
Korean: 
y² - x² = 4라는
방정식이 있다고 합시다
y² - x² = 4라는
방정식이 있다고 합시다
y² - x² = 4라는
방정식이 있다고 합시다
목표는 x에 대한 y의
이계도함수를 구하는 것입니다
x와 y에 대한 방정식을 
구하려고 합니다
x와 y에 대한 방정식을 
구하려고 합니다
동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요
좋습니다
같이 해봅시다
y에 대해 풀어서 
평소에 쓰던 방식을
사용하려 할 수도 있는데
y가 제곱이라서
양이나 음의 제곱근이
생길 수 있습니다
음함수 미분을
사용할 수 있다는 걸
눈치 챈 사람들도 있을텐데
음함수 미분은
연쇄법칙의 응용입니다
그럼 해 봅시다
x에 대한 y의 일계도함수를
먼저 구해봅시다
x에 대한 y의 일계도함수를
먼저 구해봅시다
그건 양변의 x에 대한
도함수를 구하면 됩니다
그건 양변의 x에 대한
도함수를 구하면 됩니다
그럼 무엇을 얻나요?
y²의 x에 대한 도함수는
연쇄법칙을 사용하겠습니다

English: 
- [Instructor] Let's say
that we're given the equation
that y squared minus x squared
is equal to four.
And our goal is to find
the second derivative of y
with respect to x, and we want to
find an expression for it
in terms of x's and y's.
So pause this video, and see
if you can work through this.
All right, now let's do it together.
Now, some of you might
have wanted to solve for y
and then use some traditional techniques.
But here, we have a y squared,
and so it might involve a
plus or a minus square root.
And so some of y'all
might have realized, hey,
we can do a little bit of
implicit differentiation,
which is really just an
application of the chain rule.
So let's do that.
Let's first find the first derivative
of y with respect to x.
And to do that, I'll
just take the derivative
with respect to x of both
sides of this equation.
And then what do we get?
Well, the derivative with
respect to x of y squared,
we're gonna use the chain rule here.

Czech: 
Máme rovnici, kde y na druhou
minus x na druhou je rovno 4.
Chceme najít druhou derivaci y podle x
a máme ji vyjádřit pomocí x a y.
Pozastavte si video
a zkuste si to sami.
Nyní to uděláme společně.
Někteří to možná mohli řešit pro y
a potom použít nějaké tradiční postupy.
Jenomže my zde máme y na druhou,
takže budeme muset pracovat s odmocninou.
Někteří jste si možná řekli, že můžeme
udělat trochu implicitní diferenciace,
což je ve skutečnosti jen
použití pravidla o složené funkci.
Pojďme to tedy udělat.
Nejdřív najdeme první
derivaci y podle x.
Abychom to provedli, udělám
derivaci podle x obou stran rovnice.
Co nám vyjde?
Pomůžeme si využitím
pravidla o složené funkci.

Bulgarian: 
Нека да кажем, че е дадено уравнението
у на квадрат минус х на квадрат
е равно на 4.
Нашата цел е да намерим 
втората производна на функцията у
спрямо х, и искаме
да намерим израз за нея, 
който е функция на х и у.
Спри видеото и провери дали можеш 
да решиш задачата самостоятелно.
Добре, нека сега да го направим заедно.
Може би искаше да намериш у,
а след това да използваш някои 
традиционни методи.
Тук обаче имаме у на квадрат,
така че може да се получи нещо 
с плюс или минус квадратен корен.
Може би разбра, че
може да се приложи
 диференциране на неявна функция,
което реално е просто приложение 
на верижното правило.
Нека да го направим.
Нека да намерим първата производна 
на у спрямо х.
За да го направя, просто 
ще намеря производната
спрямо х на двете страни 
на уравнението.
Какво получаваме тогава?
Е, за производната спрямо х 
на у на квадрат
ще използваме верижното правило.

