
Bulgarian: 
Искам в настоящия урок
да се запознаем с изследването 
на втората производна.
Преди въобще да преминем 
към съществената част,
искам да добием представа
какво ни дава изследването
на втората производна.
Нека само да начертая
една координатна система.
Нека да кажем, че това е 
моята ос у, а това е оста х.
Нека предположим, че имам функция,
която има локален максимум 
в точката х = с.
Нека да кажем, че 
разполагаме със ситуация,
която изглежда като ето това.
И х = с е точно ето това.
Това е точката (c; f(c)).
Мога да начертая 
и по-права прекъсната линия.
Това е точката х = с.
Виждаме, че тук има 
локален максимум.
Може да използваме методи
 от математическия анализ,
за да проверим какво се случва 
в тази точка.
Едно от нещата, които знаем, е,

English: 
- [Voiceover] So what I
want to do in this video
is familiarize ourselves with
the second derivative test
and before I even get into
the nitty-gritty of it,
I really just want to
get an intuitive feel
for what the second
derivative test is telling us.
So let me just draw some axes here.
So let's say that's my y-axis,
let's say this is my x-axis
and let's say I have a function that has
a relative maximum value at X equals C.
So let's say we have a situation
that looks something like that
and X equals C is right over,
so that's the point C, F of C.
So if I can draw a straighter dotted line.
So that is X being equal to C
and we visually see that we
have a local maximum point there
and we can use our calculus tools
to think about what's going on there.
Well one thing that we know,

Thai: 
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ
ทำความคุ้นเคยกับ
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
และก่อนที่ผมจะพูดถึงเนื้อหา
ผมอยากรู้สึกถึงสัญชาตญาณ
ว่าการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
จะบอกอะไรเรา
ขอผมลากแกนตรงนี้นะ
สมมุติว่านั่นคือแกน y ของผม
สมมุติว่านี่คือแกน x
และสมมุติว่าผมมีฟังก์ชันที่มี
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x เท่ากับ c
สมมุติว่าเรามีกรณี
ที่เป็นแบบนั้น
และ x เท่ากับ c อยู่ตรง
มันคือจุด (c, f ของ c)
ถ้าผมวาดเส้นประให้ตรงกว่านี้ได้
นั่นคือ x เท่ากับ c
และเราเห็นจากภาพว่า 
เรามีจุดสูงสุดท้องถิ่นตรงนี้
และเราใช้เครื่องมือแคลคูลัส
คิดว่าเกิดอะไรขึ้นตรงนี้ได้
สิ่งหนึ่งที่เรารู้

Czech: 
V tomto videu vás chci seznámit
s testem pomocí druhé derivace.
Ještě než se dostanu
k jádru věci,
chtěl bych se intuitivně podívat na to,
co nám test pomocí druhé derivace říká.
Nejprve zde
nakreslím osy.
Řekněme, že toto je osa y
a že tohle bude osa x.
Řekněme dále, že máme funkci, která má
lokální maximum v bodě x rovno ‚c‘.
Řekněme tedy, že máme situaci,
která vypadá přibližně takto.
Bod x rovno ‚c‘ je...
Tohle je bod
[c; f(c)], takže...
Pokusím se nakreslit
rovnější přerušovanou čáru.
Takže tady je
bod x rovno ‚c‘.
Už od pohledu vidíme, že
zde máme lokální maximum.
Nyní můžeme použít diferenciální počet
a zjistit, co se v tomto bodě děje.
Jednu věc víme.

Korean: 
이번 시간에 배울 것은
'이계도함수 판정법'입니다
판정법의 핵심을 배우기 전에,
이 판정법이 직관적으로
무엇을 의미하는지
그 느낌을 한 번 잡고 넘어갑시다
우선 좌표축을 먼저 그립시다
우선 좌표축을 먼저 그립시다
그리고 어떤 함수가
x = c에서
극댓값을 가진다고 합시다
그래프는 대략
이렇게 생겼을 것이고,
그래프는 대략
이렇게 생겼을 것이고,
여기가 x = c입니다
이 점의 좌표는
(c, f(c))가 됩니다
 
