαιρεμένο με αυτόν τον αριθμό
σας επιστρέφει το ίδιο πράγμα.
Ο ένας είναι η χρυσή τομή, φ, περίπου 1.618 
και ο άλλος είναι το αρνητικό
0.618 που συμβαίνει να είναι το -1 / φ.
Μου αρέσει να λέω αυτόν τον άλλο αριθμό τον μικρό αδελφό του φ, αφού σχεδόν κάθε ιδιότητα που έχει το φ, την έχει και αυτός ο αριθμός.
Και αυτό δημιουργά το ερώτημα:

Spanish: 
pero la pregunta de mi amigo se refiere a algo en lo que quizá no hayáis pensado antes
en relación con la interpretación de las derivadas que estamos viendo aquí.
La manera típica en que evaluaríamos una expresión como esta,
es hacerla igual a x , dándonos cuenta de que hay una copia de toda la fracción dentro de sí misma,
así que sustituimos esa copia por otra x, para resolverlo hallando x.
Es decir, lo que queremos encontrar es un "punto fijo" de la función 1 + 1/x.
Pero la cuestión es que hay dos soluciones x. Dos números especiales en los que 1+ 1 dividido por ese número,
te da el mismo número.
Una es la razón áurea phi, φ, aproximadamente 1.618, y la otra
es negativa y resulta ser -1/φ.
Me gusta llamar a este otro número el "hermano pequeño de φ", porque tiene las mismas propiedades que φ,
y esto plantea la pregunta:

Chinese: 
所以也许你以前见过这个，但是我的朋友的问题实际上是削减了一些你以前可能没有想过的事情
与我们在这里看到的衍生品的观点有关
你可能的典型方式
像这样评估一个表达式就是将其设置为等于X，然后注意到其中有完整分数的副本
因此，您可以用另一个X替换该副本，然后解决X.
这就是你想要找到一个固定点的函数1加1除以X.
但是这里有两个解决方案实际上有两个解决方案，两个特殊数字是一个加一个除以该数字
让你回到同样的事情
一个是黄金比例φφφ约1.618
 另一个是消极的
0.618恰好是-1 /φ。
我喜欢从phi拥有的任何财产开始称这​​个phi的另一个小弟弟，这个数字也有
这提出了一个问题：

Arabic: 
ﻟذا رﺑﻣﺎ رأيتها ﻣن ﻗﺑل ، ﻟﮐن ﺳؤال ﺻدﯾﻘﻲ يشق ﻓﻲ اﻟواﻗﻊ إﻟﯽ ﺷﻲء ﻟم ﺗﻔﮐر ﺑه ﻣن ﻗﺑل
ذات صلة بمشاهدة المشتقات التي ننظر إليها هنا
الطريقة المعتادة التي قد تكون
قم بتقييم تعبير كهذا لتعيينه يساوي X ثم لاحظ أن هناك نسخة من جزء كامل داخل نفسه
لذا يمكنك استبدال هذه النسخة بـ X آخر ثم حل X فقط
هذا ما تريده هو العثور على نقطة ثابتة للدالة 1 زائد 1 مقسومة على X
ولكن تكمن هنا المشكلة في وجود حلّين خاصّين  لـ X ، واحد زائد واحد مقسومًا على هذا الرقم
يعطيك نفس النتيجة
إحداها هي النسبة الذهبية phi Φ φ حول 1.618 والآخر سلبي
0.618 الذي يحدث ليكون -1 / φ
أود أن أسمي الرقم الآخر phi الصغير بما أن أي ملكية تحتوي على phi ، هذا الرقم له أيضًا
وهذا يثير السؤال

English: 
So maybe you've seen this before but my friend's question actually cuts to something that you might not have thought about before
Relevant to the view of derivatives that we're looking at here
the typical way that you might
Evaluate an expression like this is to set it equal to X and then notice that there's a copy of the full fraction inside itself
So you can replace that copy with another X and then just solve for X
That is what you want is to find a fixed point of the function 1 plus 1 divided by X
But here's the thing there are actually two solutions for X two special numbers were one plus one divided by that number
Gives you back the same thing
One is the golden ratio phi Φ φ around 1.618
 and the other is negative
0.618 which happens to be -1/φ.
I like to call this other number phi's little brother since just about any property that phi has, this number also has and
this raises the question:

Japanese: 
同じようなものを前に見た人もいるでしょう、しかし私の友達の質問は思いもつかないようなもので
この導関数の視覚化に関係しているものでした
典型的な方法としては
式をxとおくことで、同じ分数の繰り返しに気づくでしょうから
その部分をまたxとおくことで問題を解くというやり方です。
これはあなたが欲しかった答えが関数1+1/xの固定点だったということです。
しかし、実際には x の解は二つ存在します。その２つの数は、1+1/xという式のxに当てはめると、
自分自身に戻るという性質をもっています
1つは黄金比φ（ファイ）、約1.618で、
 もう一方は
-0.618となり、-1 /φとも表現できます。
このもう一方の答えは黄金比φと同じ性質を持っていますので、φの弟と呼ぶことにします。
そしてこれが問題を提起してくれます

Polish: 
"Czy nie jest to sprzeczne, że ułamek, który  widzieliśmy jest też równy młodszemu bratu phi: -0.618?"
Część z was może powiedzieć "oczywiście, że to sprzeczność, w końcu lewa strona jest dodatnie. Jak mogłaby być równa czemuś ujemnemu?"
Najpierw wyjaśnijmy co tak naprawdę rozumiemy przez wyrażenie takie jak to.
Jednym ze sposobów patrzenia na to, ale
nie jedynym, mamy tu wolność wyboru, jest zaczęcie od pewnej stałej, np. 1, a następnie
ciągłe stosowanie funkcji 1+1/x,
, następnie chcemy zobaczyć do czego to zmierza?
Z każdym krokiem wygląda to coraz bardziej jak nasz nieskończony ułamek,
więc może, jeśli chcesz przyrównać to do czegoś, powinieneś pomyśleć do czego ten ciąg liczbowy dąży, oraz
jeśli chcesz możesz zacząć też od liczby ujemnej
Więc to nie jest takie dziwne, że całe wyrażenie jest ujemne.
Ostatecznie,
Jeśli zaczniesz od -1/φ, to stosując funkcję 1+1/x do tego argumentu

German: 
"Wäre es gültig zu sagen, dass dieser unendliche Bruchteil, den wir gesehen haben, irgendwie auch gleich Phis kleinem Bruder ist: -0,618?"
Vielleicht sagst du anfangs "offensichtlich nicht! Alles auf der linken Seite ist positiv. Wie könnte es also einer negativen Zahl entsprechen?"
Zunächst sollten wir uns darüber im Klaren sein, was wir unter einem solchen Ausdruck eigentlich verstehen.
Eine Möglichkeit, wie Sie darüber nachdenken könnten,
und es ist nicht die einzige Möglichkeit, hier freie Wahl zu haben, sich vorzustellen, mit einer Konstanten wie 1 zu beginnen und dann
wiederholtes Anwenden der Funktion 1 plus 1 geteilt durch x und
Fragen Sie dann, was ist dieser Ansatz, während Sie weitermachen?
Ich meine, symbolisch sieht das, was Sie bekommen, immer mehr nach unserer unendlichen Fraktion aus
Wenn Sie also einer Zahl entsprechen möchten, sollten Sie sich fragen, wie sich diese Zahlenreihe nähert und
Wenn das Ihre Sicht der Dinge ist,
Vielleicht fängst du mit einer negativen Zahl an
Es ist also nicht so verrückt, wenn der ganze Ausdruck negativ ausfällt.
Letztendlich
Wenn Sie mit -1 / φ beginnen, wenden Sie diese Funktion 1 + 1 / x an

Spanish: 
¿Sería correcto decir que la fracción infinita que hemos visto, es igual al hermano pequeño de φ,  -0.618 ?
Al principio puede que digas: ¡Por supuesto que no! Todo en el primer miembro es positivo. ¿Cómo va a ser igual a un número negativo?
Pero primero tendríamos que aclarar lo que queremos decir como una expresión como esta.
Una manera de pensarlo,
y no es la única -aquí hay libertad de elección- es imaginar que empezamos con cualquier constante, por ejemplo 1,
y aplicamos repetidamente la función 1+1/x
y nos preguntamos, ¿a dónde se van acercando los resultados?
Quiero decir, simbólicamente, lo que se obtiene se acerca cada vez más a la fracción infinita
así que, si queremos asignarle un valor, tenemos que preguntarnos a dónde se acerca esta serie de números.
Si lo vemos así, también podríamos empezar con un número negativo,
así que no es tan descabellado que la expresión acabe valiendo negativo.
Después de todo,
si empezamos con  -1/φ , y le aplicamos la función 1 + 1/x

Portuguese: 
'Seria válido afirmar que aquela fração infinita que vimos é de alguma forma também igual ao irmão mais novo de φ, -0.618?
A princípio você talvez diga: "obviamente não! Tudo à esquerda da equação é positivo. Então como seria possível isso ser igual a um número negativo?"
Bem, primeiro deveríamos esclarecer o que queremos dizer com uma expressão como essa.
Uma forma de pensar sobre ela -
e não é a única forma, há liberdade de escolha aqui - é imaginar começarmos com certa constante como 1
e então aplicar repetidamente a função 1 + 1/x
e então perguntar a qual número ela irá se aproximar se você continuar?
Certamente de forma simbólica o que obtemos parece cada vez mais a nossa fração infinita,
então talvez se você quisesse igualar a um número, você deveria perguntar a que se aproxima essa série de números
e se essa é sua forma de ver as coisas, talvez você comece com um número negativo.
Então não é tão maluco que toda a expressão termine negativa,
afinal,
se você começar com -1/φ e então aplicar essa função, 1 + 1/x,

Modern Greek (1453-): 
«Θα ήταν σωστό να πούμε ότι, το άπειρο αυτό κλάσμα που είδαμε, είναι κατά κάποιο τρόπο επίσης ίσο με τον μικρό αδερφό του φ: -0.618;»
Ίσως αρχικά να πείτε, " προφανώς όχι! Όλα στην αριστερή πλευρά είναι θετικά, άρα πώς θα ήταν δυνατό να ισούται με έναν αρνητικό αριθμό;"
Λοιπόν, πρώτα θα πρέπει να είμαστε ξεκάθαροι για το τί εννοούμε πραγματικά με μια έκφραση όπως αυτήν.
Ένας τρόπος που θα μπορούσατε να το σκεφτείτε,
και δεν είναι ο μοναδικός τρόπος που υπάρχει, ελευθερία επιλογής εδώ, είναι να φανταστείτε ότι ξεκινάτε με κάποια σταθερά, όπως 1, και στη συνέχεια
να εφαρμόζετε επανειλημμένα τη συνάρτηση 1 συν 1 διαιρεμένα με X.
Στη συνέχεια να ρωτήσετε, τί προσεγγίζει αυτό καθώς προχωράς;
Εννοώ, σίγουρα συμβολικά αυτό που θα πάρετε, μοιάζει όλο και περισσότερο με το άπειρο κλάσμα μας
οπότε ίσως αν θέλατε να ισούται με έναν αριθμό θα πρέπει να ρωτήσετε τί προσεγγίζει αυτή η σειρά αριθμών.
Και αν αυτή είναι η οπτική σας των πραγμάτων, ίσως ξεκινήστε με έναν αρνητικό αριθμό,
άρα, δεν είναι τόσο τρελό για όλη την έκφραση να καταλήξει αρνητική.
Εξάλλου,
αν ξεκινήσετε με -1 / φ και μετά εφαρμόσετε αυτή τη συνάρτηση 1 + 1 / x

English: 
'Would it be valid to say that that infinite fraction that we saw, is somehow also equal to phi's little brother: -0.618?'
Maybe you initially say ",obviously not! Everything on the left hand side is positive. So how could it possibly equal a negative number?"
Well first we should be clear about what we actually mean by an expression like this.
One way that you could think about it,
and it's not the only way there's freedom for choice here, is to imagine starting with some constant like 1 and then
repeatedly applying the function 1 plus 1 divided by x and
then asking what is this approach as you keep going?
I mean certainly symbolically what you get looks more and more like our infinite fraction
so maybe if you wanted to equal a number you should ask what this series of numbers approaches and
If that's your view of things,
maybe you start off with a negative number
So it's not so crazy for the whole expression to end up negative.
After all
If you start with -1/φ then applying this function 1 + 1/x

Chinese: 
“我们看到的无穷无尽的部分是否也等同于菲氏的小弟弟：-0.618是否合适？
也许你最初说“显然不是！左边的一切都是正面的，那么它怎么可能等于一个负数？”
那么首先我们应该明确我们实际上用这样的表达来表达什么。
一种你可以考虑的方法，
而且这不是选择这里的自由的唯一方式，可以想象从一些常数开始，然后是1
重复应用函数1加1除以x和
然后问你继续前进的方法是什么？
我的意思是象征性的，你看起来越来越像我们的无限分数
所以也许如果你想要等于一个数字，你应该问这个数字系列的方法和方法
如果这是你对事物的看法，
也许你从一个负数开始
所以整个表情最终都是消极的，并不是那么疯狂。
毕竟
如果从-1 /φ开始，则应用此函数1 + 1 / x

