
Bulgarian: 
Може би можеш да разпознаеш,
че написаното тук в жълто
е общият вид на обобщен
хармоничен ред.
В това видео ще разсъждаваме
при какви условия,
за какви стойности на р,
обобщените хармонични редове са сходящи.
За да бъде един ред обобщен 
хармоничен ред, по-условие
р трябва да е по-голямо от нула.
Тук съм направил визуализация,
за да помислим как ще разберем дали 
този обобщен хармоничен ред е сходящ.
Тук имаме графиката,
тази крива ето тук,
това е у = 1/х^р.
Казваме чрез този общ вид,
че понеже р е по-голямо от нула,
знаем, че това
ще бъде намаляваща функция
като тази.
Още веднъж повтарям, че
това е у = 1/х^р.
Тук съм защриховал 
предварително
площта под тази крива, над
положителната част от оста х,
което е интегралът
от 1 до безкрайност
несобствен интеграл от
1/х^р, dx.

Korean: 
여기 p-급수의 일반형이
노란색으로 적혀 있습니다
그리고 이번 영상에서는
p가 어느 범위에 있을 때
이 p-급수가
수렴하는지 알아봅시다
p-급수의 정의에 따라
P는 0보다 커야 합니다
어떻게 p-급수가
수렴하는지 이해하기 위해서
그래프를 그려보았습니다
여기 그래프가 있습니다
이 곡선은 y=1/x^p의
그래프입니다
P가 0보다 크므로
이 그래프를 일반항으로
보고 있습니다
그래프가 감소 그래프인 것을
알 수 있습니다
똑같이 이 곡선도
y=1/x^p의 그래프입니다
곡선 아래와 x축 윗부분에
미리 색칠해 놓은 부분은
1부터 무한대까지의
1부터 무한대까지의
1/x^p의 이상적분에 해당합니다

English: 
- [Instructor] You might
recognize what we have
here in yellow as the
general form of a p-Series,
and what we're going
to do in this video is
think about under which conditions,
for what 'P's will this p-Series converge.
And for it to be a p-Series, by definition
P is going to be grater than zero.
So I've set up some
visualizations to think
about how we are going to understand when
this p-Series converges.
So over here you have the graph,
this curve right here,
that's Y is equal to
one over X to the P.
And we're saying it in general terms,
because P is greater
than zero, we know it's
going to be a decreasing
function like this.
Once again that's Y is equal to one over
X to the P.
And now what we've
shaded in ahead of time,
underneath that curve, above the positive
X axis, that's is the integral.
From one to infinity,
the improper integral
of one over X to the P,

Bulgarian: 
Това е тази площ, която
вече е оцветена,
оцветена е в бяло и на 
двете графики.
И това, което можем
да видим, е,
че тук има много близка 
връзка между
сходимостта и разходимостта
между тези обобщени хармонични редове
и този интеграл ето тук.
Когато погледнем 
лявата графика,
този обобщен хармоничен ред може
да се разглежда
като горна Риманова апроксимация
на тази площ.
Какво означава това?
Помисли за площта на
първия правоъгълник.
Широчината е 1, височината
е равна на 1/1^р.
Значи това е първият член
на този обобщен хармоничен ред,
като тази площ
е равна на 1.
Скалите по х и по у
не са еднакви.
Това тук,
тази площ е 1/2^р.
Тази площ е 1/3^р.
Сумата от площите на 
тези правоъгълници,

English: 
dX, so that's this area, that I've
already shaded in, you see it in white
in both of these graphs.
And what we're going to hopefully
see visually, is that there's a very close
convergence or divergence
relationship between
this p-Series, and this
integral, right over here.
Because when we look at
this left hand graph,
we see that this p-Series can be viewed
as an upper Riemann
approximation of that area.
What do I mean by that?
Well think about
the area of this first rectangle.
The width is one, and its' height is
one over one over one to the P.
So this would be the first term,
in this p-Series,
this would just be an area of one.
It's just the X and Y
scales are not the same.
This one right over here;
its' area would be one over two to the P.
The area's one over three to the P.
So the sum of the areas
of these rectangles,

