
English: 
Professor Dave here, I wanna tell you about
the fundamental theorem of calculus.
We just learned what integration is.
We can consider it the act of finding the
area under a curve.
But what does this have to do with differentiation?
To see how these two operations are intertwined,
we have to learn how to integrate functions
mathematically, using a specific algorithm.
To do this, we must introduce some new notation,
so let’s learn these symbols now.
In the previous tutorial we saw that as we
add up all our tiny rectangles, we get this
expression, with the sum of f of xi times
delta x from i equals one to n, in the limit
of n approaching infinity.
Without getting stuck on all these symbols,
let’s just think of this as an expression

Arabic: 
معكم البروفيسور ديف، أريد أن أخبركم عن المبرهنة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل
لقد تعلمنا للتو ما هو التكامل
يمكننا أن نعتبره قانون إيجاد المنطقة تحت المنحنى
ولكن ما علاقة هذا بالتفاضل؟
لنرى كيف تتداخلان هاتان العمليتان، علينا أن نتعلم كيف تكميل الدوال الرياضية
باستخدام خوارزمية محددة
للقيام بذلك، يجب علينا تقديم بعض الرموز الجديدة، لذلك لنتعلم هذه الرموز الآن
في الدرس السابق، رأينا أننا عندما نضيف كل مستطيلاتنا الصغيرة،  نحصل على هذا التعبير
بمجموع f xi مضروبة delta x من i يساوي واحد إلى n
في حدود n تقترب من اللانهاية
دون أن نعلق في جميع هذه الرموز، لنفكر في هذا على أنه تعبير

English: 
that means “add up all the rectangles”.
The new way that we will represent this idea
looks like this.
This weird symbol, introduced by Leibniz,
is called an integral sign, and it looks kind
of like a long S because it represents a limit
of sums.
The function being integrated, f of x, is
the integrand, and these two numbers by the
integral sign are called the limits of integration.
A is the lower limit and b is the upper limit.
These tell us where to start and stop adding
up rectangles.
The symbol dx, which represents the infinitesimal,
is required for integration, but it has no
meaning by itself.
The function being integrated simply must
be followed by dx in order for integration
to be possible.

Arabic: 
والتي تعني "إضافة كل المستطيلات"
الطريقة الجديدة التي سنعرض بها هذه الفكرة تبدو هكذا
يُطلق على هذا الرمز الغريب، الذي أدخله لايبنز، علامة تكامل
ويبدو وكأنه حرف S طويل لأنه يمثل حدًا للمجموع
الدالة التي يتم تكميلها ، f من x، هي تكاملية، ويطلق على هذين العددين
بواسطة علامة متكاملة تسمى حدود التكامل
A هو الحد الأدنى و b هو الحد الأعلى
هذه تخبرنا من أين نبدأ ونتوقف عن إضافة المستطيلات
الرمز dx، الذي يمثل الحد الأدنى، مطلوب للتكامل
لكن ليس له معنى في حد ذاته
يجب أن تتبع الدالة dx التي يجري تكميلها ببساطة حتى يكون التكامل
ممكنًا

Arabic: 
لأن هذا التكامل يشير إلى فاصل محدد، يطلق عليه تكامل محدد
ويمكن اعتباره كعدد، وهو عدد يشبه إلى حد كبير المساحة الموجودة أسفل المنحنى
لنتعلم كيفية حساب التكاملات الآن
الخوارزمية الجديدة التي يجب أن نتعلمها هي كما يلي
إذا أردنا تكميل هذه الدالة f من x على الفترة من a إلى b
فستكون مساوية لـ F لـ b ناقص F لـ a، حيث تمثل F الحالة العليا  مشتقاً عكسياً
للدالة
إذن ما هو المشتق العكسي؟
حسنًا، هذه دالة إذا حصلت على المشتق، فستحصل على الدالة الأصلية
يشبه إلى حدٍ ما منحكم الجذر التربيعي ما هو بداخل الجذر
وبالتالي فإن الحرف F هو مشتق عكسي من الحالة الأدنىf، لأن F الكبير أولي يساوي f الصغير
من أجل الحصول على مشتق عكسي، سيتعين علينا بالضبط توظيف خوارزمية عكس

English: 
Because this integral indicates a specific
interval, it’s called a definite integral,
and it can be thought of as a number, a number
much like the area under a curve.
Let’s learn how to compute integrals now.
The new algorithm we must learn is as follows.
If we want to integrate this function f of
x over the interval from a to b, that will
be equal to F of b minus F of a, where the
upper case F represents the antiderivative
of the function.
So what’s an antiderivative?
Well that’s a function for which if you
take the derivative, you get the original
function, kind of like how squaring a square
root gives you what’s inside the root, so
capital F is the antiderivative of lower case
f, because big F prime equals little f.
In order to get an antiderivative, we are
going to have to employ precisely the opposite