Japanese: 
「私たちが見た連分数はφの弟に等しいと言えるのでしょうか？-0.618にですよ？
たぶんあなたは最初、「それは違う！」と言っているかもしれません。左側のものは全て正数だからです。
まずは、このような表現が意味するところを明確にする必要があります。
あなたが考えるために使える1つの方法は、
1のような定数で始まると想像することです（もちろんこれが唯一の方法ではありません）
関数1プラス1をxで割った関数を繰り返し適用すると
どこに行きつくでしょう？
まぁ、見た目は私たちが先ほど見た連分数に似たものができるので、
もしこれをどの数に等しくさせたいかを考えるなら、その連分数がどこに近づいているのかを考えるでしょう
もしあなたがそう考えていたなら、負の数から始めるということも思いつくでしょう
なので、この式が負の数になるというのは何もおかしいことではないのです。
もっと言えば、
-1 /φから初めて、この関数に代入すると、

Arabic: 
"هل من الصحيح أن نقول أن هذا الجزء اللامتناهي الذي رأيناه ، هو بطريقة ما يساوي الأخ الأصغر فاي : -0.618؟"
ربما في البداية تقول "، من الواضح لا  كل شيء على الجانب الأيسر هو إيجابي. فكيف يمكن أن يساوي الرقم السالب؟"
حسنًا ، أولاً يجب أن نكون واضحين بشأن ما نعنيه بالفعل بتعبير مثل هذا
إحدى الطرق التي يمكنك التفكير بها
والسبيل الوحيد ليست لوجود حرية الاختيار هنا ، هو أن نبدأ بالتخييل ببعض الثابت مثل 1
ومن ثُم تكرار تطبيق الدالة 1 زائد 1 مقسوماً على x
ومن ثُم السؤال ما هو هذه المُقاربة وأنت تستمر في ذلك ؟
أعني بكل تأكيد ، بشكل رمزي ، ما تحصل عليه يبدو أكثر وأكثر مثل جزءنا اللامتناهي
لذلك ربما إذا كنت تريد أن تساوي رقمًا فعليك أن تسأل عن هذه المُقاربة من الأرقام
وإذا كانت هذه هي فكرتك للأمور ، فربما تبدأ برقم سالب
بالتالي ليس من الجنون أن ينتهي التعبير كله سلبياً
بعد كل ذلك
إذا بدأت بـ -1 / φ قم بتطبيق هذه الدالة 1 + 1 / x

Korean: 
'우리가 본 무한한 부분은 파이 동생, -0.618...과도 같다고 말할 수 있을까요?'
어쩌면 처음에는 "분명히 아닙니다!"라고 말할 수도 있습니다. 왼쪽면의 모든 것이 양수이므로 음수와 어떻게 동등 할 수 있습니까?
먼저 우리는 실제로 이런 식으로 우리가 의미하는 바를 분명히해야합니다.
당신이 그것에 대해 생각할 수있는 한 가지 방법은,
그리고 여기에 선택의 자유가있는 유일한 방법은 아니며, 1과 같이 상수로 시작하여 상상하는 것입니다.
1 + 1을 x로 나눈 함수를 반복적으로 적용하고
계속해서이 접근법이 무엇인지 묻고 싶습니다.
나는 상징적으로 당신이 얻는 것이 무한한 분수와 점점 더 닮아 간다는 것을 의미합니다.
그래서 숫자를 같게하고 싶다면이 일련의 숫자가 어떻게 접근하는지 물어보아야합니다.
이것이 사물에 대한 당신의 견해라면,
어쩌면 당신은 음수로 시작할 것입니다.
그래서 전체식이 부정적으로 끝나는 것은 그리 미친 것이 아닙니다.
아무튼
-1 / φ로 시작하면이 함수를 적용합니다. 1 + 1 / x

Arabic: 
بإمكانك الحصول على نفس الرقم -1 / φ. لذا بغض النظر عن عدد المرات التي تقوم بتطبيقها ،
فأنت تظل ثابتًا بهذه القيمة
ولكن حتى في ذلك الوقت ، هناك سبب واحد وهو أنه ربما يجب عليك عرض قاي باعتباره الأخ المفضل في هذا الزوج
هنا جرب هذا: آخرج آلة حاسبة من نوع ما
ثم ابدأ بأي رقم عشوائي ثم قم بتوصيله بهذه الدالة  1 + 1 / x
ومن ثُم قم بتوصيل هذا الرقم إلى 1 + 1 / x ثم مراراً وتكراراً ...
بغض النظر عن أي ثابت ستبدأ ينتهي بك المطاف في النهاية عند 1.618
حتى لو كنت تبدأ برقم سلبي حتى أن هذا حقاً هو  قريب جداً من فاي الأخ الصغير
في نهاية المطاف ، فإنه يُفلت من هذه القيمة ويقفز مرة أخرى إلى فاي
إذن ما الذي يحدث هنا؟ لماذا يفضل أحد هذه النقاط الثابتة فوق الآخر؟
ربما يمكنك بالفعل رؤية كيف

English: 
You get back the same number -1/φ. So no matter how many times you apply it
you're staying fixed at this value.
But even then there is one reason that you should probably view phi as the favorite brother in this pair, here
try this: pull up a calculator of some kind
then start with any random number and then plug it into this function 1 + 1/x and
then plug that number into 1 + 1/x  and then again and again and again and again and again
No matter what constant you start with you eventually end up at
1.618
Even if you start with a negative number even one that's really really close to phi's little brother
Eventually it shys away from that value and jumps back over to phi
So what's going on here? Why is one of these fixed points favored above the other one?
Maybe you can already see how the

Korean: 
당신은 같은 수 -1 / φ를 되 찾았습니다. 따라서 몇 번이나 적용해도
이 값에 고정되어 있습니다.
하지만 그때조차도이 쌍의 가장 좋아하는 형제로 파이를보아야하는 이유 중 하나가 있습니다.
이것을 시도해보십시오 : 어떤 종류의 계산기를 끌어 올려라.
임의의 난수로 시작한 다음이 함수에 1 + 1 / x 및
그 번호를 1 + 1 / x에 꽂은 다음 다시 반복하십시오.
어떤 상수를 시작하든간에 결국에는 결국
1.618
네가 음수로 시작하더라도 정말로 phi의 동생과 아주 가까운
결국 그것은 그 가치에서 멀어지고 파이로 다시 돌아갑니다.
그럼 여기서 뭐하는거야? 왜이 고정 점 중 하나가 다른 고정 점보다 선호되는 이유는 무엇입니까?
어쩌면 당신은 이미

German: 
Sie erhalten die gleiche Zahl -1 / φ zurück. Egal wie oft Sie es anwenden
Sie bleiben bei diesem Wert fixiert.
Aber selbst dann gibt es einen Grund, warum Sie Phi hier wahrscheinlich als den Lieblingsbruder in diesem Paar ansehen sollten
Versuchen Sie Folgendes: Ziehen Sie einen Taschenrechner hoch
Beginnen Sie dann mit einer beliebigen Zufallszahl und stecken Sie sie in diese Funktion 1 + 1 / x und
Stecken Sie dann diese Nummer in 1 + 1 / x und dann immer wieder und immer wieder und immer wieder
Egal mit welcher Konstante Sie beginnen, Sie landen schließlich
1.618
Selbst wenn Sie mit einer negativen Zahl beginnen, sogar einer, die Phis kleinem Bruder wirklich sehr nahe steht
Schließlich scheut es diesen Wert und springt zurück zu Phi
Also, was ist hier los? Warum wird einer dieser Fixpunkte dem anderen vorgezogen?
Vielleicht können Sie schon sehen, wie die

Japanese: 
あなたは元と同じ-1 /φを得ます。だから何度それを代入しても
あなたは同じ値にたどり着くことになります。
しかし、その場合でも、兄であるφをこのペアの良き兄だと思うべき理由の一つとして、
これを試してみてください：なんでもよいので電卓を取り出して
任意の数で始めて、それをこの関数1 + 1 / xに代入します
またその番号を1 + 1 / xに代入して、何度も何度も繰り返して
どのような定数を使用しても、最終的には
1.618にたどり着きます
たとえあなたがφの弟に近い負の数で初めても
最終的には、φに戻るのです
何が起きているのでしょう？なぜ片方のほうだけひいきされるのでしょうか？
たぶんあなたはすでに

Modern Greek (1453-): 
παίρνετε πίσω τον ίδιο τον αριθμό -1 / φ. 
Άρα δεν έχει σημασία πόσες φορές το εφαρμόζετε,
παραμένετε σταθεροί σε αυτή την τιμή.
Αλλά, ακόμα και αν υπάρχει κάποιος λόγος που πιθανώς θα βλέπετε το φ ως τον αγαπημένο αδελφό σε αυτό το ζευγάρι, εδώ
δοκιμάστε αυτό: πάρτε μια υπολογιστική μηχανή κάποιου είδους
και ξεκινήστε με οποιοδήποτε τυχαίο αριθμό και στη συνέχεια βάρτε τον σε αυτή τη συνάρτηση 
1 + 1 / x και
και έπειτα, βάρτε αυτόν τον αριθμό στην 1 + 1 / Χ και έπειτα ξανά και ξανά και ξανά και ξανά και ξανά
Ανεξάρτητα από ποια σταθερά ξεκινήσατε, τελικά καταλήγετε στο
1.618
Ακόμα κι αν ξεκινήσατε με αρνητικό αριθμό, ακόμη και έναν που είναι πάρα πολύ κοντά στον μικρό αδελφό του φ,
τελικά, απομακρύνεται από αυτή την τιμή και πηδά πάλι πίσω στο φ.
Άρα, τί συμβαίνει εδώ; Γιατί ένα από αυτά τα σταθερά σημεία ευνοείται περισσότερο από το άλλο;
Ίσως ήδη να μπορείτε να δείτε πώς

Polish: 
otrzymasz z powrotem -1/φ. Więc nie ważne jak wiele razy powtórzysz tę
operację, pozostaniesz w punkcie stałm.
Ale nawet wtedy, istnieje pewien powód przez który powinniśmy traktować phi jako faworyta w tej parze
spróbuj tego; wyciągnij kalkulator,
następnie wybierz jakąś liczbę i zacznij do niej stosować funkcję 1+1/x,
potem do wyniku zastosuj 1+1/x, i tak dalej, i tak dalej.
Nie ważne jaką stałą wybierzesz, i tak wylądujesz w końcu w
1.618
Nawet jeśli zaczniesz od liczby ujemnej, nawet takiej bardzo blisko do młodszego brata phi,
w końcu, oddali się od tej wartości i wskoczy na phi.
Więc co tu się dzieje? Dlaczego jeden z tych punktów stałych jest faworyzowany?
Może już widzisz jak

Portuguese: 
ela te retorna o mesmo número -1/φ. Então não importa quantas vezes você aplica isso,
você ficará fixo nesse valor.
Mas mesmo assim há uma razão para que você enxergue φ como o irmão favorito nesse par.
Tente isso: pegue uma calculadora de qualquer tipo
e então comece com qualquer número aleatório, e então coloque-o nessa função 1 + 1/x,
e então coloque este número em 1+1/x e de novo e de novo e de novo e de novo.
Não importa com qual constante você inicie, você eventualmente irá terminar em
1.618.
Mesmo se você começar com um número negativo, mesmo um que está muito muito próximo ao irmão mais novo de φ,
eventualmente ele irá se afastar desse valor e pular de volta para φ.
Então o que está acontecendo aqui? Por que um desses pontos fixos é favorecido sobre o outro?
Talvez você já consiga notar como a

Chinese: 
你得到相同的数字-1 /φ。所以不管你应用了多少次
你保持固定在这个值。
但即使如此，还是有一个原因，你应该在这里看到phi是这对中最喜欢的兄弟
试试这个：拉起某种计算器
然后从任何随机数开始，然后将其插入此函数1 + 1 / x和
然后将该号码插入1 + 1 / x，然后再一次又一次地插入
无论你从什么时候开始，最终都会结束
1.618
即使你从一个负数开始，即使它真的非常接近phi的小弟弟
最终它从这个价值中回避并跳回到phi
那么这里发生了什么？为什么其中一个固定点比另一个更受欢迎？
也许你已经可以看到如何

Spanish: 
obtenemos el mismo número -1/φ . Da igual cuántas veces lo apliquemos,
nos quedamos fijos en este valor.
Pero aun así, hay una razón por la que probablemente φ será el hermano favorito aquí.
Probad esto: tomad cualquier calculadora,
empezad con cualquier número al azar, y metedlo en la función 1 + 1/x
y el resultado lo metéis otra vez en 1 + 1/x, y otra vez y otra vez...
Da igual con qué constante hayáis empezado: vais a terminar
en el 1.618
Incluso empezando con un número negativo, aunque esté muy cerca del hermano pequeño de φ,
se acabará alejando de este valor para irse hacia φ.
Así que, ¿qué está pasando aquí? ¿Por qué se prefiere uno de estos puntos fijos al otro?
A lo mejor ya veis cómo

English: 
transformational understanding of derivatives is going to be helpful for understanding this set up,
but for the sake of having a point of contrast,
I want to show you how a problem like this is often taught using graphs.
If you were to plug in some random input to this function, the y-value tells you the corresponding output, right?
So to think about plugging that output back into the function,
you might first move horizontally until you hit the line y equals x and that's going to give you a position where the x-value
corresponds to your previous y-value, right?
So then from there you can move vertically to see what output this new x-value has
And then you repeat you move horizontally
to the line y = x, to find a point whose x-value is the same as the output that you just got and then
you move vertically to apply the function again.
Now personally, I think this is kind of an awkward way to think about repeatedly applying a function, don't you?
I mean it makes sense,
but you can't have to pause and think about it to remember which way to draw the lines, and you can if you want

