[Звон]
"Связь математики и физики"
[Аплодисменты]
Здравствуйте. Сегодня я вижу аудиторию, исходя из размеров которой
(в прошлый раз я видел только чёрную точку перед глазами),
можно предположить, что многие из вас не совсем знакомы с физикой,
а кто-то несведущ в математике
и я не сомневаюсь, что есть и те, кто особо не знает ни физики, ни математики.
Это довольно сложная задача для выступающего,
которому предстоит вести речь о соотношении физики и математики
это вызов, который я всё-таки не приму
я сформулировал тему разговора, используя ясный и точный язык,
и высказал её не двусмысленно -- а именно, соотношение физики и математики
и если вам покажется, что в каких-то моментах вам не хватает поверхностного знания физики и математики,
я ничего с этим поделать не смогу. Тема была уже озвучена.
Говоря о применении математики в области физики,
вполне естественно, что математика будет полезна при операциях с большими числами
в сложных ситуациях.
Вот, например, если взять биологию, действие вируса на бактерию нематематично,
если посмотреть через микроскоп:
движущийся вирус находит место на бактерии странной формы --
они все разной формы -- и он находит там себе место;
возможно он внедряет своё ДНК,  а может и нет, и всё в таком роде.
Но всё же, если мы проведём эксперимент с миллионами и миллиардами бактерий и вирусов,
мы узнаем очень много о вирусе -- это подобно измерению средней величины, используя большие числа:
мы можем использовать математику для измерения средней величины;
мы можем узнать, развиваются ли вирусы в бактериях в новые штаммы,
и в каком процентном соотношении,
таким образом мы можем изучать генетику, мутацию и т.п.
Рассмотрим другой, менее научный пример,
представьте себе огромную доску -- шахматную доску
для игры в шахматы (или шашки):
если доска очень большая, любой ход по ней  - процесс не математический.
или очень простой, даже если он математический: это движение в одну или другую сторону по диагонали,
достигая [конца], пешка выходит в дамки, и в этом случае может ходить назад.
Другими словами, формулировка правил очень проста, и никак не связана с математикой.
Но вы можете представить, что на огромной доске с множеством и множеством фигур,
некий анализ лучшего хода -- или хороших и плохих ходов
может быть произведён посредством глубоких размышлений, в процессе которых
кто-нибудь сходит первым и будет очень глубоко размышлять над этим -- а это уже математика,
это абстрактное рассуждение.
Другой пример это переключение в компьютерах.
Если у вас один выключатель, он либо включен, либо выключен,
и в этом нет ничего математического (хотя математики любят здесь начинать свою математику).
Но чтобы понять, что будет делать большая система
со всеми взаимосвязями и проводами, необходима математика.
Я бы непременно хотел сказать, что у математики есть основное применение --
потрясающее применение -- в физике, для объяснения деталей феноменов в сложных ситуациях,
она позволяет понять основные правила игры.
И если бы речь шла только о соотношении математики и физики.
я бы посвятил этому большую часть моего обсуждения.
Но поскольку это часть серии лекций о характеристиках физического закона,
у меня нет времени обсуждать применения математики и физики
для вычисления того, что происходит в сложных ситуациях.
Но мы немедленно перейдём к другому вопросу,
характеристикам основного фундаментального закона.
Возвращаясь к нашей игре в шахматы,
фундаментальные законы это правила, по которым передвигаются фигуры.
Математика может быть применена в сложной ситуации --
для вычисления следующего хода, удачного хода в сложной ситуации --
но совсем немного математики требуется в фундаментальных, простых характеристиках основных законов.
Как ни странно, но для фундаментальных законов физики математика всё же требуется.
Например -- на самом деле я приведу два примера:
в одном она действительно требуется, в другом нет.
Есть такой закон физики, называемый Закон Фарадея,
который гласит, что при электролизе масса осажденного вещества на электроде,
пропорционально силе тока и времени его действия.
Иначе говоря, количество осажденного вещества пропорционально заряду,
проходящему через систему.
Это звучит очень математически.
проходящему через систему.
Это звучит очень математически.
На самом деле, каждый электрон, проходящий через электролит, несёт один заряд.
Рассмотрим пример, конкретный пример,
для выделения одного атома требуется прохождение одного электрона,
таким образом, количество выделяемых атомов будет обязательно пропорционально количеству проходимых электронов,
а следовательно заряду, проходимому через электролит.
Итак, кажущийся математическим, закон,
по сути не требует особых знаний математики,
для образование одного атома, требуется один электрон.
Это не сложно -- можно сказать, это математика начального уровня,
но это не та математика, о которой я сегодня веду речь.
Теперь, если мы рассмотрим, с другой стороны закон гравитации Ньютона
аспекты которого я объяснял в прошлый раз,
я запишу уравнение просто чтобы удивить вас тем, с какой скоростью математические символы могут выражать --
могут передавать информацию),
мы говорили, что сила пропорциональна массам двух объектов
и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними,
и что тела реагируют на силы изменяя скорость -- или движение --
в направлении силы пропорционально силе воздействия
и обратно пропорционально их массам.
Теперь, когда эти слова понятны, мне можно было и не писать уравнение,
тем не менее я его записал и мы можем задуматься: как это может быть фундаментальным законом?
Что делает планета? Неужели она смотрит на Солнце, видит, насколько оно удалено,
и вычисляет на своем арифмометре обратный квадрат расстояния,
чтобы узнать, как нужно двигаться? Это конечно не объяснение механизма гравитации!
Возможно, вы захотите разобраться, и различные люди пытались разобраться:
Ньютона изначально спрашивали, «Это ничего не значит; это ни о чём нам не говорит!» На что он отвечал, «Это говорит нам, как она движется».
«Этого должно быть достаточно -- я сказал вам, как она движется, а не почему».
Но люди часто неудовлетворенны, если не понимают механизма, и я хотел бы рассказать одну теорию,
которая была открыта (среди прочих) способом, который вам может понравиться -- это результат операций с большими числами --
и поэтому она является математической.
