
English: 
In linear algebra linear transformations are
very important, as you have seen.
Linear transformations and their standard
matrices seem unlikely to appear in real life,
but I can almost guarantee that you have used
at least one in the last week, because you
probably used Google!
So why does Google uses matrices?
Well, the algorithm Google uses is based on
a special vector of a matrix to sort your
search results.
This vector is the score of a page within
the entire internet.
As an example, consider the simplified internet
given by websites 1, 2, 3 and 4.
An arrow from 1 to 2 means that page 1 links
to page 2.
The score of page 1 is defined as the sum
of the partial scores of all pages linking
to page 1.
The partial score of a page is the score of
the page divided by the number of outgoing
links of that page.

Dutch: 
In lineaire algebra zijn lineaire transformaties heel belangrijk, zoals je hebt gezien.
Lineaire transformaties en hun standaard
matrices lijken in het echte leven niet voor te komen
maar ik kan bijna garanderen dat je het minstens één hebt gebruikt in de afgelopen week, omdat jij
waarschijnlijk gebruikt maakt van Google!
Dus waarom gebruikt Google matrices?
Nou, het algoritme dat Google gebruikt, is gebaseerd op een speciale vector van een matrix om je
zoekresultaten te sorteren.
Deze vector is de score van een pagina binnenin het hele internet.
Bekijk bijvoorbeeld het vereenvoudigde internet gegeven door websites 1, 2, 3 en 4.
Een pijl van 1 tot 2 betekent dat er links op pagina 1 naar pagina 2 zijn.
De score van pagina 1 wordt gedefinieerd als de som van de partiële scores van alle pagina's die linken
naar pagina 1.
De partiële score van een pagina is de score van de pagina gedeeld door het aantal uitgaande
links van die pagina.

English: 
If x_i is the score of page i, we have for
page 1 a score x_1 equals x3 over 1 plus x4
over 2, because we have links from page 3
and 4 to page 1, and page 3 has one link,
where page 4 has 2 links.
We can do the same for the other four pages,
which gives us the shown linear system.
But you can rewrite this by taking x as the
vector of scores, which gives you A times
x equals x with A as shown.
But this means we want a score vector x such
that a matrix times this vector equals a multiple
of the vector we were looking for!
Such a vector is called an eigenvector and
this vector made Google a 500-plus billion
dollar company!
Today we are going to focus on eigenvectors,
but using matrices of the type Google uses
are of course not the only type of matrices.
So let us start with a 2-by-2 matrix.

Dutch: 
Als x_i de score is van pagina i, hebben we voor pagina 1 een score x_1 is gelijk aan x3/1 + x4/2
omdat we links van pagina 3 en 4 naar pagina 1 hebben en pagina 3 heeft één link,
terwijl pagina 4 2 links heeft.
We kunnen hetzelfde doen voor de andere vier pagina's, wat ons het getoonde lineaire stelsel geeft.
Maar je kunt dit herschrijven door x te nemen als de vector van scores, die je Ax
is gelijk aan x geeft met A zoals weergegeven.
Maar dit betekent dat we een scorevector x zo willen dat een matrix maal deze vector gelijk is aan een veelvoud
van de vector die we zochten!
Zo'n vector wordt een eigenvector genoemd en met deze vector werd Google meer dan 500 miljard
dollar waard!
Vandaag gaan we ons concentreren op eigenvectoren, maar de matrices van het type dat Google gebruikt
zijn natuurlijk niet het enige type matrices.
Dus laten we beginnen met een 2-bij-2 matrix.

Dutch: 
Bekijk de lineaire transformatie T van R^2 tot R^2 met standaardmatrix B en de twee
vectoren u=[ -1, 1] en v=[2, 1].
Je kunt het beeld van u onder T berekenen, dat is natuurlijk B keer u.
Deze vector is [ -5, -1].
Als je hetzelfde doet voor de afbeelding van v onder T, is het antwoord de vector [4, 2].
Omdat het makkelijk is om deze vectoren te tekenen, kun je zien dat v speciaal is, in de zin
dat de richting van B keer v hetzelfde is
zoals v.
B maal v is echter twee keer zo lang als
v, dus Bv = 2v.
Als je u en Bu vergelijkt, zul je niet snel een directe relatie tussen deze twee
vectoren zien.
In de vorige dia zag je dat de vector v een speciale vector is voor de matrix B en
de scalar 2 een speciale scalar is voor deze matrix.

