
Spanish: 
Lo que estás viendo en este momento es algo que se llama multiplicación de cuaterniones,
o más bien, estás viendo una cierta representación de un movimiento específico que ocurre en una esfera de cuatro dimensiones
en su representación en nuestro espacio tridimensional.
Algo que entenderás al final de este video.
Los cuaterniones son un sistema numérico absolutamente fascinante y, a menudo, poco apreciado de las matemáticas.
Así como los números complejos son una extensión bidimensional de los números reales,
Los cuaterniones son una extensión en cuatro dimensiones de los números complejos,
Pero no son solo chanchullos matemáticos juguetones.
Tienen una utilidad sorprendentemente pragmática para describir la rotación en tres dimensiones e incluso para la mecánica cuántica.
La historia de su descubrimiento también es bastante famosa en matemáticas.
El matemático irlandés William Rowan Hamilton
pasó gran parte de su vida buscando un sistema numérico tridimensional análogo al de los números complejos.
Y según la historia, su hijo le preguntaba cada mañana,

English: 
What you're looking at right now is something called quaternion multiplication,
or rather, you're looking at a certain representation of a specific motion happening on a four-dimensional sphere
being represented in our three-dimensional space
one which you'll understand by the end of this video.
Quaternions are an absolutely fascinating and often underappreciated number system from math.
Just as complex numbers are a two-dimensional extension of the real numbers,
quaternions are a four-dimensional extension of complex numbers,
but they're not just playful mathematical shenanigans.
They have a surprisingly pragmatic utility for describing rotation in three dimensions and even for quantum mechanics.
The story of their discovery is also quite famous in math.
The Irish mathematician William Rowan Hamilton
spent much of his life seeking a three-dimensional number system analogous to the complex numbers,
and as the story goes, his son would ask him every morning

Polish: 
To, na co teraz patrzycie nazywa się mnożeniem kwaternionów.
Albo raczej: patrzycie teraz na pewne wyobrażenie konkretnego ruchu, odbywającego się na czterowymiarowej sferze,
przedstawione w naszej trójwymiarowej przestrzeni.
Zrozumiecie to zanim dojdziemy do końca tego filmu.
Kwaterniony to niesamowicie fascynujący i często niedoceniany system liczbowy w matematyce.
Tak jak liczby zespolone są dwuwymiarowym rozszerzeniem liczb rzeczywistych,
tak kwaterniony są czterowymiarowym rozszerzeniem liczb zespolonych.
Ale one nie są tylko matematyczną sztuczką.
Z pragmatycznego punktu widzenia są zaskakująco użyteczne przy opisywaniu obrotu w trzech wymiarach, a nawet w mechanice kwantowej.
Historia ich odkrycia jest także dość znana w matematyce.
Irlandzki matematyk William Rowan Hamilton
spędził znaczną część życia szukając trójwymiarowego systemu liczbowego, analogicznego do liczb zespolonych.
Jak głosi opowieść, jego syn pytał go każdego ranka,

Spanish: 
si había descubierto o no cómo dividir los triples y siempre diría "no, todavía no".
Pero el 16 de octubre de 1843, mientras cruzaba el puente de Broome en Dublín,
se dio cuenta, en un supuesto destello de perspicacia,
que lo que necesitaba no era agregar una sola dimensión a los números complejos,
Necesitaba agregar dos dimensiones imaginarias más.
Tres dimensiones imaginarias que describen el espacio,
y los números reales quedando perpendiculares a eso en algún tipo de cuarta dimensión.
Esculpió la ecuación crucial que describe estas tres unidades imaginarias en el puente,
que hoy lleva una placa en su honor mostrando esa ecuación.
Ahora, tienes que entender nuestra noción moderna de vectores con su producto  punto y el producto cruzado y cosas así.
Realmente no existía en la época de Hamilton, al menos no en una forma estandarizada.
Así que después de su descubrimiento, presionó mucho para que los cuaterniones fueran
el idioma primario con el que enseñamos a los estudiantes a describir el espacio tridimensional.
Incluso formando una sociedad oficial del cuaternión para hacer proselitismo de su descubrimiento.
Ahora, desafortunadamente, esto se equilibró con los matemáticos del otro lado de la cerca.