Japanese: 
導関数の変換的観点がこの事態に役立つとみているはずです
しかし比較しやすいよう
グラフを使った方法ではこのような問題がどう教えられるのかを示しましょう。
この関数にランダムな入力を代入する場合、y値は対応する出力を示します。
その出力を関数に代入し戻すということを考えると、
最初にy=xに行くまで水平方向に移動するでしょう、そしてここは以前のyと等しい値の
xの位置ということになりますね？
なので、そこから垂直方向に移動して、この新しいx値がどのような出力を持つか確認することができます
そしてまた水平に移動することを繰り返し
y=xに行きつき、また先のyと等しい値のxの位置を見つけ、
垂直方向に移動して関数を再度適用します。
個人的には、これを繰り返し関数を適用することとしてとらえるのは少し違和感があります
いえ、やり方は理にかなっていますが
（でもやっぱり毎回どの方向に線を引くのかと立ち止まるのは変ですね・・・）

Spanish: 
la visión transformacional de la derivada va a ayudar a entender esta situación,
pero para ver el contraste,
os voy a mostrar cómo se suele enseñar un problema como este usando gráficas.
Si introducimos un valor al azar en esta función, el valor de "y" nos da la salida, ¿verdad?
Así que introducimos dicho valor otra vez en la función,
nos podemos mover horizontalmente hasta la recta y=x , lo que nos da la posición donde el valor de x
corresponde al anterior valor de y,  ¿sí?
Desde ahí nos movemos verticalmente para ver qué salida produce este nuevo valor de x.
Y se repite: nos movemos horizontalmente
hasta la recta y=x, para encontrar el punto cuyo valor en x es el mismo que el resultado que acabamos de obtener,
y nos movemos verticalmente para aplicar la función otra vez.
Personalmente, yo creo que esta es una manera un poco torpe de pensar en la aplicación repetida de una función, ¿no os parece?
Quiero decir, tiene sentido,
pero no tendríamos que pararnos a pensar para recordar hacia dónde hay que dibujar las líneas,

Korean: 
파생 상품에 대한 변형적인 이해는이 설정을 이해하는 데 도움이 될 것입니다.
그러나 대비의 포인트를 얻기 위해서,
이 문제가 그래프를 사용하여 어떻게 가르쳐 지는지 보여 드리려고합니다.
임의의 입력을이 함수에 연결했다면 y 값은 해당 출력을 알려줍니다. 맞습니까?
따라서 출력을 다시 함수에 연결하는 것에 대해 생각해 보려면,
당신은 라인 y가 x와 같을 때까지 먼저 수평 적으로 움직일 수 있습니다. 그러면 x 값과 같은 위치를 얻을 수 있습니다.
이전 y 값에 해당하는 거지?
그런 다음 거기에서 수직으로 이동하여이 새로운 x 값의 출력 결과를 볼 수 있습니다.
그리고 너는 수평으로 움직인다.
라인 y = x에 x- 값이 방금받은 출력과 같은 점을 찾으려면
함수를 다시 적용하기 위해 수직으로 이동합니다.
이제 개인적으로, 이것은 반복적으로 함수를 적용하는 것에 대해 생각하는 다소 어색한 방법이라고 생각합니다. 그렇죠?
나는 그것이 의미가 있다는 것을 의미한다.
그러나 선을 그어야하는 방법을 기억하기 위해 잠시 멈추고 생각할 필요가 없습니다. 원하는 경우 할 수 있습니다.

Portuguese: 
compreensão transformacional de derivadas será útil para entender esse cenário,
mas a título de termos um ponto de contraste,
eu quero mostrar a você como um problema como esse é comumente ensinado usando gráficos.
Se você inserisse qualquer dado de entrada aleatório a essa função, o valor em y te diz o dado de saída correspondente, certo?
Então se pensarmos em colocar esse dado de saída de volta na função,
inicialmente talvez você ande horizontalmente até atingir a reta y = x, e isso erá te fornecer a posição onde
o valor de x corresponde ao seu valor prévio de y, correto?
Então daí você pode andar verticalmente para ver qual dado de saída esse novo valor de x possui,
e aí você repete. Você anda horizontalmente
até a linha y = x, para encontrar um ponto cujos valores de x são os mesmos que os dados de saída que você acabou de obter, e então
você anda verticalmente para aplicar a função novamente.
Agora, pessoalmente, eu acho que essa é uma maneira esquisita de pensar em aplicar uma função repetidamente, você não acha?
Digo, faz sentido,
mas você não tem que parar e pensar sobre isso para lembrar em qual sentido desenhar as linhas, e você pode, se quiser,

German: 
Das transformative Verständnis von Derivaten wird hilfreich sein, um diesen Aufbau zu verstehen.
aber um einen Kontrastpunkt zu haben,
Ich möchte Ihnen zeigen, wie ein solches Problem häufig anhand von Grafiken vermittelt wird.
Wenn Sie eine zufällige Eingabe in diese Funktion einstecken, zeigt Ihnen der y-Wert die entsprechende Ausgabe an, oder?
Um also darüber nachzudenken, diesen Ausgang wieder in die Funktion einzustecken,
Sie können sich zuerst horizontal bewegen, bis Sie die Linie y treffen, die gleich x ist, und das gibt Ihnen eine Position, an der der x-Wert liegt
entspricht Ihrem vorherigen y-Wert, oder?
Von dort aus können Sie sich also vertikal bewegen, um zu sehen, welche Ausgabe dieser neue x-Wert hat
Und dann wiederholen Sie, dass Sie sich horizontal bewegen
auf die Linie y = x, um einen Punkt zu finden, dessen x-Wert der Ausgabe entspricht, die Sie gerade erhalten haben, und dann
Sie bewegen sich vertikal, um die Funktion erneut anzuwenden.
Ich persönlich denke, dies ist eine unangenehme Art, über das wiederholte Anwenden einer Funktion nachzudenken, nicht wahr?
Ich meine, es macht Sinn,
Aber Sie müssen nicht innehalten und darüber nachdenken, um sich daran zu erinnern, wie Sie die Linien zeichnen sollen, und Sie können es, wenn Sie möchten

Arabic: 
سيكون الفهم التحويلي للمشتقات مفيدًا لفهم هذا الترتيب
ولكن من أجل وجود نقطة تباين
أريد أن أريكم كيف يتم تدريس مثل هذه المشكلة غالبًا باستخدام الرسوم البيانية
إذا كنت ستقوم بتوصيل بعض المدخلات العشوائية لهذه الدالة ، يُخبرك قيمة y يتوافق مع الناتج ، أليس كذلك ؟
لذا فكر في توصيل هذا الناتج مرة أخرى إلى الدالة
قد تتحرك أولاً أفقيًا حتى تصل إلى الخط y يساوي x وهذا سيعطيك موضعًا حيث القيمة x
يتوافق مع قيمة y السابقة ، أليس كذلك؟
ومن ثم يمكنك الانتقال عموديًا لمعرفة النواتج التي تحتويها قيمة x الجديدة
ثم تقوم بعد ذلك بتكرار الانتقال أفقياً
إلى الخط y = x ، لإيجاد نقطة تكون قيمة x الخاصة بها هي نفس النتيجة التي حصلت عليها للتو
ثم تتحرك رأسياً لتطبيق الدالة مرة أخرى.
الآن شخصيا ، أعتقد أن هذا النوع طريقة غريبة للتفكير في تطبيق دالة بشكل متكرر ، أليس كذلك؟
أعني أنه منطقي
ولكن لا يمكنك التوقف والتفكير في الأمر لتتذكر طريقة رسم الخطوط ، ويمكنك إذا كنت تريد

Polish: 
transformacyjne rozumienie pochodnych jest pomocne do zrozumienia tego,
ale ze względu na kontrast,
Chcę Ci pokazać, jak taki problem rozwiązuje się zazwyczaj za pomocą wykresów.
Jeśli chciałbyś zastosować tę funkcję do jakiegoś argumentu, oś Y, wskazuje nam odpowiednią wartość, tak?
Więc aby ewaluować, tę wartość z powrotem do funkcji,
musimy znaleźć horyzontalne przecięcie z prostą y=x. To nam da pozycję na osi X,
wartości poprzednio umieszczonej na OY, tak?
Więc stąd, możesz się przemieścić wertykalnie, aż przetniesz wykres funkcji,
i tym samym znajdziesz drugą iteracje.
Wtedy znowu możesz znaleźć odpowiednik na prostej y=x, poruszając się poziomo,
i tak dalej, i tak dalej
Osobiście uważam, że jest to dość niezręczne podejście do iterowania funkcji, nie uważasz?
Znaczy, ma to sens,
ale nie będziesz miał czasu na myślenie o tym jak powinienem narysować te linie, ale możesz  jeśli chcesz

Modern Greek (1453-): 
η μετασχηματιστική κατανόηση των παραγώγων θα φανεί χρήσιμη για την κατανόηση αυτoύ που συμβαίνει.
Αλλά για να έχουμε ένα σημείο αντίθεσης,
θέλω να σας δείξω πώς ένα τέτοιο πρόβλημα συχνά διδάσκεται χρησιμοποιώντας γραφήματα.
Αν έπρεπε να βάλετε κάποιο τυχαίο δεδομένο εισόδου σε αυτή τη συνάρτηση, η τιμή y σας λέει το αντίστοιχο δεδομένο εξόδου, σωστά;
Έτσι, για να σκεφτείτε να βάλετε αυτό το δεδομένο εξόδου πίσω στη συνάρτηση,
ίσως πρώτα κινηθείτε οριζόντια μέχρι να χτυπήσετε την ευθεία y=x , και αυτό θα σας δώσει μια θέση όπου η τιμή x
αντιστοιχεί στην προηγούμενη τιμή σας για το y, σωστά;
Έτσι λοιπόν από εκεί, μπορείτε να κινηθείτε κάθετα για να δείτε ποιό δεδομένο εξόδου έχει αυτή η νέα τιμή του x.
Και μετά, επαναλαμβάνετε. Κινείστε οριζόντια
μέχρι την ευθεία y = x, για να βρείτε ένα σημείο του οποίου η τιμή x είναι ίδια με το δεδομένο εξόδου που μόλις πήρατε, και στη συνέχεια
κινείστε κάθετα για να εφαρμόσετε ξανά τη συνάρτηση.
Τώρα προσωπικά, πιστεύω πως είναι κάπως παράξενος τρόπος να σκεφτόμαστε την επανειληπτική εφαρμογή μιας συνάρτησης, έτσι δεν είναι;
Θέλω να πω, βγάζει νόημα,
αλλά δεν θα έπρεπε να κάνετε παύση και να το σκέφτεστε για να θυμάστε προς τα πού να σχεδιάσετε τις γραμμές, και μπορείτε, αν θέλετε

Chinese: 
对衍生工具的变革性理解将有助于理解这种设置，
但为了有一个对比点，
我想向您展示如何使用图表来教导这样的问题。
如果你想插入这个函数的一些随机输入，y值会告诉你相应的输出，对吗？
所以想想把这个输出插回到函数中，
你可能首先水平移动，直到你碰到y线等于x的线，这会给你一个位置，在这里x值
对应于您之前的y值，对吗？
那么从那里你可以垂直移动，看看这个新的x值有什么输出
然后你重复你的水平移动
到行y = x，找到一个点，它的x值与你刚才得到的输出相同
垂直移动以再次应用该功能。
现在我个人认为这是一种屡次想应用某种功能的尴尬方法，不是吗？
我的意思是有道理的，
但是你不必停下来想一想，记住画线的方法，如果你愿意，你可以

Polish: 
jakie warunki stawia ten proces tworzenia pajęczej sieci, gdy chodzi o punkt stały który do siebie przyciąga,
a, punkt stały który od siebie odpycha. Ale jeśli chcesz to teraz możesz zatrzymać film i pomyśleć o tym zadaniu. Ma to dużo
wspólnego z nachyleniem stycznej. Albo jeśli chcesz pominąć to ćwiczenie, abyśmy zajęli się czymś
bardziej satysfakcjonującym, gdy chodzi o intuicję, jak funkcja działa jako transformacja.
Więc zamierzam teraz narysować masę strzałek, pokazujących jak dane argumenty będą się przemieszczać,
a tak na boku: Nie uważasz, że daje to lepszy wgląd w sytuację?
Nie spodziewałem się tego, ale to było świetne uczucie, zobaczyć jak ta animacja się pojawia.
Wydaje się, że czynnik 1/x odpowiada ca to kółk, a dalej to, po prostu przesuwamy wartości o 1.
Tak czy inaczej, chciałbym żebyś się zastanowił, co znaczy ciągłe powtarzanie operacji jak 1+1/x.
Zatem, po tym jak pozwoliliśmy przekształcić jej argumenty na wartości
możemy rozważyć to co otrzymaliśmy jako nową dziedzinę, i możemy tak samo zastosować do niej naszą funkcję.

