
Chinese: 
我有一個變換T
比方說是一個從Rn到Rn的映射
而且它可以用矩陣A表示
那麽x的這個變換就等於Ax
我們在上次影片中看到
找尋這樣的向量是件很有意思的事
它們滿足在變換下只是比例的變大或變小
因此我們關心這樣的向量
我對這樣的某個特殊的向量v作用這個變換
它當然等於 Av
我們說它只是大小按某個倍數變化
是λv
這些是很有趣的
因爲它們直接導致了有趣的基向量
你們知道
在不斷變化的基下的變換矩陣
這是其中一組基向量
它可能算起來更簡單
也許有利於構造好的座標係
總之它們很有意思
我們稱滿足這個條件的向量v
我們稱它們爲特征向量
我們稱它們的大小因子爲特征值

Spanish: 
Tengo una transformación, m eso es un mapeo desde Rn a Rn,
y puede ser representado por la matriz A.
Entonces la transformación de x es igual a A multiplicado por x.
Vimos en el último video que es interersante
encontrar los vectores que que solamente son escalados hacia arriba o hacia abajo
por la transformación.
Entonces estamos interesados en los vectores donde
tomo la transformación
de algún vector v especial.
Equivale por supuesto, A multiplicado por v.
Y decimos que solamente es escalado por algún factor
lambda multiplicado v.
Y estos son interesantes porque son
vectores base interesantes.

Polish: 
Mam przekształcenie T, czyli odwzorowanie
z Rn w Rn, które może być reprezentowane przez macierz A.
Czyli x jest przekształcane na A razy x.
Widzielismy w poprzednim filmie, że warto szukać wektorów,
które podlegają jedynie skalowaniu
przez to odwzorowanie.
Czyli interesują nas wektory, dla których
przekształcenie tego specjalnego wektora,
jest równe oczywiście A razy v
i mówimy, że ten wektor jest jedynie skalowany przez,
jakiś czynnik -- lambda razy v.
Te wektory są ciekawe, ponieważ przydają się
jako szczególne wektory bazowe.
Wiecie, macierz przekształcenia w takiej bazie --
-- to jest jeden z wektorów bazy --
może być łatwiejsza do obliczenia.
Mogą to być lepsze współrzędne. Ale, takie wektory
są ogólnie interesujące.
Wektory spełniające to równanie, nazywamy
wektorami własnymi.

Portuguese: 
Tenho uma transformação T
de Rn em Rn,
que pode ser representada 
por uma matriz A.
A transformação de x
é igual a A vezes x.
Vimos no vídeo passado que
é interessante encontrar os
vetores que aumentam ou
diminuem pela
transformação.
Estamos interessados nos
vetores em que eu faço
a transformação de algum
vetor especial v.
Que é igual a
A vezes v.
O fator de escala é o
lambda vezes v.
Isso é interessante pois resulta
em vetores base interessantes.
A matriz de transformação na
base alternada.
Esse é um dos vetores base.
É mais fácil de computar.
Resultam em bons sistemas de coordenadas.
No geral, são interessantes.
Esses vetores v que satisfazem isso
são chamados de autovetores.

English: 
I've got a transformation, m
that's a mapping from Rn to
Rn, and it can be represented
by the matrix A.
So the transformation of x
is equal to A times x.
We saw in the last video it's
interesting to find the
vectors that only get scaled
up or down by the
transformation.
So we're interested in the
vectors where I take the
transformation of some
special vector v.
It equals of course,
A times v.
And we say it only gets scaled
up by some factor,
lambda times v.
And these are interesting
because they make for
interesting basis vectors.
You know, the transformation
matrix in the alternate
basis-- this is one of
the basis vectors.
It might be easier to compute.
Might make for good coordinate
systems. But they're in
general, interesting.
And we call vectors v that
satisfy this, we call them
eigenvectors.

Chinese: 
我有一个变换T
比方说是一个从Rn到Rn的映射
而且它可以用矩阵A表示
那么x的这个变换就等于Ax
我们在上次视频中看到
找寻这样的向量是件很有意思的事
它们满足在变换下只是比例的变大或变小
因此我们关心这样的向量
我对这样的某个特殊的向量v作用这个变换
它当然等于 Av
我们说它只是大小按某个倍数变化
是λv
这些是很有趣的
因为它们直接导致了有趣的基向量
你们知道
在不断变化的基下的变换矩阵
这是其中一组基向量
它可能算起来更简单
也许有利于构造好的坐标系
总之它们很有意思
我们称满足这个条件的向量v
我们称它们为特征向量
我们称它们的大小因子为特征值

Korean: 
 
어떤 변환 T가 있는데
이는 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환이며
행렬 A로 나타낼 수 있습니다
그래서 x의 변환은 Ax입니다
저번 동영상에서
변환에 의해 확대되거나 축소되는 벡터들을
흥미롭게 구하였습니다
어떤 벡터
v에 대해
v의 변환을 취하면 Av가 됩니다
변환을 통해 어떤 계수 λ만큼 곱해진
λv가 된다고 합시다
흥미로운 기저 벡터를 만들기 때문에
흥미롭습니다
다른 기저로 나타낸 변환행렬에서
이는 기저벡터의 일부입니다
계산이 더 쉬울 수도 있습니다
좋은 좌표계를 만들 수도 있고요
그러나 이들은 일반적으로 흥미롭습니다
그리고 이를 만족하는 벡터 v를
고유벡터라고 합니다
 

