
Estonian: 
Ütleme, et meil on joon, mis läbib nullkohta.
Ma joonistan selle R2-te, kuid seda saab laiendada an
ise Rn-i
Ma joonistan teljed
Need on teljed, mitte kõige sirjemad, kuid ideest
peaks aru saama.
Ma joonistan joone, mis läbib nullkohta.
See on meie joon.
Ja me teame, et joon igas R dimensioonis Rn - me teeme seda R2-s -
on võimalik defineerida kõikvõimalike skalaarkorrutistega
suvalise vektori korral.
Ütleme, et see siin on mingi vektor
mis on sellel joonel.
Defineerime selle joone.
Saame öelda, et I on võrdne kõigi skalaarkorrutistega
Ütleme, et see on v.
Seega see on iga võimalik skalaarkorrutis meie vektorist v
kus skalaarkorrutis definitsiooni järgi on iga
reaalarv.
Seega, kui võtta suvaline korrutis
v-st, nii positiivsed kui negatiivsed korrutised, ja

Chinese: 
更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/
加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com
假设有一条直线
它通过原点
我画出在R2里的情形
但实际上可以推广到任意Rn
我先画出坐标轴
那么这就是坐标轴
画的不好 但能看得懂
我画一条直线
通过原点的直线
就是这根直线
我们知道 任意Rn中的直线――
我们现在考察的是R2――
可以被定义为 某向量的
所有可能的标量乘积的集合
那么我们假设这个向量
在这条直线上
我们可以定义这条直线
我们可以说 l等于
这个向量所有标量乘积的集合――
假设这个向量为v
那么这条直线就是所有可能的
v的标量乘积的集合
而这个乘数 根据定义 是任意实数
显然地
如果取遍所有可能的v的乘数
不管是正数还是负数

Chinese: 
更多課程盡在網易公開課頻道 http://open.163.com/
加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com
假設有一條直線
它通過原點
我畫出在R2裏的情形
但實際上可以推廣到任意Rn
我先畫出坐標軸
那麽這就是坐標軸
畫的不好 但能看得懂
我畫一條直線
通過原點的直線
就是這根直線
我們知道 任意Rn中的直線――
我們現在考察的是R2――
可以被定義爲 某向量的
所有可能的純量乘積的集合
那麽我們假設這個向量
在這條直線上
我們可以定義這條直線
我們可以說 l等於
這個向量所有純量乘積的集合――
假設這個向量爲v
那麽這條直線就是所有可能的
v的純量乘積的集合
而這個乘數 根據定義 是任意實數
顯然地
如果取遍所有可能的v的乘數
不管是正數還是負數

English: 
Let's say I have a line that
goes through the origin.
I'll draw it in R2, but this
can be extended to an
arbitrary Rn.
Let me draw my axes.
Those are my axes right there,
not perfectly drawn, but you
get the idea.
Let me draw a line that goes
through the origin here.
So that is my line there.
And we know that a line in any
Rn-- we're doing it in R2--
can be defined as just all of
the possible scalar multiples
of some vector.
So let's say that this is
some vector right here
that's on the line.
We can define our line.
We could say l is equal to
the set of all the scalar
multiples-- let's say that
that is v, right there.
So it's all the possible scalar
multiples of our vector
v where the scalar multiples,
by definition, are just any
real number.
So obviously, if you take all
of the possible multiples of
v, both positive multiples and
negative multiples, and less

Spanish: 
Digamos que tengo una línea que pasa por el origen.
La voy a dibujar como R2, pero ésta se puede extender hasta
un punto arbitrario Rn.
Déjame dibujar los ejes.
Esos de ahí son mis ejes, no están dibujados perfectamente,
pero entiendes la idea.
Déjame dibujar una línea que atraviesa el origen aquí.
Pues ahí esa es mi línea.
Y sabemos que una línea en cualquier Rn--la estamos haciendo en R2--
se puede definir simplemente como todos los posibles múltiplos escalares
de algún vector.
Pues digamos que este de aquí es algún vector
que estå en la línea.
Podemos definir nuestra línea.
Podríamos decir que I es igual al conjunto de todos los
múltiplos escalares-- digamos que eso aquí es v.
Así que son todos los posibles múltiplos escalares de nuestro vector
v donde los múltiplos escalares, por definición, son simplemente cualquier
número real.
Así que obviamente, si tomas todos los posibles múltiplos escalares de
v, tanto los multiplos positivos como los negativos, y múltiplos menores

Serbian: 
Hajde da nacrtamo liniju koja ide

Thai: 
สมมุติว่าผมมีเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด
ผมจะวาดมันใน R2 นะ, แต่นี่สามารถขยายไป
ถึง Rn ใดๆ ได้
ขอผมวาดแกนนะ
พวกนี้คือแกนของผมตรงนี้, วาดไม่ดีนัก, แต่คุณ
คงพอเข้าใจ
ขอผมวาดเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิดตรงนี้
นั่นคือแกนของผมตรงนี้
และเรารู้ว่าเส้นตรงใดๆ ใน Rn -- เรากำลังทำใน R2 --
สามารถนิยามว่าเป็นการคูณสเกลาร์ใดๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
กับเวกเตอร์ตัวหนึ่ง
สมมุติว่านี่คือเวกเตอร์ตรงนี้
ที่่อยู่บนเส้นตรง
เราสามารถนิยามเส้นตรงเราได้
เราบอกได้ว่า l เท่ากับเซตของผลคูณสเกลาร์
ใดๆ -- สมมุติว่านั่นคือ v, ตรงนี้
มันก็คือผลคูณสเกลาร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์เรา
v โดยที่ผลคูณสเกลาร์นั้น, โดยนิยามแล้ว, ก็แค่
จำนวนจริงใดๆ
แน่นอน, ถ้าคุณหาผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ของ v, ทั้งผลคูณแบบบวกและลบ,

Czech: 
Mějme přímku
procházející počátkem.
Budu ji kreslit v rovině (R2),
ale platí to pro prostory
s libovolně mnoha rozměry (Rn).
Nakreslím teď souřadnicové osy...
tady jsou, ne úplně přesné,
ale snad to tak postačí.
Teď nakreslím naši přímku
procházející počátkem.
Tohle je ona.
Víme, že každá přímka v každém Rn
(kreslíme v R2)
může být definována
jako množina
všech skalárních násobků
nějakého vhodného vektoru.
Nakreslíme si tedy
takový vektor,
na té přímce.
Můžeme ji teď definovat.
Můžeme říct, že ‚L‘ je rovna
množině všech
skalárních násobků vektoru...
řekněme, že vektoru ‚v‘.
Jsou to tedy všechny možné skalární
násobky našeho vektoru ‚v‘,
kde ty skalární násobky jsou,
z definice,
prostě libovolná reálná čísla.
Takže, zřejmě, když vezmete všechny
možné násobky ‚v‘,
jak kladné násobky, tak ty záporné,

Korean: 
 
원점을 지나는 직선이 
하나 있다고 해보죠
직선을 평면 R²에 그려봅시다
그러나 R² 뿐만 아니라
임의의 Rⁿ 공간으로도
확장될 수 있습니다
축을 하나 그려보죠
이렇게 그린 좌표축을 보고
무엇을 할 지 알 것입니다
원점을 지나는 직선을 그려보죠
그린 직선이 여기 있겠죠?
R²에 있다고 생각했던
어떤 Rⁿ에 있는 직선이
벡터의 스칼라배로 표현된다는
것을 알 수 있습니다
벡터의 스칼라배로 표현된다는
것을 알 수 있습니다
직선 위의 한 벡터를 생각해봅시다
직선 위의 한 벡터를 생각해봅시다
이 직선을 정의할 수 있죠
직선 L이 모든 스칼라곱의 집합과 
같다고 말할 수 있죠
이 벡터를 v라고 합시다
따라서 이것은 벡터 v의 가능한
모든 스칼라곱을 나타냅니다
스칼라는 정의에 의해서
실수입니다
만약 v에
양의 배수, 음의 배수, 그리고

Portuguese: 
Digamos que tenha uma linha
que passa pela origem,
irei desenhar no R2, 
mas isto pode ser estendido
para um Rn arbitrário.
--Vou desenhar meus eixos--
Estes são meus eixos,
não estão perfeitamente desenhados
mas você entende a ideia.
Vou desenhar uma linha
que passa pela origem aqui.
Então aí está minha linha.
E sabemos que uma linha em qualquer
Rn -- estamos fazendo em R2 --
pode ser definida como,
todos os escalares múltiplos
de algum vetor.
Então digamos que este é um vetor
que está na linha.
Nós podemos definir nossa linha.
Podemos dizer que L é igual ao conjunto
de todos os esclares múltiplos
-- digamos que aquilo é v bem ali.
Então são todos os possíveis
escalares múltiplos de nosso vertor v,
onde os escalares múltiplos
são por definição,
qualquer número real.
Então obviamente, se você pegar todos
os possíveis múltiplos de v,
ambos múltiplos positivos e negativos,

Korean: 
1보다 작은 수, 분수를 곱한다면
원점을 지나는 직선의 모든 점을
정의하거나 지칭하는 벡터의 집합을
얻을 수 있습니다
물론 그 직선이 원점을
지나지 않게 하려면
당신은 몇 가지 벡터로 직선을
바꾸는 과정을 거쳐야 합니다
즉 cv에 다른 벡터가 더해져야겠죠
어쨌든 원점을 지나는 이 직선에서
시작합니다
어쨌든 원점을 지나는 이 직선에서
시작합니다
오늘 강의에서 중요한 것은
벡터 x의 직선 L로의 정사영을
정의하는 것입니다
그럼 벡터 x를 그려보겠습니다
이것을 벡터 x라고 해봅시다
이제 정사영에 대한 감각을 알려드리죠
그 후 정사영을
더 정확히 정의할 것입니다
직선에 대해 수직으로 비추는
빛이 있다고 상상해 봅시다
그 빛이 이런 식으로 비추고 있고

English: 
than 1 multiples, fraction
multiples, you'll have a set
of vectors that will essentially
define or specify
every point on that line that
goes through the origin.
And we know, of course, if this
wasn't a line that went
through the origin,
you would have to
shift it by some vector.
It would have to be some
other vector plus cv.
But anyway, we're starting off
with this line definition that
goes through the origin.
What I want to do in this video
is to define the idea of
a projection onto l of
some other vector x.
So let me draw my
other vector x.
Let's say that this right here
is my other vector x.
Now, a projection, I'm going
to give you just a sense of
it, and then we'll define it a
little bit more precisely.
A projection, I always imagine,
is if you had some
light source that were
perpendicular somehow or
orthogonal to our line-- so
let's say our light source was

Estonian: 
vähem kui 1 korrutise, murdarvulised korrutised, siis on sul
vektor, mis põhiliselt saab defineerida või
spetsifitseerida iga punkti kohta sellel joonel, mis läbib nullkohta.
Ja me teame, et kui see joon ei läbiks nullkohta
,siis peaksime me
teostama lükke vektoriga.
See peab olema mingi teine vektor + cv
Igatahes me alustame selle joone definitsioonist,
mis läbib nullkohta.
See, mida ma tahan teha selles videos, on defineerida idee
projektsioonist L-i, mingist vektorist x.
Ma joonistan siia uue vektori x.
Ütleme, et see siin on minu uus vektor x.
Nüüd projektsioon, ma annan mingise aimduse
sellest ja seejärel defineerima ma selle veidi täpsemalt.
Projektsiooni kujutan ma ette nii, et
kui sul on mingi valgusallikas, mis on risti või
ortogonaalne meie joonega, ütleme et see valgusallikas paistab

Chinese: 
抑或是少於1的乘數 分數乘數
就會得到一個向量的集合
它確定了
一條過原點的直線上的每一點
並且我們知道
如果這條直線
不經過原點
你就必須 用一個向量來平移它
它會被表示爲另外的一個向量加上向量cv
不管怎麽
我們從這條
經過原點的直線開始說
在這個影片中
我想定義
向量x在直線l上投影的概念
那麽我先畫出向量x
假設這個向量
就是向量x
那麽 投影
我先給你一種對於它的直觀印象
然後我們再來
用更嚴謹的方式定義它
投影 我總是想象
如果有個光源
垂直於或者說
正交於直線――
假設光源
這樣照下來

Chinese: 
抑或是小于1的乘数 分数乘数
就会得到一个向量的集合
它确定了
一条过原点的直线上的每一点
并且我们知道
如果这条直线
不经过原点
你就必须 用一个向量来平移它
它会被表示为另外的一个向量加上向量cv
不管怎么
我们从这条
经过原点的直线开始说
在这个视频中
我想定义
向量x在直线l上投影的概念
那么我先画出向量x
假设这个向量
就是向量x
那么 投影
我先给你一种对于它的直观印象
然后我们再来
用更严谨的方式定义它
投影 我总是想象
如果有个光源
垂直于或者说
正交于直线――
假设光源
这样照下来

Portuguese: 
e múltiplos menores que um, 
múltiplos fracionários,
você terá um conjunto de vetores
que essencialmente irão
definir, ou especificar todos os pontos
daquela linha que passa pela origem.
E sabemos, com certeza, que se
esta não fosse uma linha que
passa pela origem, teríamos que
deslocá-la por algum vetor mais cv.
Mas de qualquer forma, estamos
começando com essa definição
de linha que passa pela origem.
O que quero fazer neste vídeo
é definir a ideia de uma projeção
em L de algum outro vetor x.
Então vou desenhar meu outro vetor x.
Digamos que este aqui
seja meu outro vetor x.
Agora, uma projeção, vou 
lhe dar apenas uma noção
e definiremos um pouco
mais precisamente.
Uma projeção, eu sempre imaginei,
como se você tivesse uma fonte de luz
perpendicular ou de alguma forma
ortogonal a nossa linha
-- então digamos que nossa luz
estivesse brilhando desta forma