 
이 점이 극댓점임은
눈으로 확인할 수 있습니다
미적분학의 도구를 사용해서
이 점을 분석합시다
한 가지 우리가 아는 것은

Thai: 
เรารู้ความชันของเส้นสัมผัส
อย่างน้อยวิธีที่ผมวาดตรงนี้
เท่ากับ 0
เราบอกได้ว่า f ไพรม์ของ c เท่ากับ 0
และอีกอย่างที่เราเห็นได้
คือว่า เรากำลังเว้าลง
ในเขตแถวๆ x เท่ากับ c
สังเกตว่าความชันของเราลดลงเรื่อยๆ
และเนื่องจากความชันของเรา
สังเกตว่ามันเป็นบวก
มันเป็นบวกน้อยลง บวกน้อยลง
มันไปถึง 0 แล้วมันกลายเป็นลบ
ลบขึ้นอีก แล้วก็ลบขึ้นอีก
เราจึงรู้ว่า f ไพรม์ ไพรม์
เรารู้ว่า f ไพรม์ไพรม์ของ c
น้อยกว่า 0
และผมยังไม่ได้พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ลึกซึ้ง
แต่ถ้าผมมีจุดวิกฤตที่ x เท่ากับ c
f ไพรม์ของ c เท่ากับ 0
และเรายังเห็นว่าอนุพันธ์อันดับสองตรงนี้
น้อยกว่า 0
โดยสัญชาตญาณแล้ว มันสมเหตุสมผล
ที่เราอยู่ที่ค่าสูงสุด

Bulgarian: 
че наклонът на допирателната,
поне по начина, по който я начертах,
наклонът в тази точка е равен на 0.
Може да кажем, че 
f' от c е равно на 0.
Друго нещо, което може да видим,
е, че функцията е вдлъбната 
в близост до точката х = с.
Забележи, че наклонът
 постоянно намалява.
Наблюдаваме, че наклонът 
е положителен,
става по-малко положителен,
 дори още по-малко положителен.
Достига до 0, след което 
става отрицателен,
още повече отрицателен
и дори още повече отрицателен.
Знаем, че f'' от с
е по-малко от 0.
Не съм направил математически 
обосновано доказателство сега,
но в точката х = с функцията 
има критична точка,
т.е. f' от c е равно на 0.
Виждаме, че в тази точка 
втората производна е по-малко от 0.
Интуитивно това ни дава усещане,
че в тази точка има 
локален максимум.

Czech: 
Víme, že směrnice tečny,
alespoň tak, jak jsem to
tu nakreslil, se rovná 0.
Můžeme tedy říct, že
f s čárkou v bodě ‚c‘ je rovno 0.
Dále vidíme, že funkce je konkávní
na okolí bodu x rovno ‚c‘.
Všimněme si,
že sklon neustále klesá.
Protože sklon
neustále...
Nejprve je kladný, pak
čím dál tím méně kladný,
následně se rovná nule, načež začne být
záporný a poté je čím dál tím víc záporný.
Víme tedy, že f se dvěma čárkami
v bodě ‚c‘ je menší než 0.
Neudělal jsem tu žádný
hluboký matematický důkaz,
ale když máme stacionární bod,
ve kterém je f s čárkou...
Když máme stacionární bod x rovno ‚c‘,
pro který je f(c) s čárkou rovno 0,
a když také víme, že druhá derivace
v tomto bodě je menší než 0,
tak intuitivně dává smysl, že
jsme v bodě lokálního maxima.

English: 
we know that the slope
of the tangent line,
at least the way I've
drawn it right over here,
is equal to zero.
So we could say F prime
of C is equal to zero
and the other thing we can see
is that we are concave downward
in the neighborhood around X equals C.
So notice our slope is
constantly decreasing
and since your slope,
notice it's positive,
it's less positive, even less positive,
it goes to zero, then it becomes negative,
more negative and even more negative.
So we know that F prime prime,
we know that F prime prime of C
is less than zero
and so I haven't done any
deep mathematical proof here,
but if I have a critical
point at X equals C,
so F prime of C is equal to zero,
and we also see that the
second derivative there
is less than zero.
Well intuitively this makes sense
that we are at a maximum value

Korean: 
이 점에서 접선의 기울기가
적어도 이 그림에서는
0이라는 것입니다
f'(c) = 0이라고 할 수 있습니다
또 다른 사실은
x = c 주변에서
그래프가
아래로 오목하다는 점입니다
따라서 기울기는
지속적으로 감소합니다
기울기가 양수에서
점점 작아지다 0이 되고,
결국 음수가 되며
더욱 작아짐을 볼 수 있습니다
f''(c) < 0임을
역시 알 수 있습니다
f''(c) < 0임을
역시 알 수 있습니다
f''(c) < 0임을
역시 알 수 있습니다
수학적으로 증명은
하지 않았지만,
만약 x = c에서
임계점을 가져서
f'(c) = 0이 되고,
이계도함수가 0보다 작다면
이계도함수가 0보다 작다면
직관적으로 볼 때
이 점은 극댓점일 것입니다

