
Korean: 
안녕 모두들!
오늘 챕터사이 각주 분량의 짧은 내용을 가져왔어.
지금까지 선형변환에 대해서 얘기했는데,
단지 2차원벡터에서 2차원벡터로 변환되는 것만 얘기했었어.
2x2 행렬만 다뤘었지.
혹은 3차원벡터에서 3차원벡터로 이동하는 
3x3 행렬을 다루거나 말야.
하지만 몇몇 리플을 보니 
비정사각 행렬에 대한 질문이 올라오더라고.
그래서 잠깐 시간을 내서 
기하학적으로 이 행렬들이 어떤지 보여주려고 해.
이 시리즈의 지금쯤이면,
넌 이미 충분한 배경지식을 가지게 되서
이 질문에 대해 스스로 찾아볼만한 단계일거야.
난 여기선 약간의 멘탈 모멘텀만을 주려고 해.
차원들 사이에서의 변환들을 얘기하기에 확실히 괜찮은 것 같아.
2차원 벡터를 3차원 벡터로 변환하는 것들이야.
다시말하지만, 선형(linear) 이라는 것은
격자선이 평행하고 균등간격을 가질때야,
그리고 원점은 계속 원점이지.

Spanish: 
"En este quiz, les pedí que hallaran el determinante de una matriz de 2x3. Algunos de ustedes, para asombro mío, en realidad intentaren hacerlo".
- (Obtenido de: mathprofessorquotes.com, no aparece nombre).
¡Hola a todos!
Tengo otro pie de página breve entre capítulos hoy.
Cuando he hablado de transformaciones lineales hasta ahora
sólo he hablado de transformaciones de vectores 2-D a otros vectores 2-D
representadas por matrices de 2x2,
o de vectores 3-D a otros vectores 3-D
representadas por matrices de 3x3.
Pero varios comentarios han prenguntado sobre matrices no cuadradas,
así que pensé tomarme un momento para mostrar lo que significan geométricamente.
A estas alturas en la serie, en realidad ya tienen casi todo el conocimiento necesario para reflexionar una pregunta como esta por su cuenta,
pero los guiaré un poco sólo para adarles un poco de impulso mental.
Es perfectamente razonable hablar de transformaciones entre dimensiones,
como una que tome vectores 2-D 
y los lleve a vectores 3-D.
De nuevo,
lo que hace a alguna de estas lineal
es que las cuadrículas se mantienen paralelas y equidistantes
y que el origen es mapeado al origen.

Chinese: 
嘿 大家好！
今天我又带来了一个简短的补充说明视频
目前我所讨论的线性变换
要么是用2×2矩阵来表示的二维向量到二维向量的变换
要么是用3×3矩阵来表示的三维向量到三维向量的变换
但是有评论询问关于非方阵的问题
所以我觉得我需要花些时间说说它们的几何含义
就目前的进度而言，你实际上已经拥有大部分背景知识
能够独立思考类似的问题了
不过我还是讨论一下这部分内容，作为精神上的小小鼓励
讨论不同维数之间的变换是完全合理的
比如一个二维向量到三维向量的变换
同之前一样，如果网格线保持平行且等距分布，并且原点映射为自身，就称它是线性的

German: 
Hallo alle miteinander!
Ich habe noch eine kurze Fußnote für Sie dazwischen
Kapitel heute.
Als ich über lineare Transformation sprach
bisher,
Ich habe nur wirklich über Transformationen gesprochen
von 2-D-Vektoren zu anderen 2-D-Vektoren,
dargestellt mit 2 mal 2 Matrizen;
oder von 3-D-Vektoren zu anderen 3-D-Vektoren,
dargestellt mit 3 mal 3 Matrizen.
Aber mehrere Kommentatoren haben nach Nicht-Quadrat gefragt
Matrizen,
Also dachte ich, ich würde mir einen Moment Zeit nehmen, um es nur zu zeigen
mit diesen Mitteln geometrisch.
Inzwischen in der Serie haben Sie tatsächlich die meisten
des Hintergrunds, den Sie brauchen
um über eine solche Frage nachzudenken
dein eigenes.
Aber ich werde anfangen darüber zu reden, nur um
gib ein wenig mentalen Schwung.
Es ist durchaus vernünftig, über Transformationen zu sprechen
zwischen den Dimensionen,
wie eine, die 2D-Vektoren zu 3D nimmt
Vektoren.
Wieder, was macht eine dieser linear

Chinese: 
嗨，大家好！
今天在章節之閒的我給你們一個很簡單的注解。
至今已來在我講到綫性變換的時候，
其實我只講到以2 x 2矩陣所代表著的
一些2-維矢量變換到另一些2-維矢量；
或者以3 x 3矩陣代表的一些3-維矢量變換到其它的矢量。
而有好多人問起非正方的矩陣，
所以我想就花些時間來顯示它們的幾何意義。
在這個系列裏的現在，你們實際上已經有了你們所需要的大多數的背景知識
你們自己開始來考慮像這種問題。
而我開始講一些，不過是給一點思考上的動力。
在不同的維數之間來講講變換是完全合理的，
比方說把一些2-維的矢量變到一些3-維的矢量
再提一下，使變換是綫性的就是

Czech: 
V testu jsem vám dal za úkol spočítat determinant obdélníkové matice a k mému pobavení se o to někteří z vás skutečně pokoušeli. -- Neznámý profesor
Ahoj všichni!
Dneska pro vás mám další krátkou poznámku mezi kapitolami.
Když jsem doposud mluvil o lineárních zobrazeních (transformacích),
ukazoval jsem jenom zobrazení, která mění 2D vektory na jiné 2D vektory,
reprezentovaná maticemi 2x2;
nebo 3D vektory na 3D vektory, která reprezentují matice 3x3.
Ale několik posluchačů se v komentářích ptalo na matice, které nejsou čtvercové,
tak jsem si říkal, že je čas si taková zobrazení taky geometricky ukázat.
Teď už byste z této série měli získat dost znalostí na to, abyste
si o takových otázkách mohli přemýšlet sami.
Ale něco málo o tom řeknu, abych vám poskytnul odrazový můstek.
Dává naprostý smysl mluvit o zobrazeních mezi různými prostory,
která třeba mění 2D vektory na 3D vektory.
Vlastnost linearity opět znamená,

English: 
Hey, everyone!
I've got another quick footnote for you between
chapters today.
When I talked about linear transformation
so far,
I've only really talked about transformations
from 2-D vectors to other 2-D vectors,
represented with 2-by-2 matrices;
or from 3-D vectors to other 3-D vectors,
represented with 3-by-3 matrices.
But several commenters have asked about non-square
matrices,
so I thought I'd take a moment to just show
with those means geometrically.
By now in the series, you actually have most
of the background you need
to start pondering a question like this on
your own.
But I'll start talking through it, just to
give a little mental momentum.
It's perfectly reasonable to talk about transformations
between dimensions,
such as one that takes 2-D vectors to 3-D
vectors.
Again, what makes one of these linear

Arabic: 
مرحبا جميعا!
لقد حصلت على حاشية سريعة أخرى بينكما
الفصول اليوم.
عندما تحدثت عن التحول الخطي
بعيد جدا،
لقد تحدثت حقا فقط عن التحولات
من ناقلات ثنائية الأبعاد إلى ناقلات ثنائية الأبعاد أخرى ،
ممثلة بمصفوفات 2 × 2 ؛
أو من ناقلات ثلاثية الأبعاد إلى متجهات ثلاثية الأبعاد أخرى ،
ممثلة مع مصفوفات 3-بواسطة 3.
لكن العديد من المعلقين سألوا عن غير مربع
المصفوفات،
لذلك فكرت أن أتوقف لحظة لأعرض فقط
مع تلك الوسائل هندسيا.
الآن في هذه السلسلة ، لديك في الواقع أكثر من غيرها
من الخلفية التي تحتاجها
لبدء التفكير في سؤال كهذا على
بنفسك.
ولكن سأبدأ الحديث من خلال ذلك ، فقط
تعطي القليل من الزخم العقلي.
من المعقول تماما التحدث عن التحولات
بين الأبعاد
مثل التي تأخذ المتجهات ثنائية الأبعاد إلى ثلاثية الأبعاد
ثلاثة أبعاد.
مرة أخرى ، ما يجعل واحدة من هذه الخطية

