40번째 강의에서는 고유값과 고유 벡터에 대해서 다뤄보도록 할게요
고유 값은 영어로 eigen value, 고유 벡터는 eigen vector이렇게 읽어요
사실 고유값과 고유벡터는 굉장히 중요한 개념이에요
우리가 지금까지 이 고유값과 고유 벡터를 배우기 위해서
선형대수학을 쭉 달려왔다고 말해도 과언이 아닐 정도로 굉장히 중요해요
그런데 이 고유값과 고유벡터가 왜 중요한지
그 스토리를 좀 이해할 필요도 있을 것 같아서 좀 리뷰를 해볼게요
우리는 지금 선형대수학을 공부하는 거잖아요
그러니까 우린 지금 선형적인 걸 다루고 있는 건데요
어쨌든 우리가 선형대수학에서 주로 다루는 대상은 벡터죠
그리고 이제 벡터는 우리가 시작점을 다 원점으로 맞춰서 그냥 좌표로 표현하기로 했죠
그러다 보니까 우리가 주로 다루는 공간은 n차원 실수 공간이 된 거죠, 그쵸?
예를 들어서 (x,y,z)라는 3차원의 점을 다룬다면
뭐, R의 3승인 이런 차원을 다룬다고 볼 수 있겠죠
그리고 우리가 관심이 있는 건 선형변환이에요
뭐, 선형 사상이라고도 하죠
그러니까 결국에는 어떤 함수에요. 함수.
그런 함수들 중에서도 우리가 지금은 어떤 n차원의 점을 n차원의 점으로 보내는 함수를 다뤄보려고 해요.
그러니까 x1부터 xn까지의 점을 이 함수를 거치고 나면, 어떤  y1부터 yn까지의 점으로 바뀐다는 거죠
그러니까 결국에는 이런 실수 n차원에서 실수 n차원으로 가는 함수란 거에요.
물론 우리가 다루고 있는 변환은 선형변환이니까 가산성과 동차성을 만족을 해야 겠죠
이 가산성과 동차성에 대한 것은 22강에서 제가 다룬 적이 있어요
잘 기억이 안 나시는 분들은 참고하시면 될 것 같아요
그러니까 우리는 이런 선형 변환에 대해서 관심을 가지고 분석을 하겠다는 소리에요
그런데 제가 24강 도입부에서 한 2~3분에 걸쳐서 이런 말을 한 적이 있어요
뭔가 직교 좌표계에서 일어났던 현상들이
약간 휘어진 좌표계에서 생각을 하면은
조금 더 쉬운 현상으로 바뀔 수도 있겠다 이런 말 한 적이 있어요
왜냐면은 직교 좌표계에서는 뭐, 세타 막 이런 거 복잡한 거 계산해야 되는데
알고 봤더니 휘어진 좌표계에서는 그게 뭐 절편이고, 굉장히 쉽게 계산될 수도 있는 거잖아요
이렇게 직교 좌표에서 억지로 해석을 하는 것보다, 이 위에다가 좀 이렇게 새로운 좌표를 몇 개 그어가지고
이것을 이제 새로운 좌표를 시작해서 해석을 한다면
뭔가 좀 더 유용하고 계산하기 쉽게 바뀔 수 있을 거라는
것은 직관적으로도 뭔가 그럴 거 같죠
왜냐면 관점을 달리해서 보면 평소에 안보이던 게 보인다는 것은 너무 당연한 거니까요
그래서 우리가 지금 이걸 한번 해보려고 하는 거에요
이게 얼마나 유용할 지는 그냥 말로만 들어도 벌써부터 유용할 것 같지 않아요?
그리고 이것을 하기 위해서 필요한 게 바로 고유값과 고유 벡터인 거에요
그래서 고유값과 고유벡터가 중요한거에요
이렇게 선형사상을 직교좌표가 아니라 이렇게 좀 다른 관점으로 바라봐서 해석을 쉽게 하는 것이
어떤 공학적인 관점에서도 굉장히 의미가 있지만
왜냐면 어떤 공학에서 선형변환을 다룰 때 그 변화를 해석하기 쉽게 만든다는 것이 굉장히 좋은 거니까요. 당연히.
