
Korean: 
 
이전 강의에서
2차 정사각행렬 A를
1, 2, 4, 3 이라 두고
시작하였습니다
그리고 λ가 A의
고윳값이라는 것과
λ에 항등행렬을 곱한 것에서
A를 뺀 것의 행렬식이 0이라는 게
동치라는 사실을 이용했습니다
이것은 특성방정식이고 이를 풀면
A의 고윳값은
λ=5 와 λ=-1이 됩니다
이전 강의에서 본 내용이죠
만약 여러분이 A와
어떤 고유벡터를 곱한 것이
λ와 그 고유벡터를 곱한 것과
같다는 식을 풀고자 한다면
이 방정식의 해인 두 λ는

Chinese: 
上次影片中 從一個2×2的矩陣A入手
等於[1,2；3,4]
而且我們利用事實 λ是A的特征值
若且唯若
行列式乘以單位方陣λ
在這裡是一個2×2單位陣
減A等於0
這個給我們了一個特征多項式
我們解出它就說
A的特征值是λ
等於5 和λ=-1
這些是我們在上次影片中見過的
我們說如果你想嘗試著解
A乘以某個特征向量等於
λ乘以那個特征向量
那兩個λ 可以使等式成立

Spanish: 
En el video anterior empezamos con una matriz A 2x2
con entradas 1, 2, 4, 3.
Y sabiendo que lamba es un valor propio de A,
si y solo si, la determinante de lambda por
la matriz identidad--en este caso de 2 por 2--
menos A es igual a 0.
Esto nos dio un polinomio característico para el cual resolvimos
y encontramos que los valores propios de A son
lamba igual a 5 y lamba igual a menos 1.
Eso es lo que vimos en el anterior vídeo.
Dijimos que si intentas resolver A por algún
vector propio es igual a lambda por ese mismo vector propio,
las dos lambdas, para las que hallamos solución en esta ecuación,

Polish: 
W poprzednim filmie, zaczęliśmy badać macierz 2 na 2 A
W poprzednim filmie, zaczęliśmy badać macierz 2 na 2 A
równą 1, 2, 4, 3.
Wykorzystaliśmy fakt, że lambda jest wartością własną A,
wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik labda razy
macierz jednostkowa - w tym wypadku macierz jednostkowa 2 na 2 --
-- odjąć A jest równy 0.
W ten sposób otrzymaliśmy wielomian charakterystyczny i znaleślismy
jego pierwiastki. Powiedzieliśmy, że wartości własne A
są równe 5 oraz minus 1.
Tyle widzieliśmy w poprzednim filmie.
Powiedzieliśmy, że jeżeli chcemy rozwiązać równanie
macierz A razy jakiś wektor własny równa się labda razy ten wektor,
to dwie labdy, dla których to równanie ma rozwiązanie,

English: 
In the last video, we started
with the 2 by 2 matrix A is
equal to 1, 2, 4, 3.
And we used the fact that lambda
is an eigenvalue of A,
if and only if, the determinate
of lambda times
the identity matrix-- in this
case it's a 2 by 2 identity
matrix-- minus A
is equal to 0.
This gave us a characteristic
polynomial and we solved for
that and we said, well, the
eigenvalues for A are lambda
is equal to 5 and lambda
is equal to negative 1.
That's what we saw in
the last video.
We said that if you were trying
to solve A times some
eigenvector is equal to lambda
times that eigenvector, the
two lambdas, which this equation
can be solved for,

Chinese: 
上次视频中 从一个2×2的矩阵A入手
等于[1,2；3,4]
而且我们利用事实 λ是A的特征值
当且仅当
行列式乘以单位矩阵λ
在这里是一个2×2单位阵
减A等于0
这个给我们了一个特征多项式
我们解出它就说
A的特征值是λ
等于5 和λ=-1
这些是我们在上次视频中见过的
我们说如果你想尝试着解
A乘以某个特征向量等于
λ乘以那个特征向量
那两个λ 可以使等式成立

Spanish: 
son lambdas igual a 5 y menos 1.
Asumiendo que los vectores propios no son nulos.
Tenemos nuestros valores propios, pero no llamaría a eso
ni la mitad de la batalla.
Lo que realmente queremos son nuestros vectores propios
y valores propios.
Veamos si podemos hacer eso.
Si manipulamos esta ecuación un poco
y la hemos manipulado antes. De hecho, incluso
llegamos a esta afirmación aquí.
Podemos reescribir esto como "El vector 0 es igual a
lambda por mi vector propio, menos A por mi valor propio".
Solo reste Av por ambos lados.
Sabemos que lambda veces algun vector propio es lo mismo
que lambda por la matriz identidad por ese vector propio.
Así que solo estoy reescribiendo esto así.

Chinese: 
就是λ是5和-1
假設特征向量非0
所以我們得到特征值
但是我不敢說我們已經完成了問題的一半
我們實際上是想得到
特征向量和特征值
我們來看看我們是否可以做到
如果改一下這個等式
我們已經在之前改過這個式子 實際上
我們已經在上面提出這種形式
我們可以把上面這個重新寫在這 寫成0向量等於
λ乘以特征向量減A乘以特征向量
我就在兩邊都減去Av
我們知道λ乘以某個特征向量等同於
λ乘以單位方陣
乘以那個特征向量
所有我重新寫的就像這樣

Korean: 
5와 -1일 것입니다
영벡터가 아닌 고유벡터라고
가정한다면 말이죠
영벡터가 아닌 고유벡터라고
가정한다면 말이죠
영벡터가 아닌 고유벡터라고
가정한다면 말이죠
고윳값을 갖고 있지만
이것은 고비도 아닙니다
정말 원하는 것은
고유벡터와 고윳값입니다
정말 원하는 것은
고유벡터와 고윳값입니다
할 수 있다면
구해봅시다
이 방정식을 약간 조정한다면
이전에 해본 적이 있죠
사실 이미 이 명제가
주어졌습니다
이를 0 = λv - Av 라고
다시 나타낼 수 있습니다
이를 0 = λv - Av 라고
다시 나타낼 수 있습니다
단지 양변에서 Av를 뺐습니다
λ와 어떤 고유벡터의 곱은
λ와 항등 행렬, 고유벡터의
곱과 같습니다
그저 이 식을
이렇게 표현했을 뿐입니다

Chinese: 
就是λ是5和-1
假设特征向量非0
所以我们得到特征值
但是我不敢说我们已经完成了问题的一半
我们实际上是想得到
特征向量和特征值
我们来看看我们是否可以做到
如果改一下这个等式
我们已经在之前改过这个式子 实际上
我们已经在上面提出这种形式
我们可以把上面这个重新写在这 写成0向量等于
λ乘以特征向量减A乘以特征向量
我就在两边都减去Av
我们知道λ乘以某个特征向量等同于
λ乘以单位矩阵
乘以那个特征向量
所有我重新写的就像这样

Polish: 
to labda równe 5 lub minus 1.
to labda równe 5 lub minus 1.
Zakładając, że wektory własne są niezerowe.
Zakładając, że wektory własne są niezerowe.
Czyli mamy nasze wartości własne, ale to nie jest
jeszcze nawet połowa sukcesu.
To co na prawdę chcemy mieć to nasze wektory własne
i nasze wartości własne.
Zobaczmy, czy możemy je znaleźć.
Jeżeli przekszałcimy trochę to równanie,
robilismy już wcześniej -- właściwie, nawet dostaliśmy
w ten sposób to stwierdzenie tutaj.
Możemy przepisać to tutaj jako: wektor 0 równa się
labda razy mój wektor własny odjąć A razy mój wektor własny.
Po prostu odjąłem Av od obu stron.
Wiemy, że lambda razy wektor to jest to samo,
co lambda razy macierz jednostkowa, razy ten wektor.
Czyli przepiszę to teraz tak.

