
Thai: 
 
สมมุติว่าเรามีสระน้ำ
และผมปล่อยก้อนหินลงไปกลางสระน้ำนั้น
 
และหลังจากนั้นสักพัก คลื่นเล็กๆ ระลอกคลื่น
เกิดขึ้น เคลื่อนที่ออกตามแนวรัศมีจากจุด
ที่ผมปล่อยก้อนหิน
ลองดูว่าผมวาดได้ดีแค่ไหน
มันกำลังเคลื่อนที่ออกไปตามแนวรัศมี
นั่นคือระลอกคลื่นที่เกิดขึ้น
จากที่ผมปล่อยก้อนหินลงในน้ำ
มันคือวงกลมที่มีศูนย์กลางตรงจุดที่หิน
กระทบน้ำตอนแรก
และสมมุติว่าในขณะนี้ รัศมีของวงกลม
เท่ากับ 3 เซนติเมตร
 
และเรารู้ว่ารัศมีกำลังเพิ่มขึ้น
ด้วยอัตรา 1 เซนติเมตรต่อวินาที

Bulgarian: 
Нека да кажем, че разполагаме 
с басейн с вода
и хвърлям един камък в средата
 на този басейн.
Хвърлям камък в средата 
на басейна.
И малко след това една 
малка вълна, едно вълнение
се образува, което се движи 
радиално навън от мястото,
където съм хвърлил камъка.
Нека да видим колко добре мога 
да онагледя задачата.
И така, движи се радиално навън.
Това е вълната, която 
се е образувала
от хвърлянето на
 камъка във водата.
Образува се една окръжност с център, 
където първоначално камъкът
е паднал във водата.
Нека да изберем точно в този 
момент радиусът на окръжността
да е равен на 3 сантиметра.
Равен е на 3 сантиметра.
Знаем също, че радиусът нараства
със скорост от 
1 сантиметър на секунда.

Portuguese: 
Vamos dizer que eu tenha uma poça d'água
e que eu soltei uma pedra
no meio dessa poça.
E um pouco depois, uma
pequena onda, uma ondulação
se formou e se move
radialmente pra fora de onde
eu soltei a pedra.
Vamos ver como eu posso desenhar isso.
Move-se radialmente para fora.
Essa é a ondulação formada
quando eu soltei a pedra na água.
É um circunferência centrada
onde a pedra primeiramente
encostou na água.
E vamos dizer que nesse momento
o raio da circunferência
é igual a três centímetros.
E nós também sabemos que
o raio está aumentando
numa taxa de um centímetro por segundo.

Arabic: 
فلنقل أنّه لديّ بركة ماء
وقد أسقطت صخرة في منتصف البركة
أسقطت صخرة في منتصف البركة

English: 
So let's say that we've
got a pool of water
and I drop a rock into the
middle of that pool of water.
And a little while later,
a little wave, a ripple
has formed that is moving
radially outward from where
I dropped the rock.
So let's see how
well I can draw that.
So it's moving
radially outwards.
So that is the
ripple that is formed
from me dropping the
rock into the water.
So it's a circle centered
at where the rock initially
hit the water.
And let's say right at this
moment the radius of the circle
is equal to 3 centimeters.
And we also know that
the radius is increasing
at a rate of 1
centimeter per second.

Korean: 
 
여기 물 웅덩이가 있다고 생각해봅시다
이제 물 웅덩이 가운데에 돌을 떨어뜨려 보겠습니다
 
잠시 후 돌을 떨어뜨린 지점에서
바깥쪽으로 향하는 잔물결이
형성됩니다
이것을 어떻게 그릴까요?
잔물결은 바깥쪽으로 이동하고 있습니다
이것이 바로 돌을 물에 떨어뜨림으로써
형성된 잔물결입니다
이는 중심이 돌이 초기에 떨어진 지점인
원이 됩니다
이 순간에 원의 반지름이
3cm 라고 해봅시다
 
그리고 이 반지름은
1초당 1cm씩 증가합니다

Czech: 
Řekněme, že máme bazén s vodou
a do středu toho bazénu hodím kámen.
Za chvíli se objeví malá vlnka,
která se šíří paprsčitě od středu,
kam jsem hodil kámen.
Uvidím, jak to zvládnu nakreslit.
Takže se pohybuje
paprsčitě od středu.
Toto je ta vlnka, která se utvořila tím,
že jsem pustil kámen do vody.
Takže je to kružnice se středem tam,
kde kámen dopadl na hladinu.
A řekněme, že zrovna teď
je poloměr té kružnice roven 3 cm.
Také víme, že se poloměr zvětšuje
rychlostí 1 centimetrů za sekundu.

Korean: 
즉 반지름이 1cm/s로 증가하는 원입니다
다시 말하자면
잔물결이 형성한 원은 지금 반지름이 3cm이고
1초 당 1cm로 반지름이
증가합니다
이렇게 주어졌을 때 원의 넓이는
어떤 비율로 증가할까요?
 
