
French: 
Dans cette video je vais vous démontrer que la limite lorsque
x tend vers 0 de sin x sur x est égale à 1
Mais avant que je le fasse, avant que je passe à la trigonométrie, je
vais développer un autre aspect des limites.
Il s'agit du théorème des gendarmes.
Parce qu'une fois que vous aurez compris ce qu'était le théorème des gendarmes,
nous pourront utiliser le théorème du gendarme pour la démonstration.
C'est en fait une explication assez compliquée, mais je pense que vous
la trouverez assez claire et satisfaisante si vous la comprenez.
Si vous ne la comprenez pas, vous voudrez peut-être juste mémoriser ça.
Parce qu'il s'agit d'une limite très utile à connaitre pour la suite, quand
nous ferons les dérivées des fonctions trigonométriques.
Alors, qu'est-ce que le théorème des gendarmes?
Le théorème des gendarmes est mon théorème préféré en
mathémathiques, surement parce qu'il contient le mot "gendarmes" ("squeeze").
Théorème des gendarmes.
Quand vous le lisez dans un livre de math, il a l'air
très compliqué.

Portuguese: 
Neste vídeo eu vou te provar que o limite como
x abordagens 0 do seno de x sobre x é igual a 1.
Mas antes de eu fazer isso, antes de eu quebrar em trigonometria, eu vou
vai para passar por cima de outro aspecto de limites.
E isso é o teorema do confronto.
É porque uma vez você entender o que é o teorema do confronto,
podemos usar o teorema do confronto para provar isso.
É realmente uma explicação bastante envolvida, mas eu acho que você vai
encontrá-lo bastante elegante e gratificante se você obtê-lo.
Se você não conseguir, talvez você só quero memorizar isto.
Porque esse é um limite muito útil saber mais tarde sobre quando
Tomamos as derivadas das funções trigonométricos.
Então, o que é o teorema do confronto?
O teorema do confronto é meu teorema favorito em
matematica, talvez porque ele tem a palavra confronto (em ingles "expremer") nele
Teorema do confronto.
E quando você lê-lo em um livro de cálculo parece
Tudo complicado.

Bulgarian: 
 
В това видео ще ти докажа, че границата
на синус от х върху х, когато х клони към 0, 
е равна на 1.
Но преди да го направя, преди да навляза в тригонометрията,
ще разгледам друг аспект от границите.
Това е "теоремата за двамата полицаи".
Защото след като разбереш какво представлява тази теорема,
можеш да я използваш, за да докажеш това.
Всъщност това е доста всеобщо обяснение, 
но мисля, че
ще го намериш за доста ясно и лесно, 
ако го разбереш.
Ако не го разбереш, може би просто ще искаш да го запомниш наизуст.
Защото това е доста полезно да се знае, 
когато по-късно
ще изчисляваме производни на тригонометричните функции.
Какво представлява теоремата за двамата полицаи?
Това е любимата ми теорема
в математиката, може би защото съдържа думата полицаи.
Теорема за двамата полицаи.
Когато я прочетеш в учебниците по математически анализ, тя изглежда
много сложна.

Thai: 
ในวิดีโอนี้ผมจะพิสูจน์ให้ดูว่า ลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ sine x ส่วน x เท่ากับ 1
แต่ก่อนหน้านั้น ก่อนที่ผมจะเข้าเรื่องตรีโกณมิติ ผม
จะพูดถึงลิมิตในอีกแง่หนึ่ง
และนั่นคือ squeeze theorem
เพราะเมื่อคุณเข้าใจว่า squeeze theorem คืออะไร
คุณก็จะใช้ squeeze theorem พิสูจน์มันได้
มันต้องอธิบายยาวหน่อย แต่ผมว่า
คุณจะพบว่ามันเนี้ยบ และเจ๋งเมื่อคุณเข้าใจมันแล้ว
หากคุณไม่เข้าใจ บางทีคุณอาจจะต้องจำมันไป
เพราะมันเป็นลิมิตที่มีประโยชน์ที่ต้องรู้ไว้
เมื่อเราคิด derivatives ของฟังก์ชันตรีโกณฯ
แล้ว squeeze theorem คืออะไร
squeeze theorem คือทฤษฎีโปรดของผม
ในคณิตศาสตร์ อาจเป็นเพราะมันมีคำว่า squeeze ในนั้น
Squeeze theorem
และเมื่อคุณเจอมันในหนังสือแคลคูลัส มันดู
ซับซ้อนมาก

Chinese: 
这个视频我会给你们证明
当x趋向0时sinx/x的极限等于1
但在那之前 在我讲三角学之前
我要复习一下极限的另一个内容
那就是夹逼定理
因为一旦你们理解了夹逼定理
就可以用它来证明这个问题
这是一个复杂的阐述
但我认为你们会发现它很巧妙
并且在理解之后会感到满足感
如果你们不能理解 那么就要记住了
因为这是很有用的极限
稍后我们求三角函数导数时你们就会知道
那么什么是夹逼定理呢
夹逼定理是我最喜欢的一个定理
可能因为它里面有squeeze这个词吧
夹逼定理
当你们在微积分的书中读到它的时候
看起来很复杂

English: 
In this video I will prove
to you that the limit as
x approaches 0 of sine of
x over x is equal to 1.
But before I do that, before I
break into trigonometry, I'm
going to go over another
aspect of limits.
And that's the squeeze theorem.
Because once you understand
what the squeeze theorem is,
we can use the squeeze
theorem to prove this.
It's actually a pretty involved
explanation, but I think you'll
find it pretty neat and
satisfying if you get it.
If you don't get it, maybe you
just want to memorize this.
Because that's a very useful
limit to know later on when
we take the derivatives
of trig functions.
So what's the squeeze theorem?
The squeeze theorem is
my favorite theorem in
mathematics, possibly because
it has the word squeeze in it.
Squeeze theorem.
And when you read it in a
calculus book it looks
all complicated.

Portuguese: 
Nesse vídeo, eu provarei que o limite
quando x tende a 0,
de seno de x sobre x, é igual a 1.
Mas antes de começar com a trigonometria, vou
cobrir outro aspecto dos limites
Estou falando do teorema do confronto.
Pois quando você entender
o que é esse teorema
poderemos usá-lo para provar o que queremos
A explicação é um pouco complexa,
mas creio que
você vai achá-la bem interessante
e satisfatória ao entendê-la
Se você não entender,
talvez baste memorizar.
Pois trata-se de um limite
muito importante para saber
quando derivarmos funções trigonométricas.
Enfim, o que é o teorema do confronto?
O teorema do confronto
é o meu teorema favorito
na matemática, possivelmente porque
ele tem a ver com "espremer".
"Teorema de espremer"
E quando você ler num livro de cálculo
ele parece complicado.

Swedish: 
I denna video kommer jag att bevisa för er att gränsvärdet
när x går mot 0 för sinus x genom x är lika med 1.
Men innan jag gör det, innan jag ger mig in på trigonometri,
ska jag gå igenom en annan egenskap hos gränsvärden.
Och det är instängningssatsen.
För när du förstår vad instängningssatsen innebär
kan vi använda instängningssatsen för att bevisa det här.
Det är faktiskt en ganska komplicerad förklaring, men jag tror du
känner dig rätt duktig och nöjd om du förstår den.
Om du inte förstår satsen bör du ändå memorera gränsvärdet.
Det är nämligen ett mycket användbart gränsvärde att känna till senare
när vi deriverar trigonometriska funktioner.
Så vad är instängningssatsen?
Instängningssatsen är min favoritsats i
matematik, möjligen beroende på att den innehåller ordet ”squeeze”.
Instängningssatsen.
Och när du läser den i en analysbok ser den
komplicerad ut.

Indonesian: 
pada video ini, saya akan membuktikan bahwa limit dari
x mendekati 0 dari sinus x dibagi x sama dengan 1
Tetapi sebelum saya melakukan hal itu, sebelum saya membahas trigonmtry, saya
akan menjelaskan aspek lain dari limit.
yaitu ; teorema apit
Karena, begitu anda memahami apa itu teorema apit
kita dapat menggunakan teorema apit untuk membuktikan hal di atas.
Sebenarnya ini penjelasan yang cukup rumit, namun saya yakin anda akan
mendapatinya cukup menarik dan menyenangkan jika anda dapat memahaminya.
Jika anda sulit memahaminya, mungkin anda dapat cukup puas dengan hanya menghafalnya.
Karena ini merupakan limit yang sangat berguna untuk memahami pelajaran selanjutnya, saat
kita mempelajari turunan dari fungsi trigonometri.
Jadi, apakah teorema apit itu?
Teorema apit adalah teorema favorit saya dalam
matematika, mungkin karena hal tersebut menggunakan kata apit.
Teorema apit.
Dan saat anda membacanya di buku kalkulus hal ini terlihat
sangat rumit.

iw: 
בסרטון הזה אני אוכיח לכם שהגבול
של איקס מתקרב ל0 של סינוס איקס חלקי איקס, שווה ל-1.
אבל לפניי שאני אעשה זאת, לפניי שניכנס לטריגונומטריה,
אנחנו ניכנס לעוד היבט של גבלות.
וזהו כלל הסנדוויץ.
מפניי שבגע שאתם מבינים מהו כלל הסנדוויץ',
נוכל להשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי להוכיח את זה.
זה הסבר די מורכב האמת, אבל אני חושב
שתגלו שהוא די יפה ומספק אם תבינו אותו.
אם לא תבינו אותו, אולי פשוט תרצו לשנן את זה.
מפניי שזהו גבול מאוד שימושי לדעת אחר
כשניקח את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות.
אז מהו כלל הסנדוויץ'?
כלל הנדוויץ' הוא הכלל האהוב עליי
(למעוך) squeeze במתימתיקה, אולי מפניי שיש בו את המילה
כלל squeeze.
וכשאתם קוראים את זה בספר חדו"א זה נראה
נורא מסובך.

Arabic: 
.
في هذا العرض سوف اثبت لكم ان نهاية
اقتراب x من الـ 0 لجيب x / x تساوي 1
وقبل ان اقوم بذلك، قبل ان اقطع على المثلثات
سوف اغطي ناحية اخرى من الحدود
وهي نظرية الضغط
لأنه عندما تفهمون ما هي نظرية الضغط
ستتمكنون من استخدام نظرية الضغط لاثبات هذا
في الواقع انها تنطوي على توضيح، لكنني اعتقد انكم
ستجدونها متقنة ومرضية اذا استوعبتموها
واذا لم تستوعبوها، ربما ستلجأون الى حفظها
لأن تلك النهاية مفيدة جداً لتعرفوها لاحقاً عندما
نأخذ مشتقات اقترانات علم حساب المثلثات
فما هي نظرية الضغط؟
ان نظرية الضغط هي النظرية المفضلة لدي في
الرياضيات، لأنها تحتوي على كلمة ضغط
نظرية الضغط
وعندما تقرأونها في موضوع التفاضل والتكامل فإنها تبدو
معقدة

Turkish: 
-
Bu videoda size şunu kanıtlayacağım:
iks, sıfıra yaklaşırken; "sinüs iks" bölü iks'in limiti 1'dir.
Ama trigonometriye girmeden önce,
limitin bir diğer özelliğini anlatacağım.
Bu da, Sandviç Teoremi.
Çünkü Sandviç Teoremi'ni öğrendikten sonra,
bu limit eşitliğini kanıtlamak için onu kullanacağız.
Aslında sözel açıklamaya dayanıyor
ama konuyu kavradığınızda bunun yeterli olduğunu göreceksiniz.
Kavrayamazsanız da, bunu hatırlamanız yeterli olur.
Çünkü bu fonksiyon, ileride trigonometrik fonksiyonların
limitine geldiğimizde, çok işinize yarayacak.
Pekâlâ; Sandviç Teoremi nedir?
Sandviç Teoremi, muhtemelen matematiğin en sevdiğim teoremi,
çünkü içinde "sandviç" var.
Sandviç Teoremi.
Matematik kitabından çalışırken
daha karmaşıkmış gibi gelir.

Spanish: 
En este video voy a demostrar que el límite cuando
x tiende a 0 de seno de x partido de x es igual a 1.
Pero antes de hacer eso, antes de meterme en trigonometría
vamos a repasar otros aspectos de límites
Y ese es el teorema de compresión.
Porque una vez que usted entiende lo que el teorema de compresión es,
podemos utilizar el teorema de apriete para probar esto.
En realidad es una explicación muy involucrados, pero creo que va a
resulta bastante ordenada y satisfactoria si usted lo consigue.
Si no lo consigue, tal vez sólo quiere que memorizar esto.
Porque eso es un límite muy útil para conocer más adelante, cuando
tomamos las derivadas de las funciones trigonométricas.
¿Cuál es el teorema de compresión?
El teorema del apretón es mi favorito en el teorema de
matemáticas, posiblemente debido a que tiene la contracción del término en el mismo.
Apriete teorema.
Y cuando lo leí en un libro de cálculo se ve
nada complicado.

