
English: 
- [Voiceover] Is the function given
below continuous slash
differentiable at x equals three?
They've defined it piece-wise,
and we have some choices.
Continuous, not differentiable.
Differentiable, not continuous.
Both continuous and differentiable.
Neither continuous not differentiable.
Now one of these we can knock
out right from the get go.
In order to be differentiable
you need to be continuous.
You cannot have differentiable
but not continuous.
So let's just rule that one out.
And now let's think about continuity.
So let's first think about continuity.
And frankly, if it isn't continuous,
then it's not going to be differentiable.
So let's think about it a little bit.
So in order to be continuous, f of ...
Using a darker color.
F of three needs to be equal to
the limit of f of x as x approaches three.
Now what is f of three?

Bulgarian: 
Определи дали дадената функция е
непрекъсната или диференцируема в точката x = 3?
Функцията е частично определена
и имаме няколко възможности.
Непрекъсната, недиференцируема.
Диференцируема, прекъсната.
Непрекъсната и диференцируема.
Нито непрекъсната, нито диференцируема.
Една от тези възможности можем
да изключим още в началото.
За да бъде диференцируема една 
функция, тя трябва да е непрекъсната.
Не може да е диференцируема,
но да е прекъсната.
Така че нека просто
да изключим тази възможност.
Нека сега да помислим
за непрекъснатост.
Ако функцията наистина
не е непрекъсната,
тогава няма да бъде
диференцируема.
Нека да помислим
върху това за малко.
За да бъде непрекъсната 
функцията, f от...
Използвам по-тъмен цвят.
f(3) трябва да е равно
на границата за f(x), 
когато x клони към 3.
На какво е равно f(3)?

Czech: 
Je funkce daná níže spojitá
a diferencovatelná v bodě x rovno 3?
Funkce je definována po částech
a máme na výběr:
Spojitá, nediferencovatelná.
Diferencovatelná, nespojitá.
Diferencovatelná i spojitá.
Ani spojitá, ani diferencovatelná.
Jednu možnost lze ihned zahodit.
Platí, že je-li funkce diferencovatelná,
pak musí být i spojitá.
Nelze mít diferencovatelnou,
ale nespojitou funkci.
Tuto možnost tedy škrtneme.
Zamysleme se nad spojitostí.
Pokud by nebyla spojitá,
pak by nemohla být diferencovatelná.
Zamysleme se nad tím.
Aby byla funkce spojitá…
Použiji tmavší barvu.
f(3) musí být rovno limitě f(x),
kde se x blíží ke 3.
Kolik je f(3)?

Korean: 
아래에 주어진 함수는
x＝3일 때 연속 또는 미분가능일까요?
이 함수는 구분적입니다
몇 가지 선택지가 있습니다
연속이면서 미분불가능인 것
미분가능하면서 불연속인 것
연속이고 미분가능인 것
불연속이고 미분불가능한 것이 있습니다
이 중에서 하나는
바로 제외할 수 있습니다
함수가 미분가능이기 위해서는
먼저 연속이어야 합니다
미분가능이면서 
불연속일 수는 없습니다
그러므로 하나는 제외합시다
이제 연속성에 대해
먼저 생각해봅시다
연속이 아니면
미분이 가능하지 않습니다
잠깐 생각해봅시다
이 함수가 연속이
가능하기 위해서는
x가 3에 한없이 가까워질 때
f(3)은 f의 극한값과
같아야 합니다
f(3)은 얼마일까요?

