
Spanish: 
Hoy, tú y yo estudiaremos la divergencia y el rotor
Para asegurarnos que estamos hablando de lo mismo, comencemos hablando de campos vectoriales.
En esencia, un campo vectorial es lo que obtienes si asocias cada punto en el espacio con un vector:
una magnitud y una dirección. Quizás estos vectores representan las velocidades
de las partículas de un fluido en cada punto del espacio,
o quizás representan la fuerza de gravedad en varios puntos distintos en el espacio,
o quizás la intensidad de un campo magnético.
Nota rápida acerca de estos gráficos:
si dibujáramos estos vectores a escala, los más largos saturarían la imagen,
así que es usual mentir un poquito, artificialmente acortando las flechas muy largas,
quizás usando colores para dar una idea vaga de su largo.
En principio, los campos vectoriales en Física pueden cambiar con el tiempo.
En casi todos los flujos de fluidos del mundo real, las velocidades de las partículas en una región del espacio
cambian con el tiempo en respuesta al contexto circundante.

Portuguese: 
Hoje, você e eu falaremos sobre divergência e rotacional.
Para garantir que estamos nivelados
Vamos começar falando de campos vetoriais
Um campo vetorial é o resultado de associar cada ponto no espaço a um vetor
Algo com magnitude e direção
Tais vetores podem representar as velocidades de partículas de fluídos
em cada ponto do espaço, ou talvez representem
A força da gravidade em vários pontos no espaço
ou talvez a força de um campo magnético
Um breve comentário: frequentemente, quando desenhamos os vetores nos tamanhos corretos
Os maiores acabam congestionando a tela
Então é comum mentir um pouco
e artificialmente reduzir aqueles muito compridos
usando, talvez, cor para dar uma vaga noção de comprimento
em princípio, em Física, campos vetoriais podem mudar ao longo do tempo
em quase todo fluxo de fluidos no mundo real
a velocidade das partículas em um ponto qualquer do espaço mudaram com o passar do tempo
em resposta ao contexto ao redor

Polish: 
Dzisiaj zajmiemy się dywergencją i rotacją.
Żeby upewnić się, że wszyscy wiemy, o co chodzi,
porozmawiajmy najpierw o polach wektorowych.
W skrócie, pole wektorowe otrzymujemy, gdy do każdego punktu w przestrzeni
przyporządkujemy jakiś wektor,
czyli kierunek i wartość.
Może te wektory reprezentują prędkości cząsteczek płynu w każdym punkcie,
a może opisują siłę grawitacji w różnych punktach przestrzeni,
a może natężenie pola magnetycznego.
Słówko na temat ich rysowania: często, gdy rysujemy wektory w poprawnej skali, te długie
zagracają ilustrację, więc czasami nieco oszukujemy,
skracając sztucznie te długie,
i używając koloru, aby dać trochę pojęcia ich długości.
W zasadzie, pola wektorowe w fizyce mogą się zmieniać w czasie.
W prawie każdym rzeczywistym przepływie, prędkości cząsteczek w danym obszarze
zmieniają się w czasie, na skutek wpływu, jakie wywiera na nie otoczenie.

Spanish: 
Hoy vamos a entrar en esto de la  divergencia y rotacional
Para asegurarme de que estamos  en el mismo canal
Comenzaré hablando de campos vectoriales
Un campo vectorial es esencialmente lo que obtienes si asocias cada punto del espacio con un vector,
algo con magnitud y dirección.
Quizás esos vectores representan las velocidades de las partículas del fluido en cada punto del espacio.
O tal vez representan la fuerza de gravedad en diferentes puntos del espacio
O tal vez una fuerza de campo magnético
¡Una observación!  A menudo cuando dibujas un vector a escala
los más largos terminan tapando todo el asunto...
Así que es común mentir un poco acortando artificialmente los más largos
Tal vez usando colores nos de una sensación vaga de la longitud
Ahora, en principio los campos vectoriales y físicos podrían cambiar con el tiempo
en casi todo el flujo del mundo real
las velocidades de las partículas en una región dada del espacio
cambiarán con el tiempo en respuesta al contexto que las rodea

Polish: 
Wiatr nie jest stały, są to raczej podmuchy.
Pole elektryczne zmienia się, gdy naładowane cząsteczki je wywołujące przemieszczają się.
Ale tutaj będziemy badali statyczne pola wektorowe, o których można myśleć jako
o opisujących statyczne układy. Poza tym, mimo że takie pola wektorowe mogą być trzy- lub więcej wymiarowe,
my zajmiemy się tylko dwoma wymiarami.
Ważna rzecz, o której często za mało się mówi,
to fakt, że często można lepiej zrozumieć pole wektorowe
opisujące pewne fizyczne zjawisko
przez wyobrażanie sobie innego zjawiska.
Co, jeżeli te wektory opisujące siłę grawitacji opisałyby przepływ,
jak ten przepływ by wtedy wyglądał?
Co to może nam powiedzieć o samym polu grawitacyjnym?
Co jeśli te wektory definiujące przepływ zinterpretować jako opisujące nachylenie
pewnego wzgórza?
Czy takie wzgórze istnieje?
Jeżeli tak, co nam mówi o przepływie?
Zadawanie takich pytań może być zaskakująco pomocne.

Spanish: 
El viento no es constante, ocurre en ráfagas,
y los campos eléctricos cambian cuando las partículas con carga que lo definen se mueven.
Pero aquí veremos campos vectoriales estáticos,
que puedes pensar que describen un sistema en estado estacionario.
Además, a pesar que, en principio, esos vectores pueden de dimensión 3, o incluso mayor,
simplemente veremos el caso de 2 dimensiones.
Una idea importante que usualmente no se menciona
es que puedes entender un campo vectorial que representa un cierto fenómeno físico
de mejor manera imaginando: ¿qué pasa si representara un fenómeno físico distinto?
¿Qué pasa si estos vectores que describen fuerza gravitacional, en cambio definen el flujo de un fluido?
¿Cómo se vería ese fluido,
y qué nos dicen sus propiedades acerca de la fuerza de gravitacional original?
¿Y qué pasa si los vectores que definen el flujo de un fluido
fuesen imaginados que describen la dirección de descenso de un cierto terreno?
¿Existe un tal terreno, y de ser así, qué nos dice sobre el flujo original?
Este tipo de preguntas pueden ser soprendentemente útiles.

Portuguese: 
o vento não é constante; ele vem em rajadas
e campos elétricos mudam conforme as partículas carregas que o caracterizam sem movem
mas aqui olharemos apenas para campos vetoriais estáticos
que descrevem sistemas em estado estacionário
Além disso, enquanto tais vetores podem estar em 3 ou mais dimensões
nós olharemos apenas para 2 dimensões
uma ideia importante geralmente não percebida
é que você pode entender melhor um campo vetorial que representa um fenômeno físico específico
imaginando: "e se ele representasse um outro fenômeno físico?"
E se esses vetores que descrevem força gravitacional definissem, ao contrário, o fluxo de um fluído?
como seria esse fluxo? E o que poderíamos aprender com as propriedades desse fluído
em relação à força gravitacional original?
e se os vetores definindo o fluído fossem repensados como representantes de um movimento descendente
em uma montanha? Tal montanha sequer existe?
e se sim, o que ela nos diz sobre o fluído original?
essas perguntas podem ajudar muito. Por exemplo,

