Witam wszystkich
Moja żona i ja jesteśmy zachwyceni, że możemy być tu w Polsce
zwłaszcza w celu uczestniczenia w spotkaniu poświęconemu pięknie.
Nie wiem, czym jest piękno, ale jestem jego entuzjastą.
Zanim zacznę i przedstawię kilka koncepcji piękna,
chciałbym oddać hołd wspaniałym polskim matematykom,
zajmującym się zwłaszcza teorią mnogości i logiką.
Z tego powodu jest to szczególna przyjemność by być tutaj, w Polsce,
ponieważ zawsze podziwiałem ten rodzaj matematyki, który jest tu uprawiany.
Zawsze miałem przeczycie - mogę się mylić - że nikt nie przejmuje się praktycznymi zastosowaniami
a tu matematyka jest uprawiana wyłącznie dla jej piękna.
Tak czy owak, wydaje mi się, że właśnie tak powinno się uprawiać matematykę,
więc w Polsce - gdzie jest taka tradycja uprawiania matematyki - czuję się jak w domu.
Moja żona i ja chcieliśmy także podziękować organizatorom za zaproszenie.
Przyjechaliśmy z daleka - z Rio de Janeiro w Brazylii
i jest nam bardzo miło być tutaj.
A zatem tytuł mojego wykładu to "Piękno w fizyce, matematyce i biologii"
Jest to tego typu wykład, przy którym
powinienem chyba powiedzieć: nie jestem filozofem,
jestem matematykiem. Dzisiaj jednak
chciałbym być trochę filozofem.
Chciałbym więc opowiedzieć o pewnych
ideach, których historia sięga postaci Leibniza.
Leibniz to wspaniały myśliciel.
Zmarł w roku 1716,
W tym roku mija więc 300 lat od jego śmierci.
Zapiszmy może tu jego nazwisko...
skoro już jest ciemno na sali.
Czy to działa? Widać czy mam po prostu
mówić i nic nie pisać?
OK, idziemy więc dalej.
Leibniz był wspaniałym myślicielem,
został już zresztą wspomniany wczoraj
na wykładzie Juliana Barboura.
Julian odwoływał się do 'Monadologii'.
Zacytował przy tym fragmentu tekstu,
który mnie wydaje się być tylko
bladym odbiciem innego tekstu, który uważam
za znacznie bardziej interesujący.
Jest to wcześniejsza książka Leibniza.
Jest ona napisany po francusku,
a jej tytuł to
'Discours de metaphysique'
(pol. 'Rozprawa metafizyczna').
Jest to praca z 1686 roku.
Było to bardzo dawno temu,
bardzo dawno temu intelektualnie.
Jest to rok przed 'Principiami' Newtona.
Jak widać, był to inny świat.
Chciałbym szczególną uwagę poświęcić
rozdziałom 5 i 6.
Uważam, że są niezwykle interesujące.
Nie natrafiłem na ten materiał,
czytając po prostu całego Leibniza.
Mój obszar badawczy to złożoność.
Prostota i złożoność.
Tutaj zaprezentowane są poglądy Leibniza
na kwestię złożoności i prostoty.
Zostały one odkryte - ich znaczenie
zostało rozpoznane - dopiero za sprawą
wybitnego matematyka i fizyka teoretycznego
nazwiskiem Hermann Weyl. W dwóch książkach.
Pierwsza z nich... zapiszmy może:
Hermann Weyl... Są więc dwie książki.
Jedna z roku 1932, a druga z 1949.
Ta druga to 'Filozofia matematyki
i nauk przyrodniczych' [brak wydania polskiego]
Książkę tę wydało [w j. ang.] Princeton University Press.
Książka z 1932 roku ma tytuł 'Otwarty świat' [brak wyd. pol.],
jeśli się nie mylę. 'Open world'.
Są to dwie książki filozoficzne Hermanna Weyla.
Pisał on również książki czysto matematyczne
i z zakresu fizyki teoretycznej.
To właśnie czytając Hermanna Weyla,
natrafiłem na Leibniza.
Pozwólcie więc, że opowiem Wam o tekście Leibniza.
Rozdział 5 Leibniza...
przedstawia rzecz następującą.
Julian odwoływał się do tych idei wczoraj,
a przynajmniej do wersji tych poglądów znanych
z 'Monadologii'. Idea jest następująca.
Bóg - to brzmi jak teologia... - Bóg
stworzył najdoskonalszy świat.
Z jednej strony, świat jest bardzo bogaty
i obfituje w zjawiska.
Przykładowo, występujemy w nim my.
Z drugiej strony, Bóg jest oszczędny
ze względu na idee, które zostały wykorzystane
przy tworzeniu świata - w matematyce i prawach fizyki,
przy pomocy których świat został stworzony.
Bóg jednocześnie maksymalizuje więc bogactwo świata
i minimalizuje liczbę cegiełek, pojęć, praw,
z których zbudowany jest ten świat,
które sprawiają, że świat ten funkcjonuje.
I to w tym sensie Leibniz pisze, że Bóg
stworzył najdoskonalszy z możliwych światów.
Myślę, że wszyscy słyszeliście już, jak
Wolter kpił sobie z Leibniza.
Wolter był ateistą, Leibniz był teistą.
Żart Woltera był taki, że jest to najlepszy
z możliwych światów i wszystko złe, co w nim jest,
jest złem koniecznym. Wolter nie rozumiał
jednak poglądów Leibniza na to, w jakim sensie
jest to najlepszy z możliwych światów.
Jest to najlepszy z możliwych światów
w bardzo abstrakcyjnym sensie.
Leibniz tak naprawdę mówi, że
Wszechświat jest zrozumiały.
Zrozumiały. Sam nie używał tego określenia.
Dla niego Bóg jest wielkim artystą,
który stworzył wspaniałe dzieło sztuki,
wychodząc od bardzo niewielu elementów.
Elementami tymi są prawa fizyki,
matematyczne prawa, które tworzą świat.
Tak więc powiedzenie, że świat wydaje się być
bardzo bogaty i różnorodny, ale w rzeczywistości
jest wytworem bardzo prostych praw,
prostego zestawu idei, to powiedzieć w zasadzie,
że nauka jest możliwa,
że świat jest zrozumiały.
