
iw: 
בואו נלמד את המכפלה הסקלרית.
מבין שתי הצורות לכפל של וקטורים, המכפלה
הסקלרית היא הקלה יותר.
מה זה מכפלה סקלרית?
אני אתן לכם, קודם, את ההגדרה, ואז ננסה
להבין אותה.
אם יש לי שני וקטורים, מכפלה סקלרית של
וקטור a עם וקטור b - כך
אני מצייר את החיצים שלי.
אני יכול לצייר את החיצים ככה.
המכפלה שווה לערך המוחלט של וקטור a, כפול
הערך המוחלט של וקטור b, כפול קוסינוס
הזווית שביניהם.
מאיפה באה ההגדרה הזאת?
היא נראית אולי קצת שרירותית, אך בעזרת
הסבר חזותי היא תובן יותר.
אצייר שני וקטורים כלשהם.
זה וקטור a - וקטור גדול ושמן.
זה טוב להסבר.
נצייר את וקטור b בצורה הזאת.

Czech: 
Pojďme se dozvědět trochu
o skalárním součinu.
Skalární součin, upřímně řečeno, jsou dva
dva způsoby násobení,
vektory, myslím si, že jsou
jednodušší.
Takže to, co dělá
skalární součin dělat?

Thai: 
 
ลองมาเรียนเรื่องดอทโปรดักสักหน่อย
ดอทโปรดัก จริงๆ แล้ว 
ในบรรดาวิธีคูณเวกเตอร์
สองวิธี ผมว่าอันนี้มันง่ายกว่า
แล้วดอทโปรดักทำอะไร?
ทำไมผมไม่นิยามคุณ แล้วผมค่อยบอก
สัญชาตญาณ
ถ้าผมมีเวกเตอร์สองตัว เวกเตอร์ a ดอท
เวกเตอร์ b -- นั่น
คือวิธีที่ผมวาดลูกศร
ผมวาดลูกศรแบบนั้นได้
มันเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ a คูณ
ขนาดของเวกเตอร์ b คูณโคไซน์ของ
มุมระหว่างพวกมัน
แล้วนิยามนี้มันมาจากไหน?
มันอาจดูตั้งขึ้นมาลอยๆ แต่ผมว่า
เมื่ออธิบายด้วยภาพ มันจะชัดเจนขึ้นบ้าง
ขอผมวาดเวกเตอร์สองตัวนี้ตามใจผม
นั่นคือเวกเตอร์ a -- เวกตอร์ใหญ่อ้วนนี้
มันแสดงประเด็นที่เราคิดได้ดี
ขอผมวาดเวกเตอร์ b แบบนั้น

Spanish: 
Vamos a aprender un poco sobre el producto escalar.
El producto escalar, francamente, fuera de las dos maneras de multiplicar
vectores, creo que es la más fácil.
¿Qué hace el producto escalar?
Por eso no te doy la definición, y luego voy a dar
es una intuición.
Así que si tengo dos vectores; vector de un punto vector b--que
¿Cómo llamar mis flechas.
Puedo llamar mis flechas como ese.
Que es igual a la magnitud del vector a veces la
magnitud del vector b veces el coseno de la
ángulo entre ellos.
¿Ahora esto de dónde viene?
Esto puede parecer un poco arbitraria, pero creo que con un
explicación visual, hará un poco más de sentido.
Así que permítanme dibujar, arbitrariamente, estos dos vectores.
Por lo que es mi vector--Niza vector grande y gordo.
Es bueno para mostrar el punto.
Y permítanme llamar como ese vector b.

English: 
Let's learn a little bit
about the dot product.
The dot product, frankly, out of
the two ways of multiplying
vectors, I think is
the easier one.
So what does the
dot product do?
Why don't I give you the
definition, and then I'll give
you an intuition.
So if I have two vectors; vector
a dot vector b-- that's
how I draw my arrows.
I can draw my arrows
like that.
That is equal to the magnitude
of vector a times the
magnitude of vector b
times cosine of the
angle between them.
Now where does this come from?
This might seem a little
arbitrary, but I think with a
visual explanation, it will make
a little bit more sense.
So let me draw, arbitrarily,
these two vectors.
So that is my vector a-- nice
big and fat vector.
It's good for showing
the point.
And let me draw vector
b like that.

Turkish: 
Merhaba
Bu derste skalar çarpımdan bahsedeceğiz.
Skalar çarpım vektörleri çarpmanın bir yoludur.
Bu, skalar çarpımın en basit ifadesidir.
-
-
-
a ve b vektörünün skalar çarpımına bakalım.
-
-
a ve b vektörlerini skalar çarpımı = (a'nın büyüklüğü) çarpı (b'nin büyüklüğü) çarpı (aralarındaki açının cosinüsü)
-
-
Peki bu sonucu nasıl yazdık?
-
Şekil çizerek anlamaya çalışalım.
Rastgele iki vektör alalım.
a vektörünü sarı renkle çizeyim.
-
b vektörü de yeşil renkte olsun.

Chinese: 
我们来学一下点乘的有关知识
点乘积 坦白地说
是两种向量相乘中的一种
是比较简单的一种
点乘积是什么呢？
我为什么不给出定义呢
一会儿我要给你直观感受
如果有两个向量 向量a点乘向量b
这样画箭头
我可以这样来画箭头
等于向量a的绝对值乘以
向量b的绝对值
乘以它们二者的夹角的余弦
这是怎么来的呢？
这看起来有点随意
但是我想 通过一个直观的解释
会更容易理解
那么我随意画两个向量
这是向量a 我画的又粗又长
这样有利于讲解
我再画向量b

Korean: 
벡터의 합성에 대해서 배워 봅시다
닷 프러덕트는 두 개의 서로 다른 방향의 힘의 곱입니다
벡터들이라고 생각하면 쉽습니다
어떻게 벡터를 합성할까요?
왜 정의를 말하지 않느냐면
당신에게 직관적인 감을 알려주기 위해서 입니다
만일 두 개의 벡터가 있다면 벡터 a 닷 벡터 b를
화살표로 나타낼 수 있습니다
이처럼 그릴 수 있습니다
벡터a의 크기에 벡터b의 크기를 곱한 것에
코사인 세타의 각
즉, 두벡터 사이에 이루는 각도를 곱한 것을 말합니다
이것은 어디서 왔을까요?
임의로 생각해봅시다
이해를 돕기위해 시각적으로 설명해 봅시다
임의의 두개의 벡터를 그리고
이 벡터a는 길고 두거운 벡터입니다
이렇게 됩니다
벡터b는

Chinese: 
我們來學一下點乘的有關知識
點乘積 坦白地說
是兩種向量相乘中的一種
是比較簡單的一種
點乘積是什麽呢？
我爲什麽不給出定義呢
一會兒我要給你直觀感受
如果有兩個向量 向量a點乘向量b
這樣畫箭頭
我可以這樣來畫箭頭
等於向量a的絕對值乘以
向量b的絕對值
乘以它們二者的夾角的餘弦
這是怎麽來的呢？
這看起來有點隨意
但是我想 通過一個直觀的解釋
會更容易理解
那麽我隨意畫兩個向量
這是向量a 我畫的又粗又長
這樣有利於講解
我再畫向量b

Bulgarian: 
Хайде да видим какво е 
скаларно произведение на вектори.
Лично аз смятам, че това е по-лесният 
от двата начина
за умножаване на вектори.
Какво прави скаларното произведение?
Първо ще ти дам дефиницията, а след това –
каква е логиката.
Ако имам два вектора – 
вектор a по вектор b.
Това са стрелките.
Ще ги нарисувам така.
Това е равно на произведението 
на дължините на
вектор a и вектор b по косинуса
на ъгъла между тях.
Откъде произлиза това?
Изглежда малко произволно,
но ако ти го обясня нагледно,
ще е по-логично.
Ще начертая 
два произволни вектора.
Това е вектор a – хубав, голям вектор.
Добре ще илюстрира идеята.

Korean: 
이렇게 그려집니다
이 두 벡터사이의 각인 코사인 세타를
그립니다
이 각이 세타가 됩니다
여기 보이는 것과 같이
벡터의 이름을 붙여보면
이것은 벡터a
같은 색으로 그리고
이것은 벡터 b
이것은 두개의 방향이 됩니다
벡터 a의 곱이기 때문에
순서를 바꿀 수 있고
이렇게 쓸 수 있고
벡터의 크기에
코사인 세타를 곱하고
벡터 b 색으로 나타낼 수 있습니다
이 벡터의 곱은
이것은 적지 않을 것입니다
일반적인 곱셈에서는
스칼라의 양을 의미합니다
벡터사이의 점을 보면
벡터의 곱이라고 말할 수 있습니다
이것을 다시 배열한다면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다
이것의 의미는 무엇일까요?
코사인 세타의 의미는 무엇일까요?
우리는 이런 질물을 할 수 있습니다

Bulgarian: 
А това ще бъде вектор b.
Ето го.
Ще означа косинуса или поне
ъгъла между тях.
Това е тита – θ.
Това може да бъде разгледано 
по два начина.
Ще ги означа.
Това е вектор a.
Ще използвам същия цвят.
Това е вектор b.
Това произведение може 
да бъде разгледано по два начина.
Можеш да разместиш реда,
защото за умножението важи 
асоциативното (разместителното) свойство.
Можем да напишем 
произведението на дължината
на вектор a по косинус на тита –
ще го оцветя подходящо –
по вектор b.
Това също е скаларно произведение.
Почти не се налага да го пиша.
Това е обикновено умножаване, 
защото имаме само
скаларни величини.
Когато видиш точка за умножение 
между вектори, говорим за
за скаларно произведение на вектори.
Ако пренаредим този израз 
по този начин,
какво получаваме?
Колко е а по косинус от тита?
Ще ти задам въпрос.

