
Korean: 
무한급수에 대해 알아봅시다
n=1 부터 무한대까지
(-1)^(n+1)/n² 의 합은
n=1 부터 무한대까지
(-1)^(n+1)/n² 의 합은
n=1 부터 무한대까지
(-1)^(n+1)/n² 의 합은
n=1일 때는 양수입니다
1입니다
다음은 -1/2² 이고
이것은 -1/4 입니다
더하기 1/9
빼기 1/16
더하기 1/25
꽤 멀리 가보겠습니다
빼기 1/36
더하기 1/49
빼기 1/64
충분합니다
여기서 멈추겠습니다
물론 계속 이어질 것입니다
교대급수이므로 무한히
더하고 빼기를 반복할 것입니다
교대급수이므로 무한히
더하고 빼기를 반복할 것입니다
이전에 배운 수렴 판정법으로부터
자세히는 교대급수판정법으로부터
이 식이 수렴하기 위한 조건을
만족한다는 것을 알 수 있습니다
이 식이 수렴하기 위한 조건을
만족한다는 것을 알 수 있습니다

Bulgarian: 
Хайде да изследваме
един безкраен ред.
Да започнем със сумата
за n от 1 до безкрайност
от –1 на степен (n +1)
върху n^2, което е равно на...
Да видим, когато
n е положително, това е положително.
Това е 1.
Това става –1/2^2,
което е –1/4,
плюс 1/9 минус 1/16,
плюс 1/25...
Всъщност ще отида
доста далеч...
Минус 1/36 плюс 1/49,
минус 1/64.
Добре, ще спра дотук.
Но това продължава
до безкрайност,
и това е ред с алтернативно
сменящи се знаци, плюс, минус,
и така продължава
до безкрайност.
Знаем от предишни
изследвания на редове,
всъщност от критерия на Лайбниц
за алтернативни редове,
че това отговаря на условието
на критерия на Лайбниц,

English: 
- [Voiceover] Let's explore
the infinite series.
We're going to start at n equals one,
and go to infinity of
negative one to the n plus one
over n squared, which is
going to be equal to ...
Let's see, when n is one,
this is going to be positive.
It's going to be one.
This, you go minus one over two squares,
is minus 1/4
plus 1/9
minus 1/16
plus 1/25 ...
I'm actually going to go pretty far ...
Minus 1/36,
plus 1/49,
minus 1/64.
Yeah, that's pretty good.
I'll stop there.
Of course, we keep going on and on and on,
and it's an alternating
series, plus, minus,
just keeps going on and
on and on and on forever.
Now, we know from previous tests,
in fact, the alternating series test,
that this satisfies the constraints
of the alternating series test,

Portuguese: 
Vamos explorar as séries infinitas.
Começaremos em n igual à um,
e iremos até o infinito, de menos um
elevado à n mais um
sobre n ao quadrado. Isso será igual a -
Quando n é um,
isto será positivo. Será um.
Menos um sobre dois
ao quadrado, é menos 1/4.
Mais 1/9,
menos 1/16, mais 1/25.
Estou indo bem longe.
Menos 1/36,
mais 1/49,
menos 1/64...
Assim está bom.
Vou parar por aqui.
Podemos continuar.
Isto é uma série alternada.
Positivo, negativo, positivo...
Continua infinitamente.
Sabemos de testes anteriores,
na verdade, o teste da série alternada,
que satisfaz as condições do teste,

Thai: 
ลองสำรวจอนุกรมอนันต์กัน
เราจะเริ่มที่ n เท่ากับ 1
ไปถึงอนันต์ของลบ 1 กำลัง n บวก 1
ส่วน n กำลังสอง ซึ่งเท่ากับ --
ลองดู เมื่อ n เป็น 1 ตัวนี้จะเป็นบวก
มันจะเป็น 1
อันนี้ คุณจะได้ลบ 1 ส่วน 2 กำลังสอง
ได้ลบ 1/4
บวก 1/9
ลบ 1/16
บวก 1/25 --
ผมไปไกลทีเดียว --
ลบ 1/36
บวก 1/49
ลบ 1/64
ใช่ ดูดีแล้ว
ผมจะหยุดตรงนี้
แน่นอน เราทำต่อไปเรื่อยๆ ได้
และมันเป็นอนุกรมสลับ บวก ลบ
ไปเรื่อยๆ เรื่อยๆ ตลอดไป
ทีนี้ เรารู้จากการทดสอบก่อนๆ
คือการทดสอบอนุกรมสลับ
ที่เป็นไปตามเงื่อนไข
ของการทดสอบอนุกรมสลับ

