
Chinese: 
在上一个视频中，我们学习了除法法则，
我又一次感觉很复杂
因为除法法则是从乘法法则中直接推导出来的
如果函数的形式是f(x)/g(x)
那么它的导数就会遵循屏幕上的推导。

Korean: 
 
지난 영상에서 우리는
곱의 미분법에서 유도되는
몫의 미분법을 보았습니다
f(x)/g(x) 꼴이 있다면
그것의 도함수는
여기 있는 것이 됩니다
이것을 예시를 가지고 한 번은
연습해봐야 한다고 생각했습니다
이것을 예시를 가지고 한 번은
연습해봐야 한다고 생각했습니다
조금 유용한 도함수를 구하는데
사용해봅시다
이 함수의 도함수는 무엇입니까?
조금 더 예쁘게 적어보겠습니다
tan x의 도함수는 무엇입니까?
여러분들은 저에게
이 영상이 몫의 미분법에 관련된 것
아니냐고 질문할 수 있어요
하지만 기억해봅시다
tan x의 정의가 무엇이었죠?
아니면 tan x를 바라보는 방법은
뭐가 있었죠?
tan x는
다른 색으로 적어보겠습니다
tan x는 sin x를 cos x 로
나눈 꼴이 됩니다

Portuguese: 
No último vídeo, nós vimos
a regra do quociente,
que não é realmente uma
nova regra porque
é na verdade uma aplicação direta
da regra do produto.
Se nós tivermos algo na forma
f(x) dividido por g(x),
então a derivada disso vai ser
essa expressão aqui.
Então eu pensei em fazer
um exemplo no qual
nós possamos aplicar isso.
E façamos isso para achar
a derivada de algo útil.
Então qual é a derivada com relação a
x -- deixe-me escrever um pouco
melhor -- a derivada com relação
a x da tangente de x?
E você pode dizer, olha Sal, espere,
eu achei que isso fosse sobre
a regra do quociente.
Mas você apenas tem que lembrar,
qual é a definição da tangente de x?
Ou qual é um dos jeitos de
ver a tangente de x?
A tangente de x é a mesma coisa
que o sen(x) -- deixe-me 
colorir isso --
é a mesma coisa que o sen(x)
dividido por cos(x).

English: 
In the last video, we
saw that the quotient
rule, which, once again, I have
mixed feelings about because it
really comes straight
out of the product rule.
If we have something in the
form f of x over g of x,
then the derivative
of it could be
this business right over here.
So I thought I would at
least do one example where
we can apply that.
And can could do it to find the
derivative of something useful.
So what's the
derivative with respect
to x-- let me write
this a little bit
neater-- the derivative with
respect to x of tangent of x?
And you might say,
hey Sal, wait,
I thought this was
about the quotient rule.
But you just have
to remember, what
is the definition
of the tangent of x?
Or what is one way to
view the tangent of x?
The tangent of x
is the same thing
as sine of x-- let me
now color code it--
is the same thing as sine
of x over cosine of x.

Bulgarian: 
В последното видео видяхме,
че правилото за производна на частно,
пак ще кажа, че имам смесени
чувства към него, защото
то следва директно от правилото
за производна на произведение.
Ако имаме нещо от вида
f(x)/g(x),
тогава производната ще бъде
равна на това нещо ето тук.
Искам да решим поне един
пример, в който да го приложим.
И ще го направим, като намерим
производната на нещо полезно.
Каква е производната 
спрямо х на...
ще го напиша малко
по-старателно –
производната спрямо х 
на тангенс от х?
Може да кажеш: "Хей, Сал,
почакай,
мислех, че ще разглеждаме
правилото за производна на частно."
Но само си спомни каква е
дефиницията на тангенс от х.
Как можем да представим
тангенс от х?
Тангенс от х е равно на
синус от х – ще използвам
различни цветове –

Thai: 
 
