
Dutch: 
Hoi.
Bij het uitvoeren van grote berekeningen
met matrices is het vaak nuttig
om de matrix waarmee je werkt te diagonaliseren.
In je vorige colleges zag je dat als je een ​​matrix wil diagonaliseren, je eigenvectoren nodig hebt.
In deze video wil ik je laten zien hoe je eigenwaarden en eigenvectoren kunt vinden voor een matrix
zelfs als de karakteristieke vergelijking
geen reële oplossingen heeft.
De vector v die je hier ziet is
een eigenvector van de matrix A.
Als je A en v vermenigvuldigt, is het resultaat een vector die twee keer de oorspronkelijke vector is v.
Dit betekent dat v een eigenvector van A is met eigenwaarde 2.
Laten we een andere matrix bekijken.
Als je B en de vector v vermenigvuldigt, dan zie je dat we een vector krijgen met dezelfde lengte als v
maar geroteerd over een hoek van 30 graden.
Voor sommigen van jullie is dit waarschijnlijk niet erg verrassend.

English: 
Hi.
When performing large computations
with matrices it is very often useful
to diagonalise the matrix you are working with.
In your previous lectures you saw that if you want
to diagonalise a matrix you will need eigenvectors.
In this video I would like to show you how
you can find eigenvalues and eigenvectors for a matrix
even if the characteristic equation
does not have any real solutions.
The vector v that you see here is
an eigenvector of the matrix A.
If you multiply A and v, then the result is
a vector that is two times the original vector v.
This means that v is an
eigenvector of A with eigenvalue 2.
Let’s take a look at a different matrix.
If you multiply B and the vector v, then you
see that we get a vector with the same length as v
but rotated over an angle of 30 degrees.
For some of you this is probably not very surprising.

English: 
Maybe you have noticed that B is the matrix
that corresponds with a rotation over 30 degrees
counterclockwise.
Does this matrix B have any eigenvalues
or eigenvectors?
Does there exist a vector u such that when
you rotate it over 30 degrees it becomes a multiple of u?
If we are working in the plane R^2
the answer is clearly no.
However, if we also include complex numbers,
then we can find eigenvalues and eigenvectors.
Here is the characteristic equation of the matrix B.
If you write down the determinant
you get the equation that you see here.
We are looking for values of lambda for which
(sqrt(3) over 2 minus lambda) squared is equal to -1/4.
You know by now that there are two complex
numbers that give you -1/4 if you square them,
i/2 and -i/2.

Dutch: 
Misschien heb je al gemerkt dat B de matrix is die overeenkomt met een draaiing van 30 graden
tegen de klok in.
Heeft deze matrix B eigenwaarden of eigenvectoren?
Bestaat er een vector u zodat als je het 30 graden draait je het een veelvoud wordt van u?
Als we in het vlak R ^ 2 werken is het antwoord duidelijk nee.
Als we echter ook complexe getallen gebruiken, dan kunnen we eigenwaarden en eigenvectoren vinden.
Hier is de karakteristieke vergelijking van de matrix B.
Als je de determinant opschrijft krijg je de vergelijking die je hier ziet.
We zijn op zoek naar waardes van lambda waarvoor (sqrt (3) / 2 - lambda)^2 gelijk is aan -1/4.
Je weet inmiddels dat er twee complexe getallen zijn die je -1/4 geven als je ze kwadrateert,
namelijk i / 2 en -i / 2.

English: 
This means that sqrt(3)/2-lambda is either
equal to i/2 or -i/2 and that lambda is sqrt(3)/2-i/2
or sqrt(3)/2+i/2.
Apparently our matrix B does have eigenvalues,
in particular complex eigenvalues.
We already established that B can not possibly
have any eigenvectors in the plane R^2.
This leads us to believe that the eigenvectors
associated with these complex eigenvalues
must be complex as well.
Well, there is only one way to find out.
Let’s calculate these eigenvectors.
We will start with the eigenvectors associated
with the eigenvalue sqrt(3)/2+i/2.
To find these eigenvectors you need to solve
the system of equations given by the augmented
matrix on the screen.
Using elementary row operations we can reduce
this matrix to a row echelon form.
In this case this can be done in just one step.
Add -i times the first row to the second row.

Dutch: 
Dit betekent dat sqrt (3) / 2-lambda gelijk is aan i / 2 of -i / 2 en dus dat lambda = sqrt (3) / 2-i / 2  of
lambda =sqrt (3) / 2 + i / 2.
Blijkbaar heeft onze matrix B wel eigenwaarden, in het bijzonder complexe eigenwaarden.
We hebben al vastgesteld dat B onmogelijk eigenvectoren kan hebben in het vlak R ^ 2.
Dit doet ons geloven dat de eigenvectoren
geassocieerd met deze complexe eigenwaarden
ook complex moeten zijn.
Nou, er is maar één manier om erachter te komen.
Laten we deze eigenvectoren berekenen.
We beginnen met de eigenvectoren die zijn gekoppeld aan de eigenwaarde sqrt (3) / 2 + i / 2.
Om deze eigenvectoren te vinden moet je het stelsel van vergelijkingen oplossen die wordt gegeven door de
matrix op het scherm.
Met behulp van simpele rijenbewerkingen kunnen we deze matrix reduceren naar een rij-echelon-vorm.
In dit geval kan dit in slechts één stap worden gedaan.
Voeg -i keer de eerste rij toe aan de tweede rij.

Dutch: 
Je ziet dat het resultaat een matrix in echelon-vorm is.
Het delen van de gehele eerste rij met -i / 2 je de gereduceerde echelonvorm geeft.
Blijkbaar moeten alle eigenvectoren constante veelvouden zijn van de complexe vector [i 1].
Met een vergelijkbare berekening zul je dat vinden de eigenvectoren die horen bij met de tweede eigenwaarde
veelvouden van de vector [-i 1] zijn.
Merk op dat de eerste coördinaat van elk
van deze vectoren een imaginair getal is.
Ze liggen niet in het vlak R ^ 2.
In plaats daarvan zijn ze ingesloten
in de complexe vectorruimte C ^ 2.
De vectorruimte C ^ 2 bestaat uit vectoren met twee coördinaten.
Net als de reële vectorruimten waar je tot nu toe mee gewerkt hebt.
Het enige verschil is dat de coördinaten
ook complexe getallen kunnen zijn.
In college leer je meer over de structuur en eigenschappen van matrices met complexe eigenwaarden.
Ik hoop dat je deze video leuk vond.
En ik hoop je snel te zien!

English: 
You see that the result is a matrix in echelon form.
Dividing the entire first row by -i/2 gives
you the reduced echelon form.
Apparently all eigenvectors must be constant
multiples of the complex vector [i 1].
With a similar calculation you will find that
the eigenvectors associated with the second eigenvalue
are the multiples of the vector [-i 1].
Notice that the first coordinate of each
of these vectors is an imaginary number.
They do not lie in the plane R^2.
Instead, they are contained
in the complex vector space C^2.
The vector space C^2 consists
of vectors with two coordinates.
Just as the real vector spaces
you have been working with so far.
The only difference is that the coordinates
can also be complex numbers.
In class you will learn more about the structure
and properties of matrices with complex eigenvalues.
I hope you enjoyed this video.
And I hope to see you soon!