Korean: 
"아, 그래 뭐 내용은 간단한데 이걸 어디다 써먹지"
(a,L)을 찍어봅시다
Bill도 화요일에
300 칼로리 어치를 먹었다고 해봅시다
Bill보다 적게 먹는다고 해봐요.
Bill이 먹는 것 이하를 먹는걸 알고 있으니까요
Sal은 어떤 날에도 Umama보다 많이 먹고,
Sal은 언제나 Umama보다 많이 먹는다.
Umama가 300, Bill이 300 칼로리를 먹었다면
Umama는 제 아내 이름인데요
Umama보다 항상 밥을 많이 먹는다고 해보죠
a하고, 이게 L이고요
f(x)가 정확히 저기로 정의된 게 아니어도
f(x)는 그 정의역 위에서 h(x) 이하라고 하고요
g(x)가 항상 f(x) 이하라고 하고
g(x)고요
g(x)의 극한이 L이고요
h(x)는 다른 색으로 그려보겠습니다
h(x)는 이렇게 생겼겠죠
h(x)보다는 작겠죠?
sin(x)/x의 극한이 1이라는 걸 보일 겁니다
x가 0으로 갈 때 sin(x)/x의 극한이
1이라는 사실입니다
x가 a로 갈 때 f(x)의 극한 또한 L이라는 겁니다.
x가 a로 갈 때 h(x)의 극한 또한 존재해 L이면
감이 좀 오시나요?
거의 8분이 지나가지고요
그 값이 L이라고 할 때,
그 극한은 정확히 L이 됩니다
그 점에서 나도 그것들과
같은 값이 되어야 한다는 얘깁니다
그게 중요한 내용이기도 합니다
그래도 우리는 다음 강의에서 스퀴즈 정리가
그래프를 한번 그려볼게요
그러니까 f(x)를 어떻게 그리든
그러니까 f(x)의 그래프를
어떻게 그리든 간에
그러니까 x가 a로 갈 때
그러니까 스퀴즈 정리가 보장하는 것은,
그러니까 이 점을 지나야 되는 겁니다
그러니까 이걸 가정해봅시다
그러니까 이걸 기억하시고요
그러니까 이게 g(x)입니다
그러니까 임의의 날에-- 어떤 날에도
그러니까 제가 항상 Umama 이상,
Bill 이하를 먹는다는 얘기죠
그럼 결론이 뭐죠?
f(x)를 보면
그럼 다음 강의에서 뵙겠습니다
그럼 화요일에 제가 먹었던 양은
300 칼로리 어치가 될 수밖에 없겠죠
극한만 존재한다면 말이죠
극한에서 또 다른 내용을 좀 설명하려고 합니다
극한을 본다면 x가 a로 갈 때
f(x)의 극한은 L이라는 말입니다
나도 그 위치에 있어야 한다는 거죠
나중에 삼각함수의 미분을 배울 때
내가 항상 Umama와 Bill 사이에 있고
다른 색으로 그래프를 그려볼게요
다시 x가 a로 갈 때
h(x)의 극한을 보면--
대충 이렇게 생겼겠죠?
도움이 됐기를 바라요
둘 사이에 딱 끼는 (압착) 상황인거죠
둘이 화요일에 같은 위치에 있다고 하면
또 Sal이 항상 누구보다 밥을 적게 먹냐면
또 x가 a로 갈 때 g(x)의 극한이 존재해서
또 동시에 항상 또 다른 것 이하라고 할 때
또 뭐가 있냐면 이 스퀴즈 정리를 배우면
또 뭘 아냐면 g(x)의 극한이 여기로--
만약 이해하기 어렵다면,
그냥 외우기만 해도 도움이 될 겁니다
만약 제가-- 그러니까 Sal이
말하고자 하는 건, 어떤 정의역 위에서
몇 칼로리 어치를 먹었을까요?
뭐 미적분학 책이나
미적분학 대비용 책이라든지요
(역주: 미국 교육과정은 미적분 전 단계로
미적분학 대비 과정이 있음)
바로 스퀴즈 정리 (샌드위치 정리/압착 정리) 인데요
본격적으로 삼각함수에 대한 이야기를 하기 전에,
사실 이 함수들은 a라는 점에서
솔직히 말해서 아주 간단합니다
수학적인 언어로 써볼까요?
스퀴-즈 정리.
스퀴즈 정리.
스퀴즈 정리...
스퀴즈 정리가 보장하는 것은--
바로 증명할 건 아니지만요,
스퀴즈 정리는 제가 수학에서
제일 좋아하는 정리인데요
스퀴즈 정리를요
스퀴즈라는 말의 어감이 맘에 듭니다
싶을 수가 있는데
아까랑 똑같은 거예요.
아무래도 이건 다음 강의에서 해야겠군요
아주 유용하게 쓰일 거거든요
어디, 이게 x에 관한 함수니까요
어디에 쓰는지 보자는 거죠
어떤 날에도 Sal은 Bill보다 적게 먹는 거죠
어떤 점에서 그것들 둘의 값이 같으면
엄청 복잡하게 생겼는데 사실 의미 자체는
엄청 복잡해요
여기가 되겠죠
예시를 하나 들어보죠
왜 이걸 보이려고 하냐면
왜냐면 스퀴즈 정리를 이해하기만 하면
음, 누구로 할까요
이 경우에 f(x)가 Sal이 하루에 먹는 양이라고 하고요,
이 극한을 스퀴즈 정리를 써서 보일 수 있기 때문이죠
이 녹색 그래프가, 어디 보자
이 둘 사이에 놓이겠죠. 그렇죠?
이 때 화요일에, 여기서 a가 화요일이라고 하면요
이 축을 h(x), g(x), f(x)의 축이라고 하고요
이걸 미적분학 책 펴고 찾아보면
이걸 보이려고 할 때 얼마나 유용한지 알 수 있을 겁니다
이게 Bill의 식사량이죠.
이게 Umama가 먹는 양이고
이게 g(x)예요.
이게 h(x)예요
이게 우리의 g(x)고요
이런 게 스퀴즈 정리의 요지인데요
이렇게요
이번 강의에서 제가 증명하려는 것은
바로 다음 극한,
이제 g(x)를 보면,
이게 지금 아래에 위치한 함수죠?
이제 스퀴즈 정리를 써서 x가 0으로 갈 때
이해 자체는 깔끔하고 만족스럽게 될 거예요
일단 정리가 무슨 뜻인지를 이해하는 게
중요하니까요--
자 그럼 스퀴즈 정리가 뭐냐?
자 이 점에서 h(a)=L이고요
자, 그럼 여기서 문제입니다.
화요일에 Sal은, 그러니까 저는
자, 그럼 화요일에 Umama가
300 칼로리 어치를 먹었고
자, 다시 x가 a로 갈 때
h(x)의 극한을 보면
자, 이게 a고요.
우리가 지금 보려는 값이죠
자, 점을 하나 찍읍시다.
(a,L).
저 점에서 정의는 안 됐을 수 있어도
저게 종속변수 축이고 이게 x축이죠
저도 300 칼로리를 먹었다는 결론을 얻는 거죠
적어도 그 위치에 가까워져야 한다는 거죠
적어도 극한값은 L이 되겠군요
정말 유용한 극한이거든요
정의가 안 돼 있어도 상관이 없습니다
정의에 의해 이 두 함수 사이에 놓이죠
정확히는 저 점에 가까이 가야한다는 얘기죠
제가 항상 Umama보다 많이--
뭐, Umama가 먹는 것 이상을 먹고요,
조금 더 형식적인 언어로 써볼 거예요
좀 복잡한 설명이 되긴 하겠지만
칼로리에 관한 예시가 조금
하지만 본질적으로는 결국
내가 항상 어떤 것 이상이고
항상 이 녹색 함수보단 크겠죠

Estonian: 
.
Selles videos ma tõestan, et piirväärtus
kui x läheneb 0'le siinus x'st jagatud x'ga on võrdne 1'ga.
Aga enne seda teeme veidi trigonomeetriat,
vaatame üle ühe teise piirväärtuste aspekti.
Ja see on võileiva reegel.
Kui sa saad aru, mis on võileiva reegel, siis
me saame võileiva reeglit kasutada selle tõestamiseks.
See on tegelikult päris keerukas tõestus, aga ma usun, et
su arust on see päris meeldiv kui sa sellest aru saad.
Kui ei saa, siis tuleks see pähe õppida.
Kuna see on väga kasulik piirväärtus, mida oleks vaja teada
kui me tegeleme trigonomeetriliste tuletistega.
Mis on võileiva reegel?
Võileiva reegel on minu lemmik teoreem
matemaatikas, selle pärast, et seal on sõna võileib sees.
Võileiva reegel.
Ja kui sa loed seda matemaatilise analüüsi raamatust, siis
tundub see keeruline.

Italian: 
In questo video ti dimostro che il limite per
x che tende a 0 di sin(x)/x e' uguale a 1.
Ma prima di farlo, prima di entrare nella trigonometria,
andro' su un altro aspetto dei limiti.
Ed e' il teorema della strizzata (dei due carabinieri in Italiano).
Perche' una volta che capisci cos'e' il teorema della strizzata,
puoi usare il teorema della strizzata per dimostrarlo.
In realta' e' una spiegazione piuttosto complicata, ma penso che la
troverai piuttosto fica e soddisfacente se la capisci.
Se non la capisci, magari la vuoi imparare a memoria.
Perche' e' un limite molto utile da sapere piu' in la' quando
facciamo le derivate delle funzioni trigonometriche.
Percio', cos'e' il teorema della strizzata?
Il teorema della strizzata e' il mio teorema di matematica
preferito, possibilmente perche' contiene la parola strizzata.
Teorema della strizzata.
E quando lo leggi sui libri di calcolo sembra
tutto complicato.

Chinese: 
這個影片我會給你們證明
當x趨向0時sinx/x的極限等於1
但在那之前 在我講三角學之前
我要複習一下極限的另一個內容
那就是夾逼定理
因爲一旦你們理解了夾逼定理
就可以用它來證明這個問題
這是一個複雜的闡述
但我認爲你們會發現它很巧妙
並且在理解之後會感到滿足感
如果你們不能理解 那麽就要記住了
因爲這是很有用的極限
稍後我們求三角函數導數時你們就會知道
那麽什麽是夾逼定理呢
夾逼定理是我最喜歡的一個定理
可能因爲它裏面有squeeze這個詞吧
夾逼定理
當你們在微積分的書中讀到它的時候
看起來很複雜

Czech: 
V tomto videu dokáži, že limita,když
se x blíží nule sinus x děleno x je roven 1.
Ale než to udělám, než se dostanu ke goniometrickým funkcím,
zaoberu se jiným aspektem limit.
A to je srovnávací kritérium.
Protože, až budete vědět, co srovnávací kritérium je
tak ho budeme moci použít k dokázání naší limity.
Je to teda docela spletité vysvětlení, ale myslím, že
se Vám bude zdát docela pěkné a dostačující, až ho pochopíte.
Pokud ho nepochopíte, tak se to prostě nabiflujete.
Protože je to velice důležitá limita v dalším průběhu kurzu.
Až budeme brát derivace goniometrických funkcí.
Co teda je srovnávací kritérium?
Srovnávací kritérium je moje oblíbená věta
v matematice, protože obsahuje slovo squeeze (squeeze theorem, význam si dohledejte ;)
Srovnávací kritérium.
Když o něm čtěte v učebnici kalkulu (matematické analýzy / diferenciálních počtů atd.)
tak se zdá nadmíru komplikovaný.

German: 
In diesem Video werde ich beweisen, dass der Grenzwert von
x gegen 0 für den sinus von x geteilt durch x gleich 1 ist.
Aber bevor ich damit anfange, bevore ich mit Trigonometrie anfange, werde ich
einen anderen Aspekt von Grenzwerten zeigen.
Und das ist der Einschnürungssatz.
Sobald ihr einmal den Einschnürungssatz verstanden habt,
können wir diesen zum beweisen verwenden.
Es ist eigentlich eine recht komplizierte Erklärung, aber ich glaube ihr werdet
es sehr hübsch und befriedigend finden, wenn ihr es versteht.
Wenn nicht reicht es vielleicht es sich zu merken.
Weil es ein sehr nützlicher Grenzwert ist wenn
wir später die Ableitungen von trigonometrischen Funktionen bilden.
Was ist also der Einschnürungssatz?
Der Einschnürungssatz ist mein Lieblingssatz
der Mathematik; wahrscheinlich weil er das Wort einschnüren (squeeze) enthält.
Einschnürungssatz
In Analysis Büchern sieht das
sehr kompliziert aus.

Polish: 
W tym filmie, udowodnię Ci, że granica taka jak:
przy x zbiegającym do 0, wyrażenia sin(x)/x, jest równa 1
Ale zanim to zrobię, zanim przejdę do trygonometrii,
zajmę się innym aspektem granic.
Twierdzenie o trzech ciągach.
Ponieważ, gdy już zrozumiecie czym jest twierdzenie o trzech ciągach
będziemy mogli go użyć do udowodnienia naszej granicy.
To jest właściwie, bardzo zawiły dowód, ale myślę, że
uznacie go za elegancki i satysfakcjonujący gdy go zrozumiecie.
Ale jeśli nie zrozumiecie, możecie zapamiętać to na pamięć.
Bo to bardzo użyteczna granica, gdy
bierzemy się za pochodne funkcji trygonometrycznych.
Więc czym jest twierdzenie o trzech ciągach?
Twierdzenie o trzech ciągach jest moim ulubionym twierdzeniem
w matematyce, być może dlatego, że ma słowo "ściskanie" w nazwie (squeeze)
Twierdzenie o ściskaniu.
Gdy przeczytasz je w podręczniku od rachunku, wygląda
na całkowicie skomplikowane.

Indonesian: 
Saya tidak ingat, apakah anda membacanya di buku kalkulus atau
buku pra kalkulus.
Hal ini terlihat sangat rumit, tapi apa yang ingin disampaikannya
dapat dikatakan cukup terlihat jelas.
Mari saya berikan anda sebuah contoh.
Jika saya katakan bahwa saya selalu -- maka Sal selalu
makan lebih banyak dibandingkan Umama.
Umama adalah istri saya.
Jika saya katakan bahwa adalah benar, Sal selalu
makan lebih banyak dibandingkan Umama.
Dan saya juga pernah diberitahu sebelumnya bahwa Sal selalu makan lebih sedikit dibandingkan -- saya tak
tahu, biarkan saya membuat karakter fiksional --
dengan Bill.
Jadi pada hari apapun -- kita anggap pada hari ini.
Sal selalu makan lebih banyak dibanding Umama pada hari apapun, dan Sal

Estonian: 
Ma ei tea, kas sa loed seda matemaatilise analüüsi raamatust
või analüüsi eelsest raamatust.
See tundub keeruline, aga see mida ta ütleb
on päris ilmselge.
Teeme näite.
Kui ma ütleksin, Sal alati
sööb rohkem kui Umama.
Umama on mu naine.
Kui ma ütleksin sulle, et see on tõsi, Sal alati
sööb rohkem kui Umama.
Ja kui ma sammuti ütleks, et Sal alati sööb vähem kui ---
mõtleme kellegi välja--
Bill.
.
Igal suvaliselt päeval.
Sal alati sööb rohkem kui Umama juhuslikul päeval ja

Chinese: 
我不知道你們是在
微積分還是微積分預備的教材中看到的
反正它看起來很複雜
但所講的東西卻是顯而易見的
我舉個例子
如果我告訴你我總是
Sal總是吃的比Umama吃的多
Umama是我的妻子
如果我告訴你這是對的
Sal總是吃的比Umama多
還有Sal總是吃的比--
我來編個虛構的人物
Sal吃的比Bill吃的少
所以在任意給定的某天裏
Sal總是會吃的比Umama多
且比Bill少

Arabic: 
لا اعلم عندما تقرأونها، في موضوع التفاضل والتكامل او
في مقدمة التفاضل والتكامل
انها تبدو معقدة، لكن مضمونها
واضح جداً
دعوني اعطيكم مثالاً
اذا اخبرتكم انني دائماً --اذاً دائماً سالي
تأكل اكثر من اميمة
اميمة هي زوجتي
اذا اخبرتكم ان هذا صحيح، سالي دائماً
تأكل اكثر من اميمة
واردت ان اقول ان سالي دائماً ما تأكل اقل من --لا
اعلم، دعوني احاول ايجاد شخصية--
من بيل
.
اذاً في يوم من الايم --دعونا نفترض ان هذا هو اليوم المعين--
سالي تأكل دائماً اكثر من اميمة في يوم ما، وسالي

German: 
Ich weiß nicht in was für einem Mathebuch
Analysis oder so.
Es sieht super kompliziert aus, aber was ich sage ist
wirklich ganz einfach.
Machen wir ein Beispiel.
Wenn ich sage, dass ich immer -- also Sal immer
mehr isst als Umama.
Umama ist meine Frau.
Ich habe euch gesagt, dass es wahr ist, dass Sal immer
mehr ist als Umama.
Und ich sage auch, dass Sal immer weniger isst als -- keine Ahnung,
ich erfinde einen Menschen --
als Bill.
Also an jedem Tag -- angenommen das gillt an jedem Tag.
Sal isst immer mehr als Umama und Sal

Chinese: 
我不知道你们是在
微积分还是微积分预备的教材中看到的
反正它看起来很复杂
但所讲的东西却是显而易见的
我举个例子
如果我告诉你我总是
Sal总是吃的比Umama吃的多
Umama是我的妻子
如果我告诉你这是对的
Sal总是吃的比Umama多
还有Sal总是吃的比--
我来编个虚构的人物
Sal吃的比Bill吃的少
所以在任意给定的某天里
Sal总是会吃的比Umama多
且比Bill少

Portuguese: 
Não sei quando você lê-lo, em um livro de cálculo ou
em um livro pré-calculo.
Parece tudo complicado, mas o que ele está dizendo é
francamente bastante óbvio.
Deixe-me dar um exemplo.
Se eu lhe disse que eu sempre - assim Sal sempre
Come mais do que Umama.
Umama é minha esposa.
Se eu lhe disse que isso é verdade, Sal sempre
Come mais do que Umama.
E eu também estavam a dizer que o Sal come sempre menos do que - eu não
sabe, permitam-me que compõem uma personagem ficcional-
do que Bill.
Assim por diante qualquer determinado dia - vamos dizer que isso é em um determinado dia.
Sal sempre come mais de Umama em qualquer dia

Portuguese: 
Eu não sei onde você o encontra,
se é num livro de cálculo
ou de pré-cálculo.
Ele parece todo complicado,
mas o que ele diz é
bastante óbvio.
Deixe-me te dar um exemplo.
Se eu te disser que eu
sempre - o Sal sempre...
come mais que a Umama.
Umama é minha esposa.
Se eu te disser que isso é verdade:
o Sal sempre
come mais que a Umama.
E eu fosse te dizer também que
o Sal sempre come menos que - sei lá
eu vou inventar um personagem fictício -
que o Bill.
Então em um dia qualquer -
digamos que seja em um dia qualquer.
O Sal sempre come mais que a Umama
em um determinado dia, e o Sal

Italian: 
Non lo so quando lo leggi, su un libro di calcolo o
su un libro di precalcolo.
Sembra tutto complicato, ma quello che dice e'
francamente piuttosto ovvio.
Fammiti dare un esempio.
Se ti dicessi che io --- quindi Sal mangia
sempre piu' di Umama.
Umama e' mia moglie.
Se ti dicessi che e' vero, Sal mangia
sempre piu' di Umama.
E ti dicessi anche che Sal mangia sempre meno di --- non
lo so, fammi inventare un personaggio fittizio ---
di Bill.
Quindi in un qualsiasi certo giorno --- diciamo che questo e' un dato giorno.
Sal mangia sempre piu' di Umama in un qualsiasi giorno e Sal

Bulgarian: 
Не знам кога ще я срещнеш -- в учебниците по математически анализ
или в тези по въведение към математическия анализ.
Тя изглежда изцяло сложна, но това, което гласи,
е честно казано доста очевидно.
Нека ти дам един пример.
Ако ти бях казал, че аз винаги -- Сал винаги
яде повече от Умама.
Умама е съпругата ми.
Ако ти бях казал, че това е вярно, че Сал винаги
яде повече от Умама.
И ти бях казал също, че Сал винаги яде по-малко от -- не знам
нека измисля някакво име --
от Бил.
 
