
Portuguese: 
Depois de ver como pensamos sobre
equações diferenciais ordinárias no capítulo 1, nos voltamos agora para um
exemplo de uma equação diferencial parcial,
a equação do calor.
Para definir as coisas, imagine que você tenha algum objeto
como um pedaço de metal, e você sabe como o
o calor é distribuído através dele em um momento;
qual a temperatura de cada ponto individual
é.
Você pode pensar nessa temperatura aqui como
sendo representado graficamente pelo corpo.
A questão é, como será essa distribuição
mudar ao longo do tempo, como o calor flui dos pontos mais quentes
para os mais frios.
A imagem à esquerda mostra a temperatura
de uma placa de exemplo com cor, com o gráfico
dessa temperatura sendo mostrada à direita,
ambos mudando com o tempo.
Para dar um exemplo 1d concreto, digamos que você tenha
duas varas a diferentes temperaturas, onde
essa temperatura é uniforme em cada um.
Você sabe que quando você os coloca em contato,
a temperatura tenderá a ser igual
em toda a haste, mas como exatamente?

Turkish: 
Adi diferansiyel hakkında nasıl düşündüğümüzü gördükten sonra
Bölüm 1'deki denklemleri şimdi
kısmi diferansiyel denklem örneği,
Isı denklemi.
İşleri ayarlamak için bir nesneniz olduğunu hayal edin
metal bir parça gibi, ve sen nasıl biliyorsun
ısı bir anda bunun üzerine dağılır;
her bir noktanın sıcaklığı
olduğunu.
Bu sıcaklığı burada olarak düşünebilirsiniz.
Vücudun üzerinden geçiriliyor.
Sorun şu ki, bu dağılım nasıl olacak?
ısı sıcaktan akarken, zamanla değişebilir
Soğuk olanlara lekeler.
Soldaki resim sıcaklığı gösterir
renkli bir örnek plakanın grafiği ile
bu sıcaklığın sağda gösterilmesi,
ikisi de zamanla değişiyor.
1d somut bir örnek almak için
farklı sıcaklıklarda iki çubuk, nerede
bu sıcaklık her biri için aynı.
Onları temasa geçirdiğinde bunu biliyorsun.
sıcaklık eşit olma eğilimindedir
çubuk boyunca, ama tam olarak nasıl?

Modern Greek (1453-): 
Αφότου είδαμε το πως σκεφτόμαστε τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, στο κεφάλαιο 1,
γυρίζουμε τώρα σε ένα παράδειγμα μερικής διαφορικής εξίσωσης, την εξίσωση της θερμότητας.
Για να θέσουμε τα πράγματα, φανταστείτε ότι έχετε ένα αντικείμενο, όπως ένα κομμάτι μέταλλο,
και γνωρίζετε το πως κατανέμεται η θερμότητα
σε αυτό σε κάποια στιγμή.
Δηλαδή ποιά είναι η θερμοκρασία σε κάθε μεμονωμένο σημείο κατά μήκος αυτής της πλάκας.
Το ερώτημα είναι, πώς αυτή η κατανομή
αλλάζει με το χρόνο,
καθώς η θερμότητα κυλά από τα πιο ζεστά σημεία στα πιο παγωμένα.
Η εικόνα στα αριστερά δίχνει τη θερμοκρασία ενός παραδείγματος πλάκας χρησιμοποιώντας χρώμα,
με το γράφημα αυτής της θερμοκρασίας
να φαίνεται στα δεξιά.
Για να πάρουμε ένα συγκεκριμένο,
μονοδιάστατο παράδειγμα,
έστω ότι έχετε δύο διαφορετικές ράβδους με διαφορετικές θερμοκρασίες,
όπου αυτή η θερμοκρασία
είναι ομοιόμορφη σε κάθε μία.
Γνωρίζετε ότι όταν τις φέρνετε σε επαφή, η θερμοκρασία θα κυλίσει από τη ζεστή στην παγωμένη,
τίνοντας να το κάνει ολόκληρο ίσο
με το περασμα του χρονου.
Αλλά πώς ακριβώς;

English: 
After seeing how we think about ordinary differential
equations in chapter 1, we turn now to an
example of a partial differential equation,
the heat equation.
To set things up, imagine you have some object
like a piece of metal, and you know how the
heat is distributed across it at one moment;
what the temperature of every individual point
is.
You might think of that temperature here as
being graphed over the body.
The question is, how will that distribution
change over time, as heat flows from the warmer
spots to the cooler ones.
The image on the left shows the temperature
of an example plate with color, with the graph
of that temperature being shown on the right,
both changing with time.
To take a concrete 1d example, say you have
two rods at different temperatures, where
that temperature is uniform on each one.
You know that when you bring them into contact,
the temperature will tend towards being equal
throughout the rod, but how exactly?

Russian: 
После того, как мы познакомились с обыкновенными диференциальными уравнениями в главе 1, перейдём к
примеру уравнения с частными производными: уравнению теплопроводности.
Для начала представьте, что у вас имеется некий объект, например, кусок металла, и вам известно
распределение температуры в нём в некий момент времени; чему равна температура каждой
конкретной точки.
Можно представить себе график этой температуры висящим над вашим телом.
Вопрос в том, как будет распределение температуры меняться со временем, когда
тепло перетекает от более тёплых участков к более холодным.
На рисунке слева температура пластины изображена цветом,
а на рисунке справа в виде графика, и оба они изменяются во времени.
Возьмём одномерный пример, пусть у вас есть два стержня разных температур,
а каждый из них нагрет равномерно.
Вы знаете, что если их соприкоснуть, температура будет стремиться к выравниванию,
но как именно?

Spanish: 
Después de ver como pensábamos acerca de ecuaciones diferenciales ordinarias en el primer capitulo, pasamos a
un ejemplo de ecuaciones diferenciales parciales, la ecuación del calor
Para empezar, imaginemos que tienes un objeto como una pieza de metal, y tu sabes
que el calor es distribuido en su superficie en todo momento, ¿Cuál es la temperatura en cada momento
de esta superficie metálica?
La pregunta es, como esta distribución cambiará con el tiempo, mientras el calor pasa de zonas
calientes a zonas frías.
La imagen de la izquierda muestra la temperatura de una lamino con colores,
con la gráfica de este temperatura siendo mostrada en la derecha, ambas cambiando con el tiempo
Para tomar un ejemplo en una dimensión, digamos que tienes dos palos a distintas temperaturas, donde
la temperatura en cada uno es uniformemente distribuida.
Tu sabes que cuando las juntes, la temperatura tenderá a ser la misma en
toda la barra pero, ¿exactamente cómo?

Polish: 
Po tym, jak nauczyliśmy się myśleć o równaniach różniczkowych zwyczajnych w części 1, przechodzimy
teraz do przykładu równania różniczkowego cząstkowego, równania ciepła.
Na wstępie wyobraź sobie, że masz jakiś obiekt, na przykład kawałek metalu, oraz wiesz,
jak rozłożone jest w nim ciepło w jednej chwili; jaka jest temperatura każdego pojedynczego punktu
Możesz myśleć o temperaturze jako wykresie nad tym obiektem.
Pytamy się, jak ten rozkład zmienia się w czasie, gdy ciepło przepływa z cieplejszych
miejsc do zimniejszych.
Obrazek po lewej przedstawia temperaturę płyty przy pomocy koloru, z wykresem tej
temperatury ukazanym po prawej; oba zmieniają się w czasie.
By wziąć konkretny jednowymiarowy przykład, powiedzmy że masz dwa pręty o różnych temperaturach,
gdzie ta temperatura jest jednorodna w każdym z nich.
Wiemy, że gdy je połączyć, temperatura będzie dążyć do zrównania się
w całym pręcie, ale w jaki dokładnie sposób?

Modern Greek (1453-): 
Πώς θα είναι η κατανομή της θερμοκρασίας,
σε κάθε χρονική στιγμή;
Όπως συμβαίνει με τις διαφορικές εξισώσεις,
η ιδέα είναι ότι είναι πιο εύκολο να περιγράψετε
πώς αυτή η κατασκευή αλλάζει από στιγμή σε στιγμή,
από το να περάσετε απευθείας σε μια περιγραφή
της πλήρης εξέλιξης.
Γράφουμε αυτόν τον νόμο μεταβολής στη γλώσσα
των παραγώγων, αν και όπως θα δείτε
θα πρέπει να επεκτείνουμε το λεξιλόγιό μας λίγο πιο πέρα από τις συνηθισμένες παραγώγους.
Και μην ανησυχείτε, θα μάθουμε να διαβάζουμε τις εξισώσεις που βλέπετε τώρα σε ένα λεπτό.
Παραλλαγές της εξίσωσης θερμότητας,
εμφανίζονται σε πολλά άλλα μέρη των μαθηματικών και της φυσικής,
όπως η κίνηση Μπράουν, οι εξισώσεις Black-Scholes από τα οικονομικά, και όλα τα είδη διάχυσης,
έτσι υπάρχουν πολλά μερίσματα που παίρνετε από μια βαθιά κατανόηση αυτής της κατασκευής.
Στο τελευταίο βίντεο, εξετάσαμε τους τρόπους ανάπτυξης κατανόησης,
αναγνωρίζοντας παράλληλα την αλήθεια ότι οι περισσότερες διαφορικές εξισώσεις
είναι απλά πολύ δύσκολο να λυθούν στην πραγματικότητα.
Και πράγματι, οι ΜΔΕ τείνουν να είναι ακόμη δυσκολότερες από τις ΣΔΕ,
κυρίως επειδή περιλαμβάνουν μοντελοποίηση άπειρα πολλών τιμών που αλλάζουν ταυτόχρονα.
Αλλά ο κύριος μας χαρακτήρας για σήμερα, είναι μια εξίσωση που πράγματι μπορούμε να λύσουμε.

Portuguese: 
Qual será a distribuição da temperatura?
em cada ponto no tempo?
Como é típico com equações diferenciais,
a ideia é que é mais fácil descrever
como esta configuração muda de momento para momento
do que saltar para uma descrição da
evolução completa.
Nós escrevemos esta regra de mudança na linguagem
de derivadas, embora, como você verá, nós vamos
precisaremos expandir nosso vocabulário um pouco além de
derivadas comuns.
Não se preocupe, nós aprenderemos como ler estes
equações em um minuto.
Variações da equação do calor aparecem em
muitas outras partes da matemática e da física, como
Movimento browniano, as equações de Black-Scholes
de finanças, e todos os tipos de difusão,
então há muitos dividendos a serem obtidos
um profundo entendimento desta configuração.
No último vídeo, nós olhamos maneiras de construir
compreensão, reconhecendo a verdade
que a maioria das equações diferenciais para difícil
para realmente resolver.
E, de fato, as EDPs tendem a ser ainda mais difíceis do que
EDOs, principalmente porque envolvem modelagem
infinitamente muitos valores mudando em concerto.
Mas o nosso personagem principal agora é uma equação
nós realmente podemos resolver.

Russian: 
Каким будет распределение температуры в каждый момент времени?
Как всегда в дифференциальных уравнениях, идея в том, что легче описать,
как наши данные изменяются от одного момента к следующему, чем
дать полное описание процесса.
Мы напишем закон изменения в терминах производных, впрочем, как вы увидите,
для этого придётся слегка расширить понятие обыкновенной производной.
Не волнуйтесь, через минуту мы обсудим, как прочесть эти уравнения.
Варианты уравнения теплопроводности встречаются во многих разделах математики и физики, таких как
Броуновское движение, экономичекое уравнение Блэка-Шоулса, все виды диффузии,
так что имеется большой резон глубоко разобраться в этой конкретной ситуации.
В предыдущем видео мы говорили о способах глубоко разбираться в подобных вопросах, и увидели, что
большинство дифференциальных уравнений крайне трудно решить.
Но ведь УЧП чаще бывают намного сложнее ОДУ, не в последнюю очередь потому, что
моделируют изменение бесконечного числа переменных.
Но наш главный персонаж из тех уравнений, которые можно решить до конца.

Polish: 
Jaki będzie rozkład ciepła w każdej chwili czasu?
Jak to zwykle bywa z równaniami różniczkowymi,  łatwiej jest opisywać
jak ten układ zmienia się z każdą chwilą, niż przejść do opisu całej zmiany.
Zapisujemy tę zmianę w języku pochodnych, jednak jak zaraz zobaczysz,
będziemy musieli rozszerzyć nasz słownik nieco poza zwykłe pochodne.
Nie martw się, za chwilę nauczymy się, jak czytać te równania.
Wariacje równania ciepła pojawiają się w wielu innych działach matematyki i fizyki, jak na przykład
ruchach Browna, równaniach Blacka-Scholesa z ekonomii, i wszystkiego rodzaju dyfuzjach,
więc będziemy czerpać wiele korzyści z głębokiego zrozumienia tego modelu.
W poprzednim filmie, patrzyliśmy na sposoby rozumienia, przyznając jednak,
że większość równań różniczkowych jest zbyt trudna, by naprawdę je rozwiązać.
W rzeczy samej, równania cząstkowe są zwykle jeszcze trudniejsze niż zwyczajne, głównie ponieważ opisują
nieskończenie wiele wartości zmieniających się jednocześnie.
Jednak na ten moment naszym głównym bohaterem jest równanie, które akurat umiemy rozwiązać.

Spanish: 
¿Cómo sera la distribución de la temperatura en cada momento del tiempo?
Como es típico con ecuaciones diferenciales, es más sencillo describir
como el sistema cambia en cada momento, que pasar directamente a la descripción completa
del sistema. (Solución analítica)
Escribimos esta forma de cambio en el lenguaje de derivadas, que como verán
nos ayudará a expandir nuestro vocabulario un poco más allá de las derivadas ordinarias.
No se preocupen, aprenderán como leer estas ecuaciones en un minuto
Variaciones de la ecuación del calor se encuentran en muchas otras partes de las matemáticas y física,
como en el movimiento Browniano, las ecuaciones de Black-Scholes de economía, y todo lo que tenga que ver con difusión
así que hay muchas cosas a tomar en cuenta para un entendimiento profundo de este sistema
en el último vídeo, vimos varias maneras de construir nuestro conocimiento mientras sabíamos
la cruda realidad de que la mayoría de las ecuaciones diferenciales son muy difíciles de resolver.
Y en general, EDPs suelen ser más difíciles que las EDOs, principalmente porque involucran
modelar infinitos valores cambiando al unisono.
Pero nuestro protagonista actual es una ecuación que si podemos resolver.

Turkish: 
Sıcaklık dağılımı ne olacak
zamanın her noktasında?
Diferansiyel denklemlerle tipik olduğu gibi,
fikir, tarif etmenin daha kolay olduğu.
bu kurulumun andan ana nasıl değiştiği
bir açıklamaya atlamaktan daha
tam evrim.
Bu değişim kuralını dile yazıyoruz
türevlerin, göreceğimiz gibi
kelime dağarcığımızı biraz daha genişletmemiz gerek
sıradan türevler.
Endişelenme, bunları okumayı öğreneceğiz.
bir dakika içinde denklemler.
Isı denkleminin varyasyonları
gibi diğer birçok matematik ve fizik bölümleri
Brown hareketi, Black-Scholes denklemleri
Finansmandan ve her türlü yayılmadan,
bu yüzden elde edilmesi gereken çok sayıda temettü var.
Bu kurulumun derinlemesine bir anlayış.
Son videoda, inşa etme yöntemlerine baktık.
gerçeği kabul ederken anlama
bu diferansiyel denklemlerin çoğu zor
aslında çözmek için.
Ve gerçekten de, PDE'ler daha zor olma eğilimindedir
ODE'ler, büyük ölçüde, modellemeyi içerdikleri için
konserde sonsuz sayıda değer değişiyor.
Ama şimdi ana karakterimiz bir denklem.
Aslında çözebiliriz.

English: 
What will the temperature distribution be
at each point in time?
As is typical with differential equations,
the idea is that it’s easier to describe
how this setup changes from moment to moment
than it is to jump to a description of the
full evolution.
We write this rule of change in the language
of derivatives, though as you’ll see we’ll
need to expand our vocabulary a bit beyond
ordinary derivatives.
Don’t worry, we’ll learn how to read these
equations in a minute.
Variations of the heat equation show up in
many other parts of math and physics, like
Brownian motion, the Black-Scholes equations
from finance, and all sorts of diffusion,
so there are many dividends to be had from
a deep understanding of this one setup.
In the last video, we looked at ways of building
understanding while acknowledging the truth
that most differential equations to difficult
to actually solve.
And indeed, PDEs tend to be even harder than
ODEs, largely because they involve modeling
infinitely many values changing in concert.
But our main character now is an equation
we actually can solve.