Thai: 
 
เวกเตอร์ b
แล้วขอผมวาดโคไซน์ หรือขอผม อย่างน้อย
วาดมุมระหว่างพวกมัน
นี่คือเธต้า
มีวิธีมองมันได้สองวิธี
ขอผมเขียนกำกับนะ
นี่คือเวกเตอร์ a
ผมพยายามใช้สีให้ตรงกัน
นี่คือเวกเตอร์ b
มันมีวิธีมองผลคูณนี้สองวิธี
คุณมองมันเป็นเวกเตอร์ a -- เพราะการคูณ
มันเปลี่ยนกลุ่มได้ คุณสลับลำดับได้
อันนี้จึงเขียนได้เป็น ขนาดของเวกเตอร์ a
คูณโคไซน์ของเธต้า คูณ -- ผมจะใช้สี
ที่เหมาะสม -- เวกเตอร์ b
และคราวนี้ นี่คือดอทโปรดัก
ผมแทบไม่ต้องเขียนมัน
นี่คือการคูณปกติ เพราะ
พวกนี้คือปริมาณสเกลาร์
เมื่อคุณเห็นจุดระหว่างเวกเตอร์ คุณกำลังพูดถึง
การคูณเวกเตอร์แบบดอท
ถ้าเราเรียงพจน์นี้ใหม่
แบบนี้ มันหมายความว่าอะไร?
a โคไซน์ของเธต้าคืออะไร?
ขอผมถามคุณอย่างหนึ่ง

English: 
Vector b.
And then let me draw the cosine,
or let me, at least,
draw the angle between them.
This is theta.
So there's two ways
of view this.
Let me label them.
This is vector a.
I'm trying to be color
consistent.
This is vector b.
So there's two ways of
viewing this product.
You could view it as vector a--
because multiplication is
associative, you could
switch the order.
So this could also be written
as, the magnitude of vector a
times cosine of theta, times--
and I'll do it in color
appropriate-- vector b.
And this times, this
is the dot product.
I almost don't have
to write it.
This is just regular
multiplication, because these
are all scalar quantities.
When you see the dot between
vectors, you're talking about
the vector dot product.
So if we were to just rearrange
this expression this
way, what does it mean?
What is a cosine of theta?
Let me ask you a question.

Turkish: 
-
-
-
Aralarındaki açıyı da teta ile gösterelim.
-
Vektörlerin isimlerini de yanına yazalım.
bu a vektörüydü
-
bu da b idi.
-
-
Skalar çarpımı, a cos(teta) b olarak da yazabilirm, bu birşeyi değiştirmez.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu ifade de a cos(teta) ifadesine dikkat edelim.
Size bir soru sorayım.

Chinese: 
向量b
我再畫夾角的餘弦 至少
畫出它們之間的夾角
這是θ
我們可以從兩個角度來看
我把它們標注一下
這是向量a
我讓顏色保持一致
這是向量b
可以從兩個角度看這個乘積
可以看做向量a
因爲乘法和順序無關
所以你可以調換順序
所以它可以寫成
向量a的絕對值
乘以cosθ 再乘以
使顏色保持一致 向量b
這是乘號 這是點乘
可以不用寫
這是常規的乘法
因爲這些都是純量
當你看到向量之間的點乘號時
你就是在做有關向量點乘積的問題
如果我們像這樣重新安排這個表達式
它表示什麽意思？
cosθ是什麽？
我問你個問題

Chinese: 
向量b
我再画夹角的余弦 至少
画出它们之间的夹角
这是θ
我们可以从两个角度来看
我把它们标注一下
这是向量a
我让颜色保持一致
这是向量b
可以从两个角度看这个乘积
可以看做向量a
因为乘法和顺序无关
所以你可以调换顺序
所以它可以写成
向量a的绝对值
乘以cosθ 再乘以
使颜色保持一致 向量b
这是乘号 这是点乘
可以不用写
这是常规的乘法
因为这些都是标量
当你看到向量之间的点乘号时
你就是在做有关向量点乘积的问题
如果我们像这样重新安排这个表达式
它表示什么意思？
cosθ是什么？
我问你个问题

Spanish: 
Vector b.
Y luego me deja sacar el coseno, o déjame, al menos,
dibujar el ángulo entre ellos.
Esto es theta.
Así que hay dos maneras de ver esto.
Permítanme etiquetarlos.
Esto es vector de una.
Estoy tratando de ser de color uniforme.
Este es el vector b.
Así que hay dos formas de ver este producto.
También se podría ver como vector--porque la multiplicación es
asociativa, podría cambiar el orden.
Así que esto también podría escribirse como la magnitud del vector de un
coseno de tiempos de theta, veces--y yo lo haré en color
caso--vector b.
Y este momento, este es el producto escalar.
Casi no tengo que escribirlo.
Esto es la multiplicación sólo regular, porque estos
son todas las cantidades escalares.
Cuando vea el punto entre vectores, estás hablando
el producto escalar de vectores.
Así que si éramos simplemente reorganizar esta expresión esto
cierto, ¿qué significa?
¿Qué es un coseno de theta?
Permítame hacerle una pregunta.

iw: 
וקטור b.
נצייר את הזווית
שביניהם.
זה טטה.
ישנן שתי דרכים להסתכל על זה.
קודם ניתן להם שמות.
זה וקטור a.
אני משתדל להיות עקבי עם הצבעים.
זה וקטור b.
ישנן שתי דרכים להסתכל על המכפלה.
מכיוון שהמכפלה מקיימת את
חוק הקיבוץ, אפשר להפוך את הסדר.
ניתן לכתוב את זה, כערך המוחלט של a,
כפול קוסינוס טטה, כפול - אצייר את זה בצבע
המתאים - וקטור b.
הנקודה הזאת היא המכפלה הסקלרית.
אני לא כל כך צריך לכתוב אותה.
זאת מכפלה רגילה, כי אלה
גדלים סקלרים.
כשרואים את הנקודה בין שני וקטורים, זאת
המכפלה הסקלרית.
לאחר שאני סידרתי מחדש את הביטוי הזה,
מה זה אומר לי?
מהו קוסינוס טטה?
אני אשאל אותכם שאלה.

Thai: 
ถ้าผมลากเส้นมุมฉาก ตรงนี้
ตั้งฉากกับ b -- ลองลาก a ทำมุมฉาก
ตรงนั้น -- โคไซน์ของเธต้า SOH CAH TOA
CAH โคไซน์ --
เท่ากับด้านประชิดส่วน
ด้านตรงข้ามมุมฉาก จริงไหม?
ด้านประชิดคืออะไร?
มันเท่ากับด้านนี้
และด้านตรงข้ามมุมฉาก
เท่ากับขนาดของ a จริงไหม?
ขอผมเขียนมันใหม่นะ
โคไซน์ของเธต้า -- และอันนี้ใช้ได้กับเวกเตอร์
โคไซน์ของเธต้า ของมุมนี้เท่ากับด้านประชิด
ซึ่งก็คือ -- ผมไม่รู้ว่าคุณเรียก
อันนี้ว่าอะไร -- ลองเรียก
อันนี้ว่าโปรเจกชันของ a ลงบน b
มันเหมือนกับว่าคุณอยากฉายแสงตั้งฉากกับ b --
ถ้ามีแหล่งกำเนิดแสงตรงนี้ และแสง
ลงมาตรงๆ มันจะเป็นเงาของ a ลงบน b

English: 
If I were to drop a right
angle, right here,
perpendicular to b-- so let's
just drop a right angle
there-- cosine of theta
soh-coh-toa so, cah cosine--
is equal to adjacent of
a hypotenuse, right?
Well, what's the adjacent?
It's equal to this.
And the hypotenuse is equal to
the magnitude of a, right?
Let me re-write that.
So cosine of theta-- and this
applies to the a vector.
Cosine of theta of this angle
is equal to ajacent, which
is-- I don't know what you could
call this-- let's call
this the projection
of a onto b.
It's like if you were to shine
a light perpendicular to b--
if there was a light source
here and the light was
straight down, it would be
the shadow of a onto b.

Chinese: 
如果我畫一個直角
在這裡 垂直於b
我們在這裡做一個直角
cosθ soh-coh-toa因此是coh
等於鄰邊比上斜邊
鄰邊是哪一個？
是這一個
斜邊是向量a的大小
對吧？
我重新寫一遍
cosθ 表示向量a――
cosθ等於鄰邊-
你可以這樣叫它
我們叫它a在b上的投影吧
就像-
如果你發射一束垂直於b的光
如果這裡有一個光源
光線直著下來
這一邊就是a在b上的影子
或者你可以認爲它是a和b方向一致的

Spanish: 
Si tuviera que caer un ángulo recto, justo aquí,
perpendicular a b--justo así que vamos a colocar un ángulo recto
allí--coseno de theta soh-coh-toa--así, cah coseno
es igual a adyacentes de una hipotenusa, ¿verdad?
Bien, ¿qué es la adyacente?
Es igual a esto.
¿Y la hipotenusa es igual a la magnitud de un, derecho?
Permítanme reescribir.
Para el coseno de theta--y esto se aplica a la un vector.
Coseno de theta de este ángulo es igual a ajacent, que
es--no sé lo que se podría llamar esto--vamos a llamar
esta la proyección de un a b.
Es como si fueras a brillar una luz perpendicular a b--
Si hubo aquí una fuente de luz y la luz fue
hacia abajo, sería la sombra de un a b.

Chinese: 
如果我画一个直角
在这里 垂直于b
我们在这里做一个直角
cosθ soh-coh-toa因此是coh
等于邻边比上斜边
邻边是哪一个？
是这一个
斜边是向量a的大小
对吧？
我重新写一遍
cosθ 表示向量a――
cosθ等于邻边-
你可以这样叫它
我们叫它a在b上的投影吧
就像-
如果你发射一束垂直于b的光
如果这里有一个光源
光线直着下来
这一边就是a在b上的影子
或者你可以认为它是a和b方向一致的

Turkish: 
Bu iki vektörle bir dik üçgen oluştursaydık
-
-
cos(teta) ne olurdu? cosinüsün komşu/hipotenüs olduğunu biliyoruz.
tetaya komşu olan uzunluk bu iki nokta arası uzaklıktır.
-
Hipotenüs de a vektörünün büyüklüğüdür.
-
-
-
komşu uzunluğa a 'nın b üzerindeki projeksiyonu, ya da izdüşümü diyebiliriz
-
a'nın üzerinden, b'ye dik bir ışık tutarsak
-
a'nın gölgesini, bu "komşu uzunluk" kadar görürüz.

iw: 
אם היינו מורידים כאן קו
מאונך ל- b - נעשה זאת -
קוסינוס טטה שווה
לניצב שליד הזווית, חלקי היתר, נכון?
מהו הניצב שליד הזווית?
זה שווה לזה.
והיתר שווה לערך המוחלט של a.
נכתוב את זה מחדש.
כשמתייחסים לווקטור a,
קוסינוס טטה, הזווית הזאת, שווה לניצב שליד -
איך נקרא לו? - נקרא לו
ההיטל של a על b.
כאילו שהארתם עם אור מאונך ל- b - אם
היה כאן מקור אור והיה מאיר ישר מטה,
זה היה הצל של a על b.

