
Bulgarian: 
Продължаваме да работим
със степенни редове.
Ако искаме да намерим
производната или да интегрираме,
принципно можем да го направим
член по член.
Какво означава това?
Това означава, че 
производната на f,
f'(х) е равна на производните
на всеки от тези членове.
Значи това е сумата за
n от 1 до безкрайност,
и да видим, производната
на x^n
е n по х на степен (n – 1)...
Мога да запиша това като
х^(n – 1)
цялото върху n.
Тези n ще се съкратят,
и това ще стане x^(n – 1).
Това е производната 
спрямо х.
По същия начин можем
да интегрираме и да изчислим
интеграл от f(х)dх,
което ще бъде равно на 
някаква константа плюс –

Korean: 
멱급수를 풀 경우
도함수를 구하고 싶거나
적분을 하고 싶을 수 있습니다
이를 항을 한 개씩
구해서 풀 수 있습니다
이게 무슨 의미인가요?
이는 f의 도함수
f'(x)는 각 항의
도함수입니다
이는 0부터
무한대까지의 합입니다
한 번 봅시다
x^n은
n 곱하기 x^n-1입니다
따라서 이는 n 곱하기 x^n-1
나누기 n입니다
이 n은 서로 상쇄합니다
따라서 이는
x^n-1이 됩니다
이는 x에 대해 도함수를
구하는 것입니다
비슷하게 적분을 하여
적분을 하여
값을 구합니다
적분값 f를 구할 수 있고
이는 어떤 상수항 더하기

English: 
- [Instructor] Times in our
dealings with powers series.
We might wanna take the derivative,
or we might want to integrate them.
And in general, we can
do this term by term.
What do I mean by that?
Well, that means that the derivative of f,
f prime of x, is just
gonna be the derivative
of each of these terms.
So that's gonna be the sum
from n equals one to infinity.
And let's see, the
derivative of x to the n
is n times x to the n minus one.
So I could write this as n
times x to the n minus one
all of that over n.
And these ns will cancel out,
so this is just going to be,
this is just going to
be x to the n minus one.
So this is taking the
derivative with respect to x.
Similarly, we could integrate,
we could integrate and we could evaluate,
we could evaluate the
integral of f of x dx,
and this is going to be
equal to some constant plus,

English: 
if we integrate this term by term.
And so this is going
to be equal to the sum
from n equals one to infinity.
And let's see, we increment the exponent,
so x to the n plus one,
and then we divide by that.
So times n plus one times
this n right over here.
So this is a common
technique that you will see
when dealing with power series.
And we're gonna go a little
bit more into the details,
because you can only do this for x values
within the interval of
convergence for the power series.
And as we will see, the
interval of convergence
for these different series
is slightly different.
The intervals are very similar,
but what happens at the
endpoint is different.
So I encourage you, pause this video,
and see if you can figure out
the interval of convergence
for each of these series.
This is the integral
of our original series,
and this is the derivative
of our original series.
So let's start with our original series.
Let's figure out the
interval of convergence.

Bulgarian: 
ако интегрираме това 
член по член –
тогава това ще бъде равно на сумата
за n от 1 до безкрайност.
Да видим, увеличаваме
степенния показател,
значи става (n + 1),
и после делим на това.
Значи по (n + 1) по 
това n ето там.
Това е принципният начин
на работа, който ще срещаш,
когато имаме степенни редове.
Но сега ще навлезем малко
повече в детайлите,
защото това може да се направи
само за стойности на х,
които принадлежат на интервала 
на сходимост на степенния ред.
А ние ще видим, че
интервалите на сходимост
на различните редове
се различават малко.
Интервалите са много близки,
но е различно това, което 
се случва в крайните точки.
Насърчавам те да спреш
това видео на пауза
и да видиш дали можеш да
определиш интервала на сходимост
за всеки от тези редове.
Това е интеграл
от първоначалния ред,
а това е производната на
първоначалния ред.
Да започнем с 
първоначалния ред.
Да определим интервала
на сходимост.

