
iw: 
תרגום: Ido Dekkers
עריכה: Tal Dekkers
זה אולי נראה כמו ערמה
מסודרת היטב של מספרים,
אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית.
המתמטיקאים ההודים קראו לזה
המדרגות להר מרו.
באירן, זה נקרא משולש קיהיים.
ובסין, זה משולש יאנג הוי.
לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל
על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל,
מה שנראה לא הוגן מאחר
שהוא בהחלט איחר למסיבה,
אבל עדיין היה לו הרבה לתרום.
אז מה בנוגע לזה כל כך
עניין את העולם המתמטי?
בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות.
ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו.
התחילו עם אחד ודמיינו אפסים
בלתי נראים בכל צד שלו.
חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה.

Vietnamese: 
Translator: Hằng Vũ
Reviewer: Emily Nguyen
Trông như một tập hợp các số
được sắp xếp theo thứ tự
nhưng lại là một kho báu toán học.
Những nhà toán học Ấn Độ
gọi nó là Nấc thang lên đỉnh Tu Di.
Ở Iran, nó có tên 
Tam giác Khayyam
Và ở Trung Quốc,
là Tam giác Dương Huy.
Ở hầu hết các nước phương Tây,
nó được biết đến với tên Tam giác Pascal,
đặt theo tên nhà toán học
người Pháp, Bryce Pascal,
nghe có vẻ hơi bất công
vì rõ ràng khám phá của ông
muộn hơn những người khác
nhưng ông vẫn có nhiều đóng góp.
Vậy điều gì khiến nó hấp dẫn
các nhà toán học trên thế giới đến vậy?
Nói ngắn gọn,
nó chứa đầy quy luật và bí ẩn.
Trước nhất là quy tắc tạo thành.
Bắt đầu với số một,
hãy tưởng tượng 
những số không vô hình ở hai bên.
Cộng chúng lại theo cặp,
sẽ tạo thành dòng tiếp theo.

Portuguese: 
Tradutor: Margarida Ferreira
Revisora: Isabel Vaz Belchior
Isto pode parecer uma pilha 
de números bem arrumados,
mas, na verdade,
é um rico manancial matemático.
Os matemáticos indianos chamavam-lhe
a Escadaria do Monte Meru.
No Irão, é o Triângulo Khayyám.
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
Para grande parte do mundo ocidental
é conhecido como o Triângulo de Pascal,
do matemático francês Blaise Pascal,
o que parece bastante injusto
porque, obviamente, ele foi o último
embora ainda tenha contribuído muito.
O que é que tem de especial, que tanto
intrigou matemáticos do mundo inteiro?
Em poucas palavras, 
está cheio de padrões e de segredos.
Primeiro e acima de tudo,
há o padrão que o gera.
Comecem com um e imaginem 
um zero invisível de cada lado.
Somem-nos aos pares, 
gerando a linha seguinte.

Polish: 
Tłumaczenie: Maria Barć
Korekta: Rysia Wand
Może to i wygląda
na ładnie poukładany stos cyferek,
ale dla matematyka to stos skarbów.
Matematycy indyjscy
zwali go "schodami na górę Meru".
Irańscy "trójkątem Chajjama".
W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.
Świat zachodni
zna go jako trójkąt Pascala,
od nazwiska francuskiego
matematyka Błażeja Pascala,
co wydaje się ciut nieuczciwe,
skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.
Sporo za to odkrył.
Co takiego fascynuje w trójkącie 
matematyków na całym świecie?
Pełno w nim wzorów i tajemnic.
Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.
Zacznij od jedynki
z zerami po obu stronach.
Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.

Turkish: 
Çeviri: Sevkan Uzel
Gözden geçirme: Yunus ASIK
Zarifçe düzenlenmiş bir yığın
sayıya benziyor olabilir;
fakat bu aslında matematiksel
bir hazine sandığı.
Hintli matematikçiler ona
Meru Dağı'nın Merdivenleri der.
İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.
Çin'de ise Yang Hui'nin
Üçgeni adı verilir.
Batı dünyasının büyük bölümünde
ise Pascal Üçgeni denir.
Bu ad, Fransız matematikçi
Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.
Bu pek adil sayılmaz, çünkü
Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.
Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.
Peki dünyanın her yanından matematikçinin
ilgisini çeken ne var bunda?
Kısaca söylemek gerekirse,
desenler ve sırlarla dolu.
Bunların ilki ve en önemlisi,
onu üreten desenin kendisi.
1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez
sıfırlar olduğunu hayal edin.
Bu sayıları ikişer ikişer toplayın
ve toplamları bir alt satıra yazın.

Italian: 
Traduttore: Sara Tirabassi
Revisore: Alessandra Tadiotto
Questa potrebbe sembrare 
una pila ordinata di numeri,
ma in realtà è un vero tesoro matematico.
I matematici indiani la chiamano
la Scalinata del Monte Meru.
In Iran è il Triangolo di Khayyam.
E in Cina è il Triangolo di Yang Hui.
In gran parte dell'occidente
è noto come Triangolo di Pascal
dal nome del matematico francese
Blaise Pascal.
Ad essere sinceri Pascal
è arrivato in ritardo rispetto agli altri,
ma ha comunque contribuito molto.
Ma cos'è che ha affascinato così tanto
i matematici di tutto il mondo?
Per farla breve,
è zeppo di schemi e segreti.
Innanzitutto si costruisce
con un algoritmo.
Inizia con un uno, e accanto a esso
immagina due zeri invisibili.
Somma i numeri a coppie
per generare la riga dopo.

Burmese: 
Translator: Tun Lin Aung + 1
Reviewer: sann tint
ဒါက သပ်သပ်ရပ်ရပ် စီစဉ်ထားတဲ့ 
ကိန်း အပုံလိုက်ကြီးနှယ် ပုံပေါ်နိုင်ပါတယ်၊
ဒါပေမဲ့၊ ဒါဟာ တကယ်တော့ 
သင်္ချာဆိုင်ရာ ရတနာသိုက် တစ်ခုပါ။
အိန္ဒိယ သင်္ချာပညာရှင်တွေက ဒါကို 
မေရုတောင်ရဲ့ လှေကားထစ်များလို့ ခေါ်ပါတယ်။
အီရန်မှာ၊ ဒါက Khayyam တြိဂံပါ။
ပြီးတော့ တရုတ်မှာ၊ ဒါက Yang Hui ရဲ့ 
တြိဂံပါ။
အနောက်တိုင်းကမ္ဘာ အများစုအတွက်တော့ 
ပြင်သစ်သင်္ချာ ပညာရှင်
Blaise Pascal အမည်အစွဲပြုကာ
ဒါကို Pascal's Triangle လို့ခေါ်တာ
နောက်မှမွေးပြီး ကိုဦးလို့ အမည်ပေးသလို 
တစိတ်တော့ လွန်လေမလားပဲ၊
ဒါပေမဲ့ သူ အများကြီး 
ပါဝင်ဆောက်ရွက်ထားခဲ့ရတာပါ။
ဒါဆို တကမ္ဘာလုံးက သင်္ချာပညာရှင်တွေကို
ဖမ်းစားနိုင်လွန်းတာ ဘယ်လို အချက်မျိုးပါလဲ။
အချုပ်အားဖြင့်၊ ဒါက ပုံစံကွဲ အသွယ်သွယ်နဲ့ 
လျို့ဝှက်ချက်တွေ ရှိတာပါ။
ပထမဦးစဆုံး 
ဒါကို ပေါ်ထွက်လာစေတဲ့ ပုံစံရှိပါတယ်။
စ စခြင်း တစ်နဲ့ ၎င်းရဲ့ တဘက်တချက်စီက
သုညတွေကို စိတ်ကူးကြည့်ပါ။
သူတို့ကို တစ်စုံချင်းတွဲလို့ ပေါင်းပါက 
နောက် အတန်း တစ်တန်း ရပါလိမ့်မယ်။

Croatian: 
Prevoditelj: Tamara Rabuzin
Recezent: Ivan Stamenković
Ovo možda izgleda 
samo kao uredno složen stog brojeva,
ali zapravo je
matematičko skriveno blago.
Indijski matematičari zvali su ga
Stepenice planine Meru.
U Iranu, to je Khayyamov trokut,
a u Kini, Yang Huijev trokut.
Većini zapadnog svijeta
poznat je kao Pascalov trokut
po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,
što je ipak malo nepravedno,
jer očito nije izmislio ništa novo,
ali ipak je i on dao svoj doprinos.
Ali zašto je toliko zaokupljao 
matematičare diljem svijeta?
Ukratko,
pun je obrazaca i tajni.
Prvo i najvažnije, 
uzorak koji ga generira.
Počnite s jedinicom i zamislite
nevidljive nule s obje strane jedinice.
Zbrojite po dva broja,
i generirat ćete slijedeći red.

Spanish: 
Traductor: Ciro Gomez
Revisor: Lidia Cámara de la Fuente
Esto puede parecer una pila
de números bien ordenados,
pero en realidad es un tesoro matemático.
Los matemáticos indios la llamaron 
escalera del Monte Meru.
En Irán, es el triángulo de Khayyam.
Y en China, es el triángulo de Yang Hui.
Para gran parte del mundo occidental, 
se le conoce como el triángulo de Pascal
por el matemático francés Blaise Pascal,
lo que parece algo injusto ya que él 
llegó claramente tarde a la fiesta,
pero todavía tenía mucho que aportar.
¿Qué es lo que tiene que ha intrigado 
a los matemáticos de todo el mundo?
En resumen, 
está lleno de patrones y secretos.
En primer lugar, 
está el patrón que lo genera.
Comienza con 1 e imagina 0 invisibles 
a cada lado del mismo.
Suma los pares, 
para generar la siguiente fila.

Portuguese: 
Tradutor: Francisco Zattoni
Revisor: Ruy Lopes Pereira
Esta pode parecer 
uma pilha ordenada de números,
mas, na verdade,
é um valioso tesouro matemático.
Os matemáticos indianos o chamavam
de Escadaria do Monte Meru.
No Irã, é o Triângulo Khayyam.
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
Em grande parte do mundo ocidental,
é conhecido como Triângulo de Pascal
devido ao matemático francês 
Blaise Pascal,
o que parece um pouco injusto 
visto que cuidou deste assunto bem depois,
mas ele ainda tinha muito 
no que contribuir.
Então o que tem nisso que intrigou tanto
os matemáticos no mundo inteiro?
Em resumo, é cheio de padrões e segredos.
Antes de mais nada, 
há o padrão que o gera.
Comecem com um e imaginem
zeros invisíveis de cada lado.
Somem os números aos pares,
e gere a próxima fileira.

Korean: 
번역: Won Jang
검토: Jihyeon J. Kim
이것은 깔끔하게 배열된 숫자들의
더미로 보일 지도 모르겠지만
사실 이것은 수학적으로 
매우 귀중한 보물덩어리입니다.
인도의 수학자들은 이것을 
'메루산의 계단'이라는 이름으로 불렀고,
이란에서는 '카얌 삼각형'이라고
불렀습니다.
그리고 중국 사람들은 이것을 
'양휘의 삼각형'이라고 불렀죠.
서양에서는 '파스칼의 삼각형'이라는 
이름으로 알려져 있습니다.
프랑스의 수학자 블레이즈 파스칼의 
이름에서 따온 것이죠.
다른 이들 보다 늦게 참여한 그의 이름이
쓰인다는게 불공평해 보일 수도 있지만
그래도 그가 많은 기여를 
했다는 것은 사실입니다
그렇다면 도대체 
이 삼각형의 어떤 면이
세계 곳곳 수학자들의 
호기심을 끈 것일까요?
그것은 이 삼각형이 규칙과 비밀로 
가득 차 있기 때문입니다.
먼저, 이 삼각형은 어떠한 
규칙으로 만들어집니다.
1로 시작해서 그 양 옆에 
보이지 않는 0이 있다고 상상해보세요.
그것들을 둘씩 짝을 지어 더하면, 
다음 행이 만들어 질 것입니다.

Arabic: 
المترجم: Ahmad Jarbou
المدقّق: Hussain Laghabi
قد يبدو لك هذا الشكل أشبه بكومة
من الأرقام المرتبة ،
لكنه في الواقع،
كنز رياضي قيّم جداً.
علماء الرياضيات الهنود يسمونه 
سُلّم "جبل ميرو".
وفي إيران يسمى مثلث "الخيّام".
وفي الصين يسمى مثلث "يانغ واي".
أما بالنسبة للغرب فهو معروف 
باسم مثلث "باسكال"،
نسبةً لعالم الرياضيات الفرنسي
بلايز باسكال.
هذا يبدو غير عادل بعض الشيء بما أن
باسكال كان متأخراً بكثيرعن باقي العلماء.
ومع ذلك فقد كان لديه الكثير ليقدّمه.
لكن ما هو السرّ في هذا المثلث لكي يأسر 
علماء الرياضيات في كافة أنحاء العالم ؟
باختصار،
إنّه مليء بالأنماط والأسرار.
أول هذه الأنماط وأهمها يكمن في
النمط الذي يولده هذا المثلث :
تخيل الرقم 1 وبجانبه أصفار غير
مرئية من الطرفين.
اجمعها معا كأزواج ، سيتولد لديك 
السطر التالي.