Turkish: 
Bu sınavda sizden 2 x 3 lük matrisin determinantını almanızı istedim. Bazılarınız gerçektende bunu yapmaya çalıştı ve beni güldürdü.
Herkese Merhaba! Diğer bölüme geçmeden önce sizin için kısa bir dipnotum var
Şu ana kadar lineer dönüşümler hakkında konuşurken
sadece 
2 x 2 matrisler tarafından temsil edilen
2-B vektörlerin başka 2-B vektörlere dönüşümünden ve
3 x 3 matrislerin temsil ettiği 3-B vektörlerin başka 3-B vektörlere dönüşümünden bahsettim.
Ancak birçok kişi kare olmayan matrisler hakkında soru sorunca
bende bunun geometrik anlamını kısaca gösterebileceğimi düşündüm
Aslında seride şuana kadar bunun gibi soruları kendi başınıza irdelemek için
gerekli olan ön bilginin çoğuna sahipsiniz
Ama küçük bir mental momentum vermek için doğrudan bunun hakkında konuşacağım
Boyutlar arasındaki dönüşümlerden bahsetmek gerçekten çok mantıklı
mesela 2-B vektörleri 3-B vektörlere dönüştüren dönüşümler gibi
Tekraren, bu dönüşümlerin lineer  (doğrusal) olması için

Polish: 
"W quizzie poprosiłem Was o znalezienie wyznacznika macierzy o wymiarach 2 na 3. Część z Was, co bardzo mnie rozbawiło,  faktycznie próbowała to zrobić" - (z mathprofessorquotes.com, nazwisko nieznane)
Witajcie, przedstawię Wam dzisiaj krótki przypis między rozdziałami
Dotychczas, gdy mowiłem o przekształceniach liniowych,
to w zasadzie jedynie o przekształceniach dwuwymiarowych wektorów w inne dwuwymiarowe wektory,
reprezentowanych przez macierze 2x2,
bądź trójwymiarowych wektorów w inne trójwymiarowe wektory,
reprezentowanych przez macierze 3x3.
Jednak kilku komentujących zapytało o niekwadratowe macierze,
więc uznałem, że poświęce chwile aby przedstawić ich geometryczną interpretację.
W tej serii przedstawiłem Wam właściwie większość tego co trzeba wiedzieć
by spróbować pogłówkować nad pytaniem tego typu samemu.
Zacznę jednak to wyjaśniać, żeby pobudzić nieco Wasze myślenie
Jest to w pełni uzasadnione aby mówić o przekształceniach między wymiarami,
na przykład takich, które przekształcają dwuwymiarowe wektory w trójwymiarowe.
Jak wcześniej: to, co powoduje, że takie przekształcenia są liniowe,
to fakt, że linie kratki pozostają równoległe oraz równomiernie rozmieszczone,
a środek układu współrzędnych przechodzi na środek układu współrzędnych.

iw: 
"במבחן הזה, אני ביקשתי ממכם שתמצאו את הדטרמיננטה של מטריצה 2x3. חלק מכם, להנאתי הרבה, באמת ניסו לעשות זאת."
 הציטוט נלקח מ: -mathprofessorquotes.com  - ללא שם.
שלום לכולם, יש לי היום עוד הערות שוליים קצרה בין הפרקים.
כשדיברתי עד כה על טרנספורמציה לינארית,
אני רק דיברתי על טרנספורמציות מוקטורים ב-2 מימדים לוקטורים אחרים ב-2 מימדים
המיוצגים ע"י המטריצות 2 על 2.
או, מוקטורים ב-3 מימדים לוקטורים אחרים ב-3 מימדים, המיוצגים ע"י מטריצה של 3 על 3.
אבל מספר מגיבים(לסירטון) שאלו על מטריצות לא-ריבועית(מספר העמודות והשורות לא שווה),
אז חשבתי שאקח רגע ואראה לך מה משמעותן מבחינה גיאומטרית.
עד עכשיו, בסידרה כולה, יש לך את רוב הרקע הדרוש
כדי להתחיל לנסות לפתור שאלה בעצמך.
אבל אני אתחיל לדבר על זה תוך כדי, רק כדי שתקבל אתנחתא נפשית קצרה.
זה מאוד הגיוני לדבר על טרנספורמציות בין מימדים,
כאלו שלוקחות מוקטורים מ-2 מימדים לוקטורים ב-3 מימדים.
שוב, מה שהופך את אחת מהן ללינאריות

Portuguese: 
"Neste teste, pedi a vocês que calculassem o determinante de uma matriz 2x3. Alguns de vocês, para meu grande divertimento, até tentaram fazer isso."
-- Via mathprofessorquotes.com, sem nome
Olá, pessoal!
Eu tenho outra nota rápida para vocês hoje 
 antes do próximo capitulo.
Até agora, quando eu falei sobre transformação linear
Eu apenas falei sobre transformações de vetores 2D para outros vetores 2D,
representadas por matrizes 2x2,
ou de vetores 3D para outros vetores 3D, representadas por matrizes 3x3.
Mas diversos comentaristas perguntaram sobre matrizes não quadradas
então eu pensei em mostrar o que esses representam geometricamente.
Nesse momento da série você tem a maior parte da base necessária
para começar a pensar sobre uma questão como essa sozinho
Mas eu vou começar a falar disso, só para dar um pequeno impulso mental
É muito razoável falar sobre 
transformações entre dimensões,
como aquelas que transformam vetores 2D em vetores 3D.
Novamente, o que faz estas
 transformações serem lineares

Italian: 
Su questo quiz, ho chiesto di trovare il determinante di una matrice 2x3. Con mia grande sorpresa, alcuni di voi hanno cercato davvero di farlo.
Ciao a tutti! Oggi ho un'altra piccola annotazione in mezzo ai capitoli.
Qando ho parlato di trasformazioni lineari finora,
ho solo parlato di trasformazioni da vettori 2d ad altri vettori 2d,
rappresentate con matrici 2 per 2
o da vettori 3d ad altri vettori 3d, rappresentate con matrici 3 per 3.
Ma molti commentatori hanno chiesto delle matrici non quadrate.
Quindi ho pensato di prendere un momento, solo per mostrare cosa significano geometricamente.
A questo punto nella serie, avete già abbastanza delle conoscenze di cui avete bisogno
per iniziare a pensare riguardo domande come queste per conto vostro.
Ma inizierò a parlare riguardo questa cosa, solo per dare una piccola spinta mentale.
Ha perfettamente senso parlare di trasformazioni tra dimensioni,
come quelle che rendono 3d dei vettori 2d.
Di nuovo, cosa rende una di queste lineare

Arabic: 
هي أن خطوط الشبكة لا تزال متوازية ومتساوية
متباعدة ، وأن الأصل يحدد أصله.
ما صورته هنا هو مساحة الإدخال
على اليسار ، وهي مساحة ثنائية الأبعاد فقط ،
وإخراج التحول هو مبين
على اليمين.
السبب في أنني لا أقوم بعرض المدخلات
على المخرجات ، كما أفعل عادة ،
ليس مجرد كسلان للرسوم المتحركة.
يجدر التأكيد على مدخلات ناقلات 2-D
حيوانات مختلفة جدا من هذه ثلاثية الأبعاد
مخرجات المتجهات ،
الذين يعيشون في منفصلة منفصلة تماما
الفراغ.
ترميز واحد من هذه التحولات مع
مصفوفة هي حقا نفس الشيء
ما فعلناه من قبل.
نظرتم إلى حيث كل ناقلات الأراضي أساس
واكتب إحداثيات نقاط الهبوط
كأعمدة من المصفوفة.
على سبيل المثال ، ما تبحث عنه هنا
خرج من التحول
يأخذ i-hat للإحداثيات (2 ، -1 ،
-2) و j-hat للإحداثيات (0 ، 1 ، 1).
لاحظ، وهذا يعني أن المصفوفة ترميز لدينا
لديه 3 صفوف و 2 عمود ،
والتي ، لاستخدام المصطلحات القياسية ، يجعل
انها مصفوفة 3 في 2.