Thai: 
เราแสดงได้ว่ามันลู่เข้า
สิ่งที่เราจะทำตอนนี้ คือพยายามประมาณ
ว่าค่านี้ลู่เข้าหาอะไร
สิ่งที่เราอยากประมาณคือค่านี้ S
เราจะทำโดย
การคำนวณจำนวนครั้งจำกัด
ไม่ได้บวกทั้งหมดนี้เข้าด้วยกัน
ลองประมาณมันโดย อย่างเช่น
ผลบวกย่อยของ 4 เทอมแรก
ลองนำ 4 เทอมแรกตรงนี้มา
ลองเรียกมันว่า มันจะเป็น S ห้อย 4
แล้วคุณจะเหลือเศษ
ซึ่งจะเท่ากับอย่างอื่นที่เหลือ
ตัวที่เหลือทั้งหมดนี้
ผมไม่อยากใส่วงเล็บปีกกาจบด้วยซ้ำ
มันจะเป็นเศษเหลือ
เศษเหลือ เพื่อให้ได้ผลบวกจริง
หรือก็สิ่งที่เหลือ
เวลาคุณเอา 4 เทอมแรกออกไป
นี่คือเทอมที่ 5 ไปจนถึงอนันต์
เราเห็นอันนี้มาก่อนแล้ว
ผลบวกจริง จะเท่ากับผลบวกย่อย
บวกเศษเหลือนี้
เราคำนวณตัวนี้ได้
อันนี้จะเท่ากับ ลองดู --
ตัวส่วนร่วมตรงนี้

Portuguese: 
e conseguimos mostrar que converge.
O que estamos fazendo agora é estimar
para o que isso converge.
Queremos estimar o valor de S.
Faremos isso por meio
de um número finito de cálculos,
sem tem que somar todos esses termos.
Vamos estimar
pela soma parcial
dos primeiros quatro termos.
Pegaremos esses quatro termos-
chamaremos isso de S sub quatro. -
Teremos um resto,
que serão todos estes outros termos.
Tudo isso.
Não quero fechar os colchetes.
Isto será o seu resto,
e para calcular a soma,
será o que sobrar quando calcular a soma
dos quatro primeiros termos.
Irá do quinto termo até o infinito.
Já vimos isso antes.
A soma será igual
à esta soma parcial mais o resto.
Podemos calcular isso.
O denominador comum é-

Korean: 
그리고 실제로 수렴한다는 것을
보일 수 있습니다
지금 하려는 것은 어떤 값으로
수렴하는지 가늠해보는 것입니다
지금 하려는 것은 어떤 값으로
수렴하는지 가늠해보는 것입니다
S라는 값이 무엇인지
근사해보고 싶습니다
근삿값을 구하기 위해
유한 번의 계산을 할 것입니다
전체를 다 더할 수 없기 때문이죠
첫 4개의 항의 부분합을
통해 근사해봅시다
첫 4개의 항의 부분합을
통해 근사해봅시다
여기 4개의 항을 더해봅시다
이것을 S₄라고 부릅시다
그렇다면 나머지가 생길 것입니다
여기 나머지 항들의 합입니다
여기 나머지 항들의 합입니다
괄호로 묶을 수도 없습니다
이것이 나머지이며
원하는 합을 구할 때
첫 4개의 항을 제외한 나머지 항
첫 4개의 항을 제외한 나머지 항
즉 5번째부터 무한대까지의 항입니다
전에 본 적이 있을 것입니다
실제 급수의 합은 부분합과
나머지의 합과 같습니다
이 부분은 계산할 수 있습니다
한번 봅시다
공통분모는

Bulgarian: 
и можем да докажем,
че този ред е сходящ.
Сега искам да определим
към каква стойност
е сходящ този ред.
Искам да определим
стойността на S.
Ще направим това чрез
определен брой пресмятания,
но няма да събираме цялото
това нещо.
Ще го сметнем приблизително,
да кажем,
ще намерим частичната (парциалната)
сума на първите четири члена.
Ще отделя тези четири
члена ето тук.
Това ще бъде S_4.
После ще имаме някакъв остатък,
който ще е сумата
от останалите членове на реда.
Всички тези други
членове,
даже няма да слагам
скоби накрая.
Това ще бъде остатъкът
до действителната сума,
всичко, което остава след 
първите четири члена.
Това е от петия член
до безкрайност.
Правили сме го и преди.
Същинската сума е равна
на тази парциална сума
плюс този остатък.
Можем да сметнем това.
Това ще бъде равно на...
общият знаменател тук,
да видим,

English: 
and we're able to show that it converges.
What we're doing now is,
actually trying to estimate
what things converge to.
We want to estimate
what this value, S, is.
We're going to do that by doing
a finite number of calculations,
by not having to add this
entire thing together.
Let's estimate it by taking, let's say,
the partial sum of the first four terms.
Let's take these four
terms right over here.
Let's call that, that's
going to be S sub four.
Then you're going to have a remainder,
which is going to be everything else.
All of this other stuff,
I don't want even the brackets to end.
That's going to be your remainder,
the remainder, to get
to your actually sum,
or whatever's left over
when you just take the first four terms.
This is from the fifth term
all the way to infinity.
We've seen this before.
The actual sum is going to
be equal to this partial sum
plus this remainder.
Well, we can calculate this.
This is going to be, let's see ...
Common denominator here,

Portuguese: 
nove vezes 16 é 144. Será 144.
Isto será 144 menos 36 sobre 144,
mais 16 sobre 144, menos nove sobre 144.
Isto é 144- menos 36 sobre 16
é negativo 20, então temos 124
menos nove, que é 115.
Tudo isso será 115 sobre 144.
Nem usei uma calculadora.
Mais algum resto.
Mais algum resto.
Se conseguirmos calcular
alguns limites do resto,
descobriremos os limites
da nossa soma.
Conseguiremos descobrir
quão longe está isto disto daqui?
Há dois jeitos de pensar
sobre isso. Vejamos.
O primeiro que quero ver é-

