
English: 
What you’re about to watch is a refurbishing
of an old video. But even if you’ve seen
that old one, I encourage you to stick around!
The whole reason I wanted to go back to clean
up some of the mistakes and reshape a bit
of the storyline is that it’s a really nice
piece of math, the kind that deserves to be
preserved in its best light if it’s going
to be presented in a video existing in perpetuity.
Plus, math is deep, so there’s almost always
something new to be gained from a second or
third look a given topic.
You know that feeling when to things that
seem completely unrelated turn out to have
a key connection? In math especially, there’s
a certain tingly sensation I get whenever
one of those connections starts to fall into
place. That is what I have in store for you
today.
It takes some time to set up, I have to introduce
a fair division puzzle for discrete math,
called the “stolen necklace” problem,
as well as a topological fact about spheres
that we’ll use to solve it, called the Borsuk-Ulam
theorem, but trust me, seeing these two seemingly

Spanish: 
Lo que estás a punto de ver es una remodelación de un viejo video.
Incluso si has visto ese video, te animo a que te quedes.
La razón por la que quise volver fue para limpiar algunos de los errores y reformar un poco el orden de la historia
es que hay una pieza de matemáticas realmente hemosa,
del tipo que merece ser preservada en su mejor luz
si es que ha de ser presentada en un video que exista para siempre.
Además, las matemáticas son profundas, así que siempre se puede ganar algo
al revisar por segunda o tercera vez un tópico.
¿Conoces esa sensación cuando cosas que no parecen estar relacionadas, tienen una conexión clave?
En matemáticas, especialmente, se siente una sensación de cosquilleo
cuando una de esas conexiones comienza a aparecer.
Esto es lo que tengo preparado hoy.
Se necesita algo de tiempo para prepararlo, tengo que introducir un problema de reparto justo en matemáticas discretas,
llamado el "problema del collar robado",
así como un hecho topológico acerca de esferas que usaremos para resolverlo,
llamado teorema de Borsuk-Ulam, pero créeme,

Polish: 
To, co zaraz zobaczycie, to odświeżenie starego filmu. Ale nawet jeśli go widzieliście,
zachęcam, żeby zostać! Powód, dla którego chcę do tego wrócić, poprawić
niektóre błędy i nieco zmienić fabułę to fakt, że to bardzo ciekawe zagadnienie matematyki.
Takie, które zasługuje, żeby być przedstawione jak najlepiej, jeśli ma być
zaprezentowane w filmie, który zostanie na wieczność.
Ponadto, matematyka jest głęboka, więc prawie zawsze można dowiedzieć się czegoś nowego z drugiego
lub trzeciego spojrzenia na dany temat.
Znacie to uczucie, gdy rzeczy, które wydają się kompletnie niepowiązane okazują się
być w relacji? Zwłaszcza w matematyce, mam takie mrowiące odczucie za każdym razem, gdy
jedno z takich powiązań zaczyna być widoczne. Właśnie to mam dziś dla was przygotowane.
Zajmuje trochę czasu, żeby to przygotować - muszę zaprezentować problem o uczciwym podziale z dziedziny matematyki dyskretnej
zwany problemem "skradzionego naszyjnika" oraz topologiczny fakt o sferach
zwany twierdzeniem Borsuka-Ulama, którego użyjemy do rozwiązania owego problemu. Ale uwierzcie,

English: 
disconnected pieces of math come together
is worth the setup.
So here’s the puzzle we’re going to solve,
the stolen necklace problem. You and your
friend steal a necklace full of a whole bunch
of jewels. Maybe it’s got some sapphires,
emeralds, diamonds, and rubies. And they’re
all arranged on the necklace in some random
order. And let’s say there happens to be
an even number of each type of jewel. Right
here, I have 8 sapphires, 10 emeralds... 4
diamonds... and 6 rubies. You and your friend
want to split the booty evenly, with each
of you getting half of each jewel type; 4
sapphires, 5 emeralds, 2 diamonds and 3 rubies
each.
Of course, you could just cut all the jewels
off the necklace and divvy them up evenly,
but that’s boring, there’s no puzzle here.
Instead, the challenge is to make as few cuts
to the necklace as possible, so that you can
divvy up the resulting segments between you
and your co-conspirator, and still have each
of you end up with half of each jewel type.

Spanish: 
ver unirse estas dos piezas de las matemáticas, aparentemente inconexas,
hace que valga la pena la preparación.
Aquí está el problema que queremos resolver, el problema del collar robado.
Tú y tu amigo han robado un collar lleno de un montón de gemas.
Puede que tenga algunos zafiros, esmeraldas, diamantes y rubíes.
Y están colocados en el collar en algún orden aleatorio.
Digamos que hay un número par de joyas de cada tipo.
Por ejemplo, aquí tienes 8 zafiros, 10 esmeraldas ... 4 diamantes ... y 6 rubíes.
Tú y tu amigo quieren repartirse el botín equitativamente, dando a cada uno la mitad de las joyas de cada tipo;
4 zafiros, 5 esmeraldas, 2 diamantes y 3 rubíes.
Por supuesto, podríais sacar todas las gemas del collar y repartirlas justamente entre los dos,
pero eso es aburrido, no hay un problema matemático ahí.
En su lugar, el reto es hacerlo con tan pocos cortes como sea posible,
de forma que los segmentos resultantes puedan repartirse entre tu compinche y tú,
y aún así acabar cada uno con la mitad de las gemas de cada tipo.

Polish: 
zobaczenie jak te dwa zagadnienia, które wydają się niepowiązanie, działają razem jest warte przygotowań.
Zacznijmy od problemu, który chcemy rozwiązać. Ty i twój
przyjaciel ukradliście naszyjnik pełen klejnotów. Być może ma kilka szafirów,
szmaragdów, diamentów oraz rubinów. Wszystkie są ustawione na naszyjniku w jakiś losowy sposób.
I załóżmy również, że akurat jest parzysta ilość każdego z klejnotów.
W tym wypadku będzie 8 szafirów, 10 szmaragdów, 4 diamenty i 6 rubinów. Ty i twój przyjaciel
chcecie podzielić łup po równo tak, żeby każdy z was dostał połowę każdego rodzaju klejnotów -
4 szafiry, 5 szmaragdów, 2 diamenty i 3 rubiny.
Oczywiście, moglibyście po prostu pociąć naszyjnik na pojedyncze klejnoty i podzilić je po równo,
ale to byłoby nudne, nie ma tu żadnego problemu. Zamiast tego wyzwanie polega na zrobieniu
jak najmniejszej ilości cięć tak, żeby można było podzielić powstające w ten sposób części pomiędzy
was i żeby każdy wciąż dostał połowę każdego typu klejnotów.

English: 
For example, with the arrangement shown here,
I just did it in 4 cuts. If I give these top
three strands to you, and these bottom two
to your co-conspirator, each of you ends up
with 4 sapphires...5 emeralds...2 diamonds...and
3 rubies. The claim; the thing I want to prove
in this video, is that if there are n different
jewel types, it’s always possible to do
a fair division with only n cuts, or fewer.
So with 4 jewel types in this example, it
should always be possible to find a way to
make only 4 cuts and divvy up the 5 necklace
pieces so that each thief has the same number
of each jewel type. With 5 jewel types, you
should be able to do it in 5 cuts, no matter
the arrangement, and so on.
It’s kind of hard to think about, right?
You need to keep track of all of these different
jewel types, ensuring they’re divided fairly
while making as few cuts as possible.

