
Korean: 
안녕하세요
저번 영상에서는
여러분이 어떻게
매개변수 표면 함수를 
해석할지를 이야기했습니다
두 개의 변수를 입력 받아서
세 개의 가변적인 벡터를 출력하는 함수입니다
이 벡터를 보통 3차원 공간에
시각화 합니다
이 모든 과정에 대해
t-s 평면의 일부가 출력값으로 대응되는 것을
생각해봅시다
다시 말해서, 이 그림을 참고하면
이것이 t-s 평면이지요?
x-y 평면 위에 있습니다
t-s 평면은 이곳의 몇몇 분리된 공간일 뿐이고
우리는 이 분리된 공간이 3차원으로
이동하는 것을 상상합니다
이는 표현하기 어려우므로 그리지 않고
대신에 x-y 평면 안에 두겠습니다
0부터 3까지의 범위인
t와 s가 이루는 사각형을 생각해봅시다
말했듯이 t에 대한 편미분은
여러분이 t 방향의
움직임을 대표하는 선을 상상하면
모든 점들이 대응되는 출력값으로

English: 
- [Voiceover] Hello hello again.
So, in the last video,
I started talking about how you interpret
the partial derivative of a
parametric surface function,
of a function that has
a two variable input,
and a three variable vector-valued output.
And we typically visualize
those as a surface
in three dimensional space,
and the whole process,
I was saying, you think
about how a portion of the t-s plane
moves to that corresponding output.
And again, I'm kind of
cheating with this animation,
where, really, this isn't
the t-s plane, right?
This is on the x-y plane.
t-s plane should just be some
separate space over here,
and we're imagining
moving that separate space
over into three dimensions.
But that's harder to animate,
so I'm just not gonna do it,
and I'm gonna instead keep
things inside the x-y plane here.
We're thinking about the squares
being t and s ranging each from 0 to 3.
And, what I said, for partial
derivative with respect to t,
is you imagine the line
that represents movement
in the t direction.
You see how that line gets mapped

English: 
as all of the points move to
their corresponding output.
And the partial derivative vector
gives you a certain tangent vector
to the curve representing that line,
which corresponds to
movement in the t direction.
And the longer that is,
the faster the movement,
The more sensitive it is to
nudges in the t direction.
In the s direction,
let's say we were to take
the partial derivative with respect to s.
So I'll kind of clear this up here.
Also clear up this guy.
And if you said instead,
"what if we were doing it
with respect to s," right?
Partial derivative of v,
the vector-valued function,
with respect to s.
Well, you do something very similar.
You would say "OK, What is
the line that corresponds
"to movement in the s direction?"
And the way I've drawn it,
it's always going to be perpendicular,
because we're in the t-s plane,
the t axis is perpendicular
to the s plane.
And in this case, this line
represents t = 1, right?
You're saying t constantly equals 1,
but you're letting s vary.
And if you see how that line maps,

Korean: 
이동함을 볼 수 있습니다
그리고 편미분 벡터는
여러분에게 곡선의 특정한 접선 벡터를
주는데, 이는 t 방향의
움직임과 대응되는 선을 대표합니다
그리고 선이 길수록 움직임이 빠르며
t 방향으로의 미소한 
움직임이 더 민감해집니다
s 방향에 대해서는
s에 대한 편미분을 취합니다
이곳을 지우겠습니다
 
만약 여러분이
"s에 대해서는 어떻게 될까?"
라고 물으면
벡터 함수에 해당하는
s에 대한 v의 편미분에 대해
비슷한 방법으로 합니다
그러면 여러분은
 "s 방향의 움직임에 대응하는
선은 무엇인가요?"
라고 물을 수 있습니다
저는
선을 수직하게 그립니다
왜냐 하면 t-s 평면 상에서 t축은
s 평면에 수직하기 때문입니다
이 경우에는 선이 t=1을 나타냅니다
t는 항상 1로 일정합니다
그러나 s는 변수로 둡니다
그리고 입력값 공간의

English: 
as you move everything
from the input space
over to the corresponding
points in the output space,
that line tells you what happens
as you're varying the
s value of the input.
It kind of starts curving this way,
and then it curves very much up and
kind of goes off into the distance there.
And again, the grid
lines here really help,
because every time that you
see the grid lines intersect,
one of the lines represents
movement in the t direction,
and the other represents
movement in the s direction.
And for partial derivatives,
we think very similarly.
You think of that partial
s as representing-
(voiced zooming sounds)
Zoom on back here.
That partial s you
think of as representing
a tiny movement in the s direction,
just a little smidge and nudge,
somehow nudging that guy along.
And then the corresponding nudge
you look for in the output space,
you say okay, if we nudge
the input that much,
and we go over to the output, and...

