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>> [GIL] OLÁ! VAMOS FALAR DE
UMA COISA FANTÁSTICA, MUITO
INTERESSANTE E É MUITO BONITO
TAMBÉM DO PONTO DE VISTA
MATEMÁTICO, NÉ? TRATA-SE DO
QUE CHAMAMOS AQUI DE 'MÉTODO
VARIACIONAL'. MAS, A RIGOR,
NÓS VAMOS FALAR DE UMA MANEIRA
DE FORMULAR AS LEIS; QUE LEIS?
TODAS! FAZENDO O USO DESSE
MÉTODO VARIACIONAL NO QUAL NÓS
FAZEMOS VARIAÇÕES SOBRE
FUNÇÕES. ORA, PARA A GENTE
INTRODUZIR ESSE CONCEITO, A
GENTE DEVE COMEÇAR FALANDO DO
QUE É UM FUNCIONAL. PORQUE, NA
REALIDADE, NÓS FAZEMOS
VARIAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES
DAS QUAIS DEPENDE UM
FUNCIONAL. ENTÃO, O CONCEITO
IMPORTANTE AGORA É O CONCEITO
FUNCIONAL. O QUE É UM
FUNCIONAL? NÓS ESTAMOS
HABITUADOS, SABEMOS DEFINIR O
CONCEITO DE FUNÇÃO; É UM TIPO
DE REGRA MEDIANTE A QUAL A
GENTE ASSOCIA OS PONTOS DE UM
CONJUNTO CONHECIDO COMO O
DOMÍNIO, MAS, DE TAL FORMA
QUE, PARA CADA PONTO
CORRESPONDA A APENAS 1 PONTO
IMAGEM QUE PERTENCE A UM OUTRO
CONJUNTO CONHECIDO COMO
CONJUNTO IMAGEM. ENTÃO,
FUNÇÕES VOCÊ ASSOCIA PONTOS DE
UM CONJUNTO HÁ PONTOS DE OUTRO
CONJUNTO. E FUNCIONAIS? BOM,
FUNCIONAIS PODEM SER PENSADOS
COMO SENDO A GENERALIZAÇÃO
DESSE CONCEITO, PORQUE
FUNCIONAIS SÃO FUNÇÕES DE
FUNÇÕES. OU SEJA, PARA UMA
DETERMINADA FUNÇÃO EU, AGORA,
VOU ASSOCIAR UM NÚMERO NO
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS,
POR EXEMPLO. UM EXEMPLO QUE EU
ACHO QUE É RELATIVAMENTE
SIMPLES E NÃO VEJO PROBLEMA EM
DEFINIR ISSO COMO SENDO UM
FUNCIONAL. EU TENHO AQUI UMA
INTEGRAL... UMA INTEGRAL
DEFINIDA; "D TAU" INDO DE "A"
ATÉ "B" E AQUI UMA FUNÇÃO "D
TAU". ORA, PARA CADA VALOR OU
PARA CADA FUNÇÃO EU VOU
ASSOCIAR UM VALOR, É ISTO. OU
SEJA, EU POSSO PENSAR NA
INTEGRAL DEFINIDA COMO SENDO
UMA FUNÇÃO DESSA FUNÇÃO, É UM
FUNCIONAL, NO CASO. ESSE É UM
EXEMPLO MAIS SIMPLES. OU SEJA,
HÁ UMA FUNÇÃO EU ASSOCIO EM UM
PONTO NO EIXO REAL, POR
EXEMPLO. MUITO BEM. VAMOS
AGORA, ENTÃO, FALAR DE
FUNCIONAIS, MAS AGORA
ENVOLVENDO CURVAS. CURVAS!
