
English: 
- [Instructor] What we're going
to do in this video is try
to get a graphical appreciation
for inflection points,
which we also cover in some
detail in other videos.
So, the first thing to appreciate
is an inflection point
is a point on our graph
where our slope goes from
decreasing to increasing
or from increasing to decreasing.
So, right over here I have
the graph of some function,
and let me draw the slope
of a tangent line at different points.
So, when x is equal to negative two,
that is what the tangent line looks like.
And you can see its slope.
And then as we increase x,
we can see that the slope is
positive, but it is decreasing.
Then it goes to zero, and
then it goes negative,
and the slope keeps decreasing,
all the way until we
get, it looks like we get
to about x equals negative one,
and then our slope
begins to increase again.
So, something interesting happened
right at x equals negative one,
and so that's a pretty good indication.

Czech: 
Inflexní body, kterým se podrobně věnují i
jiná naše videa, si dnes ukážeme graficky.
Inflexní bod je bod, v němž graf přechází
ze stoupání v klesání, nebo naopak.
Tady máme graf jisté funkce, ke které
teď v několika bodech zobrazím tečnu.
Takhle bude tečna vypadat v bodě 
x rovno −2, všimněte si jejího sklonu.
A s tím, jak se začne zvyšovat x, sklon
sice zůstává kladný, ale bude se snižovat,
klesne pod nulu do záporných hodnot, a
dál klesá až zhruba do bodu x rovno −1.
Od bodu x rovno −1 se sklon 
tečny začne znovu zvyšovat.
Tím je pro nás bod
x rovno −1 zajímavý.

Korean: 
이번 영상에서 해볼 것은
변곡점의 특징을
그래프를 통해 배우는 것입니다
지난 영상들에서도 배웠죠
첫 번째로 명심할 것은
그래프에서의 변곡점은
기울기가 감소에서
증가로 변하는 점
혹은 증가에서
감소로 변하는 점입니다
여기엔 어떤
함수의 그래프가 있고
여러 점에서 접선의
기울기를 그려 봅시다
x = -2일 경우
접선은 다음과
같이 생겼습니다
기울기는 다음과 같죠
x를 증가할수록
기울기가 양수지만
값이 감소하죠
그 다음 0이 되고
음수로 바뀝니다
그리고 기울기가 감소합니다
x = -1에 도달할
때까지 말이죠
x = -1에 도달할
때까지 말이죠
그 다음 기울기가
다시 증가합니다
따라서 x = -1에서
흥미로운
일이 일어납니다
따라서 이는 꽤
중요한 점입니다

Bulgarian: 
В настоящия урок ще извършим 
графично изследване за инфлексни точки,
което е разгледано в детайли и в други уроци.
Първото нещо, което трябва да разбереш, е,
че инфлексна точка е точка от графиката,
където наклонът (ъгловият коефициент) се променя
от намаляващ към нарастващ
или от нарастващ към намаляващ.
Дадена е графиката на функция
и нека да начертая наклона
на тангентата в различни точки.
За x = –2
тангентата изглежда по следния начин.
Можеш да видиш наклона ѝ.
След това с нарастването на x
може да видиш, че наклонът е положителен, но намалява.
Тогава достига до 0 и става отрицателен
и продължава да намалява.
Изглежда, че намалява, докато не достигне
близо до x = –1,
след което започва да нараства.
В точката x = –1
се получи нещо интересно,
което е добър показател.

Bulgarian: 
Показваме го графично. Не го доказваме.
Тази точка тук обаче
е инфлексна, така че нека я означа.
Нека ти покажа отново,
след като точката е означена.
За x = –2 имаме положителен наклон.
Той намалява, намалява, намалява.
Отрицателен е, все още намалява, достига x = –1
и тогава започва да нараства отново.
Така може да се открият инфлексни
точки само по вида на функцията.
Можеш обаче да ги откриеш
и като погледнеш първата производна.
Инфлексната точка е там, където 
наклонът се променя
от нарастващ към намаляващ
или от намаляващ към нарастващ.
Производната е просто наклонът на тангентата.
Това точно тук е производната
на първоначалната функция със син цвят.
Тук може да се наблюдават интересни неща.
Забележи какво се случва.
Производната е намаляваща,
което означава, че наклонът на тангентата