Spanish: 
Por ejemplo, con el orden mostrado aquí, puedo hacerlo con tan sólo 4 cortes.
Si te doy las tres tiras de arriba, y las dos de abajo a tu compinche,
cada uno de vosotros acabará con 4 zafiros ... 5 esmeraldas ... 2 diamantes ... y 3 rubíes.
La afirmación que se quiere probar en este video, es que si hay n tipos diferentes de gemas,
es siempre posible encontrar un reparto justo con tan sólo n cortes, o menos.
Así pues, con 4 tipos de gemas, como en este ejemplo, siempre debería ser posible encontrar una manera de hacer 4 cortes
y repartir las 5 piezas del collar de modo que cada ladrón tenga el mismo número de gemas de cada tipo.
Con 5 tipos de gemas, se debería poder hacer con 5 cortes, sin importar el orden, y así sucesivamente.
Es difícil pensar acerca del problema, ¿verdad?
Tienes que tener en cuenta cada uno de los diferentes tipos de gema, asegurando que se reparten de forma justa,
mientras se hacen tan pocos cortes como sea posible.
Es un hecho terriblemente difícil de probar.

Polish: 
Na przykład, z ustawieniem pokazanym tutaj, udało się to zrobić zaledwie 4 cięciami. Jeśli dam górne
trzy kawałki tobie, a dwa dolne twojemu współkonspiratorowi, każdy z was otrzyma
4 szafiry, 5 szmaragdów, 2 diamenty i 3 rubiny. Teza - rzecz, którą chcę udowodnić
w tym filmie - to że jeśli jest n różnych rodzajów klejnotów, to jest zawsze możliwe, żeby
równo je podzielić jedynie n cięciami lub mniej. Więc z 4 typami klejnotów, jak w tym przykładzie,
niezależnie od ich ułożenia, powinien być możliwy podział jedynie 4 cięciami i rozdanie 5 powstałych
w ten sposób kawałków tak, żeby każdy złodziej miał tyle samo każdego rodzaju klejnotów. Z 5 rodzajami
powinno być możliwe zrobić to 5 cięciami, niezależnie od ustawienia, i tak dalej.
Jest dość ciężko o tym myśleć, nie? Trzeba naraz uważać na te wszystkie
rodzaje klejnotów upewniając się, że są sprawiedliwie podzielone, oraz żeby zrobić jak najmniej cięć. I jeśli
spróbujecie nad tym usiąść, jest to zaskakująco trudny do udowodnienia problem.

English: 
Maybe this puzzle seems a little contrived,
but it’s core characteristics, like trying
to minimize sharding and allocating some collection
of things in a balanced way; these are the
kind of optimization issues that actually
come up frequently in practical applications.
For the computer systems folk out there, you
can probably imagine how this could relate
to some kind of efficient memory allocation
problem. Also, I’ve left a link in the video
description to an electrical engineering paper
using this problem.
Independent from its usefulness, though it
certainly makes for a good puzzle; can you
always find a fair division using only as
many cuts as there are types of jewels.
So that’s the puzzle, remember it, and now
let’s take a seemingly unrelated sidestep
to the total opposite side of the math universe:
Topology. Imagine taking a sphere in 3d space,
and squishing it somehow onto a 2d plane;
stretching and morphing it however you’d
like as you do so. The only constraint I’ll
ask is that you do this continuously, which

Spanish: 
Puede que este problema parezca un tanto rebuscado, pero sus características centrales,
tales como intentar minimizar la fragmentación, y repartir una colección de forma equilibrada,
son los tipos de optimizaciones que se presentan frequentemente en las aplicaciones prácticas reales.
Los aficionados a los ordenadores,
pueden imaginar como esto se relaciona con los problemas de asignación eficiente de memoria.
También, para los curiosos, he dejado un enlace en la descripción del vídeo de un artículo de ingeniería eléctrica que aplica este mismo problema.
Independientemente de su utilidad, ciertamente es un buen problema,
¿se puede encontrar siempre un reparto justo usando sólo tantos cortes como tipos de gemas hay?
Así que este es el problema, recuérdalo, y ahora demos un paso lateral, aparentemente sin relación, al lado opuesto del universo matemático: la topología.
Imagina tomar una esfera en el espacio tridimensional,
y aplastarla de alguna manera en el plano bidimensional,
estirándola y cambiándola de cualquier modo que te apetezca.
La única limitación que se te impone es que has de hacerlo de forma continua,
lo cual se puede entender como que nunca se ha de cortar o rasgar la esfera

Polish: 
Być może problem wydaje się trochę wymuszony, ale jego własności, takie jak próba
minimalizacji podziału i alokacja jakiegoś zbioru w zbalansowany sposób -
to są zadania optymalizacyjne, które często pojawiają się w praktycznych zastosowaniach.
Dla informatyków: możecie sobie prawdopodobnie wyobrazić jak to może być analogiczne
do pewnego zadania wydajnej alokacji pamięci. Także, dla zaciekawionych, zostawiłem link w opisie
do elektrotechnicznej literatury, która stosuje ideę tego problemu.
Niezależnie od przydatności, na pewno jest to ciekawa zagadka - czy zawsze
da się dokonać sprawiedliwego podziału używając jedynie tylu cięć, ile jest rodzajów klejnotów.
Tak więc oto zagadka. Zapamiętajcie ją, a teraz zrobimy pozornie niepowiązaną dygresję
w kierunku drugiej strony matematycznego wszechświata: topologii. Wyobraźcie sobie
wzięcie trójwymiarowej kuli i w jakiś sposób ściśnięcie jej na płaszczyznę. Rozciągając i przekształcając ją
jak tylko chcecie. Jedynym ograniczeniem jest to, że zrobić to w sposób ciągły, o czym można myśleć tak,

Spanish: 
de ningún modo durante la trasformación.
Al hacer esto, muchos pares de puntos acabaran uno sobre otro una vez acaben en el plano, es lo esperado.
El hecho importante que usaremos, conocido como el teorema de Borsuk-Ulam
es que siempre se puede encontrar un par de puntos
que empezaron exactamente en lados opuestos de la esfera
y que aterrizarán uno sobre el otro durante la transformación.
Los puntos en lados exactamente opuestos de la esfera son llamados "antípodas" o "puntos antipodales".
Por ejemplo, si se piensa en la esfera como la Tierra,
y en el mapeo como una proyección de cada punto
directamente en el plano del ecuador,
los polos norte y sur, que son antipodales
aterrizan sobre el mismo punto.
En este ejemplo, este es el único par que aterriza en el mismo punto,
para cualquier otro par antipodal terminarán separados uno del otro.
Si se cambia esta función un poco, puede que pellizcando un poco durante la proyección,

Polish: 
żeby nigdy jej nie pociąć ani nie rozerwać w czasie przekształcania.
Gdy to zrobicie, wiele różnych par punktów znajdzie się w tym samym miejscu, gdy już znajdą się
na płaszczyźnie; to żaden problem. Specjalna właściwość, której tu użyjemy, znana jako
twierdzenie Borsuka-Ulama jest taka, że zawsze znajdziecie parę punktów, które zaczęły dokładnie
po przeciwległych stronach sfery, a skończyły w jednym punkcie po przekształceniu.
Punkty po przeciwległych stronach sfery są nazywane "antypodami" lub "punktami antypodycznymi".
Na przykład, jeśli pomyślicie o sferze jak o Ziemi, a o przekształceniu jak o projekcji
każdego punktu bezpośrednio na płaszczyznę równika, to bieguny północny i południowy, które są
antypodyczne, znajdą się w tym samym punkcie. W tym przykładzie jest to jedyna para,
która znalazła się w tym samym miejscu, a każda inna para punktów antypodycznych znajdzie się
w różnych miejscach.
Jeśli zmienilibyście trochę tę funkcję, na przykład pochylając całą projekcję, to bieguny