Polish: 
czy już wymyślił jak dzieli się trójki, a on zawsze odpowiadał: ,,Nie, jeszcze nie”.
Ale 16 października 1843 roku, przechodząc przez Broome Bridge w Dublinie,
uświadomił sobie – przypuszczalnie doznał olśnienia –
że musi dodać do liczb zespolonych nie jeden wymiar,
ale dwa dodatkowe wymiary urojone.
Trzy wymiary urojone opisujące przestrzeń
i liczby rzeczywiste, prostopadłe do nich tak jakby w czwartym wymiarze.
Wyrył kluczowe równanie opisujące te trzy urojone jednostki na moście,
na którym dzisiaj znajduje się upamiętniająca go tablica z tymże równaniem.
Musicie zrozumieć, że nasze współczesne pojęcie o wektorach z ich iloczynami skalarnym i wektorowym, i tym podobnymi rzeczami
nie istniało w czasach Hamiltona. A przynajmniej nie w ujednoliconej formie.
Więc po swoim odkryciu mocno nalegał, aby kwaterniony
były podstawowym językiem, w którym uczy się studentów opisywać trójwymiarową przestrzeń.
Stworzył nawet oficjalne Towarzystwo Kwaternionowe, żeby przekonywać innych do swojego odkrycia.
Niestety, zostało to zrównoważone przez matematyków z przeciwnej opcji,

English: 
whether or not he had figured out how to divide triples and he would always say "no, not yet."
But on October 16th, 1843, while crossing the Broome Bridge in Dublin,
he realized—with a supposed flash of insight—
that what he needed was not to add a single dimension to the complex numbers,
but to add two more imaginary dimensions:
three imaginary dimensions describing space
and the real numbers sitting perpendicular to that in some kind of fourth dimension.
He carved the crucial equation describing these three imaginary units into the bridge
which today bears a plaque in his honor showing that equation.
Now, you have to understand our modern notion of vectors with their dot product and the cross product and things like that
didn't really exist in Hamilton's time, at least not in a standardized form.
So after his discovery, he pushed hard for quaternions to be
the primary language with which we teach students to describe three-dimensional space,
even forming an official quaternion society to proselytize his discovery.
Now, unfortunately, this was balanced with mathematicians on the other side of the fence

Spanish: 
Quienes creían que la confusa noción de multiplicación de cuaterniones
no era necesaria para describir tres dimensiones
y que resultaba ser una charla barata verdaderamente hilarante que llamaron legítimamente perversa.
Incluso se cree que la escena del Sombrerero Loco de Alicia en el País de las Maravillas,
cuyo autor es posible que sepas que era un matemático de Oxford,
se escribió en referencia a los cuaterniones. Que los  caóticos cambios de ubicación en la mesa eran una burla de su multiplicación,
y que ciertas citas hacían referencia a su naturaleza no conmutativa.
Pasó un siglo y la industria de la computación dio
un resurgimiento a los cuaterniones entre los programadores que trabajan con gráficos y robótica y cualquier cosa que implique orientación en el espacio 3D,
y esto se debe a que ofrecen una forma elegante de describir y calcular las rotaciones 3D.
Es computacionalmente más eficiente que otros métodos y también evita muchos de los errores numéricos que surgen en estos otros métodos.
El siglo XX también trajo un poco más de amor a los cuaterniones desde una dirección completamente diferente, la mecánica cuántica.
Verán, las acciones especiales que los cuaterniones describen en cuatro dimensiones,

Polish: 
którzy uważali, że zagmatwana idea mnożenia kwaternionów
nie jest konieczna do opisywania trzech wymiarów.
Skutkiem tego była naprawdę zabawna, staromodna gadanina i rzekomo uzasadnione nazywanie kwaternionów ,,złymi”.
Uważa się nawet, że scena z Szalonym Kapelusznikiem z ,,Alicji w Krainie Czarów”,
której autorem, jak może wiecie, był oksfordzki matematyk,
była napisana w nawiązaniu do kwaternionów. Chaotyczne zmiany miejsc przy stole miały wyśmiewać ich mnożenie,
a niektóre cytaty odnosić się do ich nieprzemiennej natury.
Przeskoczmy o około wiek do przodu. W branży komputerowej
kwaterniony przeżywają renesans wśród programistów pracujących z grafiką, robotyką, i wszystkim, co wiąże się z orientacją w przestrzeni trójwymiarowej.
To dlatego, że pozwalają one w elegancki sposób opisywać i wyliczać obroty w trzech wymiarach.
Jest on bardziej wydajny obliczeniowo niż inne metody, a poza tym unika wielu błędów numerycznych, które się w nich pojawiają.
Dwudziesty wiek pokochał kwaterniony z jeszcze jednego, zupełnie innego powodu – mechaniki kwantowej.
Szczególne działania opisywane przez kwaterniony w czterech wymiarach