Doskonałość Boga zasadza się więc na tym,
że potrafimy zrozumieć świat. Leibniz,
nawiasem mówiąc, był racjonalistą i optymistą.
Wierzył w rozum.
Opisywał zasadę, którą określał jako
zasadę racji dostatecznej,
która głosi, że jeśli coś jest prawdą,
to istnieje za tym pewna racja, pewien powód.
Jeśli zastosuje się to do rzeczy przygodnych,
czyli przypadkowych, historycznych faktów,
jak choćby tego, kto jest prezydentem Francji
w określonym momencie,
to Leibniz uważa, że również te rzeczy zdarzają
się z określonego powodu. W rzeczywistości
zdarzają się w wyniku nieskończonego ciągu racji,
który, jak mówi Leibniz, może pojąć tylko Bóg,
ale przekracza to możliwości ludzkiego umysłu.
Tak czy inaczej wszystko dzieje się z określonego
racjonalnego powodu. Jest to pogląd optymistyczny:
rozum jest w stanie wszystko zrozumieć.
Mamy więc ten tekst - rozdział 5 -
w którym jest już mowa o prostocie i złożoności.
Leibniz pisze, że świat jest bardzo złożony,
ale idee leżące u podstaw praw są bardzo proste
i to dlatego nauka jest możliwa.
To dlatego świat jest zrozumały.
Pokazuje to doskonałość Boga - świadczy o tym
fakt, że stworzył taki właśnie świat.
Brzmi to jak teologia, ale z drugiej strony
jest to też wyjaśnienie tego,
dlaczego nauka jest możliwa.
W owych czasach nauka dopiero się rozpoczynała.
Zauważmy, że jest to rok przed opublikowaniem
'Principiów' Newtona.
Myślę, że to bardzo interesujące,
że Leibniz od razu tak precyzyjnie zidentyfikował
kwestię tego, dlaczego nauka jest możliwa.
Albo: co to oznacza, że nauka jest możliwa,
że świat jest zrozumiały?
Rozdział 6 jest jeszcze bardziej interesujący,
ponieważ jest w nim mowa już ściśle o prawach fizyki
i ich złożoności i prostocie.
Następnie opowiem więc nieco o tym właśnie tekście.
Wszystkiego tego dowiedziałem się, czytając
dwie wspomniane książki Hermanna Weyla.
Zapiszmy może tytuł książki Lebniza.
Nie wygląda to na czytelne...
[Discours de métaphysique 1686]
Może jest, może nie...
Przy okazji, to nie Leibniz zatytułował to dzieło.
To były notatki znalezione sto lat po jego śmierci.
To jest tytuł, jaki redaktor nadał tym notatkom.
Prace Leibniza sąrozproszone. Nie napisał on ostatecznej rozprawy.
Wiele jego idei zawartych jest w korespondencji, które wymieniał z intelektualistami swoich czasów.
Leibniz często zmieniał i rozwijał swoje pomysł i zajmował się wieloma dziedzinami na raz.
Zajmijmy się teraz rozdziałem szóstym, w oryginale oznaczonym rzymską cyfrą: V i VII.
Skan oryginału można dostać w bibliotece w Hanowerze.
Ale jeśli wejdziecie na stronę Bibliothèque nationale de France, udostępniają oni skan ponad sto lat starszego wydania.
Jest to wersja, do której się odwołuję.
Jest ono spisane w języku francuskim, bardzo prostym,
na tyle podobnym do współczesnego, że można go zrozumieć, choć wymowa jest inna.
ale Leibniz myślał przejrzyście i pisał przejrzyście, więc prosto go zrozumieć.
Czego więc dotyczy rozdział 6?
Omawia on kwestię tego, czym jest prawo fizyki
albo w ogóle prawo naukowe. Rozumowanie jest
następujące: przypuśćmy, że przyglądamy się
jakiemuś układowi fizycznemu i mierzymy
jakiś ważny parametr tego systemu w funkcji czasu.
Co to oznacza, że ów układ fizyczny
podlega pewnemu prawu,
albo że możemy zrozumieć jego zachowanie?
Kiedy istnieje prawo, a kiedy nie ma żadnych praw?
Leibniz mówi tak: wyobraźmy sobie, że
(wiecie, fizycy zawsze korzystają
z papieru milimetrowego...)
mamy arkusz takiego papieru
i nanosimy na niego wykres przedstawiający
zachowanie się danego układu fizycznego.
Wykres ten mógłby wyglądać w taki sposób.
Tutaj mamy czas...
a tutaj jakiś ważny parametr opisujący
zachowanie tego układu.
Są też punkty pomiarowe - dane pochodzące
z eksperymentów. Co to znaczy,
że ten układ fizyczny jest zrozumiały,
że istnieje prawo tłumaczące
zachowanie się tego systemu?
Co by było, gdyby wybrać te punkty losowo,
gdyby wziąć gęsie pióro, zamknąć oczy i pokropić
papier atramentem w przypadkowych miejscach?
Leibniz mówi tak: mogłoby się wydawać,
że prawo jest wtedy,
gdy istnieje jakieś równanie,
jakieś równanie matematyczne, którego
wykres przechodzi przez te punkty.
Leibniz mówi też jednak:
nie ma znaczenia, jak bardzo przypadkowo
są rozmieszczone te punkty.
Nawet, gdyby były rozmieszczone całkowicie losowo,
zawsze istnieje jakieś równanie, którego wykres przejdzie
przez każdy skończony zbiór punktów.
I tak rzeczywiście jest.
Leibniz pisze, że bez względu na to, jaki skończony zbiór
punktów wybierzemy, to na pewno jakieś równanie
opisze ich położenie z pełną dokładnością
i w odpowiednim porządku.
Pytanie brzmi więc: na jakiej podstawie
można odróżnić punkty, które oznaczają pomiary
układu fizycznego ewoluującego
zgodnie z jakimś prawem fizycznym,
od punktów, które pochodzą z pomiaru układu
nieopisywanego przez żadne prawo fizyki,
całkowicie losowego, niezrozumiałego,
pochodzącego ze świata, w którym nie działa nauka?
