
Arabic: 
حسنا، إذا سألنا أنفسنا ما
ما هي قيمة الدالة عندما تقترب
عندما نقترب من X=2 من القيم الأصغر من x=2

Chinese: 
如果我们问自己
当x从左侧趋近于2
我们的函数值将接近什么？
所以就如你可以想象的
当x趋近于2
所以当x=1 x=1.5
x=1.9 x=1.999
x=1.999999999
f(x)趋近于什么
我们看到f(x)看起来趋近
这个值
看起来它趋近于5
我们表示它的方式就是
（如视频所写）
我们要强调趋近的方向
当x从负数趋近于2
在2加一个上标 -
来表示我们趋近的方向
这不是-2
我们从负方向趋近于2

Korean: 
 
다음 함수에서
x가 2보다 작은 값에서 2로 접근할 때
함숫값은 어떻게 됩니까?
x가 2로 접근한다고 상상해봅시다
x는 1과 같아지고 1.5가 되고
1.9가 되고 1.9999가 되고
1.99999999와 같아집니다
x에 따른 f의 값은 어떻게 되고 있습니까?
그래프에서 함수가 접근하고 있는 값은
바로 이 값으로 보입니다
5로 접근하는 것처럼 보입니다
그래서 우리는 이 값을
x가 2로 접근할 때의 함수의 극한으로 표현할 것입니다
x가 음수 방향에서 2로 접근한다는 것을
표현하기 위해 우리는 2 뒤에
-부호를 위에 붙여서
접근하고 있는 방향을 나타냅니다
-2가 아닙니다
음수 방향에서 2로 접근하고 있습니다

Polish: 
Gdybyśmy zapytali się, jaka
jest wartość do jakiej zbiega funkcja --
gdy zbliżamy się do x równego 2 po wartościach x mniejszych niż 2.
Więc jak sobie wyobrażacie, gdy x dąży do 2 --
Więc x równa się 1, x równa się 1.5, x równa się 1.9, x równa się 1.999,
x równa się 1.99999999.
Do czego zbiega f od x.
I widzimy, że f od x wydaje się zbiegać
do tej wartości.
Wydaje się zbiegać do 5.
Więc sposób w jaki to oznaczymy
to granica f od x dla x dążącego do 2 --
i sprecyzujemy kierunek -- dla x dążącego do 2
z lewej strony -- dajemy
minus jako indeks górny przy 2.
by oznaczyć kierunek w którym zbiegamy.
To nie jest ujemne 2.
Tylko zbiegamy do 2 z lewej strony.

Bulgarian: 
 
Да се запитаме
каква е стойността,
до която тази функция
се доближава,
когато х се доближава до 2
откъм по-малките числа.
Избираме няколко числа,
които се доближават до 2:
х=1, х=1,5, х=1,9, х=1,999
и х=1,99999999.
До какво се доближава f(x)?
Виждаме, че функцията
f(x) се доближава
до тази стойност.
Изглежда това е числото 5.
Начинът, по който
обозначаваме това, е
като границата на f(x)
при х, клонящо към 2
и ще уточним и посоката:
тъй като х клони към 2
от отрицателната посока,
слагаме минус над 2,
за да обозначим посоката
на приближаване.
Това не е –2.
Това е приближаване до 2
от отрицателната посока.

Portuguese: 
Então, se fossemos nos perguntar,
qual é o valora da nossa função que se aproxima
de x =2 de valores menores que x = 2.
Então, como você imagina, quando nos aproximamos de x = 2
Então, x =1, x = 1.5, x = 1.9, x = 1.999,
x = 1.99999999
Ao que f de x se aproxima?
E nós vemos que f de x parece estar se aproximando
Deste valor aqui.
Parece estar se aproximando de 5
E a maneira como poderíamos denotar isso
o limite de f de x quando x tende 2
- e nós iremos especificar a direção - quando x tende a 2
da direção negativa - nós colocamos
o negativo sobrescrito depois do 2
para denotar a direção pela qual nos aproximamos.
Isto não é um "-2".
Nós estamos a nos aproximar para 2 pela direção negativa.
Nós estamos a nos aproximar para 2 por valores menores que 2.

Thai: 
 
ถ้าเราถามหา
ค่าของฟังก์ชันเมื่อเข้าใกล้ --
เมื่อเราเข้าใกล้ x เท่ากับ 2 
จากค่าน้อยกว่า x เท่ากับ 2
คุณคงนึกออก เมื่อเราเข้าใกล้ x เท่ากับ 2 --
x เท่ากับ 1, x เท่ากับ 1.5, x เท่ากับ 1.9,
x เท่ากับ 1.999
x เท่ากับ 1.99999999
f ของ x จะเข้าหาอะไร?
และเราเห็นว่า f ของ x ดูเหมือนจะเข้าใกล้
ค่านี่ตรงนี้
มันดูจะเข้าใกล้ 5
และวิธีที่เราเขียนคือว่า
ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 2 --
แล้วเราจะระบุทิศ -- เมื่อ x เข้าใกล้ 2
จากทิศลบ -- เราใส่
เครื่องหมายลบเป็นตัวยกข้างหลัง 2
เพื่อแสดงทิศที่เรากำลังเข้าหา
ค่านี้ไม่ใช่ลบ 2
เรากำลังเข้าใกล้ 2 จากทิศลบ

English: 
So if we were to
ask ourselves, what
is the value of our
function approaching--
as we approach x equals 2 from
values less than x equals 2.
So as you imagine, as
we approach x equals 2--
So x equals 1, x equals 1.5,
x equals 1.9, x equals 1.999,
x equals 1.99999999.
What is f of x approaching?
And we see that f of x
seems to be approaching
this value right over here.
It seems to be approaching 5.
And so the way we
would denote that is
the limit of f of x,
as x approaches 2--
and we're going to specify the
direction-- as x approaches 2
from the negative
direction-- we put
the negative as a
superscript after the 2
to denote the direction
that we're approaching.
This is not a negative 2.
We're approaching 2 from
the negative direction.

Russian: 
 
Поэтому, если бы мы спросили себя,
каково значение нашей функции, стремящейся
по мере приближения значений x равным 2, со значений меньше чем 2.
И так представьте себе как x стремится к 2 -
x = 1, x = 1.5, x = 1.9, x = 1.999.
x = 1.99999999.
Что происходит с f по мере приближения x?
И мы видим что f(x) стремится кажется,
прямо к этому значению.
Оно стремится к 5
И так мы будем обозначать, что
предел f(x), когда x стремится к 2
мы будем указывать направление - x стремится к 2
для отрицательного направления,  мы укажем
минус в верхнем индексе двойки,
чтобы обозначить направление приближения.
Это не отрицательная 2
Это приближение к 2 с левой стороны.

Czech: 
Uvažme,
k jaké hodnotě se bude funkce f(x) blížit,
když se budeme blížit k x = 2
z hodnot menších nežli x = 2.
Představme si, jak se x = 2 blížíme:
x = 1; x = 1,5; x=1,9; x = 1,999;
x = 1,999999999
K jaké hodnotě se funkce f(x) blíží?
Jak vidíme, zdá se, že se
funkční hodnota blíží k této hodnotě.
Zdá se, že se blíží k 5.
To zapíšeme následovně:
Limita funkce f(x) v bodě "x",
když se "x" blíží k 2
a musíme upřesnit směr, ze kterého se
blížíme, když se "x" blíží k 2 ze záporna,
píšeme horní index mínus za 2,
abychom označili směr blížení.
Toto není číslo −2.

