
Bulgarian: 
Първото видео,
в което доказахме
производната на натурален
логаритъм от х,
направих преди няколко години.
В следващото видео доказах,
че производната
на е^х е равна на е^х.
Бях упрекнат, че доказателството
ми се върти в кръг,
но аз съм убеден, че това 
не е така.
В това видео искам, като имам
малко повече място за работа,
имам малко по-добри инструменти
за работа,
искам да направя повторно
тези две доказателства
в един и същ клип, за да ти покажа,
че в никой момент не правя такова допускане,
преди всъщност да го докажа.
Да започваме с доказателството.
Най-напред искам да докажа
ето това тук горе.
Искам да го следим.
Няма да допусна, че това е вярно,
преди да го докажем.
Да започнем с доказателството на 
производната на натурален логаритъм от х.
Производната на натурален 
логаритъм от х...

Arabic: 
.
في الاصدار الاول من العرض الخاص باثبات
مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x، حيث كانت اول
مرة قمت باثباته قبل عدة سنوات
وفي العروض اللاحقة اثبت ان مشتقة
e^x = e^x
لقد كنت مكلفاً ببعض الاثباتان الدائرية، و
انا مقتنع تماماً ان اثباتي لم يكن دائرياً
اذاً ما اريد القيام به في هذا العرض، الآن وبما ان لدي بعض
المساحة الاضافية للعمل بها، وبعض
الادوات المتطورة، فسوف اعيد الاثبات وسوف اقوم بهذه
في عرض مشابه كي اوضح لكم انه ولا على اي نقطة افترض هذا
قبل ان اوضحه بالفعل
اذاً دعونا نبدأ بالاثبات
اول شيئ سأكون بحاجة له لكي اثبت هذا الشيئ الموجود في الاعلى هنا
هو انني اريد ان ابقي هذا المسار
لا افترض هذا الى ان اوضحه
اذاً دعونا نبدأ بالاثبات، مشتقة
اللوغارتم الطبيعي لـ x
اذاً مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x، يمكننا

Chinese: 
在第一版的证明
lnx导数的视频中
即几年前第一次证明它。
跟它下一集视频
证明e^x的导数为e^x。
我有人指责说那是循环证明，
而我深信那证明不是循环的。
所以这集要讲的是，现在有一点点
更多空间可用，有更高级的
工具，这里再讲一下它们的证明
放在同一集中讲 表明我没在介绍它之前
就先假设有它。
那么讲一下证明。
首先要证明这个成立。
我会留意它。
在明确介绍它之前 并未假定有它成立。
所以，让我们开始证明
ln x的导数。
所以，导数的自然对数x的，我们可以

English: 
In the first version of the
video of the proof of the
derivative of the natural
log of x, where the first
time I proved this is
a couple of years ago.
And the very next video I
proved that the derivative
of e to the x is
equal to e to the x.
I've been charged with some of
making a circular proof, and
I'm pretty convinced that
my proof wasn't circular.
So what I want to do in this
video, now that I have a little
bit more space to work with, a
little bit more sophisticated
tools, I'm going to redo the
proof and I'm going to do these
in the same video to show you
at no point do I assume this
before I actually show it.
So let's start with the proof.
So the first thing I need to do
is prove this thing up here.
I want to keep track of this.
I don't assume this until
I actually show it.
So let's start with the
proof, the derivative of
the natural log of x.
So the derivative of the
natural log of x, we can

Portuguese: 
Na primeira versão do
vídeo da prova
da derivada do logaritmo
natural de x, onde a primeira
vez que eu provei foi a alguns anos atras.
E no vídeo seguinte,
provei que a derivada
de e elevado a x é
igual a e elevado a x.
Eu fui acusado de fazer uma
prova circular, e
eu estou convencido que minha
prova não foi circular.
O que quero fazer nesse
vídeo, agora que tenho mais
espaço para trabalhar, com 
ferramentas mais sofisticadas,
eu vou refazer as provas e
eu vou fazer elas
no mesmo vídeo, para mostrar para você
que em nenhum momento eu assumo algo
antes de eu mostrar.
Vamos começar com a prova.
A primeira coisa que eu preciso
fazer é provar isso aqui.
Quero acompanhar isso.
Eu não assumo isso
antes de eu provar.
Então vamos começar com
a prova, a derivada do
logaritmo natural de x.
Então, a derivada do logaritmo
natural de x, nós podemos

Korean: 
 
영상의 초기 버전에 있던
x에 대한 자연 로그의 도함수 증명은
제가 몇 년 전에 했던 것입니다
바로 다음 영상은
e^x의 도함수가 e^x라는
것임을 증명했습니다
저는 순환적 증명을 만드는
것이 필요하다고 느꼈고
제 증명은 딱히 순환적이지
않았다고 확신합니다
그래서 제가 이 영상에서
하고 싶은 것은
더 넓은 공간에서
더 정교한 도구들로
증명을 다시 할 것이고
저는 이 영상에서 증명을
완벽히 할 때까지는
어떠한 가정도 하지 않을 것입니다
이제 증명을 시작하겠습니다
제가 먼저 증명해야 할
것은 위의 공식입니다
이 식에 대해 알아봐야겠습니다
제가 완벽히 증명하기 전까지는
가정을 하지 않을 것입니다
이제 ln x의 도함수를 구해봅시다
이제 ln x의 도함수를 구해봅시다
ln x의 도함수를 구하기 위해

Estonian: 
Video esimeses versioonis
oli ln x tõestus, kus esimest
korda üle tüki aja proovisin seda.
Ja järgnevas videos tõestasin
et e astmel x tuletis on e astmel x.
Mind on mõnede poolt süüdistatud et ma tõestasin neid teineteisega ja
ma olen üsna kindel, et nii ma ei teinud.
Selles videos tahan ma, nüüd kui mul on natukene
rohkem ruumi, natuke keerulisemad
tööriistad, teha see tõestus uuesti ja ma teen seda
samas videos et näidata teile, et ma ei eelda midagi enne
kui ma seda näitan.
Alustame tõestusega.
Kõigepealt ma pean tõestama seda siin üleval.
Ma tahan seda jälgida.
Ma ei eelda seda enne kui ma tegelikult ka seda näitan.
Alustame ln x
tuletise tõestusega.
Ln x tuletis.

German: 
Im ersten Teil dieses Kapitels: Beweisführung
für die Derivat des natürlichen Logarithmus von x. Es ist
ein paar Jahre her, dass ich das bewiesen habe.

Spanish: 
La primera vez que demostré
la derivada del logaritmo natural de X
. fué hace un par de años en la primera versión del video.
Y en el siguiente video demostré que la derivada
de e a la x es igual a e elevada a la x.
Me han culpado de hacer de algún modo una prueba circular, pero
yo estoy muy convencido que mi demostración no fue circular.
De modo que lo que quiero hacer en este video, ahora que tengo un poco de
mas espacio para trabajar, y herramientas un poco mas sofisticadas,
Voy a rehacer mi demostracion y lo voy a hacer
en este mismo video para mostrarle que en ningún momento asumo algo
antes de mostrarlo.
Comencemos con la prueba.
De modo que lo primero que necesito hacer es probar ésto de aquí.
Quiero llevar la cuenta de esto.
No presumo de esto hasta que no lo demuestro.
De modo que comencemos con la prueba, la derivada
del logaritmo natural de X.
Para la derivada del logaritmo natural de X, podemos

Chinese: 
在第一版的證明
在第一版的證明
ln x （自然對數的x）導數的視頻中
即幾年前第一次證明它。
跟它下一集視頻
證明e^x的導數為e^x。
我有人指責說那是循環證明，
而我深信那證明不是循環的。
所以這集要講的是，現在有一點點
更多空間可用，有更高級的
工具，這裡再講一下它們的證明
放在同一集中講 表明我沒在介紹它之
前就先假設有它。
讓我們開始證明。
首先要證明這個上在那裡。
我會留意它。
我並未假定有直到我其實表示它。
所以，讓我們開始證明
ln x的導數。
所以，導數的自然對數x的，我們可以

Polish: 
W pierwszej wersji prezentacji, w której dowodziłem, jaka
jest pochodna z ln x, która z resztą była
już kilka lat temu.
I w następnej prezentacji dowodziłem, że
pochodna e do x to e do x.
Było mi zarzucane, że dowód był niepoprawny,
chociaż moim zdaniem był dobry.
Więc teraz to co chce zrobić, kiedy mamy już troszkę doświadczenia
i troszkę bardziej wyrafinowane narzędzia,
zrobię dowód jeszcze raz,
obydwa w jednym video, i nie będę zakładał że znam odpowiedź,
zanim ją udowodnię.
Zacznijmy.
Więc po pierwsze, udowodnię to.
Wyjdziemy od dowodu tej równości.
I nie zakładamy, że ją znamy.
Więc udowodnijmy, jaka jest pochodna
logarytmu naturalnego.
Licząc pochodną ln x możemy po prostu

Turkish: 
.
d/dx (ln x) = 1/x ifadesini kanıtladığım ilk videoyu
hazırlayalı
birkaç yıl oluyor.
Ve bir sonraki videoda da
d/dx (e^x) = e^x kanıtladım.
Bazıları videodaki kanıtın dairesel olduğunu öne sürdü.
Daha önceden yaptığım kanıtların dairesel olmadığına eminim.
Şimdi biraz daha fazla alana ve daha sofistike aletlere sahip olduğuma göre bu videoda
yapmak istediğim...
Aynı kanıtı yapacağım ve aynı videoda yapacağım ki
hiç bir varsayım olmadan
açıkça her şeyi gösterebilelim.
Şimdi kanıtla başlayalım.
İlk yapmam gereken şey kanıtı buraya yazmak.
Bunun devamını getirmek istiyorum.
Gösterene kadar varsaymıyorum.
O zaman d/dx (ln x)'le
başlayalım.
d/dx (ln x) için

Thai: 
-
ในวิดีโอเวอร์ชั่นแรกเรื่องบทพิสูจน์
อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x ในครั้งแรก
ผมพิสูจน์มัน ก็เป็นเวลาหลายปีแล้ว
และในวิดีโอถัดมา ผมพิสูจน์ว่าอนุพันธ์
ของ e กำลัง x นั้นเท่ากับ e กำลัง x
ผมถูกจับได้ว่าพิสูจน์แบบวน และ
ผมมั่นใจว่าไม่ได้พิสูจน์แบบวน
ดังนั้นที่ผมจะทำในวิดีโอนี้ ตอนนี้เมื่อผมมี
ที่ให้เขียนมากขึ้น และมีเครื่องมือที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น
ผมจะพิสูจน์ใหม่อีกครั้ง และผมจะทำ
วิดีโอเดิม เพื่อแสดงให้เห็นว่า ผมไม่ได้สมมุติ
ว่าเป็นจริงก่อนที่จะแสดงว่ามันเป็นจริง
งั้นเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์
อย่างแรกที่ผมต้องทำคือ พิสูจน์อันนี้เตรงนี้
ผมอยากตามรายละเอียดของอันนี้
ผมไม่ได้สมมุติมันว่าเป็นจริง จนกว่าผมจะพิสูจนืได้
งั้นเริ่มต้นด้วยบทพิสูจน์ เรื่อง อนุพันธ์ของ
ลอกธรรมชาติอขง x
อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x เรา

Turkish: 
türevin sade tanımını kullanabiliriz.
d/dx (ln x) = lim (Δx →0) ( (ln(x + Δx) - ln x)/ Δx)
.
.
Şimdi logaritmaların özelliğini görebiliriz.
log (a) - log (b) = log (a/b)
log (a) - log (b) = log (a/b)
O şekilde yeniden yazayım.
Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.
Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.
Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.
Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.
Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.
Sadece logaritmanın özelliklerini kullanıyoruz.
Bu ifadeyi yeniden yazabilirim.
Öncelikle logaritmanın önündeki katsayıyı ( 1/Δx)
üstel hale getirebilirim.

Arabic: 
ان نذهب الى التعريف الاساسي للمشتقة
انه يساوي نهاية اقتراب دلتا x من الصفر
للوغارتم الطبيعي لـ x + دلتا x - اللوغارتم الطبيعي لـ x
وكل ذلك مقسوم على x
الآن يمكننا ان نستخدم خاصية اللوغارتمات
اذا كان لدي لوغارتم a - لوغارتم b، فإن ذلك يعادل
لوغارتم a / b
اذاً دعوني اعيد كتابته بهذه الطريقة
هذا سيساوي نهاية
اقتراب دلتا x من الصفر
يمكنني اخذ 1 / دلتا x هذا
1 / دلتا x × اللوغارتم الطبيعي لـ x + دلتا
x ÷ x هذا
انني استخدم خصائص اللوغارتمات هنا
ثم بامكاني ان اعيد كتابة هذا --اولاً، عندما يكون لدي هذا
المعامل امام لوغارتم، فيمكنني ان اجعل
هذا أس

English: 
just to go to the basic
definition of a derivative.
It's equal to the limit as
delta x approaches 0 of the
natural log of x plus delta x
minus the natural log of x.
All of that over delta x.
Now we can just use the
property of logarithms.
If I have the log of a minus
the log of b, that's the same
thing as a log of a over b.
So let me re-write it that way.
So this is going to be equal
to the limit as delta
x approaches 0.
I could take this 1 over
delta x right here.
1 over delta x times the
natural log of x plus delta
x divided by this x.
Just doing the logarithm
properties right there.
Then I can re-write this --
first of all, when I have this
coefficient in front of a
logarithm I can make
this the exponent.

Estonian: 
Me võime esmalt minna tuletise definitsiooni juurde.
See võrdub piirväärtus kui delta x läheneb nullile protsessis
ln x pluss delta x miinus ln x.
Ja see kõik jagatud delta x.
Nüüd me võime kasutada logaritmi omadust.
Kui mul on log a miinus log b, siis see on sama
kui log a/b.
Las ma kirjutan nii ümber.
See on võrdne piirväärtusega kui
delta x läheneb nullile.
Ma võiks võtta selle 1 jagatud delta x siin.
1 jagatd delta x korda ln x pluss delta x
jagatud see x siin.
Ma kasutan ainult logaritmi omadust siin.
Siis ma võin selle ümber kirjutada -- kõigepealt kui mul on see
koefitsent logaritmi ees, siis ma
võin selle teha eksponendiks.

Polish: 
zacząć ze zwykłą definicją pochodnej.
Równa się ona granicy przy delta x dążącym do zera
z ln (x plus delta x) - ln x.
I to podzielić przez delta x.
Teraz skorzystamy z własności logarytmu.
Kiedy mam log a - log b, to to samo co
log a/b
Więc przepiszmy to w ten sposób.
Więc to będzie równe granicy przy delta x
dążącym do 0.
Możemy napisać to 1/delta x przed logarytmem.
1/delta x razy ln x + delta x
podzielone przez x.
Korzystamy tutaj tylko z własności logarytmu.
Teraz możemy to przepisać - po pierwsze, gdy mam
współczynnik przed logarytmem, mogę
go przenieść do potęgi.

Chinese: 
只需根據導數的基本定義。
它是等於限制Δx（增量x）接近零的
ln (x+Δx) - ln x（x加增量x減自然對數x）

Spanish: 
simplemente ir a la definición básica de una derivada.
Es igual al limite cuando el delta de x se aproxima a 0 del
logaritmo natural de x mas el delta de x menos el logaritmo natural de x
todo esto dividido por el delta de x.
Ahora podemos usar las propiedades de los logaritmos.
Si tengo el logaritmo de a menos el logaritmo de b, es la misma
cosa que tener el logaritmo de a sobre b.
Dejame re-escribirlo de esa manera.
Esto va a ser igual al limite a cuando delta x
se acerca al 0.
Podria tomar este 1 sobre delta x aquí mismo.
1 sobre delta de x multiplicado por el logaritmo de x mas delta
x dividido por esta x.
Ejecutando las propiedades del logaritmo ahí mismo.
Asi que pueda re-escribir esto--ante todo, cuando tengo este
coeficiente frente a un logaritmo lo puedo convertir
en el exponente.

