
Czech: 
V tomto videu
si dokážeme,
že limita pro Θ blížící se k 0
ze sin(Θ) lomeno Θ se rovná 1.
Začněme s takovým geometrickým
obrázkem, který tady mám.
Tato bílá kružnice je jednotková
kružnice, označím ji,
tedy její
poloměr je 1.
Jednotková kružnice.
Co představuje
délka této červené čáry?
Délka této úsečky se rovná
y-ové souřadnici bodu,
v němž tento poloměr protíná
naši jednotkovou kružnici.
Z definice goniometrických
funkcí vidíme,
že v jednotkové kružnici
se délka této úsečky rovná sin(Θ).
Chceme-li zajistit, aby toto byla pravda
i pro úhly Θ ze čtvrtého kvadrantu,
což se nám
bude hodit,

Korean: 
이 영상에서 하려는 것은
세타가 0의 극한으로 접근할때
세타분의 사인 세타의 값이
1이 된다는 것을
증명하는 것입니다
제가 가지고 있는 약간의 기하학적
또는 삼각함수를 통해 시작합니다
이 하얀 원에서 이는 단위 원인데
이렇게 이름을 붙일것입니다
반지름이 1인
단위
원
그래서 빨간색 선의 길이가
나타내는것이 무엇입니까?
이 선의 높이는 반지름이 단위 원을
교차하는 선의 y성분입니다
단위원에서 삼각함수의 정의에 의해
삼각함수에 의해 이 선의 길이는
사인 세타가 될 것입니다
만약 제4사분면에 대해서도 
이 세타에 대해 양의 값을
갖도록 하기 위해서는

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is prove that the limit
as theta approaches zero
of sine of theta
over theta is equal to one.
So let's start with a
little bit of a geometric
or trigonometric construction
that I have here.
So this white circle,
this is a unit circle,
that we'll label it as such.
So it has radius one,
unit
circle.
So what does the length
of this salmon-colored line represent?
Well, the height of this line
would be the y-coordinate
of where this radius
intersects the unit circle.
And so by definition, by
the unit circle definition
of trig functions, the length of this line
is going to be sine of theta.
If we wanted to make sure
that also worked for thetas
that end up in the fourth
quadrant, which will be useful,

Bulgarian: 
В това видео предстои
да докажем, че границата
при θ (тита), клонящо към 0,
на синус от θ върху θ,
е равна на 1.
Да започнем
с това геометрично
или тригонометрично
построение тук.
Този бяла окръжност
е единичната окръжност,
ще я отбележа така.
Нейният радиус е 1,
това е единична окръжност.
Какво представлява тук
розовата отсечка?
Височината ѝ е у координатата
на пресечната точка
на този радиус и окръжността.
По определението
с единична окръжност
на тригонометричните функции,
тази отсечка
има дължина
синус от θ.
Ако искаме да сме сигурни,
че това работи и за ъгли
в четвърти квадрант,
което ще е полезно,

Bulgarian: 
можем да използваме просто
абсолютната стойност
на синус от θ.
Ами тази отсечка в синьо?
Мога ли да я изразя
чрез тригонометрична функция?
Да помислим за това.
Колко е тангенс от θ?
Ще го запиша тук.
Тангенс от θ
е равно на срещулежащия
върху прилежащия катет.
Ако погледнем по-големия
триъгълник тук,
това е нашият ъгъл
θ в радиани.
Това е срещулежащият
му катет.
А тук долу е прилежащият,
с дължина 1.
Не забравяй, че това е
единична окръжност.
Затова тази отсечка
има дължина едно,
значи тангенс от θ
е равно на срещулежащия катет.
Синята отсечка
е равна на тангенс от θ.
И отново, това винаги
е положително число.
Когато сме в първи квадрант
е така,
но трябва да сме сигурни,
че е така и в четвърти.
За нуждите на нашето
доказателство
просто ще взема
абсолютната стойност.
Вече съм готов
и мога да помисля
за някои триъгълници

