
Bulgarian: 
Изглежда вече ти е познато как
намираме площ между криви.
Но ако не ти е познато, ти препоръчвам
да видиш уроците в Кан Академия.
Например, можем да намерим
площта на тази област в жълто,
като използваме определен
интеграл.
В това видео обаче
ще направим нещо даже още 
по-интересно.
Ще намираме обема на тела,
когато основата им е
дефинирана
като областта между две криви.
В това видео ще говорим 
за тяло,
и аз ще го начертая
в три измерения.
Ще начертая това отново
от малко по-различна гледна точка.
Това ще бъде оста у.
Това е оста у.
Това е оста у.
Това е графиката на у = 6 ето тук.
у = 6.
Тази прекъсната линия,
ще я начертая така,
Това е точката х = 2.
Сега графиката на функцията
у = 4ln(3 – х),

Korean: 
곡선 사이의 넓이를
구하는 법을
이미 배웠습니다
그렇지 않다면
칸아카데미에서 복습해 보세요
예를 들어
정적분을 사용하여
노란색 부분의
넓이를 구할 수 있습니다
이번 영상에서 배울 내용은
좀 더 흥미로운 것입니다
부피를 구할 것입니다
여기서 가로의 길이는
두 곡선 사이의
넓이로 주어집니다
해당 영상에서
도형을 생각하고
삼차원으로 그리겠습니다
다시 그려봅시다
하지만 다르게 말이죠
따라서
이를 y축으로 합시다
y축입니다
이는 x축이죠
이는 x축이죠
이는
y는 6입니다
여기 선분이죠
y = 6입니다
여기 점선은
이렇게 그리겠습니다
여기 점 x는 2입니다
그리고 이 y의 그래프sms
4 곱하기 log(3 - x)

English: 
- [Instructor] You are
likely already familiar
with finding the area between curves.
And, in fact, if you're not,
I encourage you to review
that on Khan Academy.
For example, we could
find this yellow area
using a definite integral.
But what we're going to do in this video
is do something even more interesting.
We're gonna find the volume of shapes
where the base is defined in some way
by the area between two curves.
And, in this video, we're
gonna think about a shape,
and I'm gonna draw it in three dimensions.
So let me draw this over again,
but with a little bit of perspective.
So,
let's make this the y-axis.
So that's the y-axis.
This is my x-axis.
That is my x-axis.
This is the
line y is equal to six
right over there.
Y is equal to six.
This dotted line, we could
just draw it like this,
and so this would be
the point x equals two.
And then the graph of y is equal to four
times the natural log of three minus x

English: 
would look something like this,
look something like this.
And so this region is this region,
but it's going to be the base
of a three-dimensional shape
where any cross section,
if I were to take a cross
section right over here,
is going to be a square.
So whatever this length is,
we also go that much high,
and so the cross section is
a square right over there.
The cross section right over
here is going to be a square.
Whatever the difference
between these two functions is,
that's also how high we are going to go.
This length, which is six at this point,
this is also going to be the height.
It is going to be a square.
It's going to be quite big,
might have to scroll down so
we can draw the whole thing,
roughly at the right proportion.
So it looks something like this.
This should be a square.
It's gonna look something like this.
And so the whole shape would look,
would look something
like this,

Bulgarian: 
която ще изглежда ето така.
Значи тази област
е ето тази област,
която ще бъде основата на
тримерно тяло, в което
всяко сечение,
ако направя сечение тук,
сечението е квадрат.
Независимо каква е тази дължина,
това е много по-високо,
това сечение също 
е квадрат ето тук.
Сечението тук е квадрат.
Каквато и да е разликата между
тези две функции,
това е колко високо 
се издигаме.
Тази дължина, която
е 6 в тази точка,
тук височината също
ще бъде 6.
Това ще бъде квадрат.
ще е много голям,
трябва да превъртя надолу,
за да начертая цялото нещо,
горе-долу с правилните
пропорции.
Ще изглежда ето така.
Това е квадрат.
Ще изглежда ето така.
Значи цялото тяло
ще изглежда горе-долу така,

Korean: 
다음과 같을 것입니다
다음과 같을 것입니다
따라서 이 부분이
이 부분입니다
하지만 이는 삼차원 도형의
가로의 길이이며
단면이
여기서 단면을 구하면
정사각형이 나옵니다
따라서 이 길이가 어떻든
높이가 이 정도이며
따라서 단면이
여기 이 정사각형입니다
단면이 정사각형입니다
이 두 함수의
차가 얼마든 간에
이게 높이입니다
이 길이는
이 점에서 6이고
이 길이도 높이가 됩니다
이는 정사각형입니다
꽤 크겠네요
화면을 내려서
전체를 다 그릴게요
비율이 얼추 맞네요
따라서 이와 같을 것입니다
정사각형이 나와야 합니다
다음과 같을 것입니다
따라서 전체 도형은
다음과 같이
생겼습니다

