
English: 
In the last video we saw
that if a function takes
on a minimum or maximum value,
min max value for our function
at x equals a, then a
is a critical point.
But then we saw that
the other way around
isn't necessarily true. x equal
a being a critical point does
not necessarily mean
that the function takes
on a minimum or maximum
value at that point.
So what we're going to
try to do this video
is try to come up
with some criteria,
especially involving the
derivative of the function
around x equals a,
to figure out if it
is a minimum or a maximum point.
So let's look at what we
saw in the last video.
We saw that this
point right over here
is where the function
takes on a maximum value.
So this critical point in
particular was x naught.

Portuguese: 
Vimos no último vídeo que se uma função
tem um valor mínimo ou máximo
quando x é igual a a,
então a é um ponto crítico.
x=a é um ponto crítico.
Mas vimos que o oposto
não é necessariamente verdade;
x=a pode ser um ponto crítico
sem que a função tenha um valor máximo
ou mínimo naquele ponto.
Então neste vídeo
tentaremos criar um critério envolvendo
a derivada da função quando x=a
para descobrir se este ponto
representa um valor máximo ou mínimo.
Lembremos o que vimos no último vídeo.
Vimos que este ponto aqui
é onde a função tem seu ponto máximo.
Chamaremos este ponto crítico de x zero.
X zero é um ponto crítico porque

Thai: 
 
ในวิดีโอที่แล้ว เราเห็นว่าถ้าฟังก์ชันมีค่า
ต่ำสุดหรือสูงสุด ค่าต่ำสุดสูงสุดสำหรับฟังก์ชัน
ที่ x เท่ากับ a แล้ว a จะเป็นจุดวิกฤต
 
แต่เราเห็นว่าบทกลับ
ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง x เป็นจุดวิกฤต
ไม่จำเป็นต้องหมายความว่า ฟังก์ชันมีค่า
ต่ำสุดหรือสูงสุดที่จุดนั้น
สิ่งที่เราพยายามจะทำในวิดีโอนี้
คือพยายามตั้งเงื่อนไข
โดยเฉพาะอันที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
แถวๆ x เท่ากับ a เพื่อหาว่ามัน
เป็นจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด
ลองดูสิ่งที่เราเห็นในวิดีโอที่แล้วกัน
เราเห็นว่าจุดนี่ตรงนี้
คือตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
จุดวิกฤตนี้คือ x นอต

Korean: 
 
지난 번 동영상에서
어떤 함수에 대해서 그 함수가
x=a가 극소점 혹은 극대점일 때
a를 임계점이라고 한다는 것을 배웠습니다
 
하지만 그 역은
항상 성립하는 것이 아닙니다
x=a가 임계점이라고 해서 꼭 그점이
극소점 혹은 극대점이 되는 것은 아닙니다
따라서 이번 동영상에서는
x=a 주변에서의 함수의 도함수를 이용한
어떤 기준을 통해서
그 점이 극소점 혹은 극대점이 되는지
확인하는 방법을 배워보겠습니다
그러면 지난 번 영상에서
했던 것을 다시 살펴봅시다
이 점이 바로 함수가
최댓값을 갖는 지점이고
이 점을 x0라고 했습니다

Bulgarian: 
Миналия път
видяхме, че една функция има
най-малка или най-голяма стойност, min max стойност на нашата функция
при х равно на а, и следва факта, че а е критична точка.
х, равно на а е критична точка.
Но след това видяхме, че обратното
не е задължително вярно. Това х да е равно на а като критична точка
не е задължително да означава, че функцията има
най-малка или най-голяма стойност в тази точка.
Така че в това видео
ще се опитаме да намерим няколко критерия,
особено при въвеждане на производната на функцията
при х, равно на а, за да разберем дали тя
е в някаква минимална или максимална точка.
Нека сега погледнем какво видяхме миналия път.
Видяхме, че тази точка тук
се намира на място, на което функцията има максимална стойност.
А тази конкретна критична точка беше х нулево.

