
English: 
In the last video, we finished
off with these two results.
We started off just thinking
about what it means to take
the partial derivative of
vector-valued function, and I
got to these kind of, you might
call them, bizarre results.
You know, what was the whole
point in getting here, Sal?
And the whole point is so that
I can give you the tools you
need to understand what
a surface integral is.
So let's just think about,
let's draw the st plane,
and then see how it gets
transformed into
this surface r.
So let's do that.
Let's say that is the t-axis,
and let's say that that is the
s-axis, and let's say that our
vector-valued function, our
positioned vector-valued
function, is defined from s's
between a and b, I'm just
picking arbitrary boundaries,

Spanish: 
Comienzo
En el ultimo video terminamos con estos dos resultados.
Comenzamos a pensar en que significa tomar la
derivada parcial de una función vectorial, y
obtuve estas clases de, podrías llamarlos, resultados bizarros.
Tu sabes, ¿cual fue el punto en general de llegar aquí, Sal?
Y el punto en general es que yo pueda darte las herramientas que tu
necesitas para entender que es una integral de superficie
Entonces vamos solo a pensar, vamos a dibujar el plano (s,t),
y luego ver como se transforma en
esta superficie r.
Entonces vamos a hacer eso.
Decimos que ese es el eje-t, y decimos que ese es el
eje-s, y luego decimos que nuestra funcion vectorial, nuestra
función vectorial posicionada, es definida de las s
entre a y b, yo solo estoy eligiendo limites arbitrarios,

Portuguese: 
No último vídeo, terminamos
com estes dois resultados.
Nós começamos a pensar
sobre o que significa tomar
a derivado parcial da
função vetorial, e eu
obtive estes -- você pode chamá-los --
resultados bizarros.
Qual é o ponto de chegarmos
até aqui, Sal?
E o ponto é que eu posso
lhe dar as ferramentas que
precisamos para entender o que
uma integral de superfície é.
Então vamos pensar,
vamos desenhar o plano st,
e depois ver como
é transformada
nesta superfície r.
Então, vamos fazer isso.
Vamos dizer que este é eixo t,
e digamos que este é o
eixo s, e vamos dizer que a nossa
função vetorial, a nossa
função vetorial de posição
é definida a partir de s's
entre a e b, eu estou apenas
pegando limites arbitrários,

Oromo: 
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA

Turkish: 
-
Bir önceki videoyu şu iki sonuçla bitirmiştik.
Bir vektör değerli fonksiyonun kısmi türevinin anlamıyla başladık ve bu garip sonuçları elde ettim.
-
-
Bunun amacını sorgulayabilirsiniz.
Yüzey integralinin ne olduğunu anlamanız için gereken bilgiyi size vermiş oldum.
-
Şimdi s t düzlemini çizelim ve r yüzeyine nasıl dönüştüğünü görelim.
-
-
Böyle yapalım.
-
Bu t ekseni, bu da s ekseni. Konum vektör değerli fonksiyonumuzun a ve b arasındaki s değerleri ve c ve d arasındaki t değerleri için tanımlı olduğunu düşünelim. Bu değerleri rastgele seçiyorum.
-
-
-

iw: 
בסרטון הקודם, גמרנו עם 2 התוצאות האלה.
התחלנו רק בלחשוב מה המשמעות של
לקחת נגזרת חלקית של פונקציות וקטורית, ואני
קבלתי את ה, אפשר לומר, תוצאות המוזרות האלה.
אתם יודעים, מה היה הקטע בלהגיע לזה, סאל?
וכל הקטע הוא שאני אוכל לתת לכם את הכלים
שאתם צריכים כדי להבין מה זה אינטגרל משטחי.
אז בואו נחשוב על, בואו נציירת את משטח ה-אס-טי,
ואז נראה איך הוא משתנה למשטח אר.
זה המשטח אר.
אז בואו נעשה את זה.
נניח שזה ציר ה-טי, ונניח שזה
ציר ה-אס, ונניח שהפונקציה הוקטורית שלנו,
מוגד מ-אס טאג אס
בין איי ל-בי, אני פשוט בוחר גבולות אקראיים

Japanese: 
先のビデオで、この２つの結果を終えました。
では、あらためて
ベクトル値関数の偏微分への意味を考えてみましょう。
このような奇妙な結果が得られます。
ここに至るまでの本当の意義がわかりますか？
本当の意義は、
表面積分がなんであるかを理解する足がかりを提供することです。
では、いっしょに考えてみましょう。
まず　ST面を書いてみましょう。
そして、それがどのように
この表面rに転換されるか見てみましょう。
では、行ってみましょう。
では、行ってみましょう。
t−軸とします。
これをs−軸とします。
そしてベクトル値関数、
設定されたベクトル値関数は
a,b間のsで定義されるとします。
ここでは任意の境界を選んでいます。

Modern Greek (1453-): 
Στο προηγούμενο βίντεο, τελειώσαμε με τα δύο αυτά αποτελέσματα
Ξεκινήσαμε θέλοντας να δούμε τι σημαίνει να πάρεις
την μερική παράγωγο μιας διανυσματικής συνάρτησης και
κατέληξαμε σε αυτά τα, περίεργα μπορείτε να πείτε, αποτελέσματα.
Και ποιό ήταν το νόημα να καταλήξεις εδώ Sal ?
Το νόημα ήταν να μπορέσω να σας δώσω τα εργαλεία
που χρειάζεστε για να καταλάβετε τι είναι ενα επιφανειακό ολοκλήρωμα
Για να το δούμε λίγο αυτό, ας σχεδιάσουμε το επίπεδο s-t
κι ας δούμε πως μετατρέπεται αυτό
στην επιφάνεια r.
Ας το δούμε λίγο.
Έστω λοιπόν ότι αυτό είναι ο άξονας t, και αυτός είναι ο
άξονας s, και ας υποθέσουμε ότι η διανυσματική μας συνάρτηση
ορίζεται για τα s
από a έως b, τυχαία όρια,

French: 
Sous-titré par Marco Merlini (mahkoe@gmail.com)
Dans notre dernier vidéo, on s'est retrouvé avec ces deux résultats.
On a démarré en pensant à ce que ça veut dire de prendre
la dérivée partielle d'une fonction vectorielle, et j'ai
reçu des résultats qu'on pourrait peut-être croire comme étant peu bizarre.
«Mais Sal, pour quelle raison est-ce qu'on a fait tout ça?»
La raison est pour que je puisse te donner les outils nécéssaires
pour comprendre l'intégrale de surface.
Pensons un peu, dessinons la surface plane st,
et voyons comment elle se transforme en
cette surface r.
Faisons cela.
Disons que ça c'est l'axe t, et que ça c'est
l'axe s, et disons que notre fonction vectorielle, plus spécifiquement notre
fonction vectorielle positionnée, est définie
entre les «s», a et b, (je suis en train de choisir des limites arbitraires)

German: 
Im letzen video, sind wir zu diesen beiden Lösungen gekommen.
Wir haben angefangen darüber nach zu denken, was es bedeutet
die partiale Ableitung einer vektoriellen Funktion zu ziehen
und haben diese "merkwürdigen" Ergebnisse bekommen.
Also, was wollten wir noch mal damit erreichen, Sal?
Ich versuche gerade dir die Werkzeuge zu geben, die du brauchst,
um zu verstehen, was ein Oberflächenintegral ist.
Also zeichnen wir die erste Ebene
und schauen wie sie in
die Fläche r transformiert wird.
Also machen wir das.
Nun sagen wir dies sei die t-Achse ist und
dies sei die s-Achse. Und sagen wir mal, dass unsere vektorielle Funktion,
unsere positioniere vektorielle Funktion, definiert ist für s
zwischen a und b, ich wähle hier einfach beliebige Grenzen,

Estonian: 
Viimases videos me lõpetasime nende kahe tulemusega.
Me alustasime ainult mõeldes mida tähendab võtta
osaline tuletis vektori väärtuselisest funktsioonist, ja ma
jõudsin sellistele tulemustele mida te võite kutsuda imelikeks.
Te teate, mis oli siia jõudmise mõte, Sal?
Ja kogu see mõte on see, et ma saan teile anda tööriistad
mida te vajate pinna integraalist arusaamiseks.
Mõtleme selle üle, joonistame st teljestiku
ja siis vaatame kuidas see muutub
selleks pinnaks r.
Teeme seda.
Ütleme, et see on see t-telg ja ütleme, et see on
s telg ja ütleme, et meie vektori funktsioon, meie
positsioneeritud vektor funktsioon on defineeritud s-idest
vahemikus a ja be, ma lihstalt valin juhuslikud vahemikud

Polish: 
W ostatnim filmie skończyliśmy z tymi dwoma wynikami.
Zaczęliśmy zastanawiać się co to znaczy
liczyć pochodną cząstkową z funkcji wektorowej
i otrzymałem dość zaskakujące, jak możecie nazwać, wyniki.
Wiecie, po co właściwie to liczyliśmy, Sal?
Ale celem jest, żebym dał wam odpowiednie narzędzia
byście mogli zrozumieć czym są całki powierzchniowe.
Więc zastanówmy się, narysujmy płaszczyznę s, t
a potem zobaczmy, jak przekształcimy ją
do powierzchni r.
Więc do dzieła.
Niech to będzie oś t, i powiedzmy, że tutaj będzie
oś s. Załóżmy, że nasza funkcja wektorowa
będzie zdefiniowana dla s
pomiędzy a i b, biorę zupełnie dowolne granice,

Thai: 
-
ในวิดีโอที่แล้ว, เราจบลงด้วยผลสองอันนี้
เราเริ่มต้นด้วยการคิดว่าการหานอนุพันธ์ย่อย
ของฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์หมายถึงอะไร และผม
ได้สิ่งที่เรียกว่า, คุณอาจเรียกมันว่า, ผลประหลาด ๆ
คุณก็รู้, เรามาถึงนี่เพื่ออะไร, ซาล?
และทั้งหมดก็เพื่อ ผมจะได้ให้เครื่องมือคุณ
เพื่อเข้าใจว่า อินทิกรัลพื้นผิว คืออะไร
ลองคิดถึง, ขอผมวาดระนาบ s t หน่อย,
แล้วดูว่ามันจะแปลงเป็น
พื้นผิว r นี่ยังไง
ลองทำดู
-
สมมุติว่านี่คือแกน t, สมมุติว่านี่คือแกน
s, และสมมุติว่าฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์ของเรา, ฟังก์ชัน
ที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง, นิยามจาก s
ระหว่าง a กับ b, ผมแค่เลือกขอบเขตตามใจ,

Korean: 
 
지난번 동영상에서, 우리는 이 두 결과를 도출해내고 마무리했습니다
우리는 벡터 함수의 편미분이 이끌어낸
기괴한 결과가 의미하는 바에 대해
고민하기 시작했습니다
우리가 여기서 하고자
 했던 것이 무엇인지 기억합니까? 살?
그것은 바로 제가 여러분에게 표면 적분을 이해하는데
필요한 것들을 알려주는 것이었습니다
그럼 일단 (S, T)평면을 그리고
이것이 표면 R로 어떻게 바뀌게 되는지
살펴보도록 하겠습니다
그럼 해볼까요?
 
이것이 T축이라고 가정하고,
저것을 S축이라 가정한 뒤
이것을 우리가 계산할 벡터함수라고 둔 뒤
S축의 임의의 경계인 a와 b 사이에서 정의되고

Portuguese: 
e entre t sendo
igual a c e d.
Assim, a área em questão, se você
tomar qualquer t e qualquer s
neste retângulo aqui, ele
será mapeado nesta parte
da superfície.
E se mapear cada um dos
pontos, você acabará
obtendo a superfície r.
Então deixe-me desenhar r
em três dimensões.
A superfície em 3D.
Então, este é o nosso eixo x, este
é o nosso eixo y, e depois
este é o eixo z.
E só como um lembrete,
pode se parecer com
algo assim.
Se fossemos, este ponto
aqui, em que s é igual a 'a'
e t é igual a c, lembre-se, nós
iremos desenhar a superfície
indicada pela função
vetorial da posição
s, r de s e t.

Modern Greek (1453-): 
και για τα t από c έως d.
Οπότε η περιοχή που ορίζεται, αν πάρετε όλα τα t και όλα τα s
μέσα σε αυτό το ορθογώνιο, θα μας καθορίσουν αυτήν την επιφάνεια.
και αν πάρουμε την εικόνα όλων αυτών των σημείων, θα σχηματιστεί
η επιφάνεια r.
Ας το σχεδιάσουμε λοιπόν σε 3 διαστάσεις
Μία τρισδιάστατη επιφάνεια
Αυτός λοιπόν είναι ο άξονας χ, αυτός είναι ο ψ και τέλος
ο άξονας z.
Και ως απλώς μια υπενθύμιση,
ίσως να φαίνεται κάπως έτσι.
Αν πάρουμε το σημείο αυτό εδώ όπου το s ισούται με a
και το t ισούται με c, θα σχεδιάσουμε την επιφάνεια
που ορίζεται από την διανυσματική συνάρτηση
r του s,t

Oromo: 
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA

Thai: 
และ t มีค่าระหว่าง c กับ d
-
พื้นที่ที่สงสัย, หากเราเลือก t กับ s ใด ๆ ใน
สี่เหลี่ยมนี่ตรงนี้, มันจะโยงกับส่วนหนึ่ง
ของพื้นผิวนั่น
และหากคุณโมงจุดแต่ละจุด, คุณจะได้
พื้นผิว r ในที่สุด
ขอผมวาด r ใน 3 มิตินะ
พื้นผิวแบบ 3D
นั่นคือแกน x, นั่นนคือแกน y, แล้ว
นั่นคือแกน z
และเพื่อเตือนความจำ, มันอาจ
ดูเป็นแบบนี้
หากเรา, จุดนี่ตรงนี้, เมื่อ s เท่ากับ a,
และ t เท่ากับ c, จำไว้, เรากำลังวาดพื้นผิว
ที่ระบุโดยฟังก์ชันเวกเตอร์ตำแหน่ง
s, r ของ s กับ t

Spanish: 
y entre t siendo igual a c y d.
Entonces el area
este rectángulo justo aquí, sera cartografiado a parte
de esa superficie.
Y si tu gráficas estos puntos, eventualmente vas a
obtener la superficie r.
Déjame dibujar r en 3 dimensiones.
Una superficie en 3D.
Así que esa es nuestro eje-x, esa es nuestro eje-y, y luego
esa es el eje-z.
Y solo como pequeño recordatorio, se podría ver
algo como esto.
Si nosotros fuéramos a, este punto justo aquí, donde s es igual a a,
y t es igual a c, recuerda, nosotros vamos a dibujar la 
superficie
indicada por la posición función vectorial
s, r de s y t.

German: 
und für t zwischen c und d.

English: 
and between t being
equal to c and d.
So the area under question, if
you take any t and any s in
this rectangle right here, it
will be mapped to part
of that surface.
And if you map each of these
points, you will eventually
get the surface r.
So let me draw r
in 3 dimensions.
A surface in 3D.
So that is our x-axis, that
is our y-axis, and then
that is the z-axis.
And just as a bit of a
reminder, it might look
something like this.
If we were to, this point right
here, where s is equal to a,
and t is equal to c, remember,
we're going to draw the surface
indicated by the position
vector function
s, r of s and t.

Korean: 
T축의 임의의 경계 역시 
c와 d사이에서 정의된다고 합시다
 
우리가 구하고 싶은 면적은
이렇게 그려진 사각형의
면적입니다
그리고 이 위의 각 점들을 찍으면
여러분은 결론적으로 표면 r을 얻게 될 것입니다.
그럼 이제 r을 3차원에서 그려봅시다
3 차원 표면
저것이 우리의 x축이고, 저것이 우리의 y축이고,
저것이 우리의 z축입니다
참고로 알려드리자면,
그 그림은 이와 같이 생겼습니다
2차원에서 s축상의 a와 같은 점,
또 t축상의 c와 같은 점을
기억하세요 우리는 s, s위의 r, 그리고 t가 만드는
벡터 함수를 그릴 것입니다.

iw: 
ו-טי הוא בין סי ודי.
אז השטח המדובר, אם תקחו כל טי וכל אס
במלבן הזה כאן, זה ימופה לחלק
מהמשטח הזה.
ואם תמפו את כל אחד מהנקודות האלה, אתם בסופו של דבר
תקבלו את המשטח אר.
אז תנו לי לצייר את אר בתלת מימד.
משטח בתלת מימד.
אז זה ציר האיקס, זה ציר ה-וואי, ואז
זה ציר ה-זי שלנו.
ורק קצת תזכורת, זה יכול להראות
כמו משהו כזה.
אם היינו, הנקודה הזו פה, כש-אס שווה ל-איי,
ו-טי שווה ל-סי, תזכרו, אנחנו הולכים לצייר את המשטח
שהפונקציות של וקטורי המצב אס,
אר של אס, וטי מראים לנו.

Polish: 
i dla t pomiędzy c i d.
Dostajemy powierzchnię, jeśli weźmiesz dowolne t i s
w tym prostokącie, zostanie ono przekształcone
jako część nowej powierzchni.
Jeśli zaznaczysz każdy z tych punktów, w rezultacie dostaniesz
płaszczyznę r.
Narysujmy r w 3 wymiarach.
Płaszczyzna w 3D.
To będzie oś X, to będzie oś Y
a to będzie oś Z.
Jako krótkie przypomnienie, może to wyglądać
jakoś tak.
Ten punkt tutaj, w którym s=a
i t=c, pamiętajcie, że rysujemy płaszczyznę
zdefiniowaną przez wektorową funkcję przemieszczenia
r(s,t).

French: 
et entre les «t», c et d.
Donc, l'aire en question, si on a n'importe quel t et n'importe quel s dans
ce rectangle, ce sera mappé à une partie
de cette surface.
Et si tu mappe chacun de ces points, éventuellement
tu auras la surface r.
Alors, je vais dessiner r en trois dimensions,
c'est un surface en 3D.
Donc voici notre axe «x», notre axe «y»,
et voici l'axe «z».
Et juste pour te rappeler, ça aura peut-être l'air
comme ceci.
Si on était pour... Ce point, où s est égale à «a»,
et t est égale à c, on va dessiner la surface
indiquée par la fonction vectorielle
s, r de s, puis t.

Estonian: 
ja t-l olles võrdsed c'le ja d'le.
Vaadeldes seda ala, kui te võtate ükskõik millise t ja s
siin riskülikus, siis see on ühendatud osaga
sellel pinnal.
Ja kui te ühendate kõik need punktid, lõpuks te
saate pinna r.
Ma joonistan r kolmes dimensioonis.
A pinna 3D-s.
See on siis meie x telg, see on meie y telg, ja siis
see on z telg.
Ja meeldetuletuseks, see võib välja näha
nagu see.
Kui me, selle punkti siin, kus s on võrdne a-ga
ja t on võrdne c-ga, jätke meelde, me joonistame pinna
positsiooni vektori funktsiooni poolt näidatud
s,r s-ist ja t-st.

