
Dutch: 
Hoi.
Aangezien je deze video bekijkt, weet je waarschijnlijk al wat een eigenwaarde is.
In deze video wil ik je laten zien hoe
je de eigenwaarden van een bepaalde matrix kunt bepalen.
Laat ik beginnen met deze matrix A.
Stel dat de vector v met coördinaten v_1 en v_2 een eigenvector is.
Per definitie betekent dit dat v niet de nulvector is en dat A keer v gelijk is aan een reëel getal maal v.
Dit reële getal wordt de eigenwaarde genoemd die hoort bij v .
Om één ​​of andere reden worden eigenwaarden altijd aangeduid met de Griekse letter lambda.
Ik heb geen idee waarom, maar ik ben een man van tradities dus ik zeg dat A keer v gelijk is aan lambda keer v.
Ik wil een manier bedenken om te bepalen
voor welke waarden van lambda deze vergelijking
een oplossing heeft die niet de nuloplossing is.
Eerst ga ik de rechterkant van de vergelijking schrijven als een matrix vectorproduct.
Je zult in straks zien waarom dit van pas komt.

English: 
Hi.
Since you are watching this video
you probably already know what an eigenvalue is.
In this video I would like to show you how
you can determine the eigenvalues of a given matrix.
Let me start with this matrix A.
Suppose that the vector v
with coordinates v_1 and v_2 is an eigenvector.
By definition this means that v is not the zero vector
and that A times v is equal to a real number times v.
This real number is called
the eigenvalue that corresponds with v.
For some reason eigenvalues are
always denoted by the Greek letter lambda.
I have no idea why, but I am a man of tradition
so let me say that A times v equals lambda times v.
I want to come up with a procedure to determine
for which values of lambda this equation
has a solution that is not the zero solution.
First I am going to write the right hand side
of the equation as a matrix vector product.
You'll see in a minute why this comes in handy.

English: 
Multiplying with the identity matrix
does not change my vector v.
So let me replace lambda times v
with lambda times the identity matrix times v.
The equation may look a little different,
but it's still the same equation as the one I started with.
The right hand side can be simplified a little bit more.
In particular, I can multiply lambda
and the identity matrix.
This gives me a matrix with values lambda
on the diagonal and zeros for the other two entries.
I have arrived at this system of equations.
Remember that I am still looking for
the values of lambda for which this equation
has a non-zero solution for v_1 and v_2.
To solve this problem I am going
to move everything to the left.
On the right hand side only the zero vector remains
and on the left hand side of the equation I get:
a matrix times v minus another matrix times v.

Dutch: 
Vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix verandert mijn vector v niet.
Dus laat me lambda keer v vervangen door lambda keer de identiteitsmatrix keer v.
De vergelijking ziet er misschien een beetje anders uit, maar het is nog steeds dezelfde vergelijking als waarmee ik begon.
De rechterkant kan een beetje meer worden vereenvoudigd.
In het bijzonder kan ik lambda vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix.
Dit geeft me een matrix met waarden lambda op de diagonaal en nullen voor de andere twee items.
Ik ben aangekomen bij dit stelsel van vergelijkingen.
Vergeet niet dat ik op zoek ben naar de waarden van lambda waarvoor deze vergelijking
een niet-nul oplossing heeft voor v_1 en v_2.
Om dit probleem op te lossen, ga ik alles naar links verplaatsen.
Aan de rechterkant blijft alleen de nulvector over en aan de linkerkant van de vergelijking krijg ik:
een matrix maal v minus een andere matrix maal v.

English: 
By using the properties of the matrix vector
multiplication I can write this as
(A minus our diagonal matrix) times v equals zero.
The expression between parenthesis can also
be written as a single matrix.
So when does this equation have a solution
different from the zero solution?
Earlier in this course you saw that an equation
of this type is called a homogeneous equation.
Maybe you recall that such a matrix equation
has solutions different from the zero vector
whenever the given matrix is not invertible.
And when is a matrix not invertible?
Exactly, when its determinant equals zero.
This means that I have found a way
to determine the eigenvalues of the matrix A.
I just need to find the values of lambda for which the
determinant of the matrix you see here is equal to zero.
Let ’s compute the determinant of this matrix.
It is equal to (minus 8 minus lambda) times
(7 minus lambda) minus 5 times (minus 10).

