
English: 
- [Voiceover] As we start to graph lines,
we might notice that they're
differences between lines.
For example, this pink or
this magenta line here,
it looks steeper than this blue line.
And what we'll see is
this notion of steepness,
how steep a line is, how
quickly does it increase
or how quickly does it decrease,
is a really useful idea in mathematics.
So ideally, we'd be
able to assign a number
to each of these lines
or to any lines that
describes how steep it is,
how quickly does it increase or decrease?
So what's a reasonable way to do that?
What's a reasonable way to assign a number
to these lines that
describe their steepness?
Well one way to think
about it, could say well,
how much does a line increase
in the vertical direction
for a given increase in
the horizontal direction?
So let's write this down.
So let's say if we an increase
increase, in vertical,

Serbian: 
Како почнемо графички да  представљамо праве,
могли бисмо приметити да постоје разлике међу њима.
На пример, ова права пинк или ова овде права магента боје,
изгледа стрмије од ове праве плаве боје.
И оно што ћемо посматрати јесте ово појимање стрмине,
колико је права стрма, колико брзо расте
или колико брзо опада,
је стварно корисна идеја у математици.
Дакле, у идеалном случају, бисмо били у могућности да доделимо број
свакој од ових правих, или било којој правој, који
описује колико је она стрма,
колико брзо се пење или опада?
Па, који је разуман начин да урадимо то?
Који је разуман начин да доделимо број
овим правама који описује њихову стрмост?
Па, један начин да приступимо томе је, могли бисмо рећи, добро,
колико се права пење
у вертикалном правцу
за дати померај у хоризонталном правцу?
Дакле, запишимо ово.
Дакле, рецимо да ако имамо померај
померај, у вертикалном,

Bulgarian: 
Когато започнахме да чертаем прави,
може би забеляза, че има разлики между правите.
Например розовата права тук
изглежда по-стръмна от синята.
Сега ще видим, че означението за наклона,
колко стръмна е правата,
колко бързо се издига нагоре или колко бързо слиза надолу,
е наистина полезно понятие в математиката.
В идеалния случай ще можем да определим дадено число
за всяка от тези прави или за всяка права, което да описва
колко стръмна е тя,
колко бързо се изкачва нагоре или слиза надолу.
Да определим число за тези прави,
Да определим число за тези прави,
което да описва техния наклон?
Един от начините е да кажем, че
колко е увеличението във вертикална посока
за дадено увеличение в хоризонтална посока.
Да кажем, че това е...

Korean: 
두 그래프를 살펴보면
차이점을 발견할 수 있습니다
여기 분홍 선이 파란 선보다
더 가파릅니다
이 선이 얼마나 가파른지
혹은 얼마나 빠르게 증가하고 감소하는지는
수학에서 매우 유용한 정보입니다
이 선들의 가파른 정도
즉, 얼마나 빠르게 감소하고
증가하는지를 나타내는
가장 정확한 숫자를 찾아봅시다
직선이 얼마나 가파른지 
나타내는 적합한 숫자는 무엇일까요
(세로의 증가량) / (가로의 증가량) 을
이용하는 것이 하나의 방법입니다

Thai: 
เมื่อเราเริ่มวาดกราฟเส้นตรง
เราอาจสังเกตว่าเส้นตรงนั้นแตกต่างกัน
ตัวอย่างเช่น เส้นสีชมพูหรือสีบานเย็นตรงนี้
มันดูชันกว่าเส้นสีฟ้านี้
และสิ่งที่เราจะเห็นคือ แนวคิดเรื่องความชัน
เส้นตรงชันแค่ไหน มันเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหน
หรือมันลดลงเร็วแค่ไหน
มันเป็นแนวคิดที่มีประโยชน์จริงๆ ในคณิตศาสตร์
ในอุดมคติแล้ว เราอยากกำหนดตัวเลข
สำหรับเส้นตรงแต่ละเส้นตรงนี้ หรือเส้นตรงใดๆ
เพื่อบรรยายว่ามันชันแค่ไหน
มันเพิ่มหรือลดลงเร็วแค่ไหน?
วิธีทำอย่างสมเหตุสมผลคืออะไร?
วิธีที่สมเหตุสมผลเพื่อกำหนดตัวเลข
ให้แก่เส้นตรงเหล่านี้ 
ที่บรรยายความชันนั้นคืออะไร?
วิธีคิดอย่างหนึ่ง คือบอกว่า อืม
เส้นตรงเพิ่มขึ้น
ในแนวตั้งเท่าใด
เมื่อค่าในแนวนอนเพิ่มขึ้นจำนวนหนึ่ง?
ลองเขียนออกมากัน
สมมุติว่าถ้าเราเพิ่ม
การเพิ่มขึ้นในแนวตั้ง

German: 
Wir haben schon einige Geraden gesehen
vielleicht hast du bereits gemerkt, dass diese Geraden unterschiedlich sind.
Diese rosa Gerade ist zum Beispiel steiler als die blaue.
Diese rosa Gerade ist zum Beispiel steiler als die blaue.
Die "Steigung", wie steil eine Gerade ist,
Die "Steigung", wie steil eine Gerade ist,
wie schnell sie aufsteigt oder absteigt,
ist ein sehr nützliches Konzept in der Mathematik.
Wir hätten gerne eine Zahl
für jede Gerade
die beschreibt, wie steil sie ist.
Wie schnell steigt oder fällt sie?
Wie könnten wir das machen?
Wir könnten wir eine Zahl finden,
welche die Steilheit der Geraden beschreibt?
Wir könnten fragen:
Um wie viel steigt eine Gerade
vertikal an
bei einem gegebenen Anstieg
in der horizontalen Richtung?
Schreiben wir das mal auf.
Vertikaler Anstieg
Vertikaler Anstieg

