
Chinese: 
上次影片我們我們能夠
說明任意的λ
滿足這個等式對於非零向量 v
那麽行列式λ乘以
單位方陣減A 必須等於0
或者我們可以把這個重新寫成比如λ是
A的一個特征值若且唯若
我把它寫成如果
行列式λ乘以
單位方陣減去A
等於0
現在 我們來看看是否我們可以利用這個
以任意一種具體的方式去解出特征值
我們先來做簡單的2×2的 我們做一個R2的
比方說A等於矩陣[1,2；3,4]

Estonian: 
Viimases videos näitasime, et iga λ, mis
rahuldab võrrandit nulliga mitte võrduva vektori V korral, siis
determinant λ korda ühikmaatriks
miinus A-st, peab võrduma nulliga.
Võime ka kirjutada nii, et λ on A sisemine väärtus
juhul kui -
determinant λ korda ühikmaatriks miinus A-st,
on võrdne nulliga.
Vaatame, kas seda saab kasutada
konkreetsel viisil leidmaks sisemisi väärtuseid.
Teeme lihtsa 2x2 maatriksi.
Ütleme, et A on võrdne maatriksiga 1, 2, 4 ja 3.

English: 
In the last video we were able
to show that any lambda that
satisfies this equation for some
non-zero vectors, V, then
the determinant of lambda times
the identity matrix
minus A, must be equal to 0.
Or if we could rewrite this as
saying lambda is an eigenvalue
of A if and only if-- I'll
write it as if-- the
determinant of lambda times the
identity matrix minus A is
equal to 0.
Now, let's see if we can
actually use this in any kind
of concrete way to figure
out eigenvalues.
So let's do a simple 2
by 2, let's do an R2.
Let's say that A is equal to
the matrix 1, 2, and 4, 3.

Portuguese: 
No último vídeo, fomos capazes
de mostrar que para qualquer lambda
que satisfaça esta equação para alguns
vetores diferentes de zero, V,
o determinante de lambda
vezes a matriz identidade
menos A deve ser igual a zero.
Ou se pudéssemos reescrever isto
dizendo que lambda é um autovalor
de A se e apenas se
o determinante de lambda vezes
a matriz identidade menos A
é igual a zero.
Vamos ver se podemos
usar isto em qualquer
tipo de situação para
calcular autovalores.
Vamos fazer uma dois
por dois simples,
uma R dois.
Vamos dizer que A é igual a
matriz um, dois e quatro, três.

Korean: 
지난 시간에 영벡터가 아닌
벡터 v에 대해
식 Av=λv 를 만족하는
어떤 λ 값이든
λ와 항등행렬의 곱에서
A를 뺀 것의 행렬식이
0이 되어야 한다는 것을 
확인할 수 있었습니다
또는, λ가 A의
고유값이라는 것은
λ와 항등행렬의 곱에서
A를 뺀 것의 행렬식이
0이라는 것과 동치라고
나타낼 수 있습니다
이제 고유값을 알아내기 위해
어떤 구체적인 방법을
쓸 수 있는지 봅시다
간단한 2×2 행렬에 대해
풀어봅시다
행렬 A를
1, 2, 4, 3 이라고 합시다

Spanish: 
En el ultimo video pudimos ver que cualquier lambda
que satisface esta ecuacion para algunos vectores mayores que cero, V, entonces
el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad
menos A, debe ser igual a 0.
O si pudieramos reescribir esto como diciendo que lambda es un autovalor (valor propio)
de A si, y solo si--Lo escribire como si-- el
determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad menos A es
igual a 0.
Ahora, vamos a ver si podemos realmente usar esto en cuaquier forma
concreta para encontrar autovalores.
Asi que vamos a hacer un simple 2 por 2, hagamos un R2
Digamos que A es igual a la matriz 1, 2, y 4, 3.

Turkish: 
-
Son videoda bu denklemi sıfır dışı bir v vektörü için sağlayan herhangi bir lambda değeri varsa, lambda çarpı birim matris eksi A'nın determinantının 0 olduğunu ispatlamıştık.
-
-
-
Veya şöyle diyebiliriz. Ancak ve ancak lambda çarpı birim matris eksi A'nın determinantı 0'a eşitse, lambda, A'nın özdeğeridir.
-
-
-
Şimdi bunu kullanarak özdeğer bulalım.
-
Basit bir 2'ye 2 matrisi seçelim.
A eşittir 1, 2 ve 4, 3 matrisi.

Polish: 
.
W poprzednim filmie pokazaliśmy, że jeżeli liczba lambda
spełnia to równanie dla jakichś niezerowych wektorów v,
to wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa
odjąć A musi się rónwać 0.
Albo możemy przepisać to, stwierdzając, że lambda jest wartością własną
macierzy A, wtedy i tylko wtedy gdy,
wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa odjąć A
jest równe 0.
Zobaczmy teraz, czy możemy wykorzystać ten fakt do znalezienia
wartości włashych w jakimś konkretnym przypadku.
Zróbmy więc prosty przykład 2 na 2, zróbmy R2.
Powiedzmy, że A jest równe macierzy 1, 2 i 4, 3.

