
Portuguese: 
Digamos que temos uma função
f que é contínua em 
um intervalo entre c e d.
E a razão porque eu estou 
usando c e d ao invés de a e b
é para que eu possa 
usar a e b mais tarde.
Digamos que criamos uma função
F de x que é definida 
como a área
abaixo da curva 
entre c e algum x.
onde x está nesse intervalo 
onde f é contínua,
abaixo da curva -- essa 
é a área abaixo da
curva entre c e x 
-- logo, se este é x aqui --
abaixo da curva f de t dt.
Logo aqui, F de x, é essa área.
Aquilo ali é o que F de x é.
Agora, o teorema 
fundamental do cálculo
nos diz que, se f é contínuo dentro 
deste intervalo, então F de x
é diferenciável para 
todo x no intervalo,

Korean: 
여기에 함수 하나가 있습니다
여기에 함수 하나가 있습니다
f는 c와 d 사이의 구간에서 
연속인 함수입니다
a와 b 대신 c와 d를 사용하는 것은
a와 b를 나중에 사용할 것이기 때문입니다
그리고 여기에 새로운 함수
F가 있고 이 함수의 값은
c와 변수 x 사이에서 함수의 
아랫부분의 넓이로 정의됩니다
f가 연속인 구간에서 
만약 x가 여기에 있다면
곡선의 아래 넓이 중 
c와 x 사이의 넓이를 의미하는
것이고 F는 f를 c에서 x까지 t에 대해
적분한 값입니다
그래서 F는 바로 이 영역입니다
이 곳이 바로 F(x)입니다
미적분학의 기본 정리는
함수 f가 이 구간에서 연속이라면
F(x)는 구간 내 모든 x에 대해 미분가능하고

English: 
Let's say we've
got some function
f that is continuous over
the interval between c and d.
And the reason why I'm using
c and d instead of a and b
is so I can use a
and b for later.
And let's say we set up
some function capital
F of x which is
defined as the area
under the curve between
c and some value x,
where x is in this interval
where f is continuous,
under the curve-- so it's the
area under the curve between c
and x-- so if this is x right
over here-- under the curve
f of t dt.
So this right over here,
F of x, is that area.
That right over there
is what F of x is.
Now, the fundamental
theorem of calculus
tells us that if f is continuous
over this interval, then F of x
is differentiable at
every x in the interval,

Thai: 
 
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน
f ที่ต่อเนื่องบนช่วงระหว่าง c กับ d
และสาเหตุที่ผมใช้ c กับ d แทนที่จะเป็น a กับ b
คือผมจะใช้ a กับ b ทีหลัง
สมมุติว่าเราตั้งฟังก์ชัน F ใหญ่
F ของ x ซึ่งก็คือพื้นที่
ใต้เส้นโค้งระหว่าง c กับค่า x ค่าหนึ่ง
เมื่อ x อยู่ในช่วงนี้เมื่อ f ต่อเนื่อง
ใต้เส้นโค้ง -- มันก็คือพื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง c
กับ x -- แล้วถ้านี่คือ x ตรงนี้ -- ใต้เส้นโค้ง
f ของ t dt
ค่านี่ตรงนี้ F ของ x คือพื้นที่นั้น
ค่าตรงนั้นคือ F ของ x
ทีนี้ ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส
บอกเราว่า ถ้า f ต่อเนื่องบนช่วงนี้ แล้ว F ของ x
จะหาอนุพันธ์ได้ที่ x ใดๆ ในช่วง

Bulgarian: 
Нека да имаме дадена една функция f,
която е непрекъсната в интервала
между c и d.
Ще използвам c и d вместо
a и b,
за да запазя a и b за по-късно.
И нека да дефинираме една функция
голямо F от х, която дефинира площта
под кривата между c и някаква
стойност х,
където х е в този интервал, където f
e непрекъсната.
Това е площта под кривата 
и между с и х.
Това тук е х. Площта е под
кривата f от t, dt.
Това ето тук, F от х, е тази площ.
Тази площ тук е F от х.
Фундаменталната теорема на анализа
гласи, че ако f е непрекъсната в този
интервал, то F от х
е диференцируема за всяка точка х
в този интервал.