Korean: 
모든 것을 출력값 공간의 대응되는
점으로 이동시킴에 따라
선이 위치하는 것을 보면
여러분이 입력값의 
s값을 변화시킴에 따라
어떤 일이 일어나는지 보여줍니다
이것은 이 방향으로 굽으며 시작하고
그 다음 매우 상승하며
저곳으로 나가는 곡선이 됩니다
격자선이 도움이 됩니다
매 순간마다 격자선과 교차하여
그중 하나가 t 방향 움직임을 
대표하고
나머지는 s 방향 움직임을 
대표하기 때문입니다
편미분한 도함수에 대해서도 
비슷하게 생각하면 됩니다
미소 길이 s는
 
 
미소 길이 s는 s방향으로의
움직임을 대표합니다
작은 움직임입니다
이것을 따라가는 미소 길이입니다
그리고 대응되는 것은
출력값 공간을 살펴보면
만약 여러분이 입력값을 
이렇게 크게 하고
출력값으로 이동하면

English: 
and maybe that tiny nudge
corresponded with one
that's three times bigger.
I don't know, but it looked
like it stretched things out.
So that tiny nudge might
turn into something
that's still quite small,
but maybe three times bigger.
But it's a vector.
What you do is, you think of that vector
as being your partial v,
and you scale it by whatever the size
of that partial s was, right?
So the result that you get
is a tangent vector that's
not puny, not a tiny nudge,
but is actually a sizable tangent vector.
And it's going to correspond to the rate
at which changes, not just tiny changes,
but the rate at which changes in s
cause movement in the output space.
So, let's actually
compute it for this case,
just get some good
practice computing things.
And if we look up here, the t value
which used to be considered a variable
when we were doing it with respect to t.
But now that t value
looks like a constant,
so its derivative is zero.
Then -s², with respect to s,

Korean: 
아마 이 작은 부분은
3배 큰 이것에 대응됩니다
이전보다 늘려진 모습입니다
그래서 이 작은 부분은
아직 꽤 작지만
아마 3배 크게 바뀝니다
그러나 이것은 벡터입니다
여러분이 할 것은 이 벡터를
v의 편미분으로 두고
어떤 s의 편미분의 크기로 나눕니다
 
그래서 얻는 결과는
미소 길이가 아닌 접선 벡터입니다
크기가 있는 접선 벡터입니다
이는 속도에 대응되는데
그 속도는 작지 않은 변화에 대한
s에 대한 변화에 대한 속도입니다
출력값 공간의 움직임을 만듭니다
이 경우를 계산해봅시다
좋은 계산 연습이 될 것입니다
이곳을 보면 t의 값은
우리가 t에 대해 계산할 때
변수로 고려하여 사용되는 것입니다
그러나 지금 t는 상수이므로
도함수는 0입니다
그리고 -s²를 s에 대해 미분하면

English: 
has a derivative of -2s.
st: s looks like a variable,
t looks like a constant,
the derivative is just that constant, t.
Down here, ts²: t looks like a constant,
s looks like a variable, so...
2 times t times s.
And then over here, we're subtracting off,
s is the variable, t²
looks like a constant,
so that constant.
And let's say we plug in the value (1,1).
This red dot corresponds to (1,1),
so what we would get here,
s is equal to 1, so that's -2,
t is equal to 1, so that's 1,
then 2 times 1 times 1, I'll write it.
2*1*1
minus 1²
is gonna correspond to 1, that's 2-1.
So what we would expect
for the tangent vector,
the partial derivative vector,
is the x-component should be negative,
and then the y and z-components
should each be positive.
And if we go over, and we take a look

Korean: 
도함수는 -2s입니다
st에서 s는 변수이고
 t는 상수이므로
도함수는 그냥 t가 됩니다
아래쪽의  ts²에서 t는 상수이고
s는 변수입니다 따라서
도함수는 2ts입니다
그리고 이쪽 항에 대해서는
s는 변수이고 t²은 상수이므로
도함수도 상수가 됩니다
그리고 (1,1)을 대입한다고 합시다
(1,1)에 대응하는 이 빨간 점입니다
그러면 우리가 얻는 것은
s는 1이므로 -2이고
t는 1이므로 1이고
2 x 1 x 1입니다
2 x 1 x 1
- 1²
이를 계산하면 2-1로 1이 됩니다
그래서 편미분한 도함수인
접선 벡터의 값을 나타내면
x성분은 음수이고
y성분과 z성분은 양수가 됩니다
그리고 이쪽으로 넘어와서