English: 
are the lambdas 5 and minus 1.
Assuming nonzero eigenvectors.
So we have our eigenvalues,
but I don't even call that
half the battle.
What we really want is our
eigenvectors and our
eigenvalues.
So let's see if we
can do that.
So if we manipulate this
equation a little bit and
we've manipulate it in the past.
Actually, we've even
come up with this statement
over here.
We can rewrite this over here
as the 0 vector is equal to
lambda times my eigenvector
minus A times my eigenvector.
I just subtracted Av
from both sides.
We know lambda times some
eigenvector is the same thing
as lambda times the identity
matrix times that eigenvector.
So all I'm doing is rewriting
this like that.

Korean: 
항등행렬에
어떤 고유벡터를 곱하든
다시 그 벡터를
얻을 것입니다
따라서 이 두 식은 같습니다
-Av
-Av
그대로 영벡터입니다
단지 이 식을
살짝 변형시켰습니다
위 명제에서
이 식을 얻었습니다
식에서 v를 묶습니다
행렬 벡터 곱은 분배법칙이
성립하기 때문입니다
그러면 λ와 항등행렬의 곱에서
행렬 A를 뺀 값에
고유벡터를 곱한 것이
영벡터가 됩니다
다르게 말하자면
어떤 고윳값 λ에 대해서
다르게 말하자면
어떤 고윳값 λ에 대해서
λ에 대응하는
고유벡터들의 집합을
λ에 대한
고유공간이라고 합니다

Chinese: 
你乘以这个单位矩阵乘以一个特征向量
或者乘以任意的向量
你就会得到那个向量
所以这二者是等价的
减Av
仍将等于0向量
目前我所做的就是改一下这个式子
这就是我们如何得到上面这些式子的
你提出v 因为我们知道
矩阵向量乘积有分配律
我们得到λ乘以单位矩阵减A乘以
特征向量必须等于0
或者换一种说法 对于任意的λ特征值
我们写对于任意的特征向量λ
特征向量对应那个特征值
我们可以称它为λ所对应的特征空间

Spanish: 
Si multiplicas la matriz identidad por un vector propio,
o por cualquier otro vector, solo vas a obtener ese vector.
Así que estas dos casas son equivalentes.
Menos Av.
Eso todavía va a ser igual al vector 0.
Hasta ahora todo lo que hecho es manipular esto,
y esto es en realidad cómo llegamos a eso de arriba;
luego factorizas v, por así decir, pues sabemos que
el producto de matrices y vectores exhibe la propiedad distributiva,
y obtenemos lambda por la matriz identidad menos A por
mi vector propio, tiene que ser igual a 0.
U otra forma de decirlo: Para cualquier lambda valor propio (y
dejenme escribirlo "para cualquier valor propio lambda"),
los vectores propios que le corresponden a ese lambda, podemos llamar
a eso el "Espacio propio" para lambda,

Polish: 
Mnożymy macierz jednostkową razy wektor własny
albo dowolny wektor, po prostu dostaniemy ten wektor.
Czyli te dwie rzeczy są równoważne.
Odjąć Av.
Odjąć Av.
To wszystko musi być ciągle równe wektorowi zerowemu.
To co do tej pory zrobiłem, to przekształcanie tego.
To jest dokładnie to samo, co robilismy żeby dostać to równanie tutaj.
Wyciągamy v za nawias, bo wiemy, że
mnożenie macierzy i wektorów jest rozdzielne względem dodawania.
I dostajemy lambda razy macierz jednostkowa odjąć A
razy wektor własny ma być równe 0.
Inny sposób wysłowienia tego, to dla każdej wartości własnej lambda,
napiszę: dla każdej wartości własnej lambda,
wektory własne odpowiadające tej lambdzie, możemy
je nazywać przestrzenią własną tego lambda.

Chinese: 
你乘以這個單位方陣乘以一個特征向量
或者乘以任意的向量
你就會得到那個向量
所以這二者是等價的
減Av
仍將等於0向量
目前我所做的就是改一下這個式子
這就是我們如何得到上面這些式子的
你提出v 因爲我們知道
矩陣向量乘積有分配律
我們得到λ乘以單位方陣減A乘以
特征向量必須等於0
或者換一種說法 對於任意的λ特征值
我們寫對於任意的特征向量λ
特征向量對應那個特征值
我們可以稱它爲λ所對應的特征空間

English: 
You multiply the identity matrix
times an eigenvector or
times any vector, you're just
going to get that vector.
So these two things
are equivalent.
Minus Av.
That's still going to be
able to the 0 vector.
So far all I've done is
manipulated this thing.
This is really how we got
to that thing up there.
You factor out the v so to speak
because we know that
matrix vector products exhibit
the distributive property.
And we get lambda times the
identity matrix minus A times
my eigenvector have got
to be equal to 0.
Or another way to say it is, for
any lambda eigenvalue, and
let me write it for any
eigenvalue lambda, the
eigenvectors that correspond
to that lambda, we can call
that the eigenspace
for a lambda.

Korean: 
새로운 용어가 나왔네요
고유공간이라고 합니다
고유공간은 단지
어떤 고윳값에 대응되는
모든 고유벡터들의 집합을 의미합니다
특정 고윳값에 대한 고유공간은
이 방정식을 만족하는
벡터들의 집합과
같게 될 것입니다
이 방정식을 만족하는
벡터들의 집합은
이 행렬의 영공간일 뿐입니다
따라서 그것은
이 행렬의 영공간입니다
따라서 그것은
이 행렬의 영공간입니다
λ와 항등행렬을 곱한 것에서
A를 뺀 것의 영공간입니다
지금까지 한 모든 것들은
일반적인 경우에 대해서 참입니다
지금까지 한 모든 것들은
일반적인 경우에 대해서 참입니다
하지만, 이제 이 개념을
행렬 A에 적용할 수 있습니다
5는 고윳값입니다
λ=5 라고 하면
5에 대응하는 고유공간은
무엇의 영공간과 같을까요?

Chinese: 
它是一個新詞 特征空間
特征空間意思就是所有的特征向量
對應某個特征值
對於某個特定特征值所對應的特征空間
將等於這樣的向量構成的集合
滿足這個等式的向量
滿足這個等式的向量的集合就是
那個的零核空間
所以它等於
這個矩陣的零核空間
零核空間λ乘以單位方陣
再減去A
我把所有的都寫在這了 這是成立的
這是一般情況
但是現在我們可以應用這個概念到
這個矩陣A上
我們知道5是一個特征值
比方說對於λ=5 特征空間
對應於5等於零核空間

Chinese: 
它是一个新词 特征空间
特征空间意思就是所有的特征向量
对应某个特征值
对于某个特定特征值所对应的特征空间
将等于这样的向量构成的集合
满足这个等式的向量
满足这个等式的向量的集合就是
那个的零空间
所以它等于
这个矩阵的零空间
零空间λ乘以单位矩阵
再减去A
我把所有的都写在这了 这是成立的
这是一般情况
但是现在我们可以应用这个概念到
这个矩阵A上
我们知道5是一个特征值
比方说对于λ=5 特征空间
对应于5等于零空间

Spanish: 
así que eso es una nueva palabra, espacio propio.
"Espacio propio" solo significa "todos los vectores propios
que le corresponden a algun valor propio".
El espacio propio para algún valor propio en partícular
será igual al conjunto de vectores que
satisfagan esta ecuacón.
El conjunto de vectores que satisfacen esta ecuación es solo
el núcleo de esto de aquí.
Así es igual al núcleo de esta
matriz de ahí.
El núcleo de lambda por la matriz identidad
menos A.
Y entonces todo lo que he hecho aquí, esto es verdad--esto es
el caso general.
Pero ahora podemos aplicar esta noción a esta
matriz A de aquí.
Sabemos que 5 es un valor propio.
Digamos que para lambda igual a 5, el espacio propio
que le corresponde a 5 es igual al núcleo de...

