
English: 
- [Voiceover] So in the last video,
I talked about vector
fields in the context
of two dimensions, and here,
I'd like to do the same
but for three-dimensions.
So a three-dimensional vector field
is given by a function, a
certain multi-variable function
that has a three-dimensional input
given with coordinates x, y and z,
and then a three-dimensional vector output
that has expressions that
are somehow dependent
on x, y, and z, I'll just
put dots in here for now,
but we'll fill this in with
an example in just a moment.
And the way that this works,
just like with the
two-dimensinal vector field,
you're gonna choose a
sample of various points
in three-dimensional space.
And for each one of those points,
you consider what the
output of the function is
and that's gonna be some
three-dimensional vector.
And you draw that vector
off of the point itself.
So to start off, let's
take a very simple example,
one where the vector that outputs
is actually just a constant.
So in this case, I'll make
that constant the vector,
one, zero, zero.

Korean: 
지난 영상에서
2차원 벡터장을 공부하였는데
이번에는 3차원에서 벡터장을
사용하려 합니다
3차원 벡터장은
x, y, z로 표현되는
3차원 입력과
x, y, z의 식인
3차원 출력인
함수를 표현하는데
일단 줄임표로 나타내죠
곧 예시를 들겠습니다
만드는 방식은
2차원과 같이
3차원 공간상의
점을 여러 개 고릅니다
이 점마다
출력을 구해서
3차원 벡터로 나타냅니다
점에서 벡터로 나타내면 되죠
아주 간단한 예를 들어
출력 함수가 상수라고
해 보죠
상수 벡터
(1, 0, 0)입니다

Bulgarian: 
В предишното видео
говорих за векторните полета в контекста
на двумерното пространство, а сега бих искал да направя същото,
но за триизмерното пространство.
Триизмерно векторно поле
е зададено от функция на множество променливи,
която е определена от 3 параметъра,
зададени от координатите x, y и z,
и равна на триизмерен вектор стълб
с елементи изрази, зависещи
от x, y и z.
Засега ще поставя точки на тези места,
но ще ги попълним с примера след малко.
Също като при двумерното векторно поле,
избираме няколко точки
от тримерното пространство.
И за всяка от тези точки
определяме изходния вид на функцията,
като това ще бъде триизмерен вектор.
И рисуваме вектора от точката.
Започваме с лесен пример,
при който изходният вектор стълб
е константа.
В този случай избираме константния вектор
едно, нула, нула.

English: 
So what this vector is,
it's just got a unit lenth
in the x direction, so this is the x axis.
So all of the vectors
are gonna end up looking
something like this where it's a vector
that has length one in the x direction.
And when we do this, at
every possible point,
well not every possible point,
but a sample of a whole bunch of points,
we get a vector field
that looks like this.
At any given point in space,
we get one of these little blue vectors
and all of them are the same,
they're just copies of each other,
each pointing with unit
length in the x direction.
So as vector fields go,
this is relatively boring,
but we can make it a
little bit more exciting
if we make the input
start to depend somehow
on the actual input.
So what I'll do to start,
I'll just make the input
y, zero, zero.
So they're still just gonna
point in the x direction,
but now it's gonna depend on the y value.
So let's think of a second
before I change the image,
what that's gonna mean.
The y axis is this one here,

Korean: 
이 벡터는 단위길이이고
방향은 x축입니다
그러면 모든 벡터는
길이 1인 x방향으로 뻗은
벡터가 될 겁니다
이것을 수많은 점에서
구해 보면
이런 모양의 벡터장이
나타납니다
공간상의 모든 점에서
작은 파란 벡터가 있고
모두 같은 모양으로
x 방향으로 단위 길이로
복사되어 있습니다
이 벡터장은 상당히 단조롭지만
출력을 입력에 대한
식으로 만들기 시작하면
좀더 재미있어집니다
처음에는 출력을
[y 0 0]이라고 하죠
여전히 x 방향이지만
크기가 y값에 의존합니다
화면에 나타내기 전에
먼저 생각해 봅시다
y축은 여기 이 선이니까

Bulgarian: 
Видът му е единичен вектор
по оста х.
Така че всички вектори биха изглеждали
така, когато векторът
има дължина едно по х направлението.
Когато направим това за всяка възможна точка,
всъщност не за всяка възможна точка,
но за група от точки,
получаваме векторно поле, което изглежда така.
От всяка зададена точка в пространството
имаме по един от тези малки сини вектори
и всички те са еднакви,
копия едно на друго,
всяко от които с единична дължина и сочещо по х направлението.
Към момента векторните полета изглеждат относително скучни,
но нека нещата станат малко по-интересни,
като направим нашия вектор стълб зависим
от входящите променливи.
Като за начало променям елементите на вектор стълба на
у, нула, нула.
Така ще продължат да сочат по х направлението,
но ще зависят от стойността на у.
Преди да сменя картинката, нека помислим
какво означава това.
Оста у е ето тази,