먼저 우리가 알고 있는 것과
우리가 모르기 때문에
구해야 할 것들을 정리해봅시다
이 원의 반지름을 r이라 하면
현재의 r은 3cm임을 알고 있습니다
또한 r의 시간에 대한 변화율도
알고 있습니다
시간에 대한 반지름의 변화율인
dr/dt가 1cm/s임을 알고 있습니다
dr/dt가 1cm/s임을 알고 있습니다

Bulgarian: 
Радиусът нараства със скорост 
1 сантиметър на секунда.
Като разполагаме с тези данни, 
точно сега окръжността
от образувалата се вълна
има радиус 3 сантиметра.
И знаем, че радиусът нараства
с 1 сантиметър на секунда.
Според даденото в задачата,
с каква скорост нараства площта на кръга, ограничен от окръжността?
С каква скорост нараства 
площта на кръга?
Интересно.
Нека да помислим за това, 
което знаем
и след това какво не знаем, 
т.е. какво се опитваме да намерим.
Ако означим радиуса с r, то знаем, 
че точно в този момент
r е равно на 3 сантиметра.
Знаем също на какво е равна 
скоростта, с която r
се променя спрямо времето.
Разполагаме и с 
тази информация ето тук.
dr/dt, т.е. скоростта, с която радиусът
 се променя спрямо времето,
е равна на 1 сантиметър на секунда.

Thai: 
รัศมีกำลังโตขึ้นด้วยอัตรา 1 เซนติเมตรต่อวินาที
จากอันนี้ ตอนนี้วงกลมของเรา
วงกลมระลอกมีรัศมี 3 เซนติเมตร
และเรารู้ว่ารัศมีกำลังโตขึ้น
1 เซนติเมตรต่อวินาที
จากข้อมูลนั้น พื้นที่เพิ่มขึ้นด้วยอัตราเท่าใด?
พื้นที่วงกลมกำลังโตขึ้นด้วยอัตราเท่าใด?
น่าสนใจ
ลองคิดถึงสิ่งที่เรารู้
แล้วสิ่งที่เราไม่รู้ สิ่งที่เรา
พยายามหา
ถ้าเราเรียกรัศมีนี้ว่า r เรารู้ว่าตอนนี้ r
เท่ากับ 3 เซนติเมตร
เรายังรู้อัตราที่ r
เปลี่ยนไปเทียบกับเวลา
เรายังรู้ข้อมูลนี่ตรงนี้ dr/dt
อัตราที่รัศมีเปลี่ยนไปเทียบกับเวลา
คือ 1 เซนติเมตรต่อวินาที

Czech: 
Takže poloměr roste rychlostí
1 centimetr za sekundu.
Takže máme-li toto dáno,
naše "vlnokružnice" má poloměr 3 cm
a víme, že poloměr
roste rychlostí 1 centimetrů za sekundu.
Toto dáno, jakou
rychlostí roste plocha?
Jak rychle roste obsah kruhu?
Zajímavé.
Zamysleme se, co známe
a co neznáme, tedy co se snažíme zjistit.
Nazveme-li tento poloměr 'r',
víme, že teď je 'r' rovno 3 cm.
Také známe rychlost,
kterou 'r' roste v čase.
Také známe tuto informaci,
značíme ji dr/dt,

English: 
So radius growing at rate
of 1 centimeter per second.
So given this, right
now our circle,
our ripple circle has a
radius of 3 centimeters.
And we know that the
radius is growing
at 1 centimeter per second.
Given that, at what rate
is the area growing?
At what rate is area
of circle growing?
Interesting.
So let's think
about what we know
and then what we
don't know, what we're
trying to figure out.
So if we call this radius
r, we know that right now r
is equal to 3 centimeters.
We also know the
rate at which r is
changing with respect to time.
We also know this information
right over here. dr dt,
the rate at which the radius is
changing with respect to time,
is 1 centimeter per second.

Portuguese: 
Então, raio aumentando a um
centímetro por segundo.
Dado isso, nesse momento,
nossa circunferência,
nossa ondulação tem um
raio de três centímetros.
E sabemos que o
raio está aumentando
a um centímetro por segundo.
Dado isso, a que taxa a
área está aumentando?
A que taxa a área da circunferência
está aumentando?
Interessante.
Vamos pensar sobre o que sabemos
e depois sobre o que não sabemos,
o que estamos tentando descobrir.
Se chamamos esse raio de
r, sabemos agora que r
é igual a três centímetros.
Nós também sabemos a taxa em que r
varia em relação ao tempo.
Nós sabemos essa informação aqui: dr dt,
a taxa de variação do raio
em função do tempo,

Bulgarian: 
1 сантиметър на секунда.
Какво трябва да намерим сега?
Питат ни, с каква скорост нараства 
площта на кръга?
Следователно трябва да намерим
 с каква скорост
площта на кръга, като
А е площта на кръга,
как нараства тя?
Това е, което трябва да намерим.
Това, което може да бъде полезно тук,
е ако открием зависимост между 
площта на кръга
и радиуса на окръжността, и може би
да намерим производната ѝ 
спрямо времето.
И следва да приложим 
верижното правило,
за да постигнем това.
Е, каква е връзката във 
всеки един момент от време
между площта на кръга
и радиуса на окръжността?
Това е елементарна геометрия.
Площта на кръга ще бъде
равна на π по радиуса 
на окръжността на квадрат.
Сега искаме да намерим
скоростта, с която площта 
се променя спрямо времето.
Защо не намерим производната
на двете страни на това
 уравнение спрямо времето?
И нека да си отделя 
малко повече място.
Всъщност, нека просто да запиша 
отново това, което изтрих.