Chinese: 
只需根据导数的基本定义。
它是等于限制Δx（增量x）接近零的
ln (x+Δx) - ln x （x加增量x减自然对数x）
所有的除Δx（增量x）。
现在我们可以只需用对数属性。
如果我有日志a减日志b，相同
东西对数的a除b。
所以让我重写那种形式。
它=Δx趋于0
时的极限
可以把1/Δx放在这儿
(1/Δx)・ln((x
+Δx)/x)
这步只是用了对数性质
然后可以写成 首先
ln前有这个系数时
可把它作为指数

Bulgarian: 
можем да използваме основната
дефиниция за производна.
При делта х клонящо към нула 
производната е равна на границата
от натурален логаритъм от х плюс делта х 
минус натурален логаритъм от х.
Цялото това върху делта х.
Сега можем просто да използваме 
свойствата на логаритмите.
Ако имаме log(a) минус log(b),
това е равно на log(a/b).
Ще го препиша по следния начин.
Това е равно на границата,
за Δх, клонящо към нула.
Мога да изнеса пред скоби
това 1/Δх.
1/Δх по натурален логаритъм
от х плюс Δх
делено на това х.
Просто използваме свойствата 
на логаритмите.
Това мога да представя като...
първо, когато имам
коефициент пред логаритъма,
мога да представя това като степен.

Portuguese: 
ir para a definição básica de derivada.
É igual ao limite de delta
x tendendo a 0 do
logaritmo natural de x mais delta x,
menos logaritmo natural de x.
Tudo isso sobre delta x.
Agora podemos usar a
propriedade de logaritmo.
Se eu tenho o logaritmo de a menos
o logaritmo de b, é o mesmo
que o logaritmo de a sobre b.
Então deixe-me reescrever deste modo.
Isso vai ser igual ao limite de delta x
tendendo a zero.
Eu posso pegar esse um
sobre delta x aqui.
um sobre delta x vezes o logaritmo
natural de, x mais delta
x dividido por esse x.
Só utilizando as propriedades
de logaritmo aqui.
Posso reescrever isso-- primeiro,
se tenho
esse coeficiente na frente de um
logaritmo, posso
fazer dele meu expoente.

Thai: 
กลับไปยังนิยามพื้นฐานของอนุพันธ์
มันเท่ากับลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของ
ลอกธรรมชาติอขง x บวก เดลต้า x ลบ ลอกธรรมชาติของ x
ทั้งหมดนั่นส่วนเดลต้า x
ทีนี้เราก็ใช้สมบัติของลอการิทึม
หากผมมีลอกของ a ลบลอกของ b นั่นก็เหมือน
กับ log ของ a ส่วน b
ขอผมเขียนมันใหม่แบบนั่น
นนี่จะเท่ากับลิมิตเมื่อเดลต้า
x เข้าใกล้ 0
ผมเอา 1 ส่วน x นี่มาตรงนี้
1 ส่วนเดลต้า x คูณ ลอกธรรมชาติของ x บวกเดลต้า
x หารด้วย x นี่
แค่ใช้สมบัติของลอการิทึมตรงนี้
แล้วเราก็เขียนนี่ใหม่ -- อย่างแรก เมื่อผมมี
สัมประสิทธิ์หน้าลอการิทึม ผมสามารถเขียน
มันเป็นเลขชี้กำลัง

Korean: 
도함수의 기본 정의를
사용할 것입니다
도함수의 정의는
Δx가 0으로 다가갈 때
ln (x + Δx) - ln x 를
Δx로 나눈 값입니다
이제 로그의 특징을 사용합시다
log a - log b 는
log a/b 와 같습니다
한 번 적어보겠습니다
이 식은 Δx가
0으로 다가갈 때
Δx를 앞 쪽으로 빼서 쓰도록 하면
1/Δx × ln ((x + Δx)/x) 가 됩니다
1/Δx × ln ((x + Δx)/x) 가 됩니다
여기서 로그의 성질을 이용하였습니다
이 식을 다시 적어보면 먼저
로그 앞의 계수는
지수로 만들 수 있으므로

Portuguese: 
E então eu posso simplificar isso.
Isso vai ser igual ao limite de
delta x tendendo a
zero do logaritmo natural--
deixe-me colocar uma nova cor.
Deixe-me fazer em uma cor nova.
O logaritmo natural de--
aqui dentro eu só vou
dividir tudo por x.
Então, x dividido por x é um.
Mais delta x sobre x.
Depois eu tinha esse um sobre
delta x de lado, e eu posso
fazer disso o expoente.
Isso é apenas a regra do expoente aqui, ou
uma propriedade do logaritmo.
Um sobre delta x.
Agora farei uma substituição
Lembre-se, tudo isso, isso veio
tudo da minha definição da derivada.
Isso tudo é igual a derivada do
logaritmo natural de x.
Eu ainda não usei isso, de forma alguma.
E eu não vou usar até que
eu mostre para você.
Eu fiquei na defensiva com
relação a tais reclamações

Thai: 
แล้วผมก็สามารถจัดรูปมันในนี้ได้
นี่จะเท่ากับลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
0 ของลอกธรรมชาติ -- ขอผมเขียนด้วยสีใหม่นะ
ขอผมเขียนด้วยสีใหม่เอี่ยมเลย
ลอกธรรมชาติของ -- ข้างในนี้ ผมจะ
หารทุกอย่างด้วย x
ได้ x หารด้วย x เท่ากับ 1
แล้วก็บวกเดลต้า x ส่วน x
แล้วผมมี 1 นี่ส่วนเดลต้า x อยู่ข้างนอกนั่น และผมเขียน
เป็นเลขชี้กำลังได้
นั่นก็แค่กฏเลขชี้กำลัง หรือ
สมบัติของลอการิทึม
1 ส่วน เดลต้า x
ทีนี้ผมจะทำการแทนค่า
จำไว้ ทั้งหมดนี่ มันมาจากนิยาม
ของอนุพันธ์เท่านั้น
นี่ทั้งหมดเท่ากับอนุพันธ์ของ
ลอกธรรมชาติของ x
ผมยังไม่ได้ใช้นี่เลย
และผมจะไม่ใช่จนกว่าผมจะพิสูจน์ให้คุณดู
ผมค่อนข้างปกป้องตัวเองจากข้อกล่าวหา

Bulgarian: 
И после да опростя това тук.
Това ще бъде равно на границата,
за Δх клонящо към нула,
границата на натурален логаритъм...
ще използвам различен цвят.
Ще използвам съвсем нов цвят.
Натурален логаритъм от...
тук вътре просто деля всичко на х.
х делено на х е равно на 1.
После плюс Δх/х.
После имам това 1/Δх ето тук,
което мога да направя 
степенен показател.
Това е правилото за степените,
или правилото за логаритмите.
1/Δх.
Сега ще направя полагане.
Спомни си, че всичко това
следва от определението за производна.
Това тук е равно на производната
на натурален логаритъм от х.
Това още не съм го използвам.
Няма да го използвам,
преди да ти го докажа.
Искам да се защитя от 
упреците за

Chinese: 
然后化简它
那么它=Δx趋于0
时的极限 ln
用新的颜色表示
完全没用过的颜色
ln 这里面
各项同除以x
x/x=1
+Δx/x
然后还有1/Δx落在这儿
可将它作为指数
这步是指数法则
或对数性质
1/Δx 现在要换元
记住 所有这些都只是由
导数定义得来的
它们都=lnx的导数
还没用到它
直到正式讲了它之后 才会用它
我对于循环证明的说法变得很防备
是我的错 因为那说明

Arabic: 
من ثم يكون بامكاني تبسيط هذا
اذاً هذا يساوي نهاية اقتراب دلتا x
من الصفر للوغارتم الطبيعي --دعوني اكتب هذا بلون جديد
اسمحوا لي ان اكتبه بلون جديد
اللوغارتم الطبيعي لـ --في العبارة الداخلية هنا سوف
اقسم كل شيئ على x
اذاً x ÷ x = 1
ثم + دلتا x / x
ثم لدي هذا الـ 1 / دلتا x هنا، ويمكنني ان
اجعله الأس
ان تلك عبارة عن قاعدة أسس، او
خاصية لوغارتمات
1 / دلتا x
الآن سوف اجري تعويضاً
تذكروا، ان جميع هذا، ان هذا كله اتى من تعريف
المشتقة
كل ذلك كان يساوي مشتقة
اللوغارتم الطبيعي لـ x
لا يزال علي استخدام هذا في اي حال من الاحوال
ولن استخدمه الى ان اوضحه لكم بالفعل
لقد اصبحت دفاعياً جداً حيال ادعاءات

Estonian: 
Ja siis ma võin siin seda lihtsustada.
See võrdub piirväärtusega kui delta x läheneb nullile protsessis
ln -- las ma kasutan teist värvi.
Las ma teen selle hoopis teise värviga.
Ln -- ma jagan siin
kõik x-ga.
x jagatud x on 1.
Siis pluss delta x jagatud x.
Siis mul on see 1 jagatud delta x istumas siin ja ma
võin selle teha eksponendiks.
See on lihtsalt eksponendi reegel
või siis logaritmi omadus.
1 jagatud delta x.
Ma teen nüüd asenduse.
Mäletate, see kõik siin, see kõik on lihtsalt minu definitsiooni
tuletis.
See oli kõige võrdne
ln x tuletisega.
Ma pole veel kuidagi seda kasutanud.
Ja ma ei kasuta seda enne kui ma olen selle tõestanud.
Ma olen väga kaitsev nende süüdistuste koha pealt.

Spanish: 
Y entonces puedo simplicarlo aquí.
De modo que esto va a ser igual al limite a medida que delta x se acerca al
0 del logaritmo natural - déjame hacer esto en un color nuevo.
Déjame hacerlo en un color completamente nuevo.
El logaritmo natural de-- lo que está aquí adentro simplemente voy a
dividir todo por x.
Así que x dividido por x es 1.
Entonces delta de x positivo sobre x.
Entonces tenía este 1 sobre delta de x aquí y puedo
convertirlo en el exponente.
Allí está una regla exponencial, o
una propiedad del logaritmo.
1 sobre delta de x.
Ahora voy a hacer una sustitución.
Recuerden, todo esto, todo esto es el resultado de mi definición
de una derivada.
Esto fue todo igual a la derivada del
logaritmo natural de x.
Todavía tengo que usar esto de algún modo.
Y no lo usaré hasta que no se los demuestre a ustedes.
Me he puesto muy a la defensiva en cuanto a estas afirmaciones

Polish: 
i mogę to upraszczać pod logarytmem.
Więc to będzie równe granicy przy delta x dążącym
do 0, z logarytmu naturalnego - napiszmy to innym kolorem
Jakiś zupełnie nowy kolor.
Logarytm naturalny z - tutaj w środku
podzielmy to przez x.
x/x = 1
dalej plus delta x / x
Dalej mamy tutaj 1/ delta x siedzące tutaj, więc mogę
przenieść to do wykładnika.
To tylko kolejna własność logarytmu,
.
1/delta x
Teraz zrobię podstawienie.
Pamiętaj, to wszystko, to korzystaliśmy tylko z
definicji pochodnej.
To wszystko jest równe pochodnej
logarytmu naturalnego.
Zaznaczam, że nie korzystaliśmy w żaden sposób
z tego, co mamy udowodnić.
Stałem się bardzo ostrożny o te oskarżenia

Korean: 
이렇게 정리할 수 있겠습니다
Δx가 0으로 다가갈 때
 
색을 바꾸겠습니다
괄호 안에 있는 항들을
모두 x로 나누겠습니다
x를 x로 나눈 값은 1입니다
그리고 Δx/x가 나옵니다
로그의 계수인 1/Δx 를
지수로 만들겠습니다
이는 지수 법칙입니다
또는 로그의 성질이라고 합니다
1/Δx가 지수가 됩니다
이제 대입을 하겠습니다
이 모든 것은 도함수의 정의에서
나온 것임을 잊지 마십시오
이 모든 것은 도함수의 정의에서
나온 것임을 잊지 마십시오
이 모든 식들은 ln x의
도함수와 동일합니다
아직 네모 안의 식을 쓰지 않았습니다
그리고 증명하기 전에는 이 식을
사용하지 않을 것입니다
이제 순환성에 대해 충분히
고려하도록 하겠습니다

Turkish: 
Sonrada burayı sadeleştirebilirim.
Yani bu lim (Δx →0) ln(1+ ( Δx/x))' eşittir.
Bu arada karışıklığa sebep olmamak için renk değiştirdim.
.
(x+Δx)/x ifadesini
x'e bölüyoruz.
x/x = 1.
Sonradan da Δx/x'i ekliyoruz.
Sonradan katsayı olarak duran
1/Δx'i üstel hale getiriyorum.
Bu logaritmaların
üstellerle ilgili kuralıydı.
1/Δx.
Şimdi bir değiştirme yapacağım.
Unutmayın bunların hepsi
türevin tanımındandı.
Bunların hepsi
d/dx (ln x)'e eşitti.
Yine de bunu kullanmam lazım.
Ama size gösterene kadar kullanmayacağım.
Dairesel kanıtlarla ilgili oldukça

English: 
And then I can simplify
this in here.
So this is going to be equal to
the limit as delta x approaches
0 of the natural log -- let
me do this in a new color.
Let me do it in a
completely new color.
The natural log of -- the
inside here I'll just
divide everything by x.
So x divided by x is 1.
Then plus delta x over x.
Then I had this 1 over delta x
sitting out here, and I can
make that the exponent.
That's just an exponent
rule right there, or
a logarithm property.
1 over delta x.
Now I'm going to make
a substitution.
Remember, all of this, this was
all just from my definition
of a derivative.
This was all equal to
the derivative of the
natural log of x.
I have still yet to
in any way use this.
And I won't use that until
I actually show it to you.
I've become very defensive
about these claims

Korean: 
이제 순환성에 대해 충분히
고려하도록 하겠습니다
제 영상의 초기 버전들에서는
증명이 충분히 명확하지
않았기 때문에
이번에는 더 명확히
하겠습니다
이제 이 식들을
알아보기 쉽도록
정리하겠습니다
식을 간단히 하여
e를 구할 수 있도록
대입을 하겠습니다
Δx/x 대신 1/n을 대입하겠습니다
만약 곱하더라도 같은 것입니다
대입해도 동일하다는 뜻이지요
양변을 x로 곱한다면
Δx는 x/n 입니다
이 두 식은 동일한 것입니다
그저 양변에 x를 곱한 것이지요
이제 n을 무한대로 다가가게 하면
이 쪽의 항도 동일해야 하므로
Δx를 0으로 다가가게 해야 합니다
 
Δx가 x/n이라고 정의했으므로

Estonian: 
süüdistuste koha pealt.
See on minu viga kuna ma ei olnud piisavalt selge
oma eelmises tõestuses, niisiis
ma proovin seekord selgem olla.
Vaatame kas me saame seda lihtsustada
termideks mida me tunneme.
Teeme selle asenduse et me saaksime võibolla e sisse tuua
termidesse mida me tunneme.
Asendame delta x jagatud x võrdub 1 jagatud n.
Kui me korrutame -- see on sama asi.
See on võrdne asendusega.
Kui me korrutame mõlemaid pooli x-ga
öeldes et delta x võrdub x jagatud n.
Need on võrdväärsed.
Ma korrutasin siin mõlemaid pooli x-ga.
Kui me võtame siin piirväärtuse kui n läheneb lõpmatusele
selles termis siin, see on võrdne -- see on täiesti
võrdne võtmaks piirväärtuse kui delta x läheneb nullile.
Kui me defineerime delta x selleks siin ja me võtame

English: 
of circularity.
They're my fault because that
shows that I wasn't clear
enough in my earlier versions
of these proofs, so I'll try
to be more clear this time.
So let's see if we can
simplify this into terms
that we recognize.
Let's make the substitution so
that we can get e in maybe
terms that we recognize.
Let's make the substitute delta
x over x is equal to 1 over n.
If we multiply -- this
is the same thing.
This is the equivalent
to substitution.
If we multiply both sides of
this by x, as saying that
delta x is equal to x over n.
These are equivalent
statements.
I just multiplied both
sides by x here.
Now if we take the limit as n
approaches infinity of this
term right here, that's
equivalent -- that's completely
equivalent to taking the limit
as delta x approaches 0.
If we're defining delta x to be
this thing, and we take the