Turkish: 
-
-
Bu dikdörtgen içinde herhangi bir t s ikilisi, şu yüzeyde bir noktayla eşleşecek.
-
-
Bu noktaları eşleştirirseniz, r yüzeyini elde edersiniz.
-
Şimdi üç boyutta çizeyim.
3 boyutta bir yüzey.
Bu x ekseni, bu y ekseni ve bu da z ekseni.
-
Şöyle bir şeye benzediğini hatırlayalım.
-
Bu noktada s eşittir a ve t eşittir c. r s t konum vektör fonksiyonuyla belirlenen yüzeyi çiziyoruz.
-
-
-

Japanese: 
cは　tとdの間です。
cは　tとdの間です。
この三角内でtとsを選ぶと
その表面の部分に対応します。
各点を対応づけることにより、
最終的に
表面rが得られます。
rを３次元で描画してみます。
rを３次元で描画してみます。
表面の３次元描画です。
これが、x−軸、yー軸
z−軸です。
このように見えます。
この時点で、sがaと同一で
tがcと同一であれば、表面は
s、およびsとtのrの
位置ベクトル関数で示される表面を描きます。
この点は、sがaで, かつtがcの場合、

Polish: 
Więc ten tutaj punkt, gdzie s=a, t=c,
być może przechodzi w ten punkt.
Tutaj.
Gdy weźmiesz a i c, podstawisz tutaj
dostaniesz wektor, który wskazuje do tego punktu.
Więc możesz powiedzieć, że dostaniesz wektor przemieszczenia
który będzie wskazywał na tę pozycję tutaj.
I teraz powiedzmy, że ta linia tutaj
jeśli s będzie stałe =a, a zmieniać będzie się tylko t,
od c do d, może wyglądać jakoś tak...
Rysuję jakąś przykładową linię.
Może jeśli t będzie stałe =c, a s będzie zmieniać się od a do b
to linia może wyglądać jakoś tak.
Nie wiemy.
Próbuję tylko pokazać przykładową wersję.
Ten punkt tutaj, odpowiada temu punktowi

Korean: 
그래서 2차원에서 s축 위의 a와
t축 위의 c는 여러분도 아시다시피
바로 저 점을 가리키는 것입니다
3차원으로 a와 c를 가져와서 그리면
여러분은 저것을 가리키는 벡터를 갖게 될 것입니다
그러니까, 여러분은 그것을 통해서 저 점을 가리키는
위치벡터를 갖게 될 것입니다
그리고 이 선이 있다고 가정하고
s축의 값을 a로 일정하게 잡고
t축의 값을 c에서 d까지 잡으면 
이 선이 저렇게 생겼음을 알 수 있습니다
임의의 윤곽을 그리고 있어요
이제 우리가 t축의 값을 c로 잡고,
s축의 값을 a에서 b까지 잡으면 
그것은 아마 이렇게 생겼을 것입니다
그냥 예시일 뿐입니다
예를 들어 보여주려고요
그래서 이 점은 저 점에 대응되고,

Turkish: 
s'nin a t'nin de c olduğu bu nokta belki bu noktayla eşleşir.
-
Şu nokta.
a ve c'yi bu fonksiyona koyduğunuzda, bu noktayı gösteren vektörü bulursunuz.
-
Veya size şu noktayı gösteren bir konum vektörü verir de diyebilirsiniz.
-
s'yi a'da sabit tutup t'nin c ile d arasında değer almasına izin verdiğiniz bu doğru da belki şöyle bir şeye dönüşür.
-
-
Herhangi bir eğri çiziyorum.
t'yi c'de sabit tutup, s'nin a ile b arasında değer almasına izin verirsek de belki şöyle bir şey elde ederiz.
-
Bilmem.
Sadece bir örnek göstermeye çalışıyorum.
Yani bu nokta şu noktaya karşılık geliyor. r vektör değerli fonksiyona koyduğunuzda, bu noktayı gösteren bir vektör elde ediyorsunuz.

French: 
Donc, ce point-ci, quand s est a, et t est c,
mappe à, je suis, tu sais, ce point!
Juste là.
Quand tu prends a et c, et tu les mets dans cette chose
ici, tu est seulement en train de reçevoir la vecteur qui pointe à ça.
Donc tu pourrais dire, ça te donnera une vecteur de position
qui te dirigira directement à cette position, drette là.
Ensuite, disons que cette ligne, juste ici, si on était pour
garder s constant à «a», et si on était pour varier t de c
à d, peut-être ça à l'air de ceci.
Je suis seulement en train de dessiner un contour arbitraire.
Peut-être si on garde t comme étant constant, et on varie s de a à b,
peut-être que ça ressemblera cela.
Je ne sais pas.
Je suis seulement en train de te montrer un exemple.
Donc ce point-ci corresponderait à ce point juste

Thai: 
จุดนี่ตรงนี้, ตอน s เท่ากับ a และ t เท่ากับ c, บางที
มันอาจโยงไป, ผมแค่, คุณก็รู้, จุดนั่น!
ตรงนั้น
ตอนคุณเลือก a กับ c, คุณก็ใส่มันลงในสิ่งนี้
ตรงนี้, คุณจะได้เวกเตอร์ที่ชี้ไปยังตรงนั้น
คุณก็บอกได้ว่า, มันให้เวกเตอร์ตำแหน่งคุณ
ที่ชี้ไปยังตำแหน่งนั่น, ตรงนั้น
แล้ว, สมมุติว่าเส้นนี้, จรงนี้, หากเราให้
s คงที่ที่ a, และหากเราแปรค่า t จาก c
ถึง d, บางทีมันออกมาเป็นแบบนี้
ผมแค่วาดเส้นระดับตามใจขึ้นมา
บางทีหากเราจับ t คงที่ที่ c, แล้วแปรค่า s จาก a ถึง b,
บางทีเราจะได้อะไรแบบนั้น
ไม่รู้เหมือนกัน
ผมแค่พยายามยกตัวอย่างให้ดู
งั้นจุดนี่ตรงนี้แทนจุดนั่นตรงนั้น

Modern Greek (1453-): 
Έτσι λοιπόν, το σημείο αυτό, όπου s=a και t=c ας πούμε
ότι απεικονίζεται σ'αυτό το σημείο!
Εδώ λοιπόν
Όταν λοιπον πάρουμε a και c και τα βάλουμε σ'αυτό εδώ
θα πάρουμε το διάνυσμα που καταλήγει σ'αυτό το σημείο.
Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι θα μας δώσει ένα διάνυσμα θέσης
που θα καταλήγει σ'αυτην εδώ την θέση, ακριβώς εδώ.

Spanish: 
Así que este punto de aquí, cuando s es a y t es c, tal vez
proyecte, ya sabes, ese punto!
justo aquí
cuando coges a y c, lo pones en esto de aquí
vas a obtener el vector que señala a aquél
entonces dirás, te va a dar una posición vectorial
esto te indicará en aquella posición, justo allí
y entonces digamos que esta línea de aquí, si fuéramos a
coger s constante de a, y si fuéramos a variar t de c
a d, entonces tal vez podría parecerse a esto
sólo estoy dibujando algunos contornos arbitrarios allí
tal vez si cogemos la constante t a c y variamos s de a a b
tal vez se parecerá a algo como aquello
no lo sé
sólo estoy intentando enseñaros un ejemplo
entonces este punto de aquí corresponde al punto aquél

Oromo: 
VAGINA
VAGINA
BOOB
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
VAGINA
I can't do more, to tying.

iw: 
אז הנקודה הזו פה, כשאס שווה לאיי וטי שווה לסי, אולי זה
מועתק ל, אני רק, אתם יודעים, לנקודה הזו!
בדיוק שם.

English: 
So this point right here, when
s is a and t is c, maybe it
maps to, I'm just, you
know, that point!
Right there.
When you take a and c, and you
put it into this thing over
here, you're just going to get
the vector that points at that.
So you could say, it'll
give you a position vector
that'll point right at that
position, right there.
And then, let's say that this
line, right here, if we were to
hold s constant at a, and if we
were to just vary t from c
to d, maybe that looks
something like this.
I'm just drawing some
arbitrary contour there.
Maybe if we hold t constant at
c, and vary s from a to b,
maybe that'll look at
something like that.
I don't know.
I'm just trying to
show you an example.
So this point right here would
correspond to that point right

Japanese: 
この点は、sがaで, tがcの場合、この点に対応し得ます。
ここです。
いいですか？
aとcを取り、ここに入れれば
そこに向かうベクトルが得られます。
aとcを取り、ここに入れれば
そこに向かうベクトルが得られます。
つまり、ここの、位置へ向かう
位置ベクトルが得られます。
では、ここの線で
sをaの値に固定し、tをcからdまで変更すると
このように描かれます。
任意の輪郭を描いてみましょう。
任意の輪郭を描いてみましょう。
tをcの値に固定し、sをaからbへ変更すると
このようになります。
はっきりとしませんが、
例を示しています。
ここの位置は、こっちの位置に対応します。
ベクトル値関数rにいれれば、

Estonian: 
See punkt siin, kus s on a ja t on c, võibolla see
vastab sellele punktile.
Seal.
Kui te võtate a ja c, ja panete selle siia sisse
te saate vektori mis on suunaga sellele.
Nii, et võib öelda see annab teile vektori
mis on suunaga tolle positsiooni poole.
Ja siis, ütleme et see on see joon, kui me
hoiaksime s konstandi a-s, ja kui me varieerime t c-st
d-sse, siis võibolla see näeks välja selline.
Ma joonistan siin mingit suvalist kontuuri.
Võibolla kui me hoimet t konstanti c-s ja varieerime s-i a-st b-sse,
siis võibolla see näeks välja selline.
Ma ei tea.
Ma lihtsalt üritan tuua teile näidet.
See punkt siin vastaks sellele punktile

Portuguese: 
Portanto, este ponto aqui,
quando s é a e t é c, talvez
se refere-- estou apenas, você
sabe-- a este ponto!
Ali.
Quando você toma a e c,
e os coloca nesta coisa
aqui, você obterá o vetor
que aponta para lá.
Então você poderia dizer, ele lhe
dará um vetor posição
que apontará bem
naquela posição, bem ali.
E então, vamos dizer que esta
linha bem aqui, se nós fossemos
manter s constante em a, e se
fossemos apenas variar t de c
até d, talvez isto se
pareça com algo assim.
Só estou desenhando alguns
contornos arbitrários lá.
Talvez se manter t constante em 
c, e variar s de a até b,
talvez isto se parecerá
com algo assim.
Eu não sei.
Eu só estou tentando
lhe mostrar um exemplo.
Portanto, este ponto aqui seria
correspondente àquele ponto

Spanish: 
de allí donde pones en el vector-valor función r, tú
obtendrás un vector que te señale a ese punto, justo como ese
y este punto de aquí enmorado, cuando evaluar r de
s y t, te daré un vector que te señale justo allí,
a aquél punto de allí, y podremos hacer una pareja de otros
puntos, sólo para obtener una idea de aqué se parece la superficie
aunque estoy intentando mantenerlo todo lo más general posible
entonces tal vez, déja que lo haga en este color azulado
este, si cogemos p en d y variamos s de a a b, tenemos
que empezar aquí
aquí es cuando t es d y s es a
y cuando lo varías, tal vez obtienes algo como aquello
no lo sé
entonces este punto de aquí correspondería a aquél vector
que señala ese punto, justo allí, y finalmente esta

Korean: 
그것을 벡터함수 r에 대입하면,
여러분은 저 점을 가리키는
이렇게 생긴 벡터를 얻게 됩니다
여기 보라색 점이 있는데, r을 s에서 t까지 평가하면 여러분은 그것을 통해
저 방향을 가리키는 벡터를 얻게 되고,
그냥 저 표면이 어떻게 생겼는지 짐작하기 위해서
몇 개의 다른 점을 대입해 볼 수 있겠습니다
임의의 점을 잡은것이니 
최대한 일반적인 경우로 생각해봅시다
그럼 만약 파란색으로 그려보자면
p점을 d로 고정하고  s축의 값을 a에서 b까지 잡으면
이것은 t값이 d이고 s값이 a일때의 경우입니다
다른 변들에 대해서도 그려보면
이런 모양을 얻을 수 있을 것 입니다
그래서 여기 있는 이 점은 저 점과
저 두 선 중 한개를 연결하는 벡터에 대응되게 됩니다

Estonian: 
seal, kui te panete selle vektori funktsiooni r, te
saaksite vektori mis oleks suunaga tolle punkti poole.
Ja see punkt siin lillas, kui te hindate r-i
s-ist ja t-st, see annab teile vektori mis on suunaga sinna,
sellesse puntki seal. ja kui me saaks teha paar teist
punkti, ainult et saada kujutlus sellest, et milline see pind välja näeb,
kuigi ma üritan seda hoida võimalikult üldisena.
Nii, et võib olla, las ma teen seda selles sinakas värvis.
See, kui me hoiame p-d d-s ja muudame s-i a-st b-sse...
me alustame siit.
See on kui t on d ja s on a.
Ja kui te muudate seda, võib olla te saate midagi sellist.
Ma ei tea.
Siin punktis see võrduks vektoriga mis
on suunaga sinna punkti ja lõpuks sellele

Portuguese: 
lá, quando você o coloca na
função vetorial r, você
obteria um vetor que aponta
para aquele ponto, assim.
E este ponto aqui em roxo,
quando você avaliar r de
s e t, lhe dará um vetor
que aponta para lá,
para aquele ponto lá,
poderíamos fazer outros
pontos, só para ter idéia de
como a superfície se parece,
embora estou tentando manter
as coisas o mais geral possível.
Deixe-me fazer
nesta cor azulada.
Isto, se nós mantivermos p em d e
variarmos s de a até b, nós
começaremos aqui.
Isto é quando t é d e s é a.
E quando você variar, talvez
você obtenha algo assim.
Não sei.
Este ponto aqui seria
correspondente a um vetor que
aponta para este ponto, bem ali,
e depois finalmente esta

Thai: 
ตอนคุณใส่มันลงในฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์ r
คุณจะได้เวกเตอร์ที่ชี้ไปยังจุดนั่น, แบบนั้น
และจุดนี่ตรงนี้สีม่วง, ตอนคุณแทน r ของ
s กับ t, มันจะให้เวกเตอร์นึงที่ชี้ยังตรงนั้น
จุดนั่นตรงนั้น, แล้วเราก็ทำ
อีกหลาย ๆ จุด, เพื่อให้เข้าใจว่าพื้นผิวเป็นยังไง,
แม้ว่าผมจะพยายามทำกรณีทั่วไปให้มากที่สุด
บางที, ขอผมใช้สีฟ้า ๆ หน่อยแล้วกัน
นี่, หากเราให้ t อยู่ที่ d แล้วแปรค่า s จาก a ถึง b, เรา
จะเริ่มตรงนี้
นี่คือตอน t เท่ากับ d และ s เท่ากับ a
และตอนคุณแปรค่ามัน, บางทีคุณจะได้อะไรแบบนั้น
ไม่รู้สิ
จุดนี่จรงนี้จะตรงกับเวกเตอร์
ที่ชี้ไปยังจุดนั่น, ตรงนั้น, และสุดท้ายเส้นนี้

Japanese: 
その位置へ向かうベクトルが、このように得られます。
この紫の点は、sとtのrを評価する場合
こっちの点へむかうベクトルが
得られます。他の点でも試してみましょう。
表面がどのようなものか外観が得られます。
ただし、ここでは、
なるべく一般に適用できるような例を使用しています。
ただし、ここでは、
なるべく一般に適用できるような例を使用しています。
青で書きますね。
pをdに固定し、sをaからbへ変更すると
ここから、始めます。
これは、tがdで、sがaの場合です。
これは、tがdで、sがaの場合です。
これを変更すると、このような結果が得られます。
いいですか？
対応し、最終的に
sがbで、tがcとdの間で変更する際、この線、またはこれは、

French: 
là, quand tu le mets dans la fonction vectorielle r, et tu
recevra un vecteur qui pointe à ce point, juste comme ça.
Et ce point-ci en violet, quand tu évalue r de
s et t, ça te donnera un vecteur qui te point juste là,
à ce point là-bas, et on pourrais faire quelques autres
points, juste pour avoir une idée de ce que ressemble cette surface,
par contre j'essaie de garder les affaires aussi générales que possible.
Alors peut-être, je vais le faire dans cette couleur bleuâtre,
Ceci, si on pourrais garder p à d, et varier s de a à b, on va commencer
ici.
Ceci est quand t est d et quand s est a.
Et quand tu le varie, peut-être que tu reçoit quelque chose comme ça.
Je ne sais pas.

English: 
there, when you put it into the
vector-valued function r, you
would get a vector that points
to that point, just like that.
And this point right here in
purple, when you evaluate r of
s and t, it'll give you a
vector that points right there,
to that point over there, and
we could do a couple of other
points, just to get an idea of
what the surface looks like,
although I'm trying to keep
things as general as possible.
So maybe, let me do it
in this bluish color.
This, if we hold p at d and
vary s from a to b, we're
going to start here.
This is when t is d and s is a.
And when you vary it, maybe
you get something like that.
I don't know.
So this point right here would
correspond to a vector that
points to that point, right
there, and then finally this

Turkish: 
-
-
Bu mor noktayı da r s t'ye koyduğunuzda, şurayı işaret eden bir vektör buluyorsunuz. Birkaç örnek daha yaparsak, yüzeyin neye benzediğini daha iyi anlarız.
-
-
-
-
Şu mavi rengi kullanayım.
t'yi d'ye sabitlersem ve s'nin a'dan b'ye gitmesine izin verirsem, buradan başlarım.
-
Burada t eşittir d ve s eşittir a.
s değiştikçe belki şöyle bir şey elde edersiniz. Bilmiyorum.
-
Buradaki nokta, şu noktayı gösteren bir vektöre denk gelir. Son olarak da bu doğru, s'yi b'ye sabitlersek ve t'nin c ve d arasında değer almasını istersek, bu noktadan şu noktaya gideceğiz.
-

Polish: 
kiedy podstawisz do funkcji wektorowej r,
dostaniesz dokładny wektor, który wskazuje ten punkt.
A ten fioletowy punkt, jeśli obliczysz r(s,t)
da wektor, który wskazuje tutaj,
do tego punktu. Możemy dodać jeszcze kilka punktów
żebyście złapali ideę tego jak wygląda ta powierzchnia.
Jednak na razie staram się by wszystko było jak najbardziej ogólne.
To może weźmy niebieski kolor.
To, jeśli zatrzymamy t na d, i zmieniać się będzie s od a do b
zaczniemy tutaj.
Bo to jest gdy t=d i s=a.
A kiedy s się zmienia, może dostaniemy coś takiego.
Nie wiemy.
Tak, że ten punkt odpowiada wektorowi,
który wskazuje tutaj, a ostatecznie

English: 
line, or this, if we hold s at
b and vary t between c and d,
we're going to go from that
point, to that point.
So it's going to look something
like this-- oh, sorry, we're
going to go from this
point to that point.
We're holding s at b, varying
t from c to d, maybe it
looks something like that.
So our surface, we went from
this nice rectangular area in
the ts plane, and it gets
transformed into this
wacky-looking surface.
We could even draw some
other things right here.
Let's say we get some
arbitrary value.
Let me pick a new color,
I'll do it in white.
Or a new noncolor.
And let's say if we hold s at
that constant value and we
vary t, maybe that will look
for something like this.
Maybe that we'll look something
like, well, I don't know.
Maybe it'll look
something like that.

