
iw: 
בואו נאמר שיש לנו (f(x אות גדולה ששווה לאינטגרל המסוים מפאי ל x של 
dt cot^2t .
ומה שמעניין אותנו הוא הנגזרת של העניין הזה.
אנחנו רוצים למצוא למה f גרש של x שווה
ובכן זה יישום ישיר של המשפט היסודי של החדו"א
זה יהיה שווה לנגזרת ביחס ל x של כל השיגעון הזה
אז תנו לי רק להעתיק את זה
אז העתק והדבק
אז זה יהיה הנגזרת ביחס לזה
והמשפט היסודי של החדו"א אומר לנו שזה יהיה שווה ל-זה יהיה שווה רק לפונקציה הזו
אבל זה לא יהיה פונקציה של t עוד
זה יהיה פונקציה של x
אז זה יהיה שווה ל cot^2x

English: 
Let's say that we
have capital F of x
as being equal to the
definite integral from pi
to x of cotangent
squared of t dt.
And what we're
curious about finding
is the derivative
of this business.
We want to figure out what
F prime of x is equal to.
Well this is a
direct application
of the fundamental
theorem of calculus.
This is just going to be
the derivative with respect
to x of all of this craziness.
So let me just copy
and paste that.
So it's just going to be
the derivative with respect
to that.
And the fundamental
theorem of calculus
tells us that this is going to
be equal to just this function,
but it's not going to be
a function of t anymore.
It's going to be
a function of x.
So it's going to be equal
to cotangent squared of x.
And you'll often see
problems like this

Thai: 
สมมุติว่าเรามี F(x) ตัวใหญ่ เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตจาก ไพ ถึง x ของ cos^2 t dt
แล้วสิ่งที่เราอยากหาคือ อนุพันธ์ของตัวนี้
เราอยากหาว่า f ไพรม์ของ x เท่ากับอะไร
นี้ก็คือการประยุกต์ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสโดยตรง
นี่จะเท่ากับอนุพันธ์เทียบกับ x ของเจ้าพวกนี้
ขอผมลอกแล้ววางลงไปนะ
ลอกและวาง
นี่จะเท่ากับอนุพันธ์เทียบกับเจ้านั่น
และทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสบอกเราว่า นี่จะเท่ากับ -- นี่จะเท่ากับฟังก์ชันนี้
แต่มันจะใช่ฟังก์ชันของ t อีกต่อไป
มันจะเป็นฟังก์ชันของ x
มันจะเท่ากับ cot^2 x

Korean: 
함수 F(x)는
함수 F(x)는
cot² t를 t에 대해
π에서 x까지 정적분한 것입니다
우리가 구해야 하는 것은
이 식의 도함수입니다
F'(x)를 찾아야 하죠
이것은 미적분학의 기본정리를
바로 적용해 구할 수 있습니다
이 복잡한 식을 x에 대해
미분할 것입니다
이 식을 복사, 붙여넣기 하도록 하죠
이 식을 복사, 붙여넣기 하도록 하죠
이 식을 x에 대해
미분할 것입니다
미적분학의 기본정리에 의해
F를 x에 대해 미분한 값은 이 식과 같지만
t에 대한 함수가 아닙니다
x에 대한 함수가 됩니다
그래서 F를 x에 대해 
미분한 값은 cot² x입니다
여러분은 이와 같은 문제를 
자주 보게 될 것입니다

Bulgarian: 
Нека да кажем, че имаме главно F от х
равно на определен интеграл
от π до х, от котангенс квадрат от t, dt.
Това, което искаме да намерим,
е производната на тази функция.
Искаме да намерим на какво е равно
F' от х.
Това е директно приложение на
фундаменталната теорема на анализа.
Това е просто производната спрямо х
на целия този израз.
Нека просто го копирам и поставя.
Ще бъде равно на производната 
спрямо това.
Фундаменталната теорема на анализа
гласи, че това ще бъде равно просто
на тази функция,
но няма да бъде вече функция на t.
Ще бъде функция на х.
Ще бъде равно на котангенс 
на квадрат от х.
Често ще се сблъскваш със задачи
като тази,

Polish: 
Zdefiniujmy funkcję F(x) równą całce oznaczonej od pi do x, z cotangens(t) do kwadratu. Całkujemy po t.
Chcemy znaleźć pochodną F(x).
Ile wynosi ta pochodna?
Oczywiście zastosujemy podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
Znajdźmy więc pochodną po x
(przekopiujmy po prostu tę całkę oznaczoną)
.
Liczymy więc pochodną po x z tej całki.
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi nam, że szukana pochodna będzie równa funkcji podcałkowej,
zależącej nie od t,
ale od x.
Więc szukana pochodna jest równa cotangens(x) do kwadratu.