English: 
Consider the linear transformation T from
R2 to R2 with standard matrix B and the two
vectors u equals [minus 1, 1] and v equals
[2, 1].
You can calculate the image of u under T,
which is of course B times u.
This vector is [minus 5, minus 1].
If you do the same for the image of v under
T, the answer is the vector [4, 2].
Because it is easy to draw these vectors,
you can see that v is special, in the sense
that the direction of B times v is the same
as v.
However, B times v is two times as long as
v, so B times v is 2 times v.
If you compare u and B times u, you will not
see any direct relation between these two
vectors.
The previous slide showed you that the vector
v is a special vector for the matrix B and
the scalar 2 is a special scalar for this
matrix.

Dutch: 
Voor elke andere vierkante matrix kunnen er ook ​​dergelijke speciale vectoren en speciale scalaires bestaan,
die we eigenvectoren en eigenwaarden noemen.
Een eigenvector van een n-bij-n matrix A is een niet-nulvector x zodanig dat A maal x gelijk is
aan lambda keer x voor zekere scalaire lambda.
Dus de vector v is een eigenvector van de matrix B uit het voorbeeld, omdat B maal v gelijk was aan
2 keer v. Een scalaire lambda is een eigenwaarde van een n-bij-n
matrix A als de vergelijking Ax = lambda*x een niet-triviale oplossing heeft.
Maar dit betekent dat de scalar 2 een eigenwaarde is van de matrix B uit het voorbeeld, omdat
je een niet-triviale oplossing kent, namelijk v. Gebruikmakend van de definitie van een eigenvector
is het eenvoudig te controleren of, bijvoorbeeld, de vectoren u en v eigenvectoren zijn van de matrix
A. Laten we eerst eens naar u kijken.

English: 
For any other square matrix there can also
exist such special vectors and special scalars,
which we call eigenvectors and eigenvalues.
An eigenvector of an n-by-n matrix A is a
nonzero vector x such that A times x equals
lambda times x for some scalar lambda.
So the vector v is an eigenvector of the matrix
B from the example, because B times v equaled
2 times v.
A scalar lambda is an eigenvalue of an n-by-n
matrix A if the equation A times x equals
lambda times x has a non-trivial solution.
But this means that the scalar 2 is an eigenvalue
of the matrix B from the example, because
you know a non-trivial solution, namely v.
Using the definition of an eigenvector, it
is easy to check whether, for example, the
vectors u and v are eigenvectors of the matrix
A.
Let us first take a look at u.

English: 
If you multiply A and u, you get the vector
[minus 24, 20].
If you take a closer look at this vector,
you will see that A times u equals minus 4
times u.
So if we take lambda equal to minus 4, you
have found that u is an eigenvector of A and
as a bonus that minus 4 is an eigenvalue of
A.
Now let’s check whether v is an eigenvector
of A.
A times v becomes [minus 9, 11].
If you compare A times v with v, you see that
the first component of v is multiplied by
minus 3, but the second component by minus
5 and a halve.
So you can safely say that v is not an eigenvector
of A.
The previous example showed that u was an
eigenvector of A with eigenvalue minus 4.
Could A have more eigenvalues besides minus
4?
Let us try whether 1 is an eigenvalue of A.
If 1 is an eigenvalue of A, then the equation

