
Korean: 
[한국어자막: 오명운
형은 말이야, 
수학에서 표기법이 그렇게 중요하다고 생각하진 않아.
하지만 오해하진 말아줘.
형도 다른 사람들처럼 그 와닿지도 않는 
표기법을 즐겨쓴다고.
그런데 말이야, 그런 낯선 표기법 중에서
몇 가지만 더 간단하게 바꾸면
사람들이 수학을 더 쉽고 빨리 배우게 될 수도 있어.
하지만 결국에는 말이지, 수학에서는 좋든 나쁘든 
표기법 자체가 중요한 것은 아니야.
가장 신경써서 만들어진 기호나 문법조차도
그 바탕에 깔려있는 개념을 시각적으로 표현하는데 
실패하기도 하거든.
그래서 형은 말이야, 
바탕에 깔려있는 본질을 이해하는데 더 집중하고,
기호는 그냥 있던대로 있게 내버려두는게 좋다고 생각해.
하지만 말이야, 
직관적이지 않은 표기법이 학습에 방해가 된다면,
그런 표기법은 좀 다시 생각해 볼 필요가 있다고 봐.
특히, 이 (지수, 로그, 제곱근) 삼총사를 
한 번 살펴보면,
이런 표기법은 수학을 배우는데 
지독한 장애물이 된다는 생각이 들어.
2를 세 번 곱하면 8이 되는 걸 예로 들어보자고.
이런 관계를 3가지 방식으로 설명할 수 있어.

German: 
 
Für gewöhnlich denke ich, dass Notation in der Mathematik nicht allzu wichtig ist.
Versteht mich nicht falsch,
mir mach es, wie jedem Anderen auch, Spaß, sich über schlechte Notation aufzuregen
und es gibt offensichtlich ein paar einfache Änderungen unserer Konventionen
die das Lernen für Mathematikstudenten überall beschleunigen könnten.
Aber letztendlich ist die Notation, gut oder schlecht, einfach nicht das worauf es in der Mathematik ankommt.
Sogar die vorsichtigst entworfenen Symbole und Syntax
werden nicht in der Lage sein, die zugrunde liegende Visualisierung einzufangen, die das Verstehen ausmacht.
Daher denke ich, dass es besser ist, seine Zeit für das Verständnis der zugrundeliegenden Essenz aufzuwenden
und die Symbole einfach das sein zu lassen, was sie sind - Symbole.
Aber nichtsdestotrotz, wenn un-intuitive Notation aktiv die Zahnräder des Lernens blockieren,
dann wird meine Einstellung zu diesem Thema etwas härter.
Im speziellen denke ich an ein Tripel von Syntax, welches, wenn man innehält und darüber nachdenkt,
eine ungeheuerliche Quelle von Schwierigkeiten im Mathematikunterricht ist.
Wenn man z.B. den Fakt her nimmt, dass 2 drei mal mit sich selbst multipliziert gleich 8 ist.
Haben wir drei unterschiedliche Möglichkeiten um diesen Zusammenhang zu erklären:

French: 
[Sous-titres: Jasmin Corbeil-Dupuis]
Habituellement, je ne pense pas que les notations mathématiques sont si importantes.
Comprenez-moi bien,
Je constate une mauvaise utilisation d'une notation comme tout le monde
et il y a clairement de simples 
modifications à apporter à nos conventions
qui pourrait accélérer l'apprentissage 
des étudiants en mathématiques, et ce, partout.
Au bout du compte, la notation, qu'elle soit bonne ou mauvaise, ce n'est pas que cela le but des mathématiques.
Même les symboles et la syntaxe les plus soigneusement conçus
ne parviendra pas à saisir toute la subtilité de l'aspect visuel de la compréhension.
Donc, je me dis qu'il vaut mieux tout simplement se concentrer sur le fondement de cette subtilité
et laisser les symboles simplement être ce qu'ils sont.
Cela dit, lorsque la notation n'est pas intuitive et qu'elle ralentit le processus d'apprentissage,
l'importance des symboles doit être prise en considération un peu plus.
En particulier, je pense à trois expressions qui, lorsque que vous vous y arrêtez et y pensez,
sont un exemple flagrant d'embûche dans l'enseignement des mathématiques, et ce, partout.
Si vous prenez, par exemple, le fait que 2 multiplié par lui-même 3 fois est égal à 8
il y a trois façons distinctes
pour expliquer cette relation :

Chinese: 
[字幕：中文(台灣)]
我通常不覺得數學怎麼表示有太大差別
不要誤會
我也像大家一樣喜歡借用一些符號
而且一定到處都存在那種
改變一些傳統符號，就可以加快學生學數學的地方
但這些符號，不管好壞，最後都不是數學的重點
即使是最小心設計的符號或寫法
也可能無法抓到符號底下隱含的，構成我們理解的圖像
所以我想我們最好只把時間花在那些隱含的本質上
就讓那些符號乖乖待在那裡
話雖然這樣說，但當不直覺的表示法拖慢學習的速度
那就讓這件事稍微變得比較難受了
具體一點，我在想一種一組三個的表示法，當你思考之後你會發現
他們佔據了數學教育中的超大部分
舉例來說，如果你拿二乘三次等於八
我們有三種方法表示他們的關係

Arabic: 
 
عادةً، لا أظن أنّ المعادلات الرياضية مهمة لتلك الدرجة
لا تفهموا مقصدي خطأً
أنا أستمتع بسوء بعض المعادلات مثل بعض الأشخاص
وهناك القليل من الإختلافات في طريقتنا لحب هذه المعادلات
والتي من الممكن أن تزيد من سرعة تعلم التلاميذ للرياضيات في كل مكان
ولكن في النهاية المعادلات الجيدة والسيئة لا تعتبر هي الغرض من الرياضيات
وحتى أكثر المعادلات المكتوبة بدقة في رموزها وبنائها
ستفشل في إحاطة المعنى الضمني والصوري لها والذي يساعدك على فهمها
ولذلك أنا أظن أنه سيكون من الأفضل أن تقضي بعض الوقت في التركيز على المعنى الجوهري لهذه المعادلات
وأن تدع الرموز تكون بأي شكل كان في راحة وسلام
ولكن عندما تكون هناك معادلة لا تتوافق مع حدسك مباشرة مما يؤدي إلى إيقاف محركات التعلم
فيصبح الموضوع صعبًا
على وجه التحديد، أنا أفكر في معادلة ثلاثية الأطراف، والتي عندما تتوقف وتتفكر فيها
وهي تعتبر محل خلاف في تعليم الرياضيات في كل مكان
عندما تتذكر معلومة أن 2 مضروبًا بنفسه 3 مرات يساوي 8 على سبيل المثال
لدينا 3 طرق مختلفة لتفسير هذه المعلومة

Russian: 
Обычно я не считаю, что в математике так уж важны условные обозначения.
Не поймите меня неправильно,
я тоже не в восторге от непонятной нотации,
в которой можно сделать совсем небольшие изменения,
облегчившие бы жизнь изучающим математику людям по всему миру.
В любом случае, математика не основана на одних условных обозначениях.
Даже самые тщательно проработанные символы и синтаксис
не дадут такой же уровень понимания, как простая визуализация.
Лучше потратить время на объяснение самой сути,
а символы оставить в покое как они есть.
Но когда сбивающие с толку обозначения активно тормозят процесс изучения,
вопрос встаёт чуть острее.
В частности, я подумал об конкретной тройке в синтаксисе, которая, если подумать,
всюду является вопиющим источником недопонимания при обучении.
К примеру, тот факт, что двойка, умноженная на себя три раза равняется восьми,
можно записать тремя различными способами:

Persian: 
 
اغلب فکر نمی کنم که نمادها در ریاضیات اهمیت خاصی داشته باشند.
اشتباه برداشت نکنید.
من همان قدر از نمادهای بد لذت می برم که دیگران لذت می برند،
و اصلاحات کوچکی در قراردادهای ما هستند
که می توانند یادگیری ریاضیات را برای دانش آموزان تسریع کنند.
اما در نهایت نمادها، چه خوب و چه بد، هدف ریاضیات نیستند.
حتی نمادها و قواعد نوشتاری به دقت طراحی شده نیز
نمی توانند وجه نمایشی مورد نیاز برای درک موضوع را فراهم کنند.
به همین دلیل بهتر دیدم وقت خود را روی فهم موضوع متمرکز کنم
و اجازه دهم نمادها در آرامش باشند.
اما وقتی نمادهای ناآشنا دائماً چرخ دنده های یادگیری را متوقف می کنند،
موضوع کمی سخت می شود.
به طور ویژه سه نماد هستند که وقتی به آنها فکر می کنید،
آنها را عامل جدی تنش در یادگیری ریاضی در همه جا می یابید.
به عنوان مثال اگر این اصل را که 3 بار ضرب عدد 2 در خودش برابر با 8 می شود در نظر بگیرید
ما سه راه مختلف برای توضیح این رابطه داریم:

Spanish: 
[Subtítulos: Bastiaan Cnossen]
Por lo general, no creo que la notación 
 
 en matemáticas importa mucho.
No me malinterpreten,
Disfruto quejarme de la mala notación tanto como los demás,
y está claro que hay unos simples 
cambios en nuestras convenciones
que podrían acelerar el aprendizaje 
para los estudiantes de matemáticas de todo el mundo.
Pero al final del día, la notación, buena o mala, 
no es el punto de las matemáticas.
Incluso los símbolos y sintaxis más cuidadosamente diseñadas
dejarán de captar la visualización fundamental que constituye el aprendizaje.
Así que me imagino que es mejor, simplemente, pasar
tiempo a centrarse en esa esencia que subyace
y dejar que los símbolos sean lo que son, en paz.
Pero dicho esto, cuando la notación poco intuitiva
atasca activamente a los engranajes de aprendizaje
las discusiones sobre este tema se vuelven un poco más complicadas.
En particular, estoy pensando en un trío de la sintaxis,
que, cuando te paras a pensar en ello,
es una fuente atroz de fricción 
en la enseñanza de matemáticas en todas partes.
Si se toma el hecho de que 2 multiplicado
por sí mismo 3 veces es igual a 8, por ejemplo,
tenemos tres caminos separados
para explicar esta relación:

Polish: 
 
Zwykle nie sądzę, że notacja ma duże znaczenie w matematyce.
Nie zrozumcie mnie źle,
zła notacja cieszy mnie tak, jak każdego innego
i istnieje kilka prostych zmian naszych konwencji,
które mogłyby przyspieszyć naukę studentów matematyki na całym świecie.
Ale ostatecznie, notacja, dobra czy zła, nie jest celem matematyki.
Nawet najbardziej starannie zaprojektowane symbole i składnia
nie uchwycą kryjącej się za nimi wizualnej strony, która stanowi zrozumienie matematyki.
Więc uznałem, że lepiej po prostu spędzić czas koncentrując się na tej ukrytej istocie
i przyjąć symbole takimi, jakie są.
Jednak, kiedy nieintuicyjna notacja
utrudnia naukę,
moje stanowisko w tej sprawie trochę się zaostrza.
W szczególności, mam na myśli jedną trójkę składniową, która, jeśli się zatrzymasz i pomyślisz o niej,
jest rażącym źródłem konfliktów
w edukacji matematycznej.
Jeśli na przykład wziąć fakt, że 2 pomnożone przez siebie 3 razy jest równe 8,
mamy trzy różne sposoby
wyjaśnienia tej zależności:

Portuguese: 
 
Em geral, eu não penso que a notação importa muito em matemática.
Não me entenda mal.
Eu até curto consertar as más notações, tanto quanto os outros,
e claramente há casos em que pequenas alterações nas convenções
poderiam acelerar o aprendizado de matemática para estudantes em qualquer lugar
Mas no fim das contas, notação, boa ou ruim, não é o foco da matemática.
Até mesmo os símbolos e sintaxes mais cuidadosamente desenhados
falharão em capturar o visual subjacente à compreensão.
Então eu creio que é melhor usar o tempo focando nessa essência subjacente
e deixar os símbolos serem como são, em paz.
Isto dito, quando uma notação não intuitiva sabota a aprendizagem
esse posicionamento sobre a questão fica um pouco mais rígida.
Em particular, me lembro de uma sintaxe tripla que, quando você analisa
é uma enorme fonte de atrito no ensino de matemática no mundo todo.
Tomando o fato de que 2 multiplicado por si mesmo 3 vezes é igual a 8, por exemplo,
temos três formas diferentes de explicar essa relação:

Czech: 
 
Obvykle si myslím, že na znační v matematice tolik nezáleží.
Abychom si rozuměli,
láteření nad špatným značením si užívám jako snad každý
a zřejmě se nabízí nemálo jednoduchých změn v našich zvycích,
které by mohly urychlit učení matematiky pro studenty všude na světě.
Ale, suma sumárum, není značení, ať dobré nebo špatné, tím důležitým v matematice.
Sebepečlivěji navržené symboly
nemohou nikdy pochytit základní vizuální náhled nutný k pochopení.
Takže bych řekl, že je lepší trávt čas soustředěním se na podstatu
a nechat symboly v klidu a míru, jak jsou.
Ale přes to vše, když neintuitivní značení aktivně podkopává hladké učení,
je tento pohled na věc příliš měkký.
Konkrétně mám na mysli trojici značení, která, když se nad tím zamyslíte,
je nezměrným zdrojem třenic ve výuce matematiky.
Například fakt, že 2 vynásobená sama sebou třikrát dává 8,
lze popsat třemi různými způsoby:

English: 
[Subtitles: Bastiaan Cnossen]
Usually, I don't think notation in 
math matters that much.
Don't get me wrong,
I enjoy a bad notation rent as much as the next guy,
and there are clearly a few simple 
changes to our conventions
that could speed up learning 
for math students everywhere.
But at the end of the day, notation, good or bad, 
it's just not the point of math.
Even the most carefully designed symbols and syntax
will fail to capture the underlying visual 
that constitutes understanding.
So I figure it's better to just spend
time focusing on that underlying essence
and let the symbols just be what they
are in peace.
But that said, when unintuitive notation
actively stalls the gears of learning
this position on the matter hardens
up a little bit.
In particular, I'm thinking of one threesome of syntax,
which, when you stop and think about it,
is an egregious source of friction 
in math education everywhere.
If you take the fact that 2 multiplied
by itself 3 times equals 8 for example,
we have three separate ways
to explain that relationship:

Polish: 
2^3 = 8, z indeksem górnym;
∛8 = 2, z symbolem pierwiastka;
i log₂ (8) = 3, co piszemy używając słowa „log”.
Co te trzy sposoby zapisania tego samego faktu mają ze sobą wspólnego?
Wymyślanie składni dla koncepcji jest w porządku, ale po co robić to na trzy
zupełnie różne sposoby dla tej samej koncepcji i zmuszać uczniów do nauki każdej
zasady na temat tego konceptu 3 razy.
To jest jak inny język.
Ten sposób pisania rzeczy jest nie tylko nieintuicyjny; jest niematematyczny,
ponieważ zamiast sprawiać, aby
pozornie różne fakty wyglądały tak samo,
czyli to, co powinna robić matematyka, bierze trzy fakty, które powinny
oczywiście być takie same
i sprawia, że ​​wyglądają sztucznie inaczej.
Wystarczy pomyśleć o tym, jak mylące były logarytmy
po raz pierwszy, gdy się ich uczyłeś.
Jest to oczywiście znany problem 
a w Internecie nie brakuje ludzi,
którzy podnoszą tę samą troskę o
sugestie lepszej notacji,
ale ostatnio natknąłem się na post na Math Exchange z sugestią
tak piękną, tak symetryczną, tak rozsądną, że po prostu muszę się nią podzielić.

Persian: 
2^3 = 8 با نماد توان؛
∛8 = 2 با نماد رادیکال؛
و  log₂(8) = 3 که با خود کلمه log آن را می نویسیم.
این سه شیوه نوشتن یک قاعده یکسان چه ارتباطی با هم دارند؟
ساخت قاعده نوشتاری برای یک مفهوم اشکالی ندارد، اما سه شکل مختلف آن را ننویسید
و دانش آموزان را مجبور نکنید که همه قواعد
آن مفهوم را سه بار مختلف یاد بگیرند.
مثل این است که هر کدام زبانی متفاوت است.
این نوع نوشتن چیزها فقط ناآشنا نیست، بلکه ضدریاضی است
چرا که به جای اینکه اصل های به ظاهر متفاوت را یکسان نشان دهد
که وظیفه ریاضیات است، سه اصل مختلف را که
باید یکسان باشند به شکل های متفاوت نشان می دهد.
کافیست به یاد بیاورید چقدر لگاریتم گیج کننده بود وقتی
برای اولین بار آن را یاد گرفتید.
این مشکل البته به خوبی شناخته شده است و در اینترنت کم نیستند افرادی که
چنین نگرانی را مطرح کرده اند و پیشنهادهایی برای نمادهای بهتر ارائه کرده اند،
اما اخیراً به پستی برخوردم که پیشنهادی داشت
چنان دوست داشتنی، چنان متقارن، چنان منطقی که لازم دانستم آن را به اشتراک بگذارم.

German: 
2³ = 8, mit einem Exponenten (einer Hochzahl),
∛8 = 2, mit einem quirkeligen Wurzelsymbol.
Und log₂(8) = 3, was wir mit dem Wort 'log' selbst schreiben.
Was zur Hölle haben diese drei Wege den selben Fakt zu schreiben miteinander zu tun?
Sich Syntax für ein Konzept einfallen zu lassen ist ja schön und gut, aber macht es bitte nicht auf drei ...
komplett unterschiedlichen Arten für das selbe Konzept und zwingt Schüler nicht, jede Regel ...
über dieses eine Konzept drei separate Male zu lernen.
Gleich so als wäre es eine andere Sprache.
Diese Art etwas aufzuschreiben ist nicht nur un-intuitiv; sie ist un-mathematisch,
denn statt scheinbar unterschiedliche Dinge gleich aussehen zu lassen,
was das ist, was Mathematik leisten sollte, nimmt es drei Fakten welche ...
offensichtlich gleich sein sollten und lässt sie künstlich anders aussehen.
Denkt nur daran, wie verwirrend Logarithmen waren
als ihr sie zum ersten mal gelernt haben.
Das ist - freilich - ein bekanntes Problem und das Internet hat keinen Mangel an Leuten ...
die das Anliegen aufbringen - mit Vorschlägen für eine bessere Lösung.
Aber kürzlich stolperte ich über einen "math exchange post" mit einem Vorschlag
so hübsch, so symmetrisch, so äußerst vernünftig, dass ich ihn einfach mit euch teilen muss.

English: 
2^3 = 8, with a superscript;
∛8 = 2,  with a spikely radical symbol;
and log₂(8) = 3,
which we write using the word 'log' itself.
What the hell do these three ways of
writing the same fact have to do with each other?
Making up syntax for a
concept is fine, but don't do it in three
completely different ways for the same
concept and force students to learn every
rule about that concept in three
separate times.
It's like it's a different language.
This way of writing things isn't just
counter-intuitive; its counter-mathematical
since rather than making
seemingly different facts look the same,
which is what math should do, 
it takes three facts which should
obviously be the same
and makes them look artificially different.
Just think about how confusing
logarithms where
the first time that you learned about them.
This is of course a known issue 
and the Internet has no shortage of people
raising the same concern with
suggestions for a better notation,
but recently I stumbled across a math
exchange post with the suggestion
so lovely, so symmetrical, so utterly
reasonable that I just have to share it.

Portuguese: 
2 ao cubo é igual a 8, com o sobrescrito;
a raiz cúbica de 8 é igual a 2, com o símbolo de radical;
e o log na base 2 de 8 é 3, escrito usando a própria palavra 'log'.
Mas que diabos essas três formas de escrever o mesmo fato têm em comum?
Criar uma sintaxe para um conceito é normal, mas não faça isso três vezes
completamente diferentes, para um mesmo conceito forçando os alunos a aprenderem
cada regra sobre tal conceito três vezes, separadamente.
É como se fossem línguas diferentes.
Essa forma de escrever fatos não é apenas contra-intuitiva; é contra-matemática
pois ao invés de fazer diferentes fatos correlatos parecerem o mesmo,
que é o que a matemática deveria fazer, você toma três fatos que
obviamente são o mesmo e faz que pareçam artificialmente diferentes.
Apenas pense como os logaritmos eram
a primeira vez que você ouviu falar sobre eles.
Esse é, claro, um problema conhecido e a internet tem diversas pessoas
levantando a mesma questão com sugestões de uma melhor notação
mas recentemente, eu esbarrei com um post sobre matemática com a sugestão
tão amável, tão simétrica, tão racional que preciso compartilhar.

Chinese: 
二的三次方等於八，三寫在右上角
八的三次方根等於二，用尖尖的根號表示
八以二為底的對數等於三，我們直接寫 log 表示
他們是對同一種關係的寫法，但彼此之間到底有什麼關係阿
為了不同觀念創造不同寫法我可以接受，但不要用三種
完全不同的寫法來表達一樣的觀念
然後再強迫學生學三次同一種觀念的不同法則
那就像不同語言一樣
這種寫法不只不直覺，還缺乏「數感」
因為數學應該是要讓
看起來不同但相同的東西看起來差不多，而不是把三個
明明一樣的東西弄得很不一樣
只要想想你第一次學對數的時候
有多讓人困惑就知道了
這是一個大家都知道的問題，網路上有不少人
對這個觀點提出把表示法改得更好的建議
但最近，我不小心看到一個討論數學的貼文
有一個建議實在太可愛、太對稱、太誇張的合理所以我一定要分享

Arabic: 
2^3 = 8 طريقة الأس
الجذر الثالث ل8
ولوقارثم بأساس 2 للرقم 8 والذي يساوي 3
ماعلاقة الثلاث طرق هذه ببعضها البعض؟
صنع معادلة للتعبير عن مفهوم ما هو أمر جيد، ولكن لاتعبر عنه ب3 طرق مختلفة
تعبر عن ذات المفهوم ثم ترغم الطلاب على تعلمه
تدور على ذات المفهوم ب3 مرات منفصلة
وكأنها لغة مختلفة
هذه الطريقة في التعبير عن الأشياء هي ليست ضد الحدس فقط وإنما أيضًا هي مخالفة للرياضيات
حيث بدلًا عن جعل المفاهيم المختلفة تصبح متشابهة
وهذه وظيفة الرياضيات، هذه الطريقة تأخذ 3 مفاهيم والذين
يعبرون عن نفس الفكرة ثم تقوم بتفريقهم ب3 معادلات مختلفة
فقط تذكر معي كيف كانت اللوغاريثمات مربكة
في أول مرة قمت بتعلمها
وهذه بالتأكيد فكرة منتشرة بالانترنت
فالكثير يعربون عن قلقهم مع اقتراحات لمعادلات أفضل
ولكن مؤخرًا وقعت عيناي على مشاركة في math exchamge تحتوي اقتراحًا
جميلًا و متماثلًا ومنطقيًا والذي كان علي مشاركته معكم

French: 
2 au cube égal 8, avec 3 en exposant ;
racine cubique de 8 égal 2, avec un radical comme symbole ;
et un logarithme en base 2 de 8 égal à 3,
qui est écrit en utilisant le mot « log ».
Pourquoi y a-t-il trois façons d'écrire la même chose qui semblent rien à voir les uns avec les autres?
Utiliser une syntaxe différente pour chaque concept est très bien, mais il ne faut pas le faire pour les trois cas
complètement différente pour le même
concept et, ainsi, forcer les élèves à apprendre ces trois
règles qui concerne le même concept à trois moments distincts de son apprentissage.
C'est comme trois différentes langues à apprendre.
Cette façon d'écrire les choses est non seulement contre-intuitif... c'est contre-mathématique
il devrait plutôt faire quelque chose de similaire pour des idées différentes qui se ressemblent.
ce qu'il faut pour les mathématiques, c'est que ces trois façons d'écrire devraient
évidemment être identiques
en leur donnant un aspect artificiellement différent.
Il suffit simplement de penser aux logarithmes, à comment vous étiez confus
la première fois que vous en avez appris à leur sujet.
C'est bien sûr un problème connu de tous et même sur l'Internet qui ne manque pas de
soulever la même préoccupation pour trouver des suggestions pour une meilleure notation.
Récemment, je suis tombé sur un blog mathématique où on échangeait sur le sujet avec LA suggestion
si belle, si symétrique, si complètement
raisonnable que je viens vous le partager.

Korean: 
위 첨자를 써서 2의 3승이 8이라고 할 수도 있고,
세제곱근 기호를 써서 
8의 세제곱근이 2라고 할 수도 있고,
로그를 써서 
2를 밑으로 하는 로그 8은 3이라고 할 수도 있지.
아니 똑같은 하나의 사실을 설명하는 이 세 가지 방식이
대체 서로 무슨 관계가 있는거야?
어떤 개념을 표현하기 위한 
표기법을 만드는 건 좋다고 치자고.
하지만 똑같은 하나의 개념을 굳이 완전히 다르게 보이는 세 가지 방식으로 만들어서,
학생들이 하나의 개념에 대한 규칙을 세 가지 방식으로 
세 번씩이나 배우도록 강제하는 짓은 하지 말아야지.
뭐야 이게. 완전히 다른 언어 같잖아.
이런 식의 문법은 
직관적이지도 않고, 수학적이지도 않다고.
왜냐하면,
다르게 보이지만 알고 보면 똑같은 사실을 
똑같아 보이게 하는게 수학인데,
이건 반대로 명백하게 똑같은 하나의 사실을 
인위적으로 세 가지 서로 다른 것처럼 보이게 하거든.
로그를 처음 배웠을 때 얼마나 헷갈렸는지 생각해보자고.
사실 이런 표기법 문제는 이미 여러번 제기된 적이 있고,
더 나은 표기법을 제안하는 사람들도 
인터넷에 차고 넘친다고.
하지만 최근에 math exchange 에서 
공유하지 않고는 못 배길만한 엄청난 글을 발견했어.
완전 사랑스럽고, 
완전 대칭적이며, 
완전 합리적이야!! 그래서 공유공유!