Russian: 
Переводчик: Maxim Burkin
Редактор: Natalia Savvidi
Возможно, это выглядит,
как куча аккуратно расположенных чисел,
но на самом деле 
это драгоценный клад математики.
Индийские математики называли это
лестницей на гору Меру.
В Иране это треугольник Хайяма.
А в Китае это треугольник Ян Хуэя.
Большей части западного мира 
это известно как треугольник Паскаля,
в честь французского математика 
Блеза Паскаля,
что кажется слегка несправедливым,
так как он явно опоздал на «вечеринку»,
но он всё-таки внёс большой вклад.
Так что же в этом такого, что так увлекало
математиков по всему миру?
Вкратце, в этом треугольнике скрыто
множество закономерностей и секретов.
Прежде всего, это тот принцип,
по которому он получается.
Начните с единицы и представьте невидимые
нули по обе стороны от неё.
Сложите числа попарно,
и получите следующий ряд.

Chinese: 
譯者: Kelly Liu
審譯者: Max Chern
這看起來像是一堆整齊、
精心排列的數字
其實是個數學百寶箱
印度數學家稱之為「須彌山之梯」
在伊朗稱作「海亞姆三角形」
在中國稱作「楊輝三角」
對多數西方世界來說，
它是「帕斯卡三角形」
由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名
似乎有些不公平，
他的研究時間明顯較晚
但他仍有許多貢獻
究竟是什麼讓世界上的數學家
如此感興趣呢？
簡單來說，它充滿了許多型式和秘密
首先且最重要的， 
有個產生三角形的型式
從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0
將它們兩兩相加，便能得到下一列

Japanese: 
翻訳: Misaki Sato
校正: Eriko T
これは整然と並んだ数字の山にしか
見えないかもしれませんが
実は 数学の至宝なのです
インドの数学者はこれを 須弥山の階段
イランでは ハイヤームの三角形
中国では 楊輝の三角と呼んでいました
西洋では フランスの数学者
ブレーズ・パスカルにちなみ
パスカルの三角形として知られています
後からこの輪に加わったのに名前がついて
ちょっとずるい気もしますが
でも パスカルは
それだけの貢献をしています
ではなぜ そんなにも数学者たちを
魅了してきたのでしょうか？
それは パターンと
秘密の宝庫だからです
まず何と言っても
生成パターンがあります
まず１とその両側を囲む
目には見えない０から始めます
その２つを足して
次の行を生成します

Persian: 
Translator: Reza Yaradi
Reviewer: Ali Hosseini
این ممکن است تنها تعدادی
از اعداد مرتب پشت سرهم باشد،
اما عملاً گنجینه ای
در ریاضی محسوب می شوند.
ریاضی دانان هندی آن را
«پلکان کوه مِرو» می نامند.
در ایران «مثلث خیام» نام دارد.
در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است.
در دنیای غرب البته،
بیشتر به مثلث پاسکال معروف است
به نام ریاضی دان فرانسوی
«بلیز پاسکال»
که به نظر غیر عادلانه است
چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست.
با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است.
خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است
که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟
به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست.
اولین و مهمترین آن،
الگویی است که آن را می سازد.
با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را
در هر طرف از آن تصور کنید.
جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید،
خط دوم ساخته خواهد شد.

Serbian: 
Prevodilac: Dragana Stanojevic
Lektor: Mile Živković
Ово можда изгледа као уредно слагање
гомиле бројева,
али то је у ствари
математички ковчег са благом.
Индијски математичари су га називали
степеништем планине Меру.
А у Ирану Кајамов троугао.
У Кини Јанг Хуиев троугао.
За већину западног света,
познат је каo Паскалов троугао
по француском математичару Блезу Паскалу,
што је прилилично нефер,
с обзиром да је он закаснио на журку,
али је ипак доста допринео.
О чему се овде ради, када је толико
заинтригирало математичаре широм света?
Укратко, препуно је правила и и тајни.
Прво и најважније, постоји образац
који га ствара.
Почиње са јединицом и замишљеним
нулама са обе стране.
Сабирамо их по паровима,
и добијамо следећи ред.

Chinese: 
呢啲睇落可能只係一堆排列整齊既數字
但事實上佢係數學嘅寶藏
印度數學家稱為「梅魯火山之梯」
喺伊朗，佢係「海亞姆三角」
而喺中國，佢係「楊輝三角」
喺大部份嘅西方國家
佢係「帕斯卡三角」
以法國數學家布萊茲 ‧ 帕斯卡嚟命名
咁嘅名命睇落有啲唔公平
因為帕斯卡係後期嘅人
去研究呢款三角形
但佢嘅貢獻都唔少
咁到底係咩
令到世界嘅數學家都咁著迷呢？
簡單啲嚟講
係因為佢充滿咗唔同嘅規律同秘密
首先講下畫呢個三角形嘅方法
由 1 開始
想像兩邊各有一個見唔到嘅 0
將佢哋兩個兩個咁相加
你就會得到下一行

English: 
This may look like a neatly arranged
stack of numbers,
but it's actually
a mathematical treasure trove.
Indian mathematicians called it 
the Staircase of Mount Meru.
In Iran, it's the Khayyam Triangle.
And in China, it's Yang Hui's Triangle.
To much of the Western world,
it's known as Pascal's Triangle
after French mathematician Blaise Pascal,
which seems a bit unfair
since he was clearly late to the party,
but he still had a lot to contribute.
So what is it about this that has so 
intrigued mathematicians the world over?
In short, 
it's full of patterns and secrets.
First and foremost, there's the pattern
that generates it.
Start with one and imagine invisible
zeros on either side of it.
Add them together in pairs, 
and you'll generate the next row.

Chinese: 
翻译人员: Winnie Ling
校对人员: Di SUN
这些看上去
可能只是一堆排列整齐的数字，
实际上，它可是一个数学的宝藏。
印度数学家称它为"须弥山之梯"。
在伊朗，它是"海亚姆三角"。
而在中国，它被称为"杨辉三角"。
在大部分西方国家，
它叫”帕斯卡三角“。
得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。
这似乎有点不太公平。
因为帕斯卡的发现比其他人更晚，
但帕斯卡也对此做出了许多贡献。
那么，是什么让世界各地的
数学家们对它如此感兴趣？
简单地说，它充满了各种形式和秘密。
首先，这是构造三角的形式。
从 1 开始，
并假设两边各有一个看不见的 0，
把相邻的数字加起来，
你就会得到下一行。

Hungarian: 
Fordító: Péter Pallós
Lektor: Maria Ruzsane Cseresnyes
Talán egy csinosan elrendezett
számkupacnak látszik,
de valójában egy matematikai ékszerdoboz.
Indiai matematikusok 
a Meru-hegy lépcsőjének nevezték.
Iránban Hajjám-háromszög a neve,
Kínában pedig Yang Hui háromszög.
A nyugati világban többnyire 
Pascal-háromszögként ismeretes:
Blaise Pascal francia 
matematikusról nevezték el,
némiképp méltatlanul, mert 
nyilvánvalóan nem tőle származik,
bár jócskán hozzátett ő is.
Mi olyan figyelemre méltó benne, 
ami foglalkoztatja a matematikusokat?
Röviden: telis-tele van 
sémákkal és titkokkal.
Mindenekelőtt a szabály, 
amely alapján megalkotjuk.
Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára 
egy-egy láthatatlan nullát képzelünk.
Adjuk össze a szomszédos számpárokat, 
és így keletkezik a következő sor. 

Galician: 
Translator: Cibrán Arxibai
Reviewer: Xusto Rodriguez
Isto pode parecer un amoreamento
de números ben ordenados,
pero en realidade
é unha mina matemática.
Os matemáticos indios chamábanlle
Escaleira do Monte Meru.
En Irán, é o triángulo de Khayyam.
E na China é o triángulo de Yang Hui.
En boa parte do mundo occidental 
é coñecido como o triángulo de Pascal,
polo matemático francés Blaise Pascal,
o que parece algo inxusto
pois non foi dos primeiros en abordalo,
con todo, fixo grandes contribucións.
Que é o que ten para intrigar 
a matemáticos do mundo enteiro?
Resumindo, 
está cheo de padróns e segredos.
En primeiro lugar,
está o padrón que o xera.
Comeza cun 1 e imaxina
ceros invisibles a cada lado.
Súmaos de dous en dous, 
para xerar a seguinte fila.

French: 
Traducteur: gilles damianthe
Relecteur: sann tint
Cela peut ressembler à un empilement 
de nombres bien rangés,
mais c'est en fait
un trésor mathématique.
Les mathématiciens indiens l'appelaient
« l'escalier du mont Meru ».
En Iran, il est appelé 
« Triangle de Khayyam ».
Et en Chine, il s'appelle
« Triangle de Yang Hui ».
Pour une grande partie
du monde occidental,
il est connu sous le nom
de « Triangle de Pascal »,
d'après le mathématicien français
Blaise Pascal,
ce qui semble un peu injuste car il est
clairement arrivé après la bataille,
même s'il avait encore
beaucoup à apporter.
Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué
les mathématiciens du monde entier ?
En bref, il regorge
de motifs et de secrets.
Tout d'abord, il y a le modèle
qui le génère.
Commencez avec un un
et imaginez-le encadré de zéros.
Additionnez les chiffres par paires 
et vous obtenez la ligne suivante.

German: 
Übersetzung: Susanna Kuschick
Lektorat: Laura Witzel
Das sieht zwar aus wie
ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,
aber es ist eine
mathematische Schatzkiste.
Indische Mathematiker nannten es
"Stufen des Berges Meru".
Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".
In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".
In der westlichen Welt ist es meist
als Pascalsches Dreieck bekannt.
Es nach dem französischen Mathematiker
Blaise Pascal zu benennen,
scheint etwas unfair,
da er deutlich zu spät dran war;
doch er hatte noch viel beizutragen.
Was fasziniert Mathematiker
aus aller Welt also so sehr daran?
Kurz gesagt: Es ist voller
Muster und Geheimnisse.
Zunächst ist da das Muster,
nach dem es entsteht.
Beginne mit Eins und stell dir
unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.
Addiere sie paarweise
und schon bildest du die nächste Reihe.

Chinese: 
Translator: Winnie Ling
Reviewer: Alan Watson
呢啲睇落可能只係一堆排列整齊既數字
但事實上佢係數學嘅寶藏
印度數學家稱為「梅魯火山之梯」
喺伊朗，佢係「海亞姆三角」
而喺中國，佢係「楊輝三角」
喺大部份嘅西方國家
佢係「帕斯卡三角」
以法國數學家布萊茲 ‧ 帕斯卡嚟命名
咁嘅名命睇落有啲唔公平
因為帕斯卡係後期嘅人
去研究呢款三角形
但佢嘅貢獻都唔少
咁到底係咩
令到世界嘅數學家都咁著迷呢？
簡單啲嚟講
係因為佢充滿咗唔同嘅規律同秘密
首先講下畫呢個三角形嘅方法
由 1 開始
想像兩邊各有一個見唔到嘅 0
將佢哋兩個兩個咁相加
你就會得到下一行

Polish: 
Powtórz tę operację. I jeszcze raz.
Po kilku powtórzeniach
otrzymasz coś takiego,
chociaż w zasadzie trójkąt Pascala
ciągnie się w nieskończoność.
Każdy jego rząd zawiera
tak zwane współczynniki dwumianu Newtona
czyli (x+y)^n,
gdzie n to numer rzędu,
liczony od zera.
Więc jeśli weźmiemy n = 2
i rozpiszemy wzór,
wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).
Współczynniki,
czyli liczby przy zmiennych,
odpowiadają liczbom
w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.
Przy n =3 wzór rozwija się tak.
Dzięki trójkątowi można
łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.
Ale to dopiero początek.
Spróbuj na przykład zsumować 
liczby w jednym rzędzie,
a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.

Spanish: 
Ahora, haz esto una y otra vez.
Sigue adelante y terminarás 
con algo como esto,
aunque en realidad el triángulo de Pascal 
continúa infinitamente.
Cada fila corresponde a lo que se llama 
los coeficientes de un desarrollo binomial
de la forma (x + y) ^ n,
donde n es el número de la fila,
empezando a contar desde cero.
Así que si haces a n = 2 y lo expandes,
te da (x ^ 2) + 2xy + (y ^ 2).
Los coeficientes o números 
delante de las variables,
son los mismos que los números 
en la fila del Triángulo de Pascal.
Verás lo mismo con n = 3, 
que se expande a esto.
El triángulo es una manera rápida y fácil 
de consultar todos estos coeficientes.
Pero hay mucho más.
Por ejemplo, 
suma los números en cada fila,
y obtendrás sucesivas potencias de 2.

Galician: 
Agora, faino unha e outra vez.
Continúa e acabarás con algo así,
aínda que o triángulo de Pascal 
continúe indefinidamente.
En cada fila temos 
os coeficientes do desenvolvemento
do binomio (x+y) elevado a n,
onde n é o número da fila,
se comenzamos a contar a partir do cero.
Polo que se n=2 e desenvolvemos,
obtemos (x^2)+2xy+(y^2).
Os coeficientes, 
ou números que preceden ás variables,
son os mesmos que os números da fila
do triángulo de Pascal.
Veremos o mesmo con n=3, 
que se desenvolve así.
O triángulo é unha forma rápida e sinxela 
de obter todos eses coeficientes.
Pero hai moito máis.
Por exemplo, 
sumando os enteiros en cada fila,
obteremos as sucesivas potencias de dous.