Dutch: 
Als je A en u vermenigvuldigt, krijg je de vector [ -24, 20].
Als je deze vector beter bekijkt, zul je zien dat Au gelijk is aan -4
keer u.
Dus als we lambda gelijk aan -4 nemen, hebben we geconstateerd dat u een eigenvector van A is en
als bonus dat -4 een eigenwaarde is van A.
Laten we nu eens kijken of v een eigenvector is van A.
Av wordt [ -9, 11].
Als je Av met v vergelijkt, zie je dat de eerste component van v wordt vermenigvuldigd met
-3, maar de tweede component met -5.5.
Je kunt dus gerust zeggen dat v geen eigenvector is van A.
Het vorige voorbeeld toonde aan dat u een eigenvector is van A met eigenwaarde -4.
Kan A meer eigenwaarden hebben naast -4?
Laten we eens kijken of 1 een eigenwaarde van A is. Als 1 een eigenwaarde van A is, dan moet de vergelijking

Dutch: 
Ax = x een niet-triviale oplossing hebben.
Je kunt deze vergelijking in 3 stappen herschrijven naar een vergelijking die je kunt oplossen: leg eerst alles
aan de linkerkant, gebruik in stap 2 dat x gelijk is aan Ix, waar I de 2-bij-2 identiteits-
matrix is.
De derde stap is om x uit te faseren.
Nu hebben we een nieuwe matrix (A - I)x=0 als vergelijking.
Deze vergelijking kun je oplossen met behulp van de aangevulde matrix.
Het gereduceerde rij-echelon-vorm wordt rechts getoond.
Maar dit betekent dat de enige oplossing de nul vector is.
Dus je kunt concluderen dat er geen niet-triviale oplossingen zijn en dus dat 1 geen eigenwaarde van A is.
Het vorige voorbeeld toonde aan dat 1 niet een eigenwaarde van A is.
Zou 7 een eigenwaarde van A kunnen zijn?

English: 
A times x equals x must have a non-trivial
solution.
You can rewrite this equation in 3 steps into
an equation you can solve: first put everything
on the left-hand side, second use that x equals
I times x, where I is the 2-by-2 identity
matrix.
The third step is to factor x out.
Know we have a new matrix, A minus I, times
x equals zero as equation.
This equation you can solve using the augmented
matrix.
The reduced row echelon form is shown on the
right.
But this means that the only solution is the
zero vector.
So you can conclude that there are no non-trivial
solutions and 1 is not an eigenvalue of A.
The previous example showed that 1 was not
an eigenvalue of A.
Might 7 be an eigenvalue of A?

English: 
If 7 is an eigenvalue of A, then the equation
A times x equals 7 times x must have a non-trivial
solution.
You can rewrite this equation in the same
3 steps into an equation you can solve, which
gives you the equation A minus 7 times I,
times x equals zero.
You can solve this equation using the augmented
matrix.
The reduced row echelon form now has a free
variable.
But this means that any vector of the form
t times [1, 1] is a solution to the equation.
If you take t unequal to 0, you have found
a non-trivial solution.
So you definitely know from the definition
that 7 is an eigenvalue of A.
In the examples you have seen how to verify
if a vector is an eigenvector and a scalar
is an eigenvalue of a matrix.
If you only had the matrix, could you somehow
think of a way to find the eigenvalues and
eigenvectors of this matrix?
In class you will learn how you can do this.

Dutch: 
Als 7 een eigenwaarde van A is, dan moet de vergelijking Ax = 7x een niet-triviale
oplossing hebben.
Je kunt deze vergelijking op dezelfde manier herschrijven in 3 stappen in een vergelijking die je kunt oplossen, wat
je de vergelijking (A - 7I)x =0 geeft.
Je kunt deze vergelijking oplossen met behulp van de aangevulde matrix.
De gereduceerde rij-echelon-vorm heeft nu een vrije variabele.
Maar dit betekent dat elke vector van de vorm t maal [1, 1] een oplossing is voor de vergelijking.
Als je t ongelijk aan 0 neemt, heb je een niet-triviale oplossing gevonden.
Dus je weet het zeker door de definitie dat 7 een eigenwaarde is van A.
In de voorbeelden heb je gezien hoe te verifiëren of een vector een eigenvector en of een scalair
een eigenwaarde van een matrix is.
Als je alleen de matrix had, zou je dan een manier kunnen bedenken om de eigenwaarden en
eigenvectoren van deze matrix te vinden?
In college leer je hoe je dit kunt doen.