Czech: 
Nejdříve vezmeme derivaci y na druhou
podle y, což se bude rovnat 2y.
Potom to vynásobíme
derivací y podle x.
Toto vychází z pravidla
o složené funkci.
Potom vyjádříme derivaci
x na druhou podle x.
To se rovná 2x.
A nakonec čemu se rovná
derivace konstanty podle x?
Nezmění se,
proto bude rovna 0.
Nyní můžeme najít
první derivaci y podle x.
Pojďme na to.
Na obou stranách
můžeme přičíst 2x.
Získáme 2y krát derivace y
podle x se rovná 2x.

Korean: 
먼저 y²의 y에 대한
도함수를 구합니다
먼저 y²의 y에 대한
도함수를 구합니다
이는 2y입니다
그리고 x에 대한
y의 도함수를 곱해 줍니다
다시 말하지만
연쇄볍칙을 사용했습니다
그리고 나서
x에 대한 x의
도함수는 무엇인가요?
2x를 빼줍니다
마지막으로
x에 대한 상수의
도함수는 무엇인가요?
변하지 않으니
0입니다
좋습니다 이제
x에 대한 y의
도함수를 구할 수 있습니다
해 봅시다
2x를 양변에 더하면
2y ᐧ dy/dx = 2x가 됩니다
2y ᐧ dy/dx = 2x가 됩니다
2y ᐧ dy/dx = 2x가 됩니다
이제 양변을 2y로 나누면
이제 양변을 2y로 나누면
x에 대한 y의 도함수는
x에 대한 y의 도함수는

Bulgarian: 
Първо може да намерим производната
на у на квадрат спрямо у,
което ще бъде равно на 2у
и след това умножаваме по
производната на у спрямо х.
Още веднъж, това произлиза 
директно от верижното правило.
После от този израз намираме
на какво е равна производната 
на х на квадрат спрямо х.
Е, това ще бъде просто 2х.
На последно място, но не по важност,
на какво е равна производната 
на константа спрямо х?
Константата не се променя,
така че ще бъде просто равна на 0.
Добре, а сега може да решим 
уравнението
относно първата производна на у спрямо х.
Нека го направим.
Може да добавим 
2х към двете страни
и ще получим, че 
2у по производната на у
спрямо х е равна на 2х.
Сега мога да разделя 
двете страни на 2у
и ще получа,
че производната на у спрямо х

English: 
First, we can take the derivative
of y squared with respect to y,
which is going to be equal to two y,
and then that times the
derivative of y with respect to x.
Once again, this comes
straight out of the chain rule.
And then, from that, we will subtract,
what's the derivative of x
squared with respect to x?
Well, that's just going to be two x.
And then last, but not least,
what is the derivative of a
constant with respect to x?
Well, it doesn't change,
so it's just going to be equal to zero.
All right, now we can solve for
our first derivative
of y with respect to x.
Let's do that.
We can add two x to both sides,
and we would get two y
times the derivative of y
with respect to x is equal to
two x.
And now I can divide both
sides by two y, and I am going
to get
that the derivative of y
with respect to x is equal to x,

English: 
x over y.
Now, the next step is
let's take the derivative
of both sides of this with respect to x,
and then we can hopefully
find our second derivative
of y with respect to x.
And to help us there,
actually let me rewrite this.
And I always forget the quotient rule,
although it might be a useful
thing for you to remember.
But I could rewrite this as a product,
which will help me at least.
So I'm going to rewrite
this as the derivative of y
with respect to x is equal to
x times y to the negative one power,
y to the negative one power.
And now, if we want to
find the second derivative,
we apply the derivative operator
on both sides of this equation,
derivative with respect to x.
And our left-hand side is exactly
what we eventually wanted to get,
so the second derivative
of y with respect to x.
And what do we get here
on the right-hand side?
Well, we can apply the product rule.

Bulgarian: 
е равна на х върху у.
Следващата стъпка е да намерим
 производната на двете
страни на това уравнение спрямо х.
Тогава вероятно ще намерим
 втората производна на у спрямо х.
За да си помогнем, нека да запиша 
уравнението по друг начин.
Винаги забравям правилото за 
намиране производна на частно,
въпреки че може да е полезно
 да го запомниш.
Аз мога обаче да запиша това
 като произведение,
което ще ми помагне.
Ще запиша това като  производната 
на у спрямо х е равно на
х по у на степен минус 1.
у на степен минус 1.
Сега ако искаме да намерим 
втората производна,
ще запишем означението за производна
в двете страни на уравнението.
Производна спрямо х.
От лявата страна е точно това, което 
евентуално искаме да получим.
Тоест втората производна 
на у спрямо х.
А какво получаваме ето тук 
от дясната страна?
Можем всъщност да приложим правилото 
за намиране производна на произведение.