Polish: 
Prawdę mówiąc, jeśli słyszałeś o szeregach Fouriera, być może zainteresuje cię,
że jest to problem fizyczny, który nasz dziecinnie wyglądający Fourier rozwiązywał gdy natknął się
na zakamarek matematyki dzisiaj tak pełen jego nazwiska.
Zagłębimy się w szeregi Fouriera w następnej części, ale chciałbym
chociaż delikatnie wskazać na piękne powiązania, które niedługo nadejdą.
Ta animacja pokazuje jak wiele małych obracających się wektorów, każdy z pewną stałą
całkowitą częstotliwością, mogą śledzić dowolny kształt.
Dla jasności, wszystkie te wektory są ze sobą sklejane, końce z początkami,
i możesz wyobrażać sobie, że ostatni ma na czubku ołówek, zaznaczający pewną drogą w trakcie ruchu.
Zwykle ta droga nie będzie idealną repliką pożądanego kształtu, w tym przypadku
małej litery f, jednak im więcej okręgów uwzględniasz, tym lepsza się staje.

English: 
In fact, if you’ve ever heard of Fourier
series, you may be interested to know that
this is the physical problem which baby face
Fourier over here was solving when he stumbled
across the corner of math now so replete with
his name.
We’ll dig into much more deeply into Fourier
series in the next chapter, but I would like
to give at least a little hint of the beautiful
connection which is to come.
This animation is showing how lots of little
rotating vectors, each rotating at some constant
integer frequency, can trace out an arbitrary
shape.
To be clear, what’s happening is that these
vectors are being added together, tip to tail,
and you might imagine the last one as having
a pencil at its tip, tracing some path as
it goes.
This tracing usually won’t be a perfect
replica of the target shape, in this animation
a lower case letter f, but the more circles
you include, the closer it gets.

Modern Greek (1453-): 
Στην πραγματικότητα, αν έχετε ακούσει ποτέ για τις Σειρές Φουριέ, μπορεί να σας ενδιαφέρει να ξέρετε
ότι αυτό είναι το φυσικό πρόβλημα που ο Φουριέρ από εδώ, προσπαθούσε να λύσει όταν έπεσε πέρα
από τη γωνία των μαθηματικών, που είναι τώρα τόσο γεμάτη με το όνομά του.
Θα εμβαθύνουμε πολύ περισσότερο στις Σειρές Φουριέ στο επόμενο κεφάλαιο, αλλά θα ήθελα
να δώσω τουλάχιστον μια μικρή υπόδειξη της όμορφης σύνδεσης που πρόκειται να έρθει.
Αυτή η κινούμενη εικόνα που βλέπετε τώρα, δείχνει πως πολλά μικρά περιστρεφόμενα διανύσματα,
το καθένα να περιστρέφεται με κάποια 
σταθερή ακέραια συχνότητα,
μπορεί να ακολουθήσει ένα αυθαίρετο σχήμα.
Για να είμαστε σαφείς, αυτό που συμβαίνει είναι ότι αυτά τα διανύσματα προστίθενται μεταξύ τους,
μύτη με ουρά, σε κάθε στιγμή,
και ίσως φαντάζεστε ότι το τελευταίο έχει κάτι σαν μολύβι στην μύτη του,
ζωγραφίζοντας ένα μονοπάτι καθώς προχωρά.
Για πεπερασμένο αριθμό διανυσμάτων,
αυτή η ζωγραφιά συνήθως δεν θα είναι ένα τέλειο αντίγραφο του στοχευμένου σχήματος,
το οποίο σε αυτό το κινούμενο σχέδιο
είναι ένα μικρό γράμμα f,
αλλά όσο περισσότερους κύκλους
συμπεριλαμβάνετε, τόσο πιο παρόμοιο γίνεται.

Turkish: 
Aslında, daha önce Fourier'i duyduysanız
serisi, bunu bilmek ilginizi çekebilir
bu bebeğin karşılaştığı fiziksel problem
Buradaki Fourier, tökezlediğinde çözüyordu.
matematiğin köşesinde şimdi ile dolu
onun ismi.
Fourier'de çok daha derine ineceğiz.
Bir sonraki bölümde dizi, ancak istiyorum
en azından güzelin ipucunu vermek
gelecek olan bağlantı.
Bu animasyon ne kadar küçük olduğunu gösteriyor
her biri bir sabit değerde dönen dönen vektörler
tamsayı frekansı, keyfi bir şekilde izleyebilir
şekillendirirler.
Açık olmak gerekirse, bunlar ne
vektörler birbirine eklenir, uçtan uca
ve sonuncusunu sahip olduğunu düşünebilirsiniz.
ucunda bir kurşun kalem, bazı yolları
gider.
Bu izleme genellikle mükemmel olmaz
Bu animasyonda hedef şeklinin kopyası
küçük bir harf f, ancak daha fazla daire
sen dahil edersin, yaklaşır.

Portuguese: 
Na verdade, se você já ouviu falar de Fourier
série, você pode estar interessado em saber que
este é o problema físico que o jovem
Fourier estava resolvendo quando ele tropeçou
através da esquina da matemática agora tão repleta de
o nome dele.
Vamos nos aprofundar muito mais na série de Fourier no próximo capítulo, mas eu gostaria
de dar pelo menos uma pequena sugestão da bela
conexão que está por vir.
Esta animação está mostrando como muitos
vetores rotativos, cada um girando em alguma constante
freqüência inteira, pode traçar uma forma ordem arbitrária.
Para ser claro, o que está acontecendo é que esses
vetores estão sendo adicionados juntos, ponta a cauda,
e você pode imaginar o último como tendo
um lápis na ponta, traçando um caminho
conforme ele se move.
Para um número finito de vetores, esse rastreamento não será uma réplica perfeita da forma requerida
Que nesta animação é uma letra minúscula f, mas quanto mais círculos
você inclui, mais perto fica.

Spanish: 
De hecho, si has oído acerca de las series de Fourier, tal vez tengas interés en saber que
este es el problema físico que el papucho de Fourier trato de resolver y se topo de camino
una rama entera de las matemáticas que ahora lleva su nombre.
*Vine buscando cobre y encontré oro.jpg*
Vamos a ver un entendimiento más profundo en este tópico en el siguiente capitulo, por el momento
me gustaría darles una pista de la hermosa conexión que vamos a ver.
Esta animación muestra como un montón de pequeños vectores girando, cada uno a cierta
frecuencia con número entero, pueden trazar una forma arbitraria.
Para ser preciso, lo que esta pasando es que estamos sumando cada vector,
y podemos imaginar que el último de ellos tiene un lápiz en su punta, que traza el camino
como se moviendo.
Este trazo usualmente no será una replica perfecta de la figura que buscamos, en este caso de una "f" minúscula
pero a medida que aumentamos el número de círculos, más preciso se hará el trazo.

Russian: 
А именно, если вы когда-нибудь слышали о рядах Фурье, вам будет небесполезно узнать,
что именно над этой задачей работал красавец Фурье, нарисованный на том портрете,
при изобретении области математики, в которой его имя сейчас так широко употребляется.
Мы будем подробно говорить о рядах Фурье в следующей главе, но я бы
хотел дать лишь небольшой намёк, в чём же заключается красивейшее решение, о котором будет идти речь.
Эта анимация показывает, как множество маленьких вращающихся векторов, каждый со своей
целочисленной скоростью, могут нарисовать произвольную фигуру.
Если быть точным, здесь мы складываем все вектора вместе, кончик к хвостику,
и следует представить карандаш на конце последнего из них
рисующим след на своём пути.
Как правило, этот след не будет точной репликой исходной формы, в нашем случае
прописной латинской f, но чем больше кругов мы подключим, тем ближе она становится.

Modern Greek (1453-): 
Αυτό που βλέπετε τώρα, χρησιμοποιά μόνο 100 κύκλους, και πιστεύω ότι θα συμφωνούσατε ότι
οι αποκλίσεις από το πραγματικό σχήμα
είναι αμελητέες.
Το εκπληκτικό είναι ότι, απλά μεταβάλλοντας λίγο το αρχικό μέγεθος και τη γωνιά κάθε διανύσματος,
σας δίνει αρκετό έλεγχο για να προσεγγίσετε οποιαδήποτε καμπύλη θέλετε.
Στην αρχή, αυτό ίσως μοιάζει με άσκοπη
περιέργεια,
ένα καθαρό έργο τέχνης, αλλά κάτι περισσότερο.
Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά που βρίσκονται πίσω από αυτό,
είναι τα ίδια με τα μαθηματικά που περιγράφουν τη φυσική της μεταφοράς θερμότητας.
Αλλά έχουμε προχωρήσει πιο μπροστά.
Το πρώτο βήμα είναι να κατασκευάσουμε
την εξίσωση θερμότητας,
και γι 'αυτό ας είμαστε ξεκάθαροι για το ποια είναι η συνάρτηση που αναλύουμε ακριβώς.
Έχουμε μια ράβδο σε μία διάσταση,
και την σκεφτόμαστε να βρίσκεται σε έναν άξονα x,
έτσι ώστε κάθε σημείο της ράβδου να είναι επισημασμένο με ένα μοναδικό αριθμό, το x.
Η θερμοκρασία είναι κάποια συνάρτηση
αυτής της θέσης, T(x),
που φαίνεται εδώ πέρα ως γράφημα από πάνω του.

Turkish: 
Bu animasyon sadece 100 daire kullanır ve
Ben sapmalardan katılacağınızı düşünüyorum
asıl yol ihmal edilebilir.
Her birinin başlangıç ​​boyutunu ve açısını tweaking
vektör yaklaşık olarak yeterli kontrol sağlar
İstediğiniz herhangi bir eğri.
İlk başta, bu sadece boşta gibi görünebilir
merak; temiz bir sanat projesi ama biraz daha fazlası.
Aslında, bunun altında yatan matematik aynıdır
ısı fiziğini tanımlayan matematik
Akış, zamanında göreceğiniz gibi.
Ama biz kendimizden öndeyiz.
Birinci adım, ısı denklemine dayanmak,
ve bunun için neyin net olduğunu görelim
Analiz ettiğimiz fonksiyon tam olarak.
Isı denklemi
Bu grafiğin neyi temsil ettiği konusunda net olmak,
tek boyutta bir çubuğumuz var ve biz
bunu bir x ekseni üzerinde oturmak olarak düşünmek,
çubuğun her noktası benzersiz bir etiketle işaretlenmiştir.
sayı, x
Sıcaklık bu pozisyonun bir işlevidir.
sayı, T (x), yukarıda bir grafik olarak burada gösterilir
o.

English: 
This animation uses only 100 circles, and
I think you’d agree the deviations from
the real path are negligible.
Tweaking the initial size and angle of each
vector gives enough control to approximate
any curve you want.
At first, this might just seem like an idle
curiosity; a neat art project but little more.
In fact, the math underlying this is the same
as the math describing the physics of heat
flow, as you’ll see in due time.
But we’re getting ahead of ourselves.
Step one is to build up to the heat equation,
and for that let’s be clear on what the
function we’re analyzing is, exactly.
The heat equation
To be clear about what this graph represents,
we have a rod in one-dimension, and we’re
thinking of it as sitting on an x-axis, so
each point of the rod is labeled with a unique
number, x.
The temperature is some function of that position
number, T(x), shown here as a graph above
it.

Polish: 
Ta animacja korzysta z jedynie 100 okręgów i sądzę, że zgodziłbyś się, że odchylenia od
prawdziwego kształtu są mało istotne.
Zmiana początkowego rozmiaru i kąta każdego wektora daje kontrolę wystarczającą do przybliżania
dowolnej krzywej.
Z początku może się to wydawać daremną ciekawostką, niewiele ponad zgrabny projekt artystyczny.
W rzeczywistości, matematyka, która za tym stoi to ta sama matematyka, która opisuje fizykę
przepływu ciepła, co zobaczysz w swoim czasie.
Ale nie tak szybko.
dokładnie funkcja, którą badamy.
dokładnie funkcja, którą badamy.
Równanie ciepła.
Żeby było jasne, co przedstawia ten wykres, mamy pręt w jednym wymiarze,
i myślimy o nim jako o leżącym na osi x, tak, że każdy punkt pręta jest oznaczony jednoznacznie liczbą x.
Temperatura jest jakąś funkcją tej liczby, T(x), tu pokazaną jako wykres powyżej niej.

Russian: 
Эта анимация использует 100 кругов, и согласитесь,
отклонения от нужной формы пренебрежимо малы.
Достаточно котролировать начальный размер и угол каждого вектора,
чтобы получить любую мыслимую кривую.
Поначалу это кажется не более чем курьёзом, полезным в основном для дизайнерского исскуства.
Однако, математика, стоящая за этим, как мы ещё увидим, пригождается и
в решении уравнения теплопроводности.
Но мы сильно забегаем вперёд.
Шаг первый: получить уравнение теплопроводности, и для этого нужно чётко понимать,
какую именно функцию мы анализируем.
Уравнение теплопроводности
Чтобы чётко понять смысл этого графика, пусть у нас есть стержень в одномерии, и
мы помещаем его на ось иксов, так что каждая точка стержня имеет
свою координату x.
Температура -- это некая фукция положения, T(x), которая здесь изображена в виде графика
над осью x.

Portuguese: 
Esta animação usa apenas 100 círculos e
Eu acho que você concorda com os desvios de
do caminho real são insignificantes.
O que é impressionante é que só ajustando o tamanho inicial e o ângulo de cada vetor
Isso fornece controle suficiente para aproximar qualquer curva que você queira.
No começo, isso pode parecer uma curiosidade boba; um belo projeto de arte, mas pouco mais.
Na verdade, a matemática subjacente é a mesma
matemática que descreve a física do fluxo de calor
Mas estamos nos adiantando.
O primeiro passo é construir a equação do calor,
e para isso, vamos ser claro sobre o que a
função que estamos analisando é exatamente.
Temos uma barra em uma dimensão e estamos
pensando nela assentada no eixo x,
então cada ponto da barra é rotulado com um único número: x.
A temperatura é uma função dessa posição x,
T(x), mostrado aqui como um gráfico acima da curva

Spanish: 
Esta animación solo usa 100 círculos, y creo que estas de acuerdo en que las imperfecciones
de la referencia son despreciables.
Moviendo un poco el estado inicial, el tamaño, angulo, con el que cada vector comienza, podríamos aproximar
cualquier figura que queramos.
En principio, esto parecería un "sabias que", un mero proyecto de arte sin más.
De hecho, las matemáticas detrás de esto describen la física del calor
como verán a continuación.
Pero nos estamos adelantando.
Paso 1. Es deducir la ecuación del calor, y para eso debemos ser claros en
que función estamos analizando, exactamente.
 
Tenemos una palo de una dimensión
y pensamos de el ubicado en el eje x, así que cada punto del palo tiene un número único
asociado a este, x.
La temperatura es alguna función cuya posición es, T(x), como se ve en la gráfica.
 

Portuguese: 
Mas como esse valor muda com o tempo,
devemos pensar nesta função
como tendo mais uma entrada, t para o tempo.
Você poderia, se quisesse, pensar na entrada
espaço como um plano bidimensional, representando
espaço e tempo juntos, com a temperatura sendo
representada graficamente como uma superfície acima
cada fatia ao longo do tempo, mostra qual é a distribuição em um determinado momento.
Ou você pode simplesmente pensar no gráfico da temperatura mudando ao longo do tempo.
Ambos são equivalentes.
Esta superfície não deve ser confundida com o que eu estava mostrando mais cedo
o gráfico de temperatura de um corpo bidimensional.
Esteja atento, enquanto estuda equações como esta, se o tempo está sendo representado com seu próprio eixo
ou se está sendo representado como mudanças literais ao longo do tempo. Como em uma animação
Último capítulo, nós olhamos alguns sistemas onde
apenas um punhado de números mudou ao longo do tempo,
como o ângulo e velocidade angular de um pêndulo,
descrevendo estas mudanças na linguagem de
derivadas.

Russian: 
Однако, так как функция изменяется со временем, нужно ввести ещё
один аргумент t, время.
Вы можете при желании, изобразить аргументы функции двумерной плоскостью,
изображающей пространство и время, тогда график температуры будет поверхностью, каждое сечение которой
во времени показывает распределение температуры в данный момент.
или вы можете просто думать о графике, изменяющемся во времени.
Эти подходы эквивалентны.
Не стоит смешивать эту поверхность с поверхностью, которую я показывал раньше,
график распределения температуры в двумерном теле.
Следите за тем, изображается ли время своей собственной осью, или же
анимация показывает буквальные изменения во времени.
В последней главе мы рассматривали систеы, где лишь конечное число чисел изменялись во времени.
скажем, угол и угловая скорость маятника, и эти изменения описывались
с помощью производных.