Thai: 
ลองดู 9 คูณ 16 ได้ 144
มันจะเท่ากับ 144
แล้วมันจะเท่ากับ 144 ลบ 36 ส่วน 144
บวก 16/144 ลบ 9/144
ลองดู นั่นคือ 144, ลบ 36 บวก 16
ได้ลบ 20 มันก็คือ 124 ลบ 9 ได้ 115
อันนี้จะเท่ากับ
115/144
ผมไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขเพื่อหาค่านั้น
บวกเศษที่เหลือ
บวกเศษ
ถ้าเราหาขอบเขตสำหรับเศษนี้ได้
เราก็จะหาขอบเขตสำหรับอนุกรมจริงได้
เราจะสามารถหา
ว่าอนุกรมนี้มีค่าห่างจากค่านี้ไปได้ไกลแค่ไหน?
มันมีวิธีคิดสองวิธี
ลองดูกัน

English: 
see, nine times 16 is 144.
That's going to be 144,
and then that's going
to be 144 minus 36/144,
plus 16/144, minus 9/144.
Let's see, that is 144,
negative 36 plus 16
is minus 20, so it's
124 minus nine, is 115.
This is all going to be
equal to 115/144.
I didn't even need a
calculator to figure that out.
Plus some remainder.
Plus some remainder.
So, if we could figure out
some bounds on this remainder,
we will figure out the
bounds on our actual sum.
We'll be able to figure out,
"Well, how far is this away
from this right over here?"
There's two ways to think about it.
Let's look at it.

Korean: 
9×16=144 이므로
분모는 144이고
분자는 144-36+16-9 입니다
분자는 144-36+16-9 입니다
계산해봅시다
-36+16=-20 이므로
124-9=115 입니다
즉 이 부분은
115/144 와 같습니다
계산기도 필요 없었습니다
여기에 추가로 나머지가 있습니다
여기에 추가로 나머지가 있습니다
즉 나머지의 범위를 구할 수 있다면
실제 합의 범위를 구할 수 있습니다
실제 합의 범위를 구할 수 있습니다
부분합이 실제 합으로부터 얼마나
멀리 떨어져 있을까요?
두 가지 방법이 있습니다
한번 봅시다

Bulgarian: 
9 по 16 е 144.
Това ще бъде 144,
после ще имаме 144 минус
36/144
плюс 16/144, минус 9/144.
Да видим, това е 144,
–36 плюс 16
дава –20, това е 124 минус 9,
което е 115.
Това става 115/144.
Даже не ми трябва калкулатор,
за да го сметна.
Плюс някакъв остатък.
Ако можем да установим
някакви граници за остатъка,
можем да намерим границите
на действителната сума.
Можем да намерим колко
далеч е това от това тук.
Можем да разсъждаваме
по два начина.
Да го разгледаме.

English: 
The first thing I want to see is,
I want to show you that this
remainder right over here
is definitely going to be positive.
I actually encourage
you to pause the video
and see if you can prove to yourself
that this remainder over here
is definitely going to be positive.
I'm assuming you've had a go at it.
Let's write the remainder down.
Actually, I'll just write it ...
Actually, I'll write it up here.
R sub four is 1/25.
Actually, I don't even have
to write it separately.
I could show you in just right over here
that this is going to be positive.
How do I show that?
Well, we just pair ...
Let's just put some parentheses in here,
and just pair these terms like this.
1/25 minus 1/36.
1/36th is less than 1/25.
This one's positive, this one's negative.
So this is positive.
Then you have a positive term.
Subtracting from that,
a smaller negative term.
So this is going to be positive.

Korean: 
가장 먼저 보이고 싶은 것은
오른쪽의 나머지가
항상 양수라는 것입니다
영상을 멈추어 스스로
증명해보는 것을 권장합니다
영상을 멈추어 스스로
증명해보는 것을 권장합니다
이 나머지가 양수라는
것을 증명해봅시다
이 나머지가 양수라는
것을 증명해봅시다
한 번 시도해 보았을 것이라 믿습니다
나머지를 적어봅시다
위에 적도록 하겠습니다
위에 적도록 하겠습니다
R₄=1/25...
사실 따로 적지 않아도 됩니다
나머지가 양수라는 것을
여기서 보여드릴 수 있습니다
나머지가 양수라는 것을
여기서 보여드릴 수 있습니다
어떻게 증명할까요?
괄호로 항들을 묶어봅시다
괄호로 항들을 묶어봅시다
괄호로 항들을 묶어봅시다
1/25 - 1/36
1/36은 1/25보다 작습니다
1/25는 양수이고
1/36은 음수입니다
즉 이것은 양수입니다
양수인 항이 있고
그것보다 크기가 작은 항을 뺍니다
즉 이 부분은 양수입니다

Portuguese: 
quero mostrar que este resto
será, definitivamente, positivo.
Recomendo que você pause o vídeo
e prove que este resto será positivo.
Estou assumindo que você já tentou.
Vamos escrever o resto.
Escreverei aqui em cima.
R sub quatro é um sobre 25.
Não preciso escrever separadamente.
Posso mostrar aqui
que isto será positivo.
Como posso mostrar isso?
Vamos colocar alguns parênteses aqui,
e colocar estes termos em pares.
Um sobre 25 menos um sobre 36.
Um sobre 36 é menor que um sobre 25.
Isto será positivo, e aquele negativo.
Isto é positivo.
Aqui você tem um termo positivo.
E subtrai disso um termo menor negativo.
Então, isto será positivo.

