
French: 
"On raconte souvent que les mathématiques consistent à prouver des théorèmes ; mais le travail principal d'un écrivain est-il d'écrire des phrases ?"
Ici, j'aimerais discuter une variété commune de problèmes ou l'intégration apparait : trouver
la moyenne d'une variable continue.
Ceci est une chose parfaitement utile à connaître en soit, mais ce qui est vraiment ingénieux est que ceci
peut donner une perspective complètement différente sur pourquoi les intégrales et les dérivées sont des inverses
l'une de l'autre.
Pour commencer, jetez un regard au graphique de sin(x) entre 0 et pi, ce qui est la moitié de sa période.
Quelle est la hauteur moyenne de ce graphique sur cette intervalle?
Ce n'est pas une question inutile.
Toutes sortes de phénomènes cycliques dans le monde sont modelés avec des fonctions sinusoïdales : Par exemple,
le nombre d'heures que le soleil est levé par jour en fonction du jour de l'année
suit une fonction sinusoïdale.

German: 
Hier möchte ich eine häufige Art von diskutieren
Problem, bei dem Integration auftaucht: Finden
der Durchschnitt einer stetigen Variablen.
Dies ist eine nützliche Sache für sich
richtig, aber was wirklich toll ist, ist, dass es
gibt eine ganz andere Perspektive für
warum Integrale und Derivate umgekehrt sind
von dem einen und anderen.
Schauen Sie sich das Diagramm der Sünde (x) zwischen an
0 und pi, das ist die Hälfte seiner Periode.
Was ist die durchschnittliche Höhe dieses Diagramms auf
dieses Intervall?
Es ist keine nutzlose Frage.
Alle Arten von zyklischen Phänomenen in der Welt
werden mit Sinuswellen modelliert: Zum Beispiel
Die Anzahl der Stunden, in denen die Sonne pro Tag aufgeht
in Abhängigkeit davon, welcher Tag des Jahres es ist
folgt einem Sinuswellenmuster.

English: 
Here, I want to discuss one common type of
problem where integration comes up: Finding
the average of a continuous variable.
This is a useful thing to know in its own
right, but what’s really neat is that it
gives a completely different perspective for
why integrals and derivatives are inverses
of one and other.
Take a look at the graph of sin(x) between
0 and pi, which is half its period.
What is the average height of this graph on
that interval?
It’s not a useless question.
All sorts of cyclic phenomena in the world
are modeled with sine waves: For example,
the number of hours the sun is up per day
as a function of which-day-of-the-year-it-is
follows a sine wave pattern.

Spanish: 
Aquí, 
Quiero hablar de un tipo común de problema en el que surge la integración:
El promedio de una variable continua.
Esto es una cosa útil saber por derecho propio, pero lo que es realmente genial es que
Da una perspectiva completamente diferente por qué las integrales y los derivados son inversos
De uno y otro.
Echa un vistazo a la gráfica de sin (x) entre 0 y pi, que es la mitad de su período.
¿Cuál es la altura promedio de este gráfico en ese intervalo?
No es una pregunta inútil.
Todo tipo de fenómenos cíclicos en el mundo se modelan con ondas senoidales: Por ejemplo
El número de horas que el sol se levanta por día en función de qué-día-del-año-que-es
Sigue un patrón de onda sinusoidal.

Portuguese: 
Aqui, eu quero discutir um tipo comum de
problema onde a integração surge: Encontrar
a média de uma variável contínua.
Isso é uma coisa útil para saber por sua conta, mas o que é realmente legal é que
dá uma perspectiva completamente diferente para
porque integrais e derivadas são inversas
entre si.
Dê uma olhada no gráfico de sen(x) entre
0 e pi, que é metade do seu período.
Qual é a altura média deste gráfico
nesse intervalo?
Isso não é uma pergunta inútil.
Todos os tipos de fenômenos cíclicos no mundo
são modelados com ondas senoidais: por exemplo,
o número de horas de luz do sol por dia
como uma função de qual dia-do-ano é
segue um padrão de onda senoidal.

French: 
Donc si vous vouliez prédire, disons, l'efficacité moyenne de panneaux solaires durant les mois d'été
versus les mois d'hiver, vous voudriez pouvoir répondre une question comme celle-ci : Quelle est
la valeur moyenne de cette fonction sur la moitié de sa période?
Dans un cas comme celui-ci, nous aurions toutes sortes de constantes compliquant la fonction, nous allons
simplement nous concentrer sur une pure, simple fonction sin(x), mais l'essentiel de l'approche serait
le même dans n'importe quelle application.
C'est un peu une chose bizarre à laquelle penser, n'est-ce pas, la moyenne d'une variable continue?
Habituellement, avec les moyennes, nous pensons à un nombre fini de valeurs, où nous les additionnons toutes
et où nous divisons par le nombre de valeurs qu'il y a.
Mais il y a infiniment beaucoup de valeurs de sin(x) entre 0 et pi, et ce n'est pas comme si nous pouvons
additionner tous ces nombres et diviser par l'infini.
Ce sentiment revient en fait souvent en math, et il vaut la peine de s'en souvenir, où l'on

Portuguese: 
Então, se você quisesse prever, digamos, a 
eficácia média dos painéis solares nos meses de verão
vs. meses de inverno, você gostaria de poder
para responder uma pergunta como esta: Qual é o
valor médio dessa função em metade
seu período.
Considerando que um caso como esse terá todos os tipos de constantes estragando a função, nós vamos
nos concentrar apenas em uma função pura do seno(x), mas a essência da abordagem seria
exatamente a mesma para qualquer aplicação.
É uma pergunta estranha de se pensar,
né, a média de uma variável contínua.
Normalmente, com médias, pensamos em um finito
número de valores, onde você adiciona todos eles
e divide essa soma por quantos valores lá existem.
Mas existem infinitos valores de sen(x)
entre 0 e pi, e não é como se nós pudéssemos
adicionar todos esses números e dividir por infinito.
Essa sensação, na verdade, aparece muito na
matemática, e, vale a pena lembrar, onde você

English: 
So if you wanted to predict, say, the average
effectiveness of solar panels in summer months
vs. winter months, you’d want to be able
to answer a question like this: What’s the
average value of that sine function over half
its period.
Whereas a case like that will have all sorts
of constants mucking up the function, we’ll
just focus on a pure unencumbered sin(x) function,
but the substance of the approach would be
the same in any application.
It’s kind of a weird thing to think about,
isn’t it, the average of a continuous variable.
Usually, with averages, we think of a finite
number of values, where you add all them up
and divide that sum by how many values there
are.
But there are infinitely many values of sin(x)
between 0 and pi, and its not like we can
add all those numbers and divide by infinity.
This sensation actually comes up a lot in
math, and is worth remembering, where you