Korean: 
어떤 조건이이 거미줄 과정을 고정 된 지점에서 좁히는 지, 멀리에서 전파 하는지를 생각해 보라.
사실, 지금 당장 멈추고 운동으로 생각하십시오. 슬로프와 관련이있다.
또는 운동을 건너 뛰고 싶다면 훨씬 더 만족 스럽다고 생각하는 무언가를 위해
이해는이 기능이 어떻게 변형으로 작용하는지 생각합니다.
그래서 저는 앞으로 가서 다양한 입력 화살표가있는 곳을 가리 키기 위해 수많은 화살표를 그려서 시작하겠습니다.
그리고 사이드 노트 : 이것이 정말로 깔끔한 창 발적 패턴을 제공한다고 생각하지 않습니까?
나는 이것을 기대하지 않았지만, 애니메이션을 만들 때 팝업이 보일 정도로 멋졌습니다.
나는 1로 나눈 값을 x로 나눈 값이이 멋진 창을 주었다고 생각합니다.
어쨌든,이 문맥에서 1 + 1 / x와 같은 일부 기능을 반복적으로 적용하는 것이 무엇을 의미하는지 생각해보기 바랍니다.
모든 입력을 출력에 매핑 시키면,
그것들을 새로운 입력으로 생각한 다음 동일한 프로세스를 다시 적용한 다음 다시 적용 할 수 있습니다.

Modern Greek (1453-): 
να σκεφτείτε ποιες συνθήκες καθιστούν αυτή τη διαδικασία ιστού αράχνης να στενεύει σε ένα σταθερό σημείο έναντι της επέκτασης μακριά από αυτό.
Και στην πραγματικότητα, προχωρήστε σε παύση αυτή τη στιγμή και προσπαθήστε να το σκεφτείτε ως άσκηση. Έχει να κάνει με κλίσεις.
Ή αν θέλετε να παραλείψετε την άσκηση για κάτι που νομίζω ότι δίνει μια πολύ πιο ικανοποιητική
κατανόηση, σκεφτείτε πώς αυτή η συνάρτηση λειτουργεί ως μετασχηματισμός.
Συνεπώς, θα προχωρήσω και θα ξεκινήσω εδώ σχεδιάζοντας ένα σωρό βέλη για να δείξουν πού πηγαίνουν τα διάφορα δείγματα σημείων εισόδου,
και παράπλευρη σημείωση: Δεν νομίζετε ότι αυτό δίνει ένα πραγματικά τακτοποιημένο αναδυόμενο μοτίβο;
Δεν το περίμενα αυτό, αλλά ήταν πολύ ωραίο να το βλέπω να εμφανίζεται κατά τη σχεδίαση.
Υποθέτω ότι η ενέργεια του 1 διαιρεμένου με το Χ δίνει αυτόν τον ωραίο αναδυόμενο κύκλο και στη συνέχεια απλά μετατοπίζουμε τα πράγματα κατά 1.
Τέλος πάντων, θέλω να σκεφτείτε τι σημαίνει να εφαρμόζετε επανειλημμένα κάποια συνάρτηση, όπως την 1 + 1 / x , σε αυτό το πλαίσιο.
Λοιπόν, αφού την αφήσουμε να καταγράψει όλα τα δεδομένα εισόδου στα αντίστοιχα δεδομένα εξόδου,
θα μπορούσατε να τα θεωρήσετε ως τα νέα δεδομένα εισόδου και στη συνέχεια να εφαρμόσετε ξανά την ίδια διαδικασία και ξανά και ξανά και

Japanese: 
もし時間があるなら、どの条件でこの蜘蛛の巣が定点に収束するのか、あるいは離れていくのかを考えてもいいでしょう
もちろん今すぐ動画を止めて、練習として考えてみてもいいですよ。それは傾きと関係があります。
あるいは、変換的観点ではこの関数がどのように動くのかをもっとよく理解するのに
私の説明を聞きたいと思うのなら、練習をスキップしてもいいですよ
さて、最初に様々な入力がどこに行くのかを示す矢印を描くところから始めます。
余談ですが、この模様は結構創造的だと思いません？
こうなるとは思ってませんでした、（でも動かすとポップアップするときにかっこいいですね）
なぜなら1/xから得られる円に、ただ単に1を足してずらしただけだったからです
とにかく、この観点で1 + 1 / xのような何らかの関数を繰り返し適用することが何を意味するのか考えてみましょう
すべての入力を出力にマッピングした後
出力を新しい入力とみなすことで、同じプロセスをたどることができます

Spanish: 
y si queréis, podemos pensar qué condiciones hacen que esta telaraña se estreche en torno a un determinado punto en lugar de alejarse de él.
Y de hecho, vamos, haced pausa e intentad pensarlo como ejercicio. Tiene que ver con las pendientes.
O si preferís saltaros el ejercicio, y en su lugar ver algo que creo que proporciona una comprensión mucho mejor,
pensemos en cómo esta función actúa como una transformación.
Así que voy a dibujar un montón de flechas para indicar a dónde van a parar distintos puntos de muestra,
y nota al margen: ¿no os parece que está saliendo una forma muy bonita?
No lo esperaba, pero fue fantástico verlo aparecer, al hacer la animación.
Supongo que la acción 1/x dibuja este círculo, y entonces lo desplazamos una unidad a la derecha.
De todos modos, quiero que penséis, en este contexto, lo que es aplicar repetidamente una función como 1 +  1/x.
Después de aplicar todas las entradas sobre las salidas,
podemos considerar éstas como nuevas entradas, y aplicar el mismo proceso una y otra vez.

Arabic: 
في التفكير من خلال أي شرط تجعل عملية شبكة العنكبوت هذه ضيقة على نقطة ثابتة مقابل نشرها بعيدًا عنها
وفي الواقع ، انطلق إلى الأمام الآن وحاول أن تفكر فيه كتمرين
أو إذا كنت تريد تخطي التمرين لشيء أعتقد أنه يعطي تفهماً أكثر إرضاءً
لفكرة كيفية عمل هذه الدالة كتحويل
لذلك سأمضي قدماً وللبدء من هنا عن طريق الإعتماد على رسم مجموعة كاملة من الأسهم للإشارة إلى أين تتجه النقاط المختلفة لنقاط الإدخال
وملاحظة جانبية: ألا تعتقد أن هذا يعطي نمطًا  ناشئًا أنيقًا بالفعل؟
لم أكن أتوقع هذا ، ولكن كان من الرائع أن أراه يطفو على السطح عند تحريكه
أعتقد أن إجراء 1 مقسومًا على x يمنح هذه الدائرة الناشئة الجميلة ثم ننتقل إلى ما يزيد عن 1
على أي حال ، أريد منك أن تفكر في ما يعنيه لتكرار تطبيق بعض الدوال مثل 1 + 1 / x في هذا السياق
حسنًا بعد السماح لها بتعيين جميع المدخلات للنواتج
يمكنك اعتبارها بمثابة مدخلات جديدة ثم طبق نفس العملية المرة تلو الأخرى

Portuguese: 
pensar quais condições estreitam esse processo de teia de aranha a um ponto fixo, em oposição a propagá-lo fora dela.
Na verdade, pause agora e tente pensar tudo como um exercício. Tem a ver com inclinações.
Ou, se quiser pular o exercício para algo que eu acho que fornece uma compreensão
muito mais satisfatória, pense sobre como essa função age como uma transformação.
Então eu irei prosseguir e começar aqui desenhando um monte de setas para indicar aonde os vários dados de entrada escolhidos irão,
e uma observação: você não acha que isso fornece um ótimo padrão emergente?
Eu não esperava por isso, mas foi legal ver isso aparecer quando eu fazia as animações.
Eu acho que a ação de 1/x fornece esse belo círculo emergente e então nós estamos simplesmente transladando as coisas por 1.
De qualquer modo, eu quero que você penso sobre o que significa aplicar repetidamente certa função, como 1 + 1/x, neste contexto.
Então, depois de ligar todos os dados dados de entrada aos dados de saída,
você poderia considerar esses como novos dados de entrada e então só aplicar o mesmo processo de novo

Chinese: 
想想通过什么条件可以使这个蜘蛛网过程在一个固定的点上变窄，而不是从它上面传播出去
事实上，现在暂停一下，并尝试将其视为一个练习。它与斜坡有关
或者如果你想跳过练习，那么我认为它会让人更满意
了解如何将这个功能作为一种转换。
所以我要继续前进，并从这里开始绘制一大堆箭头，以指示输入点的各个样本的位置，
并注意到：你不觉得这个模式真的很整齐吗？
我并没有期待这一点，但看到它动画时弹出很酷。
我想1除以x的行为给出了这个不错的紧急圈，然后我们只是将结果移动1。
无论如何，我想让你思考在这种情况下重复应用像1 + 1 / x这样的函数是什么意思。
那么让它将所有输入映射到输出后，
您可以将这些视为新的输入，然后再次应用相同的过程，然后重新应用

German: 
Überlegen Sie, unter welchen Bedingungen sich dieser Spinnennetzprozess auf einen festen Punkt beschränkt und sich nicht von ihm weg ausbreitet
Machen Sie jetzt eine Pause und versuchen Sie, sie als Übung zu überdenken. Es hat mit Pisten zu tun
Oder wenn Sie die Übung für etwas überspringen möchten, das meiner Meinung nach viel befriedigender ist
Verständnis darüber nachdenken, wie diese Funktion als Transformation wirkt.
Also werde ich hier eine ganze Reihe von Pfeilen zeichnen, um anzugeben, wohin die verschiedenen Stichproben der Eingabepunkte gehen werden.
und Randnotiz: Glauben Sie nicht, dass dies ein wirklich ordentliches Muster ergibt?
Ich hatte das nicht erwartet, aber es war cool zu sehen, wie es beim Animieren auftauchte.
Ich denke, die Aktion von 1 geteilt durch x ergibt diesen schönen emergenten Kreis, und dann verschieben wir die Dinge nur um 1.
Wie auch immer, ich möchte, dass Sie darüber nachdenken, was es bedeutet, in diesem Zusammenhang wiederholt eine Funktion wie 1 + 1 / x anzuwenden.
Nun, nachdem alle Eingaben den Ausgängen zugeordnet wurden,
Sie könnten diese als neue Eingaben betrachten und dann einfach den gleichen Prozess immer wieder und dann und anwenden

English: 
think through what conditions make this spiderweb process narrow in on a fixed point versus propagating away from it
And in fact, go ahead pause right now and try to think it through as an exercise. It has to do with slopes
Or if you want to skip the exercise for something that I think gives a much more satisfying
understanding think about how this function acts as a transformation.
So I'm gonna go ahead and start here by drawing a whole bunch of arrows to indicate where the various sample the input points will go,
and side note: Don't you think this gives a really neat emergent pattern?
I wasn't expecting this, but it was cool to see it pop up when animating.
I guess the action of 1 divided by x gives this nice emergent circle and then we're just shifting things over by 1.
Anyway, I want you to think about what it means to repeatedly apply some function like 1 + 1/x in this context.
Well after letting it map all of the inputs to the outputs,
you could consider those as the new inputs and then just apply the same process again and then again and

Spanish: 
Hacedlo cuantas veces queráis.
Veréis que, al hacer la animación con unos pocos puntos de muestra,
no lleva muchas iteraciones hasta que todos ellos se aglomeran alrededor del 1.618.
Ahora recordad, sabemos que el 1.618... y su hermano pequeño -0.618...
permanecen fijos en su lugar en cada iteración de este proceso,
Pero si hacéis zoom en un entorno alrededor de φ, durante la aplicación, los puntos de esa zona se contraen acercándose a φ,
queriendo decir que la función 1 + 1/x tiene una derivada menor que 1 en ese punto.
De hecho esta derivada resulta ser aproximadamente -0.38
Lo que esto significa, es que cada vez que aplicamos la función,
este entorno se contrae cada vez más, como si fuera una atracción gravitatoria hacia φ.
Y ahora decidme qué pensáis que ocurre en los alrededores del hermano pequeño de φ.

Modern Greek (1453-): 
Κάντε το όσες φορές θέλετε
Παρατηρείστε ότι, με λίγες κουκίδες να αντιπροσωπεύουν τα σημεία δειγματοληψίας,
δεν παίρνει καθόλου πολλές επαναλήψεις προτού όλες αυτές οι κουκκίδες κατά κάποιο τρόπο να συμμαζευτούν στο περίπου 1.618.
Τώρα θυμηθείτε, γνωρίζουμε ότι το 1.618... και ο μικρός του αδερφός - 0.618...
παραμένουν σταθερά στη θέση τους κατά τη διάρκεια κάθε αλληλεπίδρασης αυτής της διαδικασία.
Αλλά μεγεθύνετε σε μια γειτονιά γύρω από το φ. Κατά την καταγραφή, τα σημεία σε αυτή την περιοχή συμπυκνώνονται γύρω από το φ.
που σημαίνει ότι η συνάρτηση 1 + 1 / x έχει παράγωγο με μέτρο που είναι μικρότερο από 1 σε αυτό το δεδομένο εισόδου.
Στην πραγματικότητα, αυτό το παράγωγο συμβαίνει να είναι περίπου -0,38.
Άρα τί σημαίνει αυτό, είναι ότι κάθε επαναλαμβανόμενη εφαρμογή
σπρώχνει τη γειτονιά γύρω από αυτόν τον αριθμό όλο και πιο κοντά, σαν βαρυτική έλξη προς το φ.
Άρα, τώρα πέστε μου τι νομίζετε ότι συμβαίνει στη γειτονιά του μικρού αδελφού του φ.

