
English: 
Welcome to another Mathologer video. The
Golden Spiral over there is one of the
most iconic pictures of mathematics. The
background of the picture is the special
spiral of squares and the golden spiral
itself is made up of quarter circles
inscribed into these squares. Overall
this quarter circle spiral is a very
close approximation of the true golden
spiral which is a logarithmic spiral
that passes through these blue points
here, the spiral here. Pretty good fit, hmm?
The golden spiral picture captures some of
the amazing properties of one of
mathematics' superstars the golden ratio
Phi. However the one feature that this
picture is most famous for is, sadly, just
a mathematical urban myth pushed and

Russian: 
Добро пожаловать в новое видео от Mathologer'а.
Золотая спираль на экране - это одна из самых
достославных картин в математике. Её история такова: эта особая
спираль квадратов и сама золотая спираль
образованы из четвертинок кругов,
вписанных в эти квадраты. В целом, эта четвертная спираль является очень
близкой аппроксимацией к истинной золотой спирали, которая представляет собой логарифмическую спираль,
проходящую через вот эти синие точки. Неплохая аппроксимация, а?
Эта картинка с золотой спиралью отражает в себе
несколько замечательных свойств одного из
самых знаменитых математических отношений -
золотого сечения, φ. Тем не менее, та главная черта,
по-настоящему прославившая эту картинку, это, к сожалению, всего лишь обывательский миф, разносимый и

English: 
propagated by lots and lots,... and lots of
wishful thinkers. These people,
I call them Phi-natics will assure you
that the spiral that you see in Nautilus
shells are golden spirals, which is
simply not true. Same thing for spirals
in spiral galaxies, cyclones and most
other spirals found in the wild. What is
true is that just like our quarter
circle spiral a lot of spirals we
observe in nature are approximately
logarithmic spirals. However, there are
infinitely many different logarithmic
spirals and most of the logarithmic
spirals found in nature are not even
remotely golden. In fact, most of the
pictures that are supposed to prove the
golden nature of naturally occurring
spirals are arrived at by roughly fitting a
really thick golden spiral to some
suitably chosen and doctored picture.
Having said that sometimes spiral
patterns that we observe in nature like,
for example, those in flower heads do

Russian: 
распространяемый многими, многими и многими забывшимися мечтателями. Эти люди
(я называю их φ-натиками), будут уверять вас в том,
что спираль, которую можно увидеть в раковинах
моллюсков, как раз является золотой спиралью, что
попросту неверно. То же относится к спиралям,
в спиральных галактиках, ураганах и множестве других спиралей, которые можно обнаружить в природе. На самом деле,
так же как в случае нашей спирали из четвертинок
кругов, многие из тех спиралей, которые мы
видим в природе, являются аппроксимациями
логарифмических спиралей. Однако логарифмических
спиралей на свете бесконечно много, и большинство из тех из них,
что мы находим во вселенной, даже близко не
относятся к золотым. Собственно, большинство
изображений, предположительно доказывающих золотую "природу" естественно образующихся
в природе спиралей, были получены в результате прилаживания очень жирной золотой спирали к какой-нибудь
подходящей и отредактированной картинке.
Несмотря на это, иногда спиральные
закономерности, которые мы видим в природе
(например, в цветочных головках), действительно

English: 
have a connection to the golden ratio,
However, in general, not even the spirals
in flower heads are golden and the
connection is established in different
non-spiral ways. If you're interested
I've linked to some articles that debunk
a vast portion of the golden-spiral-in-nature story. Phi-natics, sorry to
disappoint.
What I'd like to do in the following is
to focus on some true and truly amazing
features of this picture which even a
lot of mathematicians are not aware of.
What will be important for us about this
picture is the curious spiral of squares
at its core. In fact, as far as today's
story is concerned, the sole function of
the golden spiral spiral is to highlight
this square spiral. It turns out that not
only the golden ratio but in fact every
positive real number has an associated
square spiral. For example, here's the

Russian: 
имеют отношение к золотому сечению. Однако, как правило, даже эти спирали
не являются золотыми, и упомянутая мною связь с
золотым сечением устанавливается другим способом,
без участия спиралей. Если вам это интересно, я
оставил несколько ссылок на статьи, опровергающие
большую часть историй про золотые спирали
в природе. φ-натики, простите, что
разочаровал вас. В этом видео я хотел бы
сосредоточиться на некоторых истинных и воистину
потрясающих свойствах этой картинки, о которых
не известно даже многим математикам.
Особый интерес для нас будет представлять
любопытная спираль из квадратов, составляющая основу этой картинки. Вообще говоря, в рамках сегодняшнего
рассказа, единственное назначение настоящей
золотой спирали в картинке - указать нам на
эту "квадратную" спираль. Оказывается, что не
только золотое сечение, но совершенно любое
положительное действительное число имеет связь
со своей соответствующей спиралью. Например, вот