English: 
who believed that the confusing notion of quaternion multiplication
was not necessary for describing three dimensions
resulting in some truly hilarious old-timey trash talk legitimately calling them evil.
It's even believed that the Mad Hatter scene from Alice in Wonderland
whose author you may know was an Oxford mathematician
was written in reference to quaternions: that the chaotic table placement changes were mocking their multiplication,
and that certain quotes were referencing their non-commutative nature.
Fast forward about a century and the computing industry gave
quaternions a resurgence among programmers who work with graphics and robotics and anything involving orientation in 3D space,
and this is because they give an elegant way to describe and to compute 3D rotations
which is computationally more efficient than other methods and which also avoids a lot of the numerical errors that arise in these other methods.
The 20th century also brought quaternions some more love from a completely different direction, quantum mechanics.
You see, the special actions the quaternions describe in four dimensions

English: 
are actually quite relevant to the way that two-state systems like spin of an electron, or
the polarization of a photon are described mathematically.
What I'll show you here is a way to visualize quaternions in their full four-dimensional glory.
It would surprise me if this approach was fully original,
but I can say that it's certainly not the standard way to teach quaternions, and that these specific
four-dimensional right-hand rule image that I'd like to build up to is something that I haven't really seen elsewhere.
Building up an understanding for this visual will take us meaningful time,
but once you have it, there is a very natural and satisfying intuition for how to think about quaternion multiplication
It won't be until the next video that I show you how exactly quaternions describe orientation in three dimensions,
which is for some people the whole reason we care about it,
but once we're able to go at it armed with the image of what they're doing to a 4d hypersphere,
there's a pleasing understanding to be had for the otherwise opaque formulas characterizing this relationship.

Spanish: 
en realidad son bastante relevantes para la forma en que los sistemas de dos estados como el giro de un electrón, o
la polarización de un fotón son descritos matemáticamente.
Lo que les mostraré aquí es una forma de visualizar los cuaterniones en su gloria total de cuatro dimensiones.
Me sorprendería si este enfoque fuera completamente original,
pero puedo decir que ciertamente no es la forma estándar de enseñar cuaterniones. Y que estas específicas
imagenes de la regla de la mano derecha en cuatro dimensiones que me gustaría construir, es algo que no he visto en ningún otro lugar.
Construir un entendimiento para este aspecto visual nos llevará un tiempo significativo.
Pero una vez que lo tienes, hay una intuición muy natural y satisfactoria sobre cómo pensar acerca de la multiplicación de cuaterniones.
No será hasta el próximo video que te muestre cómo exactamente los cuaterniones describen la orientación en tres dimensiones,
que es para algunas personas toda la razón por la que nos importan.
Pero una vez que podamos hacerlo armados con la imagen de lo que están haciendo con una hiperesfera 4D,
hay una comprensión agradable para las fórmulas opacas que caracterizan esta relación.

Polish: 
są dość istotne dla sposobu matematycznego opisania układów dwupoziomowych, takich jak spin elektronu
albo polaryzacja fotonu.
Pokażę wam teraz, jak wyobrazić sobie kwaterniony w ich pełnej czterowymiarowej okazałości.
Byłbym zaskoczony, gdyby to podejście okazało się całkowicie oryginalne.
Ale mogę powiedzieć, że to na pewno nie jest standardowy sposób uczenia kwaternionów. A tego konkretnego
obrazka z czterowymiarową zasadą prawej ręki, którą chcę wprowadzić, nie widziałem nigdzie indziej.
Stopniowe zrozumienie tej wizualizacji zajmie nam sporo czasu.
Ale, gdy już je zdobędziecie, to pozyskacie bardzo naturalną i satysfakcjonującą intuicję dotyczącą mnożenia kwaternionów.
Pokażę wam dopiero w następnym filmie, jak dokładnie kwaterniony opisują orientację w trzech wymiarach.
Dla niektórych ludzi to jedyny powód, aby się nimi w ogóle przejmować.
Ale, gdy już będziemy umieli się za to zabrać, uzbrojeni w wyobrażenie o ich działaniu na czterowymiarową hipersferę,
to będziemy mieć przyjemne uczucie zrozumienia wzorów opisujących ten związek, które w przeciwnym razie byłyby niejasne.

