
English: 
- [Instructor] We are
asked to find the value
of this indefinite integral.
And some of you, in attempting
this, might try to say,
all right, is the numerator
here the derivative
or a constant multiple of the
derivative of the denominator?
In which case, u-substitution might apply,
but it's not the case here.
So what do we do?
And my hint to you would be
partial fraction decomposition,
which might invoke some memories
from a precalculus class
or maybe from an algebra 2 class,
but it's a technique to break
up this rational expression
into the sum of two rational expressions.
And a good hint there is the fact that
this denominator here is factorable
into these two expressions.
So what we're gonna try to do
with partial fraction
decomposition is say,
can we express x-5 over (2x-3)(x-1),
can we express it as a sum
of two rational expressions,
where the denominator of the
first rational expression
is 2x-3,

Bulgarian: 
Имаме задача да намерим стойността
на този неопределен интеграл.
Тук може да се запиташ
дали числителят е производна
или е кратно на производната
на знаменателя.
В този случай интегрирането чрез
заместване би било приложимо.
Но случаят не е такъв.
Тогава какво да направим?
Моята насока към теб е да разложиш
тази дроб.
Може да ти напомни за въведението
в математическия анализ
или за часовете по алгебра.
Има обаче техника за разлагане
на този рационален израз
на сума от два рационални израза.
Добра насока тук е фактът,
че даденият знаменател
е произведение
от тези два израза.
Това, което следва да направим,
е да разложим това като
елементарни дроби.
Може да изразим х минус 5 върху
2 по х минус 3, по х минус 1
като сума от два рационални израза.
Знаменателят на първия рационален
израз,
е 2 по х минус 3,

Korean: 
주어진 부정적분을 구합니다
주어진 부정적분을 구합니다
이렇게 이야기하는 분도 
있겠죠
식의 분자는
분모의 도함수 혹은
도함수의 상수배인가요?
그런 경우라면
u를 이용한 치환이 가능합니다
하지만 아닙니다
어떻게 해야 할까요?
힌트를 드리자면
부분분수입니다
미적분학 입문
혹은 대수학 2 시간에
배운 기억이 날 것입니다
이 방법은 유리식을 쪼개서
두 유리식의 합으로
나타내는 것입니다
좋은 힌트가 있네요
분모가 두 식으로
인수분해됩니다
분모가 두 식으로
인수분해됩니다
따라서 부분분수를 이용하여
해야하는 것은
따라서 부분분수를 이용하여
해야하는 것은
x-5 / (2x-3)(x-1) 를
두 유리식의 합으로
즉, 첫 번째 유리식의
분모가 2x-3 이고
즉, 첫 번째 유리식의
분모가 2x-3 이고

Bulgarian: 
а знаменателят на втория рационален
израз,
е х минус 1. Не е нужно да поставям
скоби.
Не знаем какви са числителите.
Може би го знаеш отпреди,
но те насърчавам, ако това е първият
път,
когато се срещаш с разлагането
на елементарни дроби,
да потърсиш информация в Кан
Академия.
Имаме доста уроци по темата.
Основният принцип тук е
степента на числителя да е с единица
по-ниска
от степента на знаменателя.
Знаменателите тук са от първа степен,
така че числителите ще бъдат от нулева
степен или просто константи.
Ще бъдат някакви неизвестни
константи.
Нека първата да е A.
А втората да е B.
Целта ни е да намерим A и B.
Дотук всичко е преговор.
Това не е анализ.
Това е от въвеждащия курс
по математически анализ или алгебра.
Как ще намерим A и B?
Нека да ги съберем така,
както събираме две дроби
с различни знаменатели.
Искаме да приведем към общ
знаменател.
Искаме да умножим
първия рационален израз
по х минус 1 в числител и знаменател.
Този числител тогава е A
по х минус 1

English: 
and the denominator of the
second rational expression
is x-1, and I don't have to
put parentheses there, is x-1.
Now we don't know the numerators.
As you might have learned before,
and I encourage you,
if this the first time
you're ever seeing partial
fraction decomposition,
look that up on Khan Academy.
We have many videos on it.
But the general principle here
is that your numerator is
gonna be one degree less
than your denominator.
So our denominators here are first degree,
so our numerator's gonna be
zero degree, or just constants.
So it's gonna be some
unknown constant data.
Let's call that A.
And some unknown constant B.
And our goal is to solve for A and B.
And this is all a review.
This isn't really calculus.
This is more precalculus now, or algebra.
How do we solve for A and B?
Well, let's add them
as if we're just adding two fractions
with unlike denominators.
So we wanna have a common denominator.
So what we wanna do
is multiply this first rational expression
by x-1 in the numerator
and the denominator.
So you could call this A(x-1)
over (2x-3)(x-1).