Czech: 
2 na třetí je 8 - horním indexem
třetí odmocnina z 8 je 2 - špičatým symbolem odmocniny
a logaritmus o základu 2 z 8 je 3, což zapisujeme slovem „log“.
Co mají tyhle tří způsoby zápisu téže skutečnosti vůbec do činění spolu navzájem?
Vymýšlet značení pro myšlenky je v pořádku,  ale nedělejte to třemi
naprosto různými způsoby pro jedinou myšlenku a nenuťte pak žáky
aby se každé pravidlo o té myšlence učili natřikrát.
Vždyť je to jako jiný jazyk.
Tento způsob zápisu není jen neintuitivní, je nematematický,
protože místo ukazování, že zdánlivě různé skutečnosti jsou vlastně stejné,
což by matematika dělat měla, bere tři fakta,
která jsou očividně totéž, a vytváří mezi nimi uměle rozdíl.
Jen si vzpomeňte, jak matoucí byly logaritmy,
když jste se  nic poprvé učili.
To je samozřejmě známý problém a na internetu je dost takových,
kteří na něj upozorňují a nabízejí lepší značení,
ale nedávno jsem narazil na příspěvek na math exchange s návrhem
tak krásným, tak symetrickým, tak neochvějně rozumným, že jej musím sdílet.

Russian: 
2^3 = 8, используя верхний индекс,
∛8 = 2, используя значок радикала,
и log₂(8) = 3, используя слово 'log'.
Чего, чёрт возьми, общего имеют эти три различных способа записи одного и того же?
Это нормально, придумать синтаксис для описания идеи, но не три
совершенно различных способа описать одно и то же, заставляя учеников учить
правила, по которым эта идея работает, три раза подряд.
Это словно другой язык.
Этот способ написания не только
неинтуитивный; он нематематичный,
так как вместо нахождения общего среди,
казалось бы, разных фактов,
чем и должна заниматься математика, 
три факта, очевидно
означающие одно и то же, записываются как совершенно различные.
Просто вспомните, насколько непонятными были логарифмы, когда
вы впервые узнали о них.
Это довольно известная проблема,
и интернет не без людей,
озабоченных придумыванием лучших обозначений,
но недавно на Math Exchange я наткнулся на пост с идеей
такой красивой, симметричной и обоснованной, что я просто обязан ею поделиться.

Spanish: 
2 ^ 3 = 8, con un superíndice;
∛8 = 2, con un símbolo radical puntiagudo;
y log₂ (8) = 3,
el cual escribimos usando la misma palabra "log".
¿Qué demonios tienen en común estas tres formas diferentes de representar la misma idea?
Diseñar una sintaxis para un concepto está bien,  pero no lo hagas
de tres formas diferentes para el mismo concepto, ni forces a los estudiantes a aprender
cada regla de ese concepto en tres ocasiones distintas.
Es como si fuera un idioma diferente.
Esta manera de escribir las cosas no es sólo
contrario a la intuición; es contramatemático
ya que en lugar de hacer que objetos aparentemente diferentes parezcan iguales
que es lo que, de hecho, deben hacer las matemáticas, 
toma tres ideas que deberían ser
evidentemente iguales, y las hace ver artificialmente diferentes.
Basta con pensar en lo confuso
que eran los logaritmos cuando
los aprendimos por primera vez.
Esto es, por supuesto, un problema conocido 
y el Internet no tiene escasez de personas
elevando la misma preocupación con
sugerencias para una mejor notación,
pero recientemente me topé con una publicación de "math exchange", con una sugerencia
tan encantadora, tan simétrica, tan completamente
razonable, que me veo en la obligación de compartirla.

German: 
Für einen Zusammenhang wie 2³ = 8, nehme man ein Dreieck und schreibe 2 in die untere linke Ecke
3 oben und 8 rechts unten.
Um die Operation 2³ auszudrücken, entferne man rechte untere Ecke.
Das Symbol als ganzes repräsentiert den Wert, der in die fehlende Ecke gehen sollte.
Um log₂(8) auszudrücken, was der Frage entspricht ...
"2 hoch was ist 8?", entferne man die obere Zahl.
Das Symbol als ganzes repräsentiert den Wert, der in die fehlende Ecke gehen sollte.
Um ∛8 auszudrücken, was die Frage ist ...
"welche Zahl hoch 3 ist gleich 8?" ...
entferne man die untere linke Ecke.
Das Symbol als ganzes repräsentiert den Wert, der in die fehlende Ecke gehen sollte.
In anderen Worten: alle drei Operationen werden komplett symmetrisch repräsentiert.
Dieses Dreieck verdient einen Namen und ein Freund von mir bei "Khan Academy" entschied, dass ...
wir es das "triangle of power" nennen sollten. (Hochzahl = power = Leistung)
Die Definition alleine ist wenig ansprechend, aber wo es Spaß zumachen beginnt, ist, wenn man sieht
wie viel problemloser all die unterschiedlichen Operationen werden.

Portuguese: 
Para 2 ao cubo é igual a 8, tome um triângulo e escreva 2 no canto inferior esquerdo
3 no topo e 8 no canto inferior direito.
Para expressar a operação 2^3, remova o canto direito.
O símbolo completo, representa o valor que falta no canto removido.
Para expressar log2(8), que é a pergunta
'2 elevado a que resulta 8', remova o topo.
O símbolo completo, representa o valor que falta no topo.
Para expressar a raiz cúbica de 8, que é dizer
'qual número elevado à terceira potência resulta 8?',
remova o canto esquerdo.
O símbolo completo, representa o valor que falta no canto removido.
Em outras palavras, as três operações são representadas simetricamente.
Esse triângulo merece um nome e um amigo na Khan Academy decidiu que
deveríamos chamá-lo de 'Triângulo da Potência'.
A definição por si só é muito agradável mas o mais divertido é quando se vê
como as diferentes operações se tornam muito mais diretas.

Chinese: 
對於像是二的三次方等於八這種關係，畫一個三角形，把二寫在左下
三寫在上面，八寫在右下
要表示二的三次方，就把右下角拿掉
這整個符號代表的值就是不見的那一角
要表示八以二為底的對數，其實就是在問
二的幾次方等於八，把上面的數字拿掉
這整個符號代表的值就是不見的那一角
要表示八的三次方根，其實就是在說
誰的三次方等於八
去掉左下角
這整個符號代表的值就是不見的那一角
換句話來說，這三種運算完完全全可以對稱的寫下來
這個三角形應該被取一個名字，我在 Khan Academy 的一個朋友決定要
次方三角形(O)
叫他給力三角形(X)
單單他的定義就讓我滿舒爽的，但當你看到
他多順暢的表示所有運算會更有趣

English: 
For a relationship like 2 cubed equals 8, 
take a triangle and write 2 in the lower left,
3 on the top and 8 on the lower right.
To express the operation 2^3,
remove that bottom right corner.
The symbol as a whole represents the
value that should go in the missing corner.
To express log₂(8),
which is asking the question
'2 to the what equals 8?', 
remove the top number.
The symbol as a whole represents the
value that should go in the missing corner.
To express ∛8, which is saying:
'what number to the third power equals 8?',
remove the bottom left corner.
The symbol as a whole represents the value that should go in the missing corner.
In other words: all three operations are
completely symmetrically represented.
This triangle deserves a name and a
friend of mine at Khan Academy decided that
we should call it the triangle of power.
The definition alone is mildly pleasing
but where it gets fun is when you see
how much smoother all of the different
operations become.

Polish: 
Dla zależności 2^3=8, 
weź trójkąt i napisz 2 w lewym dolnym wierzchołku,
3 na górze i 8 w prawym dolnym wierzchołku.
Aby wyrazić operację 2^3, usuń prawy dolny róg.
Symbol w całości reprezentuje
wartość, która powinna być w brakującym rogu.
Aby wyrazić log₂(8), który zadaje pytanie
„2 do jakiej potęgi równa się 8?”, usuń górną liczbę.
Symbol w całości reprezentuje
wartość, która powinna być w brakującym rogu.
Aby wyrazić ∛8, który mówi:
„Jaka liczba do trzeciej potęgi jest równa 8?”,
usuń lewy dolny róg.
Symbol jako całość reprezentuje wartość, która powinna być w brakującym rogu.
Innymi słowy: wszystkie trzy operacje są całkowicie symetrycznie reprezentowane.
Ten trójkąt zasługuje na nazwę i
mój przyjaciel w Khan Academy zdecydował, że
powinniśmy nazwać go trójkątem mocy.
Sama definicja jest ładna, ale robi się zabawa, gdy widzisz o
ile płynniejsze stają się wszystkie operacje.

Korean: 
2의 세제곱이 8이라는 관계를 표시할 때,
삼각형을 하나 그려서 왼쪽 아래 꼭지점에 2를 적어.
위 꼭지점에 3을 적고, 
오른쪽 아래 꼭지점에는 8을 적어.
2의 3승을 표현하려면 
오른쪽 아래 꼭지점에 있던 8을 우변으로 옮겨.
그럼 삼각형과 2, 3이라는 기호 전체가 
비어 있는 오른쪽 아래 꼭지점의 값을 의미하게 되지.
log₂(8)을 표현하려면,
그러니까 '2의 몇 승이 8이지?'라는 질문을 만들려면 
위 꼭지점에 있는 3을 없애면 되지.
이번에도 마찬가지로 삼각형과 2, 8이라는 기호 전체가 
비어있는 위 꼭지점에 있는 값을 의미하게 되는거라고.
∛8을 표현할 때는, 
그러니까 '8의 세제곱근은 뭐지?'라고 물을 때는
이번에는 왼쪽 아래 꼭지점의 값을 
우변으로 옮기면 되는 거야.
삼각형과 3, 8이라는 기호 전체가
비어있는 왼쪽 아래의 값을 의미하게 된다고.
한꺼번에 모아보면, 이 세 가지는 완전히 대칭적이야.
이야~ 이런 삼각형에는 이름 하나 붙여줘야 하지 않겠어?
칸 아카데미에 있는 한 친구는 
이 삼각형을  'Triangle of Power`라고 부르자고 하더군.
정의만 놓고 보면 그냥 조금 재미있는 정도지만,
이 삼각형 표기법으로 인해 다른 모든 연산이
얼마나 부드러워지는지 알게 되면 완전 재미있어진다고.

Spanish: 
Para una relación como 2 al cubo es igual a 8, 
tomar un triángulo y escribir 2 en la parte inferior izquierda,
3 en la parte superior y 8 en la parte inferior derecha.
Para expresar la operación 2 ^ 3,
elimina esa esquina inferior derecha.
El símbolo en su conjunto representa el
valor que debe ir en la esquina que falta.
Para expresar log₂ (8),
que está haciendo la pregunta
2 'a la qué es igual a 8?', 
elimina el número de arriba.
El símbolo en su conjunto representa el
valor que debe ir en la esquina que falta.
Para expresar ∛8, que equivale a decir:
'¿Qué número a la tercera potencia es igual a 8?',
quita la esquina inferior izquierda.
El símbolo en su conjunto representa el valor que debe ir en la esquina que falta.
En otras palabras: las tres operaciones están representadas de manera completamente simétrica.
Este triángulo se merece un nombre y un
amigo mío en la Academia Khan decidió que
deberíamos llamarlo el triángulo de poder.
La definición en sí misma es medianamente agradable,
pero donde se pone divertido es cuando ves
qué tanto más homogéneas se vuelven las distintas operaciones.

Arabic: 
للعلاقة 2 تكعيب يساوي 8، خذ مثلثًا واكتب 2 في الأسفل على اليسار
3 بالأعلى و8 في الأسفل على اليمين
للتعبير عن 2^3، قم بأخذ الرقم الذي بالأسفل على اليمين
الرمز بمجمله يعبر عن القيمة التي يجب أن تكون في الزاوية الفارغة
للتعبير عن لوقارثم ال2 ل8، والذي يسأل عن
2 للقوة ماذا يساوي 8؟، قم بأخذ الرقم الذي بالأعلى
الرمز بمجمله يعبر عن القيمة التي يجب أن تكون في الزاوية الفارغة
للتعبير عن الجذر التكعيبي ل8، والذي يقول
ماهو الرقم الذي إذا رفعناه للقوة ال3 سيساوي 8؟
فم بأخذ الرقم الذي بالزاوية اليسار في الأسفل
الرمز بمجمله يعبر عن القيمة التي يجب أن تكون في الزاوية الفارغة
وبطريقة أخرى: جميع ال3 عمليات تم التعبير عنها بطريقة متماثلة
هذا المثلث يستحق اسمًا، وصديق لي في أكاديمية خان قرر أنه
يجب علينا تسميته بمثلث القوة
الاسم بنفسه ظريف، ولكن يصبح الأمر ممتعًا أكثر عندما ترى
كم من السهل أننا جمعنا كل الثلاث معادلات

Persian: 
برای رابطه ای مانند 2 به توان 3 می شود 8، مثلثی در نظر بگیرید و 2 را گوشه پایین چپ
3 را بالا و 8 را گوشه پایین راست بنویسید.
برای نمایش 2 به توان 3، عدد پایین راست را حذف کنید.
نماد در این حالت مقداری را نشان می دهد که باید در گوشه بدون عدد قرار بگیرد.
برای نمایش لگاریتم مبنای 2 عدد 8 که به این سوال پاسخ می دهد که
2 به توان چه عددی 8 می شود؟، عدد بالایی را حذف کنید.
نماد در این حالت مقداری را نشان می دهد که باید در گوشه بدون عدد قرار بگیرد.
برای نمایش رادیکال فرجه 3 عدد 8 که می گوید:
"چه عددی به توان سه برابر است با 8؟"
عدد پایین چپ را حذف کنید.
نماد در این حالت مقداری را نشان می دهد که باید در گوشه بدون عدد قرار بگیرد.
به عبارت دیگر، هر سه عملیات به شکل کاملاً متقارن نمایش داده می شوند.
این مثلث مستحق داشتن نام است و یکی از دوستانم در آکادمی خان معتقد است که
ما باید آن را مثلث توان بنامیم.
تعریف به تنهایی جالب است، اما وقتی جالب تر می شود که ببینید
چقدر عملیات مختلف روان تر انجام می شود.