Я объясню вам эту теорию -- возможно, вам она уже приходила на ум; время от времени какой-нибудь студент вбегает; и вдруг он объясняет гравитацию.
время от времени какой-нибудь студент вбегает; и вдруг он объясняет гравитацию.
Предположим, что повсюду в мире существуют,
пролетающее сквозь нас на очень высокой скорости, множество частиц.
Они ровно распространяются во всех направлениях; они просто проносятся, проносятся, проносятся мимо -- и иногда бомбят нас.
и иногда бомбят нас.
Мы и Солнце являемся практически проницаемыми для них -- почти --
некоторые не проходят насквозь, поэтому не совсем проницаемыми.
И посмотрите, что произойдёт: если Солнце здесь,
а Земля здесь,
и если бы здесь не было Солнца, частицы бы бомбардировали со всех сторон,
издавая небольшие импульсы от этой бомбардировки теми немногими частицами, которые бы попали --
но они бы не сдвинули Землю в каком-либо определённом направлении,
потому что эти частицы движутся с двух сторон, сверху, снизу.
Тем не менее, когда Солнце находится здесь,
частицы, движущиеся в этом направлении,
частично поглощаются Солнцем, потому что некоторые ударяются о Солнце, не проходя через него.
Поэтому количество частиц, движущихся с этой стороны к Земле, меньше,
чем количество частиц, движущихся с другой стороны, так как здесь им не оказывает сопротивление Солнце
И легко увидеть (приложив некоторые умственные усилия),
что чем дальше от Солнца, тем меньше возможных направлений движения частиц --
я имею в виду, что размеры Солнца кажутся меньше
обратно пропорционально квадрату расстояния.
Таким образом, возникнет импульс, направленный от Солнца к Земле,
который обратно пропорционален квадрату расстояния и является результатом множества очень простых действий;
возникающих одно за другим со всех направлений.
Таким образом, отношение математики к данному явлению становится намного понятнее,
поскольку простые арифметические действия намного проще вычисления обратной пропорциональности квадрата расстояния:
этот «механизм» производит вычисления -- в то время как частицы движутся.
Единственная проблема в том, что это не работает --
по другим причинам: каждая выдвинутая теория должна быть проанализирована для выявления всех возможных следствий,
чтобы проверить, прогнозирует ли она ещё что-либо -- а эта кое-что прогнозирует.
Если Земля вращается таким образом,
больше частиц будут попадать на неё спереди, чем сзади.
Если вы бежите в дождь, он сильнее мочит лицо, чем затылок,
потому что вы бежите против него.
И если Земля вращается в таком направлении, она движется навстречу частицам, а не убегает от частиц, догоняющих её сзади,
таким образом больше частиц попадает на неё спереди, а не сзади.
Так же было бы воздействие с боков всякий раз при возникновении любого движения [в данном направлении].
Это боковое воздействие замедлило бы Землю на орбите и конечно не продолжалось бы три или четыре миллиарда лет,
на протяжении всего времени вращения Земли вокруг Солнца.
Так приходит конец этой теории.
Ну, вы скажете, это была неплохая теория, она хотя бы ненадолго избавилась от математики;
возможно я выдвинул бы теорию и лучше.
И возможно вы сможете,
потому что никто не знает пределов.
Но до сих пор со времён Ньютона,
никто не придумал другого теоретического описания математического механизма помимо этого закона,
которое бы не повторяло его вновь, или усложняло математику,
и в то же время, из которого не вытекали бы неверные явления -- из данной теории также вытекают некоторые явления -- но они верны.
Таким образом, на сегодняшний день нет другой модели теории гравитации,
кроме математической.
Если бы это был единственный подобный закон, он был бы интересным и довольно раздражающим.
Но на самом деле оказывается, что чем больше мы исследуем,
и чем больше законов мы открываем, чем глубже мы проникаем в суть природы, тем более хроническим становится заболевание
мы выражаем каждый наш закон чисто математическим утверждением,
при том довольно сложным и малопонятным математическим языком
(Ньютоновская гравитация - это еще цветочки)
Но она становится все менее понятной и все более сложной по мере того, как мы продвигаемся вперед.
Почему? Не имею и малейшего представления почему.
Целью моей лекции является только лишь рассказать вам об этом факте.
Другими словами, целью данной лекции является объяснить вам
почему я не могу вам помочь понять,
если вы не сильны в математике,
природу каким-нибудь другим способом
Фактически суть лекции заключается в том факте
что нельзя по-честному объяснить
все красоты законов природы так, чтобы люди восприняли их одними чувствами, без глубокого понимания математики.
мне жаль, но это так...
Вы можете сказать, «Хорошо, если нет объяснения закона,
скажите хотя бы, что это за закон --
почему бы не объяснить словами вместо символов?
Математика это просто язык, и я хочу уметь переводить язык».
И действительно -- я могу -- с терпением, думаю, уже частично это сделал.
Я могу пойти немного дальше и объяснить более детально --
что это означает, если объект в два раза дальше,
сила равна одной четвёртой и так далее -- и я могу передать всё это словами.
Я буду, другими словами, стараться для присутствующих здесь неспециалистов,
которые ждут, что я им что-то объясню.
Разные люди имеют разные заслуги
в умении объяснять неспециалистам
доступным для них языком трудные для понимания предметы.
Затем неспециалист просматривает книгу за книгой в надежде избежать сложностей,
которые в конечном итоге наступают, даже у лучших в своём деле популяризаторов.
Он с надеждой читает и обнаруживает
общее нарастающее непонимание, одно сложное утверждение за другим,
одна сложная для понимания вещь за другой,
все очевидно не связаны друг с другом --
и становится не совсем ясно, и он надеется, что может быть в какой-нибудь другой книге найдётся объяснение --
я имею в виду, что здесь почти понятно, но может у другого автора ещё понятней.
Я не думаю, что это возможно,
потому что есть другая особенность: математика это не просто другой язык;
это язык плюс рассуждение; это как язык плюс логика.
Математика это инструмент для рассуждения.