English: 
you can think of as meaning you never cut
the sphere or tear it in any way during the
mapping.
As you do this, many different pairs of points
will land on top of each other once it hits
the plane, and that’s no big deal. The special
fact that we’ll use, known as the Borsuk-Ulam
theorem, is that you will always be able to
find a pair of points that started off on
exact opposite sides of the sphere, which
land on each other during the mapping. Points
on the exact opposite side of a sphere are
called “antipodes”, or “antipodal points”.
For example, if you think of the sphere as
earth, and your mapping as a projection of
every point directly onto the plane of the
equator, the north and south pole, which are
antipodal, each land on the same point. And
in this example, that’s the only antipodal
pair that land on the same point, any other
antipodal pair will end up offset from each
other.
If you tweaked this function a bit, maybe
shearing it during the projection, the north

English: 
and south pole may no longer land on each
other. But when the topology gods close a
door, they open a window, because the Borsuk-Ulam
theorem guarantees that no matter what, there
must be some other antipodal pair that now
land on each other.
The classic example to illustrate this idea,
which math educators introducing Borsuk-Ulam
are required by law to present, is that there
must exist some pair of points on opposite
sides of the earth, where the temperature
and the barometric pressures are both precisely
the same. This is because associating each
point on the earth with a pair of numbers,
temperature, and pressure, is the same as
mapping the surface of earth onto a 2d coordinate
plane, where the first coordinate represents
temperature and the second represents pressure.
Since each of those values varies continuously
as you wander around the earth, this association
is a continuous mapping from the sphere onto
the plane; some non-tearing way to squish

Polish: 
nie trafiają już w to samo miejsce. Ale kiedy bogowie topologii zamykają drzwi,
otwierają również okno, ponieważ twierdzenie Borsuka-Ulama gwarantuje, że nieważne co,
zawsze musi być jakaś inna para antypodycznych punktów, która skończy w tym samym punkcie.
Klasyczny przykład na zobrazowanie tej idei, którego przedstawienie jest prawnie wymagane od nauczycieli
pokazujących owe twierdzenie, to że zawsze musi istnieć para naprzeciwległych punktów
na Ziemi, gdzie temperatura i ciśnienie atmosferyczne są dokładnie
takie same. Jest tak dlatego, że przyporządkowanie każdemu punktowi na Ziemi pary liczb -
temperatury i ciśnienia - jest tym samym, co projekcja powierzchni Ziemi na dwuwymiarowej płaszczyźnie,
gdzie pierwsza współrzędna reprezentuje temperaturę, a druga ciśnienie.
Cichym założeniem jest tutaj, że temperatura i ciśnienie zmieniają się w sposób ciągły, w miarę jak
przemieszczamy się po Ziemi. Zatem to przypisanie jest ciągłym przekształceniem
ze sfery na płaszczyznę - jakimś sposobem bez rozdzierania na ściśnięcie

Spanish: 
los polos norte y sur puede que ya no aterricen el uno sobre el otro.
Pero cuando los dioses de la topología cierran una puerta, abren una ventana,
porque el teorema de Borsuk-Ulam garantiza que en cualquier caso
debe haber algún par de puntos antipodales que ahora aterrizan uno sobre el otro.
El ejemplo clásico para ilustrar esta idea,
que los profesores de matemática suelen usar al introducir Borsuk-Ulam
es que han de existir un par de puntos en lados opuestos de la Tierra
donde la temperatura y la presión barométrica son precisamente las mismas.
Esto ocurre porque al asociar cada punto de la Tierra con un par de números,
temperatura y presión, es lo mismo que proyectar la superficie de la tierra sobre un plano coordenado bidimensional ,
donde la primera coordenada representa la temperatura, y la segunda representa la presión.
Se asume implícitamente aquí que temperatura y presión cambian de forma continua al moverse alrededor de la tierra,
y por tanto, esta asociación es un proyección continua de la esfera sobre el plano;

Spanish: 
una forma de aplastar la superficie de la Tierra sin rasgarla sobre 2 dimensiones.
Lo que Borsuk-Ulam implica es que cualquiera que sean los patrones del clima sobre la Tierra,
o sobre cualquier otro planeta,
existen dos puntos antipodales que acaban uno sobre el otro,
lo cual significa que se proyectan sobre el mismo par (temperatura, presión)
Puesto que estás viendo este vídeo, probablemente eres un matemático en tu corazón,
así que deseas ver por qué esto es cierto, no tan sólo saber que es cierto.
Demos un pequeño paso lateral a traves de la tierra de las demostraciones topológicas;
pienso que estarás de acuerdo que es una línea de razonamiento muy satisfactoria.
Primero, refrasearemos qué es lo que queremos demostrar de una forma un poco más simbólica;
Si se tiene una función f que toma un punto p de la esfera y devuelve un par de coordenadas,
queremos demostrar que por loca que sea la elección de esta función f,
en tanto que sea continua, seremos capaces de encontrar algún punto p tal que f(p)=-f(p)
donde -p es el punto antipodal al otro lado de la esfera.

English: 
the surface of the earth into 2 dimensions.
So what Borsuk-Ulam implies is that no matter
what the weather patterns are on earth, or
any other planet for that matter, two antipodal
points must land on top of each other, which
means they map to the same (temperature, pressure)
pair.
Since you’re watching this video, you’re
probably a mathematician at heart, so you
want to see why this is true, not just that
it’s true. So let’s take a little sidestep
through topology proof land; I think you’ll
agree this is a really satisfying line of
reasoning.
So, rephrasing what it is we want to show
slightly more symbolically: If you have some
function f that takes in a point p of the
sphere, and spits out some pair of coordinates,
you want to show that no matter what crazy
choice of this function f is, as long as it’s
continuous, you’ll be able to find some
point p so that f(p) = f(-p), where -p is
the antipodal point on the other side of the
sphere.

Polish: 
powierzchni Ziemi na dwa wymiary. Zatem co Borsuk-Ulam zakłada, to że niezależnie
od warunków pogodowych na Ziemi, ani na żadnej planecie również, dwa antypodyczne punkty
muszą wylądować w tym samym miejscu, co oznacza, że przyporządkowana jest im ta sama para
temperatury i ciśnienia.
Skoro oglądacie ten film, w sercach prawdopodobnie jesteście matematykami, więc
chcecie zobaczyć czemu to jest prawdziwe, a nie tylko, że to jest prawdziwe. Przejdźmy więc
przez "krainę dowodów topologicznych". Myślę, że zgodzicie się, że to satysfakcjonujący tok rozumowania.
Wpierw, przeformułowanie tego, co chcemy pokazać w bardziej symboliczny sposób. Jeśli mamy jakąś
funkcję f, która przyjmuje punkt p ze sfery i zwraca parę współrzędnych,
chcemy pokazać, że nieważne jak szaloną funkcję byśmy wybrali, tak długo jak jest
ona ciągła, będzie można znaleźć jakiś punkt p taki, że f(p) = f(-p), gdzie -p jest
punktem antypodycznym po przeciwległej stronie sfery.