Korean: 
두 번째 유리식의
분모가 x-1인
두 유리식의 합으로
나타내는 것입니다
분자는 모릅니다
이전에 배웠다면
스스로 풀어보고
부분분수가 처음이라면
칸아카데미에 들어가서
관련 강의를 찾아보세요
다만 여기서 원칙은
분자가 분모보다
한 차수 낮다는 것입니다
따라서 분모가 1차이므로
분자는 0차
혹은 상수가 됩니다
임의의 상수인
A라고 합시다
여기는 B라고 합시다
목표는 A와 B 입니다
지금까지는 복습이었습니다
이는 사실 미적분은 아니고
미적분학 입문
혹은 대수학에 가깝죠
A와 B를 어떻게 구할까요?
분모가 다른 두 분수를
더하는 것처럼
분모가 다른 두 분수를
더하는 것처럼
둘을 더해봅시다
공통분모가 필요합니다
먼저 해야 하는 것은
첫 번째 유리식의
분모와 분자에
x-1을 곱하는 것입니다
따라서
A(x-1) / (2x-3)(x-1) 입니다

English: 
And then for this second
rational expression,
we'd multiply the numerator
and the denominator
by 2x-3.
So (2x-3)B
over (2x-3)(x-1).
And now, since I have the same
denominator, I can add them.
And the goal is when I add 'em,
and I think about the
numerator, I will try to say,
well how do the A's and B's line up
to what we have already, right over here?
So this is going to be
equal to, same denominator,
so the denominator's (2x-3)(x-1),
and then in the numerators,
actually, let me do it over here.
This is the same thing as
Ax-A, just distributing the A,
and if I distribute the B here,
this is the same thing as 2Bx-3B.
And so if we add the numerators,
we can add the x terms,
Ax+2Bx, so we could call that (A+2B)x.

Korean: 
따라서
A(x-1) / (2x-3)(x-1) 입니다
그 다음
두 번째 유리식의
분자와 분모에
2x-3 을 곱합니다
따라서
(2x-3)B / (2x-3)(x-1) 입니다
따라서
(2x-3)B / (2x-3)(x-1) 입니다
이제 분모가 같으므로
더할 수 있습니다
목표는
이렇게 더할 때
분자에 대하여
A와 B가 어떤 값이어야
x-5가 나오냐는 것입니다
분모는 동일합니다
(2x-3)(x-1)
이 식은 분자는
이 식은 분자는
Ax-A 입니다
A를 분배한 것이죠
여기서 B를 분배하면
2Bx-3B 입니다
분자에서 x항끼리 더하면

Bulgarian: 
върху 2 по х минус 3, по х минус 1.
При втория рационален израз,
ще умножим числителя и знаменателя
по 2 по х минус 3.
Тогава имаме 2 по х минус 3, по B,
върху 2 по х минус 3, по х минус 1.
Сега имат еднакви знаменатели
и мога да ги събера.
Целта е, когато ги събера,
да разгледам числителя и да се
запитам
как A и B са свързани
с числителя, който имаме тук?
Тогава тук се получава
общ знаменател 2 по х минус 3,
по х минус 1.
В числителя имаме следното.
Всъщност, нека го направя ето тук.
Това е същото като A по х 
минус А. Просто разкривам скобите.
Ако разкрия скобите и тук с B,
се получава същото като 2 по B по х,
минус 3 по B.
Ако съберем числителите, може да
ги изразим чрез х.

Bulgarian: 
A по х плюс 2 по B по х може да
представим като А плюс 2 по B по х.
След това събираме тези константи:
минус А и минус 3 по B.
Ето тук имам минус 5, така че
ще го използвам като 
насока и образец.
Тогава тук имаме минус...
ще го запиша като минус
А плюс 3 по B.
Ако разкрием скобите и умножим,
ще получим минус А и минус 3 по B.
Тоест тези два израза 
са еквивалентни.
Сега може да видим образеца.
Сега знаменателите са еднакви.
Тогава този израз в числителя
ще бъде равен на х минус 5.
Следователно коефициентът тук
пред х
трябва да е равен на 1.
А този израз, който изваждаме,
следва да е равен на 5.
Тогава ще съставим система
от две уравнения с две неизвестни,
за да намерим A и B.
Нека го запиша. Знаем следното.
A плюс 2 по B е равно на 1.

