
Czech: 
Máme zde dvě
parametrické rovnice,
kterými vyjadřujeme souřadnice
x a y pomocí proměnné t.
Když do těchto funkcí
dosadíme všechna možná t
a nakreslíme do grafu body s příslušnými
souřadnicemi x a y pro tato t,
tak nám vyjde nějaká
křivka v rovině xy.
V tomto videu bych rád
spočítal první derivaci y podle x
a pak také druhou
derivaci y podle x,
přičemž jejich předpis bude
v obou případech záviset na t.
Tak pojďme na to.
Nejprve spočítejme
první derivaci y podle x.
Tohle už jsme viděli
i v jiných videích.
Rovná se to derivaci y podle t
lomeno derivace x podle t,
což se rovná...
Čemu se rovná
derivace y podle t?

Bulgarian: 
Дадени са двойка 
параметрични уравнения,
където х и у са дефинирани 
като функции на t.
Ако заместим всички възможни 
стойности за t, които можем,
в тези функции, а след това изобразим
съответните стойности х и у за всяко t,
то ще се получи графиката на крива
 в равнината ху.
Това, което искам да направя в 
настоящия урок, е да намеря
първата производна на у спрямо х,
а след това и втората производна 
на у спрямо х.
И в двата случая ще бъдат 
изразени чрез параметъра t.
Нека да се захващаме.
Първо нека да намерим 
първата производна
на у спрямо х.
Първа производна на у спрямо х.
Виждали сме това в предни уроци,
където dy/dx ще бъде равно 
на производната на у спрямо t,
върху производната на х спрямо t.
И това ще бъде равно на следното.
А на какво ще бъде равна 
производната на у спрямо t?

English: 
- [Voiceover] So here we have
a set of parametric equations
where x and y are both
defined in terms of t.
So if you input all the
possible t's that you can
into these functions and then plot
the corresponding x and y's for each t,
this will plot a curve in the x-y plain.
What I wanna do in this
video is figure out
the first derivative
of y with respect to x
and the second derivative
of y with respect to x.
And in both cases it's
going to be in terms of t.
So let's get to it.
So first lets find the first derivative
of y with respect to x.
First derivative of y with respect to x.
And we've seen this
before in other videos,
where this is going to be the derivative
of y with respect to t
over the derivative of
x with respect to t.
And so this is going to be equal to,
well, what is the derivative
of y with respect to t?
Dy, dt

Korean: 
x와 y를 각각 t로 나타낸
힌 쌍의 매개변수 방정식이 있습니다
만약 이 함수에서 t를 
대입하여 값을 알아내
만약 이 함수에서 t를 
대입하여 값을 알아내
x와 y에 대응하는 점을 그리면
xy 평면 위에 그래프를 
그릴 수 있습니다
오늘 알아내고자 하는 것은
y의 x에 대한 일계도함수와
y의 x에 대한 이계도함수입니다
두 방정식은 t로 나타낼 것 입니다
이제 알아봅시다
우선 y의 x에 대한 일계도함수를
우선 y의 x에 대한 일계도함수를
계산해 봅시다
다른 영상에서 보았듯
x의 t에 대한 도함수를 분모로
y의 t에 대한 도함수를 분자로
계산하면 됩니다
이 함수는 어떤 것과 같아질 수 있는데
y의 t에 대한 도함수는
바로 dy/dt와 동일합니다

Thai: 
ตรงนี้เรามีเซตของสมการพาราเมทริก
เมื่อ x กับ y ทั้งคู่นิยามในรูปของ t
ถ้าคุณใส่ค่านำเข้า t ทุกค่าที่เป็นไปได้ ที่คุณใส่
ในฟังก์ชันเหล่านี้ แล้วพลอต
ค่า x กับ y ที่คู่กับแต่ละ t
มันจะพลอตเส้นโค้งในระนาบ xy ขึ้นมา
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือหา
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y เทียบกับ x
และอนุพันธ์อันดับสองของ y เทียบกับ x
ทั้งสองกรณี มันจะอยู่ในรูปของ t
ลองทำกันดู
อย่างแรก ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ของ y เทียบกับ x
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y เทียบกับ x
และเราเห็นอันนี้มาก่อนในวิดีโออื่น
โดยอันนี้จะเท่ากับอนุพันธ์
ของ y เทียบกับ t
ส่วนอนุพันธ์ของ x เทียบกับ t
และอันนี้จะเท่ากับ
อนุพันธ์ของ y เทียบกับ t คืออะไร?
dy/dt

