
English: 
So, we saw that the vacuum equations,
vacuum Maxwell equations give rise to
wave-like solutions, but what we haven't
seen yet is what exactly are the
properties of these waves and how can we
describe them. And so taking this
simplest form of the solution, so this
the sinusoidal waves for the electric
and for the magnetic field, if we take
these expressions, and we get them back
in Maxwell's equations - so if we take the
form of these equations and plug them
back in the vacuum equations - what we get
are relations between the vectors and
between the wavelength and the frequency
and so between Omega and K. Now we will
not do this here thoroughly, you can look
at the supplemental material for

Bulgarian: 
Видяхме, че вакуумните уравнения,
вакуумните уравнения на Максуел ни дават
вълнови решения, но все още не
сме видели какви са свойствата
на вълните и как да ги
описваме. Като вземем тази
най-проста форма на решението, тази
синусоидна вълна за електричното
и магнитното поле, ако вземем
тези изрази и ги върнем в
уравненията на Максуел - ако вземем
формата на тези уравнения и ги сложим
обратно във вакуумните уравнение - това,
което получаваме са връзките между векторите,
дължината на вълната и честотите -
между Омега и K. Няма да
се спираме прекалено подробно, за повече
информация стъпка по стъпка може да погледнете

Bulgarian: 
допълнителния материал за всичките
свойства, но това, което научаваме за
електромагнитна вълна е, че
тя всъщност е напречна вълна. Това, което получаваме
е израз, който отнася вълновия вектор
към електричното поле
и магнитното поле и връзката между
трите е векторно произведение. Може би си
спомняте, че векторното произведение може да
се съотнесе към правилото за дясната ръка.
Ако погледнете дясната си ръка и
насочите пръстите си по такъв начин, че
те са ортогонални един на друг -
ако показалецът
е първият вектор от трите,
а средният пръст е втория, то
палецът е насочен към тяхното
векторно произведение, както можете да видите
на слайда. Това правило за дясната ръка ни
казва, че всеки три вектора, които са свързани с
векторно произведение (в този случай K векторно Е
ни дава омега B), всички
три вектора са ортогонални,
което означава, че K, което е
посоката на разпространение е ортогонален
както на електричното, така и на магнитното

English: 
step-by-step derivation of all the
properties, but what we learn for an
electromagnetic wave is that it is
actually a transverse wave. What we get
is an expression that relates the wave
vector, the electric field and the
magnetic field and the relation between
the three is a vector product. And as you
may recall a vector product can actually
be given in terms of a right hand rule.
So, if you have your right hand and if
you get your fingers in a way that
they're orthogonal to each other -
and this is the first if your index
finger is the first vector of the tree,
and your middle finger is a second, then
your thumb is pointing towards their
vector product, as you can see on the
slide. And so this right hand rule tells
us that any three vectors related by a
vector product, so in this case K vector
product E gives us omega B, any such
three vectors are mutually orthogonal,
which means that K, which is the
direction of propagation is orthogonal
both to the electric and the magnetic

Bulgarian: 
поле, а електричното и магнитното
поле сами по себе си също са взаимно
ортогонални, и така трите заедно образуват
дясна тройка. Всички
те са ортогонални едно на друго и
образуват плосък базис. И сега,
това какво ни казва? Казва ни, че
електричното и магнитното поле
са винаги в
две равнини, които са ортогонални
една на друга. Ако в едната от тях е
електричното поле, магнитното поле ще е
в другата, която е перпендикулярна на първата и още повече
и двете полета осцилират ортогонално
по посока на движението.
Сега,
вълни като тези са познати като
напречни вълни. За разлика от надлъжните вълни,
при които посоката на движение е същата
като посоката на осцилиране -
осцилирането е в една и съща посока като
посоката на движение - при напречните
вълни посоката на осцилация е
ортогонална на посоката на движение и
електромагнитните вълни са точно такива