English: 
The key idea here is to first rearrange this
to say f(p) - f(-p) = (0, 0) and focus on
a new function g(p) defined to be f(p) - f(-p).
This way, we need to show that g maps some
point of the sphere to the origin of 2d space,
(0, 0). So rather than finding a pair of colliding
points which could land anywhere, this helps
us limit our focus to one point of the output
space. This function g has a very special
property which will help us out: g(-p) = -g(p),
meaning if you negate the input of g, it negates
the output. Basically, these two terms get
swapped. In other words, going to the antipodal
point on the sphere results in reflecting
the output through the origin in the output
space. Or maybe you think of it as rotating
that output 180 degrees about the origin.

Polish: 
Kluczowy pomysł, który najpierw może wydawać się nieistotny, to zmienić kolejność i powiedzieć, że
f(p) - f(-p) = (0,0) i skupić się na nowej funkcji g(p), która jest zdefiniowana jako lewa strona w tej równości:
f(p) - f(-p). W tym sposób musimy pokazać, że g przekształca jakiś
punkt ze sfery na środek układu współrzędnych. Więc zamiast znajdować parę odpowiadających
punktów, które mogą wylądować gdziekolwiek, możemy ograniczyć naszą uwagę do jednego punktu
wyjściowej przestrzeni - środka. Funkcja g ma bardzo specjalną właściwość, która nam pomoże, że
g(-p) = -g(p), sprawiając, że zamiana puntów na wejściu, zwróci przeciwny wynik.
Innymi słowy, przejście do antypodycznego punktu sfery skutkuje odbiciem
wyjściowego punktu względem środka układu. Można też o tym myśleć jak o obróceniu punktu
o 180 stopni względem środka.

Spanish: 
La idea clave aquí, aunque pueda parecer extraña a primera vista, es primero reordenar esto,
y ver que f(p)-f(-p)=(0,0)
y enfocarnos en una nueva función g(p) definida como f(p)-f(-p).
De este modo, necesitamos demostrar que g proyecta algún punto de la esfera
sobre el origen del espacio bidimensional, (0,0).
Así que en lugar de encontrar un par de puntos que pueden aterrizar en cualquier sitio,
esto nos ayuda a limitar nuestro foco a un punto del espacio de salida: el origen.
Esta función g tiene una propiedad muy especial que nos ayudará: g(-p)=-g(p),
basicamente, tomar el opuesto a la entrada supone cambiar el orden de estos dos términos.
En otras palabras, ir al punto antipodal de la esfera
resulta en la reflexión de la salida de g a través del origen en el espacio de salida.
O también puedes imaginarlo como si rotaras esa salida 180º alrededor del origen

Polish: 
Zauważcie co to znaczy: jeśli w sposób ciągły przemieszczalibyśmy się po równiku i patrzyli na
wartości funkcji g, co się stanie, gdy przemieścimy się połowę tej drogi?
Cóż, wartości musiały przejść do odbicia punktu startowego względem środka układu.
A potem, gdy kontynuowaliśmy przemieszczanie się przez kolejną połowę,
ta druga połowa drogi musi być odbiciem pierwszej połowy lub równoważnie
jest tą pierwszą połową obróconą o 180 stopni.
Jest małe prawdopodobieństwo, że jeden z tych punktów przechodzi przez środek.
W tym przypadku, mamy szczęście i skończyliśmy wcześniej, ale w innym wypadku
mamy ścieżkę, która zawija się wokół środka co najmniej raz. Teraz spójrzcie na tę ścieżkę
wokół równika i wyobraźcie sobie ciągłe przesuwanie jej w kierunku bieguna północnego, zacieśniając pętlę.

Spanish: 
Nótese lo que esto significa si fueras a andar continuamente alrededor del ecuador,
y mirases a las salidas de g.
¿Qué ocurre cuando estás a mitad de camino?
La salida necesariamente se habrá movido hacia la reflexión del punto inicial a través del origen.
Entonces, mientras continuas andando por la otra mitad,
la segunda mitad de tu camino debe ser la reflexión de la primera mitad,
o equivalentemente, es la rotación de 180º de esa primera mitad.
Ahora, hay una pequeña posibilidad de que uno de esos puntos pase a través del origen,
en cuyo caso hemos sido afortunados, y habremos terminado temprano.
En otro caso, tendremos un camino que da vuelta alrededor del origen al menos una vez.
Ahora miremos ese camino a lo largo del ecuador,
e imaginemos que se deforma contínuamente hacia el polo norte.
Al hacer esto, el camino resultante en el espacio de salida

English: 
Notice what this means if you were to continuously
walk around the equator, and look at the outputs
of g. By the time you get halfway around,
the output needs to have wondered to the reflection
of the starting point through the origin.
Then, as you continue walking around, the
second half of your path must be the reflection
of the first half, which is actually the same
as the 180o rotation of that first path.
Now, there’s a slim possibility that one
of these points happens to pass through the
origin, in which case you’ve lucked out
and we’re done early. But otherwise, what
we have is a path that winds around the origin
at least once. Now look at that path along
the equator, and imagine continuously deforming
it towards the north pole. As you do this,

English: 
the resulting path in the output space also
must continuously deform to a point, since
our function g is continuous. Because it wound
around the origin, at some point in this process
it must cross the origin. That means there’s
some point p on the sphere where g(p) = (0,
0), which means f(p) = f(-p), which is the
antipodal collision we were looking for!
Isn’t that clever? It doesn’t matter what
particular continuous function from the sphere
to the plane you define, this line of reasoning
will always zero in on an antipodal pair that
land on top of each other.
At this point, you might be feeling like we’ve
strayed extremely far from the necklace problem,
but just you wait! Here’s where things start
getting clever. First, answer me this: What

Spanish: 
también debe deformarse continuamente en un punto,
puesto que nuestra funcion g es continua.
Como ésta da una vuelta alrededor del origen, en algún punto debe cruzar el origen.
Esto significa que hay algún punto p de la esfera donde g(p) = (0, 0),
lo cual significa que f(p)-f(-p)=(0,0), y por  lo tanto, f(p) = -f(p), que es la
colisión antipodal que buscábamos.
¿No es astuto? Es un estilo muy común de argumento en el contexto de la topología,
No importa qué función continua particular de la esfera en el plano se defina,
esta línea de razonamiento siempre encontrará un par de puntos antipodales que aterricen el uno sobre el otro.
En este punto, puedes tener la sensación de que nos hemos alejado mucho del problema del collar,
¡Pero ten un poco de paciencia! Aquí es donde recurrimos al ingenio. Primero, contesta esta pregunta:
¿Qué es una esfera, en realidad?

Polish: 
W miarę jak to robimy, powstająca ścieżka, również w sposób ciągły, przekształca się do punktu,
skoro nasz funkcja g jest ciągła. Ponieważ nasza ścieżka zawijała się wokół środka, w pewnym momencie
trwania tego procesu musiała przejść przez środek. A to oznacza, że jest jakiś punkt p na sferze, że
g(p) ma koordynaty (0,0), co oznacza, że f(p) - f(-p) = (0,0), czyli f(p) = f(-p) - antypody, których szukamy.
Całkiem mądre, nie? Jest to całkiem powszechny styl rozumowania w kontekście topologii.
Nieważne jaką konkretnie ciągłą funkcję ze sfery na płaszczyznę zdefiniujemy,
taki ciąg rozumowania zawsze przetnie zero w parze antypodycznych puntów, które wylądują na sobie.
W tym momencie być może myślicie: "Tia, fajna matematyka i w ogóle, ale oddaliliśmy się dość daleko
od problemu skradzionego naszyjnika...".
Ale zaczekajcie tylko! To właśnie tu robi się sprytnie. Najpierw odpowiedzcie na to: czym dokładnie jest sfera?

