
Portuguese: 
Imagine que você ame matemática, e que possa escolher mostrar uma única prova a alguém
para explicar a beleza da matemática.
Algo que possa ser apreciado por todos de qualquer área, mas que ainda assim
capture o espírito do progresso e engenhosidade da matemática.
O que você escolheria?
Após publicar um vídeo sobre a Lição Esquecida de Feynman e o movimento elíptico dos planetas,
vídeo este em parceria no canal minutephysics, fui perguntado no Reddit qual o motivo da definição
de elipse usada no vídeo, a construção clássica utilizando duas tachinhas e um barbante,
ser equivalente a definição que involve secionar um cone.
Essa é justamente uma das demonstrações que eu mais gosto, um pedacinho magnífico
de geometria 3d que, apesar de não necessitar de quase nenhum conhecimento prévio, ainda assim mostra
o espírito de inventividade da matemática.
Contextualizando, existem ao menos três maneiras principais de se definir uma elipse geometricamente.
A primeira é pegando um círculo e o esticando em uma de suas dimensões.

iw: 
נניח שאתם אוהבים מתמטיקה, והייתם צריכים לבחור הוכחה אחת כדי להראות למישהו ולהסביר
למה מתמטיקה היא כזאת יפה.
משהו שיכול להיות מוערך על ידי הקהל הרחב
ועדיין לתפוס את הרוח של התחכום והיצירתיות במתמטיקה.
מה הייתם בוחרים?
אחרי שפירסמתי את הסרטון על ההרצאה האבודה של פיינמן לגבי המסלול האליפטי של כוכבי לכת
שפורסם בערוץ minute physics, מישהו ב-Reddit שאל אותי למה ההגדרה
של אליפסה שנתתי בסרטון, הבניה הקלאסית עם 2 יתדות וחוט,
היא זהה לאותה הגדרה של חיתוך חרוט.
ובכן חבר, שאלת אותי לגבי אחת ההוכחות הכי אהובות עליי במתמטיקה,
חלק יפה של גאומטריה תלת-מימדית,
ואל אף שלא דורשת כמעט שום רקע, עדיין לוכדת את הרוח של יצירתיות מתמטית.
נאמר שבהקשר הזה, וכדי לוודא שכולנו באותו הדף, ניתן 3 דרכים מרכזיות להגדיר אליפסה גאומטרית. (הערת אגב של המתרגם - עקום אלגברה ממעלה 2)
הראשונה היא לאמר שאתה לוקח מעגל, ומותח אותו במימד אחד.

English: 
Suppose you love math, and you had to choose
just one proof to show someone to explain
why math is beautiful.
Something that can be appreciated by anyone
from a wide range of backgrounds while still
capturing the spirit of progress and cleverness
in math.
What would you choose?
After I put out a video on Feynman’s Lost
Lecture about why planets orbit in ellipses,
published as a guest video on minutephysics,
someone on Reddit asked about why the definition
of an ellipse given in that video, the classic
two thumbtacks and a piece of string construction,
is the same as the definition involving slicing
a cone.
Well, my friend, you’ve asked about one
of my all-time favorite proofs, a lovely bit
of 3d geometry which, despite requiring almost
no background, still captures the spirit of
mathematical inventiveness.
For context, there are least three main ways
you could define an ellipse.
One is to say you take a circle, and stretch
it in one dimension.

Spanish: 
Supongamos que amas las matemáticas, y tienes que elegir
solo una demostración para mostrarle a alguien
por qué las matemáticas son hermosas
Algo que pueda ser apreciado por cualquier persona
de una amplia gama de orígenes y que aún
conserve el espíritu de progreso y astucia
en matemáticas.
¿Qué elegirías?
Después de poner un video sobre la Conferencia perdida de Feynman sobre por qué los planetas orbitan en elipses,
publicado como video invitado en el canal minutephysics.
Alguien en Reddit preguntó por qué la definición
de una elipse dada en ese video, la clásica construcción con 
dos chinchetas y una trozo de cuerda,
es lo mismo que la definición que implica cortar un cono.
Bueno, amigo mío, has preguntado sobre una
de mis demostraciones favoritas de todos los tiempos. Un poco del encanto
de la geometría 3D que, a pesar de no requerir casi nada, aún captura el espíritu de
la inventiva matemática.
Por contexto, hay al menos tres formas principales en las que
podrías definir una elipse geométricamente
Una es decir que tomas un círculo y lo estiras
en una dimensión

Vietnamese: 
Giả sử bạn thích Toán, và bạn phải chọn ra một phép chứng minh để cho người khác thấy để giải thích
tại sao Toán học lại rất đẹp.
Một thứ gì đó có thể cảm nhận được bởi bất cứ ai với bất kỳ nền tảng kiến thức nào, trong khi đó
vẫn thể hiện được quá trình giải và sự khéo léo trong toán học.
Bạn sẽ chọn gì?
Sau khi tôi đăng tải một video về Bài giảng thất lạc của Feynman về lý do các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo hình elip,
đăng dưới dạng một video khách mời trên minutephysics, một người trên Reddit đã hỏi tại sao định nghĩa
về một hình elip trong video đó, phép dựng cổ điển dùng hai chiếc đinh bấm và một sợi dây,
lại tương tự như định nghĩa cắt một mặt nón.
Chà, bạn của tôi, bạn đã hỏi về một trong những phép chứng minh yêu thích nhất của tôi, một phần nhỏ
về hình học 3D, không cần nền tảng kiến thức quá sâu, nhưng vẫn thể hiện được tinh thần của
sự sáng tạo trong toán học.
Về ngữ cảnh, có ít nhất ba cách chính mà bạn có thể định nghĩa hình elip một cách hình học.
Một cách là lấy một đường tròn, và kéo dãn nó ra theo một chiều.

English: 
For example, if you consider all these points
as (x, y) coordinates, maybe you multiply
the x-coordinate of each point by some factor.
Another is the classic two-thumbtacks-and-a-piece-of-string
construction.
Loop a string around two thumbtacks in a piece
of paper, pull it taut with a pencil, then
trace around, keeping the string taut the
whole time.
What you are drawing by doing this is a set
of all points so that the sum of the distances
from each point to the two thumbtacks stays
constant.
The two thumbtack points each called a “focus”
of the ellipse.
And what we're saying here is that this constant focal sum property can be used to define what an ellipse even is.
And yet another way to define an ellipse is
to slice a cone with a plane at an angle,
an angle smaller than the slope of the cone
itself.
The curve of points where the plane and cone
intersection forms an ellipse, which is why
you’ll hear ellipses described as a “conic
section”.

Portuguese: 
Por exemplo, se você considerar todos os pontos como coordenadas (x, y), e então multiplicar
a coordenada x de cada ponto por um fator c.
Uma outra maneira é utilizando a construção clássica com duas tachinhas e um barbante.
Faça um laço com o barbante, afixe às tachinhas presas a um papel, estique ao limite o barbante com um lápis,
e então trace uma curva, mantendo o barbante esticado até o fim.
O resultado é um desenho do conjunto de todos os pontos em que a soma das distâncias
de cada ponto até as tachinhas se mantém constante.
Os dois pontos onde estão as tachinhas são chamados de "focos" da elipse. A soma dos focos sempre constante é uma definição que caracteriza uma elipse.
Outra maneira de definir uma elipse é atravessar um cone usando um plano em determinado ângulo,
sendo este ângulo menor que a inclinação do cone.
A curva formada pelos pontos na intersecção entre o cone e o plano é uma elipse, e é por isso que
elipses são descritas como "secções cônicas".

Spanish: 
Por ejemplo, si consideras todos estos puntos
como coordenadas (x, y), tal vez multipliques
la coordenada x de cada punto por algún factor.
Otro es la clásica construcción dos-chinches-y-un-trozo-de-cuerda.
Enlazas una cuerda alrededor de dos chinchetas en un papel, tira de él con un lápiz, luego
traza alrededor, manteniendo la cuerda tensa
todo el tiempo.
Lo que estás dibujando al hacer esto es el conjunto de todos los puntos tales que la suma de las distancias
desde cada punto hasta las dos chinchetas
constante.
Cada uno de los dos puntos de las chinchetas se llama "foco"
de la elipse
Y otra forma de definir una elipse es
cortar un cono con un plano en ángulo,
un ángulo más pequeño que la pendiente del cono
sí mismo.
La curva de puntos donde el plano y el cono se cortan forma una elipse, que es por qué
escucharás elipses descritas como "secciones cónicas".

