
Bulgarian: 
През юни 2001,  служителите в Лондон разкриха поразяващ нов подвиг на инжинерството:  Милениъм
Бридж-пешеходен мост над река Темза
Обещаващ да бъде много полезен, и бил готин за гледане, но е трябвало да бъде ЗАТВОРЕН почти незабавно.
Защото, когато хората ИЗПОЛЗВАЛИ моста, се е клатушкал назад-напред силно, поради силата
на стъпките им.
Подценено, хората продължили да използват моста, но докато ходили започнали да се опират на ЛЮЛЕЕНЕТО,
за да се пазат от падане.
И това направило нещата по-лоши. Накрая, движението на мостът станало толкова тежко,
че мостът взел формата на огромен г..
... по същество, хоризонтална вълна.
Мостът трябвало да бъде затворен и на инжинерите им отнело близо две години за да оправяр проблема.
Така, какво е било сгрешно в Милениъм Бридж?
И защо инжинерите не са предвидили проблема?
Отговорът се крие в трептенията.
Свири интро музика

English: 
In June 2001, officials in London unveiled a striking new feat of engineering: the Millennium Bridge
-- a pedestrian bridge spanning the
River Thames.
It promised to be very useful, and it was
cool to look at, but it had to be close almost immediately.
Because when people used the bridge, it swayed back and forth dramatically, due to the force of their footsteps.
Undeterred, people kept using the bridge, but as they walked they began leaning into the swaying to keep themselves from falling over.
And that only made things worse.
Eventually, the motion of the bridge became so severe, that the bridge took on the shape of a giant S.
Essentially, a horizontal wave.
The bridge had to be closed and the engineers took nearly two years to fix it the problem.
So, what was wrong with the Millennium Bridge?
And why didn’t the engineers foresee the
problem?
The answer lies in oscillations.
[Theme Music]

Spanish: 
En junio de 2001, los funcionarios en Londres dieron a conocer una nueva y sorprendente proeza de la ingeniería: el Puente del Milenio.
- un puente peatonal que abarca el
Río Támesis.
Prometió ser muy útil, y fue
Genial para mirar, pero tenía que estar cerca casi de inmediato.
Porque cuando las personas usaban el puente, se balanceaba hacia adelante y hacia atrás dramáticamente, debido a la fuerza de sus pasos.
Sin inmutarse, la gente siguió usando el puente, pero a medida que caminaban comenzaron a inclinarse en el balanceo para evitar caerse.
Y eso solo empeoró las cosas.
Eventualmente, el movimiento del puente se hizo tan severo, que el puente tomó la forma de una gigante S.
Básicamente, una onda horizontal.
El puente tuvo que cerrarse y los ingenieros tardaron casi dos años en solucionar el problema.
Entonces, ¿qué pasaba con el Puente del Milenio?
Y por qué los ingenieros no previeron el
¿problema?
La respuesta está en las oscilaciones.
[Tema musical]

Arabic: 
في حزيران عام 2001، كشف المسؤولون في لندن
عن مأثرة جديدة في الهندسة: جسر الألفية
جسر مشاة يمتد عبر نهر التايمز.
كان يعد بمنفعة كبيرة، وكان منظره جميلاً،
لكن توجب إغلاقه على الفور تقريباً.
وذلك لأنه عندما استخدم الناس الجسر، فقد
تأرجح بشدة للأمام والخلف تحت وطأة أقدامهم.
ودون تردد، استمر الناس في استخدام الجسر،
لكن بدأوا يتمايلون معه كي لا يقعوا أرضاً.
وهذا زاد الأمر سوءاً فقط.
في النهاية، غدت حركة الجسر عنيفة
جداً، بحيث شكل حرف S عملاق.
بشكل أساسي، موجة أفقية.
توجب إغلاق الجسر واحتاج المهندسون
سنتين تقريباً لإصلاح المشكلة.
إذاً، ماذا كان العيب في جسر الألفية؟
ولماذا لم يتكهن المهندسون بالمشكلة؟
الجواب يكمن في التذبذب.
[الشارة]

German: 
Im Juni 2001 wurde eine verblüffende neue Ingenieurleistung enthüllt: die Millenium-Brücke
-- eine Brücke für Fußgänger über die Themse.
Sie verspreche sehr praktisch zu sein und sah cool aus, aber sie musste fast sofort geschlossen werden.
Denn als Leute über die Brücke gingen, schwang sie nur durch ihre Schritte dramatisch hin und her.
Die Leute ließen sich nicht abschrecken und gingen weiter über die Brücke, aber dabei lehnten sie sich gegen das Schaukeln, um nicht herunterzufallen.
Und das machte es nur schlimmer.
Letztendlich wurde die Bewegung der Brücke so stark, dass sie die Form eines riesigen S annahm.
Im Grunde, einer horizontalen Welle.
Die Brücke musste geschlossen werden und die Ingenieure brauchten fast zwei Jahre, um das Problem zu beheben.
Was war also bei der Millennium-Brücke falsch gelaufen?
Und warum hatten die Ingenieure das Problem nicht vorausgesehen?
Die Antwort sind Schwingungen.
[Titelmusik]

iw: 
ביוני 2001 בכירים בעיריית לונדון חשפו הישג הנדסי חדש: גשר המילניום-
גשר להולכי רגל החוצה את נהר התמזה.
הובטח שהוא יהיה שימושי מאוד וגם היה מאוד נחמד להסתכל עליו, אבל הוא היה צריך להיסגר כמעט מיד אח"כ.
מכיוון שכשאנשים השתמשו בגשר, הוא התנדנד קדימה ואחורה באופן משמעותי עקב הכוח שבצעדים שלהם.
אנשים לא נרתעו מכך והמשיכו להשתמש בגשר, אך הם התחילו להשתמש במעקה כדי שלא ליפול.
וזה רק הפך את העניינים לגרועים יותר.
לבסוף, תנועת הגשר הייתה כל כך משמעותית עד שהוא קיבל צורת S ענקית.
או יותר נכון, של גל אופקי.
הגשר היה חייב להסגר ולמהנדסים לקח כמעט שנתיים לתקן את הבעיה.
אז, מה לא היה בסדר עם גשר המילניום?
ולמה המהנדסים לא צפו את הבעיה מראש?
התשובה טמונה בתנודות.
מוזיקת פתיחה

Arabic: 
الفيزياء التي سببت تمايل جسر الألفية
لها علاقة بالتذبذب، أو حركة التأرجح.
أو بدقة أكثر، لها علاقة
بالحركة التوافقية البسيطة:
حيث تتبع الذبذبات نمطاً محدداً ثابتاً.
ولكن قبل أن يكون لدينا
جسر الألفية كمثال حي،
وصف الفيزيائيون الحركة التوافقية البسيطة
بواسطة كرة متصلة بنابض أفقي مثبت على طاولة.
وبينما هو هناك في سكون، يكون في حالة توازن.
وعند تحريك الكرة بحيث يمتط
النابض، ثم إطلاقه،
تظل الكرة تتحرك جيئة وذهاباً إلى الأبد...
في عالم لا يوجد فيه احتكاك.
تلك الحركة المتأرجحة التي تسببها
قوة النابض، هي الحركة التوافقية البسيطة.
الآن، يجب أن نعرف أمرين أساسيين
عن الكرة المتذبذبة:
ما أنواع الطاقة التي تمتلكها؟
وما هي سرعتها الأعظمية؟
من أجل فهم أفضل لما
يحدث للكرة، فلنبدأ بطاقتها.
بينما تسبب الكرة تمدد وانضغاط النابض،
الطاقة الحركية والطاقة الكامنة تؤديان دوراً.
الطاقة الحركية هي الطاقة الحاصلة أثناء
الحركة، وبينما تتحرك الكرة، هنالك نقطتان..
نقطتا التحول.. حيث تنعدم حركتها:

English: 
The physics that caused the swaying of the Millennium Bridge has to do with oscillations, or back-and-forth motion.
More specifically, it has to do with simple
harmonic motion:
where oscillations follow a particular, consistent pattern.
But before we had the Millennium Bridge as
a real-life example,
physicists often described simple harmonic motion in terms of a ball attached to a horizontal spring, lying on a table.
While it’s lying there, at rest, it’s
in equilibrium.
And when you move the ball so that it stretches
the spring, then let go,
the ball keeps moving back and forth forever...
in a frictionless world.
That back-and-forth motion caused by the force
of the spring, is simple harmonic motion.
Now, we want to know two things about this
oscillating ball:
What kinds of energy does it have?
And, what’s its maximum velocity?
To better understand what’s happening to
the ball, let’s start with its energy.
As the ball compresses and stretches the spring, both ‘kinetic energy’ and ‘potential energy’ come into play.
Kinetic energy is the energy of motion, and
as the ball moves, there are two points --
the turning points -- where it’s NOT moving:

Spanish: 
La física que causó el balanceo del Puente del Milenio tiene que ver con oscilaciones o movimientos hacia adelante y hacia atrás.
Más específicamente, tiene que ver con simple
movimiento armónico:
donde las oscilaciones siguen un patrón particular y consistente.
Pero antes de tener el Puente del Milenio como
un ejemplo de la vida real,
los físicos a menudo describían el movimiento armónico simple en términos de una pelota unida a un resorte horizontal, acostada sobre una mesa.
Mientras está allí, en reposo, es
en equilibrio.
Y cuando mueves la pelota para que se extienda
el resorte, luego la sueltas,
la pelota se mueve hacia adelante y hacia atrás para siempre ...
en un mundo sin fricción
Ese movimiento hacia adelante y hacia atrás causado por la fuerza
del resorte, es simple movimiento armónico.
Ahora, queremos saber dos cosas sobre esta
bola oscilante:
¿Qué tipo de energía tiene?
Y, ¿cuál es su velocidad máxima?
Para comprender mejor lo que le está sucediendo a
la pelota, comencemos con su energía.
A medida que la pelota se comprime y estira el resorte, entran en juego tanto la "energía cinética" como la "energía potencial".
La energía cinética es la energía del movimiento, y
cuando la pelota se mueve, hay dos puntos:
los puntos de inflexión - donde NO se está moviendo:

German: 
Das physikalische Prinzip, die das Schaukeln der Millennium-Brücke verursacht hat, hatte mit Schwingungen zu tun, oder einer Hin-und-her-Bewegung.
Genauer gesagt, hat es mit einer einfachen harmonischen Bewegung zu tun:
Schwingungen, die einem speziellen gleichmäßigen Muster folgen.
Bevor wir die Millennium-Brücke als lebensgroßes Beispiel hatten,
haben Physiker einfache harmonische Schwingungen oft mit Hilfe eines Balls beschrieben, der an einer waagerechten Feder befestigt ist und auf einem Tisch liegt.
Solange er da liegt, in Ruhe, ist er im Gleichgewicht.
Und wenn du den Ball bewegst, so dass er die Feder auslängt, und dann loslässt,
schwingt der Ball für immer hin und her... in einer Welt ohne Reibung.
Diese Hin-und-her-Bewegung durch die Federkraft ist eine einfache harmonische Schwingung.
Nun, wir wollen zwei Dinge über den schwingenden Ball wissen:
Welche Energieformen hat er?
Und wie hoch ist seine maximale Geschwindigkeit?
Und besser zu verstehen, was mit dem Ball passiert, fangen wir mit seiner Energie an.
Wenn der Ball die Feder staucht und dehnt, haben wir es mit kinetischer Energie und potentieller Energie zu tun.
Kinetische Energie ist die Energie der Bewegung, und während sich der Ball bewegt gibt es zwei Punkte --
die Wendepunkte -- an denen er sich nicht bewegt:

Bulgarian: 
Физиката, която предизвиква люлеенето на Милениъм Бридж е свързана с трептенията,
или движението напред-назад.
По-специфично, свързана е с простото хармонично движение: където трептенията следват
определен, последователен път.
Но преди да вземем Милениъм Бридж за истински пример, физиците често обясняват
простото хармонично движение като разглеждат топка, закачена на хоризонтална пружина, лежаща на маса.
Докато лежи там, в покой, е в равновесие.
И когато преместите топката, така че да се разтегне пружината, и после я пуснете, топката продължава да се движи
назад-напред завинаги... в свят без триене.
Движението напред-назад причинено от силата на пружината, е просто хармонично движение.
Сега, искаме да ознаем две неща за трептящата топка:
Какви видове енергия притежава?
И каква е максималната му скорост?
За да разберем по-добре какво се случва на топката, нека започнем с енергията ѝ.
Когато топката свива и разтегля пружината, както кинетична, така потенциална
енергия идват в действие.
Кинетичната енергия е енергията на движението, и докато топката се движи, има две точки-
крайните точки-където НЕ се движи:

iw: 
הפיזיקה שגרמה להתנדנדות של גשר המילניום קשורה לתנודות, או תנועה קדימה ואחורה.
באופן מדויק יותר, היא קשורה לתנועה הרמונית פשוטה:
התנדנדות המתקיימת בדפוס פעולה אחיד וקבוע.
אבל לפני שהיה לנו את גשר המילניום כדוגמה מהחיים האמתיים,
פיזיקאים תיארו לרוב תנועה הרמונית פשוטה במונחים של כדור המחובר לקפיץ אופקי, המונח על שולחן.
בזמן שהוא מונח שם, במנוחה, הוא בשווי כוחות.
וכשאתם מזיזים את הכדור כך שהוא מותח את הקפיץ, ואז נותנים לו
לזוז קדימה ואחורה לנצח... בעולם חסר חיכוך.
התנועה הזאת קדימה ואחורה הנגרמת מהכוח של הקפיץ, היא תנועה הרמונית פשוטה.
עכשיו, אנחנו רוצים לדעת שני דברים על הכדור המתנדנד הזה:
איזה סוג אנרגיה יש לו?
ומה המהירות המקסימלית שלו?
כדי להבין טוב יותר מה קורה לכדור, בואו נתחיל עם האנרגיה.
כשהכדור מכווץ ומותח את הקפיץ, גם 'האנרגיה הקינטית' וגם 'האנרגיה הפוטנציאלית' משחקות תפקיד.
האנרגיה הקינטית היא האנרגיה של התנועה, וכשהכדור זז, יש שתי נקודות,
נקודות שינוי הכיוון, בהן הוא לא זז:

German: 
Einen Punkt, wenn die Feder maximal gestaucht ist, und den anderen, wenn sie maximal gestreckt ist.
Und den Abstand zwischen diesen beiden Punkten und dem Punkt, an dem Gleichgewicht herrscht, nennen wir Amplitude.
An den beiden Wendepunkten hat der Ball keine kinetische Energie, da er sich nicht bewegt.
Stattdessen ist die gesamte Energie des Balls potentielle Energie von der Feder:
die Hälfte der Federkonstante mal der Amplitude zum Quadrat.
Nun, wenn sich der Ball zur Mitte hin bewegt, steigt die kinetische Energie,
weil er sich schneller und schneller bewegt.
Gleichzeitig nimmt seine potentielle Energie ab, die gesamte Energie bleibt gleich.
Und genau in der Mitte der Bewegung -- im Gleichgewichtspunkt -- ist seine potentielle Energie Null.
Der Ball ist zurück an seinem Startpunkt, die Feder zieht ihn also nicht mehr.
Seine kinetische Energie hat allerdings ihr Maximum erreicht.
Was bedeutet, dass die gesamte Energie des Balls an diesem Punkt gleich
die Hälfte seiner Masse mal seiner Geschwindigkeit zum Quadrat beträgt.
Nun haben wir zwei Gleichungen für die Energie dieser schwingenden Feder, die wir zu einer kombinieren können.
Und wenn wir die Gleichung umstellen, können wir die zweite Frage, die wir zu dem Ball hatten, beantworten.

English: 
One point is where the spring is compressed all the way, and the other is where it’s stretched all the way.
And the distance between either of these two points, and the equilibrium point, is called the ‘amplitude’.
At those two turning points, the ball won’t
have any kinetic energy, since it isn't moving.
Instead, all of the ball’s energy will be
potential energy from the spring:
(half of the spring constant), times the (amplitude
squared).
Now, as the ball moves toward the middle,
its kinetic energy starts to increase,
because it’s moving faster and faster.
And at the same time, its potential energy
decreases, keeping its total energy the same.
And exactly in the middle of the ball’s motion -- at the equilibrium point -- its potential energy goes down to 0.
The ball is back where it started, so the spring isn’t pulling on it anymore.
Its kinetic energy, on the other hand, has
reached its maximum.
Which means that at that point, the total
energy of the ball will be equal to
(half of its mass), times its (maximum velocity
squared).
Now we have two equations for the total energy in this oscillating spring, which we can combine into one equation.
And if we use algebra to move around its variables, we can start to answer the second question we had about the ball.