Portuguese: 
que é um centímetro por segundo.
Agora, o que precisamos descobrir?
Bem, a que taxa a área da
circunferência está aumentando?
Então precisamos descobrir a taxa
em que a área da circunferência
-- onde a é a área -- a
que taxa ela aumenta?
Isso é o que precisamos descobrir.
O que pode ser útil aqui é que se nós
conseguirmos achar uma relação
entre a área da circunferência
e o raio do círculo e talvez pegar
a derivada em função do tempo.
E teremos que usar um
pouco da regra da cadeira
para fazer isso.
Então, qual é a relação
em qualquer ponto
no tempo entre a
área da circunferência
e o raio da circunferência?
Bem, isso é geometria básica.
A área da circunferência vai ser
igual a pi vezes o raio da
circunferência ao quadrado.
Agora o que queremos saber é
a taxa em que a área varia
com função ao tempo.
Então por que não derivar
de ambos os lados
em função do tempo?
Deixa eu escrever isso aqui.
Na verdade, vou escrever tudo de novo.

English: 
Now what do we
need to figure out?
Well, they say at what rate is
the area of the circle growing?
So we need to figure
out at what rate
is the area of
the circle-- where
a is the area of the circle--
at what rate is this growing?
This is what we
need to figure out.
So what might be
useful here is if we
can come up with a relationship
between the area of the circle
and the radius of the
circle and maybe take
the derivative with
respect to time.
And we'll have to use a
little bit of the chain rule
to do that.
So what is the relationship
at any given point
in time between the
area of the circle
and the radius of the circle?
Well, this is
elementary geometry.
The area of a circle
is going to be
equal to pi times the radius
of the circle squared.
Now what we want
to do is figure out
the rate at which the area is
changing with respect to time.
So why don't we
take the derivative
of both sides of this
with respect to time?
And let me give myself a
little more real estate.
Actually, let me just
rewrite what I just had.

Korean: 
dr/dt가 1cm/s임을 알고 있습니다
여기서 무엇을 구해야 할까요?
원의 넓이가 증가하는 비율을 구하는 문제였죠?
따라서 우리는 원의 넓이가 증가하는 비율을
구해야 합니다
a를 원의 넓이라고 할 때
a가 증가하는 비율을 구해야 합니다
이것이 우리가 구해야 할 것입니다
이를 구하는데에는
원의 넓이와 반지름 사이의 관계
그리고 시간에 대한
원의 반지름이 변화율이 
필요할 것입니다
그리고 문제의 해결을 위해서 연쇄법칙도
사용할 것입니다
특정한 시간이 주어졌을 때
원의 넓이와 원의 반지름 사이의
관계는 무엇일까요?
아주 기본적인 기하학이죠?
원의 면적은
원의 반지름의 제곱에 원주율을 곱한 값입니다
이제 우리가 구할 것은
이 넓이의 시간에 대한 변화율입니다
그러므로 양변을
시간에 대해서 미분해 봅시다
 
지금까지 찾은 것들을 다시 적어볼게요

Thai: 
 
แล้วเราต้องหาอะไร?
เขาถามว่า พื้นที่วงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเท่าใด?
เราต้องหาว่าอัตรา
ของพื้นที่วงกลม --
A คือพื้นที่วงกลม -- มันโตขึ้นด้วยอัตราเท่าใด?
นี่คือสิ่งที่เราต้องหา
สิ่งที่อาจมีประโยชน์ตรงนี้ คือถ้าเรา
ตั้งความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่วงกลม
กับรัศมีของวงกลมได้ และหา
อนุพันธ์เทียบกับเวลาได้
เราจะต้องใช้กฎลูกโซ่เล็กน้อย
เพื่อทำมัน
ความสัมพันธ์ ณ ขณะใดๆ
ระหว่างพื้นที่วงกลม
กับรัศมีวงกลมเป็นเท่าใด?
นี่คือเรขาคณิตพื้นฐาน
พื้นที่วงกลมจะ
เท่ากับพายคูณรัศมีของวงกลมกำลังสอง
ตอนนี้ สิ่งที่เราอยากทำคือหา
อัตราที่พื้นที่เปลี่ยนไปเทียบกับเวลา
ทำไมเราไม่หาอนุพันธ์
ทั้งสองข้างของสมการนี้เทียบกับเวลาล่ะ?
ขอผมหาที่เพิ่มหน่อยนะ
ที่จริง ขอผมเขียนสิ่งที่ผมมีใหม่ดีกว่า

Czech: 
tedy rychlost růstu poloměru
v čase je 1 cm/s.
Co teď potřebujeme zjistit?
Ptají se na to, jakou rychlostí
roste obsah toho kruhu.
Potřebujeme zjistit,
jakou rychlostí roste obsah toho kruhu,
kde 'A' je obsah toho kruhu.
To je to, co potřebujeme zjistit.
Bylo by užitečné, kdybychom měli vztah
mezi obsahem a poloměrem toho kruhu
a možná vzít derivaci podle času.
A budeme k tomu potřebovat
pravidlo o derivaci složené funkci.
Jaký je vztah mezi obsahem a
poloměrem kruhu v libovolném čase?
To známe ze základů geometrie.
Obsah kruhu je roven
π krát (poloměr kruhu na druhou).
Teď potřebujeme zjistit rychlost,
se kterou se obsah mění v čase.
Takže proč nevzít derivaci
obou stran podle času?
Udělám si tu trochu prostoru.
Vlastně přepíšu to,
co jsem tu měl.

