
English: 
Imagine we listed all
integers in a growing spiral
and colored the
prime numbers blue
and left the composite
numbers black.
One interesting
question we may ask
is how many primes are there
compared to composites?
First, let's zoom out
to see the big picture.
Notice the prime color is
dense in the center and slowly
drops off in the distance,
but never seems to end.
One way I like to think
about this is as follows.
Imagine there is a tree
at the center, which
is infinitely high.
The leaves which
drop from this tree
represent prime numbers, which
are scattered unpredictably
below, dense near
the base of the tree.
And as we walk away
from this tree,
we find fewer leaves,
though we always find them.
This is exactly
what happens when
we look at larger
and larger integers.

Czech: 
Představte si přirozená čísla
uspořádaná do spirály.
Prvočísla jsme obarvili na modro
a složená čísla ponechali černá.
Naskýtá se zajímavá otázka:
„Kolik je prvočísel
v porovnání se složenými čísly?“
Podívejme se na to
nejdříve z širšího pohledu.
Povšimněte si, že barva
prvočísel je hustá uprostřed,
směrem ven postupně řídne,
ale nikdy nezmizí docela.
Já o tom rád uvažuji takto:
Představte si uprostřed
nekonečně vysoký strom.
Z něj se na zem snášejí listy
představující prvočísla
a na zemi se nepředvídatelným
způsobem usazují:
nejhustěji u paty stromu,
ale jak se od stromu
vzdalujeme listů ubývá,
ačkoliv pořád nějaké potkáváme.
A totéž se přesně děje,
když postupujeme k větším číslům.
Stále nalézáme další prvočísla,

iw: 
דמיינו שהיינו רושמים את כל המספרים השלמים
בספירלה, והיינו מסמנים את כל
המספרים הראשוניים בכחול, ומשאירים
את המספרים הפריקים בשחור.
שאלה אחת מעניינת שנוכל לשאול היא:
כמה מספרים ראשוניים יש בהשוואה לפריקים?
בתור התחלה בואו נתרחק כדי לראות את התמונה הגדולה.
שימו לב שהצבע של הראשוניים הוא צפוף במרכז,
ולאט דוהה במרחק, אבל לעולם לא נגמר לחלוטין.
דרך אחת שאני אוהב לחשוב על זה היא זו: דמיינו שיש
עץ במרכז, בעל גובה אין-סופי.
העלים שיינשרו מהעץ מסמלים מספרים ראשוניים.
שמפוזרים באופן לא צפוי למטה.
צפופים ליד גזע העץ, וככל שנתרחק נמצא פחות עלים.
אבל תמיד נמצא אותם.
זה בדיוק מה קורה כאשר אנחנו מביטים במספרים גדולים יותר ויותר-
אנחנו תמיד מוצאים עוד ראשוניים, אבל מספר הראשוניים

Polish: 
Wyobraź sobie, że wypisujemy wszystkie liczby naturalne w rosnącej spirali,
i kolorujemy liczby pierwsze na niebiesko,
a liczby złożone zostawiamy czarne.
Ciekawym pytaniem, które się nasuwa jest
"Jak dużo jest liczb pierwszych,
w porównaniu do liczb złożonych?:.
Najpierw spójrzmy na to z większej odległości.
Zauważmy, po kolorze, że liczb pierwszych jest gęsto w centrum,
a oddalając się od niego, powoli zdają się występować coraz rzadziej,
lecz nigdy się nie kończą.
Osobiście lubię o tym mysleć w ten sposób:
Wyobraźmy sobie, że mamy drzewo w centrum,
o nieskończenie dużej wysokości.
Liście, które opadają z drzewa,
reprezentują liczby pierwsze,
które są pod nim nieprzewidywalnie rozrzucone,
z przewagą przy pniu drzewa,
a gdy odchodzimy nieco od niego,
znajdujemy mniej liści,
jednak zawsze jakieś znajdziemy.
Tak dokładnie się dzieje,
kiedy patrzymy na coraz większe liczby naturalne,
zawsze znajdujemy jakieś liczby pierwsze,

