
English: 
- [Instructor] So, as far as
simple harmonic oscillators go,
masses on springs are
the most common example,
but the next most common
example is the pendulum.
So, that's what I wanna talk to you about
in this video.
And a pendulum is just a mass, m,
connected to a string of some length, L,
that you can then pull
back a certain amount
and then you let it swing back and forth.
So, this is gonna swing
forward and then backward,
and then forward and backward.
It oscillates just like a
simple harmonic oscillator
and so that's why we study it
when we study simple harmonic oscillators.
And technically speaking, I should say
that this is actually a simple pendulum
because this is simply a
mass connected to a string.
It's not complicated.
You could have more complicated examples.
Let's say you connect another string,
with another mass down here.
This gets really complicated.
In fact, it gets, what
physicists call chaotic,
which is kind of cool.
If you've never seen it,
look up double pendulum,
it's pretty sweet.

Bulgarian: 
Тежестите, окачени на пружина, са най-често срещаният пример
за прости хармонични осцилатори.
Следващият най-често срещан
пример е махалото.
За това искам да говоря
в това видео.
Едно махало е просто тяло, 
с маса m,
свързано с нишка с дължина, L,
което можеш да дръпнеш 
на определено разстояние
и после да го пуснеш да се люлее.
То ще се люлее
напред и назад,
То трепти точно като
прост хармоничен осцилатор
и затова го изучаваме,
когато учим за
прости хармонични осцилатори.
Технически казано,
това всъщност е просто махало,
понеже това е просто тяло с дадена маса,
свързано с една нишка.
Не е сложно.
Може да имаш
по-сложни примери.
Да кажем,
че свържеш друга нишка
с друга маса тук долу.
Това става много сложно.
Но е готино.
И ако не знаеш за това,
потърси двойно махало,
доста е интересно.
Но е много сложно
да го опишем математически.

Korean: 
단진동자의 가장 대표적인 예시는
스프링에 달린 물체입니다
단진동자의 가장 대표적인 예시는
스프링에 달린 물체입니다
그 다음으론 진자가 있습니다
이번 영상에서 설명할
주제이죠
이번 영상에서 설명할
주제이죠
진자는 그냥 물체 (질량 m)이
어느 길이 L을 가진 실에
연결된 형태입니다
일정량 당긴다음 앞뒤로
진동하는 거죠
일정량 당긴다음 앞뒤로
진동하는 거죠
이처럼 앞뒤로 진동할
겁니다
이처럼 앞뒤로 진동할
겁니다
단진동자처럼 진동하는거죠
단진동자처럼 진동하는거죠
따라서 단진동자를 배울때
항상 같이 배웁니다
정확히 말하자면 단진자라고
부릅니다
정확히 말하자면 단진자라고
부릅니다
간단하게 물체가 줄에
연결될 형태이기 때문이죠
간단하게 물체가 줄에
연결될 형태이기 때문이죠
좀더 복잡한 예시들을
들 수 있습니다
줄과 물체를 한세트
더 붙일수도 있죠
줄과 물체를 한세트
더 붙일수도 있죠
굉장히 복잡해집니다
혼돈 상태 혹은 카오스라고
물리학자들을 부릅니다
좀 멋진 표현이긴 하죠
본적이 없다면 더블 진자를
검색해 보시길 바랍니다
꽤나 멋져요

Bulgarian: 
Затова няма да се
занимаваме с него.
Имаме да изучаваме
достатъчно неща,
когато изучаваме
простите махала.
Можем да научим доста
за движението,
просто като разгледаме
този случай.
Какво имаме предвид под това,
че махалото
е прост хармоничен осцилатор?
Имаме предвид,
че има еластична сила,
пропорционална на отклонението,
и имаме предвид,
че неговото движение
може да бъде описано от уравнението
за прост хармоничен осцилатор.
Ако помниш, това беше
описано от уравнение,
което изглеждаше ето така –
някаква променлива х
е функция на времето
и е равна на някаква амплитуда
по косинус или синус,
просто ще запиша косинус,
от 2π,
делено на периода по времето
и, ако искаш, можеш да
добавиш константа на фазата.
Няма да я запиша,
понеже обикновено можеш
и да не я използваш.
Това е уравнението за
прост хармоничен осцилатор.
Как ще приложа това уравнение
към случая с махалото?
Ами, няма да използвам х.
Далеч по-полезният и
по-често срещан пример
за използване на променлива
за описване на едно махало

English: 
But really complicated to
describe mathematically.
So, we're not gonna bother with that.
We've got enough things to study
by just studying simple pendulums.
We can learn a lot about the motion
just by looking at this case.
So, what do we mean that the pendulum
is a simple harmonic oscillator?
Well, we mean that
there's a restoring force
proportional to the displacement
and we mean that its motion
can be described by the simple
harmonic oscillator equation.
So, if you remember that
was described by an equation
that looked like this, X,
some variable X is a function of time
was equal to some amplitude
times cosine or sine,
I'm just gonna write cosine, of two pi
divided by the period, times the time
and you can if you want
add a phase constant.
I'm not gonna write it
'cause usually you can
get away with not using that one.
So, this is the simple
harmonic oscillator equation.
So, how would I apply this equation
to this case of a pendulum?
Well, I wouldn't use X.
The far more useful and common example
of using a variable to describe a pendulum

Korean: 
하지만 수학적으로 표현하기
어렵습니다
따라서 이번에는 배우지
않겠습니다
이미 공부할 내용은 넘칩니다
단진동자만 봐도 말이죠
단진동자로 진자의 운동에
대해 많이 공부할 수 있습니다
단진동자로 진자의 운동에
대해 많이 공부할 수 있습니다
그럼 진자가 단진동자라는 건
무슨 뜻일까요?
그럼 진자가 단진동자라는 건
무슨 뜻일까요?
변위에 비례하는 복원력이
있다는 거겠죠
변위에 비례하는 복원력이
있다는 거겠죠
그말은 움직임이 단진동자
공식으로 표현될 수 있다는 겁니다
그말은 움직임이 단진동자
공식으로 표현될 수 있다는 겁니다
기억 나실지 모르겠지만
이 X라는 공식이 있었죠
기억 나실지 모르겠지만
이 X라는 공식이 있었죠
X의 변수는 시간(t)이 있었고
진폭을 cos혹은 sin과
곱한 형태였죠
cos(2π/T*t)라고
표현됩니다
cos(2π/T*t)라고
표현됩니다
그리고 평행이동 시켜도
되지만 굳이 그러진 않겠습니다
그리고 평행이동 시켜도
되지만 굳이 그러진 않겠습니다
그리고 평행이동 시켜도
되지만 굳이 그러진 않겠습니다
이것이 단진동자의 공식이죠
이 공식을 어떻게 진자에
사용할 수 있을까요?
이 공식을 어떻게 진자에
사용할 수 있을까요?
이 X 대신 훨씬
유용하고 보편적인 공식이 있죠
이 X 대신 훨씬
유용하고 보편적인 공식이 있죠
바로 진자가 있는 각도를
이용하는 방법입니다

