
German: 
Hey Leute! Wo wir aufgehört haben,
Ich habe darüber gesprochen, wie man eine dreidimensionale berechnet
Kreuzprodukt
zwischen zwei Vektoren, vx w.
Es ist diese lustige Sache, wo Sie eine Matrix schreiben,
deren zweite Spalte hat die Koordinaten von
v,
deren dritte Spalte hat die Koordinaten von
w,
aber die Einträge dieser ersten Spalte, seltsam,
sind die Symbole i-hat, j-hat und k-hat
wo du nur so tust wie diese Jungs
Zahlen für Berechnungen.
Dann mit dieser funky Matrix in der Hand,
Sie berechnen seine Determinante.
Wenn Sie nur mit diesen Berechnungen tuckern,
die Verrücktheit ignorieren,

Czech: 
Naučil jsem se neobdivovat obtížnost důkazů: Obtížnost znamená, že jsme to ještě úplně nepochopili. Cílem je načrtnout kontext, ve kterém je důkaz zřejmý.
-- Pierre Deligne
 
Ahoj, lidi!
Naposled jsme si řekli, jak se počítá vektorový součin mezi dvěma
3D vektory 'v' x 'w'.
Je to taková legrácka, že do druhého sloupce matice napíšeme souřadnice
vektoru 'v',
do třetího souřadnice vektoru 'w',
ale souřadnice prvního jsou podivně symboly 'i', 'j' a 'k',
u kterých si napřed pro účely výpočtu představujete jako by to byla čísla,
pak spočítáte determinant
této divné matice.
Když se dopracujete k výsledku a ignorujete tu celou podivnost,

Arabic: 
مرحبا يا اصدقاء! حيث توقفنا،
كنت أتحدث عن كيفية حساب ثلاثي الأبعاد
المنتوج الوسيط
بين متجهين ، vx w.
هذا شيء مضحك حيث تكتب مصفوفة ،
يحتوي عمودها الثاني على إحداثيات
الخامس،
يحتوي عمودها الثالث على إحداثيات
ث،
لكن مداخل ذلك العمود الأول ، بغرابة ،
هي الرموز i-hat و j-hat و k-hat
حيث تتظاهر فقط مثل هؤلاء الأشخاص
أرقام من أجل الحسابات.
ثم مع ذلك المصفوفة غير التقليدية في متناول اليد ،
يمكنك حساب المحدد الخاص به.
إذا كنت مجرد تشوش جنبا إلى جنب مع تلك الحسابات ،
تجاهل الغرابة ،

Chinese: 
嘿，大家好！上次结束时
我们说到如何计算两个三维向量v和w的叉积
这个计算很有趣，你写下一个矩阵
它的第二列是v的坐标，第三列是w的坐标
但奇怪的是，第一列的元素是i帽、j帽和k帽
出于计算的原因，你假定它们都是数
然后你再计算这个奇怪矩阵的行列式
如果你忽略其中的古怪之处，一心扑在计算上
你会得到一个常数乘以i帽，加上一个常数乘以j帽，加上一个常数乘以k帽

English: 
Hey folks! Where we left off,
I was talking about how to compute a three-dimensional
cross product
between two vectors, v x w.
It's this funny thing where you write a matrix,
whose second column has the coordinates of
v,
whose third column has the coordinates of
w,
but the entries of that first column, weirdly,
are the symbols i-hat, j-hat and k-hat
where you just pretend like those guys are
numbers for the sake of computations.
Then with that funky matrix in hand,
you compute its determinant.
If you just chug along with those computations,
ignoring the weirdness,

Portuguese: 
"De [Grothendieck], eu também aprendi a não glorificar a dificuldade de uma demonstração: dificuldade significa
que ainda não entendemos. A ideia é ser capaz de pintar uma paisagem em que a demonstração é óbvia." 
- Pierre Deligne
Ei pessoal! Onde paramos,
eu estava falando sobre como calcular um produto vetorial tridimensional
entre dois vectores, 'v x w'.
É esta coisa engraçada onde você escreve uma matriz,
cuja segunda coluna tem as coordenadas de
'v',
cuja terceira coluna tem as coordenadas de 'w',
mas as entradas de que a primeira coluna, estranhamente, são os símbolos î, ĵ e kˆ,
onde você só finge que esses caras são
números para o bem dos cálculos.
Em seguida, com essa matriz esquisita nas mãos,
você calcula o seu determinante.
Se você apenas segue adiante com esses cálculos,
ignorando a estranheza,

Korean: 
알렉산더 그로텐디크(독일의 수학자)로부터,  나는 또한 증명의 어려움을 자랑하지 말라고도 배웠다. 증명이 어렵다는 것은 그것을 이해하지 못했다는 것이다.  증명이 분명해야 전체 그림을 볼 수 있다.
안녕. 여러분.
지난 시간에 3차원 벡터 v와 w의 외적을 
어떻게 계산하는지에 대해 얘기해 봤습니다.
외적 계산 행렬에서 재밌었던 점이 있었습니다.
두 번째 열에는 v벡터를,
세 번째 열에는 w벡터를 적은 행렬에
이상하게도 그 첫번째 열에는
i-hat, j-hat 및 k-hat 기호를 적은 것 말입니다.
단지 계산을 위해 기호를 숫자처럼 사용한 거죠.
그리고 이 이상한 행렬을 가지고 
행렬식(determinant)를 구했습니다.
그리고 이 이상한 행렬을 가지고 
행렬식(determinant)를 구했습니다.
만약 당신이 그 이상함을 무시하고 계산해 본다면,

Spanish: 
Hola amigos, la última vez
estaba hablándoles de cómo calcular un producto vectorial tridimensional
entre dos vectores, v y w
Es esta cosilla entretenida en donde escribes una matriz, cuya segunda columna tiene las coordenadas de v,
su tercera columna tiene las coordenadas de w,
pero las entradas de la primera columna, de forma extraña, son los vectores i, j y k
y hacemos de cuenta que estos chicos son números, para guardar las apariencias al calcular.
Ahora, con esta rarísima matriz entre manos,
calculamos su determinante.
Si logras pasar a través de estos cálculos,  ignorando su rareza,
obtienes múltiplos de i, j y k,
El cómo lleguas a ese determinante

Polish: 
Od [Grothendiecka], nauczyłem się także nie chlubić się trudnością dowodu: trudność oznacza, że jeszcze nie rozumiemy. Ideą jest móc nakreślić taki kontekst, w którym dowód jest oczywisty.
Cześć wszystkim! Kiedy skończyliśmy ostatnim razem,
mówiłem o tym jak obliczać trójwymiarowy iloczyn skalarny
dwóch wektorów, v x w
To ta dziwna rzecz, gdzie tworzysz macierz, której druga kolumna to współrzędne v,
 
trzecia kolumna to współrzędne w,
ale elementy pierwszej kolumny to, o dziwo, i-z-daszkiem, j-z-daszkiem i k-z-daszkiem
i udajemy na potrzeby obliczeń, że są one po prostu liczbami.
Następnie obliczamy wyznacznik
tej dziwacznej macierzy.
Jeżeli po prostu przemy do przodu z obliczeniami, ignorując tę dziwną umowę,

Spanish: 
en realidad no es lo importante.
Lo que realmente importa es que acabarás con tres números distintos
que se interpretan como las coordenadas de un nuevo vector
Desde aquí, usualmente nos dicen que 'creamos' en que
el vector resultante tiene las siguientes propiedades geométricas.
Su longitud es igual al área del paralelogramo definido por v y w
Nuestro nuevo vector apunta en dirección perpendicular a v y w
Y su dirección obedece a la regla de la mano derecho
Es decir, que si apuntas tu dedo índice en la dirección de v
y tu dedo del medio en la misma dirección que w
luego, cuando levantas tu pulgar
estarás apuntando a la dirección del nuevo vector.
Hay algunos cálculos 'a fuerza bruta'
que puedes hacer para comprobar estas propiedades.
Pero quisiera compartir con ustedes una linea de razonamiento bastante elegante.
Pero necesitamos repasar un poco.
Así que estoy asumiendo que todos han visto el capítulo 5, sobre determinantes
y el capítulo 7, donde introduje la idea de dualidad.

Korean: 
(상수)*(i-hat) + (상수)*( j-hat) + (상수)*(k-hat)을 
얻게 됩니다.
요점에서 벗어난 행렬식을 구하는 계산 방법에 대해 
구체적으로 어떻게 생각하나요?
요점에서 벗어난 행렬식을 구하는 계산 방법에 대해 
구체적으로 어떻게 생각하나요?
여기서 중요한 것은 어떤 결과 벡터의 좌표로 해석되는 
세 개의 숫자를 얻는다는 것입니다.
여기서 중요한 것은 어떤 결과 벡터의 좌표로 해석되는 
세 개의 숫자를 얻는다는 것입니다.
학생들은 결과 벡터가 다음과 같은 기하학적
속성을 가지는 것을 그냥 믿으라고 배웁니다.
학생들은 결과 벡터가 다음과 같은 기하학적
속성을 가지는 것을 그냥 믿으라고 배웁니다.
결과 벡터의 길이는 v벡터와 w 벡터에 의해 정의된 
평행 사변형의 면적과 같다.
결과 벡터의 방향은 
벡터 v와 w가 이루는 평면에 직각이다.
그리고 그 방향은 오른손 법칙을 따른다.
즉, 집게 손가락을 v방향으로 두고
가운데 손가락을 w방향으로 둔 상태에서
엄지 손가락을 위로 들면
새로운 벡터(v x w)의 방향을 가리킬 것입니다.
이를 확인하기 위해서는 무지막지한 계산을 해야합니다.
이를 확인하기 위해서는 무지막지한 계산을 해야합니다.
하지만 저는 정말 우아한 추론을 소개하고 싶습니다.
그런데 약간의 배경지식이 필요합니다.
그래서 이번 시간에 저는 
모든 사람들이 행렬식에 대한 5장 영상과

Chinese: 
你具体如何计算这个行列式无关紧要
重点在于你最终会得到三个数
可以分别解读为向量的坐标
通常从这开始，老师也只是让学生相信
最终得到的向量有以下几何性质
它的长度等于v和w所确定的平行四边形的面积
它的方向同时与v和w垂直
并且它满足右手定则，也就是说
如果（右手）食指指向v的方向，中指指向w的方向
那么当你竖起大拇指时，它指向所得向量的方向
你可以通过蛮力计算来验证这些事实
但是我想和你分享一个非常优美的推理过程
不过这个过程需要一些知识背景
所以在看这个视频前，我假定你们都已经看过第五章（行列式）

English: 
you get some constant times i-hat + some constant
times j-hat + some constant times k-hat.
How specifically you think about computing
that determinant
is kind of beside the point.
All that really matters here is that you'll
end up with three different numbers
that are interpreted as the coordinates of
some resulting vector.
From here, students are typically told to
just believe that
the resulting vector has the following geometric
properties.
Its length equals the area of the parallelogram
defined by v and w.
It points in a direction perpendicular to
both of v and w.
And this direction obeys the right hand rule
in the sense that if you point your forefinger
along v
and your middle finger along w
then when you stick up your thumb
it'll point in the direction of the new vector.
There are some brute force computations
that you could do to confirm these facts.
But I want to share with you a really elegant
line of reasoning.
It leverages a bit of background, though.
So for this video I'm assuming that everybody
has watched chapter 5 on the determinant

Czech: 
dostanete nějakou konstantu krát 'i' + konstantu krát 'j' + konstantu krát 'k'.
Význam tohoto determinantu si
jen tak nepředstavíte.
Ale jde o to, že skončíte se třemi různými čísly,
které interpretujete jako souřadnice výsledného vektoru.
Studenti většinou musí věřit, že to funguje,
a že výsledný vektor splňuje geometrické vlastnosti.
Jeho délka je rovna obsahu rovnoběžníku definovaného 'v' a 'w',
míří ve směru kolmém na oba vektory 'v' a 'w'.
a tento směr odpovídá pravidlu pravé ruky
v tom smyslu, že když dáte ukazováček ve směru 'v',
a prostředníček ohnete na 'w',
tak vztyčený palec ukazuje
ve směru výsledného vektoru.
Mohli bychom to upočítat hrubou silou
a ověřit všechny tyto vlastnosti,
ale tady se s vámi chci podělit o opravdu elegantní zdůvodnění.
Vyžaduje to ale již jisté zázemí lineární algebry.
Takže pro toto video předpokládám, že jste viděli kapitolu 5 o determinantu

German: 
Sie erhalten einige konstante Zeiten i-hat + einige konstante
mal j-hat + einige konstante mal k-hat.
Wie genau denken Sie über Computer?
diese Determinante
ist irgendwie nebensächlich.
Alles was hier wirklich zählt ist, dass du es wirst
am Ende mit drei verschiedenen Zahlen
die als die Koordinaten von interpretiert werden
ein resultierender Vektor.
Von hier aus werden die Schüler normalerweise dazu aufgefordert
glaube das einfach
Der resultierende Vektor hat die folgende Geometrie
Eigenschaften.
Seine Länge entspricht der Fläche des Parallelogramms
definiert durch v und w.
Es zeigt in eine Richtung senkrecht zu
sowohl von v als auch von w.
Und diese Richtung folgt der Regel der rechten Hand
in dem Sinne, dass, wenn Sie Ihren Zeigefinger zeigen
entlang v
und dein Mittelfinger entlang w
dann, wenn Sie Ihren Daumen hochhalten
es zeigt in Richtung des neuen Vektors.
Es gibt einige Brute-Force-Berechnungen
dass Sie tun könnten, um diese Tatsachen zu bestätigen.
Aber ich möchte mit Ihnen eine wirklich elegante teilen
Argumentationslinie.
Es nutzt jedoch ein wenig Hintergrund.
Also für dieses Video gehe ich davon aus, dass alle
hat Kapitel 5 über die Determinante gesehen