Czech: 
Právě jsme si graficky ukázali, proč bude
tento bod, x rovno −1, bodem inflexním.
Označím si ho tak a
ukážu to ještě jednou.
Na x rovno −2 je sklon kladný, ale klesá,
je záporný a stoupá zase až od x rovno −1.
Takhle najdete inflexní bod 
v samotném grafu funkce,
Lze jej ale rozpoznat i
na grafu první derivace.
V inflexním bodě sklon tečny přechází
z klesání do stoupání nebo obráceně.
První derivace je jen hodnota sklonu tečny
k původnímu grafu, je zobrazena žlutou.
Tady vidíme, co potřebujeme.
Všimněte si, jak vypadá.

English: 
We're just doing it graphically here.
We're not proving it.
But that at this point right over here,
we have an inflection point,
so let me write that down.
So, let me show you that again
now that the point is labeled.
For x at negative two,
we have a positive slope.
It decreases, decreases, decreases.
It's negative, it still
decreases, x equals negative one,
and then our slope
begins increasing again.
So, that's how you could tell it
just from the function itself.
But you could also tell inflection points
by looking at your first derivative.
Remember, an inflection
point is when our slope goes
from increasing to decreasing
or from decreasing to increasing.
The derivative is just the
slope of the tangent line.
So, this right over here,
this is the derivative
of our original blue function.
So, here we can see the interesting parts.
And so notice what's happening.
On the derivative, the
derivative is decreasing,
which means the slope of our tangent line

Korean: 
그래프를 이용해서
설명을 했지
증명을 하진 않았습니다
따라서 여기 이 점에선
변곡점을 가집니다
이를 적어 봅시다
이를 다시
보여주겠습니다
이 점을 표시했습니다
x = -2일 경우
접선의 기울기가 양입니다
계속 감소합니다
여기선 음수입니다.
x = -1까지 계속 감소합니다
그리고 다시 증가합니다
따라서 이는 함수만 보고
낼 수 있는 정의입니다
하지만 일계도함수를 통해
변곡점을 구할 수 있습니다
변곡점은 기울기가
증가에서 감소로
가는 점입니다
혹은 감소에서
증가로 갑니다
도함수는 접선의
기울기에 해당합니다
따라서 이는
파란색으로 표시한
함수의 도함수의 값입니다
여기서 흥미로운 것이 보이죠
어떤 일이 일어나는지 보세요
도함수에서
도함수가 감소합니다

Korean: 
이는 원래 함수의
접선의 기울기가
감소한다는 뜻이고
이를 증명했죠
여기서 도함수가 감소할 때
기울기가 감소합니다
기울기는 양수입니다
기울기는 양수지만
기울기가 감소합니다
그 다음 음수가 되고
기울기가 감소합니다
이 점까지 말이죠
이는 x = -1일 경우입니다
다시 봅시다
기울기가 양수이고
감소합니다
여기에선
기울기가 계속 감소합니다
그리고 음수로 변하죠
x = -1일 때까지
기울기가 계속 감소합니다
그리고 기울기가
다시 증가합니다
도함수가 다시 증가합니다
이는 원래 함수의
접선의 기울기가
증가하기
시작한다는 뜻입니다
이 점은 흥미롭네요
변곡점을 일계도함수에서
찾는 방법 중 하나는
극솟값을 찾는 것입니다

Bulgarian: 
на първоначалната функция
е намаляващ. Това е видимо.
Забележи, че докато производната
е намаляваща ето тук,
наклонът намалява.
Наклонът е положителен.
Наклонът е положителен, но намаляващ.
След това става отрицателен, но намаляващ
през цялото време, докато достигне точката,
в която x = –1.
Нека отново да преминем през това.
Наклонът е положителен и намаляващ
и точно тук продължава да намалява,
но тогава изведнъж става отрицателен.
Продължава да намалява през цялото време
докато x = –1, след което наклонът
започва да нараства.
Следователно производната нараства,
което означава, че наклонът на тангентата
на първоначалната функция
започва да нараства.
Тази точка е интересна.
Един от начините да се открие 
инфлексна точка,
като използваме първата производна,
е да търсим точка,

Czech: 
Hodnota derivace, tedy sklon tečny k modré
funkci, se snižuje až do bodu x rovno −1.
Sklon je zpočátku kladný, ale klesá, je
záporný, klesá dál až do bodu x rovno −1.
Ukážu to znovu, sklon tečny je kladný,
klesá, v tomto bodě začíná být záporný,
klesá do bodu x rovno −1, odkud sklon
tečny, a tedy i hodnota derivace, stoupá.
Takže jeden ze způsobů, jak najít inflexní
bod, je najít extrém její první derivace.