Thai: 
น้อยกว่า 1 เท่า, เศษส่วน, คุณจะได้เซต
ของเวกเตอร์ที่กำหนดหรือระบุ
จุดทุกจุดบนเส้นตรงนั้นที่ลากผ่านจุดกำเนิด
และแน่นอน, เรารู้ว่าถ้านี่ไม่ใช่เส้นตรงที่
ลากผ่านจุดกำเนิด, คุณต้อง
เลื่อนไปด้วยเวกเตอร์ตัวหนึ่ง
มันต้องเป็นเวกเตอร์อีกตัว บวก cv
แต่เอาล่ะ, เราเริ่มด้วยนิยามเส้นตรงนี้
ว่าผ่านจุดกำเนิด
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ คือนิยามแนวคิด
เรื่องโปรเจคชันลงบน L บนเวกเตอร์ x อีกตัว
ขอผมวาดเวกเตอร์ x อีกตัวนะ
สมมุติว่าเจ้านี่ตรงนี้คือเวกเตอร์ x อีกตัวหนึ่ง
ทีนี้, โปรเจคชัน, ผมจะให้คุณพอเข้าใจ
แล้วเราค่อยนิยามมันให้ชัดเจนอีกที
โปรเจคชัน, ผมจินตนาการได้เสมอ, ว่าถ้าคุณมี
แหล่งกำเนิดแสงที่ตั้งฉากหรือ
orthogonal กับเส้นตรงคุณ -- สมมุติว่าแหล่งกำเนิดแสง

Czech: 
ty menší než 1, také neceločíselné,
pak budete mít množinu
vektorů, která bude v zásadě
definovat nebo určovat
každý bod přímky
procházející počátkem.
A víme, samozřejmě, že
kdyby to nebyla přímka
procházející počátkem,
museli bychom ji
posunout nějakým vektorem.
Musel by to být nějaký další
vektor plus cv.
Ale teď máme přímku,
která počátkem prochází.
Co bych v tomto videu rád
ukázal, je pojem
projekce na ‚L‘ z nějakého
jiného vektoru ‚x‘.
Nakresleme si tedy takový
vektor ‚x‘.
To je on.
Nejdřív bych vám rád předal
představu toho, co projekce znamená.
Přesně si ji zadefinujeme
až za chvíli.
Já si ji vždy představuji
jako zdroj světla,
který mi z kolmého směru
září na přímku,

Spanish: 
que 1, fracciones de múltiplos, tendrías un conjunto
de vectores que esencialmente definen o especifican
cada punto sobre esa línea que atraviese el punto de origen.
Y sabemos que, por supuesto, si ésto no fuese una línea que atravesara
el origen, tendrías que trasladarla
por algún vector.
Tendría que ser algún otro vector más cv.
Pero de todas maneras, comenzamos con esta definición de la
línea que atraviesa el punto de origen.
Lo que deseo haver en este vídeo es definir la idea de
una proyección hacia L de algún otro vector x.
Permíteme dibujar mi otro vector x.
Digamos que esto de aquí mismo es mi otro vector x.
Ahora, una proyección, de la cual voy a darte sólo una
idea, y luego la definiremos con un poco de mayor precisión.
Una proyección, siempre imagino, es que si tuvieras
una fuente de luz que fuese como que perpendicular u
ortogonal a nuestra línea-- pues digamos que nuestra fuente de luz estuviese

English: 
shining down like this, and
I'm doing that direction
because that is perpendicular
to my line, I imagine the
projection of x onto this line
as kind of the shadow of x.
So if this light was coming
down, I would just draw a
perpendicular like that, and the
shadow of x onto l would
be that vector right there.
So we can view it as the shadow
of x on our line l.
That's one way to think of it.
Another way to think of it,
and you can think of it
however you like, is how much of
x goes in the l direction?
So the technique would
be the same.
You would draw a perpendicular
from x to l, and you say, OK
then how much of l would have to
go in that direction to get
to my perpendicular?
Either of those are how I
think of the idea of a
projection.
I think the shadow is part of
the motivation for why it's
even called a projection,
right?
When you project something,
you're beaming light and
seeing where the light
hits on a wall, and
you're doing that here.

Chinese: 
我按这个方向画是因为
这样是垂直于直线的
我想象x在这条直线上的投影
类似x的影子
因此如果光照射过来
我就会作一条垂线
那么x在l上的影子
将会是这个向量
因此可以把它看作直线l上x的影子
这是一种理解方式
另一种理解方式
你可以选择你喜欢的方式去理解
另一种方式就是 理解为x在l方向上的运动
最后求投影的方法是一样的
你要从x向l引一条垂线
然后想
我需要在l方向上运动多远
才能得到这条垂线呢？
以上都是我理解
投影概念的方法
我认为“影子”的理解是
它被称作投影的原因之一 对吧？
当你投影某样事物的时候
你向它照射灯光
看看光与墙的交点
这里你所做的事情是一样的

Spanish: 
brillando así hacia abajo, y lo estoy haciendo en esa dirección
porque eso queda perpendicular a mi línea, imagino la
proyección de x hasta esta línea como la sombra de x.
Así que si esta luz bajara, sólo dibujaría así una
perpendicular, y la sombra de x sobre I sería
el ese vector de aquí mismo.
Así que podemos visualizarlo como la sombra de x sobre nuestra línea I.
Esa es una manera de verlo.
Otra manera de verlo, y puedes pensar en ello
como desees, es ¿cuánto de x va en la dirección I?
Así que la técnica sería la misma.
Dibujarías una forma x perpendicular a I, y dices, ok
Entonces ¿cuánto de I tendría que ir en esa dirección para
llegar a mi perpendicular?
Cualquiera de esas es como yo visualizo el concepto
de una proyección.
Pienso que la sombra es parte de lo que motivo a que
le llamaran una proyección ¿cierto?
Cuando proyectas algo, estás radiando luz y
viendo donde la luz cae en una pared, y
estás haciendo eso aquí.

Estonian: 
maha niimoodi, ja ma teen selle valgusallika selles suunas,
sest see on risti minu joonega. ma kujutan ette,
et see projektsioon x-ist sellel joonel on mingisugune vari vektorist x.
Seega, kui see valgus tuleb maha, ma joonistan lihtsalt
niimoodi risti, ja x-i vari joonele I
on see vektor siin.
Seega saame vaadelda seda, kui x-i varju joonel I.
See on üks võimalus, kuidas sellele mõelda.
Teine võimalus on, ja sul on neid viise mõtlemiseks väga palju -
on selline, et mõelda kui palju x liigub I suunas.
Tehnika on mbes sama.
Tuleb joonistada risti olev vorm x-ist I-le, ja siis tuleb küsimus, et
kui palju tuleb liikuda selles suunas, et saada
see risti olev kujutis.
See on minu arust parim idee kuidas mõelda
projektsioonist.
Ma arvan, et vari on üks põhjuseid, miks
seda kutsutakse projektsiooniks.
Kui sa projitseerid midagi, siis sa näitad valgust ja
näed, kuhu see valgus maandub seinal, ja
sama teed sa siin.

Czech: 
na kterou promítám.
Ten směr jsem vybral jako kolmý,
projekci ‚x‘ si představuji jako stín ‚x‘.
Takže kdyby světlo svítilo
z tohoto směru,
nakreslil bych kolmici takto,
a stín ‚x‘ by byl
takovýto vektor.
Takže o tom můžeme přemýšlet jako
o stínu ‚x‘ na přímce ‚L‘.
Je to jedna z možných představ.
Můžete si představovat jak chcete,
můžete se třeba ptát,
kolik z ‚x‘ jde ve směru ‚L‘?
Technicky by to vypadalo stejně.
Nakreslili byste kolmici z ‚x‘ do ‚L‘,
a ptali se:
"Jak daleko musím jít, abych se dostal
k té kolmici?"
Když přemýšlím nad projekcí,
přemýšlím nad ní oběma způsoby.
Ta představa stínu je asi důvod,
proč se projekci říká projekce, ne?
Když promítáte, svítíte na něco světlem,
a koukáte na obraz dopadající na stěnu.

Chinese: 
我按這個方向畫是因爲
這樣是垂直於直線的
我想象x在這條直線上的投影
類似x的影子
因此如果光照射過來
我就會作一條垂直線
那麽x在l上的影子
將會是這個向量
因此可以把它看作直線l上x的影子
這是一種理解方式
另一種理解方式
你可以選擇你喜歡的方式去理解
另一種方式就是 理解爲x在l方向上的運動
最後求投影的方法是一樣的
你要從x向l引一條垂直線
然後想
我需要在l方向上運動多遠
才能得到這條垂直線呢？
以上都是我理解
投影概念的方法
我認爲“影子”的理解是
它被稱作投影的原因之一 對吧？
當你投影某樣事物的時候
你向它照射燈光
看看光與牆的交點
這裡你所做的事情是一樣的

Portuguese: 
estou fazendo nesta direção porque 
é perpendicular a minha linha.
Eu imagino a projeção de x nesta linha
como se fosse a sombra de x.
Então se essa luz estivesse
vindo para baixo,
apenas desenharia uma perpendicular assim,
e a sombra de x sobre L seria
aquele vetor bem ali.
Então podemos vê-lo como a
sombra de x na nossa linha L.
Esta é um jeito de pensar.
Outro jeito de pensar nisto,
e você pode pensar da forma que quiser,
é, quanto de x vai na direção de L?
Então a técnica seria a mesma.
Você desenha uma perpendicular
de x a L, e diz, "OK",
então quanto tenho que ir
naquela direção para
obter minha perpendicular?
Ambas são as formas como
eu penso na ideia de uma projeção.
Creio que a sombra é parte da motivação
para ser chamado de projeção, correto?
Quando você projeta alguma coisa,
você meio que emite luz
e vê onde a luz bate na parede,
e você está fazendo isto.

Thai: 
ฉายลงมาแบบนี้, และผมทำตามทิศนั้น
เพราะมันตั้งฉากกับเส้นตรงผม, ผมจินตนาการ
โปรเจคชันของ x ลงบนเส้นตรงนี้ ว่าเป็นเหมือนเงาของ x
แล้วถ้าแสงนี่ลงมา, ผมก็วาด
มันตั้งฉากแบบนั้น, และเงาของ x ลงบน l
จะเป็นเวกเตอร์นั่นตรงนั้น
เราจึงสามารถมองมันเป็นเงาของ x ลงบนเส้นตรง l
นั่นคือวิธีคิดอย่างหนึ่ง
วิธีคิดอีกอย่างหนึ่ง, และคุณคิด
ยังไงก็ได้, คือว่า x ไปตามทิศ l เท่าไหร่?
เทคนิคก็เหมือนเดิม
คุณวาดเส้นตั้งฉากจาก x ถึง l, แล้วคุณบอกว่า, โอเค
ฉันต้องไปในทิศนั้นเท่าไหร่ถึงจะ
ไปถึงเส้นตั้งฉาก?
ไม่ว่าผมจะคิดเรืองโปรเจคชัน
แบบไหนก็ตาม
ผมว่าเงาเป็น แรงจูงใจอย่างหนึ่ง ที่ทำไม
มันถึงเรียกว่าโปรเจคชัน, จริงไหม?
เวลาคุณฉายอะไรสักอย่าง, คุณฉายแสง,
แล้วดูว่าแสงกระทบกำแพงตรงไหน, และ
คุณกำลังทำอยู่ตรงนี้

Korean: 
빛이 L과 직교하므로
L에 정사영한 x를
x의 그림자로 생각할 수 있겠죠
그래서 만약 빛이 비춰지면
L에 놓인 x의 그림자를
이렇게 빛과 직교하게 그리고
이 그림자는 여기 있는
벡터가 되겠죠
요약하면 이것을 L에 정사영한 
x의 그림자로 볼 수 있다는 겁니다
이런 방식으로 생각할 수 있습니다
다른 방식으로는
x가 L의 방향으로 얼마만큼 이동했는지 
생각해볼 수 있습니다
결국 하는 방식은 똑같습니다
x에서 L로 수선을 그렸다고 하면
수선의 발에 닿기 위해
x가 얼마나 움직였을까요?
이 두 가지 모두 정사영이라는 
개념을 생각하는 방법입니다
이 두 가지 모두 정사영이라는 
개념을 생각하는 방법입니다
그림자는 정사영으로도 불리게 된
계기의 일부라고 생각합니다
그쵸?
어떤 것을 정사영할 때
광선이 도달한 곳을 보고 있겠죠
여기서 정사영하고 있습니다

Spanish: 
Estás radiando luz y estás viendo dónde esa luz
cae en una línea en este caso
Pero no puedes hacer nada con esta deficición.
Eso es sólo un sentido intuitivo de lo que
es una proyección.
Así que necesitamos descifrar alguna forma de calcularlo, o
una definición más precisa matemáticamente.
Y una cosa que podemos hacer es, cuando cree esta
proyección--déjame en efecto dibujar otra proyección de
otra línea u otro vector sólo para que captes la idea.
Si tuviera algún otro vector por allá que se viera
así, su proyección sobre la línea se vería
algo como esto.
Sólo dibujarías una perpendicular y su
proyección sería como eso.
Pero no quiero hablar de este caso solamente.
Quiero que te haga sentido de que es la sombra de cualquier
vector sobre esta línea.
Así que ¿cómo podemos pensar en ello según nuestro ejemplo original?
En todos los casos, no importa como yo lo perciba, tiré una
perpendicular aquí abajo.
Y pues si construimos aquí mismo un vector, podríamos
decir, oye, ese vector siempre va a estar
perpendicular a la línea.
Y eso lo podemos hacer.
No huebiese estado hablando de esto si no lo pudiesemos hacer.
Así que déjame definir este vector, el cual aún
no he definido.

Chinese: 
你投射一束光
并观察这束光 与这条直线的交点
但是这么定义 你没法往下进行
这只是对投影的一种
直观理解
我们需要一种计算它的方法
或者说一个数学上更为严谨的定义
而我们能做的是
当我画出这个投影的时候――
我另外画一个投影吧
换一条直线或者另一个向量
这样比较好理解
如果这里有另外一个向量
看起来像这样
它到这条直线上的投影
将会像这样
你只需要作一条垂线
它的投影看起来应该是这样
但我不是要单独讨论这一种情况
我想给你一种感觉
它是任意向量在这条直线上的影子
那么原来的这个例子呢？
不管我如何理解投影的概念
我都会从它向直线引一条垂线
因此如果我们在这儿构造一个向量
我们会发现
这个向量
总是与直线垂直
这个向量是可以得到的
如果不能的话 我就不会讨论这个问题了
那么我先来定义这个向量
之前还没有定义过

Estonian: 
Sa näitad valgust ja näed, kuhu see valgus paistab
sellel juhul sellele joonele
Kuid selle definitsiooniga pole võimalik kõike teha.
See on lihtsalt intiutiivne mõte, kuidas
projektsioon välja näeb.
Seega ma peame mõtleme viisi, kuidas seda arvutada
või leida matemaatiliselt täpsem definitsioon.
Üks asi, mida me teha saame, on see, kui ma
tegin selle proektsiooni - las ma joonistan uue projektsiooni
uuest vektorist, et seda paremini selgitada.
Kui mul on uus vektor, mis näeb välja
selline, siis projektsioon sellest sellele joonele näeb
välja midagi sellist.
Sa pead selle joonistama lihtsalt risti ja
selle projektsioon tuleb selline.
Kuid ma ei taha rääkida vaid sellest juhtumist.
Tahan anda mõtte, et see on vari
mis tahes vektorist sellel joonel.
Seega kuidas sellele mõelda ilma meie esialgse näite põhjal.
Suvalisel juhtumil, pole vahet kuidas seda tajuda, joonistan ma
selle risti siia.
Ja kui ma joonistan vektori siia,
siis näeme, et see vektor läheb
alati risti selle joonega.
Ja seda saame me teha.
Ma poleks sellest rääkinud, kui see poleks vajalik olnud.
Ma defineerin selle vektori, mida ma
ei ole veel defineerinud.