Korean: 
내가 여기 그림으로 보여주는 것은 
입력값이 왼쪽, 즉 2차원 공간이고,
변환의 결과값은 오른쪽에 보여주고 있어.
여기서 내가 그동안처럼 
입력을 출력으로 변하는 동영상을 보여주지 않는 이유는
애니메이션을 만들기 귀찮기 때문이 아니야.
2차원 입력벡터가 3차원 출력벡터와 
다르다는 것을 강조하기 위해서야.
둘은 완전히 다른, 연결되지 않는 공간에 존재하는 벡터야.
이런 변환행렬은 우리가 여지껏 다뤘던 행렬과는 상당히 달라.
기저벡터의 움직임을 살펴보자.
행렬의 열들이 그 좌표값이 되겠지.
예를들어, 여기 보이는 것은 변환의 결과야.
(1,0) 에서 i-hat 은 (2,-1,-2) 가 되고, 
(0,1) 에서 j-hat 은 (0,1,1) 이 돼.
주목할 점은 3 행, 2 열로 된 행렬이라는 거야.
표준 용어를 사용하자면,
3x2 행렬이라고 표현해.

Polish: 
Po lewej stronie zobrazowałem przestrzeń wejściową (dziedzinę), która jest zwykłą przestrzenią dwuwymiarową,
a po prawej wyjście (zbiór wartości) przekształcenia.
Powodem, dla którego tym razem nie pokażę jak wartości wejściowe zamieniają się w wyjściowe,
nie jest jedynie moje lenistwo.
Warto podkreślić, że dwuwymiarowe wektory na wejściu,
to zupełnie inne zwierzątka niż te trójwymiarowe wektory na wyjściu,
żyjące w dwóch zupełnie różnych, niepołączonych ze sobą przestrzeniach.
Przedstawienie takiego przekształcenia za pomocą macierzy,
polega dokładnie na tym samym, co robiliśmy wcześniej
Patrzysz gdzie wyląduje każdy z wektorów bazowych
i zapisujesz współrzędne miejsc, w których wylądują w kolumnach macierzy.
Na przykład: to co tu widzisz, to wyjście przekształcenia,
które i_z_daszkiem przekształca na (2,-1,2) a j_z_daszkiem przekształca na (0,1,1)
Zauważ, że to oznacza, ze macierz reprezentująca nasze przekształcenie
ma 3 wiersze i 2 kolumny,
co zgodnie ze standardowymi oznaczeniami, czyni ją macierzą 3x2.

Chinese: 
網格保持平行並均等，和原點仍舊不變。
我在這裏所畫的，左面是輸入空間，它只是一個2-維的空間，
而變換的輸出在右面。
我沒有，像通常我畫出輸入移動到輸出
的道理倒不單是懶得畫動畫。
這值得强調輸入的2-維矢量和輸出的
3維矢量可是完全不同的東西，
它們存在於一個完全分開的，不相連的空間。
以矩陣來記錄這些變換中的一個正是和
你們以前已經做個的一樣的事。
你看著各個單位矢量所停留的地方
並把它停著的地方的坐標寫作一個矩陣的那些列。
舉個例子，在這裏你們現在看到的是一個變換的輸出
它把i-hat放到坐標(2, -1, -2)和j-hat放到(0, 1, 1).
注意，這個記錄著我們變換的矩陣有3個行和2個列，
這用標準的術語，它就是一個 3x2的矩陣。

Portuguese: 
é que as linhas da grade permanecem paralelas e uniformemente espaçadas, e que a origem se mantém na origem.
O que ilustrei aqui é o espaço de entrada à esquerda, que é o espaço bidimensional,
e a saída da transformação à direita.
A razão de não estar mostrando as entradas se movendo, como eu normalmente faço,
não é apenas preguiça de fazer a animação.
[No vídeo: "mas há preguiça também!"]
Vale enfatizar que vetores 2D são bichos bem diferentes dos vetores 3D,
que são as saídas,
vivendo em um espaço totalmente separado e descorrelacionado.
Codificar uma tal transformação com uma matriz é a mesma coisa que
fizemos antes.
Você olha onde cada vetor da base aterrissa,
e escreve as coordenadas dos vetores de aterrissagem como as colunas da matriz.
Por exemplo, o que você vê aqui é a saída de uma transformação
que leva î às coordenadas (2,1,-2) e ĵ às coordenadas (0,1,1).
Note que isso significa que a matriz codificando a transformação tem 3 linhas e 2 colunas,
o que, na terminologia padrão, faz 
dela uma matriz 3 x 2.

Czech: 
že linky mřížky zůstanou rovnoběžné s rovnoměrnými rozestupy a počátek zůstane na místě.
Tady nalevo ukazuji vstupní prostor, který je v tomto případě rovina,
a napravo ukazuji výstup ze zobrazení.
Tentokrát chybí obvyklá animace, jak se vstup přesouvá na výstup,
a ne jen proto, že bych byl líný.
Chci zdůraznit, že vstupní 2D vektory a výstupní 3D vektory jsou naprosto
rozdílná zvířátka
žijící ve svých oddělených světech.
Takové zobrazení můžeme zakódovat maticí stejně
jako jsme to dělali dřív.
Podíváme se, kam jdou bázové vektory
a souřadnice jejich obrazů napíšeme do sloupečků matice.
Teď se třeba díváme na výstup zobrazení,
které pošle 'i' na souřadnice (2, -1, -2) a 'j' na souřadnice (0, 1, 1).
To znamená, že matice kódující naše zobrazení má 3 řádky a 2 sloupečky,
strandardní maticovou terminologií bychom řekli matice 3x2.

iw: 
זה שקווי הרשת נשארים מקבילים ובמרחקים שווים זה מזה, והראשית ממפה את הראשית עצמו.
מה שתיארתי כאן הוא קלט של מרחב מצד שמאל, שהוא מרחב בעולם הדו-מימדי,
והפלט הוא טרנספורמציה שרואים אותה מצד ימין.
הסיבה שאני לא מראה את הקלטים זזים לכיוון הפלטים, כמו שאני עושה בדרך כלל,
זה לא רק עצלנות מבחינת עבודה גראפית.
זה שווה להדגיש שפלטים של וקטור דו-מימדי הן חיות מאוד שונות משל פלטים של וקטור
תלת-מימדי,
החיים במרחב המופרד לחלוטין.
קידוד של אחת הטרנספורמציות עם מטריצה הוא כמו לעשות
מה שעשינו קודם.
אתה מסתכל היכן וקטורי הבסיס נוחתים
ורושם את הנקודות של הקואורדינטות בהם הם נחתו כעמודות של המטריצה.
לדוגמא, מה שאתה מסתכל עליו כאן הוא הפלט של הטרנספורמציה
שלוקחת את i-כובע לקואורדינטות  (2-, 1- , 2) ו-j כובע לקואורדינטות (1, 1, 0).
שים לב, זה אומר שיש שלמטריצה אשר מקודדת את הטרנספורמציה - היא בעלת 3 שורות ו-2 עמודות,
אשר, במונחים סטנדרטים, הופך אותה למטריצה של 3 על 2.