French: 
Pour une relation comme 2 au cube est égal à 8, prenez un triangle et écrivez 2 en bas à gauche,
3 au-dessus et 8 en bas à droite.
Pour exprimer l'opération 2 exposant 3,
retirer le coin inférieur droit.
Le symbole dans son ensemble représente la valeur qui devrait aller dans le coin manquant.
Pour exprimer logarithme en base 2 de 8,
qui revient à la question
« 2 exposant quoi qui est égal à 8 ? », 
retirer le nombre du dessus.
Le symbole dans son ensemble représente la valeur qui devrait aller dans le coin manquant.
Pour exprimer racine cubique de 8, ce qui revient à dire :
« Quel est le nombre dont la troisième puissance est égale à 8 ? »
Retirer le coin inférieur gauche.
Le symbole dans son ensemble représente la valeur qui devrait aller dans le coin manquant.
Autrement dit, ces trois opérations sont
complètement symétriquement représentée avec une même notation
Ce triangle mérite un nom et un
de mes amis à Khan Academy a décidé que
nous devrions l'appeler « Triangle de la puissance »
La définition, seule, est légèrement agréable, mais là où ça devient amusant, c'est lorsque vous voyez
comment toutes les différentes opérations deviennent plus facilement accessibles.

Russian: 
Для записи отношения типа «2 в кубе равно 8», 
возьмите треугольник, запишите 2 в нижнем левом углу,
3 сверху и 8 в нижнем правом углу.
Чтобы выразить операцию 2 ^ 3,
оставьте правый нижний угол пустым.
Символ в целом представляет собой значение, которое должно быть в пустом углу.
Чтобы выразить log₂(8), который формулируется как
«2 в какой степени равно 8?», 
уберите число сверху.
Символ в целом представляет собой значение, которое должно быть в пустом углу.
Для записи ∛8, вопрошающего:
«Какое число в третьей степени равно 8?»,
уберите число в нижнем левом углу.
Символ в целом представляет собой значение, которое должно быть в пустом углу.
Другими словами: все три операции представлены полностью симметрично.
Этот треугольник заслуживает название. Мой друг из Khan Academy решил, что
стоит называть его «Степенной треугольник»
Само по себе определение довольно классное, 
но воистину здорово видеть,
насколько естественнее с ним выглядят все операции.

Czech: 
Pro vztah 2 na třetí je rovno 8 nakresleme trojúhelník a napišme 2 do levého spodního rohu,
3 nahoru a 8 do pravého spodního rohu.
Abychom vyjádřili operaci 2 na třetí, odstraňme levý dolní roh.
Tento symbol celý reprezentuje číslo, které patří do prázdného rohu.
Pro vyjádření logaritmu z 8 o základu 2, což jako ptát se
„2 na co je 8?“, odstraňme číslo z horního rohu.
Celý symbol pak reprezentuje číslo patřící do prázdného rohu.
Pro vyjádření třetí odmocniny z osmi, což je jako
„Které číslo na třetí je rovno 8?“,
odstraňme levý spodní roh.
Celý symbol reprezentuje číslo patřící do prázdného rohu.
Řečeno jinak: všechny tři tyto operace jsou značeny dokonale symetricky.
Tento trojúhelník by si zasloužil jméno a můj přítel z Khanovy Akademie se rozhodl,
že by se měl nazývat „trojúhelnk mocnin“.
Sama definice je mírně uspokojivá, ale pravá zábava začne až zjistíte
o kolik hladší jsou nyní všechny operace.

French: 
Dans la notation actuelle,
il y a six façons différentes d'exprimer
les différentes opérations inverses.
La plupart d'entre elles sont mémorisées comme des entités distinctes. Certaines ne sont même pas abordées.
et il n'y a pas un modèle qui se distingue,
même si toutes décrivent la même idée de base.
Cependant, les élèves doivent encore passer des heures, avec six fois plus d'efforts,  pour mémoriser chacune d'elles,
ils sont six fois plus susceptibles de faire une erreur
et ont six occasions distinctes pour décider que les mathématiques sont
stupides et ennuyeuses, et donc, propices à l'échec.
Alors, pourquoi ne pas seulement aller étudier l'art à la place?
Avec le « Triangle de la puissance », 
toutes ces opérations suivent le même schéma.
Nos cerveaux sont vraiment bons pour visualiser des modèles comme celui-ci et vous pouvez bien
plus facilement vous imaginer cette image mentale qui s'associe à la propriété.
Il y a même en quelque sorte un esthétisme plaisant à tout cela et, qui sait,
peut-être quelque chose d'artistique qui donne un air plus facile à tout cela pour les étudiants
assez longtemps pour qu'ils voient à quel point leur intuition est précieuse et fait partie de la science.

English: 
In our current notation
there are six different ways to express
the various inverse operations.
Most of these are memorized as separate entities.
Some are barely even talked about.
And there's no discernible pattern,
even though all of them describe the same basic idea.
But students still have to spend 
six times the effort to memorize each one,
are six times more
likely to make a mistake,
and have six separate opportunities to decide math is
dumb and boring and conducive to failure
and why don't I just go study art instead?
With the triangle of power, 
all these operations follow the same pattern.
Our brains are really good at picking up
on patterns like this and you can much
more easily imagine a smooth mental
image associated with the property.
There's even kind of an aesthetic
pleasure to this and, who knows?
Maybe more of the artistically inclined
students would look favorably upon that
long enough to see just how valuable
their intuitions really are in the science.

Czech: 
V našem současném značení
je šest různých způsobů, jak zapsat inverzní operace.
Většina z nich se učí zpaměti jako různé skutečnosti. O některých stěží zmiňujeme.
A není zde žádný rozeznatelný systém, přestože všechny popisují tutéž základní myšlenku.
Ale žáci stále musí věnovat šestinásobné úsili si je všechny zapamatovat,
mají šestinásobek příležitostí udělat chybu
a šestinásobek příležitostí rozhodnout se, že matematika je blbá a nudná a odsuzující k neúspěchu
a proč vlastně radši nestuduju umění?!
S trojúhelníkem mocnin všechny tyto operace následují stejný vzor.
Náš mozek je velmi schopný vnímat a rozeznávat vzory jako je tento
a lze si mnohem snáze představit mentální obraz spojený s těmito vlastnostmi.
Dokonce je v tomto značení i jisté estetické uspokojení a, kdo ví,
možná by více studentů nakloněných umění nahlédlo na tyto problémy
alespoň tak dlouho, aby spatřili jak, cenná muže jejich intuice ve vědě být.

Persian: 
در نمادنویسی فعلی
شش راه برای نمایش معکوس عملیات مختلف وجود دارد.
بیشتر اینها به صورت جدای از هم حفظ می شوند. برخی نیز به ندرت مورد بحث قرار می گیرند.
و با وجودی که همگی ایده پایه ای یکسانی را نمایش می دهند، الگوی قابل مشاهده ای میان آنها دیده نمی شود.
اما دانش آموزان باید شش برابر تلاش کنند تا هر یک از اینها را حفظ کنند،
شش برابر ممکن است اشتباه کنند،
و شش بار فرصت دارند به این نتیجه برسند که ریاضیات احمقانه و حوصله سر بر و مایه شکست است
و اینکه چرا به جای این هنر نخواندم؟
با مثلث توان همه این عملیات از الگوی یکسانی پیروی می کنند.
ذهن ما در یادگیری الگوهای این شکلی بسیار قوی است و خیلی راحت تر می توانید
تصویری ذهنی از این ویژگی ها داشته باشید.
حتی در این مسیر لذت زیباشناسانه هم است، کسی چه می داند؟
شاید تعداد بیشتری از دانش آموزان هنر دوست با دیده علاقه به موضوع نگاه کنند
تا ببینند شم و حس آنها چقدر در علم ارزشمند است.

Russian: 
В общепринятых обозначениях,
есть шесть разных способов выразить
различные операции обратимости.
Большинство из них запоминаются по отдельности.
Некоторые едва ли упоминаются.
И в них сложно заметить что-то похожее,
даже если все они описывают ту же самую основную идею.
Но студентам все равно придется прилагать в шесть раз больше усилий, чтобы запомнить каждый из них,
в шесть раз вероятнее ошибиться,
и шесть возможностей решить, что математика - отстой, изучить её нереально,
и вообще, почему бы мне не пойти учиться рисованию вместо этого?
Со степенным треугольником
все эти операции следуют одной и той же схеме.
Наш мозг отлично заточен под распознавание подобных шаблонов,
и ему гораздо проще ассоциировать свойство с простым и интуитивным рисунком.
Это даже приносит некоторое эстетическое удовольствие, и, кто знает?
Может быть, предрасположенные к искусству
студенты отнесутся к этому настолько благосклонно,
что увидят, насколько ценна
их интуиция в науке на самом деле.

Chinese: 
我們現在的表示法
總共有六種方式表示反運算
大多數都被分成不同東西來記，有些我們甚至很少提到
而且沒有一種好認的模式，但其實他們全部都在講一個一樣的觀念
所以學生要花六倍的精力去記每一個東西
這樣就有六倍的可能犯錯
也有六倍的可能性，覺得數學很鬧，很無聊，很容易碰到失敗
那我幹嘛不去學藝術
用這個給力(次方)三角形，所有運算都有一樣的模式
我們的大腦很善於認出這些模式，而且你可以
更容易的想像出一種心智模型對應到他們的屬性
光看著他們就有種療癒感了，而且誰知道
也許那些想學藝術的學生會喜歡看這個
一直看到他們發現用他們的直覺來學科學有多好

Polish: 
W naszym obecnym zapisie
istnieje sześć różnych sposobów, aby wyrazić poszczególne operacje odwrotne.
Większość z nich jest zapamiętywana jako odrębne podmioty. O niektórych z nich ledwo się mówi.
I nie ma w tym dostrzegalnego wzoru,
chociaż wszystkie z nich opisują tę samą podstawową ideę.
Ale studenci nadal muszą spędzać 6 razy więcej czasu, aby wszystko zapamiętać,
istnieje sześć razy większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu,
i mają sześć oddzielnych możliwości decydowania, że "Matematyka jest głupia, nudna i sprzyja porażce,
i dlaczego nie mogę po prostu studiować sztuki?"
Z trójkątem mocy, wszystkie te operacje wynikają z tego samego wzoru.
Nasze mózgi są naprawdę dobre w podchwytywaniu takich wzorów i możesz dużo
łatwiej wyobrazić sobie obraz związany z własnością.
Jest to nawet rodzaj estetycznej
przyjemności i, kto wie,
może więcej studentów o artystycznych skłonnościach będą patrzeć na to bardziej korzystnie
wystarczająco długo, aby zobaczyć, jak cenne ich intuicje są naprawdę w nauce.

Spanish: 
En nuestra notación actual
hay seis formas diferentes de expresar
las diversas operaciones inversas.
La mayoría de estas se memorizan como entidades separadas.
De algunas apenas se habla.
Y no hay un patrón discernible,
a pesar de que todas ellos describen la misma idea básica.
Sin embargo, los estudiantes todavía tienen que invertir
seis veces el esfuerzo de memorizar cada una,
son seis veces más
propensos a cometer un error,
y tienen seis oportunidades separadas para decidir que las matemáticas son
tontas, aburridas, y conduce al fracaso
y "¿por qué no mejor estudio Arte?".
Con el triángulo de poder, 
todas estas operaciones siguen el mismo patrón.
Nuestros cerebros son muy buenos reconociendo estos patrones, y puedes imaginar
con mucha más facilidad una imagen mental fluida asociada con la propiedad.
Incluso hay una especie de placer estético en esto y, ¿quién sabe?
Quizá más de los estudiantes con destrezas artísticas miren esta nueva idea
el tiempo suficiente como apreciar cómo sus intuiciones (artísticas) son valoradas en la ciencia.