За всеки даден ден -- нека кажем, 
че това е даден ден.
Сал винаги яде повече от Умама във всеки един ден и Сал

Polish: 
Nie wiem, kiedy to czytaliście, w podręczniku od rachunku lub
w łatwiejszym podręczniku.
Ono wygląda na trudne ale
to co ono mówi jest dosyć oczywiste.
Pozwólcie, że dam Wam przykład.
Gdybym wam powiedział, że ja zawsze - więc Sal zawsze
je więcej niż Umama.
Umama to moja żona.
Gdybym powiedział, że to prawda, że Sal zawsze
je więcej niż Umama.
I miałem też powiedzieć, że Sal zawsze je mniej niż
- nie wiem, pozwólcie, że stworzę nową postać -
niż Bill.
Zatem danego dnia - powiedzmy, że to jest danego dnia.
Sal zawsze je więcej niż Umama, dowolnego dnia, oraz Sal

English: 
I don't know when you read
it, in a calculus book or
in a precalculus book.
It looks all complicated,
but what it's saying is
frankly pretty obvious.
Let me give you an example.
If I told you that I
always-- so Sal always
eats more than Umama.
Umama is my wife.
If I told you that this
is true, Sal always
eats more than Umama.
And I were also to say that Sal
always eats less than-- I don't
know, let me make up a
fictional character--
than Bill.
So on any given day-- let's
say this is in a given day.
Sal always eats more than Umama
in any given day, and Sal

Czech: 
Nevím, kdy se to vlastně učí, jestli v kalkulu,
nebo prekalkulu. (americké předměty, nedůležité na pochopení)
Zdá se velice komplikované, ale co to vlastně říká je
docela jasné.
Pokusím se to vysvětlit na příkladu.
Kdybych Vám řekl, že Sal (to jsem já) vždycky jí
víc než Umama.
Umama je moje žena.
Když Vám řeknu, že to je pravda. Prostě Sal jí
víc než Umama.
A taky bych Vám řekl, že Sal jí méně než - teď
fakt nevím kdo, někoho si prostě vymyslím--
než Bill.
Takže v jakýkoliv den--ale řekněme že to je ve známém dnu.
Sal jí vždy více než Umama v jakýkoliv den, a Sal

Spanish: 
No sé cuando lo lees en un libro de cálculo o
en un libro de precálculo.
Se ve todo complicado, pero es lo que está diciendo
francamente bastante obvio.
Déjeme darle un ejemplo.
Si te dijera que yo siempre - Sal para siempre
come más de Umama.
Umama es mi esposa.
Si te dijera que esto es cierto, siempre Sal
come más de Umama.
Y también decir que Sal siempre come menos - no
sé, déjame hacer un personaje de ficción -
de Bill.
Así que en un día cualquiera - vamos a decir que esto es en un día determinado.
Sal siempre come más de Umama en cualquier día dado, y Sal

iw: 
אני לא יודע מתי תקראו את זה, בספר חדו"א או
בספר קדם-חדו"א.
זה נראה נורא מסובך, אבל מה שזה אומר הוא
למען האמת, די ברור.
אני אתן לכם דוגמה.
אם אני אגיד לכם שאני תמיד -- אז סאל תמיד
אוכל יותר מאוממה.
אוממה זו אשתי.
אם אני אגיד לכם שזה נכון, סאל תמיד
אוכל יותר מאוממה.
ואם אני גם אגיד לכם שסאל תמיד אוכל פחות מ...
בואו נמציא דמות בדיונית --
פחות מביל.
אז בכל יום נתון -- בואו נגיד שזה יום נתון.
סאל תמיד וכל יותר מאוממה בכל יום נתון, וסאל

French: 
Je ne sais pas quand vous le trouvez ; dans un livre d'analyse ou
dans un livre d'algèbre.
Ca à l'air très compliqué, mais ce que ce théorème dit est
franchement assez évident.
Laissez-moi vous donner un exemple.
Si je vous disais que je mangeais toujours ---- disons plûtot, Sal mange
toujours plus que Umama.
Umama est ma femme.
Si je vous disais que c'était vrai, Sal mange
toujours plus que Umama.
Et je vous dirais aussi que Sal mange toujours moins que --- je ne
sais pas, laissez moi inventer un personnage fictif---
que Bill.
Donc en n'importe quel jour donné--- disons que c'est en un jour donné.
Sal mange toujours plus que Umama en n'importe quel jour donné, et Sal

Swedish: 
Jag vet inte om du läser den i en analysbok eller
i en förberedande analysbok.
Den ser komplicerad ut men det den säger är
uppriktigt sagt tämligen självklart.
Låt mig ge er ett exempel.
Om jag säger dig att jag alltid – så Sal alltid
äter mer än Umama.
Umama är min fru.
Om jag sa till dig att detta är sant, så äter Sal alltid
mer än Umama.
Och om jag också sa att Sal alltid äter mindre än – jag vet inte,
låt mig ta en fiktiv person –
än Bill.
Så på varje given dag – låt oss säga att detta är en given dag.
Sal äter alltid mer än Umama på en valfri given dag, och Sal

Thai: 
ไม่รู้สิ ตอนคุณเจอมันในหนังสือแคลคูลัส
หรือหนังสือพรีแคลคูลัสนั้น
มันดูซับซ้อนไปหมด แต่ความหมายของมัน
นั่นตรงไปตรงมาทีเดียว
ขอผมยกตัวอย่างให้ดูแล้วกัน
หากผมบอกคุณว่า ผม -- แซล กินเยอะกว่า
อุมามา เสมอ
อุมามา คือภรรยาผม
และผมบอกคุณว่านี่เป็นเรื่องจริง แซล
กินเยอะกว่าอุมามาเสมอ
และผมบอกว่า แซลกินน้อยกว่า -- ไม่รู้
สิ ขอผมสมมุติใครสักคนขึ้นมาก่อน --
มากกว่าบิลแล้วกัน
ดังนั้นในวันหนึ่ง -- สมมุติว่านี่คือวันที่กำหนดขึ้นมา
แซลกินมากกว่าอุมามาเสมอไม่ว่าวันใด และ

Turkish: 
Bilmiyorum, bu teoremi matematik kitabından
çalışmış mıydınız.
Çok karmaşıkmış gibi gelir ama aslında
gerçekten çok kolaydır.
Size bir örnek vereyim.
Örneğim şöyle olsun. Diyelim ki... Sel, her zaman
Umema'dan fazla yemek yer.
Umema karımın adı.
Birinci önermem bu: Sel, her zaman
Umema'dan fazla yemek yer.
Ayrıca şunu da söylüyorum: Sel, her zaman... Kimden desem acaba?
Uydurma biri olsun.
Bil, diyelim.
-
"Tüm günlerde" şartını da ekleyelim.
Sel, tüm günlerde, Umema'dan fazla yemek yer.

Indonesian: 
selalu makan lebih sedikit dari Bill pada hari apapun.
Sekarang jika saya katakan bahwa pada hari Selasa Umama memakan 300 kalori
dan pada hari Selasa Bill memakan 300 kalori.
Sehingga pertanyaan saya kepada anda adalah, berapa banyak kalori yang Sal makan,
atau yang saya makan, pada hari Selasa?
Saya selalu makan lebih banyak dibanding Umama -- Lebih banyak atau
sama dengan Umama -- dan saya selalu makan lebih sedikit atau sama dengan Bill.
Jadi, pada hari Selasa, saya pasti telah memakan 300 kalori.
Jadi, ini adalah inti dari teorema apit, dan saya akan menjelaskan
sedikit lebih banyak secara formal.
Tapi penting untuk dikatakan, jika saya selalu lebih besar dari satu
hal dan saya selalu lebih kecil dari hal lain dan pada suatu saat yang sama
kedua hal tersebut sama, maka saya pasti sama
terhadap apapun kedua hal tersebut sama dengan.
Saya seakan sedang di apit oleh kedua nya

Portuguese: 
e Sal sempre come menos do que Bill em qualquer dia.
Agora se eu fosse dizer-lhe que, na terça-feira, Umama comia 300 calorias
e na terça-feira Bill comia 300 calorias.
Minha pergunta a você é, quantas calorias comeu Sal,
ou eu comer, na terça-feira?
Bem eu sempre comer mais do que Umama - bem, mais ou
igual a Umama - e eu sempre comer menor ou igual ao Bill.
Então, na terça-feira, eu devo ter comido 300 calorias.
Portanto, esta é a essência do teorema do confronto,
e eu vou fazer um pouco mais formal.
Mas é essencialmente dizendo, se eu estou sempre maior do que uma coisa
e eu estou sempre menos do que outra coisa e em algum momento
as duas coisas são iguais, bem, então eu devo ser igual
a tudo o que essas duas coisas são iguais a.
Eu tive que ser "espremido" entre eles.

Chinese: 
如果我告诉你们星期二 Umama吃了300卡路里
Bill也吃了300卡路里
那么我要问的是 Sal吃了多少卡路里
或者说我吃了多少
那么 我总是比Umama吃得多--
多于或者等于Umama--
并且我总是比Bill吃得少
所以星期二我肯定是吃了300卡路里
这就是夹逼定理的要义
接下来我会正式地讲解
但从本质上来说
如果我总是比某物大
而且总是比另一个小
在某点二者相等
那么无论它们等于几
我也必须等于那个数

Swedish: 
äter alltid mindre än Bill på en given dag.
Om jag nu säger dig att i tisdags åt Umama 300 kalorier
och att i tisdags åt Bill 300 kalorier.
Så är min fråga till dig: Hur många kalorier åt Sal,
eller åt jag, i tisdags?
Okej, jag äter alltid mer än Umama – okej mer än eller
lika med Umama – och jag äter alltid mindre än eller lika med Bill.
Så på tisdagen måste jag ha ätit 300 kaloreier.
Detta är i grova drag instängningssatsen, och jag ska nu
bli lite mer formell.
Men väsentligen säger den att om jag alltid är större än en
sak och jag alltid är mindre än en annan sak och om vid en punkt
dessa två saker är lika, ja då måste även jag vara lika med
det som dessa båda saker är lika med.
Jag är instängd emellan dem.

French: 
manges toujours moins que Bill en n'importe quel jour donné.
Maintenant, si je vous disais que mardi, Umama a mangé 300 calories
et que mardi, Bill a mangé 300 calories.
Alors ma question est, combien de calories Sal a mangé,
ou j'ai mangé, mardi?
Donc, je mange toujours plus que Umama --- enfait plus que ou
autant que Umama --- et je mange toujours moins ou autant que Bill.
Donc, mardi, j'ai du manger 300 calories.
Donc ca c'est le principe du théorème des gendarmes, et je vais faire
un peu plus formel.

Arabic: 
دائماً ما تأكل اقل من بيل في يوم ما
الآن اذا اخبرتكم انه في يوم الثلاثاء اكلت اميمة بمقدار 300 سعرة حرارية
وفي يوم الثلاثاء اكل بيل 300 سعرة حرارية
.
اذاً سؤالي الآن هو، كم سعرة حرارية اكلت سالي
او اكلت انا، يوم الثلاثاء؟
حسناً، دائماً ما آكل اكثر من اميمة --حسناً، اكثر من او
يساوي اميمة-- ودائماً ما آكل اقل من او يساوي بيل
بالتالي في يوم الثلاثاء، يجب ان آكل 300 سعرة حرارية
اذاً هذا هو جوهر نظرية الضغط، وسوف اقوم
بحل بعض الامثلة عليها
لكن مضمونها، اذا كنت دائماً اكبر من
شيئ ما ودائماً اقل من شيئ آخر عند نقطة ما
فإن هؤلاء الشيئان متساويان، حسناً، بالتالي يجب ان اساوي
هذان الشيئان مهما كانا
انني نوعاً ما متموضع بينهما

Chinese: 
如果我告訴你們星期二 Umama吃了300卡路裏
Bill也吃了300卡路裏
那麽我要問的是 Sal吃了多少卡路裏
或者說我吃了多少
那麽 我總是比Umama吃得多--
多於或者等於Umama--
並且我總是比Bill吃得少
所以星期二我肯定是吃了300卡路裏
這就是夾逼定理的要義
接下來我會正式地講解
但從本質上來說
如果我總是比某物大
而且總是比另一個小
在某點二者相等
那麽無論它們等於幾
我也必須等於那個數

Spanish: 
Siempre se come menos de Bill en un día determinado.
Ahora bien, si yo te digo que el martes Umama comieron 300 calorías
y el martes Bill se comió 300 calorías.
Así que mi pregunta es, ¿cuántas calorías se come Sal,
o que yo como, el martes?
Bueno, yo siempre comer más de Umama - bueno, más o
igual a Umama - y siempre comer menos o igual a Bill.
Así que el martes, debo haber comido 300 calorías.
Así que esta es la esencia del teorema de compresión, y yo le
un poco más formal.
Pero es esencialmente diciendo, si estoy siempre mayor que una
cosa y siempre estoy a menos que otra cosa y en algún momento
esas dos cosas son iguales, y entonces debe ser igual
a lo que esas dos cosas son iguales.
He especie de estado apretados entre ellos.

English: 
always eats less than
Bill on any given day.
Now if I were tell you that on
Tuesday Umama ate 300 calories
and on Tuesday Bill
ate 300 calories.
So my question to you is, how
many calories did Sal eat,
or did I eat, on Tuesday?
Well I always eat more than
Umama-- well, more than or
equal to Umama-- and I always
eat less than or equal to Bill.
So then on Tuesday, I must
have eaten 300 calories.
So this is the gist of the
squeeze theorem, and I'll do
a little bit more formally.
But it's essentially saying, if
I'm always greater than one
thing and I'm always less than
another thing and at some point
those two things are equal,
well then I must be equal
to whatever those two
things are equal to.
I've kind of been squeezed
in between them.