Thai: 
เท่ากับ
ลองดู อนุพันธ์ของ e กำลัง 3t
เทียบกับ 3t ก็แค่ e กำลัง 3t
แล้วอนุพันธ์ของ 3t เทียบกับ t
จะเท่ากับ 3
ผมบอกได้ว่าคูณ 3 อย่างนั้น
หรือผมใส่ 3 ข้างหน้าได้
แล้วอนุพันธ์ของลบ 1
ค่าคงที่ไม่เปลี่ยน
ไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับ t
มันจะเท่ากับ 0
นั่นคือ dy/dt
มันจึงเท่ากับ
3 e กำลัง 3t
ทั้งหมดนั้นส่วน
อนุพันธ์ของ x เทียบกับ t คืออะไร?
อนุพันธ์ของ x เทียบกับ t เท่ากับ
เราจะมี 3 ข้างหน้า
แล้วอนุพันธ์ของ e กำลัง 2t เทียบกับ 2t
จะเท่ากับ e กำลัง 2t
แล้วเราจะหาอนุพันธ์ของ 2t

Czech: 
dy lomeno dt
se rovná...
Derivace výrazu e na (3 krát t)
podle (3 krát t) je e na (3 krát t)
a derivace (3 krát t)
podle t se rovná 3.
Můžeme sem tedy
napsat „krát 3“
nebo 3 napíšeme
dopředu.
Derivace −1
se rovná...
Konstanta se při jakékoliv
změně t nijak nezmění,
takže její
derivace je 0.
dy lomeno dt se tedy rovná
3 krát e umocněné na (3 krát t).
Tohle celé
vydělíme...
Čemu se rovná
derivace x podle t?
Derivace x podle t
se rovná...
Číslo 3
tu zůstane.
Derivace výrazu e na (2 krát t)
podle (2 krát t) je e na (2 krát t).

Bulgarian: 
dy/dt
е равно на...
Нека да видим. Получава се 
производната на е на степен 3 по t,
спрямо t, което е равно на 
е на степен 3 по t.
А след това имаме производната 
на 3 по t спрямо t,
което ще бъде равно на 3.
Тоест, мога да запиша по 3, ето така.
Или мога да изнеса числото 3 отпред.
Следва производната на –1.
Една константа не се променя,
независимо какво се случва
 с параметъра t.
Следователно производната на 
–1 ще бъде равна на 0.
Добре, това е dy/dt.
Ще бъде равно
на 3 по е на степен 3 по t,
всичко това е върху
производната на х спрямо t.
Производната на х спрямо t 
е равна на следното.
Имаме 3 отпред,
а производната на е на степен 
2 по t спрямо 2 по t,
ще бъде равно на e на степен 2 по t.

Korean: 
바로 dy/dt와 동일합니다
e³ᵗ의 3t에 대한 도함수는
변화가 없어 그대로 e³ᵗ이 됩니다
3t의 t에 대한 도함수에서
3t는 3이 됩니다
따라서 3을 곱하면 되는데
3을 앞에 쓰겠습니다
-1과 같은 상수의 도함수는
t와 같은 변수에 상관없이
t와 같은 변수에 상관없이
0이 됩니다
이것이 dy/dt입니다
즉 3e³ᵗ과 같습니다
즉 3e³ᵗ과 같습니다
이것이 분자입니다
x의 t에 대한 도함수는 무엇일까요?
x의 t에 대한 도함수를 구해봅시다
3 x e²ᵗ에서
t의 2t에 대한 도함수를 구하면
2의 값을 가져
2의 값을 가져

