
Spanish: 
Vamos a encontrar los valores propios de la matriz dada de dos por dos. Si dejamos que A sea una
matriz n por n, entonces el número lambda es un valor propio de A si y solo si el determinante
de lambda por la matriz de identidad menos A es igual a cero, o de manera equivalente, el
determinante de A menos lambda I es igual a cero. Avancemos y usemos esta ecuación aquí
para determinar los valores propios. Entonces tendremos el determinante
de lambda por I, porque la matriz A es una matriz de dos por dos sería lambda por la matriz de
identidad de dos por dos. Y por lo tanto, esta matriz es lambda veces I.
Entonces, la primera fila es lambda cero y la segunda fila es cero lambda. Entonces tenemos menos
la matriz A dada.

English: 
We're going to find the eigenvalues
of the given two-by-two matrix.
If we let A be an n by n matrix,
then the number lambda
is an eigenvalue of A
if and only if the determinant
of lambda times the identity
matrix minus A equals zero,
or equivalently, the determinant
of A minus lambda I equals zero.
Let's go ahead and use this equation here
to determine the eigenvalues.
So we'll have the determinant
of lambda times I,
because matrix A is a two-by-two matrix
would be lambda times the
two-by-two identity matrix.
And therefore this
matrix is lambda times I.
So the first row is lambda zero
and the second row is zero lambda.
Then we have minus the given matrix A.
So to find the eigenvalues,

Spanish: 
Entonces, para encontrar los valores propios, este determinante debe ser igual a cero. Sigamos
adelante y escribamos el determinante usando barras verticales,
donde la primera fila sería lambda menos 22 negativo o lambda más 22.
Y luego tenemos cero menos tres, así que aquí tenemos tres negativos. La segunda fila tenemos cero
menos 123 negativo. Eso es 123 positivo. El último elemento es lambda menos dos.
Entonces, el valor de este determinante de dos por dos es este producto menos este producto.
Entonces nuestra ecuación, llamada ecuación característica es la cantidad lambda más 22
veces la cantidad lambda menos 2
menos negativo tres
multiplicado por 123 es igual a cero.

English: 
this determinant must equal zero.
Let's go ahead and write the determinant
using vertical bars,
where the first row would be
lambda minus negative
22 or lambda plus 22.
And then we have zero minus three,
so here we have negative three.
The second row we have
zero minus negative 123.
That's positive 123.
The last element is lambda minus two.
So the value of this
two-by-two determinant
is this product minus this product.
So our equation, called
the characteristic equation
is the quantity lambda plus 22
times the quantity lambda minus 2
minus negative three
times 123 equals zero.
Let's go ahead and multiply
these two binomials.

Spanish: 
Avancemos y multipliquemos estos dos binomios. Entonces tenemos lambda al cuadrado menos dos lambda
más 22 lambda menos 44.
Y luego aquí tendremos menos negativo 369 o más 369 es igual a cero.
Así que combina términos similares. Tenemos lambda al cuadrado más 20 lambda
más 325 es igual a cero.
Continuemos resolviendo esta ecuación en la siguiente diapositiva. Debido a que no hay factores de
325 que sumen 20, esto no es factorizable, por lo que tendremos que usar la fórmula cuadrática
para encontrar estas soluciones. Nuestro a es igual a uno
b es igual a 20 yc es igual a 325.
Entonces, por supuesto, en lugar de x, tendremos lambda. Entonces tendremos lambda igual ...
Negativo b sería negativo 20 más o menos la raíz cuadrada

English: 
So we have lambda squared minus two lambda
plus 22 lambda minus 44.
And then here we'll
have minus negative 369
or plus 369 equals zero.
So combine like terms.
We have lambda squared plus 20 lambda
plus 325 equals zero.
Let's continue solving this
equation on the next slide.
Because there are no factors
of 325 that add to 20,
this is not factorable,
so we'll have to use the quadratic formula
in order to find these solutions.
Our a equals one,
b equals 20 and c equals 325.
So of course instead of
x, we'll have lambda.
So we'll have lambda equals...
Negative b would be negative 20

Spanish: 
de b al cuadrado, eso sería 20 al cuadrado, menos cuatro veces a, que es uno, multiplicado por c,
que es 325
todo dividido por dos veces a, que sería dos veces uno. Simplificando, aquí tenemos 20 más o menos
negativo, la raíz cuadrada de esto será 400
menos 1300
todo dividido por dos.
Entonces lambda es igual a negativo 20 más o menos, la raíz cuadrada de esto será negativa 900,
dividida por dos.
La raíz cuadrada del negativo 900
es igual a la raíz cuadrada de 900 veces la raíz cuadrada de la negativa, lo que equivale a 30 i.
Entonces esto se simplifica a negativo 20 más o menos 30 i dividido por dos.

English: 
plus or minus the square root
of b squared, that'd be 20 squared,
minus four times a, which
is one, times c which is 325
all divided by two times a,
which would be two times one.
So simplifying, here we have negative 20
plus or minus the square root
of this is going to be 400
minus 1300
all divided by two.
So lambda is equal to negative 20
plus or minus the square root of
this is going to be negative
900, divided by two.
The square root of negative 900
is equal to the square root of 900
times the square root of
negative one, which equals 30 i.
So this simplifies to negative 20
plus or minus 30 i divided by two.

Spanish: 
Al dividir esto en la parte real y la parte imaginaria, tenemos lambda es igual a 20 negativo
dividido por dos más o menos 30 i dividido por dos,
lo que equivale a 10 negativo más o menos 15 i.
Entonces tenemos dos valores propios.
Lambda one es igual a negativo 10 más 15 i,
y lambda dos es igual a negativo 10 menos 15 i. Pero si volvemos a la pregunta original, creo que
solo debemos ingresar ayb.
Entonces, aquí se nos dice que los valores propios son números complejos. En nuestro caso, a es
igual a 10 negativo yb es igual a 15.
Observe cómo no ingresamos el más o menos o el i. Solo estamos ingresando el valor de a y el valor
de b. Espero que hayas encontrado esto util.

English: 
Breaking this up into the real
part and the imaginary part,
we have lambda equals
negative 20 divided by two
plus or minus 30 i divided by two,
which equals negative
10 plus or minus 15 i.
So we have two eigenvalues.
Lambda one is equal to
negative 10 plus 15 i,
and lambda two is equal
to negative 10 minus 15 i.
But if we go back to
the original question,
I believe we're only
supposed to enter a and b.
And so we're told here the
eigenvalues are complex numbers.
In our case, a is equal to
negative 10 and b is equal to 15.
Notice how we don't enter
the plus or minus or the i.
We're only entering the value
of a and the value of b.
I hope you found this helpful.