Korean: 
현재 사용되는 표기법에서는
지수에 관련된 여러가지 역함수를 표시하는 
6가지 방식이 있는데,
이 6가지는 마치 서로 상관이 없는 놈들처럼 
따로따로 기억하게 된다고.
이 중 몇 개는 아예 듣보잡 취급을 당하고.
이 6가지가 모두 하나의 기본 아이디어를 설명하는데도,
어떤 패턴이 눈에 띄는 것도 아니야.
하지만 학생들은 이 6가지 각각을 외우느라 
6배로 고생하게 되지.
그리고 실수할 확률도 6배로 높아지고,
수학은 쓸모없고, 지겹고, 해봐야 안된다는 생각도
6번씩이나 하게 된다고.
아몰랑. 걍 예술이나 공부할래!
하지만 'Triangle of Power' 표기법을 쓰면 
이 6가지 연산이 모두 하나의 패턴을 따르게 돼.
우리 뇌는 이런 패턴을 알아차리는데는 선수야.
그리고 익숙한 것과 관련된 이미지는
머리속에서 더 부드럽게 연상할 수 있게 되지.
게다가 여기에는 어떤 미적 쾌감마저 느껴지는데, 
누가 알아?
예술적 끼가 있는 학생들이 이런 걸 보고 
수학에 더 많은 호감을 가지게 되고,
그들의 예술적 직관이라는게 
과학에서 얼마나 큰 가치가 있는지 알게 될지 말이야.

Portuguese: 
Na notação atual
há seis diferentes formas de expressar as várias operações inversas.
A maioria é memorizada como entidades separadas. Algumas raramente se discutem.
E não há padrão discernível, mesmo que todos descrevam a mesma idéia básica.
Mas estudantes têm de investir seis vezes o esforço memorizando cada uma,
possuem seis vezes mais chances de errar,
e têm seis oportunidades de decidir que a matemática é tola e chata e leva à erros.
e por quê não vou estudar arte?
Com o triângulo da potência, todas as operações seguem o mesmo padrão.
Nossos cérebros são muito bons em detectar padrões assim e você pode muito mais
facilmente imaginar uma imagem mental plana associada às propriedades.
Há mesmo um prazer estético nisso, não?
Talvez os estudantes inclinados à arte vão olhar favoráveis a isto
o suficiente para ver quão valiosas suas intuições são em ciências.

Arabic: 
في معادلة واحدة أو تعبير واحد
هناك ستة طرق مختلفة للتعبير عن مختلف العمليات العكسية
وغالبيتها يتم حفظها وكأنها تعبر عن أشياء مختلفة. والبعض من النادر جدًا حتى أن يتم الحديث عنها
ولا يوجد هناك أية نمط، مع أنهم جميعهم يعبرون عن نفس الفكرة البسيطة
ولكن  يظل من الواجب على الطلاب استنفاذ 6 أضعاف الوقت لحفظ كل واحدة منها
وهل الستة أضعاف تكون احتمالية الخطأ فيها أكبر
وبالتالي تتوالى ستة أفكار مختلفة تصف كيف أن الرياضيات غبية ومملة وتؤدي للفشل
ولماذا لا أذهب لدراسة الفن بدلًا من هذا العناء
مع مثلث القوة, كل هذه العمليات تتبع نفس النمط
عقولنا ممتازة في تتبع الأنماط المشابهة لهذا ويمكنك
بسهولة صنع صورة متخيلة في دماغك تعبر عن هذه الفكرة
حتى أنها تعطي  صورة جمالية, ولكن من يعلم؟
ربما المزيد من الطلاب الفنانين سينظرون لهذه الطريقة
لمدة طويلة كفاية ليروا كم أن الحدس هو جزء من العلوم

German: 
In unserer jetzigen Notation ...
gibt es sechs verschiedene Wege, die verschiedenen inversen Operationen auszudrücken.
Die meisten davon werden sich als separate Struktur gemerkt - und über einige spricht man eigentlich nie...
Und es gibt kein erkennbares Muster, obwohl alle die selbe zu Grunde liegende Idee beschreiben.
Aber Schüler haben immer noch sechs mal den Aufwand um sich jede dieser Strukturen zu merken,
machen dabei sechs mal so wahrscheinlich Fehler,
und haben so sechs unabhängige Gelegenheiten dazu, für sich zu entscheiden, dass Mathematik doof, langweilig und fehleranfällig ist ...
...und,ach, warum studiere ich nicht einfach Kunst?
Mit dem "Triangle of Power" folgen all diese Operationen dem selben Muster.
Unsere Gehirne sind wirklich gut darin, Muster wie diese zu erkennen, und können sich so viel ...
einfacher eine Vorstellung von den zugehörigen Eigenschafen machen.
Es bringt sogar eine gewisse Art ästhetischer Freude, und wer weiß, ...
vielleicht würden mehr der Kunst-affinen Schüler lang genug wohlwollend darauf schauen,
um zu sehen wie wertvoll ihre Intuitionen in der Wissenschaft wirklich sind.

English: 
Let's take another property, like the
idea that a^x * a^y = a^(x+y).
The corresponding fact for logarithms
is that log(xy) = log(x) + log(y)
When you write this with the triangle of power,
it's a little easier to see that both of
these expressions are really saying the same thing.
Remember: the symbol as a whole
represents the number at the missing corner,
so the top expression is saying that
when you multiply two numbers
that belong in the bottom right of the triangle,
it corresponds with adding the numbers
that belong to the top,
but that's also what the lower expression is saying:
when you multiply the numbers at the bottom right,
it corresponds with adding numbers that
belong to the top.
To help students with this, 
you could draw inside of the triangle
saying that when the lower left is constant
the numbers at the top like to add,
while the bottom right numbers like to multiply.
What about when a different corner stays
constant, like the top?
Well in this case you'd write a
multiplication sign in both the bottom corners,

Polish: 
Weźmy inną własność, jak a^x * a^y = a^(x+y).
Dla logarytmu odpowiadający fakt ma postać: log(xy) = log(x) + log(y).
Kiedy napiszesz to przy użyciu trójkąta mocy,
jest trochę łatwiej zobaczyć, że oba
wyrażenia mówią naprawdę to samo.
Pamiętaj: symbol jako całość
oznacza liczbę w brakującym rogu,
więc górne wyrażenie mówi, że
kiedy pomnożysz dwie liczby,
które leżą w prawym dolnym wierzchołku trójkąta,
odpowiada to dodaniu liczb,
które są na górze.
Ale to też mówi dolne wyrażenie:
kiedy pomnożysz liczby w prawym dolnym wierzchołku,
odpowiada to dodaniu liczb, które
są na górze.
Aby pomóc z tym studentom, 
można narysować wewnątrz trójkąta znaki
mówiące, że gdy w lewym dolnym rogu jest stała, dodajemy liczby na górze,
natomiast dolne liczby po prawej mnożymy.
Co jeśli inny wierzchołek jest stały, np. górny?
W tym przypadku napiszemy
znak mnożenia w obu dolnych rogach,

Chinese: 
我們再看另一個屬性， a 的 x 次方乘以 a 的 y 次方等於 a 的 x + y 次方
對應的對數是
x 乘以 y 的對數等於 x 的對數加 y 的對數
當你用給力(次方)三角形寫的時候
會稍微比較容易看出他們其實在講一樣的事
要記得：這整個符號代表的值就是不見的那一角
所以上面那行表示，當你乘了兩個數字
而這兩個又都是屬於右下角的
代表三角形上面的數字相加
但其實下面這行也是在講這個
當右下角的數字相乘
代表三角形上面的數字相加
你可以這樣幫學生，在三角形裡面畫個點
代表左下角是定值，上面要相加
右下角要相乘
那當不同的角是定值勒
像上面
這樣的話，你要在下面兩個角都畫上乘

Spanish: 
Vamos a tomar otra propiedad, como la
idea de que a ^ x * a ^ y = a ^ (x + y).
El hecho correspondiente para logaritmos
es que log (xy) = log (x) + log (y)
Cuando se escribe esto con el triángulo de poder,
es un poco más fácil ver que estas expresiones realmente dicen la misma cosa.
Recuerda: el símbolo en su conjunto
representa el número en la esquina que falta,
por lo que la expresión de la parte superior está diciendo que
cuando se multiplican dos números
que pertenecen en la parte inferior derecha del triángulo,
se corresponde con la adición de los números
que pertenecen a la parte superior,
pero eso es también lo que la expresión inferior está diciendo:
cuando se multiplican los números en la parte inferior derecha,
se corresponde con la adición de números que
pertenecer a la parte superior.
Para ayudar a los estudiantes con esto, 
puedes dibujar en el interior del triángulo
diciendo que cuando la parte inferior izquierda es constante
los números en la parte superior quieren sumarse,
mientras que los números de abajo a la derecha quieren multiplicarse.
¿Y cuando se mantiene una esquina diferente
constante, al igual que la parte superior?
Bueno, en este caso escribes un
signo de multiplicación en las dos esquinas inferiores,

Russian: 
Возьмём другое свойство, например что «а^х * а^у = а^(х + у)».
Соответствующий факт в логарифмах выражается как «log(хy) = log(х) + log(у)».
При записи через степенной треугольник,
немного проще заметить, что оба этих выражения действительно означают то же самое.
Помните: символ в целом
означает число в пустом углу,
поэтому верхнее выражение означает, что умножение чисел в нижнем правом углу,
соответствует сложению чисел в верхнем.
Но нижнее выражение аналогично:
умножая числа снизу справа,
числа сверху складываются.
Для того, чтобы помочь это понять, 
можно рисовать внутри треугольника,
говоря, что, когда нижний левый угол - константа, числу в вершине нравится складываться,
а нижнему - умножаться.
А когда другой угол остается
константой, например, верхний?
В этом случае напишите
знак умножения в обоих нижних углах,

German: 
Lasst uns eine andere Eigenschaft betrachten, wie die Idee, dass a^x * a^y = a^(x+y).
Die korrespondierende Aussage für Logarithmen ist, dass: log(x*y) = log(x) + log(y).
Wenn man das mit dem "triangle of power" schreibt,
ist es ein wenig einfacher zu erkennen, dass beide dieser Ausdrücke in Wirklichkeit das Selbe aussagen.
Zur Erinnerung: Das Symbol als ganzes repräsentiert den fehlenden Wert in einer der Ecken.
Also sagt der obere Ausdruck, dass wenn man zwei Zahlen multipliziert,
die in die untere rechte Ecke des Dreiecks gehören,
dies mit der Addition der Zahlen an der oberen Spitze korrespondiert.
Aber das ist es auch, was der untere Ausdruck aussagt:
Wenn man die Zahlen unten rechts multipliziert ...
korrespondiert das zur Addition der Zahlen an der oberen Spitze.
Um Schülern dabei zu helfen, könnte man [Symbole] in das Dreieck zeichnen.
Die sagen: Wenn die Ecke unten links eine Konstante ist, dann werden die Zahlen an der oberen Spitze des Dreiecks addiert,
während die Zahlen in der unteren rechten Ecke multiplizieren werden.
Was ist, wenn die Konstante in einer anderen Ecke des Dreiecks steht, z.B. an der oberen Spitze?
Nun, in diesem Fall würde man ein Multiplikationszeichen in die beiden unteren Ecken schreiben, ...

Persian: 
اجازه دهید ویژگی دیگری را در نظر بگیریم، مانند
 (a^x * a^y = a^(x+y
عامل متناظر برای لگاریتم این است:
(log(xy)=log(x)+log(y
وقتی این عبارت را با مثلث توان می نویسید،
کمی راحت تر می بینید که هر دو این عبارات در واقع یک چیز می گویند.
به یاد داشته باشید: نماد مقداری را نشان می دهد که باید در گوشه بدون عدد قرار بگیرد.
پس عبارت بالایی می گوید که وقتی دو عدد در هم ضرب می شوند
که به گوشه پایین راست تعلق دارند،
معادل این است که اعداد گوشه بالا با هم جمع شوند،
اما عبارت پایینی هم همین موضوع را می گوید:
وقتی اعداد گوشه پایین راست را در هم ضرب می کنید،
معادل جمع زدن اعداد گوشه بالا است.
برای کمک به دانش آموزان می توانیم داخل مثلث رسم کنیم
و بگوییم که وقتی گوشه پایین چپ ثابت است، اعداد بالا دوست دارند جمع شوند،
در حالی که اعداد گوشه پایین راست دوست دارند ضرب شوند.
وقتی گوشه دیگری ثابت می ماند چه؟ مثلاً گوشه بالا؟
خوب در این حالت باید علامت ضرب در هر دو گوشه پایینی رسم شود،

Portuguese: 
Vejamos outra propriedade, como a idéia de que a^x * a^y = a^(x+y).
O fato correspondente em logaritmos é 
log(xy) = log(x) + log(y)
No triângulo da potência,
é mais fácil perceber que ambas as expressões dizem o mesmo.
Lembrando: o símbolo completo representa o número faltando no vértice,
então a expressão de cima diz que quando se multiplica dois números
do canto inferior direito do triângulo,
corresponde a somar os números do topo,
mas isso é também o que a expressão de baixo diz:
quando se multiplica os números do canto inferior direito,
corresponde a somar os números do topo.
Para ajudar os alunos, pode-se desenhar dentro do triângulo
dizendo que se o canto esquerdo é constante os números do topo se somam,
enquanto do canto direito se multiplicam.
E quando um outro vértice fica constante, como o topo?
Bem nesse caso, se escreve sinais de multiplicação em ambos os cantos inferiores,