Arabic: 
تحصل على بعض الأوقات الثابتة i-hat + بعض الثابت
مرات j-hat + بعض الأوقات الثابتة k-hat.
كيف تفكر على وجه التحديد في الحوسبة
هذا المحدد
هو نوع من بجانب النقطة.
كل ما يهم حقا هنا هو أنك سوف
في نهاية المطاف مع ثلاثة أرقام مختلفة
التي يتم تفسيرها على أنها إحداثيات
بعض ناقلات الناتجة.
من هنا ، يُطلب من الطلاب عادةً
فقط أعتقد ذلك
ناقلات الناتجة لديها هندسية التالية
الخصائص.
طوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع
يحددها v و w.
يشير في اتجاه عمودي على
كل من v و w.
وهذا الاتجاه يخضع لقاعدة اليد اليمنى
بمعنى أنه إذا أشرت السبابة الخاصة بك
على طول الخامس
والإصبع الأوسط على طول ث
ثم عندما تلتصق بإبهامك
سوف تشير في اتجاه المتجه الجديد.
هناك بعض حسابات القوة الغاشمة
يمكنك القيام به لتأكيد هذه الحقائق.
ولكن أريد أن أطلعكم على الأناقة حقا
خط المنطق.
انها تستفيد قليلا من الخلفية ، على الرغم من.
لذا ، بالنسبة لهذا الفيديو ، أفترض أن الجميع
شاهدت الفصل 5 على المحدد

Portuguese: 
você obtém alguma constante vezes î + alguma constante vezes ĵ + alguma constante vezes kˆ.
Como especificamente você pensa sobre
computar aquele determinante
é meio que irrelevante.
Tudo o que realmente importa aqui é que você vai
acabar com três números diferentes
que são interpretados como as coordenadas de
algum vetor resultante.
A partir daqui, tipicamente diz-se aos 
alunos que apenas acreditem que
o vetor resultante tem as seguintes 
propriedades geométricas:
Seu comprimento é igual à área do 
paralelogramo definido por 'v' e 'w'.
Ele aponta numa direção 
perpendicular a ambos 'v' e 'w'.
E sua direção obedece à regra da mão direita
no sentido de que se você apontar seu 
dedo indicador na direção de 'v'
e seu dedo médio na direção de 'w'
então, quando você erguer o polegar,
ele vai apontar na direção do novo vetor.
Há alguns cálculos força bruta
que você poderia fazer para confirmar estes fatos.
Mas eu quero compartilhar com vocês uma linha de raciocínio realmente elegante.
Ele utiliza um pouco de conhecimento 
anterior, no entanto.
Assim, para este vídeo, estou assumindo que todo mundo assistiu o capítulo 5 sobre o determinante

Polish: 
otrzymamy wyrażenie postaci stała razy i-z-daszkiem  +  stała razy j-z-daszkiem  + stała razy k-z-daszkiem.
Co dokładnie myślisz podczas obliczania tego wyznacznika
w zasadzie nie ma znaczenia.
Co ma znaczenie to to, że otrzymamy trzy liczby,
które interpretujemy jako współrzędne wynikowego wektora.
Mając ten wynik, studentowi zwykle mówione jest, że
otrzymany wektor ma następujące geometryczne własności.
Jego długość to pole powierzchni równoległoboku rozpiętego przez v oraz w.
Jego kierunek jest prostopadły do v oraz w.
A jego zwrot jest zgodny z zasadą prawej ręki,
co oznacza, że jeżeli palec wskazujący wskazuje v,
palec środkowy wskazuje w,
to wystawiony kciuk
wskaże dokładnie kierunek tego nowego wektora.
Te fakty można oczywiście sprawdzić obliczeniowo.
 
Ja jednak chcę wam pokazać pewne bardzo eleganckie rozumowanie.
Wymaga ono jednak trochę przygotowania.
Zatem w tym filmie zakładam że obejrzeliście już rozdział 5. o wyznaczniku

Korean: 
이중성(duality)을 소개한 7 장 영상을 보았다고 
가정할 것입니다.
짧게 복습하자면, 이중성의 개념은
어떤 공간을 수선(number line)으로
선형변환을 할 때마다
그 공간의 한 특정 벡터와 연관이 있습니다.
선형 변환을 수행하는 것이
그 특정 벡터의 내적을 구하는 것과 
같다는 의미에서 그렇습니다.
수치적으로 이것은 하나의 변환이
하나의 행이 있는 행렬로 설명되며,
수치적으로 이것은 하나의 변환이
하나의 행이 있는 행렬로 설명되며,
각 열은 기저벡터가 변환된 숫자를 알려주기 때문입니다.
그리고 이 행렬에 어떤 벡터 'v'를 곱하면
계산적으로는 'v'와 그 행렬을 옆으로 돌려서 얻은 벡터의 내적을 구하는 것과 동일합니다.
기억해야할 중요한 사실은 당신이 수학의 세계로 나아가
수선(number line)에 대한 선형 변환을 발견할 때마다
그 변환을 '이중 벡터'라고 불리는 어떤 벡터와 일치시킬 수 있다는 것입니다.
그 변환을 '이중 벡터'라고 불리는 어떤 벡터와 일치시킬 수 있다는 것입니다.

Czech: 
a kapitolu 7, ve které jsem představil dualitu.
Jen pro rychlé připomenutí, dualita spočívá v tom,
že každé lineární zobrazení z prostoru do číselné osy
jednoznačně odpovídá nějakému vektoru v tom prostoru
v tom smyslu, že provedení daného zobrazení je totéž
jako výpočet skalárního součinu s tím vektorem.
Numerické zdůvodnění vypadá tak, že každé takové lineární zobrazení
je popsáno maticí s jediným řádkem,
kde každý sloupeček udává, na kterém čísle přistane patřičný bázový vektor.
Násobení této matice vektorem pak výpočetně odpovídá
vektorovému součinu vektoru 'v' a vektoru, který vznikne otočením matice na stojato.
Z toho plyne poučení, že kdykoli se octnete v matematické divočině
a narazíte na lineární zobrazení do číselné osy,
můžete si jej ztotožnit s nějakým vektorem,
který se nazývá duální vektor dané transformace,

Arabic: 
والفصل 7 حيث أعرض فكرة
ازدواجية.
كتذكير سريع ، فإن فكرة الازدواجية هي
أن
في أي وقت لديك تحول خطي من
بعض المساحة على خط الأعداد ،
انها مرتبطة مع ناقلات فريدة في
تلك المساحة
بمعنى أن إجراء التحول الخطي
هو نفس أخذ منتج نقطة مع ذلك
قوه موجهة.
عدديا ، هذا لأن واحدا من هؤلاء
التحولات
يوصف بواسطة مصفوفة مع صف واحد فقط
حيث يخبرك كل عمود الرقم ذلك
كل أساس ناقلات الأراضي.
وضرب هذه المصفوفة من قبل بعض المتجهات
v متطابقة حسابيا ل
أخذ المنتج نقطة بين الخامس والمتجه
تحصل من خلال تحويل تلك المصفوفة على جانبها.
والوجبات الجاهزة هي أنه كلما كنت في الداخل
البرية الرياضية
وتجد تحول خطي إلى
رقم الخط
سوف تكون قادرة على مطابقتها لبعض المتجهات
وهو ما يسمى "المتجه المزدوج" لذلك
تحويل

Chinese: 
和第七章（对偶性）的视频
快速回顾一下，对偶性的思想在于
每当你看到一个（多维）空间到数轴的线性变换时
它都与那个空间中的唯一一个向量对应，也就是说
应用线性变换和与这个向量点乘等价
数值上说，这是因为这类线性变换可以用一个只有一行的矩阵描述
而它的每一列给出了变换后基向量的位置
将这个矩阵与某个向量v相乘
在计算上与将矩阵转置得到的向量和v点乘相同
这里的收获在于，每当你看到一个从空间到数轴的线性变换
你都能够找到一个向量，被称为这个变换的对偶向量

English: 
and chapter 7 where I introduce the idea of
duality.
As a quick reminder, the idea of duality is
that
anytime you have a linear transformation from
some space to the number line,
it’s associated with a unique vector in
that space
in the sense that performing the linear transformation
is the same as taking a dot product with that
vector.
Numerically, this is because one of those
transformations
is described by a matrix with just one row
where each column tells you the number that
each basis vector lands on.
And multiplying this matrix by some vector
v is computationally identical to
taking the dot product between v and the vector
you get by turning that matrix on its side.
The takeaway is that whenever you're out in
the mathematical wild
and you find a linear transformation to the
number line
you will be able to match it to some vector
which is called the “dual vector” of that
transformation

Spanish: 
Como un repaso rápido, la idea de dualidad nos dice que
siempre que tengas una transformación lineal desde el espacio bidimensional y sobre la recta real,
estará asociada con un vector único en dicho espacio
puesto que ejecutar una transformación linear
es lo mismo que calcular el producto punto con dicho vector.
Numéricamente, esto se debe a que este tipo de transformaciones
están descritas por una matriz de una sola linea
donde cada columna te dice el número en el que cada vector base 'aterriza'.
Y multiplicar esta matriz con algún vector v es mecánicamente lo mismo que
tomar el producto punto entre v y el vector que obtienes al girar dicha matriz.
Lo que deberías recordar es que siempre que estás en la selva de la matemática
y te encuentras una transformación lineal sobre la recta real
siempre podrás encontrar algún vector
(llamado 'vectotr dual') de esa transformación
que tendrá la propiedad según la cual, realizar dicha transformación

German: 
und Kapitel 7, wo ich die Idee von vorstelle
Dualität.
Zur schnellen Erinnerung ist die Idee der Dualität
Das
Immer wenn Sie eine lineare Transformation von haben
etwas Platz zur Zahlenreihe,
Es ist mit einem eindeutigen Vektor in verbunden
dieser Raum
in dem Sinne, dass die lineare Transformation durchgeführt wird
ist das gleiche wie ein Punktprodukt damit zu nehmen
Vektor.
Numerisch liegt dies an einer davon
Transformationen
wird durch eine Matrix mit nur einer Zeile beschrieben
wo jede Spalte Ihnen die Nummer sagt, dass
Jeder Basisvektor landet auf.
Und diese Matrix mit einem Vektor multiplizieren
v ist rechnerisch identisch mit
Nehmen des Punktprodukts zwischen v und dem Vektor
Sie erhalten, indem Sie diese Matrix auf die Seite drehen.
Das Mitnehmen ist das, wann immer Sie draußen sind
die mathematische Wildnis
und Sie finden eine lineare Transformation zum
Zahlenreihe
Sie können es einem Vektor zuordnen
was der "duale Vektor" davon genannt wird
Transformation

Portuguese: 
e o capítulo 7 onde eu introduzi a idéia de dualidade.
Como um lembrete rápido, a idéia da dualidade é aquela
quando você tem uma transformação linear de
algum espaço para a reta numérica,
ela [a transformação] estará associada 
a um vetor único no espaço
no sentido de que executar a transformação linear
é o mesmo que tomar um produto interno com aquele vetor.
Numericamente, isso é porque uma daquelas transformações
é descrita por uma matriz com apenas uma fileira,
onde cada coluna indica o número em que 
cada vetor da base cai.
E multiplicar esta matriz por algum vetor
'v' é computacionalmente idêntico a
tomar o produto escalar entre 'v' e o vetor que 
você tem girando que a matriz de lado.
A lição é que sempre que você estiver na 
selva matemática
e você encontrar uma transformação 
linear para a reta numérica,
você será capaz de combiná-la com algum vetor
que é chamado de “vetor dual” daquela transformação,

Polish: 
oraz rodział 7. gdzie wprowadzam pojęcie dualności.
Szybkie przypomnienie - idea dulności polega na tym, że
każde przekształcenie liniowe w jeden wymiar
jest tożsame z pewnym wektorem z wyjściowej przestrzeni,
w takim sensie, że przekształcenie liniowe dowolnego elementu przestrzeni
to to samo co wzięcie iloczynu skalarnego z tym specjalnym wektorem.
Obliczeniowo, jest tak dlatego, bo jedno z tych przekształceń
jest określone macierzą o tylko jednym wierszu
w którym każda kolumna określa liczbę, na którą przechodzi dany wektor bazowy.
Do tego, mnożenie macierzy przez pewien wektor v jest obliczeniowo identyczne do
wzięcia iloczynu skalarnego v i wektora, który otrzymamy przez przewrócenie macierzy na bok.
W gruncie rzeczy oznacza to, że gdy w matematycznej dziczy
znajdujemy przekształcenie liniowe w jeden wymiar,
to możemy utożsamić je z pewnym wektorem
określanym jako "wektor dualny" do tego przekształcenia

Portuguese: 
de modo que a aplicar a transformação linear
é o mesmo que tomar um produto interno
com aquele vetor.
O produto vetorial nos dá um exemplo 
realmente esperto deste processo em ação.
É preciso algum esforço, mas definitivamente
vale a pena.
[O plano]
O que eu vou fazer é definir uma certa
transformação linear de três dimensões
para a reta numérica.
E será definida em termos dos dois
vetores 'v' e 'w'.
Então, quando nós associamos essa transformação
com o seu “vetor dual” no espaço 3D,
aquele “vetor dual” vai ser o
produto cruzado de 'v' e 'w'.
A razão para fazer isso é que
entender aquela transformação
vai esclarecer a conexão entre
o cálculo e a "geometria"
do produto vetorial.
Então, para voltar um pouco,
você se lembra em duas dimensões o que significava
calcular a versão 2D do produto vetorial?
Quando você tem dois vetores 'v' e 'w',
você coloca as coordenadas de v como a primeira
coluna da matriz
e as coordenadas de 'w' como a segunda coluna
da matriz,

Chinese: 
使得应用线性变换和与对偶向量点乘等价
叉积的运算给出了此过程的一个鲜活实例
理解它需要下些功夫，但这绝对值得
我要做的是定义一个从三维空间到数轴的特定线性变换
并且它是根据向量v和w来定义的
然后当我们将这个变换与三维空间中的对偶向量关联时
这个对偶向量就会是v和w的叉积
之所以这么做，是因为理解这个变换
能够解释清楚叉积的计算过程和几何含义之间的关系
再回顾一下
还记得如何在二维空间中计算向量叉积吗？
你有两个向量v和w
v的坐标作为矩阵第一列
w的坐标作为矩阵第二列

Spanish: 
es lo mismo que calcular el producto punto con este vector.
El producto vectorial nos da un ejemplo muy astuto de este proceso en plena acción.
Toma un poco de esfuerzo, pero de verdad que vale la pena.
Lo que voy a hacer ahora es definir cierta transformación lineal desde las tres dimensiones hacia la recta real.
Y estará definida en términos de los vectores v y w.
Después, cuando asociemos esa transformación con su 'vector dual' en tres dimensiones
ese vector va a ser el producto vectorial de v y w.
La razón de hacerlo será que, al entender esa transformación
veremos claramente la conexión entre el cálculo y la geometría del producto vectorial.
Ahora bien, para estar más seguros,
¿recuerdan lo que significa calcular la versión en 2D del producto vectorial?
Cuando tienes dos vectores v y w,
pones las coordenadas de v como la primera columna de la matriz
y las coordenadas de w como la segunda columna
y luego, simplemente, calculas el determinante.

