
English: 
All right, so we've got a sphere.
It's sort of a shell of a sphere, and then there's a thing for it to stand on, a little base,
there's a hole in the top,
and there's this pattern, this cool pattern of sort of pentagons, and so on.
And I've got a flashlight, or a torch,
if you haven't been in America for too long. You can take the sort of lens off
and you just get like a, it's supposed to be like, like, it's like a candle or something.
But what I want to use it for is
to show this thing's stereographic projection.
So, if I put the light right at the North Pole of the sphere
Then you get this pattern of shadows. So, right, so what is stereographic projection?
It's a map from the sphere
to the plane, and the light rays sort of do that map.
A light ray comes from the North Pole and
let's say this one here, right, so it hits the point on the sphere here
and it goes down to the the table here, to the plane. So and you can see like if I put my little finger
near to this point on the sphere, you can see the shadow

Spanish: 
De acuerdo, entonces tenemos una esfera.
Es una especie de caparazón de una esfera, y luego hay algo en lo que apoyarse, una pequeña base,
hay un agujero en la parte superior,
y está este patrón, este patrón genial de tipo de pentágonos, y así sucesivamente.
Y tengo una linterna.
Puedes quitar el tipo de lente
y se pone como una, se supone que es como, es como una vela o algo así.
Pero para lo que quiero usarla es
para mostrar la proyección estereográfica de esta cosa.
Entonces, si pongo la luz justo en el Polo Norte de la esfera
Entonces obtienes este patrón de sombras. Entonces, bien, entonces, ¿qué es la proyección estereográfica?
Es un mapa de la esfera
en el plano, y los rayos de luz hacen ese mapa.
El rayo de luz proviene del Polo Norte y
digamos este aquí, correcto, entonces toca el punto en la esfera aquí
y baja a la mesa aquí, al plano. Entonces, puedes ver si pongo mi dedo meñique
cerca de este punto en la esfera, puedes ver la sombra

Spanish: 
en el plano es a donde va a parar.
Fue una de las primeras formas en que la gente pensó para hacer mapas de
la tierra, o los cielos, ¿correcto?, las cosas celestiales, por lo que los griegos sabían acerca de esto y muchos de los viejos
tipos de mapas de estrellas se realizan con proyección estereográfica. Entonces, una de las cosas que es realmente genial
es que preserva ángulos. Y también se puede ver en este modelo, estos tres o seis ángulos de 60 grados aquí
Es como si fuera un símbolo de radiación aquí
Y la sombra tiene estos ángulos de 60 grados, y la esfera también tiene esos ángulos de 60 grados
Entonces, no solo preserva los ángulos, ¿correcto?, los ángulos permanecen iguales, pero también conserva los círculos.
Puedes ver en esto, están todos estos
grandes círculos como un ecuador de la esfera.
Bueno, en realidad este no tiene un ecuador, si este es el Polo Norte, no hay un ecuador dibujado,
pero, el camino que tomarías si comienzas a navegar en línea recta alrededor de la Tierra es este círculo que es como un ecuador.
Si miras en dónde está este camino, abajo en la sombra, creo que es éste
Y verán que también hay un círculo allí. Para ver los círculos un poco mejor

English: 
on the plane is where is where it's going to.
It was one of the first ways that people thought about, like, maps of the
Earth, or the heavens, right, the celestial stuff, so the Greeks knew about this stuff and a lot of the old
kind of star maps are done with stereographic projection. So one of the things that's really cool about it
is it preserves angles. And you can see on this model as well, these like three or six 60 degree angles here
It's like it's like a radiation symbol here
And the shadow has these 60 degree angles, and the sphere also has those 60 degree Angles
So not only does it preserve angles, right, angles stay the same, it also preserves circles.
You can see on this, there's all these
great circles like an equator of the sphere.
Well actually this one doesn't have an equator, if this is the North Pole, there isn't an equator drawn in,
but, like, the path that you take if you just start sailing in a straight line around the Earth is this circle that's like an equator.
If you look at where is this path on, down on the shadow, I think it's this one here
And you'll see that it's a circle there as well. So to see the circles a little bit better

