
Portuguese: 
Reescrevi o teorema de Stokes bem
aqui.
O que quero focar
neste video
é a questão de orientação,
porque aqui
temos duas orientações diferentes
para nossa curva limitante.
Podemos ir nesta direção,
desse jeito,
ou podemos ir na
direção oposta.
Poder seguir desta forma.
E também existem duas
orientações distintas
para este vetor normal.
O vetor normal deve
ficar parecido com isto,
ou ele pode acabar tornando-se
uma superfície como esta.
Então temos que estar certos de que
nossas orientações estão corretas,
o que quero
é dar a você
duas formas diferentes de
pensar sobre isso.
Você pode pensar em outras,
mas essas
são as melhores para mim.
Para sustentar o teorema de Stokes,
temos que ter plena
certeza de que
não estamos pegando o negativo
de nenhuma das outras orientações.
A forma mais fácil para que
eu me lembre -
é se nosso vetor normal -
vamos dizer
que ele vá nessa direção.
E se houvesse uma pessoa
atravessando

Korean: 
방향과 스토크스 정리 | 다변수 미적분학 | 칸 아카데미
여기에 스토크스 정리를 
다시 쓰겠습니다
이번 영상은
방향에 대한 문제를 
다룰 것입니다
경계 곡선에는
두가지 방향이 있습니다
반시계 방향으로 가거나,
시계 방향으로 갈 수 있습니다
다음과 같이
 갈 수 있습니다
그리고 법선벡터도
두가지 방향이 있습니다
밖을 향하는 방향이거나,
표면 안쪽을 향하는 
방향이 가능합니다
따라서 방향이 일정하게
해야합니다
이것을 생각하는
두가지 방법을 알아봅시다
다른 방법을 
생각할 수도 있지만,
저는 그 방법들을 사용합니다
스토크스 정리를 다루기 위해,
한쪽 또는 다른 쪽 방향의 음을
선택하지 않는 것을
기억해야 합니다
기억하기 가장 쉬운 방법은,
법선벡터가 밖을 향한다고
가정하는 것입니다
그리고 표면의 경계를 가로지르는

English: 
I've rewritten Stokes'
theorem right over here.
What I want to focus
on in this video
is the question of
orientation because there
are two different orientations
for our boundary curve.
We could go in that
direction like that,
or we could go in the
opposite direction.
We could be going like that.
And there are also two
different orientations
for this normal vector.
The normal vector might
pop out like that,
or it could actually go
into the surface like that.
So we have to make sure that
our orientations are consistent,
and what I want
to do is give you
two different ways
of thinking about it.
And you might think
of others, but these
are the ones that work for me.
In order for Stokes'
theorem to hold,
we have to make sure
that we're not actually
picking the negative of one
or the other orientations.
And so the easiest way
for me to remember--
it is if our normal
vector is-- let's say,
it goes in that direction.
And if you have some
hypothetical person traversing

Polish: 
Przepisałem tutaj treść Twierdzenia Stokesa.
W tym filmie chcę się skupić
nad pytaniem o orientację, gdyż
istnieją dwie różne orientację brzegu.
Możemy iść w tym oto kierunku
lub w kierunku przeciwnym.
Możemy iść w ten sposób.
Ponadto są dwie różne orientacje
dla wektora normalnego.
Wektor normalny może wskazywać na zewnątrz, w ten sposób,
lub może wskazywać do wewnątrz, w ten sposób.
Chcemy zatem się upewnić, że nasze orientacje są spójne
oraz to, co chcę zrobić to pokazać Wam
dwa różne sposoby myślenia o tym zagadnieniu.
Możecie też sobie wyobrazić inne, ale te
najbardziej do mnie przemawiają.
Aby Twierdzenie Stokesa zachodziło
musimy się upewnić, że nie
wybieramy ujemnej orientacji (jednej lub drugiej).
Najłatwiejszym dla mnie sposobem na zapamiętanie jest:
jeśli nasz wektor normalny, powiedzmy,
idzie w tym kierunku
I mamy jakąś hipotetyczną osobę przemierzającą

English: 
the boundary of our surface,
and their direction is pointed.
And their head is pointed
in the same direction
as the normal vector-- so
this is the normal vector.
So their head is pointed
in the exact same direction
as the normal vector-- or you
could say maybe their body
or, really, their head--
So that's them.
Then the direction that you
would have to actually traverse
the boundary is the direction
that would allow this person
to keep the surface
to their left.
So over here, he would have
to go in this direction
in order to keep the
surface to his left.
So he would have to
go just like that.
If we oriented the
surface differently-- so
let me redraw the
surface right over
here and draw similar surface.
So if we had a surface-- so
this surface looks very similar.
This is a very similar
looking surface
that I'm drawing
right over here just
to give a idea of
some of the contours.
But if we said that the normal
vector for this surface, if we
orient it in the opposite
way-- so if we said