Portuguese: 
Digamos que temos F(x) igual à integral 
definida de pi a x de cotangente
ao quadrado de t dt. E o que queremos
descobrir é a derivada disso.
Queremos calcular
quanto vale F linha de x.
Isso é uma aplicação direta do
teorema fundamental do cálculo (TFC).
E será igual a derivada em relação a x
disso tudo
deixe-me copiar e colar
então, isso será igual a derivada
em relação a aquilo
e o teorema fundamental do cálculo (TFC)
nos diz que isso é igual a essa função
mas não será mais uma função de t
será uma função de x.
então, será igual a cotangente ao quadrado
de x.

Korean: 
아마 미적분학 대회나
시험에서 보게 되겠죠
그러면 이 식을 x에 대해 정적분을 구하고
그걸 다시 미분해야 할까요?
그걸 다시 미분해야 할까요?
그걸 다시 미분해야 할까요?
아닙니다
그냥 미적분학의 기본정리를 사용하면
아주 간단하고 빠르게
문제를 해결할 수 있습니다
이제 문제를 약간 바꿔보겠습니다
적분 구간이 π에서 x까지가 아니라
π에서 x²까지인
식이 있는데
지금 하려는 것을
명확하게 하기 위해 x²을 다른 색을 쓰겠습니다
cot² t를 π에서 x²까지 정적분하는 식이 있습니다
이 식의 도함수를 구해봅시다
그래서 이 식을
x에 대해 미분해야 하는데
어떻게 해야 할까요?

Polish: 
Czasem, widząc takie zadanie na egzaminie,
myślimy: "O nie, muszę znaleźć funkcję pierwotną,znaleźć jej wartości w granicach całkowania, odjąć
i jeszcze obliczyć pochodną!". Wcale nie! Wystarczy zastosować podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
To naprawdę robi się szybko i bardzo łatwo.
Teraz zrobimy coś bardziej skomplikowanego.
Rozpatrzymy całkę oznaczoną od pi, ale tym razem nie do x, ale do x do kwadratu.
Zapiszmy to x^2 innym kolorem, aby się wyróżniało.
Znowu funkcją podcałkową będzie cotangens(t) do kwadratu. Całkujemy po t.
Chcemy znaleźć pochodną po x z tej całki.

English: 
if you go to calculus
competitions or things
like that and, or
maybe certain exams.
And It's like, oh my god, I
have to take the antiderivative
of all of this
business, evaluate it
at the different
boundaries, and then
I got to take the derivative.
No.
You just apply the fundamental
theorem of calculus,
and it's actually a very
straightforward and a very fast
thing to do.
Now let's mix it
up a little bit.
Let's say that you
had the expression
the definite integral from
pi-- instead of from pi
to x, let's say it's
from pi to x squared--
and let me write that x
squared in a different color
just to make it clear what I'm
doing-- from pi to x squared
of cotangent squared of t dt.
And you wanted to take the
derivative of this business.
So you want to take the
derivative with respect
to x of this business.
How would you do it?

Portuguese: 
e você frequentemente encontrará problemas
como esse em competições de cálculo
e você pensa "Vou ter que tirar a 
antiderivada disso, avaliar nos limites
e calcular a derivada." Não! Você só
precisará aplicar o TFC.
E isso é bem simples e rápido de fazer.
Agora, vamos complicar um pouquinho.
Vamos dizer que você tem a expressão -
a integral definida de pi
- ao invés de pi a x, vamos
dizer de pi a x ao quadrado
Escreverei x quadrado de outra cor
para deixar mais claro
De pi a x ao quadrado, de cotangente ao
quadrado de t dt,
e você quer calcular a derivada disso.
Então você quis calcular a derivada
em relação a x disso aqui

Bulgarian: 
ако участваш в състезания по анализ,
или подобни неща, или може би на изпити.
И си казваш "О, боже! Трябва да
намеря примитивната функция
на целия този израз, да я изчисля
за различни граници, а след това
да намеря производната."
Не!
Просто прилагаш фундаменталната
теорема на анализа
и всъщност става много лесно и
бързо за изпълнение.
Нека сега да променим условието.
Да кажем, че имаш израза
определен интеграл от π...
но вместо от π до х
е от π до х квадрат.
Нека запиша това х квадрат с
различен цвят,
просто за да е ясно какво правя - от π
до х квадрат,
от котангенс на квадрат от t, dt.
И искаме да намерим производната
на този израз.
Искаме да намерим производната
спрямо х на този израз.
Как ще го направиш?
Е, може да разпознаеш, че това

