
English: 
(Brady: Dude, this is the first for Numberphile)
On the ribs as well. The pain of the ribs, like
there's - I'm gonna say this is a complete commitment to,
to Navier-Stokes and fluid mechanics.
(Brady: Why did you do that?)
Well...
What are the Navier-Stokes eqations?
The first one: grad dot u = 0
And the second one
Rho, Du by Dt = - grad p + Mu grad squared u + rhoF
Like most mathematical equations perhaps, they look quite scary,
but they're actually universal laws of physics.
So this is why these guys model every single fluid we have on Earth.
And I mean every fluid.
Put a fluid in your head,
these guys tell you how it moves, how it behaves,
what's going on with that fluid.
So a fluid, I tend to think of it as something which changes shape

English: 
to match the container that it is in.
Of course a liquid, but also a gas, even some solids.
So like ice, you think about a glacier flowing down a mountain,
you watch those time lapse videos, it kinda looks like a river.
So ice in that sense behaves like a fluid,
it is changing its shape to fit the valley, the glacier valley, which it's flowing in.
So the first one
this is literally just saying
that mass is conserved.
So this is just saying I have some blob of fluid,
it moves around, you know, with some velocity and maybe changes shape,
I'm not adding anything, I'm not removing anything
I would want the same mass of fluid
to still be there.
Mass is conserved. It's a
pretty standard law of physics, makes a lot of sense.
This guy is just Newton's second law.
So this is just telling us that
mass times acceleration is force.
The top one tends to be the mass equation, conservation of mass,
or the incompressibility equation.

English: 
And the second one is the momentum equation - or
the small one and the big one. I quite like that.
Let's start with the little one.
So u, here, this is our velocity.
So this is just speed with a direction.
It's a vector. You might say u is equal to u, v, w.
So we've got a component in an x-direction, a component in a y-direction, a component in a z-direction.
How fast the water in a river is flowing, how fast the air around the Formula 1 car is going.
Thinking about a aerodynamics, how fast  the custard is flowing off your spoon.
Any sort of movement of the fluid, the speed and that motion
is going to be encapsulated by the velocity, that's the key thing
about its motion.
We've then got this other symbol here, nabla,
we do love our Greek letters in maths. So the symbol nabla is,
is telling us what to do to our velocity u.
So nabla is a gradient, it's a derivative.
It's telling us to differentiate our vector u in a particular way.
And a way it tells us to do that

English: 
is we have our three components - u, v,  w
and what we're gonna do is we're just gonna do
du by dx, so differentiate the first bit with respect to its coordinate, which is x.
It's the first coordinate, x coordinate, differentiate with respect to x.
Then we're gonna add derivative of the second one with respect to our second coordinate - dy.
And hopefully you figured out the pattern. We're then gonna add on dw by dz.
So this is the divergence of our velocity, it's just three derivatives.
So it's saying how does the x component of my velocity u,
how does that change as I move in the x direction?
Then how does v, my y component, change in the y direction? And how does the third component w, in the z direction,
how does that change in the z direction? So this is equal to zero, equation number one. This just tells us mass is conserved.
Now, the second one, the big boy. So Newton's

Japanese: 
これが、速度の発散です。ただ3つの派生物です
だから、私の速度UのX成分はどのようになっているのでしょうか？
X方向に移動すると、どのように変化しますか？
次に、VのY成分はY方向にどのように変化し、3番目の成分WはZ方向にどのように変化しますか？
Z方向にどのように変化しますか？したがって、これはゼロの方程式に等しくなります。一番。これは、質量が保存されていることを示しています
今2番目の大きな男の子なのでニュートンの

English: 
second law in disguise. So
we're expecting force equals mass times acceleration.
Here we've got u, our velocity, and when we take a time derivative of velocity
that's exactly what acceleration is. You're going at a speed, you increase your speed,
you've accelerated. Your speed has changed with respect to time - or you decrease your speed, you decelerate it.
So that's what the first term is going to describe and then we also need the mass. You think of
mass in this situation to be a density.
So it's how, you know, fresh water has a smaller density than saltwater.
So saltwater is heavier in that sense, but it's, you sort of, mass and density are the same thing when it comes to fluids,
that's how you you sort of work with those things. So rho, this Greek letter here, that is going to be our density.
So this is our mass in that situation. So this is mass times acceleration.
That's our Newton's second law of the left-hand side. And then all of this