Korean: 
이렇게 생겼죠
색을 조금 칠해서
이해가 쉽도록 해볼게요
어떤 도형인지 알겠죠
몇몇 분은 흥미로워 하고
또 무서워 할 수도 있습니다
이차원 도형을 너무
오래 다루었습니다
이 삼차원은 어떨까요?
하지만 우리는
적분을 이용하여
이를 풀 능력이 있습니다
이를 위해선
도형을 분리하여
다음과 같이
깊이를 가지는 정사각형
타일의 모음이라 볼 수 있습니다
따라서 이를 작은
타일로 만듭니다
높이를 가지죠
여러 부분에 그릴 수 있습니다
이를
매우 작은 높이를 가지는
도형들로 생각할 수 있습니다
이를 dx라고 부르죠
이제 부피를 구할 수 있습니다
이 중 한 개의
부피가 무엇인가요?
이는 넓이
곱하기 높이입니다
즉 해당 단면의
곡면적입니다
다른 색으로 칠해봅시다
분홍색으로 색칠한 이 부분의

Bulgarian: 
ще бъде нещо такова,
опитвам се да щриховам част,
за да можеш
да си го представиш по-добре,
надявам се, че ти става ясно.
Може би това 
ти се струва вълнуващо,
може би ти се струва страшно.
Досега сме работили
само в две измерения.
Какво ще правим с
тези три измерения?
Но бързо ще разбереш,
че вече имаме знанията
да интегрираме, за да решим това.
За да го направим, просто
трябва да разделим тялото
на много такива, можеш
да си ги представиш като
малки квадратни пластини,
които имат някаква дълбочина.
Да си представим малки
пластини, които
имат някаква дебелина.
Мога да ги начертая
на много места.
Можеш да си ги представиш,
разделяме тялото на много
такива пластинки с малка дебелина,
която ще означим с dх.
Знаем как да намерим
техния обем.
Какъв е обемът
на една от тези пластини?
Това ще бъде дебелината
по площта,
по площта на тази повърхност,
или на това сечение ето тук.
Ще го направя с друг цвят.
Каква е площта, която

English: 
would look something like that,
try to shade that in a
little bit so that you can
appreciate it a little bit more,
but hopefully you get the idea.
And some of you might be excited,
and some of you might
be a little intimidated.
Well, hey, I've been dealing
with the two dimensions for so long.
What's going on with
these three dimensions?
But you'll quickly appreciate
that you already have
the powers of integration to solve this.
And to do that, we just
have to break up the shape
into a bunch of these, you
could view them as these little
square tiles that have some depth to them.
So let's make that into a
little tile, this one into it,
that also has some depth to it.
You could even, I could
draw it multiple places.
You could view it as a,
break it up into these things
that have a very small depth,
that we could call dx.
And we know how to figure
out what their volume is.
What would be the volume
of one of these things?
Well, it would be the
depth times the area,
times the surface area
of this cross section right over here.
Let me do that in a different color.
So what would be the area

Bulgarian: 
оцветявам в розово тук?
Тази площ ще бъде дължината
на основата на квадрат.
Колко е дължината на основата?
Това е разликата между
тези две функции.
Това е 6 минус,
долната функция е четири
по натурален логаритъм
от( 3 – х).
Това ни дава дължината.
Ако го повдигнем на квадрат,
получаваме това лице.
Получаваме цялата площ,
повдигаме на квадрат.
И после го умножаваме по
дебелината.
Умножаваме го по дебелината.
Сега имаме обема на
тази малка част ето тук,
и предполагам, че се досещаш 
накъде отиваме.
Ако съберем всички тези
обеми
от х = 0 до х = 2?
Това е обемът на
цялото тяло.
Това е силата
на определения интеграл.
Можем просто да интегрираме
от х = 0 до х = 2.
Ако начертаем къде това
пресича основата,
можеш да кажеш, че
това нещо тук

English: 
that I am shading in in
pink right over here?
Well, that area is going to
be the base length squared.
What's the base length?
Well, it's the difference
between these two functions.
It is going to be six minus,
our bottom function is four
times the natural log of three minus x,
and so that would just
give us that length.
But if we square it, we
get this entire area.
We get that entire area, you square it.
And then you multiply it times the depth.
You multiply it times the depth.
Now you have the volume
of just this little
section right over here,
and I think you might
see where this is going.
Now, what if you were
to add up all of these
from x equals zero to x equals two?
Well, then you would have the
volume of the entire thing.
This is the power of
the definite integral.
So we could just integrate
from x equals zero to x equals two,
from x equals zero to x equals two.
If you drew where these
intersect our base,
you would say all right,
this thing right over here