German: 
so dass die lineare Transformation durchgeführt wird
ist das gleiche wie ein Punktprodukt damit zu nehmen
Vektor.
Das Kreuzprodukt gibt uns einen wirklich Slick
Beispiel für diesen Prozess in Aktion.
Es braucht einige Mühe, aber es ist definitiv
es ist es wert.
Was ich tun werde, ist eine bestimmte zu definieren
lineare Transformation aus drei Dimensionen
zur Zahlenreihe.
Und es wird in Bezug auf die beiden definiert
Vektoren v und w.
Dann, wenn wir diese Transformation assoziieren
mit seinem "dualen Vektor" im 3D-Raum
dieser "duale Vektor" wird der sein
Kreuzprodukt von v und w.
Der Grund dafür wird dieses Verständnis sein
diese Transformation
wird die Verbindung zwischen klarstellen
die Berechnung und die Geometrie des Kreuzes
Produkt.
Also, um ein bisschen zu sichern,
Denken Sie in zwei Dimensionen daran, was es bedeutete
die 2D-Version des Kreuzprodukts berechnen?
Wenn Sie zwei Vektoren v und w haben,
Sie setzen die Koordinaten von v als erste
Spalte der Matrix
und die Koordinaten von w sind die zweite Spalte
der Matrix

Korean: 
그래서 선형변환을 수행하는 것은
그 벡터의 내적을 얻는 것과 같은 것입니다.
외적은 이 과정의 아주 멋진 예시를 보여줍니다.
약간의 노력이 필요하지만
 확실히 그만한 가치가 있습니다.
제가 할 일은 3차원에서 수선으로의 
선형변환을 정의하는 것입니다.
제가 할 일은 3차원에서 수선으로의 
선형변환을 정의하는 것입니다.
그리고 그것은 두 벡터 v와 w로 정의 될 것입니다.
그런 다음, 우리가 그 변환을
3D 공간에서의 "이중 벡터"로 연결시키면,
그 "이중 벡터"는 v와 w의 외적이 될 것입니다.
이렇게하는 이유는 그러한 변환을 이해하는 것이
외적의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 
명확하게 만들기 때문입니다.
외적의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 
명확하게 만들기 때문입니다.
다시 조금 전으로 돌아가서,
2 차원에서의 2D 버전 외적 계산을 기억하십니까?
두 개의 벡터 v와 w가 있을 때,
행렬의 첫 번째 열에 v의 좌표를 놓았고,
행렬의 두 번째 열에 w의 좌표를 놓았습니다.

Polish: 
tak, że obliczenie tego przekształcenia
to to samo co wzięcie iloczynu skalarnego z tym wektorem.
Iloczyn wektorowy to bardzo fajny przykład tego procesu.
Wymaga on trochę roboty, ale z pewnością nie na darmo.
Zdefiniuję teraz pewne przekształcenie liniowe z trzech wymiarów
w jeden.
Będzie ono zdefiniowane za pomocą dwóch wektorów: v oraz w.
Następnie utożsamimy to przekształcenie z jego dualnym wektorem z trzech wymiarów
ten wektor dualny będzie iloczynem wektorowym v oraz w.
Zrozumienie tego przekształcenia wyklaruje nam połączenie
między stroną obliczeniową a geometryczną
iloczynu wektorowego.
A więc, patrząc nieco wstecz,
pamiętacie co w dwóch wymiarach oznaczało obliczenie iloczynu wektorowego?
Gdy mamy dwa wektory v oraz w,
wpisujemy współrzędne v jako pierwszą kolumnę macierzy,
współrzędne w jako drugą

English: 
so that performing the linear transformation
is the same as taking a dot product with that
vector.
The cross product gives us a really slick
example of this process in action.
It takes some effort, but it's definitely
worth it.
What I'm going to do is to define a certain
linear transformation from three dimensions
to the number line.
And it will be defined in terms of the two
vectors v and w.
Then, when we associate that transformation
with its “dual vector” in 3D space
that “dual vector” is going to be the
cross product of v and w.
The reason for doing this will be that understanding
that transformation
is going to make clear the connection between
the computation and the geometry of the cross
product.
So to back up a bit,
remember in two dimensions what it meant to
compute the 2D version of the cross product?
When you have two vectors v and w,
you put the coordinates of v as the first
column of the matrix
and the coordinates of w is the second column
of matrix

Czech: 
a provedení té transformace pak je totéž
jako výpočet skalárního součinu s duálním vektorem.
Vektorový součin nám dává vybroušenou ukázku takové situace.
Je to trocha práce, ale rozhodně to stojí za to.
Teď definuji jisté lineární zobrazení z 3D vektorů
do číselné osy.
Tohle zobrazení bude parametrizováno vektory 'v' a 'w'.
Pak k tomuto zobrazení najdeme duální vektor v 3D prostoru
a tenhle duální vektor bude vektorový součin 'v' x 'w'.
Děláme to proto, že skrze toto lineární zobrazení si budeme moci
ujasnit souvislost mezi výpočtem vektorového součinu a jeho geometrickým významem.
 
Tak zpět na začátek,
pamatujete si na 2D verzi vektorového součinu?
Máme dva vektory 'v' a 'w',
napíšeme souřadnice 'v' do prvního sloupečku matice
a souřadnice 'w' do druhého sloupečku,

Arabic: 
بحيث يؤدي التحول الخطي
هو نفس أخذ منتج نقطة مع ذلك
قوه موجهة.
المنتج عبر يعطينا بقعة حقا
مثال على هذه العملية في العمل.
الأمر يتطلب بعض الجهد ، لكنه بالتأكيد
يستحق كل هذا العناء.
ما سأفعله هو تحديد هوية معينة
التحول الخطي من ثلاثة أبعاد
إلى خط الأعداد.
وسيتم تعريفها من حيث الاثنين
المتجهات v و ​​w.
ثم ، عندما نقرن هذا التحول
مع "المتجه المزدوج" في الفضاء الثلاثي الأبعاد
أن "ناقل مزدوج" سيكون
منتج متقاطع من v و w.
السبب في القيام بذلك سيكون هذا الفهم
هذا التحول
سوف يوضح العلاقة بين
الحساب وهندسة الصليب
المنتج.
لذا لنسخ بعض الشيء
تذكر في بعدين ما الذي تعنيه
حساب الإصدار 2D من المنتج عبر؟
عندما يكون لديك متجهان v و w ،
يمكنك وضع إحداثيات v كأول
عمود المصفوفة
وإحداثيات w هي العمود الثاني
من المصفوفة

Czech: 
a potom spočteme determinant.
V téhle verzi ještě neděláme žádné vylomeniny s bázovými vektory,
je to jen obyčejný determinant, který vrací číslo.
Geometricky jde o obsah rovnoběžníku
vytyčeného těmi dvěma vektory,
s tím, že tento determinant může vyjít záporný v závislosti na orientaci vektorů.
Kdybychom teď neznali opravdový vektorový součin ve 3D,
mohli bychom to zobecnit takto:
představíme si tři trojrozměrné vektory 'u', 'v' a 'w',
uspořádáme jejich souřadnice do sloupců matice 3x3
a pak z této matice spočteme determinant.
Jak už víte z kapitoly 5,
tento determinant geometricky odpovídá rovnoběžnostěnu
vytyčenému těmi třemi vektory
s kladným či záporným znaménkem
podle toho, jestli vektory splňují pravidlo pravé ruky.
Tohle samozřejmě není skutečný vektorový součin.

Polish: 
i po prostu liczymy wyznacznik.
Nie ma żadnych dziwnych trików z wstawianiem wektorów bazowych do macierzy.
To po prostu zwykły wyznacznik.
Geometrycznie daje to nam pole powierzchni równoległoboku
rozpiętego przez te dwa wektory
z tą różnicą, że wynik może być ujemny, w zależności od zwrotu tych wektorów.
Jeżeli nie znałeś już trójwymiarowego odpowiednika
i próbujesz uogólniać ten już znany iloczyn,
możesz uznać że polega on na wzięciu trzech wektorów trójwymiarowych: u,v oraz w.
oraz stworzeniu z nich macierzy 3x3
a następnie obliczeniu wyznacznika tej macierzy.
Jak wiemy z rozdziału 5.,
geometrycznie dałoby nam to objętość równoległościanu
rozpiętego przez te 3 wektory
z opcjonalnym znakiem -
w zależności od orientacji tych wektorów, związanej z regułą prawej ręki.
Oczywiście, wiemy że nie jest to trójwymiarowy iloczyn wektorowy.

German: 
dann berechnen Sie einfach die Determinante.
Es gibt keinen Unsinn, wenn Basisvektoren stecken bleiben
in einer Matrix oder so etwas.
Nur eine gewöhnliche Determinante, die eine Zahl zurückgibt.
Geometrisch ergibt dies die Fläche von a
Parallelogramm
von diesen beiden Vektoren überspannt
mit der Möglichkeit, negativ zu sein, abhängig
auf die Orientierung der Vektoren.
Nun, wenn Sie das 3D-Kreuz noch nicht kannten
Produkt
und du versuchst zu extrapolieren
Sie könnten sich vorstellen, dass es darum geht, etwas zu nehmen
drei separate 3D-Vektoren u, v und w.
Und ihre Koordinaten zu den Spalten von machen
eine 3x3 Matrix
dann Berechnen der Determinante dieser Matrix.
Und wie Sie aus Kapitel 5 wissen
geometrisch würde dies Ihnen das Volumen geben
eines Parallelepipeds
von diesen drei Vektoren überspannt
mit dem Plus- oder Minuszeichen
abhängig von der Ausrichtung der rechten Regel
dieser drei Vektoren.
Natürlich wissen Sie alle, dass dies nicht das ist
3D-Kreuzprodukt.

Spanish: 
No hay ninguna rareza, como vectores metidos en una matriz, o nada parecido.
Sólo un determinante ordinario que nos entrega un número
Geométricamente hablando, obtenemos el área de un paralelogramo
definido por estos dos vectores
posiblemente negativa, dependiendo de la orientación de dichos vectores.
Ahora bien, si no conocías de antemano el producto vectorial en 3D
y tratas de extrapolar este resultado
puede ser que imagines que esto involucra tomar tres vectores tridimensionales y, v y w.
Luego, hacer de sus coordenadas las columnas de una matriz de 3x3,
y luego calcular el determinante de esa matriz.
Ahora, como saben por el capítulo 5
geométricamente, hacer esto nos entregaría el volumen de un paralelepípedo
definido por estos tres vectores
con un signo de más o de menos
dependiendo de la orientación de nuestros tres vectores.
Por supuesto, todos sabemos que esto no es el producto vectorial.
El verdadero producto vectorial en 3D toma dos vectores y escupe un nuevo vector.

English: 
then you just compute the determinant.
There's no nonsense with basis vectors stuck
in a matrix or anything like that.
Just an ordinary determinant returning a number.
Geometrically, this gives us the area of a
parallelogram
spanned out by those two vectors
with the possibility of being negative, depending
on the orientation of the vectors.
Now, if you didn't already know the 3D cross
product
and you're trying to extrapolate
you might imagine that it involves taking
three separate 3D vectors u, v and w.
And making their coordinates the columns of
a 3x3 matrix
then computing the determinant of that matrix.
And, as you know from chapter 5
geometrically, this would give you the volume
of a parallelepiped
spanned out by those three vectors
with the plus or minus sign
depending on the right-hand rule orientation
of those three vectors.
Of course, you all know that this is not the
3D cross product.

Chinese: 
然后就计算它的行列式
这里没有出现基向量或者其他乱七八糟的东西
就是一个结果为数的普通行列式
几何上说，它给出了两个向量张成的平行四边形的面积
它还可能出现负值，取决于两个向量的定向
如果你并不知道三维向量的叉积并且尝试去外推
你可能会想，它涉及三个向量u、v和w
将它们的坐标作为一个3×3矩阵的列
然后计算这个矩阵的行列式
而且正如你从第五章里学到的
从几何上讲，这个行列式给出了三个向量张成的平行六面体的体积
外加一个正负号，取决于这三个向量是否满足右手定则
当然，你们都知道这不是三维向量的叉积

Arabic: 
فأنت تقوم فقط بحساب المحدد.
لا يوجد هراء مع ناقلات أساس تمسك
في مصفوفة أو أي شيء من هذا القبيل.
مجرد محدد عادي يعيد رقمًا.
هندسيا ، وهذا يعطينا منطقة أ
متوازي الاضلاع
امتدت من قبل هذين الموجهين
مع إمكانية وجود سلبي ، اعتمادا على
على اتجاه المتجهات.
الآن ، إذا لم تكن تعرف صليب 3D
المنتج
وتحاول استقراء
قد تتخيل أنه ينطوي على أخذ
ثلاثة متجهات ثلاثية الأبعاد منفصلة u و v و w.
وجعل إحداثياتهم أعمدة
مصفوفة 3x3
ثم حساب العامل المحدد لهذه المصفوفة.
وكما تعلم من الفصل الخامس
هندسيا ، وهذا من شأنه أن يعطيك حجم
من parallelepiped
امتدت من قبل تلك المتجهات الثلاثة
مع علامة الجمع أو الطرح
اعتمادا على اتجاه قاعدة اليد اليمنى
من هذه المتجهات الثلاثة.
بالطبع ، تعلمون جميعا أن هذا ليس هو
منتج ثلاثي الأبعاد.

Portuguese: 
então basta calcular o determinante.
Não há nenhum absurdo com vetores de base presos
em uma matriz ou qualquer coisa assim.
Apenas um determinante comum 
retornando um número.
Geometricamente, isso nos dá a área 
de um paralelogramo
abarcado por estes dois vetores
com a possibilidade de ser negativo, dependendo
na orientação dos vectores.
Agora, se você não já sabe o produto vetorial 3D
e você está tentando extrapolar,
você pode imaginar que se trata de tomar
três vetores 3D separados 'u', 'v' e 'w'.
E fazer suas coordenadas as colunas de
uma matriz 3x3
em seguida, calcular o determinante daquela matriz.
E, como você sabe do capítulo 5,
geometricamente, isto lhe daria o volume
de um paralelepípedo
abarcado por esses três vectores
com o sinal de mais ou menos,
dependendo da orientação destes três vetores de acordo com a regra da mão direita.
Claro, todos sabem que este não é o
produto vetorial 3D.

