
English: 
How's it going everyone? Today
we're going on a bit of an adventure and we're going to look at two different integrals
from I guess two ends of the mathematical spectrum and at two vastly different price points,
we're going to compare them and see which one gives the better experience.
Now I'm not alone in doing this. I've enlisted the help of someone with very fine taste in mathematics,
and that's Jen's from the channel flammable maths.
Now Jen's is a seasoned integral taster
so he is going to walk us through today's delicacy, an integral which requires complex analysis.
To start with though I'm going to walk us through today's budget item and it's an essential tool in the toolbox of any budding
mathematician.
Today, I'm going to be integrating everybody's friend e to the x. Now
i'm working at what is essentially a poor man's version of a blackboard today. It's a sticker on a wall with lots of bubbles

French: 
Comment allez-vous aujourd'hui ?
Nous partons à l'aventure et nous allons regarder deux intégrales différentes
Je suppose deux extrémités du spectre mathématique et à deux niveaux de prix très différents
Nous allons les comparer et voir laquelle donne la meilleure expérience
Mais je ne suis pas la seule à le faire. J'ai fait appel à quelqu'un qui possède un falir redoutable en mathématiques
Et c'est Jens de la chaine flammable maths
Maintenant, Jens est un testeur d'intégrales expérimenté
Donc, il va nous guider à travers la délicatesse du jour, une intégrale qui nécessite de l'analyse complexe
Pour commencer, je vais passer en revue l'article budgétaire d'aujourd'hui et c'est un outil essentiel dans la boîte à outils de tout
mathématicien
Aujourd'hui, je vais intégrer l'ami de tout le monde la fonction exponentielle (e^x)
Je travaille sur ce qui est essentiellement une version de tableau noir du pauvre. C'est un autocollant sur un mur avec beaucoup de bulles.

French: 
mais vous obtenez ce que vous payez, je suppose que maintenant l'exponentielle est une fonction qui était presque conçue pour être intégrée ou
plus particulièrement conçue pour être dérivée. L'exponentielle est une création de mathématiciens
Nous avons crée l'exponentielle parce que nous voulions une fonction appelé y
Où la pente de y en chaque point était égale à la fonction elle-même
Maintenant, cela est satisfait si y est égal à l'exponentielle
On peut voir comment y ou l'exponentielle serait
Construite et pensons d'abord à l'endroit où il commencerait
Donc, si nous voulions commencer à x est égal à zéro
Et ceci est e au 0 qui est 1 alors y à ce moment va être égal à 1
D'accord. Donc, écrivons et construisons notre y de x

English: 
but you get what you pay for I guess. Now e to the x is a function that was almost designed to be integrated or
to be more particular, designed to be differentiated. e to the x is a creation of mathematicians,
we made e to the x because we wanted a function, call it y
where the slope of y at every point was equal to the function itself.
Now this is satisfied if y does equal e to the x.
We can have a look at how y or e to the x would be
constructed and let's first think about where it would start.
So if we wanted to start at x equals zero
and this is e to the 0 which is 1, so y at that point is going to be equal to 1.
All right. So, let's write down and construct our y of x.

French: 
Nous savons que cela commence à 1 et nous savons que le dérivé de celui-ci
dy / dx
va toujours être égal à la fonction elle-même. Donc, il va falloir commencer avec un 1 aussi
maintenant c'est aussi la dérivée de cela et
Nous savons que pour un 1 être dans un dérivé. Cela signifie qu'il doit y avoir eu au moins un
Vous connaissez la fonction de X dans la fonction elle-même
donc si nous avons 1 plus X qui nous donnera correctement le dérivé 1
Mais ce faisant, ils ne sont plus égaux
Nous devons donc les rendre égaux. Ajoutons que x ici aussi et que
Nous donne le même problème pour avoir un x dans la dérivée d'une fonction
Il doit y avoir au moins une puissance x au carré dans la fonction elle-même
En fait, il aurait fallu être au carré de plus de 2 pour nous donner ce dérivé

English: 
We know it starts at 1 and we know that the derivative of it
dy/dx
is going to always be equal to the function itself. So that's going to have to start with a 1 as well.
Now this is also the derivative of this and
we know that for a 1 to be in a derivative, it means there must have been at least one
function of X in the function itself.
So if we have 1 plus x that will correctly give us the derivative 1,
but in doing that these are no longer equal anymore,
so we've got to make them equal. Let's add that x down here as well and that
gives us the same problem. To have an x in the derivative of a function
there must have been at least an x squared power in the function itself.
In fact, it would have had to be x squared over 2 to give us this derivative,