Japanese: 
何度でもやってみてください
ここでアニメーションで書かれているいくつかのサンプルの点に注目しましょう
数回すればそれらの点が1.618に近づくことがわかると思います
ここで、1.618 と その弟である -0.618 は
このプロセスにおいて全く動かないことを私たちはすでに知っていることを心にとめておいてください、
そして、φの周りの点はどんどんファイに集まっていくということもです。
つまり、関数1 + 1 / xは、この入力で1より小さい微分係数を持ちます。
実際この点の微分係数の値は約 -0.38 になります。
つまり、φの周りの点は繰り返しこの手続きをとることで
重力に引かれるようにφに向かって押しつぶされていくのです
今度はφの弟のほうを考えてみましょう

Polish: 
Całość możemy powtarzać do woli.
Zauważ, że w tej animacji, gdzie kropki reprezentują punkty próbne,
nie potrzeba wiele iteracji by te kropki zaczęły kręcić się wokół 1.618.
Przypomnij sobie, że 1.618... oraz jego towarzysz -0.618...
cały czas pozostają punktami stałymi i po każdej iteracji będą znów na swoim miejscu,
ale zbliżenie na phi, daje nam do zrozumienia, że jego otocznie zostaje ściśnięte przy iteracji
co oznacza, że funkcja 1+1/x ma pochodną o wartości bezwzględnej mniejszej niż 1 w tym punkcie.
Rzeczywiście, wynosi ona około -0.38.
Znaczy każde kolejne zastosowanie naszego przekształcenia,
będzie ściskać sąsiedztwo tego punktu coraz bardziej, jakby phi działało na nie grawitacyjnie.
Jak myślisz co się będzie działo w otoczeniu młodszego brata phi?

Korean: 
그러나 당신이 원하는 많은 시간을해라.
샘플 점을 나타내는 몇 개의 점으로이를 애니메이션으로 표시하는 것에주의하십시오.
모든 점들이 1.618 년경에 덩어리가되기 전에 많은 반복을하지는 않습니다.
우리가 1.618 ... 그리고 그 동생을 알고 있음을 기억하십시오. -0.618 ...
이 프로세스를 반복 할 때마다 계속 켜져 있고 켜져 있습니다.
해당 지역의지도 지점에서 phi 주변의 지역을 확대하면 phi 주변에서 계약이 체결됩니다.
즉, 함수 1 + 1 / x는이 입력에서 1보다 작은 크기의 도함수를가집니다.
사실이 파생물은 약 -0.38로 계산됩니다.
이것이 의미하는 바는 각각의 반복 된 적용
이 숫자 주위의 이웃을 phl에 대한 중력 끌기처럼 작고 작게 설정합니다.
자 이제 파이의 남동생이 어떻게 될지 생각해보십시오.

English: 
Do it however many times you want
Notice in animating this with a few dots representing the sample points,
it doesn't take many iterations at all before all of those dots kind of clump in around 1.618 .
Now remember, we know that 1.618... and its little brother -0.618...
on and on stay fixed in place during each iteration of this process,
but zoom in on a neighborhood around phi during the map points in that region get contracted around phi
meaning that the function 1 + 1/x has a derivative with a magnitude that's less than 1 at this input in
Fact this derivative works out to be around -0.38.
So what that means, is that each repeated application
scrunches the neighborhood around this number smaller and smaller like a gravitational pull towards phi.
So now tell me what you think happens in the neighborhood of phi's little brother.

Chinese: 
无论多少次你都想做
注意在用代表点样点的几个点进行动画处理时，
在所有这些点都在1.618附近聚集之前，并不需要很多迭代。
现在请记住，我们知道1.618 ...和它的小弟弟-0.618 ......
在此过程的每次迭代期间，
但是在该地区的地图点周围放大phi周围的附近区域会在phi附近收缩
这意味着函数1 + 1 / x在这个输入中有一个幅度小于1的导数
事实上这个派生物的结果是在-0.38左右。
所以这意味着每个重复的应用程序
围绕这个数字的邻域缩小，像一个朝向phi的引力。
所以，现在告诉我你在phi的小兄弟附近发生了什么。

German: 
Mach es so oft du willst
Beachten Sie bei der Animation dies mit ein paar Punkten, die die Beispielpunkte darstellen.
Es dauert überhaupt nicht viele Iterationen, bis all diese Punkte in etwa 1.618 zusammenklumpen.
Denken Sie daran, wir wissen, dass 1.618 ... und sein kleiner Bruder -0.618 ...
während jeder Iteration dieses Prozesses an Ort und Stelle bleiben,
Aber zoomen Sie in eine Umgebung um Phi, während die Kartenpunkte in dieser Region um Phi zusammengezogen werden
Dies bedeutet, dass die Funktion 1 + 1 / x eine Ableitung mit einer Größe hat, die an diesem Eingang in kleiner als 1 ist
Fakt ist, dass diese Ableitung bei -0,38 liegt.
Das bedeutet also, dass jede wiederholte Anwendung
zerknittert die Nachbarschaft um diese Zahl immer kleiner wie eine Anziehungskraft auf Phi.
Also sag mir jetzt, was deiner Meinung nach in der Nachbarschaft von Phis kleinem Bruder passiert.

Portuguese: 
e de novo. Faça-o quantas vezes quiser.
Note que ao animar isso com poucos pontos representando os pontos escolhidos,
não são necessárias tantas iterações para que todos esses pontos se agrupem ao redor de 1.618.
Agora lembre-se, nós sabemos que 1.618 e seu irmão mais novo, -0.618,
continuamente se mantêm fixos no lugar durante cada iteração do processo,
mas dê um zoom em uma vizinhança em torno de φ. Durante o mapeamento, os pontos nessa região se contraem em torno de φ,
o que significa que a função 1 + 1/x possui uma derivada com uma magnitude menor que 1 nesse valor.
De fato, essa derivada acaba sendo em torno de -0.38.
Então o que isso significa é que cada aplicação repetida
comprime a vizinhança em torno desse número cada vez mais, como uma gravidade puxando para φ.
Agora me diga o que acha que acontece na vizinhança do irmão mais novo de φ.

Arabic: 
تفعل ذلك عدة مرات ومتى ما أردت
لاحظ في تحريك هذا مع بضع نقاط تمثل نقاط العينة
لا يتطلب الأمر الكثير من التكرار على الإطلاق قبل كل تلك النقاط في 1.618
الآن تذكر ، نحن نعرف أن 1.618 ... وأخوه الصغير -0.618
على البقاء ثابتًا في مكانه خلال كل تكرار لهذه العملية
ولكن تكبير المقدار التقريبي حول فاي أثناء نقاط مُعينة في تلك المنطقة تتعاقد حول فاي
وهذا يعني أن الدالة 1 + 1 / x لها مشتق ذو حجم أقل من 1 عند هذه المدخلات
في الحقيقة أن هذا المشتق يصل إلى -0.38 تقريبًا
ما يعنيه ذلك ، هو أن كل طلب متكرر
يحشر المقدار التقريبي حول هذا الرقم الأصغر والأصغر مثل سحب الجاذبية نحو فاي
لذا أخبرني الآن ما الذي تعتقد أنه يحدث في المقدار التقريبي للأخ الأصغر فاي

English: 
Over there the derivative actually has a magnitude larger than one, so points near the fixed point are repelled away from it and
When you work it out, you can see that they get stretched by more than a factor of two in each iteration.
They also get flipped around because the derivative is negative here, but the salient fact for the sake of stability is just the magnitude.
Mathematicians would call this right value a stable fixed point and the left one is an unstable fixed point
Something is considered stable if when you perturb it just a little bit,
it tends to come back towards where it started rather than going away from it.
So what we're seeing is a very useful little fact: that the stability of a fixed point is
determined by whet her or not the magnitude of its derivative is bigger or smaller than one and
this explains why phi always shows up in the numerical play where you're just hitting enter on your
calculator over and over but phi's little brother never does.

Polish: 
Akurat tam moduł pochodnej jest większy niż jeden, więc punkty wokół niego będą od niego uciekać.
A gdy to już mamy, widzimy, że otoczenie brata phi będzie się rozszerzać z każdą iteracją.
Będą też obracane, ponieważ pochodna jest tu ujemna, ale wystarczająca dla nas jest wielkość jej modułu.
Matematycy nazwą te prawą wartość stabilnym punktem stałym, a lewą niestabilnym punktem stałym.
Coś jest stabilne, gdy po drobnym zaburzeniu wraca do stanu początkowego,
zamiast oddalać się od położenia wyjściowego.
Więc to co widzimy jest bardzo użytecznym faktem: stabilność punktów stałych
ma ścisły związek z wielkością pochodnej co do modułu, oraz wyjaśnia
to, dlaczego phi pojawia się w Twoim kalkulatorze po pewnym czasie
a jego młodszy brat nie.

Japanese: 
そこでは微分係数は実際には１より大きいので近傍の点はその点から離れていきます
そこで試してみると、各繰り返しで2倍以上に伸びていることがわかります。
また、ここでは導関数がマイナスになっているため、それらは逆転しますが、安定性に重要なのはその大きさだけです
数学者はこの右の値を安定固定点と呼び、左のものは非安定固定点と呼んでいます。
何かが安定しているとみなされるのは、あなたが何かをちょっと動かしても、
それは離れて行くのではなく、始まったところに戻ってくる傾向があるという時です。
だから私たちが見ている事実は、非常に小さくも有用な事実です：固定点の安定性は
導関数の大きさが１より大きいかどうかで決まり、さらにこれは
なぜφは何度も電卓のキーを叩くと現れるのに、その弟は
全く姿をあらわさないのかを説明していることになるのです

Korean: 
거기에있는 파생물은 실제로 1보다 큰 크기를 가지므로 고정 점 근처의 점들이 그 점에서 반발됩니다.
작업을 수행하면 반복 할 때마다 2 배 이상 늘어나는 것을 확인할 수 있습니다.
파생 상품이 여기에서 음수이기 때문에 그들은 또한 뒤집 혔지만, 안정성을위한 두드러진 사실은 단지 크기입니다.
수학자들은이 올바른 값을 안정된 고정 소수점이라고하고 왼쪽은 불안정한 고정 점
당신이 조금 혼란 스러울 때 뭔가 안정적인 것으로 간주됩니다,
 
 
그녀의 유래 물의 크기가 1보다 크거나 작고
이것은 피가 항상 수치 플레이에서 나타나는 이유를 설명합니다.
계산기는 계속 반복되지만 피의 남동생은 결코하지 않습니다.

Portuguese: 
Lá, a derivada na verdade possui uma magnitude maior que 1, então pontos próximos ao ponto fixado são repelidos para longe dele
e quando você resolve isso, você pode notar que eles se esticam por mais que um fator de 2 em cada iteração.
Eles também se invertem, porque a derivada é negativa aqui, mas o fato relevante, por uma questão de estabilidade,  é apenas a magnitude.
Matemáticos chamariam esse valor à direita de ponto fixo estável, e o valor à esquerda de ponto fixo instável.
Uma coisa é considerada estável se, quando você a perturba só um pouco,
ela tende a retornar aonde começou, ao invés de se distanciar.
Então o que estamos vendo é um pequeno fato muito útil: que a estabilidade de um ponto fixo
é determinada se a magnitude de sua derivada for ou não for maior ou menor que 1,
e isso explica por que φ sempre aparece no jogo numérico onde você está apenas apertando enter na sua
calculadora repetidamente, mas o irmão mais novo de φ nunca aparece.

German: 
Dort drüben hat die Ableitung tatsächlich eine Größe größer als eins, so dass Punkte in der Nähe des Fixpunkts von ihm und abgestoßen werden
Wenn Sie es ausarbeiten, können Sie sehen, dass sie in jeder Iteration um mehr als den Faktor zwei gedehnt werden.
Sie werden auch umgedreht, weil die Ableitung hier negativ ist, aber die herausragende Tatsache aus Gründen der Stabilität ist nur die Größe.
Mathematiker würden diesen rechten Wert als stabilen Fixpunkt und den linken als instabilen Fixpunkt bezeichnen
Etwas gilt als stabil, wenn Sie es nur ein wenig stören,
es neigt dazu, dorthin zurückzukehren, wo es begonnen hat, anstatt sich davon zu entfernen.
Was wir also sehen, ist eine sehr nützliche kleine Tatsache: dass die Stabilität eines festen Punktes ist
bestimmt durch ob sie oder nicht die Größe ihrer Ableitung ist größer oder kleiner als eins und
Dies erklärt, warum Phi immer im numerischen Spiel angezeigt wird, in dem Sie nur die Eingabetaste drücken
Rechner immer und immer wieder, aber Phis kleiner Bruder tut es nie.

