
English: 
SIMON PAMPENA: I want to take
a little bit of a departure
from looking at specific numbers
and ask the question,
how do you measure numbers?
This was one of the most
challenging things I came
across studying maths at uni,
was this notion of how to
measure, mathematically
measure.
So this is what I'm
going to do.
I'm going to show you the
real number line.
Yeah, you're familiar
with that right?
So think about this.
This is the real number line.
It's there in your head.
So here's my question.
What's the distance
between 3 and 4?
What's the measure?
How long is that section?
BRADY HARAN: 1.
SIMON PAMPENA: 1.
How did you get that?
BRADY HARAN: Because I know the
number that I need to add
to 3 to get to 4 is 1.
SIMON PAMPENA: OK,
that's good.
So you know the number.
So you know the answer,
basically, you're saying?
BRADY HARAN: Yeah.
SIMON PAMPENA: OK,
well, imagine you
didn't know the answer.
So imagine this is the first
time you've ever tried to

Slovak: 
2
00:00:00,310 --> 00:00:01,505
SIMON PAMPENA: Chcem
sa tak trošku vzdialiť
od konkrétnych čísel,
a spýtať sa,
ako sa merajú čísla.
Toto bol jeden z najnáročnejších
problémov, s ktorým
som sa stretol na univerzite,
koncept toho, ako
merať, matematicky
merať.
Takže toto sa chystám
urobiť.
Ukážeme si číselnú os
reálnych čísel.
Toto všetci poznáme,
áno?
Premýšľajme o tomto:
Toto je číselná os.
Je v tvojej hlave.
A tu je moja otázka:
Aká je vzdialenosť medzi 3 a 4?
Aká je to dĺžka?
Aká dlhá je tá sekcia?
BRADY HARAN: 1.
SIMON PAMPENA: 1.
Ako si na to prišiel?
BRADY HARAN: Viem, že číslo,
ktoré musím pripočítať
k 3, aby som dostal 4, je 1.
SIMON PAMPENA: Dobre,
to je dobré.
Takže poznáš to číslo.
Takže poznaš odpoveď,
vlastne to sa snažíš povedať,
áno?
BRADY HARAN: Áno.
SIMON PAMPENA: Dobre,
tak si predstav,
že nevieš odpoveď.
Predstav si, že toto je prvý krát,
čo sa pokúšaš

iw: 
סיימון פמפנה: אני רוצה לקחת
הפסקה לרגע
מהסתכלות על מספרים
מסויימים, ולשאול את השאלה,
איך אתה מודד מספרים?
זה אחד הדברים
המאתגרים ביותר שאני
נתקל בהם כשאני לומד מתמטיקה
באוניברסיטה, היה הרעיון של
איך למדוד, מבחינה
מתמטית.
אז זה מה
שאני הולך לעשות.
אני הולך להראות לך
את ציר המספרים האמיתי.
כן, אתה מכיר
את זה כבר נכון?
אז תחשוב על זה.
זה ציר המספרים האמיתי.
זה נמצא בראש שלך.
אז הנה השאלה שלי.
מה המרחק בין
3 ל-4?
מה נמדד?
כמה החלק הזה גדול?
ברדי הרן: 1.
סיימון פמפנה: 1.
איך ידעת את זה?
ברדי הרן: כי אני יודע
את שהמספר שאני צריך להוסיף
ל-3 כדי לקבל 4 הוא 1.
סיימון פמפנה: אוקיי,
זה טוב.
אז אתה יודע את המספר.
אז אתה יודע את התשובה,
בעיקרון, אתה אומר?
ברדי הרן: כן.
סיימון פמפנה: אוקיי,
ובכן, תדמיין שלא
ידעת את התשובה.
אז תדמיין שזו הפעם
הראשונה שניסית למדוד