French: 
Mais vous savez, nous devons garder ceux-ci égaux les uns aux autres. Donc, nous allons devoir ajouter ce terme ici aussi
Nous semblons tourner un peu en rond
Alors ça va continuer comme ça
Vous pourriez reconnaître le motif pour être réellement x à n sur n factoriel
Où par exemple ici était 2 c'est 2 factorial est juste 2 et nous avons la puissance au carré en haut et
alors
ceci ici, et cela continue cela va être
Notre représentation en série de la fonction e au x qui est ce à quoi elle est égale
Maintenant, vous pourriez être familier avec e le nombre comme étant quelque chose 2.7
Cela sort d'ici - si nous devions définir e sur le X

English: 
but you know, we need to keep these equal to each other. So we're going to have to add that term here as well.
We seem to be going around in circles a little bit.
Then this is going to keep going on like this,
you might recognize the pattern to actually be x to the n over n factorial,
where for example here n was 2, this is 2 factorial it's just 2 and we've got the squared power at the top and
so
this here, and this keeps going, this is going to be
our series representation of the function e to the x. That's what it's equal to.
Now you might be familiar with e the number as being like 2.7...
That pops out of here - if we were to set e to the x,

English: 
with x equal to 1. If x is equal to 1 this is just e
and if that's going to be always a 1 this would be a 1 here. This would be 1 squared over 2. That'll be 1/2
and so that's already
2.5 there and each of these smaller terms are gonna you know, get to be very small numbers
we're going to keep adding on successively smaller amounts until it, you know gets to around the value of
2.7 blah-blah-blah-blah. All right, and that's the familiar face of e that you might have seen before.
This is a way of writing it out that shows you in a way how e came to be it was designed so that
the derivative of the function was always going to be the function itself.
Using the property of e to the x that we just went through we can write down its integral as e to the x
plus our boi C. Now

French: 
avec x égal à 1 si x est égal à 1 c'est juste e
Et si ça doit toujours être un 1, ce serait un 1 ici. Ce serait 1 au carré sur 2. Ce sera 1/2
et que c'est déjà
2.5 là et chacun de ces termes plus petits va vous faire savoir, soyez de très petits nombres
nous allons continuer à ajouter des montants successivement plus petits jusqu'à ce que, vous le savez, se rapproche de la valeur de
2,7 bla-bla-bla-bla. D'accord, et c'est le visage familier de la facilité que vous avez pu voir auparavant
c'est une façon de l'écrire qui vous montre d'une certaine façon comment il a été conçu pour que
La dérivée de la fonction allait toujours être la fonction elle-même
En utilisant la propriété de e au x que nous venons de traverser, nous pouvons écrire son intégrale comme e au x
Plus notre Boi C maintenant

French: 
Si vous avez fait presque n'importe quelle intégration, vous vous souviendrez ou vous reconnaîtrez ce que C est
Il est notre ami que nous devons juste nous rappeler de ne pas laisser derrière nous
Il est la constante de l'intégration et il est là parce que vous savez
Il ne dépend pas de x
Donc, la dérivée du C aurait été nulle et il est donc très possible qu'il y ait eu une constante ici
Où, quand différenciée, elle disparaît, nous devons laisser cela là au cas où
Mais ceci est notre jolie base intégrale assez intuitive et très largement utile
alors en goûtant des intégrales
Nous devons considérer plusieurs choses comme la valeur de la complexité, la beauté de l’intégrale et vous savez
Son utilité et je dirais que celui-ci obtient un score assez élevé, je pense que vous savez
Vous en avez pour votre argent
Vous obtenez beaucoup de valeur de cela, vous pouvez utiliser cette intégrale dans de nombreux endroits
Cela rendra les maths assez simples pour vous, et c’est très élégant aussi
Donc, je suis impatient de voir à quoi ressemble notre prochaine intégrale et comment elle peut rivaliser ici

English: 
if you've done almost any integration at all, you'll remember or you'll recognize what C is,
he's our friend that we just have to remember not to leave behind.
He's the constant of integration and he's there because you know,
he doesn't depend on x,
so the derivative of the C would have been zero and so it's very possible that there could have been some constant here
where when differentiated it disappears so we've got to leave that there just in case.
But this is our integral pretty basic, pretty intuitive and very widely useful.
So when tasting integrals,
we've got to consider multiple things such as the value, the complexity, the beauty of the integral and you know,
it's usefulness, and I'd say this one scores pretty highly. I think it's you know
got a big bang for your buck,
you're getting a lot of value out of this. You can use this integral in a lot of places,
it'll make math pretty simple for you, and it's pretty elegant as well.
So I'm looking forward to seeing what our next integral looks like and how it can rival this one here