English: 
So that's a new word,
eigenspace.
Eigenspace just means all
of the eigenvectors that
correspond to some eigenvalue.
The eigenspace for some
particular eigenvalue is going
to be equal to the set
of vectors that
satisfy this equation.
Well, the set of vectors that
satisfy this equation is just
the null space of that
right there.
So it's equal to the
null space of this
matrix right there.
The null space of lambda times
the identity matrix.
And by an identity
matrix minus A.
And so everything I've done
here, this is true-- this is
the general case.
But now we can apply
this notion to this
matrix A right here.
So we know that 5 is
an eigenvalue.
Let's say for lambda is equal
to 5, the eigenspace that
corresponds to 5 is equal
to the null space of?

Polish: 
To jest nowy termin: przestrzeń własna.
To jest nowy termin: przestrzeń własna.
Przestrzeń własna oznacza wszystkie wektory własne,
które odpowiadają pewnej wartości własnej.
Przestrzeń własna dla jakiejś określonej wartości własnej
jest zbiorem wektorów,
spełniających to równanie.
A zbiór wektorów spełniających to równanie, jest po prostu
jądrem tego tutaj.
Czyli jest jądrem tej
macierzy tutaj.
Jądrem macierzy lambda razy macierz jednostkowa
odjąć macierz A.
I wszystko co tu taj zrobiłem, to jest
przypadek ogólny.
A teraz możemy zastosować ten wynik
do macierzy A którą mam tu.
Wiemy, że 5 jest wartością własną.
Powiedzmy, że dla lambda równego 5, przestrzeń własna
odpowiadająca piątce jest równa jądru czego?

Polish: 
A co to jest 5 razy macierz jednostkowa?
To będzie macierz jednostkowa 2 na 2.
5 razy macierz jednostkowa to będzie 5, 0, 0, 5, odjąć A.
Czyli 1, 2, 4, 3.
Czyli to jest równe jądru tej macierzy.
5 odjąć 1 daje 4.
0 odjąć 2 daje minus 2.
0 odjąć 4 daje minus 4.
A potem 5 odjąć 3 daje 2.
A więc jądro tej macierzy tutaj -- a ta
macierz jes po prostu numeryczną reprezentacją
tej macierzy tutaj.
Jądro tej macierzy jest zbiorem wszystkich
wektorów, które spełniają to równanie, albo wszystkich
wektorów własnych odpowiadających tej wartości własnej.
Albo, przestrzenią własną odpowiadającą

Chinese: 
5乘以单位矩阵是什么
它是一个2×2的单位矩阵
5乘以单位矩阵就是[5,0；0,5]-A
那就是[1,2；4,3]
所以那就等于这个矩阵的零空间
5减1是4
0减2是-2
0减4是-4
然后 5减3是2
所以这个矩阵的零空间
这个矩阵就是一个实际的
这个矩阵的数字表示
这个矩阵的零空间是
所有这些向量组成的集合
这些向量满足这个或者是所有的特征向量
对应于这个特征值
或者是特征空间对应于

English: 
Well, what is 5 times
the identity matrix?
It's going to be the 2
by 2 identity matrix.
5 times the identity matrix is
just 5, 0, 0, 5 minus A.
That's just 1, 2, 4, 3.
So that is equal to the null
space of the matrix.
5 minus 1 is 4.
0 minus 2 is minus 2.
0 minus 4 is minus 4.
And then, 5 minus 3 is 2.
So the null space of this matrix
right here-- and this
matrix is just an actual
numerical representation of
this matrix right here.
The null space of this matrix
is the set of all of the
vectors that satisfy this or all
of the eigenvectors that
correspond to this eigenvalue.
Or, the eigenspace that
corresponds to

Korean: 
5와 항등행렬의 곱은 무엇인가요?
이는 2×2 항등행렬이 될 것입니다
5와 항등행렬의 곱은 5, 0, 0, 5 입니다
여기서 행렬 A를 뺍니다
행렬 A는 1, 2, 4, 3입니다
따라서 이는 이 행렬의
영공간이 됩니다
5 - 1 = 4
0 - 2 = -2
0 - 4 = - 4
5 - 3 = 2
이 행렬의 영공간과 이 행렬은
단지 이 행렬을
숫자로 나타냈을 뿐입니다
단지 이 행렬을
숫자로 나타냈을 뿐입니다
이 행렬의 영공간은
이를 만족하는 모든 벡터들의 집합
혹은 이 고윳값에 대응하는
모든 고유벡터들의 집합입니다
즉, 고윳값 5에 대응하는
고유공간이죠

Chinese: 
5乘以單位方陣是什麽
它是一個2×2的單位方陣
5乘以單位方陣就是[5,0；0,5]-A
那就是[1,2；4,3]
所以那就等於這個矩陣的零核空間
5減1是4
0減2是-2
0減4是-4
然後 5減3是2
所以這個矩陣的零核空間
這個矩陣就是一個實際的
這個矩陣的數字表示
這個矩陣的零核空間是
所有這些向量組成的集合
這些向量滿足這個或者是所有的特征向量
對應於這個特征值
或者是特征空間對應於

Spanish: 
bueno ¿Qué es 5 veces la matriz identidad?
Va a ser la matriz identidad 2x2.
5 por la matriz I es solo 5, 0, 0 ,5; menos A.
Eso es 1,2,3,4
Así que eso es igual al núcleo de la matriz.
5 menos 1 es 4
0 menos 2 es -2
0 menos 4 es -4
Y luego, 5 menos 3 es 2.
Así que el núcleo de esta matriz de aquí-- y esta
matriz es solo una representación númerica de
esta matriz de acá.
El núcleo de esta matriz es el conjunto de todos los
vectores que satisfacen esto, o de todos los vectores propios que
le corresponden a este valor propio,
o, el espacio propio que le corresponde a

Chinese: 
這個特征值5
這些全是等價描述
所以我們只需要計算出
這個矩陣的零核空間是
所有滿足這個等式的向量
[4,-2；-4,2]乘以某個特征向量
等於0向量
一個矩陣的零核空間等於
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
那麽這個矩陣的行簡化階梯形是什麽
我認爲一個好的切入點
就是保持第一行不變 4 -2
我來替換第二行
用第二行加上第一行
即-4加4是0
2加-2是0
現在 我們把第一行除以4
得到1 -1/2
然後是0 0
那麽這個矩陣的零核空間是什麽
這個對應於v
這個乘以[v1；v2]
那就是特征向量另一種寫法

Chinese: 
这个特征值5
这些全是等价描述
所以我们只需要计算出
这个矩阵的零空间是
所有满足这个等式的向量
[4,-2；-4,2]乘以某个特征向量
等于0向量
一个矩阵的零空间等于
这个矩阵的行简化阶梯形的零空间
那么这个矩阵的行简化阶梯形是什么
我认为一个好的切入点
就是保持第一行不变 4 -2
我来替换第二行
用第二行加上第一行
即-4加4是0
2加-2是0
现在 我们把第一行除以4
得到1 -1/2
然后是0 0
那么这个矩阵的零空间是什么
这个对应于v
这个乘以[v1；v2]
那就是特征向量另一种写法