iw: 
ולעיתים תראו בעיות מהסוג הזה אם אתם הולכים לתחרויות חדו"א או דברים בסגנון, או אולי במבחנים מסוימים
וזה כזה " או אלוהים אני צריך לעשות אינטגרל לכל העסק הזה, לחשב את הערך בשני הגבולות
ואז אני צריך לגזור ."לא! עליכם רק ליישם את המשפט היסודי של החדו"א.
וזה דבר די ישיר ומהיר לביצוע.
עכשיו, בואו נערבב את זה קצת.
בואו נאמר שהיה לכם ביטוי- האינטגרל המסוים מ פאי- במקום מפאי ל x, בואו נאמר מפאי ל x^2.
תנו לי לכתוב את x^2 בצבע אחר רק כדי להבהיר מה אני עושה.
מפאי ל x^2 של dt cot^2t, ואתם רוצים לגזור את הדבר הזה.
אז אתם רוצים לגזור את זה ביחס לנעלם x, אתם רוצים לגזור ביחס לנעלם x של העניין הזה.

Thai: 
แล้วคุณจะเห็นปัญหาอย่างนี้ ถ้าคุณสอบแข่งวิชาแคลคูลัส อะไรแบบนี้ หรือในข้อสอบ
มันเป็นแบบว่า "โอ้ พระเจ้า ฉันต้องหาแอนติเดริเวทีฟของเจ้านี่ หาค่ามันที่ขอบ
แล้วฉันต้องหาอนุพันธ์อีก" ไม่เลย! คุณแค่ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเท่านั้น
และที่จริงมันตรงไปตรงมาและทำได้อย่างรวดเร็วด้วย
ทีนี้, ลองปรับเปลี่ยนมันหน่อย
สมมุติว่าผมมีพจน์นี้ -- อินทิกรัลจำกัดเขต จาก ไพ -- แทนที่จะเป็น ไพ ถึง x, สมมุติว่ามันจาก ไพ ถึง x^2
ขอผมเขียน x^2 อีกสีนึง เพื่อให้เห็นชัดว่าผมทำอะไรอยู่
จาก ไพ ถึง x^2 ของ cot^2 t dt, แล้วคุณอยากหาอนุพันธ์ของตัวนี้
คุณอยากหาอนุพันธ์เทียบกับ x --คุณอยาหาอนุพันธ์เทียบกับ x ของเจ้านี่

English: 
Well the recognition here is
that this is capital-- capital
F of x was defined as this.
Now instead of an x,
you have an x squared.
So this is the exact same
thing as taking the derivative
with respect to x of
capital F of-- not x.
That would be this.
Instead, we have
capital F of x squared.
Where we had an x here before,
we now have an x squared.
You can verify.
If you had capital
F of x squared,
every place where you saw the
x here would be an x squared.
So it would look
exactly like this.
And so we just have to
apply the chain rule.
So this is going to be
equal to the derivative of F
with respect to x squared.
And this is just straight
out of the chain rule.
It's going to be F
prime of x squared
times the derivative with
respect to x of x squared.

iw: 
איך הייתם עושים את זה? ובכן ההבחנה כאן היא היא ש (f(x אות גדולה הוגדרה ככה.
עכשיו במקום x יש לנו x^2 ,אז זה בדיוק כמו לגזור ביחס לנעלם x של F לא של x
שיהיה זה, אילו היה לנו (F(x^2 איפה שהיה לנו x לפני יהיה לנו עכשיו x^2
אתם יכולים לוודא, שאם היה לכם (F(x^2 בכל מקום שראיתם את ה x כאן יהיה x^2,אז זה ייראה בדיוק ככה.
עלינו רק ליישם את כלל השרשרת.
אז זה יהיה שווה ל- וזה יהיה שווה לנגזרת של F ביחס ל x^2
אז זה יהיה -וזה ישר מכלל השרשרת - יהיה F אות גדולה של x^2 כפול הנגזרת ביחס ל x של x^2.

Bulgarian: 
е главно F, което беше дефинирано по
този начин.
Сега вместо х имаш х на квадрат.
Това е точно същото нещо като да
намерим производната
спрямо х на главно F, но не от х.
Това би било ето това.
Вместо това имаме главно F от х
на квадрат.
Там, където имахме х преди, сега
имаме х квадрат.
Можеш да го провериш.
Ако имаше главно F от х на квадрат,
всяко място, където тук видиш х,
щеше да стане х на квадрат.
Следователно ще изглежда точно по
този начин.
Просто следва да приложим
верижното правило.
Това ще бъде равно на 
производната от F
спрямо х на квадрат.
Това следва директно от верижното
правило.
Ще бъде равно на F' от х на квадрат,
умножено по производната спрямо х
на х на квадрат.

