
Bulgarian: 
Дадена ни е таблица, за която е известно,
че съдържа избрани стойности на диференцируемата функция f.
Таблицата ни дава стойностите на функцията
за няколко стойности на x, и по-конкретно,
за пет различни стойности на x,
и каква е съответната стойност на f(x) за тях.
Питат ни, каква е най-близката стойност
за f'(4)?
Това е производната на функцията f
за x = 4.
Друг начин да мислиш за задачата е –
какъв е наклонът (ъгловият коефициент) на допирателната,
към графиката на функцията f(x), когато х=4?
И така, каква е най-точната стойност за f'(4),
която можем да направим 
с помощта на дадената таблица?
Нека визуализираме какво се случва,
преди да се обърнем към възможните отговори.
Ще начертая една ос тук.
И ще отбележа дадените точки.
Знаем, че те ще лежат на кривата
y = f(x).
Когато x = 0, f(x) = 72.
Тоест това е точката (0; 72).
Тази е (3; 95).
Очевидно използваме различен мащаб за осите x и y.

Czech: 
Jak jsme si řekli,
tato tabulka zobrazuje 
diferencovatelnou funkci f.
Tabulka tedy udává hodnoty
funkce pro několik hodnot x.
Konkrétně 5
různých hodnot x
a zobrazuje odpovídající
funkční hodnotu f(x).
A oni se ptají, jaký je nejlepší
odhad pro derivaci f(4)?
Toto je tedy derivace naší
funkce f, kde x je rovno 4.
Nebo jinak,
jaký je sklon tečny,
když x je rovno 4 pro f(x)?
Jaký je tedy nejlepší
odhad pro derivaci f(4),
jenž můžeme udělat 
na základě této tabulky?
Pojďme si nejdříve ukázat o co jde,
než se vůbec podíváme na možnosti.
Nakreslím sem osy souřadnic.
A zobrazím tyto body.
Víme, že tyto body budou
na křivce y=f(x).
Když x je rovno 0, 
f(x) je 72.
Takže toto je bod [0;72].
Toto je [3;95].
Očividně dvě různé hodnoty
pro osy x a y.

Korean: 
이 표는 미분이 가능한 함수 f의
특정 값 몇 개를
보여주고 있습니다
몇 개의 x값에서의
함수값을 보여주고 있죠
정확히는 x값 다섯 개와
그에 따른 f(x)의 값을
보여주고 있습니다
f'(4)의 가장 정확한
추정치가 무엇인가요?
이 표기는 x가 4일 때
그에 따른 도함수의
값을 나타냅니다
또한 이는
x가 4일 때
f(x)의 접선의
기울기와도 같습니다
f'(4)의 가장 정확한 추정치는
이 표에 따르면 얼마인가요?
선택지를 살펴보기 전
문제를 먼저 시각화해 봅시다
여기 축을 그려보겠습니다
그리고 이 점들을
그래프에 찍어 보겠습니다
우리는 이 점들이
y는 f(x)의 곡선 위에
위치할 것이라는 것을 압니다
x가 0일 때
f(x)는 72입니다
이 점이 그에 해당합니다
그리고 이 점이 x가 3일 때
y가 95인 점입니다
x축과 y축의 축척은
보시다시피 서로 다릅니다

English: 
- [Instructor] So we're
told that this table
gives select values of the
differentiable function F.
So it gives us the value of the function
at a few values for X, in particular,
five different values for X and
it tells us what the
corresponding f(x) is.
And they say, what is the best estimate
for f'(4)?
So this is the derivative
of our function F
when X is equal to four.
Or another way to think about it,
what is the slope of the tangent line
when X is equal to four for f(x)?
So what is the best
estimate for f'(4)
we can make based on this table?
So, let's just visualize what's going on
before we even look at the choices.
So let me draw some axes here.
And let me plot these points.
We know that these would
sit on the curve of Y
is equal to f(x).
When X is zero, f(x) is 72.
So this is the point (0,72).
This is the point (3,95)
clearly, two different
scales on the X and Y axes.