PRIMEIRO LUGAR: COMO É QUE EU
DESCREVO UMA CURVA? ORA,
DIGAMOS QUE EU TENHO UMA CURVA
INTERLIGANDO OS PONTOS "A" E
"B". UMA CURVA EU DESCREVO POR
MEIO DE UM CONJUNTO DE TRÊS
FUNÇÕES; "X D TAU" - "D TAU" É
A VARIÁVEL IMPORTANTE. À
MEDIDA QUE VOCÊ VARIA "TAU X"
MUDA, "Y" É FUNÇÃO "D TAU" OU
"LAMBDA"; VAMOS UTILIZAR AQUI
VÁRIAS NOTAÇÕES ÀS VEZES, MAS
O FATO É QUE UMA CURVA É
DESCRITA POR MEIO DE TRÊS
FUNÇÕES. FUNÇÕES, CADA UMA
DELAS, FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
QUE, NESSE CASO, ESTAMOS
CHAMANDO DE "LAMBDA" OU "D
TAU", OU "DT". QUANDO SE TRATA
DE UM MOVIMENTO É "T". ENTÃO É
"X DT", "Y DT", "Z DT". MUITO
BEM! DE FORMA QUE ESSAS TRÊS
FUNÇÕES DEFINEM UMA CURVA
PORQUE, PARA CADA VALOR DA
VARIÁVEL "LAMBDA" OU VARIÁVEL
"TAU", OU DA VARIÁVEL "T",
PARA CADA VALOR EU VOU TER UM
PONTO. INTERLIGANDO ESSES
PONTOS EU TENHO, ENTÃO, UMA
CURVA.
EU POSSO TER E, VAMOS VER
HOJE, ESSAS DUAS SITUAÇÕES
FUNCIONAIS QUE DEPENDAM DA
CURVA, DEPENDEM DE "R", "D
TAU" - "TAU" É AQUELA VARIÁVEL
DA QUAL DEPENDE CADA PONTO
SOBRE A CURVA. E, O QUE É MAIS
INTERESSANTE, NA REALIDADE, É
O CASO MAIS GERAL ONDE ESSA
GRANDEZA AQUI DEPENDE NÃO
SOMENTE DE "R", QUE ESPECIFICA
A POSIÇÃO DO PONTO SOBRE A
CURVA, MAS CURIOSAMENTE
DEPENDE TAMBÉM DA TAXA DE
VARIAÇÃO DE "R" COM RESPEITO A
VARIÁVEL "TAU". DE FORMA QUE,
VAMOS DAR ALGUNS EXEMPLOS
AQUI, EVENTUALMENTE DEPENDE "D
TAU". EU TENHO, AGORA, ALGO
PARECIDO COM ÀQUELA INTEGRAL
DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL, MAS
AGORA SE INTEGRANDO DEPENDE DE
"R" E DE "DR DT" E,
EVENTUALMENTE, DEPENDE "D
TAU". PARA CADA CURVA EU VOU
TER UM VALOR DIFERENTE, É COMO
EU DISSE ANTES EM RELAÇÃO AS
INTEGRAIS DEFINIDAS. PARA CADA
FUNÇÃO VOU TER UM VALOR
DIFERENTE. PARA CADA "R D TAU"
EU VOU TER AQUI UM VALOR
DIFERENTE. ENTÃO, ISSO DEFINE
UM FUNCIONAL. UM FUNCIONAL
IMPORTANTE É O COMPRIMENTO DE
UMA CURVA. COMO É QUE EU
DEFINO O COMPRIMENTO DE UMA
CURVA? EU DIVIDO EM PEQUENOS
PEDACINHOS INFINITESIMAIS "DS"
E SOMO, PORQUE "DS" É O
ELEMENTO DE COMPRIMENTO DA
CURVA. ENTÃO O COMPRIMENTO DA
CURVA É IGUAL A INTEGRAL DE
"DS" QUANDO EU VOU AGORA "D
TAU A" ATÉ "D TAU B". QUEM É
"DS"? EXPLICAMOS ANTES QUE EU
POSSO ESCREVER ESSE "DS" EM
TERMOS DE COORDENADAS
GENERALIZADAS; A GENTE VAI DAR
UM EXEMPLO, HOJE. EM TERMOS DE
COORDENADAS GENERALIZADAS
"'DS' AO QUADRADO IGUAL A 'KI'
VEZES 'GIJ' 'DKJ'", É ISSO.
SOMA POR "I" E SOMA SOBRE "J".
OU SEJA, UMA CURVA QUALQUER.
AGORA, É CLARO QUE SE A GENTE
UTILIZAR COORDENADAS
CARTESIANAS "DS" É IGUAL A
RAIZ QUADRADA "DX AO QUADRADO"
MAIS "DY AO QUADRADO" MAIS "DZ
AO QUADRADO". ENTÃO O
COMPRIMENTO DE UMA CURVA É
CLARO QUE DEPENDE DA CURVA.
