
English: 
Welcome to another Mathologer video. Today I'd like to invite you to chase down a
particularly crazy mathematical rabbit
hole. It starts out with some curious
properties of the golden ratio Phi and the
Fibonacci sequence and it will culminate
in some crazy facts about some mutant
relatives the tribonacci constant
and the tribonacci sequence and some
really, really really strange rabbits.
By the way, this is Marty giggling in the
background, you remember him from last
time I hope. Anyway just a reminder, the Fibonacci sequence
starts with two 1s and then every
other Fibonacci number is the sum of the
previous two Fibonacci numbers. So 1 plus
1 is 2, 1 plus 2 is 3, 2 plus 3 is 5, and
so on. The tribonacci sequence starts
just like the Fibonacci sequence with
1, 1, 2 but then every tribonacci number
is the sum of the previous three. So the next

Russian: 
Добро пожаловать в очередное видео от Mathologer. Сегодня я бы хотел пригласить вас отправиться в путешествие вглубь
одной особенно сногсшибательной математической кроличьей норы. Мы начнём с некоторых любопытных
свойств золотого сечения, Φ, и последовательности Фибоначчи; а кульминацией в этом рассказе станут
несколько просто безумных фактов об их мутировавших родственниках -- константе Трибоначчи,
числах Трибоначчи и кое-каких очень, очень странных кроликах. :)
Кстати говоря, на заднем плане смеётся не кто иной, как Марти. Его вы можете вспомнить по последнему
видео, надеюсь. Как бы то ни было, давайте вспомним, что из себя представляет последовательность Фибоначчи.
Она начинается с двух единиц, после чего каждое следующее число Фибоначчи считается как сумма
двух предыдущих чисел Фибоначчи. То есть, мы получим 1+1 = 2, 1+2 = 3, 2+3 = 5, и
так далее. Последовательность Трибоначчи начинается так же, как и Фибоначчи, --
1, 1, 2. Но каждое последующее число Трибоначчи равно сумме ТРЁХ предыдущих. Таким образом, следующее

English: 
number is 1 plus 1 plus 2 is 4, and then
1 plus 2 plus 4 is 7, and so on. As far as
I know, the first connection between the
Fibonacci sequence and the golden ratio
was discovered by the famous
mathematician and astronomer Johannes
Kepler. He observed that the ratios of
consecutive Fibonacci numbers converge
to phi. So this sequence of ratios here
converges to the golden ratio.
Similarly the ratios of consecutive tribonacci numbers converge to the
tribonacci constant. Wonderful isn't it? Now just imagine being the first to discover
these facts :) Now what if your life
depends on figuring out the 1000s
tribonacci number. Well, we have the first 9
tribonacci numbers listed and by
adding the 7th, 8th and 9th we get
the 10th,
by adding the 8th, 9th and 10th we get the 11th. So if we keep going we'll eventually get

Russian: 
число будет равно 1+1+2 = 4, затем 1+2+4 = 7, и так далее. Насколько
мне известно, впервые связь между числами Фибоначчи и золотым сечением
была открыта знаменитым математиком и астрономом Йоханном
Кеплером (Johannes Kepler). Он заметил, что частное двух последовательных чисел Фибоначчи сходится
к Φ. Иными словами, что вот эта последовательность дробей сходится к золотому сечению.
Похожим образом, частные двух последовательных чисел Трибоначчи сходятся к
константе Трибоначчи. Потрясающе, не так ли? :) Только представьте себя на месте того, кто впервые открыл
эти факты. :) Теперь, предположим, что ваша жизнь зависит от выяснения, чему равно 1000-ное
число Трибоначчи. Ну, у нас уже есть список первых 9-ти чисел, и путём
складывания 7-го, 8-го и 9-го чисел мы получим 10-ое.
Сложим 8-ое, 9-ое и 10-ое, мы получим 11-ое число. Если так продолжать, то в конечном счёте мы доберёмся

Russian: 
и до 1000-го числа Трибоначчи. Однако этот способ отнимет слишком много времени и поэтому
не поможет остановить меч вашего палача :) К счастью, есть ещё одна, совершенно
ошеломляющая формула, которая позволяет избежать всех этих бесконечных суммирований
и которая сразу же даёт нам 1000-ое число Трибоначчи.
Ого, ничего себе! И в основе этой формулы стоит не что иное, как
константа Трибоначчи. (Марти) Я не уверен, что этот способ будет достаточно быстр, чтобы остановить меч палача. (Mathologer) Ну... Давайте просто надеяться, что будет. :) Две квадратные скобки, которые окружают
всё в этой формуле, обозначают тот факт, что 1000-ое число Трибоначчи -- это умопомрачительное число,
находящееся в этих скобках, округлённое до ближайшего целого числа. Если вас интересует
более общая формула, просто замените 1000 на n.
К примеру, если мы выберем n достаточно небольшим, типа 20, то число внутри квадратных
скобок окажется равным вот этому. Округление же даст нам
66012. Видели ли вы когда-либо настолько же странную формулу? :) Я точно был

