
Spanish: 
Gracias a CuriosityStream por patrocinar este video.
Hola. En un video que acabo de subir a mi canal
estuve examinando este examen, que es del año 1866,
así que es muy antiguo; y fue interesante ver
algunas de las preguntas sobre aritmética que se formulaban en ese entonces.
Una de ellas se destaca por la dificultad de la consigna,
o que al menos yo consideraría difícil,
es esta de aquí, la número 20.
¿Cuál es la raíz cuadrada de 0.0043046721?
Ahora bien, hallar la raíz cuadrada de este número sin calculadora,
a la cual no hubiera tenido acceso en aquel entonces
creo que es algo bastante difícil, ya que nunca tuve que resolver algo como esto en un examen.
Durante mi pequeña investigación, descubrí que en algunos países todavía se les pide a los estudiantes
demostrar que pueden resolver esto sin calculadora.

English: 
Thank you to Curiosity Stream for sponsoring this video.
Hi there! So in a video that I just uploaded on my channel, I was looking through this exam paper.
It's from 1866 so it's very old and it was interesting to see
some of the arithmetic questions that were asked back then.
One of the stand out difficult questions or at least what I would consider difficult was this one here number 20:
What is the square root of zero point zero zero four three zero four six seven two one?
Now finding the square root of this without a calculator - which they wouldn't have had back then -
that's something that strikes me as quite difficult because I've never really had to do this in exam situations
During my small amount of research
I've found that some countries still get students to prove that they can do these things without a calculator.
The merit of having to prove such things without calculators,

English: 
even though we can do it on the calculator, I guess is up to debate.
But today I'm going to just work through this problem and see how you actually do this
if you are stranded somewhere without any help from machines.
So...
First of all, just a tiny bit of theory that might come in handy to understand the steps here.
Essentially, we're going to use an algorithm to solve the square root and it's one that you can do by hand.
It comes from the idea that we're going to approximate the square root,
and if we say that our proximation at any point is given by x,
but it's not the best approximation and we can do better, we want to find an x plus r
so that this whole value is less than the square root that we're trying to find.
So we don't want to over approximate - we want our guesses to remain below the square root.
We're essentially approaching it from below.

Spanish: 
El mérito de poder resolver algo así a mano, a pesar de que se lo puede hacer con calculadora es discutible,
pero hoy solamente voy a desarrollar este problema
y ver la manera en que lo podrías resolver si te encuentras atrapado en una situación
sin acceso a ningún tipo de máquinas.
Así que lo primero es un poquito de teoría, que va a ser útil para comprender los pasos que vamos a seguir.
Básicamente, lo que vamos a hacer es usar un algoritmo para hallar la raíz cuadrada,
y es uno que puedes hacer a mano,
pero que surge de la idea de aproximar la raíz cuadrada
y si decimos que la aproximación en cualquier punto viene dada por x
pero no es la mejor aproximación y podemos mejorarla. Queremos encontrar un x más r
tal que su resultado sea menor que la raíz que estamos tratando de hallar.
Así que no queremos pasarnos de largo, sino mantenernos por debajo de la raíz cuadrada,
es decir que nos estamos aproximando desde abajo.

Spanish: 
Así, cada vez que sumamos un nuevo r a nuestra estimación, nos acercamos más y más por debajo.
Si tomamos esta inecuación y hacemos un poco de álgebra
podemos mover la raíz al otro lado...
expandimos este lado...
y después podemos factorizar una parte de la expresión.
Tal vez te estés preguntando de dónde sale esta última línea,
pero en realidad es el algoritmo que vamos a utilizar para, en esencia, mejorar nuestras aproximaciones
y hallar la raíz cuadrada.
Vamos a echar un vistazo al algoritmo en práctica para comprender un poco de dónde surge.

English: 
So every time we add on an r to our approximation, it should get closer and closer from below.
Now if we take this inequality and just do some algebra on it
we can shift the square root over to this side (←).
We can expand this side...
And then we can factorise a different part of it.
Now this last line I've written, you might wonder where it came from,
but it is actually the algorithm that we're going to use
to better our approximations to find the square root.
Let's have a look at it in practice, and then you might understand a little better where it's come from

Spanish: 
Primero, vamos a escribir nuestro número...
y comenzamos de esta manera: para cada dígito después del punto decimal
los vamos a agrupar en pares, haciendo una línea sobre cada par
para poder agruparlos, y eso nos va a ayudar.
Bien, para comenzar, queremos encontrar un número cuyo cuadrado sea menor o igual al primer par,
pero vamos a saltear esta línea de ceros de aquí,
simplemente ponemos ceros y comenzamos con el primer par de números, el cuatro y el tres.
Si estás familiarizado con la potenciación, notarás que seis al cuadrado es treinta y seis,
siete al cuadrado es cuarenta y nueve, así que...