Bulgarian: 
Първото нещо, което
търся, е
да покажа, че този остатък тук
определено е положителен.
Насърчавам те да спреш
видеото и да опиташ
да докажеш самостоятелно,
че този остатък тук
определено ще бъде 
положителен.
Предполагам, че опита.
Ще препиша остатъка.
Всъщност просто ще напиша...
Ще го напиша ето тук.
R_4 е 1/25.
Дори няма защо да го пиша
отделно.
Даже тук ще ти покажа,
че това ще бъде положително.
Как мога да го покажа?
Просто ще групираме
по двойки...
Тук ще сложа скоби
и ще групирам тези членове
по двойки.
1/25 минус 1/36.
1/36 е по-малко от 1/25.
Това е положително,
това е отрицателно.
Значи това е положително.
После имаме положителен 
член.
Вадим от него по-малък
отрицателен член.
Този резултат е положителен.

Thai: 
อย่างแรกที่ผมอยากเห็นคือ
ผมอยากแสดงว่าเศษนี่ตรงนี้
จะเป็นบวกแน่นอน
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอ
แล้วดูว่าคุณพิสูจน์เองได้ไหม
ว่าเศษนี่ตรงนี้
เป็นบวกแน่นอน
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
ลองเขียนเศษเหลือลงไป
ที่จริง ผมจะเขียน --
ผมจะเขียนมันบนนี้
R ห้อย 4 คือ 1/25
ที่จริง ผมไม่ต้องเขียนมันแยกกันก็ได้
ผมแสดงตรงนี้ได้เลย
ว่ามันจะเป็นบวก
ผมจะแสดงได้อย่างไร?
เราแค่จับคู่ --
ลองใส่วงเล็บไปในนี้
และจับคู่เทอมเหล่านี้แบบนี้
1/25 ลบ 1/36
1/36 น้อยกว่า 1/25
ตัวนี้เป็นบวก ตัวนี้เป็นลบ
นี่ก็คือบวก
แล้วคุณมีเทอมบวกนี่
ลบจากตรงนั้น เทอมลบที่น้อยกว่า
มันจะเป็นบวก

Korean: 
따라서 항들을 묶어서 나타내면
항이 전부 양수인 무한급수를 얻습니다
항이 전부 양수인 무한급수를 얻습니다
따라서 우리는 R₄가
양수라는 것을 증명했습니다
따라서 우리는 R₄가
양수라는 것을 증명했습니다
따라서 우리는 R₄가
양수라는 것을 증명했습니다
R₄는 0보다 큽니다
이제 보이고 싶은 다른 한가지 사실은
이 나머지가
우리가 계산하지 않은 첫번째
항보다 작다는 것입니다
다시 말해 나머지가 1/25보다
작다는 것입니다
다시 한 번 이 영상을 멈추고
이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로
묶을 수 있는지 스스로 해봅시다
이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로
묶을 수 있는지 스스로 해봅시다
이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로
묶을 수 있는지 스스로 해봅시다
이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로
묶을 수 있는지 스스로 해봅시다
이 첫 항보다 합이 작도록 괄호로
묶을 수 있는지 스스로 해봅시다
스스로 해보았을 것이라고 믿고
바로 적어보겠습니다
같은 핑크색을 사용하겠습니다
첫 4개 항의 부분합을 구할
때의 나머지는
첫 4개 항의 부분합을 구할
때의 나머지는
1/25

Thai: 
ถ้าคุณจับคู่เทอมเหล่านี้เข้า
คุณจะได้อนุกรมทั้งหมด
เป็นบวก
อย่างนั้น เราจึงได้
ว่า R ห้อย 4, หรือ R 4 เรียกอย่างน้้นก็ได้
จะมากกว่า 0
R 4 จะมากกว่า 0
ทีนี้ อีกอย่างหนึ่งที่ผมอยากพิสูจน์คือว่า
เศษนี้จะ
น้อยกว่าเทอมแรกที่เรายังไม่ได้คำนวณ
เศษจะน้อยกว่า 1/25
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วดูว่าคุณใส่วงเล็บตรงนี้ได้ไหม
เพื่อให้คุณเชื่อว่า
อนุกรมอนันต์ทั้งหมดนี้
เศษนี้ จะรวมกัน
ได้ค่าน้อยกว่าเทอมแรกนี้
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
ลองเขียนมันลงไป
ผมจะใช้สีชมพูสีเดิม
เศษของเรา เมื่อเราหาผลบวกย่อย
ของสี่เทอมแรกนี้
มันคือ 1/25

English: 
So, if you just pair all these terms up,
you're just going to have a whole series
of positive terms.
Just like that, we have established
that R sub four, or R
four, we could call it,
is going to be greater than zero.
R four is going to be greater than zero.
Now, the other thing I
want to prove is that
this remainder is going to be
less than the first term
that we haven't calculated,
that the remainder is
going to be less than 1/25.
Once again, I encourage
you to pause the video
and see if you can put
some parentheses here
in a certain way that will convince you
that this entire infinite sum here,
this remainder, is going to sum up
to something that's less
than this first term.
Once again, I'm assuming
you've had a go at it,
so let's just write it down.
I'll do that same pink color.
Our remainder, when we
take the partial sum
of the first four terms,
it's 1/25.