Chinese: 
上次视频我们我们能够
说明任意的λ
满足这个等式对于非零向量 v
那么行列式λ乘以
单位矩阵减A 必须等于0
或者我们可以把这个重新写成比如λ是
A的一个特征值当且仅当
我把它写成如果
行列式λ乘以
单位矩阵减去A
等于0
现在 我们来看看是否我们可以利用这个
以任意一种具体的方式去解出特征值
我们先来做简单的2×2的 我们做一个R2的
比方说A等于矩阵[1,2；3,4]

Estonian: 
Ma soovin leida A sisemised väärtused.
Kui λ on A sisemine väärtus, siis
see ütleb, et determinant λ korda ühikmaatriksist,
seega see on ühikmaatriks siin R2-es.
Seega λ x (1, 0, 0, 1) - A ( 1, 2, 4, 3) = 0
Seega λ x (1, 0, 0, 1) - A ( 1, 2, 4, 3) = 0
Millega see võrdub?
See siin on determinant.
λ korda determinant on λ korda kõik need
väärtused. Seega λ x 1 = λ, λ x 0 = 0,
λ x 0 = 0, λ x 1 = λ
Ja sellest lahutame A.
Järele jääb 1, 2, 4, 3 , mis peab võrduma nulliga.
Ja see maatriks või maatriksite erinevus

Korean: 
행렬 A의 고유값을 찾야아 합니다
λ가 A의 고유값이라고 하면
이 식에 있는 항등행렬은
R²에서의 항등행렬이 될 것입니다
따라서, λ와 항등행렬
1, 0, 0, 1의 곱에 A를 빼면
그 행렬식의 값은
0이 될 것입니다
그럼 이것은 무엇일까요?
이것은 행렬식입니다
λ와 이 행렬의 곱은
λ와 이 행렬의 원소의 곱입니다
따라서 λ × 1 = λ, λ × 0 = 0
λ × 0 = 0, λ × 1 = λ 입니다
여기서 A를 뺍니다
즉, 행렬 1, 2, 4, 3 을 빼면
그 행렬식의 값은 0이 됩니다
그리고 이 행렬이나
다른 행렬들의 차는

Polish: 
I chcę znaleść wartości własne macierzy A.
A więc jeśli lambda jest wartością własną macierzy A, to wtedy ta własność
mówi nam, że wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa,
czyli to będzie macierz jednostkowa w R2.
Czyli lambda razy 1, 0, 0, 1, odjąć A, 1, 2, 4, 3
ma być równe 0.
A czemu to jest równe?
To tutaj to jest wyznacznik.
Lambda razy to oznacza lambda pomnożone przez wszystkie te składowe.
A więc lambda razy 1 daje lambda, lambda razy 0 daje 0,
lambda razy 0 daje 0, lambda razy 1 daje lambda.
I od tego odejmujemy A.
Czyli dostajemy 1, 2, 4, 3 i to ma się równać 0.
A potem ta macierz, albo ta różnica macierzy,

English: 
And I want to find the
eigenvalues of A.
So if lambda is an eigenvalue
of A, then this right here
tells us that the determinant
of lambda times the identity
matrix, so it's going to be
the identity matrix in R2.
So lambda times 1, 0, 0, 1,
minus A, 1, 2, 4, 3, is going
to be equal to 0.
Well what does this equal to?
This right here is
the determinant.
Lambda times this is just lambda
times all of these
terms. So it's lambda times 1
is lambda, lambda times 0 is
0, lambda times 0 is 0, lambda
times 1 is lambda.
And from that we'll
subtract A.
So you get 1, 2, 4, 3, and
this has got to equal 0.
And then this matrix, or this
difference of matrices, this

Portuguese: 
E eu quero encontrar os
autovalores de A.
Então se lambda é um
autovalor de A, isto aqui
nos diz que o determinante
de lambda vezes a matriz identidade,
assim teremos a matriz 
identidade em R dois.
Então lambda vezes um, zero, zero, um
menos A, um, dois, quatro, três,
será igual a zero.
Bem, isto será igual a?
Isto exatamente aqui é o determinante.
Lambda vezes isto é igual a
lambda vezes todos estes termos.
Assim, lambda vezes um é lambda,
lambda vezes zero é zero,
lambda vezes zero é zero,
lambda vezes um é lambda.
E disto nós subtraímos A.
Deste modo, você tem um, dois,
quatro, três, e isto é igual a zero.
E então esta matriz, ou esta
diferença entre matrizes,

Spanish: 
y quiero encontrar el autovalor de A.
Asi, si lambda es un autovalor de A, entonces justo aqui esto
nos dice que el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad,
tambien va a ser la matriz identidad en R2.
Por lo tanto lambda multiplicada por 1,0,0,1, menos A, 1,2,4,3, va a
ser igual a 0.
Bueno, Que resultado nos da esto?
Esto que tenemos aqui es la determinante.
Lambda multiplicado por esto es solo lambda multiplicado por todos estos
terminos. Asi tenemos que lambda multiplicada por 1 es lambda, lambda multiplicada por 0 es 0,
lambda multiplicada por 0 es 0, lambda multiplicada por 1 es lambda.
Y de eso vamos a restar A.
Asi tenemos 1,2,4,3, y esto tiene que ser igual a 0.
Y entonces esta matriz, o esta diferencia de matrices,

