
Vietnamese: 
một cách để hiểu về hàm e mũ là nghĩ về tính chất của hàm này.
Chắc chắn tính chất quan trọng nhất của hàm là tại một điểm t bất kì thì giá trị của hàm cũng bằng giá trịcủa đạo hàm
Kết hợp với kết quả tại 0 thì hàm này bằng 1
hàm này là hàm duy nhất thỏa mãn tính chất đó.
Bạn có thể biểu diễn tính chất này trực quan bằng mô hình vật lí.
Nếu e^t là vị trí của bạn trên trục số theo thời gian
và lúc bắt đầu bạn ở vị trí số 1
Thì hàm này sẽ cho biết vận tốc của bạn hay nói cách khác là đạo hàm của li độ luôn bằng giá trị của vị trí của bạn
Càng nằm xa số 0, thì bạn di chuyển càng nhanh
trước khi tính chính xác e^t để đưa ra vị trí xác định tại một thời điểm xác định
điều này cho ta thấy sự tương quan giữa vị trí và vận tốc tại vị trí đó
giúp bạn có một cái nhìn trực quan về việc  giá trị của hàm thay đổi như thế nào.
Bạn biết là bạn sẽ được tăng tốc, theo một tỉ lệ nhất định và sẽ có cảm giác mọi thứ thay đổi cực kì nhanh chóng

Modern Greek (1453-): 
Ένας τρόπος να σκεφτούμε τη συνάρτηση e ^ t είναι
να ρωτήσουμε τί ιδιότητες έχει. Πιθανόν η
πιο σημαντική, από ορισμένες απόψεις
η καθοριστική ιδιότητα, είναι ότι είναι η δική της
παράγωγος.  Μαζί με την πρόσθετη προϋπόθεση
ότι δίνοντας μηδέν επιστρέφει 1, είναι η
η μοναδική συνάρτηση με αυτήν την ιδιότητα. Μπορείς να φανταστείς τι σημαίνει αυτό με ένα φυσικό
μοντέλο: Αν το e ^ t περιγράφει τη θέση σας στη σειρά των αριθμών ως συνάρτηση του χρόνου, τότε
ξεκινάτε από το 1.  Αυτό που λέει αυτή η εξίσωση είναι ότι, η ταχύτητά σας, η παράγωγος της θέσης,
είναι πάντα ίση με τη θέση σας. Όσο πιο μακριά από το 0 είστε, τόσο πιο γρήγορα κινείστε.
Άρα, ακόμη και χωρίς να ξέρετε πώς να υπολογίσετε το e ^ t ακριβώς, πηγαίνοντας από συγκεκριμένο χρόνο σε συγκεκριμένη
θέση, αυτή τη δυνατότητα να συνδέει κάθε θέση με την ταχύτητα που πρέπει να έχεις στη θέση αυτή
φτιάχνει μια πολύ ισχυρή διαισθητική εικόνα για το πώς αυξάνεται η συνάρτηση. Ξέρεις ότι θα
επιταχύνεσαι, και με επιταχυνόμενο ρυθμό, με μια συναρπαστική αίσθηση των πραγμάτων να βγαίνουν
γρήγορα εκτός ελέγχου.

Chinese: 
一种理解 e^t 功能的方法是去理解它所具有的某种性质
或许这些性质中最重要的一点是，它的导数等于其自身
以及，e^0 的结果是 1
e^t 是唯一一个具有这种性质的函数
你可以用一个物理模型来描述这种性质
假设 e^t 是一个和时间有关的函数
它描述了你在这个数轴上的位置
接下来，让自变量取 1
这相当于说你的速度（位置的导数）
永远等于你在这个数轴上的位置
你离数字 0 越远，你移动的速度就会越快
所以在确切的计算 e^t 之前
（也就是在某个时间到达某一位置，
这种将每个位置和速度联系在一起的能力）
我们必须先知道自己处于哪一位置
这个模型非常符合直觉地描述了这一函数将以何种趋势增长
你知道你会以某一恒定的加速度不停的加速
很快你的速度就会失控

Spanish: 
Una manera para pensar en la función 𝑒^𝑡
es pedir cuáles propiedades tiene.
Probablemente lo más importante, desde algunos
puntos de vista, es que es su propio derivada.
Junto con la condición
añadido que entrando 0 da 1,
es la sólo función
con esta propiedad.
Y usted puede ilustrar qué eso
significa con un modelo físico:
Si 𝑒^𝑡 descrube la posición de usted en la recta
numérica como una función de tiempo,
entonces usted comienza
en el número 1,
Y lo que esta ecuación está diciendo es que
la velocidad de usted, la derivada de posición,
siempre es igual a
la posición de usted.
Cuanto más lejos desde 0
es usted, más rapido mueve.
Entonces incluso antes sabiendo
computar 𝑒^𝑡 exactamente
yendo desde un tiempo específico
hasta una posición específica,
esta habilidad asociar cada
posición con la velocidad
pintura una imagen muy fuerte y
intuitivo de cómo la función debe crecer.
Usted sabe que estará acelerando, en un ritmo
acelerado, con un sentimiento todo al rededor
de cosas que están afuera
de control rápidamente.

Italian: 
Uno dei modi in cui si può ragionare sulla funzione e^t
è chiederci quali proprietà possieda.
Probabilmente la più importante, e per certi aspetti
la proprietà che la definisce,
è quella di essere la derivata di se stessa.
Se inoltre chiediamo che a input 0 dia output 1,
è esattamente  l'unica ad avere questa proprietà.
Possiamo capire cosa questo significhi
con un modello fisico:
se e^t descrive la posizione su una retta
in funzione del tempo,
e cominciamo da 1,
quello che ci dice l'equazione è che la velocità,
cioè la derivata della posizione,
è sempre uguale a quella posizione.
Più siamo lontani da zero,
più velocemente ci muoviamo.
Quindi ancora prima di sapere
come calcolare esattamente e^t,
da un tempo o una posizione specifica,
questa capacità di associare
ad ogni posizione una velocità
dà un'immagine molto intuitiva
di come la funzione dovrà crescere.
Sappiamo che accelererà,
con un'accelerazione sempre crescente,
dando la sensazione di sfuggirci di mano rapidamente.

Portuguese: 
Um jeito de pensar na função e^t, é se perguntar
qual propriedade ela tem. Provavelmente a mais importante
e por um ponto de vista, a propriedade que a define
é que ela é a sua própria derivada.
Junto com a condição de que colocar t=0 retorna 1.
Ela é na verdade a única função com essa propriedade,
e você pode ilustrar o que isso quer dizer com um modelo físico.
Se e^t descreve a sua posição em uma reta numerada, como uma função do tempo,
então você começa no número 1, o que essa equação está dizendo
é que a sua velocidade, a derivada da posição,
é sempre igual a aquela posição.
Quanto mais longe de 0 você está, mais rápido você se move.
Então, mesmo antes de saber computar e^t exatamente
indo de um tempo específico e indo para uma posição específica,
esta habilidade de associar cada posição com uma velocidade
nos dá uma imagem muito intuitiva de como a função deve crescer,
você sabe que ela deve estar acelerando,
em uma taxa de aceleração,
e que ela fica grande rapidamente.

Russian: 
В контексте функции e^t можно задать вопрос: какими свойствами она обладает?
Вероятно, самое важное, в какой-то мере даже определяющее свойство, это то, что она является собственной производной.
Вкупе с дополнительным условием, что 0 в качестве аргумента возвращает 1, это по сути
единственная функция обладающая подобным свойством. Мы можем наглядно изобразить это при помощи физической модели:
Если e в степени t описывает наше положение на числовой прямой как функция времени,
тогда мы начинаем в 1. И это уравнение говорит нам, что наша скорость (производная от расстояния)
всегда равна этому расстоянию. И чем сильнее мы удаляемся от 0, тем быстрее мы движемся.
Так что, даже ещё не зная, как с точностью подсчитать e в степени t в определенный момент времени и в определенной точке,
возможность связать пройденный путь со скоростью, которой вы должны обладать в этой точке,
даёт очень наглядное и интуитивное представление о том, как эта функция должна расти. Вы понимаете,
что будете ускоряться всё быстрее и быстрее с всепоглощающим чувством,
что всё быстро выходит из под контроля.