Polish: 
wartości własnje 5.
To wszystko są równoważne stwierdzenia.
Czyli musimy tylko znaleźć jądro tej macierzy, czyli
wszystkie wektory które spełniają równanie
4, -2, -4, 2 razy jakiś wektor własny
jest równe wektorowi zerowemu.
I jądro macierzy jest równe jądru
macierzy wierszowo zredukowanej.
Jak wygląda postać wierszowo zredukowana tego kolesia?
No cóż, myślę że dobrym punktem startowym -- zostawię
pierwszy wiersz bez zmian, 4, -2.
A drugi wiersz zastąpię sumą drugiego
i pierwszego wiersza.
Czyli -4 dodać 4 daje 0.
2 dodać minus 2 daje 0.
Teraz podzielę pierwszy wiersz przez 4
i dostanę 1, minus 1/2.
A tu mam 0, 0.
Jakie jest jądro tego?
To odpowiada v.
To razy v1, v2 -- to jest inny sposób zapisania

English: 
the eigenvalue 5.
These are all equivalent
statements.
So we just need to figure out
the null space of this guy is
all of the vectors that satisfy
the equation 4 minus
2, minus 4, 2 times some
eigenvector is
equal to the 0 vector.
And the null space of a matrix
is equal to the null space of
the reduced row echelon
form of a matrix.
So what's the reduced row
echelon form of this guy?
Well, I guess a good starting
point-- let me keep my first
row the same, 4 minus 2.
And let me replace my second
row with my second row
plus my first row.
So minus 4 plus 4 is 0.
2 plus minus 2 is 0.
Now, let me divide my
first row by 4 and I
get 1, minus 1/2.
And then I get 0, 0.
So what's the null
space of this?
This corresponds to v.
This times v1, v2-- that's just
another way of writing my

Spanish: 
el valor propio 5.
Todas estas son afirmaciones equivalentes.
Ahora solo necesitamos resolver el núcleo de éste es
todos los vectores que satisfacen la ecuación: [4, -2,
-4, 2] por algún vector propio es
igual al vector 0.
Y el núcleo de una matriz es igual al núcleo de la
forma escalonada reducida por filas de una matriz.
Y ¿cuál es la forma escalonada reducidad de este tipo?
Bueno, supongo que un buen punto de partida-- déjenme dejar la primera
fila igual: 4, -2.
Y déjenme reemplazar la seguna fila con mi segunda fila
más mi primera fila.
Así que -4 más 4 es 0.
2 más -2 es 0.
Ahora, voy a dividir mi primera fila por 4 y
obtengo 1, -1/2.
Y luego obtengo 0,0.
Entoces ¿Cuál es el núcleo de esto?
Esto corresde a si v-.
Etso por v1, v2-- eso es solo otra forma de escribir

Korean: 
즉, 고윳값 5에 대응하는
고유공간이죠
모두 동일한 명제들입니다
이것의 영공간은
다음 방정식을 만족하는
모든 벡터들의 집합임을
풀어야 합니다
행렬 4, -2, -4, 2와
어떤 고유벡터의 곱이
영벡터입니다
이 행렬의 영공간은 기약사다리꼴 행렬의
영공간과 같습니다
이것의 기약사다리꼴 행렬은 무엇일까요?
괜찮은 추측을 하나 해봅시다
첫 번째 행인 4, －2를 동일하게 해 봅시다
그러고 나서 두 번째 행에  첫 번째 행을 더한 값으로
두 번째 행을 대신합시다
－4+4=0
2+(-2)=0
이제 첫 번째 행을 4로 나누어
1, －1/2를 얻어 봅시다
그러고 나서 0, 0을 얻습니다
이 행렬의 영공간은 무엇일까요?
이는 v에 대응합니다
이것에 v1, v2를 곱한 것은

Korean: 
영벡터와 같아야 합니다
이를 말하는 또 다른 방법은
이 피벗 열에 대응하는 v1과 ＋또는 －1/2에
v2를 곱하면
0이 되어야 한다는 것입니다
또는 v1=1/2 v2
만약 제가 이를 만족하는 모든 고유벡터를 구하기를
원한다면 이 방법으로 구할 수 있습니다
λ=5, 고윳값5에 대응하는 제 고유공간은
어떤 스케일링 상수와 어떤
벡터를 곱해서 나오는
모든 벡터 (v1, v2)와 같습니다
스케일링 상수를 t라고 하면, t에 무엇을 곱한 것과 같죠?
만약 v2가 t와 같다고 한다면 v2는

Spanish: 
mi vector propio v-- tiene que ser igual al vector 0.
O otro forma de decirlo es que mi primer entrada v1, que
le corresponde a esta columna pivote, menos 1/2
por mi segunda entrada tiene que ser igual a
ese 0 de ahí.
O, v1 es igual a 1/2 v2.
Y entonces si quisiera escriber todos los vectores propios
que satisfacen esto, podría escribirlo de esta forma:
Mi vector propio que le corresponde a lambda igual 5,
Que le corresponde al valor propio 5, es igual al
conjunto de todos los vectores v1, v2, que son iguales a
algún coeficiente.
Digamos que a t por ¿Qué?
Si decimos que v2 es igual a t, así que v2 va a ser igual

Chinese: 
必须等于0向量
换句话说它是第一分量v1
对应于这个中心点列
加上或者减去1/2乘以第二分量必须
等于0
或者v1=1/2v2
所以如果我想写出所有这个特征向量
满足这个 我可以这么写
我的特征空间对应于λ=5
那个对应于特征值5等于
所有这样向量组成的集合 [v1；v2]
等于某个倍数因子
比方说它等于t乘以什么
如果我们说v2等于t

Polish: 
mojego wektora własnego v -- ma być równe 0.
Albo inaczej można powiedzieć, że pierwsza składowa v1,
która odpowiada tej kolumnie, dodać, albo odjąć 1/2
razy druga składowa musi być równe
temu zeru tutaj.
Albo, v1 równa się 1/2 razy v2.
Czyli jeżeli chciałbym napisać wszystkie wektory własne
które to spełniają, mógłbym to zapisać w ten sposób.
Moja przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 5,
odpowiadająca wartości własnej 5, jest równa
zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2, które są równe
jakiemuś czynnikowi skalującemu --
niech to będzie t -- razy co?
Jeżeli powiemy, że v2 jest równe t, czyli v2

English: 
eigenvector v-- has got to
be equal to the 0 vector.
Or another way to say it is that
my first entry v1, which
corresponds to this pivot
column, plus or minus 1/2
times my second entry has
got to be equal to
that 0 right there.
Or, v1 is equal to 1/2 v2.
And so if I wanted to write all
of the eigenvectors that
satisfy this, I could
write it this way.
My eigenspace that corresponds
to lambda equals 5.
That corresponds to the
eigenvalue 5 is equal to the
set of all of the vectors, v1,
v2, that are equal to some
scaling factor.
Let's say it's equal
to t times what?
If we say that v2 is equal to t,
so v2 is going to be equal

Chinese: 
必須等於0向量
換句話說它是第一分量v1
對應於這個中心點列
加上或者減去1/2乘以第二分量必須
等於0
或者v1=1/2v2
所以如果我想寫出所有這個特征向量
滿足這個 我可以這麽寫
我的特征空間對應於λ=5
那個對應於特征值5等於
所有這樣向量組成的集合 [v1；v2]
等於某個倍數因子
比方說它等於t乘以什麽
如果我們說v2等於t

Polish: 
będzie równe t razy 1.
A wtedy v1 będzie równe 1/2 razy v2
albo 1/2 razy t.
albo 1/2 razy t.
Tak po prostu.
Tak po prostu.
Dla dowolnego t należącego do zbioru liczb rzeczywistych.
Jeżeli chcielibyśmy, moglibyśmy to przeskalować.
Moglibyśmy powiedzieć dowolna liczba razy 1, 2.
To też by rozpinało.
Właściwie pozwólcie mi to napisać.
Zrobi się trochę jaśniej.
Właściwie, nie muszę tego robić.
Czyli moglibyśmy napisać, że przestrzeń własna dla wartości własnej
5 jest równa przestrzeni rozpiętej na wektorze 1/2, 1.
Czyli jest to linia w R2.
To są wszystkie wektory własne, które spełniają --
to działa dla równania, w którym
wartość własna jest równa 5.
A co z wartością własną
równą minus 1?
równą minus 1?