Spanish: 
Así que si usted quería predecir, digamos, la efectividad promedio de los paneles solares en los meses de verano
Vs meses de invierno, usted quiere ser capaz de responder a una pregunta como esta: ¿Cuál es el
Valor medio de esa función seno sobre la mitad de su período.
Mientras que un caso como este tendrá todo tipo de constantes limpiando la función,
Sólo nos centraremos en una función sin trabas de sin(x), pero la sustancia del enfoque sería
El mismo en cualquier aplicación.
Es una especie de cosa extraña  pensar sobre esto,
no es, el promedio de una variable continua
Por lo general, con promedios, pensamos en un número finito de valores, donde se suman todos ellos
Y dividir esa suma por cuántos valores hay
Pero hay infinitos valores de sin(x) entre 0 y pi, y no es como podemos
Agregar todos esos números y dividir por infinito.
Esta sensación en realidad viene mucho en matemáticas, y vale la pena recordar, donde

German: 
Wenn Sie also beispielsweise den Durchschnitt vorhersagen möchten
Wirksamkeit von Sonnenkollektoren in den Sommermonaten
Im Vergleich zu den Wintermonaten möchten Sie in der Lage sein
um eine Frage wie diese zu beantworten: Was ist das?
Durchschnittswert dieser Sinusfunktion über die Hälfte
seine Zeit.
Während ein solcher Fall alle möglichen haben wird
von Konstanten, die die Funktion durcheinander bringen, werden wir
Konzentrieren Sie sich einfach auf eine reine unbelastete sin (x) -Funktion.
aber die Substanz des Ansatzes wäre
das gleiche in jeder Anwendung.
Es ist eine seltsame Sache, darüber nachzudenken,
ist es nicht der Durchschnitt einer stetigen Variablen?
Normalerweise denken wir bei Durchschnittswerten an ein Endliches
Anzahl der Werte, bei denen Sie alle addieren
und dividiere diese Summe durch wie viele Werte dort
sind.
Aber es gibt unendlich viele Werte von sin (x)
zwischen 0 und pi, und es ist nicht so, wie wir können
addiere alle diese Zahlen und dividiere durch unendlich.
Diese Sensation kommt tatsächlich sehr häufig vor
Mathe, und es lohnt sich, sich daran zu erinnern, wo Sie

English: 
have this vague sense that you want to add
together infinitely many values associated
with a continuum like this, even though that
doesn’t really make sense.
Almost always, when you get this sense, the
key will be to use an integral somehow.
And to think through exactly how, a good first
step is usually to approximate your situation
with some kind of finite sum.
In this case, imagine sampling a finite number
of points, evenly spaced in this range.
Since it’s a finite sample, you can find
the average by adding up all the heights,
sin(x), at each one, and divide that sum by
the number of points you sampled, right?
And presumably, if the idea of an average
height among all infinitely many points is
going to make any sense at all, the more points
we sample, which would involve adding up more
heights, the closer the average of that sample
should be to the actual average of the continuous
variable, don’t you think?

German: 
Haben Sie diesen vagen Sinn, den Sie hinzufügen möchten
zusammen unendlich viele Werte zugeordnet
mit einem Kontinuum wie diesem, obwohl das
macht nicht wirklich Sinn.
Fast immer, wenn Sie diesen Sinn bekommen, die
Schlüssel wird sein, ein Integral irgendwie zu verwenden.
Und genau zu überlegen, wie, eine gute Premiere
Schritt ist in der Regel Ihre Situation zu approximieren
mit einer Art endlicher Summe.
Stellen Sie sich in diesem Fall vor, Sie würden eine endliche Zahl abtasten
von Punkten, gleichmäßig in diesem Bereich verteilt.
Da es sich um eine endliche Stichprobe handelt, können Sie finden
der Durchschnitt durch Addition aller Höhen,
sin (x) bei jedem und dividiere diese Summe durch
die Anzahl der Punkte, die Sie abgetastet haben, richtig?
Und vermutlich, wenn die Idee eines Durchschnitts
Höhe unter allen unendlich vielen Punkten ist
Je mehr Punkte, desto sinnvoller wird es überhaupt
Wir probieren, was bedeuten würde, mehr zu addieren
Höhen, je näher der Durchschnitt dieser Stichprobe liegt
sollte auf den tatsächlichen Durchschnitt der kontinuierlichen sein
variabel, meinst du nicht?

Portuguese: 
tem essa vaga noção que você deseja adicionar infinitamente valores associados
a um intervalo, assim, mesmo que
realmente não faça sentido.
Quase sempre, quando você percebe isso, a
chave será usar uma integral de alguma forma.
E para pensar exatamente como, um bom primeiro
passo é geralmente para aproximar sua situação
com algum tipo de soma finita.
Neste caso, imagine a amostragem de um número finito
de pontos, uniformemente espaçados nesta faixa.
Como é uma amostra finita, você pode encontrar
a média somando todas as alturas,
sen(x), em cada um, e dividir essa soma por
o número de pontos que você amostrou, certo?
E presumidamente, se a ideia de uma 
altura média entre todos os infinitos pontos
vai fazer algum sentido, quanto mais pontos
nós amostramos, o que envolveria somar mais
alturas, mais próxima a média dessa amostra
deve ser da média real da variável
contínua, você não acha?

Spanish: 
Tienen la vaga sensación de querer agregar infinitamente muchos valores asociados
Con un continuo como este, aunque eso realmente no tiene sentido.
Casi siempre, cuando obtenga este sentido, la clave será utilizar una integral de alguna manera.
Y para pensar exactamente cómo, un buen primer paso es generalmente para aproximar su situación
Con algún tipo de suma finita.
En este caso, imagine el muestreo de un número finito de puntos, uniformemente espaciados en este rango.
Puesto que es una muestra finita, usted puede encontrar el promedio sumando todas las alturas,
sin(x), En cada uno, y dividir esa suma por el número de puntos que ha muestreado, ¿verdad?
Y presumiblemente, si la idea de una altura media entre todos los infinitos puntos es
Va a tener ningún sentido en absoluto, más puntos nos muestra, lo que implicaría sumar más
Alturas, cuanto más cerca de la media de esa muestra debe corresponder al promedio real de la
variable, ¿no crees?

French: 
a cette vague sensation que l'on veut additionner ensemble infiniment beaucoup de valeurs associées
à une fonction continue comme celle-ci, même si ça n'a pas vraiment de sens.
Presque toujours, lorsque vous aurez ce sentiment, la clé sera d'utiliser une intégrale de quelque façon.
Et pour penser à exactement comment, un bon premier pas est habituellement d'approximer votre situation
avec quelque sorte de somme finie.
Dans ce cas, imaginez échantillonner un nombre fini de points, espacés également dans cette intervalle.
Puisque c'est un échantillon fini, vous pouvez trouver la moyenne en ajoutant toutes les hauteurs,
sin(x) à chaque, puis en divisant cette somme par le nombre de points que vous avez échantillonnés, n'est-ce pas?
Et probablement, si l'idée d'une hauteur moyenne parmi infiniment beaucoup de points va
avoir un sens, le plus de points on échantillonne, ce qui demanderait d'additionner plus de
hauteurs, le plus proche la moyenne de cet échantillon devrait être de la véritable moyenne de la variable
continue, ne pensez-vous pas?