English: 
is a sphere, really. Well, points in 3d space
are represented with three coordinates. In
some sense what 3d space is, to a mathematician
at least, is all possible triplets of numbers.
The simplest sphere to describe with coordinates
is a standard unit sphere centered at the
origin; the set of all points a distance 1
from the origin, meaning all triplets with
the special property that the sum of their
squares is 1. So the geometric idea of a sphere
is related to the algebraic idea of some set
of positive numbers that add to 1. Remember
that.
If you have one of these triplets, the point
on the opposite side of the sphere, the corresponding
antipodal point, is whatever you get by flipping
the sign of each coordinate, right? So let’s
just write out what Borsuk-Ulam is saying
symbolically; this will help connect back
to the necklace problem. For any function
that takes in points on the sphere –triplets
of numbers whose squares sum to 1–and spits
some point in 2d space – some pair of coordinates

Polish: 
Cóż, punkty w trójwymiarowej przestrzeni są przedstawiane trzema współrzędnymi.
W pewnym sensie, to właśnie jest trójwymiarowa przestrzeń, przynajmniej dla matematyka - wszystkie
możliwe trójki liczb. A najprostsza do opisania współrzędnymi sfera to standardowa
sfera jednostkowa, ze środkiem w centrum układu współrzędnych - zbiór wszystkich punktów o
o odległości 1 od środka, czyli wszystkie trójki liczb takie, że suma ich kwadratów jest równa 1.
Tak więc geometryczna interpretacja sfery jest związana z algebraiczną ideą zbioru dodatnich liczb, które
sumują się do 1. To może brzmieć prosto, ale zapamiętajcie to.
Jeśli mamy jedną z takich trójek, to punkt po przeciwległej stronie sfery - odpowiadający punkt
antypodyczny - jest tym, co dostanie się przez zamianę znaku każdej ze współrzędnych, prawda?
Wypiszmy więc co twierdzenie Borsuka-Ulama mówi symbolicznie. Uwierzcie, to pomoże przy wróceniu do
problemu naszyjnika. Dla każdej funkcji, która przyjmuje punkty na sferze - trójki liczb, których kwadraty
sumują się do 1 - oraz zwraca pewne punkty na płaszczyźnie - jakąś parę punktów,

Spanish: 
Bien, son puntos en el espacio tridimensional, que se representan con tres coordenadas.
En cierto sentido, eso es lo que el espacio tridimensional es, al menos para los matemáticos:
todas las posible ternas de números.
Y la esfera más sencilla de describir con coordenadas es la esfera unitaria estándar, centrada en el origen;
el conjunto de todos los puntos a distancia 1 del origen, es decir,
todas las ternas con la propiedad especial de que la suma de sus cuadrados es 1.
Así que la idea geométrica de una esfera
está relacionada con la idea algebráica de un conjunto de números positivos que suman 1.
Esto puede parecer simple, pero consérvalo en tu mente.
Si se tiene una de estas ternas, el punto en el lado opuesto de la esfera, el punto antipodal correspondiente,
será aquel donde se cambia el signo de cada coordenada, ¿correcto?
Así que escribamos lo que Borsuk-Ulam dice simbólicamente;
Créeme, esto nos ayudara a volver al problema del collar.
Para cualquier función que lleva puntos de la esfera
- ternas de números cuyos cuadrados suman 1- y devuelve puntos en el espacio bidimensional

Polish: 
jak temperatura i ciśnienie - tak długo, jak funkcja jest ciągła,
zawsze będzie taki argument, że zamiana wszystkich znaków nie zmieni wartości.
Mając to w głowie, wróćmy do problemu skradzionego naszyjnika. Częścią powodu, dla którego
te dwie rzeczy wydają się być tak bardzo niepowiązane jest fakt, że problem naszyjnika jest dyskretny,
podczas gdy twierdzenie Borsuka-Ulama jest ciągłe. Więc naszym pierwszym krokiem będzie zamiana
problemu naszyjnika w ciągłą wersję, szukając powiązania między podziałem naszyjnika a punktami
na sferze.
Póki co, ograniczmy się do przypadku, gdzie są tylko dwa rodzaje klejnotów: szafiry i szmaragdy.
Mamy nadzieję, że uda się ten naszyjnik sprawiedliwie podzielić jedyni dwoma cięciami.
Jako przykład dla ustalenia uwagi powiedzmy, że jest 8 szafirów i 10 szmaragdów na naszyjniku.
Jako przypomnienie: chcemy podzielić naszyjnik w dwóch różnych miejscach
i podzielić powstające 3 segmenty tak, żeby każdy złodziej dostał połowę szafirów
i połowę szmaragdów. Zwróćcie uwagę, góra i dół mają każdy po 4 szafiry i 5 szmaragdów.

English: 
like temperature and pressure – as long
as that function is continuous, there will
be some input so that flipping all the signs
doesn’t change the output.
With that in mind, look back at the stolen
necklace problem. Part of the reason these
two things feel so unrelated is that the necklace
problem is discrete, while the Borsuk-Ulam
theorem is continuous, so our first step is
to translate the stolen necklace problem into
a continuous version, seeking a connection
between necklace division and points on a
sphere.
For right now, let’s limit ourselves to
the case where there are 2 jewel types, sapphires,
and emeralds, and we’re hoping to make a
fair division of the necklace after only 2
cuts. As an example to have up on the screen,
let’s say there are 8 sapphires and 10 emeralds
on the necklace. Just as a reminder, this
means the goal is to cut the necklace in two
spots and divvy up the 3 segments so that
each thief ends up with half of the sapphires
and half of the emeralds. Notice how the top
and bottom here each have 4 sapphires and

Spanish: 
-pares de coordenadas, tales como temperatura y presión-, en tanto que la función sea continua,
habrá alguna entrada tal que al cambiar todos los signos, no cambia la salida.
Con esto en mente, miremos otra vez el problema del collar.
Parte de la razón por la que estos dos problemas parecen tan lejanos
es que el problema del collar es discreto,
mientras que el teorema de Borsuk-Ulam es continuo,
así que nuestro primer paso será traducir el problema del collar robado a una versión continua,
buscando una conexión entre el problema del reparto del collar y los puntos de una esfera.
Por ahora, limitémosnos al caso donde hay 2 tipos de gemas, por ejemplo, zafiros y esmeraldas,
y esperamos hacer un reparto justo del collar tras sólo 2 cortes.
Como ejemplo para poner en la pantalla, digamos que hay 8 zafiros y 10 esmeraldas en el collar.
Sólo como recordatorio, esto significa que nuestro objetivo es cortar el collar en dos lugares
y repartir los 3 segmentos resultantes de forma que cada ladrón acabe
con la mitad de los zafiros y la mitad de las esmeraldas.
Nótese que tanto la parte superior como la inferior tienen 4 zafiros y 5 esmeraldas.