Bulgarian: 
е ъгълът, под който е махалото.
Вземи предвид факта,
че тази маса
ще е под различни ъгли
в различни моменти във времето.
Започва ето тук,
може би е 30 градуса,
и после се люлее и е само на 20 градуса
и после на 10,
и после на 0,
понеже измерваме ъглите
от централната права.
И после се люлее през –
може би е при -10,
-20, -30
и после целият
този процес се повтаря.
Вместо да използваме х,
ще използваме тита.
Това ще е ъгъл
като функция на времето.
Ще запиша – тита,
като функция на времето,
ще е равна на
някаква амплитуда, но отново –
тъй като измервам тита,
амплитудата ми няма да е
разстояние в х
или отместване в х,
това няма да е максималното
нормално отместване,
това тук ще е максималното
ъглово отместване
от точката равновесие.
Тази права тук
ще е равновесието,
понеже ако поставиш масата тук
и я оставиш да си стои,
тя просто ще продължи
да си стои тук,
защото резултантната (сумарната) сила 
върху тялото е нула.
Когато отместиш тялото
от тази позиция на равновесие,
тя ще има ли
еластична сила?

Korean: 
바로 진자가 있는 각도를
이용하는 방법입니다
이 물체가 다른 시간에
다른 각을 이루고 있겠죠
이 물체가 다른 시간에
다른 각을 이루고 있겠죠
이 물체가 다른 시간에
다른 각을 이루고 있겠죠
이곳 즉 30°를 이루고
20° 10°등을 이루며 움직입니다
이곳 즉 30°를 이루고
20° 10°등을 이루며 움직입니다
가운데를 기점으로 각을
재기 때문에 0°가 됩니다
가운데를 기점으로 각을
재기 때문에 0°가 됩니다
이번에는 -10° -20°
그리고 -30°만큼 이동하죠
이번에는 -10° -20°
그리고 -30°만큼 이동하죠
그리곤 이 과정이 반복됩니다
X대신 세타 θ를
사용하겠습니다
시간에 대한 함수가 되겠죠
시간에 대한 함수가 되겠죠
진폭을 곱해야 겠지만
θ에 대한 값이 나옴으로
진폭을 곱해야 겠지만
θ에 대한 값이 나옴으로
진폭은 거리로 표현되지
않습니다
진폭은 거리로 표현되지
않습니다
최대 진폭이 아니라
최대 각을 곱하는 겁니다
최대 진폭이 아니라
최대 각을 곱하는 겁니다
이 평형점으로 부터
말입니다
바로 이 선이죠
여기다 물체를 두면
정지해 있을 것이기 때문이죠
여기다 물체를 두면
정지해 있을 것이기 때문이죠
알짜힘이 0이기 때문입니다
이 평형점에 두면 그렇습니다
이 평형점에 두면 그렇습니다
복원력은 없죠

English: 
is the angle that the pendulum is at.
So, consider the fact that this mass
is gonna be at different angles
at different moments in time.
So, it starts over here,
maybe it's at like, 30 degrees
and it swings it's only
at like 20 and then 10
and then zero 'cause
we're measuring angles
from the center line.
And then it swings through,
maybe it's at negative 10,
negative 20, negative 30
and then this whole process repeats.
So, instead of using X,
we're gonna use theta.
So, this is gonna be an
angle as a function of time.
So, I'll write theta as a function of time
is gonna equal some amplitude, but again,
since I'm measuring theta,
my amplitude is not going
to be a distance in X,
or a displacement in X,
this is gonna be not the
maximum regular displacement,
it's gonna be the maximum
angular displacement
from equilibrium right here.
This line here would be equilibrium
'cause if you put the mass there
and let it sit it would
just continue to sit there,
there'd be no net force on it.
Only when you displace the mass
from this equilibrium position
does it have a restoring force.

English: 
So, this would be the maximum,
I'll just call it theta maximum,
'cause this is the maximum
angular displacement
when you pull this back,
the maximum angle you pull
it to, whatever that it.
Maybe it's 30 degrees, maybe it's 20,
that would be the angle
that I plug in here.
And then we'll multiply by cosine
and it will have the
same argument in here.
Two pi over whatever the period is,
and the period is the time it takes
for this pendulum to reset
or to complete a whole cycle
and we always have to multiply by T,
that's our variable,
that's what makes this a function,
it's a function of time.
Alright, so I gotta come
clean about something now.
Technically speaking, the simple pendulum
is not a perfect simple
harmonic oscillator,
it's only extremely close to being
a simple harmonic oscillator.
In fact, for small angles,
this will only be off
by very small amounts,
like less than a per cent.
So, because of that, we often treat
a simple pendulum as a
simple harmonic oscillator,
but technically speaking it only works

Bulgarian: 
Това ще е максимумът,
просто ще го нарека
тита максимум,
понеже това е максималното 
ъглово отместване,
когато дръпнеш това назад –
максималният ъгъл, за който го дърпаш,
какъвто и да е той.
Може би е 30 градуса,
може би е 20 градуса –
това ще е ъгълът,
който ще въведа тук.
И после ще умножим по косинус
и той ще има
същия аргумент тук.
2π върху какъвто е периодът,
а периодът е времето,
което е нужно на това махало,
за да се нулира,
или да завърши един цял цикъл,
и винаги трябва да умножим по t,
това е нашата променлива,
именно тя прави това функция –
това е функция на времето.
Сега трябва да призная нещо.
Технически казано,
простото махало
не е перфектен прост
хармоничен осцилатор,
а само е много близо до това да бъде
прост хармоничен осцилатор.
Всъщност за малки ъгли 
несъвпадението ще бъде малко,
например по-малко от 1 процент.
Поради това, често третираме
едно просто махало
като прост хармоничен осцилатор,