Turkish: 
A'nın özdeğerlerini bulmak istiyorum.
Lambda A'nın özdeğeriyse, lambda çarpı birim matris içn 2'ye 2 birim matrisini alacağım.
-
-
Lambda çarpı 1, 0, 0, 1 eksi A, 1, 2, 4, 3 eşittir 0.
-
Bu neye eşit?
Bu, determinant.
Lambda çarpı bu, lambda çarpı tüm bu terimlerdir. Lambda çarpı 1 eşittir lambda. Lambda çarpı 0 eşittir 0, lambda çarpı 0 eşittir 0, lambda çarpı 1 eşittir lambda.
-
-
Ve bundan A'yı çıkaracağız.
1, 2, 4, 3 ve bu, 0'a eşit olmalı.
Bu matrislerin farkı ve determinant alacağız.

Chinese: 
我想计算A的特征值
所以如果λ是A的一个特征值
那么这个告诉我们
λ乘以单位矩阵的行列式
它是R2中的单位矩阵
λ乘以[1,0；0,1] 减去A [1,2；4,3]
等于0
那这等于什么？
这个是行列式
λ乘以这个就是
λ乘以所有这些项
它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
λ乘以0是0 λ乘以1是λ
这我们减去A
你就得到[1,2；4,3] 这个必须等于0
然后这个矩阵 或者矩阵的这个差值

Chinese: 
我想計算A的特征值
所以如果λ是A的一個特征值
那麽這個告訴我們
λ乘以單位方陣的行列式
它是R2中的單位方陣
λ乘以[1,0；0,1] 減去A [1,2；4,3]
等於0
那這等於什麽？
這個是行列式
λ乘以這個就是
λ乘以所有這些項
它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
λ乘以0是0 λ乘以1是λ
這我們減去A
你就得到[1,2；4,3] 這個必須等於0
然後這個矩陣 或者矩陣的這個差值

Portuguese: 
é apenas para manter
o determinante.
Este é o determinante.
O primeiro termo será
lambda menos um.
O segundo termo é zero menos
dois, então é apenas menos dois.
O terceiro termo é zero menos
quatro, então é apenas menos quatro.
E então o quatro termo
é lambda menos três,
como isto aqui.
Vamos pegar um atalho
para ver o que acontece.
Os termos ao longo da diagonal,
todos se tornaram negativos,
certo?
Tornamos tudo negativo.
E nos termos ao redor da diagonal,
colocamos um lambda na frente.
Isto é basicamente o subproduto
desta expressão aqui.
Assim, qual é o determinante
desta matriz dois por dois?
Bem, o determinante desta matriz
é isto vezes aquilo, menos
isto vezes aquilo.
Deste modo, temos lambda menos
um, vezes lambda menos três,

Spanish: 
es solo para mantener la determinante.
Esta es la determinante de las demas.
Este primer termino va a ser lambda menos 1.
El segundo termino es 0 menos 2, nos queda menos 2.
El tercer termino es 0 menos 4, asi nos queda menos 4.
Y entonces el cuarto termino es lambda menos
3, justo asi.
Es como un atajo para ver que paso.
Los terminos a lo largo de la diagonal, bueno todo se convirtio en
negativo, verdad?
Convertimos todo en negativo.
Y entonces los terminos alrededor de la diagonal, obtuvimos
una lambda enfrente.
Eso fue esencialmente el subproducto de esta expresion.
justo aqui.
Asi que cual es la determinante de esta matriz de 2 por 2?
Bueno, la determinante de esto es solo esto multiplicado por aquello menos
esto multiplicado por eso.
Asi es lambda menos 1, multiplicado por lambda menos 3, menos estos

Turkish: 
-
-
İlk terim lambda eksi 1.
İkinci terim 0 eksi 2, yani eksi 2.
Üçüncü terim 0 eksi 4, yani eksi 4.
Ve dördüncü terim de lambda eksi 3.
-
Bir kısa yol görebiliyoruz. Köşegen üzerindeki terimlerin, hatta tüm terimlerin eksilisini aldık, öyle değil mi?
-
-
Tüm terimlerin eksilisini aldık.
Bir de köşegen üzerindeki terimlerin önüne lambda koyduk.
-
Bu ifadenin yan ürünü böyle oldu.
-
Peki, bu 2'ye 2 matrisinin determinantı nedir?
Bu çarpı şu eksi bu çarpı şu.
-
Yani lambda eksi 1 çarpı lambda eksi 3 eksi şu iki arkadaşın çarpımı.

