
English: 
Our world is made up of patterns and sequences.
They're all around us.
Day becomes night.
Animals travel across the earth in ever-changing formations.
Landscapes are constantly altering.
One of the reasons mathematics began was because we needed to find a way
of making sense of these natural patterns.
The most basic concepts of maths - space and quantity -
are hard-wired into our brains.
Even animals have a sense of distance and number,
assessing when their pack is outnumbered, and whether to fight or fly,
calculating whether their prey is within striking distance.

Russian: 
Наш мир создан из моделей 
и последовательностей.
Они окружают нас.
День сменяет ночь.
Животные распространяются по всей планете 
в вечно меняющихся формациях.
Природные ландшафты постоянно меняются.
Одной из причин возникновения математики 
была необходимость
понять значение всех этих природных моделей.
Самые основные понятия математики - 
расстояние и количество -
с момента рождения существуют 
в нашем сознании.
Даже у животных есть 
понятие расстояния и числа,
когда нужно оценить, стоит ли вступать 
в битву с враждебной стаей, 
или их слишком много, и надо бежать.
Или подсчитать, находится ли добыча 
на расстоянии атаки.

Russian: 
Элементарная математика могла определять - жить тебе или умереть.
Но именно человек принял 
эти базовые понятия
и стал основываться 
на этих математических  принципах.
В какой-то момент 
люди стали определять модели,
чтобы установить взаимосвязь, 
сосчитать и упорядочить мир вокруг себя.
Вследствие чего начала вырисовываться 
абсолютно новая, математическая вселенная.
Это река Нил.
Она давала жизнь Египту 
на протяжении тысячелетий.
Я прибыл сюда, потому что здесь
 появились первые символы
зарождения математики, 
насколько нам известно на сегодняшний день.
Люди оставили кочевой образ жизни 
и стали обосновываться здесь еще с 6000 года до н.э.
Условия идеально подходили 
для сельского хозяйства.

English: 
Understanding maths is the difference between life and death.
But it was man who took these basic concepts
and started to build upon these foundations.
At some point, humans started to spot patterns,
to make connections, to count and to order the world around them.
With this, a whole new mathematical universe began to emerge.
This is the River Nile.
It's been the lifeline of Egypt for millennia.
I've come here because it's where some of the first signs
of mathematics as we know it today emerged.
People abandoned nomadic life and began settling here as early as 6000BC.
The conditions were perfect for farming.

English: 
The most important event for Egyptian agriculture each year was the flooding of the Nile.
So this was used as a marker to start each new year.
Egyptians did record what was going on over periods of time,
so in order to establish a calendar like this,
you need to count how many days, for example,
happened in-between lunar phases,
or how many days happened in-between two floodings of the Nile.
Recording the patterns for the seasons was essential,
not only to their management of the land, but also their religion.
The ancient Egyptians who settled on the Nile banks
believed it was the river god, Hapy, who flooded the river each year.
And in return for the life-giving water,
the citizens offered a portion of the yield as a thanksgiving.
As settlements grew larger, it became necessary to find ways to administer them.

Russian: 
Одним из важнейших событий для земледелия египетян
был ежегодный разлив Нила.
Этот день в Египте считался и первым днем 
наступившего нового года.
Египтяне записывали все, что происходило в течении года,
так что, для того, 
чтобы создать подобный календарь,
нужно посчитать сколько дней, например,
прошло между фазами Луны,
или сколько дней прошло 
между двумя разливами Нила.
Ведение записей о характерных
 признаках времен года было весьма важным
не только для их земледелия, 
но и в религиозных обрядах.
Древние египтяне,
 обосновавшиеся по берегам Нила,
верили в речного бога Хапи, который 
ежегодно переполнял водой реку.
И в благодарность дающей жизнь воде
жители приносили в жертву часть урожая.
По мере расширения поселения 
возникла необходимость в его управлении.

Russian: 
Площади поселения нуждались в подсчете, 
урожайность - в прогнозировании,
налоги - в предписании и сборе.
Короче говоря, людям понадобилось 
считать и измерять.
Египтяне использовали собственное тело, 
чтобы измерить окружающий их мир,
и именно здесь появляются 
единицы измерения.
Пальма была толщиной с руку,
то есть в длину руки от локтя до пальцев.
Земельный локоть, 
отмеряющий 100 локтей,
использовался землемерами фараонов 
для подсчета площадей.
Существует строгая взаимосвязь 
между бюрократией
и развитием математики 
в древнем Египте.
И мы можем проследить 
эту связь с самого начала,
от изобретения счетной системы,
через всю историю Египта, серьезно.
У нас есть единственное подтверждение этой связи, 
относящееся к периоду Древнего царства,
это существование метрологических систем, 
то есть систем измерения площадей и длин.

English: 
Areas of land needed to be calculated, crop yields predicted,
taxes charged and collated.
In short, people needed to count and measure.
The Egyptians used their bodies to measure the world,
and it's how their units of measurements evolved.
A palm was the width of a hand,
a cubit an arm length from elbow to fingertips.
Land cubits, strips of land measuring a cubit by 100,
were used by the pharaoh's surveyors to calculate areas.
There's a very strong link between bureaucracy
and the development of mathematics in ancient Egypt.
And we can see this link right from the beginning,
from the invention of the number system,
throughout Egyptian history, really.
For the Old Kingdom, the only evidence we have
are metrological systems, that is measurements for areas, for length.

Russian: 
Их существование указывает 
на бюрократическую необходимость 
в развитии методов таких измерений.
Было жизненно важно знать площадь 
возделываемой земли, чтобы собрать 
с её хозяина соответствующий налог.
Или, чтобы в случае её уменьшения 
из-за разлива Нила, хозяин мог просить 
об уменьшении налога.
Это означает, что землемеры фараона 
часто занимались вычислениями
площадей земельных участков 
неправильной формы.
Именно потребность в решении 
таких прикладных задач
позволила им стать пионерами 
в области математики.
Древним египтянам был нужен 
какой-нибудь способ записи 
результатов своих вычислений.
Среди всех этих иероглифов, 
покрывающих разбросанные по всему Каиру 
сувениры для туристов,
я охотился за теми из них, 
которые обозначали числа, 
одни из первых в истории.
Их было трудно выследить.
Но в конце концов я их нашел.

English: 
This points to a bureaucratic need to develop such things.
It was vital to know the area of a farmer's land so he could be taxed accordingly.
Or if the Nile robbed him of part of his land, so he could request a rebate.
It meant that the pharaoh's surveyors were often calculating
the area of irregular parcels of land.
It was the need to solve such practical problems
that made them the earliest mathematical innovators.
The Egyptians needed some way to record the results of their calculations.
Amongst all the hieroglyphs that cover the tourist souvenirs scattered around Cairo,
I was on the hunt for those that recorded some of the first numbers in history.
They were difficult to track down.
But I did find them in the end.

English: 
The Egyptians were using a decimal system, motivated by the 10 fingers on our hands.
The sign for one was a stroke,
10, a heel bone, 100, a coil of rope, and 1,000, a Lotus plant.
How much is this T-shirt?
Er, 25.
25!Yes!So that would be 2 knee bones and 5 strokes.
So you're not gonna charge me anything up here?Here, one million!
One million?My God!
This one million.
One million, yeah, that's pretty big!
The hieroglyphs are beautiful, but the Egyptian number system was fundamentally flawed.
They had no concept of a place value,
so one stroke could only represent one unit,
not 100 or 1,000.
Although you can write a million with just one character,
rather than the seven that we use, if you want to write a million minus one,
then the poor old Egyptian scribe has got to write nine strokes,
nine heel bones, nine coils of rope, and so on,

Russian: 
10 пальцев на наших  руках были причиной использования древними 
египтянами десятичной системы.
Единица обозначалась чертой,
число 10 обозначалось иероглифом "пятка", 
100 - "петля верёвки", а 1000 - "лотос".
Сколько стоит эта футболка?
25 египетских фунтов.
- Двадцать пять?
- Да.
- Значит это будет 2 пятки и 5 черт.
- Значит, вы не будете загибать цену до сюда?
- Вот до сюда - один миллион!
- Один миллион?
- О Боже!
Вот это - один миллион.
Один миллион, 
да, это действительно много!
Иероглифы прекрасны, 
но числовая система древних египтян 
имела существенный изъян.
У них не было понятия числового разряда,
так что одним иероглифом "черта" можно 
было изобразить лишь единицу,
но не сотню и не тысячу.
И, хотя эта система позволяет записать 
миллион всего одним символом
вместо семи символов в привычной записи,
для записи числа "миллион минус один"
бедному старому древнеегипетскому писцу 
понадобились бы 9 иероглифов "черта",
9 "пяток", 9 "петель верёвки", 
и так далее,

English: 
a total of 54 characters.
Despite the drawback of this number system, the Egyptians were brilliant problem solvers.
We know this because of the few records that have survived.
The Egyptian scribes used sheets of papyrus
to record their mathematical discoveries.
This delicate material made from reeds decayed over time
and many secrets perished with it.
But there's one revealing document that has survived.
The Rhind Mathematical Papyrus is the most important document
we have today for Egyptian mathematics.
We get a good overview of what types of problems
the Egyptians would have dealt with in their mathematics.
We also get explicitly stated how multiplications and divisions were carried out.
The papyri show how to multiply two large numbers together.

Russian: 
всего 54 символа.
Несмотря на этот недостаток 
числовой системы, древние египтяне 
превосходно решали задачи.
Нам это известно благодаря 
немногим сохранившимся записям.
Египетские писцы 
использовали листы папируса
для записи математических открытий.
Этот хрупкий, сделанный из тростника 
материал со временем разлагался
и уносил с собой в небытие 
много секретов древности.
Но один из раскрывающих такие секреты 
документов уцелел.
Математический папирус Райнда 
является самым важным документом
о древнеегипетской математике
из тех, что сохранились.
Он дал нам исчерпывающее 
представление о том, 
с какими видами задач
приходилось сталкиваться 
древним египтянам в их математике.
Там есть подробное описание того, как 
производились операции умножения и деления.
В папирусах показано, 
как перемножить два больших числа.

Russian: 
Но для иллюстрации этого метода 
мы возьмём два числа поменьше.
Давайте перемножим 3 и 6.
Писец должен взять первое число, три, 
и расположить его в одном столбце.
Во втором столбце он должен 
поместить число один.
Затем ему нужно удваивать числа 
в каждом столбце, так что тройка 
становится шестёркой...
а 6 становится числом 12.
Затем во втором столбце 
единица становится двойкой,
а двойка становится четвёркой.
А теперь по-настоящему умный трюк.
Писец хочет перемножить 3 на 6.
Поэтому он выбирает во втором столбце 
такие степени двойки,
которые в сумме дают шесть. 
Это два плюс четыре.
Затем он возвращается 
к первому столбцу 
и просто выбирает
те ряды, которые соответствуют 
двойке и четвёрке.
Это числа 6 и 12.