Polish: 
Dla naszego uciąglenia, pomyślmy o naszyjniku jak o linii o długości 1,
na której siedzą równo rozłożone klejnoty.
Podzielmy tę linię na 18 równych części - po 1 na każdy klejnot.
I zamiast myśleć o klejnocie jak o dyskretnym, niepodzielnym obiekcie na każdym segmencie,
pozbądźmy się klejnotu i tylko pomalujmy dany segment na kolor mu odpowiadający. W tym wypadku 8/18 linii
będzie pomalowana na szafirowo, a 10/18 na szmaragdowo.
Ciągły wariant problemu to teraz zapytać, czy możemy znaleźć dwa takie cięcia gdziekolwiek na linii,
niekoniecznie na interwałach 1/18, które pozwala nam podzielić kawałki tak, że każdy złodziej dostanie
taką samą długość każdego koloru, W tym wypadku każdy złodziej powinien mieć w sumie 4/18 szafirowych
segmentów i 5/18 szmaragdowych segmentów.
Ważne i dość subtelne jest to, że jeśli jesteśmy w stanie rozwiązać wariant ciągły zagadki, to możemy

English: 
5 emeralds.
Think of the necklace as a line with length
1, with the jewels sitting evenly spaced on
it. Now divide up that line into 18 evenly-sized
segments, one for each jewel, and rather than
thinking of each jewel as a discrete indivisible
entity on its segments, remove the jewel itself
and just paint that segment the color of the
jewel. So in this case, 8/18ths of the line
would be painted sapphire, while 10/18ths
would be painted emerald.
The continuous version of the puzzle is to
now ask whether we can find two cuts anywhere
on this line, not necessarily on these 1/18th
interval marks, that let us divide up the
pieces so that each thief has an equal length
of each color; in this case each thief should
have a total of 4/18th of sapphire colored
segments, and 5/18ths of emerald-colored segments.
An important and somewhat subtle point is
that if you can solve this continuous variant

Spanish: 
Para nuestra continuificación, piensa en el collar como una línea de longitud 1, con las gemas equiespaciadas.
Ahora, dividamos la línea en 18 segmentos de igual longitud, uno por cada gema,
y en vez de pensar en cada gema como una entidad discreta indivisible en su segmento,
quitemos la gema y pintemos el segmento del color de la gema.
En este caso, 8/18 de la línea se pintarán de zafiro, mientras que 10/18 se pintarán de esmeralda.
La versión continua del problema consiste en preguntarse si podemos encontrar dos cortes en cualquier posición de la línea,
si podemos encontrar dos cortes en cualquier posición de la línea,
no necesariamente en las marcas de intervalo 1/18, que nos permita repartir las piezas
de forma que cada ladrón tenga una longitud igual de cada color;
en este caso, cada ladrón debería  tener un total de 4/18 de segmentos de color zafiro, y 5/18 de color esmeralda.
Un punto importante y sutil es que si se puede resolver la versión continua del problema,

English: 
of the puzzle, you can also solve the original
discrete version. Let’s say you do find
a fair division whose cuts don’t happen
to fall cleanly between jewels, maybe it cuts
part way through an emerald segment. Well,
because this is a fair division, the length
of emerald in both the top and bottom group
has to add up to exactly 5 emerald segments,
a whole number multiple of the segment lengths.
So even if the division cut partially into
an emerald segment on the left, it has to
cut partially into an emerald segment on the
right as well so that the total length adds
up to a whole number multiple of the segment
length. This means we can adjust each cut
without affecting the division until they
do ultimately line up on these 1/18th marks.
Now, in this continuous case, in which you
can cut wherever you want on the line, think
about all choices that go into cutting the
necklace and allocating the pieces. First,

Polish: 
również rozwiązać oryginalny dyskretny problem. Żeby to zobaczyć, załóżmy, że udało się znaleźć
sprawiedliwy podział, którego cięcia nie wyszły dokładnie pomiędzy klejnotami. Być może przecięły
częściowo przez część szmaragdową. Ponieważ jest to sprawiedliwy podział, długość szmaragdów,
zarówno w górnych i w dolnych segmentach, musi zsumować się do pełnych 5 szmaragdowych odcinków -
całkowitoliczbowej wielokrotności długości jednego odcinka.
Więc nawet jeśli podział przeciął częściowo szmaragdowy odcinek po lewej, to musi
również przeciąć częściowo szmaragdowy odcinek po prawej tak, że całkowita długość zsumowała się do
całkowitoliczbowej wielokrotności długości jednego odcinka. To oznacza, że można regulować
każde cięcie bez wpływu na podział, dopóki ostatecznie nie pokryją się z interwałami 1/18.
Więc po co to robimy? W ciągłym wariancie, gdzie możemy przeciąć gdziekolwiek na linii,
pomyślcie o wszystkich wyborach, które decydują o cięciach i dystrybucji kawałków.

Spanish: 
se puede resolver también la versión discreta original.
Para ver ésto,
digamos que se encuentra un reparto justo cuyos cortes no caigan limpiamente entre las gemas,
puede que corten en medio de un segmento esmeralda.
Puesto que es un reparto justo,
la longitud esmeralda tanto arriba como abajo ha de sumar exactamente 5 segmentos esmeralda,
un número entero múltiplo de la longitud de los segmentos.
Así que incluso si los cortes dividen parcialmente un segmento esmeralda a la izquierda,
también ha de cortar parcialmente un segmento esmeralda a la derecha,
de forma que la longitud total sea igual a un número múltiplo de la longitud de los segmentos.
Esto significa que podemos ajustar cada corte sin afectar el reparto,
hasta que los cortes se alineen finalmente en estas marcas de 1/18.
Ahora, ¿por qué estamos haciendo todo ésto?
En el caso continuo, en el cual se puede cortar donde se quiera en la línea,
pensemos en las opciones que tenemos para cortar el collar y repartir las piezas.
Primero, se eligen los lugares donde cortar el intervalo.

Polish: 
Wpierw wybieramy dwa miejsca, w których przecinamy, ale można też o tym myśleć jak o wyborze
3 dodatnich liczb, których suma będzie wynosić 1. Na przykład wybralibyśmy 1/6, 1/3 i 1/2, które
odpowiadają tym dwóm cięciom.
Zawsze, gdy znajdziemy 3 dodatnie liczby, które sumują się do 1, daje nam to sposób, na który możemy podzielić
naszyjnik i vice versa. Potem, musimy dokonać binarnego wyboru na każdy z tych trzech kawałków
decydującego, czy ma iść do złodzieja 1, czy złodzieja 2.
Porównajcie to teraz do tego, gdybym poprosił was o wybór dowolnego punktu na trójwymiarowej sferze -
jakiegoś punktu o koordynatach (x,y,z) takiego, że
x^2 + y^2 + z^2 = 1. Możecie zacząć wybierając
3 dodatnie liczby, które sumują się do 1. Być może wybralibyście x^2 równe 1/6, y^2 równe 1/3,
a z^2 równe 1/2. Potem musicie dokonać binarnego wyboru dla każdego z nich, decydując czy chcecie
wybrać dodatni, czy ujemny pierwiastek.
W pewien sposób jest to równoważne dzieleniu naszyjnika i dyspozycji kawałków.

English: 
you choose two places to cut the interval.
But another way to think of that is to choose
3 positive numbers that add up 1. For example,
maybe you choose ⅙, ⅓ and ½, which corresponds
to these two cuts.
Any time you find 3 positive numbers that
add to 1, it gives you a way to cut the necklace
and vice versa. And after that, you have to
make a binary choice for each of these three
pieces as to whether it goes to Thief 1 or
Thief 2.
Now compare that to if I asked you to choose
some arbitrary point on the sphere in 3d space;
some point with coordinates (x, y, z) to that
x^2+y^2+z^2=1. Well, you might also start
off choosing 3 positive numbers that add to
1, maybe you want x^2 to be ⅙, y^2 to be
⅓, and z^2 to be ½. Then, you have to make
a choice for each one, choosing whether to
take the positive square root, or the negative
square root.
So in a way that’s completely parallel to
choosing a necklace division, choosing a point
on the sphere involves first finding 3 positive
numbers that add to 1, then making a binary
choice for what to do with each one.