Chinese: 
這個保持行列式不變
這是行列式
第一項是λ-1
第二項是0-2 就是-2
第三項是0-4 就是-4
第四項是λ-3
就像這樣
有點缺陷就是看不清發生了什麽
沿著對角線的項
所有的都變成負數 對吧？
我們對整體取負
然後沿著對角線的項
我們在前面有個λ
它在本質上是
這個表達式的副産品
那麽這個2×2矩陣的行列式是多少
這個行列式就是這個乘以那個
減去這個乘以那個
所以它是λ-1 乘以λ-3

Estonian: 
on selleks, et determinant alles jätta.
See on determinant...
Esimene on λ - 1
Teine on 0 - 2, ehk lihtsalt -2.
Kolmas on 0 - 4, ehk lihtsalt -4.
Ja neljas on λ - 3
Ja neljas on λ - 3
Kerge lühiülevaade sellest, mis juhtus.
diagonaalväärtused, kõik muutusid negatiivseks.
diagonaalväärtused, kõik muutusid negatiivseks.
Me muutsime kõik negatiivseks.
Ja välimiste diagonaalide väärtustel, tõime
λ ette.
See on põhimõtteliselt jääkväärtus sellest tehtest.
See on põhimõtteliselt jääkväärtus sellest tehtest.
Mis on selle 2x2 maatrikis determinandiks?
Determinant on (λ - 1)x(λ-3) - (-4)x(-2)
Determinant on (λ - 1)x(λ-3) - (-4)x(-2)
Seega (λ -1)x(λ-3) lahutada

Polish: 
to jest żeby pamiętać o wyznaczniku.
To jest wyznacznik.
Pierwszy element macierzy będzie równy lambda odjąć 1.
Drugi jest równy 0 odjąć 2, czyli minus 2.
Trzeci jest równy 0 odjąć 4, czyli minus 4.
I wreszcie czwarty element, jest po prostu równy
lambda odjąć 3.
Powtarzam w skócie co się stało.
Elementy na diagonali -- przede wszyskim
wszędzie zmieniliśmy znak, prawda?
Zmieniliśmy wszędzie znak.
A elementom na diagonali przybyła
lambda na początku.
To był produkt uboczny tego
wyrażenia tutaj.
Czyli ile wynosi wyznacznik tej macierzy 2 na 2?
No cóż wyznacznik tego jest po prostu równy temu razy to,
odjąć to razy tamto.
Czyli mamy lambda odjąć 1, razy lambda odjąć 3,

Chinese: 
这个保持行列式不变
这是行列式
第一项是λ-1
第二项是0-2 就是-2
第三项是0-4 就是-4
第四项是λ-3
就像这样
有点缺陷就是看不清发生了什么
沿着对角线的项
所有的都变成负数 对吧？
我们对整体取负
然后沿着对角线的项
我们在前面有个λ
它在本质上是
这个表达式的副产品
那么这个2×2矩阵的行列式是多少
这个行列式就是这个乘以那个
减去这个乘以那个
所以它是λ-1 乘以λ-3

English: 
is just to keep the
determinant.
This is the determinant of.
This first term's going
to be lambda minus 1.
The second term is 0 minus
2, so it's just minus 2.
The third term is 0 minus
4, so it's just minus 4.
And then the fourth term
is lambda minus
3, just like that.
So kind of a shortcut to
see what happened.
The terms along the diagonal,
well everything became a
negative, right?
We negated everything.
And then the terms around
the diagonal, we've got
a lambda out front.
That was essentially the
byproduct of this expression
right there.
So what's the determinant
of this 2 by 2 matrix?
Well the determinant of this is
just this times that, minus
this times that.
So it's lambda minus 1, times
lambda minus 3, minus these

Korean: 
행렬식을 가지고 있습니다
이것은 위 행렬의
행렬식입니다
첫 번째 원소는 λ - 1 입니다
두 번째 원소는
0 - 2 = -2 입니다
세 번째 원소는
0 - 4 = -4 입니다
그리고 네 번째 원소는
이와 같이 λ - 3 입니다
그리고 네 번째 원소는
이와 같이 λ - 3 입니다
무슨 일이 일어났는지
한 번 봅시다
대각선 방향의 원소들은
모두 음수가 되었죠?
대각선 방향의 원소들은
모두 음수가 되었죠?
모두 음수입니다
다른 대각선 방향의 원소들은
앞에 λ가 있습니다
이것은 이 식의 결과입니다
이것은 이 식의 결과입니다
그렇다면, 이 2×2 행렬의
행렬식은 무엇일까요?
이 행렬식은
λ - 1 과 λ - 3 의 곱에서
-4와 -2의 곱을 뺀 것입니다
즉, λ - 1 과 λ - 3 의 곱에서

Chinese: 
減去那兩項乘在一起
所以減去-2乘以-4是+8 減去8
這是這個矩陣的行列式
或者這個矩陣的行列式
是被簡化成這樣的
這個必須等於0
爲什麽必須等於0的全部的原因就是
因爲我們見過更簡單點的
這個矩陣有一個非平凡的零核空間
因爲它有一個非平凡的零核空間
它就不可能可逆
它的行列式必須等於0
現在我們有
一個很有意思的多項式方程等式
我們可以把它乘出來
我們得到什麽？
我們把它乘出來
我們得到λ2-3λ
-λ+3-8等於0
或者λ2-4λ