English: 
we can just insure that
it's the absolute value
of the sine of theta.
Now what about this blue line over here?
Can I express that in terms
of a trigonometric function?
Well, let's think about it.
What would tangent of theta be?
Let me write it over here.
Tangent of theta
is equal to opposite over adjacent.
So if we look at this broader
triangle right over here,
this is our angle theta in radians.
This is the opposite side.
The adjacent side down here,
this just has length one.
Remember, this is a unit circle.
So this just has length one,
so the tangent of theta
is the opposite side.
The opposite side is equal
to the tangent of theta.
And just like before, this is
going to be a positive value
for sitting here in the first quadrant
but I want things to work
in both the first and the fourth quadrant
for the sake of our proof,
so I'm just gonna put
an absolute value here.
So now that we've done,
I'm gonna think about some triangles

Korean: 
그저 이 값이 사인 세타의
절댓값을 취해야함을 알 수 있습니다
이 파란색 선은 어떻게 될까요?
이를 삼각 함수로 표현할 수 있을까요?
생각해 봅시다
탄젠트 세타가 어떨까요?
여기 위에 씁시다
세타의 탄젠트는
밑변분의 높이 입니다
그래서 여기 위에 있는 
더 큰 삼각형을 보면
이게 라디안에서 각도입니다
여기가 높이 부분입니다
밑에 밑면 은 길이가 1입니다
기억하세요 이는 단위원입니다
그래서 이는 길이가 1이고
그래서 탄젠트 세타는 
높이에 해당합니다
높이는 탄젠트 세타와 같습니다
그리고 이전과 같이 
이는 제1사분면에서
양수가 될것이지만
그러나 제 1사분면과
제 4사분면에서의
증명과정을 위해
여기에 절댓값을 씌울게요
현재 우리는 다 했는데
몇몇 삼각형들과

Czech: 
můžeme si sem napsat
absolutní hodnotu ze sin(Θ).
A co ta
modrá úsečka?
Dokážeme ji popsat pomocí
goniometrických funkcí?
Zamysleme
se nad tím.
Čemu by se rovnala
tangenta z Θ?
Napišme
si to sem.
Tan(Θ) se rovná
protilehlá ku přilehlé.
Když se podíváme na
tento větší trojúhelník,
tady je náš
úhel Θ v radiánech,
toto je protilehlá strana a přilehlá
strana tady dole má délku 1,
protože tu máme
jednotkovou kružnici.
Tohle má tedy
délku 1.
Tan(Θ) je tudíž roven
délce protilehlé strany.
Délka protilehlé strany
je rovna tan(Θ).
A podobně
jako předtím,
tohle bude kladné číslo
pro úhly z prvního kvadrantu,
ale já chci, aby to platilo
pro první i čtvrtý kvadrant,
potřebuji
to v důkazu,
takže sem připíšu
absolutní hodnotu.
Když už máme
tohle hotové,

Czech: 
zamysleme se nad některými
trojúhelníky a jejich obsahy.
Nejdříve nakreslím trojúhelník
ležící v této kruhové výseči,
v tomto kousku
koláče uvnitř kruhu.
Takže udělám
tento trojúhelník.
Zamysleme se nad tím, jaký je obsah
plochy, kterou právě zvýrazňuji.
Jak bych mohl
vyjádřit tento obsah?
Jde o trojúhelník
a my víme,
že obsah trojúhelníku je jedna
polovina délky základny krát výška.
Víme, že výška je rovna absolutní hodnotě
ze sin(Θ) a že základna má délku 1.
Tato plocha má tedy obsah
1/2 krát délka základny, což je 1,
krát výška, která je rovna
absolutní hodnotě ze sin(Θ).
Napíšu
to ještě sem.
Můžu to napsat jako absolutní
hodnotu ze sin(Θ) lomenou 2.
Nyní se podívejme
na obsah této výseče,

Korean: 
각각의 넓이에 대해 
생각해볼것입니다
첫 번째로 쐐기 안에 있는 삼각형을
그릴건데 이 파이 조각안에서
원안에 있는 파이 조각안에서 
그릴것입니다
그래서 이 삼각형을 그릴 수 있습니다
그리고 제가 여기 위에
빗금치고 있는 영역에 대해 
생각해봅시다
어떻게 이 넓이를 표현할 수 있을까요?
음, 이는 삼각형이네요
우리는 삼각형이 넓이가
1/2 곱하기 밑변 곱하기 
높이라는것을 알고있죠.
높이를
사인세타의 절댓값으로 설정해주었고
밑변은 1이라는것도 알고 있죠
그래서 이 넓이는 1/2 곱하기
길이가 1인 밑변 곱하기
절댓값 사인 세타를 
길이로 가지는 높이를
곱한것이 됩니다
위에 이걸 다시 쓸게요
이거를
절댓값 사인세타 나누기 
2로 쓸수 있습니다
그리고 노란색 으로 색칠한 쐐기의