Czech: 
V předchozím videu
jsme viděli,
že pokud funkce nabývá svého
minima nebo maxima v bodě x rovno ‚a‘,
tak bod ‚a‘ je
stacionárním bodem.
Pak jsme ale také viděli,
že naopak to platit nemusí.
To, že x rovno ‚a‘ je stacionární bod,
nemusí nutně znamenat,
že funkce v tomto bodě
nabývá minima nebo maxima.
V tomto videu zkusíme
přijít na nějaká kritéria,
zejména taková kritéria, která využívají
derivaci funkce okolo bodu x rovno ‚a‘,
která by nám řekla, zda je stacionární bod
bodem minima nebo maxima.
Vraťme se nejprve k tomu,
co jsme viděli v předchozím videu.
Viděli jsme, že v tomto bodě
funkce nabývá svého maxima.
Tento stacionární bod
jsme označili x₀

Bulgarian: 
Това, което я направи критична точка, беше факта, че производната е 0.
Критична точка е налице там, където или производната е 0,
или е неопределена.
Така че това е критична точка.
И нека изследваме какво става с производната,
като се приближаваме към тази точка.
За да бъде тя точка на максимум,
функцията нараства с приближаването ни към нея.
Нарастването на функцията е още един начин
за изразяване на положителната стойност на наклона.
Наклонът се променя, но остава положителен
през цялото време, което означава, че функцията нараства.
И това, че наклонът е положителен е още един начин
да кажем, че производната е по-голяма от 0
при приближаване на тази точка.
А какво се случва като преминем тази точка?
Точно в тази точка наклонът е 0.
Но като преминем тази точка, какво
трябва да се случи, за да бъде това на максимална точка?
Ами стойността на функцията трябва да намалее.
Ако стойността на функцията намалява,
това означава, че наклонът е отрицателен.
И това е друг начин, по който определяме
производната на функцията като отрицателна.
Тези признаци приличат на много добри критерии
за разпознаване на това дали дадена критична точка
е максимална.

Korean: 
이 점이 임계점임은
도함수가 0임을 통해서 확인할 수 있습니다
임계점은 그 점에서 도함수가 0이거나
정의되지 않는 점입니다
따라서 이 점은 임계점이겠죠
이제 이 점에 근접할 때
도함수가 어떻게 변화하는지를 살펴봅시다
이 점이 극대점이 되려면
이 점에 접근을 할 때
함숫값이 증가해야 합니다
다시 말해서
접선의 기울기가 양수가 되어야 합니다
접선의 기울기는 계속 변하지만
항상 양수를 유지하기 때문에
함숫값이 증가한다고 할 수 있습니다
그리고 접선의 기울기가 양수라는 것은
그 점에 접근할 때
도함수가 0보다 크다는 것을 의미합니다
그렇다면 이 점을
지나고 난 후에는 어떻게 될까요?
이 점에서의 접선의 기울기는 0입니다
이 점이 극대점이 되기 위해서는
이 점을 지난 후의 접선의 기울기는
어떻게 되어야 할까요?
함숫값이 점차 감소해야겠죠
함숫값이 점점 감소한다는 것은
접선의 기울기가 계속 음수임을 의미합니다
다시 말하자면
도함수가 음수가 되어야 합니다
이제 이 임계점이 극대점이 되기 위한
충분한 조건을 찾았습니다
충분한 조건을 찾았습니다