Korean: 
이 두 원소를 곱을 뺀 것입니다
(-2) × (-4) = 8을 뺀 것이죠
이것은 여기 있는
이 행렬의 행렬식이고
또는 이 행렬을 간소화한
행렬식입니다
이 값은 0이어야 합니다
이 값이 0이 되어야 하는 이유는
전에 본 바로 이 행렬이
자명하지 않은
영공간을 갖기 때문입니다
자명하지 않은
영공간을 갖기 때문에
역행렬은 존재하지 않고
그 행렬식의 값은 0 입니다
여기 흥미로운 다항식이 있습니다
여기 흥미로운 다항식이 있습니다
이를 곱합니다
무엇을 얻게 될까요?
곱해봅시다
다음과 같은 식이 나옵니다
λ² - 3λ - λ + 3 - 8 = 0
다음과 같은 식이 나옵니다
λ² - 3λ - λ + 3 - 8 = 0

English: 
two guys multiplied
by each other.
So minus 2 times minus 4
is plus eight, minus 8.
This is the determinant of this
matrix right here or this
matrix right here, which
simplified to that matrix.
And this has got to
be equal to 0.
And the whole reason why that's
got to be equal to 0 is
because we saw earlier,
this matrix has a
non-trivial null space.
And because it has a non-trivial
null space, it
can't be invertible and
its determinant has
to be equal to 0.
So now we have an interesting
polynomial
equation right here.
We can multiply it out.
We get what?
Let's multiply it out.
We get lambda squared, right,
minus 3 lambda, minus lambda,
plus 3, minus 8,
is equal to 0.

Spanish: 
dos amigos multiplicados uno por otro.
Asi tenemos que menos 2 multiplicado por menos 4 es ocho positivo, menos 8.
Esto es la determinante de esta matriz justo aqui o
esta matriz justo aqui, la cual simplifico a esa matriz.
Y esto tiene que ser igual a 0.
Y la razon por la que tiene que ser igual a 0 es
porque antes vimos que esta matriz tiene un
espacio nulo no trivial.
Y porque tiene un espacio nulo no trivial,
no puede ser invetible y su determinante tiene
que ser igual a 0.
Asi que ahora tenemos una interesante ecuacion de polinomio
justo aqui.
La podemos multiplicar.
Que obtenemos?
Vamos a multiplicarla.
Obtenemos lambda cuadrada, correcto, menos 3 lambda, menos lambda,
mas 3, menos 8, es igual a 0.

Chinese: 
减去那两项乘在一起
所以减去-2乘以-4是+8 减去8
这是这个矩阵的行列式
或者这个矩阵的行列式
是被简化成这样的
这个必须等于0
为什么必须等于0的全部的原因就是
因为我们见过更简单点的
这个矩阵有一个非平凡的零空间
因为它有一个非平凡的零空间
它就不可能可逆
它的行列式必须等于0
现在我们有
一个很有意思的多项式方程等式
我们可以把它乘出来
我们得到什么？
我们把它乘出来
我们得到λ2-3λ
-λ+3-8等于0
或者λ2-4λ

Portuguese: 
menos estes dois caras
multiplicados um pelo outro.
Menos dois vezes menos quatro
é igual a mais oito, menos oito.
Este é o determinante desta
matriz aqui ou desta
matriz aqui, que é 
simplificada desta matriz.
E isto tem que ser igual a zero.
E o motivo pelo qual isto
deve ser igual a zero é
que, como vimos antes,
esta matriz tem um
espaço nulo não-trivial.
E porque ela tem um
espaço nulo não-trivial,
não pode ser invertível e
seu determinante tem
que ser igual a zero.
Agora temos uma interessante
equação polinomial aqui.
Podemos multiplicá-la para fora.
O que encontramos?
Vamos multiplicá-la.
Temos lambda ao quadrado, certo,
menos três lambda, menos lambda
mais três, menos oito,
que é igual a zero.

Turkish: 
-
Eksi 2 çarpı eksi 4 eşittir artı 8, eksi 8.
Bu, buradaki matrisin determinantı veya şuradaki, sadeleşince bu matris olan matrisin determinantı.
-
Ve bu, 0'a eşit olmalı.
0 olmasının sebebi ise, bu matrisin aşikar olmayan bir sıfır uzayı olması.
-
-
Aşikar olmayan bir sıfır uzayı olduğu için tersi alınamaz ve determinantı 0 olmak zorundadır.
-
-
Şimdi burada ilginç bir polinom denklemi oluştu.
-
Bunu açalım.
Ne buluruz?
Açalım.
Lambda kare eksi 3 lambda eksi lambda artı 3 eksi 8 eşittir 0.
-