English: 
and their respective areas.
So first, I'm gonna draw a triangle
that sits in this wedge,
in this pie piece,
this pie slice within the circle,
so I can construct this triangle.
And so let's think about the area
of what I am shading in right over here.
How can I express that area?
Well, it's a triangle.
We know that the area of a triangle
is 1/2 base times height.
We know the height
is the absolute value of the sine of theta
and we know that the base is equal to one,
so the area here is
going to be equal to 1/2
times our base, which is one,
times our height,
which is the absolute
value of the sine of theta.
I'll rewrite it over here.
I can just rewrite that
as the absolute value of
the sine of theta over two.
Now let's think about
the area of this wedge

Bulgarian: 
и техните площи.
Първо ще начертая
един триъгълник
в този сегмент,
приличащ на парче торта
в окръжността.
Построявам
този триъгълник.
Да помислим за площта
на щрихования триъгълник.
Как да изразя
тази площ?
Все пак, това е триъгълник.
Знаем, че площта
на един триъгълник
е 1/2 основата
по височината.
Знаем, че височината
е абсолютната стойност
на синус от θ.
За основата знаем,
че е равна на 1.
Значи площта е равна
на 1/2 по
основата, която е 1,
по височината,
която е абсолютната стойност
на синус от θ.
Ще го напиша
ето тук.
Абсолютната стойност
на синус от θ, върху 2.
Сега да помислим
за площта на този сектор,

Korean: 
넓이를 생각해봅시다
전체 원의 몇 퍼센트에 해당할까요?
만약 이 원 한바퀴를 쭉 돌아 간다면
이는 2파이 라디안이 될 것이고
그래서 이는 세타 나누기 2파이
우리가 알고 있는 
전체 원의 넓이해 해당합니다
이는 단워원이고 반지름이 1이고
원의 면적은
반지름이 1이고 이를 제곱하고
여기에 파이를 곱하면 됩니다
그래서 이 쐐기의 넓이는
2분의 세타입니다
그리고 이 세타가
제4사분면에도 적용되게 하려면
여기에 절댓값을 씌어주면 됩니다
왜냐하면 넓이에 대해 
논하기 때문이죠
그리고 이 더 큰 파란색 
삼각형에 대해
생각해보면 이는 상당히 간단합니다
이 넓이는 1/2 곱하기 
밑변 곱하기 높이해 해당합니다
그래서 넓이는 이것이 전체이고

English: 
that I am highlighting
in this yellow color.
So what fraction of the entire
circle is this going to be?
If I were to go all the
way around the circle,
it would be two pi radians,
so this is theta over to
two pis of the entire circle
and we know the area of the circle.
This is a unit circle,
it has a radius one,
so it'd be times the area of the circle,
which would be pi times the radius square,
the radius is one, so it's
just gonna be times pi.
And so the area of this
wedge right over here,
theta over two.
And if we wanted to make this work
for thetas in the fourth quadrant,
we could just write an absolute
value sign right over there
'cause we're talking about positive area.
And now let's think about
this larger triangle
in this blue color, and this
is pretty straightforward.
The area here is gonna be
1/2 times base times height.
So the area, and once again,
this is this entire are,

Bulgarian: 
обозначавам го в жълто.
На колко е равен този отрязък
от окръжността?
Ако обиколя по цялата
окръжност,
това ще са 2π радиана,
значи отрязъкът е θ
върху 2π от целия кръг.
Знаем площта на кръга:
Тъй като окръжността е единична,
радиусът ѝ е 1.
Като умножаваме по
площта на кръга,
това значи по π
по радиуса на квадрат,
радиусът е 1,
значи умножаваме само по π.
Площта на този сектор
накрая излезе равна на
θ върху 2.
Искаме това да важи
и за ъгли в четвърти квадрант,
затова взимаме
абслютната стойност,
тъй като площта
е положително число.
Сега да помислим
за по-големия триъгълник
тук в синьо,
той е лесен.
Площта тук е 1/2 по основата
по височината.
Подчертавам, търся площта
на този триъгълник.

