
Bulgarian: 
От нас искат да намерим
на какво са равни тези три различни граници.
Насърчавам те, както винаги,
да спреш видеото и да се опиташ
да решиш задачата самостоятелно,
преди да го направим заедно.
Когато търсиш ето тази първата,
може просто да опиташ да намериш границата,
когато х клони към минус 2 за f от х,
след това границата, когато х клони към минус 2 за g от х,
а след това да ги събереш.
Но бързо ще се сблъскаш с проблем,
защото когато търсиш границата,
когато х клони към минус 2 за f от х,
изглежда, че когато 
се приближаваме до минус 2
отляво, то функцията клони към 1.
Когато се приближаваме
 към х равно на минус 2 отдясно,
изглежда, че функцията клони към 3.
Следователно, изглежда, че границата,
когато х клони към минус 2 за f от х, не съществува.
Същото нещо е валидно и за g от х.
Ако се приближаваме отляво,
изглежда, че функцията клони към 3.
Ако се приближаваме отдясно,
изглежда, че функцията клони към 1.
Все пак изглежда обаче, че тази граница може да съществува,
доколкото, когато търсим границата за х клонящо към минус 2,
отляво на сумата,
f от х плюс g от х,
съществува и е равна на границата,

English: 
- [Instructor] We are asked to find
these three different limits.
I encourage you like always,
pause this video and try to do it yourself
before we do it together.
So when you do this first one,
you might just try to find the limit
as x approaches negative two of f of x
and then the limit as x
approaches negative two of g of x
and then add those two limits together.
But you will quickly find a problem,
'cause when you find the limit
as x approaches negative two of f of x,
it looks as we are
approaching negative two
from the left, it looks
like we're approaching one.
As we approach x equals
negative two from the right,
it looks like we're approaching three.
So it looks like the limit
as x approaches negative
two of f of x doesn't exist,
and the same thing's true of g of x.
If we approach from the left,
it looks like we're approaching three.
If we approach from the right,
it looks like we're approaching one.
But it turns out that
this limit can still exist
as long as the limit as
x approaches negative two
from the left of the sum,
f of x plus g of x,
exists and is equal to the limit

Korean: 
이 문제에서는
세 개의 극한을
구해야 합니다
항상 그랬듯이
같이 풀어보기 전에
영상을 멈추고
혼자 풀어보세요
첫 번째 문제를 보면
x가 -2에 가까워질 때
f(x)의 값을 구해야 하고
x가 -2에 가까워질 때
g(x)의 값도 구합니다
그리고 이
두 값을 더합니다
하지만 문제가 있습니다
왜냐하면 x가 -2에
가까워질 때
f(x)의 극한을 구하면
왼쪽에서 가까워질 때
1에 가까워 집니다
하지만 오른쪽에서
-2에 가까워질 때
3에 가까워집니다
따라서 극한이
x가 -2에 가까워질 때
존재하지 않네요
이는 g(x)도 동일합니다
왼쪽에서 가까워질 때
3에 가까워지네요
오른쪽에서 가까워질 때
1에 가까워지지만요
하지만 x가 -2에
왼쪽에서 가까워진다면
극한은 존재합니다
f(x) + g(x)는
존재하고
f(x) + g(x)는
존재하고

Czech: 
Máme za úkol
spočítat tyto tři limity.
Jako vždy vám doporučuji
si video zastavit
a zkusit si to vyřešit
samostatně, než začneme.
Když počítáte
tuto první limitu,
mohlo by vás napadnout najít
limitu f(x) pro x blížící se k −2
a poté limitu pro x blížící se
k −2 z funkce g
a pak tyto limity sečíst.
Ale brzy byste
narazili na problém.
Když totiž určujeme limitu
funkce f pro x blížící se k −2,
tak když se k
−2 blížíme zleva,
hodnoty se blíží k 1.
A když se k x rovno
−2 blížíme zprava,
hodnoty se blíží ke 3.
Takže limita funkce f pro x blížící
se k −2 neexistuje
a totéž platí
pro funkci g(x).
Když se blížíme zleva,
hodnoty jdou ke 3,
když se blížíme zprava,
hodnoty jdou k 1.
Ale tato limita
stále může existovat,
pokud limita pro x blížící se k −2 zleva
ze součtu funkcí f(x) a g(x) existuje