Portuguese: 
Se você colocar estes termos em pares,
obterá um série de termos positivos.
Assim, concluímos que R sub quatro,
ou R quatro, será maior do que zero.
R quatro será maior do que zero.
A outra coisa que quero provar
é que o resto será menor
do que o primeiro termo -
que ainda não calculamos.
O resto será menor do que um sobre 25.
Mais um vez, recomendo que pause o vídeo,
e veja se consegue colocar uns parênteses
de uma certa forma
que consiga se convencer
que toda esta soma,
o resto, será menor
do que o primeiro termo.
Mais uma vez, estou assumindo
que você já tentou,
então vamos escrever isso.
Farei em rosa.
O resto, quando calculamos a soma parcial
dos primeiros quatro termos é um sobre 25.

Bulgarian: 
И ако групираме по двойки
всички тези членове,
ще получим цял ред от 
положителни членове.
Ето така ние показахме, че
R_4 ще бъде 
по-голямо от нула.
Другото нещо, което
искам да докажа, е,
че този остатък ще бъде 
по-малък от първия член,
който не сме сметнали,
че остатъкът ще бъде
по-малко от 1/25.
Отново те насърчавам
да спреш видеото
и да видиш дали можеш
да сложиш скоби тук,
по такъв начин, че
да докажеш, че
тази цялата безкрайна сума,
този остатък се сумира
до нещо, което е по-малко
от този пръв член.
И този път предполагам,
че направи опит,
хайде сега да го напишем.
Ще използвам същия
розов цвят.
Нашият остатък, след като
намерим парциалната сума
на първите четири члена, 
е равен на 1/25.

Thai: 
วิธีที่ผมเขียนมัน
แทนที่จะเขียนว่าลบ 1/36
ผมจะเขียนลบ
ผมจะใส่วงเล็บตรงนี้
รอบเทอมที่สองกับเทอมที่สาม --
มันจะเท่ากับ 1/36 ลบ 1/49
แล้วเราจะได้
ลบ 1/64 ลบ --
ที่จริง เทอมต่อไปจะเป็น
1 ส่วน 9 กำลังสอง ได้ 1/81
แล้วลบ เราทำต่อไปอย่างนั้น
ไปเรื่อยๆ ตลอดไป
ทีนี้ สังเกตสิ่งที่เกิดขึ้น
ตัวนี้ เทอมนี่ตรงนี้
เป็นบวก
เรามีจำนวนน้อย
ลบออกจากจำนวนมาก
เทอมนี่ตรงนี้เป็นบวก
เราเริ่มด้วย 1/25
แล้วเราก็ลบ
จำนวนบวกหลายๆ ตัวออกไป
ค่านี้จึงต้องน้อยกว่า 1/25

Korean: 
그리고 다른 방법으로 적어보겠습니다
-1/36 을 적는 대신
- 기호를 쓰고
지금 두번째와 세번째 항을
괄호로 묶을 것입니다
지금 두번째와 세번째 항을
괄호로 묶을 것입니다
이것은 1/36-1/49 입니다
그리고 우리는
-(1/64 - ...)
사실 다음 항은
1/9² 즉 1/81 입니다
그리고 - 기호 후에 계속 이어집니다
그리고 - 기호 후에 계속 이어집니다
일어나는 현상을 자세히 봅시다
여기 이 항은
양수입니다
작은 수를
큰 수로부터 뺀 것입니다
이 항은 양수입니다
1/25 로 시작하여
계속 양수를 빼고 있습니다
계속 양수를 빼고 있습니다
이것은 1/25보다 작을 것입니다

English: 
The way I'm going to write it,
instead of writing minus 1/36,
I'm going to write minus,
I'm going to put the parentheses now
around the second and third terms.
This is going to be 1/36 minus 1/49.
Then we're going to have
minus 1/64 minus ...
Actually, the next terms is going to be
one over nine squared, 1/81.
Then minus, and we keep going like that,
on and on and on, on
and on and on, forever.
Now, notice what happens.
This, this term right over here
is positive.
We have a smaller number
being subtracted from a larger number.
This term right over here is positive.
We're staring with 1/25,
and then we're subtracting
a bunch of positive things from it.
This thing has to be less than 1/25.

Bulgarian: 
Начинът, по който ще го запиша,
вместо да запиша минус 1/36,
ще запиша минус
и ще сложа скоби, но сега
около втория и третия член.
Това е равно на 1/36 минус 1/49.
После имаме минус 1/64 минус...
Всъщност следващия член
е 1/9^2, което е 1/81.
После минус, и продължаваме така,
още и още до безкрайност.
Обърни внимание какво
се случва сега.
Този член тук е положителен.
Имаме по-малко число, което
вадим от по-голямо число.
Този член тук е положителен.
Започваме с 1/25,
а после вадим куп положителни
неща от него.
Това трябва да е по-малко от 1/25.