English: 
spiral of root 2. Hands up, who has seen a
green golden spiral before? Anyway, these
square spirals which can be finite or
infinite are very easy to construct and
provide a wealth of insight into the
nature of numbers. For example, I'll show
you that if you look at root 2 s square
spiral in just the right way it
magically morphs into a so called
infinite descent proof of the
irrationality of root 2.
In fact, I show you a simple
characterization of the irrational
numbers in terms of their square spirals
and use this characterization to pin
down and visualize the irrational nature
of many famous numbers. To finish off
I'll show you how the squares spiral of a
number is really the geometric face of
the so-called simple continued fraction
of that number.
Those guys here. Anyway ready for some
really amazing and beautiful mathematics?
Let's go. Okay to start with let me show

Russian: 
спираль для корня из 2. Поднимите руки, кто видел
зелёную золотую спираль до этого! Так или иначе,
эти квадратные спирали, которые могут быть и конечными, и
бесконечными, довольно легко поддаются построению и
проливают свет на множество деталей
о природе чисел. К примеру, я покажу вам,
что если вы правильно проанализируете
квадратную спираль корня из 2, то
магическим образом получите доказательство
иррациональности этого числа, называемое
"методом бесконечного спуска". Собственно, я покажу вам простое
характеризацию иррациональных чисел через
призму их квадратных спиралей и затем
использую эту характеризацию для того, чтобы разобрать и визуализировать иррациональную природу
многих знаменитых чисел. А закончу я видео тем,
что покажу вам, как квадратная спираль любого
числа на самом деле является геометрическим
лицом так называемой простой непрерывной дроби
этого числа. Вот этих дробей. Итак, готовы к
по-настоящему восхитительной и красивой математике? Поехали. Для начала, позвольте показать

English: 
you how the square spiral of a number is
constructed and why, if the resulting
spiral is infinite, the number has to be
irrational.
I'll first focus on the number root 3 to construct the spiral. We start
with a root 3 rectangle like this
one here. A root 3 rectangle is a
rectangle with sides A and B whose
aspect ratio A over B is equal to root
3. Trivial but important observation:
if you scale a root 3 rectangle, you
get another root 3 rectangle. Now
here's the first square of the root
3 square spiral, here's the second
square of the spiral, the third, the
fourth.The rule is that the next square
is the largest square that fits into the
remaining green area, fitted in such a
way that it continues the right turning
spiral. So next is this, then this and
this and so on, pretty straightforward.

Russian: 
вам, как построить квадратную спираль числа и почему
данное число обязано быть иррациональным
в том случае, если данная спираль будет бесконечной.
Давайте для начала возьмём √3 для построения спирали. Начинаем мы
с прямоугольника с пропорцией √3. Прямоугольник с пропорцией √3 - это
прямоугольник со сторонами A и B, чьё соотношение A/B равно √3.
Тривиальное, но важное наблюдение: если
отмасштабировать прямоугольник с пропорцией √3,
получится другой прямоугольник с пропорцией √3.
Итак, вот первый квадрат квадратной
спирали корня из 3; вот второй квадрат
этой спирали, а вот третий, вот
четвертый. Правило здесь таково: следующий квадрат в спирали - это наибольший квадрат, который помещается в
оставшуюся зелёную область, размещённый таким
образом, чтобы продолжать закручивающуюся вправо
спираль. Поэтому следующим идёт вот такой квадрат, затем такой, дальше ещё один такой же, и так далее. Незамысловато.