На самом деле, это большая коллекция точных размышлений и рассуждений некоторых людей.
С помощью математики возможно соединить одно утверждение с другим.
Например, я могу сказать, что сила направлена на Солнце.
Также я могу сказать вам, как говорил ранее,
что планета движется --
если я проведу линию от Солнца к планете,
и проведу ещё одну
в определённый момент времени, например, три недели спустя,
площадь между двумя положениями планет
будет точно такой же как и ещё через три недели,
и ещё через три недели и так далее, по ходу вращения вокруг Солнца.
Да я могу объяснить вам оба этих утверждений подробно,
но я не могу объяснить, почему они означают одно и тоже --
если вы не цените математику, вы не можете увидеть,
что огромное разнообразие фактов,
невероятная очевидная сложность природы -- со всеми её забавными законами и правилами,
каждое из которых было подробно вам объяснено --
на самом деле очень плотно переплетено, и логика позволяет вам переходить от одного к другому.
Может быть невероятным тот факт,
что я могу продемонстрировать, что за равное время проходится равное расстояние, если силы направлены к Солнцу.
Если получится, я покажу вам одну демонстрацию,
чтобы вы поняли, что те две вещи на самом деле эквивалентны,
чтобы вы оценили, что есть нечто большее, чем простое изложение двух законов;
что два закона связаны таким образом, что путём рассуждений можно переходить от одного к другому;
что математика и есть организованное рассуждение,
и что хорошо знать, как его проводить -- таким образом вы оцените красоту связи суждения.
Итак, я попробую доказать, если смогу,
что если силы направлены
к Солнцу,
то равные отрезки описываются равные площади.
И так начнем. Вот Солнце, представим, что планета в определённое время находится здесь
и движется таким образом, что, скажем, через секунду -- или час,
возьмём любое время, через секунду --
она передвинется таким образом, что окажется в позиции 2.
Если бы Солнце не оказывало на неё никакой силы,
то по принципу инерции Галилея, она будет продолжать движение по прямой.
Так, через такой же промежуток времени -- через секунду --
она пройдёт точно такое же расстояние по той же прямой траектории и окажется в позиции 3,
если бы на нее не действовала сила.
Хорошо. Во-первых, мы покажем, что без воздействия силы
одинаковые пощади описываются за одинаковое время.
Я напоминаю вам, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту,
и что высота это вертикальное расстояние до основания.
И если треугольник косой
(у него есть название, которое я забыл --
тупоугольный! тупоугольный!),
тогда высотой является эта вертикальная линия здесь.
(Я разбираюсь в треугольниках; я просто не знаю их названий).
Теперь давайте проведём линии к этим двум точкам,
учитывая, что нет какого-либо притяжения.
Вопрос в следующем -- начерчено не очень хорошо; я не аккуратен,
но эти два расстояния равны, запомните.
Вопрос в том: равны ли эти площади?
Рассмотрим треугольник, составленный Солнцем и этими двумя точками 1 и 2; вот он.
Какова его площадь? Основание умноженное на высоту.
А что насчёт другого треугольника,
который образует при движении от точки 2 к точке 3?
Вот это основание,
умноженное на ту же высоту:
два треугольника имеют одну высоту, и как я показал, одно основание и одинаковую площадь.
Итак, пока всё хорошо.
Если бы не было силы, действующей со стороны Солнца,
равные расстояния проходились бы за равное время; два треугольника имеют одинаковую площадь.
Но со стороны Солнца действует сила,
и в течение этого интервала от 1 к 2 и к 3,
Солнце оказывает влияние и изменяет движение
в различных направлениях -- в эту сторону, в эту сторону и в ту сторону.
Чтобы приблизительно это представить,
возьмём центральную позицию, или срединную позицию здесь,
и предположим, что весь эффект на протяжении этого интервала
определённым образом изменил движение в этом направлении, в направлении к Солнцу.
Это означает, что хотя частицы двигались в этом направлении,
они могли бы начать двигаться вот в этом направлении в следующую секунду;
потому что под влиянием Солнца,
движение меняется за счёт количества частиц, проходящих в этом направлении,
оно параллельно этому, строго параллельно -- эти линии параллельны.
Это направление,
в котором возникает новое новое движение, которое я хотел вычислить,
и изменение, вызванное действием Солнца.
Таким образом, на самом деле оно не заканчивается в позиции 3,
а скорее в позиции 4.
Теперь мы захотим сравнить (чертёж становится довольно сложным)
треугольники
2-4-S и 2-3-S -- я покажу вам, что они равны.
Из-за того, что у них общее основание [2-S], эти два треугольника -- этот и тот,
тот, что образовался при условии действия силы и тот, что был образован без воздействия силы, имеют общее основание.
А имеют ли они общую высоту?  Конечно --
потому что они находятся между параллельными линиями [2-S и 3-4], и поэтому у них общая высота.
Таким образом, площадь последнего треугольника, которого я начертил [S-2-4],
равна площади
второго треугольника, которого я начертил, этого [S-2-3].
А он, как я доказал ранее, равен первому [S-1-2].
Так, в настоящем орбитальном движении планеты,
площади, проходимые за первую и вторую секунды соответственно -- равны.
Итак, путём рассуждений, мы можем увидеть связь между фактами, что сила
что сила направлена к Солнцу,
и что проходимые площади равны.
Оригинально, не так ли?
Я позаимствовал это у Ньютона: это взято из "Начал" Ньютона, и чертеж и доказательство.
Написание отличается -- это потому, он использовал римские цифры
а я арабские.
Но...
Между прочим Ньютон,
проводил доказательство так же геометрически,
и все доказательства в его книге подобно этому геометрические.
Сегодня мы не используем этот вид рассуждения;
мы используем аналитическое рассуждение с использованием символов.
Данный [геометрический] способ рассуждения требует мастерства --
чертить правильные треугольники (правильно чертить, я имею в виду),
учитывая площади -- и для того, чтобы понять, как это делать, необходимо быть умным.
Но с появлением продвинутого анализа,
можно быть и более глупым --
а также писать быстрее, и намного эффективнее.