Burmese: 
အခု၊ ဒါကိုပဲ အထပ်ထပ် လုပ်ပါ။
ဆက်လုပ်သွားလိုက်ပါ၊ တကယ်တော့
ပါစကယ် တြိဂံဟာ အန္တတိုင်ရှိပေမဲ့လည်း
ဒီလိုမျိုးနဲ့ သင် အဆုံးသတ်ပါလိမ့်မယ်။
အခု အတန်း တစ်တန်းစီမှာ (x+y)^n ပုံစံရှိ
ဒွိနာမကိန်းတွဲ ဖြန့်စီခြင်းရဲ့
မြောက်ဖော်ကိန်း ဆိုတာတွေ ရပါပြီ၊
ဒီမှာ n ဟာ အတန်း အရေအတွက်ဖြစ်ပြီး
တို့တွေ ရေတွက်ခြင်းကို သုညမှ စရေပါမယ်။
ဒီတော့၊ n = 2 နဲ့ညီပြီး ဒါကို ဖြန့်ရင်
သင် ရမှာ (x^2) + 2xy + (y^2) ပါ။
မြောက်ဖော်ကိန်းတွေ သို့မဟုတ်
ကိန်းရှင်တွေရဲ့ ရှေ့မှ ကိန်းတွေဟာ
ပါစကယ် တြိဂံရဲ့ အတန်းတစ်ခုမှာရှိတဲ့ 
ကိန်းတွေ အတိုင်းပါပဲ။
n = 3 ထားပြီး ဒီလို ဖြန့်ပါက အတူတူပဲ 
ဖြစ်နေအုံးမှာပါ။
ဒီတြိဂံဟာ ဒီမြောက်ဖော်ကိန်းတွေကို 
ကြည့်ဖို့ လျင်မြန်၊ လွယ်ကူတဲ့ နည်းလမ်းပါ။
ဒါပေမဲ့ ဒီထက်ပိုပါတယ်။
ဥပမာ၊ အတန်းတစ်ခုစီက 
ကိန်းတွေကို ပေါင်းပါ၊ ဒါဆို
နှစ်ကို အစဉ်လိုက် ပါဝါတင်ပြီးသားတွေကို
ရလာပါလိမ့်မယ်။

Chinese: 
重覆咁做
繼續做，你就會得到呢個三角形
但其實，帕斯卡三角係無限延伸
而家，每一行嘅數字
就係喺二項式 (x+y)^n 展開嘅系數
而 n 就係行數
由 0 開始數
如果 n=2 ，你代入佢
你會得到 x^2 + 2xy + y^2
系數，即係變數前嘅數字
同帕斯卡三角嗰行嘅數字一樣
當 n=3
展開之後，你會見到相同嘅情況
所以呢個三角形係一個
快捷而且簡單嘅方法去搵呢啲系數
不過，秘密仲有好多
例如，將同一行嘅數字加起嚟
你會得到 2 嘅 n 次方
或者喺指定嘅一行

Persian: 
حال دوباره و دوباره این کار را بکنید.
ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید،
البته مثلث پاسکال
تا بینهایت ادامه می یابد.
حال، هر سطر معادل ضرایب
بسط دو جمله ای می باشد
که باز شده عبارت زیر است:
(x+y) به توان n
که عدد n شماره سطر است،
و ما از صفر شروع می کنیم.
خوب اگر n برابر با ۲ باشد،
و آن را بسط دهیم،
به x^2+2xy+y^2 می رسیم.
این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها،
همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند.
شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید.
پس این مثلث روشی سریع و ساده برای
یافتن این ضرایب است.
اما چیزهای بیشتری نیز هست.
برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید،
و شما به توان های متوالی ۲ می رسید.

Chinese: 
现在，重复这样的操作，
反复进行，
你最终会得到这样一个图形。
实际上，帕斯卡三角是无限大的。
它每一行的数字都对应
(x+y)^n 二项式展开的系数，
其中 n 是行的序号，
从 0 开始算。
当 n=2时，
二项式展开你会得到
x^2 + 2xy + y^2。
那些系数，就是每一项变量前的数字，
和帕斯卡三角对应行的数字相同。
n=3 也是一样，展开得到这个。
所以，这个三角能让我们
快速得到二项式的系数。
然而，奥秘远远不止这些。
比如说，把每一行的数字加起来，
你会得到连续的2的次方。

Arabic: 
والآن، افعل ذلك المرة تلو الأخرى.
استمر في العملية نفسها، و سيتشكل لديك
في نهاية المطاف هذا الشكل.
إنّ مثلث باسكال
في الواقع يتجه نحو اللانهاية.
الآن تجد أن كل سطر يتطابق مع ما نسميه 
"مُعامِل (أمثال) التوسع ثنائي الحدّ"،
من الشكل (س+ع) مرفوعًا للأس ن ،
حيث ن هو عدد الأسطر،
ونبدأ العدّ من الصفر.
فعلى سبيل المثال، إذا جعلنا
ن= 2 و وسعناه ،
فسنحصل على (س ^2) +2(س ع)+(ع^2)،
الأمثال، أو الأرقام التي تكون
أمام المتغيرات،
هي ذاتها الأرقام في ذاك السطر الموجود
في مثلث باسكال.
ستجد نفس النتيجة إذا جعلتَ ن = 3 
الذي ستيوسع كما في الشكل.
لذلك يعطي هذا المثلث طريقة سريعة
وسهلة للبحث عن كل هذه الأمثال.
ولكن هناك المزيد أيضاً ،
على سبيل المثال اجمع الأرقام في كل سطر،
سوف تحصل على الرقم 2 مرفوعاً 
إلى قوى متتالية.

iw: 
עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב.
המשיכו ותקבלו משהו כזה,
למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף.
עכשיו, כל שורה מתייחסת
למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי
מהצורה (x+y)^ח,
בה n הוא מספר השורות,
ואנחנו מתחילים לספור מאפס.
אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה,
אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2).
המקדמים, או מספרים לפני המשתנים,
הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל.
אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה.
אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה
לחפש את כל המקדמים האלה.
אבל יש הרבה יותר.
לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה,
ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים.

French: 
Maintenant, recommencez
encore et encore.
Continuez ainsi et vous aboutirez
à quelque chose comme ça,
bien que le triangle de Pascal
se poursuive à l'infini.
Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle
les coefficients du développement binomial
de la forme (x+y)^n
où n représente le rang de la ligne,
en commençant par 0
pour la première ligne.
Et donc, pour n= 2,
en développant on obtient :
(x^2) + 2xy + (y^2)
Les coefficients, ou nombres 
devant les variables,
sont les mêmes que les nombres de la ligne
correspondante du triangle de Pascal.
Vous pouvez voir la même chose pour n=3
qui se développe ainsi.
Ainsi ce triangle est un moyen simple et
rapide de retrouver tous ces coefficients.
Mais il y a beaucoup plus.
Par exemple, en additionnant 
les nombres de chaque ligne
vous obtenez
les puissances successives de 2.

Italian: 
Ora rifai la stessa cosa più volte.
Continua così
e troverai qualcosa di simile,
ma in realtà il Triangolo di Pascal
va avanti all'infinito.
In ogni riga ci sono i cosiddetti
coefficienti di un'espansione binomiale
della forma (x+y)^n,
dove n è il numero della riga,
e contiamo le righe a partire da zero.
Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione:
(x^2) + 2xy + (y^2).
I coefficienti, cioè i numeri
che vedi davanti alle variabili,
sono i numeri nella riga corrispondente
del Triangolo di Pascal.
La stessa cosa è vera per n=3,
che si espande così.
Il Triangolo è un modo semplice e rapido
per scoprire tutti questi coefficienti.
Ma c'è di più.
Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga
ottieni una dopo l'altra le potenze di 2.

Russian: 
Далее, делайте так снова и снова.
Продолжайте эту операцию, и перед вами
развернётся что-то вроде этого,
хотя на самом деле треугольник Паскаля
продолжается до бесконечности.
Каждый ряд соответствует так называемым
коэффициентам биномиального разложения,
выражения вида (x+y)^n,
где n — номер ряда,
а нумерация их начинается с нуля.
Так что, если мы примем n=2
и разложим данное выражение,
то получим (x^2) + 2xy + (y^2).
Коэффициенты, то есть числа,
стоящие перед переменными,
совпадают с числами во втором ряду 
треугольника Паскаля.
То же самое можно увидеть при n=3,
что даёт такое разложение.
Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий
способ нахождения этих коэффициентов.
Но это ещё не всё.
Например, сложите все числа в каждом ряду,
и вы получите последовательность
степеней двойки.

Korean: 
이제, 계속 해보죠. 
반복하고 또 반복하면
계속 하다가 
이 정도에서 끝낼 수 있지만,
실제 파스칼의 삼각형은 
무한히 계속됩니다.
자, 이제 삼각형의 각 줄은
(x+y)^n 형태로 나타 날 수 있는 
이항 확장식의 계수와 일치합니다.
여기서 n은 행의 번호를 의미하지요.
숫자는 0에서부터 시작합니다.
만약 n을 2로 두고 
이 식을 전개한다면,
(x^2) + 2xy + (y^2)이라는 
식이 나오게 됩니다.
우리가 계수라고 부르는 
변수 앞의 위치한 숫자들은
파스칼의 삼각형의 그 줄에 있는 
숫자들과 완벽히 일치합니다.
n에 3을 집어 넣고 식을 풀어도 
똑같이 이런 결과가 나오지요.
따라서 이 삼각형은 이런 계수들을 찾는 
빠르고 쉬운 방법입니다.
하지만 이게 다가 아닙니다.
예를 들어서, 
각 열의 숫자를 다 더해보면,
그러면 모든 줄의 숫자들의 합이 
2의 n승 형태로 나타나게 됩니다.
이번에는, 한 줄 안의 숫자를 차례대로

Croatian: 
Sada ponavljajte postupak.
Nastavite i dobit ćete
nešto poput ovog,
iako se Pascalov trokut
nastavlja u beskonačnost.
Svaki red odgovara nečemu naziva
binomni koeficijenti
raspisa (x+y)^n,
gdje je n broj reda,
ako krećemo brojiti od nule.
Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,
dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).
Koeficijenti,
ili brojevi ispred varijabli,
jednaki su brojevima u odgovarajućem
redu Pascalovog trokuta.
Isto možete vidjeti i za n=3,
što se raspisuje ovako.
Trokut je dakle brz i jednostavan način
za pronalaženje koeficijenata.
Ali to nije sve.
Na primjer, zbrojite
brojeve u svakom redu,
i dobit ćete uzastopne potencije od dva.

Portuguese: 
Voltem a fazer o mesmo,
uma e outra vez.
Continuem e vão acabar
com uma coisa assim,
embora o Triângulo de Pascal
continue até ao infinito.
Cada linha corresponde ao que se chama
os coeficientes de expansão binomial
da forma (x+y) elevado a n,
em que n é o número da linha,
e começamos a contar a partir do zero.
Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,
temos (x^2) + 2xy + (y^2).
Os coeficientes, ou números 
em frente das variáveis,
são os mesmos que os números 
nessa linha do Triângulo de Pascal.
Veremos a mesma coisa com n=3, 
que expande assim.
Portanto, o triângulo é uma forma rápida
e fácil de encontrar esses coeficientes.
Mas há muito mais ainda.
Por exemplo,
somem os números em cada linha,
e obtêm sucessivas potências de dois.

Serbian: 
Сада то поновите, и опет поновите.
Наставите даље и завршићете
са нечим као што изледа овако,
а у ствари Паскалов троугао 
је бесконачан.
Сада, сваки ред одговара такозваним
биноним коефицијентима
у развоју израза (x + y)^n,
где n означава број реда,
а почињемо бројање од нуле.
Ако је n = 2 развијањем израза
добијамо (x^2) + 2xy + (y^2).
Коефицијенти,
тј. бројеви испред промењивих,
су исти као и бројеви у том реду
у Паскаловом троуглу.
Исто ће се догодити и за n = 3, 
где ћемо добити овакав израз.
Троугао је брзи и лак начин да 
одредимо све ове коефицијенте.
Али постоји много више.
На пример, сабирањем 
бројева у сваком реду,
добићете узастопне степене броја 2.

Vietnamese: 
Hãy lặp lại việc này.
Cứ tiếp tục như vậy,
bạn có được một tam giác như thế này,
dù thực tế, Tam giác Pascal
có thể đến vô tận.
Mỗi dòng ứng với
các hệ số trong khai triển nhị thức
có dạng (x+y)^n,
trong đó n là số dòng,
và bắt đầu tính từ số không.
Do đó, nếu cho n=2
và khai triển nó,
bạn sẽ được:
(x^2) + 2xy + (y^2).
Hệ số, hay số đứng trước biến,
trùng với các con số của dòng tương ứng
trong Tam giác Pascal.
Bạn sẽ thấy điều tương tự với n=3,
được khai triển thành thế này.
Dùng tam giác này, ta có thể tra
các hệ số này nhanh chóng và dễ dàng.
Và hơn thế nữa.
Ví dụ, tính tổng các số trên mỗi dòng
ta được dãy lũy thừa cơ số 2.

German: 
Das wiederholst du immer wieder.
Mach weiter, bis so etwas
Ähnliches entsteht,
auch wenn sich das Pascalsche Dreieck
eigentlich unendlich fortsetzt.
Jede Zeile entspricht den sogenannten
Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes
in der Form (x+y)^n,
bei dem n die Nummer der Zeile ist
und man bei Null anfängt zu zählen.
Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,
erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).
Die Koeffizienten
oder Zahlen vor den Variablen
sind dieselben wie die Zahlen
in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Mit n=3 passiert das Gleiche,
was dann so aussieht.
Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten
also schnell und einfach ermitteln.
Aber da ist noch viel mehr.
Zähle etwa die Zahlen
in jeder Zeile zusammen
und du erhältst nacheinander
alle Potenzen von Zwei.