Spanish: 
el viento no es una constante, viene en ráfagas
y un campo eléctrico cambia a medida que las partículas cargadas se mueven en él
pero aquí solo nos enfocaremos en campos vectoriales estáticos
Los cuales tal vez piensas que describen un sistema de estado estacionario
También mientras dichos vectores podrían en principio ser de tres dimensiones o incluso de más dimensiones
Solo nos enfocaremos en dos dimensiones
Una idea importante la cual regularmente nunca se dice
Es que a menudo puedes entender un campo vectorial que representa mejor a un fenómeno físico imaginando
¿Qué pasa si representa un fenómeno físico diferente?
¿Qué pasa si esos vectores describen la fuerza gravitacional en lugar de definir el flujo?
¿Cómo sería ese flujo?
y ¿Qué nos dicen esas propiedades acerca de la fuerza gravitacional original?
y ¿Qué pasaría si se pensara que los vectores que definen el flujo describen la dirección del descenso de una cierta colina?
¿Existe tal colina?
y de ser así, entonces ¿Qué nos dice acerca del fluido original?
este tipo de preguntas pueden ser de mucha ayuda

Spanish: 
por ejemplo, las ideas de divergencia y rotacional son entendidas visceralmente
cuando el campo vectorial se toma como la representación del fluido
incluso si el campo que buscas tiene la intención de describir algo más como
un campo electrico
Aquí, echa un vistazo a este campo vectorial
y piensa en cada vector como una descripción de velocidad del fluido en ese punto
date cuenta que, cuando haces esto dicho fluido se comporta
de una manera extraña no-física
alrededor de algunos puntos, como estos
el fluido parece solo surgir de la nada
como si ahí hubiera algún tipo de fuente
en otros puntos actúa más como un pozo donde el fluido parece desaparecer en la nada
la divergencia de un de campo vectorial en un punto en particular del plano
te dice que tanto tiende a fluir hacia las regiones cercanas el fluido imaginado
por ejemplo, la divergencia de nuestro campo vectorial evaluada en todos los puntos

Polish: 
Na przykład, pojęcia dywergencji i rotacji mogą być szczególnie instynktownie zrozumiane
gdy pole wektorowe interpretujemy jako przepływ,
nawet jeśli pole które opisujemy
ma inną interpretację, np. pola elektrycznego.
Spójrzmy na to pole wektorowe
i pomyślmy o każdym wektorze, że opisuje prędkość
cząsteczki płynu w danym punkcie.
Zauważmy, że to pole wektorowe
zachowuje się w dziwny, niefizyczny sposób:
w otoczeniu pewnych punktów, na przykład tych tutaj
płyn zdaje się spontanicznie pojawiać z niczego,
tak jakby miał tam źródło.
Inne punkty zachowują się jak "ścieki", w których płyn znika.
Dywergencja pola wektorowego w pewnym punkcie tej płaszczyny
opisuje tempo, w jakim
płyn wpływa lub wypływa z małego obszaru wokół tego punktu.
Na przykład, dywergencja naszego pola w punktach "źródłowych"

Portuguese: 
As ideias de Divergência e Rotacional são bem entendidas quando o campo vetorial
é pensado em termos de fluxo de fluídos
mesmo se o campo que está olhando quer representar outra coisa
como um campo elétrico,
Aqui: olhe este campo vetorial e pense que cada vetor representa a velocidade do fluído naquele ponto
note que o fluído se comporta de uma maneira estranha e não-física
Em torno de alguns pontos, como estes,
o fluido parece surgir do nada, como se ali estivesse alguma fonte
outros pontos parecem "pias", em que o fluido cai e desaparece
A Divergência de um campo vetorial, em um ponto qualquer do plano
te diz quanto este fluido tende a fluir para fora ou para dentro de pequenos regiões ao redor
Por exemplo, a Divergência do nosso campo vetorial, medida naqueles pontos que parecem fontes

Spanish: 
Por ejemplo, las ideas de divergencia y rotor se entienden particularmente bien
cuando pensamos que el campo vectorial representa el flujo de un fluido,
incluso si el campo que estás viendo está realmente describiendo otra cosa, como un campo eléctrico.
Observa este campo vectorial e imagina que cada vector describe la velocidad de un fluido en ese punto.
Fíjate que si haces esto el fluido se comporta de una manera extraña y no-física.
Alrededor de algunos puntos, como estos, el fluido parece surgir de la nada,
como si hubiera algún tipo de fuente ahí.
Otros puntos actúan como sumideros, donde el fluido parece desaparecer en la nada.
La divergencia de un campo vectorial en un punto particular del plano
indica cuánto de este fluido imaginario tiende a salir o entrar de las regiones circundantes.
Por ejemplo, la divergencia de este campo vectorial evaluada en todos los puntos que actúan como fuentes
dará un número positivo.

Portuguese: 
dará um número positivo.
E não é preciso que o fluído esteja se afastando do ponto
A Divergência também seria positiva se o fluido que entra por um lado fosse mais lento
do que o fluído que sai pelo outro lado
Já que isso também insinuaria um comportamento gerador espontâneo
Por outro lado, se em uma pequena vizinhança de um ponto
parece haver mais fluído entrando do que saindo
a Divergência nesse ponto seria um número negativo
Lembre-se: esse campo vetorial é uma função que recebe vetores em 2D
e resulta em vetores em 2D
A Divergência desse campo resulta em uma nova função
que associa um único ponto 2D em seu domínio
mas cuja imagem depende do comportamento do campo em uma pequena vizinhança do ponto
dessa forma, é análoga à Derivada

Polish: 
będzie liczbą dodatnią.
I nie musi to znaczyć, że cały płyn wypływa właśnie z tego punktu;
dywergencja byłaby też dodatnia gdyby po prostu do otoczenia tego punktu
wpływałoby mniej płynu, niż by z niego wypływało,
ponieważ nie jest to możliwe bez mechanizmu
pojawiania się płynu w tym punkcie
Z drugiej strony, jeżeli mały obszar wokół punktu "przyjmuje" więcej wody,
niż oddaje, to dywergencja w tym punkcie
miałaby wartość ujemną.
Pamiętajmy, że to pole wektorowe to funkcja, która "łyka" dwuwymiarowe argumenty
i zwraca dwuwymiarowe wartości.
Dywergencja tego pola wektorowego to nowa funkcja,
która "łyka" punkty z dwuwymiarowej przestrzeni,
ale jej wynik zależy od zachowania tego pola
w otoczeniu tego punktu.
Pod tym względem dywergencja jest
do pochodnej.

Spanish: 
Y no es que todo el fluido tenga que fluir alejándose del punto,
la divergencia también será positiva si ocurriera que el fluido entrando desde una dirección
fuese más lento que el fluido saliente por otra dirección,
ya que eso todavía sugiere cierta generación espontánea.
Por otro lado, si en una pequeña región alrededor un punto
parece que fluye más fluido entrando que saliendo,
la divergencia
en ese punto sería un número negativo.
Recuerda, este campo vectorial es realmente un
función que toma entradas bidimensionales
y entrega resultados bidimensionales.
La divergencia de ese campo vectorial es una nueva
función,
que toma un punto 2d como entrada
pero su salida depende del comportamiento del campo
en una pequeña vecindad alrededor de ese punto.
De esta manera es análogo a una derivada,

Spanish: 
que actúan como fuentes nos dará un número positivo
y no solo se tiene que el fluido está fluyendo desde ese punto
la divergencia también podría ser positiva solo si el fluido que entra en una dirección
es más lento que el fluido que sale de otra dirección
ya que esto sigue insinuando una generación espontanea
Ahora, por otra parte si en una pequeña región alrededor de un punto
ahí parece haber más flujo entrando que saliendo
la divergencia  en ese punto sería un número negativo
recuerda, este campo vectorial es realmente una función
que toma entradas bidimensionales y nos da dos resultados bidimensionales
la divergencia de ese campo vectorial te da  una nueva función
Una que toma como entrada un solo punto en 2d
pero esa salida depende del comportamiento del campo
en una pequeña sección alrededor del punto
de esta manera es análogo a una derivada

Spanish: 
y esa salida es solo un número, que mide
cuánto ese punto actúa como fuente o sumidero.
Estoy retrasando deliberadamente la discusión de los cálculos,
la comprensión de lo que representa es más importante.
Observa, esto significa que para un fluído físico real, como el agua,
en lugar de uno imaginario utilizado para ilustrar un campo vectorial arbitrario,
entonces, si ese campo vectorial es incompresible
el campo velocidades debe tener divergencia cero en todas partes.
Esa es una restricción importante sobre qué tipos de campos vectoriales
pueden resolver problemas de flujo del mundo real.
Para el rotor en un punto dado, también piensas sobre el flujo circundante,
pero esta vez preguntas cuánto tiende ese fluido a girar alrededor de ese punto.
Como en, si dejaras caer una ramita en ese fluido en ese punto,
de alguna manera fijando su centro, ¿tendería a dar vueltas?
Las regiones donde esa rotación es en el sentido horario tendrán rotor positivo,
y regiones donde es en sentido anti-horario tienen rotor negativo.