Czech: 
kterou právě zvýrazňuji
touhle oranžovou barvou.
Jak velké části celého kruhu
se tohle bude rovnat?
Kdybych obešel celý kruh,
byl by to úhel 2π,
takže tohle je Θ lomeno
2π celého kruhu,
a my víme, jaký
je obsah kruhu.
Tohle je jednotkový
kruh s poloměrem 1.
Takže tady bude
krát obsah kruhu,
tedy π krát poloměr
umocněný na druhou,
ale poloměr je 1,
takže jen krát π.
Obsah této výseče
je tedy Θ lomeno 2.
Kdybychom chtěli, aby to platilo
i pro Θ ze čtvrtého kvadrantu,
můžeme sem dopsat
absolutní hodnotu,
protože obsah je
vždy kladná hodnota.
Nyní se zaměřme na tento velký
trojúhelník, který zvýrazním modře.
To bude
poměrně přímočaré.
Obsah je 1/2 krát délka
základny krát výška.

English: 
that's going to be 1/2 times
our base, which is one,
times our height,
which is the absolute
value of tangent of theta.
And so I can just write that down
as the absolute value of the
tangent of theta over two.
Now, how would you compare the areas
of this pink or this
salmon-colored triangle
which sits inside of this wedge
and how do you compare
that area of the wedge
to the bigger triangle?
Well, it's clear that the
area of the salmon triangle
is less than or equal
to the area of the wedge
and the area of the wedge
is less than or equal to
the area of the big, blue triangle.
The wedge includes the salmon triangle
plus this area right over here,
and then the blue triangle
includes the wedge
plus it has this area right over here.
So I think we can feel good visually
that this statement
right over here is true
and I'm just gonna do
a little bit of algebraic manipulation.
Let me multiply everything by two
so I can rewrite that the absolute value

Korean: 
이는 1/2 곱하기 길이가 1인 밑변에
높이를 곱한것인데
이는 절댓값 탄젠트 세타에 해당합니다
그래서 이를
절댓값 탄젠트 세타 나누기 2로 적어줍니다
그러면, 이 쐐기 안에 있는
분홍색 또는 연어색 삼각형의
넓이를 어떻게 비교할 수 있을까요?
그리고 어떻게 쐐기의 넓이와
더 큰 삼각형의 넓이를 
비교할 수 있을까요?
연어색 삼각형의 넓이가 쐐기의
넓이보다 작거나 같다는것은 명백하고
쐐기의 넓이가 큰 파란색 삼각형보다
작거나 같다는 것 또한 명백합니다
쐐기는 연어색 삼각형 더하기
위에 있는 이 영역을 포함하고
그리고 이 파란 삼각형은 쐐기와
위에 있는 이 영역을 포함합니다
그래서 우리는 시각적으로
위에 있는 명제가 맞다는것을 알 수 있고
그리고 이제는
약간의 대수적인 조작을 할 것입니다
모든 항에 2를 곱하면
절댓값 사인세타는

Czech: 
Obsah celé této plochy se rovná 1/2
krát délka základny, což je 1,
krát výška, což je absolutní
hodnota z tan(Θ).
To si můžeme přepsat sem jako
absolutní hodnota z tan(Θ) lomená 2.
Jak byste porovnali obsah
tohoto červeného trojúhelníku,
který leží uvnitř této výseče,
a jak byste porovnali obsah této výseče
s obsahem většího trojúhelníku?
Je jasné, že obsah červeného trojúhelníku
je menší nebo roven obsahu výseče
a že obsah výseče je menší nebo roven
obsahu velkého modrého trojúhelníku.
Ve výseči je celý červený
trojúhelník a navíc ještě tato oblast.
V modrém trojúhelníku je celá výseč
a navíc je v něm ještě tato oblast.
Takže myslím, že z obrázku vidíme,
že tohle tvrzení je pravdivé.
Nyní provedu jisté
algebraické úpravy.
Nejprve všechno
vynásobím 2.
Potom mohu
napsat,