English: 
Right, let's quickly go back to the
beginning and count the number of
squares of each size that we come across
in this spiral. Okay,
first square again. There's only one
square of this size. Next, also only one
square of this size. Next, two of
those. Okay, then one, then two again. In
fact, from this point on things repeat so
121212, forever. Neat!
One way to convince ourselves that things
really repeat is to show that this blue
rectangle here is also a root 3
rectangle just like the green one we
started with. This means that new squares
fit into the blue rectangle in exactly
the same way as they do in the starting
green rectangle, and so the pattern
repeats. Okay let's show that this blue
rectangle really is a root 3

Russian: 
Хорошо, теперь давайте быстренько вернёмся
к началу и подсчитаем количество
квадратов каждого встречающегося размера в спирали. Итак,
снова первый квадрат. Квадрат такого размера
в спирали всего один. Далее, тоже лишь один
квадрат такого размера. Далее, уже два квадрата. Затем один, дальше опять два. Вообще говоря,
начиная с этого момента, всё будет повторяться:
121212, до бесконечности. Изящно!
Один из способов убедиться в том, что числа действительно повторяются, это показать, что синий
прямоугольник, вот этот, также обладает пропорцией √3, прямо как зелёный прямоугольник, с которого
мы начинали. Это означает, что новые квадраты, которые мы будем вписывать в синий прямоугольник, будут повторять
ту же закономерность, которая была у изначального, зелёного прямоугольника. Следовательно, закономерность
повторяется. Хорошо, теперь давайте покажем, что
синий прямоугольник действительно имеет пропорцию

English: 
rectangle. Remember that we started with
a root 3 rectangle and so the ratio
of the sides is root 3. Put the first
square and so the dimensions of the
remaining green area are ... what? Well short side on top has lengths A minus B and the
long side obviously B. Put the next square in and calculate its
side lengths in exactly the same way. Now
the third square and now let's check
that the aspect ratio of the blue
rectangle is really root 3. This
aspect ratio is what? Well this. Now some
straightforward algebra. Divide both the
numerator and denominator by B, that
does not change the ratio. But remember A
over B is equal to root 3. The standard trick to
get rid of the root in the denominator
is to multiply the bottom and the top by
a 2 plus root 3 like that. Just in case
you have not seen this trick in action

Russian: 
√3. ПОмните, мы начали с прямоугольника
с этой же пропорцией, и поэтому отношение
сторон в нём равно √3. Поместим первый квадрат. Чему равны стороны
оставшейся зелёной площади? Ну, меньшая сторона равна (А-В), а большая
сторона, очевидно, равна В. Теперь расположим
следующий квадрат и посчитаем его
стороны тем же способом. Дальше проделаем то же
самое с третьим квадратом, и теперь давайте проверим,
что соотношение сторон синего прямоугольника
действительно равно √3. Чему оно равно,
исходя из наших расчётов? Вот этой дроби. Теперь
немного незамысловатой алгебры: разделим
числитель и знаменатель на В; это не изменит
соотношения. Теперь вспомним, что A/B
равно √3. Стандартный трюк для
избавления от корня в знаменателе - умножить верх и низ дроби на
(2+√3), вот так. На тот случай, если вы
раньше не видели этот трюк в действии,

Russian: 
давайте заострим внимание на знаменателе.
Обозначенное произведение имеет форму
(U-V)(U+V), что, конечно же, равно U^2-V^2,
что в нашем случае равно 2^2-(√3)^2. И как вы можете видеть,
квадратный корень исчез из знаменателя.
Запомните этот очищающий-знаменатель-от-
-корней трюк. Он часто оказывается очень
полезным в математике. Так или иначе,
давайте сделаем ещё немного автоматических
упрощений, и вы увидите, что данное выражение
упрощается до √3. Превосходно! Уже сейчас мы готовы сделать парочку
довольно интересных выводов. Начнём с использования нашей квадратной спирали для того, чтобы доказать
иррациональность числа √3. Этот способ удачно
сочетается с тем, что я делал в последнем видео.
Итак, если бы √3 было рациональным (то есть, если
бы √3 можно было выразить в виде отношения двух
положительных целых чисел, А и В), то прямоугольник со сторонами А и В был бы

English: 
let's highlight the denominator. The
highlighted product is of the form U
minus V times U plus V which, of course,
is equal to U squared minus V squared
which in this case is 2 squared minus
root 3 squared and so you can see the
square root in the denominator vanish.
Remember this clearing-the-denominator
of-roots trick. It really comes in handy
very often in maths. Anyway
now just go on algebra autopilot and
you'll see that the whole expression
simplifies to root 3. Wonderful! At this
point we are ready to draw a couple of
pretty amazing conclusions. Let's start
by using our square spiral to prove that
root 3 is irrational. This also ties in
nicely with what I did in the last video.
Okay if root 3 was rational, that is, if
root 3 could be written as a ratio of
positive integers A and B, then the
rectangle with sides A and B would be a