Korean: 
x=3이므로 이 구간에 속합니다
따라서 6×3=18이 되고
18-9=9이므로
f(3)=9입니다
따라서 x가 3에 한없이 가까워질 때
f의 극한값은 9가 되어야 합니다
먼저
x가 3에 한없이 가까워질 때의
좌극한을 생각해봅시다
x가 좌측에서 3으로 가까워집니다
x가 3보다 작을 때
이 식에 따르면 f(x)는
x²이 됩니다
이것이 모든 실수에서
정의되고 연속이므로
3을 대입할 수 있습니다
따라서 이것은 9와 같습니다
이제 x가 3에 한없이 가까워질 때의
우극한은 무엇일까요?
우측에서 접근할 때
이 식에서 f(x)는
6x-9와 같습니다

Czech: 
Podívejme, x je rovno 3,
bereme v potaz spodní definici,
6 krát 3 je 18,
18 minus 9 je 9.
Limita f(x), pro x jdoucí ke 3,
musí být rovna 9.
Zamysleme se nejdříve nad limitou zleva.
Limita f(x), kde x jde ke 3 zleva.
Je-li x menší než 3,
bereme v potaz horní definici.
f(x) bude 'x na druhou'.
To je funkce definovaná a spojitá
pro všechna reálná čísla, takže dosadíme.
Bude to tedy rovno 9.
Čemu se bude rovnat limita zprava?
Blížíme-li se zprava,
f(x) bude (6 krát x) minus 9.

English: 
Well let's see, we've fallen
to this case right over here,
because x is equal to
three, so six times three
is 18, minus nine is
nine, so this is nine.
So the limit of f of x
as x approaches three
needs to be equal to nine.
So let's first think about the limit
as we approach from the left hand side.
The limit as x approaches three.
X approaches three from the
left hand side of f of x.
Well when x is less than three
we fall into this case, so f of x
is just going to be equal to x squared.
And so this is defined and continuous
for all real numbers, so we can just
substitute the three in there.
So this is going to be equal to nine.
Now what's the limit of as we approach
three from the right hand side of f of x?
Well as we approach from the right,
this one right over here is f of x
is equal to six x minus nine.

Bulgarian: 
Е, нека да видим. Намираме се 
в този интервал ето тук.
защото x = 3. Тогава 6*3
е 18. Минус 9 е 9, така че това е 9.
Границата на f(x), когато 
x клони към 3
трябва да е равно на 9.
Нека да помислим за границата,
когато се приближаваме
от лявата страна.
Търсим граница, когато
x клони към 3.
Граница от f(x), когато
x клони към 3 от лявата страна.
Когато x е по-малко от 3,
се намираме в този интервал,
така че
функцията f(x) просто
ще бъде равна на x^2.
В този интервал функцията е 
дефинирана и непрекъсната
за всички реални числа, 
така че можем просто
да заместим x = 3.
Това ще бъде равно на 9.
На какво е равна границата,
когато x клони
към 3 от дясната страна?
Е, когато се приближаваме отдясно,
това нещо ето тук, което е f(x),
е равно на 6x – 9.

English: 
So we just write six x minus nine.
And once again six x minus nine is defined
and continuous for all real numbers,
so we could just pop a three in
there and you get 18 minus nine.
Well this is also equal to nine,
so the right and left hand, the left
and right hand limits both equal nine,
which is equal to the value
of the function there,
so it is definitely continuous.
So we can rule out this
choice right over there.
And now let's think
about differentiablity.
So in order to be differentiable ...
So differentiable, I'll
just diff-er-ent-iable.
In order to be differentiable the limit
as x approaches three of
f of x minus f of three
over x minus three needs to exist.
So let's see if we can evaluate this.
So first of all we know
what f of three is.
F of three, we already evaluated this.

Korean: 
따라서 6x-9라고 적습니다
6x-9는
모든 실수에서 정의되고 연속이므로
3을 x에 대입하면
18-9를 계산하면 됩니다
이것도 9와 같으므로
좌극한과 우극한이 모두
좌극한과 우극한이 모두
함숫값과 같은 9이므로
이 함수는 연속입니다
따라서 이 선택지를
제외시킬 수 있습니다
이제 미분가능성에 대해 생각해봅시다
이 함수가
미분이 가능하려면
미분이 가능하려면
x가 3에 한없이 가까워질 때
f(x)-f(3)/x-3의 극한값이
존재해야 합니다
우리가 이것을 계산할 수 있는지
알아봅시다
먼저 f(3)의 값은
이미 알고 있습니다
이미 계산을 했는데

