
Bulgarian: 
В това видео
ще разгледаме решенията
 на други хора,
които се опитват
да намират производни,
и ще видим дали логиката
 им е вярна,
и ако не е вярна,
ще се опитаме да определим
 какво е трябвало да направят
или къде са объркали.
Тук се казва, че Нейт се опитал
 да намери
производната на (х^2 + 5х)sinx.
Това е неговото решение.
Вярно ли е решението на Нейт?
Ако не, каква е неговата грешка?
Спри видеото и виж дали можеш
 да намериш отговора.
Вярно ли е решението на Нейт
и ако не, каква е неговата
 грешка?
Добре, предполагам, 
че се пробва.
Нека го решим стъпка 
по стъпка.
Тук той просто се опитва
 да приложи
оператора за производни 
върху израза,
което всъщност трябва
 да се направи.
Той се опитва да намери 
производната на този израз
и си казва: "Добре, това е 
произведение от два израза."
После си казва:"Добре, 
това ще бъде
същото нещо като 
производната...
Или това е същото нещо като
произведението от производните."

English: 
- [Instructor] What we're gonna do
in this video is look at
the work of other people
as they try to take derivatives
and see if their reasoning is correct
and if it's not correct,
try to identify what they should have done
or where their reasoning went wrong.
So over here it says Nate tried to find
the derivative of X squared plus five X
times sine of X.
Here is his work.
Is Nate's work correct?
If not, what's his mistake?
So pause the video and see
if you can answer this.
Is Nate's work correct,
and if not, what's his mistake?
All right so I'm assuming
you've had a go at it.
So let's work though this step by step.
So over here he's just trying to apply
the derivative operator to the expression.
Which is exactly what he needed to do.
He's trying to find the
derivative of this thing,
and he says okay this is a
product of two expressions,
and then he says okay,
well this is gonna be
the same thing as the derivative
or this is the same thing as
the product of the derivatives.

Czech: 
V tomto videu se budeme věnovat
příkladům, které již někdo spočítal.
Naším úkolem bude najít v jejich
postupu chyby a opravit je.
Zde se Nate snaží zderivovat funkci
x na druhou plus 5 x krát sinus x.
Zde je jeho postup.
Je jeho postup správný?
Pokud ne,
kde je chyba?
Zastavte si video
a zkuste odpovědět sami.
Je Nateův výpočet správný,
a pokud ne, kde je chyba?
Předpokládám,
že jste to zkusili.
Projděme si to
krok po kroku.
Zde pouze připsal diferenciální operátor,
což je správně, snažíme se najít derivaci.
Dále říká, že tento výraz
je součin dvou výrazů,
proto je to to samé, jako součin
derivací těchto dvou výrazů.

Korean: 
이번 동영상에서는
다른 사람들이
도함수를 구하는 것을 보고
다른 사람들이
도함수를 구하는 것을 보고
추론하는 과정이 맞는지 아닌지
추론하는 과정이 맞는지 아닌지
어떻게 했어야 하는지
어디서 틀렸는지
알아보겠습니다
네이트가 (x² + 5x) ᐧ sin(x)의
도함수를 찾으려고 했다 합니다
네이트가 (x² + 5x) ᐧ sin(x)의
도함수를 찾으려고 했다 합니다
네이트가 (x² + 5x) ᐧ sin(x)의
도함수를 찾으려고 했다 합니다
다음은 네이트의 과정입니다
네이트의 방법이 맞나요?
아니라면 어디서
실수를 했나요?
동영상을 멈추고 답해 보세요
네이트가 맞았나요?
아니라면 어디서
실수를 했나요?
이미 스스로 해 보았다고
가정하겠습니다
단계별로 해 봅시다
여기서는 미분 기호를
방정식에 적용하려 했네요
여기서는 미분 기호를
방정식에 적용하려 했네요
정확히 잘 했습니다
이것의 도함수를
구하려 했으니까요
그리고 이건
두 방정식의 곱이니까
그리고 이건
두 방정식의 곱이니까
그리고 이건
두 방정식의 곱이니까
그건 도함수의 곱과
같은 것이라고 했네요

Czech: 
A narážíme na problém.
Jistě již víte, že když
derivujeme f(x) plus g(x),
tak se to rovná derivace
f(x) plus derivace g(x).
Pro součin to ale neplatí.
Derivace f(x) krát g(x) nebude
součin derivací těchto dvou výrazů,
možná pouze v nějakém
výjimečném případě.
Zde musíme použít
vzorec na derivaci součinu.
Bude se to rovnat derivaci první funkce
krát druhá funkce nezderivovaná

Bulgarian: 
Това е проблем.
Сигурно знаеш,
че ако смятаме производната
на сбор от две неща,
т.е. производната 
спрямо х на f(x) + g(x),
това наистина е равно на
производната на първата,
f прим от х, плюс
 производната на втората,
но това не е вярно, когато
имаме произведение от функции.
Производната спрямо х 
на f(x) по g(x) не е...
Може би има някои много 
специални случаи,
но обикновено няма
 да бъде просто
произведението от производните.
Няма да бъде f прим от х
по g прим от х.
Тук трябва да приложим правилото 
за производна на произведение.
Това ще бъде равно на
 производната
на първата функция по
втората функция
плюс производната... 
Нека го запиша така.

