
Korean: 
두 함수가 있는데
서로의 역함수입니다
f(x)가 있고
g(x)도 있습니다
이는 f(x)의
역함수이죠
f(x)도 g(x)의
역함수이기도 합니다
역함수가 무엇인지
모른다면
역함수가 무엇인지
모른다면
칸아카데미에서
역함수 부분을 배우고 오시면 돼요
역함수의 성질 중 하나는
g(f(x))
f(x)의 f(x) 역함수는
g(f(x))
f(x)의 f(x) 역함수는
x입니다
이는 함수의 역함수의
정의에 기반합니다
이는 함수의 역함수의
정의에 기반합니다
이게 x라면
함수 f는 어떤 값
f(x)에 대응합니다
함수 f는 어떤 값
f(x)에 대응합니다
f(x)는 이렇겠죠
그리고 f의 역함수 g에
f(x)를 대입하면 
x로 되돌아갑니다
f(x)를 대입하면 
x로 되돌아갑니다
이게 f의 역함수입니다

Bulgarian: 
Нека да кажем, че имам две функции,
които са обратни една на друга.
Функцията f(x)
и функцията g(x),
която е равна на обратната на f(x).
А f(x) също ще бъде обратната на g(x).
Ако записа на обратна функция
ти е съвсем непознат,
те насърчавам да прегледаш 
"Обратни функции" в Кан Академия.
Едно от свойствата на 
обратните функции е,
че ако търсим g от f(x),
g от f(x), или може да се нарече 
обратната на f от f(x),
то тя просто ще бъде равнa на x.
И се получава директно от
определението за обратна функция.
Ако това тук е x,
функцията f отговаря на някаква стойност
f(x).
Това тук е f(x).
Тогава функцията g, или обратната на f,
ако поставиш f(x) в нея, ще те доведе обратно,
ще те доведе обратно до x.
Така че това ще бъде обратната на f

English: 
- [Instructor] So let's
say I have two functions
that are the inverse of each other.
So I have f of x,
and then I also have g of x,
which is equal to the inverse of f of x.
And f of x would be the
inverse of g of x as well.
If the notion of an inverse function
is completely unfamiliar to you,
I encourage you to review inverse
functions on Khan Academy.
Now, one of the properties
of inverse functions
are that if I were to take g of f of x,
g of f of x, or I could say
the f inverse of f of x,
that this is just going to be equal to x.
And it comes straight out of what
an inverse of a function is.
If this is x right over here,
the function f would map to some value
f of x.
So that's f of x right over there.
And then the function g, or f inverse,
if you input f of x into
it, it would take you back,
it would take you back to x.
So that would be f inverse,

Czech: 
Řekněme, že máme dvě
navzájem inverzní funkce.
Máme tedy funkci f(x) a funkci g(x),
která je inverzní funkcí k funkci f(x).
f(x) je zase
inverzní funkcí ke g(x).
Pokud je vám myšlenka
inverzních funkcí úplně neznámá,
tak doporučuji podívat se na inverzní
funkce na stránkách Khan academy.
Jedna z vlastností
inverzních funkcí je,
že když máme g v bodě f(x),
tedy inverzní funkci k f v bodě f(x),
tak se to
rovná x.
Toto plyne přímo
z definice inverzní funkce.
Tady máme nějaké x, které funkce f
zobrazí na nějakou hodnotu f(x).
Tohle je tedy f(x).
Když do funkce g, tedy inverzní
funkce k f, dosadíme f(x),
tak se dostaneme
zase do bodu x.

Bulgarian: 
или казваме, че g е същото като обратната на f.
Дотук всичко е преговор на обратни функции,
но сега ще приложим 
математически анализ към него
като използваме верижното правило.
И ще получим много интересен резултат.
Това, което искам да направя, 
е да намеря производната
на двете страни на това уравнение тук.
Нека да приложим 
означението за производна
d/dx от лявата страна,
d/dx от дясната страна.
И какво ще получим?
От лявата страна ще приложим 
верижното правило.
Следователно това ще бъде 
производната на g
спрямо f(x).
Това ще бъде g'(f(x))
умножено по производната 
на f(x) спрямо x,
така че умножено по f'(x).
Тогава това на какво ще бъде равно?
Производната на x спрямо x 
е равна на 1.
Тук е мястото, където получаваме 
нашия интересен резултат.