Portuguese: 
Em vez de escrever
menos um sobre 36, escreverei -
colocarei o parênteses
no segundo e no terceiro termo.
Isto será um sobre 36 menos um sobre 49.
Teremos menos um sobre 64-
O próximo termo será
um sobre nove ao quadrado, um sobre 81.
E continuamos assim infinitamente.
Veja o que acontece:
este termo é positivo.
Temos um número menor
subtraído de um número maior.
Este termo é positivo.
Começamos com um sobre 25,
e subtraímos um monte de coisas positivas.
O resultado deve ser menor
do que um sobre 25.

Korean: 
R₄는 1/25보다 작을 것입니다
또는 R₄가
0.04보다 작다고 할 수 있습니다
0.04와 1/25는 같습니다
사실 여기서 사용한 논리가
교대급수판정법을 증명하는데
사용된 논리입니다
기분이 약간 좋아질 것입니다
이 부분의 값이
0보다 크고
더 많은 항을 더할수록
증가할 것입니다
하지만 상한값을 가집니다
1/25라는 상한이 존재합니다
더 나은 표현을 사용하자면
이것은 수렴할 것입니다
하지만 여기서 다루는
주제는 아닙니다
하지만 여기서 다루는
주제는 아닙니다
지금은 범위에만 관심이 있습니다
구하는 합은
이 두 항의 합과 같습니다
즉 전체 합은
115/114와 R₄의 상한값의
합보다 작을 것입니다
115/114와 R₄의 상한값의
합보다 작을 것입니다

Thai: 
R ห้อย 4 จะน้อยกว่า 1/25
หรือ เราเขียนได้ว่า R ห้อย 4
น้อยกว่า 0.04
0.04 เท่ากับ 1/25
ที่จริง เหตุผลตรงนี้
คือพื้นฐานการพิสูจน์การทดสอบอนุกรมสลับ
มันควรทำให้คุณพอใจ
ว่า ดูสิ ตัวนี้จะ
มากกว่า 0
และมันเพิ่มขึ้น ยิ่งคุณเพิ่มเทอมที่คุณบวก
แต่มันมีค่าจำกัดจากข้างบน
มันมีขอบด้านบนคือ 1/25
ซึ่งเราเข้าใจได้ว่า
อนุกรมนี้จะลู่เข้า
แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เราจะ
สนใจตอนนี้
ตรงนี้ เราสนใจช่วงของมัน
ผลบวก คือผลบวกของสองค่านี้
ผลบวกทั้งหมดจะ
น้อยกว่า 115/144
บวกขอบบนของ R4

Bulgarian: 
R_4 трябва да е по-малко
от 1/25.
Даже можем да напишем, че
R_4 е по-малко то 0,04.
0,04 е равно на 1/25.
Логиката тук е
основата на доказателството
на критерия на Лайбниц.
Това сигурно ти дава
много голяма увереност, че
това нещо тук ще е 
по-голямо от нула,
и че нараства, колкото повече
членове добавяме.
Но то има горна граница.
Има горна граница 1/25,
което е много добър знак,
че това е сходящо.
Но ние не се интересуваме
от това.
Тук ни интересува интервала.
Сумата е сбор от тези двете.
Цялата сума ще бъде
по-малко от 115/144
плюс горната граница
на R_4.

English: 
R sub four is going to be less than 1/25.
Or, we could even write that as R sub four
is less than 0.04.
0.04, same things as 1/25.
Actually, this logic right over here
is the basis for the proof of
the alternating series test.
This should make you feel pretty good,
that, "Hey, look, this
thing is going to be
"greater than zero,"
and it's increasing, the more
terms that you add to it.
But it's bounded from above.
It's bounded from above at 1/25,
which is a pretty good sense that hey,
this thing is going to converge.
But that's not what we're going to
concern ourselves with here.
Here, we just care about this range.
The sum is the sum of these two things.
So the entire sum is going to be
less than 115/144
plus the upper bound on R four.

Portuguese: 
R sub quatro será menor
do que um sobre 25.
Ou, podemos escrever como
R sub quatro menor do que 0,04.
0,04 é igual à um sobre 25.
Esse raciocínio
é a base para a prova
do teste de série alternada.
Deveria estar orgulhoso.
Isto será maior do que zero.
E é crescente, pois somamos mais termos.
Mas tem um limite superior.
Esta limitado à um sobre 25,
que é uma boa indicativa
de que isso será convergente.
Mas não focaremos nisso.
Vamos nos preocupar com este alcance.
A soma é a soma destas duas coisas.
A soma total será menor que 115 sobre 144,
mais o limite superior de R quatro.