Cóż, Leibniz mówi tak:
jeśli równanie jest proste
(używa tu francuskiego słowa na 'prosty',
czyli 'simple'), to wtedy jest to prawo.
Jeśli równanie musi być bardzo złożone,
to wtedy zawsze jest jakieś równanie,
i cała idea robi się bezsensowna, wtedy
nie da się odróżnić układu, który rządzi się prawem,
od układu, który jest zupełnie losowy.
Leibniz w oryginale, w oryginalnym dokumencie...
.
(w tłumaczeniach na inne języki
jest po prostu słowo "prosty" i "bardzo
skomplikowany"), ale w oryginalnej wersji
słowo "złożoność" nie istniało w języku francuskim -
choć słowo "simplicité" istniało - ale w 1686 roku
Leibniz napisał "fort composé", czyli
"w dużym stopniu skomponowany",
co jest względnie blisko idei złożoności.
Jest to więc głęboka idea,
jak pisze Hermann Weyl.
Weyl miał parę sposobów na pokazanie,
jak głęboka jest ta idea.
Jeden z nich jest następujący:
Pozwólcie, że użyję po prostu
słów samego Hermanna Weyla.
Jeśli pozwolić na dowolnie złożone prawa,
to idea prawa robi się pusta, ponieważ
w każdej sytuacji zawsze będzie jakieś prawo.
I jak? Myślę, że to całkiem niezłe.
Ja byłem zaszokowany, kiedy to usłyszałem.
Nikt nie wydaje się reagować....
Może muszę to powiedzieć jakoś inaczej?
Widzicie, staramy się rozróżnić...
Przykładowo, jeśli rzucamy monetą
albo kręcimy kołem ruletki, albo rzucamy kością,
dostajemy wynik całkowicie przypadkowy,
tak więc nie ma żadnego prawa.
Jeśli natomiast mierzymy położenia planet
Układu Słonecznego, jest tu pewne prawo:
są to prawa Newtona.
Chcemy więc odróżnić wszechświat,
który jest zrozumiały i ewoluujący zgodnie
z pewnymi prawami od takiego, który jest przypadkowy
i którego nie opisują prawa.
Jest to pytanie metafizyczne.
Jeśli się pozwoli na dowolnie złożone prawo,
to w każdej sytuacji znajdziemy jakieś prawo
i sama idea prawa robi się pusta.
Mówimy tu o skończonym zbiorze danych,
skończonym zbiorze punktów pomiarowych.
Hermann Weyl wyraża to samo jeszcze inaczej:
Idea prawa fizyki
to tak naprawdę dwa pojęcia, nie jedno.
Musi mu towarzyszyć pojęcie złożoności,
ponieważ pojęcie "prawo fizyki"
bez towarzyszącego zrozumienia, czym jest złożoność,
nie ma sensu. Potrzebujemy obu pojęć.
Tak czy inaczej to właśnie pisał Hermann Weyl,
jest to jego pochwała pomysłu Leibniza
i jego rozwinięcie.
Z tym wszystkim, o czym mówię,
jest pewien problem.
Jak zmierzyć złożoność?
Leibniz i Weyl piszą o tym następująco:
złożoność, tak z grubsza,
ma związek z wielkością równania.
Taka jest zasadnicza idea.
Prawo oznacza tu równanie, którego wykres
przechodzi przez wszystkie punkty pomiarowe.
Nie jest to zbyt dobra definicja
pojęcia, które jest tak fundamentalne,
tak filozoficznie, epistemologicznie,
metafizycznie fundamentalne, jak 'złożoność'.
Dlaczego?
Ponieważ zapis matematyczny jest dowolny.
Zmienia się ponadto z rozwojem nauki.
Czy chcemy w nim uwzględnić funkcje trygonometryczne,
funkcje Bessela...? Zapis w czasach
Eulera był inny niż obecnie.
Nie jest to więc szczególnie
satysfakcjonująca definicja
czegoś tak fundamentalnego dla filozofii nauki.
Jak więc zdefiniować to pojęcie?
Jak na sposób rygorystyczny, bardziej precyzyjny
zdefiniować to fundamentalne pojęcie?
Istnieje rozwiązanie tego problemu,
które narodziło się, poczynając od lat 60. XX wieku.
Pozwólcie, że o nim opowiem.
Jest to sposób na doprecyzowanie
idei Leibniza i Weyla.
Musimy przede wszystkim zmienić kontekst.
Nie będziemy już mówić o punktach
na papierze milimetrowym
i równaniu przechodzącym przez te punkty.
Będziemy też inaczej rozumieć to,
czym są nasze dane eksperymentalne,
które staramy się zrozumieć lub wyjaśnić
i będziemy posługiwali się innym pojęciem "teorii".
Jak to zrobimy?
Jest to pomysł, który wywodzi się z lat 60.
Rozwinęliśmy ten program badawczy we trzech,
ale tylko dwóch z nas było zainteresowanych
modelowaniem metody naukowej:
Ray Solomonoff i ja sam.
Kołmogorow miał pomysły związane z tym tematem,
ale nie interesowała go metoda naukowa,
nie starał się zrozumieć tej kwestii.
Idea przedstawia się następująco.
Przedstawiam tu własną wersję.
Przypuśćmy, że mamy komputer.
Jest komputer. Mamy też teorię "na wejściu",
a komputer będzie obliczał dane eksperymentalne.
Tak należy rozumieć zdanie, że teoria tłumaczy dane.
Jest to bardzo prosty model tego,
czym są nauki fizyczne. Tutaj
teoria jest po prostu ciągiem bitów,
skończoną sekwencją zer i jedynek,
dane eksperymentalne również:
są skończoną sekwencją zer i jedynek.
W komputerze wszystko jest binarne.
Są to po prostu bity informacji. Dane
eksperymentalne musimy przy tym wyjaśnić dokładnie.
Nie interesują mnie predykcje,
nie interesują mnie teorie statystyczne.
Chcę, aby moja teoria była spobosem na policzenie
ściśle tego, co zostało zaobserwowane, bit po bicie.