Spanish: 
linea, o esta, si cogemos s en b y variamos t entre c y d,
tendremos que ir de ese punto a ese otro punto,
entonces se parecéra a algo así, oh, lo siento, vamos
a ir desde este punto a este punto
cogemos s en b, variando t de c a d tal vez
se parecerá a algo como aquello

Polish: 
ta linia, albo to, jeśli zatrzymamy s na b, i zmienimy t od c do d
pójdziemy od tego punktu, do tego.
I to będzie wyglądało jakoś tak -- przepraszam --
idziemy z tego punktu do tego.
Zatrzymujemy s na b, zmieniamy t od c do d.
Więc nasza powierzchnia zamieniła się z prostokąta ts
w tę dziwacznie wyglądającą płaszczyznę.
Możemy nawet narysować kilka innych rzeczy.

Thai: 
หรือนี่, หากเราจับ s ที่ b แล้วแปรค่า t ระหว่าง c กับ d
เราจะไปจากจุดนั่น ไปยังจุดนั้น
มันก็จะออกมาหน้าตาแบบนี้ -- โอ้ ขอโทษที เราจะ
ไปจากจุดนี้ถึงจุดนั้น
เราจับ s อยู่ที่ b แล้วแปรค่า t จาก c ถึง d, บางทีมัน
อาจเป็นแบบนั้น
ดังนั้นพื้นผิวเรา, เราไปจากพื้นที่สี่เหลี่ยมสวย ๆ ใน
ระนาบ t s, มันถูกแปลงเป็น
พื้นผิวเป็นระลอกนี่
เราสามารถวาดอย่างอื่นตรงนี้ได้อีก
สมมุติว่าเรามีค่าตามใจค่าหนึ่ง
ขอผมเลือกสีใหม่หน่อย, ผมใช้สีขาวแล้วกัน
หรือสีแบบไม่มีสี
สมมุติว่าเราเลือก s ที่ค่าคงที่ค่าหนึ่ง แล้ว
เราแปรค่า t, บางทีนั่นอาจดูเป็นแบบนี้
บางทีเราเลือกอะไรที่, ไม่รู้สิ,
บางทีมันอาจเป็นแบบนั้น

Portuguese: 
linha, ou isto, se mantivermos s
em b e variarmos t entre c e d,
nós iremos deste ponto
para aquele ponto
Então, ele se parecerá
com isto-- desculpe, nós
iremos deste ponto
para aquele ponto
Nós estamos mantendo s em
b, variando t de c até d, talvez
se pareça com isto.
Portanto nossa superfície, fomos de
uma agradável área retangular no
plano ts, e foi transformada nesta
superfície de aparência maluca.
Poderíamos até mesmo desenhar
algumas outras coisas aqui.
Vamos dizer que obtemos
algum valor arbitrário.
Deixe-me escolher uma nova cor,
Eu vou fazer em branco.
Ou incolor.
Vamos dizer que se
mantivermos s constante e
variarmos t, talvez isto se
pareça com algo assim.
Talvez isto se pareça com
algo, bem, não sei.
Talvez se pareça com algo assim.

Turkish: 
-
-
Pardon, bu noktadan şu noktaya gidiyoruz.
-
s'yi b'de sabit tutuyoruz, t'yi c'den d'ye götürüyoruz. Belki şöyle bir şeye benzer.
-
t s düzlemindeki bir dikdörtgenden şu garip görünen yüzeye ulaştık.
-
-
Buraya başka şeyler de çizebiliriz.
Herhangi bir değer seçeyim.
Yeni bir renk seçeyim, örneğin beyaz.
-
s'yi bu değerde sabit tutar ve t'nin değişmesine izin verirsem belki şöyle bir şey elde ederim.
-
Belki de şöyle bir şey, bilmiyorum. Veya böyle bir şey.
-

Japanese: 
sがbで、tがcとdの間で変更する際、この線、
この点からこの点へ移行します。
こんな感じ？
ここからここです。
sをbに固定し、tがcからdまで移行すると
こんな感じ？
このts平面の正方形から
このような奇妙な表面が得られます。
このような奇妙な表面が得られます。
ここに書き足せます。
任意の値を取りましょう。
色を変えて、白を使用します。
色なしです。
sを固定値にし
tを変更すると、このようになります。
こんなようかな？
このような感じでしょう。

Estonian: 
joonele. kui me hoiame s-i b-s ja muudame t-d c ja d vahel,
me läheme tollest punktist tollesse punkti.
See hakkab välja nägema millegi sellisena. oi vabandust.
me hakkame minema sellest punktist sellesse.
Me hoiame s-i b-s, muutest t-d c-st d-sse, võib olla see
näeb välja midagi nagu sellist.
Me läksime sellest ristkülikulisest alast siin
ts teljestikule ja see muutub selleks
kahtlaseks pinnaks.
Me võiks isegi joonistada mõned teised asjad siin.
Üleme et meil on mingi suvaline väärtus.
Ma valin uue värvi, ma teen seda valges.
Või uue mitte-värvi.
Ütleme, et me paneme s-ile selle konstantse väärtuse ja me
muudame t-d, võib olla see on midagi selle moodi.
Võib olla me näeme midagi...... ma ei tea.
Võib olla see on midagi sellist.

Korean: 
그리고 s의 값을 b로 고정하고 t값을 c에서 d로 잡으면
우리는 이 점부터 저 점까지 이을 수 있습니다
그 그림은 이렇게 생겼을 것...아 아니군요
이 두 점을 이은 것처럼 생겼을 것입니다
s의 값을 b로 고정하고, t값을 c에서 d까지 잡으면
그것은 아마도 저렇게 생겼을 것입니다
우리의 표면, 다시 말해 (T,S) 표면의 저 직사각형은
저 기괴하게 생긴 평면으로
바뀌었습니다
게다가 우리는 다른 것들도 여기에 그려볼 수 있습니다
우리가 임의의 값을 지정했다고 가정해 봅시다
잠시만요, 새로운 색 좀 고를게요. 아, 하양으로 할게요
아니면 무색이나
그리고 s의 값을 저렇게 일정하게 잡고
t의 값을 다양하게 하면,  그것은 아마도 이렇게 생긴 것일 겁니다
아마도 저렇게 생긴...... 아닌가?
뭐 이렇게 생겼을 수도 있습니다

Thai: 
คุณก็จะแนวคิดว่าพื้นผิวมีหน้าตาอย่างไร
ทีนี้, จากที่กำหนดนี้, ผมอยากคิดว่าปริมาณ
พวกนี้คืออะไร
แล้วตอนเรานึกภาพว่าปริมาณพวกนี้คืออะไร, เราก็จะ
ใช้ผลพวกนี้จากวิดีโอที่แล้ว
มาทำอะไรที่ผมว่าจะมีประโยชน์
งั้นสมมุติว่าเราเลือกค่า s กับ t ตามใจ
นี่ก็คือจุด, ขอผมเลือกมันตรงนี้นะ
-
นั่นคือจุด s, t
s ลูกน้ำ t
หากคุณใส่ค่าพวกนี้ในนี้ มันอาจโยงไป, ผม
อยากให้มันสอดคล้องกับทุกอย่างที่ผมวาดมา
บางทีมันโยงไปจุดนี่ตรงนี้
บางทีมันโยงไปจุดนั่นตรงนั้น
งั้นจุดนี่ตรงนี้, นั่นคือ r ของ s กับ t
สำหรับ s กับ t ค่านึง
ผมหมายถึง, ผมอาจใส่ตัวห้อยเล็ก ๆ ตรงนี้, แต่
ผมอยากให้มันทั่วไป
ผมอาจเรียกนี่ว่า a, ผมใช้ a กับ b ไปแล้ว

English: 
So you get an idea of what
the surface might look like.
Now, given this, I want
to think about what
these quantities are.
And then when we visualize what
these quantities are, we'll be
able to kind of use these
results of the last videos
to do something that I
think will be useful.
So let's say that we
pick arbitrary s and t.
So this is the point, let me
just we pick it right here.
That is the point s, t.
s comma t.
If you were to put those values
in here maybe it maps to, and I
want to make sure I'm
consistent with everything I've
drawn, maybe it maps to
this point right here.
Maybe it maps to that
point right there.
So this point right here,
that is r of s and t.
For a particular s and t.
I mean, I could put little
subscripts here, but
I want to be general.
I could call this a, well,
I already used a and b.

Korean: 
그러면 이제 그 평면이 어떻게 생겼을지 짐작이 가겠죠
이제, 여기 주어진 이 값들이
무엇을 의미하는지 알고 싶네요
그리고 그 값들을 시각화하면
우리는 지난번 동영상의 결과물들을
쓸모있게 이용할 수 있게 될 것이라고 생각합니다
자 그럼 임의의 s와 t를 잡아봅시다
뭐 이 점으로 잡으면,
 
저것이 (S,T) 점이 되겠죠.
(S,T)
그 값들을 여기에 대입해 보면 아마 그 점은,
제가 지금까지 그린 것들이 모두 맞는지 확인해 보고
저기 있는 저 점에 대응됩니다
저기 있는 저 점  말이에요
여기 이 점이 특정한 s와 t 값에 대해
그들의 r값이 됩니다.
참고로 말하자면,
저는 최대한 일반적인 경우를 생각하고 싶어요
이것을 a라고 하면, 아, a와 b는 이미 사용했군요

Japanese: 
どのような表面か、だいたい感じがつかめましたか？
これらの値について考えてみましょう。
これらの値について考えてみましょう。
これらの値を視覚化した場合、
先のビデオのこの結果を使用し、
何か役に立つことが可能となります。
任意のsとtを選びましょう。
ここの点を選びましょう。
ここの点を選びましょう。
これが、sとt
s、t
これらの値を
できるだけ、均一に描きますね。
この辺かな？
ここの点になります。
この点は、sとtのrです。
特定のsとt
小文字を使用しましょう。
なるべく一般化して説明します。
これをaとし、既にaとbを使用してました。

Estonian: 
Ehk te kujutate ette milline see pind võiks välja näha.
nüüd arvestades seda, ma tahan mõelda
sellest, millised need suurused on.
Ja siis kui me visualiseerime millised need suurused on, me oleme võimelised
kasutama neid tulemusi eelmistest videotest,
et teha midagi mida ma arvan olevat kasulik.
Ütleme, et me valime suvalised s ja t.
See ongi mõte, me valime selle siin.
See on punkt s, t.
s koma t.
Kui te peaks need väärtused panema siia, siis võibolla see ühendub, ja ma
tahan kindaks teha, et ma olen pidav kõigega mida ma olen joonistanud,
võib olla see ühendub ssiia punkti.
Võib olla see ühendub siia punkti.
See punkt siin, see on r s-st ja t-st.
Kindlast s-st ja t-st.
Ma võin panna siia väiksed alaindeksid, aga
ma tahan olla üldine.
Ma võiks seda kutsuda a-ks, kuid ma juba kasutasin a ja b.

Turkish: 
Yüzeyin neye benzediği konusunda bir fikir edindiniz.
Şimdi bu miktarların ne olduğunu düşünmenizi istiyorum.
-
Bu miktarların anlamını görsellediğimizde, önceki videolarda elde ettiğimiz sonuçları kullanarak faydalı bir şey yapacağız.
-
-
Herhangi bir s ve t değeri seçeyim.
Şu noktayı seçiyorum.
-
Bu s t noktası.
s virgül t.
Bu değerleri buraya koyduğumuzda belki şu noktayla eşleşiyor, yaptıklarımda tutarlı olmak istiyorum.
-
-
Belki şu noktayla eşleşiyor.
Yani bu nokta, verilen bir s t ikilisi için, r s t.
-
Buraya altsimge de koyabilirim ama noktayı genel tutmak istiyorum.
-
-

Portuguese: 
Para você ter uma idéia do que
a superfície pode parecer.
Agora, dado isso, quero
pensar sobre o que
essas quantidades são.
Quando visualizamos o que
estas quantidades são,
seremos capazes de usar os
resultados dos últimos vídeos
para fazer algo que eu
acho que será útil.
Vamos dizer que escolhemos
s e t arbitrários.
Então este é o ponto, deixe-me
apenas buscá-lo aqui.
Esse é o ponto s, t.
s vírgula t.
Se você fosse colocar estes valores
aqui, talvez ele se refere a, e eu
quero ter certeza que estou
coerente com o que tenho
desenhado, talvez ele se
refere a este ponto aqui.
Talvez ele se refere
a este ponto aqui
Portanto este ponto aqui,
que é r de s e t.
Para um s e t particular.
Poderia colocar poucos
subscritos, mas
quero que seja geral.
Eu poderia chamar isto
de a, eu já usei a e b.

Turkish: 
Buna x y diyebilirim, bu da r x y olur.
Şu noktayla eşleşir.
Bu ifade veya şu ifade.
Şimdi sadece s yönünde gidersek ne olur, ona bakalım.
-
-
Bir diferansiyel kadar, çok küçük bir s miktarı kadar ileri gidelim.
-
Şuradakine s artı çok küçük bir s diferansiyeli diyelim.
-
Şurası.
Bu nokta.
Bunu sarıyla göstereyim.
Bu nokta, s artı s'nin diferansiyeli.
-
Delta s de yazabilirim, ama çok küçük bir fark istedim, virgül t.
-
Bu nokta neyle eşleşecek?
Bu iki koordinatı r'ye koyunca belki de şöyle bir nokta elde edeceğiz.

Japanese: 
xとyとしましょう。これが、xとyのrです。
つまり、ここ部分、または、この部分です。
では、sの向きに移行すると
どうなるか、見てみましょう。
これをsとすることができます。
非常に小さい値のs、
微分で前に移行してみましょう。
ここで、これを
sと非常に小さい微分sとしましょう。
ここです。
この点です。
わかりやすい様、黄色に変えます。
この点は
sと非常に小さい微分sと合計です。
デルタsと書くこともできますが、s、コンマtの値の変化は
非常に小さいものとします。
結果はどのようになるでしょう？
このr内の２点を使用すれば、
たぶん、この辺になるでしょう。

Thai: 
ผมอาจเรียกนี่ว่า x กับ y, นี่จะเป็น r ของ x กับ y
มันจะโยงไปยังจุดนั่น. ตรงนั้น
แล้วนั่นตรงนั้น, หรือนั่นตรงนั้น
ทีนี้ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นตอนเราหาล หากเรา
เคลื่อนไปในทิศ s
นี่คือที่เราทำได้กับ s
ตอนนี้ลองเลื่อนไปข้างหน้าเป็นระยะ ดิฟเฟอเรนเชียล
โดยปริมาณเล็กจื๋วใน s
ดังนั้นนี่ตรงนี้, เรียกมันว่า s บวกดิฟเฟอเรนเชียล
เล็กจื๋วใน s
นั่นตรงนั้น
จุดนั้น
ขอผมใช้สีดีกว่านี้หน่อย, สีเหลืองนี่แล้วกัน
งั้นจุดนั่นตรงนั้น มีจุด s บวก
ดิฟเฟอเรนเชียลของ s อยู่
ผมอาจเขียน เดลต้า s, แต่ผมอยากให้มัน
เล็กมากใน s, ลูกน้ำ t
และนั่นจะโยงไปหาอะไร?
หากเราใช้นี่กับจุดสองจุดใน r, เราจะ

Portuguese: 
Eu poderia chamar isto de
x e y, isto seria r de x e y.
Se referiria àquele ponto lá.
Então aquilo lá,
ou aquilo lá.
Agora vamos ver o que acontece
se tomarmos, se movermos
apenas na direção s.
Nós poderíamos
fazer isto como s.
Agora vamos avançar
por um diferencial, por uma
muito pequena quantidade de s.
Então isto aqui, vamos
chamar isto de s mais uma
muito pequena diferencial em s.
Está la.
Então aquele ponto.
Deixe-me fazer isso em uma
cor melhor, em amarelo
Então aquele ponto
ali é o ponto s mais
minha diferencial de s.
Poderia escrever delta s, mas
queria uma muito pequena
variação de s vírgula t.
E ao que aquilo se referirá?
Bem, se aplicarmos estes dois
pontos em r, vamos

Estonian: 
Ma nimetan seda x ja y, see on r, x-st ja y-st.
See ühenduks sellesse punkti seal.
Siin või siin.
Vaatame mis juhtub kui me võtame, kui me liigutame
s selles suunas.
Nii, et me saaks seda teha s-ina.
Liigume edasi differentsiaali võrra,
üliväikse suuruse võrra s-st.
See siin, kutsume seda s pluss
üliväike differentsiaal s-s.
See on seal.
See punkt.
Las ma teen seda paremas värvis, selles kollases.
See punkt on seal s pluss
minu differentsiaal s-st.
ma võiks kirjutada delta s, aga ma tahtsin üliväikest
muutust s-is, koma t.
Ja kuhu see ühendub?
Kui me võtame kasutusele need kaks punkti r-is.

Korean: 
그럼 이것을 x와 y라고 하면
이 점은 x와 y의 r값이 되겠군요
바로 저기 저 점이요, 바로 저기
그리고 이것은 저 두 부분이 되겠군요
그럼 이제 우리가 오직 s 방향으로만 움직이면
무슨 일이 생기는지 알아봅시다
그러면, 이 점은, 음... 저기를 s라고 합시다
그럼 이제 델타s, 다시 말해
아주 작은 s의 값을 이용해 봅시다
여기 이것을 s 더하기
s와의 차이가 작은 값으로 둡시다
그게 바로 거기입니다
저 지점이요
좀 더 나은 색으로 합시다. 이 노란색으로
그래서 여기 있는 점이 바로 s더하기
다른 값입니다
델타 s를 이용해 엄청 작은 변화를 나타내고
(s+ds,t)라고 표현하도록 합니다.
그럼 어떻게 그려질까요?
이 두 점을 r에 대입하면,

English: 
I could call this x and y,
this would be r of x and y.
It would map to that
point, right there.
So that right there,
or that right there.
Now let's see what happens
if we take, if we move
just in the s direction.
So this is we could
do that as s.
Now let us move forward
by a differential, by a
super small amount of s.
So this right here, let's
call that a s plus a super
small differential in s.
That's right there.
So that point.
Let me do that in a better
color, in this yellow.
So that point right there
is the point s plus
my differential of s.
I could write delta s, but
I wanted a super small
change in s, comma t.
And what is that going
to get mapped to?
Well, if we apply these two
point in r, we're going to

Korean: 
우리는 이런 결과를 얻을 수 있습니다.
그리고 한 가지 매우 명확하고 싶은데,
이 점, 바로 (s+ds,t)가
무엇인지 입니다
이 점이 s를 a로 움직일 때
엄청 조그만 차이로 이동하는 점인데,
 사이의 거리를 ds라고 볼 수 있습니다
s에서는 무척 미세한 변화였지만,
이를 다른 곳으로 옮기거나, 확장시키기
혹은 벡터함수를 가리키게 하면 복사 붙여넣기 할게요
 
우리가 계속 이야기한 것이 바로 이거죠?
 