Arabic: 
هناك أكثر من المشتق في الواقع مقدارُهُ أكبر من واحد ، بحيث يتم صد النقاط القريبة من النقطة الثابتة بعيدًا عنها
عند العمل بها ، يمكنك أن ترى أنها ممتدة بأكثر من عاملين في كل عملية تكرار
كما أنهم ينقلبون لأن المشتق هنا سلبي ، ولكن الحقيقة البارزة من أجل الاستقرار ليست سوى المقدار
يصف علماء الرياضيات هذه القيمة الصحيحة بأنها نقطة ثابتة مستقرة واليسار هو نقطة ثابتة غير مستقرة
يعتبر شيء مستقرًا إذا أخذنا ببعين الإعتبار متى ماكُنت تشوش عليه قليلاً
يميل إلى العودة إلى حيث بدأ بدلاً من الابتعاد عنه
إذن ما نراه هو حقيقة بسيطة مفيدة للغاية: أن استقرار نقطة ثابتة
يتحدد ما إذا كان حجم مشتقه أكبر أو أصغر من واحد
هذا ما يفسر لماذا تظهر فاي دائمًا في الدورالعددي حيث تضغط على الدخول
إلى الآلة الحاسبة مرارًا وتكرارًا ، ولكن الأخ الأصغر فاي لا يفعل ذلك أبداً

Modern Greek (1453-): 
Εκεί πέρα, η παράγωγος έχει στην πραγματικότητα μέτρο μεγαλύτερο από 1. Έτσι τα σημεία κοντά στο σταθερό σημείο απωθούνται μακριά από αυτό.
Και όταν το επεξεργαστείτε, μπορείτε να δείτε ότι τεντώνονται από κάτι περισσότερο από παράγοντα 2 σε κάθε επανάληψη.
Επίσης αναποδογυρίζονται επειδή η παράγωγος είναι αρνητική εδώ, αλλά το εξέχων γεγονός για χάρη της σταθερότητας είναι μόνο το μέτρο.
Οι μαθηματικοί θα αποκαλούσαν αυτή τη δεξιά τιμή ένα σταθερό, σταθερό σημείο και την αριστερή είναι ένα ασταθές σταθερό σημείο
Κάτι θεωρείται σταθερό εάν όταν το διαταράξετε έστω και λίγο,
τείνει να επανέλθει πίσω στο σημείο που ξεκίνησε παρά να απομακρυνθεί από αυτό.
Επομένως αυτό που βλέπουμε, είναι ένα πολύ χρήσιμο μικρό γεγονός: ότι η σταθερότητα ενός καθορισμένου σημείου
εξαρτάται από το κατά πόσο το μέτρο της παραγώγου του είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 1.
Και αυτό εξηγεί γιατί το φ εμφανίζεται πάντα στο αριθμητικό παιχνίδι όπου απλά πατάτε το enter στην
αριθμομηχανή σας ξανά και ξανά, αλλά ο μικρός αδελφός του φ δεν το κάνει ποτέ.

Chinese: 
在那边，导数实际上有一个大于1的数值，所以靠近固定点的点被排斥离开
当你解决这个问题时，你可以看到他们在每次迭代中被拉伸了两倍以上。
它们也会被翻转，因为这里的导数是负数，但为了稳定而显着的事实只是数量级。
数学家会把这个正确的值称为一个稳定的固定点，而左边的是一个不稳定的固定点
如果你只是稍微扰乱它，某物就被认为是稳定的，
它往往会回到它开始的地方，而不是远离它。
所以我们看到的是一个非常有用的小事实：固定点的稳定性是
根据她的与否，其导数的大小是大于还是小于1
这就解释了为什么phi总是出现在你刚刚击中的数字游戏中
一遍又一遍的计算器，但phi的小兄弟从来没有这样做过。

Spanish: 
Allí, la derivada tiene un valor mayor que 1, así que los puntos próximos al punto fijo huyen lejos de él,
y si lo hacéis, veréis que se estiran en más de un factor 2 en cada iteración.
También se dan vuelta, porque la derivada es negativa, pero lo importante para la estabilidad es simplemente la magnitud absoluta.
Los matemáticos llaman a este punto de la derecha un "punto fijo estable" y al de la izquierda un "punto fijo inestable".
Algo se considera estable si, cuando lo perturbamos un poco, tiende
a volver a donde estaba, en lugar de alejarse.
Así que, lo que vemos es un hecho muy útil: que la estabilidad de un punto fijo
está determinada por el valor de su derivada, si es mayor o es menor que 1.
Esto explica por qué siempre acaba saliendo φ cuando repetimos la operación
en la calculadora, mientras que el hermano pequeño de φ nunca sale.

Japanese: 
今、あなたがφの弟を連分数の有効な値と見なしたいかどうかについては・・・
まあ、それは本当にあなた次第です
私たちはただ次のようなことを言ったのです;
もしあなたがこれを限定的な操作だと受け止めているのなら
φの弟以外のすべての数の候補はφへ近づいていくので、
その二つを同等に扱うのは少しおかしいと感じるのは仕方ないですし、
しかし、もしあながこれを無限の操作だととらえているなら
このような問題は、問題自体を多項式の解のような純粋に代数的なものとして姿を変えるでしょう
つまり複数の解を持つ、ということです
まあ、それは重要ではなく、ここでの私の指摘は、導関数を
このように密度の変化として扱うほうがグラフで関数の動きを追うよりも楽だと言っているのではありません。
この方法は、グラフと比較して、面倒で実用的ではないですからね。
私の指摘は、微積分の入門コースでもっと補足が必要だということです。
なぜなら、生徒の導関数への理解をより柔軟にできるからです。
先ほども言いましたが、私がこのような観点を持ち込んだ本当の理由は、

Portuguese: 
Agora, se você quer ou não considerar o irmão mais novo de φ um valor válido da fração infinita,
bem, isso realmente é você quem decide.
Tudo que acabamos de mostrar sugere que se você entender essa expressão como representando um processo limitante,
então porque talvez qualquer possível valor inicial diferente do irmão mais novo de φ fornece uma série convergindo para φ,
parece meio bobo colocar ambos em um mesmo patamar.
Mas talvez você não enxergue isso como um limite,
talvez o tipo de conta que você esteja fazendo presta-se a tratar isso como um objeto puramente algébrico, como
as soluções de um um polinômio, que possui simplesmente diversos valores.
De qualquer modo, esse não é o ponto, e meu objetivo aqui não é de que enxergar derivadas
como essa mudança de densidade é de alguma forma melhor que a intuição gráfica como um todo. Na verdade, imaginar toda uma função
dessa forma pode ser meio ultrapassado e impraticável em comparação com gráficos.
Meu ponto é que isso merece mais menção na maioria das aulas introdutórias de Cálculo,
porque isso pode ajudar a tornar a compreensão de um estudando sobre  a derivada um pouco mais flexível.
Como eu mencionei, a verdadeira razão que eu recomendaria que você carregasse consigo conforme você aprende novos

Spanish: 
Ahora, si queréis considerar o no a este hermano pequeño de φ como valor válido de la fracción infinita,
eso ya es cosa vuestra.
Lo que acabamos de ver sugiere que, si pensáis en esta expresión como un proceso de límite,
y ya que cualquier posible valor inicial (que no sea el hermano pequeño de φ) nos lleva a converger a φ,
parece un poco tonto poner a ambos en pie de igualdad.
Pero quizá no lo queráis pensar como un límite,
quizá las matemáticas que estáis haciendo se presten a interpretar esto como un objeto puramente algebraico como las raíces de un polinomio,
que simplemente tiene varios valores.
En cualquier caso, eso es asunto aparte. Lo que quiero decir aquí no es que ver las derivadas como cambio en la densidad
sea globalmente mejor que la intuición gráfica. De hecho, representar toda una función así
puede ser un poco torpe y no muy práctico, comparado con las gráficas.
La cuestión es que creo que merece más mención en la mayoría de los cursos de introducción al cálculo,
porque puede ayudar a darle al estudiante una comprensión un poco más flexible de la derivada.
Como decía antes, la verdadera razón por la que os recomiendo esta perspectiva cuando aprendáis nuevos temas

Korean: 
이제 당신이 파이의 남동생에게 무한한 분수의 유효한 가치를 고려하고 싶은지 여부에 관해서
글쎄, 그건 너에게 모든것에 달려있다.
우리는 당신이이 표현을 제한 과정을 나타내는 것이라고 생각한다면
그러면 피의 동생이 아닌 모든 가능한 시드 값이 당신에게 φ로 변환하는 시리즈를 제공하기 때문입니다.
그것들을 서로 동등한 발판에 두는 것은 어리석은 일입니다.
하지만 아마 당신은 한계라고 생각하지 않습니다.
어쩌면 당신이하는 수학의 종류는 이것을 다항식의 해와 같이 순수하게 대수적 인 대상으로 취급하는 데 적합합니다.
단순히 여러 값을가집니다.
어쨌든, 그것은 요점 옆에 있고 내 요점은 그 파생 상품을 보는 것이 아닙니다.
이러한 밀도의 변화는 실제로 전체 기능을 묘사하는 전반적인 그래픽 직관보다 다소 좋기 때문에
이 방법은 그래프에 비해 다소 복잡하고 비현실적 일 수 있습니다.
저의 요점은 대부분의 입문 과정에서 더 많은 언급이 필요하다는 것입니다.
이것은 파생물에 대한 학생들의 이해를 좀 더 유연하게 만들 수 있기 때문입니다.
내가 새로운 것을 배울 때 당신이이 관점을 당신과 함께 할 것을 권하는 진정한 이유를 언급 한 것처럼

Polish: 
Czy chcesz uznać młodszego brata phi jako wartość naszego ułamka łańcuchowego, czy nie,
to naprawdę zależy od Ciebie.
My tylko pokazaliśmy jak możesz podchodzić do takich wyrażeń z przejściem granicznym,
a gdy każda wartość początkowa, po pewnej liczbie iteracji będzie zbliżać się do phi
to odnoszę wrażenie, że traktowanie ich na równi trochę jest naiwne.
Ale nie musisz o tym myśleć jako o granicy.
Może dział matematyki, którym się zajmujesz traktuje ten obiekt czystko algebraicznie, jak pierwiastki wielomianu
których po prostu może być wiele.
W każdym razie, to nie ma znaczenia. Moim celem nie było pokazanie, że pochodna
traktowana jako zmiana zagęszczenia jest w jakiś sposób lepsza, niż obrazek zawierająca całą funkcję,
taka analiza może być niezgrabna i niepraktyczna w porównaniu do wykresów.
Moim celem było zwrócenie uwagi na to, że pojęcie pochodnej wymaga lepszego wyjaśnienia na kursie rachunku różniczkowego ,
ponieważ, to pomoże studentom bieglej się nimi posługiwać
Tak jak wspomniałem, prawdziwy powód, dla którego zaleciłem Ci przyjęcie takiej perspektywy w tym

German: 
Nun, ob Sie Phis kleinen Bruder als einen gültigen Wert des unendlichen Bruchteils betrachten wollen oder nicht
Nun, das liegt wirklich an dir
Wir haben gerade gezeigt, dass, wenn Sie diesen Ausdruck als einschränkenden Prozess betrachten
dann, weil jeder mögliche Startwert außer Phis kleinem Bruder eine Reihe ergibt, die in φ umgerechnet wird
Es fühlt sich irgendwie albern an, sie gleichberechtigt miteinander zu machen.
Aber vielleicht sehen Sie es nicht als Grenze
Vielleicht eignet sich die Art von Mathematik, die Sie machen, dazu, dies als rein algebraisches Objekt wie die Lösungen eines Polynoms zu behandeln.
das hat einfach mehrere Werte.
Wie auch immer, das ist nebensächlich und mein Punkt hier ist nicht das Anzeigen von Derivaten
Da diese Änderung der Dichte irgendwie besser ist als die grafische Intuition insgesamt, die tatsächlich eine ganze Funktion darstellt
Dieser Weg kann im Vergleich zu Grafiken etwas klobig und unpraktisch sein.
Mein Punkt ist, dass es in den meisten Einführungskursen mehr Beachtung verdient,
weil es helfen kann, das Verständnis eines Schülers für das Derivat ein wenig flexibler zu machen.
Wie ich bereits erwähnt habe, ist der wahre Grund, warum ich Ihnen empfehlen würde, diese Perspektive mitzunehmen, wenn Sie neu lernen

Chinese: 
至于你是否想考虑phi的小弟弟这个无限分数的有效值
那么，这一切都取决于你
我们只是表明，如果你认为这个表达是一个限制过程
那么因为phi的小弟弟以外的每一个可能的种子价值都会给你一系列的转化为φ
把它们放在一个平等的位置上确实感觉很愚蠢。
但是，也许你不认为它是一个限制
也许你所做的这种数学可以把它当作纯粹的代数对象，像多项式的解，
它只有多个值。
无论如何，这是在旁边，我的观点不是观察衍生工具
由于这种密度变化总体上比图形直觉更好，实际上描绘了整个功能
与图形相比，这种方式可能有点笨重和不切实际。
我的观点是，在大多数介绍性的微积分课程中，值得一提的是，
因为它可以帮助让学生对派生词的理解更灵活一点。
就像我刚才提到的那样，我建议你在学习新知识的时候带着这种视角

Modern Greek (1453-): 
Τώρα ως προς το αν θέλετε ή όχι να θεωρήσετε τον μικρό αδελφό του φ μια έγκυρη τιμή του άπειρου κλάσματος
Λοιπόν, αυτό εξαρτάται από σας. Ό,τι
μόλις δείξαμε, υποδηλώνει ότι αν σκεφτείτε αυτή την έκφραση να αντιπροσωπεύει μια οριακή διαδικασία,
τότε επειδή κάθε πιθανή αρχική τιμή εκτός από τον μικρό αδερφό του φ σας δίνει μια σειρά που μετατρέπεται σε φ,
φαίνεται κάπως ανόητο να τους βάζουμε σε ίση θέση μεταξύ τους.
Αλλά ίσως δεν το σκέφτεστε ως όριο.
Ίσως το είδος των μαθηματικών που κάνετε, προσφέρεται για να το αντιμετωπίζεται αυτό ως ένα καθαρά αλγεβρικό αντικείμενο όπως οι λύσεις ενός πολυωνύμου,
που απλά έχουν πολλές τιμές.
Εν πάση περιπτώσει, αυτό δεν έχει σημασία και ο στόχος μου εδώ δεν είναι να βλέπουμε τις παραγώγους
ως το ότι αυτή την αλλαγή στην πυκνότητα είναι για κάποιο λόγο καλύτερη από τη γραφική διαίσθηση στο σύνολο. Στην πραγματικότητα, απεικονίζοντας μια ολόκληρη συνάρτηση
με αυτόν τον τρόπο μπορεί να γίνει κάπως βαρετό και μη πρακτικό σε σύγκριση με τα γραφήματα.
Η άποψή μου είναι ότι αξίζει περισσότερη αναφορά στα περισσότερα από τα εισαγωγικά μαθήματα λογισμού,
επειδή μπορεί να βοηθήσει να γίνει η κατανόηση της παραγώγου από το μαθητή λίγο πιο ευέλικτη.
Όπως ανέφερα, ο πραγματικός λόγος που θα πρότεινα να κρατήσετε αυτή την οπτική μαζί σας, καθώς μαθαίνετε καινούργια