English: 
The structure here will be to start by imagining teaching complex numbers to someone who only understands one dimension,
then describing 3d rotations to someone who only understands two dimensions,
and ultimately to represent what quaternions are doing up in four dimensions,
within the constraints of our 3d space.
Our first character is Linus the Linelander, whose mind can only grasp the one-dimensional geometry of lines and the algebra of real numbers.
We're gonna try to describe complex members to Linus, and it's really important for you to
empathize with him as much as you can during this, because in a few minutes you're gonna be in his shoes
On the one hand, you could define complex numbers purely algebraically:
you say each one is expressed as some real number plus some other real number times i,
where i is a newly invented constant whose defining property is that i × i = -1.
Then you say to Linus to multiply two complex numbers, you just use the distributive property—what many people learn in school as "FOIL"—

Spanish: 
La estructura aquí, será comenzar imaginando enseñar números complejos a alguien que solo entiende una dimensión,
luego describiendo las rotaciones en 3D a alguien que solo entiende dos dimensiones,
y en última instancia, representar lo que los cuaterniones están haciendo en cuatro dimensiones,
dentro de las limitaciones de nuestro espacio 3D.
Nuestro primer personaje es Linus, el Linelander, cuya mente solo puede comprender la geometría unidimensional de las rectas y el álgebra de los números reales.
Vamos a tratar de describir a los números complejos de Linus, y es muy importante para ti
empatizar con él tanto como puedas durante esto, porque en unos minutos estarás en sus zapatos
Por un lado, podrías definir números complejos de manera puramente algebraica.
Dirías que cada uno se expresa como un número real más algunos otros números reales multiplicados por i,
donde i es una constante recién inventada cuya propiedad definitoria es que i × i = -1.
Luego le dices a Linus que multiplique dos números complejos, solo usas la propiedad distributiva (lo que mucha gente aprende en la escuela como "FOIL")

Polish: 
Konstrukcja będzie taka: najpierw wyobrazimy sobie uczenie liczb zespolonych kogoś, kto rozumie tylko jeden wymiar.
Potem opisywanie trójwymiarowych obrotów komuś, kto rozumie tylko dwa wymiary.
Ostatecznie przedstawimy, jak kwaterniony działają wyżej, w czterech wymiarach,
ograniczeni naszą przestrzenią trójwymiarową.
Naszym pierwszym bohaterem jest Linus Linianin, którego umysł obejmuje tylko jednowymiarową geometrię prostych i algebrę liczb rzeczywistych.
Spróbujemy opisać Linusowi liczby zespolone. Bardzo ważne jest, abyście w tym czasie
wczuli się w jego sytuację tak mocno, jak tylko potraficie, bo za parę minut będziecie na jego miejscu.
Z jednej strony można by zdefiniować liczby zespolone czysto algebraicznie.
Czyli powiedzieć, że każda z nich wyraża się jako liczba rzeczywista plus jakaś inna liczba rzeczywista razy ,,i'',
gdzie ,,i’’ to jakaś nowa stała, definiowana za pomocą własności: ,,i’’ razy ,,i’’ równa się -1.
Potem mówicie Linusowi, żeby pomnożył dwie liczby zespolone – po prostu używając rozdzielności mnożenia, czyli tak, jak uczą w szkole, mnożąc każdy element razy każdy.

Spanish: 
y aplicas esta regla que i × i = -1 para simplificar aún más las cosas. ¡Y eso está bien!
Eso funciona totalmente, y la forma estándar de libro de texto para introducir cuaterniones es análoga a esto.
mostrando las reglas algebraicas y llamándolo hecho.
Pero creo que falta algo. Si al menos no intentamos mostrarle a Linus la geometría de los números complejos.
y cómo se ve la multiplicación compleja, ya que los problemas en matemáticas y física
donde los números complejos son sorprendentemente útiles, a menudo aprovechan esta intuición espacial.
Tú y yo, que entendemos dos dimensiones, podríamos pensar de esta manera.
Cuando multiplicas dos números complejos, z por w,
puedes pensar en z como una especie de función que actúa sobre w, girándola y estirándola de alguna manera.
Me gusta pensar en esto ampliando la vista y preguntando "¿qué hace z a todo el plano?"
y puedes pensar en esta acción a vista de pájaro imaginando usar una mano para fijar el número 0 en su lugar,
y usando otra mano para arrastrar el punto desde 1 hasta z,
ya que cualquier cosa por 0 es 0 y cualquier cosa por 1 es ella misma.

