
Thai: 
สมมุติว่า y เท่ากับ 7
ยกกำลัง x กำลังสองลบ x
อนุพันธ์ของ y, อนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x คืออะไร?
เหมือนเดิม หยุดวิดีโอนี้
แล้วลองดูว่าคุณหาเองได้ไหม
จากวิธีที่พจน์นี้ใส่สีแทนความหมายมาก่อนแล้ว
คุณอาจสังเกตได้ทันทีว่า
มันเป็นฟังก์ชันประกอบ หรือมองเป็น
ฟังก์ชันประกอบได้
ถ้าคุณมี v ของ x ซึ่งถ้าคุณมีฟังก์ชัน v ของ x
ว่าเท่ากับ 7 ยกกำลัง x
และคุณมีฟังก์ชันอีกตัวคือ u ของ x
u ของ x ซึ่งเท่ากับ x กำลังสองลบ x
แล้วสิ่งที่คุณมีตรงนี้
y, y เท่ากับ 7 กำลังอะไรสักอย่าง
มันจะเท่ากับ v ของ -- มันไม่ใช่แค่ v ของ x
มันคือ v ของ u ของ x แทนที่จะเป็น x ตรงนี้
คุณมีฟังก์ชัน u ของ x ทั้งตัว

Bulgarian: 
Нека да кажем, че функцията y
 е равна на
7 на степен х^2 – x.
На какво е равна производната 
на функцията y спрямо x?
Както винаги, спри видеото
и виж дали може да решиш 
задачата самостоятелно.
Като се основаваш на това с какъв
цвят е била записана функцията,
може незабавно да познаеш,
че това е съставна функция, 
или може да се разглежда
като съставна функция.
Ако е дадена функция v(x),
която е равна на 7 на степен x
и имаше и друга функция u(x),
която е равна на x^2 – x.
Тогава това, което имаме ето тук,
т.е. функцията y, е равно на 7 
на някаква степен.
Следователно е равно на v 
и не просто v(x),
а е равна на v(u(x)). На мястото на x
стои цяла друга функция u(x),

English: 
- [Voiceover] Let's say
that y is equal to seven
to the x squared minus x power.
What is the derivative
of y, derivative of y,
with respect to x?
And like always, pause this video
and see if you can figure it out.
Well, based on how this has
been color-coded ahead of time,
you might immediately recognize that
this is a composite function,
or it could be viewed
as a composite function.
If you had a v of x, which
if you had a function v of x,
which is equal to seven to the xth power,
and you had another function u of x,
u of x which is equal
to x squared minus x,
then what we have right over here,
y, y is equal to seven to something,
so it's equal to v of,
and it's not just v of x,
it's v of u of x, instead of an x here
you have the whole function u of x,

Korean: 
y = 7⁽ˣ² ⁻ ˣ⁾라는
함수를 정의해봅시다
y의
x에 대한 도함수는 무엇일까요?
항상 그랬듯이, 비디오를 멈추고
계산해 보세요
당신은 이 함수가 여러가지 색으로
써져 있는 걸 보고
합성함수라는 것을 바로 알아차렸거나
알아차리지 못했다면
합성함수로 보면 돼요
v(x) 함수가 존재하여
7ˣ라고 정의해봅시다
또 다른 u(x) 함수는
x² - x라고 정의해봅시다
그럼 여길 한번 보세요
y는 7에 어떤 수를 제곱한 함수입니다
v(x)의 x에 u(x)를 대입해서
v(u(x))가 됩니다
v(x)의 x자리에 u(x) 전체가 들어가고

Czech: 
Máme funkci y rovná se 7 umocněno
na (x na druhou minus x).
Čemu se rovná
derivace y podle x?
Jako vždy si zastavte video
a zkuste na to přijít sami.
Vzhledem k tomu, jak jsem
to dopředu barevně označil,
si hned můžete všimnout,
že jde o složenou funkci,
tedy že se na to můžeme
dívat jako na složenou funkci.
Když si zadefinujeme
funkci v(x) rovná se 7 na x
a další funkci u(x) rovná se
x na druhou minus x,
pak se naše
y rovná...
Je to 7 na něco,
takže to bude
‚v‘ v bodě...
Nebude to v(x),
ale ‚v‘ v bodě u(x),