Bulgarian: 
И производната на главно F от х...
Нека да го изясня.
Главно F от х е диференцируема за
всяка възможна стойност на х
в интервала от c до d, а производната
на главно F от х ще бъде равна на 
малко f от х.
Дотук добре.
В настоящия урок искам
да направя връзка между
фундаменталната теорема на анализа
и нейната втора част, или втората
фундаментална теорема
на анализа, която използваме,
за да изчисляваме 
определени интеграли.
Нека да помислим на какво е равно
F от b минус F от a,
като a и b също са в този интервал.
Ще предположим, че b е
по-голямо от а.
Да кажем, че b е това число тук.
Ще го запиша със същия цвят.
Нека да кажем, че b е ето тук.

Korean: 
F(x)의 도함수는, 확실히 하겠습니다
F(x)는 c와 d 사이의 임의의
x에 대해 미분가능하고, F(x)의
도함수는 f(x)와 같아지게 됩니다
좋습니다
자 제가 이 영상에서 하고 싶은 것은
미적분학의 첫 번째 기본정리를
두번째 부분, 즉 미적분학의 두 번째 기본정리와 연결시키는 것이고
이 정리는 정적분 값을 계산하는 데에
유용하게 쓰입니다
이제 F(b)에서 F(a)를 뺀 값에 
대해 알아봅시다
그리고 a와 b는 모두 이 구간에 포함되어 있습니다
따라서 F(b), 그리고 b가 a보다
크다고 가정할 것입니다
b는 바로 여기에 있습니다
같은 색으로 할게요
b는 여기에 있습니다

Thai: 
และอนุพันธ์ของ F ใหญ่ของ x -- 
ขอผมบอกให้ชัดนะ
F ใหญ่ของ x หาอนุพันธ์ได้สำหรับทุก x
ระหว่าง c กับ d และอนุพันธ์ของ F ใหญ่
ของ x จะเท่ากับ f เล็กของ x
ใช้ได้
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือเชื่อมโยงทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสข้อแรก
กับข้อที่สอง หรือทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สอง
ของแคลคูลัส ซึ่งเรามักใช้หาค่า
อินทิกรัลจำกัดเขต
ลองคิดว่า F ของ b ลบ F ของ a ว่าเป็นเท่าใด
เมื่อทั้ง b และ a อยู่ในช่วงนี้
F ของ b -- เราจะสมมุติว่า b มากกว่า a นะ
สมมุติว่า b คือค่านี่ตรงนี้
เราจะทำด้วยสีเดียวกัน
สมมุติว่า b อยู่ตรงนี้

English: 
and the derivative of capital
F of x-- and let me be clear.
Capital F of x is differentiable
at every possible x
between c and d, and the
derivative of capital F
of x is going to be equal
to lowercase f of x.
Fair enough.
Now, what I want
to do in this video
is connect the first
fundamental theorem of calculus
to the second part, or the
second fundamental theorem
of calculus, which we tend
to use to actually evaluate
definite integrals.
So let's think about what F of
b minus F of a is, what this is,
where both b and a are
also in this interval.
So F of b-- and we're going to
assume that b is larger than a.
So let's say that b is
this right over here.
And we'll do that
in the same color.
So let's say that b
is right over here.

Portuguese: 
e a derivada de 
F de x -- serei claro.
F de x é diferenciável 
para todo x possível
entre c e d, e a derivada de F de x
será igual a f de x.
Justo.
Agora, o que eu quero 
fazer neste vídeo
é conectar o primeiro teorema 
fundamental do cálculo
à segunda parte, ou o 
segundo teorema fundamental
do cálculo, que tendemos 
a usar para avaliar
integrais definidas.
Vejamos este F de b menos 
F de a, e o que isso significa,
onde ambos b e a estão 
também dentro do intervalo.
F de b -- e vamos assumir 
que b é maior que a.
Digamos que b é este aqui.
E faremos isto na mesma cor.
Digamos que b está aqui.