Bulgarian: 
Това е точката
(5; 112).
Тази е (6; 77).
Тази е (9; 54), всъщност нека
да запиша, че
това е 1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9
и 10.
Това, което искат от нас да намерим, е
колко е производната на функцията,
когато x = 4?
Но не ни е известно,
каква е стойността на f(4).
Не знае коя е тази точка.
Но целта на задачата е
да се опитаме да направим 
най-точната преценка.
Като използваме точките,
дори не знаем
как точно изглежда кривата.
Би могла да изглежда по всякакви начини.
Може да се опитаме да прокараме 
сравнително гладка крива.
Кривата може да изглежда така.
Но може и да е по-странна.
Може да прави нещо такова.
Ще се опитам да го направя.
Може да изглежда
и така.
Не знаем със сигурност.
Всичко, което знаем, е, че
трябва да преминава през тези точки.
Защото това са стойности на функцията
в тези точки.

English: 
This is the point
(5,112).
This is (6,77).
This is (9,54), actually, let me
write out
the
this is one, two, three,
four, five, six,
seven, eight, nine,
and ten.
Now they want us to know, they want to
what is the derivative of our function
when F is equal to four?
Well, they haven't told us
even what the value of F is at four.
We don't know what that point is.
But what they're trying to do is,
well, we're trying to
make a best estimate.
And using these points, we don't even know
exactly what the curve looks like.
It could look like all sorts of things.
We could try to fit a
reasonably smooth curve.
The curve might look something like that.
But it might be wackier.
It might do something like this.
Let me try to do it.
It might look something
like this.
So we don't know, for sure.
All we know is that
it needs to go through those points.
'Cause they've just
sampled to the function
at those points.

Czech: 
Toto je bod [5;112].
Toto je [6;77]
a toto je [9;54].
Ještě popíšu toto.
Zde je 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8
9 a 10.
Nyní, chtějí vědět
jaká je derivace naší funkce,
když f je rovno 4.
Nicméně neřekli nám ani to,
jaká je hodnota f v bodě 4.
Nevíme, kde tento bod je.
To, o co se musíme snažit,
je vytvořit náš nejlepší odhad.
S využitím těchto bodů ani nevíme,
jak přesně křivka vypadá.
Může vypadat 
úplně různě.
Mohli bychom se pokusit vytvořit zde
rozumně hladkou křivku.
Křivka by mohla
vypadat takto.
Ale mohla by být divočejší.
Mohla by se chovat nějak takto.
No, ještě jednou...
Mohla by vypadat
nějak takto.
Takže s jistotou nevíme,
jak vypadá.
Jediné, co víme je,
že musí procházet těmito body.
Protože to jsou hodnoty funkce
v těchto bodech.

Korean: 
이 점이
x가 5일 때 y가 112인
점이고요
이 점이 x가 6일 때
y가 77인 점입니다
이 점은 x가 9일 때
y가 54인 점입니다
한 번
적어보도록 하겠습니다
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
그리고 10입니다
이제 질문이 원하는 것은
x가 4일 때
도함수의 값은
무엇인지입니다
그런데 문제에서는
x가 4일 때 함수값을
말해주지 않았습니다
해당 점이 어디에 있는지
알려주지 않았죠
하지만 문제에서 원하는 것은
최대한 정확한 추정치입니다
주어진 점들만 가지고는
곡선이 정확히 어떻게
생겼는지도 알 수 없습니다
어떤 모양이든 될 수 있으니까요
합리적으로 생각하면
부드러운 곡선이 될 수도 있습니다
이렇게 생긴 곡선일 수도 있죠
하지만 이보다 더
특이한 모양일 수도 있습니다
이렇게 생긴 곡선일 수도 있죠
한 번 해 보겠습니다
이렇게 생긴
곡선일 수도 있습니다
따라서 정확히
알 수는 없습니다
우리가 아는 것은
곡선이 주어진 점들을
지나야 한다는 것 뿐입니다
왜냐하면 함수에서 추출한
몇몇 표본값들이니까요