Polish: 
Jednym ze sposobów patrzenia na funkcję e^t,  jest to jakie ma własności. Prawdopodobnie
jedną z najważniejszych, w pewnym sensie definiującą ją, jest ta, że e^t jest równa
swojej własnej pochodnej. Wraz z warunkiem, że dla argumentu 0 ma przyjąć wartość 1
otrzymujemy, że jest jedyną funkcją o tych własnościach. Możemy to zilustrować rozważając taki
model fizyczny: Jeśli e^t opisuje Twoje położenie na osi liczbowej, jako funkcja zależna od czasu, wtedy
zaczniesz podróż od 1. To równanie mówi nam, że Twoja prędkość, pochodna położenia,
jest zawsze równa Twojemu położeniu. Im dalej jesteś od 0, tym szybciej się poruszasz.
Więc nawet jeśli nie wiedziałeś jak dokładnie obliczyć e^t, przechodząc od pewnej chwili czasu do pewnego
położenia, ta własność łącząca położenie z prędkością chwilową w tym położeniu
tworzy bardzo silną intuicję o tym, jak szybko wartości funkcji rosną. Wiesz, że
będziesz przyspieszał, co będzie z kolei wiązało się z poczuciem, że wszystko
wymyka Ci się z rąk.

Chinese: 
思考函數e ^ t的一種方法是
詢問它有什麼屬性。
可能是從某些角度來看，最重要的一個
屬性，可能是定義
它自己是自己的微分。加上另一條件是
輸入 0 返回值為 1
它是唯一具有此屬性的函數。您可以
用物理模型來說明這意味著什麼：
如果以數線來表示你所在的位置，用 e ^ t 描述位置為時間的函數
然後你從 1 的位置開始
這個等式說的是你的速度即位置的導數
永遠等於你的位置
你離 0 越遠就移動得越快
所以甚至在知道如何計算e ^ t之前
從特定時間到特定位置
每個位置和該處的速度的關聯性
能讓你非常直觀的描繪一幅畫面，函數是如何成長的。
你知道你將在加速的比率上加速加速~ 加速~
你完全感覺到變化很快得就全面失控了

Malay (macrolanguage): 
Satu cara untuk berfikir tentang fungsi itu ialah
untuk bertanya apa sifatnya. Mungkin
yang paling penting, dari sudut pandangan
harta yang menentukan, adalah ia sendiri
derivatif. Bersama-sama dengan keadaan yang ditambah
yang memasukkan pulangan sifar 1, itu adalah
hanya berfungsi dengan harta ini. Awak boleh
menggambarkan apa maksudnya dengan fizikal
model: Jika e ^ t menggambarkan kedudukan anda pada
garis nombor sebagai fungsi masa, maka anda
bermula pada 1. Apa persamaan ini katakan adalah
halaju anda, derivatif kedudukan,
sentiasa sama kedudukan anda. Lebih jauh
jauh dari 0 anda, semakin cepat anda bergerak.
Jadi sebelum mengetahui cara menghitung e
betul-betul, pergi dari masa tertentu ke spesifik
kedudukan, keupayaan ini untuk mengaitkan setiap kedudukan
dengan halaju yang anda mesti ada pada kedudukan itu
cat gambar intuitif yang sangat kuat
bagaimana fungsi mesti berkembang. Awak tahu awak akan
akan mempercepat, pada kadar yang mempercepat,
dengan perasaan yang menyeluruh tentang perkara yang mendapat
dari tangan dengan cepat.

French: 
Une façon de comprendre la fonction e^t est de réfléchir à ses propriétés. Probablement la
plus importante (pour certains, sa propriété déterminante) est qu'elle est sa propre
dérivée. Avec la condition supplémentaire qu'exponentielle de 0 égale 1, c'est l'unique
fonction avec cette propriété. On peut illustrer cela avec un modèle
physique. Si e^t décrit votre position sur l'axe numérique en fonction du temps,  alors
vous commencez à 1. Cette équation indique que votre vitesse, la dérivée de la position,
est toujours égale à cette position. Plus on s'eloigne de zéro, plus on va vite.
Ainsi avant même de savoir calculer exactement e^t, passer d'un instant précis à une position précise,
cette capacité d'associer une position avec la vitesse à cette position
dépeint une image très intuitive de la croissance de cette fonction. Vous savez que vous
allez accélérer, à un rythme de plus en plus rapide, avec le sentiment que les choses deviennent
ingérables rapidement.

English: 
One way to think about the function e^t is
to ask what properties it has. Probably the
most important one, from some points of view
the defining property, is that it is its own
derivative. Together with the added condition
that inputting zero returns 1, it’s the
only function with this property. You can
illustrate what that means with a physical
model: If e^t describes your position on the
number line as a function of time, then you
start at 1. What this equation says is that
your velocity, the derivative of position,
is always equal your position. The farther
away from 0 you are, the faster you move.
So even before knowing how to compute e^t
exactly, going from a specific time to a specific
position, this ability to associate each position
with the velocity you must have at that position
paints a very strong intuitive picture of
how the function must grow. You know you’ll
be accelerating, at an accelerating rate,
with an all-around feeling of things getting
out of hand quickly.

German: 
Eine Möglichkeit über die Funktion e^t nachzudenken ist, sich zu fragen welche Eigenschaften sie hat. Wahrscheinlich die
wichtigste, aus mancher Sicht die definierende Eigenschaft, ist, dass sie ihre eigene
Ableitung ist. Zusammen mit der Bedingung, dass 0 eingesetzt 1 ergibt, ist sie
die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Was das bedeutet, kann man mit einem physikalischen Modell illustrieren:
Wenn e^t deine Position auf der Zahlengeraden als Funktion der Zeit beschreibt, dann
startest du bei 1. Was diese Gleichung aussagt ist, dass deine Geschwindigkeit, die Ableitung der Position,
immer gleich deiner Position ist. Je weiter du von 0 weg bist, desto schneller bewegst du dich.
Also noch bevor man weiß, wie man e^t exakt berechnet, um von einer bestimmten Zeit zu einer bestimmten
Position zu kommen. Die Fähigkeit jede Position mit der Geschwindigkeit an der Postion zu assoziieren
malt ein sehr starkes intuitives Bild davon wie diese Funktion wachsen muss. Du weißt, dass du
beschleunigen wirst, mit einer Beschleunigungsrate mit einem Rundum-Gefühl, dass die Dinge
schnell außer Kontrolle geraten.

Dutch: 
Om inzicht te krijgen in de formule e^t, kun je de eigenschappen van de functie beschouwen.
Velen zullen zeggen dat de belangrijkste eigenschap degene is waarmee de functie wordt gedefinieerd,
namelijk dat ze haar eigen afgeleide is, naast de voorwaarde dat de functie 1 is voor het argument 0.
Het is eigenlijk de enige functie die deze eigenschap bezit, en je kunt deze illustreren met een fysiek model.
Als e^t de positie op de getallenas voorstelt als een functie van de tijd,
begin je bij precies 1. Deze vergelijking vertelt je dat jouw snelheid, de afgeleide van positie,
altijd gelijk is aan de positie. Hoe verder je van 0 bent verwijderd, hoe sneller je beweegt.
Dus zelfs vooraleer je weet hoe je e^t precies moet berekenen, namelijk hoe je van een bepaald tijdstip
naar een bepaalde positie moet gaan, kun je al veel inzicht krijgen in het gedrag van de functie door
het verband te leggen tussen jouw positie op de getallenas en jouw snelheid op die positie.
Je zult merken dat je versnelt, en dat jouw versnelling eveneens versnelt, waardoor het lijkt alsof alles
plots begint te escaleren.