Korean: 
그리고 행렬식을 계산했을 뿐입니다.
기저 벡터가 행렬에 있다거나 그런 것도 없었습니다.
단지 숫자로 반환된 평범한 행렬식이었죠.
기하학적으로 이것은 두 벡터에 의해 형성된 평행 사변형의 영역을 제공합니다.
기하학적으로 이것은 두 벡터에 의해 형성된 평행 사변형의 영역을 제공합니다.
그리고 두 벡터의 방향에 따라 음수가 될 가능성이있죠.
혹시 3D 외적을 알지 못했었고
외적이 무엇인지 지금 예측해 보려고 한다면,
3개의 다른 3D 벡터 u, v, w가 관련될 것이라고 생각해서
그것들의 좌표를 3x3 행렬로 만든 후,
행렬식을 구할 수도 있습니다.
그리고 5 장에서 배운 것처럼
기하학적으로, 이것은 그 세 벡터에 의해 만들어진
평행 육면체의 부피가 될 것입니다.
기하학적으로, 이것은 그 세 벡터에 의해 만들어진
평행 육면체의 부피가 될 것입니다.
그 세 벡터의 오른쪽 규칙 방향에 따라 
플러스 또는 마이너스 부호와 함께 말이죠.
그 세 벡터의 오른쪽 규칙 방향에 따라 
플러스 또는 마이너스 부호와 함께 말이죠.
물론, 당신은 이것이 외적이 
아니라는 것을 알고 있습니다.

Korean: 
실제 3D 외적은 두 벡터를 취해 
하나의 벡터를 생성합니다.
세 개의 벡터를 취해 하나의 숫자를 생성하지 않습니다.
하지만 이 아이디어는 
진짜 외적이 무엇인지에 가까이 다가가게 합니다.
첫 번째 벡터 u가 변수라고 가정해 봅시다.
x, y, z는 변수이고, v와 w는 고정 된 채로 남아 있습니다.
x, y, z는 변수이고, v와 w는 고정 된 채로 남아 있습니다.
그러면 우리가 가진 것은
3차원에서 수선으로 가는 함수입니다.
함수에 어떤 벡터 [x, y, z]를 입력하면
첫 번째 열이 x, y, z이고
다른 두 열이 상수 벡터 v, w의 좌표인 행렬의
행렬식을 얻습니다.
다른 두 열이 상수 벡터 v, w의 좌표인 행렬의
행렬식을 얻습니다.
기하학적으로이 함수의 의미는
모든 입력 벡터 [x, y, z]에 대해
벡터 v와 w에 의해 정의된 평행 육면체 입니다.
모든 입력 벡터 [x, y, z]에 대해
벡터 v와 w에 의해 정의된 평행 육면체 입니다.
그런 다음, 방향에 따라 플러스나 마이너스를 취하여
부피를 구할 수 있습니다.
지금, 이 일은 무작위로 하는 것처럼 느껴질 수 있습니다.

Czech: 
Ten bere dva vektory a vrací jeden.
Nebere tři vektory a na výstupu nemá číslo.
Ale souvislost se skutečným vektorovým součinem spočívá v tomto:
Představte si první vektor 'u' jako by to byla proměnná,
dejme tomu o souřadnicích (x, y, z),
zatímco vektory 'v' a 'w' si zafixujeme.
Tím jsme popsali funkci z třírozměrného prostoru do číselné osy.
Na vstupu dostaneme jeden vektor (x, y, z) a vrátíme číslo
tak, že spočteme determinant matice, jejíž první sloupec tvoří (x, y, z)
a zbylé dva sloupečky jsou souřadnice pevných vektorů 'v' a 'w'.
Geometricky to odpovídá funkcí, která
si pro vstupní vektor sestaví rovnoběžnostěn daný tímto vektorem
a pevnými 'v' a 'w'
a vrátí objem tohoto rovnoběžnostěnu se znaménkem v závislosti na orientaci.
Zatím to může vypadat, že děláme náhodné věci.

Chinese: 
真正的三维向量的叉积接收两个向量并输出一个向量
它并不是接收三个向量并输出一个数
不过这个想法已经非常接近真实的叉积了
将第一个向量u看作可变向量，比如(x, y, z)，而v和w保持不变
那么我们就有一个从三维空间到数轴的函数了
你输入一个向量(x, y, z)，然后通过矩阵的行列式得到一个数
这个向量的第一列是(x, y, z)，其余两列是常向量v和w的坐标
这个函数的几何意义是，对于任一输入的向量(x, y, z)
你都考虑由它和v与w确定的平行六面体
得到它的体积，然后根据定向确定符号
这看上去感觉是一件很随意的事

Portuguese: 
O produto vetorial 3D real pega dois vetores 
e expele um vetor.
Ele não leva três vetores em um número.
Mas essa idéia realmente nos deixa muito perto
do que o produto cruzado é na realidade.
Considere que o primeiro vetor 'u' é uma variável
digamos, com entradas variáveis ​​x, y e z,
enquanto 'v' e 'w' permanecem fixos.
O que temos então é uma função de três
dimensões à reta numérica.
Você entra com algum vetor (x, y, z) e 
você sai com um número
tomando o determinante de uma matriz cuja
primeira coluna é (x, y, z)
e cujas outras duas colunas são as coordenadas
dos vetores constantes 'v' e 'w'.
Geometricamente, o significado desta função é que
para qualquer vetor de entrada (x, y, z), você considera
o paralelepípedo definido por este vetor
e por 'v' e 'w',
daí você retorna seu volume com um sinal de mais ou menos dependendo das orientações.
Agora, isso pode parecer como 
algo aleatório para se fazer.

Polish: 
Prawdziwy trójwymiarowy iloczyn wektorowy bierze dwa wektory i wypluwa trzeci wektor,
a nie trzy wektory i wypluwa liczbę.
ale ten pomysł znacznie zbliża nas do idei prawdziwego iloczynu wektorowego.
Niech pierwszy wektor, u, będzie zmienną
o współrzędnych x, y oraz z
podczas gdy v i w pozostają stałe.
Otrzymujemy wtedy funkcję z trzech wymiarów w prostą rzeczywistą.
Wkładasz pewien wektor [x ,y ,z] i wyjmujesz liczbę
poprzez wzięcie wyznacznika macierzy, której pierwszą kolumną jest x, y, z
i której pozostałe kolumny to współrzędne v oraz w.
Geometrycznie, ta funkcja oznacza, że
dla dowolnego wektora wejściowego x, y, z rozważamy równoległościan rozpięty przez ten wektor
oraz v i w
i zwracasz jego objętość ze znakiem plus lub minus, w zależności od orientacji.
To może brzmieć dość losowo.

German: 
Das tatsächliche 3D-Kreuzprodukt nimmt zwei Vektoren auf
und spuckt einen Vektor aus.
Es nimmt nicht drei Vektoren und Spucke auf
eine Nummer raus.
Aber diese Idee bringt uns tatsächlich sehr nahe
zu dem, was das wahre Kreuzprodukt ist.
Betrachten Sie diesen ersten Vektor u als eine Variable
sagen wir mit variablen Einträgen x, y und z
während v und w fest bleiben.
Was wir dann haben, ist eine Funktion von drei
Abmessungen zur Zahlenreihe.
Sie geben einen Vektor x, y, z ein und erhalten
eine Nummer raus
indem man die Determinante einer Matrix nimmt, deren
Die erste Spalte ist x, y, z
und deren andere zwei Spalten die Koordinaten sind
der konstanten Vektoren v und w.
Geometrisch die Bedeutung dieser Funktion
ist das
für jeden Eingabevektor x, y, z, den Sie berücksichtigen
das durch diesen Vektor definierte Parallelepiped
v und w
dann geben Sie die Lautstärke mit dem Plus oder zurück
Minuszeichen je nach Ausrichtung.
Nun, das könnte sich wie ein Zufall anfühlen
etwas zu tun.

English: 
The actual 3D cross product takes in two vectors
and spits out a vector.
It doesn't take in three vectors and spit
out a number.
But this idea actually gets us really close
to what the real cross product is.
Consider that first vector u to be a variable
say, with variable entries x, y and z
while v and w remain fixed.
What we have then is a function from three
dimensions to the number line.
You input some vector x, y, z and you get
out a number
by taking the determinant of a matrix whose
first column is x, y, z
and whose other two columns are the coordinates
of the constant vectors v and w.
Geometrically, the meaning of this function
is that
for any input vector x, y, z, you consider
the parallelepiped defined by this vector
v and w
then you return its volume with the plus or
minus sign depending on orientations.
Now, this might feel like kind of a random
thing to do.

Arabic: 
يأخذ المنتج ثلاثي الأبعاد الفعلي في متجهين
ويبصق متجه.
لا يأخذ في ثلاثة متجهات وبصاق
من رقم.
لكن هذه الفكرة تقربنا بالفعل
إلى ما هو منتج الصليب الحقيقي.
ضع في اعتبارك أن المتجه الأول هو المتغير
لنقل ، مع إدخالات متغيرة x و y و z
بينما تظل v و w ثابتة.
ما لدينا بعد ذلك هو وظيفة من ثلاثة
أبعاد خط الأعداد.
يمكنك إدخال بعض المتجهات س ، ص ، ض والتي تحصل عليها
من رقم
من خلال اتخاذ المحددات من المصفوفة التي
العمود الأول هو x، y، z
والتي تكون أعمدةها الأخرى هي الإحداثيات
من المتجهات المستمرة v و w.
هندسيا ، معنى هذه الوظيفة
هل هذا
عن أي متجه للإدخال x ، y ، z ، الذي تفكر فيه
the parallelepiped المعرفة من قبل هذا المتجه
v و w
ثم تعود حجمها مع زائد أو
علامة الطرح اعتمادا على التوجهات.
الآن ، قد يبدو هذا نوعًا ما عشوائي
شيء نفعله.

Spanish: 
No toma tres vectores para devolvernos un número.
Pero esta idea, de hecho, nos acerca mucho al verdadero significado del producto vectorial.
Considera ese primer vector u como una variable
digamos, con entradas 'x', 'y', y 'z'.
mientras que v y w permanecen fijos.
Lo que tenemos entonces es una función desde el espacio tridimensional y hacia la recta real.
Introduces un vector x,y,z y obtienes un número
al calcular el determinante de una matriz cuya primera columna es x,y,z
y cuyas otras dos columnas son las coordenadas de los vectores constantes v y w.
Geometricamente, el significado de esta función es que
para cualquier vector x,y,z, miras el paralelepípedo definido por este vector, por v y por w
y luego devuelves su volumen con un signo de más o menos, dependiendo de su orientación.
Ahora bien, puedes sentir que estamos haciendo cálculos al azar.
Después de todo, ¿de dónde vienen estas funciones?
¿Por qué las definimos así?

Portuguese: 
Quer dizer, de onde é que esta função vem?
Por que a estamos definindo desta maneira?
E eu vou admitir, nesta fase, parece 
mesmo que está vindo do nada.
Mas se você está disposto a aceitar
e brincar com as propriedades que este cara tem,
ele é a chave para entender o produto vetorial.
Um fato muito importante sobre esta função
é que ela é linear.
Na verdade, vou deixar você trabalhar através
dos detalhes de por que isso é verdade,
com base nas propriedades do determinante.
Mas uma vez que você sabe que é linear,
podemos começar a trazer a idéia de “dualidade”.
Uma vez que você sabe que é linear,
você sabe que há alguma maneira de descrever
esta função como a multiplicação de matrizes.
Especificamente, uma vez que é uma função que vai
a partir de três dimensões para uma dimensão
haverá uma matriz 1x3 que codifica 
esta transformação.
E toda a idéia de dualidade
é que a coisa especial sobre transformações
a partir de várias dimensões para uma dimensão

German: 
Ich meine, woher kommt diese Funktion?
Warum definieren wir es so?
Und ich gebe zu, in diesem Stadium meiner Art von
fühle mich wie es aus heiterem Himmel kommt.
Aber wenn Sie bereit sind, mitzumachen
und mit den Eigenschaften herumspielen, die dies
Kerl hat
Es ist der Schlüssel zum Verständnis des Kreuzprodukts.
Eine wirklich wichtige Tatsache über diese Funktion
ist, dass es linear ist.
Ich überlasse es Ihnen, sich durchzuarbeiten
die Details, warum dies wahr ist
basierend auf Eigenschaften der Determinante.
Aber sobald Sie wissen, dass es linear ist
Wir können anfangen, die Idee der „Dualität“ einzubringen.
Sobald Sie wissen, dass es linear ist
Sie wissen, dass es eine Möglichkeit gibt, dies zu beschreiben
Diese Funktion dient als Matrixmultiplikation.
Insbesondere, da es eine Funktion ist, die geht
von drei Dimensionen zu einer Dimension
Es wird eine 1x3-Matrix geben, die dies codiert
Transformation.
Und die ganze Idee der Dualität
ist das Besondere an Transformationen
von mehreren Dimensionen zu einer Dimension

Czech: 
Jako že, kde se tahle funkce vzala?
Proč jsme si ji tak definovali?
A uznávám, že v tomhle okamžiku to může vypadat, že ta funkce spadla z nebe.
Ale když si ještě chvilku počkáte,
a pohrajete si se mnou s touto funkcí, zjistíte,
že je klíčem k pochopení vektorového součinu.
Jedna důležitá vlastnost této funkce je linearita.
A důvod, proč tomu tak je, vám nechám si na rozmyšlení jako cvičení,
stačí k tomu základní vlastnosti determinantu.
Ale když už jednou víme, že je lineární,
můžeme začít využívat vlastnosti vektorové duality.
Jak už víme, že je lineární,
tak víme, že se tato funkce dá zapsat jako násobení maticí.
A protože tato funkce bere 3D vektory a vrací čísla,
bude toto zobrazení reprezentovat matice 1x3.
Dualita je celá o tom, že
můžete vzít matici zobrazení z více dimenzí do jedné dimenze

English: 
I mean, where does this function come from?
Why are we defining it this way?
And I'll admit at this stage of my kind of
feel like it's coming out of the blue.
But if you're willing to go along with it
and play around with the properties that this
guy has
it's the key to understanding the cross product.
One really important fact about this function
is that it's linear.
I'll actually leave it to you to work through
the details of why this is true
based on properties of the determinant.
But once you know that it's linear
we can start bringing in the idea of “duality”.
Once you know that it's linear
you know that there's some way to describe
this function as matrix multiplication.
Specifically, since it's a function that goes
from three dimensions to one dimension
there will be a 1x3 matrix that encodes this
transformation.
And the whole idea of duality
is that the special thing about transformations
from several dimensions to one dimension

