
Korean: 
여기 매트릭스 A가 있어요
A는 m개의 행과 
n개의 열로 이루어져 있습니다
이것을 m×n 매트릭스라고 부르겠습니다
이번 강의에서는
A의 열벡터의 선형독립과 선형종속을
A의 영공간과 연관지어 보겠습니다
그럼 먼저
열벡터는 무엇을 의미할까요?
보이는 것과 같이 n개의 열이 있고
이를 각각 m차원의 벡터라고
볼 수 있습니다
이렇게 해봅시다
이 부분을
v1이라고 하겠습니다
 
그 다음 열은 v2
v2가 되겠네요
n개의 열이 있으므로
이와 같은 벡터가 n개 존재합니다
마지막 열은 vn이 되겠네요

English: 
- [Voiceover] So I have
the matrix A over here,
and A has m rows and n columns,
so we could call this an m by n matrix.
And what I want to do in this video,
is relate the linear independence,
or linear dependence,
of the column vectors of
A, to the null space of A.
So what, first of all
what I am talking about as column vectors?
Well as you can see
there's n columns here,
and we could view each of those
as an m-dimensional vector.
And so, let me do it this way,
so you can view this one right over here,
we could write that as V one,
V one,
this next one over here,
this would be V two,
V two,
and you would have n of these,
because we have n columns,
and so this one right
over here would be V n,

Bulgarian: 
Дадена е матрицата А,
която има m реда и n стълба.
Значи това е матрица m по n.
В това видео искам да свържа
линейната независимост
или линейната зависимост
на вектор-стълбовете на А
и нулевото пространство на А.
Първо да видим какво
наричам вектор-стълбове.
Както виждаш, тук има
n на брой стълбове,
и всеки от тях можем да разглеждаме
като m-размерен вектор.
Ще го направя по следния начин,
можеш да разглеждаш това тук,
можем да представим това
като v1.
Следващият стълб ето тук
може да означим като v2.
Ще има n вектор-стълбове,
защото имаме n стълба,
като този тук ще е vn.

Korean: 
 
그렇다면 m×n인 매트릭스 A를
이렇게 다시 쓸 수 있겠죠
매트릭스라는 것을 표현하기 위해
볼드체로 쓰는 것입니다
같은 형태로 써야하므로
괄호도 잊지말고요
열벡터로
바꿔 쓸 수 있겠죠
이 열을
v1
v1
이 열을 v2
n개의 열이 있으므로
n번째 열은 vn으로
정의했기 때문이죠
각각의 벡터는 m개의 
항을 가질 것입니다
m개의 항목이라고 해야 더 맞겠네요
이 벡터는 m차원의 열벡터입니다
이 벡터의 선형독립을
A의 영공간과 연관시켜본다고

English: 
V sub n.
And so we could rewrite A, we
could rewrite the matrix A,
the m by n matrix A,
I'm bolding it to show
that that's a matrix,
we could rewrite it as,
so let me do it the same way, so,
draw my little brackets there,
we can write it, just express it,
in terms of its column vectors,
cos we could just say
well this is going to be
V one for that column,
V one for that column,
V two for this column, all the way,
we're gonna have n columns,
so you're gonna have V
n, for the nth column.
And remember, each of these,
are going to have m terms,
or I should say, m components in them.
These are m-dimensional column vectors.
Now what I want to do, I said I want to
relate the linear
independence of these vectors,

Bulgarian: 
v с долен индекс n
Можем да преработим матрицата А,
тази матрица m по n.
Удебелявам буквата А, 
за да се вижда, че това е матрица.
Можем да я преработим като...
ще го направя по същия начин,
ще поставя тук скоби,
можем да я изразим 
чрез вектор-стълбове,
защото можем да кажем, че
това v1 ще бъде този стълб,
този стълб е v2, и така нататък,
имаме n стълба,
затова ще имаме vn
за n-тия стълб.
Запомни, че всеки вектор-стълб
ще има m члена,
по-точно е да се каже
m компонента.
Това са m-размерни
вектор-стълбове.
Сега искам да направя връзка
между линейната независимост
на тези вектори