Czech: 
SIMON PAMPENA: Chtěl bych vám
vytvořit trochu odstup
od toho, jak se díváme na
konkrétní čísla a zeptat se,
jak měříme čísla.
Tohle pro mě byla jedna z
největších výzev,
když jsem studoval matematiku
na výšce, tahle představa
o tom, jak se měří
matematicky.
Takže tohle vám
teď ukážu.
Ukážu vám osu
reálných čísel.
Tohle znáte, že?
Takže se zamyslete
nad tímhle.
Tohle je osa reálných čísel.
Máš ji ve své hlavě.
Takže tady je moje
otázka.
Jaká je vzdálenost
mezi 3 a 4?
Kolik měří?
Jak dlouhá je
ta vzdálenost?
BRADY HARAN: 1.
SIMON PAMPENA: 1.
Jak jsi k tomu přišel?
BRADY HARAN: Protože vím,
že ke 3 musím
přičíst 1, abych dostal 4.
SIMON PAMPENA: Dobře,
to se dá.
Takže to číslo
znáš.
Takže znáš odpověď,
v podstatě říkáš?
BRADY HARAN: Ano.
SIMON PAMPENA: Dobře,
tak si představ,
že ji neznáš.
Takže si představ, že je
to poprvé,

English: 
measure the distance
between 3 and 4.
What would you do?
BRADY HARAN: I'd make a piece
of wood the distance
between 0 and 1.
And then I would take it to 3
and 4 and see how many of them
do I have to put on there.
SIMON PAMPENA: OK,
that's good.
That's good.
I like that.
It's actually good that you
brought in reality.
Because that's going
to really bite you.
It's going to really bite you.
But that's cool.
That's cool.
I like the fact you said that.
So basically you said, OK, well,
I'm going to look at a
bit of a number line which
I know what the length is
because it starts at 0.
And you're going to go
and drag it over
until you measure it.
But another way you could do
it is you could say, this
number, take that number.
So you're comfortable
with that.
You know that that distance
there is 4 take 3.
Now this is what's
called naive.
And that's not a putdown.
It's naive.
It's a naive way of
measuring numbers.
I'm hopefully going to take you
down the rabbit hole now.

iw: 
את המרחק
בין 3 ל-4.
מה תעשה?
ברדי הרן: הייתי חותך
חתיכת עץ באורך
שבין 0 ל-1.
ואז הייתי לוקח את זה ל-3
ו-4 ורואה כמה מהם
הייתי צריך לשים שם.
סיימון פמפנה: אוקיי,
זה טוב.
זה טוב.
אני אוהב את זה.
זה טוב שהבאת
את המציאות לתמונה.
כי זה הולך
ממש להפריע לך.
זה הולך ממש להפריע לך.
אבל זה בסדר.
זה בסדר.
אני אוהב אמנם שאמרת את זה.
אז בעיקרון אמרת, אוקיי,
אני הולך להסתכל על
חלק מציר המספרים שאת
מרחקו אני יודע בגלל
שהוא מתחיל ב-0.
ואתה הולך לגרור
את זה
עד שתמדוד את זה.
אבל דרך אחרת שתוכל לעשות
זאת היא שתוכל לומר,
המספר הזה,
תפחית ממנו את המספר הזה.
אז נוח לך
עם זה.
אתה יודע שהמרחק
שם הוא 4 פחות 3.
עכשיו זה מה
שנקרא תמימות.
וזו לא מילת גנאי.
זו תמימות.
זו דרך תמימה
למדוד מספרים.
אני מקווה שאני
אתחיל להלהיב אותך עכשיו.