English: 
is equal to.
Let's see, the derivative of either the 3t
with respect to 3t is just e to the 3t.
And then the derivative
of 3t with respect to t
is going to be three,
so I can say times three like that,
or I can put that three out front.
And then the derivative of negative one,
well, a constant doesn't change
no matter what you do to your t,
so that's just going to be zero.
So that's dy, dt.
So it's going to be equal to
3e to the 3t,
all of that over,
well, what's the derivative
of x with respect to t?
Derivative of x with
respect to t is equal to,
well, we're gonna have
the three out front,
and so the derivative of e
to the 2t with respect to 2t
is going to be e to the 2t
and then we're going to
take the derivative of 2t

Korean: 
그대로 e²ᵗ이 됩니다
따라서 2를 곱하면
6e²ᵗ이 됩니다
약분하겠습니다
다른 색으로 써보겠습니다
이것은 나타내면
⅙은
½가 됩니다
e³ᵗ⁻²ᵗ입니다
e³ᵗ⁻²ᵗ입니다
분수를 이렇게 나타내었습니다
3t - 2t = t가 됩니다
3t - 2t = t가 됩니다
t라고 간단하게 나타내겠습니다
y의 x에 대한 일계도함수를 
연구해 보았는데
y의 x에 대한 일계도함수를 
연구해 보았는데
이계도함수는 어떻게 구할까요?
y의 x에 대한 이계도함수는 
어떻게 구할까요?
y의 x에 대한 이계도함수는 
어떻게 구할까요?
힌트를 드리겠습니다

Bulgarian: 
След това търсим производната 
на 2t спрямо t, което е равно на 2.
Следователно dx/dt е равно на 
6 по е на степен 2t.
6 по е на степен 2t.
Нека да видим. Може малко 
да опростим получения израз.
Ще избера неутрален цвят.
Този израз ще бъде
равен на 1 върху 2.
Това е 3 върху 6,
по е на степен 3t минус 2t.
3t минус 2t.
Тук просто прилагам свойствата на степените.
Но ако имам 3t и извадя 2t от него,
ще се получи просто t.
И така този член 
ще се опрости до t ето тук.
Намерихме първата производна
на у спрямо х, изразена чрез t.
А как ще намерим втората производна?
А как ще намерим втората 
производна на у спрямо х?
Ще ти подскажа!

Czech: 
Dále musíme zderivovat
(2 krát t) podle t, což vyjde jako 2.
Celkem tak dostaneme
6 krát e umocněné na (2 krát t).
Tohle teď můžeme
trochu zjednodušit.
Napíšu to
bílou barvou.
Zjednoduší se nám
to na e na...
Bude to 1 lomeno 2,
což je totéž co 3 lomeno 6,
krát e na (3 krát t minus 2 krát t).
Použil jsem jen
vlastnosti mocnin.
Když mám tři t a pak dvě odečtu,
tak mi zbyde jen jedno t,
takže tohle se
nám zjednoduší na t.
Když už známe první derivaci
y podle x v závislosti na t,
jak teď spočítáme
druhou derivaci y podle x?
Dám vám
nápovědu.
Opět použijeme
tenhle vzorec.

English: 
with respect to t, which is just two,
so this is gonna be 6e to the 2t.
6e to the 2t.
And lets see, we could
simplify this a little bit.
I'll now go to a neutral color.
This is equal to,
so this is gonna be one half,
that's three over six,
e to the 3t minus 2t.
3t minus 2t.
And I'm just using exponent
properties right over here.
But if I have three t's and
I take away two of those t's,
I'm just gonna have a t.
So this is just going to
simplify to a t right over here.
So now that we've now figured
out the first derivative of y
with respect to x in terms of t,
now how do we find the second derivative?
How do we find the second derivative
of y with respect to x now?
And I'll give you a hint!