Chinese: 
然後不斷的重複
繼續下去，你會得到像這樣的東西
按理來說，帕斯卡三角形是無限大的
每一列對應到二項式 (x+y)^n
展開時的係數 
n 代表列數
從 0 開始算起
所以，當 n=2 並將式子展開
你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)
其係數，即在變數前的數字
與帕斯卡三角形裡
對應列的數字完全吻合
同樣地，當 n=3 時
展開會得到這樣的係數
所以，要查詢所有係數時，
這三角形是快又簡單的方式
還不止這樣
譬如，個別把每列的數字加起來
你會得到連續的 2 的次方

Portuguese: 
Então façam isso repetidas vezes.
Continuem e acabarão com algo assim,
embora o verdadeiro Triângulo de Pascal
continue infinitamente.
Cada fileira corresponde ao que é chamado 
de coeficientes de uma equação binomial
da forma de (x+y) elevado a n,
onde n é o número da linha,
começando a contar a partir do zero.
Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,
temos (x^2) + 2xy + (y^2).
Os coeficientes, ou números 
que antecedem as variáveis,
são os mesmos números 
daquela linha do triângulo.
A mesma coisa vai acontecer para n=3,
que se desenvolve assim.
O triângulo é uma forma rápida e fácil
para checar todos esses coeficientes.
Porém há muito mais.
Por exemplo, somem
os números em cada fileira,
e serão formadas
potências de dois consecutivas.
Ou em uma dada fileira,

Hungarian: 
Ezt ismételjük újra meg újra.
Tovább folytatva végül
valami ilyesféléhez jutunk,
bár a Pascal-háromszög 
a végtelenségig folytatódik.
Minden sor az (x+y)^n kifejezés 
kifejtésében szereplő
binomiális együtthatóknak felel meg,
-- itt az n a kérdéses sor sorszáma.
A legfelső sor a nulladik.
Az n=2-re kifejtve
az eredmény: x² + 2xy + y²
Az együtthatók, vagyis 
a változók előtti számok
megegyeznek a Pascal-háromszög 
második sorában található számokkal.
Ugyanezt találjuk n=3 esetén is, 
ami kifejtve ezt adja.
Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen 
megtalálhatjuk az együtthatókat.
De ennél többet is tud.
Pl. ha az egy sorban lévő 
számokat összeadjuk,
megkapjuk egymás után a 2 hatványait.

Japanese: 
そして これを繰り返していきます
さらに続けていけば 
このように―
パスカルの三角形は無限に続きます
この各行は(x+y)^nという形で表される
二項展開の係数に対応しています
ここで n は列の数を表し
０から数え始めます
n=２で展開すると
(x^2) + 2xy + (y^2)となります
係数 つまり変数の前にある数は
パスカルの三角形のその列の数字と
同じになっています
n=3 も同様で
このように展開します
このように全ての係数を探すのに
この三角形は手軽な方法です
しかし これだけではありません
例えば 各行の数字を足していくと
次々に ２の累乗が得られます

English: 
Now, do that again and again.
Keep going and you'll wind up 
with something like this,
though really Pascal's Triangle 
goes on infinitely.
Now, each row corresponds to what's called
the coefficients of a binomial expansion
of the form (x+y)^n,
where n is the number of the row,
and we start counting from zero.
So if you make n=2 and expand it,
you get (x^2) + 2xy + (y^2).
The coefficients, 
or numbers in front of the variables,
are the same as the numbers in that row
of Pascal's Triangle.
You'll see the same thing with n=3,
which expands to this.
So the triangle is a quick and easy way
to look up all of these coefficients.
But there's much more.
For example, add up 
the numbers in each row,
and you'll get successive powers of two.

Chinese: 
重覆咁做
繼續做，你就會得到呢個三角形
但其實，帕斯卡三角係無限延伸
而家，每一行嘅數字
就係喺二項式 (x+y)^n 展開嘅系數
而 n 就係行數
由 0 開始數
如果 n=2 ，你代入佢
你會得到 x^2 + 2xy + y^2
系數，即係變數前嘅數字
同帕斯卡三角嗰行嘅數字一樣
當 n=3
展開之後，你會見到相同嘅情況
所以呢個三角形係一個
快捷而且簡單嘅方法去搵呢啲系數
不過，秘密仲有好多
例如，將同一行嘅數字加起嚟
你會得到 2 嘅 n 次方
或者喺指定嘅一行

Turkish: 
Ardından bunu tekrar tekrar
yinelemeyi sürdürün.
Devam ederseniz şuna benzer
bir şey elde edersiniz.
Tabii aslında Pascal Üçgeni
sonsuza kadar böyle gider.
Buradaki her satır, 
(x+y)^n biçimindeki
binom açılımının katsayılarına denk gelir.
n, saymaya sıfırdan başlandığında,
satırın sıra numarasıdır.
Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,
(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.
Katsayılar, yani
değişkenlerin önündeki sayılar,
Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki
sayıların aynısıdır.
Şu şekilde açılımı yapılan
n=3 için de aynısı geçerlidir.
Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini
görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.
Dahası da var.
Örneğin her bir satırdaki
sayıları topladığınızda,
2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.

Chinese: 
或者在某一行，把每一个数字
当成十进制的一部分。
换句话说，第二行是
(1x1) + (2x10) + (1x100)，
你会得到 121，也就是 11^2。
那么，同理到第六行，看看会发生什么。
总和是 1,771,561， 
也就是 11^6，其他也一样。
除此之外，也有一些几何的应用。
看看那些对角线，
开头两条并不是很有趣，全都是 1。
接下来是正整数，也被称为自然数。
而下一条对角线的数字，则被称为三角数。
因为如果你用那些数量的点，
可以把它们堆成等边三角形。
下一条对角线是四面体数。
同理，你可以把那些球堆成四面体。
或者这样︰
把所有的奇数画上阴影，

Chinese: 
當每個數字都係十進制展開嘅一部份
即係話
第三行係 (1x1) + (2x10) + (1x100)
等於 121，即係 11^2
睇下如果喺第六行做相同嘅嘢會點？
一共係 1,771,561，亦即係 11^6
之後嘅都係咁
呢三角形仲有唔同嘅幾何應用
睇下啲對角線
第一同第二條對角線並唔係好有趣
全部都係 1 ，同埋正整數
亦即係自然數
而喺下一條對角數嘅數字
我哋稱為三角數
因為當你將咁多點排列
你可以排出一個等邊三角形
喺跟住落嚟嘅對角線上嘅係三角錐體數
同樣，你可以將呢啲數目砌成三角錐體
或者咁，遮住所有單數
當個三角形仲細嘅時候

Japanese: 
任意の行で 各数字を
十進法展開にあてはめてみると
例えば ２行目の場合
(1x1) + (2x10) + (1x100)で
これは121ですから
11の二乗です
６行目で同じことを行うと
合計は1,771,561で
これは 11^6です
幾何学的な応用もあります
この対角線を見てみましょう
最初の２列は 単なる１の羅列ですが
次は正の整数で
自然数としても知られています
しかし 次の対角線の数は
三角数と呼ばれています
それは 点をいくつも積み上げていくと
この数の正三角形の形に
積み上げられるからです
次の対角線は正四面体数と呼ばれています
先程と同じように
正四面体に積み重なるからです
今度は奇数に影を
付けていったらどうでしょうか

Turkish: 
Ya da bir satırdaki her sayıyı
ondalık bir açılımın parçası olarak alın.
Yani ikinci satır şöyle olur:
(1x1) + (2x10) + (1x100).
121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.
Şimdi aynı şeyi 6. satıra
yapınca ne çıktığına bakın.
Toplamda 1.771.561 eder.
Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.
Ayrıca geometrik uygulamaları da var.
Köşegenlere bakın.
İlk ikisi pek ilginç değil:
1'ler ve pozitif tamsayılar,
yani doğal sayılar.
Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara
üçgensel sayılar denir.
Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,
eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.
Sonraki köşegende ise
dörtyüzlü sayılar vardır.
Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda
küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.
Bir de şuna bakın:
Tüm tek sayıları gölgeleyelim.

Serbian: 
Или у датом реду, посматрате сваки број
као део декадног записа.
Другим речима, други ред представља
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Добијате 121, што је 11^2.
Погледајте шта ће се догодити 
када урадите исто у шестом реду.
Збир је 1 771 561,
што је 11^6, и тако даље.
Постоји и геометријска примена.
Погледајте дијагоналу.
Прва два нису претерано занимљива, 
јер су све јединице и позитивни бројеви,
познати и као природни бројеви.
Али бројеви на следећој дијагонали,
називају се троугаони бројеви,
јер ако узмете толико тачака,
можете их сместити 
у једнакостраничан троугао.
Следећа дијагонала,
има тетраедалне бројеве,
јер их на сличан начин,
можете сместити у тетраедар.
А шта мислите о овоме,
осенчите све непарне бројеве.

Chinese: 
當每個數字都係十進制展開嘅一部份
即係話
第三行係 (1x1) + (2x10) + (1x100)
等於 121，即係 11^2
睇下如果喺第六行做相同嘅嘢會點？
一共係 1,771,561，亦即係 11^6
之後嘅都係咁
呢三角形仲有唔同嘅幾何應用
睇下啲對角線
第一同第二條對角線並唔係好有趣
全部都係 1 ，同埋正整數
亦即係自然數
而喺下一條對角數嘅數字
我哋稱為三角數
因為當你將咁多點排列
你可以排出一個等邊三角形
喺跟住落嚟嘅對角線上嘅係三角錐體數
同樣，你可以將呢啲數目砌成三角錐體
或者咁，遮住所有單數
當個三角形仲細嘅時候

Hungarian: 
Vagy egy sorban tekintsünk minden számot 
a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának.
Vagyis, a 2. sor
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Akkor ez 121, ami 11².
Nézzük meg, mi történik, 
ha ugyanezt tesszük a 6. sorral!
Az eredmény 1 771 561,
ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább.
A háromszögnek mértani alkalmazása is van.
Nézzük a ferde vonalakat!
Az első csupa egyesből áll, 
a következő a pozitív egész számokból,
természetes számoknak is hívjuk őket,
ezek nem nagyon érdekesek.
A következő vonal mentén vannak 
a háromszögszámok. Így nevezzük őket,
mert ennyi pontból kirakhatunk
egy egyenlő oldalú háromszöget.
A következő vonal 
a tetraéderszámokat tartalmazza,
mert hasonlóképpen, a gömbökből
tetraédert építhetünk föl.
Vagy nézzük ezt: színezzük ki 
a páratlan számokat!

Vietnamese: 
Hoặc trên một dòng, coi mỗi số là một phần
của khai triển trong hệ thập phân.
Nói cách khác, dòng hai được biểu diễn:
(1x1)+(2x10)+(1x100).
Bạn sẽ có 121, tức 11^2.
Hãy xem điều gì xảy ra
khi làm tương tự với dòng sáu.
Tổng là 1.771.561,
tức 11^6,
và tiếp tục như vậy.
Nó cũng có các ứng dụng
trong hình học.
Hãy nhìn vào các đường chéo.
Hai đường đầu tiên không có gì thú vị:
toàn số một, và các số nguyên dương,
hay còn được gọi là số tự nhiên.
Nhưng các số trên đường chéo tiếp theo
được gọi là số tam giác
vì bạn có thể lấy các điểm đó,
xếp chúng thành các tam giác đều.
Đường chéo kế tiếp
chứa số tứ diện
vì đơn giản, bạn có thể xếp
chúng thành một tứ diện.
Hoặc tô tất cả các số lẻ.

Russian: 
Или в каком-либо из рядов каждое число
будем считать цифрой десятичного числа.
Иначе говоря, второй ряд даёт
(1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),
и мы получаем 121, что равно 11^2.
Посмотрим, что произойдёт,
если то же самое сделать с шестым рядом.
Это даст 1 771 561,
что равняется 11^6, и так далее.
Есть и геометрические применения
этого треугольника.
Взгляните на диагонали.
Первые две не очень интересны: 
только единицы,
а потом целые положительные числа,
известные также как натуральные числа.
Но числа на следующей диагонали
называются треугольными числами,
так как если взять столько кружков,
то из них можно построить
равносторонние треугольники.
На следующей диагонали располагаются
тетраэдрические числа,
так как, аналогично, из такого числа сфер
можно сложить тетраэдры.
А как насчёт такого:
затеним все чётные числа —

Arabic: 
أو في أي سطر مُعطى، قم بتجربة كل
رقم في توسعه العشري.
بمعنى آخر, السطر الثاني هو 
(1x1) + (2x10) + (1x100).
والجواب هو 121, أو 11 مرفوعا للأس 2.
والآن ألق نظرة على ما سيحدث لو قمت 
بنفس العملية على السطر السادس.
سنحصل على 1,771,561 أو 
11 مرفوعاً للقوة 6 , وهلّم جرّاً.
لهذا المثلث أيضا تطبيقات هندسية.
انظر إلى الأقطار،أول قطرين
ليسا مهمين،باعتبارهما مؤلفين من
الرقم 1 فقط، بعدها تجد
الصحيحة الموجبة،والتي تعرف 
أيضا بالأعداد الطبيعية.
لكن الأرقام في القطر التالي
تسمى الأرقام المثلثية،
لأنّك لو أخذت تلك النقاط الكثيرة،
فسوف تستطيع أن تشكل من 
خلالها مثلثًا متساوي الأضلاع.
القطر التالي يأخذ شكلًا رباعي الوجوه،
لأنك، بشكل مماثل، تستطيع أن تكدّس تلك
الكريات على شكل رباعي الوجوه.
وماذا عن هذا أيضا:
ظلّل كافة الأرقام الفردية،

English: 
Or in a given row, treat each number
as part of a decimal expansion.
In other words, row two is
(1x1) + (2x10) + (1x100).
You get 121, which is 11^2.
And take a look at what happens
when you do the same thing to row six.
It adds up to 1,771,561,
which is 11^6, and so on.
There are also geometric applications.
Look at the diagonals.
The first two aren't very interesting:
all ones, and then the positive integers,
also known as natural numbers.
But the numbers in the next diagonal
are called the triangular numbers
because if you take that many dots,
you can stack them 
into equilateral triangles.
The next diagonal 
has the tetrahedral numbers
because similarly, you can stack
that many spheres into tetrahedra.
Or how about this:
shade in all of the odd numbers.