Chinese: 
那么v2就等于t乘以1
然后 v1就等于
1/2乘以v2或者1/2乘以t
就像那样
对于任意t属于一个实数
如果我们需要 我们可以扩大这个
我们可以说任意实数乘以[1；2]
那也会是张成的这个空间
我来具体做一下
它就会变得更清楚
实际上 我不是必须做这步
我们可以写对于特征值5的特征空间
等于向量[1/2；1]张成的空间
它是R2中的一条线
那些是所有的特征向量满足
使那个等式成立
其中特征值是5
现在特征值
等于1会怎样

English: 
to t times 1.
And then, v1 is going to be
equal to 1/2 times v2
or 1/2 times t.
Just like that.
For any t is a member
of the real numbers.
If we wanted to, we could
scale this up.
We could say any real
number times 1, 2.
That would also be the span.
Let me do that actually.
It'll make it a little
bit cleaner.
Actually, I don't
have to do that.
So we could write that the
eigenspace for the eigenvalue
5 is equal to the span of
the vector 1/2 and 1.
So it's a line in R2.
Those are all of the
eigenvectors that satisfy--
that work for the equation
where the
eigenvalue is equal to 5.
Now what about when
the eigenvalue is
equal to minus 1?

Chinese: 
那麽v2就等於t乘以1
然後 v1就等於
1/2乘以v2或者1/2乘以t
就像那樣
對於任意t屬於一個實數
如果我們需要 我們可以擴大這個
我們可以說任意實數乘以[1；2]
那也會是張成的這個空間
我來具體做一下
它就會變得更清楚
實際上 我不是必須做這步
我們可以寫對於特征值5的特征空間
等於向量[1/2；1]張成的空間
它是R2中的一條線
那些是所有的特征向量滿足
使那個等式成立
其中特征值是5
現在特征值
等於1會怎樣

Arabic: 
vgbh

Korean: 
t×1과 같을 것입니다
그러면 v1은 1/2 v2 또는
1/2 t와 같을 것입니다
 
위처럼 말입니다
 
임의의 실수 t에 대해서 말입니다
만약 원한다면 이것을 키울수도 있습니다
임의의 실수에 각각 1과 2를 곱한 값을 넣어줄 수 있죠
그 또한 동일한 공간을 생성할 것입니다
직접 해 봅시다
그러면 좀 더 깔끔하게 보일 것입니다
사실 저는 그것을 할 필요가 없습니다
따라서 고윳값 5에 대한 고유공간이
1/2과 1에서 공간을 생성하는 벡터와 
같다고 쓸 수 있습니다
따라서 이는 R2에서의 직선입니다
이들은 고윳값이 5인 방정식에서
적용되고 만족하는
모든 고유벡터들입니다
고윳값이 －1인 경우는
어떨까요?
 

Spanish: 
a t veces 1.
Y luego, v1 va a ser igual a 1/2 por v2
o 1/2 veces t.
1/2 por t.
Justo así.
Para algún t
Para algún t perteneciente a los números reales.
Si quisieramos, podríamos incrementar la escala.
Podríamos decir algún numero por [1, 2].
Eso también sería el espacio.
De hecho, déjenme hacer eso.
Lo haré algo más limpio.
De hecho, no tengo que hacer eso.
Entonces podríamos escribir que el espacio propio para el valor propio
5 es igual al espacio líneal del vector 1/2 y 1.

Korean: 
그 경우를 봅시다
λ=－1일 때, 우리는  그것이 영공간이 될 것을
알고 있습니다
따라서 λ=－1에 대한 고유공간은
λ에 항등행렬을 곱하고,
그럼 -1, 0, 0, -1 이 되겠죠
그래서 바로 저기에 -1을 취한,
-1 곱하기 1, 0, 0, 1에서
A를 빼준 것의 영공간이 될 것입니다
따라서 1, 2, 4, 3을 뺍니다
그러면 이것은,
-1 -1 = -2
0 -2 = -2
0 - 4 = -4, -1 -3 = -4 의 영공간과 같아질 것입니다
그러면 이는 기약사다리꼴 행렬의
영공간과 같아질 것입니다
따라서 우리는 여기서 행 연산을 할 수 있습니다
이를 기약사다리꼴 행렬로 놓읍시다

Chinese: 
我们来做那种情况
当λ=-1 那么我们有
它将是零空间
所以λ=-1的特征空间
将是零空间
λ乘以单位矩阵
就是[-1,0；0,-1]
就是-1乘上[1,0；0,1]
就是这的-1
减去A
即减去[1,2；4,3]
这个等于零空间
-1减1是-2
0减2是-2
0减4是-4 -1减3是-4
那将等于
这个矩阵的行简化阶梯形的零空间
所以我们可以做一些行运算
我来把它写成行简化阶梯形

Polish: 
Zajmijmy się tym przypadkiem.
Kiedy lambda jest równe minus 1, to mamy --
to będzie jądro...
Czyli przestrzeń własna dla lambda równego minus 1 będzie równa
jądru macierzy lambda razy macierz jednostkowa,
czyli -11, 0, 0, -1,
będzie równa minus 1 razy 1, 0, 0, 1, czyli
minus 1 tutaj,
odjąć A.
Czyli odjąć 1, 2, 4, 3.
A to jest równe jądru macierzy -- minus 1,
odjąć 1 daje minus 2.
0 odjąć 2 daje minus 2.
0 odjąć 4 daje minus 4, a minus 1 odjąć 3 daje minus 4.
A to ma być równe jądru macierzy
w postaci wierszowo zredukowanej.
Czyli możemy wykonać jakieś operacje na wierszach tej macierzy.
Sprowadzę ją do postaci wierszowo zredukowanej.

English: 
So let's do that case.
When lambda is equal to minus
1, then we have-- it's going
to be the null space.
So the eigenspace for lambda is
equal to minus 1 is going
to be the null space of lambda
times our identity matrix,
which is going to be minus
1 and 0, 0, minus 1.
It's going to be minus 1 times
1, 0, 0, 1, which is just
minus 1 there.
Minus A.
So minus 1, 2, 4, 3.
And this is equal to the null
space of-- minus 1,
minus 1 is minus 2.
0 minus 2 is minus 2.
0 minus 4 is minus 4 and minus
1 minus 3 is minus 4.
And that's going to be equal
to the null space of the
reduced row echelon
form of that guy.
So we can perform some row
operations right here.
Let me just put it in reduced
row echelon form.