French: 
Ceci devrait sembler au moins un peu lié à prendre l'intégrale de sin(x) entre 0
et pi, même si il ne parait peut-être pas clairement à première vue comment les deux idées se mettront ensemble.
Pour cette intégrale, vous pensez également à un échantillon de données sur ce continuum, mais plutôt que
d'ajouter la hauteur de sin(x) à chaque fois, et en divisant par combien il y en a, vous ajoutez
sin(x)*dx où dx est l'espace entre les échantillons; donc, vous ajoutez des petites
aires, pas des hauteurs.
Techniquement, l'intégrale n'est pas tout à fait cette somme, c'est ce que cette somme approche quand
dx approche 0.
Mais il aide de raisonner par rapport à une de ces itérations finies, où vous
additionnez les aires d'un nombre spécifique de rectangles.
Donc ce que vous voulez faire est de recadrer cette expression pour la moyenne, cette somme de hauteurs divisée
par le nombre de points échantillonnés, en terme de dx, l'espace entre les échantillons.

English: 
This should feel at least somewhat related
to taking an integral of sin(x) between 0
and pi, even if it might not be clear at first
exactly how the two ideas will match up.
For that integral, you also think of a sample
of inputs on this continuum, but instead of
adding the height sin(x) at each one, and
dividing by how many there are, you add up
sin(x)*dx where dx is the spacing between
the samples; that is, you’re adding little
areas, not heights.
Technically, the integral is not quite this
sum, it’s whatever that sum approaches as
dx approaches 0.
But it’s helpful to reason with respect
to one of these finite iterations, where you’re
adding the areas of some specific number of
rectangles.
So what you want to do is reframe this expression
for the average, this sum of the heights divided
by the number of sampled points, in terms
of dx, the spacing between samples.

German: 
Dies sollte sich zumindest etwas verwandt anfühlen
ein Integral von sin (x) zwischen 0 zu nehmen
und pi, auch wenn es zunächst nicht klar sein könnte
genau wie die beiden Ideen zusammenpassen werden.
Für dieses Integral denken Sie auch an eine Stichprobe
von Eingaben auf diesem Kontinuum, aber anstelle von
Addiere die Höhe sin (x) bei jedem und
Wenn Sie durch die Anzahl dividieren, addieren Sie diese
sin (x) * dx wobei dx der Abstand zwischen ist
die Beispiele; Das heißt, Sie fügen wenig hinzu
Bereiche, nicht Höhen.
Technisch ist das Integral nicht ganz das
Summe, es ist was auch immer diese Summe als nähert
dx nähert sich 0.
Aber es ist hilfreich, mit Respekt zu argumentieren
zu einer dieser endlichen Iterationen, wo Sie sind
Hinzufügen der Bereiche einer bestimmten Anzahl von
Rechtecke.
Sie möchten diesen Ausdruck also neu definieren
für den Durchschnitt ist diese Summe der Höhen geteilt
durch die Anzahl der abgetasteten Punkte, ausgedrückt
von dx der Abstand zwischen den Proben.

Portuguese: 
Isso deve parecer pelo menos um pouco relacionado a
tomar uma integral de sen(x) entre 0
e pi, mesmo que não seja claro no início
exatamente como as duas ideias se encaixam.
Para essa integral, você também pensa em uma amostra
de entradas neste intervalo, mas em vez de
adicionar a altura sen(x) em cada um, e
dividindo por quantos existem, você soma
sen(x)*dx onde dx é o espaçamento entre
as amostras; isto é, você está adicionando pequenas
áreas, não alturas.
Tecnicamente, a integral não é bem essa
soma, é o que quer que essa soma se aproxima quando
dx se aproxima de 0.
Mas é útil pensar com respeito
a uma dessas iterações finitas, onde você está
adicionando as áreas de algum número específico de
retângulos.
Então o que você quer fazer é reformular essa expressão
para a média, essa soma das alturas divididas
pelo número de pontos amostrados, em termos
de dx, o espaçamento entre amostras.

Spanish: 
Esto debería sentir al menos algo relacionado con tomar una integración de sin(x) entre o
Y pi, incluso si no puede ser claro al principio exactamente cómo las dos ideas coincidirá
Para esa integral, también se piensa en una muestra de insumos en este continuo, pero en lugar de
añadiendo la altura sin(x) En cada uno, y dividiendo por cuántos hay, se suman
sin(x)*dx Donde dx es el espacio entre las muestras; Es decir, agregas poco
Áreas, no alturas.
Técnicamente, la integral no es exactamente esta suma, es lo que la suma se aproxima como
dx se aproxima a 0.
Pero es útil razonar con respecto a una de estas iteraciones finitas, donde estás
Añadiendo las áreas de un cierto número específico de rectángulos.
Así que lo que quieres hacer es volver a enmarcar esta expresión para el promedio, esta suma de las alturas dividida
Por el número de puntos muestreados, en términos de dx, el espaciamiento entre muestras.

Spanish: 
Si le digo que el espaciamiento entre estos puntos es de 0,1, por ejemplo, y usted sabe que
Van de 0 a pi, ¿puede decirme cuántos hay?
Bueno, puedes tomar esa longitud del intervalo, pi, y dividirlo por la longitud del espacio
Entre cada muestra.
Si no va uniformemente, redondearemos al número entero más cercano, pero como una aproximación
esto esta bien.
Así que si escribimos el espaciamiento entre muestras como dx, el número de muestras es pi / dx.
Así que reemplazando el denominador con pi / dx aquí, se puede reorganizar, poniendo el dx arriba y
distribuido.
Pero, piensa en lo que significa distribuir ese dx arriba; Significa los términos que estás
Añadiendo todos parecen sin (x) * dx para las diferentes entradas x que está muestreando, de modo que el numerador
Se ve exactamente como una expresión integral

English: 
If I tell you that the spacing between these
points is 0.1, for example, and you know that
they range from 0 to pi, can you tell me how
many there are?
Well, you can take that length of the interval,
pi, and divide it by the length of the space
between each sample.
If it doesn’t go in evenly, you’d round
down to the nearest integer, but as an approximation
this is fine.
So if we write the spacing between samples
as dx, the number of samples is pi/dx.
So replacing the denominator with pi/dx here,
you can rearrange, putting the dx up top and
distributing.
But, think about what it means to distribute
that dx up top; it means the terms you’re
adding all look like sin(x)*dx for the various
inputs x that you’re sampling, so that numerator
looks exactly like an integral expression.

French: 
Si je vous dit que l'espace entre ces points est 0,1 par exemple, et vous savez
qu'ils vont de 0 à pi, pouvez-vous me dire combien il y en a?
Bien, vous pouvez prendre la longueur de cet intervalle, pi, et diviser par la longueur de l'espace
entre chaque échantillon.
Si ceci ne donne pas un nombre entier, vous arrondiriez au nombre entier le plus proche, mais, comme une approximation,
ceci n'est pas un problème.
Donc, si nous écrivons l'espace entre les échantillons comme dx, le nombre d'échantillons est pi/dx.
Donc en remplaçant le dénominateur par pi/dx ici, vous pouvez réarranger, en plaçant le dx au dessus et
en distribuant.
Mais, pensez à ce que cela veut dire de distribuer le dx au dessus; cela veut dire que les termes que vous
additionnez ressemblent tous comme sin(x)*dx pour les entrées x que vous échantillonnez, donc le numérateur
ressemble exactement comme une expression d'intégrale.