Jak widać, jest to bardzo odmienny model
od pierwotnego sformułowania Leibniza i Weyla.
Nie mamy do czynienia z liczbami rzeczywistymi,
wszystko tu jest dyskretne: zera i jedynki.
Teoria nie jest równaniem,
jest programem komputerowym.
Jest algorytmem, jest softwarem.
Teraz wracamy do poglądów Leibniza i Weyla.
Jak się one prezentują w tym kontekście?
Bardzo łatwo jest je sformułować.
Teoria jest dobra, jeśli jest znacznie mniejsza,
zwięzła, ma mniej bitów niż dane, które wyjaśnia.
Liczy się kompresja.
Teoria jest dobra wtedy, kiedy jest
dużo danych eksperymentalnych, ale po tej stronie
jest tylko kilka równań, proste idee, które i tak
pozwalają na wyznaczenie danych eksperymentalnych.
Dopóki to jest znacznie mniejsze niż to,
mamy dobrą teorię.
Zawsze przy tym istnieje jakaś teoria,
która jest tej samej wielkości, co dane.
Brzmi ona: 'Wydrukuj to' albo
'Daj na wyjściu to', pobrane z zadanej tablicy.
Zawsze istnieje teoria tej samej wielkości,
co dane eksperymentalne.
Liczy się zdolność kompresji,
co koresponduje z uwagą Hermanna Weyla,
że jeśli pozwoli się na dowolnie złożone
teorie, to zawsze znajdzie się jakaś teoria,
a samo pojęcie teorii staje się puste.
Jest to więc nowy sposób patrzenia na złożoność
i nowy rodzaj matematyki, w której występuje
pojęcie algorytmu komputerowego i software'u,
dzięki czemu gra ona fundamentalną rolę
w filozofii nauki.
Jaki więc ma to związek z pięknem?
Cóż, uważam, że jest pewien rodzaj piękna...
Istnieje stare pojęcie piękna jako symetrii,
które sięga czasów starożytnej Grecji.
Okrąg jest piękny, ponieważ jest to
najbardziej symetryczna figura.
Pojęcie prostoty jest w pewnym sensie
uwikłane w takie rozumienie piękna.
Więc świat byłby piękny, jeśli wyglądałby na złożony, ale w rzeczywistości byłby bardzo prosty.
ponieważ wynika z bardzo prostych praw.
Oznacza to, że świat jest wielkim dziełem sztuki
wykonanym przez wielkiego artystę - Boga.
Innymi słowy, oznacza to, że Wszechświat
naprawdę jest zrozumiały. Nie ma żadnego
'ignorabimus', żadnego 'nie możemy wiedzieć'.
Leibniz nie był agnostykiem.
Uważał, że wszystko można pojąć rozumem, również Boga.
Tak przedstawia się ta idea. Wielu z nas
pracowało nad tym problemem od lat 60. XX wieku.
Wiąże się to z dziedziną określaną
jako algorytmiczna teoria informacji.
Jest to rozumienie informacji inne niż to, które wynika
z informacji Shannona albo entropii Boltzmanna.
Ale wiąże się z nimi. Z perspektywy historii
idei to wszystko są najblizsi kuzyni.
Co można z tym wszystkim zrobić?
Ja twierdzę, że ma to coś wspólnego z pięknem. Być może.
Prostota.
Teoria jest piękna, jeśli mamy
proste równanie, które potrafi wytłumaczyć
zjawisko wyglądające na bardzo trudne
do zrozumienia. Gdyby okazało się, że cały świat
można wyjaśnić za pomocą bardzo małego
zbioru równań, oznaczałoby to, że świat
jest rzeczywiście piękny. Te równania
są piękne, ponieważ są proste.
Nie wiem, jak przekonujące jest to dla Was,
ale jest to tak naprawdę bardziej wyrafimowana
wersja pojęcia piękna jako symetrii.
No więc jest to pewien rodzaj piękna.
Piękno konceptualne. Bardzo potężne
idee, które potrafią generować całe światy.
.
To sprawiałoby, że są piękne.
Nie wiem... Piękno jest wielowymiarowym pojęciem.
Jest w nim element subiektywny.
Piękno w różnych obszarach jest czymś innym.
Tutaj chciałbym bliżej określić
pewien rodzaj piękna,
który można zdefiniować matematycznie
i z którym można pracować matematycznie.
Aby uprawiać matematykę, trzeba zawęzić
znaczenie piękna do czegoś, co jest na tyle ostre
i na tyle proste, że można to badać matematycznie.
Na pewno nie mam zamiaru udawać, że jest to
definicja wszelkich rodzajów piękna
dla wszystkich obszarów tematycznych.
Jest to - być może - jeden rodzaj piękna,
który potrafię badać matematycznie.
Co można zrobić z takim rodzajem piękna?
Idea jest taka, że... Leibniz właściwie
nie mówi o pięknie, mówi, że jest to
najdoskonalszy z możliwych światów i Bóg
jest najdoskonalszy - ponieważ świat jest bogaty
i zróżnicowany, ale wynika z bardzo prostych zasad,
z niewielkiej liczby bardzo prostych zasad.
.
Jest to swego rodzaju problem optymalizacyjny,
ponieważ trzeba jednocześnie znaleźć
maksimum złożoności świata
i minimum złożoności pojęć lub praw fizyki,
które leżą u podstaw tego świata.
Jest to trochę niejednoznaczne.
W tym sensie Bóg jest najdoskonalszy
i w tym sensie jest to
najdoskonalszy z możliwych światów.
Nie w sensie, o którym pisał Wolter.
Pierwotny tytuł "Kandyda" - który, jak niektórzy
twierdzą, został napisany przez nieznanego z nazwiska autora,
a nie Woltera - brzmiał "L'optimisme".
Słowo 'optymizm' zostało wymyślone przez Woltera,
aby zakpić z Leibniza, którego Wolter nie rozumiał.
To jest więc idea najlepszego z możliwych światów.
To jest optymizm: najlepszy z możliwych światów.
Optimum.
OK, co więc można zrobić z tą ideą?