Korean: 
여기서 수직인 선분을 그려봅시다
선분 b에 수직이 됩니다
여기에 코사인세타는
삼각형의 빗변분의 밑변이 됩니다
밑변은 무엇입니까
이것과 같습니다
빗변은 이 길이를 의미합니다
이것을 다시 쓰면
코사인세타를 벡터에 적용하면
코사인 세타는
벡터 a분에
점 a에서 백터 b에 수직으로 내려진 수선의 발까지의 길이가 됩니다
만일 점 a에서 벡터 b에
빛을 비춘다면
곧게 나아가서 선분 b에 점 a의 그림자가 생길겁니다

Bulgarian: 
Ако спусна перпендикуляр тук,
перпендикулярно на b – 
ще го спусна тук.
Косинус от тита – 
(англоезична мнемоника)
е равен на отношението на прилежащия 
катет към хипотенузата.
Колко е прилежащият катет?
Равен е на това.
А хипотенузата е равна на 
дължината на вектор a.
Ще го преработя.
Косинус от тита – това е приложимо
за вектор a –
косинус от тита е равен 
на прилежащия катет,
който можем да наречем
проекцията на a върху b.
Ако спуснем светлинен лъч
перпендикулярно на b,
т.е. тук има източник на светлина и тя
пада под прав ъгъл, това 
ще бъде сянката на a върху b.

Turkish: 
-
-
a'nın b üzerindeki gölgesinin uzunluğuna a'nın projeksyonu ya da izdüşümü denir.
-
-
-
-
-
-
-
a'nın projeksyonuna ab diyelim.
-
-
-
cos(teta) = |ab| / hipotenüs
hipotenüs, a'nın büyüklüğüne eşit.
|ab|' yi çekersek
-
-
-
-

Bulgarian: 
Можеш също да си представиш,
че това е частта от a
в посоката на b.
Според мен тази проекция...
за мен това е един вид сянка.
Ако имаме светлинен източник, осветяващ 
перпендикулярно вектора,
това ще бъде сянката 
на единия вектор върху другия.
Тази сянка е проекцията
на вектор a върху вектор b.
Или пък например
можем да го наречем Ab.
Това е дължината му.
Колко от вектор a се намира 
върху вектор b –
това е прилежащият катет 
– към хипотенузата.
Хипотенузата е просто 
дължината на вектор a.
Това са прости изчисления.
Също така можеш да умножиш
двете страни
по дължината на вектор a.
Получаваш проекцията 
на a върху b, което
с други думи е тази страна – частта от a
в посоката на b

iw: 
או, שאפשר להסתכל על זה, כרכיב של a שהוא
בכוון של b.
לזה אנו קוראים היטל - לפחות, ההבנה שלי
מהו ההיטל, זה נראה לי
כמו מין צל.
איך היה נראה הצל של הווקטור הזה על זה,
אם היה לנו מקור אור המוטל במאונך?
לצל הזה ניתן לקרוא
ההיטל של a עלb.
נקרא לזה, a עם סימן תחתי b.
וזה הערך המוחלט של זה, נכון?
זה הרכיב של a בכוון של b - זה הניצב
שליד - חלקי היתר.
היתר הוא הערך המוחלט של a.
עכשיו, זה חשבון בסיסי.
נכפיל את שני האגפים
בערך המוחלט של a.
מקבלים את ההיטל של a על b,
הצד הזה, הרכיב של a
בכוון של b,

English: 
Or you could almost think of it
as the part of a that goes
in the same direction of b.
So this projection, they call
it-- at least the way I get
the intuition of what a
projection is, I kind of view
it as a shadow.
If you had a light source that
came up perpendicular, what
would be the shadow of that
vector on to this one?
So if you think about it, this
shadow right here-- you could
call that, the projection
of a onto b.
Or, I don't know.
Let's just call it, a sub b.
And it's the magnitude
of it, right?
It's how much of vector a goes
on vector b over-- that's the
adjacent side-- over
the hypotenuse.
The hypotenuse is just the
magnitude of vector a.
It's just our basic calculus.
Or another way you could view
it, just multiply both sides
by the magnitude of vector a.
You get the projection of a onto
b, which is just a fancy
way of saying, this side; the
part of a that goes in the
same direction as b-- is another
way to say it-- is

Chinese: 
的一部分
所以這個投影 至少
我有了對投影
的直觀感受 我把它看做影子
如果有一個垂直入射的光源
那麽那個向量在這個向量上的
投影是哪一部分？
如果你思考一下 這部分投影
可以這樣叫 a在b上的投影
或者說
可以叫它 a下標b
這是它的絕對值
是向量a投影到b上的部分
這是鄰邊 再除以斜邊
斜邊是向量a的絕對值
這是基本的運算
思考這個問題的另一個角度是
等式兩邊同時乘以向量a的絕對值
得到a在b上的投影
也就是這一個邊的另一種叫法
a投影後和b方向相同的那部分
這是另一種說法

Chinese: 
的一部分
所以这个投影 至少
我有了对投影
的直观感受 我把它看做影子
如果有一个垂直入射的光源
那么那个向量在这个向量上的
投影是哪一部分？
如果你思考一下 这部分投影
可以这样叫 a在b上的投影
或者说
可以叫它 a下标b
这是它的绝对值
是向量a投影到b上的部分
这是邻边 再除以斜边
斜边是向量a的绝对值
这是基本的运算
思考这个问题的另一个角度是
等式两边同时乘以向量a的绝对值
得到a在b上的投影
也就是这一个边的另一种叫法
a投影后和b方向相同的那部分
这是另一种说法

Thai: 
หรือคุณคิดว่ามันเป็นส่วนของ a ที่
ชี้ในทิศเดียวกับ b ก็ได้
โปรเจกชันนี้ เขาเรียกมัน -- อย่างน้อยวิธีที่ผม
ได้สัญชาตญาณว่าโปรเจกชันคืออะไร ผมมอง
มันเป็นเงา
ถ้าคุณมีแหล่งกำเนิดแสงที่ตั้งฉาก
เงาของเวกเตอร์นั้นลงบนเวกเตอร์นี้เป็นเท่าใด?
ถ้าคุณคิดดู เงานตรงนี้ -- คุณ
เรียกมันว่า โปรเจกชันของ a ลงบน b
หรือ ไม่รู้สิ
ลองเรียกมันว่า a ห้อย b
และมันคือขนาดของมัน ใช่ไหม?
มันคือปริมาณเวกเตอร์ a 
ที่ทอดไปบนเวกเตอร์ b -- นั่นคือ
ด้านประชิด -- ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉากก็แค่ขนาดของเวกเตอร์ a
นั่นคือแคลคูลัสพื้นฐาน
หรือวิธีมองมันอีกอย่าง แค่คูณทั้งสองด้าน
ด้วยขนาดของเวกเตอร์ a
คุณจะได้โปรเจกชันของ a ลงบน b ซึ่งก็คือวิธี
หรูหราบอกว่า ด้านนี้ ส่วนของ a ที่มี
ทิศเดียวกับ b -- คือวิธีบอกอีกอย่างว่า --

Korean: 
또는 우리는
벡터 b의 방향이 같고
이렇게 투영하는 것을
직관적으로 볼 수 있고
그림자로 볼 수 있습니다
만일 빛이 수직으로 비춘다면
어느 벡터에 그림자가 생길까요?
벡터 b중에 이만큼 그림자가 생길 것입니다
이것은 벡터 a를 벡터 b에 투영한 것이 됩니다
모르지만
이것은 b에 투영된 벡터 a라고 부릅시다
이것의 크기와 같습니다
a 벡터가 벡터 b에 투영된 크기가 됩니다
빛변이 밑변에 투영되었고
벡터의 크기는 이만큼이 됩니다
기본 계산에서는
두개의 보이는 벡터에
벡터 a를 곱하기도 합니다
벡터 b에 투영되고
그 벡터의 크기는
벡터의 방향이 일치하고

Spanish: 
O casi se podría pensar de como parte de una va
en la misma dirección de b.
Así que esta proyección, llaman TI--por lo menos la manera de que obtener
la intuición de una proyección de lo que es, que tipo de vista
es como una sombra.
Si tuvieras una fuente de luz que surgió de forma perpendicular, lo que
¿sería la sombra de ese vector a éste?
Así que si pones a pensar, esta aquí derecho sombra--pudiera
que, la proyección de un a b.
O bien, no sé.
Vamos a justo llamarlo, a b sub.
¿Y es la magnitud de la misma, derecho?
Es cuánto de vector a goes en el vector b sobre--que la
laterales adyacentes--sobre la hipotenusa.
La hipotenusa es sólo la magnitud del vector un.
Es sólo nuestro cálculo básico.
O de otra manera podría ver, simplemente multiplique ambos lados
por la magnitud del vector de un.
Obtendrá la proyección de un sobre b, que es sólo una fantasía
manera de decir, de este lado; la parte de una que va el
misma dirección de b--es otra forma de decir de TI--es

Turkish: 
-
-
|ab| = |a| cos(teta) ifadesini elde ederiz.
Bu da skalar çarpımdaki şu ifadeyle aynı.
Öyleyse a'nın b ile skalar çarpımı
a'nın b üzerine projeksyonunun büyüklüğü çarpı b'nin büyüklüğüne eşit olur.
yani a.b = |ab| |b|
-
Bu ilginç bir sonuç.
-
-
-
önce a vektörünün b ile aynı yöndeki bileşeninin büyüklüğünü bulduk
sonrada bunu b nin büyüklüğü ile çarptık ve sonucun a ve b vektörünün skalar çarpımına eşit olduğunu gördük.
Peki bu skalar çarpım ne işe yarar?
-
İş konusunda işimize yarayabilir mi acaba?
-
iş, kuvvet çarpı yol olarak tanımlanıyordu.
Fakat hesaplamalarda kullandığımız kuvvet, herzaman toplam kuvvet olmuyordu.
-
yol ile aynı yönde olan kuvvetin bileşenini alıyorduk
çünkü işi yapan bu bileşendi.
-

Korean: 
두 크기를 곱하는 것과 같아집니다
벡터 a에 코사인 세타를 곱한 것과
정확하게 일치하게 됩니다
벡터의 합성의 정의입니다
다른 그림으로 벡터의 합성을 설명하면
벡터 b에 투영된 벡터와
벡터 b와의
곱과 같아집니다
재밌습니다
두개의 벡터의 합성에서
여기 하나의 벡터가 있습니다
이것은 벡터의 크기를 의미합니다
벡터의 크기요소와 같은 방향이라면
이들을 곱하면됩니다
어디서 유용할까요?
생각해 봅시다
일은 무엇일까요?
물리에서 일을 알아봅시다
일은 힘과 거리의 곱입니다
그러나 힘과 거리를
그대로 곱하는 것이 아닙니다
힘은 같은 방향으로
작용한 거리입니다
물리학의 목차에서 찾을 수 있을겁니다.

