
Thai: 
 
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ
คิดถึงปฏิยานุพันธ์ของ 1/x
หรือวิธีพูดอีกอย่างคือว่า วิธีเขียนอีกอย่างคือว่า
ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังลบ 1 คืออะไร
และเรารู้แล้วว่า ถ้าเรา
พยายามให้กฎย้อนกำลัง
กฎกำลังย้อนกลับตรงนี้
เราจะได้สิ่งที่ไม่นิยาม
เราจะได้ x กำลัง 0 ส่วน 0 ซึ่งไม่สมเหตุสมผล
และคุณอาจบอกว่า โอเค อืม ฉัน
รู้วิธีในกรณีนี้
เวลาเราเรียนอนุพันธ์ตอนแรก
เรารู้ว่าอนุพันธ์ -- ขอ
ผมเขียนด้วยสีเหลืองนะ -- อนุพันธ์เทียบ
กับ x ของล็อกธรรมชาติของ x เท่ากับ 1 ส่วน x
ทำไมเราไม่บอกว่าปฏิยานุพันธ์
ของค่านี่ตรงนี้ เท่ากับล็อกธรรมชาติ
ของ x บวก c ล่ะ?
และอันนี้ไม่ผิด
ปัญหาตรงนี้คือว่ามันไม่ถูกต้องพอ
เวลาผมบอกว่าไม่ถูกต้องพอ
คือว่า โดเมนตรงนี้ สำหรับฟังก์ชันเดิม
ที่เรากำลังหาปฏิยานุพันธ์

Polish: 
W tym filmie chcę pomyśleć
o funkcji pierwotnej jeden przez x,
a także o innym sposobie myślenia i zapisania tego,
czyli o funkcji pierwotnej x do minus pierwszej.
Już wiemy, że gdybyśmy spróbowali skorzystać
z "odwróconej zasady potęgi",
otrzymalibyśmy coś niezdefiniowanego,
otrzymalibyśmy x do zerowej przez zero.
To nie ma sensu.
Moglibyście powiedzieć: "OK, wiem co robić w tym przypadku".
Kiedy zaczynaliśmy naukę o pochodnych, dowiedzieliśmy się,
że pochodną -- zapiszę to na żółto --
że pochodną po x z logarytmu naturalnego z x jest jeden przez x.
Więc dlaczego nie mówimy, że funkcją pierwotną tego tutaj
jest logarytm naturalny z x, dodać C?
I to niekoniecznie jest źle, problem w tym,
że to nie jest dostatecznie ogólne.
Kiedy mówię, że to nie jest dostatecznie ogólne, mam na myśli, że dziedziną
naszej wyjściowej funkcji, dla której szukamy funkcji pierwotnej,

English: 
What I want to do
in this video is
think about the
antiderivative of 1/x.
Or another way of thinking about
it, another way of writing it ,
is the antiderivative of
x to the negative 1 power.
And we already
know, if we somehow
try to apply that
anti-power rule,
that inverse power
rule over here,
we would get something
that's not defined.
We would get x to the 0 over
0, doesn't make any sense.
And you might have been
saying, OK, well, I
know what to do in this case.
When we first learned
about derivatives,
we know that the
derivative-- let
me do this in yellow-- the
derivative with respect
to x of the natural log
of x is equal to 1 over x.
So why can't we just say
that the antiderivative
of this right over here is equal
to the natural log of x plus c?
And this isn't
necessarily wrong.
The problem here is that
it's not broad enough.
When I say it's
not broad enough,
is that the domain over here,
for our original function
that we're taking the
antiderivative of,

Ukrainian: 
В цьому відео я хочу
розповісти про первісну функції 1/х
або можна записати дану функцію
як х^(-1).
І якщо ми спробуємо скористатись
формулою первісної для степеневої функції
то в результаті отримаємо щось невизначене.
Це буде (х^0)/0.
Такий вираз не має сенсу.
В такому випадку, ви ймовірно, 
сказали б: "Добре, це зрозуміло!
Коли ми проходили тему похідних,
ми говорили про те,
що похідна від ln x рівна 1/x.
Отже, виходить, що первісна цієї функції,
х^(-1), рівна ln x + С".
Але це не зовсім так, проблема тут
в області визначення функції.
І коли я кажу про область 
визначення функції
функція від якої ми беремо первісну,

Bulgarian: 
В настоящия урок искам да разгледаме 
примитивната функция на 1/х.
Можем също да я представим като
примитивната функция на х на степен –1.
Вече знаем, че ако приложим
правилото за намиране на
примитивна функция,
т.е. ако го приложим ето тук,
ще получим нещо, което не
е дефинирано.
Ще получим х на нулева степен върху 0.
Може би ще си кажеш,
че знаеш какво да правиш в такъв
случай.
Когато за първи път учихме
за производните,
научихме, че производната –
нека го запиша с жълто –
производната спрямо х
от натурален логаритъм от х
 е равна на 1/х.
Тогава защо не може просто да заявим,
че примитивната функция
от този израз тук е равна на натурален
логаритъм от х плюс С?
Това всъщност не е грешно.
Проблемът тук е, че не е достатъчно
точно.
Когато казвам достатъчно точно,
имам предвид, че дефиниционното 
множество на първоначалната
функция, чиято производна търсим,

Portuguese: 
O que eu quero fazer nesse vídeo
é pensar na antiderivada de 1 sobre x
ou uma outra forma de pensar nisso,
outra forma de escrever
é a antiderivada de x elevado a -1.
E nós já sabemos que se tentarmos
aplicar a inversa da regra do expoente aqui
nós teríamos algo que não é definido,
teríamos x elevado a zero
sobre zero.
Não faz o menor sentido.
E você deve estar pensando: ok,
eu sei o que fazer nesse caso.
Quando aprendemos sobre derivadas,
soubemos que a derivada -- vou fazer
isso em amarelo --
a derivada em relação a x do logaritmo
natural de x é igual a 1 sobre x.
Então por que não podemos só dizer
que a antiderivada disso aqui
é igual ao logaritmo natural de x mais C?
E isso não é necessariamente errado,
o problema é que
não é extenso o suficiente.
E quando eu digo que não é extenso
o suficiente, é que o domínio aqui,
para nossa função original cuja
antiderivada estamos tirando,