Chinese: 
我們來做那種情況
當λ=-1 那麽我們有
它將是零核空間
所以λ=-1的特征空間
將是零核空間
λ乘以單位方陣
就是[-1,0；0,-1]
就是-1乘上[1,0；0,1]
就是這的-1
減去A
即減去[1,2；4,3]
這個等於零核空間
-1減1是-2
0減2是-2
0減4是-4 -1減3是-4
那將等於
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
所以我們可以做一些行運算
我來把它寫成行簡化階梯形

Korean: 
두 번째 행에 2와 첫 번째 행을 곱한  것을 더합니다
첫 번째 행은 동일하게 할 것입니다
－2, －2
그러고 나서 두 번째 행에서
2와 첫 번째 행을 곱해 그것과 더합니다
또는 첫 번째 행에 －2를 곱해 그것과 더합니다
－4＋4=0
 
첫 번째 행을 －2로 나눈다면
이 행렬 또는 이 기약사다리꼴 행렬은
1, 1, 0가 될 것입니다
따라서 고윳값 －1에 대응하는 고유공간은
이것의 영공간과 같습니다
그것은 식 1, 1, 0, 0을 만족하는
일련의 벡터들입니다
그러고 나면 v1과 v2는 0과 같습니다

English: 
So if I replace my second row
plus 2 times my first row.
So I'll keep the first
row the same.
Minus 2, minus 2.
And then my second row, I'll
replace it with two times--
I'll replace it with it plus
2 times the first. Or even
better, I'm going to replace it
with it plus minus 2 times
the first. So minus
4 plus 4 is 0.
And then if I divide the top
row by minus 2, the reduced
row echelon form of this matrix
right here or this
matrix right here is going
to be 1, 1, 0.
So the eigenspace that
corresponds to the eigenvalue
minus 1 is equal to the null
space of this guy right here
It's the set of vectors
that satisfy this
equation: 1, 1, 0, 0.
And then you have v1,
v2 is equal to 0.

Chinese: 
如果我替换第二行 第二行
加2乘以第一行 我保持第一行不变
然后第二行
我替换它用2乘以
我替换它用它加2乘以第一行
或者更好一点
我将替换它
用它加-2乘以第一行
即-4加4是0
然后如果我把第一行除以-2
这个矩阵的行简化阶梯形
或者这个矩阵就是[1,1；0,0]
所以这个特征空间
对于这个特征值-1
等于这个矩阵的零空间
它是这些向量组成的集合
满足这个等式[1,1；0,0]
然后你就有[v1；v2]等于0

Polish: 
A więc jeżeli zastąpię drugi wiersz dodając do niego 2 razy pierwszy wiersz,
czyli pierwszy pozostawiam bez zmian,
minus 2, minus 2,
a teraz drugi wiersz -- zastąpię go sumą
drugiego wiersza i pierwszego pomnożonego przez 2.
Albo lepiej zastąpię go sumą drugiego i pierwszego pomnożonego
przez minus 2. Czyli minus 4 dodać 4 da 0.
Minus 4 dodać 4 da 0.
A teraz jeżeli podzielę górny wiersz przez minus 2,
to dostanę macierz w postaci zredukowanej, czyli
macierz 1, 1, 0, 0.
A więc przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej
minus 1 jest równa jądru tej macierzy tutaj.
To jest zbiór wszystkich wektorów, które spełniają
to równanie: 1, 1, 0, 0,
pomnożone przez v1, v2 równa się 0.

Chinese: 
如果我替換第二行 第二行
加2乘以第一行 我保持第一行不變
然後第二行
我替換它用2乘以
我替換它用它加2乘以第一行
或者更好一點
我將替換它
用它加-2乘以第一行
即-4加4是0
然後如果我把第一行除以-2
這個矩陣的行簡化階梯形
或者這個矩陣就是[1,1；0,0]
所以這個特征空間
對於這個特征值-1
等於這個矩陣的零核空間
它是這些向量組成的集合
滿足這個等式[1,1；0,0]
然後你就有[v1；v2]等於0

Chinese: 
或者得到v1加上 這些不是向量
這些就是值
因爲0就等於這個東西
所以1乘以v1加1乘以v2就
等於0
或者我可以寫v1等於-v2
或者如果我說v2=t
我們可以說v1=-t
或者我們可以說
特征值-1的特征空間
等於所有這些向量 滿足[v1；v2]等於
某個倍數t乘以v1是-t v2是+t
或者你可以說這個等於
向量[-1；1]張成的空間
我們來把這個畫出來

English: 
Or you get v1 plus-- these
aren't vectors,
these are just values.
v1 plus v2 is equal to 0.
Because 0 is just equal to
that thing right there.
So 1 times v1 plus 1 times v2 is
going to be equal to that 0
right there.
Or I could write v1 is
equal to minus v2.
Or if we say that v2 is equal to
t, we could say v1 is equal
to minus t.
Or we could say that the
eigenspace for the eigenvalue
minus 1 is equal to all of the
vectors, v1, v2 that are equal
to some scalar t times v1 is
minus t and v2 is plus t.
Or you could say this is equal
to the span of the vector
minus 1 and 1.
So let's just graph this a
little bit just to understand

Chinese: 
或者得到v1加上 这些不是向量
这些就是值
因为0就等于这个东西
所以1乘以v1加1乘以v2就
等于0
或者我可以写v1等于-v2
或者如果我说v2=t
我们可以说v1=-t
或者我们可以说
特征值-1的特征空间
等于所有这些向量 满足[v1；v2]等于
某个倍数t乘以v1是-t v2是+t
或者你可以说这个等于
向量[-1；1]张成的空间
我们来把这个画出来

Polish: 
Czyli mamy v1 dodać -- to nie są wektory --
to są składowe.
v1 dodać v2 równa się 0.
v1 dodać v2 równa się 0.
Ponieważ 0 jest równe temu tutaj.
Czyli 1 razy v1 dodać 1 razy v2 będzie równe temu 0
tutaj.
Albo mogę napisać v1 równa się minus v2.
Albo jeżeli powiemy, że v2 równa się t, co v1
jest równe minus t.
Możemy też powiedzieć, że przestrzeń własna dla wartości własnej
minus 1 składa się ze wszystkich wektorów, v1, v2, któe są równe
jakiemuś skalarowi t pomnożonemu przez -- v1 równa się minus t, a v2 równa się plus t.
Albo możemy powiedzieć, że to jest równe przestrzeni rozpiętej
na wektorze minus 1 i 1.
A teraz zróbmy rysunek, żeby lepiej

Korean: 
또는 여러분은 v1+ 이들은 벡터가 아니고
그저 값입니다
v1＋v2=0
 
0이 저것과 같기 때문입니다
1×v1+1×v2는 저기 있는
0이 될 것입니다
또는 v1=－v2라고 쓸 수 있고
또는 v2가 t와 같다고 하면 v1을
－t와 같다고 할 수 있습니다
또는 고윳값 －1에 대한 고유공간이
모든 벡터, v1, v2와 같다고 할 수 있습니다
v1=-t, v2=t로 주어지는 경우에 말이죠
또는 이것이 벡터 (-1,1)이 생성하는 공간과
같다고 할 수 있습니다
그러면 이를 우리가 한 것을 이해하기 위해

Polish: 
zrozumieć co właśnie zrobiliśmy.
Udało nam sie znaleźć dwie wartości własne
5 i minus 1.
Udało nam się też znaleźć wszystkie wektory,
które -- albo udało nam się znaleźć zbiór wektorów
które są wektorami własnymi, które odpowiadają każdej z tych
wartości własnych.
A więc narysujmy je.
Mamy zatem R2, narysuję osie.
To jest moja oś pionowa.
To jest moja oś pozioma.
Wszystkie wektory, które odpowiadają lambda równemu 5
leżą na tej linii: 1/2, 1.
Poprzestrzeni rozpiętej na wektorze 1/2, 1.
Czyli to jest 1.
To 1.
Czyli mamy 1/2 i 1, tak po prostu.
To jest ten wektor, wektor rozpinający.
Ale wszystko co jest na tym rozpięte, wszystkie jego
wielokrotności są dobrymi wektorami własnymi.
Czyli wszystko wzdłuż tej linii, wszystkie wektory,
które tutaj narysujecie pomiedzy punktami
na tej linii.

