
Korean: 
우리는 이제 직교 좌표계에서
그래프 아래의 넓이를 구하는
일을 여러 번
해 보았습니다
영역을 여러 개의
직사각형으로 쪼개고
직사각형의 개수에
극한을 취하여
무수히 많고 무수히
얇은 직사각형들의 합으로
넓이를 구하는
리만합을 배웠습니다
이제는 극좌표계에서 해봅시다
극 좌표계에서는 엄밀히 말해서
곡선 아래의 영역을
구하는 것은 아닙니다
여기에 r = f(𝜃) 의
그래프를 𝜃 = α 부터
𝜃 = β 까지
그려놓았습니다
이 영상에서는 파란색 영역의
넓이를 구하는 식을
일반화하고자 합니다
이 영역은 r = f(𝜃) 의 그래프와
두 각으로 둘러싸여 있습니다
이 넓이를 나타내는
식을 구해보려고
노력해 봅시다
단, 한 가지 힌트를 드리겠습니다
직교 좌표계에서는 영역을

English: 
- [Voiceover] We now
have a lot of experience
finding the areas under
curves when we're dealing
with things in rectangular coordinates.
So we saw we took the Riemann sums,
a bunch of rectangles,
we took the limit as we
had an infinite number of
infinitely thin rectangles
and we were able to find the area.
But now let's move on
to polar coordinates.
And in polar coordinates
I won't say we're finding
the area under a curve,
but really in this example
right over here we have
a part of the graph of
r is equal to f of theta and we've graphed
it between theta is equal to
alpha and theta is equal to beta.
And what I wanna do in
this video is come up with
a general expression
for this area in blue.
This area that is bounded,
I guess you could say
by those angles and the graph
of r is equal to f of theta.
And I want you to come
up, or at least attempt
to come up with an expression on your own,
but I'll give you a
little bit of a hint here.
When we did it in rectangular coordinates

Thai: 
ตอนนี้เรามีประสบการณ์เรื่อง
การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งเวลาเรา
คิดในพิกัดสี่เหลี่ยมมุมฉากมาพอสมควรแล้ว
เราเห็นว่าเราหาผลบวกรีมานน์
เป็นสี่เหลี่ยมหลายๆ รูป เราหาลิมิตเมื่อ
เรามีสี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบ
จำนวนนับไม่ถ้วน
และเราหาพื้นที่ได้
แต่ตอนนี้ ลองดูพิกัดขั้วบ้าง
ในพิกัดเชิงขั้ว คุณจะไม่บอกว่า เราจะหา
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง แต่ในตัวอย่างนี้
ตรงนี้ เรามีส่วนหนึ่งของกราฟของ
r เท่ากับ f ของเธต้าและเราได้วาดกราฟ
ของมันระหว่างเธต้าเท่ากับ
อัลฟากับเธต้าเท่ากับเบต้า
และสิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือตั้ง
พจน์ทั่วไปสำหรับพื้นที่สีฟ้านี้
พื้นที่นี้มีขอบ คุณจะบอกว่ามีขอบ
เป็นมุมกับกราฟของ r เท่ากับ f ของเธต้าก็ได้
และผมอยากให้คุณหา อย่างน้อยพยายาม
หาพจน์ด้วยตัวเอง
แต่ผมจะให้คำใบ้ตรงนี้
เวลาเราทำในพิกัดสี่เหลี่ยมมุมฉาก

Bulgarian: 
Вече натрупахме доста опит
в намирането на площ под крива,
когато работим в правоъгълна
координатна система.
Видяхме, че съставяме
Риманови суми,
множество правоъгълници,
като намираме границата, когато
имаме безкраен брой от
безкрайно тънки правоъгълници
и така можем 
да намерим площта.
Сега ще работим с 
полярни координати.
При полярните координати няма
да кажа, че ще намираме
площта под кривата, а 
всъщност в този пример
ето тук имаме част
от графиката на функцията
r = f(θ), която е начертана
между θ = α и θ = β.
В това видео искам да
изведем общ израз
за тази област в синьо.
Тази област е ограничена,
ако мога да се изразя така,
от тези ъгли на графиката
на функцията r = f(θ).
Искам да намериш,
поне да опиташ да намериш,
да съставиш израз самостоятелно,
но първо ще дам 
малка подсказка.
Когато работим с
правоъгълни координати,