Polish: 
I stosujecie zasadę, że ,,i” razy ,,i” równa się -1, żeby jeszcze uprościć wyrażenie. I to jest w porządku!
To całkowicie działa, a standardowy podręcznikowy sposób wprowadzania kwaternionów jest do tego analogiczny.
Pokazuje się algebraiczne zasady i to ma załatwiać sprawę.
Ale ja uważam, że czegoś tu brakuje, jeśli chociaż nie spróbujemy pokazać Linusowi geometrii liczb zespolonych
i tego, jak wygląda ich mnożenie. Bo problemy matematyczne i fizyczne,
w których liczby zespolone są zadziwiająco użyteczne, często wykorzystują tę przestrzenną intuicję.
Wy i ja, którzy rozumiemy dwa wymiary, możemy myśleć o tym tak:
kiedy mnoży się dwie liczby zespolone, ,,z” razy ,,w”,
to ,,z” można rozumieć jako rodzaj funkcji działającej na ,,w”, obracającej i rozciągającej „w” w pewien sposób.
Lubię myśleć o tym poszerzając obraz i pytając: co ,,z” robi z całą płaszczyzną?
Możecie myśleć o tym działaniu widzianym z lotu ptaka wyobrażając sobie przytrzymywanie jedną ręką zera na swoim miejscu
i przeciąganie punktu 1 do ,,z” drugą ręką.
Bo cokolwiek razy 0 równa się 0, a cokolwiek razy 1 równa się to cokolwiek.

English: 
and you apply this rule that i × i = -1 to simplify things down further. And that's fine!
That totally works, and the standard textbook way to introduce quaternions is analogous to this:
showing the algebraic rules and calling it done
But I think something is missing If we don't at least try to show Linus the geometry of complex numbers
and what complex multiplication looks like, since the problems in math and physics
where complex numbers are shockingly useful often leverage this spatial intuition.
You and I, who understand two dimensions, might think of it like this:
When you multiply two complex numbers, z times w,
you can think of z as a sort of function acting on w, rotating and stretching it in some way.
I like to think of this by broadening the view and asking "what does z do to the entire plane?"
and you can think of that bird's-eye view action by imagining using one hand to fix the number 0 in place,
and using another hand to drag the point at 1 up to z,
since anything times 0 is 0 and anything times 1 is itself.

Polish: 
A w dwóch wymiarach jest tylko jedno działanie rozciągająco – obracające, które tak zadziała.
Chcę też, żebyście później myśleli tak o mnożeniu kwaternionów:
że liczba po lewej działa tak jakby jako funkcja na liczbę po prawej.
I aby zrozumieć tę funkcję będziemy patrzeć, jak ona działa przekształcając płaszczyznę.
Aczkolwiek ona zamiast obracać przestrzeń dwuwymiarową, wykonuje jakby podwójny obrót w przestrzeni czterowymiarowej.
Przy okazji, jeśli chcecie przypomnieć sobie myślenie o liczbach zespolonych jako o działaniach,
to dobrą rozgrzewką do tego mógłby być mój film o e do pi razy ,,i”, które tłumaczę z użyciem podstaw teorii grup.
Linus Linianin bardzo dobrze rozumie pojęcie rozciągania: tak właśnie wygląda mnożenie przez liczby rzeczywiste.
Może myślenie o rozciąganiu w wielu wymiarach jest dla niego trochę dziwne, ale nie różni się zasadniczo.
Trudną rzeczą do przekazania Linusowi są obroty.
W szczególności, skupcie się na kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej – wszystkich liczbach znajdujących się w odległości 1 od zera.
Bo przemnożenie przez te liczby odpowiada czystym obrotom.

English: 
And in two dimensions, there is one and only one stretching-rotating action on the plane that'll do this.
This is also how I'll have you thinking about quaternion multiplication later on,
where the number on the left acts as a kind of function to the one on the right, and
we'll understand this function by seeing how it acts by transforming space,
although instead of rotating 2d space, it does a sort of double rotation in 4d space.
By the way, if you want to review thinking about complex numbers as a kind of action,
a good warm-up for this video might be the one I did on e to the pi i explained with introductory group theory
Now Linus the Linelander is pretty comfortable with the idea of stretching: that's what multiplication by real numbers looks like.
Maybe it's a little weird for him to think about stretching in multiple dimensions, but it's not fundamentally different.
The difficult thing to communicate to Linus is rotation:
specifically, focus on the unit circle of the complex plane—all the numbers a distance 1 from zero—
since multiplication by these numbers corresponds to pure rotation.