Czech: 
Když začínáme s grafy přímek,
můžeme si všimnout rozdílů mezi přímkami.
Například tato růžová,
nebo fialová přímka zde.
Vypadá strmější než tato modrá přímka.
A co zjistíme je,
že tento pojem strmosti,
jak je přímka strmá,
jak rychle roste
nebo jak rychle klesá,
je opravdu užitečná představa
v matematice.
Ideálně bychom měli být schopni
přiřadit číslo každé z těchto přímek,
nebo jakékoliv přímce,
které popisuje,
jak je přímka strmá,
jak rychle roste nebo klesá.
Jaký je rozumný způsob?
Jak rozumně přiřadit číslo těmto přímkám,
které by popisovalo jejich strmost?
Jeden ze způsobů je,
ptát se,
jak moc přímka roste ve svislém směru,
pro určitý nárůst ve vodorovném směru?
Zapišme si to.
Řekněme, že…

English: 
in vertical,
for a given increase in horizontal
for a given increase
a given increase
in horizontal.
So, how can this give us a value?
Well let's look at that
magenta line again.
Now let's just start at an arbituary point
in that magenta line.
But I'll start at a point
where it's going to be easy for me
to figure out what point we're at.
So if we were to start right here,
and if I were to increase
in the horizontal
direction by one.
So I move one to the right.
To get back on the line, how much
do I have to increase in
the vertical direction?
Well I have to increase in
the vertical direction by two.
By two.
So at least for this magenta line,
it looks like our increase in vertical is
two, whenever we have an increase in
one in the horizontal direction.

Korean: 
(세로의 증가량) / (가로의 증가량) 
이라고 써봅시다
이 내용이 우리에게 
어떤 도움을 줄까요?
분홍색선을 다시 봅시다
선 위에 있는 점들 중 변화를
알아보기 쉽게 점 하나를 선택하겠습니다
여기서 시작해볼까요
이 선이 가로로 1만큼 
즉 오른쪽으로 1만큼 증가할 때
다시 선과 닿으려면 
세로로 얼만큼 증가해야할까요?
2만큼 증가하면 됩니다
분홍색선에선 가로로 1만큼 증가할 때
세로로 2만큼 증가하는 겁니다

Serbian: 
у вертикалном правцу,
за дати померај у хоризонталном
за дати померај
дати померај
у хоризонталном правцу.
Онда, како нам ово може дати неку вредност?
Па, посматрајмо поново ову праву мангента боје.
Даље, изаберимо неку полазну тачку
на тој правој магента боје.
Али почећу од тачке
за коју ће ми бити једноставно
да одредим њено тачно место припадања.
Тако, ако почнемо тачно овде,
и ако треба да се померим у хоризонталном
правцу за један.
Дакле, померам се за један у десно.
Да бих се вратио на праву, колико
треба да се померим у вертикалном правцу?
Па, треба да се померим у вертикалном правцу за два.
За два.
Значи, бар за ову праву магента боје,
изгледа да је наше вертикални померај
два, где год имамо померај за
један у хоризонталном правцу.

Thai: 
ในแนวตั้ง
สำหรับการเพิ่มขึ้นในแนวนอน
สำหรับการเพิ่มขึ้น
ในแนวนอนที่กำหนด
ในแนวนอน
อันนี้จะให้ค่าได้อย่างไร?
ลองดูเส้นตรงสีบานเย็นนั่นอีกครั้ง
ทีนี้ ลองเริ่มที่จุดตามใจหนึ่งจุด
บนเส้นตรงสีบานเย็นนั้น
เราจะเริ่มที่จุดหนึ่ง
ที่ผมหาได้ง่าย
ว่าจุดนั้นตรงไหนชัดๆ
ถ้าเราเริ่มตรงนี้
ถ้าเราเพิ่มในแนวนอน
ทีละ 1
ผมเลื่อน 1 หน่วยทางขวา
เพื่อให้กลับไปอยู่บนเส้นตรง ผมต้อง
เพิ่มขึ้นเท่าใดในแนวตั้ง?
ผมต้องเพิ่มในแนวตั้งขึ้น 2 หน่วย
ขึ้น 2
อย่างน้อยสำหรับเส้นตรงสีบานเย็นนี้
มันดูเหมือนว่าการเพิ่มขึ้นในแนวตั้ง
เป็น 2 เมื่อใดก็ตามที่เราเพิ่มขึ้น
1 หน่วยในแนวนอน

German: 
Vertikaler Anstieg
für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
Wie kommt da eine Zahl heraus?
Schauen wir mal die rosa Linie an.
Beginnen wir bei irgendeinem Punkt.
Beginnen wir bei irgendeinem Punkt.
Ich nehme einen, wo man
den x und y - Wert gut ablesen kann.
Ich nehme einen, wo man
den x und y - Wert gut ablesen kann.
Ich nehme einen, wo man
den x und y - Wert gut ablesen kann.
Starten wir hier.
Wenn ich in der horizontalen Richtung
um 1 größer werde,
Wenn ich in der horizontalen Richtung
um 1 größer werde,
Ich gehe also 1 nach rechts.
Damit ich zurück auf die Gerade komme,
wie viel muss ich vertikal hinaufgehen?
Um zwei muss ich hinaufgehen.
Um zwei muss ich hinaufgehen.
Für die rosa Gerade ist der Anstieg gleich 2
Für die rosa Gerade ist der Anstieg gleich 2
wenn ich horizontal um 1 zunehme.
wenn ich horizontal um 1 zunehme.