Portuguese: 
o limite de nossa superfície, 
com sua direção definida.
Com a sua cabeça apontada na 
mesma direção
que o vetor normal - este é o
vetor normal.
A sua cabeça esta pontada na
mesma direção
que o vetor normal - ou você pode dizer
que talvez seu corpo,
ou, realmente, sua cabeça -
Então, são estes.
Em seguida a direção que você teria
que atravesar,
o limite é a direção que 
permitiria esta pessoa
a manter a superfície à sua esquerda.
Então aqui, nós teríamos que ir
nesta direção
De modo a manter a superfície à
esquerda dele.
Ele deveria ir exatamente desta
maneira.
Se orientarmos diferente
vou desenhar a superficie
e desenhar uma
outra superficie.
Se tivéssemos uma superfície -
esta seria bem similar
Esta é uma superfície com
aparência bem similar
que eu desenhei bem aqui
apenas para
dar ideia de alguns dos contornos.
Mas se o vetor normal para essa
superfície, for
orientado na direção oposta -
então se dissermos

Polish: 
brzeg powierzchni
i jej głowa wskazuje ten sam kierunek
co wektor normalny
Jej głowa wskazuje dokładnie ten sam kierunek
co wektor normalny (można też powiedzieć jej ciało)
lub, właściwie, jej głowa.
Oto ona.
Wtedy kierunek, w jakim musiałaby przemierzać brzeg
to ten kierunek, przy którym ta osoba
miałaby powierzchnię po swojej lewej stronie.
Więc tutaj, musiałaby iść w tym kierunku
aby mieć powierzchnię po swojej lewej stronie.
Musiałaby iść w ten sposób.
Gdybyśmy zorientowali powierzchnię inaczej,
pozwólcie, że przerysuję tutaj powierzchnię
i narysuję podobną.
Gdybyśmy mieli powierzchnię, ta powierzchnie wygląda bardzo podobnie...
Ta powierzchnia, którą rysuję
wygląda bardzo podobnie.
Zaznaczę tylko kontury...
Gdybyśmy powiedzieli, że wektor normalny do tej powierzchni...
gdybyśmy zorientowali ją w przeciwny sposób,

Korean: 
가상의 사람이 있고, 
그 방향이 정해져 있습니다
이 사람의 머리는
법선벡터와 같은
방향을 향합니다
이 사람의 머리는 
법선벡터와 똑같은
방향을 향합니다
머리 또는, 
몸도 가능합니다
다음과 같습니다
그러면 실제로 경계를
가로지르는 방향은
이 사람의 왼쪽에
표면이 있도록 하는
방향이 됩니다
여기에서 이 사람은
표면이 왼쪽에 오도록
위와 같이 
돌 것입니다
따라서 반시계 방향으로 돕니다
표면의 방향을 다르게 
정한다고 합시다
바로 여기에 표면을
다시 그려 보겠습니다
이것은 원래 표면과
매우 비슷합니다
 
이것은 아주 비슷하게 
생긴 표면으로,
윤곽을 이해하시키기
위한 것입니다
그러나 법선벡터를
반대 방향으로 정하면

Korean: 
즉, 법선벡터가
아래를 향하면
스토크스 정리를 
사용하기 위해
경계를 다른 방향으로
가로질러야 합니다
가상의 인물을 여기에 그리면,
그의 머리는 법선벡터와 
같은 방향이 됩니다
그는 이제 거꾸로 
서있습니다
그를 그려보겠습니다
바로 여기에서 달리고 
있는 사람입니다
잘 그려보겠습니다
여기 달리고 있는 사람이 
가상의 인물입니다
그 사람의 관점에서
이것은 연못 또는 도랑
같을 것입니다
이것은 실제로 
아래로 내려갑니다
왼쪽 그림에서는
사람에게 언덕 같습니다
오른쪽 그림은 사람이 
거꾸로 뒤집혀서,
경계가 그의 왼쪽에
오도록 하기 위해,
왼쪽 그림과 다른 
방향으로 가야 합니다
따라서 법선벡터의 방향에 따라,
이것은 실제 표면의 방향인데,
어떻게 경로를 돌아야 
할지 정해집니다
이제 이것을 생각하는
또다른 방법을 알아봅시다

