
Bulgarian: 
Имаме графиката
на функцията у=g(x)
дадена тук
и искам да проверя
кои от тези твърдения
са верни
и да ги отбележа.
Както винаги, приканвам те
да оставиш видеото на пауза
и да опиташ самостоятелно.
Сега да видим
първото твърдение.
Според него и двете граници
на g(x),
когато х клони към 6
отляво и отдясно
съществуват.
Нека първо помислим
за границата
на g(x), когато х клони
към 6 отдясно,
откъм числата,
по-големи от 6.
Като погледнем тук виждаме,
че за х=9 функцията
g(9) има такава стойност,
g(8) е тук,
а g(7) е ето тук,
някъде между –3 и –4.

English: 
- [Voiceover] We have the
graph of y is equal to g of x
right over here, and what
I wanna do is I wanna check
which of these statements
are actually true
and then check them off.
And like always, I encourage
you to pause the video
and see if you can work
through this on your own.
So let's look at this first statement.
So this first statement says
both the limit of g of x
as x approaches six
from the right-hand side
and the limit as x approaches
six from the left-hand side
of g of x exist.
All right, so let's first
think about the limit
of g of x as x approaches
six from the right-hand side,
as we approach six from
values greater than six.
So if we look over
here, we could say okay,
when x is equal to nine, and
g of nine is right over there,
g of eight is right over here,
g of seven is right over here,
looks like it's between negative
three and negative four,
g of 6.5 looks like it's a little bit,

Czech: 
Máme zadaný graf
funkce y rovná se g(x)
a chceme zjistit a označit,
která z těchto tvrzení jsou pravdivá.
Jako vždy vám doporučuji
si video zastavit
a zkusit si tuto
úlohu vyřešit sami.
Podívejme se nyní
na první tvrzení.
První tvrzení nám říká,
že jak limita g(x) pro x
blížící se k 6 zprava,
tak limita g(x) pro x
blížící se k 6 zleva existuje.
Nejdříve se podívejme na limitu g(x)
pro x blížící se k 6 zprava
neboli když se k 6 blížíme
hodnotami většími než 6.
Když se podíváme sem,
tak si můžeme říci: „Dobře,
když je x rovno 9
a g v bodě 9 je tady,
g v bodě 8 je tady,
g v bodě 7 je tady,
vypadá to, že jde o hodnotu
mezi minus 3 a minus 4,

Korean: 
이곳에 y=g(x)의 그래프가 있습니다
여기 이 문장들이 맞는 것들인지
확인해보고
맞으면 체크해봅시다
항상 했던 것처럼 잠시 영상을 멈추고
스스로 문제를 해결해봅시다
이제 첫번째 문장을 살펴봅시다
첫번째 문장은
g(x)의 x=6에서의 우극한과
g(x)의 x=6에서의 좌극한이
모두 존재한다 입니다
그러면 첫번째로
g(x)의 x=6에서의 우극한을 생각해봅시다
6보다 큰 값을 가지면서 6으로 접근하는 경우입니다
이 부분을 살펴보면
x=9일 때 g(9)은 이곳이고
g(8)은 여기
g(7)은 여기
-3과 -4의 사이인 것 같습니다
g(6.5)는 여기

Czech: 
g v bodě 6,5
vypadá, že je trochu...
...pořád je mezi minus 3 a minus 4,
ale blíže k minus 3,
g v bodě 6,1 je
ještě blíže k minus 3,
g v bodě 6,01 je
ještě blíž k minus 3,
takže to vypadá,
že limita zprava existuje.“
Tedy že tato
limita existuje.
Dívám se na to
prostě graficky,
protože to je to, co od vás u příkladu
jako je tento mohou očekávat.
Teď se podívejme na limitu
pro x blížící se k 6 zleva.
Mohl bych začít kdekoliv,
takže když je například x rovno 3,
g v bodě 3 je
o trochu větší než 1.
g v bodě 4 je
o trochu méně než 2.
g v bodě 5 se zdá
být velmi blízko ke 3.
g v bodě 5,5 je
někde mezi 5 a 6.
g v bodě 5,75
je velmi blízko 9.