Bulgarian: 
Едната точка е където пружината е свита напълно, и другата е когато
е разпъната напълно.
И разстоянието между която и да е от двете точки и точката на равновесие, се нарича
"амплитудата".
В тези две обръщателни точки, топката няма да има никаква кинетична енергия, понеже НЕ се движи.
Вместо това, цялата енергия на топката ще бъде потенциална енергия от пружината:
(половината от константата на пружината) по (амплитудата на квадрат).
Сега, когато топката се движи към средата, кинетичната ѝ енергия започва да се УВЕЛИЧАВА, защото
се движви все по-бързо.
В същото време, потенциалната ѝ енергия НАМАЛЯ, пазейки общата енергия същата.
И точно в СРЕДАТА на движението на топката--в точката на равновесие--нейната
потенциална енергия става нула. Топката е обратно оттам, където е започнала, така че пружината не я дърпа вече.
Нейната кинетична енергия, от друга страна, е достиграла максимума си.
Което означава, че от тази точка, общата енергия на топката ще бъде равна на
(половината от масата ) по (максималната скорост на квадрат)
Сега имаме две уравнения за общата енергия на тази трептяща пружина, която можем да съберем
в едно уравнение.
И ако използваме алгебра за да раздвижим променливите му, можем да започнем да отговаряме на ВТОРИЯ въпрос,
който имахме относно топката.

iw: 
נקודה אחת היא איפה שהקפיץ מכווץ לחלוטין והנקודה הנוספת היא כשהוא מתוח ככל שניתן.
והמרחק בין שתי הנקודות הללו ונקודת שווי הכוחות נקראת 'התנופה'.
בשתי נקודות שינוי הכיוון הללו, אין לכדור אנרגיה קינטית, מכיוון שהוא לא זז.
במקום זאת, כל האנרגיה של הכדור תהיה האנרגיה הפוטנציאלית מהקפיץ:
(חצי מקבוע הקפיץ), כפול (התנופה בריבוע).
עכשיו, כשהכדור זז לכיוון האמצע, האנרגיה הקינטית שלו מתחילה להתגבר
מכיוון שהוא זז יותר ויותר מהר.
ובאותו הזמן, האנרגיה הפוטנציאלית שלו פוחתת, כך שסך כל האנרגיה נשארת אותו הדבר.
ובדיוק באמצע תנועת הכדור- בנקודת שווי הכוחות- האנרגיה הפוטנציאלית שלו יורדת ל- 0.
הכדור חוזר לנקודת ההתחלה, כך שהקפיץ לא מושך אותו יותר.
האנרגיה הקינטית שלו, מצד שני, הגיעה למקסימום.
מה שאומר שבנקודה הזאת, כל האנרגיה של הכדור תהיה שווה
(לחצי מהמאסה שלו), כפול (המהירות המקסימלית שלו בריבוע).
עכשיו יש לנו שתי משוואות לאנרגיה הכוללת של הקפיץ המתנדנד, אנחנו יכולים לשלב אותן למשוואה אחת.
ואם נשתמש באלגברה כדי להעביר בין האגפים, נוכל לענות על השאלה השנייה שהייתה לנו לגבי הכדור.

Spanish: 
Un punto es donde el resorte se comprime completamente, y el otro es donde se estira todo el camino.
Y la distancia entre cualquiera de estos dos puntos, y el punto de equilibrio, se llama 'amplitud'.
En esos dos puntos de inflexión, la pelota no
tiene energía cinética, ya que no se está moviendo.
En cambio, toda la energía de la bola será
energía potencial del resorte:
(la mitad de la constante de resorte), multiplicada por la (amplitud al
cuadrado).
Ahora, cuando la pelota se mueve hacia el centro,
su energía cinética comienza a aumentar,
porque se está moviendo más y más rápido.
Y al mismo tiempo, su energía potencial
disminuye, manteniendo su energía total igual.
Y exactamente en el medio del movimiento de la bola, en el punto de equilibrio, su energía potencial baja a 0.
La pelota está de vuelta donde comenzó, por lo que el resorte ya no está tirando de ella.
Su energía cinética, por otro lado, tiene
alcanzó su máximo.
Lo que significa que en ese punto, el total
la energía de la pelota será igual a
(la mitad de su masa), multiplicado por su (velocidad máxima al
cuadrado).
Ahora tenemos dos ecuaciones para la energía total en este resorte oscilante, que podemos combinar en una ecuación.
Y si usamos álgebra para mover sus variables, podemos comenzar a responder la segunda pregunta que teníamos sobre la pelota.

Arabic: 
واحدة يكون فيها النابض في انضغاط تام،
والأخرى حيث يكون في تمدد تام.
والمسافة بين كل من النقطتين هاتين،
ونقطة التوازن، تسمى "السعة"،
في نقطتي التحول هاتين، لا يكون
للكرة طاقة حركية، بما أنها لا تتحرك.
بدلاً عن ذلك، تكون طاقة الكرة بالكامل
عبارة عن طاقة كامنة من النابض:
نصف ثابت النابض مضروباً بمربع السعة.
والآن، بينما تتحرك الكرة باتجاه المنتصف،
تبدأ طاقتها الحركية بالتزايد،
لأنها تتحرك أسرع فأسرع.
وفي نفس الوقت، تتناقص طاقتها الكامنة،
ما يبقي مجموع الطاقة الكلي ثابتاً.
وفي منتصف مسار حركة الكرة تماماً -في
نقطة التوازن- تنعدم طاقتها الكامنة.
تعود الكرة إلى نقطة البداية،
حيث لا يقوم النابض بجذبها بعد.
طاقتها الحركية من جهة أخرى،
تكون قد وصلت حدها الأعظمي.
ما يعني أنه في تلك النقطة،
يكون مجمل طاقة الكرة مساوياً
حاصل ضرب نصف كتلتها
في مربع سرعتها.
الآن لدينا معادلتان للطاقة الكلية في النابض
المتذبذب هذا، يمكن جمعهما في معادلة واحدة.
وإذا استخدمنا الجبر لاستيعاب متغيراتها،
يمكننا أن نجيب على التساؤل الثاني عن الكرة.

Arabic: 
أردنا معرفة السرعة الأعظمية للكرة،
وتخبرنا هذه المعادلة أنها تساوي
السعة مضروبة بالجذر التربيعي
لثابت النابض على الكتلة.
إذاً أجبنا عن التساؤلين
الخاصين بالكرة والنابض.
فهمنا طاقتها، ولدينا معادلة
تعطينا سرعتها الأعظمية.
ولكن هنالك أمور كثيرة تتعلق بالكرة عدا عن
لديها خواص أيضاً كالدور،
التردد، والسرعة الزاوية.
إضافة إلى أن موقعها يتغير مع مرور الزمن.
قد تميزون هذه المصطلحات لأننا تحدثنا عنها
مسبقاً في حلقة الحركة الدائرية المنتظمة.
وتلك ليست مصادفة!
الحركة التوافقية البسيطة في الحقيقة تشبه
كثيراً الحركة الدائرية، بالمعنى الرياضي.
يمكنكم رؤية ذلك بأنفسكم، إذا قارنتم حركة
الكرة على النابض بجسم ذو حركة دائرية منتظمة
مثلاً، كرة تتحرك
حول حلقة بسرعة ثابتة.
أعترف أنها قد تبدو مقارنة
غريبة للوهلة الأولى.
حيث أن الكرة على النابض
تتحرك في بعد واحد،
بينما تتحرك الكرة ذات
المسار الدائري في بعدين.
لكن ماذا لو نظرتم إلى هذه الحلقة من الجانب؟
تظل الكرة تتحرك في مسارها الدائري.

German: 
Wir wollten die maximale Geschwindigkeit des Balls wissen, und diese Gleichung sagt uns, dass sie gleich
der Amplitude mal der Wurzel der Federkonstante durch die Masse ist.
Wir haben also unsere zwei Fragen über den Ball und die Feder beantwortet!
Wir kennen seine Energie und wir haben eine Gleichung für seine maximale Geschwindigkeit.
Aber hier passiert viel mehr mit dem Ball als nur Energie und Geschwindigkeit.
Er hat auch Eigenschaften wie Periode, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit.
Außerdem ändert sich seine Position mit der Zeit.
Du erkennst diese Begriffe vielleicht, denn wir haben sie schon in unserer Folge über gleichförmige Kreisbewegungen besprochen.
Und das ist kein Zufall!
Einfache harmonische Schwingungen sind gleichförmigen Kreisbewegungen sehr ähnlich, mathematisch gesehen.
Du kannst das selbst sehen, wenn du die Bewegung des Balls auf der Feder mit einem Gegenstand vergleichen, des sich auf einer Kreisbahn bewegt --
sagen wir, eine Murmel, die sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt.
Okay, ich gebe zu: Das ist auf den ersten Blick ein seltsamer Vergleich.
Zum Einen bewegt sich der Ball auf der Feder in nur eine Richtung,
während sich die Murmel auf der Kreisbahn in zwei Dimensionen bewegt.
Aber was, wenn du den Ring von der Seite betrachtest?
Die Murmel bewegt sich weiterhin auf der Kreisbahn.

English: 
We wanted to know the ball’s maximum velocity,
and this equation tells us, that it’s equal
to the (amplitude), times the (square root
of the spring constant) (divided by its mass).
So we’ve answered our two questions
about the ball on the spring!
We know about its energy, and we have an equation for its maximum velocity.
But there’s a lot more going on with this
ball than just its energy and velocity.
It also has properties like a period,
a frequency, and an angular velocity.
Plus, its position changes with time.
You might recognize those terms, because we’ve already talked about them in our episode on uniform circular motion.
And that’s no coincidence!
Simple harmonic motion is actually a lot like uniform circular motion, mathematically speaking.
You can see this for yourself, if you compare the ball’s motion on the spring to an object in uniform circular motion --
say, a marble moving along a ring at a constant speed.
OK, I admit: It might seem like kind of a weird
comparison at first.
For one thing, the ball on the spring is
moving in one dimension,
while a marble moving along a circular path is in two dimensions.
But what if you take that ring, and look at
it from the side?
The marble keeps moving along its circular
path.

