
Korean: 
안녕하세요 여러분
다변수 함수 이차 근사의
벡터 표현 방법을
이야기하기 전에
하나 더 이야기할 것이
있습니다
뭔가 굉장히 많이 
말하는 것 같습니다
다음과 같은 표현이 있다고
합시다
a 곱하기 x²
더하기,
여기서 x 는 
변수입니다
b 곱하기 xy
더하기,
y 는 또 다른 
변수입니다
c 곱하기 y²
입니다
여기서 a,b,c 는
상수이고
x 와 y 만이 변수입니다
이렇게 적힌 표현은
멋진 이름을 갖고 있습니다
이차 형식
이라고 부릅니다
이차 -
- 형식
입니다
이 표현은
언제나 저에게
이러한 의문점을
만들었습니다
형식(form) 이 과연 무엇일까?
이차(quadratic) 은
무엇인지 알 것 같습니다
여기 보이는 것처럼
제곱 형태나 두 변수가 곱해진 형태를
이차(quadratic)라고 하죠
그러면 형식(form) 은 
무엇일까?
여기서 말하는 형식(form) 이란
모든 단항식들이
차수가 이차임을 의미합니다
x 항이나
상수항과 같은 것들이
더해져 있는 것이 아니라
오직 이차항만을
가지고 있다는 것 입니다
수학자들은 이러한 것을
순수한 이차 표현과 
같은 우스꽝스러운 이름 대신

English: 
- [Voiceover] Hey guys.
There's one more thing
I need to talk about
before I can describe the vectorized form
for the quadratic approximation
of multivariable functions
which is a mouthful to say
so let's say you have
some kind of expression
that looks like a times x squared
and I'm thinking x is a variable
times b times xy,
y is another variable,
plus c times y squared
and I'm thinking of a, b
and c as being constants
and x and y as being variables.
Now, this kind of
expression has a fancy name.
It's called a quadratic form.
Quadratic
form.
And that always threw me off.
I always kind of was like, what,
what does form mean?
I know what a quadratic expression is
and quadratic typically
means something is squared
or you have two variables
but why do they call it a form?
And basically it just means
that the only things in here
are quadratic.
It's not the case that you have an x term
sitting on its own or a constant out here
like two when you're adding
all of those together
instead it's just you have
purely quadratic terms
but of course, mathematicians
don't want to call it
just a purely quadratic expression

English: 
instead they have to give
a fancy name to things
so that it seems more
intimidating than it needs to be
but anyways, so we have a quadratic form
and the question is
how can we express this
in a vectorized sense?
And for analogy, let's
think about linear terms
where let's say you have a times x
plus b times y
and I'll throw another variable in there,
another constant times another variable z.
If you see something like this
where every variable is just
being multiplied by a constant
and then you add terms
like that to each other,
we can express this nicely with vectors
where you pile all of the
constants into their own vector,
a vector containing a, b and c
and you imagine the dot product
between that and a vector that contains
all of the variable components,
x, y and z
and the convenience here is
then you can have just a symbol
like a v let's say
which represents this
whole constant vector
and then you can write down,
take the dot product between that
and then have another symbol,
maybe a bold faced x
which represents a vector that
contains all of the variables
and this way, your notation
just kind of looks like

Korean: 
멋진 이름을
붙여주고 싶어하기에
이차 형식이라는 이름을
 붙여준 것 입니다
아무튼 우리는 이차 형식을
얻었고
다음 질문은
이 것을 어떻게
벡터로 표현할 수 있을까? 입니다
일차항을 바탕으로
유추해 봅시다
a 곱하기 x 
더하기
b 곱하기 y 
더하기
 
c 곱하기 z
가 있습니다
이 식과 같이
모든 변수가 상수항과의
곱으로 표현되고
이 항들끼리 더하는 경우
아주 손쉽게
벡터로 표현할 수 있습니다
모든 상수를 한 벡터에 넣고
즉, a, b, c 를 
포함하는 벡터를 만들고,
그리고 내적으로
변수 x, y, z 를 포함하는
벡터를 곱해줍니다
 