Chinese: 
我们从比2小的值趋近于2
我们越来越接近2
但是是从1.9 1.99 1.99999开始接近
当x越来越接近这些值
f(x)趋近什么？
在这里我们看到它趋近5
但是如果我们被问到
当x从右边接近于2
f(x)的极限是什么
所以要加一个+的上标
所以现在我们从正数的方向
趋近于2
x=3 x=2.5 x=2.1 x=2.01
x=2.0001
我们要越来越接近2
但是要从比2大得数接近2
所以在这里 当x=3 f(x)在这里
当x=2.5 f（x）在这里

English: 
We're approaching 2
from values less than 2.
We're getting closer and closer
to 2, but from below-- 1.9,
1.99, 1.99999 .
As x gets closer and
closer from those values,
what is f of x approaching?
And we see here that
it is approaching 5.
But what if we were asked the
natural other question-- What
is the limit of f of
x as x approaches 2
from values greater than 2?
So this is a little superscript
positive right over here.
So now we're going to
approach x equals 2,
but we're going to approach
it from this direction--
x equals 3, x equals 2.5, x
equals 2.1, x equals 2.01,
x equals 2.0001.
And we're going to get
closer and closer to 2,
but we're coming from values
that are larger than 2.
So here, when x equals
3, f of x is here.
When x equals 2.5,
f of x is here.

Polish: 
Zbiegamy do 2 po wartościach mniejszych od 2.
Zbliżając się bardziej i bardziej do 2, ale od dołu -- 1.9
1.99, 1.99999.
Gdy x zbliża się bardziej i bardziej od tych wartości,
do czego zbiega f od x?
I widzimy tutaj, że to zbiega do 5.
Ale co gdybyśmy zadali inne naturalne pytanie --Jaka
jest granica f od x, gdy x zbiega do 2,
po wartościach większych niż 2?
Ten mały indeks plus tutaj.
Więc teraz będziemy przybliżać x równe 2,
ale będziemy to robić z tej strony --
x równa się 3, x równa się 2.5, x równa się 2.1, x równa się 2.01,
x równa się 2.0001.
Zbliżamy się bardziej i bardziej do 2,
ale od wartości większych niż 2.
Więc tu, gdy x równa się 3, f od x jest tu.
Gdy x równa się 2.5, f od x jest tu.

Thai: 
เรากำลังเข้าใกล้ 2 จากค่าที่น้อยกว่า 2
เรากำลังเข้าใกล้ 2 มากขึ้นเรื่อยๆ 
แต่จากข้างล่าง -- 1.9,
1.99, 1.99999
เมื่อ x เข้าใกล้ค่าเหล่านั้นมากขึ้นเรื่อยๆ
f ของ x จะเข้าหาอะไร?
และเราเห็นตรงนี้ว่ามันเข้าใกล้ 5
แต่ถ้าเกิดเราถามคำถามอีกข้อ --
ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 2
จากค่าที่มากกว่า 2 เป็นเท่าใด?
นี่ก็คือตัวยกบวกตรงนี้
ตอนนี้เราจะเข้าใกล้ x เท่ากับ 2
แต่เราจะเข้าใกล้จากทิศนี้ --
x เท่ากับ 3, x เท่ากับ 2.5, x เท่ากับ 2.1,
x เท่ากับ 2.01,
x เท่ากับ 2.0001
และเราจะเข้าใกล้ 2 มากขึ้นเรื่อยๆ
แต่เรามาจากค่าที่มากกว่า 2
ตรงนี้ เมื่อ x เท่ากับ 3, f ของ x คือตรงนี้
เมื่อ x เท่ากับ 2.5, f ของ x อยู่ตรงนี้

Russian: 
Мы приближаемся к 2 со значениями меньших двойки.
Мы все ближе и ближе к 2, начиная снизу - 1.9 ,
1.99, 1.99999 .
Поскольку x становится все ближе и ближе от этих значений
к чему стремится f(х)?
И мы видим здесь, что он стремится к 5.
Но что если последует вполне естественный вопрос -
Каков предел f(x), когда x стремится к 2
со значений больших двух?
Для этого, прямо здесь укажем положительный верхний индекс
Итак, теперь мы собираемся приблизиться к x равным 2,
но мы будем приближаться к нему с этого направления -
x = 3, x = 2.5, x = 2.1, x = 2.01,
x = 2.0001.
И так мы становимся все ближе и ближе к 2,
но мы исходим из значений, которые больше 2.
Итак, здесь, когда x равно 3, f от x находится здесь,
Когда x равно 2.5, f(x) здесь.

Bulgarian: 
Приближаваме 2 откъм страната
на по-малките числа.
Доближаваме се все повече до 2,
но отдолу:
1,9 към 1,99 към 1,99999 и т.н.
Когато х се приближава
все повече през тези стойности,
до какво се доближава f(x)?
Тук виждаме, че се доближава до 5.
Естествено, следващият ни въпрос е
каква е границата на f(x),
когато х клони към 2
откъм по-големите числа?
Това е обозначено
с този малък знак плюс.
Сега ще се приближаваме към х=2,
но от другата посока:
х=3, х=2,5, х=2,1, х=2,01
и х=2,0001.
Ще се доближаваме
все повече до 2,
но идваме от по-големите
от него числа.
За х=3, f(x) е тук.
Когато х е 2,5, функцията е тук.

Korean: 
2보다 작은 값에서 2로 접근하고 있습니다
2에 점점 가까워지고 있지만 아래방향에서
1.9, 1.99, 1.99999로 가까워집니다
x가 2에 점점 가까워질 때
f는 어디로 접근하고 있습니까?
그래프에서 f가 5로 접근하는 것을 볼 수 있습니다
그렇다면 다른 질문을 생각해봅시다
x가 2보다 큰 값에서 2로 접근할 때
함숫값의 극한은 어떻게 되겠습니까?
이번엔 위에 + 부호를 써야합니다
이번엔 x가 2로 접근하고 있지만
다른 방향에서 접근하고 있습니다
x는 3과 같아지고 2.5가 되고
2.1이 되고 2.01이 되고
2.0001과 같아집니다
2에 점점 가까워지고 있지만
2보다 큰 값에서 출발합니다
x가 3일 때 f는 여기입니다
x가 2.5일 때 f는 여기입니다

Czech: 
Mínus pouze označuje směr,
ze kterého se k 2 blížíme.
Blížíme se k 2 z hodnot menších nežli 2.
Blížíme se k 2, ze záporné strany:
1,9; 1,99; 1,99999
Když se "x" blíží těmto hodnotám,
k jaké hodnotě se blíží funkce f(x) ?
A vidíme, že se blíží k 5.
Přirozeně bychom se nyní měli zeptat,
jaká je limita funkce f(x),
když se "x" blíží k 2 z hodnot
větších nežli je 2?
V takovém případě píšeme
do horního indexu plus.
Takže nyní se budeme blížit k x = 2,
ale z tohoto směru:
x = 3; x = 2,5; x = 2,1; x = 2,01
x = 2,00001,
budeme se blížit x = 2
z hodnot větších nežli 2.
Když se x = 3,
hodnota funkce f(x) je zde,
když se x = 2,5,
hodnota funkce f(x) je zde,

Portuguese: 
Nós estamos chegando cada vez mais e mais perto de 2, entretanto por baixo, - 1.9
1.99, 1.99999.
Como x fica cada vez mais e mais perto destes valores.
De que f de x se aproxima?
E nós vemos aqui que está se aproximando de 5.
Mas e se fossemos questionados naturalmente pela outra questão - Qual
é o limite de f de x quando x tende a 2
de valores maiores que 2?
Então isso é um pequenino sobrescrito positivo, bem aqui.
Então agora nós estamos nos aproximando de x = 2
mas estamos nos aproximando por esta direção -
x = 3, x = 2.5, x = 2.1, x = 2.01,
x = 2.0001
E nós estamos chegando mais e mais perto de 2,
mas chegamos por valores maiores que 2.

Russian: 
Когда x = 2.01, f(x)  похоже прямо здесь.
И в этой ситуации мы все ближе и ближе
и f(x) сравняется с 1.
Это не совсем так.
На самом деле он просто имеет разрыв.
 