English: 
But to illustrate the method, let's take two smaller numbers.
Let's do three times six.
The scribe would take the first number, three, and put it in one column.
In the second column, he would place the number one.
Then he would double the numbers in each column, so three becomes six...
..and six would become 12.
And then in the second column, one would become two,
and two becomes four.
Now, here's the really clever bit.
The scribe wants to multiply three by six.
So he takes the powers of two in the second column,
which add up to six. That's two plus four.
Then he moves back to the first column, and just takes
those rows corresponding to the two and the four.
So that's six and the 12.

English: 
He adds those together to get the answer of 18.
But for me, the most striking thing about this method
is that the scribe has effectively written that second number in binary.
Six is one lot of four, one lot of two, and no units.
Which is 1-1-0.
The Egyptians have understood the power of binary over 3,000 years
before the mathematician and philosopher Leibniz would reveal their potential.
Today, the whole technological world depends on the same principles
that were used in ancient Egypt.
The Rhind Papyrus was recorded by a scribe called Ahmes around 1650BC.
Its problems are concerned with finding solutions to everyday situations.
Several of the problems mention bread and beer,
which isn't surprising as Egyptian workers were paid in food and drink.
One is concerned with how to divide nine loaves

Russian: 
Он их складывает 
и получает в ответе 18.
Для меня наиболее поразительным 
в этом методе
является то, что писец фактически разложил 
второе из чисел в двоичной системе.
Разложение шестёрки 
это единица в разряде четвёрок, 
единица в разряде двоек 
и пусто в разряде единиц.
То есть 1-1-0.
Египтяне поняли значение двоичной 
системы счисления 
на три с лишним тысячи лет
ранее  математика и философа Лейбница,
которому ещё предстоит раскрыть её 
потенциал.
Сегодня весь мир технологий 
основан на тех же принципах,
которые использовались в Древнем Египте.
Папирус Райнда был написан писцом 
по имени Ахмес примерно в 1650 году до н.э.
Задачи из этого папируса 
посвящены разрешению ситуаций, 
возникающих ежедневно.
В нескольких задачах 
упоминаются хлеб и пиво,
что не удивительно, ведь рабочим 
в Древнем Египте платили едой и питьём.
Одна из них о том, как разделить 
девять лепёшек

English: 
equally between 10 people, without a fight breaking out.
I've got nine loaves of bread here.
I'm gonna take five of them and cut them into halves.
Of course, nine people could shave a 10th off their loaf
and give the pile of crumbs to the 10th person.
But the Egyptians developed a far more elegant solution -
take the next four and divide those into thirds.
But two of the thirds I am now going to cut into fifths,
so each piece will be one fifteenth.
Each person then gets one half
and one third
and one fifteenth.
It is through such seemingly practical problems
that we start to see a more abstract mathematics developing.
Suddenly, new numbers are on the scene - fractions -
and it isn't too long before the Egyptians are exploring the mathematics of these numbers.

Russian: 
поровну между десятью людьми, 
не вызвав при этом драки.
У меня здесь девять лепёшек.
Я возьму пять из них 
и разрежу их пополам.
Конечно, девять человек могли отрезать 
по десятой части от своей лепёшки
и отдать эту кучу обрезков 
десятому человеку.
Но египтяне придумали 
куда более элегантное решение.
Возьмём остальные четыре лепёшки 
и разделим каждую из них на три части.
Но две из них я собираюсь 
сейчас разрезать на пять кусков так,
что каждый такой кусок составит 
пятнадцатую часть лепёшки.
После чего каждый человек 
получает одну половину,
одну треть
и одну пятнадцатую лепёшки.
Именно в этих, казалось бы, 
практических задачах
мы видим первые проблески развития
 более абстрактной математики.
Неожиданно на сцене появляются 
новые числа - дроби,
и уже вскоре древние египтяне 
займутся изучением 
математики этих чисел.

Russian: 
Понятие о дроби необходимо 
на практике, например тем,
кто, торгуя на рынке, 
постоянно делит свой товар.
Чтобы вести учёт таких сделок, 
египтяне придумали обозначения 
для записи этих новых чисел.
Одно из наиболее ранних 
обозначений таких дробей
произошло от иероглифа, 
имевшего большой мистический смысл.
Он назывался Глаз Хора.
Хор в эпоху Древнего Царства 
был богом, изображаемым 
как получеловек - полусокол.
Согласно легенде, отец Хора был убит 
другим своим сыном, Сетом.
Хор решил отомстить убийце.
В одном чрезвычайно жестоком сражении
Сет вырвал у Хора глаз, разорвал его 
на части и разбросал их по Египту.
Но боги были благосклонны к Хору.
Они собрали разбросанные куски 
и восстановили глаз.
Каждая часть глаза 
изображает свою дробь.

English: 
Fractions are clearly of practical importance to anyone dividing quantities for trade in the market.
To log these transactions, the Egyptians developed notation which recorded these new numbers.
One of the earliest representations of these fractions
came from a hieroglyph which had great mystical significance.
It's called the Eye of Horus.
Horus was an Old Kingdom god, depicted as half man, half falcon.
According to legend, Horus' father was killed by his other son, Seth.
Horus was determined to avenge the murder.
During one particularly fierce battle,
Seth ripped out Horus' eye, tore it up and scattered it over Egypt.
But the gods were looking favourably on Horus.
They gathered up the scattered pieces and reassembled the eye.
Each part of the eye represented a different fraction.

English: 
Each one, half the fraction before.
Although the original eye represented a whole unit,
the reassembled eye is 1/64 short.
Although the Egyptians stopped at 1/64,
implicit in this picture
is the possibility of adding more fractions,
halving them each time, the sum getting closer and closer to one,
but never quite reaching it.
This is the first hint of something called a geometric series,
and it appears at a number of points in the Rhind Papyrus.
But the concept of infinite series would remain hidden
until the mathematicians of Asia discovered it centuries later.
Having worked out a system of numbers, including these new fractions,
it was time for the Egyptians to apply their knowledge
to understanding shapes that they encountered day to day.
These shapes were rarely regular squares or rectangles,

Russian: 
Каждая следующая из этих дробей 
является половиной предыдущей.
Хотя исходное изображение глаза 
обозначает целое,
сумма дробей, изображаемых всеми 
его частями, меньше целого на 1/64.
И хотя египтяне остановились на 1/64,
в этом изображении подразумевается
возможность добавления других дробей,
уменьшаемых с каждым шагом вдвое. 
При этом их сумма приближается 
к единице всё ближе и ближе,
но никогда её не достигает.
Это первый намёк на понятие, 
называемое геометрической прогрессией,
и он повторяется в нескольких 
местах папируса Райнда.
Но понятие бесконечного ряда 
останется скрытым,
пока математики Азии не откроют 
его столетия спустя.
После разработки системы чисел, 
включающей эти новые дроби,
для египтян настало время 
применить свои знания
для понимания форм, с которыми 
они сталкивались каждый день.
Эти формы редко были правильными -
квадратами или прямоугольниками,

Russian: 
вот и в папирусе Райнда мы видим область 
более естественной формы - круглой.
Что поражает в этих вычислениях
площади круга, так это их точность.
Нам остаётся лишь строить догадки, как 
они придумали свой метод вычислений,
ведь имеющиеся у нас тексты
об этом не сообщают.
Эти вычисления особенно интересны, 
поскольку они проистекают
из взглядов на то, как форма круга
может быть приближена формами, 
уже исследованными в Древнем Египте.
Папирус Райнда утверждает, 
что круглое поле
диаметром девять единиц
имеет площадь, близкую к площади 
квадрата со стороной восемь единиц.
Но как было найдено это соотношение?
Мне ближе теория, которая ищет 
ответ в древней игре "манкала".
Резные изображения досок для игры 
манкала были найдены на сводах храмов.
Каждый игрок начинает 
с одинаковым количеством камней,

English: 
and in the Rhind Papyrus, we find the area of a more organic form, the circle.
What is astounding in the calculation
of the area of the circle is its exactness, really.
How they would have found their method is open to speculation,
because the texts we have
do not show us the methods how they were found.
This calculation is particularly striking because it depends
on seeing how the shape of the circle
can be approximated by shapes that the Egyptians already understood.
The Rhind Papyrus states that a circular field
with a diameter of nine units
is close in area to a square with sides of eight.
But how would this relationship have been discovered?
My favourite theory sees the answer in the ancient game of mancala.
Mancala boards were found carved on the roofs of temples.
Each player starts with an equal number of stones,

English: 
and the object of the game is to move them round the board,
capturing your opponent's counters on the way.
As the players sat around waiting to make their next move,
perhaps one of them realised that sometimes the balls fill the circular holes
of the mancala board in a rather nice way.
He might have gone on to experiment with trying to make larger circles.
Perhaps he noticed that 64 stones, the square of 8,
can be used to make a circle with diameter nine stones.
By rearranging the stones, the circle has been approximated by a square.
And because the area of a circle ispi times the radius squared,
the Egyptian calculation gives us the first accurate value for pi.
The area of the circle is 64. Divide this by the radius squared,
in this case 4.5 squared, and you get a value for pi.
So 64 divided by 4.5 squared is 3.16,
just a little under two hundredths away from its true value.

Russian: 
смысл же игры в том, чтобы, 
перекладывая камни по кругу,
попутно захватывать камни соперника.
Поскольку игроки сидели кругом, 
ожидая своего следующего хода,
возможно, один из них понял, что порой
шарики заполняют круглые отверстия
игровой доски наиболее плотно.
Возможно, он начал экспериментировать,
составляя круги большего размера.
Он мог заметить, что 64 камня, 
образующие квадрат со стороной 8,
можно расположить в виде круга
с диаметром в девять камней.
Перестановкой камней круг был приближено 
составлен из частей квадрата.
А раз площадь круга в пи раз
больше квадрата своего радиуса,
то расчет египтян дает нам первое точное 
значение числа пи.
Площадь круга составляет 64. 
Разделите это число на квадрат радиуса,
в данном случае 4,5 в квадрате, 
и вы получите значение числа пи.
Итак, 64 разделенное на 4,5 в квадрате 
дает число 3,16,
всего лишь на две сотые отличающееся
 от его истинного значения.