Portuguese: 
Locutor Nós temos agora 
bastante experiência
achando as áreas das curvas quando lidamos
com coisas em coordenadas retangulares
Então nós vimos as somas 
de Rieman
um monte de retângulos nós 
pegamos o limite como
se tivesse um numero infinito 
de retângulos finos
e nós podemos achar a área
Mas vamos para as coordenadas polares
E nas coordenadas polares eu não
vou dizer que estamos achando
a área sob a curva, mas neste exemplo
aqui nós temos uma parte do gráfico de
e é igual a f de theta e nós desenhamos
entre theta é igual a
alpha e theta é igual a beta.
E o que eu quero fazer neste 
vídeo é trazer
uma expressão geral para esta área em azul
Esta área que é limitada,
acho que posso
dizer por estes ângulos e o gráfico 
de r igual a f de theta
E eu quero trazer, ou ao menos tentar
trazer a vocês uma expressão
Mas eu vou dar algumas dicas aqui
Quando fizemos em coordenadas

Korean: 
직사각형으로 나누었습니다
극 좌표계에서는 선들이 중심에서
뻗어 나오는 형태라 직사각형을
찾기가 쉽지 않습니다
하지만 만약 이 영역을
작은 부채꼴 모양으로
여러 부분으로 나눌 수
있다면 어떨까요?
밑에서 드릴 소리가 들립니다
마이크에 들리는지 모르겠습니다
이어서 설명하겠습니다
만약 이 영역을
부채꼴들로 쪼갠 후에
극한을 취해 무수히 많은
부채꼴 조각이
있는 것처럼 생각해
본다면 어떨까요?
부채꼴 조각들 각각의
넓이를 구할 것인데
조각들의 개수에 극한을 취한다면
아마도 무수히 얇고
무수히 많은 조각들이
생길 겁니다
이 조각들, 다시 말해
이 부채꼴 모양의
넓이에 대한 힌트를
한 가지 더 드리겠습니다

English: 
we divided things into rectangles.
Over here rectangles don't
seem as obvious because
they're all kind of coming to this point,
but what if we could divide things into
sectors or I guess we could
say little pie pieces?
Someone is doing some
serious drilling downstairs.
I don't if it's picking
up on the microphone.
But anyway, I will continue.
So what would happen if
we could divide this into
a whole series of kind of pie pieces
and then take the limit as if we had
an infinite number of pie pieces?
So we want to find the
area of each of these pie
pieces and then take the
limit as the pie pieces
I guess you could say
become infinitely thin
and we have an infinite number of them.
And I'll give you one more
hint, for thinking about
the area of these pie, I guess you could
say the area of these pie wedges.

Bulgarian: 
разделяме нещата
на правоъгълници.
Тук правоъгълниците не изглеждат
очевидно решение, защото
те един вид излизат от тази точка,
но можем да разделим това
на сектори или нещо като
парчета пай или торта.
Някой сериозно ремонтира
на долния етаж.
Не знам дали достига
до микрофона.
Няма значение, ще продължа.
Какво ще стане, ако
разделим тази област
на голям брой от
тортени парчета
и после намерим границата,
ако имаме
безкраен брой такива
парчета от торта.
Ще намерим площта на
всяко от тези парчета торта,
а после ще намерим границата,
когато тези парчета торта
стават безкрайно тънки
и броят на парчетата
е безкрайно голям.
Ще дам още една подсказка
за намирането на
площта на тези парчета,
на тези резени торта или пай.

Portuguese: 
retangulares, dividimos as coisas
em retângulos. Aqui retângulos não 
parecem tão óbvios porque
eles irão chegar neste ponto
mas e se nós pudéssemos dividir 
estas coisas
em setores ou posso dizer 
pequenos pedaços de torta?
Alguém está furando bem aqui embaixo
Eu não, se está pegando no microfone
Bem, vou continuar
O que aconteceria se pudéssemos 
dividir isto em
uma grande serie de pequenos 
pedaços de torta
e então pegar o limite como se tivéssemos
infinitos pedaços de torta?
Queremos achar a área de 
cada um destes pedaços
e então pegar o limite como 
pedaços de tortas
Eu acho que você pode dizer 
que se torna infinitamente fino
e temos um número infinito deles
E eu vou lhe dar mais uma dica para pensar
sobre a area desta torta, eu acho que você pode
dizer a area destes pedaços de torta