UMA CURVA QUE DÊ MUITAS
VOLTAS, O COMPRIMENTO DELA HÁ
DE SER MAIOR. ENTÃO O
COMPRIMENTO DE UMA CURVA É UM
FUNCIONAL PORQUE ELE DEPENDE
DA CURVA. ENTÃO ESSE É UM
EXEMPLO RELATIVAMENTE SIMPLES.
SIMPLES, NÉ? AGORA QUERO SABER
QUAL O COMPRIMENTO DE UMA
CURVA QUE PARTE... TODAS ELAS,
TODAS AS CURVAS QUE EU PUDER
PENSAR COMEÇAM DE "A" E
TERMINAM EM "B"; ESSE É UM
PONTO IMPORTANTE. COMEÇAM
TODAS ELAS EM "A" E "B" E, É
CLARO, QUE EU TENHO AQUI
DIFERENTES CURVAS INDO DO
PONTO "A" ATÉ UM PONTO "B".
ENTÃO O COMPRIMENTO DE UMA
CURVA É UM FUNCIONAL, ISSO
MESMO. POR QUÊ? EM "TAU A" ELA
ESTÁ NO PONTO "A". ENTÃO
"X(TAU A)" É IGUAL A "XA";
"Y(TAU A)" É IGUAL A "YA". E A
MESMA COISA VALE PARA O PONTO
"B". OU SEJA, ESSES DOIS
PONTOS SÃO FIXOS E EU VOU
INTEGRAR SOBRE TODAS AS
FUNÇÕES EM PRINCÍPIO DE
"X(TAU)" E "Y(TAU)" E
"Z(TAU)". PARA CADA FUNÇÃO QUE
EU COLOCAR AQUI, EU VOU TER UM
VALOR DIFERENTE. ISSO É
FUNCIONAL. É UMA FUNÇÃO DESSAS
FUNÇÕES AQUI. PARA CADA FUNÇÃO
EU VOU OBTER... CADA FUNÇÃO
SIGNIFICA CADA CURVA. PARA
CADA CURVA EU VOU TER UM
COMPRIMENTO DIFERENTE. NÓS
VAMOS, DEPOIS, FALAR UM POUCO
SOBRE ISSO. AGORA TEMOS UMA
COISA, UMA PERGUNTA É
INTERESSANTÍSSIMA. A PERGUNTA
É A SEGUINTE: DENTRE TODAS AS
CURVAS POSSÍVEIS INTERLIGANDO
PONTO "A" ATÉ O PONTO "B",
QUAL É AQUELA PARA A QUAL O
FUNCIONAL É MÍNIMO? AÍ É QUE
ESTÁ A QUESTÃO. ESSA É A
QUESTÃO IMPORTANTE QUE A GENTE
VAI ANALISAR AGORA. QUAL É O
FUNCIONAL PARA O QUAL É
MÍNIMO? ISSO É IMPORTANTE
PORQUE É O PROBLEMA DA
GEODÉSICA, DA GEOMETRIA. É UMA
DAS FORMULAÇÕES DA ÓTICA
GEOMÉTRICA, A MECÂNICA,
ELETROMAGNETISMO, AS
INTERAÇÕES FUNDAMENTAIS. É
MUITO IMPORTANTE PARA TODA A
FÍSICA, NA REALIDADE. A
GEODÉSICA É A CURVA DE MENOR
COMPRIMENTO INTERLIGANDO DOIS
PONTOS NUM ESPAÇO, EM GERAL
AINDA FALANDO DE ESPAÇOS
CURVOS, MAS EU POSSO FALAR
TAMBÉM DA CURVA DE MENOR
COMPRIMENTO NO ESPAÇO
EUCLIDIANO, NO ESPAÇO,
PORTANTO, TAL QUE ELE É PLANO.