Japanese: 
変装した第二法
ここでは、力は質量と加速度の積に等しいと予想しています
速度を取得し、速度の時間微分を取得すると
それがまさに加速です。速度を上げていく
時間に関して速度が変化したのを加速したか、速度を下げた。減速します
それが最初の用語が説明しようとしていることであり、それからあなたが考える質量も必要です
この状況での質量は密度になる
だから、淡水は塩水よりも密度が小さいことを知る方法です
その意味で、海水はより重いですが、流体に関して言えば、質量と密度は同じものです
それはあなたがそれらのことを扱う方法です。このギリシャ語の手紙は、私たちの密度になります
これがその状況における私たちのミサです。これは質量倍加速です
これが、左辺の第二法則の新しいものであり、このすべて

English: 
sort of stuff going on over here, these are just all the forces.
So what we've got, we have the first two terms. These guys are what we call the internal forces.
So this is the force between all of those fluid particles hitting into each other, crashing
sliding, grinding past one another - there's internal force there. And then the third one - it's just capital F,
this is a bit of a cheat because we just say this is our external force F.
So this could be,
gravity is the standard thing you would, normally you just replace F with G,
call it gravity. That's your external force in most situations.
And if you want to go really fancy
you can put in electromagnetism. And we can sort of combine
Navier-Stokes with Maxwell's equations and get magnetohydrodynamics.
And that is how stars form and galaxies form and that is just next-level. Navier-Stokes was hard
magnetohydrodynamics, like trying to model the growth of the Sun.

Japanese: 
ここで起こっていることの並べ替え。これらはすべての力です
私たちが持っているのは、これらの人たちが内力と呼ぶものである最初の2つの用語です
これは、互いに衝突するすべての流体粒子間の力です
互いにすりつぶすと、そこに内力があり、次に3番目の力があります。ただの首都F
これはちょっとしたごまかしです
だからこれは
重力は、通常FをGに置き換えるだけの標準的なものです
それを重力と呼びます。それはほとんどの状況であなたの外力です
そして、あなたが本当に空想に行きたいなら
電磁気を入れることができます
マックスウェルの方程式を用いた航海-ストークスと電磁流体力学の取得
そして、それが星の形成と銀河の形成の仕方であり、それはあなたのストークスがどれだけ難しいかという次のレベルです
太陽の成長をモデル化しようとするような磁気流体力学

English: 
It's as hard as it sounds. Internal forces versus external forces. So it's just a sum of various forces.
What are these individual forces? So let's look at the first one, this nabla p or grad of p.
So this is very similar to our mass equation up here. So the gradient of p, our pressure gradient, is a vector
representing the change in pressure. When there is a difference in pressure, a change in pressure, high pressure over here, low pressure over here,
the air moves, from high pressure to low pressure. If there's a gradient there's a difference in pressure between two points
that causes the fluid to move between or along that pressure gradient.
So that is creating a force. So then the final internal force - this guy. So this is viscosity. Kind of what it's made up,
so you've got all the, you can think of it as being in layers and it's slid-- those layers slide past one another, they create a friction.
And how strong that friction is, is is the viscosity. So air, super thin, air particles
they move around, they do their thing. It's all good. But if you've got like, honey

Japanese: 
外力に対して内力のように聞こえます。さまざまな力の合計です
これらの個々の力は何であるので、このnabla PまたはPの卒業生の最初のものを見てみましょう
したがって、これはここまでの質量方程式に非常に似ています。 Pの勾配は圧力勾配です。それはベクトルです
圧力差がある場合の圧力の変化を表す圧力の変化ここでの高圧ここでの低圧
勾配がある場合、2点間で圧力に差がある場合、空気は高圧から低圧に移動します
それにより、流体がその圧力勾配の間またはそれに沿って移動します
それが力を生み出しています。だから、最後の内部力この男。これは粘度の一種です
レイヤーにできることはすべて揃っているので、それらのレイヤーが少しずつスライドして摩擦が生じ、
その摩擦がどれほど強いかは、粘度が空気であるため、空気は非常に薄い空気粒子です
彼らは自分のことをして動き回る。大丈夫だよー。しかし、あなたが好きなら、ハニー

English: 
sliding past other bits of honey, it's very sticky. It's very thick much larger viscosity. So that's your second internal force.
(Brady: Where's the problem with all this?)
This is why these equations are so great. Because it's mass is conserved,
it's Newton's second law,
it's all just, makes complete sense.
There is nothing we have said here, hopefully, that anybody can possibly disagree with. It's just Newton's second law, move
my fluid around, mass is conserved. And this is why these equations work. So they've been around since the 1820s,
the 1840s where Navier and Stokes both worked on them and
this is why they work, this is why we keep studying them. But the problem is
we don't actually know if they always have solutions. They can be used for almost anything you can think of involving a fluid.
So they could be
aerodynamics of a Formula One car, they could be designing new aircraft to go faster than the speed of sound,
this could be blood flow around the body for drug delivery,
maximising the way the drug is deposited to do with the blood flow.