Bulgarian: 
Искахме да знаем максималната скорост на топката и уравнението ни казва, че тя е равна
на (амплитудата) по (корен квадратен от константата на пружината)(разделено на масата ѝ).
Така ние отговорихме на двата ни въпроса за топката на пружината! Знаем за нейната
енергия, и имаме уравнението за максималната ѝ скорост.
Но има още много неща, които се случват с тази топка, освен енергията и скоростта ѝ. Тя
също има свойства като период, честота и ъглова скорост.
Може и да разпознаете тези термини, защото вече сме говорили за тях в епизода ни за
равномерното въртеливо движение.
И това не е случайност!
Простото хармонично движение всъщност е доста като рамномерното въртеливо движение...говорейки математически.
И може да видите да себе си, ако сравните движението на топката на пружината
с предмет в равномерно въртеливо движение--да кажем, мрамор движещ се по пръстен с постояна скорост.
Добре, признавам си: може  да изглежда малко страно сравнение от начало.
Заради едно нещо, топката на пружината се движи в едно измерение, докато мраморът се движи по
окръжност в две измерения.
Но какво, ако вземете този пръстен, и го погледнете от една страна?
Мраморът продължава да се движи по  окръжността.

Spanish: 
Queríamos saber la velocidad máxima de la pelota,
y esta ecuación nos dice que es igual
a la (amplitud), multiplicado por la (raíz cuadrada
de la constante del resorte) (dividido por su masa).
Así que hemos respondido nuestras dos preguntas
sobre la pelota en el resorte!
Sabemos sobre su energía, y tenemos una ecuación para su velocidad máxima.
Pero hay mucho más pasando con esto
bola que solo su energía y velocidad.
También tiene propiedades como un período,
una frecuencia y una velocidad angular.
Además, su posición cambia con el tiempo.
Puede reconocer esos términos, porque ya hemos hablado de ellos en nuestro episodio sobre movimiento circular uniforme.
¡Y no es una coincidencia!
El movimiento armónico simple se parece mucho al movimiento circular uniforme, matemáticamente hablando.
Puedes ver esto por ti mismo, si comparas el movimiento de la pelota en el resorte con un objeto en movimiento circular uniforme -
por ejemplo, una canica moviéndose a lo largo de un anillo a una velocidad constante.
De acuerdo, lo admito: podría parecer una especie de extraño
comparación al principio.
Por un lado, la pelota en el resorte es
moviéndose en una dimensión,
mientras que una canica que se mueve a lo largo de un camino circular tiene dos dimensiones.
Pero, ¿y si tomas ese anillo y miras
desde el lado?
El mármol sigue moviéndose a lo largo de su circular
camino.

iw: 
רצינו לדעת מה המהירות המקסימלית של הכדור, והמשוואה הזאת אומרת לנו שהיא שווה
(לתנופה), כפול (השורש הריבועי של קבוע הקפיץ)(חלקי המאסה).
אז ענינו על שתי השאלות שלנו לגבי הכדור על הקפיץ!
אנחנו יודעים על האנרגיה שלו ויש לנו משוואה עבור המהירות המקסימלית שלו.
אבל יש עוד הרבה דברים בנוגע לכדור הזה חוץ מהאנרגיה והמהירות שלו.
יש לו גם תכונות כמו מחזור, תדירות ומהירות זוויתית.
והמיקום שלו משתנה לאורך זמן.
אתם אולי מזהים את המונחים הללו, מכיוון שכבר דיברנו עליהם בפרק שלנו על תנועה מעגלית אחידה.
וזה לא מקרי!
תנועה הרמונית פשוטה בעצם דומה במובנים רבים לתנועה מעגלית אחידה, בראייה מתמטית.
אתם יכולים לראות זאת בעצמכם, אם תשוו בין תנועת הכדור על הקפיץ לאובייקט בתנועה מעגלית אחידה
נניח, גולה הזזה לאורך טבעת במהירות קבועה.
בסדר, אני מודה: יכול להיות שזאת תיראה כמו השוואה מוזרה במבט ראשון.
הדבר הראשון, הכדור על הקפיץ זז בממד אחד,
בזמן שהגולה זזה לאורך מסלול מעגלי בשני ממדים.
אבל מה אם תיקחו את הטבעת הזאת, ותסתכלו עליה מהצד?
הגולה ממשיכה לנוע לאורך המסלול המעגלי.

Arabic: 
ولكن بالنسبة لكم تبدو وكأنها تتحرك
جيئة وذهاباً في خط مستقيم.
وليس هذا فحسب، بل يبدو أن هذه
الكرة تتوقف آنياً أثناء تغير اتجاهها،
وتتحرك أسرع عند الاقتراب من المنتصف.
وهو ما يحدث تماماً للكرة
المتحركة على النابض.
والآن، لنأخذ هذه المقارنة خطوة أبعد.
لنفرض أن نصف قطر الحلقة
يساوي سعة حركة الكرة على النابض.
وأن سرعة الكرة الثابتة حول الحلقة
تساوي السرعة الأعظمية للكرة على النابض.
في تلك الحالة، إذا قمتم بالحساب، ستجدون أن معادلة سرعة الكرة
عند النظر إليها من الجانب،
هي ذات المعادلة الخاصة
بسرعة الكرة على النابض.
فلنتذكر ما نعرفه عن الحركة الدائرية المنتظمة،
لنرى ما قد تخبرنا عن الحركة التوافقية البسيطة.
نعلم أن الوقت الذي تستغرقه الكرة للتحرك
حول الحلقة مرة واحدة يسمى الدور.
نعلم أيضاً أن الدور يساوي حاصل
تقسيم محيط الحلقة، على سرعة الكرة.
ونصف قطر الدائرة هو نفس
سعة الكرة على النابض.
إذاً محيطه سيساوي ضعفي
جداء "باي" في السعة.
هذا يعني أن الدور سيكون مساوياً
ضعفي جداء "باي" في تلك السعة،

Bulgarian: 
Но за вас, той ИЗГЛЕЖДА, сякаш се движи напред-назад по права линия.
Не само това, но изглежда сякаш този мрамор се спира моментално като си сменя посоката,
и се движи по-бързо като наближава средата.
Което е ТОЧНО същия начин, по който топката се движеше на пружината.
Сега, нека вземем това сравнение малко по-нататък.
Нека предположим, че радиусът на пръстена е същия като амплитудата на движението
на топката на пружината.
И постояната скорост на мрамора по пръстена е равна на максималната скорост на
топката на пружината.
В този случай, ако направихте аритметиката, ще намерите че уравнението за скоростта
на мрамора--когато го погледнете настана--е ТОЧНО същото уравнение, което описва
скоростта на топката на пружината.
Така, нека си припомним какво знаем за равномерното въртеливо движение, за да видим какво може да ни каже то
за простото хармонично движение.
Знаем, че времето, за което мраморът се движи около пръстена веднъж, се нарича период.
Знаем също, че периодът ще бъде равен на обиколката на пръстена, разделено
на скоростта на мрамора.
И! Радиусът на окръжността е същата като амплитудата на топката на пружината.
Обиколката ѝ ще бъде равна на два пъти пи по амлитудата.

Spanish: 
Pero para ti, parece que solo se está moviendo
ida y vuelta a lo largo de una línea recta.
No solo eso, sino que parece que esta canica
se detiene momentáneamente a medida que cambia de dirección,
y moviéndose más rápido a medida que se acerca al
medio.
Que es exactamente de la misma forma que la pelota
moviéndose en el resorte.
Ahora, llevemos esta comparación un paso más allá.
Supongamos que el radio del anillo es el mismo que la amplitud del movimiento de la bola en el resorte.
Y la velocidad constante de la canica a lo largo del anillo es igual a la velocidad máxima de la pelota en el resorte.
En ese caso, si hicieras las matemáticas, encontrarás que la ecuación para la velocidad de la canica
- cuando lo miras de punta a punta - es exactamente igual a la ecuación que se describe
la velocidad de la pelota en el resorte.
Entonces, recordemos lo que sabemos sobre el movimiento circular uniforme, para ver qué puede decirnos sobre el movimiento armónico simple.
Sabemos que el tiempo que toma para la canica
moverse alrededor del anillo una vez se llama período.
También sabemos que el período será igual a la circunferencia del anillo, dividido por la velocidad del mármol.
¡Y! El radio del círculo es el mismo
como la amplitud de la pelota en el resorte
Entonces su circunferencia será igual a dos veces pi por la amplitud.
Esto significa que el período será igual a
2 veces pi veces la amplitud,

iw: 
אבל בשבילכם, זה נראה שהיא רק זזה קדימה ואחורה על קו ישר.
לא רק זה, זה גם נראה שהגולה עוצרת לרגע כשהיא משנה כיוון,
וזזה מהר יותר כשהיא מתקרבת לאמצע.
שזה בדיוק אותה הדרך בה הכדור זז על הקפיץ.
עכשיו, בואו ניקח את ההשוואה הזאת עוד צעד קדימה.
בואו נניח שהרדיוס של הטבעת זהה לתנופה של תנועת הכדור על הקפיץ.
ושהמהירות הקבועה של הגולה לאורך הטבעת שווה למהירות המקסימלית של הכדור על הקפיץ.
במקרה הזה, אם עשיתם את המתמטיקה, תמצאו שהמשוואה למהירות הגולה
כשאתם מסתכלים עליה מהצד- היא בדיוק- כמו המשוואה שמתארת
את המהירות של הכדור על הקפיץ.
אז, בואו נזכיר את מה שאנחנו יודעים על תנועה מעגלית אחידה, כדי לראות מה זה יכול להגיד לנו על תנועה הרמונית פשוטה.
אנחנו יודעים שהזמן שלוקח לגולה לעשות סיבוב אחד לאורך הטבעת נקרא מחזור.
אנחנו גם יודעים שהמחזור יהיה שווה להיקף הטבעת, חלקי מהירות הטבעת.
ובנוסף! הרדיוס של המעגל זהה לתנופה של הכדור על הקפיץ.
אז ההיקף יהיה שווה לפעמיים פאי כפול התנופה.
זה אומר שהמחזור יהיה שווה ל- 2 פעמים פאי כפול התנופה,

