
Bulgarian: 
Ще напиша едно 
диференциално уравнение:
производната на у спрямо х
е равна на 4у върху х.
В това видео 
ще покажа, че решението
на едно диференциално уравнение
не е стойност или набор от стойности.
То е функция или
набор от функции.
Но преди реално да опитаме
да го решим,
или да намерим всички решения,
нека да проверим дали
определени равенства или функции
са решения на това 
диференциално уравнение.
Например, ако имам
у = 4х,
дали това е решение на това
диференциално уравнение?
Постави видеото на пауза
и опитай самостоятелно.
За да проверим дали това
е решение,
трябва да намерим 
производната на у
по отношение на х
и да видим дали наистина
е равна на 4у/х.
Ще се опитам да изразя
всичко чрез х,
за да видя дали наистина
имаме равенство.
Първо да намерим 
производната на у спрямо х.

Korean: 
미분방정식을
작성해 봅시다
dy/dx = 4y/x 입니다
dy/dx = 4y/x 입니다
이번 시간에는
미분방정식의 해가
값이나 값의 집합이 아닌
함수나 함수의 집합인
경우를 살펴볼 것입니다
하지만 문제를 풀기 전에
하지만 문제를 풀기 전에
특정 방정식이
특정 함수가
이 미분방정식의
해가 되는지 확인해 봅시다
예를 들어
y = 4x가 있다면
이 미분방정식의
해인가요?
강의를 멈추고
풀어보세요
이것이 해인지
확인하기 위해서는
dy/dx = 4y/x 를
풀어야 합니다
dy/dx = 4y/x 를
풀어야 합니다
dy/dx = 4y/x 를
풀어야 합니다
모든 것을
x에 대하여 나타내어
이 식이 나오는지
확인해 보겠습니다
dy/dx를 풀어봅시다
dy/dx를 풀어봅시다

English: 
- [Instructor] So let's write
down a differential equation,
the derivative of y with respect to x
is equal to four y over x.
And what we'll see in
this video is the solution
to a differential equation isn't a value
or a set of values.
It's a function or a set of functions.
But before we go about
actually trying to solve this
or figure out all of the solutions,
let's test whether certain equations,
certain functions,
are solutions to this
differential equation.
So for example,
if I have y is equal to four x,
is this a solution to this
differential equation?
Pause the video and see
if you can figure it out.
Well to see if this is a solution,
what we have to do is figure
out the derivative of y
with respect to x and
see is that truly equal
to four times y over x.
And I'm gonna try to express
everything in terms of x
to see if I really have an equality there.
So first let's figure
out the derivative of y
with respect to x.

English: 
Well that's just going
to be equal to four.
We've seen that many times before.
And so what we need to test is,
is four, the derivative
of y with respect to x,
equal to four times, I could write y,
but instead of y let's write four x.
I'm gonna put everything in terms of x.
So y is equal to four x,
so instead of four y I could
write four times four x,
all of that over x.
Is this true?
Well that x cancels with
that and I'm gonna get
four is equal to 16,
which it clearly is not.
And so this is not a solution.
Not a solution
to our differential equation.
Let's look at another equation.
What about y is equal to
x to the fourth power?
Pause this video and see
if this is a solution
to our original differential equation.
Well we're going to do the same thing.
What's the derivative
of y with respect to x?
This is equal to, just
using the power rule,
four x to the third power.

Korean: 
4가 되네요
여러 번 본 내용이죠
확인해보고 싶은 것은
dy/dx
4y 대신 4(4x)로 하겠습니다
4y 대신 4(4x)로 하겠습니다
모든 것에
x에 대한 식을 넣을 것입니다
y = 4x 이므로
4y 대신 4(4x)로
할 수 있습니다
분모는 x입니다
맞나요?
x는 상쇄되고
4 = 16 이 나오는데
완전히 틀립니다
따라서 이 식은
해가 아닙니다
따라서 이 식은
해가 아닙니다
따라서 이 식은
해가 아닙니다
다른 방정식을 살펴보죠
y = x⁴은 어떤가요?
강의를 멈추고
기존 미분방정식의
해가 되는지 확인해 보세요
같은 방식으로 합니다
dy/dx는 무엇일까요?
지수법칙을 이용하면
4x³이 됩니다

Bulgarian: 
Това ще бъде равно на четири.
Правили сме го много 
пъти досега.
За да направим проверка, трябва
четири, производната на у
спрямо х
да е равно на 4 по у,
но нека да заместим у с 4х.
Ще изразя всичко чрез х.
Значи е равно на 4х...
вместо 4у записвам
четири пъти по 4х,
цялото върху х.
Вярно ли е това?
Това х се съкращава с това
и получавам:
4 е равно на 16, което
очевидно не е вярно.
Значи това не е решение.
Не е решение на
нашето диференциално уравнение.
Сега да видим друго
уравнение.
Например у = х^4.
Постави на пауза и опитай
да провериш дали това е решение
на нашето първоначално
диференциално уравнение.
Ще направим същото нещо.
Коя е производната
на у спрямо х?
Това е равно на – използваме 
правилото за производна на степен –
равно е на 4х на трета степен.