Spanish: 
tal vez, veamos, echemos un vistazo a este. Tiene círculos por todos lados. Es algo así como un dodecaedro, o un icosaedro con círculos.
Veamos qué tipo de sombra hace esto, y si sostengo la luz en el lugar correcto, puedes ver,
así que este círculo aquí
va a este círculo aquí abajo. Entonces, sí, de alguna manera sabes que
se supone que los círculos son círculos, a pesar de que las cosas se vuelven extrañamente distorsionadas, ¿cierto?, el tamaño de los círculos cambia mucho
en el plano, todos son del mismo tamaño en la esfera, por supuesto, pero todavía deberían ser círculos, ¿no?
Quiero decir, sabes, si lo mueves a otro lado,
luego, debe estar justo en el polo norte para que funcione, y lo mismo con los ángulos.
Si no es como un polo norte, no es una proyección estereográfica, no tiene todas estas bonitas propiedades.
Así que aquí hay otro patrón más, ¿correcto?, en una esfera, con este tipo de curvas curiosas, así que,
Bueno, ¿qué va a hacer esto?  Puede que te sorprenda. Bueno, vamos a descubrirlo. Y, ponemos esto.
Tenemos esta cuadrícula cuadrada
perfectamente regular que se esconde dentro de esta cosa redonda realmente curvilínea.

English: 
maybe, let's, let's have a look at this one. It's got circles all over the place. It's kind of like a dodecahedron, icosahedron thing with circles.
Let's see what kind of shadow this makes, and if I hold the light in the right place you can see,
so this circle up here
goes to this circle down here. So, yes, somehow it knows that
circles are supposed to be circles, even though things are getting kind of weirdly distorted, right, the size of the circles changes a lot
on the plane, they're all the same size on the sphere, of course, but it still knows that they should be circles, right?
I mean, you know if you move it somewhere else,
then, like it has to be right at the north pole for it to work, and the same thing with the angles.
If it's not as a north pole, it's not a stereographic projection, it doesn't have all these nice properties.
So here's a yet another, right, pattern on a sphere, with this sort of weird curvy thing going on, so,
well, what's this gonna make? You may be surprised. Well, let's find out. And, put this in.
There's this perfectly regular
square grid hiding inside of this really curvy round thing.

English: 
Well, the way I made this is I started with the square grid and then I put it back up onto the sphere to see what's
going on. So I could just continue making this square grid going further and further out.
And then I'm gonna get closer and closer in to the North Pole,
but I'll never actually get to the North Pole, right? The North Pole somehow
corresponds to going infinitely far out this way, going infinitely many squares,
eventually, well I wouldn't ever get to the North Pole,
but that's what the North Pole corresponds to. The North Pole isn't there. It's a one-to-one thing. Every point on a sphere
gets a point on the plane, apart from the North Pole. So, so the plane, plus one point at infinity,
infinitely far away, is the same as the sphere. This is a two-dimensional surface goes to the two-dimensional plane. Let's go one dimension down.
Let's do the, so the equivalent of the
sphere the 2-dimensional sphere is the one-dimensional circle, right?
It looks like a line if you just look at a piece of it. Let's draw the, the table, and then
my light is gonna be here at the North pole of this

Spanish: 
Bueno, la forma en que hice esto es que comencé con la cuadrícula cuadrada y luego la volví a poner en la esfera para ver qué está
pasando. Así que podría continuar haciendo que esta cuadrícula esté más y más alejada.
Y luego me voy a acercar cada vez más al Polo Norte,
pero nunca llegaré al Polo Norte, ¿de acuerdo? El Polo Norte de alguna manera
corresponde a ir infinitamente lejos de esta manera, yendo infinitamente muchos cuadrados,
eventualmente, bueno, nunca llegaría al Polo Norte,
pero eso es a lo que corresponde el Polo Norte. El Polo Norte no está allí. Es una cosa de uno a uno. Cada punto en una esfera
se corresponde con un punto en el plano, excepto el del Polo Norte. Entonces, es el plano más un punto en el infinito,
infinitamente lejos, es lo mismo que la esfera. Esta es una superficie bidimensional que se corresponde con el plano bidimensional. Vamos a bajar una dimensión.
Hagámos, entonces el equivalente de
la esfera bidimensional es el círculo unidimensional, ¿verdad?
Parece una línea si solo miras una parte de ella. Dibujemos la mesa, y luego
mi luz va a estar aquí en el polo norte de este