English: 
or we're saying g is the
same thing as f inverse.
So all of that so far is a
review of inverse functions,
but now we're going to apply a
little bit of calculus to it,
using the chain rule.
And we're gonna get a
pretty interesting result.
What I want to do is take the derivative
of both sides of this
equation right over here.
So let's apply the derivative operator,
d/dx on the left-hand side,
d/dx on the right-hand side.
And what are we going to get?
Well, on the left-hand side,
we would apply the chain rule.
So this is going to be the derivative of g
with respect to f of x.
So that's going to be g prime of
f of x,
g prime of f of x,
times the derivative of
f of x with respect to x,
so times
f prime of x.
And then that is going
to be equal to what?
Well, the derivative
with respect to x of x,
that's just equal to one.
And this is where we get
our interesting result.

Czech: 
Tohle udělá inverzní funkce k f neboli
funkce g, která je inverzní funkcí k f.
Tohle je zatím jen
opakování inverzních funkcí.
Nyní však použijeme diferenciální počet,
a to pravidlo pro derivaci složené funkce,
čímž dostaneme
poměrně zajímavý výsledek.
Rád bych teď zderivoval
obě strany této rovnice.
Na levou i pravou stranu tedy
použijeme operátor derivace d lomeno dx.
Co dostaneme?
Na levé straně použijeme
vzorec pro derivaci složené funkce.
Bude to derivace g podle f(x),
tedy g s čárkou v bodě f(x),
krát derivace f(x) podle x,
tedy krát f s čárkou v bodě x.
Tohle se bude
rovnat čemu?
Derivace podle x
z x je 1.
Nyní získáme náš
zajímavý výsledek.

Korean: 
g는 f의 역함수이고요
여태까지는 역함수에 대한
복습이었습니다
이제 연쇄법칙으로
미적분학을 적용해 보겠습니다
이제 연쇄법칙으로
미적분학을 적용해 보겠습니다
아주 흥미로운
결과가 나옵니다
이 방정식 양변의
도함수를 구해보겠습니다
이 방정식 양변의
도함수를 구해보겠습니다
미분 기호를 적용해서
왼쪽에 d/dx
오른쪽에 d/dx를
써 줍니다
그러면 어떻게 되나요?
왼쪽에는 연쇄법칙을
적용합니다
따라서 이건 f(x)에 대한
g의 도함수입니다
따라서 이건 f(x)에 대한
g의 도함수입니다
g'(f(x))에
g'(f(x))에
g'(f(x))에
x에 대한 f(x)의
도함수를 곱한 것입니다
f'(x)를 곱해 줍니다
f'(x)를 곱해 줍니다
이것은 무엇과 같을까요?
x의 x에 대한
도함수는
1입니다
여기서 흥미로운
결과가 나옵니다

Czech: 
Zatím jsme jen využili svých
znalostí o inverzních funkcích
a levou stranu jsme zderivovali
pomocí vzorce pro derivaci složené funkce.
Když nyní obě strany vydělíme
g s čárkou v bodě f(x), co dostaneme?
Dostaneme vztah mezi derivací funkce
a derivací funkce k ní inverzní.
Dostaneme, že f s čárkou v bodě x
se rovná 1 lomeno tohle celé,
tedy 1 lomeno
g s čárkou v bodě f(x).
Tohle je fajn vědět, protože když
něco víme o derivaci funkce,
můžeme něco zjistit o
derivaci funkce k ní inverzní.
Můžeme si ukázat, že tenhle vzorec
platí pro některé známé funkce.
Řekněme, že f(x) se
rovná e na x.
g(x) se musí rovnat
inverzní funkci k f, což je...

Bulgarian: 
Всичко, което направихме дотук, е, 
че използвахме
нещо, което знаем 
за обратните функции,
и приложихме верижното правило,
за да намерим производната 
на лявата страна.
Но ако разделиш 
двете страни на g'(f(x)),
какво ще получиш?
Ще получиш връзка
между производната на функция
и производната на обратната ѝ функция.
Така получаваш, че f'(x)
ще бъде равно на
1 върху всичко това,
1/g' от f(x)
А това наистина е прекрасно, 
защото ако знаеш нещо
за производната на функция,
то може да откриеш неща
за производната на обратната ѝ функция.
Действително може да се уверим, че това е истина,
чрез някои класически функции.
Нека да кажем, че f(x)
е равна на
e^x.
Следователно g(x)
ще бъде равно на обратната на f.
Обратната на f,

