
Korean: 
여기에 점이 있다고 해봅시다
그 점이 이러한 1차원 위치에 있다고 하고
t라고 주어진 시간에 대한
함수식에 의해 점이 움직인다고 합시다
그 점의 좌표는 여기에 쓰여있는 것과 같습니다
여기에서 영상을 잠시 멈춰주세요
그리고 평균 가속도가 얼마인지 구해보세요
이 점이 이동한 닫힌 구간
t가 1일 때부터 t가 2일 때까지 말이죠
이게 뭔지 아시겠나요?
이것은 뭐와 같을까요?
여러분이 시도했다고 가정하고
여러분이 가장 먼저 깨달아햐 하는 것은
우리가 분명히 알지 못하는
함수의 평균값을 구하려 한다는 겁니다
우리는 위치에 대한 함수는 알지만
가속도에 대한 함수는 알지 못합니다
그러나 다행히도
속도함수는 시간에 대해 표현되는
위치함수를 미분함으로써 알 수 있습니다
위치함수를 미분함으로써 알 수 있습니다
가속함수는 이를 두 번
미분함으로써 알 수 있습니다
이 구간에서의 평균값을 구해야 합니다

Portuguese: 
Considere que temos uma 
partícula
viajando em uma dimensão
com posição igual
à função dada, 
que é t ao cubo mais dois sobre
t ao quadrado.
O que eu gostaria que você fizesse,
é pausar o vídeo.
E tentar descobrir qual é
a aceleração média da partícula
sobre este intervalo que
vai de t igual a um até t igual a dois.
Quanto que isso vai ser?
Admitindo que você tentou,
a primeira coisa que você notou
é que estamos tentando achar
o valor médio
de uma função que
ainda não temos.
Sabemos a função de posição,
mas não a de aceleração.
Mas felizmente, também sabemos que 
a aceleração
é a derivada da velocidade com o tempo,
que é a derivada da posição com o tempo.
Então a aceleração
é a segunda derivada disso.
E então acharemos o
valor médio sobre esse intervalo.
Vamos lá.

Thai: 
สมมุติว่าเรามีอนุภาค
ที่เดินทางในหนึ่งมิติ และตำแหน่งเป็นของมัน
เป็นฟังก์ชันของเวลา กำหนดโดย t
ยกกำลัง 3 บวก 2 ส่วน t กำลังสอง
สิ่งที่ผมอยากให้คุณทำ คือหยุดวิดีโอนี้
แล้วหาว่าความเร่งเฉลี่ยของอนุภาค
บนช่วง ช่วงปิดเป็นเท่าใด
จาก t เท่ากับ 1 ถึง t เท่ากับ 2
นี่คืออะไร?
มันจะเท่ากับอะไร?
ถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ อย่างแรกที่คุณ
อาจสังเกตคือว่า เราพยายามหาค่าเฉลี่ย
ของฟังก์ชันที่เราไม่รู้โดยตรง
เรารู้ฟังก์ชันตำแหน่ง
แต่เราไม่รู้ฟังก์ชันความเร่ง
แต่โชคดี เรารู้ว่าฟังก์ชันความเร่ง
คืออนุพันธ์เทียบกับเวลาของฟังก์ชันความเร็ว
ซึ่งก็คืออนุพันธ์เทียบกับ
เวลาของฟังก์ชันตำแหน่ง
ฟังก์ชันความเร่งคืออนุพันธ์อันดับสองของตัวนี้
เราต้องหาค่าเฉลี่ยตลอดช่วงนี้

English: 
- [Voiceover] Let's say
that we have a particle
that's traveling in one
dimension, and its position
as a function of time is given as t
to the third power plus
two over t-squared.
What I would like you to
do is pause this video
and figure out what the
average acceleration is
of this particle over the
interval, the closed interval,
from t is equal to one
to t is equal to two.
What is this?
What is this going to be equal to?
Assuming you've given a
go, and the first thing you
might have realized is we're
trying to get the average
value of a function that we
don't know explicitly at.
We know the position function
but not the acceleration function.
But luckily, we also know
that the acceleration function
is derivative with respective
time of the velocity function
which is the derivative with respect
to time of the position function.
The acceleration function is
the second derivative of this.
We have to just find its average
value over this interval.