Korean: 
어쨌든 최대 각을 씁니다
θmax라고 부르겠습니다
최대로 이루는 각이기 때문이죠
이 물체를 최대 위치로 당긴다고
합시다 30° 혹은 20°일 수 있겠죠
이 물체를 최대 위치로 당긴다고
합시다 30° 혹은 20°일 수 있겠죠
이 물체를 최대 위치로 당긴다고
합시다 30° 혹은 20°일 수 있겠죠
그 값을 넣는겁니다
그다음에는 cos을 곱하겠죠
cos 안에는 2π/T
T는 진자의 주기입니다
cos 안에는 2π/T
T는 진자의 주기입니다
cos 안에는 2π/T
T는 진자의 주기입니다
그리고 T로 곱해야
합니다
그리고 T로 곱해야
합니다
T는 변수이고 때문에 식이
함수라는 걸 알 수 있죠
T는 변수이고 때문에 식이
함수라는 걸 알 수 있죠
시간에 대한 함수인 겁니다
좀 확실히 해야할게 있습니다
정확히 따지자면 단진자는
단진동자라고 할 수 없습니다
정확히 따지자면 단진자는
단진동자라고 할 수 없습니다
굉장히 비슷할 뿐이죠
굉장히 비슷할 뿐이죠
적은 각도에 한에서는
오차가 매우 작습니다
1% 이하로요
때문에 단진자를 단진동자와
같다고 보통 봅니다
때문에 단진자를 단진동자와
같다고 보통 봅니다
하지만 대략 20°이내에서만
거의 동일시 할 수 있습니다

Korean: 
하지만 대략 20°이내에서만
거의 동일시 할 수 있습니다
하지만 대략 20°이내에서만
거의 동일시 할 수 있습니다
각이 좀더 커질 수록
오차는 커집니다
각이 좀더 커질 수록
오차는 커집니다
물론 오차가 엄청나진
않습니다
대략 20%정도
이하입니다
하지만 각이 작을때만
거의 같습니다
하지만 각이 작을때만
거의 같습니다
대략 20° 내에서 움직이는
진자는 이 단진동자 공식으로
대략 20° 내에서 움직이는
진자는 이 단진동자 공식으로
대략 20° 내에서 움직이는
진자는 이 단진동자 공식으로
잘 표현되는 겁니다
잘 표현되는 겁니다
일단 이 각은 그만큼
작다고 봅시다
일단 이 각은 그만큼
작다고 봅시다
일단 이 각은 그만큼
작다고 봅시다
이제 한번 볼까요
한가지 질문을 던지자면
이 진자의 주기는 어느
요소에 영향을 받을까?
이 주기를 보자면
이 주기를 바꾸러면
무얼 바꾸면 될까요?
다시말해 무엇에 영향을
받을까요?
첫번째로 질량을 확인해보죠
만약 물체의 질량을
증가시킨다면 어떻게 될까요?
만약 물체의 질량을
증가시킨다면 어떻게 될까요?
만약 물체의 질량을
증가시킨다면 어떻게 될까요?
주기가 증가할까요 혹은
그대로 일까요?

English: 
really well if you're less
than say a certain amount, say 20 degrees.
As you get to larger maximum amplitudes,
this is gonna deviate more and more.
It'll still be reasonably close,
maybe within like 20 per cent,
but only for small angles
is it extremely close.
But if you are at small angles.
So, if you're considering a
pendulum that has small angles.
Like, maybe this is
only 20 degrees or less,
that pendulum would be
described really well
by this equation because
it would be extremely close
to being a simple harmonic oscillator.
Alright, so let's assume we're in
that small angle approximation
where this amplitude is small.
What can we say?
Well, one question we can ask
is what's the period of this
pendulum gonna depend on?
Right, this period here,
what could we change that
would change this period here?
So, what might this depend on?
My first guess might be,
well, maybe it's the mass.
So, let's think about this.
If we increased the mass on this pendulum,
do you think that would
increase the period
or decrease the period
or leave it the same?

Bulgarian: 
но технически казано,
това работи добре, само ако
отклонението е по-малко от, да кажем,
 20 градуса.
Когато стигнеш до по-големи
максимални амплитуди,
това ще се различава
все повече и повече.
Все още ще е
сравнително близко,
може би с около
20 процента,
но е много близко само за
малки ъгли.
Ако работиш с махало, 
отклонено на малък ъгъл,
например 20 градуса или по-малко,
това махало ще бъде описано
доста добре от това уравнение,
понеже ще е
много близко до това да е
прост хармоничен осцилатор.
Нека приемем,
че сме на приблизително
такива малки ъгли,
където тази амплитуда
е малка.
Какво можем да кажем?
Един въпрос,
който можем да зададем, е
от какво ще зависи
периодът на това махало.
Този период тук –
какво можем да променим,
което ще промени този период тук?
От какво може
да зависи това?
Първото ми предположение може да е,
че може би зависи от масата.
Нека помислим за това.
Ако увеличим масата
на това махало,
мислиш ли, че това
ще увеличи периода
или ще намали периода,
или няма да го промени?

Korean: 
어떤 관점에선 질량이
늘면 관성이 늘기때문에
어떤 관점에선 질량이
늘면 관성이 늘기때문에
어떤 관점에선 질량이
늘면 관성이 늘기때문에
움직이기 더 어려워진다고
생각합니다
질량이 증가하면 가속시키기
더 어려워지죠
질량이 증가하면 가속시키기
더 어려워지죠
방향과 속도를 제어하기
어려워집니다
방향과 속도를 제어하기
어려워집니다
즉 주기가 완료되기 더
오래걸린다는 말입니다
반복되는 시간이 증가하고
주기가 증가한다는겁니다
반복되는 시간이 증가하고
주기가 증가한다는겁니다
하지만 다른 관점에서 보면
질량이 증가하면 중력이
따라 증가하죠
질량이 증가하면 중력이
따라 증가하죠
물체를 더 강한 힘으로
잡아 당긴다는 겁니다
물체를 더 강한 힘으로
잡아 당긴다는 겁니다
또한 중력이 이 질량을
평형점으로 돌려놓는 복원력이죠
또한 중력이 이 질량을
평형점으로 돌려놓는 복원력이죠
또한 중력이 이 질량을
평형점으로 돌려놓는 복원력이죠
더 강하게 당긴다면 더 빠르게
움직임으로
더 강하게 당긴다면 더 빠르게
움직임으로
더 강하게 당긴다면 더 빠르게
움직임으로
주기를 더 빨리 끝낸다는
생각도 있습니다
주기를 더 빨리 끝낸다는
생각도 있습니다
시간이 적게 걸리니
주기도 줄어드는 거죠
시간이 적게 걸리니
주기도 줄어드는 거죠