Это, по-видимому, предельное значение, когда мы приближаемся, когда
мы приближаемся к 2 от значений больше 2.
Таким образом, это прямо здесь равно 1.
И поэтому, когда мы думаем о границах в целом,
единственный способ, чтобы предел при 2 на самом деле существовал
если оба эти односторонние пределы
на самом деле один и тот же элемент.
В этой ситуации это не так.
Когда мы приближаемся к 2 снизу
функция как видно стремится к 5.
Когда мы приближаемся к 2 сверху,
функция стремится к 1.
Поэтому, в этом случае, предел позвольте мне записать это,

Bulgarian: 
Когато х е 2,01, тя е някъде тук.
В тази ситуация f(x) се приближавa
все повече до 1.
Тя обаче не го достига.
В тази точка всъщност има
прекъсване от първи тип (скоково).
 
Това е граничната стойност,
когато се приближаваме
до 2 откъм по-големите числа.
Тази граница е равна на 1.
Когато мислим за границите
по принцип,
единственият начин да съществува
граница при 2
е тези двете едностранни граници
да са равни помежду си.
В тази ситуация
те не са.
Когато се приближаваме
до 2 отдолу,
функцията изглежда
доближава 5,
а когато приближаваме
2 от горната страна,
функцията изглежда,
че приближава 1.
В този случай, нека го напиша,

Polish: 
Gdy x równa się 2.01, f od x wygląda na to, że jest tutaj.
Więc w tej sytuacji zbliżamy się bardziej i bardziej
do f od x równego 1.
Nigdy się tyle nie równa.
Wtedy właściwie ma po prostu skok nieciągłości.
Ale zdaje się zbiegać.
To wydaje się być wartością graniczną, gdy przybliżamy,
gdy przybliżamy 2 po wartościach większych niż 2.
Więc to tu jest równe 1.
I tak, gdy myślimy o granicy ogólnie,
jedyną możliwością by granica w 2 istniała
jest by obie te granice jednostronne
były tą samą rzeczą.
W tej sytuacji, nie są.
Gdy zbiegamy do 2, po wartościach poniżej 2,
funkcja zdaje się zbiegać do 5.
A gdy zbiegamy do 2, po wartościach powyżej 2,
funkcja zdaje się zbiegać do 1.
Więc w tym przypadku, granica -- zapiszę to --

Korean: 
x가 2.01이 되면 f는 여기 있는 것처럼 보입니다
이 경우에 f는 점점
1과 가까워지고 있습니다
절대 1과 같아지진 않습니다
실제로 값은 불연속적으로 뛰어오릅니다
이 값은 x가 2보다 큰  값에서 2로 접근할 때
극한값으로 보입니다
따라서 여기에 적힐 값은 1입니다
일반적인 상황에서 극한에 대해 생각할 때
2에서의 극한값이 존재하려면
양 쪽 방향에서의 극한값이
같아야합니다
이 상황에서는 그렇지 않습니다
2보다 작은 값에서 2로 접근할 때
함수는 5로 접근하고 있습니다
2보다 큰 값에서 2로 접근할 때는
함수가 1로 접근하고 있습니다
이 경우 극한은
x가 음의 방향에서 2로 접근할 때

Thai: 
เมื่อ x เท่ากับ 2.01, f ของ x ดูเหมือนจะอยู่ตรงนี้
ในกรณีนี้ เราจะเข้าใกล้
f ของ x เท่ากับ 1 ยิ่งขึ้น
มันไม่เท่ากับค่านั้นพอดี
มันมีความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดอยู่
 
มันดูเหมือนว่าค่าลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้
เมื่อเราเข้าใกล้ 2 จากค่าที่มากกว่า 2
ค่านี่ตรงนี้จะเท่ากับ 1
แล้วเมื่อเราคิดถึงลิมิตโดยทั่วไป
วิธีเดียวที่ลิมิตที่ 2 จะมีอยู่จริง
คือลิมิตด้านเดียวทั้งสองตัวนี้
ต้องเท่ากัน
ในกรณีนี้ พวกมันไม่เท่ากัน
เมื่อเราเข้าใกล้ 2 จากค่าที่ต่ำกว่า 2
ฟังก์ชันดูจะเข้าใกล้ 5
และเมื่อเราเข้าใกล้ 2 จากค่าที่มากกว่า 2
ฟังก์ชันดูจะเข้าใกล้ 1
ในกรณีนี้ ลิมิต -- ขอผมเขียนลงไปนะ --

English: 
When x equals 2.01, f of x
looks like it's right over here.
So in this situation, we're
getting closer and closer
to f of x equaling 1.
It never does quite equal that.
It actually then just
has a jump discontinuity.
This seems to be the limiting
value when we approach when
we approach 2 from
values greater than 2.
So this right over
here is equal to 1.
And so when we think
about limits in general,
the only way that a limit
at 2 will actually exist
is if both of these
one-sided limits
are actually the same thing.
In this situation, they aren't.
As we approach 2
from values below 2,
the function seems
to be approaching 5.
And as we approach 2
from values above 2,
the function seems
to be approaching 1.
So in this case, the limit--
let me write this down--

Czech: 
když se x = 2,01,
hodnota funkce f(x) je zde.
V této situace se
funkce f(x) blíží hodnotě 1,
byť se do této hodnoty nikdy nedostane.
Funkce je pak nespojitá.
Zdá se, že toto je limitní hodnota,
k níž se blížíme,
když se přibližujeme k 2
z hodnot větších než 2.
Jednostranná limita z kladné strany
se tedy rovná 1.
Zamyslíme-li se o limitách obecně,
limita v bodě 2 může
existovat pouze tehdy,
je-li hodnota obou
jednostranných limit stejná.
V tomto případě tomu tak není.
Když se k 2 blížíme
z hodnot menších než 2,
funkce, zdá se, se blíží k 5.
A když se blížíme k 2
z hodnot větších než 2,
funkce se, zdá se, blíží 1.
Takže v tomto případě
limita funkce f(x),

Chinese: 
当x=2.01 f(x)看起来在这里
所以在这种情况下
我们越来越接近f(x)=1
但是它从来都不等于1
它其实是个跳跃不连续点
这看起来就是
当x从比2大的数趋近于2时
我们得到的值
所以在这里 答案等于1
所以当我们讨论这个点的极限的时候
这个点从左右两边趋近的极限
必须是同一个值
极限才能存在
在这个例子里 它们并不相当
当x从比2小的数趋近于2
函数趋近于5
当我们从x比2大的数趋近于2
函数趋近于1
所以在这题里

Chinese: 
当x趋近于2 f(x)的极限
从负数方向得到的极限
不等于从正数方向
得到的极限
它们并不相等
所以极限并不存在
所以在这题里
在x=2这点的极限
不存在
为了让极限存在
我们刚刚求的两个极限必须相等
比如 如果题目是
当x趋近于4的时候 f(x)的极限是多少
我们就该从解两边的极限算起
从负数方向得到的极限
从正数方向得到的极限
所以你可以这么做

Korean: 
f의 극한값(좌극한)과 x가 양의 방향에서
2로 접근할 때 f의 극한값(우극한)이
같지 않습니다
양 쪽의 극한값이 같지 않은 경우
극한은 존재하지 않습니다
일반적인 상황에서 x가 2에 접근할 때
함수의 극한값은
존재하지 않습니다
극한값이 존재하기 위해서는
두 극한 값이 서로 같아야 합니다
예를 들어서 누군가가 x가 4로 접근할 때
함수의 극한값이 무엇인지 묻는다면
우리는 좌극한과 우극한의
두 극한값에 대해
생각해볼 수 있습니다
 

Thai: 
ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 2
จากทิศลบ ไม่
เท่ากับลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 2
จากทิศบวก
และเนื่องจากมันเป็นเช่นนั้น -- พวกมันไม่เท่ากัน --
ลิมิตจึงไม่มีอยู่จริง
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 2 โดยทั่วไป
ของ f ของ x -- ลิมิตของ f ของ x
เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ไม่มีจริง
เพื่อให้มันมีจริง สองตัวนี้
ต้องมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น ถ้ามีคนถามว่า
ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 4 เป็นเท่าใด?
เราก็คิดถึงลิมิตข้างเดียวสองตัว --
ลิมิตข้างเดียวจากข้างล่าง และลิมิตข้างเดียว
จากข้างบน
เราก็บอกว่า ลองดู

Polish: 
granica f od x, dla x dążącego do 2
z lewej strony, nie
jest równa granicy f od x, dla x dążącego do 2
z prawej strony.
I skoro to jest sytuacja -- że nie są sobie równe --
granica nie istnieje.
Granica gdy x zbiega do 2 ogólnie
f od x -- więc granica f od x, gdy x zbiega do 2,
nie istnieje.
Żeby istniała, te dwie rzeczy
musiałyby być sobie równe.
Na przykład, gdy ktoś chciałby powiedzieć:
jaka jest granica f od x, gdy x zbiega do 4?
Wtedy moglibyśmy pomyśleć o dwóch granicach jednostronnych --
granicy jednostronnej z dołu i jednostronnej
z góry.
Moglibyśmy powiedzieć, zobaczmy.