Japanese: 
他の蜂蜜をすり抜ける。とてもねばねばしています。それは非常に厚い粘度です。それがあなたの第二の内なる力です
これらすべての問題はどこにありますか？これが、質量が保存されているため、これらの方程式がとても素晴らしい理由です
ニュートンの第二法則です
それはすべて完全に理にかなっています
ここで言ったことは何もありません。うまくいけば、誰もがそれに異議を唱えることができれば、それはただニュートンの第二法則の動きだ
質量の周りの私の流体は保存されています。そして、これがこれらの方程式が機能する理由です。だから彼らは1820年代から存在しています
1840年代、航海士による攻撃が行われ、
これが彼らが働く理由です。これが私たちがそれらを研究し続ける理由ですが、問題は
彼らが常に解決策を持っているかどうかは、実際にはわかりません。それらはほとんどすべてに使用できます。流体の関与を考えることができます
だから彼らは
音速よりも速く進むように新しい航空機を設計する可能性のあるF1車の空気力学
これは、薬物送達のための体の周りの血流である可能性があります
血流に関連する薬物の沈着方法を最大化する

English: 
This could be pollution modelling, climate modelling, ocean modelling - or anything involving a fluid. It has to satisfy these equations.
So these are always your starting point, but then the problem is, and this is why you get the million dollars,
we just don't really understand them
mathematically. In the sense that when you have a set of equations,
as a mathematician you want this, that set of equations
to satisfy three particular properties. First of all, you want a solution to exist.
You know? Got equation, you want to go, right, I want to be able to solve it. That would be nice.
Second of all you want a unique solution, you know
if you did an experiment with throwing a glass of water across the room and then you did it again, and it did something different,
you know, it did like a loop-de-loop in the air. It makes no sense. And then the tricky bit is you want smooth
solutions.
Well-behaved
solutions. Like, I've made a tiny little change in how I started my experiment

Japanese: 
これは、汚染モデリング、気候モデリング、海洋モデリング、または流体が関係するあらゆるものです。これらの方程式を満たさなければなりません
だから、これらは常にあなたの出発点ですが、問題はそれであり、これが百万ドルを得る理由です
本当に理解していないだけです
数学的には、次のような方程式のセットがあるとき
あなたはこれが欲しい数学者、その方程式のセット？
3つの特定のプロパティを満たします。まず第一に、あなたはあなたに存在する解決策が欲しいですか？
方程式を知っている。あなたは正しく行きたいですか？すでに解決できました。それはいいね
第二に、あなたはユニークなソリューションを望んでいます、あなたは知っています
あなたが部屋に水を一杯投げて実験をして、彼らがそれを再びし、そしてそれが何か違うことをしたなら
いいえ、まるで空中のループのようです。意味がない。そして、トリッキーなビットはスムーズにしたいですか？
解決策
善行
私が始めた方法に小さな変更を加えたようなソリューション

English: 
and I want the result to also just have a tiny little change. Quantifying tiny, but not to blow up to infinity.
That wouldn't make sense because I've changed something so, so small - why have I got an entirely different solution?
(Brady: We've also been taught that butterflies flapping their wings can cause cyclones)
The butterfly effect - it's like a chain reaction. It's one thing leads to another leads to another.
But in the in the sense of having an equation,
you input something into your equation - it's like a function machine. You input some initial condition, it outputs
what's gonna happen next, predicts almost like the future. So you start with your fluid, it has some velocity,
our u. Some pressure, some viscosity, input it - Navier-Stokes tells you how that fluid is going to move.
You know, you can do these experiments so
you know what's gonna happen and you want the equations to give you that result.
If you just tweak your velocity a tiny bit, if you did that experiment you'd get almost the same result.
So you want that small change in the starting point to lead to a small change in the solution.
And this is what we don't know about Navier-Stokes. We don't even know if a solution exists all the time.
So given an initial condition - here's a velocity, here's a pressure, input it. We don't even know if a solution's going to come out.