Bulgarian: 
и нулевото пространство
на матрицата А.
Нека да си припомним какво представлява 
нулевото пространство на А.
Нулевото пространство на А
е равно на множеството от
всички вектори х, които
принадлежат на пространството Rn,
ще обясня после по-подробно
защо казвам Rn,
такива, че
ако вземем матрицата А,
и я умножим по някой
от тези хиксове,
ще получим нулевия вектор.
Защо х трябва да принадлежи
на Rn?
За да можем да извършим 
умножение с матрицата,

Korean: 
했었죠
A의 영공간이 무엇인지부터
다시 짚어봅시다
A의 영공간
A의 영공간 N(A)는
다음과 같이 정의할 수 있습니다
n차원 공간의 원소인
모든 벡터 x의 집합입니다
왜 n차원인지는 잠시 후에
설명하도록 하죠
매트릭스 A와
매트릭스 A와
곱할 때
곱할 때
0이 나오는 벡터 x의 집합인 것이죠
그렇다면 왜 x는 n차원 공간의
원소여야 할까요?
매트릭스의 곱셈이 가능하려면

English: 
to the null space of A.
So let's remind ourselves what
the null space of A even is.
So the null space of A,
the null space of A,
is equal to, or I could
say it's equal to the set,
it's the set of all vectors x,
that are members of R n,
and I'm gonna double down
on why I'm saying R n,
in a second, such that, such that,
if I take my matrix A,
if I take my matrix A,
and multiply it by one of those x's,
by one of those x's,
I'm going to get, I'm going
to get the zero vector.
So, why do the, why does x
have to be a member of R n?
Well just for the matrix
multiplication to work,

Bulgarian: 
ако тя е с размери m по n –
ще го запиша –
ако матрицата е
с размери m по n,
за да извършим умножение
с матрицата,
или по-точно казано
да умножим матрицата по вектор,
този вектор трябва
да е n по 1,
да има n компоненти,
значи принадлежи на Rn.
Ако това е m по А, или
по-добре да използвам различна буква,
ако това е m по, не знам, по седем,
тогава това ще е R7, с което
ще работим.
Значи това е нулевото 
пространство.
Друг начин 
да си представим това, е,
че ако взема матрицата А,
и ако я умножа по някакъв
вектор х,
който принадлежи на това
нулево пространство,
ще получа нулевия вектор.
Значи, ако взема матрицата А,
която тук изразих чрез
нейните вектор-стълбове,
ако я умножа по някакъв 
вектор х...
но всъщност нека да поясня,
не е задължително това
да е същото,

English: 
for this to be, if this is m
by n, let me write this down,
if this is m by n,
well in order just to make
the matrix multiplication work
or you could say the matrix
vector multiplication,
this has to be an n by one,
an n by one, vector,
and so it's gonna have n components,
so it's gonna be a member of R n.
If this was m by A, well, or,
let me use a different letter,
if this was m by, I don't know, seven,
then this would be R seven,
that we would be dealing with.
So that is the null space.
So, another way of thinking about it is,
well if I take my matrix A,
and I multiply it by sum vector x,
that's a member of this null space,
I'm going to get the zero vector.
So if I take my matrix A,
which I've expressed here in
terms of its column vectors,
multiply it by sum vector x,
so sum vector x,
and, actually let me make it clear that,
it doesn't have to have the same,

Korean: 
매트릭스가 m×n일 경우
쓰도록 할게요
매트릭스의 곱셈이 가능하려면
그러니까 매트릭스와 
벡터의 곱이 가능하려면
이 벡터는 n×1
n×1이어야 하기 때문이죠
그러니까 n개의 항목을 가질테고
n차원 공간의 원소여야 하는 것입니다
이 매트릭스가 m×A였다면
다른 레터를 사용하도록 하죠
m×7이었다면
R^7이 되겠죠
이것이 영공간의 정의입니다
다른 방식으로 생각하면
매트릭스 A를
이 공간의 원소인 어떠한 벡터 x와
곱하면
0의 벡터가 나올 것입니다
그러므로 여기에
열벡터로 표현한 매트릭스 A를
어떠한 벡터 x와 곱하고
어떠한 벡터 x와 곱하고
길이가 똑같을 필요는 없다는 것을
확실히 하고 넘어갈게요