English: 
But the really brilliant thing is, the Egyptians
are using these smaller shapes to capture the larger shape.
But there's one imposing andmajestic symbol of Egyptian
mathematics we haven't attempted to unravel yet -
the pyramid.
I've seen so many pictures that I couldn't believe I'd be impressed by them.
But meeting them face to face, you understand why they're called
one of the Seven Wonders of the Ancient World.
They're simply breathtaking.
And how much more impressive they must have been in their day,
when the sides were as smooth as glass, reflecting the desert sun.
To me it looks like there might be mirror pyramidshiding underneath the desert,
which would complete the shapes to make perfectlysymmetrical octahedrons.
Sometimes, in the shimmer of the desert heat, you can almost see these shapes.

Russian: 
Но по-настоящему восхищает
здесь то, что египтяне
используют эти малые части 
для изучения свойств целого.
Вот он - грандиозный и величественный 
символ египетской математики,
который мы ещё 
и не пытались разгадать,
пирамида.
Я видел уже так много ее фотографий, 
что, казалось, они уже не могут меня поразить.
Но, встретившись с ними лицом к лицу,
понимаешь почему в Древнем мире их назвали
одним из Семи Чудес света.
Они просто бесподобны!
И насколько более глубокое впечатление 
они, должно быть, производили тогда,
когда их стены были гладкими, 
как стекло, и сверкали на солнце.
Порой мне кажется, что под поверхностью 
пустыни скрываются и зеркальные 
отражения пирамид,
дополняющие их форму до правильного октаэдра.
Иногда в пустынном мареве можно 
даже углядеть его очертания.

English: 
It's the hint of symmetry hidden inside these shapes that makes them so impressive for a mathematician.
The pyramids are just a little short to create these perfect shapes,
but some have suggested another important mathematical concept
might be hidden inside the proportions of the Great Pyramid - the golden ratio.
Two lengths are in the golden ratio, if the relationship of the longest
to the shortest is the same as the sum of the two to the longest side.
Such a ratio has been associated with the perfect proportions one finds
all over the natural world, as well as in the work of artists,
architects and designers for millennia.
Whether the architects of the pyramids were conscious of this important mathematical idea,
or were instinctively drawn to it because of its satisfying aesthetic properties, we'll never know.
For me, the most impressive thing about the pyramidsis the mathematical brilliance
that went into making them, including the first inkling

Russian: 
Именно идея симметрии, сокрытая 
в таких формах, делает их столь 
привлекательными для математиков.
От пирамиды всего один шаг 
до создания этих идеальных форм,
но кто-то увидел и другое важное 
математическое понятие,
скрытое в пропорциях Великой пирамиды -
золотое сечение.
Две длины образуют золотое сечение, 
если отношение большей из них к меньшей
такое же, как отношение 
их суммы к большей длине.
С таким соотношением связано 
много идеальных пропорций,
как в природе, так и в мировых шедеврах
живописи и архитектуры.
Были ли архитекторы пирамид 
знакомы с этим понятием,
или же пришли к нему, инстинктивно 
следуя эстетическому восприятию,
мы никогда уже не узнаем.
Мне кажется, что самое впечатляющее 
в пирамидах - это математический талант
их творцов, впервые использовавших идею

Russian: 
одной из величайших теорем 
Древнего мира - теоремы Пифагора.
Чтобы добиться идеальных прямых углов 
при строительстве пирамид и иных зданий,
египтяне воспользовались бы верёвкой 
с завязанными на ней узлами.
В какой-то момент египтяне осознали, 
что если взять треугольник с длинами сторон
в три, четыре и пять равных промежутков 
между узлами, то получится 
идеальный прямой угол.
Так получается потому, что 32+42=52.
Значит, этот египетский треугольник - 
прямоугольный.
На самом деле любой треугольник, 
длины которого связаны между собой 
таким равенством, будет прямоугольным.
Но я почти уверен, что египтяне не додумались
до такого серьезного 
обобщения своего треугольника.
Вряд ли нам удастся найти общее 
доказательство этой теоремы,
ведь это не в духе 
древнеегипетской математики.
У них каждая задача решалась 
в конкретных числах,

English: 
of one of the great theorems of the ancient world, Pythagoras' theorem.
In order to get perfect right-angled corners on their buildings
and pyramids, the Egyptians would haveused a rope with knots tied in it.
At some point, the Egyptians realised that if they took a triangle with sides
marked with three knots, four knots and five knots, it guaranteed them aperfect right-angle.
This is because three squared, plus four squared, is equal to five squared.
So we've got a perfect Pythagorean triangle.
In fact any triangle whose sides satisfy this relationship will give me an 90-degree angle.
But I'm pretty sure that the Egyptians hadn't got
this sweeping generalisation of their 3, 4, 5 triangle.
We would not expect to find the general proof
because this is not the style of Egyptian mathematics.
Every problem was solved using concrete numbers and then

Russian: 
и если затем проводилась проверка,
то тоже для этих конкретных 
заданных чисел.
В древнеегипетских математических текстах 
общих доказательств не встречается.
Потребуется ещё 2000 лет 
прежде, чем греки и Пифагор
докажут, что длины сторон 
любого прямоугольного треугольника 
связаны этим равенством.
Это была не единственная 
математическая идея, 
предвосхищенная египтянами.
В документе 4000-летней давности 
под названием "Московский папирус" 
есть формула объёма
усечённой пирамиды, которая указывает 
на первое практическое применение идей, 
на которых основан математический анализ.
От известной своими пирамидами 
древнеегипетской цивилизации 
можно ожидать, что такие задачи
часто встречались 
в математических текстах.
Вычисление объёма усечённой пирамиды - 
одно из самых серьёзных,
по современным меркам, достижений
древнеегипетской математики.

English: 
if a verification would be carried out at the end, it would use the result
and these concrete, given numbers,
there's no general proof within the Egyptian mathematical texts.
It would be some 2,000 years before the Greeks and Pythagoras
would prove that all right-angled triangles shared certain properties.
This wasn't the only mathematical idea that theEgyptians would anticipate.
In a 4,000-year-old document called the Moscow papyrus, we find a formula for the volume
of a pyramid with its peak sliced off,which shows the first hint ofcalculus at work.
For a culture like Egypt that is famous for its pyramids, you would expect problems like this
to have been a regular feature within the mathematical texts.
The calculation of the volume of a truncated pyramid is one of the most
advanced bits, according to our modern standards of mathematics,
that we have from ancient Egypt.

Russian: 
Архитекторы и инженеры несомненно
нуждались в такой формуле для того,
чтобы вычислить количество 
необходимых для постройки материалов.
Но сам изящный метод её доказательства
говорит о высоком уровне изобретательности  
древнеегипетских математиков.
Чтобы понять, как им удалось 
вывести эту формулу, 
рассмотрим для начала такую пирамиду,
вершина которой проецируется 
в одну из вершин основания.
Из трёх таких пирамид можно собрать 
прямоугольный параллелепипед,
поэтому объём косой пирамиды составляет 
треть объёма параллелепипеда.
То есть, он равен произведению высоты, 
длины и ширины, делённому на три.
А дальше следует рассуждение, 
в котором впервые используются 
методы математического анализа,
ещё за тысячи лет до того, 
как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон 
заложили основы его теории.
Предположим, что вам удалось 
разрезать пирамиду на слои, 
тогда можно их сдвинуть так,

English: 
The architects and engineers would certainly have wanted such a formula
to calculate the amount of materials required to build it.
But it's a mark of the sophistication
of Egyptian mathematics that they were ableto produce such a beautiful method.
To understand how they derived their formula, start with a pyramid
built such that the highest point sits directly over one corner.
Three of these can be put together to make a rectangular box,
so the volume of the skewed pyramid is a third the volume of the box.
That is, the height, times the length, times the width, divided by three.
Now comes an argument which shows the very first hints of the calculus at work,
thousands of years before Gottfried Leibniz and Isaac Newton would come up with the theory.
Suppose you could cut the pyramid into slices, you could then slide

Russian: 
чтобы придать пирамиде 
симметричную форму, 
которую можно наблюдать в Гизе.
Объём пирамиды при таких сдвигах 
не меняется.
Поэтому применима та же 
формула для расчета объёма.
Древние египтяне 
были удивительными изобретателями,
их способность создавать 
новые разделы математики 
просто поражает.
Я считаю, что  именно они 
впервые раскрыли возможности 
геометрии и чисел,
а также сделали первые шаги
к некоторым из грядущих 
удивительных математических открытий.
Но была ещё одна цивилизация, 
развившая математику, достойную 
соперничать с древнеегипетской.
И нам известно гораздо больше 
об их достижениях.
Это город Дамаск, 
ему уже свыше 5000 лет,
но жизнь в нём кипит и сегодня.
Он был ключевым пунктом 
торговых путей, связывающих 
древнюю Месопотамию с Египтом.

English: 
the layers across to make the more symmetrical pyramid you see in Giza.
However, the volume of the pyramid has not changed, despite the rearrangement of the layers.
So the same formula works.
The Egyptians were amazing innovators,
and their ability to generate new mathematics was staggering.
For me, they revealed the power of geometry and numbers, and made the first moves
towards some of the exciting mathematical discoveries to come.
But there was another civilisation that had mathematics to rival that of Egypt.
And we know much more about their achievements.
This is Damascus, over 5,000 years old,
and still vibrant and bustling today.
It used to be the most important point on the trade routes, linking old Mesopotamia with Egypt.

English: 
The Babylonians controlled much of modern-day Iraq, Iran and Syria, from 1800BC.
In order to expand and run their empire, they became masters of managing and manipulating numbers.
We have law codes for instance that tell us
about the way society is ordered.
The people we know most about are the scribes, the professionally literate
and numerate people who kept the records for the wealthy families and for the temples and palaces.
Scribe schools existed from around 2500BC.
Aspiring scribes were sent there as children, and learned how to read, write and work with numbers.
Scribe records were kept on clay tablets,
which allowed the Babylonians to manage and advance their empire.
However, many of the tablets we have today aren't official documents, but children's exercises.
It's these unlikely relics that give us a rare insight into how the Babylonians approached mathematics.