Bulgarian: 
Следователно просто
записваме 6x – 9.
И още веднъж, 
6x – 9 е дефинирана
и непрекъсната
за всички реални числа,
така че можем просто
 да заместим 3
в израза за функцията
и ще получим 18 – 9.
Това също е равно на 9.
Следователно дясната
и лявата страна,
т.е. лявата и дясна граници
са равни на 9,
което е равно на стойността
на функцията там.
Следователно функцията
определено е непрекъсната.
Така че можем да изключим
тази възможност ето тук.
А сега нека да помислим
за диференцируемост.
За да бъде диференцируема...
Диференцируема, просто
ще го запиша. Диференцируема.
За да бъде диференцируема,
границата на функцията,
когато x клони към 3, 
 границата на f(x) – f(3) върху x – 3
трябва да съществува.
Нека да видим дали можем
да я изчислим.
Първо, знаем
на какво е равно f(3).
Вече изчислихме
границата за f(3).

Czech: 
(6 krát x) minus 9.
To je opět definované
a spojité pro všechna reálná čísla,
tedy jen dosadíme a dostaneme 18 minus 9.
To se také rovná 9.
Jednostranné limity se rovnají,
limita existuje
a je rovna hodnotě v daném bodě,
funkce je určitě spojitá.
Tuto možnost tedy můžeme rovněž vyloučit.
Zamysleme se nad diferencovatelností.
Aby byla funkce diferencovatelná,
limita f(x) minus f(3) lomeno (x minus 3),
pro x jdoucí ke 3, musí existovat.
Zkusme ji tedy spočítat.
Víme, kolik je f(3),
to už jsme spočítali.

Korean: 
f(3)은 9입니다
이제 이 극한을 계산할 수 있는지
혹은 이것의 좌극한과
우극한의 값이 무엇인지
그리고 그들이 같은 값이라서
그 값이 극한인지 알아봅시다
먼저 좌측에서 3으로 다가가는
극한에 대해 먼저 생각해보죠
f(x)-9/x-3입니다
좌측에서 접근하기 때문에
x가 3보다 작으므로
이 f(x)는 x²과 같습니다
이것을 f(x)-9에 대입하면
x²－9가 됩니다
이건 제곱수의 차이므로
(x+3)(x-3)입니다
(x+3)(x-3)/x-3은
이렇게 약분됩니다
따라서 이것은 x가 3이 아닌 한
x+3과 같습니다
좌측에서
다가가기 때문에

English: 
This is going to be nine.
And let's see if we can
evaluate this limit,
or let's see what the
limit is as we approach
from the left hand side
or the right hand side,
and if they are approaching the same thing
then that same thing that they
are approaching is a limit.
So let's first think about the limit
as x approaches three
from the left hand side.
So it's over x minus three,
and we have f of x minus nine.
But as we approach from
the left hand side,
this is f of x, as x is less than three,
f of x is equal to x squared.
So this would be instead of f of x minus 9
I'll write x squared minus
nine, and x squared minus nine.
This is a difference of squares,
so this is x plus three
times x minus three,
x plus three times x minus three.
And so these would cancel out.
We can say that is
equivalent to x plus three
as long as x does not equal three.
That's okay because we're
approaching from the left,
and as we approach from the left

Bulgarian: 
Това ще бъде 9.
Нека да видим дали можем
да изчислим границата,
или нека да видим
на какво е равна границата, когато
x клони към 3 от лявата страна.
Ако двете граници клонят
към едно и също нещо,
тогава същото нещо, към което
клонят е граница.
Нека първо да помислим
за границата,
когато x клони към 3
от лявата страна.
В знаменател стои x – 3,
 а в числителя е f(x) – 9.
Когато обаче се приближаваме
от лявата страна,
това е f(x), като x е по-малко от 3
и функцията f(x) e равна на x^2.
Следователно на мястото на f(x) – 9,
ще запиша x^2 – 9.
x^2 – 9 е разлика от квадрати,
така че това е (x + 3)*(x – 3).
(x + 3)*(x – 3)
Тези ще се съкратят.
Можем да кажем, че е равно на x + 3
и x е различна стойност от 3.
Това е добре, защото
се приближаваме отляво.
Когато се приближаваме отляво,