Chinese: 
这里所展示的，左侧为输入空间，也就是二维空间
右侧为输出空间，也就是变换后的空间
与往常不同的是，我没有展示输入移动至输出的过程
并不只是因为懒得做动画
值得强调一点，输入的二维向量与输出的三维向量是完全不同的“物种”
它们生活在没有任何关联的空间当中
用矩阵代表这样一个变换则和之前的方法相同
找到每一个基向量变换后的位置
然后把变换后基向量的坐标作为矩阵的列
比如说，你现在看到的是一个变换后的空间
这个变换将i帽变换到坐标(2, -1, -2)，j帽变换到坐标(0, 1, 1)
注意一点，这意味着代表这个变换的矩阵是三行两列的
用术语来说，这是一个3×2矩阵

Spanish: 
Lo que muestro en la imagen acá es el espacio de entrada en la izquierda,
que es sólo el espacio 2-D,
y la salida de la transformación en la derecha.
La razón por la que no muestro la entrada moverse a la salida como hago normalmente,
no es sólo flojera
vale la pena enfatizar que los vectores 2-D de entrada son unas criaturas completamente distintas
a estos vectores 3-D de salida,
viviendo en un espacio completamente separado.
Codificar una de estas transformaciones con una matriz
es realmente lo mismo que hemos hecho antes.
Observan dónde cae cada vector base
y escriben las coordenadas de donde caigan como las columnas de una matriz.
Por ejemplo, lo que ven acá
es la salida de una transformación lleva a "i"
a las coordenadas [2,-1,-2],
y a "j" a las coordenadas [0,1,1].
Fíjense, esto quiere decir que la matriz describiendo nuestra transformación
tiene 3 filas y 2 columnas
lo cual, usando terminología estándar, la hace una matriz de 3x2.
En el lenguaje del último video

Italian: 
è il fatto che la griglia resta parallela ed equidistante, e che l'origina resta l'origine.
Qui c'è lo spazio di input a sinistra, che è solo lo spazio 2d,
e l'output della trasformazione mostrato a destra.
Il motivo per cui non mostro gli input che si muovono verso gli output, come faccio di solito,
non è solo pigrizia di animarlo.
Vale la pena enfatizzare che i vettori 2d di input sono bestie ben diverse
da questi vettori 3d di output,
che esistono in uno spazio completamente separato.
Codificare una di queste trasformazioni con una matrice è la stessa cosa
che abbiamo fatto prima:
si guarda dove va a finire ogni vettore di base
e si scrivono le coordinate del punto in cui va a finire come colonne di una matrice.
Per esempio, questo è l'output di una trasformazione
che porta i-hat alle coordinate (2, -1, 2) e j-hat alle coordinate (0, 1, 1).
Nota bene, questo significa che la matrice che codifica questa trasformazione ha 3 righe e 2 colonne,
che, per usare la terminologia standard, la rende una matrice 3 per 2.

German: 
ist, dass Gitterlinien parallel und gleichmäßig bleiben
beabstandet, und dass der Ursprung dem Ursprung zugeordnet ist.
Was ich hier abgebildet habe, ist der Eingaberaum
auf der linken Seite, die nur 2-D-Raum ist,
und die Ausgabe der gezeigten Transformation
auf der rechten Seite.
Der Grund, warum ich nicht zeige, dass sich die Eingänge bewegen
über zu den Ausgängen, wie ich es normalerweise tue,
ist nicht nur Animationsfaulheit.
Es lohnt sich, die 2D-Vektoreingänge hervorzuheben
sind sehr unterschiedliche Tiere von diesen 3-D
Vektorausgänge,
Leben in einem völlig getrennten unverbundenen
Platz.
Codierung einer dieser Transformationen mit
Eine Matrix ist wirklich genau das Gleiche wie
was wir vorher gemacht haben.
Sie sehen, wo jeder Basisvektor landet
und schreiben Sie die Koordinaten der Landeplätze
als die Spalten einer Matrix.
Was Sie hier zum Beispiel sehen, ist
eine Ausgabe einer Transformation
das bringt i-hat zu den Koordinaten (2, -1,
-2) und j-hat zu den Koordinaten (0, 1, 1).
Beachten Sie, dass dies die Matrix bedeutet, die unsere codiert
Transformation hat 3 Zeilen und 2 Spalten,
was, um Standardterminologie zu verwenden, macht
es ist eine 3-mal-2-Matrix.

Turkish: 
kılavuz çizgilerinin paralel ve eşit aralıklarla yerleştirilmiş, ve orijinin aynı yere gönderilimiş olması gerekir.
Sol tarafta gördünüz 2-Boyutlu girdi (input) uzayı
ve sol taraftaki ise dönüşümün çıktısıdır (output)
Genelde yaptığım gibi girdinin dönüşümünü/hareketlerini çıktının üzerinde göstermeme sebebim tembellik değil.
 
2-B vektör girdilerinin, 3-B vektör çıktılarından çok farklı hayvanlar olduğunu vurgulamak gerekli.
 
Onlar tamamen ayrı ve bağlantısız uzaylarda yaşıyor.
Bu dönüşüm matrislerinden birini kodlamak
daha önce yaptıklarımızla tam olarak aynı şey
Her bir baz (basis) vektörünün nereye gittiğine bakarsın
ve bir matrisin sütunları olarak, iniş noktalarının koordinatlarını yazarsın.
Örneğin, burada gördüğünüz şey
bir dönüşümün çıktısı.
i-şapka (2, -1, -2) ve j-şapka (0, 1, 1) koordinatlarını alır.
Dikkat, bu bizim kodladığımız dönüşüm matrisinin 3 satır ve 2 sütundan oluştuğunu gösterir
yani standart terminolojiyi kullanırsak
bu bir 3 x 2 matris

English: 
is that grid lines remain parallel and evenly
spaced, and that the origin maps to the origin.
What I have pictured here is the input space
on the left, which is just 2-D space,
and the output of the transformation shown
on the right.
The reason I'm not showing the inputs move
over to the outputs, like I usually do,
is not just animation laziness.
It's worth emphasizing the 2-D vector inputs
are very different animals from these 3-D
vector outputs,
living in a completely separate unconnected
space.
Encoding one of these transformations with
a matrix is really just the same thing as
what we've done before.
You look at where each basis vector lands
and write the coordinates of the landing spots
as the columns of a matrix.
For example, what you're looking at here is
an output of a transformation
that takes i-hat to the coordinates (2, -1,
-2) and j-hat to the coordinates (0, 1, 1).
Notice, this means the matrix encoding our
transformation has 3 rows and 2 columns,
which, to use standard terminology, makes
it a 3-by-2 matrix.

iw: 
בשפת הסירטון האחרון, מרחב העמודה של המטריצה,
המקום בהם כל הוקטורים נוחתים במישור הדו המימדי, נחתחים דרך הראשית של המרחב התלת-מימדי
 
אבל המטריצה הזאתי עדיין מסוג "דרגה מלאה"
מכיוון שמספר המרחבים בעמודת המרחב זהה למספר המימדים
של קלט המרחב.
אז, אם אתה רואה איפשהו מטריצה 3 על 2,
אתה יכול לדעת שיש לה פירוש גיאומטרי של מיפוי שני מימדים לתוך שלושה מימדים
מכיוון שהשתי עמודות הללו מצביעות על כך שקלט המרחב יש שני וקטורי בסיס,
ושלושת השורות מצביעים על כך שנקודות בהם הם נוחתים, עבור כל אחד משלושת וקטורי הבסיס
מתואר ע"י שלושה קואורדינטות נפרדות.
באופן דומה, אם אתה רואה מטריצה 2 על 3 עם שתי שורות ושלוש עמודות, מה אתה חושב
שזה אומר?
ובכן, שלושת העמודות מצביעות על כך שאתה מתחיל במרחב שיש לו שלושה וקטורי בסיס,
אז אנחנו מתחילים בעולם התלת-מימדי.
השתי שורות מצביעות על כך שמיקום הנחיתה של כל אחד משלושת וקטורי הבסיס
מתואר ע"י שתי קואורדינטות בלבד,

Chinese: 
用上期视频的语言来说，这个矩阵的列空间
是三维空间中一个过原点的二维平面
但是这个矩阵仍然是满秩的
因为列空间的维数与输入空间的维数相等
所以当你看到一个3×2矩阵的时候
你就明白它的几何意义是将二维空间映射到三维空间上
因为矩阵有两列表明输入空间有两个基向量
有三行表明每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述
类似的，当你看到一个两行三列的2×3矩阵时，你觉得它代表什么？
矩阵有三列表明原始空间有三个基向量
也就是说原始空间是三维的
有两行表明这三个基向量在变换后都仅用两个坐标来描述
所以它们一定落在二维空间中

