
Czech: 
Podívejme se nyní na
limity složených funkcí.
Máme zde limitu funkce g z h(x)
pro x blížící se ke 3.
Jako vždy doporučuji
zastavit si video
a zkusit si tuto limitu
spočítat samostatně.
Můžeme použít
známé vlastnosti limit.
Víme, že tohle
se bude rovnat…
Bude se to rovnat
funkci g v bodě…
Limita pro x blížící se ke 3 z funkce h
tedy limita funkce h pro x blížící se k 3.
Takže musíme určit,
čemu se rovná limita funkce h
pro x blížící se ke 3.
Podívejme se na
graf funkce h zde.
Když se x blíží ke 3…
Vidíme, že h(3)
není definováno,
ale stále se můžeme ptát, čemu se rovná
limita funkce h pro x blížící se ke 3.
Když se x
blíží ke 3 zleva,

English: 
- [Voiceover] Let's now
take some limits involving
composite functions.
So over here we have
the limit of g of h of x
as x approaches three, and like always,
I encourage you to pause
the video and see if you can
figure this out on your own.
Well, we can leverage
our limit properties,
we know that this is
going to be the same thing
as the limit, actually
let me write it this way,
this is going to be the
same thing as g of the limit
as x approaches three of h of x,
or I could say the limit of
h of x as x approaches three.
And so we just need to figure out
what the limit of h of x
is as x approaches three.
So, let's look at h of x right over here
and as x approaches three, so we see that
h of three is undefined
but we can think about
what the limit of h of x
is as x approaches three.
As x approaches three from the left,
as x approaches three from the left,

iw: 
בואו ניקח כמה גבולות המכילים
פונקציות מורכבות.
אז כאן יש לנו את הגבול של G של H של X
כשX מתקרב ל3, וכמו תמיד,
אני מציע לכם לעצור את הסרטון ולראות האם אתם מצליחים
לפתור את זה בעצמכם.
ובכן, אנחנו יכולים למנף את מאפייני הגבול,
אנחנו יודעים שזה הולך להיות אותו הדבר
כמו הגבול, למעשה תנו לי לכתוב את זה כך,
זה יהיה אותו הדבר כמו G של הגבול
כשX מתקרב ל3 של H של X,
או שאפשר להגיד שהגבול של H של X כשX מתקרב ל3.
ואנחנו רק צריכים למצוא
מה הגבול של H של X כשX מתקרב ל3.
אז, בואו נראה את H של X כאן
וכשX מתקרב ל3, אז אנחנו רואים
שH של 3 אינה מוגדרת אבל אנחנו יכולים לחשוב
על הגבול של H של X כשX מתקרב ל3.
כשX מתקרב ל3 משמאל,
כשX מתקרב ל3 משמאל,

Bulgarian: 
Нека сега изчислим няколко граници, които включват
смесени функции.
Тук имаме границата на g от h от x,
когато х клони към 3 и както винаги
ти препоръчвам да спреш видеото и да видиш дали можеш
да го намериш самостоятелно.
Можем да използваме предимствата на свойствата на границите.
Знаем, че това ще бъде същото
като границата, всъщност нека го запиша по този начин,
това ще бъде същото като g от границата,
когато х клони към 3, на h от х
или мога да кажа границата на h от х, когато х клони към 3.
Така че трябва просто да намерим,
каква е границата на h от х, когато х клони към 3.
Така че нека разгледаме h от х ето тук,
когато х клони към 3. Виждаме, че
h от 3 е неопределена, но можем да помислим
каква е границата на h от х, когато х клони към 3.
Когато х клони към 3 отляво,
когато х клони към 3 отляво,