Portuguese: 
e essa imagem é apenas um número
medindo quanto esse campo age como uma fonte ou uma pia
Estou atrasando de propósito a discussão sobre os cálculos
porque a interpretação conceitual é mais importante
Isso significa que para um fenômeno físico real, como água
e não algo imaginado para ilustrar um campo arbitrário
então se esse fluído é incompressível
O campo vetorial representando a velocidade deve ter
Divergência igual a zero em toda parte
essa é uma restrição importante
sobre que tipo de campo vetorial servem para resolver problemas do mundo real
quanto ao Rotacional em algum ponto, você também pensa sobre o fluxo de fluído em torno
mas agora você pergunta quanto aquele fluido tende a rodar em torno do ponto
como se você jogasse um graveto no fluido, naquele ponto
garantindo que o centro fique no lugar
ele tenderia a girar
regiões em que essa rotação ocorre em sentido horário
têm Rotacional positivo
e onde a rotação é em sentido anti-horário têm Rotacional negativo

Spanish: 
y esa salida es solo un numero
medir que tanto actúa ese punto como una fuente o un pozo
y aquí omitiré a propósito los cálculos
ya que la comprensión de lo que esto representa es más importante
observe que esto significa que para un fluido físico real como el agua
en lugar de algo imaginado usado para ilustrar un campo vectorial arbitrario
entonces si ese fluido es incomprensible, la velocidad del campo vectorial
debe de tener una divergencia nula en cualquier punto
esta es una importante restricción acerca de que tipo de campos vectoriales
podrían resolver problemas de flujo en el mundo real
para el rotacional en un punto dado
también piensa en el flujo alrededor de él
pero esta vez preguntas que tanto ese fluido tiende a rotar alrededor del punto
es como si tuvieras que dejar caer una ramita en el fluido en dicho punto
y de alguna manera fijar su centro, este tendería a girar
regiones en donde esa rotación es contraria a la de las manecillas del reloj
se dice que su rotacional es positivo
y en las regiones en donde la rotación es igual al de las manecillas del reloj
se tiene un rotacional negativo

Polish: 
Dywergencja to liczba,
miara tego,
na ile dany punkt zachowuje się
jak źródło lub ściek.
Celowo odkładam prezentację obliczeń,
bo zrozumienie co to znaczy
ma o wiele większe znaczenie.
Zauważmy, to znaczy że dla prawdziwego, fizycznego płynu, np wody,
zamiast jakiegoś wyidealizowanego płynu
użytego do opisu abstrakcyjnego pola wektorowego
gdy ten płyn jest nieściśliwy,
to pole wektorowe prędkości musi mieć wszędzie zerową dywergencję.
To ważna wskazówka, jakie pola wektorowe
mogą opisywać rzeczywisty przepływ płynu.
Jeśli chodzi o rotację w danym punkcie,
także myślimy o małym obszarze wokół niego,
ale tym razem pytamy
jak bardzo płyn wiruje wokół tego punktu.
Na przykład, gdyby rzucić patyk w tym miejscu,
jakoś unieruchomiając jego środek,
to czy i jak szybko by się kręcił?
W obszarze, w którym patyk kręci się zgodnie z ruchem wskazówek zegara
rotacja jest dodatnia,
a tam, gdzie patyk obraca się w przeciwną stronę,
rotacja jest mniejsza od zera.

Spanish: 
esto no quiere decir que todos los vectores alrededor de la entrada están apuntando en sentido antihorario
o que todos ellos están apuntando en sentido horario
un punto dentro de una región como este por ejemplo
también podría tener un rotacional diferente a cero
ya que el flujo es lento en la parte inferior, pero rápido en la parte superior lo que resulta en una influencia neta en sentido horario
es cierto que un rotacional adecuado es uno en tercera dimensión
uno en donde asocias cada punto en un espacio 3D con un nuevo vector
caracterizando la rotación alrededor de ese punto
de acuerdo con cierta regla de la mano derecha
y tengo mucho contenido en mi curso de Khan Academy
describiendo esto con mucho más detalle si gustas verlo
pero por ahora para el propósito principal
solo me referiré a variantes bidimensionales del rotacional
los cuales asocian cada punto en el espacio en 2D con un solo número que con un nuevo vector
como dije, incluso aunque estas intuiciones se dan en el contexto de flujo
ambas ideas son significantes para otros tipos de campos vectoriales
un ejemplo importante es como la electricidad y el magnetismo

Portuguese: 
e não é preciso que todos os vetores ao redor do ponto estejam apontando em sentido anti-horário ou horário
um ponto em uma região como esta, por exemplo,
teria Rotacional diferente de zero
Já que o fluxo é lento por baixo, mas rápido em cima.
cujo resultado final causa uma rotação em sentido horário
E na verdade, um verdadeiro Rotacional é uma ideia tridimensional
em que você associa cada ponto em 3D a um vetor que caracteriza a rotação ao redor daquele ponto
de acordo com uma certa regra da mão direita
e eu tenho bastante material do tempo em que estava na Kahn Academy descrevendo isso em mais detalhes
se você quiser, mas para nossos propósitos, mencionarei a variante 2D do Rotacional.
que associa cada ponto 2D do espaço a um único número, e não a um vetor
Como eu disse, mesmo que essas intuições sejam dadas no contexto de fluxo de fluidos
Ambas ideias têm significância para outros tipos de campos vetoriais
Um importante exemplo é como a eletricidade e magnetismo

Spanish: 
Y no tiene que ser que todos los vectores alrededor de un punto apuntan en el sentido horario o en sentido anti-horario,
un punto en una región como esta, por ejemplo, también tendría un rotor distinto de cero,
ya que el flujo es lento en la parte inferior pero rápido arriba,
lo que resulta en una influencia neta en el sentido de las agujas del reloj.
Realmente, el rotor real es un concepto tridimensional, donde asocias cada punto en espacio 3d
con un vector que caracteriza la rotación alrededor de ese punto de acuerdo a la regla de la mano derecha,
y tengo un montón de contenido de mi tiempo en Khan Academy describiendo esto con más detalle, si quieres,
pero para nuestro propósito principal, me referiré solamente a la variante 2-dimensional del rotor,
que asocia a cada punto en el espacio 2d con un número, en lugar de un nuevo vector.
Como dije, aunque estas intuiciones son
en el contexto del flujo de fluidos,
ambas ideas son importantes para otros tipos de campos vectoriales.
Un ejemplo muy importante, es cómo la electricidad y el magnetismo

Polish: 
I nie musi być prawdą że wszystkie wektory
wokół tego punktu wskazują zgodnie
lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,
punkt w takiej przestrzeni
też miałby niezerową rotację,
powyżej płyn płynie szybciej,
zatem patyk w tym miejscu obracałby się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
W rzeczywistości, rotacja jest wektorem w trzech wymiarach,
który charakteryzuje rotację
w danym punkcie przestrzeni,
zgodnie z zasadą, zwaną regułą prawej ręki.
Z czasów Khan Academy pozostało mi
wiele materiałów na ten temat, które mogę Wam pokazać.
Jednak skoro naszym głównym celem
pozostaniemy nadal przy rotacji w dwóch wymiarach,
która przypisuje każdemu punktowi na płaszczyźnie
liczbę, a nie wektor
I choć te intuicje odnoszą się do płynów
te pojęcia odnoszą się także do innych pól wektorowych.
Bardzo ważny przykład, to elektryczność i magnetyzm,