Russian: 
прямоугольником с пропорцией √3. Мы только что
посчитали длины сторон первых нескольких
квадратов в спирали, так? Поскольку А и В являются целыми, три
получившиеся у нас длины, В, А-В и 2В-А, тоже должны быть
целыми числами. На самом деле, легко заметить, что это наблюдение также распространяется на дальнейшие длины.
Длины сторон каждого из бесконечного числа
квадратов в нашей спирали должны быть
целыми числами, имеющими вид "число, кратное А
или В, минус число, кратное В или А"; например, как
вон в том квадрате внизу экрана - число умножить на А, минус число, умноженное на В. Это означает, что все стороны
всех квадратов в нашей спирали являются
положительными целыми числами. Однако, как
постоянные зрители уже неоднократно слышали
от меня, это невозможно! Почему? Бесконечная

English: 
root 3 rectangle. Now we just calculated
the lengths of the sides of the first
couple of squares, right? Now since A and
B are supposed to be integers, these
three side lengths
B, A-B and 2B-A would have
to be integers as well. In fact, it's very
easy to see that this continues. The side
lengths of all the infinitely many
squares in our spiral must be some
integer multiple of A or B minus some
other integer multiple of B or A, like
down there, integer times A minus integer
times B. This implies that all the side
lengths of all the squares all the way
down are positive integers. But, and
regulars have heard me say this a lot,
this is impossible. Why, well the

Russian: 
последовательность квадратов в нашей спирали должна сходиться к точке, и
следовательно, в конечном итоге, их стороны
должны стать меньше, чем наименьшее
положительное целое число, 1. Единственный
способ разрешить это противоречие - это
сделать вывод, что наше изначальное предположение, о том что √3 является отношением
положительных целых чисел, является неверным.
Поэтому мы делаем вывод, что √3 иррационально.
Очень и очень симпатичное доказательство, согласны?
Но дальше оно становится ещё лучше. Почему?
Весь аргумент, который мы только что
построили, остаётся верен за пределами случая √3. К примеру, довольно легко
заметить, что, если бы мы начали с любого
прямоугольника с целыми сторонами и
убирали квадраты согласно нашему рецепту,
то все квадраты в этой спирали
тоже должны были бы иметь целые стороны. Это значит, что наше доказательство от противного также демонстрирует,

English: 
infinitely many squares in
our spiral shrink to a point and
therefore they must eventually have
side lengths smaller than the smallest
possible positive integer 1. The only
way to resolve this contradiction is to
conclude that the assumption we started
with, namely that root 3 is a ratio
of positive integers is wrong. And so we
conclude that root 3 is irrational. That is a
really, really pretty proof, don't you
agree?
But it is much more than that. Why?
Because all sorts of things we've just
said stay true beyond the special case
of root 3. For example, it's really easy
to see that if we start with any
rectangle with integer sides and if we
remove squares according to our recipe,
then all those squares in the spiral
must also have integer sides. This means
the same proof by contradiction shows

English: 
that any number with an infinite square
spiral must be irrational. So, for example,
the golden ratio Phi is irrational
because it's spiral is also infinite. Now
here's a really pretty way to picture
what we've accomplished. The essence of
our proof by contradiction is called an
infinite descent because our assumption
that a rational number has an infinite
spiral implies the existence of an
impossible infinitely descending or
decreasing sequence of positive integers.
Very nice but also notice that you can
actually SEE the impossible infinite
descent in the spiral by interpreting
the squares as steps of an ever
descending spiral staircase. There's our
infinite spiral staircase and the
footsteps of someone going for the
infinite descent. What's going to happen
when they reach the bottom? What do you
think? Anyway, to round off this part of
the video, just remember that if we can
show that a number has an infinite

Russian: 
что любое(!) число с бесконечной квадратной спиралью
должно быть иррациональным. То есть, к примеру,
золотое сечение, φ, является иррациональным,
поскольку его спираль тоже бесконечна.
Вот весьма недурной способ запечатлеть всё, чего
мы достигли на данный момент. Суть нашего
доказательства от противного называется "методом
бесконечного спуска", поскольку наше предположение
о том, что рациональное число имеет бесконечную
спираль, означает существование
невозможной бесконечно уменьшающейся
последовательности положительных целых чисел.
Красота! Но теперь заметьте, что мы можем на самом
деле УВИДЕТЬ этот невозможный бесконечный
спуск по спирали, если истолкуем квадраты
в качестве ступенек бесконечно
спускающейся спиральной лестницы. Вот наша бесконечная лестница, вкупе с
отпечатками ног того, кто решил по ней спуститься. Что произойдёт,
когда они достигнут низа, как думаете? :)
Так или иначе, дабы закруглить эту часть
видео: просто запомните, что мы если мы можем
доказать, что некое число обладает бесконечной