English: 
at what the movement along
the curve actually is,
that lines up, right?
Because, as you kind of
zip along this curve,
you're moving to the
left, so the x-component
of the partial derivative
should be negative.
But you're moving upwards
as far as y is concerned,
and you can also kinda see
that the leftward movement
is kind of twice as fast
as the upward motion.
The slope favors the x direction.
And then as far as the z
component is concerned,
you are, in fact, moving up.
And maybe you could say,
"Well, how do you know
which way you're moving,
"are you moving that way, or is everything
"switched the other way around?"
And the benefit of animation here is,
we can say, "Ah, as s is ranging from zero
"up to three, this is the
increasing direction."
And you just keep your eye
on what that direction is
as we move things about.
And that increasing direction
does kind of correspond
with moving along the curve this way.
So, you get a tangent
vector in the other way.
And one kinda nice thing
about this, then, is

Korean: 
곡선의 실제 움직임을 보면
선이 상승합니다
이 곡선을 따라 뻗어나가면서
왼쪽으로 움직이므로 
편미분한 도함수의 x 성분은
음수가 되어야 합니다
그러나 y 값을 보면 위로 움직이고
왼쪽의 움직임도 볼 수 있는데 이는
위쪽 움직임의 두 배만큼 빠릅니다
기울기는 x축 방향에 가깝습니다
이제 z 성분을 고려하면
위로 움직입니다
여러분은 아마
"움직이는 경로를 어떻게 알까?"
"이쪽으로 움직일까, 
아니면 모두 다른
방향으로 전환될까?"
하고 물을 것입니다
이 그림의 장점은
s의 범위가 0에서 시작하여 3까지이고
증가하는 방향이라고 둘 수 있습니다
그리고 이것들을 움직임에 따라
그 방향을 눈으로 기억해둡니다
그러면 그 증가하는 방향은 이러한
곡선으로의 움직임으로 대응됩니다
여러분은 다른 방향의
 접선 벡터를 얻었고
이것에 관해 한 가지 좋은 것은

Korean: 
우리가 찾은 서로 다른 
두 편미분 도함수 벡터에서
각각은 표면에 대한
접선 벡터라고 말할 수 있습니다
따라서 하나는 t에 대한
편미분 도함수가 되며
한 방향으로 향하고
다른 하나는 여러분에게
표면의 접선 벡터로 가능한 
다른 개념을 줍니다
방향 도함수의 개념을 
얻을 수도 있습니다
이들을 다양한 방법으로 합하여
여러분이 표면의
접선 벡터를 구하는 
다양한 방법들이 있습니다
나중에 여러분이 접선 평면이 무엇인지
표현하고자 할 때 이야기하겠습니다
이것은 두 개의 서로 다른 벡터들의
관점에서 정의됩니다
그러나 지금 여러분이 
실제로 매개변수 표면의
편미분 도함수에 대해 
알아야 할 것은 이것뿐입니다
다음 영상들에서 벡터 값의 함수의
편미분 도함수가 다르게 정의되는 것을
이야기하겠습니다
이는 항상 매개변수 표면이 아니고
아마 여러분은 움직이는 곡선에 대해
항상 생각해보지 않기 때문입니다
그러나 여러분은
 "이 입력값 부분이 어떻게
출력값 부분에 대응될까?"와

English: 
the two different partial
derivative vectors that we found
Each one of them, you could say,
is a tangent vector to the surface, right?
So the one that was a partial derivative
with respect to t, over here,
kinda goes in one direction,
and the other one kinda
gives you a different notion
of what a tangent vector
on the surface could be.
And you could have a notion
of directional derivative too,
that kind of combines
these in various ways,
and that will get you
all the different ways
that you can have a vector
tangent to the surface.
And later on, I'll talk about
things like tangent planes,
if you want to express
what a tangent plane is.
And you kind of think
of that as being defined
in terms of two different vectors.
But for now, that's really
all you need to know
about partial derivatives
of parametric surfaces.
And the next couple
videos, I'll talk about
what partial derivatives
of vector-valued functions
can mean in other contexts,
because it's not always
a parametric surface,
and maybe you're not always thinking
about a curve that could be moved along,
but you still want to think,
"How does this input nudge
"correspond to an output nudge,

Korean: 
"그 사이의 비율은 얼마일까"
를 생각해보기를 바랍니다
다음 영상에서 봅시다

English: 
"and what's the ratio between them."
So with that, I'll see you next video.