Thai: 
F ของ b จะเท่ากับ -- เราแทน b
ทุกที่ที่คุณเห็น x -- มันจะ
เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตระหวาง c กับ b
ของ f ของ t dt
ซึ่งก็คือวิธีบอกพื้นที่
ใต้เส้นโค้งระหว่าง c กับ b อีกวิธี
F ของ b นี้, F ใหญ่ของ b
คือทั้งหมดนี่ตรงนี้
แล้วจากนั้น เราอยาก
ลบ F ใหญ่ของ a ซึ่ง
ก็คืออินทิกรัลระหว่าง c กับ a เล็ก ของ
f เล็กของ t dt
สมมุติว่านี่คือ a ตรงนี้
F ใหญ่ของ a ก็แค่พื้นที่
ระหว่าง c กับ a ใต้เส้นโค้ง f เล็กของ t
มันก็คือค่านี่ตรงนี้
มันคือทั้งหมดนี่ตรงนี้
ถ้าคุณมีพื้นที่สีฟ้านี้ ซึ่งก็คือทั้งหมดนี้

English: 
F of b is going to be equal to--
we just literally replace the b
where you see the
x-- it's going to be
equal to the definite integral
between c and b of f of t dt,
which is just
another way of saying
the area under the
curve between c and b.
So this F of b,
capital F of b, is
all of this business
right over here.
And from that, we
are going to want
to subtract capital
F of a, which
is just the integral between
c and lowercase a of lowercase
f of t dt.
So let's say that this
is a right over here.
Capital F of a is just
literally the area
between c and a under the
curve lowercase f of t.
So it's this right over here.
It's all of this
business right over here.
So if you have this blue
area, which is all of this,

Bulgarian: 
F от b ще бъде равно на... Просто
заместихме b
там, където имаме х. Ще бъде
равно на определен интеграл между
c и b, f от t, dt,
което е още един начин да
представим
площта под кривата между c и b.
Това е F от b, главно F от b,
т.е. цялата тази площ ето тук.
И от нея искаме
да извадим главно F от a,
което е просто интегралът между
c и a,
от малко f от t, dt.
Нека кажем, че това тук е числото а.
Главно F от а всъщност е ето тази
площ
между с и а под кривата малко f от t.
Тоест тази площ ето тук.
Цялата тази площ тук.
Какво ще се получи, ако имаш цялата
тази площ, т.е. ето това,

Portuguese: 
F de b será igual a -- 
nós iremos substituir b
onde você vê o x -- será
igual a integral definida 
entre c e b de f de t dt,
que somente é uma 
outra maneira de dizer
que essa é a área embaixo 
da curva entre c e b.
Esse F de b é
tudo isso aqui.
E daí nós queremos
subtrair F de a, que
é somente a integral entre c e a de
f de t dt.
Digamos que esse é a aqui.
F de a é literalmente a área
entre c e a embaixo da curva f de t.
Logo, é isso aqui.
É tudo isso aqui.
Logo, se você tem essa área 
azul, que é tudo isso,

Korean: 
F(b)의 값은 이와 같습니다
자 x가 보이는 곳에 b를 넣을 것이고
이 값은 c와 b사이에서 f(t) dt 의 
정적분값과 동일하고
이것은 곡선의 아랫넓이 중
c와 b 사이의 넓이를 표현하는 
또다른 방식입니다
그래서 F(b)는 이곳
이곳의 영역을 나타냅니다
이 값에서 우리는
F(a)를 뺄 것이고, 이는
f(t) dt의 c와 a 사이의
정적분 값입니다
a가 여기에 있다고 합시다
F(a)는 바로 이 영역
f(t) dt의 c와 a 사이의 영역입니다
바로 이 영역입니다
바로 이 영역입니다
여기에 있는 이 파란 영역에서