Chinese: 
或是將其中一列作十進位展開
也就是說
第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)
會得到 121，也就是 11^2
看看如果對第六列也這樣做，
會發生什麼事
總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推
除此之外也有幾何的運用
看一下對角線
最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，
再來就是正整數
即是所謂的自然數
但下一個對角線數字就是三角形數
因為如果拿這些數目的點
你可以把它們組成一個個正三角形
下一條對角線是四面體的數字
因為同樣地，
你能用這數目的球堆出四面體
或這樣，把奇數的部分上色

French: 
Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque
nombre comme une décomposition décimale,
en d'autres termes, la deuxième ligne
égale (1x1) + (2x10) + (1x100).
Vous obtenez 121, soit 11^2.
De la même manière, voyez ce qui se passe 
avec la sixième ligne.
La décomposition donne 1 771 561,
soit 11^6 et ainsi de suite.
Il y a aussi 
des applications géométriques.
Prenez les diagonales.
Les deux premières ne sont pas
très intéressantes : une suite de uns,
puis les nombres entiers positifs
appelés entiers naturels.
Mais dans la diagonale suivante, les
nombres sont appelés nombres triangulaires
parce qu’en prenant ce nombre de points,
vous pouvez les empiler 
en formant des triangles équilatéraux.
La diagonale suivante contient
les nombres tétraédriques
parce que vous pouvez également empiler ce
même nombre de billes dans un tétraèdre.
Ou encore ceci :
grisez tous les nombres impairs.

Croatian: 
Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj
kao dio decimalnog zapisa.
Drugim riječima, drugi red je
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Rješenje je 121, što je 11^2.
Pogledajte što će se dogoditi
kada napravite isto u šestom redu.
Rješenje je 1 771 561,
što je 11^6, i tako dalje.
Postoje i geometrijske primjene.
Pogledajte dijagonale.
Prve dvije nisu posebno zanimljive:
samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;
poznatiji kao prirodni brojevi.
Ali brojevi u slijedećoj dijagonali
zovu se trokutasti brojevi
jer ako uzmete toliko točkica,
možete ih naslagati
u jednakostranične trokute.
Slijedeća dijagonala
ima tetraedne brojeve
jer se navedeni broj sfera
može naslagati u tetraedar.
Ili primjerice:
zasjenčajte sve neparne brojeve.

Portuguese: 
considere cada número como parte
de uma expansão decimal.
Em outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
E veja o que acontece quando 
fazemos a mesma coisa com a linha seis.
Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,
e assim por diante.
Também há aplicações geométricas.
Olhem para as diagonais.
As duas primeiras 
não são muito interessantes:
todos uns, e depois inteiros positivos,
também conhecidos como números naturais.
Mas os números da diagonal seguinte
são chamados de números triangulares
porque se pegarmos 
todos esses números,
podemos agrupá-los
em triângulos equiláteros.
A próxima diagonal
é formada por números tetraédricos
pois, analogamente, 
podemos agrupá-los em tetraedros.
E o que acham disto?
Ocultem todos os números ímpares.

Portuguese: 
Numa dada linha, tratem cada número
como uma parte duma expansão decimal.
Por outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
Vejam o que acontece, 
quando fazemos o mesmo na linha seis.
Obtemos 1 771 561,
que é 11 elevado a 6,
e assim sucessivamente.
Também há aplicações geométricas.
Olhem para as diagonais.
As duas primeiras 
não são muito interessantes:
a primeira é tudo uns, 
a segunda, os inteiros positivos,
também conhecidos por números naturais.
Mas os números na diagonal seguinte,
chamam-se os números triangulares
porque, se agarrarmos nesses números,
podemos empilhar os círculos
em triângulos equiláteros.
A diagonal seguinte
tem os números tetraédricos
porque, do mesmo modo, 
podemos empilhar as esferas em tetraedros.
E agora isto: tapem
todos os números ímpares.

Italian: 
Oppure tratta i numeri di una riga
come parte di un'espansione decimale.
Praticamente, la riga numero due diventa:
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Ottieni 121, che è proprio 11^2.
E guarda che succede se fai lo stesso
con la riga numero sei:
ottieni 1 771 561,
cioè 11^6, e così via.
Ci sono anche applicazioni
nel campo della geometria.
Guarda le diagonali.
Le prime due non sono interessanti:
tutti uno, e poi gli interi positivi,
noti anche come numeri naturali.
Ma i numeri della diagonale successiva
si chiamano numeri triangolari
perché se prendi questo numero di punti
puoi disporli a formare
un triangolo equilatero.
La diagonale successiva contiene
i numeri tetraedrici
perché con questo numero di sfere
si può costruire un tetraedro.
E ancora: prova ad annerire
tutti i numeri dispari.

Korean: 
100의 자리수, 10의 자리수, 
1의 자리수라고 생각해보죠.
즉, 2번 행은 (1x1) + (2x10) + (1x100)가
된다고 봅시다.
위 식을 계산하면 121이 나옵니다. 
11을 제곱한 값이네요.
여섯 번째 줄을 같은 방식으로 하면
무슨 일이 일어날지 볼까요.
이 숫자들의 합은 11의 6제곱인 
1,771,561이며 이 패턴은 반복됩니다.
또한 기하학적인 활용들도 가능합니다.
대각선들을 한 번 살펴볼까요.
처음 두 줄은 그다지 흥미롭지 않습니다.
첫 줄은 모두 1이고,
다음 줄은 모두 양의 정수로
자연수라고도 불리지요.
하지만 그 다음 대각선의 수들은 
삼각수라고 불립니다.
여러분이 그 수만큼 원을 
차례로 그리면
정삼각형의 모양을 
만들 수 있기 때문입니다.
다음 대각선은 사면체수들 입니다.
아까와 마찬가지로, 
이 숫자만큼 공들을 쌓으면
정사면체를 만들 수 있기 때문입니다.
아니면 이것은 어떤가요?
모든 홀수들을 가려보세요.

Galician: 
Ou nunha fila dada considera cada número 
como parte dun desenvolvemento decimal.
Noutras palabras, a liña dous é
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11^2.
Mira o que pasa cando fas 
o mesmo na liña seis.
Obteremos 1.771.561,
que é 11 elevado a 6,
e así sucesivamente.
Tamén hai aplicacións xeométricas.
Observa as diagonais.
As dúas primeiras 
non son moi interesantes:
a primeira só ten uns,
a segunda, os enteiros positivos,
tamén coñecidos como números naturais.
Mais os números da diagonal seguinte
son os chamados números triangulares
porque, se collemos todos eses puntos,
podemos amorealos 
en triángulos equiláteros.
A seguinte diagonal
ten os números tetraédricos
porque, do mesmo xeito, 
podemos amorear as esferas en tetraedros.
E que che parece isto? 
Marcamos todos os números impares.

Spanish: 
O en una fila trata cada número 
como parte de una expansión decimal.
En otras palabras, 
la fila dos es (1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtendrás 121, que es 11 ^ 2.
Y echa un vistazo a lo que sucede 
cuando haces lo mismo a la fila 6.
Suma 1.771.561, 
que es 11 ^ 6, y así sucesivamente.
También hay aplicaciones geométricas.
Mira las diagonales.
Las dos primeras poco interesantes: 
todos uno, y luego los enteros positivos,
también conocidos como números naturales.
Pero los números en la siguiente diagonal 
son llamados los números triangulares
porque al tomar muchos puntos,
puedes apilarlos 
en triángulos equiláteros.
La siguiente diagonal 
tiene los números tetraédricos
porque del mismo modo, puedes apilar 
muchas esferas en tetraedros.
O qué tal esto: sombreado 
en todos los números impares.

iw: 
או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר
כחלק מהרחבה דצימלית,
במילים אחרות, שורה שתיים
היא (1x1) + (2x10) + (1x100).
אתם מקבלים 121, שזה 2^11.
והביטו במה שקורה כשאתם עושים
את אותו הדבר לשורה השישית.
היא מתחברת ל 1,771,561,
שזה 6^11, וכך הלאה.
יש גם אפליקציות גאומטריות.
הביטו באלכסון.
השניים הראשונים לא מאוד מעניינים:
הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים,
שידועים גם כמספרים טבעיים.
אבל המספרים באלכסון הבא
נקראים המספרים המשולשים
מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות,
אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות.
לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים
מפני שבדומה, אתם יכולים לערום
מספר כזה של ספירות בטטרהדר.
או מה בנוגע לזה: כסו
את כל המספרים האי זוגיים.

Polish: 
Albo potraktuj każdą liczbę 
jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.
Czyli w drugim rzędzie:
(1x1) + (2x10) + (1x100).
To wynosi 121, czyli 11^2.
Spójrz, co będzie,
kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.
Po przeliczeniu wychodzi
1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.
Są też zastosowania w geometrii.
Spójrz na rzędy po bokach.
Dwa pierwsze są nieciekawe:
jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,
czyli liczby naturalne.
Ale następny rząd
zawiera liczby trójkątne:
kiedy weźmiesz tyle kropek,
możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.
W następnym rzędzie są liczby piramidalne,
czyli ilość kul, z których 
można ułożyć czworościan.
Teraz zaciemnij 
wszystkie liczby nieparzyste.

Persian: 
یا در هر سطر مشخص،
هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید.
به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از:
(۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰)
شما به ۱۲۱ می رسید،
که همان مربع ۱۱ است.
و ببینید چه اتفاقی می افتد
وقتی به سطر ششم می رسید.
مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد
که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد.
کاربردهای هندسی نیز وجود دارد.
به این قطرها نگاه کنید.
دوتای اول خیلی جالب نیستند:
هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند.
که به اعداد طبیعی معروف هستند.
ولی اعداد در قطر بعدی را
اعداد مثلثی می نامند
چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی،
می توانید آن را به عنوان
مثلث متساوی الاضلاع ببینید.
قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند.
چرا که به طور مشابه، شما می توانید
کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید.
یا درباره این مطلب:
تمامی اعداد فرد را بپوشانید.

Burmese: 
ဒါမှမဟုတ် အတန်းတစ်တန်းက ကိန်းတစ်လုံးစီကို 
နေရာအလိုက် ဖြန့်ချလိုက်ပါ။
တနည်းအာဖြင့်၊ ဒုတိယ အတန်းက
(1x1) + (2x10) + (1x100) ဖြစ်ပါတယ်။
သင် ရမှာ 121၊ ဒါက 11^2 ပါ။
ဆဌမအတန်းမှ ကိန်းကို 
ဒါမျိုးလုပ်တဲ့အခါ ဘာဖြစ်မလဲ ကြည့်ရအောင်။
ပေါင်းလဒ်က 1,771,561မို့ ဒါက 11^6.. 
စသည်ဖြင့် ရှေ့ဆက်နိုင်ပါတယ်။
ဂျီဩမေတြိဆိုင်ရာ အသုံးတွေလည်း ရှိပါတယ်။
ထောင့်တန်းလိုင်းတွေကို ကြည့်ပါ။
ပထမနှစ်တန်းဟာ တစ်တွေချည်းပဲရယ်၊
သဘာ၀ကိန်း ဝါ အပေါင်းကိန်းပြည့်တွေရယ်မို့
သိပ်စိတ်ဝင်စား စရာမကောင်းပါဘူး။
ဒါပေမဲ့ နောက်ထပ်​
ထောင့်တန်းလိုင်းက ကိန်းတွေကိုတော့
တြိဂံဆိုင်ရာ ကိန်းတွေ လို့ခေါ်ပါတယ်။
အကြောင်းက ဒီ အလုံးတွေ အများကြီး ယူလိုက်ရင်
ဒါတွေကို သုံးနားညီ တြိဂံတွေအဖြစ်
ထပ်နိုင်လို့ပါ။
နောက်က ထောင့်တန်းလိုင်းမှာ 
လေးမျက်နှာဒုချွန်ကိန်းတွေ ရှိပါတယ်
ဆင်တူတာကြောင့်၊ ဒီစက်လုံး များစွာကို
လေးမျက်နှာဒုချွန်အဖြစ် ထပ်နိုင်ပါတယ်။
သို့မဟုတ်၊ မကိန်းတွေအားလုံးကို 
ပုံဖော်လိုက်ရင် ဘယ်နှယ့်ရှိစ။

German: 
Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile
als Teil einer Dezimalentwicklung.
Anders gesagt, Zeile zwei ist
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Man erhält 121, was 11^2 entspricht.
Sieh dir an, was passiert,
wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.
Die Summe ist 1.771.561,
was 11^6 entspricht, usw.
Es gibt auch geometrische Anwendungen.
Sieh die Diagonalen an.
Die ersten beiden sind eher uninteressant:
alles Einsen, dann die positiven Zahlen,
auch als natürliche Zahlen bekannt.
Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale
nennt man Dreieckszahlen.
Denn mit dieser Anzahl Punkte
lassen sie sich als
gleichseitige Dreiecke anordnen.
Die nächste Diagonale
hat vierflächige Zahlen,
weil man ebenso viele Kugeln
als Tetraeder anordnen kann.
Oder wie wäre es damit:
Markiere alle ungeraden Zahlen.