Korean: 
약간 그려봅시다
우리는 5와 －1이라는
두 고윳값을 찾을 수 있었습니다
그리고 모든 중요한 벡터를 찾을 수 있습니다
또는 이들의 고윳값에 각각 대응하는
일련의 고유벡터들을 찾을 수
있었습니다
그러면 이들을 그려 봅시다
R2로 간다면 축을 그리고
이것은 수직 축입니다
이것은 수평축입니다
λ=5에 대응하는 모든 벡터들은
직선 1/2과 1을 따릅니다
또는 벡터 (1/2, 1)이 생성하는 공간에서
여기는 1이고
여기는 1입니다
여러분은 1/2과 1로 이와 같이 갑니다
따라서 이것은 벡터, 
공간을 생성하는 벡터입니다
그러나 모든 이것들의 곱으로 
생성된 공간을 지나는 모든 것들은
고유벡터가 될 것입니다
따라서 이 생성된 직선을 지나는 것들은
여러분이 그들을 표준 위치에 그릴 때의 모든 벡터들은
그 직선의 점을 가리킬 것입니다

English: 
what we just did.
We were able to find
two eigenvalues for
this, 5 and minus 1.
And we were able to find all
of the vectors that are
essentially-- or, we were able
to find the set of vectors
that are the eigenvectors that
correspond to each of these
eigenvalues.
So let's graph them.
So if we go to R2, let
me draw my axes, this
is my vertical axis.
That's my horizontal axis.
So all of the vectors that
correspond to lambda equal 5
are along the line 1/2, 1.
Or the span of 1/2, 1.
So that is 1.
That is 1.
So you go 1/2 and 1
just like that.
So that's that vector,
spanning vector.
But anything along the span of
this, all the multiples of
this, are going to be
valid eigenvectors.
So anything along that line,
all of the vectors when you
draw them in standard
position, point to a
point on that line.

Chinese: 
理解一下我們做過的這件事
我們能夠找到這個矩陣的兩個特征值
5和-1
我們能夠找到這些向量
本質上
或者說 我們能夠找到這些向量的集合
滿足它是特征向量
對應於各自的這些特征值
我們把它們畫下來
如果我們畫R2 畫一下軸線
這是縱軸
這是橫軸
所以所有對應於λ=5的向量
都沿著直線[1/2；1]
或者[1/2；1]張成的空間
即那是1
那是1
[1/2,1]就是這樣
這就是那個向量 展成空間的向量
但是任何沿著這個空間的向量
所有這個向量的倍數
都是有效的特征向量
所以所有沿著這條線的向量
所有當你們在標準位置畫它們的時候
只需要在那條線上點一個點

Chinese: 
理解一下我们做过的这件事
我们能够找到这个矩阵的两个特征值
5和-1
我们能够找到这些向量
本质上
或者说 我们能够找到这些向量的集合
满足它是特征向量
对应于各自的这些特征值
我们把它们画下来
如果我们画R2 画一下轴线
这是纵轴
这是横轴
所以所有对应于λ=5的向量
都沿着直线[1/2；1]
或者[1/2；1]张成的空间
即那是1
那是1
[1/2,1]就是这样
这就是那个向量 生成空间的向量
但是任何沿着这个空间的向量
所有这个向量的倍数
都是有效的特征向量
所以所有沿着这条线的向量
所有当你们在标准位置画它们的时候
只需要在那条线上点一个点

Korean: 
그 위에 있는 모든 벡터들은
고유벡터가 될 것이고 대응하는 고윳값은
5와 같아질 것입니다
따라서 이것을 저에게 주십시오
여러분이 이 변환을 적용한다면
그것은 이것의 5배가 될 것입니다
 
만약 이것이 x라면 x의 t는
5배가 되었을 것입니다
이 직선위에 있는 어떤 벡터를 가져오더라도,
이 변환은 말 그대로
A를 곱하는 게 됩니다
어디서 행렬 A를 얻었을까요?
행렬 A는 바로 여기 있습니다
여러분은 단지 이 벡터를 5배 늘리게 됩니다
양쪽 방향 모두 말이죠
이는 λ=5에 대한 것입니다
그리고  λ=1에 대해 이 벡터가 생성하는 공간은
－1, 1입니다
이처럼 말입니다
이 벡터는 이렇게 생겼습니다
우리는 그것이 생성하는 공간에 관심이 있습니다
 

Chinese: 
所有這些向量
任意向量在上面都是
一個有效的特征向量 對應的特征值
就等於5
所以你給我這個向量
當你應用這個變換
它就是5倍的這個向量
如果這個向量是x T(x)就是
5倍的這個向量
無論你在這條線上給定什麽向量
那個向量的這個變換
這個變換是線性的
把它乘以矩陣A
矩陣A在哪？
矩陣A在這
你實際上就是把這個向量大小擴大5倍
在這兩個方向上
這是針對λ=5
對於λ=-1 它是這個向量張成的空間
就是[-1；1]
看起來就是這樣
這個向量看起來像這樣
我們關心它張成的空間

English: 
All of these vectors, any vector
on there is going to be
a valid eigenvector and the
corresponding eigenvalue is
going to be equal to 5.
So you give me this
guy right here.
When you apply the
transformation, it's going to
be five times this guy.
If this guy is x, t of
x is going to be
five times this guy.
Whatever vector you give along
this line, the transformation
of that guy, the transformation
is literally,
multiplying it by
the matrix A.
Where did I have the matrix A?
The matrix A right up there.
You're essentially just scaling
this guy by 5 in
either direction.
This is for lambda equal 5.
And for lambda equals 1, it's
the span of this vector, which
is minus 1, 1.
Which looks like this.
So this vector looks
like that.
We care about the span of it.

Polish: 
Wszystkie te wektory, każdy z nich będzie
dobrym wektorem własnym, a odpowiadająca mu wartość własna
jest równa 5.
Czyli dajecie mi tego kolesia tutaj.
Kiedy działamy na niego transformacją,
to on się pomnoży przez 5.
to on się pomnoży przez 5.
Jeżeli ten koleś to jest x, T(x) będzie równe
5 razy ten koleś.
Jakikolwiek wektor wybierzecie na tej linii, transformacja
tego kolesia, transformacja oznacza
pomnożenie go przez macierz A.
Gdzie ja miałem macierz A?
Macierz A tutaj na górze.
Po prostu skalujemy tego kolesia mnożąc go przez 5
w każdym kierunku.
To było dla lambda równego 5.
A dla lambda równego 1 mamy przestrzeń rozpiętą na tym wektorze
równym minus 1, 1.
Wygląda on tak.
Czyli ten wektor wygląda tak.
Zajmujemy się podprzestrzenią na nim rozpiętą.
Zajmujemy się podprzestrzenią na nim rozpiętą.