French: 
Mais écoutons Jen à ce sujet
* bruits de train *
Bonjour les crevettes
Merci à Toby de m'avoir invité à son petit spectacle ici, mais Toby est sérieux
Ce n'est pas ce que j'ai signé pour
Regardez ça. Je ne peux pas intégrer ce
Je ne me sens pas digne
Je ne peux physiquement pas intégrer cette fonction ici
Qu'est-ce que tu penses que tu me donnes ici? je suis dehors
* Tenir des jeux de musique *
Alors

English: 
but let's hear from Jen's on that one
[train crash sounds]
Good morning fellow shrimps.
Thanks to Toby for inviting me to her little show right here, but Toby are you serious?
That's not what I signed up for.
Take a look at that. I can't integrate this.
I don't feel worthy.
I physically can't integrate this function right here.
What the hell do you think you are giving me here? I'm out!
[Hold music plays]
So

French: 
Mon manager vient de me parler et il m'a dit que si je n'intégrais pas cette fonction, alors je serais viré
Donc je suppose que je n'ai aucune chance ici
nous allons donner cette chose ici tiré en utilisant une analyse complexe aujourd'hui parce que c'est vraiment élégant et
Vous voyez que c'est la fonction et nous allons appeler cette chose I pour intégrale
Vous pouvez aussi l'appeler J pour Jen. Je m'en fous vraiment ou T pour Toby
Et au début, je voudrais définir une fonction complexe, une fonction complexe
Nous allons l'appeler f de z et nous allons le définir comme suit
C'est le journal naturel de z au carré sur z au carré plus 1 et si vous regardez le dénominateur ici
Qu'est-ce que plus 1 qui n'est rien mais
Négatif Je me suis carré où je suis l'imaginaire
Constante et vous voyez que c'est juste une différence de deux carrés et nous pouvons la prendre en compte. Donc c'est assez facile
Donc, nous nous retrouvons avec log naturel de z sur z plus i fois z moins i et
Ce dénominateur donne ici deux pôles à deux pôles singuliers.

English: 
My manager just talked to me and he told me if I don't integrate this function, then I'm gonna be fired
So I guess I have no chance right here
we are going to give this thing right here shot using complex analysis today because that's just really elegant and
You see that's the function and we are going to call this thing I for integral
You can also call it J for Jen's. I really don't care or T for Toby
And at first I would like to define a complex function a complex valued function
We are going to call it f of z and we are going to define it as follows
That's natural log of z squared over z squared plus 1 and if you take a look at the denominator right here
What is plus 1 that is nothing but
Negative i squared where i is the imaginary
Constant and you see that's just a difference of two squares and we can factor it. So that's quite easy
So we end up with natural log of z over z plus i times z minus i and
This denominator right here gives rise to two poles two singular poles at that

French: 
Alors, où sont nos poteaux? Ils font partie de l'Europe occidentale. Je le sais mais aussi
On peut juste regarder ici
donc les poteaux ne sont que des points où notre
Le dénominateur irait à zéro et notre fonction exploserait à l'infini, vous pourriez dire
Donc, cela signifie aussi que nous avons deux pôles à un et deux aux points i et négatif, donc plus et moins i et
Maintenant, nous pouvons examiner le contour car si vous souhaitez utiliser l'analyse complexe du théorème de résidu
nous voudrions jeter un coup d'oeil à une intégrale de contour de cette fonction complexe en couches f de z intégrée par rapport à z
Ok, c'est cool. Mais à quoi ressemble notre contour? Eh bien pour cela, je voudrais jeter un oeil au complexe
avion et
Juste à la moitié supérieure. Cela rend les choses plus faciles
Alors, pourquoi ne pas regarder un demi-cercle dans la moitié supérieure du plan complexe? Mais voici la chose
Nous avons une singularité que vous pourriez dire si nous connectons