Polish: 
mimo, że znajdujemy ich coraz mniej,
im dalej patrzymy.
Wróćmy więc do naszego pytania,
"Ile jest liczb pierwszych mniejszych od pewnej liczby x?".
Gdy zrobimy tabelę [liczba x, liczba liczb pierwszych mniejszych od x],
zobaczymy, że liczba liczb pierwszych ciągle rośnie,
jednak gdy patrzymy coraz dalej,
rośnie coraz wolniej.
Narysujmy wykres liczby liczb pierwszych,
które znaleźliśmy, na pionowej osi,
i ograniczenie do którego ich szukamy, na osi poziomej.
Gdy oddalimy widok, aby zobaczyć miliardy liczb,
widzimy, że krzywa nigdy nie robi się linią poziomą,
zawsze jest to funkcja rosnąca.
Zastanówmy się więc nad gęstością liczb pierwszych,
mniejszych od pewnej liczby x.
Taką gęstość możemy obliczyć dzieląc,
liczbę znalezionych liczb pierwszych, przez liczbę x.
Dla pierwszych 100 liczb, znaleźliśmy 25 liczb pierwszych,
a więc 25% to liczby pierwsze.
Dla pierwszych 1000 liczb, znaleźliśmy 1229 liczb pierwszych,

Czech: 
ale jejich počet postupně klesá,
čím dál se od stromu podíváme.
Vraťme se k naší otázce:
Kolik existuje prvočísel menších
než nějaké přirozené číslo ‚x‘?
Když si uděláme tabulku, vidíme,
že počet prvočísel se neustále zvětšuje.
Ale jak hledáme dál,
nacházíme jich méně a méně.
Pojďme si nakreslit graf
s počtem prvočísel na svislé ose
a rozsahem hledání (‚x‘)
na vodorovné ose.
Když pohled oddálíme až k miliardám,
všimněte si, že se křivka nikdy nenarovná.
Pořád roste, i když nepatrně.
Zamysleme se nejdříve nad hustotou
prvočísel menších než číslo ‚x‘.
Hustotu získáme tak, že vydělíme
počet prvočísel rozsahem hledání (‚x‘).
Mezi prvními 100 přirozenými
čísly najdeme 25 prvočísel, čili 25 %.
Podobně mezi prvními 10 000 čísly
najdeme 1229 prvočísel,

English: 
We always find more primes,
though the number of primes
we find gradually drops
the further we look.
So let's return to our question.
How many primes are there
less than some integer x?
If we make a table, we
see the number of primes
is always increasing.
though as we search further,
we find fewer and fewer.
Let's graph the number of primes
found on the vertical axis
and the search size
x on the horizontal.
As we zoom out to include
billions of numbers,
notice the curve
never flatlines.
It's always rising,
albeit gradually.
First, let's think about
the density of primes
less than some integer x.
We can find the
density by dividing
the number of primes
found by the search size.
For the first 100 integers,
we find 25 primes.
Therefore, 25% are prime.
Of the first 10,000 integers,
we find 1,229 primes.

iw: 
שאנחנו מוצאים, יורד באופן ברור ככל שאנחנו מרחיקים לכת.
אז בואו נחזור לשאלה שלנו: כמה ראשוניים יש, מתחת למספר X?
אם נכין טבלה, נראה שמספר הראשוניים
תמיד גדל, אבל ככל שנחפש רחוק יותר
נמצא פחות ופחות ראשוניים חדשים.
ניצור גרף: מספר הראשוניים שמצאנו הוא בציר ה-Y, וציר ה-X מתאר את היקף החיפוש.
כאשר אנחנו מתרחקים כדי לכלול מיליארדי מספרים,
שימו לב שהקו אף פעם לא משתטח, הוא תמיד במגמת עלייה,
אבל באופן פחות משמעותי. בתור התחלה
בואו נחשוב על הצפיפות של הראשוניים מתחת למספר X.
נוכל למצוא את הצפיפות בכך שנחלק את מספר הראשוניים שמצאנו
בהיקף החיפוש - X. עבור מאה המספרים הראשונים מצאנו
25 ראשוניים, כלומר 25% הם ראשוניים.
עבור עשרת אלפים המספרים הראשוניים אנחנו מוצאים 1229 ראשוניים.