Korean: 
원의 넓이는 원주율에
r의 제곱을 곱한 값입니다
원의 넓이는 원주율에
r의 제곱을 곱한 값입니다
양변을 시간에 대해서
미분해 보겠습니다
양변을반지름 r에 대해서
미분하는 것이 아니라
시간 t에 대해서 미분하겠습니다
먼저 좌변을 살펴보면
넓이를 시간에 대해서 미분합니다
 
좌변의 결과인
시간에 대한 넓이의 변화율을
다시 적어보겠습니다
이제 우변을 볼게요
상수가 곱해진 것을 미분할 때에는
상수를 빼놓고 미분을 하면 됩니다
그렇게 하면
원주율에 시간에 대한 r 제곱의 변화율을
곱한 값이 됩니다
앞으로 이를 연쇄법칙을 이용하서 계산할텐데
여기서 r은 시간에 대한
함수임을 기억해야 합니다
만약 r이 시간에 대한 함수가 아니였다면
원의 넓이 또한 시간에 대한 함수가
아니였을 것입니다

Thai: 
พาย r กำลังสอง
พื้นที่เท่ากับพาย r กำลังสอง
ผมจะหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการนี้
เทียบกับเวลา
อนุพันธ์เทียบกับเวลา
ผมไม่ได้หาอนุพันธ์เทียบกับ r
ผมกำลังหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา
ทางซ้ายมือตรงนี้
ผมจะได้อนุพันธ์ของพื้นที่เรา
ที่จริง ขอผมเขียนด้วยสีเขียวนั่นดีกว่า
 
ผมจะได้อนุพันธ์ของพื้นที่เรา
เทียบกับเวลา ทางซ้ายมือ
และทางขวามือ ผมมีอะไร?
ถ้าผมหาอนุพันธ์ของค่าคงที่คูณ
อะไรสักอย่าง ผมก็เอาค่าคงที่ออกมาได้
ขอผมทำนะ
พาย คูณอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ r กำลังสอง
และเพื่อให้เห็นสิ่งที่ผมจะทำชัดเจนขึ้น
สาเหตุที่ผมใช้กฎลูกโซ่ เรา
จะสมมุติว่า r เป็นฟังก์ชันของเวลา
ถ้า r ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา แล้ว
พื้นที่จะไม่เป็นฟังก์ชันของเวลา

English: 
So pi r squared.
Area is equal to pi r squared.
I'm going to take the
derivative of both sides of this
with respect to time.
So the derivative
with respect to time.
I'm not taking the
derivative with respect to r,
I'm taking the derivative
with respect to time.
So on the left-hand
side right over here,
I'm going to have the
derivative of our area.
Actually, let me just write
it in that green color.
I'm going to have the
derivative of our area
with respect to time
on the left-hand side.
And on the right-hand
side, what do I have?
Well, if I'm taking the
derivative of a constant times
something, I can take
the constant out.
So let me just do that.
Pi times the derivative with
respect to time of r squared.
And to make it a little bit
clearer what I'm about to do,
why I'm using the
chain rule, we're
assuming that r is
a function of time.
If r wasn't a
function of time then
area wouldn't be a
function of time.

Bulgarian: 
И така, π по r на квадрат.
Площта е равна на 
π по r на квадрат.
Ще намеря производната 
и на двете страни на това уравнение
спрямо времето.
Производната спрямо времето.
Не търся производната 
спрямо r.
Търся производната 
спрямо времето.
От лявата страна точно ето тук,
ще търся производната на площта.
Всъщност, нека просто да го запиша
 с този светло зелен цвят.
Ще се получи...Ще се получи...Опа!
Ще се получи
 производната на площта
спрямо времето от лявата страна 
на уравнението.
А какво се получава 
от дясната страна?
Ако търся производната
 на константа по нещо,
то мога да изключа константата. 
Ще направя точно това.
π по производната спрямо 
времето на r на квадрат.
Нека изясня малко по-добре
 какво ще направя,
т.е. защо прилагам 
верижното правило.
Предполагам, че r е 
функция на времето.
Ако r не беше функция 
на времето, то тогава

Portuguese: 
Então, pi r ao quadrado.
Área é igual a pi r ao quadrado.
Vou pegar a derivada de ambos os lados
em função do tempo.
A derivada em função do tempo.
Não estou pegando a
derivada em função a r,
estou pegando a derivada
em função do tempo.
Na nossa esquerda aqui,
eu vou ter a derivada da nossa área.
Na verdade, vou escrever isso em verde.
Vou ter a derivada da nossa área
em função do tempo, na esquerda.
E na direita, o que temos?
Bem, se eu estou pegando a
derivada de algo vezes
uma constante, eu tiro a constante.
Deixa eu fazer isso.
Pi vezes a derivada em função
do tempo de r ao quadrado.
E para deixar mais claro o que vou fazer,
o porquê da regra da cadeia, é
que assumimos que r é uma função de tempo.
Se r não fosse uma função de tempo,

Czech: 
Obsah je π krát (r na druhou).
Vezmu derivaci
obou stran podle času.
Takže derivace podle času.
Neberu derivaci podle 'r',
beru derivaci podle času 't'.
Na levé straně budu
mít derivaci obsahu.
Napíšu to zeleně.
Budu tu mít derivaci obsahu
podle času na levé straně.
Co mám na pravé straně?
Když beru derivaci konstanty krát něco,
můžu vytknout tu konstantu před derivaci.
Takže to udělám.
π krát derivace podle
času z (r na druhou).
Trochu objasním, proč používám
pravidlo pro derivaci složené funkce.
Předpokládáme,
že 'r' je funkcí času.
Kdyby nebylo 'r' závislé na
čase, ani obsah by nebyl.