Bulgarian: 
увеличението във вертикална посока
за дадено увеличение в хоризонтална посока.
Каква стойност ще получим тук?
Нека разгледаме отново тази розова права.
Ще избера точка, за която е лесно
да установя къде се намираме
Ще започна оттук и
и ще увелича в хоризонтална посока с едно, едно надясно.
С колко трябва да увелича във вертикална
 посока?
Трябва да увелича във вертикална
 посока с 2.
За тази розова права увеличението по вертикала е винаги 2,
когато увеличението по хоризонтала е 1.
Да видим дали това съотношение е същото,

Czech: 
Nárůst ve svislém směru,
pro daný nárůst ve vodorovném…
pro daný nárůst ve vodorovném směru.
Jak by nám tohle mohlo dát hodnotu?
Podívejme se znovu na tu fialovou přímku.
Začněme v libovolném bodě
na té fialové přímce.
Já začnu v takovém,
kde pro mě bude snadné zjistit,
ve kterém bodě jsem.
Pokud bychom začali zde
a posunuli se ve vodorovném směru o 1.
Posunu se tedy o 1 doprava.
Abych se dostal zpět na přímku,
o kolik musím jít ve svislém směru?
Musím jít svisle o 2.
O dva body.
Alespoň pro tuto fialovou přímku,
nárůst ve svislém směru je 2,
pokaždé, kdy se posuneme o 1 vodorovně.

Thai: 
ลองดู มันยังใช้ได้ไหมถ้าผม
เริ่มตรงนี้ แทนที่จะเพิ่มแนวนอน
ทีละ 1 ถ้าผมเพิ่มขึ้น
ในแนวนอน --
ลองเพิ่มทีละ 3
ตอนนี้ผมบวก 3
ในแนวนอน
แล้วเวลากลับไปอยู่บนเส้นตรง
ผมต้องเพิ่มในแนวตั้งเท่าใด?
ผมต้องเพิ่มขึ้น 1, 2, 3, 4, 5, 6
ผมต้องเพิ่มขึ้น 6
บวก 6
เมื่อผมเพิ่มขึ้น 3
ในแนวนอน
ผมเพิ่มขึ้น 6 ในแนวตั้ง
เราแค่บอกว่า ลองวัด
ว่าเราเพิ่มในแนวตั้งเท่าใด
ต่อการเพิ่มในแนวนอนค่าหนึ่ง?
2 ส่วน 1 ก็คือ 2
และมันเท่ากับ 6 ส่วน 3
ไม่ว่าผมจะเริ่มตรงไหนบนเส้นตรงนี้
ไม่ว่าผมจะเริ่มตรงไหนบนเส้นตรงนี้
ถ้าผมนำมันมา และผมเพิ่มในแนวนอน
ตามปริมาณที่ให้มา
ผมจะเพิ่มเป็นสองเท่า
สองเท่าของปริมาณ
ในแนวตั้ง

English: 
Let's see, does that
still work if I were to
start here, instead of
increasing the horizontal
direction by one, if I were increase in
the horizontal direction...
So let's increase by three.
So now, I've gone plus three
in the horizontal direction,
then to get back on the line,
how much do I have to increase
in the vertical direction?
I have to increase by one,
two, three, four, five, six
I have to increase by six.
So plus six.
So when I increase by three
in the horizontal direction,
I increase by six in the vertical.
We were just saying,
hey, let's just measure
how much to we increase in vertical
for a given increase in the horizontal?
Well two over one is just two
and that's the same
thing as six over three.
So no matter where I start on this line,
no matter where I start on this line,
if I take and if I increase
in the horizontal direction
by a given amount,
I'm going to increase twice as much
twice as much
in the vertical direction.

Czech: 
Podívejme se, zda to bude platit,
pokud bych začal zde
a místo posunu o 1 vodorovně
pokud bych se posunul vodorovně…
Posuňme se o 3.
Teď jsem se posunul o 3 vodorovně,
abych se dostal zpět na přímku,
o kolik se musím posunout svisle?
Musím se posunout o
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Musím se posunout o 6.
Takže plus 6.
Když se posunu o 3 vodorovně,
musím se posunout o 6 svisle.
Jen jsme si řekli,
že změříme,
o kolik se posunout svisle
pro daný nárůst vodorovně.
2 lomeno 1 jsou 2.
A to je stejné jako 6 lomeno 3.
Nezáleží na tom, kde začnu na přímce,
pokud se posunu vodorovně
o daný počet bodů,
musím se posunout
o dvakrát tolik svisle.

Korean: 
만약 가로로 1 대신 
3 만큼 증가한다면
직선으로 돌아가기 위해서 
세로로 얼마나 증가해야할까요
6만큼 증가해야합니다
가로로 3만큼 증가하면 
세로로 6만큼 증가하는 겁니다
(세로의 증가량)/(가로의 증가량) 은
2/1이고
6/3 과 같죠?
따라서 선의 어디서 시작하든지
가로로 주어진 수만큼 증가하면

Serbian: 
Да видимо, да ли то и даље функционише ако бих требао
да почнем овде, уместо помераја у хоризонталном
правцу за један, ако бих требао померај у
хоризонталном првацу...
Па, хајде да се померимо за три.
Дакле, сада, отишао сам плус три
у хоризонталном правцу,
тада да бих се вратио на праву,
колико треба да се померим у вертикалном правцу?
Морам да се померим за један, два, три, четири, пет, шест
морам да се померим за шест.
Значи, плус шест.
Дакле, када се померим за три
у хоризонталном правцу,
померам се за шест у вертикалном правцу.
Ми бисмо управо рекли, хеј, хајде да једноставно измеримо
колико да се померимо у вертикалном правцу
за дати померај у хоризонталном правцу?
Па, два кроз један је само два
и то је исто што и шест кроз три.
Значи, није битно где сам почео на овој правој,
није важно где сам почео на овој правој,
ако узмем и померим се у хоризонталном правцу
за дати број,
померићу се два пута толико
дупло више
у вертикалном правцу.