Я хочу только показать вам, как это выглядит
в обозначении более современной математики,
где вы не делаете ничего, кроме записывания большого количества символов для вычисления.
Во-первых, поговорим о том, насколько быстро изменяется площадь,
обозначим это "А с точкой".
И площадь меняется,
потому что, когда радиус поворачивается,
составляющая скорости под прямым углом к радиусу,
умножается на радиус и показывает нам, насколько быстро меняется скорость.
Таким образом, это составляющая расстояния по радиусу,
умноженная на скорость, то есть быстроту изменения расстояния.
Теперь вопрос в том, меняется ли сам показатель изменения площади.
В принципе, он не должен меняться; показатель изменения скорости не должен меняться.
Так, мы дифференцировали (если можно так выразиться) это снова;
это всего лишь небольшая хитрость с расположением точек в нужном месте.
Вот и всё; нужно научиться этим хитростям --
это просто набор правил, которые люди обнаружили,
и эти правила оказались очень действенными применительно к подобным вещам.
Согласно этому, составляющая скорости находится под прямым углом к скорости:
но это не так -- она располагается не так; она имеет то же направление, что и сама скорость.
А ускорение,
вот эта, вторая производная,
или производная скорости, равна силе,
делённой на массу.
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади
является составляющей силы под прямыми углами к радиусу.
Но если сила направлена к радиусу, как говорил Ньютон,
тогда нет силы под прямыми углами к радиусу,
а это означает, что показатель изменения площади не меняется.
Я просто хотел проиллюстрировать
различные способы выражения.
Ньютон более или менее умел это делать, только в несколько других обозначениях.
Но он предпочел (геометрические) доказательства,
стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи.
Он сам изобрел исчисление бесконечно малых,
хорошо иллюстрирующее соотношение математики и физики.
Когда возникают затруднения в вопросах физики,
мы всегда можем обратиться к математикам,
которые уже изучали эти вопросы и размышляли над ними ранее,
и подготовили направление размышления, которому мы можем последовать.
В противном случае нам придётся самим определять направление рассуждения,
которое в последствии перейдёт к математикам,
потому что любой, кто рассуждает о чем-нибудь точно,
вносит вклад в формирование знания о том или ином предмете.
и если представить его рассуждения в общем виде и передать математикам,
то они внесут их в свои книги в качестве раздела математики.
Математика - это путь, по которому мы переходим от одной совокупности утверждений к другой.
Она несомненно полезна для физики,
потому что она даёт нам различные способы изложения вещей,
позволяет разрабатывать следствия,
анализировать ситуации,
менять законы разными способами, и соединять в одно целое различные утверждения.
На самом деле общие знания физика очень не велики:
ему необходимо только запомнить правила перемещения из одного места в другое,
и этого будет достаточно.
Другими словами, все различные утверждения --
про равные интервалы времени, про силы, направленные к радиусу и так далее --
соединяются друг с другом путём рассуждения.
Теперь возникает интересный вопрос:
есть ли какой-то шаблон?
Есть ли отправная точка образования --
фундаментальных принципов -- и всех последующих работ?
Или есть ли какая-либо определённая модель, или порядок в природе,
исходя из которого, мы могли бы понять, какие утверждения являются более фундаментальными,
а какие вытекают из других?
Есть два подхода к математике,
которые, исходя из целей данной лекции, я назову Вавилонской традицией и Греческой традицией.
В Вавилонских математических школах,
студент изучал что-либо на огромном количестве примеров,
до тех пор, пока он не понимал общего правила.
Также было много знаний по геометрии -- множество свойств окружности,
теорема Пифагора,
формулы площадей кубов, треугольников и всего остального --
так же в некоторой степени было известно рассуждение, позволяющее переходить от одной вещи к другой.
Имелись числовые таблицы, при помощи которых можно было решать сложные уравнения
Но...
Эвклид обнаружил,
что все теоремы геометрии могут быть выведены из ряда довольно простых аксиом --
и, я уверен, что вы все знакомы с геометрией на этом уровне.
Но Вавилонская позиция заключалась в том --
если говорить о том, что я называю Вавилонской математикой --
что вы знаете все эти различные теоремы и множество связей между ними,
но вы никогда на самом деле не осознавали, что всё это можно вывести из группы аксиом.
Современная математика, самая современная математика,
использует аксиомы и доказательства
с очень чётко определённым рядом условий,
что считать аксиомой, а что нет.
Например, в геометрии
используется что-то вроде аксиом Эвклида (в усовершенствованном виде)
и выводит из них все остальное.
Например такие теоремы, как теорема Пифагора
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
не является аксиомой.
Но возможно и другое построение геометрии -
так, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.
Итак, прежде всего мы должны согласиться с тем, что даже в математике
можно отправляться от разных исходных положений.
Поскольку все эти различные теоремы
взаимосвязаны посредством рассуждения,
нет никакого возможного способа сказать,
что «эти у основания, здесь, являются основными,
и эти связаны с ними логически».
Потому, что если бы вам объяснили вместо этой вот эту, или вот эту,
вы могли бы направить логику в другую сторону,
если бы вам не объяснили ту, вы бы разработали свою собственную.
Это как мост с множеством составляющих,
которые разъединяются и вновь соединяются: и если эти составляющие выпадают, вы можете вновь соединить мост другим способом.
Современная математическая традиция
начинать с конкретных, отобранных по специальным правилам, аксиом,
и отталкиваясь от них выстраивать структуру.
Руководствуясь «Вавилонской» системе, о которой я говорю
(и которая, как мне известно, на самом деле не является Вавилонской),
можно сказать «да, оказывается я знаю это, и то, и может быть это, и я выведу всё отсюда.
А завтра я забуду, что это было верным,
но я вспомню, что это было верным, и восстановлю всё снова
и так далее -- я никогда полностью не уверен, откуда начинать, и где заканчивать;
я просто всё время держу в уме достаточно информации,
чтобы восстановить всё в любое время, даже если память меня подведёт, и выпадут какие-нибудь составляющие.