Bulgarian: 
Да кажем, че имаме частица,
която се движи в едно измерение,
и нейната позиция
като функция от времето
е дадена като
(t^3 + 2)/t^2.
Препоръчвам ти да
спреш това видео
и да определиш средното
ускорение
на частицата в този интервал,
затворен интервал
от t = 1 до t = 2.
Колко е това?
На колко ще бъде равно?
Предполагам, че опита,
а първото нещо, което
вероятно разбра, е, че опита 
да намериш средната стойност
на функция, която не
знаем съвсем явно.
Знаем функцията на местоположението,
но не и функцията на ускорението.
За щастие знаем, че
функцията на ускорението
е производна спрямо времето
на функцията на скоростта,
която е производна
спрямо времето
на функцията на 
местоположението.
Функцията на ускорението е
втора производна от това.
Просто трябва да намерим
средната ѝ стойност в този интервал.

Thai: 
ลองทำกันดู
ลองหาอนุพันธ์ของตัวนี้สองครั้ง
แต่ก่อนที่เราจะทำ ขอผมเขียนอันนี้ใหม่
มันจะหา
อนุพันธ์ได้ง่ายกว่าหน่อย
ถ้าเรานำสองเทอมในตัวเศษมา
แล้วหารมันด้วย t กำลังสอง เราจะได้ t
กำลัง 3 หารด้วย t กำลังสอง ก็คือแค่ t
แล้ว 2 หารด้วย t กำลังสอง เราเขียน
มันได้บวก 2t ยกกำลังลบ 2
ทีนี้ ลองหาอนุพันธ์กัน
ฟังก์ชันความเร็ว ความเร็วเป็นฟังก์ชัน
ของเวลา ก็แค่อนุพันธ์ของตัวนี้เทียบกับเวลา
มันจะเท่ากับอนุพันธ์ของ t เทียบกับ t ได้ 1
อนุพันธ์ของ 2t กำลังลบ 2
ลองดู ลบ 2 คูณบวก 2 คือลบ 4
t กำลัง, เราแค่ลดเลขชี้กำลังลง
t กำลังลบ 3
ทีนี้ เวลาหาความเร่ง
เป็นฟังก์ชันของเวลา เราแค่
หา หาอนุพันธ์ของตัวนี้เทียบกับเวลา
ความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา เท่ากับ
เราใช้สีนั้นสำหรับค่าเฉลี่ยแล้ว

Korean: 
그걸 한 번 해봅시다
이 식을 두 번 미분해봅시다
하지만 이걸 하기 전에
이 식을 다시 한 번 써보겠습니다
조금 더 알아보기 쉽게 만들기 위해서 말이죠
조금 더 알아보기 쉽게 만들기 위해서 말이죠
이 두 문자를 각각 숫자에 대입하고
이 식의 각 항을 t²로 나누면
t³은 t²으로
나누면 t가 되고
2는 t²로 나누면
2xt^(-2)이 됩니다
이제 미분을 해봅시다
속도 함수는 속도를
시간에 대해서 나타낸 것이기 때문에
미분도 시간에 대해서 해야 합니다
t를 t에 대해서 미분하면 1이 되고
2xt^(-2)을 t에 대해
미분하면
앞의 계수는 2에
지수였던 -2를 곱해 -4가 되고
지수는 원래 지수에서 하나를 뺀
t^(-3)이 되겠네요
시간에 대한 식에서
가속도를 구하기 위해서는
이 식을 시간에 대해서
다시 미분을 해야 합니다
시간에 대한 함수에서 가속도는
아 왼쪽에 있는 식과 같은 색이네요

Bulgarian: 
Да го направим, да намерим
втората производна на това.
Но преди това искам
да преработя този израз,
за да бъде по-лесен
за диференциране.
Ако разделим двата члена
в числителя
и ги разделим на t^2,
ще получим t^3,
делено на t^2, което е просто t.
После 2 делено на t^2
можем да представим като
2t на минус втора степен.
Сега да намерим производната.
Функцията на скоростта,
скоростта като функция от времето,
е просто производната на това
спрямо времето.
Производната на t
спрямо t е единица.
Производната на 2t^(–2)...
да видим, –2 по +2 е –4.
Тук просто намаляваме 
степенния показател,
t на минус трета степен.
За да намерим ускорението
като функция от времето,
намираме производната
на това спрямо времето.
Ускорението като функция
от времето е равно на...
всъщност вече използвах
цвят за средната стойност,