German: 
Wenn ich dir sage, dass der Abstand zwischen diesen
Punkte ist zum Beispiel 0,1, und das wissen Sie
sie reichen von 0 bis pi, kannst du mir sagen wie
viele gibt es?
Nun, Sie können diese Länge des Intervalls nehmen,
pi und dividiere es durch die Länge des Raumes
zwischen jeder Probe.
Wenn es nicht gleichmäßig hineingeht, würden Sie runden
bis zur nächsten ganzen Zahl, aber als Annäherung
das ist in Ordnung.
Wenn wir also den Abstand zwischen den Samples schreiben
als dx beträgt die Anzahl der Abtastwerte pi / dx.
Ersetzen Sie hier also den Nenner durch pi / dx.
Sie können neu anordnen, indem Sie den DX oben und oben platzieren
verteilen.
Aber denken Sie darüber nach, was es bedeutet, zu verteilen
das dx oben; es bedeutet die Begriffe, die Sie sind
Das Hinzufügen aller sieht für die verschiedenen wie sin (x) * dx aus
gibt x ein, das Sie abtasten, so dass der Zähler
sieht genauso aus wie ein integraler Ausdruck.

Portuguese: 
Se eu te disser que o espaçamento entre estes
pontos é 0,1, por exemplo, e você sabe que
eles variam de 0 a pi, você pode me dizer
quantos existem?
Bem, você pode levar esse comprimento do intervalo,
pi, e dividi-lo pelo comprimento do espaço
entre cada amostra.
Se não for inteiro, você arredondaria
até o inteiro mais próximo, mas como uma aproximação
assim está bom.
Então, se nós escrevemos o espaçamento entre 
as amostras como dx, o número de amostras é pi/dx.
Então, substituindo o denominador por pi/dx aqui,
você pode reorganizar, colocando o dx em cima e
distribuindo.
Mas pense no que significa distribuir esse dx em cima; isso significa que todos os termos que você está
adicionando parecem sen(x)*dx para as várias entradas x que você está amostrando, de modo que o numerador
parece exatamente como uma expressão integral.

Portuguese: 
E para amostras maiores e maiores de pontos,
a média aproxima-se da integral real
de sen(x) entre 0 e pi, todos divididos por
o comprimento desse intervalo, pi.
Em outras palavras, a altura média deste
gráfico é esta área dividida pela sua largura.
Em um nível intuitivo, e apenas pensando em
termos de unidades, que parece bastante razoável,
não é isso?
Área dividida por largura te dá a altura média.
Então, vamos calcular essa expressão.
Como vimos, último vídeo, para calcular uma integral
você precisa encontrar uma antiderivada da
função dentro da integral; alguma função
cuja derivada é sen (x)
E, se você estiver confortável com derivadas de trigonometria,
você sabe que a derivada de cos (x) é -sin (x),
então se você negativar isso, -cos (x) é a antiderivada
do sen (x).
Para se certificar disso, olhe para isto
gráfico de -cos (x).

English: 
And for larger and larger samples of points,
the average approaches the actual integral
of sin(x) between 0 and pi, all divided by
the length of that range, pi.
In other words, the average height of this
graph is this area divided by its width.
On an intuitive level, and just thinking in
terms of units, that feels pretty reasonable,
doesn’t it?
Area divided by with gives you average height.
So let’s actually compute this expression.
As we saw, last video, to compute an integral
you need to find an antiderivative of the
function inside the integral; some function
whose derivative is sin(x)
And, if you’re comfortable with trig derivatives,
you know the derivative of cos(x) is -sin(x),
so if you negate that, -cos(x) is the antiderivative
of sin(x).
To gut check yourself on that, look at this
graph of -cos(x).

French: 
Et pour de plus en plus grands échantillons de points, la moyenne approche la vraie intégrale
de sin(x) entre 0 et pi, tout ceci divisé par la longueur de l'intervalle, pi.
En d'autres mots, la hauteur moyenne de ce graphique est son aire divisée par son épaisseur.
Sur un niveau intuitif, et simplement en pensant en termes d'unités, ceci semble assez raisonnable,
n'est-ce pas?
L'aire divisée par l'épaisseur vous donne la hauteur moyenne.
Alors essayons de calculer cette expression.
Comme on l'a vu dans la dernière vidéo, pour calculer une intégrale, vous devez trouver la primitive de la
fonction à l'intérieur de l'intégrale; une fonction dont la dérivée est sin(x).
Et, si vous êtes confortables avec les dérivées trigonométriques, vous savez que la dérivée de cos(x) est -sin(x),
donc si vous prenez le négatif de ceci, -cos(x) est la primitive de sin(x).
Pour vous montrer l'intuition de ceci, regardez ce graphique de -cos(x).

Spanish: 
Y para muestras de puntos cada vez mayores, el promedio se aproxima a la integral real
De sin (x) entre 0 y pi, todo dividido por la longitud de ese intervalo, pi.
 
En otras palabras, la altura media de este gráfico es esta área dividida por su ancho.
¿No?
Área dividida por con le da altura promedio.
Así que vamos a calcular esta expresión.
Como vimos, el último video, para calcular una integral necesitas encontrar una antiderivada del
Función dentro de la integral; Alguna función cuya derivada es sen (x)
Y, si te sientes cómodo con los derivados trigonales, sabes que la derivada de cos (x) es -sin (x),
Así que si niegas eso, -cos (x) es la antiderivada del sin (x).
Para "la tripa", compruebe usted mismo que, mira este gráfico de -cos (x).

German: 
Und für immer größere Stichproben von Punkten,
Der Durchschnitt nähert sich dem tatsächlichen Integral
von sin (x) zwischen 0 und pi, alle geteilt durch
die Länge dieses Bereichs, pi.
Mit anderen Worten, die durchschnittliche Höhe davon
Grafik ist dieser Bereich geteilt durch seine Breite.
Auf einer intuitiven Ebene und nur nachdenken
in Einheiten, das fühlt sich ziemlich vernünftig an,
nicht wahr?
Fläche geteilt durch mit gibt Ihnen die durchschnittliche Höhe.
Berechnen wir diesen Ausdruck also tatsächlich.
Wie wir gesehen haben, letztes Video, um ein Integral zu berechnen
Sie müssen ein Antiderivativ der finden
Funktion innerhalb des Integrals; eine Funktion
deren Ableitung ist sin (x)
Und wenn Sie mit Trig-Derivaten vertraut sind,
Sie wissen, dass die Ableitung von cos (x) -sin (x) ist,
Wenn Sie dies negieren, ist -cos (x) das Antiderivativ
der Sünde (x).
Schauen Sie sich das an, um sich selbst zu überprüfen
Graph von -cos (x).

