
Spanish: 
Digamos que tenemos el caminho mismo apresentado in el vídeo passado.
Dibujamos mi eixo y, eso es mi eixo x.
Digamos que o camino tiene esta forma, parecendo-se
com isto.
Es el mismo que teniamos en el vídeo pasado
Posibilemente no parece exactamente igual, me permite ver lo que yo
hice en el video pasado
Tenía aquella forma en el último vídeo, pero parecido bastante.
Digamos que estamos lidando con exactamente la
misma curva del último vídeo.
La podemos llamar de curva C
En el último vídeo liadmos con um vector que tenía
vectores en la dirección i.
Construyimos con otro vector que tenía apenas vectores en
dirección j, o la dirección vertical.
Digamos que q, el campo de vectores q de xy, es igual
a Q maiúsculo de xy vezes j, y vamos a preocuparnos
vamos a preocuparnos con
a integral fechada de línea sobre el camino c de q punto dr. Y

Turkish: 
-
Bir önceki videodakiyle aynı izi incelemeye devam edelim.
y ekseni ve x eksenini çizeyim.
İzin böyle göründüğünü varsayalım.
-
Bir önceki videodakiyle aynı iz.
Aynı görünmüyor olabilir, bir önceki videoda ne yaptığıma bakayım.
-
Bir önceki videodaki böyleymiş, yeterince benziyor.
Bir önceki videodakiyle aynı eğri olduğunu varsayalım.
-
Bu eğriye c diyelim.
Bir önceki videoda sadece i yönünde vektörleri olan bir vektör alanına bakmıştık.
-
Şimdi sadece j yönünde veya düşey yönde vektörleri olan bir vektör alanı oluşturalım.
-
Büyük Q vektör alanına bakalım, büyük Q x y çarpı j. c eğrisinin üzerindeki kapalı çizgi integralini q iç çarpım d r'nin integralini inceleyeceğiz.
-
-

Polish: 
Weźmy pętlę, którą badaliśmy w poprzednim filmie.
Znów rysujemy oś y i oś x.
Powiedzmy, że krzywa wygląda
jakoś tak.
Zakładamy, że to ta sama krzywa,
choć może nie wyglądają podobnie. Spójrzmy na jej
wcześniejszą wersję.
Wcześniej wyglądała tak. Podobieństwo jest wystarczające.
W każdym razie uznajemy,
że obie krzywe są identyczne.
Nazwijmy ją c.
W poprzednim filmie rozpatrywaliśmy pole wektorowe,
którego wektory były skierowane poziomo.
Tym razem rozpatrzmy pole wektorowe, którego wszystkie wektory są
skierowane pionowo, czyli w kierunku wektora j.
Nazwijmy te pole wektorowe q, gdzie q = q(x,y)
i zdefiniujmy jako Q(x,y) * j.
Będziemy się zajmować

French: 
Disons que nous avons la même trajectoire que dans la vidéo précédente.
Je dessine mon axe y, c'est mon axe x.
Disons que la trajectoire ressemble à ça, ça ressemble
à quelque chose comme ça.
C'est la même que nous avions dans la vidéo précédente.
Ca pourrait ne pas y ressembler exactement, laissez-moi voire ce que j'ai
fait dans la vidéo précédente.
Ca ressemblait à ça dans la vidéo précédente, mais c'est assez proche.
Disons que nous nous occupons d'exactement la même
courbe que dans la vidéo précédente.
Nous pourrions appeler cette courbe c.
Maintenant dans la vidéo précédente, nous avons travaillé avec un champ vectoriel qui avait uniquement
des vecteurs dans la direction i.
Construisons un autre champ vectoriel qui a uniquement des vecteurs dans
la direction j, ou la direction verticale.
Donc disons que q, le champ vectoriel q de xy, disons il est égale
à Q de xy fois j, et nous allons nous occuper
nous allons nous occuper

Estonian: 
Oletame, et meil et meil on sama teekond, mis meil oli eelmises videos.
Joonistan oma y-telje, see on mu x-telg.
Oletame, et joon näeb välja selline, see
on midagi sellist.
See on sama, mis meil eelmises videos oli.
Ei näe küll sarnane välja, las ma vaatan
mis ma tegin eelmises videos.
Eelmises videos oli see selline, enamvähem.
Oletame, et meil on täpselt sama
kurv, nagu eelmises videos.
Kutsume seda kurvi c-ks.
Nüüd viimase video, me käsitletud vektori väli, mis oli ainult
selle i vektorite suunas.
Let's ehitada koos muu vektori välja, et ainult on vektorite
j suunas või vertikaalsuunas.
So let's öelda, et q, vektori välja q, xy, Ütle see on võrdne
XY-diagrammi korda kapitali q j, ja me ei kavatse muret
ise me ei kavatse ise välja kuigi puudutavad

Thai: 
-
สมมุติว่าเรามีเส้นทางเดิมเหมือนในวิดีโอที่แล้ว
วาดแกน y, นี่คือแกน x
สมมุติว่าเส้นทางออกมาเป็นแบบนี้, มัน
เป็นแบบนี้
มันเหมือนกับที่เรามีในวิดีโอที่แล้ว
อาจไม่เหมือนเป๊ะ, แต่ขอผมดูว่า
ผมทำอะไรไปในวิดีโอที่แล้ว
มันดูเป็นแบบนั้นในวิดีโอแล้ว, คล้ายพอแล้วล่ะ
สมมุติว่าเรากำลังยุ่งกับ
เส้นโค้งเดิมในวิดีโอที่แล้ว
เราเรียกมันว่าเส้นโค้ง c
ในวิดีโอที่แล้ว, เรายุ่งกับสนามเวกเตอร์ที่มี
แค่เวกเตอร์ในทิศ i
ลองสร้างสนามเวกเตอร์อีกันที่มีแค่เวกเตอร์ในทิศ
j, หรือทิศดิ่ง
สมมุติว่า q, สนามเวกเตอร์ q ของ xy, สมมุติว่ามัน
เท่ากับ Q ใหญ่ของ xy คูณ j, และเราจะสนใจ
เราจะสนใจ

Portuguese: 
.
Digamos que eu tenha o mesmo caminho que nó fizemos no último vídeo.
Desenho meu eixo-y e meu eixo-x.
Digamos que os caminhos se parecem com isso, eles se parecem
algo assim...
Isso é a mesma coisa que nós vimos no vídeo anterior.
Pode não parecer exatamente igual, deixe-me ver o que eu
fiz no último vídeo...
Isso se parece assim no último vídeo, mas bem parecido.
Então digamos que nós estamos lidando com exatamente
a mesma curva do último vídeo.
Nós podemos chamar de curva c.
No último vídeo, nós lidamos com um campo vetorial que tinha
vetores apenas na direção i.
Vamos construir outro campo vetorial que possui vetores apenas na
direção j, ou direção vertical.
Então digamos que este q, o campo vertorial Q de xy... digamos que ele é igual
ao Q maiúsculo de xy vezes j, e nós iremos tratar
de coisas que envolvem algo muito da

Gujarati: 
ચાલો આપણે કહેવું જ પાથ છે કે અમે છેલ્લા વિડિયો હતો છે.
મારા વાય-અક્ષ દોરો કે, મારા X-અક્ષ છે.

Korean: 
번역자 Dimen
( ^ω^ )
저번 영상과 똑같은 경로를 또 그려보겠습니다
y축을 그리고, x축을 그리고,
경로는 이렇게 생겼습니다
저번과 동일한 경로입니다
정확히 똑같이 그리지는 못하지만
개념적으로는 동일한 경로입니다
저번에서는 어떻게 그렸었나요
아 이렇게 생겼었네요
그래도 충분히 비슷합니다
아무튼 개념적으로는 이 경로는
저번의 경로와 정확히 동일한 경로입니다
이 경로를 c라고 하겠습니다
저번 시간에 우리가 다뤘던 벡터장은
순수 i 방향의 벡터만을 가지고 있었습니다
이번에는 오직 j 방향의 벡터를 가진 벡터장으로
똑같은 일을 해보겠습니다
그래서 벡터장 q(x, y)가
Q(x, y) 곱하기 j 라고 합시다
여기서 우리의 관심사는

Portuguese: 
Digamos que eu tenha o mesmo
caminho do último vídeo.
Desenhar meu eixo y, e esse é meu eixo x.
Digamos que o caminho se pareça com isso.
É o mesmo que usamos no último vídeo.
Talvez não pareça o
mesmo, deixa eu ver o que
fiz no último vídeo.
Parecia com isso no último
vídeo, perto o suficiente.
E vamos dizer que estamos lidando com a
mesma curva também.
Chamamos esse curva de c.
No último vídeo, lidamos com
um campo vetorial que só tinha
vetores na direção i.
Vamos construir outro campo
vetorial que só tem vetores na
direção j, ou na direção vertical.
Digamos que q, o campo
vetorial q de xy, é igual ao
maiúsculo Q de xy vezes j,
e vamos nos preocupar

Arabic: 
لنفترض أن لدينا نفس المسار الذي كان لدينا في الماضي شريط الفيديو.
رسم بلدي المحور y، التي هي بلدي س.
دعنا نقول المسار يشبه هذا، يبدو
شيء من هذا القبيل.
هو نفسه أحد كان علينا في شريط الفيديو الأخير.
قد لا تبدو تماما مثل ذلك، اسمحوا لي أن انظر ما أنا
فعلت في شريط الفيديو الأخير.
بدأ مثل هذا في شريط الفيديو الأخير، لكنه أغلق ما يكفي.
لنفترض أننا نتعامل مع الضبط نفس
منحنى كشريط الفيديو الأخير.
يمكن أن نطلق عليه هذا المنحنى ج.
فيديو آخر الآن، تعاملنا مع حقل ناقل فقط قد
ناقلات في i الاتجاه.
دعونا بناء مع حقل ناقل آخر يحتوي فقط على ناقلات في
اتجاه ي، أو باتجاه عمودي.
لذلك دعونا نقول أن، الميدان متجه لتخطيط س وص، القول أنها متساوية
إلى العاصمة مرات س وص ف ي، وإننا سوف القلق
أنفسنا ونحن في طريقنا إلى نهتم بالرغم

English: 
Let's say we have the same path
that we had in the last video.
Draw my y-axis,
that is my x-axis.
Let's say the path looks
like this, it looks
something like this.
It's the same one we
had in the last video.
Might not look exactly like
it, let me see what I
did in the last video.
It looked like that in the
last video, but close enough.
Let's say we're dealing
with the exact same
curve as the last video.
We could call that curve c.
Now last video, we dealt with
a vector field that only had
vectors in the i direction.
Let's build with another vector
field that only has vectors in
j direction, or the
vertical direction.
So let's say that q, the vector
field q of xy, say it's equal
to capital Q of xy times j, and
we are going to concern
ourselves we're going to
concern ourselves with though

Spanish: 
ya lo hemos visto.
dr puede ser reescrito como dx vezes i, plus dy vezes j.
Si ibamos a tomar el producto punto de estos dos, esta
integral de línea será exactamente el mismo.
Será la misma como la integral línea fechada
sobre c de q punto dr. Q tiene apenas componente j.
Pues, si se toma su
0i, 0 vezes dx es 0, y vas a tener
Q (x,y) vezes dy.
Tenían no componente i, será apenas Q,
Lo cambio al color mismo otra vez, Q(x,y) vejez dy.
Eso es el producto punto.
No había un componente i, por eso eliminamos el dx.
Vemos si hay una forma de resolver esta Integral

Estonian: 
suletud rea ümber q dot dr. tee c lahutamatu ja
Me oleme näinud seda juba.
Dr saab ümber dx i pluss dy korda j alati nii.
Kui me olime võtta dot toote neist kaks, see
rea lahutamatu saab olema täpselt sama asja.
See saab olema sama asja nagu suletud rida
q dot dr c integraal.
Noh, Q on vaid j-osa.
Nii et kui te võtate [? oma?]
0i, et 0 alati dxs on 0, ja siis sa lähed
Q xy on alati dy.
Neil oli ükski i-komponent, nii, et see lihtsalt läheb Q,
Saate lülitada seda sama värvi uuesti, Q x ja y dy.
Mis on dot toode.
Ei olnud ükski i-komponent, see on, miks me kaotaks selle dx.

Korean: 
경로 c에 대한 q 내적 dr의 폐적분입니다
그리고 저번 영상에서 했다시피
dr은 dx i + dy j 로 쓸 수 있습니다
그렇다면 이 dr에 대한 식을
선적분에 대입해 보겠습니다
이 식에서 q에는 j 성분의 벡터밖에 없으므로
dr = dx i + dy j 에서 dy j 많이 살아남습니다
i 성분의 벡터는 없으므로 dx 는 그냥 사라지게 되죠
따라서 Q(x, y)dy 가 됩니다
q에 x 성분 벡터는 없으므로 dx 는 그냥 사라집니다
그래서 한번 써보자면,
Q(x, y) 내적 dy
i 성분이 없으므로 dx는 그냥 사라집니다
이 선적분을 매개변수 t 없이

Arabic: 
خط مغلق لا يتجزأ حول المسار c q دوت الدكتور و
شاهدنا ذلك الفعل.
يمكن إعادة كتابة الدكتور ك dx الأوقات i، بالإضافة إلى dy مرات ي.
حتى إذا كان لنا أن يأخذ المنتج دوت هذه اثنين، وهذا
خط لا يتجزأ ستكون نفس الشيء.
وهذا سيكون نفس الشيء كخط مغلق
متكاملة عبر ج من الدكتور دوت q.
حسنا، قد q فقط مكون ي.
حتى إذا كنت تأخذ [؟ به؟]
هو 0i، حيث الأوقات 0 دكسس 0 ومن ثم أنكم سوف
أن يكون تخطيط س وص ف مرات dy.
لديها أي مكون i، حيث أن هذا هو مجرد الذهاب إلى أن q،
سوف التبديل إلى ذلك اللون نفسه مرة أخرى، ف س وص مرات dy.
وهذا المنتج نقطة.
وكان هناك لا i-المكون، هذا هو السبب نفقد dx.

Thai: 
อินทิกรัลเส้นแบบปิดรอบเส้นทาง c ของ q ดอท dr และ
เราเห็นมันมาก่อนแล้ว
dr เขียนใหม่ได้เป็น dx คูณ i, บวก dy คูณ j
ดังนั้นหากเราหาดอทโปรดัคระหว่างสองตัวนี้, อินทิกรัล
เส้นนี่จะเท่ากับอันนี้
นี่ก็เหมือนกับอินทิกรัลเส้นแบบปิด
ตลอด c ของ q ดอท dr ทีนี้ Q มีแค่องค์ประกอบ j
ดังนั้นหากคุณหา
0 i, งั้น 0 คูณ dx ได้ 0 แล้วคุณก็
ได้ Q xy คูณ dy
มันไม่มีองค์ประกอบ i, ดังนั้นนี่จะเท่ากับ Q
ผมจะเปลี่ยนกลับไปสีเดิมนะ, Q ของ x กับ y คูณ dy
นั่นคือดอทโปรดัค
มันไม่มีองค์ประกอบ i, เราเลยไม่มี dx อีก

Polish: 
całką krzywoliniową po pętli c z funkcji q(x,y) względem dr.
Badaliśmy ją już poprzednio.
Znów dr to inaczej dx * i + dy * j.
Więc możemy przepisać naszą całkę jako
Więc możemy przepisać naszą całkę jako
całkę krzywoliniową wzdłuż pętli c
z funkcji q względem dr. Ale wektory z Q są pionowe,
Więc dx = 0,
0 * i = 0, więc po pomnożeniu
zostaje tylko Q(x,y) * dy.
Podsumowując, dx = 0, więc zostajemy z...
Wróćmy do wcześniejszego koloru. Zostajemy z Q(x,y) * dy
jako wyrażeniem podcałkowym.
Wektory były pionowe, więc przyrost dx jest zerowy.

English: 
closed line integral around the
path c of q dot dr. And
we've seen it already.
dr can be rewritten as dx
times i, plus dy times j.
So if we were to take the dot
product of these two, this
line integral is going to
be the exact same thing.
This is going to be the same
thing as the closed line
integral over c of q dot dr.
Well, Q only has a j-component.
So if you take [? its ?]
0i, so 0 times dxs is 0,
and then you're going
to have Q xy times dy.
They had no i-component, so
this is just going to be Q,
I'll switch to that same color
again, Q of x and y times dy.
That's the dot product.
There was no i-component,
that's why we lose the dx.

Turkish: 
-
Daha önceden gördüğümüz gibi, d r, d x çarpı i artı d y çarpı j olarak yazılabilir.
-
Bu ikisinin iç çarpımını alırsak, bu çizgi integrali aynı ifade olacak.
-
Bu, c eğrisinin üzerindeki q iç çarpım d r'nin kapalı çizgi integraliyle aynı olacak.
-
0 i, yani 0 çarpı d x eşittir 0 ve Q x y çarpı d y.
-
-
Bunun i bileşeni yok, o nedenle iç çarpım Q x y çarpı d y olacak.
-
İç çarpım bu.
i bileşeni olmadığı için d x yok oluyor.

Portuguese: 
integral de linha em torno do caminho c de Q [produto] escalar dr. Que
nós já vimos.
dr pode ser reescrito como dx vezes i, mais dy vezes j.
Então se nós tivermos que fazer o escalar desses dois, esta
integral de linha irá ser exatamente a mesma coisa.
Isso irá ser a mesma coisa da integral de linha
fechada sobre c de Q escalar dr. Bem, Q possui apenas uma componente j...
Então se você pegar este
0i, então zero vezes dxs é zero, e então nós iremos
ter Q xy vezes dy.
Eles não tem componente-i, então isso irá ser apenas Q...
e eu irei trocar de cor novamente, Q de x e y vezes dy.
Isso é o produto escalar.
Não há componente i e isso é a razão de nós perdermos o dx.

Portuguese: 
com a integral de linha fechada em
torno do caminho c de q escalar dr.
E já vimos isso.
dr pode ser reescrito como
dx vezes i, mais dy vezes j.
Então se fôssemos pegar o
produto escalar desses dois, essa
integral de linha vai ser a mesma coisa.
Isso vai ser a mesma coisa que
a integral de linha fechada
sobre c de q escalar dr. Bem,
Q só tem a componente j.
Então se pegar
zero i, bem, zero vezes
dx é zero, e aí teremos
Q de xy vezes dy.
Ele não possui componente
i, então vai ser apenas Q,
Vou mudar para a mesma cor
novamente, Q de x e y vezes dy.
Esse é o escalar.
Não há componente i,
por isso perdemos o dx.

Spanish: 
línea sin recurrir a un parámetro tercero, t.
Exactamente como hicimos en el último vídeo.
Actulamente, será praticamente identico, estamos apenas lidando
con y's ahora en vez de x´s.
Lo que podemos hacer es, que podemos decir, pues, qué es nuestro
minimo y e o nuestro máximo y?
Nuestro mínimo y, digamos que está aqui.
El minimo y, lo llamamos a.
Digamos que nuestro máximo de y que nos obtenemos es exactamente aqui.
Lo llamamos b.
Ah! Assim como no ultimo, eu esqueci de dizer
a direção da curva.
Mas esta é a mesma curva da última vez, que estamos indo em
sentido antí-horário.
A mesma curva, o mesmo caminho.
Então estamos indo nesta direção.
Agora como no último video, dividimos em duas funções de
xs, dois ys como função de x.
Agora queremos lidar com os ys.
Vamos dividir em duas funções de y.
Então se dividirmos esta curva em duas, estes são
os nossos pontos extremos, vamos chamar este caminho daqui,
vamos chamar este caminho de, de y, e aquele

Estonian: 
Nüüd vaatame, kui pole mingil viisil, et me lahendada see rida
ilma, et oleks vaja kasutada kolmanda parameetri lahutamatu t.
Just nagu Me tegime viimase video.
Tegelikult on peaaegu identsed, me oleme lihtsalt tegelevate
koos y's nüüd asemel x's
Nii et me saame teha, võib öelda, hästi, mis on meie
minimaalne y ja meie suurim y?
Nii meie minimaalne y, let's öelda on õige siin.
Minimaalne y, et let's kutsuvad a.
Let's öelda meie suurim y, mis meil on õigus seal.
Let's kutsuvad seda b.
Oh, ja lihtsalt nagu viimases, unustasin öelda teile on
kυvera suunda antud.
Kuid see on viimane kord, kui sama teed nii, et me ei kavatse on
vastupäeva.
Täpselt sama kõver, täpset sama teed.
Nii et me ei kavatse selles suunas.
Nüüd viimase video, me murdis seda arvesse kahe όlesanded
x's, kahe y's x funktsioonina.
Nüüd me tahame käsitleda y's
Let's see sisse murda y kaks funktsiooni.
Nii et kui me murdmise kaks teed seda teed, need on liik
meie äärmises punktid, üleskutset see viimase õige siin, let's

Portuguese: 
Agora vamos ver se tem algum
jeito de resolvermos essa integral
de linha sem precisarmos
de um terceiro parâmetro, t.
Como fizemos no último
Na verdade, vai ser quase idêntico, só
lidamos com y's agora ao invés de x's.
Então podemos nos perguntar, qual é
nosso y mínimo e nosso y máximo?
Nosso y mínimo, digamos que seja aqui.
Vamos chamar de a esse y mínimo.
E vamos dizer que nosso
y máximo está aqui.
Vamos chamar de b.
E eu esqueci de falar que para vocês
a direção da curva.
Mas vai ser o mesmo , então vamos
na direção anti-horária.
Exatamente a mesma curva e
exatamente o mesmo caminho.
Então vamos nessa direção.
No último vídeo, separamos
em duas funções de x,
dois y como funções de x.
Agora queremos os y.
Vamos separar em duas funções de y.
Então se separarmos esse
caminho em dois, esses são
nossos pontos extremos, vamos
chamar esse caminho aqui,