Thai: 
เราแบ่งสิ่งต่างๆ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ตรงนี้ สี่เหลี่ยมมุมฉากดูไม่ใช่เพราะ
พวกมันล้วนมายังจุดนี้
แต่ถ้าเกิดเราแบ่งสิ่งต่างๆ
เป็นเซกเตอร์ หรือจะเรียกว่า
ชิ้นพายเล็กๆ ก็ได้ล่ะ?
มีคนเจาะอะไรจริงจังอยู่ข้างล่าง
ผมไม่รู้มันดังเข้าไมโครโฟนหรือเปล่า
แต่ช่างเถอะ ผมจะทำต่อนะ
เกิดอะไรขึ้นถ้าเราแบ่งรูปนี้
เป็นชิ้นพายเล็กๆ
แล้วหาลิมิตราวกับเรามี
จำนวนชิ้นพายนับไม่ถ้วน?
เราอยากหาพื้นที่ของชิ้นพายแต่ละชิ้น
แล้วหาลิมิตเมื่อชิ้นพาย
คุณจะเรียกว่าบางเฉียบก็ได้
แล้วเรามีจำนวนนับไม่ถ้วน
และผมจะให้คำใบ้อีกอย่าง เวลาคิดถึง
พื้นที่ของพายเหล่านี้ คุณจะเรียกว่า
พื้นที่ชิ้นพายก็ได้

Bulgarian: 
Ще ти дам още една подсказка –
ако тук имаме кръг,
ще се постарая
да направя хубав кръг.
За късмет ремонтът или
каквото беше там на долния етаж
спря и сега мога да се
концентрирам по-добре
върху анализа,
което е много важно.
Ако имаме кръг,
това е най-добрият ми опит
да начертая кръг,
ако неговият радиус е r,
сега ще направя един
сектор от този кръг.
Това е сектор от кръга,
това очевидно също е r.
Ако този ъгъл тук е тита,
колко ще бъде
площта на този сектор?
Това е моята подсказка,
помисли колко е тази площ,
като ще приемем, че
ъгъл тита е в радиани.
Помисли колко ще е 
тази площ и после
виж дали можеш да приложиш
това за цялата тази област,
която търсим, като ще ти дам
и още една подсказка.

English: 
I'll give you another
hint, so if I have a circle
I'll do my best attempt at a circle.
Luckily the plumbing or
whatever is going on downstairs
has stopped for now
allowing me to focus more on
the calculus, which is
obviously more important.
All right so if I have
a circle, that's my best
attempt at a circle, and it's of radius r
and let me draw a sector of this circle.
It's a sector of a circle, so
that's obviously r as well.
And if this angle right
here is theta, what is
going to be the area of
this sector right over here?
So that's my hint for you,
think about what this area
is going to be and we're
assuming theta is in radians.
Think about what this area
is going to be and then
see if you can extend
that to what we're trying
to do here to figure out, somehow
I'm giving you a hint again.

Portuguese: 
Eu lhe darei mais uma dica, 
se você tiver um círculo
Eu vou tentar desenhar um bom círculo
Ainda bem que o encanador ou 
seja o que for esta indo aí em baixo
ele parou agora e eu posso me focar mais
nos cálculos, o que é claro, 
é mais importante
Ok, se eu tiver um círculo, 
este é minha melhor
tentativa de círculo, e para o raio de r
e vou desenhar um setor deste círculo
É um setor do círculo, então 
obviamente e também
E se este ângulo estiver 
certo no theta, qual
será a área deste setor aqui?
Esta é minha dica para você,
pense sobre o que
será esta área e nós estamos 
assumindo theta em radianos
Pense no que será esta área e então
veja se você pode ampliar
para o que estamos tentando
fazer aqui para enteder, de algum modo
Eu estou dando uma dica de novo

Korean: 
여기에 원을
그려보겠습니다
최대한 잘 그려보겠습니다
다행히 밑에서 들리던 소리가
조용해졌고 덕분에 이 강의에
더욱 집중할 수 있게 되었습니다
어찌 되었든 여기에
원이 있습니다
반지름은 r 입니다
여기에 부채꼴
하나를 그려보겠습니다
부채꼴이기 때문에
이 길이도 r 입니다
여기에 있는 각의
크기는 𝜃 입니다
색칠된 부채꼴의
넓이는 얼마일까요?
이것이 제가 드리는 힌트입니다
𝜃의 단위가 라디안일 때
이 영역의 넓이를
생각해 보시고
우리가 구하고자 하는
이 넓이에 대한 일반식을
어떻게 얻을 수 있을지
고민해 봅시다
다시 힌트를
드리고 있는 것입니다

