
Bulgarian: 
Знаем, че допирателната към графиката
на функцията f в точката (2; 3)
преминава през точката (7; 6).
Намери f'(2).
Винаги, когато видиш нещо такова,
не пречи да се опиташ да го визуализираш.
Може да искаш да го начертаеш или просто
да го онагледиш в главата си,
но тъй като не може да влезеш в моята глава,
аз ще го начертая.
И така, нека
да нанеса информацията, която са ни дали.
Това е оста x, а това е оста y.
Нека да видим важните точки тук (2; 3)
и (7; 6).
Нека да тръгна от тук -
едно, две, три, четири,
пет, шест, седем, по оста x
и от тук едно, две, три, четири,
пет, шест, по оста y.
А тази точка,
която имаме (2; 3),

Czech: 
Tečna ke grafu funkce f
v bodě [2;3] prochází bodem [7;6].
Urči první derivaci
funkce f v bodě 2.
Kdykoliv máte nějakou takovou úlohu,
není na škodu si to zkusit představit.
Můžete si to nakreslit 
nebo jen představit v hlavě.
Protože však do mojí hlavy
nevidíte, tak to nakreslím.
Takže si nakresleme,
co máme v zadání.
Tohle budou
osy x a y.
Body, které nás
zajímají, jsou [2;3] a [7;6].
Na ose x si vyznačíme
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
a na ose y to bude
1, 2, 3, 4, 5 a 6.

English: 
- [Voiceover] We're told that
the tangent line to the graph
of function at the the
point two comma three
passes through the point seven comma six.
Find f prime of two.
So whenever you see something like this,
it doesn't hurt to try to visualize it.
You might want to draw it
out or just visualize it
in your head
but since you can't get in my head,
I will draw it out.
So let me
draw the information
that they are giving us.
So that's x axis and that is the y axis.
Let's see the relevant points
here at two comma three
and seven comma six.
So let me go,
one, two, three, four,
five, six, seven, along the x axis
and I'm going to go one, two, three, four,
five, and six, along the y axis.
And now this point,
so we have the point two comma three,

Korean: 
 
(2,3)에서의 함수의 
그래프의 접선을 구해 봅시다
접선은 (7,6)을 지나는 함수입니다
f'(2)를 찾아봅시다
이와 같은 유형을 풀 때에는
시각화하는 것이 중요합니다
그림으로 표현하거나 
머릿속에 시각화해봅시다
 
하지만 여러분이 
제 머릿속을 볼 수 없기 때문에
저는 그려보겠습니다
 
우리에게 주어진 정보를 그려보겠습니다
이것은 x축이고 이것은 y축입니다
관련된 점인 (2,3)과
(7,6)도 나타내 봅니다
 
1,2,3,4
5,6,7을 x축을 따라 그리고
1,2,3,4
5,6을 y축을 따라 그립니다
이 점
(2,3)을 나타내 봅시다

Korean: 
 
(2,3)은 여기가 되겠고
 
 
또한 점 (7,6)은 여기에 나타낼 것입니다
 
문제를 다시 읽어봅시다
점(2,3)에서 
함수 f(x)의 접선을 구하는 것입니다
 
접선은 (7,6)을 
지나는 함수이고요
이 점에서의 그래프의 접선이 있다면
그것은 반드시 (2,3)을 지납니다
그 점은 그래프와 
접선이 교차하는 유일한 지점이며
또한 접선은 (7,6)을 지납니다
선을 정의하기 위해서 
우리는 오직 두점만 필요합니다
그래서 접선은 
이런 형태로 생기게 됩니다
 