Turkish: 
hassas hale geldim.
Tabi ki benim hatamdan kaynaklanan bir sorun
çünkü daha önceki videolarda yeterince açık olmadığımı gösterir
ve bu sefer daha anlaşılır olmaya çalışacağım.
Şimdi bakalım bu ifadeyi tanıdığımız terimlere
sadeleştirebilecek miyiz?
Şimdi değiştirmeyi yapalım ki
e'yi tanıdığımız terimler içinde elde edebilecek miyiz, görelim.
Δx/x = 1/n değiştirmesini yapalım.
Çarpmayı yaparsak aynı şey haline geliyorlar.
Değiştirmeye denktir.
Bu eşitliğin iki tarafını da x'le çarparsak
Δx = x/n ifadesini elde etmişiz oluruz.
Yani bunlar denk ifadeler.
İki tarafı da x'le çarptım sadece.
x/n'in lim (n → ∞)'de limitini almakla
Δx → 0'da limitini almak tamamen aynı.
.
.
Eğer Δx'i x/n olarak tanımlıyorsak

Thai: 
เรื่องพิสูจน์วนนี่
เป็นความผิดผมเอง ที่ผมอธิบาย
ไม่ชัดเจนในการพิสูจน์ครั้งที่แล้ว ดังนั้นผมจะ
อธิบายให้ชัดในครั้งนี้แทน
งั้นลองดูว่าเราสามารถจัดรูปมันจน
เราเห็นทางได้ไหม
ลองแทนค่าโดยให้เราได้ e
ในรูปที่เรารู้จัก
ลองแทนค่าเดลต้า x ส่วน x เท่ากับ 1 ส่วน n
หากเราคูณ -- นี่คืออย่างเดียวกัน
นี่เทียบเท่ากับการแทนค่า
หากเราคูณทั้งสองข้างด้วย x เมื่อกับเราบอกว่า
เดลต้า x เท่ากับ x ส่วน n
นี่คือคำพูดที่เทียบเท่ากัน
ผมแค่คูณทั้งสองข้างด้วย x ตรงนี้
ทีนี้หากเราหาลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ของ
เทอมนี้ตรงนี้ มันก็เหมือนกัน -- นี่เหมือนกับ
การหาลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 เป๊ะ
-
หากเรานิยามเดลต้า x ให้เป็นสิ่งนี้ และเราหาลิมิต

Bulgarian: 
кръгово доказателство.
Вината е моя, защото не съм
бил достатъчно ясен
в предишните версии на
тези доказателства, така че
сега искам да съм 
по-категоричен.
Да видим как да опростим това 
по отношение на членовете,
които разпознаваме.
Да направим полагане, така че
да изразим е чрез членове,
които разпознаваме.
Да положим Δх/х е равно на 1/n.
Ако умножим...
тези са равни.
Това е идентично на полагане.
Ако умножим двете страни по х,
като имаме предвид, че
Δх е равно на х/n.
Това са еквивалентни твърдения, 
просто умножаваме двете страни по х.
Сега, ако вземем границата за
n, клонящо към безкрайност,
границата на този член тук, това е
равно на... напълно еквивалентно е
да намерим границата, когато
Δх клони към нула.
Ако дефинираме Δх да е равно на това,
и ако намерим границата,

Portuguese: 
de circularidade.
Elas são minha culpa porque
mostram que eu não fui claro o
suficiente nas primeiras versões
dessas provas, então vou
tentar ser mais claro.
Vamos ver se podemos simplificar para
termos que conheçamos.
Vamos fazer a substituição para
que apareça "e" em termos
que conheçamos.
Vamos fazer a substituição: delta x
sobre x é igual a um sobre n.
Se multiplicarmos--
isso é a mesma coisa.
Isso é o equivalente da substituição.
Se multiplicarmos os dois lados
disso por x, dizemos que
delta x é igual a x sobre n.
São equivalentes.
Eu só multipliquei os dois
lados por x aqui.
Agora se nós tomamos do limite quando
n tende a infinito desse
termo bem aqui, é equivalente
-- é totalmente
equivalente a tomar o limite quando
delta x tende a zero.
E estamos definindo delta x como
isso, e tomamos o

Chinese: 
以前证明的版本讲的不够清楚
所以这次设法讲的更清楚
看能否将它化简成
能辨认出的项
进行换元 这样就可得出
认出是e的项
将Δx/x换元
=1/n
它等价于
等价于这种换元
这两边同乘以x
即Δx=x/n
这两种描述是等价的
只是两边同乘以x
现在 如果求n趋于无穷时
这项的极限 等价于
这完全等价于求Δx趋于0
时的极限
如果设Δx为它
求其分母趋于无穷时的极限

Spanish: 
de circularidad.
Son mi culpa porque eso prueba que yo no estaba lo suficiente claro
en mis primeras versiones de estas pruebas, asi que trataré
de ser mas claro esta vez.
De modo que veremos si podemos simplificar esto en términos
que reconocemos.
Hagamos la sustitución de modo que podamos obtener 
e en
términos que tal vez reconozcamos.
Hagamos que el sustituto delta x sobre x sea igual a 1 sobre n.
Si multiplicamos- esto es la misma cosa.
Esto es el equivalente a la sustitución.
Si multiplicamos ambos lados de esto por x, como si dijéramos que
delta x es igual a x sobre n.
Estas son declaraciones equivalentes.
Aquí hr multiplicado ambos lados por x.
Ahora, si tomamos el limite cuando n se acerca al infinito de este
termino, esto es equivalente. Esto es completamente
equivalente a tomar el limite de delta de x caundo se aproxima a 0.
Si estamos definiendo delta de x, para que sea esto y tomamos

Polish: 
o nieścisłość.
Jest to moja wina, ponieważ pokazują, że to co mówiłem
nie było wystarczająco jasne, więc spróbuję
żeby teraz było wszystko jasne.
Więc zobaczmy czy mogę to uprościć żebyśmy
coś w tym rozpoznali.
Zróbmy to podstawienie, to może dostaniemy tutaj e
w postaci,którą znamy.
Podstawmy 1/n za delta x / x.
Gdy to wymnożymy, wyjdzie to samo.
To jest równoważne.
Jeżeli wymnożymy dwie strony, to
delta x będzie równe x/n.
To są równoważne równości.
Po prostu wymnożyłem tutaj obydwie strony przez x.
Teraz, kiedy weźmiemy granicę, przy n dążącym do nieskończoności,
to będzie to równoważne tej granicy
przy delta x dążącym do 0.
Jeżeli definiujemy delta x jako to coś i bierzemy

Arabic: 
الدائرية هذه
كانت خطئي لأن ذلك يوضح انني لم اكن واضحاً
للغاية في الاصدارات الاولى لهذه الاثباتات، لذا سوف احاول
ان اكون اكثر وضوحاً هذه المرة
دعونا نرى اذاً اذا كان بامكاننا ان نبسط هذا الى عبارات
ندركها
دعونا نجري التعويض كي يكون بامكاننا ان نحصل على e في
عبارات ربما ندركها
دعونا نجري التعويض دلتا x / x يساوي 1 / n
اذا ضربنا --ان هذا نفس
انه يعادل التعويض
اذا ضربنا طرفي هذه بـ x، كأن نقول ان
دلتا x يساوي x / n
ان هذه الجمل متكافئة
لقد ضربت كلا الطرفين هنا بـ x
الآن اذا اخذنا نهاية اقتراب n من ما لا نهاية لهذه
العبارة الموجودة هنا، فإن ذلك يعادل --ان ذلك
يعادل تماماً اخذ نهاية اقتراب دلتا x من الصفر
نهاية اقتراب دلتا x من الصفر
اذا كنا نعرف دلتا x بأنها عبارة عن هذا الشيئ، ونأخذ

Portuguese: 
limite quando o denominador
aproxima de zero, estamos
fazendo delta x ir para zero.
Vamos fazer a substituição.
Tudo isso vai ser igual
ao limite de-- agora
nos livramos do delta x.
Nós vamos dizer o limite quando
n tende a infinito do
logaritmo natural--
o logaritmo natural de um mais-- agora,
eu digo isso em vez de delta x sobre x,
eu fiz a substituição que isso
é igual a um sobre n.
Então aquilo é um mais um sobre n.
E então o que é um sobre delta x?
Delta x é igual a x sobre n, então
um sobre delta x vai ser
igual ao inverso disso.
Vai ser n sobre x.
Então podemos reescrever
essa expressão aqui--
deixe-me reescrever.
Isso é igual ao limite quando
n tende a infinito do

Turkish: 
ve limiti paydası 0'a yaklaşırken alıyorsak
Δx'i 0'a yönlendireceğiz.
O zaman o değiştirmeyi yapalım.
O zaman bunların hepsi limite eşit olacak.
Çünkü Δx'ten kurtulduk.
lim (n →∞) ln(1 + 1/n)^(n/x).
Δx/x yerine 1/n yazıyorum.
Δx = x/n'di o yüzden 1/Δx'te tam tersi olacak.
Yani n/x.
.
.
.
.
.
Sonra bu ifadeyi
yeniden yazacağız.
lim (n →∞) ln ( 1 + (1/n)^n )^(1/x) )

Arabic: 
نهاية اقتراب مقامها من الصفر، فإننا سوف
نجعل دلتا x تذهب الى الصفر
لذا دعونا نجري ذلك التعويض
جميع هذا سيساوي نهاية --الآن
قد قمنا بالتخلص من دلتا x
سوف نقول ان نهاية اقتراب n من ما لا نهاية
للوغارتم الطبيعي --سوف اعود الى اللون البنفسجي--
اللوغارتم الطبيعي لـ 1 + --الآن، قلت انه بدلاً من دلتا x / x
قمت باجراء هذا التعويض بحيث ان ذلك يساوي 1 / n
اذاً ذلك يساوي 1 + 1 / n
ومن ثم ما هو ناتج 1 / دلتا x؟
حسناً، دلتا x تساوي x / n، اذاً 1 / دلتا x
هو عبارة عن معكوس هذا
سيكون n / x
ومن ثم يكون بامكاننا ان نعيد كتابة هذه العبارة هنا
--دعوني اعيد كتابتها مرة اخرى
هذا يساوي نهاية اقتراب n من ما لا نهاية

Thai: 
เมื่อตัวส่วนเข้าใกล้ 0 เราก็
จะทำให้เดลต้า x เข้าหา 0
งั้นทำการแทนค่ากัน
ทั้งหมดนี่ก็จะเท่ากับลิมิตเมื่อ -- ตอนนี้
เราได้กำจัดเดลต้า x แล้ว
เราจะบอกว่า ลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ของ
ลอกธรรมชาติ -- ผมจะกลับไปใช้สีม่วงนะ -- ลอกธรรมชาติ
ของ 1 บวก -- ทีนี้ ผมบอกว่าแทนที่จะเป็นเดลต้า x ส่วน x
ผมแทนค่ามันเป็น 1 ส่วนn
และนั่นคือ 1 บวก 1 ส่วน n
แล้ว 1 ส่วนเดลต้า x ล่ะ?
เดลต้า x เท่ากับ x ส่วน n งั้น 1 ส่วนเดลต้า x ก็คือ
ส่วนกลับของอันนี้
มันจะเท่ากับ n ส่วน x
แล้วเราก็เขียนพจน์นี้ใหม่ตรงนี้ --
ขอผมเขียนใหม่อีกที
นี่จะเท่ากับลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ของ

Estonian: 
piirväärtuse kui selle nimetaja läheneb nullile, me
paneme delta x liikuma 0 suunas.
Teeme selle asenduse.
See kõik saab olema võrdne piirväärtusega --
nüüd me saime lahti oma delta x.
Me ütleme et ln x piirväärtus läheneb lõpmatusele
-- ma lähen tagasi teise värvi peale --
ln 1 pluss -- ma ütlesin seda delta x jagatud x asemel,
ma tegin asenduse et see võrdub 1 jagatud n.
See on 1 pluss 1 jagatud n.
Mis on siis 1 jagatud delta x?
Delta x võrdub x jagatud n, niisiis 1 jagatud delta x läheb
tagurpidi.
Sellest saab n jagatud x.
Ja siis me võime selle avaldise siin ümber kirjutada --
las ma kirjutan uuesti ümber.
See võrdub piirväärtusega kui n läheneb lõpmatusele protsessis

English: 
limit as its denominator
approaches 0, we're going
to make delta x go to 0.
So let's make that
substitution.
So all of this is going to be
equal to the limit as -- now
we've gotten rid
of our delta x.
We're going to say the limit as
an approaches infinity of the
natural log -- I'll go back to
that mauve color -- the natural
log of 1 plus -- now, I said
that instead of delta x over x,
I made the substitution that
that is equal to 1 over n.
So that's 1 plus 1 over n.
And then what's 1 over delta x?
Well delta x is equal to x over
n, so 1 over delta x is going
to be the inverse of this.
It's going to be n over x.
And then we can re-write this
expression right here --
let me re-write it again.
This is equal to the limit as
n approaches infinity of the

Spanish: 
el limite cuando su denominado cuando se aproxima a 0, vamos a
hacer que delta de x vaya a 0.
Entonces hagamos la sustitucion.
Entonces todo esto va a ser igual al limite y ahora
hemos eliminado nuestra delta de x
Vamos a decir que cuando el limite se aproxima a infinito el
logaritmo natual -- regreso el color malva -- el
logaritmo natural de 1 mas -- ahora, digo que en lugar de delta de x sobre x,
Hice la substitucion de que es igual 1 sobre n
Entonces esto es 1 mas 1 sobre n
y entonces que es 1 sobre delta de x?
Bueno pues delta de x es igual a x sobre n, entonces 1 sobre delta de x va a ser
el inverso de esto.
va a ser n sobre x.
y entoces podemos re escribir esta expresion --
dejame re escribirla una vez mas.
Esto es igual al límite conforme n se aproxima al infinito del

Chinese: 
也就是Δx趋于0
那么这样换元
这个整体=
现在不用Δx了
而是n趋于无穷时的极限
ln 换回淡紫色
ln(1+ 已说过
不用Δx/x
而将其换元为1/n
所以是(1+1/n)
然后1/Δx是什么？
Δx=x/n
那么1/Δx是它的倒数
是n/x
然后把这个式子写成
再写一次
它=n趋于无穷时的极限

Bulgarian: 
когато знаменателят клони към 0,
тогава
Δх ще клони към 0.
Да направим заместването.
Всичко това е равно на
границата за...
сега се отървахме от Δх.
Казваме границата, когато
n клони към безкрайност,
границата на натурален логаритъм...
ще се върна към този розов цвят...
натурален логаритъм от 1 плюс...
сега вместо Δх/х,
заместваме това с 1/n.
Значи това е 1 + 1/n.
И тогава колко е 1/Δх?
Δх е равно на х/n, значи
1/Δх е обратното на това.
То е равно на n/х.
И после можем да преработим
този израз ето тук...
ще го преработя.
Това е равно на границата,
за n клони към безкрайност,

Korean: 
분모가 0으로 다가가기 때문에
Δx가 0으로 다가가게 해야 합니다
이제 대입을 계속 해봅시다
이제 이 모든 식들은
이 식과 동일해집니다
Δx를 대입을 통해 제거했습니다
n이 무한대로 다가갈 때
 
Δx/x 항에
1/n 을 대입한다고 했습니다
그래서 결과는 1+1/n 입니다
그러면 1/Δx 는 무엇입니까?
Δx는 x/n 이므로 1/x 는
x/n 의 역수가 되겠습니다
그러면 n/x 입니다
이 표현을 다시 적어보면
이 표현을 다시 적어보면
n이 무한대로 다가갈 때

Polish: 
granicę, gdy mianownik dąży do nieskończoności, to
delta x będzie dążyć do 0.
Zróbmy to podstawienie.
Więc to całe będzie równe granicy - teraz
kiedy już pozbyliśmy się naszego delta x,
granicy przy n dążącym do nieskończoności z
logarytmu naturalnego
z 1 plus - teraz zamiast delta x / x,
mamy podstawienie i będzie to 1/n.
Więc w logarytmie 1 + 1/n.
I czym teraz będzie 1 / delta x?
delta x równa się x/n, więc 1 / delta x będzie
odwrócone.
To będzie n/x.
I teraz możemy przepisać to wyrażenie tutaj.
Przepiszmy to.
To będzie granicy przy n dążącym do nieskończoności z

Portuguese: 
logaritmo natural de um mais um sobre n.
O que eu posso fazer é separar
esse n do um sobre x.
Posso dizer isso elevado a
n, e então tudo isso
elevado a um sobre x.
Mais uma vez, isso é uma
propriedade de expoente.
Se eu elevo algo a n e
então a um sobre x, posso
simplesmente multiplicar os expoentes
e obter n sobre x.
Essas duas afirmações são equivalentes.
Mas agora podemos usar a
propriedade de logaritmo para dizer que
se é o expoente, posso passar
para a frente
do coeficiente bem aqui.
Posso colocá-lo bem aqui.
E lembre-se, tudo isso é a
derivada com relação
a x do logaritmo natural de x.
Quanto vale isso?
Nós podemos tirar esse um do x na frente.
Esse um fora do termo x, não
tem nada a ver com n.
É como um termo constante quando
pensamos em termos de n.
Então nós podemos
tirar do limite.
Podemos colocar nos dois lugares.
Então podemos dizer um
sobre x vezes tudo aquilo.

