
Italian: 
Ho ricevuto molte richieste di una lezione su
il Teorema del Valor Medio
Quindi la farò in questo video
Questo è il Teorema del Valor Medio
Ho sensazioni diverse sul
teorema del valor medio
In un certo senso è chiaro,
ma vi accorgerete
che potrebbe non essere
così ovvio da dimostrare,
anche se l'intuizione su cui è basato è
abbastanza ovvia
Il motivo per cui ho idee
diverse su questo teorema
è che nonostante,
come spero vedrete,
sia abbastanza ovvio da intuire,
lo inseriscono nei libri di matematica,
e le persone
vogliono imparare l'analisi,
arrivare alle cose importanti, e
viene inserito il teorema
del valor medio, e viene usata
tutta questa notazione funzionale,
e ci sono tutti questi
termini, e gli studenti si confondono.
Spero che questo video
lo renderà più chiaro,
e sono curioso di sapere cosa ne pensate.
Quindi vediamo.
Cosa afferma il teorema del valor medio?
Tracciamo gli assi
Farò una spiegazione grafica prima

Arabic: 
لقد تلقّيت العديد من الطلبات لأشرح
نظريّة القيمة المتوسّطة
فلنفعلها إذًا في هذا الفيديو
إذا هذه هي نظريّة القيمة المتوسّطة
نظريّة القيمة المتوسطة
لديّ مختلط المشاعر نحو نظرية القيمة المتوسطة
إنها أنيقة نوعًا ما، لكن ما سترونه
لكن يكون واضحًا، لكن الحدس خلفها
واضح جدًّا
وسبب كوني لديّ مشاعر مختلطة حولها أنه حتى مع
الحدس الواضح كما سترون
لكنهم يدخلونها في كتب الرياضيات
فقط لمحاولة تعلم التفاضل والتكامل
وبعدها يدخلون نظرية القيمة المتوسطة ولديهم
كل هذه التدوينات وكل هذه الكلمات
إنها تحيّر الناس
فأتمنى أن يوضّح هذا الفيديو القليل
وأنا فضولي لمعرفة ما ستفكرون به
فلنبدأ
ماذا تقول نظرية القيمة المتوسطة؟
دعوني أرسم بعض المحاور
سأقوم بالشرح النظري أولًا

Polish: 
a
Dostałem wiele próśb o wyjaśnienie
Twierdzenia Lagrange'a
Więc zróbmy to w tym filmie
Tak więc to jest
twierdzenie Langrange'a
I mam co do niego mieszane odczucia
Jest całkiem fajny, ale to co zobaczycie może nie być
zbyt oczywiste do wyjaśnienia, chociaż sam sens tego
jest całkiem prosty.
No a powód dla którego mam mieszane odczucia, to, jak mam nadzieję zuważycie,
pomimo tego że jest to w miarę proste,
wciskane jest to do podręczników od matematyki
i ludzie próbujący nauczyć się rachunku różniczkowego, próbujący dostać się do tego co ważne
dochodzą do tego twierdzenia i widzą
wszystkie te notacje,
wszystkie te słowa, i są zdezorientowani.
Więc mam nadzieję, że to wideo wyjaśni to wszystko choć trochę
I jestem ciekaw co o nim sądzicie
Tak więc
O czym mówi samo twierdzenie?
Narysujmy kilka osi
Zacznę od

Georgian: 
ბევრი მთხოვს, რომ ავუხსნა ან ვასწავლო
საშუალო მნიშვენლობის თეორემა
ასე, რომ გავაკეთოთ ეს ამ ვიდეოში.
მაშ ასე ეს არის საშუალო 
მნიშვნელობის თეორემა.
საშუალო მნიშვნელობის თეორემის 
მიმართ შერეული აზრი მაქვს.
თითქოს გასაგებია, მაგრამ ნახავთ, რომ ის
შეიძლება დასამტკიცებლად ადვილი არ იყოს.
თუმცა აზრი მის მიღმა, საკმაოდ აშკარაა.
მიზეზი, რის გამოც მაქვს შერეული აზრი,
არის ის რომ მიუხედავად იმისა, რომ
არსი გასგაებია, ის 
მათემათიკის წიგნებით მყარდება,
ხალხი კი ცდილობს ისწავლოს
კალკულუსი, რომ გაერკვეს მასში,
ხოლო შემდეგ კი საშუალოს
თეორემას იქ ჩაურთავენ.
აკეთებენ ჩანაწერებს, სწავლობენ წესებს, 
და ეს მხოლოდ და მხოლოდ აბნევს მათ.
ვიმედოვნებ ეს ვიდეო ცოტა 
მაინც დააზუსტებს ამ საკითხს.
ეხლა კი მაინტერესებს 
თქვენ რას ფიქრობთ ამ თემაზე.
მოდით ვნახოთ.
რას გეუბნევათ საშუალო
მნიშვნელობის თეორემა?

German: 
Ich habe mehrere Anfragen bekommen,
den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu erklären.
Also lasst es uns in diesem Video angehen.
Das ist also der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Ich betrachte den Mittelwertsatz mit gemischten Gefühlen.
Er ist ziemlich nützlich, aber ihr werdet sehen, dass er nicht
einfach zu beweisen ist, obwohl die Idee dahinter
ziemlich offensichtlich ist.
Der Grund dafür, warum ich gemischte Gefühle habe, ist der
obwohl, wie ihr hoffentlich sehen werdet, die Idee dazu recht
offensichtlich ist, aber sie stecken ihn in die Mathebücher, und die Leute
veruschen Analysis zu lernen und sie kommen dort zu die wichtigen Stellen,
und das verwirrt die Leser.
Fachnotationen und -begriffen zu Funktionen erklärt,
und ich bin gespannt, was ihr darüber denkt.
Das Video kann hoffentlich etwas zum Verständnis beitragen,
Was besagt der Mittelwertsatz?
Mal sehn.
Ich erkläre ihn erstmal optisch.

Slovak: 
Dostal som viac žiadostí o vysvetlenie
vety o strednej hodnote.
Tak poďme to urobiť v tomto videu.
Takže toto je veta o strednej hodnote.
A ja mám zmiešané pocity pri Vete o strednej hodnote.
Je to úhľadné, ale to čo budete vydieť je, že to nemusí byť
jednoduché dokázať, ale intuitívne je to
dosť očividné.
A dôvod prečo mám zmiešané emócie kvôli tomu, je že
ako budete dúfajme vidieť, intuitívne je to dosť
jasné, ale zostáva to v učebniciach matematiky, a ľudia
čo sa snažia naučiť calculus a zisťujú čo je dôležité, a
zaradia medzi to aj vetu o strednej hodnote,
a majú všetky tieto notácie funkcií a všetky
tie slová, a to všetko iba pletie ludí.
Takže dúfajme že toto video to trochu ozrejmí,
a som zvedavý čo si o tom myslíte.
Tak, pozrime sa.
Čo znamená veta o strednej hodnote?
Nechajte ma nakresliť nejaké osi.
Najprv urobím vizuálne vysvetlenie.

Estonian: 
Minult on mitu korda palutud, et ma seletaks või õpetaks
keskväärtusteoreemi.
Ma teen seda selles videos.
See on keskväärtusteoreem.
Mul on erinevad arvamused keskväärtusteoreemist.
Ühest küljest on see kena, aga mida sa näed võib olla
raske, et tõestada, aga intuitsioon selle taga
on ilmselge.
Põhjus, miks mul on erinevad arvamused sellest, on et, kuigi
intuitsioon on ilmsege, mida sa loodetavasti ka näed, aga
nad panevad selle matemaatika õpikutesse ning inimesed
lihtsalt üritavad algebrat õppida ning jõuda selleni, mis loeb ning
siis pannakse sinna sisse keskväärtusteoreem ning neil
on see fukntsioon kirjaviisis ning seal on kõik need sõnad
ning kõik see ajab inimesed segadusse.
Loodetavasti see video teeb seda veidike selgemaks
ning mind huvitab, mida sa sellest arvad.
Alustame...
Mida ütleb keskväärtusteoreem?
Ma joonistan mõned teljed.
Ma teen visuaalse selgituse esmalt.

Dutch: 
Ik ben enige malen gevraagd om de zogenaamde
middelwaardestelling uit te leggen
Dat gaan we dus doen in deze video
Dit is de middelwaarde steling
En ik ben een beetje verdeeld over de middelwaardestelling
Hij is leuk, maar wat je gaat zien is dat hij niet
voor de hand liggend te bewijzen valt, maar de intuitie erachter ligt wel
voor de hand.
En ik ben er verdeeld over omdat, hoewel,
zoals je hopelijk ziet, de intuitie voor de hand ligt
maar, zodra je het in een wiskundeboek stopt, waaruit mensen
leren rekenen, en de essentie proberen te vatten
en dan komen ze de middelwaardestelling tegen,
met een boel functie notaties en een boel
woorden, dan wordt her erg verwarrend.
Hopelijk verduidelijkt deze video het een beetje,
en ik ben benieuwd wat je er van vindt.
Laten we dus maar beginnen.
Wat zegt de middelwaardestelling
Laten we beginnen met een assenstelsel.
Ik leg het eerst in een tekening uit.

French: 
J'ai reçu des requêtes pour expliquer le
théorème des valeurs intermédiaires.
C'est ce que je vais faire dans cette 
vidéo
Voici le théorème
Je ne sais pas quoi penser de ce théorème
Cela semble simple, mais vous allez voir
ce n'est pas si
facile à prouver, mais cela reste tout de même
plutôt intuitif
Et la raison du fait que je ne sais pas trop quoi penser de ce théorème c'est que, même si
comme vous allez voir l'intuition vient
d'elle même
mais c'est mis dans les livres de maths et
et le ce théorème apparaît avec toute
cette notation et tous ces
mots et cela rend tout confus
J’espère que cette vidéo permettra de
clarifier tout cela une peu.
Allons voir
Que dit ce théoreme
je vais dessiner les
axes pour expliquer visuellement

Hungarian: 
Több kérést is kaptam, hogy magyarázzam el vagy tanítsam meg
a középértéktételt.
Szóval pont ezt teszem ebben a videóban.
Szóval ez a középértéktétel.
Középértéktétel
És vegyesek az érzéseim a középértéktétel kapcsán.
Egész jól néz ki, de amit látni fogunk az az, hogy
nem feltétlenül nyilvánvaló a bizonyítás, de a mögötte lévő
megérzés elég nyilvánvaló.
És amiért vegyes érzéseim vannak, az az, hogy
habár, ahogy remélhetőleg látható lesz, a megérzés elég
nyilvánvaló, de beteszik a matekkönyvekbe, és az emberek
csak meg akarják tanulni a számításokat, és eljutni azokhoz a dolgokhoz, amik számítanak,
erre beteszik oda a középértéktételt, és van ez a sok
függvényjelölés, és ez a sok szó,
és ez csak összezavarja az embereket.
Szóval remélhetőleg ez a videó tisztázza ezt egy kicsit,
és kíváncsi vagyok, mit gondoltok róla.
Szóval lássuk csak.
Mit mond a középértéktétel?
Hadd rajzoljak pár tengelyt.
Először vizuálisan magyarázom el.

Spanish: 
-
Me han llegado muchas peticiones para explicar o enseñar el
teorema del valor medio.
Asi que hagámoslo en este video.
Asi que este es el teorema del valor medio
...
Y tengo distintos pensamientos sobre el teorema del valor medio
Parece muy fácil, pero te darás cuenta que puede que no lo sea
obvio probarlo, pero la intuición detras de esto
es muy obvia
Y la razón por la que tengo pensamientos diferentes es porque
incluso, y espero lo veas, la intuición es muy
obvia, pero se apegan a los libros de matematicas, y la gente
solo trata de aprender cálculo, y dar a entender lo que "importa", y
entonces han puesto el teorema del valor medio ahí, y tienen
todas esas notaciones de funciones, y todas esas
palabras, y esto solo confunde a la gente.
Así que con un poco de suerte este vídeo aclarará eso un poco,
y estoy ansioso de ver que piensas de eso.
Así que veamos.
¿Qué dice el teorema del valor medio?
déjame dibujar algunos ejes
Haré una explicación visual primero

Russian: 
Меня просили разобрать
теорему Лагра́нжа о среднем значении, её ещё называют формулой конечных приращений.
Давайте поговорим об этом в этом видео.
Итак, теорема Лагранжа.
Вообще-то мое отношение к ней не однозначно.
С одной стороны она проста, но то, что вы увидите может быть
не очень-то легко доказать, хотя смысл
довольно очевиден.
Причина моего неоднозначного отношения в том, что,
как мы увидим, смысл довольно
очевиден, но ее засунули в учебник математики, когда человек
только пытается постигнуть дифференциальное исчисление и разобраться в его основах,
и тут вдруг появляется эта теорема
со всеми ее нюансами, со всеми
словами, которые просто сбивают с толку.
Надеюсь, мы с этим разберемся в этом видео,
и мне интересно узнать ваше мнение.
Приступим.
Какой же смысл у этой формулы (теоремы)?
Нарисуем оси координат.
Сначала я объясню все графически.

Chinese: 
我已经得到了多次要求解释或教
中值定理。
因此，让我们做这个视频。
因此，这是中值定理。
我有关于中值定理的百感交集。
这是一种整齐，但你会看到的是，它可能不是
明显的证明，但其背后的直觉
很明显的。
我百感交集的原因是，即使
不过，您就会希望看到，直觉是漂亮
显而易见的但他们把它放在数学书籍中，而且人
只试着学习微积分，，哪些事项，及
然后他们把值定理在那里，和他们有
所有这一切都函数表示法中，，所有的这些都
词和它只是混淆了人。
所以希望这个视频会澄清这一点，
我很好奇，想看看你的想法。
让我们看看。
中值定理的说是什么？
让我画一些轴。
我第一次做形象的解释。

Bulgarian: 
-
Няколко пъти съм получавал подкани да обясня
теоремата за средна стойност
Нека се заемем с това в този клип
Това е теоремата за средна стойност
Имам смесени чувства за тази теорема
Ясна е, но както ще видите, не е лесна
за доказване, въпреки че интуицията, която
стои зад нея е очевидна
Ето защо имам смесени чувства
Въпреки, че както надявам се ще видите, интуицията
е очевидна, често отделят прекалено внимание на теоремата
в учебници, а хората искат да учат висша математика и да достигнат до
нещо смислено – а получават теоремата за средна стойност,
пълна с безброй функции и объркващи думи
-
Така, че се надявам този клип да изясни теоремата
и ще съм любопитен да чуя какво мислите
Да видим
Какво гласи теоремата за средна стойност
Нека начертая няколко оси
Първо ще обясня визуално

Turkish: 
-
Ortalama değer teoremini anlatmam için birkaç istek aldım.
-
Bu videoda bu konuyu yapalım.
Ortalama değer teoremi.
-
Ortalama değer teoremi hakkındaki hislerim biraz karışık.
Güzel bir teorem, mantığını kolayca anlıyoruz. Ama ispatlaması çok kolay değil.
-
-
Hislerimin karışık olmasının sebebi ise, çok mantıklı bir teoremi, analiz kitaplarında fonksiyon notasyonu ile kafa karıştırıcı bir şekilde ifade etmeleri.
-
-
-
-
-
-
Bu videonun konuya açıklık getireceğini umuyorum, ve geribildiriminizi merak ediyorum.
-
Şimdi.
Ortalama değer teoremi neyi ifade ediyor?
Eksenleri çizeyim.
Önce, görsel bir şekilde anlatacağım.

Korean: 
이것이 바로 평균값 정리입니다.
명확하게 증명되지는 않지만, 직관적으로 이것은
매우 분명합니다.
그리고 내가 이런 감정들을 갖고 있는 이유는,
이것이 비록 당신이 이 직관이 분명하더라도
하지만, 이것들이 수학책들과 사람들이
미적분학을 배우기 위해서, 그리고

Romanian: 
Am cateva cereri de a explica sau de a invata
teorema valorii medii
Sa facem aceasta in acest video
Iata teorema valorii medii.
Am sentimente amestecate despre teorema valorii medii
Este intr-un fel ordonat, dar ceea ce veti vedea poate ca nu este chiar
probat evident, dar intuitia din spatele acesteia este
foarte evidenta
Si motivul pentru care am sentimente amestecate despre aceasta,

Czech: 
Několik lidí mě požádalo abych vysvětlil
větu o střední hodnotě diferenciálního počtu.
Takže to udělám v tomto videu.
Takže toto je věta o střední hodnotě diferenciálního počtu.
Nevím přesně co si o této větě myslet.
Je docela úhledná, ale jak můžete vidět,
možná není jednoduché ji vysvětlit,
ale ve skutečnosti je docela samozřejmá.
A důvod proč nevím co si o ní myslet je,
přeztože, jak snad vidíte, je docela samozřejmá,
ale vrazí ji do učebnic matematiky
a lidé se jenom snaží naučit počítat 
a dostat se k podstatným věcem
a pak narazí na větu o střední hodnotě diferenciálního počtu
s všemožnými symboly a slovy,
které lidi matou.
Takže doufám, že toto video pomůže 
tuto problematiku trochu objasnit
a zajímalo by mě co si o tom myslíte.
Takže,
co říká věta o střední hodnotě diferenciálního počtu?
Nakreslím si osy.
Nejdříve udělám názornou ukázku.

Portuguese: 
Eu recebi varios pedidos para explicar ou ensinar o
Teorema do Valor Medio.
Entao vou fazer Isso neste video.
Este e' o teorema do Valor Medio
E eu tenho sentimentos confusos sobre o theorem a do valor medio.
E eu tenho sentimentos confusos sobre o teorema do Valor Medio.
E' bem interessante, mas voce vera que pode nao ser
Facil prova-lo, mas o conceito e'
bastante obvio.
E a razao pela qual tenho sentimentos confusos sobre ele, e' por que apesar de
Dificil, como espero que voce veja, a intuicao e' muito
Clara, mas se limitado a livros de Matematica, e pessoas estao
Somente tentando aprender Calculo, e ir ao que realmente importa e
Incluem o teorema do valor Medio ai, e eles tem
Todas essas notacoes de funcoes, e tem Todas essas
Palavras, o que acaba confundindo as pessoas.
Entao espero que esse video clarifique um pouquinho
E estou curioso para saber o que voce pensa a respeito do teorema.
Entao vejamos..
O que o teorema do valor Medio diz?
Deixe me desenhar alguns eixos.
Farei primeiro uma explicacao visual

Thai: 
-
ผมได้รับการร้องขอให้อธิบายหรือสอน
ทฤษฏีบทค่ากลาง (mean value theorem)
งั้นลองดูกันในวิดีโอนี้
และนี่คือทฤษฏีค่ากลาง
-
ผมรู้สึกครึ่ง ๆ กลาง ๆ เกี่ยวกับทฤษฏีบทค่ากลางนี้
มันดูเหมือนเนี๊ยบ แต่สิ่งที่คุณจะเห็นคือ มันอาจ
ไม่ตรงไปตรงมาในแง่การพิสูจน์ แต่โดยสัญชาตญาณแล้ว
มันค่อนข้างตรงไปตรงมา
และสาเหตุที่ผมรู้สึกแปลก ๆ เกี่ยวกับมันคือว่า
แม้ว่า คุณคงเห็นเอง สัญชาตญาณจะตรงไปตรงมา
แต่มันยังอยู่ในหนังสือเลข และผู้คน
พยายามเรียนแคลคูลัส ได้สิ่งที่สำคัญ
แล้วเขาก็ใส่ทฤษฏีบทค่ากลางลงไป แล้วเขาก็
มีสัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันนี้ เขามีคำพวกนี้
ไว้แค่ทำให้คนงง
หวังว่าวิดีโอนี้จะช่วยทำให้เข้าใจขึ้นหน่อย
และผมอยากรู้ว่าคุณคิดยังไงบ้าง
ลองดูกัน
ทฤษฏีบทค่ากลางบอกว่าอะไร
ขอผมวาดแกนหน่อยนะ
ผมจะอธิบายด้วยภาพก่อน

Chinese: 
我已經得到了多次要求解釋或教
均值定理。
因此，讓我們做這個視頻。
因此，這是均值定理。
對於均值定理 我感到很複雜。
這是一種整齊，但你會看到的是，它可能不是
明顯的證明，但其背後的直覺
是很明顯的。
我感到複雜的原因是，即使
您就會希望看到，直覺是相當
顯而易見的，但他們把它放在數學書籍中，而且人
只是想學習微積分，並獲得哪些事項，及
然後他們把均值定理放在那裡，他們有
這個函數符號，有所有的這些
詞，它只是混淆了人。
所以希望這個視頻會澄清這一點，
我很好奇，想看看你的想法。
讓我們看看。
均值定理的說是什麼？
讓我畫一些軸。
我第一次做表面的解釋。

Modern Greek (1453-): 
Έχω λάβει αρκετά αιτήματα για να εξηγήσω ή να διδάξω
την θεωρία της μέσης τιμής.
Oπότε για να κάνουμε το βίντεο.
Οπότε αυτή είναι η θεωρία της μέσης τιμής.
Kαι έχω ανάμιχτα συναισθήματα για την θεωρία της μέσης τιμής.
Είναι αρκέτα καλό αλλά αυτό που θα δείτε είναι ότι μπορεί
να μην είναι προφανές ο τρόπος απόδειξης της θεωρίας
αλλά η σκέψη πίσω απ' τη θεωρία είναι
αρκετά προφανές.
Και ο λόγος για τον οποίο έχω ανάμεικτα συναισθήματα για την θεωρία αυτή είναι ότι ενώ
όπως ευελπιστώ θα δείτε η ιδέα είναι
αρκέτα προφανές αλλά το βάζουν στα βιβλία των μαθηματικών
και τα άτομα που προσπαθούν να μάθουν

Vietnamese: 
Tôi nhận được vài lời đề nghị để giải thích và hướng dẫn
về Định lý giá trị trung bình (ĐLGTTB)
Và đó là điều ta sẽ làm rtrong video này
Vậy đây là ĐLGTTB
Tôi có nhiều cảm xúc về định lý này
nó có vẻ gọn, nhưng bạn sẽ thấy sẽ ko đơn giản
đẻ chứng minh, nhưng trực quan thì
khá là dễ hiểu
Và lý do tôi có nhiều cảm xúc về nó, là dù rằng
như bạn mong đợi, một cách trực quan nó khá là
dễ hiểu, nhưng khi họ viết nó vào sách, và mọi người
khi học giải tích, cố gắng hiểu những gì mình cần, và
họ đưa vào ĐLGTTB, và họ viết
đủ dấu ký hiệu hàm số, rồi họ có một đống
chữ, và nó làm người ta khó hiểu.
Vậy hi vọng video này sẽ làm sáng tỏ đôi chút
và tôi tò mò ko biết bạn sẽ nghĩ gì.
Và bắt đầu
ĐLGTTB nói gì?
Để tôi vẽ các trục
Tôi sẽ giải thích bằng hình trước

English: 
I've gotten several requests
to explain or teach the
mean value theorem.
So let's do that in this video.
So this is the mean
value theorem.
And I have mixed feelings
about the mean value theorem.
It's kind of neat, but what
you'll see is, it might not be
obvious to prove, but the
intuition behind it's
pretty obvious.
And the reason I have mixed
feelings about it, is that even
though, as you'll hopefully
see, the intuition is pretty
obvious, but they stick it in
the math books, and people are
just trying to learn calculus,
and get to what matters, and
then they put the mean value
theorem in there, and they have
all of this function notation,
and they have all of these
words, and it just
confuses people.
So hopefully this video will
clarify that little bit,
and I'm curious to see
what you think of it.
So let's see.
What does the mean
value theorem say?
Let me draw some axes.
I'll do a visual
explanation first.

Spanish: 
...
Creo que utilizaré magenta para esto
Así que ese es mi eje X.
...
y este es mi eje Y
Y digamos que tengo una funcion f de x (f(x))
...
Así que dibujare mi f de x [ f(x) ]
esa es tan buena como cualquiera.
Y esta es una función f de x, y voy a poner
unas condiciones para f de x
f de x tiene que ser continua y diferenciable
y se que muchos de ustedes probablemente se austen
cuando oigan esas palabras.
Suena como lo que diría un matematico, y
eso suena muy abstracto
Continuo significa que la curva esta conectada
a si misma a medida que la recorremos
y aqui, las condiciones se hacen sobre un intervalo cerrado
este es otro termino matemático que verás

Hungarian: 
Középértéktétel
Azt hiszem ez magentát kíván.
Szóval ez az x-tengelyem.
Ez az y-tengelyem.
És mondjuk van egy x változós f függvényem.
Szóval lerajzolom az x változós f-et.
Ennél jobb nem lesz.
És ez valami f(x) függvény, és adok pár
feltételt f(x)-re.
f(x)-nek folytonosnak és differenciálhatónak kell lennie.
És tudom, hogy sokan közületek megijednek,
ha ezeket a szavakat hallják.
Úgy hangzik, mint amit egy matematikus mondana, és
elég elvontan hangzik.
A folytonosság azt jelenti, hogy a görbe kapcsolódik
önmagához, ahogy haladunk rajta.
És itt a feltételek egy zárt intervallumon érvényesek.
Ez egy másik nagyon matekos kifejezés, amivel találkozhattok.

Turkish: 
-
-
x ekseni.
-
y ekseni.
Bir f x fonksiyonumuz olduğunu varsayalım.
-
f x'i çizeyim.
Bu iyi.
f x fonksiyonuna bazı kısıtlamalar getireceğim.
-
f x sürekli ve türevli olmak zorunda.
Çoğunuzun bu sözcükleri duyunca korktuğunu biliyorum.
-
Bir matematikçinin söyleyebileceği soyut sözlere benziyor.
-
Süreklinin anlamı, eğri boyunca tüm noktaların birbirine birleşik olması.
-
Ve burada, kısıtlamalar kapalı bir aralıkta geçerli.
Bu da çok matematiksel bir terim.

Chinese: 
我認為這要洋紅色。
這就是我的 x 軸。
這是我的 y 軸。
並讓我們說我有一些函數 f(x)。
所以讓我畫f(x)。
這跟任何一樣好。
這是一些函數 f(x)、 和我要去定
f(x)的幾個條件。
f(x)必須是連續的和可微的。
我知道你可能會被嚇倒
當你聽到這些話。
這聽起來像一位數學家會說，而且
這聽起來很抽象。
連續是表示曲線連接到
本身當你沿著它時。
然後在這裡，條件是在閉區間中。
這是你看到另一個非常數學的術語。

Italian: 
credo che questo selezioni il magenta
Questo è il mio asse x
questo è il mio asse y
e diciamo che ho una certa funzione f(x)
dunque disegno la mia f(x)
una vale l'altra
Questa è una funzione f(x), e porrò
alcune funzioni su f(x)
f(x) deve essere continua e derivabile
e so che molti di voi
probabilmente si impauriscono
quando sentono queste parole
Sembra il modo in cui
lo direbbe un matematico, e
sembra molto astratto.
Continua significa
che la curva è connessa con
se stessa lungo il proprio percorso.
E qui, le condizioni valgono
in un intervallo chiuso.
Questo è un altro termine
molto tecnico che vedrete.

Vietnamese: 
Tôi nghĩ họ gọi màu này là màu thuộc nhuộm đỏ
Vậy đây là trục hoành
Đây là trục tung
Và tôi có một hàm f(x)
Vẫy hãy vẽ f(x)
Khá là tốt rồi
Đây là một hàm f(x), và tôi sẽ đưa vào
vài điều kiện cho f(x)
f(x) phải liên tục và khả vi
Tôi biết nhiều bạn đã bắt đầu thấy rợn
khi bạn nghe mấy từ này
Nghe như nhà toán học phán, và
có vè phức tạp
Liên túc chỉ là đường cong đồ thị nối liền nhau
khi bạn đi đến bất cứ điểm nào
Và đây, điều kiện nằm trong một khoàng đóng.
Lại một thuật ngữ toán học

Bulgarian: 
-
Ще взема пурпурен цвят
Това ми е оста x
-
А това ми е оста y
И да кажем, че имам функция f от x
-
Нека начертая f от x
Това е достатъчно добре
Това е някаква функция f от x, за която
ще включа няколко условия
f от x е непрекъсната и диференцируема функция
И знам, че много от вас се плашат
като чуят тези думи
Звучи като думите на математик
и е много абстрактно
'Непрекъсната' просто значи, че кривата е свързана
по цялата си дължина
И тук, условията са за затворен интервал
Още един много математически термин, на който ще попаднете

French: 
je prends du magenta
voici mon axe des
abscisses
le voila
et supposons que j'ai une fonction f(x)
que je vais dessiner comme cela
une fonction quelconque
donc voici ma fonction f(x) et je
vais ajouter quelques conditions
f(x) doit être continu et differentiable,
beaucoup
d'entre vous ont peur de ces mots
cela sonne très mathémathique
et très abstrait
continu veut dire qu'on peut dessiner la
courbe sans quitter la feuille

Estonian: 
Selle jaoks kasutan punast värvi.
See on mu x-telg.
See on mu y-telg.
Ütleme, et mul on funktsioon f(x).
Ma joonistan oma f(x).
See on päris hea.
See on funktsioon f(x) ja ma lisan
paar tingimust f(x)'i.
f(x) on pidev ja eristatav.
Ma tean, et paljud hakkavad kartma, kui
nad kuulevad neid sõnu.
See kõlab midagi, mida matemaatik ütleks ning
see kõlab väga abstraktsena.
Pidev tähendab, et kaar on endaga ühendatud, kui
sa lähed seda mööda.
Siin on tingimused kinnises intervallis.
See on järjekordne matemaatiline termin.

German: 
Lass mich einige Achsen zeichnen.
Also hier ist meine x-Achse.
Hier die y-Achse.
Das schreit nach pink.
Lasst mich mein f von x zeichnen.
So gehts.
Das ist also eine Funktion f von x, der ich jetzt noch einige
Nehmen wir an, wir haben irgendeine Funktion f von x.
f von x muss stetig und differenzierbar sein.
Und ich weiß, dass viele von euch wahrscheinlich abgeschreckt werden,
werden ihr diese Worte hört.
Sie klingen wie es ein Mathematiker ausdrücken würde,
Bedingungen geben werde:
Stetig heißt nichts anderes, als dass die Kurve überall
durchgängig ist.
Und hier sind die Bedingungen über eingem geschlossenen Intervall festgelegt.
Das ist noch ein anderer mathematischer Begriff.

Thai: 
-
ผมว่านี่เรียกว่าสีบานเย็นนั่น
นั่นคือแกน x ผม
-
นี่คือแกน y ผม
และสมมุติว่ามีฟังก์ชัน f ของ x
-
งั้นขอผมวาด f ของ x
ดีมาก
และนี่คือฟังก์ชันสักอันของ x และผมจะใส่เงื่อนไข
บางอย่างเกี่ยวกับ f ของ x
f ของ x ต้องต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้
และผมรู้ว่าพวกคุณหลายคนอาจกลัว
เมื่อคุณได้ยินคำเหล่านี้
มันฟังเหมือนสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เขาพูดกัน
และฟังดูนามธรรมมาก
ต่อเนื่อง หมายถึงว่า เส้นโค้งต่อกันไป
เมื่อคุณตามมันไปเรื่อย ๆ
และตรงนี้ เงื่อนไขกำหนดตลอดช่วงปิด
นี่เป็นศัพท์คณิตศาสตร์อีกอันที่คุณจะพบ

Portuguese: 
Acho que Isso pede uma cor carmim(magenta)
Entao este e' o meu eixo X
Este e' o meu eixo Y.
E digamos que eu tenha uma funcao f de x.
Vou desenhar a funcao f de x.
Boa como qualquer outra :)
E nessa funcao, colocarei
Algumas condicoes
f de x tem que ser continua e diferenciavel.
E sei que muitos de voces se intimidam
Quando ouvem essas palavras
Soa como discursos de matematicos e
Soa muito abstrato.
O termo "continua" significa que a curva e' toda conectada
A medida em que voce a percorre
E aqui, as condicoes se encontram em um intervalo fechado
Esse e' um outro termo muito especifico de Matematica que voce vera

Czech: 
( Tady to chce růžovou)
Tak tohle je moje osa x.
Tohle je moje osa y.
A řekněme že mám funci f závislou na x.
Takže si nakrelím funci f závislou na x.
Nezáleží na tom jakou.
Tak tohle je nějaká funce f (x)
a teď k ní přidám několik podmínek.
f (x) musí být spojitá a diferencovatelná.
Vím že hodně z vás se pravděpodobně děsí,
když slyšíte tato slova.
Zní to jako něco co by řekl matematik,
zní to velmi abstraktně.
To že je funkce spojitá znamená jednoduše,
že křivka je po celé délce propojená.
A v tomto případě jsou tyto podmínky na uzavřený interval.
To je další matematický pojem, se kterým se setkáte.
Často řeknete: "na uzavřeném intervalu od a do b".

Dutch: 
Ik ga hiervoor magenta gebruiken.
Da's mijn x-as.
Dit is mijn y-as
Laten we zeggen dat we een functie f hebben van x.
Dit is mijn tekening van f als functie van x
Dat volstaat.
Ik ga een paar voorwaarden
stellen aan f als functie van x
f(x) moet continu en differentieerbaar zijn
Ik weet dat dat een beetje intimiderend klinkt
met deze woorden
Het is jargon van de wiskundigen
en daarom klinkt het wat abstract
"Continu" betekent eigenlijk alleen dat de curve op ieder punt met
zichzelf in verbinding staat wanneer je er langs beweegt
Hier zijn de voorwaarden geldig voor een gesloten interval
Nog zo'n wiskundig jargon.