Arabic: 
لنأخذ فكرة أخرى، مثلًا : (س^ص)*(س^ن)=س^(ص+ن)
مايقابلها في اللوغاريثمات: لو(س ن)=لو(س)+لو(ن)
عندما تقوم بكتابة ذلك في مثلث القوة
يكون أسهل قليلًا أن ترى هذان التعبيران يقولان نفس الفكرة
تذكر: أن الرمز بمجمله يعبر عن العدد في الزاوية الفارغة
لذلك في الأعلى المعادلة تقول أنك عندما تقوم بضرب عددين
ينتمون للمكان الأسفل على اليمين في المثلث
يقابلها مجموع العددين الموجودين في الأعلى
ولكن هذا أيضًا ماتقوله المعادلة التي بالأسفل
عندما تقوم بضرب الأعداد في الأسفل على اليمين
يقابله جمع الأعداد التي تكون بالأعلى
لمساعدة الطلاب على فهم هذا، يمكنك أن ترسم داخل المثلث
لنقل عندما يكون اليسار من المثلث عدد ثابت، الأرقام في الأعلى تحب أن تُجمع
والأرقام على اليمين تحب أن تُضرب
ماذا إن كان الأعلى أيضًا رقمًا ثابتًا
في هذا الحالة ستقوم بكتابة الضرب في كلا الزاويتين اللتين في الأسفل

Czech: 
Podívejme se na další vlastnost, jako například to, že a^x * a^z = a^(x+y).
Odpovídající fakt o logaritmech je, že log(xy) = log(x) + log(y).
Zapsáno pomocí trojúhelníku mocnin,
je o něco snazší nahlédnout, že oba tyto výrazy říkají totéž.
Pamatujte: celý symbol reprezentuje číslo patřící do chybějícího rohu,
takže horní výraz říká, že násobení čísel
patřících doprava dolů,
odpovídá sčítání čísel v horním rohu,
ale to je přesně totéž, co říká výraz spodní:
násobení čísel vpravo dole
odpovídá sčítání čísel nahoře.
Abyste pomohli žákům toto pochopit, můžete začít kreslit dovnitř trojúhelníku
a říci, že když levý spodní roh je konstantní, čísla nahoře se sčítají
a ta vpravo dole se násobí.
Co když zůstává konstatní jiný roh, třeba ten horní?
Pak napíšete symbol násobení do obou spodních rohů.

Korean: 
a^x * a^y = a^(x+y) 라는 공식을 다시 한 번 살펴보자고.
로그를 쓰면 log(xy) = log(x) + log(y) 라고 쓸 수 있지.
Triangle of Power를 쓰면 이 공식은 이렇게 보여.
이렇게 삼각형 표기법을 쓰면 두 가지 공식이
사실은 똑같은 것을 가리키고 있다는 걸 금방 알 수 있지.
기억나지? 
삼각형과 두 꼭지점에 있는 두 값은 하나의 기호로서,
나머지 꼭지점에 있어야 할 값을 의미한다는 거.
따라서 위에 있는 초록색 공식은
삼각형의 오른쪽 아래 꼭지점의 값 두 개를 곱하는 건
두 삼각형의 위 꼭지점의 값 x, y 두 개를 
더하는 것에 해당된다고.
아래쪽에 있는 빨간색 공식도 똑같은 얘기를 하고 있어.
삼각형의 오른쪽 아래 꼭지점의 값 x, y 두개를 곱하는 건
위 꼭지점에 있는 값을 더하는 것에 해당돼.
삼각형 안쪽에 적당한 표시를 하면,
더 쉽게 이해할 수 있어,
왼쪽 아래 꼭지점의 값이 변하지 않고 그대로라면,
위 꼭지점에 있는 값은 더하는 거고,
오른쪽 아래 꼭지점에 있는 값은 곱하는 거야.
그럼 위 꼭지점에 있는 값이 변하지 않는다면
나머지 꼭지점의 값은 어떻게 되냐고?
아래 꼭지점 두 곳에 모두 곱하기 기호를 적으면 돼.

French: 
Prenons une autre propriété, comme le
idée que a exposant x multiplié par a exposant y est égal a exposant x+y.
La même idée correspondante mais pour les logarithmes est que log(xy) = log(x) + log(y)
Lorsque vous écrivez ceci avec le «  Triangle de la puissance »,
il est un peu plus facile de voir que les deux ces expressions sont vraiment similaires et veulent dire la même chose.
Rappelez-vous, le symbole dans son ensemble représente le nombre qui manque dans le coin vide,
donc l'expression du haut signifie que lorsque vous multipliez deux nombres
qui appartiennent en bas à droite du triangle,
cela correspond à l'addition des nombres
qui appartiennent à la partie du dessus du triangle,
mais l'expression du bas, quant à elle, signifie que
quand vous multipliez les nombres en bas à droite,
cela correspond à la somme des nombres qui appartiennent à la partie supérieure du triangle.
Pour aider les élèves avec cela, 
vous pouvez dessiner à l'intérieur du triangle
en leur disant que lorsque la partie inférieure gauche est constante, 
les nombres en haut sont à additionner,
tandis que ceux en bas à droite se multiplient.
Qu'en est-il lorsque un coin différent reste
constant, celui du dessus par exemple?
Dans ce cas, vous devez écrire un
signe de multiplication dans les deux coins inférieurs du triangle,

Portuguese: 
pois com expoentes e radicais multiplicação se torna multiplicação
A pergunta natural do aluno aqui é
se há uma regra análoga quando o canto direito é constante.
E sim, há!
É preciso introduzir uma nova operação,
que nesse vídeo chamarei de o-mais,
onde a o-mais b é igual  a 1 / (1/a + 1/b)
Esse não é um conceito arbitrário, posto que surge em física todo o tempo
como quando se computa resistências em paralelo.
Com este símbolo, pode-se dizer que se o canto inferior é constante
o topo é o-somado, e o canto esquerdo multiplicado.
Essa é uma bela conexão entre logaritmos e raízes
e nunca é discutida;

Korean: 
왜냐하면 지수의 곱과 제곱근의 곱은 결국 곱하기거든.
자 이제 하나 남았어.
오른쪽 아래 꼭지점의 값이 변하지 않을 때도 
이런 방식이 통할까?
응! 통해!!
하지만 그러려면 새로운 연산이 필요해.
일단 이 동영상에서는 동글더하기라고 하자고.
a 동글더하기 b는 1 / (1/a + 1/b) 야.
아니 뭐 이상한 걸 또 들이대..라고 생각하겠지만
이건 그렇게 이상한건 아니야.
병렬 저항값을 구할 때처럼 
물리학에서는 자주 사용되는 공식이라고.
다시 삼각형 표기법으로 돌아와서,
오른쪽 아래 꼭지점의 값이 변하지 않는다면,
위 꼭지점에 있는 값은 동글더한 값이 되고,
왼쪽 아래 꼭지점에 있는 값은 곱한 값이 돼.
로그와 제곱근을 이렇게 멋지게 연결할 수가 있다니!
둘이 연결된다는 얘기조차 들어본 적이 없는데

Arabic: 
لأنه مع الأس و الجذر الضرب يقابله الضرب
والسؤال الذي قد يسأله الطالب هنا
هل هناك قاعدة عندما يكون اليمين عددًأ ثابتًا؟
نعم هناك !
عليك أن تضيف عملية جديدة
والتي سأسميها لأجل هذا الفيديو او-زائد
حيث س او-زائد ص = 1\(1\س + 1\ص)
هذه حقًا ليست فكرة غبية، حيث أنها دائمًا ماتظهر في الفيزياء
مثلًا عندما تجمع مقاومات على التوالي
مع هذا الرمز تستطيع القول عندما يكون العدد على اليمين ثابتًا
الأرقام بالأعلى تحب أن تخضع ل أو-زائد مع بعضها، والأرقام التي على اليسار تحب أن يتم ضربها
وهذه طريقة رائعة للربط بين اللوغاريثمات والجذور
ولكن نادرًا مايتم مناقشتها

English: 
because with exponents and radicals
multiplication turns into multiplication.
The natural question that
a student might ask from here
is if there's an analogous rule for when the
lower right stays constant.
There is!
You have to introduce a new operation,
which for the sake of this video I'll call o-plus,
where a o-plus b equals 1 / (1/a + 1/b)
This is not actually a ridiculous thing to introduce,
since it comes up in physics all the time
like when you're computing parallel resistance.
With that symbol, you could say that 
when the lower right number stays constant,
the top numbers like to get o-plussed together 
and the bottom left numbers like to get multiplied.
This is actually a really nice
connection between logarithms and roots
and it never gets discussed;

Persian: 
چرا که در توان و رادیکال ضرب به ضرب تبدیل می شود.
سوالی که طبیعتاً دانش آموز در اینجا می پرسد این است که
آیا قانون معادلی برای وقتی که گوشه پایین راست ثابت است داریم؟
بله!
شما باید عملیات جدیدی تعریف کنید،
که در این ویدیو من آن را اُ-پلاس می نامم،
و a اُ-پلاس b عبارت است از
در واقع این عبارت چیز من در آوردی خنده داری نیست، چرا که در فیزیک بسیار کاربرد دارد
مثلاً وقتی که مقاومت های موازی را محاسبه می کنیم.
با این نماد می توانید بگویید که وقتی گوشه پایین راست ثابت است
اعداد بالا اُ-پلاس می شوند و اعداد گوشه پایین چپ در هم ضرب می شوند.
این ارتباط بسیار خوبی میان لگاریتم و ریشه است
و هیچ وقت مورد بحث قرار نمی گیرد؛

Polish: 
ponieważ mnożenie wykładników i pierwiastków zamienia się w mnożenie.
Naturalne pytanie, które może zadać teraz student brzmi:
czy istnieje analogiczna zasada, gdy
prawy dolny wierzchołek jest stały.
Istnieje!
Trzeba wprowadzić nową operację,
którą na rzecz tego filmu nazwę o-plus,
gdzie a o-plus b wynosi 1 /(1/a + 1/b).
To nie jest coś nowego,
ponieważ pojawia się w fizyce cały czas,
jak wtedy, gdy obliczamy opór równoległy.
Przy użyciu tego symbolu, możemy powiedzieć, że gdy liczba w prawym dolnym wierzchołku jest stała,
liczby na górze o-dodajemy, a dolne lewe liczby mnożymy.
To jest właściwie bardzo ładny związek między logarytmami i pierwiastkami
i nigdy nie jest omawiany.

German: 
da mit Exponenten und Wurzeln Multiplikation zu Multiplikation wird.
Die natürliche Frage die ein Schüler nun stellen könnte ist:
Gibt es eine analoge Regel falls die Konstante in der unteren rechten Ecke steht?
Allerdings!
Man muss eine neue Operation einführen,
welche ich im Zuge dieses Videos "o-plus" nennen werde.
Wobei: a "o-plus" b = 1/(1/a+1/b)
Das einzuführen ist nicht wirklich albern, da es in der Physik andauernd auftritt.
Wie zum Beispel wenn man parallele Widerstände berechnet.
Mit diesem Symbol könnte man sagen, dass wenn die rechte untere Zahl konstant bleibt ...
die Zahlen an der Spitze "ge-o-plussed" werden und die Zahlen links unten multipliziert werden.
Das ist sogar eine wirklich nette Verbindung zwischen Logarithmen und Wurzeln ...
und sie wird niemals erwähnt.

Czech: 
Protože pro exponenty a stupně odmocnin se násobení mění v násobení.
Žáci by se pak mohli přirozeně ptát,
zda existuje podobné pravidlo pro případ kdy je konstantní pravý spodní roh.
Existuje!
Musíte zavést novou operaci,
kterou, pro potřeby tohoto videa, budu nazývat o-plus,
kde a o-plus b se rovná 1/(1/a + 1/b).
To není nijak nepřirozená operace, ve fyzice se objevuje každou chvíli,
jako třeba při počítání odporu paralelního zapojení.
S tímto symbolem pak můžete říci, že když pravý spodní roh je konstantní,
čísla nahoře se o-plusují a čísla vlavo dole se násobí.
Toto je ve skutečnosti velmi krásná spojitost mezi logaritmy a odmocninami
a nikdy se i ní nemluví.