German: 
Funktioniert das noch, auch wenn ich
hier starte.
Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe,
Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe,
Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe,
also plus 3 in horizontaler Richtung,
also plus 3 in horizontaler Richtung,
um dann wieder auf die rosa Gerade zu kommen,
wie viel muss ich vertikal hinaufgehen?
Ich muss um 1, 2, 3, 4, 5, 6 hinaufgehen.
Ich muss um sechs hinaufgehen.
Also plus 6.
Wenn ich um drei horizontal größer werde,
Wenn ich um drei horizontal größer werde,
werde ich vertikal um sechs größer.
Wir messen einfach:
Wie viel gehen wir vertikal hinauf
für einen bestimmten horizontalen Anstieg?
Zwei dividiert durch eins ist einfach zwei.
Sechs dividiert durch drei ist dasselbe.
Egal, wo ich auf dieser Geraden beginne,
Egal, wo ich auf dieser Geraden beginne,
wenn ich horizontal um einen
bestimmten Wert größer werde,
wenn ich horizontal um einen
bestimmten Wert größer werde,
nehme ich doppelt so viel
nehme ich doppelt so viel
in der vertikalen Richtung zu.

Bulgarian: 
когато не се премествам с 1 по хоризонтала.
а ако се премествам по хоризонтала с...
Нека се преместя с 3.
Сега се придвижвам с 3 в хоризонтална посока.
Тогава за да се върнем на правата,
с колко ще трябва да увеличим във вертикална посока?
Когато увелича с 3 в хоризонтална посока,
трябва да увелича със 6.
Или за увеличение в хоризонтална посока с 3,
увеличавам с 6 във вертикална.
Просто измерваме с колко увеличаваме във вертикална посока
за дадено увеличение в хоризонтална.
2 върху 1 е просто 2
и това е същото като 6 върху 3.
Следователно няма значение откъде тръгвам на правата,
за дадено увеличение по хоризонталата,

Czech: 
O dvakrát tolik svisle.
Tento pojem nárůstu svisle
lomeno nárůstem vodorovně,
to je to, co matematici používají
k popisu strmosti přímky.
Tomu se říká „sklon“.
Říká se tomu sklon přímky.
Asi znáte pojem sklonu
z lyžařské sjezdovky.
To protože sjezdovka má určitý spád.
Může být prudký, mírný.
Takže sklon je k měření,
jak je něco strmé.
A konvence je,
že měříme nárůst svisle
vzhledem k nárůstu vodorovně.
2 lomeno 1 je stejné jako 6 lomeno 3
je rovno 2, to je sklon fialové přímky.
Napíšu to.
Tento sklon zde,
sklon této přímky,
bude roven dvěma.
A interpretovat to můžeme tak,
že ať už se posuneme
vodorovně jakkoliv,

Korean: 
주어진 수의 두 배만큼 
세로로 증가합니다
(세로의 증가량)/(가로의 증가량)은
수학자들이 선의 가파른 정도를 
나타내기 위해 사용한 방법입니다
이것이 바로  직선의 기울기입니다
스키 슬로프라는 말을 
들어보셨을텐데요
이는 스키장이 가파른지 완만한지를
나타내주는 말입니다
따라서 기울기는 
기울어진 정도를 나타냅니다
관습적으로 
(세로의 증가량)/(가로의 증가량) 을 이용하는데요
2/1 = 6/3 = 2 가 바로 
분홍색선의 기울기인 겁니다
따라서 이 선의 기울기는 2입니다

Thai: 
มากเป็นสองเท่าในแนวตั้ง
แนวคิดของการเพิ่มในแนวตั้ง
หารด้วยการเพิ่มในแนวนอนนี้
นี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ใช้บรรยาย
ความชันของเส้นตรง
และนี่เรียกว่า ความชัน (slope)
นี่เรียกว่า ความชันของเส้นตรง
และคุณอาจคุ้นเคยกับแนวคิด
ของคำว่า ความชันแล้ว อย่างในคำว่าเนินสกี 
ski slope
และมันเป็นเพราะเนินสกีมีความเอียงอยู่
มันมีความชันแบบลึกหรือความชันแบบตื้น
ความชันจึงเป็นค่าวัดว่าอะไรสักอย่างชันแค่ไหน
และธรรมเนียมคือว่า เราวัดการเพิ่ม
ในแนวตั้ง สำหรับการเพิ่มในแนวนอนค่าหนึ่ง
2 ส่วน 1 เท่ากับ 6 ส่วน 3
เท่ากับ 2 นี่เท่ากับความชัน
ของเส้นตรงสีบานเย็นนี้
ขอผมเขียนลงไปนะ
ความชันนี่ตรงนี้ ความชันของเส้นตรงนั้น
มันจะเท่ากับ 2
และวิธีตีความ
ปริมาณที่คุณเพิ่มใน
แนวตั้งไม่ว่าจะเป็นเท่าใด คุณจะเพิ่ม

Bulgarian: 
увеличението във вертикална посока е винаги два пъти по-голямо.
Чрез увеличението по вертикала, разделено на увеличението по хоризонтала,
математиците описват колко стръмни са правите и
това се нарича ъглов коефициент или наклон на права.
Сигурно знаеш значението на думата наклон.
Например наклон на ски писта – всяка писта има определена полегатост.
Тя може да има голям или малък наклон.
Наклонът е мярка за това колко стръмно е нещо.
И е прието да измерваме увеличението във вертикална посока
за дадено увеличение в хоризонтална посока.
2 делено на 1 е равно на 6 делено на 3 е равно на 2.
Това е ъгловият коефициент на тази розова права.
Ъгловият коефициент или наклонът на розовата права е 2.
Нека го обясня по друг начин,
с колкото увеличаваш в хоризонтална посока,