English: 
field, and the electric and magnetic
field themselves are also mutually
orthogonal, and so all three of them form
what is known as right triplet. So, they
all are orthogonal to each other, and so
they form if you like a square base. Now,
what does this tell us? This tells us
that the electric and the magnetic field
are always
in two planes, which are orthogonal to
each other. So, if you have the electric
field in one, the magnetic will be in the
one perpendicular to it and furthermore
that they are both oscillating
orthogonal into the direction of motion.
Now,
waves like this are known as transverse
waves. So, unlike the longitudinal waves,
in which case the direction of motion is
the same as the direction of oscillation -
so the oscillating is in the same
direction as the motion - for transverse
wave the direction of oscillation is
orthogonal to the direction of motion
and so electromagnetic waves are

Bulgarian: 
напречни вълни. Защо това е важно
и какво ни дава? Ами, на този
етап, можем да дефинираме нещо
много основно за антените и свързано с мощността на
електромагнитните вълни и това е
вектор на Поинтинг. Излиза, че ако
вземем това векторно произведение, Е векторно B,
това, което получаваме е вектор, който
е насочен по посоката на движение,
ако вземем тази Mu_0 константа и
разделим израза на нея, новият вектор,
ще бележим с P,
се нарича вектор на Поинтинг и има
интерпретация на поток на мощността. Какво
означава това ще разберем скоро,
но това, което научихме до сега е,
че електромагните вълни докато се разпространяват,
първо електричното и
магнитното поле са взаимно
ортогонални, те са ортогонални
на посоката на движение и енергията,
която преминава също е ортогонална на тях.
Енергията е насочена
в посоката на движение, докато

English: 
transverse waves. Why is this important
and what does this give us? Well, at this
point, we can actually define something
very central to antennas and to power of
electromagnetic waves, and this is the
pointing vector. Now it turns out that if
we take this cross-product, so E cross
B, what we end up with is a vector, which
points in the direction of propagation,
and if we take this mu_zero constant,
and divide the expression, the new vector,
which we have formed with, which we have
denoted as P, here the pointing vector,
has the meaning of power flux. And what
this power flux means, we're gonna see
shortly, but what this tells us is that
the electromagnetic wave as it
propagates, first of all the electric and
the magnetic field are mutually
orthogonal, they're orthogonal to the
direction of motion, and the energy they
traverse with is also orthogonal to them.
So, the energy is directed in the
direction of motion, while the

English: 
electromagnetic fields are orthogonal to
it. So what is the most fundamental
definition of energy flux and of power
flux? Well, energy density, which we are
gonna start with, is as the name suggests
the energy per unit volume, whereas power
flux is actually the power that passes
through a unit surface. And, so how are
the two related? Well, if you think of the
units in which they are measured, power flux is
it the energy passing per unit time per
unit area, leaving or entering whatever
area we're considering,
whereas the energy density is simply the
total energy inside whatever we're
considering, whatever object, divided by
the total volume. And so there is a very
nice connection between the two, since
any energy leaving or entering, for
example, if we consider a closed surface,
a sphere, any energy, which is
entering or leaving the surface must
come through its surface. So, if we have a

Bulgarian: 
електромагните полета са ортогонални на нея.
Каква е най-основната
дефиниция на поток на енергията и на поток на мощността?
Ами, плътността на енергията, с която
ще започнем е енергията за единица
обем, както предполага и името й, докато мощностния
поток всъщност е мощността, която преминава
през единица площ. Как са свързани
двете? Ами, ако помислите за единиците,
в които се измерват, мощностният поток е
енергията, която преминава през единица време през
единица площ,
излизайки или влизайки в някаква площ, докато
плътността на енергията е просто
цялата енергия вътре в някакъв обем,
какъвто и да разглеждаме, разделена на
този обем. Има много ясна
връзка между двете, тъй като
всяка енергия, която излиза или влиза, например,
ако вземем затворена повърхност, като
сфера, всяка енергия, която
влиза или излиза от повърхността трябва
да мине през повърхността й. Ако има цялостна