이렇게 생기겠죠
맞지 않네요
다시 그려보겠습니다
 
완벽히 맞지 않네요
다시 한번 그려보겠습니다
된 것 같습니다
그래서 접선은 이런 형태로 생길 것입니다

Bulgarian: 
нека да я означа,
така че (2; 3) е ето там.
Това е (2; 3) и също така имаме
точката (7; 6).
(7; 6) ще бъде точно ето там.
(7; 6)
Нека да си припомним какво ни казват.
Казват ни, че допирателната към 
графиката на функцията f
в тази точка
преминава през точката (7; 6).
Ако това е допирателната към графиката в тази точка,
то тя следва да минава през (2; 3).
Това е единственото място, където 
пресича нашата графика
и минава през (7; 6).
Имаме нужда само от две точки, 
за да зададем една права
и допирателната ще изглежда,
ще изглежда...
Нека да видя дали мога така.
Не, това не е правилно.
Нека да я начертая
както следва да изглежда.
О, това не е съвсем вярно.
Нека да опитам още веднъж.
Добре, ето че се получи.
Допирателната ще изглежда по този начин.

English: 
so let me mark that,
so two comma three is right over there,
so that's two comma three and we also have
the point seven comma six.
Seven comma six is going
to be right over there.
Seven comma six.
Let us remind ourselves
what they're saying.
They're saying the tangent
line to the graph of function f
at this point
passes through the point seven comma six.
So if it's the tangent line
to the graph at that point,
it must go through two comma three,
that's the only place where
it intersects our graph
and it goes through seven comma six.
We only need two points to define a line
and so the tangent line
is going to look like,
it's going to look like,
let me see if I can,
no that's not right.
Let me draw it
like it's going to look.
Oh that's not exactly right.
Let me try one more time.
Okay, there you go.
So the tangent line is
going to look like that.

Czech: 
V zadání máme bod [2;3],
který si takto podtrhnu.
Bod [2;3] se
nachází tady.
V zadání je také bod [7;6],
který bude tady.
Připomeňme si,
co nám zadání říká.
V zadání máme, že tečna ke grafu funkce f
v tomto bodě prochází bodem [7;6].
Protože je to tečna
ke grafu v tomto bodě,
tak musí procházet bodem [2;3], což je
zároveň jediný bod, v němž protíná graf,
a prochází také
bodem [7;6].
Přímka už je určena
dvěma svými body,
takže tečna bude
vypadat nějak takto.

Czech: 
Je to tečna ke grafu funkce f
v bodě [2;3] a prochází bodem [7;6].
O funkci f nevíme vůbec nic,
ale můžeme si představit, jak asi vypadá.
Naše funkce f by mohla
vypadat třeba nějak takto.
Potřebujeme jen, aby naše přímka
byla tečnou grafu v zadaném bodě.
Takhle nějak by tedy
mohla vypadat naše funkce f.
Když se po nás chce, abychom
určili první derivaci f v bodě 2,
tak se nás vlastně ptají, jaká je
směrnice tečny v bodě x rovno 2.
Když je x rovno 2, tak směrnice příslušné
tečny je přesně směrnice naší přímky.
V zadání nám dali dva body,
které na této tečně leží,
teď už jen musíme
spočítat její směrnici,
protože to bude rychlost změny
funkční hodnoty v tomto bodě,
neboli
derivace.
Derivace je totiž směrnice tečny
a tohle je tečna.
Pojďme na to.
Víme, že směrnice je rovna
změně y dělené změnou x.

English: 
It goes, it's tangent two
f right at two comma three
and it goes through the
point seven comma six
and so we don't know anything other than f
but we can imagine what f looks like.
Our function f could,
so our function f,
it could look something like this.
It just has to be tangent
so that line has to be
tangent to our function
right at that point.
So our function f could
look something like that.
So when they say, find f prime of two,
they're really saying,
what is the slope of the
tangent line when x is equal to two?
So when x is equal to two,
well the slope of the tangent line
is the slope of this line.
They gave us, they gave
us the two points that sit
on the tangent line.
So we just have to figure out its slope
because that is going to
be the rate of change of
that function right over there,
its derivative.
It's going to be the
slope of the tangent line
because this is the tangent line.
So let's do that.
So as we know,

