
French: 
Bonjour à tous, bienvenue dans ce nouvel épisode de Micmaths !
Aujourd'hui je vais vous parler de problèmes de maths encore ouverts,
c'est-à-dire de problèmes mathématiques dont personne ne connaît la réponse
même les plus grands mathématiciens n'ont pas encore trouvé la solution.
Quand on évoque ce genre de problème, une des premières choses qui vient à l'esprit,
c'est que puisque les plus grands cerveaux de l'humanité n'arrivent pas à trouver la réponse,
le problème doit être si compliqué
que le commun des mortels ne peut même pas comprendre la question.
Eh bien c'est parfois faux.
Il existe des problèmes non résolus qu'un enfant de 10 ans est capable de comprendre.
Laissez-moi vous présenter mes 5 préférés.
N°5 : la conjecture de Syracuse.
Prenez un nombre, celui que vous voulez.
Si ce nombre est pair, divisez-le par 2.
Et s'il est impair multipliez-le par 3 et ajoutez 1.
Si par exemple vous avez choisi le nombre 13,

English: 
Hello everybody, welcome to this new episode of Micmaths !
Today I'm going to talk about math problems that are still open,
meaning mathematical problems  with no solution yet,
even the greatest mathematicians haven't found the solution.
When we talk about this kind of problem, the first thing that comes to mind,
is that since the best minds of humanity didn't find the answer,
the problem must be so complicated
that common mortals can not even understand the question.
Well sometimes it's wrong
There are unresolved problems that a 10 year old kid can understand.
Let me introduce you my favorite 5.
Number 5 : Syracuse's conjecture.
Take a random number.
If this number is even, divide it by two.
And if it is odd multiply it by 3 and add 1.
If for example you chose number 13,

English: 
13 is an odd number, so you do 13 × 3 + 1 = 40.
Then you repeat the process with the new number.
40 is even, so you divide by 2 and you get 20.
Then you start again 20 ÷ 2 = 10.
10 ÷ 2 = 5
5 × 3 + 1 = 16
16 ÷ 2 = 8
8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 1 → 2 → ...
you see that starting 13, you end up trapped
in cycle 4 → 2 → 1 that repeats endlessly.
The question is: are there numbers of departure which do not end in this cycle 4 → 2 → 1?
You can try with different starting numbers, it seems that every time
we get, after a number of steps, this cycle 4 → 2 → 1.

French: 
13 est un nombre impair, vous faites donc 13×3+1 = 40.
Puis vous recommencez la même procédure avec ce nouveau nombre.
40 est pair, donc vous le divisez par 2 ce qui donne 20.
Puis vous recommencez 20÷2 = 10.
10÷2=5
5×3+1 = 16
16÷2 = 8
8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → ...
vous voyez qu'en partant de 13, vous finissez piégés
dans le cycle 4 → 2 → 1 qui se répète à l'infini.
La question est : existe-t-il des nombres de départ qui n'aboutissent pas à ce cycle 4→2→1 ?
Vous pouvez essayer avec d'autre nombres de départ, il semble bien qu'à chaque fois
on aboutit au bout d'un certain nombre d'étapes à ce cycle 4→2→1.

French: 
Tous les nombres qui ont été testés jusqu'à ce jour pas les mathématiciens
aboutissent à ce cycle.
En existe-t-il un que l'on a pas encore trouvé et qui se comporte différemment ?
Ça, pour l'instant, on ne le sait pas.
N°4 : les nombres de Ramsey.
Prenez un certains nombres de points. Par exemple 5 comme ceci
et reliez tous les points par un trait qui est soit bleu soit rouge.
Est-il possible de trouver un groupe de points qui sont tous reliés par la même couleur ?
Sur l'exemple on peut voir que ces 3 points sont tous reliés en bleu.
Si on efface tous les autres points, il ne reste plus que des traits bleus.
En revanche, si on regarde cet autre cas particulier,
il est impossible de trouver 3 points tous reliés par la même couleur.
Il n'y a ni trois points reliés en rouge ni trois points reliés en bleu.
Autrement dit, si on a 5 points au départ,
il est parfois possible de trouver 3 points tous reliés de la même couleur,
et parfois c'est impossible.

English: 
In fact, all the numbers which were tested, until now, by mathematicians
result in this cycle 4 → 2 → 1.
Is there one that we don't find yet and and which behaves differently?
That, for the moment, we do not know.
4: the Ramsey's numbers.
Take a certain number of points. For example 5, like this
and connect all the points with a blue or  red lines.
Is it possible to find a group of points which are all connected by the same color?
In the example, we can see that these three points are all connected in blue.
If you erase all the other points, it remains only the blue lines.
However, if we look the other case,
it is impossible to find 3 points all connected by the same color.
There are no three points connected by red or three points connected in blue.
In other words, if you have 5 points initially,
it is sometimes possible to find 3 points all connected by the same color,
and sometimes, it's impossible.