Portuguese: 
Na linguagem do último vídeo, o espaço coluna desta matriz,
o plano onde todos os vetores aterrissam é um plano 2D fatiando através da origem no
espaço 3D.
Mas a matriz ainda é de posto cheio,
pois o número de dimensões nesse espaço coluna é o mesmo do número de dimensões
no espaço de entrada.
Então, se você encontrar uma matriz 3 x 2 por aí,
você sabe que tem a interpretação geométrica de mapear 2 dimensões em 3,
dado que as duas colunas indicam que o espaço de entrada tem dois vetores de base,
e as três linhas indicam os locais de aterrissagem de cada um destes vetores de base,
que são descritos com três coordenadas separadas.
Analogamente, se você encontrar uma matriz 2 x 3, com 2 linhas e 3 colunas, o que você
acha que isso significa?
Bem, as três colunas indicam que você está partindo de um espaço com três vetores de base,
então estamos partindo de três dimensões;
e as duas linhas indicam os locais onde vão parar os três vetores de base,
cada um descrito com duas coordenadas apenas,

Turkish: 
Son videonun dilinde, sütun
uzayı (column space),
yani tüm vektörlerin bulunduğu yer 3-B uzayda, 3-Boyutlu uzayı orijinden geçerek kesen 2-Boyutlu bir düzlemdir
 
Ancak matris hala tam mertebede (full rank)
çünkü sütun uzayının boyut sayısı, girdi uzayının boyut sayısı ile aynıdır.
[ ikiside 2-B lu ]
Yani, doğada 3 x 2 matris görürseniz
Bunun geometrik yorumunun
iki boyutun üç boyutta eşleştirilmesi olduğunu bilebilirsiniz
İki sütun, girdi uzayı için iki baz (basis) vektörü olduğunu gösterir ve
üç satır ise bu baz vektörlerinin gittiği 
yeri 3 ayrı koordinat ekseni kullanılarak ifade edildiğini gösterir.
 
Aynı şekilde, 2 satır ve üç sütunlu 2 x 3 lük bir matris görürsen
ne anlarsın ?
Şey, üç sütun senin 
üç temel (baz/basis) vektörle başladığını gösteriyor
yani üç boyutta başlıyoruz
ve iki satır inişe işaret ediyor.
Bu üç temel vektörün her biri
sadece iki koordinatla tanımlanır,

English: 
In the language of last video, the column
space of this matrix,
the place where all the vectors land is a
2-D plane slicing through the origin of 3-D
space.
But the matrix is still full rank,
since the number of dimensions in this column
space is the same as the number of dimensions
of the input space.
So, if you see a 3-by-2 matrix out in the
wild,
you can know that it has the geometric interpretation
of mapping two dimensions to three dimensions,
Since the two columns indicate that the input
space has two basis vectors,
and the three rows indicate that the landing
spots for each of those basis vectors
is described with three separate coordinates.
Likewise, if you see a 2-by-3 matrix with
two rows and three columns, what do you think
that means?
Well, the three columns indicate that you're
starting in a space that has three basis vectors,
so we're starting in three dimensions;
and the two rows indicate that the landing
spot for each of those three basis vectors
is described with only two coordinates,

Spanish: 
el "espacio de columna" de esta matriz,
el lugar donde "aterrizan" todos los vectores,
es un plano 2-D que corta al espacio 3-D por el origen,
pero la matriz sigue siendo de "rango completo"
dado que el número de dimensiones en este espacio de columna
es el mismo que el número de dimensiones del espacio de entrada.
Entonces, si ven una matriz salvaje por ahí,
pueden saber que tiene la interpretación geométrica
de mapear dos dimensiones a tres dimensiones,
dado que el que haya dos columnas nos indica que el espacio de entrada tiene dos vectores base
y las tres filas indican que el punto donde aterriza cada uno de esos vectores
es descrito con tres coordenadas separadas.
De la misma manera, si ven una matriz de 2x3
con dos filas y tres columnas
¿Qué creen que quiere decir?
Bueno,
las tres columnas indican que empiezan en un espacio que tiene tres vectores base
así que empezamos en tres dimensiones,
y las dos filas indican que que el lugar de aterrizaje para cada uno de esos tres vectores base,
es descrito con sólo dos coordenadas

Chinese: 
以上一個錄像中所用的語言，這個矩陣的列空間，
這個説要矢量所停下的地方是通過3-維空間的原點一個2-維平面
但是這個矩陣仍是一個全秩（full rank）的，
因爲在這個列空間中的維數和輸入
空間的維數是相同的。
所以，如果你看到有一個3x2的矩陣的存在，
你能知道它有映射(mapping)2-維到3-維的幾何解釋。
因爲2個列指出輸入空間有2個單位矢量，
而2個行指出各個單位矢量所停下的那些點上
是由3個分開的坐標來規定的。
於此類似的，如果你們看到一個2x3的矩陣，2個行和3個列，你考慮一下
它的意思是什麽呢？
好吧，這3個列指出你們在一個有3個單位矢量的空間中開始，
所以我們在3-維中開始，
而2個行指出這3個單位矢量停下的點
卻只有用2個坐標來描述的，

Arabic: 
بلغة الفيديو الأخير ، العمود
مساحة هذه المصفوفة ،
المكان الذي يوجد فيه كل ناقلات الأرض
طائرة ثنائية الأبعاد تشتق من خلال أصل الـ 3 D
الفراغ.
لكن المصفوفة لا تزال مرتبة كاملة ،
منذ عدد الأبعاد في هذا العمود
المساحة هي نفس عدد الأبعاد
من مساحة الإدخال.
لذلك ، إذا كنت ترى مصفوفة 3 في 2 في
بري،
يمكنك أن تعرف أنه يحتوي على التفسير الهندسي
لرسم خريطة بعدين إلى ثلاثة أبعاد ،
منذ العمودين تشير إلى أن المدخلات
الفضاء لديه ناقلات أساس اثنين ،
والصفوف الثلاثة تشير إلى أن الهبوط
البقع لكل من تلك ناقلات الأساس
يوصف مع ثلاثة إحداثيات منفصلة.
وبالمثل ، إذا رأيت مصفوفة 2 × 3 مع
صفين وثلاثة أعمدة ، ما رأيك
هذا يعني؟
حسنا ، الأعمدة الثلاثة تشير إلى أنك
بدءا في الفضاء الذي يحتوي على ثلاث ناقلات أساس ،
لذلك بدأنا في ثلاثة أبعاد.
واثنين من الصفوف تشير إلى أن الهبوط
بقعة لكل من هذه المتجهات أساس ثلاثة
يوصف مع اثنين فقط من الإحداثيات ،

German: 
In der Sprache des letzten Videos die Spalte
Raum dieser Matrix,
Der Ort, an dem alle Vektoren landen, ist a
2-D-Ebene, die durch den Ursprung von 3-D schneidet
Platz.
Aber die Matrix hat immer noch den vollen Rang,
da die Anzahl der Dimensionen in dieser Spalte
Der Raum entspricht der Anzahl der Dimensionen
des Eingaberaums.
Wenn Sie also eine 3-mal-2-Matrix in der sehen
wild,
Sie können wissen, dass es die geometrische Interpretation hat
zwei Dimensionen auf drei Dimensionen abzubilden,
Da die beiden Spalten angeben, dass die Eingabe
Raum hat zwei Basisvektoren,
und die drei Reihen zeigen an, dass die Landung
Punkte für jeden dieser Basisvektoren
wird mit drei getrennten Koordinaten beschrieben.
Ebenso, wenn Sie eine 2-mal-3-Matrix mit sehen
zwei Zeilen und drei Spalten, was denkst du?
das bedeutet?
Nun, die drei Spalten zeigen an, dass Sie es sind
beginnend in einem Raum, der drei Basisvektoren hat,
Wir beginnen also in drei Dimensionen.
und die zwei Reihen zeigen an, dass die Landung
Punkt für jeden dieser drei Basisvektoren
wird mit nur zwei Koordinaten beschrieben,