Polish: 
Jednak ze względu na to, że ta wartość zmienia się w czasie, powinniśmy myśleć o funkcji
z jedną zmienną więcej, t, oznaczającą czas.
Jeśli chcesz, możesz myśleć o przestrzeni argumentów jako dwuwymiarowej płaszczyźnie, przedstawiającej
przestrzeń i czas, z temperaturą rysowaną jako powierzchnia nad nią, gdzie każde cięcie
w poprzek czasu pokazuje, jak wygląda rozkład w danej chwili.
Możesz też po prostu myśleć o wykresie temperatury zmieniającym się w czasie.
Oba sposoby są równoważne.
Nie należy mylić tej powierzchni z tą, którą pokazywałem wcześniej, wykresem temperatury
dwuwymiarowego ciała.
Zwracaj uwagę na to, czy czas przedstawiony jest na własnej osi, czy też jako
animacja pokazująca dosłowne zmiany w czasie.
W poprzedniej części przyglądaliśmy się układom, w których jedynie kilka liczb zmieniało się w czasie,
jak kąt i prędkość kątowa wahadła, opisując tę zmianę w języku pochodnych.

English: 
But really, since this value changes over
time, we should think of it this a function
as having one more input, t for time.
You could, if you wanted, think of the input
space as a two-dimensional plane, representing
space and time, with the temperature being
graphed as a surface above it, each slice
across time showing you what the distribution
looks like at a given moment.
Or you could simply think of the graph of
the temperature changing over time.
Both are equivalent.
This surface is not to be confused with what
I was showing earlier, the temperature graph
of a two-dimensional body.
Be mindful of whether time is being represented
with its own axis, or if it’s being represented
with an animation showing literal changes
over time.
Last chapter, we looked at some systems where
just a handful of numbers changed over time,
like the angle and angular velocity of a pendulum,
describing that change in the language of
derivatives.

Modern Greek (1453-): 
Αλλά πραγματικά, δεδομένου ότι η τιμή 
αλλάζει με το χρόνο,
θα πρέπει να θεωρήσουμε αυτή τη συνάρτηση να έχει ακόμα ένα δεδομένο εισόδου, το t για τον χρόνο.
Θα μπορούσατε, αν θέλετε, να φανταστείτε αυτόν τον χώρο δεδομένων, ως ένα διδιάστατο επίπεδο,
που αντιπροσωπεύει ταυτόχρονα
τον χώρο και τον χρόνο,
με το γράφημα της θερμοκρασίας να φαίνεται ως επιφάνεια πάνω από αυτό,
Κάθε κομμάτι κατά μήκος του χρόνου, σας δείχνει πως μοιάζει αυτή η κατανομή σε κάποια δεδομένη στιγμή.
Ή θα μπορούσατε απλά να σκεφτείτε αυτή τη γραφική της θερμοκρασίας που αλλάζει με τον χρόνο.
Και οι δύο είναι ισοδύναμες.
Αυτή η επιφάνεια δεν πρέπει να συγχέεται
με αυτό που έδειχνα νωρίτερα,
το γράφημα της θερμοκρασίας ενός
διδιάστατου σώματος.
Να έχετε επίγνωση όταν μελετάτε τέτοιες εξισώσεις,
κατά πόσο ο χρόνος αναπαριστάται
από τον δικό του άξονα,
ή εαν αναπαριστάται με πραγματικές αλλαγές με το πέρασμα του χρόνου,
έστω σε μια κινούμενη εικόνα.
Στο τελευταίο κεφάλαιο, εξετάσαμε
ορισμένα συστήματα,
όπου μόνο μια χούφτα αριθμών άλλαξαν με την πάροδο του χρόνου,
όπως η γωνιά και η γωνιακή ταχύτητα
ενός εκκρεμούς,
περιγράφοντας αυτή την αλλαγή
στη γλώσσα των παραγώγων.

Spanish: 
Pero realmente, como este valor cambia con el tiempo, deberíamos pensar que esta función
tiene más de una variable, t, por el tiempo
Podrías, si quieres, pensar en las entradas como un plano de dos dimensiones, representando
el espacio y el tiempo, con la temperatura siendo la superficie de encima, cada corte
atraviesa de un momento del tiempo, muestra la distribución en cada punto del espacio.
O podrías simplemente pensar que este gráfico cambia en el tiempo
Ambas son equivalentes
Esta superficie no debe ser confundida con lo que mostramos previamente, en el gráfico de la temperatura
de un objeto de dos dimensiones.
Se crítico cada vez que estudies ecuaciones como estas, hacia donde esta representado el eje del tiempo
O si esta siendo representado con la gráfica entera cambiando en el tiempo, como en una animación.
Previamente, miramos unos sistemas en donde un puñado de números están cambiado con el tiempo
como el angulo y la velocidad angular de un péndulo, que estaba descrito en el lenguaje de derivadas.
 

Turkish: 
Fakat gerçekten, bu değer değiştiğinden
zaman, bunun bir işlev olduğunu düşünmeliyiz
bir giriş daha olduğu gibi, zaman için t.
İsterseniz, girişi düşünebilirsiniz.
iki boyutlu bir düzlem olarak uzay, temsil eden
boşluk ve zaman, sıcaklık
her dilimin üstünde bir yüzey olarak kaplanmış
zaman geçtikçe size dağılımın ne olduğunu gösteren
belirli bir anda gibi görünüyor.
Ya da sadece grafiğini düşünebilirsin
sıcaklık zamanla değişiyor.
Her ikisi de eşdeğerdir.
Bu yüzey neyle karıştırılmamalıdır
Daha önce gösteriyordum, sıcaklık grafiği
iki boyutlu bir cismin.
Zamanın temsil edilip edilmediğine dikkat edin
kendi ekseni ile veya temsil ediliyorsa
değişmez değişiklikleri gösteren bir animasyonla
mesai.
Son bölümde, bazı sistemlere baktık.
zamanla sadece bir avuç sayı değişti,
sarkacın açısı ve açısal hızı gibi,
dilindeki bu değişikliği tarif etmek
türevleridir.

Spanish: 
Pero cuando tenemos una función entera cambiando con el tiempo, las herramientas matemáticas se vuelven
un poco más sofisticadas (y difíciles).
Porque estamos pensando en esta función de temperatura con varias dimensiones en
sus entradas, en este caso, una para el espacio y otra para el tiempo, hay múltiples y distintas
variables con las que podemos jugar.
Esta la derivada con respecto a x, que nos muestra que tan rápido la temperatura cambia mientras
te mueves a lo largo del palo.
Tal vez pienses en esto como la pendiente de esta superficie, cuando la cortas paralelo
al eje x, dado un pequeño cambio en x, y un pequeño cambio en la temperatura causada por eso,
esto da una razón entre las dos.
Pero también esta el cambio con respecto al tiempo, que tal vez lo pienses como la pendiente de
esta superficie, cuando la cortas paralelo al eje del tiempo.
Cada una de estas, solo te cuenta PARCIALMENTE la historia de como la función de la temperatura cambia
por eso las llamamos "derivadas parciales".
Para enfatizar este punto, la notación cambia un poquito, remplazando la letra "d" por esta
una d especial y curvada, a veces llamada "del"

Turkish: 
Fakat değişen bir fonksiyonumuz olduğunda
zamanla, matematiksel araçlar biraz olur
daha karmaşık.
Çünkü bu sıcaklığı düşünüyoruz.
Birden çok boyutlu bir fonksiyon olarak
giriş alanı, bu durumda boşluk için bir tane
ve bir tane, birden fazla farklı var
oyunda değişim oranları.
X ile ilgili türev var;
sıcaklık sizde ne kadar hızlı değişir
çubuk boyunca hareket ettirin.
Bunu bizim eğimimiz olarak düşünebilirsiniz.
yüzeyine paralel olarak dilimlendiğinde
x-ekseni, x yönünde küçük bir adım attığında,
ve sıcaklıkta küçük bir değişiklik
Bununla oran nedir?
Sonra zamanla değişim oranı var,
Bunun eğimi olarak düşünebileceğiniz
paralel bir doğrultuda dilimlendiğimizde yüzey
zaman eksenine
Bu türevlerin her biri sadece bir kısmını anlatır.
Sıcaklığın nasıl işlediğine dair hikayenin
değiştiği için onlara “kısmi türevler” diyoruz.
Bu noktayı vurgulamak için, gösterim değişir
biraz, d harfi ile bunun yerine
Özel kıvırcık d, bazen "del" denir.

Modern Greek (1453-): 
Αλλά όταν έχουμε μια ολόκληρη συνάρτηση
να αλλάζει με το χρόνο,
τα μαθηματικά εργαλεία γίνονται
ελαφρώς πιο περίπλοκα.
Επειδή σκεφτόμαστε αυτή τη συνάρτηση θερμοκρασίας με πολλές διαστάσεις
στο χώρο εισόδου της, στην περίπτωση αυτή μια για τον χώρο και μια για το χρόνο,
υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί
ρυθμοί μεταβολής στο παιχνίδι.
Υπάρχει η παράγωγος ως προς x,
το πόσο γρήγορα αλλάζει η θερμοκρασία καθώς κινείστε κατά μήκος της ράβδου.
Μπορείτε να το σκεφτείτε ως την κλίση
της επιφάνειάς μας,
όταν την κόψετε παράλληλα με τον άξονα των x,
ή, δεδομένου ενός μικρού βήματος προς την κατεύθυνση του x,
και η μικροσκοπική αλλαγή στη θερμοκρασία που προκλήθηκε από αυτό,
αυτό δίνει μια αναλογία μεταξύ των δύο.
Αλλά υπάρχει επίσης ο ρυθμός με τον οποίο ένα σημείο στη ράβδο αλλάζει με το χρόνο,
αυτό που ίσως θεωρήσετε ως
την κλίση της επιφάνειας,
όταν την κόβουμε στην άλλη κατεύθυνση,
παράλληλα με τον άξονα του χρόνου.
Κάθε μια από αυτές τις παραγώγους λέει
μόνο ένα μέρος της ιστορίας
για το πώς αυτή η συνάρτηση θερμοκρασίας αλλάζει,
γι 'αυτό τις αποκαλούμε "μερικές παραγώγοι".
Για να τονίσουμε αυτό το σημείο,
η σημειογραφία αλλάζει λίγο,
αντικαθιστώντας το γράμμα d,
με ένα ειδικό στρογγυλεμένο d,
που μερικές φορές καλείται "del".

Polish: 
Jednak jeśli mamy całą funkcję zmienną w czasie, warsztat matematyczny staje się
nieco bardziej pokrętny.
Ponieważ myślimy o temperaturze jako funkcji przyjmującej wiele argumentów,
w tym przypadku, jeden dla położenia i jeden dla czasu, pojawia się wiele różnych
wskaźników zmiany.
Mamy pochodne względem x; jak szybko temperatura zmienia się, gdy poruszasz się wzdłuż pręta.
Możesz myśleć o tym jako o nachyleniu powierzchni, gdy tniesz równolegle do
osi x; mając mały odcinek w kierunku x i małą zmianę temperatury wywołaną
tym odcinkiem, jaki jest ich stosunek.
Jest jednak również tempo zmiany w czasie, o który możesz myśleć jako o nachyleniu tej
powierzchni gdy tniesz ją w kierunku równoległym do osi czasu.
Każda z tych pochodnych opowiada jedynie część historii o tym, jak zmienia się
funkcja temperatury, więc nazywamy je "pochodnymi cząstkowymi".
Aby to podkreślić, zmienia się trochę oznaczenia, zastępując literę d tym
specjalnym falistym d, ∂.

Portuguese: 
Mas quando temos uma função inteira mudando
com o tempo, as ferramentas matemáticas tornam-se ligeiramente
mais intrincadas.
Porque estamos pensando nessa temperatura
como uma função com várias dimensões para
seu espaço de entrada, neste caso, um para o espaço
e um para o tempo,
existem várias taxas de variação diferentes em jogo.
Há a derivada em relação a x;
quão rapidamente a temperatura muda à medida que você
move-se ao longo da barra.
Você pode pensar nisso como a inclinação da superfície quando você cortá-la paralelo ao eixo x
ou dado um pequeno passo na direção x,
e a pequena mudança na temperatura causada
por isso, é a proporção entre eles.
Mas tem também a taxa de mudança de um ponto  na barra com relação ao tempo,
que você pode pensar como a inclinação desta superfície quando a cortamos na outra direção, paralela ao eixo do tempo.
Cada uma destas derivadas diz apenas uma parte da história de como a função de temperatura muda
por isso as chamamos de "derivadas parciais".
Para enfatizar este ponto, a notação muda
um pouco, substituindo a letra d por
um d especial encaracolado, às vezes chamado de "del".

English: 
But when we have an entire function changing
with time, the mathematical tools become slightly
more intricate.
Because we’re thinking of this temperature
as a function with multiple dimensions to
its input space, in this case, one for space
and one for time, there are multiple different
rates of change at play.
There’s the derivative with respect to x;
how rapidly the temperature changes as you
move along the rod.
You might think of this as the slope of our
surface when you slice it parallel to the
x-axis; given a tiny step in the x-direction,
and the tiny change to temperature caused
by it, what’s the ratio.
Then there’s the rate of change with time,
which you might think of as the slope of this
surface when we slice it in a direction parallel
to the time axis.
Each one of these derivatives only tells part
of the story for how the temperature function
changes, so we call them “partial derivatives”.
To emphasize this point, the notation changes
a little, replacing the letter d with this
special curly d, sometimes called “del”.

Russian: 
Но теперь же со временем меняется целая функция, и математический аппарат
слегка усложняется.
Поскольку мы считаем эту температуру функцией многих переменных,
одной для пространства, второй для времени, есть и несколько разных
скоростей изменения.
Есть производная по x; как быстро меняется температура при движении
вдоль стержня.
Можно изобразить её как наклон сечения поверхности плоскостью, параллельной
оси x; при крошечном сдвиге в направлении оси x, крошечное изменение температуры
будет к нему относиться, как эта производная.
А есть ещё скорость изменения во времени, которую можно изобразить как наклон
сечения поверхности плоскостью, параллельной оси времени.
Каждая из этих производных содержит в себе лишь часть информации о том, как изменяется
температура, так что мы называем их "частными производными".
В связи с этим и обозначения слегка меняются, и вместо буквы d
используют специальную закруглённую d.

Spanish: 
En lo personal, siento que es algo gracioso notación por esto
ya que esencialmente son lo mismo
Preferiría ver que la notación que enfatiza el término, "del" T, en el numerador, se refieren
a distintos cambios
Uno, es un pequeño cambio en la temperatura respecto al tiempo, y el otro
es un pequeño cambio en la temperatura respecto al espacio.
Para reiterar este punto que hize en la serie de cálculo, creo que es importante que leamos
las derivadas como la razón entre  pequeños cambios a las salidas de la función
y el pequeño cambio de la entrada que lo causo, literalmente.
Solo ten en mente que esta notación trata de codificar, es el límite de esta razón
para cambios cada vez más pequeños a las entradas, en vez de un número específico finitamente pequeño para la razón de cambio.
 
Esto va para derivadas parciales tanto para derivadas ordinarias.
La ecuación del calor esta escrita en términos de estas derivadas parciales.

Turkish: 
Şahsen ben biraz saçma olduğunu düşünüyorum
bunun için gösterimini değiştirmek
aslında aynı işlem.
Vurgulayan gösterimi görmek isterdim
bu numaralardaki del T terimleri
farklı değişikliklere.
Biri, sıcaklıktaki küçük bir değişikliği ifade eder.
zaman içinde küçük bir değişiklikten sonra, diğeri
küçük bir sıcaklıktan sonra sıcaklık değişimi
uzayda adım.
Analizde yaptığım bir noktayı yinelemek için
serisi, başlangıçta sağlıklı olduğunu düşünüyorum
değişmez oran olarak bunun gibi türevleri oku
bir fonksiyonun çıkışında küçük bir değişiklik arasında,
ve girişe neden olan küçük değişiklik
o.
Sadece bu notun ne olduğuna dikkat edin.
iletmek bu oranın sınırı
girişe daha küçük ve daha küçük delikler için,
belirli son derece küçük bazı için değil
dürtmek.
Bu kısmi türevler için geçerlidir
sıradan türevler için yapar ve inanıyorum
kısmi türevleri nedene göre kolaylaştırır
hakkında.