Bulgarian: 
За целите на това упражнение обаче,
нека да предположим, че е най-простият вариант,
т.е. че е хубава и гладка
крива без много неравности
и преминава през тези точки ето така.
Това, което се иска,
когато x = 4,
ако тази жълта крива беше 
истинската крива,
тогава какъв е наклонът на допирателната в тази точка?
Ще визуализираме това.
За да бъде ясно,
тази допирателна, която току-що начертах
ще отговаря на
тази версия на функцията, която се получи,
като свързах тези точки.
Това не е нужно
да е истинската функция.
Знаем, че истинската функция трябва
да минава през тези точки.
Но просто правя това с цел онагледяване.
Една от всички идеи тук е,
че всичко, което имам, е извадка,
и се опитваме да намерим най-точната
приблизителна стойност.
Не знаем
дори дали ще е добро приближение.
Просто ще бъде най-доброто възможно.
Това, което правим обикновено,
когато имаме някаква информация за точка,
е да използваме други известни точки,
които са най-близки до
известната точка,
и да намерим наклони на секущи,

Czech: 
Nechte mě,
jen pro tento příklad,
uvažovat to
nejjednodušší.
Řekněme, že křivka
je krásně hladká,
bez přílišného kroucení a skákání,
a že prochází těmito body.
Takže na co se ptají je,
když x je rovno 4,
pokud by tato žlutá křivka 
byla vážně naší křivkou,
jaký je potom sklon
tečny v tomto bodě?
Takže bychom si
představovali toto.
Teď aby to bylo jasné.
Tato tečna,
kterou jsou zrovna nakreslil,
ta by byla pro verzi naší funkce.
Pro tu, kterou jsem nakreslil,
procházející těmito body.
To nemusí být
naše skutečná funkce.
Víme, že naše skutečná funkce
musí procházet těmito body.
Toto dělám jen
pro ukázku.
Celá idea tohoto je,
že vše co máme, je vzorek
a my se snažíme
najít nejlepší odhad.
My ani nevíme,
jestli to bude dobrý odhad.
Bude to prostě
náš nejlepší odhad.
Takže to,
co obecně děláme,
když máme jen nějaká data
v okolí bodu je,
že použijme data,
která jsou tomuto bodu nejblíže
a najdeme sklony sečen
v blízkosti tohoto bodu.

English: 
But let's just, for the sake of
this exercise, let's assume the simplest,
let's say it's a nice smooth
curve without too many twists and turns
that goes through these
points, just like that.
So what they're asking, okay,
when X is equal to four
if this yellow curve were the actual curve
then what is the slope of the
tangent line, at that point?
So we would be visualizing that.
Now to be clear,
this tangent line that I just drew
this would be for
this version of our function that I did
connecting these points.
That does not have to be
the actual function.
We know that the actual function has to go
through those points.
But I'm just doing this
for visualization purposes.
One of the whole ideas here is
that all we do have is the sample
and we're trying to get a best estimate.
We don't know
if it's even gonna be a good estimate.
It's just going to be a best estimate.
So what we generally do
when we just have some data
around a point, is,
let's use a data points
that are closest
to that point
and find slopes of secant lines

Korean: 
하지만 이 문제에서는
제일 단순한 곡선을 가정합시다
부드럽고 잔잔한
지나치게 많은 휘어짐이 없는
이와 같은 곡선이라고
가정해 봅시다
질문에서 묻는 것은
x가 4일 때
만약 이 노란 곡선의 함수의
실제 곡선과 일치한다면
이 점에서의 접선의
기울기는 무엇일까요?
이렇게 시각화를 해 볼
수 있습니다
한 가지 명확히 하자면
방금 제가 그린
이 접선은
이 점들을 지나는 함수 중
제가 가정한 함수에만
해당한다는 것입니다
이 곡선이
실제 함수와 일치한다는
보장은 없습니다
우리는 실제 함수가
주어진 점들을 지나야
한다는 것을 알고 있습니다
이 그림은 단지 이해의
목적으로 그린 것입니다
여기서 중요한 것은
우리에게는 표본값만
주어진 상태이고
최대한 정확한 추정치를
구하려고 한다는 것입니다
구한 추정치가
실제로 얼마나 정확할지는
알 수 없습니다
하지만 가능한 한 정확한
추정치일 것입니다
일반적으로 이처럼
찾으려는 점 주변의
데이터만 가지고 있는 경우에는
찾으려는 점에서
가장 가까운 점들을 사용해
그 점들에서의 접선들의