English: 
And so what we have to test is,
is four x to the third power,
that's the derivative
of y with respect to x,
equal to four times y,
instead of writing a y I'm gonna
write it all in terms of x,
so is that equal to four
times x to the fourth,
because x to the fourth
is the same thing as y,
divided by x?
And so let's see, x to
the fourth divided by x,
that is going to be x to the third.
And so you will indeed
get four x to the third
is equal to four x to the third.
So check, this is a solution.
So is a solution.
It's not necessarily the only solution,
but it is a solution to
that differential equation.
Let's look at another
differential equation.
Let's say that I had,
and I'm gonna write it
with different notation,
f prime of x is equal to
f of x minus x.
And the first function that I wanna test,
let's say I have f of x is equal to two x.

Bulgarian: 
За да проверим това,
дали това 4х^3,
това е производната на у
спрямо х,
е равно на 4у,
навсякъде изразявам у
чрез х,
значи е равно на 4х^4,
защото х^4 е равно на у,
делено на х?
Да видим, х^4 делено на х,
това става равно на х^3.
Значи получаваме 4х^3
е равно на 4х^3.
Значи това е решение.
Това е решение.
Не е задължително
да е единственото решение,
но е решение на диференциалното
уравнение.
Да видим друго
диференциално уравнение.
Да кажем, че имаме...
Ще го запиша по различен начин:
f'(х) = f(х) – х.
Първата функция, която
искам да проверя –
да кажем, че имам f(х) = 2х.

Korean: 
확인해볼 것은
dy/dx인 4x³이
dy/dx인 4x³이
4y
y 대신 x에 대하여
나타내면
4·x⁴이 되죠
x⁴ = y 이기 때문이죠
x로 나눈 식과
같은지 입니다
x⁴/x = x³ 입니다
x⁴/x = x³ 입니다
따라서 4x³ = 4x³ 이 나옵니다
따라서 4x³ = 4x³ 이 나옵니다
따라서 이 식이
해입니다
따라서 이 식이
해입니다
유일한 해라고
할 수는 없지만
이 미분방정식의
하나의 해입니다
다른 미분방정식을
보겠습니다
다른 방식으로 적겠습니다
다른 방식으로 적겠습니다
f'(x) = f(x) - x
f'(x) = f(x) - x
먼저 확인할 함수는
f(x) = 2x 입니다

English: 
Is this a solution to this
differential equation?
Pause the video again and
see if you can figure it out.
Well to figure that out,
you have to say well what is f prime of x?
f prime of x is just
going to be equal to two.
And then test the equality.
Is two, is f prime of x, equal to f of x,
which is two x, minus x,
minus x?
And so let's see we are going
to get two is equal to x.
So you might be tempted to say oh hey
I just solved for x or
something like that.
But this would tell you
that this is not a solution
because this needs to be true for any x
that is in the domain of this function.
And so this is, I'll just put an x there,
or I'll put a incorrect there to say not,
not a, not a solution.
Just to be clear again,

Korean: 
이는 미분방정식의
해가 되나요?
강의를 멈추고
스스로 풀어보세요
풀어보자면
f'(x)는 무엇이죠?
f'(x) = 2 입니다
등식을 확인해봅니다
f'(x) = 2 이고
f(x) = 2x
2x - x
따라서 2 = x 가 됩니다
누군가는 이렇게 이야기하겠죠
'x에 대하여 풀었습니다'
하지만 이것은
해가 아니라는 것을 말해줍니다
이는 함수의 정의역 상의
어떤 x에 대해서도
성립해야 하기 때문입니다
틀렸다는 것을 표시하는
X를 적습니다
이는 해가 아닙니다
다시 명확히 하자면

Bulgarian: 
Това решение ли е на това
диференциално уравнение?
Спри видеото отново и
провери самостоятелно.
За да се установи това,
трябва да намерим
колко е f'(х).
f'(х) просто е равно на 2.
И сега проверяваме
има ли равенство.
Дали 2 е равно на f'(х), 
когато f'(х) е равно на f(х) - х при f'(х) = 2х, ,
когато f'(х) е равно на 2х – х.
Да видим, ще получим,
че 2 е равно на х.
Тук може да се изкушиш да кажеш, че
сме намерили х или нещо такова.
Но това не е решение,
защото трябва да е вярно
за всяко х,
което е в дефиниционното
множество на тази функция.
Затова просто ще сложа тук 
един кръст,
или ще напиша неправилно,
това не е решение.
Искам да поясня отново,