Czech: 
V tomto videu bych se rád zamyslel
nad integrálem 1/x,
jinak řečeno integrálem x⁻¹.
My už víme,
že pokud bychom zkusili použít
pravidlo integrace mocniny,
dostali bychom něco nedefinovaného,
dostali bychom x⁰ lomeno 0.
A to nedává smysl.
A možná si říkáte,
že víte, co dělat v tomto případě.
Když jsme se učili poprvé o derivacích,
naučili jsme se, že derivace...
Udělám to žlutě.
Derivace podle x
přirozeného logaritmu x je rovna 1/x.
Tak proč nemůžeme prostě říct,
že integrál tohoto výrazu tady
je roven přirozenému logaritmu x plus c.
A ono to není úplně špatně,
problém ale je,
že to není dostatečně obsáhlé.
Když říkám, že to není dost obsáhlé,
myslím tím,
že definiční obor naší původní funkce,
kterou integrujeme,

Korean: 
오늘 동영상에서는
오늘 동영상에서는
1/x의 역도함수에 대해 
생각해보고자 합니다
다르게 표현하자면
x의 -1제곱의 역도함수에 대해 
생각해보고자 합니다
이미 알고 있듯이
1/x에 멱함수의 부정적분을 
구하는 방법을 어떻게든
적용하려고 한다면
우리는 정의되지 않은 
무언가를 얻게 됩니다
말도 되지 않는 
x의 0제곱 분의 0을 얻게 되는 것이죠
이 상황에서 학생들이
흔히 할 법한 생각은 이런 것입니다
우리가 도함수에 대해 처음 배울 때
우리가 도함수에 대해 처음 배울 때
ln x의 도함수는
1/x라는 사실을 배웠습니다
그렇다면 이것의 역도함수를
ln x+C 라고하면 되지 않을까요?
틀리지는 않았습니다
문제는 이 경우가 
모든 상황에 적용되지는 않는다는 것입니다
모든 영역에 적용되지 않는다는 뜻은
우리가 역도함수를 구하고자 하는
함수의 정의역은

Polish: 
są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz x równego zero.
Więc tutaj x jest różny od zera.
Podczas gdy tu dziedziną są tylko liczby dodatnie.
Dla tego wyrażenia x musi być większy od zera.
Byłoby miło, gdyby udało nam się znaleźć funkcję pierwotną,
której dziedzina jest taka sama jak funkcji, dla której szukamy funkcji pierwotnej.
Więc chcemy znaleźć funkcję pierwotną, która jest zdefiniowana
wszędzie tam, gdzie wyjściowa funkcja,
czyli wszędzie poza x równym zero.
Jak możemy to nieco zmienić,
żeby było to określone także dla wartości ujemnych?
Jedną możliwością jest pomyślenie
o logarytmie naturalnym z wartości bezwzględnej x.
Postawię tutaj znak zapytania, ponieważ nie wiemy,
jaka będzie pochodna tego.
Nie zamierzam tutaj tego ściśle dowodzić,
pokażę Wam, jak można to rozumieć.

Thai: 
มันคือจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น x เท่ากับ 0
ตรงนี้ x เท่ากับ 0 ไม่ได้
ในขณะที่โดเมนตรงนี้ 
เป็นจำนวนบวกอย่างเดียว
ตรงนี้ x สำหรับพจน์นี้
x ต้องมากกว่า 0
มันจะดีถ้าเราหา
ปฏิยานุพันธ์ที่มีโดเมนเท่ากับฟังก์ชัน
ที่เรากำลังหาปฏิยานุพันธ์อยู่
มันจะดีถ้าเราหาปฏิยานุพันธ์ที่
นิยามทุกที่ที่ฟังก์ชันเดิมของเรานิยาม
ทุกที่ยกเว้น x เท่ากับ 0
แล้วเราจะจัดอันนี้อย่างไร
ให้มันนิยามสำหรับจำนวนลบเด้วย?
วิธีหนึ่งที่ทำได้ คือคิด
ถึงล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ x
 
ผมจะใส่เครื่องหมายคำถามตรงนี้นะ
เพราะเรายังไม่รู้
ว่าอนุพันธ์ของตัวนี้จะเป็นเท่าใด
ผมจะไม่พิสูจน์อย่างรัดกุมตรงนี้
แต่ผมจะให้ความเข้าใจโดยหลักการไว้

Korean: 
0을 제외한 모든 실수라는 것입니다
그래서 이 함수에서는  
x가 0만 아니면 되는데
이 역도함수의 정의역은 
양수만이라는 것입니다
즉, 이 표현에서 x는
0보다 커야 합니다
하지만 구하고자 하는 함수와
같은 정의역을 갖는 역도함수를
구하는 것이 좋겠죠
따라서 원래의 함수가 정의된 모든 곳에서
정의되는 역도함수를 찾고 싶습니다
x가 0이 아닌 모든 곳에서 말입니다
그렇다면 이것을 조금 바꿔서
음의 값에서도 정의되도록
할 수는 없을까요?
ln |x|에 대해
생각해보는 것도 하나의 가능성입니다
생각해보는 것도 하나의 가능성입니다
아직 이것의 역도함수가
무엇이 될지 모르니
물음표를 남겨놓도록 하겠습니다
여기서 엄밀하게 증명하지는 않겠지만
직관적인 설명을 해보겠습니다

Bulgarian: 
обхваща всички реални числа без
х равно на 0.
Ето тук х не може да бъде равно на 0.
А дефиниционното множество тук
съдържа само положителни числа.
Тогава х в този израз
следва да е по-голямо от 0.
Би било добре да можем да намерим
примитивна функция, която притежава
същото дефиниционно множество
като функцията, чиято 
примитивната функция търсим.
Би било хубаво, ако може да намерим примитивната функция,
която е дефинирана навсякъде, където
и първоначалната функция е.
Тоест горе-долу навсякъде,
с изключение на х равно на 0.
Как може да преобразуваме този
израз,
така че да е дефиниран и
за отрицателни стойности.
Една от възможностите е да помислим
за натурален логаритъм от модул
(абсолютна стойност) от х.
Ще поставя един въпросителен знак тук,
защото наистина не знаем
на какво ще бъде равна производната
на този израз.
Няма обаче да правя строго
доказателство тук,
а ще предоставя обяснение на
концепцията.

Ukrainian: 
може приймати всі дійсні значення, крім 0.
Отже, допишемо, що х 
має НЕ дорівнювати нулю.
В той час як область визначення
тут тільки додатні числа
Тому для цього виразу х має
бути більше нуля.
Було б чудово, якби в результаті
ми отримали первісну,
область визначення якої точно 
така ж як і у підінтегральної функції.
Тобто було б чудово, якби ми змогли
знайти таку первісну функцію,
яка була б визначена для всіх значень х, 
для яких визначена інтегрована функція,
тобто абсолютно для всіх значень, крім 0.
Як же зробити так,
щоб областю визначення цієї функції 
були і від'ємні числа?
А що, якщо це буде функція 
натуральний логарифм модуля х?
Функція ln |x|.
Поставимо тут знак питання, 
тому що ми не знаємо
чому рівна похідна від даного виразу.
Я не збираюсь тут це строго доводити,
я просто поясню вам що тут до чого.