English: 
All we did so far is we used
something we knew about inverse functions,
and we'd use the chain rule
to take the derivative
of the left-hand side.
But if you divide both
sides by g prime of f of x,
what are you going to get?
You're going to get a relationship
between the derivative of a function
and the derivative of its inverse.
So you get f prime of x
is going to be equal to
one over all of this business,
one over g prime
of
f of x,
g prime of f of x.
And this is really neat
because if you know something
about the derivative of a function,
you can then start to figure out things
about the derivative of its inverse.
And we can actually see this is true
with some classic functions.
So let's say that f of x
is equal to
e to the x,
and so g of x
would be equal to the inverse of f.
So f inverse,

Korean: 
여태까지 한 것은
역함수에 대해
아는 것을 사용했고
연쇄법칙을 이용해
왼쪽 변의
도함수를 구했습니다
하지만 양변을 g'(f(x))로
나누면 무엇이 나오나요?
함수의 도함수와
역함수의 도함수의
관계를 얻게 됩니다
역함수의 도함수의
관계를 얻게 됩니다
따라서 f'(x)는
따라서 f'(x)는
1/g'(f(x))입니다
1/g'(f(x))입니다
1/g'(f(x))입니다
1/g'(f(x))입니다
1/g'(f(x))입니다
아주 흥미롭습니다
함수의 도함수를 알면
그것을 이용해
역함수의 도함수를
구할 수 있습니다
기본적인 함수를 보면
이것이 참임을 알 수 있습니다
기본적인 함수를 보면
이것이 참임을 알 수 있습니다
f(x) = e^x이고
f(x) = e^x이고
f(x) = e^x이고
g(x)는 f의 역함수입니다
g(x)는 f의 역함수입니다
g(x)는 f의 역함수입니다

Korean: 
e^x의 역함수는
무엇일까요?
이렇게 생각해 보세요
y = e^x이 있으면
변수를 바꾸어
다시 y에 대해
풀면 됩니다
x = e^y이 되고
양변에 ln을 적용해
ln(x) = y가 됩니다
따라서 e^x의
역함수는 ln(x)입니다
이는 역함수에 대한
복습일 뿐입니다
익숙하지 않다면
칸아카데미에서 복습하세요
따라서 g(x) = ln(x)입니다
따라서 g(x) = ln(x)입니다
이제 이것이 두 함수에 대해
성립하는지 봅시다
그러면 f'(x)는 무엇일까요?
결과가 엄청납니다
e가 아주 재미있는 점은
e^x의 도함수는
e^x라는 점입니다
또한 다른 동영상에서 보았듯
ln(x)의 도함수는
1/x입니다
이게 맞아
떨어지는지 봅시다
f'(x)인 e^x가
f'(x)인 e^x가

Czech: 
Jak vypadá inverzní
funkce k e na x?
Můžeme to zjistit tak, že když se
y rovná e na x a chceme inverzní funkci,
tak zaměníme proměnné
a pak osamostatníme y.
Záměnou proměnných dostaneme,
že x se rovná e na y.
Na obě strany použijeme přirozený
logaritmus a vyjde, že ln(x) se rovná y.
Inverzní funkcí k e na x je
tedy přirozený logaritmus z x.
Toto je také jenom
opakování inverzních funkcí.
Pokud je to pro vás neznámé, podívejte se
na to na stránkách Khan Academy.
g(x) se tedy rovná
přirozený logaritmus z x.
Podívejme se, zda tento vztah
platí pro tyto dvě funkce.
Čemu se rovná
f s čárkou v bodě x?
To je jeden z úžasných
výsledků diferenciálního počtu.
Jedním z úžasných faktů
o číslu ‚e‘ je totiž to,
že derivace e na x
je opět e na x.
V jiném videu jsme
si také ukázali,
že derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x.
Podívejme se nyní,
zda tohle platí.
Měli bychom dostat, že f s čárkou
v bodě x, tedy e na x,