Korean: 
x / y입니다
이제 다음 단계는
이 둘의 x에 대한
도함수를 구하는 것입니다
그러면 x에 대한
y의 이계도함수를
구할 수 있을 것입니다
그렇게 하기 편하도록
이것을 다시 쓰겠습니다
저는 한상 몫의 법칙을
잊곤 합니다
기억해 놓으면 좋을텐데 말이죠
하지만 이것을
곱으로 바꾸면
도움이 될 것입니다
이것을 다시 쓰면
dy/dx = xy^-1입니다
이것을 다시 쓰면
dy/dx = xy^-1입니다
이것을 다시 쓰면
dy/dx = xy^-1입니다
이것을 다시 쓰면
dy/dx = xy^-1입니다
이제 이계도함수를
구하려면
양변에 미분 기호를 적용합니다
양변에 미분 기호를 적용합니다
x에 대한 도함수입니다
왼쪽은 바로
구하고자 했던 것입니다
왼쪽은 바로
구하고자 했던 것입니다
x에 대한 y의
이계도함수이죠
오른쪽에는 무엇이 될까요?
곱의 공식을
적용할 수 있습니다

Czech: 
Nyní obě strany vydělíme 2y a vyjde nám,
že derivace y podle x se rovná x lomeno y.
Dalším krokem je zderivovat
obě strany podle x.
Tím doufejme najdeme
druhou derivaci y podle x.
Pro přehlednost to přepíšu.
Vždycky zapomenu podílové pravidlo,
které se nám třeba může hodit.
Ale můžeme to také
přepsat jako součin.
Přepíšu to tedy tak, že derivace y
podle x se rovná x krát y na −1.
Pokud chceme najít druhou derivaci,
dáme na obě strany diferenciální operátor.
Na levé straně máme to, co jsme chtěli
získat, tedy druhou derivaci y podle x.
Co jsme získali
na pravé straně?
Zde můžeme použít
vzorec na derivaci součinu.

English: 
So first, we can say the
derivative of x with respect to x,
well, that is just going to
be one times the other thing,
so times y to the negative one power,
y to the negative one power.
And then we have plus
x times the derivative
of y to the negative one.
So plus x,
what's the, times,
what's the derivative of y
to the negative one power?
Well, first, we can find the derivative
of y to the negative one
power with respect to y.
We'll just leverage the power rule there.
So that's going to be negative one
times y to the negative two power.
And then we would multiply that
times the derivative
of y with respect to x,
just an application of the chain rule,
times dy/dx.
And remember, we know what the derivative
of y with respect to x is.
We already solved for that.
It is x over y.
So this over here is going to be x over y.
And so now we just have to
simplify this expression.

Czech: 
Nejdříve máme derivaci x podle x,
což je jedna krát druhá část výrazu,
tedy krát y na −1.
Následuje plus x
krát derivace y na −1.
Čemu se rovná
derivace y na −1?
Nejdříve můžeme najít
derivaci y na −1 podle y.
To tedy bude
−1 krát y na −2.
To vynásobíme
derivací y podle x.
Vzpomeňte si, že už víme, 
čemu se tato derivace rovná.
To už jsme vyřešili.
Je to x lomeno y.
Toto tedy bude
x lomeno y.
Nyní tento výraz musíme
pouze zjednodušit.