English: 
Now as to whether or not you want to consider phi's little brother a valid value of the infinite fraction
Well, that's really up to you everything
we just showed suggests that if you think of this expression as representing a limiting process
then because every possible seed value other than phi's little brother gives you a series converting to φ
It does feel kind of silly to put them on equal footing with each other.
But maybe you don't think of it as a limit
Maybe the kind of math you're doing lends itself to treating this as a purely algebraic object like the solutions of a polynomial,
which simply has multiple values.
Anyway, that's beside the point and my point here is not that viewing derivatives
As this change in density is somehow better than the graphical intuition on the whole in fact picturing an entire function
this way can be kind of clunky and impractical as compared to graphs.
My point is that it deserves more of a mention in most of the introductory calculus courses,
because it can help make a student's understanding of the derivative a little bit more flexible.
Like I mentioned the real reason that I'd recommend you carry this perspective with you as you learn new

Arabic: 
الآن فيما يتعلق بما إذا كنت تريد أن تعتبر الأخ الأصغر فاي قيمة صالحة للجزء اللامتناهي
حسنًا ، هذا الأمر متروك لك تمامًا
لقد أوضحنا فقط أنه إذا كنت تفكر في هذا التعبير على أنه يمثل عملية محدودة
إذاً ، لأن كل قيمة محتملة للبذور بخلاف الأخ الصغير فاي تمنحك سلسلة تتحول إلى φ
فهي تبدو سخيفة لوضعها على قدم المساواة مع بعضها البعض
ولكن ربما لا تفكر في ذلك كحدود
ربما يفضّل نوع الرياضيات الذي تقوم به أن يعامل على أنه كائن جبري بحت مثل حلول متعدد الحدود
التي لديها ببساطة قيم متعددة
على أي حال ، هذا بجانب النقطة ونقطتي هنا ليست أن مشاهدة المشتقات
ولما كان هذا التغير في الكثافة أفضل إلى حد ما من البديهية البيانية على وجه العموم ، في الواقع ، فإن تصوير دالة كاملة
بهذه الطريقة يمكن أن يكون نوعًا ما غير مكتمل وغير عملي بالمقارنة مع الرسوم البيانية
يتضمن وجهة نظري أنها تستحق أكثر من ذكر في معظم دورات التفاضل والتكامل التمهيدية
لأنه يمكن أن يُساعد في فهم الطالب للمشتق قليلاً بطريقة مرنة
كما ذكرت السبب الحقيقي الذي أوصيك بأن تحمل هذا المنظور معك بينما تتعلم موضوعات جديدة

English: 
topics is not so much for what it does with your understanding of single variable calculus
it's for what comes after there are many topics typically taught in a college math department
which... How shall I put this lightly? don't exactly have a reputation of being super accessible.
So in the next video
I'm gonna show you how a few ideas from these subjects with fancy sounding names like holomorphic functions and the Jacobian determinant
are really just extensions of the idea shown here.
They really are some beautiful ideas,
which I think can be appreciated from a really wide range of mathematical
backgrounds and they're relevant to a surprising number of seemingly unrelated ideas. So stay tuned for that.
Now for the final animation I just want to show you a little more of that time-dependent vector field I flashed earlier,
but first let's look at some of the principles of learning from this video sponsor: Brilliant.org
There's a lot of good stuff on this list, 
but I want you to look at number two
effective math and science learning cultivates curiosity.

Modern Greek (1453-): 
θέματα, δεν είναι τόσο πολύ για το τί κάνει για την κατανόησή σας στον λογισμό μιας μεταβλητής
είναι για αυτό που έρχεται μετά.
Υπάρχουν πολλά θέματα που συνήθως διδάσκονται σε ένα τμήμα μαθηματικών πανεπιστημίου
τα οποία ... Πώς θα το θέσω αυτό μαλακά; δεν έχουν ακριβώς τη φήμη ότι είναι πολύ προσιτά.
Έτσι, στο επόμενο βίντεο,
Θα σας δείξω πώς μερικές ιδέες από αυτά τα θέματα με φανταχτερά ονόματα, όπως, οι Ολομορφικές Συναρτήσεις και η Ιακωβιανή Ορίζουσα
είναι στην πραγματικότητα απλά επεκτάσεις της ιδέας που παρουσιάστηκε εδώ.
Είναι πραγματικά μερικές όμορφες ιδέες,
οι οποίες νομίζω ότι μπορεί να εκτιμηθούν από ένα πραγματικά ευρύ φάσμα μαθηματικών
υποβάθρων και σχετίζονται με ένα εντυπωσιακό αριθμό φαινομενικά άσχετων ιδεών. Γι 'αυτό μείνετε συντονισμένοι για αυτό.
Τώρα για την τελική εικόνα, θέλω απλώς να σας δείξω λίγο περισσότερο από εκείνο το διανυσματικό πεδίο που εξαρτάται από το χρόνο, που ανέφερα νωρίτερα,
αλλά πρώτα, ας να δούμε μερικές από τις αρχές μάθησης από τον υποστηρικτή αυτού του βίντεο: Brilliant.org
Υπάρχουν πολλά καλά πράγματα σε αυτή τη λίστα, αλλά θέλω να δειτε τον αριθμό 2.
Η αποτελεσματική μαθηματική και επιστημονική μάθηση καλλιεργεί την περιέργεια.

German: 
Themen sind nicht so sehr das, was es mit Ihrem Verständnis der Einzelvariablenrechnung zu tun hat
Es ist für das, was kommt, nachdem es viele Themen gibt, die normalerweise in einer Mathematikabteilung am College unterrichtet werden
welche ... Wie soll ich das leicht sagen? Ich habe nicht gerade den Ruf, super zugänglich zu sein.
Also im nächsten Video
Ich werde Ihnen zeigen, wie ein paar Ideen aus diesen Themen mit ausgefallenen Namen wie holomorphen Funktionen und der jakobianischen Determinante
sind wirklich nur Erweiterungen der hier gezeigten Idee.
Das sind wirklich einige schöne Ideen,
was ich denke, kann aus einem wirklich breiten Spektrum von mathematischen geschätzt werden
Hintergründe und sie sind relevant für eine überraschende Anzahl von scheinbar nicht verwandten Ideen. Also bleibt dran.
Für die letzte Animation möchte ich Ihnen nur ein wenig mehr von dem zeitabhängigen Vektorfeld zeigen, das ich zuvor geflasht habe.
Aber zuerst schauen wir uns einige der Prinzipien an, um von diesem Videosponsor zu lernen: Brilliant.org
Es gibt viele gute Sachen auf dieser Liste, 
aber ich möchte, dass Sie sich Nummer zwei ansehen
Effektives Lernen in Mathematik und Naturwissenschaften fördert die Neugier.

Japanese: 
１変数における微積分学の理解を助けるためではなく、
そのあとに出てくるもののためです。これらは数学科では普通に教えられるものでしょう。
例えば、ええと、なんといえばいいか。一言では難しいですね。
なので次のビデオで
正則関数やヤコビアン行列式などという面白い名前の概念が
実際にここに示した考え方の延長線にあると示そうと思います。
彼らは本当にいくつかの美しいアイデアで、
いくつかの数学的分野ではありがたい存在だと思いますし、
また関係がないと思っている概念とつながっていることも多々あるので、見逃さないでくださいね。
では最後に、先ほども見せた時間依存ベクトル場のアニメーションをもう少し見てみることにしましょう
でもその前にこのビデオのスポンサーである Brilliant.org 様の学習原則についてみてみることにしましょう。
このリストにはたくさん良いことが書かれていますが、まずは2番目を見てください、
効果的な数学と科学の学習は好奇心を養う。

Spanish: 
no es tanto por vuestra comprensión del cálculo de una variable,
sino por lo que viene después. Hay muchos temas que se suelen enseñar en las facultades de matemáticas
que... ¿cómo decir esto? No tienen fama de ser precisamente muy asequibles.
Así que, en el próximo vídeo,
os voy a mostrar cómo algunas ideas sobre estos temas, con nombres curiosos como "funciones holomorfas" o "determinante jacobiano",
son en realidad extensiones de la idea que hemos mostrado aquí.
Son ideas muy bellas,
que pueden apreciarse desde una amplia variedad de contextos matemáticos
y que son relevantes en una sorprendente cantidad de ideas que no parecen estar relacionadas. Así que, atentos a eso.
Ahora, en la última animación, quiero enseñaros un poco más de ese campo de vectores que cambia con el tiempo, que mostré antes,
pero antes vamos a echar un vistazo a los principios del aprendizaje de este patrocinador: Brilliant.org
En esta lista hay muchas cosas buenas, pero quiero que miréis el número 2,
El aprendizaje efectivo de las matemáticas y la ciencia cultiva la curiosidad.

Polish: 
temacie, jest taki, nie żebyś zrozumiał analizę jednej zmiennej, ale
żebyś mógł lepiej zrozumieć co będzie potem. A potem przychodzą tematy na poziomie uniwersyteckim,
które... Jakby to ująć? Nie maja opinii łatwo dostępnych.
Więc w następnym odcinku.
Pokażę Ci jak te specjalistyczne zagadnienia, z ich śmiesznie brzmiącymi nazwami jak funkcja holomorficzna, czy Jakobian
są w rzeczywistości, pewnymi wariantami tego co już omówiliśmy tutaj.
To są naprawdę piękne rzeczy,
które, jak uważam, są doceniane na całym świecie przez wielu matematyków
i które mają zastosowanie do, z pozoru, niepowiązanych problemów.
Jako ostatnią animację chciałbym Ci pokazać jak działa zależne od czasu pole wektorowe, o którym napomknąłem,
ale najpierw zerknijmy na "zasady uczenia się" od naszego sponsora Brilliant.org.
Jest tu cała masa świetnych wskazówek, ale chciałbym żebyś spojrzał na numer 2.
Skuteczna nauka matematyki pogłębia ciekawość.

Korean: 
주제는 단일 변수 미적분에 대한 이해와 관련이 없습니다.
대학 수학과에서 일반적으로 가르쳐지는 주제가 많은데
나는 이것을 어떻게 가볍게 넣을 까? 수퍼 접근이 가능하다는 평판을 정확하게 지키지 마십시오.
그래서 다음 비디오에서
나는 정사각형 함수와 야 코비 행렬식과 같은 공상적인 이름으로이 주제들로부터 얻은 몇 가지 아이디어가 어떻게 나타나는지 보여 드리겠습니다.
여기에 나와있는 아이디어의 확장 일뿐입니다.
그들은 정말로 아름다운 아이디어입니다,
나는 수학의 실제 범위에서 높이 평가할 수 있다고 생각합니다.
배경 및 그들은 겉으로는 무관 한 아이디어의 놀라운 숫자와 관련이 있습니다. 그러니 계속 지켜봐주십시오.
 
 
이 목록에는 많은 좋은 것들이 있습니다. 
너 2 번 봐라.
효과적인 수학 및 과학 학습은 호기심을 길러줍니다.

Chinese: 
主题并不是因为你对单变量微积分的理解
这是在大学数学系通常教授许多主题之后出现的
哪...我怎么轻描淡写呢？并不完全具有超级可访问性的声誉。
所以在下一个视频
我会告诉你如何从这些主题的一些想法与花式听起来像全纯函数和雅可比行列式
实际上只是这里显示的想法的扩展。
他们真的是一些美丽的想法，
我认为这可以从一个非常广泛的数学知识中获益
背景和他们与一些看似无关的想法令人惊讶的数字有关。敬请关注。
现在对于最后的动画，我只是想向你展示一点我早先闪过的那个依赖于时间的矢量场，
但首先让我们看看这个视频赞助商的一些学习原理：Brilliant.org
这份清单上有很多好东西， 
但我希望你看看第二
有效的数学和科学学习培养好奇心。

Arabic: 
ليس كثيرة بالنسبة لما يفعله مع فهمك لحساب التفاضل الواحد المتغير
فهو لما يأتي بعد وجود العديد من الموضوعات التي يتم تدريسها عادة في قسم الرياضيات في الكلية
كيف يُمكنني وضع هذا على محمل الجد؟ وهي بالضبط لا تتمتع بسمعة كونها سهلة الوصول
لذلك في الفيديو التالي
سوف أريكم كيف أن بعض الأفكار من هذه المواضيع بأسماء صوتية متقنة مثل الدالة التحليلية  وعامل جاكوبي
هو مجرد امتداد للفكرة المعروضة هنا
هي حقاً بعض الأفكار الجميلة
والذي أعتقد أنه يمكن تقديره من مجموعة واسعة جدًا من الخلفيات الرياضية
وهي ذات صلة بعدد مفاجئ من الأفكار التي تبدو غير ذات صلة. لذلك لا تنزعج لذلك
نفذ الترجمة : شوان حميد 
تويتر : shwan_hamid@
 

Portuguese: 
tópicos, não é tanto pelo que faz com o seu entendimento de Cálculo de uma variável,
é pelo que vem depois. Há vários tópicos tipicamente ensinados em um departamento de Matemática da faculdade,
que... Como posso colocar de forma leve? Não exatamente possuem a reputação de serem super acessíveis.
Então no próximo vídeo
eu vou mostrar a vocês como algumas poucas ideias desses assuntos com nomes que soam extravagantes, como funções holomorfas e determinante Jacobiano
são na realidade apenas extensões da ideia mostrada aqui.
Elas realmente são ideias bonitas,
que eu acho que podem ser apreciadas por uma ampla gama de experiências matemáticas prévias,
e elas são relevantes a um número surpreendente de ideias aparentemente não relacionadas. Então fique atento a isso.
Agora para a animação final, eu só gostaria de mostrar a vocês um pouco mais daquele campo de vetor dependente do tempo que eu mostrei rapidamente,
mas antes vamos ver alguns dos princípios de aprendizado do patrocinador deste vídeo: Brilliant.org.
Há muitas coisas boas nessa lista, mas eu quero que você olhe o número dois:
Aprendizados eficientes de matemática e ciências cultivam curiosidade.