English: 
First let's just write down our number.
And what we're going to start with is for every digit after the decimal point
we're going to group them in groups of two.
So just put a line over each group of two to group them up there. That'll just help us.
Alright, so...
To start with we want to find a number whose square is less than or equal to the first pair of numbers.
However, we're going to skip over the string of zeros here.
We're just going to put zeros here and start with our first sort of real digits here the four and the three.
If you are familiar with your squares you would know that:
six squared is 36;
seven squared is 49.

Spanish: 
seis al cuadrado es el mayor cuadrado que es menor a este número de aquí.
Así que vamos a anotar nuestro seis.
Ya que seis al cuadrado era treinta y seis vamos a anotarlo aquí debajo
y lo vamos a restar del cuarenta y tres.
Si hacemos esa resta, nos da como resultado siete.
Ahora, vamos a usar una combinación de dos números, el cero y el cuatro,
así que tenemos setecientos cuatro aquí.
Vamos a hacer una línea por aquí, y lo que vamos a hacer después es tomar nuestro número anterior
y lo duplicamos. Dos por seis es igual a doce,
pero también vamos a dejar este espacio,
porque esto va a ser ciento veinte más "algo",
y queremos saber cuánto debe valer este dígito
tal que ciento veinte más "algo", multiplicado por ese "algo"
sea menor o igual a setecientos cuatro.
Así que, por ejemplo, podemos intentar con ciento veinticinco

English: 
So six squared is the biggest square that is less than this one here.
So let's put down a six.
Now since six squared was 36 we're going to write that down below and we're going to subtract that from
43 so if we do that subtraction the difference will be seven.
Now, let's bring down our next set of two numbers. It's a zero and a four,
so we've got 704 here. We're going to put a line in here,
and then what we're going to do is take our previous number and double it.
So two times six is 12,
but then we've also left a little gap in here because this is going to be 120 something,
and we want to find what this digit should be such that 120 something
times that something is less than or equal to 704.
So for example, we could try 125 times five,

Spanish: 
multiplicado por cinco, y ver a cuánto equivale eso.
Me parece que probar con cinco es un buen comienzo,
ya que de esa manera puedes ver si necesitas ir más arriba o más abajo.
Ciento veinticinco por cinco es igual a seiscientos veinticinco,
y lo puedes comprobar con una sencilla multiplicación a mano en un borrador.
Entonces, tenemos seiscientos veinticinco, y es válido, ya que es menor a este número de aquí.
Nos conviene probar con ciento veintiséis multiplicado por seis, solamente para estar seguros,
y como ciento veintiseis por seis es igual a setecientos cincuenta y seis, terminamos ahí,
y vamos a usar cinco como nuestra respuesta final aquí.
También vamos a poner un cinco por aquí arriba para recordarlo.
Esto puede parecer un poco aleatorio, pero en realidad sale de este algoritmo
donde tomábamos nuestra estimación anterior multiplicada por dos,
más un nuevo valor r, multiplicando todo por ese r,
y eso debía ser menor o igual al número del cuál buscamos la raíz cuadrada

English: 
and see what that is equal to.
I find that trying the five first is a good place to start because you can see if you need to go higher or lower.
125 times five actually works out to be 625,
and you can do that off in the margins with a reasonably simple multiplication by hand.
So that's 625. It qualifies because it's under here (<=704),
We best try what 126 times six is just to be sure,
and 126 times six is 756. So it's over.
So actually we're going to be using five as our final answer in here.
We'll also put a five up the top to record it.
Now this might have looked kind of random but it comes from this algorithm step here
where we were taking two times our previous guess plus a new r
timesing that all by r and it has to be less than or equal to