Czech: 
V tomto případě promítáte světlo
na přímku.
S takovou definicí ale nemůžeme
nikam pokračovat.
Je to jen intuitivní představa projekce.
Musíme přijít na způsob,
jak projekci počítat,
jak ji definovat matematicky.
Můžeme udělat následující věc.
Pojďme nakreslit další projekci
nějakého dalšího vektoru,
ať máte představu.
Kdybych tu měl nějaký další vektor,
jeho projekce na přímku by
vypadala nějak takto.
Spustili byste kolmici a projekce
by bylo toto.
Jenže já nechci mluvit
jen o tomto případu.
Chtěl bych vám předat představu
o stínu každého vektoru na této přímce.
Jak bychom o tom mohli přemýšlet
v původním příkladu?
V každém případě, nezávisle na tom,
jak to vypadá,
jsem spouštěl kolmici.
Takže když nakreslíme vektor tady,
může říci, hej, ten vektor
bude na tu přímku vždy kolmý.
Takže si zadefinujme tento vektor,
to jsme ještě neudělali.

Chinese: 
你投射一束光
並觀察這束光 與這條直線的交點
但是這麽定義 你沒法往下進行
這只是對投影的一種
直觀理解
我們需要一種計算它的方法
或者說一個數學上更爲嚴謹的定義
而我們能做的是
當我畫出這個投影的時候――
我另外畫一個投影吧
換一條直線或者另一個向量
這樣比較好理解
如果這裡有另外一個向量
看起來像這樣
它到這條直線上的投影
將會像這樣
你只需要作一條垂直線
它的投影看起來應該是這樣
但我不是要單獨討論這一種情況
我想給你一種感覺
它是任意向量在這條直線上的影子
那麽原來的這個例子呢？
不管我如何理解投影的概念
我都會從它向直線引一條垂直線
因此如果我們在這兒構造一個向量
我們會發現
這個向量
總是與直線垂直
這個向量是可以得到的
如果不能的話 我就不會討論這個問題了
那麽我先來定義這個向量
之前還沒有定義過

Portuguese: 
Você está emitindo luz e está vendo
onde a luz bate na linha neste caso.
Mas você nao pode fazer
nada com esta definição.
E isto é como uma noção intuitiva
do que uma projeção é.
Precisamos achar
um jeito de calcular isto
ou de uma definição matematicamente
mais precisa.
E uma coisa que podemos fazer é,
quando eu crio esta projeção
-- vou desenhar de fato 
outra projeção de um vetor
apenas para você pegar a ideia.
Se tivesse outro vetor aqui, 
que fosse dessa forma,
a projeção disto sobre a linha
se pareceria com isso.
Apenas desenhe uma perpendicular,
e sua projeção seria assim.
Mas não quero falar apenas deste caso.
Quero lhe dar uma noção do que é
a sombra de qualquer vetor nesta linha.
Então como podemos pensar sobre
isto no nosso exemplo original?
Em todos os casos, 
não importa como o percebi,
eu delimitei uma perpendicular aqui.
E então, se pudermos
construir um vetor bem ali,
podemos dizer,
"ei, aquele vetor será sempre
perpendicular a linha".
E podemos fazer isto.
Eu não estaria falando sobre 
isto se não pudéssemos
Então me deixe definir este vetor,
que eu nem defini ainda.

Thai: 
คุณฉายแสงอยู่ แล้วดูว่าแสงนั่น
กระทบเส้นตรงในกรณีนี้
แต่คุณทำอะไรไม่ได้ถ้าใช้นิยามนี้
นี่เป็นแค่แนวคิดสัญชาตญาณว่า
โปรเจคชันคืออะไร
เราต้องหาวิธีในการคำนวณอันนี้, หรือ
นิยามที่แม่นยำในเชิงคณิตศาสตร์กว่านี้
และสิ่งหนึ่งที่เราทำได้คือว่า, เมื่อผมสร้าง
โปรเจคชันนี้ขึ้นมา -- ขอผมวาดโปรเจคชันของ
เส้นตรงอีกเส้น หรือเวกเตอร์อีกอัน คุณจะได้เข้าใจนะ
ถ้าผมมีเวกเตอร์อีกตัวตรงนี้ที่เป็นแบบ
นั้น, โปรเจคชันของเส้นนี้ จะออกมา
เป็นแบบนี้
คุณก็แค่วาดเส้นตั้งฉาก แล้ว
โปรเจคชันของมันจะเป็นแบบนั้น
แต่ผมไม่อยากพูดถึงแค่ในกรณีนี้
ผมอยากให้คุณเข้าใจว่ามันคือเงาของ
เวกเตอร์ใดๆ บนเส้นตรงนี้
แล้วเราจะคิดถึงมันอย่างไรในตัวอย่างเดิมของเรา?
ในกรณีใดๆ, ไม่ว่าผมจะมองมันอย่างไร, ผมจะ
ลากเส้นตั้งฉากลงไปตรงนี้
แล้วถ้าเราสร้างเวกเตอร์ตรงนี้, เราจะ
บอกว่า, เฮ้, เวกเตอร์นั้นจะ
ตั้งฉากกับเส้นตรงเสมอ
และเราทำมันได้
ผมไม่พูดถึงมันหรอกถ้าเราทำไม่ได้
ขอผมนิยามเวกเตอร์นี้ก่อน, ผมยัง
ไม่ได้นิยามมันเลย

English: 
You're beaming light and you're
seeing where that light
hits on a line in this case.
But you can't do anything
with this definition.
This is just kind of an
intuitive sense of what a
projection is.
So we need to figure out some
way to calculate this, or a
more mathematically precise
definition.
And one thing we can do is,
when I created this
projection-- let me actually
draw another projection of
another line or another vector
just so you get the idea.
If I had some other vector over
here that looked like
that, the projection of this
onto the line would look
something like this.
You would just draw a
perpendicular and its
projection would be like that.
But I don't want to talk
about just this case.
I want to give you the sense
that it's the shadow of any
vector onto this line.
So how can we think about it
with our original example?
In every case, no matter how
I perceive it, I dropped a
perpendicular down here.
And so if we construct a vector
right here, we could
say, hey, that vector is
always going to be
perpendicular to the line.
And we can do that.
I wouldn't have been talking
about it if we couldn't.
So let me define this vector,
which I've not
even defined it.

Korean: 
이 경우에서는 빛을 쏘면
이 직선에 도달하겠죠
그러나 이 정의와 관련된
어떤 것도 할 수 없습니다
이건 정사영이 무엇인가에 관한
직감일 뿐이니까요
그래서 이것을 계산할 방법을
이해할 필요가 있죠
즉, 수학적으로 정확한 정의를
내려야 합니다
할 수 있는 것은 
이 정사영을 만들 때
또 다른 정사영의 또 다른 직선이나
또 다른 벡터를 그려보는 것입니다
만약 여기에 다른 벡터가 있다면
이에 대한 정사영은
이렇게 그려질 것입니다
수선을 그리면
그 정사영은 이렇게 되죠
그러나 이 경우만을 다루고
싶지는 않습니다
이 직선에 있는 어떤 벡터의
그림자에 대해
제대로 이해했으면 좋겠습니다
기존 예제로
어떻게 생각할 수 있을까요?
모든 경우에서 어떻게 되든지
수선을 여기에 내렸습니다
만약 여기에 벡터를 만든다면
이렇게 말할 수 있습니다
그 벡터는 항상 이 직선에
수직일 것입니다
그리고 그것을 할 수 있죠
할 수 없는 것들은
말하지 않을 것입니다
그럼 정의하지 않았던
이 벡터를 정의해볼까요

Czech: 
Jaký to je vektor?
Označme si pro pořádek
různé vektory barvami.
Chceme získat definici
modrého vektoru.
Modrý vektor je
kýžená projekce ‚x‘ na ‚L‘.
K jejímu získání nám může pomoci
tento růžový vektor.
Takže, jaký je růžový vektor?
Růžový vektor, který jsem právě nakreslil,
je prostě ‚x‘ minus projekce,
tj. ‚x‘ minus ten modrý vektor, ne?
Přidáte-li projekci k růžovému
vektoru, dostanete ‚x‘.
Takže když přidáte modrou
proj(x) k ‚x‘ bez proj(x),
tak samozřejmě dostanete ‚x‘.
Dále víme, že je růžový vektor
kolmý na přímku samotnou,
takže je kolmý ke každému
vektoru na přímce,
takže je skalární součin nula.

Korean: 
이 벡터는 무엇이 될까요?
방금 했던 것과 다른 관점에서
설명해 드리겠습니다
 
우리는 어떻게든 파란 벡터에
도달해야 해요
이 파란 벡터를 보죠
이 파란 벡터는
직선 L에 대한 x의 정사영입니다
이게 얻어야 할 것이죠
그럼 여기 있는
분홍 벡터를 보죠
분홍 벡터는 뭘까요?
이 분홍 벡터는 그냥 그렸던 벡터 x에
이 파란 벡터를 뺀 것입니다
즉, L에 대한 x의 정사영을 뺀 것이죠
만약 분홍 벡터에 파란 벡터를 더하면
x를 얻겠죠
그래서 만약 x의 파란 정사영에
x에 x의 정사영을 뺀 것을 더하면
당연하게도 x가 나오는 것입니다
이 분홍 벡터가 직선에
수직이라는 것은
직선 상에 있는 모든 벡터에
수직이라는 것을 의미합니다
또한 둘의 내적이
0이라는 것을 의미하죠

Portuguese: 
O que será este vetor?
Se este vetor
-- não vou usar isto tudo --
Sabemos que queremos de alguma
forma chegar neste vetor azul.
-- Vou deixar em azul --
Aquele vetor azul é
a projeção de x em L.
É nisto que queremos chegar.
Agora uma coisa que podemos ver
é aquele vetor rosa bem ali
O que é aquele vetor rosa?
Este vetor rosa que desenhei,
é o vetor x menos a projeção,
menos o vetor azul bem aqui,
menos a projeção de x em L, certo?
Se você somar a projeção
ao vetor rosa, você terá x.
Então se você somar esta projeção de x,
a x menos a projeção de x,
é claro que você terá x.
E sabemos também que este vetor rosa
é ortogonal a própria linha,
o que significa ser ortogonal
a todo vetor que está na linha,
o que significa também que o 
produto escalar será zero.

English: 
What is this vector
going to be?
If this vector-- let me
not use all these.
We know we want to somehow
get to this blue vector.
Let me keep it in blue.
That blue vector is the
projection of x onto l.
That's what we want to get to.
Now, one thing we can
look at is this pink
vector right there.
What is that pink vector?
That pink vector that I just
drew, that's the vector x
minus the projection, minus this
blue vector over here,
minus the projection
of x onto l, right?
If you add the projection to
the pink vector, you get x.
So if you add this blue
projection of x to x minus the
projection of x, you're, of
course, you going to get x.
We also know that this pink
vector is orthogonal to the
line itself, which means it's
orthogonal to every vector on
the line, which also means that
its dot product is going
to be zero.

Thai: 
เวกเตอร์นี้จะเป็นเท่าไหร่?
ถ้าเวกเตอร์นี้ -- ขอผมไม่ใช่พวกนี้นะ
เรารู้ว่าเราอยากได้เวกเตอร์สีฟ้านี่
ขอผมใช้สีฟ้านะ
เวกเตอร์สีฟ้านั่นคือโปรเจคชันของ x ลงบน l
นั่นคือสิ่งที่เราอยากได้
ทีนี้, อย่างหนึ่งที่เราดูได้ คือเวกเตอร์
สีชมพูนี่ตรงนี้
เวกเตอร์สีชมพูคืออะไร?
เวกเตอร์สีชมพูนั่นที่ผมวาด, มันคือเวกเตอร์ x
ลบโปรเจคชัน, ลบเวกเตอร์สีฟ้านี่ตรงนี้,
ลบโปรเจคชันของ x ลงบน l, จริงไหม?
ถ้าคุณบวกโปรเจคชันกับเวกเตอร์สีชมพู, คุณจะได้ x
แล้วถ้าคุณบวกโปรเจคชันสีฟ้านี่ของ x กับ x ลบ
โปรเจคชันของ x, แน่นอน, คุณจะได้ x
เรายังรู้ว่าเวกเตอร์สีชมพูนี่ ตั้งฉากกับเส้น
ตรงเองด้วย, นั่นหมายความว่ามันตั้งฉากกับเวกเตอร์ทุกตัว
บนเส้นตรง, และหมายความว่าดอตโปรดัค
จะเท่ากับศูนย์

Estonian: 
Milline see vektor peab olema?
Kui see on vektor - ma ei hakka seda kõike kasutama.
Meil on vaja saada kuidagi see sinine vektor.
Ma jätkan sinisega.
See sinine vektor on projektsioon x-ist I-le
See on see, mida meil on vaja.
Nüüd üks asi, mida peaksime vaatama, on see
roosa vektor siin.
Mis vektor see on?
See vektor, mille ma joonistasin, see on vektor x
miinus projektsioon, miinus see sinine vektor siin,
miinus x-i projektsioon I-l, õigus?
Kui lisada se projektsioon roosale vektorile, siis saad sa x-i.
Kui see sinine projektsioon x-ist lisada
x miinus projektsioon x-ist, siis saad sa x-i
Lisaks teame, et see roosa vektor on ortogonaalne
selle joonega, mis tähendab et see on ortogonaalne iga vektoriga sellel
joonel, mis tähendab, et see punkt peab olema
null

Spanish: 
¿Qué va a ser ester vector?
Si este vector- permíteme no usar todos estos.
Sabemos que queremos de alguna manera llegar hasta este vector azul.
Permíteme dejarlo de color azul.
Ese vector azul es la proyección de x sobre I.
A eso es lo que queremos llegar.
Ahora, una cosa que podemos mirar es este
vector rosado de aquí.
¿Qué es este vector rosado?
El vector rosado que acabo de dibujar, ese es el vector x
menos la proyección, menos el vector azul de aquí,
menos la proyección de x sobre I, ¿cierto?
Si sumas la proyección al vector rosado te da x.
Así que si sumas esta proyección azul de x hasta x menos la
proyección de x, te dará, por supuesto, te dará x.
Sabemos también que este vector rosado es ortogonal a la
misma línea, que quiere decir que es ortogonal a todos los vectores en
la línea, que también quiere decir que el producto escalar de los dos vectores
va a dar cero.

