
Bulgarian: 
 
Отново си в час по математика.
Просто – никога не спира.
Ден след ден откриваш, че си 
в капан зад този чин
само с тетрадката си за компания,
това бледо огледало, което отразява мислите ти
като успокояващо отражение
на споделени идеи.
Пропиляваш още един незаменим час
от краткия си живот, без дори 
да се преструваш, че слушаш
учителя си, който говори за логаритми.
Или поне мислиш, че говори за логаритми.
Не внимаваш особено,
докато си седиш небрежно там,
пропилявайки този единствен момент, 
който ще имаш и – опа,
ето още един.
Но дори не се преструваш, 
че учиш за логаритмите,
за разлика от висшата математика,
за която учителката ти дори не очаква
да се преструваш, че внимаваш.
И вместо това се забавляваш,
като си драскаш.
Преди два дни откри безкрайно 
самоподобния звяр, тоест, фрактала.
И вчера откри, че когато мащабираш
двумерно нещо по 2, 
то нараства с коефициент от 4.
И когато го мащабираш 
с някакъв произволен коефициент,
площта нараства с този коефициент
на квадрат,

English: 
So you're back in
math class again.
It just-- it never stops.
Day after day you find yourself
trapped behind this desk
with only your
notebook for company,
that pale mirror that
reflects your thoughts
on a comforting simulacrum
of shared ideas.
You're wasting another
irreplaceable hour
of your finite life not
even pretending to listen
to your teacher talk
about logarithms.
Or, at least, you
think it's logarithms
that she's trying to teach you.
You haven't exactly
been paying attention
as you sit there casually,
disposing of this
only this moment you'll
ever have, and-- oops,
there goes another one.
But either way, it's definitely
logarithms in particular
that you're not even
pretending to learn,
as opposed to, say, calculus,
which your teacher wouldn't
even expect you to be
pretending to pay attention to.
So instead, you're amusing
yourself by doodling.
Two days ago, you discovered the
infinitely self-similar beast
that is the fractal.
And yesterday, you
discovered that when
you scale a two-dimensional
thing up by two,
it grows by a factor of four.
And when you scale
it by any amount,
the area grows by
that amount squared,

English: 
unlike 1D where it's
just that amount,
and in 3D it's
that amount cubed.
And then 4D, it's that
amount hyper-cubed.
And in n dimensions, it's
that amount to the n.
So when you put it
like that, you're
actually making pretty good
use of your limited time
on this earth.
And by limited
time on this earth,
I mean that we're all going to
become immortal space robots.
Anyway, you're
continuing your plans
for a fractal city of
infinite dragon dungeons,
triangles upon triangles upon
triangles, each next set scaled
down by a factor of 3.
That's 1/9 the area.
But there's four times as many.
And the next set has four
times as many as the last,
but 1/9 times the
size of the last.
So the total weight of steel
is 1 plus 4/9 plus 4 squared
over 9 squared plus 4 to
the 3 over 9 to the 3,
dot, dot, dot, plus 40
to the n over 9 to the n.
And maybe could
learn how to add up
an infinite series of
numbers if your teacher
would ever get past logarithms.
But at least you
know how to create
the perfect fractal
city, which is good,
because understanding scale
factors and city planning
seems like the kind of thing
that might come in handy if you
want to help the
species on our journey

Bulgarian: 
за разлика от 1D, когато нараства
просто по този коефициент,
и от 3D, където е по коефициента
на трета степен.
И после 4D нараства по този
коефициент на четвърта степен.
И в n-измерения нараства по този
коефициент на степен n.
Когато го поставиш по този начин,
доста добре оползотворяваш ограниченото си време на тази земя.
И под ограничено време на тази земя
имам предвид, че всички ще станем
безсмъртни космически роботи.
Както и да е, продължаваш плановете си
за фрактален град от безкрайни 
драконови подземия,
триъгълници върху триъгълници, 
върху триъгълници,
всяко ново множество с мащаб 
намален с коефициент от 3.
Това е 1/9 от площта.
Но има четири пъти по толкова.
И следващото множество има 
четири пъти толкова, колкото предишното,
но е 1/9 пъти размера на предишното.
Тоест общото тегло стомана е 1 + 4/9,
+ 4^2 върху 9^2, + 4^3, върху 9^3,
точка, точка, точка, +4^n върху 9^n.
И може би можеш да се научиш 
как да събираш
безкрайна поредица числа,
ако учителят ти някога изобщо 
приключи с логаритмите.
Но поне знаеш как да създадеш
перфектния фрактален град,
което е добре, понеже разбирането на 
коефициентите на мащабиране и градско планиране
изглежда нещо, което може да е полезно,
ако искаш да помогнеш на видовете
в нашето пътуване

