
Czech: 
Tabulka obsahuje vybrané
hodnoty spojité funkce f.
Můžeme za pomoci věty
o nabývaní mezihodnot říct,
že rovnice f(x) rovno 0 má řešení
na uzavřeném intervalu od 4 do 6?
Pokud ano, své
tvrzení odůvodněte.
Teď je vhodné si na chvilku přerušit
video a nad úlohou se krátce zamyslet.
Nakresleme si, o co tu jde a hlavně,
jaký má smysl věta o nabývání mezihodnot.
Nakresleme si postupně
y-ovou a x-ovou osu.
A také zanesme
dané body.
Pokud je x rovno 0,
f(x) nabývá hodnoty 0.
Pokud je x rovno 2,
f(x) nabývá hodnoty −2.

Bulgarian: 
"Таблицата ни дава избрани стойности
от непрекъснатата функция f."
Това изглежда добре.
"Може ли да използваме 
теоремата за междинните стойности,
за да докажем, че уравнението f(x) = 0
има решение, за което 4 ≤ x ≤ 6.
Ако да, то напиши доказателството."
Спри видеото и провери дали 
можеш да помислиш
върху задачата самостоятелно,
преди да го направим заедно.
Добре, нека да онагледим 
какво се случва
и да мислим визуално за 
теоремата за междинните стойности.
И така, ако това е моята ос y,
нека да кажем, че това е моята ос x,
точно ето тук.
Дадени са ни няколко точки ето тук.
Знаем, че когато x = 0, то f(x) = 0.
Нека да ги начертая.
Имаме тази точка.
За x = 2,
y или f(x), защото y = f(x),
ще бъде равна на –2.
Следователно ето тук имаме –2.
За x = 4, броим три, четири,

English: 
- [Instructor] The table
gives selected values
of the continuous function f.
All right, fair enough.
Can we use the intermediate value theorem
to say that the equation f
of x equal is equal to zero
has a solution where four
is less than or equal to x
is less than or equal to six?
If so, write a justification.
So, pause this video and see
if you can think about this
on your own before we do it together.
Okay, well let's just
visualize what's going on
and visually think about the
intermediate value theorem.
So, if that's my y-axis there
and then let's say that this is my x-axis
right over here.
We've been given some points over here.
We know when x is equal to
zero, f of x is equal to zero.
Let me draw those.
So, we have that point.
When x is equal to two,
y or f of x, y equals f of x
is gonna be equal to a negative two.
So, we have a negative
two right over there.
When x is equal to four, so, three, four,

Korean: 
이 표는 함수 f의
선택된 값 몇 개를
보여주고 있습니다
좋아요
중간값 정리를 이용해서
f(x)는 0이라는 식이
x값이 4와 같거나 크고
6과 같거나 작을 때
해가 있는지 증명할 수 있을까요?
만약 그렇다면, 그 이유를
설명하세요
영상을 잠시 정지하고
먼저 스스로 한 번
문제를 풀어 보세요
자, 여기 무슨 일이 일어나고
있는지 시각화해 보고
중간값 정리에 대해 시각적으로
한 번 생각해 봅시다
이것이 y축이고
이것이 x축이라고
가정해 봅시다
여기 점 몇 가지가
주어졌습니다
여기 점 몇 가지가
주어졌습니다
x가 0일 때 f(x)는 0이라는
사실을 알고 있습니다
한 번 그려볼게요
여기 점이 존재합니다
x가 2일 때
y값 혹은 f(x)의 값은
-2일 것입니다
따라서 여기 -2가 존재합니다
x가 4일 때

English: 
f of x is equal to three.
One, two, three.
I'm doing it on a slightly different scale
so that I can show everything.
And when x is equal to six, so, five, six,
f of x is equal to seven.
Three, four,
five, six, seven.
So, right over here.
Now, they also tell us that
our function is continuous.
So, one intuitive way of
thinking about continuity
is I can connect all of these dots
without lifting my pencil.
So, the function might look,
I'm just gonna make up some stuff,
it might look something,
anything like what I just drew just now.
And it could have even wilder fluctuations
but that is what my f looks like.
Now, the intermediate value theorem
says hey, pick a closed interval.
And here, we're picking
the closed interval
from four to six, so let me look at that.
So, this is one, two, three, four here,
this is six here,
so we're gonna look at
this closed interval.
And the intermediate
value theorem tells us
that look, if we're continuous
over that closed interval,