Thai: 
ผมจะให้คำใบ้อีกอย่าง ถ้าคุณมีวงกลม
ผมพยายามวาดให้กลมที่สุดแล้ว
โชคดี ประปาหรืออะไรก็ตามข้างล่าง
หยุดแล้ว ทำให้ผมมีสมาธิ
กับแคลคูลัสมากขึ้น ซึ่งสำคัญกว่าแน่นอน
เอาล่ะ ถ้าผมมีวงกลม นั่นคือภาพวาด
ที่ดีที่สุดของผมแล้ว มันมีรัศมี r
และขอผมวาดเซกเตอร์ของวงกลมนี้นะ
มันคือเซกเตอร์ของวงกลม 
แน่นอนมันคือ r ด้วย
และถ้ามุมนี่ตรงนี้คือเธต้า
พื้นที่ของเซกเตอร์ตรงนี้จะเป็นเท่าใด?
นั่นคือคำใบ้ของผม คิดดูว่าพื้นที่นี้
จะเป็นเท่าใด เราสมมุติว่าเธต้า
มีหน่วยเป็นเรเดียน
คิดดูว่าพื้นที่นี้จะเป็นเท่าใด แล้ว
ลองดูว่าคุณขยายไปยังสิ่งที่เราพยายาม
จะหาพื้นที่ได้ไหม
ผมจะคำใบ้คุณอีก

Portuguese: 
Usando integração, achando uma expressão
para esta área
Então, estou supondo que você tenha uma
Então vamos pesar sobre isto, o que a área
do círculo inteiro, bem, nós 
já sabemos disso
Será pi r ao quadrado
a fórmula para área do círculo.
E então o que será a área disto?
Bem, será uma fração do círculo.
Se isto é pi, desculpe, se isto é 
theta, se tivermos 2 pi
radianos que seria o 
círculo inteiro então isto
será theta sobre 2 pi do círculo
Então, vezes theta sobre 2 pi será
a área deste setor aqui.
Area do círculo inteiro 
vezes a proporção
do círculo que nós definimos
ou do que setor representa
E então isto nos dá, os pis cancelam
nos dará metade de r ao 
quadrado vezes theta

Bulgarian: 
С използване на интегриране
опитай да намериш израз за тази площ.
Надявам се, че направи опит.
Сега първо да помислим
колко е площта на целия кръг,
ние знаем това, естествено.
Лицето е πr^2,
формулата за лице на кръг.
А после колко ще бъде
площта на това?
Тя е част от кръга.
Ако това е π, ако това е тита,
ако отиваме от 2π радиана,
колкото е целият кръг,
значи това ще бъде
тита върху 2π от кръга.
Значи по θ/2π е равно
на площта на този сектор.
Лицето на целия кръг
по частта от кръга, която
дефинирахме, или която
представлява този сектор.
Това ще ни даде –
тези π се съкращават,
и ще получим 1/2r^2 по ъгъл тита.

Korean: 
적분을 사용해서 이 넓이를 구하는
식을 찾으면 됩니다
여러분이 이미 시도를
해보았다고 생각하겠습니다
이 원의 넓이를 구하는 것부터
시작해 봅시다
모두 아시다시피 원의 넓이를
구하는 공식은 πr^2 입니다
그러면 이 부채꼴의
넓이는 얼마일까요?
이 원의 일부분이
될 것입니다
원의 중심각은 2π 이기 때문에
중심각이 𝜃인 이
부채꼴의 넓이는
원의 넓이의
𝜃/2π 배입니다
그렇기 때문에
이 부채꼴의 넓이는
(πr^2)×(𝜃/2π) 입니다
우리가 정의한 이 부채꼴의
넓이를 나타내는 식은
(πr^2)×(𝜃/2π) 입니다
이 식을 정리해 보면
π가 소거되고
1/2×r^2×𝜃 가 됩니다

English: 
Using integration, finding
an expression for this area.
So I'm assuming you've had a go at it.
So first let's think about
this, what's the area
of the entire circle,
well we already know that.
That's going to be pi r squared,
formula for the area of a circle.
And then what's going
to be the area of this?
Well it's going to be a
fraction of the circle.
If this is pi, sorry if this
is theta, if we went two pi
radians that would be the
whole circle so this is
going to be theta over
two pi of the circle.
So times theta over two pi would be the
area of this sector right over here.
Area of the whole circle
times the proprotion
of the circle that we've kind of defined
or that the sector is made up of.
And so this would give
us, the pis cancel out,
it would give us one half
r squared times theta.