Korean: 
계산할 수 있을지 한번 봅시다
우리가 저번 영상에서 했듯이 말입니다
사실 dx 가 dy 라는 점을 빼고는
거의 동일합니다
일단 첫번째로,  y의 범위를 알아봅시다
최소의 y는 이정도 되겠고요
여기를 a라고 하겠습니다
최대 y는 여기쯤 되겠죠
여기를 b라고 하겠습니다
아, 그러고보니 또 이 경로의 방향을 까먹었네요
당연히 이 경로는 저번 경로와 정확히 똑같으므로
마찬가지로 반시계방향의 경로입니다
정확히 똑같은 곡선, 정확히 똑같은 경로입니다
이 반시계방향으로 가고 있습니다
저번 영상에서는 이 하나의 경로를
두 개의 곡선으로 쪼개서 
두 개의 x에 대한 함수로 나타냈습니다
하지만 오늘의 주인공은 y 이므로
y에 대한 함수르 나누어 보겠습니다
그래서 이 경로를 두 개의 경로로 나누어보자면
최대 y점과 최소 y점을 기준으로

Turkish: 
Şimdi bu çizgi integralini üçüncü parametre t'ye ihtiyaç duymadan çözmeye çalışalım.
-
Geçtiğimiz videoda yaptığımız gibi.
Aslında aynı şeyi yapacağız, x yerine y'lerle aynı işlemleri yapıyoruz.
-
Minimum ve maksimum y değerlerini bulabiliriz.
-
Minimum y burada diyelim. Minimum y değeri a olsun.
-
Maksimum y de şuraaki değer olsun. Ona da b diyelim.
-
Size yine eğrinin yönünü söylemeyi unuttum.
-
Bu, bir öncekiyle aynı iz, yani saat yönünün tersine hareket ediyoruz.
-
Aynı eğri, aynı iz.
Yani bu yönde gidiyoruz.
Bir önceki videoda bunu x cinsinden iki fonksiyona ayırmıştık.
-
Şimdi y'lerle aynı şeyi yapacağız.
y cinsinden iki fonksiyona ayırıyoruz.
Bu izi iki ize ayırırsak, ekstrem noktalarımız bunlar.
-

Thai: 
ทีนี้ลองดูว่ามันมีวิธีที่เราจะแก้อินทิกรัลเส้น
นี่โดยไม่ต้องใส่ตัวแปรที่สามคือ t ได้ไหม
แบบที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว
ที่จริง, มันเกือบเหมือนกันเลย, เราแค่ยุ่ง
กับ y แทนที่จะเป็น x
งั้นสิ่งที่เราทำได้คือ, เราบอกได้ว่า, ทีนี้, ค่า y ต่ำสุด
กับสูงสุดคืออะไร ?
ค่า y ต่ำสุดเรา, สมมุติว่ามันคือตรงนี้
ค่า y ต่ำสุด, เรียกมันว่า a
สมมุติว่าค่า y สูงสุดที่เราได้อยู่ตรงนั้น
เรียกมันว่า b
โอ้, เช่นเดียวกับในวิดีโอแล้ว, ผมลืมบอกทิศของ
เส้นโค้งไป
แต่นี่เป็นเส้นทางเดียวกับครั้งที่แล้ว, ดังนั้นเราจะไปตาม
ทิศทวนเข็มนาฬิกา
เส้นโค้งเดียวกัน, เส้นทางเดียวกัน
เราก็จะไปในทิศนั้น
ทีนี้ในวิดีโอที่แล้ว, เราแบ่งมันเป็นฟังกืชันของ x
สองอัน, y สองตัวเป็นฟังก์ชันของ x
ตอนนี้เราอยากยุ่งกับ y
ลองแบ่งมันเป็นฟังก์ชันของ y สองอัน
หากเราแบ่งเส้นทางนี้เป็นสองเส้นทาง, พวกนั้น
จะเป็นจุดไกลสุด, เรียกเส้นทางนี้, ลองเรียก

Portuguese: 
Agora vejamos se existe alguma maneira para que possamos resolver esta integral
de linha sem ter que recorrer a um terceiro parâmetro, t...
Justamente como fizemos no último vídeo.
Agora, isso será praticamente idêntico, nós estamos apenas lidando
agora com ys ao invés de xs...
Então o que nós vamos fazer, nós podemos dizer, bem, qual é o nosso
y mínimo e o nosso y máximo?
Então nosso y mínimo, digamos, está bem aqui...
O y mínimo, vamos chamá-lo de a...
E digamos que nosso y máximo, que ele se encontra bem aqui..
Vamos chamar isso b.
Oh, e exatamente como no último, eu esqueci de lhe dizer a
direção da curva.
Mas isso é o mesmo caminho que da outra vez, então nós iremos
na direção contrária à dos ponteiros do relógio.
Exatamente a mesma curva, exatamente o mesmo caminho.
Então nós estamos indo nesta direção.
Agora no último vídeo, nós quebramos isso em duas funções de
xs, dois y como funções de x...
Agora nós queremos lidar com ys...
Vamos quebrar isso em duas funções de y...
Então se nós quebrarmos este caminho em dois, estes são do tipo
de nossos pontos extremos, digamos que este caminho bem aqui, vamos

Arabic: 
الآن دعونا نرى إذا كان هناك أي شكل من الأشكال أننا يمكن أن نحل هذا الخط
لا يتجزأ دون الاضطرار إلى اللجوء إلى معلمة ثالث، تي.
مثلما فعلنا في الماضي شريط الفيديو.
في الواقع، سيكون تكاد تكون متطابقة، ونحن نتعامل فقط
مع نوعية الآن بدلاً من علامات x
وحتى ما يمكن أن نفعله، يمكن القول، أيضا، ما قد لدينا
y الدنيا ولنا y الحد الأقصى؟
حتى لدينا ذ الدنيا، دعونا نقول من الصواب هنا.
Y الدنيا، دعونا ندعو أن.
دعونا نقول y الحد الأقصى لنا أن نحقق الحق هناك.
دعونا ندعو أن ب.
أوه، وفقط مثل في الماضي، لقد نسيت أن أقول لكم
اتجاه المنحنى.
ولكن هذا هو نفس المسار كآخر مرة، حتى ونحن في طريقنا
عكس اتجاه عقارب الساعة.
منحنى نفس الدقيقة، نفس المسار الدقيق.
حتى ونحن في طريقنا في هذا الاتجاه.
الآن في شريط الفيديو الأخير، ونحن اقتحم أنه الدالات اثنين من
العاشر، نوعية اثنين كوظيفة من وظائف x.
الآن نحن نريد التعامل مع نوعية
دعونا تقسيم إلى مهمتين لص.
حتى إذا كان يمكننا تقسيم هذا المسار إلى مسارين، تلك نوع
وتشير لنا المتطرف، دعونا ندعو هذا الماضي هنا الحق، دعونا

English: 
Now let's see if there's any
way that we can solve this line
integral without having to
resort to a third parameter, t.
Just like we did in
the last video.
Actually, it will be almost
identical, we're just dealing
with y's now instead of x's.
So what we can do is, we
could say, well, what's our
minimum y and our maximum y?
So our minimum y, let's
say it's right here.
The minimum y,
let's call that a.
Let's say our maximum y that we
attain is right over there.
Let's call that b.
Oh, and just like in the last,
I forgot to tell you the
direction of the curve.
But this is the same path as
last time, so we're going in a
counterclockwise direction.
The exact same curve,
exact same path.
So we're going in
that direction.
Now in the last video, we broke
it up into two functions of
x's, two y's as a
function of x.
Now we want to deal with y's.
Let's break it up into
two functions of y.
So if we break this path into
two paths, those are kind of
our extreme points, let's call
this past right here, let's

Polish: 
Sprawdźmy teraz, czy uda nam się policzyć tę całkę krzywoliniową
bez odwoływania się do parametru t.
Udało się nam to poprzednio.
W gruncie rzeczy ten dowód będzie praktycznie identyczny,
poza tym, że y zastępuje x.
Więc teraz możemy przyjąć, że istnieje
najmniejsze y i największe y.
Najmniejsze y jest tutaj.
Nazwijmy je a.
A największe jest tutaj.
Nazwijmy je b.
Zapomniałem jeszcze dodać,
jaka jest orientacja pętli.
Ale ponieważ to ta sama pętla co ostatnio,
więc orientacja jest odwrotna do ruchu wskazówek zegara.
Mamy tę samą pętlę.
Tę samą orientację.
Ostatnio podzieliliśmy ją na dwie krzywe od x:
y1(x) i y2(x).
Teraz będziemy paramatryzować po y.
Czyli podzielimy pętlę na dwie funkcje zmiennej y.
Więc jeśli podzielimy tę pętle na dwie krzywe,
to są nasze punkty ekstremalne. Tę którą koloruję,

Spanish: 
de x, então aqui, ao longo deste caminho, x é igual a...
Poderia apenas escrever caminho 2, ou c2.
Poderiamos dizer que,
x é igual a x2 de y.
Este é o caminho.
E então o primeiro caminho, ou este não tem que ser o
primeiro caminho, dependendo onde começa.
Você pode começar onde quiser.
Digamos este em magenta.
Vamos chamar de caminho 1, e podemos dizer que, este é definido
como x é igual a x1 de y.
É um pouco confuso quando você tem x como função de y,
Mas na verdade é completamente analogo ao que
fizemos no último vídeo.
Estamos apenas trocando x e y.
Estamos agora expressando x como uma função de y, ao invés
de y como função de x.
Então temosduas curvas.
Você pode imaginar apenas inverter, e estamos fazendo exatamente
a mesma coisa que no último vídeo, apenas
agora em termos de y
Mas se você olhar para isso dessa forma, esta integral de linha pode ser
reescrita como sendo igual a integral, vamos

Estonian: 
nõuavad, et tee paremale, let's kutsuvad seda y, let's kutsuvad
selle x--seda siin seda teed mööda x on võrdne--või I
võiks lihtsalt kirjutada tee 2 või kõne see c2.
Võib öelda, see on,
x on võrdne x 2 y.
Mis on selle tee.
Ja seejärel esimene tee või see ei pea olema selle
esimene tee, sõltuvalt sellest, kus te käivitate.
Saate käivitada suvalist kohta.
Oletame, et see punane (magenta).
Me helistan selle tee 1 ja võib öelda, et on määratletud
x on x 1 y.
See on veidi segane, kui teil on x, y, funktsioonina
aga see on tõesti täiesti sarnane mida me
tegi viimase video.
Me oleme sõna otseses mõttes lihtsalt vahetamine x's ja y.
Me oleme nüüd paberlindi x y, funktsioonina asemel
y x funktsioonina.
Seega me peame neid kahte kõveraid.
Saate kujutada lihtsalt ümberpööramine ja me teeme täpselt
sama asi, et oleme teinud viimase videod, lihtsalt
nüüd seoses y.
Kuid kui sa vaatad seda sellisel viisil, saab selle rea lahutamatu

Korean: 
왼쪽 경로를 c₂라고 하겠습니다
경로 c₂는 y에 대한 함수의 조건을 만족시키므로
이 경로 c₂는
x = x₂(y)라고 할 수 있습니다
그래서 이것이 왼쪽 경로이고요
그리고 첫번째 경로는,
사실 시작하는 위치에 따라 두번째일 수도 있지만,
아무튼 이 자홍색 경로 c₁은
x = x₁(y) 로 쓸 수 있습니다
우리는 보통 x를 입력하면 y가 나오는 함수에 익숙해서
y를 입력하면 x가 나오는 것이 어색할 수도 있지만
개념적으로는 저번과 정확히 동일한 일을 하고 있습니다
그저 x와 y를 바꾸었을 뿐이죠
저번에는 y를 x에 대한 함수로 썼지만
이번에는 x를 y에 대한 함수로 썼을 뿐입니다
그래서 두 개의 곡선이 있습니다
저번과 동일하나
y에 대해서 하고 있기 때문에
곡선을 가로가 아닌 세로로 자르게 되었습니다
이렇게 경로를 두 곡선으로 나누면

Turkish: 
-
Bu ize, ikinci iz veya c 2 diyebilirim.
-
-
x eşittir x 2 y diyebiliriz.
Bu iz, bu.
Ve birinci iz, birinci iz olmak zorunda değil, nereden başladığına göre değişir.
-
İstediğiniz yerden başlayabilirsiniz.
-
Buna birinci iz diyelim, x eşittir x 1 y.
-
x'in y cinsinden fonksiyon olması biraz karışık gelebilir, ama bir önceki videonun tamamen benzeri işlemler yapıyoruz.
-
-
x ve y'leri değiş tokuş ediyoruz.
x'i y cinsinden bir fonksiyon olarak yazıyoruz.
-
Bu iki eğrimiz var.
Bunu çevirdiğinizi düşünürseniz, bir önceki videodakiyle aynı şeyi y cinsinden yapıyoruz.
-
-
Şu şekilde bakarsak, bu çizgi integralinin şu integrale eşit olduğunu söyleyebiliriz. Önce c 2'yi yapalım.

Portuguese: 
vamos chamá-lo de y, vamos chamá-lo de
x de -- aqui, por esse
caminho, x é igual a -- ou eu
poderia apenas escrever
dois, chamá-lo de c2.
Poderíamos dizer que,
x é igual a x2 de y.
Esse é o caminho.
E o primeiro caminho, ou
não precisa ser o primeiro
caminho, podemos começar
em qualquer lugar.
E esse em magenta.
Vamos chamar de caminho um,
e poderíamos dizer que ele
é definido como x é igual a x1 de y.
É um pouco confuso quando
temos x como função de y,
mas é completamente análogo ao que
fizemos no último vídeo.
Estamos apenas trocando os x's com os y's.
Estamos expressando x
como função de y, ao invés
de y como função de x.
Então temos essas duas curvas.
Pode imaginar invertido,
e estaríamos fazendo
exatamente o que fizemos no último,
só que em termos de y.
Mas olhando dessa forma,
essa integral de linha pode ser

Thai: 
เส้นทางนั่นตรงนั้น, เรียก y นั่น, เรียก
x -- ตรงนี้, ตามเส้นทางนี้ x เท่ากับ -- หรือผม
เขียนว่าเส้นทาง 2, หรือเรียกมันว่า c2
เราเรียกมัน
x เท่ากับ x2 ของ y
นั่นคือเส้นทางนั้น
แล้วเส้นทางแรก, หรือมันไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นทางแรก
ขึ้นอยู่กับว่าคุณเริ่มตรงไหน
คุณเริ่มตรงไหนก็ได้
สมมุติว่าอันนี้สีบานเย็น
เราเรียกมันว่าเส้นทาง 1, และเราบอกว่า, นั่นกำหนด
โดย x เท่ากับ x1 ของ y
มันอาจงงหน่อยตอนคุณมี x เป็นฟังก์ชันของ y
แต่มันเป็นเหมือนกันกับสิ่งที่
เราทำในวิดีโอที่แล้ว
เราแค่สลับหน้าที่ของ x กับ y
ตอนนี้เรากำลังเขียน x เป็นฟังก์ชันของ y, แทนที่
จะเป็น y เป็นฟังก์ชันของ x
เราเลยมีเส้นโค้งสองอันนี้
คุณอาจจินตนาการว่าพลิกมัน, แล้วเราก็กำลัง
ทำแบบเดียวกับที่ทำในวิดีโอที่แล้ว, แค่
อยู่ในเทอมของ y
แต่หากคุณมองมันแบบนี้, อินทิกรัลเส้นนี่สามารถ

Portuguese: 
chamar aquele caminho lá, vamos chamar isso y, vamos chamar
aquilo x de... então aqui, ao longo deste caminho, x é igual a... ou eu
poderia apenas escrever caminho 2, ou chamar isso c2.
Nós podemos chamar isso...
x é igual a x2 de y...
Isso é esse caminho.
E então o primeiro caminho, ou isso não precisa ser o
primeiro caminho, dependendo de por onde você começou.
Você poderia ter começado de qualquer lugar.
Digamos, daqui, em magenta...
E nós iremos chamar isso caminho 1, e nós podemos dizer, que isso foi definido
como x igual a x1 de y.
Isso fica um pouco confuso quando você tem x como função de y,
mas isso é realmente completamente análogo ao que nós
fizemos no último vídeo.
Nós literalmente estamos apenas trocando os xs e ys...
Agora nós estamos expressando x como função de y, ao invés
de y como função de x.
Então nós temos estas duas curvas.
Você pode imaginar apenas inverter isso, e nós estamos fazendo exatamente
a mesma coisa que nós fizemos nos últimos vídeos, apenas
agora em termos de y.
Mas se você olhar desta maneira, esta integral de linha pode ser

English: 
call that path right there,
let's call that y, let's call
that x of-- so here, along this
path, x is equal to-- or I
could just write path
2, or a call it c2.
We could say it's,
x is equal to x2 of y.
That's that path.
And then the first path, or
it doesn't have to be the
first path, depending
where you start.
You can start anywhere.
Let's say this one in magenta.
We'll call that path 1, and we
could say, that that's defined
as x is equal to x1 of y.
It's a little confusing when
you have x as a function of y,
but it's really completely
analogous to what we
did in the last video.
We're literally just
swapping x's and y.
We're now expressing x as
a function of y, instead
of y as a function of x.
So we have these two curves.
You can imagine just flipping
it, and we're doing the exact
same thing that we did in
the last videos, just
now in terms of y.
But if you look at it this way,
this line integral can be

Arabic: 
استدعاء بأن الحق في مسار هناك، دعونا ندعو أن y، دعونا ندعو
أن العاشر من اليوم حتى هنا، السير على هذا الدرب، x هو يساوي اليوم، أو
يمكن أن تكتب فقط المسار 2، أو مكالمة من c2.
ويمكننا أن نقول له،
يساوي x 2 x من y.
وهذا هو ذلك الطريق.
وبعد ذلك المسار الأول، أو أنه لا ينبغي أن يكون
المسار الأول، تبعاً حيث يمكنك بدء تشغيل.
يمكنك البدء في أي مكان.
لنفترض أن هذا واحد في أرجواني.
سوف ندعو هذا المسار 1، ويمكننا أن نقول، أن يعرف
حيث x يساوي 1 x من y.
أنها مربكة قليلاً عندما يكون لديك x كدالة لص،
بل أنه يماثل ما كنا حقا تماما
فعلت في شريط الفيديو الأخير.
نحن كنت مبادلة حرفيا مجرد علامات x و y.
نحن الآن إذ تعرب عن x كدالة لص، بدلاً من ذلك
لص كوظيفة من وظائف x.
لذا يتعين علينا هذه المنحنيات اثنين.
يمكنك أن تتخيل التقليب فقط، وإننا نقوم الضبط
الشيء نفسه أن فعلنا في الماضي أشرطة الفيديو، مجرد
الآن من حيث y.
ولكن إذا كنت ننظر إلى الأمر بهذه الطريقة، يمكن أن يكون هذا الخط لا يتجزأ

Polish: 
niech na niej
x będzie funkcją y.
Nazwijmy tę krzywą c2.
Czyli tutaj
x = x2(y).
Ją już mamy z głowy.
A tę krzywą nazwijmy c1.
Oczywiście nie jest ważne, którą nazwiemy c1, a którą c2.
Oczywiście nie jest ważne, którą nazwiemy c1, a którą c2.
Pokolorujmy ją na purpurowo.
Więc tę krzywą nazwaliśmy c1, i na niej
x = x1(y).
Może trochę dziwić, że x jest funkcją y,
ale tak naprawdę wykonujemy tę samą operację
co w pierwszym filmie.
Zamieniliśmy tylko x i y miejscami.
Więc teraz x jest funkcją y, tak jak wcześniej
y był funkcją x.
Zdefiniowaliśmy więc dwie krzywe.
Jak łatwo zauważyć, gdybyśmy obrócili płaszczyznę,
to powtarzamy krok w krok rachunki z pierwszego filmu,
tylko teraz wszystko zależy od zmiennej y.
Korzystając teraz z tego podziału, naszą całkę

Korean: 
이 선적분 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다
b 부터 a까지
곡선 c₂의 적분
b에서 시작해서 a로 가는 것입니다
그러니까 높은 y에서 낮은 y로 가는 것이죠
그리고 이 곡선 c₂는
Q(x, y)로 쓸 수 있는데
x가 y₂(x)이므로,
x 대신 x₂(y)를 대입해 주면
Q(x₂(y), y)가 됩니다
 
그리고 dy를 붙여줍니다
이것이 왼쪽 곡선에 대한 적분입니다

Thai: 
เขียนใหม่ว่าเท่ากับอินทิกรัล, ลองทำ
c2 ก่อน
นี่คืออินทิกรัลจาก b ถึง a
เราเริ่มที่ b, แล้วไปยัง a
นี่คือ, เรากำลังกลับจากค่า y มากไปค่า y น้อย
อินทิกรัลจาก b ถึง a ของ Q ของ -- ในสีเทานั่น
Q ของ, แทนที่จะเป็น x ตรงนั้น, เรารู้ว่าตามเส้นโค้งนี่ตรงนี้
x เท่ากับ, เราอยากให้ทุกอย่างอยู่ในรูปของ y
งั้นตรงนี้, x เท่ากับ x2 ของ y
ดังนั้น Q ของ x2 ของ y, x2 ของ y ลูกน้ำ y, บางทีผมอาจใช้
สีมากไปหน่อย, แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ
dy
-
งั้นนี่คือส่วนของอินทิกรัลเส้น, ตลอด
เส้นโค้งทางซ้ายมือนี่

Polish: 
możemy przepisać jako,
zaczynając od krzywej c2,
jako całkę od b do a,
jako całkę od b do a,
czyli inaczej od górnych y do dolnych y,
z funkcji Q. Zapiszmy to na szaro.
Teraz skorzystamy z tego, że na tej krzywej
x jest funkcją zmiennej y.
Czyli x = x2(y).
Więc mamy Q(x2(y),y). Chyba użyłem zbyt wielu kolorów,
ale pewnie rozumiecie o co chodzi.
I oczywiście przepisujemy dy.
Więc ta całka reprezentuje lewą część
wyjściowej całki po pętli.