Estonian: 
alati sööb vähem kui Bill.
Kui ma ütleksin, et teisipäeval Umama sõi 300 kalorit
ja teisipäeval Bill sõi 300 kalorit.
.
Minu küsimus on, kui mitu kalorit Sal söi,
või kas ma söin teisipäeval?
Ma söön alati rohkem kui Umama-- tegelikult rohkem
või sama palju-- ja ma söön alati vähem või sama palju kui Bill.
Järelikult teisipäeval söin ma 300 kalorit.
See ongi võileiva reegli sisu,
ma teen nüüd veidi formaalsemalt.
Aga põhimõtteliselt, kui ma olen alati suurem kui üks
asi ja ma olen alati väiksem kui teine asi, siis mingis
punktis kui need kaks asja on võrdsed, siis mina olen ka võrdne
ükskõik millega nemad on võrdsed.
Mind pressitakse nende vahele.

iw: 
תמיד אוכל פחות מביל בכל יום נתון.
עכשיו, אם אני אגיד לכם שביום שלישי אוממה אכלה 300 קלוריות
וביום שלישי ביל אכל 300 קלוריות.
אז השאלה שלי היא: כמה קלוריות אכל סאל,
או כמה אני אכלתי ביום שלישי?
ובכן, אני תמיד אוכל יותר מאוממה -- יותר מ או
שווה לאוממה -- ואני תמיד אוכל פחות מ או שווה לביל.
אז ביום שלישי הייתי חייב לאכול 300 קלוריות.
אז זהו עיקרו של תאוריית הסנדוויץ', ואני אעשה
את זה בצורה קצת יותר פורמלית.
אבל זה למעשה אומר, אם אני תמיד גדול
מדבר אחד ואני תמיד קטן מדבר אחר ובנקודה מסויימת
שני הדברים האלה שווים, אז אני וודאי גם
שווה למה ששניהם שווים.
אני הייתי די בסנדוויץ' ביניהם.

Italian: 
mangia sempre meno di Bill in un qualsiasi giorno.
Ora se ti dicessi che Martedi' Umama ha mangiato 300 calorie
e che Martedi' Bill ha mangiato 300 calorie.
Percio' la domanda che ti faccio e': quante calorie ha mangiato Sal,
o ho mangiato io, Martedi'?
Beh, io mangio una quantita' sempre maggiore di Umama --- beh maggiore o
uguale a Umama --- e mangio sempre una quantita' minore o uguale a Bill.
Percio' Martedi' devo aver mangiato 300 calorie.
Quindi questo e' il succo del teorema dei due carabinieri e lo faccio
in un modo un po' piu' formale.
Ma essenzialmente sta dicendo, se sono sempre piu' grande di una
cosa e sono sempre piu' piccolo di un'altra cosa e ad un certo punto
quelle due cose sono uguali, allora io devo essere uguale
a qualsiasi cosa quelle due cose siano uguali.
Ci sono stato tipo strizzato in mezzo.

Thai: 
แซลก็กินน้อยกว่าบิลเสมอในวันใด ๆ เช่นกัน
ทีนี้ถ้าผมบอกคุณว่า เมื่อวันอังคาร อุมามากินไป 300 แคลอรี
และบิลกินไป 300 แคลอรี
คำถามคือว่า แซลกินไปกี่แคลอรี
ในวันอังคารนั้น
ผมกินเยอะกว่า อุมามา -- อืม มากกว่าหรือ
เท่ากับอุมามา -- และผมกินน้อยกว่าหรือเท่ากับบิล
งั้นในวันอังคาร ผมก็ต้องกินไป 300 แคลอรี
นี่คือแก่นของ squeeze theorem และผมจะ
เขียนมันเป็นทางการกว่านี้หน่อย
แต่ที่สุดแล้วมันบอกว่า หากผมมากกว่าอะไรสักอย่าง
และผมน้อยกว่า อะไรอีกอย่างหนึ่ง และที่
จุดนั้นหากสองอย่างนั้นเท่ากัน ผมก็ต้องเท่ากับ
ค่าที่เจ้าสองอย่างนั้นเท่ากันด้วยเสมอ
ผมประมาณว่าถูกบีบระหว่างสองอย่างนั้น

Portuguese: 
sempre come menos que o Bill
em um determinado dia.
Agora se eu te disser que na terça-feira
a Umama comeu 300 calorias
e que na terça-feira o Bill
comeu 300 calorias.
Então minha pergunta para você é:
quantas calorias o Sal,
ou eu comi na terça-feira?
Bem, eu sempre como mais que a Umama -
mais que ou igual
à Umama - e eu sempre
como menos ou igual ao Bill.
Então na terça-feira,
eu devo ter comido 300 calorias.
Essa é a essência do teorema do confronto,
e eu vou fazer um pouco mais formal.
Mas o que ele diz é, se eu
sempre sou maior que uma coisa
e eu sempre sou menor
que outra coisa e em algum ponto
essas duas coisas são iguais,
então eu também devo ser igual
a o que quer que essas duas coisas sejam.
Eu fui meio que espremido entre eles.

Polish: 
zawsze je mniej niż Bill, dowolnego dnia.
Teraz, gdybym wam powiedział, że we wtorek Umama zjadła 300 kalorii
i we wtorek Bill zjadł 300 kalorii.
Zatem, moje pytanie do Was, ile kalorii zjadł Sal?
czyli ile zjadłem we wtorek?
Cóż, jem zawsze więcej niż Umama, więcej lub tyle samo co Umama
więcej lub tyle samo co Umama... i zawsze mniej lub tyle samo co Bill.
Zatem we wtorek, musiałem zjeść 300 kalorii.
I to jest istota Twierdzenia o trzech ciągach. Przedstawię to
nieco bardziej formalnie.
Ale ono zasadniczo mówi, że jeśli jestem zawsze większy od jednego
obiektu, oraz jestem zawsze mniejszy od innego obiektu, i w pewnym momencie
te dwa obiekty są równe, to wtedy ja muszę być równy
czemukolwiek te dwa obiekty są równe.
Jestem, tak jakby, ściśnięty przez nie.

Turkish: 
Sel, tüm günlerde, Bil'den az yemek yer.
Ama şöyle bir şey ekleyeyim: Salı günleri, Umema, 300 kalori yer.
Salı günleri, Bil, 300 kalori yer.
-
Sorum şu: Sel, salı günleri
kaç kalori yer?
"Fazla veya eşit" diyelim. Her zaman, Umema'dan fazla
veya ona eşit; her zaman Bil'den az veya ona eşit yiyorum.
Demek ki, salı günleri 300 kalori yemeliyim.
Sandviç Teoremi'nin ana fikri bu işte. Daha sonra
formüllerle de açıklayacağım.
Özü şu: Bir şeyden her zaman daha büyük
ve başka bir şeyden de her zaman daha küçüksem
ve bu iki şey bir noktada birbirine eşitse, o hâlde ben de
o noktada onlara eşit olmalıyım.
Sandviç arasındaymışım gibi.

German: 
isst immer weniger als Bill an jedem Tag.
Wenn ich euch jetzt sage dass Umama am Dienstag 300 Kalorien gegessen hat
und am Dienstag aß Bill 300 Kalorien.
Meine Frage an euch ist dann, wie viele Kalorien aß Sal,
oder aß ich, am Dienstag?
Also ich esser immer mehr als Umama -- also mehr oder gleich viel wie Umama --
und ich esse immer weniger oder gleich viel wie Bill.
Also muss ich am Dienstag 300 Kalorien gegessen haben.
Das ist der Kern des Einschnürungssatzes und ich werde es
ein wenig formaler machen.
Im Grunde: wenn ich gleichzeitig immer größer als ein Ding bin
und immer kleiner als ein anderes Ding und diese Dinge
gleich sind, dann muss ich auch
gleich den beiden Dingen sein.
Ich bin wie eingeschnürt zwischen ihnen.

Bulgarian: 
винаги яде по-малко от Бил във всеки един ден.
Сега ако ти бях казал, че във вторник Умама е изяла 300 калории
и че във вторник Бил е изял 300 калории.
 
Въпросът ми към теб е колко калории е изял Сал
или колко съм изял аз във вторник?
Аз винаги ям повече от Умама -- по-голямо
или равно на Умама -- и винаги изяждам по-малко или равно на Бил.
Тогава във вторник трябва да съм изял 300 калории.
Това е същността на теоремата за двамата полицаи, като ще ти я
покажа малко по-официално.
Но тя по същество гласи, че ако винаги имам по-голямо от едно нещо
и винаги имам по-малко от друго нещо, и ако в даден момент
тези две неща са равни, тогава трябва просто да имам равно на
тези две неща.
Един вид съм стиснат между тях.

Czech: 
jí vždy méně než Bill v jakýkoliv den.
Kdybych Vám teď řekl, že Umama snědla 300 kalorií ve úterý
a v úterý snědl Bill 300 kalorií.
Moje otázka by ted byla kolik snědl Sal,
teda já v úterý?
Takže já teda vždycky jím více než Umama-- teda více nebo rovno než Umama
a já jím vždy méně nebo rovno než Bil..
Takže jsem musel v úterý sníst tři sta kalorií.
Toto je teda jádro srovnávacího kritéria a nyní ho
proberu o něco více formálně.
Takže to vlastně říká, že když jsem vždy větší než jedna věc
a vždy menší než druhá věc a v určitém bodě
se tyto dvě věci rovnají, tak
je stejná i ta věc mezi nima.
Prostě jsem byl nima zmáčknut.

Czech: 
Takže jsem vždycky mezi Umamou a Billem, a když jsou
mají tu samou hodnotu v úterý, tak ji musím mít tudíž i
já v tom čase.
Nebo se jí musím aspoň blížit.
Teď to teda popíši v matematických pojmech.
Takže vše, co to říká je, že pro určitý definiční obor,

Indonesian: 
Saya selalu terletak di antara Umama dan Bill, dan jika mereka berdua berada pada
kondisi yang sama pada hari Selasa, maka saya pasti berada
di kondisi tersebut juga.
Atau paling tidak mendekati kondisi tersebut.
Mari saya tuliskan dalam istilah matematis.
Jadi yang dijelaskan oleh teorema itu, dalam taraf tertentu, jika saya katakan bahwa
katakanlah bahwa g dari x lebih kecil atau sama dengan f dari x, yang
lebih kecil atau sama dengan h dari x dalam taraf tertentu.
dan kita juga paham bahwa limit dari g dari x saat x mendekati a adalah
sama dengan Limit tertentu, L, dan kita juga paham bahwa limit
dari x mendekati a dari h dari x juga sama dengan L, maka teorema apit
memberitahukan kita -- dan saya tidak akan membuktikan disini,
tapi cukup baik untuk sekedar memahami apa itu teorema apit

Estonian: 
Ma olen alati Umama ja Billi vahel ja kui nemad on
täpselt samas punktis teisipäeval, siis mina pean ka
seal punktis.
Või ma vähemasti pean sellele lähenema.
Las ma kirjutan selle matemaatilisel kujul.
.
See ütleb, et , üle mingi määramispiirkonna,
ütleme, et g kohal x on väiksem või võrdne kui f kohal x'st, mis
on väiksem või võrdne h kohal x'st , mingil määramispiirkonnal.
Ja me sammuti teame, et piirväärtus g kohal x'st kui x läheneb
a'le on võrdne mingi piirväärtusega, suur L, ja me teame veel, et piirväärtus
kui x läheneb a'le h kohal x sammuti on võrdne L'ga, siis
võileiva reegel ütleb, ma ei tõesta seda
siin, aga on hea teada, mida see tähendab,

German: 
Ich binn immer zwischen Umama und Bill und wenn sie
dienstags am gleichen Punkt sind, dann muss ich
auch an diesem Punkt sein.
Oder wenigstens muss ich es annähern.
Ich schreibe es also mathematisch auf.

Turkish: 
Her zaman Umema ve Bil'in arasındayım.
Salı günleri ikisi de aynı noktadaysa, o hâlde ben de
o noktada olmalıyım.
En azından o noktaya yakınsamalıyım.
Şimdi bunu matematik diliyle yazayım.
-
Belirli bir tanım kümesinde, şöyle yazarsam...
Şöyle yazayım: Bir tanım kümesinde; "ge iks", "fe iks"ten küçük veya ona eşit;
o da "he iks"ten küçük veya ona eşit olsun.
Şunu da biliyoruz: iks, a'ya yaklaşırken, "ge iks"in limiti
büyük L olsun. Bir de şunu biliyoruz:
iks, a'ya yaklaşırken, "he iks"in limiti de büyük L olsun.
Sandviç Teoremi'ne göre... Burada teoremi kanıtlamayacağım
ama ne demek istediğini anlarsanız çok iyi olur.

Arabic: 
انني دائماً اقع بين اميمة وبيل، واذا كانا يقعان على
نفس النقطة في يوم الثلاثاء، بالتالي يجب ان اكون على
تلك النقطة انا ايضاً
او على الاقل يجب ان اقاربها
لذا دعوني اكتب بعبارات رياضية
.
كل ما تتضمنه، فوق مجال ما، اذا قلت ان
دعونا نفترض ان g(x) < = f(x)، وهو
اقل من او يساوي h(x) فوق مجال ما
ونعلم ايضاً ان نهاية g(x) كلما اقتربت x من a
تساوي نهاية ما، لتكن L، ونعلم ايضاً ان نهاية
اقتراب x من a(h(x)) ايضاً تساوي L، بالتالي فإن
نظرية الضغط تخبرنا --وانا لن اثبت ذلك
هنا، لكنه من الجيد ان تفهمون ما هي

Italian: 
Sto sempre in mezzo tra Umama e Bill e se stanno allo
stesso identico punto Martedi' allora anche io devo
stare sullo stesso punto.
O almeno mi ci devo avvicinare.
Quindi fammelo scrivere in termini matematici.
Quindi tutto quello che dice e', in un qualche dominio, se dico che,
diciamo che g(x) ≤ f(x), che e'
≤ h(x) in un qualche dominio.
E sappiamo anche che il limite di g(x) per x che tende ad a
e' uguale ad un qualche limite, L maiuscola, e sappiamo anche che il limite
per x che tende ad a di h(x) e' anche lui uguale a L, poi il teorema dei
due carabinieri ci dice --- e non te lo dimostro qui adesso
ma e' bene capire cos'e' il teorema dei

Spanish: 
Siempre estoy en medio de Umama y Bill, y si están en la
preciso momento en que el martes, entonces tengo que estar en
ese punto también.
O por lo menos debo abordarlo.
Así que me lo escriba en términos matemáticos.
Así que todo lo que dice es que, en algún dominio, si digo que,
vamos a decir que g de x es menor o igual a f de x, que
es menor o igual a h de x en algún dominio.
Y también sabemos que el límite de g de x cuando x se aproxima a es
igual a un límite, L mayúscula, y sabemos también que el límite
cuando x se aproxima uno de los h de x también es igual a L, entonces la contracción
teorema nos dice - y yo no lo voy a demostrar que el derecho
aquí, pero es bueno para entender exactamente lo que la restricción

Bulgarian: 
Винаги се намирам между Умама и Бил и ако те
са точно в една и съща точка във вторник, тогава аз трябва
да съм също в тази точка.
Или поне трябва да клоня към нея.
Нека го напиша с математически термини.
 