Vietnamese: 
Ví dụ, nếu bạn xét tất cả những điểm này dưới dạng tọa độ (x,y), bạn có thể nhân
hoành độ x của mỗi điểm với một số nào đó.
Một cách khác là cách dựng cổ điển hai-chiếc-đinh-bấm-và-một-sợi-dây.
Quấn một sợi dây xung quanh hai chiếc đinh bấm trên một tờ giấy, kéo căng nó bằng một chiếc bút chì và
quay xung quanh, luôn giữ cho sợi dây luôn căng.
Hình vẽ bạn đang dựng là một tập hợp tất cả các điểm sao cho tổng của các khoảng cách
từ mỗi điểm đến hai chiếc đinh bấm luôn không đổi.
Mỗi điểm đinh bấm này được gọi là một 'tiêu điểm' của hình elip.
Và điều ta đang nói ở đây là tính chất tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm không đổi này có thể được dùng để định nghĩa elip còn có thể là gì.
Và một cách khác để định nghĩa elip là cắt một mặt nón bằng một mặt phẳng ở một góc nghiêng nào đó,
một góc nhỏ hơn hệ số góc của chính mặt nón.
Đường cong chứa các điểm nơi mặt phẳng và mặt nón giao nhau sẽ tạo thành một hình elip, và đây cũng chính là lý do
bạn thường nghe hình elip còn được gọi là  'đường conic'.

iw: 
לדוגמה, אם נביט בכל הנקודות (x,y) על המעגל,
מה שנעשה זה להכפיל את קורדינאטת ה-x  באיזשהו קבוע לכל הנקודות.
השניה זו הבניה הקלאסית עם 2 נעצים וחוט מעגלי.
שמים חוט מסביב ל-2 נעצים על דף נייר, מותחים את החוט עם עיפרון ואז
מזיזים את העיפרון, בזמן שהחוט מתוח לאורך סיבוב שלם.
מה שתקבלו מלעשות את זה הוא אוסף כל הנקודות כך שסכום המרחקים
מכל אחת מהנעצים נשאר קבוע.
2 הנקודות של הנעצים נקראות "המוקדים" של האליפסה,
ומה שאנחנו אומרים כאן זה שהתכונה של סכום מרחקים קבוע
יכולה לשמש כדי להגדיר 
 מה זה בכלל אליפסה.
והגדרה שלישית נוספת לאליפסה היא לחתוך חרוט עם מישור בזווית,
זווית קטנה יותר מהשיפוע של החרוט עצמו.
העקומה של הנקודות שבהן המישור והחרוט נחתכים נקראת אליפסה,
שזאת הסיבה שלפעמים תשמעו אליפסות מתוארות בתור "חתכי חרוט".

Vietnamese: 
Dĩ nhiên, một elip không phải chỉ là một đường cong, mà nó là một họ các đường cong, đi từ
một đường tròn hoàn hảo đến một thứ gì đó bị kéo rất dãn.
Hình dạng cụ thể của một elip thường được xác định bằng một con số gọi là 'độ biến dạng',
mà tôi thường nghĩ trong đầu là 'độ nén chặt'.
Một đường tròn có độ biến dạng là 0, và một elip càng bị nén chặt, độ biến dạng của nó
càng gần với 1.
Ví dụ, quỹ đạo của Trái Đất có độ biến dạng là 0,0167, độ nén chặt rất nhỏ, có nghĩa là nó
trông rất giống một hình tròn, trong khi đó sao chổi Halley có một quỹ đạo với độ biến dạng là 0,9671,
độ nén chặt rất cao.
Ở định nghĩa hai chiếc đinh bấm của một elip dựa trên tổng khoảng cách không đổi từ
mỗi điểm đến hai tiêu điểm, độ biến dạng này được xác định bởi khoảng cách giữa hai tiêu điểm xa đến thế nào.
 
Cụ thể, đó là khoảng cách giữa hai tiêu điểm chia cho độ dài trục lớn của elip.

Spanish: 
Por supuesto, una elipse no es solo una curva,
es una familia de curvas, que van desde
el círculo perfecto hasta algo infinitamente estirado.
La forma específica de una elipse es típicamente
cuantificada en un número llamado su "excentricidad",
que a veces leo en mi cabeza como "squishification".
Un círculo tiene excentricidad 0 y algo
más "squished" tiene una excentricidad más cercana a 1
Por ejemplo, la órbita de la Tierra tiene excentricidad
0.0167, una "squishification" baja, lo que significa que es
muy cerca de un círculo, mientras que el cometa Halley tiene una órbita con excentricidad 0.9671,
Muy alta "squishification".
En la definición de una elipse con chinchetas basada en una suma constante de las distancias de
cada punto a dos focos, esta excentricidad
está determinada por qué tan separados están los focos.
Específicamente, es la distancia entre
los focos dividida por la longitud del eje más largo.

Portuguese: 
Elipses não são apenas uma curva, elas compõem uma família de curvas, compreendendo
desde o círculo perfeito até algo infinitamente esticado.
O formato específico de uma elipse usualmente quantificada por um número, sua "excentricidade",
e às vezes eu leio em minha mente como "espremeção".
Um círculo possui excentricidade 0, e quanto mais espremida é a elipse, mais perto sua excentricidade
se aproxima de 1.
Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade de 0,0167, tendo uma espremeção bem baixa, sendo bem
próxima a de um círculo, enquanto o cometa Halley tem uma órbita com excentricidade de 0,9671,
tendo uma espremeção bastante alta.
Na definição das tachinhas de uma elipse, baseado na soma constante das distâncias de
cada ponto dos dois focos, essa excentricidade é determinada por quão longe os focos estão
um do outro
Especificamente, é a distância entre os focos dividida pelo comprimento

English: 
Of course, an ellipse is not just one curve,
it’s a family of curves, ranging from a
perfect circle to something infinitely stretched.
The specific shape of an ellipse is typically
quantified in a number called its “eccentricity”,
which I sometimes read in my head as “squishification”.
A circle has eccentricity 0, and something
more squished has an eccentricity closer to
1.
For example, Earth’s orbit has eccentricity
0.0167, low squishification, meaning it’s
really close to a circle, while Halley’s
comet has an orbit with eccentricity 0.9671,
very high squishification.
In the thumbtack definition of an ellipse
based on a constant sum of the distances from
each point to two foci, this eccentricity
is determined by how far apart focus points
are.
Specifically, it’s the distance between
the foci divided by the length of the longest

iw: 
כמובן, אליפסה היא לא עקומה יחידה, היא משפחה של עקומות, עם ספקטרום שנע
בין מעגל מושלם לבין משהו מתוח באופן אינסופי.
צורה מסויימת של אליפסה בדרך כלל מצוידת במספר שנקרא ה"אקסצנטריות" שלה,
שאני לפעמים קורא בראש בתור "מידת כיווץ".
למעגל יש אקסצנטריות 0, ומשהו הוא יותר מכווץ אם יש לו אקסצנטריות קרובה יותר למספר 1.
לדוגמה, למסלול כדור הארץ יש אקסצנטריות 0.0167, מידת כיווץ נמוכה מאוד, כלומר
היא ממש קרובה למעגל, בעוד שלשביט היילי יש אקסצנטריות 0.9671,
מידת כיווץ מאוד גבוהה.
בהגדרת אליפסה לפי הנעצים, המבוססת על סכום מרחקים קבוע מ-2 המוקדים,
האקסצנטריות אומרת לנו כמה רחוקים המוקדים.
כלומר, היחס בין מרחק המוקדים לבין אורך הקוטר המקסימאלי של האליפסה

Portuguese: 
do eixo mais longo da elipse.
Já no corte de um cone, a excentricidade é determinada pela inclinção do plano usado no corte.
E é justificado perguntar, como nosso amigo anteriormente: por qual motivo uma dessas 3 definições
teria algo a ver com as outras?
Tudo bem, faz certo sentido que cada uma produza uma curva fechada achatada com
aparência vagamente oval, mas por que a família de curvas produzida por esses três métodos
totalmente diferentes seriam exatamente as mesmas figuras?
Particularmente, quando mais jovem eu me lembro da surpresa que tive ao saber que ao cortar um cone
o resultado é uma figura simétrica.
Você poderia pensar que a parte mais abaixo da interseção meio que incharia, resultando numa figura
desproporcional com formato de ovo.
Mas não é o caso!
A curva da intersecção é uma elipse, a mesma curva evidentemente simétrica que você
obteria esticando um círculo ou traçando em torno das duas tachinhas.
Mas, obviamente, a matemática é definida por provas, então como demonstrar de forma sólida