Chinese: 
這個向量等於什麽呢？
如果這個向量――我們先別看這些
我們最後要求的是這個藍色的向量
還用藍色吧
這個藍色的向量是向量x在l上的投影
這是我們要求的
現在 我們可以考慮的一個東西
就是這裡的粉色向量
這個粉色向量等於什麽呢？
我剛畫的這個粉色的向量
就等於向量x 減去它的投影
減去這裡的藍色向量
也就是 減去x在l上的投影 對吧？
如果用投影加上這個粉色向量 就得到x
那麽如果你用這個藍色的x的投影
加上x減去x的投影
當然地你會得到向量x
我們還知道 這個粉色向量
正交於直線本身
因此它正交於
直線上的所有向量
也就是說它們的點積
將會是零

Chinese: 
这个向量等于什么呢？
如果这个向量――我们先别看这些
我们最后要求的是这个蓝色的向量
还用蓝色吧
这个蓝色的向量是向量x在l上的投影
这是我们要求的
现在 我们可以考虑的一个东西
就是这里的粉色向量
这个粉色向量等于什么呢？
我刚画的这个粉色的向量
就等于向量x 减去它的投影
减去这里的蓝色向量
也就是 减去x在l上的投影 对吧？
如果用投影加上这个粉色向量 就得到x
那么如果你用这个蓝色的x的投影
加上x减去x的投影
当然地你会得到向量x
我们还知道 这个粉色向量
正交于直线本身
因此它正交于
直线上的所有向量
也就是说它们的点积
将会是零

Spanish: 
Así que déjame definir la proyección de esta manera.
La prooyección, esta va a ser mi definición un poco más
matemática.
La proyección sobre I de algún vector x va a ser algún
vector que está en I ¿cierto?
Aquí mismo lo dibujé, este vector azul.
Lo delinearé en blanco aquí mismo.
Algún vector en I el cual, y esto podría ser un poco
contraintuitivo, el cual x menos la proyección del vector de x sobre I
es ortogonal a mi línea.
Así que estoy diciendo que la proyección--esta es mi definición.
Estoy definiendo la proyección de x sobre I con algún vector de I
donde x menos esa proyección es ortogonal a I.
Esta es mi definición.

Chinese: 
那么我用这种方法定义投影
投影
这会是一个
更加数学化的定义
一个向量x在l上的投影
会是l上的某个向量 对吧？
我在这里画出来了 蓝色的向量
我用白色描一描
l上的某个向量
这可能有点儿不太直观
x减去这个投影向量
将会与直线正交
也就是说 投影――
这就是我的定义
我定义x在l上的投影
为l上的某个向量
x减去这个向量将正交于l
这就是我的定义

Estonian: 
Ma defineerin selle projektsiooni nii.
Projektsioon, see on natukene rohkem, kui
matemaatiline definitsioon.
Projektsioon I-le mingist vektorist x on mingi
vektor, mis on I-l, õigus?
Ma joonistasin selle siia, see sinine vektor.
Ma märgistan selle valgega siin.
Mingi vektor I-l,
kus x miinus projektsioon vektorist I-l vektor x-st
on ortogonaalne minu joonega.
Seega projektsioon - see on mu definitsioon-
Ma defineerin projektsiooni x-ist i-le mingi vektorida I-l
kus x miinus see projektsioon on ortogonaalne I-ga.
Definitsioon:

English: 
So let me define the projection
this way.
The projection, this is going
to be my slightly more
mathematical definition.
The projection onto l of some
vector x is going to be some
vector that's in l, right?
I drew it right here,
this blue vector.
I'll trace it with
white right here.
Some vector in l where, and
this might be a little bit
unintuitive, where x minus the
projection vector onto l of x
is orthogonal to my line.
So I'm saying the projection--
this is my definition.
I'm defining the projection of x
onto l with some vector in l
where x minus that projection
is orthogonal to l.
This is my definition.

Portuguese: 
Vou definir a projeção desta forma.
A projeção,
--esta será minha definição
um pouco mais matemática --
A projeção em L de algum vetor x,
será algum vetor que está em L, certo?
Eu desenhei bem aqui,
este vetor azul.
Vou traçar em branco bem aqui.
Algum vetor em L no qual,
e isto pode não ser intuitivo,
onde x menos a projeção de x em L,
é ortogonal a minha linha.
Estou dizendo que a projeção
-- esta é minha definição.
Estou definindo a projeção de x
em L com algum vetor em L
o qual x menos aquela projeção
é ortogonal a L.
Está é minha definição.

Czech: 
Zadefinujme tedy projekci
lehce rigoróznějším způsobem:
Projekce vektoru ‚x‘ na ‚L‘ je
nějaký vektor z ‚L‘, že?
Nakreslil jsem ho, je to ten modrý.
Vyznačím ho ještě bílou.
Bude to takový vektor z ‚L‘,
teď to může být trochu neintuitivní,
pro který platí, že ‚x‘ minus onen vektor
je kolmý na přímku ‚L‘.
To je ta definice.
Definuji projekci ‚x‘ na ‚L‘
pomocí takového vektoru z ‚L‘,
že ‚x‘ minus ten vektor je kolmý na ‚L‘.
To je má definice.

Korean: 
그래서 정사영을
이렇게 정의하겠습니다
조금 더 수학적인
정의일지도 모르겠네요
벡터 x의 L에 대한 정사영은
L에 있는 벡터입니다
그렇지 않나요?
파란 벡터를 여기에 그렸고
하얀색으로 표시하겠습니다
살짝 직관적이지 않을 수 있습니다
x에서 x의 L에 대한 정사영을 뺀 것은
직선에 수직입니다
정사영을 이렇게 말할 것입니다
직선 L에 대한 x의 정사영과
x에서 정사영을 뺀 직선 L위의 벡터는
직선 L에 직교합니다
이것이 정의이죠

Chinese: 
那麽我用這種方法定義投影
投影
這會是一個
更加數學化的定義
一個向量x在l上的投影
會是l上的某個向量 對吧？
我在這裡畫出來了 藍色的向量
我用白色描一描
l上的某個向量
這可能有點兒不太直觀
x減去這個投影向量
將會與直線正交
也就是說 投影――
這就是我的定義
我定義x在l上的投影
爲l上的某個向量
x減去這個向量將正交於l
這就是我的定義

Thai: 
ขอผมนิยามโปรเจคชันแบบนี้นะ
โปรเจคชัน, นี่จะเป็นนิยามที่เป็น
คณิตศาสตร์มากกว่าเหน่อย
โปรเจคชันลงบน l ของเวกเตอร์ x จะเท่ากับ
เวกเตอร์ที่อยู่บน l, จริงไหม?
ผมวาดมันตรงนี้, เวกเตอร์สีฟ้านี่
ผมลากตามมันด้วยสีขาวตรงนี้
เวกตอร์บน l โดยที่, นี่อาจดูไม่เข้ากับ
สัญชาตญาณเท่าไหร่, โดย x ลบเวกเตอร์โปรเจคชันลงบน l ของ x
ตั้งฉากกับเส้นตรงของผม
ผมกำลังบอกว่าโปรเจคชัน -- นี่คือนิยามของผม
ผมนิยามโปรเจคชันของ x ลงบน l ด้วยเวกเตอร์บน l
โดย x ลบโปรเจคชันนั่น ตั้งฉากกับ l,
นี่คือนิยามของผม

Portuguese: 
Isto é um pouco mais preciso
e penso que faz sentido
quando conectado a ideia de
sombra ou projeção.
Mas como podemos lidar com isto?
Quer dizer, isto ainda
são só palavras.
Como posso calcular
a projeção de x em L?
Bem, a pista chave é esta noção que
x menos a projeção de x em L
é ortogonal a L.
Vejamos se podemos 
usar isto de alguma forma.
A primeira coisa que devemos perceber
é que, por definição,
porque uma projeção de x em L
é algum vetor em L,
isto siginifica que é algum
múltiplo escalar de v,
algum múltiplo escalar de nosso
vetor diretor v bem ali.
Poderíamos reescrever
nossa projeção de x em L,
como algum múltiplo escalar,
vezes nosso vetor v, certo?
Podemos dizer isto.
Isto é equivalente a nossa projeção.
Sabemos também que 
x menos nossa projeção
é ortogonal a L, então sabemos 
também que x menos nossa projeção,

Spanish: 
Eso es un poco más preciso y pienso que tiene una pizca
de sentido porqué se conecta a la idea de la proyección de una
sombra.
Pero ¿cómo podemos trabajar con esto?
Quiero decir, esto todavía está en meras palabras.
¿Cómo puedo en efecto calcular la proyección de x sobre I?
Bien, la pista clace aquí es la noción de que x menos la
proyección de x es ortogonal a I.
Pues veamos si de alguna manero podemos usar eso.
Así que la primera cosa que hay que realizar es, por definición
porque la proyección de x sobre I es algún vector en I,
eso quiere decir que es algún múltiplo escalar de v, algún
múltiplo escalar de nuestro determinado vector, de nuestra v aquí mismo.
Pues también podríamos decir, mira, podemos reescribir nuestra proyección
de x sobr I.
Podríamos escribirla como algún múltiplo escalar por nuestro
vector v ¿verdad?
Podemos decir eso.
Esto es equivalente a nuestra proyección.
Ahora, también sabemos que x menos nuestra proyección es ortogonal
a I, así que tambi´n sabemos que x menos nuestra proyección-- y

Czech: 
Je o trochu přesnější
a snad dává smysl, proč souzní
s představou stínění a promítání.
Jak s tím teď pracovat?
Pořád to jsou slova.
Jak mohu opravdu spočítat
projekci ‚x‘ na ‚L‘?
Klíčové je, že ‚x‘ minus
proj(x) je kolmé na ‚L‘.
Pojďme to využít.
První věc, kterou si musíme uvědomit
je, že z definice,
protože je projekce ‚x‘ na ‚L‘
vektor z ‚L‘,
je to nějaký skalární násobek ‚v‘,
nějaký skalární násobek
definujícího vektoru přímky ‚L‘.
Takže můžeme přepsat
"projekce ‚x‘ na ‚L‘".
Můžeme jej psát jako nějaký
skalární násobek ‚v‘, ne?
Je to ekvivalentní definice.
Další, co víme, je, že ‚x‘ minus proj(x)
je kolmé na ‚L‘,
takže také víme, že

Thai: 
มันชัดเจนขึ้นหน่อย และผมว่ามัน
เข้าใจได้ว่าทำไม มันถึงเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องเงา
หรือโปรเจคชัน
แต่เราจะจัดการกับอันนี้ยังไง?
ผมหมายความว่า, นี่ยังเป็นแค่คำพูด
เราจะคำนวณโปรเจคชันของ x ลงบน l ได้อย่างไร?
คำใบ้สำคัญอยู่ตรงแนวคิดที่ว่า x ลบ
โปรเจคชันของ x ตั้งฉากกับ l
ลองดูว่าเราจะใช้มันได้อย่างไร
อย่างแรกที่เราสังเกตคือว่า, ตามนิยามแล้ว,
เพราะโปรเจคชันของ x ลงบน l คือเวกเตอร์บน l,
นั่นหมายความว่า มันคือสเกลาร์คูณกับ v, ผลคูณ
สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนด, ของ v เราตรงนี้
เรายังบอกได้ด้วยว่า, ดูสิ, เราสามารถเขียนโปรเจคชันของ
x ลงบน l ใหม่ได้
เราสามารถเขียนมันเป็นผลคูณสเกลาร์กับ
เวกเตอร์ v ของเรา, จริงไหม?
เราบอกอย่างนั้นได้
นี่ก็เท่ากับโปรเจคชันของเรา
ทีนี้, เรายังรู้ว่า x ลบโปรเจคชันของเรา ตั้งฉาก
กับ l, เราจึงรู้ว่า x ลบโปรเจคชันของเรา -- และผม

Chinese: 
这个定义会更加严谨一些
并且我认为它 合理地解释了为什么它
跟影子或者投影的概念相关
那么我们如何来计算它呢？
我的意思是 这还是用文字表示的
我们如何确实地
计算x在l上的投影呢？
这里的关键是
x减去它的投影正交于l
那么我们看看能不能利用一下这个条件
那么我们首先要注意的是
根据定义
因为x到l上的投影是l上的一个向量
那就意味着 它是v的一个标量积
这里方向向量的标量乘积
也就是这里的v
因此我们可以说
我们可以把x在l上的投影 改写一下
可以把它表示成
向量v的一个标量积
对吧？
我们可以说
这与我们的投影是等价的
我们还知道x减去投影
是正交于l的
因此就得到x减去投影――

Korean: 
이것은 좀 더 정확하고
그림자와 정사영과의 관계를 
이해시킬 것입니다
그림자와 정사영과의 관계를 
이해시킬 것입니다
그러나 어떻게 이것을 다룰까요?
말 그대로입니다
L에 대한 x의 정사영을
어떻게 계산할 수 있을까요?
단서는
x에 x의 정사영을 뺀 벡터가
L에 수직이라는 사실입니다
그럼 이 사실을 사용했을 때 
어떻게 되는지 볼까요?
그래서 먼저 알아야 할 것은 정의상
L에 대한 x의 정사영은
L에 있는 한 벡터인 v에
어떤 실수를 곱해서
얻을 수 있기 때문에
어떤 실수를 곱해서
얻을 수 있기 때문에
L에 대한 x의 정사영을
다시 적어보는 것입니다
L에 대한 x의 정사영을
다시 적어보는 것입니다
이것을 벡터 v에 스칼라를 곱한
형태로 쓸 수 있습니다
그렇지 않나요?
이렇게 말할 수 있죠
이것은 정사영과 동일합니다
이제 x에서 정사영을 뺀 벡터는
L과 직교하므로

