
Bulgarian: 
Да преговорим накратко какво научихме 
от диференциалното смятане.
Нека имаме някаква функция s,
която представлява зависимостта
на местоположението на една частица
спрямо времето в едно измерение.
Ако трябва да намерим 
производната спрямо времето
на тази функция s,
какво ще получим?
Ще получим ds/dt или
скоростта, с която позицията
се изменя спрямо времето.
Има ли друг термин за това изменение
на позицията спрямо времето?
Това всъщност е скоростта 
на преместване.
Можем да го запишем като скоростта
на преместване като функция от времето.
И ако трябва да намерим производната
на скоростта спрямо времето –
можем да го разглеждаме или
като втора производна,
намираме производната не веднъж,
а два пъти от функцията на позицията.
Или можем да кажем, че намираме
производната спрямо времето
на функцията на скоростта на преместване.
Това ще бъде, можем
да го запишем като

Portuguese: 
Vamos relembrar o que já 
vimos em Cálculo Diferencial.
Suponha uma função S
que nos dá, como função
do tempo, a posição de uma
partícula numa única dimensão.
Se tomarmos a derivada 
relativa ao tempo.
Isto é, se tomarmos a 
derivada da função S
o que teremos?
Teremos ds, dt, ou
a taxa pela qual a posição 
muda com relação ao tempo.
Que outro nome usamos para descrever
a mudança de posicão com o tempo?
Velocidade.
Escrevemos aqui velocidade,
como funcão do tempo.
E se calcularmos a derivada disso
aqui com relação ao tempo?
Podemos enxergar isso como
uma derivada de segunda ordem,
onde tomamos a derivada duas 
vezes da nossa funcão posição.
Ou podemos dizer
que estamos tomando
a derivada da função velocidade
com relação a tempo.

Korean: 
저번에 미분학에서 배운 것들 중에 
조금만 복습해봅시다

Thai: 
ลองทบทวนสิ่งที่เราเรียนในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์กัน
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน s ที่บอกเราถึง
ตำแหน่งอนุภาคในหนึ่งมิติ เป็นฟังก์ชันของเวลา
ถ้าเราหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา
ถ้าเราหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา
ของฟังก์ชัน s นี้
เราจะได้อะไร?
เราจะได้ ds/dt หรือ
อัตราที่ตำแหน่งเปลี่ยนไปเทียบกับเวลา
แล้วมันเรียกอีกอย่างว่าอะไร ตำแหน่งที่เปลี่ยน
เทียบกับเวลานี่?
มันก็แค่ความเร็ว
เราเขียนความเร็วได้เป็นฟังก์ชันของเวลา
ทีนี้ ถ้าเกิดเราหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับเวลาล่ะ
เรามองอันนี้เป็นอนุพันธ์อันดับสอง
เราก็หาอนุพันธ์หนึ่งครั้ง หรือ
สองครั้งจากฟังก์ชันตำแหน่ง
หรือคุณบอกได้ว่า เรากำลังหา
อนุพันธ์เทียบกับเวลาของฟังก์ชันความเร็ว
อันนี้จะเท่ากับ เราเขียนอันนี้ได้เป็น เราเขียนอันนี้

English: 
Let's review a little bit of what we
learned in differential calculus.
Let's say we have some function S that it
gives us as
a function of time the position of a
particle in one dimension.
If we were to take the derivative with
respect to time.
So if we were to take the derivative with
respect to time
of this function S.
What are we going to get?
Well we're going to get ds, dt or the
rate in which position changes with
respect to time.
And what's another word for that, position
changes with respect to time?
Well, that's just velocity.
So that we can write as velocity as a
function of time.
Now, what if we were to take the
derivative of that with respect to time.
So we could either view this as the second
derivative, we're
taking the derivative not once, but twice
of our position function.
Or you could say that we're taking the
derivative with respect to time of our
velocity function.
Well this is going to be, we can write
this as, we can write

Polish: 
Powtórzmy, czego nauczyliśmy się z rachunku różniczkowego i całkowego.
Mamy funkcję S, która
jest funkcją czasu, określającą położenie cząstki w jednym wymiarze.
Chcemy obliczyć jej pochodną po czasie.
Chcemy obliczyć pochodną po czasie
tej funkcji S.
Co otrzymamy?
Otrzymamy ds po dt czy
szybkość zmiany położenia w czasie.
Jakie jest inne określenie na zmianę pozycji w czasie?
To prędkość.
Więc możemy napisać jako prędkość, która jest funkcją czasu.
Teraz chcielibyśmy to zróżniczkować po t.
Możemy albo obliczyć drugą pochodną,
wtedy obliczamy pochodną funkcji położenia nie raz, lecz dwa razy.
Możemy też obliczyć
pochodną po czasie naszej funkcji prędkości.
To będzie wynosiło

Portuguese: 
Podemos representar isso
como dv, dt,
a taxa de mudança da
velocidade com o tempo.
Como podemos chamar isso?
Isso é também chamado 
de aceleração.
Será a nossa aceleração como
uma função do tempo.
Partimos da função posição,
isto é, posição como função do tempo.
Tomando sua derivada
com relação ao tempo,
obtemos a velocidade.
Derivando novamente com relação
ao tempo, obtemos aceleracão.
Podemos também 
fazer ao contrário.
Se partirmos da aceleração,
e tomamos sua antiderivada,
ou seja, se tomarmos 
a antiderivada
da função, vou escrever 
isso aqui.
Vou usar o símbolo 
da integral para
mostrar que estou 
calculando a antiderivada.
Isso será a integral da 
antiderivada da função a de t.
Isso vai resultar numa expressão
contendo um mais c.