Метод начала рассуждения от аксиом
не эффективен для нахождения теорем;
для разработки чего-либо в геометрии, не очень эффективно начинать каждый раз начинать с аксиом.
Но если необходимо вспомнить некоторые аспекты геометрии
всегда можно оттолкнуться от них; намного более эффективно использовать их:
лучшие аксиомы не всегда одинаковы -- на самом деле, они никогда одинаковыми не бывают --
как самый эффективный способ ориентироваться в предмете.
В физике, нам необходим Вавилонский метод,
а не Эвклидов или Греческий, и я хотел бы объяснить почему.
Проблема Эвклидова метода заключается в том,
что аксиомы необходимо каким-то образом сделать более интересными или значимыми.
Но в нашем случае с гравитацией,
что будет лучшей аксиомой, более важной, основополагающей, фундаментальной --
сказать, что сила направлена к Солнцу,
или сказать, что равные отрезки проходятся за равные промежутки времени?
С одной точки зрения,
сказать про силу лучше,
потому что определив силу, я смогу рассмотреть систему с множеством тел,
в которой орбиты уже не эллипсы -- из-за взаимного притяжения друг к другу --
в этом случае теорема  о равных площадях будет не справедлива.
Поэтому, я считаю, что аксиомой должен быть закон о силе.
С другой стороны, принцип прохождения равных расстояний за равные отрезки времени --
может быть обобщён,
если есть система с большим количеством частиц, до другой теоремы
(которую я приготовился объяснить, но вижу, что у меня кончается время):
есть другое утверждение,
более общее, чем то, что равные расстояния проходятся за равное время.
Мне необходимо изложить, что оно представляет собой.
Оно довольно сложное и не такое красивое, как утверждение о равенстве площадей,
но, несомненно, является его порождением.
Рассмотрим систему многих тел, например Юпитер, Сатурн, Солнце, множество звезд,
взаимодействующих друг с другом,
спроектируем ее на плоскость
то окажется, что всё движется -- одно в одном направлении, другое -- в другом и так далее.
Затем возьмите совершенно любую точку --
скажем вот эту --
и вычислите, насколько изменяется площадь
каждого объекта, каково расстояние между радиусами, проведёнными к каждому объекту,
и сложите всё вместе.
Но подождите:
массы, которые больше --
эта в два раза больше этой;
тогда это расстояние тоже удваивается.
Так вы вычисляете, каждое из пройденных расстояний в пропорции к массе,
Такая сумма площадей не будет изменяться со временем.
Между прочим она называется моментом количества движения системы,
а закон - законом сохранения момента количества движения.
("Сохранение" означает всего-навсего, что величина не изменяется.).
Теперь,
одно из следствий этого закона --
просто, чтобы показать вам, для чего он полезен --
представьте множество звёзд, формирующих туманности или галактики.
По мере их сближения,
если они находились далеко, и в процессе их медленного движения,
высвобождается небольшая площадь, но на очень большом отдалении
(расстоянии от центра),
так, если они сближаются,
расстояние до центра сокращается
(когда звёзды находятся на близком расстоянии),
и радиусы становятся меньше.
И для того, чтобы пройти то же расстояние,
им необходимо двигаться намного быстрее.
Так, по мере сближения, они начинают колебаться и вращаться --
и мы можем приблизительно распознать спиралевидную форму туманностей.
Таким же образом --
точно таким же образом --
можно понять, из-за чего вращается на льду фигурист:
вынося ногу вперёд, вращается медленнее
а когда подбирает к себе - быстрее
вынося ногу вперёд, вращается медленнее
а когда подбирает к себе - быстрее
Когда нога вытянута, она описывает за секунду определенную площадь.
Опустив ее, фигурист должен вращаться гораздо быстрее, чтобы описать ту же самую площадь.
Правда, я доказывал это не для людей -
они пользуются мускульной силой,
а не силой тяготения. Но закон справедлив и для спортсменов.
Теперь возникает вопрос: мы часто можем вывести из одной части физики,
как например из закона гравитации, принцип,
который оказывается намного эффективней прямых следствий!
Этого не происходит в математике -- что теоремы возникают там, где их не должно быть.
Другими словами,
если бы мы предположили, что постулаты физики заключаются в законе гравитации,
мы могли бы вывести закон сохранение момента импульса, но только для гравитации.
Но на опыте мы обнаруживаем,
что закон сохранения импульса имеет намного более широкое значение.
Ньютон опирался на другие постулаты,
с помощью которых он мог вывести более общий закон сохранения  момента импульса,
Пусть Ньютоновские законы будут ошибочными: нет сил; это всё ерунда; у частиц нет орбит и так далее.
Тем не менее видоизмененный принцип равенства площадей
и закон сохранения момента справедливы.
Они распространяются на движение атомов в квантовой механике и,
насколько нам известно сегодня, вполне точны.
Таким образом, эти общие принципы распространяются на различные законы,
но если относиться к следствиям этих законов как математическим доказательствам
и считать их единственно верными, потому что выведены из других законов
то нельзя будет понять взаимосвязь между разными разделами физики.
Когда-нибудь, когда физика будет полностью сформированной наукой,
и мы будем знать все ее законы,
мы, вероятно, сможем начинать с аксиом, и, несомненно, кто-нибудь придумает, как их выбирать,
чтобы из них получить все остальное.
Но пока мы не знаем всех законов,
по некоторым из них можно угадывать теоремы,
которые еще не имеют доказательств.
Чтобы понять физику,
нужно всегда держать в уме все возможные предположения и их взаимосвязи и осторожно балансировать между ними,
потому что законы часто выходят за пределы их следствий.
Надобность в этом отпадет только тогда, когда будут известны все законы.
Другая интересная особенность соотношения математики и физики --
очень странная:
путем математических рассуждений можно показать,
что можно начать с различных позиций и прийти к одному и тому же выводу.
Это вполне понятно, если есть аксиомы; можно использовать некоторые теоремы.