MUITO BEM! NA ÓPTICA, É O
PRINCÍPIO DE FERMAT. O
PRINCÍPIO DE FERMAT É UMA
MANEIRA DE VOCÊ FORMULAR AS
LEIS DA ÓPTICA GEOMÉTRICA. É
UMA ALTERNATIVA FANTÁSTICA,
MUITO INTERESSANTE. DE ACORDO
COM O PRINCÍPIO DE FERMAT, A
LUZ SE DESLOCA DE UM PONTO "A"
ATÉ UM PONTO "B" DE TAL
MANEIRA DESPENDER O MENOR
TEMPO POSSÍVEL NO TRAJETO. A
LUZ NÃO PERDE TEMPO; ELA VAI
DE "A" ATÉ "B" DE TAL FORMA,
AQUI, ELA VAI GASTAR O MENOR
TEMPO POSSÍVEL. É UMA
FORMULAÇÃO FANTÁSTICA BASEADA
SÓ NUM PRINCÍPIO. É O
PRINCÍPIO DO TEMPO MÍNIMO. É O
PRINCÍPIO DE FERMAT. TEMOS
AQUI UMA MANEIRA DE FORMULAR A
ÓPTICA COM BASE NISSO. ORA,
QUAL É O FUNCIONAL QUE SE
PRETENDE MINIMIZAR NO CASO DA
ÓPTICA? ORA, O INTERVALO DE
TEMPO É IGUAL A UM... "DT" É
IGUAL À "DL" DIVIDIDO PELA
VELOCIDADE. MAS A VELOCIDADE
DA LUZ É "C", ENTÃO É "DL"
DIVIDIDO POR "C", EM ALGUNS
MEIOS VOCÊ TEM QUE DIVIDIR "C"
POR "N" EM UM ÍNDICE DE
REFRAÇÃO. ENTÃO O PROBLEMA DA
ÓPTICA É COMO VOCÊ VAI
MINIMIZAR O COMPRIMENTO ÓPTICO
QUE É IGUAL AO ÍNDICE DE
REFRAÇÃO, QUE ELE PODE
DEPENDER DOS PONTOS DO ESPAÇO
NOS MEIOS NÃO HOMOGÊNEOS E,
ISSO ACONTECE, VEZES O "DL"
MAIS "DL" É IGUAL ÀQUELE "DS"
QUE TÍNHAMOS LÁ DIVIDIDO POR
"D TAU". ENTÃO É ISTO. EU
TENHO AGORA, AQUI, EU EXPRESSO
O TEMPO MÍNIMO, O INTERVALO DE
TEMPO PRA IR DE "B"... DE "A"
ATÉ "B". ESSE INTERVALO DE
TEMPO É "TB" MENOS "TA" E ELE
É ESCRITO COMO FUNCIONAL. É
ISSO MESMO. QUE DEPENDE DA
CURVA. ENTÃO EU VOU QUERER
SABER QUAL É A CURVA PARA O
QUAL ESSE TEMPO É MÍNIMO,
PORTANTO EU VOU MINIMIZAR ESSE
FUNCIONAL. ESSA QUESTÃO É
MUITO IMPORTANTE. E, NA
MECÂNICA, É O FUNCIONAL DA
AÇÃO - A GENTE VAI FALAR
DEPOIS SOBRE ISSO - ENTÃO A
GENTE JÁ PODE PULAR ISTO.
ENTÃO A QUESTÃO É: COMO É QUE
A GENTE MINIMIZA UM FUNCIONAL?
ORA, FAZENDO VARIAÇÕES. ISSO!