English: 
is all real numbers
except for x equals 0.
So over here, x
cannot be equal to 0.
While the domain over here
is only positive numbers.
So over here, x, so
for this expression,
x has to be greater than 0.
So it would be nice
if we could come up
with an antiderivative that has
the same domain as the function
that we're taking the
antiderivative of.
So it would be nice if we could
find an antiderivative that
is defined everywhere that
our original function is.
So pretty much everywhere
except for x equaling 0.
So how can we rearrange
this a little bit
so that it could be defined
for negative values as well?
Well, one one
possibility is to think
about the natural log of
the absolute value of x.
So I'll put little
question mark here,
just because we
don't really know
what the derivative of
this thing is going to be.
And I'm not going to
rigorously prove it here,
but I'll I will give you kind
of the conceptual understanding.

Czech: 
jsou všechna reálná čísla
kromě x rovná se 0.
Takže tady x nemůže být rovno 0.
Ale definiční obor tady
jsou pouze kladná čísla.
Takže tady pro tento výraz
musí být x větší než 0.
Takže by bylo dobré,
kdybychom našli integrál,
který má stejný definiční obor
jako funkce, kterou integrujeme.
Takže bychom rádi našli integrál,
který je definován všude tam,
kde je definována naše původní funkce,
takže vlastně všude kromě x rovná se 0.
Takže jak toto můžeme poupravit,
aby to bylo definováno
i pro záporné hodnoty?
Jedna možnost je
přirozený logaritmus absolutní hodnoty x.
Přirozený logaritmus absolutní hodnoty x.
Napíšu tady malý otazník,
protože nevíme jistě,
jaká bude derivace tohoto výrazu.
Já vám to tady přesně nedokážu,
ale pokusím se vám
objasnit tu základní myšlenku.

Portuguese: 
é de todos os números reais,
com exceção de x igual a zero.
Então aqui x não pode ser igual a 0.
Enquanto o domínio
aqui é só de números positivos.
Então aqui o X...
para essa expressão
x tem que ser maior que zero.
Seria legal se pudéssemos achar
uma antiderivada
que tenha o mesmo domínio da função
cuja antiderivada estamos encontrando.
Seria legal se pudéssemos encontrar uma
antiderivada que é definida
em todos os pontos onde a
função original é definida
em qualquer ponto exceto
para x igual a zero.
Então como nós podemos rearranjar
isso aqui um pouco,
de modo que possa ser definido
para valores negativos também?
Bem, uma possibilidade é pensar
no logaritmo natural do módulo de X
... o logaritmo natural do módulo de x.
Eu vou colocar uma
interrogação aqui porque
nós não sabemos o que a derivada
dessa coisa vai ser.
Eu não vou provar rigorosamente aqui
mas eu vou dar o entendimento conceitual.

Bulgarian: 
За да го разберем, нека да изобразим
функцията натурален логаритъм от х.
Направил съм го предварително.
Това ето тук е приблизително начинът,
по който изглежда графиката
на натурален логаритъм от х.
А как ще изглежда графиката на
натурален логаритъм от модул от х?
За положителни стойности на х ще
изглежда точно ето така.
Положителните стойности на х
са равни на абсолютната си стойност.
Тогава за всички положителни
стойности ще изглежда ето така.
Този израз обаче ще бъде дефиниран и
за отрицателни стойности на х.
Ако вземем абсолютната стойност
на минус 1,
то функцията е равна на 1.
Натурален логаритъм от 1, т.е.
намираме се ето тук.
Когато се приближаваме все повече
и повече до 0
от отрицателната страна, просто 
вземаме абсолютната стойност.
Следователно кривата ще изглежда по 
абсолютно същия начин,
като натурален логаритъм от х, но от
лявата страна.
Графиката на натурален логаритъм
от модул от х
ще бъде огледален образ, който
все едно се отразява от оста у.
Ще изглежда като нещо такова.

Portuguese: 
Para entender, vamos fazer o
gráfico do logaritmo natural de x.
E eu tinha feito antes.
Então isso aqui é mais ou menos
como se parece o gráfico do
logaritmo natural de x.
E o logaritmo natural do módulo de x
como ele vai parecer?
Para X's positivos, vai se parecer com isso.
Para x's positivos, tirar o módulo
é a mesma coisa que pegar o valor original.
Vai se parecer com isso para x's positivos
Mas também vai ser definido
para x's negativos.
Se você vai tirar o módulo de menos 1,
vira apenas 1, então vai ser
o logaritmo natural de 1.
Vai estar bem aqui.
E quando você vai chegando mais
e mais perto de zero
do lado negativo, você vai só tirar o módulo
Então vai ser exatamente essa curva
do logaritmo natural de x.
Mas o lado esquerdo do logaritmo
natural do módulo de x
vai ser sua imagem espelhada
se você fosse refletir no eixo y.
Vai parecer assim.

Thai: 
เพื่อให้เข้าใจ 
ลองพลอตล็อกธรรมชาติของ x กัน
ผมทำไว้ก่อนล่วงหน้าแล้ว
รูปนี่ตรงนี้ก็คือ
หน้าตากราฟล็อกธรรมชาติของ x
ล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์
ของ x จะเป็นอย่างไร?
สำหรับค่า x เป็นบวก มันจะเป็นแบบนี้
สำหรับค่า x เป็นบวก คุณหาค่าสัมบูรณ์ของมัน
มันจะเท่ากับการหาค่าเดิม
มันจะเป็นแบบนั้นสำหรับ x ที่เป็นบวก
แต่ตอนนี้ อันนี้จะนิยามสำหรับ x เป็นลบด้วย
ถ้าคุณกำลังหาค่าสัมบูรณ์ของลบ 1
มันจะได้ค่าเป็น 1
มันก็คือล็อกธรรมชาติของ 1 คุณจะอยู่ตรงนี้
เมื่อคุณใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
จากด้านลบ คุณจะ
หาค่าสัมบูรณ์
มันจะได้เส้นโค้งของ
ล็อกธรรมชาติของ x พอดี แต่ทางซ้าย
ล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ x
จะเท่ากับภาพสะท้อนของมัน ถ้าคุณสะท้อนมัน
ข้ามแกน y
มันจะเป็นแบบนี้
 

Czech: 
Takže abychom to pochopili,
načrtněme si přirozený logaritmus x.
Udělal jsem to už předem.
Takže přibližně takto vypadá
graf přirozeného logaritmu x.
Takže jak bude vypadat
přirozený logaritmus absolutní hodnoty x?
Pro kladná x bude vypadat úplně stejně.
U kladných x je jejich absolutní hodnota
stejná jako ta původní.
Takže to pro kladná x
bude vypadat úplně stejně.
Ale toto bude definováno
i pro záporná x.
Pokud vezmeme
absolutní hodnotu -1, což je 1,
dostaneme přirozený logaritmus 1.
To je tady.
Jak se budeme víc a víc blížit k 0 zleva
a budeme brát absolutní hodnoty,
tak to bude vypadat přesně jako
tato křivka pro přirozený logaritmus x.
Levá strana přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x
bude zrcadlovým obrazem podle osy y.
Bude to vypadat nějak takto.