Thai: 
เท่ากับการคูณทั้งสองด้านด้วยขนาดของ a
เท่ากับขนาดของ a โคไซน์ของเธต้า
ซึ่งเท่ากับสิ่งที่เรามีบนนี้พอดี
และนิยามของดอทโปรดัก
วิธีมองดอทโปรดักอีกอย่างคือว่า คุณ
แทนที่เทอมนี้ด้วยขนาดของโปรเจกชันของ
a ลงบน b -- ซึ่งก็คือเทอมนี้ -- คูณ
ขนาดของ b
มันน่าสนใจ
ดอทโปรดักของเวกเตอร์สองตัวนั้น -- ลองนำ
เวกเตอร์หนึ่งมา
ลองหาว่าเวกเตอร์นั้น -- องค์ประกอบ
ขนาดของมัน --ไปในทิศเดียว
กับเวกเตอร์อีกตัวเท่าใด แล้วคูณพวกมันเข้า
แล้วมันมีประโยชน์ตรงไหน?
คิดดู
งานล่ะ?
ตอนที่เราเรียนเรื่องงานในฟิสิกส์ใช่ไหม?
งานคือแรงคูณระยะทาง
แต่มันไม่ใช่แรงลัพธ์
คูณระยะทางทั้งหมด
มันคือแรงที่ไปในทิศ
เดียวกับระยะทาง
 
คุณควรทบทวนรายการวิชาฟิสิกส์ ถ้าคุณ

Spanish: 
igual a sólo multiplicando ambos lados veces la magnitud de un
es igual a la magnitud de un, coseno de theta.
Que es exactamente lo que tenemos aquí.
Y la definición del producto escalar.
Por lo que es otra forma de visualizar el producto escalar, usted podría
sustituir este término por la magnitud de la proyección de
un sobre b--que es simplemente esto--veces el
magnitud de b.
Es interesante.
Todo el producto escalar de dos vectores es--tomemos sólo
un vector.
Vamos a averiguar cómo mucho de ese vector--qué componente
es magnitud--va en la misma dirección que el
otros vectores y vamos a multiplicar sólo les.
¿Y donde es útil?
Bien, piense en ello.
¿Funciona?
¿Cuando nos enteramos de trabajo en física?
Trabajo es fuerza veces distancia.
Pero no es sólo la fuerza total
veces la distancia total.
Es la fuerza va en el mismo
dirección de la distancia.
Usted debe revisar la lista de reproducción física si estás viendo

Bulgarian: 
е равна на дължината на a,
умножена по косинус от тита.
Тук имаме точно това –
дефиницията на скаларното произведение.
Също така можеш да си представиш
скаларното произведение,
като замениш това 
с дължината на проекцията на
a върху b – това тук – умножена по
дължината на b.
Това е интересно.
Това е скаларното произведение 
на два вектора. Ще вземем
един вектор.
Ще сметнем дължината му,
компонента му в посоката на
другия вектор, и ще ги умножим.
Къде е полезно това?
Нека помислим.
Например при работа.
Когато учим за работа във физиката.
Работата е равна на силата по пътя.
Но не е цялата сила
по целия път,
а силата, която е
в посоката на движението.
Трябва да прегледаш плейлиста по
физика, ако гледаш

Chinese: 
等式两边同时乘以|a|
等于 乘以|a|
等于向量a的绝对值乘以cosθ
恰好和上面的相同
是点乘积的定义
所以思考点乘积的另一个角度就是
你可以把这一项用
a在b上投影的绝对值代替 就是这一边
乘以b的绝对值
这很有趣
所有两个向量的点乘
我们取一个向量
计算出这个向量绝对值的多少
在投影后和
另一个向量方向相同的部分
把它们相乘
它有什么应用呢？
我们来想一下
功(机械功)可以吗？
我们在物理中学到的
功等于力乘以路程
但这不是总的力
乘以总路程
它指的是
在前进方向上的力
如果你是在微积分部分看到的
那么你应该回顾一下物理部分

English: 
equal to just multiplying both
sides times the magnitude of a
is equal to the magnitude
of a, cosine of theta.
Which is exactly what
we have up here.
And the definition of
the dot product.
So another way of visualizing
the dot product is, you could
replace this term with the
magnitude of the projection of
a onto b-- which is just
this-- times the
magnitude of b.
That's interesting.
All the dot product of two
vectors is-- let's just take
one vector.
Let's figure out how much of
that vector-- what component
of it's magnitude-- goes in
the same direction as the
other vector, and let's
just multiply them.
And where is that useful?
Well, think about it.
What about work?
When we learned work
in physics?
Work is force times distance.
But it's not just
the total force
times the total distance.
It's the force going
in the same
direction as the distance.
You should review the physics
playlist if you're watching

Chinese: 
等式兩邊同時乘以|a|
等於 乘以|a|
等於向量a的絕對值乘以cosθ
恰好和上面的相同
是點乘積的定義
所以思考點乘積的另一個角度就是
你可以把這一項用
a在b上投影的絕對值代替 就是這一邊
乘以b的絕對值
這很有趣
所有兩個向量的點乘
我們取一個向量
計算出這個向量絕對值的多少
在投影後和
另一個向量方向相同的部分
把它們相乘
它有什麽應用呢？
我們來想一下
功可以嗎？
我們在物理中學到的
功等於力乘以路程
但這不是總的力
乘以總路程
它指的是
在前進方向上的力
如果你是在微積分部分看到的
那麽你應該回顧一下物理部分

iw: 
שווה - כשמכפילים את שני האגפים בערך
המוחלט של a -
שווה לערך המוחלט של a, כפול קוסינוס טטה.
וזה בדיוק מה שיש לנו כאן למעלה,
בהגדרה לש המכפלה הסקלרית.
זאת דרך אחת להסתכל על המכפלה הסקלרית,
ניתן להחליף את החלק הזה, בהיטל של a
על b - זה בדיוק זה - כפול הערך
המוחלט של b.
זה מעניין.
במכפלה הסקלרית לוקחים את
אחד הווקטורים,
מסתכלים על הערך המוחלט של רכיב
הווקטור שבכוון של הווקטור השני, ומכפילים
אותו בערך המוחלט של הווקטור השני.
איפה זה עוזר לנו?
תחשבו על זה.
תחשבו על מושג עבודה,
אותו למדנו בשיעורי הפיזיקה.
עבודה היא כוח כפול דרך.
אבל, זה לא כל הכוח
כפול כל הדרך.
זה רכיב הכוח שבאותו
כוון כמו הדרך.
כדאי שתסתכלו על רשימת הסירטונים בפיזיקה,

Thai: 
ดูวิดีโอนี้ในรายการวิชาแคลคูลัส สมมุติว่าผมมี
วัตถุ 10 นิวตัน
มันนั่งอยู่บนน้ำแข็ง จึงไม่มีแรงเสียดทาน
ผมไม่ต้องกังวลเรื่องแรงเสียดทานตอนนี้
และสมมุติว่าผมดึงมัน
สมมุติว่าเวกเตอร์แรงของผม -- นี่คือเวกเตอร์แรง
 
สมมุติว่าเวกเตอร์แรงของผมเป็น 100 นิวตัน
ผมสมมุติตัวเลขขึ้นมา
100 นิวตัน
และสมมุติว่าผมเลื่อนมันไปทางขวา 
เวกเตอร์ระยะ
ของผมจึงเป็น 10 เมตรขนานกับพื้น
 

iw: 
אם אתם רואים את זה מתוך שיעורי המתמטיקה.
נגיד שיש לנו גוף שמשקלו 10 ניוטון.
הוא מונח על קרח, כך שאין לנו חיכוך.
אנו לא צריכים להתעסק עם חיכוך.
נגיד שאני מושך אותו.
זה וקטור הכוח.
נגיד שגודל וקטור הכוח הוא 100 ניוטון.
אני ממציא מספרים על הדרך.
100 ניוטון.
נגיד שהגוף נע ימינה, כך שווקטור
הדרך מקביל לקרקע, וגודלו 10 מטר.

Chinese: 
假如我有一個重10牛的物體
把它放在冰上 所以沒有摩擦力
我們不必考慮摩擦力
我拉著它前進
力向量 這表示力向量
假如力向量是100牛
這是我編的數 100牛
假設我拉著它向右滑行
距離向量是10米
平行於地面

Chinese: 
假如我有一个重10牛顿的物体
把它放在冰上 所以没有摩擦力
我们现在暂时不必考虑摩擦力
我拉着它前进
力向量 这表示力向量
假如力向量是100牛顿
这是我编的数 100牛顿
假设我拉着它向右滑行
距离向量是10米
平行于地面

Spanish: 
Esto dentro de la lista de reproducción de cálculo. Digamos que tengo un
objeto de 10 newton.
Está sentado sobre el hielo, así que no hay ninguna fricción.
No queremos que preocuparse ahora de ficción.
Y digamos que tirar de él.
Digamos que mi vector fuerza--esto es mi vector de fuerza.
Digamos que mi vector de fuerza es 100 newtons.
Estoy haciendo los números hacia arriba.
100 newtons.
Y digamos que deslice hacia la derecha, así que mi distancia
vector es 10 metros paralelos al suelo.

Bulgarian: 
това в плейлиста за математика.
Да речем, че имам
обект със сила 10 нютона.
Намира се върху лед 
и няма триене.
Няма нужда 
да се притесняваме за триенето.
Започвам да го тегля.
Това е векторът на силата ми.
Ето го.
Да кажем, че векторът 
на силата ми е 100 нютона.
Измислям си стойности.
100 нютона.
Да речем, че го плъзна 
надясно. Векторът на
изминатия път е 10 метра 
паралелно на земята.
изминатия път е 10 метра 
паралелно на земята.