Czech: 
co zkoušíš měřit vzdálenost
mezi 3 a 4.
Co uděláš?
BRADY HARAN: Udělal bych
si dřívko dlouhé
od 0 k 1.
A potom bych ho vzal k 3 a 4
a zkoušel, kolikrát
se mezi ně vejde.
SIMON PAMPENA: OK,
to se dá.
To se dá.
To se mi líbí.
Vlastně je dobře, žes do
toho vnesl realitu.
Protože to se ti
velice vymstí.
To se ti opravdu vymstí.
Ale to je v pohodě.
To je v pohodě.
Líbí se mi, žes to řekl.
Takže v podstatě jsi řekl,
dobře, podívám se na
část osy, jejíž délku znám,
protože začíná na 0.
A přetáhneš ji jinam,
než to změříš.
Ale jiný způsob, jak to udělat,
je říct, tohle číslo
mínus tohle číslo.
Takže s tímhle jsi
spokojený.
Víš, že vzdálenost
je 4 bez 3.
To je naivní
přístup.
Ten není uspokojivý.
Je naivní.
Je to naivní způsob
měření čísel.
Teď ti snad ukážu cestu do
králičí nory.

Slovak: 
zmerať vzdialenosť
medzi 3 a 4.
Čo by si spravil?
BRADY HARAN: Vyrobil by som si
kus dreva s dĺžkou
od 0 do 1.
Potom by som ho priložil
k 3 a 4 a zistil by som, koľko
kusov by som tam musel položiť.
SIMON PAMPENA: Dobre,
to je dobré.
To je dobré.
Páči sa mi to.
Je to naozaj dobré, že si tam
vniesol realitu.
Pretože to sa ti vráti.
To sa ti naozaj vráti.
Ale to je super.
To je super.
Som rád, že si to povedal.
Takže si v podstate povedal, že
sa pozrieš
na nejaký úsek číselnej osi,
ktorého dĺžku poznáš,
pretože začína na 0.
A budeš ho prenášať,
pokiaľ to nezmeriaš.
Ale iný spôsob, ako by si to mohol
spraviť, je, že by si mohol
povedať, že toto
číslo, zober to číslo.
Takže s tým si spokojný.
Vieš, že tá vzdialenosť
je 4 mínus 3.
Toto sa nazýva naivné.
A to nie je zosmiešnenie.
Je to naivné.
Je to naivný spôsob
merania čísel.
Teraz ti snáď ukážem niečo
neuveriteľné.

Slovak: 
3,5 je tento bod.
Dám okolo neho
nejakú
slučku.
3,5 je bod.
Súhlasíš s tým,
že existuje?
3 a 1/2?
BRADY HARAN: Nemám s tým
žiadny problém.
SIMON PAMPENA: Nemáš s tým
žiadny problém, dobre.
Aká je dĺžka 3 a 1/2?
BRADY HARAN: Akú
to má dĺžku?
Nuž, aby som udal dĺžku,
tak musím mať
začiatočný a konečný bod.
SIMON PAMPENA: Nie,
ja hovorím o bode, iba
o bode, o jednom bode.
Tak akú má dĺžku jeden bod?
BRADY HARAN: Body
nemajú dĺžku.
SIMON PAMPENA: Ako
sa to dá tiež povedať?
3,5 mínus 3,5 je 0.
Používame presne tú istú
logiku, ktorú sme použili
pre úsek osi.
Použijeme ten istý princíp
pre tento bod.
Vyznieva to, ako keby
som bol
triviálny, možno aj otravný.
Ale niekam s tým
smerujem.

iw: 
3.5 היא נקודה שם.
אני הולך לשום קצת,
קצת רצועת
חנק מסביב לה.
3.5 היא נקודה.
האם אנחנו מסכימים שהיא קיימת?
3 וחצי?
ברדי הרן: אני
מרוצה מזה.
סיימון פנפנה: אתה
מרוצה מזה, אוקיי.
מה האורך של
3 וחצי?
ברדי הרן: מה
האורך שלה?
ובכן, כדי לתת לך
אורך אני צריך נקודת
התחלה ונקודת סיום.
סיימון פמפנה: לא, אני
מדבר רק על הנקודה, רק
הנקודה, נקודה אחת.
זה מה האורך
של נקודה?
ברדי הרן: לנקודות
אין אורך.
סיימון פמפנה: איזו
עוד דרך יש לומר זאת?
3.5 פחות 3.5 שווה 0.
אנו משתמשים באותו היגיון
שהשתמשנו בו בחלק
הזה של הקו.
אנחנו עומדים להשתמש
באותו היגיון אצל הנקודה.
עכשיו, אני נשמע כאילו אני
טריוויאלי, אולי קצת מעצבן.
אבל אני מוביל למקום מסוים.