Italian: 
Nei termini dello scorso video, lo spazio delle colonne di questa matrice,
il lugo dove vanno a finire tutti i vettori, è un piano 2d che passa per l'origine di uno
spazio 3d.
Ma la matrice ha ancora rango massimo,
dato che il numero di dimensioni di questo spazio delle colonne è lo stesso del numero di dimensioni
dello spazio di input.
Quindi, se vedi un matrice 3 per 2 lì fuori,
sai che ha l'interpretazione geometrica di mappare due dimensioni su tre dimensioni,
dato che le due colonne indicano che lo spazio di input ha due vettori di base,
e le tre righe indicano che i punti in cui vanno a finire i  vettori di base
sono descritti da tre coordinate distinte.
Similmente, se vedi una matrice 2 per 3, con 2 righe e 3 colonne, cosa pensi
significhi?
Be' , le tre colonne indicano che sta iniziando da uno spazio che ha tre vettori di base,
quindi iniziamo in tre dimensioni;
e le due righe indicano che le destinazioni per questi tre vettori di base
sono descritte con solo due coordinate,

Czech: 
Jazykem předchozího videa je sloupcový prostor této matice,
tedy to, kam se zobrazí všechny vektory, rovina protínající počátek ve 3D
prostoru.
Ale matice má stále plnou hodnost,
protože dimenze tohoto sloupcového prostoru je stejná jako dimenze
vstupního prostoru.
Takže když se někdy střetnete s maticí 3x2,
už víte, že její geometrický význam je zobrazení z dvou rozměrů do tří.
Dva sloupečky udávají, že vstupní prostor má dva bázové vektory
a délka sloupečku 3 udává, že vektory na výstupu
jsou popsány pomocí tří souřadnic.
Podobně můžeme mít matici 2x3 -- s dvěma řádky a třemi sloupečky. Co čekáte,
že to znamená?
Tři sloupečky udávají, že začínáte v prostoru s třemi bázovými vektory,
čili začínáme v 3D prostoru
a dva řádky udávají, že výstupní vektory jsou určeny
jen pomocí dvou souřadnic,

Korean: 
지난번 동영상의 설명을 빌리자면,
행렬의 열공간은
3차원 공간의 원점을 가로지르는
2차원 평면상의 모든 벡터가 돼.
하지만 행렬은 여전히 full rank 야.
이 열공간의 차원수가 입력공간의 차원수가 같기 때문이야.
그래서 3x2 행렬의 결과는 거칠게말하면,
기하학적 해석으로는 2차원 공간을 3차원 공간으로 매핑하는 것으로 볼 수 있어.
(역주: 평면 -> 평면이지만, 3차원에서 볼때 기울여짐)
두 열이 입력공간의 두 기저벡터를 말하는 거라서
기저벡터의 도착지인 각 열의 3개의 행은
3개의 다른 좌표값을 나타내.
마찬가지로, 2x3 행렬은 2행 3열로 이루어진 행렬로,
이 행렬은 어떤 변환을 의미할까?
3개의 열은 3개의 기저벡터를 가진 공간에서 시작했다는 뜻으로,
3차원에서 시작했다는 말이지.
그리고 2개 행이 의미하는 것은 
세 기저벡터의 변환후를 말해주는 것으로
여기선 단지 좌표값 2개만을 가지고 있어.
그래서 2차원으로 이동해야만 해.

Polish: 
Używając języka znanego z  poprzedniego filmu,  przestrzeń kolumnowa (rozpięta przez kolumny) tej macierzy,
miejsce w ktorym wylądują wszystkie wektory,
to dwuwymiarowa płaszczyzna przechodząca przez środek trójwymiarowego układu współrzędnych.
Ta macierz jest również pełnego rzędu,
ponieważ liczba wymiarów tej przestrzeni kolumnowej
jest taka sama jak liczba wymiarów przestrzeni wyjściowej.
Więc jeśli gdzieś w dziczy zobaczysz macierz 3x2,
to będziesz wiedzieć, że ma ona geometryczną interpretację
przekształcania dwóch wymiarów w trzy wymiary,
ponieważ dwie kolumny wskazują na to, że wejście ma bazę złożoną z dwóch wektorów,
a trzy wiersze oznaczają,  że miejsca w których wylądują wektory bazowe,
są opisane przez trzy oddzielne współrzędne.
Tak samo, gdy widzisz macierz 2x3, z dwoma kolumnami i trzema wierszami,
to co to Twoim zdaniem oznacza?
Trzy kolumny oznaczaja, że startujemy w przestrzeni z trzema wektorami bazowymi,
czyli startujemy w trzech wymiarach,
dwa wiersze z kolei oznaczają, że miejsca w których wyląduje każdy z tych trzech wektorów bazowych,
jest opisany przez jedynie dwie współrzędne,

Turkish: 
bu yüzden iki boyutta iniş yapmaları gerekir.
Yani bu bir 3 boyutlu uzaydan 2 boyutlu düzleme bir dönüşümdür
Çok rahatsız hissetmesi gereken bir dönüşüm
Eğer bunun hayal etmeye çalışırsan
Buna ek olarak, 2 boyuttan 1 boyuta bir dönüşüme de sahip olabilirsiniz.
Tek boyutlu uzay aslında sadece sayı doğrusudur.
Böyle bir dönüşüm 2 boyutlu vektörleri alıp, sayıları verir.
Kılavuz çizgileri paralel 
ve eşit aralıklı kaldığını düşünmek
tüm bu sıkıştırma işlemi sırasında karmakarışık gözükebilir.
Bu durumda, görsel anlayış için
doğrusallık şu anlama gelir:
Eğer eşit aralıklı noktalardan oluşan bir doğrunuz varsa
sayı doğrusu üzerine eşlendiği zaman noktalar eşit aralıklı kalmaya devem eder.
Bu dönüşümlerden biri 1 x 2 matris ile kodlanır.
her bir sütun sadece bir tek
sayıdan oluşuyor
Iki sütun baz (basis) vektörün indiği yeri temsil eder.
ve bu sütunların her biri sadece
bir sayıdır, bu sayı baz (basis) vektörün indiği yerdir
 

Chinese: 
因此这是一个从三维空间到二维空间的变换
想象一下，如果经历这个变换，你会觉得非常不舒服
你还可以有二维空间到一维空间的变换
一维空间实际上就是数轴
所以这样的变换接收二维向量，然后产生一个数
因为空间的挤压，在这里考虑网格线保持平行且等距分布显得有些混乱
所以在这种情况下，形象理解线性性质的含义就是说
如果在一条直线上有一系列等距分布的点
在映射到数轴之后，它们将保持等距分布
这样的变换由一个1×2矩阵表示
而这个矩阵的两列都只有一个数
这两列分别代表了变换后的基向量
而它们都只需要一个数字，即变换后基向量在数轴上的位置

Czech: 
takže se jedná o dvourozměrné vektory.
Je to tedy zobrazení z 3D prostoru do roviny.
Takové zobrazení se nepředstavuje moc dobře, tak ukazuji jenom výstup bázových vektorů.
Taky můžeme mít zobrazení z 2D roviny do jednoho rozměru.
Jednorozměrný prostor je vlastně jenom číselná osa,
takže takové zobrazení vezme 2D vektor a vyplivne jedno číslo.
Představa rovnoměrně rozmístěných linek mřížky tu trochu
přestává fungovat, jak se to celé splácne.
Takže v tomto případě si linearitu graficky představíme tak,
že kdykoli máme rovnoměrně rozmístěné body na přímce,
zůstanou rovnoměrně rozmístěné i po zobrazení na číselnou osu.
Jedno takové zobrazení se napíše pomocí matice 1x2,
tedy každý sloupeček je jen jedno číslo.
Dva sloupečky udávají, na která čísla se zobrazí bázové vektory
a každý takový sloupeček vyžaduje jenom jedno číslo, na kterém přistane příslušný bázový
vektor.