Japanese: 
そして、その結果には、小さなことを定量化する小さな小さな変化が必要ですが、無限に爆発することはありません
私は何かを変更したので、それは意味をなさないでしょう。とても小さいのに、なぜ私はまったく異なるソリューションを手に入れたのでしょうか？
蝶が羽ばたいてサイクロンを引き起こすことも教えられました
連鎖反応のようなバタフライ効果は、1つの大きなリードが別のリードにつながる
しかし、方程式を持っているという意味で
出力する初期条件を入力する関数マシンのように、方程式に何かを入力します
次に何が起こるのでしょうか？だから、あなたはあなたの液体から始めます。速度があります
ストークスはその流体がどのように移動するかを教えてくれます
これらの実験を行うことができます
そう
あなたは何が起こるか知っており、あなたは方程式があなたにその結果を与えることを望む
速度を少し調整します。その実験をした場合、ほぼ同じ結果が得られます
それでは、開始点の小さな変化がソリューションの小さな変化につながることを望みますか？
そして、これは航海士の攻撃について私たちが知らないことです。ソリューションが常に存在するかどうかさえわかりません
したがって、初期条件が与えられた場合、ここに速度があります。これが圧力入力です。解決策が出てくるかどうかさえわかりません

English: 
(Brady: So how come these equations are being used by)
(climate modellers and by Formula One teams and all these things that you tell me are using Navier-Stokes. It sounds like they're using a really unreliable tool.)
I wouldn't say it's unreliable, because it's based on
such standard laws of physics: mass is conserved, Newton's second law. So I think everyone's happy that that makes complete sense.
We've got that bit, right.
There's no reason for that not to be correct.
But then the the sort of the mathematical complexity of it, the tricky bit, is
we don't know if a solution is always going to exist and so we kind of find ways to
cheat.
So we might make
simplifications, we might make assumptions to reduce some of these terms, or to remove time from the problem. Or you can
get ways around it by making
assumptions and making simplifications.
So that's one way to use them. And then another way is to,
what's called averaging. So rather than having a velocity field defined everywhere,

Japanese: 
それでは、なぜこれらの方程式が使用されているのでしょうか？
気候モデラーとF1チームによるもの、そしてあなたが私に言ったこれらすべてのことは、航海士のストークを使っています。彼らは本当に使用しているように聞こえます
信頼できないツールI
それはに基づいているので、信頼できないとは言いません
物理量の標準法則は、ニュートンの第2法則を保存しています。だから、それが完全に理にかなっていることは誰もが幸せだと思う
私たちはそのビットを持っていますよね？
それが正しくない理由はありません
しかし、その後の数学的な複雑さの種類はトリッキーなビットです
ソリューションが常に存在するかどうかわからないので、
チート
だから私たちは作るかもしれない
簡略化これらの用語のいくつかを減らすか、問題から時間を取り除くために仮定を立てるかもしれません。
作ることによってそれを回避する
仮定と単純化
それはそれらを使用する1つの方法であり、別の方法は
平均化とは何ですか？では、どこでも速度フィールドを定義するのではなく？

Japanese: 
流体の大きな円を取った場合、その円の平均速度をとるとどうなるかよくわかります。
そして、それがどのように変化し、どのように振る舞うかを知りたい
そうすることができるということです。これは、ナビエ・ストークス方程式の平均化レイノルズ平均化と呼ばれます。
それは気候モデリングで行う種類のことです。なぜなら、コンピューターの力だけではすべてをモデリングすることはできないからです。
大気中の粒子は、現在のコンピューターで実行するのに地球の寿命よりも時間がかかるようです
だから、あなたはちょうど私がちょうど10キロ平方ビットのパッチとして大気をモデル化するだけだと言います
10平方キロメートルの平均速度を知っている限りそこにいますか？
数学的には、理論的には個々のビットごとに解決できるはずです
それは私たちが苦労するところです
把握する最良の方法を考える
私たちがすでにやったことを考えるために百万ドルの賞を得るためにあなたがする必要があること

English: 
you can say "well what if I just take a big circle of fluid, take the average velocity in that circle,
and I want to know how that changes and how that behaves?"
That we can do, so that's called averaging, Reynolds averaging of the Navier-Stokes equations
and that is the kind of stuff that we do in climate modelling. Because you can't - the computer power alone to model every
particle in the atmosphere, like, it's gonna take longer than the life of the earth to run that on current computers.
So you just say "well I'll just model the atmosphere as patches of let's say ten kilometers squared bits
of air, and as long as I know the average speed in that 10 kilometers squared I'm happy" So it's all about the averaging. But,
mathematically, it should in theory be able to be solved for each individual bit
and that's where we struggle.
I think the best way to figure out
what you need to do to get the million-dollar prize is to think about what we've done already.