Korean: 
이는 x가 오른쪽에서
-2에 가까워질 때
f(x) + g(x)와
같습니다
이 식은 뭘까요?
왼쪽에서 -2에 가까워질 때
f(x)는 1에
g(x)는 3에 가까워집니다
따라서 1과 3에
가까워지네요
따라서 합인
4에 가까워집니다
따라서 합인
4에 가까워집니다
오른쪽에서 가까워진다면
f(x)는 3에 가까워지고
g(x)는 1에 가까워집니다
이는 역시 4입니다
왼쪽과 오른쪽의 극한이
같은 값에 수렴하기 때문에
극한이 존재하고
이는 4입니다
x가 1에 가까워질 때의
다음 문제를 풀어봅시다
같은 방식으로 풀어봅니다
다시 각각의 극한을 보면
f(x)가 왼쪽과 오른쪽에서
1에 가까워질 때
극한은 존재하지 않습니다
하지만 합의 극한은
존재할 수 있습니다
한 번 풀어보죠

Czech: 
a je rovna limitě pro x blížící se k −2
zprava ze součtu funkcí f(x) a g(x).
A čemu se
rovnají tyto limity?
Když se k −2
blížíme zleva,
hodnoty funkce
f(x) se blíží k 1
a hodnoty funkce
g(x) se blíží ke 3,
takže se
blížíme k 1 a 3,
a tudíž součet
funkcí se blíží ke 4.
Když se blížíme zprava,
hodnoty funkce f se blíží ke 3
a hodnoty funkce g(x) se blíží k 1
a tak se tato limita opět rovná 4.
Protože se limity
zleva a zprava rovnají,
tato limita existuje
a je rovna 4.
Přesuňme se k další limitě,
tentokrát pro x blížící se k 1.
Budeme dělat
úplně to samé.
A když se opět podíváte na limity funkce f
zleva a zprava pro x blížící se k 1,
oboustranná
limita neexistuje,
ale limita pro x blížící se k 1
ze součtu funkcí existovat může,
takže to pojďme zkusit.

Bulgarian: 
когато х клони към минус 2 отдясно на сумата
f от х плюс g от х.
Какво означава това?
Когато се приближаваме към минус 2 отляво,
изглежда, че f от х клони към 1,
a g от х клони към 3.
Изглежда, че функциите клонят 
съответно към 1 и 3.
Изглежда, че този израз,
т.е. сумата, клони към 4.
А ако се приближаваме отдясно,
изглежда, че f от х клони към 3,
а g от х изглежда, че клони към 1.
Отново сумата е равна на 4.
И поради това, че лявата и дясна граници
клонят към една и съща стойност,
може да заявим, че тази граница 
съществува и е равна на 4.
Нека сега да решим следващия пример,
когато х клони към 1.
Ще направим абсолютно
същото упражнение.
Отново, ако разглеждаш 
отделните граници
за f от х, когато х клони 
към 1 отляво и отдясно,
то границата не съществува.
Но границата на сумата, когато х 
клони към 1, може да съществува.
Нека да го проверим.

English: 
as x approaches negative two
from the right of the sum,
f of x plus g of x.
So what are these things?
Well, as we approach
negative two from the left,
f of x is approaching, looks like one,
and g of x is approaching three.
So it looks like we're
approaching one and three.
So it looks like this is approaching.
The sum is going to approach four.
And if we're coming from the right,
f of x looks like it's approaching three
and g of x looks like
it is approaching one.
Once again, this is equal to four.
And since the left and right handed limits
are approaching the same thing,
we would say that this limit
exists and it is equal to four.
Now let's do this next
example as x approaches one.
Well, we'll do the exact same exercise.
And once again, if you look
at the individual limits
for f of x from the left and
the right as we approach one,
this limit doesn't exist.
But the limit as x approaches
one of the sum might exist,
so let's try that out.

