
Estonian: 
Eelmises videos näegime, et kui vektorväli saab olla
kirjutatud vektorvälja teekallakuna-- või teist moodi
saaksime me öelda: see oleks võrdne meie suure
osalise f'ga suhtes x'ga korda i plus meie suur osaline f, meie
skalaarväli suhtes y'ga korda j; ja ma lihtsalt kirjutan
selle mitut moodi, et sa mäletaksid, mis on teekallak
--aga me nägime, et kui meie vektorväli on
skalaarvälja teekallak, siis me kutsume seda konservatiivseks.
Seega, see ütleb meile, et f on konservatiivne vektorväli.
Ja see ütleb ka, et see oli suur äravõtt
eelmisest videost, joonintegraal kohal f kahe punkti vahel

English: 
In the last video, we saw that
if a vector field can be
written as the gradient of a
scalar field-- or another way
we could say it: this would be
equal to the partial of our big
f with respect to x times i
plus the partial of big f, our
scalar field with respect to y
times j; and I'm just writing
it in multiple ways just so you
remember what the gradient is
--but we saw that if our vector
field is the gradient of
a scalar field then we
call it conservative.
So that tells us that f is a
conservative vector field.
And it also tells us, and this
was the big take away from the
last video, that the line
integral of f between two

Chinese: 
在上一個影片中，我們看到如果一個向量可以
被寫做純量場(标量场)的梯度, 或者
我們可以說它等同於大寫的
f 關於 x 的偏導數加上 f 關於 y 的偏導數

Thai: 
-
ในวิดีโอที่แล้ว, เราพบว่า หากสนามเวกเตอร์สามารถ
เขียนเป็นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ -- หรือพูด
อีกอย่างคือว่า: นี่เท่ากับอนุพันธ์ย่อยของ
F ใหญ่เทียบกับ x คูณ i บวกอนุพันธืย่อยของ F ใหญ่, สนาม
สเกลาร์เราเทียบกับ y คูณ j, และผมจะเขียน
มันหลาย ๆ แบบให้คุณจำได้ว่าเกรเดียนต์
คืออะไร -- แต่เราเห็นแล้วว่า หากสนามเวกเตอร์เราคือเกรเดียนต์
ของสนามสเกลาร์แล้ว เราเรียกมันว่า อนุรักษ์
นั่นบอกว่าเรา f เป็นสนามเวกเตอร์อนุรักษ์
-
และมันยังบอกเราอีกว่า, นี่คือผลสำคัญจาก
วิดีโอที่แล้ว, ว่าอินทิกรัลเส้นของ f ระหว่าง

Turkish: 
-
Son videoda bir skaler alanın gradyanı olarak bir vektör alanı bulduğumuzda, veya büyük F'nin x'e göre kısmisi çarpı i artı büyük F'nin y'ye göre kısmisi çarpı j'yi aldığımızda, bu gradyanın konservatif bir vektör alanı olduğunu gördük.
-
-
-
-
-
-
-
Buna göre, f konservatif bir vektör alanıdır.
-
Bir önceki videodaki kazanım f'nin iki nokta arasındaki çizgi integrali ile ilgiliydi. İki noktayı x y düzleminde göstereyim.
-

Portuguese: 
No último vídeo, vimos que se um campo vetorial pode
ser escrito como o gradiente de um campo escalar -- ou dito de outro modo,
isso seria igual à derivada parcial da função
da função F em relação a x, vezes "i", mais a derivada parcial de F, nosso
campo escalar, com respeito a y, vezes "j"; e estou escrevendo
de diferentes maneiras para que você se lembre do que é o gradiente
-- mas nos vimos que se nosso campo vetorial é o gradiente de
uma função escalar, então nós a chamamos de conservativa.
Então isso nos define que f é um campo vetorial conservativo.
E isso também nos diz - e isso foi a grande novidade no
último vídeo - que a integral de linha de f entre dois

Portuguese: 
No video anterior vimos que se
um campo vetorial pode ser
escrito como o gradiente de
um campo escalar
outra forma de dizermos isto seria: 
igual à parcial do nosso f maiúsculo
com relação a x vezes i mais 
a parcial de f maiúsculo,
nosso campo escalar com 
relação a y vezes j;
-- Estou escrevendo de diversas formas 
para você lembrar o que é gradiente --
Nós vimos que se o nosso 
campo vetorial é o gradiente
de um campo escalar, então 
o chamamos de conservativo.
Isso nos mostra que f é
um campo vetorial conservativo.
Isso nos mostra também
-- e esta é a principal 
sacada do último vídeo --

Spanish: 
En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser
escrito como el gradiente de un campo escalar-- u otra
forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra
F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro
campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo
en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente
--pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de
un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo.
Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo.
Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto
al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos

Korean: 
 
저번 영상에서 우리는 벡터장이
스칼라장의 그래디언트 형태로 쓰일수 있을지
즉 F의 편미분
x에 대한 편미분 곱하기 i
더하기 F의 y에 대한 편미분 곱하기 j
이렇게 다양한 형태로 쓰는 이유는
우리가 벡터장이 스칼라장의 편미분이면
그 벡터장을 보존 벡터장이라고 합니다
즉 f는 보존 벡터장입니다
 
또 이것은 지난 영상의 핵심이었던
두 점 사이의 선적분이

Bulgarian: 
-
В предния клип видяхме, че едно векторно поле може
да бъде записало като градиент на скаларно поле – или, казано
по друг начин, това ще е равно на частната
производна на голямото ни f по отношение към x по и плюс частната производна на
голямото f, скаларното ни поле, по отношение на y по j
Записвам го по много начини, за да запомните какъв ни е градиента
Видяхме, че ако векторното ни поле е градиента на
скаларно поле, тогава го начичаме 'потенциално'
Значи, f е потенциално векторно поле
-
Това ни казва също ( и това е най-същественото от
предишния клип), че криволинейният интеграл на f между

Portuguese: 
que a integral de linha 
de f entre dois pontos
-- deixe-me desenhar dois pontos aqui --
-- vou desenhar as coordenadas para 
mostrar que estamos no plano xy.
Os eixos x e y.
Digamos que temos esse ponto 
aqui e esse outro ponto
e que eu tenho dois caminhos 
diferentes entre esses pontos.
Tenho o caminho um, que
é mais ou menos assim,
e vou chamar ele de c1,
indo nesta direção.
E agora eu tenho, em um 
outro tom de verde,
c2, que tem essa direção.
Ambos começam aqui,
e vão para lá.
Nós aprendemos no último 
vídeo que a integral de linha
é independente do trajeto
entre dois pontos.
Nesse caso, a integral de linha 
ao longo de c1 de f ponto dr

Korean: 
여기 두 점을 그려보겠습니다
이 점들은 xy 평면상에 있습니다
x축과 y축도 있죠
이 점과 이 점이 있다고 합시다
그리고 이 둘 사이에 두 개의 경로가 있습니다
이렇게 이동하는 경로 1이 있고
이 방향으로 가는 경로 c1이라 하겠습니다
 
그리고 다른 색깔로
경로 c2가 있다고 합시다
마찬가지로 시작점과 끝점이 같습니다
지난 영상에서 우리는 선적분이
두 점 사이의 경로에 무관한 것을 배웠습니다
그래서 경로 c1에 대한 f · dr의 적분은

Turkish: 
-
-
x ekseni, y ekseni.
Bu nokta ve şu nokta. Bu iki nokta arasında iki farklı iz olduğunu varsayalım.
-
Birinci iz şöyle olsun, adına c 1 diyelim. Şu yönde gitsin.
-
-
c 2 de şöyle olsun.
-
İkisi de buradan başlayıp şuraya gidiyor.
Önceki videoda çizgi integralinin izden bağımsız olduğunu öğrenmiştik.
-
Bu durumda f iç çarpım d r'nin c 1 üzerindeki çizgi integrali, f iç çarpım d r'nin c 2 izi üzerindeki çizgi integraline eşit olacak.