Chinese: 
我喜欢这里的单词选择。这不仅仅是因为你在一瞬间应该好奇
这意味着创造一个好奇心不断增长的环境。
看看这里的无限分数例子
如果你对数字为什么围绕他们所做的方式反弹感到好奇，那将是一回事，
但希望得出的结论不仅仅是理解这个例子
我希望你开始看各种其他无限表情，并想知道是否有一些固定点
现象，或者想知道衍生品的这种观点在哪里可以在概念上有帮助
辉煌的组织是一个网站，您可以通过积极的解决问题来学习数学和科学主题，如果你去看看
我认为你会同意他们确实遵守这些来自此视频的学习原则
你可能会喜欢他们的“微积分做对”课程，他们还有许多其他数学和科学课程。
很多
你可以免费退房，
但他们也有订阅服务，让您访问各种不错的指导问题。
去Brilliant.org/3B1B

English: 
I love the word choice here. It's not just that you should be curious in one moment
It means creating a context where that curiosity is constantly growing.
Just look at the infinite fraction example here
It would be one thing if you were curious about why the numbers bounce around the way that they do,
but hopefully the conclusion is not just to understand this one example
I would want you to start looking at all sorts of other infinite expressions and wonder if there's some fixed point
phenomenon in them, or wonder where else this view of derivatives can be conceptually helpful
Brilliant.org is a site where you can learn math and science topics through active problem-solving and if you go take a look
I think you'll agree that they really do adhere to these learning principles, coming from this video
you would probably enjoy their "Calculus Done Right," lessons and they also have many other courses in various math and science topics.
Much of it
you can check out for free,
but they also have a subscription service that gives you access to all sorts of nice guided problems.
Going to Brilliant.org/3B1B

Spanish: 
Me encanta esta elección de palabras.  No es solo que sientas curiosidad en un momento dado,
sino crear un contexto donde la curiosidad crece constantemente.
Fijaos en el ejemplo de la fracción infinita.
Una cosa sería sentir curiosidad por cómo los números se comportan de esa manera,
pero esperemos que la conclusión no se reduzca a entender solamente este ejemplo.
Me gustaría que empezarais a mirar a muchas otras expresiones infinitas y preguntaros si tienen algún fenómeno de punto fijo,
o preguntarse en qué más lugares puede ser conceptualmente útil esta visión de las derivadas.
Brilliant.org es un sitio donde se puede aprender matemáticas y ciencias a través de la resolución activa de problemas, y si echáis un vistazo
creo que estaréis de acuerdo en que realmente se adhieren a estos principios de aprendizaje. Viniendo de este vídeo,
probablemente os gustarán sus clases "Calculus Done Right" [el Cálculo bien hecho], y también tienen muchos otros cursos de otros temas de matemáticas y ciencias.
Buena parte de ello
lo podéis ver gratis,
pero también tienen un servicio de suscripción que da acceso a todo tipo de bonitos problemas guiados.
Si vais a Brilliant.org/3B1B,

Japanese: 
私はこの言葉の並びが大好きです。一瞬で好奇心をそそられるだけでなく
それはその好奇心が絶えず成長する環境を作り出すための方法が書かれているのです。
ここで連分数の例を見てみましょう
あなたがなぜこれらの数字が飛び回るのかに関心を持てば先ほどの原則にも当てはまったでしょう、
しかしこの一つの例を理解するだけでなく
ほかにもこのような無限の表現がないかを探してみて、固定点がないかどうかを考えてみてください
もしくはこのような導関数の見方がどこで概念的に役立つのかを考えてみてください。
Brilliant.orgは、積極的な問題解決を通して数学や科学を学ぶことができるサイトです。
行ってみると先ほどの原則を貫いていることを実感するでしょう
あなたはおそらく彼らの "Calculus Done Right"レッスンを楽しむでしょうし、ほかにも数学や科学のさまざまなトピックについて学べるでしょう。
多くは
無料で見ることができますが、
全ての問題にアクセスできるサブスクリプションサービスも扱っています。
Brilliant.org/3B1Bに行って、

Modern Greek (1453-): 
Λατρεύω την επιλογή λέξεων εδώ. Δεν είναι μόνο το ότι θα πρέπει να είσαι περίεργος σε μια στιγμή
Σημαίνει να δημιουργείς ένα πλαίσιο όπου αυτή η περιέργεια αυξάνεται συνεχώς.
Απλά κοιτάξτε το παράδειγμα του απείρου κλάσματος εδώ.
Θα ήταν ένα πράγμα αν ήσασταν περίεργος σχετικά με το γιατί οι αριθμοί αναπηδούν γύρω όπως κάνουν,
αλλά ελπίζουμε ότι το συμπέρασμα δεν είναι να κατανοήσετε μόνο αυτό το παράδειγμα
Θα ήθελα να αρχίσετε να εξετάζετε κάθε είδους άπειρες εκφράσεις και να αναρωτιέστε αν υπάρχει κάποιο φαινόμενο
σταθερού σημείου μέσα τους, ή να αναρωτιέστε πού αλλού αυτή η οπτική των παραγώγων μπορεί να είναι χρήσιμη ως έννοια.
Το Brilliant.org είναι ένας ιστότοπος όπου μπορείτε να μάθετε μαθηματικά και επιστημονικά θέματα μέσω ενεργής επίλυσης προβλημάτων. Και αν πάτε να ρίξετε μια ματιά
πιστεύω ότι θα συμφωνήσετε ότι πραγματικά ακολουθούν αυτές τις αρχές μάθησης. Ερχόμενοι από αυτό το βίντεο,
πιθανότατα θα απολαύσετε τα μαθήματά τους, "Calculus Done Right", και επίσης έχουν πολλά άλλα μαθήματα σε διάφορα μαθηματικά και επιστημονικά θέματα.
Πολλά από αυτά
μπορείτε να τα δείτε δωρεάν,
όμως έχουν επίσης συνδρομητική υπηρεσία που σας δίνει πρόσβαση σε όλων των ειδών καλά καθοδηγούμενα προβλήματα.
Πηγαίνοντας στο Brilliant.org/3B1B

Korean: 
 
호기심이 끊임없이 커지는 상황을 만드는 것입니다.
무한한 분수의 예를 여기에서 보라.
당신이 왜 그 숫자가 그들이하는 방식으로 돌아 오는 지 궁금하다면 그것은 한 가지 일 것입니다.
그러나 희망적으로 결론은이 한 가지 예를 이해하는 것이 아닙니다.
모든 종류의 다른 무한한 표현을보기 시작하고 고정 된 점이 있는지 궁금합니다.
 
Brilliant.org는 적극적인 문제 해결을 통해 수학 및 과학 주제를 배울 수있는 사이트이며,
나는 그들이이 학습 원리에 충실하고 있으며이 비디오에서 나오는 것에 동의 할 것이라고 생각합니다.
당신은 아마도 "미적분을 올바르게 마쳤습니다"라는 수업을 즐기고 다양한 수학 및 과학 주제의 다른 많은 과정을 갖게 될 것입니다.
그 중 많은 부분
당신은 무료로 체크 아웃 할 수 있습니다.
그러나 그들은 또한 당신에게 온갖 친절한 인도 한 문제에 접근을주는 기부금 서비스가있다.
Brilliant.org/3B1B로 이동

Portuguese: 
Eu adoro a escolha de palavras aqui. Não é simplesmente que você deveria ser curioso em um instante,
mas sim criar um contexto onde essa curiosidade esteja crescendo constantemente.
Apenas veja o exemplo de frações infinitas aqui
Uma coisa seria se você fosse curioso sobre porque os números pulam por aí dessa maneira,
mas espera-se que a conclusão não seja apenas entender esse único exemplo.
Eu gostaria que você começasse a olhar todos os outros tipos de expressões infinitas e indagar se há algum tipo de fenômeno
de ponto fixo nelas, ou indagar em quais outras situações essa maneira de visualizar derivadas podem ser conceitualmente úteis.
Brilliant.org é um site onde você pode aprender tópicos de matemática e ciência através de resoluções ativas de problemas, e se você der uma olhada,
acho que você irá concordar que eles realmente aderem a esses princípios de aprendizado. Vindo deste vídeo,
você provavelmente irá gostar das aulas deles de "Calculus Done Right", e eles também têm várias outras aulas de diversos tópicos de matemática e ciências.
Muito disso
você pode conferir de graça,
mas eles também possuem um serviço de inscrição que te dá acesso a todos tipos de problemas bem guiados.
Indo a Brilliant.org/3B1B

Polish: 
Podoba mi się ten dobór słów. Tu nie chodzi o to, że powinieneś być ciekawski,
ale, że ciekawość stopniowo wzrasta.
Zerknijmy na omawiany ułamek łańcuchowy,
jedną rzeczą jest zaciekawienie dlaczego liczby skaczą wokół phi wraz z iteracjami,
ale na szczęście wnioskiem z filmu nie było zrozumienie tego jednego przykładu.
Chciałbym abyś zaczął patrzeć na inne wyrażenia w których pojawia się proces nieskończonym i zastanowił się czy
istnieje dla nich coś takiego jak punkt stały, albo gdzie zaprezentowane spojrzenie na pochodne ma jeszcze zastosowanie.
Brilliant.org to storna gdzie możesz uczyć się konstruktywnie nauk ścisłych,.
Sądzę, że się zgodzisz, że pozostają wierni swoim "zasadom uczenia się", prosto stąd
zapewne wybierzesz lekcje "Calculus Done Right,"; mają tam ich znacznie więcej na różne tematy.
Wiele z tego
możesz wypróbować z darmo,
ale mają też serwis subskrybcji, który daje Ci dostęp do wielu przyjemnych i pouczających zadań.
Idąc do Brilliant.org/3B1B

German: 
Ich liebe die Wortwahl hier. Es ist nicht nur so, dass Sie in einem Moment neugierig sein sollten
Es bedeutet, einen Kontext zu schaffen, in dem diese Neugier ständig wächst.
Schauen Sie sich hier das Beispiel für unendliche Brüche an
Es wäre eine Sache, wenn Sie neugierig wären, warum die Zahlen so herumspringen, wie sie es tun.
aber hoffentlich ist die Schlussfolgerung nicht nur, dieses eine Beispiel zu verstehen
Ich möchte, dass Sie sich alle möglichen anderen unendlichen Ausdrücke ansehen und sich fragen, ob es einen festen Punkt gibt
Phänomen in ihnen, oder fragen Sie sich, wo sonst diese Sicht auf Derivate konzeptionell hilfreich sein kann
Brilliant.org ist eine Website, auf der Sie durch aktives Lösen von Problemen mathematische und naturwissenschaftliche Themen lernen und einen Blick darauf werfen können
Ich denke, Sie werden mir zustimmen, dass sie sich wirklich an diese Lernprinzipien halten, die aus diesem Video stammen
Sie würden wahrscheinlich ihre "Calculus Done Right" -Lektionen genießen und sie haben auch viele andere Kurse in verschiedenen mathematischen und naturwissenschaftlichen Themen.
Viel davon
Sie können kostenlos auschecken,
Sie haben aber auch einen Abonnement-Service, mit dem Sie auf alle möglichen Probleme zugreifen können.
Gehen Sie zu Brilliant.org/3B1B

Chinese: 
让他们知道你来自这个频道，它也可以让你获得20％的年度订阅。

English: 
Lets them know that you came from this channel and it can also get you 20% off of their annual subscription.

Modern Greek (1453-): 
Τους γνωστοποιήστε ότι ήρθατε από αυτό το κανάλι και μπορεί επίσης να σας δώσει 20% έκπτωση από την ετήσια συνδρομή τους.

Portuguese: 
informa eles que você veio deste canal e te fornece também 20% de desconto na inscrição anual deles.

Japanese: 
あなたがこのチャンネルから来たことを教えていただければ、20%引きで１年間のサブスクリプションサービスを受けていただくこともできます。

Spanish: 
sabrán que venís de este canal, y os pueden hacer un descuento del 20% en la suscripción anual.

Korean: 
이 채널에서 온 사실을 알게되며 연간 구독료의 20 %를 할인받을 수 있습니다.

German: 
Lässt sie wissen, dass Sie von diesem Kanal gekommen sind und Sie 20% Rabatt auf ihr Jahresabonnement erhalten.

Polish: 
Dajcie im znać, że jesteście z tego kanału, dzięki temu możecie otrzymać 20%  zniżki na ich subskrybcję.