Polish: 
odjąć iloczyn tych dwóch kolesi.
Czyli minus 2 razy minus 4 daje plus 8, czyli odejmujemy 8.
To jest wyznacznik tej macierzy tutaj, albo
tej macierzy tutaj, która sprowadza się do tej macierzy.
I to musi być równe 0.
Powodem dla którego to ma być równe 0, jest fakt
który widzieliśmy wcześniej, że ta macierz
ma nietrywialne jądro.
A ponieważ ma nietrywialne jądro,
nie może być odwracalna i jej wyznacznik
musi być równy 0.
Czyli teraz mamy tutaj ciekawe
równanie wielomianowe.
Możemy to wymnożyć.
Co dastaniemy?
Pomnóżmy to.
Dostajemy lambda kwadrat, odjąć 3 lambda, odjąć lambda,
dodać 3, odjąć 8, równa się 0.

Estonian: 
nende arvude korrutis.
-2x-4 = 8, seega tuleb lahutada 8.
See on selle maatriksi determinandiks või
või ka selle, mis on lihtsustab seda maatriksit.
Ja see peab võrduma nulliga.
Põhjus miks see peab võrduma nulliga
on see, et me teame, et sellel maatriksil on
mitte-triviaalne tühiruum.
Ja see tõttu, ei saa
seda pöörata ja determinant peab võrduma nulliga.
seda pöörata ja determinant peab võrduma nulliga.
Meil on siin huvitav polünoomiaalne võrdus nüüd.
Meil on siin huvitav polünoomiaalne võrdus nüüd.
Võime selle lahti korrutada.
Saame mille?
Korrutame selle lahti.
Saame λ x λ - 3λ - λ + 3 - 8 = 0
Saame λ x λ - 3λ - λ + 3 - 8 = 0

Polish: 
Albo lambda kwadrat, odjąć 4 lambda,
odjąć 5, równa się 0.
I jeżeli chcecie znać terminologię
to wyrażenie tutaj nazywa się
wielomianem charakterystycznym.
wielomianem charakterystycznym.
Trochę terminologii: wielomian charakterystyczny.
Ale jeżeli chcemy znaleść wartości własne macierzy A, musimy
rozwiązać to równanie tutaj.
To jest zwykłe równanie kwadratowe.
Łatwo znaleźć rozkład na czynniki.
Zastanówny się: dwie liczby, których iloczyn jest minus 5,
a suma jest równa minus 4.
Rozwiązaniem jest minus 5 i plus 1, czyli mamy lambda odjąć 5
razu lambda dodać 1, równa się 0, zgadza się?
Minus 5 razy 1 daje minus 5, a minus 5 dodać 1 lambda
równa się minus 4 lambda.
Czyli dwa rozwiązania naszego równania charakterystycznego,
pierwiastki wielomianiu charakterystycznego to

Chinese: 
減去 等於0
如果你想知道一些術語
這個表達式被稱作
特征多項式
就是一個術語 多項式
但是如果我們想計算A的特征值
我們就不得不解這個
這就是一個基本的二次方程問題
這個實際上是可分解因子的 我們看
兩個數 你計算乘積是-5
你加上它們就得到-4
它是減5和加1 所以你得到λ-5
乘以λ+1 等於0 對吧？
-5乘以1是-5 然後-5λ
加1λ等於-4λ
這個特征方程的兩個解
我們的特征多項式被設成0

Estonian: 
Ehk λ(ruudus) - 4λ - 5 = 0
Ehk λ(ruudus) - 4λ - 5 = 0
Kui soovite selgust terminoloogias, siis see
pool võrduses on iseloomulik polünoom.
pool võrduses on iseloomulik polünoom.
Lihtsalt natuke terminoloogiat, polünoom.
Kui aga soovime leida A sisemised väärtused, siis
peame selle lahendama.
See on taandatud ruutvõrrand
Ja seda on võimalik tegurdada Viete teoreemi järgi.
kaks numbrit ja vabaliige on -5
Liites need saame -4.
-5 ja 1, see teeb (λ - 5)(λ+1) = 0
-5 ja 1, see teeb (λ - 5)(λ+1) = 0
(-5)x1 = -5λ + λ = -4λ
(-5)x1 = -5λ + λ = -4λ
Seega vastused sellele võrrandile on
Seega vastused sellele võrrandile on

Spanish: 
O lambda cuadrada, menos 4 lambda, menos
5, es igual a 0.
Y en caso de que quieras saber alguna terminologia, esta
expresion justo aqui es conocida como la caracteristica
polinomial.
Solo un poco de terminologia, polinomial.
Pero si queremos encontrar el autovalor de A, solo
tenemos que resolver esto justo aqui.
Este es solo un problema cuadratico basico.
Y de hecho se puede factorizar.
Veamos, dos numeros y si tomas el producto es menos 5,
cuando los sumas para obtener menos 4.
Es menos 5 y mas 1, asi obtenemos lambda menos 5, multiplicado
por lambda mas 1, es igual a 0, correcto?
Menos 5 multiplicado por 1 es menos 5, y entonces menos 5 lambda mas 1
lambda es igual a menos 4 lambda.
Asi las dos soluciones de nuestra ecuacion caracteristica se establece
a 0, nuestro polinomio caracteristico, son lambda es