ในวิดีโอที่แล้ว เราเห็นว่ากฎผลหาร
ซึ่ง ย้ำอีกครั้ง ผมรู้สึกก้ำกึ่งเพราะจริงๆ แล้ว
มันตรงมาจากกฎผลคูณ
ถ้าเรามีอะไรสักอย่าในรูป f ของ x ส่วน g ของ x
แล้วอนุพันธ์ของมันจะเท่ากับ
ตัวนี่ตรงนี้
ผมว่าผมควรทำตัวอย่างตรงนี้สักอัน
ที่เราใช้มัน
และเราใช้มันหาอนุพันธ์ของสิ่งที่มีประโยชน์ได้
อนุพันธ์เทียบกับ
x -- ขอผมเขียนอันนี้ให้
สวยหน่อย -- อนุพันธ์เทียบกับ x ของ
แทนเจนต์ของ x เป็นเท่าใด?
และคุณอาจถามว่า เฮ้ ซาล เดี๋ยวก่อน
ฉันคิดว่าเรื่องนี้เกี่ยวกับกฎผลหารนี่
แต่คุณต้องนึกหน่อย
นิยามของแทนเจนต์ของ x คืออะไร?
หรือวิธีมองแทนเจนต์ของ x วิธีหนึ่งคืออะไร?
แทนเจนต์ของ x เท่ากับ
ไซน์ของ x -- ขอผมใช้สีแทนความหมายนะ --
มันเท่ากับไซน์ของ x ส่วนโคไซน์ของ x

English: 
And now it looks clear that
our expression is the ratio
or it's one function
over another function.
So now we can just
apply the quotient rule.
So all of this
business is going to be
equal to the derivative of
sine of x times cosine of x.
So what's the
derivative of sine of x?
Well, that's just cosine of x.
So it's cosine of x is
derivative of sine of x times
whatever function we
had in the denominator.
So times cosine of
x minus whatever
function we had
in the numerator,
sine of x, times the
derivative of whatever we
have in the denominator.
Well what's the
derivative of cosine of x?
Well the derivative of cosine
of x is negative sine of x.
So we'll put the sine of x here.
And it's a negative
so I could just
make this right over
here a positive.

Thai: 
 
และตอนนี้ มันเห็นได้ชัดว่า พจน์ของเราคืออัตรา
หรือฟังก์ชันหนึ่งส่วนฟังก์ชันอีกตัว
ตอนนี้เราใช้กฎผลหารได้แล้ว
ทั้งหมดนี้จะ
เท่ากับอนุพันธ์ของไซน์ของ x คูณโคไซน์ของ x
แล้วอนุพันธ์ของไซน์ของ x เป็นเท่าใด?
มันก็แค่โคไซน์ของ x
มันคือโคไซน์ของ x เป็นอนุพันธ์ของไซน์ของ x คูณ
ฟังก์ชันอะไรก็ตามที่เรามีในตัวส่วน
คูณโคไซน์ของ x ลบอะไรก็ตาม
ที่เรามีในตัวเศษ
ไซน์ของ x คูณอนุพันธ์ของอะไรก็ตามที่เรา
มีในตัวส่วน
อนุพันธ์ของโคไซน์ของ x คืออะไร?
อนุพันธ์ของโคไซน์ของ x คือลบไซน์ของ x
เราจะใส่ไซน์ของ x ตรงนี้
และมันเป็นลบ ผมจึง
ทำให้อันนี้เป็นบวกได้

Portuguese: 
E agora parece claro que
nossa expressão é a razão
ou é uma função dividida
por outra função.
Agora podemos simplesmente
aplicar a regra do quociente.
Então isso tudo aqui vai ser
igual à derivada de
sen(x), vezes cos(x).
E qual é a derivada de sen(x)?
Bom, é cos(x).
Então cos(x) é a derivada
de sen(x), vezes
qualquer função que tenhamos
no denominador.
Então vezes cos(x), menos
qualquer função que
tenhamos no numerador,
sen(x), vezes a derivada do que
temos no denominador.
Bom, qual é a derivada de cos(x)?
A derivada de cos(x) é, menos sen(x).
Então nós vamos por sen(x) aqui.
E é negativo, então eu posso
fazer isto aqui positivo.

Bulgarian: 
равно е на синус от х
върху косинус от х.
И изглежда съвсем очевидно,
че нашият израз е частно
или това е една функция
върху друга функция.
Сега можем просто да приложим 
правилото за производна на частно.
Всичко това ще бъде равно на
производната на синус от х
по косинус от х.
Коя е производната
на синус от х?
Тя е косинус от х.
Значи косинус от х е 
производната на синус от х,
по функцията, която
е в знаменателя.
Значи по косинус от х, минус 
функцията, която е в числителя,
това е синус х, по производната
на това, което е в знаменателя.
Колко е производната
на косинус от х?
Производната на косинус от х
е равна на минус синус от х.
Значи ще поставя тук
синус от х.
Това е със знак минус, така че
ще направя това тук плюс.