Portuguese: 
a área não seria
uma função de tempo.
Ao invés de apenas escrever
r, vou deixar explícito
que é uma função de tempo.
Vou escrever r de t.
Então, é r de t que elevamos ao quadrado.
E queremos achar a
derivada disso em função
do tempo.
E aqui temos que
aplicar a regra da cadeia.
Estamos pegando a derivada
de algo ao quadrado em função
desse algo.
Então a derivada de alguma
coisa ao quadrado em
função a essa coisa vai ser
duas vezes essa coisa
à primeira potência.
Deixando claro.
Essa é a derivada de r de t ao
quadrado em função de r de t.
A derivada de alguma coisa
ao quadrado em função
a essa coisa.
Se fosse a derivada de x ao
quadrado em função de x,
teríamos dois x.
Se fosse a derivada de r de t ao
quadrado em função de r de t,
temos dois r de t.
Mas isso não nos dá a
derivada em função do tempo.
Essa é apenas a derivada
em função de r de t.
A derivada em que isso muda com o tempo,

Korean: 
따라서 그냥 r을 적지 않고
r이 시간에 대한 함수라는 사실이
드러나도록 적어보겠습니다
r 대신 r(t)로 적겠습니다
r의 제곱은 r(t)의 제곱으로 쓸 수 있겠죠
이제 이것을 시간에 대해서
미분하면 됩니다
여기서 연쇄법칙을 사용하면 됩니다
먼저 어떤 문자를 제곱한 식을 그 문자에 대해서
미분하는 형태입니다
이러한 형태의 경우 미분한 결과는
그 문자에 2를 곱한 값이 됩니다
조금 더 명확하게 적어볼게요
조금 더 명확하게 적어볼게요
r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분해야 합니다
r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분해야 합니다
r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서 미분해야 합니다
만약 이것이 x의 제곱을 x에 대해서
미분하는 것이었다면
그 결과는 2x였을 것입니다
따라서 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서
미분하는 경우에는
그 결과는 2r(t)가 됩니다
하지만 이 결과는 시간에 대해서 미분한
결과가 아니라
r(t)에 대해서 미분한 결과입니다
r(t)가 시간 t에 따라서 변하기 때문에

Thai: 
แทนที่เขียนแค่ r ขอผมเขียนตรงๆ
ว่ามันเป็นฟังก์ชันของเวลา
ผมจะเขียน r ของ t
มันคือ r ของ t ที่เรากำลังสองอยู่
และเราอยากหาอนุพันธ์ของพจน์นี้เทียบกับ
เวลา
และตรงนี้ เราแค่ต้องใช้กฎลูกโซ่
เรากำลังหาอนุพันธ์ของอะไรสักอย่าง
กำลังสองเทียบกับ
อะไรสักอย่างนั่น
อนุพันธ์ของอะไรสักอย่างนั่นกำลังสองเทียบกับ
อะไรสักอย่างนั้น จะเท่ากับ 2 คูณอะไรสักอย่างนั้น
ยกกำลังหนึ่ง
ขอผมบอกให้ชัดนะ
นี่คืออนุพันธ์ของ r ของ t กำลังสอง
เทียบกับ r ของ t
อนุพันธ์ของอะไรสักอย่างกำลังสองเทียบ
กับอะไรสักอย่างนั้น
ถ้ามันคืออนุพันธ์ของ x กำลังสองเทียบกับ x
เราจะได้ 2x
ถ้ามันเป็นอนุพันธ์ของ r ของ t  กำลังสองเทียบกับ
r ของ t, มันจะได้ 2r ของ t
แต่อันนี้ไม่ได้ให้อนุพันธ์เทียบกับ
เวลา
นี่คืออนุพันธ์เทียบกับ r ของ t
อนุพันธ์ที่ค่านี้เปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา

Bulgarian: 
площта щеше да бъде 
функция на времето.
Вместо просто да записвам r, 
нека изрично да го означа
като функция на времето.
Ще го запиша като r от t.
Получава се r от t, което 
повдигаме на квадрат.
И искаме да намерим 
производната на тази функция
спрямо времето.
И тук просто следва да приложим
 верижното правило.
Търсим производната на нещо, повдигнато
 на квадрат, спрямо това нещо.
Следователно производната 
на това нещо, повдигнато на квадрат,
спрямо същото нещо, 
ще бъде равна на 2 по нещото
на първа степен.
Нека да го изясня.
Това е производната на 
r от t на квадрат, спрямо r от t.
Производната на нещо, 
повдигнато на квадрат,
спрямо това нещо.
Ако търсех производната на 
x на квадрат спрямо х,
то щях да получа 2х.
Ако търсех производната на 
r от t на квадрат спрямо r от t,
то ще се получи 2 по r от t.
Но тук не получаваме само 
производната спрямо времето.
Това е просто производната 
спрямо r от t.
За да получим производната, при която
 радиусът се променя спрямо времето,

English: 
So instead of just writing
r, let me make it explicit
that it is a function of time.
I'll write r of t.
So it's r of t,
which we're squaring.
And we want to find the
derivative of this with respect
to time.
And here we just have
to apply the chain rule.
We're taking the derivative of
something squared with respect
to that something.
So the derivative of that
something squared with respect
to the something is going
to be 2 times that something
to the first power.
Let me make it clear.
This is the derivative of r of t
squared with respect to r of t.
The derivative of something
squared with respect
to that something.
If it was a derivative of x
squared with respect to x,
we'd have 2x.
If it was the derivative of r
of t squared with respect to r
of t, it's 2r of t.
But this doesn't get us just
the derivative with respect
to time.
This is just the derivative
with respect to r of t.
The derivative at which this
changes with respect to time,