Arabic: 
أعني ، من أين تأتي هذه الوظيفة؟
لماذا نحددها بهذه الطريقة؟
وسوف أعترف في هذه المرحلة من نوعي
أشعر أنه يخرج من اللون الأزرق.
ولكن إذا كنت على استعداد للذهاب معها
وتلعب مع خصائص هذا
الرجل لديه
إنه المفتاح لفهم المنتج المتقاطع.
حقيقة واحدة مهمة حقا عن هذه الوظيفة
هو أنه خطي.
سأترك الأمر لك بالفعل من خلال العمل
تفاصيل لماذا هذا صحيح
على أساس خصائص المحدد.
ولكن بمجرد أن تعرف أنه خطي
يمكننا البدء في جلب فكرة "الازدواجية".
بمجرد أن تعرف أنه خطي
أنت تعرف أن هناك بعض الطرق لوصف
هذه الوظيفة كما الضرب المصفوفة.
على وجه التحديد ، لأنها وظيفة أن يذهب
من ثلاثة أبعاد إلى بعد واحد
سيكون هناك مصفوفة 1 × 3 تشفر هذا
تحويل.
وفكرة الازدواجية كلها
هو أن الشيء الخاص حول التحولات
من عدة أبعاد إلى بعد واحد

Polish: 
Skąd w ogóle bierze się ta funkcja?
Dlaczego tak ją definiujemy?
I przyznam, że w tym momencie może się wydawać, że bierzemy ją z powietrza.
Ale jeżeli nie dasz się zrazić
i zbadasz pewne własności tego gościa,
To okaże się on kluczem do zrozumienia iloczynu wektorowego.
Jeden bardzo ważny fakt odnośnie tej funkcji to to, że jest liniowa.
Zostawię Ci dowód tego faktu jako samodzielne ćwiczenie
z własności wyznacznika.
jednak gdy wiesz już, że jest liniowa,
możemy zacząć stosować ideę dualności.
Gdy wiemy, że jest liniowa,
wiemy że jest pewien sposób określenia tej funkcji jako mnożenia przez macierz.
W szczególności, skoro ta funkcja jest z trzech w jeden wymiar,
to istnieje macierz 1x3 która opisuje to przekształcenie.
A cała idea dualności jest taka,
że to, co wyróżnia przekształcenia z kilku wymiarów w jeden

Spanish: 
Y amito que a estas alturas parece que salen directamente.... de la nada.
Pero si tienes la fuerza de voluntad para lidiar con el sinsentido
y jugar un poco con las propiedades que encontraremos
sabrás que es la clave para entender el producto vectorial.
Lo primero realmente importante sobre esta función, es que el linear.
Les dejaré la tarea de comprobar por qué esto es cierto
basándose en las propiedades del determinante.
Pero una vez que sabes que es lineal
podemos tomar de nuevo la idea de 'dualidad'.
Una vez que sabemos que es lineal
sabremos que es posible describir esta función usando la multiplicación de matrices.
Específicamente, y ya que es una función desde el espacio tridimensional hacia el uni dimensional,
habrá una matriz 1x3 que codifique esta transformación.
Y todo el asunto de la dualidad
es que lo especial en las transformaciones que van desde varias dimensiones hacia la recta real
es que puedes 'doblar' esa matriz

Korean: 
아니, 이 함수는 대체 어디서 온거야? 하고요.
왜 이런 방식으로 정의할까요?
그리고 지금 단계에서는 이것이 어느 정도 갑자기 튀어나온 것 같이 느껴지는 점을 인정합니다.
하지만 당신이 그것을 기꺼이 가지고 간다면,
이 속성을 가지고 이것 저것 해볼 수 있다.
하지만 당신이 그것을 기꺼이 가지고 간다면,
이 속성을 가지고 이것 저것 해볼 수 있다.
그것이 외적을 이해하는 열쇠입니다.
이 함수에 관한 한 가지 중요한 사실은
그것이 선형이라는 것입니다.
행렬식의 특성에 기초해 이것이 왜 사실인지에 대해 세부적으로 생각해 보는 것은 여러분에게 맡기겠습니다.
행렬식의 특성에 기초해 이것이 왜 사실인지에 대해 세부적으로 생각해 보는 것은 여러분에게 맡기겠습니다.
하지만 일단 그것이 선형이라는 것을 알게되면
우리는 "이중성"에 대한 생각을 불러 일으킬 수 있습니다.
선형이라는 것을 알게되면
이 함수를 행렬곱으로 설명 할 수있는 방법이 있다는 것을 알게 됩니다.
구체적으로 말하자면,
3 차원에서 1 차원으로 가는 함수이기 때문에
이 변환을 인코딩(기호화)하는 
1x3 매트릭스가있을 것입니다.
그리고 이원성의 전체 아이디어가
다차원에서 일차원으로의 변환에 대해 특별한 점은

Chinese: 
我是说，这个函数从哪里来的？为什么要这样定义？
我得承认，眼下你可能会感觉它出乎你的意料
不过如果你愿意接受它，对它具有的性质进行试验
这对理解叉积很关键
这个函数的一个至关重要的性质在于它是线性的
我想把这个问题留给你来解决：根据行列式的性质说明这一点为什么正确
一旦你知道它是线性的，我们就能开始引进对偶性的思想了
一旦知道它是线性的，你就知道可以通过矩阵乘法来描述这个函数
具体地说，因为这个函数从三维空间到一维空间
就会存在一个1×3矩阵来代表这个变换
而对偶性的整体思路是
从多维空间到一维空间的变换的特别之处

Polish: 
to fakt, że możemy przewrócić tę macierz na bok,
i, w zamian, patrzeć na całe przekształcenie jako na iloczyn skalarny z pewnym wektorem.
Szukamy zatem pewnego specjalnego trójwymiarowego wektora, nazwiemy go p,
takiego, że wzięcie iloczynu skalarnego p oraz dowolnego wektora [x,y,z]
da ten sam wynik co wrzucenie [x, y, z] jako pierwszą kolumnę macierzy 3x3
której pozostałe dwie kolumny mają współrzędne v oraz w,
oraz policzenie wyznacznika.
Przejdziemy do geometrii tego podejścia już zaraz.
Teraz spójrzmy uważnie, co to oznacza obliczeniowo.
Wzięcie iloczynu skalarnego pomiędzy p i [x, y, z]
da nam coś razy x + coś razy y + coś razy z
gdzie te "cosie" to współrzędne p.
Ale po prawej stronie, po obliczeniu wyznacznika,
także możemy wyrazić to jako coś razy x + coś razy y + coś razy z
 

Chinese: 
在于你可以将这个矩阵立起来
并且将整个变换看作与这个特定向量的点积
我们要找的就是这个特殊的三维向量 - 我称之为p
使得p与其他任一向量(x, y, z)的点积等于一个3×3矩阵的行列式
这个3×3矩阵的第一列为(x, y, z)
其余两列分别为v和w的坐标
我稍后会说到这个过程的几何意义
但是我们现在先专注于它的计算意义
p与向量(x, y, z)点乘给出的结果是
某个数乘以x，加上某个数乘以y，加上某个数乘以z
这里的某些数就是p的坐标
但是当你计算等号右侧的行列式时，你可以将其整理为
某个常数乘以x，加上某个常数乘以y，加上某个常数乘以z

Portuguese: 
é que você pode virar essa matriz de lado,
e, em vez disso, interpretar toda a transformação
como o produto escalar com um certo vetor.
O que estamos procurando é o vetor 3D especial
que eu vou chamar de 'p',
tal que, tomando o produto interno entre 'p'
e qualquer outro vetor (x, y, z),
dá o mesmo resultado que usar (x, y, z) como a
 primeira coluna de uma matriz 3x3
cujas outras duas colunas têm as coordenadas
de 'v' e 'w',
em seguida, calcular o determinante.
Vou chegar à geometria deste fato 
em apenas um momento.
Mas agora, vamos pensar sobre o que
 isso significa computacionalmente.
Tomar o produto escalar entre 'p' e (x, y, z)
nos dará algo vezes x + algo
vezes y + algo vezes z
onde essas 'algo' são as coordenadas de p.
Mas no lado direito aqui, quando você 
calcular o determinante,
você pode organizá-lo para se parecer com alguma constante vezes x + alguma constante vezes y + alguma constante
vezes z,

Arabic: 
هو أنه يمكنك تحويل هذه المصفوفة إلى جانبها
وبدلاً من ذلك ، تفسير التحويل بأكمله
كمنتج نقطة مع ناقلات معينة.
ما نبحث عنه هو ناقل 3D خاص
سأدعوه p
مثل أن تأخذ المنتج نقطة بين ص
وأي متجه آخر [x، y، z]
يعطي النتيجة نفسها كما يسد في [س ، ص ،
z] كالعمود الأول لمصفوفة 3x3
العمودين الآخرين بهما الإحداثيات
من الخامس و ث
ثم حساب المحدد.
سوف أحصل على هندسة هذا في مجرد
لحظة.
لكن في الوقت الحالي ، دعنا نفكر ونفكر
ما الذي يعنيه هذا حسابيا.
عند التقاط المنتج dot بين p و [x، y،
ض]
سيعطينا شيئًا ما مرات x + شيء
مرات y + شيء مرات z
حيث تلك الأشياء هي الإحداثيات
من ص.
ولكن على الجانب الأيمن هنا ، عند حساب
المحدد
يمكنك تنظيمها لتبدو وكأنها ثابتة
مرات س + بعض أوقات ثابتة y + بعض ثابت
مرة z

Spanish: 
e interpretar la transformación como el producto punto con cierto vector.
Lo que buscamos, es un vector en 3D que llamaremos 'p'
con el que, al tomar el producto punto entre p y cualquier otro vector [x, y, z]
obtengamos el mismo resultado que al introducir ese vector como la primera columna de la matriz 3x3
cuyas dos columnas restantes tienen las coordenadas v y w
y calcular el determinante de esta matriz
Pasaré por la interpretación geométrica en un momento
Pero ahora, escavemos un poco y pensemos en el significado de estas operaciones.
Tomar el producto punto entre p y [x, y, z]
nos dará una constante multiplicando a x más una constante multiplicando a y, más una constante multiplicando a z.
y esas constantes serán las coordenadas de 'p'.
Pero en el lado derecho, cuando calculamos el determinante
podemos organizarlo para que tome la forma de una constante multiplicando a x más una constante multiplicando a y, más una constante multiplicando a z.
Y esas constantes involucran ciertas combinaciones de los componentes de v y w.

Czech: 
a naklopit ji nastojato,
a interpretovat tak celé zobrazení jako skalární součin s jistým vektorem.
Teď tedy hledáme takový 3D vektor, říkejme mu 'p',
že když spočteme skalární součin 'p' krát nějaký další vektoru (x, y, z),
vyjde nám totéž, jako když dosadíme (x, y, z) do prvního sloupečku matice,
jejíž zbylé dva sloupečky tvoří souřadnice 'v' a 'w',
a pak spočteme determinant.
Za chvíli se dostaneme k tomu, co to znamená geometricky,
ale teď se zamyslíme nad tím, jak by se to počítalo.
Skalární součin vektorů 'p' krát (x, y, z)
nám dá něco krát x + něco krát y + něco krát z,
kde ta "něca" jsou souřadnice vektoru 'p'.
Když pak napravo počítáme determinant,
můžeme jej taky přeuspořádat do tvaru konstanta krát x + konstanta krát y + konstanta krát z,
 

English: 
is that you can turn that matrix on its side
and, instead, interpret the entire transformation
as the dot product with a certain vector.
What we're looking for is the special 3D vector
that I'll call p
such that taking the dot product between p
and any other vector [x, y, z]
gives the same result as plugging in [x, y,
z] as the first column of a 3x3 matrix
whose other two columns have the coordinates
of v and w
then computing the determinant.
I'll get to the geometry of this in just a
moment.
But right now, let's dig in and think about
what this means computationally.
Taking the dot product between p and [x, y,
z]
will give us something times x + something
times y + something times z
where those somethings are the coordinates
of p.
But on the right side here, when you compute
the determinant
you can organize it to look like some constant
times x + some constant times y + some constant
times z

German: 
ist, dass Sie diese Matrix auf die Seite drehen können
und interpretieren Sie stattdessen die gesamte Transformation
als Punktprodukt mit einem bestimmten Vektor.
Was wir suchen, ist der spezielle 3D-Vektor
dass ich p anrufen werde
so dass das Punktprodukt zwischen p genommen wird
und jeder andere Vektor [x, y, z]
ergibt das gleiche Ergebnis wie das Einstecken von [x, y,
z] als erste Spalte einer 3x3-Matrix
deren andere zwei Spalten haben die Koordinaten
von v und w
dann Berechnung der Determinante.
Ich werde in nur a auf die Geometrie davon eingehen
Moment.
Aber jetzt wollen wir uns vertiefen und darüber nachdenken
was dies rechnerisch bedeutet.
Nehmen Sie das Punktprodukt zwischen p und [x, y,
z]
wird uns mal mal x + was geben
mal y + etwas mal z
wo diese Dinge die Koordinaten sind
von p.
Aber auf der rechten Seite hier, wenn Sie rechnen
die Determinante
Sie können es so organisieren, dass es wie eine Konstante aussieht
mal x + einige konstante Zeiten y + einige konstante
mal z

Korean: 
그 매트릭스를 세로로 돌릴 수 있어서
어떤 벡터의 내적으로써 
전체 변환을 해석한다는 점입니다.
우리가 찾고있는 것은 그 특별한 3D 벡터입니다. 
지금부터 p라고 부르겠습니다.
p와 다른 어떤 벡터 [x, y, z] 사이의 내적을 취하면
[x, y, z]를 3x3 행렬의 첫 번째 열에 놓고
다른 두 열에 벡터 v와 w의 좌표를 놓은 후,
행렬식을 계산하는 것과 같은 결과를 갖습니다.
다른 두 열에 벡터 v와 w의 좌표를 놓은 후,
행렬식을 계산하는 것과 같은 결과를 갖습니다.
저는 이 순간의 기하학에 대해서 이야기 할 것입니다.
하지만 지금 당장은 계산적으로 이것이 의미하는 것이
무엇인지 더 깊이 생각해봅시다.
벡터 p와 [x, y, z]의 내적을 계산하면
(어떤 값)*x + (어떤 값)*y + (어떤 값)*z를 얻습니다.
여기서 '어떤 값'은 벡터 p의 좌표입니다.
하지만 오른쪽에서 여러분이 행렬식을 계산할 때,
(어떤 상수)*x + (어떤 상수)*y + (어떤 상수)*z 로 
보이도록 구성 할 수 있습니다.
(어떤 상수)*x + (어떤 상수)*y + (어떤 상수)*z 로 보이도록 구성 할 수 있습니다.

