
English: 
- So I have here
a very complicated function.
It's got a two-dimensional input,
two different coordinates to its input,
and then a three-dimensional output.
Specifically, it's a
three-dimensional vector,
and each one of these is some expression,
its a bunch of cosines and sines
that depends on the two input coordinates.
And in the last video, we talked about how
to visualize functions
that have a single input,
a single parameter
like T,
and then, a two-dimensional vector output.
So some kind of expression of T
and another expression of T.
And this is sort of the
three-dimensional analog of that.
So what we're going to do,
we're just going to visualize
things in the output space,
and we're gonna try to think of all
the possible points that could be outputs.
So, for example, let's
just start off simple,
let's get a feel for this function
by evaluating it at a
simple pair of points.
So, let's say
we evaluate this function F,

Korean: 
여기
매우 복잡한 함수가 있습니다
입력은 2차원이고
독립적인 좌표 두 개가 들어가고
3차원 출력이 있죠
3차원 벡터로
이 각각은 두 입력 변수의
사인과 코사인값으로 이루어진
식입니다
아까 영상에서 우리는
입력이 t처럼 매개변수 하나이고
출력이 두 개인 함수를
시각화하는
법을 배웠습니다
t에 대한 식 하나
그리고 또 하나
이것을 3차원으로 확장하면 됩니다
이제 출력 공간에
시각화할 텐데
출력값이 될 수 있는
모든 공간을 생각하시면 됩니다
몇 개의 점에서 값을 구해서
함수가 어떤 모양인지
대충 알아보도록 하죠
함수 f를
t=0, s=pi에서 값을 구하면

English: 
at T equals zero, I think will
probably be pretty simple,
and then S is equal to pi.
So let's think about what this would be.
We go up and we say,
okay, T of zero, cosine of zero is one,
so this whole thing is gonna be one,
same with this one.
And sine of zero is zero.
So this over here's gonna be zero,
and this is also gonna be zero.
Now cosine of pi is negative one.
So this here's gonna be negative one.
This one here's also
gonna be negative one.
And then sine of pi,
just like sine of zero,
is zero.
So this whole thing actually
ends up simplifying quite a bit
so that the top is three
times one plus negative one,
one times negative one is negative one,
and we get two.
Then we have three times zero plus zero,

Korean: 
꽤 단순한 모양이
되리라 생각합니다
어떤 값인지 생각해 봅시다
t가 0이니까
cos0=1이고
이것도 1이 되고
얘도 1이 되겠죠
또 sin0=0이니
여기 이 값은 0이고
이것도 0이겠네요
cos(pi)=-1이죠
그래서 이 값은 -1
이 값도 -1일 겁니다
sin(pi)=sin0=0
이니
삼각함수 값을 정리하면
첫째 값은 3*1+1*(-1)=
3+(-1)=
2입니다
그 다음은 3*0+0

English: 
so the Y component is just zero,
and then the Z component is also zero.
So what that would mean
is that this output is gonna be the point
that's two along the x-axis,
and, there's nothing else to it,
it's just two along the x-axis.
So go ahead and--whoop,
move the graph about,
add that point there.
So that's what would correspond
to this one particular input, zero and pi.
And, you know you can do
this with a whole bunch,
and you might add a couple of other points
based on other inputs that you find.
But this would take forever,
to start to get a feel for
the function as a whole.
And another thing you can do, is say,
okay, maybe rather than thinking of
evaluating at a particular point,
imagine one of the inputs was constant.
So let's imagine that S
stayed constant at pi.
But then we let T range freely.
So, that means we're gonna have some kind
of different output here.
And, we're gonna let T

Korean: 
y성분은 0이고
z성분도 0이네요
이게 의미하는 바는
출력은 x축으로 2만큼
이동하고
다른 성분은 없으니까
그곳에 있겠네요
그래서 그만큼
이동해서
점을 추가합니다
이 점이 (0, pi) 입력에
해당하는 출력입니다
그리고 다른 입력점에서
점들 몇 개를 추가해서
찍을 수 있겠죠
하지만 이렇게 해서 전체를
알아보기에는 아주 긴 시간이 필요합니다
다른 시도는
특정한 점에서
함숫값을 구하지 말고
입력 하나가 일정하다고 생각합시다
s=pi일 때를 생각하죠
t는 그대로 둡니다
그러면 출력 집합이
생기겠군요
s는 pi로

Korean: 
t는 그대로 변수 형태로 둡니다
이게 의미하는 바는
이 -1과 0 값은
정해지지만
이제 출력 형태가
3cost
+
(-1)cost
곧 -cost
다음은 3sint
이건 0이 아니네요
그러니 이것들을 지우고
이제 더 이상
t=0이 아니니까요
다시, 3sint
t의 함수 형태로 그대로 둡니다
3sint
+
(-1)sint
곧 -sint