Bulgarian: 
Някои хора може да кажат:
"Мисля, че едно увеличение в масата
ще увеличи
инертността на тази система.
Да, това ще се
движи по-трудно.
Когато масата на нещо
се увеличи,
това нещо по-трудно
се ускорява,
по-трудно се движи
и е по-трудно да
промениш посоката му.
Това означава, че трябва да е нужно
повече време за завършване на един цикъл.
Може би това означава,
че периодът трябва да се увеличи,
понеже времето ще се увеличи."
Но други хора може да кажат:
"Чакай малко,
ако увеличим масата,
това ще увеличи
гравитационната сила.
Сега гравитацията ще дърпа по-силно
тази маса надолу
и гравитацията е силата,
която ще възстанови
тази маса обратно
до равновесие."
Гравитацията ще
дърпа надолу
и ако дърпа надолу
с по-голяма сила,
може да помислиш,
че тази маса ще се люлее
с по-голяма скорост, 
а ако има по-голяма скорост,
ще завърши този цикъл
за по-малко време,
понеже се движи по-бързо.
А щом като е нужно
по-малко време,
може да помислиш,
че периодът намалява,

English: 
Some people might say, well,
I think an increase in mass would increase
the inertia of this system.
Right, it's gonna be harder to move.
When the mass of something goes up,
it's more sluggish to accelerations,
it's more difficult to move around
and change its direction.
That means it should take
longer to complete a cycle.
Maybe that means that the
period should increase
because the time would increase.
But other people might say, wait a minute,
if we increase the mass,
that would increase the
gravitational force.
Right, gravity's going to be pulling down
harder now on this mass,
and gravity is the force
that's gonna be restoring
this mass back to equilibrium.
Gravity's gonna be pulling down
and if it pulls down with a greater force,
you might think this mass is gonna swing
with a greater speed and if
it's got a greater speed,
it'll complete this cycle in less time
because it's moving faster,
and since it takes less time,
you might think that the period goes down,

English: 
but these two effects exactly cancel.
So, the fact that the mass
is gonna have more inertia,
with greater mass, that
means it's harder to move,
and the force is gonna increase
due to the force of
gravity getting larger.
Those offset perfectly and this mass
will not affect the period.
So, it turns out, it's kinda weird,
changing the mass on here
does not affect the period
at which this swings back and forth.
So, imagine this.
So, if you go get on a swing at the park,
and you swing back and forth,
and then a little kid, tiny kid,
five year old comes on
and swings back and forth,
they should have the same
period of motion as you do
because the mass at the end here
does not affect the period.
So, that's a little weird but it's true
and you should keep that in mind.
Mass does not affect the period.
So, what does affect the period?
Well, I'm just gonna write
the formula down for you.
I'm not gonna derive this.
The derivation requires calculus.
It's an awesome derivation.
If you know calculus, you
should go check it out.
But just in case you
haven't seen calculus,
I'm just gonna write this down,

Bulgarian: 
но тези два ефекта
се неутрализират напълно.
Фактът, че тялото с по-голяма маса 
ще има по-голяма инертност,
означава, че е
по-трудно да се движи,
и силата ще се увеличи,
поради увеличаването на
силата на гравитацията.
Тези се неутрализират напълно
и тази маса няма
да засегне периода.
Оказва се – това е странно –
че промяната в масата тук
не засяга периода,
през който това нещо
се люлее напред-назад.
Представи си това.
Ако се качиш на
една люлка в парка
и се люлееш назад-напред,
а после едно малко дете,
5-годишно,
се качи и се люлее
назад-напред,
то трябва да има същия период
на движение като теб,
понеже масата в края тук
не засяга периода.
Това е малко странно,
но е вярно
и трябва да помниш това.
Масата не засяга периода.
А какво засяга периода?
Просто ще запиша формулата.
Няма да я извеждам.
Извличането изисква
висша математика.
Ако знаеш висша математика, 
трябва да го погледнеш.
Но просто в случай,
че не разбираш висша математика,
просто ще запиша това,

Korean: 
하지만 이 두 의견은
상쇄됩니다
질량이 늘어 관성이 늘면
움직이기 더 어렵죠
질량이 늘어 관성이 늘면
움직이기 더 어렵죠
하지만 중력도 증가합니다
하지만 중력도 증가합니다
둘은 정확하게 상쇄되고
질량은 주기에 영향이 없게됩니다
둘은 정확하게 상쇄되고
질량은 주기에 영향이 없게됩니다
좀 이상하게
느낄수 있긴 합니다
질량을 바꾼다고 주기가
변화되지는 않습니다
질량을 바꾼다고 주기가
변화되지는 않습니다
상상해보죠
공원에 그네를 타고
앞뒤로 흔들거린다고 하죠
공원에 그네를 타고
앞뒤로 흔들거린다고 하죠
5살 짜리 작은 아이가 와서
같이 그네를 탄다고 합시다
5살 짜리 작은 아이가 와서
같이 그네를 탄다고 합시다
그 아이는 당신과 같은
운동 주기를 가질겁니다
그 아이는 당신과 같은
운동 주기를 가질겁니다
질량은 주기에 영향이
없기 때문이죠
좀 찝찝하지만 사실입니다
잘 기억해두세요
질량은 주기와 무관합니다
그렇다면 대체 무엇이
주기에 영향을 줄까요?
공식을 그냥 적어보겠습니다
유도는 안하겠습니다
미적분을 필요로하기 때문에요
유도는 안하겠습니다
미적분을 필요로하기 때문에요
멋진 유도 과정임으로
관심 있으시다면 찾아보시길 바랍니다
멋진 유도 과정임으로
관심 있으시다면 찾아보시길 바랍니다
하지만 미적분을 모른다고
가정하여 그냥 적도록 하죠
하지만 미적분을 모른다고
가정하여 그냥 적도록 하죠

Bulgarian: 
ще те преведа
през това уравнение.
Ще ти покажа защо е логично
и се надявам,
че ще видиш логиката
защо променливите тук са такива
каквито са.
Първата променлива е L.
L отива отгоре,
дължината на нишката.
А после ускорението
поради гравитацията,
малко g, отива отдолу.
Защо това е формулата?
2π е просто константа,
получаваш квадратен корен.
L е отгоре, това означава,
че ако увеличиш дължината на нишката
ще получиш по-голям период.
Увеличаването на дължината
трябва да увеличи периода.
Защо е това?
Помисли за това.
Една маса на нишка,
която се върти назад-напред,
ако има въртене,
една величина, за която е полезно да помислим,
е инерчният момент.
Инерчният момент на това тяло с тази маса, 
окачено на нишка
ще е равен на – 
това е материална точка,
която се върти около ос,
оста на въртене
е тази точка тук.
И една материална точка с маса m, 
която се върти около постоянна ос,
има инерчен момент mr^2.
Но това r е разстоянието
от оста до масата,