Thai: 
แล้วคุณจะทำอย่างไรดี? ทีนี้ สิ่งที่สังเกตได้คือว่านี่ -- f(x) ตัวใหญ่นิยามแบบนี้
แทนที่จะเป็น x คุณมี x^2, แล้วนี่ก็เหมือนกับการหาอนุพันธ์เทียบกับ x ของ F ของ ไม่ใช่ x
มันเป็นแบบนี้แทน, เรามี F(x^2) แทน โดยเรามี x ตรงนี้มาก่อน ตอนนี้เรามี x^2
และคุณสามารถทดสอบได้, ถ้าคุณมี F(x^2) ทุกที่ที่คุณมี x ตรงนี้จะกลายเป็น x^2, มันจึงเหมือนแบบนี้เลย
แล้วเราก็แค่ต้องใช้กฏลูกโซ่เท่านั้น
นี่จึงเท่ากับ -- นี่จะเท่ากับอนุพันธ์ของ F เทียบกับ x^2
นี่จะเท่ากับ -- และนี่ออกมาจากกฎลูกโซ่ -- มันจะเป็น F ไพรม์ของ x^2 คูณอนุพันธ์เทียบกับ x ของ x^2

Portuguese: 
Como faria isso? Bem, o reconhecimento
aqui é que isso é -F(x) foi definido assim
Agora, ao invés de um x, você tem um x ao
quadrado, então isso é exatamente
a mesma coisa que calcular a
derivada em relação a x de F de - não x
que será isso, mas ao invés disso, teremos
F de x quadrado, onde tínhamos um x antes
agora temos x quadrado.
Você pode verificar, se tiver F(x²),
em todos os lugares
onde você tinha x, será trocado por x
quadrado e terá exatamente essa aparência.
E aí nós vamos apenas
aplicar a regra da cadeia.
Isso será igual a -- e isso será igual a
derivada de F com relação a x ao quadrado
e isso será -- e isso é obtido diretamente
da regra da cadeia -- será
F linha de x ao quadrado vezes a derivada
com relação a x de x ao quadrado.

Korean: 
여기서 알아야 하는 점은 함수 F(x)는
이 식과 같이 정의된다는 것입니다
이제 x 대신 x²이 있습니다
그래서 이 식은 x에 대해 미분한 것과 같습니다
F(x)를 x에 대해 미분한 것은
이 식이고
이 식은 F(x²)를 x에 대해 미분한 것과 같습니다
원래는 x가 있었지만 지금은 x²이라는 것을
확인할 수 있습니다
F(x²)에서는 이 식의 모든 x가
x²으로 바뀝니다
식은 이렇게 되겠죠
그다음에는 합성함수의 미분법을 적용해야 합니다
그래서 이 식은 x²에 대해
함수 F를 미분한 식에다가
바로 합성함수의 미분법을 적용해줍니다
F'(x²)에
x에 대해 x²을 미분한 식을 곱해줍니다

Polish: 
Jak to zrobić? Przypomnijmy sobie, jak była określona funkcja F(x).
Tu zamiast x mamy x^2. A więc szukana pochodna będzie równa pochodnej po x z funkcji F,
której argumentem jest nie x, ale x^2.
Po prostu zamiast x wstawiamy x^2 i obliczamy pochodną po x z funkcji F(x^2).
Musimy więc obliczyć pochodną złożenia.
Obliczamy więc pochodną po x^2 z funkcji F,
czyli F'(x^2) przemnożone przez pochodną po x z x^2.

English: 
This is the derivative of
F with respect to x squared
and then times the derivative
of x squared with respect to x.
This is just the chain
rule right over here.
So what's F prime of x
squared-- the derivative of F
with respect to x squared?
Well, if you evaluate F prime
at x squared, instead of just
being cotangent
squared of x, it's
going to be cotangent
squared of x squared.
So this part right over here,
this business right over here,
is going to be cotangent
squared of x squared.
So this is the derivative of all
of this business with respect
to x squared, and then you
have to multiply that times
the derivative of x squared with
respect to x, which is just 2x.
So there you have it.
The derivative of this,
all this craziness,
is equal to 2x cotangent
squared of x squared.