Russian: 
потому что умножение степенных фунций и корней переходит в умножение.
Естественный вопрос, который
ученик может спросить,
есть ли аналогичное правило для постоянного
правого нижнего угла.
И оно есть!
Но нужно ввести новую операцию,
которую в этом видео я буду называть о-плюс,
где «a о-плюс b равно 1/(1/a+1/b)»
Эта операция не так нелепа, как может показаться с первого взгляда, поскольку в физике она встречается всё время,
например, при расчёте сопротивления параллельно соединенных проводников.
С этим символом можно сказать, что когда нижнее правое число остается постоянным,
верхние числа о-складываются, а числа в левом нижнем углу - умножаются.
Это в самом деле очень интересная свзяь между логарифмами и корнями,
которая никогда не обсуждается;

French: 
puisqu'avec les exposants et les radicaux
la multiplication se transforme en une multiplication.
La question que pourrait poser naturellement un élève à partir d'ici c'es :
Y a-t-il une règle analogue lorsque que c'est en bas à droite qui reste constant?
Oui, il y a une !
Vous devez introduire une nouvelle opération
que, pour le bien de cette vidéo, je vais appeler rond-plus,
où a plus b est égal à 1 sur 1 sur a plus 1 sur b.
Ce n'est pas ridicule en fait d'introduire une telle opération, car elle est présente en physique souvent,
comme lorsque vous calculer la résistance parallèle, par exemple.
Avec ce symbole, on peut dire que 
lorsque le nombre inférieur droit, dans le triangle, reste constant,
les nombres placés au dessus, qui donne le résultat de l'opération rond-plus ensemble, et ceux en bas à gauche se multiplient.
Ceci est en fait un très bon lien entre les logarithmes et les racines
et c'est jamais abordé dans une classe,

Chinese: 
因為次方跟根號相乘就是相乘
學生在這邊可能會自然地問說
那右下角是定值的時候也有這種規則嗎
當然有
你要用一個新的運算符號
在這支影片裡我要叫他⊕
a ⊕ b 等於 a 分之一加 b 分之一的倒數
這不是介紹什麼荒謬的東西，因為他常常在物理出現
像你在算並聯電阻的時候
用那個符號，你可以說當右下角為定值的時候
上面的數字要 ⊕ ，左下角要相乘
這是對數和根號很好的連結
他從來不被討論

Spanish: 
porque con exponentes y radicales
la multiplicación se convierte en multiplicación.
La pregunta natural que
un estudiante puede formular a partir de aquí
es que si existe una regla análoga para cuando la parte
inferior derecha se mantiene constante.
¡La hay!
Tienes que introducir una nueva operación,
que para los fines de este video llamaré O-Plus.
donde un o-plus b es igual a 1 / (1 / a + 1 / b)
Esto no es realmente una cosa ridícula para introducir,
ya que se da todo el tiempo en Física
como cuando estás calculando la resistencia en paralelo.
Con ese símbolo, se podría decir que 
cuando el número de la parte inferior derecha se mantiene constante,
los números de arriba tienden a hacer O-Plus entre sí,
y los de la parte inferior izquierda tienden a multiplicarse.
Esto es realmente una muy agradable
conexión entre los logaritmos y las raíces
y que nunca se discute;

Polish: 
Prawdopodobnie dlatego, że notacja nie sprzyja zadawaniu pytań.
Mógłbym tu kontynuować, pokazując wiele innych właściwości, ale szczerze mówiąc myślę, że
najlepsze co mogę zrobić to zachęcić Was do odkrywania tego na własną rękę
i zauważenia, że prawie wszystko
zawierające wykładniki, logarytmy i pierwiastki
staje się ładniejsze, gdy użyjesz trójkąta mocy.
Nawiasem mówiąc, mam nadzieję, że jest rzeczą oczywistą, że w idealnym świecie
studenci nie będą uczyć się tych operacji wyłącznie z symboli.
Powinni oni nadal pytać, dlaczego to prawda i dlaczego nie wynika z innego wzoru.
Ale chodzi o to, że gdy notacja 
faktycznie odzwierciedla matematykę,
pytania, które ​​studenci najczęściej zadają
wydają się być tymi o istotę tego, co się dzieje.
Asymetrie w notacji odpowiadają
rzeczywistym asymetriom
w numerycznym związku a^b=c,
nie w sztucznych asymetriach zawijasów i słów.
Kiedy student pyta dlaczego raz dodajemy liczby w górnych wierzchołkach o-dodajemy,

Korean: 
아마 완전 다르게 생긴 로그와 제곱근의 표기법이
그런 질문을 떠올리지도 않게 만든 것 같아.
형이 여기서 다른 많은 예를 보여주면서 
더 많은 특징을 모두 보여줄 수도 있지만,
솔직히, 너희가 직접 해보는 걸 완전 강추한다.
지수, 로그, 제곱근에 관련된 모든 것들이
Triangle of Power를 쓰면 
훨씬 쉬워진다는 걸 알게 될거야.
그런데 말이야, 이 완벽한 세상에서는
이런 얘기를 할 필요도 없기를 바라는데,
공부하고 있는 학생들은 이런 연산을
순수하게 기호로부터만 배우지는 않을거야.
학생들은 이게 왜 맞는지, 왜 다른 패턴을 따르지 않는지 여전히 궁금해 할 거라고.
하지만 중요한 건 말이야,
표기법이 정말 제대로 수학을 반영하는거라면,
학생들은 자연스럽게 표기법을 떠나서
무슨 일이 일어나고 있는지 
그 핵심에 대해 궁금해하게 될거라고.
표기법에서의 비대칭은
a^b=c 라는 숫자 사이의 관계 그 자체에 있는
비대칭을 의미할 뿐,
갈겨쓴 기호나 글자같은 곳에 존재하는 
인위적인 비대칭을 의미하지는 않아.
어떤 학생이 왜 위 꼭지점은 
어떤 상황에서는 더하기를 하고, 
다른 상황에서는 동글더하기를 하는지 물어보면,

German: 
Wahrscheinlich weil die Notation nicht wirklich dazu geeignet ist, diese Frage zu stellen.
Ich könnte hier noch ewig weitermachen und eine Menge anderer Eigenschaften zeigen, aber ehrlich gesagt denke ich, dass ...
das Beste was ich hier machen kann es ist, Euch zu ermutigen diese selbst zu entdecken.
Und zu erkennen, dass so gut wie alles im Zusammenhang mit Exponenten, Logarithmen und Wurzeln ...
viel angenehmer wird, wenn man das "triangle of power" benutzt.
Im übrigen, muss ich wohl nicht erwähnen, dass Schüler in dieser perfekten Welt ...
diese Operationen nicht nur über die Symbole allein lernen würden.
Sie sollten immer noch Fragen, warum all das wahr ist und warum es nicht einem anderen Muster folgt.
Aber der Punkt ist, dass wenn die Notation wirklich die Mathematik wiederspiegelt, ...
die Fragen die die Schüler natürlicherweise stellen,
dazu tendieren, gerade den Kern des Problems zu treffen.
Die Asymmetrien in der Notation korrespondieren mit wirklichen Asymmetrien.
In dem numerischen Zusammenhang a^b=c selbst
und nicht in den künstlichen Asymmetrien der Wellenlinien und Worte.
Wenn ein Schüler fragt, warum die obere Spitze des Dreiecks in einem Kontext addiert wird und "ge-o-plussed" in einem anderen, ...

French: 
probablement parce que la notation n'est pas vraiment propice à se poser la question.
Je pourrais continuer ici et là, montrer plusieurs autres propriétés, mais, honnêtement, je pense que
la meilleure chose à faire, c'est de vous encourager à explorer par vous-même
et vous noterez que à peu près tout
impliquant les exposants, les logarithmes et les radicaux
devient plus agréable lorsque vous utilisez le « Triangle de la puissance ».
Bref, dans un monde parfait, il est évident que je souhaite que
les élèves n'auraient pas à apprendre ces opérations uniquement à partir des symboles.
Ils devraient toujours se demander pourquoi quelque chose est vrai et pourquoi quelque chose ne suit pas un schéma différent.
Cependant, l'idée reste que lorsque la notation est l'image du calcul mathématique,
les questions qui sont demandées généralement par les étudiants
viennent de ceux ont tendance à aller directement à l'essence même de ce qui se passe dans le calcul.
Les asymétries dans la notation correspondent aux asymétries réelles
de la relation numérique a exposant b est égal à c,
et non des trucs artificiels comme des gribouillis et des mots.
Quand un élève demande pourquoi les nombres du dessus s'additionne dans un contexte et, dans un autre, doivent être calculés avec l'opération rond-plus,

English: 
probably because the notation isn't
really conducive to asking the question.
I could go on and on here, showing a lot
of other properties, but honestly I think
the best case I can make here is to
encourage you to explore it for yourself
and notice that just about everything
involving exponents, logs and radicals
becomes nicer when you use the triangle of power.
By the way, I hope that it goes without saying 
that in this perfect world
students wouldn't learn these operations
purely from the symbols.
They should still ask why it's true 
and why it doesn't follow a different pattern.
But the point is that when the notation 
actually reflects the math,
the questions that students are most naturally asking
tend to be the ones that cut right into
the essence of what's going on.
The asymmetries in the notation correspond
with actual asymmetries
in the numerical relationship a^b=c itself,
not in the artificial asymmetries 
of squiggles and words.
When a student asks why the top likes
to get added in one context, but o-plussed in another,

Russian: 
и вероятно из-за того, что само написание формул не навевает ни на какие вопросы.
Я мог бы пойти и дальше, показав кучу других свойств, но мне кажется,
лучшее, что я могу здесь сделать - это воодушевить на самостоятельное исследование,
и обратить внимание, что почти всё, что содержит степени, логарифмы или корни,
выглядит очень изящно при использовании степенного треугольника.
Кстати, надеюсь, само собой разумеется, в идеальном мире
ученики не будут изучать эти операции только путём символов.
Они все равно должны спросить, почему оно работает именно так, а не иначе.
Но дело в том, что, когда нотация на самом деле отражает математику,
вопросы, которые ученики вероятнее всего спросят,
скорее откроют саму суть того, что происходит.
Асимметрия в обозначении соответствует действительным асимметриям
в самом числовом соотношении а^b = с,
а не в искусственных асимметриях 
загогулин и слов.
Когда ученик спросит, почему верхнее просто складывается в одном случае, но о-складывается в другом,

Arabic: 
لأن المعادلة ليست قابلة للتساؤل
يمكنني الإكمال وعرض الكثير من الخواص أيضًا، ولكن صدقًا
أفضل طريقة أعرضها عليك هو استكشافها بنفسك
وملاحظة كل مايخص الأسس واللوغاريثمات والجذور
والتعبير عنها بطريقة مثلث القوة يجعلها أبسط
بالمناسبة أتمنى أن يتم تمرير الفكرة دون ذكر أنه في هذا العالم المثالي
الطلاب لن يتعلموا هذه العمليات بشكل متجرد على شكل رموز
هم يجب عليهم أن يسألوا لماذا هي صحيحة ولماذا لاتتبع نمطًا مختلفًا
ولكن النقطة هي عندما تكون المعادلة تعكس الرياضيات
السؤال المعهود من الطلاب
يكون في أساس هذه المعادلة ومالذي يجري فيها
الغير تماثلية التي تظهر في المعادلات يقابلها غير تماثل حقيقي
في المعادلة س^ن=ص
 
عندما يسأل الطالب لماذا الأرقام التي في الأعلى تحب أن يتم جمعها في حالات وفي أخرى تحب أن تخضع ل أو-زائد

Czech: 
Zřejmě proto, že značení nijak nenavádí ke položení podobné otázky.
Mphl bychpokračovat dál a dál. Ukazovat mnoho dalších vlastností, ale upřímně si myslím,
že nejlepší argument, který mohu použít, je pobídnout k vás k vlastnímu prozkoumání.
A všimněte si, že skoro všechno, co se týká exponentů, logaritmů a odmocnin
vypadá lépe, když použijete trojúhelník mocnin.
Mimochodem, snad je jasné, že v tomto dokonalém světě
by se žáci neučili tyto operace jen ze symbolů.
Stále by měli klást otázky proč to vše platí a proč čísla nesledují jiný vzor.
Ale smysl je v tom, když značení skutečně odráží matematiku,
otázky, na něž se žáci ptají přirozeně,
míří častěji k přímo k podstatě probírané látky.
Asymetrie značení odpovídají skutečným asymetriím
v samotném vztahu a^b = c,
ne umělým asymetriím křivých čar a slov.
Když se žák zeptá, proč se horní čísla někdy sčítají a jindy o-plusují,

Spanish: 
probablemente porque la notación en realidad no conduce a formular esta pregunta.
Podría seguir y seguir aquí, mostrando un montón
de otras propiedades, pero sinceramente creo
el mejor argumento que puedo dar aquí es motivarse a explorar por ti mismo
y darte cuenta de que casi todo
lo relacionado con exponentes, logaritmos y radicales
se vuelve más agradable cuando se utiliza el triángulo de poder.
Por cierto, espero que no haga falta decir 
que en este mundo perfecto
los estudiantes no puedan aprender esas operaciones
puramente a partir de los símbolos.
Que todavía deben preguntar por qué es cierto
y por qué no se sigue un patrón diferente.
Pero el punto es que cuando la notación 
en realidad refleja la matemáticas,
las preguntas que los estudiantes se formulan de manera natural
tienden a ser las que apuntan directamente a la esencia de lo que acontence.
Las asimetrías en la notación corresponden
las asimetrías reales
en la relación numérica a ^ b = c en sí mismo,
no en las asimetrías artificiales 
de garabatos y palabras.
Cuando un estudiante pregunta porqué la parte superior se suma en un contexto, pero hace O-Plus en otro,