Korean: 
함수 e^t를 다루는 방식 중 하나는 그 함수의 성질을 탐구하는 것입니다.
아마 e^t의 가장 중요한, 아니 어떤 관점에서 보면 정의 그 자체인 성질은,
도함수가 자기 자신이라는 것입니다.
t=0일 때의 값이 1이라는 조건을 추가하면, e^t는 이러한 성질을 만족하는 유일한 함수입니다.
이러한 성질을 물리적 모형으로 설명할 수 있습니다.
시간에 대한 함수 e^t가 수직선 위에서 내 위치라면, 처음 위치는 1입니다.
이 방정식이 의미하는 것은, 나의 속도, 즉 위치의 도함수가 항상 그 위치와 같다는 것입니다.
0에서 멀리 떨어져 있을수록 빨리 움직이게 됩니다.
그러므로 특정한 시간에 특정한 위치 e^t를 어떻게 계산할지 모르더라도,
위치와 속도를 연관지을 수만 있다면 함숫값이 변하는 양상을 매우 또렷하고 직관적으로 알 수 있습니다.
나는 점점 빨라지는 가속도로 빨라지다가,
곧바로 손을 쓸 수 없을 정도로 빨라질 거라고 예상할 수 있습니다.

Dutch: 
Als je een constante aan de exponent toevoegt, zoals e^(2t), zegt de kettingregels ons dat de afgeleide
nu dubbel zo groot is als de functie zelf. Je kunt dus voor elk punt op de getallenas een snelheidsvector
toevoegen. Deze snelheidsvector komt nu echter overeen met het dubbele van de positievector.
Indien je ervoor wilt zorgen dat jouw positie steeds e^(2t) is, moet je er dus voor zorgen
dat jouw snelheid steeds dubbel zo groot is als de waarde van jouw positie. Het gevolg hiervan is dat
je de controle nog meer lijkt te verliezen over de groei van de functie.
Moest die constante nu negatief zijn, bijvoorbeeld -0.5, dan is de snelheidsvector op elke positie
slechts de helft van de waarde van de positie, en wijst ze in de tegenovergestelde richting.
Om er nu voor te zorgen dat jouw snelheid overeenkomt met deze omgedraaide en verkorte versie van de
originele positievector, zou je in de andere richting moeten bewegen tegen een snelheid die
exponentieel vermindert naar 0.

Polish: 
Jeśli dodamy stałą do wykładnika, na przykład napiszemy e^{2t}, reguła łańcuchowa mówi nam, że
pochodna jest podwojoną wartością funkcji. Stąd w każdym punkcie na osi liczbowej, zamiast po prostu zaczepić wektor
odpowiadający tej liczbie, najpierw musimy podwoić jego długość, następnie dopiero przyczepić go do tej liczby.
Zatem poruszając tak, że Twoja pozycja na osi liczbowej wynosi e^{2t}, to poruszać się tak, aby
Twoja prędkość zawsze była równa podwojeniu Twojego położenia. W ten sposób wzrost wartości funkcji
wydaje się być jeszcze bardziej niekontrolowany.
Gdyby stała w wykładniku był ujemna, na przykład równa -0.5, wtedy Twój wektor prędkości byłby iloczynem liczby -0.5 i
wektora położenia, co oznacza, że byłby odwrócony o 180 stopni, oraz jego długość byłaby zmniejszona o połowę.
Poruszając się w taki sposób, że Twoja prędkość opowiada tej odwróconej i ściśniętej kopii
wektora położenia, podróżowałbyś w przeciwnym kierunku, zwalniając wykładniczo
aż do 0.

Portuguese: 
E se você adicionar uma constante àquele expoente
como, e^2t, a regra da cadeia nos diz que
que a derivada é agora duas vezes ela mesma
então, a cada ponto na reta numerada,
ao invés de colocar um vetor correspondendo ao número,
primeiro, dobre a magnitude do vetor de posição então o posicione
Movendo de forma que a sua posição é sempre e^2t
é a mesma coisa que mover de uma forma que a velocidade
é sempre o dobro da posição. A implicação disso é que,
o nosso crescimento desenfreado, parece ainda mais
fora de controle.
Se a constante for negativa, por exemplo -0.5
o vetor de velocidade é sempre  -0.5 vezes
o vetor de posição, o que significa gira-lo em 180 graus,
e diminuir seu tamanho pela metade.
Movendo de uma forma que a sua velocidade sempre coincide,
com uma cópia girada e diminuída do vetor de posição, você vai para a outra direção
desacelerando em um decrescimento exponencial
até 0.
Mas e se a constante for i ?

Malay (macrolanguage): 
Sekiranya kita menambah pemalar kepada eksponen ini, seperti
e ^ {2t}, peraturan rantai memberitahu kita derivatif
kini 2 kali sendiri. Jadi pada setiap masa
garis nombor, bukannya melampirkan vektor
sama dengan nombor itu sendiri, pertama
double magnitude, kemudian pasangkannya. Bergerak
supaya kedudukan anda sentiasa e ^ {2t}
perkara yang sama seperti bergerak sedemikian rupa
halaju anda sentiasa dua kali kedudukan anda.
Implikasinya ialah bahawa pelarian kami
Pertumbuhan merasakan semua kawalan jauh.
Jika pemalar itu negatif, katakan -0.5, kemudian
vektor halaju anda sentiasa -0.5 kali
vektor kedudukan anda, bermakna anda flip ia
sekitar 180 darjah, dan skala panjang oleh
setengah. Bergerak sedemikian rupa sehingga halaju anda
sentiasa sepadan dengan salinan yang dibalik dan diisi
daripada vektor posisi, anda akan pergi yang lain
arah, perlahan dalam kerosakan eksponen
ke arah 0.

Russian: 
Если вы добавите константу к этой экспоненте, например, e в степени 2t,
то, согласно цепному правилу, производная теперь будет вдвое больше.
Так что теперь, прежде чем откладывать на числовую прямую вектор, обозначающий число,
первым делом удвоим величину расстояния, а затем только отложим вектор.
Двигаться так, что наше местоположение всегда равно e^2t, это то же самое, что двигаться
со скоростью, которая всегда вдвое больше пройденного пути. Смысл этой двойки в том,
Что темп нашего отдаления ещё быстрее выходит из под контроля.
Если бы эта константа была отрицательной, например -0,5. Тогда вектор нашей скорости
всегда бы отличался в -0,5 раз от вектора нашего местоположения, переворачивая его на 180 градусов
и укорачивая его вполовину. Двигаясь таким образом, что наша скорость всегда совпадает с этой перевёрнутой и сжатой
копией вектора нашего местоположения, мы разворачиваемся в другую сторону.
экспоненциально замедляясь к 0.

Korean: 
이러한 지수함수에 e^2t와 같이 상수를 곱하면,
합성함수의 미분법에 의해 이 함수의 도함수는 자기 자신의 2배가 됩니다.
그러므로 수직선의 모든 점에 대해 자기 자신에 해당하는 (속도)벡터를 바로 붙이는 것이 아니라,
위치(벡터)의 크기를 2배로 늘린 다음 붙이게 됩니다.
내 위치가 항상 e^2t가 되게 움직이는 것은, 내 속도가 내 위치의 2배가 되게 움직이는 것과 같습니다.
이렇게 2가 붙게 되면서, 우리의 고삐 풀린 성장은 아까보다 훨씬 통제불능이라는 느낌을 줍니다.
상수가 음수, 예를 들어 -0.5라고 하면 새로운 속도벡터는 항상 위치벡터의 -0.5배가 됩니다.
즉, 위치벡터를 180도 뒤집고 그 길이를 반으로 줄이는 것이 됩니다.
내 속도가 항상 위치벡터의 -0.5배가 되도록 움직일 때,
나는 수직선의 반대 방향으로, 영점으로 지수적으로 감소하면서 이동하게 됩니다.