English: 
points-- let me draw two points
here; so let me draw my
coordinates just so we know
we're on the xy plane.
My axes: x-axis, y-axis.
Let's say I have the point, I
have that point and that point,
and I have two different paths
between those two points.
So I have path 1, that goes
something like that, so
I'll call that c1 and it
goes in that direction.
And then I have, maybe in
a different shades of
green, c2 goes like that.
They both start here
and go to there.
We learned in the last video
that the line integral
is path independent
between any two points.
So in this case the line
integral along c1 of f dot dr

Spanish: 
puntos-- permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis
coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy.
Mis ejes: eje-x, eje-y.
Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto,
y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos.
Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le
llamaré c1 y va dirigido en esa dirección.
Y también tengo, quizá en otro tono de
verde, c2 que va de esta forma.
Los dos empiezan aquí y van allí.
Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea
es independiente de la trayectoria entre dos puntos.
Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr

Estonian: 
--las ma joonistan kaks punkti siia; seega, las ma joonistan enda
koordinaadid, et me teaksime, et me asetseme xy-tasandil.
Mu teljed: x-telg, y-telg.
Ütleme, et mul on punkt, et mul on see punkt ja see punkt,
ja mul on kaks erinevat teed nende kahe punkti vahel.
Seega, mul on punkt 1, see läheb umbes nii,
seega ma nimetan selle c1'ks ja see läheb selles suunas.
Ja siis mul on, võib-olla kahes erinevas rohelise varjundis,
c2 läheb nii.
Nad mõlemad algavad siit ja lähevad sinna.
Me õppisime viimases videos, et joone integraal
on sõltumatu tee ükskõik, millise kahe punkti vahel.
Seega, praegusel juhul joone integraal mööda c1 kohal f punkt dr

Thai: 
จุดสองจุด -- ขอผมวาดจุดสองจุดตรงนี้นะ, แล้วขอผมวาด
พิกัดให้เรารู้ว่าอยู่ในระนาบ xy
แกนผม แกน x, แกน y
สมมุติว่าผมมีจุด, ผมจุดนั้นและจุดนั้น,
และผมมีเส้นทางสองทางระหว่างจุดสองจุดนั้น
ผมมีเส้นทาง 1, ที่ไปอย่างนั้น
ผมจะเรียกมันว่า c1 และมันไปในทิศนั้น
-
แล้วผมก็มี, บางทีสีเขียวอีกเชดนึง
c2 ไปอย่างนั้น
ทั้งคู่เริ่มตรงนี้และไปยังตรงนั้น
เรารู้จากวิดีโอที่แล้วว่า อินทิกรัลเส้น
ไม่ขึ้นกับเส้นทางระหว่างจุดสองจุดใด ๆ
ดังนั้นในกรณีนี้ อินทิกรัลตาม c1 ของ f ดอท dr

Portuguese: 
pontos -- deixe-me desenhar dois pontos aqui; então desenhemos as
coordenadas tal que se determine que estamos no plano XY.
Meu eixos: eixo-X, eixo-y.
Digamos agora que eu tenha um ponto, eu tenho esse ponto e aquele ponto,
e eu tenho dois diferentes caminhos entre esses dois pontos.
Então eu tenho um caminho 1, que faz algo assim,
eu chamo esse caminho de c1, e ele vai naquela direção.
E então eu tenho, em um tom diferente de verde,
o caminho c2 que vai dessa maneira.
Ambas começam aqui e vão para lá.
Aprendemos no último vídeo que a integral de linha
é independente do caminho entre quaisquer dois pontos.
Então nesse caso a integral de linha ao longo de c1 do produto interno de f com dr

Bulgarian: 
две точки – нека начертая две точки тук и да си отбележа
координатите, за да знаем къде сме в равнината xy
Осите ми : оста x и оста y
Да кажем, че имаме тази и тази точки и
имам две различни траектории между тях
Имам траектория 2, която изглежда така, ще
я нарека c1 и тя отива в тази посока
-
И сега, ще взема друг вид зелено, имаме
траектория c2, която изглежда така
И двете започват тук и стигат тук
Научихме от предишния клип, че криволинейният интеграл
не е зависим от траекторията между две точки
В такъв случай, криволинейният интеграл по c1 от f точка dr

Portuguese: 
será igual à integral de linha ao 
longo de c2, ao longo do trajeto c2
de f ponto dr.
Se tivermos um potencial na região, ou 
em todos pontos, a integral de linha
entre dois pontos é 
independente do trajeto.
Isso é o bacana do
campo conservativo.
O que eu quero fazer
nesse video é uma
extensão do resultado
do último vídeo.
De fato, se trata de uma 
extensão bem importante,
talvez já seja óbvio
para você.
Eu já escrevi isso aqui,
vou só reorganizar
essa equação um pouco.
Deixe-me organizar isto um pouco melhor.
Vou reescrever
isso em laranja.
Então a integral de linha do
trajeto c1 ponto dr menos
-- e eu vou subtrair isso 
de ambos os lados --
menos a integral de linha c2 de 
f ponto dr será igual a zero.
Tudo o que fiz foi pegar o 
o resultado do último video
e subtrair isso de ambos os lados.

Spanish: 
va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la
trayectoria c2, de f punto dr. Si tenemos un potencial en
la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral
de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria.
Eso es lo bueno de un campo conservativo.
Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco
mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo.
En realidad es una extensión muy importante; puede que ya
os parezca obvia.
Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar
la ecuación un poco.
Permitidme hacerlo.
Permitidme reordenar esto.
Reescribiré esto en naranja.
Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos-- Simplemente
resto esto de ambos lados --menos la integral c2 de
f punto dr va a ser igual a 0.
Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y
le resté esto en ambos lados.

English: 
is going to be equal to the
line integral of c2, over the
path c2, of f dot dr. The line,
if we have a potential in
a region, and we may be
everywhere, then the line
integral between any two points
is independent of the path.
That's the neat thing about
a conservative field.
Now what I want to do in this
video is do a little bit of
an extension of the take
away of the last video.
It's actually a pretty
important extension; it might
already be obvious to you.
I've already written this
here; I could rearrange
this equation a little bit.
So let me do it.
So let me a rearrange this.
I'll just rewrite
this in orange.
So the line integral on path c1
dot dr minus-- I'll just go
subtract this from both sides
--minus the line integral c2 of
f dot dr is going
to be equal to 0.
All I did is I took this take
away from the last video and
I subtracted this
from both sides.

Thai: 
จะเท่ากับอินทิกรัลเส้นของ c2, ตลอด
เส้นทาง c2, ของ f ดอท dr เส้นนั้น, หากเรามีศักย์ใน
พื้นที่นั้น, อยู่ในทุกที่, แล้วอินทิกรัลเส้น
ระหว่างสองจุดใด ๆ จะไม่ขึ้นกับเส้นทาง
นั่นคือสิ่งที่เจ๋งเกี่ยวกับสนามอนุรักษ์
ทีนี้สิ่งที่ผมจะทำในวิดีโอนี้คือ ขยายผล
ที่ได้จากวิดีโอที่แล้วหน่อย
ที่จริงมันเป็นผลขยายที่สำคัญทีเดียว, มันอาจดู
ตรงไปตรงมาอยู่แล้ว
ผมได้เขียนแล้วตรงนี้, ผมสามารถ
จัดสมการนี้ใหม่ได้หน่อย
ขอผมทำนะ
ขอผมจัดนี่ใหม่
ผมจะเขียนมันใหม่ด้วยสีส้มนะ
อินทิกรัลเส้นของเส้นทาง c1 ดอท dr ลบ -- ผมจะ
ลบนี่ทั้งสองข้าง -- ลบอินทิกรัลเส้น c2
f ดอท dr จะเท่ากับ 0
ทั้งหมดที่ผมทำ คือ ผมเอาผลนี่จากวิดีโอที่แล้วมา
ผมก็ลบนี่จากทั้งสองข้าง