Arabic: 
تلك التي تعمل خلال التفاضل
تذكرو أنه عندما نأخذ مشتقًا، فإننا نحضر هذا الأس إلى هنا، ثم نقلل
من الأس من قبل واحد
هذا يعني أنه للحصول على مشتق عكسي، يتعين علينا زيادة الأس من قبل واحد
ثم نقسم المصطلح الناتج على الأس الجديد
على سبيل المثال، للحصول على مشتق عكسي لـ x تربيعي، يجب أن نكتب x مكعب على ثلاثة
يمكننا التحقق من صحة ذلك من خلال أخذ المشتق
ثلاثة يأتي إلى هنا، ويذهب الأس إلى اثنين
ألغيت الثلاثيات، وتركنا مع x مربعة، وهو ما بدأنا به
لذلك، لوضع هذا التعريف الجديد للتكامل في سياقه، لنقل أننا نعيد منحنى x التربيعي

English: 
algorithm of the one that is employed during
differentiation.
Remember that when we take a derivative, we
bring this exponent down here, and then reduce
the exponent by one.
That means that to get an antiderivative,
we have to increase the exponent by one, and
then divide the resulting term by the new
exponent.
For example, to get the antiderivative of
x squared, we must write x cubed over three.
We can verify that this is correct by taking
the derivative.
Three comes down here, and the exponent goes
to two.
The threes cancel, and we are left with x
squared, which is what we started with.
So to contextualize this new definition of
integration, say we bring back our x squared

English: 
curve and integrate from zero to one.
That will be equal to the antiderivative evaluated
at one minus the antiderivative evaluated
at zero.
That’s what is meant by this notation, with
either a vertical line or a closed bracket,
it means evaluate this function for the number
on top, and then subtract from that the evaluation
for the number on the bottom.
When x equals one, x cubed over three equals
one third, and when x equals zero, it equals
zero, so the answer is one third.
As we recall from the previous tutorial, this
was the area under the curve that we got from
the tiny rectangles, as the number of rectangles
increased to infinity.
So we can see that this approach of evaluating
antiderivatives is doing exactly the same thing.
We are getting the area under the curve.

Arabic: 
ويتكامل من صفر إلى واحد
سيكون ذلك مساويًا للمشتق العكسي الذي تم تقييمه عند واحد ناقص المشتق العكسي الذي تم تقييمه
عند صفر
هذا هو المقصود من هذا الترميز، إما بخط عمودي أو قوس مغلق
فهذا يعني تقييم هذه الدالة للرقم في الأعلى، ثم طرح من ذلك التقييم
للرقم في الأسفل
عندما يساوي x واحد، x مكعب على ثلاثة يساوي ثلثا واحد، وعندما x يساوي صفر، يساوي الصفر
وبالتالي فإن الجواب هو ثلثا واحد
كما نتذكر من البرنامج التعليمي السابق، كانت هذه المنطقة تحت المنحنى التي حصلنا عليها
من المستطيلات الصغيرة، حيث زاد عدد المستطيلات إلى ما لا نهاية
لذلك يمكننا أن نرى أن هذا النهج لتقييم المشتق العكسي يفعل الشيء نفسه بالضبط
نحصل على المنطقة تحت المنحنى

English: 
This was the incredible light bulb moment
experienced by Newton and Leibniz, and their
contemporaries in the 17th century.
This was the realization that just like addition
and subtraction, or multiplication and division,
differentiation and integration are inverse
operations.
If we draw a ladder, and on each rung we write
a multiple of 2, going up we add two every
time, and going down we subtract two every
time.
Addition and subtraction are therefore inverse
operations.
If we instead write the powers of two, then
up represents multiplying by two, and down
represents dividing by two.
Multiplication and division are therefore
inverse operations.
By precisely the same logic, if we write a
series of functions on these rungs, each function

Arabic: 
كانت تلك لحظة الفكرة المذهلة التي مر بها نيوتن وليبنز
ومعاصروهم في القرن السابع عشر
كان هذا هو تحقيق أنه مثل الجمع والطرح، أو الضرب والقسمة
فإن التفاضل والتكامل يعتبر عمليات عكسية
إذا رسمنا سلمًا، وعلى كل درجة نكتب مضاعف 2، وصعودًا نقوم بإضافةاثنين
في كل مرة، ونطرح اثنين في كل مرة نزولاً
الجمع والطرح هي بالتالي عمليات عكسية
إذا قمنا بدلاً من ذلك بكتابة القوى الخاصة بالإثنين، فحينئذٍ يصل ليمثل ضرب اثنين
ويمثل لأسفل القسمة على اثنين
الضرب والقسمة هما بالتالي عمليات عكسية
من خلال نفس المنطق بالضبط، إذا كتبنا سلسلة من الدوال على هذه الدرجات، فكل دالة