Thai: 
ลอกธรรมชาติของ 1 บวก 1 ส่วน n
ที่ผมทำได้คือ ผมสามารถแยก n นี่ จาก 1 ส่วน x
ผมบอกว่านี่คือ ยกกำลัง n แล้วก็ทั้งหมด
ยกกำลัง 1 ส่วน x
อีกครั้ง นี่คือสมบัติของเลขชี้กำลัง
หากผมจับอะไรสักอย่างยกกำลัง n แล้วก็กำลัง 1 ส่วน x ผม
ก็สามารถคูณเลขชี้กำลังได้
n ส่วน x ได้
สองประโยคนี้เทียบเท่ากัน
แต่ตอนนี้เราใช้สมบัติของลอการทึมเพื่อบอกว่า เฮ้
หากนี่คือเลขชี้กำลัง ผมสามารถดึงมันออกมาข้างหน้า
ของสัมประสิทธิ์ตรงนี้
ผมสามารถเอามันออกมาได้
และจำไว้ ทั้งหมดนี้คือ อนุพันธ์เทียบกับ
x ของลอกธรรมชาติของ x
แล้วนี่เท่ากับอะไร?
เราสามารถใส่ 1 ส่วน x ข้างหน้าตรงนี้
ที่จริง 1 ส่วน x นี่ มันไม่เกี่ยวอะไรกับ n
มันเหมือนกับค่าคงที่เมื่อคุณคิด
ในเทอมของ n
เราสามารถเอามันไว้ข้างนอกนี่ได้
เราวางมันไว้ตรงไหนก็ได้
เราก็บอกว่า 1 ส่วน x คูณทั้งหมดนั่นในสีม่วง

Turkish: 
.
Şimdi n/x üstelini ayıracağım.
İlk üstel n
ve onun üsteli 1/x olacak.
Bu sadece bir üstel özellik.
Bu iki üsteli çarparsak
yeniden n/x
üstelini elde edeceğiz.
Yani bu iki tür yazım tamamıyla aynı.
Ama şimdi logaritmik özellikleri kullanarak
üstelleri katsayıların
önüne koyabiliriz.
Yani hemen buraya koyabilirim.
Ve unutmayın bunların hepsi
x ln x'in türeviyle yapılıyordu.
Yani bunların hepsi neye eşit oldu.
1'i ön tarafa koyabiliriz.
Aslında düşününce 1'in n'le alakası yok.
n cinsinden düşününce
bir tür sabit terim.
Yani bunu en başa kadar koyabiliriz.
İki yerden birine koyabiliriz.
d/dx (şn x) = 1/x çarpı eflatunla yazılmış herşey.

Estonian: 
ln 1 pluss 1 jagatud n.
Mis ma teha saan on eraldada see n 1 jagatud x-ist.
Ma võin õelda et see on n ja siis on kõik
see 1 jagatud x.
Veelkord, see on lihtsalt eksponendi omadus.
Kui ma astendan midagi astmesse n ja siis astmele 1/x, siis
ma võin lihtsalt korrutada need eksponendid
et saada n jagatud x.
Need kaks avaldist on võrdsed.
Aga nüüd me võime kasutada logaritmi omadusi
ja öelda, et kui see on eksponent, siis ma võin selle lihtsalt
koefitsendiks siia panna.
Ma võin selle siia panna.
Ja jätke meelde, see oli kogu
tuletis ln x-ist.
Millega see võrdne on?
Me võime selle 1 siit x panna siia ette.
Kusjuures, see 1 termist x, sellel ei ole midagi n-ga pistmist.
See on konstante term
kui sa mõtled n peale.
Seega me võime selle tegelikult siia panna.
Me võime selle ükskõik kumba kohta panna.
Me võime öelda 1 jagatud x korda kogu see värk selle värviga siin.

Korean: 
ln (1+1/n) 이 되겠습니다
여기서 제가 할 수 있는 것은
n과 1/x를 분리시키는 것입니다
n 제곱을 해준 후
전체의 1/x 제곱을 해주어도 됩니다
n 제곱을 해준 후
전체의 1/x 제곱을 해주어도 됩니다
다시 한 번 말씀드리지만
이것은 지수 법칙입니다
어떤 수를 n제곱 하고 나서
1/x 제곱을 한다면
결과는 n과 1/x를 곱한
값인 n/x 제곱한 것과 같습니다
결과는 n과 1/x를 곱한
값인 n/x 제곱한 것과 같습니다
그래서 이 두 식은 동일한 것입니다
이제 로그의 성질을 사용하여
지수를 로그 앞의 계수로
만들 수 있습니다
밖으로 빼낼 수 있습니다
이 식들은 모두
ln x의 x에 대한 도함수였음을
기억하십시오
그래서 또 어떤 식과
동일해집니까?
1/x를 앞의 계수로
만들어 줄 수 있습니다
사실 1/x 항은 n과
아무런 관계가 없습니다
여러분이 생각하신 것과
마찬가지로
n에 관하여 상수라는 것입니다
그래서 지수를 lim 앞으로도
뺄 수 있습니다
화살표가 가리키는 두 곳
어느 곳에도 1/x이 들어갈 수 있습니다
1/x에 이제 쓸 연보라색 부분의
식 전체를 곱한 것이 됩니다

Arabic: 
للوغارتم الطبيعي لـ 1 + 1 / n
ما يمكنني فعله هو ان اعزل n هذه من الـ 1 / x
بامكاني ان اقول ان هذا مرفوع للقوة n، ومن ثم جميع
هذا مرفوع للقوة 1 / x
مرة اخرى، ان هذه خاصية أسس
اذا رفعت شيئ ما للقوة n ومن ثم للقوة 1 / x
فيكون بامكاني ان اضرب الأسس واحصل على
n / x
اذاً هاتان العبارتان متكافئتان
لكن يمكننا الآن ان نستخدم خصائص اللوغارتمات لنقول: اذا كان هذا
هو الأس، فيمكنني ان اضعه خارجاً امام
المعامل هنا
يمكنني وضعه خارجاً هنا
وتذكروا، ان هذه جميعها كانت مشتقة
x اللوغارتم الطبيعي لـ x
اذاً كم يساوي هذا؟
يمكننا وضع هذا الـ 1 خارج عبارة الـ x هنا
في الحقيقة، ذلك الـ 1 خارج عبارة الـ x، ولا شيئ نفعله مع الـ n
انها عبارة ثابتة نوعاً ما عندما تفكروا
بها بدلالة n
اذاً يمكننا في الواقع ان نضعه في الخارج هنا
يمكننا وضعه اي مكان
اذاً بامكاننا ان نقول 1 / x × كل ذلك الشيئ المكتوب باللون البنفسجي

Chinese: 
ln((1+1/n)
可以把n和1/x分开
这里是^n
然后整体^(1/x)
这步还是指数性质
如果求某值的n次方 再求1/x次方
只需将指数相乘 得到n/x
所以这两种描述是等价的
但现在可用对数性质
如果这是指数 可以把它放外面
放这前面作为系数
可以放在那里
记住 这都是lnx
关于x的导数
它等于什么？
可以把1/x放在这前面
其实 1/x这项跟n无关
当考虑n的变化时
它算是常数项
所以其实可把它放到这儿
那么(1/x)・淡紫色的这个整体
n趋于无穷时的极限
ln((1+1/n)^n)

English: 
natural log of 1 plus 1 over n.
What I can do is I can separate
out this n from the 1 over x.
I could say this is to
the n, and then all of
this to the 1 over x.
Once again, this is just
an exponent property.
If I raise something to the n
and then to the 1 over x, I
could just multiply
the exponent to get
to the n over x.
So these two statements
are equivalent.
But now we can use logarithm
properties to say hey, if this
is the exponent, I can just
stick it out in front of the
coefficient right here.
I could put it out right there.
And just remember, this was all
of the derivative with respect
to x of the natural log of x.
So what is that equal to?
We could put this 1 out
of x in the front here.
In fact, that 1 out of x term,
it has nothing to do with n.
It's kind of a constant
term when you think
of it in terms of n.
So we can actually put it
all the way out here.
We could put it either place.
So we could say 1 over x times
all that stuff in mauve.

Bulgarian: 
от натурален логаритъм
от (1 + 1/n).
Сега мога да разделя това n
и 1/х.
Казвам това е на степен n,
а всичко това
е на степен 1/х.
Това е свойството на 
степените.
Ако повдигна нещо на степен n
и после на степен 1/х,
мога да умножа степените показатели,
като получавам n/х.
Тези две твърдения са
еквивалентни.
Сега можем да използваме свойствата 
на логаритмите и да кажем, че ако
това е степенният показател, можем
да го изнесем отпред
като коефициент ето тук.
Мога да го сложа ето тук.
Само си спомни, това е
производна спрямо
х от натурален логаритъм от х.
На какво е равно това?
Можем да поставим това 1/х
тук отпред.
Всъщност това 1/х 
няма нищо общо с n.
То е един вид константа по
отношение на n.
Значи можем да изнесем всичко
това от тук на друго място.
Можем да кажем 1/х по
всичко това в розово.

Spanish: 
logaritmo natural de 1 mas 1 sobre n.
Lo que puedo hacer es separar esta n del 1 sobre x
I puedo decir que esto es a n, y todo esto es
al 1 sobre x.
Una vez mas, esto es solo una propiedad del exponente.
Si elevo algo a la n y a la 1 sobre x,
podría sólo multiplicar los exponentes para llegar
al n sobre x.
Así estas dos expersiones son equivalentes.
Pero ahora podemos usar propiedades de los logaritmos para decir: Hey, si esto
es el exponente, puedo sacarlo al frente del
coeficiente, justo aquí.
Podría ponerlo aquí afuera.
Y recuerden, todo ésto era la derivada con respecto
x del logaritmo natural de x.
Así que, a qué es igual eso?
Podríamos poner éste 1 fuera de x, aquí al frente.
De hecho, ese 1 fuera del termino x, no tiene nada que ver con n.
Es como un termino constante si lo piensas
en terminos de n.
Así que de hecho podemos ponerlo hasta acá afuera.
Podríamos ponerlo en cualquiera de los dos lugares.
Así que podríamos decir 1 sobre x multiplicado por todo esto en color malva.

Polish: 
ln ( 1 + 1/n ).
Możemy jeszcze rozdzielić to n od 1/x.
Więc to będzie do potęgi n - tej, a to całe
jeszcze do potęgi 1/x.
To po prostu własności potęgowania.
Jeżeli podniosę coś do potęgi n a potem jeszcze do 1/x, to
jest to równoważne
potędze n/x.
Więc te dwa wyrażenia są równoważne.
A teraz możemy skorzystać z własności logarytmu,
bo jeżeli to jest wykładnik, to mogę to wyciągnąć
jako współczynnik przed logarytm.
Możemy to napisać tutaj.
I pamiętajmy, że to całe to po prostu pochodna względem
x z logarytmu naturalnego z x.
Więc czemu to się równa?
Możemy przenieść to 1/x na przód.
Tak na prawdę, to x nie ma nic do n.
To jest tak jakby stała.
.
Więc możemy to przenieść całkiem na przód.
Możemy to napisać w dowolnym miejscu.
Więc możemy powiedzieć 1/x razy to coś na fioletowo.

Turkish: 
d/dx (ln x) 0 1/x lim (n →∞) ln( (1+(1+n))^n)
.
Yani her şeyin doğal logaritması.
Ya da daha anlaşılır olmak için bu kısmı yeniden yazabiliriz.
1/x ln (lim(n →∞) ( 1+ (1+(1/n)^n) )
.
Biraz değişiklik yapıyorum çünkü bizim için önemli olan
bariz bir şekilde bu terime sonsuza yaklaşırken ne olacağı.
.
Bu daha önceki videolarda
tanıttığımız e'nin
tanımlarından bir tanesi.
e tanımlandı.
Sadece anlaşılır olmaya çaba gösteriyorum.
Hala bunu hiç kullanmıyorum.
Sadece e'nin tanımını beyan ediyorum.

Arabic: 
نهاية اقتراب n من ما لا نهاية للوغارتم الطبيعي
لـ (1 + 1 / n)^n
اللوغارتم الطبيعي لجميع ذلك
او، من اجل توضيح النقطة، يمكننا ان نعيد كتابة هذا
الجزء --دعوني استخدم اللون الاحمر-- = 1 / x
× اللوغارتم الطبيعي لنهاية اقتراب n من ما لا نهاية
انني ابدل الاماكن هنا، لأنه وبكل وضوح ان ما نهتم لأمره
هو ما يحدث لهذه العبارة كلما اقتربت من ما لا نهاية، لـ
(1 + 1 / n)^n
حسناً، ما هو --ان هذا يجب ان يكون مألوفاً بالنسبة لكم
عن طريق بعض العروض الاولى حيث تحدثنا عن e-- ان
هذا واحداً من تعريفات e
e معرفة
انني واضح هنا
لا زلت لا استخدم هذا بعد
انني احدد تعريف e، حيث ان e يساوي

Polish: 
Granica przy n dążącym do nieskończoności z logarytmu naturalnego
z (1 + 1/n) do potęgi n - tej.
ln z tego całego.
Albo po prostu, żeby wszystko było jasne, możemy to przepisać
weźmy kolor łososiowy, równe 1/x razy
ln z granicy przy n dążącym do nieskończoności.
Po prostu zamieniam tutaj miejsca, ponieważ nas obchodzi
co się dzieje przy n dążącym do nieskończoności,
w (1+1/n) do n - tej.
Cóż, to już powinno wyglądać znajomo.
Z pierwszego filmiku w którym mówiliśmy o e.
To jest definicja e.
e jest tak zdefiniowane.
Chcę żeby to było jasne.
Ciągle nie korzystamy z tego że teoretycznie znamy odpowiedź.
Tylko widzimy tutaj definicję e, które jest zdefiniowane

Estonian: 
Piirväärtusega kui n läheneb lõpmatusele protsessis
ln 1 pluss 1 jagatud n astmel n.
Ln kogu sellest kraamist.
Või et teha asi väga selgeks, me võime selle osa ümber kirjutada
-- las ma vahetan jälle värvi -- võrdub 1 jagatud x
korda ln piirväärtusega kui n läheneb lõpmatusele.
Ma vahetasin siin kohti kuna meid ilmselgelt huvitab,
et mis juhtub selle termiga kui see läheneb lõpmatusele.
1 pluss 1 jagatud n astmel n.
See on --- see peaks olema natukene tuttav sinu jaoks
kuna ühes esimeses videos me rääkisime e-st --
see on e definitsioon.
e on defineeritud.
Ma üritan siin lihtsalt selgena asja hoida.
Ma ikkagi ei kasuta seda.
Ma lihtsalt seletan e definitsiooni. E võrdub

English: 
The limit as n approaches
infinity of the natural log
of 1 plus 1 over n to the n.
The natural log of
all of that stuff.
Or, just to make the point
clear, we can re-write this
part -- let me make a salmon
color -- equal to 1 over x
times the natural log of the
limit as n approaches infinity.
I'm just switching places here,
because obviously what we care
is what happens to this term as
it approaches infinity, of
1 plus 1 over n to the n.
Well what is -- this should
look a little familiar to you
on some of the first videos
where we talked about e -- this
is one of the definitions of e.
e is defined.
I'm just being clear here.
I'm still not using
this at all.
I'm just stating that the
definition of e, e is equal