Spanish: 
son descritos por estas cuatro ecuaciones
conocidas como las ecuaciones de Maxwell
están escritas en el lenguaje de la divergencia y el rotacional
La primera por ejemplo es la Ley de Gauss
declarando que la divergencia de un campo eléctrico en un punto dado
es proporcional a la densidad de la carga en dicho punto
dejando salir a la intuición para esto
imagina que las regiones cargadas positivamente actúan como fuentes de algún fluido imaginario
y las regiones cargadas negativamente actúan como pozos de dicho fluido
y en toda parte del espacio donde no hay cargas
el fluido podría fluir compresivamente como el agua
por supuesto no hay algún fluido eléctrico literal
pero es un manera muy útil y bonita de leer una ecuación con esta
otra ecuación importante
es la divergencia de un campo magnético es cero en todas partes
y puedes entender esto diciendo que si el campo representa un flujo
dicho flujo debería ser incompresible
sin fuentes ni pozos

Portuguese: 
são descritas por 4 equações especiais
conhecidas como Equações de Maxwell
e elas são escritas em termos de Divergência e  Rotacional
Essa primeira, por exemplo, é a lei de Gauss
que diz que a Divergência de um campo elétrico em algum ponto
é proporcional à densidade da carga naquele ponto
Você pode intuir isso pensando em regiões positivamente carregadas agindo como fontes
de algum fluido imaginário
e  regiões negativamente carregadas agindo como a pia desse fluido
e em outras regiões do espaço em que não há carga
o fluido fluiria incompressível, tal como água
É claro que não existe tal fluído elétrico
mas é uma maneira útil e bonita de lera equação
Da mesma forma, outra equação importante é que a Divergência do campo magnético
é igual a zero em todo lugar.
E você pode entender isso supondo que se o campo representasse um fluido

Polish: 
które opisujemy za pomocą czterech równań Maxwella,
w których występuje dywergencja i rotacja.
To równanie to prawo Gaussa:
dywergencja pola elektrycznego w danym punkcie
jest proporcjonalna do gęstości ładunku w tym punkcie.
Intuicyjnie można powiedzieć, że ładunki dodatnie
są jak źródła pewnego, wyobrażonego płynu,
a ładunki ujemne są ściekami tego płynu.
Tam, gdzie nie ma ładunków
płyn zachowuje się jak ciecz nieściśliwa, taka jak woda.
Pamiętaj, to nie jest jakiś "elektryczny płyn",
tylko elegancki i intuicyjny sposób
interpretacji rozwiązań tego równania.
Podobnie skoro dywergencja pola magnetycznego
równa się zawsze zero,
możemy sobie wyobrazić pole magnetyczne
jako pole wektorowe opisujące przepływ
nieściśliwego płynu, bez źródeł i ścieków.

Spanish: 
están descritos por cuatro ecuaciones especiales.
Éstas se conocen como ecuaciones de Maxwell, y están escritas en el lenguaje de la divergencia y rotor.
Ésta de arriba, por ejemplo, es la Ley de Gauss, la cual afirma que la divergencia de un campo eléctrico
en un punto dado es proporcional a la densidad de carga en ese punto.
Desempacando la intuición de esto, puedes imaginar regiones con carga positiva actuando como fuentes
de algunos líquido imaginario, y regiones con cargas negativa como los sumideros de ese fluido,
y en las partes del espacio donde no hay carga, el fluido estaría fluyendo incompresiblemente, como el agua.
Por supuesto, no hay un fluido eléctrico literal,
pero es una forma muy útil y bonita de leer una ecuación como esta.
Del mismo modo, otra ecuación importante
es que la divergencia del campo magnético es cero en todos lados,
Puedes entender diciendo que si el campo representa un flujo de fluido,

Polish: 
Tak jak woda.
Stąd wynika, że ma magnetycznych monopoli,
izolowanych źródeł pola magnetycznego podobnego
do pola magnetycznego w otoczeniu północnego
lub południowego bieguna magnesu, nie istnieją.
Nie istnieją źródła pola magnetycznego
o własnościach analogicznych do dodatnich i ujemnych ładunków elektrycznych.
Pozostałe dwa równania mówią nam,
że tempo zmian jednego z tych pól
zależy od rotacji drugiego pola.
To wszystko dzieje się w trzech wymiarach
a więc trochę poza zakresem dyskusji w tym filmie.
Chcę tylko zwrócić uwagę, że dywergencja i rotacja pojawiają się
przy opisie pól wektorowych
nie mających nic wspólnego z przepływem cieczy.
Przy okazji, konsekwencją tych dwóch ostatnich równań
są fale elektromagnetyczne, czyli światło.
Często zdarza się, że te pojęcia są przydatne
w sytuacjach, które nie mają przestrzennej natury.
Klasycznym przykładem jest to zadanie
z równań różniczkowych
Załóżmy, że badamy liczebność
populacji dwóch różnych gatunków,
drapieżników i ich potencjalnych ofiar.
Stan tego układu w pewnej chwili czasu

Spanish: 
que solo actúa como el agua
esto ademas de ser una interpretación de los monopolos magnéticos
algo que actúa solo como un extremo norte o sur de un imán de forma aislada
no existe, no hay nada como las cargas positivas o negativas en un campo eléctrico
igualmente las ultimas dos ecuaciones nos dicen la manera
en que uno de estos campos cambia dependiendo del rotacional del otro campo
y esto es puramente una idea tridimensional
y un poco fuera de nuestro enfoque principal
pero el punto es que la divergencia y el rotacional surgen en contextos no relacionados con el flujo
y como nota de estas dos ultimas ecuaciones
es que dan lugar a las ondas de luz
y muy a menudo estas ideas son útiles en contextos
en los cuales ni siquiera parecen espaciales en la naturaleza al principio
para tomar un clásico ejemplo que se suele estudiar en ecuaciones diferenciales
digamos que quieres rastrear el tamaño de la población de dos especies diferentes
donde quizás una especie es un depredador de la otra
el estado de este sistema en un momento dado

Portuguese: 
esse fluido seria incompressível, sem fontes ou pias. Ele age como água
Isso também tem a interpretação de que monopólios magnéticos
Algo que age como o polo norte ou sul de uma imã em isolamento
não existe
não há nada análogo a cargas elétricas positivas ou negativas em um campo magnético
Da mesma forma, as duas últimas equações
nos dizem que a maneira com que um desses campos muda
depende do Rotacional do outro campo
E na verdade, esta é uma ideia puramente tridimensional
e um pouco fora nosso objetivo aqui, mas o ponto é que
Divergência e Rotacional surgem em contextos não relacionados com fluxos
E, por sinal, o ir e vir dessas duas últimas equações
é o que gera ondas de luz
E frequentemente essas ideias parecem úteis em contextos que nem
parecem ter natureza espacial
Um exemplo clássico quando estuda-se Equações Diferenciais
Digamos que você queira rastrear o tamanho da população de duas espécies diferentes
em que talvez uma delas seja predadora da outra
O estado desse sistema em um instante qualquer

Spanish: 
ese fluido sería incompresible, sin fuentes ni sumideros, se comporta tal como el agua.
Esto también tiene la interpretación de que monopolos magnéticos,
algo que actúa como el polo norte o sur de un imán en aislamiento, no existen;
no existe nada análogo a cargas positivas y negativas en un campo eléctrico.
Del mismo modo, las últimas dos ecuaciones nos dicen que la forma en que uno de estos campos cambia
depende del rotor del otro campo.
Realmente, esta es una idea puramente tridimensional, y un poco fuera de nuestro objetivo principal,
pero el punto es que la divergencia y el rotor surgen en contextos no relacionados con el flujo.
Nota al margen, este "ir y venir" en las dos últimas ecuaciones es lo da lugar a ondas de luz.
Y a menudo estas ideas son útiles en contextos que al principio ni siquiera parecen de naturaleza espacial.
Tomando un ejemplo clásico que los estudiantes de ecuaciones diferenciales a menudo estudian,
digamos que quieres estudiar los tamaños de población de dos especies diferentes,
donde quizás una de ellas es un depredador de la otra.