Modern Greek (1453-): 
Προσωπικά, νομίζω ότι είναι λίγο χαζό
να αλλάξουμε τη σημειογραφία για αυτό,
δεδομένου ότι είναι ουσιαστικά η ίδια πράξη.
Θα προτιμούσα να βλέπω σημειογραφεία που τονίζει ότι οι όροι dT στους αριθμητές,
αναφέρονται σε διαφορετικές αλλαγές.
Η μια είναι μια μικρή μεταβολή στη θερμοκρασία
μετά από μια μικρή μεταβολή χρόνου,
η άλλη είναι μια μικρή μεταβολή της θερμοκρασίας μετά από ένα μικρό βήμα στο χώρο.
Για να επαναλάβω ένα σημείο που ανέφερα
στην σειρά του Απειροστικού Λογισμού,
νομίζω ότι είναι υγιές αρχικά να διαβάζετε παραγώγους όπως αυτή
ως κυριολεκτική αναλογία μεταξύ μιας μικρής αλλαγής στην έξοδο μιας συνάρτησης,
και της μικρής αλλαγής στην είσοδο
που την προκάλεσε.
Απλά να έχετε υπόψιν ότι το τι θέλει να μεταφέρει αυτή η σημειογραφεία,
είναι το όριο αυτής της αναλογίας για όλο και μικρότερα αγγίγματα στην είσοδο,
παρά για μια συγκεκριμένη τιμή της αναλογίας για ένα πεπερασμένα μικρό άγγιγμα.
Αυτό ισχύει για τις μερικές παραγώγους όπως ακριβώς ισχύει και για τις συνηθισμένες παραγώγους.
Η εξίσωση θερμότητας, είναι γραμμένη με όρους αυτών των μερικών παραγώγων.

English: 
Personally, I think it’s a little silly
to change the notation for this since it’s
essentially the same operation.
I’d rather see notation which emphasizes
the del T terms in these numerators refer
to different changes.
One refers to a small change to temperature
after a small change in time, the other refers
to the change in temperature after a small
step in space.
To reiterate a point I made in the calculus
series, I do think it's healthy to initially
read derivatives like this as a literal ratio
between a small change to a function's output,
and the small change to the input that caused
it.
Just keep in mind that what this notation
is meant to convey is the limit of that ratio
for smaller and smaller nudges to the input,
rather than for some specific finitely small
nudge.
This goes for partial derivatives just as
it does for ordinary derivatives.
The heat equation is written in terms of these partial derivatives.

Portuguese: 
Pessoalmente, acho um pouco bobo
para mudar a notação para isso, uma vez que é
essencialmente a mesma operação.
Eu prefiro ver a notação que enfatiza
os termos del T nestes numeradores se referem
a diferentes mudanças.
Um refere-se a uma pequena mudança na temperatura
depois de uma pequena mudança no tempo, a outra se refere
à mudança de temperatura após um pequeno
passo no espaço.
Para reiterar um ponto que fiz na série de cálculo,
eu acho que é saudável inicialmente
ler derivadas como esta como uma razão literal
entre uma pequena alteração na saída de uma função,
e a pequena mudança na entrada que causou isto.
Basta ter em mente que o que esta notação
destina-se a transmitir é o limite dessa relação
para mudanças menores e menores na entrada, em vez de algum valor específico para uma mudança finita bem pequena
Isso vale para derivadas parciais, assim como para derivadas ordinárias
A equação do calor é escrita em
termos de derivadas parciais

Polish: 
Osobiście uważam, że ta zmiana jest trochę głupkowata, ponieważ jest to
w zasadzie ta sama operacja.
Wolałbym oznaczenia, które podkreślają, że ∂T w licznikach dotyczą
różnych zmian.
Jedno odnosi się do małej zmiany temperatury po małej zmianie w czasie, drugie do
zmiany temperatury po małej zmianie przestrzennej.
Powtarzając argument, który stosowałem w serii o analizie, sądzę, że zdrowo jest początkowo
odczytywać takie pochodne jako dosłowny stosunek pomiędzy małą zmianą wartości funkcji,
a małą zmianą argumentu, która ją spowodowała.
Pamiętaj jedynie, że to oznaczenie ma przekazywać raczej granicę tego stosunku
dla coraz mniejszych zmian argumentu niż jakiejś konkretnej, skończenie małej zmiany.
Odnosi się to do pochodnych cząstkowych tak samo jak do zwykłych, i moim zdaniem sprawia,
że łatwiej o nich myśleć.

Russian: 
Лично мне кажется немного странным менять из-за этого обозначения, ведь
это по существу одна и та же операция.
Было бы намного удачнее отобразить в этой нотации, что члены dT в числителе
разные для разных переменных.
Один относится к небольшому изменению после небольшого промежутка времени,
а другой -- к небольшому изменению после небольшого шага в пространстве.
Подытоживая то, что я уже говорил в сериях по анализу, мне кажется весьма полезным
поначалу смотреть на производные как на честные отношения изменения функции к
небольшому изменению, которым оно вызвано.
Просто помните, что под этими обозначениями скрывается предел такого отношения
при меньших и меньших подвижках аргумента, а не само отношение при конкретном
маленьком сдвиге.
Всё то же относится и к частным производным, и мне кажется, может весьма
упростить рассуждения с частными производными.

Portuguese: 
Ela diz que a variação desta função
com relação ao tempo
depende da segunda derivada com respeito
ao espaço.
Mais especificamente, é proporcional à segunda derivada parcial com relação a x
Em um nível alto, a intuição é que em
pontos onde a distribuição de temperatura se curva
a temperatura tende a mudar mais rapidamente,
na direção dessa curvatura.
Como esta regra é descrita usando derivadas parciais,
nós a chamamos de equação diferencial parcial.
Isso tem o resultado engraçado que para um estranho,
o nome soa como uma versão mais mansa do que
equações diferenciais ordinárias, quando é o contrário
equações diferenciais parciais tendem a contar
uma história muito mais rica do que as EDOs.
E são mais difíceis de resolver geralmente
A equação do calor geral aplica-se aos corpos
em qualquer número de dimensões, o que significa
mais entradas para a nossa função de temperatura, mas
será mais fácil ficarmos focados
no caso unidimensional de uma vara.
Como é, grafando isso de uma forma que dá
tempo seu próprio eixo já empurra o visual
em três dimensões.
Mas onde é que uma equação como esta vem
de?

Turkish: 
Sen ve ben inşa edeceğimiz şey bu
bu sıcaklık zamana göre değişir
ikinci türevle ilgili olarak
uzaya.
Yüksek düzeyde, sezgi ki
sıcaklık dağılımının bulunduğu yerler
eğriler, yönde değişme eğilimindedir
bu eğriliğin
Böyle bir kural kısmi ile yazıldığından
türev, kısmi türev diyoruz
denklem.
Bunun bir yabancı için komik sonucu var.
isim sıradan bir tamer versiyonu gibi geliyor
aksine zaman diferansiyel denklemler
kısmi diferansiyel denklemler söyleme eğilimindedir
ODE'lerden daha zengin bir hikaye.
Genel ısı denklemi gövdeler için geçerlidir.
herhangi bir sayıda boyutta
sıcaklık fonksiyonumuza daha fazla giriş
odaklanmamız bizim için en kolay olacak
Bir çubuk tek boyutlu durumda.
Olduğu gibi, bunu veren bir şekilde grafik
zaman kendi ekseni zaten görüntüleri iter
üç boyutta.
Fakat bunun gibi bir denklem nereden geliyor?
dan?

English: 
It tells us that the way this function changes with respect to time
depends on how it changes with respect to space.
More specifically, it's proportional to the second partial derivative with respect to x.
At a high level, the intuition is that at
points where the temperature distribution
curves, it tends to change in the direction
of that curvature.
Since a rule like this is written with partial
derivatives, we call it a partial differential
equation.
This has the funny result that to an outsider,
the name sounds like a tamer version of ordinary
differential equations when to the contrary
partial differential equations tend to tell
a much richer story than ODEs.
The general heat equation applies to bodies
in any number of dimensions, which would mean
more inputs to our temperature function, but
it’ll be easiest for us to stay focused
on the one-dimensional case of a rod.
As it is, graphing this in a way which gives
time its own axis already pushes the visuals
into three-dimensions.
But where does an equation like this come
from?

Modern Greek (1453-): 
Μας λέει ότι ο τρόπος με τον οποίο αλλάζει αυτή η συνάρτηση ως προς τον χρόνο,
εξαρτάται από το πώς αλλάζει ως προς τον χώρο.
Ειδικότερα, είναι ανάλογος με τη δεύτερη
μερική παράγωγο ως προς το x.
Σε ανώτερο επίπεδο, η διαίσθηση είναι ότι σε σημεία όπου η κατανομή της θερμοκρασίας καμπυλώνεται,
τείνει να αλλάζει γρηγορότερα,
προς την κατεύθυνση της καμπυλότητας αυτής.
Δεδομένου ότι ένας τέτοιος κανόνας είναι γραμμένος με τη χρήση μερικών παραγώγων,
την αποκαλούμε μερική διαφορική εξίσωση.
Αυτό έχει το αστείο αποτέλεσμα ότι σε έναν ξένο,
το όνομα ακούγεται σαν μια ήπια έκδοση
των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, ενώ αντιθέτως οι μερικές διαφορικές εξισώσεις τείνουν να λένε
μια πολύ πιο πλούσια ιστορία από τις ΣΔΕ,
και είναι πιο δύσκολο να λυθούν γενικότερα.
Η γενική εξίσωση θερμότητας εφαρμόζεται σε σώματα με οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων,
πράγμα που θα σήμαινε περισσότερα δεδομένα εισόδου στη συνάρτηση θερμοκρασίας μας,
αλλά θα είναι πιο εύκολο για εμάς να μείνουμε συγκεντρωμένοι
στην μονοδιάστατη περίπτωση μιας ράβδου.
Όπως είναι, σχεδιάζοντάς το με τρόπο που να δίνει στο χρόνο τον δικό του άξονα,
ήδη ωθεί την οπτική μας στις τρεις διαστάσεις.
Άρα, πέταξα αυτή την εξίσωση, 
αλλά από πού προέρχεται;

Spanish: 
Nos dice que la forma en la que esta función cambia con respecto al tiempo
depende de la segunda derivada con respecto al espacio.
En principio, la intuición nos dice que en puntos donde la distribución de la temperatura
se curvan, tiende a cambiar en dirección de esa curvatura.
Debido a que esta ecuación esta escrita en el lenguaje de derivadas parciales, la llamamos: Ecuación de Diferenciales parciales
 
El resultado cómico  para un foráneo, el nombre suena como una versión "lite" de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Cuando realmente es lo contrario, ecuaciones diferenciales parciales tienden a decir
una historia más profunda que las EDOs.
La ec. general del calor se aplica para cualquier número de dimensiones, lo que implica
que puede haber muchas variables, sin embargo será más sencillo centrarnos en nuestro caso
de una dimensión, del palo.
Como suele ser, graficar esto de forma que el tiempo tenga su propio eje,  pone nuestra visualización en
tres dimensiones.
¿Pero de donde viene esta ecuación?

Polish: 
Wspólnie będziemy dążyć do tego,jak sposób zmiany temperatury w czasie
zależy od drugiej pochodnej względem czasu.
Na wyższym poziomie, intuicja jest taka, że w punktach, gdzie rozkład temperatury
zakręca się, tam będzie zmieniał się w kierunku tej krzywizny.
Skoro taka reguła zapisywana jest przy pomocy pochodnych cząstkowych, nazywamy ją
równaniem różniczkowym cząstkowym
znacznie bogatszą historię i są trudniejsze do rozwiązania niż zwyczajne.
różniczkowych zwyczajnych, podczas gdy jest wprost przeciwnie; równania cząstkowe opowiadają
znacznie bogatszą historię niż zwyczajne.
Ogólne równanie ciepła dotyczy ciał w dowolnej liczbie wymiarów, co oznaczałoby
więcej argumentów naszej funkcji temperatury, jednak najłatwiej będzie nam się skupić
że obraz staje się trójwymiarowy.
Już jego opisywanie z oddzielną osią dla czasu sprawia,
że obraz staje się trójwymiarowy.
Ale skąd bierze się równanie takie jak to?

Russian: 
Что мы с вами собираемся получить, так это что скорость изменения температуры со временем
пропорциональна второй производной в пространстве.
Грубо говоря, наглядный смысл в том, что точки, в которых распределение тепла
искривлено, меняют свою температуру в направлении этой кривизны.
Так как правила такого сорта записываются через частные производные, мы называем их
уравнениями в частных производных.
Что приводит к забавному результату, когда кажется, что это лишь слабая версия обыкновенных
дифференциальных уравнений, хотя на самом деле уравнения в частных производных
говорят намного больше, чем ОДУ.
Общее уравнения теплопроводности касается тел любого числа измерений, что значит
больше аргументов функции температуры, но гораздо легче сосредоточиться
на слулчае одномерного стержня.
Уже его хватает, чтобы, дав времени свою собственную ось,
исчерпать все три измерения.
Но откуда берутся уравнения такого сорта?

Modern Greek (1453-): 
Πώς θα μπορούσατε να σκεφτείτε κάτι τέτοιο
από μόνοι σας;
Λοιπόν, γι' αυτό, ας απλοποιήσουμε τα πράγματα
περιγράφοντας μια διακριτή εκδοχή
της κατασκευής αυτής,
όπου έχετε μόνο πεπερασμένο αριθμό σημείων x,
σε σειρά.
Αυτό είναι σαν να δουλεύουμε σε διακριτό σύμπαν, όπου αντί να έχουμε μια συνέχεια θερμοκρασιών,
έχουμε ένα πεπερασμένο σύνολο ξεχωριστών τιμών.
Η διαίσθηση εδώ είναι απλή:
Για ένα συγκεκριμένη σημείο, εάν τα δύο γειτονικά του από κάθε πλευρά, είναι κατά μέσο όρο,
θερμότερα από αυτό, θα ζεσταθεί.
Εάν είναι πιο δροσερά κατά μέσο όρο, θα κρυώσει.
Ορίστε. Εστιάστε συγκεκριμένα σε αυτά τα τρία γειτονικά σημεία: x1, x2, και x3,
με αντίστοιχες θερμοκρασίες: Τ1, Τ2 και Τ3.
Αυτό που θέλουμε να συγκρίνουμε είναι ο μέσος όρος των Τ1 και Τ3 με την τιμή του Τ2.
Όταν αυτή η διαφορά είναι μεγαλύτερη από το 0, 
το T2 θα τείνει να ζεσταθεί.
Και όσο μεγαλύτερη η διαφορά, τόσο πιο γρήγορα θερμαίνεται.

Polish: 
Jak mógłbyś je samemu wymyśleć?
W tym celu uprośćmy sprawy poprzez opisywanie dyskretnej wersji tego modelu,
gdzie mamy jedynie skończenie wiele punktów x ustawionych w rzędzie.
W pewnym sensie pracujemy tu z rozpikselowaną wersją wszechświata, gdzie zamiast continuum
temperatur, mamy skończony zbiór różnych wartości.
Intuicja jest tutaj prosta: dla konkretnego punktu, jeśli jego dwaj najbliżsi sąsiedzi
są średnio gorętsi od niego, będzie się on nagrzewał.
Jeśli są średnio zimniejsi, będzie się ochładzał.
Skupmy się na trzech sąsiadujących punktach, x1, x2, x3, z odpowiadającymi im temperaturami T1, T2 i T3.
Będziemy chcieli porównywać średnią z T1 i T3 z wartością T2.
Gdy ta wartość jest dodatnia, T2 będzie się nagrzewać.
Im większa jest różnicza, tym szybciej się nagrzewa.

Portuguese: 
Como você poderia ter pensado isso sozinho?
Bem, para isso, vamos simplificar as coisas
descrevendo uma versão discreta dessa configuração,
onde você tem apenas muitos pontos x
em uma sequência.
Isso é como trabalhar em um pixelated
universo, onde, em vez de ter um continuum
de temperaturas, temos um conjunto finito de
valores.
A intuição aqui é simples: para um determinado
ponto, se seus dois vizinhos de cada lado
são, em média, mais quentes do que é,
aquecer.
Se eles são mais frios, em média, vai esfriar
baixa.
Concentre-se em três pontos vizinhos, x1, x2,
e x3, com temperaturas correspondentes T1,
T2 e T3.
O que queremos comparar é a média de
T1 e T3 com o valor de T2.
Quando esta diferença é maior que 0, T2
tenderá a aquecer.
E quanto maior a diferença, mais rápido
aquece.

Turkish: 
Bunu nasıl düşünebilirsin?
Peki, bunun için işleri basitleştirelim.
bu kurulumun ayrı bir versiyonunu tarif etmek,
Sadece son derece çok puanın olduğu yer x
üst üste.
Bu bir pixelated içinde çalışmak gibi
evren, nerede bir sürekliliğe sahip olmak yerine
sıcaklık, sonlu ayrı bir set var
değerler.
Buradaki sezgi basit: Belirli bir
gelin, iki komşusu iki taraftasa
ortalama olarak, olduğundan daha sıcak
ısınmak.
Ortalama olarak daha soğuksa, çok soğuk
aşağı.
Üç komşu noktaya odaklan, x1, x2,
ve x3, karşılık gelen sıcaklıklarla T1,
T2 ve T3.
Karşılaştırma yapmak istediğimiz ortalama
T1 ve T3, T2 değerine sahip.
Bu fark 0'dan büyük olduğunda, T2
ısınma eğiliminde olacaktır.
Fark ne kadar büyükse, o kadar hızlı
ısınır.