Korean: 
이것은 F(x²)를 x에 대해 미분한 것에
x에 대해 x²을 미분한 식을 곱해준 것입니다
이 부분은 합성함수의 미분법을 적용한 것입니다
F'(x²) 그러니까
F(x²)를 x²에 대해 미분한 것은 
무엇일까요?
F'(x²)을 구하려면
cot² x 대신 cot² x²으로
계산해야 합니다
그래서 여기 이 부분은
cot² x²입니다
cot² x²입니다
x²에 대해 모든 식을 미분한 것입니다
그리고 x에 대해 x²을 미분한 식인
2x를 곱해주어야 합니다
다 끝났습니다
이 모든 복잡한 식의 도함수는
2x cot² x²과 같습니다
커넥트 번역 봉사단 | 권진아

Polish: 
Zauważmy, że najpierw różniczkujemy F po x^2,
a potem mnożymy przez pochodną z x^2 po x.
Różniczkujemy tu po prostu złożenie funkcji.
Jaka jest pochodna z F po x^2?
Jeśli do znalezionej wcześniej pochodnej funkcji F, zamiast x wstawimy x^2, otrzymamy cotangens(x^2) do kwadratu.
A więc pochodna z F po x^2 będzie po prostu równa cotangens(x^2) do kwadratu.
Na koniec musimy jeszcze pomnożyć przez pochodną z x^2 po x, czyli przez 2x.
A więc szukana pochodna wynosi: 2x przemnożone przez cotangens(x^2) do kwadratu.

Bulgarian: 
Това е производната на F спрямо х на
квадрат,
а след това по производната на 
х на квадрат спрямо х.
Това е просто верижното правило.
На какво е равно F' от х на квадрат, т.е.
производната на F
спрямо х на квадрат?
Ако изчислиш F' от х на квадрат,
вместо просто
да бъде от котангенс квадрат от х,
ще бъде котангенс квадрат от х
на квадрат.
Ето тази част тук, т.е. този израз,
ще бъде котангенс квадрат от х на
квадрат.
Това е производната на целия този
израз спрямо
х на квадрат. И след това следва да
умножиш това
по производната на х на квадрат
спрямо х, което е просто 2х.
Ето, че я намерихме.
Производната на целия този израз,
е равна на 2х по котангенс квадрат от
х на квадрат.

Portuguese: 
Isso é a derivada de F 
com relação a x ao quadrado.
e então vezes a derivada de
x ao quadrado com relação a x
Isso aqui é a regra da cadeia
Então quanto é F linha de x ao quadrado
-- a derivada com relação a x ao quadrado?
Bem, se avaliar F linha em x ao quadrado
ao invés de cotangente ao quadrado de x,
isso será cotangente ao
quadrado de x ao quadrado.
então, essa parte bem aqui será cotangente
ao quadrado de x ao quadrado,
então isso é a derivada de tudo isso
com relação a x ao quadrado
E aí você terá que multiplicar
aquilo pela derivada de
x ao quadrado com relação a x,
que é igual a 2x.
E aí está, a derivada de tudo isso é
2x cotangente ao quadrado de x ao quadrado
[Legendado por Evelin Farias]

Thai: 
นี่คืออนุพันธ์ของ F เทียบกับ x^2
แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ x^2 เทียบกับ x
นี่ก็แค่กฎลูกโซ่ตรงนี้
แล้ว F ไพรม์ของ x^2 -- อนุพันธ์เทียบกับ x^2 เป็นเท่าไหร่?
ทีนี้, ถ้าคุณหาค่า F ไพรม์ของ x^2, แทนที่จะได้ cot^2 x, มันจะเป็น cot^2 x^2
แล้วส่วนนี่ตรงนี้ -- ก้อนนี่ตรงนี้จะเป็น cot^2 x^2, นี่จึงเท่ากับอนุพันธ์ของทั้หงมดนี้ เทียบกับ x^2
แล้วคุณก็ต้องคูณมันด้วย อนุพันธ์ของ x^2 เทียบกับ x, เท่ากับ 2x
ได้มาแล้ว, อนุพันธ์ของอันนี้, เจ้าพวกนี้, เท่ากับ 2x cot^2 x^2

iw: 
זה הנגזרת של F ביחס ל x^2
ואז כפול הנגזרת של x^2 ביחס ל x
זב רק כלל השרשרת כאן
אז מה F אות גדולה של X^2 -הנגזרת ביחס ל x^2 ?
ובכן, אם תעריכו את F ב x^2 ,במקום רק להיות cot^2x זה יהיה Cot^2x^2.
אז החלק הזה שכאן-העניין הזה יהיה cot^2x^2,אז הנגזרת של כל העסק הזה ביחס לנעלם x^2
ואז תצטרכו לכפול בנגזרת של x^2 ביחס ל x שזה רק 2x.
אז זהו קיבלנו את זה,הנגזרת של זה, כל השיגעון הזה, שווה ל cot^2x^2 2x.