Ukrainian: 
Давайте подивимось на 
графік цієї функції.
Я намалював його раніше.

Polish: 
Żeby to zrozumieć, narysujmy wykres logarytmu naturalnego x.
Zrobiłem to wcześniej.
Więc tu mamy przybliżony
wykres logarytmu naturalnego z x.
Jak będzie wyglądał wykres logarytmu naturalnego
z wartości bezwzględnej x?
Dla dodatnich x wygląda tak.
Dla dodatnich x bierzemy wartość bezwzględną,
która wynosi dokładnie tyle, co pierwotna wartość x.
Wykres będzie wyglądał tak samo jak dla dodatnich x.
Ale teraz jest zdefiniowany również dla ujemnych x.
Wartość bezwzględna minus jeden
wynosi jeden, więc to jest logarytm naturalny z 1.
Więc punkt wykresu jest dokładnie tutaj.
Zbliżając się do zera
z lewej strony, bierzemy wartość bezwzględną.
Więc to będzie dokładnie ta krzywa logarytmu naturalnego z x.
Ale lewa strona logarytmu naturalnego z wartości bezwzględnej x
będzie lustrzanym odbiciem względem osi y.
To będzie wyglądać jakoś tak.
To będzie wyglądać jakoś tak.

English: 
So to understand it, let's
plot the natural log of x.
And I had done
this ahead of time.
So that right over
there is roughly
what the graph of the
natural log of x looks like.
So what would the natural
log of the absolute value
of x is going to look like?
Well, for positive x's, it's
going to look just like this.
For positive x's you take
the absolute value of it,
it's just the same thing as
taking that original value.
So it's going to look just
like that for positive x's.
But now this is also going to
be defined for negative x's.
If you're taking the
absolute value of negative 1,
that evaluates to just 1.
So it's the natural log of 1, so
you're going to be right there.
As you get closer and
closer and closer to 0
from the negative
side, you're just
going to take the
absolute value.
So it's essentially going
to be exactly this curve
for the natural log of
x, but the left side
of the natural log of
the absolute value of x
is going to be its mirror image,
if you were to reflect around
the y-axis.
It's going to look
something like this.

Korean: 
우선 ln x를 그려봅시다
저는 미리 해두었습니다
ln x는
대략적으로 저렇게 생겼습니다
그렇다면 ln|x|는
어떻게 생겼을까요?
양의 x에 대해서는 이렇게 생겼을 것입니다
양의 x는 절댓값을 취해도
기존의 값과 같으니까요
그래서 양의 x에 대해서는 
절댓값이 없을 때와 같은데
ln |x|는 음의 x에서도 정의가 됩니다
-1에 대해 생각해보면
절댓값은 1이 되고
ln 1이므로, 이 값을 가집니다
음의 방향에서
점점 더 0에 가까워질수록
절댓값만 취하면 되니까
ln x를 가리키는 이 곡선과 비슷하지만
왼쪽의 곡선은
ln |x|이므로
y축을 중심으로
대칭이 됩니다
즉, 그래프는 이렇게 생겼습니다
즉, 그래프는 이렇게 생겼습니다

Portuguese: 
O que é legal sobre essa função é que
você vê que é definida em todos os pontos.
É definida em todos os pontos exceto...
exceto -- estou tentando desenhar
da forma mais simétrica possível --
definida em todos os pontos exceto x=0
Então, se você combinar essa parte rosa e...
e essa parte da direita,
se você combinar as duas
você combina as duas, você tem
y igual ao logaritmo natural
do módulo de x.
Agora vamos pensar na derivada.
Nós já sabemos qual é a derivada do
logaritmo natural de x.
Para valores positivos de x.
Deixe-me escrever isso.
Para x maior que zero, temos
que o logaritmo natural
do módulo de x é igual ao
logaritmo natural de x, vou escrever.
É igual ao logaritmo natural de...
é igual ao logaritmo natural de x.
E nós também sabemos, como
esses dois são iguais
para x maior que zero -- 
para x maior que zero, a derivada...

English: 
So what's nice
about this function
is you see it's defined
everywhere, except for-- I'm
trying to draw it as
symmetrically as possible--
except for x equals 0.
So if you combine this pink
part and this part on the right,
if you combine
both of these, you
get y is equal to the natural
log of the absolute value of x.
Now let's think
about its derivative.
Well, we already know what the
derivative of the natural log
of x is, and for
positive values of x.
So let me write this down.
For x is greater than 0,
we get the natural log
of the absolute value of x is
equal to the natural log of x.
Let me write this.
Is equal to the
natural log of x.
And we would also know,
since these two are

Korean: 
이 함수의 좋은 점은
x가 0이 아닌
모든 값에서 정의된다는 것입니다
최대한 대칭적으로 그렸습니다
이 분홍색 부분과 오른쪽 부분을
합치면
y=ln |x|의 그래프가 됩니다
그럼 y=ln |x|의 도함수에 대해 생각해볼까요?
우리는 이미 ln x의 도함수에 
대해 알고 있습니다
양의 값을 갖는 x에 대해서 말입니다
한번 써보겠습니다
x가 0보다 큰 경우
ln |x|는 ln x와 같습니다
이것도 써보겠습니다
ln |x|는 ln x와 같습니다
또한 0보다 큰 x에 대해

Bulgarian: 
Хубавото на тази функция е,
че е дефинирана навсякъде –
опитвам се да я начертая симетрично,
доколкото е възможно –
освен за х равно на 0.
Тогава, ако комбинираш тази розова
част и тази отдясно,
т.е. ако ги комбинираш и двете,
ще получиш графиката на у равно на
натурален логаритъм от модул х.
Нека сега да помислим върху
производната ѝ.
Вече знаем на какво е равна
производната от натурален
логаритъм от х за положителни
стойности на х.
Нека да запиша това.
За х по-голямо от 0 получаваме, че
натурален логаритъм от модул х
е равно на натурален
логаритъм от х.
Нека го запиша.
Равно е на натурален логаритъм от х.
И също така ще знаем, че тези два израза
 са равни за х е по-голямо от 0.

