
Bulgarian: 
Видяхме въртене чрез
умножаване на j по j
отново и отново
и видяхме, че това е въртене.
Сега нека направим това за общата идея
за всяко комплексно число.
Имам комплексно число, ще го наречем z
и ще кажем, че е направено
от две части.
Реална част, наречена а,
и имагинерна част, наречена b.
Сега искам да видим
какво се случва, ако умножим
z по j веднъж.
j*z.
И това е равно на
j*(a + j*b).
И нека просто
умножим това.
Равно е на j*a + j*j*b.
И сега a и b
промениха местата си.
Ще поставим ja от тази страна.
И какво имаме тук?

Korean: 
j를 연속적으로 곱했을 때의
회전에 대해 알아보았습니다
j를 연속적으로 곱했을 때의
회전에 대해 알아보았습니다
그리고 그 회전을 직접 관찰했습니다
그리고 그 회전을 직접 관찰했습니다
이제 임의의 복소수에 대해
이 아이디어를 확장해 보겠습니다
저에게 복소수가 있다면
z라고 부르도록 하고
두 부분으로 이루어져 있다고 합시다
a라는 실수부와 b라는 허수부로
이루어져 있습니다
이제 제가 궁금한 것은 것은
z에 j를 한 번 곱했을 때
어떤 일이 일어날까요?
j × z
이것은 j×(a+jb)와 같습니다
이것은 j×(a+jb)와 같습니다
이것은 j×(a+jb)와 같습니다
식을 전개해봅시다
j×a + j×jb
j×a + j×jb
j×a + j×jb
a와 b는 이제 자리를 바꾸었습니다
ja를 오른쪽에 쓰겠습니다
ja를 오른쪽에 쓰겠습니다
이쪽은 무엇입니까?

English: 
- [Voiceover] So now, we've seen rotation
by multiplying j by j,
over and over again, and we see that
that's rotation.
Now, let's do it for the general
idea of any complex number.
So, if I have a complex number,
we'll call it z, and we'll
say it's made of two parts.
A real part called a, and
an imaginary part called b.
So now, what I want to do is,
what happens if we
multiply z by j one time?
J times z.
And that equals, j times
a plus
jb.
And let's just multiply it through.
Equals j times a
plus j times
j times b.
A and b have now switched places.
So, we're gonna put ja on this side,
ja on this side.
And what do we have here?

English: 
J times j is minus one, so we have minus b
plus ja.
So, now we have expressions for z and jz.
And I wanna plot these on a complex plane
and see what they look like.
And here's the real axis,
here's the imaginary axis.
And let's first plot,
let's plot z, let's say
z has a large real value,
and that would be a.
And let's say that b is a
smaller value, we'll put b here.
And that means that z is at a location
in the complex plane, right there.
We can plot the dotted lines.
That's z in the complex plane.

Korean: 
j×j=-1 이므로 결과는
-b+ja 입니다
j×j=-1 이므로 결과는
-b+ja 입니다
z와 jz에 관한 식을 얻었습니다
복소 평면 위에 나타내려고 합니다
어떻게 생겼는지 봅시다
여기에 실수축과 허수축이 있습니다
먼저 z를 나타냅시다
z가 큰 실수부 a를 가지고
있다고 가정합시다
z가 큰 실수부 a를 가지고
있다고 가정합시다
b는 작은 값이라고 하고
여기에 나타내겠습니다
그러면 z는 복소평면 위 이
위치에 있다고 할 수 있습니다
그러면 z는 복소평면 위 이
위치에 있다고 할 수 있습니다
점선을 그리겠습니다
복소평면 위의 z입니다

Bulgarian: 
j*j е -1,
тоест имаме -b + ja.
Сега имаме изрази
за z и jz
Искам да ги поставя
на комплексна равнина
и да видим
как изглеждат.
Това е реалната част,
това е имагинерната част.
И нека първо поставим z,
да кажем, че z има
голяма реална стойност
и това ще е а.
И да кажем, че b има по-малка стойност,
ще поставим b тук.
Това означава,
че z е ето тук,
на това местоположение
в комплексната равнина.
Можем да поставим
пунктираните прави.
Това е z в комплексната равнина.