Bulgarian: 
то f(x) = 3.
Едно, две, три.
Правя го в малко по-различен мащаб,
за да мога да покажа всичко.
А когато x = 6, или пет, шест,
то f(x) = 7
Три, четири, пет, шест, седем.
Това е точно ето тук.
Също така ни казват, че дадената 
функция е непрекъсната.
Един интуитивен начин да разглеждаш 
непрекъснатостта е,
че мога да свържа всички тези точки,
без да повдигам молива си.
Функцията би могла да изглежда например...
просто ще направя нещо,
тоест може да изглежда като това, 
което току-що начертах.
Би могла дори да има 
още по големи колебания,
но по този начин изглежда
моята функция f.
Теоремата за междинните стойности
ни казва да изберем затворен интервал.
И тук избираме затворен интервал
от 4 до 6, така че нека да го погледна.
Това е едно, две, три, четири ето тук,
това тук е шест,
така че ще разглеждаме 
ето този затворен интервал.
И теоремата за междинните стойности ни казва,
че ако функцията е непрекъсната
в този затворен интервал,

Czech: 
Pokud je x rovno 4,
f(x) nabývá hodnoty 3.
Můžeme nakreslit
různé škálování os.
Pokud je x rovno 6,
f(x) nabývá hodnoty 7.
Také nám bylo řečeno,
že f je spojitá funkce.
Intuitivně spojitost znamená spojení
všech bodů nepřerušovanou čárou.
Tedy naše funkce může
vypadat například takto.
Může mít samozřejmě mnohem
divočejší průběh.
Ale graf mojí
f vypadá takto.
Dle věty o nabývání mezihodnot
zvolme uzavřený interval.
V našem případě
interval od 4 do 6.
Věta o nabývání mezihodnot
nám říká následující:
Pokud máme spojitou
funkci f na tomto intervalu,

Korean: 
f(x)는 3입니다
1, 2, 3
그림을 한눈에 보기 위해
축척을 조금 다르게 했습니다
x가 6일 때
f(x)는 7입니다
3, 4
5, 6, 7
바로 이 지점이겠네요
우리는 함수가 연속된다는 것 
또한 알고 있습니다
연속성을 확인하는
직관적인 방법은
이 모든 점들을
연필을 들었다 놓지 않고
연결해 보는 것입니다
함수는 이렇게 생겼을 겁니다
한 번 제 마음대로 그려볼게요
제가 그린 것과 아마
비슷하게 생긴 함수이겠죠
좀 더 급격한 파동이 있을
수도 있겠지만
제가 그린 함수 f는
이러한 모양입니다
이제 중간값 정리에 따르면
닫힌 구간을 하나 정해야 합니다
문제에서 주어진
닫힌 구간은
4부터 6이므로
이 구간으로 합시다
1, 2, 3, 4가 여기 있고
여기가 6입니다
이제 이만큼의 구간을
살펴볼 겁니다
중간값 정리에 따르면
이 닫힌 구간에 걸쳐
함수가 연속된다면

Bulgarian: 
то тя ще приема всяка стойност
между f(4), което в този случай,
ако това е f(4), то е равно на 3,
и също f(6), което е равно на 7.
f(6),
което е равно на 7.
Някой би ни попитал: 
"Ще има ли решение,
например за f(x) = 5 в този интервал?".
Да.
В този интервал за някоя стойност x
ще има f(x) = 5.
Но това, което ни питат,
 не e за дадено f(x),
което ще е равно на нещо 
между тези две стойности.
Питат ни за f(x) = 0.
Нула не се намира между f(4) и f(6),
така че тук не може да приложим
теоремата за междинните стойности.
Ако искахме да запишем това,
бихме могли да кажем, че f е непрекъсната,

Czech: 
tak f nabude každé hodnoty
mezi f(4), což je 3, a f(6), což je 7.
Takže, pokud by
se někdo zeptal,
zda-li bude existovat bod na tomto
intervalu, v němž bude mít f hodnotu 5?
Odpověď je ano.
Na tomto intervalu existuje
takové x, že f(x) je rovno 5.
Ale nás se neptají na f(x) mezi
těmito dvěma hodnotami.
Ptají se nás
na f(x) rovno 0.
0 není mezi
f(4) a f(6).
Proto nemůžeme použít
větu nabývání mezihodnot.
Odpověď můžeme
zapsat takto.

