
Korean: 
스테이시는 x = 2일 때
f(x) = x² + 1의
Stacy는 x = 2일 때
f(x) = x² + 1의
값을 구하려고 합니다
아래의 표는 f의
x 에서 2까지
혹은 2에서 x까지의
평균 변화율을 보여줍니다
그리고 이 구간은 왼쪽에서부터
x에 가까워지는 값에 대해
닫힌 구간입니다
따라서 우리는
x가 닫힌 구간에서
왼쪽에서부터
2에 가까워질 때
f의 평균 변화율을
구하는 것입니다
이 문제에서 극한을
다룰 것 같은데요
혹은 저희는 이 문제에서
극한을 구하거나
어떤 종류의 극한의
근삿값을 구할 것입니다
표를 한번 읽어 봅시다
이는 모두 x의 값들이며
문제에서 구하는 것은 
이 값들과
2 사이의 평균 변화율을
2 사이의 평균 변화율을
x가
이중 하나의 x와 2 사이의
평균 변화율을 구하고
그리고 여기
미리 계산을 해둔
평균 변화율이 있습니다
따라서 계산기를 꺼내서

Bulgarian: 
Стейси трябва да намери
производната на
f(х) = x^2 + 1
в точката х = 2.
Таблицата по-долу показва
средната скорост на изменение
на функцията f в интервалите
от x до 2
или от 2 до х, като това
са затворени интервали,
за стойностите на х, които
са все по-близко до 2.
Значи тук говорим за средната
скорост на изменение на f
в тези затворени интервали
за стойностите на х, когато
х е все по-близко до 2.
Изглежда ще имаме
някакъв вид граница,
или че се опитваме да
изчислим някаква граница,
или да апроксимираме
някаква граница.
Да разгледаме данните.
Това са стойностите на х
и тя се опитва да намери
средната скорост на 
изменение между
всяка от тези стойности на х и 2,
или средната скорост на
изменение на функцията
между х...
една от тези стойности на х и 2,
и после е дадена средната скорост 
на изменение,
която тя е изчислила,
така че няма нужда
да използваме калкулатор,

French: 
Stacy cherche
la dérivée de f(x) = x² + 1
en x = 2.
Le tableau ci-dessous donne le taux de variation
de f entre x et 2,
ou entre 2 et x (ce sont des intervalles fermés),
pour des valeurs de x qui s'approchent de plus en plus de 2.
Donc on considère
le taux de variation de f
sur ces intervalles fermés
pour des valeurs de x qui s'approchent de 2.
C'est comme si on parlait
d'une sorte de "limite".
Ou on essaie de calculer une sorte de limite,
ou plutôt d'approcher une sorte de limite.
Lisons ces données ici.
Ce sont les valeurs de x, et elle [Stacy] veut calculer
le taux de variation entre
ces valeurs de x et 2,
c'est-à-dire le taux de variation de la fonction.
Entre x et 2.
Entre x et 2.
Et elle connait le taux de variation,
elle l'a calculé au préalable.
On a donc pas besoin de calculatrice

English: 
- [Voiceover] Stacy wants to find
the derivative of f of x
equals x squared plus one
at the point x equals two.
Her table below shows the
average rate of change
of f over the intervals from x to two
or from two to x, and
these are closed intervals,
for x-values that get
increasingly closer to two.
so they get-- so we're talking about
the average rate of change of f
over these closed intervals
for x-values that get
increasingly closer to two.
It looks like we're going to be dealing
with some type of a limit,
or we're trying to calculate
some type of a limit,
or approximate some type of a limit.
Let's read this data here.
These are the x values
and she's trying to find
the average rate of change between each
of these x-values and two,
or the average rate of
change of the function
between when x is--
one of these x values and two,
and then she has the
average rate of change
that she precalculated,
so we don't have to get a calculator out

French: 
ou de quoi que ce soit.
Rappelons comment elle a calculé ce taux de variation, 3,9.
Eh bien, on nous le dit.
Elle a pris f(1.9),
que vaut la fonction à f(1.9) ?
Puis elle a soustrait
f(2).
Donc cela c'est le "changement en f".
Et elle a divisé cela
par x, soit 1.9,
moins 2.
Donc c'est delta-f moins delta-x.
Donc quel est le taux de variation
de la fonction sur cet intervalle?
Elle l'a calculé entre 1.9 et 2, elle a trouvé 3.9
Puis elle s'est approché de 2.
Maintenant, on calcule entre 1.99 et 2.
Et cela devient 3.99
On dirait qu'on s'approche de 4
Elle se rapproche encore plus de 2,
et le taux de variation se rapproche encore plus de 4.
Puis elle dépasse 2,
Vous pouvez voir cela comme: on s'approche,