Arabic: 
أعتقد أن هذا يتطلب اللون الأرجواني
هذا هو محور السينات
وهذا هو محور الصادات
ولنقل أنه لدي الدالة f الـx
فلنرسم الدالة f الـx
هذا الرسم جيّد
وهذا جزء من الدالة f الـx وسأقوم بوضع
بضعة شروط للدالة f الـx
الدالة f الـx يجب أن تكون متصلة وقابلة للاشتقاق
وأعلم أن الكثير منكم يخافون
عندما يسمعون هذه الكلمات
تبدو وكأنها من أقوال أساتذة الرياضيات
تبدو مجرّدة جدًّا
أن تكون متصلة تعني أن الانحناء متصل
بنفسه على طوله
ويجب أن تكون على فترة مغلقة
هذا مصطلح رياضيّ آخر ستراه

Polish: 
wizualnego wyjaśnienia
Użyjmy magenty
Tak więc to jest moja oś X
oś X
A to jest moja oś Y
No i powiedzmy,
że mamy jakąś funkcję f od x
Narysujmy ją
Wystarczająco dobra
Więc to jest jakaś funkcja f od x, i nałożę
na nią kilka warunków
f od x musi być ciągła oraz różniczkowalna
I wiem że wielu z was się zniechęci
słysząc te słowa
Brzmi to dokładnie jak coś co powiedziałby matematyk
bardzo abstrakcyjnie
Ciągłość funkcji oznacza że jest ona połączona ze sobą
przez całą swoją długość
A w tym przypadku, warunki działają na ograniczonym przedziale
To kolejne bardzo matematyczne stwierdzenie z jakim będziecie się spotykać

Georgian: 
მოდით რამდენიმე ღერძს დავხაზავ.
ჯერ ვიზუალურად ავხსნი.
მგონი ეს ჟოლოსფერია.
ეს არის ჩემი X ღერძი.
ხოლო ეს ჩემი Y ღერძია.
ვთქვათ მაქვს X-ის რამდენიმე ფუნქცია.
მოდით დავხაზავ X-ის ფუნქციას.
კარგი გამოვიდა.
ეს X-ის ფუნქციაა და ეხლა ვაპირებ 
მასში პატარა პირობა ჩავდო.
X-ის ფუნქცია უნდა იყოს უწყვეტი
და დიფერენცირებული.
ვიცი ეხლა ამ სიტყვის გაგონების
ბევრ თქვენთაგანს შეეშინდა.
მათემათიკოსი იტყოდა ასე და 
საკმაოდ აბსტრაქტულადაც ჟღერს.
უწყვეტი ნიშნავს, რომ მრუდი 
თავის თავთან არის დაკავშირებული,
როგორც კი მის გასწვრივ მიდიხარ.
ხოლო პირობა არის, რომ 
უნდა იყოს ახლო ინტერვალში.

Russian: 
Пожалуй, тут понадобится красный цвет.
Ось Х.
Ось Y.
Предположим, что у меня есть некоторая функция f от x.
Давайте нарисуем f от х.
Примерно так.
Вот некоторая функци f от x, и она должна
отвечать некоторым условиям.
f от x должна быть непрерывной и дифференцируемой.
И я знаю, что некоторые могут испугаться
при этих словах.
Какой-то математический жаргон,
доволено бессмысленно.
"Непрерывная" означает, что кривая не имеет разрывов.
По ней можно пройти от начала до конца.
И здесь условия применимы к отрезку.
И это тоже очень математический термин.

English: 
I think this calls for magenta.
So that's my x-axis.
This is my y-axis.
And let's say I have
some function f of x.
So let me draw my f of x.
That's as good as any.
And this is some function f
of x, and I'm going to put
a few conditions on f of x.
f of x has to be continuous
and differentiable.
And I know a lot of you
probably get intimidated
when you hear these words.
It sounds like what a
mathematician would say, and
it sounds very abstract.
All continuous means is that
the curve is connected to
itself as you go along it.
And here, the conditions are
over a closed interval.
This is another very
mathy term you'll see.

Chinese: 
我认为，这就要求洋红色。
这就是我的 x 轴。
这是我的 y 轴。
并让我们说我有一些函数 f x。
所以让我画我 f x。
这就是一样好。
这是一些函数 f x、 和我要去把
f x 的几个条件。
f x 必须是连续的和可微。
我知道你很多可能得到吓倒
当你听到这些话。
这听起来像一位数学家会说，和
这听起来很抽象。
所有连续的手段是曲线连接到
本身作为您沿着它走。
在这里，条件是在闭区间。
这是您将看到另一个非常数学术语。

Slovak: 
Myslím že toto si žiada purpurovú.
Takže toto je moja os x.
Toto je moja os y.
A povedzme že mám nejakú funkciu f(x)
Tak poďme nakresliť moju f(x)
Táto je dobrá ako každá.
A toto je nejaká funkcia f(x), a ja idem zadať pár
podmienok f(x)
f(x) musí byť súvislá a diferencovateľná.
A viem , že pravdepodobne mnohí z vás sa zľaknú
keď počujú tiero slová.
Znie to ako niečo čo by povedal matematik
a znie to veľmi abstraktne.
Spojitá znamená, že krivka je napájaná na
seba ako idete pozdĺž nej.
A tu, podmienky sú v uzavretom intrervale.
A toto je ďalší veľmi matematický pojem ktorý budete vidieť.

Czech: 
To jednoduše znamená interval, 
řekněme že a je spodní hranice,
nevíme jaké to je číslo.
Mohlo by to být -5, kdo ví.
A tady bude b.
Řekněme že toto je b.
Takžy když lidé mluví o uzavřeném intervalu, definované na
uzavřeném intervalu, to znamená, 
že funkce musí být definovaná
v každé hodnotě mezi a a b a zároveň
muzí být definovaná v bodech a i b.
Pokud mluvíme o otevřeném intervalu od a do b,
znamená to, že je pouze definovaná 
v každé hodnotě mezi a a b,
ale ne nutně v a a v b.
Takže musí být spojitá, diferencovatelná a řekněme
že je definovaná na uzavřeném intervalu
a toto je pouze označení, a, b.
To znamená, že musí být definovaná ve všech hodnotách x
od a do b, včetně a i b.

German: 
und es klingt sehr abstrakt.
Das heißt nur, dass, nehmen wir an, a ist der Tiefpunkt,
also hier ist a, wir wissen nicht, welchen Wert das hat.
Es könnte minus 5 sein oder irgendetwas anderes.
Und nehmen wir an, das hier ist b.
Man sagt oft, über einem geschlossenen Intervall von a bis b.
"definiert auf einem geschlossenen Intervall" bedeutet, dass die Funktion für jeden Wert
zwischen a und b definiert sein muss, und die Funktion
für a und b definiert sein muss.
Würde man sagen, "auf einem offenen Intervall zwischen a und b",
dann würde das bedeuten, sie ist nur für die Werte zwischen a und b definiert,
Wenn man also von einem geschlossenen Intervall spricht,
Sie muss also stetig und differenzierbar sein, und, sagen wir mal
definiert auf einem geschlossenen Intervall,
hier ist die Notation dafür:
Das bedeutet also, es muss für alle x Werte von

English: 
So you'll often say, on a
closed interval from a to b.
All that means is an interval,
let's say a is the low point,
let's say this is a, we don't
know what number that is.
That could be minus
5, or who knows.
And let's say this is b, right
here, let me b right here.
Let's say that's be.
So when people talk about a
closed interval, defined on a
closed interval, that means
that the function needs to be
defined at every number between
a and b, and the function needs
to be defined at a and at b.
If they said over an open
interval between a and b, that
means that it's only defined at
every value between a and b,
but not necessarily at a and b.
So it has to be continuous,
differentiable, and let's say
it's defined over the closed
interval, and this is just
the notation for it, a b.
So that means, it has to be
defined at all of the x values

Italian: 
Dunque spesso direte
"in un intervallo chiuso da A a B".
Tutto quello che significa,
mettiamo che a sia il punto inferiore,
mettiamo che questo sia a,
noi non sappiamo che numero sia.
Potrebbe essere -5, chi lo sa.
E diciamo che questo è b, proprio qui,
metterò b proprio qui.
Poniamo che questo sia b.
Dunque quando le persone
parlano di un intervallo chiuso,
questo significa che la funzione
deve essere
definita in ogni punto tra
a e b, e deve
essere definita in a e in b.
Se dicono su un intervallo aperto
rea a e b, questo
significa che è definita
in ogni punto tra a e b
ma non necessariamente
in a e in b.
Quindi [la funzione] deve essere continua,
derivabile, e diciamo
che sia definita sull'intervallo chiuso,
e questa è solo
la notazione per questo, a_b
Questo vuol dire che deve essere definita
per ogni valore di x

Spanish: 
así que se suele decir, en un intervalo cerrado de "a" a "b"
Todo eso es un intervalo, digamos que "a" es el punto menor
digamos que este es a, no sabemos que numero es.
Podria ser -5, o quien sabe.
y digamos que este es b aqui, vamos a poner b justo por aqui
Digamos que ese es b
asi que cuando se habla de un intervalo cerrado, definido en un
un intervalo cerrado, eso significa que la funcion necesita estar
definida en cada numero entre a y b, y que la funcion necesita
estar definido en a y en b
Si se refieren a un intervalo abierto entre "a" y "b", entonces
significa que sólo esta definida para los valores entre "a" y "b"
pero no necesariamente en "a" y en "b"
Así que tiene que ser, continua, diferenciable y digamos
que esta definida en un intervalo cerrado, y esta es
su notación [a,b]
Eso significa que tiene que estar definida para todos los valores de "x"

Georgian: 
ეს კიდევ ერთი ძალიან მათემათიკური 
ტერმინია როგორც ხვდებით.
ასე, რომ ხშირად იტყვით 
ახლო ინტერვალი a-დან b-მდე.
ეს ყველაფერი კი ნიშნავს--- მოდით 
ვთქვათ რომ a არის დაბალი წერტილი.
დაუშვათ ეს არის a, 
და არ ვიცით ის რა რიცხვია.
ეს შეიძლება იყოს -5, ან კიდევ ვინ იცის რა.
ხოლო ეს აქ, დაუშვათ, რომ არის b.
როდესაც ხალხი საუბრობს ახლო ინტერვალზე,
ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია უნდა განისაზღვროს
a-ს და b-ს შორის ყველა რიცხვით. ასევე 
ფუნქციაც უნდა აღინიშნოს a და b წერტილებით.
თუ გვეტყოდნენ a და b შორის ღია ინტერვალზე,
ეს ნიშნავს, რომ a და b შორის ყველა 
მნიშვნელობა განსაზღვრულია
და არ არის აუცილებელი იყოს
მაინდამაინც a და b-სთან.
ანუ უნდა იყოს უწყვეტი, დიფერენცირებული,
და დაუშვათ ახლო ინტერვალშია განსაზღვრული.
a და b მხოლოდ მისი აღნიშვნებია.

Polish: 
Często będziecie mówić "W zamkniętym przedziale od a do b"
To znaczy tyle, że przedział, powiedzmy a zaczyna się w najmniejszej wartości,
Powiedzmy że to jest a, nie wiemy dokładnie co to za numer
Może to być -5, kto wie
Oraz b, w tym miejscu
Powiedzmy że to jest b
Gdy ludzie mówią o zamkniętym przedziale,
to znaczy że funkcja musi być
wyliczona dla każdej wartości między a i b
oraz w samych a i b
Gdyby przedział od a do b był otwarty, to znaczyłoby
że funkcja jest wyliczona tylko dla wartości pomiędzy a i b
ale nie koniecznie dla samych a i b
Tak więc funkcja musi być ciągła, różniczkowalna, oraz powiedzmy
wyliczona w zamkniętym przedziale
który oznaczymy przez a i b
To znaczy, że funkcja musi być wyliczona dla każdej wartości x

Vietnamese: 
Nó như là bạn thường nói, trong một khoảng đóng từ a tới b
Nó chỉ là trong một khoảng, coi như a là điểm nhỏ hơn
coi như đây là a, ta không biết số đó là gì
Có thể là -5, ai biết
Và coi đây là b, ngay đây, b ở đây
Coi như thế
Vậy có ai nói trong khoảng đóng, họ định nghĩaxác định trong
khoảng đóng, có nghĩa là hàm cần xác định
tại mọi điểm từ a dến b, và hàm cần
xác định ở cả a và b
Nếu họ nói là khoảng mở giữa a và b, thế
tức là nó chỉ xác định với mọi giá trị giữa a và b
nhưng không cần xác định ở cả a hay b.
Vậy nó cần liên tục, khả vi, và coi như
xác định trong khaongfr đóng, thật ra đây chỉ là
ký hiểu cho chúng, a b
CÓ nghĩa là nó cần xác định với mọi giá trị của x

Thai: 
คุณอาจบอกว่า ในช่วงปิดจาก a ถึง b
นั่นแค่หมายถึง ช่วง สมมุติว่า a คือจุดต่ำกว่า
สมมุติว่านี่คือ a เราไม่รู้ว่าเลขนี้คืออะไร
มันอาจเป็นลบ 5 ใครจะรู้
และสมมุติว่านี่คือ b ตรงนี้ ขอผมเขียน b ตรงนี้
สมมุติว่านั่นคือ b
แล้วตอนคนพูดถึงช่วงปิด นิยามบนช่วงปิด
นั่นหมายถึง ฟังก์ชันต้องนิยามได้
ที่เลขใด ๆ ระหว่าง a กับ b และฟังก์ชัน
ต้องนิยามได้ ที่ a กับ b ด้วย
หากเขาบอกว่าตลอดช่วงเปิดระหว่าง a กับ b
นั่นหมายความว่ามันนิยามแค่ทุกค่าระหว่าง a กับ b
แต่ไม่จำเป็นต้องนิยามได้ที่ a กับ b
ดังนั้นมันต้องต่อเนื่อง หาอนุพันธ์ได้ และสมมุติว่า
มันนิยามได้ตลอดช่วงปิด และนี่คือสัญลักษณ์
ของมัน a b
ดังนั้นมันหมายความว่า มันต้องนิยามได้สำหรับทุกค่า x

Arabic: 
ستقول: على الفترة المغلقة من a إلى b
كل ذلك يعني أن الفترة، فلنقل أن هناك نقطة a
هذه هي a، نحن لا نعلم عند أي رقم
ربما سالب 5، من يعلم؟
وهذه هي b، هنا، دعوني أكتب b هنا
فلنقل أن هذه هي b
عندما يتحدث الناس عن فترة مغلقة، ومعرّفة على
فترة مغلقة، هذا يعني أن الدالة يجب أن تكون
معرّفة عند كل رقم بين a وb، ويجب أن تكون الدالة
معرّفة عند كل من a وb
إذا قالوا بأن الفترة مفتوحة بين a وb
يعني ذلك أنّها معرّفة عند كل قيمة بين a وb
لكن ليس بالضرورة عند a وb
لذا يجب أن تكون متّصلة وقابلة للاشتقاق، فلنقل
أنّها معرّفة على الفترة المغلقة، وهذا مجرّد
تدوين للملاحظة، a وb
وهذا يعني أنّها يجب أن تكون معرّفة على جميع قيم x

Estonian: 
Tihti öeldakse kinnises intervallis a'st b'ni.
See tähendab, et intervall, ütleme, et see on madalpunkt,
ütleme, et see on a, me ei tea, mis number see on.
See võib olla miinus viis, aga kes teab.
Ütleme, et see on b, ma teen b siia.
Ülteme, et see on b.
Kui inimesed räägivad kinnisest intervallist, defineeritud
kinnises intervallis, see tähendab, et funktsioon peab olema
defineeritud igal numbril a'st kuni b'ni, ning see funktsioon
peab olema defineeritud a's ja b's.
Kui nad ütleb avatud intervallis a ja b vahel, siis
see tähendab, et see on ainult defineeritud igal väärtusel a ja b vahel, kuid
mitte tingimata a's ja b's.
See peab olema pidev, eristatav ja ütleme, et see on
defineeritud kinnises intervallis ja see
on kirjaviisis a b.
See tähendab, et see peab olema defineeritud igas x'i väärtuses

Slovak: 
Takže často poviete, na uzavretom intervale od a po b.
Všetko čo to znamená je interval, povedzme že a je nízky bod,
povedzme že toto je a, nevieme aké číslo to je.
Môže to byť mínus , kto vie.
A povedzme ,že toto je b, práve tu, nechajme b práve tu.
Povedzme že toto je b.
Takže kď ľudia hovoria o uzavretom inervale, definovanom na
uzavretom intervale, znamená to že funkcia musí byť
definovaná na každom čísle medzi a a b, a funkcia musí
byť definovaná na a a b.
Ak povedia na otvorenom intervale mezdi a a b,
znamená to , že je to definované len pre hodnotu medzi a a b.
ale nie nevyhnutne na a a b.
Takže musí byť spojitá diferencovateľná, a povedzme
je definovaná na uzavretom intervale, a toto je iba
zapis pre to, a b.
Takže to znamená, že to musí byť definované pre všetky hodnoty x

Turkish: 
Sıklıkla, a'dan b'ye kapalı bir aralık, deriz.
Bunun anlamı, a küçük sayı olsun.
Buna a diyelim, kaç olduğunu bilmiyoruz. Örneğin, eksi 5.
-
Buna da b diyelim.
-
Kapalı bir aralıktan kastımız, fonksiyon a ve b arasında her noktada tanımlı olmalı ve, aynı zamanda a ve b'de de tanımlı olmalı.
-
-
-
Açık aralık dersek, fonksiyon, sadece, a ve b arasındaki her noktada tanımlı olacak. Ama, a ve b'de tanımlı olmak zorunda değil.
-
-
Fonksiyon sürekli, türevli olmak zorunda. Kapalı aralıkta tanımlı olduğunu varsayalım. Aralığın notasyonu da şöyle, a b.
-
-
Yani, fonksiyon a ve b arasında ve dahil tüm x değerleri için tanımlı olmalı.

Russian: 
И чаще вы бы сказали, на замкнутом отрезке от a до b.
И все что это значит - интервал, предположим "a" это нижняя точка,
например, это "a", не важно, какое его значение.
Это может быть минус 5, или что-нибудь ещё.
А вот здесь у нас "b", прямо здесь.
Допустим, что "b" у нас здесь.
Мы говорим об отрезке,
это значит, что функция должна быть
определена для каждого числа между "a" и "b", а кроме того
она должна быть определена в точках "a" и "b".
Если сказано "над открытым интервалом" между "a" и "b", значит
функция должна быть определена только для каждого числа между "a" и "b",
но не обязательно в точках "a" и "b".
Итак, функция должна быть непрерывной и дифференцируемой и
она определена на отрезке
обозначенном "аb".
Это означает, что она должна быть определена в любой точке x.

Bulgarian: 
Често се казва, за затворен интервал от а до b
Това значи, че имаме интервал, да кажем, че а е долната точка
Нека това ни е а, не знаем какво число е
Може да е минус 5 или каквото и да е друго число...
И да кажем, че b ни е ето тук
Нека това ни е b
Значи, когато се говори за определение за
затворен интервал, това значи, че функцията трябва да
бъде определена за всяко число между а и b, както
и за самите а и b
А ако ни кажат, за отворен интервал между а и b, това
означава, че функцията е определена само за стойностите между а и b,
но за а и b не сме сигурни
Значи, функцията трябва да е непрекъсната, определена, да
кажем за затворен интервал,
който ще отбележем с а и b
Това означава, че функцията е определена за всички стойности на x

Hungarian: 
Szóval gyakran mondjuk, hogy egy a és b zárt intervallumon.
Ez csak egy intervallumot jelent, mondjuk a a kezdőpont,
mondjuk ez a, nem tudjuk, milyen szám ez.
Lehet ez mínusz 5, vagy ki tudja.
És mondjuk ez b, pont itt, legyen ez b itt.
Mondjuk ez b.
Szóval amikor zárt intervallumról beszélünk, zárt intervallumon
értelmezve, az azt jelenti, hogy a függvény értelmezve
van minden számnál a és b között, és a függvény
értelmezve van a-n és b-n is.
Ha azt mondjuk, hogy egy a és b nyílt intervallumon, az
azt jelenti, hogy minden a és b közötti értéken értelmezett,
de nem feltétlenül a-n és b-n.
Szóval folytonos, differenciálható és mondjuk
a zárt intervallumon értelmezett, és ez csak
a jelölés rá, [a, b].
Szóval ez azt jelenti, hogy minden x értéken értelmezett

Chinese: 
所以你经常不得不说从闭区间上到 b。
这意味着所有是一个时间间隔，让我们说是低点，
让我们说这是，我们不知道什么号码就是。
这可能是减去 5，或谁知道。
让我们说这是 b，就在这里，让我在这里 b 权利。
让我们说这是。
当人们谈论闭区间，所以上定义
闭区间，这就意味着该函数必须是
在每个编号之间定义和 b 和功能需求
要在定义和 b。
如果他们说一个打开间隔之间和 b，，
意味着它只定义在每个值之间和 b，
但并不一定是在和 b。
所以它必须是连续的、 可微，和让我们说
它定义在闭的区间，而这才仅仅
为它，b 表示法。
这就意味着，它必须在所有的 x 值定义

French: 
Donc un intervalle fermé de a à b
ca pourrait etre -5 par exemple
et disons que b est la
Donc b est la
donc l'intervalle fermé, ou défini sur un
cela veut dire que la fonction doit être
défini pour tout nombre entre a et be mais
aussi défini en a et en b
Un intervalle ouvert cela signifie que
c'est défini pour toute valeur entre a et
b, mais pas nécécairement en a et en b
Donc f(x) doit être continu et differentiable
et disons qu'elle est definie sur l'intervalle
dont voici la notation : a, b

Chinese: 
所以你經常說 從閉區間上到從a到b。
這意味著這是一個區間，讓我們說a是最低點，
為何說這是a，因為我們不知道a是多少?
這可能是負5，但誰知道呢
讓我們說這是 b，就在這裡，讓 b 在這裡。
讓我們說這是 b。
當人們談論閉區間，定義上的
閉區間，意味著該函數必須是
定義在從a到b的每個數字中，函數要被
定義在 a 和 b 。
如果他們在一個開區間從a到b，
意味著它只定義在每個值從a和b之間，
但並不是在a和b上。
所以它必須是連續的、 可微，和讓我們說
它定義在閉區間，而這是它的
標示符號，[a,b]
這就意味著，它必須在所有的 x 值定義在

Dutch: 
Ze zeggen vaak: "op een gesloten Interval van a tot b"
Dat betekent eigenlijk alleen dat, laten we zeggen dat a het eerste punt is,
dat dit a is, we weten niet precies welk nummer dat is
Het zou min 5 kunnen zijn, of wat dan ook.
En laten we zeggen dat dit b is, hierzo,
laten we daar b zetten
Dus wanner we het over een gesloten interval hebben, gedefinieerd op een
gesloten interval, dan betekent dat, dat de functie
gedefinieerd is voor ieder nummer tussen a en b
en voor a en b zelf ook.
Als we het hebben over een open interval tussen a en b
dan betekent dat, dat het gedefinieerd is voor iedere waarde tussen a en b
maar niet per se voor a en b zelf
Dus f moet continu zijn, differentieerbaar, en, laten we zeggen
hij is gedefinieerd over het gesloten interval,
en zo noteren we dat, a b
Dat betekent dus dat hij gedefinieerd moet worden voor alle x-waarden

Portuguese: 
Entao, voce frequentemente dira, intervalo de a ate b.
Que so' significa um intervalo, digamos que a e' o ponto baixo
Digamos que esse e' o ponto a, Nao sabemos que número e'
Poderia ser -5, ou outro
E digamos que b, aqui, nessa posicao
Ok, esse e' o ponto b.
Entao quando falamos de um intervalo fechado, definido por um
Intervalo fechado, significa que a funcao precisa ser
Para cada número existente entre a e b, e a funcao precisa
Ser definido para o ponto a e para o ponto b inclusive.
Se falassemos de um intervalo Aberto entre a e b Entao
Significaria que e' Somente definida para os valores que se encontram entre a e b,
Mas Nao necessariamente nos pontos a e b.
Entao tem que ser "continua",diferenciavel, e digamos
e' definida sobre um intervalo fechado, e Isso e' apenas
A notacao para Isso, a b.
Entao significa que tem que ser definida para todos os valores de x

Spanish: 
desde "a" hasta "b", incluyendo "a" y "b"
Si hubiese sido un intervalo abierto, lo escribiríamos asi
escribirias (a,b)
que significa un intervalo para todos los números entre "a" y
"b" pero sin incluir esos dos
Por ahora lo ignoraremos
Volviendo al teorema del valor medio
ya sabes, espero, que significa "continuo"
Dibujaré aquí una función que no es continua
Una función no continua se
parecería a esta
haría así, y seguiría
aqui, y continuaría de esta manera
bien?
Este sería un ejemplo de una función, digamos
con los mismos ejes, los dibujo en otro color
Si este fuese nuestro "Y" - no, no está bien
Si este fuese nuestro eje "Y" y este fuese nuestro eje "X", tendrías
unas referencias para lo que he dibujado
Asi que si la función es continua, continua,
continua y de repente salta, esa desconexión, esa
hace la función discontinua, o una
función no continua
Asi que la función tiene que ser continua
y ahora... que significa "diferenciable"?
Diferenciable significa que en cada punto del intervalo

Russian: 
от a до b, включая конечные точки a и b..
Если бы это был открытый интервал, мы бы написали это так:
Вы бы написали а и b.
Это означает интервал между а и
b, не включая эти точки.
Можно пока об этом не беспокоиться.
Вернемся к нашей теореме.
Надеюсь, вы знаете, что такое непрерывная функция.
Для примера нарисуем прерывистую функцию.
Таким образом будет функция, которая не является непрерывной будет
выглядеть вот так.
Она начнется тут,
а потом перескочит сюда.
Так?
Так что это будет пример функции, давайте скажем,
одинаковый осей, я нарисую его в другом цвете.
Если это наша y--нет, так не хорошо.
Если это была наша ось y, и это наша ось x, просто
дать вам ссылку на то, что я нарисовал.
Таким образом, если функция является непрерывной, непрерывной,
непрерывной и затем она прыгает, этот разрыв
сделает эту функцию прерывистой, или она
не будет непрерывной.
Поэтому функция просто должна быть непрерывной.
А что же такое дифференцируемая?
Дифференцируемость означает, что в каждой точке рассматриваемого интервала

Arabic: 
من a إلى b، متضمّنةً a وb
وإذا كانت فترةً مفتوحة فإنك ستكتبها هكذا
ستكتب (a, b)
هذا يعني أنّ الفترة مكوّنة من جميع الأرقام بين a وb
ما عدا هاتان النقطتان
فلنتجاهل ذلك الآن
ونعد إلى نظريّة القيمة المتوسّطة
أنتم تعلمون معنى أن تكون متّصلة
دعوني أرسم دالّة هنا وليست متّصلة
إذا كانت الدالّة غير متّصلة
فإنّها ستبدو هكذا
ستمضي هكذا، وستقفز وتبدأ
من هنا، مثل هذه
صحيح؟
هذا مثال لدالّة غير متّصلة
دعوني أرسم بعض المحاور بالألوان بلون مختلف
إن كان هذا محور الصادات، لا هذا ليس جيّدًا
إن كان هذا محور الصادات وكان هذا محور السينات
فقط لأعطيكم مرجعًا لما رسمت
إذا كانت الدالة متّصلة، متّصلة
متّصلة، ثم تقفز، هذا الانفصال
سيجعل هذه الدالّة غير متّصلة
لن تكون دالّة متّصلة
إذًا يجب على الدالة أن تكون متّصلة
وماذا يعني كونها قابلة للاشتقاق؟
كونها قابلة للاشتقاق يعني أنه على كل نقطة في هذه الفترة

Thai: 
จาก a ถึง b รวมถึง a กับ b ด้วย
หากนี่คือช่วงเปิด คุณอาจเขียนมันแบบนี้
คุณจะเขียน a กับ b
นั่นหมายถึงช่วงที่มีทุกเลขระหว่าง a กับ
b แต่ไม่รวมสองตัวนั้น
ลืมมันไปก่อนตอนนี้
กลับมาที่ทฤษฏีบทค่ากลาง
คุณก็รู้ หวังว่านะ ว่าต่อเนื่องหมายถึงอะไร
ขอผมวาดฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องให้ดู
ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องจะ
มีหน้าตาแบบนี้
มันจะเป็นแบบนี้ มันเริ่ม
ตรงนี้ ไปอย่างนั้น
จริงไหม?
นี่นับเป็นตัวอย่างนึงของฟังก์ชัน สมมุติว่า
แกนเดียวกัน ขอผมวาดมันด้วยอีกสีนึง
หากนั่นคือ y ของเรา -- ไม่ นั่นไม่ดี
หากนั่นคือแกน y เรา และนั่นคือแกน x แค่ให้
คุณมีสิ่งอ้างอิงสิ่งที่ผมจะวาด
ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่อง ต่อเนื่อง
ต่อเนื่อง แล้วมันกระโดด มันไม่ต่อเนื่อง นั่น
ทำให้ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่อง หรือมันไม่
เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนั่นเอง
ดังนั้นฟังก์ชันต้องต่อเนื่อง
แล้วหาอนุพันธ์ได้หมายความว่าอย่างไร?
หาอนุพันธ์ได้ หมายความว่า ณ จุดใด ๆ ตลอด

Dutch: 
van a tot b, inclusief a en b zelf
Als het een open interval zou zijn, zou je het zo schrijven
Je zou a en b schrijven
Dat betekent: een interval voor alle nummers tussen a en b
maar exclusief a en b zelf
Maar laten we dat voor het moment even liggen
en teruggaan naar de middelwaardestelling
Je weet hopelijk wat continu betekent
Laten we hier een niet-continue functie tekenen
Een niet-continue functie zou
er zo uit zien
Zo gaat-ie en hij start hier
tot hier
Nietwaar?
Dat is dus een voorbeeld van een functie, laten we zeggen
dezelfde assen, maar in een andere kleur
Als dit onze y- nee, da's niet goed
Als dit onze y-as is en dit onze x-as, om je een
een referentie te geven voor wat ik getekend heb
Dus: als de functie continu is, continu, continu,
continu, en dan maakt-ie een sprong met een gat ertussen,
dan zou deze functie discontinu zijn,
geen continue functie dus
Een functie moet dus continu zijn.
En wat betekent differentieerbaar?
Differentieerbaar betekent dat, op ieder punt van het interval

Portuguese: 
Desde(inclusive) o ponto a ate inclusive o ponto b.
Se fosse um intervalo Aberto, voce escreveria assim...
Voce escreveu a e b.
Significa um intervalo para todos os numeros entre a e
b, mas excluindo o a e o b.
Entao, vamos ignorar Isso por agora
E Voltar ao teorema do valor Medio.
Voce sabe, espero que saiba :), o que a palavra "continua" significa
Deixe me desenhar uma funcao que Nao e' continua..
Essa funcao seria
Como essa..
Iria por aqui, e recomecaria
Aqui.. Desse jeito
Certo?
Este seria Entao um exemplo de uma funcao, digamos
Desenhando nos mesmos eixos mas com cor diferente
Se esse fosse nosso eixo y-- no, Isso Nao esta bom
Se esse fosse nosso eixo y, e esse o nosso eixo x, Somente para
Te dar uma referencia do que eu desenhei.
Portanto, se a função é contínua, contínua,
contínua e, em seguida, ele salta, desconecta, que
faria essa função descontínua, ou Nao seria
uma função contínua.
Portanto a função tem que ser contínua.
E agora o que diferenciável significa?
Significa que em cada ponto no intervalo

Bulgarian: 
от а до b, включвайки самите а и b
Ако беше отворен интервал, щяхме да го запишем ето така
Ако беше отворен интервал, щяхме да го запишем ето така
Това означава интервал от всички числа между а
и b, но невключващ а и b
Но сега нека оставим това
И да се върнем към теоремата за средна стойност
Надявам се, че разбирате, какво е 'непрекъсната' функция
Нека ви нарисувам функция, която не е непрекъсната
Такава функция
би изглеждала така
Ще върви така, ще започне тук,
ще отиде насам...
Нали ?
Това ще ни е примера, ще взема същите оси и
ще чертая в различен цвят
Това не е хубаво...
Това ни е оста x и това ни е оста y
Значи, функцията е непрекъсната, непрекъсната,
непрекъсната и изведнъж скача и
се прекъснe, това ще ни е
прекъсната функция – вече не е непрекъсната
-
Значи, казахме, че функцията трябва да е непрекъсната
А какво значи 'диференцируема' ?
Значи, че за всяка точка от посочения интервал,

German: 
a bis b definiert sein, einschließlich a und b.
aber nicht unbedingt in a und b.
Man würde schreiben
Das bedeutet, ein Intervall für alle Zahlen zwischen a
und b, aber ohne die beiden.
Lasst uns das erstmal ignorieren.
Also zurück zum Mittelwertsatz.
Wenn es ein offenes Intervall wäre, würde man es so schreiben.
Lasst mich hier mal eine Funktion zeichnen, die nicht stetig ist.
Also eine Funktion, die nicht stetig ist,
würde so aussehen.
Sie würde so verlaufen und dann hier oben wieder anfangen,
so hier.
Ihr wisst hoffentlich, was stetig bedeutet.
Das wäre also ein Beispiel für eine Funktion, sagen wir,
mit den gleichen Achsen. Ich zeichne sie mit derselben Farbe.
Wenn das unsere y- ... nein, nicht gut.
Wenn das unsere y-Achse wäre und das die x-Achse,
nur um euch einen Bezug zu geben, was ich gezeichnet habe.
Klar?
stetig ist und dann spricht, dann würde diese Lücke die Funktion
unstetig machen, d.h. es wäre keine
stetige Funktion.
Eine Funktion muss also einfach stetig sein.
Und was bedeutet jetzt differenzierbar?
Wenn die Funktion also stetig, stetig,

Slovak: 
od a po b, zahŕňajúc a a b.
Keby to bol otvorený interval, napísali by ste to takto.
Napísali by ste a a b.
To sú všetky čísla medzi a a b
ale nie a a b .
Takže ignorujme toto na teraz.
Späť k vete o strednej hodnote.
Takže vieš, dúfajme, čo spojitá znamená.
Nechajte ma nakresliť funkciu ktorá spojitá nie je
Takže funkcia ktorá nie je spojitá by
vyzerala takto.
Išla by takto, a začala by niekde
tu, nejak tak.
Správne?
Takže toto by bol príklad funkcie, povedzme,
nejaké osi nechajte ma nakresliť ich v rôznych farbách.
Ak by toto bola naša y ... nie, to nie je dobré.
Ak by toto bola naša os y, a toto os x,
len na ozrejmenie toho čo som nakreslil
Takže ak funkcia je spojitá, spojitá,
spojitá, a potom by vyskočila, to by ju rozpojilo
a urobylo funkciu nespojitou, alebo by to nebola
spojitá funkcia
Takže funkcia musí byť súvislá
A čo znamená diferencovateľná?
Diferencovateľná znamená že na každom bode intervalu

Estonian: 
a'st b'ni, kaasa arvatud a ja b.
Kui see oleks avatud intevall, siis sa kirjutaksid selle nii.
Sa kirjutaksid a ja b.
See tähendab, et kaasa on arvatud kõik väärtused a ja
ja b vahel, kuid a ja b ise ei ole kaasa arvatud.
Paneme selle kõrvale.
Tagasi keskväärtusteoreemi juurde.
Loodetavasti sa nüüd tead, mida pidev tähendab.
Ma joonistan funktsiooni, mis ei ole pidev.
Mittepidev funktsioon näeks välja selline.
Mittepidev funktsioon näeks välja selline.
See läheks nii, algaks siin
ning jätkuks niimoodi.
Õigus?
See oleks näide funktsioonist, ütleme, et
samad teljed, ma joonistan need teise värviga.
Kui see oleks meie y -- ei,see ei sobi.
Kui see oleks sinu y-telg ja see meie x-telg,
et anda sulle arusaam oma joonistusest.
Kui funktsioon on pidev, pidev pidev...
ning siis see hüppab, see vahe teeks
selle funktsiooni mittepidevaks või see
ei oleks pidev funktsioon.
Funktsioon peab lihtsalt olema pidev.
Aga mida tähendab eristatav?
Eristatav tähendab, et igal intervalli punktil, millest

Turkish: 
-
Açık aralık olsaydı, şöyle yazardık.
a ve b yazardık.
Bunun anlamı da, a ve b arasında, ama a ve b hariç, tüm sayılar.
-
Şimdi bunu görmezden gelelim.
Ortalama değer teoremine geri dönelim.
Umarım, sürekli ne demek, biliyorsunuz.
Şuraya sürekli olmayan bir fonksiyon çizeyim.
Sürekli olmayan bir fonksiyon buna benzer.
-
Şöyle gider, şurada başlayıp, şöyle uzanır.
-
Öyle değil mi?
-
-
-
y ve x eksenini çizeyim de grafiği koordinat düzleminde görün.
-
Fonksiyon sürekli, sürekli, sürekli ve sonra atlıyor. Bu atlama, fonksiyonu süreksiz yapar. Veya, sürekli olmasını engeller.
-
-
-
Fonksiyon sürekli olmak zorunda.
Türevli ne demek?
Türevli demek, aralığın her noktasında, türevi alabilmek demek.