Russian: 
квадратной спиралью, то мы автоматически докажем,
что это число иррационально. А как насчёт
спирали рациональных чисел? Ну, очевидно,
они не могут иметь бесконечную
спираль; то есть, она должна прерваться после
конечного числа шагов. Однако как именно
она заканчивается? Давайте посмотрим на пример. Пропорции
прямоугольных кадров данного видео составляют
1920 на 1080. Это значит, что это прямоугольник,
соответствующий рациональному числу 1920/1080. Так что, как
вы можете видеть, спираль этого числа состоит
всего лишь из 7 квадратов. Таким образом,
спираль заканчивается, поскольку, когда мы размещаем 7-ой
квадрат, прямоугольник, с которого мы начинали,
оказывается полностью покрытым; в нём
не остаётся места для восьмого квадрата.
Вот интересный факт: длина стороны наименьшего
из квадратов в этой конечной квадратной

English: 
square spiral, then we've also shown that
this number is irrational. So what about
the spiral of a rational numbers. Well,
obviously, it cannot have an infinite
spiral, that is, its spiral must end
and after a finite number of steps. But
how does it end? Well let's have a look
at an example. The aspect ratio of the
rectangular frame of this video is 1920
over 1080. That means that this rectangle
is a rectangle that corresponds to the
rational number 1920 over 1080 and so as
you can see the square spiral of this
number consists of only 7 squares. So the
spiral ends because when we place the 7s
square the rectangle we started with is
completely covered, there is no space
left for an eighth square. Here's an
interesting fact: the side lengths of the
smallest square in this finite square

Russian: 
спирали - это наибольший общий делитель
чисел 1920 и 1080. Задачка для вас:
докажите, что это верно в общем случае. Вторая
загадка будет для хорошо осведомлённых людей:
который невероятно известный греческий математик
ответственен за открытие относящейся к этому
математики? Хорошо, то есть, теперь мы можем
быть уверены, что квадратная спираль
любого рационального числа конечна. Как насчёт
обратного утверждения? Верно ли, что
любая конечная спираль происходит из рационального числа? Давайте посмотрим. Допустим,
я дал вам конечную спираль наподобие вот этой.
Вот как можно определить соответствующую ей
пропорцию. Для начала сделаем масштаб фигуры
таким, чтобы наименьший квадрат имел единичные
стороны. Тогда становится ясно, что следующий
квадрат будет иметь сторону, равную 1+1+1,
то есть 3. Дальше заметим, что наибольший
квадрат на картинке имеет сторону 3+3+1,
что равно 7. И, наконец, верхняя сторона нашего прямоугольника равна

English: 
spiral is the greatest common divisor of
the numbers 1920 and 1080. Puzzle for you:
Show that this is true in general. Second
puzzle for those of you in the know.
Which super famous Greek mathematician
is responsible for some closely related
mathematics? Okay
so we can be sure that the square spiral
of a rational number is finite. How about
going the other way? Is it also true that
every finite spiral comes from a
rational number? Well let's see. Say I
give you a finite spiral like this one
there. Here's how you can determine its
aspect ratio. First we scale things so
that the smallest square has side
lengths 1. Then it's clear that the next
larger square has side lengths 1 plus 1
plus 1 is 3. Then we can see that the
largest square has side lengths 3 plus 3
plus 1 is equal to 7 and, finally, that
the top side of our rectangle is of

English: 
length 3 plus 7 is equal to 10. And so
our rectangle has aspect ratio 10 over 7
and of course we can do exactly the same
for any finite spiral to show that it
corresponds to a rational number. Neat hmm? Okay, so that means that the rational
numbers are exactly the numbers with a
finite spiral which then also implies
that the irrational numbers are
exactly those numbers with an infinite
spiral. That's a pretty amazing
characterization of rational and
irrational numbers, don't you think?
Definitely made my day the first time I
read about this. Now, to actually use this
characterization of irrational numbers
to prove that a particular number such
as Phi is irrational we somehow have to
show that it's associated spiral is
infinite. The way we were able to show
this for root 3 was by recognising
that the square spiral repeats. In turn