English: 
to the 1000 tribonacci number. But
going this way may be too slow to stop
the sword of the executioner. 
Luckily there's this absolutely
mind-bending formula which skips all the
adding involved in building the
tribonacci  sequence and straightaway
gives us the 1000s tribonacci number.
Whoa, and there's the tribonacci constant
right at its core. (Marty) I'm not sure that this will be quick enough to stop the executioner. (Mathologer) Let's just hope it will.  So the two square brackets encasing
everything indicate that the 1000th
 tribonacci  number is the crazy number
inside these brackets, rounded to the
nearest integer. If you're interested in
a general formula just replace 1000 by n.
For example, choosing n within easy
reach like 20, the number in the square
brackets pans out to be this guy here.
Then rounding gives us
66012. Have you ever seen a weird
formula as this. I was definitely

Russian: 
очень впечатлён, когда впервые увидел её. И ты тоже, да, Марти? (Марти) О, безусловно. (Mathologer) Да, она безумна и восхитительна.
Итак, вернёмся к главной цели видео. Я хочу объяснить, как выводится эта формула и схожая с ней другая
знаменитая формула, которая выдёргивает для нас, словно из воздуха, n-ое число Фибоначчи.
Только взгляните -- тоже очень изящная, не так ли? Но не только про это я хотел бы поговорить.
Я бы хотел дать вам почувствовать себя на месте кого-то, кто мог бы открыть подобную формулу.
В целом, я хотел бы взять вас в достаточно полное путешествие по дороге открытий, которая поведёт нас
от балования с числами и обнаружения кое-чего знаменательного прямо к
обоснованному предположению касательно этой формулы Фибоначчи. Затем она проведёт нас через её доказательство и, наконец,
приведёт нас к исполинскому аналогу этой формулы для чисел Трибоначчи.
И закончу я видео тем, что поговорю о некоторых весьма изящных проявлениях чисел Трибоначчи, похожих на знаменитые
проявления чисел Фибоначчи и золотого сечения в геометрии и
в природе. Итак, поехали! Давайте немного побалуемся с золотым
сечением, Φ. В десятичной записи это число начинается вот так.

English: 
very impressed the first time I
saw it. You too right Marty? (Marty) Oh absolutely. (Mathologer) Yeah really crazy one.
So, anyway my mission today is to explain
this formula and a corresponding very
famous formula that plucks the nth
Fibonacci number out of thin air. I would
look at this one here. Also pretty neat,
right? But not only that, what I'd like to
do is to give you a taste of how someone
might actually discover a formula like
this. So I'd like to take you on a fairly
complete journey of discovery that takes
us from playing with some numbers and
noticing something remarkable to an
educated guess for this Fibonacci
formula, then to its proof and finally to
our monstrous tribonacci counterpart
of the Fibonacci formula. I'll
finish off by talking about a few neat
 tribonacci  counterparts to some famous
occurrences of the Fibonacci numbers and
the golden ratio in geometry and in
nature. Okay, so here we go,
let's play a little bit with the golden
ratio phi. In decimals this number starts
out like this.

English: 
When we square this number something
interesting happens. Wait for it, cute
isn't it. The only thing this has changed is that
the 1 in front has turned into a 2.
So squaring phi gives something
interesting and that suggests to someone
like me or Marty to also look at higher
powers. Here are the first few. Hmm,
pretty messy at first glance but if we
have a closer look we discover some
really nice Fibonacci action. Here, as
can see, the two yellow numbers seem to
add up to the red one. The same is the
case here and here and it sure looks
like this will be true forever and ever
after. And so the sequence of numbers
seems to grow exactly like the Fibonacci
sequence except that its two seed
numbers at the beginning are phi and phi
squared instead of 1 and 1.  But there
are more miracles hiding in the sequence

Russian: 
Если мы попробуем возвести его в квадрат, произойдёт кое-что интересное. Приготовьтесь...
Мило, не так ли? :) Единственное, что изменилось, -- это то,
что 1 в самом начале числа превратилось в 2. То есть, возведение Φ в квадрат приводит к чему-то
необычному, что намекает таким людям, как я и Марти, что стоит взглянуть на более высокие
степени Φ. Вот первые несколько. Хм, выглядит довольно беспорядочно, на первый взгляд. Однако если мы
присмотримся повнимательнее, то заметим кое-что в стиле Фибоначчи. Как можно
заметить, два жёлтых числа при сложении, видимо, дают число в красной рамке. То же верно
для вот этого случая, и вот этого, и всё выглядит так, будто эта закономерность будет подолжаться до бесконечности.
То есть, эта последовательность чисел растёт точно так же, как числа Фибоначчи,
за исключением той разницы, что первые два начальных числа равны Φ и Φ^2
заместо 1 и 1. Однако внутри этой последовательности из степеней Φ таится ещё много чудес.