Dutch: 
Door de eigenschappen van de matrixvector vermenigvuldiging te gebruiken kan ik dit schrijven als
(A minus onze diagonale matrix) keer v is gelijk aan nul.
De uitdrukking tussen de haakjes kan ook
geschreven worden als een enkele matrix.
Dus wanneer heeft deze vergelijking een oplossing anders dan de nuloplossing?
Eerder in dit vak zag je dat een vergelijking van dit type een homogene vergelijking wordt genoemd.
Misschien herinner je je nog dat zo'n matrixvergelijking oplossingen heeft die verschillen van de nulvector als
de gegeven matrix niet inverteerbaar is.
En wanneer is een matrix niet inverteerbaar?
Precies, wanneer de determinant gelijk is aan nul.
Dit betekent dat ik een manier heb gevonden om de eigenwaarden van de matrix A te bepalen
Ik moet alleen de waarden van lambda vinden waarvoor de determinant van de matrix die je hier ziet, gelijk is aan nul.
Laten we de determinant van deze matrix berekenen.
Het is gelijk aan (-8 - lambda) *
(7 - lambda) - 5 * (-10).

Dutch: 
Na een klein beetje rekenen wordt dit
lambda^2 + lambda - 6.
Herinner dat lambda een eigenwaarde van A is als deze determinant nul is,
dus om de eigenwaarden van A te vinden, moeten we alleen de vergelijking lambda^2 + lambda - 6 = nul oplossen.
Deze vergelijking wordt de karakteristieke vergelijking genoemd.
De oplossingen voor deze vergelijking zijn precies de eigenwaarden van de matrix A.
Je kunt de abc-formule gebruiken om deze vergelijking op te lossen.
In dit geval zul je zien dat de oplossingen -3 en 2 zijn.
Ik wil je een speciaal geval laten zien:
de karakteristieke vergelijking van een driehoekige matrix.
Ik zal beginnen met de algemene driehoeksmatrix die je op het scherm ziet.
Als ik dezelfde techniek gebruik als in de
eerste voorbeeld, zul je merken dat de eigenwaarden
precies de waarden van lambda zijn
waarvoor deze determinant 0 is.

English: 
After a little bit of calculation this becomes
lambda squared plus lambda minus 6.
Remember that lambda is an eigenvalue of A
if this determinant is zero,
so to find the eigenvalues of A we just need to solve the
equation lambda squared plus lambda minus 6 is zero.
This equation is called the characteristic equation.
The solutions to this equation are exactly
the eigenvalues of the matrix A.
You can use the abc-formula to solve this equation.
In this case you will find that the solutions are -3 and 2.
I would like to show you one special case:
the characteristic equation of a triangular matrix.
I will start with the general triangular matrix
that you see on the screen.
If I use the same technique as I did in the
first example, I will find that the eigenvalues
are exactly the values of lambda
for which this determinant is 0.

English: 
Remember that the determinant of a triangular
matrix can be computed quite easily.
It is simply equal to the product
of the elements of the diagonal.
The determinant that you see here is therefore equal to
(a_11minus lambda) times (a_22 minus lambda)
times (a_33 minus lambda).
This means that the characteristic equation
of the triangular matrix that we started with is
(a_11 minus lambda) times (a_22 minus lambda)
times (a_33 minus lambda) equal zero.
The form of the equation is in fact quite convenient.
There is no need for any calculations.
You can see that the roots are a_11, a_22 and a_33.
Apparently the eigenvalues of my upper triangular
matrix are the elements on the diagonal.
And this is no coincidence.
For any triangular matrix the entries on the
diagonal are exactly the eigenvalues of that matrix.
That’s it for now.
I hope you enjoyed this video.
I hope you learned something.
See you in class!

Dutch: 
Herinner dat de determinant van een driehoeksmatrix vrij gemakkelijk kan worden berekend.
Het is simpelweg gelijk aan het product
van de elementen van de diagonaal.
De determinant die je hier ziet, is daarom gelijk aan
(a_11 - lambda) * (a_22 - lambda)
* (a_33 - lambda).
Dit betekent dat de karakteristieke vergelijking van de driehoeksmatrix waarmee we zijn begonnen gelijk is aan
(a_11 - lambda)* (a_22 - lambda)
* (a_33 - lambda) =0.
De vorm van de vergelijking is eigenlijk best handig.
Er zijn geen berekeningen nodig.
Je kunt zien dat de oplossingen a_11, a_22 en a_33 zijn.
Blijkbaar zijn de eigenwaarden van mijn bovendriehoeksmatrix de elementen op de diagonaal.
En dit is geen toeval.
Voor elke driehoeksmatrix zijn de getallen op de diagonaal precies de eigenwaarden van die matrix.
Dat is het voor nu.
Ik hoop dat je deze video leuk vond.
Ik hoop dat je iets hebt geleerd.
Tot ziens in college!