Turkish: 
Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.
Ama binlerce satır eklediğinizde,
Sierpinski Üçgeni olarak bilinen
bir fraktal elde edersiniz.
Bu üçgen matematiksel
bir sanattan ibaret değildir.
Aynı zamanda çok yararlıdır;
özellikle de olasılık ve
kombinetorik hesaplamaları konusunda.
Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.
Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın
ve 2 oğlunuzun
olma olasılığını merak ediyorsunuz.
Binom açılımında,
bunun karşılığı
kız artı erkek üssü 5 olur.
Şimdi 5. satıra bakalım.
Buradaki ilk sayı 5 kıza,
son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.
Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.
Satırdaki tüm olasılıkların
toplamı içinden 10,
yani 10/32 veya %31,25.
Eğer 12 arkadaşınız arasından
basketbol takımı için
rastgele 5 kişi seçiyorsanız,

Japanese: 
三角形が小さい時は
大したことはありませんが
何千もの列になってくると
シェルピンスキーの三角形という
フラクタルが得られます
この三角形は
数学の賜物であるだけでなく
なかでも とりわけ
確率や組み合わせの領域の計算では
大変便利なものです
例えば あなたが子供を
５人欲しいと思ったとして
理想の家族である
女の子３人と男の子２人になる
確率を知りたいと思ったとしましょう
２項展開で表すと
女の子+男の子の五乗です
では ５列目を見てみましょう
最初の数字は女の子５人
最後の数字は男の子が５人の場合です
３番目の数字を求めます
すべての可能性の内10ですから
10/32
つまり 31.25% です
または 無作為に12人の友人の中から
５人をバスケットボールの選手に
選ぶとしましょう

Polish: 
Na małym trójkącie
nie wygląda to ciekawie,
ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,
zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.
Trójkąt jest nie tylko
matematycznym dziełem sztuki,
ale też użytecznym narzędziem
szczególnie przy obliczeniach 
prawdopodobieństwa i tych,
które należą do dziedziny kombinatoryki.
Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci
i ciekawi cię prawdopodobieństwo
wymarzonego układu
trzech dziewczynek i dwóch chłopców.
Możesz to przedstawić dwumianem:
(dziewczynka + chłopiec) ^5.
A więc spójrzmy na rząd piąty,
którego pierwsza liczba
odpowiada pięciu dziewczynkom,
a ostatnia - pięciu chłopcom.
Trzecia liczba to ta, której szukamy.
Dziesięć szans spośród
wszystkich w rzędzie, to znaczy
10/32, czyli 31,25%.
A może losowo wybierasz 
pięć osób do gry w koszykówkę
spośród dwanaściorga kolegów
i chcesz wiedzieć, 
ile można utworzyć grup po pięć osób?

Persian: 
وقتی مثلث کوچک است،
خیلی زیاد به نظر نمی رسد
اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید،
شما به الگوهای همسانی به نام
«مثلث سیرپینسکی» می رسید.
این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست.
بسیار پرکاربرد است،
به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات
در حوزه ترکیبیات پیش می آید.
فرض کنید می خواهید
پنج بچه داشته باشید،
می خواهم احتمال این را بدانم
که خانواده رویایی شما
با سه دختر و دو پسر چگونه است.
این همان بسط دو جمله ای است،
که مرتبط با مجموع پسر و دختر
به توان پنج است.
خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم،
که عدد اول مرتبط با پنج دختر است،
و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است.
عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم.
۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر.
که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود.
یا اگر شما به طور تصادفی
تیم پنج نفره از بسکتبال را
از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید،

Vietnamese: 
Có vẻ như chẳng có gì đặc biệt
nếu tam giác này quá nhỏ
nhưng nếu thêm vào
hàng ngàn dòng,
bạn sẽ có một hệ chiết hình
gọi là Tam giác Sierpinski.
Tam giác này không chỉ là
một kiệt tác toán học.
Nó còn khá hữu dụng,
nhất là với xác suất và tính toán
trong ngành toán học tổ hợp.
Giả sử bạn muốn có năm người con,
và muốn biết xác suất
của việc có được gia đình mơ ước
với ba con gái và hai con trai.
Trong khai triển nhị thức,
nó tương ứng với tổng số
con gái và con trai, tất cả mũ năm.
Hãy cùng nhìn vào dòng thứ năm,
số đầu tiên ứng với năm người con gái
và số cuối ứng với năm người con trai.
Số đứng thứ ba
chính là con số ta muốn tìm.
Lấy mười chia cho
tổng các xác suất trong dòng.
Vậy là 10/32, hay 31.25%.
Hoặc nếu bạn chọn ngẫu nhiên
năm người trong một đội bóng rổ
trong một nhóm 12 người,

Chinese: 
當三角形還小時，看起來不怎麼樣
但若是加到好幾千列
會得到一個碎形，
稱為「謝爾賓斯基三角形」
這三角形不只是個數學的藝術
它也相當的實用
尤其在組合數學領域裡的
機率和計算 
假設，你想要有 5 個小孩
想知道理想中的家庭
有 3 個女孩和 2 個男孩的機率
在二項式展開中
相當於女加男的 5 次方
所以我們看第五列
第一個數字
代表有 5 個女孩的可能性
最後一個數字
代表有 5 個男孩的可能性
而第三個數字就是我們要找的
整列所有可能性總和
當中的 10 個可能性
因此機率為 10/32，也就是 31.25%
或是你隨機在 12 個朋友中
挑出 5 人組籃球隊

Serbian: 
То не изгледа ништа посебно,
када је мали троугао,
али ако додате хиљаде редова,
добићете фрактал, 
познатији као Троугао Серпинског.
Овај троугао није само
део математичке уметности.
Такође је користан,
поготово када је у питању вероватноћа
и сложенији рачун
у области комбинаторике.
На пример, желите да имате петоро деце,
и желите да знате са
којом вероватноћом
ћете имати вашу породицу из снова
са три девојчице и два дечака.
То је биномни израз,
који одговара броју девојчица и дечака 
на пети степен.
Погледајмо пети ред,
где први број одговара
случају када је пет девојчица,
а последњи ако је пет дечака.
Трећи број је онај
који ми тражимо.
Десет је сума свих
могућих догађаја у реду.
Дакле 10/32 је 31,25%.
Или ако бирате насумично пет играча
кошаркашког тима
од 12 пријатеља,

English: 
It doesn't look like much
when the triangle's small,
but if you add thousands of rows,
you get a fractal 
known as Sierpinski's Triangle.
This triangle isn't just 
a mathematical work of art.
It's also quite useful,
especially when it comes 
to probability and calculations
in the domain of combinatorics.
Say you want to have five children,
and would like to know the probability
of having your dream family 
of three girls and two boys.
In the binomial expansion,
that corresponds 
to girl plus boy to the fifth power.
So we look at the row five,
where the first number 
corresponds to five girls,
and the last corresponds to five boys.
The third number 
is what we're looking for.
Ten out of the sum 
of all the possibilities in the row.
so 10/32, or 31.25%.
Or, if you're randomly 
picking a five-player basketball team
out of a group of twelve friends,

Chinese: 
你睇唔出係啲咩
但當你加上成千上萬咁多行之後
你就會得到一個碎形
亦即係謝爾賓斯三角形
呢個三角形唔單只係數學嘅藝術
佢都幾有用
特別係計概率同埋組合數學
例如你想要 5 個小朋友
而且想知道
有 3 個女仔同 2 個男仔
呢個理想家庭嘅概率
喺二項式入面
呢個即係女仔加男仔嘅 5 次方
咁我哋睇下第五行
第一個數字代表 5 個女仔
而最尾嗰個代表 5 個男仔
第三個數字就係我哋搵緊嗰個
呢一行所有可能嘅總和分之 10
即係 10/32 ，或者 31.25%
或者，你隨機喺 12 個朋友入面
揀出一隊 5 人籃球隊
可以有幾多種組合呢？

Arabic: 
لا يبدو الشكل واضحاً عندما
يكون المثلث صغيرا،
لكن إذا أضفتَ آلاف الأسطر،
فسوف تحصل على نمط هندسي متكرر
معروف باسم مثلث "سييربنسكي".
هذا المثلث ليس عملاً رياضيّا فنيا فحسب،
بل هو أيضاً على قدر كبير من الأهمية،
خصوصاً فيما يتعلق بالاحتمالات 
والعمليات الحسابية،
في مجال "التوافقيات".
افترضْ أنك تريد أن يكون
لديك خمسة أطفال،
ورغبتَ أن تعرف احتمال
أن يكون لديك العائلة التي تحلم بها،
والمؤلفة من ثلاثة فتيات وصبيين.
حسب التوسع ثنائي الحد،
فإن ذلك يكافئ (فتاة + صبي) مرفوعا
إلى الأس 5 .
لذلك ننظر إلى السطر الخامس،
حيث العدد الأول يكافئ 5 فتيات،
والعدد الأخير يكافئ 5 فتيان.
الرقم الثالث هو الرقم الذي نبحث عنه.
وهو الرقم 10 مقسوماً على مجموع 
كافة الاحتمالات في السطر.
لذلك نكتب 32\10 أو 31.25%.
أو إذا اخترتَ عشوائيا فريق كرة سلة
مؤلف من خمسة لاعبين ،
ضمن مجموعة مؤلفة من 12 صديقا،

Spanish: 
No parece mucho 
con el triángulo pequeño,
pero si se agregas miles de filas,
obtienes un fractal 
conocido como triángulo de Sierpinski.
Este triángulo no es solo 
un trabajo de arte matemático.
También es muy útil,
especialmente cuando se trata 
de probabilidad y cálculos
en el dominio de la combinatoria.
Digamos que quieres tener 5 hijos,
y te gustaría saber la probabilidad
de tener tu familia de ensueño 
de 3 niñas y 2 niños.
En la expansión binomial,
corresponde a chica más chico 
a la quinta potencia.
Fijémonos en la fila cinco,
donde el primer número 
corresponde a 5 chicas,
y el último corresponde a 5 chicos.
El tercer número 
es lo que estamos buscando.
10 de la suma de todas 
las posibilidades en la fila.
de modo 10/32, o 31,25 %.
O, si estás escogiendo al azar un equipo 
de baloncesto de 5 jugadores
de un grupo de 12 amigos,

iw: 
זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן,
אבל אם תוסיפו אלפי שורות,
אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי.
המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית.
הוא גם מאוד יעיל,
בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים
בתחום של קומבינטוריקה.
נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים,
והייתם רוצים לדעת את ההסתברות
שתהיה לכם משפחת חלום
של שלוש בנות ושני בנים.
בהרחבה בינומיאלית,
שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית.
אז אנחנו מביטים בשורה החמישית,
שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות,
והאחרון לחמישה בנים.
המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים.
עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה.
אז 10/32, או 31.25%.
או, אם אתם בוחרים באקראיות
קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים
מתוך קבוצה של שנים עשר חברים,

Portuguese: 
Não se vê grande coisa 
quando o triângulo é pequeno,
mas se acrescentarmos milhares de linhas,
obtemos um fractal, conhecido 
por Triângulo de Sierpinski.
Este triângulo não é apenas 
uma obra de arte matemática.
Também é muito útil,
em especial no que se refere
a probabilidades e cálculos
no domínio da combinatória.
Digamos que queremos ter cinco filhos,
e gostaríamos de saber a probabilidade
de ter uma família de sonho 
de três raparigas e dois rapazes.
Na expansão binomial,
isso corresponde a (rapariga mais rapaz)
elevado à quinta potência.
Portanto, olhemos para a linha cinco,
em que o primeiro termo
corresponde a cinco raparigas,
e o último corresponde a cinco rapazes.
O terceiro termo é aquele
de que andamos à procura.
A parcela 10, na soma 
de todas as possibilidades na linha.
Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
Se, ao acaso, escolhermos uma equipa 
de basquetebol de cinco jogadores
num grupo de doze colegas,

Chinese: 
当三角形还小，你还看不出什么。
不过如果你加上成千上万行，
你会得到一个分形，
也就是谢尔宾斯基三角形。
这个三角形不仅是一个数学的艺术品，
它还很有用，
尤其是在组合学中的概率计算中。
假设，你想要五个小孩,
你想要知道
拥有三个女孩和两个男孩
这样理想家庭的概率是多少。
在二项展开式中，
它对应的就是女孩加男孩的五次方。
所以我们看第五行，
第一个数字代表五个女孩的可能性，
最后一个数字代表五个男孩的可能性。
第三个数字就是我们要找的。
这一行所有可能性的总和分之10，
那就得到 10/32，或者31.25%。
再者，如果你从十二个朋友中
随机选出5人组成一个篮球队，

Galician: 
Non parece gran cousa 
cando o triángulo é pequeno,
porén se ampliamos miles de filas,
obtemos un fractal, 
coñecido como triángulo de Sierpinski.
Ese triángulo non é só
unha obra de arte matemática.
Tamén é moi útil,
especialmente cando falamos 
de probabilidade e cálculos
no ámbito da combinatoria.
Digamos que queremos ter cinco fillos,
e desexamos saber a probabilidade
de termos unha familia
con tres nenas e dous nenos.
No desenvolvemento binomial,
iso corresponde a (nena máis neno) 
elevado á quinta potencia.
Velaí que se miramos para a fila 5
o primeiro número corresponde a 5 nenas,
e o último corresponde a 5 nenos.
O terceiro número 
é o que estamos a buscar.
Son 10 de entre todas 
as posibilidades da fila.
Así que 10/32, ou o 31,25%.
Ou se estás escollendo ao chou
un equipo de baloncesto de 5 xogadores
dun grupo de 12 amigos,

