
English: 
- [Voiceover] In the
last video, we were given
a multi variable function,
and asked to find and classify
all of its critical points.
So critical points,
just means finding where
the gradient is equal to zero,
and we found four
different points for that.
I have them down here.
They were zero zero, zero negative two,
square root of three and one,
and negative square root of three and one.
So then the next step
is to classify those.
And that requires the second
partial derivative test.
So what I'm gonna go ahead and do,
is copy down the partial derivatives.
Since we already computed those.
Copy, and then just kind
of paste them down here.
Where we can start to use them for
the second partial derivatives.
So I'm gonna clean things up a little bit,
and we don't need this
simplification of it.
So we've got our partial derivatives.
Now since we know we want to apply
the second partial derivative test.
We've got to first just
compute all of the different
second partial derivatives
of our function.

Korean: 
지난 동영상에서는 우리에게
다변수함수가 제시되었고
함수의 모든 임계점을 찾고
분류하는 문제를 풀었습니다.
임계점은 그저
gradient가 0인점을 찾는것이고
우리는 임계점에 해당하는 4개의 점을 찾았습니다.
아래의 점들이 임계점입니다.
그들은 (0,0), (0,-2)
(√3, 1)
그리고 (-√3,1) 입니다.
이제 다음 단계는 이들을 분류하는 것입니다.
이 과정은 2차 편도함수 시험을 필요로합니다.
따라서, 저는 지금 먼저
편도함수를 써놓을 것입니다.
우리는 이미 이들을 계산했습니다.
복사해서 그냥 이 밑에 붙여놓겠습니다.
그리고 이곳에서 우리가 이들을 이차 편도함수로서
사용하기 시작할 것입니다.
따라서 여기를 조금 치우고,
그리고 단순화 사킨 이 식은 필요하지 않습니다.
이제 편도함수를 다 구했습니다.
우리는 이들은 이차 편도함수 시험에
적용하고 싶다는 것을 알기 때문에
우리는 먼저 우리 함수의 서로 다른
2차 편도함수들을 계산해야 합니다.

Korean: 
그것은 가장 먼저 해야하는 일입니다.
그러면 이제 구합시다.
먼저, x에 대해서 2번 미분한
2차 편도함수입니다.
먼저 x에 대한 편도함수를 가지고
다시 x로 미분할 것입니다.
따라서, 첫번째 항은 변수와 상수를
곱한 것의 6배로 보이므로,
상수의 6배가 될 것입니다.
또한, 2번째 항은
-6x의 편도함수이므로, 그냥 -6입니다.
다음으로,
y에 대해 2번 미분한
2차 편도함수를 계산하면
y에 대해서 미분한 편도함수를 가지고,
같은 방법을 반복합니다.
x 제곱 형태의 항은 아무것도 아닌데
y를 변수로 했을 때 이 항은 상수이므로
무시합니다.
-3y^2의 편도함수는
-6x이고
-6y의 편도함수는
그냥 -6입니다.
그 다음, 매우 중요한 혼합된 편도함수를
잊어서는 안됩니다.
바로 f의 편도함수를 구하는데,
먼저, x에 대하여 미분하고

English: 
That's just kind of the first thing to do.
So let's go ahead and do it.
The second partial
derivative of the function
with respect to x twice in a row.
Will take the partial
derivative with respect to x,
and then do it with respect to x again.
So this first term looks
like six times a variable
times a constant, so it'll just be
six times that constant.
And then the second term.
The derivative of negative
six x, is just negative six.
Moving right along.
When we do the second partial derivative
with respect to y twice in a row.
We take the partial
derivative with respect to y,
and then do it again.
So this x squared term looks like nothing.
It looks like a constant
as far as y is concerned
so we ignore it.
The derivative of negative three y squared
is negative six times y,
and then the derivative of negative six y
is just negative six.
And then we can't forget
that last crucially important
mixed partial derivative term.
Which is the partial derivative of f.
Where first we do it with respect to x,

English: 
and then with respect to y.
The order doesn't really
matter in this case
since it's a perfectly
ordinary polynomial function.
So we could do it either way,
but I'm just gonna choose
to take a look at this guy
and differentiate it with respect to y.
So the derivative of the
first term with respect to y
is six x, six x.
And then that second term
looks like a constant
with respect to y, so that's all we have.
So now what we're gonna do is plug in
each of the critical points to the special
second partial derivative test expression.
And to remind you of what that is.
That expression is we take
the second partial derivative
with respect to x twice.
And I'll just write it with a kind of
shorter notation using subscripts.
Then we multiply that by the
second partial derivative
with respect to x, and
then we subtract off.
Subtract off the mixed partial
derivative term squared.
So let's go ahead and do
that for each of our points.
So when we do this at the point zero zero.
Zero zero, what we end up getting.
Plugging that into the partial derivative