Korean: 
각 항 마다 적분을 하면
n이 1부터 무한대까지의
합입니다
지수를 증가하면
x^n+1이고 나눕니다
(n+1)n으로 나눕니다
이는 멱급수를 풀 경우
사용하는 방법입니다
이제 조금 더 자세히
배우도록 하겠습니다
이는 멱급수에서
수렴을 하는 x 값의
구간에 대해서만
이기 때문입니다
그리고 보았듯이
서로 다른 급수들의
수렴하는 구간이 다릅니다
구간들은 비슷하지만
마지막 결과는 다릅니다
영상을 멈추고
각 급수의 수렴하는 구간을
찾을 수 있는지 보세요
이는 원래 급수의 적분값이며
그리고 이는 원래
급수의 도함수입니다
원래 급수를 봅시다
먼저 수렴하는
구간을 찾아봅시다

Korean: 
이를 비 판정법을
이용해 구할 수 있습니다
따라서 비 판정법을
사용하면 극한이
n이 무한대에 가까워질
경우 n+1번째 항의 값은
x^n+1/n+1
나누기 x^n/n입니다
이 값의 절댓값을
구해야 합니다
이는 n이 무한대에 가까워질
경우의 극한값입니다
봅시다
이 두 값을
x^n으로 나누면
이는 1입니다
그리고 이는 x이며
그리고 n이 분자로 갑니다
이는 xn/n+1입니다
n이 무한대에 가까워질 때
이 극한의 값은
분자와 분모를
분자와 분모를
분자와 분모를 n으로 나누면
x/(1+1/n)이 됩니다

English: 
So we could do that using the ratio test.
So the ratio test, we
would want to do the limit,
the limit as n approaches
infinity of a sub n plus one,
so that's gonna be x to the
n plus one over n plus one,
divided by a sub n, so
that's x to the n over n.
So we want to take the
absolute value of that.
That's gonna be the limit
as n approaches infinity.
Let's see, this is, if
you divide this and this
by x to the n, that's gonna be a one,
and this is just going to be an x,
and then this n is going to end up top.
So this is going to be xn over n plus one.
And this is equal to the limit
as n approaches infinity of,
let's see, if we divide the
numerator and denominators here
by one over,
if we divide by both the numerator
and the denominator by n,
we're gonna get x over
one plus one over n.

Bulgarian: 
Можем да използваме
критерия на Даламбер.
Критерият на Даламбер –
търсим границата, когато
n клони към безкрайност
на a_n + 1,
което е равно на x^(n + 1)
върху (n + 1),
делено на a_n, което е
равно на (х^n)/n.
Търсим абсолютната стойност
на това.
Това ще бъде границата,
когато n клони към безкрайност.
Да видим, ако разделим
това и това
на х^n, това ще стане 1,
а това ще стане просто х,
и тогава това n ще
отиде отгоре.
Получаваме xn/(n + 1).
И това е равно на границата,
когато n клони към безкрайност,
на, да видим, делим
числителя и знаменателя тук
на 1 върху...
ако разделим числителя
и знаменателя на n,
ще получим х/(1 + 1/n).

Korean: 
이 값은 얼마인가요?
이 항은 0이 됩니다
따라서 이는 x의
절댓값과 같습니다
그리고 비 판정법은
해당 급수는
여기 이 항이 1보다
작으면 수렴하고
1보다 크면 발산하며
그리고 1과 같다면
결론에 이르지 못합니다
한번 적어봅시다
이 경우 수렴
수렴 합니다
x의 절댓값이
1보다 작을 경우
수렴합니다
이 경우는 발산합니다
이 값이 1보다 크고
x의 절댓값이 1보다
클 경우 수렴합니다
하지만 x의 절댓값이
1일 경우는 어떤가요?
이 경우가 비 판정법이
성립되지 않는 경우고
따로 검사를 해야합니다
x가 1일 경우를
계산해봅시다

Bulgarian: 
Колко е това?
Този член става нула,
така че това ще бъде равно
на абсолютната стойност на х.
Съгласно критерия на Даламбер 
този ред е сходящ,
ако това тук е по-малко от 1,
той е разходящ, ако това
е по-голямо от 1,
и не можем да направим
заключение, ако е равно на 1.
Значи знаем – ще го запиша.
Знаем, че е сходящ, когато
абсолютната стойност на х
е по-малка от 1,
когато това тук е по-малко от 1.
Знаем, че е разходящ,
когато това е по-голямо от 1,
когато абсолютната стойност
на х е по-голяма от 1.
Ами когато абсолютната стойност
на х е равна на 1?
Тук критерият на Даламбер
не може да ни помогне
и трябва да направим
допълнително изследване.
Да разгледаме сценария,
когато х е равно на 1.