English: 
that the normal vector here
was actually pointing downward
like that, then
we would have to,
in order for Stokes'
theorem to hold,
we would have to
traverse the boundary
in a different direction
because, once again, if I draw
my little character
right over here,
his head is pointed in the
direction of the normal vector.
He is now upside down.
So let me draw him.
So this is him running
right over here.
I could draw a better job.
This is him running
right over here.
Now, in order to keep--
and from his point of view,
this would kind of look
like a some type of a pool
or a ditch of some kind.
It would actually go down.
Here, it looks
like a hill to him.
But since he's
upside down, in order
for him to keep the
boundary to his left,
he would have to now go
in the other direction.
So depending on the orientation
of your normal vector, which
is really the orientation
of your actual surface,
will dictate how you need
to traverse the path.
Now, another way to think
about it-- and this idea

Portuguese: 
que o vetor normal aqui foi na verdade
apontado para baixo
deste jeito, então nós 
deveriamos
Para garantir o teorema de Stokes,
precisamos atravessar a barreira
em uma direção diferente porque
novamente, se eu desenhar
meu pequeno personagem aqui,
sua cabeça esta apontada para a direção
do vetor normal.
Ele esta agora de cabeça para baixo.
Vou desenha-lo.
Este é ele correndo por aqui.
Posso desenhar melhor.
Aqui é ele correndo por aqui.
Agora, para manter - e do ponto de vista
dele,
isto seria muito parecido com
uma piscina.
ou uma vala de algum tipo.
isto precisa descer.
isso vai ser um morro para ele.
Mas ele esta de ponta cabeça,
de forma
a manter a barreira à sua esquerda,
agora ele tem que ir em outra direção.
Dependendo da orientação do seu
vetor normal, que
é a orientação de sua superfície,
irá ditar como você precisa atravesar
o caminho
Agora, outra forma de pensar sobre isso -
e esta idéia

Polish: 
to znaczy powiedzielibyśmy, że wektor normalny wskazuje w dół
w ten sposób, to wtedy
aby Twierdzenie Stokesa zachodziło
musielibyśmy przemierzać brzeg
w innym kierunku, ponieważ jeśli narysuję
moją małą figurkę tutaj,
jej głowa wskazuje w kierunku wektora normalnego.
Jest do góry nogami.
Narysuję ją.
To jest ona biegnąca sobie tutaj.
Mógłbym to ładniej narysować.
To jest ona biegnąca sobie tutaj
Teraz, z jej punktu widzenia
to będzie wyglądało jak jakiś basen
lub kanał.
Będzie zmierzało w dół.
Tutaj, to wygląda dla niego jak pagórek.
Ale jako, że ludzik jest do góry nogami
aby miał on powierzchnię po swojej lewej,
będzie musiał iść w przeciwnym kierunku
Zatem w zależności od orientacji wektora normalnego,
który tak naprawdę daje orientację samej powierzchni
będziemy wiedzieli w jakim kierunku przemierzać drogę.
Innym sposobem myślenia o tym...

Korean: 
이것은 유튜브 시청자 중 
한명에 의해 소개되었는데,
이것을 다루는 
유효한 방법입니다
즉, 표면을 병뚜껑이라고
상상하는 것입니다
여기에 병을 그려보겠습니다
그려보겠습니다
병을 그려보겠습니다
유리로 된 탄산음료 병을
상상하면 됩니다
중요한 것은
병의 뚜껑입니다
이것이 유리로 된 것을
표현하겠습니다
이제 병의 뚜껑을
그려보겠습니다
병의 뚜껑이 중요하므로
그려보겠습니다
이것이 표면입니다
이 부분이 병의 뚜껑입니다
그리고 뚜껑을 위로 올릴 수 있게
즉, 뚜껑을 빼기 위하여
어떤식으로 뚜껑을 돌려야
하는지 고려해야 합니다
그리고 법선벡터의 방향이
뚜껑이 빠지는 방향이고,
뚜껑을 돌리는방향이
경로를 도는 방향입니다