Thai: 
สิ่งที่ทำให้มันเป็นจุดวิกฤตคือว่า อนุพันธ์เป็น 0
คุณมีจุดวิกฤตที่อนุพันธ์เป็น 0
หรืออนุพันธ์ไม่นิยาม
นี่ก็คือจุดวิกฤต
แล้วลองสำรวจกันว่าอนุพันธ์
ทำอะไรเมื่อเราเข้าใกล้จุดนั้น
เพื่อให้มันเป็นจุดสูงสุด
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเมื่อเราเข้าใกล้มัน
ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นคือวิธีหนึ่ง
ซึ่งบอกว่าความชันเป็นบวก
ความชันจะเปลี่ยนแต่มันยังเป็นบวก
ตลอดเวลา ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น
และความชันเป็นบวกเป็นวิธีการบอก
อีกอย่างว่าอนุพันธ์มากกว่า 0
เมื่อเราเข้าใกล้จุดนั้น
ทีนี้ เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราผ่านจุดนั้น?
ตรงจุดนั้น ความชันเป็น 0
แต่เมื่อเราผ่านจุดนั้น
มันต้องเกิดอะไรขึ้น จุดนั้นถึงจะเป็นจุดสูงสุด?
ค่าของฟังก์ชันต้องลดลง
ถ้าค่าของฟังก์ชันลดลง
นั่นหมายความว่าความชันเป็นลบ
และนั่นคือวิธีบอกอีกอย่าง
ว่าอนุพันธ์เป็นลบ
มันจึงดูเป็นเงื่อนไขที่ดี
เพื่อระบุว่าจุดวิกฤต
เป็นจุดสูงสุดหรือไม่

English: 
What made it a critical point
was that the derivative is 0.
You have a critical point where
either the derivative is 0
or the derivative is undefined.
So this is a critical point.
And let's explore
what the derivative is
doing as we approach that point.
So in order for this
to be a maximum point,
the function is increasing
as we approach it.
The function is
increasing is another way
of saying that the
slope is positive.
The slope is changing
but it stays positive
the whole time which means that
the function is increasing.
And the slope being
positive is another way
of saying that the
derivative is greater than 0
as we approach that point.
Now what happens as
we pass that point?
Right at that point
the slope is 0.
But then as we past
that point, what
has to happen in order for
that to be a maximum point?
Well the value of the
function has to go down.
If the value of the
function is going down,
that means the
slope is negative.
And that's so
another way of saying
that the derivative is negative.
So that seems like a
pretty good criteria
for identifying whether
a critical point is
a maximum point.

Czech: 
a stacionárním bodem je proto,
že derivace je v něm nulová.
Stacionární bod je totiž bod, ve kterém
je derivace nulová nebo nedefinovaná.
Tohle je tedy
stacionární bod.
Podívejme se, jak se bude derivace chovat,
když se k tomuto bodu budeme blížit.
Aby šlo o bod maxima, tak funkce musí
být rostoucí, když se k němu blížíme.
To, že funkce je rostoucí, můžeme také
říci tak, že sklon funkce je kladný.
Sklon se sice mění,
ale je stále kladný,
což znamená,
že funkce roste.
To, že sklon je kladný, znamená,
že derivace je větší než 0,
když se blížíme
k našemu bodu.
Co se stane, když přejdeme
přes tento bod?
Přímo v tomto bodě
je sklon nulový,
ale jak přes tento bod přejdeme,
co se musí stát, aby šlo o bod maxima?
Funkční hodnoty
musí klesat.
Když funkční hodnoty klesají, tak to
znamená, že sklon funkce je záporný,
což znamená, že
derivace je záporná.
Vypadá to tedy, že jsme
našli pěkné kritérium,
pomocí kterého určíme, zda funkce
ve stacionárním bodě nabývá maxima.

Portuguese: 
a sua derivada é igual a zero.
Teremos um ponto crítico quando a derivada
é igual a zero ou indefinida.
Isto é o que define um ponto crítico.
Vamos explorar o que a derivada é
conforme nos aproximamos deste ponto.
Então para este ser um ponto máximo,
a função tem que estar aumentando
conforme nos aproximamos dele.
Outra forma de representar isso
é dizer que a inclinação é positiva.
A inclinação está mudando, 
mas ela é positiva
o tempo todo, o que indica 
que a função está crescendo.
Uma inclinação positiva significa
que a derivada é maior que 0
conforme nos aproximamos deste ponto.
O que acontece quando 
passamos deste ponto?
Neste exato ponto a inclinação é zero.
Mas assim que passamos deste ponto,
o que precisa acontecer para 
que este seja o ponto máximo?
A função precisa descer.
Se o valor da função está caindo,
sua inclinação tem que ser negativa.
E isto é outra forma de dizer
que a derivada é negativa.
Então este parece ser um bom critério
para identificar quando um ponto crítico
é um ponto máximo.