Portuguese: 
E os fatores de escala são
chamados de autovalores,
associados a essa transformação
e àquele autovetor.
Espero que você saiba do vídeo passado,
que eles são muito úteis.
Nesse vídeo vamos ao menos
tentar determiná-los.
Pelo que vimos até agora,
você sabe
que se você me mostrar um autovetor
eu posso verificar se esse é o caso.
Ou se for um autovalor
eu também poderia verificar se é o caso.
Mas não conheço um método
sistemático de solucioná-los.
Vejamos se conseguimos chegar em algo.
No geral, estamos buscando por
soluções para a equação
A vezes v igual a lambda vezes v.
Imediatamente você deve
perceber uma solução,
que é v igual ao vetor nulo.
Essa é uma solução, embora
não seja normalmente
considerado um autovetor, pois
não é um vetor base útil.
Não acrescenta nada a base.
Não adiciona a quantidade de
vetores que deveria

English: 
And we call their scaling
factors the eigenvalues
associated with this
transformation and that
eigenvector.
You know, hopefully from that
last video, we have a little
bit of appreciation of
why they're useful.
But now in this video let's at
least try to determine what
some of them are.
You know, based on what we know
so far, if you show me an
eigenvector I can verify that it
definitely is the case, or
an eigenvalue.
I could verify the case.
But I don't know a systematic
way of solving
for either of them.
So let's see if we can come
up with something.
So in general, we're looking for
solutions to the equation
A times v is equal
to lambda v.
It's equal to lambda
times the vector.
Now one solution might
immediately pop out at you,
and that's just v is equal
to the 0 vector.
And that definitely is a
solution, although it's not
normally considered to be an
eigenvector just because one,
it's not a useful
basis vector.
It doesn't add anything
to a basis.
It doesn't add really the amount
of vectors that you can

Polish: 
Ich czynniki skalujące nazywamy wartościami własnymi
związanymi z tym odwzorowaniem
i tym wektorem własnym.
Mam nadzieję, że dzięki poprzedniemu filmowi,
doceniacie choć trochę, dlaczego te wektory są użyteczne.
A teraz w tym filmie spróbujmy ustalić
czym są niektóre z nich.
Opierając się na tym, co już wiemy, że jeżeli dacie mi
wektor własny, to mogę sprawdzić, że on rzeczywiście nim jest
albo obliczyć wartość własną.
Moge to sprawdzić.
Ale nie znamy systematycznej metody
znajdowania wartości i wektorów własnych.
Zobaczmy, czy uda nam się coś wymyślić.
Czyli ogólnie szukamy rozwiązania równania
A razy v jest równe lambda razy v.
Równa się lambda razy wektor.
Jedno rozwiązanie możemy od razy zgadnąć,
po prostu v równe wektorowi zerowemu.
I to oczywiście jest rozwiązanie, chociaż normalnie
0 nie jest uważane za wektor własny, ponieważ
nie jest to użyteczny wektor bazowy.
Nie wnosi nic do bazy.
Nie zwiększa ilości wektorów jakie można

Korean: 
그리고 이러한 계수를 고유값이라고 합니다
이러한 변환과 고유벡터와 연관된
고유값입니다
저번 동영상에서
왜 이들이 유용한지 간단하게 살펴보았습니다
이번 동영상에서는
이들을 구하는 방법에 대해 알아볼 것입니다
지금까지 다룬 내용에서는
고유벡터가 있을 때 
고유벡터가 고유벡터인 것을 보이거나
고유값을 찾을 수 있었습니다
이를 증명할 수 있었습니다
그러나 고유벡터나 고유값을 구하는
체계적인 방법은 알지 못합니다
무언가를 떠올릴 수 있을지 보겠습니다
일반적으로 방정식
Av=λv를 만족하는 해를 구해야 합니다
λv를 만족해야 합니다
우선 한 가지 해가 바로 보입니다
v가 영벡터인 경우입니다
이는 확실히 방정식을 만족하지만
보통 고유벡터라고 하지 않습니다
유용한 기저벡터가 아니기 때문입니다
기저에 어떤 것도 추가하지 못합니다
이를 넣는다고 해서

Chinese: 
對應於這個變換
和對應的特征向量
你們知道 上次影片 我們
見識過爲什麽它們有用
但是現在這次影片我們來至少嘗試著
確定它們其中的幾個
你們知道 基於我們現在知道的 如果你們向我展示
一個特征向量我可以驗證
它確實是事實
或者確實是一個特征值
我可以驗證這種情況
但是我不知道一種體係的方法
卻解決這兩個量
所以我們來看看是否我們可以想到什麽
一般地
我們正在尋找
滿足等式Av=λv的解
它等於λ乘以這個向量
現在可能有一個解你一下就看出來了
就是v等於0向量
它確實是一個解 盡管它
通常不會被考慮成一個特征向量就因爲一方面
它不是一個有用的基向量
它沒有給一組基帶來任何東西

Chinese: 
对应于这个变换
和对应的特征向量
你们知道 上次视频 我们
见识过为什么它们有用
但是现在这次视频我们来至少尝试着
确定它们其中的几个
你们知道 基于我们现在知道的 如果你们向我展示
一个特征向量我可以验证
它确实是事实
或者确实是一个特征值
我可以验证这种情况
但是我不知道一种体系的方法
却解决这两个量
所以我们来看看是否我们可以想到什么
一般地
我们正在寻找
满足等式Av=λv的解
它等于λ乘以这个向量
现在可能有一个解你一下就看出来了
就是v等于0向量
它确实是一个解 尽管它
通常不会被考虑成一个特征向量就因为一方面
它不是一个有用的基向量
它没有给一组基带来任何东西