Arabic: 
إعادة كتابة كما يجري على قدم المساواة إلى التكامل، دعونا
فقط تفعل c2 أولاً.
وهذا التكامل من ب إلى.
نبدأ في ب، ونذهب إلى.
وهذا، كنت عائدا من ذ عالية إلى ذ منخفضة.
المتكاملة من ب إلى ل q من اليوم في أن رمادي اللون.
Q، بدلاً من الاضطرار x هناك، ونحن نعرف على طول هذا المنحنى
حق هنا، يساوي x، نحن نريد كل شيء من حيث y.
حتى هنا، يساوي x 2 x من y.
Q حتى 2 x من y، 2 x من y y فاصلة، ربما أنا باستخدام عدد كبير من
الألوان هنا، لكنني أعتقد أن تحصل على الفكرة.
dy.
حتى هذا هو الجزء من الخط الذي لا يتجزأ، ما يزيد قليلاً
هذا المنحنى اليد اليسرى.

Spanish: 
resolver a curva c2 primeiro.
Esta é a integral de b e a.
Começamos em b, e vamos até a.
Isto é, estamos voltando do y elevado para o y baixo.
A integral de b para a de Q, em cor cinza.
Ao invés de ter um x aqui, que conhecemos ao longo desta curva
aqui, x é igual a, nos queremos tudo em termos de y.
Então aqui, x é igual a x2 de y.
Logo Q de x2 de y, x2 de y virgula y, talvez eu esteja usando cores demais
aqui, mas acho que você entendeu a idéia.
dy.
dy.
Así que esta es la parte de la línea integral, poco más de
Esta curva de la mano izquierda.

Turkish: 
-
-
b'dan a'ya bir integral.
b'den başlayıp a'ya gidiyoruz.
Büyük y değerinden küçük y değerine gidiyoruz.
b'den a'ya Q'nun integrali, x yerine her şeyi y cinsinden istiyoruz.
-
-
x eşittir x 2 y.
Q x 2 y virgül y d y.
-
-
-
Burası soldaki eğrinin çizgi integrali.
-

Estonian: 
nagu on võrdne lahutamatu, let's ümber
Tehke esmalt c2.
See on b integraal a.
B hakkame ja me minna a.
See on, et me oleme sealt tagasi kõrge y madala y.
B integraal on hall värvi,--punktis q.
Q, asemel võttes x, me teame, piki nimetatud kõver
just siin x on võrdne, soovime kõik seoses y.
Nii et siin on võrdne x 2 y x.
Nii q y, y koma y, x 2 x 2 võib-olla ma kasutan liiga palju
Siin värve, kuid ma arvan, saate idee.
Dy.
Nii see on lahutamatu veidi üle rea osa
kõvera vasaku käe.

English: 
rewritten as being equal to
the integral, let's
just do c2 first.
This is the integral
from b to a.
We start at b, and we go to a.
This is, we're coming back
from a high y to a low y.
The integral from b to a of
Q of-- in that gray color.
Q of, instead of having an x
there, we know along this curve
right here, x is equal to, we
want everything in terms of y.
So here, x is equal to x2 of y.
So Q of x2 of y, x2 of y comma
y, maybe I'm using too many
colors here, but I think
you get the idea.
dy.
So this is the part of the
line integral, just over
this left hand curve.

Portuguese: 
reescrita como sendo igual à integral... vamos
resolver primeiro c2.
Esta é a integral de b até a...
Nós começamos em b e nós chegamos a a.
Isso é, nós estamos retornando de um y elevado a um y baixo.
A integral de b até a de Q de... nesta cor cinzenta...
Q de, ao invés de ter um x ali, nós sabemos ao longo desta curva
bem aqui, x é igual a... nós queremos tudo em termos de y.
Então aqui, x é igual a x2 de y.
Então Q de x2 de y, x2 de y vírgula y... talvez eu esteja usando
cores demais aqui, mas eu penso que você entendeu a ideia...
dy...
.
Então esta é a parte da integral de linha, justamente sobre
esta curva à esquerda...

Portuguese: 
reescrita como sendo
igual a integral, vamos
fazer c2 primeiro.
Essa é a integral de b até a.
Começamos em b e vamos até a.
Estamos voltando do y alto para o y baixo.
A integral de b até a
de Q de -- nesse cinza.
Q de, ao invés de ter um x aqui,
sabemos que ao longo dessa curva,
x é igual a, queremos tudo em termos de y.
Então aqui, x é igual a x2 de y.
Então Q de x2 de y, x2 de y vírgula
y, talvez eu esteja usando muitas
cores aqui, mas acho
que pegou a ideia. dy.
Essa é a parte da
integral de linha, sobre
essa curva na esquerda.

Turkish: 
Buna y eşittir a'dan y eşittir b'ye Q x 1 y'nin integralini ekleyeceğiz.
-
-
-
-
x 1 y virgül y d y ve bir önceki videodaki işlemlerin aynısını yapabiliriz.
-
Altta büyük sayı olmasını tercih etmiyoruz, bu ikisini değiş tokuş edelim.
-
Bunları değiş tokuş edersek, bunu a şunu b yaparsak, integrali eksi 1'le çarpmış oluruz.
-
Bu ikisini değiş tokuş edersek, yön değişir.
Bir önceki videodakiyle yaptığımızın aynısı, umarım çok karışık gelmiyor.
-
Şimdi bu iki belirli integralin limitleri aynı, onun için tek belirli integral olarak ifade edebilirim.
-

Arabic: 
ومن ثم سنقوم بإضافة إلى أن تكامل الخط، أو
حقا مجرد متكاملة عادية الآن، من y يساوي لص
يساوي ب ف، بدلاً من x تساوي 2 x، الآن x
هو يساوي 1 x من y، مساو لهذا المنحنى، وهذا
دالة أخرى.
حتى 1 x من y، 1 x من y y فاصلة، dy، ويمكننا أن نفعل تماما ماذا
فعلنا في الفيديو السابقة.
بدلاً من ذلك، أننا لا نحب عدد أكبر في الجزء السفلي، حتى
دعونا مبادلة هذين حولها.
حتى إذا لك مبادلة هذه اثنين، إذا قمت بإجراء ذلك في، و
وهذا في ألف باء، الذي يجعل السالبة المتكاملة،
عند لك مبادلة الاثنين، تغيير الاتجاه.
وهذا بالضبط ما فعلناه في شريط الفيديو الأخير، لذا نأمل
أنها ليست يتوهم جداً.
ولكن الآن بعد أن لدينا نفس حدود التكامل،
هذه تكاملات أداة التعريف اثنين، يمكن فقط نكتب إياها

Polish: 
Do niej dodajemy drugą całkę po drugiej krzywej,
w sumie już standardową całkę funkcji Q
dla y przebiegającego od a do b. Tu oczywiście x to już nie x2(y),
ale x1(y), bo jesteśmy na drugiej krzywej,
sparametryzowanej przez x1.
Więc mamy Q(x1(y),y) i to jeszcze razy dy. Czyli krok w krok
powtarzamy poprzednie rozumowanie.
Teraz zamieńmy jeszcze te dwie cyfry miejscami, żeby
większa była na górze.
Więc tutaj będzie a,
tutaj b, a przed całką pojawi się minus,
bo odwróciliśmy granice całkowania.
Zastosowaliśmy tę zamianę w poprzednim filmie, więc mam nadzieję,
że nie sprawia ona kłopotów.
Teraz, kiedy mamy te same granice całkowania,
różnicę tych całek możemy zapisać

Estonian: 
Ja siis me ei kavatse lisada mis integraalina real või
tegelikult lihtsalt regulaarne lahutamatu nüüd y on võrdne a y
on võrdne b, q asemel x x x 2, nüüd-ga
on võrdne x 1 y, see on võrdne kõvera see
muid funktsioone.
Nii x 1 y, x 1 y koma y, dy, ja me saame teha täpselt mida
Me tegime eelmine video.
Selle asemel me ei meeldi suurema hulga all on nii
Let's vahetada need kaks ümber.
Nii et kui te Vaheta neid kaks, kui teete seda ühendusse on, ja
see arvesse b, mis võimaldab integraal negatiivsest,
Kui saate vahetada kahe, suuna muutmine.
See on täpselt see, mida me ei viimase video, nii et loodetavasti
see ei ole midagi liiga väljamõeldud.
Kuid nüüd, kui meil on integratsiooni, sama piirid
need kaks definite integraalid, me lihtsalt kirjutada neid

Thai: 
แล้วเราก็เติมอินทิกรัลเส้นนั้น,
หรืออินทิกรัลธรรมดา, จาก y เท่ากับ a ถึง y
เท่ากับ b ของ Q ของ, แทนที่จะเป็น x เท่ากับ x2,
ตอนนี้ x เท่ากับ x1 ของ y, มันจะเท่ากับเส้นโค้งนี่,
ฟังก์ชันอีกอันนี่
งั้น x1 ของ y, x1 ของ y ลูกน้ำ y, dy, แล้วเราก็ทำ
แบบเดียวกับที่ทำในวิดีโอที่แล้ว
แทนที่, เราไม่ชอบให้เลขเยอะอยู่ข้างล่าง,
เราก็สลับที่สองตัวนี่กัน
และหากคุณสลับสองตัวนี้, หากคุณเปลี่ยนนี่เป็น a, และนี่
เป็น b, มันจะทำให้อินทิกรัลเป็นลบ,
เมื่อคุณสลับสองตัว, เปลี่ยนทิศมัน
นี่คือสิ่งเดียวกับที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว, หวังว่า
มันคงไม่ประหลาดเกินไปนะ
แต่ตอนนี้ เรามีขอบเขตอินทิเกรตเดียวกัน
อินทิกรัลจำกัดเขตสองตัวนี่, เราก็สามารถเขียนมันเป็นอินทิกรัล

Portuguese: 
E vamos adicionar nessa
integral de linha, ou
uma integral normal aqui,
de y é igual a a até y
igual a b de Q de, ao
invés de x ser x2, agora x
é igual a x1 de y, igual
a essa curva, essa
outra função.
Então x1 de y, x1 de y vírgula y, dy, e
podemos fazer exatamente o que
fizemos no último vídeo.
Ao invés de, não gostamos
do número maior embaixo,
então vamos trocar esses dois.
Se você trocar esses dois, se
transformar isso em a, e isso
em b, temos o negativo da integral,
quando trocamos os
dois, mudamos a direção.
É o que fizemos no último vídeo, então
nada de novo.
Mas agora que temos os
mesmo limites de integração,
essas duas integrais definidas,
podemos escrevê-las como apenas

Spanish: 
Y, a continuación, vamos a agregar que la integral de línea, o
realmente sólo un integral regular ahora, y es igual a una y
es igual a b q, en lugar de x es igual a x 2, ahora x
es igual a 1 x de y, es igual a esta curva, esto
otra función.
Así 1 x de y, x 1 y coma y, dy, y podemos hacer exactamente lo que
lo hicimos en el video anterior.
En lugar de, no nos gusta el número más grande en la parte inferior, por lo que
vamos a intercambiar estos dos alrededor.
Así que si usted intercambiar estos dos, si haces esto en una, y
Esto en un b, que hace que la negativa de la integral,
al intercambiar los dos, cambiar la dirección.
Esto es exactamente lo que hicimos en el último video, así que esperemos
no es nada demasiado elegantes.
Pero ahora que tenemos los mismos límites de la integración,
estas dos integrales definidas, sólo podemos escribir como

Portuguese: 
E então nós iremos acrescentar isso à integral de linha, ou
de fato agora apenas uma integral regular, de y igual a a a y
igual a b de Q de, ao invés de x ser igual a x2, agora x
é igual a x1 de y, isso é igual à esta curva, esta
outra função.
Então x1 de y, x1 de y, vírgula y, dy... e nós podemos fazer exatamente o quê
nós fizemos no vídeo anterior...
Ao invés de... nós não queremos o número maior embaixo, então
vamos intercambiar estes dois...
Então se você trocar estes dois, se você transformar isso em um a e
este em um b, isso faz com que a integral agora seja negativa,
quando você os troca, muda a direção...
Isso é exatamente o que nós fizemos no último vídeo, então espero
que isso não seja muito exótico...
Mas agora que nós temos os mesmos limites de integração,
estas duas integrais definidas... nós podemos apenas as escrever como

Korean: 
그러면 이제 오른쪽 곡선도 해줘야겠죠?
이 적분은 y=a에서 y=b까지 진행됩니다
그리고 c₁는 Q(x, y)인데
여기에서는 x=x₁(y) 이므로
Q(x₁(y), y)dy 가 됩니다
그리고 저번 영상에서도 했듯이
큰 숫자가 밑에 오는 것은 싫으니까
적분범위를 반대로 뒤집어 주겠습니다
따라서 밑을 a로 하고 위를 b로 바꾸면
정적분이 음의 값이 됩니다
방향이 뒤집어졌으니까요
저번 영상에서 했던 것과 똑같기 때문에
어색하진 않을 것입니다
이렇게 함으로써 두 정적분의 적분범위가 같아졌으므로

English: 
And then we're going to add to
that the line integral, or
really just a regular integral
now, from y is equal to a to y
is equal to b of Q of, instead
of x being equal to x2, now x
is equal to x1 of y, it's equal
to this curve, this
other function.
So x1 of y, x1 of y comma y,
dy, and we can do exactly what
we did in the previous video.
Instead of, we don't like the
larger number on the bottom, so
let's swap these two around.
So if you swap these two, if
you make this into an a, and
this into a b, that makes it
the negative of the integral,
when you swap the two,
change the direction.
This is exactly what we did in
the last video, so hopefully
it's nothing too fancy.
But now that we have the same
boundaries of integration,
these two definite integrals,
we can just write them as

Arabic: 
واحد أداة التعريف متكاملة.
حتى هذا لن يكون مساوياً المتكاملة من إلى ب.
وأنا اكتب هذا واحد أولاً، حيث أنها إيجابية.
وأنا اكتب في هذا واحد.
Q من 1 x من y y فاصلة، مطروحاً منه هذا واحد.
أليس كذلك؟
لدينا الطرح هنا.
ناقص 2 x من y و y dy.
اسمحوا لي أن تفعل ذلك في تلك الألوان المحايدة.
dy، التي تضرب كل هذه الأشياء.
أنا وزعت الخروج dy، وأعتقد أن تحصل على الفكرة.
وهذا مطابق ما فعلناه في شريط الفيديو الأخير.
وهذا يمكن أن تعاد، حيث أن هذه مساوية للتكامل
من إلى ب، ومن داخل المتكاملة، يمكننا تقييم
وظيفة ف س وص من الحدود، الجزء العلوي

English: 
one definite integral.
So this is going to be equal
to the integral from a to b.
And I'll write this one
first, since it's positive.
Of, I'll write in this one.
Q of x1 of y comma
y, minus this one.
Right?
We have the minus sign here.
Minus q of x2 of y and y dy.
Let me do that in
that neutral color.
dy, that's multiplied by
all of these things.
I distributed out the dy,
I think you get the idea.
This is identical to what
we did in the last video.
And this could be rewritten as,
this is equal to the integral
from a to b of, and inside of
the integral, we're evaluating
the function of Q of xy from
the boundaries, the upper

Portuguese: 
uma integral definida.
Então isso vai ser igual
a integral de a até b.
E vou escrever esse
primeiro, já que é positivo.
Vou escrever esse aqui.
Q de x1 de y vírgula y, menos esse. Certo?
Temos o menos aqui.
Menos Q de x2 de y e y dy.
Deixa eu fazer isso nessa cor neutra.
dy, multiplicado por tudo isso.
Eu distribuí o dy, acho
que deu para entender.
Mesma coisa que
fizemos no último vídeo.
E isso pode ser reescrito como
isso sendo igual a integral
de a até b de, e dentro da
integral, estamos calculando
a função de Q de xy entre os limites, onde

Spanish: 
una integral definida.
Así que esto va a ser igual a la integral de un a b.
Y voy a escribir esta en primer lugar, ya que es positiva.
Voy a escribir en éste.
Q de x 1 y coma y, menos ésta.
¿Verdad?
Aquí tenemos el signo.
Menos de 2 x y y q dy.
Permítanme hacer eso en ese color neutro.
dy, que se multiplica por todas estas cosas.
Distribuyen la dy, creo que usted consigue la idea.
Esto es idéntico a lo que hicimos en el último video.
Y esto podría ser reescrita como, esto es igual a la integral
de una a la b y dentro de la integral, nosotros estamos evaluando
la función de q de xy de los límites, la parte superior

Estonian: 
üks definite lahutamatu.
Nii, et see saab olema võrdne integraal a b.
Ja teile writing see esiteks, kuna see on positiivne.
Ma tulen kohe kirjutada see.
Q on x 1 y koma y, millest on maha arvatud see.
Õigus?
Meil on siin miinusmärk.
2 X ja y y q miinus dy.
Tahaksin teha, et neutraalne värv.
Dy, mis on korrutatud kõiki neid asju.
Ma jagada selle dy läbi, ma arvan, et saate idee.
See on identne Me tegime viimase video.
Ning see võiks ümber, kui see on võrdne integraal
alates a b ning sees integraal kavandatud, me oleme hindamine
XY-diagrammi piiridest, ülemise q funktsioon

Thai: 
จำกัดเขตอันเดียว
งั้นนี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก a ถึง b
และผมจะเขียนอันนี้ก่อน, เพราะมันเป็นบวก
โอเค, ผมจะเขียนเป็นแบบนี้
Q ของ x1 ของ y ลูกน้ำ y, ลบอันนี้
จริงไหม?
เรามีเครื่องหมายลบตรงนี้
ลบ q ของ x2 ของ y กับ y dy
ขอผมใช้สีกลางนั่นนะ
dy, นั่นคูณด้วยด้วยทั้งหมดนี่
ผมกระจาย dy ออกมา, ผมว่าคุณคงเข้าใจ
นี่เหมือนกับสิ่งที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว
และนี่สามารถเขียนใหม่เป็น, นี่เท่ากับอินทิกรัล
จาก a ถึง b ของ, ข้างในอินทิกรัล, เรากำลัง
แทนค่า Q ของ xy จากขอบ, ขอบบน

Korean: 
이 두 개의 정적분을 묶을 수 있습니다
그래서 인테그럴 a에서 b로 묶어내자면
양의 부호를 가진 자홍색 인테그럴부터 하겠습니다
 
Q(x₁(y), y)
빼기 초록색 인테그럴
그러니까 Q(x₂(y), y)
그리고 dy
dy는 다른 색깔로 할까요
dy, 그리고 괄호를 씌워줘야죠
그리고 여기에서 dy를 분배하겠습니다
저번에 했던 것과 완전 똑같죠?
dy를 분배하면 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다
적분 a에서 b까지, 그리고
Q(x₁(y), y) - Q(x₂(y), y)는

Turkish: 
-
a'dan b'ye, pozitif olduğu için ilk olarak bunu yazıyorum.
-
Bunu yazıyorum.
Q x 1 y virgül y eksi bu.
Öyle değil mi?
Burada eksi işareti var.
Eksi Q x 2 y, y d y
-
d y bunların hepsiyle çarpılıyor.
d y'yi dağıtıyorum, sanıyorum anladınız.
Bir önceki videoda yaptıklarımızla aynı.
a'dan b'ye, integralin içinde Q x y'nin limitlerdeki değerlerini buluyoruz, üst limit x eşittir x 1 y, alt limit x eşittir x 2 y.
-
-

Polish: 
jako całkę różnicy.
Więc dostaniemy jedną całkę od a do b.
Zacznę od tej, bo jest dodatnia.
Czyli pod całką mamy
Q(x1(y),y) minus pierwsza całka.
Czyli,
zacznijmy od minusa,
minus Q(x2(y),y). Razy dy.
Zmieńmy kolor na niebieski.
Przez dy mnożymy oczywiście obie funkcje podcałkowe.
Pewnie rozumiecie, co się stało.
Wciąż powtarzamy kroki z pierwszej części dowodu.
Tę całkę możemy zaś przekształcić do całki
od a do b,
z funkcji Q(x,y) w granicach

Portuguese: 
uma integral definida.
Então isso irá ser igual à integral de a até b...
E eu irei escrever primeiro esta, uma vez que ela é positiva.
De... eu irei escrever esta aqui.
Q de x1 de y vírgula y, menos esta aqui...
Correto?
Nós temos o sinal de menos aqui.
Menos q de x2 de y e y dy...
Deixe-me fazer isso nesta cor neutra...
dy, isso multiplicado por todas estas coisas...
Eu distribuí todo o dy... eu penso que você entendeu isso...
Isso é idêntico ao que nós fizemos no último vídeo.
E isso pode ser reescrito como, isso é igual à integral
de a até b de, e dentro da integra, nós estamos valorando
a função de Q de xy em suas fronteiras, a fronteira

English: 
boundary, where, the upper
boundary is going to be from x
is equal to x1 of y, and
the lower boundary is
x is equal to x2 of y.
Right?
All the x's we substituted with
that, and then we get some
expression, and then from that,
we subtract this with x
substituted as x2 of y.
That's exactly what we did, and
just like I said in last video,
we're going kind of the reverse
direction that we normally
go in definite integrals.
We normally get to this,
and then the next
step is, we get this.
But now we're going in the
reverse direction, but it's
all the same difference.
And all of that times dy.
And just like we saw in the
last video, this, let me do it
in orange, this expression
right here, actually let me
draw that dy a little
further out so it doesn't
get all congested.
Let me do the dy out here.
This expression, this entire
expression, is the same exact

Polish: 
z funkcji Q(x,y) w granicach
od x = x1(y)
do x = x2(y).
do x = x2(y).
Czyli x z lewej zastąpiliśmy przez x1(y),
co zapisujemy w ten sposób, pamiętając, że x z prawej
zastąpiliśmy przez x2(y).
Tylko tyle się stało i w sumie tak jak mówiłem w poprzednim filmie,
wykonaliśmy od tyłu standardowy rachunek stosowany do
obliczania całek oznaczonych.
Zazwyczaj zaczynamy tu, a potem
przechodzimy do tego.
Ale tym razem idziemy odwrotnie, bo oczywiście
tak też można.
Trzeba to jeszcze pomnożyć przez dy.
I tak jak w części pierwszej te wyrażenie,
oznaczmy je na pomarańczowo, te wyrażenie...
Zapiszmy te dy trochę dalej,
żeby uniknąć bałaganu.
Zapiszmy je aż tutaj.
Te wyrażenie jest zupełnie tym samym,

Estonian: 
piire, kui ülemise piiri läheb x
võrdub y, x 1 ja alumine piir on
x on võrdne x 2 y.
Õigus?
Kõik x's meil asendatud seda ja siis saame mõningaid
sõnavabadus, omast, me lahutage see x
kui x 2 y asendada.
See on täpselt see, mida me ei ja nagu ma ütles viimase video
Me oleme läheb liiki vastupidises suunas seda me tavaliselt
definite integraalid minna.
Meil tavaliselt saada see ja seejärel järgmise
samm on, et me saame seda.
Kuid nüüd me ei kavatse vastupidises suunas, kuid see on
samas erinevust.
Ja kõik see dy korda.
Ja just nagu nägime viimase video, lubage mul teha see
Oranž, siin, see avaldis on tegelikult tahaksin
Joonistage selle dy vähe täiendavat välja nii, et see ei ole
Too kõik ülekoormatud.
Lubage mul teha dy siin.
See avaldis, kogu avaldis on sama täpset

Turkish: 
-
-
-
Öyle değil mi?
x yerine bunu yazıyorum ve bundan x 2'yi koyduğum zamanki değeri çıkarıyorum.
-
-
Yaptığımız şey aynen buydu, belirli integralleri çözerken izlediğimiz yöntemin tam tersini uyguluyoruz.
-
-
Genelde bu adımdan şu adıma ulaşıyoruz.
-
Ama biz aksi yönde hareket ediyoruz, ikisi de aynı şey.
-
Bunun tamamı çarpı d y.
-
Bir önceki videoda gördüğümüz gibi, d y'yi biraz ileri yazalım.
-
-
-
d y'yi şuraya yazayım.
Bu ifade şununla aynı.