Bulgarian: 
ще е равен на криволинейния интеграл на c2
върху траекторията c2, от f точка др. Ако имаме
потенциал в някаква площ, където и да е, криволинейният интеграл
между всеки две точки е независим от траекторията
Това е хубавото на потенциалните полета
Сега, това което ми се иска да постигна в този клип, е да прибавя
още значeния към тези от предишния клип
И това е много вайно допълнение, което
може би така или иначе ви е очевидно
Това вече съм го записал тук
Мога малко да пренаредя това уравнение
Нека направя това
Пренареждам го
Ще препиша това в оранжево
Така, криволинейният интеграл на треактория c1 точка др минус -
просто изваждам това от двете страни – минус криволинейния интеграл c2
от f точка dr, ще е равен на 0
Тук просто взех уравнението, което постигнахме в предишния клип
и извадих това от двете страни

Portuguese: 
será igual a integral de linha de c2, sobre
o caminho c2, do produto interno de f com dr. A linha, se temos um potencial
em uma determinada região, e pode ser qualquer região, então a
integral de linha entre quaisquer dois pontos é independente do caminho.
Isso é a beleza de um campo conservativo!
Agroa o que pretendo fazer nesse vídeo é uma pequena
extensão da novidade do último vídeo.
Na verdade é uma extensão bem importante;
talvez já seja algo óbvio para você.
Já escrevi isso aqui; posso rearranjar
essa equação mais um pouco.
Então façamos isso.
Deixe rearranjar isso...
vou apenas reescrever isso em laranja.
Então a integral de linha no caminho c1 do produto interno de f com dr, menos -- vou apenas
subtrair isso de ambos os lados -- menos a integral de linha no caminho c2
do produto interno de f com dr, será igual a zero.
Tudo que fiz foi tomar isso emprestado do último vídeo e
depois subtrair isso de ambos os lados.

Turkish: 
-
Eğer bir alan üzerinde bir potansiyel varsa, herhangi iki nokta arasındaki çizgi integrali izden bağımsız olur.
-
-
Konservatif bir alanın özelliği budur.
Şimdi bir önceki videoda öğrendiklerimizi biraz daha genişletmek istiyorum.
-
Belki size bariz gelecek, ama önemli bir özellikten bahsedeceğim.
-
Bunu zaten yazmıştım. Şu denklemdeki terimlerin yerlerini değiştirebilirim.
-
Böyle yapalım.
-
Şunu tekrardan yazıyorum.
Bunu iki taraftan çıkarırsam, c 1 üzerindeki f iç çarpım d r'nin çizgi integrali eksi c 2 üzerindeki f iç çarpım d r'nin çizgi integrali eşittir 0.
-
-
Bir önceki videodaki eşitliği alıp, şunu iki taraftan çıkardım.
-

Estonian: 
on võrdne joone integraaliga c2, üle
tee c2, kohal f punkt dr. Joon, kui meil on potentsiaal
piirkonnas, ja me võime olla kus tahes, siis joone
integraal ükskõik, millise kahe punkti vahel, on sõltumatu teekonnast.
See on konservatiivse välja hea omadus.
Mis ma nüüd teha tahan selles videos on, et teha väike
üldistamine eelmise video äravõtust.
See on tegelikult päris tähtis üldistus; see võib
olla juba ilmne sulle.
Mul on see juba siia kirjutatud; ma võin natuke
ümberkorraldada seda võrdust.
Las ma teen seda.
Seega, las ma korraldan selle ümber.
Ma kirjutan selle lihtsalt oranžis uuesti.
Seega, joone integraal c1 teel punkt dr miinus-- ma lihtsalt lähen
lahutan selle mõlemalt poolt-- miinus joone integraal c2 kohal
f punkt dr hakkab võrduma 0'ga.
Kõik, mis ma tegin, oli et ma võtsin äravõtu eelmisest videost ja
lahutasin selle mõlemast poolest.

Korean: 
경로 c2에 대한 f · dr의 적분과
같다는 것입니다. 예를 들어 공간상의
포텐셜은 두 점 사이의
어떤 경로이든 포텐셜은 같습니다
보존되는 장의 멋진 점이죠
이제 이번 영상에서 저는
저번 영상의 내용을 확장해보겠습니다
상당히 중요한 확장이고
이미 여러분이 익숙한 것일 수 있습니다
여기다가 먼저 적어놨지만
식을 살짝 바꿔보겠습니다
식을 다르게 적고
순서를 바꿔보겠습니다
주황색으로 적죠
그래서 경로 c1의 적분
빼기 경로 c2의 적분은
0이 될 것입니다
제가 한 것은 단지 저번 영상의 내용에서
양변을 빼준 것 뿐입니다

Thai: 
ทีนี้เรารู้จากวิดีโอก่อน ๆ ว่า หากเรายุ่งกับ
อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์ -- ไม่ใช่สนามสเกลาร์
-- กับสนามเวกเตอร์, ทิศของ
เส้นทางนั้นสำคัญ
เรารู้ว่าอินทิกรัลเส้นตลอด, สมมุติว่า, c2 ของ f ดอท
dr, เท่ากับลบอินทิกรัลเส้นของ ลบ c2
ของ f ดอท dr โดยเราเขียนลบ c2 แทนเส้นทางเหมือนกับ
c2, แต่มีทิศตรงกันข้าม
ตัวอย่างเช่น, ลบ c2 ผมเขียนเป็นแบบนี้ได้ -- งั้น
ขอผมใช้อีกสีนะ -- สมมุติว่านี่คือลบ
c2, มันคือเส้นทางแบบเดียวกับ c2 -- ผมจะเรียกมันว่า
ลบ c2 แล้วกัน -- แต่แทนที่จะไปทางนั้น, ผมจะ
ไปในทิศนั้นแทน
งั้นลืมลูกศร c2 เก่าไป
เราจะเริ่มจากตรงนั้นแล้วกลับมาตรงนี้
นี่ก็คือลบ c2

Turkish: 
Birkaç video önce, vektör alanının çizgi integralinde iz yönünün önemli olduğunu öğrenmiştik.
-
-
-
f iç çarpım d r'nin c 2 üzerindeki çizgi integralinin eksi c 2 üzerindeki integralinin eksisine eşit olduğunu öğrenmiştik.
-
Buradaki eksi c 2, c 2 ile aynı iz ama ters yön anlamına geliyordu.
-
Örneğin, eksi c 2, c 2 ile aynı iz oluyordu, ama bu yön yerine şu yönde gidiyordum.
-
-
-
-
Eski c 2 oklarını yok sayın.
Şimdi buradan başlayın ve bu tarafa doğru gelin.
Bu, eksi c 2.

Portuguese: 
Agora, aprendemos a muitos vídeos atrás que se estamos lidando com
uma integral de linha de um campo vetorial -- não com um campo escalar --
mas com um campo vetorial, a direção do
caminho é muito importante.
Aprendemos que a integral de linha sobre, digamos, c2
do produto interno de f com dr, é igual ao negativo da integral de linha de menos c2
do produto interno de f com dr, onde denotamos "menos c2" como o mesmo caminho
que c2, mas orientado na direção contrária.
Então por exemplo, eu escreveria menos c2 dessa maneira
-- deixe-me usa routra cor -- tal que digamos que isso é o menos c2
seria um caminha exatamental tal como c2 -- irei chamar isso
de menos c2 -- mas ao invés de ir naquela direção, vou agora
seguir essa outra direção.
Então ignore as sejas antigas de c2.
Estamos agora começando aqui e indo de volta para ali
Tal que isso é menos c2.