German: 
wobei diese Konstanten bestimmte Kombinationen beinhalten
der Komponenten von v und w.
Also diese Konstanten, diese besonderen Kombinationen
der Koordinaten von v und w
werden die Koordinaten des Vektors sein
p, die wir suchen.
Aber was ist hier richtig los?
sollte sich jedem sehr vertraut fühlen
Wer hat tatsächlich ein Cross-Produkt durchgearbeitet
Berechnung.
Sammeln der multiplizierten Terme, die multipliziert werden
von x, y und z so
unterscheidet sich nicht vom Einstecken der Symbole
i-hat, j-hat und k-hat zu dieser ersten Spalte
und zu sehen, auf welchen Koeffizienten aggregieren
jeder dieser Begriffe.
Es ist nur das Einstecken von i-hat, j-hat und
k-hat
ist ein Signal, das wir interpretieren sollten
diese Koeffizienten als Koordinaten von a
Vektor.
Also, was das alles sagt
ist, dass diese funky Berechnung gedacht werden kann
um die folgende Frage zu beantworten:

Czech: 
přičemž ty konstanty se spočtou ze složek vektorů 'v' a 'w'.
Takže tyhle konstanty, tyhle výrazy složené ze složek vektorů 'v' a 'w'
budou souřadnice vektoru 'p', který hledáme.
Ale to, co se tady napravo děje,
by mělo komukoli, kdo už se potrénoval
ve výpočtu vektorového součinu, něco připomínat.
Takovéto seskupení konstant, kterými se násobí x, y, z
se nijak neliší od dosazení symbolů 'i', 'j', 'k' do prvního sloupečku
a přečtení koeficientů, které se kolem těchto vektorů nashromáždí.
Akorát tím, že dosazujeme 'i', 'j', 'k'
naznačujeme, že bychom měli interpretovat tyto koeficienty jako souřadnice
vektoru.
Tím celým jsem chtěl říct,
že ten divný výpočet se dá chápat jako odpovídání na následující otázku:

Arabic: 
حيث تتضمن تلك الثوابت تركيبات معينة
من مكونات v و ​​w.
إذن ، تلك الثوابت ، تلك المجموعات الخاصة
من إحداثيات v و ​​w
ستكون إحداثيات المتجه
ص أننا نبحث عنه.
لكن ما الذي يحدث هنا
يجب أن يشعر مألوف جدا لأي شخص
الذي عمل في الواقع من خلال المنتجات المتقاطعة
حساب.
جمع شروط ثابتة مضروبة
بواسطة x، y و z مثل هذا
لا يختلف عن توصيل الرموز
i-hat، j-hat and k-hat to that first column
ورؤية أي المعاملات المجمعة على
كل واحد من هذه الشروط.
انها مجرد سد I-hat و j-hat و
ك قبعة
هي طريقة للإشارة إلى أننا يجب أن نفهم
تلك المعاملات باعتبارها إحداثيات أ
قوه موجهة.
لذا ، كل ما يقوله هذا
هو أنه يمكن التفكير في هذا الحساب غير التقليدي
كطريقة للإجابة على السؤال التالي:

English: 
where those constants involve certain combinations
of the components of v and w.
So, those constants, those particular combinations
of the coordinates of v and w
are going to be the coordinates of the vector
p that we're looking for.
But what's going on the right here
should feel very familiar to anyone
who's actually worked through a cross-product
computation.
Collecting the constant terms that are multiplied
by x, y and z like this
is no different from plugging in the symbols
i-hat, j-hat and k-hat to that first column
and seeing which coefficients aggregate on
each one of those terms.
It's just that plugging in i-hat, j-hat and
k-hat
is a way of signaling that we should interpret
those coefficients as the coordinates of a
vector.
So, what all of this is saying
is that this funky computation can be thought
of as a way to answer the following question:

Spanish: 
Así que esas constantes, esas combinaciones de las coordenadas de v y w
serán las coordenadas del vector p que estamos buscando.
Pero, lo que está pasando en el lado derecho
debería ser familiar para todos
los que de hecho hayan calculado un producto vectorial.
Juntar las constantes que multiplican a x, 'y' y 'z'
es lo mismo que introducir 'i', 'j' y 'k' a esa primera columna
y ver qué coeficientes se vinculan a esos términos.
Es sólo que al introducir 'i', 'j' y 'k'
recordamos que deberíamos interpretar esos coeficientes como las coordenadas de un vector.
Así que, lo que esto nos dice
is que estos extraños cálculos pueden pensarse como una forma de contestar a la siguiente pregunta:
¿Qué vector 'p' tiene la propiedad de que

Polish: 
gdzie te stałe są złożone z pewnych współrzędnych v oraz w.
Zatem, te stałe, te szczególne kombinacje współrzędnych v oraz w
będą współrzędnymi p których szukamy.
Ale to co dzieje się po prawej
powinno wyglądać bardzo znajomo dla każdego,
kto kiedykolwiek liczył iloczyn wektorowy.
grupowanie stałych przy x, y oraz z w ten sposób
to dokładnie wstawianie i-z-daszkiem, j-z-daszkiem oraz k-z-daszkiem do pierwszej kolumny
i sprawdzanie, które współczynniki tworzą te stałe.
Chodzi po prostu o to, że wstawienie i-z-daszkiem, j-z-daszkiem i k-z-daszkiem
to powiedzenie, że powinniśmy patrzeć na te współczynniki jako współrzędne wektora.
 
Więc, co to wszystko oznacza,
to że ten dziwny sposób liczenia odpowiada na następujące pytanie:

Korean: 
그 상수들은 벡터 v와 w의 성분들에 대한 
특정 조합입니다.
그래서 그 상수들 즉, v와 w 좌표의 그 특별한 조합들은
우리가 찾고있는 벡터 p의 좌표가 될 겁니다.
여기에있는 것은 실제로
외적 계산에 익숙한 사람이라면 누구나 익숙할 것입니다.
외적 계산에 익숙한 사람이라면 누구나 익숙할 것입니다.
x, y, z에 의해 이렇게 곱해지는 상수항을 모으는 것은
첫 번째 열에 i-hat, j-hat 및 k-hat 기호를 놓고
각 항들에 어떤 계수들이 
오는지를 보는 것과 다르지 않습니다.
i-hat, j-hat, k-hat을 사용하는 것은
그 계수들이 한 벡터의 좌표로 
해석된다는 의미입니다.
그 계수들이 한 벡터의 좌표로 
해석된다는 의미입니다.
그래서, 이 모든 것이 말하는 것은
이 이상한 계산이 다음 질문에 답하는 
하나의 방법으로 생각될 수 있다는 것입니다.

Chinese: 
这里的某些常数涉及了v和w的坐标的特定组合
因此这些常数，也就是v和w的坐标的特定组合
就是我们寻找的向量p的坐标
等号右侧的过程
对于那些进行过叉积计算的人来说是很熟悉的
像这样合并x、y和z前面的常数项
和把i帽、j帽和k帽放进矩阵第一列进行计算，然后合并各项前面的系数没有区别
在矩阵中插入i帽、j帽和k帽不过是在传递一个信号
告诉我们应该把这些系数解读为一个向量的坐标
因此，这一切都在说明
这个奇怪的运算过程可以看作是以下问题的答案

Portuguese: 
onde essas constantes envolvem certas combinações
dos componentes de 'v' e 'w'.
Assim, aqueles constantes, essas combinações particulares das coordenadas de 'v' e 'w'
vão ser as coordenadas do vetor
'p' que estamos procurando.
Mas o que está acontecendo aqui
deve parecer muito familiar a qualquer um
que já fez a conta de um produto vetorial.
Recolher os termos constantes que são multiplicados
por x, y e z como estes
não é diferente de colocar os símbolos
î, ĵ e kˆ na primeira coluna
e ver quais coeficientes agregam-se a 
cada um destes termos.
É como se colocar î, ĵ e kˆ
fosse só uma forma de sinalizar que 
devemos interpretar esses coeficientes como
as coordenadas de vetor.
Então, o que tudo isso está dizendo
é que esse cálculo doido pode ser pensado
como uma forma de responder à seguinte pergunta:

German: 
Welcher Vektor p hat die besondere Eigenschaft
das, wenn Sie ein Punktprodukt zwischen p nehmen
und ein Vektor [x, y, z]
es ergibt das gleiche Ergebnis wie das Einstecken von [x,
y, z] zur ersten Spalte der Matrix
deren andere zwei Spalten haben die Koordinaten
von v und w
dann die Determinante berechnen?
Das ist ein bisschen mundvoll.
Aber es ist eine wichtige Frage, für die man verdauen muss
Dieses Video.
Nun zum coolen Teil, der das alles verbindet
zusammen
mit dem geometrischen Verständnis des Kreuzes
Produkt, das ich letztes Video vorgestellt habe.
Ich werde die gleiche Frage noch einmal stellen.
Aber dieses Mal werden wir versuchen zu antworten
es geometrisch
statt rechnerisch.
Welcher 3D-Vektor p hat die besondere Eigenschaft
das, wenn Sie ein Punktprodukt zwischen p nehmen
und ein anderer Vektor [x, y, z]
es gibt das gleiche Ergebnis, als ob Sie das genommen haben
signierter Band eines Parallelepipeds
definiert durch diesen Vektor [x, y, z] zusammen mit
v und w?

Portuguese: 
Qual vetor 'p' tem a propriedade especial
segundo a qual quando você toma um produto escalar entre 'p' e algum vetor (x, y, z),
dá o mesmo resultado que colocar (x, y, z)
na primeira coluna da matriz
cujas outras duas colunas têm as coordenadas
de 'v' e 'w'
em seguida, calcular o determinante?
Isso é meio difícil de se dizer.
Mas é uma questão importante para
 se digerir neste vídeo.
Agora, a parte legal que junta tudo isso
com o entendimento geométrico do produto vetorial que eu introduzi no último vídeo.
Eu vou fazer a mesma pergunta novamente.
Mas desta vez, vamos tentar respondê-la geometricamente
ao invés de computacionalmente.
Qual vetor 3D 'p' tem a propriedade especial
segundo a qual quando você toma um produto escalar entre 'p' e algum outro vetor (x, y, z)
ele dá o mesmo resultado do que se você tomasse o volume com sinal de um paralelepípedo
definido por este vector (x, y, z) juntamente com 'v' e 'w'?

Chinese: 
当你将向量p和某个向量(x, y, z)点乘时，所得结果等于一个3×3矩阵的行列式
这个矩阵第一列为(x, y, z)，其余两列为v和w的坐标
什么样的向量p才能满足这一特殊性质？
可能有些拗口，不过在这期视频里，它是一个需要理解的重要问题
接下来是精彩的部分
它将上面的内容与上期视频中介绍的叉积的几何意义联系起来
我会再问一次相同的问题
不过这次，我们要尝试从几何角度回答，而不是从计算角度回答
当你将向量p和某个向量(x ,y, z)点乘时
所得结果等于一个由(x, y, z)和v与w确定的平行六面体的有向体积
什么样的向量p才能满足这一特殊性质？

Arabic: 
ما المتجه ف لديه خاصية خاصة
أنه عندما تأخذ منتج نقطة بين p
وبعض المتجهات [x، y، z]
يعطي نفس النتيجة كتوصيل في [x ،
y، z] إلى العمود الأول من المصفوفة
العمودين الآخرين بهما الإحداثيات
من الخامس و ث
ثم حساب المحدد؟
هذا قليل من الفم
لكنه سؤال مهم للاستيعاب
هذا الفيديو.
الآن للجزء البارد الذي يربط كل هذا
سويا
مع الفهم الهندسي للصليب
المنتج الذي قدمته الفيديو الأخير.
سأطرح نفس السؤال مرة أخرى.
لكن هذه المرة ، سنحاول الإجابة
انها هندسيا
بدلا من الحسابية.
ما 3D ناقلات p لديه خاصية خاصة
أنه عندما تأخذ منتج نقطة بين p
وبعض المتجهات الأخرى [x، y، z]
يعطي النتيجة نفسها كما لو كنت أخذت
حجم موقع من parallelepiped
المعرفة بواسطة هذا المتجه [x، y، z] مع
الخامس و ث؟

Polish: 
jaki wektor p ma tę specjalną własność,
że gdy weźmiemy iloczyn skalarny p i pewnego [x, y, z]
to otrzymamy to samo, co przez włożenie wektora [x, y, z] do pierwszej kolumny macierzy
której dwie pozostałe kolumny mają współrzędne wektorów v i w
i policzenie wyznacznika?
To dużo do powiedzenia na raz.
Ale przetrawienie tego pytania jest istotne dla tego filmu.
Teraz czas na tę fajną część, która łączy to wszystko
z geometrycznym zrozumieniem iloczynu skalarnego, które wprowadziłem w ostatnim filmie.
Zadam ponownie to samo pytanie,
jednak teraz spróbujemy odpowiedzieć na nie geometrycznie,
zamiast obliczeniowo.
Jaki wektor trójwymiarowy p ma tę własność,
że iloczyn skalarny p i dowolnego wektora [x, y, z]
daje ten sam wynik co objętość sygnowana równoległościanu
rozpiętego na [x, y, z], v oraz w?

Spanish: 
al tomar el producto punto entre 'p' y un vecto [x,y, z]
obtenemos el mismo resultado que al introducir [x, y, z] a la primera columna de la matriz
cuyas columnas restantes tienen las coordenadas de v y w
y después calcular su determinante?
Es una pregunta muy larga
pero una muy importante para este video.
Ahora, para la parte bacana que enlaza todo esto
con la percepción geométrica del producto vectorial que introduje en el video anterior
volveré a plantear la misma pregunta.
Pero esta vez, trataremos de responderla geométricamente
en vez de analíticamente.
¿Qué vector tri-dimensional 'p' tiene la propiedad
de que al tomar el producto punto entre 'p' y un vector [x, y, z]
obtenemos el mismo resultado que al tomar el volumen del paralelepípedo
definido por este vector [x, y, z] junto con v y w?
Recuerden, la interpretación geométrica del producto punto
entre un vector p y otro vector

Czech: 
"Který vektor 'p' má tu vlastnost,
že kdykoli spočteme skalární součin 'p' krát nějaký vektor (x, y, z),
tak nám vyjde totéž jako když dosadíme (x, y, z) do prvního sloupce matice,
jejíž druhé dva sloupce tvoří souřadnice vektorů 'v' a 'w',
a pak spočteme determinant?"
To jsem se zase vypovídal.
Ale je to důležitá otázka, kterou tu chceme prozkoumat
A teď to nejlepší nakonec, čímž to všechno zapadne dohromady
s geometrickou interpretací, kterou jsem popsal v minulém videu.
Zeptáme se znovu na tu samou otázku,
ale tentokrát se na ni pokusíme odpovědět geometricky
namísto numericky.
Který 3D vektor má tu speciální vlastnost,
že když spočteme skalární součin 'p' krát nějaký vektor (x, y, z),
tak nám vyjde totéž jako orientovaný objem rovnoběžnostěnu
určený vektorem (x, y, z) a vektory 'v', 'w'?