Polish: 
od punktu a do punktu b, razem z nimi włącznie
Gdyby to był otwarty przedział, zapisany był by tak
Zaczynasz od zapisania a i b
To oznacza przedział dla wartości pomiędzy nimi
Nie wliczając ich samych
Zostawmy to na razie
Wracając do twierdzenia
Mam nadzieję, że rozumiecie już co oznacza ciągłość funkcji
Narysuję tu teraz funkcję która nie jest ciągła
Taka funkcja
Może wyglądać tak
Zaczyna się tak, potem znalazłaby się wyżej
dokładnie tak
Racja?
Więc tak wyglądałaby przykładowa funkcja, powiedzmy
że na takich samych osiach, narysujmy je innym kolorem.
Gdyby to była nasza oś y -- nie, to nie jest dobry przykład
Gdyby to była na oś Y, a to była nasza oś X
żeby dać punkt odniesienia do tego co narysowałem
Więc jeśli funkcja jest ciągła, ciągła,
ciągła, i nagle dokonuje skoku który ją rozłącza,
to staje się funkcją nieciągłą, lub przestaje po prostu
być funkcją ciągłą
Więc nasza funkcja musi być ciągła
Co znaczy że musi być różniczkowalna?
Różniczkowalność oznacza, że w każdym punkcie przedziału

English: 
from a to b, including a and b.
If it was an open interval,
you would write it like this.
You'd write a and b.
That means an interval for all
the numbers between a and
b, but not including those.
So let's ignore that for now.
So back to the mean
value theorem.
So you know, hopefully,
what continuous means.
Let me draw here a function
that's not continuous.
So a function that is
not continuous would
look like this.
It would go like this,
and it would start up
here, go like that.
Right?
So this would be an example
of a function, let's say,
same axes, let me draw
it in a different color.
If that was our y-- no,
that's not a good.
If that was our y-axis, and
that was our x-axis, just to
give you the reference
for what I drew.
So if the function is
continuous, continuous,
continuous, and then it jumps,
that disconnect, that
would make this function
discontinuous, or it would not
be a continuous function.
So a function just has
to be continuous.
And now what does
differentiable mean?
Differentiable means that at
every point over the interval

Chinese: 
从 b，包括和 b。
如果它是一个开放的时间间隔，你会像这样写。
您将编写和 b。
这意味着所有的数字之间间隔和
b，但不是包括那些。
现在，让我们暂时忽略的。
所以回值定理。
所以我希望你知道连续的意思。
让我在这里画的函数不是连续的。
不连续的功能也是如此
像这样。
它会像这样，和它将启动
在这里，像这样去。
对吧？
所以这就是一个例子的功能，让我们说，
相同的轴，让我绘制它以不同的颜色。
如果不是我们的 y — —，这不是一个好。
如果这是我们的 y 轴，也就是我们的 x 轴，只是为了
为我的画给你参考。
因此，如果该函数是连续的、 连续的
连续的然后对其断开的跳转
使此函数不连续，或不会
是连续函数。
因此，功能只是必须是连续的。
和现在的意思是什么可微的呢？
Differentiable 意味着，在每一点上时间间隔

Czech: 
Kdyby to byl otevřený interval, zapsali bychom to takhle.
Napsali byste a a b.
To znamená interval pro všechna čísla mezi a a b,
ale bez krajních bodů.
Ale to nás v tuto chvíli nezajímá.
Takže zpátky k větě o střední hodnotě diferenciálního počtu.
Doufám, že už víte co to znamená spojitý.
Nakreslím zde funci, která není spojitá.
Nespojitá funkce by vypadala takto.
Začla by tady a pak by pokračovala tady nahoře.
Rozumíte?
Takže toto by byl příklad funkce, řekněme
stejné osy, nakreslím ji jinou barvou.
Pokud by toto byla naše osa y - ne, to není dobré -
Pokud by toto byla naše osa y a toto naše osa x,
jenom ať víte co jsem nakreslil.
Takže pokud je funce spojitá, spojitá,
spojitá a pak přeskočí, tato nespojitost
by udělala tuto funci nespojitou,
takže by to nebyla spojitá funkce.
Funkce prostě musí být spojitá.
A teď, co znamená deferencovatelná?
Diferencovatelná znamená, že v každém bodě intervalu,

French: 
cela veut dire qu'elle doit être définie pour

Hungarian: 
a-tól b-ig, beleértve a-t és b-t.
Ha nyílt intervallum lenne, így írnád.
Azt írnád (a, b).
Ez azt jelenti, hogy egy intervallum minden a és b közötti
számmal, de azokat nem foglalja magába.
Hagyjuk ezt most figyelmen kívül.
Tehát vissza a középértéktételhez.
Szóval tudjátok, remélhetőleg, mit jelent a folytonosság.
Rajzolok ide egy függvényt, ami nem folytonos.
Tehát egy függvény, ami nem folytonos,
így nézne ki.
Így menne, aztán itt fent kezdődne,
így menne.
Igaz?
Szóval ez egy példa lenne olyan függvényre, mondjuk,
ugyanazok a tengelyek, lerajzolom más színnel.
Ha ez lenne az y-unk, nem, ez nem jó.
Ha ez lenne az y- tengelyünk, és ez lenne az x-tengelyünk, csak hogy
megadjam a hátterét annak, amit rajzoltam.
Szóval ha a függvény folytonos, folytonos,
folytonos, és aztán ugrik egyet, ami nem kapcsolódik,
akkor ez a függvényt megszakítja, vagyis nem lesz
folytonos a függvény.
Tehát a függvénynek folytonosnak kell lennie.
És akkor mit jelent a differenciálható?
A differenciálhatóság azt jelenti, hogy minden intervallumbeli pontban

Vietnamese: 
từ a tới b, và cả a b
Nếu nó là khoảng mở, bạn sẽ viết thế này
Bạn sẽ viết a và b
Đó nghĩa là một khaongr cho mọi số giữa a và
b, nhưng không có 2 đầu mút
Giờ ta bỏ qua điều này
Quay lại ĐLGTTB
Như bạn biết, liên tục
Để tôi vẽ một hàm không liên tục
Vậy một hàm ko liên tục sẽ
dư lày
Nó sẽ như thế, bắt đầu
ở đây, đi tiếp
ĐÚng ko?
Đây là ví dụ về một hàm
CÙng trục, để tôi dùng màu khác
Nếu đó là y-- không
Nếu đó là trục tung, và đây là trục hoiành, để cho bạn
hiểu cái khung cho mà tôi vẽ
Vậy néu hàm liên túc, liên tục
liên tục, và nó nhảy, đứt, thế
sẽ làm hàm ko liên tục, và nó sẽ ko
là hàm liên tục
Vậy một hàm phải liện tục
Thế khả vi là gì?
Khả vi là ở mọi điểm trong khoảng

Italian: 
da a a b, compresi a e b.
Se fosse un intervallo aperto,
si scriverebbe così.
Si scriverebbe a e b.
Questo vuol dire un intervallo
per tutti i numeri tra a e
b, esclusi questi due
Ora ignoriamolo.
Quindi, tornando al teorema
del valor medio.

Chinese: 
從a到b的值，包括 a 和 b 。
如果它是一個開區間，你會像這樣寫。
您將寫成 (a,b)。
這意味著一個區間包括從a到b的所有數字
但不包括a跟b。
現在，讓我們暫時忽略它。
回到均值定理。
所以我希望你知道連續的意思。
讓我在這畫一個不是連續的函數。
所以一個不連續的函數就
像這樣。
它會像這樣，和它從這開始
這裡，像那樣。
對吧？
所以這就是一個函數的例子，
相同的軸，讓我以不同的顏色繪製它。
如果這是我們的 y ，這不好。
如果這是我們的 y 軸，那是我們的 x 軸，只是為了
我的畫給你參考。
因此，如果該函數是連續的、 連續的
連續的 然後跳開 沒有接起來
將會使此函數不連續，然後它不會
是連續函數。
因此，函數必須是連續的。
然後現在可微是什麼意思呢？
"可微"意味著，對於在閉區間的每一個點

Georgian: 
ეს ნიშნავს, რომ a-დან b-მდე უნდა
განისაზღვროს X მნიშვნელობით.
თუ ეს ღია ინტერვალი იქნებდა, 
მაშინ ასე დაწერდით - a და b.
რაც ნიშნავს, რომ ეს არის a და b-ს
შორის არსებული ყველა რიცხვის ინტერვალი.
რომელიც ამათ არ გულისხმობს, ამიტომ
ამჯერად მათ ყურადღება არ მივაქციოთ.
დავუბრუნდეთ საშუალო
თეორემის მნიშვნელობას.
ვიმედოვნებ იცით 
თუ რას ნიშნავს უწყვეტობა.
მოდით აქ დავხატავ ფუნქციას, 
რომელიც არ არის უწყვეტი.
ფუნქცია, რომელიც არ არის უწყვეტი, ასე 
გამოიყურება- მიდის ასე,და დაიწყება აქედან.
ეს იყოს ფუნქციის მაგალითი.
მოდით ღერძებს სხვა ფერით დავხატავ.
ეს იყოს ჩვენი Y ღერძი.
არა, არ ვარგა.
ეს იყოს ჩვენი Y ღერძი და X ღერძი.
უბრალოდ შეგახსენებთ, რაც დავხატე.
თუ ფუნქცია უწყვეტია, ის გრძელდება, 
გრძელდება, შემდეგ ადის მაღლა და წყდება.
ასე გადაიქცევა ის წყვეტილად
ანუ ფუნქცია აღარ გრძელდება.
ამგვარად ფუნქცია უნდა იყოს უწყვეტი.
ახლა რას ნიშნავს დიფერენცირებული?
დიფერენცირებული ნიშნავს, რომ ინტერვალის 
ყველა წერტილზე, რომელიც გვაინტერესებს

German: 
das uns interessiert, eine Ableitung finden kann.
Das heißt, dass man ableiten kann.
Sie ist differenzierbar.
Und was bedeutet das noch?
Naja, es bedeutet, dass wenn man den Graphen den Ableitung zeichnen würde,
Differenzierbar bedeutet, dass man an jedem Punkt des Intervalls
Ich lasse euch kurz darüber nachdenken.
In diesem Video werde ich ein Beispiel zeigen
für eine Funktion, die stetig, aber nicht differenzierbar ist
und für die deswegen der Mittelwertsatz nicht funktioniert.
Aber lasst uns zurück zum Mittelwertsatz kommen.
dieser auch stetig wäre.
allen dreien hiervon.
Außer, wenn man z.B. Grenzwertprobleme betrachten würde, und man
beabsichtigt, dass sie nicht funktionieren.
Egal, zurück zur Funktion.
Diese Funktion erfüllt all die Bedingungen.
Die meisten Funktionen, mit denen wir arbeiten, genügen,
zwischen Punkt a und Punkt b.
Was ist der Anstieg? Der mittlere Anstieg zwischen
Punkt a und Punkt b?
Also was ist das?
Mal sehen, ob ich den mittleren Anstieg zeichnen kann.
Er besagt nun einfach, wenn ich den mittleren Anstieg nehmen würde,

Thai: 
ช่วงที่เราสนใจ คุณต้องหาอนุพันธ์ได้
นั่นหมายถึง คุณสามารถหาอนุพันธ์ได้
นั่นคือ หาอนุพันธ์ได้
แล้วมันหมายความว่าอย่างไรอีก?
ทีนี้ นั่นหมายความว่า หากคุณวาดกราฟอนุพันธ์
ของฟังก์ชันนี้ มันต้องต่อเนื่อง
และผมจะปล่อยให้คุณคิดสักหน่อย
ที่จริง ในวิดีโอนี้ ผมจะแสดงให้คุณเห็นตัวอย่าง
ของฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้
และเพราะเหตุนั้น ทฤษฏีบทค่ากลางจึงใช้ไม่ได้
แต่เอาล่ะ กลับมาที่ทฤษฏีบทค่ากลางกัน
ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่เราสนใจ เป็นไปตาม
เงื่อนไขสามอย่างนี้หมด
จนกว่า คุณก็รู้ คุณทำโจทย์เรื่องลิมิต และเขาพยายาม
ทำให้สิ่งพวกนี้ไม่เกิดขึ้น
เอาล่ะ กลับมาที่ฟังก์ชัน
ฟังก์ชันนี้เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด
แล้วมันบอกว่า หากเราหาความชันเฉลี่ย
ระหว่างจุด a กับ จุด b
แล้วความชัน ความชันเฉลี่ยระหว่างจุด
a กับจุด b เป็นเท่าไหร่?
ความชันก็แค่ ดัน ส่วน เดิน จริงไหม?
มันเป็นเท่าไหร่?
ลองดูว่าผมจะวาดความชันเฉลี่ยได้ไหม

Polish: 
który nas interesuje, musimy być w stanie znaleźć pochodną funkcji
Po prostu musimy wyliczyć pochodną
To jest różniczkowalność
Co jeszcze to znaczy?
Cóż, znaczy to tyle, że gdybyśmy mieli narysować graf pochodnej
tej funkcji, również musiałaby ona być ciągła
Pozwolę wam się nad tym chwilę zastanowić
I w tym wideo pokażę wam przykład
funkcji która jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna
I przez to nie można w niej wykorzystać naszego twierdzenia
Wracając do samego twierdzenia
Większość funkcji z którymi będziemy mieli do czynienia spełnia
wszystkie nasze warunki
Chyba że akurat próbujesz rozwiązać problemy z granicami,
które polegają na tym że twierdzenie na nich nie działa
Wracając do funkcji
Tak więc nasza funkcja spełnia wszystkie trzy warunki
To znaczy, że gdybym wziął przeciętne zbocze funkcji
między punktami a i b
Czym jest przeciętne zbocze
między a i b?
Cóż, zbocze to po prostu wzniesienie lub spadek funkcji, tak?
Więc co to jest?
Zobaczmy czy uda mi się narysować przeciętne zbocze

Georgian: 
უნდა შევძლოთ დერივატის პოვნა.
ეს ნიშნავს, რომ შეგიძლია 
დერივატი აქედან აიღო.
ესაა დიფერენცირებული.
კიდევ რას ნიშნავს ეს?
ეს ნიშნავს, რომ თუ ამ ფუნქციის 
დერივატს გრაფიკულად გამოსახავ,
ეს ასევე უწყვეტიც იქნება.
ნებას მოგცემთ 
ამაზე წამიერად დაფიქრდეთ.
ამ ვიდეოში ვაპირებ, რომ 
გაჩვენოთ ფუნქციის მაგალითი
რომელიც უწყვეტია, მაგრამ 
არა დიფერენცირებუილი.
და სწორედ ამის გამო არ ამართლებს
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა.
მოდით კვლავ დავუბრუნდეთ 
საშუალო მნიშვნელობის თეორემას.
ფუნციათა უმეტესობა, 
რომელთანაც მუშაობა გვიხდება
ამ სამ მოთხოვნას აკმაყოფილებს.
სანამ იცი, რომ გარკვეულ პრობლემას ჭრი
ამასობაში ავტორები ცდილობენ მათ არ
გაამართლონ. დავუბრუნდეთ ფუნქციას.
ეს ფუნნქცია ყველა 
მოთხოვნას აკმაყოფილებს.
ეს გვეუბნევა, რომ თუ მე ავიღებ საშუალო 
გადახრას a და b წერტილებს შორის,
რა იქნება საშუალო გადახრა
a და b წერტილებს შორის?
გადახრა სწორედ, რომ მიმართულების
გასწვრივ ამაღლებაა, ხომ?
ანუ რა არის ეს?
მოდით ვნახოთ თუ შევძლებ 
საშუალო გადახრის დახაზვას.

Chinese: 
我们关心的事情，你要能找到导数。
这意味着您可以采取的衍生产品。
它是可微的。
和这是什么意思？
嗯，这意味着，如果您在图的导数
此函数，它也是连续的。
我会让你想想这一秒。
其实，这段视频中我将向你们展示一个例子
这是连续的但没有可微函数和
有鉴于此，值定理分解。
但不管怎么说，让我们回到值定理。
大部分我们处理的函数满足所有的要求
这些东西的三个。
除非你知道，你正在做的限制的问题，和他们尝试
做这些东西打破。
不管怎么说，回功能。
因此，此函数满足所有这些要求。
因此，所有它说的是，如果我被采取平均坡度
之间点和 b 点。
边坡，之间的平均坡度是什么
点和 b 点吗？
嗯，边坡来看，右是公正的崛起吗？
它是什么？
让我看看是否我可以画，平均坡度。

Vietnamese: 
mà ta quan tâm, bạn phải tìm được đạo hàm
Tức là bạn lấy được đạo hàm
Thế là khả vi
Thế nó còn có nghĩa gì nữa?
Thế nghĩalà nếu bạn vẽ đồ thị của đạo hàm
của hàm số này, nó cũng phải liên tục
Và tôi sẽ đẻ bạn nghĩ về nó
Và thực ra, trong video này, tôi sẽ cho bạn một ví dụ về
một hàm liên tục, nhưng ko khả vi
và vì thế, ĐLGTTB thất bại
Nhưng dù sao, quay về định lý đã
Hầu hết các hàm ta xử lý đều sẽ đạt
cả 3 điều kiện
Trừ khi bạn làm một câu giới hạn, và họ cố tình
làm chúng ko thỏa mãn
Dù sao, quay lại hàm
Vậy hàm số này đạt đủ các điều kiện
Vậy nghĩa là, nếu tôi lấy đường nghiêng
trung bình giữa a và b
, Vậy đường dốc, dốc tủng bình này
giữa a và b là gì?
ĐƯờng dốc chỉ là độ tăng qua quãng đường, đúng ko?
Vậy nó là gì?
Để xem tôi vẽ đường dốc trung bình

Hungarian: 
megtalálható legyen a derivált.
Vagyis tudod deriválni.
Differenciálható.
És még mit jelent?
Hát, azt jelenti, hogy ha lerajzolnád a deriváltját
a függvénynek, az is folytonos lenne.
Hagyom, hadd gondoljátok ezt át.
És ebben a videóban fogok mutatni egy példát olyan
függvényre, ami folytonos, de nem differenciálható és
emiatt a középértéktétel nem érvényes.
De mindegy, térjünk vissza a középértéktételre.
A legtöbb függvény, amivel foglalkozunk, kielégíti
mindhármat ezek közül.
Hacsak, mondjuk, határértéket számolsz, és megpróbálják
ezeket a dolgokat elrontani.
Na mindegy, vissza a függvényhez.
Tehát ez a függvény minden feltételt teljesít.
Szóval amit ez mond, hogy ha az átlag meredekséget venném
a és b pont között.
Mi ez a meredekség, az átlag meredekség
a és b pont között?
Hát, a meredekség az emelkedés per haladás, igaz?
Szóval mi az?
Nézzük, fel tudom-e rajzolni az átlag meredekséget.

English: 
that we care about, you have to
be able to find the derivative.
That means you can take
the derivative of it.
It's a differentiable.
And what else does that mean?
Well, that means that if you
were to graph the derivative
of this function, that
it is also continuous.
And I'll let you think
about that for a second.
And actually, in this video I'm
going to show you an example of
a function that is continuous,
but not differentiable and
because of that, the mean
value theorem breaks down.
But anyway, let's get back
to the mean value theorem.
Most of the functions we
deal with satisfy all
three of these things.
Unless, you know, you're doing
limit problems, and they try to
make these things break down.
Anyway, back to the function.
So this function meets all
of these requirements.
So all it says is, if I were
take the average slope
between point a and point b.
So what is the slope, the
average slope between
point a and point b?
Well, slope is just
rise over run, right?
So what is it?
Let me see if I can draw
the average slope.

Bulgarian: 
трябва да можем да намерим производна
Можем да намерим производната и -
Диференцируема е
Какво друго означава това ?
Означава също, че ако направим графика на производната
на тази функция, тя също ще е непрекъсната
Ще ви оставя да помислите за това за секунда
Всъщност, в този клип ще ви дам пример за функция, която
е непрекъсната, но не е диференцируема и
заради това, теоремата за средна стойност се разпада
Но сега нека се върнем към теоремата
Повечето от функциите, с които работим,
изпълняват тези три условия
Освен, когато се занимаваме с задачи за граници
-
Както и да е, да се върнем към функцията
Значи, функцията ни отговаря на всички тези условия
Нека взема наклона между точка
а и точка b
Какъв беше средният наклон
между точки а и b ?
Ами, наклонът е просто издигане върху писта, нали ?
Значи, какъв е ?
Да видим, дали мога да начертая средния наклон

Chinese: 
我們想要知道的事，就是要能找到導數。
這意味著您可以取得它的導數。
它是可微的。
和這是什麼意思？
嗯，這意味著，如果您話出這函數的導數圖
它也是連續的。
我會讓你想一秒的時間。
其實，這段視頻中我將向你們展示一個例子
是連續的但不是可微的
因為如此，所是均值定理不成立
但不管怎麼說，讓我們回到均值定理。
大部分我們處理的函數滿足要求的
三個條件。
除非 你知道的，你正在做一些特殊問題，和他們會
使這些東西不成立。
不管怎麼說，回到函數來。
因此，此函數滿足所有要求。
因此，所有它說的是，如果我取它的平均斜率
從a點到b點。
斜率，什麼是平均斜率
在 a 點和 b 點之間呢？
嗯，斜率只是沿著它會上升 是嗎?
它是什麼？
讓我看看是否我可以畫，平均斜率。

Dutch: 
waar we het over hebben, de functie een bepaalbare afgeleide heeft
Dat betekent dat je de afgeleide kunt berekenen
Het is een differentieerbare
En wat betekent het nog meer?
Nou, het betekent dat als je de afgeleide uittekent
Van deze functie, dat-ie ook continu is.
Daar zal ik je maar over over laten nadenken.
In deze video, ga ik je een voorbeeld laten zien van
een continue functie die niet differentieerbaar is, en
om die reden is de middelwaardestelling niet van toepassing.
Maar hoe dan ook, laten we terugkeren naar de middelwaardestelling
De meeste functies zullen aan alledrie de
voorwaarden voldoen.
Tenzij je limietproblemen aan het oplossen bent, dan probeer je nu juist
dat deze dingen niet meer geldig zijn
Hoe dan ook, terug naar de functie.
Deze functie voldoet dus aan alle voorwaarden
Wat het nou eigenlijk betekent: als ik de gemiddelde stijlheid tussen
punt a en b neem...
Wat is eigelijk de stijlheid of de gemiddelde stijlheid
tussen a en b
De stijlheid is het hoogteverschil gedeeld door het lengteverschil, nietwaar
Wat is dat?
Laten we de gemiddelde stijlheid hier uittekenen

Czech: 
který nás zajímá, je možné určit derivaci.
To znamená že ji můžeme zderivovat.
Je diferencovatelná.
A co to ještě znamená?
Znamená to, že pokud byste nakreslili graf derivace
této funce, byl by také spojitý.
Nechám vás o tom chvíli přemýšlet.
A v tomto videu vám ukážu příklad
funkce, která je spojitá, ale nediferencovatelná
a kvůli tomu pro ni věta o střední hodnotě 
diferenciálního počtu neplatí.
Ale spátky k větě o střední hodnotě diferenciálního počtu.
Většina z funkcí se kterými se setkáváme
splňuje všechny tyto tři podmínky.
Pokud zrovna neřešíte příklady pro limity,
kde tyto podmínky úmyslně neplatí.
Zpátky k funkci.
Takže tato funkce splňuje všechny tyto požadavky.
Věta mi říká, že pokud vezmu průměrný sklon křivky
mezi body a a b...
jaký je průměrný sklon
mezi body a a b?
Křivka víc stoupá než probíhá, ano?
Takže jaký je průměrný sklon?
Zkusím ho tu nakreslit.

Slovak: 
ktorý nás zaujíma, musíte býť schopní nájsť jeho deriváciu.
To znamená, že môžeš urobiť derivát toho.
Je to diferencováteľné.
A čo iné to znamená?
Dobre, znamená to , že ak by si urobil graf derivácie
tejto funkcie, tak je tiež spojitý.
Nechám vás popremýšľať o tom na chvíľu.
A v skutočnosti, v tomto videu vám ide ukázať príklad
spojitej funkcie ale nie diferencovateľnej a
a kvôli tomu, veta o strednej hodnote neplatí
Ale , poďme späť k vete o strednej hodnote.
Väčšina funkcií s ktorými budeme pracovať bude spĺňať
všetky tri tieto veci.
Pokial, viete, robíš s limitami, a tie sa snažia
všetky tieto veci pokaziť.
Späť k funkcií.
Takže táto funkcia spĺňa všetky podmienky.

Estonian: 
me hoolime, peab olema võimeline leidma tuletise.
See tähendab, et sa saad selle tuletise võtta.
See on eristatav.
Mida veel see tähendab?
See tähendab, et kui sa joonistaksid selle funktsiooni
tuletise, siis ka see peab olema pidev.
Ma lasen sul hetke mõelda.
Selles videos ma teen sulle näite funktsioonist, mis on
pidev, aga mitte eristatav ja sellepärast,
keskväärtusteoreem murdub.
Igastahes, lähme tagasi keskväärtusteoreemi juurde.
Enamus funktsioonidest, mida ma käsitleme, rahuldavad
kõiki neid kolme punkti.
Kui sa just ei tee piiramise probleeme ning need
tavatsevad murduda.
Tagasi funktsiooni juurde.
Sellel funktsioonil on kõik need olemas.
See ütleb, et kui ma võtaks keskmise kallakuse
punkti a ja punkti b vahel.
Mis on kallak, keskmine kallak
punkti a ja punkti b vahel?
Kallak on lihtsalt tõus perioodis, õigus?
Aga mis see on?
Ma proovin joonistada keskmise kallaku.

Portuguese: 
que nos interessa, você tem que ser capaz de encontrar a derivada.
Isso significa que você pode tomar o derivado dele.
É um diferenciável.
E o que isso significa?
Bem, isso significa que se você fosse para a derivada de gráfico
desta função, que também é contínua.
E vou deixar que você pense sobre isso por um segundo.
E realmente, neste vídeo eu vou lhe mostrar um exemplo de
uma função é contínua, mas não diferenciável e
por causa disto, o teorema do valor médio quebra.
Mas enfim, vamos voltar ao teorema do valor médio.
A maioria das funções com que lidamos atender a todas
três destas coisas.
A menos que, você sabe, você está fazendo limite problemas, e eles tentam
fazer estas coisas quebrar para baixo.
Enfim, de volta para a função.
Portanto, essa função atende a todos esses requisitos.
Então tudo que ele diz é, se eu foram tomar a inclinação média
entre o ponto a e ponto b.
Então, qual é a inclinação, a inclinação média entre
ponto a e ponto b?
Bem, o declive é apenas ascensão prazo, certo?
Então o que é?
Deixe-me ver se posso chamar o declive médio.

Russian: 
мы должны быть в состоянии найти производную.
Это означает, что вы можете взять производную.
Это дифференцируемая.
Что еще это означает?
Это значит, что если бы вы нарисовали производную,
то она тоже была бы непрерывной..
Давайте остановимся на секундочку, чтобы это переварить.
Я вам тут покажу пример
функции, которая является непрерывной, но не дифференцируемой и
в результате теорема не работает.
Итак, давайте вернемся к нашей теореме.
Большинство функций, с которыми мы имеем дело удовлетворяют всем
трем из этих вещей.
Если вы не знаете, вы делаете предел проблемы, и они пытаются
сделать эти вещи выходят из строя.
Вернемся обратно к функции.
Итак, эта функция отвечает всем этим требованиям.
Поэтому все, что он говорит это, если я был средний уклон
между точкой и пункт б.
Что же такое угловой коэффициент, средний угловой коэффициент между
точками a и b?
Ну угловой коэффициент является просто углом подъема, правильно?
Что же такое это?
Я хотел бы видеть, если я могу , нарисовать средний угловой коэффициент.

Arabic: 
التي نهتم بها، يجب أن يكون هناك مشتقّة
أي أنّه يمكنك أخذ المشتقة منها
إنّها قابلة للاشتقاق
وماذا يعني هذا أيضًا؟
هذا يعني أنك إن رسمت المشتقة
لهذه الدالة، والتي تكون متصلة
سأدعكم تفكّرون بها لثانية
وفي الواقع، سأعرض لكم في هذا الفيديو مثالًا
لدالة متصلة لكنّها ليست قابلة للاشتقاق
لذا لا يمكن استخدام نظريّة القيمة المتوسّطة في هذه الحالة
على أي حال، فلنعد لنظريّة القيمة المتوسّطة
معظم الدوال التي نتعامل معها تلبي
ثلاثة من هذه الأشياء
إلا إن كنت تحاول إيجاد النهايات والتي
تحاول إبطال هذه الأشياء
على أي حال، عودة إلى الدالة
هذه الدالّة تلبّي جميع هذه الأشياء
كل ما تقوله هو أنّه إن قمت بإيجاد متوسط التغير
بين النقطة a والنقطة b
إذًا ما هو الميل، متوسط الميل بين
النقطة a والنقطة b؟
الميل هو التغير الرأسي على التغير الأفقي، صحيح؟
إذًا ما هو؟
دعوني أرى إن كنت أستطيع رسم متوسط التغير

Spanish: 
elegido, debe ser posible calcular su derivada
Eso significa que es derivable
Es diferenciable
Y que más significa?
Bien, significa que si representaras gráficamente la derivada
de esta función, también sería continua
Os dejaré pensar sobre ellos un segundo
Y en efecto, en este video os enseñaré un ejemplo de
una función que es continua pero no diferenciable y
por ello, no podemos aplicar el reorema del valor medio
De todas formas, volvamos al teorema del valor medio
La mayoría de las funciones con las que trabajamos cumplen las
tres condiciones
a menos que estés resolviendo límites que hacen
que esto se venga abajo
De cualquier manera, volviendo a la función
esta función cumple los tres requisitos
y todo lo que dice es que si tomara la pendiente media
entre el punto "a" y el punto "b"...
bien... pero que es la pendiente?, la pendiente media entre
el punto "a" y el punto "b"?
La pendiente es la distancia en vertical partida de la distancia en horizontal
bien... que es?
Intentaré dibujar la pendiente media

Turkish: 
-
Yani, türevini alabilirsiniz demek.
-
Başka ne anlama gelebilir?
Türevinin grafiğini çizersek, bu grafik de sürekli olur.
-
Şimdi bunu biraz düşünmenizi isteyeceğim.
Bu videoda size sürekli, ama türevli olmayan bir fonksiyon göstereceğim ve, o nedenle, ortalama değer teoremi işe yaramayacak.
-
-
Neyse, ortalama değer teoremine geri dönelim.
Genelde kullandığımız fonksiyonlar, bu üç koşulu da sağlar.
-
Ancak, limit sorularında bu koşullara uymayan fonksiyonlarla karşılaşabiliriz.
-
Neyse, fonksiyona dönelim.
Bu fonksiyon, tüm bu koşulları sağlıyor.
Teorem, a ve b noktası arasındaki eğimi bulmamızı istiyor.
-
a noktası ile b noktası arasındaki eğim nedir?
-
Eğim, düşey uzaklığın, yatay uzaklığa oranı, öyle değil mi?
-
Eğimi çizmeye çalışayım.