English: 
And what is this going to be?
Well, this term's gonna go to zero,
so this is just gonna be equal
to the absolute value of x.
And the ratio test tells us
that this series is convergent
if this right over here is less than one,
it's divergent if this
is greater than one,
and it's inconclusive if this equals one.
So we know, let's write that down.
We know we are convergent, convergent,
convergent for
the absolute value of x less
than one when this thing,
when it is less than one.
We know that we are divergent
when this thing is greater than one,
when the absolute value
of x is greater than one.
But what about when the absolute
value of x is equal to one?
That's where the ratio test breaks down
and we have to test that separately.
So let's look at the scenario where
x is equal to one.

English: 
When x equals to one,
this series is the sum
from n equals one to infinity
of one to the n over n.
Well, that's just gonna be one over n.
This is the harmonic
series or the p-series
where our p is one.
And we've seen in multiple
videos that this diverges.
So when x equals one, we diverge.
What about when x equals negative one.
When x equals negative one,
this thing becomes the sum
from n equals one to infinity
of negative one to the n over n.
And this is often known as the
alternating harmonic series.
And this one by the
alternating series test,
this one actually converges.
And we've seen that in multiple videos.
So it turns out the
interval of convergence
for our original thing right over here,
our interval of convergence,
interval of convergence,
convergence here,
is we can, x can be,

Bulgarian: 
Когато х е равно на 1,
този ред е равен на сумата
за n от 1 до безкрайност
от 1 на степен n върху n.
Това ще стане просто
1/n.
Това е хармоничен ред
или степенен ред, в който р = 1.
Видяхме в много клипове досега,
че това е разходящо.
Когато х е равно на 1,
това е разходящо.
А какво да кажем за х = –1?
Когато х е равно на –1,
това нещо е равно на сумата
за n от 1 до безкрайност
от (–1)^n върху n.
Това често се нарича хармоничен ред
с алтернативно редуващи се знаци.
И според критерия за редове
с алтернативно сменящи се знаци
това всъщност е сходящо.
Видяхме това в много 
клипове.
Излиза, че интервалът
на сходимост
на първоначалния ред тук,
интервалът на сходимост ето тук,

Korean: 
x가 1일 경우
해당 급수는
n이 1부터 무한대까지
(1^n)/n입니다
이는 1/n입니다
이는 조화급수
혹은 p가 1일 경우의
p급수입니다
그리고 많은 영상에서
이 값이 발산하는 것을 보았죠
x = 1일 경우 발산합니다
x = -1인 경우는 어떤가요?
x = -1인 경우 이 값은
n이 1부터 무한대까지의
(-1^n)/n 값들의
합이 됩니다
이는 교차 조화급수입니다
그리고 교차급수
판정법에 따르면
이는 수렴합니다
여러 영상에서 보았죠
여기 원래 식에서 수렴하는
구간이 됩니다
수렴하는 구간이 됩니다
수렴하는 구간이 됩니다
여기서 수렴을 하려면
x가

Bulgarian: 
когато х може да е
по-голямо или равно на –1,
или можем да кажем –1 е по-малко
или равно на х,
защото, когато х е –1, 
редът отново е сходящ,
но когато х е по-малко от 1,
защото точно в 1 е разходящ,
така че не можем да кажем
по-малко или равно на.
Значи това е интервалът на сходимост 
на първоначалната функция.
Какъв е интервалът на сходимост
на ето това тук,
когато намираме производната?
Когато намерим производната,
това е същото като х на
нулева степен
плюс х на първа степен,
плюс х на втора степен
и продължаваме до безкрайност.
Сега може би разпознаваш,
че това е геометричен ред
с частно, равно на х.
Геометричен ред с частно –
често се записва като r, равно на х.