Russian: 
С 1800 года до н.э. под властью 
Древнего Вавилона находилась 
большая часть современных Ирака, Ирана и Сирии.
Для того, чтобы расширять 
и поддерживать свою империю, они стали 
настоящими виртуозами в работе с числами.
Например, до нас дошёл 
свод законов, в котором
говорится об устройстве их общества.
Больше всего нам известно о писцах - 
людях, профессионально занимавшихся
письмом и счётом, ведших записи 
для богатых семейств, храмов и дворцов.
Школы писцов возникли 
примерно в 2500 году до н.э.
Писцов готовили с самого детства, 
обучая их читать, писать 
и работать с числами.
Писцы вели свои записи 
на глиняных табличках,
которые и позволили вавилонянам 
поддерживать и развивать свою империю.
Тем не менее, многие из дошедших 
до нас табличек - это не официальные 
документы, а детские упражнения.
Именно эти невзрачные находки позволили
нам проникнуть в самую суть подхода 
вавилонян к математике.

English: 
So, this is a geometrical textbook from about the 18th century BC.
I hope you can see that there are lots of pictures on it.
And underneath each picture is a text that sets a problem about the picture.
So for instance this one here says, I drew a square, 60 units long,
and inside it, I drew four circles - what are their areas?
This little tablet here was written 1,000 years at least later than the tablet here,
but has a very interesting relationship.
It also has four circles on,
in a square, roughly drawn, but this isn't a textbook, it's a school exercise.
The adult scribe who's teaching the student is being given this
as an example of completed homework or something like that.
Like the Egyptians, the Babylonians appeared interested
in solving practical problems to do with measuring and weighing.
The Babylonian solutions to these problems are written like mathematical recipes.

Russian: 
Итак, это учебник по геометрии 
примерно XVIII века до н.э.
Надеюсь, вы можете разглядеть здесь 
множество рисунков.
Под каждым рисунком сформулирована 
связанная с ним задача.
Например, в этой задаче говорится: 
"Я нарисовал квадрат со стороной 60,
а внутри него я нарисовал круги. 
Какова их площадь?"
А эта маленькая табличка была 
написана, по крайней мере, 
через 1000 лет после той,
но между ними есть 
очень интересная связь.
На ней также нарисовано четыре круга,
вписанных в квадрат. Нарисованы они 
грубо, но это не учебник, а упражнение 
для школьников.
Учитель, взрослый писец, 
давал эту табличку
как образец чего-то вроде 
выполненного домашнего задания.
Как и египтяне, жители Вавилона 
проявляли интерес
к решению прикладных задач, 
связанных с измерением и взвешиванием.
Решения этих задач вавилонскими
 математиками записаны в форме
 математических рецептов.

Russian: 
Писцу просто понадобится двигаться 
последовательно и записывать
ряд шагов, чтобы достичь результата.
Вот пример одной из типичных задач,
 которые они решали.
Здесь я взял связку палочек корицы,
но я не собираюсь их взвешивать.
Вместо этого, я намерен взять 
их четырехкратный вес 
и добавить его на весы.
Сейчас я намерен добавить 20 джинн. 
Джинн являлся мерой веса в Древнем Вавилоне.
Здесь я собираюсь взять половину 
всей связки  и затем добавить столько же...
Это две связки и десять джинн.
Все, что находится с этой стороны, 
составляет ровно одну ману. 
Одна мана равнялась шестидесяти джиннам.
У нас получилось одно из первых 
в истории математических уравнений:
все, что находится с этой стороны, 
равно одной мане.
Но чему же равен вес  связки 
палочек корицы?
При полном отсутствии 
алгебраического языка, 
они были в состоянии
управлять величинами и смогли доказать, 
что палочки корицы весили пять джинн.
На мой взгляд, как раз такой тип задач 
и принес математике несколько дурную славу.

English: 
A scribe would simply follow and record a set of instructions to get a result.
Here's an example of the kind of problem they'd solve.
I've got a bundle of cinnamon sticks here, but I'm not gonna weigh them.
Instead, I'm gonna take four times their weight and add them to the scales.
Now I'm gonna add 20 gin. Gin was the ancient Babylonian measure of weight.
I'm gonna take half of everything here and then add it again...
That's two bundles, and ten gin.
Everything on this side is equal to one mana. One mana was 60 gin.
And here, we have one of the first mathematical equations in history,
everything on this side is equal to one mana.
But how much does the bundle of cinnamon sticks weigh?
Without any algebraic language, they were able to manipulate
the quantities to be able to prove that the cinnamon sticks weighed five gin.
In my mind, it's this kind of problem which gives mathematics a bit of a bad name.

English: 
You can blame those ancient Babylonians for all those tortuous problems you had at school.
But the ancient Babylonian scribes excelled at this kind of problem.
Intriguingly, they weren't using powers of 10, like the Egyptians, they were using powers of 60.
The Babylonians invented their number system, like the Egyptians, by using their fingers.
But instead of counting through the 10 fingers on their hand,
Babylonians found a moreintriguing way to count body parts.
They used the 12 knuckles on one hand,
and the five fingers on the other to be able to count
12 times 5, ie 60 different numbers.
So for example, this number would have been 2 lots of 12, 24,
and then, 1, 2, 3, 4, 5, to make 29.
The number 60 had another powerful property.
It can be perfectly divided in a multitude of ways.

Russian: 
Вину за все те мучительные проблемы, 
с которыми вы сталкивались в школе, 
можно взвалить на древних вавилонян.
Но писцы Древнего Вавилона  
выходили за пределы задач  этого типа.
Удивительно то, что они использовали 
возможности не десятичной системы, 
как египтяне, а шестидесятиричной.
Вивилоняне придумали 
собственную числовую систему, 
основанную, как и египетская, 
на счете на пальцах.
Но вместо счета  с использованием 
десяти пальцев на своих руках,
жители Вавилона нашли 
более хитроумный способ подсчета 
с помощью частей тела.
Они использовали 
двенадцать суставов
на одной руке
и пять пальцев на другой, 
чтобы отсчитать
12 раз по 5, что давало 
60 разных чисел.
Например, это означало 
2 в разряде двенадцати, то есть 24,
а это - раз, два, три, четыре, 
пять единиц, то есть в сумме 29.
Но число 60 обладает ещё одним 
серьёзным достоинством.
Оно имеет много делителей.

Russian: 
Вот 60 бобов.
Я могу расположить их 
в два ряда по 30.
В 3 ряда по 20.
В 4 ряда по 15.
В 5 рядов по 12.
Или же в 6 рядов по 10.
Это свойство числа 60 
делает его идеальным основанием 
для системы счисления.
Шестидесятиричная система счисления 
оказалась настолько удачной, 
что мы до сих пор её используем.
Каждый раз, когда нужно узнать время, 
мы интересуемся шестидесятыми долями -
ведь в минуте 60 секунд, 
а в часе - 60 минут.
Однако важнейшей особенностью 
вавилонской числовой системы была 
значимость порядка цифр.
Как и в привычной нам десятичной системе, 
где есть разряды десятков, сотен и тысяч,
порядок цифр в вавилонской системе 
означал соответствующую им 
степень числа 60.

English: 
Here are 60 beans.
I can arrange them in 2 rows of 30.
3 rows of 20.
4 rows of 15.
5 rows of 12.
Or 6 rows of 10.
The divisibility of 60 makes it a perfect base in which to do arithmetic.
The base 60 system was so successful, we still use elements of it today.
Every time we want to tell the time, we recognise units of 60 -
60 seconds in a minute, 60 minutes in an hour.
But the most important feature of the Babylonians' number system was that it recognised place value.
Just as our decimal numbers count how many lots of tens, hundreds and thousands you're recording,
the position of each Babylonian number records the power of 60.

Russian: 
Вместо того, чтобы придумывать 
новые знаки для больших чисел,
они просто написали бы 1-1-1, 
что означало бы число 3600+60+1=3661.
Их подтолкнуло на это новшество 
желание начертить карту звёздного неба.
Древневавилонский календарь 
был основан на лунных циклах.
Они нуждались в способе записи 
по-настоящему астрономических чисел.
Месяц за месяцем, год за годом, они 
записывали свои наблюдения за луной.
Они вели список всех лунных затмений, 
начиная примерно с 800 года до н.э.
В то время вавилонская система мер 
была достаточно развитой.
У них была система угловых мер,
полный круг составлял 360 градусов,

English: 
Instead of inventing new symbols for bigger and bigger numbers,
they would write 1-1-1, so this number would be 3,661.
The catalyst for this discovery was the Babylonians' desire to chart the course of the night sky.
The Babylonians' calendar was based on the cycles of the moon.
They needed a way of recording astronomically large numbers.
Month by month, year by year, these cycles were recorded.
From about 800BC, there were complete lists of lunar eclipses.
The Babylonian system of measurement was quite sophisticated at that time.
They had a system of angular measurement,
360 degrees in a full circle, each degree was divided

Russian: 
каждый градус состоял из 60 угловых 
минут, а каждая угловая минута - 
из 60 угловых секунд.
То есть, у них была привычная нам 
система мер, и она прекрасно сочеталась 
с их числовой системой,
это было удобно не только для наблюдений, 
но и для вычислений.
Но для того, чтобы нормально работать 
с такими большими числами,
вавилонянам необходимо было 
изобрести новый символ.
И это их изобретение стало основой 
для одного из важнейших
прорывов в истории математики - 
изобретении нуля.
Сначала древние вавилоняне 
для обозначения отсутствующих цифр
внутри числа использовали 
просто пустое место.
Но тогда нужен способ показать, 
что на этом месте внутри числа 
ничего не стоит.
Поэтому они использовали 
знак пунктуации, наподобие ударения,
и он стал обозначать ноль внутри числа.
Именно так и в такой форме 
впервые в истории математики 
появилось понятие нуля.

English: 
into 60 minutes, a minute was further divided into 60 seconds.
So they had a regular system for measurement, and it was in perfect harmony with their number system,
so it's well suited not only for observation but also for calculation.
But in order to calculate and cope with these large numbers,
the Babylonians needed to invent a new symbol.
And in so doing, they prepared the ground for one of the great
breakthroughs in the history of mathematics - zero.
In the early days, the Babylonians, in order to mark an empty place in
the middle of a number, would simply leave a blank space.
So they needed a way of representing nothing in the middle of a number.
So they used a sign, as a sort of breathing marker, a punctuation mark,
and it comes to mean zero in the middle of a number.
This was the first time zero, in any form, had appeared in the mathematical universe.

English: 
But it would be over a 1,000 years before this little place holder would become a number in its own right.
Having established such a sophisticated system of numbers,
they harnessed it to tame the arid and inhospitable land that ran through Mesopotamia.
Babylonian engineers and surveyors found ingenious ways of
accessing water, and channelling it to the crop fields.
Yet again, they used mathematics to come up with solutions.
The Orontes valley in Syria is still an agricultural hub,
and the old methods of irrigation are being exploited today, just as they were thousands of years ago.
Many of the problems in Babylonian mathematics
are concerned with measuring land, and it's here we see for the first time
the use of quadratic equations, one of the greatest legacies of Babylonian mathematics.