Vietnamese: 
Vậy quãng đường sẽ là khoảng này
Đó là quãng đường, phải không, và đây là đọ tăng.
Vậy đây là điểm, ngay đây, đó là
điểm a, f(a)
Ở đây là điểm b, f(b)
Vây độ nghiêng trung bình là gì giữa a và b?
Nó là độ tăng qua quãng đường.
Độ tăng là gì?
Quãng đuonngf là mấy?
Ta đã đi lên bao nhiều, từ f(a) tới f(b)
Đọ tăng sẽ chỉ là f(b), độ
cao, trừ đi f(a)
f(b) - f(a)
Và quãng đường là gì?
Nó sẽ chỉ là b-a
Và nếu tôi vẽ một đường, có độ tăng trung bình

Chinese: 
它就會往這邊跑這樣的距離。
這將是跑的方向 然後會是上升的。
這是該點，就在這兒，那的
a、 f(a) 。
在這裡，這是 b 和 f(b)。
那麼什麼是平均斜率在a和b？
嗯，它是往上跑的。
往上是什麼？
此距離是什麼？
有多少是從f(a)到f(b)？
嗯，就以f(b)的高度
，減去f(a)。
f(b)減去f(a)
與此距離是什麼？
嗯，它是b減掉a。
假如我繪製一條直線，它擁有相同斜率，它

Arabic: 
إذًا سيكون التغير الأفقي هذه المسافة
هذا هو التغير الأفقي، وهذا سيكون التغير الرأسي
هذه هي النقطة، هنا
هذه هي النقطة ((a, f(a)
وهنا ستكون النقطة ((b, f(b)
ما هو متوسط التغير بين a وb؟
إنّه التغير الرأسي على التغير الأفقي
إذا ما هو التغير الرأسي؟
ما هي هذه المسافة؟
ما هو المقدار الذي ارتفعناه من (f(a إلى (f(b؟
التغير الرأسي سيكون (f(b
هذا الارتفاع، ناقص (f(a
f الـb ناقص f الـa
وما هو التغيّر الأفقي، ما هي هذه المسافة؟
حسنًا إنها فقط a ناقص b.
وإن أردت أن أرسم خطًّا لديه متوسط التغيّر

Polish: 
Powinno być jakoś tej długości
To by była długość,
A to wzniesienie
Więc to jest punkt, dokładnie tutaj,
punkt a, funkcji f od a
A tutaj punkt b, f od b
Więc czym jest przeciętne zbocze między a i b?
Jest to wzniesienie nad długością
Czym jest wzniesienie?
Czym jest długość?
Jak wysoko się wznieśliśmy między f od a i f od b?
Cóż, wzniesieniem będzie akurat f od b
Ta wysokość minus wysokość f od a
f od b minus f od a
Więc czym jest długość?
Jest to po prostu b minus a
b minus a
I gdybym miał narysować linię przedstawiającą to przeciętne zbocze

Spanish: 
la dist. en horizontal sería esta distancia
esto sería la dist. en horizontal, si?, y esto la dist. en vertical
...
y este es el punto, aquí está
el punto (a, f(a))
y aquí este es el punto (b, f(b))
así que cual es la pendiente media entre a y b?
Es la dist.en vertical partida de la dist. en horizontal
y cuál es la dist. en vertical?
cuánto vale esta distancia?
cuánto hemos subido en el paso de f(a) a f(b)?
bien la dist. en vertical será f(b), esta
altura, menos f(a)
f(b) menos f(a)
y cuál es la dist. en horizontal, cuánto es esta distancia?
Pues es "b" menos "a"
...
y si dibujase la linea que tiene esa pendiente media

English: 
So the run would
be this distance.
That'd be the run, right,
and this would be the rise.
So this is the point,
right here, that's
the point a, f of a.
Over here, this is
the point b, f of b.
So what's the average
slope between a and b?
Well, it's rise over run.
So what's the rise?
What's this distance?
How much have we gone up
from f of a to f of b?
Well, the rise will
just be f of b, this
height, minus f of a.
f of b minus f of a.
And what's the run,
what's this distance?
Well, it's just b minus a.
And if I were to draw a line
that has that average slope, it

Thai: 
เดิน คือ ระยะตรงนี้
นั่นคืด เดิน ใช่ แล้วนี่ก็คือ ดัน
-
ดังนั้นนี่คือจุด ตรงนี้ นั่นคือ
จุด a, f ของ a
ตรงนี้ นี่คือจุด b, f ของ b
ดังนั้นความชันเฉลี่ยระหว่าง a กับ b เป็นเท่าไหร่?
มันคือ ดัน ส่วน เดิน
ดันเป็นเท่าไหร่?
ระยะนี้เป็นเท่าไหร่?
เราต้องดันขึ้นเท่าไหร่จาก f ของ a เป็น f ของ b?
งั้น ดันจะเป็น f ของ b นี่
คือความสูง ลบ f ของ a
f ของ b ลบ f ของ a
แล้วเดินคืออะไร ระยะนี้เป็นเท่าไหร่?
มันก็แค่ b ลบ a
-
และหากผมวาดเส้นที่มีความชันเฉลี่ย มัน

Dutch: 
Het lengteverschil is deze afstand.
And dit hier is het hoogteverschil
Dit punt hier is het punt
a, f(a)
Hier is het punt b, f(b)
Wat is de gemiddelde stijlheid tussen a en b?
Nou, dat is dus het hoogteverschil gedeeld door het lengteverschil
Wat is het dus?
Wat is deze afstand?
Hoeveel zijn we omhoog gegaan van f(a) tot f(b)?
Het hoogteverschil is f (b), deze hoogte
minus f(a)
f(b) minus f(a)
En wat is het lengteverschil?
Dat is gewoon b minus a
En als ik een lijn zou tekenen met die gemiddelde stijlheid,

Bulgarian: 
Пистата ще ни бъде това разстояние
Това ще ни е пистата, а това - издигането
-
Значи това тук е точката
а, f от а
А това ни е точка b, f от b
Значи, какъв е средният наклон между а и b ?
Ами, издигането върху пистата
Какво ни е издигането ?
Какво е разстоянието ?
С колко сме се издигнали от f от а до f от b ?
Ами, издигането ще бъде f от b, тази
височина, минус f от а
f от b минус f от а
Каква е пистата, какво е разстоянието
Ами, то е просто b минус а
-
И ако начертая права, която показва средния наклон,

Chinese: 
因此，运行就会此距离。
会是运行，正确的而这将崛起。
这是该点，就在这儿，那的
a、 f 的点。
在这里，这是 b 的 b 点 f。
那么什么是之间，平均坡度和 b？
嗯，它是兴起来看。
崛起是什么？
此距离是什么？
多少我们已经上涨的 f 从 f b 到？
嗯，兴起只会 b、 f 这
高度，减去的 f。
b 再减的 f f。
与此距离运行的是什么，是吗？
嗯，它是公正 b 再减。
绘制一条直线，具有的平均的斜坡，假如它

Czech: 
Průběh by byla vzdálenost.
To by byl průběh, ano?
A toto by byl vzestup.
Tento bod, to je
bod a, f(a).
Tady je bod b, f(b).
Takže jaký je průměrný sklon mezi a a b?
Víc stoupá, než probíhá.
Jaký je vzestup?
Jaká je tato vzdálenost?
O kolik jsme stoupli z f(a) fo f(b)?
Vzestup bude f(b), tato výška,
mínus f(a).
f(b) - f(a).
A jaký je průběh, jaká je vzdálenost?
Je to jednoduše b - a.
A pokud bych chtěl nakreslit přímku s průměrným sklonem,

Russian: 
То есть пробег будет расстоянием.
Это было бы пробегом, правильно?, и это будет рост.
Так что это точка, прямо здесь, это
точка a, f от a.
Смотрите сюда, это точка b, f от b.
Что такое средний угловой коэффициент между и b?
Ну это повышение перспективе.
Что же такое повышение?
Что такое это расстояние?
Насколько мы выросли из f(a) к f(b)?
Ну, рост будет f b, это
Высота минус f.
f(b) минус f(a).
И что такое прогон, что это расстояние?
Ну, это просто b минус a.
И если бы я хотел нарисовать линию, имеющий этот средний наклон, она

Portuguese: 
Assim, a execução seria esta distância.
Isso seria a execução, direita, e este seria o aumento.
Então este é o ponto, aqui, certo que da
o ponto a, f de um.
Por aqui, este é o ponto b, f de b.
Então, qual é a inclinação média entre a e b?
Bem, é ascensão ao longo da execução.
O que é a ascensão?
O que é esta distância?
Quanto nós subiram de f à f do b?
Bem, o aumento só será f de b, isto
altura, menos f de um.
f de b menos f de um.
E o que é a execução, o que é esta distância?
Bem, é apenas b menos um.
E se eu fosse para desenhar uma linha que tenha essa inclinação média, ele

Georgian: 
ამგვარად მიმდინარეობა
იქნება ეს მანძილი.
ეს იქნება მიმდინარეობა, 
ხოლო ეს იქნება აღმასვლა.
აქ ეს წერტილი არის
a წერტილის ფუნქცია.
ხოლო ეს b წერტილის ფუნქცია.
რა იქნება საშუალო გადახრა 
a და b წერტილებს შორის?
ეს იქნება მიმართულებაზე 
ნაჩვენები აღმასვლა.
აღმასვლა რა არის?
მანძილი რა არის?
რამდენის გავლა დაგვჭირდა 
a ფუნქციიდან b ფუნქციამდე?
აღმასვლა იქნება b ფუნქცია, ანუ
ამ სიმაღლეს მინუს a ფუნქცია.
ხოლო ახლა რა არის 
მიმდინარეობა ანუ მანძილი?
ეს უბრალოდ არის b-ს მინუს a.
თუ მე დავხაზავდი ისეთ ხაზს, 
რომელსაც ექნებოდა საშუალო გადახრა,

Hungarian: 
Szóval a haladás ezt a távolságot jelenti.
Ez a haladás, és ez lenne az emelkedés.
Szóval a haladás ez a távolság lenne.
Tehát ez az a pont, itt, ez
az (a, f(a)) pont.
Ez itt a (b, f(b)) pont.
Szóval mi az átlag meredekség a és b között?
Hát, emelkedés per haladás.
Szóval mi az emelkedés?
Mi ez a távolság?
Mennyit mentünk fel f(a)-tól f(b)-ig?
Hát, az emelkedés f(b) lesz, ez
a magasság, mínusz f(a).
f(b) mínusz f(a).
És mi a haladás, mi ez a távolság?
Hát ez pont b mínusz a.
b mínusz a
És ha rajzolnék egy vonalat, ami az átlag meredekség,

Estonian: 
Periood oleks see vahemaa.
See oleks periood ja see oleks tõus.
See on punkt, täpselt siin, see on
(a, f(a)).
Siin on meil (b, f(b)).
Mis on keskmine kallak a ja b vahel.
See on tõus perioodis.
Mis on tõus?
Mis on vahemaa.
Kui palju me oleme läinud üles f(a)'st f(b)'ni.
Tõus oleks f(b),see kõrgus,
lahutada f(a).
f(b) miinus f(a).
Mis on periood, mis on vahemaa?
See on lihtsalt b miinus a.
Kui ma joonistaksin keskmise kallaku joone, siis

Turkish: 
Yatay uzaklık, şu uzaklık oluyor.
Bu da düşey uzaklık olur.
-
Bu nokta, a, f a.
-
Bu nokta da b, f b.
O zaman, a ve b arasındaki eğim nedir?
Düşey uzaklığın, yatay uzaklığa oranı.
Düşey uzaklık nedir?
Bu uzaklığı nasıl buluruz?
f a'dan f b'ye ulaşmak için ne kadar yukarı çıktık?
Düşey uzaklık, f b eksi f a olacak.
-
f b eksi f a.
Peki, yatay uzaklık nedir?
b eksi a.
-
Eğimini bulduğumuz doğruyu şöyle çizebilirim.

Vietnamese: 
nó sẽ trông thế này
Tôi có thể làm nó đi qua cả 2 điểm
nhưng mà ko cần thiết
Để tôi làm màu xanh
Vậy đó là độ tăng trung bình giữa
2 điểm, phải ko?
Vậy DLGTTB nói gì?
Nó nói, nếu f(x) xác đinh trong khoảng đóng từ
a tới b, và f(x) liên tục, và nó
khả vi, tức là bạn có thể lấy đạo hàm ở bất cứ
điểm nào, sẽ phải có một điểm c, để f'(c) bằng
bằng cái này
Vậy nó sẽ bằng f'(c)
Tôi không nên viết vào đây
Vậy điều đó nói lên gì?
Thế là nếu nó liên tục

Czech: 
vypadala by nějak takto.
Mohla by procházet těmito dvěma body,
ale rozhodně nemusí.
Udělám to modře.
Takže toto je průměrný sklon mezi
těmito dvěma body, ano?
Takže co nám říká věta o průměrné 
hodnotě diferenciálního počtu?
Říká, že pokud je f (x) defeinovaná
na tomto uzavřeném intervalu
od a do b a f(x) je spojitá a je diferencovatelná,
můžete určit derivaci v jakémkoliv bodě,
musí existovat nějaký bod c, ve kterém f'(c)
se rovná tomuto výrazu.
takže rovná se f'(c).
( Neměl jsem to sem psát )
Takže co nám to říká?
Říká nám to jednoduše, že když je naše funkce spojitá,

Arabic: 
سيبدو هكذا تقريبًا
يمكننا جعله يمر بهاتان النقطتان
لكنه ليس من الضروري
دعوني أرسمه بالأزرق
إذًا هذا هو متوسط التغيّر بين
هاتان النقطتان، صحيح؟
ما الذي تخبرنا إيّاه نظرية القيمة المتوسطة؟
تخبرنا أنّه إن كانت f الـx معرفة على هذه الفترة المغلقة من
a إلى b، وf الـx متصلة
وقابلة للاشتقاق، بيحث يمكنك أخذ المشتقة من أي
نقطة، يجب أن يكون هناك نقطة c، تكون مشتقة f الـc
مساوية لمتوسط التغيّر
إذًا هذا مساو لمشتقة f الـc
لم يكن علي أن أكتبها هنا
إذًا ما معنى ذلك؟
كل هذا يخبرنا أنّه إذا كانت متصلة

Chinese: 
看起来是这样的。
我们能通过这两个点，但它去
真的不会要。
让我做一个蓝色的。
这就是那些之间，平均坡度
两个点，正确吗？
所以值定理告诉我们什么？
它说，如果对此闭区间从定义 x f
b，和 f x 是连续的而且是
可微，是你可以用在任何的导数
点，必须有 c 的一些点 c f 首相是
等于这件事。
所以等于 f c 的首相。
我不应该在这里写它。
那么什么，告诉我们？
所以这一切告诉我们，是如果我们是连续的

Dutch: 
dan ziet het er ongeveer zo uit.
We zouden het door deze twee punten kunnen tekenen,
maar dat hoeft niet per se
Laten we het in blauw doen.
Dat is dus de gemiddelde stijlheid tussen
deze twee punten, nietwaar?
Wat zegt nu de middelwaardestelling?
Het zegt: als f (x) gedefinieerd is over dit gesloten interval van
a tot b, en f (x) is continu, en
hij is ook differentieerbaar, dat je dus de afgeleide van ieder punt kunt bepalen,
dat er een punt c bestaat waarvan f '(c)
gelijk is aan de berekende stijlheid
dus gelijk aan f ' (c)
Ik had het niet daar moeten schrijven.
Wat zegt ons dat nu eigenlijk?
Het zegt ons dat, als we een continue, differentieerbare functie hebben

Spanish: 
se parecería a esta
Podemos hacerla pasar por estos dos puntos, pero
no tiene porque
Lo haré en azul
...
Asi que esta es la pendiente media entre esos
dos puntos, bien?
Y que es lo que nos dice el teorema del valor medio?
Dice que si f(x) está definida en un intervalo cerrado
de "a" a "b", si f(x) es continua, y si
es diferenciable de tal manera que podríamos calcular la derivada en cualquier
punto, tiene que existir algun punto "c", donde "f prima" de "c"
es igual a esta cosa
es igual a "f prima" de "c"
(no debería haberlo escrito aqui)
Bien, qué nos está diciendo?
Lo que nos está diciendo es que si nos encontramos en una función continua

Chinese: 
就會長得很像它。
我們能通過這兩個點，但它去
真的不會要。
讓我做一個藍色的。
這就是那些之間的斜率
在那兩點之間，對吧？
所以均值定理告訴我們什麼？
它說，如果f(x)定義在這個閉區間
[a,b]， f(x) 是連續的而且是
可微，是你可以用在任何的導數
點，必須有 c 的一些點 c f 首相是
等於這件事。
所以等於 f c 的首相。
我不應該在這裡寫它。
那麼什麼，告訴我們？
所以這一切告訴我們，是如果我們是連續的

Thai: 
จะออกมาเป็นแบบนี้
เราอาจทำให้มันผ่านสองจุดนี้ แต่
มันไม่จำเป็นต้องผ่าน
ขอผมวาดด้วยสีฟ้านะ
-
นั่นคือความชันเฉลี่ยระหว่าง
สองจุดนั้น จริงไหม?
แล้วทฤษฏีบทค่ากลางบอกอะไรเรา?
มันบอกว่า หาก f ของ x ถูกนิยามตลอดช่วงปิดจาก
a ถึง b และ f ของ x ต่อเนื่อง หาอนุพันธ์ได้
หมายถึง คุณสามารถหาอนุพันธ์ ณ จุดใด ๆ ได้
แล้ว มันต้องมันค่า c สักค่า ที่ f ไพรม์ของ c
เท่ากับสิ่งนี้
งั้นนี่เท่ากับ f ไพรม์ของ c
ผมไม่ควรเขียนมันตรงนี้
แล้วนี่บอกอะไรเรา?
มันบอกเราว่า หากเราต่อเนื่อง

Bulgarian: 
тя ще изглежда като нещо такова
Можеше да го направим да мине през тези две точки,
но не е задължително
Нека го направя в синьо
-
Значи, това е средният наклон между тези
две точки, нали ?
Значи, какво ни казва теоремата за средна стойност ?
Казва, че ако f от x е определена за този затворен интервал
от а до b и ако f от x е непрекъсната и
диференцируема, можем да вземем производната
във всяка точка и трябва да има някакви точки c f прим от
е равно на нея
Значи, pавно на f прим от c
Не трябваше да го пиша тук
Какво ни казва това ?
Значи, това което ни казва теоремата е, че ако функцията е

English: 
would look something like this.
We could make it go through
those two points, but it
really doesn't have to.
Let me do it in a blue.
So that's the average
slope between those
two points, right?
So what does the mean
value theorem tell us?
It says, if f of x is defined
over this closed interval from
a to b, and f of x is
continuous, and it's
differentiable, that you could
take the derivative at any
point, that there must be some
points c f prime of c is
equal to this thing.
So is equal to f prime of c.
I shouldn't have
written it here.
So what is that telling us?
So all that's telling us,
is if we're continuous,

Portuguese: 
poderia ser algo como isto.
Nós poderia fazê-lo passar por esses dois pontos, mas
realmente não precisa.
Deixe-me fazê-lo em um azul.
O que é a inclinação média entre aqueles
dois pontos, certos?
Assim que o teorema do valor médio diz-nos?
Ele diz, se f de x é definida sobre este intervalo fechado de
um b e f de x é contínua, e é
diferenciável, que você poderia tomar a derivada em qualquer
ponto, que deve haver algum prime de f c pontos de c é
igual a essa coisa.
Então, é igual ao prime de f de c.
Eu não deveria ter escrito aqui.
Então o que é que nos dizendo?
Assim, tudo o que está dizendo a nós, é se estamos contínuas,

Polish: 
Wyglądałoby to jakoś tak
Moglibyśmy sprawić że przechodzi przez te dwa punkty
Ale nie musi
Pozwólcie że zrobię to
na niebiesko
Więc jakie jest przeciętne zbocze między
tymi punktami?
O czym mówi nam twierdzenie?
Mówi, że jeśli f od x jest wyliczona w tym zamkniętym przedzial
od a do b, i f od x jest ciągła
oraz różniczkowalna, to można wyliczyć jej pochodną w
dowolnym punkcie, że muszą być jakieś punkty c, w których pochodna f od c
jest równa temu
Więc to jest równe f prim od c
Nie powinienem był pisać tego tutaj
Więc o czym nam to mówi?
Mówi nam, że jeśli funkcja jest ciągła

Estonian: 
see näeks välja midagi sellist.
Me saame teha selle läbi nende kahe punkti, aga see
ei pea.
Ma teen selle sinisega.
See on keskmine kallak nende
kahe punkti vahel, õigus?
Mida ütleb meile keskväärtusteoreem?
See ütleb, et kui f(x) on defineeritud selles kinnises intervallis
a'st b'ni ning f(x) on pidev ja
eristatav, siis sa võid võtta suvalise punkti tuletise, siis
peab olema mingi punkt c, kus f '(ülakoma)(c)
on võrdne sellega siin.
See on võrdne f '(c)'ga.
Ma oleks pidanud selle siia kirjutama.
Mis see ütleb meile?
See ütleb meile, et kui me oleme pidevad,

Russian: 
выглядела бы примерно так.
Мы смогли сделать его пройти через эти две точки, но это
действительно не должен.
Позвольте мне сделать это в голубой.
Так что это средняя склон между теми, кто
две точки, правильно?
Так что среднее значение Теорема говорит нам?
Он говорит, если f x определяется этот интервал закрыто от
b и f x непрерывный, и это
дифференцируемые, что можно было взять производной в любое
Укажите, что должна существовать некоторые точки c f расцвете c-
равный к этой вещи.
Так что равно f расцвете c.
Я не написали его здесь.
Так что это говорит нам?
Таким образом все это говорит нам, является, если мы непрерывно,

Hungarian: 
így nézne valahogy ki.
Megtehetnénk, hogy ezen a két ponton menjen át, de
nem igazán szükséges.
Kékkel fogom csinálni.
Szóval ez az átlag meredekség eközött
a két pont között, igaz?
Szóval mit mond a középértéktétel?
Azt mondja, hogy ha f(x) ezen az [a,b] zárt intervallumon
értelmezett, és f(x) folytonos és
differenciálható, hogy minden pontban kiszámíthatjuk
a deriváltat, akkor kell lennie c pontoknak, ahol f derivált c
megegyezik ezzel.
Tehát megegyezik f'(c)-vel.
Nem ide kellett volna írnom.
Szóval mit mond ez nekünk?
Amit mond ez nekünk az az, hogy ha folytonosak,

Georgian: 
ის იქნებოდა ასეთი.
შეგვიძლია გავატაროთ ამ ორ წერტილს
შორის, მაგრამ მართლა არ გვჭირდება.
მოდით ლურჯი ფერით გავაკეთებ.
ეს არის საშუალო გადახრა
ამ ორ წერტილს შორის. ხომ მართალია?
ამგვარად რას გვეუბნევა 
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა?
ის გვეუბნევა, რომ თუ X ფუნქცია 
განსაზღვრულია a-დან b-დე ახლო ინტერვალში,
და X ფუნქცია არის უწყვეტი
და დიფერენცირებული,
მაშინ შეგიძლია ნებისმიერი 
წერტილიდან აიღო დერივატი,
შეიძლება იყოს რაღაც c წერტილი,
სადაც c-ს ძირითადი ფუნქცია
შეიძლება, რომ ამის ტოლი იყოს.
აქ არ უნდა დამეწერა.
ანუ ეს რას გვეუბნევა?
ეს გვეუბნევა, რომ თუ ფუნქცია 
უწყვეტია, დიფერენცირებული და

Turkish: 
-
Bu iki noktadan geçirebiliriz, ama bu noktalardan geçmek zorunda değil.
-
-
-
İki nokta arasındaki eğimi, böyle bulduk.
-
Peki, ortalama değer teoremi ne söylüyor?
Eğer f x, bu kapalı aralıkta tanımlı, sürekli ve türevli ise, bu aralıkta bir c noktasında, f üssü c, bu şeye eşit olacak.
-
-
-
-
Bu, f üssü c'ye eşit.
-
Peki bu ne demek?
Eğer kapalı aralıkta tanımlı, sürekli ve türevliysek, a ve b arasında, f üssü c'nin, c'deki teğetin eğiminin, a ve b arasındaki eğime eşit olduğu bir c noktası bulabiliyorum.

Georgian: 
განსაზღვრულია ახლო ინტერვალში 
და არსებობს გარკვეული c წერტილიც,
c წერტილი იქნება a და b წერტილებს შორის,
და ის შეიძლება იყოს ერთ-ერთი წერტილიც
რომლის დერივატი, გადახრა , 
ან წამიერი გადახრა იყოს c-თან,
ზუსტად ამ ინტერვალის 
საშუალო გადახრის ტოლია.
ანუ ეს რას ნიშნავს?
შეგვიძლია ვიზუალურად შევხედოთ.
არის თუ არა ამ მრუდის გასწვრივ
რომელიმე წერტილი, საიდანაც
მრუდი გამოიყურება იმ საშუალო 
გადახრის მსგავსად, რომელიც გამოვითვალეთ?
მოდით ვნახოთ.
ამ წერტილიდან შეიძლება,
რომ მსგავსი იყოს. არა?
ისე, როგორც მე დავხაზე.
ძალაინ არაზუსტია.
მაგრამ აი ეს წერტილი ჰგავს გადახრას.
ასე, რომ ჩვენ არ ვიცით ანალიტიკური 
თვალსაზრისით ეს ფუნქცია რა არის,
თუმცა ვიზუალურად შეგიძლიათ 
დაინახოთ c წერტილთან არსებული დერივატი.
გამოდის, რომ 
წერტილი ზუსტად დავსვი.
ანუ ეს შეიძლება იყოს ჩვენი c წერტილი.

Czech: 
diferencovatelná a definovaná na uzavřeném intervalu,
existuje nějaký bod c, který musí být mezi a a b,
existuje nějaký bod mezi a a b, a 
může to klidně být jeden z nich,
existuje nějaký bod c, ve kterém derivace,
neboli sklon v c, okamžitý sklon v c,
se přesně rovná průměrnému sklonu tohoto intervalu.
Co to tedy přesně znamená?
Můžeme se na to dívat graficky.
Existuje nějaký bod na této křivce, kde sklon vypaká
velmi podobně jako tento průměrný 
sklon, který jsme spočítali?
Samozřejmě, podívejme se.
Zná se že možná tento bod?
Tak jsem to pouze nakreslil.
Toto je velice nepřesné,
ale v tomto bodě se zná,
že sklon je asi takovýto.
Nevíme co je toto přesně za funkci,
ale graficky vidíme, že v tomto bodě c
je derivace... prostě jsem tento bod vybral.

Dutch: 
over het gesloten interval, dat
er een punt c bestaat tussen a en b
dat er dus een punt tussen a en b is, en het kan ook aan een van de uiteinden liggen
maar er is dus een punt c waar de afgeleide van f(c)
de lokale stijlheid dus
precies gelijk is aan de stijlheid over het hele interval
Wat betekent dat?
We kunnen het in beeld bekijken.
Is er een punt op de curve waar de stijlheid gelijk is
aan de gemiddelde stijlheid die we berekend hebben?
Natuurlijk, kijk maar.
Dit punt hier lijkt te voldoen
Precies zoals ik getekend heb.
Dit is niet erg precies.
Maar dat punt lijkt te voldoen, ik zou kunnen zeggen
dat de stijlheid hier ongeveer gelijk is.
We weten niet precies wat de analytische vorm is van deze functie
maar in beeld kunnen we zien dat op dit punt c
de afgeleide gelijk is, daarom heb ik dit punt gekozen

Spanish: 
diferenciable, definida en un inervalo cerrado, que
existe algun punto "c" -oh! - "c" tiene que estar entre "a" y "b"
existe algun punto entre "a" y "b", y podría estar en alguno
de los dos, pero hay un punto "c" donde la derivada en
"c" o la pendiente en "c"
es identica a la pendiente en ese intervalo
que significa esto?
podemos verlo
hay algun punto a lo largo de esta curva donde la pendiente se parezca
a la pendiente a la pendiente media que hemos calculado?
Por supuesto, veamoslo...
parece... quizás... este punto? justo aquí?
Aquí donde lo he dibujado
--- poco exacto ---
pero ese punto se parece a la pendiente, podría
decir que la pendiente es algo como esto, justo así
y aunque no sabemos como es esta función analíticamente
pero visualmente podemos ver que en este punto "c" la
derivada, con este punto elegido

Turkish: 
-
-
-
-
-
-
Bu ne anlama geliyor?
Görsel olarak bakabiliriz.
Eğri üzerinde, eğimin a ve b arasındaki eğime benzediği bir nokta bulabilir miyiz?
-
Tabii.
Şu nokta olabilir mi?
Çizdiğim şekil biraz kabataslak oldu.
-
Bu noktanın eğimi şöyle, diyebilirim.
-
Bu fonksiyonun kuralını bilmiyorum, ama görsel olarak, şöyle bir c noktası seçtim.
-
-

Bulgarian: 
непрекъсната, диференцируема и дефинирана за затворения интервал, тогава
има точка c, намираща се между а и b
(може даже да е една от точките)
където производната или
моменталния наклон е
равен точно на средния наклон за този интервал
Какво означава това ?
Нека го разгледаме визуално
Някъде по тази крива, има ли точка, където наклонът изглежда
много близък до средния наклон, който изчислихме
Ами да, да видим
Може би тази точка тук ?
Поне според моя чертеж
Той не е много точен
Но тази точка изглежда като средния
наклон, ето тук
Аналитично, не знаем каква е тази функция, но
визуално, можем да видим, че тази точка
е това, което търсим

English: 
differentiable, defined over
the closed interval, that
there's some point c, oh, and c
has to be between a and b,
there's some point between a
and b, and it could be at one
of the points, but there's some
point c where the derivative at
c, or the slope at c, the
instantaneous slope at c, is
exactly equal to the average
slope over that interval.
So what does that mean?
So we can look at it visually.
Is there any point along this
curve where the slope looks
very similar to this average
slope that we calculated?
Well, sure, let's see.
It looks like, maybe,
this point, right here?
Just the way I drew it.
This is very inexact.
But that point looks like the
slope, you know, I could
say the slope is something
like that, right there.
So we don't know what,
analytically, this function is,
but visually, you could see
that at this point c, the
derivative, so I just
picked that point.

Russian: 
дифференцируемые, определенными в закрытый период времени, что
есть некоторые точка c, Ах, и c должно быть между и b,
есть какой-то момент между и b и он может быть в одном
из точек но есть некоторые точка c где производной в
c или склона в c, мгновенно склона в c, является
точно равен средний уклон за этот интервал.
Так что это значит?
Так что мы можем смотреть на него визуально.
Есть любой точке вдоль этой кривой, где наклон выглядит
очень похож на этот средний склон, который мы подсчитали?
Ну конечно, посмотрим.
Он выглядит как, может быть, здесь, прямо здесь?
Именно так, как я обратил его.
Это весьма неточной.
Но это точка выглядит как склона, вы знаете, я мог бы
скажем склона есть что-то вроде этого.
Таким образом мы не знаем какие, аналитически, эта функция является,
но визуально, вы могли бы видеть, что на этом точка c,
производные, так что я просто выбрал этот момент.

Hungarian: 
differenciálhatók és egy zárt intervallumon értelmezhetők vagyunk,
akkor van valahol egy c pont, ó, és c a és b között van,
van valami pont a és b között, és lehet valamelyik ponton
ezek közül, de van egy pont, ahol a derivált
c-ben, vagy a meredekség c-ben, a pillanatnyi meredekség c-ben,
pontosan megegyezik az intervallum feletti átlag meredekséggel.
Szóval mit jelent ez?
Nézzük meg vizuálisan.
Van olyan pont ezen a görbén, ahol a meredekség
nagyon hasonló ehhez az átlag meredekséghez, amit kiszámoltunk?
Hát, persze, nézzük meg.
Úgy néz ki, talán, ez a pont itt?
Csak ahogy rajzoltam.
Ez nagyon pontatlan.
De az a pont úgy néz ki, mintha a meredekség,
mondjuk a meredekség valahogy így néz ki.
Szóval nem tudjuk ez a függvény, analitikusan, micsoda,
de ránézésre láthatod, hogy ebben a c pontban itt
a derivált, tehát csak kiválasztottam azt a pontot.

Thai: 
หาอนุพันธืได้ นิยามบนช่วงปิด
จะมีจุด c จุดนึง และ c ต้องอยู่ระหว่าง a กับ b
มันมีจุดนึงระหว่าง a กับ b มันอาจเป็นจุดหนึ่ง
ในหนั้น แต่มีจุด c จุดนึงที่อนุพันธ์
ที่ c หรือความชันทีี่ c ความชันชั่วขณะที่ c จะ
เท่ากับความชันเฉลี่ยตลอดช่วงนั้นเป๊ะ
แล้วนั่นหมายความว่าอะไร?
เราอาจมองมันเป็นภาพได้
มีจุดใดตลอดเส้นโค้งนี่ ที่ความชัน
ดูเหมือนกับความชันเฉลี่ยที่เราคำนวณไว้ไหม?
แน่นอน ลองดู
มันดูเหมือน บางที จุดนี้ ตรงนี้?
แค่วิธีที่ผมวาดมัน
นี่มันไม่ตรงนัก
แต่จุดนั้นดูเหมือนความชัน คุณก็รู้ ผมบอกว่า
ความชันเป็นอย่างนั้น ตรงนี้
ที่จริงเราไม่รู้ว่า โดยสมการแล้ว ฟังก์ชันนี้คืออะไร
แต่โดยภาพแล้ว คุณเห็นได้ว่า ณ จุด c นี้ อนุพันธ์
ผมแค่เลือกจุดนั้นมา

Estonian: 
eristatav, defineeritud kinnises intervallis, et
on mingi punkt c, c peab olema a ja b vahel,
et on mingi punkt a ja b vahel ning see
võib olla ühel nendest punktidest, aga on mingi punkt c, kus
c tuletis on
võrdne keskmise kallakuga selles intervallis.
Mida see tähendab?
Vaatame sellele peale.
Kas sellel kaarel on mingi punkt, kus kallak näeb välja
väga sarnane sellele keskmisele kallakule, mille me arvutasime.
Muidugi, vaatame.
See oleks nagu see punkt siin.
See siin.
See on väga ebatäpne.
Aga see punkt näeb välja nagu kallak, ma võin
öelda, et kallak on umbes selline, täpselt siin.
Me ei tea, analüütiliselt, mis funktsioon see on,
aga visuaalselt sa võid öelda, et selles punktis c, tuletis,
ma lihtsalt valisin selle punkti.