Korean: 
그 u(x)는 바로 x² - x입니다
그러므로, y = v(u(x))이고 
연쇄법칙으로
y의 x에 대한 
도함수를 구할 수 있습니다
여기서 새로운 표기법들을 사용할텐데,
v의 u에 대한 도함수가
쓰여지는 걸 보게 될 거예요
v′(u(x))에
u의 x에 대한 도함수, u′(x)를 곱합니다
이것이 첫 번째 방법입니다
우리가 구한 것이
v의 x에 대한 도함수가 아닌
v의 u에 대한 도함수 즉,
dv/du에
u의 x에 대한 도함수까지 곱한 것이
문제에서 구하는 답이에요
어떤 함수가 와도, 이 방법을 사용해서 
도함수를 구할 수 있습니다
그럼 v의 u에 대한 도함수는 뭐죠?
v'(u(x))는 뭘까요?

Czech: 
protože místo x je v exponentu celá
funkce u(x), x na druhou minus x.
Toto se tedy rovná
‚v‘ v bodě u(x).
Podle pravidla o derivaci složené
funkce se derivace y podle x...
Tuto derivaci můžeme
zapsat různě.
Občas to můžete vidět jako
derivace ‚v‘ podle ‚u‘,
tedy jako
‚v‘ s čárkou v bodě u(x),
krát derivace ‚u‘
podle x.
To je jeden
možný zápis.
Nebo můžete napsat, že toto
se rovná derivace ‚v‘ podle x...
Pardon, derivace ‚v‘ podle ‚u‘.
...dv lomeno du krát
derivace ‚u‘ podle x.
Ať už to napíšeme jakkoli,
pojďme to teď spočítat.
Čemu se rovná
derivace ‚v‘ podle ‚u‘?
Čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě u(x)?

English: 
x squared minus x.
So, it's v of u of x and
the chain rule tells us
that the derivative of
y with respect to x,
and you'll see different notations here,
sometimes you'll see it
written as the derivative
of v with respect to
u, so v prime of u of x
times the derivative
of u with respect to x,
so that's one way you could do it,
or you could say that this is equal to,
this is equal to the
derivative, the derivative of v
with respect to x, sorry,
derivative of v with respect to u,
d v d u times the derivative
of u with respect to x,
derivative of u with respect to x,
and so either way we can
apply that right over here.
So, what's the derivative
of v with respect to u?
What is v prime of u of x?

Thai: 
x กำลังสองลบ x
มันคือ v ของ u ของ x และกฎลูกโซ่บอกเรา
ว่าอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
คุณจะเห็นสัญลักษณ์ต่างออกไปตรงนี้
บางครั้ง คุณจะเห็นมันเขียนเป็นอนุพันธ์
ของ v เทียบกับ u หรือ v ไพรม์ของ u ของ x
คูณอนุพันธ์ของ u เทียบกับ x
นั่นคือวิธีหนึ่งที่คุณทำได้
หรือคุณบอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ
อันนี้เท่ากับอนุพันธ์ อนุพันธ์ของ v
เทียบกับ x โทษที อนุพันธ์ของ v เทียบกับ u
dv/du คูณอนุพันธ์ของ u เทียบกับ x
อนุพันธ์ของ u เทียบกับ x
ไม่ว่าแบบไหน เราก็ใช้มันตรงนี้ได้
อนุพันธ์ของ v เทียบกับ u คืออะไร?
v ไพรม์ของ u ของ x คืออะไร?

Bulgarian: 
която е равна на x^2 – x.
Тогава функцията е равна на v(u(x)) и 
верижното правило ни казва,
че производната на функцията y спрямо x...
за това може да срещнеш 
различни обозначения...
понякога ще срещнеш това, 
записано като производната
на v спрямо u, т.е. v'(u(x))
умножено по производната на
 u спрямо x.
Това е възможен начин, по който
 да решиш задачата,
или просто може да заявиш, 
че това е равно на
производната, производната на v
спрямо x. Извини ме, 
производната на v спрямо u.
dv върху du, умножено по 
производната на u спрямо x.
Производната на u спрямо x.
По който и да е начин можем да 
приложим този принцип още сега.
На какво е равна производната 
на v спрямо u?
На какво е равно v'(u(x))?