Portuguese: 
foi sugerida por um espectador 
do YouTube,
mas é uma forma válida de se pensar -
é imagina que a superfície seja uma tampa
de garrafa.
Vou desenhar algum tipo de garrafa aqui.
Vou desenhar.
Vou desenhar um garrafa.
Você pode imaginar uma garrafa de vidro 
de refrigerante,
O que realmente temos que levar em conta
é a tampa da garrafa -
faça com que se pareça com vidro.
Então, esta é a nossa garrafa. 
Vou desenhar sua tampa.
Vou desenhar a tampa
da garrafa
porque é isso que levamos em conta.
Podemos imaginar isto
sendo a superfice.
Isto é a tampa da garrafa,
e você precisa pensar que, bem,
em qual direção precisa girar a tampa
para poder
fazer a tampa se mover para cima, 
para que possa ser removida.
E você pensará em um vetor normal como 
a direção
na qual a tampa vai ser movida, e a girada
é a direção
a qual você tem para
atravesar o caminho

English: 
was introduced by one of
the viewers on YouTube,
but it's a valid way
of thinking about it--
is to imagine that the
surface is a bottle cap.
And so let me draw some
type of a bottle over here.
So I'll draw.
Let me draw a bottle.
You could imagine some type
of a glass soda bottle.
So what we really care about
is the cap of the bottle--
so make it feel like it's glass.
So there, that's our bottle,
And let me draw its cap.
Let me draw the
cap of the bottle
because that's
what we care about.
We can kind of imagine
that being the surface.
So this is the
cap of our bottle,
and you just need to
think about, well,
which way would I have
to twist the cap in order
to make the cap move up, in
order to take the cap off.
And you could think of the
normal vector as the direction
that the cap would move, and
the twisting is the direction
that you would have
to traverse the path.

Polish: 
(A ten sposób został zaproponowany przez jednego z użytkowników YouTube.
Jest to jednak poprawny sposób myślenia o tym.)
polega na wyobrażeniu sobie, że powierzchnia jest zakrętką od butelki.
Narysuję jakąś butelkę tutaj
...
Narysuję butelkę.
Możecie sobie wyobrazić, że jest to jakaś szklana butelka.
To na czym nam zależy to zakrętka tej butelki.
Niech to wygląda trochę jak szkło
Oto nasza butelka. Teraz narysuję zakrętkę.
Narysuję zakrętkę,
bo to na niej nam zależy.
Możemy sobie wyobrazić, że to jest powierzchnia.
To jest zatem zakrętka.
Wystarczy się zastanowić:
w jakim kierunku musimy odkręcać zakrętkę
aby przesunęła się do góry?
Możemy myśleć o wektorze normalnym jako o kierunku,
w którym przesuwa się zakrętka, a kierunek kręcenia to
kierunek, w jakim należy przemierzać drogę.

Korean: 
따라서 병을 반시계 
방향으로 돌립니다
또는, 시계방향으로 돌립니다
만약 병을 시계방향으로 돌리면,
뚜껑은 아래로 내려갑니다
따라서 법선벡터의 방향은
뚜껑이 이동하는 방향이고,
경계를 도는 방향은
실제로 뚜껑을 방향입니다
따라서 이들 중 하나는
이것을 생각하는 방법이지만,
특히 모양이 좀 더 복잡하거나
방향이 독특하다면,
기억해야 합니다

English: 
So you would have to
twist the bottle that way,
or you could think
about the other way.
If you twisted the
bottle the other way,
then the cap would move down.
So the normal vector
is the direction
that the cap would
move, and the direction
that you would traverse
the boundary is
how you would actually twist it.
So either of these are
ways of thinking about it,
but they're important to
keep in mind, especially
once the shapes start
getting a little bit more
convoluted and oriented
in strange ways.

Portuguese: 
Então você pode girar a garrafa
para lá,
ou você pode pensar
no outro lado.
Se você girar de outra forma,
a tampa se move para baixo.
Então o vetor normal é a direção
que a tampa vai mover-se, e a direção
que você atravessa a barreira é
como você gira isso.
As duas são formas de 
se pensar sobre isso,
mantendo-as em mente, principalmente
quando que as forma 
começam a ficar mais
torcidas e orientadas em 
direções estranhas
Legendado por [Ricardo Santana]
Revisado por [Yuri Tobias]

Polish: 
Więc należałoby kręcić butelkę w tę stronę.
Można też myśleć inaczej.
Jeśli przekręcilibyśmy zakrętkę w drugą stronę
to nasza zakrętka przesunie się w dół.
Zatem wektor normalny to kierunek,
w którym przesuwa się zakrętka. A kierunek,
w którym należałoby przemierzać brzeg
to kierunek kręcenia.
Zatem to są sposoby myślenia o tym.
Ważne, żeby je zapamiętać, zwłaszcza,
gdy kształty zaczną być bardziej
zawiłe i zorientowane w dziwny sposób.