AÍ QUE ESTÁ A QUESTÃO DO
MÉTODO VARIACIONAL. COMO É QUE
EU FAÇO? EU CONSIDERO UM
CAMINHO QUE EU IMAGINO QUE
SEJA AQUELE QUE É O MÍNIMO E
AGORA EU VOU CONSIDERAR UM
CAMINHO MUITO PRÓXIMO DESSE
CAMINHO. É ISTO. ESSE É O
MÍNIMO E AGORA ESTOU
IMAGINANDO UM QUE SEJA UMA
VARIAÇÃO, POR ISSO TEM O NOME
DO MÉTODO: "MÉTODO
ORGANIZACIONAL". EU VARIO ESSE
CAMINHO CONSIDERANDO UM
CAMINHO INFINITESIMALMENTE
PRÓXIMO DESSE, ISSO É
IMPORTANTE. INFINITESIMALMENTE
PRÓXIMO DESSE. MUITO BEM. E
AGORA, COMO É QUE EU FAÇO? EU
POSSO COMEÇAR PENSANDO... EM
PRIMEIRO LUGAR, COMO É QUE A
GENTE FAZ COM RESPEITO ÀS
FUNÇÕES? NO CASO DAS FUNÇÕES,
A GENTE SABE QUE QUANDO EU
TENHO UM PONTO DE MÍNIMO ESSE
"DF"... JÁ QUE "DF DX" PARA
"X" IGUAL A "X0" É IGUAL A
ZERO, "DF" É IGUAL A ZERO,
PORTANTO "DF DX" PARA "X"
IGUAL A "X0" É IGUAL A ZERO. E
PARA UM FUNCIONAL, COMO É QUE
IMPÕE? É QUE ESSA DIFERENÇA
SEJA IGUAL A ZERO. MAS QUE
DIFERENÇA? AGORA EU CONSIDERO
UMA CURVA E AGORA EU FAÇO UMA
VARIAÇÃO -  MÉTODO
VARIACIONAL. EU, AGORA,
CONSIDERO AS CURVAS POSSÍVEIS
DE QUE DIFEREM POUCO DESSA
AQUI. ENTÃO SE ZERO DOR UM
FUNCIONAL ASSOCIADO AO MÍNIMO,
O MEU PROBLEMA AGORA É DE
CALCULAR ESSE DELTA AÍ QUANDO
EU VARIO "R0" POR UMA
QUANTIDADE PEQUENA. "DELTA
R0". "DELTA R0" TEM
COMPONENTES "DX0", "DY0",
"DZ0". MUITO BEM. ENTÃO EU VOU
ESTABELECER, ESCREVER ESTA
DIFERENÇA E VOU IMPOR QUE
"DELTA I" É IGUAL A ZERO. ORA,
COMO É QUE EU FAÇO? AGORA EU
FAÇO UMA EXPANSÃO DE TAYLOR DO
FUNCIONAL, DE FORMA QUE EU
TENHO UM FUNCIONAL CALCULADO
PARA A CURVA, QUE É O MÍNIMO,
E AGORA EU DERIVO O INTEGRANDO
DO FUNCIONAL COM RESPEITO À
"X" - EU VOU FAZER PARA "X",
DEPOIS EU VOU FAZER PARA "Y";
ASSIM POR DIANTE - MAS "DF DX"
VEZES "DELTA X0". MAS COMO ELE
DEPENDE DE "DX0 DT" TAMBÉM,
ENTÃO EU TENHO QUE DERIVAR "F"
COM RESPEITO À "X PONTO ZERO"
E FAZER DEPOIS "X" IGUAL À
"X0". E AGORA EU TENHO QUE
LEVAR EM CONTA "DDT" DE "DELTA
X0". OU SEJA, ESTOU
EXPANDINDO, LEVANDO EM CONTA
QUE ESSE FUNCIONAL DEPENDE
TAMBÉM DA DERIVADA DAS
COORDENADAS, DE FORMA QUE É
ISSO. AGORA, VEJA SÓ, EU FAÇO
USO ATÉ ESTE PONTO AQUI, EU
COLETEI OS DOIS TERMOS E AGORA
EU FIZ UM TRUQUEZINHO. O
TRUQUEZINHO CONSISTE EM
ESCREVER ISSO COMO A DERIVADA
TOTAL DESSE PRODUTO E SUBTRAIR
ALGUMA COISA E É ISSO, ENTÃO,
QUE FOI FEITO. E AGORA EU
TENHO AQUI A INTEGRAL DE UMA
DERIVADA TOTAL E, ESSA
DERIVADA DA INTEGRAL TOTAL,
ELA VAI ME DAR ZERO PORQUE
ESSES DOIS PONTOS SÃO FIXOS E,
PORTANTO, "DELTA X0" EM "TAU
A" E EM "TAU B" É IGUAL A
ZERO. A MESMA COISA ACONTECE
PARA "Y0", "Z0" E ASSIM POR
DIANTE. ORA, A CONCLUSÃO É A
SEGUINTE: AQUI EU TENHO ENTÃO
A SOLUÇÃO PARA O NOSSO
PROBLEMA.