Vietnamese: 
khả vi, xác định trong khaongr đóng, sẽ có
một điểm c, ồ, c phải nằm giữa a và b
sẽ có một điểm nằm giữa a và b, và có thể có một
nhưng sẽ phải có mọt điểm c nơi mà đạo hàm ở
c, hoặc độ dốc ở c, độ dốc tức thời ở c,
chính xác bằng độ dốc trung bình của cả khoảng.
Thế tức là sao?
Ta có thể nhìn bằng mắt
Có điểm nào trên dồ thị mà đường dốc trông
giống đường dốc trung bình mà ta tìm được?
ĐƯợc thôi
Trông như, ở đây nhỉ?
Như tôi vẽ
Lệch quá
Nhưng điểm đó trông có vè đường dốc, tôi có thể nói
đường dốc trông thế này, ngày đây
Ta chưa phân tích vội, hàm ở đây
nhìnbằng mắt thuwòng, bạn có thể thấy ở điểm c này
đạo hàm, tôi chọn

Portuguese: 
diferenciável, definido durante o intervalo, que
Existe algum ponto c, Ah, e c tem de estar entre um e b,
existe em algum ponto entre a e b e poderiam ser em um
dos pontos, mas existe algum ponto c onde a derivada em
c, ou a inclinação a c, a inclinação instantânea a c, é
exatamente igual a inclinação média durante esse intervalo.
Portanto, o que isso significa?
Assim nós pode olhá-lo visualmente.
Há qualquer ponto ao longo desta curva onde a inclinação parece
muito semelhante a este declive médio que temos calculados?
Bem, com certeza, vamos ver.
Parece que, talvez, neste ponto, aqui?
Do jeito que eu desenhei ele.
Isso é muito inexato.
Mas esse ponto parece com a inclinação, você sabe, eu poderia
dizer que a inclinação é algo assim, ali mesmo.
Portanto, nós não sabemos o que, analiticamente, essa função é,
mas visualmente, você poderia ver que a este ponto c, o
derivativos, então eu só peguei esse ponto.

Chinese: 
可微，閉區間，對已定義的
有一些 c 點，哦， c 必須是a和b之間，
有一些a和b之間的點和它可能會在一個
點，但有一些 c 點位置的導數
c 或在 c的斜率，c的瞬間斜率
完全相等於平均斜率在那區間。
那麼這意味著什麼？
所以我們可以直觀地看看它。
有沒有在這條曲線上任何一點的斜率從哪裡看
非常類似於此我們計算的平均斜率嗎？
嗯，當然，我們看看。
它看起來像，也許，這點，就在這裡嗎？
就像我畫的方式。
這是非常不精確。
但這點看上去像斜率，你知道，我可以
說斜率是類似的情況，在這裡。
所以我們不知道什麼，從分析上來說，此函數是，
但視覺效果，您可以看到，在這點 c，
導數，所以我挑選了這一點。

Polish: 
różniczkowalna, wyliczona w zamkniętym przedziale,
posiada punkt c, c musi znajdować się między a i b,
istnieje punkt pomiędzy a i b, (i mógłby to być jeden z nich)
punkt c, w którym pochodna funkcji od c,
lub zbocze w c,
jest równe średniemu zboczu nad tym przedziałem
Co to znaczy?
Możemy to zobrazować
Czy istnieje jakiś punkt na tej krzywej, gdzie zbocze
wygląda podobnie do tego średniego które wyliczyliśmy?
Cóż, spójrzmy
Wygląda na to, że jest to ten punkt?
Tak jak narysowałem
Jest to bardzo niedokładne
Ale ten punkt przypomina zbocze średnie, mógłbym
powiedzieć że zbocze to coś takiego
Nie wiemy analitycznie co to dokładnie za funkcja
Ale wizualnie, widzimy że w tym punkcie c, pochodna,
właśnie wybrałem ten punkt

Chinese: 
可微，闭的区间，对已定义的
有一些 c 点，哦，，必须是之间的 c 和 b，
有一些之间的点 b 和它可能会在一个
点，但有一些 c 点位置的导数
c 或在 c，c，瞬时坡坡是
完全平等，平均坡度超过该时间间隔。
那么这意味着什么？
所以我们可以直观地看看它。
有没有这条曲线上的任何一点边坡从哪里看
非常类似于此我们计算的平均坡度吗？
嗯，当然，我们看看。
它看起来像，也许，这点，就在这里吗？
就这样，我画了它。
这是非常不精确。
但这点看上去像坡，你知道，我可以
说边坡是类似的情况，在这里。
所以我们不知道什么，从分析，此功能是，
但视觉效果，您可以看到，在这点 c，
衍生品，所以我挑选了这一点。

Arabic: 
وقابلة للاشتقاق ومتصلة على الفترة المغلقة
فإنّه يوجد نقطة c وتقع بين a وb
يوجد نقطة بين a وb، ويمكن أن تكون أحد النقاط
لكن يوجد نقطة c وتكون المشتقة
عند c أو الميل عند c، الميل اللحظي عند c
يساوي تمامًا متوسط التغيّر على الفترة
ماذا يعني ذلك؟
يمكننا أن ننظر إليها
هل يوجد أية نقطة على هذا المنحنى حيث يكون الميل
مشابهًا لمتوسط التغير الذي قمنا بحسابه
حسنًا، بالتأكيد، فلنر
يبدو وكأنها هذه النقطة، هنا؟
كما رسمتها
إنها غير دقيقة
لكن هذه النقطة تبدو وكأنها هي حيث الميل..
بإمكاني القول أن الميل يبدو وكأنه هكذا
لا نعلم ما هي هذه الدالة تحليليًّا
لكن نظريًّا أنه عند النقطة c، المشتقة
لقد اخترت تلك النقطة

Arabic: 
هذه النقطة c خاصتنا
وكيف بإمكاننا قول ذلك؟
حسنًا، لأن مشتقة f الـc هي الميل وتساوي
متوسط التغير
لذا مشتقة f الـc هي هذه وستساوي
متوسط التغير على الفترة كاملة
ويوجد لهذا المنحنى على الأرجح نقطة أخرى
عندما يساوي الميل متوسط التغير
فلنرَ
يبدو وكأنها هنا
كالطريقة التي رسمتها
يبدو وكأن الميل عند النقطة
سيكون موازٍ أيضًا
هذان الخطان يجب أن يكونا متوازيين
المماسان يجب أن يكونا متوازيين
أتمنى أن يبدو ذلك منطقيًّا
طريقة أخرى لمعرفتها أنه يجب أن يكون المتوسط..
دعوني أرسم الرسم البياني لأتأكد
من أن الأمر منطقي
فلنرسم موقعي كدالة في الزمن
هذا سيجعله قابل للتطبيق
في العالم الحقيقي
هذا هو محور السينات أو محور الوقت

Estonian: 
See võib olla meie punkt c.
Aga kuidas me lihtsalt ütleme seda?
Sest f'(c) on kallak ning see
on võrdne keskmise kallakuga.
f'(c) on see siin ning see on võrdne
keskmise kallakuga terves selles alas.
Sellel kaarel on arvatavasti teine punkt, kus kallak on võrdne
keskmise kallakuga.
Vaatame.
See on umbes seal.
Täpselt nagu ma joonistasin.
Tundub, et see kallak siin võiks olla umbes selline,
võib isegi olla paralleelne.
Need jooned peaksid olema paralleelsed.
Puutejooned peaksid olema paralleelsed.
Loodetavasti sa saad sellest aru.
Teine viis, kuidas sellest mõelda on ,et keskmine, tegelikult
las ma joonistan graafikus, et olla kindel, et
midagi valesti ei läheks.
Ma joonistan oma ppositsiooni funktsioonina aja suhtes.
See on miski, mis on rakendatav
päris maailmas.
See on minu x-telg ehk aja telg, see on minu

Polish: 
niech to będzie nasz punkt c
I jak możemy to tak stwierdzić?
Cóż, ponieważ f prim od c jest tym zboczem, i jest to równe
średniemu zboczu
Więc f prim od c jest tym, i jest to równe
średniemu zboczu nad całym przedziałem
A ten łuk prawdopodobnie posiada kolejny punkt
gdzie zbocze jest równe średniemu zboczu
Spójrzmy
Wygląda na to że gdzieś tutaj
Tak jak narysowałem
Wygląda na to że zbocze w tym miejscu może wyglądać jakoś
również równolegle
Te linie powinny być równoległe
Styczne linie powinny być równoległe
Mam nadzieję, że to wszystko ma dla was sens
Inny sposób spojrzenia na tę sytuację, nasze średnie zbocze
narysuję graf
dla pewności
Narysujmy moją pozycję jako funkcję czasu
Więc to jest coś, co sprawi że będzie można to
odnieść do życia
To jest moja oś X, oś czasu

Portuguese: 
Assim, isso poderia ser nosso ponto c.
E como nós apenas diz que?
Bem, porque f prime de c é este declive, e é igual
para a inclinação média.
Então f prime de c é essa coisa, e ele vai ser igual a
a inclinação média sobre a coisa toda.
E esta curva na verdade provavelmente tem outro ponto
onde o declive é igual à inclinação média.
Vamos ver.
Este parece, assim, à direita em torno de lá.
Do jeito que eu desenhei ele.
Parece que a inclinação lá poderia ser algo como,
poderia também ser paralelas.
Estas linhas devem ser paralelas.
As linhas tangentes deveriam ser paralelas.
Por isso espero que isso faz sentido um pouco para você.
Outra maneira de pensar sobre isso é que sua média, na verdade,
Deixe-me desenhar um gráfico só para ter certeza de que podemos
atingido o ponto de origem.
Vamos chamar a minha posição em função do tempo.
Então isso é algo, isso vai torná-lo aplicável
para o mundo real.
Assim que é meu eixo x ou eixo de tempo, que o

Turkish: 
c noktası, şu nokta olabilir.
Bu sonuca nasıl varıyoruz?
Çünkü, f üssü c, bu teğetin eğimi, bu teğetin eğimi de a ve b arasındaki eğimin aynısı.
-
Yani, f üssü c bu, ve, bu eğim, aralığın uç noktaları arasındaki eğime eşit.
-
Büyük ihtimalle bu eğri üzerinde, teğetinin eğiminin uç noktalar arasındaki eğime eşit olduğu bir nokta daha bulabiliriz.
-
Bakalım.
Şuradaki nokta olabilir.
-
Bu eğim de eşit görünüyor.
-
Bu doğrular paralel olmalı.
Bu teğet doğrular paralel olmak zorunda.
Umarım, bunu anlayabildiniz.
Konunun iyice anlaşıldığından emin olmak için, bir grafik daha çizeyim.
-
-
Konumun zamana göre grafiğini çizeyim.
Gerçek hayata uygulamış olacağız.
-
x ekseni zaman ekseni olacak. Bu da konum ekseni.

Bulgarian: 
Така, това може да е нашата точка c
Откъде знаем това ?
Ами, защото f прим от c е този наклон и е той равен
на средния наклон
Значи, това е f прим от x и това ще е
равно на средния наклон в целия интервал
И може би тази крива има и друга точка,
където наклонът е равен на средния наклон
Да видим,
тази точка изглежда така
Поне според моя чертеж
Тази линия може би е успоредна
-
Всъщност, тези допирателни
трябва да са успоредни
Надявам се, че разбирате това
Има и друг начин да си представите това
Нека направя графика, за да съм сигурен, че
ще ме разберете
Нека начертая положението си като функция за време
Това ще направи функцията приложима
в реалния свят
Това е оста x или оста на времето,

Hungarian: 
Szóval lehet ez a c pontunk.
És hogy mondjuk ezt csak így meg?
Hát, mert f'(c) ez a meredekség, és ez megegyezik
az átlag meredekséggel.
Tehát f'(c) ez a dolog itt, és ez egyenlő lesz
az átlag meredekséggel efelett az egész dolog felett.
És ezen a görbén valószínűleg van egy másik pont,
ahol a meredekség megegyezik az átlag meredekséggel.
Nézzük csak.
Ez itt úgy néz ki, valahol itt.
Csak ahogy rajzoltam.
Úgy tűnik a meredekség ott hasonló lehet,
párhuzamos is lehet.
Ezeknek a vonalaknak párhozamosnak kéne lenniük.
Az érintőknek párhuzamosnak kell lenniük.
Szóval remélhetőleg értetek ebből valamit.
Egy másik megközelítés, hogy az átlag, igazából,
rajzolok egy ábrát, csak hogy biztosan
megértsük a dolgot.
Lerajzolom a helyzetemet az idő függvényében.
Szóval ez olyasmi, ami alkalmazhatóvá teszi ezt
a való életben.
Tehát ez az x-tengelyem, vagy az idő tengelyem, az a

Thai: 
นี่อาจเป็นจุด c ของเรา
แล้วเราบอกอย่างนั้นได้ไง?
เพราะ f ไพรม์ของ c คือความชัน และมันเท่ากับ
ความชันเฉลี่ย
ดังนั้น f ไพรม์ของ c คือสิ่งนี้ และมันจะเท่ากับ
ความชันเฉลี่ยตลอดช่วงทั้งหมดนี้
และเส้นโค้งนี้ อาจมีอีกจุด
ที่ความชันเท่ากับความชันเฉลี่ย
ลองดู
จุดนี้ดูเหมือน แถวนี้
ตามที่ผมวาดไว้
ดูเหมือนความชันตรงนี้ ดูเหมือน
ขนานกันเช่นกัน
เส้นตรงเหล่านี้ขนานกัน
เส้นสัมผัสควรขนานกัน
หวังว่าคุณคงเข้าใจมากขึ้นแล้ว
อีกวิธีนึงที่จะคิดคือว่า ค่าเฉลี่ย ที่จริง
ขอผมวาดกราฟเพื่อให้แน่ใจว่า
เราเข้าใจจริง ๆ
ลองวาดตำแหน่งผมเป็นฟังก์ชันของเวลา
นี่คือบางสิ่ง นี่นำไปใช้
ได้ในชีวิตจริง
นั่นคือแกน x หรือแกนเวลา นั่นคือ

Russian: 
Так что это может быть наша точка c.
И как нам как раз сказать, что?
Ну, потому что f расцвете c этот склон, и она равна
Средняя склона.
Так что f расцвете c эту вещь, и это будет равняться
Средняя склон за все это.
И эта кривая, на самом деле, вероятно, имеет другую точку
где наклон равен средний уклон.
Давайте посмотрим.
Это выглядит, как, прямо примерно там.
Именно так, как я обратил его.
Похоже там склона может выглядеть примерно так,
может быть параллельной также.
Эти строки должны быть параллельно.
Касательных линии должна быть параллельной.
Так надеюсь это делает мало смысла для вас.
Еще один способ думать о нем-это ваш средний, на самом деле,
Позвольте мне привлечь граф просто чтобы убедиться, что мы
хит точки дома.
Нарисуем моя позиция как функции времени.
Так что это что-то, это будет сделать его применимым
в реальном мире.
Так вот моя оси x или оси времени, что в

Chinese: 
所以，这可能是我们点 c。
和如何我们刚才说的吗？
嗯，因为 c f 壮年是此边坡，而且是平等
平均的坡。
因此 c f 壮年这件事，并且它将会等于
整件事情上，平均坡度。
这条曲线实际上可能有另一个点
那里边坡等于平均坡度。
让我们看看。
这件看起来，像，就在大约那里。
就这样，我画了它。
看起来像那里的山坡可能看起来像，
也可能是并行。
这些线应平行。
相切线应平行。
所以希望，有点道理给你。
想想它的另一种方法是，其实，你的平均
让我画一个图，只是为了确保我们
打了这点。
让我们画我的立场作为函数的时间。
这是一些东西，这会使它适用
真实的世界。
这就是我的 x 轴或时间轴中，这就是

Czech: 
Toto může být náš bod c.
A jak si tím můžeme být jisti?
Protože f'(c) je tento sklon
a ronvá se průměrnému sklonu.
Takže f'(c) je tato přímka a ta se bude rovnat
průměrnému sklonu celé funce.
A tato křivka pravděpodobně má další bod
kde se sklon rovná průměrnému sklonu.
Zdá se že asi někde tady
Tak jsem to pouze nakreslil.
Zdá se že tento sklon by vypadal asi takto,
také by mohl být rovnoběžný.
Tyto přímky by měly být rovnoběžné.
Tyto tečny by měly být rovnoběžné.
Doufám, že vám to dává alespoň trochu smysl.
Jiný způsob jak se na to koukat je, že váš průměr...
nakreslím graf, abych měl jistotu,
že jste to pochopili.
Nakreslím svoji polohu jako funkci času.
To je něco, co to udělá použitelným
v praxi.
Toto je moje osa x, neboli časová osa,

Vietnamese: 
Đây có thể là điểm c của ta.
Và sao ta có thể nói vậy?
Bởi vì f'(c) là độ dốc, và nó bằng
độ dốc trung bình
Vậy nếu f'(c) là cái naytf, và nó sẽ bằng
đường dốc trung bình của cả đoạn
Và đường cong này có khi có cả điểm khác
Nơi mà đường dốc bằng đường dốc trung bình
Để xem
Trông như, ở đây
Như tôi vẽ
Trông như đường dốc ở đây, có thể giống
song song.
Các đường này có lẽ song song
Các đường tiếp tuyến sẽ song song
Vậy hi vọng chúng sẽ làm bạn hiểu chút
Cách khác để nghĩ về nó là trung bình,
để tôi vẽ đồ thị, để đảm bảo
ta hiểu rõ.
Hãy vẽ độ thị vị trí qua thời gian
Vậy đây là một thứ có thể ứng dụng tốt
trong cuộc sống thực
Đây là trục hoành, hay trục thời gian, và đây

Chinese: 
所以，這可能是我們點 c。
和如何我們剛才說的嗎？
嗯，因為f'(c)是斜率，而且是相等
於平均的斜率。
因此f'(c)這件事，並且它將會等於
整件事情上的平均斜率。
這條曲線實際上可能有另一個點
那裡斜率等於平均斜率。
讓我們看看。
這件看起來，像，就在大約那裡。
就這樣，我畫了它。
看起來像那裡的斜率可能看起來像，
也可能是並行。
這些線應平行。
相切線應平行。
所以希望，有點道理給你。
想想它的另一種方法是，其實，你的平均
讓我畫一個圖，只是為了確保我們
知道這點。
讓我們畫我的位置作為函數的時間。
這是一些東西，這會使它適用
真實的世界。
這就是我的 x 軸或時間軸中，這就是

Dutch: 
Dit zou dus ons punt c kunnen zijn.
En waarom zeggen we dat?
Nou, omdat f ' (c) deze stijlheid is, en het is gelijk
aan de gemiddelde stijlheid
dus f ' (c) is dit hier, en het is gelijk aan
de gemiddelde stijlheid over het hele interval.
En deze curve heeft waarschijnlijk nog een ander punt
waar de stijlheid gelijk is aan de gemiddelde stijlheid.
Laten we eens kijken.
Deze ziet er goed uit.
precies zoals ik het getekend heb.
De stijlheid hier zou ongeveer zo kunnen zijn
Dat ziet er ook parallel uit.
Deze lijnen zouden parallel moeten zijn
De tangenten zouden parallel moeten zijn
Dat is hopelijk begrijpelijk.
Je zou het ook zo kunnen zien dat je gemiddelde,
laat het me uittekenenen
om het te verduidelijken
Laten we onze positie als functie van de tijd tekenen.
Dit maakt het toepasbaar
Voor de "echte wereld".
Dit is mijn x-as, of de tijd-as,

Spanish: 
este podría ser el punto "c"
y como podemos decir eso?
Bien porque f prima de c está en la pendiente y es igual
a la pendiente media
asi que f prima de c es esta cosa y va a ser igual a
la pendiente media sobre el total
y esta curva probablemente tenga otro punto
donde la pendiente sea igual a la pendiente media
veamos
este de aqui parece, justo aqui
este que he dibujado
parece que la pendiente aqui puede parecerse
paralela también
estas lineas deberían ser paralelas
las tangentes deberían ser paralelas
así que espero que tenga sentido para ti
Otra forma de pensar , hay?
dejadme dibujar un gráfico para asegurarme que
acertamos en casa
dibujemos mi posición como una funcion del tiempo
esto es algo aplicable
al mundo real
asi este es mi eje x o eje del tiempo

English: 
So this could be our point c.
And how do we just say that?
Well, because f prime of c is
this slope, and it's equal
to the average slope.
So f prime of c is this thing,
and it's going to be equal to
the average slope over
the whole thing.
And this curve actually
probably has another point
where the slope is equal
to the average slope.
Let's see.
This one looks, like,
right around there.
Just the way I drew it.
Looks like the slope there
could look something like,
could be parallel as well.
These lines should be parallel.
The tangent lines
should be parallel.
So hopefully that makes
a little sense to you.
Another way to think about it
is that your average, actually,
let me draw a graph just
to make sure that we
hit the point home.
Let's draw my position
as a function of time.
So this is something,
this'll make it applicable
to the real world.
So that's my x-axis, or
the time axis, that's

Georgian: 
ამას როგორ ვიტყოდით?
რადგანაც c-ის ძირითადი ფუნქცია ეს 
გადახრაა, ხოლო ეს საშუალო გადახრის ტოლია.
ანუ c-ის ძირითადი ფუნქცია არის ეს
ხოლო ეს მთლიანი ფუნქციის 
საშუალო გადახრის ტოლი უნდა იყოს.
ჩვეულებრივ ამ მრუდს შეიძლება 
ჰქონდეს სხვა წერტილი,
სადაც გადახრა საშუალო გადახრის ტოლია.
მოდით ვნახოთ.
ეს მათგანი სწორედ ისაა.
როგორც მე დავხაზე.
ვფიქრობ აქ ეს გადახრა 
შეიძლება პარალელსაც ჰგავდეს.
ეს ხაზები პარალელურები უნდა იყოს.
ხაზების მხები უნდა 
იყოს ერთმანეთის პარალელური.
ვიმედოვნებ ცოტა მაინც გაიგეთ.
სხვაგვარად, რომ დავფიქრდეთ, საშუალო--
მოდით გრაფიკს დავხაზავ. დავრწმუნდეთ,
რომ სახლში უკეთ ჩავწვდებით საკითხის აზრს.
მოდით დავხაზოთ 
ურთიერთდამოკიდებულების დროის ფუნქცია.
ეს სწორედ ისაა, რაც მას რეალურ
სამყაროსთან გამოსაყენებელს ხდის.

Hungarian: 
helyzeti tengelyem.
Ez visszavisz minket az eredeti megérzésünkhöz,
hogy mi a derivált.
Szóval ez az idő, és ezt helyzetnek vagy távolságnak hívom,
nem számít.
Helyzet.
És ha konstans sebességgel haladnék, a helyzetem
az idő függvényében egy egyenes vonal lenne, igaz?
És a sebesség pont a meredekség.
De mondjuk változó sebességem volt.
És a valóságban, ha kocsit vezetsz, mindig
változik a sebességed.
Szóval mondjuk a-ban kezdek állásból, az idő 0,
aztán felgyorsulok, aztán lassítok egy kicsit.
lassítok egy kicsit, tovább lassítok, aztán
megállok, tehát a helyzetem nem változik.
Aztán felgyorsulok megint, lassítok,
gyorsítok, stb.
Igaz?
Szóval ez lehetne, tudjátok, van egy változó sebességem, és
ez lehetne a helyzetem az idő függvényében.

Vietnamese: 
là trục quãng đường
Nó quay về với trực quan ban đầu của ta
về đạo hàm là gì
Vậy đây là thời gian, và đây là vị trí, hoặc quãng đường
không quan trong
Vị trí
Và tôi đang di chuyển với vận tốc ko đổi, vị trí của tôi
là một hàm theo thời gian sẽ đi thằng, phải ko?
Và vận tốc chính là đường nghiên
Nhưng hãy nói tôi có vận tốc thay đổi
Thực tế, như khi bạn lái xe, bạn sẽ thấy
vận tốc luôn đổi
Vậy hãy coi như tôi đứng yên khi t = 0
RỒi tôi gia tốc, rồi giảm tốc chút,
rồi lại gia tốc, rồi giảm tốc, và rồi tôi
lại đứng yên, để vị trí của tôi không đổi
Rồi tôi lại gia tốc, rồi giảm tốc
gia tốc, v.v.
ĐÚng khong?
Vậy đây có thể là, tôi có một vận tốc luôn đổi, và
đây có thể là bị trí theo hàm thời gian

Georgian: 
ეს არის X ანუ იგივე დროის ღერძი,
ეს კი ჩვენი მდგომარეობის ღერძი.
ვუბრუნდებით ჩვენ საწყის აზრს, იმასთან
დაკავშირებით, თუ რას ნიშნავს დერივატი.
ეს არის დრო, ხოლო ამას დავარქვათ, 
მდგომარეობა, ან მანძილი ან სულ ერთია.
მდგომარეობა
თუ მე ვიმოძრავებ მუდმივი სიჩქარით, ჩემი
დამოკიდებულება დროის ფუნქციასთან
იქნება სწორხაზოვანი. ხომ მართალია?
ხოლო სიჩქარე, ეს არის შენი გადახრა.
დაუშვათ მქონდა ცვალებადი სიჩქარე.
რეალურად, როდესაც მანქანას მართავ,
შენი სიჩქარე ყოველთვის იცვლება.
დაუშვათ დასაწყისისთვის უძრავ 
მდგომარეობაში, დრო T უდრის ნულს.
შემდეგ ავაჩქარე, შემდეგ ოდნავ 
შევანელე, განვაგრძე შენელება,
და მივედი უძრავ მდგომარეობამდე, 
ანუ ჩემი მდგომარეობა ისევ იგივეა.
შემდეგ ისევ ავაჩქარე,
შევანელე, ავაჩქარე და ა. შ.
როგორც ხვდებით, ცვალებადი სიჩქარე მაქვს
და ეს შეიძლება იყოს ჩემი 
დამიკიდებულება დროის ფუნქციასთან.

Czech: 
toto je moje polohová osa.
Tím se vracíme k našemu původnímu předpokladu toho,
co je vlastně derivace.
Toto je čas a tomuto budu říkat poloha, nebo vdálenost,
na tom vlastně nezáleží.
Poloha.
A pokud bych se pohyboval konstantní rychlostí,
moje poloha jako funkce času by byla přímka, ano?
A rychlost by byl náš sklon.
Ale řekněme, že se moje rychlost mění.
A ve skutečnosti, pokud jedete autem,
vaše rychlost se pořád mění.
Řekněme že začínám v bodě a, v klidu, v čase t=0,
potom zrychlím, potom trochu zpomalím,
trochu zpomalím, pořád zpomaluji a pak se zastavím,
takže moje poloha se nemění.
Pak opět zrychlím, zpomalím,
zrychlím, a tak dále.
Rozumíte?
Takže toto může být.. jak víte, mám proměnnou rychlost
a toto může být moje poloha jako funkce času.

Chinese: 
我的位置的轴。
这回到我们原来的直觉的什么
是它的派生。
所以这是时间，我叫这个位置或距离，
或并不重要。
位置。
假如我是移动在恒定的速度，我的立场
作为时间的函数将只是一条直线，右吗？
速度是实际上你边坡。
但让我们说，我有不同的速度。
在现实中，如果你开一辆车，你总是和
在变量的速度。
所以让我们说我开始处于停滞状态，时间 t 等于 0，
然后加快速度，然后我又有点减速
有点减速、 我保持减速，然后我来
陷于停滞，所以我的立场停滞不前。
然后我再次加速，减速，
加速，等等。
对吧？
这可能是，你知道，所以我有变的速度，和
这可能是时间的我的立场作为函数。

Thai: 
แกนตำแหน่งผม
นี่กลับไปยังแนวคิดดั้งเดิมว่า
อนุพันธ์คืออะไร
งั้นนี่คือเวลา ผมเรียกนี่ว่าตำแหน่ง หรือระยะ
ม้ันไม่สำคัญหรอก
ตำแหน่ง
และหากผมเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ตำแหน่งผม
เป็นฟังก์ชันของเวลา ย่อมเป็นเส้นตรง จริงไหม?
และความเร็วก็คือความชัน
แต่สมมุติว่าผมเปลี่ยนความเร็ว
และในความเป็นจริง หากคุณขับรถ คุณต้อง
เปลี่ยนความเร็วเสมอ
สมมุติว่าผมเริ่มอยู่นิ่ง ณ เวลา t เท่ากับ 0
แล้วผมก็เร่ง แล้วผมก็ชะลอหน่อย
ชะลออีก ผมชะลออีก แล้วก็กลับมาหยุดนิ่ง
ตำแหน่งผมอยู่กับที่
แล้วผมก็เร่งอีก ชะลอ
เร่ง ฯลฯ
จริงไหม?
นี่อาจเป็น คุณก็รู้ ผมมีความเร็วเปลี่ยนแปลง
และนี่อาจเป็นตำแหน่งผมเป็นฟังก์ชันของเวลา

Bulgarian: 
а това е оста на положението
Това ще подкрепи първоначалната ни интуиция
за това, какво е производна
Значи, това е време, а това е положение или
разстояние, все едно
-
Ако се движа с постоянна скорост, положението ми
като функция на времето ще бъде права линия, нали ?
А скоростта всъщност ни е наклона
Но да кажем, че имаме променлива скорост
И в действителност, когато караме кола, скоростта
ни винаги е променлива
Да кажем, че съм в застой при т равно на 0
и после се ускорявам, после се забавям,
скоростта продължава да намалява докато
отново съм в застой и положението ми не се променя
После пак се ускорявам, после пак се забавям
Ускорявам се и т.н.т.
Нали така ?
Значи, имам много променлива скорост
и това е положението ми като функция на времето

English: 
my position axis.
This is going back to our
original intuition of what
even a derivative is.
So this is time, and I call
this position, or distance,
or it doesn't matter.
Position.
And if I was moving at a
constant velocity, my position
as a function of time would
just be a straight line, right?
And the velocity is
actually your slope.
But let's say I had
a varying velocity.
And in reality, if you're
driving a car, you are always
at a variable velocity.
So let's say I start at a
standstill at time t equals 0,
and then I accelerate, then I
decelerate a little bit,
decelerate a little bit, I keep
decelerating, and then I come
to a standstill, so my
position stays still.
Then I accelerate
again, decelerate,
accelerate, et cetera.
Right?
So this could be, you know, I
have a variable velocity, and
this could be my position
as a function of time.

Polish: 
A to jest oś mojego położenia
To wraca nas do naszego podstawowego zagadnienia
czym w ogóle jest pochodna
Więc to jest czas, a to nazywam położeniem lub odległością
nie ma różnicy
Położeniem.
I gdybym poruszał się ze stałą prędkością, moje położenie
jako funkcja czasu byłoby zwyczajną prostą linią, tak?
I prędkość jest naszym zboczem
Ale powiedzmy że poruszałem się z różną prędkością
I w rzeczywistości, kiedy jedziemy samochodem, zawsze
poruszamy się ze zmienną prędkością
Więc zacznijmy od zera
Potem trochę przyspieszam, a potem trochę zwalniam,
zwalniam dalej, a następnie
staję w miejscu
Potem znów przyspieszam, zwalniam
przyspieszam, i tak dalej
Tak?
Więc poruszam się ze zmienną prędkością
to może być moje położenie w zależności od czasu

Chinese: 
我的位置的軸。
這回到我們原來的想法
什麼是它的導數。
所以這是時間，我叫這個位置或距離，
或並不重要。
位置。
假如我是移動在恒定的速度，我的位置
作為時間的函數將只是一條直線，對嗎？
速度實際上是你的斜率。
但讓我們說，我有不同的速度。
在現實中，如果你開一輛車，你總是在
變動的速度中。
所以讓我們說我開始處於停滯狀態，時間 t 等於 0，
然後加快速度，然後我又有點減速
有點減速、 我保持減速，然後我來
陷於停滯，所以我的位置停滯不前。
然後我再次加速，減速，
加速，等等。
對吧？
這可能是，你知道，所以我有變動的速度，和
這可能是時間以我的位置作為函數。

Russian: 
Моя позиция ось.
Это собирается вернуться к нашей первоначальной интуиция о том, что
даже производная есть.
Так что это время, и я призываю эту позицию или расстояния,
или это не имеет значения.
Позиция.
И если я движется с постоянной скоростью, моя позиция
в зависимости от времени бы просто быть прямой линии, правильно?
И скорость является на самом деле вашего склоне.
Но давайте скажем, что я был разной скорости.
И в самом деле, если вы за рулем автомобиля, вы всегда
двигаетесь с переменной скоростью.
Итак, я начинаю с точки, в которой момент времени t равен 0,
и тогда я ускорить, то я чуть-чуть, снизятся
несколько снизятся, я держать замедление, и тогда я
в тупик так что моя позиция остается до сих пор.
Тогда я снова ускорить, замедлятся,
ускорить, и так далее.
Право?
Так что это может быть, вы знаете, у меня есть переменная скорость, и
Это может быть моя позиция как функции времени.