그런데 이것을 수학적인 관점으로 봐도 그렇게 중요도가 떨어지는 개념이 아니에요
이게 나중에 미분 기하랑도 연결이 돼요
왜냐면 미분 기하에서는 막 이런 3차원의 휘어진 면에 대한 곡률을 막 구하고
곡률도 다양한 곡률들이 있지만 뭐, 주곡률 이런 걸 구할 때 eigen value가 필요하죠
지금까지 왜 중요한 지에 대해서 설명을 한 거에요
이 중요도를 설명하다가 정작 그 중요한 걸 다루지 못할까봐 쫌 빠르게 리뷰를 했어요
그래서 이제 조금 내려서 고유값부터 살펴보도록 하죠
그러면 일단 행렬 하나를 생각해 보죠
행렬을 뭐라고 할까요? 쉽게 그냥 1,2,3,4 이렇게 해볼까요?
그럼 결국 이 행렬에 A는 함수에요
왜냐면 선형대수학에서는 선형사상을 다루고, 그러니까 선형 함수를 다루는데
그 선형 함수 f(x)를 보통 행렬로써 이렇게 표현을 해서 Ax 이렇게 표현을 하죠
참고로 이때 이 f는 2차원의 점을 2차원으로 보내는 함수겠죠
왜냐면 이 행렬 A가 2*2행렬이니까요
그러니까 어떤 2차원의 점 (x1,x2)를 이 함수에 집어넣으면 결과가 나온다는 거예요
이렇게 (y1,y2) 이렇게요.
이것을 좀 시각적으로 살펴보기 위해서 한번 좌표 평면을 그려볼게요
이런 x-y평면에서 행렬 A에다가 이렇게 어떤 점을 대입했더니 어떤 점으로 이렇게 바뀐다는 거겠죠
이게 지금 (x1,x2)이고요.
이게 (y1,y2)예요
그리고 또 어떤 다른 점은 이 점에서 이점으로도 움직일 수 있겠죠
실제로 이렇게 움직이는지 아닌지는 계산 안 해봐서 저도 몰라요
그냥 예를 드는 거에요
그런데 점들이 만약에 대략적으로 이렇게 움직인다고 치면
예를 들어서
이런 새로운 축 하나를 잡고. 뭐 어떻게 잡을까요?
이런 새로운 축 하나를 잡을까요
그리고 이 점을 여기 말고, 한 이쯤에 있었다고 해보죠
그래서 알고 보니까
이 x-y좌표계에서 볼 때는 어떤 식으로 움직이는 애인지 감이 안왔는데
새로운 좌표인 뭐, x'-y'라는 좌표계로 보니까
알고 보니까 그냥 이 x'좌표로는 뭐 상수 배로 2배.그쵸?
이 y'좌표로는 하나, 둘, 셋. 세 배 하는 것이더라.
그러니까 굉장히 복잡한 함수 줄 알았더니
알고 보니까 좌표를 이렇게 x'랑 y'로 바꾸기만 하면
그냥 좌표 축에 대해서 그냥 상수배하는 함수네?
약간 이렇게 바뀔 수 있다는 거예요
그럼 그걸 하기 위해서는 이 축을
알아내는 게 중요하겠죠
어떤 축을 기준으로 변하고 있는건지
그럼 그걸 한번 해 보죠
별로 어려울 게 없어요 사실
행렬 A에다가 x라는 점을 대입했더니
그게 그냥 어떤 상수배. C배
보통 c배라고 하는데, constant니까.
여기서는 람다라는 기호를 많이 써요
그냥 별 의미는 없고 그냥 상수배라는 소리에요
상수배 람다배를 하는 거랑 같아지는 게 있느냐 이걸 찾아보고 싶은 거죠
왜냐하면 지금 여기 있는 이 점은 행렬 A에 대입했을 때 그냥 상수배가 됐죠. 이렇게
그러니까 다시 말해서 이 v1이라는 벡터는 그냥 상수배가 됐잖아요, 그쵸?