Но на самом деле, физические законы так деликатно построены,
и их утверждения имеют такие качественные различия, что это очень интересно.
Итак, если вы позволите, я попытаюсь изложить закон гравитации
тремя разными способами --
все они  абсолютно эквивалентны,
хотя звучат совершенно по-разному.
Первый способ:
между объектами действуют силы, как описывалось ранее,
и каждый объект под влиянием силы ускоряется --
или изменяет движение -- на определённую величину в секунду,
как я описывал ранее -- обычный способ; я называю его законом Ньютона.
Есть совершенно другой способ:
согласно ему закон гласит, что сила зависит от чего-либо, находящегося на определённом расстоянии.
Видите, здесь есть так называемое «нелокальное» качество:
сила воздействия на этот объект зависит от того, где находится другой объект.
Теперь вам может не понравиться идея о действии с расстояния --
что оно может «знать», что там происходит --
тогда есть другой способ изложения закона, который  звучит уже совсем непонятно, он основан на понятии поля --
и он очень сложен для объяснения, но я просто приблизительно изложу вам общую идею.
Он звучит по-другому, совсем по-другому:
что есть число в каждой точке пространства?  --
именно число; это не механизм; (проблема всей физики в том, что она должна быть математической)
Существует число в каждой точке пространства --
здесь число, здесь число и так далее.
И число меняется -- оно меняется -- при перемещении из одной точки в другую.
Если в какой-то точке пространства поместить объект,
то на него будет действовать сила в том направлении, в котором быстрее всего изменяется это число
(я дам ему обычное название - потенциал;
сила действует в направлении быстрейшего изменения потенциала).
Далее, сила пропорциональна тому, насколько быстро изменяется потенциал при перемещении из одной точки в другую.
Это одно утверждение; е
го не достаточно, и я расскажу вам, как определить изменение потенциала.
Я мог бы сказать, что потенциал изменяется обратно пропорционально расстоянию от каждого объекта,
но тогда мы снова вернулись бы к понятию о действии на расстоянии.
Можно сформулировать закон по-другому, сказав:
нам не надо знать, что происходит за пределами маленького шарика.
Если вы хотите знать, чему равен потенциал в центре,
скажите мне просто, каков он на поверхности сколь угодно малого шарика.
Вам не надо смотреть вокруг шарика, скажите лишь, каков потенциал по соседству с интересующей вас точкой
и какова масса шарика.
Правило таково. Потенциал в центре равен
среднему потенциалу на поверхности маленького шарика
минус эта константа, которая была в предыдущем уравнении,
поделенная на удвоенный радиус шарика (обозначим его через А) и умноженная на массу шарика, если шарик достаточно мал:
и умноженная на массу шарика, если шарик достаточно мал:
Теперь вы видите, что этот закон отличается от другого,
потому что в нём говорится только о том, что происходит в одной точке посредством того, что происходит рядом.
Ньютонова же формулировка позволяет сказать, что происходит в данный момент времени,
если мы знаем, что происходит в предыдущий момент.
Во времени она переводит нас плавно от момента к моменту, но в пространстве заставляет скакать из одного места в другое.
Но в данном случае объект определён как во времени,
так и в пространстве, потому что зависит только от того, что происходит рядом.
И [таким образом] есть другой способ представления --
совершенно другой способ представления.
Как вы увидите в философском смысле
прямо противоположный предыдущему.
Вам не нравится действие на расстоянии? Можно обойтись и без него.
Сейчас я продемонстрирую вам один способ, который по сути является полной противоположностью,
в нём нет рассуждения о перемещении объекта из одной точки в другую и обобщающего утверждения,
он формулируется следующим образом:
когда есть другие частицы вокруг, и необходимо узнать, как они движутся
из одной точки в другую, вы определяете это следующим образом.
Вы вычисляете конкретную величину --
создаёте возможное движение из одной заданной точки в другую,
необходимую вам, за определённый промежуток времени.
Скажем от этой точки до этой за час,
и вы хотите узнать по какому пути можно продвинуться в данную точку за час --
по какой кривой.
Вы поступаете следующим образом, вычисляете величину, приблизительно определяя кривую;
для определённой кривой вычисляете определённую величину.
(Я не хочу просто говорить вам, какова эта величина, но, для тех, кто знаком с этими терминами,
данная величина на данном пути равна среднему значению
разности между кинетической и потенциальной энергией.)
Итак, если вы определите величину для этого пути,
тогда для другого пути, вы получите, конечно, другую величину в ответе.
Но есть один путь,
на котором получается наименее возможная величина,
и это путь, по которому объект движется.
Сейчас мы описываем фактическое движение -- эллипс --
говоря в целом о кривой.
Мы потеряли идею причинной связи --
что частица находится здесь, на неё действует сила, она передвигается сюда.
Вместо этого, в большинстве случаев,
она «чует» все кривые по близости -- все возможности --
и «решает», какую выбрать.
Это пример большого количества
красивых способов описания природы.
И когда люди говорят, что в природе должны быть причинные связи --
можно говорить об этом таким образом;
природа должна излагаться посредством минимального принципа --
можно говорить так;
у природы должно быть локальное поле -- для осуществления этого, и так далее.
И вопрос в том, какой из способов верный?
И если все эти различные альтернативные варианты
с математической точки зрения не совсем эквивалентны,
и какой-то конкретный вариант будет иметь отличные от других следствия,
тогда всё в полном порядке, потому что только путём экспериментов мы можем выяснить,
какой из вариантов на самом деле выбирает природа.
Обычно люди соглашаются
или ведут философские споры о том, какой вариант им больше нравится,
но как показывает опыт, все эти философские догадки по поводу того,
какой из вариантов на самом деле существует в природе, терпят неудачу --
ни когда не оказываются верными.
Необходимо просто разработать все возможные варианты,
и попробовать все альтернативы.
В данном конкретном случае, о котором я говорю,
эти теории полностью эквивалентны.
Математические следствия каждой из трёх формулировок --
законов Ньютона, метода локального поля и этого принципа минимума -- полностью одинаковы.
Что тогда делать?