English: 
it's still between negative
three and negative four
but it's closer to negative three.
G of 6.1 is even closer to negative three.
G of 6.01 is even closer
to negative three,
so it looks like the limit
from the right-hand side does exist.
So it looks like this one exists.
Now let's see, and I'm just
looking at it graphically.
That's all they can expect you to do
in an exercise like this.
Now let's think about the
limit as x approaches six
from the left-hand side.
So I could start anywhere,
but let's say when x is equal
to three, g of three is
a little more than one.
G of four looks like there's
a little bit less than two.
G of five looks like it's close to three.
G of 5.5 looks like it's
between five and six.
G of 5.75 looks like
it's approaching nine.

Bulgarian: 
g(6,5) е малко по-нагоре,
пак е между –3 и –4,
но малко по-близо до –3.
Още по-близо до –3
е g(6,1).
Ето тук се приближаваме
доста до границата.
Изглежда, че границата
от дясната страна съществува.
Ето тази граница съществува.
Тук можем да правим
само графични заключения,
но точно това се иска
в такъв тип упражнения.
Сега да помислим за границата,
когато х клони към 6
от лявата посока.
Мога да избера всяка точка,
но нека започна с х=3.
g(3) е малко повече от 1.
g(4) изглежда е с малко
по-малко от 2.
g(5) изглежда по-близо до 3.
g(5,5) е между 5 и 6.
g(5,75) изглежда близо до 9.

Korean: 
여전히 -3과 -4의 사이에 있는데
-3에 조금 더 가까워졌습니다
g(6.1)은 조금 더 -3에 가까워집니다
g(6.01)은 -3에 더 가까워집니다
 
우극한이 존재하는 것 같습니다
이것은 존재합니다
그래프를 통해 살펴보고 있는 중입니다
이런 방식으로 스스로 연습할 때
해보시면 됩니다
이번에는 g(x)의 x=6에서의 좌극한을 생각해봅시다
 
어디에서든 시작해도 됩니다
x=3일 때 g(3)은 1보다 약간 큽니다
g(4)는 2보다 약간 작은 것 같습니다
g(5)는 3에 가까운 것 같네요
g(5.5)는 5와 6사이에 있습니다
g(5.75)는 9에 가까운 것 같네요

English: 
And as we get closer and closer,
as x gets closer and
closer to six from below,
from values to the left of six,
it looks like we're unbounded,
we're approaching infinity.
And so technically, we would
say this limit does not exist.
So this one does not exist.
So I won't check this one off.
Some people say the limit
is approaching infinity,
but that technically is,
infinity is not a value that you can say
it is approaching in the
classical formal definition
of a limit.
So for these purposes, we would just say
this does not exist.
Now let's see, they say the
limit as x approaches six
of g of x exists.
Well, the only way that the limit exists
is if both the left, if
both the left, the left,
and the right limits exist and
they approach the same thing.
We'll, our limit as x approaches
six from the negative side
or from the left-hand
side, I guess I could say,
does not even exist.
So this cannot be true.
So that's not gonna be true.

Bulgarian: 
Когато се приближаваме
все повече до 6,
когато х доближава 6 все повече
отдолу,
откъм числата
отляво на 6,
изглежда функцията е неограничена,
сякаш се стреми към безкрайност.
На практика, казваме,
че границата не съществува.
Ето тази лява граница
не съществува.
Затова не отбелязвам
за верен отговор този.
Някои казват, че лявата граница
се стреми към безкрайност,
но на практика безкрайността
не е определено число,
към което една граница да се стреми
според класическото,
формално определение
за граница.
За нашите цели ще кажем,
че тя не съществува.
Сега да видим границата
при х, клонящо към 6.
Съществува ли
тази двупосочна граница?
Една граница съществува тогава,
когато и лявата, и дясната
граници
съществуват и се доближават
до едно и също число.
Лявата граница за х,
клонящо към 6 отляво
или, иначе казано,
от отрицателната посока
дори не съществува.
Значи това не може да е вярно.
Този отговор
също не е верен.

