Ta đã được xem rất nhiều ví dụ về chuỗi vô hạn.
Nhưng điều thú vị mà chúng ta sắp sửa làm trong video này
là ta sẽ sử dụng chuỗi vô hạn để định nghĩa một hàm số.
Và thứ phổ biến nhất mà bạn sẽ
thấy trong cuộc đời toán học của bạn chính là chuỗi luỹ thừa.
Và tôi sắp sửa viết một dạng tổng quát của chuỗi luỹ thừa.
Vậy tôi có thể tưởng tượng một hàm số, f(x),
được định nghĩa như là tổng vô hạn.
Vậy đi từ n bằng 0 tới vô cực of a_n--
vậy a_n sẽ là hệ só trên mỗi số hạng --
nhân với biến x trừ hắng só c nào đó.
Gần như bạn có thể tưởng tượng điều này như là dịch
hàm số của ta luỹ thừa mũ n.
Vậy nếu tôi khai triển cái này ra, tôi
hệ só của số hạng đâu tiên, a_0,
nhân x trừ c luỹ thừa 0,
cộng a_1 nhân x trừ c luỹ thừa 1.
Cái này, dĩ nhiên, sẽ đơn giản thành a_0.
Cái này sẽ đơn giản thành a_1 nhân x trừ c cộng a_2
nhân x trừ c bình phương.
Và tôi cứ tiếp tục như thế.
Bây giờ, khi bạn thấy điều này, có thể bạn nói,
nó không phải là chuỗi hình học,
chúng có vẻ như không giống như trường hợp đặc biệt của chuỗi luỹ thừa
nếu tỉ số chung của ta là x thay vì r trong trường hợp đó,
hoặc nếu tỉ số chung của ta là một biến, tôi đoán tôi có thể nói?
Và bạn đúng.
Đó hoàn toàn là trường hợp.
Vậy một chuỗi hình học.
Vậy hãy nghĩ về việc định nghĩa một hàm số liên quan tới
một chuỗi hình học.
Và dĩ nhiên, ta không phải
lúc nào cũng sử dụng x như là một biến độc lập,
nhưng đây là một quy ước điển hình.
Tôi đoán ta cũng có thể sử dụng r như là một biến độc lập
nếu như ta muốn.
Nhưng hãy tưởng tượng một hàm số g(x).
Ta có thể có g(r) nếu ta muốn, nhưng
g(x) bằng tổng từ n
bằng 0 tới vô cực của a nhân với x luỹ thừa n.
Vậy ở đây là một chuỗi hình học điển hình.
Và sự khác nhau giữa cái này và cái này là gì?
Nào, sự khác nhau ở đây là, với mỗi số hạng ta
có hệ số giống nhau là a,
trong khi ở đây ta có a_n.
Ở trên đây mỗi biểu thức ta đang nhân với một lượng khác nhau.
Ta đang nhân cùng một lượng ở đây.
Và trong trường hợp này, chuỗi hình học này
tôi vừa tạo ra, thay vì có x - c luỹ thừa n,
ta chỉ có x luỹ thừa n.
Vậy bạn có thể nói rằng, vâng, đây là một trường hợp đặc biệt khi
c = 0.
Và ta có thể khai triển nó ra.
Ở đây là a nhân x luỹ thừa 0, mà
sẽ bằng a, cộng a nhân x luỹ thừa 1,
cộng a nhân x bình phương.
Và cứ tiếp tục như thế mãi.
Bây giờ, điều thú vị ở đây là
ta đã biết rằng cái này, dưới những điều nhất định,
sẽ thật sự cho ta một giá trị hữu hạn.
Cái này sẽ hội tụ.
Thật sự điều này sẽ, theo tôi đoán, cho ta một đáp án hợp lý.
Vậy dưới điều kiện nào thì chuyện đó xảy ra?
Nào, cái này hội tụ nếu mỗi số hạng
trở nên ngày càng nhỏ hơn.
Và mỗi số hạng này trở nên ngày càng nhỏ
nếu giá trị tuyệt đối của tỉ số chung nhỏ hơn 1.
Vậy để tôi viết điều đó ra.