자 이제 이것을 여기로 옮기고,
자 마저 하던 일을 계속 해보면,
우리가 이 파란 점을 여기에 놓고 s, t를이렇게 이동하면

Estonian: 
me saame midagi mis võib olla siin.
Ja ma tahan olla väga selge.
See siin, see on r s-ist pluss ds koma t.
See on mis see on.
See on see mõte kui me muudame s-i väikse
differentsiaali võtta, see vahemaa siin on nähtaval dc-na.
See on üliväike muutus s-is.
Ja kui me muudame seda, või paneme
selle punkti oma funktsiooni, mas ma kopeerin.
originaalse vektori funktsiooni, nii et meil oleks
hea näha millest me kogu selle aja oleme rääkinud.
Ma panen selle siia.
Et olla selge mis juhtus kui me võtsime selle
väikse sinise punkti siin, selle s ja t, ja me panime s

Japanese: 
わかりましたか？
この点が、sプラスds、コンマ、tのrです。
いいですか？
これが、sを非常に小さい微分で移行した際の
点で、この距離は、dsと見なせます。
これは、非常にsの小さい変化です。
これを、対応、転換、または、ベクトル値関数へ入れれば、
または、ベクトル値関数へ入れれば、
元のベクトル値関数をコピーしてきましょう。
これまで、説明してきたことがわかってくるでしょう。
これまで、説明してきたことがわかってくるでしょう。
ここに、おいておきましょう。
わかりやすいように
このsとtである青い点で
sとtの値を入れると、この表面に向かうベクトルが

Turkish: 
-
Bunu açıkça göstermek istiyorum.
Bu nokta, r s artı d s virgül t.
-
s'yi çok küçük bir diferansiyelle artırdığımızda elde ettiğimiz nokta bu. Bu uzaklık ise d s, s'deki çok küçük bir fak.
-
-
Ve bunu dönüştürdüğümüzde, eşleştirdiğimizde veya vektör değerli fonksiyonumuza koyduğumuzda, vektör değerli fonksiyonu buraya kopyalayayım da ne hakkında bahsettiğimiz önümüzde olsun.
-
-
-
-
Şuraya koyuyorum.
Bu mavi noktanın s ve t değerlerini vektör değerli fonksiyona koyduğumuzda, yüzey üzerindeki şu noktaya işaret eden bir vektör bulmuştuk.
-

Portuguese: 
obter algo que talvez
esteja bem ali.
Quero ser claro.
Este aqui, este é
r de s mais ds vírgula t.
Isto que é.
Este é o ponto em que deslocamos
s por um muito pequeno
diferencial, esta distância
aqui, você pode ver como ds.
É uma muito pequena variação em s.
E então, quando mapeá-la ou
transformá-la, ou colocar aquele
ponto na nossa função vetorial,
deixe-me copiar e colar
a função vetorial original,
só assim teremos uma
boa imagem do que estamos
falando todo esse tempo.
Deixe-me colocar aqui embaixo.
Só para ficar claro o que está
acontecendo, quando tomámos este
pequeno ponto azul aqui,
este s e t, e colocamos os

English: 
get something that maybe
is right over there.
And I want to be very clear.
This right here, that is
r of s plus ds comma t.
That's what that is.
That's the point when we just
shift s by a super small
differential, this distance
here, you can view as ds.
It's a super small change in s.
And then when we map it or
transform it, or put that
point into our vector-valued
function, let me copy and paste
the original vector-valued
function, just so we have a
good image of what we're
talking about this whole time.
Let me put it right down there.
So just to be clear what's
going on, when we took this
little blue point right here,
this s and t, and we put the s

Thai: 
ได้อะไรที่เป็นแบบนั่นตรงนั้น
ผมอยากให้ทุกอย่างชัดเจน
นี่จรงนี้, นั่นคือ r ของ s บวก ds ลูกน้ำ t
นั่นคือสิ่งที่มันเป็น
นั่นคือจุดที่เราเลื่อน s ไปด้วยดิฟเฟอเรนเชียล
เล็กจิ๋ว, ระยะนี่ตรงนี้, คุณมองมันเป็น ds
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงเล็กมากใน s
แล้วเราก็โยงมันหรือแปลงมัน, หรือใส่มัน
ในฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์ของเรา, ขอผมคัดลอกและวาง
ฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์อันเดิม, เราจะได้มี
ภาพไว้ดูว่าเราพูดถึงอะไรตลอดเวลา
-
ขอผมใส่มันข้างล่างนี้
เพื่อให้ชัดเจนว่าเกิดอะไรขึ้น, ตอนเราเอาจุด
สีฟ้าเล้ก ๆ นี้มา, s กับ t นี่, เราใส่ค่า s

Japanese: 
得られます。
得られます。
sの値にdsを加え、
この黄色の点へ向かうベクトルが得られます。
この黄色の点へ向かうベクトルが得られます。
先のプレゼンで得られた結果に戻ると、これは
sとデルタsのrまたはsプラスds
sの微分、t、それがここです。
これがこの位置に向かうベクトルです。
これが、この青い位置へ向かう
ベクトルです。
この２つのベクトルの差は何でしょう？
これは、基礎ベクトルの数学です。
覚えていますか？
この２つのベクトルの差は、頭からしっぽです。
この２つのベクトルの差は
このベクトルです。
このベクトルから、このベクトルを差し引くと
このベクトルは得られます。
このベクトルは得られます。
ベクトルは、このように、示されます。
ベクトルは、このように、示されます。

Thai: 
กับ t ลงตรงนี้, เราจะได้เวกเตอร์ที่ชี้ไปยัง
จุดนั้นบนพื้นผิว, ตรงนั้น
ตอนคุณบวก ds ลงในค่า s คุณ, คุณจะได้เวกเตอร์
ที่ชี้ไปยังจุดสีเหลืองตรงนั้น
-
กลับไปยังผลที่เราได้ในการนำเสนอที่แล้ว
หรือวิดีโอที่แล้ว, นี่คืออะไร?
r ของ s บวกเดลต้า s, หรือ r ของ s บวก ds, ดิฟเฟอเรนเชียลของ
s, t, ทีนี้, นั่นคือนั่นตรงนั้น
นั่นคือเวกเตอร์ที่ชี้ไปยังตำแหน่งนั้น
นี่ตรงนี้คือเวกเจอร์ที่ชี้ไปยัง
ตำแหน่งสีฟ้านี่
แล้วผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองอันคือะไร?
นี่ก็แค่เลขเวกเตอร์ธรรมดา
ถ้าคุณจำได้
ผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองอัน, หัวต่อหาง
ผลต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวนี่จะ
เป็นเวกเตอร์นี้
หากคุณลบเวกเตอร์นี้ด้วยเวกเตอร์นั่น, คุณจะได้
เวกเตอร์นั่น, ตรงนั้น
-
เวกเตอร์ที่เป็นแบบนั้น

Turkish: 
-
-
s değerine d s'yi eklediğinizde ise, şu sarı noktayı gösteren bir başka vektör bulursunuz.
-
-
Bir önceki sunumda elde ettiklerimize göre, bu nedir?
-
r s artı delta s veya r s artı d s, t, şurası.
-
Bu konumu gösteren vektör budur.
Bu vektör bu mavi noktayı gösterir.
-
Bu iki vektörün farkı nedir?
Temel vektör matematiği kullanacağız.
-
Bu iki vektörün farkı, uç uca metodu.
Bu iki vektörün farkı şu vektör olacak.
-
Bu vektörü şu vektörden çıkarırsak, bu vektörü elde ederiz.
-
-
Şöyle bir vektör.

Korean: 
여기를 가리키는 벡터를 얻게 됩니다
s값에 ds를 추가하면 여러분은 여기 노란 점을
가리키는 벡터를 갖게 됩니다
 
자 그럼 전 프레젠테이션에서 나온 결과로 돌아가보면,
 
s의 r 더하기 델타 s, s의 r 더하기 ds,
저기에 있는 s, t로 보면
저것이 저 방향을 가리키는 벡터입니다.
이 벡터는 파란 부분을 가르키고 있습니다.
 
자 그럼, 이 두 벡터의 차이점은 뭡니까?
이것은 기본적인 벡터 수학의 일부라고 할 수 있는데,
기억합니까?
이 두 벡터의 차이점은 시작점과 끝점인데,
이것이 바로 벡터를 이루는 중요한 부분입니다
이 벡터에서 저 벡터를 빼면
이 벡터를 얻을 수 있습니다
 
이렇게 생겼죠

English: 
and t values here, we get a
vector that points to that
point on the surface,
right there.
When you add a ds to your
s-values, you get a vector
that points at that
yellow point right there.
So going back to the results we
got in the last presentation,
or the last video,
what is this?
r of s plus delta s, or r of s
plus ds, the differential of
s, t, well, that is
that, right there.
That is the vector that
points to that position.
This right here is a vector
that points to this
blue position.
So what is the difference
of those two vectors?
And this is a bit of
basic vector math,
you might remember.
The difference of these two
vectors, head to tails.
The difference of these
two vectors is going
to be this vector.
If you subtract this vector
that vector, you're going to
get that vector, right there.
A vector that looks
just like that.

Estonian: 
ja t väärtused siia, me saime vektori suunaga
sellesse punkti pinnal, seal.
Kui sa liidad ds oma s väärtusele sa saad
vektori suunaga tollesse kollasesse punkti.
Minnes tagasi tulemustele mis me saime viimases videos.
r s-ist pluss delta s, või r s-ist pluss ds, differentsiaal
s,t-st. see on siin.
See on see vektor mis on suunaga tollesse posistiooni.
See siin on vektor mis on suunaga sellesse
sinisesse postisiooni.
Mis on nende kahe vektorite vahe?
Ja see on osa algsest vektorite matemaatikast,
teil võib meeles olla.
Nende kahe vektorite vahe, peast sabani.
Nende kahe vektori vahe muutub
selleks vektoriks siin.
Kui te lahutate selle vektori ja tolle vektori, te saate
selle vektori seal.
Vektori mis näeb välja just selline.

Portuguese: 
valores de s e t aqui, obtemos
um vetor que aponta para este
ponto da superfície ali.
Quando adiciona um ds para o seus
valores de s, você obtém um vetor
que aponta para aquele
ponto amarelo lá.
Então, voltando aos resultados
que obtivemos na última apresentação,
ou no último vídeo,
o que é isto?
r de s mais delta s, ou s de r
mais ds, o diferencial de
s, t, bem, isto é aquilo lá.
Este é o vetor que aponta
para aquela posição.
Este aqui é um vetor
que aponta para esta
posição azul.
Então, qual é a diferença
destes dois vetores?
E isto é um pouco de
matemática básica do vetor,
talvez se lembre.
A diferença destes dois
vetores, da cabeça a cauda.
A diferença destes
dois vetores será
este vetor.
Se subtrair desse vetor,
este vetor, você
obterá aquele vetor, bem ali.
Um vetor que se
parece com isso.

Portuguese: 
Então, ele é igual
a isto, este vetor.
E faz sentido.
Esse vetor azul mais o
vetor laranja, este vetor,
aqui, mais o vetor
laranja, é igual
a este vetor.
Faz todo o sentido.
Da cabeça à cauda.
Então é isto o que representa.
Agora vamos fazer o
mesmo na direção t.
Estou ficando sem cor.
Voltarei para o rosa,
ou talvez o magenta.
Tivemos aquele s e t.
Agora, se subirmos um pouco,
nesse sentido, digamos
que isto é t, então este é o ponto
s, t mais uma muito pequena
variação em t, que
aponta para lá.
Esta distância é aqui é dt,
você pode vê-la dessa forma.
Se você colocar s e t mais dt na
nossa função vetorial,
o que obterá?
Você obterá um vetor
que talvez aponte para
este ponto aqui.
Talvez o desenhe.

Estonian: 
See on, mis on võrdne, too vektor.
Ja see on loogiline.
See sinine vektori pluss oranž vektori, see vektor,
siin, pluss see oranž vektor on võrdne
selle vektoriga.
See on täiesti loogiline.
Peast sabani.
See on mida see esindab.
Teeme nüüd sama asja t suunaga.
Mul saavad värvid otsa.
Ma lähen tagasi roosale, või fuksiale.
Meil oli see s ja t.
Nüüd kui me läheme veidi üles, selles suunas, ütleme
et see on t, siis see punkt s,t pluss
üliväike muutus t-s, see punkt seal.
See vahemaa seal on dt, te võite seda nii vaadata.
Kui te panete s ja t pluss dt vektori väärtuse funktsiooni,
mis te saate?
Se saate vektori mis võib olla on suunaga
siia punkti, siin.
Ma joonistan selle siia.

Turkish: 
Yani bu, şu vektöre eşittir.
Bu mantıklı.
Bu mavi vektör artı turuncu vektör eşittir şu vektör.
-
-
Çok mantıklı
Uç uca.
Bu farkı böyle gösteriyoruz.
Şimdi aynı şeyi t yönünde yapalım.
-
-
-
-
s ve t değerlerimizi seçmiştik.
Şimdi bu yönde biraz gidersek, t artı çok küçük bir t farkı, bu noktaya ulaşırız.
-
-
Bu uzaklık d t olur.
Şimdi s ve t artı d t'yi vektör değerli fonksiyonumuza koyarsak, ne elde ederiz?
-
Şu noktayı gösteren bir vektör elde ederiz.
-
Buraya çizeyim.

Korean: 
그래서 저게 바로 저 벡터와 같은 거에요
저 파란 벡터와 주황색 벡터의 합과
여기 이 벡터와 주황색 벡터의 합은
이 벡터로 같죠
그렇습니까?
완전히 같아요
저게 바로 의미하는 바입니다
이제 t 방향으로 같은 일을 해 볼게요
 
오 색깔이 부족하네요
 
다시 분홍색으로 할까? 아님 마젠타?
돌아와서, s와 t가 있었죠?
자, 저 방향으로 조금 올리면,  저게 t라고 하고,
여기가 점s,  t 더하기 아주 작은 값
바로 저기 저 점이지요
저기의 거리는 dt이고, 저렇게 볼 수 있겠죠,
만약 s와 t더하기 dt를 벡터 함수에 대입하면
뭘 얻을 수 있을까요?
아마 당신은 저 점을 가리키는
벡터를 얻게 될 것입니다
여기다 그려볼게요

Thai: 
นั่นก็คือสิ่งที่มันเท่ากับ, เวกเตอร์นั่น
และนั่นเข้าใจได้
เวกเตอร์ฟ้านี่บวกเวกเตอร์ส้ม, เวกเตอร์นี่,
ตรงนี้, บวกเวกเตอร์สีส้ม, เท่ากับ
เวกเตอร์นี้
นั่นถูกต้องแล้ว
หัวต่อหาง
นั่นคือสิ่งที่มันแสดง
ทีนี้ ลองทำแบบเดียวกันกับทิศ t
-
ผมไม่มีสีเหลือแล้ว
-
ผมจะกลับไปใช้สีชมพู หรือไม่ก็บนเย็นแล้วกัน
เรามี s กับ t นั่น
ทีนี้หากเราขึ้นไปหน่อย, ในทิศนั่น, สมมุติว่า
นั่นคือ t, แล้วนี่คือจุด s, t บวกการแเปลงเล็ก ๆ
ใน t, นั่นคือจุดนั่นตรงนั้น
ระยะนี่ตรงนี้คือ dt, คุณมองมันแบบนั้นได้
หากคุณใส่ s กับ t บวก dt ลงในฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์
คุณจะได้อะไร?
คุณจะได้เวกเตรอืที่ชี้ไปยัง
จุดนี้, ตรงนี้
บางทีผมจะวาดมันตรงนี้

English: 
So that's what this is
equal to, that vector.
And it makes sense.
This blue vector plus the
orange vector, this vector,
right here, plus the orange
vector, is equal
to this vector.
It makes complete sense.
Heads to tails.
So that's what that represents.
Now let's do the same
thing in the t direction.
I'm running out of color.
I'll go back to the pink,
or maybe the magenta.
So we had that s and t.
Now if we go up a little bit,
in that direction, let's say
that that is t, so this is the
point s, t plus a super small
change in t, that's that
point right there.
This distance right there is
dt, you can view it that way.
If you put s and t plus dt into
our vector value function,
what are you to get?
You're going to get a vector
that maybe points to
this point, right here.
Maybe I'll draw it right here.

Japanese: 
これは、このベクトルと等しくなります。
いいですか？
この青いベクトルとオレンジのベクトルを足したものは
このベクトルと’等しいです。
このベクトルと’等しいです。
いいですか？
頭としっぽ
これを意味します。
どうように、tの向きに移行してみましょう。
どうように、tの向きに移行してみましょう。
使える色がなくなってきました。
使える色がなくなってきました。
ピンクを使用します。
sとtがあります。
こっちの方向へ少し移行するとしましょう。
これがt、この位置です、tに非常に小さい変化を
プラスした点がこことします。
この距離はdtです。
ベクトル値関数にsとtプラスdtをいれると
何が得られるでしょう？
この点に向かうベクトルが得られるでしょう。
この点に向かうベクトルが得られるでしょう。
ここに書き込みます。

Korean: 
아마 여기 이점을 가리키겠군요
저기를 가리키는 벡터
바로 저기 저 점을 가리키는
벡터가 되겠네요
지금까지 우리가 했던 것과 동일한 주장을 통해
이 점, 혹은  이 점을 가리키는 벡터에서, 이것은
st 더하기 dt 의 r 값이다
저것은 저기 저것과 완벽히 똑같은 것이고요, 
물론 우리는
이미 봤습니다
저기 저것과 같은 일이네요
그래서 저 벡터 빼기 파란색 벡터는 무엇인가요?
마젠타 색 벡터 빼기 파란색 벡터는요?
음, 다시 한 번 벡터 합의 복습
인 것 같네요
그것은 다음과 같이 생긴 벡터가 될 것입니다
흰색으로 그릴게요
저렇게 생긴 벡터가 될 것입니다
 
그리고 여러분은 이 파란 벡터에 흰 벡터를 더한 것이
이 보라색 벡터와 동일하다는 것을 알 수 있습니다

Portuguese: 
Talvez ele aponte para
este ponto aqui.
Um vetor que
aponta para lá..
Então isto será traçado em um
vetor que aponta para esta
posição, bem ali.
Agora, com o mesmo argumento
que usamos no lado s, este
ponto, ou o vetor que
aponta para ele, isto
é r de st mais dt.
Isto é exatamente a mesma
coisa que aquilo ali, e com
certeza, isto nós já vimos.
Isto é a mesma coisa
que aquilo ali.
Então o que é aquele vetor
menos este vetor azul?
O vetor magenta
menos o vetor azul?
Mais uma vez, isto é,
espero, uma espécie de
revisão de adição de vetores.
Será um vetor que se
parece com isso.
Eu farei em branco.
Será um vetor que
se parece com isso.
E você pode imaginar, se
tomar o vetor azul mais o
vetor branco, o vetor azul
mais este vetor será
igual a este vetor roxo.