Korean: 
넓이가 무엇인가요?
따라서 넓이는
가로의 제곱입니다
가로의 길이가 뭔가요?
이는 이 두 함수의 차입니다.
이는 6 빼기
아래 함수의 값은 4
곱하기 log(3-x)입니다
이게 가로 길이를 줍니다
이를 제곱하면
넓이를 구할 수 있습니다
제곱을 해서 넓이를 구합니다
이 값 곱하기 높이를 합니다
이 값 곱하기 높이를 합니다
따라서 여기 이 작은 부분의
부피를 구하고
이제 어떻게 될지 봅시다
이를 모두 더하면
x = 0부터 x = 2까지
더하면 어떻게 될까요?
따라서 이 전체 도형의
부피를 구했습니다
이게 정적분의 힘입니다
따라서 x = 0부터
x = 2까지
적분을 할 수 있습니다
가로가 가로지르는
부분에 그리면
이 부분을 여기에 그리면

Korean: 
다음과 같습니다
여기 이렇게 그리죠
이는 dx입니다
따라서 dx와 함수의 차를
곱하는 것 대신에
함수의 차를
제곱을 할 것입니다
왜냐하면 삼차원
도형을 그리기 때문이죠
이 삼차원 도형의 곡면적은
이 작은 직사각형의
높이와 반대죠
그리고 이 적분의
값을 구하면
이 부피를 구할 수 있습니다
이 페데스탈 기둥과
같은 것의 부피요
해당 정적분은
풀기 쉽지 않습니다
하지만 계산기가
있으면 가능하죠
따라서
따라서
math 를 클릭합니다
9를 클릭하여
정적분을 선택합니다
그리고 해당 식을 대입합니다
0부터
2까지
그리고 괄호를 넣겠습니다
전체 식을 제곱해야
하기 때문이죠
6 - 4 곱하기
log(x)

English: 
would be this thing
right over here, where it's dx.
And instead of just multiplying dx
times the difference
between these functions,
we're going to square the
difference of these functions
'cause we're visualizing
this three-dimensional shape,
the surface area of this
three-dimensional shape,
as opposed to just the height
of this little rectangle.
And if you were to evaluate this integral,
you would indeed get the volume of this,
this kind of pedestal horn-looking thing.
This is not an easy definite
integral to evaluate by hand,
but we can actually use
a calculator for that.
And so,
we can
hit math
and then hit choice number
nine for definite integral,
and then we just have to input everything.
We're going from zero till
two of,
and then we have, let me open parentheses
'cause I'm gonna have
to square everything.
Six minus four times the natural log
of x,

Bulgarian: 
е това нещо ето точно тук, 
което е dх.
И вместо да умножаваме по dх,
по разликата на
тези функции,
ние ще повдигнем на квадрат
разликата на тези функции,
защото си представяме
това тримерно тяло,
повърхностната площ
на това тримерно тяло,
за разлика от височината
на този малък правоъгълник.
И ако сметнеш този интеграл,
ще получиш обема на тялото,
това нещо, което
прилича на отсечен пиедестал.
Този интеграл не е лесен
за решаване на ръка,
но можем да използваме
калкулатор.
Така, можем да го изчислим,
а после да вземем число
по избор за определения интеграл,
и после просто 
заместваме всичко.
Интегралът е от 0 до 2,
а после имаме, тук
ще отворя скоба,
защото ще повдигнем
всичко това на квадрат.
6 – 4ln(х)

Korean: 
log(3 - x)입니다
이제 로그의 괄호를 닫습니다
그리고 전체 괄호를 닫으면
제곱을 합니다
그리고 x에 대해서
적분을 합니다
대략 26.27이 나옵니다
따라서 대략 26.27이며
이는 부피입니다
단위를 생각하면
세제곱입니다

Bulgarian: 
не, ln (3 – х).
Затварям скобите на частта
с натуралния логаритъм.
После затварям скобата
за цялото това нещо,
което подвигаме на квадрат.
И после интегрираме спрямо х.
Ентър и получаваме
приблизително 26,27.
Значи този обем приблизително
е 26,27.
Понеже това е обем,
мерните единици,
ще бъдат кубични единици
или единици на куб.

English: 
or actually the natural
log of three minus x.
And so let me close the parentheses
on the natural log part.
And then, if I close the
parentheses on this whole thing,
I want to then square it.
And then I'm integrating
with respect to x.
Enter, I got approximately 26.27.
So approximately 26.27,
and this is a volume here.
So if we thought about units,
it would be in our units
cubed or cubic units.