Spanish: 
Y si añadimos un constante
a este exponente, como 𝑒^(2𝑡),
la Regla De La Cadena nos dice que la
derivada es, ahora, 2 veces sí mismo,
entonces, en todo punto en la recta
numérica, en lugar que adjuntando
correspondiendo al número sí mismo, primero,
doble la magnitud, entonces adjúntalo.
Mover para que la posición de usted siempre es 𝑒^(2𝑡)
es lo mismo como mover en tal una manera que
la velocidad de usted siempre
es dos veces su posición.
La implicación de ese 2 es que
nuestro aumento desmedido
se siente más fuera de control.
Si ese constante fue negativo, diga, -0.5, entonces
la velocidad de usted siemptre es -0.5 veces
su vector de posición, significando usted lo voltea
180 grados, y escala su longitud por una mitad.
Mover en tal una manera que la velocidad de usted
siempre se empareja esta copia volteada y chapoteado
del vector de posición de usted, iría a la
otra dirección, reduciendo la velocidad
en un decrecimiento
exponential hacia 0.

Chinese: 
如果我们在幂上增加一个常数，比如 e^(2t)
那么它的导数将会是原来的 2 倍
为了描述它的速度
我们所要做的不是将原来的向量放在数轴上
而是首先将原来的长度乘以 2，然后再将它放在数轴上
现在如果我们开始移动的话，位置总是 e^(2t)
以这样的方式移动，你的速度总是你位置的两倍
这个 2 的含义是我们的运行速度将会更加失控
如果那个常数是负数，比如说 -0.5 
那么你的速度向量总是位置向量的 -0.5 倍
这意味着你将速度向量翻转了 180 度
并且将它的长度缩短了一半
如果你以这样的方式移动
你的速度将总是和位置向量相反
且长度被压缩
你会朝着相反的方向运动，速度以指数级减小
直指变为 0

Chinese: 
如果我們為這個指數添加一個常數，比如
e ^ {2t}，鏈鎖律告訴我們導數
現在是自己的 2 倍。所以在數線上的每一點，向量不再是數線上的該點本身
而是該點的數字本身的兩倍
這樣你的位置總是e ^ {2t}
以這樣的方式移動等同於
你是以你位置的兩倍的速度，離開你的位置
這個 2 的含義是我們的失控增長，感覺更加失控
如果那個常數是負數，比如說 -0.5 那麼
你的速度向量總是原來的 -0.5倍你的位置向量
意味著你翻轉它大約180度，並縮放其長度的一半
以這樣的方式移動你的速度
總是匹配這個翻轉和壓扁的副本
位置向量，你會去另一個方向
指數朝 0 衰減，越減越慢

French: 
Si on ajoute une constante à cette puissance, comme e^(2t), d'après la règle de dérivation d'une fonction composée, la dérivée
est maintenant deux fois elle-même. Donc, à chaque point de l'axe numérique, au lieu d'attacher un vecteur
correspondant au nombre lui-même, on double d'abord sa longueur, puis on l'attache. Se déplacer
de façon à ce que votre position soit toujours e^(2t) revient au même que se déplacer de telle manière que
votre vitesse soit toujours deux fois votre position. La conséquence de ce 2 est que votre croissance
est d'autant plus hors de contrôle.
Si cette constante était négative, par exemple -0,5, votre vecteur de vitesse serait toujours -0,5 fois
votre vecteur de position, ce qui implique de le faire pivoter à 180-degrés et de réduire sa longueur
de moitié. En se déplaçant de sorte que votre vitesse corresponde toujours à cette copie renversée et écrasée
du vecteur de position, vous iriez dans la direction opposée, en ralentissant avec une décroissance exponentielle
vers zéro.

Italian: 
Se si aggiunge una costante a questo esponente,
ad esempio e^{2t},
la regola della catena ci dice che la derivata
ora è due volte se stessa.
Quindi su ogni punto della retta,
invece di attaccare un vettore
lungo quanto la posizione del punto,
prima ne raddoppiamo la lunghezza,
e poi lo attacchiamo.
Perciò muoversi in funzione di e^{2t}
è come muoversi in modo che la velocità sia sempre
il doppio della nostra posizione.
Mettere quel 2 in alto, ci dà l'impressione che la nostra crescita sia ancora più fuori controllo.
Se quella costante fosse negativa, diciamo -0.5,
il vettore velocità dev'essere sempre
-0.5 volte la posizione
cioè va ribaltato di 180 gradi,
e poi dimezzato in lunghezza.
Muovendosi in modo che
la velocità corrisponda sempre
a questa copia capovolta e ristretta
del vettore posizione,
si andrà nella direzione opposta, rallentando esponenzialmente verso 0.

German: 
Wenn wir eine Konstante zum Exponenten hinzufügen, wie zum Beispiel e^{2t}, sagt uns die Kettenregel, dass die Ableitung
nun 2-mal sich selbst ist. Also bei jedem gegebenen Punkt auf der Zahlengeraden, anstatt einen Vektor anzuhängen
der der Zahl selbst entspricht, verdoppeln wir erst die Länge und hängen ihn dann an. Bewegen
so dass die Position immer e^{2t} ist, ist das gleiche wie sich so bewegen, dass
die Geschwindigkeit immer 2-mal die Position ist. Die Implikation dieser 2 ist, dass sich das
unkontrollierte Wachstum noch viel mehr außer Kontrolle anfühlt.
Wenn diese Konstante negativ ist, sagen wir -0.5, dann ist dein Geschwindigkeitsvektor immer -0.5 mal
dein Positionsvektor, also einmal um 180 Grad gedreht und die Länge halbiert.
Wenn du dich so bewegst, dass deine Geschwindigkeit immer mit dieser gespiegelten und zerquetschten Kopie
des Positionsvektors übereinstimmt, gehst du in die andere Richtung und verlangsamst den exponentiellen Zerfall
in Richtung 0.

English: 
If we add a constant to this exponent, like
e^{2t}, the chain rule tells us the derivative
is now 2 times itself. So at every point on
the number line, rather than attaching a vector
corresponding to the number itself, first
double the magnitude, then attach it. Moving
so that your position is always e^{2t} is
the same thing as moving in such a way that
your velocity is always twice your position.
The implication of that 2 is that our runaway
growth feels all the more out of control.
If that constant was negative, say -0.5, then
your velocity vector is always -0.5 times
your position vector, meaning you flip it
around 180-degrees, and scale its length by
a half. Moving in such a way that your velocity
always matches this flipped and squished copy
of the position vector, you’d go the other
direction, slowing down in exponential decay
towards 0.

Vietnamese: 
khi mà thêm một hằng số trước số mũ, ví dụ như e^(2t)
quy tắc dây xích (chain rule) cho thấy rằng đạo hàm của hàm giờ gấp 2 lần giá trị của hàm tại cùng một điểm.
Lúc này, ở điểm trên trục số thay vì gắn véc tơ có độ dài bằng với độ lớn của vị trí
thì giờ đây ta phải gấp đôi nó lên sau đó mới gắn vào
Để mà di chuyển sao cho vị trí của bạn theo hàm e^(2t) thì phải chạy sao cho vận tốc của bạn gấp đôi vị trí
con số 2 thể hiện sự tăng lên càng nhanh chóng hơn của hàm số này
Nếu mà hằng số đó là một số âm, chẳng hạn là 0,5 thì véc tơ vận tốc sẽ luôn là -0,5 nhân cho vị trí của bạn,
đồng nghĩa với việc quay véc tơ chỉ vị trí một góc 180 độ và chia đôi nó ra
Đi theo kiểu này thì bạn sẽ đi thụt lùi và càng ngày càng chậm do số mũ cứ giảm dần
và sẽ tiến dần về số 0