English: 
So where are our poles at? They are part of Western Europe. I know that but also
We can just take a look at here
so poles are just points where our
Denominator would go to zero and our function would explode to infinity you could say
So that also means we have two poles at one and two at the points i and negative i so plus and minus i and
Now we can take a look at the contour because if you want to use the residue theorem complex analysis
we would like to take a look at a contour integral of this complex layered function f of z integrated with respect to z
Okay, that's cool. But what does our contour look like? Well for this I would like to take a look at the complex
plane and
Just it at the upper half. So this makes things easier
So why not take a look at a semicircle in the upper half of the complex plane? But here's the thing
We have a singularity you could say if we plug in

English: 
Zero into here in this natural log of z this function would explode to negative infinity. We don't want it
So we have to get around the singularity. That's a branch point
So why not construct a little semicircle around the origin right here with a little radius of Epsilon? I don't care and
Our outer semi circle has a radius of R. So this goes from R and
negative R right here to negative epsilon and epsilon because epsilon is just the radius and
This thing right here is just a contour
C, that's what we are going to call it and also our outer semi circle
It's nothing but gamma we are going to call it this and our inner semi circles nothing, but I don't know capital lambda
So that means our contour integral right here consists of four parts. We have this gamma integral and then also we have this
Lambda integral and also we have two other integrals one on the real axis

French: 
Zéro ici dans ce journal naturel de z cette fonction exploserait à l'infini négatif. Nous n'en voulons pas
Il faut donc contourner la singularité. C'est un point de branchement
Alors pourquoi ne pas construire un petit demi-cercle autour de l'origine ici avec un petit rayon d'Epsilon? Je m'en fous et
Notre demi-cercle extérieur a un rayon de R. Cela va de R et
R négatif ici à epsilon négatif et epsilon parce que epsilon est juste le rayon et
Cette chose ici est juste un contour
C, c'est ce que nous allons l'appeler et aussi notre demi-cercle extérieur
Ce n'est rien mais gamma on va l'appeler comme ça et nos demi-cercles intérieurs rien, mais je ne connais pas le capital lambda
Cela signifie que notre intégrale de contour se compose de quatre parties. Nous avons cette intégrale gamma et puis aussi nous avons ceci
Intégrale Lambda et aussi nous avons deux autres intégrales une sur l'axe réel

English: 
So here we are going to integrate with respect to z but those are just running on the real axis
So we have another integral running from negative R to negative epsilon
f of x dx so just changing those complex-valued
zs right here to just real valued axis
And also another integral from epsilon to f of x
dx
But also like I said before we would like to use the residue theorem
So those 4 parts added together are equal to 2 times pi times
i times the sum of the residues in this case
but we only have to consider one residue because our contour just has the residue of i
In it, so this singular power i
so z one right here the residue at the point z one and we're going to calculate it now
You might ask yourself now
What the hell is the residue at the point z being equal to i?
Well, we bois here at BuzzFeed are going to do it that way

French: 
Donc, ici, nous allons intégrer par rapport à z, mais ceux-ci ne font que courir sur l'axe réel
Nous avons donc une autre intégrale allant de R négatif à epsilon négatif
f de x dx donc juste changer ces valeurs complexes
zs ici pour juste vrai axe de valeur
Et aussi une autre intégrale d'epsilon à f de x
dx
Mais aussi comme je l'ai dit avant nous aimerions utiliser le théorème de résidu
Donc, ces 4 parties ajoutées ensemble sont égales à 2 fois pi fois
i fois la somme des résidus dans ce cas
mais nous ne devons considérer qu'un seul résidu parce que notre contour a juste le résidu de i
En cela, ce pouvoir singulier i
donc z un ici le résidu au point z un et nous allons le calculer maintenant
Vous pourriez vous demander maintenant
Qu'est-ce que le résidu au point z étant égal à i?
Eh bien, nous les bois ici chez BuzzFeed vont le faire de cette façon

French: 
Nous ne faisons rien mais appliquons la limite lorsque z approche i
à z moins i fois f de z mais quelle est exactement f de z?
Ce n'est rien mais le journal naturel de z au carré sur z plus i
Times z moins i et vous voyez que ça va annuler tout à fait bien
C'est pourquoi nous l'avons pris en compte en premier lieu et bien maintenant nous pouvons simplement appliquer la limite sans aucune
complications nous avons donc le journal naturel de i
Nombre complexe qui est bizarre au carré deux fois i parce que je plus i est juste deux fois je
Vous pourriez vous demander maintenant. Quel est exactement le journal naturel de moi bien
Nous pouvons simplement regarder l'avion complexe pour cela
donc ce droit ici est un plan complexe avec ceci étant l'axe réel et ceci étant le
Axe imaginaire et où est exactement notre point, il est juste ici et
si vous regardez la définition d'une fonction complexe
z c'est rien mais r fois e au I Phi