Polish: 
rozpiąć na bazie do której go dodamy.
W dodatku nie jest jasne, jaka jest odpowiadająca mu
wartość własna.
Ponieważ jeżeli v jest równe 0, to dowolna
wartość własna będzie tu pasować.
Czyli normalnie, kiedy szukamy wektorów własnych, ro robimy
założenie, że szykamy niezerowych wektorów własnych.
Czyli szukamy wektorów, które nie są równe
wektorowi zerowemu.
Uwzględniając to, zobaczmy, czy możemy się pobawić
z tym równaniem i zobaczyć, czy przynajmniej
znajdziemy w tym filmie wartości własne.
Odejmijmy Av od obu stron równania, dostaniemy wektor 0
równa się lambda v odjąć A razy v.
Teraz możemy przepisać v jako -- v jest tym samym co
macierz jednostkowa razy v, zgadza się? v jest elementem Rn.
Macierz jednostkowa n na n.
Mnożymy i dostajemy v spowrotem.
Czyli jeżeli przepiszemy v w ten sposób, przynajmniej w tej części
wyrażenia -- i pozwólnie że zamienię strony -- to dostaniemy

English: 
span when you throw the
basis vector in there.
And also, it's not clear what
is your eigenvalue that's
associated with it.
Because if v is equal
to 0, any eigenvalue
will work for that.
So normally when we're looking
for eigenvectors, we start
with the assumption that we're
looking for non-zero vectors.
So we're looking for vectors
that are not
equal to the 0 vector.
So given that, let's see if we
can play around with this
equation a little bit and see
if we can at least come up
with eigenvalues maybe
in this video.
So we subtract Av from both
sides, we get the 0 vector is
equal to lambda v
minus A times v.
Now, we can rewrite v as-- v is
just the same thing as the
identity matrix times v, right?
v is a member of Rn.
The identity matrix n by n.
You just multiply and we're
just going to get v again.
So if I rewrite v this way, at
least on this part of the
expression-- and let me swap
sides-- so then I'll get

Korean: 
부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않습니다
그리고 이와 연관된
고유값도 명확하지 않습니다
v가 0이라면 모든 고유값이
식을 만족하기 때문입니다
그래서 일반적으로 고유벡터를 찾을 때에는
영벡터가 아닌 값을 찾는다는 가정에서 시작합니다
그래서 영벡터가 아닌 벡터를 찾고자 합니다
그래서 이 방정식을 조금 변형하여
고유값을 찾을 수 있는지 보도록 하겠습니다
양변에서 Av를 빼면
0=λv-Av가 됩니다
또한 v를
단위행렬과 v의 곱으로 쓸 수 있습니다. 맞나요?
v는 Rn의 원소입니다
단위행렬은 n x n의 크기이고요
그래서 이들을 곱하면 v를 다시 얻게 됩니다
v를 이렇게 나타내면
그리고 변을 바꾸어 나타내겠습니다

Portuguese: 
quando você adiciona um vetor base ali.
E também por não estar claro
qual é o autovalor associado a ele.
Pois se v é igual a zero,
qualquer autovalor serviria.
Normalmente, quando procuramos
por autovetores, assumimos
que não estamos procurando
vetores nulos.
Estamos procurando então por vetores
não nulos.
Dado isso, vejamos se podemos 
brincar um pouco
com essa equação e ver se chegamos
nos autovalores,
ainda nesse vídeo.
Subtraímos Av de ambos os lados e
ficamos com vetor nulo igual a
lambda vezes v menos 
A vezes v.
Podemos reescrever v como a 
matriz identidade vezes v, certo?
v é um membro do Rn.
A matriz identidade n por n.
Você multiplica e continuamos com nosso v.
Reescrevendo v dessa forma, 
nessa parte da expressão,
trocando de lado, ficamos com

Chinese: 
它確實沒有增加向量的個數 以致於你可以利用它們
張成空間當你面對它們中的基向量的時候
另一方面 我們不明確特征值是多少
和它對應的那個特征值
因爲如果v等於0
那麽任何的特征值都滿足這個等式
因此通常當我們尋找特征向量的時候
我們都提前假設
我們在尋找非零向量
所以我們正在尋找這些向量
它們不等於0
因此鑒於此 我們來看看是否我們進一步可以探究
這個等式看一看是否我們可以
至少我們可以在這次影片中想出特征值怎麽求
因此我們在兩邊都減去Av 我們得到0向量
等於λv-Av
現在 我們可以重新把v寫成 v等同於
單位方陣乘以v 對吧
v屬於Rn
nn的單位方陣
你只要乘一下就又得到v了
所以如果我把v重新這樣寫
至少在表達式的這一部分

Chinese: 
它确实没有增加向量的个数 以致于你可以利用它们
张成空间当你面对它们中的基向量的时候
另一方面 我们不明确特征值是多少
和它对应的那个特征值
因为如果v等于0
那么任何的特征值都满足这个等式
因此通常当我们寻找特征向量的时候
我们都提前假设
我们在寻找非零向量
所以我们正在寻找这些向量
它们不等于0
因此鉴于此 我们来看看是否我们进一步可以探究
这个等式看一看是否我们可以
至少我们可以在这次视频中想出特征值怎么求
因此我们在两边都减去Av 我们得到0向量
等于λv-Av
现在 我们可以重新把v写成 v等同于
单位矩阵乘以v 对吧
v属于Rn
n*n的单位矩阵
你只要乘一下就又得到v了
所以如果我把v重新这样写
至少在表达式的这一部分