Всичко, което гласи, е, че в рамките на някакво дефиниционно множество, ако кажа,
че g от х е по-малко или равно на f от х, което
е по-малко или равно на h от х в рамките на някакво дефиниционно множество.
Знаем също, че границата на g от х, 
когато х клони към а,
е равна на някаква граница, главна буква L и знаем също, че границата,
когато х клони към а, на h от х е също равна на L. Тогава теоремата
за двамата полицаи ни казва -- като няма да я доказвам точно сега тук,
но е добре просто да разбереш

Swedish: 
Jag befinner mig alltid mellan Umama och Bill och om de är på
exakt samma punkt på tisdagen så måste även jag vara på
den punkten.
Eller måste jag åtminstone närma mig punkten.
Så låt mig skriva det i matematiska termer.
Så allt satsen säger är att om i ett visst område
gäller låt oss säga att g(x) är mindre än eller lika med f(x) som
är mindre än eller lika med h(x) över samma område.
Och vi vet också att gränsvärdet för g(x) när x går mot a är
lika med något värde, stort L, och vi vet också att gränsvärdet
för h(x) när x går mot a också är lika med L. Då säger instängningssatsen
att – vilket jag inte kommer att bevisa just
här, men det är bra att veta vad instängningssatsen är -

Portuguese: 
Eu estou sempre entre a Umama
e o Bill, e eles estão
no mesmo ponto na terça-feira,
então eu devo estar nesse ponto também.
Ou eu devo pelo menos me aproximar disso.
Então deixe-me reescrever
em termos matemáticos.
Então tudo que ele diz é que
em um certo domínio, se eu disser que...
digamos que g(x) é menor ou igual a f(x)
que é menor ou igual a h(x)
em um certo domínio.
E nós também sabemos que o limite de g(x)
quando x se aproxima de "a"
é igual a um certo limite, L maiúsculo,
e nós também sabemos que o limite
quando x se aproxima de "a" de h(x)
também é igual a "L", então
o teorema do confronto nos diz que -
e eu não vou provar agora
mas é bom simplesmente entender
o que é o teorema do confronto -

Portuguese: 
Eu sempre estou entre Umama e Bill,
e se eles estão no exato mesmo ponto na terça-feira,
então eu devo estar no nesse ponto também.
Ou pelo menos eu deva abordá-lo.
Permitam-me a escrevê-lo em termos de matemática.
Então tudo que ele diz é que, ao longo de algum domínio, se digo que,
Vamos dizer que g de x é menor ou igual a f de x, que
é menor ou igual a h de x sobre algum domínio.
E sabemos também que o limite de g de x como x aproxima-se um é
igual a alguns limite,L maiúsculo, e sabemos também que o limite
como x abordagens um h de x também igual a L, então o squeeze
o teorema diz-nos - e eu não estou indo para comprovar esse direito
aqui, mas é bom apenas entender o que o squeeze

Thai: 
ผมอยู่ระหว่างอุมามากับบิลเสมอ และหากทั้งสอง
อยู่จุดเดียวกันในวันอังคาร ผมก็ต้อง
อยู่ตรงจุดนั้นด้วย
หรืออย่างน้อย ผมก็ต้องเข้าใกล้มัน
ดังนั้นขอผมเขียนมันในภาษาคณิตศาสตร์
มันบอกว่า ในโดเมนหนึ่ง หากผมบอกว่า
สมมุติว่า g ของ x น้อยกว่าหรือเท่ากับ f ของ x ซึ่ง
น้อยกว่าหรือเท่ากับ h ของ x ในโดเมนหนึ่ง
และเรารู้ว่าลิมิตของ g ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ a เท่ากับ
ลิมิตค่าหนึ่ง คือ L ใหญ่ และเรารู้อีกว่าลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ a ของ h ของ x เท่ากับ L เช่นกัน squeeze
theorem บอกเราว่า -- ผมจะไม่พิสูจน์
ในตอนนี้ แต่มันดีที่จะเข้าใจว่า squeeze theorem

Chinese: 
我被擠在了它們二者中間
我總是在Umama和Bill之間
星期二他們吃的一樣多
那我也必須吃那麽多
或者至少要接近那麽多
我用數學術語表達一下
這定理說的是 在某一域上
若g(x)少於等於f(x)
f(x)少於等於h(x)
同時我們還知道
當x趨向a時 g(x)的極限
等於L 以及
當x趨向a時 h(x)的極限也等於L
那麽由夾逼定理告訴我們-

English: 
I'm always in between Umama and
Bill, and if they're at the
exact same point on
Tuesday, then I must be at
that point as well.
Or at least I must approach it.
So let me write it
in math terms.
So all it says is that, over
some domain, if I say that,
let's say that g of x is less
than or equal to f of x, which
is less than or equal to
h of x over some domain.
And we also know that the limit
of g of x as x approaches a is
equal to some limit, capital L,
and we also know that the limit
as x approaches a of h of x
also equals L, then the squeeze
theorem tells us-- and I'm not
going to prove that right
here, but it's good to just
understand what the squeeze

Polish: 
Jestem zawsze pomiędzy Umamą i Billem, i jeśli są oni
w tym samym punkcie we wtorek, wtedy ja muszę być
w tym samy punkcie również.
Lub przynajmniej muszę tam zbiegać.
Zapiszę to językiem matematycznym.
Zatem, to wszystko sprowadza się do tego, że w jakiejś dziedzinie,
powiedzmy g(x) jest mniejsze lub równe f(x), które
jest mniejsze lub równe h(x) w pewnej dziedzinie.
I wiemy również, że granica g(x), przy x dążącym do a,
jest równa pewnej liczbie całkowitej L, oraz wiemy, że granica
h(x) , przy x dążącym do a, również jest równa L, to
Twierdzenie o trzech ciągach mówi nam - i nie zamierzam udowadniać tego prawa
tutaj, ale dobrze jest po prostu zrozumieć czym

iw: 
אני תמיד בין אוממה לביל ואם הם בדיוק
באותה נקודה ביום שלישי, אז אני חייב להיות
בנקודה הזאת גם כן.
או לפחות אני חייב להתקרב אליה.
אז תנו לי לרשום את זה במונחים מתימטיים.
אז כל מה שזה אומר, שעל תחום מסויים, בואו נגיד,
ש ג'י של איקס הוא פחות מ או ששווה לאף של איקס, שהוא
קטן או שווה לאייץ' של איקס בתחום כלשהו.
ואנחנו גם יודעים שהגבול של ג'י של איקס ככל שאיקס מתקרב לאיי הוא
שווה לגבול כלשהו, אל גדול. ואנחנו גם יודעים שהגבול
ככל שאיקס מתקרב לאיי של אייץ' של איקס גם שווה לאל גדול, אז כלל
הסנדוויץ' אומר לנו -- ואני לא אוכיח את זה עכשיו
אבל זה טוב רק בשביל להבין מהו כלל

Chinese: 
我被挤在了它们二者中间
我总是在Umama和Bill之间
星期二他们吃的一样多
那我也必须吃那么多
或者至少要接近那么多
我用数学术语表达一下
这定理说的是 在某一域上
若g(x)小于等于f(x)
f(x)小于等于h(x)
同时我们还知道
当x趋向a时 g(x)的极限
等于L 以及
当x趋向a时 h(x)的极限也等于L
那么由夹逼定理告诉我们-

English: 
theorem is-- the squeeze
theorem tells us then the limit
as x approaches a of f of x
must also be equal to L.
And this is the same thing.
This is example where f of x,
this could be how much Sal eats
in a day, this could be how
much Umama eats in a
day, this is Bill.
So I always eat more than
Umama or less than Bill.
And then on Tuesday, you could
say a is Tuesday, if Umama had
300 calories and Bill had 300
calories, then I also had
to eat 300 calories.
Let me let me graph
that for you.
Let me graph that, and I'll
do it in a different color.
Squeeze theorem.
Squeeze theorem.
OK, so let's draw the
point a comma L.
The point a comma L.
Let's say this is a, that's
the point that we care
about. a, and this is L.

Arabic: 
نظرية الضغط-- نظرية الضغط تخبرنا ان نهاية
اقتراب x من a(f(x)) يجب ايضاً ان تساوي L
وهذا نفس الشيئ
هذا مثال على f(x) يمكن ان يكون مقدار ما اكلته سالي
في يوم ما، يمكن ان يكون ايضاً مقدار ما اكلته اميمة في
يوم ما، هذا بيل
اذاً انا دائماً آكل اكثر من اميمة او اقل من بيل
ومن ثم في يوم الثلاثاء، يمكنك ان تقول ان a هو يوم الثلاثاء، اذا كان لدي اميمة
300 سعرة حرارية ولدى بيل 300 سعرة حرارية، بالتالي انا ايضاً علي
ان آكل 300 سعرة حرارية
دعوني امثل هذا بيانياً من اجلكم
دعوني امثل ذلك بيانياً، وسوف اقوم بذلك بلون مختلف
نظرية الضغط
.
نظرية الضغط
حسناً، دعوني ارسم النقطة a،L
النقطة a،L
دعونا نفترض ان هذه a، تلك هي النقطة التي نهتم
لأمرها، a، وهذه هي L

Thai: 
คืออะไร -- squeeze theorem บอกเราว่า ลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ a ของ f ของ x ต้องเท่ากับ L
และนี่คือสิ่งเดียวกัน
นี่คือตัวอย่างเมื่อ f ของ x นี่อาจเป็นปริมาณที่แซลกิน
ในหนึ่งวัน นี่อาจเป็นปริมาณที่อุมามากินใน
หนึ่งวัน ส่วนนี้คือบิล
ผมกินมากกว่าอุมามาและน้อยกว่าบิล
จากนั้นในวันอังคาร คุณอาจบอกว่า a คือวันอังคาร หากอุมามา
กิน 300 แคลอรีและบิลกิน 300 แคลอรี ดังนั้นผมก็ต้อง
กินไป 300 แคลอรี
ขอผมเขียนกราฟให้คุณดูแล้วกัน
ผมจะเขียนกราฟ ใชีอีกสีนึงแล้วกัน
Squeeze theorem
Squeeze theorem
โอเค ผมจะวาดจุด a คอมมา L
จุด a คอมมา L
สมมุติว่า นี่คือ a นั่นคือจุดที่เรา
สนใจ a และนี่คือ L

Bulgarian: 
за какво се отнася -- теоремата за двамата полицаи ни казва, че границата,
когато х клони към а, на f от х трябва също да бъда равна на L.
Като това е едно и също нещо.
Това е пример, при който f от х -- това може да е колко изяжда Сал
в даден ден, това може да е колко изяжда Умама в даден ден,
а това е Бил.
Аз винаги ям повече от Умама или по-малко от Бил.
Тогава във вторник може да кажеш, че а е вторник, ако Умама е изяла
300 калории и Бил е изял 300 калории, 
тогава аз също
ще съм изял 300 калории.
Нека го начертая.
Нека го начертая, като ще използвам 
различен цвят.
Теорема за двамата полицаи.
 
Теорема за двамата полицаи.
Добре, нека начертая точката (а; L).
Точката (а; L).
Нека кажем, че това е а, това е точката която ни интересува.
А това е L.

iw: 
הסנדוויץ' -- כלל הסנדוויץ' אומר לנו שהגבול
ככל שאיקס מתקרב לאיי של אף של איקס חייב גם להיות שווה לאל.
וזהו אותו הדבר.
זהו דוגמה בה אף של איקס, זה יכול להיות כמה סאל אוכל
ביום, זה יכול להיות כמה אוממה אוכלת
ביום, זהו ביל.
אז אני תמיד אול יותר מאוממה ופחות מביל.
ואז ביום שלישי, תוכלו להגיד איי הוא יום שלישי, אם אוממה
אכלה 300 קלוריות וביל אכל 300 קלוריות, אז גם אני
אכלתי 300 קלוריות.
תנו לשרטט את זה בשבילכם.
תנו לי לשרטט את זה, ואני אעשה את זה בצבע אחר.
כלל הסנדוויץ'
כלל הסנדוויץ'.
(a,L) אוקיי, בואו נצייר את הנקודה
,(a,L) הנקודה הזאת
זוהי הנקודה שאכפת לנו ,a בואו נגיד שזהו
.L וזוהי ,a .ממנה

Polish: 
twierdzenie o trzech ciągach jest - ono mówi nam że
przy x dążącym do a, f(x) musi też zbiegać do L.
I to jest to samo.
To jest przykład, w którym f(x) mogłoby oznaczać, ile Sal je
w danym dniu, to mogłoby być ile Umama je
w danym dniu, a to Bill.
Zatem, jem zawsze więcej od Umamy, ale zawsze mniej od Billa.
Czyli we wtorek, powiedzmy, że "a" to wtorek, jeśli Umama zjadła
300 kalorii, oraz Bill zjadł 300 kalorii, wtedy ja również
musiałem zjeść 300 kalorii.
Pozwólcie mi to narysować.
Powiedzmy, że narysuję to, zrobię to w innym kolorze.
Twierdzenie o trzech ciągach.
Twierdzenie o trzech ciągach.
Ok, zaznaczmy punkt (a,L)
punkt a,L
Powiedzmy, że to jest a , ważny dla nas punkt
a to jest L.

Estonian: 
võileiva reegel ütleb, et siis
kui x läheneb a'le f kohal x peab sammuti võrduma L'ga.
Ja see on sama asi.
See on näide, kus f kohal x, see näitab kui palju Sal sööb
päevas, see näitab kui palju Umama sööb päevas
see on Bill.
Seega mina söön alati rohkem kui Umama ja vähem kui Bill.
Ja siis teisipäeva me võiksime kutsuda a'ks, kui Umama
söi 300 kalorit ja Bill söi 300 kalorit, siis sammuti mina
söin 300 kalorit.
Las ma joonestan selle.
Ma teen selle teise värviga.
Võileiva teoreem.
.
.
Joonestame punkti a koma L.
.
Ütleme, et see on a, see on meile oluline punkt.
ja see on L.

Chinese: 
現在我暫時不先證明
但理解夾逼定理講的什麽
是很有幫助的
夾逼定理告訴我們
當x趨向a時 f(x)的極限也一定等於L
這和我剛舉的例子是一個意思
這裡的f(x)
可以看成Sal一天吃的
g(x)是Umama一天吃的 h(x)則表示Bill
那麽我總是吃的比Umama多 比Bill少
星期二這天 可以認爲a是星期二
如果Umama和Bill都吃了300卡路裏
那麽我也必須是吃了300卡路裏
我畫圖表示一下
我畫一下圖 換種顏色
夾逼定理
夾逼定理
我們畫出點(a,L)
（a,L）

Indonesian: 
teorema apit memberitahukan kita bahwa limit
saat x mendekati a dari f dari x pasti juga sama dengan L.
Dan hal ini adalah hal yang sama.
Ini adalah contoh dimana f dari x, ini dapat menunjukan seberapa banyak Sal makan
dalam suatu hari, ini dapat menunjukan sebarapa banyak Umama makan dalam suatu
hari, ini adalah milik Bill.
Jadi saya selalu makan lebih banyak dibanding Umama atau lebih sedikit dibanding Bill.
Dan pada hari Selasa, anda dapat mengatakan hari Selasa, jika Umama makan
300 kalori dan Bill makan 300 kalori, maka saya juga
harus makan 300 kalori.
Mari saya gambarkan grafik untuk anda
Biar saya menggambarkan grafik untuk itu, dan saya akan menggambarkannya dengan menggunakan warna yang berbeda.
Teorema apit.
Teorema apit.
OK, mari kita gambar titik a,L.
titik a,L.
Kita anggap ini adalah a, ini adalah titik yang kita perhatikan
a, dan ini adalah L.