English: 
so, sum vector x right over here,
we draw the other bracket,
so this is the vector x, and so,
it's going to have, it's a member of R n,
so it's going to have n components,
you're gonna have x one,
as the first component,
x two, and go all the way, to x n.
If you multiply, so if we say that this x
is a member of
the null space of A, then,
this whole thing is going to
be equal to the zero vector,
is going to be equal to the zero vector,
and once again the zero vector,
this is gonna be an m by one vector,
so it's gonna look, actually
let me write it like this,
it's gonna have the same
number of rows as A,
so, I'll try to make it,
the brackets roughly the same length, so,

Bulgarian: 
значи някакъв вектор х ето тук,
поставям другата скоба,
това е вектор х, и
той принадлежи на Rn,
затова има n компонента,
ще имаме х1 като първи компонент,
х2 и така нататък до xn.
Ако умножим... ако този вектор х
принадлежи на
нулевото пространство на А, тогава
цялото това нещо ще е равно
на нулевия вектор.
Ще повторя, нулевият вектор,
е вектор с размери m на 1.
значи ще изглежда... всъщност
ще го напиша по следния начин:
ще има същия брой редове
като А,
ще опитам да направя скобите
с приблизително
същата дължина.

Korean: 
어떠한 벡터 x는
다른 괄호도 마저 그려주고요
어떠한 벡터 x는
Rn의 원소이므로
n개의 항목을 가질 것입니다
첫 번째 성분은 x1일 것이고
다음은 x2
이렇게 xn까지 쓸 수 있습니다
곱하게 된다면, 그러니까
x가 A의 영공간의 원소라면
x가 A의 영공간의 원소라면
이 식은 0의 벡터와 같을 것입니다
이 식은 0의 벡터와 같을 것입니다
그리고 이 0의 벡터는
m×1의 벡터가 되겠죠
다음과 같이 쓸 수 있겠네요
A와 같은 개수의 행을 가질 것이므로
괄호를 나름
비슷한 길이로 그려보도록 하겠습니다

Bulgarian: 
Искам да направя
старателно скобите.
Значи ще има m нули–
една, две, чак до m-тата нула.
Сега да умножим тези, като
използваме наученото
за матричното умножение.
Съгласно определението
за матрично умножение,
единият начин да разглеждаме това е,
ако искаме да умножим
нашата матрица А,
по нашия вектор х,
ще получим първия 
вектор-стълб v1
по първия компонент тук, х1
плюс втория компонент по
втория вектор-стълб, х2 по v2.
Ще направим това n брой пъти,
значи плюс точка, точка, точка
х с долен индекс n 
по v с долен индекс n.

English: 
and there we go, try and
draw my brackets neatly,
so you're gonna have m of these, one, two,
and then go all the way to the mth zero.
So, let's actually just multiply this out,
using what we know of
matrix multiplication.
And by the definition of
matrix multiplication,
one way to view this,
if you were to multiply our matrix A
times our vector x here,
you're going to get the
first column vector, V one,
V one,
times the first component here, x one,
x one,
plus, the second component
times the second column vector,
x two times V two,
V two,
and we're gonna do that n times,
so plus dot dot dot
x sub n times V sub n,
V sub n,

Korean: 
괄호를 잘 그려주고
0이 m개 있을 것이므로
m번째 0까지 써줄게요
매트릭스 곱셈을 사용해서
곱셈을 실제로 해봅시다
매트릭스 곱셈의 정의에 의해서
이렇게
매트릭스 A와 벡터 x를
곱하게 된다면
첫 번째 열벡터 v1
v1
곱하기 첫 번째 성분인 x1
x1
더하기 두 번째 성분 곱하기 
두 번째 열벡터이므로
x2v2
 