Korean: 
두 그래프에
미리 색칠해 놓은
이 부분들입니다
희망적으로 봐야 할 것은
굉장히 긴밀한
수렴 혹은 발산 관계가
이 p-급수와 적분 사이에
있습니다
왜냐하면 왼쪽 그래프를 보면
이 p-급수가 그 부분의
위쪽 리만 합으로
나타내어지기 때문입니다
무슨 의미냐면
이 첫 번째 직사각형을
보세요
가로는 1이고
높이는 1/ 1^p입니다
그래서 이것은 이 p-급수의
첫째 항일 것입니다
넓이가 1일 것입니다
x와 y의 눈금이 같지 않습니다
이 직사각형의
넓이는 1/2^p일 것입니다
이 넓이는 1/3^p입니다
이 직사각형들의 넓이의 합은

Bulgarian: 
това е този обобщен хармоничен ред,
и можеш да видиш, че
всеки от тези правоъгълници
покрива повече от реалната
площ под кривата.
Така знаем, че площта
под кривата
ще бъде по-голяма от нула,
тогава този обобщен хармоничен ред
ще е по-голям от този интеграл,
по-голям от площта
под тази крива.
Но ако добавим 1 към
площта под кривата,
сега имаме не само бялата
област,
имаме и тази червена
област ето тук,
тогава нашият обобщен хармоничен ред
ще бъде по-малко от това.
Тъй като първият член на нашия 
обобщен хармоничен ред е равен на 1,
а после всички други членове,
можем да разглеждаме като
по-ниската Риманова апроксимация
на кривата.
Можеш да видиш, че
те са под кривата,
и че остава малко място.
Така че това ще бъде
по-малко от този израз.
Сега да помислим какво
се случва, ако знаем, че
това тук е разходящо,
така че ако този несобствен
интеграл е разходящ,
той не покрива крайна площ,
обобщеният хармоничен ред е
по-голям от това,
така че, ако това е разходящо, 
тогава и това е разходящо.

Korean: 
p-급수입니다
그리고 각각의 직사각형들은
곡선 아랫부분보다
더 많이 차지하고 있습니다
그래서 곡선 아랫부분은
0보다 클 것입니다
이 p-급수는 이 적분과
곡선 아랫부분보다 클 것입니다
하지만 여기에 1을 더하면
하얀 부분뿐만 아니라
이 빨간 부분도 포함해야 합니다
그럼 p-급수가
더 작을 것입니다
왜냐하면 p-급수의 첫 항이
1이기 때문입니다
그리고 다른 모든 항은
곡선의 아래쪽 리만 근삿값
입니다
그것들은 곡선 아래에 맞고
공간을 비웠습니다
그래서 이 식보다 작을 것입니다
만약에
이것이 발산
즉 이 이상적분이 발산한다면
유한한 값으로 수렴하지 않습니다
p-급수는 더 크므로
이상적분이 발산한다면
p-급수도 발산합니다

English: 
that is what this p-Series is, and
you can see that each of these rectangles
they are covering more than
the area under the curve.
And so we know the area under the curve,
that's gonna be greater than zero,
this p-Series is going
to be greater than this
integral, greater than
the area under the curve.
But if we add one to the
area under the curve,
now we're not just talking
about the white area,
we're also talking about
this red area here,
then our p-Series is going
to be less than that.
Because the first term of
our p-Series is equal to one,
and then all of the other terms,
you can view it as a lower
Riemann approximation
of the curve.
And you can see, they fit under the curve,
and they leave some area.
So this is gonna be less
than that expression there.
Now think about what happens;
if we know
that this right over here diverges,
so if this improper integral diverges, it
doesn't converge to a finite value,
well the p-Series is greater than that,
so if this diverges, then
that's going to diverge.