English: 
Plus 0.04, and it's
going to be greater than,
it's going to be greater than,
it's going to be greater than
our partial sum plus zero,
because this remainder is
definitely greater than zero.
You could just say,
it's going to be greater
than our partial sum.
And just like that,
just doing a calculation that
I was able to do with hand,
we're able to get pretty nice bounds
around this infinite series.
Infinite series.
Let's now get the calculator out,
just to get a little bit
better sense of things.
If we say 115 divided by 144,
that's .79861 repeating.
This is 0.79861 repeating,
is less than S,
which is less than this thing plus .04.
Let me write that down.
Plus .04 gets us to .83861 repeating,

Korean: 
더하기 0.04, 그리고 이 값은
다음보다 클 것입니다
다음보다 클 것입니다
부분합+0 보다 클 것입니다
왜냐하면 나머지가
0보다 크기 때문입니다
그냥 부분합보다 크다고
할 수 있습니다
그냥 부분합보다 크다고
할 수 있습니다
그리고 바로 이렇게
손으로 계산을 했을 뿐인데도
무한급수의 합에 대해
꽤 좋은 범위를 얻었습니다
무한급수의 합에 대해
꽤 좋은 범위를 얻었습니다
무한급수의 합에 대해
꽤 좋은 범위를 얻었습니다
이제 계산기를 사용하여
조금 더 감을 잡아봅시다
115/114를 계산하면
0.7986 그리고 1이
반복되는 순환소수입니다
0.79861이 반복되는
순환소수입니다
이 값이 S보다 작으며
S는 이 값 +0.04보다 작습니다
여기에 써보겠습니다
0.04를 더하면 

Bulgarian: 
Плюс 0,04, и това
ще бъде по-голямо от
нашата частична сума 
плюс нула,
защото остатъкът определено
е по-голям от нула.
Можеш да кажеш, че
ще е по-голям от парциалната сума.
И затова,
с една лесна сметка на ръка,
успяхме да установим
границите на този безкраен ред.
Сега ще взема калкулатора, за да добием
по-добра представа за нещата.
Ако кажем 115/144,
това е 0,7986(1) в период.
което е по-малко от S,
което е по-малко от това 
плюс 0,04.
Ще го запиша.

Portuguese: 
Mais 0,04. E será maior
do que a nossa soma parcial mais zero,
pois o resto será maior do que zero.
Você poderia dizer que será maior
do que a nossa soma parcial.
E assim,
calculando tudo à mão,
conseguimos encontrar os limites
desta série infinita.
Vamos usar a calculadora
para entender um pouco melhor.
Se calcularmos 115 dividido por 144,
obteremos 0,79861.
Isto é 0,079861,
e é menor do que S,
que é menor do que isso mais 0,04.
Deixe-me escrever isso.
Mais 0,04, obtemos 0,083861.

Thai: 
บวก 0.04 และมันจะมากกว่า
มันจะมากกว่า
มันจะมากกว่าเท่ากับผลบวกย่อยบวก 0
เพราะเศษจะมากกว่า 0 แน่นอน
คุณบอกได้ว่า
มันจะมากกว่าเท่ากับผลบวกย่อยของเรา
อย่างนั้น
แค่คำนวณสิ่งที่เราคิดได้ด้วยมือ
แล้วเราก็ได้ขอบเขต
รอบอนุกรมอนันต์นี้
อนุกรมอนันต์
ทีนี้ ลองเอาเครื่องคิดเลขออกมา
เพื่อให้สิ่งต่างๆ ชัดเจนขึ้น
ถ้าเราบอกว่า 115 หาร 144
ได้ 0.79861 ซ้ำ
นี่คือ 0.798611 ซ้ำ
น้อยกว่า S
ซึ่งน้อยกว่าค่านี้บวก 0.04
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
บวก 0.04 ได้ค่า 0.83861 ซ้ำ

Portuguese: 
0,083861.
Poderia ter feito isso de cabeça,
mas resolvi usar uma calculadora.
0,083861.
Usando uma cálculo simples,
conseguimos aproximar o valor de S.
Continuaremos trabalhando nisto,
mas conseguimos dar um intuito
com um exemplo concreto.
Quando se tem uma série
alternada como esta,
o tipo que satisfaz
o teste de série alternada,
e pode ser escrita
como menos um elevado à n,
ou menos um elevado à n mais um
vezes uma série de termos positivos
decrescentes, cujos limites tendem à zero
e se aproximam de infinito.
Não só essas séries convergem,
como é possível estimar o erro
com base no primeiro termo
que não está incluindo.
Isto foi um exemplo.
Será diferente, dependendo

Thai: 
0.83861 ซ้ำ
ที่จริง ผมทำในหัวได้
ผมไม่รู้ว่าทำไมผมถึงใช้เครื่องคิดเลข
0.83861 ซ้ำ
อย่างนั้น
แค่คำนวณสิ่งที่เราทำได้ด้วยมือ
เราก็สามารถหา
ค่าประมาณที่ดีของ S ได้
และบทเรียนสำคัญตรงนี้ --
เราจะใช้มันต่อไป
แต่แบบฝึกหัดนี้ทำให้คุณได้เข้าใจ
จากตัวอย่างจริง
ว่าเวลาคุณมีอนุกรมสลับอย่างนี้
อนุกรมสลับประเภทที่เป็นไปตาม
การทดสอบอนุกรมสลับ
เมื่อคุณเขียนมันเป็นลบ 1 กำลัง n
หรือลบ 1 กำลัง n บวก 1
คูณอนุกรมของเทอมบวก
ที่ลดลงและลิมิตไปยัง 0
เมื่อเข้าหาอนันต์ได้
เทอมเหล่านั้นไม่เพียง
เทอมเหล่านั้นไม่เพียงแต่ลู่เข้า
ณยังประมาณค่าคลาดเคลื่อน
จากเทอมแรกที่คุณไม่ได้บวกเข้าไปได้ด้วย
ทีนี้ นี่เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่ง
มันจะต่างออกไปขึ้นอยู่กับ