Spanish: 
A 0, la pendiente es 0, entonces aumenta a alguna pendiente máxima en pi / 2, entonces regresa
Hasta 0 en pi, y en general su pendiente parece coincidir con la altura de la
Seno.
Para evaluar la integral de sin (x) entre 0 y pi, tomar esa antiderivada en la
Límite superior, y restar su valor en el límite inferior.
Más visualmente, esa es la diferencia en la altura de este gráfico -cos (x) sobre pi,
Y su altura a 0, y como puede ver, ese cambio de altura es exactamente 2.
Eso es interesante, ¿no?
Que el área bajo este grafo seno resulta ser exactamente 2.
Así que la respuesta a nuestro problema de altura media, esta integral dividida por el ancho de la
Región, evidentemente resulta ser 2 / pi, que es alrededor de 0.64.

French: 
À 0, la pente est 0, puis elle monte à une pente maximale à pi/2, puis elle retourne
au 0 à pi, et en général, sa pente semble effectivement à la hauteur du
graphique sinus.
Pour évaluer l'intégrale de sin(x) entre 0 et pi, prenez cette primitive à la
borne supérieure, et soustrayez sa valeur à la borne inférieure.
Plus visuellement, c'est la différence entre la hauteur de ce graphique -cos(x) au dessus de pi,
et sa hauteur à 0, et comme vous pouvez le constater, cette différence en hauteur est exactement 2.
Ceci est assez intéressant, n'est-ce pas?
Que l'aire en dessous de ce graphique sinus finisse par être exactement 2.
Donc la réponse à notre problème de hauteur moyenne, cette intégrale divisée par l'épaisseur de la
région, évidamment finit par être 2/pi, ce qui est environ 0,64.

German: 
Bei 0 ist die Steigung 0, dann steigt sie auf an
einige maximale Steigung bei pi / 2, dann geht es zurück
bei pi auf 0 und im Allgemeinen seine Steigung
scheint in der Tat die Höhe der zu entsprechen
Sinusgraph.
Um das Integral von sin (x) zwischen zu bewerten
0 und pi, nimm das Antiderivativ an der
Obergrenze und subtrahieren ihren Wert an der
Untergrenze.
Optischer ist das der Unterschied in
die Höhe dieses -cos (x) -Diagramms über pi,
und seine Höhe bei 0, und wie Sie sehen können, das
Höhenänderung ist genau 2.
Das ist irgendwie interessant, nicht wahr?
Dass sich der Bereich unter diesem Sinusgraphen dreht
heraus, um genau 2 zu sein.
Also die Antwort auf unser durchschnittliches Höhenproblem,
Dieses Integral geteilt durch die Breite der
Region stellt sich offensichtlich als 2 / pi heraus, was
liegt bei 0,64.

English: 
At 0, the slope is 0, then it increases to
some maximum slope at pi/2, then it goes back
down to 0 at pi, and in general its slope
does indeed seem to match the height of the
sine graph.
To evaluate the integral of sin(x) between
0 and pi, take that antiderivative at the
upper bound, and subtract its value at the
lower bound.
More visually, that’s the difference in
the height of this -cos(x) graph above pi,
and its height at 0, and as you can see, that
change in height is exactly 2.
That’s kind of interesting, isn’t it?
That the area under this sine graph turns
out to be exactly 2.
So the answer to our average height problem,
this integral divided by the width of the
region, evidently turns out to be 2/pi, which
is around 0.64.

Portuguese: 
Em 0, a inclinação é 0, depois aumenta para
alguma inclinação máxima em pi / 2, então volta
até 0 em pi e, em geral, sua inclinação
parece realmente coincidir com a altura do
gráfico seno.
Para avaliar a integral do sen (x) entre
0 e pi, pegue essa antiderivada no
limite superior e subtraia seu valor na
limite inferior.
Mais visualmente, essa é a diferença
a altura deste gráfico -cos (x) acima de pi,
e sua altura em 0, e como você pode ver, que
mudança de altura é exatamente 2.
Isso é meio interessante, não é?
Que a área sob este gráfico de seno acaba dando exatamente 2.
Então a resposta para o nosso problema de altura média,
esta integral dividida pela largura do
na região, evidentemente é 2 / pi, o que
é em torno de 0,64.

French: 
J'ai promis au début de cette question que de trouver la valeur moyenne d'une fonction
offre une perspective alternative sur pourquoi les intégrales et les dérivées sont des inverses
l'une de l'autre; pourquoi l'aire sous une courbe est liée à la pente de l'autre.
Remarquez comment trouver cette valeur moyenne 2/pi revient à regarder le changement dans la
primitive -cos(x) sur l'intervalle, divisée par la longueur de cette intervalle.
Une autre façon de penser à cette fraction est comme la pente entre le point
de la primitive en dessous de 0, et ce point sur le graphique au dessus de pi.
Maintenant pensez à propos de pourquoi il pourrait faire du sens de penser que cette pente représente la valeur moyenne de
sin(x) sur cette région.
Par définition, sin(x) est la dérivée de ce graphique de la primitive; il donne la pente
de -cos(x) à chaque entrée.

Portuguese: 
Eu prometi no começo que esta pergunta
de encontrar o valor médio de uma função
oferece uma perspectiva alternativa sobre o porquê
integrais e derivados são inversos de
um e outro; porque a área sob um gráfico
está relacionado com a inclinação de outro.
Observe como encontrar esse valor médio 2 / pi, olhamos para a mudança na
antiderivada -cos (x) sobre o intervalo de entrada,
dividido pelo comprimento desse intervalo de entrada.
Outra maneira de pensar sobre essa fração é
como o declive de subida entre o ponto
do gráfico antiderivada abaixo de zero, e
o ponto desse gráfico acima pi.
Agora pense em por que isso pode fazer sentido
esta inclinação representa o valor médio de
sen (x) nessa região.
Por definição, sen (x) é a derivada deste gráfico antiderivada; dá a inclinação
of -cos (x) em cada entrada.

German: 
Ich habe zu Beginn versprochen, diese Frage zu stellen
den Durchschnittswert einer Funktion zu finden
bietet eine alternative Perspektive auf das Warum
Integrale und Derivate sind Umkehrungen von
der eine und der andere; warum die Fläche unter einem Diagramm
hängt mit der Steigung eines anderen zusammen.
Beachten Sie, wie Sie diesen Durchschnittswert 2 / pi finden
kam auf die Veränderung in der
Antiderivativ -cos (x) über den Eingabebereich,
geteilt durch die Länge dieses Eingabebereichs.
Eine andere Möglichkeit, über diesen Bruchteil nachzudenken, ist
als Steigungs-Überlauf-Steigung zwischen dem Punkt
des antiderivativen Graphen unter Null und
der Punkt dieses Graphen über pi.
Überlegen Sie nun, warum dies sinnvoll sein könnte
Diese Steigung repräsentiert den Durchschnittswert von
sin (x) in dieser Region.
Per Definition ist sin (x) die Ableitung von
dieser antiderivative Graph; es gibt die Steigung
von -cos (x) an jedem Eingang.