Bulgarian: 
Тя е 1/2 от основата,
която е 1,
по височината,
която е абсолютната стойност
на тангенс от θ.
Мога да го запиша
като абсолютната стойност
на тангенс от θ, върху 2.
Сега можем
да сравним площите
на розовия триъгълник,
който се намира в сегмента,
с площта на самия сегмент
и с тази на по-големия триъгълник.
Ясно е, че площта
на розовия триъгълник
е по-малка или равна
на площта на сегмента,
а площта на сегмента
е по-малка или равна
на площта на големия
син триъгълник.
Този сегмент включва
розовия триъгълник
плюс ето тази площ тук,
а синият триъгълник
включва сегмента
плюс ето тази площ.
Графиката потвърждава,
че това неравенство е вярно
и сега ще направя
малко алгебрични
преобразувания.
Ще умножа всичко по 2,
за да получа, че
абсолютната стойност

Bulgarian: 
на синус от θ
е по-малко или равно
на абсолютната стойност на θ,
което е по-малко или равно
на абсолютната стойност
на тангенс от θ.
Мога да предствя
абсолютната стойност
на тангенс от θ
като абсолютната стойност
на синус от θ
върху абсолютната стойност
на косинус от θ.
Това е същото като
абсолютната стойност
на тангенс от θ.
Причината да направя това е,
че сега можем да разделим всичко
на абсолютната стойност
на синус от θ.
Тъй като делим на
положителна величина,
това няма да промени
посоката на неравенствата.
Нека го направим.
Ще разделя това
на абсолютната стойност
на синус от θ.
Ще разделя
и това на същото,
а после
и това.
Какво получавам?
Тук получавам 1,

English: 
of sine of theta is less than or equal to
the absolute value of theta
which is less than or
equal to the absolute value
of tangent of theta, and let's see.
Actually, instead of
writing the absolute value
of tangent of theta,
I'm gonna rewrite that
as the absolute value of sine of theta
over the absolute value
of cosine of theta.
That's gonna be the same thing
as the absolute value of tangent of theta.
And the reason why I did that
is we can now divide everything
by the absolute value of sine of theta.
Since we're dividing
by a positive quantity,
it's not going to change the
direction of the inequalities.
So let's do that
I'm gonna divide this
by an absolute value of sine of theta.
I'm gonna divide this
by an absolute value of the sine of theta
and then I'm gonna divide this
by an absolute value of the sine of theta.
And what do I get?
Well, over here, I get a one

Czech: 
že absolutní hodnota ze sin(Θ) je menší
nebo rovna absolutní hodnotě z Θ,
která je menší nebo rovna
absolutní hodnotě z tan(Θ).
Namísto absolutní
hodnoty z tan(Θ) napíšu:
absolutní hodnota ze sin(Θ)
lomeno absolutní hodnota z cos(Θ).
To se rovná absolutní
hodnotě z tan(Θ).
Tohle jsem
udělal proto,
že nyní můžeme vše vydělit
absolutní hodnotou ze sin(Θ).
Protože dělíme
kladným číslem,
nemusíme obracet
symboly nerovností.
Tak to udělejme.
Tedy tohle vydělím absolutní
hodnotou ze sin(Θ),
tohle také vydělím absolutní
hodnotou ze sin(Θ)
a taky tohle vydělím
absolutní hodnotou ze sin(Θ).
A co mi vyjde?
Tady mi vyjde 1

Korean: 
세타의 절댓값보다
같거나 작고
이는 절댓값 탄젠트 세타보다
같거나 작습니다
절댓값 탄젠트 세타
라고 쓰는 대신에 이를
절댓값 코사인 세타분에
절댓값 사인 세타라고 쓰겠습니다
이는 절댓값 탄젠트 세타와
같은 값을 가질거에요
그리고 제가 이렇게 한 이유는
우리는 이를 모두
사인세타로 나룰 수 있기 때문이죠
모든 항을 양수로 나누어주기 때문에
부등식의 방향은 바뀌지 않습니다
그래서 이를 진행하면
저는 이를
절댓값 사인 세타로 나눌것 입니다
저는 이를
절댓값 사인 세타로 나눌것 입니다
그리고 저는 이를
절댓값 사인 세타로 나눌것 입니다
그리고 어떻게 되나요?
여기 보면 여기는 1로 되고