English: 
Let's do that.
Let's take the derivative of this twice.
But before we do that, let
me just even rewrite this.
It's just going to be a little bit
easier to differentiate it.
If we just take each of these
two terms in the numerator
and divide them by t
squared, we're going to get t
to the third, divided by
t-squared is just the t.
Then two divided by T
squared, we could write that
as plus two t to the negative two power.
Now, let's take the derivative.
The velocity function, as
the velocity as the function
of time, just the derivative
with this with respect to time.
It's going to be derivative
of t with respect to t as one.
Derivative of two t to the negative two.
Let's see, negative two times
positive two is negative four.
T to the, we just decremented
the exponent here,
t to the negative three power.
Now, to find acceleration as
a function of time, we just
find, take the derivative of
this with respect to time.
Acceleration as a function
of time is equal to,
actually it's already used
at color for the average

Portuguese: 
Vamos derivar isso duas vezes.
Mas antes disso, vou
só reescrever a função.
Vai ser um pouco melhor
pra derivar.
Se tomarmos esse dois
termos e dividirmos por t ao quadrado.
Teremos que t ao cubo dividido
por t ao quadrado é só t.
E então dois dividido por t ao quadrado,
podemos reescrever
como, mais duas vezes
t elevado a menos dois.
E agora, vamos derivar.
A velocidade como uma
função do tempo.
A derivada disso em relação
ao tempo
vai ser a derivada de t 
em relação a t, que é um.
Derivada de dois t elevado a menos dois,
vamos ver... menos dois vezes
dois é menos quatro t elevado a,
e aí diminuímos o expoente,
t elevado a menos 3.
Para achar a função
aceleração com o tempo
é só derivar isso com relação ao tempo.
Então a aceleração como função
do tempo é igual a,

Bulgarian: 
сега ще използвам различен цвят.
Ускорението като функция
от времето е равно
на производната на това спрямо t.
Производната на константата
спрямо времето не се променя,
затова то е нула.
После ето тук, – 3 по –4
е +12,
понижаваме степенния
показател на –4 степен.
Сега, за да намерим средната
стойност, просто трябва...
средната стойност е просто
определен интеграл
в този интервал,
и ще разделим това
на широчината на интервала.
Или можем да кажем, че
делим на широчината
на интервала.
Едно, върху две минус едно,
това се опростява до 1.
По определен интеграл
в този интервал от 1 до 2 от a(t).
Това е 12t на минус 
четвърта степен, dt.
До какво се опростява това?
Отново, това е едно върху едно.

Thai: 
ขอผมใช้สีใหม่นะ
ความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
ก็แค่อนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ t
อนุพันธ์ของค่าคงที่เทียบกับ
เวลาจะไม่เปลี่ยนไป มันจึงเป็น 0
แล้วตรงนี้ ลบ 3 คูณ
ลบ 4 ได้บวก 12 คูณ t กำลัง
ลองลดเลขชี้กำลังเป็นกำลังลบ 4
ทีนี้ เวลาหาค่าเฉลี่ย ที่เราต้องทำตอนนี้
ค่าเฉลี่ยก็แค่หาอินทิกรัลจำกัดเขต
ของอันนี้ตลอดช่วงนี้ แล้วหารมัน
ด้วยความกว้างของช่วง
หรือเราบอกได้ว่า เราแค่หา
เราหารด้วยความกว้างของช่วง
1, ส่วน 2 ลบ 1,
และอันนี้ลดรูปเหลือ 1
คูณอินทิกรัลจำกัดเขตของช่วง
1 ถึง 2 ของ a ของ t ซึ่งก็คือ
อันนี้คือ 12t กำลังลบ 4 dt
อันนี้ลดรูปเหลืออะไร?
เหมือนเดิม นี่คือ 1 ส่วน 1