Turkish: 
-
Örneğin elimizde 10 Newton'luk bir cisim olsun.
Cisim buzun üstünde olsun, yani sürtünme kuvveti 0
-
-
-
Bu cismi 100 Newton'luk kuvvetle çekeyim.
Yani kuvvet vektörü = 100Newton olsun.
-
Bu cismi 10 metre sağa doğru bu 100N'luk kuvvetle çekelim
Bu durumda konum vektörü = 10 metre olur.

Korean: 
이것ㅔ 대해 살펴보면
10뉴튼의 물체를 가지고 있습니다
얼음위에 앉아 있고, 마찰이 없습니다
이제 마찰에 대한 걱정을 하지 않아도 됩니다
이것을 당긴다고 생각해 봅시다
이것은 힘이 작용하는 벡터
힘의 벡터의 크기는 100뉴턴입니다
이 물체를 얼음에서 크는 힘이
100뉴턴입니다
그러면 오른쪽으로 이 물체는 미끄러집니다
거리는 10미터를 수평으로 움직였다고 합시다

English: 
this within the calculus
playlist. Let's say I have a
10 newton object.
It's sitting on ice, so
there's no friction.
We don't want to worry about
fiction right now.
And let's say I pull on it.
Let's say my force vector--
This is my force vector.
Let's say my force vector
is 100 newtons.
I'm making the numbers up.
100 newtons.
And Let's say I slide it to
the right, so my distance
vector is 10 meters parallel
to the ground.

Thai: 
และมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ 60 องศาซึ่ง
เท่ากับพายส่วน 3
เราจะใช้หน่วยองศานะ
มันตรงตามสัญชาตญาณมากกว่าหน่อย
มันคือ 60 องศา
ระยะนี่ตรงนี้คือ 10 เมตร
คำถามของผมคือว่า เมื่อดึงเชื่อกนี้
ที่มุม 60 องศา ด้วยแรง 100 นิวตัน และ
เมื่อดึงแท่งนี้ไปทางขวาเป็นระยะ 10 เมตร
ผมจะทำงานเท่าใด?
งานคือแรงคูณระยะทาง แต่ไม่ใช่แค่
แรงลัพธ์
แต่เป็นขนาดของแรงในทิศเดียวกับระยะทาง
ขนาดของแรงในทิศ
ของระยะนี้เป็นเท่าใด?
มันจะเป็นองค์ประกอบ
แนวนอนของเวกเตอร์แรงนี้
จริงไหม?
มันจะเท่ากับ 100 นิวตันคูณ
โคไซน์ของ 60 องศา
มันจะบอกคุณว่าแรง 100 นิวตันนั้น
ไปทางขวาเท่าใด
หรือวิธีมองอีกอย่างคือว่า ถ้านี่
คือเวกเตอร์แรง
และข้างล่างนี้คือเวกเตอร์ระยะทาง

Bulgarian: 
Ъгълът между тях е 60°,
което е равно на π/3.
Ще използвам градуси.
По-лесно е.
60 градуса.
Изминатият път е 10 метра.
Въпросът ми е – като дърпам това въже
под ъгъл 60° със сила 100 нютона
10 метра надясно, колко
работа извършвам?
Работата е равна на 
силата по пътя, но не
цялата сила.
Големината на силата 
в посоката на движението.
Каква е големината на силата
в посоката на движението?
Тя е хоризонталният компонент на този
вектор на силата.
Значи 100 нютона по
косинус на 60°.
Разбираш колко от тези 100 нютона
отиват надясно.
Може да се разгледа и по друг начин.
Това е векторът на силата.
А тук долу е векторът
на изминатия път.

Turkish: 
konum ve kuvvet vektörleri arasındaki açıyı 60 derece alalım.
-
-
-
-
bu uzunluk 10 metre.
Sorumuz şu:
60 derecelik bir açıyla uygulanan 100 Newton'luk kuvvet ile
cismi 10 metre kadar çekersek
ne kadar iş yapmış oluruz?
İş = kuvvet çarpı yol olduğunu biliyoruz.
Fakat bu örnekte kuvvet, cismin konum vektörü ile aynı yönde değil.
O zaman öncelikle kuvvetin konum vektörü ile aynı yönde olan
yani yatay bileşenini bulmalıyız.
-
-
-
Kuvvetin yatay bileşeni, 100N çarpı cos60 olarak hesaplanır.
-
Burada aslında 100N'nun ne kadarının yatay yönde olduğunu buluyoruz.
-
Burası F vektörü şurası da d vektörü olmak üzere
-
iş, F ve d vektörlerinin saklar çarpımına eşit olur.

English: 
And the angle between them is
equal to 60 degrees, which is
the same thing is pi over 3.
We'll stick to degrees.
It's a little bit
more intuitive.
It's 60 degrees.
This distance right
here is 10 meters.
So my question is, by pulling on
this rope, or whatever, at
the 60 degree angle, with a
force of 100 newtons, and
pulling this block to the right
for 10 meters, how much
work am I doing?
Well, work is force times the
distance, but not just the
total force.
The magnitude of the force in
the direction of the distance.
So what's the magnitude
of the force in the
direction of the distance?
It would be the horizontal
component of this force
vector, right?
So it would be 100
newtons times the
cosine of 60 degrees.
It will tell you how
much of that 100
newtons goes to the right.
Or another way you could
view it if this
is the force vector.
And this down here is
the distance vector.

iw: 
הזווית ביניהם היא 60 מעלות, שזה
אותו הדבר כמו פאי חלקי 3.
נישאר עם מעלות.
נראה ליש זה יותר פשוט.
זה 60 מעלות.
המרחק הזה, כאן, הוא 10 מטר.
כשאני מושך בחבל הזה,
בזווית של 60 מעלות, בכוח של 100 ניוטון,
ומזיז את הגוף ימינה למרחק של 10 מטר,
כמה עבודה אני עושה?
עבודה היא כוח כפול דרך, אך
לא כל הכוח.
הערך המוחלט של רכיב הכוח בכוון הדרך.
מהו הערך המוחלט של רכיב הכוח
בכוון של הדרך?
זה הרכיב האופקי של וקטור
הכוח, נכון?
זה 100 ניוטון, כפול
קוסינוס של 60 מעלות.
זה אומר לנו כמה, מתוך 100
הניוטון האלה, הולך ימינה.
דרך אחרת להסתכל על זה: אם
זה וקטור הכוח,
וזה כאן למטה, הוא וקטור הדרך,

Korean: 
이 벡터들 사이의 각은 60도라고 합시다
이것은 3분의 파이와 같습니다
이 각도는
우리에세 직관을 줍니다
60도라고
거리는 10미터 입니다
줄로 묶어서 물체를 끈다면
60도의 각과 100뉴튼의 힘으로
오른쪽으로 10미터를 끌어 당겼다면
내가 한 일의 양을 얼마입니까?
일은 힘에 움직인 거리의 곱입니다
하지만 전체 힘은 아닙니다
거리와 방향의 크기는
거리의 방향에서 작용하는
힘의 크기는 무엇입니까?
힘의 요소가 수평일때
벡터가 맞습니까?
100뉴튼의 힘에
코사인 60도를 곱합니다
100뉴튼으로 오른쪽으로 움직인 힘이
얼마나 큽니까?
또는 다른 방법으로
이것은 힘의 벡터입니다
이것은 거리의 벡터입니다

Spanish: 
Y el ángulo entre ellos es igual a 60 grados, que es
lo mismo es pi más 3.
Nos quedo en grados.
Es un poco más intuitivo.
Es 60 grados.
Esta distancia aquí es de 10 metros.
Así que mi pregunta es, tirando de esta cuerda, o lo que sea, en
el ángulo de 60 grados, con una fuerza de 100 newtons, y
tirando de este bloque hacia la derecha para 10 metros, cuánto
¿trabajo estoy haciendo?
Bueno, trabajo es fuerza veces la distancia, pero no sólo la
total de la fuerza.
La magnitud de la fuerza en la dirección de la distancia.
¿Cuál es la magnitud de la fuerza en la
¿dirección de la distancia?
Sería el componente horizontal de esta fuerza
¿vector, correcto?
Por lo que sería 100 veces newtons la
coseno de 60 grados.
Le dirá cuánto de que 100
Newtons va a la derecha.
O también otra forma se podría ver si este
es el vector de fuerza.
Y aquí abajo es el vector de distancia.

Chinese: 
两个向量的夹角是60度
也就是π/3
我们还是用度来表示
这样更直观一点
夹角是60度
这段距离是10m
我的问题是 用这根绳子拉着它走
与地面成60度角
用100牛顿的力
拉着这个方块向右走了10m
我一共做了多少功？
功等于力乘以路程
但不是总的力
是在前进方向上
的力的绝对值
那么前进方向上的
力的绝对值是多少？
是力向量的
水平分量
等于100牛
乘以cos60°
可以求出
100牛顿的力水平向右的分量是多少
另一个思考角度是
如果这是力向量
下面这个是路程向量

Chinese: 
兩個向量的夾角是60度
也就是π/3
我們還是用度來表示
這樣更直觀一點
夾角是60度
這段距離是10m
我的問題是 用這根繩子拉著它走
與地面成60度角
用100牛的力
拉著這個方塊向右走了10m
我一共做了多少功？
功等於力乘以路程
但不是總的力
是在前進方向上
的力的絕對值
那麽前進方向上的
力的絕對值是多少？
是力向量的
水平分量
等於100牛
乘以cos60°
可以求出
100牛的力水平向右的分量是多少
另一個思考角度是
如果這是力向量
下面這個是路程向量

Turkish: 
İşi W ile gösteriyoruz.
W = F . d olarak ifade edilir.
-
-
-
Değerleri yerine yazalım:
F yerine 100N , d yerine 10 m
aralarındaki açı 60 derece olduğuna göre
çarpı cos60
-
Bu da, 1000Nm çarpı cos60 eder.
-
cos60 = kök3 / 2 olduğuna göre
-
-
-
-
500 kök3 Joule bulunur.
-
Bu da yaklaşık 870 Joule demektir.
-