Turkish: 
Şu noktayı gösterir.
Burayı gösteren bir vektör.
Bu nokta, şu noktayı gösteren bir vektörle eşleşecek.
-
s için kullandığımız mantığa göre, bu r s t artı d t.
-
-
Bu şununla aynı ve bunu daha önce görmüştük.
-
Bu, şuradakiyle aynı.
Buna göre, bu vektör eksi şu mavi vektör nedir?
Mor vektör eksi mavi vektör?
Yine vektör toplamını hatırlayacağız.
-
Şöyle bir vektör olacak.
Beyazla çizeyim.
Şöyle bir vektör olacak.
-
Mavi vektör ile beyaz vektörü toplarsanız, toplam bu mor vektöre eşit olur.
-
-

Estonian: 
Võib olla see on suunaga siia punkti, siin.
Vektor mis on suunaga sinna.
Nii, et see on ühendatud vektoriga mis on suunaga
sellesse positsiooni.
Sama argumendi järgi mis me tegime s-poolel, see
punkt, või see vektori mis on suunaga sellele, see
on r st-st pluss dt.
Ja see on täpselt sama asi kui see seal, ja muidugi
seda ma juba nägime.
See on sama asi kui see seal.
Siis mis on see vektori miinud see sinine vektori?
See fuksia vektori miinus sinine vektor?
Jälegi see on loodetavasti vähekke
ülevaade vektorite liitmisest.
See on vektor mis näeb välja selline.
Ma teen seda valgega.
See hakkab olema vektor mis näeb välja selline.
Ja kui te võtate sinise vektori pluss
valge vektor
hakkab olema võrdne lilla vektoriga.

Japanese: 
この辺でしょう。
こんな感じ
この位置に向かうベクトルが
得られます。
同様に、sの側も
この点に向かうベクトルが、
s、t、プラスdtが得られます。
これは、これと全く同じです。
これは、これと全く同じです。
これは、これと同じです。
このベクトルから青いベクトルを差し引くと
ピンクのベクトルー青いベクトル＝
これは、ベクトルの足し算の
復習です。
このようなベクトルになります。
白で描きます。
このようなベクトルです。
このようなベクトルです。
青ベクトル＋白ベルトルは、
この紫のベクトルと
等しくなります。

Thai: 
บางทีมันชี้ไปยังจุดนี่, ตรงนี้
เวกเตอร์ที่ชี้ไปยังตรงนี้
นั่นจะโยงกับเวกเตอร์ที่ชี้ไปยัง
ตำแหน่งนั่น, ตรงนั้น
ทีนี้ด้วยเหตุผลเดียวกับที่เราทำกับ s, จุดนี้
หรือเวกเตอร์ที่ชี้ไปยังนั่น,
นั่นคือ r ของ s t บวก dt
นั่นก็เหมือนกับนั่นตรงนั้น, และแน่นอน
นี่, เราเห็นมาก่อนแล้ว
นี่ก็เหมือนกับนั่นตรงนั้น
แล้วเวกเตอร์นั่นลบเวกเตอร์สีฟ้าคืออะไร?
เวกเตอร์สีบานเย็นลบเวกเตอร์สีฟ้า?
อีกครั้ง, นี่เป็นแค่การทวน
เรื่องการบวกเวกเตอร์
มันจะเท่ากับเวกเตอร์ที่หน้าตาแบบนี้
ผมจะใช้สีฟ้านะ
มันจะเป็นเวกเตอร์แบบนั้น
-
และคุณคงนึกออก, หากคุณเอาเวกเตอร์สีฟ้า บวก
เวกเตอร์สีขาว, เวกเตอร์สีฟ้าบวกเวกเตอร์สีขาวนี่จะ
เท่ากับเวกเตอร์สีม่วงนี่

English: 
Maybe it points to this
point, right here.
A vector that points
right there.
So that will be mapped to a
vector that points to that
position, right over there.
Now by the same argument that
we did on the s-side, this
point, or the vector that
points to that, that
is r of st plus dt.
That is the exact same thing
as that right there, and of
course, this, we already saw.
This is the same thing
as that over there.
So what is that vector
minus this blue vector?
The magenta vector
minus the blue vector?
Well, once again, this
is hopefully a bit of a
review of adding vectors.
It's going to be a vector
that looks like this.
I'll do it in white.
It's going to be a vector
that looks like that.
And you can imagine, if you
take the blue vector plus the
white vector, the blue vector
plus this white vector is going
to equal this purple vector.

Turkish: 
Buna göre, mor vektör eksi mavi vektörün beyaz vektöre eşit olması mantıklı.
-
Burada ilginç bir şeyler oluyor.
s'yi çok küçük bir miktar değiştirdiğimde, bu yüzey 
üzerinde şu vektörü elde ediyorum.
-
-
t'yi çok küçük bir miktar değiştirdiğimde de yüzey üzerinde bu vektörü elde ediyorum.
-
Şimdi size hatırlatacağım konu üzerine birkaç video yapmıştım.
-
2 vektörün vektör çarpımını aldığımda, a ve b'nin vektör çarpımını alırsam, oluşan vektörün büyüklüğü - hatırlarsanız, iki vektörün vektör çarpımı, bu iki vektöre dik üçüncü bir vektördür- a ve b'nin tanımladığı paralelkenarın alanını verir.
-
-
-
-
-

English: 
So it makes sense, if the
purple vector minus the blue
vector is going to be equal
to this white vector.
So something interesting
is going on here.
I have these two, this is a
vector that is kind of going
along this parameterized
surface, as we changed our
s by a super small amount.
And then this is a vector that
is going along our surface if
we change our t by a
super small amount.
Now, you may or may not
remember this, and I've
done several videos where
I showed this to you.
But the magnitude, if I take 2
vectors, and I take their cross
product, so if I take the cross
product of a and b, and I take
the magnitude of the resulting
vector-- remember, when you
take the cross product, you
get a third vector that is
perpendicular to both of these.
But if you were just to take
the magnitude of that vector,

Estonian: 
See on loogiline, kui lilla vektor miinus sinine
vektor hakkab olema võrdne valge vektoriga.
Midagi huvitavat toimub siin.
Mul on need kaks, see on vektor mis nagu
lähe mööta parameetriseeritud pinda, kui me muutsime oma
s-i väikse osakese võrra.
Ja siis see on vektor mis läheb mööda meie pinda kui
me muudame oma t väikse summa võrra.
Teil ei pruugi see meeles olla, ja ma
olen teinud mitmeid videosid kus ma olen teile näidanud seda.
Aga see suurusjärk, kui ma võtan 2 vektorit, ja ma võtan nende
vektorite summa, kui ma võtan nende a ja b summa, ja ma võtan
selle tulemuse suurusjärgu-- jätke meelde, kui te
võtate vektorite summa, te saate kolmanda vektori mis on
risti mõlemaga.
Aga kui te võtate ainult selle vektori suurusjärgu,

Thai: 
มันก็เข้าใจได้, หากเวกเตอร์สีม่วง ลบ เวกเตอร์สีฟ้า
เท่ากับเวกเตอร์สีขาวนี่
สิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้นตรงนี้
ผมนี่สองอันนี้, นี่คือเวกเตอร์ที่ไปตาม
พื้นผิวที่ถูกตั้้งพาราเมทริกนี่, เมื่อเราเปลี่ยน
s ไปนิดเดียว
แล้วนี่คือเวกเตอร์ที่ไปตามผิวเรา หากเรา
เปลี่ยน t เป็นปริมาณนิเดียว
ทีนี้, คุณอาจจำนี่ได้หรือไม่ได้, ผม
ได้ทำวิดีโอหลายอันตอนที่ผมแสดงนี่ให้คุณดู
แต่ขนาด, หากผมเอาเวกเตอร์ 2 อันนี้, แล้วผมหาครอส
โปรดัค, งั้นหากผมหาครอสโปรดัคของ a กับ b, แล้ว
ผมเอาแต่ขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ -- จำไว้, ตอน
คุณหาครอสโปรดัค, คุณจะได้เวกเตอร์ที่สามซึ่ง
ตั้งฉากกับสองอันนี้
แต่หากคุณหาขนาดของเวกเตอร์นั่น

Japanese: 
いいですか？（紫ベクトルー青ベクトル）は
この白ベクトルと等しくなります。
面白いですね。
２つのベクトルは
このパラメーターで示された表面に沿い、
非常に小さく変化します、
tを少量変化した際、
これが、この表面に沿って移行したベクトルです。
覚えているかもしれませんが、
いくつかのビデオで以前示したことがあります。
２つのベクトルで、掛け合わせた結果のベクトルの量は、
aとbのクロス積の結果で、得られたベクトルの大きさを取ります。
覚えていますか？
２つのベクトルのクロス積であるベクトルは
両方のベクトルと直角に交わります。
このベクトルの大きさは

Korean: 
그래서 보라 벡터에서 파란 벡터를 뺀 값은
흰 벡터가 될 것입니다
재미있는 현상이죠?
나는이 두 가지를 가지고, s값을 아주 조금 증가시켰을 때
이 매개 변수에 따라 변경된 모양을
볼 수 있습니다
그리고 만약 t벡터 값을 아주 미세하게 변화시키면
이 면을 따라서 값이 조금 바뀔 것입니다
기억하실지는 모르겠는데,
저는 여러분에게 이걸 여러번 증명했습니다
그러나 내가 두 벡터를 잡아 외적시키고
그 두 벡터가 a와 b라 하면
결과 벡터의 방향은 외적시킨 두 벡터에
수직하다는 것을 알 수 있습니다
근데 여러분이 a, b로 이루어진 평행사변형과 같은

Portuguese: 
Portanto, faz sentido, o
vetor roxo menos o vetor
azul será igual a
este vetor branco.
Então algo interessante
está acontecendo aqui.
Eu tenho estes dois, este é um vetor
que, de certa maneira, está indo
ao longo desta superfície parametrizada,
quando nós variamos nosso
s por uma muito pequena quantidade.
E então este é um vetor que
vai ao longo da nossa superfície se
nós variamos nosso t por uma
muito pequena quantidade.
Agora, você pode ou não
se lembrar disso, e eu
fiz vários vídeos onde
eu mostrei isto para você.
Mas a magnitude, se eu tomar dois
vetores, e eu calcular seu produto
vetorial, então se eu calcular o produto
vetorial de a e b, e eu tomar
a magnitude do vetor resultante
-- lembre-se, quando você
toma o produto vetorial, você
obtém um terceiro vetor que é
perpendicular a ambos.
Mas se você for apenas tomar
a magnitude daquele vetor,

Estonian: 
mis on võrdne selle rööpküliku alaga,
defineeritud a ja b poolt.
Mida ma selle all silmas pean?
Kui see on vektor a ja see on vektor b, see on a ja see on b
kui te võtate ainult nende vektorite summa
te saate selle kolmanda vektori
Te saate kolmanda vektori mis on risti
mõlemaga, see kuidagi nagu hüppas lehelt välja.
See oleks a risti b.
Selle suurusjärgu järgi, kui te võtate ainult vektorite summa
te saate vektori.
Aga kui te võtate tolle vektori suurusjärgu,
te lihtsalt ütlete, kui suur to vektor on,
kui pikk on too vektor?
See hakkab olema rööpküliku ala
defineeritud a ja b kaudu.
Ja ma olen tõestanud seda lineeaar algreba videotes, võib olla
ma tõestan seda siin uuesti.
Ma ei lasku väga sügavale detailidesse.

Korean: 
방향으로 벡터의 방향을 잡는다는 것은
무엇을 의미합니까?
저 벡터가 a벡터이고, 이것이 b이며
두 벡터의 외적시켜 얻은 세 번째 벡터는
 
첫 두 벡터와 수직하게 되며
이 화면과 수직하게 나오겠죠?
그게 크로스 b벡터입니다
네 그럼 이렇게
방향벡터를 얻게 되었는데,
그 벡터의 크기는?
아니 크기는 얼마나 되는걸까요?
 
a와 b로 정의되는
평행사면형의 영역이 될것입니다.
그리고 저는 나중에 선형 대수학 비디오 중 하나에서
다시 증명하도록 하겠습니다
구체적으로 안 들어갈게요

Thai: 
มันจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ที่สร้างจาก a กับ b
ผมหมายความว่ายังไง?
ทีนี้, หากนั่นคือเวกเตอร์ a และนั่นคือเวกเตอร์ b, นั่นคือ a
นั่นคือ b, หากคุณหาครอสโปรดัคของเวกเตอร์
ทั้งสอง, คุณจะได้เวกเตอร์ที่สาม
คุณจะได้เวกเตอร์ที่สาม ซึ่งตั้งฉากกับ
ทั้งคู่, มันประมาณว่าพุ่งออกจากกระดาษ
นั่นก็คือ a ครอส b
แต่ขนาดของเจ้านี่, หากคุณหาครอสโปรดัค
คุณจะได้เวกเตอร์อันนึง
แต่หากคุณเอาขนาดของเวกเตอร์นั้นมา
คุณจะบอกว่า, เวกเตอร์นั้นโตเท่าไหร่, เวกเตอร์
นั่นยาวเท่าไหร่?
นั่นจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กำหนดโดย a กับ b
ผมพิสูจน์มันในวิดีโอพีชคณิตเชิงเส้น, บางที
ผมจะพิสูจน์มันอีกทีตรงนี้
ผมหมายถึง มันเป็นเพราะ -- ผมจะไม่ลงรายละเอียดดีกว่า

English: 
that is equal to the area
of a parallelogram,
defined by a and b.
What do I mean by that?
Well, if that is vector a and
that is vector b, that's a and
that is b, if you were to just
take the cross product of those
two, you're going to
get a third vector.
You're going to get a third
vector that's perpendicular
to both of them, it kind
of popped out of the page.
That would be a cross b.
But the magnitude of this, so
if you just take a cross
product, you're going
to get a vector.
But then if you take the
magnitude of that vector,
you're just saying, how
big is that vector, how
long is that vector?
That's going to be the
area of the parallelogram
defined by a and b.
And I've proved that in the
linear algebra videos, maybe
I'll prove it again in this.
I mean it's because-- well, I
won't go into that in detail.

Turkish: 
-
-
Bununla neyi kastediyorum?
Bu a vektörü, bu da b vektörü ise, bu iki vektörün vektör çarpımını aldığımda, üçüncü bir vektör elde ediyorum.
-
-
Bu iki vektöre dik bir üçüncü vektör elde ediyorum, sayfadan çıkacakmış gibi duran bir vektör.
-
a ile b'nin vektör çarpımı bu olur.
-
-
Sonra bu vektörün büyüklüğünü alırsanız, bu vektörün uzunluğu nedir derseniz, bu da a ile b'nin tanımladığı bu paralelkenarın alanı olur.
-
-
-
-
Bunu lineer cebir videolarında ispatlamıştım.
-
-

Japanese: 
aとbで定義されるその平行四辺形の面積に相当します。
aとbで定義されるその平行四辺形の面積に相当します。
これがベクトルaで、これがベクトルb
これがベクトルaで、これがベクトルb
これがaとb、この掛け合わせは
この新しいベクトルです。
このベクトルは
これらのベクトルに直角になり、
画面から飛び出してくる向きです。
これらのベクトルに直角になり、
画面から飛び出してくる向きです。
これが　a、クロス、bです。
この新しいベクトルの量を取ります。
クロス積を行うと、ベクトルが得られます。
ベクトルの大きさは
つまり、
ベクトルの長さは、どうなるでしょう？
aとbで定義される平行四辺形の面積と
なります。
線形代数学のビデオを紹介したように
ここでも、もう一度します。
つまり、

Portuguese: 
que é igual a área de
um paralelogramo,
definido por a e b.
O que quero dizer com isso?
Bem, se este é o vetor a e
este é o vetor b, este é a e
este é b, se você for apenas
tomar o produto vetorial dos
dois, você obterá um terceiro vetor.
Obterá um terceiro
vetor perpendicular
a ambos, ele meio que
pulou para fora da página
Isto seria a x b.
Mas a magnitude deste, se
você tomar apenas o produto
vetorial, você
obterá um vetor.
Mas então, se você tomar a
magnitude daquele vetor,
está dizendo, quão
grande é o vetor, qual o
comprimento deste vetor.
Isto será a área
do paralelogramo
definido por a e b.
Provei em vídeos de
álgebra linear, talvez
eu prove de novo aqui.
Quero dizer, é porque-- bem, eu
não vou entrar em detalhes.

Korean: 
전에는 했었는데, 동영상이 너무 길어지더라고요
그러니까 a와 b로 구성된 평행사변형에서
a와 다른 종류의 a를 잡으면
바로 저기에 위치하게 되고 b의 다른 평행한 형식은
바로 저기입니다
그래서 이것이 a와 b로 정의된 평행사변형입니다
그래서 다시 우리 예시로 돌아가면,
이 주황 벡터와 흰색 벡터의 외적 값으로부터
이 두 벡터로부터 정의된 평행사변형의
면벡터를 볼게요
저것과 평행한 것을 잡아보면
이렇게 생겼을 것입니다. 그럼 주황색과 평행하고
저렇게 생겼겠죠?
그래서, 만약에 제가 저것의 외적을 잡으면
평행사변형의 면을 얻을 수 있을것입니다
그럼 이제 여러분은, "이것은 면이잖아요!"라고
말할 수 있을 것입니다
하지만, 기억하세요
우리는 아주 미세한 변화만 주었을 뿐입니다
그렇다면 한 면적이 평행사변형 안의

Portuguese: 
Já fiz antes, não quero deixar
este vídeo muito longo.
Assim, o paralelogramo definido
pelos a e b, basta imaginar a,
depois tomar outra
versão paralela de a, está
ali, e a outra versão paralela do b
está bem ali.
Portanto, este é o paralelogramo
definido por a e b.
Então, voltando a nossa superfície
exemplo, se fôssemos tomar o
produto vetorial deste vetor laranja
e deste vetor branco,
eu obterei a aréa superficial,
eu obterei a área
do paralelogramo, definida
por estes dois vetores.
Se eu tomar o paralelo
a este, se parecerá
com algo assim, e então um
paralelo ao laranja,
se parecerá com isto.
Então, se eu tomar o produto
vetorial disto e daquilo, eu
obterei a área daquele
paralelogramo.
Esta é uma superfície,
está tomando uma
paralelogramo reto
mas lembre-se,
são variações muito pequenas
Então você pode imaginar,
uma superfície pode ser dividida em

Turkish: 
-
a ve b'nin tanımladığı paralelkenar için, a'ya paralel bir doğru daha düşünün, şurada. Bir de b'ye paralel bir doğru, burada.
-
-
-
a ve b'nin tanımladığı paralelkenar böyle olur.
Yüzey örneğimize geri dönersek, bu turuncu vektörle şu beyaz vektörün vektör çarpımını alırsak, bu iki vektörün tanımladığı paralelkenarın alanını bulacağız.
-
-
-
Buna paralel olan şöyle olur, turuncuya paralel olan da böyledir.
-
-
Bu ikisinin vektör çarpımını alırsam, şu paralelkenarın alanını bulurum.
-
Bu bir yüzey ama sen paralelkenar diyorsun, diyebilirsiniz. Unutmayın, bunlar çok küçük farklar.
-
-
Bir yüzeyin çok küçük farkların paralelkenarlarından veya sonsuz adet paralelkenardan oluştuğunu düşünebilirsiniz.