Spanish: 
Pero otra manera de pensar en esto es que se eligen 3 números positivos que sumen 1.
Por ejemplo, se podrían elegir 1/6, 1/3 y 1/2, correspondientes a estos dos cortes.
Cada vez que se encuentra 3 números positivos que suman 1,
tendremos una manera de cortar el collar y viceversa.
Después, tienes que hacer una elección binaria para cada una de las tres piezas, si va al ladrón 1, o al 2.
Ahora comparemos esto con la petición de elegir un punto arbitrario en la esfera tridimensional;
un punto con coordenadas (x,y,z) de forma que x^2+y^2+z^2=1.
De igual modo se podría empezar por pedir 3 números positivos que sumen 1,
puede que se quiera que x^2 sea 1/6, y^2 sea 1/3, y z^2 sea 1/2.
Entonces, se tiene que tomar una decisión binaria para cada uno,
eligiendo si se toma la raíz cuadrada positiva o negativa.
En cierto modo, esto es completamente equivalente a partir el collar,
y repartir las piezas.

Polish: 
W porządku, słuchajcie teraz, bo będzie to najważniejsza obserwacja w całym filmie.
Daje nam zależność pomiędzy punktami na sferze, a podziałem naszyjnika. Dla każdego punktu
(x,y,z) na sferze, ponieważ x^2 + y^2 +z^2 = 1, można pociąć naszyjnik tak, że pierwsza część na długość
x^2, druga y^2, a trzecia z^2.
Dla pierwszego kawałka: jeśli x jest dodatnie, dajemy go złodziejowi 1, w przeciwnym wypadku - złodziejowi 2.
Dla drugiego kawałka: jeśli y jest dodatnie dajemy go złodziejowi 1, w przeciwnym wypadku - złodziejowi 2.
I tak samo dajemy trzeci kawałek złodziejowi 1, jeśli z jest dodatnie, a złodziejowi 2, jeśli jest ujemne.
Można też pójść od drugiej strony: jakkolwiek podzielimy naszyjnik i rozdamy kawałki
dostajemy unikatowy punkt na sferze. Zupełnie jakby sfera była dziwnie idealnym sposobem przedstawienia
wszystkich sposobów podziału naszyjnika, tyle że z geometrycznym obiektem.
I teraz jesteśmy niesamowicie blisko. Pomyślcie o znaczeniu punktów antypodycznych w tym

English: 
Alright, hang with me now, because this is
the key observation for the whole video! It
gives a correspondence between points on the
sphere and necklace divisions. For any point
(x, y, z) on the sphere, because x^2 + y^2
+ z^2 = 1, you can cut the necklace so that
the first piece has length x^2, the second
has length y^2, and the third has length z^2.
For the first piece, if x is positive, give
it to Thief 1, otherwise, give it to Thief
2. For the second piece, if y is positive,
give it to Thief 1, otherwise, give it to
Thief 2. Likewise, give the third piece to
Thief 1 if z is positive, and to Thief 2 if
z is negative.
And you could go the other way around; any
way to divide up the necklace and divvy up
the pieces gives us a unique point on the
sphere. It’s as if the sphere is the perfect
way to encapsulate the idea of all possible
necklace divisions with a geometric object.
We’re tantalizingly close now. Think about
the meaning of antipodal points under this

Spanish: 
Atención ahora, esta es la observación clave del vídeo;
nos da la correspondencia entre los puntos de la esfera  y los repartos del collar.
Para cualquier punto (x,y,z) en la esfera, como x^2+y^2+z^2=1, se puede cortar el collar
de forma que la primera pieza tenga longitud x^2, la segunda y^2, y la tercera z^2.
Para la primera pieza, si x es positivo, se le da al ladrón 1, en otro caso, al ladrón 2.
Para la segunda pieza, si y es positivo, se le da al ladrón 1, en otro caso, al ladrón 2.
Y de igual modo, para la tercera pieza, si z es positivo, se le da al ladrón 1, en otro caso, al ladrón 2.
Y se puede ir en la otra dirección. De cualquier manera  que dividas el collar y obtengas las piezas,
nos da un punto único en la esfera.
Es como si la esfera fuera la manera perfecta
de encapsular la idea de todas los posibles repartos del collar en un objeto geométrico.
Estamos ya muy cerca. Piensa en el significado de los puntos antipodales bajo esta asociación.

English: 
association. If the point (x, y, z) on the
sphere corresponds to some necklace allocation,
what does the point (-x, -y, -z) correspond
to? Well, the squares of these coordinates
are all the same, so each one corresponds
to making the same cuts on the necklace. The
difference is that every piece switches which
thief it belongs to. So jumping to an antipodal
point on the opposite side of the sphere corresponds
to exchanging all the pieces.
Now remember what it is that we’re actually
looking for; we want to total length of each
jewel type belonging to Thief 1 to equal that
for Thief 2. Or in other words, in a fair
division, performing this antipodal swap doesn’t
change the amount of each jewel belonging
to each thief.
Your brain should be burning with the thought
of Borsuk Ulam at this point.
Specifically, let’s construct a function
that takes in a given necklace allocation
and spits out two numbers: The total length
of sapphire belonging to Thief 1, and the

Spanish: 
Si el punto (x,y,z) sobre la esfera corresponde a un reparto del el collar,
¿a qué corresponde el punto (-x,-y,-z)?
Como los cuadrados de estas coordenadas son los mismos,
ambas corresponden a hacer los mismos cortes en el collar.
La diferencia es se cambia a qué ladrón se da cada pieza.
Por tanto, saltar a un punto antipodal en el lado opuesto de la esfera
corresponde a intercambiar todas las piezas.
Recordemos ahora qué es lo que buscamos;
Queremos que la longitud de cada tipo de gema perteneciente al ladrón 1 sea igual a la del ladrón 2.
O, en otras palabras, en un reparto justo, ejecutar el intercambio antipodal
no debe cambiar la cantidad de cada gema que posee cada ladrón.
Tu mente se debe estar quemando ahora mismo con el pensamiento de Borsuk-Ulam en este punto.
Específicamente, construyamos una función que tome un reparto dado del collar y devuelva dos números:

Polish: 
rozumowaniu. Jeśli punkt (x,y,z) na sferze odpowiada jakiemuś podziałowi naszyjnika,
to czemu odpowiada punkt (-x,-y,-z)? Kwadraty tych współrzędnych zostają takie same,
więc oba odpowiadają tym samym cięciom naszyjnika.
Różnica jest taka, że każdy kawałek zmienia właściciela. Więc skok do antypodycznego punktu po drugiej
stronie sfery odpowiada wymianie kawałków.
Pamiętajmy, czego szukamy: chcemy, aby łączna długość każdego rodzaju klejnotów
należących do złodzieja 1 była równa tej złodzieja 2. Innymi słowy,
w sprawiedliwym podziale, taka zamiana nie zmieni ilości klejnotów, jaką każdy złodziej posiada.
W tym momencie wasze mózgi powinny już płonąć na myśl o Borsuku-Ulamie.
W szczególności, możemy skonstruować funkcję, która przyjmuje dany podział naszyjnika

English: 
total length of emerald belonging to Thief
1. We want to show that there must exist a
way to divide the necklace with two cuts and
divvy up the pieces so that these two numbers
are the same as what they would be for thief
2; or, said differently, where swapping all
the pieces wouldn’t change these two numbers
for Thief 1.
Because of this back and forth between necklace
allocations and points on the sphere, and
because pairs of numbers correspond with points
on the xy plane, this is, in effect, a map
from the sphere onto the plane. So the Borsuk-Ulam
theorem guarantees that some antipodal pair
of points on the sphere land on each other
in the plane, which means there must be some
necklace division using two cuts that gives
a fair division between thieves.
That, my friends, is what beautiful math feels
like.