German: 
Sie müssen also in zwei Dimensionen landen.
Es ist also eine Transformation vom 3D-Raum auf
die 2-D-Ebene.
Eine Transformation, die sich sehr unangenehm anfühlen sollte
wenn Sie sich vorstellen, es durchzugehen.
Sie könnten auch eine Transformation von haben
zwei Dimensionen zu einer Dimension.
Der eindimensionale Raum ist wirklich nur die Zahl
Linie,
Eine solche Transformation nimmt also 2D-Vektoren auf
und spuckt Zahlen aus.
Denken Sie daran, dass Gitterlinien parallel bleiben
und gleichmäßig verteilt
ist ein bisschen chaotisch für die ganze Quetschung
passiert hier.
Also in diesem Fall das visuelle Verständnis
denn was Linearität bedeutet, ist das
Wenn Sie eine Reihe gleichmäßig verteilter Punkte haben,
es würde gleichmäßig verteilt bleiben, sobald sie sind
auf die Zahlenzeile abgebildet.
Eine dieser Transformationen ist mit codiert
eine 1-mal-2-Matrix,
Jede ihrer beiden Spalten ist nur eine einzige
Eintrag.
Die beiden Spalten geben an, wo die Basis liegt
Vektoren landen
und jede dieser Spalten erfordert nur
eine Zahl, die Zahl, die dieser Basisvektor
gelandet auf.

English: 
so they must be landing in two dimensions.
So it's a transformation from 3-D space onto
the 2-D plane.
A transformation that should feel very uncomfortable
if you imagine going through it.
You could also have a transformation from
two dimensions to one dimension.
One-dimensional space is really just the number
line,
so transformation like this takes in 2-D vectors
and spits out numbers.
Thinking about gridlines remaining parallel
and evenly spaced
is a little bit messy to all of the squishification
happening here.
So in this case, the visual understanding
for what linearity means is that
if you have a line of evenly spaced dots,
it would remain evenly spaced once they're
mapped onto the number line.
One of these transformations is encoded with
a 1-by-2 matrix,
each of whose two columns as just a single
entry.
The two columns represent where the basis
vectors land
and each one of those columns requires just
one number, the number that that basis vector
landed on.

Chinese: 
所以它們一定是停在2-維的了。
因此這是從3-維空間到2-維平面的一個變換。
如果你想象經歷一個變換會是感到很不舒服的。
你們也可以有一個從2-維到1-維的變換。
1-維空間實際上只不過是一根數軸，
因此像這樣的變換把在2-維的矢量而輸出一些數字吧了。
想一下網格保持平行和均等
這點對在這裏發生的所有的坍縮而有點混亂不清的。
所以在這樣的情況下，對綫性意味著什麽的視覺上的理解
是如果你有一根間隔均等點子的綫條，
一旦它們被映射到數軸綫上去，它會保持間隔均等的。
這些變換中有一個是被記錄成一個1x2的矩陣的，
兩個列中都只有一個項。
代表著單位矢量停下地方的兩個列
爾每個列都只有一個數字，這數字就是
單位矢量所停在的坐標。

Spanish: 
así que deben estar cayendo en dos dimensiones.
Así que es una transformación desde el espacio 3-D
al plano 2-D.
Una transformación que se debe sentir muy incómoda
si imaginan pasar por ella.
Pudieran también tener una transformación de dos dimensionesa a una dimensión.
el espacio unidimensional en realidad 
es simplemente la recta real
así que una transformación como ésta
toma vectores 2-D y arroja números.
Pensar en cuadrículas manteniéndose paralelas y equidistantes es un poco complicado
dado todo el aplastamiento que ocurre,
así que en este caso
la comprensión visual de lo que significa la linealidad
es que si tienen una línea de puntos equidistantes,
ellos se mantendrían equidistantes 
una vez mapeados a la recta real.
Una de estas transformaciones sería codificada por una matriz de 1x2
donde cada una de sus dos columnas tiene un sólo coeficiente.
Las dos columnas representan dónde caen los vectores base
y cada una de esas columnas requiere sólo un número,
el número donde cayó ese vector base.

Portuguese: 
então devem estar caindo em duas dimensões.
Ou seja, é uma transformação do 
espaço 3D no plano 2D.
Esta transformação deve ser bem 
dolorosa de se passar!
Você também poderia ter uma transformação de duas dimensões para uma só dimensão.
O espaço unidimensional é apenas a reta numérica,
então uma transformação assim toma vetores 2D e cospe números.
Pensar sobre as linhas de grade permanecendo paralelas e igualmente espaçadas
é meio confuso dada toda a 
compactação acontecendo aqui.
Então neste caso, o entendimento visual para a linearidade é que
se você tiver uma linha de pontos igualmente espaçados,
eles permaneceriam igualmente espaçados se forem mapeados na reta numérica.
Uma destas transformações é codificada por uma matriz 1 x 2,
cada uma dessas colunas uma entrada simples.
As duas colunas representam onde os 
vetores da base vão parar,
e cada uma das colunas requer apenas um número, o número onde aquele
vetor foi parar.

Italian: 
quindi devono andare a finire su due dimensioni.
Quindi è una trasformazione dallo spazio 3d al piano 2d.
Una trasformazione che considereresti molto strana se la seguissi.
Puoi anche avere una trasformazione da due dimensioni a una dimensione.
Lo spazio monodimensionale è semplicemente la linea dei numeri,
quindi trasformazioni come questa prendono vettori 2d e sputano fuori numeri.
Pensare che tutte le linee della griglia restino parallele ed equidistante
è un po' confuso, per tutto l'appiattimento che avviene.
Quindi, in questo caso, la visualizzazione di cosa significa la linearità è che
se hai una linea di punti equidistanti,
questa resterà equidistante una volta i punti saranno mappati sulla linea dei numeri.
Una di queste trasformazioni è codificata da una matrice 1 per 2,
ognuna di queste due colonne è solo un solo numero.
Le due colonne rappresentano dove vanno a finire i vettori di base
e ognuna di queste colonne ha bisogno di solo un numero, il numero dove il vettore unitario
è andato a finire.

iw: 
אז הן חייבות לנחות בעולם הדו-מימדי.
אז זו טרנספורמציה ממרחב התלת-מימדי לתור המישור הדו מימדי.
טרנספורמציה שמרגישה מאוד לא נוחה, אם אתה מדמיין מה הולך שם.
יכולה להיות לך טרנספורמציה מדו-מימדי למימד אחד.
מרחב חד-מימדי הוא פשוט מספר בשורה,
אז טרנספורמציה כזאת לוקחת וקטורים מהעולם הדו-מימדי ופשוט נותנת מספרים.
תחשוב על קווי הרשת אשר נשארים מקבילים ומחולקים באופן שווה
זה קצת מבולגן עבור כל המחיצה(של המרחב) שנעשית כאן.
אז במקרה הזה, ההבנה הויזואלית של מהי לינאריות
היא אם יש לך קו עם נקודות במרחק שווה זו מזו,
הן ישארו במרחב זהה זו מזו ברגע שממפים אותן לתוך קו המספרים.
אחת מהטרסנפורמציות הללו מקודדת בתור מטריצה 1 על 2,
אשר לכל אחת מהעמודות יש ערך אחד בלבד.
שתי העמודות מציינות איפה וקטורי הבסיס נחתו
וכל אחת מהעמודות דורשת מספר אחד בלבד, המספר שוקטור הבסיס
נחת עליו.

Arabic: 
لذلك يجب أن تهبط في بعدين.
لذلك هو تحول من الفضاء ثلاثي الأبعاد على
الطائرة 2-D.
تحول يجب أن يشعر بعدم الارتياح
إذا كنت تتخيل ذلك.
هل يمكن أن يكون أيضا تحول من
بعدين لبعد واحد.
الفضاء أحادي البعد هو فقط الرقم
خط،
لذلك يأخذ هذا التحول في ناقلات ثنائية الأبعاد
وتبصق الأرقام.
التفكير في خطوط الشبكة المتبقية متوازية
ومسافة متساوية
هو الفوضى قليلا على كل من squishification
يحدث هنا.
في هذه الحالة ، الفهم البصري
لما تعني الخطية هو ذلك
إذا كان لديك خط بنقاط متباعدة بشكل متساوٍ ،
ستبقى متباعدة بالتساوي عندما تكون
ورسمت على خط الأعداد.
واحدة من هذه التحولات هي مشفرة مع
مصفوفة 1 في 2 ،
كل من عمودين كواحد فقط
دخول.
يمثل العمودين المكان الأساسي
ناقلات الأرض
وكل واحد من تلك الأعمدة يتطلب فقط
رقم واحد ، الرقم الذي ناقل الأساس هذا
هبطت على.