Russian: 
по длине 3+7 = 10. Таким образом, этот
прямоугольник имеет пропорцию, равную 10/7.
Разумеется, мы можем сделать всё ровно то же
самое для любой конечной спирали, чтобы показать,
она соответствует рациональному числу. Неплохо, а? Отлично, таким образом, мы выяснили, что рациональные
числа - это ровно те числа, чьи спирали
конечны. Из этого следует, что
иррациональные числа - это именно те числа,
которые обладают бесконечной
спиралью. Получилась просто восхитительная
характеризация рациональных и
иррациональных чисел, не считаете? Мой день
она точно украсила, когда я впервые
прочитал о ней. Дабы теперь использовать эту
характеризацию иррациональных чисел для
доказательства того, что некое заданное число, такое как φ,
является иррациональным, нам нужно как-то
показать, что соответствующая ему спираль
бесконечна. Мы смогли продемонстрировать это
для √3 при помощи наблюдения, что квадратная
спираль повторяется. В свою очередь,

Russian: 
это было возможно потому, что мы
смогли показать, что, строя эту спираль,
мы встречали прямоугольники с теми же
пропорциями. Очень легко заметить, что
тот же аргумент замечательно работает на золотом
сечении, φ. Собственно, данное свойство повторения
является частью определения золотого сечения;
то есть, прямоугольник называется
золотым тогда, когда можно вырезать из него квадрат, вот таким образом, и в результате получится уменьшенная
копия оригинала. И поскольку здесь всё начинает
повторяться после отсечения уже первого квадрата,
это также означает, что φ имеет самую простую из
возможных спиралей, в которой каждый квадрат
встречается лишь один раз и чья соответственная
последовательность чисел представляет из себя
сплошные единицы. Как бы то ни было, просто запомните, что в случае φ последовательность повторяется. Так что, когда
в следующий раз вас кто-нибудь спросит, почему золотое сечение иррационально, просто укажите на ближайшую
золотую спираль и скажите "бесконечный спуск..."
максимально зловещим голосом :) Итак, в качестве

English: 
this was possible because we were able
to show that while building the spiral
we come across rectangles with the same
aspect ratio. Now it's very easy to see
that this also happens for the golden
ratio Phi. In fact, this repeating
property is part of the definition of
the golden ratio, that is, a rectangle is
golden if when you cut off a square, like
this, you end up with a scaled down
version of the original. So since things
repeat after cutting off one square this
also means that Phi has the simplest
possible square spiral, with every square
size occurring just once and the
associated sequence of integers being
all 1s like that. Anyway, just remember
things repeat for Phi. So next time
someone asks you why the golden ratio is
irrational just point at the closest
Golden Spiral and say `infinite descent'
in an ominous voice. Okay, as a final

English: 
repeating example here is root 2 and
here's a nice little root 2 factoid that
I actually did not know myself until
recently. All these pink rectangles are
root 2 rectangles, right? Of course an A4
piece of paper is basically a root 2
rectangle. What this means is that if you
fold the paper in half you get a
scaled-down version of the original, that
is, another root 2 rectangle? But did you
know that you also get another root 2
rectangle when you cut off two squares
like this?
There, another root 2 rectangle. Very
cool. Maybe not earth-shatteringly cool
but I enjoy little mats moments like
this almost as much as the really deep
stuff? Okay at this point it's natural to
ask for which numbers this works. So
which numbers have a repeating spiral.
Well
the examples so far were Phi, root 2, root 3,

Russian: 
последнего примера давайте рассмотрим √2. Вот
один незначительный, но интересный факт о √2,
про который я сам не знал до недавнего времени.
Все розовые прямоугольники на картинке имеют
пропорцию √2, верно? Обычный лист бумаги А4 тоже, разумеется, является прямоугольником с пропорцией
√2. Это значит, что если вы сложите лист пополам, то получите
уменьшенную копию оригинального прямоугольника, то есть, очередной прямоугольник с пропорцией √2. Но знали ли вы,
что вы получите подобный прямоугольник и в том случае, если отсечёте от большого прямоугольника два вот
таких квадрата? Вот он, ещё один √2-прямоугольник.
Круто! Может быть, это факт не вселенской значимости и крутости, но мне нравятся такие маленькие хитрые детали в математике,
так же сильно как и по-настоящему глубокие факты.
Итак, в этот момент будет естественно спросить
себя, для каких чисел это работает. То есть, какие числа
имеют периодически повторяющуюся спираль?
Пока что мы видели это на примере φ, √2, √3,