Bulgarian: 
това е dv/dt или темпото на промяна
на скоростта на преместване спрямо времето.
Има ли друг термин за това?
Да, това е ускорението.
Това е ускорението като
функция от времето.
Значи започваме с функцията
на местоположението,
това е позицията като 
функция от времето.
Тази производна спрямо
времето ни дава
скоростта на преместване.
Производната на скоростта спрямо 
времето дава ускорението.
Можем да го разглеждаме
и в обратна посока.
Ако започнем с ускорението,
и намерим примитивната
му функция,
примитивната функция 
на ускорението,
ще получим...
ще го напиша по този начин:
Примитивната функция...
ще използвам символ за интеграл,
за да личи, че намирам
примитивната функция.
Ще имаме интеграл от
примитивната функция на а(f).
Това ще ни даде някакъв
израз плюс константа с.

Polish: 
dv po dt, tempo zmiany prędkości w czasie.
Jak inaczej możemy to nazwać?
To jest przyspieszenie.
To będzie przyspieszenie jako funkcja czasu.
Zaczynamy od funkcji położenia,
położenie jako funkcja czasu.
Bierzemy pochodną po czasie i otrzymujemy prędkość.
Obliczamy jeszcze raz pochodną i otrzymujemy przyspieszenie.
Możemy też inaczej.
Jeżeli zaczniemy od przyspieszenia
i obliczymy funkcję pierwotną.
Chcemy znaleźć funkcję pierwotną,
to będzie wynosiło... zapiszę to.
Funkcja pierwotna...
-- użyję symbolu całki, żeby pokazać, że szukam funkcji pierwotnej --
będzie równa całce funkcji pierwotnej z a od t.
Da nam to pewne wyrażenie, plus C.

English: 
this as dv, dt, the rate at which velocity
is changing with respect to time.
And what's another word for that?
Well, that's also called acceleration.
This is going to be our acceleration as a
function of time.
So, you start with the position function,
take
it, the position as a function of time.
Take its derivative with respected time,
you get velocity.
Take that derivative with respected time,
you get acceleration.
Well, you could go the other way around.
If you started with acceleration, if you
started
with acceleration, and you were to take
the antiderivative.
If you were to take the antiderivative of
it, the anti, anti, an antiderivative
of it is going to be, actually let me just
write it this way.
So an antiderivative, I'll just use the
interval
symbol to show that I'm taking the
antiderivative.
Is going to be the integral of the
anti-derivative of a of t.
And this is going to give you some
expression with a plus c.

Thai: 
ได้เป็น dv/dt อัตราที่ความเร็วเปลี่ยน
เทียบกับเวลา
และคำเรียกมันคืออะไร?
มันเรียกว่าความเร่ง
นี่จะเป็นความเร่ง เป็นฟังก์ชันของเวลา
คุณเริ่มด้วยฟังก์ชันตำแหน่ง
ได้ตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
หาอนุพันธ์ของมันเทียบกับเวลา คุณจะได้ความเร็ว
หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา คุณจะได้ความเร่ง
คุณก็ทำกลับกันได้
ถ้าคุณเริ่มด้วยความเร่ง ถ้าคุณเริ่ม
ด้วยความเร่ง และคุณหาปฏิยานุพันธ์
ถ้าคุณหาปฏิยานุพันธ์ของมัน ปฏิยา ปฏิยา
ปฏิยานุพันธ์
ของมันจะเท่ากับ ขอผมเขียนแบบนี้ดีกว่า
ปฏิยานุพันธ์ ผมจะเขียนเครื่องหมายอินทิกรัล
เพื่อแสดงว่าผมกำลังหาปฏิยานุพันธ์
จะเท่ากับอินทิกรัลของ 
ปฏิยานุพันธ์ของ a ของ t
นี่จะให้พจน์ที่มีบวก c

English: 
And we could say, well, that's a general
form of our velocity function.
This is going to be equal to our velocity
function.
And to find the particular velocity
function, we would have
to know what the velocity is at a
particular time.
And then, we could solve for our c.
Whether then, if we're able to do that and
we were to take the anti-derivative again.
Then, now we're taking the anti-derivative
of our velocity function,
which would give us some expression as a
function of t.
And then, some other constant.
And, if we could solve for that constant,
then we know, then we know
what the position is going to be, the
position is a function of time.
Just like this, it would have some, plus c
here if we
know our position at a given time we could
solve for that c.
So now that we've reviewed it a little
bit, but we've rewritten it in.
I guess you could say, thinking of it not
just from
the differential point of view from the
derivative point of view.
But thinking of it from the
anti-derivative point of view.
Lets see if we can solve an interesting
problem.