Bulgarian: 
По подобен начин, ако
това е сходящо,
същият интеграл ето тук,
ако това е сходящо,
ако клони към крайна стойност,
тогава 1 плюс това също
ще бъде сходящо,
или обобщеният хармоничен ред
също е сходящ.
Трябва да клони
към крайна стойност.
Това, което показвам тук,
е просто интегралният критерий
за сходимост, когато
изследваме за сходимост
или за разходимост,
но просто искам добре
да го разбираш на
концептуално ниво, а не просто
сляпо да прилагаш
интегралния критерий.
Може да се направи
и по обратния начин,
ако обобщения хармоничен ред
е сходящ, тогава със сигурност
този интеграл е сходящ,
и ако
обобщеният хармоничен ред е разходящ,
тогава със сигурност
този израз ето тук ще бъде разходящ
и интегралът е разходящ.
Така че може да кажем, че
обобщеният хармоничен ред е сходящ тогава,
и само тогава, когато този интеграл 
ето тук е сходящ.
За да разберем 
при какви условия,
за каква стойност на р 
този обобщен хармоничен ред е сходящ,
означава да разберем
при какви условия
този интеграл е сходящ.

English: 
Similarly, if this converges, the same
integral right over here,
if this converges, it
goes to a finite value,
well one plus that is
still going to converge,
so this, or p-Series must also converge,
it must go to a finite value.
All I'm talking about right here, this
is really just the integral
test, when we think
about tests of convergence and divergence,
but I'm just making
sure that we have a nice
conceptual understanding, and not just
blindly applying the integral test.
And you could go the other way too,
if the p-Series converges,
then for sure this
integral is going to converge, and if the
p-Series diverges, then for sure
this expression right
over here is going to
diverge and the integral diverges.
So we can say the p-Series converges if,
and only if, this integral right over here
converges.
So, figuring out under what conditions
for what P does the p-Series converge,
it's boiling down to under what conditions
does this integral converge?

Korean: 
비슷하게, 이 적분이
수렴한다면
이것은 유한한 값으로 갑니다
1을 더한 값도 수렴하고요
그래서 이 p-급수도 수렴하고
유한한 값으로 가게 됩니다
사실 지금까지 한 것은
그냥 적분 판정법을 길게 풀어
설명한 것입니다
적분 판정법을 개념적으로
확실히 이해하기 위해
다시 한번 짚고 넘어갔습니다
공식을 맹목적으로
적용하기만 하면 안 되니까요
다른 방법도 있습니다
p-급수가 수렴하면
적분도 수렴하고
p-급수가 발산하면
이 식도 당연히 발산하고
적분도 발산합니다
그럼 p-급수가 수렴한다는 것은
이 적분이 수렴할
필요충분조건입니다
그래서 어느 조건의 P 아래에서
p-급수가 수렴하는지 알면
어느 조건에서 이 적분이
수렴하는지로 볼 수 있습니다

Korean: 
내려가서
이 적분이 수렴하려면
어떤 조건이 필요한지
알아보겠습니다
다시 써보겠습니다
1에서 무한대까지의 적분
이상적분 1/x^p은
M이 무한대로 갈 때의
M이 무한대로 갈 때의
1부터 M까지
1부터 M까지
1/x
그냥 x의 -P제곱으로 쓰겠습니다
x의 -P제곱의 정적분 값과 같습니다
이 부분만 보겠습니다
극한 표시는
앞으로 계속 생략할 것이니
잊어버리지 마세요
잊어버리지 마세요
이것이 무엇인지 봅시다
여러 조건이 있습니다
P가 0보다 큰 것은 알고
여기에는 두 가지 상황이 있습니다
첫 번째는 P가 1과 같을 때
만약 P가 1이면

Bulgarian: 
Ще се преместя малко надолу,
за да имам място,
да видим какво трябва
да е изпълнено за този интеграл,
за да бъде той сходящ.
Ще го препиша.
Имаме интеграл от 
1 до безкрайност,
несобствен интеграл
от 1/х^р, dx.
Това е равно на границата,
ще използвам променливата M,
тъй като вече сме използвали n,
когато M клони към безкрайност,
и това е интеграл от
1 до M, от 1 върху...
всъщност ще напиша това
като х^р.
х на степен –р, dx.
Ще се фокусирам върху това,
и да запомним, че трябва
да намерим границата, когато
M клони към безкрайност,
не искам да пиша това
отново и отново.
Да видим какво е,
тук има няколко условия;
знаем вече, че р 
е по-голямо от нула,
но тук има два случая:
единият случай е, когато
р е равно на 1.
Ако р е равно на 1, тогава
това е просто