Bulgarian: 
Тя допира f в точката (2; 3)
и минава през точката (7; 6).
Не знаем нищо друго освен f,
но може да си представим как изглежда f.
Нашата функция f би могла,
нашата функция f
би могла да изглежда по следния начин.
Просто следва да се допира,
т.е. тази права да е допирателна
за функцията,
точно в тази точка.
Така че функцията би могла
да изглежда по този начин.
Когато ни казват намерете f'(2),
реално ни питат,
какъв е наклонът (ъгловият коефициент)
на допирателната, когато x = 2.
Когато x = 2
наклонът на допирателната
е наклонът на тази права.
Те са ни дали две точки, които лежат
на допирателната права.
Следователно просто трябва 
да намерим наклона ѝ,
защото това ще бъде 
скоростта на изменение
на функцията в тази точка.
Тоест производната ѝ.
Ще бъде наклонът на допирателната,
защото това е допирателната.
Нека да го направим.
Доколкото знаем,

Korean: 
점(2,3)에서의 f의 접선은
점(7,6)을 지나고
f에 관한 다른 정보를 알지 못하지만
f의 형태를 상상해볼 수 있습니다
함수 f는
 
이런 형태로 생길 것입니다
 
선이 이 점에서 
함수 f의 접선이 되어야만 하기 때문에
 
함수 f는 이런 형태로 생길 것입니다
f'(2)를 찾으라는 문제의
진정한 의미는
 
x=2일 때 
접선의 기울기는 무엇인가이다
그래서 x=2일 때
접선의 기울기는
이 선의 기울기입니다
문제에서는 
접선 위에 놓여진 두 점을 알려준 것입니다
 
그래서 우리는 이 기울기를 알아야합니다
이 곳에서의 함수의 변화율인
미분계수가 될 것이기 때문입니다
 
접선의 기울기일 것입니다
이것이 접선이기 때문입니다
 
모두가 알다시피

English: 
slope is change in y over change in x.
So if we change our,
to go from two comma
three to seven comma six,
our change in x,
change in x,
we go from x equals two to x equals 7
so our change in x is equal to five.
And our change in y,
our change in y,
we go from y equals three to y equals six.
So our change in y is equal to three.
So our change in y over change in x
is going to be three over five
which is the slope of this line,
which is the derivative
of the function at two
because this is the tangent
line at x equals two.
Let's do another one of these.
For a function g,
we are given that g of
negative one equals three
and g prime of negative one
is equal to negative two.

Czech: 
Když jdeme z bodu [2;3]
do bodu [7;6],
tak jdeme z bodu x rovno 2 do bodu
x rovno 7, takže změna x bude 5,
a jdeme z bodu y rovno 3 do bodu
y rovno 6, takže změna y je rovna 3.
Změna y dělená změnou x
se tak rovná 3 lomeno 5
a to je směrnice této přímky,
což je derivace naší funkce v bodě 2,
neboť toto je tečna ke
grafu v bodě x rovno 2.
Udělejme si ještě
jeden příklad.
O funkci g víme, že g v bodě -1 se rovná 3
a že první derivace g v bodě -1 je -2.

Bulgarian: 
наклонът е промяна на y 
върху промяна на x.
Така че, ако промяната ни
е да отидем от (2; 3) до (7; 6),
то промяната на x,
∆x (делта x) е,
когато отиваме от x = 2 до x = 7,
т.е. ∆x = 5.
А промяната в y,
нашето ∆y, е
когато отиваме от y = 3 до y = 6.
Тоест промяната на y = 3.
Следователно ∆y/∆x
ще бъде 3/5,
което е наклонът на тази права,
и което е производната на функцията f'(2),
защото това е допирателната
в точката x = 2.
Нека да решим още една от тези.
За функция g
е дадено, че g(–1) = 3,
а g'(–1) = –2.