Chinese: 
這個定義會更加嚴謹一些
並且我認爲它 合理地解釋了爲什麽它
跟影子或者投影的概念相關
那麽我們如何來計算它呢？
我的意思是 這還是用文字表示的
我們如何確實地
計算x在l上的投影呢？
這裡的關鍵是
x減去它的投影正交於l
那麽我們看看能不能利用一下這個條件
那麽我們首先要注意的是
根據定義
因爲x到l上的投影是l上的一個向量
那就意味著 它是v的一個純量積
這裡方向向量的純量乘積
也就是這裡的v
因此我們可以說
我們可以把x在l上的投影 改寫一下
可以把它表示成
向量v的一個純量積
對吧？
我們可以說
這與我們的投影是等價的
我們還知道x減去投影
是正交於l的
因此就得到x減去投影――

English: 
That is a little bit more
precise and I think it makes a
bit of sense why it connects to
the idea of the shadow or
projection.
But how can we deal with this?
I mean, this is still
just in words.
How can I actually calculate
the projection of x onto l?
Well, the key clue here is this
notion that x minus the
projection of x is
orthogonal to l.
So let's see if we can
use that somehow.
So the first thing we need to
realize is, by definition,
because the projection of x onto
l is some vector in l,
that means it's some scalar
multiple of v, some scalar
multiple of our defining vector,
of our v right there.
So we could also say, look, we
could rewrite our projection
of x onto l.
We could write it as some scalar
multiple times our
vector v, right?
We can say that.
This is equivalent to
our projection.
Now, we also know that x minus
our projection is orthogonal
to l, so we also know that x
minus our projection-- and I

Estonian: 
See on veidi täpsema ja ma arvan, et annab aimu
miks see on seotud varjdega või
projektoripildiga.
Kuidas sellega käsitleda.
Ma mõtlen seda, et need on siiski vaid sõnad.
Kuidas päriselt arvutada projektsiooni x-ist i-le.
Põhivihje siin on see, et x miinus
projektsioon x-ist on ortogonaalne I-ga.
Vaatame, kas me saame seda kasutada.
Esimene asi millest aru saada on definitsiooni järgi
et projektsioon x-ist I-l on mingi vektor I-l,
mis tähendab, et see on mingisugune skalaarkorrutis v-st, mingi
skalaarkorrutis meie defineeritud vektorist v, mis asub siin.
Saab öelda, et meie projektsioon x-ist on võimalik ümber kirjutada
I-le.
Me saame selle kirjutada mingi skalaarkorrutis korda meie
vektor v, õigus?
Me saame seda öelda-
See on ekvivalentne meie projektsiooniga.
nüüd, me teame, et x miinus meie projetsioon on ortogonaalne
I-ga ning me teame et x miinus meie projektsioon - ja

Spanish: 
acabo de decir que podría reescribir mi proyección como algún múltiplo
de este vector de aquí mismo.
Puedes verlo de la manero que aquí lo he dibujado.
Casi parece que es 2 por su vector.
Así que sabemos que x menos nuestra proyección, ésta de aquí mismo es
nuestra proyección, es ortogonal a I.
Esta cualidad ortogonal, por definición, quiere decir que el producto escalar de dos vectores con cualquier
vector en I es 0.
Así que vamos a hacerlo con algún vector en I.
O lo podemos hacer con este vector v.
Eso es lo que usamos para definir I.
Pues hagámoslo con v, y sabemos que eso
tiene que ser igual a 0.
Tomamos este vector de aquí mismo, su producto escalar con v, y
sabemos que ésto tiene que ser igual a 0.
Eso tiene que er igual a 0.
Pues usemos nuestras propiedades de productos escalares de vectores para ver si podemos
calcular un valor particular de c, puesto que cuando conozcamos u
valor particular de c, entonces podemos simplemente multiplicarlo
por el vector v, que nos han dado, y tendremos
nuestra proyección.
Y luego te lo voy a demostrar con números reales.
Pues veamos si podemos calcular una c.

Thai: 
บอกไปว่า ผมสามารถเขียนโปรเจคชันของผมใหม่ ว่าคือผลคูณ
สเกลาร์ของเวกเตอร์นี่ตรงนี้
คุณเห็นได้ตามที่ผมวาดตรงนี้
มันดูเกือบเหมือน 2 คูณเวกเตอร์นั่น
เรารู้ว่า x ลบ โปรเจคชัน, นี่
คือโปรเจคชันเราตรงนี้, ตั้งฉากกับ l
การตั้งฉาก, ตามนิยามแล้ว, หมายความว่า ดอตโปรดัคกับ
เวกเตอร์ใดๆ ใน l เป็น 0
งั้นลองดอตมันกับเวกเตอร์ใน l ดู
หรือเราจะดอตมันกับเวกเตอร์ v นี่ก็ได้
นั่นคือสิ่งที่เราใช้นิยาม l
ลองดอตมันกับ v ดู, และเรารู้ว่า
มันต้องเท่ากับ 0
เรานำเวกเตอร์นี่ตรงนี้มา, ดอตมันกับ v, และ
เรารู้ว่านี่ต้องเท่ากับ 0
นั่นต้องเท่ากับ 0
ลองใช้สมบัติดอตโปรดัค มาดูว่าเราสามารถ
คำนวณค่า c ออกมาได้ไหม, เพราะเมื่อเรารู้
ค่า c นั้นแล้ว, เราก็สามารถคูณมัน
กับเวกเตอร์ v, ซึ่งเขาให้เรามา, แล้วเราก็จะได้
โปรเจคชันแล้ว
แล้วผมจะแสดงให้คุณดูด้วยตัวเลขจริงๆ ดู
ลองดูว่าเราคำนวณหา c ได้ไหม

Estonian: 
ma just ütlesin, et ma saan mu projektsiooni kirjutada mingi kordajana
sellest vektorist siin.
Sa saad seda näha kuidas ma selle joonistasin siin.
See näeb peaaegu kaks korda suurem välja kui see vektor.
Seega me teame, et x miinus meie projektsioon, see on meie
projektsioon siin, on ortogonaalne I-ga.
Ortogonaalne, definitsiooni järgi tähendab, et punkti tulemus iga
vektori korral I-l on 0.
Seega teeme sellest punkti mingi vektoriga I-st.
Me saame seda teha meie vektoriga v.
Me kasutasime seda kui defineerisime I-d
Seega teeme puntki siia v abil ja me teame, et
see peab olema võrdne 0-ga.
Me võtame selle vektori siin, ning punktistame selle v-ga ning
me teame et see peab olema võrdne 0-ga.
See peab võrduma nulliga.
Seega kasutame meie andmeid sellest punktist nign vaatame kas me saame
arvutada täpse väärtuse c-st, sest kui me teame
c väärtust, siis me saame selle alati korrutada
niimitu korda kui on vektor v, mille me oleme andnud ette ning me saame
oma projektsiooni.
Ja seejärel näitan ma seda reaalsete arvudega.
Vaatame kas me saame arvutada c.

Portuguese: 
-- e acabei de dizer que posso reescrever
minha projeção como algum múltiplo
deste vetor bem aqui.
Você pode ver como desenhei aqui
Aparenta ser duas vezes seu vetor.
Então sabemos que x menos nossa projeção,
esta é nossa projeção,
é ortogonal a L.
Ortogonalidade, por definição,
significa que
o produto escalar com
qualquer vetor em L é zero.
Então vamos multiplicar
por algum vetor em L.
Ou podemos fazer o produto
escalar com este vetor v.
É o que usamos para definir L.
Então vamos multiplicar com v,
e sabemos que isto deve ser zero.
Estamos pegando este vetor aqui,
fazendo a multiplicação escalar,
e sabemos que deve ser igual a zero.
Isto deve ser igual a zero.
Vamos usar as propriedades 
do produto escalar para ver
se podemos calcular um
valor particular para c,
porque uma vez sabendo um valor particular
para c, podemos multiplicar este valor,
vezes o vetor v, que nos é dado,
e teremos nossa projeção.
Então irei mostrar com alguns números.
Vejamos se podemos calcular um c.

Czech: 
x minus cv je kolmé na ‚L‘.
Můžete to vidět z toho, jak
jsem to nakreslil.
Tady to vypadá jako
dvojnásobek ‚v‘.
Takže víme, že x minus cv
je kolmé na ‚L‘.
Definice kolmosti je nulovost
součinu s každým vektorem z ‚L‘.
Zapišme to tedy takto.
Nebo to můžeme udělat s vektorem ‚v‘,
tím, kterým jsme definovali ‚L‘.
Víme, že součin
musí být roven nule.
Pojďme využít vlastnosti
skalárního součinu,
abychom vypočítali hodnotu ‚c‘,
protože jakmile budeme znát ‚c‘,
prostě jí vynásobíme
vektor ‚v‘, který je daný,
a budeme znát projekci.
Pak vám to ukážu s konkrétními čísly.
Podívejme se, jestli spočítáme ‚c‘.

Chinese: 
我剛才說過 我們可以把它表示成
向量v的純量積的形式
可以看到這裡畫的
它看起來差不多是這個向量的2倍
已知x減去投影
也就是這個向量
正交於l
正交性 根據定義
意味著 它跟l上任意向量的點積爲0
那麽讓它與l上的向量作點積
讓它與向量v作點積
也就是用來定義l的向量
讓它與v作點積
我們知道 結果一定爲零
我們取這個向量 與v作點積
我們知道這個點積一定等於0
必須等於0
那麽我們應用點積的性質
看看我們能否計算出確定的c值
因爲一旦我們求得了c的一個特定值
那麽我們只需要
用它乘以向量v
這個向量是已知的
我們就會得到要求的投影
那麽它就可以確定地用數字表示了
來看看能不能計算出一個c值

Chinese: 
我刚才说过 我们可以把它表示成
向量v的标量积的形式
可以看到这里画的
它看起来差不多是这个向量的2倍
已知x减去投影
也就是这个向量
正交于l
正交性 根据定义
意味着 它跟l上任意向量的点积为0
那么让它与l上的向量作点积
让它与向量v作点积
也就是用来定义l的向量
让它与v作点积
我们知道 结果一定为零
我们取这个向量 与v作点积
我们知道这个点积一定等于0
必须等于0
那么我们应用点积的性质
看看我们能否计算出确定的c值
因为一旦我们求得了c的一个特定值
那么我们只需要
用它乘以向量v
这个向量是已知的
我们就会得到要求的投影
那么它就可以确定地用数字表示了
来看看能不能计算出一个c值

English: 
just said that I could rewrite
my projection as some multiple
of this vector right there.
You could see it the
way I drew it here.
It almost looks like it's
2 times its vector.
So we know that x minus our
projection, this is our
projection right here,
is orthogonal to l.
Orthogonality, by definition,
means its dot product with any
vector in l is 0.
So let's dot it with
some vector in l.
Or we could dot it with
this vector v.
That's what we use
to define l.
So let's dot it with v,
and we know that that
must be equal to 0.
We're taking this vector right
here, dotting it with v, and
we know that this has
to be equal to 0.
That has to be equal to 0.
So let's use our properties of
dot products to see if we can
calculate a particular value of
c, because once we know a
particular value of c, then we
can just always multiply that
times the vector v, which we
are given, and we will have
our projection.
And then I'll show it to you
with some actual numbers.
So let's see if we can
calculate a c.

Korean: 
정사영을 여기 이 벡터의 어떤 배수로
다시 쓸 수 있습니다
여기 그린 것을 보세요
이 벡터의 2배 정도 돼 보이네요
그래서 x에 정사영을 뺀 것은
L에 수직인 정사영입니다
직교성의 정의는 직선 L에 있는
임의의 두 벡터의 내적이
0이라는 것을 의미합니다
L 위의 한 벡터와
내적을 해보겠습니다
벡터 v와 내적을 해볼까요?
L을 정의하기 위해 사용한 것입니다
v와 내적 해 봅시다
그러면 우리는
이 값이 0이라는 것을 알 수 있죠
벡터 v와 내적한 이 벡터에 대해서
이게 0이라는 것을 알죠
0이 될 수 밖에 없습니다
c의 값을 안다면
주어진 벡터 v에 그 값을 항상
곱할 수 있기 때문에
c의 값을 계산할 수 있는지
확인하기 위해서
내적의 성질을 이용해볼까요
그러면 정사영이 나올 것입니다
실제 수를 이용하여 한 번 보여드리죠
c를 계산할 수 있는지 봅시다

Chinese: 
那么如果我们分配这个c――
抱歉 如果我们分配这个向量v
我们知道点积
满足分配律
这个表达式可以改写成x?v 对吧
可以展开成x?v-cv?v
重新整理
我们知道 -cv?v跟这个是一样的
我们可以把它改写为-cv――
改写成cv?v
整个式子 当然地
是等于0的
如果我们要解出c
我们在式子两边 同时加上cv?v
然后就得到x?v=cv?v
为了解出c
我们在方程两边 同时除以v?v
就得到――我换个颜色写

Thai: 
แล้วถ้าเรากระจาย c นี่เข้าไป -- โอ้, โทษที, ถ้าเรากระจาย
v, เรารู้ว่าดอตโปรดัคมีสมบัติ
การกระจาย
พจน์นี้สามารถเขียนใหม่เป็น x ดอต v, จริงไหม? x
ดอต v ลบ c คูณ v ดอต v
ผมจัดพวกนี้ใหม่ได้
เรารู้ว่า c ลบ cv ดอท v เหมือนกัน
เราสามารถเขียนมันเป็น ลบ cv ได้
นี่คือลบ c คูณ v ดอท v, แล้วพวกนี้ทั้งหมด, แน่นอน,
เท่ากับ 0
และถ้าเราอยากแก้หา c, ลองบวก cv ดอท v
ทั้งสองข้างของสมการ
แล้วคุณได้ x ดอท v เท่ากับ c คูณ v ดอท v
เมื่อแก้หา c, ลองหารทั้งสองข้างของ
สมการนี้ด้วย v ดอท v
คุณจะได้ -- ผมจะใช้อีกสีนะ

Estonian: 
Kui me võtame selle c - oih, kui me võtame v,
siis me teame, et selle punkti tulemusena ilmub
jaotus õigesti.
Selle väljendi saab kirjutada, kui x korda v, õigus ?
x korda v miinus c korda v korda v.
Ma kirjutasin selle ümber.
Me teame, et c miinus cv korda v on see sama asi.
Me saame selle kirjutada -cv.
see on miinus c korda v korda v, ja see see kõik on
võrdne nulliga.
Kui me tahame arvutada c-d, siis peame lisama cv korda v mõlemale
poolele võrduses.
Ja sa saad x korda v on võdne c korda v korda v.
c lahendamiseks jagame mõlemad pooled
v korda v-ga
Siis saame - teen selle teises värvist.