English: 
Now this is a problem.
You are probably familiar,
if I take the derivative
of the sum of two things.
So the derivative with
respect to X of F of X
plus G of X,
that indeed is equal to
the derivative of the first
F prime of X plus the
derivative of the second,
but that is not true if we
are dealing with the product
of functions.
The derivative with respect
to X of F of X, G of X
is not necessarily,
maybe there's some very
special circumstance,
but in general it's not going to be
just the product of the derivative.
It's not going to be just
F prime of X, G prime of X.
Here we would want to
apply the product rule.
This is going to be equal to,
this is going to be
equal to the derivative
of the first function
times the second function,
plus the derivative, or
let me write it this way.

Korean: 
이게 문제입니다
아마 익숙하겠지만
두 개의 합의 도함수
그러니까 x에 대한
f(x) + g(x)의 도함수는
그러니까 x에 대한
f(x) + g(x)의 도함수는
f'(x) + g'(x)가 맞습니다
f'(x) + g'(x)가 맞습니다
하지만 함수의 곱이라면
사실이 아닙니다
하지만 함수의 곱이라면
사실이 아닙니다
x에 대한 f(x)g(x)의 도함수는
x에 대한 f(x)g(x)의 도함수는
아주 특별한 상황이 아니면
일반적으로 
도함수의 곱이 아닙니다
일반적으로 
도함수의 곱이 아닙니다
f'(x)g'(x)가 아니라는 뜻입니다
여기서는 곱셈 공식을
이용해야 합니다
이것은 무엇과 같냐면
첫 함수의 도함수와
둘째 함수의 곱과
첫 함수의 도함수와
둘째 함수의 곱과
첫 함수의 도함수와
둘째 함수의 곱과

Korean: 
미분하지 않은 첫 함수와
둘째 함수의
도함수의 곱을 더한 것입니다
그러니 여기에 
곱의 공식을 적용했어야 합니다
정답이 무엇이었어야 하는지
풀어 봅시다
정답이 무엇이었어야 하는지
풀어 봅시다
여기서 했어야 하는 것은
빨간색으로
표시해 보겠습니다
이렇게 하면 안되고
첫 함수의 도함수를
구했어야 합니다
색으로 표시해 보겠습니다
이것의 도함수는
2x + 5입니다
따라서 (2x + 5)에
둘째 것인 sin(x)를 곱합니다
따라서 (2x + 5)에
둘째 것인 sin(x)를 곱합니다
따라서 (2x + 5)에
둘째 것인 sin(x)를 곱합니다
따라서 (2x + 5)에
둘째 것인 sin(x)를 곱합니다
따라서 (2x + 5)에
둘째 것인 sin(x)를 곱합니다
여기에 첫째 함수 (x² + 5x)와
여기에 첫째 함수 (x² + 5x)와
둘째 함수의 도함수를
곱한 것을 더해야 합니다
sin(x)의 도함수는
cos(x)입니다

Bulgarian: 
Плюс първата функция, без
да взимаме нейната производна,
по производната на
втората функция.
Той е трябвало да приложи правилото за производна на произведение тук.
Хайде да го направим,
просто за да видим какъв е
трябвало да бъде отговорът му.
Трябвало е да направи...
Ще взема червения ми химикал
за поправки.
Не е трябвало да прави това.
Той казва да сметнем производната
 на това първо нещо...
Нека всъщност го направя
с цветове.
Производната на това е 2х + 5.
Трябвало е да бъде 2х + 5
по второто нещо,
т.е. по sinx,
по... Правим това в друг цвят.
По sinx.
И тогава към това той е трябвало
 да добави първото нещо,
което е х^2 + 5х,
по производната на второто нещо.
Производната на sinx е cosx.

Czech: 
a přičteme první funkci nezderivovanou
krát derivace druhé funkce.
Tímto pravidlem se tedy měl řídit,
pojďme ho aplikovat my, abychom zjistili,
jak to má správně vypadat.
Správný postup napíšu červeně.
Toto tedy není správný postup.
Vyznačím to tu barevně.
Derivace tohoto
výrazu je 2x plus 5.
Čili začátek měl být 2x plus 5
krát ten druhý výraz, takže krát sin(x).
Udělám to jinou barvou,
krát sin(x).
A potom měl
přidat první výraz,
což je x na druhou plus 5x
krát derivace druhého výrazu.
Derivace sin(x) je cos(x).