Polish: 
więc na pewno lądują w dwóch wymiarach
Więc jest to przekształcenie z trójwymiarowej przestrzeni w dwuwymiarową płaszczyznę,
wyobrażenie go sobie może być bardzo kłopotliwe.
Mamy również przekształcenia z dwóch wymiarów w jeden wymiar
Jednowymiarowa przestrzeń to po prostu oś liczbowa,
więc takie przekształcenie pobiera dwuwymiarowe wektory i zwraca liczby.
Myślenie o liniach kratki, które pozostają równoległe i równomiernie rozmieszczone,
może tu odrobinę namieszać z powodu tego całego spłaszczania, które się to odbywa
Więc w tym przypadku, wizualne zrozumienie tego, co oznacza liniowość,
jest tym, że kropki, które są równomiernie rozmieszczone na prostej
zostaną przekształcone na równomiernie rozmieszczone kropki na osi liczbowej.
Takie przekształcenia są reprezentowane przez macierze 1x2,
w których każda z dwóch kolumn to pojedyncza wartość.
Te dwie kolumny reprezentują miejsca w których wylądują bazowe wektory,
a każda z nich wymaga podania tylko jednej liczby,
liczby na której odpowiedni wektor bazowy wylądował.

Korean: 
그래서 3차원 공간에서 2차원 공간으로의 변환이야.
(역주: 일종의 투사, 투영)
이 변환은 좀 불편하게 느껴지는데,
머리속으로 상상해보면 그럴거야.
2차원에서 1차원으로 이동하는 변환도 가능해.
1차원 공간은 단지 하나의 수선이지.
그래서 2차원 벡터입력을 받아 
결과로 숫자 하나를 내놓지.
격자선이 평행하고 균등간격을 유지한다는 점에서 볼때
여기서 일어나는 축소변환은 좀 골치아퍼.
그래서 이경우엔, 
선형(linearity) 의 의미를 시각적으로 살펴볼게.
균등 간격의 점이 찍힌 선을 생각해봐.
균등 간격을 유지하면서
수선으로 매핑하는거야.
이런 변환들 중 하나는 1x2 행렬로 표현될거야.
두 열들 각각은 하나의 숫자만 갖지.
두 열은 기저벡터의 도착지를 나타내고.
그래서 각 열들은 하나의 숫자만 있으면 되고,
그 숫자가 기저벡터의 도착지야.

Spanish: 
Ésta es en realidad una transformación soprendentemente significativa
muy vinculada al producto punto
y hablaré de eso en el próximo video.
Hasta entonces los invito a que reflexionen esta idea por su cuenta
contemplando el significado de cosas como el producto matricial y sistemas de ecuaciones linales
en el contexto de transformaciones entre dimensiones ditintas.
¡Diviértanse!

Czech: 
Taková zobrazení jsou překvapivě užitečná a mají blízko
ke skalárnímu součinu.
O tom budu mluvit v příštím videu.
Do té doby vás chci povzbudit, abyste si hráli s touhle myšlenkou sami,
a zamysleli se nad třeba násobením matic nebo soustavami
rovnic.
ve světle zobrazení mezi různými dimenzemi.
Příjemnou zábavu!

Chinese: 
這實際上是一個和點積(dot product)密切相關有意義的變換的類型。
而我將要在下一個錄像來講。
之前，我鼓勵你們自己來圍著這個想法玩味一下，
靜下心來想一個像矩陣乘法，和綫性方程組那些東西的意義。
 
 
 

Turkish: 
Bu aslında şaşırtıcı derecede anlamlı  bir şekilde, bir dönüşüm türü olan
skaler çarpım ile bağlantılıdır
ve bir sonraki videoda bunun hakkında konuşacağım.
O zamana kadar bu fikri kendi başına oynamanı tavsiye ederim.
boyutlar arası dönüşümün konularına kafa yorun
 
mesela matris çarpımı, lineer doğru denklemleri gibi
İyi eğlenceler!

English: 
This is actually a surprisingly meaningful
type of transformation with close ties to
the dot product,
and I'll be talking about that next video.
Until then, I encourage you to play around
with this idea on your own,
contemplating the meanings of things like
matrix multiplication and linear systems of
equations
in the context of transformations between
different dimensions.
Have fun!

Chinese: 
这实际上是一类非常有意义的变换，它与点积紧密相关
我会在下期视频中讨论这部分内容
在此之前，我鼓励你自己用这些想法去大胆试验
在不同维度间线性变换的背景下，思考矩阵乘积和线性方程组等概念的意义
祝你玩得愉快！
（下期视频：点积与对偶性）

Portuguese: 
Isso é uma transformação surpreendentemente cheia de significado, muito associada
ao produto interno,
e vou falar sobre isso no próximo vídeo.
Até lá, eu o encorajo a brincar um pouco com essa ideia,
contemplando as significações de coisas como multiplicação matricial e
sistemas lineares,
no contexto de transformações entre dimensões diferentes.
Divirta-se!

Korean: 
이건 dot product 와 관련해서 상당히 놀라운 의미를 가지고 있어.
다음 동영상에서 설명할거야.
그때까지, 너가 이 개념을 자신의 것으로 만드는데 시간을 갖길 바래.
행렬 곱셈과 선형방정식계에 대해서 고민해봐.
다른 차원들 사이에서의 변화이라는 문맥에서 고민해봐.
(역주: 높은차원으로 가는 것은 평면이 3차원 공간에서 비틀리는 것과 유사하고, 낮은 차원으로 가는 것은 투사하는 것과 유사한듯)
재미있게 보내!

Polish: 
W zasadzie to takie przekształcenia są zaskakująco ważne,
silnie powiązane z iloczynem skalarnym,
o którym opowiem w kolejnym filmie.
Zanim to nastąpi, zachęcam was do pobawienia się tym pomysłem samodzielnie,
oraz kontemplacji nad znaczeniem takich rzeczy jak mnożenie macierzy
i układy równań liniowych,
w kontekście przekształceń pomiędzy różnymi wymiarami.
Miłej zabawy!

iw: 
באופן מפתיע, זאתי טרנספורמציה בעלת ערך רב, אשר יש לה קשרים קרובים
למכפלה סקלרית,
ואני אתחיל לדבר על כך בסירטון בא.
עד אז, אני מעודד אותך לשחק קצת עם הרעיון עצמו בעצמך,
להשלים את המשמעויות של דברים כמו כפל מטריצות ומערכות לינאריות
של משוואות
במובן של טרנספורמציה בין מימדים שונים.
תהנה!
 
-תורגם ע"י סער קטלן.

Arabic: 
هذا هو في الواقع ذات مغزى مدهش
نوع من التحول مع روابط وثيقة ل
المنتج نقطة ،
وسأتحدث عن هذا الفيديو التالي.
حتى ذلك الحين ، أشجعك على اللعب
بهذه الفكرة بنفسك ،
تفكر في معاني أشياء مثل
الضرب المصفري والأنظمة الخطية
معادلات
في سياق التحولات بين
أبعاد مختلفة.
إستمتع!

German: 
Dies ist eigentlich eine überraschend aussagekräftige
Art der Transformation mit engen Beziehungen zu
das Punktprodukt,
und ich werde über das nächste Video sprechen.
Bis dahin ermutige ich Sie, herumzuspielen
mit dieser Idee auf eigene Faust,
Nachdenken über die Bedeutung von Dingen wie
Matrixmultiplikation und lineare Systeme von
Gleichungen
im Kontext von Transformationen zwischen
verschiedene Dimensionen.
Habe Spaß!

Italian: 
Questo, in realtà, è un tipo di trasformazione estremamente significativo, con stretti legami con
il prodotto scalare tra vettori,
e ne parlerò nel prossimo video.
Prima di allora, ti incoraggio a giocare con quest'idea per conto tuo,
contemplando il significato di cose come la moltiplicazione di matrici e i sistemi lineari di
equazioni
nel contesto delle trasformazioni tra dimensioni diverse.
Divertiti!