German: 
Aber für dich sieht es aus, als ob sie sich auf einer geraden Linie auf und ab bewegt.
Nicht nur das, es sieht so aus, als würde die Murmel kurz anhalten, wenn sie die Richtung ändert,
und sich schneller bewegen, wenn sie sich der Mitte nähert.
Genau so, wie sich der Ball auf der Feder bewegt hat.
Nun, lass uns diesen Vergleich einen Schritt weiter treiben.
Lass uns annehmen, der Radius des Rings ist gleich der Amplitude der Bewegung des Balls auf der Feder.
Und die konstante Geschwindigkeit der Murmel auf dem Ring ist gleich der maximalen Geschwindigkeit des Balls auf der Feder.
In diesem Fall -- wenn du es ausrechnest -- findest du, dass die Gleichung für die Geschwindigkeit der Murmel
-- wenn du von der Seite schaust -- genau die Gleichung, die die
Geschwindigkeit des Balls auf der Feder beschreibt.
Lass uns zusammenfassen, was wir über gleichförmige Kreisbewegungen wissen, um zu sehen, was sie uns über einfache harmonische Schwingungen verraten.
Wir wissen, dass die Zeit, die die Murmel braucht, um den Ring einmal zu umrunden, Periode genannt wird.
Wir wissen auch, dass die Periode gleich des Umfangs des Rings geteilt durch die Geschwindigkeit der Murmel ist.
Und! Der Radius des Kreises ist gleich der Amplitude des Balls auf der Feder.
Der Umfang ist gleich 2 mal Pi mal die Amplitude.
Das bedeutet, dass die Periode gleich 2 mal Pi mal die Amplitude

English: 
But to you, it looks like it’s just moving
back and forth along a straight line.
Not only that, but it looks like this marble
is stopping momentarily as it changes direction,
and moving faster as it gets closer to the
middle.
Which is exactly the same way the ball was
moving on the spring.
Now, let’s take this comparison a step further.
Let’s assume that the radius of the ring is the same as the amplitude of the ball’s motion on the spring.
And the marble’s constant speed along the ring is equal to the maximum speed of the ball on the spring.
In that case, if you did the math, you’d find that the equation for the marble’s velocity
-- when you look at it edge-on -- is exactly the same as the equation that described
the velocity of the ball on the spring.
So, let’s recall what we know about uniform circular motion, to see what it can tell us about simple harmonic motion.
We know that the time it takes for the marble
to move around the ring once is called the period.
We also know that the period will be equal to the circumference of the ring, divided by the marble’s speed.
And! The radius of the circle is the same
as the ball’s amplitude on the spring.
So its circumference will be equal to two times pi times the amplitude.
This means that the period will be equal to
2 times pi times the amplitude,

Arabic: 
تقسيم سرعة الكرة، وهي مجدداً، نفس
السرعة الأعظمية لدى حركتها على النابض.
ويمكننا تبسيط هذه المعادلة، بما
أننا نعلم أن السرعة الأعظمية للكرة
تساوي حاصل ضرب السعة في الجذر
التربيعي لثابت النابض مقسماً على الكتلة.
إذاً دور حركة الكرة حول الحلقة يساوي
ضعفي "باي" ضرب جذر m على k.
وتحدثنا أيضاًعن التردد في
الحركة الدائرية المنتظمة:
هو عدد الدورات التي تقطعها الكرة حول الحلقة
في الثانية، ويساوي واحد، مقسماً على الدور.
في هذه الحالة، يساوي التردد أيضاً
1 على 2 باي ضرب الجذر التربيعي لk على m.
وهذا ينطبق على الكرة على النابض أيضاً.
لأن القواعد هي ذاتها!
وأخيراً، بقي أن نبحث السرعة الزاوية.
في الحركة الدائرية المنتظمة، عرفناها
على أنها مقدار الراديان في الثانية الذي
تقطعه الكرة بينما تتحرك حول الحلقة.
والسرعة الزاوية تساوي
فقط التردد مضروباً ب2 باي.
ما يعني أنها في حالة الكرة على النابض،
تساوي الجذر التربيعي لk على m.

iw: 
חלקי המהירות של הגולה- מה ששוב, הוא אותו הדבר כמו המהירות המקסימלית של הכדור כשהוא זז על הקפיץ.
ואנחנו יכולים לפשט את המשוואה הזאת, מכיוון שאנחנו יודעים שהמהירות המקסימלית של הכדור
שווה (לתנופה) כפול (השורש הריבע של קבוע הקפיץ) חלקי (המאסה).
אז: המחזור של תנועת הגולה סביב הטבעת שווה ל- (שני פאי) כפול (השורש של m חלקי k).
דיברנו גם על התדירות של תנועה מעגלית אחידה:
זהו מספר הסיבובים שהגולה עושה סביב הטבעת בכל שנייה, וזה שווה ל- 1 חלקי המחזור
במקרה הזה, התדירות תהיה גם שווה ל- 1 חלקי (2 פאי) כפול (השורש הריבועי של k חלקי m).
וזה יהיה תקף גם עבור הכדור על הקפיץ.
מכיוון שהחוקים הם זהים!
לבסוף, צריך להתחשב במהירות הזוויתית
בתנועה המעגלית האחידה, תיארנו זאת כמספר הרדיאנים לשנייה
שהגולה מכסה כשהיא זזה לאורך הטבעת.
ומהירות זוויתית שווה לתדירות כפול 2 פאי.
מה שאומר שבמקרה של הכדור על הקפיץ, זה שווה לשורש הריבועי של k חלקי m.

English: 
divided by the marble’s speed -- which, again, is the same as the ball’s maximum speed as it moves on the spring.
And we can simplify that equation, since we
know that the maximum speed of the ball is
equal to the (amplitude) times (the square
root of the spring constant) divided by the (mass).
So: the period of the marble’s motion around
the ring is equal to (two pi) times (the root of m) over (k).
Now, we’ve also talked about the frequency
of uniform circular motion:
It’s the number of revolutions the marble makes around the ring every second, and it’s equal to 1, divided by the period.
In this case, the frequency will also be equal
to 1 over (2 pi) times (the square root of k) over (m).
And that’ll apply to the ball on the spring,
too.
Because the rules are the same!
Finally, there’s angular velocity to consider.
In uniform circular motion, we’ve described
it as the number of radians per second that
the marble covers as it moves around the ring.
And angular velocity is just equal to the
frequency times 2 pi.
Which means that in the case of the ball on the spring, it’s equal to the square root of k over m.

Bulgarian: 
Това означава, че периодът ще бъде равен на 2 пъти пи по амплитудата, делено на
скоростта на мрамора--която, отново, е същтата като максималната скорост на топкта , като се движи по пружината.
И можем да опростим това уравнение, понеже знаем, че максималната скорост на топката е
равна на (амплитудата) по (корен квадратен на константата на пружината), разделено на (масата)
Така: периодът на движението на мрамора по пръстена е равно на (две пи) по (корен от m) върху (k).
Сега, вече сме говорили и за честотата на равномерното въртеливо движение: тя е числото
на завъртания, който мраморът прави за всяка секунда и е равно на 1,
делено на периода.
В този случай, честотата СЪЩО ще бъде равна на 1 върху (2 пи) по (корен квадратен от k) върху (m).
И това също ще се приложи върху топката на пружината.
Защото правилата са същите!
Накрая, има и ъглова скорост за разглеждане.
В равномерното въртеливо движение, ние го обяснихме като число от радианите в секунда, което
мраморът заема, като се движи по кръга.
И ъгловата скорост просто е равна на честотата по 2 пи-- което означава, че
случаят с топката на пружината е равна на корен квадратен на k върху  m.