Thai: 
คุณก็บอกได้ว่า งานลัพธ์ที่คุณทำเท่ากับ
เวกเตอร์แรงดอทเวกเตอร์ระยะทาง 
โดยใช้ดอท
โปรดัก -- หาดอทโปรดัก ของแรง
และระยะทาง
เรารู้ว่านิยามคือขนาดของ
เวกเตอร์แรง ซึ่งก็คือ 100 นิวตันคูณขนาด
ของเวกเตอร์ระยะทาง ซึ่งก็คือ 10 เมตร คูณโคไซน์
ของมุมระหว่างพวกมัน
โคไซน์ของมุม 60 องศา
มันจึงเท่ากับ 1,000 นิวตันเมตร
คูณโคไซน์ของ 60
โคไซน์ของ 60 คืออะไร?
มันเท่ากับรากทีสองของ 3 ส่วน 2
(จริงๆ คือ 1 ส่วน 2: ผู้แปล)
 
รากที่สองของ 3 ส่วน 2 ถ้าผมจำถูกนะ
คูณรากที่สองของ 3 ส่วน 2
2 กลายเป็น 500
มันกลายเป็น 500 รากที่สองของ 3 จูล
ได้เท่าไหร่ก็ช่าง
ไม่รู้สิ 700 สักอย่างนะผมว่า
บางทีอาจเป็น 800 กว่าๆ
ผมไม่แน่ใจ

Bulgarian: 
Може да се каже, че общата
извършена работа е равна на
вектора на силата 
по вектора на изминатия път.
Използваме скаларното 
произведение на векторите
за сила и път.
Знаем, че дефиницията е –
дължината на вектора на силата,
която е 100 нютона, по дължината
на вектора на изминатия път, 
който е 10 метра, по косинуса
на ъгъла между тях.
Косинус от 60°.
Това е равно на 1000 нютон метра
по косинус от 60°.
Колко е косинус от 60°?
Равно е на √3/ 2.
Ако си спомням правилно,
е равно на √3/ 2.
Значи умножено по √3/ 2.
Делено на 2, това става 500.
Става равно на 500√3 джаула.
Предполагам, някъде около 
700–800 и нещо джаула.
Не съм сигурен.

iw: 
אפשר להגיד שהעבודה המבוצעת שווה
למכפלה הסקלרית של וקטור הכוח עם
וקטור הדרך -
המכפלה הסקלרית של הכוח
עם הדרך.
וזה שווה לערך המוחלט של וקטור הכוח,
שהוא 100 ניוטון, כפול הערך במוחלט של וקטור
הדרך, שהוא 10 מטר, כפול קוסינוס
הזווית שביניהם.
קוסינוס של 60 מעלות.
זה שווה ל- 1,000 ניוטון-מטר,
כפול קוסינוס 60.
מה זה קוסינוס 60?
זה השורש הריבועי של 3, חלקי 2.
אם אני זוכר נכון, זה השורש הריבועי של 3,
חלקי 2.
כפול השורש הריבועי של 3, חלקי 2.
1,000 לחלק ל- 2, זה 500.
וזה 500 כפול השורש הריבועי של 3.
זה בערך 700. אני מנחש.
יכול להיות שזה בערך 800.

Spanish: 
Se podría decir que el trabajo total realizado es igual a
el punto del vector de fuerza el vector de distancia, usando el punto
producto--tomando el producto escalar, a la fuerza y la
factor de distancia.
Y sabemos que la definición es la magnitud de
el vector de fuerza, que es de 100 newtons, veces la magnitud
del vector de distancia, que es de 10 metros, veces el coseno
el ángulo entre ellos.
Coseno del ángulo es de 60 grados.
Lo es igual a 1.000 metros de newton
veces coseno de 60.
¿Coseno de 60 es qué?
La raíz cuadrada de 3 a 2.
Raíz cuadrada de 3 por 2, si recuerdo mal.
Lo veces la raíz cuadrada de 3 a 2.
Así que el 2 se convierte en 500.
Así que resulta es 500 raíces cuadradas de 3 julios, cualquiera que sea.
No sé 700 algo, estoy adivinando.
Quizás sea algo 800.
No estoy muy seguro.

Chinese: 
那麽你所做的總功
等於力向量點乘路程向量
利用點乘號
做力和路程的點乘積
我們知道
點乘積的定義是力向量的絕對值
也就是100牛
乘以路程向量的絕對值
也就是10m
再乘以夾角的餘弦
cos60°
等於1000N・m
cos60° cos60°等於多少?
等於根號3除以2（此處應爲1/2 後面類推）
如果沒記錯的話是根號3除以2
所以乘以根號3除以2
所以2和1000約分 分子是500
等於500乘以根號3焦耳
不論具體數字是多少
我覺得是700左右
或者是800左右
我不確定

Chinese: 
那么你所做的总功
等于力向量点乘路程向量
利用点乘号
做力和路程的点乘积
我们知道
点乘积的定义是力向量的绝对值
也就是100牛顿
乘以路程向量的绝对值
也就是10m
再乘以夹角的余弦
cos60°
等于1000N・m
*cos60° cos60°等于多少?
等于根号3除以2（此处应为1/2 后面类推）
如果没记错的话是根号3除以2
所以乘以根号3除以2
所以2和1000约分 分子是500
等于500乘以根号3焦耳
不论具体数字是多少
我觉得是700左右
或者是800左右
我不确定

Korean: 
여기서 작용한 전체 일의 양은
힘의 벡터와 거리의 벡터의 합성하는 것과 같습니다
벡터의 합성은 힘의 요소와
거리의 요소입니다
힘의 벡터의 크기에 대한 정의는
100뉴튼에 거리벡터 10미터의
곱에 코사인 두 벡터의 사잇각의
곱이 됩니다
여기서 두 벡터사이각은 60도입니다
1,000뉴턴메터에
코사인 60도를 곱한것과 같습니다
코사인 60도는 무엇입니까?
이 값은 2분의 루트 3이 됩니다
정확하게 기억한다면 2분의 루트3
이것을 곱한다면
2로 약분하면 500이되고
500 루트3 주울이 됩니다
우리는 약 700정도 임을 알 수 있습니다
아마 800정도 일수도 있습니다
정확하지 않습니다

English: 
You could say that the total
work you performed is equal to
the force vector dot the
distance vector, using the dot
product-- taking the dot
product, to the force and the
distance factor.
And we know that the definition
is the magnitude of
the force vector, which is 100
newtons, times the magnitude
of the distance vector, which is
10 meters, times the cosine
of the angle between them.
Cosine of the angle
is 60 degrees.
So that's equal to 1,000
newton meters
times cosine of 60.
Cosine of 60 is what?
It's square root of 3 over 2.
Square root of 3 over 2, if
I remember correctly.
So times the square
root of 3 over 2.
So the 2 becomes 500.
So it becomes 500 square roots
of 3 joules, whatever that is.
I don't know 700 something,
I'm guessing.
Maybe it's 800 something.
I'm not quite sure.

English: 
But the important thing to
realize is that the dot
product is useful.
It applies to work.
It actually calculates what
component of what vector goes
in the other direction.
Now you could interpret
it the other way.
You could say this is
the magnitude of a
times b cosine of theta.
And that's completely valid.
And what's b cosine of theta?
Well, if you took b cosine of
theta, and you could work this
out as an exercise for yourself,
that's the amount of
the magnitude of the
b vector that's
going in the a direction.
So it doesn't matter
what order you go.
So when you take the cross
product, it matters whether
you do a cross b,
or b cross a.
But when you're doing the dot
product, it doesn't matter
what order.
So b cosine theta would be the
magnitude of vector b that
goes in the direction of a.
So if you were to draw a
perpendicular line here, b
cosine theta would
be this vector.
That would be b cosine theta.
The magnitude of
b cosine theta.

Bulgarian: 
Важното е да разбереш, че
скаларното произведение е полезно.
Приложимо е за работа.
Всъщност изчислява кой 
компонент от кой вектор
има обратна посока.
Може да се тълкува и обратно.
Може да се каже, че това
е дължината на a
по b по косинус от тита.
И това е напълно вярно.
Колко е b по косинус от тита?
Ако можеш да го изчислиш
за упражнение, това е
дължината на вектор b
в посоката на a.
Няма значение в какъв ред ги смяташ.
При векторното произведение 
има значение
дали умножаваме a по b 
или обратно.
Но при скаларното произведение 
редът няма значение.
b по косинус от тита е равно на
дължината на вектор b
в посоката на вектор a.
Ако тук начертаем 
перпендикулярна линия,
b по косинус на тита 
ще бъде този вектор.
Това е b по косинус от тита.
Дължината на b по косинус от тита.

Spanish: 
Pero lo importante para darse cuenta que es el punto
producto es útil.
Se aplica al trabajo.
Realmente calcula qué componente de qué vector pasa
en la otra dirección.
Ahora podría interpretar al revés.
Se podría decir que esta es la magnitud de un
coseno de b tiempos de theta.
Y eso es completamente válida.
Y ¿qué es el coseno de b de theta?
Bueno, si usted tomó coseno b de theta, y esto podría trabajar
hacia fuera como un ejercicio para ti, que es la cantidad de
la magnitud de la b que vector de
va el sentido.
Así que no importa qué orden vas.
Así que cuando usted toma el producto cruzado, importa si
haces una cruz b, o b cruzar una.
Pero cuando estás haciendo el producto escalar, no importa
¿qué orden.
Theta de coseno b sería la magnitud del vector b que
va en la dirección de un.
Así que si fueras a dibujar una línea perpendicular, b
theta de coseno sería este vector.
Eso sería theta de coseno de b.
La magnitud de theta de coseno de b.

