
Bulgarian: 
От много векове математиците
са били запленени
от безкрайните суми,
които можем да наречем и редове,
от 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4...
и продължаваме така 
до безкрайност.
Това е интересно на много нива.
Изглежда като нещо, което
е интересно да проучим.
Това е 1/1 + 1/2 + 1/3 +...
и всеки член става все
по-малък и по-малък.
Те клонят към нула, но
когато съберем безкраен брой
от тези членове, дали
получаваме крайна стойност,
или е разходяща сума,
т.е. не получаваме крайно число?
Това се наблюдава в музиката
и може да е една от причините 
за изучаване на тези редове.
Там където имаш един основен тон,
основна честота в музиката,
но целта на това видео не е
да научим твърде много
за музиката, но ако
имаш основен тон,
това може да е чисто ла
или нещо такова.
Просто показвам една
от дължините на вълната.
Очевидно, това продължава
по този начин,

English: 
- [Instructor] For many hundreds of years,
mathematicians have been fascinated
by the infinite sum, which
we would call a series,
of one plus 1/2 plus 1/3 plus 1/4,
and you just keep adding
on and on and on forever.
And this is interesting on many layers.
One, it just feels like something
that would be interesting to explore.
It's one over one plus one
over two plus one over three,
that each of these terms are
getting smaller and smaller.
They're approaching zero,
but when you add them all together,
these infinite number of terms,
do you get a finite number
or does it diverge, do
not get a finite number?
This also shows up in music
and this actually might have been one
of the early motivations
for studying this series.
Where if you have a fundamental note,
a fundamental frequency in music,
and the point of this video
isn't to teach you too much
about music, but if you
have a fundamental note,
that might be a pure A
or something like that.
I'm just showing you
one of its wavelengths.
Obviously, you would keep going like that

Bulgarian: 
понеже го правя на ръка,
това не е идеално.
Хармониците са честотите,
обертоновете,
поне за нашето ухо, които
усилват това ла,
и за хармониците важи, че те
имат 1/2 от дължината
на вълната на ла.
В този случай ще изглежда
приблизително така.
Значи това е хармоник на ла.
Има половината от дължината
на вълната на ла, и обърни внимание,
че когато завършва 
един пълен цикъл,
завършва точно по същото време,
когато завършва дължината
на вълната на ла.
Може да има друг хармоник,
който ще има 1/3 от дължината
на вълната на ла,
или 1/4 от дължината на ла,
и ако разгледаш голям
брой музикални инструменти,
или това, което звучи
добре за ухото,
те не свирят само основния
тон, но и много хармоници.
Както и да е, това беше
доста многословен начин
да обясня защо се наричат
хармонични редове.
Хармонични редове.

English: 
and hit is a hand-drawn
version, so it's not perfect.
The harmonics are the
frequencies, the overtones,
that at least to our
ear, reinforce that A,
and what's true about the harmonics are
that they will be 1/2
of the wavelength of A.
In which case, it might
look something like this.
So this would be a harmonic of A.
It has half of the
wavelength of A and notice,
it gets, when it finishes
its second full wave form,
it ends again right at the same time
that the wavelength of A ends.
And then it would be another harmonic
where it'd be something that
has 1/3 the wavelength of an A
and a 1/4 of a wavelength of A,
and if you look at a lot
of musical instruments
or what sounds good to our ears,
they're playing not
just a fundamental tone,
but a lot of the harmonics.
But anyway, that was a long-winded way
of justifying why this is
called the harmonic series.
Harmonic, harmonic series.

Bulgarian: 
В следващо видео
ще докажа това, но сега не искам
да издавам резултата,
но това всъщност е разходящо,
и ще изведем общи
принципи
кога редове, които изглеждат
по този начин са сходящи или разходящи,
но хармоничните редове
определено са разходящи.
Ако трябва да го запиша,
със знака за сума сигма,
ще изглежда така.
За n от 1 до безкрайност
сумата от 1/n.
Друго интересно нещо е:
какво ще стане ако
сложим тук някакви степени?
Вече казах, и само
ще го препиша.
Не пречи да го направим
в по-познат за нас вид.
Това е хармоничен ред.
1/1, което е просто 1,
плюс 1/2 плюс 1/3,
и така нататък.
Какво ще стане, ако повдигнем
всеки от тези знаменатели
да кажем на втора степен?
Ще получим нещо такова,
където за n от 1 до безкрайност
сумата от 1/n^2.
Това ще изглежда ето така.