English: 
12.29% are prime.
Of the first 1 million
integers, 7.84% are prime.
And the first 100 million
integers contain 5.76% prime.
As we search further, this
density continues to drop,
though the speed at which
it drops slows down.
Here is a graph of the search
size on the horizontal axis
and the prime density
on the vertical.
Notice that as we
zoom out, the primes
are a vanishing proportion
of all integers.
Amazingly, we find
this formula in nature.
We see it in galaxies,
storms, flowers,
and even inside our bodies as
the design of least resistance,
known as the logarithmic spiral.
Notice that as the
spiral rotates,
it gets further and further
away from the center.

Polish: 
co stanowi już 12.29%.
Dla pierwszego miliona liczb naturalnych, 7.84% stanowią liczby pierwsze.
A dla pierwszych 100 milionów liczb, tylko 5.76% to liczby pierwsze.
Gdy szukamy dalej, gęstość wciąż spada,
jednak prędkość z jaką spada, jest coraz mniejsza.
Ten rysunek przedstawia wykres liczby x na osi poziomej,
oraz gęstości liczb pierwszych na pionowej osi.
Zauważmy, że gdy oddalamy widok,
liczby pierwsze stanowią coraz mniejszą część wszystkich liczb naturalnych.
Co ciekawe, taki wzór łatwo znaleźć w naturze,
widzimy go w galaktykach, burzach, kwiatach,
a nawet wewnątrz naszego ciała,
jako model
znany jako "spirala logarytmiczna".
Zauważmy, że gdy spirala zakręca,
oddala się coraz bardziej od centrum.

Czech: 
12,29 % je prvočísel.
Mezi prvním milionem čísel
najdeme 7,84 % prvočísel
a prvočísel menších
než 100 milionů je 5,76 %.
Jak pokračujeme dále,
tato hustota klesá,
přestože pomaleji a pomaleji.
Tady vidíte graf s rozsahem
hledání na vodorovné ose
a hustotou prvočísel na ose svislé.
Všimněte si, že při vzdalování prvočísla
tvoří stále menší zastoupení čísel.
Překvapivě se tento vztah
vyskytuje i v přírodě.
Najdeme ho v galaxiích,
bouřích,
květech a dokonce i uvnitř našich těl
jako uspořádání nejmenšího odporu
známého jako „logaritmická spirála“.
Jak se spirála otáčí,
neustále se vzdaluje od středu.

iw: 
1229/10000=12.29%
מתוך מיליון המספרים הראשונים, 7.8498% הם ראשוניים.
ובמאה מיליון המספרים הראשונים יש
5.76% ראשוניים.
כאשר אנחנו מחפשים רחוןק יותר הצפיפות הזו ממשיכה לרדת.
אבל הקצב שבו היא יורדת יורד אף הוא.
הינה גרף של היקף החיפוש בציר ה-X,
וריכוז הראשוניים בציר ה-Y. שימו לב שככל שאנחנו מתרחקים
הראשוניים הופכים לחלק זניח מכלל המספרים.
באופן מדהים אנחנו מוצאים את הנוסחה הזו בטבע.
אנחנו רואים אותה בגלקסיות, סופות,
פרחים, ואפילו בתוך הגוף שלנו -
בתור העיצוב של ההתנגדות הפחותה - הידוע בשם
הספירלה הלוגריתמית. שימו לב שכאשר הספירלה
מסתובבת, היא מתרחקת יותר ויותר מהמרכז.

Czech: 
Zní to neuvěřitelně, ale rychlost
otáčení logaritmické spirály
je svázána s hustotou prvočísel.
A to následovně:
Sledujme počet otáček,
které si označíme ‚φ‘ („fí“),
a vzdálenost od středu,
tu označme ‚r‘.
Když nakreslíme graf závislosti ‚φ‘ na ‚r‘,
uvidíme, že je popsán
přirozeným logaritmem.
To znamená, že přirozený
logaritmus vzdálenosti
má vztah k počtu otáček.
Graf přirozeného logaritmu se obvykle
zapisuje pomocí proměnných ‚x‘ a ‚y‘,
kde ‚y‘ se rovná přirozenému logaritmu ‚x'
(neboli y = ln x).
Za povšimnutí stojí, že graf klesá
podobně zvolna jako hustota prvočísel.
Jako poslední krok převrátíme vztah
a na svislou osu vyneseme
1/(ln x) místo ‚y‘.
A jak oddalujeme pohled,
před očima se nám zjeví stejná křivka,