English: 
So let's scroll on down to
give us some real estate
to think about what
has to be true for that
integral to converge.
So I'm gonna re-write it.
So we've got the integral
from one to infinity,
improper integral, of
one over X to the P, dX
this is the same thing, this is the limit
as, I'll use the variable
M since we're already
using N, as M approaches infinity,
and the integral from
one to M of one over,
and actually just let me
write that as X to the -P.
X to the negative P, dX.
And let me just focus on this, and we'll
just remember that we're
gonna have to take the
limit as M approaches infinity
I don't wanna have to keep writing that
over and over again.
So let's think about what this is,
so there's a couple of conditions;
we know that P is greater than zero,
but there's two situations
right over here:
there's one situation
when P is equal to one.
If P is equal to one,
then this is just the

Korean: 
그럼 이것은 1/x의 적분입니다
그래서 이 식은
적분 ln X
1에서 M까지
그래서 이 식은 자연로그 M
빼기 자연로그 1
E의 0제곱은 1이므로
쓰면
자연로그 1
하지만 자연로그 1은 0입니다
이 특별한 상황, P=1일 때
1부터 M까지의 정적분은
자연로그 M
이라고 쓸 수 있습니다
이제 다른 상황을 봅시다
P가 1이 아닐 때는
기본 미분 때 배운
멱함수의 미분법을 뒤집는다고
생각하면 됩니다
P에 1을 더하면
x의 -P+1제곱
그리고 이것은
x의 1-P 제곱과
같습니다
그리고 이것을

English: 
integral of one over X, and so this thing
is going to be the integral of ln of X,
and we're gonna go from one to M,
and so this would be the natural log, of M
minus the natural log of one, well E
to the zero power is
one, so the natural log,
I'll write it out,
the natural log of one, but the natural
log of one is just zero,
so in this special case,
I guess we can say,
when P equals one,
this integral, from one to M, comes down
to the natural log of M.
Now let's think about the situation
where P does not equal one,
well there we're just
kind of reversing the
power rule that we learned in basic
differentiation.
So we'd increment that exponent,
so it'd be X to the negative P plus one,
and we can even write that as
X to the one minus P,
that's the same thing
as negative P plus one,
then we would divide by that.
So one, minus P.

Bulgarian: 
интеграл от 1/х, и тогава
това ще стане
интеграл от ln(х)
от 1 до M,
значи това ще бъде
натурален логаритъм от M,
минус натурален 
логаритъм от 1.
е на степен 0 е равно на 1,
така че натурален логаритъм...
ще го напиша... натурален
логаритъм от 1 е просто нула,
значи в този частен
случай можем да кажем,
че когато р е равно на 1,
този интеграл от 1 до M е равен 
на натурален логаритъм от M.
Сега да разгледаме случая,
когато р не е равно на 1.
Тук ще приложим наобратно
правилото за производна от степен,
което знаем от 
на диференцирането.
Ще увеличим този
степенен показател,
ще стане х^(–р + 1),
даже можем да запишем 
това като
х^(1 – р), защото (1 – р) 
е равно на (– р + 1),
и после делим на това,
делим на (1 – р).

Bulgarian: 
Това е от 1 до M,
и това е равно на, можем
да запишем това като
M на степен (1 – р),
върху 1 минус р,
минус 1 на степен (1 – р),
върху (1 – р).
Сега да определим тези граници,
спомни си този интеграл,
няма да намираме
примитивната функция на
определен интеграл тук,
а ще намерим границата,
когато M клони към безкрайност.
Каква е границата, когато
М клони към безкрайност,
от натурален логаритъм от М?
Ако М нараства неограничено
до безкрайност,
натурален логаритъм от М
също ще клони към безкрайност.
Когато Р е равно на 1, това
не е сходящо,
това е просто неограничено.
Значи за р = 1 е разходящо.
Знаем това.
Сега да погледнем тук,