Thai: 
เทียบกับ t ซึ่งก็คือแค่ 2
อันนี้จึงเท่ากับ 6e กำลัง 2t
6e กำลัง 2t
ลองดู เราจัดรูปอันนี้ได้หน่อย
ผมจะใชีสีกลางๆ นะ
อันนี้เท่ากับ
อันนี้จะเท่ากับ 1/2
นั่นคือ 3 ส่วน 6
e กำลัง 3t ลบ 2t
3t ลบ 2t
และผมจะใช้สมบัติเลขยกกำลังตรงนี้
แต่ถ้าผมมี 3t และผม t ไปสองตัว
ผมจะได้ t
อันนี้จึงลดรูปเหลือ t ตรงนี้
ทีนี้ เราหาได้แล้วว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y
เทียบกับ x ในรูปของ t คืออะไร
แล้วเราจะหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างไร?
เราจะหาอนุพันธ์อันดับสอง
ของ y เทียบกับ x ตอนนี้ได้อย่างไร?
ผมจะให้คำใบ้!

Czech: 
Chceme-li zjistit rychlost
změny něčeho vzhledem k x,
tak spočítáme rychlost změny
toho něčeho vzhledem k t
a vydělíme to rychlostí
změny x vzhledem k t.
Jak to bude vypadat
v tomhle případě?
Tohle se rovná derivaci
první derivace podle t...
Raději to
napíšu.
V čitateli bude derivace podle t
z první derivace,
kterou tu takto
modře ohraničím.
Bude to tedy
derivace podle ‚t‘ z (dy lomeno dx),
to celé lomeno
(dx lomeno dt).
Pokud vám
není jasné,
proč je tohle to samé,
co jsme udělali před chvílí,
tak vám doporučuji si teď zastavit
video a zamyslet se nad tím.
Zamyslete se,
co jsme tu předtím dělali,

Thai: 
เราจะใช้แนวคิดเดิม
ถ้าเราอยากหาอัตราการเปลี่ยนแปลง
ของอะไรสักอย่างเทียบกับ x
คุณก็หาอัตราการเปลี่ยนแปลง
ของอะไรสักอย่าง
เทียบกับ t แล้วหารมันด้วย
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ x เทียบกับ t
อันนี้จะเท่ากับ
เราจะหาอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
เทียบกับ t ขอผมเขียนอันนี้ลงไปนะ
เราอยากหาอนุพันธ์
เทียบกับ t ในตัวเศษ
ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ซึ่งผมจะใส่สีฟ้าตอนนี้
ของ dy/dx
ทั้งหมดนั้นส่วน dx/dt
ถ้าคุณไม่เห็นทันทีว่าทำไมมันถึงเท่ากับ
ที่เราทำก่อนหน้านี้ ผมแนะนำให้คุณ
หยุดวิดีโอแล้วลองคิดดู
คิดถึงสิ่งที่เราทำตรงนี้ครั้งแรก
เวลาเราอยากหาอนุพันธ์
ของ y เทียบกับ x

English: 
We're going to use this same idea.
If you wanna find the rate of change
of something with respect to x,
you find the rate of
change of that something
with respect to t and divide it by
the rate of change of x with respect to t.
So what this is going to be,
we wanna find the derivative
of the first derivative
with respect to t, so
let me write this down.
We wanna take the derivative,
with respect to T in the numerator,
of the first derivative,
which I will put in blue now,
of dy, dx,
all of that over dx, dt.
If it doesn't jump out at you
why this is the same thing
that we did before, I encourage you
to pause the video and think about it.
Think about what we did
over here the first time.
When we wanted to find the derivative
of y with respect to x,

Bulgarian: 
Отново ще използваме същата идея.
Ако искаш да намериш
 скоростта на изменение
на нещо спрямо х,
то търсиш скоростта на изменение
 на това нещо
спрямо t и го разделяш
на скоростта на изменение 
на х спрямо t.
Тогава на какво ще бъде равна
 втората производна?
Искаме да намерим производната 
на първата производна
спрямо t. Нека да го запиша.
Искаме да намерим производната
спрямо t в числителя,
от първата производна,
която ще оградя със синьо.
От dy/dx.
Всичко това е върху dx/dt.
Ако не се досещаш защо това 
е равно на същото нещо,
което направихме при първата
 производна, те насърчавам
да спреш видеото и да помислиш 
върху него.
Помисли, какво направихме 
първия път,