Russian: 
Если посмотреть дальше по списку, прокрутив его вниз,
можно заметить, что эти степени становятся всё ближе и ближе
к целым числам. Изящно, да? Давайте запишем целые числа, которые ближе всего к нашим
степеням Φ; что мы тогда получаем? Как видите, внутри зелёной полосы целые числа
сами формируют последовательность наподобие Фибоначчи, на этот раз состоящую из
целых чисел. Сверху мы видим 3+4 = 7,
4+7 = 11, и так далее. Единственное место, где закономерность рушится, -- это самый верх последовательности.
2+3 = 5, а не 4. Чтобы всё работало и там, мы, так сказать,
немного сжульничаем. Мы просто заменим 2 на 1, и теперь 1+3 = 4 -- исправлено :) (Марти) А так можно делать?
(Mathologer) А кто меня остановит? :) Так или иначе, у последовательности чисел, которая начинается так,
на самом деле есть имя -- это последовательность Лукаса, или числа Лукаса, названные

English: 
of powers of phi. if you look further
down the list, scroll down and down and
down and down there you actually notice
that these powers get closer and closer
to integers. Pretty neat isn't it. So just
write down the integers closest to our
powers, let's do it, and we get what? As
you can see, in the green these integer
actually start out forming another
Fibonacci-like sequence but this time of
integers. There in the green, right on top
3 plus 4 is 7,
4 plus 7 is 11, and so on. Just there at
the very top things don't work out, right?
2 plus 3 is 5 and not 4.  To
make things work out even there we, well,
cheat a little bit. We just replace the
2 by a 1. Okay 1 plus 3 is 4, fixed :) (Marty) Are you allowed to do that?
(Mathologer) Who's gonna stop me :) Anyway the sequence
of numbers that starts out like this
actually has a name it's the Lucas
sequence or the Lucas numbers named

Russian: 
в честь математика Франсуа Эдуарда Анатоле Луки [François Édouard Anatole Lucas]. (Марти) То есть, это числа Луки. (Mathologer) Да, на самом деле получается, что это числа Луки,
но все почему-то называют их числами Лукаса. Как бы то ни было,
я постараюсь называть их числами Луки. В каком-то смысле, эта последовательность -- самый близкий и
самый важный родственник последовательности Фибоначчи, и так же, как в случае с последовательностью
Фибоначчи, вы часто можете найти эту последовательность в природе. Я уже говорил об этой
связи в другом видео. Я оставлю ссылку на него в описании, советую посмотреть.
Итак, всё это баловство с числами подсказывает нам, что если вы заинтересованы в числах Лукаса
(Марти) Лука! (Mathologer) О, да, точно. Будет тяжело... [Итак, если вам нужно 20-ое число Луки], вам не нужно идти по пути 1+3=4, 3+4=7,
и так 18 раз. Вместо этого вам достаточно просто посчитать Φ в степени 20, что равно
вот этому числу, и округлить его до ближайшего целого. Получается
15127, и это в самом деле правильное число. И то же самое будет работать в общем случае.
Восхитительно, не правда ли? Теперь мы можем записать это в виде формулы. Вот она.

English: 
after the mathematician François Édouard Anatole Lucas (pronounced Luca) (Marty) So they are the LUCA numbers. (Mathologer) Yeah, actually they are the LUCA numbers.
but everybody seems to call them the LUCAS numbers. Anyway
I'll try to call him the Luca numbers. In
a way the sequence is the closest and
most important relative of the Fibonacci
sequence and just like the Fibonacci
sequence you often find this sequence in
nature. I already talked about this
connection in another video. I'll leave a
link in the description, so check it out.
Anyway all this number play suggest
that if you are interested in the Lucas
numbers (Marty) Luka!!! (Mathologer)  Okay, it's gonna be bad, you don't
have to go 1 plus 3 is 4, 3 plus 4 is 7,
18 times. What you do is simply compute phi to the power of 20 which is this
guy here and round to the next integer which is
15,127 and this is actually correct
and turns out to be true in general.
Really neat isn't it? We can write
this as a formula there we go.

English: 
The nth Lucas number is phi to the
power of n rounded to the nearest
integer. Well, remember, we cheated a
little bit and n has got to be greater
than 1 but that's the only exception.
The similarly wonderful formula for
the nth Fibonacci number that I
mentioned earlier is hiding just around
the corner. To uncover it let's have a
look at the Fibonacci and Lucas sequence
side by side. So we've got the Fiibonacci numbers on the left and the Lucas numbers
on the right. Have a look at this: 1 plus
4 is 5, divided by 5 is 1, 3 plus 7 is 10,
divided by 5 is 2, 4 plus 11 is 15
divided by 5 is 3, and it's actually
quite easy to see that this will always
be true. (Marty) And it's easy to prove? (Mathologer)
It's very easy to prove, even you can do
it :) In other words, the nth  Fibonacci number
can be calculated by adding the n minus
first Lucas number and n plus first