Spanish: 
Y en dos dimensiones, hay una y solo una acción de estiramiento y rotación en el plano que hará esto.
Así es como te haré pensar en la multiplicación de cuaterniones más adelante,
donde el número de la izquierda actúa como un tipo de función para el de la derecha, y
entenderemos esta función al ver cómo actúa transformando el espacio,
aunque en lugar de rotar el espacio 2D, hace una especie de doble rotación en el espacio 4D.
Por cierto, si deseas repensar los números complejos como un tipo de acción,
un buen calentamiento para este video podría ser el que hice sobre e^pi, que expliqué con la introducción a la teoría de grupos.
Ahora, Linus, el Linelander, está bastante cómodo con la idea de estirar. Así es como se ve la multiplicación de números reales.
Tal vez sea un poco extraño para él pensar en estirar en múltiples dimensiones, pero no es fundamentalmente diferente.
Lo difícil de comunicar a Linus es la rotación.
específicamente, enfócate en el círculo unitario del plano complejo (todos los números a una distancia de 1 desde cero)
ya que la multiplicación por estos números corresponde a la rotación pura.

English: 
How would you explain to Linus the look and the feel of multiplying by these numbers?
At first, that might seem impossible. I mean, rotation is just such an intrinsically two-dimensional idea.
But on the other hand, rotation involves only one degree of freedom:
a single number, the angle, specifies a given rotation uniquely.
So in principle, it should be possible to associate the set of all rotations to the one-dimensional continuum that is Linus's world
And there are many ways you could do this, but the one I'm going to show you is what's called a stereographic projection
It's a special way to map a circle onto a line, or a sphere into a plane, or even a 4d hypersphere into 3d space.
For every point on the unit circle, draw a line from -1 through that point
and wherever it intersects the vertical line through the circle's center, that's where the point of the circle gets projected

Spanish: 
¿Cómo le explicarías a Linus la apariencia y la sensación de multiplicar por estos números?
Al principio, eso podría parecer imposible. Quiero decir, la rotación es una idea intrínsecamente bidimensional.
Pero, por otro lado, la rotación implica solo un grado de libertad.
Un solo número, el ángulo, especifica una rotación dada de manera única.
Entonces, en principio, debería ser posible asociar el conjunto de todas las rotaciones al continuo unidimensional que es el mundo de Linus.
Y hay muchas maneras de hacer esto, pero la que les mostraré es lo que se llama una proyección estereográfica.
Es una forma especial de mapear un círculo en una línea, una esfera en un plano, o incluso una hiperesfera 4D en el espacio 3D.
Para cada punto en el círculo unitario, dibuja una línea desde -1 hasta ese punto
y donde sea que corte la línea vertical  que pasa por el centro del círculo, allí es donde se proyecta el punto del círculo

Polish: 
Jak wytłumaczylibyście Linusowi na czym polega mnożenie przez te liczby?
Na początku to może wydawać się niemożliwe. Bo obrót jest z natury bardzo dwuwymiarowym pojęciem.
Ale z drugiej strony obrót ma tylko jeden stopień swobody:
jedna liczba – kąt, określa dany obrót jednoznacznie.
Więc zasadniczo powinno się dać utożsamić zbiór wszystkich obrotów z jednowymiarowym continuum, które jest światem Linusa.
Można to zrobić na wiele sposobów. Ten, który wam pokażę, nazywa się rzutem stereograficznym.
To specjalny sposób odwzorowania okręgu na prostą, albo sfery na płaszczyznę, albo nawet czterowymiarowej hipersfery na przestrzeń trójwymiarową.
Dla każdego punktu na okręgu jednostkowym narysujcie prostą zaczynającą się w -1 i przechodzącą przez ten punkt.
Tam, gdzie przetnie ona pionową prostą przechodzącą przez środek okręgu, tam zostanie zrzutowany nasz punkt.