Thai: 
สิ่งที่ดีสำหรับฟังก์ชันนี้
คือคุณเห็นว่ามันนิยามทกที่ ยกเว้น -- ผม
พยายามวาดให้สมมาตรที่สุด
เท่าที่จะเป็นไปได้ --
ยกเว้น x เท่ากับ 0
ถ้าคุณรวมส่วนสีชมพูกับส่วนทางขวานี้
ถ้าคุณรวมสองอันนี้ คุณ
จะได้ y เท่ากับล็อกธรรมชาติของ
ค่าสัมบูรณ์ของ x
ทีนี้ ลองคิดถึงอนุพันธ์ของมันดู
เรารู้แล้วว่า อนุพันธ์ของล็อกธรรมชาติ
ของ x คือ สำหรับค่า x ที่เป็นบวกใดๆ
ขอผมเขียนอันนี้ลงไปนะ
สำหรับ x มากกว่า 0 เราจะได้ล็อกธรรมชาติ
ของค่าสัมบูรณ์ของ x 
เท่ากับล็อกธรรมชาติของ x
ขอผมเขียนอันนี้ลงไปนะ
เท่ากับล็อกธรรมชาติของ x
และเรายังรู้ว่า เนื่องจากสองตัวนี้

Polish: 
Miłe w tej funkcji jest to, że jest zdefiniowana wszędzie.
Jest zdefiniowana wszędzie poza -- próbuję narysować
to tak symetrycznie, jak to możliwe -- jest zdefiniowana wszędzie poza x równym zero.
Jeśli połączycie tą różową część i tą
po prawej, jeśli je połączycie,
jeśli je połączycie, otrzymacie
y równy logarytmowi naturalnemu z wartości bezwzględnej x.
Teraz pomyślmy o jego pochodnej.
Już wiemy, jaka jest pochodna logarytmu naturalnego z x.
Dla dodatnich x...
Zapiszę to.
Dla x większych od zera, otrzymujemy logarytm naturalny
z wartości bezwzględnej x wynosi logarytm naturalny z x. Zapiszę to.
Wynosi logarytm naturalny z x.
Znamy także pochodną, ponieważ te funkcje są równe
dla x większych od zera.

Czech: 
Na této funkci je hezké,
že je definovaná všude,
je definovaná všude kromě...
Snažím se to nakreslit co nejsymetričtěji.
Je definovaná všude
kromě x rovná se 0.
Takže pokud zkombinujeme
tuto růžovou část
a tuto část napravo,
když je obě dáme dohromady,
dostaneme y se rovná
přirozený logaritmus x.
Teď se zamysleme
nad derivací této funkce.
My už víme, jaká je derivace
přirozeného logaritmu x.
A pro kladné hodnoty x...
Zapíšu to.
Pro x větší než 0,
přirozený logaritmus absolutní hodnoty x
je roven přirozenému logaritmu x.
Zapíšu to.
Je roven přirozenému logaritmu x.
A také víme, že jelikož tyto dva výrazy
se rovnají pro x větší než 0,

Thai: 
เท่ากับ สำหรับ x มากกว่า 0 อนุพันธ์
ของล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ x
จะเท่ากับอนุพันธ์ของล็อกธรรมชาติ
ของ x
 
ซึ่งเท่ากับ 1/x สำหรับ x มากกว่า 0
ลองพลอตมันดู
ผมจะพลอตด้วยสีเขียวนะ
มันเท่ากับ 1/x
1/x เราเห็นมาก่อนแล้ว
มันเป็นแบบนี้
ขอผมวาดให้ดีที่สุดนะ
มันมีเส้นกำกับแนวตั้งและแนวนอน
มันจะเป็นแบบนี้
 
เส้นนี่ตรงนี้คือ 1/x สำหรับ x มากกว่า 0
นี่ก็คือ 1/x เมื่อ x มากกว่า 0
ที่มันบอกตรงนี้ คุณเห็นได้ชัด
คือความชันตรงนี้ ความชันของเส้นสัมผัส
คือ 1
แล้วคุณเห็นว่า เมื่อคุณดู
อนุพันธ์ ความชันตรงนี้
อนุพันธ์ควรเท่ากับ 1 ตรงนี้

English: 
equal for x is greater
than 0, the derivative
of the natural log of
the absolute value of x
is going to be equal to the
derivative of the natural log
of x.
Which is equal to 1/x
for x greater than 0.
So let's plot that.
I'll do that in green.
It's equal to 1/x.
So 1/x, we've seen it before.
It looks something like this.
So let me do my best
attempt to draw it.
It has both vertical and
horizontal asymptotes.
So it looks something like this.
So this right over here is
1/x x is greater than 0.
So this is 1/x when
x is greater than 0.
So all it's saying here, and
you can see pretty clearly,
is the slope right over here,
the slope of the tangent line
is 1.
And so you see
that when you look
at the derivative, the
slope right over here,
the derivative should
be equal to 1 here.

Bulgarian: 
За х е по-голямо от 0 производната 
от натурален логаритъм от модул х
ще бъде равна на производната от
натурален логаритъм от х,
което е равно на 1/х за х по-голямо от 0.
Нека да изобразим това.
Ще го направя със зелено.
Равно е на 1/х.
1/х сме виждали как изглежда и преди.
Изглежда като нещо такова.
Нека да направя своя най-добър опит
да го начертая.
Има и хоризонтална, и вертикална
асимптота.
Изглежда като нещо такова.
Това ето тук е 1/х за х по-голямо от 0.
Това е 1/х за х по-голямо от 0.
Всичко, което виждаме тук – а то се вижда много ясно –
е, че наклонът на допирателната 
ето тук е равен на 1.
Това се вижда, когато погледнеш
производната. Наклонът ето тук,
т.е. производната следва да е
равна на 1.

Polish: 
Pochodna logarytmu naturalnego z wartości bezwzględnej x
będzie równa
pochodnej logarytmu naturalnego z x,
która wynosi 1 przez x, dla x większych od zera.
Narysujmy to.
Narysujmy to.
Narysuję na zielono wykres 1 przez x.
1 przez x, widzieliśmy już to wcześniej.
Wygląda to jakoś tak.
Wygląda to jakoś tak.
Wykorzystamy fakt, że ma asymptotę pionową i poziomą.
To wygląda jakoś tak.
Tutaj jest 1 przez x, dla x większych od zera.
Więc to jest jeden przez x, dla x większych od zera.
Możecie zobaczyć,
jakie jest nachylenie.
Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi tu 1, widać to także,
kiedy spojrzymy na pochodną, właśnie tutaj,
pochodna powinna wynosić 1.