Chinese: 
我來換邊 然後就得到λ乘以
不寫成v我寫成單位方陣
nn的單位方陣乘以v減去Av
等於0向量
現在我得到一個矩陣乘以v
減去另一個矩陣乘以v
矩陣向量乘積
它們有分配律
因此這個等於這個矩陣λ乘以
單位方陣減去A乘以向量v
這將是等於0的 對吧？
這就是某個矩陣
我爲什麽構造這個形式的全部的原因就是
我可以把這個寫成一個矩陣向量乘積
而不是一個向量的數量乘積
這樣的話我就可以提出v
就可以把這個等式本質上寫成
某個矩陣向量乘積等於0

Polish: 
lambda razy -- zamiast v napiszę macierz jednostkową
macierz jednostkową n na n razy v odjąć A razy v,
równa się wektorowi zerowemu.
Teraz mam macierz razy wektor v odjąć inna macierz razy v.
Iloczyn macierzy i wektora ma własność
rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Czyli to jest równoważne macierzy lambda razy
macierz jednostkowa odjąć A razy vektor v.
I całość jest równa zero, tak?
Tutaj mamy jakąś macierz.
I cały powód, dla którego zrobiłem to podstawienie,
był taki, żeby zapisać to jako iloczyn macierzy i wektora
zamiast zwykłego mnożenia wktora przez skalar.
I w ten sposób, mogłem wyciągnąć za nawias wektor v
i zapisać po prostu całe to równanie jako
iloczyn macierzy i wektora i przyrównać do 0.

Korean: 
이제 v대신 λIn 곱하기
n x n 단위행렬 곱하기 v 빼기 Av가
영벡터와 같다는 식을 얻습니다
이제 어떤 행렬과 v의 곱에서
다른 행렬과 v의 곱을 뺀 값을 얻습니다
행렬 벡터 곱은
분배법칙이 성립합니다
따라서 이는
(λIn-A)v=0이 됩니다
우항은 0과 같습니다. 맞나요?
이는 어떤 행렬입니다
 
v를 이런 식으로 나타낸 이유는
이를 행렬 벡터 곱으로 나타내기 위함입니다
스칼라 벡터 곱 대신에 말입니다
이를 통해 v를 제외한 나머지를 묶어
어떤 행렬 벡터 곱이
0과 같다는 식을 얻어낼 수 있었습니다

Chinese: 
我来换边 然后就得到λ乘以
不写成v我写成单位矩阵
n*n的单位矩阵乘以v减去Av
等于0向量
现在我得到一个矩阵乘以v
减去另一个矩阵乘以v
矩阵向量乘积
它们有分配律
因此这个等于这个矩阵λ乘以
单位矩阵减去A乘以向量v
这将是等于0的 对吧？
这就是某个矩阵
我为什么构造这个形式的全部的原因就是
我可以把这个写成一个矩阵向量乘积
而不是一个向量的数量乘积
这样的话我就可以提出v
就可以把这个等式本质上写成
某个矩阵向量乘积等于0

English: 
lambda times-- instead of v
I'll write the identity
matrix, the n by n identity
matrix times v minus A times v
is equal to the 0 vector.
Now I have one matrix times v
minus another matrix times v.
Matrix vector products,
they have the
distributive property.
So this is equivalent to the
matrix lambda times the
identity matrix minus A
times the vector v.
And that's going to be
equal to 0, right?
This is just some matrix
right here.
And the whole reason why I made
this substitution is so I
can write this as a matrix
vector product instead of just
a scalar vector product.
And that way I was able to
essentially factor out the v
and just write this whole
equation as essentially, some
matrix vector product
is equal to 0.

Portuguese: 
lambda vezes a matriz identidade n por n
vezes v menos A vezes v 
igual ao vetor nulo.
Agora tenho uma matriz vezes v
menos outra matriz vezes v.
O produto de vetores por uma matriz
possui a propriedade distributiva.
Isso é equivalente a
matriz lambda vezes a
matriz identidade menos A
vezes o vetor v.
Isso tudo é igual a zero, certo?
Isso aqui é uma matriz qualquer.
E a razão por eu ter feito a substituição
é que agora eu posso escrever 
isso como um
produto de uma matriz por um vetor
ao invés
de apenas o produto de
um escalar por um vetor.
Dessa forma eu consegui fatorar o v
e escrever essa equação como um
produto de uma matriz por um vetor
resultando em zero.

Polish: 
Teraz -- jeżeli założymy, że to równanie jest spełnione
i pamiętajcie o założeniu, że
v nie jest równe 0.
To co to znaczy?
Widzimy, że v jest elementem jądra
tej macierzy tutaj.
Pozwólcie, że to zapiszę. v należy do jądra
macierzy labda I odjąć A.
Wiem, że to może wyglądać na trochę zawiłe,
ale wyobraźcie sobie, że to jest jakaś macierz B.
Tak może będzie prościej.
To jest po prostu jakaś macirz, dobrze?
To jest B.
Zróbmy takie podstawienie.
Wtedy to równanie przyjmuje postać Bv równa się 0.
Teraz, jeżeli chcemy popatrzeć na jądro tego,
jądro B składa się ze wszystkich wektorów x
należących do Rn, dla których B razy x równa się 0.
No cóż, v jest oczywiście jednym z nich. Prawda?

Korean: 
이제 이를 가정하고
v가 0이 아니라고 가정합시다
이는 어떤 의미인가요?
v가 이 행렬의 영공간의 원소라는 뜻입니다
한번 적어 보겠습니다
v는 λIn-A의 영공간의 원소입니다
약간 복잡해 보일 수 있지만
이를 어떤 행렬 B라고 합시다
더 간단할 것입니다
이는 단지 하나의 행렬일 뿐입니다
이는 B입니다
B로 치환해서 쓰겠습니다
그렇다면 이 방정식은 Bv=0이 됩니다
이 행렬의 영공간
B의 영공간은 Rn의 원소인 모든 벡터 x 중에서
Bx=0을 만족하는 것들입니다
v는 이들 중 하나입니다. 맞나요?