Turkish: 
-
Zaten türevin anlamına bu örnekle başlamıştık.
-
Bu, zaman, bu da konum veya uzaklık, fark etmez.
-
Konum.
Sabit hızla hareket ediyor olsaydım, konumun zamana göre grafiği bir doğru olurdu, öyle değil mi?
-
Eğimi de hız olurdu.
Diyelim ki, hızım değişkenlik gösteriyor.
Gerçek hayatta, araba kullanırken, hızınız devamlı değişir.
-
t 0'a eşit iken, hareketsiz olduğumu varsayıyorum.
Sonra, hızlandığımı, yavaşladığımı , yavaşlamaya devam ettiğimi düşünüyorum. Ve duruyorum. Biraz hareketsiz kalıyorum.
-
-
Sonra tekrar hızlanıyorum, yavaşlıyorum, hızlanıyorum, vesaire..
-
Öyle değil mi?
Hızım değişken olabilir ve bu, konumun zamana göre grafiği olabilir.
-

Arabic: 
وهذا هو محور الموقع
هذا سيعيدنا إلى
ما هي المشتقة
إذًا هنا الوقت، وهنا الموقع أو المسافة
لا تهم التسمية
الموقع
إذا تحركت بسرعة ثابتة سيكون موقعي
كدالة في الوقت خطًّا مستقيمًا، صحيح؟
وستكون السرعة متمثلة بالميل
لكن فلنقل أن لدينا سرعات متنوعة
وفي الواقع، إن كنت تقود سيارة فإن السرعة
ستكون دائمًا متنوعة
فلنقل أنني بدأت من السكون عندما الزمن يساوي صفرًا
ثم تسارعت، وبعدها تباطأت قليلًا
تباطأت قليلًا، وأظلّ أتباطأ وبعدها أعود
إلى السكون، لذا فإن موقعي يبقى نفسه
ثم أتسارع، وبعدها أتباطأ
أتسارع، وهلم جرًّا
صحيح؟
هذا من الممكن أن يكون.. لدي العديد من السرعات
وهذا قد يكون موقعي كدالة في الزمن

Estonian: 
positsiooni telg.
Nüüd me lähme tagasi oma algsesse intuatsiooni tuletisest.
Nüüd me lähme tagasi oma algsesse intuatsiooni tuletisest.
See on aeg, ma kutsun seda positsiooniks või kauguseks,
kuid sellel ei ole vahet.
Koht.
Kui ma liiguks konstantses kiiruses, siis minu positsioon
ajafunktsioonis oleks sirge joon, õigus?
Kiirus on tegelikult sinu kallak.
Oletame, et mul on muutuv kiirus.
Reaalsuses, kui sa sõidad autoga, siis sa
alati sõidad erineval kiirusel.
Oletame, et ma alustan kohapealt, kus aeg t on võrdne nulliga
ning siis ma kiirendan, siis ma natukene aeglustan,
aeglustan natukene, jätkan aeglustamist ning
siis ma jään seisma, minu koht ei muutu enam.
Siis ma kiirendan uuesti, aeglustan,
kiirendan jne...
Õigus?
See võib olla, mul on muutuv kiirus ning
see on minug koht ajafunktsioonis.

Dutch: 
en dat is mijn positie-as
Dit gaat terug naar onze originele intuitie van wat zelfs
een afgeleide is.
Dit is dus de tijd en dit noem ik "positie" of "afstand"
het maakt niet uit.
Positie.
Als ik nou beweeg met een konstante snelheid, da zou mijn positie
als een functie van de tijd een rechte lijn zijn, nietwaar?
En de snelheid is de stijlheid van de kurve.
Maar laten we aannemen dat we een varierende snelheid hebben.
En in werkelijkheid, als je bv. een auto rijdt, dan ga je altijd
met een variabele snelheid.
Laten we dus zeggen dat ik begin in stilstand op tijd = 0,
en dan begin ik een beetje te versnellen,
en dan afremmen, nog een beetje en dan kom
ik tot stilstand, mijn positie blijft dus gelijk.
Dan versnel ik weer, en rem weer af,
versnellen, enzovoorts.
OK?
Dit zou dus kunnen zijn, ik heb een variabele snelheid, en
Dit zou mijn positie als functie van tijd kunnen zijn.

Spanish: 
y mi eje de posición
esto nos lleva de vuelta a nuestra idea original
de lo que es una derivada
así que esto es tiempo, y defino la posición o distancia
no importa
posición
si me estuviese moviendo a una velocidad constante, mi posición
como función del tiempo sería una linea recta verdad?
y la velocidad es en realidad tu pendiente
pero supongamos que tengo una variación de velocidad
y en realidad, si estás conduciendo, siempre estas
a cambiando de velocidad
así que digamos que empiezo parado en el momento de tiempo "t" igual a cero
y después acelero, depues decelero un poco
decelero un poco, sigo decelerando y depués llego
a una parada, así que me quedo parado
Luego acelero otra vez, decelero
acelero, etc...
bien?
así que esto podría ser, tengo una variable velocidad, y
esto podría ser mi posición en función del tiempo

Portuguese: 
meu eixo de posição.
Isso vai voltar à nossa intuição original do que
é mesmo um derivado.
Isso é tempo, e eu chamo essa posição, ou à distância,
ou não importa.
Posição.
E se eu estava se movendo em uma velocidade constante, a minha posição
como uma função do tempo seria apenas uma linha reta, certa?
E a velocidade é realmente sua inclinação.
Mas vamos dizer que eu tinha uma velocidade variável.
E na realidade, se você está dirigindo um carro, você está sempre
a uma velocidade variável.
Então, vamos dizer que eu iniciar uma paralisação no tempo t é igual a 0,
e então eu acelerar, então eu desacelerar um pouco,
desacelerar um pouco, eu manter desaceleração e, em seguida, eu venho
a paralisação, então minha posição permanece ainda.
Então eu novamente acelerar, desacelerar,
acelerar, et cetera.
Direito?
Assim que este poderia ser, você sabe, eu tenho uma velocidade variável, e
Esta poderia ser a minha posição em função do tempo.

Thai: 
และที่มันบอกคือว่า สมมุติว่าหลังจาก
นี่คือเวลา 0 ตำแหน่ง 0
สมมุติว่าหลังจากนั้น 1 ชั่วโมง สมมุติว่านี่คือ 1 ชั่วโมง นี่คือเวลา
เท่ากับ 1 ชั่วโมง สมมุติผมใช้เวลา 60 นาที
-
แล้วคุณว่ายังไง?
คุณอาจบอกว่า ความเร็วเฉลี่ยของผมเท่ากับ การเปลี่ยน
ในตำแหน่งหารด้วยการเปลี่ยนแปลงในเวลา
มันเท่ากับ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง
-
สิ่งที่ทฤษฏีบทค่ากลางบอกคือว่า โอเค
ความเร็วเฉลี่ยคุณ คุณอาจมองมันเป็น
ความชันเฉลี่ยระหว่างจุดนี้กับจุดนี้ เป็น 60
หากความเร็วเฉลี่ยคุณคือ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง มันมีจุดหนึ่ง
ในเวลา บางทีมากกว่านั้น แต่อย่างน้อยหนึ่งจุด
ในเวลา คุณมีความเร็วหกสิบไมล์ต่อชั่วโมงเป๊ะ
นั่นเข้าใจได้ จริงไหม?

Estonian: 
See ütleb, et aeg on 0, koht 0.
See ütleb, et aeg on 0, koht 0.
Ütleme, et pärast ühte tundi, see on üks tund, see aeg
on võrdne ühe tunniga, ütleme, et ma olen sõitnud 60 miili.
Mida sa võid öelda?
Sa võid öelda, et minu keskmine kiirus on võrdne
vahemaa jagatud ajaga.
See on 60 miili tunnis.
See, mida keskväärtusteoreem ütleb on, et...
Sinu keskmine kiirus, sa võid seda vaadelda
keskmise kallakuna selle ja selle punkti vahel 60'ga,
kui sinu keskmine kiirus oli 60 miili tunnis, siis
mingi aja hetkel, võib-olla mitmel korral, aga oli vähemalt üks kord, kui
sa läksid täpselt 60 miili tunnis.
See tundub loogiline, õigus?

Bulgarian: 
Това е време 0 и положение 0
-
След 1 час, да кажем, че това е 1 час,
да кажем, че съм изминал 60 мили
-
Какво можем да кажем ?
Можем да кажем, че средната ми скорост е равна на разликата
в разстоянието делено на разликата във времето
Равна е на 60 мили в час
-
Да видим какво казва теоремата за средна стойност
Средната скорост, както виждаме по наклона между
тези две точки, е 60 мили в час
Ако средната скорост е 60 мили в час, значи има някаква
точка във времето – може би повече, но поне една -
където скоростта е точно 60 мили в час
Това има логика, нали ?

Turkish: 
Zaman 0 olduğunda, konum da 0.
-
Diyelim ki, 1 saat sonra, 60 kilometre gitmiş olduk.
-
-
Ne diyebiliriz?
Ortalama hızın uzaklık farkı bölü zaman farkı olduğunu söyleyebiliriz.
-
Saatte 60 kilometreye eşit.
-
Ortalama değer teoremine göre, ortalama hız, yani bu noktayla şu nokta arasındaki eğim, 60 ise, saatte 60 kilometre hızla gittiğimiz bir an mutlaka vardır, diyoruz.
-
-
-
-
-
Bu gayet mantıklı, öyle değil mi?

Arabic: 
كل هذا يقول.. فلنقل أنه بعد..
هنا الزمن 0 والموقع 0
فلنقل أنه بعد ساعة، فلنقل أن هذا الزمن هو ساعة
ولنقل أنني قطعت 60 ميلًا
60 ميلًا
ما الذي بإمكانك قوله؟
أن متوسط سرعتي يساوي التغير في
المسافة مقسومًا على التغير في الزمن
وتساوي 60 ميلًا في الساعة
ميلًا في الساعة
إذًا ما تقوله نظرية القيمة المتوسطة أنه حسنًا
سرعتك المتوسطة يمكنك أيضًا أن تراها
كمتوسط الميل بين هاتان النقطتان
إذا كانت سرعتك المتوسطة 60 ميلًا في الساعة، ستكون هناك
نقطة أو أكثر، لكن هناك على الأقل مرة
في الزمن، كنت تقود بسرعة 60 ميلًا في الساعة
يبدو ذلك منطقيًّا، صحيح؟

Portuguese: 
Então tudo isso diz, vamos dizer que após este
é tempo 0, posição 0.
Digamos que depois de 1 hora, vamos dizer que é de 1 hora, desta vez
é igual a 1 hora, vamos dizer ter ido 60 milhas.
Então o que você diz?
Você poderia dizer que minha velocidade média é igual a alteração apenas no
distância dividida pela mudança em tempos.
Ele é igual a 60 milhas por hora.
Então o que diz o teorema de valores médios, é OK.
Sua velocidade média, assim que você quase podia vê-lo como o
declive médio entre esse ponto e este ponto com 60,
Se sua velocidade média foi de 60 quilômetros por hora, havia alguns
ponto no tempo, talvez mais, mas houve pelo menos um ponto em
tempo, onde você estava indo exatamente sessenta quilômetros por hora.
Isso faz sentido, certo?

Vietnamese: 
Điều đó nói lên, sau
đây là t = 0, ví trị = 0
Sau 1h, coi như 1h, thơig ian
= 1h, coi như tôi đi 60 dặm
60 dặm
Bạn rút ra điều gì?
Bạn có thể nói vận tốc trung bình của tôi chính là độ thay đổi
quãng đường trên độ thay đổi thời gian
tức là 60 dăm 1h.
Vậy ĐLGTTB cho ta biét là, OK
Vận tốc trung bình, bạn có thể thấy nó như là
độ dốc trung bình của điểm này tới điểm này là 60
nếu vận tốc trung bình là 60dặm/h, thì phải có một
thời điểm, có thể 2 hoặc nhiều hơn, nhưng ít nhất 1 thời điểm
mà bạn đi chính xác 60 dặm /h
Dễ hiểu chứ?

Georgian: 
ვთქვათ გვაქვს დრო ნული
და მდგომარეობაც ნული.
დავუშვათ ერთი საათის შემდეგ, 
ეს ვითომ უდრის ერთ საათს,
გავიარე 60 მილი.
ამით რისი თქმა შეგიძლიათ?
შეგიძლიათ თქვათ, რომ თქვენი საშუალო
სიჩქარე უდრის მანძილში ცვლილება
გაყოფილი დროის ცვლილებაზე.
ეს უდრის საათში 60 მილს.
ამგვარად რას გვეუბნევა 
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა---
თქვენი საშუალო სიჩქარე უნდა ჩათვალოთ, 
როგორც საშუალო გადახრა
ამა და ამ წერტილებს შორის 60-თან.
თუ შენი საშუალო სიჩქარე იქნებოდა საათში
60 მილი, მაშინ იქნებოდა რამდენიმე წერტილი
დროში, შეიძლება უფრო მეტიც, თუმცა დროში
სულ ცოტა ერთი წერტილი იყო მოცემული,
სადაც შენ გადიოდი ზუსტად საათში 60 მილს.
გასაგებია ხომ?

Russian: 
Таким образом, все это говорит, скажем, после этого, это
это время 0, позиции 0.
Скажем через 1 час, давайте скажем то есть 1 час, на этот раз
равен 1 час, давайте скажем я пошел 60 миль.
Так что вы можете сказать?
Можно сказать, что моя средняя скорость равна просто изменить в
расстояние, деленное на изменения в мирное время.
Он равен 60 миль в час.
Что же говорит Теорема средние значения, такое ОК.
Ваш средняя скорость, так что вы почти можно было просматривать его как
Средняя склон между этой точкой и этот момент с 60,
Средняя скорость была 60 миль в час, есть ли некоторые
момент времени, возможно, больше, но было по крайней мере один пункт в
время, когда вы собирались ровно шестьдесят миль в час.
Это смысл, правильно?

Polish: 
To znaczy, że po wszystkim
Czas i pozycja są równe 0
Powiedzmy że po godzinie, niech to będzie godzina, czas
jest równy godzinie,
a ja przebyłem 60 mil
Co możemy powiedzieć?
Można powiedzieć że moja średnia prędkość jest równa
zmianie odległości podzielonej przez zmianę w czasie
Równa jest 60 milom
na godzinę
Więc to co mówi twierdzenie się zgadza
Średnią prędkość można właściwie postrzegać
jako średnie zbocze pomiędzy tym punktem, a tym punktem w 60
Jeśli średnia prędkość wynosiła 60 mil na godzinę, był pewien
moment w czasie, może kilka, ale był przynajmniej jeden moment
w czasie kiedy poruszałem się z prędkością dokładnie 60 mil na godzinę
To ma sense, prawda?

Chinese: 
所以所有這一切說，讓我們說，這之後
是時間 0，0 的位置。
讓我們說 1 小時後，讓我們說這就是 1 小時，這次
等於 1 小時，讓我們說我走了 60 英里。
所以你可以說？
你可以說我的平均速度等於
距離除以時間的變化。
它等於每小時 60 英里。
所以什麼平均值定理說，是確定。
您的平均速度，以便您幾乎可以查看它作為
這點和 60，這點之間的平均斜率
如果您的平均速度是每小時 60 英里，有一些
或許是更多的時間點，但至少有一個點
你去哪裡正是六十英里每小時。
那有意義，正確嗎？
如果你平均每小時 60 英里，也許你會 40
英里每小時在部分點，但在一些點

Hungarian: 
Szóval amit ez mond, mondjuk ez legyen
0 idő, 0 helyzet.
Mondjuk 1 óra után, legyen ez 1 óra, ez az idő
1 órával egyezik meg, mondjuk 60 mérföldet mentem.
60 mérföldet
Szóval mit mondhatunk?
Mondhatjuk azt, hogy az átlag sebességem megegyezik a távolság
változásával per az idő változásával.
Egyenlő 60 mérföld/órával.
60 mérföld/órával
Tehát amit a középértéktétel mond, az ok.
Az átlag sebességed, majdnem tekintheted úgy, mint
az átlag meredekséget eközött a pont és eközött a 60-as pont között,
ha az átlag sebességed 60 mérföld/óra, volt olyan
pont az időben, akár több is, de legalább egy pont az időben,
amikor pontosan 60 mérföld/órával mentél.
Ez érthető, nem?

Chinese: 
所以所有这一切说，让我们说，这之后
是时间 0，0 的位置。
让我们说 1 小时后，让我们说这就是 1 小时，这次
等于 1 小时，让我们说我走了 60 英里。
所以你可以说？
你可以说我的平均速度等于公正的变化
距离除以时间的变化。
它等于每小时 60 英里。
所以什么平均值定理说，是确定。
您的平均速度，以便您几乎可以查看它作为
这点和 60，这点之间的平均坡度
如果您的平均速度是每小时 60 英里，有一些
也许是更多的时间点，但有中的至少一个点
一次，你去哪里正是六十英里每小时。
那有意义，正确吗？

English: 
So all this says, let's
say that after, this
is time 0, position 0.
Let's say after 1 hour, let's
say that is 1 hour, this time
equals 1 hour, let's say
I have gone 60 miles.
So what can you say?
You could say that my average
velocity equals just change in
distance divided by
change in times.
It equals 60 miles per hour.
So what the mean values
theorem says, is OK.
Your average velocity, so you
could almost view it as the
average slope between this
point and this point with 60,
if your average velocity was 60
miles per hour, there was some
point in time, maybe more, but
there was at least one point in
time, where you were going
exactly sixty miles per hour.
That make sense, right?

Spanish: 
asi que todo esto es
tiempo cero, posición cero
esto es digamos despues de una 1 hora, esto es una hora, esto tiempo
igual a una hora, y digamos que he recorrido 60 millas
...
que podemos decir?
podemos decir que mi velocidad media
la distancia dividida por el cambio en el tiempo
es igual a 60 millas/hora
...
Así que lo que dice el teorema de valores medios, está bien.
Tu velocidad media, así que podrías verla como
la pendiente media entre este punto y este punto con 60,
si tu velocidad media fuera 60 millas por hora, había cierto
punto en tiempo, quizá más, pero había al menos un punto en
tiempo, donde estabas yendo a exactamente 60 millas por hora
Tiene sentido ¿Verdad?

Czech: 
Takže nám to říká, že řekněme po...
toto je čas 0, poloha 0.
Řekněme po 1 hodině, řekněme že toto je 1 hodina, tento čas
se rovná jedné hodině, řekněme že jsem ujel 60 kilometrů.
Takže co o tom můžeme říci?
Můžeme říci, že moje průměrná rychlost se rovná změně
vzdálenosti děleno změnou času.
Rovná se 60 kiometrům za hodinu.
Takže co nám říká věto o střední 
hodnotě diferenciálního počtu je, že
průměrná rychlost, na což se můžete dívat jako
na průměrný sklon mezi tímto bodem a tímto bodem s 60,
pokud by vaše průměrná rychlost byla 60 kilometrů za hodinu,
nastal někdy okamžik, možná několik, 
ale nastal alespoň jeden okamžik,
kdy jste se pohybovali rychlostí přesně 60 kilometrů za hodinu.
To dává smysl, ne?

Dutch: 
Dit betekent dus alleen maar dat hierna,
dit is tijd = 0, positie = 0.
Laten we zeggen dat na 1 uur, dit hier is 1 uur, dit tijdstip
is gelijk aan 1 uur, dat we 60 mijl afgelegd hebben.
Wat kun je daarover zeggen?
Je kunt zeggen dat mijn gemiddelde snelheid simpelweg gelijk is aan de verandering in
positie gedeeld door de verandering in tijd.
Is dus gelijk aan 60 mijl per uur.
Wat de middelwaardestelling zegt klopt dus.
Je gemiddelde snelheid, je zou het haast kunnen zien als
de gemiddelde stijlheid tussen dit punt en dit punt met 60,
Als je gemiddelde snelheid 60 mijl per uur was, dan was er
een punt in de tijd, misschien meer dan een, maar minstens een
waarop je precies 60 mijl per uur aan snelheid had.
Dat is logisch, nietwaar?

Spanish: 
Si tu media es de 60 millas por hora, quizá estas yendo a 40
en algún punto, pero en otro punto ibas a
80, y entre esas tendrías que ir a 60 millas por hora
Así que déjame ver si puedo dibujarlo gráficamente.
Así que esta pendiente es mi velocidad media, y la forma en que la
dibujé, hay probablemente 2 puntos, veamos, probablemente
aquí, iba también a 60mph
aquí seguramente la pendiente es 60,
la velocidad instantánea aquí seguramente también.
Vale, antes de irme, vamos a hacer esto analíticamente,
para hacerlo con números.
Y la razón por la que me gusta y no me gusta el
teorema del valor medio es que después es útil, si te haces un experto
matemático, seguramente lo usarás para demostrar teoremas
o demostrarás el propio teorema del valor medio.
Pero si el cálculo lo quieres para aplicarlo,
no vas a usar mucho el teorema
del valor medio.
Pero bueno, si tienes que aprenderlo, tienes que aprenderlo,
y así aprendes algo sobre el mundo, así que sí
es interesante en ese aspecto.

Bulgarian: 
Ако средната ви скорост е 60 мили в час, може би на някое
място сте се движили с 40 мили в час, но на друго сте
се движили с 80, а междувременно сте се движили с 60
Да видим дали мога да начертая това като графика
Така, този наклон е средната ми скорост и според
чертежа ми, вероятно ще имам две точки,
в които се движа с 60 мили в час
Наклонът може би е 60 тук, 60 е моментната
скорост ; и може би също тук
Преди да свършим, нека направим това и аналитично,
да поработим с числa
Ето защо имам смесени чувства за теоремата за
средна стойност. Тя е полезна по-напред, например ако
специалността ви е математика, може би ще я използвате, за да
доказвате теореми, или пък може би ще докажете самата нея
Но ако просто прилагате висша математика,
няма да ви се наложи често да използвате
тази теорема
Но както и да е – ако трябва да я знаете, трябва да
я знаете, тя ви казва нещо ново за света и
това е интересно

Polish: 
Jeśli średnio poruszasz się z prędkością 60 mil, możesz się poruszać w pewnym momencie
z prędkością 40 mil, a w innym z prędkością
80 mil na godzinę, a pomiędzy nimi poruszałeś się z prędkością 60 mil na godzinę.
Sprawdźmy czy uda mi się to narysować
Tak więc to zbocze to moja średnia prędkość, a przez to jak go narysowałem
są prawdopodobnie dwa punkty, spójrzmy,
gdzieś tutaj, kiedy prawdopodobnie poruszałem się 60 mil na godzinę
Zbocze wynosi jakoś 60 tutaj
Prędkość prawdopodobnie też
Zanim to zostawię, sprawdźmy to analitycznie
Tak tylko żeby popracować z liczbami
A powód przez który mam mieszane odczucia co do naszego twierdzenia
jest ono przydatne znacznie później, pewnie kiedy zajdziesz już
znacznie dalej w matematyce, do udowodnienia jakichś twierdzeń
lub udowodnienia jego samego
Ale jeśli chodzi o sam rachunek różniczkowy,
nie będziesz raczej korzystał z tego twierdzenia
za dużo
W każdym razie, jeśli potrzebujesz tego wiedzieć, to potrzebujesz tego wiedzieć
I mówi ci to coś nowego o świecie, więc jest
to na ten sposób interesujące

Thai: 
หากคุณขับเฉลี่ย 60 ไมล์ต่อชั่วโมง บางทีคุณขับ 40
ไมล์ต่อชั่วโมง ณ จุดนึง แต่ ณ จุดนึง
คุณขับ 80 และระหว่างนั้นคุณต้องขับ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง
ลองดูว่าผมจะวาดมันเป็นกราฟได้ไหม
ดังนั้นความชันคือ ความเร็วเฉลี่ยของผม และวิธีที่ผม
วาดมัน มันจุดสองจุด ลองดู อาจ
แถว ๆ นี้ ผมกำลังเคลื่อนที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง
ความชันอาจเป็น 60 ตรงนี้
ความเร็วชั่วขณะตรงนี้ เช่นกัน
ดังนั้นก่อนที่ผมจะไป ขอผมทำโดยวิเคราะห์ แค่
ลองคิดเลขดู
และสาเหตุที่ผมรู้สึกครึ่ง ๆ กลาง ๆ กับทฤษฏีบทค่ากลาง
มันจะมีประโยชน์ต่อไป บางทีหากคุณเรียนเอกคณิต
คุณอาจต้องใช้มันพิสูจน์ทฤษฏีบทอื่น หรือบางที
คุณต้องพิสูจน์มันเอง
แต่หากคุณจะใช้แคลคูลัสโดยทั่วไป
คุณไม่ต้องใช้ทฤษฎีบท
ค่ากลางมากนัก
แต่ช่างเถอะ หากคุณอยากรู้ คุณต้องรู้
และมันบอกคุณถึงเรื่องอื่นในโลกนี้ ดังนั้น
มันก็น่าสนใจอยู่

Portuguese: 
Se você em média 60 quilômetros por hora, talvez você vai 40
quilômetros por hora, que alguns do ponto, mas em algum ponto você
fui 80, e no meio você tinha que estar indo 60 quilômetros por hora.
Então deixe-me ver se posso chamar que graficamente.
Portanto, esta inclinação é minha velocidade média e a maneira que eu desenhei
ele, não há provavelmente dois pontos, vamos ver, provavelmente
direita por aqui, eu estava indo provavelmente 60 quilômetros por
horas, a inclinação é, provavelmente, 60 lá, o retardo
velocidade provavelmente lá, também.
Assim antes de eu sair, vamos fazer isso analiticamente, apenas
para trabalhar com números.
E a razão por que eu tenho sentimentos mistos sobre o valor médio
Teorema, é útil mais tarde sobre, provavelmente se você se tornar um matemática
Major você talvez vou usá-lo para provar alguns teoremas, ou talvez
você vai provar, propriamente dito.
Mas se você apenas estiver aplicando o cálculo na maior parte,
você não vai estar usando o valor médio
Teorema demasiado.
Mas enfim, se você tem a conhecê-lo, você tem a conhecê-lo,
e diz-lhe algo mais sobre o mundo, por isso, é
interessante dessa forma.

Chinese: 
如果你平均每小时 60 英里，也许你会 40
英里每小时部分点，但在一些你点
去了 80，在中间了，你要走 60 英里每小时。
所以让我看看，是否我可以以图形方式绘制的。
所以这个坡是我画的方式与我的平均速度，
它，有可能是两个点，让我们看看，很可能
右环顾四周，我可能会每 60 英里
小时，坡大概是 60，瞬时
可能那里，速度也。
所以我离开之前，让我们这样做分析，只是
使用数字。
为什么我心情纠结的均值的原因
定理，它有用稍后可能是如果你成为数学
你也许将使用它来证明几个定理的主要或也许
你就会证明，本身。
但如果只在最大程度上，应用微积分
你不会使用的均值
定理太多。
但不管怎么说，如果你要知道，你要知道，
它告诉你一些其它东西世界，所以它是
有趣的方式。

Dutch: 
Als je gemiddelde 60 mijl/uur is, en je gaat mischien 40
op een bepaald moment, maar op een ander moment
misschien 80, dan ergens tussenin moet je 60 mijl per uur gaan.
Laten we kijken of ik het kan tekenen.
Deze stijlheid is mijn gemiddelde snelheid, en op de manier waarop ik het getekend heb
zijn er waarschijnlijk twee punten, ongeveer
hier, waar ik 60 mijl per uur gegaan ben.
De stijlheid hier is ongeveer 60, de onmiddelijke
snelheid daar ook.
Voor we weggaan, laten we het analytisch doen
in een numerieke beschrijving.
En de reden waarom ik verdeeld was over de middelwaardestelling
is dat het later nuttig is als je wiskunde gaat studeren,
dan heb je 'm nodig om andere stellingen te bewijzen, of misschien
ga je 'm zelf bewijzen.
Maar om zelf te rekenen
ga je 'm niet al te veel
nodig hebben.
Maar hoe dan ook, als je 'm moet kennen, dan moet je 'm kennen,
en het leert je iets anders over de wereld, dus
is-ie toch interessant.

Chinese: 
到達80，在中間了，你要走 60 英里每小時。
所以讓我看看，是否我可以以圖形方式繪製的。
所以這個斜率是我畫的方式與我的平均速度，
它，有可能是兩個點，讓我們看看
可能就在這裡，我可能會每小時 60 英里
，斜率大概是 60，在那一瞬間
可能的速度那裡。
所以我離開之前，讓我們這樣做分析，只是
使用那些數字。
為什麼我感覺均值定理複雜的原因
它在往後很有用 可能在你主修數學
也許用來證明幾個定理 或許
你就會證明。
但如果只應用微積分在某些部分
你不會使用的均值
定理太多。
但不管怎麼說，如果你要知道，你要知道，
它告訴你一些其它東西世界，所以它是
有趣的方式。
所以我們可以說我們有功能 f(x) 等於 x
負4x^2 和我關心的區間

Turkish: 
Ortalama hız saatte 60 kilometre ise, belki bir noktada saatte 40 kilometreyle gidiyorsunuz. Başka bir noktada saatte 80 kilometreyle gidiyorsunuz. Arada, saatte 60 kilometreyle gitmek zorundasınız.
-
-
Bakalım, grafiğini çizebilecek miyim.
Bu eğim, ortalama hız. Çizdiğim şekliyle, sanıyorum, şuralarda saatte 60 kilometre gittiğimi söyleyebilirim. Teğetin eğimi, şurada 60, anlık hız şurada da 60 gibi.
-
-
-
-
Videoyu bitirmeden önce, bunu analitik olarak da çözelim.
-
Ortalama değer teoremi ile ilgili hislerim karışık. Çünkü, üniversitede matematik alanını seçmek istiyorsanız veya ispat yapmak istiyorsanız, bu teoremi faydalı bulursunuz.
-
-
-
Sadece analizin uygulamalarıyla ilgileniyorsanız, ortalama değer teoremini pek kullanmayacaksınız demektir.
-
-
Neyse, bilmeniz gerekiyorsa, bilmeniz gerekiyordur. Size dünyayla ilgili ilginç bir bilgi kazandırdığını da söyleyebiliriz.
-
-

Hungarian: 
Ha az átlagod 60 mérföld/óra, lehet, hogy valamikor
40 mérföld/órával mentél, de valamikor 80-al,
és köztük valamikor 60 mérföld/órával kellett menned.
Szóval nézzük, le tudom-e ezt rajzolni.
Tehát ez a meredekség az átlag sebességem, és ahogy rajzoltam,
valószínűleg két pont van, nézzük csak, valószínűleg
valahol itt, valószínűleg 60 mérföld/órával mentem,
a meredekség valószínűleg 60 ott, a pillanatnyi
sebesség is, valószínűleg.
Szóval mielőtt elmegyek, nézzük ezt analitikusan, csak
hogy számokkal is dolgozzunk.
És az ok, amiért vegyes érzelmeim vannak a középértéktétellel
kapcsolatban, ez hasznos a későbbiekben, valószínűleg ha matekos
szakirányt választ valaki, tudja ezt néhány tétel bizonyításához használni, vagy talán
bebizonyítja ezt.
De ha leginkább csak használod a számítást,
nem fogod igazán használni
a középértéktételt.
De mindegy, ha tudnod kell, tudnod kell,
és elmond valami mást a világról, tehát
érdekes ebből a szempontból.

Vietnamese: 
Nếu bạn lấy trung bình 60dặm/h, coi như có lúc bạn đi 40
ở vài lúc, nhưng có điểm lại
tới 80, và ở giữa bạn sẽ lấy một điểm là 60.
Để tôi xem tôi có thể vẽ được đồ thị.

Czech: 
Pokud je váš průměr 60 kilometrů za hodinu, 
možná se pohybujete rychlostí
40 kilometrů za hodinu, ale v jednu chvíli zrychlíte na 80
a někdy mezi tím jste se museli pohybovat 
rychlostí 60 kilometrů za hodinu.
Zkusím to teď nakreslit.
Tento sklon je moje průměrná rychlost 
a tak jak jsem to nakreslil,
jsou na křivce pravděpodobně 2 body,
asi někde tady jsem se pohyboval 60 kilometrů za hodinu,
sklon je tady asi 60, okamžitá rychlost.
Tady nejspíš taky.
Ještě než odejdu, zkusme to analyticky,
ať si to vyzkoušíme s čísly.
A důvod proč mám o této větě smíšené pocity...
později je užitečná, pravděpodobně pokud se zaměříte
na matematiku, možná ji použijete jako důkaz pro jiné věty,
nebo ji samotnou možná dokážete.
Ale pokud především aplikujete počty,
nebudete větu o střední hodnotě diferenciálního počtu
příliž často používat.
Ale pokud ji musíte znát, nedá se nic dělat
a říká vám něco nového o světě,
takže tím je alespoň zajímavá.

Georgian: 
თუ შენი საშუალო სიჩქარე საათში 60 მილია,
შეიძლება რაღაც წერტილში 
საათში 40 მილს გადიხარ,
რაღაც წერტილში 80-ს, მაგრამ სადღაც
შუაში შენ გაივლიდი 60 მილს საათში.
მოდით ვნახოთ თუ შევძლებ 
ამის გრაფიკულად გამოსახვას.
ანუ ეს გადახრა არის
ჩემი საშუალო სიჩქარე,
როგორც მე ვხაზავ აქ 
შეიძლება გვქონდეს ორი წერტილი,
შეიძლება სწორედ ამ 
წერტილში გავდივარ 60 მილს საათში.
გადახრა შეიძლება იყოს 60,
და ასევე მყისიერი სიჩქარეც აქ იქნება.
სანამ მოვრჩები, 
მოდით ანალიტიკურად გავიაროთ.
უბრალოდ რიცხვებთან გავივარჯიშოთ.
მიზეზი, რის გამოც მაქვს შერეული
აზრი საშუალო მნიშვნელობის თეორემაზე,
ის მოგვიანებით გამოგადგებათ.
თუ გამოხვალთ მათემათიკის სპეციალისტი
ის შეიძლება გამოგადგეთ
რომელიმე თეორემის დამტკიცებისას,
ან შეიძლება ის შენთვითონ დაამტკიცო.
მაგრამ თუ მხოლოდ კალკულუსს იყენებ,
საშუალო მნიშვნელობის 
თეორემა დიდად არ გამოგადგება.
თუმცა თუ მაინც გიწევს მისი შესწავლა
და ის რამეს გეუბნევა სამყაროს შესახებ,
ამ შემთხვევაში ეს საინტერესოა.

English: 
If you average 60 miles per
hour, maybe you're going 40
miles per hour some of the
point, but at some point you
went 80, and in between you had
to be going 60 miles per hour.
So let me see if I can
draw that graphically.
So this slope is my average
velocity, and the way I drew
it, there's probably two
points, let's see, probably
right around here, I was
probably going 60 miles per
hour, the slope is probably
60 there, the instantaneous
velocity probably
there, as well.
So before I leave, let's do
this analytically, just
to work with numbers.
And the reason why I have mixed
feelings about the mean value
theorem, it's useful later on,
probably if you become a math
major you'll maybe use it to
prove some theorems, or maybe
you'll prove it, itself.
But if you're just applying
calculus for the most part,
you're not going to be
using the mean value
theorem too much.
But anyway, if you've got to
know it, you've got to know it,
and it tells you something else
about the world, so it's
interesting that way.