Czech: 
A když se blížíme
čím dál tím víc,
když se x čím dál
víc blíží k 6 zezdola,
tedy po hodnotách
nalevo od 6,
vypadá to, že jdeme
do nekonečna.
Takže technicky vzato 
tato limita neexistuje.
Tedy toto tvrzení
není správně.
Někteří by řekli, že limita
je rovna nekonečnu,
ale nekonečno
není žádná hodnota,
ke které se můžeme blížit podle 
klasické formální definice limity.
Proto řekneme, že
tato limita neexistuje.
Dále máme tvrzení, že limita g(x)
pro x blížící se k 6 existuje.
Tato limita bude
existovat jedině tehdy,
když budou jak
limita zleva,
tak limita zprava existovat
a rovnat se tomu samému.
Jenže naše limita pro x blížící
se zleva ani neexistuje,
takže tohle tvrzení
nemůže být pravda.

Korean: 
점점 가까이 가면 갈수록
6보다 작은 수에서 가까이 가면 갈수록
 
한계가 없이 무한으로 가고 있습니다
그래서 극한이 존재하지 않는다고 할 수 있습니다
이것은 존재하지 않습니다
이것은 체크하지 않겠습니다
어떤 사람들은 극한이 무한대라고 합니다
하지만
우리가 일반적으로 이야기하는 극한의 정의에서
무한대는 수치가 아닙니다
 
그렇기 때문에
이것은 존재하지 않는다고 합니다
이제 x가 6으로 한없이 가까워질 때
g(x)의 극한이 존재하는지 알아봅시다
극한이 존재하는지 알아보는 방법은
좌극한과 우극한이 모두 존재하고
그들이 같은 값으로 접근하는지 확인하는 것입니다
g(x)의 x=6에서의 좌극한이
 
존재하지 않았습니다
따라서 이 문장은 옳지 않습니다
이 문장도 틀렸고

Korean: 
첫번째 문장도 틀렸습니다
세번째 문장은 g가 x=6에서 정의되었다 입니다
x=6에서 g는 정의되지 않은 것 같습니다
이 그래프를 보면
g(6)가 무엇인지 알 수가 없습니다
여기 보면 열린 동그라미가 있기 때문에
g(6)는 -3이 아닙니다
또한 이쪽은 무한대로 가는 중이기 때문에
수직으로 된 점근선이
x=6에서 그려져 있습니다
그렇기 때문에 g는 x=6에서 정의되어있지 않습니다
이 문장도 배제하겠습니다
네번째는 g는 x=6에서 연속이다 입니다
그래프를 통해 볼 수 있듯이 무한으로 가다가
아래로 점프해서 내려와서 이어집니다
상식적으로 생각해보면
이것은 불연속입니다
연속인지 아닌지
조금 더 엄밀하게 생각해보자면
먼저 주어진 값에서 극한이 존재해야합니다
주어진 값에서 함수는 정의되어야하고
함숫값은 극한값과 같아야합니다
 
이 중 어떤 것도 존재하지 않기 때문에
서로 같을 수도 없게 됩니다
 

Bulgarian: 
Първото условие за него
не е вярно.
Да видим дали
g е определена за х=6?
За х=6 не изглежда
g да е дефинирана.
Като гледам графиката
не мога да определя
на колко е равно g(6).
Това незапълнено кръгче
означава, че g(6)
не е равно на –3,
а отляво графиката
расте безкрайно.
Всъщност имаме
вертикална асимптота
ето тук при х=6.
за х=6 функцията
g не е определена.
Затова и този отговор
отпада.
Следващият: дали g
e непрекъсната за х=6?
Виждаме, че тук функцията
расте безкрайно,
после скача до
тук долу и продължава.
Дори на пръв поглед
изглежда очевидно
прекъсната.
Ако искаш да изведеш
по-формално доказателство,
използвай определението,
че за да има непрекъснатост,
то в тази точка трябва
да съществува двупосочна граница,
функцията трябва да бъде
определена за тази точка
и стойността на функцията
трябва да бъде равна
на стойността на границата.
Тук никое от първите две условия
не е изпълнено.
Тези две стойности
не могат и да са равни,
защото никоя от тях
не съществува.