English: 
axis of the ellipse.
For slicing a cone, the eccentricity is determined
by the slope of the plane.
And you might justifiably ask: Why on earth
should these three definitions have anything
to do with each other?
I mean, sure, it kind of makes sense that
each should produce some vaguely oval-looking
stretched out loop, but why should the family
of curves produced by these three totally
different methods be precisely the same shapes?
In particular, when younger, I remember feeling
surprised that slicing a cone produces such
a symmetric shape.
You might think the part of the intersection
further down would sort of bulge out more
to produce a lopsided egg-shape.
But nope!
This intersection curve is an ellipse, the
same evidently symmetric curve you’d get
by stretching a circle or tracing around the
two thumbtacks.
But of course, math is all about proofs, so
how do you give an airtight demonstration

Spanish: 
de la elipse
Al cortar un cono, se determina la excentricidad
por la pendiente del plano que usas para cortar.
Y podrías preguntarte con razón: 
Estas tres definiciones
¿tienen algo que ver entre sí?
Quiero decir, claro, tiene sentido que
cada una debe producir una curva con un aspecto
vagamente ovalado, pero ¿por qué debería la familia
de curvas producidas por estos tres totalmente
diferentes métodos ser precisamente las mismas formas?
En particular, cuando era más joven, recuerdo sentirme
sorprendido de que cortar un cono produce tal
forma simétrica.
Podrías pensar que la parte de abajo de la intersección es más abultada
para producir una forma asimétrica como de huevo.
¡Pero no!
Esta curva de intersección es una elipse, la
misma curva evidentemente simétrica que obtendrías
estirando un círculo o trazando alrededor de las dos chinchetas.
Pero, por supuesto, matemáticas es sobre demostraciones. Entonces,
¿cómo damos una demostración hermética

Vietnamese: 
 
Còn khi cắt một mặt nón, độ biến dạng được xác định bởi hệ số góc của mặt phẳng cắt.
Và có thể bạn sẽ thắc mắc, nếu bạn là một người dùng Reddit nào đó: Làm thế nào mà ba định nghĩa đó lại có liên hệ với nhau chứ?
 
Ý tôi là, đúng vậy, trông có vẻ là mỗi một cách đều cho ta hình vẽ mơ hồ có vẻ nhìn giống một đường cong hình oval
đã bị kéo căng ra, nhưng tại sao họ những đường cong được tạo bởi cả ba phương pháp hoàn toàn
khác nhau này lại có thể giống hệt nhau như vậy được?
Cụ thể là, một thời gian trước, tôi nhớ cảm giác ngạc nhiên khi biết việc cắt ngang một mặt nón lại có thể tạo ra một hình
có dạng đối xứng đến vậy.
Bạn có thể sẽ nghĩ phần giao tuyến ở chỗ thấp hơn sẽ hơi phình ra hơn một chút
để tạo nên một hình dạng như quả trứng.
Nhưng không!
Đường cong giao tuyến này là một hình elip, giống hệt như đường cong đối xứng bạn nhận được
khi kéo dãn một hình tròn hay vẽ vòng quanh hai chiếc đinh bấm.
Nhưng dĩ nhiên, toán học là về những phép chứng minh, vậy làm thế nào bạn có thể giải thích một cách chặt chẽ

iw: 
בחיתוך החרוט, האקסצנטריות מוגדרת בתור הזווית של המישור.
אתם יכולים בצדק לשאול (בייחוד אם אתם משתמש Reddit ספציפי):
איזו סיבה בעולם יש של-3 ההגדרות הללו יש משהו משותף?
כלומר, כמובן, זה די הגיוני שכל אחד מהם ייצור איזושהי לולאה דמויית אליפסה מתוחה
אבל למה כל העקומות שנוצרות על ידי 3 השיטות השונות לגמרי הללו
תהיה ב-ד-י-ו-ק אותה הצורה?
בעצמי, כשהייתי צעיר יותר, אני זוכר שהייתי מופתע לגמרי שחיתוך של חרוט
ייצור צורה כזאת סימטרית.
אתם יכולים לחשוב שההמשך של צורת החיתוך סוג של יבלוט החוצה
וייצור צורה יותר דומה לביצה.
אבל לא!
העקומה של נקודות החיתוך היא אליפסה, אותה הצורה הסימטרית למדי שתקבלו
ממתיחת מעגל או מעקב מסביב ל-2 נעצים.
אבל כמובן, מתמטיקה היא כולה לגבי הוכחות, אז איך אתם תיתנו הסבר נכון

English: 
that these three families of curves are all
the same?
For example, let’s focus our attention on
just one of these equivalences, that slicing
a cone will gives a curve which could also
be drawn using the thumbtack construction.
What you need to show is that there exist
two thumbtack points somewhere in the slicing
plane such that the sum of the distances from
any point on the intersection curve to the
two points remains constant, no matter where
you are on the ellipse.
I first saw the trick to showing why this
is true in Paul Lockhart’s magnificent book
“Measurement”, which I’d highly recommend
to anyone young or old who needs a reminder
of the fact that math is a form of art.
The stroke of genius comes in the first step,
which is to introduce two spheres to this
picture, one above the plane and one below
it, each one of them sized just right so as
to be tangent to the cone along a circle of
points, and tangent to the plane at just a
single point.

Portuguese: 
que todas as três famílias de curvas são todas iguais?
Por exemplo, vamos focar em apenas uma dessas equivalências, que ao cortar um cone
obtemos uma curva que também poderia ser desenhada usando a construção com as tachinhas.
O que devemos mostrar é que existem dois pontos de tachinhas em algum lugar do plano secionante
de maneira que a soma das distâncias de qualquer ponto da curva da intersecção
até esses dois pontos se mantém constante, não importando em qual ponto da curva você está.
Eu descobri um método para mostrar por que isto é verdade no excelente livro de Paul Lockhart chamado
"Measurement" ("Mensuração"), o qual eu recomendo muito a todos, independente da idade, que precise
se lembrar do fato que a matemática é uma forma de arte.
O golpe de mestre vem no primeiro passo, que é adicionar duas esferas a este problema,
uma acima do plano e outra embaixo, cada uma delas do tamanho exato
para que sejam tangentes ao cone ao longo de um círculo de pontos, e tangentes ao plano em
um único ponto.

Vietnamese: 
rằng ba họ đường cong này thực chất là giống hệt nhau?
Ví dụ, hãy hướng sự tập trung của chúng ta vào chỉ một trong những sự tương đồng này, rằng cắt ngang
một mặt nón sẽ cho một đường cong mà cũng có thể vẽ được bằng cách dựng hai chiếc đinh bấm.
Điều bạn cần thể hiện là tồn tại hai điểm đinh bấm đâu đó trong mặt phẳng cắt
sao cho tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên đường cong giao tuyến đến
hai điểm này luôn không đổi, ở bất kỳ vị trí nào trên đường cong giao tuyến.
Tôi lần đầu thấy thủ thuật cho thấy điều này là đúng ở quyển sách tuyệt vời của Paul Lockhart
"Measurement", mà tôi sẵn sàng giới thiệu cho bất kỳ ai dù già hay trẻ, những người cần một lời nhắc nhở rằng
thực tế toán học cũng là một nghệ thuật.
Sự thiên tài ở đây thể hiện ở bước đầu tiên, là cho hai khối cầu vào trong hình này,
một khối ở phía trên mặt phẳng và một khối ở phía dưới, kích thước của mỗi khối vừa đủ để
tiếp xúc với mặt cầu tại một tập điểm hình tròn, và tiếp xúc với mặt phẳng tại chỉ duy nhất
một điểm.

iw: 
ש-3 משפחות העקומות האלו הן זהות?
בסרטון הזה, נתמקד בעיקר באחת מהשקילויות הללו,
שחיתוך של חרוט תיתן אותה העקומה שתיתן הבניה עם 2 הנעצים.
מה שצריך להראות זה שקיימות איפושהו 2 נקודות איפשהו בתוך ההמישור החותך
כך שסכום המרחקים מכל נקודה על עקומת החיתוך
ל-2 הנקודות שבחרנו נשאר קבוע, לא משנה איפה אתם על עקומת החיתוך.
אני לראשונה ראיתי את הטריק להוכחה הזאת בספרו הנהדר של פול לוקהארט "Measurment",
שאני ממליץ בחום לכל אחד צעיר או זקן
שצריך תזכורת שמתמטיקה היא צורת אומנות.
מכת הגאונות מגיעה בשלב הממש הראשון, שהוא למקם 2 כדורים לתמונה הזאת,
אחד מעל המישור ואחת מתחתיו, כל אחד מהם בגודל המתאים
כדי להשיק לחרוט במעגל של נקודות, ולהשיק למישור בנקודה בודדה אחת.