Bulgarian: 
Знаем, че...Нека всъщност 
да го запиша
ето тук. Ако v(x) e равно на 
7 на степен x,
то v'(x) ще бъде равно на...
Това го доказахме
в предни уроци, когато търсехме 
производните на функции със степени
и основи, които са различни от e. Това 
ще бъде равно на натурален логаритъм
от 7 по 7 на степен x.
И така, ако търсим v'(u(x)),
забележи, че на мястото на x 
във функцията,
ще имаме функцията u(x).
Следователно това ето тук ще бъде
равно на натурален логаритъм 
от 7 по 7 на степен...
Вместо да кажем 7 на степен x,
помни, че търсим производната v'(u(x)),
така че производната ще е равна на 
7 на степен x^2 – x.
На степен x^2 – x.
След това искаме да умножим този 
резултат по производната на u
спрямо x.
А u'(x) ще бъде равно

English: 
Well, we know, we know,
let me actually write it
right over here, if v of x is
equal to seven to the x power
v prime of x would be equal
to, and we've proved this
in other videos where we
take derivatives exponentials
of bases other than e, this
going to be the natural log
of seven times seven to the x power.
So, if we are taking v prime of u of x,
then notice instead of an x everywhere,
we're going to have a u of x everywhere.
So, this right over
here, this is going to be
natural log of seven times seven to the,
instead of saying seven to the x power,
remember we're taking v prime of u of x,
so it's going to be seven to
the x squared minus x power,
x squared, x squared minus x power,
and then we want to multiply
that times the derivative of u
with respect to x.
So, u prime of x, well, that's going to be

Korean: 
바로 적용시켜 써봅시다
만약 v(x) 함수가 7ˣ라면
v′(x)는,
밑이 e가 아닌 
지수함수를 미분하는 법은
다른 영상에서 다루었습니다
v′(x)는 ln7에
7ˣ를 곱한 것과 같습니다
따라서 v′(u(x))를 구할 때
x자리에는
u(x)가 들어가야 합니다
바로 여기에다 말이죠
여기서
(ln7)7에서
7은 7ˣ이 아니라
v′(u(x))이기 때문에
7⁽ˣ² ⁻ ˣ⁾,
7⁽ˣ² ⁻ ˣ⁾을 곱해야 합니다
그리고 u의 x에 대한 도함수를
곱할 거예요
따라서 u′(x)는

Czech: 
Víme...
Napíšu to sem.
Když je v(x) rovno 7 na x,
‚v‘ s čárkou v bodě x se rovná...
Toto jsme si
dokázali ve videích,
ve kterých jsme derivovali exponenciální
funkce o jiném základu než e.
Bude to přirozený logaritmus
ze 7 vynásobený 7 na x.
Když nás tedy zajímá
‚v‘ s čárkou v bodě u(x),
tak všude místo x
budeme mít u(x),
takže zde bude přirozený
logaritmus ze 7 vynásobený 7 na...
Nemůžeme napsat 7 na x, protože nás
zajímá ‚v‘ s čárkou v bodě u(x),
ale bude to 7 na
(x na druhou minus x).
Tohle teď ještě musíme
vynásobit derivací ‚u‘ podle x.

Thai: 
เรารู้ เรารู้ ขอผมเขียนมัน
ตรงนี้นะ ถ้า v ของ x เท่ากับ 7 ยกกำลัง x
v ไพรม์ของ x จะเท่ากับ, เราพิสูจน์เรื่องนี้
ไปในวิดีโออื่นแล้ว โดยเราหาอนุพันธ์
เอกซ์โพเนนเชียล
ที่มีฐานอื่นนอกจาก e 
อันนี้จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ
ของ 7 คูณ 7 กำลัง x
ถ้าเราหา v ไพรม์ของ u ของ x
สังเกตว่าแทนที่จะเป็น x ทุกที่
เราจะได้ u ของ x ทุกที่แทน
อันนี้ตรงนี้ อันนี้จะเป็น
ล็อกธรรมชาติของ 7 คูณ 7 กำลัง
แทนที่จะบอกว่า 7 ยกกำลัง x
นึกดู เราจะหา v ไพรม์ของ u ของ x
มันจะเท่ากับ 7 ยกกำลัง x กำลังสองลบ x
x กำลังสอง, x กำลังสองลบ x
แล้วเราอยากคูณมันด้วยอนุพันธ์ของ u
เทียบกับ x
u ไพรม์ของ x มันจะเท่ากับ