Japanese: 
だから我々は彼らが幸せで完全に意味のある方程式を持っている
また、ソリューションが存在し、それらが2次元で適切に動作することもわかっています。
残念ながら、私たちは二次元の世界に住んでいません
Zedを無視して、xとyが2次元である場合は、言及したことを読む必要があります
常に解決策があることを示すことができます。それは常にうまく動作します
しかし、何らかの理由で3次元に移動すると、機能しなくなるだけで、それはできません。
弱いソリューションが存在することを示しました。したがって、これらは完全なソリューションではなく、一種の
それらは平均化ソリューションとは厳密には似ていませんが、何らかの形のソリューションが得られます
初期速度が非常に小さい場合に解決策を得ることができます
最初はごくわずかな速度で移動するだけだと言うことに制限し、それからソリューションが常に存在することを示すことができます
ソリューションは常に有限時間存在することを示すことができます
そのため、時間は100に等しいか、ソリューションが存在することもあります。

English: 
So we have the equations. They make complete sense; we're happy with them. Mass is conserved, Newton's second law, great, and then
we also know that solutions exist and they are well behaved in two dimensions.
Unfortunately, we don't live in a two-dimensional world,
we have three dimensions. So if we were to ignore z and just have x and y, our two dimensions, we can do it,
we can show there's always a solution. It's always well behaved, it works.
And then when you go to three dimensions for whatever reason, it's just not working, we can't do it.
We have shown that weak solutions exist. So these are sort of rather than being full solutions,
they're similar to the averaging solutions, not exactly, but like some form of solution we can get.
We can get solutions when the initial velocity is really small.
We restrict to say we're only going to move at tiny speeds to start with then we can show solutions always exist.
We can show solutions always exist for finite time,
so, so up to some, you know time equals 100 or something we can get solutions exist as well.

Japanese: 
しかし、すべての可能な限りすべての時間のためにそれらが3次元に存在することを取得することはできません
初期条件。そのため、ミレニアム賞を受賞した人は、なぜそうなのかを説明する人になります
もちろん、3次元でそれを行うことはできません。そして、これは彼らがおそらく言うことができる理由である
はい、あなたは愚かな三次元でそれを行うことができます。気づかなかったことがありました
さて、その人は何をするでしょうか、彼らは何をするよう求められていますか？
ええ、ミレニアム問題の言葉遣いは素晴らしいです。さらに理解を深めるだけ
ナビストーク方程式の
それは最も曖昧な発言ですが、それが意味するものを限定または定量化する試みがいくつかあります
考えられるすべての初期条件に対して、ソリューションが常に3次元で存在することを示す場合、または
もちろん、あなたが言ったように、
3回で爆破するだろう
次元とそれは無限に行くだろうし、我々は解決策が存在することを期待できないので、あなたは両方の方法でそれを行うことができます
2016年のTerence Taoによる最新の進捗。彼は実際に平均を示した

English: 
But we just cannot get that they exist for three dimensions for all of time for all possible
Initial conditions. 
(Brady: So Tom will the person who wins the Millennium prize be the person who explains why that's the case?)
(Like of course, you can't do it in three dimensions, and this is why. Or could they possibly say)
("Yes, you can do it in three dimensions you silly-billy. There was something you didn't notice")
(Or what what will that person do or what are they being asked to do?)
Yeah, so the the wording of the Millennium Problem is fantastic. It just says further our understanding
of the Navier-Stokes equations.
It's, it's the most vague of statements but there are some attempts that qualify or quantify what that means.
It could be a case of "show that a solution always exists in three dimensions for all possible initial conditions" or
it could be a case of as you said say "well, of course
it's going to blow up in three
dimensions and it's going to go to infinity and there's we can't expect solutions to exist" So you can do it both ways.
The most recent progress in 2016 by Terence Tao, he actually showed that for the averaged