Korean: 
일계도함수와 비슷한 원리입니다
x의 변화율을 구하려 한다면
x의 변화율을 구하려 한다면
x의 t에 대한 변화율과 동일하게
t에 대해 변화하는 것을 
알아낼 수 있습니다
t에 대해 변화하는 것을 
알아낼 수 있습니다
x의 t에 대한 일계도함수를 찾고자 합니다
x의 t에 대한 일계도함수를 찾고자 합니다
적어보겠습니다
분자에 t에 대한 도함수
분자에 t에 대한 도함수
즉, 일계도함수를 
파란색으로 쓰겠습니다
즉, 일계도함수를 
파란색으로 쓰겠습니다
dy/dx를 말입니다
분모에는 dx/dt를 적겠습니다
이전에 구했던 함수와 왜 같은지 모르겠다면
이전에 구했던 함수와 
왜 같은지 모르겠다면
동영상을 멈추고 
생각해 보세요
처음에 어떻게 했는지 생각해 보세요
y의 x에 대한 도함수를 찾고자 할 때
y의 x에 대한 도함수를 찾고자 할 때

English: 
we found the derivative
of y with respect to t
and then divided that by the derivative
of x with respect to t.
Here, we wanna find the second derivative
of y with respect to x.
Actually, let me just write it down
out here a little bit clearer.
What we really wanna do is we wanna find
the derivative with respect,
let me write it this way:
When we wanted to find the derivative
with respect to x of y,
that was equal to derivative
of y with respect to t
over the derivative of
x with respect to t.
Now we wanna find the
derivative with respect to x
of the first derivative with respect to x.
And so everywhere we saw a y here,
replace that with the first derivative.
So this is going to be equal to,
in the numerator the derivative
with respect to t
of dy, dx.

Czech: 
když jsme chtěli spočítat
derivaci y podle x.
Nejprve jsme spočítali derivaci y podle t
a pak ji vydělili derivací x podle t.
Nyní chceme spočítat
druhou derivaci y podle x.
Napíšu to sem ještě jednou
ve srozumitelnějším tvaru.
Chceme vlastně spočítat
derivaci podle...
Napíšu to
ještě jinak.
Když jsme chtěli spočítat
derivaci podle ‚x‘ z ‚y‘,
tak se to rovnalo derivaci y podle t
lomeno derivace x podle t.
Nyní chceme spočítat derivaci podle x
z první derivace podle x.
Místo y tak teď všude musíme
napsat jeho první derivaci.
Tohle se
tedy rovná...

Bulgarian: 
когато искахме да намерим 
производната на у спрямо х.
Намерихме производната 
на у спрямо t,
а след това я разделихме на 
производната на х спрямо t.
Сега искаме да намерим 
втората производна на у спрямо х.
Всъщност, нека да го запиша 
малко по-ясно ето тук.
Това, което наистина искаме 
да направим, е да намерим
производната спрямо... Нека да 
го запиша по следния начин.
Когато искахме да намерим 
производната на у спрямо х,
това беше равно на производната
 на у спрямо t
върху производната на х спрямо t.
Сега искаме да намерим 
производната спрямо х,
от първата производна спрямо х.
Навсякъде, където имаме у в този израз,
го заместваме с първата производна.
Следователно това 
ще бъде равно на следното.

Korean: 
y의 t에 대한 도함수를 알아냈습니다
그리고 각각 t에 대한 
함수로 나누었습니다
그리고 각각 t에 대한 
함수로 나누었습니다
이제 y의 x에 대한 이계도함수를
찾고자 합니다
이제 y의 x에 대한 이계도함수를
찾고자 합니다
더 정확하게 써보겠습니다
더 정확하게 써보겠습니다
찾고자 하는 도함수를 적어 보겠습니다
찾고자 하는 도함수를 적어 보겠습니다
x의 y에 대한 도함수를 찾고자 할 때
x의 y에 대한 도함수를 찾고자 할 때
분모가 x의 t에 대한 도함수이고
분자가 y의 t에 대한 도함수인 
것과 동일했습니다
이제 x에 대한 일계도함수에
x에 대한 도함수를 
대입한 것을 알고 싶습니다
여기에 있는 y를
일계도함수로 바꾸어 보겠습니다
dy/dx를 대입한 t의 도함수가
dy/dx를 대입한 t의 도함수가
분자가 됩니다
분자가 됩니다