Spanish: 
es decir, que los tamaños de las dos poblaciones
pueden considerarse como un punto en un espacio de dos dimensiones
que podrías llamar "la fase de espacio" de este sistema
para un par de tamaños dados de poblaciones
estas poblaciones quizás están inclinadas a cambiar basado en cosas como
¿Qué tan reproductivas son estas dos especies?
o ¿Qué tanto disfruta uno de ellos comiendo al otro?
estas tasas de cambio normalmente se escriben de manera analítica
como un conjunto de ecuaciones diferenciales
y está bien si no logras entender estas ecuaciones
solo menciono esto para los curiosos
y por ello metí variables con imágenes que me hicieron reír un poco
pero lo importante aquí es esa linda manera de visualizar
lo que realmente nos dice un conjunto de ecuaciones, es asociar cada punto en el plano
cada par de tamaños de población con un vector
indicando las tasas de cambio de ambas variables
por ejemplo cuando hay muchos zorros pero pocos conejos relativamente
el número de zorros tendería a disminuir por el suministro limitado de comida

Polish: 
to znaczy liczebność populacji obu gatunków,
można sobie wyobrazić jako punkt w dwóch wymiarach,
w przestrzeni konfiguracyjnej tego systemu.
Liczebność obu populacji może się zmieniać w zależności
od tego, jak szybko rozmnażają się te gatunki,
albo jak bardzo jeden z nich smakuje drugiemu.
Tempa zmian obu populacji zapisujemy za pomocą
układu równań różniczkowych
Nie szkodzi, jeśli nie rozumiesz tych równań.
Zapisałem je tu dla tych, których, których to interesuje,
a poza tym zapisywanie równań za pomocą obrazków
jest dość zabawne.
Elegancki sposób interpretacji
tego układu równań
polega na przypisaniu każdemu punktowi,
opisującemu liczebność obu populacji
wektora, opisującego tempo zmian
obu tych zmiennych.
Na przykład, kiedy mamy wiele lisów,
a względnie mało zajęcy,
liczba lisów będzie się zmniejszać.
ze względu na niewystarczającą ilość pożywienia.
Liczba zajęcy też będzie maleć,

Spanish: 
El estado del sistema en un momento dado, es decir, los dos tamaños de población,
pueden pensarse como un punto en el espacio 2-dimensional;
lo que se llama "espacio de fase" de este sistema.
Para un par dado de tamaños de población, estas poblaciones pueden estar inclinadas a cambiar
basadas en cosas como qué tan reproductivas son estas dos especies,
o cuánto una de ellas disfruta comiéndose a la otra.
Estas tasas de cambio típicamente se escribirían analíticamente
como un conjunto de ecuaciones diferenciales.
Está bien si no entiendes estas ecuaciones en particular,
solo las estoy mostrando para aquellos que de ustedes que son curiosos,
y porque reemplazan variables
con imágenes me hace reír un poquito,
pero lo importante es que una buena forma de visualizar qué es lo que un conjunto de ecuaciones realmente dice,
es asociar cada punto en el plano, cada par de tamaños de población,
con un vector que indica las tasas de cambio para ambas variables.
Por ejemplo, cuando hay muchos zorros, pero relativamente pocos conejos,
el número de zorros podría tienden a bajar debido a un suministro de comida limitado,

Portuguese: 
ou seja, o tamanho da população das duas espécies,
pode ser pensando como um ponto em um espaço bidimensional
o que chamaríamos de Espaço de Fase desse sistema
Para um determinado par representando as populações
essas populações podem mudar de acordo
com quanto elas se reproduzem
ou quanto uma aprecia comer a outra
Essas taxas de variação tipicamente seriam escritas analiticamente
como um conjunto de equações Diferenciais
Tudo bem se você não entender essas equações em particular
Apenas coloquei para quem estiver curioso
e porque trocar variáveis por imagens me faz rir
mas a relevância aqui é que podemos visualizar o que esse sistema de equações está dizendo
associando cada ponto do plano, cada par representando o tamanho das populações
com um vetor. Indicando a taxa de variação para as duas variáveis
Por exemplo, quando há muitas raposas e poucos coelhos
o número de raposas pode cair devido à escassez de comida

Spanish: 
y el numero de conejos también tendería a disminuir debido a que ellos son comidos por los zorros
potencialmente más rápido de lo que pueden reproducirse
entonces, un determinado vector aquí nos dice como y que tan rápido
un par dado de tamaños de población tienden a cambiar
observe este caso en donde el campo vectorial no trata de un espacio físico
en cambio es una representación de un cierto sistema dinámico
que tiene dos variables y como este se involucra con el tiempo
esto puede quizás dar sentido a ¿Por qué a los matemáticos les interesa estudiar la geometría de dimensiones superiores?
¿Qué pasa si nuestro sistema rastreara más de dos o tres números?
Ahora, el flujo asociado con este campo es llamado "la fase de flujo" para nuestra ecuacion diferencial
y esta es una manera de conceptualizar
cuantos estados iniciales posibles evolucionarían con el tiempo
operaciones como la divergencia y el rotacional
pueden ayudar a informarte acerca del sistema si los tamaños de población tienden a converger en un par de números en particular
o si hay algunos valores que difieren de un patrón cíclico

Spanish: 
y el número de conejos también tendería a bajar porque están siendo comidos por todos los zorros,
potencialmente a un ritmo más rápido de lo que pueden reproducirse.
Entonces, cada vector aquí indica cómo y qué tan rápido,
un par dado de tamaños de población tiende a cambiar.
Observa, este es un caso donde un campo vectorial no se trata de espacio físico,
sino que es una representación de un cierto sistema dinámico con dos variables
y cómo ese sistema evoluciona con el tiempo.
Esto también puede dar una idea de por qué los matemáticos se preocupan
por estudiar geometría en dimensiones altas: ¿qué tal si nuestro sistema estudiara más de 2 o 3 números?
El flujo asociado con este campo se llama "flujo de fase" para nuestra ecuación diferencial,
y es una forma de conceptualizar de un vistazo
cómo muchos posibles estados iniciales evolucionarían con el tiempo.
Operaciones como la divergencia y rotor pueden ayudar a dar información sobre el sistema.
¿El tamaño de la población tiende a converger hacia un par de números en particular?
¿O hay algunos valores que divergen?
¿Hay algún patrón cíclico?

Polish: 
bo zjada je duża gromada lisów.
Być może szybciej, niż się rozmnażają.
Ten wektor mówi nam
w jaki sposób i w jakim tempie
zmieni się liczebność tych populacji.
Zauważ, to nie jest pole wektorowe
w fizycznej przestrzeni,
tylko reprezentacja pewnego układu dynamicznego.
dwóch zmiennych.
i jak ten układ zmienia się w czasie.
Przy okazji łatwiej jest zrozumieć
po co matematycy badają wielowymiarową geometrię
na wypadek, gdyby chodziło o więcej niż dwie zmienne.
Przepływ, opisywany przez to pole nazywamy
strumieniem fazowym tego układu równań różniczkowych.
W ten sposób możemy przedstawić
ewolucję układu w czasie, startując z różnych warunków początkowych
Dywergencja i rotacja niosą ze sobą informację
o tym, jak przebiega ta ewolucja.
Czy liczebności populacji zbiegają do ustalonego punktu
A może są wartości, których unikają?
Czy ewolucja ma periodyczny charakter?