English: 
However if initially you had 6 points instead of 5,
this time, it's for sure that you can always find
three points connected by the same color.
You can try it at home: on a sheet of paper, connect 6 points with blue or red lines,
you will see that it is impossible to have neither blue or red triangle.
But is there in the same way a threshold from which
there are always 4 points connected by the same color?
The answer is yes. This threshold was found by mathematicians, it is 18.
From 18 points, all connected by blue or red lines,
you will inevitably find 4 all connected by blue or red.
And we can continue: is there a threshold from which there are always 5 points connected by the same color?
And this is where the unsolved problem happens, because the threshold,
we know it exists, but we don't know how much is it.
Finally mathematicians have found an interval

French: 
En revanche si au départ vous avez 6 points au lieu de 5,
cette fois, il est sûr et certain que vous pourrez toujours trouver
trois points reliés de la même couleur.
Vous pouvez essayer chez-vous : sur une feuille de papier reliez 6 points soit en bleu soit en rouge,
vous verrez qu'il est impossible de n'avoir ni triangle bleu ni triangle rouge.
Mais existe-t-il de la même manière un seuil à partir duquel
il existe toujours 4 points reliés de la même couleur ?
La réponse est oui. Ce seuil a été trouvé par les mathématiciens, il vaut 18.
À partir de 18 points tous reliés soit en bleu soit en rouge,
vous en trouverez forcément 4 tous reliés en bleu ou tous reliés en rouge.
Et on peut continuer : existe-t-il un seuil à partir duquel il y a toujours 5 points reliés de la même couleur ?
Et c'est là que le problème non résolu arrive, car ce seuil,
on sait qu'il existe, mais on ne sait pas combien il vaut.
Enfin les mathématiciens ont quand même trouvé un encadrement

English: 
because we know that this threshold is between 43 and 49 points,
but it is not known exactly how much it is.
3: the Lychrel's numbers.
A palindrome is a number that reads the same way from left to right or right to left.
For example, 272 is a palidrome
because it is written 2-7-2 whatever the direction in which we read
If we take a number that is not a palindrome and adds that its inverse
that is to say, himself written backwards,
it is common that we obtains a palindrome.
If you take for example the number 143,
and add its inverse 341,
you get a palindrome: 484.
And if it does not work the first time, it is possible to repeat this operation.
If you take the number 57,
adding its inverse 75, we obtains 132.
132 is not a palindrome,
but if you add its inverse 231
363 is obtained which is a palindrome.

French: 
puisque l'on sait que ce seuil se situe entre 43 et 49 points,
mais on ne sait pas combien il vaut exactement.
N°3 : les nombres de Lychrel.
Un palindrome est un nombre qui se lit de la même manière de gauche à droite ou de droite à gauche.
Par exemple, 272 est un palidrome
car il s'écrit 2-7-2 quelque soit le sens dans lequel on le lit.
Si on prend un nombre qui n'est pas palindrome et qu'on lui rajoute son renversé,
c'est-à-dire lui-même écrit à l'envers,
il est fréquent que l'on obtienne un nombre palindrome.
Si vous prenez par exemple le nombre 143,
et que vous lui ajoutez son renversé 341,
vous obtenez un palindrome : 484.
Et si ça ne marche pas du premier coup,  il est possible de répéter cette opération.
Si vous prenez le nombre 57,
en lui ajoutant son renversé 75, on obtient 132.
132 n'est pas palindrome,
mais si vous lui ajoutez son renversé 231,
on obtient 363 qui est palindrome.

French: 
Mais existe-t-il des nombres qui ne tombent jamais sur un palindrome,
quelque soit le nombre d'étapes que l'on fait ?
Un nombre comme ça s'appelle un nombre de Lychrel, mais on ne sait pas si ça existe.
Il y a quand même des nombres que l'on soupçonne d'être de Lychrel,
c'est le cas par exemple de 196.
Si on lui ajoute son renversé 691, on obtient 887.
Si on ajoute à 887 son renversé 788 on trouve 1675,
qui n'est pas un palindrome.
Et ainsi de suite, on peut répéter cette opération avec les différents nombres obtenus,
on obtient jamais de nombres palindromes.
En tout cas, aussi loin qu'aient été les calculs des mathématiciens,
on a toujours pas trouvé de palindromes en partant de 196,
mais ça ne veut pas dire qu'on n'en trouvera jamais.
196 est un Lychrel soupçonné, mais ce n'est toujours pas démontré.
N°2 : le nombre chromatique du plan.
Prenez une grande feuille de papier et un bâton.
Vous voulez colorier entièrement la feuille avec un certain nombre de couleurs,

English: 
But there are numbers that never become a palindrome,
whatever the number of steps that you will do?
A number like this is called a Lychrel's number, but we do not know if it exists.
There are still numbers which we suspect of being Lychrel's numbers
it's the case for example of 196.
If we add its inverse 691, we obtains 887.
If we add to 887 its inverse, 788 we obtains 1675,
which is not a palindrome.
And so on, we can repeat this with different numbers obtained,
we nerver obtains a palindrome number.
Anyway, as far as may have been the calculations of mathematicians,
we have still not found palindromes starting from 196,
but that does not mean we will never find it.
196 is a Lychrel's number suspected, but it's still not proven.
2: the chromatic number of the plane.
Take a large sheet of paper and a stick.
You want to fully coloring sheet with a number of colors,