English: 
Twice as much in the vertical direction.
So this notion of this
increase in vertical
divided by increase in horizontal,
this is what mathematicians
use to describe
the steepness of lines.
And this is called the slope.
So this is called the slope of a line.
And you're probably
familiar with the notion
of the word slope being
used for a ski slope,
and that's because a ski slope
has a certain inclination.
It could have a steep
slope or a shallow slope.
So slope is a measure for
how steep something is.
And the convention is, is
we measure the increase
in vertical for a given
in increase in horizontal.
So six two over one is
equal to six over three
is equal to two, this
is equal to the slope
of this magenta line.
So let me write this down.
So this slope right over
here, the slope of that line,
is going to be equal to two.
And one way to interpret that,
for whatever amount you increase in the
horizontal direction,
you're going to increase

German: 
nehme ich doppelt so viel in der vertikalen Richtung zu.
Diesen Begriff von vertikalem Anstieg
dividiert durch horizontalen Anstieg
verwenden Mathematiker, um die
Steilheit von Geraden zu beschreiben.
Und das nennt man die "Steigung".
Man nennt das die "Steigung" einer Geraden.
Du kennst wahrscheinlich die Steigung im Zusammehang
mit einer Skipiste.
Skipisten haben eine bestimmte Steilheit.
Es gibt steile und weniger steile Skipisten.
Steigung ist also ein Mass, wie steil etwas ist.
Man misst den vertikalen Anstieg
für einen bestimmten horizontalen Anstieg.
2 dividiert durch 1 
ist gleich 6 dividiert durch 3
ist gleich 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
ist gleich 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
Ich schreibe das auf.
Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
Man kann sich das so vorstellen:
Egal wieviel du horizontal ansteigst,
vertikal steigst du immer doppelt so viel an.

Serbian: 
Дупло више од тога у вертикалном правцу.
Дакле, ово појимање овог помераја у вертикалном правцу
подељено са померајем у хоризонталном правцу,
ово је оно што математичари имају обичај да описују
као стрмост праве.
И ово се назива нагиб.
Дакле, ово се назива нагибом праве.
И вероватно сте упознати са појимањем
речи нагиб која се користи за нагиб скијалишта,
и то је због тога што скијалиште има одређену инклинацију.
Могло би имати стрм или благ нагиб.
Дакле, нагиб је мера за колико је нешто стрмо.
И конвенција је, је да меримо померај
у вертикалном правцу за дати померај у хоризонталном правцу.
Значи, два кроз један је једнако са шест кроз три
је једнако са два, ово је једнако нагибу
ове праве у магента боји.
Па, дозволите ми да запишем ово.
Значи, овај овде нагиб, нагиб те праве,
ће бити једнак са два.
И један начин да интерпретирамо то,
за колику вредност се померите у
хоризонталном правцу померићете се

Bulgarian: 
по вертикала увеличението е двойно.
Какво ще кажем за синята права тук?
Какъв ще бъде ъгловият коефициент или наклонът на синята права?
Нека напиша по друг начин това,
което обикновено ще виждаме като определение за ъглов коефициент.
Такава е установената практика, която математиците
са определили за ъгловия коефициент, и тя е важна.
Каква е промяната във вертикала
за дадена промяна в хоризонтала?
Ще ти представя едно ново означение.
Казвам "промяната по вертикала",
а после рисувам този триъгълник...
...това е у координатата...
делена на промяната в хоризонтала,
х е хоризонталната координата
в тази координатна система.
Казвам "промяната в", а после
рисувам този триъгълник.
Това е гръцката буква "делта".
Тя е математически символ,
използван за изобразяване на "промяна в".
Това е делта.

Korean: 
가로로 얼마만큼 증가하든지
세로로 2배만큼 증가한다는 뜻입니다
이 파란 선의 기울기는 얼마일까요?
일반적으로 기울기를 표시해볼건데요
이 방법은 수학자들이 관습적으로
사용하는 것이지만 매우 유용합니다
가로와 세로의 변화량을 나타내는
새로운 기호를 소개해드릴거에요
y 값의 변화량 
즉 세로방향인 y축의 증가량을
x값의 변화량 즉 좌표평면의 가로인
x축의 증가량으로 나눈 값을
삼각형 기호로 나타낼수 있습니다
이 삼각형은 그리스어로 델타입니다
이는 변화를 뜻하는 수학기호입니다

Thai: 
ในแนวตั้งมากเป็นสองเท่าของค่านั้น
แล้วเส้นตรงสีฟ้านี่ล่ะ?
ความชันของเส้นตรงสีฟ้าเป็นเท่าใด?
ขอผมเขียนอีกวิธีที่คุณมัก
เห็นในนิยามความชันบ้าง
และนี่คือธรรมเนียมที่นักคณิตศาสตร์
ใช้นิยามความชัน
แต่มันคือตัวแปร
การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง
สำหรับการเปลี่ยนแปลง
ในแนวนอนที่กำหนดคือะไร?
ผมจะแนะนำสัญลักษณ์ใหม่ให้คุณรู้จัก
การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง
และในพิกัดนี้
แนวตั้งคือพิกัด y ของเรา
หารด้วยการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน
และ x คือพิกัดแนวนอนของเรา
ในระนาบพิกัดนี่ตรงนี้
เดี๋ยวก่อน เธอบอกว่าการเปลี่ยแนปลง แต่เธอ
วาดสามเหลี่ยมนี่
นี่ก็คือตัวอักษรกรีก เดลต้า
นี่คือตัวอักษรกรีก เดลต้า
และมันคือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
ที่ใช้แทน การเปลี่ยนแปลงของ
นั่นคือเดลต้า เดลต้า
และมันหมายถึง การเปลี่ยนแปลงของ y