Russian: 
не так уж и много, когда треугольник мал,
если же добавить тысячи рядов,
то получим фрактал,
известный как треугольник Серпинского.
Этот треугольник — не просто
математическое произведение искусства.
Он ещё весьма полезен,
особенно когда речь заходит о вероятностях
и вычислениях в области комбинаторики.
Скажем, вы хотите,
чтобы у вас было пятеро детей,
и желали бы узнать вероятность того,
что у вас будет семья вашей мечты
с тремя девочками и двумя мальчиками.
В биномиальном разложении
этому соответствует
(девочка + мальчик) в пятой степени.
Итак, мы смотрим на пятый ряд,
в котором первое число
соответствует пяти девочкам,
а последнее — пяти мальчикам.
Нам же нужно третье число.
Десять из суммы
всех вероятностей в этом ряду.
В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.
Или же, если вы случайно выбираете
в баскетбольную команду пять игроков
из группы двенадцати друзей,

Italian: 
Non succede nulla di interessante
se il triangolo è piccolo,
ma se aggiungi migliaia di righe,
ottieni un frattale
chiamato Triangolo di Sierpiński.
Questo triangolo non solo
è un capolavoro matematico.
È anche piuttosto utile,
soprattutto nel calcolo delle probabilità
e nel calcolo combinatorio in generale.
Mettiamo che tu voglia cinque figli,
e voglia sapere quanto è probabile
realizzare la famiglia dei tuoi sogni
con tre femmine e due maschi.
In termini di espansione binomiale
ciò corrisponde a
femmine più maschi alla quinta.
Quindi guardiamo la riga cinque,
in cui il primo numero
corrisponde a 5 femmine,
e l'ultimo numero a cinque maschi.
Il terzo numero è quello che ci interessa.
Quindi dieci, sul totale
di tutte le possibilità della riga,
cioè 10/32, ossia il 31,25%.
O, volendo una squadra di pallacanestro
composta scegliendo a caso 5 giocatori
da un gruppo di 12 amici,

Chinese: 
你睇唔出係啲咩
但當你加上成千上萬咁多行之後
你就會得到一個碎形
亦即係謝爾賓斯三角形
呢個三角形唔單只係數學嘅藝術
佢都幾有用
特別係計概率同埋組合數學
例如你想要 5 個小朋友
而且想知道
有 3 個女仔同 2 個男仔
呢個理想家庭嘅概率
喺二項式入面
呢個即係女仔加男仔嘅 5 次方
咁我哋睇下第五行
第一個數字代表 5 個女仔
而最尾嗰個代表 5 個男仔
第三個數字就係我哋搵緊嗰個
呢一行所有可能嘅總和分之 10
即係 10/32 ，或者 31.25%
或者，你隨機喺 12 個朋友入面
揀出一隊 5 人籃球隊
可以有幾多種組合呢？

Burmese: 
တြိဂံမှာ အတန်းနည်းတဲ့အခါ ဒါက 
ပုံ သိပ်မပေါ်ပေမဲ့
အတန်းတွေ ထောင်ချီလာရင်တော့
ဂျီဩမေတြီအရ
ပုံစံ ထပ်ကြိမ်ပြုချက် ရလာမှာပါ
ဒါကို Sierpinski's Triangle လို့ခေါ်ပါတယ်။
ဒီတြိဂံတွေက သင်္ချာဆိုင်ရာ 
အနုပညာဖြစ်ရုံသာမက၊
၎င်းက အသုံးလည်း သိပ်ဝင်ပါတယ်
အထူးအားဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်းရယ်၊
ကိန်းရွေးခြယ် စီစဉ်နိုင်တဲ့
နည်းလမ်း အရေအတွက်ရယ်ကို 
တွက်ချက်မှုပြုလုပ်ချိန်မှာပါ။
သင်က ကလေးငါးယောက် ယူချင်တယ်
ပြီးတော့ မ ၃၊ ကျား ၂ ရဖို့ 
သင့်..
စိတ်ကူးယဉ် မိသားစုရဲ့ ဖြစ်တန်းစွမ်းကို 
သိခြင်တယ် ဆိုပါတော့။
ဒွိနာမကိန်းတွဲ ဖြန့်စီခြင်းအရ
မ အပေါင်း ကျား၊ ဒါကို တစ်ကွင်းလုံး
ငါးထပ် တင်ပါ့မယ်။
ဒီတော့ ပဉ္စမမြောက်အတန်းထံ ရှု့ပါ
အဲဒီမှာ ပထမကိန်းက မ ငါးယောက်၊
နောက်ဆုံးမှာက ကျား ငါးယောက်ဖြစ်လာမယ်။
တတိယကိန်းဟာ ကျွန်တော်တို့ ရှာနေတဲ့
အရာ ပါပဲ။
အတန်းထဲက ဖြစ်တန်စွမ်းတွေ အားလုံးရဲ့
ပေါင်းလဒ်အပေါ် တစ်ဆယ်ကို တည်ပါ။
ဒီတော့ 10/32, ဝါ 31.25% ပါ။
သင့် သူငယ်ချင်း ဆယ့်နှစ်ယောက် အဖွဲ့ထဲက 
ကစားသမား ငါးဦးပါတဲ့ ဘက်စကတ်ဘော-
တစ်သင်းစာ ကျပန်းရွေးထုတ်ရင်

German: 
Es sieht nach wenig aus
wenn das Dreieck klein ist,
doch wenn man tausende Zeilen addiert
erhält man ein Fraktal,
das man Sierpinski-Dreieck nennt.
Dieses Dreieck ist nicht nur
ein mathematisches Kunstwerk.
Es ist vor allem sehr nützlich,
wenn es um Wahrscheinlichkeit
und Berechnungen in der Kombinatorik geht.
Sagen wir, du willst fünf Kinder
und möchtest wissen,
wie wahrscheinlich deine Traumfamilie
von drei Mädchen und zwei Jungen ist.
Beim binomischen Lehrsatz entspricht das
"Mädchen plus Junge hoch fünf".
Schauen wir uns also Zeile fünf an,
wo die erste Zahl fünf Mädchen
und die letzte fünf Jungen entspricht
Die dritte Zahl ist, was wir suchen.
Zehn geteilt durch die Summe
aller Möglichkeiten der Zeile,
also 10/32 oder 31,25%.
Oder wenn du aus einer
Gruppe von 12 Freunden
zufällig fünf Spieler
für ein Basketballteam wählst,

Croatian: 
To nije posebno zanimljivo
kada je trokut mali,
ali ako se dodaje tisuće redova,
dobije se Sierpinskijev fraktal.
Ovaj trokut nije samo
matematičko umjetničko djelo.
On je i koristan,
posebice u područjima
vjerojatnosti i računanju
u području kombinatorike.
Ako primjerice želite imati
petero djece
i želite znati koja je vjerojatnost
da dobijete kako ste sanjali:
tri djevojčice i dva dječaka.
U zapisu pomoću potencije binoma,
to odgovara
djevojčici + dječaku na petu potenciju.
Pa pogledajmo peti red,
gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,
a posljednji pet dječaka.
Mi tražimo treći broj.
Deset kroz zbroj
svih mogućnosti u tom redu.
pa je to, 10/32, ili 31.25%.
Ili, ako nasumično izabirete
peteročlanu košarkašku momčad
iz skupine od 12 prijatelja,

Hungarian: 
Ha a háromszög kicsi,
az ábra nem nagyon mutatós,
de ha több ezer sorból áll,
a Sierpiński-háromszögnek 
nevezett fraktálhoz jutunk.
Ez a háromszög nemcsak 
matematikai művészi alkotás,
hanem nagyon hasznos,
különösen a valószínűségszámításban 
és a kombinatorikában.
Tegyük föl, 
hogy valaki 5 gyereket szeretne,
és tudni akarja, mi a valószínűsége,
hogy az álomcsaládban 
három lány és két fiú lesz?
A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:
lány + fiú az 5. hatványon.
Megnézzük az 5. sort,
ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,
és az utolsó pedig az 5 fiúnak.
Mi a 3. számot keressük.
10 osztva a sorban lévő 
összes lehetőség összegével,
így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.
Hányféleképpen választhatunk ki 
véletlenszerűen 12 barát közül

Korean: 
그 삼각형이 작을 때는 
별 것 아닌 것 같아 보이지만
수천 개의 행을 더하면
사이펀스키의 삼각형이라고 불리는
프랙탈도형이 나오게 됩니다.
이 삼각형은 단지 수학적인 
예술작품이 아닙니다.
이것이 특히 유용하게 쓰이는 분야는
확률이나 조합과 관련된 
계산의 부분입니다.
여러분이 5명의 아이를 원하고
세명의 딸과 두 명의 아들로 이루어진
이상적인 가족을 가질 확률을
알고 싶어 한다고 가정해봅시다.
이항정리를 이용하면
이 것은 (딸(x) +아들(y))의 
5제곱에 해당합니다.
그럼 다섯 번째 행을 봅시다.
이 줄에서 첫 번째 수는 
다섯명의 딸이 나올 경우의 수이며
마지막은 다섯명의 아들이 나올
경우의 수 입니다.
그리고 세 번째 수가 바로 
세명의 딸이 나올 경우의 수이지요.
이 10이라는 값을그 줄의 
모든 경우의 수의 합으로 나누면
10/32, 즉 31.25%가 됩니다.
이번에는 열두 명의 친구들 중
무작위로 다섯명을 뽑아 
농구팀을 구성하면

Portuguese: 
Não é grande coisa
já que o triângulo é pequeno,
mas se acrescentarmos milhares de linhas,
obtemos um fractal,
conhecido por Triângulo de Sierpinski.
Esse triângulo não é apenas
uma obra de arte matemática.
Também é bastante útil,
especialmente quando se trata
de probabilidade e cálculos
no domínio da análise combinatória.
Digamos que queremos ter cinco filhos,
e desejamos saber a probabilidade
de ter a família dos sonhos 
com três meninas e dois meninos.
Na expressão binomial,
isso corresponde a (menina + menino)
elevado a quinta potência.
Portando, olhemos para a fileira cinco,
onde o primeiro número 
corresponde a cinco meninas,
e o último a cinco meninos.
O terceiro número 
é o que estamos procurando.
Dez do total da soma de todas 
as possibilidades na linha.
Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
Se, ao acaso, estivermos escolhendo 
times de basquete de cinco jogadores
de um grupo de 20 amigos,

French: 
Ça ne ressemble à rien
quand le triangle est petit,
mais en considérant des milliers de lignes
vous obtenez une fractale connue sous
le nom de « Triangle de Sierpinski ».
Ce triangle n'est pas seulement
une œuvre d'art mathématique.
Il est aussi très utile
dans les calculs et les probabilités
dans le domaine de la combinatoire.
Disons que vous voulez avoir 5 enfants,
et que vous voulez connaître
la probabilité
d'avoir votre famille rêvée
de 3 filles et 2 garçons.
Dans le développement du binôme,
cela correspond à fille plus garçon 
le tout à la puissance 5.
Regardons la cinquième ligne,
ou le premier nombre 
correspond à 5 filles,
et le dernier à 5 garçons.
Le troisième correspond
à ce que nous cherchons.
10 sur la totalité
des possibilités de la ligne.
Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.
Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs
de basket pour former une équipe
parmi un groupe de 12 amis,

Japanese: 
５人のグループは
幾通り考えられるでしょうか？
組み合わせでは
12 C 5
この方程式を使って計算するか
三角形の12列目の
６つ目の要素を見ればいいのです
すると 答えが出ます
パスカルの三角形のパターンは
数学の織りなす美しさの証なのです
そして 今なお
新たな秘密が途切れることはありません
例えば 最近では
こういった種類の多項式の
展開方法が発見されました
この次は何が見つかるのでしょうか？
それは あなた次第です

Arabic: 
ما عدد المجموعات المحتملة 
المؤلفة من 5 أشخاص ؟
بحسب "التوافقية" فإنّ هذه المسألة يتم
صياغتها كاثني عشر شخصا يختارون خمسة أشخاص.
ويمكن حسابها عن طريق هذه المعادلة،
أو تستطيع النظر إلى العنصر السادس 
من السطر الثاني عشر في المثلث
وسوف تحصل على الإجابة.
هذه الأنماط في مثلث باسكال،
هي شهادة على بنية الرياضيات المتشابكة
مع بعضها بشكل أنيق.
والتي ما تزال تكشف عن 
أسرار جديدة حتى هذا اليوم.
على سبيل المثال, اكتشف الرياضيّون
مؤخراً طريقا لتوسيع هذا المثلث
إلى هذه الأشكال من كثيرات الحدود.
ما الذي قد نجده مستقبلاً ؟
حسنٌ, هذا الأمر متروكٌ لك.

Polish: 
W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową
kombinacją ze zbioru 12-elementowego,
i oblicza tym oto wzorem,
ale równie dobrze można wziąć szósty
element z dwunastego rzędu trójkąta
i gotowe.
Wzory w trójkącie Pascala 
świadczą o elegancji,
z jaką splatają się wątki 
w tkaninie matematyki.
Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.
Całkiem niedawno matematycy odkryli,
jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta
na takie wielomiany.
Co jeszcze odkryjemy?
To już twoje zadanie.

Korean: 
얼마나 많은 팀이 
나올 수 있는지 볼까요?
이 문제를 조합으로 설명하면
열두 개 중 다섯 개를 뽑는 경우이며
이러한 공식으로 계산할 수도 있으나
그냥 파스칼의 삼각형 12번째 행의
6번 째 숫자를 보면
간단하게 답을 알 수 있지요.
파스칼의 삼각형의 패턴을 통해서
우리는 수학이 매우 정교하게 구성되고
짜여진 형태라는 것을 알 수 있습니다.
그리고 지금까지도 이 삼각형의
새로운 비밀들이 발견되고 있습니다.
예를 들면, 최근들어 수학자들은
꾸준한 연구를 한 결과
이런 종류의 다항식을 전개하는 방법을
발견하기도 했습니다.
다음에는 또 무엇을 찾을 수 있을까요?
글쎄요. 그건 여러분에게 달려있습니다.