Myślę, że sporo. Znaczna część fizyki
fundamentalnej cechuje się tego rodzaju pięknem.
Nie uważam, aby dotyczyło to fizyki jądrowej
albo fizyki wysokich energii, na którą
kiedyś mówiło się 'fizyka cząstek'.
Wiecie, jak to mawiał Einstein, jest to zoo.
Albo jak botanika. Mawiał, że interesuje
go tylko jedna cząstka,
którą chce naprawdę zrozumieć - elektron.
A są teraz setki cząstek,
co wymaga zupełnie innego typu umysłowości.
Einstein nie nadawałby się do tego.
Potrzebny jest umysł, który dobrze sobie
radzi z 'cząsteczkowym zoo'.
Ktoś taki, jak Murray Gell-Mann. Jest to
zupełnie innego typu osobowość niż Einstein.
Ma wspaniałą pamięć,
potrafi zapamiętać wszystkie te fakty.
Na różnych etapach nauka potrzebuje
różnego typu myślicieli.
Osobiście nie lubię fizyki jądrowej.
Uważam, że jest brzydka.
Ma też niebezpieczne zastosowania.
Wciąż jednak istnieje fizyka,
która jest bardzo piękna, ponieważ jest to
fundamentalna fizyka o bardzo prostych równaniach.
Tak więc piękno wciąż istnieje w fizyce,
nie zniknęła całkowicie wraz z pojawieniem się
zoo cząsteczek wysokich energii i rzeczy
takich, jak fizyka jądrowa, która jest
bardzo fenomenologiczną teorią.
Jądra to bardzo złożone bestie,
nie ma tak naprawdę dobrego...
Trudno o zrozumienie teoretyczne
tych zagmatwanych obiektów znanych jako jądra.
OK, co jednak z czystą matematyką?
To był mój komentarz do fizyki teoretycznej,
ale co z czystą matematyką?
Było to chyba dwa dni temu.
Siedziałem w pięknym kościele i ku mojemu
zaskoczeniu zobaczyłem tam twarz Kurta Gödla.
Przyjrzyjmy się czystej matematyce.
Czy czysta matematyka jest piękna,
w sensie, o którym mówiłem wcześniej?
Co by to znaczyło, że czysta matematyka
jest piękna w sensie, o którym mówiłem,
w którym fundamentalna fizyka
jest moim zdaniem piękna,
w sensie, który, myślę, że zrozumiałby Leibniz,
ponieważ wyraził go bardzo klarownie w 1686 roku?
David Hilbert uważał,
że czysta matematyka jest piękna
- było to mniej więcej sto lat temu -
w takim sensie, że istnieje jedna
formalna teoria aksjomatyczna:
że zastosowanie praw logiki
do skończonego zestawu aksjomatów, na które wszyscy
się zgadzamy, generuje wszystkie prawdy matematyczne.
Każde twierdzenie, całość matematyki.
Oznaczałoby to, że platoński świat matematyki,
który wygląda na bardzo bogaty i skomplikowany
i jest w nim nieskończona liczba twierdzeń,
w rzeczywistości ma skończoną złożoność,
jest prosty: wynika z niewielkich liczby aksjomatów
oraz praw logiki matematycznej.
Takie było rozumowanie Hilberta.
Hilbert myślał, że tak właśnie jest.
Okazuje się, że nie, ale wciąż jest to
bardzo dobra definicja tego, jaka
miałaby być czysta matematyka, aby być piękna,
w takim sensie, w jakim mamy nadzieję,
że piękna jest fizyka fundamentalna.
Tak by było, gdyby platoński świat idei,
świat czystej matematyki, faktycznie wynikał
z niewielkiej liczby reguł i praw logiki.
W takim razie rzeczywiście miałby
bardzo małą złożoność, skończoną złożoność.
To dlatego matematycy lubią matematykę:
ponieważ wychodząc z bardzo prostych idei,
można dowieść rzeczy, które nie wydają się być proste.
Czysta matematyka ma więc w sobie ukrytą prostotę.
Hilbert pyta następnie: co to oznacza?
Czym jest ta wiara w czystą matematykę,
którą mają matematycy, w piękno czystej matematyki,
w piękno idei matematycznych?
Są one proste i potężne, ale pozwalają na dowodzenie
zdań matematycznych, które nie są wcale oczywiste.
Więc jakie były losy tej idei?
Cóż, wspomniałem już o Gödlu.
Okazuje się więc, że pogląd Hilberta
jest tak naprawdę nieprawdziwy.
Z historią tą wiążą się trzy osoby.
Jedną jest Kurt Gödel, drugą Alan Turing,
a mniej znany jest Emil Post, którego jestem fanem.
Działo się to w latach 30. XX wieku.
To, co wykazali, jest zwykle znane jako
twierdzenie Gödla o niezupełności. Ja chciałbym
je wyrazić, korzystając z pojęcia złożoności,
tego rozumienia złożoności, o którym Wam mówiłem.
Okazuje się, że nie jest to sposób,
za pomocą którego Gödel, Turing i Post
analizowali problem niezupełności.
Platoński świat czystej matematyki i
idei matematycznych ma nieskończoną złożoność,
ale każda formalna zaksjomatyzowana teoria
ma skończoną złożoność. Tak naprawdę,
jeśli daną teorię ma zrozumieć człowiek,
musi mieć ona raczej niewielką złożoność,
a jeśli matematyk ma uznać,
że dane aksjomaty są prawdziwe, również one
muszą być względnie proste i intuicyjne.
W przeciwnym razie nikt by ich nie uznał.
Dowolna teoria matematyczna
może więc tak naprawdę objąć zaledwie
znikomo małą część wszystkich prawd matematycznych.
Jest to wersja odwołująca się do prostoty i złożoności
tego, co standardowo określa się jako
Gödla twierdzenie o niezupełności:
że nie ma jednej formalnej teorii aksjomatycznej,
która obejmuje całą matematykę. Teraz prezentuję
jednak wersję opierającą się na pojęciu złożoności.
Cóż więc to oznacza? Matematycy myśleli, że
czysta matematyka jest piękna.