Portuguese: 
E o número de sapos também pode cair, pois estão sendo comidos por todas as raposas
talvez a uma taxa mais veloz do que aquela em que eles se reproduzem
então esse vetor aqui diz quanto, e quão rápido, um dado par de populações tende a mudar.
Note, esse é um caso em que o campo vetorial não trata de um espaço físico
mas representa um sistema dinâmico
que tem duas variáveis, e como esse sistema evolui ao longo do tempo.
Isso talvez dê uma luz sobre por que matemáticos se importam em estudar a geometria
de dimensões maiores
E se o nosso sistema estivesse representando mais de 2 ou 3 números?
O fluxo associado a esse campo é chamado de Fluxo de Fase
de uma equação diferencial
e serve para entender, apenas olhando,
como vários pontos iniciais diferentes evoluiriam ao longo do tempo
operações como a Divergência e o Rotacional podem ajuda-lo
a entender o sistema
As populações tendem a convergir para um determinado valor?
ou há alguns valores para os quais elas divergem?
Há padrões cíclicos?

Spanish: 
¿Son estos ciclos estables o inestables?
Para ser honesto, para algo como esto,
a menudo querrás usar herramientas similares más allá de sólo divergencia y rotor,
ellas te darán la historia completa,
pero la forma de pensar que la práctica de estas dos ideas te da
se traspasa bien para estudiar configuraciones como esta, con maquinaria matemática similar.
Si realmente quieres aprender estas ideas, querrás aprender cómo calcularlas y practicar esos cálculos,
dejaré algunos enlaces a donde puede aprender y practicar si quieres.
De nuevo, hice algunos videos, artículos y ejemplos resueltos para Khan Academy sobre el tema
durante mi tiempo allí, así que demasiados detalles aquí comenzarían a sentirse redundantes para mí.
Pero hay una cosa que vale la pena mencionar con respecto a la notación asociada con estos cálculos.
Comúnmente, la divergencia se escribe como un punto producto entre este triángulo al revés
y su función de campo vectorial, y
el rotor se escribe como un producto cruz similar.
A veces se les dice a los estudiantes que esto es solo un truco de notación.

Portuguese: 
e esses ciclos são estáveis ou instáveis?
Para ser honesto,  nessas situações
seria preciso outras ferramentas além de Divergência e Rotacional
(olhe o Jacobiano)
Essas contariam a história completa
Mas a perspectiva que essas ferramentas dão é ótima
para estudar outros problemas com o mesmo ferramental matemático
Se você quer aprender realmente, precisará praticar esses cálculos
e eu deixarei alguns links onde você pode aprender sobre isso e praticar se quiser
novamente, eu fiz alguns videos e artigos
e trabalhei em exemplos sobre esse assunto na Kahn Academy
então detalhes demais aqui parecerá redundante para mim
mas há algo que vale a pena mencionar sobre a notação desses cálculos
Normalmente, a Divergência é escrita como o produto escalar entre esse triângulo invertido
e a função do campo vetorial
E o Rotacional é escrito como um produto vetorial entre essas duas coisas
As vezes dizem aos alunos que isso é apenas um truque de notação

Polish: 
Czy te periodyczne rozwiązania są stabilne?
Mówiąc uczciwie, udzielenie odpowiedzi na te pytania wymaga
bardziej skomplikowanych narzędzi, nie tylko rotacji i dywergencji,
ale sposób myślenia jest w przypadku tych metod
jest podobny do tego, który omawiamy tutaj.
Jeśli chodzi o obliczanie dywergencji i rotacji,
poniżej znajdziesz linki do stron,
gdzie możesz się tego nauczyć.
i poćwiczyć podobne obliczenia.
Mam trochę filmów, artykułów i ćwiczeń,
które zrobiłem, kiedy pracowałem w Khan Academy
więc nie chcę omawiać tutaj zbyt wielu szczegółów.
O jednym jednak chce wspomnieć,
chodzi o notację związaną z tymi obliczeniami.
Dywergencję na ogół oznaczamy jak iloczyn skalarny
pomiędzy tym odwróconym trójkątem
i polem wektorowym,
a rotację zapisujemy podobnie, jako iloczyn wektorowy.
Studentom tłumaczymy, że to recepta,

Spanish: 
y si esos ciclos son estables o inestables
para ser honesto contigo sobre algo como esto
a menudo traería herramientas relacionadas más allá de la divergencia y rotacional
y te darían la historia completa
pero al practicar estas dos ideas, te llevará a estudiar configuraciones como esta
con piezas similares de maquinaria matemática
Ahora si realmente quieres dominar estas ideas
deberías aprender como calcularlos y practicar dichos cálculos
dejaré algunos enlaces en donde podrás aprender acerca de esto y practicar si asi lo deseas
de nuevo, hice algunos videos, articulos y trabajé algunos ejemplos para Khan Academy sobre este tema
durante un tiempo, así que allí se trata con mucho más detalle
comenzaremos a sentirnos redundantes, pero vale la pena mencionar algo
respecto a la notación asociada a estos cálculos
comúnmente la divergencia se escribe como el producto punto entre una clase de triangulo al revés
y una función de campo vectorial
y el rotacional se escribe casi igual, solo que con un producto cruz
aveces se les dice a los estudiantes que es solo un truco notacional

Spanish: 
Cada cálculo involucra cierta suma o ciertas derivadas,
y tratar ese triángulo invertido como si fuera un vector de operadores diferenciales
puede ser una manera útil de recordar las fórmulas.
Pero es más que solo un truco mnemónico, hay una conexión real entre la divergencia y producto punto,
y entre rotor y el producto cruz.
Aunque no haremos cálculos de práctica aquí, me gustaría darle al menos una noción vaga
de cómo estas cuatro ideas están conectadas.
Imagina dar un pequeño paso desde un punto en el campo vectorial a otro.
El vector en este nuevo punto será un poco diferente al del primer punto,
habrá un cambio en la función después de ese paso,
que puedes ver al restar el vector original del nuevo.
Este tipo de diferencia en la función sobre pequeños pasos es lo de qué se trata cálculo diferencial.

Polish: 
skrócony zapis sumy
pochodnych cząstkowych odpowiednich składowych pola,
jakby ten odwrócony trójkąt oznaczał wektor
zbudowany z pochodnych cząstkowych.
W rzeczywistości ma to głębszy sens,
związek pomiędzy dywergencją, a iloczynem skalarnym
i pomiędzy rotacją, a iloczynem wektorowym.
Choć w tym filmie nie będzie przykładów obliczeń
zasugeruję Wam teraz,
jak te cztery pojęcia łączą się ze sobą.
Wyobraź sobie, że przesuwamy się o mały krok
w kierunku sąsiedniego punktu naszego pola.
Wektor w tym sąsiednim punkcie
pradopodobnie będzie się trochę różnił.
Funkcja będzie miała inną wartość.
Można to ocenić, odejmując od siebie
wektory w tych dwóch punktach.
Matematyczny opis takch małych zmian
to domena rachunku różniczkowego.
Iloczyn skalarny jest czuły

Spanish: 
cada calculo implica la suma de ciertas derivadas y el triangulo al revés nos pide tratarlo como un vector
de esta manera nos ayuda mantener todo en su lugar
actualmente esto es más que un 
dispositivo mnemotécnico
hay una conexión real entre la divergencia y el producto punto
y entre el rotacional y el producto cruz
incluso sin realizar cálculos
me gustaría al menos darte una explicación vaga de como estas ideas están conectadas
imagina dar un pequeño paso desde punto de tu campo vectorial hacia otro
el vector de ese nuevo punto
podría ser un poco diferente al del primer punto
habrá un pequeño cambio en la función después de dar ese paso
el cual podrías ver como una resta del vector original al nuevo vector
y este tipo de diferencia para tu función en pasos pequeños
es de lo que trata el cálculo diferencial