Chinese: 
现在 为了 如果我们假设这是事实
我们正在假设 记住
我们正在假设v不等于0
那么这是什么意思？
我们知道v是
这个矩阵零空间中的一个元素
我把这个写下来
v是λIn-A零空间的一个元素
我知道这个对你们来说
可能看起来有点晕
但是你就把这个想象成某个矩阵B
它可能就变简单了
这就是某个矩阵 对吧？
那是B 我们来做这个替换
然后这个等式就变成Bv=0
现在 如果我们想看看这个矩阵的零空间
B的零空间是所有向量v
属于Rn是得Bx=0
v显然是它们中的一个 对吧？

English: 
Now, in order-- if we assume
that this is the case, and
we're assuming-- remember,
we're assuming that v
does not equal 0.
So what does this mean?
So we know that v is a member
of the null space of this
matrix right here.
Let me write this down. v is a
member of the null space of
lambda I sub n minus A.
I know that might look a little
convoluted to you right
now, but just imagine this
is just some matrix B.
It might make it simpler.
This is just some matrix
here, right?
That's B.
Let's make that substitution.
Then this equation just becomes
Bv is equal to 0.
Now, if we want to look at the
null space of this, the null
space of B is all of the vectors
x that are a member of
Rn such that B times
x is equal to 0.
Well, v is clearly one
of those guys, right?

Chinese: 
現在 爲了 如果我們假設這是事實
我們正在假設 記住
我們正在假設v不等於0
那麽這是什麽意思？
我們知道v是
這個矩陣零核空間中的一個元素
我把這個寫下來
v是λIn-A零核空間的一個元素
我知道這個對你們來說
可能看起來有點暈
但是你就把這個想象成某個矩陣B
它可能就變簡單了
這就是某個矩陣 對吧？
那是B 我們來做這個替換
然後這個等式就變成Bv=0
現在 如果我們想看看這個矩陣的零核空間
B的零核空間是所有向量v
屬於Rn是得Bx=0
v顯然是它們中的一個 對吧？

Portuguese: 
Agora, assumindo que esse é o caso,
lembrem-se que estamos assumindo
que v não é um vetor nulo.
O que isso significa?
Sabemos que v é um membro
do espaço nulo dessa matriz aqui.
Deixe-me escrever isso. 
v é um membro do espaço nulo
da lambda, identidade 
n por n menos A.
Sei que no momento
isso parece um
pouco enrolado para você.
Apenas imagine que isso é uma matriz B.
Ficará mais simples.
Isso é apenas uma matriz, certo?
Isso é B.
Façamos essa substituição.
Isso resulta em Bv igual
ao vetor nulo.
Atentando para o espaço nulo de B,
temos todos os vetores x
que são membros do Rn
tal que B vezes x é igual a zero.
Bom, v é um desses caras, certo?

Polish: 
Ponieważ B razy v jest równe 0.
Zakładamy, że B spełnia to równanie i wszystko
sprowadza się do założenia, że B musi spełniać to równanie.
A v nie jest równe 0.
Czyli v jest elementem jądra i w dodatku
nietrywialnym elementem jądra.
Powiedziliśmy już, że wektor 0 jest zawsze
elementem jądra i to by wystarczyło.
Ale zakładamy, że v jest różne od zera.
Interesują nas tylko niezerowe wektroy własne.
A to oznacza, że jądro tego kolesia
musi byc nietrywialne.
Czyli oznacza to, że jądro macirzy lambda I odjąć A
jest nietrywialne.
Wektor 0 nie jest jedynym elementem jądra.
I być może pamiętacie, że ogólnie --
napiszę to ogólnie.
Jeżeli mam macierz -- no nie wiem.
Użyłem już A i B.
Powiedzmy, że mam macierz D.

Chinese: 
因为Bv=0
我们正在假设B解决了这个等式
而且一路下来假设
B一定可以解决这个等式
v不等于0
所以v属于这个零空间
这是零空间的非平凡元素
我们已经说过0向量总是
零空间的元素 它会使这个成立
但是我们正在假设v是非零的
我们只对非零的特征向量感兴趣
那就意味着这个矩阵的零空间
必须是非平凡的
这就意味着 λIn-A的零空间
是非平凡的
0向量不是唯一的元素
你可能记着之前唯一一次
我把这个写下来
如果我有某个矩阵 我不知道
我已经用过A和B
比方说我有某个矩阵D

Chinese: 
因爲Bv=0
我們正在假設B解決了這個等式
而且一路下來假設
B一定可以解決這個等式
v不等於0
所以v屬於這個零核空間
這是零核空間的非平凡元素
我們已經說過0向量總是
零核空間的元素 它會使這個成立
但是我們正在假設v是非零的
我們只對非零的特征向量感興趣
那就意味著這個矩陣的零核空間
必須是非平凡的
這就意味著 λIn-A的零核空間
是非平凡的
0向量不是唯一的元素
你可能記著之前唯一一次
我把這個寫下來
如果我有某個矩陣 我不知道
我已經用過A和B
比方說我有某個矩陣D

Portuguese: 
Pois B vezes v é igual a zero.
Estamos assumindo que B resolve 
essa equação.
E que v não é um vetor nulo.
v é um membro do espaço nulo, 
um membro não trivial.
Já dissemos que o vetor nulo
sempre será um membro
do espaço nulo.
Tornando isso verdadeiro.
Mas estamos assumindo 
que v é não nulo.
Estamos apenas interessados
em autovetores não nulos.
E isso significa que o espaço nulo
dessa matriz tem que ser
não trivial.
O espaço nulo de lambda
In menos A é não trivial.
O vetor nulo não é o único membro.
E você deve se lembrar de antes.
--Deixe-me escrever genericamente--
Se eu tiver uma matriz.
--Já usei A e B--
Digamos que eu tenha uma matriz D.