기호를 이용해서 
표현 가능하다는 것이 편리합니다
흰색 벡터를
V 라고 하고
V 는 상수 벡터를
대표합니다
 
이와 내적으로
또 다른 기호인
굵은 X ,
모든 변수를 대표하는 
굵은 X 를 이용해서
상수 곱하기 변수를

English: 
a constant times a variable
just like in the single variable world
when you have a constant
number times a variable number,
it's kind of like taking a constant vector
times a variable vector.
And the importance of
writing things down like this
is that v could be a vector
that contains not just three numbers
but a hundred numbers
and then x would have a
hundred corresponding variables
and the notation doesn't
become any more complicated.
It's generalizable at
the higher dimensions.
So the question is
can be we do something similar like that
with our quadratic form?
Because you can imagine
let's say we started
introducing the variable z
then you would have to
have some other term,
some other constant times
the xz quadratic term
and then some other constant
times the z squared quadratic term
and another one for the yz quadratic term
and it would get out of hand
and as soon as you
start introducing things
like a hundred variables,
it would get seriously out of hand
because there's a lot of
different quadratic terms
so we want a nice way to express this.
And I'm just going to kind
of show you how we do it
and then we'll work it through
to see why it makes sense.
So usually, instead of
thinking of b times xy,
we actually think of this
as two times some constant
times xy

Korean: 
간단한 벡터 표기로 
나타낼 수 있습니다
이렇게 표기하므로써
상수 곱하기 변수를 다루는
단일변수의 경우와 유사해집니다
상수 벡터 
곱하기
변수 벡터
를 다루는 것처럼 됩니다
이러한 표기법이
중요한 이유는
V 가 단순히
세 변수를 포함하는 것이 아닌
100개의 상수를 다루거나,
x 가 100개의 변수 다루는 경우에도
표기법이 바뀌지 
않기 때문입니다
더 높은 차수에서
일반화가 가능한데,
우리의 의문점은,
이차 형식의 경우에도
벡터로 표현 
가능할까? 였습니다
 
변수 z 가 있다고 하면
이 식에
다른 항이 더해질 것이고
xz 항이라든지
 
z² 항이라든지
yz 항이라든지
그리고 이렇게 일일이
생성될 수 있는
모든 이차항들을 적다보면
변수가 100개정도 될 경우
더 이상 쓰고 싶은
의욕이 안 생길 것입니다
왜냐하면 매우 많은
이차항이 생기기 때문이죠
따라서 우리는 
적잘한 표현을 찾고 싶습니다
우선 어떻게 하는지를 
보여드린 뒤에
이 표현이 왜 적절한지
알려드리도록 하겠습니다
b 곱하기 xy 대신
2b 곱하기 xy 라고
적겠습니다
 

English: 
and this of course
doesn't make a difference.
You would just change what b represents
but you'll see why it's more
convenient to write it this way
in just a moment.
So the vectorized way to describe
a quadratic form like this
is to take a matrix,
a two by two matrix since
this is two dimensions
where a and c are in the diagonal
and then b is on the other diagonal
and we always think of these
as being symmetric matrices
so if you imagine kind of
reflecting the whole matrix
about this line,
you'll get the same number
so it's important that we
have that kind of symmetry.
And now what you do is
you multiply the vector,
the variable vector that's got x, y
on the right side of this matrix
and then you multiply it again
but you turn it on its side
so instead of being a vertical vector,
you transpose it to
being a horizontal vector
on the other side.
And this is a little bit analogous too
having two variables multiplied in.
You have two vectors multiplied
in but on either side.
And this is a good point by the way
if you are uncomfortable
with matrix multiplication
to maybe pause the video,
go find the videos about
matrix multiplication

Korean: 
물론 이렇게 쓴다고 기존의 식과
 다른 식이 되는 것은 아닙니다
그저 b 가 나타내는 것을
바꿨을 뿐입니다
잠시 뒤에 왜 이렇게 
써주는 것이
더 편한지 
알려드리겠습니다
이를 벡터로 표현하는 
방법은
행렬을 이용하는 것입니다
차수가 이차이기 때문에
2 곱하기 2 행렬을 만들어서
a 와 c 를 대각선에 위치하고
b 를 반대 대각선상에 
위치합니다
그리고 이는 
대칭 행렬입니다
a c 대각선을 기준으로
행렬을 대칭시키면
 
동일한 값을 얻게 됩니다
대칭 형태를 얻는 것은
매우 중요한 일입니다
이 행렬의 
오른쪽에
변수 x,y 를 
원소로 가지는 행렬을
이렇게 곱해주고
방향을 틀어서
왼쪽에다가 곱해줍시다
왼쪽에는 
수직 벡터 대신에
수평 벡터로 바꾸어서
곱해줍시다
원래 식에 변수가 
두 번 곱해진 것과
유사하게
벡터도 양쪽에 두 변수가
곱해져 있습니다
만일 이 영상을 보는 당신이
행렬 곱이 익숙치 않다면
영상을 잠시 멈추고
행렬 곱을 다룬
이전의 영상을 찾아보면서