Korean: 
지난 영상에서 우리는
스칼라 장이 아닌 벡터장의 선적분은
벡터장의 선적분은
경로의 방향이 중요합니다
예를 들어 경로의 c2의 f · dr 선적분은
마이너스 c2의 f · dr 선적분의 음수입니다
여기서 마이너스 c2는
c2와 같은 경로이지만 반대 방향을 의미합니다
예를 들어 마이너스 c2는 이렇게 적을 수 있습니다
다른 색으로 적어보죠
마이너스 c2는
이쪽으로 가는 대신
이쪽으로 가겟습니다
아까 적은 화살표는 무시하죠
이제 여기서 시작해서 여기서 끝납니다
이게 마이너스 c2입니다

Portuguese: 
Agora, como vimos em um 
dos vídeos anteriores,
se estivermos lidando com a integral 
de linha em um campo vetorial
-- não um campo escalar --
em um campo vetorial, a direção 
do trajeto é relevante.
Nós aprendemos que a integral 
de linha sobre c2 de f ponto dr
é igual ao negativo da integral de linha
de menos c2 de f ponto dr,
onde denotamos que menos c2
é o mesmo trajeto que c2,
mas na direção oposta.
Por exemplo, menos c2
eu escreveria assim:
-- deixe eu usar uma cor diferente --
Digamos que isto seja menos c2, 
que seria um trajeto como c2
-- vou chamá-lo de menos c2 -- 
mas no lugar de ir naquela direção,
agora eu vou nessa direção.
Ignore as antigas flechas.
Agora começamos de lá
e voltamos até aqui.
Então, esse aqui é menos c2.

Estonian: 
Me õppisime mitmed videod tagasi, et kui meil on tegemist
vektorvälja joone integraaliga-- mitte skalaarvälja
--koos vektori väljaga, tee suund
on oluline.
Me õppisime, et joone integraal üle, ütleme, c2 kohal f punkt
dr, on võrdne negatiivse miinus c2 joone integraaliga
kohal f punkt dr, kus me tähistasime, et miinus c2 on sama teekonnaga, nagu
c2, ainult et vastupidises suunas.
Seega, näiteks, miinus c2 kirjutaksin ma sellisena-- las ma
teen selle teise värviga --seega, ütleme, et see on miinus
c2, see oleks tee, nagu c2-- ma nimetan selle
minus c2'ks --aga selle asemel, et minna selles suunas, ma nüüd
lähen selles suunas.
Seega, ära tee välja vana c2 nooltest.
Nüüd me alustame sealt ja tuleme tagasi siia.
Seega, see on miinus c2.

English: 
Now we learned several videos
ago that if we're dealing with
a line integral of a vector
field-- not a scalar field
--with a vector field,
the direction of the
path is important.
We learned that the line
integral over, say, c2 of f dot
dr, is equal to the negative of
the line integral of minus c2
of f dot dr where we denoted
minus c2 is the same path as
c2, but just in the
opposite direction.
So for example, minus c2 I
would write like this-- so let
me do it in a different color
--so let's say this is minus
c2, it'd be a path just like
c2-- I'm going to call this
minus c2 --but instead of going
in that direction, I'm now
going to go in that direction.
So ignore the old c2 arrows.
We're now starting from
there and coming back here.
So this is minus c2.

Bulgarian: 
Научихме преди няколко клипа, че ако става дума за
криволинеен интеграл на векторно поле,
а не на скаларно поле, тогава посоката
на траекторията е важна
Научихме, че криволинейният интеграл върху, да кажем, c2 от f точка
dr, е равен на минус криволинейния интеграл на минус c2
от f точка dr, където минус c2 е същата траектория
като c2, но в обратната посока
Например, мога да запиша минус c2 така...
нека взема друг цвят. Да кажем, че това е минус
c2. Това е траектория, точно като c2, наричам я
минус c2, която вместо да отива в тази посока,
отива в тази посока
Нека не обръщаме внимание на старите стрелки на c2
Започваме оттук и се връщаме тук
Това е минус c2

Spanish: 
Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una
integral de línea de un campo vectorial-- no de un campo escalar
--con un campo vectorial, la dirección de la
trayectoria es importante.
Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto
dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2
de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que
c2, pero en dirección contraria.
Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así-- permitidme
hacerlo en distinto color --digamos entonces que esto es menos
c2, sería una trayectoria como c2-- voy a llamarla
menos c2 --pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora
en esa dirección.
Así que ignorad las antiguas flechas de c2.
Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí.
Esto es menos c2.

Thai: 
หรือเราสามารถเขียน, เราก็ใส่, ลบอีกข้างนึง
แล้วเราก็บอกว่า ลบของ c2 อินทิกรัล
เส้นตามเส้นทาง c2 ของ f ดอท dr เท่ากับ
อินทิกรัลเส้นตลอดเส้นทางย้อนกลับของ f ดอท dr ทั้งหมดที่ผมทำ
คือผมสลับเครื่องหมายลบในอีกฝั่ง, คูณ
ทั้งสองข้างด้วยลบ 1
งั้นลองแทน -- ในสมการนี้เรามีลบของ
เส้นทาง c2, เรามีนั่นตรงนั้น, แล้วเรามีนั่น
ตรงนั้น -- เราก็แค่แทนนี่ด้วย
อันนี่ตรงนี้
ขอผมทำนะ
ผมจะเขียนส่วนแรกก่อน
อินทิกรัลตามเส้นโค้ง c1 f ดอท dr, แทนที่จะ
เป็นลบอินทิกรัลเส้นตาม c2, ผมจะบอกว่า บวก
อินทิกรัลตาม ลบ c2
นี่ -- ขอผมเปลี่ยนเป็นสีเขียวนะ -- นี่เรารู้ว่า
มันเหมือนกับอันนี้

Korean: 
또는 반대쪽에 마이너스를 붙여서
c2에 대한 f · dr의
선적분의 마이너스는
마이너스 c2의 선적분과 같다고 할 수 있습니다
위 식의 양변에 -1를 곱해서
아래 식을 만든 것입니다
이제 이 식의 c2항의 부분이
아래 식에도 있습니다
그래서 우변에 있는 내용으로
바꿀 수 있습니다
그걸 하겠습니다
첫번째 항을 먼저 적고
c1에 대한 f · dr 적분이 있고
마이너스 c2에 대한
선적분이 됩니다
초록색으로 바꾸고 이부분과
같다는 것입니다

Bulgarian: 
Можем да сложим минуса и от другата страна
и да кажем, че минус от криволинейния интеграл
по траекторията на ц2 от ф точка др е равно на
криволинейния интеграл върху противоположната траектория на f точка dr
Тук просто сложих минуса от другата страна - умножих
двете страни по минус 1
Нека заменим – в това уравнение имаме минус
траекторията c2 – имаме това и това тук
Значи, бихме могли да заместим
това с това
Нека го направим
Ще започна с първата част
Значи, интеграла по кривата c1 от f точка dr, вместо
минус криволинейния интеграл по c2, ще кажа плюс
инграла по минус c2
Пак ще взема зелен цвят... Открихме,
Че това е същото като това

Portuguese: 
Ou podemos escrever, podemos colocar aqui o menos no outro lado
e podemos dizer que o negativo da integral de linha c2
ao longo do caminho c2, do produto interno de f com dr, é igual a
integral de linha sob o caminho inverso. Tudo que fiz
foi trocar o negativo no outro lado; multiplicando
ambos os lado por -1.
Então vamos trocar -- nessa equação nos temos o menos do
caminho c2; nos temos aquilo logo aqui, e aquilo logo aqui
então podemos apenas substituir isso com
isso logo aqui.
Entao façamos isso.
Então escrevo essa primeira parte primeiro.
Logo a integral ao longo da curva c1 do prod. interno de f com dr, ao invés de
tomar o menos da integral de linha ao longo de c2, irei tomar
a soma (positiva) da integral ao longo do caminho "menos c2".
Isso -- deixe-me trocar para o verde -- isso nos estabelecemos
ser o mesmo que isso.

Spanish: 
O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro
lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2
a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a
la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es
cambiar el menos al otro lado; multiplicar
ambos lados por menos 1.
Reemplacemos entonces-- en esta ecuación tenemos menos
de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien
--así que podríamos simplemente sustituir esto con
esto aquí mismo.
Permitidme hacer eso.
Escribiré primero esta parte.
La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de
menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la
integral a lo largo de menos c2.
Esto-- permitidme cambiar al verde --esto que hemos establecido
es lo mismo que esto.