Bulgarian: 
границата на f(x)
за х, клонящо към 2
от отрицателната посока
не е равна на границата
на f(x) за х, клонящо към 2
от положителната посока.
И тъй като в този случай
двете граници не са равни,
двустранната граница
не съществува.
В общия смисъл на думата граница,
границата на f(x)
за х, клонящо към 2
не съществува.
За да можеше тя да съществува,
тези двете трябваше да са равни
помежду си.
Например ако се пита
каква е границата на f(x)
за х, клонящо към 4?
Естествено, можем да помислим
за двете едностранни граници:
лявата и дясната,
тази отдолу и тази отгоре.
Можем да намерим

Czech: 
když se "x" blíží k 2 ze záporné strany,
se nerovná limitě funkce f(x),
když se "x" blíží k 2 z kladné strany.
A vzhledem k tomu,
že se tyto jednostranné limity nerovnají,
limita neexistuje.
Limita funkce f(x),
když se "x" blíží k 2, neexistuje.
Aby limita existovala,
tyto dvě hodnoty by se musely rovnat.
Například, kdybychom měli zjistit,
jaká je limita funkce f(x),
když se x blíží k 4?
Podívali bychom se
na dvě jednostranné limity:
jednostrannou limitu ze záporné strany 
a jednostrannou limitu z kladné strany.

English: 
the limit of f of
x, as x approaches 2
from the negative
direction, does not
equal the limit of f
of x, as x approaches 2
from the positive direction.
And since this is the case--
that they're not equal--
the limit does not exist.
The limit as x
approaches 2 in general
of f of x-- so the limit of
f of x, as x approaches 2,
does not exist.
In order for it to have
existed, these two things
would have had to have
been equal to each other.
For example, if
someone were to say,
what is the limit of f
of x as x approaches 4?
Well, then we could think about
the two one-sided limits--
the one-sided limit from
below and the one-sided limit
from above.
So we could say,
well, let's see.

Russian: 
предел f от х, когда х приближается к 2
с отрицательного направления
не равен пределу f(x), когда x приближается к 2,
с положительного направления.
И поскольку это так, что они не равны -
предел не существует.
Предел когда x приближается к 2 в общем случае,
предел f(х) когда х приближается к 2,
не существует
Для того, чтобы он существовал, эти две вещи
должны были быть равны друг другу.
Например, если кто-то скажет,
каков предел функции когда x приближается к 4?
Ну, тогда мы могли бы думать о двух односторонних пределах -
односторонний предел снизу и односторонний предел
сверху.
Поэтому мы могли бы сказать, хорошо, давайте посмотрим.

Chinese: 
当x从负数方向趋近于4 f(x)的极限
让我画一下
所以我们看到x=4
当x=4
当x=3 函数值为-2
f(3.5)在这里
f(3.9)看起来在这里
函数值越来越接近
-5
所以当x从负数趋近于4
极限
就会等于-5
如果我们问自己
当x从右边趋近于4
也就是从比4大的数趋近于4
f(x)的值是多少
f(5)在这里
f(4.5)在这里
f(4.1)看起来在这里
这是f(4.01)

Bulgarian: 
границата на f(x) за х,
клонящо към 4 отдолу:
ще го начертая.
Интересува ни точката х=4.
Когато х се доближава
до нея отляво,
например за х=3,
имаме f(3)=–2.
f(3,5) e ето тук.
f(3,9) е тук, а f(3,999)
идва все по-близо
до стойността на функцията
да е –5.
Значи границата,
когато се доближаваме до 4 отдолу,
лявата граница
ще е равна на –5.
За да потърсим границата на f(х)
за х, клонящо към 4 отдясно,
откъм по-големите от 4 числа,
ще използваме същия метод.
f(5) e тук.
f(4,5) е някъде тук.
f(4,1) е някъде тук,
f(4,01) пък е тук.

Korean: 
x가 왼쪽에서 4로 접근할 때 극한값을
그려보겠습니다
x가 왼쪽방향에서
4와 같아질 때를 생각해봅시다
x가 3일 때 f는 -2입니다
x가 3.5일 때 f는 여기에 있습니다
x가 3.9일때는 여기에 있고 3.999에 있을때는 여기에 있습니다
점점 가까워질수록 함수는
-5와 같아지고 있습니다
왼쪽 방향에서 4로 접근할 때의 극한인
좌극한은 -5와 같아집니다
x가 4보다 큰 값에서 4로 접근할 때
오른쪽방향에서 접근하고 있는
우극한도 똑같이 구합니다
5에서의 함숫값은 여기입니다
4.5의 함숫값은 여기이고
4.1의 함숫값은 여기이고
4.01의 함숫값은 여기에 있습니다

English: 
The limit of f of x, as x
approaches 4 from below-- so
let me draw that.
So what we care
about-- x equals 4.
As x equals 4 from below--
So when x equals 3,
we're here where f of 3
is negative 2. f of 3.5
seems to be right over here.
f of 3.9 seems to be right
over here. f of 3.999--
we're getting closer and
closer to our function equaling
negative 5.
So the limit as we
approach 4 from below--
this one-sided
limit from the left,
we could say-- this is going
to be equal to negative 5.
And if we were to ask
ourselves the limit of f
of x, as x approaches
4 from the right,
from values larger than
4, well, same exercise.
f of 5 gets us here.
f of 4.5 seems
right around here.
f of 4.1 seems right
about here. f of 4.01
seems right around here.

Polish: 
Granica f od x, gdy x zbiega do 4 od dołu -- więc
narysuję to.
Więc gdy interesuje nas -- x równe 4.
Gdy x równa się 4 z dołu --
Więc gdy x równa się 3, jesteśmy tutaj gdzie f od 3
równa się -2. f od 3.5 wydaje się być tutaj.
f od 3.9 wydaje się być tutaj. f od 3.999 --
zbliżamy się bardziej i bardziej do naszej funkcji równej
-5.
Więc granicą gdy zbiegamy do 4 od dołu --
tą granicą jednostronną możemy powiedzieć z lewej strony, --
to będzie równe -5.
I gdybyśmy zapytali się o granicę f od x,
gdy x zbiega do 4 z prawej strony,
po wartościach większych niż 4, to samo ćwiczenie.
f od 5 zabiera nas tutaj.
f od 4.5 wydaje się być tutaj.
f od 4.1 wydaje się być gdzieś tutaj. f od 4.01
wydaje się być gdzieś tutaj.

