
English: 
- [Instructor] So here we
have three different series.
And what I would like you
to do is pause this video,
and think about whether each
of them converges or diverges.
All right, now let's
work on this together.
So, just as a refresher, converge means
that even though you're summing up
an infinite number of terms
in all of these cases,
if they converge, that
means you actually get
a finite value for that infinite sum,
or that infinite number
of terms being summed up,
which I always find somewhat amazing.
And diverging means that
you're not going to get
an actual finite value for the sum
of all of the infinite terms.
So how do we think about that?
Well, we already know something
about geometric series,
and these look kind of
like geometric series.
So let's just remind ourselves
what we already know.
We know that a geometric series,
the standard way of writing it is
we're starting n equals,
typical you'll often
see n is equal to zero,
but let's say we're
starting at some constant.
And then you're going to have,

Bulgarian: 
Тук имаме три различни
безкрайни суми.
Искам да спреш видеото 
на пауза
и да помислиш дали всяка
от тях е сходяща или разходяща.
Добре, сега да го 
направим заедно.
Само да припомня,
сходимост означава,
че въпреки, че имаме сума
от безкраен брой членове
във всеки от тези случаи,
ако те са сходящи, това
всъщност означава,
че тази безкрайна сума
има крайна стойност,
когато бъдат сумирани
безкраен брой членове,
което винаги ми се е струвало
удивително.
Разходимост означава, че няма
да получим
крайна стойност за сумата
на всички тези безкраен
брой членове.
Как да разсъждаваме за това?
Вече знаем нещо за
геометричните редове,
а тези приличат на
геометрични редове.
Само да си припомним
какво знаем вече.
Знаем, че геометричните
редове
обикновено се записват,
като започнем с n е равно на,
обикновено е равно на нула,
но нека да кажем, че
започва от някаква константа.

Bulgarian: 
После имаме до безкрайност,
сумата от r на степен n,
където r е частното,
разглеждали сме го
подробно в други клипове.
Това е стандартният начин 
за записване на геометрични редове.
Знаем, че ако абсолютната
стойност на r
е между нула и 1,
тогава този ред е сходящ.
Ако не е, просто ще напиша
"в противен случай"
редът е разходящ.
Може би добър начин е
да преработим тези изрази,
после да се опитаме
да дефинираме всеки
от тези членове, като намалим n,
ако можем да ги
преработим в този вид,
можем да намерим частното
и да помислим дали
са сходящи или разходящи.
Ще се фокусирам върху
тази част ето тук.
Да видим мога ли 
да я преработя.
Да видим, мога да я преработя,
да видим, като
5 на степен (n – 1),
мога да представя това като

English: 
you're gonna go to infinity
of a times r to the n,
where r is our common ratio,
we've talked about that
in depth in other videos.
We know, this is the standard way
to write a geometric series.
We know that if the absolute value of r
is between zero, is between zero and one,
then this thing is going
to converge, converge.
And if it doesn't, I'll
just write it else,
it will diverge.
So maybe a good path would be,
hey, can we rewrite these expressions
that we're trying to
take, that are defining
each of our terms as we increment n,
if we can rewrite it in this form,
then we can identify the common ratio
and think about whether
it converges or diverges.
So I'm going to focus on
this part right over here.
Let's see if I can rewrite that.
So let's see, can I rewrite, let's see,
five to the n minus
one, I can rewrite that

Bulgarian: 
5 на степен n по 5 на степен –1,
и после това е по 9/10 
на степен n.
Да видим, това е равно на,
ще стане – мога да запиша 
просто тази част ето тук.
Ще го запиша като 1/5,
това е равно на 5 на степен –1,
по, после имаме 5^n и
9/10 на степен n.
Добре, имаме еднакъв степенен
показател, значи мога да го преработя,
умножавам всичко това,
само променям реда,
това е равно на 5 по 9/10,
на степен n
Това е равно на 1/5 по,
5 по 9 е 45, върху 10
е равно на 4,5, значи
по 4,5 на степен n.
Оригиналната сума 
преработихме като,
само да запиша тук, започваме
от n = 2,
до безкрайност, и това
може да се представи

English: 
as five to the n times
five to the negative one,
and then that's gonna
be times 9/10 to the n.
And let's see, this is
going to be equal to,
going to be, I can just write this
as this part right over here.
I'll write it as 1/5,
that's the same thing
as five to the negative one
times, and then five to
the n and 9/10 to the n,
well, I have the same exponent,
so I can rewrite that as,
and we're multiplying all this stuff,
I'm just switching the order,
this is the same thing as five
times 9/10 to the nth power.
And so this is going to
be equal to 1/5 times,
well five times nine is 45 divided by 10
is going to be 4.5, so
times 4.5 to the nth power.
So that original series I can rewrite as,
just for good measure, I'm
starting at n equals two,
I'm going to infinity,
and this can be rewritten

English: 
as 1/5 times 4.5 to the n.
So what's our common
ratio, what's our r here?
Well, you can see very clearly, it is 4.5.
The absolute value of 4.5 is clearly
not between zero and one.
So this is a situation where
we are going to diverge.
Now if you found that inspiring,
and if you weren't able
to do it the first time
I asked you to pause the video,
try to pause the video again
and try to work these out now,
now that you've seen an example.
All right, let's jump into it.
So I'm just gonna try
algebraically manipulate this part
to get it into this form.
So let's do that.
So I can rewrite this, let's see,
if I can get some things
just to the nth power,
so I can rewrite it as
3/2 to the nth power,
and I could write this
part right over here as
times one over nine to the
nth times nine squared.