Russian: 
Если вы в среднем 60 миль в час, может быть, вы собираетесь 40
миль в час, некоторые точки, но в какой момент вам
пошли 80, и между ними вам пришлось идти 60 миль в час.
Поэтому позвольте мне видеть, если я могу нарисовать, графически.
Так что этот наклон является моя средняя скорость и то, что я обратил
Она, скорее всего два очка, давайте посмотрим, вероятно,
право здесь, я вероятно буду 60 миль на
час, наклон, вероятно, 60 там, мгновенно
скорость вероятно там, как хорошо.
Так что прежде чем я покину, давайте делать это аналитически, а только
для работы с числами.
И причина того, что мне не однозначна эта
теорема, это то, что она наверное будет полезна позже, если вы решите стать математиком,
тогда может быть вы ее используете для доказательства других теорем, или
вы докажете саму эту теорему.
Но если вы просто учите дифференциальное исчисление,
вы не будете особенно использовать эту
теорему.
Но если вам нужно ее знать, то нужно ее знать,
и она рассказывает вам что-то другое о мире, поэтому
она интересна в этом смысле.

Estonian: 
Kui sinu keskmiseks on 60 miili tunnis, siis võib-olla
mingil hetkel sa läksid 40 miili tunnis, aga mingil hetkel
sa läksid 80 ning vahepeal pidid sa minema 60 miili tunnis.
Ma üritan selle joonistada.
See kallak on minu keskmine kiirus ning see, kuidas
ma selle joonistasin, on arvatavasti kaks punkti, vaatame,
umbes siin ma läksin 60 miili tunnis, see
kallak on arvatavasti 60 siin, see hetkeline
kiirus siin ka.
Analüüsime seda, enne kui ma lahkun, et töötada numbritega.
Analüüsime seda, enne kui ma lahkun, et töötada numbritega.
Mul on erinevad arvamused keskväärtusteoreemist, sest see on
hiljem kasulik, kui matemaatika on sinu põhiaine, siis
sa kasutad seda, et tõestada mõned teoreemid, aga võib-olla
sa tõestad selle teoreemi ise.
Aga kui sa lihtsalt kasutad arvutamist enamus ajast, siis
sa ei kasuta keskväärtusteoreemi eriti tihti.
sa ei kasuta keskväärtusteoreemi eriti tihti.
Igastahes, kui sa pead seda teada, siis sa pead seda teadma ning
see ütleb sulle midagi uut maailmast, seega see on
huvitav.

Arabic: 
إذا كان المتوسط 60 ميلًا في الساعة، فإنك قد قدت بسرعة 40
ميلًا في الساعة، لكنك أيضًا
قدت بسرعة 80 ميلًا في الساعة، وبينهما من ستكون قد قدت بسرعة 60 ميلًا في الساعة
دعوني أرى إن كان بإمكاني رسمها بيايًّا
هذا الميل ييمثّل السرعة المتوسطة، وبالطريقة التي رسمتها
من المحتمل أن يكون هناك نقطتان
هنا تقريبًا كنت أقود بسرعة 60 ميلًا في الساعة
الميل هناك 60 تقريبًا
والسرعة اللحظية هناك أيضًا
قبل أن أغادر فلنقم بها تحليليًّا
فقط لنطبق بالأرقام
وسبب تركي انطباعات مختلفة عن نظرية القيمة المتوسطة
أنها مفيدة وخاصة إن دخلت في مجال الرياضيات
ستستخدمها لإثبات بعض النظريات
أو أنك ستثبتها نفسها
أما إن كنت تطبق التفاضل والتكامل معظم الوقت
فإنك لن تستخدم نظرية القيمة
المتوسطة كثيرًا
لكن على أي حال، إن كان عليك معرفتها فعليك ذلك
وهي أيضًا تخبرك أشياء عن العالم
فهي مثيرة بهذه الطريقة

Polish: 
Więc powiedzmy że mamy funkcję f od x, która jest równa
x kwadrat minus 4x, a przedział który mnie interesuje
to zamknięty przedział
od 2 do 4
Twierdzenie mówi nam, że jeśli
ta funkcja jest wyliczona w tym przedziale, a jest, prawda?
Możemy wybrać dowolny numer
Dziedzina tego to tak właściwie wszystkie liczby rzeczywiste, mógłbym
wybrać dowolny numer, więc oczywiście wybiorę taki
zdefiniowany nad naszym przedziałem
No więc funkcja jest zdefiniowana w tym przedziale, jest ciągła
jest różniczkowalna
Można wyliczyć pochodną, i pochodna
również jest ciągła
Więc powinno dać się tu zastosować twierdzenie
Więc sprawdźmy jak wartość c ma się do średniego zbocza
w przedziale 2 do 4
Więc ile wynosi średnie zbocze między 2 i 4?
Cóż, będzie wynosiło f od 4, więc różnica w funkcji
f od 4 minus f od 2 podzielona przez zmianę w x, równą 4 minus 2

Bulgarian: 
Така, да кажем, че имаме функцията f от x е равно на x
на квадрат минус 4x и интервалът, който ни интересува
(затворен интервал) е от 2 до 4
-
Сега, теоремата за средна стойност ни казва, че ако
тази функция е определена в този интервал... и тя е такава, нали ?
Можем да сложим което и да е число
Всъщност, тук общността са всички реални числа, мога да сложа
което и да е число, значи очевидно функцията е
определена при този интервал
Този интервал е непрекъснат
и това е диференцируемо
Можем да вземем производната
и производната е непрекъсната
Значи, теоремата за средна стойност трябва да е приложима
Да видим, каква стойност на c е равна на
средния наклон между 2 и 4
Какъв е средният наклон между 2 и 4 ?
Ами, ще бъде f от 4, значи промяната във функцията...
f от 4 минус f от 2 делено на промяната в x, значи 4 минус 2

Thai: 
ดังนั้นสมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน f ของ x เท่ากับ x
กำลังสอง ลบ 4x และช่วงที่ผมสนใจ
ในทีนี้คือระหว่าง ในช่วงปิด ผมรวม 2
จาก 2 ถึง 4
ทีนี้ ทฤษฏีบทค่ากลางบอกเราว่า หากฟังก์ชันนี้
นิยามบนช่วงนี้ และมันนิยามได้ จริงไหม?
เราสามารถแทนค่าใด ๆ
โดเมนของนี่ เป็นจำนวนจริง ผมสามารถ
แทนค่าใด ๆ ลงไป ดังนั้นแน่นอนมันนิยามได้
ตลอดช่วงนี้
แต่มันนิยามได้ตลอดช่วงนี้ด้วย มันยังต่อเนื่อง
และหาอนุพันธ์ได้
คุณสามารถหาอนุพันธ์ และอนุพันธ์
ก็ต่อเนื่อง
ดังนั้นทฤษฏีบทค่ากลางใช้ได้ตรงนี้
งั้นลองดูว่าค่า c ใดที่เท่ากับความชัน
เฉลี่ยระหว่าง 2 กับ 4
ความชันเฉลี่ยระหว่าง 2 กับ 4 เป็นเท่าไหร่?
มันจะเท่ากับ f ของ 4 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน
f ของ 4 ลบ f ของ 2 หารด้วยการเปลี่ยนแหลงใน x คือ 4 ลบ 2

Chinese: 
，是閉的區間，所以我
2、 從 2 到 4。
現在，均值定理告訴我們，如果這
此函數定義在這個區間，正確嗎？
我們可以放任何數目。
值域在這實際上是所有實數，我可以把
任何數字，所以顯然它會定義
在此區間內。
但它定義在區間內，所以這是連續的
這是可微的。
你可以帶導數和導數
是連續的。
所以均值定理在這裡是適用。
讓我們看看哪些 c 值等於平均
斜率在 2 和 4 之間。
2 和 4 之間的平均斜率是什麼？
嗯，它將會 f(4)，所以在函數中，更改
f(4) 減去f(2) 除以 4 減 2 。
所以這等於平均斜率。
f(4) 是 16 減去 16，正確嗎？

Dutch: 
Laten we uitgaan van een functie f(x) = x2 -4x
en het interval waar we van uit gaan
is een gesloten interval, dus inclusief
2 van 2 tot 4.
De middelwaardestelling leert ons dat als deze functie
gedefinieerd is op dit interval, en dat klopt, nietwaar?
We kunnen welk getal dan ook plaatsen.
Het domein hiervan is alle reele nummers, dus kan ik
welk getal dan ook hier zetten, dus het is duidelijk gedefinieerd
over dit interval
Dus het is gedefinieerd, continu en differentieerbaar
over dit interval
Je kunt de afgeleide bepalen, en de afgeleide
is continu
De middelwaardestelling zou dus van toepassing moeten zijn.
Laten we maar eens kijken welke waarde van cgelijk is aan de
stijlheid tussen 2 en 4.
Wat is de gemiddelde stijlheid tussen 2 en 4?
Nou, dat is f(4) - f(2), dus de verandering in de functie,
gedeeld door de verandering in x, dus 4-2.

Spanish: 
Si tenemos la funcion f(x) = x^2 - 4x
y el intervalo que me importa
(es un intervalo cerrado, por eso incluyo el 2)
va de 2 a 4.
El Teorema de valor medio dice que si esta
función está definida en este intervalo
Podemos poner cualquier número
El dominio son en realidad todos los números reales, podría poner aquí
cualquier número, por eso va a estar definida,
en este intervalo, por narices.
Pero por lo que se define en el intervalo, esto es continuo,
es diferenciable
puedes tomar la derivada , y la derivada
es contínua
Así, el teorema del valor medio se aplica aqui
vamos a ver que valor de "c" es igual a la ...
pendiente media entre 2 y 4
entonces ¿Cuál es la pendiente media entre 2 y 4?
bien, va a ser f de 4, por lo tanto
f de 4 menos 2 dividido por el cambio en x, por lo tanto 4-2

Hungarian: 
Tehát mondjuk van az a függvényünk, hogy f(x) egyenlő
x négyzet mínusz 4x, és az intervallum, ami engem érdekel,
egy zárt intervallum, szóval beleveszem a 2-t,
2-től 4-ig megy.
Na, a középértéktétel azt mondja, hogy ha ez
a függvény ezen az intervallumon értelmezett, és az, igaz?
Bármilyen számot írhatunk.
Ennek az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, szóval
bármilyen számot írhatok ide, szóval természetesen értelmezve
lesz ezen az intervallumon.
De így értelmezett az intervallumon, folytonos
és differenciálható.
Ki tudjuk számolni a deriváltat és a derivált
folytonos.
Tehát a középértéktétel használható itt.
Tehát nézzük meg c melyik értéke egyezik meg az átlag
meredekséggel 2 és 4 között.
Szóval mi az átlag meredekség 2 és 4 között?
Hát, ez f(4) lesz, szóval a függvény változása,
f(4) mínusz f(2) per x változása, szóval 4 mínusz 2.

Turkish: 
Şimdi diyelim ki, f x eşittir x kare eksi 4 x, ve aldığım kapalı aralık, 2 ile 4 arası.
-
-
-
Şimdi, ortalama değer teoremini kullanmak için, bu fonksiyonun bu aralıkta tanımlı olması gerekiyor. Ve, fonksiyon tanımlı, öyle değil mi?
-
İstediğimiz sayıyı koyabiliriz. Aslında, fonksiyonun tanım kümesi, tüm gerçel sayılar. Buna göre, bu aralıkta tanımlı olduğunu biliyorum.
-
-
-
Aralıkta tanımlı, sürekli ve türevli.
-
Fonksiyonun türevini aldığımızda, türevi de sürekli.
-
O zaman, bu fonksiyona ortalama değer teoremini uygulayabilirim.
2 ile 4 arasındaki eğime, hangi c değerinin eşit türev vereceğini bulalım.
-
2 ve 4 arasındaki eğim nedir?
Fonksiyon değerlerinin farkı, f 4 eksi f 2, bölü, x'lerin farkı, yani 4 eksi 2.
-

Czech: 
Takže řekněme že máme funci f(x) = x^2-4x
a interval, který nás zajímá je mezi...
je to uzavřený interval, takže zahrnuji 2,
od 2 do 4.
Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu nám říká,
že pokud je tato funce definovaná na tomto intervalu, a to je,
můžeme dosadit jakékoliv číslo,
definiční obor této funkce jsou všechna reálná čísla,
mohu dosadit jakékoliv číslo, takže je určitě definovaná
na tomto intervalu.
Takže je definovaná na tomto intervalu, je spojitá,
je diferencovatelná.
Můžete určit derivaci a derivace je spojitá
Takže věta o střední hodnotě diferenciálního 
počtu by tady měla platit.
Tak se podívejme jaká hodnota c se rovná průměrnému
sklonu mezi 2 a 4.
Takže jaký je průměrný sklon mezi 2 a 4?
Bude to f(4)... takže změna ve funkci,
f(4) - f(2) děleno změnou v x, takže 4 -2.

Arabic: 
فلنقل أنه لدينا الدالة f الـx يساوي x
تربيع ناقص 4x والفترة التي نهتم بها
هي فترة مغلقة فلذلك تتضمن
2، من 2 إلى 4
نظرية القيمة المتوسطة تخبرنا أن هذه
الدالة معرفة على هذه الفترة وهي كذلك، صحيح؟
بإمكاننا وضع أي رقم
ومجال الدالة أي عدد حقيقي، بإمكاني وضع
أي رقم هنا، وستكون معرفة
على هذه الفترة
إذا هي معرفة على هذه الفترة وهي متصلة
وقابلة للاشتقاق
بإمكانك أن تقوم بالاشتقاق
وهي متصلة
فبالتالي يمكننا تطبيق نظرية القيمة المتوسطة هنا
فلنر أية قيمة لـc تساوي متوسط التغير
بين 2 و4
إذًا ما هو متوسط التغير بين 2 و4؟
ستكون f الـ4، سيكون متوسط التغير في الدالة
f الـ4 ناقص f الـ2 مقسومة على التغير في x، إذًا 4 ناقص 2

Georgian: 
დაუშვათ ფუნქცია F (X) უდრის X2 მინუს 4X 
ხოლო ინტერვალი, რაც მაინტერესებს
არის შუაში, და ახლო ინტერვალში,
ვგულისხმობ ორს, ანუ ორიდან ოთხამდე.
საშუალო მნიშვნელობის
თეორემა გვეუბნევა, რომ
თუ ეს ფუნქცია ამ ინტერვალით 
არის განსაზღვრული, და ეს მართალია ხომ?
შეგვიძლია დავსვათ ნებისმიერი რიცხვი. 
აქ შეიძლება იყოს ყველა რეალური რიცხვი,
შემიძლია აქ, ნებისმიერი რიცხვი დავწერო,
ანუ აშკარად უნდა
განისაზღვროს ამ ინტერვალში.
ასე, რომ ინტერვალი განსაზღვრულია,
უწყვეტია და დიფერენცირებული.
შეგიძლია აიღო დერივატი, 
ხოლო დერივატიც არის უწყევტი.
ასე, რომ საშუალო მნიშვნელობის
თეორემა აქ უნდა გამოვიყენოთ.
მოდით ვნახოთ c-ის რა მნიშვნელობა უდრის
ორსა და ოთხს შორის საშუალო გადახრას?
ანუ რა არის საშუალო 
გადახრა ორსა და ოთხას შორის?
F (4) -ფუნქციაში ცვლილება, f (4) 
მინუს f (2) გაყოფილი X-ის ცვლილებაზე,

Chinese: 
所以我们可以说我们有功能 f x 等于 x
零下 4 x 和我关心的间隔平方
这里是之间，是闭的区间，所以我
2、 从 2 到 4。
现在，值定理告诉我们，如果这
此时间间隔上定义函数和它是，正确吗？
我们可以把任何数目。
此域是实际上所有实数，我可以把
任何数字，所以显然它会定义
在此间隔内。
但它定义在间隔内，所以这是连续的
这是可微的。
你可以带导数和衍生品
是连续的。
所以值定理在这里应适用。
让我们看看哪些 c 值平均
边坡 2 和 4 之间。
2 和 4 之间的平均坡度是什么？
嗯，它将会 f 4，所以在函数中，更改
4 减去 2 除以所以 4 负 2 x f f。

English: 
So let's say we have the
function f of x is equal to x
squared minus 4x, and the
interval that I care about
here is between, is a closed
interval, so I'm including
2, from 2 to 4.
Now, the mean value theorem
tells us that if this
function is defined on this
interval, and it is, right?
We could put any number.
The domain of this is actually
all real numbers, I could put
any number here, so obviously
it's going to be defined
over this interval.
But so it's defined over the
interval, this is continuous,
this is differentiable.
You could take the derivative,
and the derivative
is continuous.
So the mean value theorem
should apply here.
So let's see what value of
c is equal to the average
slope between 2 and 4.
So what's the average
slope between 2 and 4?
Well, it's going to be f of 4,
so the change in the function,
f of 4 minus f of 2 divided by
the change in x, so 4 minus 2.

Portuguese: 
Então, vamos dizer, temos a função f de x é igual a x
ao quadrado menos 4 x e o intervalo em que eu me importo
aqui é entre, é um intervalo fechado, então estou incluindo
2, de 2 a 4.
Agora, o teorema do valor médio nos diz que, se isso
função é definida neste intervalo, e é, certo?
Nós poderia colocar qualquer número.
O domínio desta é realmente todos os números reais, eu poderia colocar
qualquer número, então, obviamente, vai ser definido
durante este intervalo.
Mas assim que ela é definida no intervalo, isto é contínuo,
Esta é diferenciável.
Você poderia tomar a derivada e a derivada
é contínua.
Portanto, o teorema do valor médio deve aplicar-se aqui.
Então vamos ver qual o valor de c é igual à média
inclinam-se entre 2 e 4.
Então, qual é a inclinação média entre 2 e 4?
Bem, ele vai ser f de 4, então a alteração na função,
f de 4 menos f de 2 dividida pela mudança em x, então 4 2 sinal de menos.

Estonian: 
Ütleme, et mul on funktsioon f(x) ja see on võrdne
x² miinus 4x ning intervall, millest ma hoolin, on
suletud intervall, seega ma kaasan 2, 2'st 4'ni.
suletud intervall, seega ma kaasan 2, 2'st 4'ni.
Keskväärtusteoreem ütleb meile, et kui see
funktsioon on defineeritud selles intervallis, mida see ka on, õigus?
Me võime panna suvalise numbri.
Selle ala on kõik reaalarvud, ma võin panna siia
suvalise arvu, seega loomulikult on see defineeritud
selles intervallis.
Seega see on defineeritud selles intervallis, see on pidev,
see on eristatav.
Sa võid võtta selle tuletise ning tuletis on pidev.
Sa võid võtta selle tuletise ning tuletis on pidev.
Keskväärtusteoreemi saab siin kasutada.
Vaatama, mis c vörtus on võrdne
keskmise kallakuga 2 ja 4 vahel.
Mis on keskmine kallak kahe ja nelja vahel?
See on f(4), muutus funktsioonis,
f(4) miinus f(2) jagatud muutusega x's, see on 4 miinus 2.

Russian: 
Предположим, у нас есть функция f от x и она равна
x квадрате минус 4x, и интервал, который мне нужен
здесь находится между, это закрытый интервал, поэтому я включаю
2, от 2 до 4.
Эта теорема рассказывает нам, что если эта
функция находится на этом интервале, и так оно и есть, не так ли?
Мы могли бы поставить любое число.
Область этого, на самом деле, все действительные числа, я могу поместить
туда любое число, так что, очевидно, это будет определено
по этому промежутку.
Это определено по интервалу, это непрерывно,
это дифференцированно.
Вы могли бы взять производное и производное
непрерывно.
Поэтому наша теорема должна здесь работать.
Давайте посмотрим какая величина "c" равна среднему
наклону между 2 и 4.
Так чтем же является средний наклон между 2 и 4?
Это будет f от 4, поэтому разница функции,
f от 4 минус f от 2 разделить на разницу в x, так что 4 минус 2.

Bulgarian: 
Значи, това е равно на средния наклон
Значи, f от 4 е 16 минус 16, нали ?
Това е 0
Нека пак проверя
4 по 4, 16, минус 4 по 4, 16, така
Минус f от 2
f от 2 е 2 на квадрат - 4
и после минус 4 по 2
Значи, минус 8
-
Всичко това върху 2
Това е равно на минус 4
Значи, това е равно на 4 върху 2
Значи, средният наклон от ь е равен на 2 от x е
равно на 4, е 2
И сега, теоремата за средна стойност ни казва, че трябва да има
някаква точка между тези двете и може би включваща ги,
където наклонът е точно равен на 2
Да намерим тази точка
Това c
Да вземем производната, защото производната при c
ще е равна на 2
Значи, просто взимаме производната

Arabic: 
هذا يساوي متوسط الميل
إذًا f الـ4 هو 16 ناقص 16، صحيح؟
إذا الناتج صفر
دعوني أتأكد من ذلك
4 ضرب 4 يساوي 16 - 4 ضرب 4 يساوي 16 صحيح
ناقص f الـ2
f الـ2 هو 2 تربيع أي 4
ناقص 4 ضرب 2
إذًا الناتج سالب 8
دعوني أكتب ذلك 4 ناقص 8
كل ذلك مقسوم على 2
وهكذا يكون الناتج سالب 4
وهذا يساوي 4 على 2
إذًا متوسط التغير من النقطة x=2
إلى x=4 هو 2
وتقول نظرية القيمة المتوسطة، أنه يجب أن يكون
بعض النقاط التي تقع بين النقطتين، وربما تتضمن
واحدة منها، بحيث يساوي الميل 2 بالضبط
فلنكتشف ما هي تلك النقطة
هذه c
فلنأخذ المشتقة، لأن المشتقة عند c
ستساوي 2
إذًا نأخذ المشتقة

Chinese: 
所以这等于平均坡度。
F 4 是 16 减去 16，正确吗？
这就是 0。
让我确认这一点。
4 4 倍，16，减去 4 倍 4、 16、 右。
减去 2 f。
f 2 2 平方，是 4，右，然后
减去 2 4 倍。
所以减去 8。
这一切都超过 2。
于是这等于 4 负。
所以这对 2 等于 4。
因此，平均坡度从 x 等于 x 2
是 4 等于是 2。
现在，值定理告诉我们，必须有
一些也许包括之一的这两个之间的点
那些，其中坡在该点是完全等于 2。
让我们弄清楚什么是点。
该 c。
让我们看的衍生品，因为在 c 衍生物
将会等于 2。
所以我们只是采取导数。

Chinese: 
這就是 0。
讓我確認這一點。
4乘以4=16，減去 4 乘 4、 16、 對吧。
減去f(4)。
f(2)是2的平方，是 4，然後
減去 4乘以2。
所以減去 8。
這一切都超過 2。
於是這等於 負4。
所以這對 2 等於 4。
因此，平均斜率從 x 等於 x 2
是 4 等於是 2。
現在，均值定理告訴我們，必須有
一些也許包括之一的這兩個之間的點
那些，其中斜率在該點是完全等於 2。
讓我們弄清楚什麼是哪個點。
那個 c 點。
讓我們拿它的導數，因為在 c 導數是
將會等於 2。
所以我們只是採取導數。
所以我們可以說的 f'(x) 等於 2x 減四。
我們想要弄清楚，在什麼 x 值 這會等於 2。

Hungarian: 
Szóval egy egyenlő az átlag meredekséggel.
Tehát f(4) az 16 mínusz 16, igaz?
Szóval az 0.
Ellenőrizzük le.
4 szer 4, 16, mínusz 4 szer 4, 16, igen.
Mínusz f(2).
f(2) az 2 a négyzeten, 4, aztán
mínusz 4 szer 2.
Szóval mínusz 8.
Nézzük, jól csináltam-e.
Ez az egész per 2.
Tehát ez egyenlő mínusz 4.
Tehát ez egyenlő 4 per 2.
Szóval az átlag meredekség x-ben egyenlő
4 per 2, az 2.
És most a középértéktétel azt mondja, hogy kell lennie
olyan pontnak eközött a kettő között, vagy valamelyik ezek közül,
ahol a meredekség pontosan 2.
Találjuk ki, melyik ez a pont.
Az a c.
Deriváljunk le, mert a derivált a c-ben
egyenlő lesz 2-vel.
Tehát deriváljunk le.

Estonian: 
See on võrdne keskmise kallakuga.
f(4) on 16 miinus 16, õigus?
See on 0.
Ma kontrollin.
4 korda 4, 16, miinus 4 korda 4, 16, õige.
Miinus f(2).
f(2) on ruudus, see on 4, õigus ning
miinus 4 korda 2.
Miinus 8.
See jagada kahega.
See on miinus neli.
See on neli jagatud kahega.
Keskmine kallak x'st on võrdne kahega.
Keskmine kallak x'st on võrdne kahega.
Keskväärtusteoreem ütleb, et peab olema
mingi punkt nende kahe vahel, võib-olla
üks nendest kaasa arvatud, kus kallak selles punktis on võrdne kahega.
Nuputame, mis see punkt on.
See c.
Võtame tuletise, sest c tuletis
on võrdne kahega.
Võtame lihtsalt tuletise.

Portuguese: 
Assim este igual a inclinação média.
Então f de 4 é 16 menos 16, certo?
Assim que é 0.
Permitam-me que certifique-se de que.
4 vezes 4, 16, menos 4 vezes 4, 16, à direita.
Menos f de 2.
f de 2 é 2 elevado ao quadrado, é 4, direita e então
menos 4 vezes 2.
Assim, menos 8.
Tudo isso sobre 2.
E, portanto, isso é igual a menos 4.
Então isso é igual a 4 mais de 2.
Portanto, a inclinação média de x é igual a 2 x
é igual a 4 é 2.
E agora o teorema do valor médio nos diz, que deve haver
algum ponto entre estes dois, talvez incluindo um dos
aqueles, onde o declive nesse momento é exatamente igual a 2.
Vamos descobrir o que isto é ponto.
Que c.
Vamos dar a derivada, pois a derivada em c
vai ser igual a 2.
Assim, levamos apenas a derivada.

Georgian: 
ანუ ოთხს მინუს ორი.
ეს უდრის საშუალო გადახრას.
გამოდის, რომ f (4) არის
16-ს მინუს 16. ხომ მართალია?
ეს არის ნული.
მოდით დავრწმუნდეთ ამაში.
ოთხჯერ ოთხი არის 16.
მინუს ოთხჯერ ოთხი არის 16.
მინუს f (2).
f (2) არის ორი კვატრატში, გამოდის
ოთხი, შემდეგ მინუს ოთხჯერ ორი.
ანუ მინუს რვა.
ეს ყველაფერი შეფარდებული ორთან.
ეს უდრის მინუს ოთხს.
ანუ 4/2-ს.
ასე, რომ საშუალო გადახრა
X2 უდრის X4 და ეს არის ორი.
საშუალო მნიშვენლობის თეორემა 
გვეუბნევა, რომ შეიძლება იყოს
რომელიმე წერტილი, რომლის შუაშიც
ეს ორი, ან შეიძლება ერთ-ერთ წერტილთან
გადახრა ზუსტად ორს უდრიდეს.
მოდით გამოვსახოთ,
რომელია ეს წერტილი. ეს არის c.
ავიღოთ დერივატი, რადგანაც 
დერივატი c-თან უდრის ორს.

Spanish: 
esto es igual a la pendiente media
entonces f de 4 es 16 menos 16, entendido?
que da 0
Voy a comprobar que esto es correcto
4 veces 4, 16 menos 4 veces 4, 16, bien.
menos f de 2
f de 2 es 2 al cuadrado, es 4, bien, y despues
menos 4 veces 2
que da 8
...
todo esto sobre 2
y entonces estos iguales menos 4
entonces esto da 4/2
por lo tanto la pendiente media de X es igual a 2 que es x
es igual a 4 es 2
y ahora el significado de el teorema del valor medio, nos cuenta que tiene que haber
algún punto entre estos dos, quizas incluiyendo uno de estos
donde la pendiente en este punto es exactamente igual a 2
Vamos a averiguar que punto es
este c
vamos a hacer la derivada, porque la derivada de c
dará como resultado 2
Asi que cogemos solo la derivada

Czech: 
Takže toto se rovná průměrnému sklonu.
f(4) se rovná 16 - 16, ano?
Takže je to 0.
Jenom se ujistím,
4 krát 4, 16, mínus 4 krát 4, 16, ano.
Mínus f(2).
f(2) je 2 na druhou, 4, ano, a potom
-4 krát 2
takže -8.

Russian: 
Этим и является средний наклон.
Так что f от 4 это 16 минус 16, так ведь?
И это 0.
Давайте в этом убедимся.
4 умножить на 4, 16, минус 4 умножить на 4, 16, так?
минус f от 2.
f от 2 это 2 в квадрате, это 4, так?, и тогда
минус 4 и умножить на 2.
Так что минус 8.
Все это разделить на 2.
И это минус 4.
Это равно 4 разделить на 2.
Поэтому средний наклон от x равен 2, x
равен 4 и это 2.
И теперь теорема говорит нам, что там должна быть
некоторая точка, которая находится между этих двух, может быть включая одну из
тех, где наклон в этом месте точно равен 2.
Давайте найдем чему равна эта точка.
Эта "c".
Давайте возьмем производное, потому что производное в "c"
будет равно 2.
И мы просто берем производное.

Polish: 
To jest równe średniemu zboczu
Więc f od 4 to 16 minus 16, tak?
To wynosi 0
Upewnijmy się
4 razy 4, 16, minus 4 razy 4, 16, tak.
minus f od 2
f od 2 wynosi 2 do kwadratu, więc 4, a następnie
minus 4 razy 2
Więc jest to równe
minus 8
Wszystko to nad dwójką
A więc jest równe minus 4
Więc to jest równe 4 nad 2
Średnie zbocze od x jest równe 2 do x
jest równe 4 jest 2
I teraz twierdzenie mówi nam że musi istnieć
punkt między tymi dwoma, może wliczając jedno z nich,
Gdzie zbocze jest dokładnie równe 2
Znajdźmy ten punkt
To c.
Wyliczmy pochodną, ponieważ pochodna w c
Będzie równa 2
Więc wyliczamy pochodną

Turkish: 
Eğim böyle.
f 4 eşittir 16 eksi 16, öyle değil mi?
Yani 0.
Kontrol edeyim.
4 kere 4, 16, eksi 4 kere 4, 16, doğru.
Eksi f 2.
f 2 eşittir 2 kare, 4, eksi 4 çarpı 2. Yani, eksi 8.
-
-
-
Tamamı bölü 2.
Burası, eksi 4.
Bu eşittir, 4 bölü 2.
Yani, x eşittir 2'den x eşittir 4'e eğim, 2 olacak.
-
Ortalama değer teoremine göre, bu iki nokta arasında türevi 2 olan bir başka nokta olmalı.
-
-
Şimdi bu noktayı bulalım.
c'yi bulalım.
Türevi alalım. c'deki türev, 2'ye eşit olacak.
-
Türevi alıyoruz.

Dutch: 
Dat is dus gelijk aan de gemiddelde stijlheid.
Dus f(4) is 16 -16, nietwaar?
0 dus.
Laten we dat kontroleren.
4 x 4, 16 min 4 x 4, 16, klopt.
min f(2).
f(2) is 2 tot de tweede macht, is 4, klopt, en dan
min 4 maal 2.
dus -8.
Dit allemaal gedeeld door 2.
is gelijk aan -4.
Dit is gelijk aan 4 gedeeld door 2.
De gemiddelde stijlheid van x (is gelijk aan 2) tot x
(is gelijk aan 4) is 2
En nu zegt de middelwaardestelling dat er een punt
tussen deze twee ligt, misschien inclusief een van de eindpunten,
waar de stijlheid op dat punt precies gelijk is aan 2.
Laten we eens kijken welk punt dat is.
Deze c.
Laten we de afgeleide pakken, want de afgeleide van punt c
moet gelijk zijn aan 2.
Laten we afgeleide nemen.

Thai: 
ดังนั้นนี่เท่ากับความชันเฉลี่ย
แล้ว f ของ 4 คือ 16 ลบ 16 จริงไหม?
นั่นคือ 0
ขอผมตรวจหน่อย
4 คูณ 4, 16, ลบ 4 คูณ 4, 16 ใช่
ลบ f ของ 2
f ของ 2 คือ 2 กำลังสอง ได้ 4 ใช่ แล้วก็
ลบ 4 คูณ 2
ได้ ลบ 8
-
ทั้งหมดนั่นส่วน 2
และนั่นเท่ากับ ลบ 4
ดังนั้นนี่เท่ากับ 4 ส่วน 2
ดังนั้นความชันเฉลี่ยจาก x เท่ากับ 2 ถึง x
เท่ากับ 4 คือ 2
และตอนนี้ทฤษฏีบทค่ากลางบอกเราว่า มันต้องมี
จุดนึงระหว่างสองจุดนี้ บางทีรวมหนึ่งในจุดนั้นด้วย
ที่ความชัน ณ จุดนั้นเท่ากับ 2 พอดี
ลองหาว่าจุดนั้นคืออะไร
ค่า c นั่น
ลองหาอนุพันธ์ เพราะอนุพันธ์ที่ c
จะเท่ากับ 2
เราก็แค่หาอนุพันธ์

English: 
So this equal to
the average slope.
So f of 4 is 16
minus 16, right?
So that's 0.
Let me make sure of that.
4 times 4, 16, minus 4
times 4, 16, right.
Minus f of 2.
f of 2 is 2 squared,
is 4, right, and then
minus 4 times 2.
So minus 8.
All of that over 2.
And so this equals minus 4.
So this equals 4 over 2.
So the average slope from
x is equal to 2 to x
is equal to 4 is 2.
And now the mean value theorem
tells us, that there must be
some point that's between these
two, maybe including one of
those, where the slope at that
point is exactly equal to 2.
Let's figure out
what point that is.
That c.
Let's take the derivative,
because the derivative at c
is going to be equal to 2.
So we just take the derivative.

Georgian: 
ანუ უბრალოდ ავიღოთ დერივატი. x-ის
ძირითადი ფუნქცია უდრის 2X მინუს ოთხი.
ჩვენ გვინდა გავარკვიოთ, 
რომელ x მნიშვნელობას უდრის ორი.
2x მინუს ოთხი არის ორი.
გადახრა სად უდრის ორს?
და ვღებულობთ 2X 
უდრის ექვსს, X უდრის სამს.
ანუ X უდრის სამს და დერივატი 
ზუსტად საშუალო გადახრის ტოლია.
მოდით ვნახოთ თუ შემიძლია 
კალკულატორის გრაფიკულად გამოსახვა.
ამგვარად აქ გვაქვს
X2 მინუს 4X-ის გრაფიკი.
აბა ვცადოთ თუ შემიძლია 
ამის ცოტა გადიდება.
ინტერვალი, რომელიც 
ჩვენ გვაინტერესებს არის აქედან აქ.
საშუალო გადახრა 
ამ ინტერვალზე იყო ორი.