Russian: 
n-ое число Луки равно Φ^n, округлённое до ближайшего
целого числа. Хотя помните, что мы слегка сжульничали в начале, поэтому нам надо брать n больше,
чем 1, но это единственное исключение из правила. Схожая потрясающая формула для
n-ого числа Фибоначчи, которую я упоминал ранее, прячется совсем близко.
Чтобы найти её, давайте посмотрим на последовательности Фибоначчи и Луки
бок о бок. Слева будут числа Фибоначчи, а справа -- числа Луки.
Взгляните вот на что: (1+4)/5 = 1, (3+7)/5 = 2,
(4+11)/5 = 3. И на самом деле
достаточно легко заметить, что это будет верно всегда. (Марти) И доказать тоже легко?
(Mathologer) Да, очень легко доказать, даже ты можешь. :) Иными словами, n-ое число Фибоначчи
может быть вычислено как сумма (n-1)-ого и (n+1)-ого чисел Луки,

English: 
Lucas number and then divide the sum by
5. But now we have this nifty power
formula for the Lucas numbers and so
abracadabra ... yeah, now things in the
brackets get closer and closer to
integers, right? Now what this means is
that from some point on we can put both
the powers into one pair of brackets.
Let's just do that and then with a bit
more arithmetic we can turn this formula
into the one that I raved on about
earlier. That formula just included phi to
the power of n, so let's isolate this
power. First here and then one more time
here. Take out the nth power and using
that the exact value of phi is this guy
here the green bit turns out to be equal
to root 5. Okay our goal is in sight so
let's just pull the 5 inside the
brackets and now, without worrying too
much about what can possibly
go wrong here, one final simplification

Russian: 
делённая на 5. Вспомним, что у нас уже есть остроумная степенная
формула для чисел Луки, так что... абракадабра... Так-то. То, что находится
внутри скобок, становится всё ближе и ближе к целым числам, так? Это означает, что,
начиная с некоторого момента, мы можем поместить оба числа внутрь одной пары скобок.
Давайте сделаем это. Дальше при помощи несложной арифметики мы можем превратить эту формулу
в ту, которую я нахваливал перед этим. Та формула включала в себя лишь
Φ^n, так что давайте выделим эту степень. Сначала справа, затем слева.
Вынесем n-ую степень. Теперь, используя то, что точное значение Φ равно
вот этому, зелёное выражение оказывается равным корню из 5. Наша цель уже в пределах видимости,
давайте просто занесём 5 внутрь скобок и дальше, не слишком беспокоясь
о том, что могло бы пойти не так, сделаем последнее упрощение выражения.

Russian: 
И вот та самая формула, к которой мы стремились, замечательно! (Марти) Но не сжульничали ли мы по пути?
(Mathologer) Не стоит беспокоиться, мы дойдём ещё до этого. Посмотрим, насколько хорошо эта формула работает. Вот, ещё раз, список степеней
золотого сечения. Разделим их на корень из 5 и вычислим ближайшие
к ним целые числа. Вот оно, точные попадания с самого начала!
Работает ещё лучше, чем для чисел Луки. Хорошо, аналог этой
формулы для чисел Трибоначчи выглядит вот так, где c -- это тоже
некая константа, так же как корень из 5. Простое следствие из этих
формул -- это открытие Кеплера касательно того, что частные чисел Фибоначчи сходятся
к золотому сечению, и касательно схожего свойство для последовательности
Трибоначчи. Может быть, попробуйте написать доказательство для сходимости в случае
Фибоначчи. Это будет вашим первым домашним заданием. Некоторые из вас точно
могут это сделать, так что ждём в комментариях. Но, разумеется, все наши изящные

English: 
and that's the formula we are after, very nice! (Marty) And have we cheated?
(Mathologer) Not to worry, we will get to this. So let's see how well this works. So here are the powers
of the golden ratio again. Let's divide
them by root 5 and calculate the nearest
integers and spot on from the very
beginning!
Works even better than for the Lucas
numbers. Alright, now our counterpart
for this formula for the  tribonacci 
numbers looks like this where c is also
a constant just like root 5.
One thing that follows very easily from
these formulas is Kepler's discovery
about those Fibonacci fractions converging
to the golden ratio and the
corresponding property of the tribonacci
sequence. Maybe have a good putting
together a proof for the Fibonacci
convergence. So that may be your first
homework. So some people here can
definitely do this, so do this in the
comments. But of course all our nice