Chinese: 
所有这些向量
任意向量在上面都是
一个有效的特征向量 对应的特征值
就等于5
所以你给我这个向量
当你应用这个变换
它就是5倍的这个向量
如果这个向量是x T(x)就是
5倍的这个向量
无论你在这条线上给定什么向量
那个向量的这个变换
这个变换是线性的
把它乘以矩阵A
矩阵A在哪？
矩阵A在这
你实际上就是把这个向量大小扩大5倍
在这两个方向上
这是针对λ=5
对于λ=-1 它是这个向量张成的空间
就是[-1；1]
看起来就是这样
这个向量看起来像这样
我们关心它张成的空间

Polish: 
Każdy wektor, kiedy narysujemy go zaczepionego w zerze,
leży na tej linii, albo wskazuje punkt na tej linii i jest
wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej minus 1.
Czyli labda równa się minus 1.
Powiedzmy, że mamy tutaj wektor rozpinający.
Działamy transformacją i dostajemy
minus 1 razy ten wektor.
Czyli jeżeli to jest x, to transformacja x
będzie tym tutaj.
Ta sama długość, tylko przeciwny zwrot.
Jeżeli mamy tego kolesia tutaj i działamy transformacją
to będzie leżał na tej samej linii,
tak po prostu.
Czyli dwie przestrzenie własne dla macierzy -- gdzie to napisałem?
Wydaje mi się, że to była macierz 1, 2, 3 -- 1, 2, 4, 3.
Jej wartości własne, to było 5 i minus 1.
I ta macierz ma nieskończenie wiele wektorów własnych,
które tworzą dwie przestrzenie własne.
Każda z nich odpowiada jednej z wartości własnych
A linie reprezentują te dwie przestrzenie własne.
Jak dacie mi dowolny wektor z jednego z tych zbiorów,

Korean: 
여러분이 벡터를 표준 위치에 그릴 때,
이 직선 위에 있거나, 
이 직선 위의 점을 가리키는 모든 벡터는
고윳값 -1에 대한 고유벡터가 될 것입니다
따라서 λ=－1입니다
여러분이 공간을 생성하는 벡터를 여기에 갖고 있다고 합시다
여러분은 변환을 적용하고－1과 그것의 곱을
얻을 것입니다
이것이 x라면 x의 변화는
여기 있을 것입니다
길이는 같고 방향은 반대입니다
여러분이 이것을 갖고 있고 변환을 적용하면
이는 동일한 생성된 직선 위에 있게 될 것입니다
이처럼 말입니다
행렬의 두 고유 공간에서 어디에 제가 그것을 썼나요?
제 생각에 그것은 행렬 1, 2, 4, 3입니다
두 고윳값은 5와 －1입니다
이는 무한한 수의 고유벡터를 가지고 있어
그들은 두 고유 공간을 만듭니다
그들 각각은 하나의 고윳값에 대응합니다
이 직선들은 두 고유공간을 나타냅니다
여러분이 이 두 집합 안에서 어떤 벡터를 제시하더라도

Chinese: 
任意的向量当你在标准位置上画它的时候
在或者点上 点在这条线上
就会是特征值-1对应的特征向量
λ等于-1
比方说你取生成空间的向量在这
你应用这个变换
你就得到-1乘以它
所以如果这是x x的这个变换
就会在那
同样的长度 就是方向相反
如果你有个向量在这
应用这个变换
它就会在同一条生成线上像这样
所以这个矩阵的两个特征值
我在哪写过
我想它是1 2 3 [1,2；4,3]
两个特征值是5和-1
然后它有无限多个特征向量
它们实际上构建了两个特征空间
每一个特征空间对应于一个特征值
这些线表示那两个特征空间

Chinese: 
任意的向量當你在標準位置上畫它的時候
在或者點上 點在這條線上
就會是特征值-1對應的特征向量
λ等於-1
比方說你取展成空間的向量在這
你應用這個變換
你就得到-1乘以它
所以如果這是x x的這個變換
就會在那
同樣的長度 就是方向相反
如果你有個向量在這
應用這個變換
它就會在同一條生成線上像這樣
所以這個矩陣的兩個特征值
我在哪寫過
我想它是1 2 3 [1,2；4,3]
兩個特征值是5和-1
然後它有無限多個特征向量
它們實際上構建了兩個特征空間
每一個特征空間對應於一個特征值
這些線表示那兩個特征空間

English: 
Any vector that when you draw in
standard position lies, or
points to, points on this line,
will be an eigenvector
for the eigenvalue minus 1.
So lambda equals minus 1.
Let's say you take the
spanning vector here.
You apply the transformation,
you're going to get
minus 1 times it.
So if this is x, the
transformation of x is going
to be that right there.
Same length, just in the
opposite direction.
If you have this guy right
here, you apply the
transformation, it's going to
be in the same spanning line
just like that.
So the two eigenspaces for the
matrix-- where did I write it?
I think it was the matrix
1, 2, 3-- 1, 2, 4, 3.
The two eigenvalues were
5 and minus 1.
And then it has an infinite
number of eigenvectors, so
they actually create
two eigenspaces.
Each of them correspond to
one of the eigenvalues.
And these lines represent
those two eigenspaces.
You give me any vector in
either of these sets and

Chinese: 
你给我任意向量属于这两个集合
它们都会是一个特征向量
我用了太多向量这个词了
你给我任意向量属于这两个集合
它们就会是矩阵A的特征向量
然后 决定它在哪条线上
我们知道它们变换之后的结果在哪
如果它在这条线上
我们做变换
结果向量会是5倍的这个向量
如果取这些向量中的一个特征向量
你对它做变换
变换结果向量就会是
-1倍的那个向量
无论怎样 我们现在知道
特征值、特征向量、特征空间到底是什么
更好的是 我们知道如何去计算它们

Korean: 
그것은 고유벡터가 될 겁니다
제가 벡터라는 단어를 너무 많이 쓰고 있군요
여러분이 저에게 이 세트의 임의의 벡터를 제시하면
그들은 행렬 A에 대한 고유벡터가 될 것입니다
그것이 어떤 직선이냐에 따라서 우리는
그들의 변환이 어떻게 될지 알고 있습니다
만약 이처럼 되려고 한다면 우리가
변환을 취한 결과 벡터는
5와 벡터의 곱이 될 것입니다
여러분이 이 고유벡터 중에서 하나를 취하고 변환시킨다면
그 결과 벡터의 변환은
－1과 그 벡터의 곱이 될 것입니다
어쨌든 우리는 이제 고윳값, 고유벡터
고유공간이 무엇인지 알고 있습니다
더 나아가 우리는 어떻게 그들을 찾는지 알고 있습니다
 

Chinese: 
你給我任意向量屬於這兩個集合
它們都會是一個特征向量
我用了太多向量這個詞了
你給我任意向量屬於這兩個集合
它們就會是矩陣A的特征向量
然後 決定它在哪條線上
我們知道它們變換之後的結果在哪
如果它在這條線上
我們做變換
結果向量會是5倍的這個向量
如果取這些向量中的一個特征向量
你對它做變換
變換結果向量就會是
-1倍的那個向量
無論怎樣 我們現在知道
特征值、特征向量、特征空間到底是什麽
更好的是 我們知道如何去計算它們

English: 
they're going to be
an eigenvector.
I'm using the word
vector too much.
You give me any vector in either
of these sets, and they
will be an eigenvector
for our matrix A.
And then, depending on which
line it is, we know what their
transformation is going to be.
If it's going to be on
this guy, we take the
transformation, the resulting
vector's going to be five
times the vector.
If you take one of these
eigenvectors and you transform
it, the resulting transformation
of the vector's
going to be minus 1
times that vector.
Anyway, we now know what
eigenvalues, eigenvectors,
eigenspaces are.
And even better, we know how
to actually find them.

Polish: 
to będzie on wektorem własnym.
Za dużo używam słowa wektor.
Dacie mi dowolny wektor z jednego z tych zbiorów,
a on będzie wektorem własnym macierzy A.
A potem, w zależności od tego na której linii on leży wiemy,
jak będzie się transformował.
Jeżeli będzie leżał na tej linii, po transformacji
przekształcony wektor będzie równy
pięć razy temu wektorowi.
Jeżeli weźmiemy jeden z tych wektorów własnych
i przetransformujemy go, przekształcony wektor
będzie równy minus 1 razy wyjściowy wektor.
Tak czy siak, wiemy już co to są wartości własne, wektory własne
i przestrzenie własne.
A nawet lepiej, bo wiemy jak je znaleźć.
A nawet lepiej, bo wiemy jak je znaleźć.