Ale czy to oznacza, że
tak naprawdę jest brzydka?
Cóż, nie jest to takie proste.
Jednym z najbardziej złożonych obiektów
w czystej matematyce
jest liczba określana jako
prawdopodobieństwo stopu [omega, Ω].
Została ona opisana w katalogu festiwalowym.
Istnieje jej precyzyjna definicja matematyczna.
Zapiszę ją, choć nie musicie tego rozumieć.
Czym ona jest? Bierzemy wielki worek, wrzucamy do niego
wszystkie możliwe programy komputerowe, potrząsamy,
a następnie wyciągamy losowo program. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten program się zatrzyma?
Jest to pytanie powiązane ze słynnym problemem stopu sformułowanym przez Turinga.
Będzie to liczba między 0 i 1.
Jeden oznaczałoby, że każdy program się zatrzymuje. Zero oznaczałoby, że żaden program się nie zatrzymuje,
a wiemy, że pewne programy się zatrzymują, a inne nie.
Liczba ta ma prostą definicję matematyczną. Zapisałem ją tutaj i pokrótce wyjaśniłem.
Okazuje się jednak, że jeśli chcemy zapisać
jej wartość liczbową w postaci dwójkowej, bit za bitem - a wynik zależy od wyboru
języka programowania, nawiasem mówiąc - a więc gdy chcemy to zrobić, okazuje się, że
liczba ta ma nieskończoną,  nieredukowalną złożoność.
Każdy bit w zapisie tej liczby wygląda jak
wynik rzutu uczciwą monetą. Jest to
doskonała symulacja, w świecie czystej matematyki,
w którym wszystkie prawdy są konieczne,
prawdy przygodnej, niekoniecznej,
czegoś całkowicie losowego.
Bity tej liczby są czymś w stylu
skoncentrowanej kreatywności.
Koncentrat kreatywności matematycznej.
Jest to kryształ czystej kreatywności.
Każdy bit tej liczby dostarcza nam
jednego bitu informacji o
platońskim świecie idei matematycznych.
Nie ma tu żadnej nadmiarowości/redundancji.
Jest to więc swego rodzaju maksymalna kompresja...
Turingowskiego problemu stopu, mówiąc ściśle.
Jest to więc nieskończenie skomplikowany obiekt,
ma nieskończoną, nieredukowalną złożoność.
Może to zapiszę.
Jest to nieskończona, nieredukowalna złożoność w świecie czystej matematyki.
Zapiszmy to może w systemie dwójkowym.
Może być to na przykład 0,1101... kto wie.
I jest to nieskończona, nieredukowalna złożoność w czystej matematyce.
Nie ma tu nadmiarowości, jest to doskonała
symulacja niezależnych rzutów uczciwą monetą.
A jednak jest to jedna liczba.
To są konieczne prawdy. Nieskończona,
nieredukowalna złożoność w czystej matematyce.
Spójrzmy teraz na to.
Czy to jest brzydkie?
Nie jest proste. Mówiłem wcześniej,
że prostota ma coś wspólnego z pięknem.
.
Tutaj mamy jednak ten przedmiot,
który wcale nie jest prosty.
Cechuje go jednak pewne piękno,
być może innego typu piękno.
Ma w istocie prostą definicję matematyczną.
Nie jest to jednak prosta definicja,
która pozwala na obliczenie liczby.
Jest to bardziej pośrednia definicja
niż teorii, które, jak się tego domagałem,
powinny być softwarem, albo aksjomatów teorii
matematycznych, które również są softwarem.
Jest to więc definicja liczby,
ale nie jest ona 'konstrukcyjna'.
Sama wartość numeryczna tej liczby z niej nie wynika,
jest to po prostu jej matematyczna definicja.
Jest jednak bardzo prosta.
Potrzebny jest opis na innym poziomie.
.
Nie jest obliczalna. Więc z jednej strony
jest ona bardzo piękna, ponieważ
definicja jest bardzo prosta, bardzo naturalna.
Idea polega na wzięciu słynnego Turinowskiego
problemu stopu z 1936 roku
i przekształceniu go do postaci liczby rzeczywistej.
Jest to przejście od problemu stopu
do prawdopodobieństwa stopu.  Z drugiej strony
otrzymujemy nieskończoną, nieredukowalną złożoność.
Z jednej strony znaczy to, że matematyka...
Wyraźmy to może tak, żeby dobrze brzmiało.
Wielu ludzi było zasmuconych
twierdzeniem o niezupełności Gödla,
ponieważ miałoby ono oznaczać, że matematyka
nie jest piękna, nie daje prawdy absolutnej,
nie może być zgody co pierwszych zasad.
Można jednak spojrzeć na to w inny sposób.
Ten inny sposób polega na tym, że
mamy tu skoncentrowaną kreatywność matematyczną.
liczbę typu wszystko-w-jednym.
Jest ona piękna na zupełnie inny sposób.
Jest to esencja kreatywności, nowej matematyki,
liczba, w której 'jest wszystko',
którą potrafimy sobie wyobrazić, możemy o niej mówić,
ale nie możemy obliczyć. To tajemniczy obiekt,
który ma bardzo prostą definicję matematyczną,
ale jednak nam umyka.
Uważam, że ta liczba stanowi powiązanie
pomiędzy czystą matematyką a biologią.
Jak pamiętamy, w fizyce teoretycznej wciąż
żywa jest nadzieja, że uda się odnaleźć
prostą fundamentalną teorię wszystkiego.
Jest ta nadzieja. Jest to jedna z przyczyn,
dla których uważa się, że fizyka teoretyczna
jest piękna. W biologii nikt nie uważa,
że istnieje taka prosta teoria. Biologia
jest bardzo skomplikowana, organizmy są...
Nie ma prostych praw dla istoty ludzkiej,
dla słoni, roślin, bakterii.
Biologia jest więc bardzo złożona.
Pokazuje to, że czysta matematyka
też jest bardzo złożona.
Jest ona nieskończenie złożona, więc
w pewnym sensie jest nawet bardziej złożona
niż biologia, która jest bardzo skomplikowana,
ale cechuje się skończoną złożonością.