Portuguese: 
A derivada do logaritmo natural
do módulo de x
vai ser igual à derivada...
... do logaritmo natural de x...
... que é igual a 1 sobre x,
para x maior que zero.
Vamos traçar o gráfico.
Vou fazer em verde - igual a 1 sobre x
1 sobre x, como vimos antes,
se parece com algo assim.
Minha melhor tentativa de desenhar
assíntotas horizontais e verticais.
Fica mais ou menos assim.
Então isso aqui é 1 sobre x
para x maior que 0.
Isso é 1 sobre x para x maior que 0.
Tudo que está dito aqui,
e você pode ver claramente,
é que a inclinação -- a inclinação aqui.
A inclinação da reta tangente é 1,
e veja que quando você olha
para a derivada aqui,
a derivada deve ser igual a 1 aqui.

Czech: 
pro x větší než 0 bude derivace
přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x
rovna derivaci přirozeného logaritmu x,
která je rovna 1/x,
pro x větší než 0.
Tak si to načrtněme.
Udělám to zeleně,
je to rovno 1/x.
Takže 1/x,
to už jsme někdy viděli.
Vypadá to nějak takto.
Můj nejlepší pokus nakreslit to
podle vertikální a horizontální asymptoty.
Vypadá to tedy nějak takto.
Takže toto tady je
1/x pro x větší než 0.
A ukazuje nám to,
můžete to jasně vidět,
tu směrnici tady.
Směrnice tečny je 1
a můžete vidět,
když se podíváte
tady na křivku derivace,
že derivace by tady měla být rovna 1.

Korean: 
두 함수가 같다는 것을 통해
ln |x|의 도함수가
ln x의 도함수와 같다는 것을
알 수 있습니다
알 수 있습니다
즉, ln|x|는 0보다 큰 x에 대해 
1/x를 도함수로 갖습니다
그려보도록 하겠습니다
초록색으로 그리겠습니다
도함수는 1/x입니다
1/x는 예전에 본 적이 있듯이
이렇게 생겼습니다
최선을 다해 그려보도록 하겠습니다
수직 점근선과 수평 점근선을 
모두 가지기 때문에
이런 식으로 생겼습니다
이런 식으로 생겼습니다
그래서 이것은 x가 0보다 클 때
1/x입니다
여러분들도 쉽게 보실 수 있다시피,
여기의 기울기
즉, 접선의 기울기가 1이므로
도함수의 값을 살펴보면
도함수의 값이
1이라는 것을 볼 수 있습니다

Thai: 
เมื่อคุณเข้าใกล้ 0 คุณจะได้
ความชันเป็นบวกชันมากๆ ตรงนี้
แล้วคุณเห็นว่า คุณมีค่าอนุพันธ์สูงมากๆ
แล้วเมื่อคุณห่างจาก 0 มันจะยังชัน
แต่มันจะชันน้อยลง น้อยลง น้อยลง
ไปจนกระทั่งคุณได้ 1
แล้วมันจะชันน้อยลง น้อยลง และน้อยลง
แต่มันจะไม่ใช่ความชันราบสนิท
และนั่นคือสิ่งที่คุณเห็นอนุพันธ์เป็นไป
ทีนี้ ล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์
ของ x ทำอะไรตรงนี้?
เวลาออกมาตรงนี้ ความชันของเราใกล้ 0 มาก
มันสมมาตร
ความชันตรงนี้ก็คือค่าลบความชันตรงนี้
ผมทำให้ชัดกว่านี้ได้ วาดมันตรงนี้
ความชันตรงนี้ไม่ว่าเป็นเท่าใด
มันจะเป็นลบของค่านั้น
ความชันสมมาตรกับอีกด้านหนึ่ง
ถ้าอีกด้านหนึ่ง ความชันอยู่ตรงนี้
มันจะเป็นลบของค่านั้น
มันจะอยู่ตรงนั้น

Portuguese: 
Quando você chega perto de zero, você tem
uma inclinação positiva muito acentuada.
E veja que você tem um
valor muito alto para a derivada.
E quando você se afasta de zero,
ainda é muito íngreme,
mas vai ficando cada vez menos íngreme
até chegar a 1.
E então... então vai...
... então vai ficando menos e menos íngreme..
Mas nunca chega a uma inclinação
absolutamente plana.
E isso é o que vemos a derivada fazendo.
Então o que o logaritmo natural
do módulo de x está fazendo aqui?
Quando estamos aqui, nossa
inclinação está bem próxima de 0.
É simétrica.
A inclinação aqui é essencialmente
o negativo da inclinação aqui.
Eu poderia fazer mais claro mostrando
bem aqui.
Qualquer que seja a inclinação aqui,
é exatamente o negativo de
qualquer que seja a inclinação
num ponto simétrico do outro lado.
Para o outro lado, a inclinação está
bem aqui, aqui ela vai ser
o negativo daquilo,
então vai estar bem aqui.

Korean: 
0에 가까워질수록
매우 가파른 양의 기울기를 가지기 때문에
도함수도 매우 큰 값을 
가지는 것을 볼 수 있습니다
0에서 멀어질수록
여전히 가파르지만
1에 도달할 때까지
점점 완만해진다는 것을 
볼 수 있습니다
그리고 점점 더 완만해지지만
완전히 납작해지지는 않습니다
이 사실을 도함수에서도 
확인할 수 있습니다
그렇다면 이쪽에서
ln|x|는 무얼 하고 있을까요?
이 쪽에서는 기울기가 
0에 가깝습니다
대칭적입니다
왼쪽의 기울기는 
오른쪽의 기울기의 음수 값입니다
이렇게 하면 더 명확하게 볼 수 있습니다
이쪽에서의 기울기가 무엇이든지
반대편의 대칭점에서의
기울기의 음수 값을 갖습니다
그래서 반대쪽에서 기울기가 이렇다면
이쪽에서는 그 음수 값을 가집니다
즉 이 값을 가집니다

Polish: 
Zbliżając się do zera, mamy coraz większe, dodatnie, nachylenie wykresu.
Widzimy, że mamy bardzo duże wartości dla pochodnej.
Kiedy oddalamy się od zera, jest ciągle stromy,
ale coraz mniej stromy aż dojdziemy do 1.
Później robi się
coraz mniej stromy.
Ale nigdy nie staje się zupełnie płaski.
Właśnie tak zachowuje się pochodna.
Co robi tutaj logarytm naturalny z wartości bezwzględnej z x?
Kiedy jesteśmy tutaj, nachylenie jest bliskie 0.
To jest symetryczne.
Nachylenie tutaj to właściwie minus nachylenie tu.
Wyjaśnię to.
Jakiekolwiek jest nachylenie tutaj,
jakiekolwiek jest nachylenie tutaj,
to dokładnie minus nachylenia w punkcie symetrycznie oddalonym od zera.
Więc dla strony ujemnej nachylenie wynosi
minus nachylenie tego tutaj.