Russian: 
Как бы вы могли подступиться к такой задаче?
Что ж, можно упростить задачу, перейдя к дискретной версии,
где у вас есть лишь конечное число точек x в ряду.
Как будто мы работаем в пиксельной вселенной, и вместо того, чтобы иметь континуум
температур, располагаем конечным числом отдельных величин.
Наглядный смысл прост: каждая точка, как только два её соседа, в среднем,
горячее её самой, будет нагреваться.
Если они в среднем холоднее, будет охлаждаться.
Обратим внимание на три соседние точки, x1, x2, x3, с температурами T1,
Т2 и T3.
Мы хотим сравнить среднее арифметическое T1 и T3 с T2.
Если разность больше нуля, T2 станет нагреваться.
И чем больше эта разность, тем быстрее она нагреется.

English: 
How could you have thought this up yourself?
Well, for that, let’s simplify things by
describing a discrete version of this setup,
where you have only finitely many points x
in a row.
This is sort of like working in a pixelated
universe, where instead of having a continuum
of temperatures, we have a finite set of separate
values.
The intuition here is simple: For a particular
point, if its two neighbors on either side
are, on average, hotter than it is, it will
heat up.
If they are cooler on average, it will cool
down.
Focus on three neighboring points, x1, x2,
and x3, with corresponding temperatures T1,
T2, and T3.
What we want to compare is the average of
T1 and T3 with the value of T2.
When this difference is greater than 0, T2
will tend to heat up.
And the bigger the difference, the faster
it heats up.

Spanish: 
¿Cómo puedes salir con esta ecuación por tu cuenta?
Bueno para eso, pensaremos en una versión discreta del sistema.
donde solo hay un finito numero de puntos en x seguidos.
Esto es como trabajar en un universo pixelado, donde en vez de tener un continuo
de temperaturas, tenemos un conjunto finito de valores separados
La intuición es simple. Para un punto particular, si sus 2 vecinos de cada lado
son, en promedio, más caliente que este, el calor sube.
Si son más fríos en promedio, se enfriará.
Enfoquence en estos 3 puntos vecinos, x1, x2, x3, con sus correspondientes temperaturas, T1,T2 y T3.
 
Lo que queremos comparar es la media de T1 y T3 con respecto al valor de T2.
Cuando esta diferencia es mayor que 0, T2 tenderá a calentarse.
Y cuando mayor la diferencia, más rápido se calentará.

Polish: 
Analogicznie, jeśli różnica jest ujemna, T2 będzie się ochładzał, w tempie proporcjonalnym do różnicy.
Mówiąc formalnie, pochodna T2 względem czasu jest proporcjonalna do tej różnicy
Aby zapisać to w sposób, który ostatecznie wyjaśni obecność drugiej pochodnej w równaniu
Alfa jest tutaj po prostu stałą proporcjonalności.
Aby zapisać to w sposób, który statecznie wyjaśni obecność drugiej pochodnej w równaniu
ciepła, pozwól, że uporządkuję wyrazy po prawej stronie jako różnicę pomiędzy T3 i T2
oraz różnicę pomiędzy T2 i T1.
Łatwo możesz sprawdzić, że te wyrażenia są identyczne.
Na górze mamy połowę T1, zaś na dole, gdzie przed T1 stoją dwa minusy,
jest ono pozytywne, a połowa jest wyciągnięta przed nawias.
Podobnie, oba wyrażenia mają połowę T3.
Następnie, na dole mamy ujemne T2 zapisane dwukrotnie, więc biorąc
połowę, dostajemy to samo, co zapisane na górze pojedyncze -T2.

Turkish: 
Aynı şekilde, eğer negatifse, T2 soğuyacaktır
aşağı, farkla orantılı bir oranda.
Daha resmi olarak, T2'nin türevi,
zamana göre, bu farkla orantılı
komşularının ortalama değeri arasında
ve kendi değeri.
Burada Alfa, sadece bir orantı sabitidir.
Bunu nihayetinde yapacak şekilde yazmak
Isıdaki ikinci türevi açıklar
denklem, bu sağ eli yeniden düzenlememe izin verin
T3 arasındaki fark açısından taraf
ve T2 ve T2 ve T1 arasındaki fark.
Bu ikisinin hızlı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
aynı.
Üst kısım T1'in yarısına sahiptir ve alt kısımda
T1’in önünde iki eksi var.
bu yüzden olumlu ve bu yarısı olmuştur
çarpanlara ayırdı.
Aynı şekilde, her ikisinde de T3'ün yarısı var.
Sonra altta, negatif bir T2 var.
etkili bir şekilde iki kere yazılır,
yarısı, single -T2 up ile aynı
üst.

Portuguese: 
Da mesma forma, se for negativo, o T2 esfria
para baixo, a uma taxa proporcional à diferença.
Mais formalmente, a derivada de T2, com
em relação ao tempo, é proporcional a essa diferença
entre o valor médio de seus vizinhos
e seu próprio valor.
Alfa, aqui, é simplesmente uma constante de proporcionalidade.
Para escrever isso de uma forma que acabará
explicar a segunda derivada no calor
equação, deixe-me reorganizar esta mão direita
lado em termos da diferença entre T3
e T2 e a diferença entre T2 e T1.
Você pode verificar rapidamente se esses dois são
mesmo.
O topo tem metade do T1 e no fundo
há dois minuses na frente do T1,
então é positivo, e essa metade tem sido
fatorado fora.
Da mesma forma, ambos têm metade do T3.
Então na parte de baixo, temos um T2 negativo
efetivamente escrito duas vezes, então quando você toma
metade, é o mesmo que o single -T2 up
topo.

English: 
Likewise, if it’s negative, T2 will cool
down, at a rate proportional to the difference.
More formally, the derivative of T2, with
respect to time, is proportional to this difference
between the average value of its neighbors
and its own value.
Alpha, here, is simply a proportionality constant.
To write this in a way that will ultimately
explain the second derivative in the heat
equation, let me rearrange this right-hand
side in terms of the difference between T3
and T2 and the difference between T2 and T1.
You can quickly check that these two are the
same.
The top has half of T1, and in the bottom,
there are two minuses in front of the T1,
so it’s positive, and that half has been
factored out.
Likewise, both have half of T3.
Then on the bottom, we have a negative T2
effectively written twice, so when you take
half, it’s the same as the single -T2 up
top.

Modern Greek (1453-): 
Ομοίως, αν είναι αρνητικό, το T2 θα τείνει να κρυώσει, με ρυθμό ανάλογο αυτής της διαφοράς.
Πιο επίσημα, γράφουμε ότι η παράγωγος του Τ2 ως προς τον χρόνο, είναι ανάλογη
της διαφοράς μεταξύ αυτής της μέσης τιμής των γειτονικών του, και της δικής του τιμής.
Το α, εδώ πέρα, είναι απλώς μια σταθερά αναλογίας.
Για να το γράψω με τρόπο που τελικά θα εξηγήσει τη δεύτερη παράγωγο στην εξίσωση θερμότητας,
επιτρέψτε μου να αναδιατάξω αυτό το δεξί μέλος,
με όρους της διαφοράς μεταξύ των Τ1 και Τ2,
και τη διαφορά μεταξύ των T2 και T3.
Μπορείτε να επαληθεύσετε γρήγορα ότι αυτά τα δύο είναι τα ίδια.
Το πάνω έχει μισό Τ1, και στο κάτω υπάρχουν δύο πλην μπροστά από το Τ1, άρα είναι θετικό,
και το μισό βγήκε έξω.
Ομοίως, και τα δύο έχουν μισό Τ3.
Στη συνέχεια, από κάτω, έχουμε ένα αρνητικό T2, που είναι αποτελεσματικά γραμμένο δύο φορές,
οπότε όταν παίρνετε το μισό, είναι το ίδιο
με το απλό - T2 γραμμένο όπως πάνω.
Όπως είπα, ο λόγος που το ξαναγράφω,
είναι γιατί μας φέρνει ένα βήμα πιο κοντά

Spanish: 
De manera análoga, si es negativo, T2 se enfriará, a una razón proporcional a su diferencia.
De manera formal, la derivada de T2, con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia
entre la media de los valores vecinos y el valor propio.
Alpha, aquí, solo es una constante de proporcionalidad.
Para escribir de una forma que finalmente explicará la segunda derivada de la ecuación del calor
déjenme re ordenar el término de la derecha en términos de la diferencia de T3 y T2,
y la diferencia entre T2 y T1.
Puedes checar rápidamente que estas dos expresiones son lo mismo.
La primera tiene mitad de T1, y abajo hay dos signos negativos enfrente de T1, así que
es positivo, y el un medio fue factorizado.
De la misma manera, ambas expresiones tienen la mitad de T3.
Y en la de abajo tenemos T2 negativo, escrito dos veces, así que cundo los juntas
se eliminan con el un medio, y queda como en la expresión de arriba.

Russian: 
Точно так же, если она отрицательна, N2 станет охлаждаться, со скоростью, пропорциональной разности.
Более формально, производная T2 по времени пропорциональна разности между
средним значением температуры соседей и ей самой.
Альфа здесь просто показатель пропорциональности.
Чтобы получить здесь в конечном итоге вторую производную, стоит представить
правую часть в виде разности разности T3
с T2 и разности T2 с T1.
Легко видеть, что эти два выражения тождественны.
Сверху имеем пол-T1, а снизу, два минуса перед T1
дают плюс, и эта половина сократилась.
Точно так же, половина T3.
Снизу минус T2 написана дважды, так что взять половину -- всё равно
что минус T2 в верхней части.

Spanish: 
Como dije, la razón por la cual reescribí de esta forma, es para estar más cerca del lenguaje de las derivadas
 
Remplacemos estas diferencias como delta-T1 y delta-T2.
Es el mismo número, solo le estamos añadiendo una nueva perspectiva.
En vez de comparar la media de los vecinos de T2, vamos a pensar en la diferencia de diferencias.
 
Aquí vamos a tomarnos un momento y checar que todo tenga sentido.
Si estas dos diferencias fueran las mismas, entonces la media de T1 y T3 es la misma que T2,
por lo que T2 no cambiará.
Si delta-T2 es mayor que delta-T1, significa que la diferencia de las diferencias es positiva,
nota como la media de T1 y T3 es mayor que T2, por lo que T2 tenderá a aumentar.
De la misma manera, si la diferencia de diferencias es negativa, o sea delta-T2 es menor que delta T1,

Modern Greek (1453-): 
στη γλώσσα των παραγώγων.
Κατ' ακρίβεια, ας προχωρήσουμε να τα γράψουμε ως ΔT1 και ΔT2.
Είναι η ίδια τιμή στη δεξιά πλευρά, αλλά προσθέτουμε μια νέα οπτική στο πώς το σκεφτόμαστε.
Αντί να συγκρίνουμε τον μέσο όρο των γειτονικών με το T2, σκεφτόμαστε τη διαφορά των διαφορών.
Ορίστε, πάρτε μια στιγμή να το αξιολογήσετε
ότι βγάζει νόημα.
Εάν οι δύο αυτές διαφορές είναι οι ίδιες, τότε ο μέσος όρος των Τ1 και Τ3 είναι ο ίδιος με το Τ2,
έτσι το T2 δεν θα τείνει να αλλάξει.
Εάν το ΔΤ2 είναι μεγαλύτερο από το ΔΤ1,
δηλαδή η διαφορά των διαφορών είναι θετική,
παρατηρήστε πως ο μέσος όρος των Τ1 και Τ3 είναι μεγαλύτερος από το Τ2,
άρα το Τ2 τείνει να αυξάνεται.
Από την άλλη, αν η διαφορά των διαφορών
είναι αρνητική,
που σημαίνει ότι το ΔT2 είναι μικρότερο από το ΔΤ1,
αντιστοιχεί σε μέσο όρο αυτών των γειτονικών,
να είναι μικρότερος από το Τ2.
Θα μπορούσαμε να είμαστε ιδιαίτερα αυστηροί με τη σημειογραφία μας,

English: 
As I said, the reason to rewrite it is that
it takes a step closer to the language of
derivatives.
Let’s write these as delta-T1 and delta-T2.
It’s the same number, but we’re adding
a new perspective.
Instead of comparing the average of the neighbors
to T2, we’re thinking of the difference
of the differences.
Here, take a moment to gut-check that this
makes sense.
If those two differences are the same, then
the average of T1 and T3 is the same as T2,
so T2 will not tend to change.
If delta-T2 is bigger than delta-T1, meaning
the difference of the differences is positive,
notice how the average of T1 and T3 is bigger
than T2, so T2 tends to increase.
Likewise, if the difference of the differences
is negative, meaning delta-T2 is smaller than

Polish: 
Jak już mówiłem, zapisaliśmy to w ten sposób by zrobić krok w stronę języka pochodnych.
Zapiszmy te różnice jako delta-T1 i delta-T2.
To te same liczby, jednak zyskujemy nową perspektywę.
Zamiast porównywać średnią sąsiadów T2, myślimy o różnicy pomiędzy różnicami.
Poświęć chwilę, by sprawdzić, że ma to sens.
Jeśli obie te różnice są takie same, wówczas średnia T1 i T3 jest taka sama, jak T2
więc T2 nie zmieni się.
Jeśli delta-T2 jest większa niż delta-T1, co oznacza, że różnica różnic jest dodatnia,
zauważ, jak średnia T1 i T3 jest większa od T2, więc T2 będzie rosnąć.
Moglibyśmy być wyjątkowo zwięźli z naszą notacją i zapisać cały ten wyraz, różnicę różnic,

Russian: 
Как я и говорил, причина переставлять члены в таком порядке в том, чтобы приблизиться
ко второй производной.
Обозначим их за дельта T1 и дельта T2.
Это те же числа, на которые мы смотрим по-новому.
Вместо того, чтобы сравнивать среднее значение соседей с T2, мы смотрим на
разность разностей.
Можно потратить мгновение на опытную проверку результата.
Если две разности совпали, то среднее значение T1 и T3 то же, что и T2,
так что T2 не будет изменяться.
Если дельта T2 больше, чем дельта T1, то есть разность разностей положительна,
тогда и среднее T1 с T3 будет больше, чем T2, так что T2 будет расти.
Точно так же, если разность разностей отрицательна, тогда дельта T2 меньше, чем

Turkish: 
Dediğim gibi, yeniden yazmak için nedeni
diline bir adım daha yaklaşıyor
türevleridir.
Bunları delta-T1 ve delta-T2 olarak yazalım.
Aynı numara, ama biz ekliyoruz
yeni bir bakış açısı.
Komşuların ortalamasını karşılaştırmak yerine
T2'ye göre, farkı düşünüyoruz
Farklılıklar
İşte, bunu kontrol etmek için bir dakikanızı ayırın
mantıklı.
Bu iki fark aynıysa, o zaman
T1 ve T3'ün ortalaması T2 ile aynıdır,
bu yüzden T2 değişmeyecek.
Eğer delta-T2 delta-T1'den büyükse, anlam
farklılıkların farkı olumludur,
T1 ve T3 ortalamasının ne kadar büyük olduğuna dikkat edin
T2'den daha fazla, bu nedenle T2 artma eğilimindedir.
Aynı şekilde, eğer farklılıkların farkı
negatif, yani delta-T2’den küçük

Portuguese: 
Como eu disse, a razão para reescrever é que
dá um passo mais perto da linguagem de
derivados.
Vamos escrevê-los como delta-T1 e delta-T2.
É o mesmo número, mas estamos adicionando
uma nova perspectiva.
Em vez de comparar a média dos vizinhos
para T2, estamos pensando na diferença
das diferenças.
Aqui, tire um momento para verificar que
faz sentido.
Se essas duas diferenças são as mesmas, então
a média de T1 e T3 é igual a T2,
então T2 não tenderá a mudar.
Se delta-T2 é maior que delta-T1, significando
a diferença das diferenças é positiva,
observe como a média de T1 e T3 é maior
de T2, então T2 tende a aumentar.
Da mesma forma, se a diferença das diferenças
é negativo, o que significa delta-T2 é menor do que

Polish: 
jako delta-delta-T1
Pojęcie to znane jest jako "drugi przyrost".
Jeśli ciężko jest ci o tym myśleć, pamiętaj, że to w zasadzie zwarty
zapis pomysłu, o ile T2 różni się od średniej swoich sąsiadów, po prostu
z dodatkowym czynnikiem 1/2, to wszystko.
Ten czynnik tak naprawdę nie jest istotny, ponieważ tak czy inaczej zapisujemy nasze równanie
w języku jakiejś stałej proporcjonalności.
Efekt jest taki, że tempo zmiany temperatury punktu jest proporcjonalne
do drugiego przyrostu w jego otoczeniu.
Przechodząc od skończonego kontekstu do nieskończonego, ciągłego przypadku, analogiem
drugiego przyrostu jest druga pochodna.
Zamiast patrzeć na różnicę pomiędzy wartościami temperatury w punktach o jakiejś ustalonej odległości
od siebie, rozważamy, co dzieje się, gdy kurczysz rozmiar tego kroku do 0.
W analizie, zamiast pytać o bezwzględną różnicę, która dążyłaby do 0, myślimy
o stosunku zmiany, w tym przypadku - jaki jest stosunek zmiany temperatury na jednostkę odległości.