Czysta matematyka jest bardziej biologiczna niż biologia.
Ile mam jeszcze czasu? Wygląda na to, że mówię za szybko.
Teraz chciałbym porozmawiać nieco o pięknie w biologii.
Jest to zupełnie inna tematyka.
Jeśli spojrzymy, przykładowo, na panterę
(czy to jest najszybsze zwierzę, czy jaguar?),
jeśli przyjrzymy się organizmom biologicznym,
to wszystkie są niesamowite.
Każdy z nich jest pięknie przystosowany
do swojej niszy. Kreatywność biologiczna
jest po prostu cudowna. Kiedy więc
widzi się zdrowie zwierzę na wolności,
jest to coś naprawdę niesamowitego.
Nie tylko wielkie koty, ale wszystkie zwierzęta.
Prostota nie wydaje się być pożytecznym
pojęciem przy opisywaniu piękna świata biologii.
Chciałbym jednak, jako ktoś zajmujący
się czystą matematyką,
odnaleźć jakąś ukrytą prostotę
pośród tego bogactwa.
Chciałbym zrozumieć kreatywność biologiczną.
Moja żona Virginia i ja pracujemy
nad bardzo młodym programem badawczym,
który określamy jako metabiologię. Nie jest to
biologia teoretyczna, tylko coś bardziej abstrakcyjnego.
Ma jednak związek z ewolucją Darwinowską.
Virginia ujmuje to następująco: jest to
próba wydobycia fundamentalnych pojęć z biologii.
Gdy chcemy utworzyć teorię matematyczną,
jak mówiłem, musimy upraszczać.
Jest to zabawkowy model
(Virginia nie lubi, kiedy używam tego określenia),
zabawkowy model ewolucji na drodze doboru naturalnego.
Staram się więc powiedzieć coś następującego:
zdaniem wielu ludzi istnieje
pewna podstawowa teoria biologii,
która tłumaczy różnorodność biologiczną.
Jest to Darwinowska teoria ewolucji.
Jako matematyk muszę jednak przyznać,
że nie jestem przekonany.
Byłbym bardziej przekonany,
gdyby istniał dowód matematyczny, że Darwinowska
teoria ewolucji jest rzeczywiście w stanie
wyjaśnić złożoność wszystkich zaawansowanych
form życia, które występują na tej planecie,
że czas, przez który ewolucja działała na tej planecie,
na powierzchni tej planety, wystarcza, aby powstała
cała ta różnorodność i kreatywność biologiczna.
Metabiologia jest to więc próba poszukania
podstawowych idei matematycznych,
które mogłyby pomóc w odpowiedzi na to pytanie.
Nie chodzi o ostateczne zamknięcie tego pytania
- tak naprawdę nigdy nie ustala się ostatecznie
odpowiedzi na żadne naprawdę ważne pytanie.
Jest to jednak próba.
Może dostarczy nowych pojęć, które okażą się pomocne?
Jest to więc metateoria biologii.
Nie jest to teoria biologiczna,
lecz coś o krok dalej.
Metabiologia wychodzi z założenia,
że DNA to software i bada organizmy,
które są wyłącznie softwarem. Nie mają ciał.
Coś w stylu organizmów, które mają tylko DNA.
Nie badamy jednak ewolucji konkretnie DNA,
które jest naturalnym softwarem.
Metabiologia bada ewolucję sztucznego software'u,
którym są programy komputerowe.
W naszym modelu występują losowe mutacje i dobór.
Staramy się dowieść, że nawet w zabawkowym modelu
uzyskuje się kreatywność biologiczną.
Nawet w tak prostym świecie.
Jaki ma to związek z pięknem w biologii?
Myślę, że związek jest.
Jeśli Darwinowska teoria ewolucji jest poprawna
i naprawdę tłumaczy całą kreatywność biologiczną,
oznacza to, że całe bogactwo tego świata,
z wszystkimi niesamowitymi formami życia,
z różnymi populacjami i niszami ekologicznymi,
rzeczywiście daje się wytłumaczyć przy pomocy
bardzo prostej teorii. Rezultat może być złożony,
ale istnieje teoria - teoria ewolucji
za sprawą doboru naturalnego z losowymi mutacjami -
nie wiem, czy wystarcza ona,
aby wyjaśnić to, co obserwujemy,
ale jeśli tak, to oznacza to, że w biologii
rzeczywiście tkwi ukryta prostota.
Jest ona jednak na metapoziomie, jeden poziom głębiej.
Nie pozwala ona na obliczenie, jak będzie
zbudowany poszczególny organizm albo
jak będzie ewoluował, ale stanowi swego rodzaju
ogólny model procesu ewolucyjnego.
I gdyby udało się wykazać,
że można się rozsądnie spodziewać,
że tego typu proces może być wystarczająco kreatywny,
odnaleźlibyśmy ukrytą prostotę, matematyczną prostotę,
w obszarze, w którym wydaje się, że czysta matematyka
nie za bardzo się stosuje.
W fizyce fundamentalnej czysta matematyka
naprawdę jest użyteczna.
Fundamentalna fizyka teoretyczna jest bardzo zmatematyzowana.
Nie istnieje jednak biologia teoretyczna w takim sensie,
w jakim istnieje fizyka teoretyczna.
Metabiologia, nawet jeśli zostanie w pełni rozwinięta,
nie będzie biologią teoretyczną podobną
do fizyki teoretycznej.
Jest to metateoria, jest o jeden krok
odsunięta od rzeczywistej biologii.
Mówię: zapomnijmy o ewolucji DNA poddanego
losowym mutacjom. Przyjrzyjmy się organizmom,
przyjrzyjmy się programom komputerowym
poddanym losowym mutacjom i doborowi naturalnemu.
Może to dostarczy nam obszaru badawczego,
który jest wystarczająco prosty,
że można korzystać z metod matematycznych?
Jest kilka prostych kroków, które można
wykonać w ramach tak zarysowanego programu.
Moja żona Virginia i jeden mój student,
będący obecnie po napisaniu doktoratu,
wspólnie przyglądamy się tej idei.
Virginia jest filozofką.