Polish: 
Powiemy, że to ogólna postać funkcji prędkości.
To będzie równe naszej funkcji prędkości.
Żeby znaleźć naszą funkcję prędkości,
musimy znać prędkość w pewnej chwili czasu.
Wtedy możemy obliczyć C.
Jeżeli możemy to zrobić, możemy znaleźć jeszcze raz funkcję pierwotną.
Teraz obliczamy funkcję pierwotną naszej funkcji prędkości,
która da nam pewne wyrażenie, które będzie funkcją czasu.
I pewną stałą.
Jeśli będziemy mogli obliczyć tą stałą,
będziemy znali położenie, położenie jest funkcją czasu.
Tak jak tu, mielibyśmy jakieś plus C tutaj,
będziemy znali położenie w pewnym czasie, możemy obliczyć to C.
Powtórzyliśmy co nieco, przepisaliśmy to także
-- można powiedzieć --
w języku pochodnych.
Spójrzmy na to od strony funkcji pierwotnych.
Rozwiążmy pewne interesujące zadanie.

Bulgarian: 
Можем да кажем, че това е общият вид
на функцията на скоростта на преместване.
Това ще бъде равно на
функцията на скоростта на преместване.
За да намерим конкретна
функция на скоростта,
трябва да знаем скоростта
в даден момент.
Тогава можем да намерим
стойността на константата с.
Ако успеем да го направим, тогава отново 
можем да намерим примитивната функция.
Намираме примитивната функция на
функцията на скоростта на преместване,
което ни дава някакъв израз
като функция от t
и още една константа.
Ако можем да намерим тази
константа, тогава ще знаем
каква е позицията
като функция от времето.
Значи тук ще има плюс
някаква константа,
ако знаем позицията в даден момент,
то ще можем да намерим това с.
Това е кратък преговор,
но и малко допълнение.
Можеш да кажеш че
не е само от гледна точка
на диференцирането, от гледна
точка на производните,
а и от гледна точка на
намирането на примитивната функция.
Сега да опитаме да решим
една интересна задача.

Portuguese: 
Podemos dizer que essa é a forma
genérica da nossa função velocidade.
Isso será igual à nossa
função velocidade.
Para encontrar uma função velocidade
específica, temos que conhecer
a velocidade num dado 
ponto no tempo.
E então resolver para c.
Se após fazer isso tomarmos
a antiderivada mais uma vez,
estaremos então tomando a
antiderivada da função velocidade,
o que resultaria numa expressão
que será uma função de t,
novamente com 
outra constante.
E se pudermos resolver para essa 
constante vamos conhecer
a posição, sendo que ela é
uma função do tempo.
Dessa forma, temos mais c aqui,
e se conhecemos a nossa posição
num dado tempo, resolvemos para c.
Até aqui não só revisamos esse tópico
mas também o re-escrevemos.
Quero dizer, analisamos isso
não somente do
ponto de vista da diferencial,
ou derivada.
Analisamos isso também do 
ponto de vista da antiderivada.
Agora vamos tentar resolver um
problema bem legal.

Thai: 
และเราบอกได้ว่า มันคือรูปทั่วไป
ของฟังก์ชันความเร็ว
อันนี้จะเท่ากับฟังก์ชันความเร็วของเรา
และเวลาหาฟังก์ชันความเร็วเฉพาะ
เราต้องรู้ความเร็วที่เวลาเฉพาะค่าหนึ่ง
แล้ว เราแก้หา c ได้
ไม่ว่า ถ้าเราแก้ได้ และเราหาปฏิยานุพันธ์อีกครั้ง
ตอนนี้ เราจะหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันความเร็ว
ซึ่งจะให้พจน์เป็นฟังก์ชันของ t
แล้ว ค่าคงที่อื่น
ถ้าเราแก้หาค่าคงนั้น เราจะรู้ เราจะรู้
ว่าตำแหน่งเป็นเท่าใด 
ตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
อย่างนั้น มันจะได้บวก c ตรงนี้ ถ้าเรา
รู้ตำแหน่งของเราที่เวลาที่กำหนด
เราก็แก้หา c นั่นได้
แล้วตอนนี้เมื่อเราได้ทบทวนไป เราเขียนมันใหม่
คุณจะเรียกว่า การคิดคนละมุม
กับมุมมองแบบอนุพันธ์
เป็นการคิดตามมุมมองแบบปฏิยานุพันธ์แทน
ลองดูว่าเราแก้ปัญหาที่น่าสนใจได้ไหม