Bulgarian: 
а отдясно имам
1 върху абсолютната стойност
на косинус от θ.
Тези двете се
унищожават.
Следващата стъпка
е да взема реципрочния
на всеки от изразите.
Когато взимам реципрочното
от всичко,
това обръща неравенствата.
Реципрочното на 1
също е 1.
Но вече неговото реципрочно
е по-голямо или равно
на абсолютната стойност
на синус от θ
върху абсолютната стойност на θ.
Това от своя страна
е по-голямо или равно
на реципрочното
на 1
върху абсолютната стойност
на косинус от θ,
което е равно на абсолютната
стойност на косинус от θ.
Интересуват ни само
първи и четвърти квадрант.
Можем да си представим, че θ
клони към 0 от тази посока
или от тази посока,
това са първи
и четвърти квадрант.
Ако сме в първи квадрант,
θ е положително число

Czech: 
a napravo dostanu 1 lomeno
absolutní hodnota z cos(Θ).
Tohle se nám
pokrátí.
Nyní ze všeho vezmu
převrácené hodnoty.
A když ze všeho bereme
převrácenou hodnotu,
symbol nerovnosti
se obrací.
Převrácená hodnota
z 1 je pořád 1.
A protože beru
převrácené hodnoty,
větší nebo rovno absolutní hodnotě
ze sin(Θ) lomeno absolutní hodnotou z Θ,
a větší nebo rovno převrácené hodnotě
z 1 lomeno absolutní hodnotou z cos(Θ),
a to je absolutní
hodnota z cos(Θ).
A zajímá nás pouze
první a čtvrtý kvadrant,
Θ se k 0 může blížit z této
strany nebo z této strany,
neboli z prvního a
čtvrtého kvadrantu.
Když jsme v prvním
kvadrantu a Θ je kladná,

English: 
and on the right-hand side, I get a one
over the absolute value of cosine theta.
These two cancel out.
So the next step I'm gonna do
is take the reciprocal of everything.
And so when I take the
reciprocal of everything,
that actually will
switch the inequalities.
The reciprocal of one
is still going to be one
but now, since I'm taking
the reciprocal of this here,
it's gonna be greater than or equal to
the absolute value of the sine of theta
over the absolute value of theta,
and that's going to be
greater than or equal to
the reciprocal of one
over the absolute value of cosine of theta
is the absolute value of cosine of theta.
We really just care about the
first and fourth quadrants.
You can think about this theta
approaching zero from that direction
or from that direction there,
so that would be the first
and fourth quadrants.
So if we're in the first
quadrant and theta is positive,

Korean: 
오른쪽에는 1 나누기
절댓값 코사인 세타를 얻는데
이 둘은 약분되어 사라집니다
다음 단계는
모든것의 역수를 취해줍니다
그리고 모든것에 역수를 취해주면
부등식의 방향은 바뀌게 됩니다
1의 역수는 여전히 1이고
그러나 이것의 역수를 취해주면
이는 세타분의
사인세타보다
크거나 같게 되고
그리고 이는
1나누기 절댓값 코사인세타의
역수보다
크거나 같게 됩니다
우리는 제 1사분면과 
제 4사분면에 대해 생각했습니다
우리는 세타에 대해
이쪽 방향 또는
이쪽 방향으로 0에 접근하기 때문에
그래서 이는 제 1사분면과 
제 4사분면에 있다 생각할 수 있습니다
제 1사분면에서 세타가 양수일때

Czech: 
sin(Θ) bude
také kladný.
Když jsme ve čtvrtém
kvadrantu a Θ je záporná,
sin(Θ) bude mít stejné
znaménko, bude také záporný.
Tyto absolutní hodnoty
tak nejsou potřeba.
V prvním kvadrantu jsou
sin(Θ) i Θ kladné,
ve čtvrtém kvadrantu
je obojí záporné,
když je vydělíme,
dostaneme vždy kladné číslo.
Takže absolutní hodnoty
mohu smazat.
Když jsme v prvním
nebo ve čtvrtém kvadrantu,
x není záporné,
a proto ani cos(Θ),
což je x-ová souřadnice na
jednotkové kružnici, nebude záporný.
Takže ani tady nepotřebujeme
absolutní hodnotu.
Teď bychom se měli
na chvíli zastavit,
protože už jsme
vlastně skoro hotoví.
Vytvořili jsme
si tři funkce.
Na tohle se můžeme
dívat jako na f(x) se rovná…
…jako na f(Θ) rovná se 1,
g(Θ) se rovná tomuto
a h(Θ) rovná se tohle.
A to na intervalu,
který nás zajímá.
Řekněme, že jde o −π
lomeno 2 je menší než Θ
a to je menší
než π lomeno 2.
Na tomto intervalu je
tohle pravda pro všechna Θ,