Russian: 
результаты до сих пор были основаны всего лишь на наших вычислительных экспериментах из начала видео.
У нас до сих пор нет надёжного доказательства того, что степени Φ действительно ведут
себя таким замечательным образом. Оказывается, что причины этого ещё более
изумительны, чем сами факты, которые ими объясняются. Давайте постараемся их найти.
Начнём с начала: что такое Φ? Что ж, есть парочка различных
определений, но, пожалуй, наиболее популярное из них основано на золотых прямоугольниках.
Прямоугольник называется золотым в том случае, если путём расширения его на величину квадрата вот таким образом
мы получаем большой прямоугольник, подобный изначальному. Это значит, что, просто повернув изначальный прямоугольник
на 90 градусов и пропорционально увеличив, мы получим этот большой прямоугольник. Φ определяется как
общее соотношение сторон любого золотого прямоугольника. Чтобы его подсчитать,
начнём со специального прямоугольника, чья длинная сторона равна Φ единиц, а короткая равна

English: 
results were just based on our
calculator experiments at the beginning.
We still don't have any bulletproof
proof that the powers of phi really behave
in this super nice way.
Turns out the reasons are even more
amazing than the facts themselves. So let's
have a closer look and for that let's
start at the beginning. What is phi? Well
there are a couple of different
definitions but maybe the most popular
one is based on golden rectangles. A
rectangle is a golden rectangle if when
you extendeding it by a square like this
results in a larger similar rectangle. So
by just rotating the original rectangle
90 degrees and scaling up you can get
the large rectangle. Now phi is just the
common aspect ratio of all golden
rectangles. To calculate this aspect
ratio we start with a special rectangle
whose long side is phi units and whose short

Russian: 
1 единице. Тогда соотношение сторон равно просто Φ, что делает
этот прямоугольник золотым. Теперь расширим его до большего прямоугольника так, как было показано.
Соотношение сторон в нём равно длине большей стороны, Φ+1,
делённой на длину короткой стороны, которая равна Φ.
Поскольку оба прямоугольника золотые, эти соотношения должны быть равны. Умножив
обе стороны уравнения на Φ, мы получаем квадратное уравнение. Это уравнение
мгновенно объясняет то странное свойство возведения Φ в квадрат из начала видео. Почему?
Это уравнение утверждает, что мы можем получить Φ^2 путём добавления
единицы к Φ. Здорово, правда? :) И чтобы теперь выяснить, чему равно Φ, нам нужно просто решить это
квадратное уравнение. Всех вас наверняка замучали до смерти квадратными
уравнениями в школе, верно? (Марти) А мне нравятся квадратные уравнения! (Mathologer) Ну хорошо, мне тоже, конечно. Короче говоря, у нас есть
формула для этого. Жмём на рычаг -- и получаем два решения. Какое из них является

English: 
side is 1 unit. So the aspect ratio of
this rectangle is phi over 1 so that makes
it into a golden rectangle. Now extend to
a large rectangle using a square. Its
aspect ratio is the length
of its long side which is phi+1
divided by the length of its short side
which is phi.
Since both rectangles are golden these
aspect ratios are equal. Multiplying the
equation on both sides by phi gives a
quadratic equation. This equation
instantly explains our strange squaring
property from the very beginning. Why?
Because what this equation says is that
you get the square of phi by just adding
1 to phi. Nice isn't it and to figure out
what phi is we simply have to solve this
quadratic equation here. Now you've all
been tortured to death with quadratic
equations in school, right? (Marty) I like quadratic equations. (Mathologer) Okay I like them too. Anyway, quadratic
formula, crank the handle and you get two
solutions, right? Which of these is the

English: 
golden ratio? Well one solution is
positive the other is negative and since
aspect ratios are positive phi has got to
be this guy there at the top, that one.
And usually what people do at this
point is to discard the poor second
solution as useless. Poor second
solution :) Which turns out to be a serious
mistake as we'll see in a minute. For the
moment just remember that there is this
second solution. Okay
now somehow the powers of phi seems to
be a bit of a gold mine. So let's have a
closer look at them. To get phi cubed, for
example, I'll just multiply this equation
here by phi. Alright, now you can spot
these two phi squared's here and what this
means is that I can replace the second
phi squared by phi plus 1. Let's do
that. Simplify, all right. Multiply the
second equation by phi again and you get
the fourth power. Two phi squared's again.

Russian: 
золотым сечением? Ну, одно из решений положительное, в то время как другое -- отрицательное, а поскольку
соотношения сторон всегда положительны, Φ должно быть равно вот этому выражению наверху.
И обычно на этом шаге люди выбрасывают бедное второе
решение на помойку бесполезности. Бедное, бедное второе решение :) Это является серьёзной
ошибкой, как мы увидим через минуту. Пока что просто запомните, что где-то там существует то
второе решение. До сих пор, по неизвестной причине, степени Φ были
чем-то вроде золотой жилы для нас. Так что давайте к ним присмотримся. Чтобы получить Φ^3, например,
я умножу вот это уравнение на Φ. Как вы можете заметить,
у нас здесь дважды встречается Φ^2, а это означает, что я могу заменить второе
Φ^2 на (Φ+1). Так и сделаем, после чего упростим. Теперь умножим
второе уравнение на Φ, вновь, и в результате мы получим четвёртую степень. Опять же, видим Φ^2 в двух местах --