Modern Greek (1453-): 
Αν προσθέσουμε μια σταθερά σε αυτόν τον εκθέτη, όπως e ^ {2t}, ο κανόνας της αλυσίδας μας λέει ότι η παράγωγος
είναι τώρα 2 φορές ο εαυτός της. Έτσι, σε κάθε σημείο στον άξονα των αριθμών, αντί να συνδέουμε ένα διάνυσμα
στον ίδιο τον αριθμό, πρώτα
διπλασιάζουμε το μέγεθος της θέσης, και στη συνέχεια το αντιστοιχούμε.  Αν μετακινήστε
έτσι ώστε η θέση σας να είναι πάντα e ^ {2t}, είναι το ίδιο με το να μετακινήστε με τέτοιο τρόπο ώστε
η ταχύτητά σας να είναι πάντα διπλάσια από τη θέση σας.  Η συνέπεια αυτού του 2 είναι ότι η ανάπτυξη
της διαφυγής μας βγαίνει ακόμη περισσότερο εκτός ελέγχου.
Εάν αυτή η σταθερά ήταν αρνητική, ας πούμε -0.5, τότε το διάνυσμα της ταχύτητάς σας είναι πάντα -0.5 φορές
το διάνυσμα της θέσης σας, που σημαίνει ότι το περιστρέφετε περίπου 180 μοίρες, και προσαρμόζετε το μήκος του
στο μισό.  Προχωρώντας με τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητά σας να ταιριάζει πάντα με αυτό το περιστρεφόμενο και συμπιεσμένο αντίγραφο
του διανύσματος θέσης, θα πάτε στην άλλη κατεύθυνση, επιβραδύνοντας με εκθετικό ρυθμό
προς το 0.

Russian: 
А что если константой будет i (квадратный корень из -1)? Если наше местоположение всегда равняется e^i * t,
как мы будем двигаться, пока время t идёт вперёд? В этом случае производная от нашего местоположения всегда будет умножаться на i.
Умножение на i приведёт к вращению на 90 градусов. Как вы могли догадаться,
во всём этом будет смысл, только если мы перейдём от числовой прямой
к комплексной плоскости.
Ещё до того как мы вычислим e^i * t, мы уже знаем, что для любого местоположения на плоскости
при некотором временном значении, скорость по прошествии этого времени будет вращением
вектора этого пути на 90 градусов. Если мы нарисуем это для всевозможных местоположений, которых мы можем достичь,
мы получим векторное поле, для наглядности, мы ужмём всё, во избежание нагромождения.
При времени t = 0, e^i * t = 1 (это наше начальное условие). Из этого местоположения идёт только одна единственная траектория,
при которой наша скорость всегда совпадает с вектором вращения местоположения на 90 градусов,

French: 
Et si la constante était i ? Si votre position était toujours e^(i*t), comment vous
déplaceriez-vous quand le temps t augmente ? La dérivée de votre position serait maintenant toujours i fois
elle-même. Multiplier par i c'est faire pivoter les nombres de 90 degrés, et comme vous pouvez
vous en douter, cela n'a alors de sens ici que si nous commençons à penser au delà de l'axe numérique et
dans le plan complexe.
Avant même de savoir calculer e^(it), vous savez que pour n'importe quelle position que cette fonction pourrait
atteindre pour une valeur t, la vitesse à ce moment-là sera une rotation de 90 degrés par rapport
à cette position. En dessinant cela pour toutes les positions possibles, on obtient un
champ vectoriel où, comme d'habitude, nous rétrécissons les flèches pour éviter le désordre.
Au temps t=0, e^(it) sera égal à 1. Il n'y a qu'une seule trajectoire qui commence à cette position
et pour laquelle la vitesse correspond toujours au vecteur qu'elle traverse, une rotation de la position

Dutch: 
Maar wat nu als die constante i was? Wel, als de positie steeds e^(i*t) is,
hoe lijk je dan te bewegen naarmate de tijd verstrijkt? Wel, de afgeleide van jouw positie is nu i keer zichzelf.
Vermenigvuldigen met i betekent grafisch dat je de getallenas 90° in tegenwijzerzijn draait,
dus je hebt misschien al door dat jouw positie niet meer beperkt zal zijn tot de getallenas,
maar dat ze deel zal zijn van het complexe vlak.
Dus vooraleer je e^(it) kunt berekenen, kun je verwachten dat de snelheidsvector voor een positie
voor het tijdstip t, de gedraaide versie zal zijn van die positievector.
Wanneer je dit voor alle mogelijke posities doet, krijg je een vectorveld.
Zoals gewoonlijk verkort ik alle vectoren om de zichtbaarheid te verbeteren.
Op t=0 zal e^(it) gelijk zijn aan 1.Er is slechts één pad dat op die positie start zodat
jouw snelheid steeds gelijk zal zijn aan de gedraaide versie van jouw positie.

Polish: 
Natomiast co gdyby ta stała była równa i? Gdyby Twoje położenie wynosiło e^{i * t} w każdej chwili czasu, w jaki sposób
byś się poruszał gdyby czas postępował naprzód? Pochodna Twojego położenia byłaby iloczynem jednostki urojonej i
siebie. Mnożenie przez i oznacza obrót o 90 stopni, i jak możesz
przypuszczać, to nabierze sensu, gdy przejdziemy z osi liczbowej do
płaszczyzny zespolonej.
Więc nawet jeśli nie wiedziałeś jak dokładnie obliczyć e^{i*t}, wiesz teraz, że w każdym możliwym położeniu
mając chwilę czasu t, prędkość chwilowa w t, będzie obróceniem o 90 stopni
Twojego położenia. Rysując to zjawisko dla wszystkich możliwych położeń, otrzymujemy
pole wektorowe. Zazwyczaj tam gdzie pojawia się pole wektorowe, staramy się uniknąć nieładu.
W chwili t=0, e^{it} wynosi 1. Istnieje tylko jedna trajektoria zaczynająca się w 1, taka, że
Twoja prędkość zawsze odpowiada wektorowi ustawionemu prostopadle do wektora wodzącego.

English: 
What about if the constant was i? If your
position was always e^{i * t}, how would you
move as that time t ticks forward? The derivative
of your position would now always be i times
itself. Multiplying by i has the effect of
rotating numbers 90-degrees, and as you might
expect, things only make sense here if we
start thinking beyond the number line and
in the complex plane.
So even before you know how to compute e^{it},
you know that for any position this might
give for some value of t, the velocity at
that time will be a 90-degree rotation of
that position. Drawing this for all possible
positions you might come across, we get a
vector field, whereas usual with vector field
we shrink things down to avoid clutter.
At time t=0, e^{it} will be 1. There’s only
one trajectory starting from that position
where your velocity is always matching the
vector it’s passing through, a 90-degree

Korean: 
그런데 그 상수가 -1의 제곱근, i라면 어떻게 될까요?
내 위치가 항상 e^it라면, 시간 t가 흐름에 따라 어떻게 움직이게 될까요?
내 위치의 도함수는 이제 자기 자신의 i배가 될 것입니다.
그런데 i를 곱하는 것은 수를 90도 회전시키는 효과가 있기 때문에,
이미 예상하셨겠지만 이제부터는 수직선을 넘어 복소평면 위에서 생각해야 합니다.
그러므로 e^it를 계산하는 방법을 모르더라도,
e^it가 어떤 값을 가지든 속도는 그때의 위치를 90도 회전한 것임을 알 수 있습니다.
생각할 수 있는 모든 위치에서 속도벡터를 그리면 벡터장을 얻을 수 있는데,
이대로는 보기 좋지 않으니 지금까지 저희가 했던 것처럼 크기를 줄이겠습니다.
초기 조건에 의해 시간 t=0에서 e^it는 1이고,
내 속도가 항상 지나가는 위치의 벡터장과 일치하는, 즉 내 위치에서 90도 회전한 방향인 궤적은 단 하나 존재하며,