Polish: 
Na przykład punkt z jedynki zostanie zrzutowany na środek prostej.
Punkt ,,i” pozostanie na swoim miejscu, tak samo ,,-i”.
Wszystkie te punkty z 90-stopniowego łuku pomiędzy 1 a ,,i”
zostaną zrzutowane gdzieś na przedział pomiędzy punktami, w których wylądowało 1 oraz ,,i”.
Gdy idziemy dalej wokół okręgu, po łuku między ,,i” a -1,
to zrzutowane punkty lądują coraz dalej w rosnącym tempie.
Podobnie, gdy pójdzie się w drugą stronę do -1,
to zrzutowane punkty będą lądować coraz dalej na drugim końcu prostej.
Właśnie tę prostą zrzutowanych punktów pokażemy Linusowi,
zaznaczając kilka kluczowych punktów, takich jak 1, ,,i”, -1, żeby było do czego się odnieść.
Formalnie rzecz biorąc, punkt z -1 nie ma swojego rzutu przy tym odwzorowaniu,
bo styczna do okręgu w tym punkcie nigdy nie przetnie pionowej prostej.
Ale mówimy, że -1 wyląduje w ,,punkcie” w nieskończoności.

English: 
So for example, the point at 1 gets projected into the center of the line;
the point i actually stays fixed in place, as does -i;
all of the points on that 90° arc between 1 and i
will get projected somewhere in the interval between where 1 landed and where i landed.
As you continue farther around the circle on the arc between i and -1,
the projected points end up farther and farther away at an increasing rate.
Similarly, if you come around the other way towards -1,
the projected points end up farther and farther on the other end of the line.
This line of projected points is what we show to Linus,
labeling a few key points like 1 and i and -1, all for reference.
Technically, the point at -1 has no projection under this map,
since the tangent line to the circle at that point never crosses the vertical line,
but what we say is that -1 ends up at the "point" at infinity.

Spanish: 
Entonces, por ejemplo, el punto en 1 se proyecta en el centro de la línea;
el punto i realmente permanece fijo en su lugar, al igual que -i;
Todos los puntos en ese arco de 90 ° entre 1 e i
se proyectarán en algún lugar en el intervalo entre donde fue a parar el 1 y donde fue a parar i.
A medida que avanzas más alrededor del círculo en el arco entre i y -1,
los puntos proyectados terminan cada vez más lejos a un ritmo creciente.
Del mismo modo, si se da la vuelta hacia -1,
Los puntos proyectados terminan cada vez más lejos en el otro extremo de la línea.
Esta línea de puntos proyectados es lo que mostramos a Linus,
etiquetando algunos puntos clave como 1, i y -1, todos como referencia.
Técnicamente, el punto en -1 no tiene proyección bajo este mapeo
ya que la línea tangente al círculo en ese punto nunca corta la línea vertical,
pero lo que decimos es que -1 termina en el "punto" en el infinito.

English: 
This is a special point you imagine adding to the line where you would approach it
if you walk infinitely far along the line in either direction.
Now it's important to remember and to remind Linus that what he's seeing is only the complex numbers that are a distance 1 from the origin: the unit circle.
Linus doesn't see most numbers like 0 or 1 + i or -2 - i.
But that's okay, because right now we just want to describe complex numbers z
where multiplying by z has the effect of a pure rotation, so he only needs to understand the unit circle.
For example, when we take the number i and multiply it by any other complex number w,
the effect is to rotate by 90° counterclockwise.
And when we apply this action to the circle being projected down to the line for Linus, what does he see?
Well, it's a bit of a strange morphing action on the line, one which I want you to become familiar with for something we'll see later on.
It's easiest to understand by following a few key reference points.

Polish: 
To taki szczególny punkt, który w wyobraźni dodajecie do prostej tam, gdzie doszlibyście,
gdybyście szli nieskończenie daleko w którymkolwiek kierunku.
Ważne jest, aby pamiętać i aby przypomnieć Linusowi, że to, co widzi, to tylko te liczby zespolone, które są w odległości 1 od początku. Czyli okrąg jednostkowy.
Linus nie widzi większości liczb: zera, 1+i, -2-i…
Ale to nic nie szkodzi, bo w tej chwili chcemy mu tylko opisać liczby zespolone ,,z”, takie,
że mnożenie razy ,,z”skutkuje czystym obrotem. Więc on musi tylko rozumieć okrąg jednostkowy.
Na przykład, gdy weźmiemy liczbę ,,i”, i pomnożymy ją przez jakąkolwiek inną liczbę zespoloną ,,w”,
to skutkiem będzie obrót o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
A gdy zastosujemy to działanie do okręgu zrzutowanego dla Linusa na prostą, to co on zobaczy?
Trochę dziwne działanie przekształcające prostą. Chciałbym, abyście się z nim zapoznali, bo to nam się przyda później.
Najłatwiej je zrozumieć śledząc kilka kluczowych punktów odniesienia.