Вы прочитаете во всех книгах,
что с научной точки зрения выбор не сделан в пользу какого-то одного варианта.
Это на самом деле так.
Они не эквивалентны -- они эквивалентны,
научно; невозможно принять решение,
потому что нет экспериментального способа определения схожести всех следствий.
Психологически они очень отличаются с двух сторон.
Во-первых, философски, нравятся они вам или нет --
практика лучший способ это выяснить.
Во-вторых, психологически они различны,
потому что
они совершенно не эквивалентны, когда вы пытаетесь вывести новый закон.
Поскольку знание физики ещё не полностью сформировано,
мы пытаемся обнаружить другие законы и понять другие законы,
и все возможные формулировки дают нам подсказки того,
что может произойти в том или ином случае.
И они становятся не эквивалентны психологически,
когда мы догадываемся, как могут проявляться законы в более широкой ситуации.
Например, Эйнштейн понял, что электрические сигналы
не могут распространяться быстрее света.
Он догадался, что это общий принцип.
(Подобной игрой в догадки занимались и мы, когда брали закон сохранения момента количества движения
и переносили его с одного частного случая, для которого он доказан, на все явления природы.)
Он догадался, что это общее свойство природы будет верным применительно и к гравитации.
Если сигналы не могут распространяться быстрее света,
то формулировка, подразумевающая мгновенные взаимодействия, очень плоха.
Поэтому в обобщенной Эйнштейном теории гравитации,
метод Ньютона безнадежно слаб и чудовищно сложен,
тогда как метод полей и принцип минимума точны и просты.
Какой из двух предпочесть - мы до сих пор не решили.
На самом деле, согласно квантовой механике,
точно в том виде, в котором я их изложил, ни один не является верным --
но существование принципа минимума оказывается следствием того факта,
что на малых масштабах частицы подчиняются квантовой механике.
Сейчас наилучшим законом нам представляется
комбинация принципа минимума и локальных законов.
И в настоящее время верят,
что законы физики должны иметь локальный характер, и также принцип минимума --
но мы на самом деле не знаем.
Таким образом:
если в системе знаний таится какая-то погрешность, но построена система на удачных аксиомах,
то впоследствии вы обнаружите, что неверна лишь одна из них,
а остальные справедливы; в этом случае потребуются лишь незначительные переделки.
Но если вы строили систему на других аксиомах,
то она может вся развалиться из-за того, что целиком опирается на одну-единственную слабую деталь.
Мы не можем сказать заранее, не прибегая к интуиции,
как лучше всего строить систему, чтобы прийти к новому закону.
Мы постоянно должны иметь в виду все возможные способы описания;
поэтому физики занимаются вавилонской математикой
и уделяют мало внимания аксиоматическому построению своей науки.
Одна из удивительных характеристик природы
это разнообразие всевозможных интерпретаций.
Оказывается это возможно только потому, что законы
специальные и точно сформулированные.
Например то, что в законе обратная пропорциональность квадрата,
позволяет ему стать локальным --
если бы была обратная пропорциональность кубу, он бы не смог стать таким.
С другой стороны, тот факт, что сила связана с быстротой изменения скорости,
позволяет записывать законы, пользуясь принципом минимума.
Если бы сила, например, была пропорциональна самой скорости перемещения, а не ускорению, то это было бы невозможно.
Если вы попытаетесь сильно изменить законы,
вы обнаружите только то, что их можно будет записать гораздо меньшим числом способов.
Я всегда нахожу это загадочным -- и я не понимаю,
почему всегда кажется возможным выразить законы физики
огромным разнообразием способов --
кажется, что они одновременно могут пройти сразу через несколько ворот.
Теперь я хотел бы сделать несколько пояснений
относительно математики и физики, которые являются немного более общими.
Первое заключается в том, что математики
имеют дело только со структурой рассуждения
и не очень то придают значение тому, что говорят.
Им даже не нужно знать, о чём они говорят --
или, как они сами говорят, является ли истинной их рассуждения.
Сейчас я объясню.
Если вы излагаете аксиомы --
вы говорите: то-то и то-то так, и то-то и то-то так, и то-то и то-то так; а что потом? --
а остальное можно вывести с помощью логики, не зная, что означают слова «то-то и то-то».
То есть, если утверждения об аксиомах точно и полно сформулированы,
человеку, производящему рассуждение, нет необходимости иметь какие-либо знания о значении этих слов.
И он сможет вывести, пользуясь тем же языком,
новые следствия: если я использую слово «треугольник» в одной из аксиом,
то какое-то утверждение о «треугольниках» будет и в заключении.
Тогда как, человеку, для рассуждения, вовсе не надо знать, что такое «треугольник».
Я же могу вернуться к началу его рассуждений и сказать:
"Треугольник - это трехстороннее то-то и то-то".
так я узнаю новый факт.
Другими словами, математики создают абстрактное рассуждение,
готовое к использованию, если только у вас есть набор аксиом о реальном мире.
А у физиков все фразы имеют значение.
И есть очень важная вещь, что люди, которые --
многие люди -- пришедшие в физику из математики, не понимают:
что физика не математика, а математика не физика.
Одна помогает другой.
Но в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром.
Получив какие-то выводы, вы должны их перевести на родной язык
и на язык природы - в медные кубики и стеклянные шарики,
с которыми вы будете экспериментировать.Только так вы сможете проверить истинность своих выводов.
В математике этой проблемы не существует вовсе.
Я уже упомянул единственную другую связь,
что -- конечно, очевидно, насколько огромное значение имеют для физики развитые математические рассуждения.
С другой стороны, иногда рассуждения физиков приносят пользу математикам.
Математики также любят делать
своё рассуждение как можно более общим.
Рассмотрим трёхмерное пространство --
обычное пространство, я хотел бы поговорить об обычном пространстве,
в котором мы находимся, измеряя в нём расстояние, необходимо знать три значения
для определения положения объекта,
ширину, толщину и высоту,
три пространственных измерения -- и вы начинаете искать теоремы.