수많은 점들 중에서 이렇게 상수 배가되는 벡터를 찾아야 이 축을 찾아낼 수가 있겠죠
그러니까 이 방정식을 풀어보자 이거에요.
그리고 그 방정식을 풀어서 나온 이 람다 값
이 람다 값이 바로 고유값이라고 하는 거에요
이렇게 고유하게 바뀌지 않는 애가 있는지
그냥 상수배만 해도 되는 애가 있는지 이런 걸 찾아보고 싶은 거니까 우리가 고유값이라고 불러주는 거에요
그러니까 이 방정식은 당연히 암기 하셔야겠죠
Ax는 람다x. 고유값의 정의 자체가 이거니까 이 식은 굉장히 중요하죠
암기 하셔야 돼요.
그래서 한번 계산을 해볼까요?
1,2,3,4. 뭐 x1,x2라고 할까요? 람다, x1,x2.
이것을 이렇게 넘겨서 싹 계산을 해보죠
그런데 사실 이 방정식은 동차 연립 선형 방정식이죠
이런 동차 연립 선형 방정식은 (0,0)이라는 자명해를 가지죠?
그런데 자명해만을 가지고 있으려면 어떻게 해야 된다고 그랬어요?
이 앞에 붙어진 이 계수 행렬의 역행렬이 존재 해야 돼죠?
우리 증명 까지도 다 했던 거 에요. 그쵸
그런데 그렇게 자명해만을 가진다는 말은 이 식을 만족하는 벡터가 (0,0)말고는 없다는 소리 잖아요
그러니까 결국에는 이 좌표를 봤을 때
(0,0)을 제외하고는 이렇게 상수 배가 되는 애가 없다는 거에요. 그쵸
그런데 그렇게 상수 배가 되는 벡터가 없으면 이렇게 새로운 좌표 축을 만들 수가 있나요? 없죠.
그럼 벡터가 있어야지 새로 좌표 축을 만들던지 말던지 할 거 아니에요. 그렇죠?
그러니까 결국에는 얘가 지금 가역행렬이면 안돼요.
비가역 행렬이어야 되는거예요
그래서 이 행렬이 A 마이너스 람다i라는 행렬이니까 이 것의 디터미넌트를 한번 구해보죠
이렇게 나왔는데. 이 값이 지금 0이 되어야 비가역행렬이 되는 거죠
그러니까 지금 이렇게 계산한 값이 0이 되는 이 람다 값이 존재해야 지금 축을 만들 수가 있는건데
2차 방정식의 해가 존재하는지 안 하는지는 판별식 값을 알아 보면 되겠지만, 실제로 값을 구해 보죠, 그냥.
근의 공식을 사용해서 한번 구해볼게요.
뭐 이렇게 나오네요
그러니까 두 근을 가지고 있으니까, 일단 근은 존재한다는 소리니까 가능은 하겠네요
그럼 조금만 내려서 더 살펴보도록 할게요
이 람다값이 2분의 5+루트33인 경우를 한번 살펴보죠
아 그리고 참고로 이 람다값 자체를 우리가 고유값이라고 한다고 했어요
그러니까 우리는 지금 고유값을 구한 거예요
그러니까 결국 행렬 A라는 변환이
새로운 축을 만들었을 때
그 축 방향으로  2분의 5+루트33배를 하는
그냥 그 상수 배를 하는 변환이었다는 거에요
그럼 결국에 그 축이 뭔데. 그 축 자체도 구해봐야겠죠
그 축 이라는 것은 결국에는 그 벡터를 구하라는 거죠. 이 벡터.