English: 
We are gonna go from one to M,
and so this is going to be equal to,
we could write this as
M to the one minus P,
over one minus P
minus, one to the one minus P,
over one minus P.
So now let's state the limits,
so remember this integral,
we won't take the
anti-derivative or the
definite integral here,
but then we want to take the limit here as
M approaches infinity.
So what is the limit as
M approaches infinity,
of natural log,
of M?
Well if M goes unbounded to infinity,
well the natural log
of that is still going
to go to infinity.
So when P equals one, this
thing doesn't converge,
this thing is just unbounded.
So, P equals one, we diverge.
So we know that.
So now let's look over here,

Korean: 
1-P로 나누겠습니다
1부터 M까지로 잡으면
이 식은
M의 1-P제곱 나누기 1-p
빼기
1의 1-P제곱 나누기 1-P와 같습니다
1의 1-P제곱 나누기 1-P와 같습니다
1의 1-P제곱 나누기 1-P와 같습니다
이제 극한을 취해 봅시다
이곳에 역도함수나 정적분을
취하지 않는 것을 기억해 보세요
하지만 여기에
M이 무한대로 갈 때 넣겠습니다
그럼
M이 무한대로 갈 때
자연로그 M은
무엇인가요?
만약 M이 무한대로 발산하면
자연로그 값은 그대로
무한대로 갈 것입니다
그래서 P가 1이면
이 식은 수렴하지 않습니다
이 식은 발산합니다
P가 1이면 발산합니다
이제 알았고요
이제 이 식을 보면

Bulgarian: 
да помислим за границата,
когато М клони към безкрайност,
границата на този
израз ето тук.
Единствената част, която
е наистина повлияна от границата,
е частта, която съдържа М,
така че можем д а запишем това
като... можем да изнесем
това 1/(1 – р) от тук,
можем да кажем, че
1/(1 – р)
по границата, когато
М клони към безкрайност,
от М на степен (1 – р)
и после отделно можем
да извадим
1 на степен (1 – р), което за всеки 
степенен показател ще стане просто 1,
върху (1 – р).
Правилно ли е това?
Без значение какъв 
степенен показател поставям тук,
1 на всяка степен 
е равно на 1.
За да отговорим на въпроса дали 
това е сходящо или не,
интересна е
тази част на израза.
Това ще зависи от това
дали степенният показател
е положителен или 
отрицателен.
Ако (1 – р) е по-голямо от нула,
ако клоним към безкрайност,
и ако повдигаме

English: 
let's think about
the limit as M approaches infinity,
of this expression right over here.
And the only part that's
really effected by
the limit, is the part that has M,
so we could even write
this as, we could take
this one over one minus P out of this,
we could say one over one minus P,
times the limit as M approaches infinity,
of M to the one minus P,
and then separately we can subtract
one to the one minus P, for any exponent
that's just gonna be one,
over one minus P.
Is that right?
Yeah no matter what exponent I put up here
one to any power is going to be one.
And so the interesting thing about whether
it converges or not is,
this part of the expression.
And it's all going to
depend on whether this
exponent is positive or negative.
If one minus P is greater than zero,
if I'm going to infinity and I'm taking

Korean: 
이제 이 식을 보면
M이 무한대로 갈 때
이 식을 넣겠습니다
극한의 영향을 받는 부분은
M을 가진 부분입니다
그래서 이 식에서
1-P를 밖으로 빼면
1/1-P 곱하기
M이 무한대로 갈 때
M의 1-P제곱
분리하여서
1의 1-P는 항상 1이므로
빼기 1/1-P가
나옵니다
맞나요?
이곳에 어느 수를 넣든지 상관없이
1의 아무 제곱은 다 1이 됩니다
이것이 수렴하는지에 관한
흥미로운 것은
이 부분입니다
모든 것은 이 식이
양수인지 음수인지에
달려있습니다
만약에 1-P가 0보다 크면
이 식들을 양수로 두면