Korean: 
이제 같은 그래프 위에
jz를 나타내 봅시다
jz는 -b의 실수부를 가지고 있고
이쯤 그릴 수 있습니다
여기에 -b를 그렸습니다
그리고 jz는
 +a라는 실수부를 가지고 있습니다
a를 회전하면
이 위쯤 나타낼 수 있습니다
이것이 jz의 위치입니다
이것이 jz의 위치입니다
빗변을 그리겠습니다
이것이 jz를 나타내는 벡터입니다
여기에 삼각형이 여러 개 있는데
이제 제가 보여드릴 것은
이 각도가 90°라는 것입니다
이것을 보이는 한 방법은
한번 해보겠습니다
이 각도를 θ라고 가정합시다
바로 이 각도입니다
우리가 그린 이 삼각형을

Bulgarian: 
Нека сега поставим jz
на същата диаграма.
jz има реална компонента
от -b,
така че това
ще е ето тук.
Това е -b
и има имагинерна компонента
от +a.
Да завъртим а,
а стига чак до тук.
И това е местоположението
на jz
Нека начертая
хипотенузата на това.
Това е векторът, представящ jz,
ето тук.
Сега имаме няколко
триъгълника на страницата
и искам да демонстрирам,
че този ъгъл тук
е 90 градуса.
Един начин да направим това –
да видим дали можем
да направим това.
Да видим, че този ъгъл тук
е тита.
Това е ъгълът
ето тук.
Този триъгълник,
който скицирахме –

English: 
So now, let's put jz on this same plot.
Jz has a real component of minus b,
so that would be right about here.
Here's minus b
and it has a
imaginary component of plus a.
So, let's swing a,
a goes all the way up to about here.
And so, that's the location of
jz.
And let me draw the hypotenuse of that.
This is the vector
representing jz, right there.
So, now we have a bunch
of triangles on the page,
and what I wanna demonstrate is that
this angle right here is 90 degrees.
So, one way to do that,
let's see if we can do that.
Let's say this angle here is theta.
That's the angle right there.
Now, this triangle here, this
triangle that we sketched in,

English: 
just imagine in your head
that we're gonna rotate
that angle up until the
a leg of that triangle
is resting right here
on the imaginary axis.
So, this triangle rotates up
to become this triangle here.
Since we moved that triangle,
we know that this angle here,
that's also theta.
It's the same triangle, just rotated up.
And what does that make this angle here?
This angle here
that equals
90 degrees
minus theta.
So, if I combine this theta
angle with this angle here,
what do I get?
Theta plus
90 degrees minus theta
and we get 90 degrees.
So, we just showed that
this angle right here
is a 90 degree angle.

Bulgarian: 
просто си представи,
че ще завъртим този ъгъл нагоре,
докато бедрото а на този триъгълник
стои тук, на имагинерната ос.
Този триъгълник се върти нагоре,
за да стане този триъгълник тук.
Тъй като преместихме този триъгълник,
знаем, че в този ъгъл тук
също е тита.
Това е същият триъгълник,
просто е завъртян нагоре.
И какво означава това
за този ъгъл тук.
Този ъгъл тук е равен
на 90 градуса минус тита.
Ако комбинирам този ъгъл тита
с този ъгъл тук,
какво получавам?
Тита плюс 90 градуса минус тита
и получаваме
90 градуса.
Показахме, че този ъгъл тук
е 90 градуса.

Korean: 
머리속에서 회전한다고 상상해봅시다
삼각형의 길이 a인 변이
허수축에 올 때까지
회전한다고 상상해봅시다
즉 가로 방향의 삼각형이 회전하여
세로 방향의 삼각형이 됩니다
삼각형을 이동한 것이므로 이 각도는
마찬가지로 θ입니다
같은 삼각형을 위로 회전한 것뿐입니다
그렇다면 이 각도는 무엇입니까?
여기 이 각도는
여기 이 각도는
90°-θ 입니다
90°-θ 입니다
그러므로 여기의 θ와 더하면
무엇을 얻게 되나요?
θ + (90°-θ)
θ + (90°-θ)
즉 90°입니다
우리는 방금 이 각도가
90°라는 것을 보였습니다

English: 
That demonstrates that
any complex number z,
if I multiply it by j,
that results in a positive
rotation of 90 degrees.
So, let's do this rotation
again, only this time,
instead of using the
rectangular coordinate system,
let's use the exponential representation.
So, in the exponential notation, we say,
in general, z equals some radius
times e to the j theta.
Or this is the angle theta
and r is the length of
this hypotenuse here
to get out to z.
So, what is in this notation, what is jz?
And that equals
j times r
e to the j theta.
So, now I'm gonna do a little trick,
where I'm gonna represent
j in exponential notation.
So, if I color in dark here,
this is j.