Korean: 
다음 y에 대하여 미분하는 것입니다.
사실 미분 순서는 이 문제에서 별로 중요하지 않은데,
완벽하게 정상적인 다항함수이기 때문입니다.
따라서, 아무렇게나 해도 상관없는데
그냥 이 식을 가지고 y에 대하여
미분함으로써 구하겠습니다.
첫 항에 대하여 y에 대한 미분을 하면,
6x입니다.
2번째 항은 y에 대하여
상수로 보여지므로, 이게 끝입니다.
이제 무엇을 할 것이냐면,
각각의 임계점을 특별한
2차 편도함수 시험의 식에 대입할 것입니다.
그 식을 다시 알려드리면,
그 식은 먼저 x에 대하여 2번 미분한
2차 편도함수를 사용합니다.
아래 첨자를 사용하여 이들을
짧게 표기하겠습니다.
다음, x에 대한 2차 편도함수를
곱하고,
혼합된 편도함수의 제곱을 빼줍니다.
이제, 각 점에 대하여 이 식에 대입합시다.
(0,0)에 대하여 이 과정을 하면,
(0,0), 무엇을 얻게 되나면
이 점을 x에 대하여 2번 미분한

English: 
with respect to x twice.
Six times zero is zero, so
that's just negative six.
So that gives us negative
six multiplied by.
When we plug it into
this partial derivative
with respect to y squared.
Again, that y goes to zero.
So we're left with just negative six.
And then we subtract off the
mixed partial derivative term.
Which in this case is zero.
Cause when we plug in x
equals zero, we get zero.
So we're subtracting off zero squared.
And that entire thing equals negative six
times negative six is 36, 36.
And we'll get to analyzing what it means
that that's positive in just a moment,
but let's just kind of get
all of them on the board
so we can kind of start
doing this with all of them.
If we do this with zero and negative two.
Zero and negative two.
Then once we plug in y equals negative two
to this expression.
This time I'll write it out.
Six times negative two minus six,
so that's negative 12 minus six.
We'll get negative 18, negative 18.

Korean: 
편도함수에 대입하면,
6곱하기 0은 영이므로 그냥 -6입니다.
그러면 이제 -6 곱하기가 되고,
점을 y에 대하서 2번 미분한
편도함수에 대입하면,
y가 0으로 가기 때문에
그냥 -6만 남게 됩니다.
그리고 혼합된 편도함수를 빼줘야 하는데,
이 경우에는 0인데,
x에 0을 대입하면 0을 얻기 때문입니다.
따라서 0의 제곱을 빼줍니다.
그러면 전체 식은 -6 곱하기
-6은 36이 됩니다. 36
우리는 잠시후에 이 수가 양수가 되면
무엇을 의미하는 지 잠시 뒤에 알게 될것입니다.
그전에 나머지 점들도 같이 분석할 수 있게
나머지 점들에 대한 계산도 끝냅시다.
이 과정을 0과 -2에 대해서 합시다.
(0,-2)
우리가 이 식의 y에 -2를
대입합시다.
이번에는 식을 쓰겠습니다.
6 곱하기 -2 빼기 6은,
-12 빼기 6이고,
-18을 얻게 됩니다. -18

Korean: 
이제 이를 y에 대해서 2번 미분한
편도함수를 구합시다.
이번에도 살짝 쓰겠습니다.
-6 곱하기 y
는 -2 곱하기 -6과 동일합니다.
이제 -6 곱하기 -2
은 +12 빼기 6입니다.
따라서 여기에는 +6을 대입하게 될 것입니다.
이제 혼합된 편도함수를 구합시다.
다시, x는 0이므로
우리가 이렇게 하면, 혼합된 편도함수는
그저 0으로 보일 것이다.
따라서 우리는 0의 제곱을 빼는 것이므로
-18 곱하기 6을 얻게 됩니다.
우와, 18 곱하기 6이네요.
이건 36 곱하기 3입니다.
이것은 90에
18을 더하는 것과 같고, 108인 것 같습니다.
-108, 그리고 정확한 크기는 의미가 없습니다.
중요한 것의 수의 부호입니다.
그리고 이것은 분명히 음수입니다.
이제 넘어갑시다.
이런 예제들은 시간이 많이 걸립니다.
이제 √3과 1을 대입합시다.

English: 
Then when we plug it into
the partial derivative of f
with respect to y squared.
Again, I'll kinda write it out.
We have negative six times y
is equal to negative two minus six.
So now we have negative
six times negative two,
so that's positive 12 minus six.
So that will be a positive
six that we plug in here.
And then for the mixed partial derivative.
Again, x is equal to zero.
So the mixed partial
derivative is just gonna look
like zero when we do this.
So we're subtracting off zero squared
and we get negative 18 times six.
And geez what's 18 times six.
So that's gonna be 36 times three.
So that's the same as 90.
Plus 18, so I think that's 108.
Negative 108, and the specific
magnitude won't matter.
It's gonna be the sign that's important.
And this is definitely negative.
So now kind of moving right along.
These examples can take quite a while.
If we plug in square root of three one.