Korean: 
왜냐하면 Bv=0이기 때문입니다
B가 이 방정식의 해라고 가정한 부분에서
B가 이 방정식의 해라는 가정까지 유도하였습니다
그리고 v는 0이 아닙니다
그래서 v는 영공간의 원소이면서
자명해가 아닙니다
이미 영벡터가
영공간의 원소라는 것을 알고 있으며
 영벡터는 이 식을 만족합니다
그러나 v가 0이 아니라고 가정하고 있습니다
0이 아닌 고유벡터를 구하고자 하는 것입니다
이 행렬의 영공간에
영벡터 외의 무언가가 있어야 합니다
λIn-A의 영공간에
영벡터 외의 무언가가 존재해야 합니다
 
영벡터가 유일한 원소가 아니어야 합니다
그리고 기억하고 있을지 모르겠지만
일반적인 경우에 대해 다루어 보겠습니다
어떤 행렬
행렬 A와 B가 이미 나왔으니
행렬 D라고 하겠습니다
 

English: 
Because B times v
is equal to 0.
We're assuming B solves this
equation and that gets all the
way to the assumption that B
must solve this equation.
And v is not equal to 0.
So v is a member of the null
space and this is a nontrivial
member of the null space.
We already said the 0 vector is
always going to be a member
of the null space, and it
would make this true.
But we're assuming
v is non-zero.
We're only interested in
non-zero eigenvectors.
And that means that this guy's
null space has to be
nontrivial.
So this means that the null
space of lambda In minus A is
nontrivial.
The 0 vector is not
the only member.
And you might remember before,
that the only time-- let me
write this in general.
If I have some matrix--
I don't know.
I've used A and B.
Let's say I have
some matrix D.

Polish: 
Kolumny D są liniowe niezależne wtedy i tylko wtedy
jądro D zawiera jedynie wektor 0.
Zgadza się?
Czyli jeżeli mam jakąś macierz tutaj, której jądro zawiera
nie tylko wektor 0, to ta macierz
ma liniowo zalezne kolulmny.
Napisałem to, że pokazać wam co wiemy
i fakt, że ta macierz nie ma trywialnego jądra
mówi nam, że mamy doczynienia
z liniowo zależnymi kolumnami.
Czyli lambda I odjąć A -- wygląda to może dziwnie, ale
to po prostu macierz -- musi mieć liniowo zależne kolumny.
Albo inny sposób powiedzenia tego: jeżeli mamy liniowo zależne kolumny

Portuguese: 
As colunas de D são linearmente 
independentes se, e somente se,
o espaço nulo de D contém 
apenas o vetor nulo.
Certo?
Então, se tivéssemos uma matriz
em que em seu espaço nulo
não houvesse apenas o vetor nulo.
Concluímos que ela possui
colunas linearmente dependentes.
Escrevi apenas para mostrar a você
o que sabemos.
E o fato dessa aqui não possuir
espaço nulo trivial nos diz
que estamos lidando com
colunas linearmente dependentes.
Então lambda In menos A -- parece muita 
coisa, mas é somente uma matriz --
deve ter colunas linearmente dependentes.
Outra maneira de dizer isso é,
se você tiver colunas linearmente

Chinese: 
D的列是线性无关的当且仅当
D的零空间只含有0向量
对吧？
所以如果我们有某个矩阵
它的零空间不只含有0向量
那么它含有线性相关的列
我就写在那告诉你们
我们知道什么 事实上
这个没有一个平凡的零空间就是说
我们正在处理线性相关的列
所以λIn-A 它看起来很奇特
但是这个就是一个矩阵
必须有线性相关的列
或者换一种说法
如果你有线性相关的列

Korean: 
D의 열들은
 D의 영공간이 영벡터를 지니는 경우에 대해서만
서로 선형독립이었습니다
맞나요?
그래서 어떤 행렬이 영공간에
영벡터 외의 원소를 지니기 위해서는
선형종속인 열들을 지녀야 합니다
 
무엇을 알고 있는지를 보이고자 이를 적었습니다
그리고 이 행렬이 영공간에
영벡터 외의 원소를 지닌다는 것은
선형종속인 열들을 다룬다는 뜻입니다
그래서 λIn-A는, 복잡해 보이지만 단지 행렬이고
서로 선형종속인 열들을 지녀야 합니다
다르게 말하자면, 선형종속인 열들을 지닌다면

Chinese: 
D的列是線性獨立的若且唯若
D的零核空間只含有0向量
對吧？
所以如果我們有某個矩陣
它的零核空間不只含有0向量
那麽它含有線性相關的列
我就寫在那告訴你們
我們知道什麽 事實上
這個沒有一個平凡的零核空間就是說
我們正在處理線性相關的列
所以λIn-A 它看起來很奇特
但是這個就是一個矩陣
必須有線性相關的列
或者換一種說法
如果你有線性相關的列

English: 
D's columns are linearly
independent if and only if the
null space of D only contains
the 0 vector.
Right?
So if we have some matrix here
whose null space does not only
contain the 0 vector,
then it has
linearly dependent columns.
And I just wrote that there to
kind of show you what we do
know and the fact that this
one doesn't have a trivial
null space tells us that we're
dealing with linearly
dependent columns.
So lambda In minus A-- it looks
all fancy, but this is
just a matrix-- must have
linearly dependent columns.
Or another way to say that is,
if you have linearly dependent