Spanish: 
Prometí al comienzo que esta cuestión de encontrar el valor promedio de una función
Ofrece una perspectiva alternativa sobre por qué las integrales y los derivados son inversos de
uno y otro; Por qué el área bajo un gráfico está relacionada con la pendiente de otro.
Observe cómo encontrar el valor medio 2 / pi se redujo a mirar el cambio en el
Antiderivada -cos (x) en el intervalo de entrada, dividido por la longitud de ese intervalo de entrada.
Otra manera de pensar en esa fracción es como la pendiente de subida y bajada entre el punto
Del gráfico antiderivativo debajo de cero, y el punto de ese gráfico sobre pi.
Ahora piensa en por qué podría tener sentido que esta pendiente represente el valor promedio de
Sin (x) en esa región
Por definición, sen (x) es la derivada de este grafo antiderivada; Da la pendiente
De -cos (x) en cada entrada

English: 
I promised at the start that this question
of finding the average value of a function
offers an alternate perspective on on why
integrals and derivatives are inverses of
one and other; why the area under one graph
is related to the slope of another.
Notice how finding this average value 2/pi
came down to looking at the change in the
antiderivative -cos(x) over the input range,
divided by the length of that input range.
Another way to think about that fraction is
as the rise-over-run slope between the point
of the antiderivative graph below zero, and
the point of that graph above pi.
Now think about why it might make sense that
this slope represents the average value of
sin(x) on that region.
By definition, sin(x) is the derivative of
this antiderivative graph; it gives the slope
of -cos(x) at every input.

French: 
Donc une autre façon de penser à la valeur moyenne de sin(x) est en tant que la pente moyenne de
toutes les tangentes ici entre 0 et pi.
Et de cette vue, ne fait-il pas beaucoup de sens que la pente moyenne d'un graphique
sur tout ses points dans un intervalle spécifique soit égale à la pente totale entre le point de début
et de fin?
Pour digérer cette idée, il aide de voir ce que cela ressemble pour une fonction générale.
Pour n'importe quelle fonction f(x), si vous voulez trouver sa valeur moyenne sur un certain intervalle, disons entre
a et b, ce que vous faites est de prendre l'intégrale de f sur cet intervalle, divisé par l'épaisseur
de cet intervalle.
Vous pouvez penser à ceci comme prendre l'aire sous le graphique divisé par son épaisseur.
Ou, plus précisément, c'est l'aire avec un signe de ce graphique, puisque l'aire sous l'axe des x
est comptée comme négative.
De plus, prenez ce moment pour vous souvenir de la connexion entre l'idée d'une moyenne continue

Portuguese: 
Então, outra maneira de pensar sobre o valor médio de sen (x) é como a inclinação média sobre
todas as linhas tangentes aqui entre 0 e pi.
E a partir desse ponto de vista, não faz muito
de sentido que a inclinação média de um gráfico
sobre todo o seu ponto em um determinado intervalo deve
igualar a inclinação total entre o início e
ponto final?
Para digerir essa ideia, ajuda ver o que
parece para uma função geral.
Para qualquer função f (x), se você quiser encontrar
seu valor médio em algum intervalo, digamos entre
a e b, o que você faz é tomar a integral
de f nesse intervalo, dividido pela largura
do intervalo.
Você pode pensar nisso como tendo a área sob
o gráfico dividido pela largura.
Ou, mais precisamente, é a área assinada
desse gráfico, uma vez que a área abaixo do eixo x
é contado como negativo.
E tire um momento para lembrar a conexão
entre esta ideia de uma média contínua

English: 
So another way to think about the average
value sin(x) is as the average slope over
all tangent lines here between 0 and pi.
And from that view, doesn’t it make a lot
of sense that the average slope of a graph
over all its point in a certain range should
equal the total slope between the start and
end point?
To digest this idea, it helps to see what
it looks like for a general function.
For any function f(x), if you want to find
its average value on some interval, say between
a and b, what you do is take the integral
of f on that interval, divided by the width
of the interval.
You can think of this as taking the area under
the graph divided by the width.
Or more accurately, it’s the signed area
of that graph, since area below the x-axis
is counted as negative.
And take a moment to remember the connection
between this idea of a continuous average

Spanish: 
Así que otra manera de pensar en el valor promedio sin (x) es como la pendiente media sobre
Todas las líneas tangentes aquí entre 0 y pi.
Y desde este punto de vista, ¿no tiene mucho sentido que la pendiente media de un gráfico
Sobre todo su punto en un cierto rango debe ser igual a la pendiente total entre el inicio y
Punto final
Para digerir esta idea, ayuda a ver lo que parece para una función general.
Para cualquier función f (x), si desea encontrar su valor medio en algún intervalo, digamos entre
a y b, lo que haces es tomar la integral de f en ese intervalo, dividido por el ancho
Del intervalo.
Usted puede pensar en esto como tomar el área bajo el gráfico dividido por el ancho.
O más exactamente, es el área de signo de ese gráfico, ya que el área debajo del eje x
Se cuenta como negativa.
Y tómese un momento para recordar la conexión entre esta idea de un promedio continuo

German: 
Also eine andere Art, über den Durchschnitt nachzudenken
Der Wert sin (x) ist die durchschnittliche Steigung über
alle Tangenten hier zwischen 0 und pi.
Und aus dieser Sicht macht es nicht viel
Sinn, dass die durchschnittliche Steigung eines Graphen
über alle seine Punkte in einem bestimmten Bereich sollte
gleich der Gesamtsteigung zwischen dem Start und
Endpunkt?
Um diese Idee zu verdauen, hilft es zu sehen, was
es sieht aus wie für eine allgemeine Funktion.
Für jede Funktion f (x), wenn Sie suchen möchten
sein Durchschnittswert in einem Intervall, sagen wir zwischen
a und b, was Sie tun, ist das Integral zu nehmen
von f in diesem Intervall, geteilt durch die Breite
des Intervalls.
Sie können sich vorstellen, dass Sie den Bereich darunter einnehmen
das Diagramm geteilt durch die Breite.
Oder genauer gesagt, es ist der signierte Bereich
dieses Graphen, da Bereich unterhalb der x-Achse
wird als negativ gezählt.
Und nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um sich an die Verbindung zu erinnern
zwischen dieser Idee eines kontinuierlichen Durchschnitts

English: 
and the usual finite notion of an average,
where you add up many numbers and divide by
how many there are.
When you take some sample of points spaced
out by dx, the number of samples is about
the length of the interval divided by dx.
So if you add up the value of f(x) at each
sample and divide by the total number of samples,
it’s the same as adding up the products
f(x)*dx and dividing by the width of the entire
interval.
The only difference between that and the integral
expression is that the integral asks what
happens as dx approaches 0, but that just
corresponds with samples of more and more
points that approximate the true average increasingly
well.
Like any integral, evaluating this comes down
to finding an antiderivative of f(x), commonly
denoted capital F(x).
In particular, what we want is the change
to this antiderivative between a and b, F(b)

Portuguese: 
e a noção finita usual de uma média,
onde você soma muitos números e divide por
quantos existem.
Quando você tira uma amostra de pontos espaçados
por dx, o número de amostras é sobre
o comprimento do intervalo dividido por dx.
Então, se você somar o valor de f (x) em cada
amostra e dividir pelo número total de amostras,
é o mesmo que somar os produtos
f(x) * dx e dividindo pela largura de todo o
intervalo.
A única diferença entre isso e a expressão integral
 é que a integral pergunta o que
acontece quando o dx se aproxima de 0, mas isso
corresponde a amostras de mais e mais
pontos que se aproximam da média real cada vez melhor
Como qualquer integral, avaliar isso vem de encontrar uma antiderivada de f (x), comumente
denotada F maiúscula de x, F(x)
Em particular, o que queremos é a variação
para esta antiderivada entre a e b, F (b) - F (a)