QUAL É A EQUAÇÃO QUE ME DÁ
AQUELE CAMINHO QUE ME LEVA A
UM MÍNIMO DAQUELE FUNCIONAL? A
RESPOSTA É SIMPLES. CONSIDERO
O INTEGRANDO A FUNÇÃO "F" E
QUE A CONDIÇÃO É "DF DX" MENOS
"D(D TAU)" - CLARO QUE NA
MECÂNICA "TAU" É "T". "DF DX"
MENOS "D(D TAU)" DE "DF" DE
"DX(D TAU)" É IGUAL A ZERO.
VEJA, O QUE É CURIOSO É QUE É
AS EQUAÇÕES TÊM A MESMA FORMA
PARA "X", "Y", "Z", BASTA
SABER. ENTÃO AQUI ESTÁ.
UTILIZANDO UM MÉTODO
VARIACIONAL EU TENHO UMA
EXPRESSÃO QUE VAI ME LEVAR
ÀQUELA CURVA PARA O QUAL E
FUNCIONAL É MÍNIMO. E ESSA
CURVA SATISFAZ A ESSAS
EQUAÇÕES PORQUE, A PARTIR
DESSAS EQUAÇÕES, EM PRINCÍPIO,
EU VOU DETERMINAR QUE ELE "X0"
"D(TAU)"; O "Y0" "D(TAU)"; O
"Z0" "D(TAU)". EU VOU ACHAR
AQUELA CURVA. É ASSIM QUE
FUNCIONA. ENTÃO EU PEGUEI UM
FUNCIONAL E AGORA FAÇO
VARIAÇÕES EM RELAÇÃO A ESSA
CURVA QUE A GENTE ADMITE QUE
EXISTA, QUE CORRESPONDE AO
MÍNIMO DO FUNCIONAL, ESSE O
MÉTODO VARIACIONAL E O MÉTODO
VARIACIONAL, IMPONDO A
CONDIÇÃO DE QUE AQUELA CURVA
REPRESENTA A CURVA QUE ME LEVA
AO MÍNIMO DO FUNCIONAL, ENTÃO
FAZENDO ESSAS VARIAÇÕES -
MÉTODO FUNCIONAL - EU CONCLUO
QUE ESTÁ CURVA SATISFAZ A
ESTAS EQUAÇÕES AQUI. É UMA
QUESTÃO, PORTANTO, BASTANTE
GERAL. ORA, VAMOS LÁ. VAMOS
COMEÇAR POR UMA PERGUNTA QUE
TODO MUNDO RESPONDE NA PONTA
DA LÍNGUA. QUAL É A DISTÂNCIA
MAIS CURTA ENTRE DOIS PONTOS
NO ESPAÇO? INTERLIGANDO,
CLARO, DOIS PONTOS. MUITO BEM.
TODO MUNDO RESPONDERIA "É UMA
RETA". ISSO MESMO. AGORA, COMO
É QUE EU PROVO ISSO? VEJA, EU
PROVO ISSO ASSIM. EU TENHO UMA
INTEGRANDO AQUI QUE É A "RAIZ
QUADRADA DE 'D(X) AO QUADRADO'
MAIS 'D(Y) AO QUADRADO' MAIS
'D(Z) AO QUADRADO'", COLOCO
"D(X)" AQUI EM EVIDENCIA E
AQUI, ENTÃO, TENHO "YD(X)" E
AQUI TENHO "DZ DX". AGORA EU
TENHO ENTÃO DUAS EQUAÇÕES, SÃO
ESSAS DUAS EQUAÇÕES. A PARTIR
DESSAS DUAS EQUAÇÕES, VOCÊ
CONCLUI QUE "'Y PONTO' SOBRE
'RAIZ QUADRADA DE Y PONTO AO
QUADRADO' MAIS 'Z PONTO AO
QUADRADO'" É IGUAL A
CONSTANTE. A MESMA COISA COM
RESPEITO A ESSE PONTO E VOCÊ
RESOLVE E VERIFICA É DE UMA
MANEIRA RELATIVAMENTE FÁCIL
QUE O QUE A GENTE OBTÉM AQUI,
NA VERDADE ISSO JÁ ESTÁ
PRATICAMENTE CLARO A PARTIR
DAQUI, QUE ESSA CURVA É UMA
RETA, MAS DÁ UM POUCO DE
TRABALHO PARA PROVAR USANDO O
MÉTODO VARIACIONAL. UM OUTRO
EXEMPLO É A GEODÉSICA NA
SUPERFÍCIE DE UMA ESFERA.