Vậy cái này hội tụ nếu giá trị tuyệt đối
của tỉ số chung nhỏ hơn 1.
Hoặc cách suy nghĩ khác là,
đây là cách khác để nói rằng x
nằm trong khoảng-- nó nhỏ hơn 1
và lớn hơn -1.
Và số hạng ở đây, giờ x là một biến.
x có thể thay đổ giá trị nằm trong các giá trị đó.
Ta đang định nghĩa một hàm số liên quan tới x.
Ta gọi đây là khoảng hội tụ.
Và vậy ta biết rằng nếu x nằm trong khoảng này,
cái này sẽ cho ta một tổng hữu hạn.
Và ta biết tổng hữu hạn bằng bao nhiêu.
Nó sẽ bằng với-- nếu nó hội tụ.
Vậy nêu nó hội tụ, cái này sẽ
bắng số hạng đầu, hay chính là
a-- cái này ở đây đơn giản thành a-- trên 1
trừ tỉ số chung.
Tỉ số chung của ta bằng bao nhiêu?
Tỉ số chung của ta trong ví dụ này là x.
Đi từ số hạng này tới số hạng tiếp theo, ta đang nhân với một lượng bằng x.
Ta chỉ đang nhân với một lượng x ở ngay đó.
Bây giờ, biểu thức này khá là gọn, bởi vì ta
sẽ có thể sử dụng điều này
để biến những hàm số được định nghĩa theo kiểu "truyền thống"
thành dạng này, và sau đó thử khai triển nó
sử dụng chuỗi hình học.
và hết cả ý tưởng sử dụng chuỗi luỹ thừa này,
hoặc trong trường hợp đặc biệt, chuỗi hình học
để biểu diễn những hàm số, có rất nhiều
ứng dụng trong kỹ thuật và tài chính.
Sử dụng một số hữu hạn các số hạng của những chuỗi này,
bạn có thể xấp xỉ được hàm số
theo cách đơn giản và
dễ hiểu hơn, hoặc có thể là một
cách để vận dụng theo cách nào đó.
Nhưng điều thú vị ở đây là thay vì chỉ
đi từ tổng-- thay vì đi
từ phiên bản khai triển này tới giá trị hữu hạn này,
Bây giờ ta sẽ bắt đầu có thể biến đổi nó
thành dạng này và khai triển nó thành một chuỗi hình học.
Nhưng ta phải cẩn thận để đảm bảo rằng
ta chỉ đang thực hiện trên khoảng hội tụ.
Điều này chỉ đúng trên khoảng
hội tụ.
Bây giờ, một khái niệm khác mà bạn có thể gặp trong sự nghiệp toán học của bạn
là bán kính.
Bán kính hội tụ.
Nó là khoảng cách-- tới giá trị nào đó,
nhưng không bao gồm giá trị này.
Miễn là giá trị x của ta vẫn bé hơn một lượng xác định
tính từ giá trị c, khi đó cái này sẽ hội tụ.
Bây giờ trong trường hợp này, giá trị của c = 0.
Vậy ta có thể tự hỏi bản thân một câu hỏi.
Miễn là x vẫn cứ nằm trong khoảng (0,1),
cái này sẽ hội tụ.
Nào, bạn có thể thấy nó ở ngay đây.
Miễn là x vẫn nằm trong khoảng từ 0 tới trị tuyệt đối của 1.
x không thể đạt đến 1, nhưng miễn là
nó vẫn nhỏ hơn 1, hoặc miễn là
nó vẫn lớn hơn -1.
Nó có thể nhận bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn 1
tính từ 0, cả về chiều dương
lẫn chiều âm.
Khi đó cái này vẫn sẽ hội tụ.
Vậy ta có thể nói rằng bán kính hội tụ của ta bằng 1.
Cách khác để suy nghĩ về nó là, khoảng hội tụ của ta--
ta đang đi từ -1 tới 1,
không bao gồm 2 biên,
vậy khoảng của ta bằng 2.
Vậy bán kính hội tụ của ta bằng phân nửa khoảng đó.
Miễn là x nằm trong khoảng từ -1 tới 1,
và cũng tương tự như nói ở đây rằng,
chuỗi số này sẽ hội tụ.