English: 
just be some kind of variable
while the output is pi.
So what that means is
we keep all of these,
these negative one, negative one, and zero
for what sine of pi is.
But the output now
is gonna be three cosine of T,
cosine of T,
plus negative one times the cosine of T,
so it's gonna be minus cosine of T.
The next part is gonna
still be three sine of T,
this is no longer zero.
I should probably erase
those guys actually so...
We're no longer evaluating
(inaudible) when T was zero.
So, three times sine of T,
that's just still the function
that we're dealing with.
Three,
sine of T,
and then minus one times sine of T.
So minus sine

English: 
of T.
Keep drawing it in green
just to be consistent.
And then the bottom stays at zero.
And this whole thing actually simplifies,
three cosine T minus cosine T,
that's just two cosine T.
And then the same deal for the other one.
It's gonna be two sine of T.
So this whole thing,
actually simplifies down
to this.
So this is again
when we're letting S stay constant
and T ranges freely.
And when you do that,
what you're gonna end up getting
is a circle that you draw.
And you can maybe see why it's a circle
'cause you have this cosine/sine pattern.
It's a circle with radius two,
and it should make sense that
it runs through that first
point that we evaluated.
So that's what happens if you let
just one of the variables run.
But now let's do the same thing,
but think instead of what happens
is S varies and T stays constant.
I encourage you to work
it out for yourself,

Korean: 
입니다
t는 계속 초록색으로 표시할게요
마지막은 여전히 0이네요
이제 전체를 간단히 하면
3cost-cost=
2cost
두 번째도 똑같이
2sint이고
결국엔
이런 식이
됩니다
s를 그대로 두고
t를 바꾸었을 때죠
그러면 결국
나타나는 모양은
원입니다
코사인과 사인 식을 보면
원인 것을 알 수 있죠
반지름 2인 원이고
우리가 처음 구한 점을
당연히 포함하게 됩니다
한 변수를 그대로
놓아 둔 경우죠
이번에는
s를 변수로 두고
t를 상수로 합시다
계산은 각자 해 주세요

English: 
I'll go ahead and just kind of draw it,
because I kinda wanna
give the intuition here.
So in that case you're gonna get a circle
that looks like this.
So again I encourage you to try
to think through for the same reasons.
Imagine that you let S run freely,
keep T constant at zero.
Why is that you would get a circle
that looks like this?
And in fact, if you let
both T and S run freely,
a very nice way to visualize that
is to imagine that this circle,
which represents S running freely,
sweeps throughout space
as you let T run freely.
And what you're gonna end
up getting when you do that,
is a shape that goes like this.
This is a doughnut. We have a fancy word
for this in mathematics
we call it a torus.
But it turns out the function here
is a fancy way of drawing the torus.
And in another video I'm gonna
go through in more detail
if you were just given the torus,
how you can find this function,
how you can kind of get the
intuitive feel for that.

Korean: 
그래프 모양을 대강 알기 위해
바로 그리겠습니다
결과는 이런 모양의 원이
됩니다
아까 예처럼 그림으로
옮겨 보시길 바랍니다
s를 놓아 두고
t를 0으로 고정했을 때입니다
어떻게 이런 원이
나오게 되었을까요
t와 s를 모두 변수로 둘 때를
생각하는 좋은 방법은
s만 변수인
이 원이 다른 t값들을
쓸고 지나간다고 생각하는 것입니다
그럴 때 결국 돌리면
이런 모양을 얻죠
도넛입니다
수학자들은 토러스라고 하죠
이 함수는 토러스를
나타내는 식이군요
다른 영상에서 토러스가 주어졌을 때
반대로 함수를 찾는 법을
보여 드리겠습니다
어떻게 직관적으로 바꾸는지 말이죠

Korean: 
그 영상에서 원을 돌리면
토러스가 되는 설명도
조금 더 자세히
포함하려 합니다
그림의 붉은 원과
푸른 원의 관계도요
하지만 지금까지는
매개화된 곡면이 무엇인지
2차원 입력과 3차원 출력을 가진
함수를 어떻게 나타내는지
간략한 설명을 드렸습니다

English: 
And in that it'll involve going through,
in a bit more detail,
why when you sweep the circle out
it gets the torus just so.
And what the relationship between
this red circle and the blue circle is.
But here I just kind of want to give
an intuition for what parametric
surfaces are all about,
how it's a way of visualizing something
that has a two-dimensional input
and a three-dimensional output.