Bulgarian: 
Да кажем, че знаем ускорението
на една частица като функция
от времето, което е равно на 1.
Значи ускорява равномерно с
една единица за...
всъщност нямаме 
единица за време.
Всъщност нека да е в метри 
и секунди.
Значи това е един метър в секунда,
един метър в секунда на квадрат ето тук.
Това е ускорението като
функция от времето.
Да приемем, че не знаем израза
за скоростта на преместване, но знаем
скоростта в даден момент, като
не знаем и израза за позицията.
Но знаем позицията 
в даден момент.
Да кажем, че знаем скоростта
при t = 3.
Нека в t = 3 да е 
– 3 метра в секунда.
Искам да запиша единиците,
за да стане по-ясно.
Това са метри 
в секунда на квадрат,
това е мерната единица
за ускорение.
Това е мерната единица
за скорост.
Да кажем, че знаем,
че позицията при t = 2
във втората секунда
позицията е –10 метра.

English: 
Lets say that we know that the
acceleration of a
particle is a function of time is equal to
one.
So it's always accelerating at one unit
per,
and you know, I'm not giving you time.
Let, let's just say that we're thinking in
terms of meters and seconds.
So this is one meter per second, one meter
per second-squared, right over here.
That's our acceleration as a function of
time.
And, let's say we don't know the velocity
expressions, but we know
the velocity at a particular time and we
don't know the position expressions.
But we know the position at a particular
time.
So, let's say we know that the velocity,
at time three.
Let's say three seconds is negative three
meters per second.
And actually I wanna write the units here,
just to make it a little, a little bit.
So this is meters per second squared,
that's going to be our unit for
acceleration.
This is our unit for velocity.
And let's say that we know, let's say that
we know that the position at
time two, at two seconds is equal to
negative ten meters.

Portuguese: 
Suponha que sabemos
que a aceleração de uma
partícula como função do 
tempo seja igual a um.
Isto é, ela esta sempre acelerando 
a uma unidade por
unidade de tempo.
Digamos que estamos falando
de metros e segundos.
Então, aqui temos um metro por
segundo, elevado ao quadrado
Essa é a nossa aceleração
como função do tempo.
Digamos que não conhecemos
a expressão de velocidade, mas
sabemos qual é a velocidade num dado
tempo; e que não sabemos a
expressão de posição. Mas conhecemos
a posição num ponto do tempo.
Suponha que a velocidade 
no tempo três, isto é,
três segundos, seja igual a 
menos três metros por segundo.
Vou escrever todas 
unidades aqui.
Então aqui temos metros por
segundo ao quadrado,
que representa a nossa 
unidade para aceleração.
E essa aqui nossa unidade
para velocidade.
Suponha que sabemos
que a posição no
tempo dois, isto é, dois segundos,
seja igual a menos dez metros.

Thai: 
สมมุติว่าเรารู้ว่าความเร่งของอนุภาค
เป็นฟังก์ชันของเวลา เท่ากับ 1
มันจะเป็นความเร่ง 1 หน่วยต่อ
คุณก็รู้ ผมไม่ได้บอกเวลาคุณ
สมมุติว่า เรากำลังคิดในหน่วยเมตรกับวินาทีแล้วกัน
นี่ก็คือ 1 เมตรต่อวินาที, 
1 เมตรต่อวินาทีกำลังสองตรงนี้
นั่นคือความเร่งของเราเป็นฟังก์ชันของเวลา
แล้วสมมุติว่าเราไม่รู้พจน์ความเร็ว แต่เรารู้
ว่าความเร็วที่เวลาเฉพาะค่าหนึ่ง
และเราไม่รู้พจน์ตำแหน่ง
แต่เรารู้ตำแหน่งที่เวลาเฉพาะค่าหนึ่ง
สมมุติว่าเรารู้ว่าความเร็ว ที่เวลา 3
สมมุติว่า 3 วินาที คือลบ 3 เมตรต่อวินาที
และผมอยากเขียนหน่วยตรงนี้ เพื่อให้มัน ให้มัน
นี่คือเมตรต่อวินาทีกำลังสอง
นั่นจะเป็นหน่วยสำหรับความเร่ง
นี่คือหน่วยความเร็วของเรา
และสมมุติว่าเรารู้ สมมุติว่าเรารู้ว่าตำแหน่งที่
เวลา 2, ที่ 2 วินาทีเท่ากับลบ 10 เมตร

Polish: 
Powiedzmy, że wiemy, że przyspieszenie
cząstki jest funkcją czasu równą 1.
Więc zawsze przyspiesza o jedną jednostkę na,
nie podałem Wam czasu.
Powiedzmy, że myślimy w terminach metrów i sekund.
Więc to jest jeden metr na sekundę kwadrat, właśnie tu.
To nasze przyspieszenie jako funkcja czasu.
Załóżmy, że nie znamy prędkości, ale znamy
prędkość w pewnej chwili czasu i nie znamy funkcji położenia.
Ale znamy położenie w pewnej chwili czasu.
Powiedzmy, że znamy prędkość w chwili 3,
która wynosi minus trzy metry na sekundę.
Chcę zapisać jednostki tutaj.
To jest w metrach na sekundę kwadrat.
To będzie nasza jednostka dla przyspieszenia.
To nasza jednostka dla prędkości.
Powiedzmy, że znamy położenie
położenie w drugiej sekundzie wynosi minus 10 metrów.