Czech: 
3,5 je bod přímo tady.
Omotám ho trochu
škrtícím drátem.
3,5 je bod.
Souhlasíš s tím, že existuje?
3 a 1/2?
BRADY HARAN: S tím
jsem spokojený.
SIMON PAMPENA: S tím
si spokojený, dobře.
Jaká je délka
3 a 1/2?
BRADY HARAN: Jaká je
délka?
No, abych ti řekl délku,
potřebuju
začátek a konec.
SIMON PAMPENA: Ne, já mluvím
jenom o bodu, jenom
ten bod, jeden bod.
Jaká je délka
toho bodu?
BRADY HARAN: Body
nemají délku.
SIMON PAMPENA: Jak jinak
to můžeš říct?
3,5 bez 3,5 je 0.
Použijeme přesně stejnou
logiku, jakou jsme
použili před tím.
Stejnou logiku použijeme
pro bod.
Možná se teď zdá, že mluvím
o trivialitách a blbostech.
Ale někam se chci dostat.

English: 
3.5 is a point right there.
I'm going to put a little
kind of, little bit of
choke wire around it.
3.5 is a point.
Do you agree that it exists?
3 and 1/2?
BRADY HARAN: I'm happy
with that.
SIMON PAMPENA: You're
happy with that, OK.
What's the length
of 3 and 1/2?
BRADY HARAN: What's
the length of it?
Well, to give you a length,
I need a start
point and an end point.
SIMON PAMPENA: No, I'm just
talking about the point, just
the point, one point.
So what's the length
of a point?
BRADY HARAN: Points
don't have length.
SIMON PAMPENA: What's another
way of saying that?
3.5 take 3.5 is 0.
We use exactly the same logic
that we used here for the
segment of line.
We're going to use the same
logic for the point.
Now, this sounds like I'm being
trivial, maybe even annoying.
But I am getting somewhere.

Czech: 
Chci vám dát představu
o bodech.
Protože kolik teď bude
délka mezi 3 a 4,
když odstraníme 3,5?
Jaká bude délka
toho intervalu?
BRADY HARAN: Délka
bude pořád 1.
SIMON PAMPENA: Proč?
BRADY HARAN: Protože to, cos
odstranil, nic nezabíralo.
SIMON PAMPENA: Přesně tak.
Takže ta myšlenka je taková,
že máme interval od 3 do 4,
který je tvořen spojitou
množinou bodů.
Mezi 3 a 4 jsou
jenom body.
Ale když odstraníme 3,5,
nic se nezmění.
Vůbec nic jsme nezměnili.
A důvodem je z části to, že
reálná osa má tu vlastnost,
že neexistuje žádné
následující číslo.
Co je hned po 3,5?
BRADY HARAN: 3,50000000000000--
SIMON PAMPENA: Ano, přesně.
Ale ani to neříkáš
správně.

iw: 
אני מבהיר נקודה
על נקודות.
בעצם, מה המרחק
בין 3 ל-4 אם נוריד
את הנקודה 3.5 עכשיו?
מה יהיה אורך
קטע הקו הזה?
ברדי הרן: האורך
הוא עדיין 1.
סיימון פמפנה: למה?
ברדי הרן: בגלל שמה
שהורדת לא תפס נפח.
סיימון פמפנה: זה נכון.
אז הרעיון הוא שיש
לנו קטע קו, 3 עד 4,
שמורכב מסדרה
שלמה של נקודות.
יש רק נקודות
בין 3 ל-4.
אבל אם נוריד את 3.5,
לא נשנה את המרחק.
לא נשנה אותו בכלל.
חלק מהסיבות מאחורי זה
הן בגלל שלציר המספרים
יש את התכונה הזו של
אין דבר כזה המספר הבא.
מה המספר אחרי 3.5?
ברדי הרן: 3.50000000000000--
סיימון פמפנה: כן, בדיוק.
אבל אתה לא אומר
את זה נכון.