Bulgarian: 
да станат безсмъртни космически роботи.
Единственото нещо, което 
може да направи града по-добър,
е ако беше два пъти толкова голям.
А ако беше три пъти толкова голям?
Така че можеш да задържиш 
тази част от дизайна
и просто да начертаеш следващото повторение.
Три пъти мащаба в две измерения
означава, технически, че ще ти трябва 
девет пъти толкова стомана.
Въпреки че, доколкото продължава
 рисуването на тези планове,
не е 9 пъти толкова трудно, а само 4,
тъй като трудната част е 
външната островърха част.
И това е просто копирано четири пъти,
за да бъде увеличено 3 пъти.
Чакай...
Странно нещо номер 1.
Увеличаването на мащаба по 3
означава 9 пъти толкова стомана.
Но това е същото нещо, копирано 4 пъти,
плюс запълването на този среден триъгълник.
Така че това е 4 пъти стоманата + 9.
Ако този мистериозен сбор от безкрайни редици, 
ако общото тегло стомана беше х
и 9х = 4х + 9, 5х = 9,
х = 9/5.
На ти, безкрайност!
Добре.

English: 
towards becoming
immortal space robots.
Really, the only thing that
could make the city better
is if it were twice as big.
Or how about three times as big?
So you can keep this
part of the design
and just draw the
next iteration.
Three times the scale
in two dimensions
means technically you'll need
nine times as much steel.
Though, as far as
drawing these plans go,
it's not nine
times as difficult,
but only four, since the hard
part is the outside spiky part.
And that's just
copied four times,
in order to scale up by three.
OK, wait.
Weird thing number one.
Scaling up by three makes
nine times as much steel.
But it's the same thing
copied four times,
plus filling in this
middle triangle.
So it's also four
times the steel plus 9.
So if this mystery sum of an
infinite series, total weight
of steel were x, and 9x
equals 4x plus 9, 5x equals 9,
x equals 9/5 exactly.
Take that, infinity!
OK.

English: 
Now weird thing number two.
Look at just the edge,
the actual Koch Curve
not filled in.
If it were a regular line,
not an infinitely spiked one,
scaling up by
three would make it
three times as much
drawing, as expected.
But if that spiky
line were supposed
to represent an infinitely
spiked magical fortress
city of dragon dungeon doom,
by scaling it up in this way,
you'd be losing details,
making these long lines that
should have had
spiky bumps in them.
Theoretically, no
matter how much
you scale up the city or
no matter how finely you
look at it, you'll never
get any flat sections.
This whole thing
scaled down is the same
as this section, which is the
same as this section, which
is the same as this.
And so on.
Three times as big is
four times as much stuff.
Not three, like if it were a
normal 1D line, and certainly
not nine, like that
2D area on the inside.
Somehow, the infinity
fractal-ness of the thing
makes it behave differently
from all 1D things and all 2D
things.
You convince yourself that
all 1D things got twice as big

Bulgarian: 
Сега, странно нещо номер 2.
Погледни само ръба, реалната крива
на Кох, която не е запълнена.
Ако беше нормална права, а не 
безкрайно островърха такава,
увеличаването на мащаба по 3 щеше да означава
три пъти толкова рисуване, както очакваме.
Но ако тази островърха права трябваше да
представлява безкрайно островърха магическа крепост,
град от драконово подземие, 
като увеличаваме мащаба по този начин,
губим детайли, правим тези дълги прави,
които трябваше да имат островърхи издутини.
На теория, без значение колко 
увеличаваш мащаба на града
или без значение колко добре го разглеждаш,
никога няма да получиш равни части.
Цялото това нещо с намален мащаб
е същото като тази част, което
е същото като тази част,
което е същото като това.
И така нататък.
Три пъти толкова голямо е 
4 пъти по това нещо.
Не 3, както ако беше нормална 1D линия,
и определено не 9, както тази 2D площ
във вътрешната част.
Някак безкрайната фракталност на това нещо
го кара да се държи по-различно 
от всички 1D неща и всички 2D неща.
Убеждаваш се, че всички 1D неща 
са станали два пъти толкова големи,