German: 
geteilt durch die Geschwindigkeit der Murmel ist -- die wieder gleich ist mit der maximalen Geschwindigkeit des Balls auf der Feder.
Und wir können diese Gleichung vereinfachen, da wir wissen, dass die maximale Geschwindigkeit des Balls
gleich der Amplitude mal der Wurzel der Federkonstante geteilt durch die Masse ist.
Also: Die Periode der Bewegung der Murmel um den Ring ist gleich 2 Pi mal Wurzel m durch k.
Nun, wir haben auch über die Frequenz der gleichmäßigen Kreisbewegung gesprochen.
Und sie ist die Anzahl der Umdrehungen, die die Murmel auf dem Ring in jeder Sekunde absolviert, sie ist gleich 1 durch die Periode.
In diesem Fall ist die Frequenz gleich 1 durch 2 Pi Wurzel k durch m.
Und das gilt auch für den Ball auf der Feder.
Denn die Regeln sind die gleichen!
Schließlich gibt es noch die Winkelgeschwindigkeit.
In einer gleichmäßigen Kreisbewegung haben wir sie als den Winkel als Bogenmaß pro Sekunde bezeichnet,
den die Murmel abdeckt, wenn sie sich entlang des Rings bewegt.
Und die Winkelgeschwindigkeit ist gleich der Frequenz mal 2 Pi.
Was bedeutet, dass sie im Fall des Balls auf der Feder gleich der Wurzel von k durch m ist.

Spanish: 
dividido por la velocidad de la canica - que, de nuevo, es igual a la velocidad máxima de la bola cuando se mueve en el resorte.
Y podemos simplificar esa ecuación, ya que
saber que la velocidad máxima de la pelota es
igual a la (amplitud) por la (raíz cuadrada de la constante de resorte) dividido por la (masa).
Entonces: el período del movimiento de la canica alrededor
el anillo es igual a (dos pi) veces (la raíz de m) sobre (k).
Ahora, también hemos hablado sobre la frecuencia
de movimiento circular uniforme:
Es el número de revoluciones que hace el mármol alrededor del anillo cada segundo, y es igual a 1, dividido por el período.
En este caso, la frecuencia también será igual
a 1 sobre (2 pi) veces (la raíz cuadrada de k) sobre (m).
Y eso se aplicará a la pelota en el resorte,
también.
Porque las reglas son las mismas!
Finalmente, hay una velocidad angular a considerar.
En movimiento circular uniforme, hemos descrito
como el número de radianes por segundo que
cubre la canica a medida que se mueve alrededor del anillo.
Y la velocidad angular es igual a la
frecuencia multiplicada por 2 pi.
Lo que significa que en el caso de la pelota en el resorte, es igual a la raíz cuadrada de k sobre m.

Arabic: 
وبالاستعانة بمعرفتنا عن الحركة
الدائرية، يمكننا فهم الدور،
التردد، والسرعة الزاوية لحركة الكرة
التوافقية البسيطة بينما تتذبذب على النابض.
لكن هنالك سؤال واحد بعد: كيف
يتغير موقع الكرة خلال الزمن؟
لنعرف ذلك، علينا أن نحلل
حركة الكرة حول الحلقة مرة أخرى.
والإجابة ستتضمن بعضاً من علم المثلثات.
ولكنها ليست بذلك التعقيد.
في أي نقطة على مسار الكرة، ستكون
على زاوية معينة مع الجانب الأيمن للحلقة.
وتجيب تلك الزاوية سيساوي بعدها الأفقي عن
مركز الحلقة، مقسماً على نصف قطر الحلقة.
نعلم مسبقاً أن نصف قطر تلك الحلقة
هو نفسه سعة حركة الكرة على النابض.
وإذا أدرتم الحلقة مجدداً بحيث تبدو
خطاً، يمكنكم أن تروا أن البعد الأفقي
للكرة عن مركز الحلقة، هو
نفس بعد الكرة عن نقطة التوازن.
إذاً، تجيب ثيتا يساوي موضع
الكرة مقسماً على السعة.
بعبارة أخرى، يساوي موضع الكرة
حاصل ضرب السعة في تجيب الزاوية.
ويمكننا تبسيط هذه المعادلة أيضاً.
كما تساوي المسافة
السرعة مقسمة على الزمن،

Spanish: 
Entonces ahora, con la ayuda de nuestro conocimiento sobre
movimiento circular, podemos entender el período,
frecuencia y velocidad angular del movimiento armónico simple de la bola cuando oscila en el resorte.
Pero hay una pregunta más: ¿Cómo cambia
la posición de la bola con el tiempo?
Para averiguarlo, tendremos que analizar el
movimiento de la canica a lo largo del anillo de nuevo.
Y la respuesta implicará algo de trigonometría.
Pero no es particularmente complicado, entonces estará bien.
En cualquier punto dado a lo largo del camino de la canica, esta estará en cierto ángulo hacia el lado derecho del anillo.
Y el coseno de ese ángulo será igual a su distancia horizontal desde el centro del anillo, dividido por el radio del anillo.
Ya sabemos que el radio del anillo es el mismo que la amplitud del movimiento de la pelota a lo largo del resorte.
Y si gira el anillo para que se vea
como una línea de nuevo, puedes ver que
la distancia horizontal de la canica desde el centro del anillo es la misma que la distancia de la pelota desde el punto de equilibrio.
Entonces, el coseno de theta es igual a (bola
posición) dividido por su (amplitud).
En otras palabras, la posición del balón es igual
a (la amplitud), veces (el coseno del ángulo).
Y podemos simplificar esta ecuación también.
De la misma manera que la distancia es igual a
velocidad multiplicada por tiempo,

English: 
So now, with the help of our knowledge about
circular motion, we can understand the period,
frequency, and angular velocity of the ball’s simple harmonic motion as it oscillates on the spring.
But there’s one more question: How does
the ball’s position change over time?
To find out, we’ll have to analyze the
marble’s motion along the ring again.
And the answer will involve some trigonometry.
But it’s not particularly complicated trig so, it'll be fine.
At any given point along the marble’s path, it’ll be at a certain angle to the right-hand side of the ring.
And the cosine of that angle will be equal to its horizontal distance from the center of the ring, divided by the ring’s radius.
We already know that the radius of the ring is the same as the amplitude of the ball’s motion along the spring.
And if you turn the ring so that it looks
like a line again, you can see that the marble’s
horizontal distance from the center of the ring is the same as the ball’s distance from the equilibrium point.
So, the cosine of theta is equal to the (ball’s
position) divided by its (amplitude).
In other words, the ball’s position is equal
to (the amplitude), times (the cosine of the angle).
And we can simplify this equation, too.
In the same way that distance is equal to
velocity multiplied by time,

German: 
Jetzt, mit Hilfe unseres Wissens über Kreisbewegungen, verstehen wir die Periode,
Frequenz und Winkelgeschwindigkeit der einfachen harmonischen Schwingung des Balls auf der Feder.
Aber da ist noch eine Frage: Wie ändert sich die Position des Balls mit der Zeit?
Um das herauszufinden, untersuchen wir wieder die Bewegung der Murmel entlang des Rings.
Und die Antwort enthält etwas Trigonometrie.
Aber keine besonders schwierige, also wird das gehen.
An jedem Punkt entlang des Pfads der Murmel hat sie einen bestimmten Winkel zur rechten Seite des Rings.
Und der Kosinus dieses Winkels ist gleich dem waagerechten Abstand von der Mitte des Rings geteilt durch der Radius des Rings.
Wir wissen bereits, dass der Radius des Rings der Amplitude der Bewegung des Balls auf der Feder entspricht.
Und wenn du den Ring so drehst, dass er wieder wie eine Linie aussieht, siehst du, dass der
waagerechte Abstand von der Mitte des Rings dem Abstand des Balls vom Gleichgewichtspunkt entspricht.
Der Kosinus von Theta ist also gleich der Position des Balls geteilt durch seine Amplitude.
Mit anderen Worten, die Position des Balls ist gleich der Amplitude mal dem Kosinus des Winkels.
Und wir können diese Gleichung noch vereinfachen.
In der gleichen Weise wie Abstand gleich Geschwindigkeit mal Zeit ist,

Bulgarian: 
Така че сега, с помощта на знанията ни за движжението по окръжност, можем да разберем, че периода,
честотата и ъгловата скорост на ПРОСТОТО ХАРМОНИЧНО движение на топката, докато се ускорява на пружината.
Но има още един въпрос: как позицията на топката се променя с течение на времето?
За да разберем, трябва да анализираме движението на мрамора по пръстена отново. И отговора
ще включва малко тригонометрия. Но не е особено СЛОЖНА тригонометрия, така че ще бъде добре.
Във всеки даден момент по пътя на мрамора, той ще бъде в опреден ъгъл в дясната
страна на пръстена.
И косинусът на този ъгъл ще бъде равен на хоризонталното разстояние от центъра
на пръстена, делена на радиуса му.
Вече знаем, че радиусът на пръстена е същият като амплитудта на движението на
топката по пружината.
И ако обърнете пръстена, така че да изглежда отново като линия, може да наблюдавате, че хоризонталното разстояние
на мрамора от центъра на пръстена е същото като разтоянието на топката
от точката на равновесие.
Така че, косинусът на тета е равна на (положението на топката) разделено на нейната (амлитуда).
С други думи, позицията на топката е равна на (амплитудата) по (косинуса на ъгъла).
И също така можем да опростим уравнението.
По същият начин, по който разстоянието е равно на скоростта на скоростта, умножена по времето, ъгъла е