Bulgarian: 
Ако разсъждаваме в едно измерение,
ако това се движи
спрямо една цифрова ос, тогава
това е 10 наляво от началната точка.
Дадена ни е тази информация
и всичко, което записах тук.
Можеш ли да намериш действителния
израз за скоростта като функция от времето?
Скоростта не само при t = 3,
а принципно като функция от времето.
И позицията като функция 
от времето.
Препоръчвам ти да спреш
видеото точно сега.
Опитай да го решиш 
самостоятелно.
Хайде сега да 
го направим заедно.
Знаем, че скоростта 
на преместване
като функция от времето е
примитивна функция на
ускорението като функция
от времето.
Ускорението е просто 1.
Това ще бъде... примитивната
функция на това ето тук,
това ще бъде t... и да не забравяме
нашата константа с.
Сега можем да намерим с,
тъй като знаем, че v(3) е равно на –3.
Ще го запиша.

English: 
So, if we're thinking in one dimension, of
if this is moving
along the number line, this is ten to the
left of the origin.
So, given this information right over
here, and everything that I wrote up here.
Can we figure out the actual expressions
for velocity as a function of time?
So not just velocity at time three, but
velocity generally as a function of time.
And position as a function of time.
And I encourage you to pause this video
right now.
And try to figure it out on your own.
So let's just work through this.
What is, we know that velocity, as a
function of time, is going to be the
anti-derivative.
The anti-derivitive of our acceleration is
a function of time.
Our acceleration is just one.
So this is going to be the anti-derivitive
of this right over here
is going to be t and then we can't forget
our constant plus c.
And now we can solve for c because we know
v of 3 is negative 3.
So lets just write that down.

Thai: 
ถ้าเราคิดในหนึ่งมิติ ถ้าวัตถุนี้กำลังเคลื่อนที่
ตามเส้นจำนวน นี่คือ 
10 หน่วยทางซ้ายของจุดกำเนิด
จากข้อมูลนี่ตรงนี้ และทุกอย่างที่ผมเขียนขึ้นตรงนี้
เราหาได้ไหมว่าพจน์สำหรับความเร็ว
เป็นฟังก์ชันของเวลาคืออะไร?
ไม่ใช่แค่ความเร็วที่เวลา 3 แต่
ความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลาโดยทั่วไป
และตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
และผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้เดี๋ยวนี้
ลองหาคำตอบด้วยตนเอง
ลองทำไปด้วยกันดู
เรารู้ว่าความเร็ว
เป็นฟังก์ชันของเรา อะไรจะเป็นปฏิยานุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์ของความเร่งเราเป็นฟังก์ชันของเวลา
ความเร่งของเราก็แค่ 1
ค่านี่ตรงนี้จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของพจน์นี่ตรงนี้
จะได้ t แล้วเราต้องไม่ลืมบวกค่าคงที่ บวก c
และตอนนี้เราแก้หา c ได้ เพราะเรารู้ว่า
v ของ 3 คือลบ 3
ลองเขียนมันลงไปกัน

Polish: 
Rozważamy jednowymiarowy ruch
wzdłuż osi liczbowej, to jest 10 jednostek w lewo od zera.
Więc znając te informacje i to, co tu zapisałem,
czy możemy wyznaczyć funkcję prędkości jako funkcję czasu?
Nie tylko prędkość w czasie 3, ale prędkość jako funkcję czasu.
I położenie jako funkcję czasu.
Zachęcam do zatrzymania filmu w tym momencie
i do samodzielnego obliczenia.
Zajmijmy się tym.
Wiemy, że prędkość jako funkcja czasu
będzie naszą funkcją pierwotną.
Funkcja pierwotna przyspieszenia będzie funkcją czasu.
Przyspieszenie wynosi 1.
Więc to będzie funkcja pierwotna tego,
to będzie t, nie możemy zapomnieć o stałej: plus C.
Możemy to teraz obliczyć C, bo wiemy, że v od 3 wynosi minus 3.
Zapiszę to.

Portuguese: 
Se estamos considerando apenas 
uma dimensão,
ela está na posição dez à esquerda 
do ponto de origem.
Portanto, dado essa informação bem
aqui, e tudo o que escrevi aqui,
será que podemos descobrir a expressão
de velocidade como função do tempo?
Não somente velocidade no tempo três, mas
velocidade em geral, como função do tempo.
E posição como função do tempo.
Sugiro que você 
pause esse video agora
e tente resolver isso sozinho.
Vamos tentar resolver.
Sabemos que velocidade
como função do tempo
será igual à antiderivada
da aceleracão como função do tempo.
A aceleracão é igual a um.
Então será a antiderivada disso
bem aqui.
Será igual a t, sem esquecermos 
da nossa constante, mais c.
E agora resolvemos para c, já que
sabemos que v de 3 é igual a menos 3.
Vou escrever aqui.