Portuguese: 
Ou lambda ao quadrado, menos
quatro lambda, menos
cinco, que é igual a zero.
E apenas se você quiser conhecer
alguma terminologia,
esta expressão aqui é conhecida
como a polinomial característica.
Só um pouco de terminologia polinomial.
Mas se quisermos encontrar 
os autovalores para A,
temos que solucionar isto aqui.
Este é um problema quadrático básico.
E é realmente fatorável.
Vamos ver, dois números e
você tem o produto menos cinco,
quando você os soma,
você tem menos quatro.
Menos cinco e mais um, então 
você tem lambda menos cinco,
vezes lambda mais um,
que é igual a zero, certo?
Menos cinco vezes um é menos cinco,
e então menos cinco lambda mais um
lambda é igual a
menos quatro lambda.
Assim, as duas soluções da nossa
equação característica
são definidas como zero, nosso
polinomial característico,

Chinese: 
减去 等于0
如果你想知道一些术语
这个表达式被称作
特征多项式
就是一个术语 多项式
但是如果我们想计算A的特征值
我们就不得不解这个
这就是一个基本的二次方程问题
这个实际上是可分解因子的 我们看
两个数 你计算乘积是-5
你加上它们就得到-4
它是减5和加1 所以你得到λ-5
乘以λ+1 等于0 对吧？
-5乘以1是-5 然后-5λ
加1λ等于-4λ
这个特征方程的两个解
我们的特征多项式被设成0

Turkish: 
Veya lambda kare eksi 4 lambda eksi 5 eşittir 0.
-
Biraz terminoloji öğrenmek isterseniz, bu ifadeye karakteristik polinom diyoruz.
-
-
-
-
Eğer A'nın özdeğerlerini bulmak isterseniz, sadece bunu çözmeniz yeterli olur.
-
Bu, temel bir ikinci dereceden denklem sorusu halini aldı.
Ve çarpanlarına da ayırabiliriz.
İki sayının çarpımı eksi 5 olacak ve toplamı eksi 4 olacak.
-
Sayılar eksi 5 ve artı 1 olmalı, yani lambda eksi 5 çarpı lambda artı 1 eşittir 0, öyle değil mi?
-
Eksi 5 çarpı 1 eşittir eksi 5 ve eksi 5 lambda artı 1 lambda eşittir eksi 4 lambda.
-
Böylece karakteristik denklemin, yani karakteristik polinom eşittir 0'ın iki çözümü, lambda eşittir 5 veya lambda eşittir eksi 1.
-

English: 
Or lambda squared, minus
4 lambda, minus
5, is equal to 0.
And just in case you want to
know some terminology, this
expression right here is known
as the characteristic
polynomial.
Just a little terminology,
polynomial.
But if we want to find the
eigenvalues for A, we just
have to solve this right here.
This is just a basic
quadratic problem.
And this is actually
factorable.
Let's see, two numbers and you
take the product is minus 5,
when you add them
you get minus 4.
It's minus 5 and plus 1, so you
get lambda minus 5, times
lambda plus 1, is equal
to 0, right?
Minus 5 times 1 is minus 5, and
then minus 5 lambda plus 1
lambda is equal to
minus 4 lambda.
So the two solutions of our
characteristic equation being
set to 0, our characteristic
polynomial, are lambda is

Korean: 
정리하면
λ² - 4λ - 5 = 0 입니다
정리하면
λ² - 4λ - 5 = 0 입니다
이에 대한 용어를 말하자면
이 식은 특성다항식으로
알려져 있습니다
이 식은 특성다항식으로
알려져 있습니다
이 식은 특성다항식으로
알려져 있습니다
이 식은 특성다항식으로
알려져 있습니다
A의 고유값을 찾고 싶다면
이 식을 풀어야 합니다
이는 간단한 이차방정식입니다
인수분해가 가능합니다
두 수의 곱은 -5 이고
두 수의 합은 4 입니다
그 두 수는 바로
5 와 -1 입니다
즉, (λ - 5)(λ + 1) = 0 입니다
-5 × 1 = -5이고
-5λ + 1λ = -4λ 입니다
따라서, 이 특성방정식을
0으로 두고 얻은 두 해는
따라서, 이 특성방정식을
0으로 두고 얻은 두 해는

Korean: 
λ = 5 또는 λ = -1 입니다
이와 같이, 이전 영상에서 증명한
내용을 이용하여
A의 두 고유값이
λ = 5 와 λ = -1임을
A의 두 고유값이
λ = 5 와 λ = -1임을
알 수 있습니다
이제 문제의 일부를
해결하였습니다
우리는 고유값과 고유벡터를
찾고 있습니다
우리는 고유값과 고유벡터를
찾고 있습니다
이 방정식은 λ의 값이
5 또는 -1 이기 때문에
성립할 수 있습니다
고유값을 알고 있지만
고유벡터를
결정하지 않았습니다
다음 시간에 알아보도록 합시다
 