iw: 
אז עכשיו, בעזרת הידע על התנועה הסיבובית, אנחנו יכולים להבין את המחזור,
התדירות והמהירות הזוויתית של התנועה ההרמונית הפשוטה של הכדור כתנודות שלו על הקפיץ.
אבל יש עוד שאלה אחת: איך המיקום של הכדור משתנה לאורך זמן?
כדי למצוא זאת, נצטרך לבחון את התנועה של הגולה לאורך הטבעת שוב.
והתשובה תערב קצת טריגונומטריה.
אבל לא טריגונומטריה מסובכת מדיי, זה יהיה בסדר.
בכל רגע נתון לאורך מסלול הגולה, היא תהיה בזווית מסוימת ביחס לצד ימין של הטבעת.
והקוסינוס של הזווית הזאת יהיה שווה למרחק האופקי שלה ממרכז הטבעת, חלקי רדיוס הטבעת.
אנחנו כבר יודעים שרדיוס הטבעת הוא אותו הדבר כמו התנופה של תנועת הכדור לאורך הקפיץ.
ואם תטו את הטבעת כך שהיא תראה שוב כמו קו, תוכלו לראות שהמרחק
האופקי של הגולה ממרכז הטבעת הוא אותו הדבר כמו המרחק של הכדור מנקודת שווי הכוחות.
אז, הקוסינוס של תטא שווה ל- (מיקום הכדור) חלקי (התנופה שלו).
במילים אחרות, מיקום הכדור שווה ל- (תנופה), כפול (קוסינוס הזווית).
ואנחנו יכולים גם לפשט את המשוואה הזאת.
באותה הדרך בה מרחק שווה למהירות כפול זמן,

iw: 
הזווית שווה למהירות הזוויתית כפול הזמן.
אז, אנחנו יכולים לכתוב את המשוואה למיקום הכדור כך
x = A cos w t.
וכשאתם משרטטים את המשוואה, משהו מעניין מתרחש: זה נראה כמו גל!
אנחנו נדבר עוד הרבה על גלים בשלושת הפרקים הבאים.
אבל לעכשיו, זה יכול לעזור לראות רק את הקשר כאן:
עבור אובייקט בתנועה הרמונית פשוטה, הגרף של המיקום מול זמן הוא גל.
וזאת הסיבה שתנודת גשר המילניום נראתה כמו גל.
אם מדברים על הגשר: עכשיו אנחנו יכולים להבין טוב יותר מה קרה לו.
העיקום של הגשר הוא כתוצאה מהתנודות, אבל הוא החמיר ע"י עבריין אחר: ההדהוד.
הדהוד יכול להגביר את תנופת התנודות בכך שהוא מפעיל כוח בדיוק בתדירות הנכונה-
בערך כמו שאתם יכולים לגרום לילד/ה להתנדנד גבוה יותר בכך שתדחפו את הנדנדה בדיוק ברגע הנכון.
המהנדסים של גשר המילניום קיבלו תזכורת על כך, בדרך הקשה.
כשהולכי הרגל על הגשר החלו להישען על המעקות, הם יצרו הדהוד.
הם הגבירו את תנופת התנודות.

Arabic: 
الزاوية تساوي السرعة
الزاوية مضروبة بالزمن.
لذا يمكننا كتابة معادلة موضع الكرة هكذا:
x = A cos w t
وعند رسم الخط البياني لهذه المعادلة،
يحدث أمر مثير للاهتمام: إنه يبدو كالموجة!
سنتحدث كثيراً عن الموجة
في الحلقات الثلاثة القادمة.
أما الآن، فهي مفيدة لملاحظة
الرابط هنا فقط:
بالنسبة لعنصر في حركة توافقية بسيطة، الخط
البياني للموضع مقابل الزمن يتخذ شكل موجة.
ولهذا يبدو تأرجح جسر
الألفية على أنه موجة.
وبالحديث عن الجسر: يمكننا الآن
أن نفهم أكثر ما حدث للجسر.
تمايل البرج كان نتيجة التذبذب، لكن ما
زاد الأمر سوءاً هو أمر آخر: الرنين.
يمكن للرنين أن يزيد سعة التذبذب
عبر تطبيق قوة بتردد مناسب:
يشبه الأمر قدرتكم على أرجحة طفل إلى
الأعلى أكثر، بدفعه في اللحظة المناسبة.
تذكر مهندسو جسر الألفية
ذلك، بالطريقة الصعبة.
عندما بدأ المشاة على الجسر
بالتمايل معه، خلقوا رنيناً.
زادوا سعة الذبذبة.

Bulgarian: 
равен на ъгловата скорост, умножена по времето.
Така, ние можем да запишем уравнениеро за положението на топката като x=A cos w t.
И когато направите графиката за това уравнение, нещо интересно се случва:
изглежда като вълна!
Ще говорим мнго повече за вълни в следващите ни три епизода. Но засега,
полезно е просто да видим връзката тук: за предмет в просто хармонично движение, графиката
на позицията ѝ срещу времето е вълна.
Което е защо люлеенето на Милениъм Бридж изглеждал като вълна.
Говорейки за моста: сега можем по-добре да разберем какво се е случило с него.
Шимито на моста е резултат на трептене, но е станало по-лошо от друг виновник:
резонанс.
Резонансът може да увеличи амплитудата на трептенето, прилагайки сили точно с
правилната честота-- един вид как карате дете да се люлее по-силно, като  бутнете в
точния момент.
Инжинерите на Милениъм Бридж са били подсетени за това по трудния начин.
Когато пешеходците на моста започнали да се наклоняват с люлеенето, са създали резонанс.
Те са усилили амплитудата на трептене.
И инжинерите на моста СА взели предвид трептенията, причинени от резонас, когато

English: 
the angle is equal to the angular velocity multiplied by time.
So, we can write the equation for the position
of the ball as x = A cos w t.
And when you graph this equation, something interesting happens: It looks like a wave!
We’ll be talking a lot more about waves
in our next three episodes.
But for now, it’s helpful just to see the
connection here:
For an object in simple harmonic motion, the graph of its position versus time is a wave.
Which is why the swaying of the Millennium
Bridge looked like a wave.
Speaking of the bridge: now we can better
understand what happened to it.
The bridge’s shimmy was the result of oscillation, but it was made worse by another culprit: resonance.
Resonance can increase the amplitude of an oscillation by applying force at just the right frequency --
kind of like how you can get a kid to swing higher by pushing at just the right moment.
The engineers of the Millennium Bridge were
reminded of that, the hard way.
When pedestrians on the bridge started to
lean into its swaying, they created resonance.
They amplified the amplitude of the oscillation.

Spanish: 
el ángulo es igual a la velocidad angular multiplicada por el tiempo.
Entonces, podemos escribir la ecuación para la posición
de la pelota como x = A cos w t.
Y cuando graficas esta ecuación, sucede algo interesante: ¡parece una ola!
Hablaremos mucho más sobre las olas
en nuestros próximos tres episodios.
Pero por ahora, es útil simplemente ver el
conexión aquí:
Para un objeto en movimiento armónico simple, la gráfica de su posición frente al tiempo es una onda.
Por eso el vaivén del Milenio
Bridge parecía una ola.
Hablando del puente: ahora podemos mejorar
entender lo que le sucedió
El balanceo del puente fue el resultado de la oscilación, pero fue empeorado por otro culpable: la resonancia.
La resonancia puede aumentar la amplitud de una oscilación aplicando la fuerza a la frecuencia correcta -
algo así como cómo puedes hacer que un niño se mueva más alto presionando en el momento justo.
A los ingenieros del Puente del Milenio se les recordó eso, por las malas.
Cuando los peatones en el puente comenzaron a
apoyarse en su balanceo, crearon resonancia.
Amplificaron la amplitud de la oscilación.

German: 
ist der Winkel gleich die Winkelgeschwindigkeit mal die Zeit.
Wir können die Gleichung für die Position des Balls also schreiben als x = A cos w t.
Und wenn du diese Gleichung graphisch darstellst, passiert etwas interessantes: Sie sieht aus wie eine Welle!
Wir werden in den nächsten drei Folgen noch viel über Wellen sprechen.
Aber für den Moment ist es hilfreich, die Verbindung zu sehen:
Für einen Körper in einer einfachen harmonischen Schwingung ist der Graph seiner Position über die Zeit eine Welle.
Was der Grund ist, aus dem die schaukelnde Millennium-Brücke wie eine Welle aussah.
Wo wir gerade von Brücken sprechen: Jetzt können wir besser verstehen, was mit ihr passiert ist.
Das Wackeln der Brücke war das Ergebnis einer Schwingung, und es wurde schlimmer durch einen anderen Effekt: Resonanz.
Resonanz kann die Amplitude einer Schwingung verstärken, indem sie eine Kraft mit genau der richtigen Frequenz aufbringt --
wie wenn du ein Kind auf der Schaukel höher fliegen lassen kannst, indem du es genau im richtigen Moment anschubst.
Die Ingenieure der Millennium-Brücke wurden auf die harte Tour daran erinnert.
Als Fußgänger auf der Brücke sich gegen das Schaukeln gelegt haben, haben sie eine Resonanz erzeugt.
Sie haben die Amplitude der Schwingung verstärkt.