Korean: 
지금부터 합성함수의 극한을
구하는 방법에 대하여 알아봅시다
지금부터 합성함수의 극한을
구하는 방법에 대하여 알아봅시다
여기에 x가 3으로 접근함에 따른
g(h(x))함수의 극한식이
주어져 있습니다
동영상을 잠시 멈추고
스스로 풀어보세요
동영상을 잠시 멈추고
스스로 풀어보세요
우리는 극한의 성질을 이용하여
이 식을 다음과 같은 식으로
바꾸어 볼 수 있습니다
이 식을 다음과 같은 식으로
바꾸어 볼 수 있습니다
g( x가 3으로 접근할 때 h(x)의 극한 )과
g( x가 3으로 접근할 때 h(x)의 극한 ) 과
주어진 식이 같음을
알 수 있습니다
지금부터 우리가
알아보아야 할 것은
x가 3에 접근함에 따른
h(x)의 극한값입니다
주어진 h(x) 그래프를
살펴봅시다
h(3)은 정의되어 있지 않지만
x가 3에 접근함에 따라
h(x)의 극한값이 얼마로 접근하는지
알 수 있습니다
x가 왼쪽에서 3으로 접근할 때
x가 왼쪽에서 3으로 접근할 때

Czech: 
vidíme, že funkce se
rovná konstantní funkci 2.
Tedy funkční hodnota
h v bodě 2,5 je 2,
funkční hodnota
h v bodě 2,9 je 2,
funkční hodnota
h v bodě 2,99999 je 2.
Takže to vypadá, že
limita zleva se rovná 2.
Když se blížíme zprava,
dostaneme totéž.
Funkční hodnota
h v bodě 3,01 je 2,
funkční hodnota
h v bodě 3,001 je 2,
funkční hodnota
h v bodě 3,0000001 je 2,
a tak je tato
limita rovna 2.
Výraz se nám tím
zjednodušil na g(2).
A čemu se rovná g(2)?
g je tato funkce.
Když je x rovno 2,
g(2) se rovná 0.
Takže tohle se
rovná 0 a jsme hotoví.
Pojďme si udělat
ještě pár dalších příkladů.
Nyní chceme určit limitu funkce
h z g(x) pro x blížící se k −1.
Stejně jak jsme to
udělali předtím,

Bulgarian: 
виждаме, че функцията просто остава при константата 2.
При h от 2,5 е 2, h от 2,9 е 2,
h от 2,999999999 е 2.
Изглежда, че когато клоним отляво,
границата е 2, а когато клоним отдясно,
получаваме същото нещо, h от 3,01 е 2,
h от 3,001 е 2, h от 3,0000001 е 2.
Така че границата тук е 2.
Цялото това се опростява до g от 2.
Колко е g от 2?
Да видим, тази функция тук,
когато х е 2, g от 2 е 0,
така че това там ще бъде 0.
И сме готови. Нека решим още няколко от тези.
Добре, искаме да намерим границата, 
когато х клони
към минус 1 на h от g, от x.
Точно както го направихме преди малко, 
това ще бъде

Korean: 
상수함수의 형태를 한 일정 구간동안
2의 값을 가짐을 알 수 있습니다
따라서 x가 2.5일 때와 2.9일 때
모두 함수값이 2가 됩니다
x가 2.999999999 일 때 또한
함수값이 2가 됩니다
따라서 왼쪽으로부터 3에 접근할 때와
오른쪽으로부터 접근할 때 모두
같은 함수값인 2를 가짐을
알 수 있습니다
x값이 3.01일 때, 3.001일 때, 
3.0000001일 때 모두 함수값이 2입니다.
따라서 이 극한값은 2가 됩니다
이 식은 g(2)로 단순화할 수 있습니다
그렇다면 g(2)의 값은 무엇일까요?
여기 이 함수를 봅시다
x가 2일 때 g(x)의 값은 0입니다
따라서 이 식의 값은 0입니다
비슷한 계산을 몇번 더
연습해봅시다
이번에는 x가 -1에 접근함에 따른
h(g(x))의 극한값을 구해봅시다
이번에는 x가 -1에 접근함에 따른
h(g(x))의 극한값을 구해봅시다
앞에서 했던 것과 마찬가지로