Spanish: 
de que estas tres familias de curvas son todas iguales?
Por ejemplo, centremos nuestra atención en
solo una de estas equivalencias. Ese corte
de un cono dará una curva que también podría
ser dibujada usando la construcción de las chinchetas.
Lo que necesitas mostrar es que existen
dos puntos para las chinchetas en algún lugar del corte
plano tal que la suma de las distancias de
cualquier punto en la curva de intersección a los
dos puntos se mantienen constantes, no importa dónde
estés en la elipse.
La primera vez que ví el truco para demostrar que esto es cierto fue en el magnífico libro de Paul Lockhart
"Medición", que recomiendo encarecidamente
a cualquier persona joven o mayor que necesite un recordatorio
del hecho de que las matemáticas son una forma de arte.
La genialidad viene en el primer paso,
que es introducir dos esferas en esta
imagen, una sobre el plano y otra debajo. Cada una de ellas del tamaño correcto para
ser tangente al cono a lo largo de un círculo de puntos, y tangente al plano en solo un
único punto.

English: 
Why you would think to do this of all things
is tricky question to answer, and one we’ll
turn back to.
For now, let’s just say you have a particularly
playful mind that loves engaging with how
different geometric objects fit together.
But once these spheres are sitting here, I
actually bet you could prove our target result
yourself.
Here, I’ll help step you through it, but
at any point you feel inspired please do pause
and try to carry on without me.
First off, these spheres have introduced two
special points inside our curve, the point
where they’re tangent to the plane, so a
reasonable guess might be that these two tangency
points are the focus points.
That means you will want to draw lines from
these foci to some point along the ellipse,
and ultimately you want to understand the
sum of the distances of these two lines.
Or at the very least, to understand why that
sum doesn’t depend on where you are along
the ellipse.

iw: 
למה שתחשבו דווקא לעשות את זה,
זו שאלה קשה לענות, אנחנו נחזור לזה בהמשך
בינתיים, רק נאמר שאתם אוהבים לבחון דברים ורוצים לבדוק איך צורות גאומטריות שונות יעזרו.
אבל עכשיו כשהכדורים נמצאים פה,
אני יכול להתערב שתצליחו להשלים את שאר ההוכחה בעצמכם.
עכשיו, אני אעזור לכם לעבור את זה, אבל בכל רגע שאתם מרגישים בהשראה,
בבקשה תעצרו את הסרטון ותמשיכו בלעדי.
קודם כל, 2 הכדורים הללו הוסיפו 2 נקודות חדשות בתוך העקומה שלנו,
הנקודות שבהם הכדורים משיקים למישור,
אז ניחוש סביר הוא ששתי נקודות ההשקה הללו הם המוקדים.
זה אומר שאנחנו נרצה לצייר קטעים בין 2 ה"מוקדים" האלו לנקודה כלשהי על ה"אליפסה",
והמטרה האולטימטיבית שלנו היא להבין את סכום האורכים של 2 הקטעים הללו.
או במינימום,
להבין למה הסכום הזה לא תלוי באיפה אתה נמצא
על האליפסה.

Vietnamese: 
Và lý do bạn lại chọn cách này trong số rất nhiều cách thực sự là một câu hỏi mẹo khó trả lời, và cũng là câu hỏi mà ta
sẽ quay lại sau.
Bây giờ, giả sử bạn có một đầu óc thích suy nghĩ về cách
các vật thể hình học khác nhau có thể xếp vừa khít nhau.
Nhưng một khi đã có các khối này ở đây, tôi thực sự cá rằng bạn có thể tự mình chứng minh điều chúng ta đang cần.
 
Đây, tôi sẽ giúp bạn đi qua nó, nhưng nếu tại bất kỳ thời điểm bạn cảm thấy hứng thú, xin hãy tạm dừng video
và thử tìm cách mà không cần đến tôi.
Đầu tiên, những khối này đã cho ta hai điểm đặc biệt nằm phía trong đường cong này, các điểm
nơi chúng tiếp xúc với mặt phẳng, vậy nên một phỏng đoán có lý sẽ là hai điểm tiếp xúc này
chính là những tiêu điểm.
Điều này có nghĩa là bạn sẽ muốn vẽ các đường thẳng từ các tiêu điểm này đến vài điểm dọc theo hình elip,
và cuối cùng mục tiêu của bạn là sẽ muốn hiểu hơn về tổng khoảng cách của hai đường thẳng này.
Hoặc ít nhất, hiểu được tại sao tổng này lại không phụ thuộc vào vị trí bạn chọn
dọc theo hình elip.

Spanish: 
Por qué pensarías en hacer esto entre todas las cosas posibles es una  pregunta difícil de responder, y una que
a la que volveremos.
Por ahora, digamos que tienes una particular
mente lúdica que adora comprometerse con cómo
diferentes objetos geométricos encajan.
Pero una vez que estas esferas están ubicadas aquí, yo
en realidad apostaría que podrías probar nuestro resultado objetivo
tú mismo.
Aquí, te ayudaré a guiarte, pero
en cualquier momento que te sientas inspirado haz pausa
y trata de seguir sin mí.
En primer lugar, estas esferas han introducido dos
puntos especiales dentro de nuestra curva, el punto
donde son tangentes al plano, entonces
una suposición razonable podría ser que estos dos puntos de tangencia
sean los focos.
Eso significa que querrás dibujar líneas desde
estos focos a algún punto a lo largo de la elipse,
y en última instancia, deseas comprender como es la
suma de las longitudes de estos dos segmentos.
O al menos, entender por qué
la suma no depende de dónde se encuentre
la elipse
Ten esto en mente

Portuguese: 
Porque você pensaria em fazer isso é uma questão complicada, e iremos
voltar a ela mais à frente.
Por ora, digamos que você possui uma mente bastante aguçada, que gosta de se dedicar a entender como
objetos geométricos diversos se encaixam uns aos outros.
Mas agora que estas esferas estão aqui, eu aposto que você poderia provar o resultado buscado
sozinho.
Vou te mostrar o caminho, mas se em algum momento você se sentir inspirado, por favor pause o vídeo
e tente continuar sem minha ajuda.
Primeiramente, as esferas introduziram dois pontos especiais dentro da curva, o ponto no qual
elas são tangentes ao plano, então é razoável assumir que esses dois pontos de tangência
são aonde estão os focos.
Isso quer dizer que você deve desenhar linhas desses focos até algum ponto ao longo da elipse
e ao final você deverá entender o que é a soma das distâncias dessas duas linhas.
Ou ao menos entender por que essa soma não depende de onde você está ao longo
da elipse.

iw: 
תזכרו, שמה שהופך את אחד הישרים האלו למיוחד
זה שהוא לא רק נוגע באחד מהכדורים,
אלא הוא משיק לכדור הזה באותה הנקודה שבה הוא נוגע בה (המוקדים).
באופן כללי לבעיות מתמטיקה,
רוצים להשתמש בתכונות המגדירות של האוביקטים שנמצאים בה.
דוגמה לכך היא מה מגדיר את הכדורים האלו.
זה לא רק העובדה שהם משיקים למישור, הם גם משיקים לחרוט,
כל אחד באיזשהו מעגל של נקודות השקה.
אז תצטרכו להשתמש ב-2 מעגלי נקודות ההשקה האלו, אבל איך בדיוק?
ובכן, דבר אחד שאפשר לעשות, הוא לצייר קו ישר מהמעגל העליון לתחתון
לאורך החרוט.
יש משהו בכל זה שאיכשהו מזכיר את
תכונת הסכום הקבוע, כלומר זה די מבטיח.
אתם רואים, הוא עובר דרך האליפסה, אז על ידי שבירת הישר הזה במקום שבו הוא עובר דרך האליפסה,
אפשר לחשוב על זה בתור סכום של 2 קטעים,
כל אחד עובר באותה הנקודה על האליפסה.