Spanish: 
Y los ingenieros del puente tuvieron en cuenta las oscilaciones causadas por la resonancia cuando lo diseñaron.
Pero solo consideraban las oscilaciones verticales, del tipo que habría hecho que el puente rebotara hacia arriba y hacia abajo.
No se dieron cuenta de que también tendrían que tener en cuenta el balanceo horizontal causado por las personas que caminan.
Por lo tanto, al principio solo se balanceaba un poco, pero empeoró mucho porque la gente se inclinaba hacia sus pasos y provocaba resonancia.
Al final, los ingenieros tuvieron que aplicar una serie de cambios al puente que aplicaron fuerza para contrarrestar sus oscilaciones.
Porque si hay algo que no
quieres que tu puente lo haga, es La Ola.
Hoy aprendiste sobre el movimiento armónico simple: la energía de ese movimiento y cómo podemos usar las matemáticas
de movimiento circular uniforme para encontrar el período, la frecuencia y la velocidad angular de una masa en un resorte.
También describimos cómo la posición de un objeto en movimiento armónico simple cambia con el tiempo.
Crash Course Physics se produce en asociación
con PBS Digital Studios. Puedes dirigirte hacia
a su canal para ver la increíble lista de reproducción de los últimos episodios de programas como First Person, PBS Game Show y The Good Stuff.
Este episodio de Crash Course fue filmado en
el doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio

Arabic: 
وقد أخذ المهندسون في الحسبان التذبذب
الناتج عن الرنين عندما قاموا بتصميم الجسر،
ولكنهم درسوا فقط التذبذب العمودي، الذي
قد يجعل الجسر يرتد إلى الأعلى والأسفل.
لم يدركوا أنه كان عليهم الانتباه للتأرجح
الأفقي الذي تسببه حركة المشاة.
بدايةً، كان التمايل قليلاً، لكنه ساء بسبب
تمايل الناس في خطواتهم، ما سبب رنيناً.
في النهاية، كان على المهندسين تطبيق
سلسلة تغييرات تطبق قوة تقاوم تذبذب الجسر.
لأن هناك أمراً وحيداً لا تريدون
أن يقوم به جسركم، إنه الموجة.
اليوم، تعلمتم عن الحركة التوافقية البسيطة،
طاقة تلك الحركة، وكيفية استخدام رياضيات
الحركة الدائرية المنتظمة لحساب الدور،
التردد، والسرعة الزاوية لكتلة على نابض.
كذلك بحثنا كيفية تغير موضع جسم
ذو حركة توافقية بسيطة خلال الزمن.
تم إنتاج سلسلة Crash Course للفيزياء
بالاشتراك مع استديوهات PBS الرقمية.
اطلعوا في قناتهم والاطلاع على برامجهم مثل
First Person, Game Show, The Good Stuff
تم تصوير هذه الحلقة في استديوهات Doctor Cheryl C. Kinney
Crash Course Studio

iw: 
והמהנדסים של הגשר לקחו בחשבון שיהיו תנודות שייווצרו מהתהודה כשהם תכננו אותו.
אבל הם התייחסו רק לתנודות אנכיות- כאלו שיגרמו לגשר להתנדנד למעלה ולמטה.
הם לא הבינו שעליהם להתייחס גם לנתון של התנודה האופקית הנגרמת מההליכה של האנשים.
אז, אלו היו רק תנודות קטנות בהתחלה, אבל זה הלך והחמיר מכיוון שהאנשים נשענו בצעדיהם, ויצרו תהודה.
לבסוף, המהנדסים היו חייבים לעשות שינויים משמעותיים בגשר שייצרו כוח נגדי לתנודות שלו.
מכיוון שאם יש דבר אחד שאתם לא רוצים שהגשר שלכם יעשה, זה לקבל צורה של גל.
היום למדתם על תנועה הרמונית פשוטה- האנרגיה של התנועה הזאת ואיך אנחנו יכולים להשתמש במתמטיקה
של תנועה מעגלית אחידה כדי למצוא את המחזור, התדירות והמהירות הזוויתית של מאסה על קפיץ.
תיארנו גם איך המיקום של אובייקט בתנועה הרמונית פשוטה משתנה לאורך זמן.
קראש קורס בפיזיקה מופק בעזרת האולפנים הדיגיטליים של PBS. אתם יכולים לגשת
לערוץ שלהם כדי לראות סדרות מעניינות כמו- First Person, PBS Game Show ו- The Good Stuff.
הפרק הזה של קראש קורס צולם בסטודיו ע"ש ד"ר שריל קיני של קראש קורס

German: 
Und die Ingenieure der Brücke hatten Schwingungen berücksichtigt, als sie sie ausgelegt haben.
Aber sie hatten nur vertikale Schwingungen betrachtet -- die die Brücke nach oben und unten hätten schwingen lassen.
Sie hatten nicht beachtet, dass sie auch die horizontale Schwingung einbeziehen mussten, die durch die Schritte der Fußgänger erzeugt werden konnte.
Sie schaukelte also anfangs nur ein bisschen, aber das wurde schlimmer, weil die Leute sich mit jedem Schritt gegen die Schwingung lehnten und Resonanz erzeugten.
Am Ende führten die Ingenieure mehrere Änderungen an der Brücke durch, die eine Kraft aufbrachten, die der Schwingung entgegenwirkte.
Denn wenn es eine Sache gibt, die eine Brücke nicht tun soll, dann ist es eine La Ola-Welle.
Heute hast du einfache harmonische Schwingungen kennengelernt -- die Energie dieser Bewegung, und wie wir die Mathematik
der gleichförmigen Kreisbewegung anwenden können, um die Periode, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit einer Masse auf einer Feder zu finden.
Wir haben auch beschrieben, wie sich die Position eines Körpers in einfacher harmonischer Bewegung mit der Zeit verändert.
Crash Course Physik wird in Kooperation mit PBS Digital Studios produziert. Du kannst zu ihrem
Kanal gehen und tolle Videos ansehen wie First Person, PBS Game Show und The Good Stuff.
Diese Episode von Crash Course wurde im Doktor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio gedreht

English: 
And the engineers of the bridge did account for oscillations caused by resonance when they designed it.
But they only considered vertical oscillations -- the kind that would have made the bridge bounce up and down.
They didn’t realize that they’d also have to factor in the horizontal swaying caused by people walking.
So, it was only a tiny bit of swaying at first, but it got a lot worse because people were leaning into their steps, causing resonance.
In the end, engineers had to apply a series of changes to the bridge that applied force to counteract its oscillations.
Because if there’s one thing you don’t
want your bridge to be doing, it’s The Wave.
Today, you learned about simple harmonic motion -- the energy of that motion, and how we can use math
of uniform circular motion to find the period, frequency, and angular velocity of a mass on a spring.
We also described how the position of an object in simple harmonic motion changes over time.
Crash Course Physics is produced in association
with PBS Digital Studios. You can head over
to their channel to check out amazing a playlist of the latest episodes from shows like First Person, PBS Game Show, and The Good Stuff.
This episode of Crash Course was filmed in
the Doctor Cheryl C. Kinney Crash Course Studio

Bulgarian: 
са го проектирали.
Но единствено са взели предвид ВЕРТИКАЛНИТЕ трептения-- видът, който кара моста да
скача нагоре-надолу.
Не са осъзнали, че те също трябва да предвидат фактора на ХОРИЗОНТАЛНОТО клатушкане, породено
от ходещите хора.
Така че, първоначално е било леко люлеене, но е станало много по-лошо, защото хората са
се наклонявали, предизвиквайки резонанс.
Накрая, инжинерите трябвало да прилагат серия промени върху моста, които прилагали сила
които  контрадействат на трептенията.
Понеже, ако искате едно нещо, което моста ви да прави, е Вълната.
Днес, научихте за простото хармонично движение--енергията на това движение и как можем да
използваме математиката на равномерните въртеливи движения, за да намерим периода, честотата и ъгловата скорост
на масата на пружината. Също обяснихме как положението на предмет в просто хармонично
движение се промения с течение на времето.
Crash Course Физика е продуциран с асоциацията на PBS Digital Studios. Може да се пренасочите
до техния канал, за да видите страхотен плейлист на последните епизоди на шоута като First Person, PBS Game Show и The Good Stuff.
Този епизод на  Crash Course е сниман в Доктор Черил С. Кини Crash Course Студио

Spanish: 
con la ayuda de estas personas increíbles y
nuestro igualmente increíble equipo de gráficos es Thought Cafe.

German: 
mit Hilfe dieser großartigen Menschen und unser ebenso erstaunliches Grafik-Team ist Thought Cafe.

English: 
with the help of these amazing people and
our equally amazing graphics team, is Thought Cafe.

Bulgarian: 
с помощта на тези страхотни хора, и нашият еднакво страхотен графичен тим е Thought Cafe.

Arabic: 
بمساعدة هؤلاء الناس الرائعين، وفريق
البصريات الرائع أيضاً، Thought Cafe.

iw: 
בעזרת האנשים הנהדרים הללו והצוות הגרפי שלנו Thought Cafe.