Estonian: 
Ma olen teinud seda varasemates videotes, ma ei taha seda videot liiga pikaks venitada.
Rööpkülik on defineeritud a ja b kaudu, kujutlege ette a,
ja siis võtke teistsugune paralleelne versioon a,
mis on seal, ja veel üks paralleelne versioon b
mis on seal.
Nii see on see rööpkülik defineeritud a ja b-ga.
Minnes tagasi pinna näite juurde, kui me võtaks
vektorite summa sellest orazist ja valgest vektorist,
Ma kohe võan selle rööpküliku ala
defineeritud nende kahe vektori kaudu.
Kui ma võtan paralleelse tollega, see näeb välja
selline, ja siis a paralleelne oranžiga
see näeb välja selline.
Kui ma võtan vektorite summa sellest ja tollest, ma
saan rööpküliku ala.
Te võite öelda, et see on pind, te võtate
rööpküliku, kuid pidage meeles, need on
üliväiksed muutused.
Te võite ette kujutada, pinda saad murda

English: 
I've done it before, don't want
to make this video too long.
So the parallelogram defined by
a and b, you just imagine a,
and then take another kind of
parallel version of a, is right
over there, and another
parallel version of b
is right over there.
So this is the parallelogram
defined by a and b.
So, going back to our surface
example, if we were to take the
cross product of this orange
vector and this white vector,
I'm going to get the surface
area, I'm going to get the area
of the parallelogram, defined
by these two vectors.
So if I take the parallel
to that one, it will look
something like this, and then a
parallel to the orange one it
will look something like that.
So if I take the cross product
of that and that, I'm going to
get the area of that
parallelogram.
Now you might say, this is a
surface, you're taking a
straight-up parallelogram,
but remember, these are
super small changes.
So you can imagine, a surface
can be broken up into

Thai: 
ผมทำมาก่อนแล้ว, ไม่อยากทำให้วิดีโอนี้ยาวเกินไป
งั้นสี่เหลี่ยมด้านขนานกำหนดโดย a กับ b, คุณแค่นึกถึง a,
แล้ววาด a ขนานอีกอัน, แบบนี่
ตรงนี้, แล้วก็ b ขนานอีกอัน
ตรงโน้น
แล้วนี่ก็คือสี่เหลี่ยมด้านขนานกำหนดโดย a กับ b
ทีนี้, กลับไปที่ตัวอย่างพื้นผิวเรา, หากเราหา
ครอสโปรดัคของเวกเตอร์สีส้มนี่กับเวกเตอร์สีขาวนี่
ผมจะได้พื้นที่ผิว, ผมจะได้พื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมด้านขนาน, กำหนดโดยเวกเตอร์สองอันนี้
ดังนั้นหากผมลากเส้นขนานกับอันนั้น, มันจะออกมา
เป็นแบบนี้, แล้วก็เส้นขนานกับอันสีส้ม
มันจะออกมาแบบนั้น
หากผมหาครอสโปรดัคของนั่นกับนั่น, ผมจะได้
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั่น
ทีนี้คุณก็บอกว่า, นี่คือพื้นผิวนะ, คุณกำลัง
หาสี่เหลี่ยมด้านขนานแบน ๆ อยู่นี่, แต่จำไว้, นี่เป็น
การเปลี่ยนแปลงที่เล็กมาก
คุณอาจจินตนาการ, ว่าพื้นผิวสามารถแบ่งเป็น

Japanese: 
ビデオが長くならないよう詳細は略しますが、
aとbで定義される平行四辺形で、
aだけの平行をまず考慮し、もう１本の平行するaをここに考えます。
aだけの平行をまず考慮し、もう１本の平行するaをここに考えます。
次にbの平行をここに考えます。
これがaとbで定義される平行四辺形です。
もとの表面積の例に戻り、
オレンジのベクトルと白のベクトルのクロス積と取ります。
この２つのベクトルで囲まれる平行四辺形の
表面積を得ます。
これの平行をとり、
また、オレンジの平行をとり
このようになります。
これらのクロス積を得ると
平行四辺形の表面積が得られます。
これは、まっすぐの平行四辺形のですが、
この差は非常に小さいことが鍵です。
表面が、非常に小さい無数の
平行四辺形の集まりと見なせます。

Turkish: 
-
-
Ne kadar çok paralelkenar varsa, yüzeyin alanının yaklaşık değeri de o kadar iyi olacaktır.
-
Bu, integrale başladığımızda yaptıklarımızla aynı.
Eğri altındaki alanına dikdörtgenlerle yaklaşık değer bulmuştuk.
-
Dikdörtgen sayısı arttıkça, yaklaşık değer daha iyi olur.
Yüzeydeki bu küçük değişime d sigma diyelim.
-
Yüzeyin alanının bu sonsuz küçüklükteki d sigmaların toplamı olduğunu söyleyebiliriz.
-
-
Bunun için bir notasyon var.
Yüzey alanını bulurken, yüzey üzerinde integral alıyoruz, yüzey için ise büyük sigma işaretini kullanıyoruz.
-
-
İki yönde gittiğim için çift katlı integral alıyorum, öyle değil mi?
-

Portuguese: 
variações muito pequenas de
paralelogramos, ou infinitamente
muitos paralelogramos.
E quanto mais paralelogramos
você tiver, melhor aproximação
da superfície você terá.
E isto não é diferente de
quando olhamos integrais.
Nós aproximamos da área
sob a curva com um
monte de retângulos.
Quanto mais retângulos
tivermos, melhor.
Então, vamos chamar esta pequena
variação da nossa superfície de d sigma,
para uma pequena variação, para um
pouca quantidade de nossa superfície.
Poderíamos até dizer que
a área superficial da
superfície será a soma
infinita de todos estes
infinitamente pequenos d sigmas.
Há realmente uma
notação para isso.
Assim, a área de superfície é igual a,
poderiamos integrar sobre a
superfície, e a notação geralmente
é um sigma maiúsculo para
uma superfície em oposição
a uma região ou-- você está
integrando na superfície,
e faz integral dupla,
porque vai em 2
direções, certo?

Korean: 
엄청나게 많은 변화로, 혹은 무한하게
많은 평행사변형으로 쪼개진다고 생각할 수 있습니다
그렇다면 더 많은 수의 평행사변형이 얻어지게 되는데,
그것은 더욱 정확한 결과값을 도출하게 도와주겠죠?
그 결과가 결국에는 인테그랄에 되는 것입니다
저 곡면 아래의 대략적 면적을
우리가 직사각형으로 예측했을 때,
더 많은 직사각형으로 쪼갰을 때,
더 나았던 것을 기억할 수 있습니다
결론적으로, 우리 면의 아주 작은 변화의 합을
d 시그마라고 한다면,
 
면적의 합은
무한히 많은 작은 면적의 합이 될것입니다
다른 말로, 무한히 많은 작은 d 시그마들입니다
그리고 거기에 실제로 표기가 있습니다
면적 위로 통합시킨 면들은
주로 대문자 시그마를 사용하고,
반대쪽에는 이중 적분을 통해
면적을 합칠 수 있습니다
두 방향으로 가기 때문이죠 맞죠?

Thai: 
เปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วในสีเหลี่ยมด้านขนาน, หรือสี่เหลี่ยม
ด้านขนานจำนวนนับไม่ถ้วน
ยิ่งมีจำนวนสี่เหลี่ยมมากเท่าไหร่, การประมาณ
พื้นผิวที่คุณได้ยิ่งดีเท่านั้น
และนี่ไม่ต่างอะไรจากตอนเราหาอินทิกรัลครั้งแรก
เราประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วย
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหลาย ๆ อัน
ยิ่งมีจำนวนสี่เหลี่ยมเท่าไหร่ยิ่งดี
งั้นเราเเรียกการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ บนพื้นผิวนี้ว่า d ซิกมา
สำหรับการเปลี่ยนแปลง หรือพื้นผิวเล็ก ๆ ของเรา
เราอาจบอกได้ว่า, คุณก็รู้, พื้นที่ผิวของพื้นผิว
นี้จะเท่ากับผลรวมอนันต์ของ
d ซิกมา เล็กจิ๋วพกวนี้
และมันมีสัญลักษณ์เล้ก ๆ สำหรับมัน
พื้นที่ผิวเท่ากับ, เราก็อินทิเกรต
ตลอดผิว, และสัญลักษณ์ใช้บ่อย ๆ คือซิกมาใหญ่
สำหรับพื้นที่ผิวของขอบเขต r -- คุณก็
อินทิเกรตตลอดพื้นผิว, คุณก็หาอินทิกรัลสองชั้น
เพราะคุณเดินไปในสองมิติ, จริงไหม?

Estonian: 
üliväikesteks muutusteks rööpkülikus, või lõpmatult
paljudeks röökülikuteks.
Ja mida rohkem teil rööpkülikuid on, seda parem ülevaade
pinnast teil on.
Ja see ei ole sugugi erinev sellest kui me esimest korda võtsime intergraale.
Me hindasime pinda kaare all
hunniku ristkülikutega.
Mida rohkem meil neid oli, seda parem.
Kutsume seda väikest muutust meie pillal d sigmaks,
väikeseks muutuseks, väikeseks osaks meie pinnast.
Ja me võime isegi öelda, et see pinna ala
on lõpmatu summa
lõpmatult väikesed d sigmasid.
Tegelikult on seal väikene esitus selleks.
Pinna ala on võrdne, me sõime integreerida üle
pinna, ja esitus on tavaliselt suur sigma
pinna jaoks vastaselt piirkonnale või--
nii, et te integreerite üle pinna, ja te teete kahekordse integraali,
sest te lähete kahes suunas.

Japanese: 
非常に小さい変化を持つ平行四辺形の
無数の集まりです。
平行四辺形が多いほど、
元の表面への近似の精度があがります。
これは、積分をとるのと違いがありません。
曲線の下の面積を
無数の三角で近似するものと同様です。
三角形は多いほど、近似します。
表面の小さい変化を
dδとし、
これらの、無限に小さいdδの
すべての計が
表面積と見ることができます。
これには、実際表記法があります。
表面は, 表面の積分は、
大文字のシグマで表記されます。
領域ではなく、表面は、
二方向で統合をおこなう
ダブル積分です。
表面は、

English: 
super small changes in
parallelograms, or infinitely
many parallelograms.
And the more parallelograms you
have, the better approximation
of the surface you're
going to have.
And this is no different than
when we first took integrals.
We approximated the area
under the curve with a
bunch of rectangles.
The more rectangles
we had, the better.
So let's call this little
change in our surface d sigma,
for a little change, for a
little amount of our surface.
And we could even say that, you
know, the surface area of the
surface will be the infinite
sum of all of these
infinitely small d sigmas.
And there's actually a
little notation for that.
So surface area is equal to, we
could integrate over the
surface, and the notation
usually is a capital sigma for
a surface as opposed to a
region or-- so you're
integrating over the surface,
and you do a double integral,
because you're going in
two directions, right?

Turkish: 
Yüzey, iki boyutlu kıvrımlı bir yapıdır.
-
d sigmaların sonsuz toplamını alacaksınız.
-
-
Yüzey alanını böyle buluruz.
d sigma budur.
d sigmanın, bu paralelkenar alanının, bu iki vektörün vektör çarpımı olarak ifade edilebildiğini söylemiştik.
-
-
-
Buraya yazayım.
İspatlı gitmediğimin farkındayım.
Burada sadece yüzey integralinin ne olduğunu anlamanızı istiyorum.
-
d sigmanın turuncu vektörle beyaz vektörün vektör çarpımı olduğunu yazabiliriz.
-
Turuncu vektör bu, ama bunu şöyle de yazabiliriz.
-
Bu, bir önceki videoda elde ettiğimiz sonuç.
Turuncuyla yazıyorum.
r'nin s'ye göre kısmisi d s - d sigma vektör çarpımı değil, vektör çarpımının büyüklüğü olacak.

English: 
A surface is a kind of a
folded, two-dimensional
structure.
And you're going to take
the infinite sum of
all of the d sigmas.
So this would be
the surface area.
So that's what a d sigma is.
Now we just figured out, we
just said, well, that d sigma
can be represented, that value,
that area, of that little part
of the surface, of that
parallelogram, can be
represented as a cross product
of those two vectors.
So let me write here.
And this is not
rigorous mathematics.
The whole point here is to give
you the intuition of what a
surface integral is all about.
So we can write that d sigma is
equal to the cross product of
the orange vector and
the white vector.
The orange vector is
this, but we could also
write it like this.
This was the result
from the last video.
I'll write it in orange.
So the partial of r with
respect to, I'm running out of

Japanese: 
折り畳まれた２次元の構造と考えられます。
折り畳まれた２次元の構造と考えられます。
無限のdδ(シグマ)の統合をとります。
無限のdδ(シグマ)の統合をとります。
それが、表面積です。
これが、dδです。
dδは何でしょう。
dδは
２つのベクトルで定義される平行四辺形の表面積で
２つのベクトルのクロス積のベクトルの大きさで
表現されるものです。
ここに描いてみましょう。
これは精密な数学ではありません。
表面積分に関する概念を説明することが目的です。
表面積分に関する概念を説明することが目的です。
dδはオレンジと白ベクトルの掛け合わせベクトルと
同一と言えます。
オレンジベクトルはこれですが、
このように書くこともできます。
このように書くこともできます。
これは、先のビデオの結果です。
s、dsに対するrの部分は
書く場所がなくなってきました。

Portuguese: 
Uma superfície é uma espécie de
uma estrutura bidimensional
dobrada.
E irá tomar a soma infinita de
todos os d sigmas.
Esta seria a área superficial.
Então isto é o que um d sigma é.
Agora nós já descobrimos, apenas
dissemos, bem, este d sigma
pode ser representado, este valor,
esta área, desta pequena parte
da superfície deste
paralelogramo, pode ser
representada como um produto
vetorial destes dois vetores.
Escreverei aqui.
E isto não é matemática rigorosa.
A questão aqui é lhe
dar a intuição do que
integral de superfície se trata.
Podemos escrever que d sigma é
igual ao produto vetorial do
vetor laranja e
do vetor branco
O vetor laranja é este,
mas também podemos
escrever assim
Este foi o resultado
do último vídeo.
Vou escrever em laranja.
Assim, a parcial de r em
relação a-- está acabando o

Korean: 
면적은 접어진 모양의 2차원 구조입니다
 
그 뒤로 d 시그마의 무한한 합의
값을 얻을 수 있을 것입니다
 
이것이 면적이 되겠죠?
그게 바로 d 시그마입니다
우리는 이제 d 시그마가 저 조그만 부분으로 대표될 수 있다는 것을 알 수 있습니다
저 작은 값으로, 작은 면적으로 말이죠
저 평행사변형의 면, 혹은 면적은
이 두 벡터의 외적값으로 표현될 수 있습니다
그럼 여기에 써볼게요
그렇게 어려운 수학은 아닌데,
이 위의 모든 점은 표면 적분의 개념에 대한
설명을 제공해 줄 것입니다
그래서 우리는 d 시그마는 이 주황 벡터와 흰색 벡터의
외적과 같다고 표현할 수 있습니다
주황 벡터는 이것인데,
이렇게도 쓸 수 있겠죠?
이것이 지난 영상의 결과였습니다
주황색으로 쓸게요.
공간이 부족하네요

Estonian: 
Pind on kuidagi folditud, kahe dimensiooniline
struktuur.
Ja te võtate lõpmatu summa
kõikidest d sigmadest.
See on siis pinna ala.
See on siis d sigma.
Me just mõtlesime välja, et d sigmat
saab esitleda kui seda väärtust, seda alla, sellest
rööpküliku pinnast,
saab esitada kui vektorite summa nende kahe vektori vahel.
Las ma kirjutan siia.
Ja see ei ole karm matemaatika.
Selle kõige mõte siin on teile anda ettekujutus, et mis
pinna integraal üldse endast kujutab.
Me saame kirjutada, et d sigma on võrdne
oranži ja valge vektori summaga.
Oranž vektor on se, kuid me
võime seda kirjutada ka nii.
See oli eelmise video tulemus.
Ma kirjutan seda oranžiga.
Osa r-ist austusega, mul saab

Thai: 
พื้นผิวเป็นเหมือนโครงสร้างสองมิติ
ที่พับงอได้
แล้วคุณก็หาผลรวมอนันต์ของ
d ซิกมาเล็ก ๆ พวกนี้
-
นั่นจะเป็นพื้นที่ผิว
นั่นคือ d ซิกมา
ทีนี้เราเพิ่งหาไป, เราเพื่งบอกว่า, d ซิกม่า
สามารถแทนด้วย, ค่านั่น, พื้นที่, ของส่วนเล้ก ๆ
ของผิว, ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั่น, สามารถเขียน
แทนด้วยครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวนี้
ขอผมเขียนตรงนี้นะ
นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์แบบรัดกุม
ประเด็นตรงนี้คือให้คุณเข้าใจสัญชาตญาณ
ว่าอินทิกรัลผิวคือะไร
ผมก็สามารถเขียน d ซิกมา เท่ากับครอสโปรดัค
ของเวกเตอร์สีส้ม กับเวกเตอร์สีขาว
เวกเตอร์สีส้มคืออันนี้, แต่เราสามารถเขียน
แบบนี้ได้เหมือนกัน
นั่นคือผลจากวิดีโอที่แล้ว
ผมจะเขียนมันด้วยสีส้มนะ
งั้นอนุพันธ์ย่อยของ f เทียบกับ, ผมจะไม่มี

Portuguese: 
espaço-- em relação a s, ds,
será-- bem, d sigma
será a magnitude do produto
vetorial, não apenas o produto
vetorial.
Produto vetorial por si
só lhe dará um vetor,
e isto será útil quando
começarmos a fazer
integral de superfície
de função vetorial.
Portanto, este vetor de laranja é
o mesmo que aquilo.
E nós tomaremos o
produto vetorial disto
com este vetor branco.
Este vetor é o mesmo
que aquilo que vimos,
que é a mesma
coisa que isto.
A parcial de r com
relação a t, dt.
E vimos, se tomarmos a
magnitude disto, será
igual a nossa pequena
variação na área ou a
área deste pequeno
paralelogramo aqui.
Agora, você pode ou não se
lembrar que se você tomar
estes, vamos ser claros.
Isto e isto, estes
são vetores, certo?
Quando toma a derivada
parcial de uma função
vetorial, você ainda
obterá um vetor.

Korean: 
s가 ds만큼 증가하며 우리가 이 합을
d 시그마 라고 표현한다면,
외적 벡터의 방향이 될것이지,
외적 벡터와 같지는 않습니다
저 외적 벡터 자체는 여러분에게
벡터 값 관련 적분 계산을 할 때
도움이 될 것입니다. 하지만, 지금은 간단히
이렇게만 생각해 볼게요
그래서 이 주황 벡터는 저것과 같습니다
그리고 우리는 저것을 외적시킬 것입니다
이 흰색 벡터와 외적된 값을 말이죠
이 흰색 벡터는 우리가 보았다시피 저것과 같습니다
근데 저것은, 이것과 같았죠?
r에서 아주 미세하게 증가하는 값을 dt라고 표현한다면,
 
우리가 보았다시피 저 방향을 잡고
저 작은 변화와 같다고 본다면,
여기에 작은 평행사변형의 면적과 같을 것입니다
기억이 안 날지도 모르니까 이거는 확실히 하도록 하죠
 
이것들은 벡터입니다 맞죠?
여러분이 벡터 함수의 부분적 증가를 표현해도
그래도 벡터를 얻게 될 것입니다

Japanese: 
dδ、掛け合わせのベクトルの量です。
掛け合わせベクトルだけではありません。
掛け合わせベクトル自体、ベクトルです。
これは、ベクトル値表面積分を行う際
非常に便利ですが、
このように考えてみましょう。
このように考えてみましょう。
このオレンジベクトルも同じものです。
白ベクトルとの掛け合わせを行います。
白ベクトルとの掛け合わせを行います。
この白ベクトルは
これと同様です。
tに対する部分r、dt
tに対する部分r、dt
この大きさを取ると
ここの小さい平行四辺形の
面積の極小の変化に等しくなります。
覚えていないかもしれませんが、
繰り返して言うと
これらのベクトルです。
ベクトル値関数の偏微分を取ると
ベクトルが得られます。

Estonian: 
ruum otsa, suhtes s,ds ja see läheb -- s sigma
ei hakka olema see magnituut vektorite summast,
mitte lihtsalt vektorite summa.
See vektorite summa iseenesest juba annab teile vektori,
ja see hakkab olema kasulik
vektori väärtuse pinna integraalides, kuid ainult mõelda
seda nii.
See oranž vektor on sama.
Ja me võtame selle vektorite summa
selle valge vektoriga.
See valge vektor on see sama asi kui see, mida me nägime,
mis oli sama asi kui see.
Osa r-ist suhtes t,dt.
Kui me võtame selle suuruse, mis
hakkab olema võrdne meie väikse muudatusega alas,
või selle rööpküliku alaga siin.
Te ei pruugi mäletada, et kui te võtate
need, oleme lihtsalt selged.
See ja see, need on vektorid, jah?
Kui me võtame osalise tuletise vektorväärtusega
funktsioonist, te ikka saate vektori.