Czech: 
Když jdeme blíže k 0,
máme tady velmi prudkou směrnici vzhůru.
A také vidíme, že derivace
má velmi vysokou hodnotu.
A pak, když jdeme od 0,
je to stále strmé, stále strmé,
ale pak je to pozvolnější a pozvolnější,
až se dostaneme k 1.
A pak je to pozvolnější a pozvolnější,
ale nikdy se to nedostane
do úplné roviny.
A to přesně dělá i ta derivace.
A co dělá přirozený logaritmus
absolutní hodnoty x tady?
Když jsme tady,
směrnice se velmi blíží 0.
Je to symetrické.
Směrnice tady je v podstatě
opakem směrnice tady.
Možná to objasním,
když to tady ukážu.
Jakkoli vypadá směrnice tady,
je přesný opak toho, jaká je směrnice
na symetrickém bodě na druhé straně.
Když je na druhé straně
hodnota směrnice tady,
tady přesně bude její opak,
bude to přímo tady.

Bulgarian: 
Когато клони към 0, се получава
много, много стръмен положителен
наклон ето тук.
Виждаш, че наклонът, т.е. производната,
има много голяма стойност.
После с отдалечаването си от 0 
все още е стръмен,
но става все по-малко и по-малко
стръмен, докато не достигне до 1.
И тогава продължава да намалява
и да става все по-малко стръмен.
Но никога не достига до това да е
напълно хоризонтален.
И това можем да видим за
поведението на производната.
А какво прави тук
натуралният логаритъм от модул х?
Когато се намираме тук, наклонът е
приблизително 0.
Има симетрия.
Наклонът тук всъщност е
отрицателната стойност на наклона тук.
Може би ще стане по-ясно, ако го
означа ето тук.
Какъвто и да е наклонът ето тук,
той е точно равен, но със знак минус,
на наклона в симетричната точка
от другата страна.
Така че, ако от другата страна наклонът
е ето тук,
то ето тук ще бъде отрицателната
стойност на това.
Тогава ще се намира ето тук.

English: 
When you get close
to 0, you have
a very, very steep
positive slope here.
And so you see you have a very
high value for its derivative.
And then as you move away
from 0, it's still steep.
But it becomes less
and less and less steep
all the way until you get to 1.
And then it keeps getting
less and less and less steep.
But it never quite gets
to absolutely flat slope.
And that's what you see
its derivative doing.
Now what is the natural
log of absolute value
of x doing right over here?
When we are out here, our
slope is very close to 0.
It's symmetric.
The slope here is essentially
the negative of the slope here.
I could do it maybe clearer,
showing it right here.
Whatever the slope
is right over here,
it's the exact
negative of whatever
the slope is at a symmetric
point on the other side.
So if on the other side, the
slope is right over here,
over here it's going to
be the negative of that.
So it's going to be
right over there.

English: 
And then the slope it just
gets more and more and more
negative.
Right over here, the
slope is a positive 1.
Over here it's going
to be a negative 1.
So right over here our
slope is a negative 1.
And then as we get
closer and closer to 0,
it's just going to get more
and more and more negative.
So the derivative
of the natural log
of the absolute value of
x, for x is less than 0,
looks something like this.
And you see, and
once again, it's
not a ultra rigorous
proof, but what
you see is that the
derivative of the natural log
of the absolute value of
x is equal to 1/x for all
x's not equaling 0.
So what you're seeing,
or hopefully you
can visualize, that
the derivative-- let
me write it this way--
of the natural log

Polish: 
Później nachylenie staje się coraz bardziej ujemne.
Właśnie tutaj.
Tu nachylenie wynosi jeden.
Tutaj wynosi minus jeden.
Więc tutaj nachylenie wynosi minus jeden.
Kiedy zbliżamy się do zera,
nachylenie staje się coraz bardziej ujemne.
Więc pochodna logarytmu naturalnego z x,
dla x mniejszych od 0, wygląda mniej więcej tak.
Mniej więcej tak.
Widzimy po raz kolejny, że to nie jest ścisły dowód.
Jednakże widzimy, że pochodną logarytmu naturalnego
z wartości bezwzględnej z x jest 1 przez x, dla x różnych od zera.
Więc to co widzicie i miejmy nadzieję,
potraficie sobie wyobrazić, że pochodną...
Zapiszę to.
Pochodną logarytmu naturalnego
z wartości bezwzględnej z x rzeczywiście jest 1 przez x,

Thai: 
แล้วความชัน มันจะยิ่งเป็นลบยิ่งขึ้นเรื่อยๆ
 
ตรงนี้ ความชันเป็นบวก 1
ตรงนี้ มันจะเป็นลบ 1
ตรงนี้ความชันของเราเป็นลบ 1
แล้วเมื่อเราใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
มันจะยิ่งเป็นลบมากขึ้นเรื่อยๆ
อนุพันธ์ของล็อกธรรมชาติ
ของค่าสัมบูรณ์ของ x สำหรับ x น้อยกว่า 0
จะเป็นแบบนี้
 
และคุณเห็นว่า ย้ำอีกที นี่
ไม่ใช่การพิสูจน์ที่รัดกุม แต่สิ่ง
ที่คุณเห็นคือว่า อนุพันธ์ของล็อกธรรมชาติ
ของค่าสัมบูรณ์ของ x เท่ากับ 1/x สำหรับทุก x
ที่ไม่เท่ากับ 0
แล้วสิ่งที่คุณเห็น หรือคุณ
น่าจะเห็นได้ คือว่าอนุพันธ์ -- ขอผม
เขียนแบบนี้นะ -- ของล็อกธรรมชาติ

Korean: 
그리고 기울기는 점점 더
작아질 것입니다
여기서 기울기가 +1이므로
여기서는 -1입니다
즉, 기울기가 -1입니다
그리고 점점 더 0에 가까워질수록
점점 더 작아지게 됩니다
즉 0보다 더 작은 x에 대해
ln |x|의 도함수는
이렇게 생겼습니다
이렇게 생겼습니다
그리고 완벽하게 엄밀한 증명은 아니지만
0이 아닌 모든 x에 대해
ln |x|의 도함수는
1/x임을
확인할 수 있습니다
그래서 ln |x|의 도함수는
0이 아닌 모든 x에 대해
1/x임을 시각화하여

Czech: 
A pak je směrnice
zápornější a zápornější.
Ta směrnice tady.
Tady je směrnice +1.
Tady to bude -1.
Takže tady je směrnice tečny -1.
A jak se pak dostáváme blíže 0,
bude to čím dál zápornější.
Takže derivace přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x,
když x je menší než 0,
vypadá nějak takto.
Vypadá takto.
A jak vidíte, není to opět
žádný ultrapřesný důkaz.
Ale vidíte, že derivace
přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x je rovna 1/x
pro všechna x nerovnající se 0.
Takže to vidíte
a snad si dokážete i představit,
že ta derivace...
Napíšu to takto.
Derivace přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x