Czech: 
To je rovno 9.
Spočtěme tedy tuto limitu zleva a zprava,
ověřme, zda se rovnají.
pokud se rovnají,
pak jsou rovny celkové limitě.
Nejdříve spočítejme limitu zleva.
(f(x) minus 9) lomeno (x minus 3).
Pro limitu zleva platí:
f(x) pro x menší než 3 je 'x na druhou'.
'x na druhou' minus 9…
To je rozdíl druhých mocnin.
[(x plus 3) krát (x minus 3)]
lomeno (x minus 3).
(x minus 3) se pokrátí.
Pokud se x nerovná 3,
pak je výraz roven (x plus 3).
Což je v pořádku,
neboť jde o limitu zleva.

English: 
x plus three is defined
for all real numbers,
it's continuous for all real numbers,
so we can just substitute
the three in there.
So we would get a six.
So now let's try to evaluate the limit
as we approach from the right hand side.
So once again it's f of
x, but as we approach
from the right hand side,
f of x is six x minus nine.
That's our f of x.
And then we have minus f
of three, which is nine.
So it's six x minus 18.
Six x minus 18.
Well that's the same thing
as six times x minus three,
and as we approach from the right,
well that's just going to be equal to six.
So it looks like our
derivative exists there,
and it is equal to limit
as x approaches three
of all of this because
this is equal to six,
because the limit is
approached from the left
and the right is also equal to six.
So this looks like we are both
continuous and differentiable.

Czech: 
Výraz (x plus 3) je definován
pro všechna reálná čísla,
tedy je i spojitý,
můžeme tedy dosadit.
To je rovno 6.
Spočtěme limitu zprava.
Pro limitu zprava, x je větší než 3:
f(x) je (6 krát x) minus 9.
…minus f(3), což je 9.
(6 krát x) minus 18.
(6 krát x) minus 18.
To je 6 krát (x minus 3).
Blížíme-li se zprava,
celý výraz bude roven 6.
Zdá se, že derivace existuje,
jednostranné limity se obě rovnají 6.

Korean: 
x＋3은 모든 실수에서
정의되고 연속이므로
x에 3을 대입할 수 있습니다
따라서 6을 얻을 수 있습니다
이제 우측에서 3으로 다가가는
극한을 생각해봅시다
우리가 우측에서 다가가므로
f(x)는 6x-9입니다
f(x)는 6x-9입니다
그리고 f(3)은 9죠
따라서 6x-18입니다
따라서 6x-18입니다
이것은 6(x-3)과 같고
우측에서 3으로 다가가기 때문에
약분하면 6이 됩니다
도함수가 존재하고
그 값은 x가 3에 한없이 가까워질
때의 극한과 같습니다
또한 좌극한과 우극한이
모두 6이므로
극한은 6과 같습니다
따라서 이 함수는

Bulgarian: 
x + 3 е дефинирано 
за всички реални числа.
Тогава функцията е непрекъсната
за всички реални числа,
така че може просто
да заместим числото 3.
Ще получим 6.
Нека сега да се опитаме
да изчислим границата,
когато се приближаваме
от дясната страна.
Още веднъж, имаме f(x),
но когато се приближаваме
от дясната страна
f(x) е равно на 6x – 9.
Това е функцията f(x).
Тогава имаме минус f(3), което е 9.
Получава се 6x – 18.
6x – 18
Това е същото нещо
като 6*(x – 3)
и, когато се приближаваме отдясно,
това просто ще бъде равно на 6.
Следователно изглежда, че производната 
съществува в тази точка,
и е равна на границата, 
когато x клони към 3,
като резултат, защото 
всичко това е равно на 6.
Защото границата, към която 
x клони отляво
и отдясно, е равна на 6.
Изглежда, че функцията

Korean: 
연속이면서 미분가능합니다

Czech: 
Funkce je tedy spojitá i diferencovatelná.

Bulgarian: 
е непрекъсната и диференцируема.