Bulgarian: 
като 1/5 по 4,5 на степен n.
Колко е частното, колко е r?
Много ясно се вижда,
че е равно на 4,5.
Абсолютната стойност на 4,5
очевидно не е между 0 и 1.
В този случай имаме
разходимост.
Ако това те е вдъхновило,
ако не се справи първия път,
когато те помолих 
да спреш видеото,
опитай да го спреш на пауза отново
и да решиш тези сега,
след като видя този пример.
Добре, да се захващаме.
Просто ще опитам да преработя 
алгебрично тази част,
за да я представя в този вид.
Да го направим.
Мога да преработя това, 
да видим,
ако мога да представя нещо
на n-та степен,
мога да го представя като
3/2 на n-та степен,
тази част тук мога 
да представя като
по 1/9 на n-та степен,
по 9 на квадрат.

Bulgarian: 
Това е равно на 3/2 
на n-та степен.
Да видим, мога да
преместя отпред
1/9 на квадрат,
ще го направя така.
Ще запиша 1/81 ето тук,
това е тази част ето тук.
1/81 по 3/2 на n-та степен,
по 1/9 на n-та степен.
Но 1/(9)^n е равно на
(1/9) цялото на степен n.
Направих го така, защото сега
и двете са на n-та степен,
и мога да направя същото,
което направих преди.
Значи това ще е равно 
на 1/81,
по 3/2 по 1/9
на степен n.
Просто тук използвам свойствата
на степените.
Това ще е равно на 1/81,
по, да видим, по 3/2 по 1/9,

English: 
This is going to be equal to
3/2 to the n.
And let's see, I could
factor out or bring out
the one over nine squared,
so let me do that.
So I'll write that as one over
81, I'll write it out there,
so that's this part right over there.
1/81 times 3/2 to the n
times one over nine to the n.
But one over nine to the
n, that is the same thing
as one over nine all of
that to the nth power.
And the reason why I did
that is now I have both
of these things to the nth power,
and I can do just what
I did over here before.
So this is all going to
be equal to one over 81
times 3/2 times 1/9
to the nth power.
These are just exponent properties
that I am applying right over here.
And so this is going to
be equal to one over 81
times, let's see, 3/2 times 1/9 is

English: 
3/18 which is the same thing as 1/6,
times 1/6 to the nth power.
If I were to rewrite the original series,
it's the sum from n equals
five to infinity of,
of, now I can rewrite it as one over 81
times 1/6 to the nth power.
This is our common
ratio, 1/6, very clearly.
I'll do that in this
light blue color, 1/6.
That absolute value is
clearly between zero and one,
so this is a situation where
we will converge, converge.
Now let's do this last example.
I'll do this one a little bit faster.
So let's see, I could, if I'm just trying
to algebraically
manipulate that part there,
that's going to be the same
thing as two to the nth power
times one over three to the n
times three to the negative one.
Well, this is going to be the
same thing as two to the n

Bulgarian: 
което е 3/18, което е 1/6,
значи по 1/6 на степен n.
Ако трябва да преработя 
оригиналната сума,
това е сумата от n = 5 
до безкрайност,
от – сега това преработихме
като 1/81 по 1/6 на степен n.
Това е частното, 1/6,
съвсем очевидно е.
Ще го направя със светло 
синьо, 1/6.
Абсолютната стойност тук
очевидно е между 0 и 1,
значи в този случай 
имаме сходимост.
И сега последният пример.
Този ще го направя
малко по-бързо.
Да видим, ако трябва да преработя 
алгебрично тази част,
това е равно на 2 на степен n,
по 1 върху 3 на степен n,
по 3 на степен –1.
Това е равно на 2^n

English: 
times one over, why did I write equals?
Times one over three to the n.
And one over three to the negative one,
that's the same thing as one over 1/3,
that's just going to be
equal to three times three.
Well, that's going to be equal to,
I'll give myself some
space, we'll start out here.
That's equal to, I'll
put the three out front,
three times two to the n times,
and one over three to
the n is the same thing
as 1/3 to the nth power.
And so this is going to
be equal to three times
two times 1/3, all that to the nth power.
And so that's going to
be equal to three times
2/3 to the nth power.
So we just simplify this
part right over here
to three times 2/3 to the nth power.
We can see that our common ratio is 2/3,
so the absolute value of 2/3 is clearly
between zero and one.

Bulgarian: 
по 1 върху, защо написах равно?
По 1/3 на степен n.
1 върху 3 на степен –1
е равно на 1 върху 1/3,
което е равно на 3, значи по 3.
Това ще е равно на –
ще си направя малко място,
ще започна ето тук.
Това е равно на, ще
изнеса 3 отпред,
3 по 2^n,
1 върху 3^n е равно
на (1/3)^n.
Това е равно на 3 по
2 по 1/3, цялото на степен n.
Това е равно на 3 по (2/3)^n.
Само опростихме тази част тук
до 3 по (2/3)^n.
Виждаме, че частното
е равно на 2/3,
като абсолютната стойност
на 2/3 очевидно е между 0 и 1.

English: 
So once again, we are going
to converge, converge.
And we're done.

Bulgarian: 
Този ред също е сходящ.
И сме готови.