Spanish: 
círculo, ¿verdad? Un círculo es una especie de versión unidimensional de la esfera.
Y entonces, sabes, un rayo de luz baja aquí, y golpea la esfera en alguna parte, y golpea al plano en alguna parte,
y ese es el mapa. La proyección estereográfica te lleva de aquí hasta aquí.
Y entonces, sabes, lo que estábamos haciendo, está bien, los puntos están marchando de esta manera,
y como, ya sabes,  hay otro punto por aquí,
y entonces hay otra línea que sale aquí, y el punto correspondiente en la esfera
se acerca al polo norte, y te acercas, y esta línea se reduce, y te acercas, y esta línea se reduce,
pero nunca, como, el Polo Norte en sí es de alguna manera, como,
infinitamente lejos. El Círculo, es lo mismo que la recta más un punto.
Y tener la esfera en el espacio tridimensional ordinario es lo mismo que el plano bidimensional
más un punto, el Polo Norte, infinitamente lejano. Esfera en el espacio bidimensional.
Esfera en el espacio tridimensional.
¿Esfera en el espacio de 4 dimensiones? Bueno,

English: 
circle, right? A circle is sort of a one dimensional version of the, of the sphere.
And so, you know, a light ray comes down here, and it hits the sphere somewhere, and it hits the plane somewhere,
and that's the map. Stereographic projection takes you from here to here.
And so, you know, what we were doing is, okay, squares are marching off this way,
and like, you know, there's, there's another square,
and so there's another line that goes out here, and the corresponding point on the sphere
gets closer to the North pole, and you get closer, and this line goes off, and you get closer, and this line goes off,
but you never, like, the North Pole itself is somehow, like,
infinitely far away. Circle, same thing as the line plus a point.
And we had the sphere in ordinary three-dimensional space is the same thing as the two-dimensional plane
plus one point, the North Pole, infinitely far away. Sphere in two-dimensional space
sphere in three-dimensional space
sphere in 4-dimensional space? Okay,

English: 
so, if we're in four-dimensional space, we can still measure things, and we can still say, there's a sphere, right?
It's the thing which is the set of points which are at some distance from the center, and we can't see it
you can't, you know, because it's four dimensional. But, same thing. The sphere is the same thing as
the three-dimensional plane, space, whatever,
plus a point at infinity.
So, or in other words, I can't show you this sphere in 4-dimensional space,
but I can show you the shadow. The shadow is gonna be a three-dimensional thing, so we can see it,
or we can 3D print it, or we can do computer animations or something.
This gives you some idea of what this thing in four dimensions is.
So here, what we were doing, we were like,
drawing squares on the sphere in three-dimensional space, and then casting a shadow. So we're gonna draw something else on the sphere
in 4-dimensional space, and cast a shadow.
So what are we going to be drawing?

Spanish: 
Entonces, si estamos en un espacio de cuatro dimensiones, aún podemos medir cosas, y aún podemos decir que hay una esfera, ¿verdad?
Es el conjunto de puntos que están a cierta distancia del centro, y no podemos verlo
no puedes, ya sabes, porque es de cuatro dimensiones. Pero, de la misma manera. La esfera es lo mismo que
el plano tridimensional, el espacio, lo que sea,
más un punto en el infinito.
Entonces, en otras palabras, no puedo mostrarte esta esfera en el espacio de 4 dimensiones,
pero puedo mostrarte la sombra. La sombra va a ser algo tridimensional, así que podemos verlo,
o podemos imprimirlo en 3D, o podemos hacer animaciones por computadora o algo así.
Esto te da una idea de lo que es esto en cuatro dimensiones.
Entonces, aquí, lo que estábamos haciendo, estábamos como,
dibujando puntos en la esfera en el espacio tridimensional, y luego proyectando una sombra. Así que vamos a dibujar algo más en la esfera
en el espacio de 4 dimensiones, y proyectar una sombra.
Entonces, ¿qué vamos a dibujar?