Bulgarian: 
v(3) е равно на 3 плюс с.
Просто заместих t навсякъде,
където го има, с 3.
Ще го направя малко
по-ясно.
v(3) = 3 + с.
Знаем, че това е равно на –3.
Значи това е равно на –3.
Колко се получава?
Ако погледнем тази част
от уравнението, само 
тази част ето тук,
ако извадим 3 от двете страни,
тогава с е равно на –6.
Сега знаем точният израз,
който дефинира скоростта
като функция от времето.

Thai: 
v ของ 3 จะเท่ากับ 3, 3 บวก c
ผมแค่แทนทุกที่ที่ผมเห็น t หรือทุกที่ที่
ผมมี t ผมจะแทนมันด้วย 3 นี่ตรงนี้
ที่จริง ขอผมทำให้ชัดขึ้นหน่อย
v ของ 3, v ของ 3 เท่ากับ 3 บวก c และพวกมัน
บอกเราว่ามันเท่ากับลบ 3
ค่านั้นเท่ากับ มันเท่ากับลบ 3
c จะเป็นเท่าใด?
ถ้าเราดูส่วนนี้ของ
สมการ หรือแค่สมการนี่ตรงนี้
ถ้าคุณลบ 3 จากทั้งสองด้าน คุณจะได้
คุณได้ c เท่ากับลบ 6
และตอนนี้เรารู้ชัดแล้ว เรารู้
พจน์พอดีที่กำหนดความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลา
v ของ t, v ของ t เท่ากับ t, t บวก

English: 
So v of 3 is going to be equal to 3, 3
plus c.
I just replaced where I saw the, the t or
every place where
I have the t I replaced it with this 3
right over here.
Actually let me make it a little bit
clearer.
So v of 3, v of 3 is equal to 3 plus c,
and they
tell us that that's equal to negative 3.
So that is equal to, that is equal to
negative 3.
So what's c going to be?
So if we just look at this part of
the equation or just this equation right
over here.
If you subtract 3 from both sides, you
get, you get c is equal to negative 6.
And so now we know the exact, we know the
exact expression that defines velocity as
a function of time.
V of t, v of t is equal to t, t plus

Polish: 
Więc v od 3 wynosi 3 plus C.
Podstawiłem 3 wszędzie,
gdzie jest t.
Wyjaśnię to.
Więc v od 3 wynosi 3 plus C
i wiemy, że to wynosi minus 3.
Więc to wynosi minus 3.
Ile wynosi C?
Spójrzmy na tą część równania,
na tą równość tutaj.
Jeśli odejmiemy stronami 3, otrzymamy, że C wynosi minus 6.
Teraz znamy wyrażenie, które
definiuje prędkość jako funkcję czasu.
v od t wynosi t plus minus 6

Portuguese: 
Então v de 3 será igual a 3 mais c.
Substituindo onde tenho t, 
em todo lugar onde
tenho t, eu substituo por 3, 
bem aqui.
Tornando isso mais claro,
tenho v de 3, que
é igual a 3 mais c
e isso é igual a 3 negativo.
Isso é igual a 3 negativo.
Então, o que será c?
Se olharmos essa parte aqui
da equação, ou essa equação 
bem aqui,
e se subtrairmos 3 de ambos os lados
teremos c igual a 6 negativo.
E assim passamos a conhecer
a expressão exata que define
velocidade em função do tempo.
v de t é igual a t 
mais 6 negativo.

Polish: 
lub t minus 6.
Możemy to sprawdzić.
Pochodna po czasie wynosi 1.
Kiedy czas wynosi 3, 3 minus 6 rzeczywiście wynosi minus 3.
Wyznaczyliśmy prędkość jako funkcję czasu.
Zróbmy podobnie, żeby wyznaczyć położenie jako funkcję czasu.
Wiemy, że położenie będzie funkcją pierwotną
funkcji prędkości, zapiszmy to.
Położenie, jako funkcja czasu, będzie równe
funkcji pierwotnej v od t, dt.
To jest równe funkcji pierwotnej z t minus 6, dt, które jest równe...
Funkcją pierwotną t jest t kwadrat przez dwa.
Więc t kwadrat przez dwa, widzieliśmy to wcześniej.
Funkcją pierwotną minus 6 jest minus 6 t,

Portuguese: 
Então v de t igual a t menos 6.
E podemos verificar.
A derivada da equação com 
relação a tempo é igual a um.
E quando tempo é igual a 3, tempo
menos 6 é igual a menos 3.
Então conseguimos descobrir a velocidade
como função do tempo.
Agora vamos fazer a mesma coisa para 
achar a posição em função do tempo.
Sabemos que a posição
vai ser a antiderivada
da função velocidade.
Então vamos escrever isso.
Posição, como função do tempo,
será igual à
antiderivada da função v de t, dt.
O que equivale à antiderivada de
t menos 6, dt.
Bom, a antiderivada de t é igual
a t ao quadrado sobre 2.
Então, t ao quadrado sobre 2, 
como vimos antes.
A antiderivada de menos 6 
é igual a menos 6t,

