
English: 
A lot of functions can look really ugly, and
be hard to work with.
On the other hand there are some lovely functions
that have wonderful properties.
What's amazing though is that some of these
beautiful functions that can approximate many
other functions, even ones that look very
bad.
Today we'll look at one example of this kind
of thing: the Fourier series.
Ok let's start by considering all the functions
you can draw on a line between --L to L. So
what do our nice functions look like?
We can make them like this:
First draw a dot at 0, and dots at the end
points.
Now connect them like this.
You might recognize this as this sin function.
Then for the next one, put down the original
dots and now one in between each of them,
and a swiggle to connect them.
This is also a sin function.

Russian: 
Множество разных функций могут выглядить очень уродливо и сложно. С другой стороны, существуют
прекрасные функции с замечательными свойствами. Удивительно то что некоторые из
этих прекрасных функций могут создать приближенную модель даже тех неприятных
функций. Сегодня мы взглянем на один похожий пример:
Ряд Фурье.
Хорошо, давайте начнем с рассмотрения всех функций которые можно начертить на линии
от -L до L. Как же выглядят хорошие функции? Я могу сделать что то типа этого: сначала
нарисуйте точку на 0, и по точке на концах линии. Теперь соедените их таким образом. Вы можете
распознать то что это график синуса. Теперь поставте такие же линии как и в первом примере
но теперь добавте еще точки между изначальными точками. Этота же синусная

English: 
Keep repeating the process, and now we've
made an infinite number of nice functions-
but wait, let's make more: take all of our
previous ones and shift them over so that
their first peak is now in the middle.
These are all cos functions.
Now we finally have all the nice functions
we're going to work with.
You might be wondering what exactly is so
nice about these functions.
I won't say too much about that here, besides
noting that they're periodic and infinitely
differentiable.
Instead, I'll put some links in the description
about their usefulness, and in the next next
video I'll explain why they're super important
in quantum mechanics.
Ok so back to our functions, there are an
infinite number of them, but it's obvious
that they are only a tiny fraction of all
possible functions.
It only starts to get interesting we start
combining them in a special way called a linear
combination.

Russian: 
функция. Повторяйте этот процесс, и теперь мы создали бескониченое количество красивых
функций, но давайте сделаем еще кое что: возьмите все наши предидущие функции и
сдвиньте так что бы первая вершина была теперь посредине. Это все функции косинуса.
Теперь у нас действительно есть все красивые функции с которыми мы будем работать.
Вы наверняка интересуетесь что же такого красивого в этих функциях.
Я не скажу много чего помимо того что они переодичны и бесконечно дифференцируемы.
Лучше я добавлю несколько ссылок в описании, о том насколько они полезны
и в после-следующем видео я объясню почему они супер важны в
квантовой механике. Вернемся к нашим функциям, которых у нас бесконечное количество, но
это очевидно то что они являются только маленькой частью всех возможных функций.
И самое веселье начинается только когда мы начнем комбинировать их специальным
способом который назвается - линейная комбинация.

Russian: 
Вот как вы проводите линейную комбинацию. Возьмите несколько хороших функций. Теперь
умножьте каждую из них на какое то число. Это вытянет или наоборот, сожмет
каждую из них. Теперь сложите эти функции вместе. В течении всего оставшегося времени я
буду комбинировать функции только этим способом. Мы например не будем обсуждать
переумножение функций. Тем не менее, как вы можете видеть из этого примера
конечная функция не является одной из наших красивых функций. Это наводит на вопрос -
какие именно функции можно создать используя эти линейные комбинации? Удивительный
результат, известный как ряд Фурье, гласит то что этим способом можно сделать
очень много функций.
Давайте рассмотрим один пример что бы увидеть как это работает. Мы будем использовать
функцию X^3 На интервале от -пи до пи, X^3 выглядит так. Используя наши красивые

English: 
This is how you make a linear combination.
Pick some of the nice functions.
Now multiply each of these functions by a
number.
This has the effect of stretching or compressing
each of them.
Then add these functions together.
For the rest of this video, we're only going
to consider combining the functions in this
way.
We won't, for example, think about multiplying
functions.
Anyway, as you can see from this example,
the resulting function isn't one of our nice
ones.
That begs the question, exactly want kind
of functions can you make using these linear
combinations?
The amazing result, know as the fourier series,
says that actually, you can make a lot of
different functions this way.
Let's see an example to see how this works.
Let's use the function x cubed.
On the interval -Pi to Pi, x cubed looks like
this.
We're going to try and approximate it using
our nice functions.