Spanish: 
Monos. Así que esto es como un diseño de un mono, así que, entonces estás dibujando, estás dibujando algo en la superficie de esta esfera.
Así que, como que, ya sabes, estás dibujando una imagen bidimensional aquí,
Necesito dibujar una imagen tridimensional en esta esfera en el espacio de cuatro dimensiones. Y la imagen tridimensional que voy a dibujar es
este mono, o va a ser una versión ligeramente distorsionada de este mono.
Brady: "Entonces, ¿con qué podrías dibujar eso? ¿Como, con pintura tridimensional?"
Bueno sí.
Quiero decir, como la esfera en 4 dimensiones
el espacio es algo tridimensional, de modo que cualquier cosa tridimensional puede colocarse allí, de la misma manera que cualquier cosa
bidimensional en una esfera bidimensional, o superficie, lo que sea. Entonces realmente esto se dibuja en un
lado cúbico de un hipercubo,
lo que sea, y luego se pone una especie de
proyección radial en la esfera en el espacio de cuatro dimensiones. Una vez que estás en la esfera, podemos hacer esta
proyección estereográfica, hacer una sombra tridimensional de ella en
el espacio tridimensional, que podemos ver. Este es el mono dentro de un cubo de un hipercubo.
Así que este cubo tiene seis vecinos, por lo que este mono necesita seis vecinos

English: 
Monkeys. So this is a like a monkey design, like so, so you're sketching, you're sketching something on the surface of this sphere.
So just like, you know, you're drawing some two-dimensional picture here,
I need to draw a three-dimensional picture on this sphere in four-dimensional space. And the three-dimensional picture I'm gonna draw is
this monkey, or it's going to be a slightly distorted version of this monkey.
Brady: "So what, what, could you draw that with? Like, like, three-dimensional paint?"
Well, yeah.
I mean like, like the sphere in 4-dimensional
space is a three-dimensional thing, so anything threee-dimensional you can put it on there, in the same way for anything
two-dimensional on a two-dimensional sphere, or surface, whatever. So really this is drawn on one
cubical side of a hypercube,
whatever, and then it gets sort of
radially projected out onto the sphere in four-dimensional space. Once you're on the sphere then we can do this
stereographic projection, make a three-dimensional shadow of it in
three-dimensional space, which we can see. This is the monkey inside of one cube of a hypercube.
And he's, so this, this cube has six neighbors, so this monkey needs six neighbors

Spanish: 
Y todos son como que están retorciéndose de varias maneras. Esto se ve algo así como, algún tipo de grupo loco de simetrías de cuatro dimensiones.
Es por eso que el mono está allí, es un motivo para poder ver esta simetría. Tenemos nuestra linterna de cuatro dimensiones,
y lo proyectas al espacio tridimensional y veamos cómo se ve.
Brady: "Podemos verlo entonces".
Podemos verlo con nuestros pobres cerebros tridimensionales que no pueden tratar con material de cuatro dimensiones.
Hay personas que dicen que pueden ver en cuatro dimensiones, pero creo que mienten. Correcto, entonces estos son
ocho monos,
y están mostrando este tipo particular de simetría de cuatro dimensiones. Así que tal vez puedas ver esto, hay algo así como
un anillo de cuatro monos, uno dos tres cuatro, dando vueltas así.
Y todos están parados sobre sus cabezas.
Y luego hay otro anillo de cuatro monos que pasa por aquí, uno dos tres cuatro,
y hay un tipo particular de simetría retorcida que envía,