English: 
We do nothing but apply the limit when z approaches i
to z minus i times f of z but what exactly is f of z?
It's nothing but the natural log of z squared over z plus i
Times z minus i and you see it is it's going to cancel out quite nicely
That's why we factored it in the first place and well now we can just apply the limit without any
complications so we have the natural log of i
Complex number that's weird squared over two times i because i plus i is just two times i
You might ask yourself now. What exactly is the natural log of I well
We can just take a look at the complex plane for that
so this right here is a complex plane with this being the real axis and this being the
Imaginary axis and where exactly is our point i it's just up here and
if you take a look at the definition of a complex function
z it's nothing but r times e to the I Phi

French: 
où r est la longueur de notre vecteur ici dans R2, vous pouvez dire et Phi est juste
Angle entouré par ce vecteur et axe réel. Donc, cela signifie que si nous montons ici pour i
Quel est notre angle? Eh bien, c'est pi plus de deux, mais maintenant vous pourriez dire hmm
Et si nous revenions de cette façon une fois de plus et atterririons ici, ce serait juste cinq fois plus que deux fois et encore et encore avec
Quelques fois K pi sur deux K de certains
Nombre entier. Eh bien, nous allons juste jeter un oeil à la branche principale ici étant pi sur deux
Nous allons juste faire ça. Nous ne le rendons pas plus compliqué qu’il ne l’est déjà et quelle est exactement notre r?
Eh bien, c'est juste la longueur du vecteur, mais je suis sur notre cercle unitaire
de sorte que cela signifie que r est rien d'autre, donc cela signifie aussi que ce n'est rien d'autre que e aux temps i
Pi over 2. Et si nous appliquons le journal naturel des deux côtés

English: 
where r is the length of our vector right here in R2 you can say and Phi is just
Angle enclosed by this vector and real axis. So that means if we just go up here to i
What's our angle? Well, this is pi over two, but now you could say hmm
what if we go around this way once again and land here, this is just five times pi over two and again and again with
Some K times pi over two K of some
Integer number. Well, we're just going to take a look at the principle branch right here being pi over two
We're just going to do that. We are not making it more complicated than it already is and what exactly is our r?
Well, it's just length of the vector but i is on our unit circle
so that means r is nothing but one so it also means that i it's nothing but e to the i times
Pi over 2. And if we apply the natural log to both sides

English: 
Natural log of e to the something is just the something itself. So i times pi over two and here we go
We are done and we can plug this in so we end up with i
times pi over two
But the whole thing squared over two times i and well i squared is nothing but negative one times pi squared
over four times two times i so this is a times i and now we can just plug the value of this residue into our
Contour integral and then we are basically done
So all I really did was just plug everything
Into what we have gathered before and you might notice on this expression right here our is don't cancel so that makes it real valued
that's cool and our two and one over eight is going to cancel out somehow to
one over four so we end up with
This additive chunk right here to be just negative pi to the third power over four
Okay, that is cool. And now I would like to take a look at only this integral right here
So we are going to write it out

French: 
Journal naturel de e à quelque chose est juste le quelque chose lui-même. Donc je fois pi plus de deux et nous y voilà
Nous avons terminé et nous pouvons brancher cela afin que nous nous retrouvions avec i
fois pi sur deux
Mais tout ce qui a été quadrillé deux fois et bien au carré n’est rien de moins qu'un pi carré
plus de quatre fois deux fois je c'est donc une fois et maintenant nous pouvons simplement brancher la valeur de ce résidu dans notre
Intégrale de contour et nous sommes essentiellement faits
Donc tout ce que j'ai vraiment fait était de tout brancher
Dans ce que nous avons déjà rassemblé et que vous remarquerez peut-être sur cette expression ici, notre est de ne pas annuler, ce qui en fait une vraie valeur
c'est cool et nos deux et un sur huit va annuler en quelque sorte
un sur quatre alors nous nous retrouvons avec
Ce morceau additif est ici juste pi négatif à la troisième puissance sur quatre
Ok, c'est cool. Et maintenant je voudrais jeter un oeil à seulement cette intégrale ici
Nous allons donc l'écrire