Patrzy na ten problem z punktu widzenia
interdyscyplinarnej epistemologii.
Migracja pojęć, w jaki sposób idee podróżują
z matematyki do biologii, znów do matematyki.
Z jednej dyscypliny do drugiej.
Byłem przekonany, że nie starczy mi czasu, ale wygląda na to, że mówię zbyt szybko.
Mówię dopiero od 45 minut.
Mam nadzieję, że tłumacz za mną nadąża.
Wszystko w porządku, Panowie?
Czy ktokolwiek zrozumiał co mówiłem?
OK. To były podstawowe idee, którymi chciałem się podzielić.
Nie zajmuję się tak naprawdę zawodowo pięknem.
Nie wiem, czym jest piękno.
Zajmuję się natomiast pięknem z wielkim entuzjazmem. To dlatego uprawiam matematykę. Ale nie wiem, czym ono jest.
Myślę jednak, że piękno ma coś wspólnego - przynajmniej w niektórych przypadkach -
z czymś, na czym się znam - z prostotą i złożonością.
Opowiadałem więc o prostocie i złożoności,
które mogą mieć coś wspólnego
z pięknem w fizyce teoretycznej,
czystej matematyce i biologii.
W fizyce fundamentalnej jest to fakt,
że istnieją proste prawa.
Idea ta wywodzi się od Leibniza, potem Hermanna Weyla: istnieją proste prawa, które tłumaczą bardzo bogaty świat.
W czystej matematyce była to myśl,
że istnieje prosty zbiór aksjomatów
i reguły logiki, które wspólnie generują całą matematykę.
Była to rzekomo część piękna matematyki.
To był powód, dla którego
ludzie chcieli zajmować się czystą matematyką;
jest to część powodu, dla którego
uzyskujemy absolutną pewność, że
prawda matematyczna jest czarna albo biała.
Niestety, okazuje się, że tak nie jest:
patrz: Gödel, Turing, moje własne prace.
Czysta matematyka okazuje się jednak cechować
innego rodzaju pięknem,
które może być bliżej związane z pięknem biologii.
Jest obszarem, na którym możliwa jest nieskończona
kreatywność. Liczba omega stanowi, przykładowo,
skoncentrowaną esencję kreatywności.
Kreatywność natomiast, jak sądzimy ja i moja żona,
to bardzo ważne słowo w biologii,
które zostało niejako zapomniane.
Kreatywność biologiczna nie jest czymś,
o czym dużo się mówi, choćby w genetyce populacyjnej.
Genetyka populacyjna przygląda się temu, w jaki sposób
częstości występowania poszczególnych genów zmieniają się w populacji w reakcji na czynniki selekcyjne.
Nie mówi jednak o tym, skąd biorą się nowe geny,
a to jest właśnie element kreatywności.
Metabiologia to więc bardzo prościutka teoria,
której biolodzy nie mogą potraktować poważnie
- uważają, że jest absurdalnie prymitywna -
jest to jednak program badawczy, w ramach którego
można mówić o kreatywności, co nie jest możliwe
na gruncie genetyki populacyjnej
albo w ramach standardowych matematycznych
sformułowań teorii ewolucji.
Myślę więc, że piękno to bardzo ważne pojęcie.
Nie widzę, w jaki sposób warto by było żyć,
gdybyśmy nie mieli piękna, gdybyśmy
nie mieli czegoś, co przekracza człowieka,
co wynosi nas z błota, coś co
daje nam to poczucie objawienia
związane z ujrzeniem czegoś pięknego po raz pierwszy
lub zrozumieniem pięknej teorii.
Myślę, że piękno sprawia, że życie jest warte przeżycia.
Inne słowo, które jest moim zdaniem
bardzo istotne, to kreatywność.
I to dlatego taką radość daje uprawianie matematyki.
Oznacza to, że twierdzenia Gödla nie są czymś złym,
są czymś dobrym. Oznacza to, że matematyka
ma w sobie nieskończoną kreatywność.
Nie jest to martwy obszar, cmentarzysko.
Żyje i będzie ewoluować,
ma nieskończony potencjał kreatywności.
Przyszłe pokolenia mają przed sobą wiele pracy.
Nie jest to zamknięta nauka.
Formalne teorie aksjomatyczne są jak cmentarz.
Dają absolutną pewność,
ale jest to pewność śmierci.
Myślę więc, że kwestia kreatywności w biologii
wiąże się z kwestią kreatywności
w czystej matematyce.
Może się mylę. Myślę, że twierdzenie
o niezupełności Gödla tak naprawdę otwiera drzwi
od czystej matematyki do biologii teoretycznej.
Tak przedstawia się moja próba sprawienia,
aby tematy, którymi się zajmuję całe życie,
czyli twierdzenia o niezupełności
i różne wersje twierdzeń limitacyjnych,
ujrzeć w pozytywnym świetle, a nie negatywnym.
Powinienem powiedzieć w tym temacie - nie wiem, czy wszystko dobrze wyjaśniłem -
Chcę powiedzieć, że kolejnym powodem, dla którego cieszę się, że tu jestem
jest to, że mój przyjaciel Karol Jałochowski [przepraszam - język polski przekracza moje umiejętności wymawiania]
stworzył serię filmów dokumentalnych o szalonych naukowcach i myślicielach - "Pionierzy".
Jeden z nich jest o Julianie Barbourze, którego wykład odbył się wczoraj.
W ten piątek o 22.00 możecie obejrzeć w Krakowie w kinie Mikro film Karola o mnie i Virginii.
Odwiedził on nasz dom na tropikalnej wyspie Ilha de Paquetá.
Pytał nas o metabiologię i próbowaliśmy my wytłumaczyć, co robimy.
To, co powiedzieliśmy było nieco pogmatwane, ale Karol zmontował z tego całkiem spójny przekaz.
Możecie to zobaczyć w jego filmie a przy okazji, możecie zobaczyć, jak wygląda życie na tropikalnej wyspie.
Więc nawet jeśli czegoś dziś nie wytłumaczyłem zbyt dobrze, możecie do tego wrócić oglądając fantastyczny film Karola.
Dziękuję bardzo.