Thai: 
ใช้การอินทิเกรต หาพจน์สำหรับพื้นที่นี้
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
อย่างแรก ลองคิดถึงอันนี้ พื้นที่
ของวงกลมทั้งวง เรารู้แล้ว
มันจะเท่ากับพาย r กำลังสอง
สูตรพื้นที่วงกลม
แล้วพื้นที่ของมันจะเป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับเศษส่วนของวงกลม
ถ้านี่คือพาย โทษที นี่คือเธต้า ถ้าเรามี 2 พาย
เรดียน มันจะเป็นวงกลมทั้งหมด ค่านี้
จะเท่ากับเธต้าส่วน 2 พายของวงกลม
คูณเธต้าส่วน 2 พายจะ
เป็นพื้นที่เซกเตอร์นี่ตรงนี้
พื้นที่ของวงกลมทั้งวงคูณสัดส่วน
ของวงกลมที่เรากำหนด
หรือเซกเตอร์ที่เรากำหนดขึ้นมา
แล้วอันนี้จะให้ พายตัดกัน
แล้วเราจะได้ 1/2 r กำลังสองคูณเธต้า

Bulgarian: 
А какво ще стане, ако
вместо ъгъл тита...
да видим всяко от тези
парчета тук.
Всяко от тези, които съм 
начертал,
но да вземем едно
от тези парчета.
Ще го оцветя в оранжево.
Тук вместо ъгъл тита,
ще имаме
един много, много
малък ъгъл.
Ще използваме диференциал,
въпреки че това е малко
енигматична математика,
но важното е, че
това ни помага да
си го представим.
Мога да го означа като
делта тита и после
можем да намерим границата, когато
делта тита клони към нула.
Това е само за да 
си го представим, когато
имаме безкрайно малък ъгъл
или безкрайно малка промяна на ъгъла,
нека да я означим с dθ,
и радиусът тук е –
можем да приемем, че
е тази дължина ето тук.
Можеш да го приемеш
като радиус, поне за
тази част от кривата ето тук.

English: 
Now what happens if instead of theta,
so let's look at each of these over here.
So each of these things that I've drawn,
let's focus on just one of these wedges.
I will highlight it in orange.
So instead of the angle
being theta let's just
assume it's a really,
really, really small angle.
We'll use a differential
although this is a bit of
loosey-goosey mathematics
but the important here
is to give you the
conceptual understanding.
I could call it a delta
theta and then eventually
take the limit as our delta
theta approaches zero.
But just for conceptual
purposes when we have
a infinitely small or super
small change in theta,
so let's call that d theta,
and the radius here or I guess
we could say this length right over here.
You could view it as the radius of
at least the arc right at that point.

Portuguese: 
Agora o que acontece se ao invés de theta
vamos ver cada um desses aqui
Cada uma dessas coisas que eu desenhei
vamos focar em apenas um destes pedaços.
Vou evidenciar em laranja.
Então ao invés do ângulo 
ser theta vamos apenas
assumir um ângulo realmente 
muito, muito pequeno
Vamos usar a diferencial 
embora isto seja um pouco
matemática barata mas importante aqui
para lhe dar entendimento conceitual
Eu poderia chamr de delta theta 
e então, eventualmente
obter o limite quando se aproxima de zero
Mas só para propósitos conceituais 
quando nós temos
mudanças infinitamente ou 
super pequenas no theta,
vamos chamar de d theta 
e o raio aqui ou eu acho
podemos dizer que este 
comprimento aqui.
Você poderia vê-lo como o raio
ao menos o arco neste ponto