Bulgarian: 
и синус от θ също
е положително.
А ако сме в четвърти квадрант
θ е отрицателно
и синус от θ ще има
същия знак,
също ще е отрицателно.
Така уточняването на абсолютната
стойност не е необходимо.
В първи квадрант
и синус от θ и θ
са положителни,
а в четвърти квадрант
и двете са отрицателни,
значи тяхното частно
е все положително число,
затова премахвам модулите.
Ако сме в първи
или в четвърти квадрант,
стойността на х
е неотрицателна,
затова косинус от θ,
което е х координатата
в нашата единична окръжност,
няма да е отрицателно,
затова и тук не се нуждаем
от абсолютната стойност.
Сега можем да поспрем малко,
защото сме почти готови.
Току-що изведохме
три функции.
Може да разглеждаш това
като f(x) равно на,
по-точно f(θ) равно на 1,
g(θ) равно на това
в оранжево
и h(θ) равно на това в синьо.
Интервалът, който ни интересува,
е от –π/2 по-малко от θ,
по-малко от π/2
В този интервал,
това неравенство е вярно за всяко θ,

English: 
sine of theta is gonna
be positive as well.
And if we're in the fourth
quadrant and theta's negative,
well, sine of theta is
gonna have the same sign.
It's going to be negative as well.
And so these absolute value
signs aren't necessary.
In the first quadrant,
sine of theta and theta are both positive.
In the fourth quadrant,
they're both negative,
but when you divide them,
you're going to get a positive
value, so I can erase those.
If we're in the first or fourth quadrant,
our X value is not negative,
and so cosine of theta,
which is the x-coordinate
on our unit circle, is
not going to be negative,
and so we don't need the
absolute value signs over there.
Now, we should pause a second
because we're actually almost done.
We have just set up three functions.
You could think of this
as f of x is equal to,
you could view this as f
of theta is equal to one,
g of theta is equal to this,
and h of theta is equal to that.
And over the interval that we care about,
we could say for negative pi over two
is less than theta is
less than pi over two,
but over this interval,
this is true for any theta

Korean: 
사인 세타 또한 양수 일것입니다
그리고 제 4사분면에서 세타가 음수일때
사인 세타 또한 같은 기호일 것입니다
이 또한 음수가 되겠죠
따라서 이 절댓값 기호는 필요하지 않겠죠
제 1사분면에서
사인 세타와 세타 모두 양수입니다
제4사분면에서 둘다 음수이지만
이를 나누어주면
양의 값을 얻을 수 있고 
이를 지워줄 수 있습니다
우리가 제 1사분면 또는 
제 4사분면에서는
우리의 X값은 음수가 아니고
또한 코사인 세타는 단위원에서
x방향 성분이기 때문에 
음수가 아닐것이므로
이 절댓값 기호가 필요 없습니다
거의 다 했기 대문에
잠깐 멈추어 봅시다
3개의 함수를 설정했어요
세타에 관한 함수f 에 대해 생각하면
이 함수는 1이고
세타에 관한 함수 g는 이것이고
함수 h는 이것입니다
우리가 관심을 가지고 있는 구간에서
세타는
마이너스 2분의π보다 크고 
2분의 π보다 작고
이 이 식은 이 구간 위에서 어느 세타에

English: 
over which these functions are defined.
Sine of theta over theta is
defined over this interval,
except where theta is equal to zero.
But since we're defined everywhere else,
we can now find the limit.
So what we can say is,
well, by the squeeze theorem
or by the sandwich theorem,
if this is true over the interval,
then we also know that
the following is true.
And this, we deserve a
little bit of a drum roll.
The limit
as theta approaches zero of this
is going to be greater
than or equal to the limit
as theta approaches zero of this,
which is the one that we care about,
sine of theta over theta,
which is going to be greater
than or equal to the limit
as theta approaches zero of this.
Now this is clearly going
to be just equal to one.
This is what we care about.
And this, what's the limit
as theta approaches zero
of cosine of theta?