Korean: 
x가
-1보다 크거나 같고
혹은 -1이 x보다
작거나 같고
x 가 -1일 경우
수렴하기 때문이죠
하지만 x는 1보다
작아야 합니다
왜냐하면 1에서
발산하기 때문이죠
따라서 작거나
같다고 할 수 없습니다
따라서 이는 원래 함수의
수렴 구간입니다
이 경우에 도함수의
수렴 구간은 무엇인가요?
도함수를 사용하면
이는 x^0
더하기 x^1
더하기 x^2이
쭉 이어지는
값과 같습니다
이는 등비가 x인
등비수열인 것을
알 수 있습니다
등비
수열
등비가
혹은 r이 x인 경우에요
그리고 등비수열은

English: 
so it could be, x can be
greater than or equal to negative one,
or I could say negative one
is less than or equal to x,
because if x is negative
one, we still converge,
but then x has to be less than one,
because right at one we diverge,
so we can't say less than or equal to.
So this is the interval of convergence
for our original function.
What about the interval of
convergence for this one
right over here when
we take the derivative?
Well, when we take the derivative,
this is, this is the same
thing as x to the zero
plus x to the first,
plus x to the second,
and we go on and on and on.
Now you might recognize this,
this is a geometric series
with common ratio of x.
Geometric
series,
series, where our common ratio,
often noted by r, is equal to x.
And we know that a
geometric series converges

English: 
only in the situation where the,
where our common ratio,
where the absolute value
of our common ratio,
so converges, converges,
only in the situation
where the absolute value
of our common ratio is less than one.
So in this situation, when
we took the derivative
for f prime of x, our
interval of convergence
is almost the same.
So here our interval of convergence
is going to be x has to be between
negative one and one,
but it can't be equal to negative one.
At negative one we would actually diverge,
and at one we would diverge.
So notice, these are almost the same.
If we view these as
series centered at zero,
the radius of convergence is the same.
We can go one above, one
below, one above, one below.
And that's in general truths.
We take derivatives as integrals.
But the endpoints of our interval

Bulgarian: 
Знаем, че геометричните
редове са сходящи само в случай, че
абсолютната стойност 
на частното –
е сходящ само когато
абсолютната стойност
на частното е по-малка от 1.
В този случай, когато
намираме производната
f'(х), тогава интервалът на
сходимост е почти същият.
Тук интервалът на сходимост
е х между –1 и 1,
но не може да бъде
равно на –1.
За –1 това всъщност
ще е разходящо,
и за 1 ще е разходящо.
Обърни внимание, че
тези са почти еднакви.
Ако разглеждаме това като
редове, центрирани около нула,
радиусът на сходимост
е еднакъв.
Можем да отидем едно нагоре,
едно надолу, едно нагоре, едно надолу.
И това е общовалидно.
Намерихме производни,
както и интеграли.
Но крайните точки на
нашите интервали

Korean: 
등비가
등비의 절댓값이
등비의 절댓값이
등비의 절댓값이
등비의 절댓값이
1보다 작은
상황에서만 수렴합니다
따라서 이 경우는
도함수 f'(x)를 구할 경우
수렴하는 구간은
거의 똑같습니다
따라서 여기서
수렴하는 구간은
x가 -1과 1
사이여야 합니다
하지만 -1과
같을 수 없습니다
-1에선 발산하며
1에서도 발산을 합니다
따라서 이 둘은
거의 비슷합니다
이 둘을 0이 중심인
급수로 생각하면
수렴하는 반지름이
동일합니다
하나 위로 갔다 아래로
갈 수 있습니다
이는 자명한 논리죠
도함수를 구간로
설정합니다
하지만 수렴하는 구간의