English: 
Plus the first function,
not taking its derivative,
times the derivative
of the second function.
So he should have applied
the product rule here,
and so let's do that
just to see what his
answer should have been.
So what he should have done here,
I'll get my correcting red pen out here.
Say no that's not what
he should have done.
He says let's take the
derivative of this first thing.
So actually let me color code it.
So the derivative of
this is two X plus five.
So it should have been two X plus five
times the second thing.
So times sine of X.
Times, we do it in another color.
Time the sine of X,
and then to that he would
add the first thing,
which is X squared plus five X
times the derivative of the second thing.
So the derivative of
sine of X is cosine of X.

Korean: 
이게 이 단계에
있었어야 합니다
이게 이 단계에
있었어야 합니다
단지 도함수들의
곱을 구하는 것이 아니라
곱의 공식을
적용했어야 합니다
곱의 공식을
적용했어야 합니다
따라서 네이트는 틀렸고
네이트의 실수는
곱의 공식을 적용하지 않은 것입니다
도함수의 곱이
곱의 도함수와 
같다고 생각했죠
예제를 더 해봅시다
그럼 봅시다
케이티는 (2x² - 4)³의
도함수를 찾으려고 했습니다
케이티는 (2x² - 4)³의
도함수를 찾으려고 했습니다
케이티는 (2x² - 4)³의
도함수를 찾으려고 했습니다
다음은 그 과정입니다
케이티는 맞았나요?
아니라면
실수는 무엇인가요?
다시 한 번
동영상을 멈추고
스스로 답해 보세요
좋습니다 케이티의 과정을
검토해 봅시다
이것의 도함수를 구하는 데
여길 보면 케이티는
내부 함수에 대해 전체 방정식의
도함수를 구하고 있습니다
내부 함수에 대해 전체 방정식의
도함수를 구하고 있습니다
이것은 연쇄법칙을
적용하는 것과 가깝지만
하지만 제대로
적용하지 않았습니다

Czech: 
Toto je tedy správný postup,
který měl být v druhém kroku.
Neměl tento příklad pouze rozdělit
na součin derivací dvou výrazů.
Měl použít vzorec
na derivaci součinu.
Jeho postup tedy není správný
a chybou je, že tento vzorec nepoužil.
Pouze předpokládal, že derivace součinu
je to samé jako součin derivací.
Zkusme si další příklady.
Katy se snaží najít derivaci 2x
na druhou minus 4, to celé na třetí.
Zde je její postup.
Je její postup správný?
Pokud ne, kde
udělala chybu?
Znovu si zastavte video
a zkuste na to přijít sami.
Pojďme tedy
zkontrolovat Katyinu práci.
Katy tedy derivuje
celý tento výraz
a vypadá to, jako že derivuje celý
výraz podle tohoto vnitřního výrazu.
Což je blízko k pravidlu o složené funkci,
ovšem není to jeho správné využití.

Bulgarian: 
Трябваше това да видим
в тази стъпка тук.
Не е трябвало просто да смята
 произведението
на производните.
Трябвало е да приложи правилото
за производна от произведение.
Решението му не е вярно,
а грешката му е, че не е използвал правилото
за производна от произведение.
Той е предположил, че
производната на произведение
е същото нещо като 
произведението на производните.
Хайде да направим още примери.
Добре, да видим.
Казва се, че Кейти се е опитала
да намери производната
на 2х^2 – 4,
цялото на трета степен.
Това е нейното решение.
Вярно ли е решението
 на Кейти?
Ако не, каква е 
нейната грешка?
Отново спри видеото.
Виж дали можеш 
да го решиш самостоятелно.
Нека сега разгледаме
решението на Кейти.
Тя смята производната на това...
Тук изглежда, че тя смята
производната на целия израз
спрямо вътрешния израз,
което е близо до това да приложиш
верижното правило вярно,
но всъщност 
не го прилага вярно.

English: 
So this is what we should have been seeing
at this step right over here.
He shouldn't have just taken the product
of the derivatives.
He should have applied the product rule.
So his work is not correct,
and his mistake is that he
didn't apply the product rule.
He just assumed that the
derivative of the products
is the same thing as the
product of the derivatives.
Let's do more examples.
Okay so let's see.
It says Katy tried to find the derivative
of two X squared minus four.
All of that to the third power.
Here's her work.
Is Katy's work correct?
If not, what is her mistake?
So once again, pause the video.
See if you can figure it out.
All right now let's inspect Katy's work.
So she's taking the derivative
of this and let's see,
over here it looks like she's taking
the derivative of the entire expression
with respect to the inner expression
and that is close to applying
the chain rule properly
but it's not applying
the chain rule properly.

Czech: 
Její postup není správný, neboť nepoužije
správně pravidlo o složené funkci.
Pravidlo o složené funkci říká,
že derivace funkce f[g(x)] se bude
rovnat derivaci celé funkce podle g(x)…
Můžeme to zapsat jako
f[g(x)] s čárkou.
…krát derivace g(x).
Zde si můžeme naši funkci představit jako
něco, co svůj vnitřek umocňuje na třetí.
Tento krok tedy je
správně f[g(x)] s čárkou,
ale zapomněla ji násobit
derivací vnitřní funkce.