English: 
twice as much in the vertical direction.
Now what about this blue line here?
What would be the slope of the blue line?
Well, let me rewrite another
way that you'll typically
see the definition of slope.
And this is just the
convention that mathematicians
have defined for slope
but it's a valuable one.
What is are is our change in vertical
for a given change in horizontal?
And I'll introduce a new notation for you.
So, change in vertical,
and in this coordinate,
the vertical is our Y coordinate.
divided by our change in horizontal.
And X is our horizontal coordinate
in this coordinate plane right over here.
So wait, you said change in but then you
drew this triangle.
Well this is the Greek letter delta.
This is the Greek letter delta.
And it's a math symbol used
to represent change in.
So that's delta, delta.
And it literally means, change in Y,

Czech: 
posuneme se o dvakrát tolik svisle.
Co tato modrá přímka zde?
Jaký bude sklon modré přímky?
Napíšu další způsob,
který uvidíte jako definici sklonu.
Je to jen konvence,
jak matematici definovali sklon,
ale je užitečná.
Jaká je změna ve svislém směru
pro danou změnu ve vodorovném?
Uvedu vám nový zápis.
Změna ve svislém…
V této souřadnici…
Svislý směr je souřadnice 'y'.
Děleno změnou ve vodorovném.
Vodorovný směr je souřadnice 'x',
v tomto souřadnicovém systému.
„Počkej, řekl jsi změna,
ale nakreslil jsi tento trojúhelník.“
Tohle je řecké písmeno delta.
Řecké písmeno delta.
Je to matematický symbol
pro znázornění změny.
Tohle je delta.
A doslova znamená změnu v 'y'.

German: 
vertikal steigst du immer doppelt so viel an.
Jetzt die blaue Gerade:
Wie groß ist die Steigung der blauen Geraden?
Ich schreibe das nun anders auf, so wie man oft
die Definition der Steigung sieht.
So schreiben es die Mathematiker auf:
So schreiben es die Mathematiker auf:
So schreiben es die Mathematiker auf:
Wie groß ist die Änderung in vertikaler Richtung
für eine gegebene Änderung in horizontaler Richtung?
Ich führe nun ein neues Zeichen ein:
Änderung in vertikaler Richtung
Vertikal ist hier die y-Achse
Vertikal ist hier die y-Achse
dividiert durch Änderung in horizontaler Richtung.
Die horizontale Koordinate ist x
in diesem Koordinatensystem hier.
Jetzt sagst du, warte mal, du hast Änderung gesagt,
und dieses Dreieck hingemalt.
Jetzt sagst du, warte mal, du hast Änderung gesagt,
und dieses Dreieck hingemalt.
Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta.
Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta.
Es ist ein mathematisches Symbol
für die "Änderung" von etwas.
Das ist Delta.
Das bedeutet Änderung in y,

Serbian: 
два пута више у вертикалном правцу.
Даље, шта за ову овде праву плаве боје?
Колики би био нагиб ове праве плаве боје?
Па, дозволите ми да поново запишем други начин на који ћете уобичајено
виђати дефиницију нагиба.
И ово је конвенција коју математичари
су дефинисали за нагиб
али је вредан.
Колика је наша промена у вертикалном правцу
за дату промену у хоризонталном правцу?
И представићу вам нов запис за вас.
Дакле, промена у вертикалном правцу,
а у овом координатном систему,
вертикалан правац је наша У координата.
подљено са нашом променом у хоризонталном правцу.
А Х је наша хоризонтална координата
у овој овде координатној равни.
Па, чекајте, рекли сте промена у, али онда
цртате овај троугао.
Па, ово је грчко слово делта.
Ово је грчко слово делта.
И то је математички симбол који се користи за представљање промене.
Значи, то је делта, делта.
А то дословно значи, промена у У,

English: 
change in Y,
divided by change in X,
change in X.
So if we want to find the
slope of the blue line,
we just have to say, well
how much does Y change
for a given change in X?
So, the slope of the blue line.
So let's see, let me do it this way.
Let's just start at some point here.
And let's say my X changes by two
so my delta X is equal to positive two.
What's my delta Y going to be?
What's going to be my change in Y?
Well, if I go by the right by two,
to get back on the line,
I'll have to increase my Y by two.
So my change in Y is also
going to be plus two.
So the slope of this blue line,
the slope of the blue line,
which is change in Y over change in X.
We just saw that when our
change in X is positive two,
our change in Y is also positive two.

German: 
Das bedeutet Änderung in y,
dividiert durch Änderung in x.
dividiert durch Änderung in x.
Wenn wir also die Steigung der blauen Geraden wollen,
müssen wie fragen, um wie viel ändert sich y
für eine gegebene Änderung in x?
Die Steigung der blauen Gerade.
 
Fangen wir irgendwo an.
Mein x ändert sich um 2.
Mein Delta x ist also plus 2.
Wie groß ist mein Delta y?
Wie groß ist meine Änderung von y?
Wenn ich um zwei nach rechts gehe,
um zurück auf die Gerade zu kommen
muss ich y um zwei erhöhen.
Meine Änderung von y ist also auch gleich 2.
Die Steigung dieser blauen Geraden
Die Steigung dieser blauen Geraden
ist Änderung in y dividiert durch Änderung in x.
Wir haben eben gemessen, dass wenn unsere Änderung in x plus zwei ist
so ist unsere Änderung in y auch plus 2.