Chinese: 
但是重要的是
認識到點乘是有用的
可以用在做功上
實際上就是計算
某向量
在另一向量上的投影
現在還有另外一種解釋
你可以認爲它是
|a|乘以|b|cosθ
這仍然是合理的
|b|cosθ是什麽？
如果看|b|cosθ
你可以當做練習
把它做出來
這是向量b的長度
在向量a上的投影
計算的順序無關緊要
當你計算叉乘積時
就要注意順序 a叉乘b 或者b叉乘a
但是做點乘積時
順序就無關緊要了
所以|b|cosθ等於向量b的長度
在向量a上的投影
如果在這裡做一條垂直線
|b|cosθ就是這部分
這部分是|b|cosθ
b的模乘以cosθ

iw: 
אני לא בטוח.
הדבר החשוב הוא, שהבנתם במה מועילה
המכפלה הסקלרית.
היא מיושמת במושג עבודה.
היא מחשבת, איזה רכיב של אחד הווקטורים
הולך בכוון של הווקטור השני.
אפשר להסתכל על זה בדרך נוספת.
אפשר להגיד שזה הערך המוחלט של a,
כפול b קוסינוס טטה.
זה חוקי בהחלט.
מה זה b קוסינוס טטה?
אתם יכולים לנסות את זה בעצמכם.
כשלוקחים b קוסינוס טטה, זה כמה
מהערך המוחלט של b,
הולך בכוון של a.
לא משנה מהו הסדר.
כשמחשבים מכפלה וקטורית, משנה אם
זה a כפול b, או b כפול a.
אבל, במכפלה הסקלרית, הסדר
אינו משנה.
אם כן, b קוסינוס טטה, הוא הרכיב של וקטור b,
בכוון של a.
אם נצייר כאן קו מאונך, b קוסינוס
טטה יהיה הווקטור הזה.
זה b קוסינוס טטה.
הערך המוחלט של b, כפול קוסינוס טטה.

Turkish: 
Sonuç olarak işi hesaplamak için skalar çarpım kullanmış olduk.
-
-
-
-
Skalar çarpımı başka bir yolla da bulabilirdik.
a'nın büyüklüğü çarpı b cos(teta) olarak da alınabilirdi.
-
-
bcos(teta) aslında b'nin a üzerine projeksyonu demektir,
yani b'nin ne kadarının a ile aynı yönde olduğunun bir ifadesidir.
-
-
-
Hangi vektörü diğerinin üzerindeki projeksyonunu aldığınız hiç önmeli değil.Sonuç her ikisinde de aynı olur.
Fakat kartezyen çarpımda a kartezyen b ifadesi ile b kartezyen a ifadesi birbirine eşit değildir.
-
Sakalar çarpımda a.b ile b.a aynı sonucu verir.
-
bcos(teta), b vektörünün a yönündeki bileşenini verir.
-
b'den a'ya bir dik çizersek
-
burası |b|cos(teta) olur.
-

Chinese: 
但是重要的是
认识到点乘是有用的
可以用在做功上
实际上就是计算
某向量
在另一向量上的投影
现在还有另外一种解释
你可以认为它是
|a|乘以|b|cosθ
这仍然是合理的
|b|cosθ是什么？
如果看|b|cosθ
你可以当做练习
把它做出来
这是向量b的长度
在向量a上的投影
计算的顺序无关紧要
当你计算叉乘积时
就要注意顺序 a叉乘b 或者b叉乘a
但是做点乘积时
顺序就无关紧要了
所以|b|cosθ等于向量b的长度
在向量a上的投影
如果在这里做一条垂线
|b|cosθ就是这部分
这部分是|b|cosθ
b的模乘以cosθ

Korean: 
여기서는 닷 프러덕트를 계산하는 것이
중요하고 유용합니다
일에 적용됩니다
실제적으로 다른 방향으로 작용하는 벡터 요소들을
계산할 수도 있습니다
이제 다른 방법을 알아봅시다
벡터 a와 b의 곱에
코사인 세타를 곱하는 것입니다
이것은 완벽히 일치합니다
그러면 b 코사인 세타는 무엇입니까?
만일 우리가 b코사인 세타를 가지고 있다면
연습을 해 봅시다
이 벡터 b의
크기는 이만큼이고
방향은 이렇게 됩니다
당신이 가는 방향과 상관없이
이렇게 교차하는 벡터는
a 크로스 b 또는 b 크로스 a
닷 프러덕트를 계산할 때
순서는 상관이 없습니다
따라서 b 코사인 세타는 벡터 b의 크기에
a벡터의 방향을 의미합니다
이 선분에 수직인 선을 그리고
b 코사인 세타는 이 벡터가 됩니다
이것을 b 코사인 세타가 됩니다
b 코사인 세타의 크기는

Thai: 
แต่สิ่งสำคัญที่ควรสังเกตคือว่า
ดอทโปรดักมีประโยชน์
มันใช้กับงานได้
มันใช้คำนวณองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่ง
ไปกับอีกตัวหนึ่งแค่ไหน
ทีนี้ คุณอาจตีความอีกอย่างได้
คุณบอกได้ว่า นี่คือขนาดของ a
คูณ b โคไซน์ของเธต้า
และมันถูกต้องชัดเจน
แล้ว b โคไซน์ของเธต้าคืออะไร?
ถ้าคุณหา b โคไซน์ของเธต้า คุณก็คิดอันนี้
เป็นตัวอย่างเองได้ นั่นคือปริมาณ
ขนาดของเวกเตอร์ b ที่
ไปในทิศของ a
มันไม่เกี่ยวว่าคุณจะเรียงลำดับอย่างไร
เมื่อคุณหาครอสโปรดัก มันสำคัญว่า
คุณคิด a ครอส b หรือ b ครอส a
แต่เมื่อคุณคิดดอทโปรดัก มันไม่เกี่ยว
ว่าลำดับยังไง
b โคไซน์เธต้าจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ b
ที่ไปในทิศของ a
ถ้าคุณวาดเส้นตั้งฉากตรงนี้ b
โคไซน์เธต้าจะเท่ากับเวกเตอร์นี้
 
มันจะเป็น b โคไซน์เธต้า
ขนาดของ b โคไซน์เธต้า

Turkish: 
Bu aslında, b vektörünün ne kadarının a ile aynı yönde olduğunu söylüyor.
-
-
-
-
-
Umarım kartezyen çarpım ile skalar çarpım arasındaki fark anlaşılmıştır.
-
-
Skalar çarpım sonuç olarka bir sayı verir.
-
-
-
Saklar çarpım vektörlerin ne kadar birbirlerini güçlendirdiğini söyler.
-
Çünkü aynı yöndeki bileşenlerini çarpıyoruz.
-
Kartezyen çarpımda ise birbirine dik olan
bileşenleri çarpıyoruz.
skalar çarpımda cosinüs, kartezyen de sinüs kullanıyoruz.
-
Dilerseniz bundan sonra kartezyen çarpım videosuna da bir göz atın.
Bir video da bu iki çarpımın karşılaştırması için yapacağım.
-
-
Kartezyen çarpımda birbirlerine dik olan bileşenleri çarpıyoruz

English: 
So you could say how much of
vector b goes in the same
direction as a?
Then multiply the
two magnitudes.
Or you could say how much of
vector a goes in the same
direction is vector b?
And then multiply the
two magnitudes.
And now, this is, I think, a
good time to just make sure
you understand the difference
between the dot product and
the cross product.
The dot product ends up
with just a number.
You multiply two vectors and
all you have is a number.
You end up with just
a scalar quantity.
And why is that interesting?
Well, it tells you how much do
these-- you could almost say--
these vectors reinforce
each other.
Because you're taking the parts
of their magnitudes that
go in the same direction
and multiplying them.
The cross product is actually
almost the opposite.
You're taking their orthogonal
components, right?
The difference was, this
was a a sine of theta.
I don't want to mess you up
this picture too much.
But you should review the
cross product videos.
And I'll do another video where
I actually compare and
contrast them.
But the cross product is, you're
saying, let's multiply
the magnitudes of the vectors
that are perpendicular to each

Chinese: 
你会说
向量b在向量a方向上的投影是多少？
然后把两个模相乘
或者你会说
向量a在向量b方向上的
投影是多少？
然后两个模相乘
现在我认为能够
确定你已经明白了
点乘和叉乘的差别
点乘的结果是一个数
两个向量点乘 得到一个数
最后得到的是一个标量
为什么这有趣呢？
它告诉你
你可以说
这两个向量互相增强的程度
因为你取了
它们在相同方向上的模 并相乘
叉乘几乎是相反的
你取的是它们的正交分量
区别是 这里是sinθ
我不想把这幅图画的太乱
但是你应该回顾一下叉乘的课
我会讲另外一次课
来对比一下这两者
叉乘是 你肯定会说
我们把它们

iw: 
אפשר להסתכל על הרכיב של b בכוון
של a,
ולהכפיל את שני הערכים המוחלטים.
או שאפשר להסתכל על הרכיב של a בכוון
של b,
ולהכפיל את שני הערכים המוחלטים.
זה זמן טוב לבדוק אם הבנתם
את ההבדל בין מכפלה סקלרית
ומכפלה וקטורית.
התוצאה של מכפלה סקלרית היא מספר.
מכפילים שני וקטורים ומקבלים מספר.
התוצאה היא גודל סקלרי.
למה זה מעניין?
היא אומרת לנו בכמה שני הווקטורים
האלה "מחזקים" אחד את השני. כי מדברים על כך
שלוקחים את החלקים של הערכים המוחלטים
שלהם, ההולכים באותו כוון ומכפילים אותם.
המכפלה הווקטורית היא כמעט ההיפך מזה.
לוקחים את הרכיבים המאונכים, נכון?
כאן היה לנו סינוס טטה, נכון?
אני לא רוצה לעשות בלגן בציור הזה.
כדאי שתחזרו על הסירטונים של מכפלה וקטורית.
אני אעשה סירטון נוסף על
ההבדלים ביניהן.
במכפלה הווקטורית, מכפילים
את הערכים המוחלטים של הווקטורים,
המאונכים זה לזה.