Portuguese: 
Ou ainda, podemos colocar
o menos no outro lado
e poderíamos dizer que
o negativo da linha integral c2, ao longo 
do trajeto de c2 de f ponto dr
é igual à
integral de linha do trajeto
inverso de f ponto dr.
Tudo o que eu fiz foi trocar o
negativo do outro lado,
multiplicando ambos 
os lados por menos um.
Então vamos substituir -- nesta equação
nós temos o caminho negativo de c2;
nós o temos bem aqui; e também
o temos bem aqui;
então, nós poderíamos substituir 
isto por isto aqui.
Deixe-me fazer isto.
Então escreverei esta
primeira parte aqui.
A integral ao longo da curva
c1 de f ponto dr, em vez de
menos a integral de linha ao
longo de c2, eu direi mais a
integral ao longo de
c2 negativo.
Isto -- deixe-me mudar para verde -- 
isto nós estabelecemos como
a mesma coisa que isto.

English: 
Or we could write, we could
put, the minus on the other
side and we could say that
the negative of the c2 line
integral along the path of c2
of f dot dr is equal to the
line integral over the reverse
path of f dot dr. All I did is
I switched the negative on
the other side; multiplied
both sides by negative 1.
So let's replace-- in this
equation we have the minus of
the c2 path; we have that right
there, and we have that right
there --so we could just
replace this with
this right there.
So let me do that.
So I'll write this
first part first.
So the integral along the curve
c1 of f dot dr, instead of
minus the line integral along
c2, I'm going to say plus the
integral along minus c2.
This-- let me switch to the
green --this we've established
is the same thing as this.

Estonian: 
Või me võiksime kirjutada, me võiksime panna, miinus teisel
pool ja me võiksime öelda, et negatiiv c2 joone
integraalist mööda c2 kohal f punkt dr teed on võrdne
joone integraaliga üle f punkt dr vastupidise suuna. Kõik, mis ma tegin,
oli et ma vahetasin negatiivse teisel poolel; korrutasin
mõlemad pooled negatiivse 1'ga.
Seega, asendame-- selles võrduses on meil miinus
c2 tee; meil on see siin, ja meil on see täpselt
siin --seega, me võiksime lihtsalt asendada selle
sellega siin.
Seega, las ma teen seda.
Ma kirjutan esimese osa kõigepealt.
Seega, integraal mööda c1 kohal f punkt dr kurvi,
miinus joone integraal mööda c2 asemel, ütleme pluss
integraal mööda miinus c2'te.
See-- las ma vahetan roheliseks --see kehtestus
on sama asi, mis see.

Turkish: 
Veya eksiyi öteki tarafa alabiliriz, f iç çarpım d r'nin c 2 üzerindeki çizgi integralinin eksilisi, f iç çarpım d r'nin ters yöndeki izi üzerindeki çizgi integraline eşittir diyebiliriz.
-
-
-
Burada sadece iki tarafı eksi 1 ile çarptım.
-
Bu denklemde, c 2 izinin eksilisi var, şurada da var. Bunu şunun yerine koyalım.
-
-
-
-
Önce şu kısmı yazayım.
c 1 üzerindeki f iç çarpım d r'nin integrali, eksi c 2 üzerindeki çizgi integral yerine, artı, eksi c 2 üzerindeki integral diyeceğim.
-
-
Bu ikisinin aynı şey olduğunu gösterdik.
-

Korean: 
이 적분의 마이너스는
거꾸로 가는 경로의
적분과 같다는 거죠
그래서 마이너스 C2의
f · dr이 되고 좌변은 0입니다
이제 흥미로운 일이 생깁니다
경로 c1과 마이너스 c2를
합치면 어떻게 될까요
c1은 여기서 시작하고
밝은 색을 써보죠
c1은 여기서 시작해서
경로를 따라 이동하다가
이 지점에서 끝납니다
마이너스 c2 경로에 대해 보면
이 지점에서 시작해서
다시 원래 점으로 돌아와서 폐곡선가 됩니다
폐곡선의 적분이 되는거죠
두 적분을 합치면
단순히 폐곡선이 되죠
이 식을 뒤집으므로써
같은 점에서 시작하는 점 대신

Thai: 
ลบของเส้นโค้งนี้, หรืออินทิกรัลเส้นตามเส้นทางนี้
ก็เหมือนกับอินทิกรัลเส้น, ค่าบวก
ของอินทิกรัลเส้นตามเส้นทางย้อนกลับ
งั้นเราก็บอกว่า บวกอินทิกรัลเส้นของ ลบ c2 ของ
f ดอท dr เท่ากับ 0
ทีนี้นี่มันน่าสนใจแล้ว
ลองดูว่าผลรวมของเส้นทาง
c1 กับลบ c2 คืออะไร
c1 เริ่มตรงนี้
ขอผมใช้สีสว่างสวย ๆ หน่อย
c1 เริ่มตรงนี้ ณ จุดนี้
มันเริ่มจากจุดนี้ไปตามเส้นโค้ง c1 นี่
แล้วจุด ณ จุดนี้
แล้วเราก็ไปตามลบ c2
ลบ c2 เริ่มจากจุดนี้แล้วก็ไป แล้วกลับ
มายังจุดเดิม, มันครบรอบวง
นี่คืออินทิกรัลเส้นแบบปิด
หากคุณรวมนี่เข้า, เราสามารถเขียนนี่ใหม่
จำไว้, นี่ก็คือวงวงหนึ่ง
ด้วยการกลับอันนี้, แทนที่จะมีสองตัวเริ่มจากตรงนี้
แล้วไปยังตรงนั้น, ผมสามารถเริ่มตรงนี้, เดินไป

Bulgarian: 
Минус криволинейния интеграл по тази траектория
е същото като криволинейния интеграл по
противоположната траектория
Значи, казваме, че плюс криволинейния интеграл на минус c2
от f точка dr е равно на 0
Тук изниква нещо интересно
Да видим, какво е съчетанието на
траекториите c1 и минус c2
c1 започва ето тук
Нека взема хубав, ярък цвят
c1 започва в тази точка
И се движи от тази точка по кривата c1
и спира тук
А сега да направим същото с минус c2
Минус c2 започва в тази точка, отива дотук и се връща
в същата точка – прави затворена линия
Значи, това е затворен криволинеен интеграл
Ако съчетаем с това, можем да препишем
Помнете, че това е затворена линия
Като обърнем това, вместо да имам две криви, които започват тук
и отиват тук, сега ще започнем тук, ще отидем

English: 
The negative of this curve, or
the line integral along this
path, is the same thing as the
line integral, the positive of
the line integral along
the reverse path.
So we'll say plus the line
integral of minus c2 of
f dot dr is equal to 0.
Now there's something
interesting.
Let's look at what the
combination of the path
of c1 and minus c2 is.
c1 starts over here.
Let me get a nice,
vibrant color.
c1 starts over here
at this point.
It moves from this point
along this curve c1 and
ends up at this point.
And then we do the minus c2.
Minus c2 starts at this point
and just goes and comes back
to the original point;
it completes a loop.
So this is a closed
line integral.
So if you combine this,
we could rewrite this.
Remember, this is just a loop.
By reversing this, instead of
having two guys starting here
and going there, I now can
start here, go all the way

Turkish: 
Bu eğrinin negatifi veya bu iz üzerindeki çizgi integrali, ters yöndeki iz üzerindeki çizgi integraliyle aynı.
-
-
O zaman f iç çarpım d r'nin eksi c 2 üzerindeki çizgi integrali 0'a eşittir, diyebiliriz.
-
Burada ilginç bir şey bulduk.
c 1 ve eksi c 2 izlerinin birleşimine bakalım.
-
c 1 buradan başlıyor.
-
c 1 şu noktada başlıyor.
c 1 eğrisi boyunca hareket ederek bu noktaya ulaşıyoruz.
-
Sonra da eksi c 2 yönünde gidiyoruz.
Eksi c 2 bu noktadan başlıyor ve orijinal noktaya geri dönüyoruz. Bir döngü oluşturur.
-
Yani bu kapalı bir çizgi integrali olur.
Bunları birleştirdiğinizde baştan yazabilirsiniz.
Bunun döngü olduğunu unutmayın.
Bunu ters çevirerek, buradan başlayıp şuraya gider ve c 2'nin ters izinde geri dönerim.
-