Thai: 
ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 4 จากข้างล่าง --
ขอผมวาดนะ
สิ่งที่เราสนใจ -- x เท่ากับ 4
เมื่อ x เท่ากับ 4 จากข้างล่าง --
เมื่อ x เท่ากับ 3 เราอยู่ตรงนี้เมื่อ f ของ 3
เป็นลบ 2. f ของ 3.5 ดูจะอยู่ตรงนี้
f ของ 3.9 ดูจะอยู่ตรงนี้
f ของ 3.999 --
เราเข้าใกล้ค่าฟังก์ชันเท่ากับ
ลบ 5
ลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้ 4 จากข้างล่าง --
ลิมิตข้างเดียวนี้จากทางซ้าย
เราบอกได้ -- อันนี้จะเท่ากับลบ 5
และถ้าเราถามตัวเองว่า ลิมิตของ f
ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 4 จากทางขวา
จากค่าที่มากกว่า 4 คิดเหมือนเดิม
f ของ 5 พาเรามาตรงนี้
f ของ 4.5 ดูจะอยู่แถวนี้
f ของ 4.1 อยู่แถวนี้ f ของ 4.01
ดูจะอยูตรงนี้

Russian: 
Предел f от x, так как x приближается к 4 снизу - так
я нарисую это.
Итак, что нам нужно - x равно 4.
Когда x сравнится с 4 снизу -
Когда x равен 3, мы видим f(3) это -2.
f(3.5) совсем рядом.
f(3.9) похоже где-то здесь. f(3.999) -
мы все ближе и ближе к тому что наша функция становится равна
минус 5.
И так наш предел когда мы приближаемся к 4 снизу,
этот односторонний предел слева
мы можем сказать - он равен отрицательному 5.
И если бы мы задали себе предел f(x)
когда x приближается к 4 справа,
со значениями больше 4,  ну что же, аналогично -
f(5) находится здесь.
f(4.5) примерно здесь.
f(4.1) похоже здесь. f(4.01)
примерно здесь.

Czech: 
Takže, limita funkce f(x),
když se "x" blíží k 4 ze záporné strany.
Pojďme si to nakreslit.
Zajímá nás příblížení k x = 4;
Jdeme k x = 4 ze záporné strany, takže:
pro x = 3,
funkce f(x) nabývá hodnoty 2,
pro x = 3,5,
funkce f(x) nabývá této hodnoty,
pro x = 3,9,
funkce f(x) nabývá této hodnoty, atd.
čím dál více se přibližujeme
k hodnotě funkce f(x) −5.
Takže to je limita, když se
blížíme k 4 ze záporné strany,
jednostranná limita z levé strany,
se bude rovnat −5.
A kdybychom měli
zjistit limitu funkce f(x),
když se "x" bude
blížit k 4 z kladné strany,
z hodnot "x" větších než 4, opět...
pro x = 5,
funkce f(x) nabývá této hodnoty,
pro x = 4,5,
funkce f(x) nabývá zhruba této hodnoty,
pro x = 4,1, 
funkce f(x) nabývá této hodnoty,
pro x = 4,01 jsme zhruba tady.

Thai: 
และแม้แต่ f ของ 4 ก็นิยามได้
แต่เราเข้าใกล้มันเข้าไปเฉยๆ
และเหมือนเดิม เราเห็นว่าเราเข้าใกล้ 5
ถึงแม้ว่า f ของ 4 จะไม่นิยามสำหรับข้างใด
แต่เราจะเข้าใกล้ลบ 5
ค่านี้จึงเข้าใกล้ลบ 5
และเนื่องจากลิมิตจากทางซ้าย
เท่ากับลิมิตจากทางขวา
เราจึงบอกได้ว่า -- สองตัวนี้เท่ากัน
และเนื่องจากสองตัวนี้เท่ากัน
เราจึงรู้ว่าลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 4
เท่ากับ 5
ลองดูตัวอย่างอื่นกัน
ลองถามหาลิมิตของ f ของ x --
นี่คือ f ของ x ตัวใหม่วาดอยู่ตรงนี้ 
-- เมื่อ x เข้าใกล้ 8
ลองเข้าหา 8 จากทางซ้ายกัน
เมื่อ x เข้าใกล้ 8 จากค่าที่น้อยกว่า 8
ค่านี้จะเท่ากับอะไร?
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอแล้วพยายามหาด้วย
ตัวเอง

Korean: 
4의 함숫값도 정의되지만
우리는 계속해서 가까이 가고 있습니다
또 다시 우리는 -5로 접근하고 있습니다
4에서의 함숫값이 정의되지 않더라도
-5로 접근하게 될 것입니다
따라서 극한값은 -5입니다
좌극한과 우극한이 같기때문에
두 극한이 같다고 할 수 있습니다
두 극한이 같기 때문에
x가 4로 접근할 때 f의 극한값이
5와 같아짐을 알 수 있습니다
몇 가지 예를 더 봅시다
새로운 함수에서 x가 8로 접근할 때
f의 극한값을 생각해봅시다
8의 좌극한부터 생각해봅시다
x가 8보다 작은 값에서 8로 접근할 때
함수의 극한은 어떻게 되겠습니까?
영상을 잠시 멈추고
스스로 풀어보는 것도 좋습니다

Russian: 
И даже f(4) фактически определено,
поскольку мы все ближе и ближе от него.
И мы видим, что снова приближаемся к 5.
Даже если f(4) не было определено для обоих сторон,
мы будем приближаться к -5.
Таким образом он также стремится к -5.
А так как предел слева
равен пределу справа,
мы можем сказать эти две вещи равны.
И поскольку это так,
мы знаем что предел f(x), когда x приближается к 4,
равен 5.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров
И так давайте зададим предел f(x)
это новая функция, она изображена здесь, когда x приближается к 8.
И давайте подойдем к 8 слева.
X приближается к ней, со значений меньше 8.
Так чему же это будет равно?
И я рекомендую вам приостановить видео, чтобы попытаться понять это
для себя.

Bulgarian: 
И дори f(4) всъщност
е определено,
но ние просто
го доближаваме все повече.
Виждаме, че отново
се доближаваме до –5.
Дори и f(4) да не беше определено
на никоя от двете страни,
пак щяхме да се доближаваме до –5.
Това също се доближава до –5.
И тъй като лявата граница
е равна на дясната граница,
можем да кажем, че
двете са равни помежду си.
Заради това вече знаем, че
границата на f(x) за х,
клонящо към 4
е равна на –5.
Да разгледаме още няколко примера.
Да намерим границата на f(x),
това е друга функция,
която е представена тук,
за х, клонящо към 8 от ляво,
откъм по-малките от 8 числа.
На колко е равно това?
Сега остави видеото на пауза,
за да опиташ да я намериш
самостоятелно.

English: 
And even f of 4 is
actually defined,
but we're getting
closer and closer to it.
And we see, once again,
we are approaching 5.
Even if f of 4 was not
defined on either side,
we would be
approaching negative 5.
So this is also
approaching negative 5.
And since the limit
from the left-hand side
is equal to the limit
from the right-hand side,
we can say-- so these
two things are equal.
And because these
two things are equal,
we know that the limit of
f of x, as x approaches 4,
is equal to 5.
Let's look at a
few more examples.
So let's ask ourselves
the limit of f of x-- now,
this is our new f of x depicted
here-- as x approaches 8.
And let's approach
8 from the left.
As x approaches 8 from
values less than 8.
So what's this going
to be equal to?
And I encourage you to pause the
video to try to figure it out
yourself.

Czech: 
Funkce f(x) je v bodě 4 definovaná
a má stejnou hodnotu, k jaké se blížíme.
A opět vidíme, že se blížíme k −5.
I kdyby funkce f(x) nebyla definovaná
v bodě 4 ani z jedné strany,
blížili bychom se −5.
Toto se také blíží −5.
A jelikož jednostranná limita zleva
se rovná jednostranné limitě zprava,
..tedy tyto dvě limity jsou si rovny..
A protože jsou si tyto dvě limity rovny,
víme, že limita funkce f(x),
když se "x" bude blížit k 4,
je rovna 5.
Podívejme se na několik dalších příkladů.
Uvažujme limitu funkce f(x),
na obrázku máme novou funkci f(x),
když se "x" bude blížit 8.
Přibližme se k 8 zleva,
"x" se blíží 8 z hodnot menších než 8.
Čemu se toto bude rovnat.
Pozastavte si toto video, 
a zkuste na to přijít sami.