Bulgarian: 
енергийна плътността в тази
сфера, ако част от енергията излезе, то
енергийната плътност ще стане по-малко, защото
ще има по-малко енергия в същия
обем. От друга страна, ако влезе допълнително
енергия, то ще се получи по-голяма
енергийна плътност, понеже ще има повече енергия
за същия обем. Връзката
между двете, понеже единственият начин
енергията да влезе/излезе оттук е през
повърхността, връзката между двете е
изразена в тази интегрална формула, която
първоначално може би изглежда страшна, но
всъщност няма нищо плашещо в нея. Интегралът
отдясно, който е векторът на Поинтинг,
интегриран върху цялата
повърхност, ни дава цялата плътност на потока за цялата
площ. Дава ни
цялата енергия за единица време, която
минава през повърхността и разбира
се цялата енергия, която минава за единица време
трябва да бъде равна (с точност, която се определя от
конвенцията за знака отпред), на
енергията вътре. Може да видите, че
цялостната промяна във времето на

English: 
total energy density inside of this
sphere, if some energy leaves, then the
energy density will become lower, because
there will be less energy on the same
volume. On the other hand, if some energy
flows in, then there will be more energy
density since you have more energy for
the same volume. And the connection
between the two, since the only way for
energy to enter/exit here is through its
surface, the relation between the two is
given in this integral formula, which
might look a bit scary at first, but it
has nothing really so bad about it. So,
the integral on the right, which is the
pointing vector integrated over the
whole surface, gives us the total power
flux for the whole area. So, it gives us
the total energy per unit time that
passes through the surface and of course
all the energy that passes per unit time
must be equal in some way up to a sign
convention to the total change in the
energy inside. And so you can see that
the total change in time of the whole

Bulgarian: 
енергията вътре, което е просто
обемен интеграл от енергийната плътност, ни дава
точно този интеграл, който е мощностният
поток, който използва векторът на Поинтинг, за
да се пресметне. Така векторът на Поинтинг
е много важна величина в смисъл, че
ако имаме обикновено електрично и
магнитно поле, което пътува да кажем като
електромагнитна вълна,
веднага можем да изчислим колко
мощност ще мине през
повърхността, която е паралелна на тези полета.
Да обърнем внимание на най-простия случай на
повърхност, която е паралелна на нашата
свободна вълна, можем да погледнем
следващия слайд, който показва точно това -
големината на вектора на Поинтинг. Като
цяло той е
вектор, който има посока и
в зависимост от това какъв е
ъгълът между тази посока и повърхността, през която преминава,
различното количество мощност ще
пресече повърхността, но ако е
точно ортогонален на тази повърхност,
големината му ни дава мощността,

English: 
energy inside, which is simply a volume
integral of the energy density, gives us
exactly this integral, which is the power
flux, which uses the pointing vector to
be computed. And so the pointing vector
is one very important quantity in a sense
that if we have the general electric and
magnetic field, which is travelling if we
have an electromagnetic wave, for example,
we can immediately compute how much
power will be passing through any
surface area, which is parallel to it. And
just to consider the simplest case of
area, which is parallel to our free
traveling wave, we can look at the
following slide, which takes exactly that -
the magnitude of the pointing vector. So,
in general the pointing vector again is
a vector, it has a direction,
and so depending on what the angle
between it and the surface it passes is,
the different amount of power will
transverse the surface, but if it is
precisely orthogonal to that surface,
then its magnitude gives us the power

English: 
that passes through it. And the magnitude
of the pointing vector is essentially
the magnitude of this vector product. And
so if we compute what's the electric
field or the magnetic field is for those
waves, which we considered earlier on -
sine waves, what you get is the following
expression, so it can be expressed in
terms of only the electric fields or
only the magnetic fields since the two are related
Now something very
important with these constants is that
if we take mu and epsilon from the
relation, which turns out to hold, if we
want to have electromagnetic waves, if we
want these sine functions to be
solutions to Maxwell equations, we see
that there is a certain relationship
between the speed of the waves and those
two constants. And we see that C squared,
which is the speed of the waves squared
should be equal to 1 divided by the
multiplication of those two constants.
And this is something very crucial. This
is something, which the first person to

