
Portuguese: 
Vamos agora provar o Teorema
da Divergência, que nos diz
que o fluxo através da superfície
de um campo vetorial--
e o campo vetorial que
usaremos será F.
Então o fluxo através da superfície
e posso chamar de F escalar n,
onde n é um vetor normal
da superfície
e posso multiplicar por ds--
e isso é igual a integral tripla,
somando com o volume dessa região,
somando esse volume
da divergente de F.
E já fizemos vários vídeos
explicando a intuição aqui
mas agora vamos provar isso.
E claro, vezes cada
cubo diferencial de volume.
E vamos assumir algo aqui.
Vamos assumir que estamos lidando
com uma região sólida simples.
E isso significa, formalmente,

English: 
Let's now prove the divergence
theorem, which tells us
that the flux across the
surface of a vector field--
and our vector field
we're going to think about
is F. So the flux
across that surface,
and I could call
that F dot n, where
n is a normal vector
of the surface--
and I can multiply
that times ds--
so this is equal to the
trip integral summing up
throughout the volume
of that region,
summing up that volume
of the divergence of F.
And we've done several videos
explaining the intuition here,
but now we are actually
going to prove it.
And of course, we're times
each little differential cube
of volume.
And we're going to make
an assumption here.
We're going to assume
that we're dealing
with a simple solid region.
And what this means,
more formally,

Portuguese: 
que a região que estamos pensando
pode ser tipo I, tipo II e tipo III.
Eu diria que são todas as três.
Então isso é tipos I, II e III.
E há vídeos que dizem o que
são cada uma dessas regiões,
porém muitas das formas básicas
caem nessa região sólida simples.
Como uma esfera ou um cilindro,
eles podem ser tipo I,
tipo II e tipo III.
E para as situações que não são
de regiões sólidas simples
você pode transformá-las em
regiões sólidas simples.
Mas vamos provar para esse caso aqui.
Vamos assumir que nosso campo vetorial
F pode ser escrito como P, que é
uma função de x, y e z vezes i,
mais Q, que é uma função
de x, y e z vezes j,
mais R, que é uma função
de x, y e z vezes k.

English: 
is that the region
we're thinking about
can be a type I, type
II, and type III region.
I should say it is
all of the three.
So it is types I, II, and III.
And there are videos that go
into what each of these regions
are, but a lot of
the basic shapes
fall into this
simple solid region.
Like a sphere or a
cylinder of some kind,
they can be types I,
type II, and type III.
And for a lot of situations that
aren't simple solid regions,
you can break them up
into simple solid regions.
But let's just prove it for
this case right over here.
So let's just assume
that our vector field
F can be written as P, which is
a function of x, y, and z times
i, plus Q, which is
a function of x, y,
and z times j, plus R,
which is a function of x, y,
and z times k.

Portuguese: 
Vamos pensar qual desses lados
da equação irá servir.
Bom, primeiro, o que será F escalar n?
Vamos pensar um pouco.
F escalar n será igual a esse componente
bem aqui vezes o componente i de n,
mais esse componente aqui
vezes o componente j de n,
mais esse componente aqui
vezes o componente k de n.
Então podemos escrever isso
como P vezes--
ou eu posso escrever P, abre parênteses,
o produto escalar de i e n,
e deixe-me ter certeza que
escrevo i como um vetor unitário.
Quero ser bem claro.
O que acontecerá aqui?
Se pegarmos o produto
escalar de i e n,
teremos apenas o componente i, ou seja,

English: 
So let's think about what each
of these sides of the equation
would come out to be.
Well, first of all, what
is going to be F dot n?
So let's think about
that a little bit.
F dot n is going to be
equal to this component
right over here times
n's i-component,
plus this component right over
here times n's j-component,
plus this component here
times n's k-component.
So we could write
it as P times--
or I'll just write P
open parentheses, the dot
product of i and
n, and let me make
sure I write i as a unit vector.
Now, I want to be clear.
What's going to happen
right over here?
If you take the dot
product of i and n,
you're just going to get
the i-component, the scaling