Korean: 
2x - 1이죠
여기다가 2x - 1을 곱해 줍시다
아 이제 됐네요
이것이 바로 y의 x에 대한 도함수예요
이걸 단순화할 수도 있어요
다른 방법으로 
다시 표현할 수도 있고요
하지만 중요한 것은
합성함수의 미분을 구하기 위해
즉, y = 7⁽ᵘ⁽ˣ⁾⁾의
미분을 구하기 위해서
공식을 사용해서 x를 u(x)에
대입하고 계산하면 됩니다
최종 답은, ln7에
7⁽ᵘ⁽ˣ⁾⁾를 곱하고
여기에 u′(x)를 곱해주기만 하면 됩니다
다시 한번 말하지만, 이것은 그저
연쇄 법칙의 적용입니다

Bulgarian: 
на 2x на степен 1, което е просто 2x, 
минус 1.
Ще умножим това
по 2x – 1 и сме готови.
Това е производната на 
функцията y спрямо x.
Може да се опитаме 
да опростим този израз
или да го представим 
по различен начин.
Но главното нещо, което
 трябва да се разбере,
е, че просто ще търсим
 производната на
7 на тази степен, т.е. производната 
на степен u(x) спрямо x.
Тоест разглеждаме u(x) по начин, 
по който бихме разглеждали
x при тази функция. Това ще бъде 
равно на натурален логаритъм от 7
умножено по 7 на степен u(x).
Вземаме този израз 
и го умножаваме по u'(x).
Още веднъж, това е просто
приложение на верижното правило.

Thai: 
2x กำลังหนึ่ง ซึ่งก็คือแค่ 2x ลบ 1
เราจึงคูณอันนี้กับ 2x
2x ลบ 1 คุณก็ได้แล้ว
นั่นคืออนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
คุณก็ คุณก็ลองจัดรูปพจน์นี้
หรือเขียนมันใหม่อีกแบบก็ได้
แต่ประเด็นสำคัญคือสังเกตว่า ดูนะ
เราจะหาอนุพันธ์ของ 7
ยกกำลังอันนี้ ยกกำลัง u ของ x 
เทียบกับ u ของ x
เรามอง u ของ x เหมือนกับที่เรามอง
x ตรงนี้ แล้วมันจะได้ล็อกของ 7
คูณ 7 ยกกำลัง u ของ x
เราหามัน แล้วคูณมันด้วย u ไพรม์ของ x
ย้ำอีกครั้ง นี่ก็แค่
การใช้กฎลูกโซ่นั่นเอง

Czech: 
‚u‘ s čárkou v bodě x je 2 krát
x na prvou, což je 2 krát x, minus 1,
takže zde musíme vynásobit
výrazem (2 krát x minus 1).
A je to, toto je
derivace y podle x.
Mohli bychom ji ještě zkusit
zjednodušit nebo nějak přepsat,
ale hlavní věcí
tady je,
že musíme udělat
derivaci (7 na u(x)) podle u(x).
S u(x) tedy počítáme tak,
jak bychom tady počítali s x,
takže dostaneme přirozený
logaritmus ze 7 vynásobený 7 na u(x).
To ale ještě musíme
vynásobit derivací ‚u‘ podle x.
K tomu všemu nám stačilo jen
pravidlo o derivaci složené funkce.

English: 
two x to the first which
is just two x minus one,
so we're going to
multiply this times two x,
two x minus one, so there you have it,
that is the derivative
of y with respect to x.
You could, we could try to simplify this
or I guess re-express
it in different ways,
but the main thing to realize is, look,
we're just gonna take the
derivative of the seven
to the this to the u of x
power with respect to u of x.
So, we treat the u of x the
way that we would've treated
an x right over here, so it's
gonna be natural log of seven
times seven to the u of x power,
we take that and multiply
that times u prime of x,
and once again this is just
an application of the chain rule.