English: 
space, with respect to s, ds,
and it's going-- well, d sigma
is going to be the magnitude
of the cross product, not
just the cross product.
The cross product by itself
will just give you a vector,
and that's going to be useful
when we start doing
vector-valued surface
integrals, but just think
about it this way.
So this orange vector is
the same thing is that.
And we're going to take
the cross product of that
with this white vector.
This white vector is the same
thing as that, which we saw,
which was the same
thing as this.
The partial of r with
respect to t, dt.
And we saw, if we take the
magnitude of that, that's going
to be equal to our little small
change in area, or the
area of this little
parallelogram over here
Now, you may or may not
remember that if you take
these, so let's just be clear.
This and this, these
are vectors, right?
When you take the partial
derivative of a vector-valued
function, you're still
getting a vector.

Turkish: 
-
-
-
Vektör çarpımının sonucu bir vektör olacak, bu da vektör değerli yüzey integralleri bulurken bize gerekecek.
-
-
-
Bu turuncu vektör şununla aynı.
Bunun şu beyaz vektörle vektör çarpımını alıyoruz.
-
Bu beyaz vektör de şununla aynı, bu da şununla aynı.
-
r'nin t'ye göre kısmisi d t.
-
Bunun büyüklüğünün, alan farkına eşit olduğunu veya şu küçük paralelkenarın alanına eşit olduğunu görmüştük.
-
-
-
-
Bu ikisi vektör, öyle değil mi?
Vektör değerli bir fonksiyonun kısmi türevini aldığınızda, yine vektör elde edersiniz.
-

Thai: 
ที่แล้ว, เทียบกับ s, ds, และมันจะ -- ทีนี้ d ซิกมา
จะเท่ากับขนาดของครอสโปรดัค, ไม่ใช่
แค่ครอสโปรดัค
ครอสโปรดัคโดยตัวเองเป็นเวกเตอร์
และนั่นจะมีประโยชน์ตอนเราหาอินทิกรัล
พื้นผิวมีค่าเป็นเวกเตอร์, แต่ลองคิด
แบบนี้ก่อน
เวกเตอร์สี้มนี่ก็เหมือนกับอันนั้น
เราจะหาครอสโปรดัคของมัน
กับเวกเตอร์สีขาวนี่
เวกเตอร์สีขาวนี่ก็เหมือนกับอันนั้น, ซึ่งเราเห็นแล้ว
ว่าเหมือนกับอันนี้
อนุพันธ์ย่อยของ r เทียบกับ t, dt
-
และเราเห็น, หากเราหาขนาดของนั่น, นั่นจะ
เท่ากับการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ในพื้นที่, หรือ
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเล็ก ๆ ตรงนั้น
ตอนนี้, คุณอาจจำได้หรือไม่ได้ว่าหากคุณหา
เจ้าพวกนี้, ทำให้ชัดเจนหน่อย
นี่กับนี่, พวกนี้คือเวกเตอร์, จริงไหม?
ตอนคุณหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันมีค่าเ
เป็นเวกเตอร์, คุณจะยังได้เวกเตอร์

Estonian: 
See ds, see on number.
See on number ja see on number.
Teil võib meeles olla, kui me, lineaar algebras või
kus iganes te esimest korda nägite vektorite summasid,
vektorite summa mõnest skalaarkordsest.
Te võite võtta skalaarid välja.
Kui me võtame selle ja selle numbri, me põhimõtteliselt
eemaldame nad vektorite summast.
See hakkab olema võrdne vektorite summa suurusega
r osast, suhtes s-iga, risti
osalise r-iga suhtest t-ga, ja siis kõik korrad
need kaks siin.
Korda ds ja dt.
Ma kirjutasin selle siia, võib olla meie pinna ala, kui me
võtaks nende kõikide väikeste d sigmade summa, aga
seal ei ole mingit ilmselget teed nende hindamiseks.
Aga me teame, et kõik d sigmad, nad samad asjad
kui te võtaks kõik ds-id ja kõik dt-d.
Kui te võtate kõik ds ja kõik dt.

English: 
This ds, this is a number.
That's a number and
that's a number.
And you might remember, when
we, in the linear algebra or
whenever you first saw taking
cross products, taking the
cross product of some
scalar multiple.
You can take the scalars out.
So if we take this number and
that number, we essentially
factor them out of
the cross product.
This is going to be equal to
the magnitude of the cross
product of the partial of r,
with respect to s, crossed with
the partial of r with respect
to t, and then all of
that times these two
guys, over here.
Times ds and dt.
So I wrote this here, hey,
maybe our surface area, if we
were to take the sum of all of
these little d sigmas, but
there's no obvious way
to evaluate that.
But we know that all of the d
sigmas, they're the same thing
as if you take all of the
ds's and all of the dt's.
So you take all of the
ds's, all of the dt's.

Thai: 
ds นี่, นี่เป็นตัวเลข
นั่นเป็นตัวเลข และนั่นเป็นตัวเลข
และคุณอาจจำได้ล ตอนเรา, ในพีชคณิตเชิงเส้น
หรือตอนไหนก็ตามที่คุณหาครอสโปรดัคครั้งแรก, ว่าการหา
ครอสโปรดัคที่มีสเกลาร์คูณอยู่
คุณสามารถดึงสเกลาร์ออกมาได้
ดังนั้นหากเราเอาเลขนี่กับเลขนั่น, เราจะ
ดึงมันออกมาจากครอสโปรดัคได้ในที่สุด
นี่จะเท่ากับขนาดของ
ครอสโปรดัคของอนุพันธ์ย่อยของ r, เทียบกับ s, ครอส
กับอนุพันธ์ย่อยของ r เทียบกับ t, แล้วทั้งหมด
นั่นคูณสองตัวนี่, ตรงนี้
คูณ ds กับ dt
ผมเขียนนี่ตรงนี้, เฮ้, บางทีพื้นที่ผิวเรา, หาเรา
หาผลรวมของ d ซิกมาเล็ก ๆ พวกนี้,
แต่มันไม่มีวิธีชัดเจนในการหามัน
แต่เรารู้ว่า d ซิกมาทั้งหมดนี้, มันก็เหมือนกับ
คุณเอา ds กับ dt ทั้งหมดมา
คุณก็หา ds กับ dt ทั้งหมด

Japanese: 
このdsは数字です。
これとこれも数字です。
いいですか？線形代数学などで
習ったように
複数のスカラーのクロス積を算出するとき
スカラーを取り出すことができます。
クロス積からこれらの数字を出せば、
クロス積からこれらの数字を出せば、
これは、sに対する部分rと
tに対する部分rのクロス積の大きさに
これらを掛けたものです。
これらを掛けたものです。
掛けることの、dsとdtです。
ここに書かれたように
表面積を、これの小さなdδの合計とすると
どのように評価すればいいでしょう？
すべてのdδとは
これらのdsとdtをすべてまとめたものです。
つまり、すべてのdsとdtを取ります。

Turkish: 
Bu d s bir sayı.
Bu sayı, bu da sayı.
Lineer cebirde, hatırlarsanız, vektör çarpımında skalerle çarpılmış bir vektör olduğunda, skaleri dışarı alabiliyordunuz.
-
-
-
Yani bu sayıları vektör çarpımının dışına alabiliriz.
-
O zaman, bu eşittir r'nin s'ye göre kısmisi ile r'nin t'ye göre kısmisinin vektör çarpımının büyüklüğü çarpı bu iki ifade.
-
-
-
Çarpı d s ve d t.
Bu d sigmaların toplamını alırsak, yüzey alanını bulabiliriz, ama bunun değerini bulmanın bariz bir yolu yok.
-
-
Ama d sigmaların tüm d s'ler ve d t'lerin birleşimi olduğunu da biliyorum.
-
-

Portuguese: 
Este ds, isto é um número.
Isto é um número
e isto também.
E você pode se lembrar, quando
nós, na álgebra linear ou
onde você nos viu fazendo
produtos vetoriais, tomando
produto vetorial de
múltiplos escalares.
Você pode tirar
os escalares fora.
Se tomarmos este número e este, nós
o fatoramos para fora
do produto vetorial.
Isto será igual à
magnitude do produto
vetorial da parcial de r,
com relação a s, vezes
a parcial de r em relação
a t, e depois tudo
isto vezes estes
dois caras aqui.
Vezes ds e dt.
Escrevi isto aqui, talvez
nossa área superficial,
se tomarmos a soma de todos
estes pequenos d sigmas, mas
não há nenhuma maneira
óbvia de avaliar isto.
Mas nós sabemos que todos os d
sigmas, eles o mesmo que
como se você tomasse todos os
ds's e todos os dt's.
Então, você toma todos os
ds's e todos os dt's.

Korean: 
이 ds는 하나의 숫자이죠
이것도 숫자, 저것도 숫자에요
그리고 여러분이 기억하실지 모르겠는데,
선형대수학에서 처음 외적을 보았을 때
스칼라들을 곱하면 새로운
스칼라 값을 취할 수 있습니다
그래서 우리가 숫자로 이루어진 값들로 계산한다면
외적으로 값을 구할 수 있을 것입니다
이것은 외적값과 크기 역시 같을 것이며
r의 미소 부분과 s로 수렴하는 외적한 벡터
r의 미소 부분을 t로 수렴시키고
얘네 둘이 ds 곱하기 dt가 되겠죠
 
그래서 제가 여기에 썼던것처럼 우리의 면적 부분이
d 시그마로 다 합하더라도,
딱히 더욱 정확히 계산할 방법은 없습니다
하지만 우리는 모든 d 시그마 값이
dt/ds를 계산하면 같다는 것을 알 수 있습니다
그래서 여러분이 모든 ds와 dt를 계산할 수 있게 됩니다

English: 
So this is a ds
times a dt, right?
A ds times a dt, ds times
a dt is right there.
If we multiply this times the
cross product of the partial
derivative, this times this is
going to give us this area.
So if we summed up all of this
times this, or this times this,
if we summed them up over this
entire region, we will get all
of the parallelograms
in this region.
We will get the surface area.
So we can write-- I know this
is all a little bit convoluted.
And you need to kind of
ponder a little bit.
Surface intervals, at least in
my head, are one of the hardest
things to really visualize, but
it all hopefully makes sense.
So we can say that this thing
right over here, the sum of all
of the little parallelograms on
our surface, or the surface
area, is going to be equal to,
instead of taking the sum over
the surface, let's take the sum
of all the ds times dt's over

Japanese: 
これは、ds掛けるdtです。
ds掛けるdtはここにあります。
これに、偏微分のクロス積を掛けると
表面積が得られます。
これらのクロス積を合計し、
これら全体の領域を合計すると
この領域の平行四辺形がすべて得られます。
表面積が得られます。
複雑ですが
考えてみてください。
表面間隔を、頭の中で
描くのは難しいですが、わかりますか？
これは、
表面の小さい平行四辺形の合計は、
表面積の合計の替わりに
この領域のすべてのdsとdtを合計したものと

Turkish: 
Bu d s çarpı d t, öyle değil mi?
d s çarpı d t, burada da bir d s çarpı d t.
Bunu kısmi türevin vektör çarpımıyla çarpınca, bize bu alanı verecek.
-
Bu çarpımları bu bölge üzerinde toplarsam, bu bölgedeki tüm paralelkenarları bulmuş oluruz.
-
-
Yüzey alanını buluruz.
-
Burada biraz düşünmemiz gerekiyor.
Yüzey integralleri, bana göre, görsellemesi en zor şeylerden biridir. Ama umarım mantığını kavramışsınızdır.
-
Bu ifadenin yüzeydeki tüm küçük paralelkenarların toplamı olduğunu söyleyebiliriz. Veya bu bölgedeki tüm d s d t'lerin toplamını da alabiliriz.
-
-
-

Thai: 
นี่คือ ds คูณ dt จริงไหม?
ds คูณ dt, ds คูณ dt คือตรงนี้
หากเราคูณนี่ด้วยครอสโปรดัคของ อนุพันธ์ย่อย
นี่คูณนี่ จะบอกเราถึงพื้นที่
แล้วหากเรารวมนี่คูณนี่ทั้งหมด, หรือนี่คูณนี่ทั้งหมด,
หากเรารวมมันตลอดพื้นที่ทั้งหมด, เราจะได้
สี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดในพื้นที่นี้
แล้วเราจะได้พื้นที่ผิว
เราสามารถเขียน -- ผมรู้ว่ามันดูซับซ้อนหน่อย
คุณจำเป็นต้องสู้หน่อย
อินทิกรัลพื้นผิว, อย่างน้อยในความคิดผม, เป็นสิ่งที่ยาก
ที่สุดอย่างนึงในการมองภาพ, แต่หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
เราสามารถบอกว่าสิ่งนี่ตรงนี้, ผลรวม
ของสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ บนพื้นผิวเรา, หรือ
พื้นที่ผิว, จะเท่ากับ, แทนที่จะรวม
ตลอดผิวนั่น, ลองรวม ds คูณ dt ทั้งหมด

Korean: 
그래서 이것은 ds 곱하기 dt입니다. 맞죠?
 
우리는 이것을 외적곱하면
이 면적을 주어지게 해줄 것입니다
자 결론을 내리자면,
적분이란 미세 부분들의 합을 의미하는거죠
여기 이 평행사변형을 말하자면요
우리는 표면적을 얻을 것입니다
조금 난해하고 고민이 필요하지만,
우리는 이렇게 쓸 수 있습니다
면 적분이, 적어도 제 머릿속에서는 시각화시키기
아주 어려운 것들 중 하나인데, 그래도 가능은 하네요
그래서 우리는 여기의 것이
모든 평행사변형 위의 
점들의 합이라고 말할 수 있습니다
 
이것은 ds 곱하기 dt의 값이

Estonian: 
See on siis ds korda dt?
ds korda dt on siin.
Kui me korrutame seda korda vektorite summa
osalise tuletise, see korda see annab meile selle pinna.
Kui me võtaks kõik kokku, kõik see korda see, või see korda see,
kui me võtaks kõik need kokku üle terve selle pindala, me saame
kõik rööpkülikud siin pindalal.
Me saame pinna suuruse.
Ma tean, et see kõik on veidi käänuline.
Aga te peate natuke mõtisklema selle üle.
Pinna intervallid, vähemalt minu peas on ühed kõige raskemad
asjad mida ette kujutada, aga kõik see loodetavasti on aru saadav.
Me võime öelda, et see asi siin, selle kõige summa,
nende väikeste rööpkülikute meie pinnal, või
pindalal, hakkab olema võrdne, selle asemel, et võtta summa
üle selle pinna, võtame summa kõikide ds korda dt üle selle pindala siin.

Portuguese: 
Portanto, isto é um ds
vezes um dt, certo?
Um ds vezes um dt, ds
vezes um dt está aqui.
Se multiplicarmos isto vezes o
produto vetorial da derivada
parcial, isto vezes isto
nos dará esta área.
Então, se nós somarmos tudo isto
vezes isto, ou isto vezes isto,
se somarmos eles ao longo de
toda a região, obteremos todos
os paralelogramos nesta região.
Obteremos a área superficial.
Podemos escrever-- eu sei que isto
tudo é um pouco complicado.
E você precisa refletir um pouco.
Intervalos superficiais
são uma das coisas
mais difíceis de visualizar, mas
espero que tudo faça sentido.
Então podemos dizer que esta
coisa aqui, a soma de todos
os pequenos paralelogramos
na superfície, ou a área
superficial, será igual a--
em vez de tomar a soma sobre
a superfície, vamos tomar a soma
de todos os ds's vezes dt's sobre

Turkish: 
-
Ayrıca vektör çarpımını almamız da gerekir.
-
Bunu nasıl yapacağımızı biliyoruz.
Bu bir çift katlı integral.
-
Bu bölgedeki çift katlı integrali alıyoruz, bu bölgede bu ifadenin integralini alıyoruz.
-
-
Sarıyla yazayım.
r'nin s'ye göre kısmisiyle r'nin t'ye göre kısmisinin vektör çarpımı, d s d t'nin integrali
-
-
Değerini bulmak biraz karışık gibi görünse de, bu, değerini bulabileceğimiz bir yüzey integralidir.
-
-
-
-
Önümüzdeki birkaç videoda, size bunu hesaplamakla ilgili birkaç örnek göstereceğim.
-
Bu, size sadece yüzey alanını verecek.

English: 
this region right here.
And of course, we're also
going to have to take
this cross product here.
And we know how to do that.
That's a double integral.
for going to take the double
integral over this, we could
call it this region, or
this area, right here.
That area is the same thing
as that whole area, right
over there, of this thing.
I'll just write it in yellow.
Of the cross product of the
partial of r with respect to
s, and the partial of
r with respect to t.
ds and dt.
And so you literally just take,
and it seems very convoluted in
how you're going to actually
evaluate it, but we were able
to express this thing called a
surface-- well, this is a very
simple surface integral-- in
something that we can
actually calculate.
And in the next few videos, I'm
going to show you examples
of actually calculating it.
Now, this right here will only
give you the surface area.