Russian: 
Но пройдёт ещё более 1000 лет 
прежде, чем этот значок станет 
полноценным числом.
Изобретя столь сложную 
числовую систему,
они использовали её для укрощения 
засушливых недружелюбных земель 
Месопотамии.
Инженеры и землемеры 
Древнего Вавилона 
придумали оригинальные методы
добычи воды и орошения 
полей с её помощью.
И вновь для этого 
они использовали математику.
Долина реки Оронт в Сирии 
всё ещё является центром мелиорации,
где используются старые методы орошения, 
как и тысячи лет назад.
Многие задачи вавилонской математики
были связаны с землемерием, 
и именно в них мы впервые встречаемся
с квадратными уравнениями - 
одним из величайших наследий 
математики Древнего Вавилона.

Russian: 
Говоря о квадратном уравнении, 
подразумевают, что неизвестная величина,
которую мы пытаемся найти, 
входит в него умноженной на саму себя.
Мы называем это возведением 
в квадрат, так как при этом получается 
площадь квадрата,
и именно при вычислении 
площадей земельных участков
такие уравнения возникают 
естественным образом.
Вот типичный пример такой задачи.
Если прямоугольное поле 
имеет площадь 55 квадратных единиц,
а одна из его сторон 
на 6 единиц больше другой,
то какова тогда длина 
меньшей из его сторон?
Решение древних вавилонян 
состояло в том, чтобы перекроить поле, 
придав ему форму квадрата.
Отрежем с этого конца 
полоску шириной в 3 единицы
и передвинем её сюда.
Теперь до полного квадрата нам 
не хватает участка 3 на 3, 
так давайте его добавим.
При этом площадь увеличилась 
на 9 квадратных единиц.
Значит, получился участок 
площадью в 64 квадратных единицы.

English: 
Quadratic equations involve things where the unknown quantity
you're trying to identify is multiplied by itself.
We call this squaring because it gives the area of a square,
and it's in the context of calculating the area of land
that thesequadratic equations naturally arise.
Here's a typical problem.
If a field has an area of 55 units
and one side is six units longer than the other,
how long is the shorter side?
The Babylonian solution was to reconfigure the field as a square.
Cut three units off the end
and move this round.
Now, there's a three-by-three piece missing, so let's add this in.
The area of the field has increased by nine units.
This makes the new area 64.

Russian: 
То есть, стороны этого квадрата 
имеют длину 8 единиц.
Но, замечают авторы решения, 
мы прибавили к этой стороне 3 единицы.
Поэтому исходная длина 
должна равняться пяти.
Это может показаться странным, 
но перед нами одно из первых в истории 
квадратных уравнений.
В наши дни мы воспользовались бы 
алгебраическим языком символов 
для решения этой задачи.
Удивительное искусство вавилонян 
состояло в том, что они использовали 
эти геометрические игры для её решения,
не привлекая символов и формул.
Древние вавилоняне наслаждались 
самим процессом решения задач.
Они были просто влюблены в математику.
Их увлечение числами 
вскоре нашло отражение 
и в их досуге.
Они были азартными игроками.
Древние вавилоняне и их потомки

English: 
So the sides of the square are eight units.
The problem-solver knows that they've added three to this side.
So, the original length must be five.
It may not look like it, but this is one of the first quadratic equations in history.
In modern mathematics, I would use the symbolic language of algebra to solve this problem.
The amazing feat of the Babylonians is that they were using these geometric games to find the value,
without any recourse to symbols or formulas.
The Babylonians were enjoying problem-solving for its own sake.
They were falling in love with mathematics.
The Babylonians' fascination with numbers soon found a place in their leisure time, too.
They were avid game-players.
The Babylonians and their descendants have been playing

English: 
a version of backgammon for over 5,000 years.
The Babylonians played board games,
from very posh board games in royal tombs to little bits of board games found in schools,
to board games scratched on the entrances of palaces,
so that the guardsman must have played when they were bored,
and they used dice to move their counters round.
People who played games were using numbers in their leisure time to try and outwit their opponent,
doing mental arithmetic very fast,
and so they were calculating in their leisure time,
without even thinking about it as being mathematical hard work.
Now's my chance.
'I hadn't played backgammon for ages but I reckoned my maths would give me a fighting chance.'
It's up to you.Six... I need to move something.
'But it wasn't as easy as I thought.'
Ah! What the hell was that?

Russian: 
играют в нарды вот уже более 5000 лет.
Древние вавилоняне 
любили настольные игры:
от изысканных игр, найденных в царских 
гробницах, до  скромных игр, остатки 
которых находили при раскопках школ, и
до нацарапанных на полу 
игр у входов во дворцы,
так что охранники, должно быть, 
играли, когда им было скучно,
бросая кубики, чтобы перемещать 
по кругу свои фишки.
Игроки использовали числа, 
чтобы на досуге испытать 
и обхитрить своих соперников,
производя в уме быстрые вычисления,
и вот так, вычисляя на досуге,
они, сами того не понимая, 
выполняли трудную математическую работу.
Ну теперь мой шанс!
 Я уже много лет не играл в нарды, 
но самоуверенно надеюсь, 
что мои математические способности 
дадут мне шанс на победу. 
- Это вам решать.
- Шесть... и мне нужно что-то убрать.
 Но это было не так-то просто, 
как я думал. 
Ах! Да что ж такое?

Russian: 
- Да уж.
- Это раз, а это два.
Вот теперь у вас неприятности.
- Теперь я не могу ничем пойти.
- Этими вы ходить не можете.
Вот блин!
Бросайте.
Три и четыре.
Как и древние вавилоняне, 
мои соперники - настоящие мастера 
математической тактики.
Да.
Положите туда. Хорошая игра.
Общепризнанно, что вавилоняне 
одни из первых
начали делать кубики, придавая им 
формы правильных многогранников,
но серьёзные споры 
возникают вокруг вопроса о том,
действительно ли они первыми 
открыли секреты другой 
важной геометрической фигуры.
Прямоугольного треугольника.
Мы уже видели, как египтяне использовали 
соотношение сторон 3-4-5 
у прямоугольного треугольника.
Но вавилоняне обладали 
даже более глубокими 
знаниями об этой фигуре 
и других, ей подобных.

English: 
Yeah.This is one, this is two.
Now you're in trouble.
So I can't move anything. You cannot move these.
Oh, gosh.
There you go.
Three and four.
'Just like the ancient Babylonians, my opponents were masters of tactical mathematics.'
Yeah.
Put it there. Good game.
The Babylonians are recognised as one of the first cultures
to use symmetrical mathematical shapes to make dice,
but there is more heated debates about whether they might also
have been the first to discover the secrets of another important shape.
The right-angled triangle.
We've already seen how the Egyptians use a 3-4-5 right-angled triangle.
But what the Babylonians knew about this shape and others like it is much more sophisticated.

English: 
This is the most famous and controversial ancient tablet we have.
It's called Plimpton 322.
Many mathematicians are convinced it shows the Babylonians
could well have known the principle regarding right-angled triangles,
that the square on the diagonal is the sum of the squares on the sides,
and known it centuries before the Greeks claimed it.
This is a copy of arguably the most famous Babylonian tablet,
which is Plimpton 322,
and these numbers here reflect the width or height of a triangle,
this being the diagonal, the other side would be over here,
and the square of this column plus the square of the number in this column
equals the square of the diagonal.
They are arranged in an order of steadily decreasing angle,
on a very uniform basis, showing that somebody
had a lot of understanding of how the numbers fit together.

Russian: 
Перед нами наиболее известная, 
на сегодняшний день, и вызывающая споры 
древняя дощечка.
Она называется Плимптон 322.
Многие математики убеждены, 
что она - доказательство того, 
что вавилонянам
могло быть хорошо известно 
общее свойство 
прямоугольных треугольников:
квадрат гипотенузы равен 
сумме квадратов катетов,
причём известно за сотни лет 
до того, как это открыли греки.
Это копия возможно самой известной 
вавилонской таблички,
которая назвывается Плимптон 322,
эти числа обозначают 
длины катетов 
прямоугольного треугольника,
эти обозначают его гипотенузу, 
а здесь должна была быть 
другая половина таблички,
квадраты чисел в этой колонке 
в сумме с квадратами 
соответствующих чисел в этой
дают квадрат гипотенузы.
Вавилоняне расположили 
эти длины катетов и гипотенуз 
разных прямоугольных треугольников 
в порядке строгого убывания их углов -
этот порядок говорит нам о том, 
что вавилонянам
было хорошо известно, 
как эти числа соотносятся.

Russian: 
Здесь указано 15 пифагоровых троек 
целых чисел, представляющих собой 
стороны прямоугольных треугольников.
Очень заманчиво считать, что вавилоняне 
были первыми хранителями знания о 
теореме Пифагора,
и этому соблазну поддались 
целые поколения историков.
Но этим пифагоровым тройкам 
есть, возможно,
и более простое объяснение.
Это не попытка отыскать 
все пифагоровы тройки,
просто какой-то учитель математики 
делал выкладки
с целью подобрать маленькие числа,
чтобы задать своим ученикам задачи 
о прямоугольных треугольниках,
и, в некотором смысле, 
пифагоровы тройки 
появились случайно.
Более веские улики, 
которые позволили бы 
судить об их знаниях, возможно, 
стоит искать в другом месте.

English: 
Here were 15 perfect Pythagorean triangles, all of whose sides had whole-number lengths.
It's tempting to think that the Babylonians were the first custodians of Pythagoras' theorem,
and it's a conclusion that generations of historians have been seduced by.
But there could be a much simpler explanation
for the sets of three numbers which fulfil Pythagoras' theorem.
It's not a systematic explanation of Pythagorean triples, it's simply
a mathematics teacher doing some quite complicated calculations,
but in order to produce some very simple numbers,
in order to set his students problems about right-angled triangles,
and in that sense it's about Pythagorean triples only incidentally.
The most valuable clues to what they understood could lie elsewhere.