Korean: 
반대로 생각하면
x = c에서 극솟값을 갖는 경우,
즉 극솟점이 되는 경우도
생각해 볼 수 있습니다
미분계수는 여전히 0일 것입니다
이 점에서 접선의 기울기가
여전히 0이거든요
따라서 f'(c) = 0입니다
하지만 그래프는 위로 오목입니다
기울기는 지속적으로 증가합니다
기울기는 지속적으로 증가합니다
따라서 극솟점에서
이계도함수는 0보다
크다고 할 수 있습니다
 
 
적어도 이 그림에서는
미분계수가 0이고
그래프가 위로 오목입니다
즉, 이계도함수가 0보다 큽니다
지금까지 우리가 쌓은 직관이 바로
이계도함수 판정법이
우리에게 말해주는 내용입니다
어떤 함수 f가

English: 
and we could go the other way
if we are at a local
minimum point at X equals C
or relative minimum point.
So our first derivative
should still be equal to zero
'cause our slope of a
tangent line right over there
is still zero.
So F prime of C is equal to zero.
But in this second situation,
we are concave upwards.
The slope is constantly increasing.
We have an upward opening bowl
and so here we have a
relative minimum value
or we could say our second
derivative is greater than zero.
Visually we see it's a
relative minimum value
and we can tell just
looking at our derivatives,
at least the way I've drawn it,
first derivative is equal to zero
and we are concave upwards.
Second derivative is greater than zero.
And so this intuition that
we hopefully just built up
is what the second
derivative test tells us.
So it says hey look, if we're
dealing with some function F,

Thai: 
และเราทำกลับกันได้
ถ้าเราอยู่ที่จุดสูงสุดท้องถิ่นที่ x เท่ากับ c
หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของเราควรยังเท่ากับ 0
เพราะความชันของเส้นสัมผัสตรงนั้น
ยังเป็น 0
f ไพรม์ของ c จึงเท่ากับ 0
แต่ในกรณีที่สอง เราจะเว้าขึ้น
ความชันจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
เรามีถ้วยหงาย
และตรงนี้เรามีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
หรือเราบอกได้ว่า อนุพันธ์อันดับสองของเรา
มากกว่า 0
จากภาพ เราเห็นว่ามันคือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
และเราบอกได้ แค่ดูอนุพันธ์
อย่างน้อยตามวิธีที่ผมวาดมัน
อนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากับ 0
และเราเว้าขึ้น
อนุพันธ์อันดับสองจะมากกว่า 0
แล้วสัญชาตญาณนี้ที่เราได้สร้างขึ้น
คือสิ่งที่การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองบอกเรา
มันบอกว่า เฮ้ ดูสิ ถ้าเรายุ่งกับฟังก์ชัน f

Czech: 
Mohli bychom to
udělat i opačně.
Kdyby funkce v bodě x rovno ‚c‘
měla lokální minimum,
tak její první derivace by
stále měla být rovna 0,
protože směrnice tečny
je v tomto bodě stále nulová.
f s čárkou v bodě ‚c‘
je tedy rovno 0.
V tomto druhém případě
je ale funkce konvexní.
Sklon neustále roste.
Máme takovou
otevřenou mísu.
V tomto bodě má tedy
funkce lokální minimum,
nebo také můžeme říct, že druhá
derivace je zde větší než 0.
Od pohledu vidíme,
že je zde lokální minimum,
a také vidíme něco o derivacích,
alespoň jak jsem to nakreslil.
První derivace je rovna 0
a funkce je konvexní,
takže druhá derivace
je větší než 0.
Tato intuice, kterou jsme
si tímto snad vytvořili,
je to, co nám říká test
pomocí druhé derivace.
Říká nám to, že když
máme nějakou funkci f…
Řekněme, že je to dvakrát
diferencovatelná funkce,