Portuguese: 
Digamos que temos o ponto crítico a.
Estaremos no ponto máximo se f linha de x
passe de positivo para negativo
conforme cruzamos x=a.
Isto é exatamente o que 
está acontecendo aqui.
Vamos checar se o mesmo 
acontece neste ponto
máximo aqui.
Aqui, conforme aproximamos este ponto,
a função está crescendo.
Uma função crescente 
significa uma inclinação positiva.
É uma inclinação 
positiva diferente.
A inclinação está mudando,
ela está ficando cada 
vez mais íngrime.
Ou seja, mais e mais positiva.
Com certeza positiva.

Korean: 
임계점 a가 있다고 가정해봅시다
만약 f'(x)의 부호가 x=a를 지나면서
양에서 음으로 변한다면
이 함수는 x=a에서
극댓값을 갖는다고 할 수 있습니다
이 점에 대해서 했던 것과 동일한 과정이죠
이제 이 규칙이 여기에 있는
다른 극대점에 대해서도
성립하는지 확인해봅시다
이 점에 접근할 떄
함숫값은 증가하고 있으며
이는 접선의 기울기가 양수라는 뜻입니다
하지만 앞에서 보았던 증가와는
약간 다릅니다
이 경우에는 기울기가
점점 더 급해집니다
즉 점점 더 큰 양수가 된다는 뜻이죠
하지만 중요한 것은
항상 양수라는 것입니다

English: 
So let's say that we
have critical point a.
We are at a maximum
point if f prime
of x switches signs from
positive to negative as we
cross x equals a.
That's exactly what
happened right over here.
Let's make sure it happened at
our other maximum point right
over here.
So right over here, as
we approach that point
the function is increasing.
The function increasing means
that the slope is positive.
It's a different positive slope.
The slope is changing,
it's actually
getting more, and
more, and more steep.
Or more, and more,
and more positive.
But is definitely positive.

Bulgarian: 
Да кажем, че имаме критичната точка а.
Намираме се на максимална точка ако f прим
от х сменя знаците си от плюс на минус като
пресечем х, равно на а.
Точно това се е случило тук.
Нека се уверим, че е станало при максималната точка
тук на това място.
Та на това място, като приближаваме тази точка,
функцията нараства.
Нарастването на функцията означава, че наклонът е положителен.
Това е един различен положителен наклон.
Той се променя, става всъщност
все по-стръмен и по-стръмен.
Или все повече и повече положителен.
Но определено е положителен.

Czech: 
Řekněme tedy,
že máme stacionární bod ‚a‘.
Funkce v tomto bodě
nabývá svého maxima,
pokud f(x) s čárkou změní
znaménko z kladného na záporné
při průchodu
bodem x rovno ‚a‘.
To je přesně to,
k čemu zde došlo.
Ověřme, že k tomu dochází i v
druhém bodě maxima, který je zde.
Když se k tomuto
bodu blížíme, funkce roste,
což znamená,
že sklon je kladný.
Sklon je
různě kladný,
protože se mění, je stále strmější
a strmější, neboli víc a víc kladný.