Bulgarian: 
за да бъде една функция решение 
на диференциалното уравнение,
това трябва да е вярно
за всяко х,
което заместваме във функцията.
Да видим друго уравнение.
Нека да е f(х) = х + 1.
Спри видеото и провери дали
това е решение
на това диференциално уравнение.
Същият метод.
f'(х) ще бъде равно на 1.
И трябва да проверим
дали f'(х) = 1,
е равно на f'(х), когато
f'(х) = f(x) - x,
при f(x) = х + 1,
т.е. когато f'(х) = х + 1 – х.
Тук, независимо каква
е стойността на х,
това равенство е изпълнено.
Значи това е решение.
Това е решение.
Хайде да видим 
още няколко примера.
Ще превъртя малко надолу,
за да има повече място,
но искам все още да се вижда
първото диференциално уравнение.
Да проверим дали...
ще използвам червено,
да проверим дали f(х)

Korean: 
어떤 함수가
이 미분방정식의
해가 되려면
함수에 어떤 x를 넣어도
성립해야 합니다
다른 것을 찾아보죠
f(x) = x+1 이 있습니다
강의를 멈추고
이것이 미분방정식의 해가
되는지 확인합니다
과정은 똑같습니다
f'(x) = 1 입니다
따라서 f'(x) = 1이고
따라서 f'(x) = 1이고
f(x) = x 이므로
x+1 - x 는 무엇일까요?
여기서는 x가
무엇이든 상관없이
방정식이 성립합니다
따라서 이 식이 해입니다
따라서 이 식이 해입니다
좀 더 해보죠
공간 확보를 위해
스크롤을 내리겠습니다
대신 기존 미분방정식은
보여야겠죠
빨간색으로 해볼게요
f(x) = e^x + x + 1을
확인해 봅시다

English: 
this needs, in order for a
function to be a solution
of this differential equation,
it needs to work for any x
that you can put into the function.
Let's look at another one.
Let's say that we have f of
x is equal to x plus one.
Pause the video and
see, is this a solution
to our differential equation?
Well same drill.
f prime of x is going to be equal to one.
And so we have to see is f prime of x,
which is equal to one,
is it equal to f of x,
which is x plus one, x plus one, minus x?
And so here, you see no matter what x is,
this equation is going to be true.
So this is a solution,
is a solution.
Let's do a few more of these.
Let me scroll down little bit
so I have a little bit more,
a little bit more space,
but make sure we see our
original differential equation.
Let's test whether, I'm
gonna do it in a red color,
let's test whether f of x

Korean: 
f(x) = e^x + x + 1을
확인해 봅시다
미분방정식의 해가
되는지 말이죠
강의를 멈추고
스스로 풀어보세요
좋아요
도함수를 구해봅시다
f'(x)
e^x의 x에 대한 도함수는
e^x 이고
이는 항상 놀랍습니다
e^x + 1
x의 도함수는 0입니다
e^x + 1
x의 도함수는 0입니다
이 식을
원래 미분방정식에
넣어봅시다
f'(x) = e^x + 1
f'(x) = e^x + 1
f(x) = e^x + x + 1
여기서 x를 빼면
x가 상쇄되고
결국 같아집니다
이 식도 해입니다
이 식도 해입니다
이상입니다

English: 
equals e to the x plus x plus one
is a solution to this
differential equation.
Pause the video again and
see if you can figure it out.
All right well let's figure
out the derivative here.
f prime of x is going to be equal to,
derivative of e to the x with
respect to x is e to the x,
which I always find amazing.
And so and then plus one
and the derivative of this
with respect to x is just zero.
And then let's substitute this
into our original differential equation.
So f prime of x is e to the x plus one.
Is that equal to f of x,
which is e to the x plus x
plus one, minus x, minus x?
And if that x cancels out with that x,
it is indeed, they are indeed equal.
So this is also a solution.
So this, this is a solution.
And we're done.

Bulgarian: 
равно на (е^х) + х + 1
е решение на това
диференциално уравнение.
Спри отново видеото
и провери самостоятелно.
Добре, да намерим
производната тук.
f'(х) ще бъде равно на –
производната на е^х спрямо х
е равна на е^х,
което мен винаги ме изумява.
След това + 1 (производната на х), а
производната на 1 спрямо х е просто 0.
Сега да заместим в първоначалното 
диференциално уравнение.
Така, f'(х) = е^х + 1.
Това равно ли е на f(х),
когато f'(х) = f(x) - х при f(x) = е^х + х + 1,
т.е. когато f'(x) = е^х + х + 1 – х?
Този х се унищожава
с този х,
и се вижда, че те
са равни.
Значи това също е решение.
Това също е решение.
Готови сме.