French: 
et l'habituelle notion finie d'une moyenne, où l'on ajoute plusieurs nombres et on divise par
combien il y en a.
Lorsque vous prenez quelque échantillon de points espacés par dx, le nombre d'échantillons est à peu près
la longueur de l'intervalle, divisée par dx.
Donc si vous additionnez la valeur de f(x) à chaque échantillon, puis vous divisez par le nombre total d'échantillons,
ceci équivaut à ajouter les produits de f(x)*dx et diviser par l'épaisseur de
l'intervalle entière.
La seule différence entre ceci et l'expression avec l'intégrale est que l'intégrale demande ce qui
se passe alors que dx tend vers 0, mais ceci correspond à des échantillons de plus en plus de
points qui approximent la véritable moyenne de mieux en mieux.
Comme n'importe quelle intégrale, ceci revient à trouver une primitive de f(x), communément
nommée F majuscule de x: F(x).
En particulier, ce que nous voulons est le changement de cette primitive entre a et b, F(b) - F(a),

German: 
und die übliche endliche Vorstellung eines Durchschnitts,
wo Sie viele Zahlen addieren und durch dividieren
wie viele gibt es.
Wenn Sie eine Stichprobe von Punkten mit Abstand nehmen
out by dx ist die Anzahl der Samples ungefähr
die Länge des Intervalls geteilt durch dx.
Wenn Sie also jeweils den Wert von f (x) addieren
Probe und dividieren durch die Gesamtzahl der Proben,
Es ist das gleiche wie das Addieren der Produkte
f (x) * dx und dividiert durch die Breite des Ganzen
Intervall.
Der einzige Unterschied zwischen dem und dem Integral
Ausdruck ist, dass das Integral fragt, was
passiert, wenn sich dx 0 nähert, aber das gerade
entspricht mit Proben von immer mehr
Punkte, die sich zunehmend dem wahren Durchschnitt annähern
Gut.
Wie bei jedem Integral kommt es auch bei der Bewertung darauf an
häufig ein Antiderivativ von f (x) zu finden
bezeichnetes Kapital F (x).
Was wir insbesondere wollen, ist die Veränderung
zu diesem Antiderivativ zwischen a und b, F (b)

Spanish: 
Y la noción finita usual de un promedio, donde se suman muchos números y se dividen por
Cuantos hay
Cuando se toma una muestra de puntos espaciados por dx, el número de muestras es de
La longitud del intervalo dividido por dx.
Así que si suma el valor de f (x) en cada muestra y se divide por el número total de muestras,
Es lo mismo que sumar los productos f (x) * dx y dividir por el ancho de la totalidad
intervalo
La única diferencia entre eso y la expresión integral es que la integral pregunta qué
Ocurre cuando dx se aproxima a 0, pero eso sólo se corresponde con muestras de más y más
Puntos que se aproximan cada vez más al verdadero promedio.
Al igual que cualquier integral, la evaluación de esto se reduce a encontrar una antiderivada de f (x), comúnmente
Denotado el capital F (x).
En particular, lo que queremos es el cambio a esta antiderivada entre a y b, F (b)

Spanish: 
- F (a), que puede considerarse como el cambio en la altura de este nuevo gráfico entre el
Dos límites.
He elegido convenientemente una antiderivada que pasa por 0 en el límite inferior
Aquí, pero tenga en cuenta que podría cambiar libremente este arriba y abajo, agregando lo que sea constante
Usted quiere a él, y todavía sería un antiderivative válido.
Así que la solución al problema promedio es el cambio en la altura de este nuevo gráfico
Dividido por el cambio a su valor x entre a y b.
En otras palabras, es la pendiente del gráfico antiderivado entre estos extremos.
Y otra vez, eso debe hacer mucho sentido, porque poco f (x) da la pendiente de una tangente
Línea a este gráfico en cada punto, después de todo es por definición la derivada del capital
F. Entonces, ¿por qué la antiderivada es la clave para resolver
Integrales

English: 
- F(a), which you can think of as the change
in the height of this new graph between the
two bounds.
I’ve conveniently chosen an antiderivative
which passes through 0 at the lower bound
here, but keep in mind that you could freely
shift this up and down, adding whatever constant
you want to it, and it would still be a valid
antiderivative.
So the solution to the average problem is
the change in the height of this new graph
divided by the change to its x value between
a and b.
In other words, it’s the slope of the antiderivative
graph between these endpoints.
And again, that should make a lot of sense,
because little f(x) gives the slope of a tangent
line to this graph at each point, after all
it is by definition the derivative of capital
F.
So, why are antiderivative the key to solving
integrals?

French: 
ce à quoi vous pouvez penser comme le changement dans la hauteur de ce nouveau graphique entre les
deux bornes.
J'ai pratiquement choisi une primitive qui passe au travers de 0 à la borne inférieure
ici, mais gardez en tête que vous pourrez librement déplacer ceci de haut en bas, y ajoutant n'importe quelle constante
vous voulez, et elle serait encore une primitive valide.
Donc la solution à ce problème de moyenne est le changement dans la hauteur de ce nouveau graphique
divisé par le changement à sa valeur de x entre a et b.
En d'autres mots, c'est la pente du graphique de cette primitive entre ces bornes.
À nouveau, ceci devrait faire beaucoup de sens, puisque f(x) minuscule donne la pente d'une tangente
à ce graphique à chaque point, après
tout, ceci est la définition de la dérivée de F(x) majuscule.
Amours pourquoi les primitives sont la clef pour résoudre des
intégrales?

German: 
- F (a), das Sie sich als Veränderung vorstellen können
in der Höhe dieses neuen Graphen zwischen dem
zwei Grenzen.
Ich habe bequemerweise ein Antiderivativ gewählt
die an der Untergrenze durch 0 geht
hier, aber denken Sie daran, dass Sie frei könnten
Verschieben Sie dies nach oben und unten und fügen Sie eine beliebige Konstante hinzu
Sie wollen es, und es wäre immer noch gültig
Antiderivativ.
Die Lösung für das durchschnittliche Problem ist also
die Änderung der Höhe dieses neuen Diagramms
geteilt durch die Änderung seines x-Wertes zwischen
A und B.
Mit anderen Worten, es ist die Steigung des Antiderivativs
Grafik zwischen diesen Endpunkten.
Und wieder sollte das viel Sinn machen,
weil wenig f (x) die Steigung einer Tangente ergibt
Immerhin an jedem Punkt eine Linie zu diesem Diagramm
es ist per definitionem die Ableitung des Kapitals
F. F.
Warum sind Antiderivative der Schlüssel zur Lösung?
Integrale?