Polish: 
I nawet f od 4 jest właściwie zdefiniowane,
ale zbliżamy się bardziej i bardziej do tego.
I widzimy znów zbiegamy do 5.
Nawet gdyby f od 4 nie było zdefiniowane, z obu stron
zbiegalibyśmy do -5.
Więc to również zbiega do -5.
I skoro granica z lewej strony
jest równa granicy z prawej strony,
możemy powiedzieć -- więc te dwie rzeczy są równe.
I ponieważ te dwie rzeczy są równe,
wiemy, że granica f od x, gdy x zbiega do 4,
jest równa 5.
Popatrzmy na kilka innych przykładów.
Zapytajmy się o granicę f od x -- teraz,
to jest nasza nowa f od x przedstawiona tutaj -- gdy x zbiega do 8.
I zbiegajmy do 8 z lewej strony.
Więc gdy x zbiega do 8 po wartościach mniejszych niż 8.
Więc czemu to będzie równe?
I zachęcam was do zatrzymania wideo by spróbować
samemu.

Chinese: 
即使f(4)有定义
但是当我们越来越接近它
我们看到 它再一次趋近了-5
就算f(4)没有定义
我们也会接近-5
所以这里也是趋近于-5
因为左边的极限
等于右边的极限
我们可以说 这两个是相等的
因为这两个极限相等
我们知道当x趋近于4 f(x)的极限
等于5
让我们再看几题
假设题目是 这是我们新的图像
当x趋近于8
从左侧
当x从比8小的值趋近于8
极限是什么
我希望你暂停一下来算一算
自己算

Polish: 
Więc gdy zbliżamy się bardziej i bardziej do 8.
Więc gdy x jest 7, f od 7 jest tutaj.
Gdy x jest 7.5, f od 7.5 jest tutaj.
Wygląda na to, że nasza wartość f od x
zbliża się bardziej i bardziej i bardziej do 3.
Wygląda na to, że granica f od x, gdy x zbiega do 8
z lewej strony jest równa 3.
Co z prawą stroną?
Co z granicą f od x, gdy x
zbiega do 8 z dodatniej strony
lub z prawej strony?
Więc tu widzimy, że gdy x jest 9, to jest nasze f od x.
Gdy x jest 8.5 to jest nasze f od 8.5.
Wygląda na to, że zbiegamy do f od x równego 1.
Zauważmy, że te dwie granice są różne.
Więc nie jednostronna granica, granica dwustronna,
nie istnieje w f od x, gdy zbiegamy do 8.
Zapiszę to.

Russian: 
И так x становится все ближе к 8.
x = 7, это здесь,
x = 7.5 это здесь.
Таким образом наше значение f(x) становится
все ближе и ближе к 3
Таким образом наш предел f(x), когда x приближается к 8 с левой стороны,
равен 3.
Как насчет правой стороны?
Каков предел f(x) когда x приближается к 8,
с правой стороны.
 
Здесь мы видим, когда x=9, вот наш f(x)
когда x = 8.5, вот наш f(8.5).
Похоже, мы f(x) стремится к 1.
Обратите внимание что эти два предела различны.
Таким образом, ни односторонний, ни двусторонний,
не определены для f(x) когда x приближается к 8.
Давайте я это запишу.

Czech: 
Takže, "x" se blíží k 8, a tedy:
x = 7;
hodnota funkce f(x) je zde,
x = 7,5;
hodnota funkce f(x) je zde,
Takže se zdá,
že hodnota naší funkce f(x) se blíží k 3.
Takže se zdá, že limita funkce f(x), 
když se "x" blíží k 8 ze záporné strany,
je rovna 3.
Jak je tomu z kladného směru?
Jaká je limita funkce f(x),
když se "x" blíží k 8 z kladného směru,
neboli, jinak řečeno, zprava?
Je-li x = 9;
hodnota f(x) se nachází zde,
je-li x = 8,5;
hodnota f(x) se nachází zde.
Zdá se, že se blížíme
k hodnotě 1 funkce f(x).
Všimněme si,
že tyto dvě limity jsou rozdílné.
Oboustranná limita tedy
neexistuje pro "x" blížící se k 8.
Napišme si to.

Thai: 
x จะเข้าใกล้ 8 มากขึ้นเรื่อยๆ
ถ้า x เป็น 7, f ของ 7 อยู่ตรงนี้
ถ้า x เป็น 7.5, f ของ 7.5 อยู่ตรงนี้
มันดูเหมือนว่าค่า f ของ x ของเรา
เข้าใกล้ 3 มากขึ้นเรื่อยๆ
มันดูเหมือนว่าลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 8
จากด้านลบ เท่ากับ 3
แล้วจากด้านบวกล่ะ?
ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x
เข้าใกล้ 8 จากทิศบวก
หรือจากทางขวาเป็นเท่าใด?
ตรงนี้ เราเห็นว่าเมื่อ x เป็น 9, นี่คือ f ของ x ของเรา
เมื่อ x เป็น 8.5, นี่คือ f ของ 8.5
มันดูเหมือนว่าเราเข้าใกล้ f ของ x เท่ากับ 1
สังเกตว่า ลิมิตสองตัวนี้ต่างกัน
ลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตสองข้าง
ไม่มีอยู่จริงที่ f ของ x เมื่อเราเข้าใกล้ 8
ขอผมเขียนลงไปนะ

Chinese: 
x越来越趋近8
如果x=7 函数值在这里
当x=7.5 函数值在这里
所以看起来我们的函数值
越来越接近3
所以看起来当x从负数方向趋近于3
极限=3
那如果我们从正数方向趋近呢
当我们从正数方向
从比8大的值趋近于8
极限是什么
在这里我们看到当x=9 函数值在这里
当x=8.5 函数值在这里
看起来函数值趋近于1
所以注意到 这两个极限并不一样
所以整体的极限
在x=8并不存在
所以让我们写一下

English: 
So x is getting closer
and closer to 8.
So if x is 7, f of 7 is here.
If x is 7.5, f of 7.5 is here.
So it looks like
our value of f of x
is getting closer and
closer and closer to 3.
So it looks like the limit
of f of x, as x approaches 8
from the negative
side, is equal to 3.
What about from
the positive side?
What about the
limit of f of x as x
approaches 8 from the
positive direction
or from the right side?
Well, here we see as x
is 9, this is our f of x.
As x is 8.5, this
is our f of 8.5.
It seems like we're
approaching f of x equaling 1.
So notice, these two
limits are different.
So the non-one-sided limit,
or the two-sided limit,
does not exist at f of
x or as we approach 8.
So let me write that down.

Bulgarian: 
Значи, х се приближава все повече до 8.
Ако х е 7, f(7) е тук,
за х=7,5 функцията е тук.
Изглежда, че нашата стойност на f(x)
се приближава все повече до 3.
Изглежда, че лявата граница
на f(x) за х, клонящо към 8
откъм отрицателната страна, е 3.
Ами за положителната страна?
Каква ще е границата на f(x)
за х, клонящо към 8
от положителната посока,
от дясната страна?
Ето, виждаме, че за х=9
нашата функция е тук.
за х=8,5 нашето f(8,5) е тук.
Изглежда доближаваме до
f(x) = 1.
Забележи, че тези две граници
са различни една от друга.
Значи общата,
двустранната граница
не съществува
за f(x) при х, клонящо към 8.
Сега ще го запиша.

