안녕하세요. 수학채널 쑤튜브입니다.
우리가 지금까지 직교대각화에 대해서 배웠잖아요
그래서 이번 시간에는
손실 이미지 압축 시뮬레이션을 보여드리려고 해요.
고유값 분해를 이용해서요.
EVD라고도 하죠.
그런데 사실 행렬의 크기나 대칭성에 관계없이 
이걸 할 수 있기는 해요.
SVD라고 불리는 특이값 분해를 이용한다면요.
그런데 우린 아직 SVD를 안배웠으니까
그냥 EVD를 사용해서 이미지 압축을 해볼 거에요.
그런데 그러기 전에
그 것을 하기 위한 이유나 
아니면 이론 같은 것을 소개해드릴까 해요.
뭐, 사실 직교대각화에 대해 이미 알고 있다면
그렇게 어렵지는 않아요
그래서 혹시 그냥 시뮬레이션만 보실 분들은
영상 뒷부분으로 가서 보시면 돼요.
네, 그래서 n 곱하기 n 대칭행렬이 있다고 하죠. A라 하죠.
왜냐면, 그 있잖아요
직교대각화를 하려면
우린 대칭행렬이 필요하죠
사실 행렬이 직교대각화가능한 필요충분조건은
대칭행렬 인거죠.
물론 지금 복소가 아니라 실수행렬을 다루고 있는거에요. 알죠?
어쨌든 이걸 이렇게 직교대각화 할 수 있죠.
A는 PDP전치행렬
그리고 물론 행렬 P는 직교행렬이고요
그리고 이렇게 A의 고유벡터들을 열벡터로 가지죠
V1부터 Vn까지 라고 하죠.
그리고 당연히 D는 대각행렬이고요
얘는 A의 고유값들을 대각원소로 가지고 있죠
그리고 나머지는 이렇게 전부 0이고요
그리고 이건 그냥 P의 전치행렬이니까
V1전치행렬 부터 Vn 전치행렬.
그리고 이들을 모두 곱하시면
A가 사실은 이들의 합이라는 걸 알 수 있어요
람다1V1V1전치행렬 더하기
람다nVnVn전치행렬 까지요.
하지만 여러분 이거 보세요
저는 이 v1v1부터 VnVn원소에 집중할 건데요
아시다시피
V1부터 Vn까지는 직교기저의 원소죠.
그래서 모든 Vi의 원소들의 절대값은
전부 1보다 작을 거에요
다시말해 모든 vi들이 이렇게 1보다 작다는 거에요
그래서 이 노란 부분을 보시면
제 말은, 그러니까 ViVi전치행렬 이었다고 하면
그럼 이건 이런 식으로 될 거에요
모든 원소들이 사실 두 개의 v의 곱이라는 거죠
그리고 모든 V들이 1보다 작으니까
두 개의 V의 곱 또한 1보다 작을 거에요
다시 말해, 여기 V1V1전치행렬 부터 VnVn전치행렬은
A에게 큰 영향을 가지고 있지 않다는 거죠
이게 A였죠, 그쵸?
왜냐면 얘들의 원소가 전부 1보다 작기 때문이죠
그런데 보세요
그러므로 그들 각각에 곱해진 고유값들이
큰 역할을 할 거에요
왜냐면 큰 고유값이 있을 수 있고
작은 것도 있을 수 있기 때문이죠
그래서 우리가 이미 이들의 절대값의 
내림차순으로 재정렬했다고 생각해볼게요
예를 들어 여기 람다1이 가장 큰 절대값을 가지고요
람다n이 가장 작은 걸 가지는 거에요.
그리고 우리는 여기에 재미있는 짓을 해볼텐데요.
보시다시피 뒤쪽 항들의 크기는 굉장히 작죠
그래서 사실상 A에게 큰 영향을 끼치지 않죠
그래서 사실은
심지어 뒤쪽의 몇몇 항을 지운다고 해도
A와 완벽하게 똑같은 행렬을 얻진 않겠지만
사실 거의 A랑 비슷하겠죠
그리고 사실 이 것이 이미지 압축의 열쇠에요.
꼭 A의 모든 원소를 저장할 필요가 없어요
대신 공간 절약을 위해 뒤쪽의 항들을 날려버리면 되는거죠
그래서 이 개념을 이용한 손실 이미지 압축 시뮬레이션을 보여드릴게요
그래서 이게 원본 이미지에요
아시다시피 우린 대칭행렬이 필요하죠
그래서 이렇게 정사각 대칭 이미지를 가져왔어요
그리고 이것의 크기는 1000*1000 픽셀이에요
다시말해 우리는 1000*1000 대칭행렬을 다룰 거라는 거죠
그래서 시작해보죠
어때보이나요?
사실 저는 첫 람다1V1V1전치행렬 항을 보여드리고 있는 거에요
가장 큰 고유값 항 말이죠.
이 안에는 상당히 많은 정보가 있죠
몇 개의 항을 더 더해보죠
이렇게 2
3
4
5
6
50 까지요
어때보여요
오직 50개의 항 만으로도 이게 선인장이라는 것을 알아볼 수 있죠
그래서 뒤쪽의 항들은 사실 많은 정보를 가지고 있지 않다는 거죠
그래서 여러분들을 위해 계속 항을 더해보도록 하죠
시간이 지날수록 이미지가 얼마나 천천히 바뀌는지 감상해보세요
보시다시피 뒤쪽의 항들은 이미지에 큰 영향을 주지 않죠
이게 손실압축의 원리에요
이번 시간은 여기까지 할게요
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지금까지 수학채널 쑤튜브 였습니다.
감사합니다