Portuguese: 
Se distribuirmos este c
-- desculpe --
se distribuirmos este v,
sabemos que
o produto escalar possui a
propriedade distribuitiva.
Esta expressão pode ser reescrita como,
x produto escalar v, correto?
x produto escalar v, menos
c vezes v produto escalar v.
Eu rearranjei as coisas.
Sabemos que c menos cv
produto escalar v é a mesma coisa.
Poderíamos escrever como menos cv.
É menos c vezes v produto escalar v
e tudo isso, é claro, é igual a zero.
E se queremos resolver para c,
vamos adicionar cv produto escalar v
a ambos os lados da equação.
E terá que x produto escalar v é igual
a c vezes v produto escalar v.
Resolvendo para c,
vamos dividir ambos os lados
por v produto escalar v.
Você terá 
-- vou fazer em outra cor--
c é igual a isto: x produto escalar v
dividido por v produto escalar v.

Spanish: 
Pues si distribuimos esta c- oh, lo siento, si distribuímos
la v, sabemos que el producto escalar exhibe la
propiedad distributiva.
Esta expresión se puede reescribir como x producto escalar v, ¿cierto?
x producto escalar v menos c por v producto escalar v.
Rearreglé un poco las cosas.
Sabemos que c menos cv producto escalar v es la misma cosa.
Lo podemos reescribir como menos cv.
Esto es menos c por v producto escalar v, y todo esto, por supuesto, es
igual a 0.
Y si quisieramos resolver por c, añadamos cv producto escalar v a ambos
lados de la ecuación.
Y te da x peoducto escalar v es igual a c por v producto escalar v.
Resolviendo por c, dividamos ambos lados de esta
ecuación entre v producto escalar v.

Korean: 
만약 c를 분배한다면, 아 미안합니다
벡터 v를 분배한다면
내적은 분배법칙이 성립하는 것을
알고 있습니다
내적은 분배법칙이 성립하죠
이 식은 x·v로 쓰여질 수 있습니다
맞나요?
x·v - (cv)·v
x·v - (cv)·v
위의 식을 다시 정리하였습니다
이는 c - cv·v와 똑같습니다
이것을 -cv라고 할 수 있죠
이것은 -cv·v이고 계산하면
0이 됩니다
c를 구하기 위해
양변에 cv·v를 더해봅시다
c를 구하기 위해
양변에 cv·v를 더해봅시다
x·v = cv·v라는 등식을 얻었죠
c를 구하기 위해 양변을
v·v로 나눕시다
이것을 다른 색깔로 표현하겠습니다

English: 
So if we distribute this c--
oh, sorry, if we distribute
the v, we know the dot
product exhibits the
distributive property.
This expression can be rewritten
as x dot v, right? x
dot v minus c times v dot v.
I rearranged things.
We know that c minus cv dot
v is the same thing.
We could write it as minus cv.
This is minus c times v dot v,
and all of this, of course, is
equal to 0.
And if we want to solve for c,
let's add cv dot v to both
sides of the equation.
And you get x dot v is equal
to c times v dot v.
Solving for c, let's divide
both sides of this
equation by v dot v.
You get-- I'll do it in
a different color.

Chinese: 
那麽如果我們分配這個c――
抱歉 如果我們分配這個向量v
我們知道點積
滿足分配律
這個表達式可以改寫成x?v 對吧
可以展開成x?v-cv?v
重新整理
我們知道 -cv?v跟這個是一樣的
我們可以把它改寫爲-cv――
改寫成cv?v
整個式子 當然地
是等於0的
如果我們要解出c
我們在式子兩邊 同時加上cv?v
然後就得到x?v=cv?v
爲了解出c
我們在方程兩邊 同時除以v?v
就得到――我換個顏色寫

Czech: 
Víme, že skalární součin
splňuje distributivitu,
takže můžeme roznásobit ‚v‘.
Tento výraz můžeme přepsat
jako x krát v…
toto přeuspořádám.
Víme, že -cv krát v je totéž,
jako -(cv krát v).
A to vše je rovné nule.
Chceme-li to vyřešit pro ‚c‘,
přičtěme cv krát v
na obě strany rovnice.
Podělíme...
Získáme... nakreslím to jinou barvou.

Portuguese: 
Agora, o que era c?
Estamos dizendo que a projeção de x
-- vou escrever aqui --
A projeção de x em L é igual
a algum múltiplo escalar, certo?
Sabemos que está na linha,
então é algum múltiplo escalar
deste vetor diretor,
deste vetor v.
E acabamos de descobrir
o que este múltiplo
escalar será.
Ele será, x produto escalar v,
sobre v produto escalar v,
e isto claro, será apenas
um número certo?
Isto ainda á um escalar.
Mesmo com todos
estes vetores,
quando fazemos o produto
escalar temos um número
e você multiplica este número vezes v.
Você meio que escala v
e tem sua projeção.
Então neste caso, a forma como
desenhei aqui, meu produto escalar
deveria dar em algum fator
escalar próximo de dois,
então se eu partir de v,
e escalar ele por dois,
este valor seria dois,

Chinese: 
c就等於這個：x?v/v?v
那麽 c是多少呢？
我們說x的投影――
我在這兒寫
x在l上的投影
等於某個純量積 對吧？
我們知道它在直線上
因此它是 這個方向向量的純量積
這個向量v
而我們剛剛求出
這個乘數是多少
它就等於x?v/v?v
而這個 當然地
實際上就是一個數 對吧？
這仍然是個純量
雖然這裡有這麽多向量
當你求它們 內積的時候
得到的只是一個數
而你用這個數去乘向量v
對v作了伸縮變換 得到了要求的投影
那麽在這種情況下 我畫出來的這種
我求的點積最後應該得到
接近於2的某個伸縮係數
那麽如果我把向量v放大到2倍
這個值就會是2

English: 
c is equal to this: x dot
v divided by v dot v.
Now, what was c?
We are saying the projection of
x-- let me write it here.
The projection of x onto
l is equal to some
scalar multiple, right?
We know it's in the line, so
it's some scalar multiple of
this defining vector,
the vector v.
And we just figured out
what that scalar
multiple is going to be.
It's going to be x dot v over v
dot v, and this, of course,
is just going to be
a number, right?
This is a scalar still.
Even though we have all these
vectors here, when you take
their dot products, you just end
up with a number, and you
multiply that number times v.
You just kind of scale v and
you get your projection.
So in this case, the way I
drew it up here, my dot
product should end up with some
scaling factor that's
close to 2, so that if I start
with a v and I scale it up by
2, this value would be 2, and
I'd get a projection that

Czech: 
‚c‘ je rovno tomuto: x krát v
děleno v krát v
Takže, co že je ‚c‘?
Říkám, že projekce ‚x‘ na ‚L‘
je rovna nějakému skalárnímu násobku.
Víme, že je na přímce, takže je to
nějaký skalární násobek
definujícího vektoru ‚v‘.
My jsme právě přišli na to,
jaký skalární násobek to je.
Bude to x krát v
děleno v krát v,
což vyjde jako reálné číslo.
Přestože ten výraz obsahuje
samé vektory,
skalární součin dává čísla.
A tímto číslem pak vynásobíme ‚v‘.
Prostě tedy přeškálujeme ‚v‘
a získáme kýženou projekci.
Takže v tomto konkrétně
nakresleném případě
bych měl dostat škálovací faktor
blízký dvěma, takže když začnu s ‚v‘,
vynásobím jej 2 krát

Thai: 
c เท่ากับอันนี้: x ดอm v หารด้วย v ดอท v
ทีนี้, c คืออะไร?
เรากำลังบอกว่า โปรเจคชันของ x -- ขอผมเขียนมันตรงนี้นะ
โปรเจคชันของ x ลงบน l เท่ากับ
ผลคูณสเกลาร์, จริงไหม?
เรารู้ว่ามันอยู่บนเส้นตรง, มันคือผลคูณสเกลาร์
ของเวกเตอร์ที่กำหนดนี้, เวกเตอร์ v
และเราหาแล้วว่าผลคูณสเกลาร์
จะเป็นเท่าไหร่
มันจะเป็น x ดอท v ส่วน v ดอท v, และนี่, แน่นอน,
จะเป็นตัวเลข, จริงไหม?
นี่ยังเป็นสเกลาร์อยู่
แม้ว่าเรามีเวกเตอร์พวกนี้ตรงนี้, เวลาคุณ
หาดอทโปรดัค, คุณจะได้ตัวเลข, และ
คุณคูณมันด้วยเลขนั้นกับ v
คุณก็แค่ขยาย v แล้วคุณจะได้โปรเจอชันมา
ในกรณีนี้, วิธีที่ผมวาดตรงนี้, ดอต
โปรดัคควรออกมาเป็นตัวย่อขยาย ที่
มีค่าเกือบ 2, แล้วถ้าผมเริ่มด้วย v และผมขยาย
มันด้วย 2, และผมก็ได้โปรเจคชัน

Chinese: 
c就等于这个：x?v/v?v
那么 c是多少呢？
我们说x的投影――
我在这儿写
x在l上的投影
等于某个标量积 对吧？
我们知道它在直线上
因此它是 这个方向向量的标量积
这个向量v
而我们刚刚求出
这个乘数是多少
它就等于x?v/v?v
而这个 当然地
实际上就是一个数 对吧？
这仍然是个标量
虽然这里有这么多向量
当你求它们 内积的时候
得到的只是一个数
而你用这个数去乘向量v
对v作了伸缩变换 得到了要求的投影
那么在这种情况下 我画出来的这种
我求的点积最后应该得到
接近于2的某个伸缩系数
那么如果我把向量v放大到2倍
这个值就会是2

Korean: 
c는 x·v를 v·v로 나눈 것과 같습니다
그럼 c는 뭐였을까요?
x의 정사영을 여기에 써볼까요?
L에 대한 x의 정사영은
어떤 스칼라 배수와 같지 않나요?
이 정사영은 L 위에 있으므로
정의한 벡터 v의 스칼라배입니다
그리고 스칼라배의 값이 무엇인지
방금 구했습니다
그것은 x·v/v·v이고
물론 숫자가 됩니다. 맞죠?
즉, 그대로 스칼라입니다
비록 벡터끼리 계산하더라도
내적을 취하면
숫자를 얻게 됩니다
그리고 그 수에 v를 곱하는 것이죠
즉, v의 크기를 조절함으로써
정사영을 얻는 것입니다
여기서 설명한 방법은
내적이 벡터를 2배 가까이 확장시켰으므로
그 결과 벡터 v를 2배 확장시켰을 때
이 값은 2가 되고

Estonian: 
c on võrdne x korda v jagatud v korda v-ga
nii, mis c saame?
Ütleme, et projektsioon x-ist - ma kirjutan selle siia.
Projektsioon x-ist I-l on võrdne mingi
skalaarkorrutisega, õigus?
Me teame, et see on joon, seega see on mingi skalaarkorrutis
sellest defineeritud vektorist v.
Ja ma saime teada, mis see skalaarkorrutis
peab olema.
See on x korda v jagada v korda v, mis peab
olema mingi number.
See on endiselt skalaar.
Isegi, kui meil on kõik need vektorid siin, kui sa võtad
nende punktide tulemused, siis saad sa mingi numbri ja
sa korrutad selle numbri v-ga.
Sa justkui kaalud v ja saad projektsiooni.
Sel juhul, see viis kuidas ma selle siia joonistasin, minu
punkt peaks lõppema mingi tulemusega, mis on
ligilähedane kahele, seega kui ma alustan v-ga ning ma korrutan selle
kahega, siis see saab olema 2, ja ma saan projektsiooni, mis

Czech: 
a tím získám projekci.
Takto to možná vypadá moc abstraktně,
zkusme to tedy s konkrétními vektory,
třeba to tak bude dávat větší smysl.
Mimochodem, nic z toho, co jsem
tu dělal, neplatí jen pro R2.
Všechno se dá počítat v prostoru
s libovolně rozměry, takže přestože
to děláme v R2
a R2 a R3 jsou prostory, kde se
zobrazuje nejčastěji,
jde to v Rn.
Zkusme takovýto konkrétní případ.
Mějme přímku l určenou
množinou skalárních násobků
vektoru... nevím jakého,
třeba vektoru [2; 1],
kde skalární násobek ‚c‘
je libovolné reálné číslo.
Nakreslím osy.
Vertikální
a horizontální.
Má přímka je složena
ze skalárních násobků
vektoru [2; 1].
Tomu vektoru budeme odteď
říkat ‚v‘.

Portuguese: 
e teria uma projeção que parece com isto.
Isto parece um
pouco abstrato,
então vamos fazer com vetores reais,
e creio que fará um pouco mais de sentido.
E nada do que fiz aqui
se aplica apenas para R2.
Tudo que fiz aqui pode
ser estendido para uma
dimensão arbitratiamente alta,
mesmo que estejamos fazendo em R2,
e R2 e R3 são onde tendemos a
lidar mais com projeções,
isto se aplicaria para qualquer Rn.
Vou fazer este caso particular.
Vou definir minha linha L para ser
todo o conjunto dos múltiplos escalares,
do vetor -- eu não sei --
digamos o vetor, dois, um, sendo
que c é qualquer número real.
Vou desenhar meu eixos aqui.
Este é meu eixo vertical.
Este é meu eixo horizontal bem ali.
E então minha linha é 
todos os múltiplos escalares
do vetor dois, um.
Na verdade, vou chamar meu vetor
dois um, vou chamar aquilo ali
de vetor v.
Vou desenhar isto.