Bulgarian: 
когато ги направиш два пъти толкова големи,
понеже можеш да ги приемеш 
за разделени на отсечки.
И знаеш как се държат отсечките.
И се убеждаваш, че всички 2D неща 
с мащаб увеличен с 2
стават 4 пъти по толкова,
понеже можеш да приемеш 2D нещата,
 изградени от квадрати,
и знаеш как се държат квадратите.
Но после имаме това, в което 
няма прави линии.
И няма и квадратни площи.
Повече от 3^1, по-малко от 3^2.
Държи се сякаш е между 1 и 2 измерения.
Сещаш се отново за триъгълника 
на Серпински.
Може би може да се смята 
за изграден от прави отсечки,
въпреки че има безкрайно количество 
от тях и стават безкрайно малки.
Когато го направиш два пъти толкова високо,
ако просто направиш тези линии 
от рисунката два пъти толкова дълги,
отново пропускаш детайли.
Но малките линии, твърде малки,
за да бъдат начертани,
също са два пъти толкова дълги 
и сега са видими.
И така нататък, чак до безкрайно 
малките отсечки.
Хм.
Чудиш се дали това нещо 
с подобната права
работи за прави, които нямат дължина.
Чакай.
Прави, които нямат дължина?

English: 
when you make them twice as
big, because you could think
of them as broken up into
straight line segments.
And you know how
line segments behave.
And you convince
yourself all 2D things
scaled up by two get
four times as much stuff,
because 2D things can be thought
of as being mad of squares,
and you know how squares behave.
But then there is this which
has no straight lines in it.
And there's no square
areas in it, either.
More than three to the one,
less than three to the two.
It behaves as if it's between
one and two dimensions.
You think back to
Sierpinski's triangle.
Maybe it can be thought of as
being made out of straight line
segments, though there's
an infinite amount of them
and they get infinitely small.
When you make it twice
as tall, if you just
make all the lines of this
drawing twice as long,
you're missing detail again.
But the tiny lines
too small to draw
are also twice as
long and now visible.
And so on, all the way down
to the infinitely small line
segments.
Hm.
You wonder if your
similar line thing
works on lines that don't
actually have length.
Wait.
Lines that don't have length?

Bulgarian: 
Има ли такова нещо?
Първо, откриваш, че когато я направиш 
два пъти толкова голяма,
получаваш три пъти по
триъгълника на Серпински.
Не 2, както очертанията на 1D триъгълник.
Не 4, както плътен 2D триъгълник.
А някъде по средата.
И това "по средата" изглежда е вярно, 
без значение по какъв начин го направиш –
извън правите или чрез изваждане 
на 2D триъгълници, или със завъртулки.
Накрая всички са еднакви.
Един обект във фрактално измерение.
Вече не 1D, поради безкрайно 
безкрайните малки линии.
Или вече не 2D, поради 
изваждането на цялата площ.
Или безкрайно завъртяна права,
която също е твърде безкрайна 
и завъртяна, че да е права,
но не се притиска достатъчно в себе си, 
че да има 2D площ.
Въпреки че при драконовата крива
изглежда се притиска в себе си.
Хм.
Ако си представиш, че това е завършената 
драконова крива и повтаряш по този начин,
има два пъти по това.
Това се очаква от 1D права,
ако увеличаваме мащаба с 2.
Но, да видим, това е увеличаване 
на мащаба не точно по 2.
Да видим.
Предполагам, че го направи перфектно,
предполага се, че е равностранен
правоъгълен триъгълник.

English: 
Is that a thing?
First, though, you figure out
that when you make it twice as
big, you get three times as
much Sierpinsky triangle.
Not two, like a 1D
triangle outline.
Not four, like a
solid 2D triangle.
But somewhere in between.
And the in between-ness seems
to be true, no matter which way
you make it-- out of lines, or
by subtracting 2D triangles,
or with squiggles.
They all end up the same.
An object in
fractional dimension.
No longer 1D because of
infinity infinitely small lines.
Or no longer 2D because of
subtracting out all the area.
Or being an infinitely
squiggled up
line that's too infinate and
squiggled to be a line anymore,
but doesn't snuggle into itself
enough to have any 2D area,
either.
Though in the dragon
curve, it does
seem to snuggle up into itself.
Hm.
If you pretend this is
the complete dragon curve
and iterate this way,
there's twice as much stuff.
That's what you'd
expect from a 1D line
if it were scaling it by two.
But let's see, this is scaling
up by, well, not quite two.
Let's see.
I suppose if you
did it perfectly,
it's supposed to be an
equilateral right triangle.