Arabic: 
الحدود، حيث الحدود العليا ستكون من x
يساوي 1 x من y، والحد الأدنى
يساوي x 2 x من y.
أليس كذلك؟
جميع علامات x ونحن يستعاض عنها بالتي، وبعد ذلك حصلنا على بعض
التعبير، ثم من ذلك، أننا اطرح هذا مع x
استبدال ك 2 x من y.
هذا بالضبط ما فعلناه، وقال عادل كما في شريط فيديو آخر،
نحن نوع الذهاب باتجاه عكسي أننا عادة
الذهاب في تكاملات أداة التعريف.
عادة ما نصل إلى ذلك، ومن ثم التالي
الخطوة، نحصل على هذا.
ولكن الآن نحن ذاهبون في اتجاه عكسي، بل أنها
ومع ذلك الفرق.
وجميع تلك الأوقات dy.
ومثلما رأينا في شريط الفيديو الأخير، هذا، اسمحوا لي أن تفعل ذلك
في أورانج، هذا التعبير، هنا فعلا اسمحوا لي
ارسم هذا dy خارج مزيد قليلاً حتى لا
احصل على جميع المزدحمة.
اسمحوا لي أن تفعل dy هنا.
هذا التعبير، هذا التعبير الكامل، هو الضبط نفس الشيء

Thai: 
โดยขอบเขตบนจะเป็น x
เท่ากับ x1 ของ y, และขอบล่าง
จะเป็น x เท่ากับ x2 ของ y
จริงไหม?
x ทั้งหมดที่เราแทนในนั้น, แล้วเราได้
พจน์มา, แล้วจากอันนั้น, เราลบด้วย x
แทนค่าเป็น x2 ของ y
นั่นคือสิ่งที่เราทำ, อย่างที่ผมบอกในวิดีโอที่แล้ว
เรากำลังทำย้อนกลับสิ่งที่เราทำ
กับอินทิกรัลจำกัดเขตโดยทั่วไป
ปกติเราได้นี่, แล้วก็
ขั้นต่อไป, เราได้อันนี้
แต่ตอนนี้เรากำลังทำย้อนกลับ, แต่นั่น
ก็เป็นผลต่างเหมือนกัน
ทั้งหมดนั่นคูณ dy
-
และอย่างที่เราเห็นในวิดีโอที่แล้ว, ขอผมเขียน
มันด้วยสีส้มนะ, พจน์นี่ตรงนี้, ที่จริงขอผม
เขียน dy นั่นไกลหน่อย มันจะได้
มันติดกันหมด
ขอผมเขียน dy ตรงนั้น
พจน์นี่, เทอมทั้งหมดนี่, เหมือนกับ

Spanish: 
límites, donde el límite superior va a ser de x
es igual a 1 x de y, y es el límite inferior
x es igual a 2 x de y.
¿Verdad?
Todos los x sustituimos con eso y luego conseguimos algunos
expresión, y luego de eso, nos resta esto con x
sustituido como 2 x de y.
Eso es exactamente lo que hicimos, y como me dijo en el último video,
Somos el tipo de curso de la dirección inversa que nosotros normalmente
ir en integrales definidas.
Normalmente llegamos a esto y, a continuación, la siguiente
es el paso, conseguimos esto.
Pero ahora vamos en la dirección contraria, pero
diferencia de los mismos.
Y todo eso tiempos dy.
Y al igual que vimos en el último video, esto me deja hacerlo
en orange, esta expresión aquí, realmente me deja
señalar dy un poco fuera más por lo que no
obtener todo congestionada.
Permítanme hacer dy aquí.
Esta expresión, esta expresión completa, es la misma exacta

Portuguese: 
o limite superior vai ser x
igual a x1 de y e o limite inferior vai
ser x igual a x2 de y. Certo?
Todos os x nós substituímos
por isso e então teremos
uma expressão, e daí, subtraímos isso de x
substituído como x2 de y
Que é o que fizemos, como
eu disse, no último vídeo.
Vamos meio que reverter a direção que
geralmente vamos.
Normalmente
chegamos aqui, e depois
temos isso.
Mas agora vamos na direção inversa
com a mesma diferença.
E tudo isso vezes dy.
E como vimos no último
vídeo, vou fazer em laranja,
essa expressão aqui, deixa eu desenhar
esse dy um pouco depois, para não
embolar tudo aqui.
Deixa eu colocar o dy aqui fora.
Essa expressão toda, é exatamente a mesma

Korean: 
Q(x, y)에 x=x₁(y)에서 x=x₂(y)를 대입해서 
뺀 것과 동일합니다
따라서 이렇게 쓸 수 있습니다
 
지금까지 우리는 모든 x를 함수로 바꾼 뒤
그로부터 나온 식을 대입 후 빼는 형태로 바꾸었습니다
 
저번에 했던 것과 동일합니다
보통 우리는 정적분에서
함수에 값이 대입된 형태로 가죠
즉 보통 오른쪽에서
왼쪽으로 가지만
이번에는 거꾸로 갔습니다
그리고 이 전체에 dy를 곱해줍니다
 
그리고 우리가 저번 영상에서 봤듯이,
이 부분은,
dy가 방해되니까 조금 뒤로 뺄게요
 
이 정적분 식의 이 부분은,

Portuguese: 
superior... na qual, a fronteira superior irá ser de x
igual a x1 de y e a fronteira inferior é
x igual a x2 de y.
Correto?
Todos os xs que nós substituímos por isso, e então nós obtemos uma
expressão, e então disso, nós subtraímos isso com x
substituído como x2 de y...
Isso é exatamente o que nós já fizemos, e como eu disse no último vídeo,
nós iremos ter tipo a direção inversa do que nós normalmente
temos nas integrais definidas...
Nós normalmente começamos com isso e então o próximo
passo é, nós obtemos isso!
Mas agora nós estamos avançando na direção inversa, mais isso
é tudo a mesma diferencial.
E por todo o tempo, dy...
.
E como nós já vimos no último vídeo, isso, deixe-me fazer
isso em laranja... esta expressão bem aqui, agora deixe-me
desenhar isso um pouco para fora, para que
não fique tudo bagunçado.
Vamos fazer o dy bem aqui...
Esta expressão, toda esta expressão, ela é exatamente a mesma

Portuguese: 
coisa que a integral de x de... eu posso escrever apenas
aqui, deixe-me escrevê-la na mesma cor...
x2 de y até x1 de y até x1 de y da [derivada] parcial de Q
em relação a x dx.
.
Eu quero deixar isso muito claro.
Isso é, ao menos na minha cabeça, a primeira parte...
é um pouco confusa...
Mas se você vir apenas uma integral como esta, isso é
o interior de uma integral dupla!
E é isso mesmo!
O exterior é o que nós vimos aqui... a integral
de a a b, dy.
Mas se você vir apenas isso em uma integral dupla, o que você provavelmente
fará é fazer a antiderivada disso, a
antiderivada disso em relação a x, a

Spanish: 
lo que la integral de x es igual a, sólo puedo escribirlo
aquí, me permito escribir en los mismos colores.
2 x de y a x 1 y x 1 y el parcial de q
con respecto a x dx.
Quiero que quede muy claro.
Esto es, al menos en mi mente, la primera parte,
un poco confuso.
Pero si acabo de ver una integral como este, es el
dentro de una integral doble.
Y lo es.
El exterior es lo que vimos allí, la integral
desde un b, dy.
Pero si sólo se ha visto en una integral doble, lo que lo haría
hacer es que tomaría la primitiva, la
antiderivative de esto con respecto a x, el

English: 
thing as the integral from x is
equal to, I can just write it
here, let me write it
in the same colors.
x2 of y to x1 of y to x1
of y the partial of Q
with respect to x dx.
I want to make it very clear.
This is, at least in my
mind, the first part,
a little confusing.
But if you just saw an integral
like this, this is the
inside of a double integral.
And it is.
The outside is what we
saw there, the integral
from a to b, dy.
But if you just saw this in a
double integral, what you would
do is you would take the
antiderivative of this, the
antiderivative of this
with respect to x, the

Portuguese: 
coisa que a integral de x
igual a, posso escrever aqui,
deixa eu escrever nas mesmas cores.
x2 de y até x1 de y, da parcial de Q
em função de x, dx.
Para ficar claro
Essa é, na minha opinião, uma parte
um pouco confusa.
Mas vendo uma integral assim, esse seria
o interior de uma dupla
integral. E é.
A parte de fora é o que
vimos aqui, a integral
de a até b, dy.
Mas se visse isso em uma
integral dupla, você tiraria
a antiderivada disso
em função de x.

Korean: 
Q의 x에 대한 편도함수를
정적분 x₂(y)에서 x₁(y)까지 정적분 한 것과 같습니다
 
 
사실 제가 이것을 처음 봤을 때에는
조금 헷갈렸습니다
지금 이 식은 인테그럴 2개가 있으며
실제로도 이중적분 식입니다
바깥부분은 a에서 b까지 dy에 대한 정적분입니다
우리가 이 식을 마주치면 이중적분을 풀어내려고 하겠죠
먼저 내부에 있는 함수의
x에 대한 부정적분을 구해야 합니다

Polish: 
co całka po x,
zapiszmy to tym samym kolorem,
w granicach od x2(y) do x1(y) z pochodnej cząstkowej
dQ / dx względem dx.
Chcę, żeby to było jasne,
bo w tym kroku można się trochę pogubić.
bo w tym kroku można się trochę pogubić.
To tak naprawdę zwykła całka podwójna, gdzie to siedzi
wewnątrz tej całki,
wewnątrz tej całki,
a zewnętrzna część jest tutaj,
liczona od a do b względem dy.
W każdym razie jakby na to spojrzeć jak na całkę podwójną,
pierwszą rzeczą jaką byśmy policzyli to
funkcja pierwotna tego po x. Dokładniej

Estonian: 
asja nagu x integraal võrdub, ma lihtsalt kirjutada see
Siin, andke mulle kirjutada sama värvi.
y y y q osaline x 1 x 1 x 2
seoses x x.
Tahan väga selge.
See on vähemalt minu meelest esimene osa
pisut segadust.
Kui teile kuvatud tõrketeatega lahutamatu niimoodi, see aga on
kahekordne lahutamatu seest.
Ja see on.
Väljaspool on, mida me nägime, et lahutamatu
alates a b dy.
Kuid kui sa lihtsalt nägime seda kahekordse lahutamatu, mida teeksite
ei oleks võtta antiderivative, et
antiderivative selle x, mis on

Thai: 
อินทิกรัลจาก x เท่ากับ, ผมแค่เขียนมันตรงนี้,
ขอผมเขียนด้วยสีเดิมนะ
x2 ของ y ถึง x1 ของ y, ถึง x1 ของ y อนุพันธ์ย่อยของ Q
เทียบกับ x dx
-
ผมอยากทำให้มันชัด
นี่คือ, อย่างน้อยในความเห็นผม, ส่วนแรก,
อาจชวนงงหน่อย
แต่หากคุณเห็นอินทิกรัลแบบนี้, นี่คือ
ข้างในอินทิกรัลสองชั้น
อย่างนี้
ข้างนอกคือสิ่งที่เราเห็นตรงนี้, อินทิกรัลจาก
a ถึง b, dy
แต่คุณเห็นนี่ในอินทิกรัลสองชั้น, สิ่งที่คุณ
ต้องทำ คือ คุณต้องหาแอนติเดริเวทีฟของเจ้านี่,
แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ x,

Arabic: 
الشيء المتكاملة من x يساوي، يمكن فقط كتابتها
وهنا، اسمحوا لي أن يكتب لها في نفس الألوان.
2 x من y 1 x من y 1 x من y جزئي q
وفيما يتعلق x dx.
أريد أن يكون واضحا جداً.
وهذا هو، على الأقل في رأيي، الجزء الأول،
مربكاً بعض الشيء.
ولكن إذا رأيت فقط يتجزأ مثل هذا، وهذا
من داخل متكاملة مزدوجة.
و.
الخارج ما رأيناه هناك، متكاملة
من إلى ب، دي.
ولكن إذا كان مجرد رأيت هذا في متكاملة مزدوجة، ماذا لو كنت
هل يمكنك أن تأخذ أنتيديريفاتيفي هذا،
أنتيديريفاتيفي من ذلك فيما يتعلق بس،

Turkish: 
-
-
x 2 y'den x 1 y'ye Q'nun x'e göre kısmisi çarpı d x'in integrali.
-
-
Bunu açıkça belirtmek istiyorum.
Bence bu ilk kısım biraz karışık.
-
Böyle bir integral gördüyseniz, bu bir çift katlı integralin içi.
-
-
Dışı ise, a'dan b'ye d y'nin integrali.
-
Bunu çift katlı integralde gördüğünüzde, bunun x'e göre terstürevini alırız. Q'nun x'e göre kısmisinin x'e göre terstürevi eşittir Q x y.
-
-

Polish: 
funkcja pierwotna pochodnej cząstkowej dQ / dx
całkowana po x, czyli po prostu Q(x,y).
A ponieważ jest to całka oznaczona, więc
liczymy ją w granicach od x1(y)
do x2(y) i tylko tyle się tu stało.
Mam nadzieję, że to rozumiecie.
Doszliśmy więc do wyniku,
który jest bardzo podobny do poprzedniego.
Czym jest ta podwójna całka?
W sumie zależy to od funkcji podcałkowej.
Weźmy więc jakąś funkcję
i narysujmy ją w trzech wymiarach.
W sumie wszystko do tej pory to taka powtórka
z poprzedniego filmu.
Jeżeli to jest oś y, to - oś x, zaś to jest oś z,
to dowolną funkcję od x i y możemy sobie wyobrazić jako powierzchnię
zawieszoną nad płaszczyzną (x,y).
zawieszoną nad płaszczyzną (x,y).
Tą funkcją może być oczywiście pochodna cząstkowa dQ / dx.
Więc na całkę można spojrzeć tak, że

Portuguese: 
A antiderivada da parcial
de Q em função de x
Vai ser Q de xy.
E como é uma integral
definida, calculamos para
x1 de y e subtraímos disso a função
calculada em x2 de y, que é o que fizemos.
Espero que entenda isso.
E então temos nosso
resultado, que é bem parecido
com o último.
O que essa integral dupla representa?
Isso representa tudo, se você
tem qualquer integral dupla
que vá de -- se você
imaginar, isso é uma função,
deixa eu desenhar em três dimensões
Isso é quase uma revisão do que vimos
no último vídeo.
Se esse é o eixo y, esse é o
eixo x e esse é o eixo z.
Isso é uma função de x e y,
alguma superfície que possa
imaginar no plano xy.
É uma superfície.
E poderíamos chamar isso de
parcial de q em função de x.
E essa integral dupla faz, é basicamente

Turkish: 
-
-
Belirli bir integral olduğu için, önce x 1 y'deki değerini bulup ondan x 2 y'deki değerini çıkarıyoruz. Aynen bunu yapmıştık.
-
-
-
Ve bir önceki sonuca çok benzeyen sonucumuzu buluruz.
-
Bu çift katlı integral neyi temsil eder?
Bunu üç boyutta çiziyorum.
-
-
Bu, neredeyse, bir önceki videonun tekrarı oldu.
-
Bu y ekseni, x ekseni ve z ekseni.
Bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon, onun için uzayda bir yüzey olarak görselleyebilirsiniz.
-
Bir yüzey.
Şunu, Q'nun x'e göre kısmisi olarak isimlendiririz.
Bu çift integral, bir bölge belirlemekte, bu d x çarpı d y'yi bir alan diferansiyeli olarak düşünebilirsiniz.

Spanish: 
primitiva del parcial de q con respecto a x con
respecto a x, va a ser solo q de xy.
Y ya que es una integral definida, se evaluaría
1 x de y y, a continuación, reste de eso, esta función
evalúan 2 x de y, que es exactamente lo que hicimos.
Así que esperemos aprecias.
Y, a continuación, tenemos nuestro resultado, que es muy similar
el último resultado.
¿Qué significa esta representan integral doble?
Representa, pues, nada, si tienes cualquier integral doble
que va desde--si imaginar, se trata de alguna función,
Permítanme dibujar en tres dimensiones.
Esto es realmente casi una revisión de lo que hicimos
en el último video.
Si ese es el eje y, que es nuestro eje x, es nuestro eje z.
Se trata de alguna función de x y y, por lo que algunas de superficie le
puede imaginar el plano xy.
Se trata de alguna superficie.
Lo podríamos llamar el parcial de q con respecto a x.
Y lo que es esta integral doble, esto es esencialmente

Arabic: 
أنتيديريفاتيفي الجزئي q فيما يتعلق بس مع
يتعلق بس، وهو لن يكون فقط q بس وص.
ونظرا لأنها متكاملة أداة التعريف، يمكنك تقييم أنه
1 x من y، ثم اطرح من ذلك، هذه الدالة
تقييم 2 x من y، الذي بالضبط ما فعلناه.
وأتمنى لك نقدر ذلك.
ثم وصلنا لنا النتيجة، التي تشبه كثيرا
أن النتيجة الأخيرة.
ماذا تعني هذه تمثل لا يتجزأ مزدوجة؟
أنه يمثل، أيضا، أي شيء، إذا كان لديك أي متكاملة مزدوجة
أن يذهب من اليوم إذا كنت أتصور، وهذه هي بعض الدالة،
واسمحوا لي أن رسمه في ثلاثة أبعاد.
هذا حقا تقريبا استعراض ما فعلناه
في شريط الفيديو الأخير.
إذا كان هذا هو محور y، أي منا المحور س، وهذا هو محور عملنا "ع".
وهذه هي بعض الدالة س وص، حتى بعض السطحي لك
يمكن تصور على الطائرة س وص.
ومن بعض السطح.
حتى يمكن أن نطلق هذا جزئي q فيما يتعلق بس.
وما هذا متكاملة مزدوجة، وهذا أساسا

English: 
antiderivative of the partial
of Q with respect to x with
respect to x, is going
to be just Q of xy.
And since it's a definite
integral, you would evaluate it
at x1 of y, and then subtract
from that, this function
evaluated x2 of y, which
is exactly what we did.
So hopefully you
appreciate that.
And then we got our result,
which is very similar
to the last result.
What does this double
integral represent?
It represents, well, anything,
if you have any double integral
that goes from-- if you
imagine, this is some function,
let me draw it in
three dimensions.
This is really almost a
review of what we did
in the last video.
If that's the y-axis, that's
our x-axis, that's our z-axis.
This is some function of x
and y, so some surface you
can imagine on xy plane.
It's some surface.
So we could call that the
partial of q with respect to x.
And what this double integral
is, this is essentially

Estonian: 
Q osaline x koos seotud antiderivative
x suhtes, hakkab olema lihtsalt xy Q.
Ja kuna see on definite lahutamatu, oleks see hinnata
y, x 1 ning lahutage sellest funktsioon
2 x / y, mis on just see, mida me ei hinnata.
Nii Loodetavasti olete hindan seda.
Ja siis me saime meie tulemus, mis on väga sarnased
viimasel tulemile.
Mida tähendab see kahekordse lahutamatu kujutavad?
See esindab, hästi, midagi, kui teil on kahekordne lahutamatu
mis läheb--kui suudate ette kujutada, see on mõni funktsioon
tahaksin juhtida sellele kolme.
See on tõesti peaaegu ülevaate Me tegime
viimase video.
See y, mis on meie x-telg, mis on meie z-axis.
See on mõne funktsiooni x ja y, nii et mõned pinnavesi, saate
kujutada XY-tasand kohta.
On mõned pind.
Seda võiks nimetame seda q-x osaline.
See kahekordne lahutamatu on see on peaasjalikult ja

Thai: 
แอนติเดริเวทีฟของ อนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ x
เทียบกับ x อีกที, ก็คือ Q ของ xy
และเนื่องจากมันเป็นอินทิกรัลจำกัดเขต, คุณต้องหาค่ามัน
ที่ x1 ของ y, แล้วลบจากอันนั้น, ฟังก์ชันนี้
แทนค่าที่ x2 ของ y, ซึ่งก็คือที่เราทำเป๊ะ
หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
แล้วเราก็ได้ผลมา, ซึ่งคล้ายกับ
ผลที่แล้วมาก
แล้วอินทิกรัลสองชั้นนี้แทนอะไร?
มันแทน, ที่จริงคือ, อะไรก็ตาม, หากคุณมีอินทิกรัลสองชั้น
ที่ไปจาก -- หากคุณนึก, นี่คือฟังก์ชันอันนึง,
ขอผมวาดมันในสามมิตินะ
นี่ก็เหมือนกับการทวนสิ่งที่เราทำ
ในวิดีโอที่แล้ว
หากนั่นคือแกน y, นั่นคือแกน x, นั่นคือแกน z
นี่คือฟังก์ชันสักอันของ x กับ y, ดังนั้นพื้นผิว
นึงคุณก็นึกขึ้นบนระนาบ xy
มันเป็นผิวสักอย่าง
เราก็เรียกมันว่าอนุพันธ์ย่อยของ q เทียบกับ x
และอินทิกรัลสองชั้นก็คือ, นี่ก็จะนิยาม

Korean: 
당연히 [Q에 대한 x의 편도함수]의 x에 대한 부정적분은
그냥 Q(x, y) 자신이죠
그리고 정적분이므로
적분범위를 각각 대입한 다음에 서로 빼줄 것입니다
즉, Q(x, y)에 x₁(y)와 x₂(y)를 각각 대입하고 서로 빼주겠죠
그리고 그렇게 하면 왼쪽 식이 나오게 되니까
두 식은 같은 식임이 분명합니다
이렇게 우리는 저번과 매우 비슷한 결과를 얻었습니다
이 이중적분이 의미하는 바는 무엇일까요?
 