Thai: 
เราหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ t
แล้วหารมันด้วยอนุพันธ์
ของ x เทียบกับ t
ตรงนี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับสออง
ของ y เทียบกับ x
ที่จริง ขอผมเขียนมันลงไป
ตรงนี้ให้ชัดขึ้น
สิ่งที่เราอยากทำ คือเราอยากหา
อนุพันธ์เทียบกับ ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
เมื่อเราอยากหาอนุพันธ์
เทียบกับ x ของ y
มันเท่ากับอนุพันธ์ของ y เทียบกับ t
ส่วนอนุพันธ์ของ x เทียบกับ t
ตอนนี้เราอยากหาอนุพันธ์เทียบกับ x
ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ x
ทุกที่ที่เราเห็น y ตรงนี้
เราแทนมันด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
อันนี้จึงเท่ากับ
ในตัวเศษ อนุพันธ์
เทียบกับ t
ของ dy/dx

Bulgarian: 
В числителя имаме 
производната спрямо t на dy/dx.
Забележи, че това беше 
производната на у спрямо t.
Всъщност, нека да го запиша по следния начин, 
за да можеш да го разбереш.
Ако изтрия това,
то ще запиша следното.
Това тук е производната на у спрямо t.
Надявам се, че виждаш, 
че преди имахме у тук,
а сега има dy/dx.
dx/dt
Това може да изглежда сложно
 и объркано,
като изключим факта, че тези неща
са всъщност сравнително 
лесни за изчисление.
Търсенето на производната спрямо t
от първата производна
 е просто търсене
на производната спрямо t
 от този израз.
А това е сравнително лесно.
Това е производната, която 
се получава точно 1/2.
А производната на
е на степен t спрямо t
е равна просто на e на степен t.
А този израз ще бъде върху 
производната на х спрямо t,
което вече видяхме, че е 
6 по е на степен 2t.

Thai: 
สังเกตว่านี่คืออนุพันธ์เทียบกับ t ของ y
ที่จริง ขอผมเขียนแบบที่คุณเห็นได้ดีกว่า
ถ้าผมลบอันนี้ออก
ถ้าผมลบมันออก เราจะได้
นี่คืออนุพันธ์เทียบกับ t ของ y
หวังว่าคุณคงเห็น ก่อนหน้านี้ เรามี y ตรงนี้
ตอนนี้เรามี dy/dx
dx/dt
ทีนี้ อันนี้อาจดูลำบากและซับซ้อน
ยกเว้นความจริงที่ว่า พจน์เหล่านี้
หาค่าได้ตรงไปตรงมา
เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับ t
ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง นั่นก็คือการหา
อนุพันธ์เทียบกับ t ของอันนี้
และอันนี้ง่ายทีเดียว
นี่คืออนุพันธ์ มันจะเท่ากับ 1/2
และอนุพันธ์เทียบกับ t ของ e กำลัง t
ก็แค่ e กำลัง t
และมันจะเท่ากับ ส่วน
อนุพันธ์ของ x เทียบกับ t
ซึ่งเราเห็นไปแล้วว่าคือ 6e กำลัง 2t
6e กำลัง 2t

Czech: 
V čitateli bude
derivace podle ‚t‘ z (dy lomeno dx),
protože předtím to byla
derivace podle ‚t‘ z ‚y‘...
Ještě to tady přepíšu,
ať je to jasnější.
Tohle dám pryč a napíšu to jako
derivaci podle ‚t‘ z ‚y‘.
Snad už tedy vidíte, že tam,
kde předtím bylo y, teď bude dy lomeno dx.
Nyní to ještě vydělíme
výrazem dx lomeno dt.
Tohle teď možná vypadá
dost strašidelně a složitě,
ale půjde to
poměrně jednoduše spočítat.
Spočítat derivaci podle ‚t‘ z první
derivace znamená zderivovat podle t tohle.
To už se
spočítá snadno.
Derivace tohohle se rovná (1 lomeno 2)
krát derivace (e na t) podle t,
což je opět
e na t.
Tohle teď musíme vydělit
derivací x podle t,