Bulgarian: 
Може да разгледаме 
и обратния случай:
в точката х = с да има локален минимум,
или точка на локален минимум.
Първата производна отново 
следва да е равна на 0,
защото наклонът на допирателната
 в тази точка
отново е равен на 0.
f' от c е равно на 0.
Но в тази втора ситуация
функцията е изпъкнала.
Наклонът постоянно нараства.
Имам отворена отгоре купа.
Следователно имаме стойност 
на локален минимум,
или може да твърдим, че втората
 производна е по-голяма от 0.
Видно е от графиката, че е 
точка на локален минимум,
което може да заявим и само 
като погледнем производните,
поне по начина, по който 
съм начертал графиката.
Първата производна е равна на 0,
а функцията е изпъкнала.
Втората производна е по-голяма от 0.
Разбирането и усещането, което
 сме придобили,
е това, което научаваме 
от изследването на втората производна.
Това изследване гласи следното: Дадена е някаква функция f,

Czech: 
což znamená, že na
nějakém intervalu…
Znamená to, že její první
i druhá derivace jsou definované.
Řekněme, že máme nějaký bod x rovno ‚c‘,
ve kterém je první derivace rovna 0,
což znamená, že směrnice
tečny je v něm nulová
a že derivace je definovaná
na nějakém okolí bodu x rovno ‚c‘.
Pro většinu funkcí,
s nimiž počítáme, platí,
že když jsou diferencovatelné v ‚c‘,
tak jsou diferencovatelné na okolí ‚c‘.
Dále předpokládáme,
že druhá derivace existuje,
tedy že f je dvakrát
diferencovatelná.
Potom může jít o bod lokálního maxima,
nebo o bod lokálního minima,
nebo možná nevíme,
s čím se setkáváme,
možná to není ani bod lokálního
minima, ani bod lokálního maxima.
Avšak díky
druhé derivaci...
Když spočítáme druhou derivaci
a zjistíme, že je menší než 0,
tak jde o bod
lokálního maxima.
To je ta situace, se
kterou jsme tady začali.
Pokud je druhá
derivace větší než 0,
tak jde o tuhle
druhou situaci,

Thai: 
สมมุติว่ามันเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง
นั่นหมายความว่าบนช่วงๆ หนึ่ง
นั่นหมายความว่าคุณหาอนุพันธ์
อันดับหนึ่งและสองได้
และสมมุติว่ามีจุด x เท่ากับ c
โดยอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมันเท่ากับ 0
ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ 0
แล้วอนุพันธ์มีจริงในเขตแถวๆ c
และฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่เราเจอ
ถ้ามันหาอนุพันธ์ได้ที่ c
มันมักจะหาอนุพันธ์ได้ในเขตรอบๆ c
แล้วเราก็สมมุติว่าอนุพันธ์อันดับสองมีจริง
หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง
แล้วเราจะเจอจุดสูงสุด
เราอาจเจอจุดต่ำสุด
หรือเราอาจไม่รู้ว่าเราเจออะไร
มันอาจไม่ใช่จุดต่ำสุดหรือสูงสุดก็ได้
แต่การใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง
ถ้าเราหาอนุพันธ์อันดับสอง และถ้าเราเห็นว่า
อนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่า 0 จริง
แล้วเราจะได้จุดสูงสุดสัมพัทธ์
แล้ว นี่คือกรณีที่
เราเริ่มบนนี้
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของเรามากกว่า 0
แล้วเราจะอยู่ในกรณีนี่ตรงนี้

English: 
let's say it's a twice
differentiable function.
So that means that over some interval.
So that means that you
could find its first
and second derivatives are defined
and so let's say there's
some point, X equals C,
where its first derivative
is equal to zero,
so the slope of the tangent
line is equal to zero,
and the derivative exists
in a neighborhood around C
and most of the functions we deal with,
if it's differentiable at C,
it tends to be differentiable
in the neighborhood around C
and then we also assume that
second derivative exists
is twice differentiable.
Well then we might be
dealing with a maximum point,
we might be dealing with a minimum point,
or we might not know
what we're dealing with
and it might be neither a
minimum or a maximum point.
But using the second derivative test,
if we take the second
derivative and if we see that
the second derivative is
indeed less than zero,
then we have a relative maximum point.
Then so this is a situation that
we started with right up there.
If our second derivative
is greater than zero,
then we are in this situation right here,