Korean: 
공식을 간단히 소개하죠
직관적으로 이해할수 있도록
설명하겠습니다
직관적으로 이해할수 있도록
설명하겠습니다
이러한 변수들이
있는 이유를요
첫번째 변수는 L입니다
L은 줄의 길이입니다
중력 가속도 g는 분모에 있습니다
L은 줄의 길이입니다
중력 가속도 g는 분모에 있습니다
L은 줄의 길이입니다
중력 가속도 g는 분모에 있습니다
왜 이런 모양일까요?
2π는 그냥 상수고 루트
속에 L/g가 있죠
L이 분자에 있고 줄의
길이가 늘어난다면
주기도 늘어나는 것을 알 수
있습니다
주기도 늘어나는 것을 알 수
있습니다
왜그럴까요?
생각해보세요
줄에 달린 질량이
앞뒤로 움직입니다
회전이 있다면 회전관성을
생각해 볼 수 있겠죠
회전이 있다면 회전관성을
생각해 볼 수 있겠죠
줄에 달린 물체의 회전관성은
줄에 달린 물체의 회전관성은
줄에 달린 물체의 회전관성은
우선 회전축은 여기이고
물체는 이를 중심으로 회전하죠
우선 회전축은 여기이고
물체는 이를 중심으로 회전하죠
이때 회전관성은 mr²입니다
이때 회전관성은 mr²입니다
r은 회전축에서부터의 거리죠
즉 mL²으로 표현될 수 있습니다

English: 
give you a little tour of this equation.
Show you why it should make sense
and hopefully give you a little intuition
about why the variables
are in here that they are.
So, the first variable is L.
L goes on top, the length of the string,
and then the acceleration due to gravity,
little g goes on the bottom.
So, why is this the formula?
Well, the two pi is just a
constant, you get a square root.
L is on top, that means
if you increase the length
of the string, you're
gonna get a greater period.
So, increasing the length
should increase the period.
Why is that?
Well, think about this.
A mass on a string
rotating back and forth,
if there's rotation, a
quantity that's useful
to think about is the moment of inertia.
So, the moment of inertia
of this mass on a string
would be equal to, this is a point mass,
rotating about an axis,
so the axis of rotation
is this point right here.
And a point mass rotating around an axis
is just given by mr squared.
That would be the moment of inertia.
But this r is the distance
from the axis to the mass,

Bulgarian: 
така че това е просто mL^2.
Това е инерчният момент.
Погледни, ако увеличим
дължината,
увеличаваме инерчния момент.
По-голямо L ни дава 
по-голям инерчен момент.
Какво означава това?
Инерчният момент е мярка
за това колко е трудно
ъглово да ускориш нещо.
Това е мярка за това колко
трудно ще е
ъгловата скорост на тази маса
да бъде променена.
По-голям инерчен момент означава,
че ще е по-трудно
да вземеш тази маса
и да я въртиш назад-напред,
и да промениш посоката ѝ.
Тъй като е по-трудно
да придвижим тази маса,
ще е нужно по-дълго време,
за да я движим напред-назад.
Затова по-голяма дължина
означава по-голям инерчен момент,
а по-голям инерчен момент означава,
че е нужно по-дълго време
за придвижване на това нещо –
ето защо периодът става по-голям.
Някои хора може да възразят.
Ако използваш ума си,
може да кажеш:
"Чакай малко,
ако тази дължина се увеличи,
нещото, което кара това да ускори ъглово,
е въртящият момент,
а аз знам формулата
за въртящ момент.

English: 
so this is just mL squared.
This is the moment of inertia.
And look it, if we increase the length,
we increase the moment of inertia.
So, bigger L gives us
bigger moment of inertia.
What does that mean?
Moment of inertia is a
measure of how difficult it is
to angularly accelerate something.
So, it's a measure of how sluggish
this mass is gonna be to
changes in its angular velocity.
So, bigger moment of inertia
means it's gonna be
harder to take this mass
and whip it around back and forth
and change its direction.
So, since it's harder to
move this mass around,
it's gonna take longer to
move it back and forth,
that's why bigger length
means bigger moment of inertia
and bigger moment of
inertia means it takes
longer to move this thing back and forth,
that's why the period gets bigger.
Now, some people out there might object.
If you're really clever, you might say,
wait a minute, if this length increases,
the thing causing this
to angularly accelerate
is the torque, and I know
the formula for torque.

Korean: 
r은 회전축에서부터의 거리죠
즉 mL²으로 표현될 수 있습니다
회전 관성인거죠
보시면 실의 길이가 늘면
회전관성도 늘게됩니다
보시면 실의 길이가 늘면
회전관성도 늘게됩니다
L이 늘면 회전관성이
커집니다
무슨 뜻이냐고요?
회전관성은 무언가를 각지게
가속시키는데 어려운 정도를 표현합니다
회전관성은 무언가를 각지게
가속시키는데 어려운 정도를 표현합니다
각속도가 바뀌는데 어려운
정도를 표현해놓은 거죠
각속도가 바뀌는데 어려운
정도를 표현해놓은 거죠
회전관성이 클수록
앞뒤로 흔들기 어려운거죠
회전관성이 클수록
앞뒤로 흔들기 어려운거죠
회전관성이 클수록
앞뒤로 흔들기 어려운거죠
회전관성이 클수록
앞뒤로 흔들기 어려운거죠
이 물체를 움직이기 어려우니까
앞뒤로 이동하는데도 오래걸립니다
이 물체를 움직이기 어려우니까
앞뒤로 이동하는데도 오래걸립니다
실이 길면 회전관성이 크다는
겁니다
회전관성이 크다면 앞뒤로
옮기는데도 오래걸린다는 겁니다
회전관성이 크다면 앞뒤로
옮기는데도 오래걸린다는 겁니다
주기가 커지는 이유입니다
좀 스마트한 분들은 이의를
제기할 수도 있습니다
좀 스마트한 분들은 이의를
제기할 수도 있습니다
길이가 늘어나면
이 물체를 가속시키는 원인인
토크도 증가합니다
이 물체를 가속시키는 원인인
토크도 증가합니다