English: 
of our original function is
decreasing, and we saw that.
Notice, while the derivative
is decreasing right over here,
our slope will be decreasing.
Our slope is positive.
Our slope is positive, but decreasing.
Then it becomes negative, but decreasing,
all the way until this point,
which is at x equals negative one.
So, let's do that again.
So, our slope is positive and decreasing,
and then right over about
there, right over here,
our slope keeps decreasing,
but then it actually turns negative.
And it keeps decreasing all the way
until x equals negative one,
and then our slope
begins increasing again.
So, the derivative begins increasing,
which means the slope of our tangent line
of our original function
begins increasing.
So, that point is interesting.
An inflection point, one way
to identify an inflection point
from the first derivative is
to look at a minimum point

Czech: 
Extrém totiž znamená, že derivace přechází
takto z klesání do stoupání, nebo naopak.
Zaměřme se teď na druhou derivaci, tedy
derivaci derivace, je zakreslená červeně.
Trochu oddálím obraz, 
ať vidíme všechno...
Vidíme, že druhá derivace protíná osu x
v bodě x rovno −1, proto jej zvýrazním.
Přesně tady protíná druhá derivace osu x,
právě v inflexním bodě modré funkce.
Je to logické, protože kde druhá derivace
přechází ze záporných hodnot do kladných,

Bulgarian: 
в която има локален минимум 
или максимум.
На това място производната променя направлението си
от нарастваща към намаляваща
или от намаляваща към нарастваща,
което ни подсказва, че там вероятно
има инфлексна точка.
Нека да разгледаме втората производна.
Това е производната на производната.
Мога да увелича, за да разгледаш
цялата картина,
защото в момента не може
да видиш цялата картина.
Нека да увелича още малко
така че наистина да видиш
за какво става дума.
Какво е интересното тук?
Изглежда сякаш за x = –1
втората производна пресича оста x.
Нека да го означим.
Точно тук пресича оста x,
което е точно мястото, в което 
има инфлексна точка.
Това има смисъл,
защото ако втората производна
се променя от отрицателна
към положителна,
то това означава, че първата производна
се променя от намаляваща
към нарастваща,
което означава, че наклонът на тангентата

Korean: 
혹은 극댓값을 찾습니다
왜냐하면 이 점들은
도함수의 방향이
바뀌는 점을 의미하죠
증가에서 감소로 가거나
감소에서 증가로 바뀝니다
이는 변곡점이라는
것을 의미하죠
이계도함수를 봅시다
여기 있습니다
이는 도함수의 도함수입니다
확대를 해서 자세히 봅시다
여기선 전체
함수를 볼 수 없네요
조금 축소를 해서
무슨 일이
일어나는지 보여드리죠
어떤 점이 흥미롭나요?
x = -1일 경우
이계도함수가 x 축을 지납니다
이를 표시합시다
여기선
x 축을 지납니다
이는 변곡점을 의미합니다
말이 되는군요
이계도함수가 음수에서
양수로 가는 경우
일계도함수가
감소에서 증가로 변합니다
이는 함수의 접선의 기울기가

English: 
or to look at a maximum point,
because that shows a place
where your derivative
is changing direction.
It's going from increasing to decreasing,
or in this case from
decreasing to increasing,
which tells you that this is
likely an inflection point.
Now, let's think about
the second derivative.
So, right over here,
this is the derivative of the derivative.
And I could zoom out to
look at the whole thing.
You actually can't see the
whole thing right over here.
Actually, I can zoom out a little bit more
so that you can really
see what's going on.
And so what's interesting here?
Well, it looks like right
at x equals negative one,
we cross, our second
derivative crosses the x axis,
so let me label that.
So, right over there, we cross the x axis,
which is exactly where we
have the inflection point.
And that makes sense,
because if our second derivative goes
from being negative to positive,
that means our first derivative goes
from being decreasing to increasing,
which means the slope of our tangent line