Czech: 
A první tvrzení
také není pravdivé.
„g je definovaná
v bodě x rovno 6."
Nevypadá to, že by byla g
v bodě x rovno 6 definovaná.
Při pohledu na graf nedokážu říci,
čemu by se g v bodě 6 mělo rovnat.
Tady máme nevybarvené kolečko,
takže g v bodě 6 není rovno minus 3,
a zde jde graf
do nekonečna.
Bodem x rovno 6 vlastně
prochází svislá asymptota.
Takže g v bodě x
rovno 6 není definovaná.
„g je v bodě x
rovno 6 spojitá."
Můžeme vidět, že graf
jde nejdříve do nekonečna,
potom udělá skok
sem dolů a pokračuje dál.
Takže selský rozum nám říká,
že graf vypadá velmi nespojitě.
Pokud o tom chceme
uvažovat formálněji,
tak aby byla funkce spojitá,
limita v daném bodě
musí existovat,
funkce v tom bodě
musí být definovaná
a hodnota funkce se
musí rovnat hodnotě limity.
Už první dvě podmínky
nejsou splněny

English: 
The first one's not gonna be true.
G is defined as x equals six.
So at x equals six, it doesn't
look like g is defined.
Looking at this graph, I can't tell you
what g of six should be.
We have an open circle
over here, so g of six
does not equal to negative three,
and this goes up to infinity,
and we have a vertical
asymptote actually drawn
right over here at x equals six.
So g is not defined at x equals six.
So I'll rule that one out.
G is continuous at x equals six.
Well, you can see that
it goes up to infinity
then it jumps down, back
down here, then it continues.
So when you just think about
it in commonsense language,
it looks very discontinuous.
And if you wanna think
about it more formally,
in order for something to be continuous,
the limit needs to exist at that value.
The function needs to be
defined at that value,
and the value of the
function needs to be equal
to the value of the limit
and neither of these, the
first two conditions are true
and so these can't even equal
each other because neither
of these exist.

Bulgarian: 
Следователно функцията
е прекъсната за х=6.
Единственият верен отговор тук
е „никое от горните твърдения“.
Да направим още един пример.
Първото твърдение гласи,
че и двете граници:
лява и дясна, съществуват
за х, клонящо към 3.
Да помислим за това.
х=3 се намира тук,
където графиката е прекъсната,
това е нейната точка
на прекъсване от първи род.
Нека започнем
да се приближаваме
откъм числата, по-големи от 3.
Когато х е равно на 5,
g(5) e малко повече
в отрицателна посока
от –3.
g(4) е между –2 и –3.
g(3,5) e малко по-близо
до –2.
g(3,1) е още по-близо
до –2.
А g(3,01) е съвсем близо до –2.
Изглежда, че тази
дясна граница,
очертах другата, ще се поправя,

English: 
So this is not continuous at x equals six
and so the only think I can
check here is none of the above.
Let's do another one of these.
So the first statement,
both the right-hand
and the left-hand limit
exists as x approaches three.
So let's think about it.
So x equals three is
where we have this little
discontinuity here,
this jump discontinuity.
So let's approach, let's
go from the positive,
from values larger than three.
So when x is equal to five,
g of five is a little bit
more negative than negative three.
G of four is between negative
two and negative three.
G of 3.5 is getting a bit
closer to negative two.
G of 3.1, it's getting even closer,
closer to negative two.
G of 3.01 is even closer to negative two.
So it looks like this
limit right over here,
well, I'm circling the wrong one,

Korean: 
그래서 g는 x=6에서 연속이 아닙니다
위의 어떤 것도 만족하지 않는다에 체크하겠습니다
다른 문제 하나를 더 보겠습니다
첫번째 문장은 x=3에서의 좌극한과 우극한이
존재하는가 입니다
생각해봅시다
x=3일 때
이 곳에서 불연속입니다
3보다 큰 값에서 3으로 점점 가까이 가보겠습니다
 
x=5일 때 g(5)는
-3보다 조금 더 작습니다
g(4)는 -2와 -3 사이에 있고
g(3.5)는 -2에 점점 가까워집니다
g(3.1)는 더 -2에 가까워지고 있고
 
g(3.01)은 -2와 더 가깝습니다
그렇기 때문에 여기 이 극한은
 

Czech: 
a tyto výrazy se sobě tak ani nemohou
rovnat, protože ani jeden neexistuje.
Takže funkce v bodě
x rovno 6 není spojitá.
Jedinou správnou odpovědí je tedy
"nic z výše uvedených."
Pojďme si zkusit ještě
jednu takovou úlohu.
První tvrzení
nám říká,
že jak limita zprava, tak limita zleva
pro x blížící se ke 3 existují.
V bodě x rovno 3 si můžeme
všimnout nespojitosti 1. druhu.
Zkusme se tedy nejprve blížit
po hodnotách větších než 3.
Když je x rovno 5,
g v bodě 5 je o trochu
méně než minus 3.
g v bodě 4 je někde
mezi minus 2 a minus 3.
g v bodě 3,5 je
o trochu blíž k minus 2.
g v bodě 3,1 je
ještě blíž k minus 2.
g v bodě 3,01 je
ještě blíž k minus 2.
Takže to vypadá,
že tato limita...
zvýrazňuji tu špatnou