English: 
And they're all kind of like twisting around in various ways. This is showing kind of, some kind of crazy four-dimensional symmetry group.
That's why the monkey is there, is it's a motif that's showing this symmetry. We got our four-dimensional flashlight and/or torch,
whatever, depending on your commonwealth status,
and you project it down to three-dimensional space and we see what it looks like.
Brady: "We can see it then."
We can see it without poor three-dimensional brains that can't deal with four-dimensional stuff.
There are people who claim they can see in four dimensions, but I think they're lying. Right, so this is
eight monkeys,
and they're showing this particular kind of four-dimensional symmetry. So maybe you can see this, there's like,
there's a ring of four monkeys, one two three four, going around like this.
And they're all sort of standing on each other's heads.
And then there's another ring of four monkeys that goes through here, one two three four,
and there's a particular kind of sort of twisting symmetry that

English: 
sends, like, this monkey to this monkey to this monkey to this monkey, and they kind of screw, twist around
as you go through. There's an animation. You'll show the animation. Maybe it will make sense.
[monkey screeching]
Some people get like really weirded out by this.
They're like, you know, they're sort of disturbing, the shapes of them.
But it's just math. Like, this is just what it does to the monkey. There's no emotional content intended.
Take some it what you will. I guess that's art, right. You can do whatever you want with it.
Brady: "It's your fault you gave them the horrific faces though. That's not the fault of math."
Look, he's happy! Look at this happy monkey! I mean, maybe he's a little bit annoyed that his, his friend is standing on his head.
[snickering]
So this is the fun part. So this is a, this is a fun story, actually.
Brady: "It just pooped on you."
Well actually, so, oh, oh it's still going, huh.
So, so they're printed, right? 3D printed, and it's made with, like, plastic dust that gets melted. They're hollow.

Spanish: 
este mono a este mono a este mono a este mono, y ellos se tuercen alrededor como un tornillo
a medida que avanzas. Tengo una animación. Muestra la animación. Tal vez tenga sentido.
[mono chillando]
Algunas personas se sienten realmente extrañadas por esto.
Es como, ya sabes, es un poco inquietante, la formas de ellos.
Pero solo son matemáticas. Al igual, esto es justo lo que le hace al mono. No hay contenido emocional intencionado.
Tomalo como quieras. Supongo que esto es arte, ¿verdad? Puedes hacer lo que quieras con eso.
Brady: "Es tu culpa, les diste caras horribles. No es culpa de las matemáticas".
Mira, él es feliz! ¡Mira este feliz mono! Quiero decir, tal vez está un poco molesto porque su amigo está de pie sobre su cabeza.
[riéndose]
Esta es la parte divertida. Así que esta es una, esta es una historia divertida, en realidad.
Brady: "Simplemente te cago encima".
Bueno, en realidad, así que, oh, oh, todavía está yendo, eh.
Entonces, están impresos, ¿verdad? Impresos en 3D, y está hecho con, por ejemplo, polvo de plástico que se derrite. Son huecos.

Spanish: 
Pero al transportarlo, algo de polvo se sacude, por lo que, ya sabes, gradualmente pierden polvo.
Sí, todo se cubre de polvo blanco.
Brady: "¡Eso es de la cuarta dimensión!"
Es polvo de mono tetradimensional.
Ahora, podría haber hecho esto
menos problemático.
El problema es que la boca es el único orificio de salida, ¿verdad? Si hubiera dos agujeros de salida en un mono, entonces podrías
soplar aire a través de él y expulsar todo el polvo.
Pero, ¿dónde vas a poner otro agujero en un mono?
Quiero decir, ya tienes colas de mono. Como, no puedes tomar una fotografía de esto que no involucre un trasero de mono. Y si hay
eran ocho, sí, sí. Así que estos son ocho monos,
Así que hay un mono en cada cubo del hipercubo, ese cubo, el hipercubo tiene ocho cubos en él
Entonces, esta es una simetría particular que viene asociada con el hipercubo
Entonces, existen estas otras versiones tetradimensionales de los sólidos platónicos. Entonces hay algo llamado 24 celdas, y puedes hacer lo mismo.