English: 
so all square rooty numbers. In fact, it
turns out that the numbers with repeating
spiral are exactly the numbers of this
type. And when I say of this type I mean
all positive irrational numbers that
are roots of quadratic equations with
integer coefficients. These numbers are
usually referred to as quadratic
irrationals. Now, the fact that a
periodic spiral implies that we're
dealing with one of these rooty
numbers is pretty easy and was first
shown by one of the usual suspects,
Leonhard Euler. On the other hand, showing
that every quadratic irrational has a
repeating square spiral is not super
hard but it's definitely a little bit
fiddly. So let me just show you a sketch
of the easy direction: periodic spiral
implies quadratic irrational. So let's
say X is a number with a repeating
spiral. Then in this particular X

Russian: 
и все они связаны с квадратным корнем.
Оказывается, что числа с повторяющимися
спиралями - это числа именно такого типа. Под "типом" я подразумеваю
все положительные иррациональные числа, которые являются корнями квадратных уравнений с
целыми коэффициентами. Обычно эти числа называются квадратными
иррационалами. Тот факт, что периодическая
спираль означает, что мы имеем дело с
одним из этих корневых чисел, достаточно легко доказать. Это было впервые
сделано одним из завсегдатаев математики, Леонардом Эйлером. С другой стороны, доказательство
обратного утверждения - того, что любой квадратный иррационал имеет повторяющуюся квадратную спираль, - не очень
сложное, но гораздо более хлопотное.
Так что давайте я вам покажу набросок
более лёгкого доказательства: того, что из периодической спирали следует, что число является квадратным иррационалом. Итак,
предположим, что число X имеет повторяющуюся спираль.
Тогда вот в таком особенном прямоугольнике с

Russian: 
пропорцией X длины сторон всех отсекаемых
квадратов выглядят вот так: либо
целое число, умноженное на X, минус другое целое число, ЛИБО целое число минус другое целое число, умноженное на X.
Это значит, что пропорции сторон прямоугольников,
которые встречаются нам по мере построения
спирали, являются отношениями выражений,
подобных этим двум. Например, мы могли бы
получить нечто подобное. Как мы уже сказали,
спираль должна повторяться. Это значит, что
два из подобных соотношений должны быть равны
друг другу (пропорции прямоугольников равны).
Однако очевидно, что после перекрёстного перемножения на знаменатели, любое подобное уравнение
упрощается до квадратного уравнения, и поэтому X
должно быть решением какого-то квадратного
уравнения, и поэтому является квадратным иррационалом. Проще пареной... репы? Загадка для вас: какое
решение у уравнения на экране, и что все его коэффициенты

English: 
rectangle all side lengths of the
resulting squares look like this. So
integer times X minus another integer OR
integer minus another integer times X
This means that the aspect ratios of the
rectangles that we come across during
spiral building are ratios of
expressions like this. For example, we could
have something like that. Now we said the
spiral repeats. What this means is that
two of these aspect ratios have to be
the same.
But, obviously, after multiplying through
with the denominators, any such equation
simplifies to a quadratic equation and
so X, as a solution of this quadratic
equation, is a quadratic irrational. Easy peasy, lemon squeezy. Puzzle for you, what's the
solution to the equation over there and
what do all the coefficients in this

Russian: 
имеют общего? Совпадение? Не думаю :)
Ну ладно. В начале этого видео
я заявил, что квадратная спираль числа - это, на самом деле, то же самое,
что и простая непрерывная (или цепная)
дробь этого числа. Чтобы понять это
соответствие, давайте ещё раз посмотрим на
спираль для √3... Итак, сейчас начнётся
магия. Чтобы получить непрерывную дробь, надо
просто взять последовательность чисел сверху
(количества квадратов каждого размера) и сделать вот это... Итак, √3 равен 1+1/(1+1/(2+...
1+1/(1+1/(2+..., и так далее. Очень круто, верно? Но как это работает?
Что ж, позвольте закончить видео как раз этим
объяснением. Сейчас вы увидите следующее:
стандартный алгоритм по конструированию бесконечной дроби и наш алгоритм по
построению спирали рядом друг с другом. Благодаря этому вам сразу станет ясно, почему мы получаем

English: 
equation have in common?
Coincidence? I don't think so. Okay, now at the start of
this video I claimed that the square
spiral of a number is really the same
thing as the simple continued fraction
of the number. To explain this
correspondence let's have another look
at the root 3 spiral. Okay here comes
the magic. To get the continued fraction
you just take the sequence of numbers of
squares of each size at the top and do
this ... so root 3 is 1 plus 1 divided by 1
plus 1 divided by 2 plus, and so on. Very
cool, right? But how does this work.
Well, let me finish off this video by
explaining. What I do is to run the
standard algorithm for generating the
infinite fraction and our algorithm for
building the spiral side by side. This
will make it clear why we are getting