Bulgarian: 
Плюс 0,04 получаваме
0,8386(1) в период.
Можех да го сметна и наум.
Не знам защо ми беше 
този калкулатор.
0,83861 в период.
Значи с едно лесно изчисление,
което можехме да направим и на ръка,
намерихме много добро
приближение на S.
Основният извод от това е...
Ние ще надградим над това,
но така видяхме логиката
с един конкретен пример,
че когато имаме алтернативен 
ред като този,
този вид алтернативни 
редове, които
удовлетворяват критерия
на Лайбниц,
ако можем да ги запишем
като (–1)^n,
или (–1)^(n +1)
по ред от положителни членове,
които намаляват и чиито
граници клонят към нула,
когато n клони към безкрайност,
тези редове са не само сходящи,
ние можем дори да изчислим
грешката
въз основа на първия
член, който не включваме.
Това беше един пример.
Ще бъде различно 
в зависимост от това

English: 
83861 repeating.
Actually, I could have
done that in my head.
I don't know why I
resorted to a calculator.
0.83861 repeating.
And just like that,
just a calculation we're
able to do by hand,
we were able to come up
with a pretty good approximation for S.
And the big takeaway from here ...
We're going to build on this,
but this was really to
give you the intuition
with a very concrete example,
is when you have an
alternating series like this,
the type of alternating
series that satisfies
the alternating series test,
where you can write it
as negative one to the n,
or negative one to the n plus one,
times a series of positive terms
that are decreasing and
whose limits go to zeros
and approaches infinity,
not only do those things,
not only do those things converge,
but you can estimate your error
based on the first term
that you're not including.
Now, this was one example.
It's going to be different depending on

Korean: 
0.8386 그리고 1이 반복됩니다
사실 이 부분은
암산할 수도 있었습니다
제가 왜 계산기를
사용했는지 모르겠습니다
0.8386 그리고 1이 반복됩니다
그리고 바로 이렇게
손으로만 계산을 해서
우리는 S에 대해 꽤 괜찮은
근삿값을 구할 수 있었습니다
우리는 S에 대해 꽤 괜찮은
근삿값을 구할 수 있었습니다
그리고 여기서 가장 중요한 것은
이 부분에 대해 더 다룰 것인데
명확안 예시를 통해 감을
잡을 수 있도록 한 것입니다
명확안 예시를 통해 감을
잡을 수 있도록 한 것입니다
이러한 교대급수가 있으며
교대급수판정법을 만족하고
교대급수판정법을 만족하고
각 항을 -1의 n승
또는 n+1승
곱하기 감소하며 0으로 수렴하는
양의 무한수열로 나타낼 수 있을 때
곱하기 감소하며 0으로 수렴하는
양의 무한수열로 나타낼 수 있을 때
곱하기 감소하며 0으로 수렴하는
양의 무한수열로 나타낼 수 있을 때
급수가 수렴할 뿐더러
급수가 수렴할 뿐더러
부분합에 포함하지 않은 첫 번째
항으로부터 오차를 구할 수 있습니다
부분합에 포함하지 않은 첫 번째
항으로부터 오차를 구할 수 있습니다
이것은 한 예시입니다
첫 항이 양수인지 음수인지에
따라 달라질 것이며

English: 
whether the first term
is negative or positive,
and we're going to have to introduce
the idea of absolute value
there, the magnitude.
But the big takeaway here is
that the magnitude of
your error is going to be
no more than the magnitude
of the first term
that you're not including
in your partial sum.

Portuguese: 
se o primeiro termo
é negativo ou positivo.
Teremos que usar o valor absoluto,
a magnitude.
Mas o mais importante é
que a magnitude do erro será a magnitude
do primeiro termo
que não está na soma parcial.
[Legendado por: Pilar Dib]

Thai: 
ว่าเทอมแรกเป็นลบหรือเป็นบวก
และเราจะต้องใส่
แนวคิดเรื่องค่าสัมบูรณ์ตรงนี้ เป็นขนาดของมัน
แต่บทเรียนสำคัญตรงนี้คือว่า
ขนาดของความคลาดเคลื่อนจะ
ไม่มากไปกว่าขนาดของเทอมแรก
ที่คุณไม่ได้รวมในผลบวกย่อยของคุณ

Korean: 
첫 항이 양수인지 음수인지에
따라 달라질 것이며
절댓값에 대한 개념도
소개할 것입니다
절댓값에 대한 개념도
소개할 것입니다
하지만 중요한 점은
오차의 범위가
부분합에 포함하지 않은 첫 번째
항보다 크지 않다는 것입니다

Bulgarian: 
дали първият член е
положителен или е отрицателен.
Тогава въвеждаме понятието
за абсолютна стойност, за големина.
Основният извод тук е,
че стойността на грешката
ще бъде не по-голяма
от стойността на първия член,
който не включваме в 
частичната сума.

Korean: 
부분합에 포함하지 않은 첫 번째
항보다 크지 않다는 것입니다