English: 
which is, what's the
inverse of e to the x?
Well, one way to think about it is,
if you have y is equal to e to the x,
if you want the inverse,
you can swap the variables
and then solve for y again.
So you'd get x is equal to e to the y.
You take the natural log of both sides,
you get natural log of x is equal to y.
So the inverse of e to
the x is natural log of x.
And once again, that's all
review of inverse functions.
All right, if that's unfamiliar,
review it on Khan Academy.
So g of x is going to be equal to
the natural log of x.
Now, let's see if this holds
true for these two functions.
Well, what is f prime of x going to be?
Well, this one of those
amazing results in calculus.
One of these neat things
about the number e is that
the derivative of e to
the x is e to the x.
And in other videos, we
also saw that the derivative
of the natural log of x is one over x.
So let's see if this holds out.
So we should get a result, f prime of x,
e to the x

Bulgarian: 
която е...
 каква е обратната на e^x?
Един от начините 
да мислиш за това, е,
ако имаш, че y = e^x,
и ако искаш обратната, може 
да размениш променливите,
и отново да го решиш, но за y.
Получаваш, че x = e^y.
Намираш натурален логаритъм
 от двете страни,
получаваш, че ln(x) = y.
Следователно обратната на e^x e ln(x).
Още веднъж, всичко това 
е преговор на обратни функции.
Ако това не ти е познато, 
прегледай го в Кан Академия.
g(x) ще бъде равно на
натурален логаритъм ln(x)
Нека да видим, дали това 
е вярно за тези две функции.
Какво ще се получи за f'(x)?
Ето това е един от онези 
удивителни резултати в анализа.
Едно от онези прекрасни неща 
за числото "е", е,
че производната на e^x = e^x.
В други уроци видяхме също, 
че производната
на естествен логаритъм ln(x) = 1/x.
Нека да видим, дали и тук е валидно.
Трябва да получим резултат, f'(x),
т.е. e^x

Korean: 
f'(x)인 e^x가
1/g'(f(x))과 같아야 합니다
1/g'(f(x))과 같아야 합니다
g'(f(x))는
1/f(x)이고
1/f(x)이고
f(x)는 e^x이므로
1/1/e^x입니다
이게 맞나요
그렇습니다
1/1/e^x는
그냥 e^x입니다
1/1/e^x는
그냥 e^x입니다
다 맞아 떨어지네요
이 둘은
서로 역함수이므로
반대로
할 수도 있습니다
g'(x) = f'(g(x))라고
할 수도 있죠
g'(x) = f'(g(x))라고
할 수도 있죠
서로 역함수이기
때문입니다
아주 흥미로운 것은
이것을 사용해 역함수의 도함수가
무엇일지 어느정도
알 수 있다는 것입니다

English: 
should be equal to
one over
g prime of f of x.
So g prime of f of x,
so g prime is one
over our f of x,
and f of x is e to the x,
one over e to the x.
Is this indeed true?
Yes, it is.
One over, one over e to the x
is just going to be e to the x.
So it all checks out.
And you could do the other way
because these are inverses of each other.
You could say g prime of x is going
to be equal to one over f prime of g of x
because they're inverses of each other.
And actually, what's
really neat about this,
is that you could actually use
this to get a sense of what
the derivative of an inverse
function is even going to be.

Bulgarian: 
трябва да е равно на
1 върху g'(f(x)).
И така g'(f(x)),
g' e 1 върху f(x),
а f(x) = e^x,
т.е. 1/e^x
Това наистина ли е вярно?
Да, вярно е!
1/e^x
просто ще бъде e^x.
Всичко излиза.
Може да го направиш и по другия начин,
защото това са обратни 
една на друга функции.
Може да кажеш, че g'(x) ще бъде
равно на 1/f'(g(x)),
защото са обратни една на друга.
Наистина прекрасното тук, е,
че действително можеш да използваш
 резултата, за да добиеш усещане,
на какво е равна производната
 на обратна функция.

Czech: 
se rovná 1 lomeno
g s čárkou v bodě f(x).
g s čárkou
v bodě f(x)...
To bude 1 lomeno f(x),
přičemž f(x) je e na x,
tedy 1 lomeno
e na x.
Je tohle pravda?
Ano, 1 lomeno (1 lomeno e na x)
se rovná e na x.
Takže nám
to souhlasí.
Můžeme to udělat i obráceně,
jde o navzájem inverzní funkce.
Můžeme také říct, že g s čárkou v bodě x
se rovná 1 lomeno f s čárkou v bodě g(x),
protože jsou to
navzájem inverzní funkce.
Na tomhle je
velmi užitečné to,
že díky tomuto vztahu získáme
určitou představu o tom,
jak bude derivace inverzní
funkce vůbec vypadat.