Korean: 
√3과 1이 우리가 가지고 있는 것입니다.
이제, y에 -2를 대입하는 것이 아니라,
y에 1을 대입합니다.
그것은 6곱하기 1 빼기 6이므로,
전체는 0이 됩니다.
그러면, y에 대해 2번 미분한
편도함수는,
-2를 대입하는 것이 아니라
이제 y에 1을 대입하는 것이므로
-6 곱하기 1 빼기 6이므로
전체가 -12가 됩니다.
따라서 -12이고, 혼합된
편도함수 항은
6x인데,
x가 √3이므로
이제는 √3의 제곱을
빼는 것입니다.
그것을 계산하면,
앞의 항은 0이 되고,
3을 빼는 것입니다.
따라서 -3입니다.
그리고 √3이 있습니다.
아. 아니군요. 방금 한 것입니다.
이제 우리는 -√3이 있습니다.
앞의 계산과 매우 동일할 것인데, 그 이유는

English: 
Square root of three one, what we get.
Now instead of plugging
in y equals negative two.
We're plugging in y equals one.
So that'll be six times one minus six.
So the whole thing is just zero.
And then for the partial derivative
with respect to y squared.
Instead of plugging in negative two.
Now we're plugging in y equals one.
So we have negative
six times one minus six
so the whole thing is negative 12.
So negative 12, and now for the
mixed partial derivative term.
Which is six x.
X is equal to the square root of three.
So now we're subtracting
off the square root
of three squared.
So what that equals is,
this first part is just entirely zero,
and we're subtracting off three.
So that's negative three.
And then we have square root of three.
No, no we don't, that's what we just did.
Now we have negative
square root of three one.
And this will be very similar
'cause this first term

English: 
just had a y and we plugged in a y.
So it's also gonna be zero.
For totally the same reasons,
and same deal over here.
The value of y didn't change.
So that's also gonna be negative 12.
Doesn't really matter cause we're
multiplying it by zero, right?
And then over here, now we're plugging in
negative square root of three,
and that's gonna have the same square.
So again we're just subtracting off three.
So what does the second partial
derivative test tell us?
Once we express this term.
If it's greater than zero.
We have a max or a min.
That's what the test tells us.
And then if it's less than zero.
If it's less than zero
we have a saddle point.
So in this case, the only
term that's greater than zero
is this first one, is this first one.
And to analyse whether it's
a maximum or a minimum.
Notice that the partial derivative
with respect to x twice in a row,
or with respect to y twice
in a row was negative.
Which indicates a sort
of negative concavity.
Meaning this corresponds to a maximum.

Korean: 
첫 항이 y만을 가지고 있었고, y를 대입했었습니다.
따라서, 똑같이 0이 될 것입니다.
완전히 같은 이유로, 여기에서도 똑같데 되고,
y의 값이 변하지 않았으므로
이 또한 -12가 될 것입니다.
사실 0으로 곱하기 때문에
상관업겠죠?
그리고 이 항에서는,  -√3을
대입하는데,
똑같은 제곱항을 만들어 낼 것입니다.
따라서 똑같이 3을 빼게 됩니다.
그러면 2차 편도함수 시험은 우리에게 무엇을 알려줄까요?
이 표현을 표현하면,
이 항이 0보다 크게 된다면,
그것은 최댓값 또는 최솟값입니다.
이것이 시험이 말해주는 것입니다.
그리고 만약 0보다 작다면,
그 점은 안장점이 됩니다.
이 예제에서는, 0보다 큰 유일한 점이
첫번째 점이었습니다.
그 점이 최댓값인지, 최솟값인지 알기 위해서는
x에 대하여 2번 미분한
2차 편도함수 또는
y에 대하여 미분한 2차 편도함수가
음수였다는 것을 인식해야 합니다.
이것은 음의 볼록성을 의미하게 되고
이는 최댓값과 대응됨을 의미합니다.

Korean: 
따라서, 이 점은 극댓값에 해당합니다.
나머지 3점들은 음수였습니다.
따라서 나머지 점들은 안장점이라는 것을 알려줍니다.
안장점.
따라서, 질문에 대한 답으로,
전통적으로 여러점을 찾고, 분류하는 방법은
4개의 서로 다른 임계점을 찾았다는 것입니다.
4개의 서로 다른 임계점.
(0,0), (0,-2), (√3, 1)
그리고 (-√3, 1)입니다.
그리고 이들은 (0,0)을 제외하고는 모두 안장점입니다.
(0,0)은 극대점입니다.
그리고 이들은 모두 우리가
함수의 그래프를 보지 않더라도 
판단할 수 있는 것이었습니다.
이것을 저는 다음 비디오에 뵙겠습니다.

English: 
So this guy corresponds
to a local maximum.
Now all of the other three
gave us negative numbers.
So all of these other three
give us saddle points.
Saddle points.
So the answer to the question.
The original find and
classify such and such points
is that we found four
different critical points.
Four different critical points.
Zero zero, zero negative two,
square root of three one,
and negative square root of three one.
And all of them are saddle
points except for zero zero.
Which is a local maximum.
And all of that is
something that we can tell
without even looking at
the graph of the function.
And with that I will see you next video.