Thai: 
สมมุติว่าเรามีจุดวิกฤต a
เราอยู่ที่จุดสูงสุดถ้า f ไพรม์
ของ x เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบเมื่อเรา
ผ่าน x เท่ากับ a
นั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นตรงนี้
ลองดูให้แน่ใจว่ามันเกิดขึ้นที่จุดสูงสุดอีกจุดตรงนี้
 
ตรงนี้ เมื่อเราเข้าใกล้จุดนั้น
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น
ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหมายความว่าความชันเป็นบวก
มันมีความชันเป็นบวกต่างกัน
ความชันกำลังเปลี่ยน จริงๆ แล้ว
มันจะชันมากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
และเป็นบวกมากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
แต่เป็นบวกแน่นอน

English: 
So it's positive
going into that point.
And then it becomes negative
after we cross that point.
The slope was undefined
right at the point.
But it did switch signs
from positive to negative
as we crossed that
critical point.
So these both meet our criteria
for being a maximum point.
So, so far our criteria
seems pretty good.
Now let's make sure that somehow
this point right over here,
which we identified in the
last video as a critical point,
let's make-- and I think we
called this x0, this was x1,
this was x2.
So this is x3.
Let's make sure that
this doesn't somehow
meet the criteria
because we see visually
that this is not
a maximum point.
So as we approach this,
our slope is negative.
And then as we cross it,
our slope is still negative,
we're still decreasing.
So we haven't switched signs.
So this does not meet our
criteria, which is good.

Korean: 
즉 이 점에 접근할 때
접선의 기울기는 양수입니다
그리고 이점을 지나간 후에는
음수가 됩니다
정확히 이 지점에서는
접선의 기울기가 정의되지 않지만
여전히 이 임계점의 좌우에서
기울기가 양에서 음으로 변했죠
따라서 이 점 역시 앞에서 찾은
임계점이 극대점이기 위한 조건을
만족한다는 것을 알 수 있습니다
이제 이 점에 대해서
같은 규칙을 적용해 보고
이 규칙이 옳은지 확인해 봅시다
먼저 각각의 점들에 기호를 붙일게요
이 점을 x1이라고 하고
이 점을 x2라고 하고
 
이 점을 x3라 할게요
이제 이 점에서
앞에서 찾은 규칙을 적용해 볼텐데요
이 점은 대충 보아도 극대점이 아니므로
앞의 규칙과 맞지 않아야 겠죠?
이 점에 접근을 할 때
접선의 기울기는 음수입니다
그리고 이 임계점을 지난 후에도
접선의 기울기는 여전히 음수입니다
즉 부호가 바뀌지 않았죠
따라서 이 점은 앞의 규칙을 만족하지 않고
이는 그 규칙이 옳다는 것을 보여줍니다

Thai: 
มันเป็นบวก ไปถึงจุดนั้น
แล้วมันก็กลายเป็นลบหลังจากเราผ่านจุดนั้น
ความชันไม่นิยามตรงจุดนั้น
แต่มันเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ
เมื่อเราข้ามจุดวิกฤตนั้น
ทั้งสองจุดนี้ตรงตามเงื่อนไขของการเป็นจุดสูงสุด
ถึงตอนนี้ เงื่อนไขของเราดูดี
ทีนี้ ลองดูให้แน่ใจว่าจุดนี่ตรงนี้
ซึ่งเราระบุไว้ในวิดีโอที่แล้ว ว่าเป็นจุดวิกฤต
ลองให้ -- ผมจะเรียกจุดนี้ว่า x0 นี่คือ x1
นี่คือ x2
 
นี่คือ x3
ลองดูให้แน่ใจว่ามันไม่
ตรงตามเงื่อนไขเพราะเราเห็นด้วยภาพ
ว่านี่ไม่ใช่จุดสูงสุด
เมื่อเราเข้าใกล้จุดนี้ ความชันเป็นลบ
แล้วเมื่อเราข้ามมัน ความชันของเรายังเป็นลบ
เราจึงยังลดลง
เรายังไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมาย
อันนี้จึงไม่ตรงตามเงื่อนไข ซึ่งดีแล้ว