Spanish: 
Lo que hace que estas líneas sean especiales es que cada
una no simplemente toca una de las esferas,
es tangente a esa esfera en el punto
donde la toca
En general, para un problema matemático, quieres
usar las características definitorias de todos los objetos
involucrados.
Otro ejemplo aquí es qué definen estas
esferas.
No es solo el hecho de que son tangentes
al plano, sino que son tangentes al
cono, cada una en un círculo de puntos.
Entonces vas a necesitar usar estos dos
círculos de puntos de tangencia, pero ¿cómo exactamente?
Bueno, una cosa que podrías hacer es dibujar una línea recta
desde el círculo superior al inferior
a lo largo del cono.
Hay algo sobre hacer esto que
trae vagamente una reminiscencia de la propiedad de la suma constante
del método de las chinchetas, y por lo tanto es algo prometedor.
Pasa a través de la elipse, y entonces puede
desglosarse como la suma de dos segmentos de recta,
cada uno tocando el mismo punto en la elipse.

Portuguese: 
O que torna essas linhas especiais é que cada uma delas não apenas toca uma das esferas,
mas também é tangente à esfera no ponto em que a toca.
Geralmente, em problemas matemáticos você deve utilizar as características que definem todos os
objetos envolvidos.
Outro exemplo aqui é o que de fato definem essas esferas.
Não é só o fato que elas tangenciam o plano, mas também que tangenciam
o cone, cada uma com um círculo de pontos tangentes.
Então você precisa usar esses círculos de pontos tangentes, mas de que maneira?
Bem, algo que você pode fazer é desenhar uma linha reta do círculo de cima até o de baixo
ao longo do cone.
Ao fazer isso, nota-se que existe algo que lembra vagamente a propriedade de soma constante
das tachinhas, o que parece promissor.
A linha passa pela elipse, e se você cortá-la no ponto que cruza a elipse, podemos imaginar se tratar da soma de dois segmentos de linha,
cada uma chegando ao mesmo ponto da elipse.

Vietnamese: 
Hãy nhớ rằng, điều làm cho những đường thẳng này đặc biệt là mỗi đường không chỉ đơn giản là chạm vào một trong hai khối cầu,
nó còn tiếp xúc với khối cầu tại điểm mà nó chạm vào.
Nói chung với một bài toán, bạn muốn sử dụng các tính chất đặc biệt của tất cả những vật có
liên quan.
Một ví dụ khác ở đây là điều gì xác định những khối cầu này.
Không chỉ thực tế là chúng tiếp xúc với mặt phẳng, mà chúng còn tiếp xúc với
khối cầu, mỗi khối tại một tập hình tròn các điểm.
Vậy bạn sẽ cần phải sử dụng các đường tròn tiếp xúc đó, nhưng cụ thể là bằng cách nào?
Chà, điều đầu tiên bạn có thể làm là vẽ một đường thẳng từ đường tròn phía trên đến đường tròn phía dưới
dọc theo mặt nón.
Có gì đó trong việc này gợi một cảm giác liên tưởng mơ hồ đến tính chất không đổi
của tổng khoảng cách đến hai đinh bấm, và cũng trông có vẻ hứa hẹn.
Nó đi qua elip, và bằng cách chia nó ra làm hai phần tại điểm mà nó đi qua elip, bạn có thể cho nó là tổng độ dài của hai đoạn thẳng,
mỗi đoạn cắt elip tại cùng một điểm.

English: 
What makes these lines special is that each
one does not simply touch one of spheres,
it’s tangent to that sphere at the point
where it touches.
In general for a math problem, you want to
use the defining features of all the objects
involved.
Another example here is what defines these
spheres.
It’s not just the fact they are tangent
to the plane, but that they lie tangent to
the cone, each one at some circle of points.
So you’re going to need to use those two
circles of tangency points, but how exactly?
Well, one thing you might do is draw a straight
line from the top circle to the bottom one
along the cone.
There’s something about doing this that
feels vaguely reminiscent of the constant-sum
thumbtack property, and hence promising.
It passes through the ellipse, and so it can
be broken down as the sum of two line segments,
each hitting the same point on the ellipse.

English: 
And you can do this through various different
points of the ellipse, always getting two
line segments with a constant sum; namely,
whatever the straight-line distance from the
top circle to the bottom is.
So you see what I mean about it being vaguely
analogous to the thumbtack property; every
point of the ellipse gives us two distances
whose sum is a constant.
Granted, these lengths are not to the focal
points, they’re to the big and little circle,
but maybe that leads you to making the following
conjecture:
The distance from a given point on the ellipse
straight down to the big circle is, you conjecture,
equal to its distance to the point where the
big sphere is tangent to the plane, our first
proposed focus point.
Likewise, perhaps the distance from that point
on the ellipse to the small circle is equal
to distance from that point to the second
proposed focus point, where the small sphere
touches the plane.
Well, yes.

Portuguese: 
E você pode fazer o mesmo através de diversos pontos da elipse, sempre obtendo dois
segmentos de linha de soma constante; especificamente, ela é igual à distância da linha reta
do círculo de cima ao de baixo.
Então você pode ver o que eu quis dizer sobre ele ser vagamente análogo à propriedade das tachinhas;
todo ponto da elipse nos dá duas distâncias cuja soma é constante.
Admitidamente, não são distâncias até os pontos de foco, e sim aos círculos pequeno e grande,
mas talvez isso o leve a formular a seguinte conjectura:
A distância de um dado ponto da elipse (a curva da intersecção) diretamente até o círculo grande é, você conjectura,
igual à sua distância do ponto aonde a esfera grande é tangente ao plano, o primeiro
ponto de foco que propomos.
Da mesma forma, talvez a distância desse ponto da elipse até o círculo pequeno seja igual
à distância daquele ponto ao segundo ponto de foco que propomos, aonde a esfera menor
encosta no plano.
Então... Isso é verdadeiro?

iw: 
ואפשר לעשות את זה דרך של מיני נקודות שונות על האליפסה (בתלות באיפה אתם סביב החרוט),
תמיד מקבלים 2 קטעים עם סכום זהה; שהוא למעשה מה שיהיה המרחק בין
המעגל העליון לתחתון.
אז אתם רואים למה אני מתכוון בכך שזה מזכיר בערך את תכונת הנעצים;
כל נקודה על האליפסה נותנת לנו 2 אורכים שסכומם קבוע.
אבל, 2 הקטעים האלו הם לא המרחק למוקדים, הם למעגלים הקטנים והגדולים,
אבל אולי זה יוביל אותכם לעשיית את ההשערה הבאה:
המרחק בין נקודה נתונה על האליפסה ישירות למעגל הגדול למטה, אתם משערים,
שווה למרחק לנקודה שבה הכדור הגדול משיק למישור,
הנקודה שאנחנו חושבים שהיא המוקד.
באופן זהה, יכול להיות שהמרחק מהנקודה הזאת על האליפסה למעגל הקטן למעלה
זהה למרחק של הנקודה הזאת ל"מוקד" השני, שבו הספירה
משיקה למישור.

Spanish: 
Y puedes hacer esto a través de diferentes
puntos de la elipse, siempre obteniendo dos
segmentos de recta con una suma constante; a saber,
cualquiera que sea la longitud del segmento hacia
el círculo superior o al inferior
Así que ya ves lo que quiero decir con que es vagamente
análoga a la propiedad de las chinchetas. Cada
punto de la elipse nos da dos distancias
cuya suma es una constante.
Por supuesto, estas longitudes no son hasta el punto focal, son entre el círculo grande y el pequeño.
Pero tal vez esto te lleve a hacer la siguiente
conjetura:
La distancia desde un punto dado en la elipse
directamente hacia el círculo grande es, puedes conjeturar,
igual a su distancia al punto donde la
esfera grande es tangente al plano, nuestro primer
punto focal propuesto.
Del mismo modo, tal vez la distancia desde ese punto
en la elipse hasta el círculo pequeño es igual
a la distancia de ese punto al segundo
punto focal propuesto, donde la esfera pequeña
toca al plano.
Entonces, ¿esto es cierto?

Vietnamese: 
Và bạn có thể làm điều tương tự với nhiều điểm khác nhau dọc theo hình elip, và luôn nhận được hai
đoạn thẳng với tổng không đổi; cụ thể là, bất kể khoảng cách đường thẳng từ
đường tròn trên đến đường tròn dưới là gì.
Vậy bạn có thể thấy ý tôi khi nói rẳng nó có một sự tương đồng mơ hồ với tính chất đinh bấm;  mỗi
điểm trên hình elip đều cho ta hai khoảng cách mà tổng của chúng là một hằng số.
Một cách thừa nhận, độ dài này không phải là đến các điểm tiêu cự, mà là đến đường tròn lớn và nhỏ,
nhưng có thể điều này dẫn bạn đến việc đưa ra phỏng đoán sau:
Khoảng cách từ một điểm cho trước đến elip dọc xuống hình tròn lớn, theo bạn đoán,
bằng với khoảng cách của nó đến điểm nơi khối cầu lớn tiếp xúc với mặt phẳng, điểm đầu tiên
mà ta cho là tiêu điểm.
Tương tự, có thể khoảng cách từ điểm đó trên elip đến hình tròn nhỏ sẽ bằng
khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm thứ hai, nơi khối cầu nhỏ
tiếp xúc với mặt phẳng.