Czech: 
Takže místo psaní 'r' napíšu
explicitně, že je to funkcí času.
Napíšu r(t).
Takže je to r(t),
co mocníme na druhou.
A chceme najít 
derivaci tohoto podle času.
Tady prostě musíme použít pravidlo
pro derivování složené funkci.
Bereme derivaci něčeho na
druhou podle toho něčeho.
Derivace toho něčeho podle toho něčeho
bude 2 krát to něco na prvou.
Objasním to.
Tohle je derivace 
r(t) na druhou podle r(t).
Derivace něčeho na druhou
podle toho něčeho.
Kdyby to byla derivace
(x na druhou) podle 'x', měli bychom 2x.
Tohle byla derivace 
r(t) na druhou podle r(t), což je 2r(t).
Ale to není derivace podle času,
toto je derivace podle r(t).
Derivace tohoto podle toho,
na čem to závisí…

Bulgarian: 
следва да я умножим по 
скоростта, с която r от t
се променя спрямо времето.
На какво е равна скоростта, с която 
r от t се променя спрямо времето?
Може просто да запишем 
това като dr/dt.
Тези изрази са еквивалентни.
И, разбира се, имаме π отпред.
Искам само да подчертая, че 
това е просто приложение
на верижното правило.
Производната на нещо 
на квадрат спрямо времето
ще бъде равна на производната“
на нещото, повдигнато на квадрат,
спрямо същото нещо.
Тоест това е равно на 2 по
 нещото, по производната
на това нещо спрямо времето.
Не мога да подчертая 
колко е важно това.
Това, което направихме тук, е просто
 приложение на верижното правило.
Това е верижното правило.
Следователно, получава се, че π, 
умножено по този израз,
е равно на производната от 
площта спрямо времето.
Нека да преработя целия израз,
просто за да стане по-ясно.
Имаме производната 
от площта спрямо времето
е равно на π по...Всъщност
нека да изнеса тази двойка отпред.

English: 
we have to multiply this
times the rate at which r of t
changes with respect to time.
So the rate at which r of t
changes with respect to time?
Well, we could just
write that as dr dt.
These are equivalent
expressions.
And of course, we
have our pi out front.
And I just want to
emphasize this is just
the chain rule right over here.
The derivative of something
squared with respect to time
is going to be the derivative
of the something squared
with respect to the something.
So that's 2 times the
something, times the derivative
of that something
with respect to time.
I can't emphasize enough.
What we did right over here,
this is the chain rule.
That is the chain rule.
So we're left with
pi times this is
equal to the derivative of
our area with respect to time.
Now let me rewrite
all this again
just so it cleans
up a little bit.
So we have the derivative
of our area with respect
to time is equal to
pi times-- actually
let me put that 2 out front.

Czech: 
Musíme to vynásobit rychlostí,
kterou se r(t) mění v čase.
Takže rychlost,
kterou se r(t) mění v čase?
To můžeme napsat jako dr/dt.
To jsou shodné výrazy.
A samozřejmě na začátku máme π.
Chci zdůraznit, toto je jen
pravidlo pro derivování složené funkce.
Derivace něčeho na druhou podle času bude
derivace něčeho na druhou dle toho něčeho,
takže to je 2 krát to něco,
krát derivace toho něčeho podle času.
Musím to velmi zdůraznit.
Co jsme tu udělali, to je
pravidlo pro derivaci složené funkce.
π krát toto je rovno
derivaci obsahu podle času.
Teď to celé zase přepíšu,
aby se to trochu pročistilo.
Derivace našeho obsahu podle času
je π krát, vlastně vytknu 2.

Thai: 
เราต้องคูณอันนี้ด้วยอัตราที่ r ของ t
เปลี่ยนไปเทียบกับเวลา
อัตราที่ r ของ t เปลี่ยนไปเทียบกับเวลาคืออะไร?
เราเขียนมันได้เป็น dr/dt
พวกนี้คือพจน์ที่เทียบเท่ากัน
และแน่นอน เรามี พาย อยู่ข้างหน้า
และผมอยากเน้นว่านี่ก็แค่
กฎลูกโซ่ตรงนี้
อนุพันธ์ของอะไรสักอย่างเทียบกับเวลา
จะเท่ากับอนุพันธ์ของอะไรสักอย่างกำลังสอง
เทียบกับอะไรสักอย่างนั้น
นั่นคือ 2 คูณอะไรสักอย่างนั้น
คูณอนุพันธ์
ของอะไรสักอย่างนั้นเทียบกับเวลา
ผมย้ำไม่เคยพอ
สิ่งที่เราทำตรงนี้ นี่คือกฎลูกโซ่
นั่นคือกฎลูกโซ่
เราจึงเหลือพายคูณ นี่คือ
อนุพันธ์ของพื้นที่เราเทียบกับเวลา
ทีนี้ ขอผมเขียนทั้งหมดใหม่อีกครั้ง
เพื่อให้มันเรียบร้อยขึ้นหน่อย
เรามีอนุพันธ์ของพื้นที่เราเทียบกับ
เวลาเท่ากับ พาย คูณ -- ที่จริง
ขอผมใส่ 2 นั่นข้างหน้านะ

Korean: 
우리는 이 결과에 시간 t에 대한 r의 변화율을
곱해주어야 합니다
t에 대한 r의 변화율은
간단히 dr/dt로 나타낼 수 있습니다
두 가지 모두 동일한 표현입니다
그리고 앞에서 설명했듯이
앞에는 원주율이 곱해져 있습니다
주목할 것은 이 풀이과정에서
연쇄법칙을 사용했다는 것입니다
r(t)를 제곱한 식을
시간에 대해서 미분할 경우에는
먼저 r(t)의 제곱을 r(t)에 대해서
미분을 해야 합니다
그 결과는 r(t)에 2를 곱한 값이 될 것이고
여기에 r(t)를 시간에 대해서
미분한 결과를 곱해주어야 합니다
여기에 r(t)를 시간에 대해서
미분한 결과를 곱해주어야 합니다
지금까지 진행해온 이 과정이
바로 연쇄법칙입니다
이 식은 앞에서 구한
시간에 대한 넓이의 변화율과 같습니다
이 식 전체를 다시 적어보겠습니다
이 식 전체를 다시 적어보겠습니다
좌변은 시간에 대한 원의 넓이의
변화율이 됩니다
우변의 경우 먼저 2를 앞으로
빼내 주면