Bulgarian: 
на сходимост могат 
да са различни.
И за да видим това и тук,
те насърчавам да
използваш критерия на Даламбер,
за да определиш първо –
колко е...
използвай критерия на Даламбер
плюс условията за границите,
за да определиш интервала
на сходимост
за примитивната функция,
за този интеграл тук.
Ще видиш, че радиусът
на сходимост е еднакъв.
Можем да отидем с едно над
нулата и с едно под нулата.
Трябва да сме в този интервал.
Но ще видиш също, че това
е сходящо
за х = –1 и за х = 1.
Направо ще запиша 
заключението.
Значи интервалът...
ще го напиша с жълто.
Интервалът на сходимост:
това горе е сходящо
за –1 по-малко от х,
по-малко или равно на 1.
Обърни внимание, че те всички имат 
еднакви радиуси на сходимост,
но интервалите на сходимост
се различават в крайните точки.

Korean: 
마지막은 다릅니다
이를 계속 하기 위해선
비 판정법을 사용하여
비 판정법을 사용하여
비 판정법과
경계조건을 사용하여
여기 적분의 부정적분이
수렴하는 구간을 찾습니다
그리고 발견할 결과는
수렴하는 반지름이
같다는 것입니다
0보다 1 위로 갈 수
있고 1 아래로 갈 수 있습니다
해당 구간에 있어야 합니다
하지만 보다시피
x = -1 혹은 1일 경우
수렴합니다
본론으로 들어가면
노란색으로 쓸게요
맨 위의 식이
수렴하는 구간은
-1이 x보다
작거나 같을 경우
그리고 x가 1보다
작거나 같을 경우입니다
따라서 수렴 반지름이
모두 동일합니다
하지만 수렴 구간은
마지막에 다릅니다

English: 
of convergence can be different.
And to continue to see this,
I encourage you to use the ratio test
to figure out one, what is the,
well, use the ratio test plus
using the boundary conditions,
figure out what the
interval of convergence is
for the antiderivative,
for the integral here.
And what you will see is
the radius of convergence is the same.
We can go one above
zero and one below zero.
We have to be in that interval.
But as you will see, this one converges
for x equals negative one or x equals one.
I'll just cut to the chase here.
So, interval of, let me
write that in yellow.
The interval of convergence
for this top one converges,
converges for negative one is less than x,
is less than or equal to one.
So notice, they all have the
same radius of convergence,
but the interval of convergence,
it differs at the endpoint.

Bulgarian: 
Ако искаш да докажеш това
самостоятелно,
те насърчавам да използваш
подобна техника,
като тази, която използвахме
за първоначалната функция.
Използвай критерий на Даламбер
и ще стигнеш до извода
ето тук, и после провери
случаите, когато
х е равно на 1 и 
х е равно на –1.
Ще видиш, че когато
х е равно на –1,
се получава степенен ред с редуващи
се знаци, значи това е сходящо.
После, когато х е равно на 1,
ще получиш степенен ред,
в който знаменателят има
степен, по-висока от 1,
или нещо подобно на
степенен ред.
И можеш да установиш,
че той също е сходящ
в този случай.

Korean: 
이를 증명하고 싶으면
원래의 식을 비슷한
방식으로 풀어보세요
비 판정법을 사용하면
이와 같은
결과가 나옵니다
그리고 x = 1 일 경우
그리고 x = -1일
경우를 확인합니다
그리고 x = -1일 경우
교차 p급수를 갖게
되며 수렴합니다
그리고 x = 1일 경우
p급수를 가지고
분모의 크기가 1보다 크며
혹은 p급수와
비슷한 것을 가집니다
그리고 이 경우에도
수렴한다는
것을 알 수 있습니다

English: 
And if you wanna prove
this one for yourself,
I encourage you to use
a very similar technique
that we use for our original function.
Use the ratio test, you're
gonna come to this conclusion
right over here, and then test the cases
when x is equal to one and
x is equal to negative one.
And you will see when x
is equal to negative one,
you have an alternating p-series,
so that's gonna converge.
And then when x equals one,
you're gonna have a p-series
where the denominator has
a degree larger than one,
or something similar to a p-series.
And you can establish
that it will also converge
in that scenario as well.