iw: 
בצורה שלא תיאמן קצב הסיבוב של הספירלה
הלוגריתמית קשור לצפיפות הראשוניים.
באופן הבא: יש לנו את מספר הסיבובים
שנסמן ב-ϕ
והמרחק מהמרכז, נקרא לו R
אם ניצור גרף של ϕ עבור R ונתרחק,
נראה שהם קשורים לפי הלוגריתם הטבעי
המשמעות היא שהלוגריתם הטיבעי של R שווה ל-ϕ
הגרף של הלוגריתם הטבעי, או LN, כתוב
לרוב בשימוש במשתנים Y ו-X.
כאשר (Y=ln(X
שימו לב שהגרף מתעקם באותו האופן שהגרף של צפיפות הראשוניים
יורד. המממם...
הצעד הסופי הוא להפוך את זה-
לשנות מ-(ln(X ל-1 חלקי(ln(X.
וכאשר נתרחק, אנחנו מוצאים בדיוק את אותה העקומה

English: 
Incredibly, the rotation
rate of a logarithmic spiral
is related to the density
of primes as follows.
We have the number of rotations.
Call this phi.
And the distance from
the center, call this r.
If we graph phi
against r and zoom out,
we see they are
related according
to the natural logarithm.
This means the natural
logarithm of the distance
is related to the
number of rotations.
The graph of the
natural logarithm
is commonly written using
the variable names y and x,
as y equals the
natural logarithm of x.
Notice the graph tapers
off in the same way
the density of primes
gradually decreases.
The final step is to invert
this by changing the y-axis to 1
divided by the natural
logarithm of x.
And when we zoom out, we find
the exact same curve generated

Polish: 
Zaskakująco, tempo obrotu spirali logarytmicznej,
jest związane z gęstością liczb pierwszych, w następujący sposób:
oznaczmy liczbę rotacji jako 'fi',
oraz odległość od centrum jako 'r',
jeśli zestawimy na wykresie fi razem z r,
widzimy, że są powiązane,
zależnością logarytmiczną.
Oznacza to, że logarytm naturalny z odległości od centrum,
jest ściśle związany z liczbą rotacji.
Wykres logarytmu naturalnego jest zazwyczaj rysowany,
z użyciem zmiennych 'y' oraz 'x',
gdzie y jest równy logarytmowi naturalnemu z x.
Zauważmy również, że wykres coraz bardziej opada, w taki sam sposób,
jak gęstość liczb pierwszych maleje.
Kluczowym krokiem jest dwrócenie tego,
zamieniając oś y, na 1/ln(x),
i kiedy oddalimy widok,
zobaczymy dokładnie tą samą krzywą,

iw: 
שמצאנו כשבדקנו את צפיפות הראשוניים.
בואו נשווה את זה בכך שנשווה את שני הגרפים:
בירוק הגרף של (Y=1/ln(X.
ובאדום הגרף של ריכוז המספרים הראשוניים.
עד ל-X.
ככל שאנחנו מתרחקים הם מתקרבים.
ככל שנתרחק הקירוב הירוק הופך יותר מדוייק.
זה ידוע בתור: "החוק האסימפטוטי של פיזור הראשוניים".
יש לנו עכשיו נוסחה, שאומרת לנו באופן מדוייק
את צפיפות הראשוניים, ללא ספירה.
הצפיפות של הראשוניים עד למספר כלשהו X
היא בערך אחת חלקי (ln(X
אז בואו נגיד שאתם צריכים לדעת את
הצפיפות של הראשוניים בין 1 ל- מאה טריליון. פשוט:
אחד לחלק ל-ln של מאה טריליון שווה ל- 32.23

Polish: 
która oznacza gęstość liczb pierwszych.
Sprawdźmy to, nakładając na siebie oba wykresy,
Na zielono mamy zaznaczoną krzywą y=1/ln(x),
podczas gdy czerwona oznacza gęstość liczb pierwszych,
aż do x.
Kiedy oddalimy widok, widać, że krzywe prawie się pokrywają,
Im bardziej oddalimy widok,
tym bardziej zielona krzywa pokrywa się z czerwoną.
Ten fakt znany jest jako,
"twierdzenie o liczbach pierwszych".
Dostajemy dzięki temu wzór, który celnie opisuje nam,
gęstość liczb pierwszych, bez ich liczenia po kolei.
Gęstość liczb pierwszych, aż do pewnego x,
jest w przybliżeniu równa 1/ln(x).
Powiedzmy więc, że chcemy znać gęstość liczb pierwszych,
w przedziale od 1 do 100 trylionów. Proste.
1/ln(100 000 000 000 000) = 3.1%.