이렇게 n번 하면
x1v1+x2v2+...
x1v1+x2v2+...+xvn
x1v1+x2v2+...+xnvn

Korean: 
이걸 모두 더하면
0의 벡터와 같을 것입니다
그러므로
x1v1+x2v2+...+xnvn=0 이 되겠죠
이제 여러분은 뭔가 기억이 날 거에요
선형독립에 대하여 배웠을 때
이와 비슷한 걸 봤던 기억이 나나요?
이 벡터들, v1, v2,
vn의 벡터들이 이 식의 해
그러니까 이 벡터에 곱해진 가중들이
0인 경우에 한해서만
선형독립한다고 배웠습니다
x1, x2, ... , xn이 모두 0일 경우에만요
써봅시다
v1
v1, v2
v1, v2, ... , vn은
선형독립합니다
이 식의

English: 
and these all when you add them together
are going to be equal to the zero vector.
Now this should be, this,
so it's gonna be equal to the zero vector,
and now this should start
ringing a bell to you,
when we looked at, when we
looked at linear independence
we saw something like this,
in fact we saw that these
vectors V, V sub one, V sub two,
these n vectors, are linearly
independent if and only if,
any linear, if and only
if the solution to this,
or I guess you could say the
weights on these vectors,
the only way to get this to be true
is if x one, x two, x
n are all equal zero.
So let me write this down.
So V sub one,
V sub two,
all the way to V sub n,
are linearly independent,
linearly independent,
if and only if, if and only if,

Bulgarian: 
Когато съберем всички тези,
сборът им ще е равен
на нулевия вектор.
Това ще е равно на
нулевия вектор,
и това трябва вече да ти
подсказва какво се случва,
когато го погледнеш, когато 
търсим линейна независимост,
виждаме нещо подобно,
всъщност виждаме, че 
тези вектори v1, v2,
тези n вектора са линейно
независими тогава, и само тогава,
когато решенията на това,
когато мащабиращите 
коефициенти на тези вектори,
единственият начин това
да е вярно е,
тогава, когато х1, х2...хn
всички са равни на нула.
Ще го запиша.
Значи векторите v1, v2... до vn
са линейно независими вектори,

Korean: 
유일한 해가,
그러니까
벡터에 곱해진 가중이
즉
x1, x2, ... , xn이
모두 0일 경우에 한해서만
선형독립합니다
그러므로
이들이 모두 더해져
0의 벡터가 되는 유일한 방법은
x1, x2, ..., xn이 모두
0인 때입니다
그 말은 곧 벡터 v1, v2, ... , vn은
모두 선형독립한다는 것입니다
반대로, 벡터가 모두 선형독립하면
이 식의 유일한 해는
벡터의 곱해진 가중치를 구해본다면
x1, x2, ... , xn이 0인 때라는
뜻입니다
기억하세요, 선형독립은,
여전히 수학적이지만
조금은 쉬운 언어로 풀어 얘기하면
이 벡터들이 선형독립한다면

Bulgarian: 
тогава и само тогава, когато
единственото решение,
или можем да кажем мащабиращите 
коефициенти на тези вектори –
единственото решение на 
това уравнение
е х1, х2... до хn е равно на 0.
Ако единственото решение тук,
ако единственият начин
тази сума да е равна на нулевия вектор,
е х1, х2... хn да са равни на нула,
това означава, че нашите вектори
v1, v2.... vn са линейно независими,
или обратно, ако те са 
линейно независими,
тогава единственото решение
на това е, когато
намерим мащабиращите коефициенти 
на тези вектори,
т.е. х1, х2... хn да са равни на 0.
Спомни си, линейната
зависимост, ако искаш да я определиш,
все още казано 
на математически език,
но малко по-разбираем език,
ако тези вектори са линейно
независими,