Russian: 
снова заменяем второе из них на (Φ+1).
И можно продолжать в том же духе, очевидно. Получающиеся в результате коэффициенты
справа явно следуют закономерности Фибоначчи, и мы можем
с лёгкостью доказать обобщённую формулу. Озвучим её вслух, взглянув на
последнее уравнение в этом списке. Итак, степень здесь равна 6, а 8 является 6-ым числом Фибоначчи,
в то время как 5 -- это пятое число Фибоначчи. Таким образом, в общем случае мы получим
n-ая степень Φ равна n-ому числу Фибоначчи, умноженному на Φ,
плюс (n-1)-ое число Фибоначчи. Что тоже выглядит очень красиво.
Однако мы помним, что нашей целью является формула для n-ого числа Фибоначчи, так что это выглядит
ещё более многообещающе. Но, к сожалению, этого недостаточно. Почему? Потому, что нам не хватает
уравнений, чтобы найти F(n) и F(n-1), так ведь? Вот тут-то нам и помогает второе решение, которое
я просил вас не забывать. Уравнение сверху является прямым

English: 
So we replace the second one by phi + 1
again, alright. Simplify, and
you can keep on going like this
obviously. And so with those coefficients
on the right we're definitely getting
into Fibonacci territory and we can
easily prove a general formula. And just
to read it off let's have a look at the
last one here the exponent here is 6
and 8 is the sixth Fibonacci number
and five is the fifth Fibonacci  number and so in general we get
what? Well, the nth power of phi is equal
to the nth Fibonacci number times phi
plus the n-1st Fibonacci number, very pretty too.
Now, remember, we are after a formula for
the nth Fibonacci number so this looks
very promising. But sadly it's not quite
good enough. Why? Because we cannot
straightaway solve for the Fs, right? And
that's where the second solution that I
asked you not to forget comes in. The
equation up there is a direct

English: 
consequence of that very first identity
for phi, this one here. Now, for that
second solutio,n let's call it phi red,
exactly the same identity holds, right? So
what this means is that the second
equation is also true for phi red and
instead of just phi. Now this conclusion
is really important so make sure you
really really understand it. Okay so at
this point we've actually got these two
equations to work with. Now we just
subtract the second equation from the
first and that gets rid of one of the Fs
right? There gone and now we just
solve for F and that gives us an exact
formula for the nth Fibonacci number. The
denominator there again pans out to be
root 5 and here's the formula in all its
glory. Whoa I still remember
that seeing this one twenty or
thirty years ago and I've never been
able to forget it, neither the proof. So
it's really really pretty. This formula
is called Binet's formula after a French

Russian: 
следствием того самого первого тождества для числа Φ, вот этого. Заметьте, что то же
равенство будет выполняться и для второго решения (назовём его красным Φ), так?
Это означает, что второе уравнение будет верным и в том случае, если мы подставим красное Φ
вместо обычного Φ. Это заключение чрезвычайно важно, так что будьте уверены, что вы
действительно понимаете его. Итак, на данный момент у нас есть целых два
уравнения, с которыми можно работать. Давайте вычтем второе уравнение из
первого, и тем самым избавимся от одного из F. Верно? И теперь можно попросту
решить уравнение относительно F, что даёт нам точную формулу для n-ого числа Фибоначчи.
Знаменатель вновь оказывается равен корню из 5, и вот как выглядит эта формула во всей своей
красе. Ничего себе :) Я всё ещё помню свои впечатления от её лицезрения впервые двадцать
или тридцать лет назад, и с тех пор я никогда не забывал ни её, ни доказательство.
Восхитительная красота. Эта формула называется формулой Бине (Binet), в честь французского

Russian: 
математика Жака Филипп Мари Бине (Jacques Philippe Marie Binet),
хотя веком ранее она уже была известна Абрахаму де Муавру (Abraham de Moivre). Это одна
из тех печальных историй... Ну ладно. Если вдуматься, эта формула
действительно восхитительна тем, что все эти иррациональные числа, которые
кишат внутри неё, комбинируются в целые числа для бесконечного множества
возможных значений n. Но дальше будет ещё лучше. Вспомним, что красное Φ равно
-0.618... Поскольку модуль этого числа
меньше 1, его степени будут сходиться к 0. Давайте
убедимся. Вот вторая, четвёртая, шестая степени. Это демонстрирует нам, что вклад красного Φ в эту формулу
быстро уменьшается, что на самом деле объясняет, почему n-ое число Фибоначчи равно
ближайшему целому числу к n-ой степени Φ, делённой на корень из 5. По сути, можно

English: 
mathematician Jacques Philippe Marie
Binet
although it was already known one
century earlier to Abraham de Moivre which
is one of those sad stories... 
When you think about this formula it's
really quite amazing that you see all
these irrational numbers that this
formula is crawling with combining into
integers for those infinitely many
possible values of n. But it gets better.
Remember that phi red is equal to
-0.618... Since the absolute value of this number is
less than 1 its powers converge to
zero. Let's have a
look. So two, four, six. This shows that the
contribution of phi red to this formula
diminishes quickly and actually explains
why the nth Fibonacci number is the
closest integer to the nth power of phi
divided by a root five. You can just