English: 
And then if we add these
constant terms, -A, -3B.
And since we have a minus right over here,
I'm gonna try to pattern match,
so I'm gonna have minus,
and I'll write that as -(A+3B).
If you distribute this negative sign,
then you're gonna get -A and -3B.
So these are equivalent.
And now we can see the pattern.
We say, all right, our
denominators are now the same,
so this thing in our numerator has to be
the same thing as x-5.
So whatever our coefficient here is on x,
that's gotta be equal to 1,
that's the coefficient on x.
And this thing that we're subtracting,
that's gotta be equal to 5.
And we're gonna set up a system
of two equations with two
unknowns to solve for A and B.
So we know that A+, so
let me write that down,
we know that A+2B needs to be equal to 1.
And we know that A+3B, or A+3B,

Korean: 
Ax+2Bx = (A+2B)x 입니다
상수항끼리 더하면
-A-3B 입니다
기존 식에 마이너스가 있으므로
패턴을 일치시킵니다
따라서 -(A+3B) 입니다
따라서 -(A+3B) 입니다
마이너스를 분배하면
-A-3B 입니다
이 둘은 동일하죠
패턴이 보입니다
분모는 동일하므로
분자 또한
x-5와 같아야 합니다
분자 또한
x-5와 같아야 합니다
x의 계수는 1입니다
x의 계수는 1입니다
상수항은 5입니다
상수항은 5입니다
A와 B를 구하기 위한
두 방정식과 두 미지수로 된
연립방정식을 세울 것입니다
따라서
A+2B = 1 이고
따라서
A+2B = 1 이고

Bulgarian: 
А знаем, че А плюс 3 по B
следва да е равно на 5.
Може да намерим A и B
чрез събиране и елиминиране на
неизвестно.
Нека умножим първото уравнение
по минус 1.
Получава се минус А, минус 2 по B,
минус 1 и събираме двете.
Целта беше да се унищожи
неизвестното А.
Остава минус 2 по B плюс 3 по B,
което е равно на B,
а това е равно на 4.
Сега може да заместим обратно
и да намерим А.
Нека използваме 
ето това уравнение.
Знаем, че А плюс 3 по 4,
т.е. 12 – от това 
уравнение тук –
ще бъде равно на 5.
Изваждаме 12 от двете страни и
 получаваме А е равно на –7.
Сега може да преобразуваме целия
интеграл.
Може да кажем, че това ще бъде равно
на неопределен интеграл

Korean: 
A+3B = 5 입니다
A+3B = 5 입니다
A와 B를 구하기 위해서
소거법을 이용합니다
위 방정식에 -1을 곱하면
-A-2B = -1 이 되고
둘을 더합니다
A를 제거하는 것이 핵심이므로
-2B+3B = B = 4 입니다
-2B+3B = B = 4 입니다
이 값을 식에 대입하여
A를 구합니다
A + 3·4 = 5
A + 3·4 = 5
여기서 3·4 = 12 이므로
이 방정식에 따르면
A + 12 = 5 입니다
양변에서 12를 빼면
A = -7 입니다
이 전체 적분식을
다시 나타낼 수 있습니다
이 전체 적분식을
다시 나타낼 수 있습니다
괄호를 열고

English: 
is going to be equal to 5.
And so now, to solve for A and B,
well, we could do that by elimination.
So let's see, what if we
multiply this top equation by -1.
So that'd be -A, -2B, -1,
and now we add them together.
The whole point was to cancel out the A's,
so we're left with -2B+3B,
that's just going to be B,
is equal to 4,
and then we can substitute
back in to solve for A.
So let's say right over
here, we know that,
we know that A+3x4,
so that's gonna be 12,
I'm using this equation right over here,
is going to be equal to 5.
Subtract 12 from both sides,
you get A is equal to -7.
So just like that, we can
rewrite this entire integral.
We can say this is going to be equal to
the indefinite integral
of, open parentheses,

English: 
A over 2x-3.
We now know that A is -7,
so it's -7 over 2x-3,
and then we're going have +B, B is 4,
so, +4 over x-1,
over x-1, and close parentheses, dx.
Now if you are so inspired,
I encourage you to pause the video
and try to run with it from this point,
because we have seen the
techniques to solve integrals
like this before, but
I'll do it step by step.
This is going to be the same thing as,
well actually let me just,
so this is going to be the same thing as
the integral of, so 2x-3.
I could write the -7 here,
but I'm gonna take the
constant out of the integral.
So I'll put a -7 here.
And to help us solve this,
and this could be a 1,
but to help us solve this,
it would be nice if we had a 2 here.
Why is that?
Because 2 is the derivative of 2x-3,
and so then we can do our u-substitution,

Bulgarian: 
от А върху 2 по х минус 3.
Знаем, че А е равно на минус 7,
т.е. имаме минус 7 върху 2 по х минус 3,
а сега ще следва плюс В,
което е 4,
т.е. плюс 4 върху х минус 1.
Затварям скобите и по dx.
Ако имаш желание,
насърчавам те да спреш видеото
и да се опиташ да довършиш задачата.
Познаваме техники за решение
на интеграли
като този преди, но ще го направя
стъпка по стъпка.
Това ще бъде равно на следното.
 