English: 
only solution, so let me, only solution,
or you could say weights on
these vectors, to this equation,
only solution is
x one, x two,
all the way to x n are equal to zero.
So if the only solution here,
if the only way to get this sum
to be equal to the zero vector,
is if x one, x two and x,
all the way through x n,
are equal to zero,
well that means that our
vectors V one, V two,
all the way to V n, are
linearly independent,
or vice versa, if they're
linearly independent,
then the only solution to this,
if we're solving for the
weights on those vectors,
is if for x one, x two and
x n to be equal to zero.
Remember, linear independence,
if you want to say,
it's still mathematical,
but a little bit more, common language is,
if these vectors are linearly independent,

English: 
that means that none of these
vectors can be constructed
by linear combinations
of the other vectors,
or, looking at it this way,
this right over here is
a, you could view this
as a linear combination
of all of the vectors,
that the only way to get
this linear combination
of all the vectors to be equal to zero,
is if x one, x two,
all the way through x n
are equal to zero,
and we proved that in other
videos on linear independence.
Well, if the only solution to this
is all of the x one's through
x n's are equal to zero,
that means that the null space,
this is only going to
be true, you could say,
if and only if, the null space of A,
the null space of A,
let me make sure it looks like
a matrix, I'm gonna bold it,
the null space of A only
contains one vector,
it only contains the zero vector.
Remember, this is, if all
of these are gonna be zero,
well then the only solution here
is gonna be the zero vector,

Korean: 
이 벡터들은 다른 벡터들의
선형결합에 의해서 만들어질 수 없습니다
다르게 보면
이 식은
벡터들의 선형결합으로 표현되었는데요,
이 선형결합이
0과 같으려면
x1, x2, ... , xn이 모두
0일 수밖에 없다는 겁니다
선형독립에 대해서는
다른 강의에서 증명했습니다
아무튼, 유일한 해가
x1부터 xn까지가 모두 0일 때
라는 것은
영공간,
 
A의 영공간이,
N(A)가
매트릭스라는 표시로 볼드체로
쓰도록 하죠,
N(A)가 하나의 벡터만을 포함한다는
것입니다
바로 제로벡터이죠
x1, x2, ... , xn 이 친구들이 모두 0이라면
이 식의 유일한 해는
0의 벡터입니다

Bulgarian: 
това означава, че никой от тези вектори
не може да бъде представен
като линейна комбинация на
останалите вектори.
Разгледано по този начин,
Това ето тук е а, 
можеш да го разглеждаш като
линейна комбинация на
всички вектори,
като единственият начин
да получим тази линейна комбинация
на всички тези вектори да е
равна на нула,
единственият начин е х1, х2 до xn
да са равни на нула.
Доказахме това в други
видеа за линейна независимост.
Ако единственото решение на това е
всички компоненти от х1 до xn
да са равни на нула,
това означава, че нулевото
пространство,
че това ще бъде вярно 
само тогава, бих казал,
тогава и само тогава, когато
нулевото пространство на А...
само да го направя да изглежда
като матрица, ще го удебеля –
нулевото пространство на А
съдържа само един вектор,
съдържа само нулевия вектор.
Запомни, ако всички тези
бъдат нули,

Korean: 
0의 벡터입니다
결과적으로
매트릭스의 열벡터가 선형독립한다면
그 매트릭스의 영공간은
제로벡터만 포함할 것입니다
혹은 반대로
어떤 매트릭스의 영공간이
제로벡터를 포함한다면
그 매트릭스의 열이
선형독립한다는 것입니다

Bulgarian: 
тогава единственото решение тук
ще бъде нулевият вектор.
Резултатът, който получихме тук,
ако докажем, че векторите в
една матрица са линейно независими,
тогава нулевото пространство
на тази матрица
ще съдържа само нулевият вектор.
Или можем да го кажем
по обратния начин.
Ако нулевото пространство на една матрица
съдържа само нулевия вектор,
това означава, че стълбовете
на тази матрица
са линейно независими.

English: 
is going to be, is going
to be the zero vector.
So the result that we're showing here is,
if the column vectors of a
matrix are linearly independent,
then the null space of that matrix
is only going to consist
of the zero vector.
Or you could go the other way.
If the null space of a matrix
only contains the zero vector,
well that means that the
columns of that matrix
are linearly independent.