Bulgarian: 
която е двойно диференцируема.
Това означава, че в рамките 
на някакъв интервал,
са дефинирани нейната първа 
и втора производна.
Нека да кажем, че съществува 
точка х равно на с,
където първата производна 
е равна на 0.
Наклонът на допирателната 
е равен на 0,
а производната съществува
 в близост до точката с.
Повечето от функциите, 
които изследваме –
ако са диференцируеми в точката с –
то следва да са диференцируеми
 и в близост до точката с.
След това предполагаме, че 
втората производна съществува,
т.е. функцията е двойно 
диференцируема.
Може да има налице точка 
на максимум,
а може и да е точка на минимум.
Може и да не знаем 
за каква стойност става дума.
А може да не е нито точка
 на максимум, нито точка на минимум.
Но като използваме изследването 
на втората производна,
намираме втората производна,
и ако тя наистина е по-малка от 0,
то функцията има локален 
максимум в тази точка.
Тогава това е случаят, с който
започнахме ето тук горе.
Ако втората производна 
е по-голяма от 0,
тогава се намираме 
в този случай ето тук,

Korean: 
두 번 미분 가능하다고 합시다
즉, 어떤 구간에서
이 함수의 도함수와
이계도함수가 정의되었다고 합시다
이때 어떤 점 x = c에서
미분계수가 0,
즉 접선의 기울기가
0이라고 합시다
그리고 c의 주변에서
미분가능이라고 합시다
우리가 보는 많은 함수들이
c에서 미분가능이면
그 주변에서도
미분 가능할 것입니다
그리고 이계도함수도
존재한다고 합시다
이계미분가능인 것이죠
이때 이 점은 극댓점이거나,
또는 극솟점이거나,
또는 우리가 무엇인지
확정할 수 없는,
어쩌면 극점이 아닌
점일수도 있습니다
하지만 이계도함수 판정법을 쓰면
이계도함수의 값을 확인했을 때
그 값이 0보다 작다면
극댓점임을 알 수 있습니다
이것은 우리가 시작할 때 본
위의 상황과 같은 경우입니다
만약 이계도함수가 0보다 크다면
오른쪽의 상황과 같이

Czech: 
kdy je funkce konvexní.
Tam, kde je sklon nulový,
je dno naší mísy,
neboli jde o
bod lokálního minima.
Pokud je druhá derivace
nula, tak nelze nic říci.
Nevíme, co se v tom
bodě doopravdy děje.
Nemůžeme o tom
nic najisto tvrdit.
Teď si udělejme
rychlý příklad,
abychom viděli,
jestli už to chápeme.
Řekněme, že máme nějakou dvakrát
diferencovatelnou funkci h
a že h(8) se rovná 5.
Dále víme, že h s čárkou
v bodě 8 se rovná 0
a že druhá derivace
v bodě x rovno 8 je rovna −4.
Když tohle víme,
dokážeme říci,
zda je bod [8; 5] lokálním
minimem, lokálním maximem,
anebo zda pro to
není dost informací?

Thai: 
เราจะเว้าขึ้น
เมื่อความชันเป็น 0 นั่นคือก้นถ้วย
เรามีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
และถ้าอนุพันธ์อันดับสองของเราเป็น 0
มันจะสรุปไม่ได้
เราไม่รู้ว่าเกิดอะไรขึ้น ณ จุดนั้น
เราสรุปอะไรชัดเจนไม่ได้
พักเรื่องนั้นไว้ ลองมาดูตัวอย่างเร็วๆ กัน
ดูว่าเราซึมซับไปไหม
สมมุติว่าผมมีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง h
และสมมุติว่า ผมบอกคุณว่า
h ของ 8 เท่ากับ 5
ผมบอกคุณว่า h ไพรม์ของ 8 เท่ากับ 0
และผมบอกคุณว่าอนุพันธ์อันดับสอง
ที่ x เท่ากับ 8 นั้นเท่ากับลบ 4
จากข้อมูลนี้ คุณบอกได้ไหมว่า
จุด (8,5) จุด (8,5)
มันเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ จุดสูงสุดสัมพัทธ์
หรือข้อมูลไม่พอ?