English: 
So square root 2.
Hm.
If it were two
dimensional, you'd
expect scaling up by squart
root two would give you
square root 2 squared
as much stuff.
And square root 2 squared
is, of course, two,
which is the amount
of stuff you got.
Odd how dragons turn out to
be exactly two dimensional.
But in the end, you
get a fill-up thing
with a fractal edge.
And that's a lot like a
filled in dragon dungeon.
2D area of pink steel on the
inside, infinite fractal patina
on the outside.
Except the dragon curve
still gets weirdness points
for getting its 2D-ness from
an infinitely squiggled up
line rather than triangles
that are 2D to begin with.
And now you're plagued
by another thought.
What about an infinitely
long line, a true line,
rather than the line segments
you've been dealing with?
In a way, an infinitely long
line doesn't have a length.
Not a defined one.
Like the infinitely
short line, there's
no real number capable
of describing it.
And if there's no
number for it, how
can you multiply
that number by 2?
If, when you make a
line twice as long,
you don't get a line with
exactly twice the length,
is a line really
one dimensional?

Bulgarian: 
Тоест, квадратен корен от 2.
Хм.
Ако това беше двуизмерно,
тогава ще очакваш увеличаването 
на мащаба по квадратен корен от 2
да ти даде с квадратен корен от 2 
на квадрат по това нещо.
И корен квадратен от 2 на квадрат е, разбира се, 2,
което е количеството нещо, което получи.
Странно как драконите се оказаха
точно двуизмерни.
Но  края получи запълнено нещо 
с фрактален ръб.
И това е доста като 
запълнено драконово подземие.
2D площ от розова стомана 
във вътрешността,
безкрайна фрактална патина отвън.
Освен че драконовата крива все още 
получава точки за странност,
защото получава своята двумерност
от безкрайно завъртяна права,
а не от триъгълници, които в началото 
са били 2D.
И сега те напада друга мисъл.
А какво да кажем за безкрайно 
дълга права, истинска права,
а не отсечките, с които се занимаваше?
В определен смисъл една безкрайно
 дълга права няма дължина.
Не и зададена такава.
Както безкрайно късата права,
няма реално число, което 
да може да я опише.
И ако няма число за това,
как можеш да умножиш това число по 2?
Ако, когато направиш една права 
два пъти толкова дълга,
не получаваш права 
с точно два пъти дължината,
дали тази права наистина е 
едномерна?

Bulgarian: 
И ако кривата на Кох 
е направена от права,
която е достатъчно завъртяна, 
че да е повече от 1D,
какво се случва, когато 
я превърнеш обратно в права?
Опитваш се да си представиш 
съответствието.
Ако тази точка свършва тук,
тогава тази точка ще свърши
безкрайно в тази посока.
И тази, два пъти толкова безкрайно 
в тази посока,
което няма смисъл.
И тази също безкрайно в тази посока.
И тази, и тази.
Но не могат всички да свършат 
в същата безкрайност,
понеже трябва да имат 
безкрайна права помежду си.
Предполагаш, че ще ти трябва
супер дълга права,
която е като безкрайно много 
безкрайни дълги прави, събрани в едно.
И може би тази права 
няма да е едномерна,
а колкото измерения е това.
Чудиш се как да откриеш
точното фрактално измерение на кривата на Кох 
или триъгълника на Серпински.
3 на степен измерението 
ти дава 4 пъти по това.
Но как ще откриеш това число?
Само да имаше начин да го намерим.
Изведнъж звънецът звънва, така че 
си събираш нещата колкото можеш по-бързо,
като се чувстваш удобно със знанието,

English: 
And if the Koch
curve is made out
of a line squiggled up
enough to be more than 1D,
what happens if you pull
it back apart into a line?
You try to imagine
the correspondence.
If this point ended up
here, then this point
would end up
infinitely that way.
And this one,
twice as infinitely
that way, which makes no sense.
And this one also
infinitely that way.
And this one and this one.
But they can't all end
up at the same infinity,
because they each have to have
infinite line between them.
So you suppose you're going to
need a super long line that's
like infinitely many infinitely
long lines all put together.
And maybe that line will
not be one dimensional,
but however many
dimensions this thing is.
You wonder how you
would figure out
the exact fractional dimension
of the Koch curve or Sierpinski
triangle.
3 to the dimension gives you
four times as much stuff.
But how do you find that number?
If only there were a
way to figure that out.
Suddenly the bell
rings, so you pack up
to leave as quickly as you can,
comfortable in the knowledge

Bulgarian: 
че никога повече няма да трябва 
да чуваш за логаритми.

English: 
that you're never going to have
to hear about logarithms ever
again.