English: 
Navier-Stokes equations, that you do get blow up in finite time. The way he's approached that could be a way of showing that
the full 3D equations could also blow up in finite time.
So that would be that we don't always expect a
solution. So we don't really know which way it's going to go. I think one of the key things is about understanding
turbulence. So turbulence is this
chaotic, random
motion of air,
particles of water; think of two waves
crashing into each other in the ocean. That is almost as random and chaotic a situation as you can get. If you do that again
you're not going to expect the same thing. It's, it's so so difficult to model and to understand. And
fundamentally fluids - they just are turbulent.
Not every fluid but like air, water, rapids; that's all, it's all turbulent.
And that's sort of I think where the key problem lies, because when we plug our data into our computers the computer

Japanese: 
ナビエ-ストークの方程式は、彼が近づいた方法で有限時間で爆発することを示します。
完全な3D方程式も有限時間で爆発する可能性があります
だから、私たちは常に期待していません
解決策ですので、どの方向に進むのか本当にわかりません。重要なことの一つは理解することだと思います
乱流なので、乱流はこれです
混oticとしたランダム
空気の動き
水の粒子は2つの波を考えます
海でお互いに衝突することは、あなたが再びそれをやった場合に得ることができるほどランダムで混chaとした状況です
あなたは同じことを期待するつもりはありません。モデル化と理解がとても難しいので、
基本的に流体は乱流です
すべての液体ではなく、気水の急流のように、それはすべて乱流です
そして、それは私たちがデータをコンピューターにつなぐとコンピューターが

English: 
averages things because it can't solve for the turbulence. It can't solve for all those really small little bits and all those little interactions.
So it says, I'm going to take this big square and average the velocity or average the length scale and
that's the way that we do it and it works but it's not
mathematically
understanding the equations.
Practically we are happy with Navier-Stokes. We can use them, the equations for basically anything we want - it works,
it's great, it looks amazing. It allows us to design all of these amazing aircraft to fly into space all of this stuff,
it works. But it's just from a mathematics point of view, we just don't have that proof.
It's a classic case of maths wanting to know for certain,
rather than just knowing that it works in every case
we can think of, we don't have that proof
that it will always work; or an explanation of why it might not.
(Brady: If I gave you the dream computer,)
(that doesn't exist, and all the possible inputs you need at the start, this equation would get you there.)
(It would just take, you know, a lot of power.)
- You make a good point.

Japanese: 
乱流を解決できないため、物事を平均化します。本当に小さなビットや小さな相互作用すべてを解決することはできません
それで、この大きな正方形を取り、速度を平均するか、長さスケールを平均し、
それは私たちがそれを行う方法であり、動作しますが、そうではありません
数学的に
方程式を理解する
事実上、私たちは航海士のストークに満足しています。基本的には何でも動作するように、方程式を使用できます
それは素晴らしい。すごいですね。これにより、これらすべての素晴らしい航空機を設計して、宇宙に飛び込むことができます。
動作しますが、数学6の観点からです。私たちはその証拠を持っていません
数学が特定のことを知りたいという典型的なケースです
あらゆる場合に機能することを単に知るのではなく
私たちはその証拠を持っていないと考えることができます
それが常に機能すること、または私があなたに夢を与えた場合、それがうまくいかない理由の説明
存在しないコンピューターと、最初に必要なすべての入力があれば、この方程式はそこに到達します
それはあなたが良い点を作るだけの多くの力がかかります

English: 
You can import any bit of data, any initial condition you want.
But then the computer may say "oh, but the solution goes to infinity,
the solution blows up". And of course in a real situation we cannot have
a water particle, a piece of air, moving at infinite speed.
That just makes no physical sense. But the computer is saying that's the solution. So there's some disagreement there between the physical
practicality of what can happen,
and what the computer is outputting. And that would suggest that there's something missing in our mathematical understanding.
(Brady: So are you telling me that you can input)
(finite numbers into the Navier-Stokes equation, like realistic numbers that would apply to something in the real world, and)
(Navier-Stokes spits out)
(impossible things like, "oh, yeah. Your river is gonna be flowing at infinity miles per hour" and things like that?)
Exactly, yeah, so that there's there's a really— 
(Brady: Well then the equations are wrong!)