Chinese: 
更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/
加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com
然后我就会得到一个
看起来像这样的投影
现在这看起来挺抽象的
那么我们来 对某些实际的向量做一下
我想这样会 更好懂
这里的所有结论都不只限于R2空间
所有的结论
都可以推广到任意高维的空间中
因此虽然我们是在R2中推导的
R2和R3是
我们考虑投影最多的空间
结论在Rn上也可行
我们来考虑一些具体例子
假设我定义一条直线为
一个向量所有标量积的集合――
什么向量好呢？ 假设是向量[2,1]
那么c是任意实数
我在这里画出坐标轴
假设这是纵轴
而这条是横轴
那么定义的直线 是向量[2,1]的
所有的标量积的集合
我们称向量[2,1]
我们称这个向量 为向量v
我画出来

Thai: 
ที่ออกมาเป็นแบบนั้น
ทีนี้, นี่อาจดูเป็นนามธรรมไปหน่อย, งั้นลอง
ทำด้วยเวกเตอร์จริงกัน, และผมว่ามัน
จะช่วยให้เข้าใจมากขึ้น
และสังเกตว่าผมทำอันนี้ใน R2
ทุกอย่างที่ผมทำตรงนี้ สามารถขยายไปยัง
มิติที่สูงขึ้นใดๆ ได้, แม้ว่าเราจะทำใน R2 และ R2
กับ R3 คือที่ที่เราขยายโปรเจคชัน
ไป, นี่ยังใช้ได้กับ Rn ด้วย
ขอผมทำกรณีเฉพาะอันนี้นะ
ขอผมนิยามเส้นตรง l เป็นเซตของคูณสเกลาร์
กับเวกเตอร์ทุกตัว -- ไม่รู้สิ, สมมุติว่า
เวกเตอร์ 2, 1 โดยที่ c เป็นจำนวนจริง
ขอผมลากแกนตรงนี้นะ
นั่นคือแกนตั้งของผม
นี่คือแกนนอนตรงนี้
และเส้นตรงนี้ คือผลคูณสเกลาร์ของ
เวกเตอร์ 2 ดอต 2
แลที่จริง, ขอผมเรียกว่า เวกเตอร์ 2 ดอท 1, ขอผม
เรียกเจ้านั่นตรงนั้นว่าเวกเตอร์ v นะ
ขอผมวาดมัน

English: 
looks something like that.
Now, this looks a little
abstract to you, so let's do
it with some real vectors, and
I think it'll make a little
bit more sense.
And nothing I did here
only applies to R2.
Everything I did here can be
extended to an arbitrarily
high dimension, so even though
we're doing it in R2, and R2
and R3 is where we tend to
deal with projections the
most, this could apply to Rn.
Let me do this particular
case.
Let me define my line l to
be the set of all scalar
multiples of the vector-- I
don't know, let's say the
vector 2, 1, such that
c is any real number.
Let me draw my axes here.
That's my vertical axis.
This is my horizontal
axis right there.
And so my line is all the
scalar multiples of the
vector 2 dot 1.
And actually, let me just call
my vector 2 dot 1, let me call
that right there the vector v.
Let me draw that.

Korean: 
정사영은 다음과 같이 나옵니다
좀 추상적인 것 같으니
실제 벡터로 해봅시다
이 과정은 감각을
조금 더 키워줄 것입니다
이 과정은 오직 R²에만 적용됩니다
다만 이것을 고차원으로
확장할 수 있습니다
따라서 비록 R²에서만 진행했고
보통은 R²와 R³에서
정사영을 다뤘을 지라도
Rⁿ에도 적용할 수 있습니다
이 특정한 경우를 봅시다
L을 임의의 벡터에 스칼라 곱을 취한
집합으로 정의해봅시다
벡터 (2, 1)에
실수 c를 곱했다고 합시다
벡터 (2, 1)에
실수 c를 곱했다고 합시다
여기에 축을 그려보죠
이렇게 y축을 그리고
x축을 그렸습니다
제가 그릴 직선은 벡터 (2,1)의
스칼라곱입니다
그리고 벡터 (2, 1)의 이름을
v라고 하겠습니다
여기에 그려보죠

Estonian: 
näeb välja midagi sellist.
See närb välja veidi abstraktne, seega ma
teen selle reaalsete vektoritega läbi, mis ma usun teeb
asja selgemaks.
Miski, mida ma siin tegin kohtib R2 korral.
kuik, mis ma siin tegin, saab laiendada suvalisele
kõrgele dimensioonile, isegi siis kui me teeme seda R2-s,
ja R2 ja R3 on need, kus me põhiliselt tegeleme projektsioonidega, kuid
need sobivad iga Rn korral.
Ma seen ühe kindla näite.
Ma defineerin oma joone I, mis asetseb kõigil skalaarkorrutistel
vektori kohta, näiteks ütleme, et
vektor 2,1 nagu c on suvaline number.
Ma joonistan teljestiku.
See on vertikaalne telg.
See on horisontaalne telg.
Ja minu joon on kõik skalaarkorrutised
vektorist 2,1
Tegelikule, ma kutsun minu vektorit 2,1 pigem
vektoriks v.
Ma joonistan selle.

Chinese: 
更多課程盡在網易公開課頻道 http://open.163.com/
加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com
然後我就會得到一個
看起來像這樣的投影
現在這看起來挺抽象的
那麽我們來 對某些實際的向量做一下
我想這樣會 更好懂
這裡的所有結論都不只限於R2空間
所有的結論
都可以推廣到任意高維的空間中
因此雖然我們是在R2中推導的
R2和R3是
我們考慮投影最多的空間
結論在Rn上也可行
我們來考慮一些具體例子
假設我定義一條直線爲
一個向量所有純量積的集合――
什麽向量好呢？ 假設是向量[2,1]
那麽c是任意實數
我在這裡畫出坐標軸
假設這是縱軸
而這條是橫軸
那麽定義的直線 是向量[2,1]的
所有的純量積的集合
我們稱向量[2,1]
我們稱這個向量 爲向量v
我畫出來

English: 
So I go 1, 2, go up 1.
That right there
is my vector v.
And the line is all of
the possible scalar
multiples of that.
So let me draw that.
So all the possible scalar
multiples of that and you just
keep going in that direction, or
you keep going backwards in
that direction or anything
in between.
That's what my line is, all
of the scalar multiples
of my vector v.
Now, let's say I have another
vector x, and let's say that x
is equal to 2, 3.
Let me draw x. x is 2, and
then you go, 1, 2, 3.
So x will look like this.
Vector x will look like that.
Well, let me draw it a little
bit better than that.
Vector x will look like that.
That is vector x.
But what we want to do
is figure out the
projection of x onto l.

Chinese: 
指向[2,1] 纵方向上为1
那么这就是向量v
而直线就是所有可能的
向量v的标量积的集合
我画出来
所有可能的标量积的集合
就是朝这个方向无限延伸
向反方向同样无限延伸
以及这线段上的所有点
这就是定义的直线
向量v的所有标量积的集合
现在 假设我们有另一个向量x
假设向量x为[2,3]
我画出x 横轴方向是2 然后向上1,2,3
那么x看起来是这样
向量x是这个样子
我画好点儿
向量x是这个样子
这就是向量x
我们的目标是 求出
向量x在l上的投影

Chinese: 
指向[2,1] 縱方向上爲1
那麽這就是向量v
而直線就是所有可能的
向量v的純量積的集合
我畫出來
所有可能的純量積的集合
就是朝這個方向無限延伸
向反方向同樣無限延伸
以及這線段上的所有點
這就是定義的直線
向量v的所有純量積的集合
現在 假設我們有另一個向量x
假設向量x爲[2,3]
我畫出x 橫軸方向是2 然後向上1,2,3
那麽x看起來是這樣
向量x是這個樣子
我畫好點兒
向量x是這個樣子
這就是向量x
我們的目標是 求出
向量x在l上的投影

Thai: 
ผมไปที่ 1,2 ขึ้นไป 1
นั่นตรงนั้นคือเวกเตอร์ v ของผม
และเส้นตรงนี่คือผลคูณสเกลาร์
ของอันนั้น
ขอผมวาดมันนะ
แล้วผลคูณสเกลาร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของอันนั้น คุณ
แค่ไปตามทิศนั้นเรื่อยๆ, หรือคุณถอยหลัง
ไปในทิศนั้น หรือตรงไหนระหว่างนั้น
นั่นคือสาเหตุที่เส้นตรงนั้น, คือผลคุณสเกลาร์ทั้งหมด
ของเวกเตอร์ v
ทีนี้, สมมุติว่ามีเวกเตอร์ x อีกตัว, และสมมุติว่า x นั่น
เท่ากับ 2,3
ขอผมวาด x นะ. x เป็น 2, แล้วคุณก็ไป 1, 2, 3
แล้ว x จะเป็นแบบนี้
เวกเตอร์ x จะเป็นแบบนั้น
ทีนี้, ขอผมวาดมันให้ดีกว่านั้นหน่อยนะ
เวกเตอร์ x จะเป็นแบบนั้น
นั่นคือเวกเตอร์ x
แต่สิ่งที่เราอยากทำ คือหา
โปรเจคชันของ x ลงบน l

Portuguese: 
Então vou, um, dois, e um para cima.
Este ali é meu vetor v.
E a linha é todos os possíveis
múltiplos escalares disto.
Então vou desenhar isto.
Então todos os possíveis múltiplos
escalares você continua indo
naquela direção, ou continua indo
no caminho oposto naquela direção,
ou qualquer coisa no meio.
É isto que é minha linha,
todos os múltiplos 
escalares do meu vetor v.
Agora digamos que eu tenha outro vetor x,
e digamos que x é igual a dois, três.
Vou desenhar x, x é dois, 
e então você vai, um, dois, três.
Então x se parecerá com isto.
O vetor x se parecerá com aquilo.
Bem, vou desenhar um pouco
melhor que isto.
O vetor x se parecerá com isto.
Isto é o vetor x.
Mas queremos descobrir
a projeção de x em L.

Czech: 
1, 2 doprava, 1 nahoru.
Tady je náš vektor ‚v‘
a přímka je množina všech možných
skalárních násobků ‚v‘.
Nakreslím ji.
Takže všechny možné skalární násobky ‚v‘
pokryjí celou dráhu oběma směry
i vše mezi.
Nyní řekněme, že mám další vektor ‚x‘
a řekněme, že ‚x‘ je rovno [2; 3].
Nakreslím jej: 2 doprava, 3 nahoru.
Tady je.
Trochu jej opravím.
Tady je.
Naším úkolem je spočítat
projekci ‚x‘ na ‚L‘.

Estonian: 
Seega 1,2 läheb 1 üles.
See siin on minu vektor v.
ja see joon on kõikvõimalikud skalaarkorrutised
sellest.
Ma joonistan selle.
Seega kõik skalaarkorrutised sellest ja sa
liigud kogu aeg selles suunas, või liigud tagurpidisuunas
või kuskile nende vahel.
Selline on minu joonm kõik skalaarkorrutised
minu vektorist v.
Ütleme, et mul on uus vektor x, ja ütleme, et x
on võrdne 2,3-ga
Ma joonistan x-i, x on 2 ja siis lähed 1,2,3.
Seega x näeb välja selline.
Vektor x on selline.
Ma joonistan selle veidi paremini kui praegu sai
Vektor x on selline.
see on x
Kuid mida me tahame teada saada on
projektsioon x-ist I-le.

Korean: 
앞으로 2칸, 위로 1칸
이게 벡터 v입니다
 
직선은 그것의 가능한 모든
스칼라곱입니다
그럼 여기에 그려볼까요?
그것의 모든 스칼라 곱은
직선의 모습을 유지하며 
이렇게 앞뒤로 연장되겠죠
직선의 모습을 유지하며 
이렇게 앞뒤로 연장되겠죠
이 직선이 v에 스칼라곱을 취한
직선입니다
 
이제 또 다른 벡터 x가 있다고 하고
이 벡터는 (2, 3)이라고 합시다
x를 그려보죠
앞으로 두 칸, 위로 세 칸
x는 다음과 같습니다
x는 다음과 같습니다
조금 예쁘게 그려볼까요?
벡터 x는 이렇게 그려집니다
벡터 x입니다
하지만 우리가 하고 싶은 것은
L에 대한 x의 정사영을
이해하는 것입니다

Korean: 
여기에 이 정의를 사용할 수 있습니다
한 번 써보겠습니다
L에 대한 x의 정사영은 무엇인가요?
x·v와 같습니다
그렇지 않나요?
v는 직선 위에 있는 벡터입니다
따라서 x·v/v·v가 됩니다
따라서 x·v/v·v가 됩니다
즉 원래 정의했던
벡터 v의 x·v/v·v배가 될 것 입니다
즉 원래 정의했던
벡터 v의 x·v/v·v배가 될 것 입니다
원래 정의했던 벡터는 무엇일까요?
여기 있는 벡터 (2, 1)입니다
즉, (2, 1)의 x·v/v·v배인 것이죠
그럼 이것은 무엇과 같을까요?
분자의 스칼라곱을 계산하면
2 × 2 + 3 × 1 = 7이 될 것입니다
그래서 계산하면 7입니다

Czech: 
Využijeme naši definici.
Čemu je rovna projekce ‚x‘ na ‚L‘?
(x krát v děleno v krát v) krát v, ne?
Kde ‚v‘ je definující
vektor přímky ‚L‘, [2; 1].
A ‚x‘ je [2; 3].
Čemu je to vše rovné?
Když násobíte tento skalární součin,
máte 2 krát 2 plus 3 krát 1 je 7,

Chinese: 
我們可以用這裡的定義
我寫下來
x在l上的投影等於什麽？
就等於x?v 對吧
v是直線的單位向量
這個式子等於x 也就是[2,3]
點乘v 也就是[2,1]
整個式子比上v?v
整個式子比上[2,1]?[2,1]
最後乘以原來的 方向向量v
那麽原來的方向向量是什麽？
就是這個向量[2,1]
那麽 乘以向量[2,1]
這等於什麽呢？
當你求這兩個向量點積的時候
就有2×2+3×1 也就是4+3
得到7 整個化簡爲7

English: 
We can use this definition
right here.
So let me write it down.
The projection of x onto
l is equal to what?
It's equal to x dot v, right?
Where v is the defining
vector for our line.
So it's equal to x, which is
2, 3, dot v, which is 2, 1,
all of that over v dot v.
So all of that over 2, 1, dot
2, 1 times our original
defining vector v.
So what's our original
defining vector?
It's this one right
here, 2, 1.
So times the vector, 2, 1.
And what does this equal?
When you take these two dot of
each other, you have 2 times 2
plus 3 times 1, so 4 plus
3, so you get 7.
This all simplified to 7.