Portuguese: 
a raiz quadrada de -1.
Se a sua posição for e^(i*t), como você iria mover com o tempo crescendo?
A derivada sua posição seria sempre i vezes
A derivada sua posição seria sempre i vezes ela mesma.
E multiplicar por i tem o efeito de rotacionar
o número em 90 graus, então, como você deve esperar,
as coisas só fazem sentido se começarmos a pensar
além da reta numerada, no plano complexo.
Então, antes mesmo de saber como computar e^(i*t),
você sabe que para cada posição que isso deve dar, para o valor de t,
a velocidade naquele tempo,
vai ser uma rotação em 90 graus da posição. Desenhar isso
para cada posição que você pode encontrar,
nos dá um campo vetorial, e como normalmente fazemos com campos vetoriais,
nós encolhemos ele para facilitar a visualização.
No tempo t=0, e^(i*t) será 1.
Tem apenas uma única trajetória começando daquela posição
em que a velocidade sempre coincide com o vetor
pelo qual ela está passando,
uma rotação de 90 graus da posição. É quando
você gira em volta do circulo unitário em uma velocidade de 1 unidade

Vietnamese: 
Thế giờ nếu mà hằng số đó là i thì sao?  nếu mà vị trí của bạn luôn theo hàm e^it thì bạn di chuyển như thế nào theo thời gian?
Giờ đạo hàm vị trí của bạn (vận tốc) sẽ là i nhân với vị trí của bạn
Phép nhân với i có ý nghĩa như một phép quay 90 độ
Từ giờ những thứ này chỉ có ý nghĩa khi mà chúng ta bắt đầu nghĩ ra ngoài trục số
và bắt đầu tiến vào mặt phẳng phức
Trước khi tính giá trị của e^(it), bạn nên biết
tại một vị trí xác định ở thời điểm t, vận tốc của bạn sẽ là  véc tơ chỉ vị trí của bạn quay một góc 90 độ
Nếu vẽ hết tất cả vị trí bạn có thể đi qua
chúng ta sẽ có một trường véc tơ, chúng ta sẽ giảm số lượng lại để dễ nhìn hơn
tại thời điểm t=0, e^it sẽ có giá trị bằng 1
từ vị trí đó ta sẽ vẽ quỹ đạo của bạn theo thời gian
khi mà vận tốc của bạn luôn vuông góc với véc tơ chỉ vị trí bạn đi qua

Chinese: 
如果常數是複數 i 呢？如果你的
位置總是e ^ {i * t}，你會怎麼樣？
隨著那個時間t向前移動？
你位置的導數總會是現在位置的 i 倍
乘以複數 i 有旋轉 90 度的效果，你可能期待
從這裡開始，如果我們思考不在是數線
而是來到複數平面上，事情才有意義
所以即使在你知道如何計算e ^ {it}之前，
你知道這可能對任何一個位置
給出一些t值，速度為
那個時候將是一個90度的旋轉
那個位置。盡可能地繪製這個
你可能會遇到的位置，我們得到一個
向量場，而通常與向量場
我們縮小了一些東西，以避免混亂。
在時間t = 0，e ^ {it}將是1.只有
從該位置開始的一條軌跡
你的速度總是匹配通過的向量，90度

Italian: 
E se la costante fosse i, la radice quadrata di -1?
Se la posizione seguisse e^{it}
come ci sposteremmo
al variare del tempo t?
Ora la derivata della posizione
sarebbe sempre i volte se stessa,
e moltiplicare per i dà l'effetto
di ruotare i numeri di 90 gradi,
quindi, come ci si può aspettare, le cose qui hanno senso solo se cominciamo a pensare oltre la retta,
e nel piano dei numeri complessi.
Quindi anche prima di sapere come calcolare e^{it},
sappiamo che qualsiasi posizione
possa dare per qualche valore di t,
la velocità a quel tempo sarà
ruotata di 90 gradi rispetto a quella posizione.
Disegnando la velocità
per tutte le possibili posizioni,
otteniamo un campo vettoriale.
Dove, come spesso con i campi vettoriali, abbiamo accorciato le frecce per evitare troppa confusione.
Al momento t=0, e^{it} sarà 1,
questa è la nostra condizione iniziale.
E c'è una sola traiettoria che parte da quel punto
e in cui la posizione è sempre uguale alla velocità,
una rotazione di 90 gradi della posizione.

Chinese: 
如果常数是虚数 i 呢？那个平方是  -1 的数字
如果你的位置总是e ^ {i * t}
那么你会如何沿着时间方向运动？
你所处的位置的导数是 i 乘以它自身
或许你已经猜到了
乘以虚数 i 会让向量旋转 90 度
只有我们跳出一维的数轴
转而在复平面上思考这一问题
一切才能说得通
所以在你知道如何计算 e^(it) 之前
你知道这可能对任何一个位置
给出一个 t 值
对应这个时间的速度会在当前位置旋转 90 度
现在如果在每一个可能的位置上都画上一个向量
我们就得到了一个矢量场
为了避免看到混乱的图像，让我们把箭头缩小一些
在时间 t = 0时，e^(it) 等于1
这个位置开始的轨迹只有一条
你的速度矢量总是和位置矢量成90度夹角

Modern Greek (1453-): 
Τι θα συμβεί όμως αν η σταθερά ήταν το i;  Αν η θέση σας ήταν πάντα e ^ {i * t}, πώς θα
κινήστε καθώς ο χρόνος t κινήται μπροστά;  Τώρα, η παράγωγος της θέσης σας τώρα θα ήταν πάντα i φορές
ο εαυτός της. Πολλαπλασιάζοντας με το i έχει ως αποτέλεσμα να περιστρεφόνται οι αριθμοί 90 μοίρες, και όπως είναι
αναμενόμενο, τα πράγματα έχουν νόημα εδώ, μόνο αν ξεκινήσουμε να σκεφτόμαστε πέρα ​​από τη γραμμή των αριθμών και
στο Μιγαδικό επίπεδο.
Επομένως, ακόμα και πριν μάθετε πώς να υπολογίζετε το e ^ {i*t}, ξέρετε ότι για οποιαδήποτε θέση που θα μπορούσε
να σας δώσει για κάποια τιμή t, η ταχύτητα σε αυτό το χρόνο, θα είναι μια περιστροφή 90 μοιρών
της θέσης αυτής.  Σχεδιάζοντάς το αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις που μπορεί να συναντήσετε, έχουμε ένα
διανυσματικό πεδίο.  Όπως συνήθως με τα διανυσματικά πεδία, συρρικνώνουμε τα πράγματα για να 'αποφύγουμε την ακαταστασία'.
Στο χρόνο t = 0, το e ^ {i*t} θα είναι 1.  Υπάρχει μόνο μία τροχιά που ξεκινά από αυτή τη θέση,
στην οποία η ταχύτητά σας ταιριάζει πάντα με το διάνυσμα που διέρχεται, από την

Spanish: 
Pero ¿qué tal si el constante
fue 𝑖, la raíz cuadrada de -1?
Si la posición de usted
siempre es 𝑒^(𝑖𝑡),
¿cómo usted movería como el
tiempo 𝑡 marcha hacia adelante?
Bueno, ahora, la derivada de la posición de
usted ahora siempre sería 𝑖 veces sí mismo,
Multiplicando por 𝑖 tiene el efecto de rotar números
90 grados, así que como usted puede esperar,
cosas sólo tienen sentido aquí si comenzamos
a pensar más allá de la recta numérica
y adentro del
plano complejo.
Entonces, incluso antes de usted sabe computar 𝑒^(𝑖𝑡),
usted save que para cualquier posición, este puede
dar para algún valor de 𝑡, la velocidad en
ese tiempo será una rotación de esa posición.
Dibujando esto para todas las posiciónes
posibles que usted puede encontrar,
conseguimos un campo vectorial, mientras
que usualmente con los campos vectoriales,
encongemos cosas
para evitar desorden.
En tiempo 𝑡=0, 𝑒^(𝑖𝑡) será 1. Sólo hay una
trayectoria comenzando desde esa posición
dónde la velocidad de usted siempre está
emparejando con el vector lo que está
pasando, una rotación de
posición de 90 grados.