Chinese: 
不是可逆的 也同样意味着
行列式必须等于0
所有这些都成立
如果行列式等于0
它就不是可逆的
你就会有线性相关的列
如果行列式等于0
那么那同样意味着
零空间中含有非平凡元素
因此 如果行列式等于0
就意味着存在某个λ使得这个成立
对于非零向量v
所以 如果有解
如果存在非零向量v
满足这个等式
那么这个矩阵必须行列式为0
而且反过来也是对的
如果这个矩阵行列式是0
那么必须有
或者存在λ
使得这个矩阵行列式是0
那么那些λ将满足这个等式
反过来也是对的
如果存在λ满足这个

Korean: 
가역성을 지니지 않기 때문에
행렬식이 0이 되어야 합니다
이들은 모두 참입니다
만약 행렬식이 0이라면
가역성을 지니지 못합니다
선형종속인 열들을 가질 것입니다
만약 행렬식이 0이라면
영공간에 영벡터 외의 원소가 존재합니다
그리고 행렬식이 0이라는 것은
어떤 0이 아닌 벡터 v에 대해
이를 만족하는 λ가 존재한다는 뜻입니다
따라서 어떤 해가 존재한다면
만약 이를 만족하는 0이 아닌 어떤 벡터 v가 존재한다면
이 행렬은 행렬식으로 0을 가져야 합니다
그리고 다른 쪽으로도 나아갈 수 있습니다
만약 이 행렬이 행렬식으로 0을 지닌다면
혹은 어떤 λ를 대입하여
이 행렬이 행렬식으로 0을 지니게 할 수 있다면
이러한 λ들은 이 식을 만족합니다
다른 방향으로도 갈 수 있습니다
어떤 λ가 이 식을 만족시키려면

Polish: 
to macierz nie jest odwracalna, co oznacza również,
że jej wyznacznik musi być równy 0.
Wszystko to jest prawda.
Jeżeli wyznacznik jest równy 0, to macierz
nie jest odwracalna.
Mamy liniowo zalezne kolumny.
Jeżeli wyznacznik jest równy 0, to oznacza to również,
że mamy nietrywialne elementy w jądrze.
Czyli, jeżeli wyznacznik jest równy 0, to oznacza że istnieją
pewne wartości lambda, dla których to zachodzi, dla niezerowych wektorów v.
Czyli jeżeli istnieją jakieś rozwiązania, jeżeli istnieją
niezerowe wektory v, które spełniają równanie,
to ta macierz tutaj musi mieć wyznacznik równy 0.
I to zachodzi też w drugą stronę.
Jeżeli ten koleś ma wyznacznik 0, to musi istnieć -- albo
jeżeli istnieją takie lambdy, dla których ten koleś
ma wyznacznik równy 0, to te lambdy spełniają
to równanie.
I moglibyśmy wnioskować w tę stronę.
Jeżeli istnieją jakieś lambdy, które spełniają to,

Chinese: 
不是可逆的 也同樣意味著
行列式必須等於0
所有這些都成立
如果行列式等於0
它就不是可逆的
你就會有線性相關的列
如果行列式等於0
那麽那同樣意味著
零核空間中含有非平凡元素
因此 如果行列式等於0
就意味著存在某個λ使得這個成立
對於非零向量v
所以 如果有解
如果存在非零向量v
滿足這個等式
那麽這個矩陣必須行列式爲0
而且反過來也是對的
如果這個矩陣行列式是0
那麽必須有
或者存在λ
使得這個矩陣行列式是0
那麽那些λ將滿足這個等式
反過來也是對的
如果存在λ滿足這個

Portuguese: 
dependentes, a matriz não é
inversível, que significa
que o determinante deve ser igual a zero.
Tudo isso é verdade.
Se o determinante for igual a zero,
a matriz não é inversível.
Você terá colunas 
linearmente dependentes.
Se o determinante for zero,
significa também que você possui
membros não triviais no espaço nulo.
Então, se o seu determinante for
igual a zero significa
que há lambdas para os quais isso
é verdade, para vetores v não nulos.
Se há soluções, se há
vetores v não nulos que
satisfazem essa equação,
então essa matriz deve ter o 
determinante igual a zero.
O mesmo é válido
para o outro lado.
Se este cara tem o determinante igual a zero, 
então há lambdas que fazem com que
essa matriz tenha
determinante zero,
então esses lambdas irão
satisfazer essa equação.
Se há lambdas que satisfazem isso,
então esses lambdas farão com que

English: 
columns, you're not invertible,
which also means
that your determinate
must be equal to 0.
All of these are true.
If your determinate is equal to
0, you're not going to be
invertible.
You're going to have linearly
dependent columns.
If your determinate is equal
to 0, then that also means
that you have nontrivial members
in your null space.
And so, if your determinate is
equal to 0 that means there's
some lambdas for which this is
true, for non-zero vectors v.
So, if there are some solutions,
if there are some
non-zero vector v's that satisfy
this equation, then
this matrix right here must
have a determinate of 0.
And it goes the other way.
If this guy has a determinate of
0, then there must be-- or
if there's some the lambdas
that make this guy have a
determinate of 0, then those
lambdas are going to satisfy
this equation.
And you could go
the other way.
If there's some lambdas that
satisfy this, then those