Korean: 
어떤 벡터p가 다음과 같은 특별한 속성을 가지는가?
벡터 p와 어떤 벡터 [x, y, z]를 내적한 것과
[x, y, z]를 행렬의 첫 번째 열에 두고
벡터 v와 w의 좌표를 다른 두 열에 놓은  후, 
행렬식을 구한 결과와 같은 벡터 p는 무엇인가?
벡터 v와 w의 좌표를 다른 두 열에 놓은  후, 
행렬식을 구한 결과와 같은 벡터 p는 무엇인가?
그것은 조금 어렵습니다.
하지만 이번 영상을 자기것으로 만드는 데
 중요한 질문입니다.
이제 지난 시간에 소개한 기하학적 이해와 함께
이 모든 것을 묶어주는 멋진 부분을 위해
다시 같은 질문을 하겠습니다.
하지만 이번에는 기하학적으로 대답하려고 
노력할 것입니다.
계산적으로 답하는 것 대신에요.
어떤 3D 벡터p가 다음과 같은 특별한 속성을 가지는가?
벡터 p와 다른 어떤 벡터 [x, y, z]의 내적을 구한 것과
벡터 v, w, [x, y, z]로 정의된 평행 육면체의 부피와 
같아지는 벡터 p는 무엇인가?
벡터 v, w, [x, y, z]로 정의된 평행 육면체의 부피와 
같아지는 벡터 p는 무엇인가?
기억하십시오.

English: 
What vector p has the special property
that when you take a dot product between p
and some vector [x, y, z]
it gives the same result as plugging in [x,
y, z] to the first column of the matrix
whose other two columns have the coordinates
of v and w
then computing the determinant?
That's a bit of a mouthful.
But it's an important question to digest for
this video.
Now for the cool part which ties all this
together
with the geometric understanding of the cross
product that I introduced last video.
I'm going to ask the same question again.
But this time, we're going to try to answer
it geometrically
instead of computationally.
What 3D vector p has the special property
that when you take a dot product between p
and some other vector [x, y, z]
it gives the same result as if you took the
signed volume of a parallelepiped
defined by this vector [x, y, z] along with
v and w?

Czech: 
Připomínám, že geometrický význam skalárního součinu
vektoru 'p' a nějakého dalšího
je kolmá projekce toho druhého na 'p'
a pak součin délky projekce a délky 'p'.
Když tohle víme, zkusíme teď nějak spočítat
objem rovnoběžnostěnu, o který nám jde.
Začneme s obsahem základny vytyčené vektory 'v' a 'w'
a pak to vynásobíme nikoli délkou (x, y, z),
ale tou složkou (x, y, z), která je kolmá na základnu, to je výška rovnoběžnostěnu.
Jinými slovy naše lineární funkce vezme daný vektor,
promítne jej na přímku kolmou na vektory 'v' a 'w'
a pak vynásobí délku této projekce obsahem rovnoběžníku vytyčeného 'v' a 'w'.
 
To je ale totéž jako skalární součin
mezi (x, y, z) a vektorem, který je kolmý na 'v' a 'w'

German: 
Denken Sie daran, die geometrische Interpretation von
ein Punktprodukt
zwischen einem Vektor p und einem anderen Vektor
ist es, diesen anderen Vektor auf p zu projizieren
dann, um die Länge dieser Projektion zu multiplizieren
um die Länge von p.
Lassen Sie mich in diesem Sinne einen bestimmten Weg zeigen
über etwas nachdenken
das Volumen des Parallelepipeds, das uns wichtig ist
Über.
Beginnen Sie, indem Sie den Bereich des Parallelogramms nehmen
definiert durch v und w
dann multipliziere es, nicht mit der Länge von [x,
y, z]
aber durch die Komponente von [x, y, z] ist das senkrecht
zu diesem Parallelogramm.
Mit anderen Worten, die Art und Weise, wie unsere lineare Funktion
arbeitet an einem bestimmten Vektor
ist, diesen Vektor auf eine Linie zu projizieren, die
senkrecht zu v und w
dann, um die Länge dieser Projektion zu multiplizieren
durch die Fläche des Parallelogramms überspannt von
v und w.
Aber das ist das Gleiche wie einen Punkt zu nehmen
Produkt
zwischen [x, y, z] und einem Vektor, der senkrecht ist
zu v und w

Spanish: 
es proyectar este vector sobre p
y luego multiplicar la longitud de dicha proyección por la longitud de 'p'.
Con esto en mente, déjenme mostrarles una forma de considerar
el volumen del paralelepípedo que nos interesa.
Empecemos tomando el área del paralelogramo definido por v y w
y luego multipliquemos, no por la longitud de [x, y, z]
sino por el componente de [x, y, z] perpendicular a dicho paralelogramo.
En otras palabras, la forma en que nuestra función linear actúa sobre un vector dado
es proyectando dicho vector sobre una linea perpendicular a v y w
y después, multiplicando la longitud de ea proyección por el área del paralelogramo definido por v y w.
Pero esto es lo mismo que tomar el producto punto
entre [x, y, z] y un vector perpendicular a v y w
con una longitud igual al área de dicho paralelogramo.

Korean: 
벡터p와 다른 어떤 벡터사이의 내적에 대한
기하학적 해석은
다른 벡터를 p에 투사한 후에
그 투사된 길이를 p의 길이에 곱하는 것입니다.
그 점을 염두에두고,
우리가 구하려는 평행 육면체의 부피를 구하는
어떤 방법을 보여드리겠습니다.
먼저 v와 w에 의해 정의된 평행 사변형의 면적을
구하는 것부터 시작해 봅시다.
그리고서 [x, y, z]의 길이만큼 곱하지 말고,
그 평행 사변형에 수직인 길이만큼만
곱해봅시다.
즉, 주어진 벡터에 대해 
우리의 선형 함수가 작동하는 방식은
주어진 벡터를 v와 w에 모두 수직인 선에 투사하여
그 투사된 길이를 v와 w에 의해 정의된 평행 사변형의
면적에 곱하는 것입니다.
그 투사된 길이를 v와 w에 의해 정의된 평행 사변형의
면적에 곱하는 것입니다.
그러나 이것은 "[x, y, z]"와 
"v, w에 수직이면서 길이는 평행사변형의 면적인 벡터"의 내적을 구하는 것과 같습니다.
그러나 이것은 "[x, y, z]"와 
"v, w에 수직이면서 길이는 평행사변형의 면적인 벡터"의 내적을 구하는 것과 같습니다.

Portuguese: 
Lembre-se, a interpretação geométrica de um produto escalar
entre um vetor 'p' e algum outro vetor
é projectar esse outro vetor em 'p'
em seguida, a multiplicar o comprimento da projeção
pelo comprimento de 'p'.
Com isso em mente, deixe-me mostrar uma certa maneira de se pensar sobre
o volume do paralelepípedo com o qual nos preocupamos.
Comece por tomar a área do paralelogramo
definido por 'v' e 'w',
em seguida, multiplique-a, não pelo 
comprimento de (x, y, z)
mas pela componente de (x, y, z), que é perpendicular
àquele paralelogramo.
Em outras palavras, a forma como a nossa função linear
trabalha em um dado vetor
é projetar aquele vetor sobre uma linha que é
perpendicular a ambos 'v' e 'w'
em seguida, a multiplicar o comprimento daquela projeção pela área do paralelogramo gerado por
'v' e 'w'.
Mas isso é a mesma coisa que tomar um ponto escalar
entre (x, y, z) e um vetor que é perpendicular a 'v' e 'w'

Arabic: 
تذكر ، تفسير هندسي من
منتج نقطة
بين ناقلات p وبعض المتجهات الأخرى
هو أن المشروع المتجه الأخرى على ص
ثم مضاعفة طول هذا الإسقاط
بطول ص.
مع أخذ ذلك في الاعتبار ، اسمحوا لي أن تظهر بطريقة معينة
للتفكير بخصوص
حجم parallelepiped التي نهتم بها
حول.
ابدأ بأخذ منطقة متوازي الأضلاع
يحددها v و w
ثم ضربه ، وليس بطول [x ،
y، z]
ولكن عن طريق مكون [x، y، z] وهذا عمودي
إلى ذلك متوازي الأضلاع.
بمعنى آخر ، طريقة عملنا الخطي
يعمل على ناقلات معينة
هو أن نوجه هذا المتجه إلى خط
عمودي لكل من v و w
ثم ، لمضاعفة طول هذا الإسقاط
من خلال مساحة متوازي الأضلاع التي يمتد من خلالها
v و w.
لكن هذا هو نفس الشيء مثل أخذ نقطة
المنتج
بين [x، y، z] وناقل متعامد
إلى v و w

Polish: 
Pamiętajmy, że geometryczna interpretacja iloczynu skalarnego
wektora p i dowolnego innego wektora
to rzucenie tego wektora na p
a potem przemnożenie długości tego rzutu przez długość p.
Z tym faktem w głowie, pokażę pewien sposób myślenia
o objętości równoległościanu o którym myślimy.
Zacznijmy od wzięcia pola równoległoboku rozpiętego przez v i w
i pomnóżmy je nie przez [x, y, z]
ale przez tę część [x,y,z], która jest prostopadła do tego równoległoboku.
Innymi słowy, nasza funkcja liniowa na danym wektorze działa tak, że
rzuca ten wektor na prostą prostopadłą do v i w
i potem mnoży długość tego rzutu przez pole równoległoboku
rozpiętego przez v i w.
Ale to to samo co wzięcie iloczynu skalarnego
[x, y, z] oraz wektora prostopadłego do v i w

English: 
Remember, the geometric interpretation of
a dot product
between a vector p and some other vector
is to project that other vector onto p
then to multiply the length of that projection
by the length of p.
With that in mind, let me show a certain way
to think about
the volume of the parallelepiped that we care
about.
Start by taking the area of the parallelogram
defined by v and w
then multiply it, not by the length of [x,
y, z]
but by the component of [x, y, z] that's perpendicular
to that parallelogram.
In other words, the way our linear function
works on a given vector
is to project that vector onto a line that's
perpendicular to both v and w
then, to multiply the length of that projection
by the area of the parallelogram spanned by
v and w.
But this is the same thing as taking a dot
product
between [x, y, z] and a vector that's perpendicular
to v and w

Chinese: 
记住一点，向量p与其他向量的点积的几何解释
是将其他向量投影到p上
然后将投影长度与p的长度相乘
考虑到这一点，对于我们所关心的平行六面体的体积，我来说明一种思考方法
首先获得由v和w确定的平行四边形的面积
乘以向量(x, y, z)在垂直于平行四边形方向上的分量（不是(x, y, z)的长度）
换句话说，我们找到的线性函数对于给定向量的作用
是将这个向量投影到垂直于v和w的直线上
然后将投影长度与v和w张成的平行四边形的面积相乘

Portuguese: 
com um comprimento igual à área 
daquele paralelogramo.
Além do mais, se você escolher a direção apropriada
para esse vetor,
os casos em que o produto escalar é negativo
vão se alinhar com os casos em que a regra da mão direita para a orientação de (x, y, z),
'v' e 'w' é negativa.
Isso significa que nós acabamos de 
encontrar um vetor 'p'
tal que tomar um produto escalar 
entre 'p' e algum vetor (x, y, z)
é o mesmo que a computar aquele determinante
de uma matriz 3x3
cujas colunas são (x, y, z), as coordenadas de 'v' e de 'w'.
Portanto, a resposta que encontramos anteriormente, computacionalmente
usando esse truque especial de notação
deve corresponder geometricamente a este vetor.
Esta é a razão fundamental da
razão pela qual o cálculo e a interpretação geométrica
do produto vetorial estão relacionadas.
Só para resumir o que aconteceu aqui:
Comecei pela definição de uma transformação linear
a partir do espaço 3D para a reta numérica,

Chinese: 
但是，这和垂直于v和w且长度为平行四边形面积的向量与(x, y, z)点乘是同一回事
更重要的是，如果你选择了合适的向量方向
点积为正的情况就会与(x, y, z)、v和w满足右手定则的情况相吻合
这意味着我们找到了一个向量p
使得p与和某个向量(x, y, z)点乘时
所得结果等于一个3×3矩阵的行列式
这个矩阵的三列分别为(x, y, z)、v的坐标和w的坐标
因此我们之前通过特殊符号技巧进行计算所得到的向量
必然在几何上与这个向量对应
这就是叉积的计算过程与几何解释有关联的根本原因
简单总结一下之前的内容
我首先定义了一个三维空间到数轴的线性变换

Polish: 
z długością równą polu równoległoboku.
Co więcej, jeżeli wybierzemy odpowiedni zwrot wektora,
przypadek gdy iloczyn skalarny jest ujemny
pokryje się z przypadkiem, gdy reguła prawej ręki dla [x, y, z],
v oraz w jest ujemna.
Oznacza to, że znaleźliśmy właśnie wektor p taki,
że wzięcie iloczynu skalarnego p i [x,y,z]
to to samo co obliczenie wyznacznika macierzy 3x3
której kolumnami są [x,y,z] oraz współrzędne v i w.
Zatem odpowiedź którą znaleźliśmy wcześniej obliczeniowo,
używająca tego triku notacyjnego,
musi odpowiadać geometrycznie temu wektorowi.
To jest fundamentalny powód
dla którego obliczanie i geometryczna interpretacja wyznacznika są powiązane.
Aby podsumować to co się tu stało
zacząłem od definiowania przekształcenia liniowego z przestrzeni trójwymiarowej w jeden wymiar

Korean: 
그러나 이것은 "[x, y, z]"와 
"v, w에 수직이면서 길이는 평행사변형의 면적인 벡터"의 내적을 구하는 것과 같습니다.
여기에 더해, 여러분이 벡터의 적절한 방향을 선택하면
내적이 음수인 경우는
[x, y, z], v 및 w 방향에 
오른손 법칙이 적용된 경우와 일치합니다.
[x, y, z], v 및 w 방향에 
오른손 법칙이 적용된 경우와 일치합니다.
이것은 방금 우리가 벡터 p를 찾았음을 의미합니다.
그래서 p와 어떤 벡터 [x, y, z]의 내적을 구하는 것은
[x, y, z]와 v, w의 좌표를 열로 가지는 3x3 행렬의 행렬식을 구하는 것과 같습니다.
[x, y, z]와 v, w의 좌표를 열로 가지는 3x3 행렬의 행렬식을 구하는 것과 같습니다.
그래서, 이전에 우리가 그 특별한 표기법을 사용해서
발견한 해답은 계산적으로
그래서, 이전에 우리가 그 특별한 표기법을 사용해서
발견한 해답은 계산적으로
이 벡터와 기하학적으로 일치해야 합니다.
이것이 왜 외적의 계산과 기하학적 해석이 
관련되어 있는지에 대한 근본적인 이유입니다.
이것이 왜 외적의 계산과 기하학적 해석이 
관련되어 있는지에 대한 근본적인 이유입니다.
여기서 일어난 일을 요약하기 위해
저는 3D 공간에서 수선으로의 선형 변환을 정의하면서
시작했었습니다.