Czech: 
...vypadá to, že tato limita
existuje a je rovna minus 2.
Takže tohle je
rovno minus 2.
To byla limita g(x) pro x
blížící se ke 3 zprava
a teď se podívejme
na limitu zleva.
Můžeme začít
třeba tady.
g v bodě 1 se zdá být o trochu
větší než minus 1.
g v bodě 2
je menší než 1.
g v bodě 2,5
je mezi 1 a 2.
g v bodě 2,9 je
o malinko menší než 2.
g v bodě 2,99
je ještě blíž ke 2.
g v bodě 2,99999
bude ještě blíž ke 2,
takže to vypadá,
že tato limita je 2.
Takže obě limity, jak ta zprava,
tak ta zleva, existují.
„Limita g(x) pro x
blížící se ke 3 existuje."

Bulgarian: 
изглежда, че тази граница
съществува.
Дори изглежда, че нейната стойност
е около -2.
Ето това е равно на –2.
Току-що намерихме
дясната граница на g
за х, клонящо към 3.
Сега да помислим за лявата.
Мога да започна оттук.
g(1) изглежда малко повече
от минус 1.
g(2) пък е почти +1.
g(2,5) е между 1 и 2.
g(2,9) е малко
по-малко от 2.
g(2,99) пък е още
по-близо до 2.
g(2,99999) ще е съвсем близо до 2.
Изглежда, че тази лява граница
се доближава до 2.
И двете граници тук,
лявата и дясната,
съществуват.
Границата на g(x) за х, клонящо към 3,
съществува ли?

Korean: 
이 극한은 존재합니다
실제로 -2로 한없이 가까워지고 있습니다
-2와 같다고 적겠습니다
x=3에서의
함수 g(x)의 우극한이었고
이제는 x=3에서의 g의 좌극한을 살펴봅시다
여기에서 시작하겠습니다
g(1)은
-1보다 약간 큰 것 같습니다
g(2)는 1보다는 약간 작습니다
g(2.5)는 1과 2사이에 있습니다
g(2.9)는 2보다는 아주 약간 작은 것 같고
g(2.99)는 2에 점점 가까워지며
g(2.99999)는 2에 더 가까워집니다
그래서 x=3에서의 g의 좌극한은
2입니다
x=3에서의 우극한과 좌극한은
모두 존재합니다
두번째 문장은 x=3에서 g(x)의 극한이 존재한다 입니다

English: 
it looks like this limit exists.
In fact, it looks like it
is approaching negative two.
So this right over here
is equal to negative two.
The limit of g of x as x approaches three
from the right-hand side,
and I'll just think about
it from the left-hand side.
So I can start here.
G of one, looks like it's a little bit
greater than negative one.
G of two, it's less than one.
G of 2.5 is between one and two.
G of 2.9 looks like it's a
little bit less than two.
G of 2.99 is getting even closer to two.
G of 2.99999 would be even closer to two
so it looks like this
thing right over here
is approaching two.
So both of these limits,
the limit from the right
and the limit from the left exist.
The limit of g of x as x
approaches three exists.

Bulgarian: 
Тези бяха едностранни граници.
А тази е същинската,
двустранната граница.
За да съществува тя,
трябва и лявата и дясната
граници да съществуват
и да са равни на едно и също число.
Още в първото твърдение видяхме,
че двете едностранни граници
съществуват,
но са различни.
Ето тази граница,
дясната граница,
се доближава до –2.
А лявата доближава +2.
Следователно
границата не съществува.
Второто твърдение не е вярно.
Сега третото: g е определена
за х=3.
За х=3 виждаме
запълнено кръгче
ето тук.
Следователно наистина
g(3) е определена.
Функцията е дефинирана
в тази точка.
Четвъртото: g е непрекъсната
в точката х=3?
За да бъде непрекъсната
функцията в тази точка,
нейната граница трябва
да съществува в нея,
функцията трябва да е определена там
и нейната стойност в тази точка
да е равна на границата.