Bulgarian: 
която преминава през нея. Големината на
на векторът на Поинтинг е просто
големината на това векторно произведение. Ако
заместим с електричното поле
и магнитното поле за тези
вълни, които по-рано обсъдихме -
синусоидните - това, което се получава е следният
израз, може да бъде изразен
с помощта само на електричното поле
или само на магнитното поле, понеже двете са свързани.
Нещо много важно,
свързано с тези константи е, че
ако вземем Mu_0 и Epsilon_0 от
съотношението, ако искаме да
имаме електромагнитните вълни, ако
искаме тези синусови функции да
са решенията на уравненията на Максуел, виждаме, че
има определени взаимовръзки
между скоростта на вълните и тези
две константи. Виждаме, че C на квадрат,
което е скоростта на вълните на квадрат,
трябва да е равна на 1 делено на
произведението на тези две константи.
И това е нещо много важно. Това е
нещо, което за първи път е открито

Bulgarian: 
от Джеймс Клерк Максуел.
Единствено той е осъзнал, че светлината
е електромагнитна вълна, след като
е пресметнал тези уравнения,
той е получил вакуумните решения
и е видял, че те имат вълнови решения,
пресметнал е скоростта, с която вълните
трябва да се движат. По онова време
не е имал представа, че светлината е
електромагнитна вълна, всъщност никой не е знаел, но
скоростта на светлината е била среавнително добре измерена. При
сравнението на тези две константи, които
са много добре познати, чрез сравнението на това
съотношение 1/Epsilon_0 *Mu_0 с това,
което се е смятало експериментално за скорост
на светлината, той е заключил, че тези две
неща са прекалено близки и би било прекалено
голяма случайност за пренебрегване. Затова
той е заключил, че светлината би трябвало
да е електромагнитна вълна. И той е първият
човек, който стига до това заключение.
Сега знаем, че светлината е
електромагнитна вълна, но дотук
разглеждаме всички възможни електромагнитни
вълни. Скоро ще се ограничим
до по-малка част от

English: 
realize was actually James Clerk Maxwell.
And he was the one to realize that light
is electromagnetic waves, since he
computed that he computed these
equations, he got the vacuum solutions, he
saw that they are wave solutions, and he
computed the speed at which the waves
must be travelling. He had no clue at that
time that light is an electromagnetic
wave, in fact no one knew, but the speed
of light was well measured. And so by
comparing those two constants, which were
very well known, by comparing this ratio
1 divided by epsilon0 mu0 with what
was experimentally known to be the speed
of light, he concluded that the two are
very very similar, and it was too much of
a coincidence to overlook. So, he
concluded that light must be an
electromagnetic wave. And in fact was
the first to realize this.
Now we do know that light is an
electromagnetic wave, but we generally
consider all possible waves at this
point. We're still gonna restrict
ourselves to just a smaller part of the

English: 
whole spectrum, small band of
frequencies, if you like which we know is
the radio frequencies, the microwave,
frequencies and these are the ones, which
we practically use for communication, but
the general description of
electromagnetic wave does not really depend
on frequency itself. Continuing on, you
see that the power of flux is something
very important since if we have an
antenna, if it's emitting with a given
frequency, with a given amplitude, what we
can get from the pointing vector is how
this power is distributed, and how this
power will be accepted like - if we had
an antenna emitting and if we had a
different antenna receiving at a different
point, the pointing vector at the
receiving end will actually give us the
power flux that our receiving antenna
would be seeing. And so we immediately see
since the power flux was defined as the
power per unit surface, we immediately
conclude that an antenna would have to
have some surface, maybe no physical
surface, but effective surface since to