Japanese: 
等しくなります。
もちろん
ここのクロス積を得ることが必要です、
どうすればいいか、わかりますか？
ダブル積分です。
ダブル積分を得るには、
この領域、つまりこの領域
これは、この全域と同じです。
これは、この全域と同じです。
黄色で書きますね。
sに対する部分rと
tに対する部分rのクロス積
掛けるds、dtです。
これにより、
一見複雑な表面積の計算が
この簡単な面積の積分として
実際に算出できます。
実際に算出できます。
次のビデオでは
実際の計算例を紹介します。
これは、表面積のみを得ます、

Portuguese: 
esta região aqui.
E claro, também
iremos tomar
este produto vetorial.
E sabemos como fazer isso.
Isso é uma integral dupla.
Iremos tomar a integral
dupla sobre isto, poderíamos
chamar esta região, ou
esta área, bem aqui.
Esta área é o mesmo
que toda aquela área
lá, desta coisa.
Eu só escreverei em amarelo.
O produto vetorial da
parcial de r em relação a
s, e a parcial de
r em relação a t.
ds e dt.
E então você literalmente calcula,
e parece bem complicado
como você irá calcular
isto, mas fomos capazes
de expressar esta coisa chamada
de uma superfície-- bem, esta é uma
integral de superfície
simples-- em algo que
podemos calcular.
E nos próximos vídeos,
lhe mostrarei exemplos
em que realmente calculo.
Agora, isto aqui lhe dará
apenas a área superficial

Thai: 
ตลอดขอบเขตนี่ตรงนี้
และแน่นอน, เราต้องคูณ
โปรดัคนี่ตรงนี้ด้วย
แล้วเรารู้ว่าจะทำยังไง
นั่นก็แค่อินทิกรัลสองชั้น
ในการหาอินทิกรัลสองชั้นตลอดนี่, เราสามารถเรียก
มันบอกว่าขอบเขต, หรือพื้นที่นี่, ตรงนี้
พื้นที่นั่นก็เหมือนกับพื้นที่ทั้งหมด, ตรงนั้น
ของสิ่งนี้
ผมจะเขียนมันด้วยสีเหลืองนะ
ของครอสโปรดัคของ อนุพันธ์ย่อยของ r เทียบกับ
s กับอนุพันธ์ย่อยของ r เทียบกับ t
ds กับ dt
และคุณก็แค่เอา, มันดูซับซ้อน
ตอนคุณคำนวณมันจริง ๆ, แต่เราสามารถ
แสดงสิ่งนี้ว่าเป็นพื้นผิว -- ที่จริง นี่เป็น
อินทิกรัลพื้นผิวธรรมดา -- ในสิ่งที่เราสามารถ
คำนวณได้
และในวิดีโอหน้า, ผมจะยกตัวอย่าง
การคำนวณมันจริง ๆ
ทีนี้, นี่ตรงนี้ให้แค่พื้นที่ผิวคุณ

Estonian: 
ja muidugi, me peame võtma
selle vektorite summa siin.
Ja me teame kuidas seda teha.
See on kahekordne integraal.
Et võtta kahekordne integraal ühe selle, me võiks
kutsuda seda ala siin.
See pindala on sama asi kui see kodu pind,
siin, sellest asjast.
Ma kirjutan seda kollasega.
Vektorite summast osalise r suhtest
s-iga, ja osalise r suhtest t-ga.
ds ja dt.
Ja te lihtsalt võite võtta, ja see tundub väga kokkukeerdunud
võrreldes sellega kuidas te tegelikult seda hindama hakkate, aga me
oleme võimelised väljedama seda asja kutsutud pinnaks--kuigi see on väga
lihtne pinna integraal-- milleski mida me saame
tegelikult arvutada.
Ja järgmistes videotes ma näitan teile näiteid
selle avutamisest.
Nüüd, see siin ainult annab teile selle pinna ala.

Korean: 
저 면적이 될 것이구요
물론, 우리는 외적을 여기서도 써야되겠죠
 
어떻게 할지 알구요
그게 이중 적분입니다
이것이 이중적분이 되면 우리는
이곳의 면적을 구할 수 있을것입니다
그것은 전체 면적과 값이 같죠
 
그냥 노란색으로 쓸게요
s로 수렴하는 r의 부분과
t로 수렴하는 r의 부분과
ds 및 dt.
이것만 보면 매우 뒤얽혀 보이죠?
계산하기 난감하겠지만,
우리는 면적-흠 이거는 되게 간단하네요
쉽게 적분할 수 있는
계산이 가능한 부분입니다
그리고 앞으로 몇몇 동영상에서는
실제로 그것을 계산하는 예시를 보여주겠습니다
자, 이제 여기 면적만 줄게요

Portuguese: 
Mas e se, em todos os pontos
aqui-- então aqui o que
fizemos em ambas as
expressões, nós apenas
descobrimos a área superficial
de cada um dos paralelogramos
e depois somanos todos eles.
Isto que fizemos.
Mas e se, associado com
cada um daqueles pequenos
paralelogramos, tivermos algum
valor, onde este valor é
definido por uma terceira
função f de x, y, z?
Assim cada paralelogramo, muito
pequeno, está em torno de um
ponto, você pode dizer que é
talvez o centro disto, não tem
que ser o centro.
Mas talvez o centro disto
é em algum ponto no
espaço tridimensional, e se
você usar alguma outra função,
f de x, y, z e, você terá o
valor deste ponto.
E o que nós queremos fazer é
descobrir o que acontece se
para cada um daqueles
paralelogramos, fôssemos
multiplicá-lo pelo valor da
função naquele ponto.
Então, nós poderiamos
escrever desta forma.
Aqui é onde, pode
imaginar, a função
é apenas um.
Estamos apenas multiplicando cada
um dos paralelogramos por um.

Japanese: 
では、
ここの式では、どちらでも
これらの平行四辺形の面積を求め、
それを合計しました。
では、
これらの平行四辺形のそれぞれに
何かの値、
例えば、x、y、zの関数で与えられる値が
あるとします。
すべての、極小の平行四辺形内の点
例えば、その中心
または、中心でなくても
その３次元内の点
それに対し、x、y、zの関数で値が
得られるとします。
では、
これらのすべての平行四辺形を
その関数の値で掛けるとしましょう。
このように書けます。
この式は
その関数が１と場合で
各平行四辺形に１を掛けたものです。

Korean: 
하지만, 만약에 여기에 모든 점들이
두 방향으로 모두 보았을 때
면적이 평행사변형을 이루게 된다는 것을 깨닫고
더하면 됩니다
그게 우리가 하고 있는 계산입니다
하지만, 되게 작은 미세한 평행사변형을 통해
계산하고 x, y, z 3개의 함수로 정의된
값이 있다고 합시다
모든 평행사변형은 되게 작고,
다 꼭짓점 주변에 있다고 보면
 
중앙에 있다고 가정합시다
3차원 공간에서는 말이죠. 그러면 여러분은
f라는 함수의 x, y, z값에서
저 점의 값을 계산 할 수 있을 것입니다
곱하면 어떻게 되는지 궁금하죠?
 
 
그건 이렇게 할 수 있습니다
함수가 하나라고 가정하면 이렇게 되겠습니다
 
하나의 평행사변형을 
다른 하나에 대해 외적곱을 진행하면

English: 
But what if, at every point
here-- so over here what
we've done in both of these
expressions, is we're just
figuring out the surface area
of each of these parallelograms
and then adding them all up.
That's what we're doing.
But what if, associated with
each of those little
parallelograms, we had some
value, where that value is
defined by some third
function f of x, y, z?
So every parallelogram, it's
super small, it's around a
point, you can say it's maybe
the center of it, doesn't
have to be the center.
But maybe the center of it
is at some point in
three-dimensional space, and if
you use some other function, f
of x, y, and z, you'll get the
value of that point.
And what we want to do is
figure out what happens if
for every one of those
parallelograms, we were to
multiply it times the value of
the function at that point?
So we could write it this way.
So this is where, you can
imagine, the function
is just one.
We're just multiplying each of
the parallelograms by one.

Thai: 
แต่หาก, ทุกจุดตรงนี้ -- ตลอดตรงนี้
ที่เราทำในพจน์ทั้งสองนี้, เราแค่หา
พื้นที่ผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละอัน
แล้วรวมมันเข้า
นั่นคือสิ่งที่เราทำอยู่
แต่ถ้าเกิด, ในแต่ละสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พวกนี้, เรามีค่าบางอย่าง, โดยค่า
พวกนี้นิยามด้วยฟังก์ชันที่สาม f ของ x,y,z ล่ะ?
สำหรับทุกสี่เหลี่ยม, มันเล็กมาก, ผมอยู่รอบ ๆ
จุดนึง, คุณอาจบอกว่ามันอยู่ตรงกลางสี่เหลี่ยม,
ไม่ต้องตรงกลางก็ได้
แต่บางทีตรงกลางสี่เหลี่ยม ณ จุดนึงใน
สเปซสามมิติ, หากคุณใช้ฟังก์ชันอีกอันคือ f
ของ x,y กับ z, คุณจะได้ค่า ณ จุดนั้น
สิ่งที่เราอยากทำ คือ หาว่าเกิดอะไรขึ้นหาก
ทุกจุดบนสี่เหลี่ยมด้านขนานพวกนี้, เรา
คูณมันกับค่าฟังก์ชัน ณ จุดนั้น?
เราสามารถเขียนมันแบบนี้ได้
นี่คือตอน, คุณคงนึกออก, ที่ฟังก์ชันนั้น
มีค่าเป็นหนึ่ง
เราก็แค่คูณสี่เหลี่ยมแต่ละอันด้วยหนึ่ง

Turkish: 
Burada, bu paralelkenarların her birinin yüzey alanını bulup, yüzey alanlarını topluyoruz.
-
-
-
Yaptığımız şey bu.
Peki, bu paralelkenarlarla eşleştirdiğimiz bir başka değer varsa, yani f x y z gibi bir üçüncü fonksiyon varsa?
-
-
Her çok küçük paralelkenarda bir nokta olabilir, belki merkezinde, belki değil.
-
-
Belki merkezinde bir noktada, başka br fonksiyon değeri, f x y z buluyoruz.
-
-
Paralelkenar alanıyla bu noktadaki fonksiyon değerini çarparsak ne olacağını merak ediyoruz.
-
-
Yani şöyle yazabiliriz.
Burada, fonksiyonun 1 olduğunu düşünebilirsiniz.
-
Her paralelkenarı 1 ile çarpıyorum.

Estonian: 
Aga mis siis, kui iga punkt siin--
mida me oleme teinud mõlemas väljenduses, mis me oleme üritanud on
välja mõelda kõikide nende rööpkülikute pindalad
ja need kokku liitnud.
See on mida me oleme teinud.
aga mis siis kui, seoses kõigi nende väikeste rööpkülikutega,
meil on olnud mingi väärtus, kus see väärtus on
defineeritud mingi kolmanda funktsiooni f x,y või z-ist?
Nii, et iga rööpkülik, on üliväike, see on ümber
punkti, võib isegi öelda, et selle keskel,
kuid ei pea olema keskel.
Aga võibolla selle keskel mingi hetk on
kolmedimensioonilises ruumis, ja kui me kasutaks mingit teist funktsiooni, f
x,y või z-ist, te saaks selle punkti väärtuse.
Ja mis me tahame teha on, välja mõtelda mis juhtub kui
kõiki neid rööpkülikuid
korrutada funktsiooni väärtusega.
Me võiks seda niiviisi kirjutada.
Siin võite ette kujutada
et funktsioon on lihtsalt üks.
Me korrutame kõiki rööpkülikuid ühega.

English: 
But we could imagine we're
multiplying each of the little
parallelograms by f of x, y,
and z, d sigma, and it's going
to be the exact same thing,
where this is each of the
little parallelograms, we're
just going to multiply it
by f of x, y, and z there.
So we're going to integrate
it over the area, over that
region, of f of x, y, and z,
and then times the magnitude of
the partial of r with respect
to f, crossed with the partial
of r with respect to t, ds, dt.
And of course, we're
integrating with
respect to s and t.
Hopefully we can express this
function in terms of s and
t, and we should be able
to, because we have a
parameterization there.
Wherever we see an x
there, it's really x is
a function of s and t.
y is a function of s and t.
z is a function of s and t.
And this might look super
convoluted and hard.
And the visualizations for
this, of why you'd want
to do this, it has
applications in physics.

Portuguese: 
Mas nós poderíamos imaginar que estamos
multiplicando cada um dos pequenos
paralelogramos por f de
x, y, e z, d sigma, será
exatamente a mesma coisa,
onde isto é cada um dos
paralelogramos, iremos
apenas multiplicar
por f de x, y, e z.
Então, nós iremos integrar
sobre a área, sobre aquela
região de f de x, y, e z, e depois,
vezes a magnitude da
parcial de r em relação a f, multiplicada
vetorialmente com a parcial
de r em relação a t, ds, dt.
E claro, estamos
integrando em
relação a s e t.
Espero que possamos expressar
esta função em termos de s e t,
devemos ser capazes, porque
temos uma parametrização lá.
Onde quer que vejamos
um x lá, x é
uma função de s e t.
y é uma função de s e t.
z é uma função de s e t.
E isso pode parecer muito
complicado e difícil.
E as visualizações para
Isto, do porque você gostaria
de fazer isso, tem
aplicações em física.

Turkish: 
Bu paralelkenarların her birini f x y z ile çarparsak da aynı şey olur.
-
-
-
-
Yani bu bölgede, f x y z çarpı r'nin s'ye göre kısmisi ile r'nin t'ye göre kısmisinin vektör çarpımının büyüklüğü, d s d t'nin integralini alacağız.
-
-
-
s ve t'ye göre integral alıyoruz.
-
Bu fonksiyonu s ve t cinsinden yazabilirsek iyi olur, çünkü burada bu parametreler var.
-
-
x gördüğümüzde, x'in s ve t cinsinden bir fonksiyon olduğunu unutmayalım.
-
y de s ve t cinsinden bir fonksiyon.
z de s ve t cinsinden bir fonksiyon.
Bu çok zor ve karışık görünebilir.
Bu konunun fizik dersinde uygulamaları vardır.
-

Japanese: 
または、各平行四辺形を
関数（x、y、z）掛けるdδ
これは、各平行四辺形を
関数（x、y、z）で
掛けます。
この領域を積分するには
関数（x、y、z）に掛けることの
ベクトルdr／dsとdr／dtのクロス積、掛ける
ds、dtです。
これを、sとtでの積分を行います。
これを、sとtでの積分を行います。
これが、sとtの項で表現できますか？
ここで、パラメーターが設定されているので、
これが可能です。
xはここで見られるように、sとtの関数です。
xはここで見られるように、sとtの関数です。
同様に　yもsとtの関数で、
同様に　zもsとtの関数です。
複雑に見えますが、
これは、物理への応用されるので、
理解しておきましょう。

Estonian: 
Aga me võiks kujutada ette, et me korrutame kõiki
väikseid rööpkülikuid f x,y või z-ga. ja see
hakkab olema sama asi, kus see on iga üks
väikestest rööpkülikutest, me lihtsalt korrutame neid
f x,y või z-ga.
Me integreerime seda üle pinna, üle selle
piirkonna, f x,y või z-ist, ja siis korda suurus
sellest r-i osast suhtes f-ga, risti osalise
r-ga suhtest d, ds, dt.
ja muidugi, me integreerime
suhtes s ja t.
Loodetavasti me saame väljendada seda funktsiooni s suhtes ja
t, ja me peaks olema võimelised, sest me meil on
parameetriseerimine seal.
Kusiganed me näeme x-i seal, on see tegelikult x
on funtsioon s ja t-st.
y on funktsioon s ja t-st.
z on funktsioon s ja t-st.
See võib näida üli segane ja raske.
Ja ettekujutamine siin, et miks te tahaks
seda teha - see leiab rakendust füüsikas.

Thai: 
แต่เรายังจินตนาการได้ว่า เราคูณแต่ละอัน
ด้วย f ของ x,y กับ z, d ซิกมา, และนั่น
ก็เหมือนกับ, แต่ละสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น
เราคูณมัน
ด้วย f ของ x,y กับ z, ตรงนี้
เราจะอินทิเกรตมันตลอดพื้นที่, ตลอด
ขอบเขตนั่น, ของ f ของ x,y, กับ z, แล้วคูณขนาดของ
อนุพันธ์ย่อย r เทียบ s, ครอสอนุพันธ์ย่อย
r เทียบ t, ds dt
และแน่นอน, เราอินทิเกรต
มันเทียบกับ s และ t
หวังว่าเราจะสามารถเขียนฟังก์ชันนี้ในรูปของ s กับ t ได้
และเราต้องทำได้, เพราะเรามี
การตั้งพาราเมทริกไว้แล้ว
เมื่อไหร่ก็ตามที่เราเห็น x ในนี้, มันก็คือ x
เป็นฟังกืชันของ s กับ t
y เป็นฟังก์ชันของ s กับ t
z เป็นฟังก์ชันของ s กับ t
และนี่อาจดูซับซ้อนและยากสุด ๆ
และการมองภาพนี่, ว่าเราจะทำ
มันไปทำไม, มันจะมีประโยชน์ในฟิสิกส์

Korean: 
우리는 평행사변형의 작은 부분들을 곱해가며
f, x, y, z, d 시그마를 통해
우리가 구해야 될 값과
완전히 일치한다는 것을 알 수 있습니다
f, x, y, z로 저 평행사변형을 곱합시다
 
면적분해서 면들을 통합시키면
 
r의 f로 수렴하는 부분과
t로 수렴하는 r, 즉 ds, dt입니다
물론, 우리는 s와 t로의 수렴값에 대해
적분하는 것입니다
다행히 우리는 이 함수를 s와 t로 표현할 수 있습니다
 
모수화가 되기 때문이죠
x가 보이지만
x는 s와 t의 함수로 표현됩니다
y 역시 그러고,
z도 예외는 아닙니다
매우 복잡해 보이고 어려워 보일 수 있어요
시각화랑 오늘 한것들은
물리학에서 대입시킬 수 있습니다
 

Oromo: 
I'm back!

Japanese: 
視覚的に
まっすぐな表面を考えた方が簡単でしょう。
次のビデオで
これらの問題を解いてみますが、
実際には、それほど難しくありません。
がんばってやってみましょう。

Thai: 
แต่มองภาพยากหน่อย
มันง่ายกว่าที่จะนึกภาพพื้นที่ผิวตรง ๆ
แต่เราจะเห็นในวิดีโอหน้า ว่ามันยุ่งเหยิงหน่อย
ตอนคำนวณโจทย์พวกนี้, แต่มัน
ไม่ได้ยากจนเกินไป
คุณแค่ต้องทนหน่อยเท่านั้น

Korean: 
시각화는 좀 어렵지만,
세워진 표면적을 시각화시키는 것은 더 쉽습니다
다음 몇몇 동영상에서는 이런 복잡한
모양을 어떻게 계산할 것인지 알아보겠습니다
어렵진 않을 거에요
그냥 시간만 좀 투자해봅시다

Oromo: 
Do you like my work?
If you do, that is great.
This guy is kinda of a douche, huh?
Well, I suck at math.
He is probably smart.
VAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINAVAGINA

Turkish: 
Gözünüzde canlandırması biraz zor.
Yüzey alanını canlandırmak daha kolay.
Önümüzdeki birkaç video boyunca, bunları çözmenin biraz karışık olduğunu ama çok da zor olmadığını göreceğiz.
-
-
Sabrı elden bırakmamamız gerektiğini göreceğiz.

Portuguese: 
É difícil visualizar.
É mais fácil apenas visualizar
a área superficial reta.
Mas veremos nos próximos
vídeos que é um pouco
complicado calcular estes
problemas, mas eles não
são difíceis de fazer.
Você apenas tem que
se acostumar com eles.

Estonian: 
Seda on raske ette kujutada.
Seda on lihtsam visualiseerida pinnana.
Aga me näeme järgnevates videotes, et neid on veidi
raske arvutada, aga nad ei ole
väga raskesti tehtavad.
Peab neid lihtsalt harjutama.

English: 
It's a little hard
to visualize.
It's easier just to visualize
the straight-up surface area.
But we're going to see the next
few videos that it's a little
hairy to calculate these
problems, but they're
not too hard to do.
That you just kind of
have to stick with them.