Czech: 
jako když jsme vykreslili hustotu prvočísel.
Ověřme si to přiložením
obou grafů k sobě.
Zelená křivka znázorňuje y = 1/(ln x),
červená hustotu prvočísel menších než ‚x‘.
Jak se vzdalujeme,
křivky se přibližují.
Když jdeme k větším číslům,
zelená křivka je lepším odhadem červené.
Tomu se říká
„asymptotický zákon o rozložení prvočísel“.
Dostali jsme rovnici,
která nám přesně řekne,
jaká je hustota prvočísel - bez počítání.
Hustota prvočísel menších
než přirozené číslo ‚x‘
je přibližně 1/(ln x).
Řekněme, že potřebujeme zjistit hustotu
prvočísel mezi 1 a 100 biliony. Hračka.
1/ln(100 000 000 000 000) = 3.1 %.

English: 
when we plot the
density of primes.
Let's confirm this by
overlapping the two plots.
In green is a graph
of the line y equals 1
over the natural logarithm of x.
And in red is the plot of
prime number density up to x.
As we zoom out, they
approach each other.
The further we zoom
out, the more accurate
the green estimate becomes.
This is known as
the asymptotic law
of distribution
of prime numbers.
We now have a formula
to accurately tell us
the density of primes
without counting.
The density of primes up to some
integer x is approximately 1
divided by the natural
logarithm of x, or ln(x).
So let's say you need to
know the density of primes
between one and 100 trillion.
Simple.
1 divided by ln of 100
trillion equals 3.1%.

Czech: 
Porovnejme výsledek
s opravdu spočítanými prvočísly,
kterých je 3,2 %.
To se liší jen o 0,1 %.
A jak ověřujeme větší a větší čísla,
rozdíl se blíží k nule.
Uvědomte si, že můžeme tento
vztah pro hustotu prvočísel
použít k odhadu počtu prvočísel
menších než ‚x‘.
Počet prvočísel je plocha
pod křivkou hustoty,
což lze zjednodušit, pokud
hustotu považujeme za konstatní.
Počet prvočísel se rovná
součinu velikosti a hustoty
neboli x / (ln x).
A to je prvočíselná věta.
Zde vidíte modrou křivku
y = x / (ln x)
a žlutou křivku, která vyjadřuje
skutečný počet prvočísel.
Když graf oddálíme, tyto křivky
se v nekonečnu nakonec spojí v jednu.
A to je vše. Máme rovnici,
která nám přibližně předpoví,

English: 
Compare this to
the actual result
from counting all
primes, which is 3.2%.
This is off by 0.1%, and as
we check larger and larger
numbers, the difference
approaches 0.
Realize now that we can use
this formula for prime density
to estimate the number
of primes up to x.
The number of primes is the
area under the density curve
for which we can simplify by
assuming density is constant.
So number of primes
equals size times density,
or x divided by ln(x).
This is the prime
number theorem.
Here is a graph of y equals
x divided by ln(x) in blue.
And in yellow is a plot of
an actual count of primes.
Notice as we zoom out,
these lines eventually
overlap as we look to infinity.
And that is it.
We have a formula which tells
us approximately how many primes

iw: 
בערך 3.223%, נשווה את זה לאחוז
האמיתי, שאליו מגיעים אם סופרים את הראשוניים, שהוא 3.2%
יש סטייה של פחות מ- 0.1%, ועבור מספרים גדולים
יותר ויותר, הסטייה שואפת ל-0.
תוכלו להבין שאנחנו יכולים להשתמש בנוסחה הזו עכשיו,
כדי למצוא את מספר הראשוניים עד ל-X
המספר הוא השטח מתחת לעקומת הצפיפות, שאותו ניתן לפשט
בכך שנניח שהצפיפות קבועה, מספר הראשוניים שווה
לגודל כפול הצפיפות- או X חלקי (ln(X
זה משפט המספרים הראשוניים.
הינה גרף שבו Y שווה ל-X חלקי (ln(X בכחול,
ובצהוב יש גרף של ספירה ממש, של המספרים הראשוניים.
ככל שנתרחק, הגרפים בסופו של דבר מתלכדים.
וזהו זה!
יש לנו נוסחה שאומרת לנו בערך כמה