Korean: 
토크의 공식은 rFsinθ
입니다
토크의 공식은 rFsinθ
입니다
r은 회전축으로 부터의
거리이죠
힘이 가하지는 거리까지 말입니다
중력이 토크를 만드니
여기서 r은 L과 같습니다
회전축으로부터 중력이
가해지는 부분까지의 거리이죠
LFsinθ가 되는겁니다
보시면 실의 길이가 증가하니
토크도 증가합니다
보시면 실의 길이가 증가하니
토크도 증가합니다
토크가 늘어났지만
관성도 늘어나 움직이기 어려워지죠
토크가 늘어났지만
관성도 늘어나 움직이기 어려워지죠
토크가 늘어났지만
관성도 늘어나 움직이기 어려워지죠
이 둘은 과연 상쇄될까요?
그렇지 않습니다
보시면 토크는 L만큼에
비례하는 반면
보시면 토크는 L만큼에
비례하는 반면
보시면 토크는 L만큼에
비례하는 반면
회전관성은 L의 제곱에
비례합니다
즉 길이가 두배가 되면
회전관성은 4배가 되는 반면
회전관성은 4배가 되는 반면
토크는 2배만 증가하는 겁니다
즉 주기는 결국 늘어나는 겁니다

English: 
The formula for torque looks like this.
Torque is rf sine theta.
And r is the distance from the axis
to the point where the force is applied.
So since gravity's supplying the torque,
that r would also be this L.
It'd go from the axis to the
point where gravity's applied,
so I'd have L times the force
of gravity times sine theta.
So, you might say, look,
if the length increases,
so would the amount of torque.
So, I've got more torque trying to make
this thing move around,
I've also got more inertia,
so it's harder to move around.
Do those offset like so many
of these other things offset?
They don't.
Look it, this torque will increase
but it only increases with L,
it's only proportional to L.
This moment of inertia's
proportional to L squared.
So, if you double the length,
you've quadrupled how
difficult it is to move
this mass around but you've only doubled
the ability of this
torque to move it around.
That's means it's gonna take longer

Bulgarian: 
Формулата за въртящ момент
изглежда ето така.
Въртящият момент е
rf по синус от тита.
И r е разстоянието
от оста
до точката, в която
е приложена силата.
Тъй като въртящият момент, в случая, 
се дължи гравитацията,
това r също ще е това L.
Ще премине от оста до точката,
в която е приложена гравитацията,
така че ще имам L по
силата на гравитацията по синус от тита."
Може да кажеш:
"Виж, ако дължината се увеличи,
стойността на въртящия момент 
също ще се увеличи.
Тоест ще имам по-голям въртящ момент,
който се опитва да задвижи това нещо,
имам също и повече инертност,
така че е по-трудно
да движим това нещо.
Неутрализират ли се тези, както много от
тези други неща се неутрализират?"
Не, не се.
Виж, този въртящ момент
ще се увеличи,
но ще се увеличи само с L,
пропорционално е само на L.
Този инерчен момент е 
пропорционален на L^2.
Ако удвоиш дължината
става четири пъти по-трудно
да движиш масата,
но единствено удвояваш
способността на
този въртящ момент
да движи масата.
Това означава,
че ще е нужно повече време

Bulgarian: 
за преминаване през
един цял цикъл
и този период ще се увеличи.
Този по-голям въртящ момент
няма да компенсира факта,
че е по-трудно да движим тази маса,
тъй като има повече инертност
при въртенето на тази маса.
Ето защо увеличаването
на дължината
увеличава периода.
Но защо увеличаването на g,
гравитационното ускорение,
намалява периода?
Помисли,
ако увелича
гравитационното ускорение,
отнасям това махало
на някаква планета,
която е изключително
плътна или масивна,
и дърпа надолу 
с голяма гравитационна сила...
По-голямо g означава
по-голяма гравитационна сила,
която дърпа тази маса надолу,
а това ми дава
по-голяма еластична сила.
По-голяма сила означава,
че това ще дърпа масата по-бързо,
ще има по-голямо ускорение,
а това означава, че големината на скоростта 
ще бъде по-голяма,
това ще се движи по-бързо
назад-напред.
А ако се движи по-бързо,
ще е нужно по-малко време
да завършим един цикъл.
Ето защо увеличаването
на гравитационното ускорение
увеличава силата
и намалява периода.
Ако си наясно с въртящия момент,

English: 
to go through a whole cycle
and that period is gonna increase.
This larger torque is not gonna compensate
for the fact that this
mass is harder to move
as there's more inertia to
the rotation of this mass.
Alright, so that's why
increasing the length,
increases the period.
But why does increasing g, the
gravitational acceleration,
decrease the period?
Well, think about it,
if I increase the
gravitational acceleration,
so I take this pendulum to some planet
that's extremely dense or massive
and it's pulling down with
a huge force of gravity.
So, bigger g means a
bigger force of gravity,
pulling downward on this mass,
that gives me a larger restoring force.
So, a larger force means it's gonna pull
this mass more quickly,
it's gonna have larger acceleration,
that means it's gonna have a larger speed,
it's gonna move back and forth faster,
and if it moves faster,
it takes less time to complete a cycle.
That's why increasing the
gravitational acceleration
increases the force and
it decreases the period.
Essentially, if you're cool with torque,

Korean: 
즉 주기는 결국 늘어나는 겁니다
즉 주기는 결국 늘어나는 겁니다
이 토크는 증가한 회전관성에
비해 조금 늘어나
이 토크는 증가한 회전관성에
비해 조금 늘어나
상쇄시켜 주지는 못합니다
바로 이것이 길이를 늘리면
주기가 늘어나는 이유였습니다
바로 이것이 길이를 늘리면
주기가 늘어나는 이유였습니다
그럼 g 중력가속도를 늘리면
왜 주기가 줄어들까요?
그럼 g 중력가속도를 늘리면
왜 주기가 줄어들까요?
생각해보죠
중력가속도가 늘어난다고
생각해봅시다
이 진자를 밀도가 높거나 혹은 엄청
큰 행성에 가져간다고 생각합시다
이 진자를 밀도가 높거나 혹은 엄청
큰 행성에 가져간다고 생각합시다
중력이 엄청 크겠죠
g가 크다는 것은 중력이
크고 아래로 강하게 당긴다는 겁니다
g가 크다는 것은 중력이
크고 아래로 강하게 당긴다는 겁니다
복원력이 매우 크겠죠
힘이 크다는 것은 물체를 더
빨리 당긴다는 겁니다
힘이 크다는 것은 물체를 더
빨리 당긴다는 겁니다
가속도가 더 크죠
속도가 더 클겁니다
앞뒤로 더 빨리 움직일겁니다
더 빨리 움직인다는 것은
주기가 빨리 끝나는거죠
더 빨리 움직인다는 것은
주기가 빨리 끝나는거죠
이것이 중력가속도가 크면 힘이
커지고 주기가 짧아지는 이유입니다
이것이 중력가속도가 크면 힘이
커지고 주기가 짧아지는 이유입니다
토크를 떠올려 볼까요