Bulgarian: 
оста z сочи точно към лицата ни,
а това е у.
Така, когато у увеличава стойността си на едно, две, три...
дължината на тези вектори ще нараства,
тоест растящ вектор по х направлението,
бързо растящ вектор по х направлението.
А ако у е отрицателно, то векторите ще сочат
в обратната посока.
Нека видим как ще изглежда това.
Ето сега.
В това векторно поле цветът и дължината
показват размера на вектора.
Червените вектори са с голяма дължина,
сините вектори са сравнително къси
и в нулата дори не ги виждаме,
защото това са вектори с нулева дължина.
И също както в двуизмерните векторни полета,
когато ги чертаем, послъгваме малко.
Това трябва да има дължина единица, нали?
Защото когато у е равно на едно,
трябва да има дължина единица,
но сме го направили много, много малко.
А това тук, където у е пет или шест,
трябва да бъде доста дълъг вектор,
но малко лъжем с рисунката,
защото ако ги начертаем реално с мащаб,
ще развали пресъздаденото изображение.
Нека да отбележим няколко неща относно това,

Korean: 
z축이 우리를 향해 있고
이게 y죠
y값이 1, 2, 3으로 증가할수록
벡터의 길이가 증가하고
x축 방향으로 더 길어질 겁니다
x축 방향으로 아주 길게요
y가 음수라면 방향이 반대를
가리키게 되겠죠
어떤 모습인지 봅시다
짠
여기서 색과 길이 모두
벡터의 크기를 나타내는 데 사용됩니다
붉은 벡터는 길고
푸른 벡터는 짧고
y=0에서는 길이가 0이므로
벡터가 보이지 않습니다
2차원 벡터장과 같이
그릴 때는 약간 축소됩니다
이 벡터가 길이 1이어야겠죠?
y=1일 때
단위 길이여야 하지만
정말 작아졌습니다
이쪽 y=5, 6일 때는
아주 긴 벡터여야 하지만
실제로 그렇게 그리면
화면이 난잡해지기 때문에
조금 줄입니다
몇 가지 살펴볼 수 있는 점은

English: 
so now the z axis is pointing
straight in our face,
that's the y.
So as y increases value
to one, two, three,
the length of these
vectors are gonna increase,
it's gonna be a stronger
vector in the x direction,
a very strong vector in the x direction.
And if y is negative, these
vectors are gonna point
in the opposite direction.
So let's see what that looks like.
Here we go.
So in this vector field, color and length
are used to indicate the
magnitude of the vector.
So red vectors are very long,
blue vectors are pretty short,
and at zero, we don't even see any
because those are
vectors with zero length.
And just like with two
dimensional vector fields,
when you draw them, you lie a little bit.
This one should have a
length of one, right?
Because when y is equal to one,
this should have a unit length,
but it's made really, really small.
And this one up here,
where y is five or six,
should be a really long vector,
but we're lying a little bit
because if we actually drew them to scale,
it would really clutter up the image.
So a couple things to
notice about this one,

English: 
since the output doesn't depend on x or z,
if you move in the x direction,
which is back and forth here,
the vectors don't change.
And if you move in the z direction
which is up and down, the
vectors also don't change.
They only change as you
move in the y direction.
Okay, so we're starting to
get a feel for how the output
can depend on the input.
Now let's do something
a little bit different.
Let's say that all three of the components
of the input depend on x, y, and z,
but I'm just gonna make it
kind of an identity function.
At a given point x, y, z,
you output the vector itself, x, y, z.
So let's think about what
this would actually mean.
And let's say you've got a given point,
some point floating off in space.
What is the output vector for that?
Well the point has a certain x component,
a certain y component, and a z component.
And the vector that corresponds to x, y, z
is gonna be the one from the
origin to that point itself.
Let me just draw that here