Korean: 
기울기를 구하면 됩니다
이것이 원하는 접선의 기울기의
가장 정확한 추정치를
구하는 방법입니다
그러면 f(4)
즉 x값이 4일 때의 점에
가장 가까운 점들은 무엇일까요?
x가 3일 때
함수값이 무엇인지는
주어졌습니다
바로 이 점입니다
다른 색으로 칠해보겠습니다
x가 3이고
y가 95인 점은
바로 이 점입니다
그리고 x가 5일 때
y가 112인 점도
주어졌습니다
바로 이 점입니다
이제 여기서 생기는
질문은 이것입니다
이 두 점 사이의
평균변화율은 얼마일까요?
혹은 이렇게 생각해
볼 수 있습니다
이 두 점 사이의
할선의 기울기는 얼마일까요?
이것이 x가 4일 때
접선의 기울기에
가장 근접한 추정치일 것입니다
이것이 정확한 추정치일까요?
이 추정치가 실제 기울기에
아주 근접할까요?
그건 확실히 모르지만 이것이
실제와 가능한 한 가장
정확한 추정치입니다
x가 3인 점과
x가 6인 점 사이의
평균변화율을 구하는 것보다는
정확할 것입니다
혹은 x가 0인 점과
x가 9인 점을 선택하는
것보다는 정확합니다

Bulgarian: 
които се намират много близо до известната точка.
Това ще ни даде най-доброто приближение
за наклона на допирателната.
Какви точки имаме в близост
до f(4), или в близост
до точката (4; f(4))?
Дадено ни е на какво е равна f
за x = 3.
Имаме ето тази точка точно тук.
Нека начертая това с друг цвят.
И така, (3; 95),
това е точно тук.
Дават ни също
(5; 112)
Това е тази точка тук.
Това, което можем да направим, е
да се запитаме каква е средната
скорост на изменение между тези две точки?
Друг начин да мислиш за това е
какъв е наклонът на секущата
между тези две точки.
И това ще бъде най-доброто приближение
за наклона на допирателната,
в точката x = 4.
Знаем ли, дали това е добро приближение?
Знаем ли дори дали е близо?
Не, не знаем със сигурност,
но това ще е най-доброто приближение.
Ще бъде по-добре, отколкото да опитаме
да вземем средната скорост на изменение 
между момента,
в който x = 3
и x = 6.
Или между x = 0
и x = 9.

Czech: 
A to nám dá náš nejlepší odhad
sklonu tečny.
Takže, jaké body
máme nejblíže f(4)
nebo nejblíže
bodu [4;f(4)]?
Ok, dali nám hodnotu funkce f,
kde x je rovno 3.
Zadali nám přesně tento bod.
Vyznačím to jinou barvou.
Tedy bod [3;95],
který je tady.
A také nám zadali bod [5;112].
To je tento bod.
To, co bychom
mohli udělat je,
říci, jaká je průměrná hodnota změny
mezi těmito dvěma body?
Jiný způsob,
jak se o tom dá přemýšlet je,
jaký je sklon sečny
mezi těmito dvěma body.
A to by byl náš nejlepší odhad
skonu tečny pro x rovno 4.
Víme, zda je to dobrý odhad?
Víme, jestli je vůbec blízko?
Ne, s jistotou to nevíme,
ale bude to náš nejlepší odhad.
Bude to lepší než zkoušet
použít změny mezi
x rovno 3
a x rovno 6.
Nebo mezi x rovno 0
a x rovno 9.