Chinese: 
现在我暂时不先证明
但理解夹逼定理讲的什么
是很有帮助的
夹逼定理告诉我们
当x趋向a时 f(x)的极限也一定等于L
这和我刚举的例子是一个意思
这里的f(x)
可以看成Sal一天吃的
g(x)是Umama一天吃的 h(x)则表示Bill
那么我总是吃的比Umama多 比Bill少
星期二这天 可以认为a是星期二
如果Umama和Bill都吃了300卡路里
那么我也必须是吃了300卡路里
我画图表示一下
我画一下图 换种颜色
夹逼定理
夹逼定理
我们画出点(a,L)
（a,L）

Swedish: 
instängningssatsen säger oss då att även gränsvärdet
för f(x) när x går mot a måste vara lika med L.
Och detta är samma sak.
Detta är ett exempel där f(x) kunde vara hur mycket Sal äter
under en dag. Detta kunde vara hur mycket Umama äter
under en dag, detta är Bill.
Så jag äter alltid mer än Umama och mindre än Bill.
Och sedan under tisdagen, du kan säga att a står för tisdagen, om Umama
åt 300 kalorier och Bill åt 300 kalorier så måste även jag
ha ätit 300 kalorier.
Låt mig rita en graf över detta..
Låta mig rita en graf och jag ska använda en annan färg.
Instängningssatsen.
Instängningssatsen.
OK så låt oss rita in punkten (a,L).
Punkten (a,L).
Låt oss säga att detta är a, alltså den aktuella punkten.
och detta är L.

Portuguese: 
O teorema do confronto nos diz que o limite
quando x se aproxima de "a" de f(x)
também deve ser igual a "L".
E isso é a mesma coisa.
Esse exemplo quando f(x),
isso pode ser o quanto o Sal come
num dia, poderia ser quanto
a Umama come num dia,
esse é o Bill.
Então eu sempre como
mais que a Umama e menos que o Bill.
Então na terça-feira, você poderia
dizer que "a" é uma terça-feira, se a Umama
comeu 300 calorias e o Bill comeu
300 calorias, então eu também
tive que comer 300 calorias.
Eu vou pôr no gráfico para você.
Eu vou pôr no gráfico e
fazer numa cor diferente.
Teorema do confronto.
Teorema do confronto.
OK, então vamos desenhar o ponto (a,L)
O ponto a vírgula L.
Digamos que esse seja o "a", esse é
o ponto com o qual nos importamos: "a"
e esse é o "L".

Turkish: 
Sandviç Teoremi'ne göre; iks, a'ya yaklaşırken,
"fe iks"in limiti de büyük L olmalıdır.
İlk örneğim ile aynı şey.
"fe iks", Sel'in yediği yemek;
"ge iks", Umema'nın yediği yemek; "he iks" de
Bil'in yediği yemek.
Her zaman, Umema'dan fazla, Bil'den az yiyorum.
Salı günleri de... "a" burada salı günü oluyor. Salı günü
Umema 300 kalori yiyorsa, Bil de 300 kalori yiyorsa,
ben de 300 kalori yemeliyim.
Durun size grafiğini çizeyim.
Grafiğini çizeyim. Farklı renk kullanayım.
Sandviç Teoremi.
Sandviç.
Sandviç Teoremi.
"a virgül L" noktasını çizeyim.
"a virgül L" noktasını.
Burası bahsettiğimiz "a" noktası.
Burası da L.

Portuguese: 
o teorema é-- o teorema do confronto diz-nos então o limite
como x abordagens um de f de x, também deve ser igual a L.
E esta é a mesma coisa.
Este é exemplo onde f de x, isto poderia ser quanto Sal Come
em um dia, isso poderia ser quanto come Umama em um
dia, este é Bill.
Por isso eu sempre comer mais de Umama ou menos do que Bill.
E, em seguida, na terça-feira, você poderia dizer que um é terça-feira, se tivesse Umama
300 calorias e Bill tinham 300 calorias e, em seguida, eu também tinha
comer 300 calorias.
Permitam-me que deixe-me que de gráficos para você.
Permitam-me que de gráfico, e eu vou fazê-lo em uma cor diferente.
Teorema do confronto.
Teorema do confronto.
OK, então vamos desenhar o ponto vírgula L.
O ponto por vírgula L.
Vamos dizer que este é um, que é o ponto que nós nos importamos
sobre. um, e isso é L.

Italian: 
due carabinieri --- il teorema dei due carabinieri ci dice che allora il limite
per x che tende a f(x) deve essere uguale a L.
E questa e' la stessa cosa.
QUesto e' l'esempio dove f(x), questo potrebbe essere quanto mangia Sal
in un giorno, questo potrebbe essere quanto mangia Umama in un
giorno, questo e' Bill.
Percio' io mangio una quantita' sempre maggiore di Umama o minore o uguale a Bill.
E poi Martedi', puoi dire che a e' Martedi', se Umama ha preso
300 calorie e Bill ha preso 300 calorie, allora anch'io
ho mangiato 300 calorie.
Fammiti fare il grafico.
Fammi fare il grafico, e lo faccio in un altro colore.
Teorema dei due carabinieri.
Teorema dei due carabinieri.
Ok, disegnamo il punto (a, L).
Il punto (a, L).
Diciamo che questo e' a, questo e' il punto che ci interessa
a e questo e' L.

Spanish: 
teorema es - el teorema del apretón nos dice entonces el límite
cuando x se aproxima uno de f de x debe ser igual a L.
Y esta es la misma cosa.
Este es un ejemplo donde f de x, esto podría ser la cantidad de Sal come
en un día, esto podría ser la cantidad de Umama come en un
día, este es Bill.
Así que siempre comer más de Umama o menos de Bill.
Y luego el martes, se puede decir una es el martes, si había Umama
300 calorías y Bill habían establecido 300 calorías, entonces yo también había
para comer 300 calorías.
Permítanme que me gráfico que para usted.
Permítanme gráfico que, y lo haré en un color diferente.
Apriete teorema.
Apriete teorema.
OK, así que vamos a dibujar el punto de un coma L.
El punto de un coma L.
Digamos que esta es una, que es el punto que nos interesa
acerca. uno, y esto es L.

Portuguese: 
E nós sabemos, g de x, que é a função mais baixa, certa?
Então, vamos dizer que essa coisa verde direita
aqui, este é g de x.
Assim, esta é minha g de x.
E sabemos que como g de x abordagens - assim o g de x
poderia ser algo parecido, certo?
E nós sabemos que o limite como x aproxima-se dos
g de x é igual a L.
Então é isso aí mesmo.
Assim esta é g de x.
Que é g de x.
Deixe-me fazer h de x em uma cor diferente.
Então agora h x poderia ser algo como isto.
Como aquele.
Por que é h de x.
E sabemos também que o limite como x aproxima-se um h do x -
Vamos ver, essa é a função do eixo x.
Portanto, você pode chamar h de x g de x, ou f de x.

Bulgarian: 
Знаем, че g от х е по-ниската функция, нали?
Нека кажем, че това зеленото нещо ето
тук е g от х.
Това е g от х.
Знаем, че когато g от х клони към -- g от х
може да изглежда по подобен начин, нали?
Знаем, че границата, ако х клони към а,
на g от х е равна на L.
Точно ето там.
Това е g от х.
Това е g от х.
Нека начертая h от х с различен цвят.
h от х може да изглежда по подобен начин.
 
Ето така.
Това е h от х.
И знаем също, че границата, когато х клони към а, на h от х --
това е функцията на оста х.
Можем да я наречем h от х, g от x или f от x.

iw: 
?זוהי הפונקציה התחתונה, נכוןg(x),ואנחנו יודעים
אז בואו נגיד שהדבר הירוק הזה כאן/
.g(x) הוא
.g(x)-אז זה הוא ה
g(x) -- מתקרב x-ככל ש ,g(x)ואנחנו יודעים שה
יכול להיראות כמו משהו כזה, נכון?
של a-תקרב ל x- ואנחנו יודעים שהגבול ככל ש
.L-שווה ל g(x)
אז זה הוא זה שם.
.g(x) אז זהו
.g(x) זהו
.בצבע אחר h(x) תנו לי לעשות
.נראה כמו משהו כזה h(x)אז עכשיו
ככה.
.h(x)זהו
--h(x) של a-מתקרב ל x-ואנחנו יודעים שהגבול ככל ש
.x-בואו נראה, זוהי הפונקציה של ציר ה
.f(x) או ,g(x) ,H(x)אז אתם יכולים לקרוא לזה

Polish: 
I znamy g(x), która jest mniejszą funkcją, prawda?
Powiedzmy, że ona będzie zielona
tutaj, to jest g(x)
To jest moja g(x).
I wiemy, że jako że g(x) zbiega - więc g(x)
może wyglądać jakoś tak, prawda?
I wiemy, że granica przy x dążącym do a funkcji
g(x) jest równa L.
To ta tutaj.
To jest g(x).
To g(x).
Pozwólcie, że zaznaczę h(x) innym kolorem.
Więc teraz h(x) może wyglądać jakoś tak.
Coś w tym rodzaju.
Zatem to jest h(x).
Wiemy również, że granica, przy x zbiegającym do a, funkcji h(x)
zobaczmy, to jest funkcja x-ów.
To możesz nazwać h(x), g(x), lub f(x).

Italian: 
E sappiamo, g(x), questa e' la funzione inferiore, giusto?
Quindi diciamo che questa cosa verde qui
questa e' g(x).
Percio' questa e' la mia g(x).
E sappiamo che quando g(x) si avvicina --- quindi g(x)
potrebbe essere fatta cosi', giusto?
E sappiamo che il limite per x che tende ad a di
g(x) = L.
Quindi sta qui.
Percio' questo e' g(x).
Questo e' g(x).
Fammi fare h(x) in un colore differente.
Percio' adesso h(x) potrebbe essere fatta cosi'.
Cosi'.
Quindi questa e' h(x).
E sappiamo anche che il limite per x che tende ad a di h(x) ---
vediamo, questa e' l'asse x della funzione.
Quindi puoi chiamarla h(x), g(x) o f(x).

Portuguese: 
E sabemos, g(x) é a função de baixo, certo?
Digamos que essa coisa verde aqui
esse é o g(x).
Esse é o meu g(x).
E sabemos que quando o g(x)
tende a -- então o g(x)
poderia se parecer com isso, certo?
E sabemos que o limite, quando x
se aproxima de "a", de g(x) é igual a "L".
E está aqui.
Então esse é o g(x).
Eu vou fazer o h(x) de uma cor diferente.
Então agora o h(x) poderia ser assim.
Desse jeito.
Esse é o h(x).
E nós também sabemos que o limite,
quando x se aproxima de "a" de h(x) --
vejamos, essa é a função do eixo x.
Você pode chamar de h(x), g(x) ou f(x).

Estonian: 
Ja me teame, et g kohal x on madalam funktsioon.
Ütleme, et see roheline asi
siin on g kohal x.
See on minu g kohal x.
Ja me teame, et kui g kohal x läheneb-- g kohal x
võib välja näha midagi sellist.
Ja me teame, et piirväärtus kui x läheneb a'le
g kohal x on võrdne L'ga.
See on siin.
See on g kohal x.
.
Ma teen h kohal x'i teise värviga.
Nüüd h kohal x võiks välja näha midagi sarnast.
.
Nagu see.
See on h kohal x.
Ja me sammuti teame, et piirväärtus kui x läheneb a'le h kohal x
see on funktsioon x teljest.
Sa võid seda kutsuda h kohal x'ks, g kohal x'ks või f kohal x'ks

Swedish: 
Och vi vet att g(x) är den undre funktionen, eller hur?
Så låt oss säga att denna gröna sak här
är g(x).
Så detta är min g(x).
Och vi vet att när g(x) fortskrider så kan g(x)
se ut som något i den här stilen, eller hur?
Och vi vet att när x går mot a
så går g(x) mot L.
Så detta stämmer.
Så detta är g(x).
Detta är g(x).
Låt mig rita h(x) i en annan färg.
Så nu kan h(x) se ut någonting i den här stilen.
Så där.
Så detta är h(x).
Och vi vet också att gränsvärdet för h(x) när x går mot a -
låt mig se, detta är y-axeln.
Så du kan kalla den h(x), g(x) eller f(x).

Arabic: 
ونحن نعلم، ان g(x) اقل اقتران، اليس كذلك؟
اذاً دعونا نفترض ان هذا الشيئ الاخضر الموجود
هنا، عبارة عن g(x)
هذا هو g(x)
ونعلم انه كلما اقترب g(x) --اذاً g(x)
يمكن ان يبدو هكذا، اليس كذلك؟
ونعلم ان نهاية اقتراب x من
a(g(x)) = L
وهذا موجود هنا
هذا هو g(x)
ذلك هو g(x)
دعوني اضع h(x) بلون مختلف
اذاً الآن h(x) يمكن ان يبدو هكذا
.
بهذا الشكل
ذلك هو h(x)
ونعلم ايضاً ان نهاية اقتراب x من a(h(x))
دعونا نرى، هذا هو اقتران محور x
اذاً يمكنك ان تسميه h(x)، g(x)، f(x)

Indonesian: 
dan kita paham, g dari x, ini adalah fungsi yang lebih rendah, bukan?
Jadi mari kita anggap bahwa titik hijau
ini, ini adalah g dari x.
Jadi ini adalah g dari x saya.
Dan kita paham bahwa saat g dari x mendekati -- jadi g dari x
dapat terlihat seperti ini, bukan?
dan kita paham bahwa limit saat x mendekati a dari
g dari x adalah sama dengan L.
Jadi hal ini ada disini.
Jadi ini adalah g dari x.
Itu adalah g dari x.
Mari saya gambarkan h dari x dengan warna yang berbeda.
Jadi sekarang, h dari x dapat terlihat seperti ini.
Seperti ini.
Jadi ini adalah h dari x.
Dan kita juga paham bahwa limit saat x mendekati a dari h dari x --
Mari kita cermati, ini adalah fungsi sumbu x.
Jadi anda dapat menamakannya h dari x, g dari x atau f dari x.

Spanish: 
Y sabemos, g de x, que es la función más bajos, ¿no?
Así que vamos a decir que esta cosa verde de la derecha
aquí, esto es g de x.
Así que esta es mi g de x.
Y sabemos que en g de enfoques x - por lo que la g de x
podría ser algo como eso, ¿verdad?
Y sabemos que el límite cuando x se aproxima a una de
g de x es igual a L.
Así que eso es justo ahí.
Así que esto es g de x.
Eso es g de x.
Déjame hacer h de x en un color diferente.
Así que ahora h de x podría ser algo como esto.
De esa manera.
Así que es hora de x.
Y también sabemos que el límite cuando x se aproxima a una de las horas de x -
vamos a ver, esta es la función del eje x.
Por lo tanto se le puede llamar h de x, g de x, o f de x.

Turkish: 
"ge iks"in "alt fonksiyon" olduğunu biliyoruz.
Çizeceğim yeşil fonksiyon,
"ge iks" olsun.
"ge iks"i çizeyim.
"ge iks"in yakınsadığı noktanın...
"ge iks" böyle bir şey olsun.
iks, a'ya yaklaşırken, "ge iks"in limitinin
L olduğunu biliyoruz.
İşte burası.
Bu, "ge iks".
"ge iks"i çizdik.
"he iks"i farklı bir renkte çizeyim.
"he iks" de şöyle bir şey olabilir.
-
Böyle bir şey.
Bu da "he iks".
Ne demiştik: iks, a'ya yaklaşırken "he iks"...
Bir dakika. Burası, fonksiyonun ekseni.
"he iks" ekseni, "ge iks" ekseni ya da "fe iks" ekseni diyebilirsiniz.