Vietnamese: 
Thế, điều đó có đúng chứ? Chà, đúng vậy.
Đây, hãy đặt tên cho điểm đó mà ta có trên elip này, Q.
Điều quan trọng ở đây là đường thẳng từ Q đến tiêu điểm đầu tiên tiếp xúc với khối cầu lớn,
và đường thẳng từ Q dọc xuống mặt nón cũng tiếp xúc với khối cầu lớn.
Đây, hãy nhìn vào tấm ảnh khác rõ ràng hơn.
Nếu bạn có nhiều đường thẳng vẽ từ một điểm chung đến một khối cầu, sao cho tất cả chúng đều tiếp xúc
với khối cầu đó, bạn có thể thấy được sự đối xứng ở đây qua cách dựng là tất cả
những đường thẳng này có độ dài bằng nhau.
Tôi khuyến khích bạn nên thử tự mình chứng minh điều này, hoặc tạm dừng video và xem qua cách chứng minh
tôi đã để trên màn hình.
Và bây giờ quay lại với cách cắt mặt nón của chúng ta, phỏng đoán của bạn sẽ là chính xác; hai đường thẳng đi từ
điểm Q trên elip tiếp xúc với khối cầu lớn có độ dài bằng nhau.
Tương tự, đường thẳng từ Q đến tiêu điểm thứ hai cũng tiếp xúc với khối cầu nhỏ,

English: 
Here, let’s give a name to that point we
have on the ellipse here, Q.
The key is that line from Q to the first proposed
focus point is tangent to the big sphere,
and the line from Q straight down along the
cone is also tangent to the big sphere.
Here, let’s take a look at another picture
for some clarity here.
If you have multiple lines draw from a common
point to a sphere, all of which are tangent
to that sphere, you can probably see just
from the symmetry of the setup that all these
lines will have the same length.
I encourage you to try proving this yourself
or to otherwise pause and ponder on the proof
on screen.
So back to our cone slicing setup, your conjecture
would be correct; the two lines extending
from the point Q on the ellipse tangent to
the big sphere have the same length.
Similarly, the line from Q to the second proposed
focus point is tangent to the little sphere,

Spanish: 
Bueno, sí.
Aquí, démosle un nombre a ese punto
que tenemos en la elipse aquí, Q.
La clave es que ese segmento desde Q hasta el primer punto focal propuesto es tangente a la esfera grande,
y el segmento desde Q hacia abajo a lo largo de la
el cono también es tangente a la esfera grande.
Aquí, echemos un vistazo a otra imagen para verlo más claramente.
Si tienes varias líneas, dibujadas desde un punto común
hacia una esfera, todas las cuales son tangentes
a esa esfera, probablemente puedas ver solo
de la simetría de esta configuración que todos estos
segmentos tendrán la misma longitud.
Te animo a que intentes probar esto tú mismo
o de lo contrario pausar y reflexionar  obre la prueba
en la pantalla.
De vuelta a nuestra configuración de corte del cono. Tu conjetura
sería correcta. Los dos segmentos que se extienden
desde el punto Q en la elipse, tangentes a
la esfera grande tiene la misma longitud.
Del mismo modo, el segmento desde Q al segundo punto focal propuesto, es tangente a la esfera pequeña,

Portuguese: 
Bem, sim. Vamos dar um nome a um ponto da elipse, o chamaremos de Q.
O principal é notar que a linha de Q até o primeiro foco proposto é tangente à esfera grande,
e a linha de Q descendo ao longo do cone também é tangente à esfera grande.
Vejamos um outro exemplo para esclarecer melhor.
Se você desenhar várias linhas de um ponto comum até uma esfera, todas elas tangentes
a essa esfera, você provavelmente conseguirá ver só pela simetria desse arranjo que todas essas
linhas terão o mesmo comprimento. E, de fato.
Eu o incentivo a tentar provar isso você mesmo, ou a parar o vídeo para refletir sobre a prova
que deixei em sua tela.
De volta ao círculo secionado, sua conjectura estaria correta; as duas linhas extendendo
do ponto Q na elipse e tangentes à esfera grande tem o mesmo comprimento.
Da mesma forma, a linha de Q ao segundo foco que propomos é tangente à esfera pequena,

iw: 
אז, האם אתם צודקים? כן!
הנה, בוא ניתן שמות לנקודה שיש לנו על האליפסה, Q.
המפתח הוא שהישר מ-Q למוקד המשוער שלנו משיק לכדור הגדול,
והישר מ-Q שהולך ישירות למטה על החרוט הוא גם משיק לספירה.
הנה, בואו נסתכל על תמונה אחרת בשביל שיהיה ברור יותר.
אם יש לנו כמה ישרים שעוברים מאותה הנקודה לספירה, כולם משיקים לספירה,
אתם יכולים כנראה לראות למה רק מהסימטריה של התמונה הזאת
למה לכל הקטעים האלה יש אותו אורך.
למעשה, אני ממליץ לכם לנסות להוכיח את זה בעצמכם,
או אחרת לעצור ולהסתכל על ההוכחה שהשארתי כאן על המסך.
אבל, כשמסתכלים חזרה על חיתוך החרוט שלנו, ההשערה שלבם תהיה נכונה;
שני הקטעים שיוצאים מ-Q שעל האליפסה ומשיקים לכדור הגדול הם בעלי אותו אורך.
בדומה, הישר מ-Q ל"מוקד" השני שלנו משיק לכדור הקטן,

English: 
as is the lin from Q straight up along the
cone, so those two have the same length.
So the sum of the distances from Q to the
two proposed focus points is the same as the
straight-line distance from the little circle
to the big circle passing through Q, which
clearly doesn’t depend on which point of
the ellipse you chose for Q!
Bada boom bada bang, slicing the cone is the
same as the thumbtack construction, since
the resulting curve has the constant focal
sum property!
Dandelin
This proof was first found by Germinal Pierre
Dandelin in 1822, so these two spheres are
sometimes called “Dandelin spheres”.
You can use the same trick to show why slicing
a cylinder at an angle will give an ellipse.
And if you’re comfortable with the claim
that projecting a shape from one plane onto
another tilted plane has the effect of simply
stretching that shape, this also shows why

iw: 
וכך גם הישר מ-Q למעלה על גבי פני החרוט, אז לשני הקטעים האלה יש אותו אורך.
אז, סכום המרחקים מ-Q לשני ה"מוקדים" שלנו הוא זהה
למרחק בקטע מהמעגל הקטן למעגל הגדול לאורך החרוט,
שעובר דרך Q,
שבבירור לא תלוי לפי הבחירה של הנקודה Q על האליפסה!
באדא בום, באדא באנג, לחוך דרך החרוט זה בדיוק כמו הבנייה עם הנעצים,
כי לעקומה המקבלת יש את אותה התכונה של סכום מרחקים קבוע
ההוכחה הזאת נמצאה לראשונה על-ידי
ג'רמינל... ג'רמינל? ג'ר.. אה, למי אכפת.
דנדלין, בחור קוראים לו דנדלין, ב-1822, אז 2 הספירות האלו לפעמים נקראות "ספירות דנדלין"
אפשר להשתמש באותו הטריק כדי להסביר מדוע חיתוך גליל בזוות ייצור אליפסה.
ואם אין לכם בעיה עם הטענה שהטלה של צורה ממישור אחד
למישור שני נטוי נותן את האפקט של פשוט למתוח את הצורה הזו,

Spanish: 
como es el segmento de Q hacia arriba a lo largo de la
cono, entonces esos dos tienen la misma longitud.
Entonces, la suma de las distancias de Q a los
dos puntos focales propuestos es la misma que
la longitud del segmento que va del círculo pequeño al círculo grande pasando por Q, que
claramente no depende de qué punto de
la elipse eliges para Q!
Bada boom bada bang, cortar el cono es el
lo mismo que la construcción de las chinchetas, ya que
la curva resultante tiene la propiedad de la ¡suma constante de distancias a los focos!
Esta prueba fue encontrada por primera vez por Germinal Pierre
Dandelin en 1822, entonces estas dos esferas suelen
a veces llamarse "esferas de Dandelin".
Puedes usar el mismo truco para mostrar por qué cortar
un cilindro en un ángulo dará una elipse.
Y si te sientes cómodo con el hecho
de que proyectar una forma desde un plano hacia
otro plano inclinado tiene el efecto de simplemente
estirar esa forma, esto también muestra por qué