Spanish: 
menos x al cuadrado. Luego fuimos restando números a lo largo del proceso
Vamos a repetir este paso que acabamos de hacer aquí,
vamos a seguir repitiéndolo hasta que lleguemos al final de nuestros números.
Ciento veinticinco por cinco, como dije, era seiscientos veinticinco,
así que restamos eso al setecientos cuatro.
Obtenemos setenta y nueve, y luego bajamos los dos números siguientes,
que son un seis y un siete.
Una vez más, buscamos este número multiplicado por dos,
sesenta y cinco por dos,
que es igual a ciento treinta, y vamos a dejar un pequeño espacio aquí.
Y podemos ver que mil trescientos más "algo",
multiplicado por ese "algo" debe ser menor o igual a esto de aquí.
Podemos comenzar probando con cinco una vez más.
Mil trescientos cinco, multiplicado por cinco sería seis mil quinientos veinticinco,

English: 
what we're trying to find the square root of minus x squared.
so we've been minusing along the way here.
Let's just continue with this step that we went through,
we're just going to keep iterating it until we get to the end of our numbers.
Now 125 times five like I said was 625.
So we'll just subtract that from 704
What we'll get is 79,
and then we'll bring down the next two numbers which are a six and a seven.
Again, let's find this number times two,
65 times two is going to be 130, and then we'll leave a little gap here.
So we can see 1,300 and something, times that something
has to be less than or equal to this here (>=7,967).
So we could start by trying five again - 1,305 times five,
that would be 6,525. It's a little low.

Spanish: 
es un poco bajo, así que seguiremos probando con un número más grande.
Vamos a intentar con mil trescientos seis por seis,
y eso sería igual a siete mil ochocientos treinta y seis,
que es lo más cercano que podemos obtener,
por eso vamos a usar seis en este caso
y anotamos el seis aquí arriba.
Hacemos esta resta, y ¿qué obtenemos?
ciento treinta y uno.
Bajamos los últimos dos números, que son el dos y el uno,
tomamos este número, seiscientos cincuenta y seis, y lo multiplicamos por dos,
nos da uno, tres, uno... dos,
dejamos un espacio,
y entonces...
trece mil ciento veinte más "algo", multiplicado por "algo"
va a ser menor o igual a esto de aquí.
Y en realidad este número ya está bastante cerca de este otro,
si colocamos un uno aquí,
trece mil ciento veintiuno multiplicado por uno nos da exactamente esto,

English: 
So we'll keep trying we'll go a bit higher.
We'll try 1,306 times six,
and that would be 7,836.
Now that's as close as we're going to get,
so six is going to be what we'll use here and we'll record a six up there.
Subtract these two from each other, what do we get?
We get 131.
bring down our last two numbers which are a two and a one,
take this number 656 and double it.
When we do that it's 1,312.
Leave a space for a digit and then
13,120 something times that somthing
will be less than or equal to this (<=13,121).
Well, actually this is very close to this already if we just had a 1 in there,
13,121 times 1 will give us this exactly.

Spanish: 
por lo que nuestro último dígito sería uno.
Y como aquí no nos queda ningún resto, si fuéramos a, ya sabes,
seguir haciendo lo mismo de antes, esto sería igual a cero,
por lo que llegamos al final de nuestro proceso,
y este valor de aquí,
0.06561
es la raíz cuadrada del número que teníamos aquí.
Así que, en práctica, no es demasiado difícil,
el desarrollo es solamente esta parte.
Pero para llegar a esto, tienes que saber este algoritmo,
y en un borrador tienes que realizar varios intentos,
multiplicando hasta hallar el número correcto.
Quisiera agradecer a CuriosityStream por patrocinar este video.
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English: 
So 1 will be our last digit and because we don't have any
remainders left over here if we were to...
do it like we were doing before,
this would be 0. You've actually reached the end of our process
and this value here, 0.06561
is the square root of what we were trying to work out.
So in practice it actually isn't too difficult; the working is only this big.
But to get here you have to sort of know this little algorithm,
and off in the margin you have to try several attempts
at multiplying things until you get what's right.
I'd like to thank Curiosity Stream for sponsoring this video.
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English: 
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I'm really looking forward to watching 'The Secret Life of Chaos'.
It explores the mathematics of chaos theory and how it can explain why the universe creates order and pattern?
Thanks Curiosity Stream. Also, thank you to my patrons who support me on patreon.
And thank you for watching :)

Spanish: 
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Espero con ansias poder ver "La vida secreta del Caos",
que explora las matemáticas de la Teoría del caos
y cómo ésta podría explicar por qué el universo crea orden y patrones.
Muchas gracias, CuriosityStream;
y también muchas gracias a mis patreons que me apoyan en Patreon,
y gracias a ustedes por ver el video.