Turkish: 
f üssü x eşittir 2 x eksi 4.
Hangi x değeri için bunun 2'ye eşit olduğunu bulmak istiyoruz.
Şöyle diyoruz:
2 x eksi 4 eşittir 2.
Eğimin 2 olduğu nokta hangisi?
2 x eşittir 6. x eşittir 3.
x 3'e eşit olduğunda, türev, uç noktalar arasındaki eğimle aynı.
-
Hesap makinesiyle göstereyim.
-
-
Evet.
x kare eksi 4 x'in grafiği bu.
Biraz büyüteyim.
-
İstediğimiz aralık, buradan şuraya.
Bu aralıktaki eğim, 2.
Eğimi çizmek istersek, buna benzer.

Chinese: 
所以我们可以说的 x f 黄金等于 2 x 减四。
我们想要弄清楚，在什么 x 值不会这等于 2。
所以我们说，
零下 4 2 x 等于 2。
边坡是哪里等于 2 的？
你得到 2 x 是等于 6，x 等于 3。
所以，如果 x 等于 3，衍生品是完全相等
平均的坡。
但让我看看，是否我可以，让我得到以图形方式显示
计算器。
我想我可以做什么。
还行。
所以这里是平方减 4 x x 的图。
让我看看是否我能再大一点。
我们关心的间隔是从这里到这里。
所以，平均坡度超过该时间间隔是 2。
所以，如果我们要绘制坡，就像，

Russian: 
Скажем что первичный f от x равен 2x минус 4.
И мы хотим найти, в каком значении x это будет равно 2.
Мы скажем
2x минус 4 равно 2.
Где наклон равен 2?
Вы получаете 2x равно 6, x равно 3.
Так что если x равно 3, производное точно равно
среднему наклону.
Дайте я сейчас достану свой графический
калькулятор.
Я посмотрю, что я могу сделать.
Ок.
Вот график x в квадрате минус 4x.
Может у меня получиться сделать это чуть по больше.
Интервал, который нам нужен, находиться от сюда до сюда.
Поэтому средний наклон за этот интервал был 2.
Если нам нужно было бы нарисовать наклон, то

English: 
So let's say f prime of x
is equal to 2x minus four.
And we want to figure out, at
what x value does this equal 2.
So we say,
2x minus 4 is equal to 2.
Where does the slope equal 2?
And you get 2x is equal
to 6, x is equal to 3.
So if x is equal to 3, the
derivative is exactly equal
to the average slope.
But let me see if I can,
let me get the graphing
calculator here.
Let me what I can do.
OK.
So here's the graph of
x squared minus 4x.
Let me see if I can make
it a little bit bigger.
The interval that we care
about is from here to here.
So the average slope over
that interval was 2.
So if we were to draw the
slope, it was like that, the

Bulgarian: 
Да кажем, че f прим от x е равно на 2x минус 4
И искаме да открием, при каква x стойност това е равно на 2
Казваме, че
2x минус 4 е равно на 2
Къде наклонът е равен на 2 ?
Получаваме 2x е равно на 6, x е равно на 3
Значи, ако x е равно на 3, производната е точно
равна на средния наклон
Но нека видим като взема калкулатора за
чертаене на графики
Да видим какво мога да направя
Добре
Ето я графиката на x на квадрат минус 4x
Да видим дали мога да направя това малко по-голямо
-
Интервалът, който ни интересува, е от тук до тук
Средният наклон за този интервал беше 2
Значи, наклонът ще ни изглежда така

Dutch: 
Laten we zeggen dat f ' (x) gelijk is aan 2x - 4.
En we willen weten voor welke x-waarde dit gelijk is aan 2.
Laten we zeggen
2x - 4 is gelijk aan 2.
Waar is de stijlheid gelijk aan 2?
Dan krijg je 2x is gelijk aan 6, x is gelijk aan 3.
Dus als x gelijk is aan 3, dan is de afgeleide precies gelijk
aan de gemiddelde stijlheid.
Laten we kijken of, laat me de tekening
berekenen
Laten we ijken wat we kunnen doen.
OK.
Hier is dus de grafiek van x kwadraat minus 4x
Laten we het een beetje groter maken.
Het interval van belang is van hier tot hier.
De gemiddelde stijlheid over dat interval was dus 2.
Dus als we de stijlheid willen tekenen, zou het er

Portuguese: 
Então, vamos dizer prime de f de x é igual a 2 x menos quatro.
E nós queremos descobrir, no qual o valor de x faz esta 2 iguais.
Por isso dizemos,
2 x menos 4 é igual a 2.
Onde o declive é igual a 2?
E você recebe 2 x é igual a 6, x é igual a 3.
Portanto, se x é igual a 3, a derivada é exatamente igual
para a inclinação média.
Mas deixe-me ver se eu pode, deixe-me começar a representar graficamente
Calculadora aqui.
Permitam-me que eu posso fazer.
Razoável.
Então aqui está o gráfico de x ao quadrado menos 4 x.
Deixe-me ver se eu posso fazer um pouco maior.
O intervalo que nos interessa é aqui para aqui.
Assim que a inclinação média durante esse intervalo era 2.
Para se desenhar o declive, era assim, o

Estonian: 
Ütleme, et f'(x) on võrdne 2x miinus 4.
Meie tahame leida, millisel x'i väärtusel on see võrdne kahega.
Me ütleme, et
2x miinus 4 on võrdne kahega.
Kus on kallak võrdne kahega?
Sa saad 2x on võrdne kuuega, x on võrdne kolmega.
Kui x on võrdne kolmega, siis tuletis on täpselt võrdne
keskmise kallakuga.
Ma võtan joonise kalkulaatori.
Ma võtan joonise kalkulaatori.
Vaatame, mis ma teha suudan.
OK.
Siin on x²-4x graafik.
Ma üritan selle suuremaks teha.
Meie hoolime sellest intervallist siin.
Keskmine kallak selles intervallis oli 2.
Kui me joonistaks selle kallaku, see oli selline, siis

Polish: 
Więc weźmy f prim od x jest równe 2x minus 4
I chcemy sprawdzić w jakiej wartości x jest to równe 2
Więc zaczynamy
2x minus 4 jest równe 2
Gdzie zbocze jest równe 2?
I dostajemy 2x jest równe 6, x jest równe 3
Więc jeśli x jest równe 3, pochodna jest dokładnie równa
średniej zbocza
Ale moment, wezmę tylko
kalkulator graficzny
Sprawdźmy co tu mogę zrobić
Ok
Więc tu jest wykres x kwadrat minus 4x
Spróbuję go
nieco powiększyć
Przedział który nas interesuje jest odtąd dotąd
Więc średnia zbocza nad tym przedziałem wynosi 2
Więc gdybym miał narysować to zbocze,

Spanish: 
vamos a decir f prima de x es igual a 2x menos 4
y queremos averiguar, a que valor de x es igual a 2
Entonces decimos.
2x menos 4 es igual a 2
¿Donde la media es igual a 2?
y obtenemos que 2x es igual a 6, x es igual a 3
entonces si x es igual a 3, la derivada es exactamente igual
a la pendiente media
pero voy a ver si puedo, dejarme poner la
calculadora grafica aqui
vamos a ver como si la puedo poner
OK
entonces aqui tenemos la grafica de x cuadrado menos 4x
vamos a ver si puedo hacerla un poco más grande
...
el intervalo que nos importa va de aqui a aquí
entonces la pendiente media sobre este intervalo era 2
si hubieramos dibujado la pendiente, se pareceria a esto

Chinese: 
所以我們說，
2X-4=2 。
斜率是哪裡等於 2 的？
你得到 2 x 是等於 6，x 等於 3。
所以，如果 x 等於 3，導數是完全相等
平均的斜率。
但讓我看看，是否我可以，讓我得到以圖形方式顯示
計算。
我想我可以做什麼。
好的。
所以這裡是x^2-4x的圖。
讓我看看是否我能再大一點。
我們關心的區間是從這裡到這裡。
所以，平均斜率在這區間是 2。
所以，如果我們要繪製坡斜率，就像，
斜率會看起來像那樣。
而在 3 點，斜率完全是 2。

Hungarian: 
Szóval mondjuk f'(x) egyenlő 2x mínusz 4.
És ki akarjuk találni, x mely értékére lesz ez 2.
Szóval azt mondjuk,
2x mínusz 4 egyenlő 2.
Hol egyenlő a meredekség 2-vel?
És azt kapjuk, hogy 2x egyenlő 6, x egyenlő 3.
Szóval x egyenlő 3, a derivált pontosan megegyezik
az átlag meredekséggel.
De nézzük csak, nézzük
a számológépet.
Nézzük mit tehetek.
Ok.
Szóval itt az ábrája az x négyzet mínusz 4x-nek.
Nézzük, fel tudom-e ezt nagyítani.
x négyzet mínusz 4x
Az intervallum, ami minket érdekel, innentől idáig tart.
Tehát az átlag meredekség ezen az intervallumon 2.
Szóval ha lerajzoljuk a meredekséget, ilyen volt, a

Arabic: 
فلنقل أن مشتقة x لـf تساوي 2x ناقص 4
ونريد معرفة عند أي نقطة على محور السينات تساوي هذه 2
إذا نقول
2x ناقص 4 يساوي 2
أين يساوي الميل 2؟
ستحصل على 2x يساوي 6، x يساوي 3
إذا كان x يساوي 3، فإن المشتقة ستساوي تمامًا
متوسط التغير
دعوني أرى إن كان بإمكاني الحصول على الرسم البياني
الآلة الحاسبة هنا
دعوني أرى ما بإمكاني فعله
حسنًا
هذا الرسم لـx تربيع ناقص 4x
دعوني أرى إن كان بإمكاني تكبيرها
x تربيع ناقص 4x
الفترة التي نهتم بها من هنا إلى هنا
إذا متوسط التغير على الفترة كان 2
فإذا أردنا رسمه سيكون هكذا

Thai: 
ลองดุ f ไพรม์ของ x เท่ากับ 2x ลบสี่
และเราอยากหาว่า ค่า x ใดที่ทำให้นี่เท่ากับ 2
งั้นเราบอกว่า
2x ลบ 4 เท่ากับ 2
ตรงไหนที่ความชันเท่ากับ 2?
และคุณได้ 2x เท่ากับ 6, x เท่ากับ 3
ดังนั้นหาก x เท่ากับ 3 อนุพันธ์ก็จะเท่ากับ
ความชันเฉลี่ยพอดี
แต่ลองดูว่าผมจะ ขอผมเอาเครื่องคิดเลข
วาดกราฟได้ออกมา
ขอผมลองดู
โอเค
นี่คือกราฟของ x กำลังสอง ลบ 4x
ลองดูว่าผมจะทำให้มันใหญ่ขึ้นได้ไหม
-
ช่วงที่ผมสนใจคือ จากนี่ถึงนี่
ดังนั้นความชันเฉลี่ยตลอดช่วงนี้เป็น 2
ดังนั้นหากเราวาดความชัน มันจะเป็นแบบนั้น ความชัน

Russian: 
наклон бы выглядел вот так.
И точка 3, наклон точно 2.
Давайте я это нарисую.
Это не так уж сложно нарисовать для себя.
Так...
Если это мои оси, то я бы убрал это график в сторону.
Это ось Y
Линия идет через (0,0) как
можно чище.
Не, так не чисто.
Линия идет как-то так, она проваливается вверх, и потом
вот так вот, и идет прямо,
вот так, это парабола.
Это точка 4.
Это 2.
И в точке 2 мы в минус 4, так что вершина
в точке 2, минус 4.

English: 
slope would look like that.
And at the point 3, the
slope is exactly 2.
So let me actually draw that.
This isn't too hard
to draw, for myself.
Let me see.
So if that's the x-axis, I'll
want that graph out of the way.
That's the y-axis.
So the graph goes through
the point 0, 0 as
neatly as possible.
Nope, that's not neat.
So the graph goes something
like this, it dips up, then it
goes like that, and actually
it keeps going straight up,
like that, it's a parabola.
So this is point 4.
The point 2 is here.
And at 2 we're at negative
4, so the vertex is at
the point 2, minus four.

Turkish: 
-
3 noktasında eğim yine 2.
Bunu çizeyim.
Çizmesi çok zor değil.
-
x ekseni
y ekseni.
-
Grafik 0,0 noktasından geçiyor.
-
-
-
Grafik aşağı iniyor, sonra yukarı çıkıyor. Bir parabol.
-
-
Bu 4 noktası.
Bu da 2 noktası.
2'de y değeri eksi 4. Yani, tepe noktası, 2, eksi 4.
-

Chinese: 
边坡会看起来像那样。
而在 3 点，坡是完全是 2。
所以，我实际上会画画。
这不是要为自己画太难了。
让我想想。
所以如果是 x 轴，我就会想出该图。
这就是 y 轴。
通过点 0，0 作为图形的就这样
整齐地尽可能。
不行，这不是整齐的。
图形大概是这样，所以它蘸上，然后对其进行
就这样，和实际上持续下去向上、
像这样，它是一条抛物线。
这就是第 4 点。
这里第 2 点。
在我们处于负 4 2，所以顶点是在
第 2 点、 减四。

Polish: 
wyglądałoby ono tak
I w punkcie 3, zbocze wynosi dokładnie 2
Więc narysuję to teraz dokładniej
Nie jest to zbyt ciężkie dla mnie do narysowania
Spójrzmy
Więc jeśli to jest oś X, pozbędę się reszty
To jest nasza
oś Y
Więc wykres idzie od punktu 0, 0
najładniej jak się da
Eh,
nie jest to zbyt ładne
Więc wykres idzie jakoś tak, wznosi się do góry,
potem idzie tak, i idzie dalej w górę
jest parabolą
Więc to jest punkt 4
Punkt 2 jest tutaj
W punkcie 2 mamy minus 4, więc wierzchołek
jest w punkcie 2, minus 4

Arabic: 
الميل سيبدو هكذا
وعند النقطة 3 يكون الميل 2 بالضبط
دعوني أرسم ذلك
إنها ليست صعبة لرسمها بالنسبة لي
دعوني أرى
إذاً هذا هو محور الصادات، أريد أن أبعد الرسم عن الطريق
وهذا هو محور السينات
إذًا الرسم البياني يمر من النقطة (0,0)
بقدر الدقة
لا هذا ليس دقيقًا
إذًا الرسم يبدو تقريبًا هكذا، يرتفع ثم هكذا
مثل هكذا، بالأحرى إنها تستمر بالمضي إلى الأعلى
إنه قطع مكافئ
إذًا هذه هي النقطة 4
والنقطة 2 هنا
وصورة 2 هي سالب 4، إذًا القمة تقع
عند النقطة (4- ,2)

Thai: 
ออกมาเป็นแบบนั้น
และที่จุด 3 ความชันเป็น 2 พอดี
ขอผมวาดมันหน่อย
นี่วาดไม่ยากนัก สำหรับผม
ลองดู
หากนั่นคือแกน x ผมอยากให้กราฟออกไป
นั่นคือแกน y
-
ดังนั้นกราฟผ่านจุด 0, 0 เนี๊ยบ
สุด ๆ แล้ว
ไม่ใช่ นั่นไม่เนี๊ยบแล้ว
-
ดังนั้นกราฟจะเป็นประมาณนี้ มันวกขึ้น แล้วก็
ไปแบบนั้น ที่จริงมันขึ้นไปเรื่อย ๆ
แบบนั้น มันคือพาราโบลา
แล้วนี่คือจุด 4
จุด 2 อยู่ตรงนี้
และที่ 2 เราได้ ลบ 4 ดังนั้นจุดยอดอยู่ที่
จุด 2 ลบสี่

Georgian: 
ანუ თუ გადახრის დახაზვა
მოგვიწევდა, ასეთი იქნებოდა.
მესამე წერტილთან გადახრა ზუსტად არის ორი.
მოდით ამას დავხაზავ.
ჩემთვის ხაზვა რთული
არ არის. ვნახოთ აბა.
თუ ეს X ღერძი იქნება,
ეს გრაფიკი აღარ დაგვჭირდება.
ეს კი y ღერძია.
ამგვარად გრაფიკი გაივლის ნულ 
წერტილში. რაც შემიძლია სუფთად დავხაზავ.
არ გამომივიდა კარგად.
გრაფიკი რაღაც ამდაგვარი გამოდის.
ის ეშვება, შემდეგ მიდის ასე,
მეტწილად ინარჩუნებს ზევით, 
სწორ მიმართულებას. ეს პარაბოლაა.
ანუ ეს არის წერტილი ოთხი.
აქ არის წერტილი ორი.
მეორე წერტილი არის მინუს ოთხთან, ანუ
წვერი არის წერტილ ორთან, მინუს ოთხი.

Spanish: 
la pendiente se pareceria a esto
y en el punto 3, la pendiente es exactamente 2.
voy a dibujarla
no es muy dificil de dibujar por uno mismo
vamos a ver
entonces. si este es el eje de las X
este es el eje de las y
...
entonces la grafica pasa por el punto 0, 0
lo más recto posible.
No, eso no es recto.
.
Así que, gráficamente se parece a esto. Se achata,
luego hace así, y en realidad sigue hacia arriba,
así, es una parábola.
Este es el punto 4.
El punto 2 está aquí.
Y en 2 estamos a -4, por lo que el mínimo
está en el punto (2, -4).

Chinese: 
所以，讓我實際來畫畫。
畫這對我來說不太難
讓我想想。
所以如果是 x 軸，我就會想出該圖。
這就是 y 軸。
通過點 0，0 作為圖形的就這樣
整齊地盡可能。
不行，這不是整齊的。
圖形大概是這樣，所以它驟降，然後對其進行
就這樣，和實際上持續往上、
像這樣，它是一條抛物線。
這就是點4。
這裡是點2。
在2是負4，所以頂點是在
(2,-4)。
這有什麼我們說，平均斜率，所以閉區間
我們關心，從2 到 4，是從 2

Dutch: 
zo uitzien.
En op het punt 3, is de stijlheid precies 2.
Laat me dat eens tekenen.
Het is niet te moeilijk voor me om te tekenen.
laat me even kijken.
Als dat dus de x-as is, dan wil ik er vandaan tekenen.
Dat is de y-as.
De grafiek gaat dus door het punt 0,0
zo netjes as mogelijk
Nee, da's niet netjes.
De grafiek gaat dus ongeveer zo: hij klimt omhoog en dan
gaat-ie zo en dan recht omhoog,
dat is 'm, het is een parabool
Dit is dus punt 4.
Punt 2 is hier.
En bij punt 2 hebben we -4 als waarde, de vertex is
op het punt (2, -4)

Hungarian: 
meredekség így nézne ki.
És a 3 pontban a meredekség pontosan 2.
Szóval lerajzolom azt.
Ezt nem túl bonyolult lerajzolni.
Nézzük csak.
Tehát ha ez az x-tengely, nem akarom ezt az ábrát.
Ez az y-tengely.
Tehát az ábra keresztülmegy a (0,0) ponton olyan
szépen, ahogy csak lehet.
Nem, az nem szép.
Tehát az ábra valahogy így megy, felkanyarodik, aztán
így megy, és igazából végig felfele megy,
így, ez egy parabola.
Szóval ez a 4-es pont.
A 2-es pont itt van.
És 2-nél mínusz 4-ben vagyunk, szóval a csúcs
a 2-es pontban van, mínusz 4.

Bulgarian: 
-
И при точка 3, наклонът е точно 2
Нека начертая това
Това не е толкова трудно за начертаване
Да видим
Това е оста x, искам тази графика да не ми се пречка
Това е оста y
-
Значи, графиката минава през точка 0;0 колкото
може по-ясно
Не, това не стана добре
-
Графиката прави нещо такова – отива нагоре, после
се придвижва така и отива право нагоре,
ето така – това е парабола
Това е точка 4
Точка 2 е тук
И при 2 имаме минус 4, значи върхът
е при точката 2 ; -4

Portuguese: 
inclinação seria parecido com isso.
E no ponto 3, o declive é exatamente 2.
Então deixe-me realmente que desenhar.
Isso não é muito difícil de desenhar, por mim mesmo.
Deixe-me ver.
Assim se é que o eixo x, eu vou querer esse gráfico fora do caminho.
Que é o eixo y.
Assim o gráfico passa pelo ponto 0, 0 como
perfeitamente possível.
Nope, que não é puro.
Portanto o gráfico vai algo como isto, ele mergulha até, então ele
vai gosta que e realmente aquilo mantém indo para cima,
como esse, é uma parábola.
Então este é o ponto 4.
O ponto 2 é aqui.
E a 2 que estamos no 4 negativo, então o vértice está no
o ponto 2, menos quatro.

Estonian: 
kallak oleks umbes selline.
Punktil 3 on kallak võrdne kahega.
Las ma joonistan selle.
See ei ole mulle raske.
Nii...
Kui see on x-telg, ma võtan selle joonise eest ära.
See on y-telg.
Graafiks läheb läbi punkti 0, 0 nii täpselt,
kui võimalik.
See ei ole korralikult.
Graafik läheb umbes nii, tõuseb ning
siis see läheb nii ning see lähebgi üles,
see on parabool.
See punkt on 4.
Punkt 2 on siin.
Kahe peale oleme me miinus 4, seega kõrgeim tipp
on punktil 2, miinus neli.

English: 
So what we said, the average
slope, so the closed interval
that we care about, between 2
and 4, it's from 2
here to 4 here.
That's the interval, 2 to 4.
The average slope is 2.
Doesn't look like it, only
because I've kind of
compressed the y-axis.
And we're saying, at the point
x is equal to 3, the slope
is equal to exactly that.
So at x is equal to three,
the slope is equal
to the same thing.
That's all the mean
value theorem is.
I know sounds complicated.
People talk about continuity,
and differentiability, and f
prime of c, and all this, but
all it says is, there's some
point between these two points
where the instantaneous slope,
or slope exactly at that
point, is equal to the slope
between these two points.
Hope I didn't confuse you.

Portuguese: 
Então, o que dissemos, a inclinação média, então o intervalo fechado
que nos interessa, entre 2 e 4, é de 2
aqui a 4 aqui.
Que é o intervalo, 2 a 4.
A inclinação média é 2.
Não se parece com ele, só porque eu tenho o tipo de
comprimidos do eixo y.
E nós estamos dizendo, no ponto x é igual a 3, o declive
é igual a exatamente isso.
Assim em x é igual a três, a inclinação é igual
a mesma coisa.
Isso é tudo é o teorema do valor médio.
Eu sei que soa complicada.
As pessoas falam sobre continuidade, diferenciabilidade e f
prime de c e tudo isso, mas tudo o que diz é que há alguns
ponto entre estes dois pontos onde a inclinação instantânea,
ou declive exatamente nesse ponto, é igual a encosta
entre estes dois pontos.
Espero que não confundi-lo.

Chinese: 
这有什么我们说，平均坡度，所以闭区间
我们关心，2 至 4，是从 2
在这里，这里 4。
这是间隔，2 到 4。
平均坡度为 2。
看起来不像它，只是因为我有种的
压缩 y 轴。
我们说，在点 x 等于 3，坡
等于正是这样。
所以在 x 等于三、 坡是平等
以同样的事情。
这是所有值定理是。
我知道听起来很复杂。
人们谈论连续性和可微性和 f
总理的 c 和这一切，但所有它说的是，有一些
这两个之间的中点点在哪里瞬时的斜坡，
或在该点完全边坡，等于坡
这两个点。
希望没有将你相混淆。

Dutch: 
Wat we dus gezegd hebben, de gemiddelde stijlheid in het relevante gesloten interval
tussen 2 en 4,
hier dus
Dat is het interval van 2 tot 4
De gemiddelde stijlheid is 2.
Het ziet er niet helemaal zo uit, omdat ik
de y-as wat klein gemaakt heb.
En we zeggen: op het punt x is gelijk aan 3, dat de stijlheid
precies daaraan gelijk is.
Dus wanneer x gelijk is aan 3, dan is
de stijlheidd ook daaraan gelijk.
Dat is allemaal de middelwaardestelling
Ik weet dat het er ingewikkeld uitziet.
Men spreekt van continuiteit en differentieerbaarheid en de
afgeleide van f, maar eigenlijk willen we alleen maar zeggen dat er
een punt tussen deze twee punten bestaat waar de lokale stijlheid,
exakt gelijk is aan de gemiddelde stijlheid
tussen de twee punten.
Ik hoop dat dat niet te verwarrend was :-)

Spanish: 
Por tanto, buscábamos la pendiente media en el intervalo cerrado
que nos importaba, entre 2 y 4, es decir, desde este 2
de aquí a este 4 de aquí.
Este es el intervalo, de 2 a 4.
La pendiente media es 2.
No lo parece, sólo porque he, digamos,
comprimido el eje y.
Y decimos que, en el punto x=3, la pendiente
es igual a exactamente eso.
Es decir, en x=3, la pendiente es igual
a ese mismo valor.
Esto es todo en cuanto al teorema del valor medio.
Sé que suena complicado.
Hablamos de continuidad, derivabilidad, y
f'(c), y todo eso, pero todo lo que dice es que
hay algún punto entre estos dos puntos donde la pendiente instantánea
o pendiente exactamente en ese punto, es igual a la pendiente
entre estos dos puntos.
Espero no haberte hecho un lío.

Chinese: 
這裡，到這裡 4。
這是區間，2 到 4。
平均斜率為 2。
看起來不像它，只是因為我有種
壓縮 y 軸的感覺。
我們說，在 x 等於 3 ，斜率
等於正是這樣。
所以在 x 等於三、 斜率是等同
於同樣的事情。
這是均值定理的全部。
我知道聽起來很複雜。
人們談論連續性和可微性和
f'(c) 和這一切，但所有它說的是，有一些
這兩個之間的中點在哪裡暫時的斜率，
或在該點的斜率，等於
這兩個點之間的斜率。
希望沒有混淆你。

Arabic: 
إذًا ما قلناه أن متوسط التغير.. الفترة المغلقة التي
نهتم بها بين 2 و4
من 2 هنا إلى 4 هنا
هذه هي الفترة، من 2 إلى 4
متوسط التغيّر هو 2
لا تبدو هكذا لأنني نوعًا ما
ضغطت محور الصادات
نقول عند النقطة x=3، الميل
مساوي تمامًا لمتوسط التغير
إذًا عندما x=3 يكون الميل مساويًا
لمتوسط التغير
هذه هي نظرية القيمة المتوسطة
أعلم أنها تبدو معقدة
الناس يتحدثون عن الاتصال والتفاضل
ومشتقة c وكل هذا، لكن كل ما تنص عليه
أنه في نقطة ما
بين هاتان النقطتان، الميل اللحظي
أو الميل يساوي الميل
بين هاتان النقطتان
أتمنى أنني لم أعقدكم

Bulgarian: 
Затвореният интервал, който ни интересува,
е между 2 и 4
-
Това е интервала, от 2 до 4
Среният наклон е 2
Не изглежда вярно, защото
много съм сбил оста x
И казахме, че при точката x равно на 3, наклонът
е равен на точно тази стойност
-
-
Ето какво ни казва теоремата за средна стойност
Знам, че звучи сложно
Всички тези непрекъснатоски, диференцируемости,
f прим от c и т.н., но същественото е,
че има точка между тези две точки, където моментния наклон,
или наклонът точно в тази точка, е равен
на наклона между тези две точки
Надявам се, че не съм ви объркал

Russian: 
Как мы сказали, средний наклон, так что закрытый интервал,
который нам нужен, между 2 и 4, от 2
здесь до 4 здесь.
Это интервал, 2 до 4.
Средний наклон - 2.
Здесь не похоже, только потому что я немного
сжал ось Y.
И мы говорим, что в точке x =3, наклон
идет вот так.
Так что где x равен 3, наклон равен
точно тому же.
Вот и весь смысл этой теоремы.
Я знаю, это звучит сложно.
Люди говорят о непрерывности и дифференцируемости, и
первичный f от c, не все что это значит, это что там есть
точка между этими двумя точками, где мгновенный наклон,
или наклон точно в этом месте, равен наклону
межде этими двумя точками.
Надеюсь, я вас не запутал.

Polish: 
Więc tak jak mówiliśmy, średnia zbocza, w zamkniętym przedziale
który nas interesuje, między 2 i 4, jest od 2 tutaj
do 4 tutaj
To jest przedział 2 do 4
Średnia zbocza jest równa 2
Nie wygląda tak, dlatego że trochę
skompresowałem oś Y
I mówimy że w punkcie x równym 3
zbocze jest równe temu
Więc w x równym 3, zbocze wynosi
tyle samo
To wszystko o czym mówi twierdzenie.
Wiem że brzmi skomplikowanie
Ludzie mówią o ciągłości, różniczkowalności, f prim od c
i innym takim, ale wszystko o czym to mówi, to że istnieje
punkt między tymi dwoma punktami, gdzie zbocze
w tym punkcie jest równe dokładnie
zboczu między tymi punktami
Mam nadzieję że nic wam nie namieszałem w głowach.

Hungarian: 
Szóval amit mondtunk, az átlag meredekség, a zárt intervallum,
ami minket érdekel, 2 és 4 között van, 2-től
megy 4-ig.
Ez az intervallum, 2-től 4-ig.
Az átlag meredekség 2.
Nem úgy néz ki, csak azért, mert valahogy
összezsugorítottam az y-tengelyt.
És azt mondjuk, hogy ahol x egyenlő 3, a meredekség
pont megegyezik vele.
Szóval ahol x egyenlő 3, a meredekség egyenlő
pont ugyanazzal.
Ez mind, amit a középértéktétel mond.
Tudom, hogy bonyolultan hangzik.
Az emberek folytonosságról és differenciálhatóságról és f'(c)-ről
beszélnek, de amit ez mond, az csak annyi, hogy
van olyan pont ezen két pont között, ahol a pillanatnyi meredekség,
vagy meredekség pontosan abban a pontban, megegyezik
a két pont közti meredekséggel.
Remélem nem zavartalak össze titeket.

Estonian: 
Mida me ütlesime, oli et keskmine kallak, kinnine intervall,
millest me hoolime, kahe ja nelja vahel, on kahest
siia neljani.
See on intervall, kahest neljani.
Keskmine kallak on 2.
See ei näe nii välja, sest
ma olen y-telje kokku surunud.
Me ütleme, et selles punktis x on võrdne kolmega, kallak
on sellega v'rdne.
x on võrdne kolmega, kallak
on võrdne sama asjaga.
See ongi keskväärtusteoreem.
Ma tean, et see tundub keeruline.
Inimesed räägivad pidevusest ja eristatavusest ning
f'(x) ning taolisest, aga see ütleb, et on mingi
punkt nende kahe punkti vahel, kus hetkeline kallak
või kallak ise selles punktis, on võrdne kallakuga
nende kahe punkti vahel.
Ma loodan, et ma ei ajanud sind segadusse.

Georgian: 
რაც ადრე ვთქვით, ახლო ინტერვალი,
რაც გვაინტერესებს ორსა და ოთხს შორის,
ეს არის აქედან, ორიდან აქამდე, ოთხამდე.
ეს არის ინტერვალი ორიდან ოთხამდე.
საშუალო გადახრა არის ორი.
ამას არ ჰგავს, მხოლოდ იმიტომ, 
რომ Y ღერძი ცოტა შევკუმშე.
როგორც ვთქვით X-თან წერტილი უდრის
სამს, ხოლო გადახრა ზუსტად იგივეს უდრის.
სულ ესაა, რასაც საშუალო 
მნიშვნელობის თეორემა გულისხმობს.
ვიცი რთულად გეჩვენებათ.
საუბრობენ უწყეტობაზე, დიფერენციაზე,
c-ის ძირითად ფუნქციაზე და ამ ყველაფერზე,
თუმცა ეს ყველაფერი გვეუბნევა, რომ 
არსებობს წერტილი ამ ორ წერტილს შორის,
სადაც წამიერი გადახრა ანუ გადახრა
ზუსტად იმ წერტილში უდრის
ამ ორ წერტილს შორის გადახრას.
ვიმედვნებ, რომ არ დაგაბნიეთ.

Turkish: 
Uç noktaların arasındaki eğim, 2'den 4'e, şöyle.
-
-
Aralık, 2'den 4'e.
Uç noktalar arasındaki eğim, 2.
y eksenini biraz basık çizdiğim için, 2 gibi gözükmüyor.
-
Diyoruz ki, x eşittir 3 noktasındaki eğim de 2.
-
x eşittir 3'teki eğim aynı.
-
Ortalama değer teoremi, bundan ibaret.
Kulağa karmaşık geldiğinin farkındayım.
Süreklilik, türevlilik, f üssü c, falan. Aslında teoremin belirttiği şey basitçe şöyle: Şu iki noktanın arasında, anlık eğimin, iki nokta arasındaki eğime eşit olduğu bir nokta vardır.
-
-
-
-
Umarım, kafanızı karıştırmadım.

Thai: 
ที่เราบอกคือ ความชันเฉลี่ย ดังนั้นช่วงปิด
ที่เราสนใจ ระหว่าง 2 กับ 4 มันคือจาก 2 ตรงนี้
ถึง 4 ตรงนี้
นั่นคือช่วง 2 ถึง 4
ความชันเฉลี่ยเป็น 2
มันไม่ได้เป็นอย่างนั้น เพราะผม
บีบแกน y
และเราบอกว่า ณ จุด x เท่ากับ 3 ความชัน
เท่ากับอันนั้นเป๊ะ
ดังนั้นที่ x เท่ากับสาม ความชันเท่ากับ
อันเดียวกันนี่
นั่นคือทฤษฏีบทค่ากลาง
ผมรู้ว่ามันฟังดูซับซ้อน
ผู้คนสนใจความต่อเนื่อง การหาอนุพันธ์ได้ และ f ไพรม์ของ c
อะไรพวกนั้น แต่ที่มันบอกคือว่า มันมี
จุดระหว่างสองจุดนี้ ที่ความชันชั่วขณะ
หรือความชัน ณ จุดนั้น เท่ากับความชัน
เฉลี่ยระหว่างสองจุด
หวังว่าผมไม่ทำให้คุณงงนะ