Chinese: 
一共可能有多少种五人组合呢？
从组合学上看，
这个问题可以看成是从12中挑5，
并可以用这个公式计算，
或者你可以找到这个三角形的
第十二行第六项，
就是你要的答案。
帕斯卡三角的诸多形式，
是数学元素优美交织的证明。
到现在，它仍然揭示着新秘密。
例如，数学家最近发现了
一个展开这种多项式的方法。
接下来我们还可能发现什么？
这就看你了。

Chinese: 
總共會有多少種五人組合呢？
在組合數學術語中， 
這問題的用語表達是 12 取 5
可用此公式算出
或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字
得到你要的答案
帕斯卡三角形中的諸多型式
是由數學優雅交織而成的驗證
至今仍為我們揭開新的秘密
舉例來說，
數學家們最近找到一個方法來展開
像這樣的多項式
接下來會有怎樣的發現呢？
就要看你囉！
翻譯：Kelly Liu

Portuguese: 
quantos times de cinco é possível formar?
Em análise combinatória, 
esse problema seria descrito
como cinco escolhidos em doze,
e poderia ser calculado com esta fórmula,
ou poderíamos simplesmente olhar 
para o sexto elemento
da linha 12 do triângulo, 
e obter a resposta.
Os padrões no Triângulo de Pascal
constituem uma evidência elegante
do intrincado tecido da matemática.
Até hoje ainda revela novos segredos.
Por exemplo, os matemáticos recentemente
descobriram uma forma de os expandirem
para estes tipos de polinômios.
O que podemos encontrar em seguida?
Bem, isso é com vocês.

Persian: 
چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟
در زبان ترکیبیاتی، این مسأله
همان انتخاب ۵ از ۱۲ است،
و با این فرمول محاسبه می شود،
یا شما کافی است که به عدد ششم
از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید
و جواب را بیابید.
الگوها در مثلث پاسکال
همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند.
و هنوز اسرار تازه ای از این
کشف می شوند.
برای مثال، ریاضی دانان
به تازگی روشی برای بسطِ
این چند جمله ها کشف کردند.
ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟
خب، این به عهده شماست.

Chinese: 
喺組合數學嚟講
呢個問題可以睇成 12 揀 5
而且可以用呢條式去計
或者你可以喺呢個三角形入面
搵第十二行第六個數字，就會得到答案
帕斯卡三角形嘅規律
展現數學優雅交織嘅一面
我哋至今仍然繼續發現佢新嘅秘密
例如
數學家最近發現咗
展開呢種多項式嘅方法
跟住落嚟我哋會發現啲咩？
咁就睇你啦

Portuguese: 
quantos grupos possíveis de cinco existem?
Em termos combinatórios,
este problema seria descrito
como "cinco escolhidos em doze"
e podia ser calculado com esta fórmula.
Ou podíamos olhar para o sexto elemento
da linha doze do triângulo
e obter a resposta.
Os padrões no Triângulo de Pascal
são um testemunho do elegante
tecido entretecido da matemática.
E ainda continuam a revelar 
novos segredos, hoje em dia.
Por exemplo, os matemáticos descobriram
há pouco uma forma de o expandirem
até este tipo de polinomiais.
O que mais descobriremos a seguir?
Bem, isso agora é convosco.

Croatian: 
koliko mogućih grupa
od pet osoba postoji?
Jezikom kombinatorike, ovaj problem
izražen je kao 12 povrh 5,
i računa se pomoću ove formule,
ili jednostavno možete pogledati
šesti element dvanaestog reda u trokutu
i dobit ćete odgovor.
Obrasci u Pascalovom trokutu
dokaz su elegantnog 
ispreplitanja djelova matematike.
Sve njegove tajne još nisu otkrivene.
Na primjer, matematičari su nedavno 
otkrili način kako ga proširiti
na ovu vrstu polinoma.
Što ćemo naći slijedeće?
To je na vama.

Vietnamese: 
có thể lập được tất cả 
bao nhiêu nhóm năm người?
Trong toán tổ hợp,
bài toán này sẽ được biểu diễn
dưới dạng tổ hợp chập 5 của 12,
và có thể dùng công thức này để tính,
hay bạn có thể chỉ nhìn vào số thứ sáu
trên dòng 12 của tam giác
và tìm được đáp án.
Quy luật trong Tam giác Pascal
là minh chứng cho cấu trúc đan xen
một cách tinh tế của toán học.
Cho tới ngày nay,
nó vẫn đang tiết lộ thêm những bí mật mới.
Ví dụ, các nhà toán học gần đây
phát hiện ra cách để khai triển nó
cho tới loại đa thức này.
Ta có thể tìm thấy gì tiếp theo?
Điều đó tùy thuộc vào bạn.

iw: 
כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם?
במונחים קומבינטוריים,
הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש,
ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה,
או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי
של שורה שתיים עשר במשולש
ולקבל את התשובה.
התבניות של משולש פסקל
הן עדות לאלגנטיות שארוגה
במארג של המתמטיקה.
והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום.
לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה
גילו דרך להרחיב אותו
לסוגים אלה של פולינומיאלים.
מה אולי נמצא בהמשך?
ובכן, זה תלוי בכם.

Chinese: 
喺組合數學嚟講
呢個問題可以睇成 12 揀 5
而且可以用呢條式去計
或者你可以喺呢個三角形入面
搵第十二行第六個數字，就會得到答案
帕斯卡三角形嘅規律
展現數學優雅交織嘅一面
我哋至今仍然繼續發現佢新嘅秘密
例如
數學家最近發現咗
展開呢種多項式嘅方法
跟住落嚟我哋會發現啲咩？
咁就睇你啦

Spanish: 
¿cuántos posibles grupos de 5 hay?
En términos combinatorias, este problema 
se expresa como de 12 elegir 5,
y podría calcularse con esta fórmula,
o podrías mirar el sexto elemento 
de la fila doce en el triángulo
y obtener tu respuesta.
Los patrones en el triángulo de Pascal
son un testimonio del elegante 
entretejido de las matemáticas.
Y todavía está revelando 
secretos frescos a hoy.
Por ejemplo, se descubrió 
recientemente una manera de ampliarlo
a este tipo de polinomios.
¿Qué podemos encontrar a continuación?
Bueno, eso depende de ti.

Serbian: 
колико група од по 
петоро можете направити?
У комбинаторици, овај проблем би се свео
на то да од 12 бирамо 5,
и може се израчунати помоћу ове формуле,
или можете погледати само у шести
члан 12. реда у троуглу
и добићете одговор.
Шаблони у Паскаловом троуглу
су доказ елегантно испреплетене
математичке тканина .
А и данас откривамо нове тајне.
На пример, математичари су недавно
открили начин да га прошире
на овакве полиноме.
Шта бисмо могли још да откријемо?
То зависи од вас.

English: 
how many possible groups 
of five are there?
In combinatoric terms, this problem would
be phrased as twelve choose five,
and could be calculated with this formula,
or you could just look at the sixth 
element of row twelve on the triangle
and get your answer.
The patterns in Pascal's Triangle
are a testament to the elegantly 
interwoven fabric of mathematics.
And it's still revealing fresh secrets
to this day.
For example, mathematicians recently 
discovered a way to expand it
to these kinds of polynomials.
What might we find next?
Well, that's up to you.

Russian: 
то сколько возможно
различных групп пяти игроков?
На языке комбинаторики эта задача
формулировалась бы как 5 из 12
и могла бы решаться по такой формуле,
или же можно просто посмотреть 
на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике
и сразу получить ответ.
Закономерности, имеющиеся
в треугольнике Паскаля,
свидетельствуют об изящном переплетении
основ математики.
И он по сей день продолжает
открывать новые секреты.
К примеру, недавно математики обнаружили,
как его можно расширить
для полиномов такого вида.
Что ещё мы сможем открыть?
Что ж, это зависит от вас.

Burmese: 
ငါးယောက်တဖွဲ့ အဖွဲ့ဘယ်လောက်များ
ဒီထဲက ရွေးထုတ်နိုင်မှာလဲ။
ကိန်းရွေးခြယ် စီစဉ်နည်းအရ၊ ဒီပုစ္ဆာကို 
ဆယ့်နှစ်ဦးထဲက ငါးဦးရွေးတယ်လို့
ပြောနိုင်လိမ့်မယ်၊ ဒီ ပုံသေနည်းသုံးလျက်
တွက်နိုင်တယ်၊ ဒါမှမဟုတ် တြိဂံပေါ်က
ဆယ့်နှစ်တန်းမြောက်မှာ ခြောက်ခုမြောက်က
ရှိတာကို ကြည့်ရုံနဲ့ အဖြေရပါတယ်။
ပါစကယ်ရဲ့ တြိဂံထဲက ပုံစံတွေဟာ
သင်္ချာပညာရပ်ရဲ့သပ်ရပ်စွာ ရက်ဖောက်ထားတဲ့ 
အစိတ်အပိုင်းအတွက် အထောက်အထားတစ်ခုပါ။
ပြီးတော့၊ လျှို့ဝှက်ချက် အသစ်များစွာကို 
ယနေ့ထိ ဖော်ထုတ်နေဆဲဖြစ်ပါတယ်။
ဥပမာ၊ သင်္ချာပညာရှင်တွေက ဒီလိုမျိုး
ဗဟုကိန်းတန်းတွေကို ဖြန့်စီဖို့ရာ
မကြာမီက နည်းလမ်းရှာတွေ့ခဲ့ပါတယ်။
နောက်ထပ် တို့ရှာတွေ့မှာ ဘာဖြစ်လာမလဲ။
ဟုတ်ပြီ၊ ဒါက သင့်အပေါ် မူတည်ပါတယ်။

Hungarian: 
egy öttagú kosárlabdacsapatot?
Kombinatorikai fogalmakkal élve, 
ez 12 alatt az 5.
és ezzel a képlettel számolható ki,
vagy csupán rápillantunk 
a háromszög 12. sorának 6. elemére,
és ott a válasz.
A Pascal-háromszög mintázatai
a matematika elegánsan egymásba fonódott
szerkezetének ékesszóló bizonyítéka.
A háromszög mind a mai napig 
egyre újabb és újabb titkokat tár föl.
Pl. a matematikusok csak nemrég 
fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni
az ilyen típusú polinomokra.
Mi lehet a következő fölfedezés?
Nos, ez tőlünk függ.

Turkish: 
kaç tane olası 5 kişilik
grup çıkarabilirsiniz?
Kombinetorik terimleriyle, bu probleme
12'den 5 seçmek denir.
Şu formülle hesaplanabilir
veya üçgenin 12. satırındaki
6. elemana bakarak da
yanıtı bulabilirsiniz.
Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar
matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.
Üstelik bugün hâlâ
yeni sırları açığa çıkıyor.
Örneğin matematikçiler yakın zamanda
bu tür polinomlara
onu açmanın yolunu buldu.
Acaba başka neler bulabiliriz?
Bu size bağlı.

German: 
wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?
Auf dem Gebiet der Kombinatorik
hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"
und ließe sich mit
dieser Formel berechnen.
Oder man sieht sich das sechste Element
von Zeile zwölf des Dreiecks an
und erhält so die Antwort.
Die Muster im Pascalschen Dreieck
sind ein Beleg für die elegant
verwobenen Strukturen der Mathematik.
Und es enthüllt
bis heute neue Geheimnisse.
So haben Mathematiker
kürzlich einen Weg gefunden,
es zu dieser Art Polynome zu erweitern.
Was finden wir wohl als Nächstes?
Nun, das liegt an dir.

French: 
combien d'équipes différentes 
pouvez-vous former ?
En combinatoire, ce problème s’énonce
comme un tirage de 5 parmi 12,
et pourrait être calculé
avec cette formule,
ou vous pouvez simplement regarder le
6eme élément de la 12eme ligne du triangle
pour avoir votre réponse.
Les motifs contenus
dans le triangle de Pascal
témoignent de l'élégance
du tissu des mathématiques.
Des secrets sont encore révélés
de nos jours.
Par exemple, des mathématiciens
ont découvert récemment
comment l'étendre à ce genre de polynômes.
Qu'est-ce qui viendra ensuite ?
Eh bien, ça dépend de vous !

Galician: 
cantos grupos posibles de 5 podes formar?
En termos combinatorios
este problema enunciaríase
como "5 sobre 12",
e calcularíase con esta fórmula,
ou senón procurariamos o sexto 
elemento da fila 12 do triángulo,
obtendo así a resposta.
Os padróns no Triángulo de Pascal
son un testemuño elegante entretecido
que forman as matemáticas.
E aínda continúan a revelar
novos segredos hoxe en día.
Por exemplo, os matemáticos 
descubriron hai pouco unha forma
de desenvolvelo 
a esta clase de polinomios.
Que máis atoparemos no futuro?
Ben, iso depende de ti.

Italian: 
quanti sono i possibili gruppi da cinque?
Nel calcolo combinatorio questo problema
si esprime come dodici sopra cinque,
e si può calcolare con questa formula,
oppure basta guardare il sesto elemento
della dodicesima riga del triangolo
per ottenere la risposta.
Le proprietà del Triangolo di Pascal
dimostrano quanto la matematica
sia elegantemente interconnessa.
E ancora oggi il triangolo
rivela segreti sempre nuovi.
Ad esempio, i matematici
hanno da poco scoperto come estenderlo
ai polinomi di questo tipo.
Chissà cosa scopriremo ancora?
Beh, questo dipende da te.