Bulgarian: 
а функцията е изпъкнала.
Там, където наклонът е равен на 0, 
се намира дъното на купата.
Имаме точка на локален минимум.
А ако втората производна е равна на 0, 
то не може да направим извод.
Не знаем какво точно 
се случва в тази точка.
Не може да направим 
някакво крайно заключение.
С това, което казахме дотук, нека 
да решим един кратък пример,
за да видим дали 
концепцията е усвоена.
Нека да кажем, че е дадена двойно 
диференцируемата функция h.
Нека да кажем, че ти съобщя,
че h от 8 е равно на 5.
Казвам ти, че h' от 8 е равно на 0.
И ти казвам, че втората производна
в точката х = 8 е равна на –4.
Като знаеш това, можеш ли 
да ми кажеш
дали точката (8; 5), т.е. 
дали тази точка,
е точка на локален минимум,
или е точка на локален максимум,
или не разполагаш 
с достатъчно данни.

English: 
we're concave upwards.
Where the slope is zero,
that's the bottom of the bowl.
We have a relative minimum point
and if our second derivative
is zero, it's inconclusive.
We don't know what is actually
going on at that point.
We can't make any strong statement.
So with that out of the way,
let's just do a quick example
just to see if this has gelled.
Let's say that I have some
twice differentiable function H
and let's say that I tell you that
H of eight is equal to five,
I tell you that H prime
of eight is equal to zero,
and I tell you that the second derivative
at X equals eight is
equal to negative four.
So given this, can you tell me whether
the point eight comma five,
so the point eight comma five,
is it a relative minimum,
relative minimum, maximum point
or not enough info?

Korean: 
그래프는 위로 오목합니다
이때 기울기가 0인 지점은
극솟점이 됩니다
만약 이계도함수가 0이라면,
이 점은 결정되지 않습니다
이 점이 어떤 점인지
확실하게 말할 수 없습니다
이 점이 어떤 점인지
확실하게 말할 수 없습니다
간단한 예를 들어
판정법이 분명한지 확인합시다
어떤 이계미분가능인 함수 h가
h(8) = 5를 만족한다고 합시다
h(8) = 5를 만족한다고 합시다
그리고 h'(8) = 0이고,
h''(8) = -4라고 합시다
h''(8) = -4라고 합시다
이처럼 함수 g가 주어졌을 때,
점 (8, 5)는 어떤 점일까요?
극솟점일까요, 극댓점일까요,
극솟점일까요, 극댓점일까요,

Bulgarian: 
Липсват ли достатъчно данни, 
за да направиш извод?
И както винаги, спри видеото
и провери дали можеш да решиш
задачата самостоятелно.
Предполагаме, че функцията 
е двойно диференцируема,
и мисля, че е безопасно да предположим...
т.е. за целта на нашия урок
ще предположим, че 
производната съществува
в близка околност на точката x = 8.
Следователно в този пример 
точката с е равно на 8.
Точката (8; 5) определено 
е точка от кривата.
Производната е равна на 0.
Потенциално налице е 
единият от тези случаи.
А втората производна 
е по-малка от 0.
Втората производна 
е по-малка от 0.
Това изяснява всичко.
Фактът, че втората производна,
т.е. h'' от 8 е по-малко от 0,
ни казва, че попадаме 
ето в този случай ето тук.
Следователно, само по данните, 
с които разполагаме,
може да заявим, че в точката (8; 5)
функцията има локален максимум.
С други думи, това е точка на 
локален максимум за функцията.

Czech: 
Nedostatek informací neboli
nedokážeme nic říci.
Jako vždy si zastavte video
a zkuste na to přijít.
Máme dvakrát
diferencovatelnou funkci
a myslím, že můžeme pro
jednoduchost předpokládat,
že první derivace existuje na
nějakém okolí bodu x rovno 8.
V tomto příkladu
se ‚c‘ rovná 8, takže...
Bod [8; 5] určitě leží
na zadané křivce.
Derivace je rovna 0,
takže máme co do činění
s jednou z těchto situací,
a druhá derivace
je menší než 0.
Druhá derivace je
menší než 0.
To nám
bylo zadáno.
To, že druhá derivace, tedy h se dvěma
čárkami, v bodě 8 je menší než 0,
nám říká, že
nastal tento případ.
Takže jen s těmi informacemi,
které nám dali,
můžeme říct, že v bodě [8; 5]
má funkce lokální maximum,
neboli že jde o bod
lokálního maxima této funkce.