English: 
if you know about torque,
you increased the force
that increases the torque
which would increase
the angular acceleration
and it would take less time for this thing
to go back and forth,
that's why the period goes down
if you increase the
gravitational acceleration.
Now, if you're really clever,
you'll be like, wait a minute.
This is just like the formula
for the mass on a spring.
If you take the period
from a mass on a spring,
it was two pi, square root,
something over something,
and the term on top for
the mass on a spring
was the mass that was
connected to the spring,
and the term on the bottom,
was the spring constant.
And so you might say, wait,
this is the same idea.
Increasing the mass is just increasing
the inertia of that system.
That's why it's taking
longer to go through a cycle.
Just like over here.
Increasing the length is
increasing the inertia,
at least the rotational inertia,
the moment of inertia of that system,
so it takes longer to go through a cycle.

Bulgarian: 
ако знаеш за въртящия момент,
увеличаваш силата,
която увеличава въртящия момент,
което ще увеличи
ъгловото ускорение
и на това ще му е нужно по-малко време
да се движи назад-напред.
Затова периодът намалява,
ако увеличиш гравитационното ускорение.
Ако използваш ума си,
ще си кажеш:
"Чакай малко.
Това е точно като формулата
за масата на пружина.
Ако вземеш периода от
маса на пружина,
той беше 2π, корен квадратен,
нещо върху нещо,
и членът отгоре за
масата на пружина
беше масата, която беше
свързана с пружината,
а членът отдолу беше
константата на пружината."
Може да кажеш:
"Чакай, това е същата идея.
Увеличаването на масата
просто увеличава
инертността на тази система.
Ето защо е нужно по-дълго време
за преминаване през един цикъл.
Точно както тук.
Увеличаването на дължината
увеличава инертността,
поне инерчния момент на тази система,
така че е нужно повече време
за преминаване през един цикъл."

Korean: 
토크를 떠올려 볼까요
힘을 늘리면 토크가 늘고
각가속도가 증가했습니다
힘을 늘리면 토크가 늘고
각가속도가 증가했습니다
이 물체가 이동하는데 시간을
단축시켜주겠죠
이 물체가 이동하는데 시간을
단축시켜주겠죠
그래서 주기가 줄어드는 겁니다
중력가속도가 증가하면 말입니다
눈치가 빠르시다면
눈치가 빠르시다면
스프링에 달린 물체에서 사용한
공식과 동일한 것을 알겁니다
스프링에 달린 물체의 주기는
2π와 루트 속에 무언가
있었죠
분자에는 물체의 질량이고
분자에는 물체의 질량이고
분모에는 스프링 상수 k였습니다
공식이 참 닮아있죠?
물체의 질량이 늘어나면
관성이 늘어나는 겁니다
물체의 질량이 늘어나면
관성이 늘어나는 겁니다
한번 이동하는데 오래걸리는거죠
이 공식에서도 같습니다
한번 이동하는데 오래걸리는거죠
이 공식에서도 같습니다
길이를 늘리면 관성이 늘죠
적어도 회전관성 말입니다
길이를 늘리면 관성이 늘죠
적어도 회전관성 말입니다
이 시스템의 회전관성 말입니다
한 번 이동하는데 더 오래
걸리는 겁니다

Korean: 
또한 k값을 늘린다는 것은
작용하는 힘을 늘리는것이고
또한 k값을 늘린다는 것은
작용하는 힘을 늘리는것이고
힘이 늘면 가속도도 올라깁니다
힘이 늘면 가속도도 올라깁니다
속도가 늘면 이동하는데
시간이 적게 걸리죠
이것이 k가 분모에 있는
이유입니다 g 상수 처럼요
이것이 k가 분모에 있는
이유입니다 g 상수 처럼요
g가 늘면 힘도 늘고 가속도도
늘어납니다 즉 주기가 줄어드는 거죠
g가 늘면 힘도 늘고 가속도도
늘어납니다 즉 주기가 줄어드는 거죠
g가 늘면 힘도 늘고 가속도도
늘어납니다 즉 주기가 줄어드는 거죠
이러한 공식들은 매우 닮아
있습니다
완벽하게 비슷합니다
관성에 관한 것이 분자에
힘에 관한 것이 분모에 있죠
관성에 관한 것이 분자에
힘에 관한 것이 분모에 있죠
같은 논리로 주기에 영향을
주게 됩니다
무언가 알아차려야 할것은
진폭은 주기와는 상관이 없습니다
무언가 알아차려야 할것은
진폭은 주기와는 상관이 없습니다
진폭 즉 최대로 벌어지는
각이 진자의 주기에는
영향이 없을겁니다
진폭이 충분히 작으면 말이죠
이 물체는 작은 진폭에서만
진동한다고 가정 할겁니다
이 물체는 작은 진폭에서만
진동한다고 가정 할겁니다
이 물체는 작은 진폭에서만
진동한다고 가정 할겁니다

English: 
And you might say, increasing the k value,
that's increasing the force on the system,
and if you increase the
force on the system,
you make that system have
a larger acceleration,
greater speeds takes less
time to go through a period,
that's why this force
constant k for the spring
appears on the bottom, same as this g.
Increasing the g, increases
the force on the system
which gives you a larger acceleration,
greater speeds takes less
time to go through a period.
So, these formulas are very similar
and they're completely analogous.
There's an inertia term on top,
a force term on the bottom,
and they both affect the
period in the same way.
One more thing you should notice,
amplitude does not affect the
period of a mass on a spring,
and the amplitude, this theta maximum
will not affect the period
of a pendulum either,
as long as your amplitudes are small.
So, we've gotta assume we're
in this small amplitude region
where this mass on a string
is acting like a simple
harmonic oscillator.