Chinese: 
我们可以用这里的定义
我写下来
x在l上的投影等于什么？
就等于x?v 对吧
v是直线的单位向量
这个式子等于x 也就是[2,3]
点乘v 也就是[2,1]
整个式子比上v?v
整个式子比上[2,1]?[2,1]
最后乘以原来的 方向向量v
那么原来的方向向量是什么？
就是这个向量[2,1]
那么 乘以向量[2,1]
这等于什么呢？
当你求这两个向量点积的时候
就有2×2+3×1 也就是4+3
得到7 整个化简为7

Thai: 
เราสามารถใช้นิยามนี่ตรงนี้ได้
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
โปรเจคชันของ x ลงบน l จะเท่ากับอะไร?
มันเท่ากับ x ดอท v, จริงไหม?
โดย v คือเวกเตอร์ที่กำหนดเส้นตรงของเรา
มันจึงเท่ากับ x, ซึ่งก็คือ 2, 3 ดอท v, ซึ่งก็คือ 2,1,
ทั้งหมดนั่นส่วน v ดอท v
ทั้งหมดนั่น ส่วน 2, 1 ดอท 2, 1 คูณเวกเตอร์
ที่กำหนดเดิมของเรา v
แล้วเวกเตอร์ที่กำหนดเดิมคืออะไร?
มันคืออันนี้ตรงนี้ 2, 1
คูณเวกเตอร์ 2,1
และนี่เท่ากับอะไร?
เมื่อคุณเอาสองตัวนี้ดอทกัน, คุณจะได้ 2 คูณ 2
บวก 3 คูณ 1, แล้ว 4 บวก 3, คุณจะได้ 7
นี่จะลดรูปเหลือ 7

Estonian: 
Me saame kasutada seda definitsiooni siin,
ma kirjutan selle üles.
Projektsioon x-ist I-le on võrdne millega?
See on võrdne x korda v, õigus ?
v on defineeritud vektori meie joone jaoks.
Seega see on võrdne x-ga, mis on 2,3, korda v , mis on 2,1
ja see kõik jagada v korda v-ga.
Seega 2;1 * 2;1 * meie originaalis
defineeritud vektor v.
Mis on meie algne defineeritud vektor?
See on selline 2,1.
Seega vektor 2,1.
Ja millega see on võrdne?
Kui sa võtad need kaks punktimõlemast, saada sa 2 korda 2
pluss 3 korda 1, seega 4 pluss 3 saame 7
See on lihtsustatud 7-le.

Portuguese: 
E podemos usar esta definição bem aqui.
Vou escrevê-la.
A projeção de x em L
é igual a o quê?
É igual a x produto escalar v, certo?
Onde v é como o vetor
diretor da nossa linha.
Então é igual a x, que é dois, três,
produto escalar v, que é dois, um.
Tudo isso sobre v produto escalar v.
Tudo isso sobre dois, um, 
produto escalar dois, um,
vezes nosso vetor diretor v.
E qual é noso vetor diretor original?
É este aqui, dois, um.
Então vezes o vetor dois, um.
E isto é igual a quê?
Quando toma o produto escalar destes dois
você tem, duas vezes dois, mais três,
vezes um. Então quatro mais três, sete.
Isto tudo é simplificado em sete.

Chinese: 
然後這個 得到2×2+1×1
也就是4+1=5
那麽就得到7/5
這整個化簡爲5
化簡得很快
你可能被這個
看上去很奇怪的表達式嚇到了
但當你求點積的時候
實際上是非常快的
然後只要
用這個得到的數乘到方向向量上就行了
因此我們就是在把它放大到7/5倍
那麽用這個數乘以向量[2,1]
得到的是什麽？
你就得到向量――
我換個顏色寫
你就得到向量 [14/5,7/5]
爲了看得更明白
爲了比較好畫圖
我把它寫成小數的形式
14/5就是2/4/5 也就是2.8
而這個是1/2/5 也就是1.4
因此x在l上的投影就是[2.8,1.4]

Czech: 
další skalární součin vychází jako
2 krát 2 plus 1 krát 1 je 5.
Výsledek je tedy 7/5.
Tento divoce vyhlížející výraz
vás může odradit, ale jakmile
spočtete skalární součiny,
získáte výsledek rychle.
Pak už zbývá jen to přenásobit
definujícím vektorem přímky.
Vynásobíme 7/5 krát
vektor [2; 1].
A co získáme?
Získáme promítnutý vektor…
použiji na to novou barvu.
[14/5; 7/5]
Abych to mohl zakreslit,
převedu to do desítkového zápisu.
14/5 je 2 a 4/5, což je 2,8.
7/5 je 1 a 2/5, což je 1,4.
Takže projekcí ‚x‘ na ‚L‘ je [2,8; 1,4].

Chinese: 
然后这个 得到2×2+1×1
也就是4+1=5
那么就得到7/5
这整个化简为5
化简得很快
你可能被这个
看上去很奇怪的表达式吓到了
但当你求点积的时候
实际上是非常快的
然后只要
用这个得到的数乘到方向向量上就行了
因此我们就是在把它放大到7/5倍
那么用这个数乘以向量[2,1]
得到的是什么？
你就得到向量――
我换个颜色写
你就得到向量 [14/5,7/5]
为了看得更明白
为了比较好画图
我把它写成小数的形式
14/5就是2/4/5 也就是2.8
而这个是1/2/5 也就是1.4
因此x在l上的投影就是[2.8,1.4]

Portuguese: 
E então isto, você tem duas vezes dois
mais uma vez um, quatro, mais um, cinco.
Então você tem sete quintos.
Tudo isto é simplificado em cinco.
Foi uma simplificação bem rápida
Você pode ter se assustado com
esta expressão estranha,
mas fazendo o produto escalar,
tudo tende a simplificar bem rápido.
E então você apenas multiplica isto
pelo seu vetor diretor da linha.
Então estamos escalando-o
por um fator de sete quintos.
Então multiplicamos pelo vetor dois, um
e o que você terá?
Você terá o vetor
-- vou fazer numa cor nova --
Você terá o vetor 14/5, 7/5.
E apenas para visualizarmos isto
ou para graficar melhor,
vou escrever em decimais.
14/5 é dois e 4/5 que é dois ponto oito.
E isto é um e 2/5 que é um ponto quatro.
Então a projeção de x em L
é 2.8, 1.4

Estonian: 
Ja siis saad sa 2 korda 2 pluss 1 korda 1
seega 4+1 = 5
Me saame 7/5.
See on lihtsustatud 5-ks
See oli väga kiire lihtsustus.
Sa võid olla ehmunud sellest kahtlase kujuga
väljendist, kuid kui me võtame punkti tulemid, siis tavaliselt
lihtsustuvad nad kiiresti.
Kui sa korrutad selle oma defineeritud
vektoriga joonel.
Seega meil on tegemist faktoriaal 7/5-ga
Seega see korrutada vektor 2,1
ja mis sa saad?
Sa saad vektori - ma teen selle uue värviga.
Sa saad vektor 14/5 ja see vektor 7/5.
Ja kui visualiseerida seda või näidata veidi
paremini, ma kirjutan selle kümnendkohani.
14/5 on 2 4/5 mis on 2,8.
Ja see on 1 2/5 mis on 1,4.
Seega projektsioonx-st I-l on 2,8 ja 1,4.

Thai: 
แล้วนี่, คุณจะได้ 2 คูณ 2 บวก 1 คูณ 1,
ได้ 4 บวก 1 เป็น 5
คุณจะได้ 7/5
นั้นจะลดรูปเหลือ 5
นั่นคือการลดรูปที่เร็วมาก
คุณอาจเหนื่อยกับพจน์ที่ดู
ประหลาดนี้, แต่เมื่อคุณหาดอทโปรดัค, พวกมัน
ก็กลายเป็นเทอมง่ายๆ ไป
แล้วคุณก็คูณมันกับเวกเตอร์ที่
กำหนดเส้นตรง
เราจะขยายมันด้วยค่า 7/5,
แล้วคูณมันกับเวกเตอร์ 2, 1
แล้วคุณจะได้อะไร?
คุณจะได้เวกเตอร์ -- ขอผมใช้สีใหม่นะ
คุณได้เวกเตอร์, 14/5 และเวกเตอร์ 7/5
แล้วเราก็สามารถดูภาพ หรือพลอตมัน
ให้ดีขึ้น, ขอผมเขียนมันเป็นทศนิยมนะ
14/5 คือ 2 กับ 4/5, ก็คือ 2.8
และนี่คือ 1 กับ 2/2, ซึ่งก็คือ 1.4
แล้วโปรเจคชันของ x ลงบน l คือ 2.8 และ 1.4

Korean: 
같은 방법으로 분모 역시
2 × 2 + 1 × 1 = 5가 되므로
7/5배가 된다는 것을 알 수 있죠
분모는 5가 되었습니다
상당히 빠르게 풀었네요
희한하게 생긴 식에
어리둥절할 수도 있지만
내적을 취한다면
이렇게 간단하고 빠르게 나온다는 것을
알게 될 겁니다
이제 얻은 실수와 직선 위에 있는
벡터 v를 곱해봅시다
벡터를 7/5만큼 확대할 수 있겠죠
이제 (2,1)에 곱한다면
무엇을 얻게 될까요?
새로 얻게 된 벡터를
다른 색으로 표시해 보죠
(14/5, 7/5)를 얻었습니다
좌표에 쉽게 표현하기 위해
분수를 소수로 바꿔보겠습니다
14/5 = 2 + (4/5)이니까
2.8이 될 것이고
7/5 = 1 + (2/5)로
1.4가 될 것입니다
그래서 L에 대한 x의 정사영은
(2, 8, 1, 4)입니다

English: 
And then this, you get 2
times 2 plus 1 times 1,
so 4 plus 1 is 5.
So you get 7/5.
That will all simplified to 5.
That was a very fast
simplification.
You might have been daunted
by this strange-looking
expression, but when you take
dot products, they actually
tend to simplify very quickly.
And then you just multiply
that times your defining
vector for the line.
So we're scaling it up
by a factor of 7/5.
So multiply it times
the vector 2, 1,
and what do you get?
You get the vector-- let me
do it in a new color.
You get the vector, 14/5
and the vector 7/5.
And just so we can visualize
this or plot it a little
better, let me write
it as decimals.
14/5 is 2 and 4/5,
which is 2.8.
And this is 1 and 2/5,
which is 1.4.
And so the projection of x
onto l is 2.8 and 1.4.

Chinese: 
那么2.8大约在这里
而1.4大概在这里
因此所求的向量大概就是这样
我没有画得太严格
但是你应该能理解
这就是所求的投影
计算过程表明了
这就是x在直线l上的投影
如果我在这里作一条垂线
我们会看到它与我们
将它理解为x的影子的理解方式 是一致的
那么 现在我们会求投影了
在下个视频中 我会向你演示
投影的矩阵表示
投影本质上是一种变换

English: 
So 2.8 is right about there,
and I go 1.4 is right about
there, so the vector is going
to be right about there.
I haven't even drawn
this too precisely,
but you get the idea.
This is the projection.
Our computation shows
us that this is the
projection of x onto l.
If we draw a perpendicular right
there, we see that it's
consistent with our idea of
this being the shadow of x
onto our line now.
Well, now we actually can
calculate projections.
In the next video, I'll actually
show you how to
figure out a matrix
representation for this, which
is essentially a
transformation.

Korean: 
좌표에 나타내면
벡터는 이와 같이 보여질 것입니다
얻은 벡터의 좌표로 정확히 
그리기는 귀찮지만
처음 배운 방법을 이용하면
간단해집니다
이것이 정사영입니다
이 계산과정은
이것이 L에 대한 x의 정사영을
보여줍니다
이렇게 x에서 L에 수선을 내린다면
이것은 L에 내려진
x의 그림자일 것입니다
이제, 우리는 정사영의 수학적 의미와
계산법을 알았습니다
다음 강의에서
변환의 대표적인 행렬을
이해하는 시간을 가져봅시다
 

Chinese: 
那麽2.8大約在這裡
而1.4大概在這裡
因此所求的向量大概就是這樣
我沒有畫得太嚴格
但是你應該能理解
這就是所求的投影
計算過程表明了
這就是x在直線l上的投影
如果我在這裡作一條垂直線
我們會看到它與我們
將它理解爲x的影子的理解方式 是一致的
那麽 現在我們會求投影了
在下個影片中 我會向你演示
投影的方陣表現
投影本質上是一種變換

Portuguese: 
Então 2.8 e por ali, e vou 1.4 bem ali,
então o vetor estará bem aqui.
E nem desenhei isto precisamente
mas você pegou a ideia.
Esta é a projeção.
Nossos cálculos nos mostram que
esta é a projeção de x em L.
Se desenharmos uma perpendicular ali,
veremos que é consistente com a ideia
disto ser a sombra de x na nossa linha L.
Bem, agora podemos de fato
calcular projeções.
No próximo vídeo, vou mostrar como
você pode descobrir uma representação
matricial para isto, que é essencialmente
uma transformação.
[traduzido por: Khallil Fernandes]

Estonian: 
Seega 2.8 on siin ja 1,4 on siin.
Seega meie vektor on umbes siin.
Ma pole seda väga täpselt joonistanud,
kuid sa saad aru.
See on projektsioon.
Meie arvutused näitavad, et see on
projektsioon x-st I-l.
Kui me joonistame risti siia, näeme me, et see
on kokkusobiv meie ideega, mis oli kui vari x-st
meie joonele.
Nüüd saame me reaalselt arvutada projektsioone.
Järgmises videos näitan ma , kuidas
aru saada maatriksi kujutamisest sellisel juhul, mis
on laiendus kujutisest.

Czech: 
2,8 je zhruba tady, 1,4 asi tu,
takže promítnutý vektor vypadá takto.
Nenakreslil jsem to moc přesně,
leč představu máte.
Toto je výsledek projekce.
Naše výpočty ukazují, že toto
je projekcí ‚x‘ na ‚L‘.
Pokud sem nakreslíme kolmici, uvidíme,
že výsledek odpovídá představě
stínu ‚x‘ na přímku ‚L‘.
Umíme teď tedy počítat projekce.
V příštím videu vám ukážu,
jak získat maticovou reprezentaci,
což je v zásadě lineární zobrazení.

Thai: 
2.8 อยู่แถวนี้, แล้วผมไปที่ 1.4 อยู่แถว
นี้, แล้วเวกเตอร์ จะอยู่แถวนี้
ผมไม่ได้วาดมันแม่นนัก
แต่คุณคงเข้าใจนะ
นี่คือโปรเจคชัน
การคำนวณของเรา บอกว่า นี่คือ
โปรเจคชันของ x ลงบน l
ถ้าเราวาดเส้นตรงตั้งฉากตรงนี้, เราจะเห็นว่ามัน
ตรงกับแนวคิดเรื่องเงาของ x
ลงบนเส้นตรงตรงนี้
ทีนี้, เราก็สามารถคิดโปรเจคชันเองได้
ในวิดีโอหน้า, ผมจะแสดงให้คุณดู
วิธีเขียนมันเป็นเมทริกซ์, ซึ่งก็
คือการแปลงนั่นเอง

Chinese: 
更多課程盡在網易公開課頻道 http://open.163.com/
加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com

Chinese: 
更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/
加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com

Chinese: 
更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/
加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com

Chinese: 
更多課程盡在網易公開課頻道 http://open.163.com/
加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com

Chinese: 
更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/
加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com

Chinese: 
更多課程盡在網易公開課頻道 http://open.163.com/
加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com