Bulgarian: 
А след това наклонът просто става все
повече и повече отрицателен.
Ето тук наклонът е плюс 1.
Ето тук ще бъде минус 1.
А ето тук наклонът е равен на минус 1.
И тогава, когато се приближаваме все
повече и повече до 0,
просто ще става все повече и повече
отрицателен.
Производната от натурален логаритъм
от модул х за х по-малко от 0
изглежда ето така.
И отново виждаш, че това не е строго доказателство.
Това, което виждаш обаче, е,
че производната от
натурален логаритъм
от модул х е равна на 1/х,
когато х е различно от 0.
Това, което виждаш, или надявам се,
можеш да си представиш, е, че
производната... ще го запиша така:
производната от натурален 
логаритъм от модул от х

Portuguese: 
E então a inclinação
vai ficando mais e mais negativa.
Bem aqui, a inclinação...
... aqui, a inclinação é 1 positivo.
e aqui, vai ser 1 negativo.
Então aqui, nossa inclinação
vai ser 1 negativo.
E enquanto chegamos próximos de zero,
ela vai ficando mais e mais negativa.
Então, a derivada do logaritmo
natural do módulo de x,
onde x for menor que zero,
parece mais ou menos assim.
Parece assim.
E veja mais uma vez que essa
não é uma prova rigorosa.
Mas o que você vê é que,
que a derivada do logaritmo natural
do módulo de x é igual a 1 sobre x
para todos x's diferentes de 0.
O que você está vendo
espero que entenda...
você consegue visualizar a derivada.
Vou escrever assim.
A derivada do logaritmo natural
do módulo de x é de fato
igual a 1 sobre x,

Polish: 
dla x różnych od zera.
Jest to bardziej satysfakcjonująca funkcja pierwotna dla funkcji 1 przez x.
Ma tę samą dziedzinę.
Więc kiedy zastanawiamy się, jaka jest funkcja pierwotna z 1 przez x...
Nie przedstawiłem Wam tutaj ścisłego dowodu.
Nie użyłem tu definicji pochodnej ani nic takiego.
Ale pokazałem Wam, jak to sobie wyobrazić.
Powiemy, że to jest logarytm naturalny z wartości bezwzględnej z x, dodać C
teraz mamy funkcję pierwotną o tej samej dziedzinie
co funkcja, dla której szukamy funkcji pierwotnej.

English: 
of the absolute value of x is
indeed equal to 1/x for all
x does not equal 0.
So this is a much more
satisfying antiderivative
for 1/x.
It has the exact
the same domain.
So when we think about what
the antiderivative is for 1/x--
and I didn't do a kind
of a rigorous proof here,
I didn't use the definition of
the derivative and all of that.
But I kind of gave you a visual
understanding, hopefully,
of it.
We would say it's
the natural log
of the absolute
value of x plus c.
And now we have
an antiderivative
that has the same
domain as that function
that we're taking the
antiderivative of.

Bulgarian: 
естествено е равна на 1/х за всички 
стойности на х, които са различни от 0.
Това е много по-приемлива
примитивна функция за 1/х.
Притежава абсолютно същото
дефиниционно множество.
Разгледахме каква е 
примитивната функция на 1/х,
без да правим строго доказателство.
Не използвахме дефиницията за
производна и останалите.
Но се надявам, че поне ти дадох
визуална представа за нея.
Бихме казали, че е равно на натурален
логаритъм от модул х плюс C.
И сега имаме примитивна функция,
която има същото дефиниционно
множество, като функцията,
чиято примитивна функция търсим.

Korean: 
확인하였습니다
확인하였습니다
그리고 ln |x|는 이전보다 적절한
1/x의 역도함수입니다
둘은 완벽하게 같은 정의역을 갖습니다
비록 도함수의 정의를 이용하며
엄밀한 정의를 하지는 않았지만
시각적으로
1/x의 역도함수에 대해 설명했습니다
1/x의 역도함수에 대해 설명했습니다
그리고 1/x의 역도함수는
ln |x|+C라고 할 수 있습니다
이제 우리는 역도함수를 구하고자 하는 함수와
같은 정의역을 갖는 역도함수를
구할 수 있게 되었습니다
커넥트 번역 봉사단 | 김시은

Thai: 
ของค่าสัมบูรณ์ของ x เท่ากับ 1/x สำหรับ
x ที่ไม่เท่ากับ 0 จริง
พจน์นี้จึงเป็นปฏิยานุพันธ์ที่ดีกว่าสำหรับ 1/x
 
มันมีโดเมนเดียวกันพอดี
เวลาเราคิดว่าปฏิยานุพันธ์ของ 1/x คืออะไร --
ผมไม่ได้พิสูจน์รัดกุมตรงนี้
ผมไม่ได้ใช้นิยามอนุพันธ์อะไรพวกนั้น
แต่หวังว่าผมจะให้ความเข้าใจเป็นภาพแล้ว
 
เราบอกได้ว่า มันคือล็อกธรรมชาติ
ของค่าสัมบูรณ์ของ x บวก c
และตอนนี้เราได้ปฏิยานุพันธ์
ที่มีโดเมนเท่ากับฟังก์ชันนั้น
ที่เราหาปฏิยานุพันธ์ได้แล้ว
 

Czech: 
se opravdu rovná 1/x
pro všechna x nerovnající se 0.
Toto je tedy
mnohem lepší integrál 1/x.
Má úplně stejný definiční obor.
Takže když budeme přemýšlet
nad integrálem 1/x...
A neudělal jsem tady přesný důkaz.
Nepoužil jsem definici derivace
a další ty věci.
Ale dal jsem vám snad
jakýsi vizuální důkaz.
Řekli bychom tedy,
že to je přirozený logaritmus
absolutní hodnoty x plus c,
a teď máme integrál,
který má stejný definiční obor
jako funkce,
kterou integrujeme.

Portuguese: 
para todo x diferente de zero.
Então essa é uma antiderivada muito mais
satisfatória para 1 sobre x.
Tem exatamente o mesmo domínio.
Então quando pensamos em qual é a
antiderivada de 1 sobre x.
E eu não fiz uma prova rigorosa aqui.
Eu não usei a definição
de derivada nem nada disso.
Mas eu espero ter dado um
entendimento visual disso.
Dizemos que é o logaritmo natural
do módulo de x mais C, e agora
temos uma antiderivada que tem
o mesmo domínio
da função cuja antiderivada
estamos procurando.
