Hola. Si queremos calcular este número que
está expresado como producto de dos logaritmos,
lo que vamos a tener que hacer es aplicar
un par de propiedades. Por ejemplo, una de las propiedades será la de la potencia.
Propiedad
que tenemos demostrada en otro video.
Y la otra propiedad que vamos a utilizar es la
que dice lo siguiente.
Sobre el final de este video, voy a dar una
justificación de esta propiedad haciendo
uso del teorema de cambio de base.
Bueno, vamos a comenzar. Lo primero que tenemos que hacer es
reescribir los números
que aparecen como potencias. Por ejemplo,
729 es 3^6. Esto lo buscamos directamente
con la calculadora. De la misma manera 64
es 2^6.
5^2 es 25.
3^2 es 9.
3^3 es 27.
5^3 es 125 y con eso ya nos vamos a arreglar.
Nos queda así, luego de reescribirlo. Que
también se puede expresar de esta manera.
Vamos a ampliar la propiedad que vamos a utilizar
acá porque veo que tengo exponentes también
en la base. Así que la propiedad completa
sería esta. Bueno, entonces, haciendo uso
de esa propiedad podemos escribir
y también podemos extraer 3 del exponente
y escribir ...
Acá tenemos 4 números que
se están multiplicando. El orden de los factores
no altera el producto. Por lo tanto podemos
operar ...
y acá vemos que tenemos estos dos iguales de
la misma manera que me lo dice la propiedad
y estos otros dos también iguales como lo
dice la propiedad.
Por lo tanto este producto
da 1 y el resultado final es 9. Quiere decir
que el número que teníamos expresado al
principio, aquí arriba, es un 9.
Esta propiedad que tuvimos que utilizar se
justifica facilmente a partir del teorema
de cambio de base. Si yo tengo logaritmo de
a en base b y le aplico el teorema para cambiar
a base a, me quedaría logaritmo de a en base
a en el numerador y logaritmo de b en base
a en el denominador. Claramente el numerador
es 1. Logaritmo de a en base a es 1. Por lo
tanto, si en esta igualdad multiplicamos ambos
miembros por logaritmo de b en base a. Es
decir, pasamos logaritmo de b en base a multiplicando
a la izquierda, nos queda finalmente ...
que era lo que queríamos probar.
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