什麼叫做 Gershgorin Circle(圓盤定理)
就是你給我一個 n x n 的矩陣A
那它的eigenvalue呢
一定是在一些圓盤的聯集裡面
這些圓盤我把它叫做D1,D2,D3...一直到Dn
這些n個圓盤,你是 n x n 的矩陣
那你就可以造出n個圓盤這樣子
那這n個圓盤是怎麼來的呢?
這n個圓盤就是利用你看這個矩陣A的對角線元素
aii代表他的對角線元素
第一個圓盤就是用第一列
a11對角元素來當圓心
ok,那第二個圓盤就是用第二列的對角線元素a22來當圓心, 以此類推
到第n個圓盤Dn,那就是用第n列的對角線元素叫ann當作圓心
那半徑呢?半徑就是你看這些,這個就是半徑
半徑是什麼?比如說第一個圓盤它的半徑就是第一列所有的元素
除了a11以外
除了a11以外這裡 j 不等於 i
就是除了a11以外
其他非對角線的元素取絕對值相加
代表第一個圓盤的半徑
第二個圓盤呢? 是用第二列對角線元素a22作為圓心對不對
那半徑呢?半徑就是所有得第二列元素除了a22
除了對角線元素以外其他所有非對角線元素
取絕對值然後加起來
這樣子是不是很好算啊?你只要知道A長什麼樣子
你就抓他的對角線元素當作圓心
這個圓心是對角線元素,那你這個圓盤的半徑就是這邊
就是所有該列非對角線元素的絕對值總和
好那你把這些n個圓盤畫出來
那你的eigenvalue就一定在這些圓盤裡面
絕對不會跑到這個外面去
那你就可以估計你這個eigenvalue的大小
那這個圓盤呢,它是怎樣,它是在複數平面上
我們是把橫軸當成實部,把這個y軸當作虛部這樣子
好這樣這個圓盤很容易懂吧?有沒有問題?沒有吼?
好那我們看一下
假設lambda是任一的一個eigenvalue
然後呢,lambda它所對應的eigenvector是x
那我們特徵值浪打它所對應的特徵向量
這個特徵向量它的長度可長可短
那我們就方便起見
我們就取這個特徵向量,它的最大長度是等於 1 的
這裡可以辦得到
好,那因為它的是對應的eigenvalue跟eigenvector
所以Ax等於 lambda x
而且呢,怎麼樣,我們知道這個矩陣乘向量展開來
矩陣乘向量的這個第i個分量
左邊就是Aij乘上xj ,然後 j從1加到n
這是你線性代數學過矩陣乘向量的表示
這代表第n個分量
那你看右手邊呢,右手邊的第i個分量
那當然就是lambda乘上x的第i個分量
就lambda乘上xi, 這是右手邊
第一個分量就是i 等於1 的時候
... ,那 i 等於n就是代表第n個分量
好,那因為我們這個x,這個向量
它的絕對值等於1,所以呢它一定會有某個分量它的絕對值剛好等於1
那我們就假設它是第k個分量
假設這個x向量它的第k個分量
它的絕對值剛好等於1
如果它有好幾個分量它的絕對值都等於1,那也沒關係你就隨便取一個
好,那我們把這個帶進去
這裡 i我就特別的取k歐
所以呢我知道左邊a乘x的第k個分量
就是等於lambda乘以xk
好,這是左手邊矩陣乘向量的展開,我們現在是看第k個分量
那我把對角線的那一項就是這裡akk乘上xk的那一項抽出來擺到右手邊
加的就變成減的
那右手邊本來就有浪打xk
所以呢我們右手邊這裡有xk的部分提出公因數歐
那剩下lambda減掉akk,右手邊這個相乘我把它都取絕對值
本來在左邊這裡這些東西是很多個連加的嘛,那曲絕對值之後
會小於等於個別取絕對值再相加
你每一項都取絕對值當然會比較大啊
最後我們要的就是這裡lambda減掉akk
然後這邊xk是等於1,所以呢 你看最後呢
浪打減掉akk
好,代表lambda跟akk之間的距離
一定是小於等於這一堆東西絕對值的相加
那你就知道,歐!lambda不會跑太遠
lambda它距離你這個對角線的元素
最多就一定是在這個半徑裡面
這樣子,那我這裡的浪打是任意的歐
那我的akk在哪裡我也不曉得
那所以我就反正把a11,a22一直到ann我都把它取出來
全部都把它取出來
聯集起來
以上這就是所謂的Gershgorin Circle(圓盤定理)