English: 
Okay, we are going to end up with an integral from negative R to negative epsilon of natural log of x squared
Over x square plus one
integrated with respect to x and
Well what we can do now we can just introduce a substitution
So let x be equal to negative x or negative u you can call it whatever you want. It's just a dummy variable
So what we want to do
We want to let x be equal to negative x that also means that our dx is going to be transformed to
Negative dx and we can plug all of this chunk in
So what happens to our upper and lower bound well they just change signs to R and epsilon in this case?
So we have natural log of negative x natural log of a negative number. That's weird
Once again, we are going to talk about this in a minute
Over well negative x squared is just x squared. It doesn't change plus 1 negative dx and
Now we can distribute this negative

French: 
D'accord, nous allons nous retrouver avec une intégrale de R négatif à epsilon négatif de log naturel de x au carré
Plus de x carré plus un
intégré par rapport à x et
Eh bien ce que nous pouvons faire maintenant, nous pouvons simplement introduire une substitution
Donc, laissez x être égal à négatif x ou négatif u vous pouvez l'appeler comme vous voulez. C'est juste une variable factice
Alors, que voulons-nous faire
Nous voulons laisser x être égal à négatif x cela signifie aussi que notre dx va être transformé en
DX négatif et nous pouvons brancher tout ce morceau dans
Alors, qu'arrive-t-il à nos limites supérieure et inférieure, elles changent simplement de signes en R et epsilon dans ce cas?
Nous avons donc un log naturel de négatif x log naturel d'un nombre négatif. C'est bizarre
Encore une fois, nous allons en parler dans une minute
Plus de x négatif au carré est juste x au carré. Il ne change pas plus 1 dx négatif et
Maintenant, nous pouvons distribuer ce négatif

English: 
Sign into here to change the order of integration into the integral from epsilon to R of
the natural log of negative x squared
over x squared plus one dx and
For this natural log of a negative number, I would once again just like to take a look into the complex plane
Let's put it here
So just like before we have talked about
the vectors before so z being equal to r times e to the i Phi and
On the real axis our negative 1 is right here. So that means we are going to go this way and
We are enclosing an angle of Pi in this case
taking the principal branch once again and also its lying on the unit circle this negative 1 so our r is going to be 1
that also means that natural log of
Negative x it's nothing but well we can use the natural log property because this is just negative 1 times x
so turning it into the natural log of negative 1 plus the natural log of x and
Well natural log of negative 1 in this case

French: 
Connectez-vous ici pour changer l'ordre d'intégration dans l'intégrale d'epsilon à R de
le log naturel de x négatif au carré
plus de x au carré plus un dx et
Pour ce logarithme naturel d'un nombre négatif, j'aimerais à nouveau jeter un coup d'œil dans le plan complexe
Mettons le ici
Donc, tout comme avant nous avons parlé
les vecteurs avant si z étant égal à r fois e au i Phi et
Sur l'axe réel, notre négatif 1 est ici. Donc, cela signifie que nous allons aller dans ce sens et
Nous enfermons un angle de Pi dans ce cas
prendre la branche principale une fois de plus et aussi son mensonge sur l'unité cercle ce négatif 1, donc notre r va être 1
cela signifie aussi que logarithme naturel de
Négatif x ce n'est rien mais nous pouvons utiliser la propriété log naturelle car elle est juste négative 1 fois x
donc en le transformant dans le journal naturel de 1 négatif plus le log naturel de x et
Logarithme naturel de négatif 1 dans ce cas

French: 
Donc, un négatif 1 ce n'est rien d'autre que e à i fois pi prenant log naturel des deux côtés
C’est juste i fois pi, c’est aussi facile qu’il est donc on se retrouve avec i
fois pi plus logarithme naturel de x
Et nous pouvons brancher cette nouvelle information ici. Alors
nous nous retrouvons avec, mettons cela dans une boîte pour intégrer epsilon à R de
Le log naturel de x plus i fois pi
toute chose au carré sur x au carré plus 1
intégré par rapport à x et vous
voir que nous pouvons simplement utiliser la formule binomiale ici dans le numérateur pour finir avec une intégrale finale de epsilon à R de
log naturel de x tout au carré plus notre log naturel de x fois
i fois pi et maintenant i fois pi au carré. C'est juste pi carré négatif
pi négatif au carré
x au carré plus 1
dx et je vais tout écrire et je vous revois dans une seconde