Vietnamese: 
và vì đường thẳng từ Q đi dọc thẳng theo mặt nón, nên 2 đường thẳng này có độ dài bằng nhau.
Vây nên tổng các khoảng cách từ Q đến hai tiêu điểm bằng với
độ dài đoạn thẳng từ khối cầu nhỏ đến khối cầu lớn đi qua Q,
và rõ ràng là không phụ thuộc vào vị trí trên elip mà bạn chọn cho điểm Q!
Bada boom bada bang, việc cắt một mặt nón tương tự như cách dựng đinh bấm, vì
đường cong nhận được đều có tính chất tổng khoảng cách không đổi!
Phép chứng minh này được tìm thấy bởi Germinal, Germinal, Germi...? À, ai quan tâm chứ. Dandelin
Một người tên là Dandelin vào năm 1822, nên hai khối cầu này còn được gọi là các "khối Dandelin".
Bạn có thể sử dụng thủ thuật tương tự để cho thấy tại sao cắt ngang một hình trụ ở một góc nào đó sẽ cho một hình elip.
Và nếu bạn thoải mái với khẳng định rằng chiếu một hình từ một mặt phẳng lên trên
một mặt phẳng nghiêng khác sẽ cho hiệu ứng đơn giản trông như là kéo dãn hình đó, điều này cũng cho thấy lý do

Portuguese: 
assim como a linha de Q subindo ao longo do cone, então ambas possuem o mesmo comprimento.
Então a soma das distância de Q aos dois pontos de focos que propomos é o mesmo que a
distância das linhas retas entre os círculos pequeno e grande ao longo do cone e passando por Q, distância essa que
claramente não depende de qual ponto da elipse você escolher para como Q!
E pronto! O corte do cone é equivalente à construção das tachinhas, uma vez que
a curva resultante possui a mesma propriedade de soma constante de focos!
Essa prova foi descoberta por Germinal  ah, esquece, Dandelin, Germinal Dandelin
em 1822, então essas esferas são também chamadas de "esferas de Dandelin".
Também podemos usar esse método para mostrar por que obtemos uma elipse ao cortar um cilindro em ângulo.
E se você estiver familiarizado com a ideia de que ao projetar uma figura de um plano em
um outro plano inclinado temos o mesmo efeito de simplesmente esticar essa figura, então também

Spanish: 
la definición de una elipse como un estiramiento del 
círculo es lo mismo que las otras dos.
¡Más tareas!
Entonces, ¿por qué creo que esta prueba es muy buena
representante de las matemáticas en sí. Eso si tu
tenías que mostrar solo una cosa para explicar a un
no entusiastas de las matemáticas el por qué te encanta el tema.
¿Por qué esta sería una buena candidata?
La razón obvia es que es sustancial
y hermosa sin requerir demasiados antecedentes.
Pero más que eso, refleja una característica común
de las matemáticas de que a veces no hay una sola
forma "más fundamental" de definir algo;
que lo que más importa es mostrar equivalencias.
Y aún más que eso, la prueba misma
involucra un momento clave de construcción creativa,
agregando las dos esferas, haciendo que esto deje espacio para una aproximación con un buen enfoque sistemático y de principios elementales.
Este tipo de construcción creativa es, creo, uno de los aspectos más estimulantes
del descubrimiento matemático, y es comprensible
preguntar de dónde viene esa idea.

Vietnamese: 
mà định nghĩa về một hình elip là một hình tròn bị kéo dãn lại tương tự như hai định nghĩa còn lại.
Thêm bài tập về nhà đây!
Thế tại sao mà tôi nghĩ rằng phép chứng minh này là một ví dụ điển hình hay về toán học; đó là nếu bạn
phải thể hiện chỉ một thứ để giải thích cho một người không có hứng thú về toán tại sao bạn lại thích môn học này,
tại sao đây là một ứng cử viên sáng giá?
Lý do hiển nhiên là nó khá cơ bản và đẹp mà không cần nền tảng kiến thức quá sâu.
Nhưng hơn thế nữa, nó cho thấy một đặc điểm chung của toán học là đôi khi không có một
cách "cơ bản nhất" để định nghĩa một thứ gì đó; rằng thứ quan trọng hơn là chỉ ra những sự tương đồng.
Và thậm chí hơn thế nữa, phép chứng minh này có một khoảnh khắc quan trọng của sự sáng tạo,
cho thêm hai quả cầu, phần còn lại của nó dành cho một cách tiếp cận có hệ thống và quy tắc.
Phép xây dựng sáng tạo này, theo tôi nghĩ, là một trong những khía cạnh gây kích thích suy nghĩ nhất
của những khám phá toán học, và có thể là bạn sẽ hỏi rằng những ý tưởng như vậy đến từ đâu.
Thật ra, khi nói về riêng phép chứng minh này, Paul Lockhart đã nói trong "Measurement":

English: 
the definition of an ellipse as a stretched
circle is the same as the other two.
More homework!
So why do I think this proof is such a good
representative of math itself; that if you
had to show just one thing to explain to a
non-math-enthusiast why you love the subject
why this would be such a good candidate.
The obvious reason is that it’s substantive
and beautiful without requiring too much background.
But more than that, it reflects a common feature
of math that sometimes there is no single
“most fundamental” way of defining something;
that what matters more is showing equivalences.
And even more than that, the proof itself
involves one key moment of creative construction,
adding the two spheres, while most of it leaves
room for a nice systematic and principled
approach.
This kind of creative construction is, I think,
one of the most thought-provoking aspects
of mathematical discovery, and you might understandably
ask where such an idea comes from.

iw: 
זה גם מראה למה ההגדרה של אליפסה בתור מעגל מתוח
זהה ל-2 האחרות.
עוד שיעורי בית.
אז, למה אני חושב שההוכחה הזאת היא ייצוג כזה טוב של מתמטיקה;
שאם אתם תהיו חייבים להראות רק דבר אחד ללא-חובב מתמטיקה
למה אתם אוהבים את הנושא,
למה זה יהיה מועמד כזה טוב.
הסיבה הברורה היא שזה ממשי ויפה ולא דורש יותר מידי ידע קודם.
אבל יותר מזה, ההוכחה משקפת תכונה בסיסית של מתמטיקה שלפעמים אין דרך אחת
"הכי בסיסית" של להגדיר משהו; ומה שמשנה יותר זה להראות שהן שקולות.
ואפילו יותר מזה, ההוכחה עצמה כללה רגע מפתח אחד של בניה יצירתית;
הוספת שני הכדורים,
בעוד שרוב ההוכחה משאירה מקום לגישה שיטתית ונחמדה.
הסוג הזה של בניה יצירתית, לדעתי, היא אחת מהדברים הכי מעוררי מחשבה בגילוי מתמטי,
ואתם יכולים בצדק לשאול מאיפה רעיון שכזה מגיע.
כשהוא דיבר על ההוכחה היפה הזו,

Portuguese: 
dá pra mostrar que a definição de uma elipse como um círculo esticado é a mesma dos outros dois.
Essa fica como lição de casa!
Então, por que eu acho que esta demonstração é uma representação tão boa da matemática em si; e que se
você pudesse mostrar só uma coisa para explicar a alguém que não gosta de matemática seu amor pela assunto,
por que este tópico seria um bom candidato?
A razão evidente é que ela é substancial e bela, sem necessitar de muita base matemática.
Mas, além disso, ela contempla uma característica comum da matemática, que às vezes não existe uma única
maneira "mais fundamental" de definir algo; que o que importa é mostrar as equivalências.
E mais que isso, a prova em si envolve um momento chave de construção criativa,
a adição das duas esferas, enquanto a maior parte dá margem para uma abordagem sistematizada
e fundamentada.
E esta forma de construção criativa é, ao meu ver, um dos aspectos mais instigantes
da descoberta matemática, e você compreensivelmente pode se perguntar de onde tal ideia surge.

Portuguese: 
De fato, Paul Lockhart fez o seguinte comentário sobre esta demonstração em "Measurement": "Como as pessoas conseguem formular
argumentos tão brilhantes?
Da mesma maneira que pessoas criaram Madame Bovary ou a Mona Lisa.
Não faço ideia de como acontece.
Eu só sei que quando acontece comigo, me sinto muito privilegiado."
 