English: 
we see that the function
just stays at a constant two,
so at h of 2.5 is two, h of 2.9 is two,
h of 2.999999999 is two.
So it looks like when we
approach from the left,
the limit is two and we
approach from the right,
we get the same thing, h of 3.01 is two,
h of 3.001 is two, h of 3.0000001 is two.
So this limit right over here is two.
So this is all simplified to g of two.
Now what is g of two?
Well, let's see, this function here,
when x is two, g of two is zero,
so this right over there
is going to be zero,
and we're done, let's
do a few more of these.
Alright, so we wanna find
the limit as x approaches
negative one of h of g of x.
Well, just like we just
did, this is going to be

iw: 
אנחנו רואים שהפונקציה נשארת על קבוע 2,
אז ב-H של 2.5 הוא 2, H של 2.9 הוא 2,
וH של 2.99999999 הוא 2.
אז נראה שכשאנו מתקרבים משמאל,
הגבול הינו 2 ואנחנו מתקרבים מימין,
אנחנו נקבל את אותו הדבר, H של 3.01 הוא 2,
וH של 3.001 הוא 2, H של 3.0000001 הוא 2.
אז הגבול הזה כאן הוא 2.
אז כל זה מצטמצם לG של 2.
עכשיו מהו G של 2?
ובכן, בואו נראה, הפונקציה הזו,
כשX הוא 2, G של 2 הוא 0,
אז זה כאן יהיה 0,
ואנחנו מסיימים, בואו נעשה עוד כמה כאלה.
בסדר, אז אנחנו רוצים למצוא את הגבול כשX מתקרב
למינוס 1 של H של G של X.
ובכן, בדיוק כמו שעשינו, זה יהיה

English: 
the same thing, this is
equal to h of the limit
as x approaches negative one of g of x,
so let's try to figure
out the limit of g of x
as x approaches negative one.
So, this is the graph y equals g of x
and we see at negative
one right over here,
we have this discontinuity
and as we approach,
as we approach x equals
negative one from the left,
it looks like we go unbounded
in the negative direction,
so you could say we're
approaching negative infinity,
and as we go from the right,
as we go from the right,
looks like we are, as we
get closer to x equals
negative one on the right-hand side,
looks like we're approaching infinity,
so even if they were both
approaching the same direction
of infinity, we would say
that the limit's not defined
or at least that's the
technical idea here.
But this is going, one's going
towards positive infinity,

Czech: 
toto se bude rovnat funkci h v bodě
(limita funkce g pro x blížící se k −1).
Takže spočítejme limitu
funkce g pro x blížící se k −1.
Tady je graf funkce
y se rovná g(x).
A vidíme, že v bodě −1
dochází k nespojitosti.
Když se k bodu x
rovno −1 blížíme zleva,
vypadá to, že hodnoty jdou
neomezeně záporným směrem,
neboli blížíme se
k zápornému nekonečnu.
A když se blížíme zprava,
když se k bodu x rovno
−1 blížíme z pravé strany,
vypadá to, že
jdeme k nekonečnu.
I kdybychom se blížili
k tomu samému nekonečnu,
řekli bychom, že limita není
definovaná, alespoň technicky vzato.
V tomto případě ale jdeme
jednou ke kladnému nekonečnu,

iw: 
אותו הדבר, זה שווה לH של הגבול
כשX שואף למינוס 1 של G של X,
אז בואו ננסה לפתור מה הגבול של G של X
כשX שואף למינוס 1.
אז, זה הגרף Y שווה לG של X
ואנחנו רואים שבמינוס 1 כאן,
יש לנו את אי רציפות וכשאנחנו מתקרבים,
כשאנחנו מתקרבים לX שווה מינוס אחד משמאל,
נראה שאנחנו הולכים למקום ללא גבול בכיוון השלילי,
אז אפשר להגיד שאנחנו שואפים לאינסופיות שלילית,
וכשאנו מגיעים מימין, כשאנו מגיעים מימין,
נראה שאנחנו, כשאנחנו מתקרבים לX שווה
מינוס אחד מצד ימין,
נראה שאנחנו שואפים לאינסוף,
אז אפילו אם שניהם היו שואפים לאותו הכיוון
של אינסוף, אנחנו היינו אומרים שהגבול אינו מוגדר
או לפחות הרעיון הטכני כאן.
אבל זה הולך, אחד הולך לכיוון אינסופיות חיובית,