Portuguese: 
O negativo desta curva, ou
a integral de linha ao longo
deste caminho, é a mesma coisa que a
integral de linha, o positivo
da integral de linha ao longo
do caminho inverso.
Então diremos: mais a integral de
linha de menos c2
de f ponto dr é igual a zero.
Aqui há algo interessante.
Vamos ver qual a combinação
do caminho de
c1 e menos c2 é.
c1 começa bem aqui.
Deixe-me selecionar uma
cor mais vibrante.
c1 começa aqui
neste ponto.
Ele se move deste ponto
ao longo desta curva c1 e
termina neste ponto
bem aqui.
E então fazemos
o menos c2.
Menos c2 começa neste 
ponto e vai e volta
para o ponto inicial; ele 
completa uma volta.
Então esta é uma integral
de linha fechada.
Se combinamos isto,
poderíamos reescrever isto.
Lembre-se, isto é 
apenas um loop.
Ao reverter isto, em vez de termos
dois elementos começando aqui e
indo para lá, eu posso 
começar aqui, ir até

Spanish: 
Menos esta curva, o la integral a lo largo de este
camino, es lo mismo que la integral de línea, más la
integral de línea a lo largo del camino inverso.
Diremos que más la integral de línea de menos c2 de
f por dr es igual a 0.
Ahora hay algo interesante.
Miremos qué es la combinación de los caminos
c1 y menos c2.
c1 empieza por aquí.
Permitidme utilizar un color bonito, vibrante.
c1 empieza por aquí en este punto.
Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1
y llega a este punto.
Y entonces hacemos menos c2.
Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve
al punto original; se completa una vuelta.
Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada.
Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así.
Recordad, es simplemente una vuelta.
Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí
y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí,

Estonian: 
Selle kurvi negatiiv, või joone integraal mööda seda
teed on sama, mis joone integraal, positiivne
joone integraal mööda vastupidist suunda.
Seega, ütleme pluss c2 kohal f punkt dr joone integraal
on võrdne 0'ga.
Nüüd on asi huvitav.
Vaatame, mis on c1 ja miinus c2
teede kombinatsioon.
c1 algab siit.
Las ma võtan hea, elava värvi.
c1 algab siit selles punktis.
See liigub sellest punktist mööda seda c1 kurvi ja
lõppeb selles punktis.
Ja siis me teeme miinus c2'e.
Miinus c2 algab sellest punktist ja läheb ja tuleb tagasi
algsesse punkti; see viib lõpule tsükli.
Seega, see on suletud joone integraal.
Kui sa kombineerid selle, võime me selle ümber kirjutada.
Jäta meelde, see on lihtsalt tsükkel.
Tagurdades seda, selle asemel, et kaks venda siit alustaksid
ja siia läheksid, ma nüüd võin alustada siit, minna terve tee

Portuguese: 
O negativo dessa curva, ou a integral de linha ao longo desse caminho
é o mesmo que a integral de linha, a integral de linha positiva,
ao longo do caminho reverso.
Então diremos que a soma com a integral de caminho ao longo de "menos c2"
do produto interno de f com dr, é igual a zero.
Agora temos algo interessante.
Olhemos para o que significa a combinação do caminho c1
com o caminho "menos c2".
c1 começa por aqui.
Deixe-me escolher uma cor mais vibrante.
c1 começa por aqui nesse ponto.
e move-se desse ponto em diante pela curva c1 e
acaba aqui nesse ponto.
E então fazemos o caminho "menos c2".
"Menos c2" começa nesse ponto e simplesmente continua fazendo a volta
ao ponto original; o que completa uma volta fechada.
Então isso é uma integral de linha fechada.
Então se você combina isso, podemos reescrever isso...
Lembre, isso é apenas uma curva fechada.
Ao reverter isso, ao invés de termos dois caras começando aqui
e indo para lá, eu posso agora começar aqui, ir todo o caminho

Turkish: 
-
-
Yani bu, kapalı bir çizgi integraline denktir.
Kapalı bir iz üzerindeki integralle aynı şeydir.
c 1 eksi c 2 izine kapalı iz diyebiliriz.
-
-
c 1 ve eksi c 2'yi rastgele çizdiğim için, vektör alanının bir skaler alanın gradyanı olduğu, konservatif olduğu, potansiyeli olduğu her iz için bu doğrudur, diyebilirim.
-
-
-
Bunu f iç çarpım d r'nin c 1 artı ters c 2 üzerindeki integralleri olarak yazarım. Bu, şunun farklı bir gösterimidir ve 0'a eşittir.
-
-
Bu videodan çıkarımımız budur.
Buna bir doğal sonuç diyebiliriz.
Bu sonucun ortaya çıkardığı bir başka sonuçtur.

Portuguese: 
lá, e então voltar todo o
caminho para este
caminho inverso de c2.
Então, isto é equivalente à
uma integral de linha fechada.
Então, isto é o mesmo que uma integral 
ao longo de um caminho fechado.
Nós poderíamos chamar isto de 
caminho fechado, talvez,
c1 mais menos c2, se quiséssemos 
nos referir particularmente
a este caminho fechado.
Mas isto poderia ser, eu desenhei c1
e c2 ou menos c2 arbitrariamente;
Este poderia ser qualquer caminho fechado 
onde nosso campo vetorial f tem
um potencial, ou onde é o gradiente 
de um campo escalar,
ou onde é conservativo.
E isto pode ser escrito como
um caminho fechado de c1 mais
o caminho inverso de c2 de f ponto dr.
Isto é apenas reescrever
o aquilo, e isto portanto
será igual a zero.
Esta é nossa deixa 
para este vídeo.
Isto é, você pode ver isto
como um corolário.

Korean: 
한 점에서 다른 점으로 갔다가
다시 돌아오는 경로를 만들었습니다
폐곡선과 같아지는거죠
그래서 적분도 폐곡선이 됩니다
c1 마이너스 c2가
특정한 폐곡선이
되는 것이지요
여기서 c1과 c2는 임의의 경로이지만
어떤 닫힌 경로를 적더라도
포텐셜 혹은 스칼라장의 그래디언트인
벡터장이거나
보존 벡터장이면 모든 폐곡선에 대해
같은 결과가 나옵니다
그래서 이 적분은 c1과
마이너스 c2의 폐곡선에 대한 f · dr의 
적분과 같습니다
원래 식을 다시 쓴 것이고,
0과 같을 것입니다
이것이 이번 영상의 핵심입니다
따름정리로 생각하시면 됩니다
이 결론에서 나오는

English: 
there, and then come all
the way back on this
reverse path of c2.
So this is equivalent to
a closed line integral.
So that is the same thing as an
integral along a closed path.
I mean, we could call the
closed path, maybe, c1 plus
minus c2, if we wanted to be
particular about
the closed path.
But this could be, I drew c1
and c2 or minus c2 arbitrarily;
this could be any closed path
where our vector field f has a
potential, or where it is the
gradient of a scalar field,
or where it is conservative.
And so this can be written as
a closed path of c1 plus the
reverse of c2 of f dot dr.
That's just a rewriting
of that, and so that's
going to be equal to 0.
And this is our take
away for this video.
This is, you can view
it as a corollary.
It's kind of a low-hanging
conclusion that you can make