Eu concordo, porém acho que podemos dizer algo mais do que isso.
Mesmo sendo brilhante, nós talvez possamos identificar como alguém que mergulhou em inúmeros
outros problemas de geometria esteja particularmente treinado para pensar em colocar
as esferas no problema.
Primeiramente, uma tática comum em geometria é relacionar um comprimento a um outro.
E neste problema você sabe desde o início que conseguir relacionar os dois comprimentos
dos focos até dois outros comprimentos, especialmente se eles se alinharem, pode ser útil. Mesmo se a princípio você não tem ideia de onde os focos estão.
Mesmo se você não souber exatamente como fazer isso, colocar as esferas nesse problema
não é tão estranho assim.
Novamente, se você treinou bastante e construiu uma relação com a geometria, você estaria

iw: 
הנה מה שפאול לוקהארט אמר בספרו "מדידות":
"איך אנשים ממציאים בכלל את הטיעונים הגאוניים האלו?
זה זהה לאיך שאנשים ממציאים את מאדאם בווארי או את המונה ליזה.
אין לי מושג איך זה קורה.
אני רק יודע שבכל פעם שזה קורה לי, אני  מרגיש מאוד בר-מזל."
 
אני מסכים, אבל אני חושב שאפשר לאמר משהו יותר מזה.
בעוד שזה גאוני, אנחנו אולי יכולים להבין מחדש איך מישהו שהעסיק את עצמו
במספר רב של בעיות גאומטריה נוספות כאלו יכול להיות מעוניין בלחשוב על להוסיף
את 2 הכדורים האלו.
קודם כל, טקטיקה נפוצה בגאומטריה זה להשוות אורך אחד לאחר.
ובבעיה הזו, אתם יודעים מהמצב שלהשוות את שני המרחקים
מהמוקדים לאיזשהם שני אורכים נוספים, במיוחד כאלו שנמצאים זה אחרי זה, יהיה שימושי.
אפילו אם זה לא לגמרי ברור איך תעשו זאת, לזרוק כדורים לתמונה הזאת
זה לא כזה משוגע.
שוב, אם אתם צוברים ניסיון עם גאומטריה דרך תירגולים, אתם

English: 
Talking about this particular proof, Paul
Lockhart says “How do people come up with
such ingenious arguments?
It’s the same way people come up with Madame
Bovary or Mona Lisa.
I have no idea how it happens.
I only know that when it happens to me, I
feel very fortunate.”
Where does genius come from?
I agree, but I think we can say something
a little more than this.
While it is ingenious, we can perhaps decompose
how someone who has immersed themselves in
a number of other geometry problems might
be particularly primed to think of adding
these particular spheres.
First, a common tactic in geometry is to relate
one length to another.
And in this problem you know from that outset
that being able to relate these two lengths
from the foci to some other two lengths, especially
ones that line up, would be useful.
Even if it’s not clear how exactly you’d
do that, throwing spheres into the picture
isn’t all that crazy.
Again, if you’ve built up a relationship
with geometry through practice, you’d be

Spanish: 
Hablando de esta demostración en particular, Paul
Lockhart dice "¿Cómo se le ocurre a la gente
argumentos tan ingeniosos?
Es la misma forma en que las personas se acercan a Madame
Bovary o a la Mona Lisa.
No tengo idea de cómo sucede.
Solo sé que cuando me pasa a mí,
me siento muy afortunado.
¿De dónde viene el genio?
Estoy de acuerdo, pero creo que podemos decir algo
un poco más que esto.
Si bien es ingenioso, quizás podamos descomponer
cómo alguien que se ha sumergido en
una serie de otros problemas de geometría podría
estar especialmente preparado para pensar en agregar
estas esferas particulares.
Primero, una táctica común en geometría es relacionar
una longitud a otra.
Y en este problema sabes desde ese comienzo
que poder relacionar estas dos longitudes
desde los focos a otras dos longitudes, especialmente
las que se alinean, serían útiles.
Incluso si no está claro cómo  lo harías exactamente
haz eso, lanza esferas a la imagen
no es tan loco
De nuevo, si has desarrollado una relación
con la geometría a través de la práctica, estarías

Vietnamese: 
"Làm sao để nghĩ ra những lập luận khéo léo như vậy?
Điều đó tương tự như cách người khác nghĩ về Madame Bovary hay Mona Lisa.
Tôi không biết nó xảy ra thế nào cả.
Tôi chỉ biết là khi nó đến với tôi, tôi cảm thấy rất may mắn."
Tôi đồng ý, nhưng tôi nghĩ ta có thể nói thêm gì đó về điều này.
Khi nó chưa đủ sáng suốt, ta có thể mổ xẻ xem cách một người chìm đắm trong
các bài toán hình học có thể sẽ suy nghĩ cụ thể như thế nào về việc
cho thêm những quả cầu này.
Đầu tiên, một chiến thuật phổ biến trong hình học sẽ là tìm mối liên hệ giữa một độ dài này với một độ dài khác.
Và đối với bài toán này, bạn biết từ điểm xuất phát đó, đó là việc có thể liên hệ hai độ dài này
từ tiêu điểm đến hai độ dài khác, đặc biệt là hai đường thẳng hàng với nhau, sẽ rất hữu dụng.
Ngay cả khi từ ban đầu bạn không biết 2 tiêu điểm nằm ở đâu.
Mặc dù không rõ ràng cách chính xác bạn làm nó thế nào, việc cho thêm hai quả cầu vào trong hình vẽ
không điên rồ đến vậy.
Một lần nữa, nếu bạn đã xây dựng một  mối liên hệ với hình học qua luyện tập, bạn sẽ

English: 
well acquainted with how relating one length
to another happens all the time when circles
and spheres are in the picture, because it
cuts straight to their defining feature.
This is obviously a very specific example,
but the point is that you can often view glimpses
of ingeniousness, both here and in general,
not as inexplicable miracles, but as the residue
of experience.
And when you do, the idea genius goes from
being mesmerizing to instead being actively
inspirational.

iw: 
תהיו מוכרים מאוד עם העובדה שלהשוות אורכים זה עם זה קורה כל הזמן כשמעגלים
וכדורים נמצאים בתמונה, כי זה מתקשר ישירות להגדרה שלהם.
זו בבירור דוגמה מאוד ספיציפית, אבל הנקודה שאני רוצה להעביר
היא שאתם יכולים לראות שברירים של גאונות לא בתור נסים לא מובנים,
אלא בתור תוצאה של ניסיון.
וכשאתם עושים זאת, הרעיון של גאונות עובר מלהיות מהפנט ללהיות מעורר השראה.

Vietnamese: 
hiểu rõ việc liên hệ một độ dài đến một độ dài khác xảy ra mọi lúc khi những đường tròn
và khối cầu có trong hình vẽ, vì chúng liên hệ trực tiếp đến những tính chất đặc trưng của chúng,
chúng có ý nghĩa gì khi là các đường tròn hay khối cầu.
Đây hiển nhiên là một ví dụ rất cụ thể, nhưng điều quan trọng là bạn thường có thể xem những cái nhìn thoáng qua
về sự khéo léo, ở cả đây và nói chung, không phải như là một phép màu không giải thích được, mà là kết quả
của kinh nghiệm.
Và khi bạn làm vậy, ý tưởng về thiên tài đi từ việc mê hoặc cho đến việc được truyền cảm hứng một cách chủ động.

Spanish: 
bien familiarizado con cómo relacionar una longitud a otra sucede todo el tiempo cuando los círculos
y las esferas están en juego, porque
apunta directamente a su característica definitoria.
Este es obviamente un ejemplo muy específico,
pero el punto es que a menudo puedes ver destellos
de ingenio, tanto aquí como en general,
no como milagros inexplicables, sino como el residuo
de la experiencia.
Y cuando lo haces, el genio de la idea va desde la fascinación a estar activamente
inspirado

Portuguese: 
bastante familiarizado com o fato de relacionar comprimentos acontecer o tempo todo quando
círculos e esferas estão em jogo, pois vai direto às suas características fundamentais, ao significado do que é um círculo ou uma esfera.
Evidentemente este é um exemplo bem específico, mas a questão é que podemos entender que
lampejos de brilhantismo não são milagres inexplicáveis, e sim
resíduos de experiência.
E se o fizer, a ideia de genialidade deixa de ser fascinante,
e passa a ser efetivamente inspiradora.