Portuguese: 
o fator escalar do componente i
do vetor normal n,
e vamos apenas multiplicar por P.
Essencialmente, o produto
dos componentes x,
ou eu creio que podemos dizer
a magnitude dos componentes x.
E para isso, vamos adicionar
Q vezes j escalar com n.
E novamente, produto escalar de j e n
temos a magnitude do componente j
desse vetor normal aqui,
e depois vezes-- ou mais, eu diria,
mais R vezes k escalar com n.
Não é como costumamos ver,
mas eu penso que é razoável
dizer que é verdade.
Isso aqui será igual a
P vezes a magnitude do componente
i do vetor normal de n,
e é exatamente o que queremos
num produto escalar.
E é o mesmo para o componente j.
E o mesmo para o componente k.
E você pode tentar definir n
sendo igual a m vezes i mais n

English: 
factor of the i-component
of the n normal vector,
and we're just going to
multiply that times P.
So that's essentially the
product of the x-components,
or I guess you could say the
magnitude of the x-components.
And then to that, we are going
to add Q times j dotted with n.
And once again, when
you dot j with n,
you get the magnitude
of the j-component
of the normal vector
right over there,
and then times-- or
plus, I should say,
plus R times k dotted with n.
This isn't how we
normally see it,
but I think it's reasonable to
say that this is actually true.
This right over
here is going to be
equal to P times the magnitude
of the i-component of n's
normal vector, which is exactly
what we want in a dot product.
This is the same thing
for the j-component.
This is the same thing
for the k-component.
And you can try it out Define
n as equal to m times i plus n

English: 
times j plus o times k,
or something like that,
and, you'll see that this
actually does work out fine.
So how could we simplify this
expression right up here?
Well, we could rewrite
the left-hand side
as-- so the surface
integral of F--
now let me write
it multiple ways.
F dot ds, which is equal to
the surface integral of F dot n
times the scalar ds is
equal to the double integral
of the surface of all of this
business right over here,
is equal to the double integral
over the surface of-- let me
just copy and paste that--
of all of that business.
And I just noticed that I forgot
to put the little unit vector
symbol, a little caret
right over there.

Portuguese: 
vezes j mais o vezes k,
ou algo parecido,
e verá que isso funciona bem.
Então como podemos simplificar
essa expressão aqui?
Bom, podemos reescrever
o lado esquerdo como--
a integral da superfície de F--
vou escrever isso várias vezes.
F escalar ds, que é igual a integral
da superfície de F escalar n
vezes o escalar ds é igual a
integral dupla da superfície
de tudo isso aqui,
é igual a integral dupla
sobre a superfície--
vou copiar e colar isso--
de tudo isso aqui.
E acabei de perceber que esqueci
de colocar o símbolo de vetor unitário,
um pequeno acento aqui.

English: 
Put some parentheses, and
then we are left with our ds.
And then this, all
of this, can be
rewritten as the
surface integral
of P times this business.
And I'll just do it in
the same color-- of P
times the dot product
of i and n ds,
plus the surface integral of
Q times the dot product of j
and n ds, plus the surface
integral of R times the dot
product of k and n-- I
Forgot a caret-- k and n ds.
So I just broke it up.
We were taking the
integral of this sum,
and so I just rewrote it as
the sum of the integrals.
So that's the left-hand
side right over here.
Now let's think about
the right-hand side.
What is the divergence of F?
And actually I'm going to
take some space up here.
What is the divergence of F?
Well, the divergence of F
based on this expression of F
is just going to
be-- let me just

Portuguese: 
Bote alguns parênteses, e então
temos o nosso ds.
E agora tudo isso pode ser reescrito
como a integral da superfície
de P vezes isso aqui.
E vou fazer na mesma cor--
de P vezes o produto escalar
de i e n, ds,
mais a integral da superfície de Q vezes
o produto escalar de j e n, ds,
mais a integral da superfície de R
vezes o produto escalar de k e n--
esqueci o acento-- k e n, ds.
E quebrei isso.
Estávamos usando a integral dessa soma,
e eu reescrevi como a soma das integrais.
E esse é o lado esquerdo aqui.
Agora vamos pensar sobre
o lado direito.
Qual a divergência de F?
Eu vou ter que pegar um espaço aqui.
Qual a divergência de F?
Bom, a divergência de F,
baseado nessa expressão de F