Korean: 
x가 8에 점점 가까워지고 있습니다
x가 7일 때의 함숫값은 여기입니다
x가 7.5일 때의 함숫값은 여기입니다
x의 함숫값이 점점 3에
가까워지고 있습니다
음의 방향에서 x가 8에 가까워질 때
함수의 극한값은 3과 같아집니다
양의 방향에서는 어떻게 되겠습니까?
x가 양의 방향에서 8로 가까워질 때
즉 오른쪽 방향에서 접근할 때의 극한값은
무엇입니까?
x가 9일 때 함숫값은 여기입니다
x가 8.5일 때 함숫값은 여기입니다
함숫값이 1에 가까워지고 있습니다
두 극한값이 다르다는 것을 생각하십시오
따라서 x가 8로 접근할 때
양 방향에서의 극한은 존재하지 않습니다
식으로 써보겠습니다

Polish: 
Granica f od x, gdy x zbiega do 8 --
ponieważ te dwie rzeczy nie są tą samą wartością --
to nie istnieje.
Nie istnieje.
Zróbmy jeszcze jeden przykład.
Tutaj właściwie zadają nam pytanie.
Wykres funkcji f znajduje się poniżej.
Jaka wydaje się być wartość jednostronnej granicy, granicy
f od x -- to jest f od x -- gdy x dąży do -2
z lewej strony?
Więc to jest -2 z lewej strony.
Więc obchodzi nas, co się dzieje, gdy x dąży do -2.
Widzimy, że f od x jest właściwie niezdefiniowane tutaj.
Ale zobaczmy co się dzieje, gdy zbiegamy
z ujemnej strony, lub zbiegamy
po wartościach mniejszych niż -2,
lub gdy zbiegamy z lewej strony.
Gdy zbiegamy z lewej, f od -4
jest tutaj.
Więc to jest f od -4.
f od -3 jest tutaj.
f od -2.5 wydaje się być tutaj.

Chinese: 
当x趋近于8 极限并不存在
因为两边的极限不同
所以不存在
让我们再做一题
在这里它问了个问题
这是函数的图像
当x从负数方向
趋近于2
极限是多少
所以这是-2
我们想知道当x趋近于2 会发生什么
我们看到函数在这里没有定义
但是当我们从负数方向
或者说从比-2 小的方向接近-2
或者说从左侧接近-2
会发生什么
当我们从左侧接近 f(-4)
在这里
所以这是f(-4)
这是f(-3)
这是f(2.5)

Czech: 
Limita funkce f(x), když se "x" blíží 8
..jelikož tyto dvě hodnoty se nerovnají..
neexistuje.
Ukažme si ještě jeden příklad.
Máme v něm odpovědět na otázku.
Funkci f(x) máme nakreslenou níže.
Jaká je hodnota jednostranné limity,
limity funkce f(x), toto je funkce f(x),
když se "x" blíží k −2 ze záporné strany?
Toto je −2 ze záporné strany.
Nás zajímá, co se děje,
když se "x" blíží k −2.
Vidíme,
že funkce f(x) zde není definovaná.
Podívejme se, co se stane,
když se budeme blížit zleva,
neboli když se budeme blížit
z hodnot menších než −2.
Když se budeme blížit zleva,
pro x = −4 je funkční hodnota zde.
Toto je hodnota funkce f(x) pro x = −4.
Pro x = −3 je hodnota funkce f(x) zde.
Pro x = −2,5
se hodnota funkce f(x) zdá být zde.

Bulgarian: 
Границата на f(x)
за х, клонящо към 8,
тъй като тези две стойности
са различни,
не съществува.
Да направим
още един пример.
Тук ни е зададен въпрос.
Дадена е графиката на функцията f.
Колко изглежда на нея стойността
на едностранната граница
на f(x) за х, клонящо към –2
откъм отрицателната посока?
Тук имаме –2
откъм отрицателна посока.
Интересува ни какво се случва,
когато х доближава –2 отляво.
Виждаме, че f(x)
е неопределено тук.
Но нека видим какво става,
когато се доближаваме
от отрицателната посока,
откъм по-малките от 2 числа,
или като се доближаваме отляво.
Като се доближаваме отляво,
f(–4) e тук.
Това е f(–4).
f(–3) е ето тук.
f(–2,5) изглежда е ето тук.

English: 
The limit of f of x,
as x approaches 8--
because these two things
are not the same value--
this does not exist.
Let's do one more example.
And here they're actually
asking us a question.
The function f is graphed below.
What appears to be the value of
the one-sided limit, the limit
of f of x-- this is f of x--
as x approaches negative 2
from the negative direction?
So this is the negative 2
from the negative direction.
So we care what happens as
x approaches negative 2.
We see f of x is actually
undefined right over there.
But let's see what
happens as we approach
from the negative
direction, or as we approach
from values less
than negative 2,
or as we approach from the left.
As we approach from the
left, f of negative 4
is right over here.
So this is f of negative 4.
f of negative 3 is
right over here.
f of negative 2.5 seems
to be right over here.

Thai: 
ลิมิตของ f ของ x, เมื่อ x เข้าใกล้ 8 --
เนื่องจากสองตัวนี้มีค่าไม่เท่ากัน --
ลิมิตนี้จึงไม่มีจริง
 
ลองทำอีกตัวอย่างหนึ่ง
ตรงนี้ เขาถามคำถามเรา
ฟังก์ชัน f วาดเป็นกราฟข้างล่าง
ค่าใดเป็นค่าของลิมิตข้างเดียว ลิมิต
ของ f ของ x -- นี่คือ f ของ x -- เมื่อ x เข้าใกล้ลบ 2
จากทิศลบ?
นี่คือลบ 2 จากทิศลบ
เราสนใจสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อ x เข้าใกล้ลบ 2
เราเห็น f ของ x ไม่นิยามตรงนั้น
แต่ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราเข้าหา
จากทิศลบ หรือเมื่อเราเข้าใกล้
จากค่าที่น้อยกว่าลบ 2
หรือเมื่อเราเข้าใกล้จากทางซ้าย
เมื่อเราเข้าใกล้จากทางซ้าย f ของลบ 4
อยู่ตรงนี้
นี่คือ f ของลบ 4
f ของลบ 3 อยู่ตรงนี้
 
f ของลบ 2.5 ดูจะอยู่ตรงนี้

Korean: 
두 극한값이 같지 않기 때문에
x가 8로 접근할 때 극한은
존재하지 않습니다
하나의 예를 더 봅시다
질문 하나를 묻고 있습니다
함수가 아래에 그려져있습니다
x가 음의 방향에서 -2로 접근하고 있을 때
함수의 극한값은 무엇입니까?
음의 방향에서 -2로 접근하고 있습니다
x가 -2로 접근할 때 어떻게 되는지 살펴봅시다
-2에서는 x가 정의되지 않습니다
음의 방향에서 접근할 때
그러니까 -2보다 작은 값에서 접근할 때입니다.
다시 말해 왼쪽 방향에서 접근할 때
어떻게 되는지 살펴봅시다
왼쪽에서 접근할 때 -4의 함숫값은
여기입니다
-4의 함숫값은 여기입니다
-3의 함숫값은 여기입니다
 
-2.5의 함숫값은여기입니다

Russian: 
Предел f(x) когда х приближается к 8 -
поскольку оба этих предела не равны
не существует.
 
Давайте еще один пример.
Здесь нам задают следующий вопрос.
График функции f представлен ниже.
Каково значение одностороннего  предела, предела f(x)
вот он f(x), когда  x приближается к 2 слева.
с отрицательного направления?
Вот этот отрицательный индекс.
Поэтому на нужны значения который приближаются к 2 слева.
Мы видим что f(x) не определенно в этой точке.
Давайте посмотрим, что происходит когда мы приближаемся
с отрицательной стороны,
приближаемся со значений меньше 2.
или аналогично с левой стороны.
Приближаемся слева  к f(-4)
в этой точке.
Вот оно f(-4)
и оно равно -3 в этой точке.
 
f(-2.5) находится здесь.