English: 
And in a future video,
we will prove that, and I don't
want to ruin the punchline,
but this actually diverges,
and I will come up with general rules
for when things that look like this
might converge or diverge,
but the harmonic series
in particular diverges.
So if we were to write it,
so in sigma form,
we would write it like this.
We're going from n equals one
to infinity of one over n.
Now another interesting thing
is well, what if we were to
throw in some exponents here?
So we already said, and
I'll just rewrite it.
Doesn't hurt to rewrite it
and get more familiar with it.
This right over here
is the harmonic series.
One over one, which is just one
plus one over two plus one over three,
so on and so forth,
but what if we were to raise
each of these denominators
to say, the second power?
So you might have something
that looks like this,
where you have from n
equals one to infinity
of one over n to the second power.
Well, then it would look like this.

Bulgarian: 
Ще стане 1/1^2, което е 1,
и можем целия член
да запишем като 1,
плюс 1/2^2, което е 1/4,
плюс 1/3^2, което е 1/9,
и така до безкрайност.
Можем да го запишем в общ вид.
Можеш да кажеш:
а какво ще стане, ако имаме
една цяла група от редове,
които се описват по този начин?
За n от 1 до безкрайност,
сумата от 1/n^p,
където р е произволен
степенен показател.
Например,
това тук ще стане,
ще бъде 1 + 1/2^р
+ 1/3^р
+ 1/4^р,
като това не е задължително
да са цели стойности.
Например р може да е 1/2,
и тогава ще имаме
1 + 1 върху квадратен 
корен от 2,
плюс 1 върху квадратен 
корен от 3.
Цялата тази група от редове,

English: 
It'd be one over one
squared, which is one,
and we can just write
that first term as one,
plus one over two squared,
which would be 1/4,
plus one over three squared, which is 1/9,
and then you could go on and on forever.
Forever,
and then you could generalize it.
You could say hey, all right,
what if we wanted to have
a general class of series
that we were to describe like this?
Going from n equals one to infinity
of one over n to the p,
where p could be any exponent.
So for example,
well the way this would play out
is this would be one plus
one over two to the p
plus one over three to the p
plus one over four to the p,
and it doesn't just have
to be an integer value.
It could be, some, p could be 1/2,
in which case, you would have one
plus one over the square root of two
plus one of the square root of three.
This entire class of series

Bulgarian: 
като хармоничните редове
са специална извадка от тях,
за която р = 1,
това са така наречените
р-степенни редове.
Те са познати като
р-степенни редове
и се опитай да го запомниш,
защото р идва от английската
дума за степен (power),
на която е повдигнат 
знаменателя.
Можеш да разглеждаш това
и все едно повдигаме целия израз,
защото 1 на всяка степен
пак е 1.
Подсказах ти, че някои от
тях ще са сходящи,
а други ще са разходящи,
което ще докажем в бъдещо видео,
но общият принцип е,
че когато р е по-голямо от 1,
тогава редът е сходящ.
Това е логично, защото
означава, че членовете
стават все по-малки и по-малки,
защото колкото по-висока
е степента в знаменателя,
това означава, че знаменателят
нараства по-бързо,
което означава, че дробта
намалява по-бързо,
и ако р е по-малко 
или равно на 1,
и разбира се, когато р = 1,

English: 
and of course, harmonic
series is a special case
where p is equal to one,
this is known as p series.
So these are known as p series
and I try to remember it
'cause it's p for the power
that you are raising this denominator to.
You could also view it
as you're raising the
whole expression to it
because one to any exponent
is still going to be one.
But I hinted a little bit
that maybe some of these converge
and some of these diverge,
and we're going to prove
it in future videos,
but the general principle is
if p is greater than one,
then we are going to converge.
And that makes sense intuitively
because that means that the
terms are getting smaller
and smaller fast enough
because the larger the
exponent for that denominator,
that means that the denominator's
going to get bigger faster
which means that the fraction
is going to get smaller faster
and if p is less than or equal to one,
and of course, when p is equal to one,

English: 
we're dealing with the
famous harmonic series,
that's a situation in which we diverge
and we will prove these
things in future videos.

Bulgarian: 
това са известните
хармонични редове,
това е случаят, когато
те са разходящи,
като ще докажем това
в бъдещи видео клипове.