Thai: 
และเรารู้ว่า g ของ z คือฟังก์ชันอันล่าง ถูกไหม
งั้นสมมุติว่ามันคือสีเขียว
ตรงนี้ นี่คือ g ของ x
ดังนั้น นี่คือ g ของ x
เรารู้ว่าเมื่อ g ของ x เข้าใกล้ -- g ของ x
อาจมีหน้าตาแบบนี้ โอเคไหม
และเรารู้ว่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a ของ
g ของ x เท่ากับ L
นั่นคือตรงนี้
นี่คือ g ของ x
นั่นคือ g ของ x
ขอผมเขียน h ของ x ด้วยอีกสีนึง
ทีนี้ h ของ x อาจออกมาหน้าตาอย่างนี้
อย่างนั้น
นั่นคือ h ของ x
และเรารู้ด้วยว่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a ของ h ของ x --
ลองดู นี่คือ ฟังก์ชันของแกน x
งั้นคุณอาจเรียกมันว่า h ของ x, g ของ x, หรือ f ของ x

English: 
And we know, g of x, that's
the lower function, right?
So let's say that this
green thing right
here, this is g of x.
So this is my g of x.
And we know that as g of x
approaches-- so the g of x
could look something
like that, right?
And we know that the limit
as x approaches a of
g of x is equal to L.
So that's right there.
So this is g of x.
That's g of x.
Let me do h of x in
a different color.
So now h of x could look
something like this.
Like that.
So that's h of x.
And we also know that the limit
as x approaches a of h of x --
let's see, this is the
function of x axis.
So you can call it h of
x, g of x, or f of x.

Chinese: 
假設這是a
這是我們關心的 a點 這是L
g(x)是較小的函數 對吧？
假設這裡綠色的是g(x)
這個是g(x)
我們知道當g(x)趨向--
g(x)看起來應該是這樣的 對嗎？
當x趨向a時
g(x)的極限等於L
在這裡
這是g(x)
這就是g(x)
再換種顏色畫h(x)
h(x)可能是這樣
像這樣
這是h(x)
我們還知道x趨向a時
這是關於x的函數
所以可以叫它爲h(x) g(x) 或者f(x)

Chinese: 
假设这是a
这是我们关心的 a点 这是L
g(x)是较小的函数 对吧？
假设这里绿色的是g(x)
这个是g(x)
我们知道当g(x)趋向--
g(x)看起来应该是这样的 对吗？
当x趋向a时
g(x)的极限等于L
在这里
这是g(x)
这就是g(x)
再换种颜色画h(x)
h(x)可能是这样
像这样
这是h(x)
我们还知道x趋向a时
这是关于x的函数
所以可以叫它为h(x) g(x) 或者f(x)

Estonian: 
See on y-telg ja see on x-telg.
Piirväärtuskui x läheneb a'le h kohal x,
sellel punktil siin, h kohal a on võrdne L'ga.
Või vähemasti piirväärtus on võrdne sellega.
.
Ja need funktsioonid ei pea isegi olema määratud
kohal a, peaasi, et need
piirväärtused eksisteerivad.
Ja see on ka üks asi, mida tasuks meeles pidada.
Mida see meile ütleb? f kohal x on alati suurem
kui see roheline funktsioon.
See on alati väiksem kui h kohal x.
Ükskõik millise f kohal x'i ma joonestan, see peaks
olema nende kahe vahel.
Ükskõik kuidas ma selle joonestan,
see funktsioon on piiritletud nende kahe funktsiooniga definitsiooni poolest.
Järelikult ta peab läbi selle punkti minema.
Või vähemasti peab lähenema sellele punktile.
Võib-olla see punkt ei määratud seal, aga piirväärtus on
kui me läheneme a'le f kohal x peab sammuti olema punktis L.
.
.
Ja loodetavasti see tundub loogiline ja
loodetavast kalorite näide tundus ka
loogiline sulle.

Chinese: 
它仅仅取决于坐标轴 这是x轴
x趋向a时 h(x)的极限--
在这点 h(x)等于L
或者至少说极限等于L
这些函数
甚至不需要在a点有定义
只要这些极限
它的极限和它的极限都存在
这点也是很重要的 需要记住的
那么这告诉我们什么呢？
f(x)总是比绿色的函数大
比h(x)小 对吧？
所以我画的任何f(x)
必须要在这两个之间 对不对？
不论我怎么画 如果我要画一个函数
必须受这两个函数的约束来定义
必须要穿过这一点
或者至少要接近这点
或许函数在这点无定义
但x趋于a时f(x)的极限必须要等于L
f(x)不需要在这点有定义
希望这会说得通
也希望我举得关于卡路里的例子
对你们会有帮助
那么我们记住

Turkish: 
Burası, bağımlı eksen. Burası da iks ekseni.
iks, a'ya yaklaşırken "he iks"in limiti,
işte tam bu nokta, yani "he a", L'ye eşit.
En azından, fonksiyonun LİMİTİ L'ye eşit.
Diyelim ki...
Aslında bu fonksiyonların hiçbiri "a" noktasında
tanımlı olmak zorunda değil. Yeter ki, "ge iks"in ve "he iks"in
o noktada limiti olsun.
Bu da, unutmamanız gereken önemli bir şey.
Burası bize ne anlatıyor? "fe iks", bu yeşil fonksiyondan
her zaman büyük.
Ayrıca, "he iks"ten her zaman küçük.
O hâlde, çizeceğim tüm "fe iks"ler bu ikisinin
arasında olmalı.
Nasıl bir fonksiyon çizersem çizeyim,
tanım gereği, diğer iki fonksiyon tarafından sınırlandırılmalı.
Ayrıca bu noktadan geçmeli.
En azından, ona yakınsamalı.
O noktada tanımlı olmayabilir ama iks, a'ya yaklaşırken
"fe iks"in limiti de L olmalı.
"fe iks" bu noktada tanımlı olmak zorunda değil
ama ona yaklaşırkenki limiti L olmalı.
Umarım bu anlattıklarım size bir şey ifade etmiştir.
Umarım kalorili örneğimin de
yararı olmuştur.

Thai: 
นั่นเป็นค่าต่าง ๆ ที่ขึ้นกับ x และนี่คือแกน x
และพูดอีกที ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a ของ h ของ x
ณ จุดตรงนี้ h ของ a เท่ากับ L
หรืออย่างน้อยลิมิตก็เท่ากับค่านั้น
และไม่มีฟังก์ชันไหนต้อง
มีค่านิยามที่ a ตราบใดที่ลิมิตของตัวนี้ ลิมิตตัวนี้มีจริง
และลิมิตตัวนี้มีจริง
และนั่นคือสิ่งที่สำคัญที่ต้องรู้ไว้
แล้วนี่มันบอกอะไรเราล่ะ f ของ x มากกว่า
ฟังก์ชันสีเขียวนี่เสมอ
มันน้อยกว่า h ของ x เสมอ จริงไหม
ดังนั้น ไม่ว่า f ของ x ที่ผมวาดจะเป็นยังไง มันต้องอยู่
ระหว่างสองเส้นนี้ จริงไหม
ดังนั้นไม่ว่าจะวาดอยังไง หากผมต้องวาดฟังก์ชันนึง
ขึ้นมา มันต้องอยู่ระหว่างสองฟังก์ชันนี้ตามนิยาม
และมันต้องผ่านจุดตรงนั้น
หรืออย่างน้อยมันต้องเข้าใกล้จุดนั้น
บางทีมันอาจไม่ได้นิยาม ณ จุดนั้น แต่ลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้
a ของ f ของ x ยังต้องอยู่ที่จุด L
และบางที f ของ x อาจไม่ได้นิยามไว้ตรงนั้น แต่
ลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้มัน จะเท่ากับ L
หวังว่ามันคงช่วยให้เข้าใจได้บ้าง และหวังว่า
ตัวอย่างเรื่องแคลอรีจะช่วย
ให้คุณเข้าใจง่ายขึ้นบ้าง

Portuguese: 
Esse é o eixo dependente,
e esse é o eixo x.
Então de novo, o limite, quando x tende
a "a" de h(x), bem
nesse ponto aqui, "h" de "a" é igual a "L".
Ou pelo menos o limite é igual a isso.
Bem, assumindo... na verdade...
E nenhuma dessas funções
precisa de fato ser
definida em "a", desde que esses limites,
esse limite exista
e esse limite exista.
E isso também é algo importante
para se ter em mente.
O que isso nos diz?
f(x) é sempre maior que
essa função verde.
Ele é sempre menor que h(x), certo?
Então para qualquer f(x) que eu desenhar,
ele teria que estar
entre esses dois, certo?
Então não importa como eu desenhe,
se eu tivesse que desenhar uma função,
ela vai estar limitada entre essas duas
funções só pela definição.
Então ela vai ter que passar naquele ponto.
Ou pelo menos tem que
se aproximar daquele ponto.
Talvez não seja definida naquele ponto,
mas o limite quando a gente
se aproxima de "a", de f(x) também
tem que estar no ponto "L".
E talvez o f(x) não precise
estar definido aqui,
mas o limite, quando nos aproximamos
disso, vai ser "L".
E eu espero que faça sentido,
e eu espero que meu exemplo das calorias
tenha feito algum sentido para você.

Portuguese: 
Isso é apenas o acesso dependente, e este é o eixo x.
Uma vez mais, o limite como x aproxima um h de x, bem
ali naquele momento, h de um é igual a L.
Ou, pelo menos, o limite é igual.
E nenhuma dessas funções realmente tem que ser mesmo
definidos em um, enquanto estes limites, este limite existe
e este limite existe.
E que também é uma coisa importante para se manter em mente.
Assim que isto diz-nos?
f de x é sempre maior
que esta função verde.
Ele é sempre menor que h x, certo?
Assim, qualquer f de x que chamo, ele teria que ser em
entre esses dois, certo?
Assim não importa como eu desenhá-la, se eu fosse para chamar uma função,
é delimitada por essas duas funções apenas por definição.
Assim que tem que passar por esse ponto.
Ou pelo menos ele tem de abordar esse ponto.
Ele não é definido nesse momento, talvez, mas o limite como nós
abordagem um de f de x também tem que ser no ponto L.
E talvez f de x não tem de ser definido logo ali, mas
o limite que nos aproximamos ele é vai ser L.
E espero que isso faz um pouco de sentido, e
Espero que meu exemplo de calorias feito um pouco
pouco de sentido para você.

Bulgarian: 
Това е просто зависимата ос, а това е оста х.
Още веднъж границата, когато х клони към а, 
на h от х
в тази точка там, h от а е равно на L.
Или поне границата е равна на това.
 
Нито една от тези функции всъщност няма нужда да бъде
определена в а, стига тази граница да съществува
и тази граница да съществува.
Като това също е важно нещо, 
което трябва да се помни.
Какво ни казва това? f от х е винаги по-голяма
от тази зелената функция.
Тя винаги е по-малка от h от х, нали?
Всяка една функция f от х, която чертая, ще бъде
между тези двете, нали?
Без значение как съм я начертал, ако трябваше да начертая функция,
тя ще бъде ограничена от тези две функции просто по определение.
Тя трябва да минава през тази точка.
Или поне трябва да клони към тази точка.
Може би не е определена в тази точка, но границата,
когато клоним към а, на f от х също трябва да бъде в точка L.
Може би f от х няма нужда да бъде 
определена там, но
границата, когато клоним натам, ще бъде L.
Дано с това добиеш някаква представа
и дано примерът ми за калориите да са обяснили
това малко.

Swedish: 
Detta är den beroende axeln och detta är x-axeln.
Så än en gång, när x går mot a,
alltså mot den där punkten, så blir h(a) lika med L.
Eller åtminstone blir gränsvärdet lika med det.
Och ingen av funktionerna behöver faktiskt ens vara
definierade för a, så länge som detta gränsvärde existerar
och detta gränsvärde existerar.
Och det där är också en viktig sak att komma ihåg.
Så vad säger oss detta? f(x)är alltid större än
den här gröna funktionen.
Den är alltid mindre än h(x), eller hur?
Så varje f(x) som jag ritar måste ligga
mellan dessa två, eller hur?
Så hur jag än ritar den, om jag skulle rita en funktion,
Så är den definitionsmässigt begränsad av de två funktionerna.
Så den måste gå genom den punkten.
Eller åtminstone måste den närma sig den punkten.
Kanske är den inte definierad i punkten, men gränsvärdet när vi
närmar oss a längs f(x)måste vara punkten L.
Och kanske är f(x) inte definierad där, men
gränsvärdet när vi närmar oss måste vara L.
Och förhoppningsvis ger detta lite förståelse, och
förhoppningsvis gav också mitt kaloriexempel
en viss förståelse.

Spanish: 
Eso es sólo el acceso a su cargo, y este es el eje de abscisas.
Una vez más, el límite cuando x se aproxima a una de las horas de x, así
en ese momento allí, h de A es igual a L.
O por lo menos el límite es igual a la.
Y ninguna de estas funciones realmente tiene que ser aún
definido en una, siempre y cuando estos límites, existe este límite
y este límite existe.
Y eso es también una cosa importante a tener en cuenta.
Entonces, ¿qué nos dice esto? f de x es siempre mayor
que esta función verde.
Es siempre menor que h de x, ¿verdad?
Por lo que cualquier f de x saco, que tendría que estar en
entre esos dos, ¿verdad?
Así que no importa cómo lo dibujo, si yo tuviera que dibujar una función,
es limitada por las dos funciones sólo por definición.
Por lo tanto, tiene que pasar por ese punto.
O por lo menos tiene que acercarse a ese punto.
Tal vez no es definida en ese punto, pero el límite a medida que
un enfoque de f de x también tiene que estar en el punto L.
Y tal vez f de x no tiene que ser definido allí, pero
el límite cuando se acerca va a ser L.
Y es de esperar que lo hace un poco de sentido, y
espero que mi ejemplo calorías hecho un poco
poco de sentido para usted.

Italian: 
Questo e' l'asse dipendente e questo e' l'asse x.
Quindi di nuovo, il limite per x che tende ad a di h(x), beh
a questo punto qui, h(a) = L.
O almeno il limite e' uguale a quello.
E nessuna di queste funzioni in realta' deve essere definita
su a, fintanto che questi limiti, questo limite esiste
e questo limite esiste.
E anche questa e' una cosa importante da tenere a mente.
Percio' cosa ci dice? f(x) e' sempre maggiore
di questa funzione verde.
E' sempre minore di h(x), giusto?
Quindi ogni f(x) che ho disegnato, dovrei stare in
mezzo a questi due, giusto?
Quindi non importa come lo disegno, se dovessi disegnare una funzione,
e' delimitata da queste due funzioni semplicemente per definizione.
Quindi deve passare per quel punto.
O almeno deve avvicinarsi a quel punto.
Magari non e' definita in quel punto, ma anche il limite man mano
che ci avviciniamo ad a di f(x) deve essere il punto L.
E magari f(x) non deve essere definita li', ma
il limite man mano che ci avviciniamo sara' L.
E si spera che abbia un po' di senso e
si spera che il mio esempio sulle calorie abbia
un po' di senso per te.