Bulgarian: 
тъй като резултатът не зависи от х или z,
ако местим по х направлението,
което тук е назад и напред,
векторите не се променят.
Също ако местим по z направлението,
което е нагоре и надолу, векторите също не се променят.
Единствено се променят, когато местим по у направлението.
Така започваме да разбираме как резултатът
зависи от променливите на функцията.
Сега нека направим нещо по-различно.
Приемаме, че и трите компонента
на вектор стълба зависят от х, у и z,
но ще я направя тъждествена функция.
В дадена точка с координати х, у, z,
за резултат имаме самия вектор стълб [x,y,z].
Нека помислим какво всъщност значи това.
Да кажем, че имаме точката,
някъде в пространството.
Какъв е полученият вектор стълб от нея?
Точката си има определена х компонента,
определена у компонента и z компонента.
И векторът, който отговаря на х,у,z
е този, който започва от координатното начало до самата точка.
Нека да го нарисувам тук

Korean: 
출력이 x나 z에 의존하지 않아서
x방향으로 움직이면
이렇게요
벡터가 변하지 않습니다
z방향으로 위아래로
움직여도 그대로고요
y방향으로만 바뀝니다
출력이 어떻게 입력에 의존하는지
알 수 있겠죠
무언가 다른 걸 해 보죠
모든 세 성분이
입력에 의존하는데
항등함수로
입력 (x, y, z)에서
출력 (x, y, z)입니다
의미를 한번 생각해 봅시다
점이 하나 있으면
출력 벡터는
어떤 모양으로 나올까요?
점에는 x성분과 y성분과
z성분이 있겠죠
(x, y, z)에 대응하는 벡터는
원점에서 그 점으로 그은 벡터가 될 겁니다
직접 그렇게

English: 
from the origin to the point itself.
And because of how we do vector fields,
you move this so that instead
of stemming from the origin,
it actually stems from the point.
But the main thing to take away from here
is it's gonna point directly
away from the origin.
And the farther away the point is,
the longer this vector will be.
So with that, let's take a look
at the vector field itself.
Here we go.
So again, you kind of
lie when you draw these.
Like the vectors, these red
guys that are out at the end,
they should be really long
'cause this vector should
be as long as that point is
away from the origin.
But to give a cleaner vector field,
you scale things down,
and notice the blue ones
that are close to the center here,
are actually really, really short guys.
And all of these are pointing
directly away from the origin.
And this is one of those vector fields
that is actually pretty,
a good one to have a strong intuition of
'cause it comes up now and then,
thinking about what the
identity function looks like
as a vector field itself.

Bulgarian: 
от координатното начало до самата точка.
И заради начина, по който показваме векторни полета,
местим вектора, така че вместо да започва от началото на координатната система,
започва от точката.
Но най-важното, което трябва да извлечем от това, е,
че посоката е зададена още от координатното начало.
И колкото е по-далече точката,
толкова по-дълъг ще бъде векторът.
Имайки предвид това, нека разгледаме отново векторното поле.
Ето.
Отново напомням, че леко се залъгваме, когато рисуваме това.
Също както векторите, тези червените, които са накрая,
трябва да са доста дълги,
защото този вектор трябва да е с дължината на разстоянието до точката
от самото координатно начало.
За да покажем изчистено векторно поле,
мащабираме и гледаме сините,
които са близко до центъра тук
и всъщност са много, много къси.
И всички са насочени от координатното начало.
Този тип векторно поле е добър пример и е добре да го запомним, защото се появява често
и ни кара да се замисляме как би изглеждала функцията, която го определя като векторно поле.

Korean: 
그렸습니다
벡터장을 다루듯이
원점이 아닌 그 점에서
뻗도록 해 보죠
여기서 중요한 건
원점에서 멀어진다는 것입니다
그리고 점이 멀리 있을수록
벡터도 길어지겠죠
벡터장 전체를 한번 나타내 봅시다
이렇게요
여기서도 사실대로 그리진 않습니다
끝 쪽에 있는 이것들은
원래 아주 길죠
벡터의 길이가 원점에서 그 점까지
거리랑 같으니까요
더 깔끔한 모양을 얻으려고
줄이다 보니
중심에 가까운 푸른 점은
아주 짧아지게 됩니다
그리고 모든 벡터는 원점에서 뻗어나가죠
이것은 알아 두면 좋은
벡터장 중에
하나입니다
종종 상수함수를
벡터장으로 나타낸 예는
자주 나오니까요

Bulgarian: 
В следващото видео ще разгледаме друг пример,
който е по-сложен от този
и ще създаде по-добра представа
за зависимостта на функцията от х, у и z.

English: 
In the next video, I'll
talk through another example
that's a little bit more
complicated than this
and can hopefully give
an even stronger feel
for how the output can
depend on x, y, and z.

Korean: 
다음 영상에서는
이것보다는 조금 복잡한 예로
출력이 x, y, z에 어떻게 의존하는지
알아보는 더 많은 예를 소개하죠