Portuguese: 
O limite quando n tende a
infinito do logaritmo natural
de um mais um sobre n elevado a n.
O logaritmo natural disso.
Ou, só para deixar claro,
podemos reescrever essa
parte-- igual a um sobre x
vezes o logaritmo natural do
limite quando n tende a infinito.
Eu só estou mudando a ordem
aqui, pois obviamente que
nos importa o que ocorre com esse tempo
quando n tende ao infinito,
de um mais um sobre n elevado a n.
O que é-- isso deve parecer
familiar para você
em alguns dos primeiros vídeos
em que falamos sobre e--
esse é uma das definições de e.
e é definido.
Só estou sendo claro aqui
Eu ainda não estou usando isso.
Só estou declarando que pela
definição de e, e é igual

Chinese: 
这个整体的对数
或者 为了更清楚 可以把这部分写成
用浅橙色表示
=(1/x)・ln(
n趋于无穷时的极限
这步只是调换位置
因为关注的显然是这一项
在n趋于无穷时的变化 (1+1/n)^n
这应该有点熟悉了
在第一版的一些视频中讲过e
这是e的定义之一
e被定义 这里要说清楚
还没用它
只是说e的定义
e= n趋于无穷时
(1+1/n)^n的极限

Korean: 
n이 무한대로 다가갈 때
ln (1 + 1/n) ⁿ 이 되는 것입니다
ln 항 전체 말이지요
아니면 더 명확히 하기 위해서
이 부분을 다시 적어보면
1/x에 n이 무한대로
다가갈 때의 ln 값을 곱합니다
ln과 lim의 자리를 바꾸겠습니다
자리를 바꾸면
여러분들에게 익숙한 식인
n이 무한대로 다가갈 때
(1+1/n) ⁿ 인 식입니다
이 식은 여러분들께
매우 익숙할 것입니다
이 식은 e에 대해서 설명한
영상에서도 알 수 있듯이
e의 또 다른 정의니까요
e가 정의되었습니다
여기서 하나 명확하게
하고 가겠습니다
아직 네모 속의 식을
사용하지 않았습니다
저는 e의 정의는

Bulgarian: 
Границата за n клонящо към
безкрайност на натурален логаритъм
от 1 + 1/n на степен n.
Натурален логаритъм 
от всичко това.
И само да поясня, можем
да препишем цялата тази част...
ще използвам цвят сьомга –
е равно на 1/х
по натурален логаритъм от границата 
за n клонящо към безкрайност.
Тук просто разменям местата,
защото очевидно ни интересува
какво се случва с този член,
когато клони към безкрайност,
това (1 + 1/n)^n.
Това може би ти изглежда 
познато.
В някои от първите видео клипове,
в които говорихме за "е"...
това е едно от 
определенията за "е".
Дефиницията за "е".
Искам да съм ясен тук.
Аз още не го използвам.
Просто казвам, че определението
на числото "е" – това е

Thai: 
ลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ของลอกธรรมชาติ
ของ 1 บวก 1 ส่วน n กำลัง n
ลอกธรรมชาติของทั้งหมดนั่น
หรือ เพื่อให้ชัดเจน เราสามารถเขียนมันใหม่
-- ขอผมใช้สีแซลมอน -- เท่ากับ 1 ส่วน x
คูณลอกธรรมชาติของลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์
ผมสามารถสลับที่ได้ เพราะแน่นอนที่เราสนใจ
คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับเทอมนี้เมื่อมันเข้าใกล้อนันต์
1 บวก 1 ส่วน n กำลัง n
แล้วนี่ -- คุณควรคุ้นกับเจ้านี่
ในวิดีโอแรก ๆ เราได้พูดถึง e --
นี่คือหนึ่งในนิยามของ e
e ถูกนิยามไว้
ผมอยากบอกให้ชัด
ผมยังไม่ได้ใช้นี่เลย
ผมแค่บอกนิยามของ e, e เท่ากับ

Spanish: 
El límite cuando n se acerca al infinito de el logaritmo natural
de 1 mas 1 sobre n elevado a la n.
El logaritmo natural de todo eso.
O, sólo para dejarlo en claro, podemos re-escribir ésta
parte -- permitanme usar un color salmón -- igual a 1 sobre x
multiplicado por el logaritmos natural del limite cuando n se acerca al infinito.
Únicamente estoy cambiando lugares aquí, porque obviamente lo que nos importa
es lo que le pasa a este termino cuando se acerca a infinito,
de 1 mas 1 sobre n elevado a la n.
Bueno, esto -- ésto les debe ser familiar
por algunos de los primeros videos en los cuales hablamos de e --
es una de las definiciones de e.
e está definida.
Sólo estoy tratando de ser claro aquí.
Aún no estoy usando ésto en absoluto.
Únicamente estoy diciendo que la de definición de e, e es igual

Chinese: 
这只是e的定义
ln的定义是以它为底的
对数 它就是e
所以lnx的导数
=(1/x)・ln
这里它为e
这是e的定义
这里不是用的e的导数的定义
也不是e^x的导数的定义
而只是e的定义
而ln的定义是以e为底的对数
这表示 e的几次方为e
它=1
这样就得到lnx的导数
=1/x
到现在 大家可以确信
已证明了上面第一条
而绝没用过这一条
只用过e的定义 但这没关系
也就是说 假设已知道e的定义
甚至讨论到ln时

Portuguese: 
ao limite quando n tende
a infinito de um mais
um sobre n elevado a n.
Essa é a definição de e.
E o logaritmo natural é definido
como o logaritmo
da base, disso tudo.
Tudo isso é e.
Estou dizendo que a derivada
do logaritmo natural
de x é igual a um sobre x
vezes o logaritmo natural.
Isso bem aqui é e.
Isso é a definição de e.
Eu não estou usando a definição
da derivada de e, ou
a definição da derivada
de e elevado a x.
Só estou usando a definição de e.
E a definição do logaritmo
natural é log da base e.
Isso da a potência que você
deve elevar e para obter e,
bom isso é igual a um.
Ali nós temos que a derivada
do logaritmo natural
de x é igual a um sobre x.
Acredito que até aqui você estará
satisfeito com a prova
dessa primeira afirmação, e de
forma alguma usamos
essa afirmação aqui.

Polish: 
jako granica przy n dążącym do nieskończoności z
(1 + 1/n) do n - tej.
To po prostu definicja e.
A ln jest zdefiniowany jako logarytm
o takiej podstawie.
Więc to będzie e.
Więc dostajemy, że pochodna z ln x
będzie równa 1/x razy logarytm naturalny
to co będzie w logarytmie, to e.
To jest po prostu definicja e.
Nie korzystam z definicji pochodnej z
e do x.
Korzystam z definicji e.
A definicja ln to logarytm o podstawie e.
To znaczy potęga, do jakiej musisz podnieść e żeby dostać e.
To się równa 1.
I dostajemy, że pochodna z ln x
równa się 1/x.
Więc wydaje mi się że będziesz usatysfakcjonowany, że
udowodniliśmy tę równość tutaj i w żadnym miejscu nie korzystaliśmy z
tej równości tutaj.

Spanish: 
al limite cuando n se acerca a infinito de 1 mas
1 sobre n, elevado a la n.
Ésto es sólo la definición de e.
Y el logaritmo natural se define como el logaritmo
de base, ésto de aquí.
De modo que esto de aquí es e.
Así que solo estoy diciendo que la derivada del logaritmo natural
de x es igual a 1 sobre x multiplicado por el logaritmo natural.
Esto de aquí es e.
Esa es la definición de e.
No estoy usando la definición de la derivada de e, o
la definición de la derivada de e elevada a la x.
Únicamente estoy usando la definición de e.
Y la definición de logaritmo natural, que es logaritmo base e.
Ésto nos da la potencia a la que deben elevar e para obtener e,
y bueno, esto es simplemente igual a 1.
Ahí obtenemos que la derivada del logaritmo natural
de x es igual a 1 sobre x.
Así que, hasta el momento creo que estarán satisfechos con que hemos probado
esta primera afirmación aquí arriba, y de ninguna manera hemos usado
ésta afirmación de aquí.

Thai: 
ลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ของ 1
บวก 1 ส่วน n กำลัง n
นี่คือนิยามของ e
และลอกธรรมชาติ ก็นิยามให้เป็น ลอการิทึม
ของฐาน เจ้านี่
สิ่งนี้ก็คือ e
งั้นผมบอกว่าอนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ
x เท่ากับ 1 ส่วน x คูณลอกธรรมชาติ
สิ่งนี้ตรงนี้คือ e
นั่นคือนิยามของ e
ผมไม่ได้ใช้นิยามของอนุพันธ์ e หรือ
นิยามของอนุพันธ์ของ e กำลัง x
ผมแค่ใช้นิยามของ e
และนิยามของลอกธรรมชาติคือ ลอกฐาน e
นี่คือกำลังที่คุณต้องยกกำลัง e กระทั่งได้ e
และนี่ก็เท่ากับ 1
แล้วเราก็ได้อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติ
ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x
ถึงตอนนี้ ผมว่าคุณคงพอใจที่เราพิสูจน์
ประโยคแรกตรงนี้ และไม่มีทางที่เราใช้
ประโยคนี้ตรงนี้

Estonian: 
piirväärtusega kui n läheneb lõpmatusele protsessis
1 pluss 1 jagatud n astmel n.
See on lihtsalt e definitsioon.
Ja nat logaritm on defineeritud kui logaritm
alusel see siin.
See on e.
Ma lihtsalt ütlen et ln x tuletis võrdub 1 jagatud x korda naturaalne logaritm
1 jagatud x korda naturaalne logaritm
See siin on e.
See on e definitsioon.
Ma ei kasuta e tuletise definitsiooni.
Ega ka e astmel x tuletise definitsiooni.
Ma kasutan e definitsiooni.
Ja ln definitsioon on log alusel e.
See ütleb mis astmele peame e tõstma et saada e,
milleks on 1.
Niisiis saame et ln x tuletis
on 1 jagatud x.
Ma usun et olete rahul selle ülemise avaldisega mis me siiani oleme tõestanud.
ja me kohe kindlasti
ei kasutanud seda avaldist siin.

Bulgarian: 
границата за n, клонящо към 
безкрайност, от (1 + 1/n)^n.
Това просто е определението 
на числото "е".
Натурален логаритъм се 
определя като логаритъм
с основа това нещо.
Това нещо е числото "е".
Значи казвам, че производната
на натурален логаритъм
от х е равна на 1/х по 
натурален логаритъм.
Това нещо тук е "е".
Това е определението 
за числото "е".
Не използвам определението
за производната на числото "е",
определението за 
производната на е^х.
Използвам дефиницията
на числото "е".
А определението на натурален
логаритъм е логаритъм с основа "е".
Той показва степента, на която
трябва да повдигнем "е", за да получим "е",
като това е равно просто на 1.
Така получаваме, че производната 
на натурален логаритъм
от х е равна на 1/х.
До тук трябва да си доволен/а,
че доказахме
това първо твърдение тук горе,
като по никакъв начин не използвахме
това твърдение ето тук.

English: 
to the limit as n approaches
infinity of 1 plus
1 over n to the n.
This is just the
definition of e.
And natural log is defined
to be the logarithm
of base, this thing.
So this thing is e.
So I'm saying that the
derivative of the natural log
of x is equal to 1 over x
times the natural log.
This thing right here is e.
That's what the
definition of e is.
I'm not using the definition
of the derivative e, or
the definition of the
derivative of e to the x.
I'm just using the
definition of e.
And the definition of
natural log is log base e.
This says the power that you
have to raise e to to get to e,
well this is just equal to 1.
There we get that the
derivative of the natural log
of x is equal to 1 over x.
So, so far I think you'll be
satisfied that we've proven
this first statement up here,
and in no way did we use
this statement right here.

Arabic: 
نهاية اقتراب n من ما لا نهاية لـ (1 +
1 / n)^n
ان ذهذا عبارة عن تعريف e
واللوغارتم الطبيعي معرف ليكون عبارة عن لوغارتم
اساس هذا الشيئ
وهذا الشيء هو e
اذاً اقول ان مشتقة اللوغارتم الطبيعي
لـ x يساوي 1 / x × اللوغارتم الطبيعي
هذا الشيئ الموجود هنا هو e
ذلك هو تعريف e
انني لا استخدم تعريف مشتقة e، او
تعريف مشتقة e^x
انني استخدم تعريف e
وتعريف اللوغارتم الطبيعي هو لوغارتم اساس e
وهذا يوضح القوة التي عليك ان ترفع e لها لكي تحصل على e
حسناً، انها تساوي 1
من هنا حصلنا على ان مشتقة اللوغارتم الطبيعي
لـ x تساوي 1 / x
اعتقد انك حتى الآن مقتنع اننا قد اثبتنا
العبارة الاولى الموجودة في الاعلى، ولم نستخدمها بأي طريقة
هنا

Korean: 
e는 n이 무한대로 접근할 때
(1+1/n) ⁿ 라는 것을
알려드리고 있습니다
이 식은 e의 정의입니다
자연로그의 정의는
로그의 밑이 초록색으로
밑줄 친 이 부분입니다
즉 밑이 e인 로그라는 것입니다
그래서 ln x의 도함수는
1/x 에 자연로그 항을 곱한 것입니다
이 로그 속의 값은 e입니다
이것이 바로 e의 정의입니다
저는 e의 도함수의 정의나
e^x의 도함수의 정의를
사용하지 않고 있습니다
그저 e의 정의만 사용하고
있을 뿐이지요
그리고 자연로그의 정의는
밑을 e로 하는 로그입니다
이 말은 e는 e의 1제곱 이므로
ln e 는 1이라는 것입니다
이제 ln x의 도함수가
1/x 라는 것이 밝혀졌습니다
여러분들이 지금까지의
증명에 만족했을것이라 믿고
네모 속의 식을 한 번도 사용하지
않았음을 다시 알려드립니다
네모 속의 식을 한 번도 사용하지
않았음을 다시 알려드립니다

Turkish: 
e= lim (n →∞) (1 + (1/n) )^n
.
Bu sadece e'nin tanımı.
Ve ln'de bu ifadeyi taban alan logaritmadır.
.
Yani bu ifade e'dir.
d/dx (ln x) = 1/x (ln e).
.
Burası e.
e'nin tanımı budur.
e'nin türevini ya da
e'nin x'e giderken ki türevinin tanımını kullanmıyorum.
Sadece e'nin tanımını kullanıyorum.
Ve doğal logaritmanın tanımı e tabanlı log'dur.
e'yi e'ye ulaşmak için kalkındırman gerek üstel kuvvetin
1 olduğunu söyler.
d/dx (ln x) = 1/x.
Bu tanımdan bunu çıkarırız.
Yukarıdaki ilk ifadeyi
kanıtladığımdan şu ana kadar tatmin olmuşsunuzdur.
Ve diğer ifadeyi şu ana kadar hiç kullanmadık.

Bulgarian: 
Използвах само определението
за числото "е", което не е проблем.
Имам предвид, че знаем
определението на "е",
даже когато казваме натурален
логаритъм, имаме предвид основа "е".
В никакъв случай не сме
приели това в началото.
Сега, след като доказахме това
и не сме допускали това изобщо,
да видим дали можем
да докажем ето това.
Значи производната... да
направим едно упражнение.
Може би ще го направя в граници.
Да вземем производната
на тази функция.
Натурален логаритъм от е^х.
Има два начина 
да подходим към това.
Първият начин е да опростим
това и можем да кажем, че това е
равно на производната –
можем да изнесем този х
отпред, производната на х по
натурален логаритъм от "е".
Колко е натурален логаритъм от "е"?

English: 
I just used the definition
of e, but that's fine.
I mean we assumed we know the
definition of e, even when we
just talk about natural log,
we assume that it's base e.
In no way did I assume
this to begin with.
Now, given that we've shown
this and we didn't assume
this at all, let's see
if we can show this.
So the derivative -- let's do a
little bit of an exercise here.
Actually, I could probably
do it in the margins.
Let's take the derivative
of this function.
The natural log of e to the x.
So there's two ways we
can approach this.
The first way we could simplify
this and we could say this is
the exact same thing
as the derivative.
We could put this x out
front of x times the
natural log of e.
And what's the
natural log of e?