Bulgarian: 
Приближаваме се все повече
до f(x) = 4, поне така изглежда
на графиката.
Бих казал, че графично
границата на f(x)
за х, клонящо към –2
от отрицателната посока
е равна на 4.
Ако ни питаха също
колко е границата
на f(x) за х, клонящо към –2
от положителната посока,
щяхме да получим подобен отговор.
Сега ще се приближим
от х=0, за което f(x) изглежда е тук.
Когато х е 1, f(x) е ето тук.
Когато х е –1, 99...
за х равно на –1,
f(x) e тук.
Когато х е –1,9,
f(x) изглежда е тук.
Отново изглежда,
че се приближаваме до 4.
Тъй като лявата и дясната граница
са равни,
защото двете едностранни граници
клонят към едно и също число,
можем да обобщим,
че границата на f(x)

Russian: 
И мы становимся все ближе и ближе
когда f(x) становится равен 4, по крайней мере визуально.
Поэтому я говорю по крайне мере графически
предел f(x) когда x приближается к 2.
с отрицательной стороны.
Так же задав предел для f(x)
когда x приближается к -2
но для положительно направления, мы получим аналогичный результат.
Давайте посмотрим когда
x = 0, f(x) находится в этой точке.
Когда x = -1, f(x) вот тут.
 
 
Когда x = 1.9, f(x) находится вот здесь.
Поэтому мы все так же становимся ближе и ближе к 4.
Поскольку и левосторонний и правосторонний предел
имеют одно и тоже значение.
Поскольку оба этих односторонних пределов стремятся к одному значению.

Polish: 
Wydaje się, że zbliżamy się bardziej i bardziej
do f od x równego 4, przynajmniej na oko.
Powiedziałbym, że to wygląda -- przynajmniej,
graficznie -- granica f od x, dla x dążącego do 2
z lewej strony, jest równa 4.
Gdybyśmy spytali się również o granicę
f od x, gdy x zbiega do -2
z prawej strony, dostalibyśmy podobny wynik.
Teraz będziemy zbiegać, gdy
x jest 0, f od x wydaje się być tutaj.
Gdy x jest 1, f od x jest tutaj.
Gdy x jest 1. -- -1.99 -- przepraszam --
Gdy x jest -1, f od x jest tutaj.
Gdy x jest -1.9, f od x wydaje się być tutaj.
Więc jeszcze raz, wydajemy się zbliżać bardziej i bardziej do 4.
Ponieważ granica lewostronna i granica prawostronna
mają tę samą wartość.
Ponieważ obie granice jednostronne zbiegają do tej samej rzeczy,

Czech: 
Zdá se, že se blížíme
k hodnotě 4 funkce f(x).
Řekl bych tedy, že to vypadá,
alespoň graficky,
že limita funkce f(x), když se "x" blíží
k 2 ze záporného směru, je rovna 4.
Kdybychom uvažovali limitu funkce f(x),
když se "x" blíží −2 z kladného směru,
získali bychom podobný výsledek.
Přibližme se tedy:
x = 0,
hodnota funkce f(x) je zde,
x = −1,
hodnota funkce f(x) je zde,
x = −1,9,
hodnota funkce f(x) je zde,
Takže se opět blížíme 4.
Jednostranná limita zprava
a zleva mají stejné hodnoty.
Obě jednostranné limity
se blíží ke stejné hodnotě,
můžeme tedy říct,
že limita funkce f(x) existuje,

English: 
We seem to be getting
closer and closer
to f of x being equal
to 4, at least visually.
So I would say that
it looks-- at least,
graphically-- the limit of
f of x, as x approaches 2
from the negative
direction, is equal to 4.
Now, if we also asked
ourselves the limit
of f of x, as x
approaches negative 2
from the positive direction,
we would get a similar result.
Now, we're going to
approach from when
x is 0, f of x seems
to be right over here.
When x is 1, f of x
is right over here.
When x is negative
1, f of x is there.
When x is negative 1.9, f of
x seems to be right over here.
So once again, we seem to be
getting closer and closer to 4.
Because the left-handed limit
and the right-handed limit
are the same value.
Because both one-sided limits
are approaching the same thing,

Chinese: 
我们越来越接近
函数值=4
所以我们可以知道看起来
根据图像 当x从负数方向趋近于2
函数的极限=4
现在如果我们被问到
当x从正数方向趋近于-2
会得到一样的结果吗
现在 x=0
函数在这里
x=1 函数在这里
x=-1 函数在这里
当x=-1.9 函数在这里
再一次 我们看到我们越来越接近4
因为左右两边的极限
都一样
两边都趋近于同一个值

Korean: 
함숫값이 점점 4에 가까워지는 것을
볼 수 있습니다
그래프에서 보이는대로 한다면
x가 음의 방향에서 -2로 접근할 때
함숫값의 극한은 4가 됩니다
양의 방향에서 x가 -2로 접근할 때
함숫값이 어떻게 되는지 살펴본다면
비슷한 결과를 얻을 수 있습니다
x가 0일 때부터 접근해보면
0일 때 함숫값은 여기입니다
x가 1일 때의 함숫값은 여기입니다
 
x가 -1일 때의 함숫값은 여기입니다
x가 -1.9일 때의 함숫값은 여기입니다
또 다시 점점 4로 가까워지는 결과를 얻을 수 있습니다
좌극한과 우극한이 같기 때문에
즉 양 쪽 극한값이 같은 지점에
접근하고 있기 때문에

Thai: 
เราดูจะเข้าใกล้
f ของ x เท่ากับ 4 อย่างน้อยก็จากภาพนี้
ผมจึงบอกได้ว่า มันดูเหมือนว่า -- อย่างน้อย
จากกราฟ -- ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 2
จากทิศลบ เท่ากับ 4
ทีนี้ ถ้าเราถามตัวเองว่าลิมิต
ของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ลบ 2
จากทิศบวก เราจะได้ผลลัพธ์เหมือนกัน
ทีนี้ เราจะเข้าใกล้จาก
x เท่ากับ 0, f ของ x ดูจะอยู่ตรงนี้
เมื่อ x เป็น 1, f ของ x อยู่ตรงนี้
 
เมื่อ x เป็นลบ 1, f ของ x อยู่ตรงนี้
เมื่อ x เป็นลบ 1.9, f ของ x อยู่ตรงนี้
เหมือนเดิม เรากำลังเข้าใกล้ 4 มากขึ้นเรื่อยๆ
เนื่องจากลิมิตทางซ้ายมือ กับลิมิตทางขวามือ
มีค่าเท่ากัน
เนื่องจากลิมิตข้างเดียวทั้งสองตัวเข้าหาค่าเดียวกัน

Thai: 
เราจึงบอกได้ว่าลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้
ลบ 2 -- ค่านี้มาจากทั้งสองทิศ
เพราะมาจากทั้งสองทิศ เราได้ค่าลิมิตเดียวกัน
เราจึงบอกได้ว่าลิมิตมีจริงตรงนี้
และมันเท่ากับ 4

Polish: 
możemy powiedzieć, że granica f od x, gdy x zbiega do 2
przepraszam do -2 -- i to z obu stron.
Ponieważ z obu stron otrzymujemy tą samą wartość graniczną
możemy powiedzieć, że granica tam istnieje
I jest równa 4.

English: 
we can say that the limit
of f of x, as x approaches
negative 2-- and this
is from both directions.
Since from both directions, we
get the same limiting value,
we can say that the
limit exists there.
And it is equal to 4.

Chinese: 
我们知道当x趋近于-2
从两个方向
因为我们都得到了同样的值
我们可以说x=-2时的极限存在
等于4

Korean: 
x가 -2로 접근할 때 함숫값에 대해
말할 수 있습니다
양 쪽 방향에서 같은 극한값을
가지기 때문에
우리는 극한값이 존재한다고 말할 수 있습니다
그리고 그 극한값은 4입니다

Russian: 
мы можем сказать что предел f(x) когда x приближается к -2
с обоих направлений.
Поскольку из обоих направлений мы получаем одно и то же предельное значение,
мы можем сказать, что существует предел.
И он равен 4.

Bulgarian: 
за х, клонящо към –2,
и то от двете посоки,
има еднаква гранична стойност
от двете посоки,
значи тази граница
съществува тук.
И тя е равна на 4.

Czech: 
pro "x" blížící se −2, a to z obou směrů.
Ježto máme z obou směrů
stejnou limitní hodnotu,
můžeme říct, že zde existuje limita.
Tato limita se rovná 4.