Korean: 
아니면 정보가 부족한가요,
아니면 확정할 수 없나요?
잠시 영상을 멈추고
여러분이 맞춰 보세요
함수 h는 이계미분가능이므로
함수 h는 이계미분가능이므로
x = 8 근처에서
미분계수가 존재한다고
할 수 있습니다
미분계수가 존재한다고
할 수 있습니다
이 예시에서, c = 8입니다
(8, 5)는 곡선 위의 점입니다
미분계수는 0입니다
따라서 앞에서 살펴본 경우 중
한 가지가 될 것입니다
이계도함수가 0보다 작으므로
이계도함수가 0보다 작으므로
이계도함수가 0보다 작으므로
즉, h''(8) < 0이므로
즉, h''(8) < 0이므로
이 경우와 같은 상황임을
알 수 있습니다
주어진 정보만으로,
우리는 점 (8, 5)에서
g가 극댓값을 가짐을
알 수 있습니다
다르게 말하면
이 점은 극댓점이 됩니다

English: 
Not enough info or inconclusive?
And like always, pause the video
and see if you can figure it out.
Well we're assuming it's
twice differentiable
and I think it's safe to assume that
and for the sake of our problem
we're gonna assume that
the derivative exists
in a neighborhood around X equals eight.
So in this example, C is eight.
So point eight five is
definitely on the curve.
The derivative is equal to zero.
So we're dealing potentially
with one of these scenarios
and our second derivative
is less than zero.
Second derivative is less than zero.
So this threw us.
So the fact that the second derivative,
so H prime prime of
eight is less than zero,
tells us that we fall into
this situation right over here.
So just with the information
they've given us,
we can say that at the
point eight comma five
we have a relative maximum value
or that this is a relative
maximum point for this.

Thai: 
ข้อมูลไม่พอ หรือสรุปไม่ได้?
เหมือนเดิม หยุดวิดีโอ
แล้วลองดูว่าคุณหาคำตอบเองได้ไหม
เราสมมุติว่ามันหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง
และผมว่า เราสมมุติได้ว่า
สำหรับปัญหาของเรา
เราจะสมมุติว่าอนุพันธ์มีจริง
ในเขตรอบๆ x เท่ากับ 8
ในตัวอย่างนี้ c คือ 8
จุด (8, 5) จะอยู่บนเส้นโค้งแน่นอน
อนุพันธ์เท่ากับ 0
เราจึงได้กรณีหนึ่งในนี้
และอนุพันธ์อันดับสองของเราน้อยกว่า 0
อนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่า 0
อันนี้บอกเรา
ความจริงที่ว่าอนุพันธ์อันดับสอง
h ไพรม์ไพรม์ของ 8 น้อยกว่า 0
บอกเราว่า เราอยู่ในกรณีนี่ตรงนี้
ด้วยข้อมูลที่เขาให้เรามา
เราบอกได้ว่าจุด (8, 5)
เราได้จุดสูงสุดสัมพัทธ์
นี่คือจุดสูงสุดสัมพัทธ์สำหรับฟังก์ชันนี้

Thai: 
ถ้าเขาบอกเราว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็น 0
เราจะบอกว่า มันสรุปไม่ได้
ถ้าเขาบอกเรามา และเขาบอกเรามาแค่นั้น
และถ้าเขาบอกว่าอนุพันธ์อันดับสอง
มากกว่า 0 แล้วเราจะได้
จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x เท่ากับ 8

Korean: 
만약 이계도함수가 0이었다면
우리는 결정할 수 없다고
말했을 것입니다
그리고 만약 이계도함수가
0보다 컸다면
그리고 만약 이계도함수가
0보다 컸다면
그리고 만약 이계도함수가
0보다 컸다면
x = 8에서 g는
극솟값을 가질 것입니다

Czech: 
Kdyby nám zadali, že
druhá derivace je rovna 0,
tak bychom řekli,
že nelze rozhodnout,
a kdyby nám řekli, že druhá
derivace je větší než 0,
tak by funkce v bodě x rovno 8
měla lokální minimum.

Bulgarian: 
Ако ни бяха дали информация, че
 втората производна е равна на 0,
то тогава нямаше да можем 
да направим извод.
Ако ни бяха дали информация
относно втората производна, че е
по-голяма от 0, то тогава 
функцията щеше
да има локален минимум 
в точката х = 8.

English: 
If somehow they told us the
second derivative was zero,
then we would say it's inconclusive.
If they told us and
that's all they told us
and if they told us the second derivative
is greater than zero,
then we would be dealing
with a relative minimum
value at X equals eight.