Japanese: 
任意の初期条件の任意のデータをインポートできます
しかし、その後、コンピュータはああ言うかもしれませんが、解決策は無限に行きます
ソリューションは爆発し、もちろん実際の状況で。私たちは持つことができません
無限の速度で移動する空気の水粒子片
それは単に物理的な意味をなさないが、コンピューターはそれが解決策だと言っている。そのため、物理的
起こりうることの実用性と
コンピューターが出力しているものは、数学的な理解に欠けているものがあることを示唆しています
あなたは私にあなたが入力できると言っていますか？
現実世界の何かに適用される現実的な数のようなストークスのナビ方程式への有限数
ナビア・ストークスが吐き出す
ああのような不可能なことです。あなたの川は時速無限のマイルで流れ、まさに
うん、だから本当に方程式が間違っているのがある

English: 
But, but it's conservation of mass and it's Newton's second law. How can it be wrong?
This is the, this is the sort of paradox.
It's, it's everything we've done here makes complete sense. Because these, these two laws: mass is conserved, Newton's second law,
this will hold for any - like this works for a solid. It's not just fluid mechanics,
you do the same thing with solid mechanics. You get slightly different internal forces, but it's the same. It's the same set up.
So, so there's it doesn't seem like that bit should be wrong.
You know, it's, it's conservation of mass, its force is mass times acceleration. There's no reason to think that that's incorrect
so something, somewhere is going wrong in the
the mathematical
understanding. There's an example about the flow of a fluid around a right-angled corner.
(Brady: A bit like a canal?)
- Basically a canal but we've got a really
sharp right angle on the corner. Now you solve Navier-Stokes,
this says that at this point, this right angle corner,
I have infinite velocity. If I build this canal do I have an infinite velocity canal?
I'm going to guess I don't. So,

Japanese: 
しかし、それは質量の保存であり、それは第二法則によるものです。どうして間違っているのでしょうか？
これは一種のパラドックスです
これらの2つの法則は質量がニュートンの第2法則を保存しているため、ここで行ったことはすべて理にかなっています
これは、このような作品が固体に当てはまります。流体力学だけではありません
固体メカニクスでも同じことを行いますが、内部力はわずかに異なりますが、同じです。同じ設定です
だから、そのビットが間違っているべきではないようです
ご存知のように、それは質量の保存であり、その力はその質量倍の売り手です。それが間違っていると考える理由はありません
だからどこかで何かがうまくいかない
数学的な
基本的に運河のような直角の角の周りの流体の流れについての例があることを理解しますが、実際には
航海士のストークを失速させた際の鋭い直角
これは、この時点でこの明るい角度のコーナー
この運河を構築する場合、無限の速度の運河はありますか？
そうではないと思います

Japanese: 
それは他のどこにも完璧に機能するものがないということです
しかし、この小さなポイントでは、私の速度は無限であると言っています
しかし、それは簡単に言えば、方程式はすべての可能な実用に対して機能します
したがって、この運河を建設していれば、あなたは完全に幸せになるでしょう。 1つのシングルを除き、どこでも速度を知っているでしょう。小さな小さなポイント
しかし、あなたが好きな繰り返しがあります、なぜそれは無限ですか？そこに無限大があるのはなぜですか？知りたい、それだけです。それは
数学的な理解が明らかに欠けている
物理学と方程式の間にはいくつかの違いがあります。私たちはそれを理解していません。それは一種の方法のようなものです
単純な除算のような除算が動作し、私は毎日それを使用しています
これはただのグリッチです。ゼロで割ると、少し奇妙になります
ええ、私は実際にゼロで正確に除算する必要はないので、それは問題ではありません。周りにはいつも方法がありました
おおよそ、あなたが知っている、あなたが知っている、それは非常に大きな数であるので、あなたはそれをそのままにしておく

English: 
it's, it's that. There's, there's no - like everywhere else it works perfectly,
but at this little point it's saying my velocity is infinite,
but it quite clearly isn't. That's it in a nutshell. The equations work for all possible practical uses.
So if you were building this canal you'd be completely happy. You would know the speed everywhere, except one single tiny, tiny point.
But then, as a mathematician, you're like, "But why is it infinity? Why is it infinity there? I want to know." And, and that's it. That's,
we're obviously missing that mathematical understanding.
There's some difference there between the physics of it and the equations, we just do not understand it. 
(Brady: So it's kind of like how)
(division, like just simple division, works and I use it every day.)
(It's just there's this is one glitch where if you divide by zero, it kind of goes a bit weird.)
(But that doesn't matter because I never actually need to divide by zero.)
- Exactly. There are always ways around it.
There are approximations, there are, you know, you know it's a very large number so you just leave it at that.