Czech: 
Limita pro x blížící se k 1 zleva ze
součtu f(x) plus g(x) se rovná čemu?
Když se k 1 blížíme zleva,
hodnoty f se blíží ke 2.
Toto píšu jen
jako zkrácený zápis.
A hodnoty g, když se
blížíme k 1 zleva, jdou k 0.
Takže tohle se blíží
k 2 plus 0, což je 2.
A limita pro x blížící se k 1 zprava
ze součtu f(x) plus g(x) se bude rovnat?
Když se blížíme
k 1 zprava,
hodnoty f
se blíží k −1.
A hodnoty g, když se
blížíme k 1 zprava, jdou opět k 0.
Takže celkem
se blížíme k −1.
Limity zleva a
zprava se nerovnají,
takže tato
limita neexistuje.

English: 
So the limit as x approaches one
from the left hand side
of f of x plus g of x,
what is that going to be equal to?
So f of x, as we approach
one from the left,
looks like this is approaching two.
I'm just doing this for shorthand.
And g of x, as we approach
one from the left,
it looks like it is approaching zero.
So this will be approaching
two plus zero, which is two.
And then the limit,
as x approaches one
from the right hand side
of f of x plus g of x
is going to be equal to.
Well, for f of x as we're approaching one
from the right hand side,
looks like it's approaching negative one.
And for g of x as we're approaching one
from the the right hand side,
looks like we're approaching zero again.
Here it looks like we're
approaching negative one.
So the left and right hand limits
aren't approaching the same value,
so this one does not exist.

Bulgarian: 
Когато х клони към 1,
от лявата страна на f от х плюс g от х,
то на какво ще бъде равна границата?
Когато х се приближава към 1 отляво, f от х
изглежда, че клони към 2.
Записвам го така за по-кратко.
А g от х, когато се приближаваме към 1 отляво
изглежда, че клони към 0.
Следователно, сумата ще клони 
към 2 плюс 0, което е равно на 2.
Разглеждаме границата,
когато х клони към 1 от дясната страна
на f от х плюс g от х. 
Ще бъде равна на следното.
Когато х клони към 1,
от дясната страна,
изглежда, че f от х клони към минус 1.
А за g от х, когато х клони към 1,
от дясната страна,
изглежда, че функцията отново 
клони към 0.
Тогава изглежда, че сумата 
клони към минус 1.
Следователно лявата и дясна граници
не клонят към една и съща стойност.
Следователно тази втора граница 
не съществува.

Korean: 
x가 1에 왼쪽에서
가까워질 때
f(x)와 g(x)의 극한의 합은
어떤 값이 될까요?
f(x)가 왼쪽에서
1에 가까워지면
2에 가까워집니다
풀이를 간단히 하고있습니다
g(x)는 1에 왼쪽에서
가까워지면
0에 가까워집니다
이는 2 + 0인
2에 가까워집니다
극한은
x가 오른쪽에서
1에 가까워지면
f(x) + g(x)는
오른쪽에서 1에 가까워질 때
f(x)는
-1에 가까워지고
f(x)는
-1에 가까워지고
g(x)는 오른쪽에서 1에
가까워질 때
0에 가까워집니다
여기선 -1에 가까워지는
것처럼 보입니다
따라서 왼쪽의 극한은
같은 값에 수렴하지 않으며
존재하지 않습니다

Czech: 
A konečně limita pro x blížící
se k 1 z f(x) krát g(x).
Uděláme opět to samé.
Limita pro x blížící se k 1 zleva
ze součinu f(x) krát g(x).
Můžeme využít už toho,
co jsme zjistili dříve.
Když jsme se
k 1 blížili zleva,
hodnoty se
blížily ke 2,
takže tohle je 2,
a když se k 1 blížíme
zleva tady,
hodnoty se blíží k 0.
Takže se blížíme
k 2 krát 0,
což je 0.
A když se blížíme
k 1 zprava…
Limita pro x blížící se k 1
zprava z f(x) krát g(x).
Už jsme viděli, že když
se k 1 blížíme zprava,
hodnoty funkce
f se blíží k −1
a hodnoty funkce g se, když
se blížíme k x rovno 1 zprava, blíží k 0.
Takže tohle bude opět 0.
A tedy tato
limita existuje.