Portuguese: 
que você pode pensar como a variação
na altura deste novo gráfico entre os
dois limites.
Eu convenientemente escolhi uma antiderivada
que passa por 0 no limite inferior
aqui, mas tenha em mente que você poderia livremente
mudar isso para cima e para baixo, adicionando qualquer constante
que você queira, e ainda seria uma 
antiderivada válida.
Então a solução para o problema da média é
a variação da altura neste novo gráfico
dividido pela variação do seu valor x entre
a e b.
Em outras palavras, é a inclinação do gráfico da antiderivada entre esses pontos finais.
E, novamente, isso deve fazer muito sentido,
porque f(x) pequena dá a inclinação de uma linha
tangente para este gráfico em cada ponto, afinal
é, por definição, a derivada de
F maiúsculo.
Então, por que a antiderivada é a chave para resolver
integrais?

Portuguese: 
Bem, minha intuição favorita ainda é a
que mostrei no último vídeo, mas uma segunda perspectiva
é que quando você reformula a questão de encontrar
a média de um valor contínuo como encontrar
a inclinação média do feixe de linhas tangentes,
permite que você veja a resposta apenas comparando
pontos finais, ao invés de ter que realmente
somar todos os pontos entre eles.
No último vídeo, eu descrevi uma noção que deveria trazer integrais à sua mente.
Ou seja, se você se sentir como o problema que você está
resolvendo poderia ser aproximado e quebrado
de alguma forma, e somando um grande número
de pequenas coisas.
Aqui eu quero que você saia reconhecendo uma noção que deveria trazer integrais
para sua mente.
Se há alguma ideia que você entende
em um contexto finito, e que envolve adicionar
vários valores, como tirar a média
de um monte de números, e se você quiser
generalizar essa ideia para aplicar a um 
faixa contínua de infinitos valores, tente ver se

German: 
Nun, meine Lieblingsintuition ist immer noch die
Ich habe das letzte Video gezeigt, aber eine zweite Perspektive
ist das, wenn Sie die Frage des Findens neu formulieren
der Durchschnitt eines kontinuierlichen Wertes als Befund
die durchschnittliche Steigung eines Bündels von Tangentenlinien,
Sie können die Antwort nur durch Vergleichen sehen
Endpunkte, anstatt tatsächlich müssen
Zählen Sie alle Punkte dazwischen auf.
Im letzten Video habe ich eine Sensation beschrieben
das sollte dir Integrale in den Sinn bringen.
Nämlich, wenn Sie das Problem haben, sind Sie
Das Lösen könnte durch Brechen angenähert werden
es irgendwie auf und summiert eine große Anzahl
von kleinen Dingen.
Hier möchte ich, dass du wegkommst und a erkennst
zweite Sensation, die Integrale bringen sollte
zu deinem Verstand.
Wenn Sie eine Idee haben, die Sie verstehen
in einem endlichen Kontext, und das beinhaltet das Hinzufügen
mehrere Werte erhöhen, wie den Durchschnitt zu nehmen
von einer Reihe von Zahlen, und wenn Sie wollen
Verallgemeinern Sie diese Idee, um sie auf ein Unendliches anzuwenden
Kontinuierlicher Wertebereich, versuchen Sie zu sehen, ob

Spanish: 
Bueno, mi intuición favorita sigue siendo la que mostré el último video, pero una segunda perspectiva
Es que cuando se replantea la cuestión de encontrar la media de un valor continuo como hallazgo
La pendiente media de un montón de líneas tangentes, que le permite ver la respuesta sólo por la comparación
Endpoints, en lugar de tener que actualizar todos los puntos intermedios.
En el último vídeo, describí una sensación que debería traer integrales a su mente
A saber, si usted siente que el problema que está resolviendo podría ser aproximado por romper
De alguna manera, y sumando un gran número de cosas pequeñas.
Aquí quiero que vengas reconociendo una segunda sensación que debería traer integrales
A su mente.
Si hay alguna idea que usted entiende en un contexto finito, y que implica agregar
Múltiples valores, como tomar el promedio de un montón de números, y si quieres
Generalizar esa idea para aplicarla a una gama continua infinita de valores, intente ver si

English: 
Well, my favorite intuition is still the one
I showed last video, but a second perspective
is that when you reframe the question of finding
the average of a continuous value as finding
the average slope of bunch of tangent lines,
it lets you see the answer just by the comparing
endpoints, rather than having to actually
tally up all points in between.
In the last video, I described a sensation
that should bring integrals to your mind.
Namely, if you feel like the problem you’re
solving could be approximated by breaking
it up somehow, and adding up a large number
of small things.
Here I want you to come away recognizing a
second sensation that should bring integrals
to your mind.
If there’s some idea that you understand
in a finite context, and which involves adding
up multiple values, like taking the average
of a bunch of numbers, and if you want to
generalize that idea to apply to an infinite
continuous range of values, try seeing if

French: 
Bien, mon intuition préférée reste celle que j'ai montrée dans la dernière vidéo, mais une seconde perspective
est que lorsque l'on redemande la question de trouver la moyenne d'une valeur continue comme trouver
la pente moyenne d'un groupe de tangentes, ceci vous permet de voir la réponse simplement en comparant les
extrêmes, plutôt que d'avoir besoin de littéralement additionner tous les points entre les deux.
Dans le dernier vidéo, j'ai décrit une sensation qui devrait porter les intégrales dans votre tête.
À savoir, si vous ressentez que le problème pourrait être approximé en le décomposant
de quelque façon, puis en additionnant un grand nombre de petites choses.
Ici, je veux que vous partiez en reconnaissant une seconde sensation qui devrait emporter les intégrales
dans votre pensée.
Si il y a une idée que vous comprenez dans un contexte fini, et qui inclue additionner
plusieurs valeurs, comme prendre la moyenne d'un groupe de nombre, et que vous voulez
généraliser cette idée pour l'appliquer sur un intervalle infini de valeurs continues, essayez de voir si

French: 
vous pouvez voir les choses en termes d'une intégrale.
C'est un sentiment qui revient assez pour qu'il vaille définitivement la peine d'être souvenu.
Mes remerciements, comme à l'habitude, à ceux qui rendent ces vidéos possibles.

Spanish: 
Usted puede frasear las cosas en términos de una integral.
Es un sentimiento que viene lo suficiente que es definitivamente vale la pena recordar
Mi agradecimiento, como siempre, a aquellos que hacen estos videos posibles.

German: 
Sie können Dinge in Form eines Integrals formulieren.
Es ist ein Gefühl, das genug aufkommt
Es lohnt sich auf jeden Fall, sich daran zu erinnern.
Ich danke wie immer denen, die diese gemacht haben
Videos möglich.

Portuguese: 
você pode expressar coisas em termos de uma integral.
É uma ideia que aparece o suficiente que
vale a pena lembrar.
Meus agradecimentos, como sempre, àqueles que fazem esses
vídeos possíveis.
"Frequentemente ouvimos que a matemática consiste principalmente de provar teoremas. O trabalho de um escritor é apenas escrever sentenças?" -Gian-Carlo Rota

English: 
you can phrase things in terms of an integral.
It’s a feeling that comes up enough that’s
it’s definitely worth remembering.
My thanks, as always, to those making these
videos possible.