English: 
(Brady: So this is something that doesn't really matter, but it matters to you?)
It doesn't matter to any
application of Navier-Stokes, but it does matter to
maths. And it's the classic case of "alright if we solve it
we have no practical uses" but to actually figure out what's going on here,
the maths we're going to uncover,
it's gonna be brand new. It's gonna be stuff
we've never looked at before, thinking of the problem in entirely new ways and no doubt
we will discover new maths; leads to all kinds of other incredible new advances in all this stuff to do with fluids.
It's just, you know, all of these things that we use Navier-Stokes for;
pollution modeling, climate modeling, blood flow,
aerodynamics - all of these things. If we really understand the equations those things are just gonna get better.
(Brady: Tell me how much you love these equations.)

Japanese: 
だから、これは本当に重要ではないものですが、あなたにとって重要です
どうでもいい
ナビゲーター・ストークスの適用、しかしそれは重要です
数学とそれを解くなら大丈夫の古典的なケースです
実用的な用途はありませんが、実際にここで何が起こっているかを把握するために
明らかにする最大値
それは真新しくなります。それはものになるだろう
私たちは、まったく新しい方法で問題を考える前に見たことがないのは間違いありません
私たちは、新しい数学が、流体に関係するこのすべてのことにおいて、他のあらゆる種類の驚くべき新しい進歩につながることを発見します
あなたが知っているのは、これらすべてが私たちがナビゲーターを使用していることです
汚染モデリング気候モデリング血流
これらのすべての空気力学は、方程式が本当に良くなったら、それらのことはちょうど良くなるだろう
これらの方程式がどれだけ好きか教えてください。ああ

English: 
Umm, well, they are my favourite equations. And just, just to emphasise the level of favouritism of these equations - the full
Navier-Stokes equations, as written down on our piece of paper.
(Brady: Hang on which way around are we?)
If we're talking this, if - yeah. So those should be exactly the ones I've written down.
(Brady: Oh there we go.) 
- The little guy and the big guy. 
(Brady: Dude)
(This is a first for Numberphile.)
- On the ribs as well, the pain of the ribs.
Like, that's, I'm gonna say this is complete commitment to, to Navier-Stokes and fluid mechanics. 
(Brady: Why did you do that?)
Well, I,
ny PhD was studying fluid mechanics and these equations just - they just model it.
So I spent four years of my life
trying to - not necessarily understand them but studying them and using them, and it just felt like, it felt like the right thing to get
to be honest.
(Brady: What did what did the artist say when you - )
He had a lot of fun with it. So he's actually,
he's quite an intelligent guy. He's got a load of like physics formulas and he has a portrait of Einstein tattooed on his back.
So he's really into his physics and his maths himself. So he was saying "Oh, I've never seen these what are they?"

Japanese: 
まあ、彼らは私のお気に入りの方程式であり、単にこれらの方程式の好みのレベルを強調するだけです
私たちの紙に書き留められたNavier-stokes式
これを話しているなら、私たちはどの方向にハングアップしているので、それらはまさにそこに書いたものでなければなりません
私たちは小さな男、大きな男、男に行きます
これはrib骨の5番目の痛みであり、rib骨の痛みでもあります
そのように、これは2つのNaviaステーキと流体力学に対する完全なコミットメントだと言います。どうしてそんなことをしました？
まあ、私は
私の博士号は、流体力学とこれらの方程式を研究していました。ちょうど彼らはそれをモデル化するだけです
だから私は私の人生の4年間を過ごしました
必ずしもそれらを理解しようとするのではなく、それらを研究し、それらを使用してみてください。
あなたが読んだとき、アーティストは何を言っていましたか？
彼はそれをとても楽しんだ。だから彼は実際に
彼は非常に賢い人です。彼は似たような物理学の公式をたくさん持っており、彼の背中にはアインシュタインの肖像が入れ墨されています
だから彼は本当に自分の物理学と数学に夢中です。彼は私がこれらを見たことがないと言っていました。

Japanese: 
タトゥーを入れてから2時間ほどで、私たちがやったことと、ナビゲーターの話について話しました。

English: 
So I spent the sort of two hours of being tattooed pretty much doing what we just did and talking about Navier-Stokes.