Portuguese: 
temos que multiplicar isso
vezes a taxa em que r de t
varia em função do tempo.
Então, a taxa em que r
de t varia com o tempo?
Bem, poderíamos apenas
escrever como dr dt.
Essas são expressões equivalentes.
E claro, temos nosso pi na frente.
E eu quero enfatizar que isso é
apenas a regra da cadeia aqui.
A derivada de algo ao quadrado
em função do tempo
vai ser a derivada desse algo ao quadrado
em função a esse algo.
Que dá duas vezes esse
algo, vezes a derivada
desse algo em função do tempo.
Muito importante isso.
O que fizemos aqui
é a regra da cadeia.
Essa é a regra da cadeia.
Então ficamos com pi vezes isso, que é
igual a derivada da nossa
área em função do tempo.
Deixa eu reescrever isso tudo de novo,
para ficar mais claro.
Então temos a derivada da área em função
do tempo sendo igual
a pi vezes -- na verdade,
vou por o dois na frente.

Bulgarian: 
Равно е на 2 по π по...Сега мога
отново да наричам този член просто r.
Знаем, че r е функция на t.
Така че, просто ще запиша 
2π по r по dr/dt.
Всъщност, нека да направя
 r в синьо.
2π по r по dr/dt.
dr/dt
А сега, кое ни е известно?
Знаем на какво е равно r.
Знаем, че r точно в дадения 
момент от време,
е равно на 3 сантиметра.
Точно сега r е равно 
на 3 сантиметра.
Знаем, че сега dr/dt в този момент е
 равно на 1 сантиметър на секунда.
Знаем, този член е равен на 
1 сантиметър на секунда.
Тогава на какво 
ще бъде равно dA/dt?
Ще бъде равно на... 
ще го запиша в същия зелен цвят.
2π по 3 по 1 по – това е в лилаво –

Korean: 
2에 원주율 π를 곱하게 되고
이제 r이 t에 대한 함수라는 사실은
필요가 없으므로
다시 r(t) 대신 r을 써주면
2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다
2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다
2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다
2π에 r과 dr/dt를 곱해주면 됩니다
이 식에서 우리가 알고 있는 것들이
뭐가 있을까요?
우리는 r이 얼마인지 알고 있습니다
주어진 시간에 r은
3cm입니다
3cm입니다
또한 dr/dt는 1cm/s임도 알고 있습니다
또한 dr/dt는 1cm/s임도 알고 있습니다
그렇다면 dA/dt는 얼마일까요?
2π에
3을 곱해주고

Thai: 
เท่ากับ 2 คูณพายคูณ -- ตอนนี้ผม
เปลี่ยนกลับได้ เรียกอันนี้ว่า r เฉยๆ
เรารู้ว่า r เป็นฟังก์ชันของ t
ผมจะเขียน 2 พายคูณ r คูณ dr/dt
ที่จริง ขอผมเขียน r ด้วยสีฟ้านะ
2 พาย r dr/dt
 
แล้วเรารู้อะไรบ้างตอนนี้?
เรารู้ว่า r คืออะไร
เรารู้ว่า r นั่น ในขณะนี้ตอนนี้
เท่ากับ 3 เซนติเมตร
ตอนนี้ r คือ 3 เซนติเมตร
เรารู้ว่า dr/dt ตอนนี้คือ 1 เซนติเมตรต่อวินาที
เรารู้ว่านี่คือ 1 เซนติเมตรต่อวินาที
แล้ว dA/dt จะเท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับ -- ใช้สีเขียวเดิมนะ --
2 พาย คูณ 3, คูณ 3, คูณ 1, คูณ -- นั่น

English: 
Is equal to 2 times
pi times-- I can now
switch back to just
calling this r.
We know that r is
a function of t.
So I'll just write 2
pi times r times dr dt.
Actually, let me
make the r in blue.
2 pi r dr dt.
Now what do we know?
We know what r is.
We know that r, at this
moment right in time,
is 3 centimeters.
Right now r is 3 centimeters.
We know dr dt right now is
1 centimeter per second.
We know this is 1
centimeter per second.
So what's da dt
going to be equal to?
Well, it's going to be equal
to-- do that same green-- 2
pi times 3 times 3
times 1 times-- that's

Czech: 
Je to rovno 2π krát,
teď už to můžu nazývat jen 'r',
Víme, že 'r' je funkcí 't'.
Takže jen napíšu 2π
krát 'r' krát dr/dt.
To 'r' udělám modře.
2π krát 'r' krát dr/dt.
Co všechno známe?
Víme, kolik je 'r'.
Víme, že 'r' v tomto čase je 3 cm.
Teď je 'r' rovno 3 cm.
Víme, že dr/dt je teď 1 cm/s.
Víme, že je to 1 cm/s.
Jaká tedy bude
změna plochy kruhu?
Bude to rovno…
Udělám to stejnou zelenou.
2π krát 3 krát 1.
To je fialová.