English: 
The fourier series tells us what coefficients
to use in our linear combination.
We start out by plotting the first approximation
to it using the squiggles with the biggest
wavelength.
That looks really really bad.
That's ok; we'll go onto linear combinations
of two of our functions.
Better, I guess...
Let's do a few more.
This is the 3rd order approximation.
As we get toward the twentieth approximation,
it actually looks pretty good!
Ok, so our swiggly functions can approximate
smooth curved function like x^3 really well.
Let's give it more of a challenge with a function
that isn't even continuous.
You see, by the twentieth approximation, this
looks pretty good.
In fact, we can prove that as we go to higher
and higher orders, we can make this approximation
as good as we want.
Here are some more examples and you can see
in each case that the approximation works
well for them too.

Russian: 
функции мы попробуем приблизится к этой функции. Ряд Фурье говорят нам какие именно
коэффициенты использовать. Мы начнем с начертания первой аппроксимации используя
загогулины с наибольшей длинной волны. Это выглядит просто ужасно. Но все нормально;
Мы теперь проведем линейную комбинацию используя две функции. Вроде уже лучше...
Давайте сделаем еще несколько. Когда мы приближаемся к 20той аппроксимации, она
выглядит довольно таки неплохо! Так что наши волнистые функции могут отлично приблизится
к функции X^3. Давайте дадим им задачу посложнее, функцию которая даже не постоянная.
Видите, к 20той аппроксимации, это тоже выглядит очень хорошо. Более того, чем выше
мы можем доказать что когда мы поднимаемся по уровню аппроксимаций, мы можем сделать это
приближение настолько точным, насколько нам нужно. Вот еще несколько примеров

Russian: 
показывающих что и с ними аппроксимации хорошо работают. Последня функция это кстати
фрактал, одна из наиболее противных функций в мире, и ряд Фурье все равно может
аппроксимировать ее. Как по мне это просто ошеломляюще. Почему много волнистых линий
должны давать хорошие приближения к функциям которые на них даже не похожи? Я без понятия.
Еще круче является то что эта версия ряда Фурье это всего лишь отдельный вариант еще более
мощного инструмента. Предположим у вас есть комплексная функция на отрезке от -L до L.
Под этим я имею ввиду функцию которая принимает только действительные числа от
-L до L но возвращает комплексные числа. Общая функция ряда Фурье может аппроксимировать
даже подобные функции. Вот как это происходит.
Для начала нам нужен новый набор из красивых функций, потому что предидущие работают
только с действительными числами, а это нам не подходит. Вот как мы создадим новые функции:
Для создания первой, мы возьмем две самые большие волнистые функции, умножем одну на

English: 
The last one is actually a fractal, one of
the nastiest types of functions there are,
and yet the Fourier Series still can approximate
it.
I find this completely mind-boggling.
Why should a bunch of squiggly lines give
a good approximation to functions that look
nothing like them?
I have no idea.
What's even cooler is that this version of
the Fourier series is merely a special case
of an even more powerful one.
Suppose you have a complex valued function
on the interval from negative L to L. By that
I mean a function that only takes real numbers
between negative L and L as inputs but returns
complex numbers.
The general version of the Fourier series
can even approximate those kind of functions.
Here's how.
First we need a new set of nice functions,
because our old ones are real valued and that
won't do for this.
This is how we create the new ones:
To make the first one, take the two biggest

English: 
squiggling functions multiply one by the imaginary
number i, and add them together.
You might recognize this as a complex exponential
function.
Do the same thing with the next two, and you
see this is another exponential with a smaller
wavelength.
And of course, we just repeat this process
forever to get the rest.
So these are our new nice functions.
To approximate a function -real or otherwise,
with them, we do exactly the same thing as
before, we take linear combinations.
This version of the Fourier series will tell
us what coefficients to use.
For real valued functions, the approximation
is exactly the same as if we did it with our
original fourier series.
Here's one example of a complex function being
approximated.
So that's what the Fourier series is about,
approximating functions.
However, we only talked about how to approximate
functions on a certain interval.
How to we do it if we want to approximate
a function on the entire real line?
That's where the Fourier transform comes in.

Russian: 
мнимое число i, и сложим их вместе. Вы возможно слышали об этом как о комплексной
экспоненциальной функции. Проделайте тоже самое со следующими двумя, и вы можете
увидеть другую экспоненту с меньшей длиной волны. Для получения всего остального нам
просто нужно повторить это бесчисленное количество раз. Так что вот это наши новые
функции. Что бы аппроксимировать функцию, действительную или нет, мы проводим все те же
линейные комбинации. Эта версия ряда Фурье скажет нам какие коэффициенты использовать.
Для функций с действительными числами, аппроксимация точно такая же как и с нашим
оригинальным рядом Фурье. Вот другой пример аппроксимированной комплексной функции.
Так что для чего ряд Фурье существует - аппроксимация (приближение) функции. Тем не
менее, пока что мы говорили только об аппроксимировании функций на конкретном
промежутке. Как же мы можем аппроксимировать целую действительную функцию? Это то где

English: 
If you want to know about that then I'll see
you in the next video.

Russian: 
преобразование Фурье вступает в игру. Если хотите узнать об этом побольше, увидимся в следующем видео!