Chinese: 
那麽那些λ
將使得這個矩陣行列式是0
我把這個寫下來
Av=λv對於非零向量v
若且唯若λIn-A的行列式
等於0向量
不是 不是0向量
抱歉 它就等於0
行列式就是一個數
這個就是我們給出的最重要的結論
我知道你們現在想說什麽
它怎麽就對我有用了
你們知道 我們做了所有這些處理
我之前也討論過一點關於零核空間的內容
最重要的結論是 就是爲了這個
成立對於非零矩陣v

Chinese: 
那么那些λ
将使得这个矩阵行列式是0
我把这个写下来
Av=λv对于非零向量v
当且仅当λIn-A的行列式
等于0向量
不是 不是0向量
抱歉 它就等于0
行列式就是一个数
这个就是我们给出的最重要的结论
我知道你们现在想说什么
它怎么就对我有用了
你们知道 我们做了所有这些处理
我之前也讨论过一点关于零空间的内容
最重要的结论是 就是为了这个
成立对于非零矩阵v

Polish: 
to wtedy te lambdy sprawią, że wyznacznik tej macirzy będzie równy zero.
Napiszę to.
Av jest równe lambda v, dla niezerowego v wtedy i tylko wtedy gdy
wyznacznik z lambda I odjąć A
jest równy 0.
Nie, nie wektorowi zerowemu.
Przepraszam, to po prostu równa się 0.
Wyznacznik jest po prostu liczbą.
I to jest nasze wielkie osiągnięcie.
I wiem, że mówicie teraz:
Sal, do czego mi sie to przyda?
No wiecie, przeprowadziliśmy te wszystkie przekształcenia.
Mówiłem trochę o jądrach macierzy.
I moim wielkim osiągnięciem jest to ustalenie, że żeby

English: 
lambdas are going to make this
matrix have a 0 determinate.
Let me write this.
Av is equal to lambda v for
non-zero v's if and only if
the determinate of lambda
In minus A is
equal to the 0 vector.
No, not the 0 vector.
Sorry, it's just equal to 0.
The determinate is just
a scalar factor.
And so that's our
big takeaway.
And I know what you're saying
now, how is that
useful for me, Sal?
You know, we did all of
this manipulation.
I talked a little bit about
the null spaces.
And my big takeaway is, is that
in order for this to be

Korean: 
행렬이 행렬식으로 0을 지니도록 만듭니다
 
한번 적어 보겠습니다
 
0이 아닌 어떤 v에 대해 
Av=λv가 되기 위한 필요충분조건은
λln-A의 행렬식이
0이 되어야 한다는 것입니다
영벡터가 아니라요
0이 되어야 합니다
행렬식은 스칼라입니다
이는 중요한 내용입니다
이 식이 어떤 식으로 유용한지
의문을 가질 수도 있습니다
이 모든 유도과정을 거쳤고
영공간을 조금 다루었습니다
여기서 중요한 점은

Portuguese: 
essa matriz possua
determinante zero.
Deixe-me escrever isso.
Av é igual a lambda v
para v's não nulos,
se, e somente se, o determinante
de lambda In menos A é
igual ao vetor nulo.
Não é o vetor nulo.
Me desculpe, deve ser
apenas igual a zero.
O determinante é um escalar.
Essa é a nossa grande sacada.
E eu sei o que você
está dizendo agora,
como isso é útil para mim, Sal?
Fizemos todas essas manipulações.
Falei um pouco de espaços nulos.
E a minha grande sacada foi que
para que isso seja verdade,

Chinese: 
然后λ必须是某个值
所以如果我计算行列式
λ乘以单位矩阵减A
它必须的等于0
为什么这个有用的原因就是你可以
对于给定的矩阵建立这个等式
然后解这个λ
我们将在下次视频中做这件事情

Polish: 
to było spełniona dla jakiegoś niezerowego v,
lambda musi mieć jakąś konkretną wartość.
Czyli jeżeli wezmę wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa
odjąć A, to musi to się równać 0.
I powód, dla którego to jest użyteczne jest taki, że
możecie napisać to równanie dla waszej macierzy,
a potem rozwiązać, żeby znaleźć lambdy.
I zrobimy to w następnym filmie.

Korean: 
이 식을 어떤 영벡터가 아닌 벡터 v에 대해 
만족시키기 위해서는
λ가 어떤 값을 지녀야 한다는 것입니다
그리고 이러한 λ의 값에 단위행렬을 곱하고
행렬 A를 뺀 행렬의 행렬식을 구하면 0이 됩니다
이 성질이 유용한 이유는
행렬에 대해 실제로 이러한 식을 세워
λ를 구할 수 있기 때문입니다
다음 동영상에서 이를 다루고자 합니다
 

Chinese: 
然後λ必須是某個值
所以如果我計算行列式
λ乘以單位方陣減A
它必須的等於0
爲什麽這個有用的原因就是你可以
對於給定的矩陣建立這個等式
然後解這個λ
我們將在下次影片中做這件事情

English: 
true for some non-zero vectors
v, then lambda
has to be some value.
So if I take the determinate of
lambda times the identity
matrix minus A, it has
got to be equal to 0.
And the reason why this is
useful is that you can
actually set this equation up
for your matrices, and then
solve for your lambdas.
And we're going to do that
in the next video.

Portuguese: 
para vetores v não nulos,
lambda deve assumir algum valor.
Calculando o determinante de lambda 
vezes a matriz identidade
menos A, tem que ser igual a zero.
E a razão pela qual isso é útil,
é que você pode
trabalhar com matrizes nessa equação,
e resolver para os lambdas.
Faremos isso no próximo vídeo.
[Legendado por Jonny Oda]
[Revisado por Musa Morena Marcusso Manhães]