Bulgarian: 
Положителен е и отива в тази точка.
След пресичането на точката става отрицателен.
Наклонът е бил неопределен точно в точката.
Но при него знаците са се обърнали от положителни на отрицателни,
след като сме пресекли тази критична точка.
Така че тези два елемента отговарят на критериите ни за максимална точка.
И до този момент критериите, изглежда, са доста благоприятни.
Нека сега се уверим, че по някакъв начин тази точка тук,
която определихме миналия път като критична точка,
нека сега - и мисля, че това го нарекохме х0, това беше х1,
а това - х2.
х1, х2.
Това беше х3.
Нека се уверим, че това по някакъв начин
не отговаря на критериите, понеже виждаме нагледно,
че няма максимална точка.
Като се приближаваме, наклонът е отрицателен.
И тогава, след като я пресечем, наклонът е все още отрицателен,
все така функцията намалява.
Затова не сме обърнали знаците.
Така че това не отговаря на нашите критерии, което е добре.

Portuguese: 
Então a derivada é positiva 
chegando neste ponto.
E se torna negativa assim que 
cruzamos este ponto.
O valor da inclinação é 
indefinido neste ponto.
Mas o sinal trocou de 
positivo para negativo
conforme passamos este ponto.
Então estes dois fatos 
cumprem nosso critério
para este ponto ser um máximo.
Até aqui nosso critério parece bom.
Agora vamos ter certeza
que esse ponto bem aqui,
que identificamos no último 
vídeo como o ponto crítico,
Vamos fazer-- eu acho que nós
chamamos esse de x0, x1, x2.
Esse é x1
x2, esse é o x3
Vamos ter certeza que 
isso de algum jeito não
atende ao critério
porque nós vemos visualmente
que esse não 
é o ponto máximo.
Assim, enquanto nos aproximamos deste,
a inclinação é negativa.
E, em seguida, à medida 
que a atravessamos,
nossa inclinação ainda é negativa, 
ainda estamos diminuindo.
Então, nós não mudamos sinais.
Então isso não atende ao nosso 
critério, o que é bom.

Czech: 
Je ale určitě kladný
až do tohoto bodu.
Po průchodu tímto bodem
se z něho stává záporný sklon.
Přímo v tomto bodě
sklon není definovaný,
ale při průchodu naším stacionárním bodem
změnil znaménko z kladného na záporné.
Oba tyto body tedy splňují
naše kritérium pro bod maxima.
Toto kritérium tak zatím
vypadá docela dobře.
Nyní ověřme, že tento bod, o kterém z
minulého videa víme, že je stacionární...
Označme ho...
Myslím, že to byl...
Tady bylo x₀,
tady x₁
a tady x₂.
Tady bylo x₁,
zde bylo x₂,
takže to bude
bod x₃.
Ověřme, že tento bod
nesplňuje naše kritérium.
Je totiž vidět, že se
nejedná o maximum.
Když se k tomuto bodu blížíme,
sklon funkce je záporný.
Po průchodu naším bodem je
sklon stále záporný, funkce stále klesá.
Nedochází ke změně znaménka,
a tak tento bod nesplňuje naše kritérium,
což je dobře.

Czech: 
Nyní zkusme přijít na nějaké
kritérium i pro bod minima.
Myslím, že už víte,
co bude asi následovat.
V předchozím videu jsme zjistili,
že toto je bod minima.
Už od pohledu vidíme,
že je to lokální minimum.
Jak vypadá sklon,
když se blížíme k tomuto bodu?
Když se k němu blížíme,
tak funkce klesá a její sklon je záporný.
f(x) s čárkou je méně než 0,
když se blížíme k našemu bodu.
A jakmile bodem
projdeme...
Nešlo by o bod minima,
kdyby funkce stále klesala,
funkce teď musí růst.
Nakreslím to tou
stejnou zelenou.
Ihned po průchodu bodem
funkce začíná opět růst,
tedy f(x) s čárkou
je větší než 0.
Tohle tedy vypadá jako
dobré kritérium pro bod minima.
f(x) s čárkou mění při průchodu bodem ‚a‘
znaménko ze záporného na kladné.
Máme-li nějaký
stacionární bod ‚a‘,