Portuguese: 
Cada cálculo envolve uma certa soma de certas derivadas
e tratar esse triângulo invertido como se fosse um vetor contendo o operador de derivadas
pode ser uma maneira útil de manter tudo bem entendido
mas há mais do que apenas um truque mnemônico
existe uma conexão real entre Divergência e produto escalar
e entre o Rotacional e o produto vetorial
e já que não faremos cálculos aqui
eu gostaria de dar uma (vaga) intuição de como essas quatro ideas estão conectadas
Imagine um pequeno passo a partir de um ponto no campo vetorial até outro ponto
o vetor nesse novo ponto provavelmente será um pouco diferente do anterior
haverá alguma mudança na função após esse passo
que você pode enxergar subtraindo o antigo do novo vetor
e essa diferença na função causado por pequenas variações é o assunto principal
é o assunto principal tratado em Cálculo Diferencial

Spanish: 
Ahora, lo que nos da el producto punto es la medida de como los dos vectores están alineados
el producto punto del vector paso con el vector diferencia
tiende a ser positivo en regiones donde la divergencia es positiva y viceversa
de hecho en cierto sentido la divergencia es un tipo de valor promedio del producto punto
de un paso con el cambio de la salida, que causa todas las posibles direcciones de dicho paso
asumiendo que están re-escaladas de manera apropiada
quiero decir, piénsalo si un paso en alguna dirección causa un cambio en ese vector en la misma dirección
esto corresponde a una tendencia de flujo  hacia afuera
para una divergencia positiva
por otro lado, si estos productos punto tienden a ser negativos
quiere decir que el vector diferencia esta apuntando a la dirección contraria
del vector paso
esto corresponde a una tendencia de flujo hacia adentro
una divergencia negativa
recuerda que el producto cruz es un tipo de medida de que tan perpendiculares están dos vectores

Portuguese: 
Então, o produto escalar dá uma medida de quão alinhados os vetores estão, certo?
o produto escalar do vetor-passo com o vetor-diferença que ele causa
tende a ser positivo em regiões em que a Divergência é positiva, e vice e versa.
De fato, a Divergência é uma média desse produto escalar entre o vetor-passo e o vetor-diferença
em relação a todas as direções possíveis em que se poderia ter dado o passo inicial
supondo que o comprimento dos vetores seja adequadamente ajustado
Pense comigo:
Se um passo em certa direção causa uma variação (um vetor diferença) que aponta nessa mesma direção
tal situação corresponde a uma tendência de movimento para fora: Divergência positiva
Por outro lado
Se esses produtos escalares forem negativos, ou seja
o vetor-diferença está apontando na direção oposta ao vetor-passo
isso corresponde a um movimento para dentro (pia); Divergência negativa.
Da mesma forma,
Lembre-se que o produto vetorial é uma medida da perpendicularidade entre os vetores

Polish: 
na kąt pomiędzy dwoma wektorami.
Iloczyn skalarny wektora przesunięcia
i różnicy wektorów w obu punktach
jest na ogół dodatni tam,
gdzie dywergencja jest dodatnia.
i odwrotnie.
W pewnym sensie dywergencja jest miarą
wartości średniej tego iloczynu skalarnego,
pomiędzy wektorem przesunięcia i różnicą wektorów,
uśrednionego po kierunkach tego przesunięcia.
Popatrz, jeśli, przesunięcie w pewnym kierunku
powoduję zmianę skierowaną
w tym samym kierunku,
oznacza to obrazek analogiczny do wypływu,
czyli dodatniej dywergencji.
I na odwrót,
jeśli te iloczyny skalarne są ujemne, to znaczy,
że zmiana jest skierowana przeciwnie do przesunięcia,
tak jak w sytuacji, gdy płyn wpływa do ścieku,
gdzie dywergencja jest mniejsza od zera.
Analogicznie, iloczyn wektorowy mierzy,
na ile prostopadłe są oba wektory

Spanish: 
El producto punto entrega una forma de medir qué tan alineados están los dos vectores, ¿cierto?
El producto punto del vector de ese paso con el vector de diferencias que produce
tiende a ser positivo en las regiones donde la divergencia es positiva, y viceversa.
De hecho, en cierto sentido, la divergencia es una especie de valor promedio para este producto punto,
de un paso con el cambio resultante que produce,
sobre todas las direcciones de paso posibles,
asumiendo las cosas se re-escalan apropiadamente.
Píensalo: si un paso en alguna dirección causa un cambio al vector en la misma dirección,
esto corresponde a una tendencia de flujo hacia afuera; de divergencia positiva.
Por otro lado, si esos productos punto tienden a ser negativos,
es decir, que los vectores diferencia apuntan en la dirección opuesta a los vectores paso,
eso corresponde a una tendencia de flujo hacia adentro: divergencia negativa.
Similarmente, recuerda que el producto cruz es una medida de qué tan perpendiculares son dos vectores

Polish: 
Iloczyn wektorowy przesunięcia i różnicy wektorów
będzie dodatni tam, gdzie rotacja jest dodatnia,
i odwrotnie.
Możemy sobie wyobrażać rotację
jako pewnego rodzaju średnią
z iloczynu wektorowego przesunięcia i różnicy wektorów.
Jeśli zmiana wywołana przesunięciem
jest prostopadła do tego przesunięcia
to oznacza rotację różną od zera.
Do tej pory, w tej części zazwyczaj pojawiały się
informacje o sponsorach.
Postanowiłem jednak zaprzestać umieszczania
na tym kanale materiałów sponsorowanych
i publikować wyłącznie to, co chce przekazać moim widzom.
Nie tylko jako model finansowania
oparty o Patreon,
po prostu uważam, że te filmy lepiej spełnią swoją rolę
jeśli będę mógł mówić bezpośrednio do Ciebie,
dzieląc się miłością do matematyki,
bez innych przyczyn,

Spanish: 
entonces, el producto cruz de tu vector paso con el vector diferencia
tiende a ser positivo en regiones donde el rotacional es positivo y viceversa
piensa en el rotacional como un tipo de promedio de este producto cruz del vector paso y el vector de diferencia
si un paso en alguna dirección corresponde a un cambio perpendicular al mismo paso
este corresponde a una tendencia para la rotación del flujo
entonces... normalmente
esta es la parte en donde entra alguna clase de mensaje del patrocinador
pero hay una cosa que quiero hacer con el avance del canal
quiero dejar de agregar contenido del patrocinador
y en su lugar quiero hacer cosas para la relación con la audiencia
quiero decir, no solo en el sentido de recaudar fondos con la ayuda de Patreon
tambien en el sentido de que que estos vídeos podrían cumplir mejor con el objetivo de cada uno de ustedes
si cada uno de ustedes sienten que solo somos tu y yo compartiendo en amor a las matemáticas
sin motivo alguno
especialmente en lo casos donde la audiencia son estudiantes

Portuguese: 
então o produto vetorial do vetor-passo com o vetor-diferença que ele causa
tende a ser positivo em regiões em que o Rotacional é positivo, e vice e versa.
Você pode pensar no Rotacional como uma média dos produtos vetoriais entre os dois vetores
Se o vetor-passo em certa direção corresponde a um vetor-diferença perpendicular
Isso corresponde a um tendência do fluxo rotacionar
Essa é a parte em que aparecem as mensagens dos patrocinadores
Mas o que quero fazer é parar com o conteúdo patrocinado
e focar na relação direta com o público
Digo, não apenas em relação ao modelo de financiamento, com o suporte via Patreon
mas acho que esses videos podem melhor atingir seus objetivos
se cada um deles parecer que se trata apenas de você e eu compartilhando o amor pela matemática
sem outro motivo.
Especialmente nos casos em que o espectador é estudante

Spanish: 
Así que el producto cruz del vector paso con el vector de diferencia que produce
tiende a ser positivo en las regiones donde el rotor es positivo, y viceversa.
Puedes pensar en el rotor como una especie de promedio
de este producto cruz entre el vector paso y el vector diferencia.
Si un paso en alguna dirección corresponde a un cambio perpendicular a ese paso,
eso corresponde a una tendencia de rotación del flujo.
Bueno, usualmente esta es la parte donde donde podría haber algún tipo de anuncio de los auspiciadores,
pero una cosa que quiero hacer con este canal es dejar de hacer contenido auspiciado,
y en cambio hacer cosas sólo sobre la relación directa con el público.
Me refiero no sólo al modelo de financiamiento, con aportes directos a través de Patron,
sino que también en el sentido que yo creo que estos videos logran mejor su objetivo
si cada uno de ellos se siente que es sólo sobre ustedes y yo compartiendo el amor por las matemáticas,
sin otro motivo, especialmente cuando los espectadores son estudiantes.