Bulgarian: 
v(t) = t + (–6) = t – 6.
Можем да направим проверка.
Производната на това
спрямо времето е 1.
При t =3, 3 минус 6
е минус 3.
Значи намерихме скоростта
като функция от времето.
Сега по подобен начин да намерим 
позицията като функция от времето.
Знаем, че позицията е 
примитивната функция
на функцията на скоростта,
така че нека го запишем.
Позицията, като функция
от времето, ще бъде равна
на примитивната функция
на v(t), dt.
Което е равно на примитивната
функция на (t – 6)dt, което
е равно на примитивната функция 
на t, която е t^2/2.
t^2/2, виждали сме това и преди.
Примитивната функция на –6 е 6t,

English: 
negative 6 or, t minus 6.
And we can verify that.
The derivative of this with respect to
time is just one.
And when time is equal to 3, time minus 6
is indeed negative 3.
So we've been able to figure out velocity
a s a function of time.
So now let's do a similar thing to figure
out position as a function of time.
We know that position is gonna be an
anti-derivative
of the velocity function, so let's write
that down.
So, position, as a function of time, is
going to
be equal to the anti-derivative of v of t,
dt.
Which is equal to the anti-derivative of t
minus 6, dt which is
equal to well the anti-derivative of t, is
t squared over 2.
So, t squared over 2, we've seen that
before.
The anti-derivative of negative 6 is
negative 6 t, and of

Thai: 
ลบ 6 หรือ t ลบ 6
และเราทดสอบได้
อนุพันธ์ของค่านี้เทียบกับเวลาก็คือ 1
แล้วเมื่อเวลาเท่ากับ 3, ลบ 6 เท่ากับลบ 3 จริง
เราได้หาความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลาแล้ว
ตอนนี้เราทำแบบเดียวกันเพื่อหา
ตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลาได้
เรารู้ตำแหน่งจะเป็นปฏิยานุพันธ์
ของฟังก์ชันความเร็ว ลองเขียนมันลงไป
ตำแหน่ง เป็นฟังก์ชันของเวลา จะ
เท่ากับปฏิยานุพันธ์ของ v ของ t, dt
ซึ่งเท่ากับปฏิยานุพันธ์ของ t ลบ 6 dt
ซึ่งเท่ากับปฏิยานุพันธ์ของ t ได้ t กำลังสองส่วน 2
t กำลังสองส่วน 2 เราเห็นไปแล้วก่อนหน้านี้
ปฏิยานุพันธ์ของลบ 6 คือลบ 6t และ

Thai: 
แน่นอน เราไม่ลืมค่าคงที่ บวก บวก c
นี่คือ s ของ t,
s ของ t เท่ากับทั้งหมดนี่ตรงนี้
และตอนนี้เราพยายามแก้ หาค่าคงที่ของเรา
และเราทำได้ โดยใช้ข้อมูลนี่ตรงนี้
ที่เวลา 2 วินาที ตำแหน่งของเราคือลบ 2 เมตร
s ของ 2 หรือผมเขียนมันแบบนี้ได้
ขอผมเขียนแบบนี้นะ
s ของ 2, ที่ 2 วินาที, จะเท่ากับ 2 กำลังสองส่วน 2
นั่นคือ ลองดู นั่นคือ 4 ส่วน 2 มันจะเท่ากับ 2
ลบ 6 คูณ 2
ได้ลบ 12 บวก c เท่ากับลบ 10
ได้เท่ากับลบ 10
ลองดู เราได้ 2 ลบ 12
ได้ลบ, ลบ 10 บวก c เท่ากับลบ 10
คุณบวก 10 ทั้งสองข้าง คุณจะได้ 0 ในกรณีนี้
เราหาได้แล้วว่าฟังก์ชัน
ตำแหน่งของเราคืออะไรเช่นกัน
c ตรงนี้ก็แค่ 0

Portuguese: 
e claro, não podemos esquecer a 
nossa constante, então, mais c.
Então s de t equivale a isso aqui.
A função s de t é igual a 
toda essa parte aqui.
E agora tentamos resolver 
para a nossa constante.
E para isso usamos essa 
informação bem aqui.
A dois segundos, nossa posição
é igual a dois metros negativos.
Então s de 2. Posso escrever isso
dessa forma.
Vou escrever aqui.
S de 2, aos 2 segundos, será igual
a 2 ao quadrado sobre 2.
Isso dá 4 sobre 2, o
que é igual a 2.
Menos 6 vezes 2.
Então menos 12, mais c, é igual a 
a menos 10.
Vamos ver, temos 2 menos 12 
o que dá 10 negativo,
mais c que é igual 
a 10 negativo.
Se adicionamos 10 a ambos os
lados temos que c é igual a zero.
Acabamos de descobrir a 
nossa função posição.
Esse c bem aqui será
igual a zero.