Bulgarian: 
целия спектър, или казано по друг начин -
малка група от честоти, които са
радио вълните,  микро вълните
това са основните, които използваме
за комуникация, но цялостното
описание на електромагнитните
вълни не зависи от
самата честота. Продължавайки с разглежданията си, ще
видим, че мощността на потока е нещо
много важно понеже ако имаме антена,
която излъчва на определена
честота, с определена амплитуда, това,
което ще получим от вектора на Поинтинг е
как мощността се разпределя и как
тя ще бъде приета - ако имаме
антена, която излъчва и още
една друга антена, която се намира
другаде и приема, векторът на Поинтинг
от страната на получаване ще ни даде
мощностния поток, който получаващата антена
ще види. Благодарение на това, че
мощностният поток е дефиниран като
мощността за единица площ, веднага
можем да заключим, че антената би
трябвало да има повърхност, която не е
задължително да е физическа, но е ефективна,

Bulgarian: 
защото за да събира тази мощност, за да я получи, ще
трябва да я събере от вектора на Поинтинг.
Цялата мощност, която ще събере ще
е пропорционална на повърхността й, както и
на вектора на Поинтинг в тази точка.
Дори тук можем да очакваме, че
антената ... или мощността, която получава,
ще зависи от повърхността й
по някакъв начин. Преди да приключим тази част е
много важно да направим
разграничение между електромагнитните
вълни като цяло и вакуумните
решения, които видяхме сега. Свободните
електромагнитни вълни. Ами, истинските
електромагнитни вълни никога не са свободни.
Те никога не са самостоятелни синусоидни вълни,
защото синусоидната вълна е
безкрайна както във времето, така и в пространството.
Тези прости решения, които видяхме и
току що описахме са много добро
приближение за вълни, които са много
далече от източника си, понеже ако си представите
източник, излъчващ вълни, те са
нещо като концентрични сфери, много далече от

English: 
gather that power, to receive power, it
will have to take in the pointing vector,
and all the power it collects will
actually be proportional to its surface
and the pointing vector at that point.
And so even here we can anticipate that
the antenna ... or its power will
depend on surface area in some
sense. Now before concluding this part, it
is very important to make a very general
distinction between electromagnetic
waves in general and the vacuum
solutions, which we saw right now. So the
free electromagnetic waves. Now, real
electromagnetic waves are never free.
They're never sinusoidal waves alone,
simply because a sinusoidal wave is
infinite in both space and time. So, these
simple solutions, which we just saw and
which we just described, are a very good
approximation for a wave, which is very
far from the source, since if you imagine
a source emitting waves, they're
concentric spheres, very far from the

Bulgarian: 
източника, тези сфери изглеждат
почти плоски, та ако разгледаме
вълна, която е много далеч от източника си, е почти
плоска вълна, но всъщност никога
нямаме плоски вълни и скоро
ще разберем, че истинските вълни
са трудни за описание от гледна точка на това как
те се излъчват, как се приемат и
има нещо, което ще видим, че е
загуба на мощност по време на разпространението си. Та,
свободните електромагнитни вълни са
безкрайни, те нямат загуба на мощност и
са математически идеализъм, който
ни позволява да описваме обикновените вълни
по-лесно. Но истинските електромагнитни
вълни, които ще видим имат мощност и
техният вектор на Поинтинг зависи от
разстоянието, което преминават. И в такъв
смисъл ще губят от плътността на мощността си и от енергията си,
докато се отдалечават от източника си.

English: 
source those spheres they look
almost flat, and so we can consider that a
wave very far from its emitter is almost
a plane wave, but in reality we never
really have plane waves, and we're gonna
see in few sections that real waves are
a bit hard to describe in terms of how
they are emitted, how they are received and
there is something, which we will see is
a loss of the power as they propagate. So,
free electromagnetic waves, they are
infinite, they have no loss of power, and
there are mathematical idealism, which
allows us to describe general waves a
bit easier. But real electromagnetic
waves that we are going to see have power and
their pointing vector depends on the
distance they traverse. And, so in such a
sense they will lose power density as
they go further from their source.