English: 
pretty close around that point.
And that's going to give
us our best estimate
for the slope of the tangent line.
So what points do we have near
F of four, or near the point
(4,f(4))?
Well, they give us what F is equal to
when X is equal to three.
They give us this point, right over here.
Let me do this in another color.
So, (3,95)
that is that right over there.
And they also give us
(5,112).
That is that point right over there.
And so what we could do
we could say, well, what is the average
rate of change between these two points?
Another way to think about it is,
what is the slope of the secant line
between those two points.
And, that would be our best estimate
for the slope of the tangent line
at X equals four.
Do we know that it's a good estimate?
Do we know that it's even close?
No, we don't know for sure, but that would
be the best estimate.
It would be better than trying to take the
the average rate of change between
When X equals three
and X equals six.
Or between when X equals zero
and X equals nine.

English: 
These are pretty close around four.
And so, let's do that.
Let's find the average rate of change
between when X goes from three to five.
So, we can see here
our change in X.
Let me do this in a new color.
So our change in X here
is equal to
plus two.
And I can draw that out.
My change in X here
is
plus two.
And, my change in Y
is going to be
when my X increased by
two, my change in Y is
plus, let's see, this is
if I add ten I get to
I get to 105.
If I add another seven
so this is plus 17.
So this is plus 17 right over here.
Plus 17.
And so my change in Y over change in X.
Change in Y
over my change in X.
For this secant line between
when X is equaling three
and X is equaling five

Bulgarian: 
Тези са много близо до 4.
Нека го направим.
Нека намерим средната скорост на изменение
в интервала между x = 3 и x = 5.
Ето тук може да забележим
изменението на x.
Нека го направя в нов цвят.
Изменението на x
е равно
на +2
И мога да го начертая.
Изменението на x тук
е
+2
А изменението на y ще бъде,
когато x нарасне с 2, изменението на y
плюс, нека да видим, това е,
ако прибавя 10, следва
да стигна до 105.
Ако прибавя още 7,
това е +17.
И така, това е +17 ето тук.
+17
Следователно изменението на 
y върху изменението на x.
Изменение на y
върху изменение на x.
За тази секуща, между
точката x = 3
и точката x = 5,

Korean: 
이 두 점이 4와 가장
근접한 두 점들이니까요
이제 답을 구해봅시다
x가 3에서 5로 변화할 때
평균변화율을 구해봅시다
여기서 볼 수 있듯이
이것이 x의 변화량입니다
새로운 색깔로
표시해 보겠습니다
여기서
x의 변화량은
양수 2입니다
한 번 그려보겠습니다
여기서
x의 변화량은
양수 2입니다
그리고
y의 변화량
x가 2만큼 커졌을 때
y의 변화량을 봅시다
10을 더하면
105가 됩니다
다시 7을 더하면
총 17이네요
따라서 y의 변화량은
17입니다
양수 17이죠
이제 y의 변화량에서
x의 변화량을
나눈 값을 구해봅시다
x의 변화량을
나눈 값을 구해봅시다
x가 3인 점과
x가 5인 점 사이의
할선의 변화율은

Czech: 
Tyto body jsou velmi blízko 4.
Tak to pojďme udělat.
Pojďme najít průměrnou hodnotu změny
pro x nabývající hodnot 3 a 5.
Zde můžeme vidět
naši změnu v x.
Vyznačím to
jinou barvou.
Tedy naše změna x
jde zde rovna plus 2.
A mohu to nakreslit.
Moje změna x
je zde plus 2.
A moje změna y
bude...
Když se mé x zvýšilo o 2,
změna y je plus,
koukejte, když přidám 10
dostanu 105.
Když přidám dalších 7,
dostávám plus 17.
Takže tady vidíme plus 17.
Plus 17.
Tedy má změna y
vzhledem ke změně x.
Změna y,
vzhledem ke změně x.
Pro tuto sečnu mezi hodnotami,
kde x je rovno 3