Persian: 
شاید به این دلیل که نماد مرسوم طوری نیست که به طرح پرسش بیانجامد.
می توانم همین طور که بحث ادامه بدهم و ویژگی های بسیار دیگری را نشان بدهم، اما صادقانه فکر می کنم
بهترین کاری که می توانم در اینجا بکنم این است که شما را تشویق کنم که خودتان دست به کاوش بزنید
و ببینید که تقریباً هر چیزی در مورد توان، لگاریتم و رادیکال
با استفاده از مثلث توان بهتر می شود.
البته امیدوارم نیاز به گفتن نباشد که در این دنیای بی نقص
دانش آموزان این مجموعه عملیات را صرفاً از روی نمادها یاد نمی گیرند.
آنها هنوز هم باید بپرسند که چرا اینها درست هستند و چرا از الگوی دیگری پیروی نمی کنند.
ولی نکته این است که وقتی نماد واقعاً بازتابی از ریاضیات باشد،
پرسش هایی که دانش آموزان به طور طبیعی طرح می کنند
آنهایی خواهد بود که به جوهره چیزی که طرح شده می پردازد.
عدم تقارن در نماد با عدم تقارن واقعی
در رابطه a^b=c مرتبط است،
نه اینکه عدم تقارنی ساختگی حاصل از حروف و خطوط باشد.
وقتی دانش آموزی می پرسد که چرا بالای مثلث در یک وضعیت تمایل به جمع دارد و در وضعیتی دیگر تمایل به اُ-پلاس،

Portuguese: 
provavelmente porque a notação não leva ao questionamento.
Eu poderia continuar aqui, mostrando diversas propriedades, mas honestamente acho
que o melhor a fazer é te encorajar a explorar por si mesmo
e perceber que quase tudo envolvendo expoentes, logs e radicais
é mais legal com o uso do triângulo da potência.
À propósito, nem precisa dizer que num mundo perfeito
os alunos não aprenderiam as operações puramente pelos símbolos.
Eles deveriam questionar por que é verdade e por que não segue um outro padrão.
Mas a questão é que quando a notação de fato reflete a matemática,
os questionamentos que os alunos naturalmente fazem
tendem a ser aqueles que tocam a essência dos conceitos.
As assimetrias na notação corresponde de fato à assimetrias
na relação numérica  a^b=c, propriamente dita,
Não à assimetrias de garranchos e palavras.
Quando um aluno pergunta por que o topo é somado em um contexto e o-somado em outro,

Chinese: 
可能因為這個表示法很難用來問吧
我可以舉更多更多例子，證明更多屬性，但老實說
我想我最好鼓勵你自己去探索
基本上所有關於次方對數和根號的東西
當你用了給力(次方)三角形之後都變簡單了
順帶一提，我希望不用說大家也知道，在這個「完美」世界裡
學生不會光從這些符號裡學怎麼運算
他們還是會問為什麼這是對的，為什麼他不是照另一種模式
但重點是這種表示法可以反映出數學
學生自然會問的問題
會變成直指核心的問題
表示法理的不對稱，代表數字關係裡面
實際的不對稱
而不是那種人造的不對稱符號
當一個學生問，為什麼上面有時候要相加，有時候要相 ⊕

English: 
the teacher can point out the property that 
reflecting the triangle reciprocates the top
and then they can start addressing 
where that fact comes from.
My sincere hope is that
students don't learn by symbolic patterns
but by substantive reasoning
and rederivation within their own heads
but the fact is: most of us do first 
learn things by symbolic manipulation,
so when there's an opportunity to
significantly speed up that process,
we should take it!
And if you agree with me that the triangle of power is clearly better than what we have already
start actually using it in your notes 
to see what it feels like.
Spread the word and if you're a teacher
maybe start teaching this to your students
so that we can get them hooked
while they're young.

Persian: 
معلم می تواند این نکته را اشاره کند که تقارن آینه ای مثلث حول محور عمودی، عدد بالا را نیز معکوس می کند
و سپس توضیح دهد که چرا این اتفاق می افتد.
صادقانه امیدوارم که دانش آموزان با الگوهای نمادین یاد نگیرند
بلکه با استدلال حقیقی و استنتاج دوباره در ذهن خود یاد بگیرند
اما حقیقت این است که: اکثر ما ابتدا موضوعات را با به کار گیری نمادها یاد می گیریم،
پس اگر فرصتی برای تسریع در این فرآیند وجود دارد
باید از آن استفاده کرد!
و اگر شما با من موافقید که مثلث توان به وضوح بهتر از چیزی است که الان داریم
از آن در یادداشت های خود استفاده کنید تا واقعاً ببینید استفاده از آن چطور است
موضوع را نشر دهید و اگر معلم هستید آن را به دانش آموزان خود یاد دهید
تا بتوانیم آنها را تا جوان هستند علاقه مند کنیم.

Korean: 
선생님은 삼각형의 좌우를 대칭으로 바꾸면
위 꼭지점은 역수가 된다는 걸 알려주실거야.
그 다음엔 어떻게 그렇게 되는지에 대한 이야기로
자연스럽게 흘러가겠지.
이 형이 진짜로 바라는 건 학생들이 
기호의 패턴에서 배우는 게 아니라,
실질적인 추론과 
자기 힘으로 다시 유도해보는 방식으로 배우는 거야.
하지만 현실은 좀 다르지. 우리들 대부분은 
기호의 조작을 통해 무언가를 배우기 시작해.
그럼 기호를 통해 배우는 속도를
획기적으로 높일 기회가 있다면 어떻게 해야될까?
그런 기회는 잡아야지!!
우리가 지금까지 써왔던 표기법보다 
이 Triangle of Power가 확실히 더 낫다고 믿는다면,
너희들의 공책에 실제로 써보고
어떤 느낌인지 직접 느껴보라고.
그리고 널리 알릴지어다~
선생님이라면 이걸 학생들에게 실제로 가르쳐보세요.
학생들이 어릴 때부터 이런 개념에 푹 빠져들게 만들자고요.

Czech: 
může učitel upozornit na skutečnost, že zrcadlení trojúhelníku převrací číslo v horním rohu
a potom se může věnovat tomu, odkud pochází tato skutečnost.
Upřímně doufám, že se žáci neučí ze symbolických vztahů
ale pomocí opodstatňování a odvozování ve vlastních hlavách.
Pravdou však zůstává, že většina z nás se nejprve učí manipulaci se symboly,
takže kdykoliv se naskytne příležitost zásadně urychlit proces učení,
měli bychom jí využít!
A pokud se mnou souhlasíte, že trojúhelník mocnin je zřejmě lepší než znační, co máme teď,
začněte ho používat ve svých poznámkách, ať zjistíte, jaké to je.
Mluvte o něm a, pokud jste učitelé, možná o něm řekněte svým žákům
abychom je jím zaujali, dokud jsou mladí.

Polish: 
nauczyciel może wskazać właściwość, że odwracanie trójkąta odwraca liczby na górze
i wtedy mogą zacząć pytać, skąd pochodzi ten fakt.
Mam szczerą nadzieję, że
studenci nie uczą się przez symboliczne wzory,
ale przez merytoryczne uzasadnienia i wyprowadzanie faktów w głowie,
ale faktem jest: większość z nas uczy się najpierw przez manipulowanie symbolami,
więc gdy pojawia się okazja, aby
znacznie przyspieszyć ten proces,
powinniśmy z niej skorzystać!
A jeśli się ze mną zgodzisz, że trójkąt mocy jest wyraźnie lepszy niż to, co już mamy,
zacznij go używać w notatkach, 
aby zobaczyć, jak to działa w praktyce.
Rozpowszechniaj ten pomysł, a jeśli jesteś nauczycielem, może zacznij tego uczyć swoich uczniów,
żebyśmy mogli zaszczepić w nich tę ideę, póki są młodzi.

Arabic: 
المعلم يستطيع أن يشرح الخاصية التي في المثلث حيث أنه يجمع مقلوبات التي في الأعلى
وبعدها يمكنهم البدء في تتبع من أين تأتي الحقائق
أملي هو أن لايتعلم الطلاب بالأنماط الرمزية
ولكن بمنطقية وموضوعية واستنتاجات نابعة من عقولهم
ولكن حقيقة أن أغلبنا يتعلمون أولًأ بالتعويض في الرموز
لذلك عندما تتسنى لنا الفرصة لتسريع هذا الإجراء
علينا أخذه
وإذا كنت تتفق معي بأن مثلث القوة أفضل بكثير مما نتعلمه الآن
استخدمه بدراستك
انشره وإن كنت معلمًا ربما من الأفضل أن تقوم بتعليمه لطلابك
فتجعلهم مندمجين منذ الصغر في الرياضيات

German: 
kann der Lehrer auf die Eigenschaft hinweisen, dass durch eine Spiegelung des Dreiecks der Kehrwert des Eintrages an der Spitze genommen wird.
und sie (die Schüler) können dann nachfragen das nun wieder gilt.
Meine innige Hoffnung ist, dass Schüler nicht mit symbolischen Mustern lernen ...
sondern mittels substantieller Schlussfolgerung und Wiederherleitung in ihren eigenen Köpfen.
Aber Fakt ist: Die meisten von uns lernen Dinge zunächst via symbolischer Manipulation, ...
wenn sich daher die Möglichkeit bietet, diesen Prozess signifikant zu beschleunigen,
sollten wir sie nutzen!
Und wenn Ihr mit mir übereinstimmt, dass das "triangle of power" klar besser ist als das, was wir heute bereits haben, ...
dann beginnt es wirklich in Euren Notizen zu nutzen, um zu sehen wie es sich anfühlt.
Erzählt es weiter! Und wenn Du ein Lehrer bist, dann solltest du vielleicht versuchen, es wirklich deinen Schülern beizubringen,
so dass wir sie fesseln können, solange sie noch jung sind.

Spanish: 
el profesor puede señalar la propiedad de que al reflejar el triángulo, la operación cambia por su recíproca
y luego se puede empezar a abordar 
de donde viene este hecho.
Mi sincera esperanza es que
los estudiantes no aprendan los patrones simbólicos
sino a través del razonamiento y la reformulación en sus propias mentes
pero el hecho es que la mayoría de nosotros primero 
aprende las cosas por la manipulación simbólica,
por lo que cuando hay una oportunidad para
acelerar significativamente ese proceso,
debemos aprovecharla!
Y si estás de acuerdo conmigo en que el triángulo de poder es claramente mejor que lo que ya tenemos
empieza a usarlo en tus notas para ver que se siente.
Corre la voz y si eres un maestro
tal vez puedes empezar a enseñar esto a tus estudiantes
para que podamos cautivarlos mientras son jóvenes.

Chinese: 
老師可以說翻過三角形的屬性，要讓上面的數字取倒數
然後再開始說為什麼會這樣
我真心希望學生不是透過符號的模式學習
而是他們自己去推導推理
但事實就是，我們大部分就是會先從操弄符號來學習
所以當有機會可以顯著加快這個過程
我們應該把握他
還有如果你同意我說給力(次方)三角形明顯比我們現在的符號還好
開始真的用在你的筆記哩，試試看有什麼感覺
推薦給別人，如果你是老師，教你的學生這個三角形
那就可以趁他們年輕的時候讓他們習慣這個三角形

Portuguese: 
o professor pode mostrar a propriedade de que refletir o triângulo cria a recíproca no topo
e começar a verificar de onde esses fatos vêm.
Minha sincera esperança é que alunos não aprenda por padrões simbólicos
mas pela razão substantiva e rederivação em suas próprias mentes
porém o fato é: a maioria de nós primeiro aprendem por manipulação simbólica,
então quando há a oportunidade de acelerar um pouco o processo,
deveríamos aproveitar!
E se você concorda que o triângulo da potência é claramente melhor do que o que temos
comece a usá-lo em suas anotações para ver com é.
Espalhe a palavra e, se você é professor, ensine a seus alunos
para que sejam fisgados enquanto são jovens.

Russian: 
учитель покажет, что поворот треугольника вокруг вертикальной оси изменит соответствующую операцию вверху,
а затем они вместе разберутся, откуда это следует.
Я искренне надеюсь, что
ученики обучаются не формулами,
а обоснованными суждениями и самостоятельным их осмыслением.
Но это факт: большинство из нас сначала обучается путём манипуляций с символами,
поэтому, когда имеется возможность значительно ускорить этот процесс,
следует ею воспользоваться!
И если вы согласны, что степенной треугольник явно лучше того, что есть сейчас,
начните пользоваться им в своих записях, чтобы ощутить его в действии.
Расскажите всем, а если вы учитель, наверняка стоит начать преподавать это своим ученикам,
вызвав у них интерес к математике с самого детства.

French: 
l'enseignant peut faire remarquer que la réflexion  du triangle centrée par le coin supérieur inverse le nombre du dessus,
puis les élèves pourront se demander d'où vient cette propriété.
Mon plus grand espoir est que
les élèves n'apprennent pas par des motifs symboliques,
mais par le raisonnement de fond
et la restructuration de notre pensée
mais l'idée reste que la plupart d'entre nous apprendre d'abord des choses par la manipulation symbolique.
Alors lorsqu'il y a une occasion d'accélérer considérablement ce processus,
nous devrions la saisir !
Ainsi, si vous êtes d'accord avec moi que le « Triangle de la puissance » est nettement mieux que ce que nous avons déjà,
alors commencez dès maintenant à l'utiliser dans vos notes pour voir à quoi cela ressemble.
Passez le mot et si vous êtes un enseignant, alors peut-être commencez à enseigner ceci à vos élèves,
afin que nous puissions les tenir accrochés pendant qu'ils sont encore jeunes.