Spanish: 
Por lo que se puede decir cuánto de vector b va en el mismo
¿dirección como una?
A continuación, multiplique las dos magnitudes.
O se podría decir cuánto de vector a va en el mismo
¿dirección es vector b?
Y luego multiplicar las dos magnitudes.
Y ahora, esto es, creo, un buen momento para asegurarse de que sólo
entiendes la diferencia entre el producto escalar y
el producto cruzado.
El producto escalar se termina con un número.
Multiplicas dos vectores y todo lo que tiene es un número.
Terminas con sólo una cantidad escalar.
Y ¿por qué es interesante?
Bueno, que le dice cuánto estas--se podría casi decir--
Estos vectores refuerzan mutuamente.
Porque usted está tomando las piezas de sus magnitudes
ir en la misma dirección y multiplicando los.
El producto es realmente casi lo contrario.
¿Usted está tomando sus componentes ortogonales, correctas?
La diferencia fue, esto fue una una señal senoidal de theta.
No quiero que te lío por esta imagen demasiado.
Pero usted debe revisar los vídeos de producto cruzado.
Y voy a hacer otro video donde realmente comparar y
contraste.
Pero el producto Cruz, estás diciendo, vamos a multiplicar
las magnitudes de los vectores que son perpendiculares a cada uno

Korean: 
벡터 b의 크기는 벡터 a와
같습니까?
그러고나서 두개의 크기를 곱합니다
또는 벡터 a의 크기는
벡터 b와 같은 방향이 됩니까?
두개의 크기를 곱하고 나서
확실히 하기 위해서
닷 프러덕트 와 크로스 프러덕트 차이로
이해하면 됩니다
벡터의 합성은
두개의 벡터를 곱하고 얻은 숫자가 됩니다
결국 스칼라 양이됩니다
왜 이것이 흥미로운가?
이것은 얼마나 큰지를 나타냅니다
이벡터는 서로를 늘려줍니다
왜냐하면
크로스프러덕트는 거의 반대개념입니다
이것은 서로 직교한다고 말할 수 있습니까?
차이점은 사인 세타의 값입니다
여기가 너무 지저분해서 지우겠습니다
다시 크로스 프러덕트비디오를 보시기 바랍니다
다른 비디오에서 두 벡터의 차이를 설명하겠습니다
비교할 점과 차이점을
크로스 프러덕트는 곱합니다
직교하는 두 벡터의 곱은

Chinese: 
你會說
向量b在向量a方向上的投影是多少？
然後把兩個模相乘
或者你會說
向量a在向量b方向上的
投影是多少？
然後兩個模相乘
現在我認爲能夠
確定你已經明白了
點乘和叉乘的差別
點乘的結果是一個數
兩個向量點乘 得到一個數
最後得到的是一個純量
爲什麽這有趣呢？
它告訴你
你可以說
這兩個向量互相增強的程度
因爲你取了
它們在相同方向上的模 並相乘
叉乘幾乎是相反的
你取的是它們的正交分量
區別是 這裡是sinθ
我不想把這幅圖畫的太亂
但是你應該回顧一下叉乘的課
我會講另外一次課
來對比一下這兩者
叉乘是 你肯定會說
我們把它們

Thai: 
คุณบอกได้ว่า เวกเตอร์ b ไปทิศเดียว
กับ a แค่ไหน?
แล้วคูณขนาดสองตัว
หรือคุณบอกได้ว่า เวกเตอร์ a ไปใน
ทิศเดียวกับ b แค่ไหน?
แล้วคูณขนาดสองตัวนั้น
และตอนนี้ ผมว่า ถึงเวลาเข้าใจ
ความแตกต่างระหว่างดอทโปรดักกับ
ครอสโปรดักแล้ว
ดอทโปรดักให้คำตอบเป็นตัวเลข
คุณคูณเวกเตอร์สองตัว แล้วสิ่งที่ได้คือตัวเลข
คุณได้ปริมาณสเกลาร์
แล้วทำไมมันถึงน่าสนใจ?
มันบอกคุณว่า -- คุณบอกได้ --
เวกเตอร์เหล่านี้เสริมกันแค่ไหน
เพราะถ้าคุณกำลังนำส่วนของเวกเตอร์ที่
ไปในทิศเดียวกันมาคูณกัน
ครอสโปรดักนั้นแทบตรงกันข้าม
คุณกำลังหาองค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน จริงไหม?
ความแตกต่างคือว่า อันนี้เป็น a ไซน์เธต้า
ผมไม่อยากให้คุณงงกับภาพนี้มากนัก
คุณควรทบทวนวิดีโอเรื่องครอสโปรดัก
และผมจะทำวิดีโอเปรียบเทียบความคล้ายและ
แตกต่าง
แต่ครอสโปรดัก คุณกำลังบอกว่า ลองคูณ
ขนาดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน

Bulgarian: 
Значи можеш да кажеш
колко от вектор b е в посоката
на вектор a
и да умножиш двете дължини.
Или можеш да кажеш дължината
на вектор a
в посоката на вектор b
и да умножиш двете дължини.
Сега е моментът да се уверим,
че разбираме разликата между 
скаларното и векторното произведение.
Скаларното произведение е число.
Умножаваме два вектора и получаваме число.
Получаваме скаларна величина.
Защо това е любопитно?
Можеш да кажеш колко се подсилват
тези вектори,
защото взимаш частите от техните дължини,
които имат една и съща посока,
и ги умножаваш.
Векторното произведение
е почти противоположно на това.
Взимаш перпендикулярните компоненти.
Разликата е, че това е синус от тита.
Не искам да усложнявам чертежа,
но трябва да прегледаш видеоклиповете 
за векторното произведение.
Ще направя друг клип, където 
ги сравнявам и съпоставям.
При векторното произведение умножаваме
дължините на векторите, които са 
перпендикулярни един на друг

Turkish: 
-
-
Sonuç olarak her iki vektöre de dik yönde yeni bir vektör elde ediyoruz.
-
-
-
-
Sonuç vektörünün yönünü doğru bulmak için
a kartezyen b mi yoksa b kartezyen a mı olduğu önem taşır.
-
-
-
-
-
Gelecek videoda skalar ve kartezyen çarpımların karşılaştırmasını yapacağız.
-
Şimdilik hoşçakalın.

Bulgarian: 
и не са в една посока –
които са перпендикулярни един на друг.
Трябва да избереш посока, защото
те не се движат в
една и съща посока.
Избираш посока, която 
е перпендикулярна
на двата вектора.
Затова ориентацията има значение
и се използва правилото 
на дясната ръка, защото
имаме два вектора, които са 
перпендикулярни на всеки други два вектора
в три измерения.
Времето ми свърши.
Надявам се, че не съм те объркал
и ще продължа темата
в следващия видеоклип.
Ще сравня и съпоставя векторното
и скаларното произведение.
Ще се видим в следващия клип.

Spanish: 
otro, que no van en la misma dirección, que son
realmente ortogonales entre sí.
Y luego, tienes que elegir una dirección ya no estás
diciendo, bueno, la misma dirección que
ambos van.
Así que está recogiendo la dirección que es ortogonal a
ambos vectores.
Y entonces, por qué es importante la orientación y usted
hay que tomar la regla de la mano derecha, porque realmente no hay
dos vectores perpendiculares a los otros dos
vectores en tres dimensiones.
De todas formas, estoy fuera de tiempo.
A seguir, esperemos que no demasiado confuso, discusión
en el siguiente vídeo.
Voy a comparar y contrastar la Cruz
producto y el producto escalar.
Nos vemos en el siguiente vídeo.

Chinese: 
彼此垂直的模相乘
不在同一个方向上
它们确实相互正交
然后 你必须选取一个方向
因为并不是说
和这两者在同一个方向上
你要选择一个方向
这个方向要和两个向量都垂直
这就是为什么方向很重要
而且你必须用右手定则
因为有两个向量
这个方向在三维空间中
要和两个向量垂直
时间不够了
我会继续讲 希望下次课的讨论
不要让你太迷惑
我将要比较
叉乘和点乘
下次再见

Thai: 
ไม่ใช่ไปในทิศเดียวกัน ที่
ตั้งฉากกัน
แล้ว คุณเลือกทิศ เพราะคุณจะ
ไม่ได้บกว่า ทิศเดียวกับ
ที่เวกเตอร์ทั้งคู่ไป
คุณกำลังเลือกทิศที่ตั้งฉากกับ
เวกเตอร์ทั้งสอง
แล้ว นั่นคือสาเหตุที่การวางตัวสำคัญ และ
คุณต้องใช้กฎมือขวา เพราะมันมี
เวกเตอร์สองตัวที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์อีกสองตัว
ในสามมิติ
เอาล่ะ ผมหมดเวลาแล้ว
ผมจะมาคุยกันต่อ หวังว่าคุณจะไม่งงนัก
ในวิดีโอหน้านะ
ผมจะเปรียบเทียบความเหมือนและแตกต่าง
ครอสโปรดัก กับดอทโปรดัก
แล้วพบกันในวิดีโอหน้าครับ
 

English: 
other, that aren't going in the
same direction, that are
actually orthogonal
to each other.
And then, you have to pick a
direction since you're not
saying, well, the same
direction that
they're both going in.
So you're picking the direction
that's orthogonal to
both vectors.
And then, that's why the
orientation matters and you
have to take the right hand
rule, because there's actually
two vectors that are
perpendicular to any other two
vectors in three dimensions.
Anyway, I'm all out of time.
I'll continue this, hopefully
not too confusing, discussion
in the next video.
I'll compare and contrast
the cross
product and the dot product.
See you in the next video.

Chinese: 
彼此垂直的模相乘
不在同一個方向上
它們確實相互正交
然後 你必須選取一個方向
因爲並不是說
和這兩者在同一個方向上
你要選擇一個方向
這個方向要和兩個向量都垂直
這就是爲什麽方向很重要
而且你必須用右手定則
因爲有兩個向量
這個方向在三維空間中
要和兩個向量垂直
時間不夠用了
我會繼續講 希望下次課的討論
不要讓你太迷惑
我將要比較
叉乘和點乘
下次再見

iw: 
הם לא הולכים באותו כוון,
הם אורתוגונליים אחד ביחס לשני.
על כן, צריך לבחור כוון, כי לא
מדברים על אותו
הכוון שאליו הם מכוונים.
בתוצאה בוחרים כוון שהוא מאונך
לשני הווקטורים.
זאת הסיבה שבגללה הסדר משנה,
ומפעילים את כלל יד ימין, כי מדובר
על שני וקטורים שהם מאונכים לווקטורים
המקוריים, בשלושה ממדים.
הזמן שלי נגמר.
אמשיך את הדיון הזה בסירטון הבא,
בתקווה לא לבלבל אותכם.
אני אשווה ואבדיל בין המכפלה
הווקטורית והמכפלה הסקלרית.
להתראות בסירטון הבא.

Korean: 
달리 말하면 같은 방향이 아닙니다
서로 직교할 때
방향을 먼저 취하고
같은 방향에서
두개의 벡터에서 같은 방향입니다
두개의 벡터가
직교하면
왜 방향을 고려 하냐면
오른손의 법칙에 따르면
두개의 직교하는 벡터와 다른 한 벡터가
3차원이 됩니다
시간이 다 되었습니다
혼동하지 말고 이해하길 바라고
다음비디오에서 이야기 하겠습니다
벡터의 외적과 내적의 차이를 비교하여
차이점을 알아보겠습니다
다음 비디오에서 만납시다