Korean: 
마젠타 색의 영역을 뺀다면
어떤 영역이 남을까요
바로 이 초록색 영역이 남을 것입니다
그리고 이것을 어떻게 표현하겠습니까?
어떤 수식으로 표현해야 할까요?
우리는 f(t) dt의 a와 b 사이의
정적분 값으로 표현할 수 있습니다
이제 되었습니다
여기에 있는 이 정리가 바로
미적분학의 두 번째 기본정리입니다
이것은 만약 f가 이 구간에서 연속이라면
이 영역이 f의 역도함수와
같다는 것을 알려줍니다
그리고 이곳에서 F(x)가
f(x)의 부정적분이라는 것을 알 수 있습니다
우리는 이것을 F(x)를 정의하는 방법으로
볼 수 있고, 그렇게 정의하지 않더라도
미적분학의 기본 정리는
F(x)가 f(x)의
부정적분이라는 사실을 알려줍니다
이 부분은 이런 사실을 알려줍니다

Bulgarian: 
и извадиш от нея тази лилава площ?
Какво остава като резултат?
Остава ето тази зелена площ тук.
А как да я представим?
Как да опишем тази площ?
Може да я означим като определен
интеграл
между a и b, f от t, dt.
Ето, че го направихме.
Това тук е втората фундаментална
теорема
на анализа.
Тя гласи, че ако f е непрекъсната
в този интервал,
то този интеграл ще бъде равен
на примитивната функция на малко f.
И ето тук виждаме, че главно F
е примитивната функция на малко f.
Може да запишем, че главно F е
примитивната функция –
точно така дефинирахме главно F.
Или всъщност
не сме я дефинирали по този начин, но
фундаменталната теорема
на анализа ни казва, че главно F
е примитивната функция на малко f.
Тоест изразът тук гласи,

Portuguese: 
e você subtrai essa área rosa,
o que sobra?
Bom, você terá essa área verde aqui.
Como representaríamos isso?
Como denominaríamos isso?
Nós podemos denominar isso 
como a integral definida
entre a e b de f de t dt.
E aí está.
Isso aqui é o segundo teorema 
fundamental do cálculo.
Isso nos diz que se f 
é contínua no intervalo,
ela será igual à antiderivada,
ou uma antiderivada, de f.
E podemos ver que F
é a antiderivada de f.
Nós podemos ver isso 
como a antiderivada F --
isso é como definimos F 
-- a antiderivada -- ou nós
não a definimos assim, 
mas o teorema fundamental
do cálculo nos diz que F é
a antiderivada de f.
Isso aqui nos diz,

English: 
and you subtract out
to this magenta area,
what are you left with?
Well, you're left with this
green area right over here.
And how would we represent that?
How would we denote that?
Well, we could denote that
as the definite integral
between a and b of f of t dt.
And there you have it.
This right over here is the
second fundamental theorem
of calculus.
It tells us that if f is
continuous on the interval,
that this is going to be
equal to the antiderivative,
or an antiderivative, of f.
And we see right over
here that capital F
is the antiderivative of f.
So we could view this as
capital F antiderivative--
this is how we defined capital
F-- the antiderivative-- or we
didn't define it that way,
but the fundamental theorem
of calculus tells
us that capital F is
an antiderivative
of lowercase f.
So right over here,
this tells you,

Thai: 
และคุณลบพื้นที่สีบานเย็นนี่ตรงนี้
คุณจะเหลืออะไร?
คุณจะเหลือพื้นที่สีเขียวนี่ตรงนี้
แล้วคุณจะแสดงมันได้อย่างไร?
เราจะเขียนมันว่าอะไร?
เราเขียนแทนได้ว่า อินทิกรัลจำกัดเขต
ระหว่าง a กับ b ของ f ของ t dt
แล้วคุณก็ได้แล้ว
อันนี้ตรงนี้คือทฤษฎีบทพื้นฐานข้อสอง
ของแคลคูลัส
มันบอกเราว่าถ้า f ต่อเนื่องบนช่วง
แล้วอันนี้จะเท่ากับปฏิยานุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่งของ f
และราเห็นว่าตรงนี้ F ใหญ่
คือปฏิยานุพันธ์ของ f
เรามองค่านี้ได้เป็น F ใหญ่ ปฏิยานุพันธ์ --
นี่คือวิธีที่เรากำหนด F ใหญ่ 
-- ปฏิยานุพันธ์ -- เรา
ไม่ได้นิยามแบบนี้ แต่ทฤษฎีบทพื้นฐาน
ของแคลคูลัสบอกเราว่า F ใหญ่
คือปฏิยานุพันธ์ของ f เล็ก
ตรงนี้ อันนี้บอกเรา