Korean: 
이 식들을 양수로 두면
이것은 발산합니다
그래서 이 상황에서는 발산합니다
그리고 1-P가 0보다 크면
P를 양변에 더하면
1이 P보다 크거나
P가 1보다 작은 것이 됩니다
그래서 발산하게 됩니다
P가 0보다 큰 것을 알았고
P가 1일 때, P가 1보다 작을 때
발산하는 것을 알았습니다
하지만 만약에 이 식이 음수이면
1-P가 0보다 작으면
생각해보면
이 식은
1/M의 양수 제곱이 될 것입니다
그럼 M이 무한대로 가면
이 모든 것은 0에 근접하게 됩니다
이것은
수렴하고 유한의 값을 가지는
상황이 됩니다
그래서 P를 양변에 더하면
1이 P보다 작으면 수렴합니다
찾아내었습니다
이 적분은
오직 P가 1보다 클 때 수렴합니다

English: 
that thing to a positive exponent,
then this is going to diverge.
So in this situation we diverge, and
one minus P is greater than zero we can
add P to both sides, that's the situation,
that's the same thing as one being greater
than P, or P being less than one,
we are going to diverge.
So far we know that P is
going to be greater than
zero, and we saw if P
is one, or if it's less
than one, we're gonna diverge.
But if this exponent right
over here is negative,
if one minus P is less than zero,
well think about it, then it's gonna be
one over M to some positive exponent,
is one way to think about it.
So as M approaches infinity, this
whole thing is going to approach zero.
So this is actually
going to be a situation
where we converge, where
we get to a finite value.
And so we add P to both sides,
we have one is less than P, we converge.
So there you have it, we have established,
this integral is going to converge only in
the situation where P is greater than one.

Bulgarian: 
това на положителна степен,
тогава това е разходящо.
В този случай е разходящо,
и (1 – р) е по-голямо от нула,
можем да добавим р към
двете страни, в този случай
това е равносилно на
1 е по-голямо от р,
или р е по-малко от 1,
и ще е разходящо.
Ако знаем, че р
е по-голямо от нула,
и ако видим, че р е 
равно на 1, или е
по-малко от 1, тогава
това е разходящо.
Но ако степенният показател
тук е отрицателен,
ако (1 – р) е по-малко от нула,
помисли, това ще бъде
1/М на някаква 
положителна степен,
това е единият начин
да го представим.
Когато М клони към
безкрайност,
това цялото нещо клони
към нула.
Това наистина е случаят,
когато имаме сходимост, когато
клоним към крайна стойност.
Така че добавяме р
към двете страни,
става 1 е по-малко от р,
има сходимост.
И така тук установихме,
че този интеграл ще бъде
сходящ
само когато р е по-голямо от 1.

Korean: 
P>1이면, 수렴한다
만약에 0＜P≤1이면
발산하게 됩니다
p-급수가 수렴하면
적분도 수렴하기 때문에
이것들은 정확합니다
그래서 이 제약들은
p-급수에 적용됩니다
본래의 p-급수는
오직 P가 1보다 클 때
수렴하고
0＜P≤1이면
발산합니다

Bulgarian: 
За р > 1 е сходящо.
Ако нула е по-малко от р,
е по-малко или равно на 1,
това е разходящо.
И това са точно случаите.
Нашият обобщен хармоничен ред
е сходящ тогава,
и само тогава, когато този
интеграл е сходящ.
И затова същите условия
се отнасят и за първоначалния
обобщен хармоничен ред.
Нашият първоначален
обобщен хармоничен ред е сходящ
само в случая, когато
р е по-голямо от 1,
тогава е сходящ.
Ако 0 е по-малко от р, а р
е по-малко или равно на 1,
тогава имаме разходимост.

English: 
P>1 you're going to converge.
And if zero is less than P
is less than or equal to one,
you are going to diverge.
And those are then the exact,
cause this, our p-Series converges if
and only if, this integral converges.
And so these exact same constraints
apply to our original p-Series.
Our original p-Series converges
only in the situation where
P is greater than one, then we converge.
And if zero is less than P
is less than or equal to one,
we diverge, there you go.