English: 
and kind of refresh or learn about that
because moving forward,
I'm just going to assume
that it's something you're familiar with.
So going about computing this,
first, let's tackle this
right multiplication here.
We have a matrix multiplied by a vector.
Well, the first component that we get,
we're going to multiply the top row
by each corresponding term in the vector
so it'll be a times x.
a times x
plus b times y.
Plus b times that second term y
and then similarly for the bottom term,
we'll take the bottom row
and multiply the corresponding terms
so b times x.
b times x
plus c times y.
c times y.
So that's what it looks like
when we do that right multiplication
and of course we've got to
keep our transposed vector
over there on the right,
on the left side.
So now, we have,
this is just a two by one vector now
and this is a one by two.
You could think of it
as a horizontal vector

Korean: 
다시 기억을 상기시키거나
배우는 것을 추천합니다
앞으로 저는
여러분이 행렬을 잘 알고
있다는 가정 하에
수업을 진행할 것입니다
그래서 이 벡터 곱의 
경우에는
우선 오른쪽 두 행렬을
먼저 다룹시다
벡터가 곱해진 
행렬이 있습니다
가장 먼저 
얻게 되는 원소는
맨 위의 열들을
각각 대응하는 것에 
곱해서 얻습니다
a 곱하기 x
[쓰는 중]
더하기 
b 곱하기 y 입니다
[쓰는 중]
같은 방법으로 
아래 열을 계산하면
아래 열에서 대응하는
원소끼리
곱해주면
b 곱하기 x
[쓰는 중]
더하기 
c 곱하기 y 입니다
[쓰는 중]
이것이 바로
오른쪽 두 행렬을 곱해준
연산 결과입니다
그리고 여전히
이 왼쪽에는
[x y] 벡터가 있습니다
이제 우리는
오른쪽의 2x1 벡터와
왼쪽의 1x2 벡터를 
곱해줍시다
수평 벡터라고 생각해도 되고

Korean: 
1x2 행렬이라고 생각해도
좋습니다
그러나 이 둘을 곱해주면
하나의 항을 얻게 됩니다
x 곱하기 
이 위의 전체 식이므로
x(ax + by)
x(ax + by)
더하기 y 곱하기
이 행렬의 두번째 행인
(bx + cy) 를 곱해줍시다
즉
y(bx+cy) 를 얻게 됩니다
그리고 이 식을
단순화하기 위해서
첫 번째 항을 분해하면
x 곱하기 ax 이므로
ax² 이 되고
다음 항은 
x 곱하기 by 이므로
bxy 가 되고
여기에는 
y 곱하기 bx 가 있으므로
또 bxy 가 되고
그래서 앞서 말한
b 대신에 2b 로 
바꿔서 쓴 이유를 알 수 있게 됩니다
이 표현이
전개하기 더 쉽기 때문이죠
마지막 항은 y 곱하기 cy 이므로
cy² 이 됩니다

English: 
or a one by two matrix
but now when we multiply these guys,
you just kind of line up
the corresponding terms.
You'll have x multiplied by
that entire top expression
so x multiplied by ax plus by.
ax plus by
and then we add that to the second term y
multiplied by the second term of this guy
which is bx plus cy
so y multiplied by
bx plus cy
and all of these are numbers
so we can simplify it
once we start distributing the first term
is x times a times x
so that's ax squared
and then the next term
is x times b times y
so that's b times xy.
Over here, we have y times b times x
so that's the same thing as b times xy
so that's kind of why we have,
why it's convenient to write a two there
because that naturally
comes out of our expansion.
And then the last term
is y times c times y
so that's cy squared.