Portuguese: 
será-- vou escrever aqui bem pequeno.
A divergência de F será
a parcial de P com respeito a--
vou fazer numa nova cor,
pois estou usando muito esse amarelo.
A divergência de F será
a parcial de P com respeito a x,
mais a parcial de Q
com respeito a y, mais a parcial de R
com respeito a z.
E essa integral tripla aqui
pode ser escrita como a integral tripla
da parcial de P
com respeito a x, mais a parcial de Q
com respeito a y,
mais a parcial de R com respeito a z.
Isso aqui, de novo, ao invés de escrever
como a integral tripla dessa soma,
podemos escrever como
a soma de integrais triplas.
Então isso aqui pode
ser reescrito como a integral tripla
sobre nossa região tri-dimensional.
Na verdade, vou copiar e colar isso
pra não precisar reescrever.

English: 
write it over here real small.
The divergence of
F is going to be
the partial of P
with respect to-- let
me do this in a new
color, because I'm
using that yellow too much.
The divergence of
F is going to be
the partial of P with respect
to x, plus the partial of Q
with respect to y, plus the
partial of R with respect to z.
So this triple integral
right over here
could be written as the triple
integral of the partial of P
with respect to x, plus the
partial of Q with respect to y,
plus the partial of
R with respect to z.
Well, this thing, once
again, instead of writing it
as the triple
integral of this sum,
we could write it as a
sum of triple integrals.
So this thing
right over here can
be rewritten as
the triple integral
over our
three-dimensional region.
Actually, let me copy
and paste that so I
don't have to keep rewriting it.

English: 
So it's going to be equal to the
triple integral of the partial
of P with respect to x dv
plus the triple integral
of the partial of Q with respect
to y dv plus, once again,
triple integral of the partial
of R with respect to z dv.
So we've essentially restated
our divergence theorem.
This is our surface integral,
and the divergence theorem
says that this needs to
be equal to this business
right over here.
We've just written
it a different way.
And so what I'm going to
do, in order to prove it,
is just show that each of
these corresponding terms
are equal to each other, that
these are equal to each other,
that these are
equal to each other,

Portuguese: 
E será igual a integral tripla
da parcial de P
com respeito a x, dV
mais a integral tripla
da parcial de Q com respeito
a y, dV mais, de novo,
integral tripla da parcial de R
com respeito a z, dV.
E novamente retestamos
nosso Teorema da Divergência.
Essa é a integral da superfície,
e o Teorema
diz que isso precisa ser
igual a isso tudo aqui.
Escrevemos de uma forma diferente.
E o que vou fazer, para provar isso,
é mostrar que cada um desses
termos correspondentes
são iguais entre si,
que esses são iguais entre si,
que esses são iguais entre si,

Portuguese: 
e esses são iguais entre si.
Particularmente, vamos focar
a prova nisso.
E vamos usar o fato da nossa
região ser do tipo I.
Tipo I, tipo II e tipo III.
Mas usaremos o fato de ser
uma região tipo I
para provar que esses dois
são equivalentes.
E você pode usar o fato que também
é tipo II e tipo III para fazer
o mesmo argumento como
em por que isso é igual a isso
e por que isso é igual a isso.
Legendado por [Miguel Infante]
Revisado por [Rodrigo Melges]

English: 
and that these are
equal to each other.
And in particular, we're going
to focus the proof on this.
And we're going to use the fact
that our region is a type I
region.
It's a type I, type
II, and type II.
But we're going to use the
fact that it's a type I
region to prove that these
two things are equivalent.
And then you can use
the fact that it's also
a type II and type III region to
make the exact same argument as
to why this is equal to this
and why this is equal to that.
