A lei que rege os dois fenômenos distintos
observados por Faraday
é conhecida como
Lei da Indução de Faraday.
É curioso, porque eu tenho
dois fenômenos, mas uma lei só;
a lei se aplica para os dois fenômenos,
são fenômenos distintos,
e são casos raros na física.
Eu vou enunciar a lei
e explicar quais são os elementos
importantes dessa lei,
e depois eu vou deduzir a lei
em um caso
em que o campo magnético
varia com o tempo.
Então, eu vou fazer o enunciado
e deduzir um caso,
mas se aplica aos dois casos.
A lei de Faraday
é a lei mais importante
do ponto de vista
da aplicação tecnológica
porque, a partir das descobertas
de Faraday,
o mundo acabou sendo diferente,
melhor e mais cômodo.
Então, vamos escrever a lei
que rege os dois fenômenos:
(leitura da lousa)
Na época de Faraday,
a formulação de Maxell
ainda não havia acontecido,
pois Maxell veio 30 ou 40 anos
depois das leis,
de forma que Faraday enunciou essa lei,
que se aplica aos dois fenômenos,
mas envolvendo conceitos já conhecidos.
O primeiro conceito
é o de Força Eletromotriz que,
como explicamos antes,
é a integral de caminho fechado
do campo elétrico (leitura da lousa).
E, de acordo com Faraday,
a Força Eletromotriz induzida
(leitura da lousa)
onde "fi" é o fluxo do campo magnético.
Vamos procurar entender
todos estes elementos (lousa).
Em primeiro lugar temos que definir
o que é o fluxo do campo magnético.
(leitura da lousa),
integral de superfície S,
(leitura da lousa).
O que significa isto?
Vamos começar pela seguinte situação:
se eu tenho em uma determinada região
um campo magnético B,
então, eu considero uma superfície,
e essa superfície tem, em cada ponto,
um versor normal à superfície
por aquele ponto.
Então, em cada ponto
eu tenho um versor,
e eu posso determinar isso conhecida
a expressão para a superfície,
porque a normal à superfície
é sempre o gradiente da função
que dá a superfície.
Então, em cada ponto
sobre essa superfície,
eu posso introduzir
um versor normal à superfície.
(leitura da lousa)
de forma que, se a superfície for plana,
o elemento de superfície (leitura da lousa)
E se for uma superfície esférica
já é mais complicado.
O elemento de superfície
é (leitura da lousa)
"R" é o raio da esfera,
(leitura da lousa)
O fato é que em cada ponto,
eu tenho um campo magnético
e um vetor DS,
eu tomo o produto escalar,
e isso vai ser função
dos pontos da superfície.
E o cálculo do fluxo do campo magnético
envolve uma soma sobre
"B escalar DS" (leitura da lousa)
Eu posso também considerar
uma divisão da superfície
em pequenos elementos de superfície,
e fazer esta conta
para cada elemento de superfície,
depois eu tenho que tomar o limite
em que o número de elementos
de superfície tende ao infinito.
Essa é a definição do fluxo.
Mas o fato é que se eu tenho
uma superfície,
em princípio, eu sei determinar
a normal à superfície,
eu sei, em princípio,
determinar o elemento infinitesimal
de superfície dS,
e tomo o produto escalar
de "B escalar dS",
e agora eu integro; isso é fluxo
do campo magnético.
Agora, do outro lado,
eu tenho uma integral de caminho,
e é importante ressaltar
o caráter vetorial de "dl",
"dl" é um elemento vetorial
dado pelo elemento infinitesimal
de comprimento da curva,
porque estou falando de uma integral
ao longo da curva,
vezes um versor tangente
(leitura da lousa).
Ora, quem é esse caminho?
Ora, esse caminho
é determinado pela superfície,
no seguinte sentido:
o caminho referido ali,
é este aqui (lousa),
que descreve uma curva,
e essa curva, de certa maneira
delimita essa superfície,
porque essa superfície é aberta,
e sendo aberta, ela tem um contorno,
mas aqui não é uma integral
apenas do contorno,
porque eu preciso levar em conta
também o sentido.
E como eu determino o sentido?
O sentido é determinado
pela regra da mão direita.
Se a normal à superfície está assim,
este dedo indica,
então, neste caso, é assim (lousa).
Logo esse vetor "t" é tangente
à curva em cada ponto.
Veja, e eu estou orientando "t",
(lousa)
Qual é o caminho?
É o caminho que está
interligado à superfície,
porque esse caminho é uma curva
que delimita a superfície.
Este caminho fechado (lousa)
tem a ver com a superfície
do fluxo do campo B.
Tendo enunciado a Lei de Faraday,
iremos comentar daqui a pouco
sobre o sinal "menos" (-)
Então está entendido agora
o que é a Força Eletromotriz
e como eu determino o caminho;
está entendido o que é
o fluxo do campo magnético,
esse sinal menos (-)
é conhecido como Lei de Lenz,
e vamos tentar ilustrar isso.
Resta-nos apenas deduzir
essa lei em um caso
onde o campo magnético
varia com o tempo.
Neste caso eu escrevo
(leitura da lousa).
Agora eu vou fazer o seguinte:
calcular o fluxo desta grandeza vetorial
através de uma superfície,
e calculo o fluxo desta
grandeza vetorial
através da mesma superfície, claro.
ou seja, eu considero
uma superfície qualquer S,
e agora calculo o fluxo
de um lado e do outro,
e estou falando sempre
da mesma superfície.
Então, aqui eu tenho
o fluxo do rotacional
do campo elétrico através
dessa superfície,
Veja, estou calculando
o fluxo do rotacional
(leitura da lousa).
Veja, o que eu fiz foi determinar
o fluxo deste lado e do outro lado
através da mesma superfície.
Ora, deste lado eu vou colocar
a derivada com respeito ao tempo,
para fora,
e poderei substituir
a derivada parcial
pela derivada total
(leitura da lousa)
e o que tenho aqui
é o fluxo do campo B
através dessa superfície.
Veja, deste lado, tomando
o fluxo sobre uma superfície qualquer,
eu vou ter o quê?
do lado direito eu tenho
(leitura da lousa).
E do outro lado?
Bom, agora vamos recorrer
ao Teorema de Stokes;
se eu considerar o fluxo
do rotacional do campo elétrico
através de uma superfície,
isto é igual à integral
de um caminho fechado
de (leitura da lousa).
Portanto, daqui eu concluo
que (leitura da lousa).
(leitura da lousa).
Ora, quem é isso aqui?
É o que nós havíamos definido antes
como sendo a força eletromotriz.
Portanto, (leitura da lousa).
ou seja, a partir de uma
das equações de Maxell,
deduzimos a Lei de Faraday,
mas só no caso em que o campo magnético
varia com o tempo.
Nos demais casos também
podemos deduzir esta expressão,
mas sempre com base
em considerações sobre a força
que atua em um elétron quando
um condutor está em movimento.
Mas com isso, é bastante
satisfatória a dedução,
porque deduzimos
só no caso de um fenômeno,
mas isso se aplica também
para o outro fenômeno;
a Lei de Faraday estabelece
uma relação linear
entre a Força Eletromotriz
e a taxa com que o fluxo
do campo magnético varia com o tempo.