Korean: 
여기에서는 다른 색으로 하겠습니다
이 시간에 대한 함수에서 가속도는
이 식을 시간에 대해서 미분하면 됩니다
상수는 시간이 변함에 따라
변하지 않으므로 미분하면 0입니다
그리고 여기 있는 t^(-3)은
t에 대해 미분하면 계수는 12
지수는 -4가 되어 t^(-4)이 됩니다
이제 평균값을 찾을 겁니다
평균값은 어떠한 적분 구간에서의
적분값을 적분 구간의 길이로
나눈 것과 같습니다
즉 다시 말하자면
적분 값을 적분 구간의 길이로 
나누어도 같은 값이 나옵니다
1/(2-1)
간단히 정리하면 1과
적분값을 곱하면 됩니다
1부터 2까지 t에 대해 적분한 것은
방금 쓴 이 식의 값과 같습니다
이것은 어떻게 간단하게
표현할 수 있을까요?
이 식의 값은 1이기 때문에

English: 
so let me do a different color now.
Acceleration has a
function of time is just
the derivative of this with respect to t.
Derivative of a constant with respect
to time was not changing so it's a zero.
Then over here, negative three times
negative four is positive
12, times t to the,
let's decrement that exponent
to the negative four power.
Now to find the average
value, all we have to do now,
average value is essentially
take the definitive role
of this over the interval, and divide that
by the width of the interval.
Or we could say, we could take,
we can divide by the
width of the interval.
One, over two minus one,
and this also simplifies to one.
Times the definitive role of the interval.
One to two of a of t which is,
so this could be 12 t to
the negative four power d t.
What is this simplified to?
Once again, this is one over one.

Portuguese: 
na verdade como eu já usei essa cor,
vou trocá-la.
Então, a aceleração como função do tempo
é a derivada disso em relação a t.
A derivada de uma constante
ao longo do tempo
já que ela não muda, é zero.
E aqui, menos três vezes
menos quatro é doze
vezes t, diminuindo o expoente,
elevado a menos quatro.
Agora para o valor médio,
tudo que temos que fazer é
calcular a integral definida disso
sobre o intervalo e dividi-la 
pelo comprimento do intervalo.
Então, poderíamos dividir
pelo comprimento do intervalo,
um sobre dois menos um.
E tudo resume a um.
Vezes a integral definida no intervalo.
Então, de um a dois, de...
isso vai ser
doze t elevado a menos quatro dt.
Isso resume a que?
De novo, isso vai ser um.

Portuguese: 
Vamos tomar a antiderivada disso,
que, na verdade, vai acabar resultando
em t elevado a menos três
dividido por menos três,
Então, a antiderivada vai ser
bom, vai ser menos quatro t
elevado a menos três,
e já vimos isso.
Claro, se estivéssemos com
uma integral indefinida, 
teríamos que ter
uma constante, mas
na integral definida, mesmo
que colocássemos uma constante,
ela seria cancelada quando, de fato,
fizéssemos os cálculos.
Então, a antiderivada disso,
aumentamos o expoente
E então dividimos pelo
novo expoente.
Doze dividido por menos três
é menos quatro
E vamos calcular isso
de dois a um.
Então vai ser igual à...
Quando calculamos em dois,
o nosso limite superior do intervalo,

Korean: 
이 분수식은 1로 쓸 수 있고
적분 기호 안에 있는 이 식에 대해
미분의 역연산을 취해주면
t^(-3)이 되지만
이 식을 미분할 때 지수에 있던 값이
곱해진 것이기 때문에
이 식에 미분의 역연산을 취해주면
그 값은 계수는 -4,
t의 지수는 -3이 됩니다
만약 이게 부정적분이었다면
뒤에 어떤 상수를 붙여야 했겠지만
이 식은 정적분이므로
여기에 상수를 붙이면
계산하는 과정에서 상수가 상쇄됩니다
실제로 계산을 해서 나오는 값에서
t의 계수는
적분 기호 안에 있는 식의 계수를
그 식의 지수로 나눈 값입니다
12/(-3)=-4 입니다
그리고 -4xt의^(-3)을
1부터 2까지 적분을 하면
2가 적분 구간의 위 쪽에 있으므로
t에 2를 대입한 값인