English: 
delta-T1, it corresponds to the average of
these neighbors being less than T2.
This is known in the lingo as a “second
difference”.
If it feels a little weird to think about,
keep in mind that it’s essentially a compact
way of writing this idea of how much T2 differs
from the average of its neighbors, just with
an extra factor of 1/2 is all.
That factor doesn’t really matter, because
either way we’re writing our equation in
terms of some proportionality constant.
The upshot is that the rate of change for
the temperature of a point is proportional
to the second difference around it.
As we go from this finite context to the infinite
continuous case, the analog of a second difference
is the second derivative.
Instead of looking at the difference between
temperature values at points some fixed distance
apart, you consider what happens as you shrink
this size of that step towards 0.
And in calculus, instead of asking about absolute
differences, which would approach 0, you think
in terms of the rate of change, in this case,
what’s the rate of change in temperature
per unit distance.

Spanish: 
corresponde a que la media de sus vecinos sea menor que T2.
Esto es conocido como "segunda diferencia"
Si se siente algo raro pensar en esto, ten en mente que esto es esencialmente una forma
muy compacta de escribir una idea, de que tanto T2 difiere de sus vecinos, solo con
un factor extra de un medio, y eso es todo.
Ese factor no importa mucho, ya que de cualquier forma, nuestra ecuación va a ser escrita en
términos de una constante de proporcionalidad.
La moraleja es que la razón de cambio de la temperatura en un punto es proporcional
a la segunda diferencia de su alrededor.
Cuando pasamos de este finito contexto, al infinito y continuo caso, la analogía de la segunda diferencia es
la segunda derivada.
En vez de mirar a la diferencia entre los valores de temperatura vecinos a un punto determinado,
considera que pasa cuando encojes estos tamaños, hasta que el tamaño de cada paso   tiende a 0.
En cálculo, en vez de preguntar acerca de diferencias absolutas, que aproximarán a cero, piensa
en términos de razones de cambio, que en este caso, es el cambio en la temperatura
por unidad de distancia.

Turkish: 
delta-T1, ortalamasına karşılık gelir
bu komşular T2'den az.
Bu, dilde “ikinci” olarak bilinir.
Fark”.
Düşünmek biraz garip geliyorsa,
esasen bir kompakt olduğunu unutmayın
T2'nin ne kadar farklı olduğu fikrini yazmanın yolu
sadece komşularının ortalamasından
Ekstra 1/2 faktördür.
Bu faktör gerçekten önemli değil, çünkü
her iki durumda da denklemimizi yazıyoruz
bazı orantılılık sabiti terimleri.
Sonuç, değişim oranının
bir noktanın sıcaklığı orantılıdır
çevresindeki ikinci fark.
Bu sonlu bağlamdan sonsuzluğa geçerken
sürekli durum, ikinci bir farkın analogu
ikinci türevdir.
Aradaki farka bakmak yerine
noktalardaki sıcaklık değerleri bazı sabit mesafeler
ayrı olarak, küçülürken ne olacağını düşünürsün
Bu adımın bu boyutu 0'a doğru.
Ve matematikte, mutlak bir şey sormak yerine
sanırım 0'a yaklaşacak olan farklılıklar
değişim oranı açısından, bu durumda,
sıcaklıktaki değişim oranı nedir
birim uzaklık

Portuguese: 
delta-T1, corresponde à média de
esses vizinhos são menos que T2.
Isso é conhecido na linguagem como um “segundo
diferença".
Se parece um pouco estranho pensar sobre
tenha em mente que é essencialmente um compacto
maneira de escrever essa ideia de quanto T2 difere
da média de seus vizinhos, apenas com
um fator extra de 1/2 é tudo.
Esse fator realmente não importa, porque
De qualquer maneira estamos escrevendo nossa equação em
termos de alguma constante de proporcionalidade.
O resultado é que a taxa de mudança para
a temperatura de um ponto é proporcional
para a segunda diferença em torno dele.
À medida que vamos deste contexto finito para o infinito
caso contínuo, o análogo de uma segunda diferença
é a segunda derivada.
Em vez de olhar para a diferença entre
valores de temperatura em alguns pontos de distância fixa
Além disso, você considera o que acontece quando você encolhe
esse tamanho desse passo para 0.
E no cálculo, em vez de perguntar sobre absoluto
diferenças, que se aproximaria 0, você pensa
em termos de taxa de mudança, neste caso,
qual é a taxa de mudança na temperatura
por unidade de distância.

Modern Greek (1453-): 
και να γράψουμε όλο αυτό τον όρο, την διαφορά μεταξύ των διαφορών, ως ΔΔΤ1.
Αυτό είναι επίσημα γνωστό ως "δεύτερη διαφορά".
Αν το νιώθετε λίγο παράξενο να το σκεφτείτε, λάβετε υπόψη ότι είναι ουσιαστικά μια σύμβαση
στον τρόπο γραφής αυτής της ιδέας, του πόσο διαφέρει το Τ2 από το μέσο όρο των γειτονικών του,
απλά έχει αυτόν τον επιπλέον παράγοντα 1/2.
Και αυτός ο παράγοντας δεν έχει ιδιαίτερη σημασία, γιατί ούτως ή άλλως γράφουμε αυτή την εξίσωση
με όρους κάποιας σταθεράς αναλογίας.
Το αποτέλεσμα είναι ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας ενός σημείου,
είναι ανάλογος της δεύτερης διαφοράς
γύρω από αυτό.
Καθώς προχωράμε από αυτό το πεπερασμένο πλαίσιο στην άπειρη συνεχή περίπτωση,
το ανάλογο μιας δεύτερης διαφοράς,
είναι η δεύτερη παράγωγος.
Αντί να κοιτάζετε τη διαφορά μεταξύ
των τιμών της θερμοκρασίας,
σε σημεία με κάποια σταθερή απόσταση μεταξύ τους, αντ' αυτού σκεφτείτε τί συμβαίνει
καθώς συρρικνώνετε το μέγεθος αυτού του βήματος προς το 0.
Και στον απειροστικό λογισμό, αντί να μιλάμε
για απόλυτες διαφορές,
οι οποίες επίσης θα προσέγγιζαν το 0, σκέφτεστε με όρους ρυθμού μεταβολής.
Στην προκειμένη περίπτωση, ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας ανά μονάδα απόστασης.

Russian: 
дельта T1, и в этом случае среднее между соседям меньше, чем T2.
Для краткости это число называют ещё "второй разностью".
Если это всё кажется не вполне понятным, достаточно помнить, что это лишь компактный
способ записать, на сколько T2 отличается от среднего между своими соседями
с множителем 1/2.
Он не играет серьёзной роли, так как в нашем уравнении и так фигурирует произвольный
коэффициент пропорциональности.
Мы пришли к тому, что скорость изменения температуры в точке пропорциональная
второй разности в ней.
При переходе от дискретного к непрерывному, аналогом второй разности служит
вторая производная.
И вместо того, чтобы измерять разность температур в точках на конкретном расстоянии,
мы смотрим на результат при стремлении этого расстояния к нулю.
Всегда в анализе, вместо того, чтобы измерять разности, которые будут стремиться к нулю,
измеряются скорости изменения, в нашем случае, изменение температуры
за единицу расстояния.

Polish: 
Pamiętaj, mamy tu do czynienia z dwoma oddzielnymi tempami zmiany; jak zmienia się temperatura wraz
z biegiem czasu i jak zmienia się temperatura wraz z ruchem wzdłuż pręta.
Główna intuicja pozostaje taka sama jak w dyskretnym przypadku, który przed chwilą badaliśmy:
Aby wiedzieć, jak punkt różni się od swoich sąsiadów, patrzymy nie tylko na zmianę funkcji
między jednym punktem a drugim, ale na to, jak zmienia się to tempo zmiany.
Zapisujemy to jako ∂^2T/∂x^2, druga pochodna cząstkowa naszej funkcji
względem x.
Zauważ, jak nachylenie zwiększa się w punktach, gdzie wykres zakręca do góry, co oznacza, że
tempo zmian tego tempa zmian jest dodatnie.
Podobnie, nachylenie maleje w punktach, gdzie wykres wygina się w dół, gdzie
tempo zmian tempa zmian jest ujemne.
Zachowaj to jako przydatną intuicję dla problemów odległych od równania ciepła:
drugie pochodne mierzą, jak wartość porównuje się do średniej swoich sąsiadów.

Turkish: 
Unutma, iki ayrı oran var.
oyunda değişiklik: sıcaklık nasıl
zaman ilerledikçe ve sıcaklık nasıl
çubuk boyunca hareket ettikçe değiştirin.
Çekirdek sezgi ne ile aynı kalır
biz sadece ayrık durumlara baktık:
Bir noktanın komşularından ne kadar farklı olduğunu bilir,
sadece fonksiyonun nasıl değiştiğine bakma
bir noktadan diğerine, ama nasıl
değişim oranı değişiklikleri.
Bu, del ^ 2 T / del-x ^ 2 olarak yazılmıştır.
fonksiyonumuzun ikinci kısmi türevi
x ile ilgili olarak.
Bu eğimin noktalarda nasıl arttığına dikkat edin
grafiğin yukarı doğru eğri olduğu, yani
değişim oranı değişim oranı pozitiftir.
Benzer şekilde, bu eğim noktalarda azalır
grafiğin aşağıya doğru eğildiği,
değişim oranı değişim oranı negatiftir.
Bunu için anlamlı bir sezgi olarak uzaklaştır
Isı denkleminin ötesindeki problemler: İkincisi
türevler, değerin ne kadar olduğuna dair bir ölçü verir.
Komşularının ortalamasını karşılaştırır.

Spanish: 
Recuerda,  hay dos razones de cambios separadas que cambian juntas. Como cambia la temperatura
a medida que pasa el tiempo, y como la temperatura cambia conforme te mueves por el palo.
La intuición clave se mantiene como en el caso discreto:
para saber como difiere un punto con sus vecinos, no solo mires a como la función cambia
de un punto al siguiente, si no también como la razón de cambio, cambia.
Esto escrito como del^2 T /del-x^2, la segunda derivada parcial de nuestra función
con respecto a x
Nota como la pendiente crece en puntos donde la gráfica se curva hacia arriba,
diciendo que la razón de cambio de la razón de cambio es positiva
Similarmente, la pendiente decrece en puntos donde la gráfica se curva hacia abajo
donde la razón de cambio de la razón de cambio es negativa.
Considera esto como una intuición relevante para problemas más alla de la ecuación de calor:
Las segundas derivadas dan una forma de obtener una medida de como los valores cambian con la media de sus vecinos.

Modern Greek (1453-): 
Και θυμάστε, υπάρχουν δύο διαφορετικοί ρυθμοί μεταβολής στο παιχνίδι:
Πώς αλλάζει η θερμοκρασία αυτή καθώς
περνά ο χρόνος,
και πώς αλλάζει η θερμοκρασία καθώς κινείστε κατά μήκος της ράβδου.
Η βασική διαίσθηση παραμένει η ίδια με αυτή που εξετάσαμε στη διακριτή περίπτωση:
να γνωρίζουμε το πώς ένα σημείο διαφέρει
από τα γειτονικά του,
όχι μόνο εξετάζοντας το πως αλλάζει η συνάρτηση από το ένα σημείο στο άλλο,
αλλά με το πώς αλλάζει ο ίδιος ο ρυθμός μεταβολής.
Τώρα στη γλώσσα του Απειροστικού Λογισμού, αυτό γράφεται ως d^2 T / d x^2,
η δεύτερη μερική παράγωγος της συνάρτησής μας
ως προς το x.
Παρατηρήστε πώς αυξάνεται η κλίση στα σημεία όπου το γράφημα καμπυλώνεται προς τα πάνω,
δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής του ρυθμού μεταβολής είναι θετικός.
Ομοίως, αυτή η κλίση μειώνεται στα σημεία όπου το γράφημα καμπυλώνεται προς τα κάτω,
όπου ο ρυθμός μεταβολής αυτού του ρυθμού μεταβολής είναι αρνητικός.
Κρατήστε το αυτό ως μια σημαντική διαίσθηση για προβλήματα πέρα ​​από την εξίσωση θερμότητας.
Οι δεύτερες παραγώγοι δίνουν ένα μέτρο σύγκρισης μιας τιμής με το μέσο όρο των γειτονικών της.

Russian: 
Не забывайте, что у нас тут две отдельные скорости изменения: как меняется температура
со временем, и как она меняется при движении вдоль стержня.
Основной смысл при этом такой же, как и в дискретном случае: чтобы понять,
насколько точка отлична от своих соседей, нужно смотреть не на изменение функции
от одной точки к следующей, а на изменение этого изменения.
Это обозначается через d квадрат T по d x квадрат, и называется второй частной производной
нашей функции по x.
Заметим, что наклон возрастает в точках где график искривлён вверх, так что
скорость изменения скорости изменения положительна.
И точно так же этот наклон убывает в точках, где график искривлён вниз, так что
скорость изменения скорости изменения отрицательна.
Это стоит извлечь как полезную интуицию и вне контекста уравнения теплопроводности: вторая
производная измеряет, насколько значение отличается от среднего значения в соседних точках.

Portuguese: 
Lembre-se, existem duas taxas separadas de
mudança em jogo: Como é que a temperatura
o tempo avança e como a temperatura
mudar conforme você se move ao longo da haste.
A intuição do núcleo permanece a mesma que
nós apenas olhamos para o caso discreto:
sabe como um ponto difere de seus vizinhos,
olhe não apenas como a função muda
de um ponto para o outro, mas como isso
mudanças na taxa de mudança.
Isto está escrito como del ^ 2 T / del-x ^ 2, o
segunda derivada parcial da nossa função
em relação a x.
Observe como esta inclinação aumenta em pontos
onde o gráfico se curva para cima, significando
A taxa de mudança da taxa de mudança é positiva.
Da mesma forma, essa inclinação diminui em pontos
onde o gráfico se curva para baixo, onde o
A taxa de variação da taxa de variação é negativa.
Esconda isso como uma intuição significativa para
problemas bem além da equação do calor:
derivados dão uma medida de como um valor
compara com a média dos seus vizinhos.

English: 
Remember, there are two separate rates of
change at play: How does the temperature as
time progresses, and how does the temperature
change as you move along the rod.
The core intuition remains the same as what
we just looked at for the discrete case: To
know how a point differs from its neighbors,
look not just at how the function changes
from one point to the next, but at how that
rate of change changes.
This is written as del^2 T / del-x^2, the
second partial derivative of our function
with respect to x.
Notice how this slope increases at points
where the graph curves upwards, meaning the
rate of change of the rate of change is positive.
Similarly, that slope decreases at points
where the graph curves downward, where the
rate of change of the rate of change is negative.
Tuck that away as a meaningful intuition for
problems well beyond the heat equation: Second
derivatives give a measure of how a value
compares to the average of its neighbors.

Modern Greek (1453-): 
Ας ελπίσουμε ότι αυτό θα δώσει κάποια ικανοποιητική προσθήκη χρώματος στην εξίσωση.
Είναι ήδη αρκετά διαισθητικό όταν το διαβάζετε λέγοντας ότι
τα καμπυλοτά σημεία τείνουν να ισιώσουν,
αλλά πιστεύω ότι υπάρχει κάτι ακόμα πιο ικανοποιητικό
βλέποντας μια τέτοια μερική διαφορική εξίσωση
να αναδύεται, σχεδόν μηχανικά,
από τη σκέψη κάθε σημείου ως απλά να τείνει στο μέσο όρο των γειτονικών του.
Πάρτε μια στιγμή να συγκρίνετε την αίσθηση αυτή στη περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων.
Για παράδειγμα, εάν έχουμε πολλά σώματα στο χώρο, να τραβούν το ένα το άλλο λόγω της βαρύτητας,
αυτό που αναλύουμε είναι μια χούφτα
αριθμών που αλλάζουν,
στην περίπτωση αυτή, τις συντεταγμένες
κάθε σώματος.
Ο ρυθμός μεταβολής για οποιαδήποτε από αυτές τις τιμές, εξαρτάται από τις τιμές των άλλων αριθμών,
και συχνά το γράφουμε ως σύστημα εξισώσεων.
Στα αριστερά, έχουμε τη παράγωγο κάθε τιμής ως προς το χρόνο,
και στα δεξιά υπάρχει κάποιος συνδυασμός όλων των υπόλοιπων τιμών.
Στην μερική μας διαφορική εξίσωση, η διαφορά είναι ότι έχουμε άπειρες συνεχείς τιμές να αλλάζουν.