Russian: 
просто забыть об этом вкладе. Замечательно, не так ли? (Марти) Великолепно! (Mathologer) Очень хорошо.
[Надпись: любой, кто не согласен, не имеет души!!!]
Собственно, используя то, что я вам только
что показал, достаточно легко доказать
все остальные факты, которые я упоминал в начале. Первый: n-ое число Луки
равно целому числу, ближайшему к n-ой степени Φ. Второй факт: что две последовательные
степени Φ при сложении дают следующую степень, и так далее. Если вы знаете, как доказать
эти факты, или, может быть, если вы знаете какие-нибудь другие тесно связанные с ними факты,
которые я так и не обсудил, дайти знать в комментариях.
Объединёнными усилиями мы сможем полностью покрыть тему числа Φ, в конце концов.
Если вы вдруг забеспокоились -- нет, я не забыл про числа Трибоначчи.
Они идут следующим пунктом, и теперь всё должно быть просто и понятно. Точно так же, как Φ является одним из двух нулей
вот этого квадратного уравнения, константа Трибоначчи является одним из трёх
решений этого тесно связанного с предыдущим кубического уравнения. Преобразования квадратного
уравнения дало нам вот это, после чего, используя лишнее решение (красное Φ),

English: 
forget about this contribution. Wonderful
isn't it? (Marty) Wonderful. (Marty) Very good.
In fact with what I've just shown you
it's also very easy to prove all those
other facts that I mentioned at the
beginning. First that the nth Lucas
number is the integer closest to the nth
power of phi. Then that two consecutive
powers of phi add up to the next power
and so on. Now, if you know how to prove
these facts or maybe if you are aware of
some of the other closely related facts
that I did not get around to discussing
let us know in the comments okay,
concerted effort and we will have phi covered completely by the end of this. Now just
in case you're wondering, no I did not
forget about the  tribonacci  numbers they
are up next and now it's all pretty easy.
Just like phi is one of the two zeros of
this quadratic equation here the tribonacci 
constant is one of the three
solutions of this closely related cubic
equation. Now manipulating the quadratic
equations first got us to this and then,
by dragging in the extra solution phi

Russian: 
мы получили формулу Бине. Если мы теперь сделаем то же самое с кубическим уравнением и
его тремя решениями, то получим вот такую замечательную формулу для n-ого числа Трибоначчи.
Точную формулу. Лишние решения кубического уравнения -- зелёное t
и жёлтое t -- на самом деле являются полноценными комплексными числами, с i, иррациональностями
и всем сопутствующим безобразием. Эта формула, с учётом всех этих
комплексных и иррациональных чисел, которые складываются в числа Трибоначчи
для любого n, сама по себе является маленьким чудом. Ну, это чудо явно побольше, чем предыдущее.
Так или иначе, точно так же как это было с красным Φ, зелёное и жёлтое t по модулю оказываются
меньше 1, что означает, что их вклад в это
уравнение быстро исчезают при росте n. И это, наконец, даёт нам вот эту сумасшедшую формулу, которую я
обещал вам ещё в самом начале. Опять же, давайте полюбуемся на неё во всей её иррациональной красе и славе.

English: 
red we got Binet's formula. Now if we do
the same with the cubic equation and
its three solutions we get this amazing
formula for the nth tribonacci  number,
an exact solution. So those extra
solutions of the cubic equation t green
and t yellow are actually proper complex
numbers so there is  i  in there and irrational
numbers, really a mess but anyway. And so
this precise formula with all those
complex in irrational numbers arranging
themselves into the tribonacci numbers
for all n is really a little miracle.
Well it's a bigger miracle than the one
before. In any case, just like our red phi,
t green and t yellow have absolute
values less than 1 which then also
means that their contributions to this
equation die out quickly for larger n
and this gives the crazy formula that I
promised you at the beginning that one
here. Well, here again in its irrational glory,

English: 
really crazy. Okay I'll take a bow here, it's
just too good. As you all know the golden
ratio and the Fibonacci numbers make
numerous appearances in geometry and
nature. Some of these appearances have
surprising counterparts for the 
 tribonacci numbers and the  tribonacci
sequence. For example, the icosahedron can be constructed by sticking three golden
rectangles together at right angles and
therefore is full of golden ratios, have
a look. A bit of an animation here, three
golden rectangles there, filled in with
triangles that's an icosahedron, very
nice. Now it's only been discovered
fairly recently that the so-called snub
cube, one of the Archimedean solids and a
close relative of the icosahedron is
full of tribonacci constants. Now many
of you will not be familiar with the
snub cube so here's an animation which
shows how an ordinary cube can be
transformed into a snub cube. Basically
the cube explodes and as its faces are
flying apart they are rotating a little