Thai: 
ผมแค่ใช้นิยามของ e ซึ่งไม่เป็นไร
ผมหมายถึง เราถือว่าเรารู้นิยามของ e แม้กระทั่ง
ตอนเราพูดถึงลอกธรรมชาติ เรารู้ว่ามันคือฐาน e
ไม่มีทางที่ผมจะสมมุตินี่ตั้งแต่แรก
ทีนี้ ด้วยการที่เราแสดงนี่ไปแล้ว และเราไม่ได้
ตั้งขึ้นมาเอง ลองดูว่าเราจะพิสูจน์นี่ได้ไหม
งั้นอนุพันธ์ -- ลองทำแบบฝึกหัดตรงนี้หน่อย
-
ที่จริง ผมจะทำมันข้าง ๆ แล้วกัน
ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ดู
ลอกธรรมชาติของ e กำลัง x
-
มีอยู่สองทางที่เราทำได้
ทางแรกคือเราจัดรูปอันนี้ได้ แล้วเราก็บอกว่านี่
ก็เหมือนกับอนุพันธ์
เราสามารถเอา x นี่ออกมาหน้า x คูณ
ลอกธรรมชาติของ e
และลอกธรรมชาติของ e คืออะไร?

Estonian: 
Ma kasutasin lihtsalt e definitsiooni, aga see on okei.
Ma eeldasin et me teame e definitsiooni, isegi kui
me räägime naturaalsest logaritmist, me eeldame et see on alusel e.
Kohe kindlasti ei alustanud me selle eeldusega.
Nüüd kui me oleme seda näidanud ja me ei eeldanud
seda üldse, vaatame kas me suudame seda näidata.
Niisiis tuletis -- teeme väikse harjutuse siin.
Ilmselt ma suudan püsida ajalimiitides.
Võtame selle tuletise funktsiooni.
Ln e astmel x
Me võime sellele kahte moodi läheneda.
Me võime seda kõigepealt lihtsustada ja
öeldes et see on see sama asi kui tuletis.
Me võime panna selle x siia ette x korda
ln e.
Ja mis on ln e?

Portuguese: 
Só utilizei a definição de e,
mas está tudo certo.
Quero dizer, assumimos que sabemos
a definição de e, mesmo quando
só falamos sobre o logaritmo natural,
assumimos que é base e.
De forma alguma eu assumi isso.
Agora, dado que mostramos
isso e não assumimos
isso, vamos ver se conseguimos
mostrar este.
Que a derivada-- vamos fazer
um exercício aqui.
Eu posso fazer nas margens.
Vamos fazer a derivada dessa função.
Do logaritmo natural de e elevado a x.
Há duas maneiras de fazer isso.
O primeiro modo, nós podemos
simplificar isso e dizer que é
exatamente igual a derivada--
nós podemos colocar esse
x na frente, vezes o
logaritmo natural de e.
E o que é o logaritmo natural de e?

Chinese: 
已知它以e为底
绝没有假设已知它来展开讲
现在 已证明了它
并且根本没用它 下面证明它
那么这里做个小练习
可能要在旁边写
对这个函数求导
ln(e^x)
有两种求法
一种是将它化简
它=d/dx
可以把x放前面
乘以ln e
ln e是什么？
已知道e的自然对数是1
所以这只是x的导数
而x的导数=1
所以很直截

Spanish: 
Únicamente use la definición de e, pero eso esta bien.
Es decir, asumimos que conocemos la definición de e, aun cuando
únicamente hablamos acerca del logaritmo natural, asumimos que es base e.
De ninguna manera asumí esto al comenzar.
Ahora, dado que hemos mostrado esto y no asumimos
esto en absoluto, vamos a ver si podemos mostrar esto.
Así que la derivada -- hagamos un pequeño ejercicio aquí.
De hecho, tal vez podría hacerlo en los margenes.
Tomemos la derivada de ésta función.
El logaritmo natural de e elevado a la x.
Así que hay dos maneras en las que podemos abordar esto.
En la primera manera podríamos simplificar ésto y podríamos decir que ésto es
exactamente igual a la derivada.
Podríamos poner ésta x al frente de x multiplicado por
el logaritmo natural de e.
Y cuál es el logaritmo natural de e?

Arabic: 
لقد استخدمت تعريف e، لكن ذلك جيد
اعني اننا افترضنا اننا نعرف تعريف e، حتى عندما
نتحدث عن اللوغارتم الطبيعي، نفترض انه اساس e
لم افترض هذا بأي طريقة لنبدأ به
الآن، بما اننا قد وضحنا هذا ولم نفترض
هذا ابداً، دعونا نرى اذا كان يمكننا ان نوضحه
اذاً مشتقة --دعونا نقوم بحل تمرين هنا
.
في الواقع، ربما انه يمكنني القيام بحله في الهوامش
دعونا نأخذ مشتقة هذا الاقتران
اللوغارتم الطبيعي لـ e^x
اللوغارتم الطبيعي لـ e^x
اذاً يوجد طريقتان يمكننا استخدامهما
الطريقة الاولى انه يمكننا تبسيط هذا ويمكننا ان نقول ان هذا
يعادل المشتقة
يمكننا ان نضع هذا الـ x امام x ×
اللوغارتم الطبيعي لـ e
وما هو اللوغارتم الطبيعي لـ e؟

Polish: 
Skorzystaliśmy tylko z definicji e, ale to jest w porządku.
Mam na myśli, założyliśmy, że znamy definicję e, nawet mimo tego że
korzystamy z logarytmu naturalnego, wiemy że ma on podstawę e.
Nie zakładałem że znam wynik zaczynając.
Teraz, kiedy już mamy pochodną ln x i nie zakładaliśmy
znajomości pochodnej e do x, zobaczmy czy umiemy ją pokazać.
Więc pochodna - zróbmy tutaj trochę gimnastyki.
Właściwie, mógłbym to zrobić tylko na marginesie.
Policzmy pochodną tej funkcji.
ln z e do x.
Możemy to zrobić na dwa sposoby.
Pierwszy - uprościć to i powiedzieć,
że to to samo co taka pochodna.
Możemy wyciągnąć ten x do przodu, będzie x razy
logarytm naturalny z e.
A co to ln e?

Turkish: 
Sadece e'nin tanımını kullandım ve bu kabul edilebilir.
Yani e'nin tanımını herkesin bildiğini varsayıyorum, sadece doğal logaritmadan
konuşuyor olsak bilse tabanının e olduğunu kabul ediyoruz.
Bu ifadeyi hiç kullanmadım bile.
Bunu gösterdiğimize ve bu ifadeyi hiç kullanmadığımıza göre
bunu gösterebiliyor muyuz, bakalım.
Biraz alıştırma yapalım.
.
Aslında büyük ihtimalle sınırlar içinde kalabilirim.
Bu fonksiyonun türevini alalım.
d/dx(ln e^x)
.
İki yoldan çözüme ulaşabiliriz.
İk yol: Bunu sadeleştirebiliriz ve
bunun türevle tamamen aynı şey olduğunu söyleyebiliriz.
Bu x'i ön tarafa katsayı olarak alabiliriz.
d/dx x ln e
Peki ln e nedir?

Korean: 
그저 e의 정의만 사용했을 뿐이지요
e의 정의를 여러분들이
알고 계신다고 믿고
자연로그는 밑을 e로 하는 로그라는
것도 말로 알려드렸습니다
시작부터 가정이 들어간 곳은
한 군데도 없습니다
이제 가정을 한 번도
하지 않았으므로
이것을 증명할 수
있을지 살펴봅시다
여기에서 조금 더 연습해봅시다
 
공백에다가 설명하겠습니다
이 함수의 도함수를
구해봅시다
ln e^x 의 도함수 말입니다
 
이 문제를 해결하기 위한
방법이 두 가지 있습니다
첫 번째 방법은 이 식을
단순하게 정리하여
이 도함수의 동일한 식을 적어보면
x를 앞으로 빼낼 수 있고
결과는 x × ln e 가 됩니다
ln e 가 무엇이라고 했습니까?

Arabic: 
اللوغارتم الطبيعي لـ e نعرفه بالفعل وهو يساوي 1
اذاً هذا عبارة عن مشتقة x
ومشتقة x تساوي 1
وهذا مباشر جداً
مشتقة، لم نفترض هذا بأي طريقة لنبدأ به
فقط قمنا بتبسيط هذه العبارة هذا وهي
تعادل مشتقة x، لأن هذه
العبارة يتم حذفها
ومشتقة x هي 1
او يمكننا ان نفعل هذا بطريقة اخرى
يمكننا استخدام قاعدة السلسلة
يمكن ان نقول انه يمكن اعتبار هذا كمشتقة
هذا الاقتران الداخلي، او هذه العبارة الداخلية، اذاً
مشتقة العبارة الداخلية، لا
اعرف ما هي
انني لا افترض اي شيئ عنها
انني لا اعلم ما هي
لذا سوف اكتبها باللون الاصفر هنا
انها تساوي مشتقة
x(e^x)
لا اعرف ما هي
ليس لدي اي تلميح لأعرف ما هي، ولم اقم بافتراض
اي شيئ حولها
انني استخدم قاعدة السلسلة
اذا كانت مشتقة هذا الاقتران الداخلي فيما يتعلق بـ
x، وهو هنا، × مشتقة هذا

Polish: 
ln e = 1
Więc to po prostu pochodna z x.
A ta pochodna to 1.
To było całkiem proste.
Nie zakładaliśmy, że znamy tutaj odpowiedź.
Po prostu to uprościliśmy
do zwykłego x, ponieważ
ln e = 1
A pochodna x to 1.
Możemy to też zrobić inaczej.
Skorzystać ze wzorku na pochodną złożenia.
Możemy to widzieć jako pochodną
funkcji wewnętrznej, czyli
pochodną tego wyrażenie, której
nie znamy.
Nic o tym nie zakładamy.
Po prostu nie wiemy ile powinno wyjść.
Przepiszę to na żółto.
Więc to będzie pochodna względem
x z e do x.
Nie wiemy ile to jest.
Nie mamy nawet podejrzeń, nic
o tym nie zakładamy.
Po prostu korzystamy ze wzorku na pochodną złożenia.
Pochodna funkcji wewnętrznej względem
x, razy pochodna

Spanish: 
Ya conocemos el logaritmo natural de e, y es igual a 1.
Así que esto es únicamente la derivada de x.
Y la derivada de x es igual a 1.
Así que eso muy sencillo.
La derivada, de ninguna manera asumimos ésto.
Únicamente simplificamos la expresión , ésto es
lo mismo que la derivada de x, ya que estos
terminos se cancelan.
Y la derivada de x es simplemente 1.
O podríamos haberlo hecho de la otra manera.
Podríamos haber usado la regla de la cadena.
Podríamos haber dicho que ésto podría ser visto como la derivada de
esta función interna, de ésta expresión interna, así que
la derivada de la expresión interna, no se
lo que és.
No estoy asumiendo nada al respecto.
Simplemente no conozco que es.
Asi que lo escribiré en amarillo aquí.
Así que es igual a la derivada con respecto
a x de e elevado a x.
No conozco lo que es esto.
No tengo idea de lo que es, y no he asumido
nada al respecto.
Únicamente estoy usando la regla de la cadena.
Si la derivada de esta función interna con respecto a
x, que está justo aquí, multiplicado por la derivada de ésta

English: 
The natural log of e we
already know is equal to 1.
So this is just the
derivative of x.
And the derivative
of x is equal to 1.
So that's pretty
straightforward.
The derivative, in no way did
we assume this to begin with.
We just simplified this
expression to just this is the
same thing as the derivative
of x, because this
term cancels out.
And the derivative
of x is just 1.
Or we could do it
the other way.
We could do the chain rule.
We could say that this could be
viewed as the derivative of
this inner function, of this
inner expression, so the
derivative of the inner
expression, I don't
know what that is.
I'm not assuming
anything about it.
I just don't know what it is.
So I'll write it in
yellow right here.
So it's equal to the
derivative with respect
to x of e to the x.
I don't know what this is.
I have no clue what this
is, and I haven't assumed
anything about what it is.
I'm just using the chain rule.
If the derivative of this
inside function with respect to
x, which is this right here,
times the derivative of this

Chinese: 
求导时绝没用到它
只是化简这个式子
得到它等价于对x求导
因为这里抵消了
而x的导数为1
另一种求法是
用链式法则
可以把它看成
内部函数 或内部的式子
的导数
那么内部式子的导数
不知道是什么
并未做任何假定
它是未知的
用黄色表示
它=d/dx
e^x
它是未知的
没有条件求出它
这里并未对它做任何假定
只是用链式法则
内部的函数关于x的导数
即这部分
乘以外部函数关于
内部函数的导数
而lnx关于x的

Korean: 
ln e 가 1이라는 것은
이미 알고 있는 사실입니다
그래서 결과는 x의 도함수입니다
x의 도함수는 1임을
또 알고 있습니다
매우 간단합니다
처음부터 가정을 하지 않고
도함수를 구해보았습니다
식의 표현을 더 간단히 하여
로그 항이 소거되어 답이 x의
도함수임을 알아냈습니다
로그 항이 소거되어 답이 x의
도함수임을 알아냈습니다
그리고 x의 도함수는 1 입니다
다른 방법으로도 이 문제를
풀 수 있습니다
연쇄법칙을 사용하면 됩니다
이 식의 도함수를 구하는
것은 다른 관점에서 보면
한 함수 속에 다른
함수가 포함되어 있는
합성함수의 미분이라고
할 수 있습니다
합성함수의 미분이라고
할 수 있습니다
전 가정을 한 번도
하지 않았습니다
 
노란색으로 여기에 적어보겠습니다
e^x 의 x에 관한 도함수를
구해보겠습니다
e^x 의 x에 관한 도함수를
구해보겠습니다
 
 
 
연쇄법칙을 사용하겠습니다
x에 관한 속의 함수의 도함수와
속의 함수에 관한 겉의 함수의
도함수를 곱한 결과가

Bulgarian: 
Вече знаем, че натурален
логаритъм от "е" е 1.
Значи това е просто
производната на х.
Производната на х е равна на 1.
Това е много очевидно.
Производната... като по никакъв
начин не сме допускали това в началото.
Само опростихме този израз,
като това е просто
същото нещо като производната
на х, защото тези членове се съкратиха.
Производната на х е просто 1.
Можем да го направим
и по обратния начин.
Можем да приложим правилото за
производна на сложна функция 
(верижното правило).
Можем да кажем, че това може да
се разглежда като производната на
вътрешната функция, този вътрешен
израз – значи
производната на вътрешния
израз, като не знам коя е тя.
Нищо не допускаме за нея.
Изобщо не знаем коя е.
Ще го запиша тук в жълто.
Това е равно на производната 
на е^х спрямо х.
Не знаем коя е тя.
Нямаме никаква идея коя е
и не правим никакви допускания за нея.
Просто използваме
верижното правило.
Ако производната на 
вътрешната функция спрямо х,
която е ето тук,
по производната на тази

Turkish: 
ln e bildiğimiz üzere 1'e eşittir.
Bu sadece x'in türevi demek oluyor.
Ve x'in türevi 1'e eşittir. d/dx x = 1.
Bu oldukça bariz.
Turuncuyla çerçevelenmiş sarıyla yazılmış ifadeyi varsayım olarak kullanmadık.
Sadece bu ifadeyi sadeleştirerek
bunun x'in türevi olduğunu gösterdik
çünkü bu terim iptal oluyor.
Ve x'in türevi yalnızca 1'dir.
Ya da öbür yoldan yapabiliriz.
Zincir kuralını uygulayabiliriz.
Bunun içteki fonksiyonun
türevi olduğunu ve dolayısıyla
içteki fonksiyonun türevinin....
Bunun ne olduğunu bilmiyorum...
Bunun hakkında herhangi bir varsayımda bulunmuyorum.
Sadece ne olduğunu bilmiyorum.
O yüzden sarıyla buraya yazacağım.
d/dx(e^x)
.
Bunun ne olduğunu bilmiyorum.
Bunun ne olduğu hakkında en ufak bir fikrim yok.
Ve herhangi bir varsayımda bulunmadım dahi.
Sadece zincir kuralını kullanıyorum.
İçerideki fonksiyonun x'e olan bağlantısıyla türevinin
dışarıdaki fonksiyonun içerideki fonksiyona olan bağlantısıyla olan