Korean: 
직접 계산할 필요가 없죠
그리고 복습으로
어떻게 3.9를 계산했을까요?
여기에 나오네요
f(1.9)의 값을 구했죠
x 가 1.9일 때
함수의 값은 얼마인가요?
이 수에서
f(x)가 2일 경우
함수의 값을 뺍니다
따라서 이게 f(x)의
변화율입니다
이 값을 x인 1.9에서
2를 뺀 것으로 나누었습니다
이 값을 x인 1.9에서
2를 뺀 것으로 나누었습니다
이 값을 x인 1.9에서
2를 뺀 것으로 나누었습니다
따라서 f의 변화율
나누기 x의 변화율입니다
이 구간에서의
평균 변화율은 무엇인가요?
1.9 와 2 사이는
3.9가 나왔습니다
2에 더 가까워져서
1.99와 2의 사이는
3.99가 나왔습니다
4에 더 가까워지는것 같네요
2에 더 가까워지면
평균 변화율이 4에
더 가까워집니다
그 다음 2의 다른
방향으로 접근합니다
이는 왼쪽에서

English: 
or anything like that,
and just as a reminder, how
did she calculate this 3.9?
Well, they tell us.
She took f of 1.9,
what does the function
equal when x is 1.9?
From that, she subtracted
what is the value of the
function when f is equal to two,
so that's really our change in f,
and she divided it by
the x, which is 1.9,
minus two,
so change in f over change in x.
What is the average rate of change
of our function over that interval?
She did it between 1.9
and two, she got 3.9.
Then she gets closer to two,
so now she's doing it between 1.99 and two
and it becomes 3.99,
it looks like it's getting closer to four.
She gets even closer to two
and the average rate of change
gets even closer to four,
and then she goes on
the other side of two,
you could view it as this is approaching,

Bulgarian: 
но само да си припомним,
как тя е изчислила това 3,9?
Всъщност ни казват това.
Тя изчислява функцията
за х = 1,9
На колко е равна функцията,
когато х = 1,9?
От това тя изважда
стойността на функцията,
когато f = 2,
така че това е 
изменението на f,
и после разделя това на х,
което е 1,9 минус 2,
значи изменението на f
върху промяната на х.
Каква е средната
скорост на изменение
на функцията в този интервал?
Значи между 1,9 и 2,
тя получава 3,9.
После се приближава до 2,
значи сега е между
1,99 и 2,
и това става 3,99,
което изглежда, че
се приближава до 4.
Тя се приближава още
повече до 2,
и средната скорост на изменение 
става още по-близка до 4,
а после преминава
от другата страна на 2,
можеш да го разглеждаш
като че това клони...

English: 
this is-- this is approaching--
this is x approaching two
from the left hand side,
and this is x approaching
two from the right hand side.
When it's 2.1, the average
rate of change is 4.1.
When it's 2.01, once again,
we're getting closer to two,
we're getting closer to two,
the average rate of change
is getting closer to four.
The closer we get to two,
the closer the average rate
of change gets to four.
What this data is really
helping us approximate
it's really saying, okay,
the average rate of
change we know is f of x
minus f of two,
over x minus two,
but what we're really thinking about is,
well what is the limit as x approaches two
right over here?
That's what this data
is helping us to get at,
and it looks like this
limit is equal to four.
They give us it in here, it says,
"Look, the closer that x gets to two
"from either the left hand
side or the right hand side,
"the closer that this
expression right over here,
"which is this number, gets to four."

Korean: 
x가 2에 가까워 진다고
할 수 있죠
x가 2에 가까워 진다고
할 수 있죠
이 경우는 x가 2에
오른쪽에서 가까워집니다
2.1일 경우 평균 변화율은
4.1입니다
2.01일 경우
2에 가까워 지면서
2에 가까워 지면서
평균 변화율은
4에 가까워집니다
가까워질수록
평균 변화율이
4에 가까워집니다
이 표가 알려주는 것은
이 표가 알려주는 것은
f(x) - f(2)/ x - 2의
f(x) - f(2)/ x - 2의
평균 변화율이지만
우리가 생각하는 것은
x가 2에 가까워질 때
극한은 무엇인지입니다
그게 이 표가
알려주는 내용입니다
극한은 4인 것 같네요
여기에 값이 주어집니다
왼쪽이나 오른쪽에서
x가 2에 가까워 질 수록
함수의 값은
4에 가까워집니다