English: 
course, we can't forget our constant, so,
plus, plus, c.
So this is what s of t is equal to, s
of t is equal to all of this business
right over here.
And now we can try to solve, for our
constant.
And we do that, using this information
right over here.
At two seconds were at, our position is
negative two meters.
So s of 2, or I could just write it this
way.
Well, let me write it this way.
S of 2, at 2 seconds, is going to be equal
to 2 squared over 2.
That is, let's see, that's 4 over 2,
that's going to be 2.
Minus 6 times 2.
So, minus 12 + c is equal to negative 10,
is equal to negative 10.
So, let's see, we get 2 minus 12 is
negative, is negative 10 plus c equals
negative 10.
So you add 10 to both sides you get c in
this case is equal to 0.
So we figured out what our position
function is as well.
The c right over here is just going to be
0.

Bulgarian: 
като не трябва да забравяме
константата: плюс с.
Значи това е s(t),
s(t) е равно на ето това тук.
И сега можем да определим
константата.
Ще го направим, като използваме
тази информация ето тук.
В момента t = 2 
позицията е –10 метра.
Значи s(2)...
ще го напиша ето така.
s(2) в момент 2 секунди,
е равно на 2^2/2.
Това прави 4/2, което е 2.
–6 по 2.
Значи минус 12 + с = – 10,
това е равно на –10.
Получаваме 2 –12, което
е минус 10 + с,
което е равно на –10.
Прибавяме 10 към двете страни,
и получаваме, че с е 0.
Така определихме функцията
на позицията.
Тук с е равно на нула.

Polish: 
oczywiście nie możemy zapomnieć o stałej, plus C.
Więc S od t jest równe,
więc S od t jest równe temu wyrażeniu.
Możemy to rozwiązać by obliczyć naszą stałą.
Zrobimy to, używając tej informacji.
W drugiej sekundzie nasze położenie to minus 10 metrów.
Więc S od 2... Mogę to zapisać w ten sposób.
Zapiszę to.
S od 2, w drugiej sekundzie wynosi 2 kwadrat przez 2.
To wynosi 4 przez 2, czyli 2.
Minus 6 razy 2.
Więc minus 12 plus C wynosi minus 10.
Mamy 2 minus 12, czyli
minus 10 plus C wynosi minus 10.
Dodajemy stronami 10 i otrzymujemy, że C jest równe 0.
Znaleźliśmy naszą funkcję położenia.
To C tutaj to będzie 0.

Portuguese: 
A posição como função do tempo
é igual a t ao quadrado sobre 2, menos 6t.
Voce pode verificar.
Para t igual a 2, t ao quadrado sobre 2
é 2, menos 12, é igual a menos 10.
Tomando a derivada aqui,
isso dá t menos 6.
E nós já verificamos aqui
que v de 3 é igual a 3 negativo.
Tomando a derivada aqui,
temos a de t, bem assim.
Espero que tenha curtido!
Legendado por [Maria Oberlander]
Editado por [Luiz Pasqual]

Thai: 
ตำแหน่งของเราเป็นฟังก์ชันของเวลา
จึงเท่ากับ t กำลังสองส่วน 2 ลบ 6t
และคุณทดสอบได้
เมื่อ t เท่ากับ 2, t กำลังสองส่วน 2 ได้ 2,
ลบ 12 เท่ากับลบ 10
คุณหาอนุพันธ์ตรงนี้ คุณจะได้ t ลบ 6
และคุณเห็นได้ว่า เราทดสอบแล้วว่า
v ของ 3 คือลบ 3
และคุณหาอนุพันธ์ตรงนี้ คุณจะได้ t แบบนั้น
หวังว่าคุณคงสนุกกับปัญหานี้นะ

English: 
So our position as a function of time is
equal to t squared over 2 minus 6 t.
And you can verify.
When t is equal to 2, t squared over 2 is
2, minus 12 is negative 10.
You take the derivative here, you get t
minus 6.
And you can see and we already verified
that v of 3 is negative 3.
And you take the derivative here, you get
a of t, just like that.
Anyway, hopefully, you found this
enjoyable.

Polish: 
Więc nasza funkcja położenia wynosi t kwadrat przez 2 minus 6t.
Możecie to sprawdzić.
Kiedy t jest równe 2, t kwadrat przez 2 wynosi 2, minus 12 wynosi minus 10.
Pochodną tego jest t minus 6.
Już sprawdziliśmy, że v od 3 wynosi minus 3.
Pochodna tego to a od t.
Mam nadzieję, że Wam się podobało.

Bulgarian: 
Значи позицията като функция
от времето е s(t) = t^2/2 – 6t.
Можеш да направиш проверка.
Когато t = 2, t^2/2 е равно на 2;
минус 12 става –2.
Намираме производната
и получаваме –6.
Тук вече видяхме, че
v(3) е –3.
Намираме производната спрямо t
ето така.
Надявам се, че това 
ти беше приятно.