NESSE CASO, O ELEMENTO DE
COMPRIMENTO SOBRE A SUPERFÍCIE
ESFÉRICA IGUAL AO RAIO DA
ESFERA AO QUADRADO, JÁ QUE O
VALOR DE "R" IGUAL A CONSTANTE
E "D(R)" IGUAL A ZERO. ENTÃO
EU TENHO AQUI "'D(TETA)' MAIS
'SENO AO QUADRADO DE TETA'
VEZES 'D(PHI) AO QUADRADO'" E,
CONSEQUENTEMENTE EU TENHO QUE
MINIMIZAR UM FUNCIONAL QUE É
INTEGRAL DE "TETA 1" ATÉ "TETA
2". E AQUI TENHO AGORA A
EXPRESSÃO DO INTEGRANDO. EU
TENHO QUE INTEGRAR ISSO AQUI
ENTRE "TETA 1" E "TETA 2". EU
TENHO DE MINIMIZAR, MAS A
GENTE JÁ SABE... EU TENHO SÓ
UMA EQUAÇÃO, TENHO UMA
VARIÁVEL ENTÃO QUE "PHI" E,
BOM, DÁ UM BOM TRABALHO, NÃO
É? PARA RESOLVER ESSAS
EQUAÇÕES, MAS A RESPOSTA É
RELATIVAMENTE SIMPLES.
VOLTANDO LÁ AO NOSSO PROBLEMA:
A GENTE ACABA DEMONSTRANDO QUE
A UM CURVA QUE TE DÁ A MENOR
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
SOBRE UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
É A INTERCESSÃO DESSA
SUPERFÍCIE ESFÉRICA COM UM
PLANO QUE CONTÉM ESSE PONTO
"A" E "B" E QUE PASSA PELO
CENTRO DA ESFERA. DE FORMA QUE
TEMOS COMO PROVAR ISSO. ISSO É
QUASE QUE INTUITIVO, MAS, DE
QUALQUER MANEIRA, ESSE MÉTODO
PERMITE CONCLUIR ISSO. TEM UM
OUTRO PROBLEMA CLÁSSICO
CONHECIDO COMO O PROBLEMA DA
BRAQUISTÓCRONA.
PARA UMA PARTÍCULA IR DE UM
PONTO "A" ATÉ UM PONTO "B" DE
TAL FORMA QUE O TEMPO MÍNIMO
DESPENDIDO PARA IR DE "A" ATÉ
"B"... QUAL É A CURVA QUE ESSA
PARTÍCULA DEVE DESCER PARA IR
DO PONTO "A" ATÉ O PONTO "B"?
ESSE É O PROBLEMA DA
BRAQUISTÓCRONA. QUAL É A
CURVA? NÃO É AO LONGO DE UMA
RETA NEM DE SEGMENTO DE
CIRCUNFERÊNCIA. NA REALIDADE,
ESSA CURVA AQUI, A CICLOIDE,
AQUELA QUE NÓS JÁ MENCIONAMOS
ANTES, NÉ, E TEMOS AQUI UMA
FORMA DE DEMONSTRAR ISSO. ESSE
É UM PROBLEMA CLÁSSICO, NA
REALIDADE, HISTORICAMENTE.