Bulgarian: 
все едно х клони към 2
от лявата страна,
а тук х клони към 2
от дясната страна.
Това е 2,1, средната
скорост на изменение е 4,1.
Когато е 2,01, отново,
приближаваме се 
все повече до 2,
средната скорост на изменение
се приближава до 4.
Колкото повече се
приближаваме до 2,
толкова повече средната скорост 
на изменение се приближава до 4.
Това, което тези данни
ни помагат да апроксимираме...
средната скорост на изменение,
която знаем е
f(х) – f(2)
върху (х – 2),
но всъщност ние се
интересуваме
колко е границата, когато
х клони към 2 ето тук.
Ето това ни помагат
да определим тези данни,
и изглежда, че тази
граница е 4.
Казват ни това тук:
"Колкото повече х
се приближава до 2,
и от лявата, и от дясната
страна,
толкова повече този израз тук,
който е това число,
се приближава до 4."

French: 
x s'approche de 2
à gauche [par les valeurs inférieures],
et ça c'est x qui approche 2 par la droite [les valeurs supérieures].
Quand c'est x = 2.1, le taux de variation est 4.1
Quand on prend x = 2.01, et encore une fois
on s'approche de 2,
on s'approche de 2,
le taux de variation s'approche de 4.
Plus on s'approche de 2,
plus le taux de variation s'approche de 4.
Ce que ces données nous aident à approcher,
c'est, ok,
le taux de variation, on le sait c'est f(x)
moins f(2),
divisé par x moins 2.
Mais ce que l'on cherche réellement ici,
c'est la limite quand x tend vers 2,
de cette expression ici.
C'est à cela que ces données nous aident.
Et il semble que cette limite vaut 4.
Ils nous le donnent ici, ça nous dit:
"Regardez, plus x s'approche de 2,"
"que ce soit par la gauche ou par la droite,"
"plus cette expression, ici,"
"qui vaut cette valeur-là, s'approche de 4."

Bulgarian: 
Може би виждаш, че
това е едно от определенията
за производна.
Това е едно от определенията
за производна.
Това тук ще бъде
f'(2),
производната за х = 2,
която е равна на границата,
когато х клони към 2,
от всичко това тук.
Има и други начини да изразим 
производната като граница,
но това е един от тях.
Тук, от таблицата,
колко изглежда 
ще бъде производната
на f(x) = x^2 + 1
за х равно на 2?
Производната за х = 2
изглежда е
е равна на 4.
И сме готови.

English: 
You might recognize,
this is one of the
definitions of a derivative.
This is one of the
definitions of a derivative.
This right over here
would be f prime of two,
the derivative at x equals two
is equal to the limit as x approaches two
of all of this business.
There's other ways to express
a derivative as a limit
but this is one of them.
There you go, from the table,
what does the derivative
of f of x equals x squared plus one
at x equals two appear to be?
Well, the derivative at x equals two
appears to be
equal to four,
and we're done.

Korean: 
이게 도함수의 정의라는
것을 눈치챘을 겁니다
이게 도함수의 정의라는
것을 눈치챘을 겁니다
이는 도함수의
정의 중 하나입니다
여기 이 값은 f'(2)의 값이며
x가 2일 경우
도함수의 값은
어떤 경우에서든지
x가 2에
어떤 경우에서든지
x가 2에
가까워질 경우의
극한값입니다
도함수를 극한으로
설명하는 다른 방법도 있지만
이 설명도 그중 하나입니다
표에서
x가 2일 때
x² + 1의 도함수의
x가 2일 때
x² + 1의 도함수의
값이 무엇인가요?
x가 2일 경우 도함수는
4와
같습니다
다 풀었네요

French: 
Et tu dois reconnaître:
cette expression est une définition du nombre dérivé.
C'est une définition du nombre dérivé.
c'est f'(2).
La dérivée en x = 2
vaut la limite, quand x tend vers 2,
de cette expression.
Il y a plusieurs façons d'exprimer la dérivée comme une limite,
Et cela, c'est est une.
Nous y sommes, d'après le tableau,
que vaut la dérivée de f(x) = x² +1 en x = 2 ?
que vaut la dérivée de f(x) = x² +1 en x = 2 ?
que vaut la dérivée de f(x) = x² +1 en x = 2 ?
Eh bien, il semble que f'(2)
Eh bien, il semble que f'(2)
est égal à 4.
Et nous avons réussi.