English: 
So her work is not correct,
and her mistake is she's not correctly
applying the chain rule.
Just as a review, the
chain rule says look,
if we're trying tot ake the
derivative with respect to X
of F of G of X,
F of G of X,
that this is going to be equal to,
this is going to be
equal to the derivative
of the whole thing with respect to G of X.
So I could write that
as F prime of G of X.
F prime of G of X times the
derivative of the inner function
with respect to X.
Times G prime of X.
So over here,
we could view our F function as a thing
that takes its input and
takes it to the third power,
and so this right over
here is F prime of G of X.
So this thing is the F prime of G of X
but she forgot to multiply
it by the derivative
of the inner function with respect to X.

Bulgarian: 
Решението ѝ не е вярно,
а грешката ѝ е, 
че не прилага правилно
верижното правило.
Само да преговорим. 
Верижното правило казва:
Ако търсим производната
спрямо х
на f от g(x),
тя ще бъде равна на 
производната
на цялото нещо спрямо g(х)...
Мога да запиша това 
като f прим от g(x)
по производната на
вътрешната функция
спрямо х,
т.е. по g прим от х.
Тук можем
да разгледаме нашата функция f 
като нещо,
което повдига аргумента си
 на трета степен.
Следователно това тук е
f прим от g(x),
но е забравила да умножи това
 по производната
на вътрешната функция
спрямо х.

Korean: 
따라서 과정은 맞지 않고
케이티의 실수는 연쇄법칙을
제대로 적용하지 않은 것입니다
케이티의 실수는 연쇄법칙을
제대로 적용하지 않은 것입니다
연쇄법칙에 따르면
x에 대한 f(g(x))의 도함수는
연쇄법칙에 따르면
x에 대한 f(g(x))의 도함수는
연쇄법칙에 따르면
x에 대한 f(g(x))의 도함수는
연쇄법칙에 따르면
x에 대한 f(g(x))의 도함수는
연쇄법칙에 따르면
x에 대한 f(g(x))의 도함수는
이는 g(x)에 대한
전체의 도함수와
이는 g(x)에 대한
전체의 도함수 f'(g(x))와
이는 g(x)에 대한
전체의 도함수와
내부 함수의 x에 대한 도함수
g'(x)를 곱한 것과 같습니다
내부 함수의 x에 대한 도함수
g'(x)를 곱한 것과 같습니다
내부 함수의 x에 대한 도함수
g'(x)를 곱한 것과 같습니다
따라서 여기서
f는 대입값을 세제곱하는
함수라 할 수 있고
f는 대입값을 세제곱하는
함수라 할 수 있고
이것은 f'(g(x))입니다
이것은 f'(g(x))입니다
하지만 케이티는 내부함수의
x에 대한 도함수를
구하는 것을 잊어버렸습니다

English: 
So she forgot to multiply
this times the derivative
of two X squared minus
four with respect to X.
Which is gonna be, let's see,
the derivative of two X squared,
power rule two times two is four,
so it's gonna be four X to the first,
and then the derivative of
negative four is just a zero.
So it's just gonna be times four X.
So that's what she needed
to do in order for it
to be correct.
So she had to have this times four X here.
Times four X.
So not correct.
She didn't correctly apply the chain rule.
So let's do another one of these.
So here,
it says Njoman tried to
find the derivative of sine
of seven X squared plus four X.
Here's his work.
Is Njoman's work correct?
If not, what is his mistake?
Pause the video, see if
you can figure it out.
All right, so it's a derivative
of sine of this expression.
So you'd wanna use the chain rule.
In fact, using the chain
rule you wanna find
the derivative of the outside function

Korean: 
2x² - 4의 x에 대한
도함수를 곱하는 것을 잊은 것이죠
2x² - 4의 x에 대한
도함수를 곱하는 것을 잊은 것이죠
이것은 무엇이냐면
2x²의 도함수는
멱의 법칙을 사용하면 
2 x 2는 4이므로
4x입니다
-4의 도함수는 0이고요
따라서 4x만 곱해주면 됩니다
이게 올바른 방법입니다
이게 올바른 방법입니다
여기에 4x를 곱했어야 하죠
여기에 4x를 곱했어야 하죠
따라서 맞지 않고
연쇄법칙을 제대로
적용하지 않았습니다
또 풀어봅시다
여기
느조만이 sin(7x² + 4x)의
도함수를 구하려 하고 있습니다
느조만이 sin(7x² + 4x)의
도함수를 구하려 하고 있습니다
다음은 그 과정입니다
느조만은 맞았나요?
아니라면
실수는 무엇인가요?
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
좋습니다  이 방정식의
sin의 도함수입니다
연쇄법칙을 사용해야 합니다
연쇄법칙을 사용하면

Czech: 
Musí to tedy vynásobit
derivací 2x na druhou minus 4.
Což bude, pomocí vzorce
na násobení mocnin,
2 krát 2 je 4, takže 4x
na první a derivaci −4 je 0.
Bude to tedy krát 4x.
Tohle bylo potřeba udělat,
aby její postup byl správný.
Měla tento výraz
ještě vynásobit 4x.
Její postup nebyl správný.
Pravidlo o složené
funkci neaplikovala správně.
Zkusme si další příklad.
Njoman se snaží najít derivaci
sin(7x na druhou plus 4x).
Zde je jeho postup.
Je jeho postup správný?
Pokud ne, jakou udělal chybu?
Zastavte si video
a zkuste na to přijít sami.
Jedná se o derivaci
sinu této funkce.
Zde použijeme pravidlo
o složené funkci.

