RKA1C
O que pretendo com este vídeo
é tornar algebricamente mais familiar
a transformação de Lorentz.
Nós podemos reconhecê-la
em suas diferentes formas
e construir uma ideia intuitiva
de como ela se comporta.
Vamos escrever aqui a transformação de Lorentz
da forma como eu normalmente
prefiro escrevê-la.
Estou flutuando no espaço e tenho o meu referencial.
Digamos que esse referencial se chama S,
e nesse sistema eu tenho minhas coordenadas (x, ct),
e a transformação de Lorentz vai permitir
transformar as minhas coordenadas,
do meu sistema de referência,
para as coordenadas do referencial da minha amiga.
Digamos que o sistema de referência dela é S'
cujas coordenadas seriam (x', ct').
Eu já escrevi a transformação de Lorentz
em vídeos anteriores,
mas agora vamos fazer
algumas manipulações algébricas
e ver como ela aparece em diferentes formas.
A coordenada x' é obtida multiplicando
o fator de Lorentz, gama (Γ),
por x menos β vezes ct.
Em seguida, relembraremos o que é esse β.
Vamos lembrar que o fator de Lorentz
é Γ igual a: 1 sobre a raiz quadrada
de 1 menos v² sobre c².
O v é a velocidade da minha amiga no meu referencial.
Tudo isso é igual a 1 sobre
a raiz de 1 menos β²,
sendo que o β é nada mais,
nada menos que v sobre c.
Então, para obter a coordenada x',
precisamos do fator de Lorentz,
que depende de v e, naturalmente,
desse outro pedaço, que depende de x e de ct.
E como vamos fazer para obter o ct'?
O ct' é igual ao fator de Lorentz, que multiplica...
Agora, vamos nos lembrar daquela simetria
sobre a qual falamos no vídeo anterior.
Temos, então, ct menos β multiplicando x,
observe a simetria entre o cálculo de x' e o de ct'.
Gosto de escrever dessa forma porque é
bem fácil de lembrar, por causa da simetria.
Quando estou querendo obter o x',
dentro dos parênteses,
tenho x - β multiplicando o ct.
Quando quero obter o ct',
temos o contrário,
temos, nos parênteses,
o ct menos β multiplicando o x.
Claro, nos dois casos,
estou multiplicando pelo fator de Lorentz.
Vamos manipular algebricamente
um pouco mais isto aqui,
o que vai inclusive ajudar você a comparar
e relacionar o que temos aqui com o que
você encontra em outras fontes de estudo,
por exemplo, no seu livro-texto.
Sabemos que β é igual a v sobre c
aqui e aqui também.
Evidentemente, podemos cancelar aqui o c com o c
e vamos ter x' igual Γ,
que é o fator de Lorentz,
multiplicando x menos vt.
Isso tem um ponto interessante aqui
porque, se o Γ for exatamente 1,
o que nós temos aqui é essencialmente
a transformação de Galileu,
que é justamente o que a intuição
e o nosso dia a dia nos permitem
observar imediatamente.
Quando vemos aqui o x', calculado desta forma,
estamos percebendo a transformação de Galileu
multiplicada pelo fator de Lorentz,
que tem um comportamento interessante.
Se o v é muito menor que a velocidade da luz,
então todo esse fator vai ser muito próximo de 1
e vai nos dar o que já tínhamos
a respeito da transformação de Galileu,
que funciona para as velocidades do dia a dia.
Por outro lado, se v se aproxima da velocidade da luz,
Γ aumenta consideravelmente,
e vamos obter um resultado diferente do que
a transformação de Galileu nos daria.
Vamos pensar agora no ct'.
Vou dividir os dois lados por c e deixar o t' isolado,
ou seja, vamos olhar para o tempo,
que nos dá uma ideia mais intuitiva,
e é relativa a ele que muitas vezes
nós observamos o movimento.
Dividindo, então, os dois lados por c,
cancelamos aqui, cancelamos aqui também
e vamos ter t' igual a:
fator de Lorentz, t menos...
Vamos ter aqui v vezes x,
dividido por c vezes c, que é c².
Então, vx sobre c².
Estas são formas mais típicas de se ver
a transformação de Lorentz.
Eu não simpatizo muito com esta representação
porque, embora para o cálculo de x'
tenhamos nos parênteses
simplesmente a transformação de Galileu,
entre x' e t' já não existe a mesma simetria
que nós observávamos antes.
É importante que você perceba a simetria,
já que estamos falando de espaço-tempo
não separadamente,
independentemente, "espaço" e "tempo".
Vimos também no diagrama de Minkowski
que os ângulos formados
entre os eixos dos referenciais também são simétricos.
Resumindo, não gosto muito dessa representação porque você não pode ver nela a simetria
e, claro, é uma maneira mais difícil de lembrar essa relação.
Acho a primeira mais fácil,
mas vamos ver o que acontece aqui
quando v é uma fração
muito pequena da velocidade da luz.
Neste caso, o fator de Lorentz
vai ser um valor muito próximo de 1,
e este outro termo aqui, vx sobre c²,
vai ser um valor muito próximo de zero.
Então, escrevendo aqui,
se o v é muito menor que o c,
o t' vai ser aproximadamente...
Lembrando que o Γ, fator de Lorentz,
vai ser muito próximo de 1
e que este termo, vx sobre c²,
vai ser muito próximo de zero,
então, toda esta parte vai ficar próxima de t,
ou seja, t' vai ser aproximadamente t.
Do mesmo jeito aqui para a x',
se v é muito menor que o c,
o Γ, fator de Lorentz,
vai se aproximar de 1 de novo,
e x' vai ser aproximadamente igual a x - vt,
que é a transformação de Galileu.
Então, para velocidades muito menores que a da luz, como a velocidade de uma bala,
a velocidade até mesmo de uma nave espacial,
o que nós obtivemos aqui
nos leva a conclusão de que
as transformações de Galileu
são aproximações perfeitamente cabíveis.
Espero que esta manipulação algébrica
tenha dado a você alguma intuição.
Experimente você calcular o fator de Lorentz para v
com valores de velocidades do dia a dia.
Depois, tente experimentar
quando v se aproxima, por exemplo,
a 0,8 vezes a velocidade da luz...
0,9c, 0,99c.
Pense no que acontece com o fator de Lorentz!
Espero que você aprecie e veja o que acontece,
como isso tudo se comporta.
Até o próximo vídeo!