어떤 3차원 함수를 그려보겠습니다
사실 거의 저번 영상 복습이나 다름없네요
(번역자도 지금 똑같은 내용 적느라 힘듭니다..)
이것이 y축이고, x축이고, z축입니다
∂Q/∂x는 편도함수이긴 하지만 
어찌됐든 x, y에 대한 함수입니다
따라서 이 함수는 xy 평면에 대한 곡면으로 나타납니다
이 곡면이 ∂Q/∂x 입니다
그리고 이 이중적분의 인테그럴 부분은

Portuguese: 
antiderivada da parcial de Q em relação a x em
relação a x, irá ser apenas Q de xy...
E uma vez que isso é uma integral definida, você pode resolvê-la
para x1 de y, e então subtrair daquilo... esta função
resolvida para x2 de y, que é exatamente o que nós já fizemos.
E eu espero que você aprecie isso...
E então nós chegamos ao nosso resultado, que é muito similar
ao último resultado.
O que esta integral dupla representa?
Ela representa... bem, tudo... se você tiver qualquer integral dupla
que vai de... se você imaginar, isso sendo alguma função...
deixe-me desenhar isso em três dimensões...
Isso é realmente uma revisão do que nós fizemos
no último vídeo.
Se isso for o eixo-y, isso será nosso eixo-x e isso nosso eixo-z...
Isso é alguma função de x e y, e então tipo uma superfície que você
pode imaginar no plano xy...
Isso é uma superfície qualquer.
Então nós podemos chamar isso de [derivada] parcial de Q em relação a x.
E o que essa integral dupla é, isso em essência está

Polish: 
to są granice całkowania, a dx * dy
potraktujemy jako pole malutkiego prostokącika.
Pole po którym całkujemy jest wyznaczone przy ustalonym y
x przebiegające od x = x2(y),
czyli idziemy od krzywej c2,
jakoś tak wygląda w trzech wymiarach,
a tak oczywiście wyglądało w dwóch,
do x = x1(y), czyli krzywej c1, która
wygląda jakoś tak.
wygląda jakoś tak.
Czyli x przebiega od zielonej krzywej
do purpurowej.
Taki jest właśnie sens tego zapisu.
Zaś zmienna y przebiega od a do b.
Więc naszą całkę podwójną
liczymy nad obszarem ograniczonym pętlą c.
Wyraża ona objętość bryły ograniczonej od góry przez tę funkcję,
a z boku przez granice pętli c, wyznacza ona jakby ściany pokoju,
którego objętość liczymy.
Nie jestem w stanie tego dokładnie narysować,

Korean: 
일종의 지역(범위)을 나타냅니다
그리고 이 dxdy는 매우 작은 면적을 나타내죠
이 인테그럴의 1차 범위는 x₂(y)에서 x₁(y)까지입니다
 
먼저 x₂(y)는 다음과 같이 생긴 곡선이었습니다
아까전의 2차원 관점에서는
바로 이 곡선이었죠
그리고 x₁(y)는 이렇게 생겼습니다
 
따라서 x는 초록색 곡선에서 
보라색 곡선까지 움직입니다
이것이 바로 첫번째 인테그럴이고요
그리고 2차 적분은 y=a에서 y=b까지입니다
즉 이 이중적분에서 첫번째 적분은
면적을 의미하므로, 두 번째 적분은
부피를 의미하게 됩니다
즉, 밑의 곡선으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고
∂Q/∂x 곡면을 천장으로 하는 입체도형의 부피입니다
그리기가 까다롭지만 아무튼

Portuguese: 
definir uma região, e você
pode ver esse dx vezes
dy como se fosse uma
pequena diferencial de área.
Então na região sob questão,
os pontos limites, são de y
indo de, embaixo, vai de x2 de y,
que vimos que se parece com
uma curva mais ou menos assim
Esse é o y inferior, e aqui,
se desenharmos em duas
dimensões, essa é a curva do y inferior.
A curva do y superior é x1
de y, então ela se parece
com algo assim.
A curva do y superior fica
parecida com algo assim.
Então x varia da curva
inferior de y até a curva
superior de y, certo?
É isso que estamos fazendo aqui.
Depois, y varia de a até b.
Isso nos mostra que se pegarmos a integral
dupla sobre essa região aqui
dessa função, estaríamos
encontrando o volume,
como se esse fosse o teto,
e esse limite é basicamente a parede.
Seria o volume desse espaço.
E não sei como seria

Estonian: 
piirkond ja te saate seda dx alati vaade liiki
Dy nagu väike hinnavahe ala liiki.
Nii kõnealuste, punktid piiri piirkond on y
y läheb, allosas, langedes läheb see y, x 2
mis nägime oli kõver, mis näeb välja umbes selline.
See on alumine y, ja siin, kui me tõmmatakse kaks
mõõtmed, see oli madalam y-kõver.
Ülemine y-kõver on y, x 1 nii, et ülemine y-kõvera näeb välja
midagi meeldib see.
Ülemine y-kõvera läheb midagi sellist.
Nii x erineb madalama y-kõvera ülemise osa külge
y-kõver, õige?
See on, mida me siin teeme.
Ja seejärel y erineb a b.
Ja nii, et see on sisuliselt öeldes: let's võtma kaks korda suurem
integraal selles piirkonnas siin selle funktsiooni.
Seega peamiselt mahu, kui see on ülemmäära
seda piiri on olemuselt seinte ja.
See on kõnealuse ruumi maht.
Ja ma ei tea, mida see näeks kui

Portuguese: 
definindo uma região e você pode tipo ver este dx vezes
dy como um tipo de pequena diferença de área...
E então, a região em questão, os pontos de fronteira, eles vão de y
vindo de... y vai de, em baixo, ele vai de x2 de y,
que nós dissemos que era a curva que se parecia um pouco com isso...
Isso é o y inferior, e bem aqui, se nós desenharmos em duas
dimensões, isso era a curva de y inferior.
A curva de y superior é x1 de y, então a curva y superior se parece
mais ou menos com isso...
A curva y superior avança mais ou menos assim...
Então x varia da curva y inferior até a curva y
superior, certo?
E é isso o que nós estamos fazendo bem aqui...
E então y varia de a até b.
E então isso é o que isso está dizendo em suma, vamos fazer a integral
dupla nesta região bem aqui... desta função.
E então isso é em essência o volume, se isso for o teto...
e esta outra fronteira for o piso...
Isso é o volume desta sala!
E eu não sei o que isso irá se assemelhar quando

English: 
defining a region, and you can
kind of view this dx times
dy as kind of a small
differential of area.
So the region under question,
the boundary points, are from y
going from, y goes from, at the
bottom, it goes from x2 of y,
which we saw was a curve that
looks something like this.
That's the lower y, and over
here, if we draw it in two
dimensions, this was
the lower y-curve.
The upper y-curve is x1 of y,
so the upper y-curve looks
something like that.
The upper y-curve goes
something like that.
So x varies from the lower
y-curve to the upper
y-curve, right?
That's what we're
doing right here.
And then y varies from a to b.
And so this is essentially
saying, let's take the double
integral over this region
right here of this function.
So it's essentially the volume,
if this is the ceiling,
and this boundary is
essentially the wall.
It's the volume of that room.
And I don't know what it
would look like when

Turkish: 
-
-
Bu bölgenin sınırları, y, altta x 2 y'den, yani şöyle bir eğriden başlıyor.
-
-
Küçük değerli y, bu ve burada iki boyutta çizersem, bu düşük y değerlerinin eğrisi.
-
Üstteki y eğrisi de x 1 y, üstteki y eğrisi de şöyle.
-
Şöyle bir eğri olacak.
Buna göre x alttaki y eğrisinden üstteki y eğrisine gidiyor, öyle değil mi?
-
Burada böyle yapıyoruz.
Ve y de a'dan b'ye gidiyor.
Uzun lafın kısası, bu fonksiyonun bu bölgede çift katlı integralini alabiliriz.
-
Bu tavan, bu sınır da duvar ise, bu hacim olur.
-
Bu odanın hacmi olur.
Bu tarafa doğru yükselirse ne olur bilmiyorum.

Arabic: 
تحديد منطقة، وأنت يمكن أن نوع من عرض الأوقات هذا dx
dy كنوع الفرق الصغيرة في المنطقة.
فالمنطقة تحت السؤال، نقاط الحدود، من y
الذهاب من، يذهب y من أسفل، يذهب من 2 x من y،
رأينا هو منحنى الذي يبدو شيئا من هذا القبيل.
وهذا هو أدنى y، وهنا، إذا وضعنا في اثنين
الأبعاد، وكان هذا أدنى y-المنحنى.
ذ-المنحنى العلوي هو 1 x من y، حيث تبدو y-المنحنى العلوي
شيء من هذا القبيل.
ذ-المنحنى العلوي غنى عن شيء مثل هذا.
حتى يختلف x من y-المنحنى السفلي إلى الأعلى
ذ-المنحنى، الحق؟
وهذا ما نفعله هنا.
وثم y يختلف من إلى ب.
وحتى هذا القول هو أساسا، لنأخذ المضاعفة
متكاملة عبر هذه المنطقة هنا لهذه الدالة.
حتى أنها أساسا وحدة التخزين، إذا كان هذا هو الحد الأقصى،
وهذا الحدود هي أساسا الجدار.
هو حجم تلك الغرفة.
وأنا لا أعرف ما هو ستبدو عند

Thai: 
ขอบเขต, แล้วคุณก็มอง dx คูณ
dy นี่ว่าเป็นดิฟเฟอเรนเชียลเล็ก ๆ ของพื้นที่
ดังนั้นขอบเขตที่สงสัย, จุดขอบเขต, ก็มาจาก
y ตั้งแต่, y ไปจาก, ขอบล่าง, มันไปจาก x2 ของ y,
ซึ่งเราเห็นว่าเป็นเส้นโค้งหน้าตาแบบนี้
นั่นคือ y ,ล่าง, และบนนี้, หากเราวาดมันในสองมิติ
นี่คือเส้นโค้ง y อันล่าง
เส้นโค้ง y อันบนคือ x1 ของ y, ดังนั้นเส้นโค้ง y อันบน
จะเป็นแบบนั้น
เส้นโค้ง y อันบนไปแบบนั้น
แล้ว x แปรค่าจากเส้นโค้ง y อันล่าง ไปยัง
เส้นโค้ง y อันบน, จริงไหม?
นั่นคือสิ่งที่เราทำอยู่ตรงนี้
แล้ว y แปรค่าจาก a ถึง b
และนี่ก็กำลังบอกว่า, ลองหาอินทิกรัลสองชั้น
ตลอดขอบเขตตรงนี้กับฟังก์ชันนี้
มันก็คือปริมาตร, หากนี่คือเพดาน
และขอบเขตก็คือกำแพงนั่นเอง
มันคือปริมาตรของห้องนั่น
และผมไม่รู้ว่ามันจะเป็นยังไงหาก

Spanish: 
definición de una región y usted puede tipo de vista este dx veces
DY como especie de un pequeño diferencial de área.
Por lo tanto la región en cuestión, los puntos de frontera, son de y
va, y va desde, en la parte inferior, va desde 2 x de y,
que vimos fue una curva que se ve algo como esto.
Que es la más baja y y aquí, si trazamos en dos
dimensiones, se trata de la curva y inferior.
La curva y superior es 1 x de y, por lo que se ve la curva y superior
algo así.
La curva y superior pasa algo parecido.
Tan x varía de la curva y inferior a la superior
¿y curva, derecha?
Eso es lo que estamos haciendo aquí.
Y, a continuación, y varía de un a b.
Y por lo que esencialmente está diciendo esto, tomemos el doble
integral sobre esta región aquí de esta función.
Por lo que es esencialmente el volumen, si este es el techo,
y este límite es esencialmente la pared.
Es el volumen de esa sala.
Y no sabe de lo que vería cuando

Turkish: 
-
Ama gözünüzde şöyle bir şey canlandırırsanız, bunun hacmi olur.
-
Bunu buluyoruz.
Bir önceki videodakiyle bulduğumuz sonucun aynısı.
Çok güzel bir sonuç.
Q x y'nin sadece j yönünde vektörleri var, vektörler sadece yukarı ve aşağı gidiyor.
-
-
-
-
-
Yatay bileşenleri yok.
Ama böyle bir vektör alanla başladığınızda, bu kapalı eğrinin üzerindeki çizgi integralini alırsanız, bu q iç çarpım d r'nin kapalı eğri üzerindeki çizgi integrali eşittir Q x y d y'nin kapalı döngü üzerindeki integrali.
-
-
-
-
Bunun da bu bölgedeki çift katlı integrale eşit olduğunu şimdi bulduk.
-

Arabic: 
أنها تأتي هنا.
ولكن يمكنك أن تتخيل شيئا في نوع من هذا القبيل.
وسيكون حجم ذلك.
هذا ما نقوم.
هذا هو نتيجة مطابقة وصلنا في شريط الفيديو الأخير.
وهذا شيء أنيق جداً.
هكذا فجأة، وهذا ناقل، ذلك--وف س وص، وأنا
لم أكن رسمه كما فعلت المرة الأخيرة، ف س ص
فقط [؟ الأمور؟]
ي-الاتجاه، حتى فقط له، إذا كان لي أن أوجه لها
مجال مكافحة ناقلات، ناقلات فقط الذهاب لأعلى أو لأسفل.
لديهم أي مكون الأفقي لها.
ولكن رأينا، عند بدء تشغيل باستخدام حقل ناقلات الأمراض مثل هذا، يمكنك
يأخذ الخط متكاملة حول هذه الحلقة المغلقة، وسوف
كتابته هنا، يمكنك اتخاذ هذا الخط لا يتجزأ حول هذا
إغلاق الحلقة الدكتور دوت q، الذي يساوي المتكاملة حول
حلقة مغلقة من ف س وص dy.
فقط نحن احسب أن هذا ما يعادل ضعف
متكاملة عبر المنطقة.

English: 
it comes up here.
But you can kind of imagine
something like that.
It would be the volume of that.
So that's what we're taking.
This is the identical result
we got in the last video.
And this is a
pretty neat thing.
So all of a sudden, this
vector, that-- and Q of xy, I
didn't draw it out like I did
the last time, Q of xy
only has [? things ?]
in the j-direction, so it only
has, if I were to draw its
vector field, the vectors
only go up and down.
They have no horizontal
component to them.
But we saw, when you start with
a vector field like this, you
take the line integral around
this closed loop, and I'll
rewrite it right here, you take
this line integral around this
closed loop of q dot dr, which
is equal to the integral around
the closed loop of Q of xy dy.
We just figured out that that's
equivalent to the double
integral over the region.

Portuguese: 
isso chegar aqui...
Mas você pode mesmo imaginar algo como isso.
Isso poderia ser o volume disso.
Então isso é o que nós estamos falando.
Isso é o resultado idêntico do que nós obtivemos no último vídeo.
Isso é uma coisa muito clara.
Então de repente, este vetor... este... e Q de xy, eu
não desenhei isso como eu fiz da última vez... Q de xy
tem apenas elementos
na direção-j, então ele só tem, se eu tiver que desenhar seu
campo vetorial, os vetores vão apenas para cima e para baixo.
.
Eles não possuem componente horizontal.
Mas nós dissemos, quando eu inicio com um campo vetorial como isso, você
pega a integral de linha em torno deste laço fechado, e eu irei
reescrevê-lo bem aqui, você pega esta integral de linha em torno deste
laço fechado de q [produto] escalar dr, que é igual à integral em torno
do laço fechado de Q de xy dy.
Nós apenas demonstramos que isso é equivalente à integral
dupla nesta região.

Thai: 
มันขึ้นมาตรงนี้
แต่คุณอาจจินตนาการอะไรแบบนั้น
มันอาจเป็นปริมาตรของอันนั่น
นั่นก็คือสิ่งที่เราหา
นี่จะได้ผลเหมือนกับที่เราได้ในวิดีโอที่แล้ว
และนี่เป็นสิ่งที่เจ๋งดี
ในทันใด, เวกเตอร์นี้ -- Q ของ xy, ผมไม่ได้
วาดมันออกมาเหมือนครั้งก่อน, Q ของ xy
มีแค่องค์ประกอบ
ในทิศ j, ดังนั้นมันเลยมี, หากเราวาดสนามเวกเตอร์
ของมัน, เวกเตอร์จะชี้แค่ขึ้นหรือลง
-
มันไม่มีองค์ประกอบตามแนวราบเลย
แต่เราเห็นแล้ว, ตอนคุณเริ่มด้วยสนามเวกเตอรืแบบนี้, คุณ
หาอินทิกรัลเส้นตามวงปิดนี้, และผมจะเขียน
มันใหม่ตรงนี้, คุณหาอินทิกรัลเส้นนี้ตามวงปิด
ของ q ดอท dr, ซึ่งเท่ากับอินทิกรัล
ตามวงปิดของ Q ของ xy dy
เราเพิ่งพบว่านั่นเท่ากับอินทิกรัล
สองชั้นตลอดพื้นที่

Spanish: 
llega aquí.
Pero puede que como ese tipo de imaginar algo.
Sería el volumen de ese.
Eso es lo que nos estamos tomando.
Este es el resultado idéntico que llegamos en el último video.
Y esto es una cosa bastante limpio.
Tan de repente, este vector, que--y q de xy, me
no llamar como lo hice la última vez, Q de xy
sólo tiene [? cosas?]
en la dirección j, tan sólo tiene, si tuviera que señalar su
campo vectorial, los vectores sólo ir arriba y abajo.
No tienen ningún componente horizontal a ellos.
Pero vimos, cuando se inicia con un campo vectorial como este,
tomar la línea integral alrededor de este bucle cerrado y I'll
reescribir aquí, usted tomar esta línea integral alrededor de este
cerrado bucle de q punto dr, que es igual a la integral alrededor de
el bucle cerrado de q de xy dy.
Sólo averiguamos que es equivalente a la doble
integral sobre la región.

Portuguese: 
se subisse aqui.
Mas você pode imaginar algo do tipo
Seria o volume disso.
Então é isso que tiramos.
Esse resultado é idêntico ao
que chegamos no último vídeo.
E isso é bem agradável.
Então de repente, esse
vetor, que -- e Q de xy, eu
não desenhei como da última
vez, Q de xy só tem componentes
na direção j, então só tem, se
eu fosse desenhar esse campo
vetorial, os vetores só vão
para cima e para baixo.
Eles não têm componentes horizontais.
Mas vimos que quando você começa
com um campo vetorial assim, você
pega a integral de linha em torno
dessa volta fechada, e eu vou
reescrever isso aqui, você pega a
integral de linha em torno dessa
curva fechada de Q escalar dr, que
é igual a integral em torno da
curva fechada de Q de xy dy.
Acabamos de descobrir que
isso é equivalente a integral
dupla sobre a região.

Polish: 
ale można sobie wyobrazić,
że wygląda to jakoś tak.
Nasz całka liczy objętość tej bryły.
Nasz całka liczy objętość tej bryły.
Do tego samego wyniku doszliśmy w poprzednim filmie.
Do tego samego wyniku doszliśmy w poprzednim filmie.
Więc okazuje się, że pole wektorowe q...
Narysujmy może kilka wektorów Q(x,y),
są one
wszystkie skierowane pionowo,
z góry na dół,
lub z dołu na górę.
Nie mają poziomego przyrostu.
Więc okazuje się, że kiedy weźmiemy takie pole wektorowe
i zaczniemy liczyć całkę po pętli,
zapiszmy to obok, kiedy liczy się tę całkę
z pola q względem dr,
lub równoważnie z funkcji Q(x,y) względem dy,
to dostajemy całkę równoważną
całce podwójnej po całej tej powierzchni

Estonian: 
hobune on siia.
Kuid midagi sellist liiki ette kujutada.
Oleks selle mahtu.
Nii on see, mida me võttes.
See on meil on viimase video samased tulemused.
Ja see on päris Tore asi.
Nii äkki, see vektor, et--ja q xy, ma
ei tõmmatakse nagu ma tegi viimase aja xy q
on vaid [? asju?]
j-suunas, nii on üksnes, kui ma oleks koostama oma
vektori välja, arvestades nakkusekandjate aktiivsusaegu ainult minna üles või alla.
Neil puudub horisontaalne osa neile.
Kuid me nägime, käivitamisel vektori väljaga niimoodi, saate
võtta rida ümber selle suletud ahela lahutamatu ja ma
Siin ümberkirjutamine, võtate selle rea lahutamatu umbes seda
suletud silmust q dot dr, mis on võrdne umbes lahutamatu
XY-diagrammi q suletud silmust dy.
Me lihtsalt arvasin, et, mis võrdub nende kahe
integraal piirkonnas.