Thai: 
ถ้าคุณมีอินทิกรัลจำกัดเขตแบบนี้
มันจะเทียบเท่ากับปฏิยานุพันธ์ของมันหาค่า
ที่ b แล้วจากคุณลบกับปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ a
มันมักเป็นแบบนี้
ผมแค่สลับลำดับ
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก a ถึง b ของ f ของ t dt
เท่ากับปฏิยานุพันธ์ของ f แล้ว F ใหญ่
หาค่าที่ b แล้วจากนั้น ลบปฏิยานุพันธ์หาค่า
ที่ a
และนี่คือส่วนที่สองของทฤษฎีบทพื้นฐาน
ของแคลคูลัส หรือทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สอง
ของแคลคูลัส
และมันเป็นหัวใจของวิชาแคลคูลัสปริพันธ์
เพราะมันคือวิธีที่คุณใช้หา
ค่าอินทิกรัลจำกัดเขตจริงๆ
 

English: 
if you have a definite
integral like this,
it's completely equivalent to an
antiderivative of it evaluated
at b, and from that, you
subtract it evaluated at a.
So normally it looks like this.
I've just switched the order.
The definite integral
from a to b of f of t dt
is equal to an antiderivative
of f, so capital F, evaluated
at b, and from that, subtract
the antiderivative evaluated
at a.
And this is the second part
of the fundamental theorem
of calculus, or the
second fundamental theorem
of calculus.
And it's really the core of
an integral calculus class,
because it's how you actually
evaluate definite integrals.

Korean: 
이런 꼴의 정적분이 있다면
그것은 b에서 계산된 부정적분 값에서
a에서 계산된 부정적분 값을 
뺀 것과 동일합니다
보통 그것은 이렇게 보여집니다
순서를 바꿔보았습니다
f(t)의 a에서 b까지의 정적분 값은
f의 부정적분인 F가 b에서 계산된 값에서
a에서의 부정적분 값을
빼준 값과 일치합니다
그리고 이것은 미적분학 기본 정리의 두 번째 파트
혹은 미적분학의 두 번째 기본정리입니다
혹은 미적분학의 두 번째 기본정리입니다
이 정리는 적분 수업의 핵심이고
그것은 이 방법이 정적분 값을 
계산할 때 실질적으로 사용하는 방법입니다
커넥트 번역 봉사단 | 윤종훈

Portuguese: 
se você tem a integral 
definida dessa maneira,
é completamente equivalente 
a sua antiderivada avaliada
em b, e disso você a subtrai 
da função avaliada em a.
Logo, isso normalmente 
se parece a isso.
Eu somente mudei a ordem.
A integral definida de 
a à b de f de t dt
é igual à antiderivada 
de f, logo, F, avaliada
em b, e dali, subtraímos 
a antiderivada avaliada
em a.
E essa é a segunda parte 
do teorema fundamental
do cálculo, ou o segundo
teorema fundamental
do cálculo.
Isso é o mais importante de 
uma aula de cálculo integral,
porque assim é como você 
calcula integrais definidas.
[legendado por Musa Morena Marcusso Manhães]

Bulgarian: 
че ако имаш определен интеграл
като този,
то той е абсолютно еквивалентен
на примитивната си функция,
изчислена за b, и от това вадим
изчислената ѝ стойност за a.
Обикновено изглежда по следния
начин.
Просто размених реда.
Определен интеграл от a до b, f от t, dt
е равно на примитивната функция от f, т.е. главно F, изчислено в точка b,
и от това изваждаме примитивната функция, 
изчислена в точка а.
Ето това е втората част от
фундаменталната теорема
на анализа или втората
фундаментална теорема на анализа.
Тя е основната част на курса
по интегрално смятане,
защото е начинът, по който наистина
се изчисляват определени интеграли.