Korean: 
이 식은 h(x가 -1에 접근함에 따른 g(x)의 극한)
과 같습니다
이 식은 h(x가 -1에 접근함에 따른 g(x)의 극한)
과 같습니다
먼저 x가 -1에 접근함에 따른
g(x)의 극한값을 구해봅시다
먼저 x가 -1에 접근함에 따른
g(x)의 극한값을 구해봅시다
이 것은 y=g(x)의 함수 그래프입니다
여기에 x가 -1인 지점이 있습니다
이 지점은 불연속 지점입니다
x가 왼쪽에서 -1로 접근하면
함수값이 무한히 작아지며
음의 무한대에 접근함을
알 수 있습니다
x가 오른쪽에서 -1로 접근하면
x가 오른쪽에서 -1로 접근하면
x가 오른쪽에서 -1로 접근하면
양의 무한대로 접근함을
알 수 있습니다
좌극한과 우극한이 같은 방향의 무한대로
접근한다고 하더라도
극한이 정의되지 않습니다
극한이 정의되지 않습니다
여기서는 한 쪽은 양의 무한대로

Bulgarian: 
същото -- Това е равно на h от границата,
когато х клони към минус 1, на g от х.
Така че нека се опитаме да намерим 
границата на g от х,
когато х клони към минус 1.
Това е графиката на у равно на g от х
и виждаме тук при минус 1,
че имаме прекъсване. А когато клоним
към х равно на минус 1 отляво,
изглежда, че нямаме граница в отрицателната посока.
Може да кажеш, че клоним към минус безкрайност,
когато идваме отдясно,
изглежда, че се приближаваме към х равно
на минус 1 от дясната страна.
Изглежда, че клоним към безкрайност,
така че дори ако и двете клонят 
към една и съща посока
на безкрайност, ще кажем, че границата не е определена
или поне това е техническата идея тук.
Но тук едната ще отива към плюс безкрайност,

iw: 
והשני לכיוון אינסופיות שלילית
אז הגבול הזה כאן אינו מוגדר.
אז, הוא אינו קיים, שאני צריך להגיד בפירוש, אינו קיים.
אז, אם הגבול X שואף למינוס 1 של G של X
אינו קיים, ובכן, אין סיכוי
שנוכל להעריך את הביטוי הזה.
לא נוכל למצוא H של לא קיים,
אז כל הגבול הזה אינו,
כל הגבול הזה אינו קיים.
בואו נעשה עוד אחד כזה.
בסדר, יש לנו שוב פעם גבול של H של F של X
כשX שואף למינוס 3, זה אותו הדבר,
זה שווה לH של הגבול
כשX שואף למינוס 3 של F של X.
אז, בואו נסתכל על F של X, זה הגרף Y שווה לF של X,
והגבול כשX שואף למינוס 3,
ובכן, כשאנו שואפים למינוס 3 מצד שמאל

Czech: 
z druhé strany k zápornému nekonečnu,
takže tato limita není definovaná.
Nebo bych měl
spíš říci, že neexistuje.
Pokud limita funkce g pro x
blížící se k −1 neexistuje,
tak ani nemůžeme
vyčíslit tento výraz,
nemůžeme určit hodnotu
h v bodě „neexistuje”,
a tudíž celá tato
limita neexistuje.
Udělejme si ještě
jeden příklad.
Máme limitu funkce h
z f(x) pro x blížící se k −3.
To se rovná funkci h v bodě (limita
pro x blížící se k −3 z funkce f).
Takže se podívejme
na funkci f.
Toto je graf funkce y rovná se f(x) a
zajímá nás limita pro x blížící se k −3.
Když se k bodu x rovno
−3 blížíme z levé strany,