Portuguese: 
É igual a duas vezes
pi vezes -- agora posso
chamar isso só de r.
Sabemos que r é uma função de t.
Então vou escrever duas
vezes pi vezes dr dt.
Vou fazer o r em azul.
Dois pi r dr dt.
Agora o que sabemos?
Sabemos o que r é.
Sabemos que r, nesse momento,
é três centímetros.
Agora, r é três centímetros.
Sabemos que dr dt agora é
um centímetro por segundo.
Sabemos que isso é um
centímetro por segundo.
Então, da dt vai ser igual a que?
Bem, vai ser igual a -- fazer
o mesmo em verde --
dois pi, vezes três, vezes três,
vezes um, vezes -- isso é roxo --

Czech: 
Krát 1 cm/s.
Ujistěme se,
že máme správné jednotky.
Máme cm krát cm,
takže to bude centimetry…
To je moc tmavé.
...cm krát cm, takže
centimetry na druhou za sekundu.
To jsou přesně ty jednotky,
které chceme.
Máme dA/dt rovno tomuto.
Změna plochy vzhledem k času
je rovna 6π (cm na druhou za sekundu).
Ano, 2 krát 3 je 6.
6π centimetrů na druhou za sekundu
je rychlost změny plochy kruhu.
A jsme hotovi.

Thai: 
คือสีม่วง -- คูณ 1 เซนติเมตรต่อวินาที
ลองดูให้แน่ใจว่าหน่วยถูกต้อง
เรามีเซนติเมตรคูณเซนติเมตร
มันจะเป็นเซนติเมตร
สีมืดไปหน่อย
มันจะเท่ากับตารางเซนติเมตร, เซนติเมตร
คูณเซนติเมตร, ตารางเซนติเมตรต่อวินาที
ซึ่งก็คือหน่วยเดียวกับที่เราต้องการ
สำหรับการเปลี่ยนแปลงพื้นที่
เราจึงได้ dA/dt เท่ากับค่านี้ dA อัตราที่
พื้นที่เปลี่ยนไปเทียบกับเวลา เท่ากับ 6 พาย
มันจึงจะมากกว่า 18 เซนติเมตรกำลังสอง
ต่อวินาทีนิดหน่อย
 
ณ ขณะนั้น
ใช่ 3 คูณ 2 พาย
ได้ 6 พายเซนติเมตรกำลังสองต่อวินาที
คือความเร็วที่พื้นที่เปลี่ยนไป
เราเสร็จแล้ว

Portuguese: 
vezes um centímetro por segundo.
E vamos ver se pegamos
as unidades certas.
Temos centímetro vezes centímetro.
Que vai ser centímetro -- essa
cor é muito escura.
Vai ser centímetro ao quadrado, centímetro
vezes centímetro, centímetro ao
quadrado por segundo, que
é exatamente a unidade que
precisamos na mudança de área.
Então temos da dt igual a
isso. da, a taxa em que
a área está mudando em função
do tempo, é igual a seis pi.
Então vai ser um pouco mais de dezoito
centímetros ao quadrado por segundo.
Bem naquele momento.
Isso, três vezes dois pi.
Então, seis pi centímetros
ao quadrado por segundo
é quão rápido a área está mudando.
E terminamos.
Legendado por [Pedro Coutinho]

English: 
purple-- times 1
centimeter per second.
And let's make sure we
get the units right.
So we have a centimeter
times a centimeter.
So it's going to be centimeters.
That's too dark of a color.
It's going to be square
centimeters, centimeters
times centimeters, square
centimeter per second, which
is the exact units we
need for a change in area.
So we have da dt is equal to
this. da, the rate at which
area is changing with respect
to time, is equal to 6 pi.
So it's going to be a little
bit over 18 centimeters squared
per second.
Right at that moment.
Yep, 3 times 2 pi.
So 6 pi centimeters
squared per second
is how fast the
area is changing.
And we are done.

Bulgarian: 
по 1 сантиметър на секунда.
Нека да се уверим, че сме изразили
 правилно мерните единици.
Имаме сантиметър по сантиметър.
Тоест ще бъде равно на сантиметри...
Този цвят е твърде тъмен.
Ще бъде равно на квадратни 
сантиметри, т.е. сантиметри
по сантиметри, или квадратни 
сантиметри на секунда,
което са точните мерни единици, необходими,
 за да означим изменението в площта.
И така, имаме dA/dt е равно на 
този израз. Скоростта, с която
площта се променя спрямо
 времето, е равна на 6π.
Следователно ще се получи 
малко повече от
18 квадратни сантиметра 
на секунда.
Точно в този момент. 
Точно така, 3 по 2π.
Тоест 6π квадратни
 сантиметра на секунда
е скоростта, с която площта се променя.
И сме готови.

Korean: 
다시 1을 곱해주면 됩니다
단위를 맞춰보면
센티미터에 센티미터를 곱했으므로
센티미터에 센티미터를 곱했으므로
제곱 센티미터가 되고
제곱 센티미터가 되고
이것을 초로 나누면 됩니다
이는 좌변에서 얻고하자하는
시간에 대한 넓이의 변화율의 단위와
일치하는 단위입니다
따라서 시간에 대한 넓이의 변화율은
6π가 됩니다
어림잡아 계산해보면 이 순간에
시간에 대한 넓이의 변화율은
18cm²/s보다 조금 큰 값이 될 것입니다
18cm²/s보다 조금 큰 값이 될 것입니다
따라서 이 문제에서 구하고자 했던
시간에 따른 넓이의 변화율은
6π cm²/s입니다