English: 
I'm making a point
about points.
Because what now is the
length of 3 to 4 if we
remove the point 3.5?
What is the length of
that line segment?
BRADY HARAN: The length
is still 1.
SIMON PAMPENA: Why?
BRADY HARAN: Because the thing
you removed took up no space.
SIMON PAMPENA: That's right.
So this idea is that we've got
a line segment, 3 to 4, which
is made up of a continuous
set of points.
There's only points
between 3 and 4.
But if we remove 3.5, we
haven't changed it.
We haven't changed it at all.
And part of the reason behind
that is because the real
number line has this property
that there is no next number.
What's the number after 3.5?
BRADY HARAN: 3.50000000000000--
SIMON PAMPENA: Yeah, exactly.
But you're not even saying
that correctly.

Slovak: 
To je to, čo chcem o bodoch zdôrazniť.
Pretože aká je teraz
dĺžka od 3 do 4,
keď odstránime bod 3,5?
Aký je ten úsek dlhý?
BRADY HARAN: Dĺžka
je stále 1.
SIMON PAMPENA: Prečo?
BRADY HARAN: Pretože
to, čo si odstránil, nezaberalo
žiadne miesto.
SIMON PAMPENA: Presne tak.
Takže táto myšlienka je, že
máme úsečku od 3 do 4, ktorá
je vytvorená z nepretržitého
radu bodov.
Medzi 3 a 4
sú iba body.
Ale ak odoberieme 3,5,
nič nezmeníme.
Vôbec to nezmeníme.
A čiastočný dôvod, ktorý to spôsobuje,
je to, že os
reálnych čísel nemá
žiadne nasledujúce číslo.
Ktoré číslo je po 3,5?
102
00:03:51,580 --> 00:03:56,210
BRADY HARAN: 3.50000000000000--
SIMON PAMPENA: Áno, presne.
Ale ani to nehovoríš správne,

iw: 
בגלל הדרך שבה אנו
מגדירים מספרים לא
כוללת את כל
המגניבות של מה שקורה.
-- כתוביות בעברית: נדב גולדנברג --
למה זו בעיה?
בגלל שאנו משתמשים בדברים
שעוד לא הוכחנו.
אנחנו משתמשים ברעיון
תמים של מדידה.
זה למה זו בעיה.
אנחנו ממציאים השערות.
זה כמעט שבר את חוקי
המתמטיקה, לאן שאני הולך עם זה.
זה כמעט שבר אותם.

English: 
Because the way that we describe
numbers doesn't
contain the awesomeness of
what's going on here.
Why is this a problem?
Because we are using stuff
that we haven't proved.
We're using naive notions
of measure.
That's why that's a problem.
We're making assumptions.
This almost broke maths where
I'm going with this.
It almost broke maths.

Slovak: 
pretože to, ako 
opisujeme čísla,
neobsahuje úžasnosť toho,
čo sa tu odohráva.
108
00:04:09,560 --> 00:04:10,360
Prečo to je problém?
Pretože používame veci,
ktoré sme zatiaľ nedokázali.
Používame naivné predstavy
o meraní.
Preto to je problém.
Vytvárame predpoklady.
Toto, kam s týmto smerujem,
skoro zničilo matematiku.
Skoro to zničilo matematiku.

Czech: 
Protože způsob, jakým popisujeme
čísla, vůbec nevystihuje
krásu toho, o co tu jde.
Proč je to problém?
Protože používáme nástroje,
které nejsou dokázané.
Používáme naivní způsob
měření.
Proto je to problém.
Děláme předpoklady.
To, k čemu směřuju, skoro
zbouralo matematiku.
Skoro to zbouralo
matematiku.