Czech: 
a délku má rovnu obsahu toho rovnoběžníku.
Co víc, když tomuto vektoru správně zvolíte směr,
tak bude skalární součin záporný přesně tehdy,
když pravidlo pravé ruky pro (x, y, z) a vektory 'v', 'w' dá
záporné znaménko.
To znamená, že jsme právě našli vektor 'p'
takový, že skalární součin 'p' krát nějaký vektor (x, y, z)
vyjde stejně jako výpočet determinantu matice 3x3,
jejíž sloupečky jsou (x, y, z) a dále souřadnice 'v' a 'w'.
Takže odpověď, kterou jsme se dřív naučili spočítat
pomocí toho triku s bázovými vektory,
musí geometricky odpovídat tomuto vektoru.
To je ten důvod,
proč souvisí výpočet a geometrický význam vektorového součinu.
Abychom shrnuli, co se stalo,
začali jsme zavedením jistého lineárního zobrazení z 3D prostoru do čísel,

English: 
with a length equal to the area of that parallelogram.
What's more, if you choose the appropriate
direction for that vector
the cases where the dot product is negative
will line up with the cases where the right
hand rule for the orientation of [x, y, z],
v and w is negative.
This means that we just found a vector p
so that taking a dot product between p and
some vector [x, y, z]
is the same thing as computing that determinant
of a 3x3 matrix
whose columns are [x, y, z], the coordinates
of v and w.
So, the answer that we found earlier, computationally
using that special notational trick
must correspond geometrically to this vector.
This is the fundamental reason
why the computation and the geometric interpretation
of the cross product are related.
Just to sum up what happened here
I started by defining a linear transformation
from 3D space to the number line

Spanish: 
De hecho, si escoges la dirección apropiada para dicho vector,
los casos en que el producto punto es negativo
se acompasan con los casos en los que la regla de la mano derecha para [x, y, z], v y w es negativa.
Lo que significa que acabamos de encontrar un vector 'p'
con el cual, al tomar el producto punto entre 'p' y [x, y, z]
obtenemos el mismo resultado que al calcular el determinante de una matriz 3x3
cuyas columnas son [x, y, z], y las coordenadas de  y w.
Así que la respuesta que encontramos antes, analíticamente,
usando nuestro truco notacional
corresponde geométricamente a este vector.
Esta es la razón fundamental
por la cual la interpretación analítica y geométrica del producto vectorial están relacionadas.
Sólo para resumir lo que acabamos de hacer
Empezamos definiendo una transformación lineal desde las tres dimensiones y hacia la recta real
en términos de los vectores v y w

German: 
mit einer Länge, die der Fläche dieses Parallelogramms entspricht.
Was ist mehr, wenn Sie die geeignete wählen
Richtung für diesen Vektor
die Fälle, in denen das Punktprodukt negativ ist
wird mit den Fällen übereinstimmen, in denen das Recht
Handregel zur Orientierung von [x, y, z],
v und w ist negativ.
Dies bedeutet, dass wir gerade einen Vektor p gefunden haben
so dass ein Punktprodukt zwischen p und genommen wird
irgendein Vektor [x, y, z]
ist dasselbe wie die Berechnung dieser Determinante
einer 3x3 Matrix
deren Spalten sind [x, y, z], die Koordinaten
von v und w.
Also die Antwort, die wir früher rechnerisch gefunden haben
mit diesem speziellen Notationstrick
muss diesem Vektor geometrisch entsprechen.
Dies ist der grundlegende Grund
warum die Berechnung und die geometrische Interpretation
des Kreuzproduktes sind verwandt.
Nur um zusammenzufassen, was hier passiert ist
Ich begann mit der Definition einer linearen Transformation
vom 3D-Raum zur Zahlenlinie

Arabic: 
مع طول يساوي مساحة ذلك متوازي الأضلاع.
ما هو أكثر من ذلك ، إذا اخترت المناسب
الاتجاه لهذا الناقل
الحالات التي يكون فيها منتج النقطة سالباً
سوف يصطف مع الحالات التي يكون فيها الحق
قاعدة اليد لاتجاه [x، y، z] ،
v و w سلبي.
هذا يعني أننا وجدنا فقط ناقلات p
بحيث أخذ منتج نقطة بين ع و
بعض المتجهات [x، y، z]
هو نفس الشيء مثل الحوسبة التي تحدد
من 3x3 المصفوفة
أعمدتها [x، y، z] والإحداثيات
من الخامس و ث.
لذا ، فإن الإجابة التي وجدناها في وقت سابق ، حسابيا
باستخدام تلك الحيلة الخطية الخاصة
يجب أن تتوافق هندسيا مع هذا المتجه.
هذا هو السبب الأساسي
لماذا الحساب والتفسير الهندسي
من المنتجات عبر مرتبطة.
فقط لتلخيص ما حدث هنا
لقد بدأت بتحديد التحول الخطي
من الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى خط الأعداد

German: 
und es wurde in Bezug auf die Vektoren definiert
v und w
dann ging ich zwei getrennte Wege
über den „dualen Vektor“ nachzudenken
Transformation
der Vektor so, dass die Transformation angewendet wird
ist das Gleiche wie ein Punktprodukt
mit diesem Vektor.
Einerseits ein rechnerischer Ansatz
führt Sie zum Trick des Einsteckens
die Symbole i-hat, j-hat und k-hat
zur ersten Spalte der Matrix und Berechnung
die Determinante.
Aber geometrisch denken
wir können daraus schließen, dass dieser Duellvektor sein muss
senkrecht zu v und w
mit einer Länge gleich der Fläche des Parallelogramms
von diesen beiden Vektoren überspannt.
Da beide Ansätze uns ein Dual geben
Vektor zur gleichen Transformation
Sie müssen der gleiche Vektor sein.
Damit sind Punktprodukte und Kreuzprodukte zusammengefasst.
Und das nächste Video wird wirklich wichtig sein
Konzept für die lineare Algebra

English: 
and it was defined in terms of the vectors
v and w
then I went through two separate ways
to think about the “dual vector” of this
transformation
the vector such that applying the transformation
is the same thing as taking a dot product
with that vector.
On the one hand, a computational approach
will lead you to the trick of plugging in
the symbols i-hat, j-hat and k-hat
to the first column of the matrix and computing
the determinant.
But, thinking geometrically
we can deduce that this duel vector must be
perpendicular to v and w
with a length equal to the area of the parallelogram
spanned out by those two vectors.
Since both of these approaches give us a dual
vector to the same transformation
they must be the same vector.
So that wraps up dot products and cross products.
And the next video will be a really important
concept for linear algebra

Polish: 
zdefiniowanego za pomocą wektorów v i w,
potem poszedłem dwoma drogami,
aby dojść do wektora dualnego do tego przekształcenia
czyli takiego, że przyłożenie tego przekształcenia
to to samo co wzięcie iloczynu skalarnego z tym wektorem.
Z jednej strony, podejście obliczeniowe
doprowadzi do triku, czyli wstawienia w pierwszą kolumnę i-, j- oraz k-z-daszkiem
to pierwszej kolumny i obliczenia wyznacznika.
Jednak myśląc geometrycznie
możemy wydedukować, że ten wektor dualny musi być prostopadły do v i w
i mieć długość równą równoległobokowi rozpiętemu na tych wektorach.
Skoro oba podejścia dają nam wektor dualny do tego samego przekształcenia,
to muszą to być te same wektory
To podsumowuje iloczyny skalarne i wektorowe.
Następny film będzie o bardzo ważnym koncepcie w algebrze liniowej -

Spanish: 
Luego tomamos dos caminos separados
para interpretar el 'vector dual' de esta transformación,
Ese que tiene la propiedad según la cual, aplicar la transformación
es lo mismo que tomar el producto punto con ese vector.
Por una parte, una aproximación analítica
nos llevó al truco de insertar los vectores i, j y k
a la primera columna de nuestra matriz para después calcular su determinante.
Pero, geométricamente hablando,
podemos deducir que este vector dual debe ser perpendicular a v y w
con una longitud igual al área del paralelogramo definido por esos dos vectores.
En tanto que ambas aproximaciones nos dieron un vector dual para la misma transformación
ambos deben ser el mismo vector.
Pues bien! eso cubre el producto punto y el producto vectorial.
Y el siguiente video tratará un concepto muy importante del álgebra lineal,
el "cambio de bases"

Chinese: 
并且它是根据向量v和w来定义的
然后我通过两种不同的方式来考虑这个变换的对偶向量
即应用这个变换和与对偶向量点乘等价
一方面，计算方法引导你使用下面这种技巧
在矩阵第一列中插入i帽、j帽和k帽，然后计算行列式
但是从几何角度思考，我们可以推断出这个对偶向量
必然与v和w垂直，并且其长度与这两个向量张成的平行四边形的面积相同
这两种方法给出了同一个变换的对偶向量，因此这两个向量必然相同
点积和叉积部分的内容就此圆满结束
下期视频是线性代数中一个非常重要的概念——基变换

Portuguese: 
que foi definida em termos de vetores
'v' e 'w',
então eu fui por de dois caminhos separados
pensar sobre o “vetor dual” desta transformação,
o vetor tal a que a aplicação da transformação
é a mesma coisa que tomar um 
produto interno com esse vetor.
Por um lado, uma abordagem computacional
vai levar você para o truque de colocar 
os símbolos î, ĵ e kˆ,
para a primeira coluna da matriz e 
computar o determinante.
Mas, pensando geometricamente
podemos deduzir que este vetor dual deve ser perpendicular ao 'v' e 'w',
com um comprimento igual à área do paralelogramo
abarcado por estes dois vectores.
Dado que ambas as abordagens nos dão um vetor dual para a mesma transformação,
eles devem ser o mesmo vetor.
Então isso conclui os produtos escalar e vetorial.
E o próximo vídeo será um conceito realmente importante para a Álgebra Linear:

Korean: 
그리고 그것은 벡터v와 w로 정의되었습니다.
그리고 저는이 변환의 '이중 벡터'에 대해 생각하면서
그러한 변환을 적용하는 것과 내적을 구하는 것이
같은가를 보는 두 가지 다른 방식을 생각해 봤습니다.
그러한 변환을 적용하는 것과 내적을 구하는 것이
같은가를 보는 두 가지 다른 방식을 생각해 봤습니다.
그러한 변환을 적용하는 것과 내적을 구하는 것이
같은가를 보는 두 가지 다른 방식을 생각해 봤습니다.
다른 한편으로는 계산적인 접근방식이
i-hat, j-hat, k-hat 기호를 행렬의 첫 번째 열에 놓고
행렬식을 계산하는 속임수가 됨을 보였습니다.
그러나 기하학적으로 생각하면
우리는 이 이중 벡터가 반드시 v와 w에 수직이며,
길이는 두 벡터가 이루는 평행 사변형의 면적과 같아야 한다는 것을 추론할 수 있습니다.
이 두 접근법 모두 동일한 변환에 대한 이중 벡터를 제공하므로
그들은 동일한 벡터여야합니다.
따라서 내적과 외적을 마무리합니다.
그리고 다음 비디오는 선형 대수학의 개념에서 
정말 중요할 것입니다.

Arabic: 
وتم تعريفه من حيث المتجهات
v و w
ثم ذهبت من خلال طريقتين منفصلتين
للتفكير في "المتجه المزدوج" لهذا
تحويل
المتجه بحيث تطبيق التحول
هو نفس الشيء مثل أخذ منتج نقطة
مع هذا المتجه.
من ناحية ، نهج حاسوبي
سيقودك إلى خدعة الدخول
الرموز i-hat و j-hat و k-hat
إلى العمود الأول من المصفوفة والحوسبة
المحدد.
لكن افكر هندسيا
يمكننا أن نستنتج أن هذا المتجه للمبارزة يجب أن يكون
عمودي على v و w
مع طول يساوي مساحة متوازي الأضلاع
امتدت من قبل هذين الموجهين.
بما أن هذين الأسلوبين يعطينا ثنائية
متجه إلى نفس التحول
يجب أن يكونوا نفس الموجه.
بحيث يختتم المنتجات نقطة والمنتجات عبر.
وسيكون الفيديو التالي مهمًا حقًا
مفهوم الجبر الخطي

Czech: 
které bylo parametrizované vektory 'v' a 'w'.
Pak jsme zkusili dvěma různými způsoby
najít duální vektor k tomuto zobrazení.
Vektor takový, že se na naše zobrazení můžeme dívat
jako na skalární součin s tím vektorem.
Na jedné straně je tu výpočet, který
vedl k triku s dosazením bázových vektorů 'i', 'j', 'k'
do prvního sloupce matice a počítání determinantu.
Zato v geometrickém pohledu
nám vyjde, že je tento duální vektor kolmý na 'v' a 'w'
a jeho délka je rovna obsahu rovnoběžníku určenému těmito vektory.
Protože oba přístupy vedou k tomu samému duálnímu vektoru toho samého zobrazení,
musí oba vektory vyjít stejně.
Tímhle završujeme kapitolu skalárního a vektorového součinu
a v příštím díle se podíváme na další důležitý koncept v lineární algebře:

Polish: 
zmianie bazy.

Arabic: 
"تغيير الأساس"

Chinese: 
（下期视频：基变换）

Portuguese: 
“mudança de base”.

English: 
“change of basis”

German: 
"Basiswechsel"

Czech: 
Změnu báze.

Korean: 
 