French: 
de façon à ce que si vous posez le bâton sur la feuille,
ses deux extrémités ne puissent pas être dans des zones de la même couleur.
Si vous coloriez la feuille comme ceci, ça ne marche pas
car si vous posez le bâton comme ça,
les deux extrémités du bâton sont dans des zones bleues.
Il est possible de trouver un coloriage qui marche en utilisant 7 couleurs
réparties selon un pavage hexagonal comme ceci.
Vous pouvez mettre le bâton comme vous voulez, il n'est pas possible que les deux extrémités
se trouvent dans des zones de la même couleur.
Est-il possible de faire la même chose, mais avec moins de 7 couleurs ?
Cette  question, on ne sait pas y répondre.
Comme tout à l'heure pour les nombres de Ramsey, les mathématiciens ont trouvé un encadrement.
Le nombre minimum de couleurs qu'il faut pour que ce soit possible,
qu'on appelle le nombre chromatique du plan,
est compris entre 4 et 7.
C'est soit 4, soit 5, soit 6, soit 7.

English: 
so if you put the stick on the sheet,
both ends can not be in areas coloured by the same color.
If you paint the sheet like this, it does not work
because if you put the stick like this,
both ends of the stick are in blue areas.
You can find a coloring that works using 7 colors
distributed in a hexagonal tiling like this.
You can put the stick as you want, it is not possible that both ends
are located in areas coloured by the same color.
Is it possible to do the same, but with less than 7 colors?
Well, we do not know the answer.
As earlier for Ramsey's numbers, mathematicians have found an interval.
The minimum number of colors needed to make this possible,
called the chromatic number of the plane,
is between 4 and 7.
It is either 4, or 5, or 6, or 7.

English: 
But is it possible with 6, 5 or 4, we do not know.
1: multiplicative persistence of numbers.
Take a number and multiply its numbers between them.
If for example you take 73,
it's composed of a 7 and a 3, so you do 7 × 3 = 21.
Then you repeat this with the obtained number.
With 21 we obtains 2 × 1 = 2.
And now you got a 1-digit number, you stop.
From 73, it took 2 steps to reach a 1-digit number and stop.
so we say that the multiplicative persistence of 73 is equal to 2.
The question is:
can we find numbers with multiplicative persistence as big as we want?
It seems that the answer is "no"
but at the moment, no one knows how to prove it.
For now, the number with the biggest persistence

French: 
Mais est-ce possible avec 6, 5 ou 4, on ne le sait pas.
N°1 : la persistance multiplicative des nombres.
Prenez un nombre et multipliez ses chiffres entre eux.
Si par exemple vous prenez 73,
il est composé d'un 7 et d'un 3 donc vous faites 7×3 = 21.
Puis vous répétez cette opération avec le nombre obtenu.
Avec 21 on obtient 2×1=2.
Et maintenant que vous avez obtenu un nombre à 1 chiffre, vous vous arrêtez.
À partir de 73, il a fallu 2 étapes pour aboutir à un nombre à 1 chiffre et s'arrêter.
On dit donc que la persistance multiplicative de 73 est égale à 2.
La question qui se pose est :
peut-on trouver des nombres avec une persistance multiplicative aussi grande que l'on veut ?
Il semblerait que la réponse soit "non",
mais à l'heure actuelle, personne ne sait le démontrer.
Pour l'instant, le nombre ayant la plus grande persistance

French: 
que l'on ait trouvé est 277777788888899.
Ce nombre a une persistance égale à 11.
C'est-à-dire qu'il faut 11 étapes avant d'obtenir un nombre à 1 chiffre.
Mais existe-t-il des nombres ayant une persistance multiplicative plus grande que 11 ?
Personne ne le sait, en tout cas pour l'instant, on en n'a pas trouvés.
Voilà, cette vidéo est terminée, j'espère qu'elle vous a plu.
Peut-être même qu'elle vous a donné envie de vous lancer à l'assaut de ces problèmes !
Peut-être que parmi vous se trouvent les mathématiciens en herbe qui résoudront certains de ces problèmes...
Alors bonnes recherches et à bientôt pour de nouvelles découvertes mathématiques :)

English: 
that we have found is 277,777,788,888,899.
This number's persistence is equal to 11.
So, it takes 11 steps before getting a 1-digit number.
But there are numbers with greater multiplicative persistence than 11?
Nobody knows, at least for now, we have not found.
Well, this video is over, I hope that you enjoyed.
Perhaps she tempted you to start attack these problems!
Maybe you are the the young mathematicians who will solve some of these problems ...
So good research and soon for new mathematical discoveries :)