Korean: 
기울기는 (y의 변화량)/(x의 변화량)입니다
 
점(2,3)에서 점(7,6)으로 변할 때
x의 변화량
△x는
x=2에서 x=7로 가기 때문에
x의 변화량 △x=5입니다
y의 변화량
△y는
y=3에서 y=6으로 가기 때문에
y의 변화량 △y=3입니다
△y/△x는
3/5이고
이것은 접선의 기울기입니다
x=2에서 함수의 미분계수가 되겠습니다
왜냐하면 이것은 
x=2에서의 접선이기 때문입니다
이런 유형의 다른 문제를 풀어봅시다
함수 g에 대해서
g(-1)=3이고
g'(-1)=-2라는 정보가 주어져있습니다

Korean: 
x=-1에서의 함수g의 
접선의 방정식은 무엇인가?
 
다시 해봅시다
그래프를 그려보는 것이 
도움이 될 듯합니다
 
y축과
x축을 그리고
문제를 다시 봅시다
g(-1)=3이라는 것을 알고 있습니다
 
점(-1,3)이 함수 위에 있습니다
-1과
1
2
3
이 점이
 
(-1,3)이 되겠습니다
함수 g 위에 있는 점입니다
또한 g'(-1)=-2라는 것도 알고 있습니다
 
함수 g의 이 점 위에서의
접선의 기울기가
-2라는 것입니다
 
접선의 기울기는
x=-1일 때 -2입니다
이 정보를 이용하여

Bulgarian: 
Какво е уравнението на 
допирателната към графиката на g
за x = –1?
Добре, още веднъж
си мисля, че ще бъде полезно
да си направим графика.
И така,
имаме оста y.
Имаме оста x.
Нека да видим.
Знаем, че за функцията g ни е дадено,
че g(–1) = 3.
Точката (–1; 3) е от нашата функция.
Това е –1, а след това имаме
едно, две, и три.
Така че това е точно ето там.
Това е точката.
Това е точката (–1; 3),
която ще бъде от нашата функция.
И също така знаем,
че g'(–1) = 2.
Тоест наклонът на допирателната,
точно в тази точка от функцията,
ще бъде –2.
Това е, което ни казват.
Наклонът на допирателната,
когато x = –1, е равен на –2.
Мога да използвам тази информация,

Czech: 
Jaká je rovnice tečny ke grafu
funkce g v bodě x rovno -1?
Myslím, že bude užitečné,
když si to zase nakreslíme.
Nejprve si nakreslíme
osu y a osu x.
Zadání říká, že funkční
hodnota g v bodě -1 je 3,
takže bod [-1;3] leží
na grafu naší funkce.
Tady je -1 a na ose y
si vyznačíme 1, 2, 3.
Tady tak bude bod [-1;3],
který leží na grafu naší funkce.
Dále víme, že první derivace
g v bodě -1 je rovna -2.
To nám říká, že směrnice tečny ke grafu
naší funkce v tomto bodě bude -2.
Říká nám to totiž, že směrnice
tečny v bodě x rovno -1 je rovna -2.

English: 
What is the equation of the
tangent line to the graph of g
at x equals negative one?
Alright, so once again
I think it will be helpful to graph this.
So
we have our y axis,
we have our x axis
and let's see.
We say for function g we are
given that g of negative one
is equal to three.
So the point negative one
comma three is on our function.
So this is negative one and then we have,
one,
two,
and three.
So that's that right over there.
That is the point.
That is the point
negative one comma three,
it's going to be on our function.
And we also know that
g prime of negative one
is equal to negative two.
So the slope of the tangent line
right at that point on our function
is going to be negative two.
That's what that tells us.
The slope of the tangent line,
when x is equal to negative
one is equal to negative two.
So I could use that information

