Hola a todos hoy vamos a hablar del
Teorema Fundamental de la Aritmética
pero si es tan fundamental merecería un
letrero un poco más vistoso
eso está mejor. Este teorema también es
conocido como el teorema de
factoricación única, pero antes que nada
me gusta presentar siempre a los
protagonistas de la película a la izquierda
tenemos a Euclides de alejandría el
padre de la geometría y a mi derecha
tenemos a Johan Carl Friedrich Gauss el
príncipe de las matemáticas.
Pero os preguntaréis porque he puesto a
construir a estos dos titanes un muro de
ladrillos a pleno sol, sencillamente para
ilustrar que nuestro teorema de hoy que
viene a decir que los números primos son
los ladrillos con los que construimos
todos los demás números.
También os preguntaréis por qué entre
nuestros dos protagonistas hay un
intervalo de aproximadamente 2000 años.
Resulta que el teorema fundamental de la
aritmética
aparece ya en el mayor best-seller de
las de las matemáticas: Los Elementos de
Euclides, aquí tenéis un fragmento de la
obra original aunque posteriormente se
ha reeditado muchas veces y a día de hoy
se sigue leyendo. Sin embargo la prueba
de nuestro teorema que aparecía en dicha
obra estaba incompleta y no es hasta
1801 cuando aparece una prueba completa y
rigurosa en un pequeño librito llamado
Disquisitiones arithmeticae de nuestro
genial Gauss. Pero llevo un rato aquí
hablando con un ladrillo y todavía no he
dicho en qué consiste el Teorema
Fundamental de la Aritmética. Dejadme que
os lo explique con un ejemplo:
consideremos un número por ejemplo 210
este número se puede escribir como un
producto por ejemplo como 6 por 35 pero
también lo podríamos escribir como 5 por
42 o como 7 por 30 o incluso como un
producto de tres números como 2 por 7
por 15 o 3 por 5 por 14 o incluso como
un producto de 4
como 2 por 3 por 5 por 7. Pues esta
última factorización tiene una
característica muy especial que es que
todos sus factores son números primos. 2, 3, 5 y 7.  Pues bien esto es justamente
lo que nos va a decir el Teorema
fundamental de la aritmética o el
Teorema de Factorización única, que todo
número se puede escribir como un
producto de números primos y además de
forma única.
Vamos a obtener la descomposición en
factores primos de 1.078. Para eso vamos
a utilizar que conocemos los los
primeros números primos, de hecho podemos
conocer los números primos entre 1 y
cualquier número que queramos utilizando
lo que vimos en un vídeo anterior que se
llamaba la criba de eratóstenes.
Sabemos que los números primos son 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, 23 etcétera y también
sabemos decidir si un número se puede
dividir entre un número primo de forma
rápida utilizando los criterios de
divisibilidad que también hemos visto en
vídeos anteriores. Entonces, vamos a
empezar a intentar dividir nuestro
número entre los primeros números primos.
Empezaremos por el 2 ¿se puede dividir
1.078 entre 2? Sí porque la última cifra
es par, es 8, entonces hacemos aquí la
división y nos sale 539.
Probamos otra vez a dividirlo entre
2 pero en este caso la última cifra es
9 que es impar y por tanto no se puede
dividir entre 2.
Bueno pues probemos con el siguiente
número primo que es 3, para ello sumamos
sus cifras
53 más 9 que nos da 17 y como no es
múltiplo de 3 no se puede dividir entre 3
Bien, lo descartamos pues el siguiente
primo sería 5. ¿Podemos dividir este
número entre 5? Tampoco porque su última
cifra no es ni 0 ni 5. El siguiente primo
es 7.  Bueno para ver si no podemos
dividir entre 7 también tenemos un criterio de
divisibilidad, pero en este caso casi es
más fácil más fácil hacer directamente
la división y nos sale exacta y el
cociente es justamente 77, pues seguimos.
Fijaros que ahora no tenemos que
volver a intentar dividir entre los
primeros números primos porque si ha
fallado en dos una vez ya va a fallar
siempre. Si ha fallado el 3 ya va a
fallar siempre. Estábamos entonces con el 7
pues probamos de nuevo en el 7 y
claramente 77 se puede dividir entre 7 y
nos da 11 bien ya no podemos probar con
el 7 porque lo que nos ha salido aquí un
número primo 11 por tanto sólo se puede
dividir entre él.
Así que dividimos entre 11 y nos sale 1. Una
vez que hemos llegado aquí y tenemos un 1
Pues ya tendremos nuestra
factorización
del número en factores primos porque
1.078 se puede escribir como el producto
de los números primos que nos han salido
en esa columna. Es decir tenemos que en
1.078 es 2 por 7 por 7 por 11 o
escribiendo los de de forma más
compacta 2 por 7 al cuadrado por 11.
Espero que os haya quedado claro el
Teorema Fundamental de la Aritmética. Nos vemos en el próximo vídeo. ¡Hasta luego!
no no