German: 
Was ist wenn die Konstante i ist? Wenn deine Position immer e^{i * t} ist, wie wie würdest du dich
bewegen wenn die Zeit t vorangeht? Die Ableitung deiner Position wäre jetzt immer i-mal
sich selbst. Multiplizieren mit i hat den Effekt die Zahlen um 90 Grad zu drehen und wie du vielleicht
erwartest, machen die Dinge hier nur Sinn wenn die anfangen über die Zahlengerade hinaus zu denken und
in der komplexen Ebene denken.
Noch bevor du also weißt, wie du e^{i * t} berechnest, weißt du, dass dies für jede Position,
für irgendeinen Wert t, die Geschwindigkeit zu dieser Zeit eine 90 Grad Drehung
dieser Position ist. Zeichnen wir dies für alle möglichen Positionen, wirst du wahrscheinlich bemerken, dass wir
ein Vektorfeld bekommen. Wie üblich bei Vektorfelder schrumpfen wir die Vektorpfeile ein um Durcheinander zu vermeiden.
Zum Zeitpunkt t=0, ist e^{i * t}=1. Es gibt nur eine Bahnkurve welche von dieser Position startet
wo die Geschwindigkeit immer dem Positionsvektor um 90 Grad gedreht entspricht.

Malay (macrolanguage): 
Bagaimana pula jika pemalar itu saya? Jika anda
kedudukan sentiasa e ^ {i * t}, bagaimana anda akan
bergerak sebagai masa itu t kutu ke hadapan? Derivatif
kedudukan anda sekarang akan selalu menjadi kali
sendiri. Mengalikan dengan saya mempunyai kesan
berputar nombor 90 darjah, dan seperti yang anda mungkin
menjangkakan, perkara hanya masuk akal di sini jika kita
mula berfikir di luar baris nombor dan
dalam pesawat kompleks.
Jadi sebelum anda tahu bagaimana untuk mengira e ^ {it}
anda tahu bahawa untuk mana-mana kedudukan ini mungkin
memberi nilai beberapa t, halaju pada
masa itu akan menjadi putaran 90 darjah
kedudukan itu. Menggambar ini untuk semua yang mungkin
kedudukan yang mungkin anda jumpai, kami dapat
medan vektor, sedangkan biasa dengan medan vektor
kita mengecutkan perkara untuk mengelakkan kekacauan.
Pada masa t = 0, e ^ {it} akan menjadi 1. Hanya ada
satu trajektori bermula dari kedudukan itu
di mana halaju anda sentiasa sepadan dengan
vektor ia melalui, 90 darjah

Chinese: 
輪換位置。這是你去的時候
單位圓的速度為每秒1個單位。
所以在 π 秒之後，你已經追踪了一段距離
π 周圍; e ^ {i * π} = -1。在 τ 秒之後，
你走了一圈; e ^ {i *τ} = 1。
更一般地，e ^ {i * t} 等於
這個在複數平面上圓的弧度  t
然而，把一個想像中的數字放在指數那裡，感覺不太不合理啊?
你提出質疑是對的！
我們寫作 e ^ t 的，是一些符號災難
給出數字 e 和複數乘法的想法
超過他們的意義。但我的時間即要結束
所以我會饒恕你的咆哮直到下一個視頻。

Dutch: 
Dit is enkel waar voor de punten op de eenheidscirckel wanneer je tegen één eenheid per seconde beweegt.
Dus na pi seconden heb je pi afstand afgelegd over de cirkel; e^(i*pi) = -1. Na tau seconden
ben je heel de cirkel rondgegaan; e^(i*tau) = 1. In het algemeen betekent dit dus dat e^(it) een positie voorstelt
nadat je t radiaal rond de cirkel bent bewogen in het complexe vlak.
Niettemin vind je het misschien wat immoreel om een imaginair getal in de exponent te gebruiken.
En gelijk heb je! De notatie e^t is eigenlijk rampzalig omdat het lijkt alsof e een getal is
dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, geheel onterecht, natuurlijk.
Maar mijn tijd is op, dus ik zal je mijn tirade besparen.
Dan wel tot voor de volgende video.

Spanish: 
Es cuando usted va alrededor del círculo unitario
en una velocidad de una unidad por segundo.
Así que despues de 𝜋 segundos, usted ha trazado una distancia de 𝜋 alrededor-- 𝑒^(𝑖𝜋) = -1.
Despues de tau (𝜏) segundos, usted ha
ido todo la circumferencia-- 𝑒^(𝑖𝜏) = 1.
Y más generalmente, 𝑒^(𝑖𝑡) es igual un número
que es 𝑡 radianes alrededor este círculo
en el plano
complejo.
Sin embargo, algo todavía puede sentirse inmoral sobre
poniendo un número imaginario en ese exponente.
Y usted podría ser correcto
para preguntar esto!
Lo que escribimos como 𝑒^𝑡 es
un poco de un desastre del notación,
dando el numero 𝑒 y la idea
de multiplicación repitido
muy más énfasis
que merecen.
Pero se acabó mi tiempo, así que a usted le voy a
disponer de mi diatriba hasta el video próximo.

French: 
de 90 degrés. C'est quand vous allez autour du cercle unitaire à la vitesse de 1 unité par seconde.
Après π secondes, vous avez tracé une distance de π autour ; donc e^(i*π) = -1. Après τ secondes,
vous avez fait le tour complet ; e^(i*τ) = 1. Et plus généralement, e^(i*t) est égal à un nombre de
t radians autour de ce cercle.
Cependant, il peut encore vous sembler immoral de mettre un nombre imaginaire dans cette
puissance. Et vous auriez raison de le questionner ! Ce qu'on écrit "e^t" est un peu un désastre
en terme de notation, donnant au nombre "e" et à l'idée de multiplication répétée plus
d'importance qu'ils ne le méritent. Mais mon temps est écoulé, et je vous épargne un long discours jusqu'à
la prochaine vidéo.

Chinese: 
如果我们以 1 单位每秒的速度
沿着半径为 1 的圆形旋转位置矢量
在 π 秒之后，你已经划过了长度为  π 的距离
所以 e^(i*π) = -1
在 τ 秒之后你走了一圈， e^(i*τ) = 1
更一般地，e^(i*t) 等于围绕这个圆所经过的 t 个弧度
然而，把虚数放在幂上可能依旧违反直觉
你提出质疑是对的！
我们所写作 e^t 的东西实际上是某种标记上的灾难
因为它常常意味着连续乘以一个数字数次
（但我们显然不能让 e 连乘虚数次）
但是时间到了
所以我会把这些东西放到下一个视频来讲
 

Polish: 
Jest to obchodzenie okręgu jednostkowego z prędkością 1 jednostka na sekundę
Więc po pi sekundach, dotrzesz do punktu e^{i*pi}=-1, pokonując dystans równy pi. Po tau sekundach
obejdziesz cały okrąg; e^{i * tau} = 1. Ogólnie, e^{i * t}  jest równe liczbie
otrzymanej przez obejście okręgu o t radianów.
Niemniej jednak, czasem pojawia się wrażenie, że stawianie liczby urojonej w wykładniku jest niemoralne.
I są powody, żeby to kwestionować! To co piszemy jako e^t, jest w istocie katastrofą w kwestii
notacji, mając liczbę e oraz ideę mnożenia przez siebie naciskalibyśmy na to
bardziej niż potrzeba. Ale mój czas dobiegł końca, więc oszczędzę wam moich wynurzeń do
następnego filmu.

English: 
rotation of position. It’s when you go around
the unit circle at a speed of 1 unit per second.
So after pi seconds, you’ve traced a distance
of pi around; e^{i * pi} = -1. After tau seconds,
you’ve gone full circle; e^{i * tau} = 1.
And more generally, e^{i * t} equals a number
t radians around this circle.
Nevertheless, something might still feel immoral
about putting an imaginary number up in that
exponent. And you’d be right to question
that! What we write as e^t is a bit of a notational
disaster, giving the number e and the idea
of repeated multiplication much more of an
emphasis than they deserve. But my time is
up, so I’ll spare you my rant until the
next video.