Korean: 
다른 한 쪽은 음의 무한대로 접근하므로
극한이 정의되지 않음을 
알 수 있습니다
즉, 극한값이 존재하지 않습니다
따라서 만약 x가 -1로 접근할 때
g(x)의 극한값이 존재하지 않는다면
따라서 만약 x가 -1로 접근할 때
g(x)의 극한값이 존재하지 않는다면
우리가 이 식을
계산할 수 없습니다
우리는 x값이 존재하지 않을 때
h(x)의 값을 구할 수 없고
따라서 이 전체 극한값이
존재하지 않음을 알 수 있습니다
따라서 이 전체 극한값이
존재하지 않음을 알 수 있습니다
몇 개 더 연습해 봅시다
여기에 x가 -3으로 접근할 때
h(f(x))의 극한식이 주어져 있습니다
여기에 x가 -3으로 접근할 때
h(f(x))의 극한식이 주어져 있습니다
이 식은 h(x가 -3에 접근함에 따른 f(x)의 극한)
과 같습니다
이 식은 h(x가 -3에 접근함에 따른 f(x)의 극한)
과 같습니다
여기에 주어진 y=f(x)의 그래프를
살펴봅시다
그리고 x가 -3으로 접근할 때의
극한을 구해봅시다
x가 왼쪽에서 -3으로 접근할 때

English: 
and the other is going
to negative infinity
so this limit right here is undefined.
So, it doesn't exist, or I
should say, does not exist.
So, if the limit as x approaches
negative one of g of x
does not exist, well,
there's no way we that
we can evaluate this expression.
We can't find h of does not exist,
so this entire limit does not,
this entire limit does not exist.
Let's do one more of these.
Alright, so we have once
again limit of h of f of x
as x approaches negative
three, this is the same thing,
this is equal to h of the limit
as x approaches negative three of f of x.
So, let's look at f of x, this
is the graph y equals f of x,
and the limit as x
approaches negative three,
well, as we approach negative
three from the left-hand side

Bulgarian: 
а другата ще отива към минус безкрайност,
така че границата тук е неопределена.
Тя не съществува.
Ако границата, когато х клони към минус 1, на g от х
не съществува, няма начин,
да можем да изчислим този израз.
Не можем да намерим h от нещо несъществуващо.
Така че цялата тази граница,
цялата тази граница не съществува.
Нека решим още една от тези задачи.
Още веднъж имаме граница на h от f от х,
когато х клони към минус 3, това е същото,
това е равно на h от границата,
когато х клони към минус 3 на f от х.
Нека разгледаме f от х. Това е графиката на у равно на f от х,
а границата, когато х клони към минус 3,
когато клони към минус 3 от лявата страна,

English: 
as we get closer and
closer to negative three,
it looks like we are
approaching the value of one,
and as we approach from
the right-hand side,
it looks like we're
approaching the value of one.
If I were to take from the left-hand side,
if I were to take negative
3.1, negative 3.01,
negative 3.001, I'm gonna
get closer and closer to,
if I evaluate the function
there, so I should take
f of negative 3.1, f of negative 3.01,
f of negative 3.0001, we're getting
closer and closer to one, and same thing
on the right-hand side, so
this thing looks like it's one.
So, now we just have to
evaluate, and I'll rewrite it,
so this is the same thing as h of one,
h of one, so you just
have to evaluate this.
Then when we look at
this graph here at one,
this function does not look defined,
so h of one is actually
undefined, undefined right here,
so also in this case, this
limit would not exist.

Korean: 
가까워지면 가까워질수록
함수값이 1에 접근함을
알 수 있습니다
x가 오른쪽에서 -3으로 접근할 때
이 함수값 또한
1로 접근함을 알 수 있습니다
왼쪽으로부터 이동하면서
x의 값을 -3.1, -3.01, -3.001으로
-3에 가깝게 점차 변경하면
함수값이 x가 -3일때의 함수값인
1에 가까워짐을 알 수 있고
함수값이 x가 -3일때의 함수값인
1에 가까워짐을 알 수 있습니다
즉, f(-3.1), f(-3.01), f(-3.0001)이
즉, f(-3.1), f(-3.01), f(-3.0001)이
점점 1에 가까워지고
x가 오른쪽에서 -3으로 접근하여도
1이므로 극한값이 1이 됩니다
따라서 우리는 이 식을
h(1)으로 바꾸어줄 수 있고
이제 h(1)만 계산하면 됩니다
이 그래프에서 x=1일때를 살펴보면
함수가 정의되어 있지 않음을
알 수 있고
함수가 정의되어 있지 않음을
알 수 있고
이에 따라 극한값이 존재하지 않음을
알 수 있습니다