Korean: 
대충 이런 느낌이 되겠죠
그리고 이 입체도형의 부피가 바로
이 이중적분이 의미하는 바입니다
저번 영상의 결과와 똑같습니다
꽤나 깔끔한 식이었죠
 
왜냐하면 j 방향으로의 벡터만을 가진,
즉 위아래 방향의 벡터만을 가졌고
가로 방향의 벡터는 가지지 않은
 
벡터장 Q에 대하여
주어진 경로에 대해 선적분을 하면
식으로 다시 한번 써볼까요
이 경로에 대해 q 내적 dr 선적분,
즉 경로에 대한 Q(x, y)dy 의 선적분이
이 경로가 둘러싼 면적에 대한
이중적분과 같다는 것을 보였습니다

English: 
This is the region.
Right?
That's exactly what
we're doing over here.
If I just gave you the region,
you'd have to define it, you'd
say, well, x is going from,
this is going from this
function to that function, and
y is going from a to b, and you
might want to review the double
integral videos, if
that confuses you.
So we're taking the double
integral over the region of the
partial of Q with respect to x,
d-- well, you could write dx
dy, or you can even right
a little da, right?
The differential of area,
right, that we can imagine
as a da, which is the
same thing as a dx dy.
And if we combine that with the
last video, and this is kind of
the neat bringing it all
together part, the result of
the last video was this.
That if I had a function that's
defined completely in terms of
x, we had this, right here.
We had that result.
Actually, let me copy and paste
both of these to a nice clean
part of my whiteboard,
and then we can do the
exciting conclusion.
Let me copy and paste that.
So that's what we got
in the last video.

Portuguese: 
Esta é a região.
Correto?
Isso é exatamente o que nós estamos fazendo bem aqui...
Se eu apenas lhe der a região, você terá que definí-la, você
dirá, "bem, x vem de... isso irá vir desta
função para aquela função, e y irá ir de a a b e você
poderá querer rever os vídeos sobre integrais duplas, se
isso o confunde.
Então nós estamos fazendo a integral dupla sobre a região da
[derivada] parcial de Q em relação a x, d... bem, você pode escrever dx
dy, ou você pode escrever um pequeno da, correto?
A diferencial de área, certo, que nós podemos imaginar
como um da, que é a mesma coisa que um dx da!
E se nós combinarmos isso com o último vídeo, e isso é tipo
uma visão clara de todo o conjunto, o resultado do
último vídeo foi este...
Que se eu tiver uma função que é completamente definida em temos de
x, nós temos isso, bem aqui...
Nós chegamos a este resultado.
E agora, deixe-me copiar e colar ambos, nesta parte bem
limpa do meu quadro branco, e então nós podemos chegar à
excitante conclusão.
Deixe-me copiar e colar isso...
Então isso é o que nós obtivemos no último vídeo.

Polish: 
ograniczonej pętlą c.
Żyjemy?
Do tego się to sprowadza.
Gdybym tylko narysował jakiś obszar, musielibyście go zdefiniować.
Powiedzieć, że x przebiega od tej funkcji
do tej, a y przyjmuje wartości od a do b.
Jeżeli boli was od tego głowa, powinniście jeszcze raz
obejrzeć filmy o całkach podwójnych.
Więc jeżeli scałkujemy po tym obszarze
pochodną funkcji dQ / dx, to razy dx * dy,
lub stosując inny zapis - razy dA.
dA to takie jakby małe pole,
o bokach dx i dy, czyli oba zapisy znaczą to samo.
To co udowodniliśmy teraz połączmy z tym,
co udowodniliśmy poprzednio. Ostatnio udowodniliśmy
ten wzorek.
Czyli, że jeżeli mam funkcję, którą można wyrazić w zależności
tylko od x, to zachodzi taka równość.
tylko od x, to zachodzi taka równość.
W sumie pozwolę sobie skopiować oba te wyniki
w mniej zatłoczone miejsce i będziemy mogli w końcu
przejść do ekscytującego finału.
Więc skopiuję to,
wynik uzyskany w pierwszym filmie,

Turkish: 
Burada bölge.
Öyle değil mi?
Burada yaptığımız aynen bu.
Size bölgeyi verirsem, x bu fonksiyondan şu fonksiyona gidiyor, y de a'dan b'ye gidiyor. Kafanız karıştıysa, çift katlı integral videolarını tekrar seyretmek isteyebilirsiniz.
-
-
-
-
Bu bölgede Q'nun x'e göre kısmisinin dx dy, veya d A ile çarpımının integralini alıyorum, değil mi?
-
-
Alan diferansiyelini, yani d A'yı d x d y olarak düşünebiliriz.
-
Şimdi bu bulduklarımızı bir önceki videoda bulduklarımızla birleştirelim.
-
-
Bir önceki videoda bunu bulmuştuk.
-
-
Şunu kesip tahtamın boş bir yerine yapıştırayım ve böylece, esas sonuca ulaşmaya hazır olalım.
-
-
-
Şu, bir önceki videoda elde ettiğimiz sonuç.

Spanish: 
Se trata de la región.
¿Verdad?
Eso es exactamente lo que estamos haciendo aquí.
Si sólo dio la región, tiene que definirlo, lo haría
decir, bueno, x se va, se va de este
función y esa función, y va desde un b, y
que desee revisar los vídeos integrales dobles, si
¿te confunde.
Así que nos estamos tomando la doble integral sobre la región de la
parcial de q con respecto a x, d--bueno, podría escribir dx
¿dy, o usted puede incluso derecho da un poco, derecho?
El diferencial de área, a la derecha, que podemos imaginar
como un da, que es lo mismo que un dx dy.
Y si tenemos combinar con el último video y esto son una especie de
el neat ponerla parte junto, el resultado de
el último video fue esto.
Que si tenía una función que está completamente definida en términos de
x, teníamos esto, aquí.
Hemos tenido ese resultado.
En realidad, me permito copiar y pegar ambos a un bonito limpio
parte de mi pizarra, y entonces podemos hacer la
conclusión emocionante.
Me deja copiar y pegar.
Eso es lo que tenemos en el último video.

Korean: 
바로 이 면적 말입니다
 
일반적으로 면적을 적분하기 위해서는
x가 무슨 함수에서 무슨 함수로 가며
y의 범위까지는 어디부터 
어디까지인지를 고려해야 합니다
이것이 혼란스럽다면 다시 한번 
이중적분에 대해 공부해 보시는 것도 괜찮겠네요
아무튼 우리는 Q에 대한 x의 편도함수를
dxdy에 대해서 적분하는 것입니다
dxdy를 da로 한꺼번에 표기해도 됩니다
da 매우 작은 면적을 의미합니다
즉 dxdy와 같은 의미입니다
여기서 우리가 저번 영상에서 얻은 결과를
한번 합쳐 보겠습니다
저번 영상의 결론은 이것이었습니다
x축에 평행한 벡터만을 가지는 벡터장 p에 대해
이런 결과를 유도할 수 있었습니다
이 두 식을 새로운 보드로 옮기겠습니다
거기서 신나는 결과를 한번 유도해 보도록 합시다
복사 붙여넣기 하고요
이것이 저번 영상의 결론이었고요

Estonian: 
See on piirkonnas.
Õigus?
See on täpselt see, mida me teeme siin.
Kui lihtsalt andsin teile piirkonnas, teil määratleda, mida teeksite
öelda, x läheb, see läheb sellest
selle funktsiooni ja y langedes a b ja
soovite võib-olla vaadata kahekordse lahutamatu videod, kui
mida te ära.
Nii et me oleme ülevõtmine on kahekordne lahutamatu piirkonna ning
q osalise suhtes x d--hästi, võid kirjutada dx
Dy või te saate isegi parem veidi da, õigus?
Arvestades ka diferentsiaali maa-ala, mida me kujutada
da, mis on sama asja nagu a dx dy.
Ja kui me kombineerida et viimase video ja see on liik
ühendab tulemus koos osa sel
viimase video oli see.
Kui mul oli funktsiooni, mis on määratletud täiesti
x, meil oli see siin.
Meil oli tulemuse saavutamiseks.
Tegelikult, lubage mul kopeerida ja kleepida mõlemad neist on ilus puhta
osa minu kirjutustahvel, ja siis saame teha selle
põnev sõlmimist.
Lubage mul kopeerige ja kleepige see.
See on viimane Video Meil.

Portuguese: 
Essa região. Certo?
É o que estamos fazemos aqui.
Se eu desse a região, você teria
que defini-la, dizendo que x parte dessa
função para essa função,
e y vai de a até b, e queira
revisar os de integral dupla, se
isso confunde
Então pegamos a integral
dupla sobre a região da
parcial de Q em função de x, d --
você poderia escrever dx dy,
ou talvez um pequeno dA, certo?
A diferencial de área, que imaginamos
como dA, que é a mesma coisa que dx dy.
E se combinarmos isso com
o último vídeo, e essa é a parte
agradável, de juntar tudo, o resultado
do último vídeo era esse.
Que se eu tivesse uma função definida
completamente em termos de
x, teríamos isso aqui.
Esse resultado.
Na verdade, vou copiar e colar
esses dois para uma parte limpa
do quadro, e aí podemos continuar
com a conclusão.
Deixa eu copiar e colar isso.
Então isso é o que tiramos do último vídeo

Thai: 
นี่คือพื้นที่
จริงไหม?
นั่นคือสิ่งที่เรากำลังทำอยู่ตรงโน้น
หากผมบอกขอบเขตคุณ, คุณต้องกำหนดมัน,
คุณก็บอกว่าโอเค, x ไปจาก, นี่ไปจากฟังก์ชันนี้
ถึงฟังก์ชันนั้น, และ y ไปจาก a ถึง b, และคุณ
อาจต้องทบทวนวิดีโอเรื่องอินทิกรัลสองชั้น, หาก
คุณงง
ดังนั้น เราก็หาอินทิกรัลสองชั้นตลอดขอบเขต
ของอนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ x, d -- ทีนี้ล คุณสามารถเขียน dx
dy, หรือคุณจะเขียน da เล็ก ๆ ก็ได้, จริงไหม?
ดิฟเฟอเรนเชียลของพื้นที่, ใช่, ที่เราจินตนาการ
เป็น da, ซึ่งก็เหมือนกับ dx dy
และหากเรานั่นกับวิดีโอที่แล้ว, และนี่คือ
การรวมกันที่เนี๊ยบมาก, ผลจาก
วิดีโอที่แล้วคืออันนี้
หากผมมีฟังก์ชันที่นิยามในรูปของ x เท่านั้น
เราได้นี่, ตรงนี้
เราได้ผลอันนั้น
ที่จริง, ขอผมคัดลอกและวางทั้งสองอันบน
กระดานส่วนที่สะอาดก่อน, แล้วเรา
ค่อยสรุปผลอันน่าตื่นเต้นกัน
ลองคัดลอกแล้ววางมัน
นั่นก็คือสิ่งที่เราได้จากวิดีโอที่แล้ว

Arabic: 
وهذه هي المنطقة.
أليس كذلك؟
هذا بالضبط ما نفعله هنا.
إذا أنا فقط منحكم المنطقة، عليك أن تعرف أنه، لو كنت
أقول، أيضا، يجري x من، وهذا يحدث من هذا
الدالة إلى هذه الدالة، وص تسير من إلى ب، وكنت
قد ترغب في مراجعة الفيديو لا يتجزأ مزدوجة، إذا
أن يخلط بين لك.
حيث نقوم المضاعفة لا يتجزأ على المنطقة
الجزئي من q فيما يتعلق بس، د-حسنا، يمكن أن تكتب dx
حتى حق دي، أو يمكنك يمكن دا قليلاً، الحق؟
فرق ناحية، إلى اليمين، الذي يمكننا أن نتصور
كدا، وهو الشيء نفسه dx dy.
وإذا نحن مع أن الجمع بين شريط الفيديو الأخير، وهذا نوع
أنيق جعله جميعا جزء معا، نتيجة
وكان شريط الفيديو الأخير هذا.
أنه إذا كان دالة يعرف تماما من حيث
x، كان لدينا، وهذا حق هنا.
كان لدينا تلك النتيجة.
في الواقع، اسمحوا لي أن نسخ ولصق كل منهما إلى لطيفة نظيفة
جزء من بلدي لوحة السبورة، وبعد ذلك يمكننا أن نفعل
النتيجة مثيرة.
واسمحوا لي أن نسخ ولصق هذا.
هذا ما حصلنا عليه في شريط الفيديو الأخير.

Estonian: 
Ja selle video meil on see tulemus.
Ma lihtsalt kopeerige ja kleepige see osa seal.
Juba võib ennustada, kus see toimub.
Ja seejärel Lubage mul kleepige see siin.
See on selle video tulemus.
Nüüd let's meelevaldse vektori välja mõelda, kuid on
määratletud, ma teen, et roosa, let's öelda f on vektor
väljal määratletud üle XY-tasand ja f on võrdne p
XY-diagrammi, ma pluss xy j Q.
Saate peaaegu kujutada f on meie vektori lisamine
väljad, P ja Q, et oleme teinud viimase kahe videod.
Q oli see video, ja Me tegime p enne seda videot.
Kuid see on tõesti meelevaldse vektori välja.
Oletame, et me tahame võtta välja- või kahjuks vektori- ja selle

Portuguese: 
E nesse vídeo, tiramos esse resultado.
Vou copiar e colar isso aqui.
Você já deve poder prever aonde isso vai.
E deixa eu colar aqui.
Esse é o resultado desse vídeo.
Agora vamos pensar num
campo vetorial qualquer, mas
definido como, vou fazer em rosa,
digamos que F é um campo
vetorial definido sobre
o plano xy, e F é igual a P
de xy i mais Q de xy j.
Você pode até imaginar que F
é a soma dos nossos campos
vetoriais, P e Q, que fizemos
nos últimos vídeos.
Q nesse vídeo, e P no último.
Mas esse é um campo vetorial qualquer.
E digamos que queremos pegar
o campo vetorial, desculpe,

English: 
And this video, we
got this result.
I'll just copy and paste
that part right there.
You might already predict
where this is going.
And then let me
paste it over here.
This is the result
from this video.
Now let's think about an
arbitrary vector field but is
defined as, I'll do that in
pink, let's say F is a vector
field defined over the xy
plane, and F is equal to P
of xy i plus Q of xy j.
You can almost imagine F being
the addition of our vector
fields, P and Q, that we did
in the last two videos.
Q was this video, and we did
P in the video before that.
But this is really any
arbitrary vector field.
And let's say we want to take
the vector field, or sorry, the

Arabic: 
وهذا الفيديو، حصلنا على هذه النتيجة.
أنا مجرد نسخ ولصق هذا الجزء هناك حق.
كنت قد التنبؤ بالفعل حيث يجري ذلك.
وبعد ذلك اسمحوا لي أن لصقه هنا.
وهذا الناتج من هذا الفيديو.
الآن دعونا نفكر في حقل مكافحة ناقلات تعسفي إنما هو
يعرف، سأفعل باللون الوردي، دعنا نقول و أن ناقل
تعريف الحقل على مدى الطائرة س وص، ويساوي و ف
س وص للإضافة إلى ف ي س وص.
يمكنك أن تتخيل تقريبا و يتم إضافة لنا متجهة
الحقول، p و q، أن فعلنا في أشرطة الفيديو الأخيرتين.
ف هذا الفيديو، وفعلنا ف في شريط الفيديو قبل ذلك.
ولكن هذا حقا أي مجال مكافحة ناقلات التعسفي.
ودعونا نقول أننا نريد أن ناقل الحقل، أو عذرا،

Turkish: 
Bu videoda da bu sonucu bulduk.
-
Nereye varacağımızı tahmin etmiş olabilirsiniz.
-
-
Şimdi de harhangi bir vektör alanı düşünelim. F vektör alanı, x y düzleminde tanımlanmış olsun. F eşittir P x y i artı Q x y j.
-
-
-
F'yi son iki videoda kullandığımız P ve Q'nun toplamı olarak da düşünebilirsiniz.
-
Q'yu bu videoda kullandık, P'yi de bir önceki videoda.
Ama bu, herhangi bir vektör alanı.
Şimdi bu vektör alanının bir iz üzerindeki çizgi integralini almak istediğimizi düşünelim.

Spanish: 
Y este video, llegamos a este resultado.
Sólo podrá copiar y pegar la parte derecha.
Ya puede predecir dónde va.
Y, a continuación, me permito pegarlo aquí.
Este es el resultado de este video.
Ahora vamos a pensar en un campo vectorial arbitrario pero es
definido como, todo lo que en rosa, vamos a decir f es un vector
el campo definido por el plano xy y f es igual a p
de xy además q de xy j.
Casi te imaginas f ser la adición de nuestro vector
campos, P y Q, que hicimos en los dos últimos vídeos.
Q fue este video y lo hicimos p en el video antes de eso.
Pero esto es realmente cualquier campo vectorial arbitrario.
Y supongamos que deseamos tomar el vector de campo, o perdón, la

Thai: 
และในวิดีโอนี้, เราได้ผลเช่นนั้น
ผมแค่คัดลอกและวางส่วนนั่นตรงนั้น
คุณคงเดาได้ว่ามันจะไปยังไงต่อ
แล้วผมก็วางมันตรงนั้น
นี่คือผลจากวิดีโอนี้
ทีนี้ลองคิดถึงสนามเวกเตอร์ตามใจ โดย
กำหนดเป็น, ผมจะใช้สีชมพูนะ, สมมุติว่า F เป็นสนามเวกเตอร์
นิยามบนระนาบ xy, และ F เท่ากับ P
ของ xy i บวก Q ของ xy j
คุณสามารถจินตนาการ F ว่าเป็นผลรวมของสนามเวกเตอร์
P กับ Q, ที่เราทำไปในวิดีโอที่แล้ว
Q คือวิดีโอนี้, และเราทำ P ในวิดีโอก่อนหน้านั้น
แต่นี่ที่จริงคือสนามเวกเตอร์ตามใจ
และสมมุติว่าเราอยากหาสนามเวกเตอร์, หรือ, โทษที

Korean: 
이것이 새로운 결론이었습니다
이것도 복사 붙여넣기 합시다
몇몇 분들은 벌써 눈치 챘을지도 모르겠네요
 
 
이제 일반적인 벡터장에 대해서 생각해 보도록 합시다
이 임의적인 벡터장을 f라고 하겠습니다
f는 xy 평면에서 정의된 벡터장이며,
f(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j 입니다
사실상 f는 저번 영상의 p와 이번 영상의 q를
합쳐놓은 것으로도 생각할 수 있습니다
하지만 f는 p나 q와는 달리 아주 평범한 벡터장입니다
아무튼 우리는 이 벡터장 f 위의 경로에 대한

Polish: 
i to, co udowodniliśmy przed chwilą.
i to, co udowodniliśmy przed chwilą.
Być może już się domyślacie, co się zaraz stanie.
Być może już się domyślacie, co się zaraz stanie.
Być może już się domyślacie, co się zaraz stanie.
Teraz możemy już wziąć dowolne pole wektorowe,
zapiszmy je na różowo,
zdefiniowane na płaszczyźnie (x,y) i wyrażone wzorem
f(x,y) = P(x,y) * i + Q(x,y) * j.
f jest kombinacją
pól wektorowych P i Q.
Q zajmowaliśmy się w tym filmie, a P zbadaliśmy poprzednio.
W ten sposób da się przedstawić dowolne pole wektorowe.
I teraz tak jak poprzednio

Portuguese: 
E neste vídeo, nós obtivemos este resultado...
Eu irei apenas copiar e colar esta parte bem aqui...
Você já deve ter predito para onde isso vai levar...
E então deixe-me colar bem aqui...
Este é o resultado deste vídeo.
E agora deixe-me pensar um campo vetorial arbitrário, mas isso
está definido como... eu irei fazer isso em rosa... digamos, F é um campo
vetorial definido sobre o plano xy e F é igual a P
de xy-i mais Q de xy-j.
Você pode mesmo imaginar F como sendo a soma dos nossos campos
vetoriais, P e Q... que nós fizemos nos últimos dois vídeos...
Q foi neste vídeo e nós fizemos P no vídeo anterior.
Mas isso é de fato qualquer campo vetorial arbitrário.
E digamos que nós queremos resolver o campo vetorial, ou... desculpe-me, a

Korean: 
선적분을 구하고 싶습니다
이 경로 역시 매우 일반적인 경로입니다
 
 
이 그래프 위에 어떤 경로가 이렇게 있습니다
이것이 저의 특별할 것 없는 경로이고요
이 경로의 방향은 반시계방향입니다
 
저의 관심사는 이 경로에 대한
f 내적 dr의 선적분입니다
이미 지겹도록 봤죠?
일단 dr = dx i + dy j 이므로
(으악 또 똑같은 걸 하네요)
이 선적분 식은
경로 c에 대한 선적분
그리고 f 내적 dr인데, dr 대신
dx i + dy j 로 풀어쓰면,

Estonian: 
rea väli vektor, mõned teed mööda lahutamatu.
See võiks olla sama me oleme teinud, on olnud
väga meelevaldse üks.
See on tõesti mis tahes meelevaldse tee.
Lubage mul mõned meelevaldse tee joonistamiseks siin.
Let's öelda, see on minu meelevaldse teed minu meelevaldse kõver.
Oletame, et see läheb seda vastupäeva
lihtsalt meeldib see.
Ja ma olen huvitatud, mida lahutamatu rea, suletud liin
on lahutamatu selle tee f punkt dr ümber.
Ja me oleme näinud seda mitu korda.
Dr on võrdne i dx pluss dy alati j.
Lahutamatu real saate ümber nii, et see on võrdne
c tee ümber lahutamatu reale.
F punkt dr, mis läheb see mõiste korda dx, nii et see on

Spanish: 
integral de línea del campo vectorial por algún camino.
Podría ser el mismo que hemos hecho, que ha sido
uno muy arbitrario.
Es realmente cualquier trazado arbitrario.
Así que permítanme señalar algún camino arbitrario aquí.
Digamos, que es mi camino arbitrario, mi curva arbitraria.
Digamos que va en esa dirección en sentido antihorario,
sólo así.
Y lo que me interesa la integral de línea, la línea cerrada
es integral, alrededor de ese camino de dr de punto F.
Y hemos visto varias veces.
Dr es igual a dx además dy veces j.
Para que esta línea integral puede reescribirse como, esto es igual
la línea integral alrededor de la c de ruta.
F punto dr, que va a ser este término veces dx, así que