Bulgarian: 
Тя е забравила да умножи
това по производната
на 2х^2 – 4 спрямо х,
което ще бъде... Да видим.
Производната на 2х^2...
правилото за производна от степен... 
2 по 2 е 4,
следователно ще бъде
4х на първа,
и тогава производната
на –4 е просто 0.
Следователно ще получим
по 4х.
Това е трябвало да направи, 
за да е вярно.
Трябвало е да има 
това "по 4х".
По 4х.
Нейното не е вярно.
Не е приложила правилно
верижното правило.
Хайде да направим още един
от тези примери.
Тук се казва,
че Нджоман се опитал 
да намери производната на
sin от 7х^2 + 4х.
Това е неговото решение.
Вярно ли е решението
на Нджоман?
Ако не, каква е 
неговата грешка?
Спри видеото. Опитай се 
да го решиш самостоятелно.
Това е производна на 
sin от този израз.
Следователно трябва да използваме 
верижното правило.
Използвайки верижното правило, 
намираме
производната на
външната функция

Bulgarian: 
спрямо вътрешната,
т.е. производната на 
sin от нещо
спрямо същото нещо.
Получаваме cos от това нещо.
Дотук добре.
После умножаваме това
по производната на
вътрешната спрямо х.
Производната на 7х^2 е 14х.
Производната на 4х е 4.
Всъщност тази стъпка 
изглежда добре,
но тогава Нджоман 
прави нещо странно тук.
Това е cos от 7х^2 + 4,
а после цялото това по 14х + 4,
но той се обърква, като гледа
тези скоби, което
се случва понякога.
Това всъщност е една 
от основните грешки,
за които ни казаха хората
от Борда на колежите.
Когато работим с трансцендентни
функции като
cos, sin, tg,
ln, които се записват така,
много хора виждат скобите
и виждайки другите скоби,
мозъкът им просто си казва: 
"О, нека умножа
тези два израза в скобите.",
но това не е правилно,
защото ако съберем скобите,
което се предполага тук.

English: 
with respect to the inside.
So the derivative of sine of something
with respect to that something
is gonna be cosine of that something.
So that's right,
and then you wanna multiply that
times the derivative of the
inside with respect to X.
So the derivative of
seven X squared is 14 X.
The derivative of four X is four.
So this is actually, that step looks good.
But then Njoman does
something strange over here.
This is the cosine of seven
X squared plus four X.
Then that whole thing
times 14 X plus four,
but they get confused where just looking
at these parentheses and this
tends to happen sometimes.
This is actually one of the key errors
that the folks at the college board,
AP folks told us about.
Is that when dealing with
these transcendental functions
cosine, sine, tangent,
natural log that are written like this
and people see the parentheses
and see another parentheses,
their brain just says oh let me multiply
these two expressions in parentheses,
but that's not right,
because if we were to add parentheses
this is what this is implying.

Korean: 
내부에 대한 외부 함수의
도함수를 구해야 합니다
따라서 어떤 것에 대한
어떤 것의 sin의 도함수는
따라서 어떤 것에 대한
어떤 것의 sin의 도함수는
따라서 어떤 것에 대한
어떤 것의 sin의 도함수는
어떤 것의 cos입니다
이건 맞고
이것도 맞습니다
그리고 그것을 x에 대한
내부 함수의 도함수로 곱해야 합니다
그리고 그것을 x에 대한
내부 함수의 도함수로 곱해야 합니다
7x²의 도함수는 14x이고
4x의 도함수는 4입니다
이 단계는 괜찮네요
하지만 느조만은 여기서
풀이를 잘못했습니다
이건 cos(7x² + 4x)입니다
이 모든 것을 
(14x + 4)로 곱하는 것이죠
하지만 괄호를 보니 
헷갈리는 일이 가끔 있습니다
하지만 괄호를 보니 
헷갈리는 일이 가끔 있습니다
이건 사실 College Board의
AP 관련자들이 말씀해주신
아주 흔한 오류입니다
AP 관련자들이 말씀해주신
아주 흔한 오류입니다
cos, sin, tan 같은 
초월함수를 다룰 때는
cos, sin, tan 같은 
초월함수를 다룰 때는
이렇게 있으면 자연스럽게
괄호를 보고
또 괄호를 보고
두 방정식을
곱하려고 할 수 있는데
두 방정식을
곱하려고 할 수 있는데
이건 옳지 않습니다
괄호를 추가하면
이런 의미이기 때문입니다
괄호를 추가하면
이런 의미이기 때문입니다