Korean: 
함수 f는 다음
두 값 사이의
모든 값을 포함할 겁니다
f(4), 즉 3과
f(6), 즉 7 사이의
값들 말이죠
f(7)이 아니라
f(6)이고 7의 값을 가집니다
그러면 이 구간 내에서
예를 들어, f(x)가 5일 때
해가 존재할까요?
네
이 구간에 걸쳐서
어떤 특정 x값에서
f(x)의 값은 5가 될 것입니다
하지만 문제에서 묻는 것은
f(x)가 이 두 값 사이의
어떤 값과 같은 경우가 아닌
f(x)가 0이 되는 경우에
대해 묻고 있습니다
0은 f(4)와 f(6) 사이에
있지 않으니
중간값 정리를 여기서는
사용할 수 없습니다
이를 적어보려면
f는 연속되지만

English: 
our function f is gonna
take on every value
between f of four, which in this case,
so, this is f of four, is equal to three,
and f of six, which is equal to seven.
f of six,
which is equal to seven.
And so, if someone said hey,
is there gonna be a solution
to f of x is equal to, say,
five over this interval?
Yes.
Over this interval, for some x,
you're going to have f
of x being equal to five.
But they're not asking us for an f of x
equaling something
between these two values.
They're asking us for
an f of x equaling zero.
Zero isn't between f of four and f of six,
and so we cannot use the
intermediate value theorem here.
And so, if we wanted to write it out,
we could say f is continuous
but zero is not

Czech: 
f je spojitá, ale 0
není mezi f(4 ) a f(6).
Proto nemůžeme použít
větu o nabývání mezihodnot.
Pojďme na
druhý příklad.
Můžeme za pomoci věty
o nabývaní mezihodnot říct,
že existuje 'c' z uzavřeného intervalu
od 2 do 4 splňující: g(c) je rovno 0?
Pokud ano, své
tvrzení odůvodněte.
Máme zadáno,
že f je spojitá.
Dokonce spojitá nejen na daném
intervalu, ale ze zadání i všude jinde.
Podívejme se, jakých hodnot nabývá
v krajních bodech daného intervalu.
Mluvíme o tomto uzavřeném
intervalu od 2 do 4.

English: 
between f of four
and f of six.
So, the intermediate value
theorem does not apply.
All right, let's do the second one.
So here they say, can we use
the intermediate value theorem
to say that there is a value
c such that f of c equals zero
and two is less than or equal to c
is less than or equal to four?
If so, write a justification.
We are given that f is continuous,
so let write that down.
We are given
that f is continuous,
and if you wanna be over that interval,
but they're telling us
it's continuous in general.
And then we can just
look at what is the value
of the function at these end points?
Our interval goes from two to four,
so we're talking about this
closed interval right over here.
We know that f of two

Bulgarian: 
но 0 не е
между f(4)
и f(6).
Следователно теоремата за
междинните стойности не е приложима.
Добре, нека да решим втората подточка.
Питат ни: "Дали можем да използваме
теоремата за междинните стойности,
за да докажем, че има 
такава стойност c, че f(c) = 0,
за която 2 ≤ c ≤ 4?
Ако да, то напиши доказателството."
Дадено е, че f е непрекъсната, 
така че нека да го запиша.
Дадено ни е,
че f е непрекъсната
и искаме да се намираме 
в този интервал,
но ни казват, че функцията е 
непрекъсната по принцип.
Тогава можем ли просто 
да погледнем какви са стойностите
на функцията в тези две точки?
Интервалът стига от 2 до 4,
т.е. става дума за този 
затворен интервал тук.