Portuguese: 
a integral de linha desse campo
vetorial, sobre algum caminho.
Poderia ser o mesmo
que fizemos, que foi um
bastante aleatório.
É de fato um caminho aleatório.
Então deixa eu desenhar esse caminho aqui.
Esse é meu caminho aleatório,
minha curva aleatória.
Digamos que vai na direção anti-horária,
dessa forma.
E estou interessado na integral
de linha, a integral fechada
de linha, em torno desse
caminho onde F escalar dr está.
E vimos várias vezes.
dr é igual a dx i mais dy j.
Então essa integral de linha pode ser
reescrita como, isso sendo igual
a integral de linha em torno do caminho c.
F escalar dr, que vai ser
esse termo vezes dx, esse é

English: 
line integral of this vector
field, along some path.
It could be the same one
we've done, which has been
a very arbitrary one.
It's really any arbitrary path.
So let me draw some
arbitrary path over here.
Let's say, that is my arbitrary
path, my arbitrary curve.
Let's say it goes in that
counterclockwise direction,
just like that.
And I'm interested in what the
line integral, the closed line
integral, around that
path of F dot dr is.
And we've seen it
multiple times.
dr is equal to dx i
plus dy times j.
So this line integral can be
rewritten as, this is equal
to the line integral
around the path c.
F dot dr, that's going to be
this term times dx, so that's

Polish: 
liczymy całkę krzywoliniową naszego pola wektorowego po jakiejś pętli.
W sumie znów możemy całkować po krzywej c,
bo ona była wybrana dosyć dowolnie.
Tak naprawdę można całkować po dowolnej pętli.
Więc narysujmy tu jakąś.
Więc narysujmy tu jakąś.
Jest ona zorientowana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,
czyli w ten sposób.
Więc interesuje nas całka krzywoliniowa
po pętli z funkcji f względem dr.
I znów tak jak poprzednio:
dr = dx * i + dy * j.
Więc naszą całkę możemy przepisać
jako całkę po pętli c
z iloczynu tych dwóch wyrażeń, czyli z

Thai: 
อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์นี้, ตามเส้นทางนึง
มันอาจเป็นอันที่เราทำไป, ซึ่งเป็นอัน
ที่ตามใจเรา
มันเป็นเส้นทางอะไรก็ได้
ขอผมวาดเส้นทางอะไรก็ได้ตรงนี้
สมมุติว่า, นี่คือเส้นทางอะไรก็ได้ของผม, เส้นโค้งตามใจผม
สมมุติว่ามันไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา
แบบนั้น
และผมสนใจว่า อินทิกรัลเส้น อินทิกรัลเส้นแบบปิด
ตามเส้นทางนั่นของ F ดอท dr คืออะไร
และเราเห็นมันหลายครั้งแล้ว
dr เท่ากับ dx i บวก dy คูณ j
ดังนั้นอินทิกรัลเส้นนี่สามารถเขียนเป็น, นี่เท่ากับ
อินทิกรัลเส้นตามเส้นทาง c
F ดอท dr, นั่นจะเท่ากับเทอมนี้คุณ dx, แล้วนั่นคือ

Arabic: 
خط متكاملة لهذا الميدان ناقلات الأمراض، على طول مسار بعض.
يمكن أن يكون نفس واحدة فعلناه، الذي كان
كلمة مرور عشوائية جداً.
أنها حقا أي مسار التعسفي.
لذلك اسمحوا لي أن رسم مسار التعسفي بعض أكثر من هنا.
دعنا نقول، وهذا هو طريقي التعسفي، بلدي المنحنى التعسفي.
دعنا نقول أنه يسير في هذا الاتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة،
فقط من هذا القبيل.
وأنا مهتم بما خط لا يتجزأ، السطر مغلقة
متكاملة، حول هذا المسار من الدكتور دوت و.
وشاهدنا ذلك عدة مرات.
الدكتور مساو ل dx أنا بالإضافة إلى أوقات dy ي.
حيث يمكن أن تعاد كهذا الخط لا يتجزأ، وهذا يساوي
إلى السطر متكاملة حول المسار c.
و دوت الدكتور، التي هي على وشك أن dx مرات هذا الأجل، حتى أن

Portuguese: 
integral de linha deste campo vetorial, ao longo de algum caminho.
Isso poderia ser a mesma coisa que nós já fizemos, que foi
uma [forma] bem arbitrária...
Isso realmente é qualquer caminho arbitrário.
E então deixe-me desenhar algum caminho arbitrário bem aqui.
Digamos, isso é meu caminho arbitrário, minha curva arbitrária.
E digamos que isso corre na direção contrária aos ponteiros do relógio.
Justamente assim...
E eu estou interessando no quê a integral de linha, a integral de linha
fechada, em torno deste caminho de F escalar dr nos dá...
E nós vimos isso por diversas vezes.
dr é igual a dx i mais dy vezes j.
Então esta integral de linha pode ser reescrita como... isto é igual
a integral de linha em torno do caminho c.
F escalar dr... isso irá ser este termo vezes dx, então este

Turkish: 
-
-
-
İzimiz, herhangi bir iz olabilir.
Şuraya herhangi bir iz çizeyim.
Rastgele izimin şu olduğunu varsayalım. Saat yönünün tersine gittiğini düşünelim.
-
-
F iç çarpım d r'nin bu eğri üzerindeki kapalı çizgi integralini bulmak istiyorum.
-
Bunu birçok kereler gördük.
d r eşittir d x i artı d y çarpı j.
Yani bu çizgi integralini şöyle yazabiliriz. c eğrisinin üzerindeki F iç çarpım d r, bu terim çarpı d x, yani P x y çarpı d x, artı bu terim, Q x y çarpı d y.
-
-

Arabic: 
ع س وص الأوقات dx بالإضافة إلى هذا المصطلح، ف س وص الأوقات dy.
وهذا الأمر كله، أساسا وهذا هو نفسه
الشيء كخط متكاملة من س ص dx، بالإضافة إلى خط
لا يتجزأ من ف س وص dy.
الآن ما هي هذه الأمور؟
وهذا ما احسب أننا في اﻷول شريط فيديو، وهذا ما
نحن حظيت بها الآن في هذا الفيديو.
هذا شيء هنا هو نفس الشيء
كما أن هناك.
حتى هذا لن يكون مساوياً متكاملة يتضاعف أكثر من هذا
المنطقة الحق هنا، من الجزئي ناقص من ف فيما يتعلق y.
وبدلاً من dx dy، يمكننا أن نقول ما يزيد قليلاً على
الفرق في المنطقة.
وذلك الحين زائد هذا واحد، هذه النتيجة.
ف.
هذا شيء هنا بالضبط ما كنا فقط ثبت،
بالضبط ما أظهرنا فقط في هذا الفيديو.

Polish: 
P(x,y) * dx + Q(x,y) * dy,
a to jest to samo
co całka z P(x,y) względem dx plus
całka z Q(x,y) względem dy.
A czym są te całki?
Jedną z nich zbadaliśmy poprzednio, drugą
dosłownie przed chwilą.
Ta tutaj to dokładnie to samo
co ta zapisana na żółto.
Więc to będzie równe podwójnej całce po
tym obszarze, z minus dP / dy.
Znów zamiast pisać dy * dx, możemy napisać
dA, czyli przyrost pola.
Do tego dodajmy teraz tę całkę,
z Q.
Ale mamy tę równość,
którą już wykazaliśmy.

Thai: 
p ของ xy คูณ dx บวกเทอมนี้ Q ของ xy คูณ dy
และทั้งหมดนี่, ที่สุดแล้วนี่ก็เหมือนกับ
อินทิกรัลเส้นของ P ของ xy dx, บวกอินทิกรัลเส้น
ของ Q ของ xy dy
ทีนี้พวกนี้มันคืออะไร?
นี่คือสิ่งที่เราหาไปในวิดีโอแรก, นี่คือสิ่งที่เราหาได้
ไปในวิดีโอนี้
สิ่งนี่ตรงนี้ก็เหมือนกับ
อันนั้นตรงนั้น
และนี่จะเท่ากับอินทิกรัลสองชั้นตลอด
เส้นทางนี่ตรงนี้, ของลบอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ y
-
แทนที่จะเป็น dy dx, เราบอกว่าตลอด
ดิฟเฟอเรนเชียลของพื้นที่
แล้วบวกอันนี้, ผลนี่
Q
สิ่งนี่ตรงนี้ก็เหมือนกับที่เราพิสูจน์ไป
ว่าคือสิ่งเดียวกับที่เราแสดงไปในวิดีโอนี้

Korean: 
P(x, y)dx + Q(x, y)dy가 됩니다
따라서 이 전체 식은
선적분 P(x, y)dx 더하기
선적분 Q(x, y)dy와 같습니다
그런데 어디서 많이 본 형태 아닌가요?
이 첫번째 항은 저번 영상에서 다루었고
이 두번째 항은 방금 전에 살펴 보았잖아요?
첫번째 항은
저 식과 같습니다
따라서 첫번째 항은,
[- ∂P/∂y]의, [경로가 둘러싼 지역]에 대한 이중적분
 
그리고 dy dx를 써줘야 하지만
그냥 dA로 써줘도 되죠
그리고 두번째 항은
 
방금 전에 했었죠?

Portuguese: 
P de xy vezes dx, mais esse
termo, Q de xy vezes dy.
E tudo isso aqui, é basicamente igual a
integral de linha de P
de xy dx, mais a integral
de linha de Q de xy dy.
E o que é isso?
Isso é o que descobrimos
no primeiro vídeo, e
isso é o que vimos nesse vídeo.
Essa coisa aqui é exatamente a mesma coisa
que isso daqui.
Então isso vai ser igual
a integral dupla sobre
essa região aqui, menos a
parcial de P em função de y.
Ao invés de dy dx, podemos
dizer que é apenas
a diferencial de área.
E então mais esse resultado. Q.
Isso é o que provamos, exatamente
o que mostramos nesse vídeo.

Portuguese: 
p de xy vezes dx mais este termo, Q de xy vezes dy.

Spanish: 
p de xy veces dx más este término, Q de xy veces dy.
Y todo este asunto, básicamente esto es lo mismo
lo que la integral de línea de p de xy dx, además de la línea
integral de q de xy dy.
Ahora, ¿cuáles son estas cosas?
Esto es lo que averiguamos en el primer video, esto es lo que
averiguamos justo ahora en este video.
Esto aquí es exactamente lo mismo
como que allí.
Así que esto va a ser igual a la integral doble sobre esto
región justo aquí, de al menos parcial de p con respecto a y.
En lugar de un dx dy, podríamos decir poco más del
diferencial de área.
Y entonces más este uno, este resultado.
Q.
Esto aquí es exactamente lo que nos demostró sólo
es exactamente lo que mostramos en este video solo.

English: 
p of xy times dx plus this
term, Q of xy times dy.
And this whole thing,
essentially this is the same
thing as the line integral of
p of xy dx, plus the line
integral of Q of xy dy.
Now what are these things?
This is what we figured out in
the first video, this is what
we figured out just
now in this video.
This thing right here is
the exact same thing
as that over there.
So this is going to be equal to
the double integral over this
region right here, of the minus
partial of P with respect to y.
Instead of a dy dx, we
could say just over the
differential of area.
And then plus this
one, this result.
Q.
This thing right here is
exactly what we just proved,
is exactly what we just
showed in this video.

Turkish: 
-
Bu da eşittir, P x y d x'in çizgi integrali artı Q x y d y'nin çizgi integrali.
-
-
Peki, bunlar neydi?
Bunu birinci videoda, şunu da şimdi bu videoda bulduk.
-
Bununla şu aynı şey.
-
Yani buradaki, bu bölge üzerinde eksi P'nin y'ye göre kısmisinin çift katlı integrali olacak.
-
-
d y d x yerine alan diferansiyeli diyebiliriz.
-
Artı bu sonuç, Q.
-
Buradaki ifadeyi bu videoda inceledik.
-

Estonian: 
XY-diagrammi p alati dx pluss see termin q xy alati dy.
See kogu asi, sisuliselt see on samad
asja nagu p xy dx koos rea rea lahutamatu
XY-diagrammi q lahutamatu dy.
Millised on nüüd need asjad?
See on, mida me mustriga läbi esimene video, mis on
Me mustriga läbi just nüüd seda videot.
Siin see asi on täpselt sama asja
kui seal.
Nii see läheb võrdub kahekordse lahutamatu selle üle
piirkonna paremale siin, P miinus osaline y suhtes.
Asemel dy dx võib öelda veidi üle selle
ala vahest.
Ja seejärel pluss see, selle tulemuse.
Q.
Siin see asi on just see, mida me lihtsalt tõendada,
on tδpselt, mida me lihtsalt näitas selle video.

Spanish: 
Por lo que es más, lo dejo ahí arriba, tal vez podrá hacerlo
el amarillo, además de la integral doble sobre la misma región
de los parciales de q con respecto a x.
da, donde es justo dx dy, o dx dy, puede
cambiar el orden, es
el diferencial de área.
Y ahora, podemos añadir estas dos integrales.
¿Qué obtenemos?
Así que esto es igual a, y esto es una especie de nuestro
gran, gran conclusión.
Quizás magenta se llama aquí.
La integral doble sobre la región de, voy a escribir este
en primer lugar porque es positivo, que es negativo, de la
parcial de q con respecto a x, menos el parcial de p con
respecto a y d, el diferencial de área.
Este es nuestro gran punto.
Este es nuestro gran punto.
Me permito escribir aquí.
La integral de línea del bucle cerrado de dr de punto f es igual a

Polish: 
Więc do pierwszej całki dodajemy
podwójną całkę po tym samym obszarze
z pochodnej dQ / dx względem dA.
Lub jeżeli ktoś woli: względem dy * dx, dx * dy,
kolejność nie odgrywa tu roli,
chodzi o malutki przyrost pola.
Co dostaniemy, kiedy
dodamy obie te całki?
Tu już przechodzimy
do ostatecznych wniosków,
zapiszmy je na purpurowo.
Ta suma to podwójna całka po obszarze z pochodnej,
tę zapiszę najpierw, bo jest dodatnia,
dQ / dx - dP /dy.
To jeszcze razy dA.
To jest wielka konkluzja.
To jest wielka konkluzja.
Przepiszę ją tutaj:
całka krzywoliniowa po pętli c z funkcji f względem dr jest równa

Portuguese: 
Então aqui é mais, e vou deixar
ali em cima, vou fazer de
amarelo, mais a integral
dupla sobre a mesma região
da parcial de Q em função de x.
dA, que é apenas dy dx ou dx dy, você pode
mudar a ordem, é
a diferencial de área.
E agora, adicionamos essas duas integrais.
O que temos?
Isso é igual a, e essa é a nossa
grande conclusão.
Talvez magenta seja necessário aqui.
A integral dupla sobre a
região, vou escrever esse
primeiro porque é positivo,
esse é negativo, da
parcial de Q em função de
x, menos a parcial de P em
função de y, d, a diferencial da área.
Essa é nossa grande tirada.
Essa é nossa grande tirada.
Deixa eu escrever aqui.
A integral de linha da curva
fechada de F escalar dr é igual a

Arabic: 
هذا هو بالإضافة إلى ذلك، أنا سوف اتركه هناك، وربما سأفعل ذلك
الأصفر، بالإضافة إلى تكامل مزدوج على نفس المنطقة
من جزئي q فيما يتعلق بس.
دا، حيث هذا هو عادل dy dx، أو dx dy، يمكنك
تبديل النظام،
فرق المنطقة.
والآن، يمكننا أن نضيف هذه تكاملات اثنين.
ماذا نجني؟
حتى هذا يساوي، وهذا نوع من أعمالنا
اختتام كبيرة، الكبير.
ربما يتم استدعاء أرجواني هنا.
متكاملة مزدوجة حول المنطقة، وأنا اكتب هذا واحد
أولاً لأنه إيجابية، ذاك سلبي، من
الجزئي من q فيما يتعلق x، ناقص الجزئي ف مع
احترام y، د، والفرق في المنطقة.
هذا هو عملنا الوجبات الكبيرة.
هذا هو عملنا الوجبات الكبيرة.
واسمحوا لي أن اكتب هنا.
يساوي متكاملة سطر من الحلقة المغلقة للدكتور دوت و

English: 
So that's plus, I'll leave it
up there, maybe I'll do it in
the yellow, plus the double
integral over the same region
of the partial of Q
with respect to x.
da, where that's just dy
dx, or dx dy, you can
switch the order, it's
the differential of area.
And now, we can add
these two integrals.
What do we get?
So this is equal to, and
this is kind of our
big, grand conclusion.
Maybe magenta is
called for here.
The double integral over the
region of, I'll write this one
first because it's positive,
that one's negative, of the
partial of Q with respect to x,
minus the partial of p with
respect to y, d, the
differential of area.
This is our big takeaway.
This is our big takeaway.
Let me write it here.
The line integral of the closed
loop of F dot dr is equal to

Turkish: 
Artı, Q'nun x'e göre kısmisinin aynı bölgedeki integrali.
-
-
d A veya d y d x, sırayı da değiştirebilirsiniz, alan diferansiyeli.
-
-
Bu iki integrali toplayabiliriz.
Ne buluruz?
Görkemli sonucumuzu elde ederiz.
-
-
Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi çarpı alan diferansiyelinin çift katlı integrali.
-
-
-
Bu, büyük sonucumuz.
Büyük sonucumuz.
Şuraya yazayım.
.
F iç çarpım d r'nin kapalı çizgi integrali, şu ifadenin çift katlı integraline eşit.

Thai: 
นั่นก็คือบวก, ผมจะปล่อยมันบนนี้, บางทีผมควรเขียน
มันด้วยสีเหลือง, บวกอินทิกรัลสองชั้นตลอดพื้นที่เดิม
ของอนุพันธ์ย่อย Q เทียบกับ x
da, โดยนั่นก็แค่ dy dx, หรือ dx dy, คุณ
เปลี่ยนลำดับได้, มันคือ
ดิฟเฟอเรนเชียลของพื้นที่
และตอนนี้, เราสามารถบวกอินทิกรัลสองอันนี้ได้
เราจะได้อะไร?
นี่จะเท่ากับ, และนี่ก็คือบทสรุป
อันยิ่งใหญ่
สีบานเย็นน่าจะเป็นสีที่เหมาะตรงนี้
อินทิกรัลสองชั้นตลอดขอบเขตของ, ผมจะเขียนอันนี้
ก่อนเพราะมันเป็นบวก, อันนั้นเป็นลบ, ของ
อนุพันธ์ย่อย Q เทียบกับ x, ลบอนุพันธ์ย่อยของ P
เทียบกับ y, d, ดิฟเฟอเรนเชียลของพื้นที่
นี่คือผลลัพธ์อันใหญ่
นี่คือผลลัพธ์อันยิ่งใหญ่
ขอผมเขียนมันตรงนี้นะ
อินทิรกัลเส้นตลอดวงปิดของ F ดอท dr เท่ากับ

Estonian: 
Nii et see on lisaks I väljuvad seal, võib-olla ma teen seda
kollane, millele lisandub samas piirkonnas kahekordse integraal
ja q osaline x suhtes.
DA, kui see on lihtsalt dy dx, või dx dy, saate
tellimuse aktiveerimine, on
ala vahest.
Ja nüüd, me lisada need kaks integraalid.
Mida me saame?
Nii, et see on võrdne ning see on liiki meie
suur, grand sõlmimist.
Võib-olla on punane (magenta) nõudnud siin.
Kahekordne integraal piirkonnas läheb writing see
esimene on positiivne, et üks on eitavast otsusest, mis on
osalise q x, millest on maha arvatud p, mille osaline suhtes
järgima y, d, ala vahest.
See on meie suur takeaway.
See on meie suur takeaway.
Lubage mul Kirjutage see siin.
F punkt dr suletud silmust rea lahutamatu on võrdne

Korean: 
따라서 방금의 결과를 그대로 대입해주면
[∂Q/∂x]의 [경로가 둘러싼 지역]에 대한 이중적분
그리고 마지막으로 da
물론 da는 dxdy로 쓰든 dydx로 쓰든 상관 없고요
셋 다 매우 작은 넓이를 의미하니까요
이제 이 두 이중적분을 묶어내 보겠습니다
무슨 결과가 나올까요?
최종적으로 두 적분을 묶어내 봅시다
드디어 우리의 큰 그림이 완성되고 있네요
(번역도 거의 끝나가네요 헉헉)
멋스럽게 자홍색으로 써볼까요
먼저 이 영역에 대한 이중적분
그리고 양의 부호를 가진 두 번째 항부터 써주겠습니다
∂Q/∂x 빼기 ∂P/∂y
그리고 마지막으로 dA를 써주면
드디어 우리의 식이 완성되었습니다
우와!
좌변을 다시 적어주겠습니다
벡터장 f의 닫힌 경로에 대한 선적분은

English: 
the double integral
of this expression.
And it's something,
just remember.
We're taking the function that
was associated with the
x-component, or the
i-component, we're taking the
partial with respect to y.
And the function that was
associated with the
y-component, we're taking the
partial with respect to x.
And that first one, we're
taking the negative of.
That's a good way
to remember it.
But this result right here,
this is, maybe I should
write it in green, this
is Green's Theorem.
And it's a neat way to relate a
line integral of a vector field
that has these partial
derivatives, assuming it has
these partial derivatives, to
the region, to a double
integral of the region.
Now, and this is a little bit
of a side note, we've seen in
several videos before, we've
learned that if F is

Portuguese: 
integral dupla dessa expressão.
E é algo -- lembre-se.
Estamos pegando a função
que estava associada com a
componente x, ou componente i, e tiramos
a parcial em função de y.
E a função associada com a
componente y, tiramos a
parcial em função de x.
E tiramos a negativa dessa primeira.
É uma boa forma de lembrar.
Mas esse resultado aqui, talvez eu devesse
escrever em verde, esse
é o Teorema de Green.
E é uma forma simples de relacionar
a integral de linha de um campo vetorial
que tem essas derivadas
parciais, assumindo que haja
essas derivadas parciais,
para a região, para a integral
dupla da região.
Agora, é uma pequena nota, vimos em
vários vídeos antes, aprendemos que se F é

Korean: 
오른쪽의 식과 같습니다
다시 한번 짚어보자면
먼저 우리는 오직 x와만 관련있는 함수를
y에 대해 편미분한 뒤
오직 y와만 관련있는 함수를
x에 대해 편미분한 뒤
아 그리고 첫번째 편미분은 마이너스가 붙었죠
마이너스 부호를 꼭 기억해 주세요
이 식을 우리는,
아 이것만큼은 초록색으로 적어줘야겠네요
이 식을 그린의 정리라고 부릅니다
 
x와 y에 대해 편미분 가능한 벡터장의 선적분을
내부 영역의 이중적분으로 나타내는 식입니다
하나 알아두면 좋을 것은,
예전에 우리가 보존적 벡터장에 대해
 배운 것이 기억나나요?