Polish: 
i zwraca dwie liczby: całkowitą długość szafirów należących do złodzieja 1 i całkowitą długość
szmaragdów należących do złodzieja 1. Chcemy pokazać, że musi istnieć sposób podziału
naszyjnika dwoma cięciami i rozdania kawałków tak, żeby te dwie liczby były takie same, jak wtedy,
gdyby należały do złodzieja 2. Lub, inaczej mówiąc, zamiana wszystkich kawałków nie zmieniłaby
tych dwóch liczb.
Ponieważ można przechodzić między podziałem naszyjnika a punktami sfery i ponieważ pary liczb
odpowiadają punktom na układzie współrzędnych, jest to w istocie przekształcenie ze sfery w płaszczyznę.
Animacja, na którą teraz patrzycie, jest przekształceniem dosłownie tego przykładu, który pokazałem.
Więc twierdzenie Borsuka-Ulama gwarantuje, że jakaś antypodyczna para punktów ze sfery, wyląduje
w tym samym miejscu na płaszczyźnie, co oznacza, że musi być jakiś podział naszyjnika,
jedynie dwoma cięciami, który daje sprawiedliwy podział.
Oto, moi przyjaciele, jak wygląda piękno matematyki.

Spanish: 
las longitudes totales de zafiros y esmeraldas pertenecientes al ladrón 1.
Queremos mostrar que debe existir una manera de dividir el collar con dos cortes,
y repartir las piezas de forma que estos dos números sean los mismos que para el ladrón 2;
o, dicho de otro modo, que cambiar todas las piezas no cambie estos números para el ladrón 1.
A causa de esta doble transformación entre repartos del collar y puntos en la esfera,
y como todos los pares de números se corresponden con los puntos del plano XY,
esto es, en efecto, una proyección de la esfera en el plano.
Y la animación que estás viendo ahora mismo es literalmente la proyección para el collar que te estaba mostrando.
Así pues, el teorema de Borsuk-Ulam garantiza que existe un par de puntos antipodales sobre la esfera
que aterrizan en la misma posición del plano, lo cual significa
que existe un reparto justo del collar usando dos cortes entre los ladrones.
Eso, amigos míos, es que tan bella es la matemática.

Spanish: 
Si te pareces en algo a mí, estarás disfrutando al brillo de esta hábil prueba,
y puede ser fácil olvidar que queremos resolver el problema más general del collar robado,
con cualquier número de tipos de gemas.
Afortunadamente, el 95% del trabajo está hecho, generalizar será rápido.
El principal hecho que hay que mencionar es que existe una versión general del teorema de Borsuk-Ulam,
una que se aplica a esferas en dimensiones superiores.
Por ejemplo, Borsuk-Ulam también se aplica a la proyección de hiperesferas del espacio tetradimensional
sobre el espacio tridimensional.
Lo que esto significa es que el conjunto de todas las posibles listas de 4-coordenadas,
donde la suma de sus cuadrados es 1,
se corresponden a los puntos del espacio tetradimensional a distancia 1 del origen.
Borsuk-Ulam dice que si intentas proyectar aquel conjunto, todas esa cuaternas,
sobre un espacio tridimensional, asociando continuamente a cada una de las ternas de números,
debe existir una colisión antipodal.

English: 
If you’re anything like me, you’re just
basking in the glow of what a clever proof
that is, and it might be easy to forget that
we actually want to solve the more general
stolen necklace problem, with more than just
two jewel types. Luckily, we’ve now done
95% of the work, generalizing is very brief.
The main thing to mention is that there’s
a more general version of the Borsuk-Ulam
theorem, one which applies to higher-dimensional
spheres.
As an example, Borsuk-Ulam also applies to
mapping hyperspheres in 4d space into 3d space.
What I mean by hypersphere is the set of all
possible lists of 4-coordinates where the
sum of their squares equals 1; those are points
in 4d space a distance 1 from the origin.
Borsuk-Ulam says that if you try to map that
set, all those special quadruplets, into 3-dimensional
space, continuously associating each one some
triplet of numbers, there must be some antipodal

Polish: 
W porządku... jeśli jesteście choć trochę jak ja, to teraz zachwycacie się tym, jak bardzo sprytny jest ten dowód.
Może być wręcz łatwo zapomnieć, że chcieliśmy to rozwiązać dla ogólniejszego przypadku,
w którym byłaby dowolna liczba rodzajów klejnotów. Na szczęście zrobiliśmy już 95% roboty.
Uogólnienie jest już prawie natychmiastowe.
Najważniejsza rzecz, to że istnieje ogólniejsza wersja twierdzenia Borsuka-Ulama, którą można stosować
do sfer o większej ilości wymiarów.
Jako przykład: Borsuk-Ulam odnosi się również do przekształcania hipersfery w
czterowymiarowej przestrzeni w trzy wymiary.
To, co mam na myśli przez hipersferę, to zbiór wszystkich możliwych list czterech współrzędnych,
których suma kwadratów jest równa 1. To są punkty w czterech wymiarach, których odległość od środka
wynosi 1.
Borsuk-Ulam mówi, że jeśli spróbujesz przekształcić ten zbiór, te wszystkie specjalne czwórki liczb,
w trzy wymiary w ciągły sposób przypisując każdej jakąś trójkę liczb, zawsze musi nastąpić antypodyczna

English: 
collision. An input (x1, x2, x3, x4) where
flipping all the signs won’t change the
output.
I’ll leave it to you to pause and ponder
to think about how this can apply to the 3-jewel
case, and about what the general statement
of Borsuk-Ulam might be and how it applies
to the general necklace problem. And maybe,
just maybe, this gives you an inkling for
why mathematicians care about higher dimensions
spheres, regardless of whether or not they
exist in physical reality. It’s not about
the spheres, per se, but about what problems
in math they can encode.

Spanish: 
Alguna entrada (x1,x2,x3,x4) donde cambiar todos los signos no cambia la salida.
Te dejo parar y reflexionar acerca de cómo esto se puede aplicar al caso con 3 gemas,
y acerca de cómo podría ser el enunciado  general del teorema de Borsuk-Ulam,
y cómo se aplica al problema general del collar.
Y tal vez, sólo tal vez,
esto te de una idea de porque los matemáticos estudian cosas tales como esferas en dimensiones superiores,
a pesar de que puedan o no existir en la realidad física.
El interés no está en la esferas per se,
sino en los otros problemas matemáticos que pueden describirse con ellas.

Polish: 
kolizja - argument (x1, x2, x3, x4), gdzie zamiana wszystkich znaków nie zmieni wartości funkcji.
Zostawię to wam, żeby zastanowić się jak można to zastosować do przypadku w 3 rodzajami klejnotów
oraz jak w ogólności brzmi twierdzenie Borsuka-Ulama i jak można je zastosować do ogólniejszego
problemu skradzionego naszyjnika. I może, być może, da wam to zrozumienie dlaczego matematyków
interesują takie rzeczy jak sfery w wyższej ilości wymiarów, niezależnie czy istnieją one w rzeczywistości.
Nie zawsze chodzi o sfery per se, tylko o to, jakie inne problemy w matematyce mogą być
dzięki nim rozwiązane.