English: 
But in shipping, some dust gets shaken out, so they, you know, gradually sort of lose dust, we can,
yeah, everything gets covered in white dust.
Brady: "That's from the fourth dimension!"
It is, it is four-dimensional monkey dust.
Now, I could have made this
less of a problem.
The issue is, like, the mouth is the only exit hole, right? If there were two exit holes in a monkey, then you could
blow air through it, and blow all of the dust out.
But where are you going to put another hole in a monkey?
I mean, you already have monkey butts all-. Like, you cannot take a photograph of this that doesn't involve a monkey butt. And if there
were eight, yeah, yeah. So this is eight monkeys,
which, and there's one monkey in each cube of the hypercube, that cube, the hypercube has eight, eight cubes in it
So this is a particular symmetry that comes sort of associated with hypercube
So there are these other four-dimensional versions of the Platonic solids. So there's something called a 24 cell, and you can do the same thing.

English: 
With 24 monkeys. So this one, there were these two chains of four monkeys each, head to, head to foot, head to foot
This one also has these, these chains of monkeys,
so the best one is probably this one right in the middle one two three four five
There's a chain of six monkeys here, going head to foot. And you can spot these other chains of monkeys.
So there's another chain of six monkeys. So there's all, there's I think, four different chains of six monkeys,
because 4 times 6 is 24, good? 24 cell. And just going one step further, because why not? You can do the same thing with
120 cell.
120 monkeys. This isn't actually the whole thing. So this is only up to the equator of the sphere in 4-dimensional space.
So this is only showing the southern
hyper-hemisphere, hemi-hypersphere, whatever
So there should be more monkeys out here.
You can see like, they're trying to grab on to things, but there are no more monkeys out there.
Just, it would get enormous, but okay, so it was like

Spanish: 
Con 24 monos. Así que este, tienes estas dos cadenas de cuatro monos cada una, cabeza a cabeza, pies a cabeza, pies a cabeza
Este también tiene estas cadenas de monos,
así que lo mejor es poner probablemente este justo en el medio, uno, dos, tres, cuatro, cinco
Hay una cadena de seis monos aquí, yendo de pies a cabeza. Y puedes ver estas otras cadenas de monos.
Entonces hay otra cadena de seis monos. Entonces, hay todo, creo que hay cuatro cadenas diferentes de seis monos,
porque 4 por 6 es 24, ¿de acuerdo? 24 celdas Y yendo un paso más allá, ¿por qué no? Puedes hacer lo mismo con
120 celdas
120 monos. Esto no es en realidad todo. Entonces esto es solo hasta el ecuador de la esfera en el espacio de 4 dimensiones.
Así que esto solo muestra el hiperhemisferio sur,
hemi-hiperesfera, lo que sea
Entonces debería haber más monos aquí.
Pueden ver que intentan agarrarse a las cosas, pero ya no hay más monos.
Simplemente, sería enorme, pero está bien, así que son como

Spanish: 
cadenas de monos Este tiene una cadena de diez. Y de nuevo, puedes, puedes hacer estas animaciones donde
esos monos se mueven lentamente a lo largo de esas cadenas, girando sobre la marcha. Y estos muestran diferentes simetrías de cuatro dimensiones
que realmente no existen en el espacio tridimensional.
Incluso por qué, ya sabes, esta cosa,
Quiero decir,
en realidad no es justo, porque sabes que hay diferentes,
como que hay seis abolladuras sacadas de esto, y hay una, y sabes, olvidando todo eso, supongo
era un ordinario, ya sabes, solo un cubo matemático perfecto,

English: 
chains of monkeys. This one has a chain of ten. And again, you can, you can do these animations where
those monkeys are sort of slowly moving along those chains, twisting as they go. And these are showing different four-dimensional symmetries
that don't really exist in three-dimensional space.
Even why, you know, this thing,
I mean,
it's not actually fair, because you know there's different,
like there's six dents taken out of this, and there's one, and you know, forgetting all that, suppose
it was an ordinary, you know, just a perfect mathematical cube,