Russian: 
Эта маленькой школьной 
табличке около 4000 лет,
но она показывает, что же было известно 
в Древнем Вавилоне 
о прямоугольных треугольниках.
В ней используется идея 
теоремы Пифагора 
для нахождения одного 
удивительного нового числа.
Число, написанное вдоль диагонали, 
является очень хорошим приближением 
квадратного корня из двух,
так что это число было известно 
даже школьникам.
Почему это важно?
Потому что корень из двух - 
это, как сказали бы мы сегодня,  
иррациональное число,
то есть, если записывать его в десятичной, 
или даже шестидесятиричной форме,
то оно будет продолжаться бесконечно.
Отсюда напрашиваются 
далеко идущие выводы.
Во-первых, это означает, 
что вавилонянам было что-то известно 
о теореме Пифагора
за 1000 лет до самого Пифагора.

English: 
This small school exercise tablet is nearly 4,000 years old
and reveals just what the Babylonians did know about right-angled triangles.
It uses a principle of Pythagoras' theorem to find the value of an astounding new number.
Drawn along the diagonal is a really very good approximation to the square root of two,
and so that shows us that it was known and used in school environments.
Why's this important?
Because the square root of two is what we now call an irrational number,
that is, if we write it out in decimals, or even in sexigesimal places,
it doesn't end, the numbers go on forever after the decimal point.
The implications of this calculation are far-reaching.
Firstly, it means the Babylonians knew something of Pythagoras' theorem
1,000 years before Pythagoras.

English: 
Secondly, the fact that they can calculate this number to an accuracy of four decimal places
shows an amazing arithmetic facility, as well as a passion for mathematical detail.
The Babylonians' mathematical dexterity was astounding,
and for nearly 2,000 years they spearheaded intellectual progress in the ancient world.
But when their imperial power began to wane, so did their intellectual vigour.
By 330BC, the Greeks had advanced their imperial reach into old Mesopotamia.
This is Palmyra in central Syria, a once-great city built by the Greeks.

Russian: 
Во-вторых, тот факт, 
что они смогли найти это число 
с точностью до четырёх 
десятичных знаков после запятой,
говорит об их удивительных 
способностях в арифметике 
и страсти к математической точности.
Мастерство вавилонских математиков 
было поразительным,
они стояли во главе научного прогресса 
Древнего мира в течение примерно 2000 лет.
Но когда мощь их империи пошла на убыль,
это отразилось и на их интеллектуальной мощи.
Около 330 года до нашей эры, 
греки расширили сферу 
своих имперских интересов 
на область Древней Месопотамии.
Это Пальмира в центральной Сирии - 
некогда великий город, построенный греками.
Для строительства зданий 
таких правильных геометрических форм 
необходимо просто поразительное 
математическое мастерство.

English: 
The mathematical expertise needed to build structures with such geometric perfection is impressive.
Just like the Babylonians before them, the Greeks were passionate about mathematics.
The Greeks were clever colonists.
They took the best from the civilisations they invaded
to advance their own power and influence,
but they were soon making contributions themselves.
In my opinion, their greatest innovation was to do with a shift in the mind.
What they initiated would influence humanity for centuries.
They gave us the power of proof.
Somehow they decided that they had to have a deductive system for their mathematics
and the typical deductive system was to begin with certain axioms, which you assume are true.
It's as if you assume a certain theorem is true without proving it.
And then, using logical methods and very careful steps,
from these axioms you prove theorems

Russian: 
Как и ранее вавилоняне, 
греки были страстными 
поклонниками математики.
Греки были талантливыми колонистами.
Они брали все самое лучшее 
от цивилизации, которую покоряли
чтобы расширить 
свою собственную власть и влияние,
но при этом и сами охотно
делились своими достижениями.
По моему мнению, 
их величайшее достижение 
состояло в изменении мышления.
То, что было начато ими,
будет оказывать влияние 
на человечество в течении столетий.
Они дали нам силу доказательства.
Так или иначе, они решили, 
что должны пользоваться 
дедуктивной системой 
в своей математике,
а  такая система обычно начиналась с 
принятия на веру некоего набора аксиом.
Это равносильно тому, 
что определенная теорема  
верна без доказательств.
А затем, шаг за шагом, 
с помощью логических переходов
с помощью этих аксиом 
доказываются теоремы,

English: 
and from those theorems you prove more theorems, and it just snowballs.
Proof is what gives mathematics its strength.
It's the power or proof which means that the discoveries of the Greeks
are as true today as they were 2,000 years ago.
I needed to head west into the heart of the old Greek empire to learn more.
For me, Greek mathematics has always been heroic and romantic.
I'm on my way to Samos, less than a mile from the Turkish coast.
This place has become synonymous with the birth of Greek mathematics,
and it's down to the legend of one man.
His name is Pythagoras.
The legends that surround his life and work have contributed
to the celebrity status he has gained over the last 2,000 years.

Russian: 
и затем уже с помощью этих теорем 
доказываются новые теоремы -
это как снежный ком.
Доказательство - как раз то, 
что придаёт математике её силу.
Сила доказательства 
состоит именно в том, 
что открытия греков
так же верны сегодня, 
как и 2000 лет назад.
Для того чтобы узнать больше,
мне необходимо отправиться в самое 
сердце империи древних греков.
Лично для меня, греческая математика
 всегда была героической и романтичной.
Я на пути в Самос, 
менее чем в полутора километрах 
от побережья Турции.
Это место обычно связывают 
с рождением греческой математики,
а его легендарного жителя - 
с её расцветом.
Его имя Пифагор.
Легенды, связаные с его жизнью 
и деятельностью, способствовали
известности, которой он пользуется
в течении последних 2000 лет.

Russian: 
Ему приписывается, верно это или нет,
начало преобразования
математики, как средства для расчетов,
в аналитическую дисциплину, 
какой мы ее сегодня знаем.
Фигура Пифагора неоднозначна.
Поскольку он не оставил никаких
математических трудов, 
неоднократно возникал вопрос,
доказал ли он на самом деле 
хотя бы одну из теорем, 
из тех что ему приписывают.
В шестом веке до нашей эры 
им была основана школа в Самосе,
но его преподавательская деятельность
вызывала недоверие, 
и пифагорейцы считались 
эксцентричной сектой.
Есть достаточные основания считать,
что существовали школы пифагорейцев,
которые, возможно, выглядели больше 
похожими на секты,  чем на то, что в нашем 
понимании является философскими школами
поскольку они не просто давали знания,
а также учили жизненной философии.
Там, вероятно, жили сообществом 
и, казалось, все были
вовлечены в политическую жизнь 
своих городов.

English: 
He's credited, rightly or wrongly, with beginning the transformation
from mathematics as a tool for accounting to the analytic subject we recognise today.
Pythagoras is a controversial figure.
Because he left no mathematical writings, many have questioned
whether he indeed solved any of the theorems attributed to him.
He founded a school in Samos in the sixth century BC,
but his teachings were considered suspect and the Pythagoreans a bizarre sect.
There is good evidence that there were schools of Pythagoreans,
and they may have looked more like sects than what we associate with philosophical schools,
because they didn't just share knowledge, they also shared a way of life.
There may have been communal living and they all seemed to have been
involved in the politics of their cities.

Russian: 
Исключительной для Древнего мира 
особенностью этих школ было то, 
что в них обучали женщин.
Но сам Пифагор ассоциируется 
с пониманием того, что ускользнуло 
от египтян и вавилонян -
свойствами прямоугольных 
треугольников.
Утверждение, известное 
как теорема Пифагора, гласит:
если взять любой 
прямоугольный треугольник,
и возвести в квадрат длины всех сторон,
тогда квадрат самой длинной стороны
равен сумме квадратов 
двух меньших сторон.
Лично для меня, именно здесь 
и рождается математика
и занимает свое место среди других
 естественных наук,
и доказательство, выводы которого 
одновременно являются такими простыми 
и такими удивительными.
Разместите на этой поверхности
четыре одинаковых 
прямоугольных треугольника.
Квадрат, который 
вы сейчас видите,
имеет стороны, равные 
гипотенузе треугольника.
Передвигая эти треугольники 
по поверхности,
мы видим, каким образом 
можно видоизменить площадь 
большого квадрата,

English: 
One feature that makes them unusual in the ancient world is that they included women.
But Pythagoras is synonymous with understanding something that eluded the Egyptians and the Babylonians -
the properties of right-angled triangles.
What's known as Pythagoras' theorem
states that if you take any right-angled triangle,
build squares on all the sides, then the area of the largest square
is equal to the sum of the squares on the two smaller sides.
It's at this point for me that mathematics is born
and a gulf opens up between the other sciences,
and the proof is as simple as it is devastating in its implications.
Place four copies of the right-angled triangle
on top of this surface.
The square that you now see
has sides equal to the hypotenuse of the triangle.
By sliding these triangles around,
we see how we can break the area of the large square up

Russian: 
представив её в виде суммы 
квадратов меньшего размера,
стороны которых получены 
из двух коротких 
сторон треугольника.
Другими словами, квадрат гипотенузы
равен сумме
квадратов других сторон.
Теорема Пифагора.
Это показывает одну 
из характерных особенностей 
греческой математики -
скорее восхищение красотой 
геометрических аргументов, чем доверие к числам.
Пифагор мог впасть в немилость,
многие его открытия
были не так давно оспорены, 
но есть одна математическая теория, 
которую я все же склонен 
считать его собственной.
Он касается музыки 
и открытия гармонических  рядов.
Говорят что, однажды, 
прогуливаясь неподалеку от кузницы,
Пифагор услышал 
удары по наковальне,
и заметил, что получавшиеся ноты 
звучали в совершенной гармонии.

English: 
into the sum of two smaller squares,
whose sides are given by the two short sides of the triangle.
In other words, the square on the hypotenuse is equal to the sum
of the squares on the other sides. Pythagoras' theorem.
It illustrates one of the characteristic themes of Greek mathematics -
the appeal to beautiful arguments in geometry rather than a reliance on number.
Pythagoras may have fallen out of favour and many of the discoveries accredited to him
have been contested recently, but there's one mathematical theory that I'm loath to take away from him.
It's to do with music and the discoveryof the harmonic series.
The story goes that, walking past a blacksmith's one day,
Pythagoras heard anvils being struck,
and noticed how the notes being produced sounded in perfect harmony.