Arabic: 
ذلك عبارة عن محوؤ تابع، وهذا محور x
مرة اخرى اذاً، نهاية اقتراب x من a(h(x))، حسناً
على تلك النقطة، اي h(a) تساوي L
او على الاقل ان النهاية مساوية لذلك
.
ولا يجب ان تكون اي من هذه الاقترانات
معرفة على a، طالما ان هذه النهايات، هذه النهاية موجودة
وهذه النهاية موجودة
وهذا ايضاً شيئ مهم لتتذكروه
اذاً ماذا يوضح لنا هذا؟ ان f(x) دائماً اكبر
من هذا الاقتران المكتوب باللون الاخضر
انه دائماً اقل من h(x)، اليس كذلك؟
اذاً اي من f(x) اقوم برسمه، سيقع
بين هذان الاثنان، اليس كذلك؟
اذاً لا مشكلة في كيفيةو رسمي له، اذا اردت ان ارسم اقترناً
فإنه محاط بهذان الاقترانان، وذلك من خلال التعريف
لذا يجب ان يمر بهذه النقطة
او على الاقل يجب ان يقارب تلك النقطة
ربما انه غير معرف على تلك النقطة، لكن نهاية
اقترابنا من a(f(x)) يجب ايضاً ان تكون على النقطة L
وربما ان f(x) لا يجب ان يكون معرفاً هناك، لكن
نهاية اقترابنا ستكون L
واتمنى ان ذلك منطقياً بعض الشيئ، و
اتمنى ان مثال السعرات الحرارية
قد وضح الامور قليلاً

iw: 
.x-זהו רק הציר התלוי, וזהו ציר ה
ובכן ,h(x) של a-מתקרב ל x-אז שוב, הגבול ככל ש
.L-שווה ל h(a) ,בנקודה הזאת
או לפחות הגבול שווה לזה.
ואף אחת מהפונקצית האלה לא צריכה להיות
כל עוד הגבולות-הגבול הזה קיים ,a-מוגדרת ב
והגבול הזה קיים.
וזה גם משהו שחשוב לזכור.
תמיד גדול f(x)אז מה זה אומר לנו?
מהפונקציה הירוקה הזאת.
?נכון ,h(x)-היא תמיד פחות מ
שאצייר תהיה חייב להיות f(x)אז כל
בין שני אלה, נכון?
אז לא משנה איך אצייר אותה, אילו הייתי מצייר את הפונקציה,
היא תחומה ע"י שתי הפונקציות ע"פ ההגדרה.
אז זה חייב לעבור דרך הנקודה הזאת.
או לפחות חייב להתקרב אליה.
אולי זה לא מוגדר בנקודה הזאת, אבל הגבול ככל
.L חייבת להיות בנקודה f(x) של a-שאנחנו מתקרבים ל
לא חייב להיות מוגדרת שם אבל f(x) ואולי
.L הגבול ככל שאנחנו מתקרבים לשם תהיה
ואני מקווה שזה נשמע כם הגיוני,
ובתקווה שדוגמת הקלוריות שלי עשתה את זה
יותר הגיוני בשבילכם.

English: 
That's just the dependent
access, and this is the x-axis.
So once again, the limit as x
approaches a of h of x, well
at that point right there,
h of a is equal to L.
Or at least the limit
is equal to that.
And none of these functions
actually have to even be
defined at a, as long as these
limits, this limit exists
and this limit exists.
And that's also an important
thing to keep in mind.
So what does this tell us?
f of x is always greater
than this green function.
It's always less
than h of x, right?
So any f of x I draw,
it would have to be in
between those two, right?
So no matter how I draw it, if
I were to draw a function,
it's bounded by those two
functions just by definition.
So it has to go
through that point.
Or at least it has to
approach that point.
Maybe it's not defined at that
point, but the limit as we
approach a of f of x also
has to be at point L.
And maybe f of x doesn't have
to be defined right there, but
the limit as we approach
it is going to be L.
And hopefully that makes a
little bit of sense, and
hopefully my calories
example made a little
bit of sense to you.

Chinese: 
它僅僅取決於坐標軸 這是x軸
x趨向a時 h(x)的極限--
在這點 h(x)等於L
或者至少說極限等於L
這些函數
甚至不需要在a點有定義
只要這些極限
它的極限和它的極限都存在
這點也是很重要的 需要記住的
那麽這告訴我們什麽呢？
f(x)總是比綠色的函數大
比h(x)小 對吧？
所以我畫的任何f(x)
必須要在這兩個之間 對不對？
不論我怎麽畫 如果我要畫一個函數
必須受這兩個函數的制限來定義
必須要穿過這一點
或者至少要接近這點
或許函數在這點無定義
但x趨於a時f(x)的極限必須要等於L
f(x)不需要在這點有定義
希望這會說得通
也希望我舉得關於卡路裏的例子
對你們會有幫助
那麽我們記住

Polish: 
To jest po prostu zależna wartość, a to jest oś x-ów.
Zatem jeszcze raz, granica przy x dążącym do a, h(x), cóż
w tym punkcie, h(a) równa jest L.
Lub przynajmniej granica jest temu równa
I żadna z tych funkcji, właściwie nie musi być
zdefiniowana w a, jako że te granice, te granice istnieją
i ta granica istnieje.
I to jest także ważna rzecz do zapamiętania.
Zatem co to nam mówi? f(x) jest zawsze większe
od tej zielonej funkcji.
Jest zawsze mniejsze od h(x), prawda?
Więc, dowolne f(x) jakie narysuję, mogłoby być tylko
pomiędzy tymi dwoma, prawda?
Czyli nieważne jak to narysuję, gdybym miał narysować funkcję
jest ona ograniczona przez te dwie funkcje, po prostu z definicji.
Więc to musi przechodzić przez ten punkt.
Lub przynajmniej musi zbiegać do tego punktu.
Może, to nie jest zdefiniowane w tym punkcie, ale granica
w punkcie a, f(x) też musi być w punkcie L.
I być może f(x) nie było tu zdefiniowane, ale
granica, o której wspomnieliśmy, powinna być równa L.
I na szczęście to ma sens, co więcej
mam nadzieję, że przykład z moimi kaloriami ma
jakiś sens dla Was.

Swedish: 
Så låt oss komma ihåg detta,
instängningssatsen.
Och nu använder vi satsen för att visa att gränsvärdet
för sinus x genom x när x går mot noll är lika med 1.
Och jag vill göra detta eftersom detta för det första är
ett ytterst användbart gränsvärde.
Och dessutom ibland när du lär dig instängningssatsen
tycker du den är självklar men du undrar
när satsen är nyttig?
Det kommer vi att se längre fram.
Faktiskt gör jag det i nästa video eftersom vi
redan närmar oss 8 minuter.
Men vi ser i nästa video att instängningssatsen är
ytterst användbar när vi ska genomföra beviset.
Vi ses i nästa video.

Polish: 
Zatem zapamiętajmy to
twierdzenie o trzech ciągach.
Teraz użyjemy tego, aby udowodnić, że granica
przy x zbiegającym do 0, sin(x) / x jest równa 1.
I chcę pokazać właśnie tę granicę, bo jest ona
naprawdę bardzo przydatna.
Następna rzecz jest taka, że jak czasami uczycie się twierdzenia o trzech ciągach
reagujecie w stylu, ojej jakie to oczywiste!
Gdzie ono jest przydatne?
Zobaczymy.
Zasadniczo, zamierzam to pokazać w następnym filmiku, gdyż
dociągamy do 8 minut.
Ale zobaczymy w następnym filmie, że Twierdzenie o trzech ciągach
jest bardzo użyteczne, kiedy spróbujemy udowodnić to.
Do zobaczenia w następnym filmie.

English: 
So let's keep that in
the back of our mind,
the squeeze theorem.
And now we will use that to
prove that the limit as x
approaches 0 of sine of
x over x is equal to 1.
And I want to do that,
one, because this is
a super useful limit.
And then the other thing is,
sometimes you learn the squeeze
theorem, you're like, oh, well
that's obvious but
when is it useful?
And we'll see.
Actually I'm going to do it in
the next video, since we're
already pushing 8 minutes.
But we'll see in the next video
that the squeeze theorem is
tremendously useful when
we're trying to prove this.
I will see you in
the next video.

Arabic: 
اذاً دعونا نتذكر ذلك
نظرية الضغط
والآن سوف نستخدمها لاثبات ان نهاية
اقترا ب x من الـ 0 لجيب x / x تساوي 1
واريد القيام بذلك، اولاً، لأن هذه
نهاية مفيدة جداً
ومن ثم ان الشيئ الآخر انه في بعض الاوقات عندما تتعلمون
نظرية الضغط، سترونها واضحة لكن
متى تكون مفيدة؟
وسوف نرى ذلك
في الوافع، سوف اقوم بذلك في العرض التالي، بما انني
استغرقت الآن 8 دقائق من الوقت
لكننا سنرى في العرض التالي ان نظرية الضغط
مفيدة جداً عندما نحاول اثبات هذا
سأراكم في العرض التالي
.

Estonian: 
Seega hoiame seda meeles
võileiva reegel.
Ja nüüd me kasutame seda, et tõestada, et piirväärtus kui x
läheneb 0'le kohal siinus x jagatud x on võrdne 1'ga.
Ja ma tahan seda teha, sest see on
väga kasulik piirväärtus.
Ja teine asi on see, et mõnikord sa võib-olla õpid
võileiva teoreemi, aga siis mõtled, et miks see
kasulik on?
Ja me kohe näeme.
Tegelikult ma teen seda järgmises videos, sest me
oleme juba 8 minuti juures.
Aga järgmises videos me näeme, et piirväärtus teoreem on
ülimalt kasulik kui me üritame seda tõestada.
Näeme järgmises videos.
.

Turkish: 
Sandviç Teoremi'yle ilgili bu anlattıklarım
aklınızda bulunsun.
Tüm bu anlattıklarımı; iks, sıfıra yaklaşırken,
"sinüs iks" bölü iks'in limitinin 1 olduğunu kanıtlamak için kullanacağız.
Bunu yapmamın nedeni, bu limitin,
çok kullanışlı bir limit olması.
Bir de şu var: Sandviç Teoremi'ni öğrenirsiniz
ama şöyle dersiniz: "Çok kolaymış ama
nerede işimize yarayacak?"
Bunları göstereceğim.
Tüm bunları bir sonraki videoda anlatacağım
çünkü neredeyse 8 dakika olmuş.
Bir sonraki videoda, bu limiti kanıtlayabilmek için
Sandviç Teoremi'nin çok yardımcı olduğunu göreceğiz.
Bir sonraki videoda görüşmek üzere.
-

Chinese: 
夹逼定理
现在我们要证明
x趋于0时 sinx/x的极限为1
我想证明它
是因为它是很有用的一个极限
另一个原因是
学了夹逼定理后 有时
你们可能会想 它在哪里会用到呢
我们会看到的
实际上我想在下个视频里做
因为已经过了8分钟了
下个视频我们会看到 夹逼定理
在我们证明中的巨大作用
下个视频再见

Spanish: 
Así que vamos a tener eso en el fondo de nuestra mente,
el teorema de compresión.
Y ahora vamos a utilizar eso para probar que el límite cuando x
se acerca a 0 de seno de x sobre x es igual a 1.
Y yo quiero hacer eso, uno, porque se trata de
un límite de utilidad super.
Y luego la otra cosa es, a veces se aprende la contracción
teorema, que es como, oh, bueno, eso es obvio, pero
cuando es útil?
Y vamos a ver.
En realidad, yo voy a hacerlo en el siguiente video, ya que estamos
situando ya a 8 minutos.
Pero vamos a ver en el siguiente video que el teorema de compresión es
tremendamente útil cuando estamos tratando de probar esto.
Nos vemos en el siguiente video.

Bulgarian: 
Нека да не забравяме това,
теоремата за двамата полицаи.
Сега ще я използвам, за да докажа, 
че границата, когато х
клони към 0, на синус от х върху х, е равна на 1-
Искам да го направя първо, защото това е
една много полезна граница.
И второ, защото някога ще учиш теоремата за двамата полицаи
и ще си кажеш, че това е очевидно, но
кога ще ми е от полза?
Като ние ще видим това.
Всъщност ще го направя в следващото видео, 
тъй като
вече стигаме 8 минути.
Но в следващото видео ще видим, че теоремата за двамата полицаи е
страшно полезна, когато се 
опитваме да докажем това.
Ще се видим в следващото видео.
 

Thai: 
งั้นเก็บเรื่องนั้นไว้ในใจแล้วกัน
squeeze theorem
และตอนนี้ เราจะใช้มันพิสูจน์ว่า ลิมิตเมื่อ x
เข้าใกล้ 0 ของ ไซน์ของ x ส่วน x เท่ากับ 1
ผมอยากทำโจทย์นี้ หนึ่ง เพราะ
นี่คือลิมิตที่มีประโยชน์มาก
และอีกอย่างคือว่า บางครั้งคุณเรียน squeeze
theorem คุณอาจบอกว่า โอเค มันใช่อยู่แล้ว แต่มันจะ
เอาไปทำอะไรได้
เราจะได้เห็นกัน
ที่จริง ผมจะเก็บไว้ทำในวิดีโฮหน้า เพราะ
เราใช้เวลาถึง 8 นาทีแล้ว
แต่เราจะเห็นในวิดีโอหน้าว่า squeeze theorem นั้น
มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อเราต้องพิสูจน์ของพวกนี้
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

Portuguese: 
Então, vamos manter isso no fundo da nossa mente,
o teorema do confronto.
E agora vamos usar que para provar que o limite como x
abordagens 0 do seno de x sobre x é igual a 1.
E eu quero fazer isso, um, porque isso é
um limite super útil.
E, em seguida, a outra coisa é, às vezes, você aprende o squeeze
Teorema, você gosta, Ah, bem que o óbvia mas
Quando é útil?
E vamos ver.
Na verdade eu vou fazê-lo no próximo vídeo, já que estamos
já empurrar 8 minutos.
Mas vamos ver no próximo vídeo que é o teorema do confronto
tremendamente útil quando estamos tentando provar isso.
Eu vou te ver no próximo vídeo.

iw: 
אז בואו נזכור את זה,
כלל הסנדוויץ'.
x-ועכשיו אנחנו נשתמש בזה כדי להוכיח שהגבול ככל ש
.sin(x)/x = 1 מתקרב ל-0 של
ואני רוצה לעשות את זה, אחד, כי זה
גבול סופר שימושי.
והדבר השני הוא, שלפעמים לומדים את כלל
הסנדוויץ' ואז חושבים "טוב, זה ברור
אבל מתי זה שימושי?"
ואנחנו נראה.
האמת, שאני אעשה את זה בסרטון הבא, מכיוון שאנחנו
כבר הגענו ל-8 דקות.
אבל נראה בסרטון הבא שכלל הסנדוויץ' הא
נורא שימושי כשאנחנו רוצים להוכיח את זה.
נתראה בסרטון הבא.

Chinese: 
夾逼定理
現在我們要證明
x趨於0時 sinx/x的極限爲1
我想證明它
是因爲它是很有用的一個極限
另一個原因是
學了夾逼定理後 有時
你們可能會想 它在哪裏會用到呢
我們會看到的
實際上我想在下個影片裏做
因爲已經過了8分鍾了
下個影片我們會看到 夾逼定理
在我們證明中的巨大作用
下個影片再見

Italian: 
Quindi tienilo a mente,
il teorema dei due carabinieri.
E ora lo useremo per dimostrare che il limite per x
che tende a 0 del seno di x fratto x e' uguale a 1.
E voglio farlo perche' e'
un limite super utile.
E poi l'altra cosa e', alle volte impari il teorema dei due carabinieri
stai tipo: ok, beh e' ovvio ma
quand'e' che e' utile?
E vedremo.
In realta' lo faro' nel prossimo video, visto
che stiamo gia'a a 8 minuti.
Ma vedremo nel prossimo video che il teorema dei due carabinieri e'
tremendamente utile quando tentiamo di dimostrare questo.
Ci vediamo nel prossimo video.

Portuguese: 
Então vamos manter isso na mente,
o teorema do confronto.
E agora vamos usá-lo para provar
que o limite, quando x se aproxima de 0,
do seno de x sobre x, é igual a 1.
E eu quero fazer esse, porque esse
é um limite super útil.
E a outra coisa é que,
às vezes você aprende
o teorema do confronto, e fica totalmente:
"bem, isso é óbvio mas
quando vai ser útil?"
E nós veremos.
Na verdade, eu vou fazer no próximo vídeo,
pois já estamos chegando nos 8 minutos.
Mas veremos no próximo vídeo
que o teorema do confronto é
tremendamente útil quando estamos
tentando provar isso aqui.
Nos vemos no próximo vídeo.