Thai: 
ทีนี้ เกิดอะไรขึ้นถ้าแทนที่จะเป็นเธต้า
ลองดูแต่ละตัวตรงนี้
แต่ละตัวที่ผมวาด
ลองดูลิ่มหนึ่งอันนี้
ผมจะเน้นด้วยสีส้มนะ
แทนที่จะเป็นมุมเท่ากับเธต้า ลอง
สมมุติว่ามันเป็นมุมที่เล็กมากๆๆๆ
เราจะใช้ดิฟเฟอเรนเชียล ถึงแม้ว่าอันนี้จะ
เป็นคณิตศาสตร์ที่ไม่รัดกุมนนัก แต่สิ่งสำคัญ
คือทำให้คุณเข้าใจหลักการ
ผมเรียกมันว่าเดลต้าเธต้า แล้ว
ค่อยหาลิมิตเมื่อเดลต้าเธต้าเข้าใกล้ 0 ก็ได้
แต่เพื่อให้เข้าใจหลักการ เวลาเรา
มีชิ้นส่วนเล็กจิ๋ว 
หรือการเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วของเธต้า
ลองเรียกมันว่า d เธต้า และรัศมีตรงนี้
จะเรียกว่าความยาวตรงนี้ก็ได้
คุณมองมันเป็นรัศมีของ
อย่างน้อยก็ของส่วนโค้งตรงจุดนั้น

Korean: 
이제 중심각이
𝜃인 경우가 아닌
이 영역의 여러
부채꼴들에 대해 생각해 봅시다
제가 그린 부채꼴들 중에서
한 조각에 대해서만
생각해 봅시다
주황색으로 칠해 놓겠습니다
중심각이 𝜃가 아니라
매우 작은 어떤
각이라고 생각해 봅시다
이 개념의 이해를 돕기 위해
변화량  𝚫𝜃 라고
대충 표현할 것이지만
엄밀하게는 수학적으로
옳은 것은 아닙니다
𝚫𝜃 에 극한을 취하면
𝚫𝜃는 0에 한없이
가까워질 것입니다
이해를 돕기 위해
𝜃가 매우
작은 변화량을 가진다면
이를 𝒅𝜃 라 부르겠습니다
이 길이를
이 부분에 있는 원호의
반지름으로 볼 수 있습니다

English: 
It's going to be r as a
function of the thetas that
we're around right over
here, but we're just going
to call that our r right over there.
And so what is going to be the
area of this little sector?
Well the area of this
little sector is instead of
my angle being theta I'm calling
my angle d theta, this
little differential.
So instead of one half
r squared it's going to
be, let me do that in a color you can see.
This area is going to be
one half r squared d theta.
Notice here the angle
was theta, here the angle
was d theta, super, super small angle.
Now if I wanted to take
the sum of all of these
from theta is equal to alpha
to theta is equal to beta
and literally there is an
infinite number of these.
This is an infinitely small angle.
Well then for the entire
area right over here
I could just integrate all of these.

Thai: 
มันจะเท่ากับ r เป็นฟังก์ชันของเธต้า
ที่เราวนไปตรงนี้ แต่เราจะ
เรียกมันว่า r ตรงนี้
แล้วพื้นที่ของเซกเตอร์เล็กๆ นี้จะเป็นเท่าใด?
พื้นที่ของเซกเตอร์เล็กๆ นี้ แทนที่จะ
เป็นมุมเธต้า ผมจะเรียก
มุมนั้นว่า d เธต้า ดิฟเฟอเรนเชียลเล็กๆ นี่
แทนที่จะเป็น 1/2 r กำลังสอง มันจะเป็น
ขอผมใช้สีที่คุณเห็นได้หน่อย
พื้นที่นี้จะเท่ากับ 1/2 r กำลังสอง d เธต้า
สัเงกตตรงนี้ มุมคือเธต้า ตรงนี้มุม
คือ d เธต้า มุมเล็กจิ๋วสุดๆ
แล้วถ้าผมอยากหาผลบวกของรูปทั้งหมด
จากเธต้าเท่ากับอัลฟา คือเธต้าเท่ากับเบต้า
มันมีจำนวนนับไม่ถ้วน
นี่คือมุมเล็กจิ๋ว
แล้วพื้นที่ทั้งหมดตรงนี้
ผมก็อินทิเกรตทั้งหมดนี้ได้

Bulgarian: 
И тук r е функция от θ,
отиваме ето тук,
но ще наречем това
нашият радиус r ето тук.
Каква е площта на този
малък сектор?
За да намерим площта на този малък
сектор, вместо ъгъл тита,
ще вземем ъгъл делта тита,
този диференциал.
Вместо 1/2r^2,
тук ще стане...
Ще взема цвят, който
да се вижда добре.
Тази площ ще бъде равна
на 1/2r^2.dθ.
Обърни внимание, че ъгълът
тук беше тита,
а тук ъгълът е делта тита,
този много, много малък ъгъл.
Ако искам да събера всички тези,
от θ = α до θ = β,
като имаме безкрайно
голям брой такива сектори
с такъв безкрайно малък ъгъл,
тогава за цялата тази
област ето тук,
мога да интегрирам всички тези.