Russian: 
Он полагал, что должно быть 
определенное рациональное толкование,
которое объясняло, почему ноты звучали
так божественно.
Ответ был найден 
с помощью математики.
Экспериментируя со струнным 
инструментом, Пифагор обнаружил, 
что интервалы между
гармонично звучащими нотами 
всегда представляют собой целые числа.
И как раз на этом он мог 
построить свою теорию.
Для начала сыграйте ноту 
на свободной струне.
Затем, прижмите струну по середине.
Эта нота звучит почти также, 
как и первая.
На самом деле, она на октаву выше, 
но правила говорят нам, что эти ноты
называются точно также.
Теперь прижмите струну на трети.
Мы слышим еще одну ноту, которая звучит 
гармонично вслед за двумя первыми,

English: 
He believed that there must be some rational explanation
to make sense of why the notes sounded so appealing.
The answer was mathematics.
Experimenting with a stringed instrument, Pythagoras discovered that the intervals between
harmonious musical notes were always represented as whole-number ratios.
And here's how he might have constructed his theory.
First, play a note on the open string.
MAN PLAYS NOTE
Next, take half the length.
The note almost sounds the same as the first note.
In fact it's an octave higher, but the relationship is so strong, we give these notes the same name.
Now take a third the length.
We get another note which sounds harmonious next to the first two,

English: 
but take a length of string which is not in a whole-number ratio and all we get is dissonance.
According to legend, Pythagoras was so excited by this discovery
that he concluded the whole universe was built from numbers.
But he and his followers were in for a rather unsettling challenge to their world view
and it came about as a result of the theorem which bears Pythagoras' name.
Legend has it, one of his followers, a mathematician called Hippasus,
set out to find the length of the diagonal
for a right-angled triangle with two sides measuring one unit.
Pythagoras' theorem implied that the length of the diagonal was a number whose square was two.
The Pythagoreans assumed that the answer would be a fraction,
but when Hippasus tried to express it in this way, no matter how he tried, he couldn't capture it.
Eventually he realised his mistake.

Russian: 
но взята с длиной струны, 
которая не составляет с ними 
целочисленного соотношения, 
и мы получаем полный диссонанс.
Согласно легенде, Пифагор был 
так вдохновлен своим открытием,
что сделал вывод: вся вселенная 
построена из чисел.
Но такая картина мира  скорее беспокоила
его самого, а также его последователей.
причиной возникновения 
беспокойства послужила теорема, 
которая названа в честь Пифагора.
Легенда гласит, что 
один из его последователей 
по имени Гиппас
решил отыскать длину диагонали
прямоугольного треугольника, 
обе стороны которого равнялись единице.
Теорема Пифагора подразумевала, 
что длина  диагонали являлась числом, 
квадрат которого был равен двум.
Пифагорейцы предположили, 
что результат будет дробным,
но когда Гиппас попытался выразить его
таким образом, то, несмотря на все 
его старания, это ему не удавалось.
Со временем он понял свою ошибку.

English: 
It was the assumption that the value was a fraction at all which was wrong.
The value of the square root of two was the number that the Babylonians etched into the Yale tablet.
However, they didn't recognise the special character of this number.
But Hippasus did.
It was an irrational number.
The discovery of this new number, and others like it, is akin to an explorer
discovering a new continent, or a naturalist finding a new species.
But these irrational numbers didn't fit the Pythagorean world view.
Later Greek commentators tell the story of how Pythagoras swore his sect to secrecy,
but Hippasus let slip the discovery
and was promptly drowned for his attempts to broadcast their research.
But these mathematical discoveries could not be easily suppressed.
Schools of philosophy and science started to flourish all over Greece, building on these foundations.

Russian: 
Она состояла в том, что предположение 
о дробном значении результата  
было полностью ошибочным.
Значение квадратного корня из двух
 являлось числом, запечатленным 
вавилонянами  на табличке Яла.
Как бы то ни было, они не поняли 
особого свойства такого числа.
Но Гиппас сделал это.
Это число было иррациональным.
Открытие этого нового числа 
и других таких же, 
подобно открытию и освоению
нового континента 
или описанию натуралистом 
нового вида.
Но эти иррациональные числа 
никак не вписывались 
в пифагорейскую систему мира.
Поздние греческие историки 
рассказывают легенду о том, 
что Пифагор взял со своих 
последователей обет молчания,
но Гиппас разгласил эту тайну
и вскоре за это поплатился, 
утонув в морской пучине.
Такие математические открытия 
не так-то просто оставить в тайне.
На их почве по всей Греции 
начали расцветать философские 
и научные школы.

Russian: 
И самая известная из них - Академия.
Эту школу в Афинах основал 
Платон в 387 году до н.э.
И хотя сегодня он известен нам 
как философ, он занял видное место 
и в математике.
Платон был восхищён 
пифагорейским взглядом на мир
и считал математику 
основой всех знаний.
Есть мнение, что именно Платон 
оказал самое большое влияние
на наше восприятие 
древнегреческой математики.
Он доказывал, что математика - 
это важная форма знания,
и что она связана с реальным миром.
Так что, познавая математику, 
мы познаём и мир.
Платон в своём диалоге "Тимей"
приводит тезис о том, 
что геометрия - это ключ к разгадке
тайн вселенной - с этим согласны 
и современные учёные.
Действительно, вся важность, 
которую придавал Платон геометрии,

English: 
The most famous of these was the Academy.
Plato founded this school in Athens in 387 BC.
Although we think of him today as a philosopher, he was one of mathematics' most important patrons.
Plato was enraptured by the Pythagorean world view
and considered mathematics the bedrock of knowledge.
Some people would say that Plato is the most influential figure
for our perception of Greek mathematics.
He argued that mathematics is an important form of knowledge
and does have a connection with reality.
So by knowing mathematics, we know more about reality.
In his dialogue Timaeus, Plato proposes the thesis that geometry is the key to unlocking
the secrets of the universe, a view still held by scientists today.
Indeed, the importance Plato attached to geometry is encapsulated

Russian: 
заключена в надписи над входом в Академию: 
"Пусть не останется равнодушным к геометрии 
всякий, сюда входящий."
Платон считал, что всё во Вселенной 
составлено из пяти правильных 
симметричных форм.
Эти формы, называемые теперь 
платоновыми телами,
составлены из правильных 
многоугольников, образующих
симметричные трёхмерные объекты.
Тетраэдр представлял элемент огня.
Икосаэдр, составленный 
из 20 треугольников, 
представлял элемент воды.
Устойчивый куб 
представлял собой элемент Земли.
Октаэдр, со своими восемью гранями, 
представлял элемент воздуха.
А пятое платоново тело, додекаэдр,
составленный из 12 пятиугольников, 
обозначал пятый элемент,
вобравший в себя все представления 
Платона о Вселенной.
Теория Платона продолжала вдохновлять 
и потрясать воображение
математиков и астрономов 
на протяжении более чем 1500 лет.

English: 
in the sign that was mounted above the Academy, "Let no-one ignorant of geometry enter here."
Plato proposed that the universe could be crystallised into five regular symmetrical shapes.
These shapes, which we now call the Platonic solids,
were composed of regular polygons, assembled to create
three-dimensional symmetrical objects.
The tetrahedron represented fire.
The icosahedron, made from 20 triangles, represented water.
The stable cube was Earth.
The eight-faced octahedron was air.
And the fifth Platonic solid, the dodecahedron,
made out of 12 pentagons, was reserved for the shape
that captured Plato's view of the universe.
Plato's theory would have a seismic influence and continued to inspire
mathematicians and astronomers for over 1,500 years.

English: 
In addition to the breakthroughs made in the Academy,
mathematical triumphs were also emerging from the edge of the Greek empire,
and owed as much to the mathematical heritage of the Egyptians as the Greeks.
Alexandria became a hub of academic excellence under the rule of the Ptolemies in the 3rd century BC,
and its famous library soon gained a reputation to rival Plato's academy.
The kings of Alexandria were prepared to invest in the arts and culture,
in technology, mathematics, grammar,
because patronage for cultural pursuits
was one way of showing that you were a more prestigious ruler,
and had a better entitlement to greatness.
The old library and its precious contents were destroyed
when the Muslims conquered Egypt in the 7th Century.

Russian: 
Помимо выдающихся 
достижений Академии,
математика Древней Греции 
прославилась и успехами своей окраины,
унаследовавшей не меньше знаний 
от египтян, чем от греков.
Александрия стала центром 
математического просвещения 
во времена правления 
Птолемеев в III веке до н.э.,
и совсем скоро репутация её знаменитой 
библиотеки  смогла соперничать 
с платоновской Академией.
Цари Александрии охотно жертвовали 
на искусства и ремёсла,
на развитие технологий, 
математики и грамотности,
ведь поддержка культурного развития
была одним из способов 
доказать своё превосходство 
над другими правителями
и давала больше прав 
называться великими.
Древняя библиотека была уничтожена 
со всеми своим ценным содержимым,
когда мусульмане в VII веке 
захватили Египет.

English: 
But its spirit is alive in a new building.
Today, the library remains a place of discovery and scholarship.
Mathematicians and philosophers flocked to Alexandria,
driven by their thirst for knowledge and the pursuit of excellence.
The patrons of the library were the first professional scientists,
individuals who were paid for their devotion to research.
But of all those early pioneers,
my hero is the enigmatic Greek mathematician Euclid.
We know very little about Euclid's life,
but his greatest achievements were as a chronicler of mathematics.
Around 300 BC, he wrote the most important text book of all time -
The Elements. In The Elements,
we find the culmination of the mathematical revolution
which had taken place in Greece.

Russian: 
Но её дух живёт в новом здании.
Сегодня библиотека остаётся 
местом учёбы и открытий.
Математики и философы со всего мира 
стекаются в Александрию,
окрыленные жаждой знаний 
и стремлением к совершенству.
Именно в этой древней библиотеке 
появились первые профессиональные учёные -
люди, получавшие деньги 
за своё верное служение науке.
Но из всех этих пионеров науки
больше всех мне нравится 
таинственный греческий математик Евклид.
Мы мало знаем о его жизни,
но величайший вклад в науку 
он сделал как летописец математики.
Примерно в 300 году до н.э. 
он написал самый великий 
учебник всех времён -
"Элементы". В его "Элементах"
мы видим кульминацию 
революции в математике,
которая произошла в Греции.