Polish: 
Porównajmy to, z dokładnym wynikiem,
otrzymanym podczas zliczania tych liczb,
który wynosi 3.2%.
Różnica to zaledwie 0.1%.
Kiedy sprawdzamy coraz większe liczby,
różnica ta dąży do zera.
Zauważmy teraz, że możemy użyć
tego wzoru na gęstość liczb pierwszych,
do oszacowania liczby liczb pierwszych mniejszych niż pewne x.
Liczba ta jest równa polu pod
wykresem gęstości,
które to możemy uprościć,
przyjmując, że gęstość jest stała.
A więc liczba liczb pierwszych jest równa x pomnożone przez gęstość,
czyli x/ln(x).
I to jest właśnie twierdzenie o liczbach pierwszych.
Na tym rysunku mamy wykres y=x/ln(x) zaznaczony na niebiesko,
a na żółto zaznaczony jest wykres,
dokładnej liczby liczb pierwszych.
Gdy znowu oddalimy widok,
oba wykresy pokrywają się, gdy patrzymy w stronę nieskończoności.
I to by było na tyle.
Mamy wzór, który mówi nam w przybliżeniu,
ile jest liczb pierwszych, mniejszych niż dowolna wartość,

Czech: 
kolik je prvočísel menších
než nějaká hodnota – a bez počítání.
Kupříkladu bychom chtěli vědět,
kolik je prvočísel menších než 100 bilionů.
100 bilionů děleno přirozeným
logaritmem 100 bilionů = 3,1 bilionu.
Porovnejme to se skutečným
počtem - 3,2 bilionu.
Odpověď je z více než 96,87 procent přesná –
dokonce i u takto
relativně malých čísel.
Zopakujme si to:
Pokud hledáme až po nějaké číslo ‚x‘,
hustota prvočísel činí přibližně 1 / (ln x)
A počet prvočísel je přibližně x / ln(x).
To je prvočíselná věta.

iw: 
ראשוניים יש עד לערך מסויים, ללא צורך בספירה.
אז לדוגמה, אם היינו צריכים לדעת את מספר הראשוניים עד למאה טריליון,
מאה טריליון חלקי הלוגריתם הטבעי של מאה טריליון שווה ל-3.2 טריליון.
בהשוואה למספר האמיתי שהוא 3.2 טריליון בערך, זה דיוק של 99.996875 %
אפילו בהיקף היחסית קטן הזה.
אז לסיכום: בהינתן היקף חיפוש עד
למספר X, הצפיפות של הראשוניים היא בערך
1 חלקי (ln(X
ומספר הראשוניים הוא בערך
x לחלק ל- (ln(X
זה משפט המספרים הראשוניים.

English: 
there are up to any
value, no counting needed.
For example, let's
say we need to know
the number of primes
less than 100 trillion.
100 trillion divided by the
natural log of 100 trillion
equals 3.1 trillion.
Compare this to the actual
count, which is 3.2 trillion.
This is over 99.99%
accurate, even
at this relatively small scale.
So to recap, given a search
size up to some integer x,
the prime density is
about 1 divided by ln(x).
And the number of primes is
about x divided by ln(x).
This is the prime
number theorem.

Polish: 
bez ich bepośredniego zliczania.
Dla przykładu, powiedzmy, że chcemy wiedzieć ile jest
liczb pierwszych mniejszych niż 100 trylionów.
100 trylionów podzielone przez
logarytm naturalny z 100 trylionów, równa się 3.1 tryliona
Porównajmy to do dokładnego wyniku,
który wynosi 3.2 tryliona.
Dokładność wynosi ponad 99.99%,
nawet na tą relatywnie małą skalę.
Reasumując:
Dla danego ograniczenia górnego x,
gęstość liczb pierwszych na przedziale od 1 do x wynosi 1/ln(x),
a ich ilość wynosi w przybliżeniua x/ln(x).
To jest właśnie twierdzenie o liczbach pierwszych.