Russian: 
одинаковую последовательность зелёных чисел в обоих случаях. Итак, √3 равен 1.7320... и так
далее. Давайте отмасштабируем меньшую сторону нашего √3-прямоугольника так, чтобы она равнялась 1. Тогда
большая сторона будет равна √3, то есть, 1.7320... и т.д. Сколько
квадратов со сторонй 1 мы сможем сюда вместить?
Ну, очевидно, что всего один, поскольку целая часть
√3 равна 1. Далее, давайте посмотрим на то, что остаётся от прямоугольника.
И давайте вновь отмасштабируем эту часть так, чтобы меньшая сторона нового зелёного прямоугольника
стала равна 1. Коэффициент масштаба будет равен
1/0.7320... . В уравнении сверху, тем временем, мы
можем переписать правое слагаемое вот так.
Постоянные зрители Mathologer'а будут
знакомы с этим манёвром. Все остальные -
подумайте над этим пару секунд. ... Так,

English: 
the same sequence of green numbers. Okay root 3 is equal to 1.7320... and
so on let's rescale the short side of our root 3
rectangle to make it length 1. Then the
long side is equal to root 3, that is, 1.7320... and so on. Ok how many
squares of side lengths 1 can we fit?
Well obviously just one, the integer part
of root 3. Next let's have a look at the
rectangle that remains.
Let's rescale everything so that the
short side of the green rectangle
becomes 1. The scale factor that does the
trick is 1 over 0.7320... . Up on top we can
also do something, we can rewrite things
like this. Now Mathologer regulars will be
familiar with this maneuver. Everybody
else just think about it for a moment ... Ok,

Russian: 
отлично, всё под контролем. Это двигает
вперёд алгоритм непрерывной дроби.
Теперь, 1/0.7320... равно 1.3360... и так далее.
Теперь повторяем всё сначала. Сколько
квадратов со стороной 1 мы можем вместить
в зелёную область? Ну, очевидно, что вновь
только один - целую часть числа 1.3360... .
Сосредоточимся на оставшемся зелёном прямоугольнике и
отмасштабируем его так, чтобы меньшая
сторона стала равна 1. Вот так.
Перепишем уравнение сверху как до этого: 1/1.3360 равно 2.7320...
Сколько квадратов мы можем отсечь от зелёного прямоугольника теперь? Разумеется, два. И теперь продолжаем в том же духе.
Как видите, последовательность чисел, соответствующая спирали,
в точности совпадает с последовательностью
чисел, стоящих в знаменателях бесконечной

English: 
all under control, great! So good, anyway
this gets the continued fraction going
on top.
now 1 over .7320 is 1.3360..., and so on
Now, again, from the start. How many
squares of side lengths 1 fit into the
green? Well, obviously one, the integer
part of 1.3360 ...
Focus on the remaining green rectangle
and rescale everything such that it's
short side becomes 1. There we go.
Rewrite the top as before 1 over 1.3360  is 2.7320...
How many squares can we cut off the green. Two of course, and so on.
As you can see, the sequence of
numbers that corresponds to the spiral
is exactly the sequence of numbers in
the denominators of the infinite

Russian: 
дроби. И теперь, после осознания этого плавного
перехода к простым непрерывным дробям,
вы готовы посмотреть видео Mathologer'а,
посвящённое непрерывным дробям и
некоторым другим изумительным фактам о
природе чисел, на которые они проливают свет.
Например, одними из этих фактов являются замечательная закономерность в непрерывной дроби числа е,
построение цепной дроби для π и любопытное
наблюдение, что золотое сечение, число с
с самой простой спиралью (и непрерывной дробью), является самым
иррациональным числом на свете. И многое другое! Ну что ж, это всё на сегодня.
Разве что... вот ещё одна загадка для вас:
помимо золотой спирали, что ещё
не так с этой картинкой?

English: 
fraction. And with this transition to
simple continued fractions understood
you're ready for the Mathologer video
dedicated to continued fractions and
some of the other amazing insights they
offer into the nature of numbers. For
example, the amazing pattern in the
continued fraction of the number e, the
continued fraction of pi, and the curious
observation that the golden ratio, the
number was the simplest spiral and
continued fraction, is the most
irrational number, etc. And that's it for
today.
Except here is one more puzzle: apart
from the golden spiral what else is
wrong with this picture here?