English: 
It's built on a series of mathematical assumptions, called axioms.
For example, a line can be drawn between any two points.
From these axioms, logical deductions are made and mathematical theorems established.
The Elements contains formulas for calculating the volumes of cones
and cylinders, proofs about geometric series,
perfect numbers and primes.
The climax of The Elements is a proof that there are only five Platonic solids.
For me, this last theorem captures the power of mathematics.
It's one thing to build five symmetrical solids,
quite another to come up with a watertight, logical argument for why there can't be a sixth.
The Elements unfolds like a wonderful, logical mystery novel.
But this is a story which transcends time.
Scientific theories get knocked down, from one generation to the next,

Russian: 
Изложение в книге построено 
на системе математических допущений, 
называемых аксиомами.
Например, "через любые две точки 
можно провести прямую".
Далее, исходя из этих аксиом, 
путём логического вывода 
доказываются теоремы.
"Элементы" содержат формулы для 
вычисления объёмов конусов и цилиндров,
доказательства теорем 
о геометрических прогрессиях,
о совершенных и простых числах.
Наивысшим достижением "Элементов" 
стало доказательство существования 
ровно пяти платоновых тел.
По моему мнению, эта теорема 
улавливает всю мощь математики.
Одно дело просто построить 
пять симметричных тел,
и совсем другое - неопровержимым 
логическим рассуждением показать, 
что шестого такого тела не существует.
Повествование в "Элементах" 
разворачивается как в удивительном 
и таинственном логическом рассказе.
Этот рассказ находится вне времени.
Одна за другой рушатся 
научные теории,

English: 
but the theorems in The Elements are as true today as they were 2,000 years ago.
When you stop and think about it, it's really amazing.
It's the same theorems that we teach.
We may teach them in a slightly different way, we may organise them differently,
but it's Euclidean geometry that is still valid,
and even in higher mathematics, when you go to higher dimensional spaces,
you're still using Euclidean geometry.
Alexandria must have been an inspiring place for the ancient scholars,
and Euclid's fame would have attracted even more eager, young intellectuals to the Egyptian port.
One mathematician who particularly enjoyed the intellectual environment in Alexandria was Archimedes.
He would become a mathematical visionary.
The best Greek mathematicians, they were always pushing the limits,
pushing the envelope.
So, Archimedes...
did what he could with polygons,

Russian: 
но теоремы из "Элементов" 
остаются верными сегодня, 
как и 2000 лет назад.
Если вы задержитесь на минуту, 
чтобы об этом подумать, 
то поймёте, насколько это поразительно.
Именно эти теоремы 
мы изучаем в школе.
Мы можем изучать их немного иначе, 
в другой последовательности,
но это всё та же геометрия Евклида, 
которая всё так же верна,
и даже в высшей математике, при 
переходе к многомерным пространствам,
мы также пользуемся геометрией Евклида.
Вполне возможно, что Александрия 
вдохновляла древних учёных,
а слава Евклида привлекала сюда 
всё больше молодых энергичных умов.
Одним из таких математических умов, 
наслаждавшихся атмосферой научных открытий 
в Александрии, был Архимед.
Ему суждено было стать 
математическим провидцем.
Лучшие математики Древней Греции 
всегда пытались раздвинуть 
горизонты сознания,
преодолевая все преграды.
Поэтому Архимед
упорно занимался многоугольниками
и объёмными телами.

English: 
with solids.
He then moved on to centres of gravity.
He then moved on to the spiral.
This instinct to try and mathematise everything
is something that I see as a legacy.
One of Archimedes' specialities was weapons of mass destruction.
They were used against the Romans when they invaded his home of Syracuse in 212 BC.
He also designed mirrors, which harnessed the power of the sun,
to set the Roman ships on fire.
But to Archimedes, these endeavours were mere amusements in geometry.
He had loftier ambitions.
Archimedes was enraptured by pure mathematics and believed in studying mathematics for its own sake
and not for the ignoble trade of engineering or the sordid quest for profit.

Russian: 
Потом он занялся нахождением 
центров тяжести.
Потом - изучением свойств спиралей.
Этот инстинкт математизации всего вокруг,
по моему мнению, является врождённым.
Помимо прочего, Архимед был специалистом 
и в области орудий массового поражения.
Их использовали против римлян, 
которые вторглись на Сиракузы 
в 212 году до н.э.
Он также изобрёл зеркала, 
которые подожгли римский флот,
используя энергию солнца.
Но для Архимеда это были лишь 
геометрические забавы.
Предмет его амбиций был более возвышен.
Архимед был восхищен чистой математикой, 
и верил в смысл её изучения ради неё самой,
а не ради презренной торговли 
или создания механизмов на заказ 
для получения прибыли.

Russian: 
Одно из лучших его исследований 
в чистой математике
посвящено отысканию формул 
для площадей фигур правильной формы.
Его метод состоял в том, 
чтобы использовать 
уже изученные фигуры 
для исследования новых фигур.
Например, чтобы найти площадь круга,
он вписал бы этот круг в треугольник, 
а затем, удваивая в треугольнике 
количество сторон,
стремился приблизить форму 
получающейся фигуры к кругу.
И правда, мы ведь иногда 
даже называем круг
многоугольником 
с бесконечным числом сторон.
Но, вычисляя площадь круга, Архимед
 на самом деле
получает значение числа пи - важнейшую
математическую величину.
Так или иначе, Архимед 
прославился именно своим подсчётом 
объёмов тел.
Он нашел способ вычислить объём сферы,
разделяя её на слои и
приближенно представляя каждый
слой в виде цилиндра.
Затем он сложил объёмы этих слоёв,
тем самым получая приближенное 
значение объёма сферы.

English: 
One of his finest investigations into pure mathematics
was to produce formulas to calculate the areas of regular shapes.
Archimedes' method was to capture new shapes by using shapes he already understood.
So, for example, to calculate the area of a circle,
he would enclose it inside a triangle, and then by doubling the number of sides on the triangle,
the enclosing shape would get closer and closer to the circle.
Indeed, we sometimes call a circle
a polygon with an infinite number of sides.
But by estimating the area of the circle, Archimedes is, in fact,
getting a value for pi, the most important number in mathematics.
However, it was calculating the volumes of solid objects where Archimedes excelled.
He found a way to calculate the volume of a sphere
by slicing it up and approximating each slice as a cylinder.
He then added up the volumes of the slices
to get an approximate value for the sphere.

English: 
But his act of genius was to see what happens
if you make the slices thinner and thinner.
In the limit, the approximation becomes an exact calculation.
But it was Archimedes' commitment to mathematics that would be his undoing.
Archimedes was contemplating a problem about circles traced in the sand.
When a Roman soldier accosted him,
Archimedes was so engrossed in his problem that he insisted that he be allowed to finish his theorem.
But the Roman soldier was not interested in Archimedes' problem and killed him on the spot.
Even in death, Archimedes' devotion to mathematics was unwavering.

Russian: 
Но поистине гениальным  было увидеть, 
что происходит
если делать эти слои 
все тоньше и тоньше.
В своем пределе приблизительное значение 
становится точным.
Но это был долг Архимеда математике,
который останется неоплаченным.
Архимед был занят решением задачи
о начерченных на песке кругах.
Когда к нему обратился солдат-римлянин,
Архимед был так поглощен 
этой задачей, настаивая, 
что ему следует завершить теорему.
Но римский солдат не интересовался 
задачей Архимеда и тут же убил его.
Даже перед лицом смерти, поражала преданность Архимеда математике.

Russian: 
С середины I века до нашей эры,
римляне распространили свое господство
на империю Древних греков.
Они не были склонны просто восхищаться
красотой математики
и более интересовались 
её практическим применением.
Такой прагматичный подход 
предупреждал о начале конца 
великой Александрийской библиотеки.
Но один математик был призван сохранить
жизненную силу наследия греков.
Ипатия была единственной в своем роде 
женщиной-математиком,
и язычницей в религиозной 
Христианской Римской империи.
В свое время Ипатия пользовалась
 большим уважением и была весьма влиятельна.
У неё было огромное количество 
учеников и последователей.
В Александрии она обладала 
политическим влиянием.
Так что такое сочетание из...

English: 
By the middle of the 1st Century BC,
the Romans had tightened their grip on the old Greek empire.
They were less smitten with the beauty of mathematics
and were more concerned with its practical applications.
This pragmatic attitude signalled the beginning of the end for the great library of Alexandria.
But one mathematician was determined to keep the legacy of the Greeks alive.
Hypatia was exceptional, a female mathematician,
and a pagan in the piously Christian Roman empire.
Hypatia was very prestigious and very influential in her time.
She was a teacher with a lot of students, a lot of followers.
She was politically influential in Alexandria.
So it's this combination of...

Russian: 
высокообразованности и влиятельности
возможно сделало её
ненавистной фигурой...
для христианской толпы.
Однажды утром в период Великого поста,
безудержная христианская толпа
стащила Ипатию с её колесницы
и поволокла в церковь.
Там её мучили  и затем зверски убили.
Полные драматизма обстоятельства 
её жизни и смерти
произвели сильное впечатление 
на последующие  поколения.
К сожалению, её культовый статус
 заслонял её математические достижения.
На самом деле, она была талантливым 
преподавателем и теоретиком,
и её смерть нанесла окончательный удар
по математическому наследию греков 
в Александрии.

English: 
high knowledge and high prestige that may have made her
a figure of hatred for...
the Christian mob.
One morning during Lent, Hypatia was dragged off her chariot
by a zealous Christian mob and taken to a church.
There, she was tortured and brutally murdered.
The dramatic circumstances of her life and death
fascinated later generations.
Sadly, her cult status eclipsed her mathematical achievements.
She was, in fact, a brilliant teacher and theorist,
and her death dealt a final blow to the Greek mathematical heritage of Alexandria.

Russian: 
Мои странствия превратились 
в удивительное  путешествие,  
которое открывает
страсть и новаторство 
первых математиков нашего мира.
Эти открытия, совершенные 
первопроходцами из Египта, 
Вавилона и Греции,
представляют собой основы,
на которых и построена 
современная математика.
Но это лишь начало 
моей математической  одиссеи.
Далее мой путь лежит на восток,
 в центральную Азию,
где математики достигли даже 
более значительных высот
в поисках знания.
С началом новой эры появился 
 новый язык алгебры и чисел,
более подходящий для написания 
следующей главы в истории математики.
Об истории математики 
можно узнать больше
на сайте Открытого университета
www.open2.net
Переведено на сайте www.notabenoid.com
http://notabenoid.com/book/8753/26301
Переводчики: Betelgeuse_990, gromitt, cepylka, Irina73, kot_xydozhnika

English: 
My travels have taken me on a fascinating journey to uncover
the passion and innovation of the world's earliest mathematicians.
It's the breakthroughs made by those early pioneers of Egypt, Babylon and Greece
that are the foundations on which my subject is built today.
But this is just the beginning of my mathematical odyssey.
The next leg of my journey lies east, in the depths of Asia,
where mathematicians scaled even greater heights
in pursuit of knowledge.
With this new era came a new language of algebra and numbers,
better suited to telling the next chapter in the story of maths.
You can learn more about the story of maths
with the Open University at...