English: 
And then last but not least,
x approaches one of f of x times g of x.
So we'll do the same drill.
Limit as x approaches one
from the left hand side
of f of x times g of x.
Well, here, and we can
even use the values here.
We see it was approaching
one from the left.
We are approaching two, so this is two.
And when we're approaching
one from the left here,
we're approaching zero.
We're gonna be approaching
two times zero, which is zero.
And then we approach from the right.
X approaches one from the right
of f of x times g of x.
Well, we already saw when
we're approaching one
from the right of f of x,
we're approaching negative one.
But g of x, approaching
one from the right,
is still approaching zero,
so this is going to be zero
again, so this limit exists.
We get the same limit
when we approach from
the left and the right.

Bulgarian: 
Следва последната по ред, 
но не и по значение.
х клони към 1 за f от х по g от х.
Тук ще използваме същия метод.
Границата, когато х клони към 1 
от лявата страна,
на f от х по g от х.
Може да използваме 
стойностите от предната граница.
Виждаме, че когато
 х клони към 1 отляво,
то функцията f от х клони към 2.
А когато х клони към 1
 отляво ето тук,
то функцията g от х клони към 0.
Произведението клони към 2 по 0, 
което е равно на 0.
Нека да разгледаме дясната граница.
х клони към 1 отдясно,
на f от х по g от х.
Вече видяхме, че когато
 х клони към 1 отдясно, за f от х,
то функцията клони към минус 1.
g от х обаче, когато х клони 
към 1 отдясно, отново клони към 0.
Тогава произведението отново ще бъде равно 
на 0, т.е. границата съществува.
Получава се една и съща граница,
когато се приближаваме
към 1 отляво и отдясно.

Korean: 
마지막 문제는
x가 1에 가까워질 때
f(x)g(x)를 구합니다
같은 방식입니다
x가 1에 왼쪽에서 가까워질 때
f(x)g(x)의
극한의 값입니다
이 값을 여기에
쓸 수 있겠네요
이는 왼쪽에서 가까워집니다
2에 가까워지므로
이 값은 2입니다
그리고 왼쪽에서
1에 가까워지면
0에 가까워집니다
2 곱하기 0인
0에 가까워집니다
오른쪽에서 가까워질 때
x 가 1에
오른쪽에서 가까워질 때
f(x)g(x)의 값을
구해봅시다
f(x)의 오른쪽에서
1에 가까워질 경우를
이미 구했습니다
-1에 가까워지죠
하지만 g(x)는
오른쪽에서 가까워지면
0에 가까워집니다
따라서 이는 0이죠
극한이 존재합니다
같은 극한이 나옵니다
오른쪽과 왼쪽 둘 다 말이죠

Bulgarian: 
Границата е равна на 0.
Това са много интересни примери,
защото понякога си мислиш,
че съставните граници 
не съществуват –
което означава, че сумата
или произведението не съществуват –
но тук разгледахме поне два примера,
където случаят не е такъв.

Korean: 
이는 0입니다
이는 매우
흥미로운 예입니다
왜냐하면 부분의
극한이 존재하지 않으면
합의 극한이나
곱의 극한은 존재하지
않는다 생각하기 때문이죠
하지만 여기서
항상 그렇지
않다고 증명됐습니다

Czech: 
Limity zprava a zleva jsou
stejné a rovnají se 0.
Toto jsou poměrně
zajímavé příklady,
protože někdy by člověk řekl,
že když jednotlivé limity neexistují,
tak ani limita součtu
či součinu neexistuje,
ale zde jsme měli minimálně dva
příklady toho, že to tak nemusí být.

English: 
It is equal to zero.
So these are pretty interesting examples,
because sometimes when you think
that the component limits don't exist
that that means that the sum
or the product might not exist,
but this shows at least two examples
where that is not the case.