Bulgarian: 
за което тези функции
са определени.
Синус от θ е определена
за този интервал,
освен за θ = 0.
Но тъй като е определена
навсякъде другаде,
то вече можем да
намерим границата.
Като използваме
теоремата за двамата полицаи,
щом това е вярно за целия интервал,
то значи и следното е вярно...
и това вече решава задачата...
границата
при θ, клонящо към 0,
на това
е по-голяма или равна
на границата
при θ, клонящо към 0
на втория израз,
това е нашата граница,
на синус от θ върху θ,
и тя е по-голяма или равна
на границата
при θ, клонящо към 0
на третия израз.
Първата граница
очевидно е равна на 1.
Втората
е търсената граница,
а колко е третата,
границата при θ, клонящо към 0
на косинус от θ?

Czech: 
pro která jsou
naše funkce definované.
Sin(Θ) lomeno Θ je definované na
celém intervalu kromě bodu Θ rovno 0.
Ale protože všude
jinde je to definované,
můžeme nyní
spočítat limitu.
Můžeme říci, že podle věty
o dvou policajtech platí,
že když je to pravda
na našem intervalu,
tak také víme,
že platí následující.
A toto by si
zasloužilo fanfáru.
Limita pro Θ jdoucí k 0 tohoto je větší
nebo rovno limitě pro Θ jdoucí k 0 tohoto,
což je to, co nás zajímá,
tedy sin(Θ) lomeno Θ,
a to je větší nebo rovno než
limita pro Θ blížící se k 0 z tohoto.
Tohle se
zřejmě rovná 1.
Tuto limitu
chceme spočítat.
A čemu se rovná limita pro
Θ blížící se k 0 z cos(Θ)?

Korean: 
대해서도 참임을 확인 할 수 있습니다
세타분의 사인세타는 
세타가 0인 지점을 제외한
구간에서 정의됩니다
하지만 그 외의 모든 점들에서는 
정의가 되어 있기에
함수의 극한에서는 
그 점의 함숫값은 필요하지 않습니다
그래서 우리가 말할 수 있는것은 조임정리
또는 샌드위치 정리에 의해
만약 이것이 이 구간에서 참이라면
다음 또한 참임을 알 수 있습니다
여기서 약간의 기대를 해봅시다
세타가
0으로 갈때의 극한값은
여기서 세타가 0으로 갈때 극한보다
크거나 같을 것이고
우리가 관심있는 것은
세타분의 사인 세타이고
이 값은 이것의 세타가 0으로 접근할때의
극한값과 크거나 같습니다.
그리고 이것이 1과 같아진다는것은 
명백합니다
이것에 우리가 관심있습니다
그리고 세타가 0으로 접근할대
코사인 세타의 극한값은 무엇입니까?

English: 
Well, cosine of zero is just one
and it's a continuous function,
so this is just gonna be one.
So let's see.
This limit is going to be
less than or equal to one
and it's gonna be greater
than or equal to one,
so this must be equal to one
and we are done.

Czech: 
Cos(0) je 1 a jde o spojitou
funkci, a tak se toto rovná 1.
Tato limita je menší nebo rovna 1
a také větší nebo rovna 1.
Tohle tak
musí být rovno 1.
A máme hotovo.

Bulgarian: 
Знаем, че косинус от 0
е 1
и че тази функция
е непрекъсната,
значи и тази граница е 1.
Сега да видим.
Нашата граница е по-малка
или равна на 1
и също е по-голяма
или равна на 1.
Значи може само
да е равна на 1.
И сме готови.

Korean: 
코사인 0은 그저 1이지요
그리고 이는 연속함수이므로
이는 그냥 1이 될거에요
봅시다
이것의 극한은 1보다 작거나 같고
이것은 1보다 크거나 같죠
때문에 이는 1이 되어야만 합니다
그리고 끝났습니다
커넥트 번역 봉사단 | 오준혁