Ще бъде равно на същото
като интеграл от 2 по х минус 3.
Мога да запиша минус 7 тук,
но е константа и ще я изнеса
пред интеграла.
Поставям минус 7 тук.
Тук има 1 в числител.
За да е по-лесно за решение,
би било удобно тук да е числото 2.
А защо ли?
Защото 2 е производната
на 2 по х минус 3.
Тогава може да използваме
интегриране чрез заместване,

Korean: 
A / 2x-3
A는 -7 이므로
-7 / 2x-3 입니다
B=4 이므로
4 / x-1 입니다
4 / x-1 입니다
느낌이 왔다면
강의를 멈추고
스스로 풀어보세요
이전에 이런 적분을 푸는 방법을
배운 적이 있죠
하지만 차근차근
풀어보겠습니다
이 식은 다음과 같습니다
이 식은 다음과 같습니다
이 식은 다음과 같습니다
-7 / 2x-3 이지만
-7 / 2x-3 이지만
-7을 적분 밖으로
빼내겠습니다
여기에 -7을 두고
분자는 1이 되지만
계산하기 쉽게 하려면
2가 오는게
더 좋습니다
왜 그렇죠?
2는 2x-3의 도함수이고
그러면 u를 이용하여
치환할 수 있기 때문입니다

English: 
which we have, sometimes,
gotten practiced doing
a little bit in our head.
And so if we want this to be a 2,
we can't just multiply by 2.
We've also gotta divide by 2.
And I can do that outside,
'cause that's just a constant
dx+, well the derivative of x-1 is 1,
so we just want a 1 up in the numerator.
So we can take the 4 out of the integral.
4 times the integral of 1 over x-1, dx.
So this is going to be equal to,
we just have our constant out front, -7/2,
and since we have this
thing in the denominator,
and we have its derivative,
we can really just think
about this as integrating
with respect to this
thing in the denominator.
You can sometimes view u-substitution,
which I'm not explicitly going to do here,
as the reverse chain rule.
The antiderivative of 1
over x is the natural log
of the absolute value of x,
but here, this is going,
the antiderivative of this
is going to be the natural log
of the absolute value of 2x-3.

Bulgarian: 
което понякога се упражняваме
да разпознаваме.
Искаме тук да има числото 2.
Не може само да умножим по 2.
Също така следва да разделим на 2.
Изнасям отпред 2 като константа.
Производна от х минус 1 е равна на 1.
Тогава искаме тук да има 1
в числител.
Изнасяме 4 пред интеграла.
4 по интеграл от 1 
върху х минус 1, dx.
Тук ще се получи следното.
Имаме минус 7/2 отпред.
Имаме този знаменател
и производната му в числител.
Тогава може да разглеждаме задачата
като интегриране
спрямо израза в знаменателя.
Може да го разглеждаш 
като интегриране чрез заместване,
което няма подробно 
да записвам тук,
като обратна операция
 на верижното правило.
Примитивната функция на 1/х
е натурален логаритъм
от абсолютната стойност на х.
Примитивната функция 
на първия израз
е натурален логаритъм
от абсолютната стойност
на 2 по х минус 3.

Korean: 
암산 가능하죠
암산 가능하죠
분자가 2가 되려면
단순히 2만 곱하면 안되고
2를 나누기도 해야합니다
상수니까
적분 밖에서 나누겠습니다
x-1의 도함수는 1이므로
분자가 1이면 되겠네요
적분 밖에 4를 두면
∫ 1 / x-1 dx 입니다
따라서 정리하면
-7/2
분모의 도함수가
분자이므로
분모식에 대하여
적분한다고 생각해보면
u를 이용한 치환으로
볼 수 있습니다
연쇄 법칙의 역과 같은 것을
하지 않을 것입니다
연쇄 법칙의 역과 같은 것을
하지 않을 것입니다
1/x 의 부정적분은
ln|x| 이지만
여기서 부정적분은
ln|2x-3| 입니다
ln|2x-3| 입니다

Bulgarian: 
За втората част се получава плюс 4
по примитивната функция
на израза.
Натурален логаритъм от абсолютната
стойност на х минус 1.
Припомням, че мога да направя това,
защото производната от х минус 1
е равна на 1.
Разбира се, поради това, че решаваме
неопределен интеграл,
не искаме да забравяме константата С.
И сме готови!

English: 
And then for this part, it's gonna be +4,
times the antiderivative here
is the natural log of the
absolute value of x-1.
Once again, I can do that,
'cause the derivative of x-1 is just 1.
And of course, since we're
taking an indefinite integral,
we do not want to forget our +C.
And we're done.

Korean: 
여기는
이 식의 부정적분은
ln|x-1| 입니다
x-1의 도함수가
1이기 때문에 가능합니다
x-1의 도함수가
1이기 때문에 가능합니다
부정적분을 하고 있으므로
C를 더하는 것을
잊으면 안됩니다
다 끝났습니다