Portuguese: 
O logaritmo natural de e, nós
já sabemos, é igual a um.
Então isso é apenas a derivada de x.
E a derivada de x é igual a um.
Isso é bastante direto.
A derivada, de forma alguma
eu assumi isso para começar.
Nós só simplificamos essa
expressão para apenas, isso é
a mesma coisa que a
derivada de x, pois esse
termo se cancela.
E a derivada de x é apenas um.
Ou podemos fazer
de outra forma.
Fazer pela regra da cadeia.
Podemos dizer que isso pode ser
visto como a derivada dessa
função interna, então a derivada
dessa expressão interna,
eu não sei qual ela é.
Eu não estou assumindo nada.
Só não sei qual ela é.
Então vou escrever em amarelo aqui.
Então é igual a derivada com relação
a x de e elevado a x.
Não sei o que é isso.
Não faço ideia do que seja, e não assumi
nada sobre isso.
Só estou usando a regra da cadeia.
Se a derivada dessa função
interna com relação a
x, que é esta bem aqui,
vezes a derivada dessa

Estonian: 
Me teame et see võrdub 1.
Seega see on lihtsalt x tuletis.
x tuletis on 1.
See peaks üsna selge olema.
Me ei eeldanud seda tuletist kohe kuidagi alguses.
Me lihtsalt lihtsustasie seda avaldist
öeldes et see on sama mis x tuletis kuna
see term tühistub.
Ja x tuletis on lihtsalt 1.
Või me võime teha seda teistpidi.
Me võime kasutada ketireeglit.
Me saame seda näha kui
sisemise funktsiooni tuletist sellest sisemisest avaldisest.
Sisemise avaldise tuletis -
ma ei tea mis see on.
Ma ei eelda midagi praegu.
Ma lihtsalt ei tea seda.
Ma kirjutan selle kollaselt siia.
See võrdub tuletis
e astmel x-ist.
Ma ei tea, mis see on.
Mul pole aimugi, mis see on ja ma ei ole midagi eeldanud
mis see olla võiks.
Ma kasutan lihtsalt ketireeglit.
Kui sisemise funktsiooni tuletis x suhtes,
mis on see siin, korda selle välimise funktsiooni tuletis

Thai: 
ลอกธรรมชาติของ e เรารู้อยู่แล้วว่าเท่ากับ 1
งั้นนี่คืออนุพันธ์ของ x
และอนุพันธ์ของ x เท่ากับ 1
และนั่นก็ตรงไปตรงมาทีเดียว
อนุพันธ์ เราไม่ได้สมมุติให้เป็นจริงแต่แรก
เราแค่จัดรูปพจน์นี้ เพื่อให้
มันเหมือนกับอนุพันธ์ของ x เพราะเทอม
นี้หักล้างกัน
และอนุพันธ์ของ x ก็แค่ 1
หรือเราอาจทำมันอีกวิธีนึง
เราทำมันด้วยกฏลูกโซ่ได้
เราอาจบอกว่า นี่อาจมองเป็นอนุพันธ์
ของฟังก์ชันใน หรือ พจน์ด้านใน งั้น
อนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านใน ผมไม่รู้
ว่ามันคืออะไร
ผมไม่ได้สมมุติว่ามันคืออะไรไว้ก่อน
ผมไม่รู้จริง ๆ ว่ามันคืออะไร
งั้นผมจะเขียนด้วยสีเหลืองตรงนี้
มันก็เท่ากับอนุพันธ์เทียบกับ x
ของ e กำลัง x
ผมไม่รู้มันคืออะไร
ผมไม่รู้เลยว่ามันคืออะไร ผมไม่ได้สมมุติ
ให้มันเป็นอะไร
ผมแค่ใช้กฏลูกโซ่
หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันอันในเทียบกับ
x ซึ่งก็คืออันนี้ตรงนี้ คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

Arabic: 
الاقتران الخارجي فيما يتعلق بالاقتران الداخلي
اذاً مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x فيما يتعلق بـ
x هي 1 / x
اذاً مشتقة اللوغارتم الطبيعي لأي شيئ
يتعلق بأي شيئ هي 1 / ذلك الشيئ
اذاً ستساوي --اذاً مشتقة
اللوغارتم الطبيعي لـ x فيما يتعلق بـ e^x تساوي 1
/ e^x
مرة اخرى، لم افترض هذا بأي طريقة هنا
كل شيئ قد فعلناه للتو، هو اننا لم نفترض ذلك
لكن بكل وضوح، ان مشتقاتي، بأي طريقة اقوم بحلها
--بالطريقة الاولى التي استخدمتها حصلت على 1--
الطريقة الاخرى، لم اقم باستخدامها
لقد حصلت على هذه العبارة هنا
يجب ان يكونا متساويتين
اذاً دعوني اكتب هذا
هذا يجب ان يساوي ذلك
انه مجرد ان ننظر اليها بطريقتين مختلفتين ونحصل على
نتيجتين مختلفتين
لكنني لا زلت لا اعلم ما هو هذا
لقد تركته مفتوحاً
كل ما قلته هو انه مهما كانت مشتقة
e^x
لكننا نعلم، بما ان هاتان العبارتان متساويتان، نعلم

Polish: 
funkcji zewnętrznej, względem funkcji wewnętrznej.
Więc pochodna z ln x względem
x to 1/x.
Analogicznie pochodna z ln z czegoś względem
tego czegoś to będzie 1 przez to coś.
Więc to będzie równe - pochodnej
z ln e do x względem e do x będzie równe
1 przez e do x
Jeszcze raz, nic nie zakładamy o wyniku.
Jak na razie zakładaliśmy tylko pochodną logarytmu.
Ale bez względu na metodę liczenia pochodnej,
powinno wyjść to samo - 1.
W drugi sposób to tak jakby nie rozwiązaliśmy tego.
Mamy po prostu jakieś wyrażenie.
Ale one muszę być sobie równe.
Więc zapiszmy to.
To musi być równe temu.
Po prostu spojrzeliśmy na to z dwóch równych stron
i dostaliśmy dwie odpowiedzi.
Ale ciągle nie wiemy ile tutaj powinno wyjść.
Zostawiliśmy to jako problem otwarty.
Powiedzieliśmy, że jakakolwiek ta pochodna z e do x
będzie, taka będzie.
Ale wiemy, jako że te dwa wyrażenia są równe,

Bulgarian: 
външна функция спрямо
вътрешната функция.
Значи производната на натурален 
логаритъм от х спрямо х е 1/х.
Значи производната на натурален
логаритъм от нещо
спрямо друго нещо
е 1 върху другото нещо.
Това ще бъде равно на...
производната на
натурален логаритъм от х спрямо
е^х е равна на 1/е^х.
Повтарям, по никакъв начин
не съм допускал това ето тук.
Във всичко, което правим дотук,
не сме допускали това.
Но очевидно, моите производни,
и при двете решения...
по единия начин получих 1.
По другия начин аз
още не съм го решил.
Получих този израз ето тук.
Те трябва да са равни.
Ще го напиша.
Това трябва да е равно на това.
Просто го разгледахме по два
различни начина
и получихме два 
различни резултата.
Но аз още не знам
какво е това нещо тук.
Оставих го отворено един вид.
Просто казвам: каквато и да е
производната на е^х.
Но знаем, понеже тези
два израза са равни, знаем,

Spanish: 
función externa con respecto a la función interna.
Asi que la derivada del logaritmo natural de x con respecto
a x es 1 sobre x.
Así que la derivada del logaritmo natural de algo con
a algo es igual a 1 sobre ese algo.
Así que será igual a -- de modo que la derivada
del logaritmo natural de x con respecto a e elevado a x, es igual a 1
sobre e elevado a la x.
Una vez más, en ningun momento asumí esto de aquí.
Hasta el momento en todo lo que hemos hecho, no hemos asumido eso.
Pero claramente, mis derivadas, sin importar la manera en que las resuelva -- usando una manera
para resolverla obtuve un 1.
De la otra manera, de algun modo no la resolví.
Obtuve ésta expresión de aquí.
Deben ser iguales entre sí.
Así que permitanme escribir ésto.
Ésto debe ser igual a lo de alla.
Simplemente visualizamos ésto de dos maneras distintas y
obtuvimos dos resultados diferentes.
Pero aún no conozco lo que ésto de aquí es.
Simplemente lo dejé abierto de algun modo.
Únicamente dije, cualquiera que sea la derivada de e
elevado a la x.
Pero sabemos que, debido a que estas dos expresiones son iguales, sabemos

Korean: 
연쇄법칙의 결과입니다
x에 관한 ln x의 도함수는
1/x 입니다
즉 ln (어떤 수) 의 도함수는
1/(어떤 수) 라는 것입니다
이제 정리해보면
ln e^x 의 도함수는
1/e^x 입니다
다시 한 번 말씀드리만 지금까지
저는 가정없이 계산하고 있습니다
지금까지 해온 것들에 대해서
가정한 것은 하나도 없습니다
하지만 제가 풀었던
방법 중 첫 번째는
결과가 1이 나왔습니다
하지만 두 번째 방법으로는
답이 나오기 어려울 것 같습니다
이 식을 보십시오
이 두 식은 동일해야 합니다
적어보겠습니다
첫 번째 결과는 두 번째
결과와 같아야 합니다
두 가지의 다른 방법으로
문제를 풀어서
다른 두 결과를 얻었습니다
하지만 아직 e^x의 도함수가
무엇인지 잘 모르겠습니다
그냥 열린 상태로 두겠습니다
e^x 의 도함수가 무엇인지
모른 채로 그냥 둘 것입니다
주황색 선으로 감싸진 두 식이
같다는 것을 알기 때문에

Chinese: 
导数为1/x
所以ln任意值
关于这个值的导数=1/这个值
所以它=
ln(e^x)关于e^x的导数
=1/(e^x)
再说一遍 这里绝没用它
到现在所做的一切 都没用它
但显然 这是这个导数的两种求法
一种解出1
另一种没解出来
得出这个式子
两者一定彼此相等
写下来 一定是它=它
只是用两种方法分析
得到两个不同结果
但仍然不知道这是什么
只是这么放着
e^x的导数是什么
无所谓
但因为这两个式子相等
所以e^x关于x的导数
不管e^x关于x的导数
会是什么

Thai: 
อันนอกนี้ เทียบกับฟังก์ชันอันใน
เรารู้อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x เทียบกับ
x คือ 1 ส่วน x
ดังนั้นอนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของอะไรก็ตาม เทียบ
กับสิ่งนั้น ก็คือ 1 ส่วน สิ่งนั้น
นี่ก็จะเท่ากับ -- งั้นอนุพันธ์ของ
ลอกธรรมชาติของ e กำลัง x เทียบกับ e กำลัง x เท่ากบ 1
ส่วน e กำลัง x
ย้ำอีกครั้ง ผมไม่ได้สมมุติอะไรตรงนี้เลย
ถึงตอนนี้ที่เราทำมา เราไม่ได้สมมุติอันนั้น
แต่แน่นอน อนุพันธ์ของผม อีกทางที่ผมหามา --
ทางนึงผมแก้ได้ 1
อีกทางนึง ผมยังไม่ได้แก้มัน
ผมได้พจน์นี้ตรงนี้
มันต้องเท่ากัน
ขอผมเขียนมันลงไป
นี่ต้องเท่ากับนั่น
มันก็แค่เรามองมันสองทาง และได้
ผลสองอันต่างกัน
แต่ผมยังไม่รู้ว่าสิ่งนี้คืออะไร
ผมปล่อยมันไว้
ผมแค่บอกว่า ไม่ว่า อนุพันธ์ของ e กำลัง
x ก็ตาม
เรารู้ว่า เพราะสองพจน์นี้เท่ากัน เรารู้ว่า

Estonian: 
sisemise funktsiooni suhtes.
Niisiis ln x tuletis
x suhtes on 1 jagatud x.
Seega ln tuletis kõige suhtes
on 1 jagatud "kõik".
See võrdub -- ln x tuletis
e astmel x suhtes võrdub 1
jagatud e astmel x.
Veelkord, ma ei eeldanud kohe kuidagi seda paremat poolt siin.
Nii palju kui me praegu teinud oleme, me ei eeldanud seda.
Aga ilmselgelt, mu tuletised, ükskõik kumba pidi ma neid ka ei lahendaks --
üks viis kuidas ma lahendasin sain vastuseks 1.
Teistpidi ma põhimõtteliselt ei lahendanud seda.
Ma sain selle avaldise siin.
Need peavad olema võrdsed üksteisega.
Las ma kirjutan selle üles.
See peab võrduma sellega.
Me vaatasime neid lihtsalt kahte erinevat moodi ja saime
kaks erinevat tulemust.
Aga ma siiski ei tea mis see siin on.
Ma jätsin selle lihtsalt poolikuks.
Ma ütlesin lihtsalt et mis iganes e astmel x tuletis
ka ei oleks.
Aga me teame. Kuna need kaks avaldist on võrdsed, siis me teame

English: 
outside function with respect
to the inside function.
So the derivative of natural
log of x with respect
to x is 1 over x.
So the derivative of natural
log of anything with
respect to anything is
1 over that anything.
So it's going to be equal to --
so the derivative of natural
log of x with respect to e to
the x is equal to 1
over e to the x.
Once again, I in no way
assumed this right here.
So far in anything we've done,
we haven't assumed that.
But clearly, my derivatives,
either way I solve it -- one
way I solve it I got 1.
The other way, I kind
of didn't solve it.
I got this expression
right here.
They must be equal
to each other.
So let me write that down.
This must be equal to that.
It's just we just looked at it
two different ways and got
two different results.
But I still don't know
what this thing is.
I just left it kind of open.
I just said whatever
the derivative of e to
the x happens to be.
But we know, since these two
expressions are equal, we know

Portuguese: 
função de fora com
relação a função interna.
Então a derivada do logaritmo
natural de x com relação
a x é um sobre x.
E a derivada do logaritmo
natural de qualquer coisa
com relação a qualquer coisa
é um sobre qualquer coisa.
Então vai ser igual a-- a
derivada do logaritmo
natural de x com relação a e
elevado a x é igual
a um sobre e elevado a x.
Mais uma vez, não estou de forma alguma
assumindo a derivada de e elevado a x.
Em nada que fizemos nós assumimos aquilo.
Mas é claro, minhas derivadas, dos
dois modos que eu resolvi--
da primeira forma deu um.
Da segunda forma, eu não
resolvi por completo.
Obtive essa expressão bem aqui.
Elas devem ser iguais entre si.
Deixe-me escrever isso.
Isso tem que ser igual a aquilo.
Só olhamos de formas diferentes e
obtivemos resultados diferentes.
Mas eu ainda não sei o que é isso.
Eu só deixei um pouco aberto.
Só disse qualquer que seja
a derivada de e elevado a x.
Mas nós sabemos que como essas duas
expressões são iguais, sabemos

Turkish: 
türevinin çarpımıdır.
Yani ln x'in x'e olan bağlantısıyla alınan türevi 1/x'tir.
.
Yani genelleme yaparsak
doğal logaritmanın herhangi bir şeye bağlantısıyla türevini alırsak sonuç (1/ o sayıdır).
Yani sonuç
d/dx(e^x).(1/e^x) olacaktır.
.
Bir daha söylüyorum hiç bir şekilde bunu varsaymadım.
Şu ana kadar yaptığımız hiç bir işlemde o varsayımda bulunmadık.
Ama açıkça türevlerim herhangi yoldan çözsem de---
bir yoldan çözdüm ve 1 sonucunu elde ettim.
Diğer yolu aslında tam olarak bitirmedim.
Elime bu ifade geçti.
Bu ikisi birbirine eşit olmalı.
O zaman şöyle yazayım.
Bu ona eşit olmalı.
İki farklı yoldan gittik ve
iki farklı sonuç elde ettik.
Ama hala bunun ne olduğunu bilmiyorum.
Açıkta kaldı sanki.
Sadece e^x'in türevi
neyse odur dedim.
Ama iki ifade eşit olduğundan biliyoruz ki