Russian: 
Ох, тут точно надо отдать поклон -- слишком уж она хороша. Как всем вам известно, золотое
сечение и числа Фибоначчи довольно часто проявляют себя в геометрии и
в природе. Некоторые из этих проявлений
имеют неожиданные аналоги для чисел Трибоначчи и последовательности
Трибоначчи. К примеру, известно, что, используя три золотых прямоугольника, можно соорудить
икосаэдр. Надо лишь поставить их под прямыми углами друг к другу. Следовательно, икосаэдр полон золотых сечений, просто
взгляните на эту анимацию. Вот три золотых прямоугольника, дополненные
треугольниками, формируют икосаэдр. Очень хорошо. И лишь совсем недавно было открыто,
что так называемый плосконосый куб (снаб куб), одно из архимедовых тел и
близкий родственник икосаэдра, полон констант Трибоначчи. Многие
из вас наверняка будут незнакомы с плосконосым кубом, так что я приготовил для вас ещё одну анимацию, которая
показывает, как обыкновенный куб может быть трансформирован в плосконосый куб. По сути,
куб словно "взрывается": его грани разлетаются в стороны и немного вращаются

English: 
bit until the gaps between them are of
just the right size and shape to be
filled with bands of equilateral
triangles very pretty right. Now there
are lots of tribonacci constants
present in all sorts of distance ratios
and other statistics connected with the
snub cube. However, in many ways, the
nicest tribonacci constant fact about
the snub cube is that exactly half of
the permutations of these tribonacci 
filled coordinates over there are the
coordinates of the corners of a snub
cube. The other half of the
coordinates well they describe the
corners of the mirror image of our snub
cube. To me the way this video panned out
is very reminiscent of Alice's trip down
the rabbit hole. Just like Alice notices
that strange rabbit in a waistcoat, we
stumble across this curious squaring
property of phi and then, before we know
it, we're tumbling head over heels into a
mathematical wonderland.
Now speaking of rabbits, of course there
are those immortal rabbits that were

Russian: 
до тех пор, пока щели между ними не окажутся нужного размера и формы для того, чтобы
состоять из массы равносторонних треугольников. Красота, не так ли?
Константа Трибоначчи проявляет себя в множестве соотношений расстояний
и других статистических значениях, связанных с плосконосым кубом. Тем не менее, наилучший во многих смыслах
факт о константе Трибоначчи и плосконосом кубе -- это то, что ровно половина
различных перестановок вот таких трибоначчивских координат (на экране)
составляет координаты углов плосконосого куба. А другая половина
координат, естественно, описывает углы зеркального отражения нашего плосконосого
куба. На мой взгляд, то, чем это видео обернулось в итоге, очень походит на Алисово путешествие вглубь
кроличьей норы. Точно так же, как Алиса заметила странного кролика в жилетке, мы с вами
наткнулись на то любопытное свойство возведения Φ в квадрат, и не успели опомниться,
как кубарем скатились в математическую страну чудес.
Кстати о кроликах. Разумеется, нельзя не упомянуть об известных бессмертных кроликах, которые

English: 
first conjured up by Leonardo
Fibonacci in the 13th century whose
population growth is captured by the
Fibonacci sequence. You probably all know
this right but anyway: a pair of these
bunnies that gets born does not have any
offspring while growing up fo a month
but then has one pair of baby bunny
babies every month. Starting with one
pair the Fibonacci sequence tells you
how many pairs there are month after
month. You are all familiar with this,
right? So the final task for you is to
follow in Leonardo's footsteps and
engineer an ideal mathematical tribonacci 
rabbit population whose population
growth is captured by the tribonacci 
sequence. And that's it for today. As
usual, let me know how my explanations
worked for you and discuss any problems or
thoughts you might have in the comments.
 

Russian: 
впервые были придуманы Леонардо Фибоначчи (Leonardo Fibonacci) в 13-ом веке и чей
прирост популяции описывается последовательностью Фибоначчи. Вероятно, вы все знаете
об этом, но всё же: пара таких кроликов сразу после рождения не даёт потомство
в течение месяца, пока они растут, но затем приносят потомство в размере одной пары малышей-кроликов
каждый последующий месяц. Начиная с одной пары, последовательность Фибоначчи отражает,
сколько пар кроликов будет в популяции в каждом последующем месяце... Вы все знакомы с этой историей,
так ведь? Итак, финальное задание для вас заключается в том, чтобы, следуя по стопам Леонардо,
соорудить идеальную популяцию математических кроликов Трибоначчи, чей прирост
будет описываться последовательностью Трибоначчи. И на этом всё на сегодня.
Как всегда, дайте мне знать, насколько хорошо мои объяснения сработали для вас, и обсудите все проблемы или
идеи, возникшие у вас в процессе, в комментариях.
"Лучший способ объяснить -- это самому сделать!" ©