Korean: 
0은 f(4)와
f(6) 사이에 있지 않다고
말할 수 있습니다
따라서 중간값 정리는
적용되지 않습니다
두 번째 문제를 풀어봅시다
f(c)가 0인 식에서
c가 2와 같거나 크고
4와 같거나 작은 구간에서
중간값 정리를 사용할
수 있을까요?
만약 그렇다면, 이유를 설명하세요
f가 연속된다는 조건이
주어졌으니 적어 놓겠습니다
우리에게 주어진 것은
f가 연속함수라는 것이고
우리에게 중요한 것은
이 구간이지만
문제에 따르면 함수
전체가 연속됩니다
그러면 여기 끝점들에서
함수값이 무엇인지만
보면 됩니다
주어진 구간은
2에서 4까지고
닫힌 구간입니다

English: 
is going to be equal to negative two.
We see it on that table.
And what's f of four?
f of four is equal to three.
So, zero
is between
f of two and f of four.
And you can see it visually here.
There's no way to draw between
this point and that point
without picking up your pen,
without crossing the x-axis,
without having to point
where your function is equal to zero.
And so, we can say
according to the
intermediate value theorem,
there is
a value c
such that
f of c is equal to zero
and two is less than or equal to c

Czech: 
Víme, že f(2)
je rovno −2.
Kolik je f(4)?
f(4) je
rovno 3.
Celkem tedy,
0 je mezi f(2) a f(4).
Můžeme si to 
představit na obrázku.
Nemůžeme nakreslit nepřerušovanou
čáru mezi těmito dvěma body tak,
že neprotneme bod,
kde f je rovna 0.
Proto podle věty o nabývání
mezihodnot můžeme říct následující.

Bulgarian: 
Знаем, че f(2)
ще бъде равно на –2.
Виждаме го в таблицата.
А колко е f(4)?
f(4) = 3.
Следователно нулата
е между f(2) и f(4).
И може да го видиш 
на графиката ето тук.
Няма как да чертаеш 
между тази точка и тази точка
без да повдигаш молива си, 
без да пресичаш оста x,
или без да означиш къде 
функцията е равна на нула.
Следователно може да кажем,
че според теоремата 
за междинните стойности
съществува стойност c,
такава че
f(c) = 0,

Korean: 
f(2)는 -2라는 사실을
우리는 알고 있습니다
표에 나와 있으니까요
f(4)는 무엇일까요?
f(4)는 3입니다
따라서 0은
f(2)와 f(4) 사이에
위치해 있습니다
그래프에서도 시각적으로
볼 수 있습니다
이 점과 이 점을
연필을 들지 않으면서
x축을 가로지르지 않고
이어 그릴 수는 없습니다
함수값이 0이 되는 지점을
지나지 않고는
그릴 수 없습니다
따라서 우리는
중간값 정리에 따라
이렇게 말할 수 있습니다
어떤 값 c가 존재하며
해당 값 c에서는
f(c)는 0이고
그 값 c는 2와 같거나 크며

English: 
is less than or equal to four.
So, all we're saying is hey,
there must be a value c,
and the way I drew it here,
that c value is right over
where c is between two and four,
where f of c is equal to zero.
And this seems all mathy
and a little bit confusing sometimes
but it's saying something very intuitive.
If I had to go from
this point to that point
without picking up my pen,
I am going to at least cross
every value between f of two
and f of four at least once.

Korean: 
4보다 작거나 같다
즉 우리가 말하고자 하는 것은
여기 그린 것처럼
c가 2와 4 사이이며
동시에 f(c)가 0인 조건을
충족한다는 것입니다
이것이 모두 아주 수학적이고
헷갈릴 수도 있겠지만
사실 아주 직관적인 결론입니다
만약 이 점에서 저 점으로
연필을 들지 않고
이어 그리려면
f(2)와 f(4) 사이의 모든 값을 적어도
한 번 이상 지나야 한다는 것이죠

Bulgarian: 
и 2 ≤ c ≤ 4.
Всичко, което реално заявяваме, е, 
че следва да съществува стойност c,
и начина, по който я означих тук,
т.е. с се намира точно между 2 и 4,
и f(c) = 0.
Всичко това изглежда сложно
и малко объркващо понякога,
но ни показва нещо много логично.
Ако следва да стигна от тази точка 
до тази точка,
без да повдигам молива си, 
то ще получа за f(x)
всяка стойност между f(2) и f(4) поне веднъж.

Czech: 
Existuje hodnota ‚c‘ z uzavřeného 
intervalu od 2 do 4 taková, že f(c) je 0.
Vypadá to sice trochu složitě, ale
hlavní myšlenka je velmi intuitivní.
Co se stane, když nakreslíme 
nepřerušovanou čáru mezi těmito dvěma body?
Protneme určitě každou hodnotu
od f(2) do f(4) alespoň jednou.