그러니까 결국에는 Ax는 람다x 를 만족하는 이 x를 구하라는 거에요
뭐 당연히 방정식을 풀어야 겠죠
이렇게 나오는데 결국엔 이거 이런 연립 방정식을 푸는 거죠
여기 x1, x2 이렇게 곱해서요
이런 연립 방정식을 푸는 거 잖아요
그런데 이거 자세히 보시면 윗 식하고 아랫 식하고 똑같은 식이에요
그냥 상수배만 해서 다를 뿐이에요
그래서 아래 식은 지워도 돼죠 그냥. 같은 식이니까요
결국엔 이게 해에요. 그쵸?
그런데 이렇게 해가 직선으로 나온 이유가
뭘까요? 뭐 그건 당연하지 않을까요
이 라인 안에 있는 모든 벡터들은 다 그 람다에 의해서 상수배가 되겠죠
벡터 v1이든, 조금 더 긴 벡터든, 조금 더 긴 벡터든.
그러니까 그 라인 안에 있는 모든 벡터들이 해로 나온 거죠
이 벡터들 중에서 하나 정도만 선택해서 우리가 좌표로 쓰면 되겠죠
그러니까 좀 간단하게 y좌표를 1로 맞춰놓고 x좌표를 구해볼까요?
그러면은 6분의 -3+루트33이 나와요
이게 바로 우리가 구하려고 했던 고유 벡터 인 거에요
그런데 그냥 고유 벡터가 아니라,
이 람다값 2분의 5+루트33에 대한 고유 벡터인거고요
그런데 그 고유 벡터가 한 개만 있는 건 아니었죠
이 라인을 만족하는 모든 벡터들은 이 람다값에 대한 고유 벡터라고 할 수 있으니까
고유벡터들을 다 구해달라고 하면, 이걸 해집합으로 써야 돼요. 예를 들면 이런 식으로요.
뭐 이걸 만족하는 모든 점들이 고유벡터니까
이렇게 해집합으로 써야지 정답이 되겠죠
아니면 우리가 배웠던 span을 이용할수도 있어요
결국에 직선 이라는 것은 지금 이게 원점을 지나는 직선이니까
그 직선 위의 어떤 한 벡터를 잡아서, 그 벡터를 계속 상수배 해주면 그 직선이 표현이 되겠죠
우리 직선의 벡터 방정식을 배울 때 했던 얘기에요
그리고 그 벡터를 상수배 해준다는 것은 결국엔 span이죠
이 벡터를 v1이라고 하면, span v1이죠
그리고 이 span v1이 결국엔 이 집합이 된다는 걸 알 수가 있어요
조금 난잡해진 거 같으니까 좀 지워 보고 정리를 해보죠
그래서 결국에는 고유 벡터를 이렇게 하나 구했어요
그렇게 비슷한 방법으로
또 구할 수도 있어요
고유 값이 하나가 아니었죠.  플러스 마이너스 였으니까
이거에 대해서도 한번 구해봐야겠죠
이것도 직접 구해보시면 이렇게 나와요
그 중에서 하나를 뽑아 오면은,
위에거랑 모양이 비슷한 걸 이렇게 뽑아 와 볼게요
이런 벡터를 하나 뽑아 올 수 있어요
그래서 조금 내려서 다시 한번 그려볼까요
여기서 이 벡터 v1을 한번 찍어볼게요
6분의 -3+루트33 정도면 한 이 정도 찍힐 것 같네요. 그쵸?
그리고 v2도 한번 찍어볼게요
이정도쯤 찍힐 거 같네요
결국에는 이 행렬 A라는 변환은
v1축으로는 이 람다값. 2분의 5+루트33이라는 상수배를 하는 연산이었고
이 v2라는 축으로는 여기있는 람다값인 2분의 5-루트33이라는 상수배를 해주는 행렬 변환 이었다는 거에요
그래서 오늘은 이렇게 eigen value와 eigen vector의 기본적인 내용들에 대해서 살펴봤는데
다음 시간에도 계속 이어서 설명을 해야 될 것 같아요. 중요한 내용이라서.
그래서 오늘 이렇게 강의를 마치도록 할게요. 여러분 오늘 모두 고생하셨어요.