Korean: 
첫번째 문장은 한쪽 방향에서의 극한이었고
두번째 문장은 실제 극한입니다
이 극한이 존재하는지 알아보기 위해서는
우극한과 좌극한이 모두 존재하고
같은 값으로 접근해야합니다
첫번째 문장에서 살펴보았듯이
우극한과 좌극한은 모두 존재하지만
서로 다른 값으로 접근합니다
 
오른쪽에서 접근하면
-2로 다가가는 중이었고
왼쪽에서 접근하면 2로 다가갑니다
그래서 이 극한은 존재하지 않습니다
이 문장에는 체크박스에 체크하지 않겠습니다
세번째 문장은 g는 x=3에서 정의된다 입니다
x=3일 때 검게 칠해진 점을 볼 수 있습니다
 
실제로 정의되어 있습니다
 
네번째 문장은 g는 x=3에서 연속이다 입니다
g가 x=3에서 연속인지 알아보기 위해서는
x=3에서의 극한이 존재해야하고
x=3에서 정의되어야 하며
x=3에서의 함숫값과
x=3에서의 극한값이 같아야만 합니다

English: 
So these are the one-sided limit.
This is the actual limit.
Now in order for this
to exist, both the right
and left-handed limits need to exist
and they need to approach the same value.
Well, this first statement,
we saw that both of these exist
but they aren't approaching
the same value.
From the left, we are, or sorry,
from the right, we are approaching,
we are approaching negative two.
And from the left, we are approaching two.
So this limit does not exist.
So I will not check that out
or I will not check that box.
G is defined at x equals three.
Well, when x equals
three, we see a solid dot
right over there.
And so it is indeed defined.
It is indeed defined there.
G is continuous at x equals three.
Well, in order for g to be
continuous at x equals three,
the limit must exist there.
It must be defined there,
and the value of the function there
needs to be equal to
the value of the limit.

Czech: 
Toto jsou
jednostranné limity
a toto je
oboustranná limita.
Aby tato
limita existovala,
limity zprava i zleva musí
existovat a být si rovny.
V prvním tvrzení
jsme zjistili,
že obě limity existují,
ale nejsou si rovny.
Zleva...
...pardon, zprava se
blížíme k minus 2
a zleva se blížíme ke 2.
Tato limita
tedy neexistuje.
Takže toto tvrzení
nezaškrtnu jako správné.
„g je definovaná
v bodě x rovno 3."
V bodě x rovno 3
vidíme vybarvené kolečko,
takže funkce je v tomto
bodě skutečně definovaná.
„g je v bodě x
rovno 3 spojitá."
Aby byla g v bodě
x rovno 3 spojitá,
limita v tomto
bodě musí existovat,
funkce zde musí
být definovaná
a funkční hodnota se musí
rovnat hodnotě limity.

Bulgarian: 
Знаем, че функцията е определена
за х=3.
Но границата не съществува там.
Следователно не може
да е непрекъсната.
В тази точка има прекъсване.
Това твърдение
не е вярно.
Не мога да отбележа и
„нкое от горните“,
защото вече отбелязах
някои като верни.
Всъщност вече отбелязах
две верни твърдения.

Korean: 
x=3에서 함수는 정의되어 있습니다
하지만 x=3에서의 극한이 존재하지 않습니다
그렇기 때문에 연속일 수 없습니다
x=3에서 연속이 아닙니다
이 문장도 건너 뛰겠습니다
마지막 문장에는 체크하면 안됩니다
우리는 이미 위의 두 문장에 체크를 했기 때문입니다
 

Czech: 
Funkce je v tomto sice bodě
definovaná, ale limita neexistuje,
takže funkce zde
nemůže být spojitá.
Tohle si
tedy škrtneme.
A "nic z výše
uvedených" není správně,
protože už jsem dříve
zaškrtnul dvě tvrzení.

English: 
Well, the function is defined there,
but the limit doesn't exist there
so it cannot be continuous.
It cannot be continuous there.
So I would cross that out.
And I can't click, I wouldn't
click none of the above
because I've already checked something,
or I've actually checked
two things already.