Korean: 
 
이제 이 표현이 분수 꼴인 것
또는 함수 나누기 함수 꼴인 것이
확실해졌습니다
이제 몫의 미분법을
적용시킬 수 있습니다
결국 우리가 구하고자
하는 것을 보면
여기서는 sin x의 도함수에
cos x를 곱한 것입니다
sin x의 도함수는 무엇입니까?
cos x입니다
sin x의 도함수인 cos x와
분모에 있던 함수를 곱해주면 됩니다
cos x를 곱해주고
분자에 있던 함수 sin x와
분모에 있던 함수의 
도함수를 곱한 것을
빼주면 됩니다
cos x의 도함수는 무엇입니까?
－sin x 입니다
여기 sin x를 적겠습니다
마이너스 이므로
이 부호를 플러스로 바꿔주겠습니다

Korean: 
이 전체를 분모에 있던
함수의 제곱으로 나눠주면 됩니다
cos² x 로 나눠주면 됩니다
정리하면 어떻게 될까요?
분자를 보면
여기는 cos x × cos x 이므로
cos² x가 됩니다
여기는 sin x × sin x 이므로
sin² x 가 됩니다
cos² x와 sin² x를 더하면
어떻게 될까요?
가장 기본적인 삼각함수의 성질입니다
단위 원에서 삼각함수를 이용하면
유추할 있는 공식입니다
단위 원에서 삼각함수를 이용하면
유추할 있는 공식입니다
여기 적겠습니다
cos² x＋sin² x는
깔끔하게 1 입니다
그래서 cos² x＋sin² x인
분자는 1이 됩니다

Bulgarian: 
После всичко това е върху това,
което е в знаменателя, на квадрат,
значи върху косинус от х
на квадрат.
Как можем да опростим това?
Тук в числителя имаме косинус от х
по косинус от х.
Това става косинус 
на квадрат от х.
Синус от х по синус от х
става синус на квадрат от х.
Колко е косинус на квадрат от х
плюс синус на квадрат от х?
Това е едно от основните
тригонометрични тъждества.
То следва от определението
на тригонометричните функции
в единичната окръжност.
Ще го запиша ето тук.
Косинус на квадрат от х
плюс синус на квадрат от х
е равно на 1, което много
опростява нещата.
Значи косинус на квадрат от х
плюс синус на квадрат от х,
целият този числител
е равен на 1.

Thai: 
แล้วทั้งหมดนั้นส่วน อะไรก็ตาม
ที่อยู่ในตัวส่วนกำลังสอง
ทั้งหมดนั้นส่วนโคไซน์ของ x กำลังสอง
แล้วอันนี้ลดรูปเหลืออะไร?
ในตัวเศษตรงนี้
เรามีโคไซน์ของ x คูณโคไซน์ของ x
ทั้งหมดนี้ลดรูปเหลือโคไซน์กำลังสองของ x
และไซน์ของ x คูณไซน์ของ x นั่นก็แค่
ไซน์กำลังสองของ x
และโคไซน์กำลังสองของ x บวกไซน์กำลังสองของ x
เป็นเท่าใด?
นี่คือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานที่สุดอันหนึ่ง
มันตรงมาจากนิยามวงกลมหน่วย
ของฟังก์ชันตรีโกณฯ
ขอผมเขียนมันตรงนี้นะ
โคไซน์กำลังสองของ x บวกไซน์กำลังสอง
ของ x เท่ากับ 1 ซึ่งทำให้สิ่งต่างๆ 
ง่ายลงอย่างสวยงาม
โคไซน์กำลังสองของ x บวกไซน์กำลังสอง
ของ x ตัวเศษทั้งหมดนี้เท่ากับ 1

English: 
And then all of
that over, whatever
was in the denominator
squared, all
of that over cosine
of x squared.
Now what does this simplify to?
Well in the numerator
right over here,
we have cosine of x
times cosine of x.
So all of this simplifies
to cosine squared of x.
And sine of x times sine of x,
that's just sine squared of x.
And what's cosine squared
of x plus sine squared of x?
This is one of the most basic
trigonometric identities.
It comes straight out of
the unit circle definition
of trig functions.
Let me write it over here.
Cosine squared of
x plus sine squared
of x is equal to 1, which
simplifies things quite nicely.
So cosine squared of
x plus sine squared
of x, all of this entire
numerator is equal to 1.

Portuguese: 
E então tudo aquilo ali, sobre,
qualquer que seja o
denominador ao quadrado,
tudo aquilo dividido por
cos(x) ao quadrado.
Agora como isso é simplificado?
No numerador aqui,
nós temos cos(x) vezes cos(x).
Então tudo isto simplifica 
para cosseno ao quadrado de x.
E sen(x) vezes sen(x), é apenas
seno ao quadrado de x.
E o que é cosseno ao quadrado de x 
mais seno ao quadrado de x?
É uma das identidades trigonométricas
mais elementares.
Isso sai diretamente da definição
do círculo unitário
das funções trigonométricas.
Deixe-me escrever aqui.
Cosseno ao quadrado de x
mais seno ao quadrado de x
é igual a um, o que simplifica bem as coisas.
Então cosseno ao quadrado de x 
mais seno ao quadrado de x,
tudo nesse numerador é igual a um.