Bulgarian: 
И може да кажеш:
"Увеличаването на стойността на k,
това е увеличаване на
силата върху системата
и ако увеличиш
силата върху системата,
системата ще има
по-голямо ускорение,
с по-големи скорости
и ще отнеме по-малко време
за преминаване през един период
Затова тази константа
на силата k за пружината
е отдолу,
точно както това g.
Увеличаването на g
увеличава силата върху системата,
което ти дава по-голямо ускорение, 
по-големи скорости –
ще е нужно по-малко време
за преминаване през един период."
Тези формули са много подобни
и са напълно аналогични.
Има инерчен член отгоре,
член за силата отдолу
и двете засягат периода
по същия начин.
Трябва да забележиш
още едно нещо –
амплитудата не влияе на периода
на масата на пружина.
И амплитудата,
това тита максимум,
също няма да засегне
периода на едно махало,
стига амплитудите да са малки.
Ще приемем, че сме в област 
с малка амплитуда,
при която тази маса на нишка
действа като
прост хармоничен осцилатор.

English: 
And if that's true for small angles,
the amplitude does not affect the period
of a pendulum just like
amplitude doesn't affect
the period of a mass on a spring.
Let me tell you about one last thing here.
This simple pendulum only acts
like a simple harmonic
oscillator for small angles.
And that means this period
formula for the pendulum
is only true for small angles.
But how small does the angle have to be?
So, to give you an idea,
let's say your theta maximum,
this amplitude for how far
back you pull this pendulum
to start it, is, let's
say, less than 20 degrees.
If you pull it back less than 20 degrees,
the amount that this
formula is gonna be off by
compared to the true
period of the pendulum,
is gonna be less than one per cent.
So, this formula gets you really close
to the true actual value of the pendulum.
I mean, it's really close to being
a simple harmonic oscillator here.
And let's say the theta maximum
was less than 40 degrees,
you're still only gonna be off
by less than three per cent.
So, the value you get from this equation

Bulgarian: 
И ако това е вярно,
за малки ъгли
амплитудата не влияе на
периода на едно махало,
точно както амплитудата
не влияе на
периода на една маса на нишка.
Нека ти кажа
едно последно нещо.
Това просто махало
действа като прост хармоничен осцилатор
само за малки ъгли.
И това означава, че тази формула
за периода на едно махало
е вярна само за малки ъгли.
Но колко малки
трябва да са ъглите?
За да ти дам представа,
да кажем тита максимум,
амплитудата за това колко назад
дърпаш това махало,
за да го задвижиш,
е, да кажем,
по-малко от 20 градуса.
Ако го дръпнеш назад
с по-малко от 20 градуса,
величината, с която тази формула
ще се различава
от реалния период на махалото,
ще е по-малко от 1%.
Доста близо е до това да е 
прост хармоничен осцилатор.
И да кажем, че тита максимум
беше по-малко от 40 градуса,
все още ще се различава
с по-малко от 3%.
Стойността, която получаваш
от това уравнение,

Korean: 
작은 각에 한에서 진폭이
주기에 영향을 주지 않습니다
작은 각에 한에서 진폭이
주기에 영향을 주지 않습니다
스프링에서 그랬던 것과
동일합니다
한가지만 더 말씀들이죠
이 단진자는 오직 작은
각에 한에서 단진동자처럼 행동합니다
이 단진자는 오직 작은
각에 한에서 단진동자처럼 행동합니다
다시 말해 이 주기 공식은
작은 각에 한에서만
잘 되는 겁니다
얼마나 작아야 하냐고요?
에시를 들어보죠
최대 각 즉 진폭이
최대 각 즉 진폭이
20°이하라고 해보죠
그 이하로 당겨 진자 운동을
시작하면
그 이하로 당겨 진자 운동을
시작하면
실제 진자 운동과 비교해서
1%미만의 오차가 생길겁니다
실제 진자 운동과 비교해서
1%미만의 오차가 생길겁니다
이 공식은 꽤나 정확하다고
볼 수 있죠
이 공식은 꽤나 정확하다고
볼 수 있죠
거의 단진동자와 닮아
있습니다
거의 단진동자와 닮아
있습니다
이번에는 40°라고 합시다
그럼에도 오차는
3% 미만입니다
공식으로 구한 주기가
실제와 3%정도 이하로 차이나는거죠

Korean: 
공식으로 구한 주기가
실제와 3%정도 이하로 차이나는거죠
최대로 벌어지는 각이 70°라고
합시다
최대로 벌어지는 각이 70°라고
합시다
그럼에도 오차는
10% 아래일 겁니다
그럼에도 오차는
10% 아래일 겁니다
나쁘진 않죠
어쨌든 이 공식은 진자의
주기값을 알려줍니다
작은 각에서는 오차가
적지만 각이 커질수록
작은 각에서는 오차가
적지만 각이 커질수록
나오는 값은 점점 오차가
커질겁니다
나오는 값은 점점 오차가
커질겁니다
다시 보자면 작은 각 즉
작은 진폭에서는
진자를 단진동자와 동일시하게
생각해도 되고
또한 진폭이 충분히 작다면
또한 진폭이 충분히 작다면
2π√L/g를 이용해 구할 수
있습니다
L은 실의 길이이고
g는 그 지역에서 중력으로
인해 발생되는 가속도를 말합니다
g는 그 지역에서 중력으로
인해 발생되는 가속도를 말합니다
커넥트 번역 봉사단 | 김도근

English: 
is only off from the true
value by three per cent.
And let's say your theta maximum
was less than 70 degrees,
you get all the way up to 70 degrees,
the error that this formula's gonna be
is still less than 10 per cent.
So, not nearly as good but still not bad.
So, this formula gives you
the period of the pendulum.
It works really well for small angles.
As that angle gets bigger,
the value you get from this formula
will deviate from the true
value by more and more.
So, recapping, for small
angles, i.e. small amplitudes,
you could treat a pendulum as
a simple harmonic oscillator,
and if the amplitude is small,
you can find the period of a pendulum
using two pi root, L over g,
where L is the length of the string,
and g is the acceleration due to gravity
at the location where
the pendulum is swinging.

Bulgarian: 
се различава от реалната стойност
само с 3%.
И да кажем, че тита максимум
беше по-малко от 70 градуса,
стигаш чак до 70 градуса –
грешката все още ще е по-малка от 10%.
Не чак толкова добре,
но все пак не е толкова лошо.
Тази формула ти дава
периода на махалото.
Работи доста добре за малки ъгли.
Когато ъгълът на отклонение 
става по-голям
стойността, която получаваш
от тази формула,
ще се различава от реалната стойност
все повече и повече.
Да обобщим, за малки ъгли,
тоест малки амплитуди,
можеш да третираш едно махало
като прост хармоничен осцилатор.
А ако амплитудата е малка,
можеш да намериш
периода на едно махало,
като използваш 2π, 
корен квадратен от (L върху g),
където L е
дължината на нишката,
а g е гравитационното ускорение на мястото, 
където махалото се люлее.