Korean: 
여기 이 길이 r은 실질적으로
𝜃에 대한 함수이지만
여기서는 그냥 r
이라고 부르겠습니다
그래서 결국 이 부채꼴의
넓이는 무엇일까요?
이 부채꼴의 중심각을
𝜃가 아니라 변화량
𝒅𝜃 라고 하겠습니다
이때 이 부채꼴의 넓이는
공식 1/2×r^2×𝜃 에 대입하면
공식 1/2×r^2×𝜃 에 대입하면
넓이는 1/2×r^2×𝒅𝜃 가 됩니다
오른쪽의 그림에서
각은 𝜃 였지만
이 부채꼴의 중심각은
매우매우 작은 𝒅𝜃 입니다
이제 𝜃 = α 에서 𝜃 = β
까지 모든 부채꼴들을 더한다면
사실상 무한히 많은
부채꼴들을 더하는 것 입니다
𝒅𝜃 는 무한히 작은
각이기 때문입니다
따라서 이 영역 전체의 넓이는
이 모든 것을
적분한 것입니다

Portuguese: 
Isto será r em função do theta que
nós estamos aqui, mas nós apenas
vamos chamar de nosso r aqui
Então qual será a área 
deste pequeno setor?
Bem a área deste pequeno setor é invés de
meu ângulo sendo theta 
estou chamando
meu ângulo de d theta, 
esta pequena diferencial
Então ao invés de metade 
de r ao quadrado será
deixe-me desenhar em uma 
cor que você possa ver
Esta área será metade de 
r ao quadrado d theta
Veja aqui o ângulo era theta, 
aqui o ângulo
era d theta, muito, muito pequeno
Agora se você quer a soma de todos
de theta iguala alpha 
até theta igual a beta
e literalmente existe um 
número infinito deles
É um ângulo infinitamente pequeno
Bem, então para esta área inteira aqui
Eu poderia só integrar tudo isto

Bulgarian: 
Това ще бъде интеграл
от алфа до бета
от 1/2r^2.dθ,
като разбира се,
r е функция от θ.
Даже може да го напишеш така,
може да го напишеш като
интеграл от алфа до бета
от 1/2(r(θ))^2.dθ,
само да си припомним, че
r е функция от ъгъл тита в този случай.

Portuguese: 
Então isto será a integral do alpha ao
beta de metade de r ao quadrado d theta
onde r, é claro
é a função de theta. Você
pode até escrever assim
Você poderia escrever como 
a integral de alpha
até beta de metade de r de 
theta ao quadrado d theta
Só para lembrá-los ou supondo que r

English: 
So that's going to be the
integral from alpha to
beta of one half r
squared d theta where r,
of course, is a function of theta.
So you could even write it this way,
you could write it as
the integral from alpha
to beta of one half r of
theta squared d theta.
Just to remind ourselves or assuming r
is a function of theta in this case.

Thai: 
มันจะเท่ากับอินทิกรัลจากอัลฟาถึง
เบต้าของ 1/2 r กำลังสอง d เธต้าโดย r
แน่นอน คือฟังก์ชันของเธต้า
คุณเขียนมันแบบนี้ได้
คุณเขียนมันเป็นอินทิกรัลจากอัลฟา
ถึงเบต้าของ 1/2 r ของเธต้ากำลังสอง d เธต้า
เพื่อเตือนตัวเอง หรือบอกว่า r
เป็นฟังก์ชันของเธต้าในกรณีนี้

Korean: 
정리하면 α부터 β까지
1/2×r^2×𝒅𝜃 를 적분한 것이고
여기서 r 은
𝜃의 함수입니다
또는 r 이 𝜃의 함수임을
명확히 하기 위해
α부터 β까지
1/2×(r(𝜃))^2×𝒅𝜃
를 적분한 것이라고
적을 수도 있습니다
커넥트 번역 봉사단 | 박재우

Portuguese: 
é uma função de theta neste caso.
Traduzido por Francis Pires