Arabic: 
هي مشتق من أعلاه، وهي جزء لا يتجزأ من تلك الموجودة أدناه
يمثل الإتجاه الهبوطي التفاضل ويمثل الاتجاه التصاعدي التكامل
إذا أخذنا مشتق من هذا، نحصل على واحد أدناه
إذا قمنا بتكميل هذا، يمكننا الحصول على واحد أعلاه
وهذه الحقيقة البسيطة، العلاقة العكسية لهاتين العمليتين، هي الحقيقة الأساسية
التي نشير إليها على أنها المبرهنة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل
يستدل من هذا الفهم الجديد أنه لا يمكن اعتبار التكامل الآن مقاربة قديمة
لبناء مستطيلات صغيرة وإيجاد حد المجموع
بل هي خوارزمية حسابية جديدة تمامًا وهي ببساطة عكس التفاضل
إن مشتق تكامل الدالة هو بالضبط تلك الدالة، التي تعطينا بها
مربع الجذر التربيعي بنفس الطريقة ما بداخل الجذر

English: 
is the derivative of the one above, and the
integral of the one below.
The downward direction represents differentiation
and the upward direction represents integration.
If we take the derivative of this, we get
the one below.
If we integrate this, we can get the one above.
And this simple fact, the inverse relationship
of these two operations, is the essential
truth that we refer to as the fundamental
theorem of calculus.
This new understanding means that integration
can now be thought of not as the obsolete
approach of constructing tiny rectangles and
finding the limit of a sum, but rather as
an entirely new computational algorithm that
is simply the inverse of differentiation.
The derivative of the integral of a function
is just that function, in the same way that
the square of a square root gives us what’s
inside the root.

English: 
Integral calculus and differential calculus
are united at last.
Now that we have a basic grasp of this theorem,
let’s express it a little more formally.
We have some function f of t which is continuous
over the interval from a to b.
If we want to integrate this function from
a to some interval x, we get a new function,
g of x, equal to the integral of f of t dt
from a to x.
Notice that this new function does not depend
on t, but only x, the upper limit of integration.
If x is a specific number, instead of getting
a new function, we would use the antiderivative
of f and evaluate for the limits of integration
to get a number.
This would be the area of this section under
the curve.
If we leave x as a variable, then we instead
just get the function g of x.

Arabic: 
كان حساب التكامل وحساب التفاضل لا يتجزأن في الماضي
الآن وقد أصبح لدينا فهم أساسي لهذه المبرهنة، لنعبر عنها بشكل رسمي أكثر قليلاً
لدينا بعض الدوال f من t والتي تستمر عبر الفترة من a إلى b
إذا أردنا تكميل هذه الدالة من الفترة إلى بعض الفترة x، نحصل على دالة جديدة
g من x، مساوية لتكامل f من t dt من a إلى x
لاحظوا أن هذه الدالة الجديدة لا تعتمد على t، ولكن على x فقط، الحد الأعلى للتكامل
إذا كان x رقمًا محددًا، بدلاً من الحصول على دالة جديدة، فسنستخدم المشتق العكسي
لـ f ونقيم حدود التكامل للحصول على عدد
وهذا سيكون مجال هذا القسم تحت المنحنى
إذا تركنا x كمتغير، فإننا بدلاً من ذلك نحصل على الدالة g من x

Arabic: 
يمكننا أن نفكر في g من x على أنها المنطقة الواقعة تحت جزء من المنحنى، اعتمادًا على x
أو "مساحة حتى الآن" حيث يتحرك x على طول المنحنى
كما تعلمنا للتو، ستكون الحالة أن g أولي ل x وسوف تساوي f من x
وهذا يعني أن g من x يجب أن يكون مشتق عكسي ل f من x
يقودنا هذا إلى الجزء الثاني من المبرهنة الأساسية، وهي الخوارزمية التي ذكرناها سابقًا
يساوي تكامل بعض الدوال، f من x dx من a إلى b، مشتق عكسي لـ f
الحالة العليا F، الذي تم تقييمه على هذه الفترة، والذي يمكن التعبير عنه أيضًا على أنه مشتق عكسي
لـ b ناقص مشتق عكسي لـ a
هذه هي طريقتنا الجديدة للتعامل مع تقييم التكاملات ، لذلك لن نتطرق
إلى المستطيلات بعد الآن

English: 
We can think of g of x as the area under some
section of the curve, depending on x, or the
“area so far” as x moves along the curve.
As we just learned, it will be the case that
g prime of x will equal f of x, and that means
that g of x must be the antiderivative of
f of x.
This brings us to the second part of the fundamental
theorem, which is the algorithm we mentioned earlier.
The integral of some function, f of x dx from
a to b, equals the antiderivative of f, upper
case F, evaluated over this interval, which
can also be expressed as the antiderivative
of b minus the antiderivative of a.
This is our new way of approaching the evaluation
of integrals, so we won’t be talking about
rectangles anymore.

English: 
Now that we have this theorem under our belts,
we are ready to practice evaluating definite
integrals, so let’s move on to that 
concept next.

Arabic: 
الآن وبعد أن أستحوذ فهمنا على هذا المبرهنة، نحن على استعداد لممارسة تقييم
التكاملات المحددة، لذلك لننتقل إلى هذا المفهوم بعد ذلك
نفذ الترجمة : شوان حميد