Korean: 
말 그대로 y의 변화량을 
x의 변화량으로 나눈 것입니다
따라서 파란 선의 기울기를 구하려면
주어진 x의 값에 따라
 y값이 어떻게 변하는지 보면됩니다
이 점에서 시작해 볼게요
만약 델타 x가 양수 2라면
델타 y는 무엇일까요?
선으로 돌아가려면 
2만큼 증가해야하므로
y의 변화량 또한 
양수 2가 될것입니다

Serbian: 
промена за У,
подељено са променом за Х,
променом за Х.
Дакле, ако желимо да одредимо нагиб праве плаве боје,
морамо да кажемо, па, колика је У промена
за дату промену за Х?
Значи, нагиб праве плаве боје.
Дакле, да видимо, дозволите ми да урадим то на овај начин.
Почнимо од неке тачке овде.
И рецимо да се моје Х промени за два
тако да је моја делта Х једнако  два.
Колико ће бити моје делта У?
Колика ће бити моја промена за У?
Па, ако одем за два у десно,
да се вратим на праву,
морам да увећам моје У за два.
Значи, моја промена за У ће такође бити плус два.
Дакле, нагиб ове праве плаве боје,
нагиб праве плаве боје,
који је промена од У кроз промена од Х.
Управо смо видели да када је наша промена за Х два,
наша промена за У је такође плус два.

Bulgarian: 
И тя буквално означава промяната в у,
делена на промяната в х.
Ако искаме да намерим ъгловия коефициент на синята права,
трябва само да кажем
с колко се променя у
за дадена промяна в х?
Ъгловият коефициент или наклонът на синята права.
Нека го направя по този начин.
Нека започнем просто от някоя точка тук.
Ще кажем, че х се променя с 2,
значи делта х е равно на плюс 2.
Колко ще бъде делта у?
Каква ще бъде промяната в у?
Ако отида надясно с 2,
за да се върна обратно на правата,
трябва да увелича у с 2.
Така че промяната в у ще бъде също плюс 2.
Следователно това е ъгловият коефициент на тази синя права,
или наклонът на синята права,
който е промяната на у върху промяната на х...
Току-що видяхме, че когато промяната на х е плюс 2,
промяната на у е също плюс 2.

Thai: 
การเปลี่ยนแปลงของ y
หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x
การเปลี่ยนแปลงของ x
ถ้าเราอยากหาความชันของเส้นตรงสีฟ้า
เราแค่ต้องบอกว่า y เปลี่ยนไปแค่ไหน
สำหรับการเปลี่ยนแปลงของ x ค่าหนึ่ง?
ความชันของเส้นตรงสีฟ้า
ลองดู ขอผมทำแบบนี้นะ
ลองเริ่มสักแห่งตรงนี้
และสมมุติว่า x ของผมเปลี่ยนไป 2 หน่วย
แล้วเดลต้า x ของผมจะเท่ากับบวก 2
เดลต้า y ของผมจะเป็นเท่าใด?
การเปลี่ยนแปลงของ y จะเป็นเท่าใด?
ถ้าผมไปทางขวา 2 หน่วย
เวลากลับไปบนเส้นตรง
ผมต้องเพิ่ม y ขึ้น 2 หน่วย
การเปลี่ยนแปลงของ y จะเท่ากับบวก 2 ด้วย
ความชันของเส้นตรงสีฟ้านี้
ความชันของเส้นตรงสีฟ้า
ซึ่งก็คือการเปลี่ยนแปลงของ y
ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x
เราแค่บอกว่า เมื่อการเปลี่ยนแปลงของ x
เป็นบวก 2
การเปลี่ยนแปลงของ y ก็คือบวก 2 ด้วย

Czech: 
Změnu v 'y'
děleno změnou v 'x'.
Změnou v 'x'.
Chceme-li zjistit sklon modré přímky,
musíme se zeptat, o kolik se změní 'y'
vzhledem ke změne v 'x'?
Sklon modré přímky.
Podívejme se, udělám to takto.
Začněme v nějakém bodě zde.
A řekněme, že mé 'x' se změní o 2,
takže mé delta x bude rovno +2.
Jaké bude mé delta y?
Jaká bude změna v 'y'?
Půjdu-li doprava o dvě,
abych se dostal zpět,
musím navýšit 'y' o dvě.
Takže změna v 'y' bude také +2.
Takže sklon této modré přímky,
což je změna v 'y'
lomeno změnou v 'x'.
Právě jsme viděli,
že je-li změna v 'x' o 2,
změna v 'y' bude také o 2.

Korean: 
따라서 파란 선의 기울기 
즉 ∆y/∆x = 2/2 =1 이 됩니다
x가 얼만큼 증가해도
y가 똑같이 증가합니다
x가 1 증가하면 y가 1 증가하는 것을 확인할 수 있습니다
어느 점에서도 이 사실이 적용됩니다
x에서 3만큼 증가하면 
y에서 3만큼 증가합니다
반대방향으로도 같은데요
만약 x가 1만큼 감소하면 
y도 1만큼 감소합니다
x가 2만큼 감소하면 
y도 2만큼 감소합니다
이것은 공식에서도 성립하는데요
(y의 변화량)/(x의 변화량) = -2/-2 = 1
즉, 기울기입니다

German: 
Unsere Steigung ist 2 dividiert durch 2,
das ist 1.
Das bedeutet, dass egal um wie viel wir
x verändern, y wird um den gleichen Wert verändert.
Wenn unser x um eins ansteigt,
steigt unser y auch um eins an.
Wenn unser x um eins ansteigt,
steigt unser y auch um eins an.
Wenn unser x um eins ansteigt,
steigt unser y auch um eins an.
Das stimmt auf jedem Punkt unserer Geraden.
Wenn unser x um 3 ansteigt,
steigt unser y auch um 3 an.
Es stimmt auch in die andere Richtung.
Wenn unser x um 1 abnimmt,
nimmt unser y auch um 1 ab.
Wenn unser x um 2 abnimmt,
nimmt unser y auch um 2 ab.
Das macht auch mit der Formel Sinn.
Wenn unsere Änderung von x gleich -2 ist,
so wie hier,
unsere Änderung in x ist minus zwei
wir sind um 2 zurückgegangen,
dann ist auch die Änderung von y gleich -2.
dann ist auch die Änderung von y gleich -2.
-2 dividiert durch -2
ist +1, was wieder die Steigung ist.