Korean: 
실제 접선을 그릴 수 있습니다
 
 
이런 형태로 생겼을 것입니다
 
다시 그려보겠습니다
 
기울기가 -2인 그래프는
이런 형태로 생기게 됩니다
볼 수 있듯이
x축 방향으로 1만큼 증가할 때
 
y축 방향으로는 2만큼 감소합니다
그래서 기울기가 -2인 것입니다
g는 어떻게 생겼을 지 
궁금할 수 있습니다
함수 g의 그래프를 추측하여 
그려볼 수 있습니다
g는 아마 이런 형태로 생겼을 것입니다
 
(-1,3)에서 접하도록 
이런 형태로 생겼을 것입니다
 
우리가 생각해야할 것은
이 초록색 선의 방정식입니다

English: 
to actually draw the tangent line.
So let me see if I can,
let me see if I can do this.
So it will look,
so I think it will,
let me just draw it like this.
So it's going to go,
so it's a slope of negative two
is going to look something like that.
So as we can see if we move
positive one in the x direction,
we go
down two in the y direction.
So that is a slope of negative two.
And so you might say well, where is g?
Well we could draw what g could look like.
G might look something like this.
Might look something like
that right over there
where that is the tangent line
or you can make g do all sorts
of crazy things after that
but all we really care about is equation
for this green line.

Bulgarian: 
за да начертая допирателната.
Нека да видя дали мога.
Нека да видя дали мога да го направя.
Ще изглежда,
предполагам че ще изглежда...
Нека просто я направя ето така.
Ще се движи така,
т.е. наклон от –2
ще изглежда като нещо такова.
Както можеш да видиш, ако
се придвижим с +1 в посока x,
слизаме надолу с 2 в посока y.
Ето това е наклон от –2.
Може да попиташ, добре, а къде е g?
Бихме могли да начертаем 
как ще изглежда g.
g може да изглежда като нещо такова.
Може да изглежда 
ето като това точно тук,
където това е допирателна.
или може да направиш така, че g 
да прави всякакви щури неща след това.
Това обаче, което наистина
ни интересува, е уравнението
за тази зелена права.

Czech: 
Tuto informaci teď využijeme
k tomu, abychom tečnu nakreslili.
Pokusím se to tu nakreslit,
bude to vypadat nějak takto.
Tečna má mít směrnici rovnou -2,
takže bude vypadat nějak takto.
Vidíme, že když se ve směru
osy x posuneme o 1 doprava,
tak se ve směru osy y
posuneme o 2 dolů,
což odpovídá
směrnici rovné -2.
Možná si teď říkáte:
„A kde je g?“
Můžeme si nakreslit, jak by
funkce g mohla vypadat.
Nás ale zajímá jen
rovnice této zelené přímky.

Czech: 
Lze ji najít několika
různými způsoby.
Mohli byste si říct:
„Přímka je obecně…“
Je několik různých způsobů,
jak definovat rovnici přímky.
Mohli byste říct, že přímka má rovnici
tvaru ‚y‘ rovná se ‚m‘ krát ‚x‘ plus ‚b‘,
kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová
souřadnice průsečíku s osou y.
Už víme, čemu se rovná
směrnice naší přímky, je to -2,
takže můžeme napsat
‚y‘ rovná se -2 krát ‚x‘ plus ‚b‘.
‚b‘ nyní spočítáme díky tomu, že víme,
že bod [-1;3] leží na naší přímce.
Tohle už jste se učili
někdy v kurzu algebry.
Dosaďme tedy
-1 za x a 3 za y.

English: 
And there's a couple of
ways that you could do this.
You could say, well look
a line is generally,
there's a bunch of different
ways where you can define
the equation for a line.
You could say
a line has a form y is equal to mx plus b
where m is the slope and
b is the y intercept.
Well we already know what
the slope of this line is.
It is negative two.
So we could say y is
equal to negative two.
Negative two times x.
Times x plus b.
And then to solve for b,
we know that the point
negative one comma three
is on this line
and this goes back to
some of your Algebra I
that you might have
learned a few years ago.
So let's substitute negative
one and three for x and y.
So when y
is equal to three,
so three,
three is equal to,
is equal to negative two,
negative two times x.