Korean: 
이 예시는 어떠한 복소수 z에
j를 곱하게 된다면
양의 방향으로 90° 회전이라는
결과를 얻는다는 것을 보여줍니다
회전을 한번 더 해봅시다
단지 이번에는
직교좌표계를 사용하는 대신
지수로 나타내 봅시다
지수로 나타낼 때 우리는 보통
z=r×e^(jθ)라고 나타냅니다
z=r×e^(jθ)라고 나타냅니다
이 부분이 각도 θ이고
r은 z까지의 길이입니다
r은 z까지의 길이입니다
jz는 이 표기법으로
나타내면 무엇입니까?
jz는 다음과 같습니다
jr×e^(jθ)
jr×e^(jθ)
제가 약간의 테크닉을 사용하겠습니다
j를 지수 표기법으로 나타내겠습니다
굵게 칠한 부분이 j입니다
굵게 칠한 부분이 j입니다

Bulgarian: 
Това демонстрира, че всяко
комплексно число z,
ако го умножа по j,
това води до положително
въртене от 90 градуса.
Да направим това въртене отново,
но този път,
вместо да използваме
правоъгълната координатна система,
нека използваме
степенуваното представяне.
В степенуваното обозначение,
казваме, че като цяло,
z е равно на някакъв радиус
по е^(j по тита).
Където това е ъгълът тита,
а r е дължината на
тази хипотенуза тук,
за да стигнем до z.
Колко е jz в това обозначение тук?
И това е равно на j по r по e^(j по тита).
Сега ще направя малък трик,
при който ще представя j
в степенуваното обозначение.
Ако оцветя тук,
това е j.

English: 
The vector j is right there
and it has a magnitude of one
and it points straight
up on the imaginary axis.
So, I can represent j, like this.
I can say j is e
to the j
90 degrees.
That's equivalent to this j here
and it's multiplied by r
e to the j
theta.
And now the last step is
we just combine these two
exponents together and we get
jz
equals r
times e
to the j
theta plus
90 degrees.
So, in exponential notation,
we get this vector here.
We go an additional 90 degree rotation

Korean: 
j 벡터는 크기가 1이고
방향은 허수축 위 방향입니다
j를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다
j = e^(j×90°)
j = e^(j×90°)
j = e^(j×90°)
이 식이 j와 동치입니다
그리고 여기에
r×e^(jθ) 를 곱합니다
r×e^(jθ) 를 곱합니다
마지막 단계로
두 지수를 합치면
jz=r×e^(j(θ + 90°))
jz=r×e^(j(θ + 90°))
jz=r×e^(j(θ + 90°))
jz=r×e^(j(θ + 90°))
jz=r×e^(j(θ + 90°))
jz=r×e^(j(θ + 90°))
즉 지수 표기법으로 나타내면
이 벡터를 얻고
추기로 90° 회전이 생기며

Bulgarian: 
Векторът j е ето тук,
има големина от едно
и сочи право нагоре
на имагинерната ос.
Мога да представя j ето така.
Мога да кажа,
че j е
e^(j по 90 градуса).
Това е еквивалентно на това j тук
и е умножено по r
по e^(j по тита).
И последната стъпка е
да комбинираме тези две степени тук
и ще получим,
че jz
е равно на r по e на степен j по (тита плюс 90 градуса).
В степенувано обозначение
получаваме този вектор тук.
Изминаваме допълнително
90-градусово въртене

English: 
and we go out the same
distance we had originally, r.
So, now we've shown that we we
can rotate any complex number
by 90 degrees if we multiply it by j.
We're gonna get to apply this
kind of transformation to
working out the current and
voltage relationships in
inductors and capacitors,
and that'll happen in a
couple videos from now.

Bulgarian: 
и изминаваме същото разстояние
както оригинално, r.
Сега показахме, че можем да завъртим
всяко комплексно число на 90 градуса,
ако го умножим по j.
Ще приложим този вид
трансформация
към намирането на зависимости
между тока и напрежението
в индуктори и кондензатори
и ще направим това
след няколко видеа.

Korean: 
거리는 원래의 거리 r과 같습니다
즉 어떠한 복소수에 j를 곱해서
90° 회전할 수 있다는
것을 보였습니다
이 종류의 변환을
전류와 전압의 관계를
구하는 데 적용할 것이며
인덕터와 축전기에도 적용할 것입니다

Korean: 
몇 비디오 후에 해볼 것입니다