Serbian: 
Значи, наш нагиб је два подељено са два,
што је једнако један.
Што нам говори колико год увећамо
Х, увећаћемо и У за исту вредност.
Видели смо да, увећамо Х за један, увећамо
У за један.
Увећамо Х за један, увећамо У за један.
За сваку тачку на правој, то ће бити тачно.
Увећате Х за три,
увећаћете У за три.
Тачно је и за обрнуто.
Ако умањите Х за три,
умањићете У за један.
Ако умањите Х за два,
умањићете У за два.
И то има смисла по математици тога, такође.
Пошто, ако је ваша промена за Х минус два,
то је оно што смо урадили овде,
наша промена од Х је минус два,
вратили смо се два уназад,
тада ће ваша промена за У бити такође минус два.
Ваша промена за У ће бити минус два,
а минус два подељено са минус два,
је плус један, што је поново наш нагиб.

English: 
So our slope is two divided by two,
which is equal to one.
Which tells us however much we increase in
X, we're going to increase
the same amount in Y.
We see that, we increase
one in X, we increase
one in Y.
Increase one in X, increase one in Y.
>From any point on the line,
that's going to be true.
You increase three in X,
you're going to increase three in Y.
It's actually true the other way.
If you decrease one in X,
you're going to decrease one in Y.
If you decrease two in X,
you're going to decrease two in Y.
And that makes sense from
the math of it as well
Because if you're change
in X is negative two,
that's what we did right over here,
our change is X is negative two,
we went two back,
then your change in Y is going
to be negative two as well.
Your change in Y is
going to be negative two,
and negative two divided by negative two,
is positive one, which
is your slope again.

Czech: 
Náš sklon je 2 děleno 2,
což je rovno 1.
Což nám říká, že navýšíme-li 'x',
navýšíme o to stejné i 'y'.
Vidíme, že navýšíme-li 'x' o 1,
navýšíme o 1 i 'y'.
Nárůst o 1 v 'x',
nárůst o 1 v 'y'.
To bude pravda v každém bodě na přímce.
Navýšíme-li 'x' o 3,
navýšíme i 'y' o 3.
Je to pravda i obráceně.
Snížíme-li 'x' o 1,
snížíme i 'y' o 1.
Snížíme-li 'x' o 2,
snížíme i 'y' o 2.
A dává to smysl i z té matematiky.
Protože změníme-li 'x' o -2,
to je to co jsme udělali,
naše změna v 'x' je -2,
šli jsme o 2 zpět,
pak naše změna v 'y' bude rovněž -2.
Změna v 'y' bude -2.
-2 děleno -2 bude +1,
což je náš sklon.

Thai: 
ความชันของเราจึงเป็น 2 หารด้วย 2
ซึ่งเท่ากับ 1
ซึ่งบอกเราว่าเราเพิ่มค่า x แค่ไหน
เราจะเพิ่มเท่ากับปริมาณของ y
เราเห็นได้ว่า เราเพิ่ม 1 หน่วยใน x เราจะเพิ่ม
1 หน่วยใน y
เพิ่ม 1 หน่วยใน x, เพิ่ม 1 หน่วยใน y
จากจุดใดๆ บนเส้นตรง มันจะเป็นจริง
คุณเพิ่ม 3 หน่วยใน x
คุณจะเพิ่ม 3 หน่วยใน y
มันจึงเป็นจริงไม่ว่าอย่างไร
ถ้าคุณลด 1 หน่วยใน x
คุณจะลด 1 หน่วยใน y
ถ้าคุณลด 2 หน่วยใน x
คุณจะลด 2 หน่วยใน y
และมันสมเหตุสมผลจากคณิตศาสตร์ด้วย
เพราะถ้าการเปลี่ยนแปลงของ x เป็นลบ 2
นั่นคือสิ่งที่เราทำตรงนี้
การเปลี่ยนแปลงของ x เป็นลบ 2
เราถอยไป 2 หน่วย
แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y จะเป็นลบ 2 เช่นกัน
การเปลี่ยนแปลงของ y จะเป็นลบ 2
และลบ 2 หารด้วยลบ 2
เป็นบวก 1 ซึ่งก็คือความชันของเราเหมือนเดิม

Bulgarian: 
Тогава ъгловият коефициент е 2 делено на 2, което е равно на 1.
Следователно с колкото увеличаваме х,
ще увеличим със същата величина у.
Щом увеличаваме с 1 х, то увеличаваме с 1 и у.
От всяка една точка на правата това ще бъде вярно.
Увеличаваш с 3 х, ще увеличиш с 3 у.
И обратното е вярно.
Ако намалиш с 1 х, ще намалиш с 1 у.
Ако намалиш с 2 в х, ще намалиш с 2 в у.
Това е логично и от математическа гледна точка,
защото ако промяната на х е минус 2...
това направихме тук...
Промяната на х е минус 2,
то и промяната на у също е минус 2.
Минус 2 делено на минус 2 е равно на плюс 1.
което е отново нашият ъглов коефициент или наклон.