Thai: 
ทีนี้ ลองตั้งเงื่อนไขสำหรับจุดต่ำสุดบ้าง
ผมว่า คุณคงเห็นว่ามันจะเป็นอย่างไรต่อ
เราระบุไปในวิดีโอที่แล้ว จุดนี่ตรงนี้
คือจุดต่ำสุด
เราเห็นแล้ว
มันคือจุดต่ำสุด แค่ดูจากภาพ
แล้วความชันจะเป็นอย่างไรเมื่อเราเข้าใกล้มัน?
ฟังก์ชันกำลังลดลง ความชันจึง
เป็นลบเมื่อเราเข้าใกล้มัน
f ไพรม์ของ x น้อยกว่า 0 เมื่อเราเข้าใกล้จุดนั้น
แล้วหลังจากที่เราข้ามมันไป --
อันนี้จะไม่ใช่จุดต่ำสุดถ้าฟังก์ชัน
ยังคงลดลงต่อไป
ฟังก์ชันต้องเพิ่มขึ้นตอนนี้
ขอผมใช้สีเขียวเดิมนะ
หลังจากตรงนั้น ฟังก์ชัน
เริ่มเพิ่มขึ้นอีกครั้ง
f ไพรม์ของ x มากกว่า 0
อันนี้จึงดูเหมือนจะเป็นเงื่อนไขที่ดี
สำหรับจุดต่ำสุด
f ไพรม์ของ x เปลี่ยนเครื่องหมาย
จากลบเป็นบวก เมื่อเรา
ข้าม a
ถ้าเรามีจุดวิกฤต a

Korean: 
이제 극소점에 대해서
같은 방법으로 규칙을 찾아봅시다
지난 번 동영상에서
이 점이 극소점이라고 했었습니다
지난 번 동영상에서
이 점이 극소점이라고 했었습니다
눈으로 대충 보아도
극소점임을 쉽게 알 수 있죠
그렇다면 이 점에 접근할 때
접선의 기울기는 어떻게 변할까요?
함숫값이 점차 감소하고 있으므로
접선의 기울기는 음수입니다
즉, 이 점에 접근할 때
f'(x)는 0보다 작은 값입니다
그리고 이 점이 극소점이 되려면
이 점을 지나간 후에도
함숫값이 계속 감소해서는 안되겠죠?
이제는 함숫값이 증가해야 합니다
이 점을 지난 후에
함수의 그래프를 살펴보면
함수는 다시 증가합니다
즉, f'(x)가 0보다 큰 값이 됩니다
여기서 극소점을 찾기 위한
충분한 조건을 찾을 수 있겠네요
f'(x)의 부호가 x=a를 지나면서
음에서 양으로 변했습니다
어떠한 임계점 a가 있을 때

Portuguese: 
Agora vamos avançar com o
critério para um ponto mínimo.
E eu acho que você poderia ver
onde esta e provável que vá.
Bem nós identificamos no último
video que esta bem aqui
o ponto mínimo.
Podemos ver isso.
É um local mínimo
só de olhar para ele.
E qual é a inclinação da
fazendo como abordá-lo?
Então a função está diminuindo, 
a inclinação
negativa como nosso critério.
f linha de x e menos que zero conforme 
nos aproximamos deste ponto.
E logo depois de cruzá-lo--
esse não será o ponto mínimo se a função
continuar diminuindo de algum modo.
A função precisa aumentar agora.
Deixe-me fazer o mesmo em verde.
Logo depois disso, a função
começa a aumentar de novo.
f linha de x é maior que 0.
Parece um ótimo critério 
para um valor mínimo
se a derivada da
nossa função muda sinais
de negativo para positivo 
assim que cruzamos