На что математики отвечают: «смотри, если у тебя есть пространство с количеством измерений n, то вот тебе теоремы».
«Но у меня только три измерения!».
«Хорошо, подставь вместо n - 3» -
и после замены получается,
и получается,
что множество сложных теорем становятся намного проще,
потому что это оказывается частным случаем.
Физик всегда заинтересован в частном случае;
ему никогда не интересны общие случаи.
Он говорит о чём-то конкретном:
он не говорит абстрактно о чём-либо;
он знает, о чём говорит: он хочет обсудить закон гравитации;
он не хочет обсуждать произвольную силу; ему интересен закон гравитации.
Он стремится к сокращениям,
потому что математики готовят свои выводы для более широкого круга проблем. И поступают предусмотрительно.
ибо в конце концов бедный физик всегда вынужден возвращаться и говорить:
"Простите, но в прошлый раз вы хотели мне что-то сказать о четырех измерениях".
Ещё один интересный момент в этих взаимоотношениях состоит в том,
как создавать новую физику.
Важно иметь чувство, что-то вроде интуиции --
о, я должен упомянуть ещё один момент:
Когда вы знаете, о чем идет речь,
знаете, что одни символы означают силы, другие - массы, инерцию и т.д.,
вы можете обратиться за помощью к здравому смыслу, к интуиции.
Вы видели разные вещи и более или менее знаете, как будут происходить разные явления
Несчастный математик переводит все это на язык уравнений,
и, поскольку символы для него ничего не означают,
у него лишь один компас - математическая строгость и тщательность в доказательствах.
Физик же, который более или менее знает, каким должен быть ответ,
может позволить себе угадать направление и придти к цели довольно быстро
Излишняя математическая строгость не очень полезна в физике.
и в современном математическом взгляде на аксиомы.
Сейчас математики могут делать, всё что хотят.
Их не следует критиковать, потому что они не рабы физики.
Им не обязательно, просто потому что это было бы полезно для вас,
делать всё для этого; они могут делать, что делают --
это их личное дело --
и если вам ещё что-то нужно, тогда разработайте это сами.
Следующий вопрос: когда мы пытаемся найти новые законы,
стоит ли опираться на интуицию и философские принципы:
нравится ли мне принцип минимума / не нравится ;
нравится мне действия на расстоянии / не нравится действие на расстоянии.
-- вопрос в том,
насколько эти модели полезны.
Это очень интересный факт:
очень часто модели помогают --
и многие преподаватели физики пытаются научить пользоваться этими моделями
и приобрести хорошее «чувство физики» для понимания устройства функционирования вещей.
Но всегда выходит так, что величайшие открытия
абстрагируются от модели и модель оказывается бесполезной.
Максвелл создал электродинамику,
наполнив пространство массой воображаемых шестеренок и зубчатых колесиков,
Но колесики и шестеренки мы отбросили,
а теория осталась.
Дирак открыл верные законы квантовой механики --
квантовой механики, связанной с теорий относительности -- просто угадав уравнение.
Этот метод угадывания уравнений кажется очень эффективным способом открытия новых законов.
Это лишний раз доказывает,
что математика дает глубокое описание природы,
а всякая попытка выразить природу,
опираясь на философские принципы или интуитивные механические аналогии,
не приводит к серьезным результатам.
Я должен сказать, что это возможно -- и я часто выдвигал гипотезу --
что физике в конечном итоге не понадобятся математические утверждения,
что устройство будет выявлено -- это просто предубеждение, одно из многих других.
Меня всегда задевает,
что несмотря на все эти «локальные» аспекты,
на самом деле -- независимо от того, насколько мал участок пространства или времени,
в соответствии с законами в нашем современном понимании --
вычислительным машинам требуется выполнить бесконечное количество логических операций,
что бы понять, что там происходит.
Как всё это может происходить на таком крошечном пространстве?
Почему необходимо бесконечное количество логики для понимания того,
что будет происходить на каком-то маленьком паршивом участке пространства-времени?
И я часто выдвигал гипотезы, законы окажутся
так или иначе
простыми как шахматная доска, и что вся сложность заключается в размерах --
Но это предположение того же порядка, что и склонности других людей -
"это мне нравится", "это мне не нравится", - а тут нельзя основываться на личных предубеждениях
Подводя итог,
я хотел бы привести слова Д. Х. Джинса, которой сказал,
что "Великий Архитектор, по-видимому, был математиком"
вам, не знающим математику,
на самом деле довольно сложно передать истинное чувство красоты,
глубочайшей красоты природы.
Ч. П. Сноу говорил о двух культурах.
Я на самом деле думаю, что под этими культурами он подразумевал людей,
у которых есть или нет,
которые понимают, и людей, которые не понимают математики в той мере,
в какой это необходимо, чтобы вполне оценить природу.
Жаль, конечно, что тут нужна математика,
потому что многим людям она дается трудно.
Когда один из [царей] (не знаю правда это или нет)
пытался выучить геометрию у Евклида,
он жаловался, что она была сложной.
И Евклид сказал, «Нет царского пути к геометрии».
Нет самого лёгкого пути.
Это не наша работа,
мы работаем с этим предметом
и не можем его перевести ни на какой другой язык.
Вам нужно -- если вы хотите рассуждать о природе,
узнать о природе, и начать ценить природу,
- необходимо найти язык, на котором она говорит.
Она преподносит свою информацию только в одной форме
Мы не настолько нескромны,
чтобы потребовать её измениться, перед тем, как мы обратим на неё своё внимание.
Мне кажется,
что
никакие умственные доводы никаким образом -- или в очень, очень малом количестве -
передадут глухим ощущение музыки;
все умозаключения мира не убедят людей «другой культуры» -
философов, которые пытаются научить вас приводя качественные описания объекта.
[Люди как] я, пытающийся описать вам это (но это не усваивается, потому что это невозможно),
мы говорим с глухими.
Это, возможно, из-за того, что их кругозоры [так] узки,
что это позволяет им представлять, что центр внимания всей вселенной
это человек
Спасибо.
[аплодисменты]