English: 
That's just going to be one.
We take the antiderivative of this.
Let me just, so this
is going to be equal to
the antiderivative of this
is, so we go t to the negative
three power but we
divide by negative three.
An antiderivative of this
is going to be, if we don't
take that, an antiderivative
is going to be negative four
t to the negative three power,
and we saw that over here.
Obviously, if you were really
just taking an in-definitive
role, we would have to
put some concept here.
But in the definitive role,
if we put a concept here,
Assuming the same concept
that we get canceled out
when you actually do a
calculation, but the entire
derivative of this, we
increment the exponent,
and then we divide by that new exponent.
Twelve divided by negative
three is negative four.
We are going to evaluate
that from two and that one.
This is going to be equal to,
when we evaluated it at two
at the upper bound of our
intervals, it could be

Bulgarian: 
Остава просто едно.
Търсим примитивната 
функция на това.
Това ще бъде равно на
примитивната функция на това,
което е t на минус трета степен,
като делим на минус три.
Примитивната функция на това 
ще бъде, като разделим тук,
примитивната функция 
ще бъде –4t
на минус трета степен,
което видяхме ето тук.
Очевидно, ако търсим
неопределен интеграл,
трябва да сложим
някаква константа тук.
Но ако сложим константа
в определения интеграл,
приемаме, че това е
константа, която сме унищожили,
когато пресмятаме неговата стойност.
Крайният резултат от интегрирането е,
че увеличаваме степенния
показател,
и после делим на
новия степенен показател.
12 делено на –3 е равно на –4.
Можем да изчислим това
за едно и за две.
Това ще бъде резултатът,
когато го изчислим за две,
горната граница на интервала,
ще получим

Thai: 
มันก็แค่ 1
เราหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้
ขอผม อันนี้จะเท่ากับ
ปฏิยานุพันธ์ของอันนี้ คือ เราได้ t กำลังลบ
3 แต่เราหารด้วยลบ 3
ปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้จะเท่ากับ ถ้าเรา --
ปฏิยานุพันธ์จะเท่ากับลบ 4
t ยกกำลังลบ 3 และเราเห็นไปตรงนี้แล้ว
แน่นอน ถ้าคุณอยากหาอินทิกรัล
ไม่จำกัดเขต เราก็ใส่ค่าคงที่ตรงนี้ได้
แต่ในอินทิกรัลจำกัดเขต ถ้าเราใส่ค่าคงที่ตรงนี้
ค่าคงที่เดียวกัน เราจะได้ค่าตัดกัน
เวลาเราคำนวณ แต่ปฏิยานุพันธ์
ของอันนี้ เราเพิ่มเลขชี้กำลัง
แล้วเราหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
12 หารด้วยลบ 3 คือลบ 4
เราจะหาค่ามันที่ 2 กับ 1
อันนี้จะเท่ากับ เมื่อเราหาค่ามันที่ 2
ที่ขอบบนของช่วง มันจะ

English: 
negative four times two to
the negative three powers.
It's negative four times, what is that?
Two, that's one over to
the third of times 1/8,
is one way to think about that.
Then we are going to have
minus this evaluated one.
Minus negative four times
t to the negative three
of one to the negative three is just one.
This is going to be
negative four times one.
This is going to be equal to,
or really in the homestretch now,
this is equal to, this part right
over here, is negative 1/2.
This is negative 1/2, and this part
right over here is positive four.
Positive four minus 1/2.
We could either write
that as three and a half,
or if we wanted to write
that as an improper fraction,
we could write this as 7/2.
The average value of our acceleration
over this interval is 7/2.
If this position was given a
meters and time was in seconds,
then this would be 7/2
meters per seconds squared,