Bulgarian: 
на първоначалната функция се променя
от намаляващ към нарастващ.
Забелязваме това отново и отново.
Ето тук има смяна 
от намаляване към нарастване.
Важно е да се разбере,
че втората производна е необходимо
не да достига до оста x,
а да я пресича.
Може би ще попиташ:
"Ами тази точка ето тук (2; 0)?"
Втората производна достига 
до оста x в нея,
но не я пресича.
Тоест първата производна не се променя
от нарастваща към намаляваща.
Важни изводи в този случай са,
че можеш да откриеш инфлексна точка
или от графиката на функцията,
или от графиката на производната,
или от графиката на втората производна.
На първоначалната функция
искаме просто да изследваме
наклона на тангентата
и да помислим къде се променя
от намаляващ към нарастващ.
Или обратно, от нарастващ
към намаляващ.
Ако наблюдаваш първата производна,
трябва просто да следиш за точки
на локален минимум или максимум.
Ако наблюдаваш втората производна,
която е в оранжев цвят, трябва да откриeш

English: 
of our function goes from
decreasing to increasing.
We've seen that over and over,
decreasing to increasing right over here.
Now, it's important to realize
the second derivative doesn't
need to just touch the x axis.
It needs to cross it.
So, you might say,
"Well, what about this point
right over here, two, zero?"
The second derivative
touches the x axis there,
but it doesn't cross it,
so we never go from our
derivative increasing
to our derivative decreasing.
So, big takeaways,
you could figure out the inflection point
from either the graph of the function,
from the graph of the derivative,
or the graph of the second derivative.
On the function itself,
you just wanna inspect the
slopes of the tangent line
and think about where does it go
from decreasing to increasing?
Or the other way around, from
increasing to decreasing.
If you're looking at the first derivative,
you really just wanna look
at minimum or maximum points.
And if you're looking at
the second derivative,
which have we in orange, you wanna look at

Korean: 
감소에서 증가로
간다는 의미입니다
이를 많이 보았죠
감소에서 증가로 갑니다
이계도함수는 x 축에
닿기만 해선 의미가 없습니다
가로질러야 합니다
따라서
여기 (2,0)는 어떤가요?
라고 물을 수도 있습니다
이계도함수가
x축에 닿는 경우죠
하지만 가로지르진 않습니다
따라서 도함수가 증가에서
감소로 가지 않습니다
따라서 배운 것은
함수의 그래프나
도함수의 그래프에서
변곡점을 찾을 수 있고
또한 이계도함수의
그래프에서도 찾을 수 있습니다
함수 자체에서는
접선의 기울기를 구하고 싶습니다
그리고 감소에서 증가로 갈 경우
어떻게 되는지 생각해보세요
혹은 증가에서
감소로 갈 경우에요
일계도함수를 보면
극댓값이나 극솟값을
확인하고 싶을 것입니다
이계도함수를 본다면
주황색으로 표현되어있죠

Czech: 
tam první derivace, sklon tečny k modré 
funkci, přechází z klesání do stoupání.
Sklon klesá, sklon stoupá...
Důležité je, že druhá derivace musí osu x 
protnout, nestačí se jí jen dotkonut.
Ukážeme si to na bodu [2; 0], graf druhé
derivace se tu dotýká osy x, neprotíná ji.
To znamená, že graf první derivace
nepřechází ze stoupání do klesání.
Takže když to shrnu,
inflexní body funkce lze vyčíst z grafu jí
samotné, i z grafů první a druhé derivace.
V původním grafu hledáte bod, kde sklon
tečny jde z klesání do stoupání či opačně.
V grafu první derivace hledáte funkční 
minimum nebo funkční maximum.

Bulgarian: 
в коя стойност пресича оста x.
Не само да достига до нея, 
но и да я пресича.

English: 
at what x value are we
crossing the x axis?
Not just touching it,
but crossing the x axis.

Korean: 
어떤 x 값에서
x축을 가로지르나요?
닿기만 해선 안되고
가로질러야합니다

Czech: 
A v grafu druhé derivace hledáte bod, kde
graf protíná osu x, pouhý dotek nestačí.