English: 
So a negative 1 it's nothing but e to the i times pi taking natural log on both sides
It's just i times pi it's as easy as it is so we end up with i
times pi plus natural log of x
And we can plug this new information into here. So
we end up with let's put this in a box to integrate from epsilon to R of
The natural log of x plus i times pi
whole thing squared over x squared plus 1
integrated with respect to x and you
see we can just use the binomial formula up here in the numerator to end up with an final integral from epsilon to R of
natural log of x whole thing squared plus our natural log of x times
i times pi and now i times pi squared. This is just negative pi squared
negative pi squared over
x squared plus 1
dx and I'm going to write everything out and I see you back in a second

French: 
Donc, comme vous pouvez le voir, je viens de tout écrire et de ne pas m'interroger sur cette expression. C'était juste
Integral nous avions dérivé une seconde auparavant, mais divisé en trois intégrales différentes et depuis
Ce ne sont que des additifs, nous pouvons simplement les séparer. Et maintenant je voudrais que vous considériez quelque chose et aussi les filles
Autour d'ici sur ce canal
Si on laissait juste epsilon passer à 0 à la limite et R aller à l'infini dans la limite
bien
Il y aurait juste notre intégrale originale que nous voulions évaluer
Même chose ici, donc nous pouvons ajouter ces deux ensemble au milieu. Mais que s'est-il passé exactement pour
Exemple pour ces intégrales gamma et cette intégrale lambda
Eh bien, nous sommes ici au buzzfeed, vous savez, et nous avons beaucoup d'argent
Donc, les revenus publicitaires tombent du ciel toute la journée, mais ce que nous n'avons pas beaucoup de temps
C'est pourquoi nous sommes allés chez notre concessionnaire d'analyse locale complexe
Vous savez que ce type vous vend des lemmes et des théorèmes et des trucs comme ça et nous avons acheté un petit DSC appelé?

English: 
So as you can see, I just wrote everything out nicely and do not wonder about this expression. That was just
Integral we had derived a second ago, but broken up into three different integrals and since
Those are just additive we can just break them up. And now I would like you guys to consider something and also the girls
Around here on this channel
If we would just let epsilon goes to 0 on the limit and R go to infinity in the limit
well
There would just be our original integral that we wanted to evaluate
Same thing here so we can add those two together in the middle. But what exactly what happened for
Example to those gamma integral and this lambda integral
Well, we are here at buzzfeed, you know, and we have a lot of money
So the ad revenue is falling from the sky all day long, but what we don't have is a lot of time
That's why we went to our local complex analysis dealer
You know this guy does selling you lemmas and theorems and stuff like this and we bought a little DSC called?

English: 
Jordan's lemma and we can use it on those two right here
all it really does is to let lambda integral go to 0 in the limit when epsilon approaches 0 and if R
Approaches infinity gamma is also going to 0 so this makes things real
Really easy and we are going to take the limit on both sides now and see what we get
so
We end up with the limit as epsilon goes to 0 and R goes to infinity of our contour integral
I'm going to write it like this
This is just on on this side right here where this is just the limit of a constant
It doesn't affect our constants or negative
pi to the third power over 4
being equal to
This and that is going to vanish we can add those two together and I want you guys to notice if we and
Girls to notice I'm so sorry this needs to be politically, correct. No, I I have no idea but
If we let epsilon approach 0 and R infinity that's just our original integral I
so we have 2 times I plus i times pi and

French: 
Le lemme de Jordan et nous pouvons l'utiliser sur ces deux ici
tout ce qu'il fait est de laisser lambda intégrale aller à 0 dans la limite quand epsilon approche de 0 et si R
Approches infinity gamma va également à 0 donc cela rend les choses réelles
Vraiment facile et nous allons prendre la limite des deux côtés maintenant et voir ce que nous obtenons
alors
Nous finissons avec la limite car epsilon passe à 0 et R va à l'infini de notre intégrale de contour
Je vais l'écrire comme ça
Ceci est juste sur ce côté là où c'est juste la limite d'une constante
Cela n'affecte pas nos constantes ou négatives
pi au troisième pouvoir sur 4
être égal à
Ceci et cela va disparaître, nous pouvons ajouter ces deux ensemble et je veux que vous remarquiez si nous et
Les filles remarquent que je suis désolée que cela doive être politiquement correct. Non, je n'ai aucune idée mais
Si on laisse epsilon approcher 0 et R l'infini qui n'est que notre intégrale initiale I
donc nous avons 2 fois je plus i fois pi et