Korean: 
-4x2^(-3)을 곱한 값인
-4와
2^(-3)인 1/8을 곱한 값에서
2^(-3)인 1/8을 곱한 값에서
이 식에 1을 대입한 값을 빼줘야 합니다
-4와 1^(-3)인 1을 곱해야 하므로
-4와 1^(-3)인 1을 곱해야 하므로
-4x1을 빼줘야 합니다
그리고 그 값은
그리고 그 값은
여기 왼쪽에 있는 값은
-1/2이 되고
이 오른쪽에 있는 값은
4가 되므로
4-1/2이고
3과 1/2이라는 답을 얻을 수 있습니다
그리고 이 값을 가분수로 적으면
7/2라는 값이 나옵니다
따라서 이 적분을 통해 구한
가속도의 평균값은 7/2입니다
만약 위치가 초에 대한
미터로 주어졌다면
7/2m/s²가

Thai: 
เป็นลบ 4 คูณ 2 กำลังลบ 3
มันคือลบ 4 คูณ นั่นคืออะไร?
2, นั่นคือ 1 ส่วน 2 กำลัง 3, คูณ 1/8
คิดอย่างนั้นก็ได้
แล้วเราจะได้ลบตัวนี้หาค่าที่ 1
ลบลบ 4 คูณ t กำลังลบ 3
1 กำลังลบ 3 ก็แค่ 1
อันนี้จะเท่ากับลบ 4 คูณ 1
อันนี้จะเท่ากับ
ถึงเส้นชัยแล้ว
อันนี้เท่ากับ ส่วนนี่ตรงนี้
เท่ากับลบ 1/2
นี่คือลบ 1/2 และส่วนนี่
ตรงนี้คือบวก 4
บวก 4 ลบ 1/2
เราเขียนมันเป็น 3 1/2 ได้
หรือถ้าเราอยากเขียนเป็นเศษส่วนไม่แท้
เราก็เขียนได้เป็น 7/2
ค่าเฉลี่ยของความเร่ง
บนช่วงนี้คือ 7/2
ถ้าตำแหน่งนี้ให้มาเป็นเมตร 
และเวลาให้มาเป็นวินาที
แล้วอันนี้จะเป็น 7/2 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง

Bulgarian: 
–4 по 2 на минус трета степен.
Това е – 4 по... колко е това?
Това е 1 върху 2^3, което е 1/8,
това е един
начин да го сметнем.
После минус това, изчислено за 1.
Минус –4 по t на минус трета степен.
1 на минус трета степен е 1.
Значи това е –4 по 1.
това е равно на –
вече сме на самия финал –
това е равно на, тази част тук
това е –1/2.
Това е –1/2, а тази част тук
това е +4.
+4 минус 1/2.
Можем да го запишем 
като 3 и 1/2, или
можем да го запишем като 
неправилна дроб,
като 7/2.
Средната стойност 
на ускорението
в този интервал е 7/2.
Ако тази позиция е дадена в метри
и времето в секунди,
това ще бъдат 7/2 метра 
в секунда на квадрат,

Portuguese: 
vai ser menos quatro vezes dois
elevado a menos três.
Então, é menos quatro vezes 
um sobre dois ao cubo,
ou um oitavo, como podemos pensar.
E vamos subtrair isso calculado em um.
Então menos, menos quatro vezes 
t elevado a menos três.
Um elevado a menos três é um,
então isso vai ser menos quatro vezes um.
E isso vai ser, estamos
numa parte simples agora,
vai ser essa parte aqui, menos um meio.
Então isso é menos um meio.
E essa parte é quatro.
Então, quatro menos um meio,
poderíamos escrever como 
três e um meio.
Ou se quiséssemos escrever
como uma fração imprópria, 
poderíamos escrever como sete meios.
Então a aceleração média 
no intervalo é sete meios.
Se a posição foi dada em metros 
e o tempo em segundos,
isso seria sete meios de metros
por segundo ao quadrado,

Thai: 
คือความเร่งเฉลี่ยระหว่างเวลา
1 วินาทีกับเวลา 2 วินาที

English: 
is the average acceleration between time
in one second and time at two seconds.

Bulgarian: 
средното ускорение между
t = 1 секунда и t = 2 секунди.

Korean: 
1초부터 2초까지의
평균 가속도가 됩니다

Portuguese: 
o que seria a aceleração entre os tempos
um segundo e dois segundos.
[Legendado por: Luís Eduardo]