Portuguese: 
por segundo.
Então, depois de pi segundos, você andou uma distância de pi em volta;
Então e^(pi*i) deve ser -1
Depois de tau segundos,
você deu uma volta completa,
e^(tau*i) é 1
Mais generalizado, e^(i*t) equivale a um número
t radianos em volta de um círculo
no plano complexo.
Mesmo assim, alguma coisa parece errada
em colocar um número imaginário em um expoente.
e você está certo em questionar isso! O que escrevemos como e^t é uma
notação desastrosa, o número "e" e a ideia de
repetir multiplicações, tem muito mais enfase do que eles merecem.
 
Mas meu tempo acabou, vou poupar você da minha reclamação
até o próximo vídeo.

Italian: 
È quando percorriamo la circonferenza di raggio 1
a velocità di 1 unità al secondo.
Quindi dopo pi secondi
abbiamo percorso la distanza di pi gradi,
perciò e^{i*pi} dovrebbe essere -1.
Dopo tau secondi abbiamo fatto tutto il giro,
e ^ {i * tau} = 1.
E più in generale, e^{it} indica il numero t di radianti
che abbiamo percorso intorno a questa circonferenza unitaria nel piano complesso
Tuttavia potrebbe sembrarci ancora un po' immorale
mettere un numero immaginario su in quell'esponente.
E avremmo ragione a metterlo in discussione!
Ciò che scriviamo come e^t
è una notazione un po' disastrosa,
perché dà a "e" e all'idea di una moltiplicazione ripetuta,
molta più enfasi di quella che meritano.
Ma il mio tempo è scaduto, quindi vi risparmierò
la polemica per il prossimo video.

Russian: 
мимо которого она проходит. Словно мы ходим вокруг единичной окружности с единичной скоростью в секунду.
Таким образом через пи секунд, мы пройдём по кругу расстояние пи, так e^i * pi = -1.
Через тау секунд мы пройдём полный круг: e^i*тау=1. Если обобщать, то
e^i * t равняется t радианам вокруг этой единичной окружности на комплексной плоскости.
Тем не менее, вставлять мнимое число в экспоненту может показаться странным.
И это верно. Писать обозначение e^t это в какой-то степени кошмарно,
давая числу e и идее повторяющегося умножения намного больше значения, чем они заслуживают.
Но мое время подошло к концу. Так что я уберегу вас от дальнейших рассуждений
до выхода следующего видео.

Vietnamese: 
bạn sẽ đi thành 1 vòng tròn với tốc độ 1 đơn vị trên giây
thế nên sau thời gian pi giây, bạn đã đi được quãng đường là pi, khi đó vị trí của bạn sẽ là ở phía ngược vị trí bắt đầu e^(pi*i)=-1
sau tau (2 pi) giây bạn đã đi hết 1 vòng tròn  e^(2pi*i)=1
Tổng quát hơn thì e^(i*t) sẽ bằng với tọa độ vị trí điểm sau khi quay t radian trên vòng tròn trong mặt phẳng phức
giờ bạn có thể vẫn sẽ thấy sai sai khi bắt  đầu liên quan đến số mũ phức
Không có gì sai khi đặt nghi vấn cho nó cả.
Thực sự thì cách chúng ta kí hiệu e^t thật sự rất tệ
chúng khiến ta bị lậm phép tính e mũ bằng cách nhân lặp lại một số lần hơn là nó nên làm
 

German: 
Wenn du um den Einheitskreis herum gehst mit eine Geschwindigkeit von 1 Einheit/Sekunde.
Also nach pi Sekunden, hast du eine Strecke von pi um den Kreis verfolgt; e^{i * pi} = -1. Nach tau Sekunden
bist du einen ganzen Umfang  gegangen; e^{i * tau} = 1. Und allgemeiner, e^{i * t} = Anzahl
t Bogenmaße um diesen Kreis herum.
Dennoch könnte sich etwas immer noch unmoralisch anfühlen, wenn es darum geht, eine imaginäre Zahl in diesen
Exponenten zu setzen. Und du hast Recht dies zu hinterfragen. Was wir als e^t schreiben ist ein kleines notatorisches
Disaster. Der Zahl e und der Idee der wiederholten Multiplikation viel mehr Gewicht zu geben, als sie verdienen.
Gewicht zu geben, als sie verdienen. Aber meine Zeit ist verbraucht, also erspare ich euch mein Geschimpfe bis zum
nächsten Video.

Korean: 
이는 반지름 1인 단위원 위를 1초에 1만큼 움직일 때입니다.
그러므로 π초가 흐르면 이 원 주변을 π만큼 돌았기 때문에 e^iπ=-1입니다.
* π분 ≈ 3분 8초 *
그러므로 π초가 흐르면 이 원 주변을 π만큼 돌았기 때문에 e^iπ=-1입니다.
τ(=2π)초가 흐르면 원 한 바퀴를 돌았으므로 e^iτ=1입니다.
또한 일반적으로 e^it는 복소평면 위의 이 단위원 주위를 t라디안만큼 회전한 수에 해당합니다.
그렇지만 지수 자리에 허수를 놓는다는 것이 아직 어딘가 꺼림칙할 수도 있습니다.
좋은 질문입니다! 우리가 e^t라고 쓰는 것은 자칫 숫자 e를 여러 번 곱한다는 것을 지나치게 강조할 수 있어
이러한 측면에서는 표기법의 참사라고 할 수도 있겠습니다.
하지만 시간이 다 됐으니, 다음 동영상이 올라올 때까지 나머지는 여러분께 맡기도록 하겠습니다.

Modern Greek (1453-): 
περιστροφή της θέσης, 90 μοίρες.  Είναι όταν πηγαίνετε γύρω από ένα κύκλο με ακτίνα 1, με ταχύτητα 1 μονάδα ανά δευτερόλεπτο.
Έτσι, μετά από π δευτερόλεπτα, έχετε διανύσει μια απόσταση π γύρω, άρα e ^ {i * π} = -1.  Μετά από τ δευτερόλεπτα,
έχετε διανύσει πλήρη κύκλο.  e ^ {i * τ} =1,  και γενικότερα, e ^ {i * t} ισούται με έναν αριθμό που είναι
t ακτίνια γύρω από αυτόν τον μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο.
Παρ 'όλα αυτά, κάτι μπορεί ακόμα να σας κάνει να μην αισθάνεστε καλά με το να βάζετε έναν φανταστικό αριθμό πάνω σε αυτόν
τον εκθέτη.  Και θα είχατε δίκιο να το αμφισβητήσετε αυτό!  Αυτό που γράφουμε ως e ^ t είναι κάτι σαν συμβολική
καταστροφή, αφού δίνουμε στον αριθμό e, και στην ιδέα του επαναλαμβανόμενου πολλαπλασιασμού, πολύ περισσότερη
έμφαση από αυτή που της αξίζει.  Αλλά, ο χρόνος μου τελειώνει, γι 'αυτό θα συνεχίσω στο
επόμενο βίντεο.

Malay (macrolanguage): 
putaran kedudukan. Ia adalah ketika anda pergi
bulatan unit pada kelajuan 1 unit sesaat.
Jadi selepas beberapa saat, anda telah mengesan jarak
daripada pi di sekeliling; e ^ {i * pi} = -1. Selepas tau detik,
anda telah berkeliling penuh; e ^ {i * tau} = 1.
Dan lebih umum, e ^ {i * t} sama dengan nombor
t radians di sekitar bulatan ini.
Walau bagaimanapun, sesuatu mungkin masih tidak bermoral
tentang meletakkan nombor khayalan di dalamnya
eksponen. Dan anda betul-betul bertanya
itu! Apa yang kita tulis sebagai e ^ t adalah sedikit notasi
bencana, memberi nombor e dan idea itu
daripada pendaraban berulang lebih banyak daripada
penekanan daripada mereka layak. Tetapi masa saya adalah
up, jadi saya akan melepaskan kamu pengiring saya sehingga
video seterusnya.