French: 
Celui-ci ne nous concerne pas vraiment
Nous allons juste l'appeler maintenant. Cela n'a pas vraiment d'importance
Donc, c'est juste J comme Jens le nom mathématique mec, c'est probablement moi et aussi ce négatif intégral
Pi carré multiplié par l'intégrale de 0 à l'infini de dx
Plus de x au carré plus 1 et vous voyez cela ici est vraiment facile à évaluer
Ceci est juste la tangente inverse de cette intégrale ici
De x dans les limites de zéro à l'infini et bien en inverse la tangente de zéro est juste zéro et la tangente inverse lorsque x s'approche
L'infini n'est que de deux pi. Donc, c'est juste pi au troisième pouvoir sur deux. Alors qu'est-ce que nous avons?
Nous avons pi négatif au troisième pouvoir sur quatre être égal à deux fois je
Plus i fois pi fois J
Pi négatif à la troisième puissance sur deux et ce que nous pouvons faire, nous pouvons ajouter cette expression des deux côtés

English: 
This one doesn't really concern us
We are just going to call it J now. It doesn't really matter
So this is just J like Jens the mathematical name guy,  that is probably me and also this integral negative
Pi squared times the integral from 0 to infinity of dx
Over x squared plus 1 and you see this right here is really easy to evaluate
This is just the inverse tangent  this integral right here
Of x in the limits from zero to infinity and well in inverse tangent of zero is just zero and inverse tangent when x approaches
Infinity is just pi over two. So this is just pi to the third power over two. So what do we have?
We have negative pi to the third power over four be equal to two times I
Plus i times pi times J
Negative pi to the third power over two and what we can do we can add this expression on both sides

French: 
Donc, ajouter PI au troisième pouvoir sur deux aussi ici PI au troisième pouvoir sur deux
cela va annuler et cette chose ici va exactement évaluer à
Le terme positif ici, vous pouvez donc avancer cette fraction de 2 sur 2 et vous voyez immédiatement d'où cela vient
Donc, c'est juste PI au troisième pouvoir sur
4 est égal à 2 fois I plus i fois pi fois J
Et comme 2 n'est pas égal à 0, vous pouvez le prouver en utilisant des axiomes de piano ou quelque chose
Ou vous pouvez simplement faire confiance à un guide BuzzFeed ici, nous pouvons diviser les deux côtés par 2. Donc
Ceci par 2. Cela va annuler ceci par 2 et si on divise par 2
c'est juste PI au troisième pouvoir sur 8 et
Vous voyez la vraie partie de ce nombre complexe?
Donc, la partie réelle de la partie imaginaire va simplement être la valeur de notre intégrale que nous voulions évaluer
Cela signifie donc aussi la partie réelle de cette intégrale de contour

English: 
So adding PI to the third power over two also here PI to the third power over two
this is going to cancel out and this thing right here is exactly going to evaluate to
The positive term right here so you can advance this fraction by 2 over 2 and you immediately see where this comes from
So this is just PI to the third power over
4 equals to 2 times I plus i times pi times J
And since 2 isn't equal to 0 you can prove this by using piano axioms or something
Or you can just trust a BuzzFeed guide right here on this we can divide both sides by 2. So
This by 2. This is going to cancel out this by 2 and if we divide this by 2
this is just PI to the third power over 8 and
You see the real part of this complex number?
So real part imaginary part is just going to be the value of our integral that we wanted to evaluate
So that also means the real part of this contour integral

English: 
f of z dz contour integral is nothing but pi to the 3rd power over 8
so if we just compare coefficients you could say and this is nothing but our
We are done my boys and girls and everything else in between
the value of our nice little contour integral right here is
PI to the third power over eight and this thing is worth a million bucks
Probably because it's just so damn cool complex analysis. It's awesome
And if you did enjoy this video, please like and subscribe to the shrimp and me
I'm flammable maths if you didn't know already and up until the next video have a flammable and
Tibees day, cya

French: 
f de z dz l'intégrale du contour n'est rien d'autre que pi au 3ème pouvoir sur 8
donc si nous comparons simplement les coefficients, vous pourriez dire et ce n'est rien d'autre que notre
Nous avons fini mes garçons et filles et tout le reste entre
la valeur de notre belle petite intégrale contour est ici
PI au troisième pouvoir sur huit et cette chose vaut un million de dollars
Probablement parce que c'est une analyse complexe et vraiment cool. C'est génial
Et si vous avez apprécié cette vidéo, s'il vous plaît, aimez et abonnez-vous à la crevette et moi
Je suis des maths inflammables si vous ne saviez pas déjà et jusqu'à la prochaine vidéo ont un inflammable et
Jour des Tibees, cya