Estonian: 
See avaldis kahekordse lahutamatu.
Ja see on midagi, lihtsalt meeles pidada.
Me oleme võttes funktsioon, millega oli seotud ning
x-komponendi või i-osa, me oleme võttes on
osalise y suhtes.
Funktsioon, millega oli seotud ning
y-osa, me oleme võttes x suhtes osaline.
Ja et esimene osa, me oleme on eitav.
See on hea viis, et seda mäletada.
Kuid see tulemus paremal siin, see on, võib-olla ma peaks
Kirjutage see roheline, see on Greeni Theorem.
Ja see on puhas viis on seotud rida lahutamatu vektori välja
mis on nende osaline derivaadid, eeldusel, et see on
nende osaline derivaadid, piirkonna, kahe
piirkonna lahutamatu.
Nüüd, ja see on natuke külgmise tähele, oleme vaadelda
enne mitme videod, oleme õppinud mis kui f

Thai: 
อินทิกรัลสองชั้นของพจน์นี้
มันคือสิ่ง, ที่ต้องจำ
เราต้องหาฟังก์ชันที่เข้าคู่กับ
องค์ประกอบ x, หรือองค์ประกอบ i, เราต้องหา
อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ y
และฟังก์ชันที่เข้าคู่กับ
องค์ประกอบ y, เราก็หาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x
และอันแรกนั่น, เราใส่เครื่องหมายลบ
นั่นคือวิธีจำดี ๆ วิธีนึง
แต่ผลนี่ตรงนี้, นี่คือ, บางทีผมควรเขียน
มันด้วยสีเขียว, นี่คือทฤษฎีของกรีน
-
และมันคือวิธีเนี๊ยบ ๆ ในการโยงอินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์
ที่มีอนุพันธ์ย่อยพวกนี้, โดยสมมุติว่ามันมี
อนุพันธ์ย่อยพวกนี้จริง, กับพื้นที่, กับอินทิกรัล
สองชั้นตลอดพื้นที่
ทีนี้, นี่เป็นข้อเสริม, เราเห็นในวิดีโอก่อน ๆ
แล้ว, เรารู้ว่าหาก F นั้น

Spanish: 
la doble integral de esta expresión.
Y es algo, recuerda.
Nos estamos tomando la función que fue asociada con la
componente x, o el componente i, nos estamos tomando la
parcial con respecto a y.
Y la función que fue asociada con la
componente y, estamos tomando el parcial con respecto a x.
Y la primera de ellas, estamos tomando el negativo de.
Es una buena forma de recordarlo.
Pero este resultado a la derecha aquí, esto es, tal vez debería
escribir en verde, que esto es el teorema de Green.
Y es una manera ordenada para relacionar una integral de línea de un campo vectorial
tiene estas derivadas parciales, suponiendo que tiene
Estas derivadas parciales, a la región, a un doble
integral de la región.
Ahora, y esto es un poco más de una nota al margen, hemos visto en
varios videos antes, hemos aprendido si f es

Turkish: 
-
-
x bileşeniyle ilgili fonksiyonu alıyoruz ve y'ye göre kısmisini buluyoruz.
-
-
y bileşeniyle ilgili fonksiyonun ise, x'e göre kısmisini buluyoruz.
-
Birincinin eksilisini alıyoruz.
Bu şekilde kolay hatırlarsınız.
Ve bu sonuç, Green Teoremidir.
-
-
Vektör alanının kısmi türevleri olması durumunda, vektör alanının çizgi integralini bölgenin çift katlı integraline bağlamanın güzel bir yolu.
-
-
-
Ayrıca, birkaç video önce, F konservatif ise, bir fonksiyonun gradyanı ise, izden bağımsız ve herhangi bir iz üzerindeki kapalı integralinin 0 olduğunu öğrenmiştik.
-

Polish: 
podwójnej całce z tego wyrażenia.
podwójnej całce z tego wyrażenia.
Więc bierzemy funkcję którą parametryzowaliśmy
zmienną x i różniczkujemy ją
po y.
Zaś funkcję, którą sparametryzowaliśmy
zmienną y, różniczkujemy po x.
Do tej pierwszej dopisujemy jeszcze minusa,
można tak to zapamiętać.
W każdym razie tę równość, powinienem teraz pewnie
pisać na zielono, nazywamy Twierdzeniem Greena.
Jest to potężne narzędzie pozwalające przekształcić całki krzywoliniowe pola wektorowego,
jeżeli tylko ma ono odpowiednie pochodne cząstkowe,
do podwójnej całki po obszarze.
do podwójnej całki po obszarze.
Na marginesie zauważmy, w sumie nie pierwszy raz
się z tym spotykamy, że jeżeli funkcja f ma

Arabic: 
متكاملة مزدوجة لهذا التعبير.
وشيء، فقط تذكر.
نقوم الدالة التي كان مرتبطاً به
x-مكون أو عنصر i، نقوم
جزئية فيما يتعلق y.
والوظيفة التي كان مرتبطاً به
ذ-المكون، نقوم الجزئي فيما يتعلق بس.
وهذا اﻷول واحد، نقوم بالنفي من.
هذا وسيلة جيدة تذكرها.
ولكن هذه النتيجة الصحيح هنا، وهذا، وربما ينبغي لي
الكتابة باللون الأخضر، هذه هي مبرهنة في الأخضر.
وأنها طريقة نظيفة تتصل متكاملة سطر في حقل مكافحة ناقلات
يحتوي على هذه المشتقات الجزئية، بافتراض أنها
هذه المشتقات الجزئية، إلى المنطقة، لنوع بيانات مزدوج
متكاملة للمنطقة.
الآن، وهذا قليل من ملاحظة جانبية، شاهدنا في
كليب عدة قبل، علمنا أنه إذا كان و

Turkish: 
-
-
-
Bu, hala doğruç
Eğer F konservatifse, bu ifade 0'a eşit olmalı.
-
Bu şekilde herhangi bir bölgede bu integralin 0'a eşit olmasını sağlamış olursunuz.
-
-
Birbirlerini götürdükleri örnekler düşünebileceğinize eminim, ancak bu her bölge için geçerli.
-
Bunun doğru olmasının tek yolu bu.
Bu iki ifadenin 0'a eşit olmasının.
Böylece Q'nun x'e göre kısmisi eksi P'nin y'ye göre kısmisi 0'a eşit olmalı veya bu iki ifade birbirine eşit olmalı.
-
-
-
Bu, Green Teoreminin bir yan sonucu.
-
Q'nun x'e göre kısmisi eşittir P'nin y'ye göre kısmisi.
-
Diferansiyel denklemler konusunda tam denklemleri öğrenirken bu konuyu tekrar göreceksiniz.

Estonian: 
konservatiivne, mis tähendab, et ta on mõne funktsiooni astmik
seda ei tee-sõltumatu, et suletud lahutamatu ümber
mis tahes tee on võrdne nulliga.
Ja see on siiski tõsi.
Nii et ütleb meile, et kui f on konservatiivne, see asi, mis on õige
Siin peab võrduma 0.
Ainult nii, et saate alati lähed, et jõustada see on
See kogu lahutamatu hakkab võrdsed, läheb võrdsed
kõik, mis tahes piirkonna üle 0.
Olen kindel, et te mõtlema olukordadest, kus nad
üles läbi, kuid tõesti piirkonnas.
See on ainus viis, et see saab olema tõene.
Et neid kahte asja saab olema võrdne 0.
Nii et siis võiks öelda, Q osaline seotud x, millest on maha arvatud
P osaline y, mis on võrdne 0, või
need kaks asja on omavahel võrdsed.
Või.
See on liiki tähelepanust Greeni Theorem.
Teil võib olla mustriga läbi madala-ülesriputamise puuvilja liiki.
Q osaline x suhtes on võrdne selle osaline
p y suhtes.
Ja kui te õppida täpne võrrandid tariifist erinev

Arabic: 
المحافظ، وهو ما يعني أنه يتم التدرج لبعض الوظائف،
أنها مستقلة عن المسار، أن تكامل مغلقة حول
أي مسار يساوي 0.
وهذا ما زال صحيحاً.
حتى أن يقول لنا أنه إذا كان المحافظ، و هذا الشيء الصحيح
هنا يجب أن يكون مساوياً ل 0.
وهذا هو الطريق الوحيد الذي كنت دائماً على فرض أن
هذا كله متكاملة ستكون متساوية، وسوف يكون مساوياً
0 عبر المنطقة أي، أي، أي.
أنا متأكد من أن تفكر في حالات حيث أنها
إلغاء بعضها البعض، ولكن الحقيقة على أي منطقة.
هذا هو السبيل الوحيد أن هذا سوف يكون صحيحاً.
أن هذه الأشياء اثنين سوف يكون مساوياً ل 0.
حتى ذلك الحين يمكن أن تقوله، الجزئي q فيما يتعلق بس، ناقص
جزئي ف فيما يتعلق بذ، يجب أن يكون مساوياً ل 0، أو
وقد هذه شيئين على قدم المساواة بعضها البعض.
أو.
وهذا النوع من نتيجة طبيعية لنظرية غرين.
نوع من فاكهة شنق منخفضة يمكن أن يكون احسب.
جزئي q فيما يتعلق x يساوي الجزئي
من ف فيما يتعلق y.
وعندما تقوم بدراسة المعادلات الدقيق في الفرق

Korean: 
f가 만약 보존적 벡터장이라면,
즉 벡터장 f의 그라디언트가 경로에 의존하지 않는다면
벡터장 f의 임의의 경로에 대한 선적분은 0입니다
이것은 그린의 정리에서도 마찬가지로 적용됩니다
즉 벡터장 f가 보존적이라면,
이 부분은 0이 됩니다
왜냐하면 좌변이 0이니까
우변도 똑같이 어떤 영역에 대해서든 
0이 나오기 위해서는
안의 함수 자체가 0이여야겠죠
물론 어떤 특수한 경우에는
굳이 함숫값이 0이 아니더라도
어떻게 영역과 함수가 잘 소거돼서 0이 될 수 있겠지만
모든 임의적인 영역에 대해서 0이 나오기 위해서는
아예 내부의 함수가 0이 되어야 합니다
즉 ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 0 입니다
즉 두 함수가 같아야 합니다
 
그린의 정리에서 누워서 떡 먹기 식으로
거저먹을 수 있는 결과이죠
f가 보존적 벡터장일 때
∂Q/∂x = ∂P/∂y 입니다
여러분이 나중에 미분방정식을 풀게 되면

Portuguese: 
conservativo, que significa que
é o gradiente de uma função,
temos uma independência de
caminho, a integral fechada em torno
de qualquer caminho é igual a zero.
E isso ainda é verdade.
Então isso nos diz que se F
é conservativo, essa coisa aqui
tem que ser igual a zero.
É a única forma de sempre aplicar que
toda essa integral vai ser igual
a zero, sobre qualquer região.
Sei que deve estar pensando
em maneiras deles se
cancelarem, mas sobre qualquer
região, essa é a única maneira de ser
verdade, que essa coisa vai ser zero.
Então poderia dizer, a
parcial de Q em função de x,
menos a parcial de P em função
de y, tem que ser zero, ou seja,
esses dois precisam ser iguais.
E esse é um corolário do Teorema de Green.
Algo fácil que poderia ter percebido.
A parcial de Q em função
de x igual a parcial
de P em função de y.
E quando você estuda equações exatas em

English: 
conservative, which means it's
the gradient of some function,
that it's path-independent,
that the closed integral around
any path is equal to 0.
And that's still true.
So that tells us that if F is
conservative, this thing right
here must be equal to 0.
That's the only way that you're
always going to enforce that
this whole integral is going to
be equal, is going to be equal
to 0 over any, any, any region.
I'm sure you could think
of situations where they
cancel each other out, but
really over any region.
That's the only way that
this is going to be true.
That these two things are
going to be equal to 0.
So then you could say, partial
of Q with respect to x, minus
the partial of P with respect
to y, has to be equal to 0, or
these two things have
to equal each other.
Or.
This is kind of a corollary
to Green's Theorem.
Kind of a low-hanging fruit
you could have figured out.
The partial of Q with respect
to x is equal to the partial
of P with respect to y.
And when you study exact
equations in differential

Spanish: 
conservador, que significa que es el gradiente de alguna función,
que es independiente de la ruta, que la integral cerrada alrededor de
la ruta es igual a 0.
Y eso es cierto.
Por lo que nos dice que si f es conservador, esta cosa correcta
aquí debe ser igual a 0.
Es la única manera que siempre vas a exigir
esta integral toda va a ser igual, va a ser igual
a 0 sobre cualquier, cualquier, cualquier región.
Estoy seguro de que usted podría pensar en situaciones donde se
se cancelan entre sí fuera, pero realmente en cualquier región.
Es la única manera de que esto va a ser cierto.
Que estas dos cosas van a ser igual a 0.
Así se podría decir, parcial de q con respecto a x, menos
el parcial de p con respecto a y, tiene que ser igual a 0, o
estas dos cosas tienen iguales entre sí.
O.
Se trata de un tipo de corolario teorema de Green.
Tipo de fruto colgando bajo que usted podría haber averiguado.
El parcial de q con respecto a x es igual al parcial
de p con respecto a y.
Y cuando usted estudia ecuaciones diferenciales exactas

Thai: 
อนุรักษ์, ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเกรเดียนต์ของฟังก์ชันอันนึง
มันไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง, และอินทิกรัลเส้นแบบปิด
ของเส้นทางใด ๆ ย่อมเป็น 0
และนั่นยังคงเป็นจริง
มันเลยบอกเราว่าหาก F นั้นอนุรักษ์, สิ่งนี่
ตรงนี้ต้องเป็น 0
นั่นคิอวิธีเดียวที่คุณต้องบังคับเพื่อ
ให้อินทิกรัลนี้ทั้งหมดเท่ากับ, มันจะเท่ากับ
0 ตลอดพื้นที่ใด ๆ ก็ตาม
ผมว่าคุณคงคิดถึงกรณีที่มันหักล้างกันได้
แต่สำหรับทุก ๆ พื้นที่แล้ว
นั่นคือวิธีเดียวที่จะทำให้นี่เป็นจริง
สองสิ่งนี้จะเท่ากับ 0
แล้วคุณก็บอกได้ว่า, อนุพันธ์ย่อย Q เทียบกับ x, ลบ
อนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ y, ต้องเท่ากับ 0
หรือสองสิ่งนี้ต้องเท่ากัน
หรือ
นี่เหมือนกับบทเสริมทฤษฏีของกรีน
เหมือนผลตามมาที่คุณหาออกมาได้
อนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ x เท่ากับอนุพันธ์ย่อย
ของ P เทียบกับ y
และตอนคุณเรียนเรื่อง exact questions ในสมการ

Polish: 
funkcję pierwotną, czyli jest gradientem jakiejś funkcji,
to całka krzywoliniowa nie zależy od drogi - więc całka
po pętli daje 0.
po pętli daje 0.
Stąd możemy wnioskować, że jeżeli pole wektorowe f ma funkcję pierwotną, wtedy to tutaj
jest równe 0.
Tylko wtedy będziemy mieli pewność,
że ta całka będzie równa zeru
po dowolnym obszarze.
Na pewno bylibyście w stanie podać przykład funkcji,
dla której to się wyzeruje. Ale na dowolnym obszarze
to będzie równe 0 tylko wtedy,
kiedy to wyrażenie podcałkowe będzie zerem.
Więc wtedy można byłoby powiedzieć, że
dQ / dx - dP / dy = 0,
czyli obie te rzeczy muszą być równe.
czyli obie te rzeczy muszą być równe.
To prowadzi do ciekawego wniosku,
dość łatwego do zauważenia,
że pochodna dQ / dx jest równa
pochodnej dP / dy.
Jest to ciekawy wynik również z punktu widzenia

Portuguese: 
Mas nós não estaremos avançando tanto assim...
Mas na esperança de que você perceba o paralelismo, se você correr
em equações exatas em equações diferenciais...
Mas isso é uma grande sacada e talvez nos possamos fazer
alguns exemplos usando esta sacana no próximo vídeo.
.

English: 
equations, you'll
see this a lot more.
And actually, well, I won't go
into too much, but conservative
fields, you're actually, the
differential form of what you
see in the line integrals, if
it's conservative, it would
be an exact equation.
But we're not going to
go into that too much.
But hopefully you might see the
parallels if you've already run
into exact equations in
differential equations.
But this is the big takeaway,
and let's maybe do some
examples using this takeaway
in the next video.

Thai: 
อนุพันธ์, คุณจะเห็นนี่บ่อยกว่านี้
และที่จริง, ผมจะไม่ลงรายละเอียดมากนัก, แต่
สนามอนุรักษ์, คุณจะเห็น, รูปดิฟเฟอเรนเชียลของสิ่งที่
คุณเห็นอินทิกรัลเส้น, หากมันอนุรักษ์, มันจะ
กลายเป็น exact equation
แต่เราจะไม่พูดถึงมันมากนัก
แต่หวังว่าคุณคงเห็นความคล้ายคลึง ตอนคุณเรียน
เรื่อง exact equations ในสมการอนุพันธ์
แต่นี่เป็นผลยิ่งใหญ่, แล้วเราจะมา
ดูตัวอย่างที่ใช้ผลลัพธ์นี้ในวิดีโอหน้ากัน
-

Portuguese: 
equações diferenciais,
vai ver isso bastante.
E na verdade, n vou muito
a fundo, mas campos
conservativos, é uma forma
diferencial do que vemos
nas integrais de linha,
se for conservativo, seria
uma equação exata.
Mas estamos indo a fundo
Espero que tenha visto
esse paralelo se já estudou
equações exatas em equações diferenciais.
Mas essa é uma grande
tirada, e vamos fazer alguns
exemplos usando isso no próximo vídeo.

Turkish: 
-
Bu konuya fazla girmeyeceğim, ama şunu belirteyim. Çizgi integrallerinde gördünüz ifadenin diferansiyel şekli, eğer konservatifse, bir tam denklem oluşturuyor.
-
-
-
Şimdilik bo konuya girmiyoruz.
Ama tam denklemler konusunu yaptıysanız, konular arasındaki paralelliği görüyorsunuzdur.
-
Önemli sonuç bu, bir sonraki videoda bu sonucu kullanarak örnekler çözelim.
-
-

Korean: 
이 식을 훨씬 더 많이 보게 될 것입니다
또한, 음 깊게는 들어가지 않을게요
보존적 벡터장은 선적분의 미분 형태입니다만
그것에 대해서는 먼 훗날로 미루도록 하죠
(번역자도 모르겠네요)
그래도 혹시 여러분이 이전에 
미분방정식들을 공부해 본 적이 있었다면
이것과 똑같은 식을 보고 무언가를 느낄지도 모르겠네요
아무튼 이것으로 2편에 걸친 긴 증명이 끝났습니다
다음번에는 이 식의 이용 예시들에 대해서 보겠습니다
끝 Σ(･ω･ﾉ)ﾉ！

Polish: 
równań różniczkowych.
Nie chciałbym się nad tym rozwodzić, ale jeżeli pole wektorowe
ma funkcję pierwotną, czyli jest gradientem jakiejś funkcji,
ma funkcję pierwotną, czyli jest gradientem jakiejś funkcji,
to mamy tę równość.
Na razie się tym nie będziemy zajmować.
Być może już się z tym zetknęliście.
Być może już się z tym zetknęliście.
W każdym razie największym tutaj osiągnięciem jest wyprowadzenie tego wzorku
i w następnych filmach postaramy się rozwiązać kilka zadań z wykorzystaniem go.

Estonian: 
võrrandid, näete seda palju rohkem.
Ja tegelikult, hästi, ma ei saa minna liiga palju vaid konservatiivne
väljad, te tegelikult, milline diferentseeritud kujul
vaadata rea integraalid, kui see on konservatiivne,
olema täpne võrrandi.
Kuid me ei kavatse minna mis liiga palju.
Kuid loodetavasti paralleelide võib näha, kas te olete juba käivitada
täpne võrranditesse vahest võrrandites.
Kuid see on suur takeaway ja võib-olla teeme mõned
näiteks käesoleva takeaway kasutades järgmise video.

Arabic: 
معادلات، سترى هذا الكثير.
وفي الواقع، حسنا، لن أخوض في الكثير، لكن المحافظين
الحقول، كنت في الواقع، شكل التفاضلية ماذا
انظر في تكاملات الخط، إذا كان المحافظ، فإنه
تكون معادلة دقيقة.
ولكن لن يذهب إلى أن الكثير.
ولكن يؤمل أن قد تشاهد أوجه التشابه إذا قمت قمت مسبقاً بتشغيل
في معادلات دقيقة في معادلات تفاضلية.
ولكن هذا هو الوجبات الكبيرة، ودعونا ربما نفعل بعض
أمثلة على استخدام هذه الوجبات في الفيديو التالي.

Spanish: 
ecuaciones, verá esto mucho más.
Y efectivamente, bueno, no voy a demasiado, pero conservador
campos, en realidad, eres la forma diferencial de lo que
Consulte en las integrales de línea, si es conservador, sería
ser una ecuación exacta.
Pero no vamos a entrar en demasiado.
Pero Ojalá pudiera ver los paralelismos si ya ha ejecutado
en las ecuaciones exactas en ecuaciones diferenciales.
Pero este es el gran punto y tal vez hagamos algunos
ejemplos de uso de este punto en el siguiente video.