Korean: 
y의 t에 대한 도함수입니다
볼 수 있게 적어보겠습니다
이것을 지우고
이것을 지우고
y의 t에 대한 도함수를 적겠습니다
이전에 y이었던 곳에
dy/dx를  적은 것입니다
분모는 dx/dt입니다
복잡하더라도 천천히 풀어나가면
꽤 정확하게 계산할 수 있습니다
꽤 정확하게 계산할 수 있습니다
일계도함수의 t에 대한 도함수는
t의 도함수를 응용한다면
t의 도함수를 응용한다면
꽤 쉽게 알 수 있습니다
이 도함수는 1/2과 
t에서 e에 대한 도함수를 구한
eᵗ을 곱한 것과 같습니다
eᵗ을 곱한 것과 같습니다
분모는 x의 t에 대한 도함수이고
이것은 이미 6e²ᵗ이라고
이것은 이미 6e²ᵗ이라고
계산했습니다

English: 
Notice this was derivative
with respect to t of y.
In fact, let me write it that
way just so you can see it.
So if I clear this out,
if I clear that out we're gonna get,
this is the derivative
with respect to t of y.
So hopefully you see,
before we had a y there,
now we have a dy, dx.
Dx, dt.
Now this might seem really
daunting and complicated
except for the fact
that these are actually
fairly straight things to evaluate.
Taking the derivative with respect to t
of the first derivative,
well, that's just taking
the derivative with respect to t of this,
and this is pretty easy.
This is the derivative,
it's just gonna be one half.
And the derivative with
respect to t of e to the t
is just e to the t.
And so that's going to be over
the derivative of x with respect to t,
which we already saw is 6e to the 2t.
6e to the 2t.

Bulgarian: 
6 по е на степен 2t.
Може да запишем резултата като
1/2 разделено на 6 върху 12...
а след това имаме e на степен t –2 по t...
което е равно на следното. 
Може да запишем това
като 1/12 по е на степен –t.
Или може да го запишем като
1/12 по е на степен t.
И сме готови.

Korean: 
이것은 ½을 6으로 나눈
1/12과 eᵗ⁻²ᵗ를 곱한 것으로 
나타낼 수 있습니다
1/12과 eᵗ⁻²ᵗ를 곱한 것으로 
나타낼 수 있습니다
즉, 1/12과 e⁻ᵗ를
곱한 것과 동일합니다
즉, 1/12과 e⁻ᵗ를
곱한 것과 동일합니다
또는 분모를 
12eᵗ으로 하여
나타낼 수 있습니다
다했습니다

Czech: 
která nám už předtím vyšla jako
6 krát e umocněné na (2 krát t).
Tohle můžeme
napsat jako...
(1 lomeno 2) děleno 6
je 1 lomeno 12
a potom krát
e na (t minus 2 krát t),
což se rovná
(1 lomeno 12) krát e na −t,
nebo to můžeme napsat jako
1 lomeno (12 krát e na t).
A máme hotovo.

Thai: 
เราเขียนอันนี้ได้เป็น
1/2 หารด้วย 6 เป็น 1 ส่วน 12
แล้ว e กำลัง t ลบ 2t
ซึ่งเท่ากับ เราเขียนอันนี้ได้
เป็น 1/12 e กำลังลบ t
หรือเราเขียนอันนี้ได้เป็น
1 ส่วน 12 e กำลัง t
เราก็เสร็จแล้ว

English: 
We can write this as,
one half divided by six is one over 12,
and then e to the t minus 2t,
which is equal to, we could write this
as 1/12th e to the negative t,
or we could write this as
one over 12 e to the t.
And we're done.