English: 
So this nicely simplifies to
1 over cosine of x squared,
which we could also write like
this, cosine squared of x.
These are two ways of
writing cosine of x squared,
which is the same exact thing
as 1 over cosine of x squared,
which is the same
thing as secant.
1 over cosine of x
is just secant of x.
Secant of x squared, or we
could write it like this.
Secant squared of x.
And so that's where
it comes from.
If you know that the
derivative of sine of x
is cosine of x and the
derivative of cosine
of x is negative sine of x,
we can use the quotient rule,
which, once again, comes
straight out of the product
rule to find the
derivative of tangent
x is secant squared of x.

Thai: 
อันนี้ลดรูปสวยงามเหลือ 1 
ส่วนโคไซน์ของ x กำลังสอง
ซึ่งเราเขียนได้อย่างนี้ โคไซน์กำลังสองของ x
นี่คือวิธีเขียนโคไซน์ของ x กำลังสอง
ซึ่งเท่ากับ 1 ส่วนโคไซน์ของ x กำลังสอง
ซึ่งเหมือนกับเซคแคนต์
1 ส่วนโคไซน์ของ x ก็แค่เซคแคนต์ของ x
เซคแคนต์ของ x กำลังสอง หรือเราเขียนมัน
แบบนี้ก็ได้
เซคแคนต์กำลังสองของ x
และนั่นคือที่มาของมัน
ถ้าเรารู้ว่าอนุพันธ์ของไซน์ของ x
คือโคไซน์ของ x และอนุพันธ์ของโคไซน์
ของ x คือลบไซน์ของ x เราก็ใช้กฎผลหารได้
ซึ่ง ย้ำอีกครั้ง ตรงมาจากกฎผลคูณ
เพื่อหาอนุพันธ์ของแทนเจนต์
x ได้เท่ากับเซคแคนต์กำลังสองของ x

Korean: 
이 전체는 간단하게 1/(cos x)² 가 됩니다
아니면 1/cos² x라고 적어도 됩니다
두 가지 방법 모두
같은 것을 나타냅니다
1/cos x 는 sec x 입니다
1/cos x 는 sec x 입니다
(sec x)² 또는
sec² x라고 적을 수 있겠습니다
이게 유도 방법입니다
sin x의 도함수가
cos x인 것을 알고
cos x의 도함수가
－sin x임을 알면
곱의 미분법에서 유도되는
몫의 미분법을 이용해서
tan x의 도함수가
sec² x 임을 알 수 있습니다

Bulgarian: 
Това много хубаво се опростява
до 1 върху косинус на квадрат от х,
което може също да запишем така,
косинус от х на квадрат.
Това са два начина да запишем
косинус на квадрат от х,
което е същото като 1
върху косинус на квадрат от х,
което е равно на секанс.
(у нас не се използват наименованията на реципрочните
тригонометрични функции секанс = 1/cos(x) и косеканс = 1/sin(x))
1 върху косинус от х
е просто секанс от х.
Секанс на квадрат от х,
или можем да го запишем така.
Секанс на квадрат от х.
Ето откъде идва това.
Ако знаем, че производната
на синус от х
е косинус от х и че
производната на косинус от х
е минус синус от х, можем да използваме 
правилото за производна на частно,
което е директно следствие от правилото 
за производна на произведение,
за да намерим производната
на тангенс от х,
която е секанс на квадрат от х.

Portuguese: 
Então isso fica um dividido
por cos(x) ao quadrado,
que também podemos escrever assim, 
cosseno ao quadrado de x.
Estas são duas formas de escrever 
cos(x) ao quadrado,
que é a mesma coisa que um dividido por 
cos(x) ao quadrado,
que é a mesma coisa que secante de x.
Um dividido por cos(x) 
é sec(x).
Sec(x) ao quadrado, ou 
podemos escrever assim.
Secante ao quadrado de x.
E é daí que isso vem.
Se você sabe que a derivada de sen(x)
é cos(x), e que a derivada do cos(x)
é menos sen(x), nós podemos 
usar a regra do quociente,
que, novamente, vem direto
da regra do produto,
para achar que a derivada da tangente de x
é a secante ao quadrado de x.
[legendado por: Thiago Serra]