Thai: 
ยังตรงนั้นแล้วกลับตามเส้นทาง
ย้อนกลับของ c2
ดังนั้นนี่เหมือนกับอินทิกรัลเส้นแบบปิด
นี่ก็เหมือนกับอินทิกรัลเส้นตามเส้นทางรูปปิด
ผมหมารยถึง, เราเรียกมันว่าเส้นทางแบบปิดได้, c1 บวก
ลบ c2, หากเราอยากบอกลงไป
ว่าเส้นทางรูปปิดคืออะไร
แต่นี่มัน, ผมวาด c1 กับ c2 หรือลบ c2 ตามใจ
นี่เป็นเส้นททางรูปปิดใด ๆ ก็ได้ โดยสนามเวกเตอร์ f
มีศักย์, หรือมันเป็นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ล
หรือมันอนุรักษ์
ดังนั้นนี่สามารถเขียนเป็น เส้นทางรูปปิดของ c1 บวก
c2 ย้อนกลับ ของ f ดอท dr. นั่นแค่เขียน
อันนั้นใหม่, แล้วนั่นจะเท่ากับ 0
และนี่คือผลในวิดีโอนี้
นี่คือ, คุณอาจคิดว่านี่คือ บทแทรกของการพิสูจน์
มันเป็นผลลัพธ์ย่อยลงมาที่คุณสรุปได้

Bulgarian: 
до тук и ще се върнем по тази траектория,
противоположна на c2
Това е равностойно на затворен криволинеен интеграл
Значи, това е същото като интеграл по затворена траектория
Можем да наречем затворената траектория c1
плюс минус c2, ако искаме да сме по-конкретни
за тази затворена траектория
Тук просто начертах случайни c1 и c2 (или минус c2)
Това може да бъде всяка затворена траектория когато векторното поле f има
потенциал, или когато е градиент на скаларно поле -
когато е потенциално векторно поле
Това може да се запише като затворена траектория на c1 плюс
противоположното на c2 от f точка др. Тук преписах
това, значи това ще е равно на 0
Ето какво научихме от този клип
Можем да го наречем 'извод'
Това е естествено заключение, което можете

Estonian: 
sinna, ja siis tulla terve tee tagasi siia
tagurpidise c2 tee peale.
Seega, see on samaväärne suletud joone integraaliga.
See on sama asi, mis integraal mööda suletud teed.
Ma mõtlen, et me võiksime kutsuda suletud teed ehk c1 pluss
miinus c2'ks, kui me tahaksime olla üksikasjalik
suletud tee suhtes.
Aga see võiks olla, ma joonistasin c1 ja c2 või miinus c2 omavoliliselt;
see võib olla mistahes suletud tee, kus meie vektori väljal f on
potentsiaal, või kus see on skalaarse välja teekallak,
või kus see on konservatiiv.
Ja seda võib kirjutada c1 suletud teena, pluss
vastupidine c2 kohal f punkt dr. See on lihtsalt ümberkirjutus
sellest, ja see hakkab olema võrdne 0'ga.
Ja see on meie äravõtt selle video puhul.
See on, sa võid seda vaadata kaasnevana.
See on üsna allarippuv järeldus, mida sa saad teha

Spanish: 
y entonces volver todo el camino por
el camino inverso de c2.
Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada.
Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado.
Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más
menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre
el camino cerrado.
Pero esto podría ser, señaló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente;
esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un
potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar
o cuando sea conservador.
Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el
reverso de c2 de dr de punto f.
Eso es sólo una reescritura
de eso y eso va a ser igual a 0.
Y este es nuestro take away para este video.
Esto es, puede verlo como un corolario.
Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer

Portuguese: 
e então voltar novamente por esse
caminho reverso de c2.
Então isso é equivalente a uma integral de linha fechada.
Tal que isso é a mesma coisa que a integral ao longo de um caminho fechado.
Quero dizerm poderíamos chamar o caminho fechado, talvez, de
c1 menos c2, se quisermos ser detalhistas a respeito
do caminho fechado.
Mas, como eu desenhei c1 e c2, ou "menos c2", arbitrariamente,
isso poderia ser qualquer caminho fechado onde nosso campo vetorial f
tem um potencial, ou onde ele é o gradiente de um campo escalar,
ou onde ele é conervativo.
E isso pode ser escrito como um caminho fechado de c1 mais
o inverso de c2, do prod. interno de f com dr. Isso é apenas uma reescrita daquilo,
tal que isso ainda será igual a zero.
E isso é a novidade para esse vídeo.
Ou seja, você pode ver isso como um corolário.
É um tipo de consequência que se pode tirar

Portuguese: 
depois dessa conclusão.
Então agora sabemos que se temos um campo vetorial que é
o gradiente de um campo escalar em alguma região, ou talvez sobre
o plano xy inteiro -- e isso é chamado de potencial de f;
isso é uma função potencial.
Na maoria das vezes será o negativo dela, mas é fácil
mexer com os negativos -- mas se temos um campo vetorial que é
o gradiente de um campo escalar, podemos chamar isso de um
campo vetorial conservativo.
Isso nos conta que em qualquer ponto da região onde isso é válido
a integral de linha de um ponto a outro
é independente do caminho; isso é o que aprendemos
no último vídeo.
E por causa disso, dada uma integral de linha fechada,
tal que se tomarmos outro lugar, isso é, se tomarmos
qualquer outra integral de linha fechada, ou tomarmos a integral de linha
do campo vetorial sob qualquer caminho fechado, isso retornará zero, porque
é independente do caminho.

Thai: 
หลังจากผลอันนี้
ทีนี้เรารู้ว่า หากเรามีสนามเวกเตอร์ที่เป็น
เกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์สักที่, หรือบางที
ตลอดระนาบ xy -- และนี่เรียกว่าศักย์ของ f
นี่คือฟังก์ชันศักย์
บางครั้งมันจะเป็นติดลบของมัน, แต่เรามัก
หลงเครื่องหมายลบบ่อย ๆ -- แต่หากเรามีสนามเวกเตอร์
ที่เป็นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์, เราเรียกสนาม
เวกเตอร์ว่าอนุรักษ์
นั่นบอกเราว่า ณ จุดใด ๆ ในพื้นที่ที่นี่
เป็นจริง, อินทิกรัลเส้นจากจุดนึงไปยังอีกจุด
จะไม่ขึ้นกับเส้นทาง, นั่นคือสิ่งที่เราได้
จากวิดีโอที่แล้ว
และเพราะอย่างนั้น, อินทิกรัลเส้นตามวงปิด, หรืออินทิกรัล
เส้นแบบปิด, หากเราเลือกที่อื่น, หากเรา
หาอินทิกรัลเส้นรูปปิดอื่น ๆ หรือเราหาอินทิกรัลเส้น
ของสนามเวกเตอร์บนวงปิดใด ๆ, มันจะกลายเป็น 0
เพราะมันไม่ขึ้นกับเส้นทาง

Korean: 
부가적인 결론 같은 것이죠
이제 우리는 특정 구역 또는 xy 평면 전체에서
벡터장, 또는 스칼라장의 그래디언트가 있을 떄
이에 대한 포텐셜 함수
f를 정의했습니다
사실 보통 벡터장에 마이너스를 붙인 것이지만
그러면 실수하기 쉽죠
만약 스칼라장의 그래디언트인
벡터장이 있을때
우리는 이것을 보존 벡터장이라 합니다
영역 내의 임의의 점들 사이의
경로에 대한 선적분이 있을때
적분값은 경로에 무관하고
이것은 저번 영상에서 배운 내요입니다
그렇기 때문에 폐곡선에 대한 적분에서
임의의 지점에 대해서
폐곡선의 적분을 하면
항상 0이 됩니다
경로에 무관하기 때문이죠

Spanish: 
Después de esta conclusión.
Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el
gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la
plano xy todo--y esto se llama el potencial de f;
Esta es una función potencial.
A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil
se metiera con negativos--pero si tenemos un campo vectorial
el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector
campo conservador.
Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es
es válido, de la línea integral de un punto a otro
independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de
el último video.
Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada
línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos
cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de
el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque
es independiente de la ruta de acceso.