Czech: 
když jsme čím
dál tím blíže k −3,
vypadá to, že
hodnoty se blíží k 1,
a když se blížíme
z pravé strany,
zdá se, že se
hodnoty opět blíží k 1.
Kdybych z levé strany bral
postupně −3,1; −3,01; −3,001,
dostanu se čím
dál tím blíž k…
Když zde udělám funkční hodnoty,
takže spíš f(−3,1), f(−3,01), f(−3,001).
dostanu se čím
dál tím blíž k 1.
A na pravé straně
to bude to samé.
Takže tato limita je 1.
Nyní musíme vyčíslit.
Přepíšu si to.
Takže tohle se rovná h(1),
což musíme vyčíslit.
Ale když se podíváme na graf,
funkce v bodě 1
není definovaná.
h(1) tedy není definováno.
V tomto případě tak
limita opět neexistuje.

iw: 
כשאנחנו מתקרבים יותר ויותר למינוס 3,
זה נראה שאנחנו מתקרבים לערך של 1,
וכשאנחנו מתקרבים מימין,
זה נראה שאנחנו מתקרבים לערך של 1.
אם הייתי צריך להגיע מצד שמאל,
אם הייתי צריך לקחת מינוס 3.1, מינוס 3.01,
מינוס 3.001, אני אתקרב יותר ויותר ל,
אם אני אעריך את הפונקציה שם, אז אני צריך לקחת
אף של מינוס 3.1, אף של מינוס 3.01,
אף של מינוס 3.0001, אנחנו
מתקרבים יותר ויותר ל1, ואותו הדבר
בצד ימין, אז הדבר הזה נראה כמו 1.
אז, עכשיו אנחנו רק צריכים להעריך, ואני אכתוב מחדש,
אז זה אותו הדבר כמו H של 1,
אז פשוט צריך להעריך את זה.
ואז כשאנחנו מסתכלים על הגרף כאן ב1,
הפונקציה הזו אינה נראית מוגדרת,
אז H של 1 למעשה אינו מוגדר, אינו מוגדר כאן,
אז גם במקרה זה, הגבול הזה אינו מוגדר.

Bulgarian: 
когато се приближаваме все повече към минус 3,
изглежда, че клоним към стойността 1.
Когато клони от дясната страна,
изглежда, че клоним към стойността 1.
Ако трябваше да я изчислим от лявата страна,
ако изчислим минус 3,1, минус 3,01,
минус 3,001, ще се приближавам все повече.
Ако изчислим функцията там, би трябвало да изчисля
f от минус 3,1, f от минус 3,01,
f от минус 3,0001,
ще се приближаваме все повече до 1. 
Като имаме същото нещо и
от дясната страна, така че това изгледа, че е 1.
Трябва просто да изчислим, като ще го напиша,
това е същото като h от 1,
h от 1,  така че просто трябва да изчислиш това.
Но след това като разгледаме графиката тук при 1,
тази функция не изглежда определена,
така че h от 1 е всъщност неопределена.
Също и в този случай, тази граница няма да съществува.

Czech: 
Určení limity funkce f bylo
opět poměrně přímočaré,
ale když jsme výsledek
dosadili do funkce h,
tak zde funkce
nebyla definovaná.

Bulgarian: 
Отново частта с границата беше всъщност най....
Границата на f от х беше доста лесна за определяне,
но след това, когато взехме тази изходяща стойност и се опитахме
да я въведохме като аргумент в h от х,
h не беше определена там.

Korean: 
다시 한 번 정리해 보자면
f(x)의 극한값은
쉽게 구할 수 있었지만
이 극한값을 h(x)에 대입하여
최종적인 결과값을 얻고자 하였을 때
h(x)가 f(x)의 극한값을 x로 가지는
지점에서 정의 되지 않아 구할 수 없었습니다

iw: 
שוב פעם, הגבול היה למעשה
הגבול של F של X היה יחסית פשוט,
אבל אז כשניסינו לקחת את התוצאה
ולהכניס אותו בH של X,
ובכן, H של X, לא היה מוגדר שם.

English: 
Once again, the limit
part was actually at least
the limit of f of x was
fairly straight forward,
but then when we tried to take that output
and put it as the input into h of x,
well, h of x, h wasn't defined there.