Portuguese: 
que a derivada com relação
a x de e elevado
a x-- qualquer que seja o resultado
da derivada de
e elevado a x, nós sabemos que
quando a multiplicarmos
por um sobre e elevado a x--
isso é quando fizemos a
regra da cadeia-- deveríamos obter
o mesmo resultado
que quando resolvemos do outro modo.
Aquilo deveria ser igual a essa
abordagem, pois são duas
formas diferentes de olhar
para a derivada
do logaritmo natural de e elevado a x.
Então aquilo deve ser igual a um.
Estamos quase lá.
Nós podemos simplificar isso
e resolver para a
nossa derivada de e elevado a x.
Multiplicando os dois lados da equação
por e elevado a x, e você
tem que, a derivada com relação
a x de e elevado a x é
igual a e elevado a x.
E eu quero esclarecer isso.
Que em nenhum momento dessa prova
inteira, em nenhum ponto
eu assumi isso.
Na verdade, essa é a primeira
vez que estou
fazendo essa afirmação.
Eu não tive que assumir isso
quando eu mostrei que

Thai: 
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง
x ไม่ว่าคืออะไร -- คือ ไม่ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ
e กำลัง x จะเป็นยังไง เรารู้ว่าเมื่อเราคูณมัน
ด้วย 1 ส่วน e กำลัง x -- นั่นคือที่เราทำไป
ด้วยกฏลูกโซ่ -- เราควรจะได้ผลเหมือนกัน
เมื่อเราแก้ปัญหาอีกทางนึง
นั่นควรจะเท่ากับวิธีนี้เพราะมัน
คือการมองต่างมุมของอนุพันธ์ของ
ลอกธรรมชาติของ e กำลัง x
และนั่นควรเท่ากับ 1
เราใกล้เสร็จแล้ว
เราสามารถจัดรูปอันนี้และแก้หา
อนุพันธ์ของ e กำลัง x
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย e กำลัง x แล้ว
คุณก็ได้อนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง x เท่ากับ
e กำลัง x
ผมอยากพูดให้ชัด
ไม่มีจุดไหนในบทพิสูจน์นี้ ไม่มีจุดไหน
ที่ผมสมมุติสิ่งนี้ขึ้น
ที่จริง นี่เป็นครั้งแรกที่ผม
พูดประโยคนี้
ผมไม่ต้องสมมุติมันขึ้นมาก่อน ตอนที่ผมแสดงให้คุณเห็น

Turkish: 
d/dx(e^x).1/(e^x) = 1
.
.
Ki bu sonuca zincir kuralını kullanmamızdan ulaşabiliyoruz.
O zaman iki çözüm yolunda da aynı sonuca ulaşmalıyız.
.
Aynı olmalılar
çünkü ikisi de
d/dx ln ( e^x)'i çözmeye çalışıyor.
Yani 1'e eşit oluyor.
Neredeyse bitirdik sayılır.
Bunu sadeleştirip
d/dx (e^x)'in gizemini çözebiliriz.
Eşitliğin iki tarafını da e^x'le çarpın ve
elinize d/dx (e^x) = e^x
geçecektir.
Açıklığa kavuşturmak istiyoruz.
Tekrardan açıklığa kavuşturmak istiyorum,
video boyunca hiç bir yerde bu ifadeyi varsaymadım.
Hatta, bu ifadeyi ilk defa
beyan ediyorum.
Varsayımı d/dx ln x = 1/x'i kanıtlarken

Chinese: 
将它乘以1/(e^x)时
这是链式法则
它应该跟
用另一种方法求出的结果相等
它应跟这种方法相等
因为都是对ln(e^x)求导
只是方法不同
所以它应=1
快证明出来了
只需对它化简
解出神秘的e^x的导数
等式两边同乘以e^x
得到d/dx e^x
=e^x
我想阐明一点
这整个证明中都没有
都没有用它
实际上 这是第一次
出现这个陈述
不必用它来证明
lnx的导数为1/x
也不必用这个式子得出它

English: 
that the derivative with
respect to x of whatever e to
the x -- so whatever the
derivative with respect to x of
e to the x happens to be, we
know that when we multiply that
times 1 over e to the x --
that's when we just did the
chain rule -- that we should
get the same result as when we
approached the problem
the other way.
That should be equal to this
approach because they're both
different ways of looking
at the derivative of the
natural log of e to the x.
So that should be equal to 1.
Well, we're almost there.
We could just simplify this
and solve for our mystery
derivative of e to the x.
Multiply both sides of this
equation by e to the x, and you
get the derivative with respect
to x of e to the x is
equal to e to the x.
And I want to clarify this.
At no point in this entire
proof, at no point
did I assume this.
In fact, this is the
first time that I'm even
making the statement.
I didn't have to assume this
when I showed you that the

Arabic: 
ان مشتقة x مهما كانت قيمة
e^x --اذاً مهما كانت مشتقة x لـ
e^x، فإننا نعرف انه عندما نضرب ذلك
بـ 1 / e^x --ذلك عندما استخدمنا
قاعدة السلسلة-- انه يجب علينا ان نحصل على نفس النتيجة كلما
اقتربنا من المسألة بالاتجاه الآخر
ذلك يجب ان يساوي هذا الاقتراب لأن كلاهما
طرق مختلفة للنظر الى مشتقة
اللوغارتم الطبيعي لـ e^x
اذاً ذلك يجب ان يساوي 1
حسناً، اننا هنا تقريباً
يمكننا ان نبسط هذا ونجد
مشتقة e^x المجهولة
نذرب طرفي هذه المعادلة بـ e^x، و
نحصل على ان مشتقة x لـ e^x
تساوي e^x
واريد توضيح هذا
ولا على اي نقطة من هذا الاثبات كله، ولا على اي نقطة
قمت بافتراض هذا
في الحقيقة، ان هذه هي المرة الاولى التي
اضع هذه العبارة
لم يكن علي افتراض هذا عندما وضحت لكم ان

Estonian: 
et e astmel x tuletis
-- mis iganes see tuletis ka ei ole,
me teame et kui me seda korrutame
1 jagatd e astme x -- see on kui me just
kasutasime ketireeglit -- siis me peaks saama sama tulemuse kui
me lähenesime probleemile teistpidi.
See peaks võrduma selle lähenemisega kuna nad mõlemad on
erinevad viisid vaatamaks
ln e astmel x tuletist.
See peaks võrduma 1.
Me oleme kohe seal.
Me võime seda lihtsustada ja lahendada müsteeriumi,
e astmel x tuletise.
Korrutame mõlemad pooled e astmel x-ga ja
me saame e astmel x tuletise
võrdseks e astmel x.
Ja ma tahan seda selgitada.
Mitte ühelgi hetkel terve selle tõestuse peale, mitte ühelgi
hetkel ma ei eeldanud seda.
Kusjuures see on esimene kord kui ma
ütlen seda.
Ma ei pidanud seda eeldama kui ma näitasin teile

Spanish: 
que la derivada con respecto a x de cualquiera que sea e
elevado a la x -- así que cualquiera que sea la derivada con respecto a x de
e elevado a la x, sabemos que cuando multiplicamos eso
por 1 sobre e elevado a la x -- ahí es cuando usamos la
regla de la cadena -- deberíamos obtener el mismo resultado que cuando
afrontamos el problema del otro modo.
Eso debe ser igual al otro procedimiento dado que ambos son
maneras diferentes de ver la derivada del
logaritmo natural de e elevado a la x.
Así que eso debe ser igual a 1.
Bueno, ya casi terminamos.
Podríamos simplificar esto y resolver para encontrar la misteriosa
derivada de e elevada a la x.
Multipliquen ambos lados de la ecuación por e elevado a la x, y ustedes
obtendrán que la derivada con respecto a x de e elevada a la x es
igual a e elevada a la x.
Y quiero clarificar ésto.
En ningún punto de la prueba, en ningún punto
asumí esto de aquí.
De hecho, ésta es la primera vez que
estoy haciendo ésta afirmación.
No tuve que asumir ésto cuando les mostré que

Korean: 
e^x의 x에 관한 도함수를
구해보겠습니다
 
 
연쇄법칙에 의해 구한
식과 1이 같기 때문에
다른 방법으로 도출된 두 결과가
서로 같음을 알고 있습니다
두 식은 다르게 보여도
ln e^x 의 도함수라는 것은
같기 때문에
두 식은 동일하다고
할 수 있습니다
그러므로 주황색 네모
속의 식은 1입니다
거의 다 했습니다
이 식을 간단히
정리하여
e^x의 도함수가 무엇인지
알아낼 수 있습니다
양변에 e^x 를 곱하면
e^x 의 x에 관한 도함수는
e^x라는 것을 알 수 있습니다
한 가지를 명확하게
하고 싶습니다
지금까지 증명의
어느 부분에서도
저는 가정을
한 적이 없습니다
사실 제가 이런 말을
하게 되는 상황은
처음입니다
ln x 의 도함수가 1/x 라는
것을 증명할 때에는

Bulgarian: 
че производната спрямо х
на е^х...
каквато и да е производната
спрямо х на е^х,
знаем, че като умножим това
по 1/е^х... тук прилагаме 
верижното правило –
трябва да получим същия 
резултат, както когато
решихме задачата по
другия начин.
Това трябва да е равно на това,
защото това са
два различни начина да
разглеждаме производната
на натурален логаритъм
от е^х.
Това трябва да е равно на 1.
Почти сме готови.
Можем само да опростим това
и да намерим нашата мистериозна
производна на е^х.
Умножаваме двете страни на 
равенството по е^х,
получаваме, че производната
спрямо х на е^х
е равна на е^х.
Искам да поясня това.
В никакъв момент
от цялото доказателство
ние не сме допускали това.
Това всъщност е първият момент,
в който се появява това твърдение.
Не е необходимо да допускам това,
когато доказвах, че

Polish: 
że pochodna z e do x względem x,
to jaka ona nie będzie, to
wiemy, że gdy ją wymnożymy przez
1/ e do x - a to efekt wzorku na pochodną złożenia -
to powinniśmy dostać wynik taki sam
jak poprzednim sposobem.
Powinno to być równe 1, ponieważ
to po prostu różne sposoby na
patrzenie na logarytm naturalny.
Więc to będzie 1.
Już prawie skończyliśmy.
Możemy to uprościć i rozwiązać naszą zagadkę,
jaka jest pochodna e do x.
Wymnóżmy obydwie strony przez e do x,
to dostaniemy, że pochodna e do x
równa się e do x.
I chcę żeby to było jasne.
W żadnym punkcie dowodu nie zakładałem,
że znam odpowiedź.
Może to być nawet miejsce, gdzie pierwszy
widzę tę odpowiedź.
Nie musiałem tego zakładać gdy pokazywałem Ci,

Turkish: 
dahi yapmam gerekmedi.
Ve bu sonuca ulaşmak içinde kullanmam gerekmedi.
Yani hiç bir şekilde bu kanıt dairesel değil.
Alıngan görünmek istemiyorum
ama her şeyi açıklığa kavuşturmak istiyorum.
Çünkü hiç bir şekilde kanıtımın
dairesel olduğunu düşünenleri suçlamak istemiyorum.
Benim hatam çünkü yeterince açık olamadım.
O yüzden umarım ki
her şey netlik kazanmıştır.
.

Chinese: 
所以这个证明绝不是循环的
不管怎样 我不是想表示抗议
但要把它澄清
因为我绝不是要责备
那些人说我的最初证明是循环的
这是我的错 因为讲解的不够适当
但愿本集在这一点上
讲的更为清楚

Polish: 
że pochodna z ln x to 1/x.
I nic nie musiałem zakładać, żeby tego dowieść.
Ten dowód już na pewno nie jest nieścisły.
Nie bronię się tutaj, chcę po prostu
żeby wszystko było teraz jasne.
Ponieważ nie chcę w żaden sposób obwiniać tych, którzy uważają
że mój dowód sprzed kilku lat był nieścisły.
To moja wina, ponieważ dobrze tego nie wyjaśniłem.
Mam nadzieję, że tym razem
wszystko jest jasne i zrozumiałe.

Portuguese: 
a derivada do logaritmo
natural de x é um sobre x.
E eu não tive que assumir isso
para chegar a isso.
Então de forma alguma
essa prova é circular.
De qualquer forma, eu não queria
parecer na defensiva, mas
eu queria esclarecer isso.
Porque eu não quero culpar aqueles
que pensam que
minha prova original era circular.
É minha culpa, pois eu não
expliquei corretamente.
Então espero que isso forneça mais
clareza a este problema.
[Traduzido por: Victória]
[Revisado por: Evelin Farias]

English: 
derivative of the natural
log of x is 1 over x.
And I didn't have to assume
this to kind of get to it.
So in no way is this
proof circular.
So anyway, I didn't want to
appear defensive, but I
wanted to clarify this up.
Because I don't want to in any
way blame those who think that
my original proof was circular.
It's my fault because I
didn't explain it properly.
So hopefully this should
provide a little bit of
clarity on the issue.

Arabic: 
مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x هو 1 / x
ولم يكن علي ان افترض هذا كي احصل عليه
اذاً ولا بأي طريقة يعتبر هذا الاثبات دائرياً
على اي حال اذاً، لا اريد ان اكون دفاعياً، لكنني
اردت ان اوضح هذا
لأنني لا اريد ان الوم هؤلاء الذين يعتقدون ان
اثباتي الاصلي كان دائرياً
كانت غلطتي لأنني لم اوضحه بشكل مناسب
اذاً اتمنى ان هذا العرض قد قدم
توضيحاً للقضية
.

Estonian: 
et ln x tuletis on 1 jagatud x.
Ja ma ei pidanud seda eeldama et saada seda.
Seega ei ole see ka tõestus ringi kujuga.
Ma ei tahtnud näida kaitsvana, aga
ma tahtsin seda selgitada.
Kuna ma ei taha süüdistada neid
kes arvasid et mu algne tõestus oli ringi kujuga.
See on minu viga kuna ma ei selgitanud seda piisavalt.
Loodetavasti see selgitab vähemalt
natukenegi probleemi.

Bulgarian: 
производната на натурален
логаритъм от х е 1/х.
Не трябва да допускам това,
за да го докажа.
Така че това по никакъв
начин не е кръгово доказателство.
Както и да е, не искам
да се оправдавам, но
исках да поясня това.
Не искам по никакъв начин
да обвинявам тези, които смятат,
че първоначалното доказателство
е било кръгово.
Това е моя вина, защото
не съм обяснил добре.
Надявам се, че това ще даде 
повече яснота по въпроса.

Korean: 
가정을 할 필요가
없었습니다
또한 주황색 네모 속의 식을
얻기 위해 가정하지도 않았습니다
이로 인해 이 증명은
순환적이지 않습니다
방어적인 태도를 보이고
싶지는 않지만
명확하게 하고는 싶습니다
저는 제 초기의 증명이
순환적이라고 말하는
사람들을 누구라도
비난하지 않고 싶습니다
설명을 적절히 하지
못한 제 잘못입니다
이 증명이 문제에 대해
조금이라도 명확성을
주면 좋겠습니다
 

Thai: 
ว่าอนุพันธืของลอกธรรมชาติของ x คือ 1 ส่วน x
และผมไม่ต้องสมมุติสิ่งนี้เพื่อให้ได้มันมา
ดังนั้นไม่มีทางที่บทพิสูจน์นี้จะวนตัวเอง
เอาล่ะ ผมไม่อยากปกป้องตัวเอง แต่ผม
อยากทำให้ทุกอย่างกระจ่าง
เพราะผมอยากให้ใครว่าคนที่คิดว่า
บทพิสูจน์เดิมของผมนั้นวนตัวเอง
ผมผิดเองที่ไม่ได้อธิบายให้ชัด
งั้นหวังว่านี่คงช่วย
ให้เรื่องนี้กระจ่างขึ้น
-

Spanish: 
la derivada del logaritmo natural de x es 1 sobre x.
y no tuve que asumir ésto para obtenerlo de alguna manera.
De modo que ésto no es, en ningún modo, una prueba circular.
Así que, no quize mostrarme a la defensiva, pero
quería clarificar ésto.
Porque no quiero culpar de ninguna manera a aquellos que piensan que
mi prueba original fue circular.
Fue mi culpa por no haberla explicado correctamente.
Espero que esto haya dado un poco de
claridad al respecto.