Bulgarian: 
да направите след това заключение
Сега знаем, че ако имаме векторно поле, което е
градиент на скаларно поло в някаква площ, или
може би в цялата равнина xy, това се нарича потенциал на f
Това е потенциална функция
Често ще си имаме работа с нейната противоположна стойност,
но работата с отрицателни е лесна. Ако имаме векторно поле, което
е градиент на скаларно поле, наричаме това поле
'потенциално'
И това ни казва, че за всяка точка от прощта, за която говорим,
криволинейната интеграла от една точка до друга
е независима от траекторията – това научихме от
предишния клип
И затова, интеграл, който е затворена линия,...
ако вземем някакво друго място и вземем
който и да е друг интеграл, който е затворена линия, или ако вземем криволинейния
интеграл на векторното поле на която и да е затворена линия, той ще бъде 0,
защото не е зависим от траекторията

English: 
after this conclusion.
So now we know that if we have
a vector field that's the
gradient of a scalar field in
some region, or maybe over the
entire xy plane-- and this is
called the potential of f;
this is a potential function.
Oftentimes it will be the
negative of it, but it's easy
to mess with negatives --but if
we have a vector field that is
the gradient of a scalar field,
we call that vector
field conservative.
That tells us that at any point
in the region where this is
valid, the line integral from
one point to another is
independent of the path; that's
what we got from
the last video.
And because of that, a closed
loop line integral, or a closed
line integral, so if we take
some other place, if we take
any other closed line integral
or we take the line integral of
the vector field on any closed
loop, it will become 0 because
it is path independent.

Estonian: 
pärast seda järeldust.
Seega, nüüd me teame, et kui meil on vektori väli, mis on
skalaarvälja teekallak mingis piirkonnas, või ehk üle
terve xy-tasandi-- ja seda kutsutakse f'i potentsiaaliks;
see on potentsiaalne funktsioon.
Tihtilugu on see negatiivne sellest, aga negatiivsustega
on lihtne mässata --aga kui meil on vektorväli, mis on
skalaarvälja teekallak, me nimetame seda
vektorvälja konservatiiviks.
See ütleb meile, et mistahes punktis selles regioonis, kus see tõene on,
joone integraal ühest punktist teise on
sõltumatu teekonnast; seda õppisime me
eelmisest videost.
Ja sellepärast, suletud tsükkli joone integraal, või suletud
joone integraal, seega, kui me võtame mingi muu koha, kui me võtame
mistahes muu suletud joone integraali või me võtame vektorvälja
joone integraali mistahes suletud tsüklis, hakkab see olema 0, sest
see on sõltumatu teekonnast.

Turkish: 
-
Bir alanda veya x y düzleminin tamamında bir vektör alan, bir skaler alanın gradyanı varsa - ki buna f'nin potansiyel fonksiyonu diyoruz.
-
-
-
Genelde potansiyel vektör alanın negatifi olacak, eğer skaler alanın gradyanı olan bir vektör alanımız varsa, bu vektör alanın konservatif olduğunu söylüyoruz.
-
-
-
Bunun geçerli olduğu alandaki her noktada, bir noktadan başka bir noktaya çizgi integrali izden bağımsız olur. Bunu bir önceki videodan çıkarmıştık.
-
-
-
İzden bağımsızlığın bir sonucu olarak, bir kapalı eğri integrali veya kapalı döngü üzerindeki vektör alanının çizgi integrali 0'a eşit olacak.
-
-
-
-

Portuguese: 
É um tipo de conclusão simples que você 
pode fazer a partir desta conclusão.
Agora nós sabes que se tivermos
um campo vetorial que
é o gradiente de um campo escalar
em alguma região, ou talvez por todo
o plano xy -- e isto é chamado de
potencial de f;
esta é uma função potencial.
Frequentemente será o negativo 
disto, mas é mais fácil
errar com negativos -- porém, se temos
um campo vetorial que
é o gradiente de um campo
escalar, nós o chamamos de
campo vetorial conservativo.
Isto nos diz que para qualquer
ponto nesta região onde isto
é válido, a integral de linha de um
ponto para outro é
independente do caminho; isto é
o que nós obtemos
do último vídeo.
E por causa disto, uma integral de linha
circular fechada, ou uma
integral de linha fechada, se tomarmos
algum outro lugar, se tomarmos
qualquer outra integral de linha
ou tomamos a integral de linha do
campo vetorial em qualquer
loop fechado, ele se tornará zero pois
é independente do caminho.

Portuguese: 
Este é nosso gancho importante aqui,
que se você sabe que
ele é um campo conservativo, se você
vier a ver algo deste tipo:
se você vir este f ponto dr e alguém
pedi-lo para avaliar
isto, dado que f é conservativo, ou
dado que f
é o gradiente de uma 
outra função, ou dado que f é
independente do caminho, você pode
imediatamente dizer que, isto será
igual a zero, o que simplifica
um pouco a matemática.
Legendado por: [José Irigon de Irigon]
Revisado por: [Bernardo Blasi Villari]

Bulgarian: 
Това научаваме от този клип
ако видите нещо такова :
Ако имате f точка dr и ви карат да изчислите
това, при условие, че f е потенциално поле (или, че f
е градиент на друга функция, или че f е
независимо от траекторията), ще можете веднага да кажете, че това
ще е 0 – и това доста ще ви улесни изчисленията
-

Turkish: 
Bu videodan çıkarımımız şu: Vektör alanının konservatif veya izden bağımsız veya bir başka fonksiyonun gradyanı olduğunu bildiğimiz takdirde, f iç çarpım d r'yi gördüğünüz zaman, birisi bunun değerini bulmanızı isterse, hemen 0'a eşit olduğunu söyleyebilirsiniz.
-
-
-
-
-
-
-

Korean: 
멋진 결론이죠
이렇게 생긴 식을 보시면
f · dr의 적분을 해야 할 때
f가 보존 벡터장의 함수라 주어지거나
f가 다른 함수의 그래디언트라 주어지거나
f가 경로에 무관하다 주어진다면
적분값은 0이라는 것을 알 수 있습니다
 

English: 
So that's the neat take away
here, that if you know that
this is conservative, if you
ever see something like this:
if you see this f dot dr and
someone asks you to evaluate
this given that f is
conservative, or given that f
is the gradient of another
function, or given that f is
path independent, you can now
immediately say, that is going
to be equal to 0, which
simplifies the math a good bit.

Estonian: 
Seega, see on hea äravõtt siit, et kui sa tead, et
see on konservatiiv, kui sa kunagi näed midagi sellist:
kui sa näed seda f punkt dr ja keegi palub sul hinnata
seda teades, et f on konservatiiv, või teades, et f
on mõne teise funktsiooni teekallak, või teades, et f on
sõltumatu teekonnast, sa võid koheselt öelda, et see
hakkab olema võrdne 0'ga, mis lihtsustab matemaatikat päris palju.

Spanish: 
Eso es puro llevar aquí, que si sabes que
Esto es conservador, si has visto algo como esto:
Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar
Este dado que f es conservador, o dado que f
es el gradiente de otra función, o dado que f es
ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va
ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.

Thai: 
นั่นคือผลที่เนี๊ยบที่ได้ตรงนี้, หากคุณรู้ว่า
นี่มันอนุรักษ์, หากคุณพบอะไรแบบนี้
หากคุณเห็นว่า f ดอท dr นี่ แล้วมีคนถามคุณว่าจะหานี่
ยังไงหากกำหนด f ว่าอนุรักษ์, หรือกำหนดว่า f
เป็นเกรเดียนต์ของฟังก์ชันนึง, หรือกำหนดว่า f
ไม่ขึ้นกับเส้นทาง, คุณก็สามารถตอบได้ทันทีว่า มันจะ
เท่ากับ 0, ซึ่งช่วยให้เลขง่ายขึ้นหน่อย
-

Portuguese: 
Então essa é a novidade aqui: se você sabe que
o campo é conservativo, se você alguma vez bate o olho em algo assim:
se você vê esse produto interno de f com dr e alguém lhe pede para calcular
essa integral, dado que f seja conservativo, ou dado que f
é o gradiente de uma outra função, ou dado que f é
independente do caminho, você pode imediatamente dizer,
que isso dará zero, o que simplifica a matemática um tanto quanto.