AGORA TEMOS AQUI UMA OUTRA
QUESTÃO. COMO... DEMONSTRAR OU
DEDUZIR AS LEIS QUE NÓS TEMOS
NO CASO DA ÓPTICA GEOMÉTRICA,
UTILIZANDO O PRINCÍPIO DA
MINIMIZAÇÃO. EM PRIMEIRO
LUGAR, É MUITO FÁCIL
DEMONSTRAR QUE A LUZ SE
PROPAGA EM LINHA RETA, POR
QUÊ? PORQUE QUANDO A GENTE
VOLTA ÀQUELE PROBLEMA DE
DETERMINAR O TEMPO MÍNIMO, SE
O MEIO FOR O MEIO HOMOGÊNEO É
SEMPRE, SE O MEIO NÃO FOR
HOMOGÊNEO, ESSE PRINCÍPIO
TAMBÉM RESPONDE À QUESTÃO; POR
ONDE VAI A DAR À LUZ? AQUI, NO
CASO, A GENTE JÁ VÊ - TROCO -
O "TAU" ANTIGO POR "T" PORQUE
AGORA ESTAMOS FALANDO DO "T",
"'DX DT' MAIS 'DY DT' MAIS 'DZ
DT'" INTEGRAL DE "DT". O
TEMPO, ENTÃO, SERIA DE "A" ATÉ
"B"; "TA" "TB". DO OUTRO EU
TENHO: "TB" MENOS "TA"
DIVIDIDO POR "C". E AGORA
TENHO UM FUNCIONAL, MAS ISSO A
GENTE JÁ SABE QUE QUANDO A
GENTE MINIMIZAR, ELE VAI ME
LEVAR HÁ UMA SOLUÇÃO QUE É UMA
LINHA RETA. OU SEJA, A GENTE
AQUI DEMONSTRA UM PRINCÍPIO DA
PROPAGAÇÃO RETILÍNEA DA LUZ
QUE, NO CASO DE MEIOS
HOMOGÊNEOS, O ÍNDICE DE
REFRAÇÃO NÃO DEPENDE DE PONTO
A PONTO; NÓS CONSEGUIMOS
DEDUZIR ISSO. MAS A GENTE
CONSEGUE... MAIS DO QUE ISSO,
É POSSÍVEL DEMONSTRAR AS LEIS
DA REFLEXÃO E DA REFRAÇÃO
UTILIZANDO O CONCEITO DE TEMPO
MÍNIMO. VOCÊ PEGA UM PONTO E
AGORA CONSIDERE, POR EXEMPLO,
NO CASO DE UM ESPELHO, UM
OUTRO PONTO E AGORA VOCÊ PODE
VERIFICAR QUE, DE TAL FORMA
QUE A LUZ DESPENDA O TEMPO
MÍNIMO, O ÂNGULO DE INCIDÊNCIA
TEM QUE SER IGUAL AO ÂNGULO DE
REFLEXÃO E O PLANO DE
INCIDÊNCIA TEM QUE SER IGUAL
AO PLANO DE REFLEXÃO; DEDUZI,
PORTANTO, A PRIMEIRA. NO CASO
DA REFRAÇÃO, VALE A MESMA
COISA, VALE A LEI SNELL-
DESCARTES. E O PLANO DE
INCIDÊNCIA COINCIDE COM PLANO
DE REFRAÇÃO. VEJA QUE ESTOU
FALANDO DE LEIS, AGORA, ONDE
EU FAÇO USO DA IDEIA DE QUE O
CAMINHO É MÍNIMO E, É CLARO,
QUE A GENTE PODE TAMBÉM FAZER
USO DO PRINCÍPIO DE FIRMAR
PARA GENTE FAZER PREVISÕES
SOBRE O DESVIO DA LUZ, NO CASO
EM QUE, UM MEIO NÃO É
HOMOGÊNEO; É CLARO QUE QUANDO
TEMOS, POR EXEMPLO, UMA
SUPERFÍCIE MAIS AQUECIDA DE
PONTO A PONTO, POR CAMADAS, A
LUZ NÃO SE PROPAGAVA EM LINHA
RETA PORQUE O ÍNDICE DE
REFRAÇÃO NÃO É CONSTANTE,
NESTE CASO. É O CASO DAS
MIRAGENS. O FATO É O SEGUINTE:
TEMOS AQUI UM MEIO, UMA FORMA
DE DETERMINAR O CAMINHO
PERSEGUIDO PELA LUZ FAZENDO
USO DE UM PRINCÍPIO; PRINCÍPIO
DO TEMPO MÍNIMO E AGORA EU
CONSIGO FAZER A PREVISÃO
MINIMIZANDO UM FUNCIONAL,
PROCURANDO DENTRO DE TODAS AS
CURVAS POSSÍVEIS QUAL É AQUELA
QUE MINIMIZA O CAMINHO ÓPTICO.
VEJA-SE QUE ESSE É UM
PRINCÍPIO BASTANTE
INTERESSANTE DE DETERMINAR O
MÍNIMO DE UM FUNCIONAL FAZENDO
USO DE VARIAÇÕES E COM MUITAS
APLICAÇÕES NA GEOMETRIA, NA
ÓPTICA - VAMOS VER AGORA NA
MECÂNICA - E EM VÁRIAS ÁREAS
DA FÍSICA.
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