Russian: 
Надеюсь, что после такого объяснения уравнение заиграло новыми красками.
Оно весьма интуитивно, если читать его как правило о том, что график уплощается в точках,
где он искривлён сильнее, но кажется, что есть что-то завораживающее в уравнении в частных
производных, которое возникает чисто механистически из мысли о том, что точка
стремится к среднему значению своих соседей.
Стоит на секунду задуматься о том, как это выглядит в сравнении с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Например, если у нас есть несколько тел в пространстве, которые притягиваются к друг другу,
то у нас есть довольно много чисел, изменяющихся во времени, это координаты и скорости
каждого из них.
Скорость изменения каждого из них зависит от значений других чисел, что выражается
системой уравнений.
Слева мы имеем производные этих значений по времени, а справа
некую комбинацию этих значений.
В уравнении в частных производных, у нас есть бесконечное число значений, которые
подвергаются изменению.

Turkish: 
Umarım, bu bazı tatmin edici ekledi verir
bu denklemin rengi.
Gibi okurken oldukça sezgisel
Kavisli noktaların düzleşme eğiliminde olduğunu,
ama bence daha da fazlası var
kısmi bir diferansiyel denklem görerek tatmin edici
neredeyse mekanik olarak düşünmeden ortaya çıkma
Her bir noktanın ortalamasına doğru eğilimi
Komşularının
Bunun nasıl bir his olduğunu karşılaştırmak için bir dakikanızı ayırın
Adi diferansiyel denklemler durumunda.
Örneğin, eğer birden fazla bedenimiz varsa
yerçekimi ile birbirine geçen uzay,
değişen sayılarımız var:
konum ve hız için koordinatlar
Her vücudun
Bu değerlerden herhangi biri için değişim oranı
diğer numaraların değerlerine bağlıdır,
hangi bir denklem sistemi olarak yazıyoruz.
Solda, bunların türevlerine sahibiz
zamana göre değerler ve hak
tüm bu değerlerin bir birleşimidir.
Kısmi diferansiyel denklemimizde
Bir süreklilikten sonsuz sayıda değer, hepsi
değiştirme.

Spanish: 
Con suerte, esto dará un satisfactorio color a esta ecuación.
Es muy intuitivo al leerla sabiendo que puntos curvados tienden a aplanarse,
pero yo pienso que hay algo más satisfactorio que ver una ecuación diferencial parcial
salir, casi mecánicamente, del pensamiento de que cada punto tiende a moverse a la media
de sus vecinos
Toma un momento para comparar como se siente esto en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Por ejemplo, si multiplicamos cuerpos en el espacio, cada uno atrayéndose por la gravedad,
tenemos un puñado de números cambiando: las coordenadas de la posición y la velocidad de cada cuerpo.
 
La razón de cambio en cada uno de estos valores depende de los valores de otros números,
que escribimos como un sistema de ecuaciones.
En la izquierda, tenemos las derivadas de esos valores respecto al tiempo, y en la derecha
una combinación del resto de los otros  valores.
En nuestra ecuación diferencial parcial, tenemos infinitos valores de un continuo, todos cambiando.
 

Polish: 
Mam nadzieję, że dodało to odrobinę zrozumienia do tego równania.
Jest dość intuicyjne gdy mówimy o tym, że wykrzywione punkty będą się wypłaszczać,
jednak sądzę, że jest coś jeszcze bardziej satysfakcjonującego w obserwowaniu, jak niemal
mechanicznie równanie cząstkowe wyłania się z myślenia o każdym punkcie jako dążącym do
uśrednienia swoich sąsiadów.
Poświęć chwilę, by porównać jakie daje to odczucia w porównaniu do przypadku równań zwyczajnych.
Dla przykładu, mając wiele ciał w przestrzeni, przyciągających się nawzajem siłą grawitacji,
mamy garść zmieniających się liczb: współrzędne położenia i prędkości
dla każdego ciała.
Tempo zmian każdej z tych wartości zależy od wartości innych liczb,
co zapisujemy jako układ równań.
Po lewej stronie mamy pochodne tych wartości względem czasu, zaś po prawej
jakaś kombinacja wszystkich tych wartości.
W naszym równaniu cząstkowym mamy continuum różnych wartości, z których
każda się zmienia.

Portuguese: 
Espero que isso dê alguma satisfação
cor a esta equação.
É bastante intuitivo ao lê-lo como
dizendo que pontos curvados tendem a se achatar,
mas acho que tem algo ainda mais
satisfazendo ver uma equação diferencial parcial
surgem, quase mecanicamente, de pensar
de cada ponto como tendendo para a média
dos seus vizinhos.
Tire um momento para comparar o que isso parece
para o caso de equações diferenciais ordinárias.
Por exemplo, se temos vários corpos em
espaço, puxando um ao outro com a gravidade,
temos um punhado de números em mudança:
coordenadas para a posição e velocidade
de cada corpo.
A taxa de mudança para qualquer um desses valores
depende dos valores dos outros números,
que escrevemos como um sistema de equações.
À esquerda, temos os derivados destes
valores em relação ao tempo e à direita
é uma combinação de todos esses valores.
Em nossa equação diferencial parcial, temos
infinitamente muitos valores de um continuum, todos
mudando.

English: 
Hopefully, that gives some satisfying added
color to this equation.
It’s pretty intuitive when reading it as
saying curved points tend to flatten out,
but I think there’s something even more
satisfying seeing a partial differential equation
arise, almost mechanistically, from thinking
of each point as tending towards the average
of its neighbors.
Take a moment to compare what this feels like
to the case of ordinary differential equations.
For example, if we have multiple bodies in
space, tugging on each other with gravity,
we have a handful of changing numbers: The
coordinates for the position and velocity
of each body.
The rate of change for any one of these values
depends on the values of the other numbers,
which we write down as a system of equations.
On the left, we have the derivatives of these
values with respect to time, and the right
is some combination of all these values.
In our partial differential equation, we have
infinitely many values from a continuum, all
changing.

Modern Greek (1453-): 
Και πάλι, ο τρόπος που οποιαδήποτε από αυτές τις τιμές αλλάζει εξαρτάται από τις άλλες τιμές.
Αλλά αρκετά βοηθητικά, κάθε μία εξαρτάται μόνο από τις άμεσα γειτονικές,
με κάποια περιοριστική έννοια της λέξης γειτονιά.
Έτσι εδώ, η σχέση στη δεξιά πλευρά δεν είναι κάποιο άθροισμα ή γινόμενο των άλλων αριθμών,
είναι αντ' αυτού ένα είδος παραγώγου, απλά μια παράγωγος ως προς το χώρο αντί ως προς το χρόνο.
Κατά μία έννοια, όταν το σκεφτείτε, αυτή η μία
μερική διαφορική εξίσωση,
είναι σαν ένα σύστημα απείρων εξισώσεων,
μία για κάθε σημείο της ράβδου.
Ίσως αναρωτιέστε για αντικείμενα που απλώνονται σε περισσότερες από μια διαστάσεις,
όπως ένα επίπεδο ή κάτι τρισδιάστατο.
Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση μοιάζει αρκετά παρόμοια,
αλλά συμπεριλαμβάνετε τη δεύτερη παράγωγο ως προς και τις άλλες χωρικές κατευθύνσεις.
Και προσθέτοντας έτσι όλες αυτές τις δεύτερες χωρικές παραγώγους
είναι αρκετά συχνό όπως μια πράξη,
που έχει το δικό του μοναδικό όνομα,
Λαπλασιανή, συχνά γραμμένο ως αυτό το αναποδογυρισμένο τρίγωνο στη δευτέρα.
Είναι ουσιαστικά μια εκδοχή πολλών μεταβλητών της δεύτερης παραγώγου,

Spanish: 
Y otra vez, la forma en la que cada uno de estos valores cambia, depende de los otros valores.
Por suerte, cada uno solo depende solo de sus vecinos, en cierto sentido de la palabra vecino.
 
Así que, la relación entre la parte de la derecha no es una suma o producto de otros números,
si no que también es un tipo de derivada, solo que una derivada respecto al espacio en vez del tiempo.
En cierto sentido, esta ecuación diferencial parcial es como un sistema de infinitas
ecuaciones, cada una para cada punto del palo.
Cuando tu objeto es algo más que un palo unidimensional, la ecuación luce muy similar,
pero ahora incluye una segunda derivada respecto a cualquier otra dirección espacial que añadas.
 
Añadiendo todas las segundas derivadas espaciales de esta forma es una operación tan común que
tiene su propio nombre, el "Laplaciano", usualmente escrito como un triangulo al revés al cuadrado.

Polish: 
Raz jeszcze, sposób w jaki każda z nich się zmienia zależy od pozostałych wartości.
Na szczęście, każda zależy jedynie od bezpośrednich sąsiadów, w pewnym granicznym sensie
słowa "sąsiad".
Tak więc relacja po prawej stronie nie jest ani sumą, ani iloczynem innych liczb,
jest również rodzajem pochodnej, jednak pochodnej względem przestrzeni zamiast czasu.
W pewnym sensie, to jedno równanie cząstkowe jest niczym układ nieskończenie wielu
równań, po jednym dla każdego punktu pręta.
Gdy twój obiekt jest rozciągnięty w więcej niż jednym wymiarze, równanie wygląda dosyć podobnie,
jednak uwzględniasz również drugie pochodne względem innych kierunków przestrzennych.
Dodawanie wszystkich tych drugich pochodnych przestrzennych jest na tyle powszechną operacją,
że ma własną, specjaną nazwę, "Laplasjan", często zapisywany jako odwrócony trójkąt do kwadratu.

English: 
And again, the way any one of these values
changes depends on the other values.
But helpfully, each one only depends on its
immediate neighbors, in some limiting sense
of the word neighbor.
So here, the relation on the right-hand side
is not some sum or product of the other numbers,
it’s also a kind of derivative, just a derivative
with respect to space instead of time.
In a sense, this one partial differential
equation is like a system of infinitely many
equations, one for each point on the rod.
When your object is spread out in more than
one dimension, the equation looks quite similar,
but you include the second derivative with
respect to the other spatial directions as
well.
Adding all the second spatial second derivatives
like this is a common enough operation that
it has its own special name, the “Laplacian”,
often written as an upside triangle squared.

Portuguese: 
E mais uma vez, a maneira como qualquer um desses valores
as mudanças dependem dos outros valores.
Mas, de maneira útil, cada um só depende de
vizinhos imediatos, em algum sentido limitante
da palavra vizinho.
Então aqui, a relação do lado direito
não é alguma soma ou produto dos outros números,
é também um tipo de derivado, apenas um derivado
com respeito ao espaço em vez do tempo.
De certo modo, esse diferencial parcial
equação é como um sistema de infinitamente muitos
equações, uma para cada ponto na haste.
Quando seu objeto está espalhado em mais de
uma dimensão, a equação parece bastante semelhante,
mas você inclui a segunda derivada com
respeito às outras direções espaciais como
bem.
Adicionando todos os segundos derivativos espaciais
como esta é uma operação bastante comum que
tem seu próprio nome especial, o "Laplaciano",
muitas vezes escrito como um triângulo de cabeça ao quadrado.

Turkish: 
Ve yine, bu değerlerden herhangi birinin yolu
değişiklikler diğer değerlere bağlıdır.
Ama yardımcı olarak, her biri yalnızca
acil komşular, bazı sınırlayıcı anlamda
Komşunun Kelimesi
İşte burada sağ taraftaki ilişki
diğer numaraların toplamı veya ürünü değildir,
aynı zamanda bir türev, sadece bir türev
zaman yerine boşlukla ilgili olarak.
Bir anlamda, bu bir kısmi diferansiyel
denklem sonsuz sayıda bir sistem gibidir
Denklemler, çubuktaki her nokta için bir tane.
Nesneniz fazla yayılmış olduğunda
Bir boyut, denklem oldukça benzer görünüyor,
ama ikinci türevi eklediniz
Diğer mekansal yönlere saygı olarak
iyi.
Tüm ikinci uzaysal ikinci türevlerin eklenmesi
Bu kadar yaygın bir işlem olduğu gibi
kendi özel adı olan “Laplacian” ı,
genellikle bir ters kare kare şeklinde yazılır.

Russian: 
И снова способ изменения каждого из них зависит от других значений.
Однако тут, каждый из них зависит только от значения ближайших соседей, в некотором
предельном смысле этого слова.
Просто здесь правая часть не является суммой или произведением чисел,
а тоже своего рода производной, но в пространстве, а не во времени.
В каком-то смысле уравнение в частных производных и есть система бесконечного
числа уравнений, по одному на каждую точку стержня.
Когда объект протяжён более чем в одном измерении, уравнение выглядит похожим образом,
но в него войдут вторые производные по всем направлениям в пространстве.
Сложение вторых частных производных -- настолько распостранённая операция,
что у неё есть своё имя, "Лапласиан", и она изображается перевёрнутым треугольником.

Turkish: 
Aslında çok değişkenli bir versiyon
ikinci türev ve sezgi
Çünkü bu denklem,
1d vaka: Bu Laplacian hala düşünülebilir
bir noktadan ne kadar farklı olduğunu ölçmek gibi
Komşularının ortalaması, ama şimdi bunlar
Komşular sadece sola ve sağa değil
her yerdeler.
Sırasında birkaç basit video yaptım
Khan Academy’de bu operatörde
Onları kontrol etmek istiyorsun.
Amaçlarımıza odaklanalım.
tek boyut.
Tüm bunları anladığınızı düşünüyorsanız,
sırtını sıvazla.
PDE'yi okuyabilmek şaka değildir ve bu
için kelime hazinesi için güçlü bir ek
Çevrenizdeki dünyayı tanımlamak.
Ama bunca zamandan sonra tercümanlık harcadı
denklemler, başlamanın zamanı geldiğini söylüyorum
Onları çözüyorum, değil mi?
Ve güven bana, birkaç matematik parçası var.
ne fino köpeği saçlı gibi tatmin edici
Buradaki Fourier bunu çözmek için geliştirildi
sorun.

Modern Greek (1453-): 
και η διαίσθηση για αυτή την εξίσωση δεν διαφέρει από τη μονοδιάστατη περίπτωση:
Αυτό τον τελεστή Λαπλάς μπορείτε ακόμα να το σκεφτείτε ως μέτρηση του
πόσο διαφορετικό είναι ένα σημείο από το μέσο όρο των γειτονικών του,
αλλά τώρα, αυτά τα γειτονικά δεν είναι μόνο αριστερά και δεξιά του, είναι παντού γύρω.
Για τους περίεργους μεταξύ σας, έκανα μερικά βίντεο κατά τη περίοδό μου στην Ακαδημία Khan
πάνω σε αυτή την πράξη, αν θέλετε να τα ελέγξετε.
Για όσους από εσάς κατέχουν
λογισμό πολλών μεταβλητών,
μπορείτε να το σκεφτείτε ως
την απόκλιση της κλίσης.
Αλλά δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό.
Για τους σκοπούς μας, ας μείνουμε επικεντρωμένοι στη μονοδιάστατη περίπτωση.
Αν νιώθετε ότι τα καταλαβαίνετε όλα αυτά,
κτυπήστε τον εαυτό στας στην πλάτη.
Το να μπορείτε να διαβάσετε μια ΜΔΕ
δεν είναι αστείο,
και είναι μια ισχυρή προσθήκη να έχετε στο λεξιλόγιό σας για να περιγράφετε τον κόσμο γύρω σας.
Αλλά μετά από όλο αυτό το χρόνο που σπαταλήσαμε για τη διερμηνεία των εξισώσεων,
λέω πως έφτασε η ώρα να ξεκινήσουμε να τις επιλύουμε, συμφωνείτε;
Και πιστέψτε με, υπάρχουν μερικά κομμάτια μαθηματικών εξίσου ικανοποιητικά
με ό,τι ανέπτυξε ο Φούριερ εδώ πέρα για να λύσει αυτό το πρόβλημα.
Όλα αυτά και περισσότερα στο επόμενο κεφάλαιο.