Korean: 
할 수 있는 것은 몇 가지 방법이 있습니다
 
직선의 방정식을 정의할 수 있는 방법에는
여러가지 방법이 있습니다
 
y=mx+b 형태의 선은
기울기가 m이고 y절편이 b입니다
우리는 이 선의 기울기는 알고 있습니다
기울기는 -2입니다
그렇기 때문에
y=-2x+b
y=-2x+b라고 할 수 있습니다
b를 풀어내기 위해서
접선 위에 점 (-1,3)을 알고 있습니다
 
 
몇 년전에 배운 대수학 1로 돌아가봅시다
x대신에 -1, y대신에 3을
대입하면 됩니다
y가
3이므로
3
 
3은
 

Bulgarian: 
И има няколко начина, с които
може да го намериш.
Може да кажеш: Добре, нека 
да я разглеждаме като права по принцип.
Има много различни начини, 
по които може да напишеш
уравнението на права.
Може да кажеш,
че уравнението на една права 
има вида y = m*x + b,
където m е наклонът, а b 
е ординатата на пресечната точка с Оy.
Вече знаем какъв е наклонът 
на тази права.
Той е –2.
Следователно можем да кажем,
y = –2*x + b
И след това да намерим от
 уравнението b.
Знаем, че точката (–1; 3) 
лежи на тази права,
и сега се връщаме 
малко назад към Алгебра 1,
която може би е изучавана 
от теб преди няколко години.
Нека да заместим с –1 и 3 за x и y.
Когато y = 3,
три
то 3 е равно на,
равно е на –2,
–2 по x.

Czech: 
y se rovná 3, takže 3 je rovno
-2 krát x, tedy -2 krát -1, plus ‚b‘.
-2 krát -1 je 2, takže když od obou stran
odečteme 2, dostaneme, že ‚b‘ se rovná 1.
Rovnice naší přímky je tedy
y rovná se -2 krát x plus 1.
Dá se to udělat
i jinými způsoby.
Mohli byste najít rovnici
v rozšířeném směrnicovém tvaru,
nebo to udělat takhle, nebo
najít obecnou rovnici přímky.
Alespoň já to ale
nejradši dělám takhle.

English: 
Times negative one,
times negative one plus b.
Plus b.
And so let's see,
this is negative two times
negative one is positive two.
And so if you subtract
two from both sides,
you get one is equal to b.
And there you have it.
That is equation of our line.
Y is equal to negative two x plus one.
And there's other ways that
you could have done this,
you could have written the
line in point-slope form
or you could have done it this way.
You could have written it in standard form
but at least this is the way
my brain likes to process it.

Bulgarian: 
Умножено по –1.
По –1 и + b.
Плюс b.
И нека  да видим.
Това е –2*(–1) = 2
И ако извадиш 2 от двете страни
получаваш, че 1 = b
И ето, че го намерихме.
Това е уравнението на нашата права.
y = –2*x + 1
Има и други начини, по които
можеш да направиш това.
Можеш да напишеш уравнението на
правата по дадени точка от правата
и ъглов коефициент,
или можеш да го направиш
по този начин.
Можеш да го запишеш в нормален вид,
но поне това е начинът, 
по който аз мисля за уравнението.

Korean: 
-2 곱하기 -1
더하기 b 입니다
3=-2(-1)+b
 
-2와 -1을 곱하면 2가 되고
양변에서 2를 빼면
b의 값이 1이라는 것을 얻을 수 있습니다
 
접선의 방정식을 얻었습니다
y= -2x+1입니다
이 식을 구하는 다른 방법들이 있는데
한 점과 기울기의 형태로 
구할 수도 있습니다
 
일반형에서 문제를 해결할 수도 있지만
이 방법이 제가 가장 좋아하는 방법입니다