English: 
So we get back the original quadratic form
that we were shooting for.
ax squared plus two bxy plus cy squared
That's how this entire term expands.
As you kind of work it through,
you end up with the same
quadratic expression.
Now, the convenience
of this quadratic form
being written with a matrix like this
is that we can write
this more abstractally
and instead of writing
the whole matrix in,
you could just let a letter like m
represent that whole matrix
and then take the vector
that represents the variable,
maybe a bold faced x
and you would multiply it on the right
and then you transpose it
and multiply it on the left
so typically you denote that
by putting a little t as a superscript
so x transposed multiplied by
the matrix from the left
and this expression,
this is what a quadratic form
looks like in vectorized form
and the convenience is the same
as it was in the linear case.
Just like v could represent
something that had a hundred
different numbers in it
and x would have a hundred
different constants,
you could do something similar here

Korean: 
다시 우리가 
살펴보고 있었던
이차 형식으로 돌아갑시다
ax² + bxy + cy² 입니다
방금 우리가 함께 한
일련의 과정들을 통해서,
동일한 이차 표현에
이르렀습니다
이렇게 행렬을 이용해
이차 형식을 나타낼 때
좋은 점은,
더 개략적으로 
표현할 수 있고,
이렇게 행렬의 원소를 
일일이 나열하는 대신
M 과 같은 문자를 두어서
행렬을 대표하는 문자로
사용 가능하다는 것입니다
그리고 변수를 나타내는 백터를
굵은 글씨 X 라고 하면
이를 M의 오른쪽에 적어주고
전치행렬을 왼쪽에 적어주면 됩니다
전치행렬을 표현할 때는
첨자 T 를 우측 상단에
표기하면 됩니다
X 의 전치행렬은
M 의 왼쪽에 곱해줍시다
그리고 이 표현이 
최종적으로
이차 형식을 벡터 형식으로 
나타낸 표현이 됩니다
이로부터 오는 편리함은
선형의 경우와 동일합니다
앞서 선형 형식의
벡터 표현에서
V 가 수백개의 서로 다른 
값을 대신하고
X 가 수백개의 서로 다른 
상수를 대신한 것처럼,
이차 형식의

Korean: 
벡터 표기에서도
M 이 매우 큰 경우에도
아무런 문제가 되지 않기 때문입니다
3차원 환경에서는
어떻게 되는지 살펴봅시다
3차원 환경의 경우,
[ 설명할 공간 만드는 중]
[ 설명할 공간 만드는 중]
X의 전치행렬 곱하기 
M 곱하기 X
가 있고
이 행렬들이
x 의 전치행렬은
[x y z] 이고
 
행렬 M 은
우측 상단의 원소를
다음과 같이 갖습니다
우측하향 대각선을 기준으로
대칭이어야 하므로
여기 적힌 원소는
이 위치에도 똑같이
적히게 됩니다
대각선을 기준으로 
접었다고 생각하면 됩니다
c 는 이 위치에 오고
e는 이 위치에 옵니다
6개의 문자로
3x3 행렬을 채운 후
이 오른쪽에는
x
y
z
를 적습니다
이 영상에서는 실제로
계산을 안 하겠지만
우측 두 행렬을 실제로 곱해주고
 

English: 
where you can write that same expression
even if the matrix m is super huge.
Let's just see what this would look like
in a three dimensional circumstance so,
actually, I'll need more room
so I'll go down even further.
So we have x transpose
multiplied by the matrix
multiplied by x, bold faced x
and let's say instead this represented,
you have x then y then z,
our transposed vector
and then our matrix,
our matrix let's say was a, b, c,
d, e, f and because it
needs to be symmetric,
whatever term is in this spot here
needs to be the same as over here
kind of when you reflect
it about that diagonal.
Similarly, c, that's going
to be the same term here
and e would be over here.
So there's only really six
free terms that you have
but if fills up this entire matrix
and then on the right side,
we would multiply that by
x, y, z.
Now, I won't work it out in this video
but you can imagine actually
multiplying this matrix
by this vector

English: 
and then multiplying the
corresponding vector that you get
by this transposed vector
and you'll get some kind of quadratic form
with three variables
and the point is you'll
get a very complicated one
but it's very simple to
express things like this.
So with that tool in hand,
in the next video,
I will talk about how
we can use this notation
to express the quadratic approximations
for multivariable functions.
See you then.

Korean: 
나온 결과값을
이 전치행렬과 다시 곱해주면
세 개의 변수를 갖는
이차 형식을 얻게
될 것입니다
계산을 하면 
매우 복잡한 결과가 나오지만
이렇게 벡터로 표현하면
간단하다는 것이 중요합니다
벡터라는 도구를 바탕으로
다음 영상에서는
이 표기법을 이용해
다변수 함수에서
이차근사를 하는 방법을
알아보도록 
하겠습니다
다음 영상에서 만납시다