English: 
Now let's come up with the
criteria for a minimum point.
And I think you could see
where this is likely to go.
Well we identified in the last
video that this right over here
is a minimum point.
We can see that.
It's a local minimum
just by looking at it.
And what's the slope of
doing as we approach it?
So the function is
decreasing, the slope
is negative as we approach it.
f prime of x is less than 0
as we approach that point.
And then right
after we cross it--
this wouldn't be a minimum
point if the function
were to keep decreasing somehow.
The function needs
to increase now.
So let me do that same green.
So right after
that, the function
starts increasing again.
f prime of x is greater than 0.
So this seems like pretty good
criteria for a minimum point.
f prime of x switches signs
from negative to positive as we
cross a.
If we have some
critical point a,

Bulgarian: 
Нека сега видим критериите за минимална точка.
Мисля, че може да се види накъде ще отидат нещата.
Миналия път видяхме, че това тук
е точката на минимум.
Можем да видим това.
Като го разглеждаме, виждаме че това е локален минимум.
А какъв е наклонът като се приближаваме?
Така, функцията намалява, наклонът
е отрицателен при нашето приближаване.
f прим от х е по-малко от 0 като се приближаваме към тази точка.
И след това веднага след пресичането й -
това няма да е точка на минимум ако функцията
продължи да намалява по някакъв начин.
В този момент функцията трябва да нараства.
Нека тук използвам същия зелен цвят.
Веднага след това функцията
започва отново да нараства.
f прим от х е по-голямо от 0.
Това, изглежда, е много хубав критерий за точка на минимум.
f прим от х сменя знаците от минус на плюс при пресичането
на а.
Ако е налице някаква критична точка а,
функцията има минимална стойност

Korean: 
만약 이 함수의 도함수의 부호가
x=a를 지나면서
음에서 양으로 바뀐다면
이 점은 극소점이 되는 것입니다
이제 앞에서 했던 것처럼
x3가 이 규칙을 정말 만족하지 않는지
확인해 보겠습니다
접선의 기울기는 음수에서 0이 되고
다시 음수가 됩니다
즉, 이 점 x3는
극소점도 극대점도 아니겠죠

Portuguese: 
a, do negativo para o positivo.
Agora mais uma vez, 
esse ponto bem aqui,
o ponto crítico x sub 3 
não atende ao critério.
Vamos do negativo para zero bem no
ponto e então vai para o negativo de novo.
Então esse não é um 
ponto mínimo ou máximo.
Legendado por [Soraia Novaes]

Czech: 
tak funkce v bodě ‚a‘
nabývá svého minima,
pokud derivace funkce mění při průchodu
bodem ‚a‘ znaménko ze záporného na kladné.
Ze záporného
na kladné.
Opět můžeme vidět, že tento stacionární
bod x₃ nesplňuje toto kritérium,
protože sklon je
nejdřív záporný,
potom je přímo v tomto bodě nulový
a pak zase záporný.
Nejedná se tedy o
bod minima ani maxima.

Bulgarian: 
в а, ако производната на нашата функция смени знаците
от минус на плюс при пресичането
на а, от минус на плюс.
И пак, тази точка тук,
тази критична точка х с индекс 3 не отговаря на нашите критерии.
Отиваме от минус на 0 точно в тази
точка, след това пак отиваме на минус.
Излиза, че това не е точка на минимум
или на максимум.

Thai: 
ฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุด
ที่ a ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราเปลี่ยนเครื่องหมาย
จากลบเป็นบวกเมื่อเราข้าม
จุด a จากลบเป็นบวก
เหมือนเดิม จุดนี่ตรงนี้
จุดวิกฤต x ห้อย 3 นี้ไม่ตรงตามเงื่อนไข
เราไปจากลบถึง 0 ตรงที่
จุดนั้นแล้วเป็นลบอีก
นี่จึงไม่ใช่จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด

English: 
the function takes
on a minimum value
at a if the derivative of
our function switches signs
from negative to
positive as we cross
a, from negative to positive.
Now once again, this
point right over here,
this critical point x sub 3
does not meet that criteria.
We go from negative
to 0 right at that
point then go to negative again.
So this is not a minimum
or a maximum point.