Czech: 
Chceme tedy najít derivaci
vnější funkce podle vnitřní.
Takže derivace sinu něčeho podle
toho něčeho je kosinus něčeho.
To je tedy správně.
Potom je potřeba to vynásobit
derivací vnitřní funkce podle x.
Derivace 7x na druhou je 14x.
Derivace 4x je 4.
Tento krok tedy
vypadá v pořádku.
V dalším ale Njoman
udělal něco zvláštního.
Toto je cos(7x na druhou plus 4x)
Potom to celé
krát 14x plus 4.
Tady je to ale celé zmatené s těmi
závorkami, to se občas stává.
Toto je jedna z hlavních chyb,
o které nám ve škole říkali.
Pokud počítáme s funkcemi jako kosinus,
sinus, tangens nebo přirozený logaritmus
a je to zapsáno
takto se závorkami,
lidé si často řeknou, že se závorky
pouze vynásobí mezi sebou.
To ale není správně.

Korean: 
따라서 그냥
(14x + 4)를 곱하고
따라서 그냥
(14x + 4)를 곱하고
이 모든 것의 cos값을 
구한다고 할 수 없습니다
이것이 나조만의 실수입니다
과정은 옳지 않습니다
실수는 두 방정식을 곱해
그것의 cos값을 구하려고
한 것입니다
그것의 cos값을 구하려고
한 것입니다
하나만 더 해보죠
좋네요
이건 좀 복잡합니다
톰은 √(x)/x⁴의 도함수를
찾으려 하고 있습니다
톰은 √(x)/x⁴의 도함수를
찾으려 하고 있습니다
다음은 그 과정입니다
톰은 맞았나요?
아니라면
실수는 무엇인가요?
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
몫의 법칙을 
적용하려고 한 것 같네요
몫의 법칙을 적용하면
분자에는
첫 방정식의 도함수에
둘째 방정식의 곱하고
거기에다
첫 방정식에
둘째 방정식의 도함수를
곱한 값을 빼 주어야 하고
이 모든 것을
그게 아니라
분자 방정식의 도함수에
분모 방정식을 곱한 것에

English: 
So you can't just take the 14 X plus four
and multiply it by this,
and assuming you're taking
the cosine of the whole thing.
So this is where Njoman makes the mistake.
The work is not correct,
and the mistake is trying to multiply
these two expressions
and taking the cosine
of the whole thing.
Let's do one more of these.
I find these strangely fun.
All right this one is involved.
Tom tried to find the derivative of
the square root of X over X to the fourth.
Here is his work.
Is Tom's work correct?
If not, what's his mistake?
Pause the video and see if
you can figure that out.
So it looks like he's trying
to apply the quotient rule.
So applying the quotient rule, you would,
in the numerator you
would take the derivative
of the first expression
times the second expression
and then minus the first expression
times the derivative of
the second expression
all of that over,
or I should say the derivative
of the numerator expression
times the denominator expression,

Bulgarian: 
Не може просто 
да вземем 14х + 4
и да го умножим по това,
приемайки, че смятаме
 косинус на цялото нещо.
Тук Нджоман прави грешка.
Решението е грешно,
а грешката му е, че умножава
тези два израза
и взима косинуса
на цялото нещо.
Хайде да направим още един
от тези примери.
Учудващо забавно ми е.
Този е малко сложен.
Том се е опитал да намери 
производната на
корен квадратен х върху х на четвърта.
Това е неговото решение.
Вярно ли е решението на Том?
Ако не, каква е неговата грешка?
Спри видеото и се опитай 
да го решиш самостоятелно.
Изглежда, че се опитва да приложи
 правилото за производна от частно.
Прилагайки правилото за 
производна на частно,
в числителя взимаме 
производната
на първия израз 
по втория израз
и после минус първия израз
по производната
на втория израз,
цялото върху...
По-скоро производната на
израза в числителя
по израза в знаменател

Czech: 
Nemůžeme jednoduše vynásobit
14x plus 4 tímto výrazem a předpokládat,
že počítáme s kosinem
celého tohoto výrazu.
Zde tedy Njoman
udělal chybu.
Tento krok není správně,
protože vynásobí tyto dva výrazy mezi
sebou a počítá kosinus tohoto násobku.
Zkusme si ještě jeden příklad.
Tento je složitější.
Tom se snaží najít derivaci funkce
odmocnina z x lomeno x na čtvrtou.
Zde je jeho postup.
Je tento postup správný?
Pokud ne, kde je chyba?
Zastavte si video
a zkuste na to přijít sami.
Snaží se zde aplikovat
vzorec na derivaci podílu.
Vzorec na derivaci
podílu využijeme tak,
že v čitateli bude derivace prvního
výrazu krát druhý výraz, nezderivovaný,
a poté minus první výraz nezderivovaný
krát derivace druhého výrazu.
Lépe by možná bylo derivace
čitatele krát jmenovatel,