Spanish: 
Hay otras razones, y escribí algunas de mis ideas completas en Patreon,
no tienes que ser un auspiciador para leerlas, simplemente están ahí,
creo que hacer publicidad en Internet ocupa un espectro súper amplio,
desde "click-baits" muy obscenos, hasta asociaciones realmente alineadas en que todos ganan.
Siempre me he preocupado de promover empresas que yo genuinamente recomendaría
Para dar un ejemplo, puedes haber notado que hice una cantidad de anuncios para Brilliant,
y es difícil imaginar un mejor alineamiento que ese, ¿cierto?
Trato de inspirar a las personas a que se interesen en las matemáticas,
pero también creo firmemente que los videos no son suficientes,
que necesitas resolver problemas activamente,
y esta es una plataforma que provee práctica.
Lo mismo ocurre con los otros sitios que he promovido,
siempre me he asegurado de sentir buena alineación.
Pero aún así, incluso si buscas la mejor asociación, cuando la publicidad entra en la ecuación,
los incentivos siempre serán llegar a la mayor cantidad de personas posible.
Pero cuando el modelo es más exclusivamente sobre una relación directa con los expectadores

Polish: 
tym bardziej, jeśli widzowie są uczniami i studentami.
Mam także inne powody, opisałem je w Patreonie,
ale nie musisz tam zaglądać.
Reklamy w internecie mają różny charaktek
Od zupełnie bezsensownych klikbajtów, po przemyślaną,
sensowną i korzystną dla wszystkich stron współpracę.
Zawsze rekomendowałem tylko te firmy,
które sam uważałem za wartościowe.
Na przykład, wielokrotnie promowałem Brilliant,
i chyba trudno sobie wyobrazić bardziej sensowną współpracę.
Chciałem zainspirować widzów, zainteresować ich matematyką,
ale uważam także, że samo oglądanie filmów nie wstarczy,
że trzeba samemu rozwiązywać zadania,
a ta platforma właśnie na to pozwala.
W innych przypadkach także starałem się
by nasze cele były zbieżne.
A jednak nawet wtedy,
gdy szukasz najlepszych partnerów do współpracy
jak tylko jest mowa o reklamie, chodzi o to
by dotrzeć do jak największej liczby widzów.
Natomiast, gdy chodzi głównie o relację z widzami
zaczynamy myśleć przede wszystkim o tym,

Spanish: 
Hay otras razones que he escrito en patreon
las cuales puedes leer sin necesidad de ser un "Supporter" en Patreon, solo estan ahí
Pienso que la publicidad en internet ocupa un amplio espectro
desde el clickbait degenerado hasta las bien alineadas asociaciones
ahora, siempre he tenido el interés de hacer promociones para compañías que realmente recomendaría
te daré un ejemplo, es posible que hayas notado que hice varias promociones para Brilliant
y es difícil imaginar algo mejor que esto
quiero decir,  intento inspirar a personas para que se interesen en la matemáticas
pero también soy creyente de que los vídeos no son suficiente
que necesitas resolver problemas activamente
y aquí esta una plataforma que provee practica
de la misma manera que he promovido a otros
siempre me aseguro de sentirme bien alineado
pero aun así, incluso si buscas las mejores asociaciones posibles
siempre que la publicidad se centre en la ecuación
los incentivos serán siempre alcanzar la mayor cantidad de personas posible
pero cuando el modelo es más exclusivo en la dirección de la relación con la audiencia
los incentivos apuntan hacia la 
maximización

Portuguese: 
Há outros motivos, e escrevi no Patreon o que penso sobre isso
e você não precisa ser um colaborador para ler
eu acho que propaganda na internet ocupa um amplo espectro
de degenerados click-baits
até situações proveitosas para todos os interessados
eu sempre me preocupei em fazer propaganda de empresas
que eu realmente recomendaria
Por exemplo, eu fiz várias propagadas para a Briliant
e é difícil pensar em interesses melhores alinhados do que esses
eu tento inspirar pessoas a se interessarem por matemática
mas acredito que videos não são o suficiente
e você precisa resolver problemas
e esta é uma plataforma que provê tais problemas
e para todos os outros eu sempre tento garantir esse alinhamento
mas mesmo assim, mesmo buscando as melhores parcerias
sempre que propaganda está na equação, atingir o máximo de pessoas é sempre um objetivo
mas quando o modelo é uma relação exclusiva com a audiência

Spanish: 
los incentivos apuntan a maximizar cuán valioso las personas encuentran la experiencia.
Creo que esos objetivos están correlacionados, pero no siempre de manera perfecta.
Me gusta pensar que siempre trataré de maximizar el valor de la experiencia sin importar nada más,
pero si fuera por eso, también me gusta pensar que puedo levantarme temprano consistentemente,
y resistir la tentación de comer mucha azúcar.
Lo que importa más que querer algo, es alinear los incentivos.
Como sea, si quieres escuchar más sobre mis ideas, te dejo un link a mi artículo en Patron,
y gracias nuevamente a los auspiciadores existentes por hacer esto posible.
¡Y nos vemos en el siguiente video!

Spanish: 
de ¿Qué tan valiosas encuentran las personas sus experiencias obtenidas?
y pienso que estos dos objetivos están correlacionados
pero no siempre es perfecto
me gusta pensar siempre en intentar maximizar el valor de la experiencia sin importar que
pero para el caso, también me gusta pensar que puedo despertar temprano constantemente y resistir
comiendo mucha azúcar, lo que más importa es querer alinear los incentivos
de cualquier manera si quieres escuchar más de mis pensamientos
te dejaré un enlace a mi publicación en Patreon
y de nuevo gracias "Supporters" por existir y hacer esto posible, y nos vemos en el siguiente video

Portuguese: 
os incentivos são alinhados para quão valioso eles acharam a experiência oferecida
e os dois objetivos são correlacionados, mas não perfeitamente.
Eu gosto de pensar que sempre tentarei maximizar o valor da experiência
mas eu também acho que sempre sou capaz de acordar cedo ou comer menos doces
Querer não basta. O que importa, então, é alinhar os incentivos.
De qualquer forma, se quiser saber mais sobre meus pensamentos sobre isso, deixarei o link do Patreon
E obrigado novamente aos colaboradores por tornarem isso possível
e nos vemos no próximo vídeo!
(Tradução de Douglas Mangini)

Polish: 
jaką wartość ma to, co oferujemy widzom.
Uważam, że można to połączyć,
ale nie zawsze takie połączenie jest doskonałe.
Myślę, że mimo to zawsze starałem się
tworzyć jak najciekawsze filmy.
ale to jest tak, jak z zamiarem, by wstawać wcześnie
i powstrzymywać się od jedzenia słodyczy.
Skuteczniejszą strategią jest zharmonizowanie bodźca do celu.
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej szczegółów,
zajrzyj do posta na Patron, link jest pod filmem.
Dziękuję wszystkim, którzy wspierają mój kanał,
i do zobaczenia w następnym filmie!