Estonian: 
λ = 5 või λ = -1
Kasutades teadmisi, mille saime eelmisest videost,
saame, et A sisemised väärtused on λ = 5 ja λ = -1
saame, et A sisemised väärtused on λ = 5 ja λ = -1
saame, et A sisemised väärtused on λ = 5 ja λ = -1
See on ainult üks osa lahendusest.
Me otsisime sisemisi väärtuseid ja sisemisi vektoreid, õigus?
Me otsisime sisemisi väärtuseid ja sisemisi vektoreid, õigus?
Teame, et võrrandi lahendid on λ = 5 ja -1.
Teame, et võrrandi lahendid on λ = 5 ja -1.
Seega, me teame sisemisi väärtuseid, aga veel on vaja
leida iseloomulikud vektorid
Sellega tegeleme juba järgmises videos.

Polish: 
lambda równe 5 lub lambda równe minus 1.
Czyli korzystając po prostu z własności, którą udowodniliśmy
w poprzednim filmie, byliśmy w stanie obliczyć,
że dwie wartości własne macierzy A, to labda równe 5
i lambda równe minus 1.
No ale to jest tylko rozwiązanie części problemu, prawda?
Wiemy, że szukamy wartości własnych
i wektorów własnych, prawda?
Wiemy, że to równanie jest spełnione przez lambdy
równe 5 albo minus 1.
Czyli znamy wartości własne, ale musimy teraz znaleźć
wektory własne.
Tym zajmiemy się w następnym filmie.
Tym zajmiemy się w następnym filmie.

Turkish: 
-
Böylece bir önceki videoda ispatladığımız bilgiyi kullanarak A'nın iki özdeğerini lambda eşittir 5 ve lambda eşittir eksi 1 olarak bulduk.
-
-
-
Şimdi sadece sorunun bir kısmını yaptık, öyle değil mi?
Hem özdeğer hem de öz yöney arıyoruz, öyle değil mi?
-
Bu denklemi 5 ve eksi 1 lambda değerlerinin sağladığını biliyoruz.
-
Özdeğerleri bulduk, ama daha öz yöneyleri bulmadık.
-
Bir sonraki videoda da öz yöneyleri bulacağız.
-

Spanish: 
igual a 5 o lambda es igual a menos 1.
Asi nomas, usando la informacion que demostramos
en el ultimo video, podemos comprender que
los dos autovalores de A son lambda es igual a 5 y lambda
es igual a 1 negativo.
Ahora que esto solo resuelve parte del problema, verdad?
Sabemos que estamos buscando autovalores y
autovectores, verdad?
Sabemos que esta ecuacion puede satisfacerse con las lambdad
con resultados 5 o menos 1.
Asi que sabemos los autovalores, pero todavia tenemos que determinar los
autovectores reales.
Asi que eso es lo que vamos a hacer en el proximo video.

Portuguese: 
são lambda igual a cinco ou 
lambda igual a menos um.
Deste modo, usando a informação
que nós provamos a nós mesmos
no último vídeo, somos 
capazes de calcular que
os dois autovalores de A são
lambda igual a cinco e lambda
igual a menos um.
Isto resolve apenas
parte do problema, certo?
Estamos procurando
por autovalores e
autovetores, certo?
Sabemos que esta equação pode
ser satisfeita com os lambdas
iguais a cinco ou a menos um.
Conhecemos os autovalores, mas
ainda temos que determinar
os autovetores reais.
É isto que nós faremos
no próximo vídeo.
[Legendado por Raiza de Souza]

Chinese: 
就是λ=5 或者λ=-1
就像这样
利用我们应经证明过的内容
在上次视频中
我们就能计算出
A的两个特征值就是λ=5
和λ=-1
现在我们解决了问题的一部分 对吧？
我们知道我们在寻找特征值和特征向量
对吧？
我们知道这个等式可以被满足
当λ=5或-1时
所以我们知道这个特征值
但是我们还没有确定特征向量
那就是我们下次视频将要做的

Chinese: 
就是λ=5 或者λ=-1
就像這樣
利用我們應經證明過的內容
在上次影片中
我們就能計算出
A的兩個特征值就是λ=5
和λ=-1
現在我們解決了問題的一部分 對吧？
我們知道我們在尋找特征值和特征向量
對吧？
我們知道這個等式可以被滿足
當λ=5或-1時
所以我們知道這個特征值
但是我們還沒有確定特征向量
那就是我們下次影片將要做的

English: 
equal to 5 or lambda is
equal to minus 1.
So just like that, using the
information that we proved to
ourselves in the last video,
we're able to figure out that
the two eigenvalues of A are
lambda equals 5 and lambda
equals negative 1.
Now that only just solves part
of the problem, right?
We know we're looking
for eigenvalues and
eigenvectors, right?
We know that this equation can
be satisfied with the lambdas
equaling 5 or minus 1.
So we know the eigenvalues, but
we've yet to determine the
actual eigenvectors.
So that's what we're going
to do in the next video.