Bulgarian: 
минус израза в числителя 
по производната
на израза в знаменател,
цялото върху израза 
в знаменател на квадрат.
Това изглежда вярно.
Вярно е приложено правилото за
производна от частно.
Изглежда, че Том 
правилно опростява.
Производната на х на степен 1/2
е 1/2 х на степен –1/2.
Това изглежда правилно.
Производната на х^4 е 4х^3.
Това изглежда правилно.
Това алгебрично изглежда
 вярно.
Да видим когато опростява.
х на степен –1/2
по х на четвърта...
Това ще бъде х на степен...
Това корелира.
Това се опростява до това,
което изглежда вярно, а 
това се опростява до това,
което изглежда вярно.
Просто използваме 
свойствата на степените
и тогава разделяме всичко на...
Да видим. Имаме само
 х-ове на степен 3,5.

Korean: 
분자 방정식에
분모 방정식의 도함수를
곱한 것을 빼주어야
한다고 했어야 합니다
이 모든 것을 분모 방정식의
제곱으로 나누어야 합니다
올바르게 잘 푼것 같네요
몫의 법칙을
잘 적용했습니다
톰은 간단히 하는 것도
잘 한 것 같습니다
x^0.5의 도함수는
0.5x^-0.5이니
이것도 맞아 보입니다
x⁴의 도함수는 4x³이니
이것도 맞아 보입니다
x⁴의 도함수는 4x³이니
이것도 맞아 보입니다
모두 대수학적으로
맞는 것 같습니다
봅시다
이것을 간단히 하면
x^-0.5에 x⁴을 곱하면
x^-0.5에 x⁴을 곱하면
x^-0.5에 x⁴을 곱하면
아
이게 이것으로
줄어듭니다
맞는 것 같네요
이게 이것으로 줄어드니까
맞는 것 같습니다
지수 법칙을 확인했습니다
그리고 나누는 데
이 모두 x^3.5의 항이네요

English: 
minus the numerator expression
times the derivative
of the denominator expression,
all of that over the
denominator expression squared.
So this looks correct actually.
It's a correct application
of the the quotient rule.
It looks like Tom is
correctly simplifying.
So the derivative of X to the one half
is one half X to the negative one half.
So that looks right.
Derivative of X to the fourth
is four X to the third.
So that looks right.
All of this looks algebraically right,
and let's see, when you simplify this.
So let's see, X to the negative one half
times X to the fourth is indeed X to,
well that's going to be X to the.
Oh this correlates.
So this simplifies to that.
Which looks correct, and
that simplifies to that.
Which looks correct.
We're just using exponent
properties there,
and then divide everything by,
let's see, oh there, everything
is terms of X to 3.5.
So we're going to have
negative 3.5 X to 3.5,

Czech: 
a odečteme čitatel krát
derivace jmenovatele.
To celé ještě lomeno
jmenovatel na druhou.
Vypadá to,
že postup je správný.
Aplikace vzorce na
derivaci podílu je správná.
Vypadá to, že
Tom počítá správně.
Derivace x na 0,5
je 0,5x na −0,5.
To vypadá správně.
Derivace x na čtvrtou
je 4x na třetí.
To vypadá správně.
Celé to vypadá
algebraicky správně.
Zkusíme to zjednodušit.
Máme tu x na −0,5 krát x na čtvrtou, 
což se bude rovnat x na…
Aha, toto odpovídá
tomuto výrazu.
Vypadá to správně a toto
odpovídá tomuto výrazu.
To také vypadá správně.
Pouze využíváme
vlastností exponentů.

Czech: 
Po zjednodušení tedy
dostaneme −3,5x na −4,5.
Vypadá to tedy, že 
Tom udělal vše správně.
Toto je správná odpověď.
Jeho postup je správný.
Neudělal žádnou chybu.
Mám ale malou připomínku.
Tom nemusel použít
vzorec na derivaci podílu.
Dělal všechny tyto složité výpočty,
ale mohl si to výrazně zjednodušit.
Mohl říct, že toto je to samé,
jako derivace x na jednu polovinu.
To je totiž odmocnina z x.
A to krát x na −4.
To je 1 lomeno x na 4.
Udělám to barevně.
Toto je to samé jako toto.
Toto je to samé jako toto.
Můžeme to ještě
více zjednodušit.

Bulgarian: 
Ще имаме –3,5х на степен 3,5
и тогава използваме
свойствата на степените.
Всъщност изглежда, че 
е направил всичко вярно.
Това е правилният отговор.
Решението му е вярно.
Не е направил грешки.
Но имам забележка
към Том.
Защото не е било нужно да прилага
правилото за производна от частно.
Направил е всички тези 
сложни сметки,
но е можело
много да се опрости.
което е ключово да осъзнаем.
Можело е да си каже: "Хей,
това е същото нещо...
Това е производната спрямо х на
х на степен 1/2.
Корен квадратен от х е това.
По х на степен –4.
1 върху х^4 е това.
Нека го направя с цветове.
Това е същото нещо като това
и това е същото нещо като това.
Не е нужно даже да се използва правилото за производна от произведение.
Може още да се опрости.
Това е същото нещо,
като да вземеш производната
спрямо х на...