Portuguese: 
É essencialmente uma versão multivariada
da segunda derivada, e a intuição
para esta equação não é diferente do
Caso 1d: Este Laplaciano ainda pode ser pensado
de como medir o quão diferente é um ponto de
a média de seus vizinhos, mas agora estes
os vizinhos não estão apenas à esquerda e à direita,
eles estão por toda parte.
Eu fiz alguns vídeos simples durante o meu
tempo na Khan Academy neste operador, se
você quer verificá-los.
Para nossos propósitos, vamos nos concentrar em
uma dimensão.
Se você sente que entende tudo isso,
dê um tapinha nas costas.
Ser capaz de ler um PDE não é brincadeira, e é
uma adição poderosa ao seu vocabulário para
descrevendo o mundo ao seu redor.
Mas depois de todo esse tempo gasto interpretando
as equações, eu digo que é hora de começarmos
resolvendo eles, não é?
E confie em mim, existem alguns pedaços de matemática
tão satisfatório quanto o cabelo de poodle
Fourier aqui desenvolvido para resolver isso
problema.

Spanish: 
Esto es esencialmente una versión multivariable de la segunda derivada, con la intuición
de que esta ecuación no es muy diferente del caso unidimensional: "El Laplaciano" puede ser pensado
como midiendo como de diferente es un punto respecto a la media de sus vecinos, pero ahora
estos vecinos no solamente son derecha e izquierda, sino alrededor de este.
Hice un par de simples vídeos, durante mi tiempo en Khan Academy de este operador,
si les interesa
Para aquellos con entendimiento de cálculo de varias variables
es bueno pensarlo como la divergencia de la gradiente.
Para nuestros propósitos, mantengámonos en el caso de una dimensión.
Si sientes que has entendido todo esto, enorgullecete de ti mismo, este tema es difícil.
Ser capaz de leer una EDP no es una broma, es una gran adición a tu vocabulario
para describir el mundo a tu alrededor.
Pero después de todo este tiempo interpretando estas ecuaciones, yo digo que es tiempo de
tratar de resolverlas, ¿no lo creen?
Y créanme, hay algunas piezas de las matemáticas casi tan bellas como el esponjado cabello
de Fourier, que creo para resolver este problema.
Todo esto y más en el siguiente episodio.

English: 
It’s essentially a multivariable version
of the second derivative, and the intuition
for this equation is no different from the
1d case: This Laplacian still can be thought
of as measuring how different a point is from
the average of its neighbors, but now these
neighbors aren’t just to the left and right,
they’re all around.
I did a couple of simple videos during my
time at Khan Academy on this operator, if
you want to check them out.
For our purposes, let’s stay focused on
one dimension.
If you feel like you understand all this,
pat yourself on the back.
Being able to read a PDE is no joke, and it’s
a powerful addition to your vocabulary for
describing the world around you.
But after all this time spent interpreting
the equations, I say it’s high time we start
solving them, don’t you?
And trust me, there are few pieces of math
quite as satisfying as what poodle-haired
Fourier over here developed to solve this
problem.

Russian: 
По сути это многомерная версия второй производной, имеющая тот же
смысл, что и в одномерном случае: Лапласиан всё так же измеряет,
насколько точка отличается от среднего своих соседей, просто теперь эти соседи
не только слева и справа, а во всех направлениях.
У меня было несколько простых роликов в Академии Хана про этот оператор,
если вам интересно узнать больше.
Для наших целей хватит и одного измерения.
Если вам кажется, что вы всё поняли, похлопайте себе по спине.
Способность прочесть УЧП дорогого стоит, это мощнейшее средство описания
мира вокруг вас.
Но после того, как я потратил столько времени описывая уравнения, не пора ли нам
начать их решать?
И поверьте, здесь кроются математические средства не менее прекрасные, чем те, что
кучерявый Фурье вот здесь изобрёл для решения этой задачи.

Polish: 
Jest to w zasadzie wersja drugiej pochodnej dla wielu zmiennych i intuicja
za tym równaniem jest taka sama, jak w jednowymiarowym przypadku: Laplasjan wciąż
może być rozumiany jako miara tego, jak punkt różni się od średniej swoich sąsiadów, jednak teraz
ci sąsiedzi nie są tylko po lewej i prawej, są wszędzie wokół.
Podczas pracy dla Khan Academy wykonałem na temat tego operatora kilka prostych filmów, jeśli
chciałbyś je sprawdzić.
Dla tych, którzy mają trochę doświadczenia z analizą wielu zmiennych, warto myśleć o nim
jako o dywergencji gradientu, jednak nie musisz się tym przejmować.
Umiejętność czytania równań różniczkowych cząstkowych to nie byle co i stanowi potężny dodatek
w twoim słowniku do opisywania świata wokół ciebie.
Jednak po poświęceniu całego tego czasu na interpretację równań, uważam, że najwyższy czas
zacząć je rozwiązywać, a ty?
I zaufaj mi, nie ma wielu bardziej satysfakcjonujących kawałków matematyki niż to, co pudlowłosy
Fourier stworzył do rozwiązania tego problemu.

Modern Greek (1453-): 
Απέκτησα αρχικό κίνητρο να καλύψω αυτό το συγκεκριμένο θέμα όταν πήρα μια πρόωρη γεύση
του νέου βιβλίου του Steve Strogatz,
 "Άπειρες Δυνάμεις".
Αυτό δεν είναι ένα διαφημιστικό μήνυμα ή κάτι τέτοιο, αλλά μιλώντας ανοικτά,
έχω δύο εγωιστικά απώτερα κίνητρα
που το αναφέρω.
Το πρώτο είναι ότι ο Steve ήταν πραγματικά ένας δυνατός,
ίσως ακόμη και κύριος συνεργός για το κανάλι από τις αρχές του,
και είχα αυτή την έγνοια να ανταποδώσω αυτή την καλοσύνη για κάποιο καιρό.
Και το δεύτερο είναι να κάνω περισσότερους ανθρώπους να αγαπήσουν τα μαθηματικά,
και συγκεκριμένα τον λογισμό.
Αυτό μπορεί να μην ακούγεται εγωιστικό, αλλά σκεφτείτε το.
Όταν περισσότεροι άνθρωποι αγαπούν τα μαθηματικά, το πιθανό κοινό για αυτά τα βίντεο μεγαλώνει.
Και ειλικρινά, υπάρχουν μερικοί καλύτεροι τρόποι να κάνετε τους ανθρώπους να αγαπήσουν το θέμα,
από το να τους εκθέσετε στα γραπτά του Strogatz.
Άρα αν έχετε φίλους που πιστεύετε ότι θα απολαύσουν τις ιδέες του λογισμού,
αλλά ίσως εκφοβίζονταν κάπως από τα μαθηματικά στο παρελθόν,
αυτό το βιβλίο κάνει μια πραγματικά  εξαιρετική δουλειά στην επικοινωνία του κυρίως θέματος,
τόσο ουσιαστικά όσο και προσβάσιμα.

English: 
All this and more in the next chapter.
I was originally inspired to cover this particular
topic when I got an early view of Steve Strogatz’s
new book “Infinite Powers”.
This isn’t a sponsored message or anything
like that, but all cards on the table, I do
have two selfish ulterior motives for mentioning
it.
The first is that Steve has been a really
strong, perhaps even pivotal, advocate for
the channel since its beginnings, and I’ve
had the itch to repay the kindness for quite
a while.
The second is to make more people love math.
That might not sound selfish, but think about
it: When more people love math, the potential
audience base for these videos gets bigger.
And frankly, there are few better ways to
get people loving the subject than to expose
them to Strogatz’s writing.
If you have friends who you know would enjoy
the ideas of calculus, but maybe have been
intimidated by math in the past, this book
really does an outstanding job communicating
the heart of the subject both substantively
and accessibly.

Polish: 
Wszystko to i jeszcze więcej w kolejnym rozdziale.
Pierwotnie zostałem zainspirowany do opisania tego konkretnego tematu gdy ujrzałem nową książkę
Stevena Strogatza "Nieskończone potęgi".
Nie jest to wiadomość sponsorowana ani nic w tym stylu, ale - karty na stół -
mam dwa egoistyczne, ukryte powody by o tym wspomnieć.
Po pierwsze, Steve był naprawdę silnym, może nawet kluczowym zwolennikiem
tego kanału od jego początków i miałem ochotę odpłacić się uprzejmością od dłuższego czasu.
Drugi powód to sprawienie, aby więcej osób pokochało matematykę.
Być może nie brzmi to egoistycznie, ale zastanów się nad tym: gdy więcej josób kocha matematykę, potencjalna
Drugi powód to sprawienie, aby więcej osób pokochało matematykę, a zwłaszcza analizę.
Być może nie brzmi to egoistycznie, ale zastanów się nad tym: gdy więcej osób kocha matematykę, potencjalna
z dziełami Strogatza.
Jeśli masz znajomych, o których wiesz, że polubiliby analizę, ale być może zostali
odstraszeni przez matematykę w przeszłości, ta książka naprawdę czyni wyjątkową pracę by przedstawić
główną część przedmiotu zarówno porządnie i przystępnie.

Spanish: 
Fuí inspirado originalmente en este tema cuando vi un previo del nuevo libro de Steve Strogatz´s
"Potencias Infinitas".
Esto no es un mensaje publicitario o parecido, pero las cartas están en la mesa,
y tengo dos motivos por lo que mencionar esto.
La primera es que Steve ha sido un grande, inclusive un apoyo e impulso para el canal
desde sus inicios, y quería recompensar ese gesto de amabilidad desde hace tiempo
 
La segunda razón, es para hacer que la gente ame las matemáticas
Puede que no parezca egocéntrico, pero si lo piensas, más personas que amen las mates, más potencial de
que la audiencia de estos vídeos aumente.
Y francamente, hay pocas mejores maneras de exponer la gente a las matemáticas, que
exponerlas a los libros de Strogatz.
Si tienes algún amigo que disfrute las ideas del cálculo, pero tal vez se vea intimidado por las mates últimamente,
este libro hace un bien trabajo comunicando el corazón de estos temas, tanto substancial como accesiblemente.
 

Turkish: 
Bütün bunlar ve daha fazlası bir sonraki bölümde.
Aslında bu konuyu örtmek için ilham aldım.
Steve Strogatz’ın erken bir görüşünü aldığımda konu
yeni kitap “Sonsuz Güçler”.
Bu bir sponsor mesajı değil
öyle, ama masadaki bütün kartları
bahsetmek için iki bencil gizli motivasyona sahip olmak
o.
İlk olarak, Steve gerçekten
güçlü, belki de önemli, savunucusu
Kanal başladığı günden beri
iyiliğini ödemek için kaşıntı vardı
bir süre.
İkincisi, daha çok insanın matematik sevmesini sağlamak.
Bu bencilce gelmeyebilir ama düşün
o: Daha fazla insan matematiği sevdiğinde, potansiyel
Bu videolar için izleyici kitlesi daha da büyüyor.
Ve açıkçası, daha iyi birkaç yol var
konuyu seven insanları ortaya çıkarmak
Onları Strogatz'ın yazılarına.
Eğer tanıdığın arkadaşların varsa zevk alırsın
hesap düşünceleri, ama belki de
Geçmişte matematikten korkan bu kitap
gerçekten olağanüstü bir iş iletişim kuruyor
konunun kalbi hem büyük ölçüde
ve erişilebilir.

Russian: 
Это и многое другое в следующей главе.
Изначально меня вдохновил на видео по этой теме предпоказ книги Стива Строгаца
"Бесконечные степени"
Это не какое-то спонсорское сообщение, но, будем честны, у меня
есть две личных причины её упоминать.
Во-первых, Стив был крайне ярым, часто решающим, защитником моего канала
с самых первых дней, и мне давно уже хотелось
отблагодарить его за это.
Во-вторых, я хочу, чтобы как можно больше людей полюбило математику.
Если это не покажется вам эгоистичным, я поясню: чем больше людей любят математику,
тем больше аудитория моего канала.
И не так уж много способов заставить людей любить математику, сравнимых по
эффективности с книгами Строгаца.
Если у вас есть друзья, которые могли бы поразиться идеям анализа, но, быть может,
ещё боятся математики, эта книга потрясаяюще доносит основные
идеи предмета столь же подробно, сколь и доступно.

Portuguese: 
Tudo isso e muito mais no próximo capítulo.
Eu fui originalmente inspirado para cobrir este particular
tópico quando eu tenho uma visão inicial de Steve Strogatz
novo livro "Infinito Powers".
Esta não é uma mensagem patrocinada nem nada
assim, mas todas as cartas na mesa, eu faço
tem dois motivos ocultos egoístas para mencionar
isto.
A primeira é que Steve tem sido realmente
defensor forte, talvez até crucial,
o canal desde o seu início, e eu tenho
teve a coceira para pagar a bondade por bastante
Um tempo.
A segunda é fazer com que mais pessoas adorem matemática.
Isso pode não parecer egoísta, mas pense
Quando mais pessoas amam matemática, o potencial
A base de público-alvo desses vídeos é maior.
E, francamente, há poucas maneiras melhores de
faça as pessoas amarem o sujeito do que expor
eles para a escrita de Strogatz.
Se você tem amigos que você conhece gostariam
as idéias de cálculo, mas talvez tenham sido
intimidado pela matemática no passado, este livro
realmente faz um excelente trabalho de comunicação
o coração do sujeito tanto substantivamente
e acessível.

English: 
Its core theme is the idea of constructing
solutions to complex real-world problems from
simple idealized building blocks, which as
you’ll see is exactly what Fourier did here.
And for those who already know and love the
subject, you will still find no shortage of
fresh insights and enlightening stories.
Again, I know that sounds like an ad, but
it’s not.
I actually think you’ll enjoy the book.

Spanish: 
El núcleo del tema, es la idea de construir soluciones a problemas complejos del mundo real
a ideas simples, que como verán es exactamente lo que Fourier hizo.
Y para aquellos que ya saben y aman el tema, no encontrarán una escasez de temas interesantes,
vivos, con buenas historias e ideas profundas. Yo sinceramente lo disfrute.
Otra vez, se que suena a publicidad, pero no lo es.
Solo creo que disfrutarán el libro.
Fundado por la comunidad.

Russian: 
Её основной темой стоит назвать построение решений к трудным практическим задачам из
простых идеализированных строительных блоков, таких как у Фурье вот здесь.
А те, кто уже давно знают и любят предмет, найдут бездонное море
новых взглядов и вдохновляющих историй.
И да, это может быть очень сильно похоже на рекламу, но это не она.
Мне правда кажется, что вам понравится книга.

Modern Greek (1453-): 
Το βασικό του θέμα είναι η ιδέα της κατασκευής λύσεων σε σύνθετα προβλήματα πραγματικού κόσμου,
από απλά ιδανικά δομικά στοιχεία, τα οποία όπως θα δείτε είναι ό,τι ακριβώς έκανε ο Fourier.
Και για όσους από εσάς που ήδη γνωρίζουν και αγαπούν το θέμα,
δεν θα λείψουν οι νέες ιδέες
και οι διαφωτιστικές ιστορίες.
Εγώ σίγουρα το απόλαυσα.
Και πάλι, ξέρω ότι ακούγεται σαν διαφήμιση,
αλλά δεν είναι.
Απλώς πιστεύω πραγματικά ότι
θα απολαύσετε το βιβλίο.

Polish: 
Głównym tematem jest konstruowanie rozwiązań skomplikowanych problemów świata rzeczywistego
z prostych, wyidealizowanych klocków, co - jak zobaczycie - dokładnie zrobił tutaj Fourier.
Z kolei dla tych, którzy już znają i kochają ten temat, nie zabraknie
świeżych spojrzeń i oświecających historii.
Powtórzę się - wiem, że brzmi to jak reklama, ale nią nie jest.
Naprawdę myślę, że spodobałaby ci się ta książka.

Turkish: 
Temel teması inşa etme fikridir.
karmaşık gerçek dünya sorunlarına çözümler
olduğu gibi basit idealize yapı taşları
Göreceksiniz ki, tam olarak burada Fourier’in yaptığı şey.
Ve zaten bilen ve sevenler için
Konu, hala hiçbir sıkıntısı bulacaksınız
yeni görüşler ve aydınlatıcı hikayeler.
Yine, bunun bir reklam gibi göründüğünü biliyorum, ancak
değil.
Aslında kitabın tadını çıkaracağınızı düşünüyorum.

Portuguese: 
Seu tema central é a ideia de construir
soluções para problemas complexos do mundo real
blocos de construção idealizados simples, que
você verá exatamente o que Fourier fez aqui.
E para quem já conhece e ama o
assunto, você ainda vai encontrar falta de
novos insights e histórias esclarecedoras.
Mais uma vez, eu sei que soa como um anúncio, mas
não é.
Eu realmente acho que você vai gostar do livro.