Bulgarian: 
Първо, може да заявим, че 
производната на х спрямо х
ще бъде равна просто на 
1 по другото нещо,
т.е. по у на степен минус 1.
у на степен минус 1.
След това имаме плюс х
по производната на у на степен минус 1.
И така, плюс х, по...
На какво е равна
производната на у на степен минус 1.
Първо може да намерим производната
на у на степен минус 1 спрямо у.
Просто ще използваме правилото 
за намиране производна на степен.
Производната на у на степен минус 1
 ще бъде равна на минус 1
по у на степен минус 2.
След това ще умножим този член
по производната на у спрямо х,
което е просто приложение на 
верижното правило,
по dy/dx.
Припомни си, че знаем на какво
 е равна производната на у спрямо х.
Вече я намерихме.
Равна е на х върху у.
Следователно това ще бъде равно 
на х върху у.
А сега просто следва 
да опростим този израз.

Korean: 
먼저 x에 대한
x의 도함수는 1이고
1에 나머지인
y^-1을 곱한 값입니다
1에 나머지인
y^-1을 곱한 값입니다
1에 나머지인
y^-1을 곱한 값입니다
그리고 x에
y^-1의 도함수를 곱한 값을
더해줍니다
x에다
x에다
y^-1의 도함수는 무엇일까요?
먼저 y에 대한
y^-1의 도함수를 찾아야 합니다
먼저 y에 대한
y^-1의 도함수를 찾아야 합니다
멱의 법칙을 사용하겠습니다
(-1)y^-2입니다
(-1)y^-2입니다
그리고 이것을
x에 대한
y의 도함수로 곱하면 됩니다
연쇄법칙으로요
dy/dx를 곱해 줍니다
x에 대한
y의 도함수는 알고 있습니다
x에 대한
y의 도함수는 알고 있습니다
이미 풀어 놓았죠
x/y입니다
이건 x/y가 되고
이 공식을
간단히 하기만 하면 됩니다

Bulgarian: 
Това ще бъде равно на...
ще се опитам да го направя 
стъпка по стъпка.
Тази част ето тук просто 
ще бъде равна на 1 върху у.
Тогава нека да видим
 дали мога да опростя
целия този израз.
Този минус ще бъде изнесен отпред, 
така че имам минус,
а след това ще имам 
х по х в числителя.
Ще бъде разделен на у на квадрат,
а след това разделен още веднъж на у.
Следователно ще се получи 
минус х на квадрат
върху у на степен 3...
върху у на степен 3...
или казано по друг начин,
х на квадрат по у на степен минус 3.
И  сме готови.
Току-що намерихме втората 
производна за у спрямо х,
изразена чрез х и у.

Czech: 
Zkusím to udělat
postupně po částech.
Tato část bude
pouze 1 lomeno y.
Nyní tato část,
zkusíme ji zjednodušit.
Toto minus můžeme vytknout,
čili minus a následuje x krát x.
To celé bude děleno y na druhou
a poté děleno dalším y.
Výsledek tedy bude minus
x na druhou lomeno y na třetí.
Nebo to můžeme také přepsat
jako x na druhou krát y na −3.
A máme hotovo.
Právě jsme našli
druhou derivaci y podle x.

English: 
This is going to be equal to,
and I'll try to do it part by part,
that part right over there is
just going to be a one over y.
And then all of this business,
let's see if I can simplify that.
This negative is going to
go out front, so minus,
and then I'm going to have
x times x in the numerator.
And then it's going to
be divided by y squared
and then divided by another y.
So it's going to be minus x squared
over y to the third,
over y to the third, or
another way to think about it,
x squared times y to the negative three.
And we are done.
We have just figured out
the second derivative of y
with respect to x
in terms of x's and y's.

Korean: 
이것은 무엇과 같냐면
힌 부분씩 하겠습니다
이 부분은 1/y입니다
나머지 모두는
간단히 할 수 있는지 봅시다
이 음수 부호를 앞으로 빼고
분자는
x와 x의 곱이고
이것을 y²으로 나누고
다시 y로 나눕니다
따라서 -x²/y³이 됩니다
따라서 -x²/y³이 됩니다
-x^2y^(-3)이라고 할 수도 있습니다
-x^2y^(-3)이라고 할 수도 있습니다
다 했습니다
x와 y로 이루어진
x에 대한 y의
이계도함수를 찾았습니다
x에 대한 y의
이계도함수를 찾았습니다