Korean: 
17 / 2입니다
17 / 2입니다
17 / 2입니다
이는 8.5입니다
따라서 이 초록석 직선의
기울기는 8.5입니다
그리고 이것이
x가 4일 때
y는 f(x) 위의 접선의
가장 근접한 기울기입니다
운이 좋게도
이 문제를 만든 사람들도
여기 보이는 것처럼
같은 논리를 사용했네요
꼭 제가 그린 대로
그래프를 그릴 필요는 없습니다
그저 시각적인 이해를 위해
마음대로 그린 것이니까요
일반적으로 이러한
문제를 접하게 되면
출제자의 의도는
모든 데이터를 가지고
있지 않으니
f'(4)가 무엇인지 정확히
구할 수는 없지만
f'(4)에 근접해 있는
다른 점들을 찾은 후
할선을 그려서
할선의 기울기
혹은 두 점 사이의
평균변화율을 구하면
그것이 x가 4일 때
순간변화율의
가장 근접한 추정치가
된다는 것입니다
혹은 x가 4일 때의
도함수 값이기도 하죠

Czech: 
a x je rovno 5
bude rovna 17 lomeno 2.
17 děleno 2.
A to se rovná 8,5.
Takže sklon této
zelené přímky je 8,5.
A to je náš nejlepší odhad
sklonu tečny,
kde x je rovno 4,
křivky y je rovno f(x).
A tedy, dobře pro nás,
lidé, kteří psali tuto otázku
uvažovali stejně a
udělali to právě zde.
Nebudete to tedy muset kreslit,
tak jako já.
Udělala jsem to jen proto,
abychom si to byli schopni představit.
Obecně, když vidíte otázku
tohoto typu,
oni vlastně říkají,
podívejte se,
nemáte všechna data, která potřebujete,
abyste našli přesně f '(4).
Ale můžete najít blízké
body v okolí f' (4)
a najít přímku průměrných hodnot
sklonu sečny.
Nebo průměrnou hodnotu změny
mezi těmito body.
To je náš nejlepší odhad
pro okamžitou změnu,
kde x je rovno 4.
Nebo derivaci, kde x je rovno 4.

English: 
is going to be equal to 17 over two.
Seventeen over
two.
Which is equal to 8.5.
So the slope of this
green line here is 8.5.
And that would be our best estimate
for the slope of the tangent
line when X equals four
of the curve Y is equal to f(x).
And so, lucky for us
the people who wrote this question had
the exact same logic, and
they did it right over there.
So you wouldn't have to
graph it the way I did.
I did it just to help us
visualize what's going on.
In general, when you
see a question like this
they're really saying, look,
you don't have all the data you need
to figure out exactly
what f'(4) is.
But if you can find
points close to, or around
f'(4)
and find the secant
line, the average rate
of the slope of the secant line.
Or the average rate of
change between those points
that's going to be our best estimate
for the instantaneous rate of change
when X equals four.
Or the derivative when X equals four.

Bulgarian: 
изменението ще бъде равно на 17/2.
17 върху 2
Което е равно на 8,5.
Наклонът на тази зелена линия тук е 8,5.
И това ще бъде най-доброто приближение
за наклона на допирателната за x = 4,
от кривата y = f(x).
За щастие, хората, 
които са съставили задачата,
използват същата логика, 
и са го направили ето тук.
Не е необходимо да го чертаеш по начина, 
по който аз го направих.
Целта беше просто да визуализирам 
какво се случва.
По принцип, когато срещнеш въпрос 
като този, това,
което действително ни казват, е,
не разполагаш с всички данни, които са ти нужни,
за да намериш точно колко е f'(4).
Но можеш да намериш точки, 
които са близо, или в околност
на f'(4),
и да намериш секущата, 
средната стойност
на наклона на секущата.
Или средната скорост на изменение 
между тези точки,
то това ще бъде най-доброто приближение
за моментната скорост на изменение,
в точката x = 4.
Или производната в точката x = 4.