Korean: 
그래서 -3.5x^3.5에
지수의 성질을 사용하면
이건 모두 다 잘 한 것 같습니다
이건 정답입니다
톰은 맞았습니다
아무 실수도 하지 않았습니다
하지만 마음에
안 드는 것이 있습니다
하지만 마음에
안 드는 것이 있습니다
바로 여기 몫의 법칙을
적용할 필요가 없었습니다
여기서 복잡한 계산을
많이 했는데
여기서 복잡한 계산을
많이 했는데
아주 간단히
정리할 수 있었습니다
여기서 복잡한 계산을
많이 했는데
이걸 깨달아야 합니다
톰은 이것을 다시 쓰면
톰은 이것을 다시 써서
x에 대한 도함수를 구할 때
x의 제곱근인
x^(1/2)에
x의 제곱근인
x^(1/2)에
1/x^4인 x^-4 곱한 것과
같다고 했을 수도 있습니다
1/x^4인 x^-4 곱한 것과
같다고 했을 수도 있습니다
색으로 표시해보죠
이건 이것과 같고
이건 이것과 같습니다
여기서 곱의 공식을
사용할 필요도 없이
더 간단히 할 수 있습니다
이것은 무엇과 같냐면
밑이 같으니 서로 더하면
d/dx [x^-3.5]와 같습니다

English: 
and then you use exploder problems.
So actually it looks like
he did everything correctly.
This is the right answer.
So his work is correct.
He did not make any mistakes.
But I do have a bone to pick.
So speak with Tom,
because he didn't have to
apply the quotient rule here.
He did all of this hairy calculus
and algebra but it could have been
a very simple simplification
he could have made up here,
and this is a key thing to realize.
He could have said hey,
you know what, this is the same thing.
It's the derivative with respect to X of
X to the one half.
That's what the square root of X is.
Times X to the negative four power.
That's what one over X to the fourth is.
And so let me color code it.
So that is the same thing as that,
and that is the same thing as that,
and you wouldn't even have
to use the product rule here.
You could simplify this even further.
This is the same thing
as the derivative with respect to X

Bulgarian: 
Имаме същата основа,
затова събираме степените.
Ще получим х на степен –3,5
и можем да използваме само правилото
за производна от степен.
Това ще бъде равно на...
Изнасяме –3,5 отпред.
–3,5х на степен...
Намаляваме това с 1.
Изваждаме 1 от това.
На степен –4,5.
Както виждаш,
можело е да стигне 
до този отговор
много, много, много, много по-бързо,
но той не е направил
никаква грешки.
Просто малка грешка
в преценката,
директно да почне с правилото 
за производна от частно,
което бързо става
много сложно.

English: 
of just, we have the same base.
We can add the (mumbles) products.
It's gonna be X to the negative
3., X to the negative 3.5,
and so you can just use the power rule.
So this is going to be equal to,
bring the negative 3.5 out front.
Negative 3.5 X to the,
and then we just
decrement this one by one.
We subtract one from that.
Negative 4.5 power.
So as you can see.
He could have gotten this answer
much much much much much much quicker,
but he didn't make any mistakes.
There's a little bit of a judgment error
just immediately going
forth with the quotient rule
which gets quite hairy quite fast.

Korean: 
밑이 같으니 서로 더하면
d/dx [x^-3.5]와 같습니다
밑이 같으니 서로 더하면
d/dx [x^-3.5]와 같습니다
밑이 같으니 서로 더하면
d/dx [x^-3.5]와 같습니다
멱의 법칙을
쓸 수 있습니다
그러면 이것은
-3.5를 앞으로 꺼내고
이것에서 1을 빼서
x^-4.5이 됩니다
이것에서 1을 빼서
x^-4.5이 됩니다
이것에서 1을 빼서
x^-4.5이 됩니다
이것에서 1을 빼서
x^-4.5이 됩니다
보시다시피
이 정답을
훨씬 훨씬
빠르게 구할 수 있었습니다
하지만 톰은
실수는 하지 않았습니다
바로 몫의 법칙을 사용하는
판단 오류는 있었습니다
바로 몫의 법칙을 사용하는
판단 오류는 있었습니다
그러면 많이
복잡해 질 수 있습니다

Czech: 
Máme zde stejné základy, proto
toto je to stejné jako x na −3,5,
a můžeme využít vzorec
na derivaci mocnin.
Teď si to spočítáme, −3,5 dáme před x
a mocninu snížíme o jednu.
Tady můžete vidět, že mohl
odpověď získat mnohem rychleji.
Neudělal ovšem
žádnou chybu.
Udělal pouze menší chybu v úsudku,
že aplikoval vzorec o derivaci podílu,
i když nebyl potřeba, a proto
je výpočet trochu složitější.