Spanish: 
Este es un punto especial que imaginas agregar a la línea donde lo encontrarías
si caminas infinitamente lejos a lo largo de la recta en cualquier dirección.
Ahora es importante recordar y recordar a Linus que lo que está viendo son solo los números complejos que están a una distancia 1 del origen: el círculo unitario.
Linus no ve la mayoría de los números como 0 o 1 + i o -2 - i.
Pero está bien, porque ahora solo queremos describir números complejos z
donde multiplicar por z tiene el efecto de una rotación pura, por lo que solo necesita entender el círculo unitario.
Por ejemplo, cuando tomamos el número i y lo multiplicamos por cualquier otro número complejo w,
el efecto es girar 90 ° en sentido contrario a las agujas del reloj.
Y cuando aplicamos esta acción al círculo que se proyecta hasta la línea de Linus, ¿qué ve?
Bueno, es un poco como una extraña acción de transformación en la recta, una con la que quiero que se familiaricen con algo que veremos más adelante.
Es más fácil de entender siguiendo algunos puntos de referencia clave.

English: 
i times 1 is i, so that means the number 1 should move up to i.
i times i is -1, so the point at i slides off to infinity.
i times -1 is equal to -i, so that point at infinity kind of comes back around from the bottom to the position one unit below the center
and i times -1 is 1, so that point at -i slides up to 1.
Even though this is kind of a weird motion, it lets us communicate some important ideas to Linus.
For example, multiplying by i four times, which corresponds to rotating by 90° four times in a row,
gets us back to where we started: i to the fourth equals one.
Here, to get more of a feel for things
let me just show the circle rotated at various different angles, on both the left and the right half of the screen here,
and putting a hand on the point that started at the number 1 to help us and to help Linus keep track of the overall motion.

Spanish: 
i veces 1 es i, lo que significa que el número 1 debería subir hasta i.
i veces i es -1, por lo que el punto en i se desliza hasta el infinito.
i veces -1 es igual a -i, por lo que el punto al infinito regresa desde la parte inferior a la posición una unidad por debajo del centro
e i veces -1 es 1, por lo que el punto en -i se desliza hasta 1.
Aunque este es un tipo de movimiento extraño, nos permite comunicar algunas ideas importantes a Linus.
Por ejemplo, multiplicando por i cuatro veces, lo que corresponde a rotar 90 ° cuatro veces seguidas,
nos regresa a donde empezamos: i^4 es igual a 1.
Aquí, para tener una mejor sensación de estas cosas,
permíteme mostrar el círculo girado en varios ángulos diferentes, tanto en la mitad izquierda como en la derecha de la pantalla.
Y poner una mano en el punto que comenzó en el número 1 para ayudarnos y para ayudar a Linus a realizar un seguimiento del movimiento general.

Polish: 
,,i” razy 1 równa się ,,i”, a to znaczy, że liczba 1 powinna przesunąć się do ,,i”.
,,i” razy ,,i” równa się -1, więc punkt z ,,i” zsunie się do nieskończoności.
,,i” razy -1 równa się ,,-i”, więc punkt z nieskończoności jakby wróci z czeluści na miejsce położone jedną jednostkę poniżej środka.
A ,,i” razy ,,-i” równa się 1, więc punkt z ,,-i” przesunie się w górę do jedynki.
Mimo, że to trochę dziwny ruch, pozwala nam on przekazać kilka ważnych myśli Linusowi.
Na przykład pomnożenie cztery razy przez ,,i”, które odpowiada obrotowi o 90 stopni cztery razy z rzędu,
zabiera nas z powrotem tam, skąd zaczęliśmy. ,,i” do potęgi czwartej równa się 1.
Teraz, żebyśmy lepiej się w to wczuli,
pokażę okrąg obracany o różne kąty, zarówno na lewej, jak i prawej części ekranu.
I położę dłoń na punkcie, który startuje z liczby 1, aby pomóc nam i Linusowi śledzić całość ruchu.

Spanish: 
A continuación, presentemos a Felix el Flatlander, que solo entiende la geometría bidimensional.
Imagínate tratando de explicar las rotaciones de una esfera a Félix.
En el espíritu de la transición de números complejos a cuaterniones,
extendamos los números complejos con su eje horizontal de números reales y su eje vertical de números imaginarios
con un tercer eje, definido por alguna constante j inventada para esto.
Ubicamos j a una unidad desde 0, perpendicular al plano complejo.
En lugar de tener este nuevo eje en la dirección z, como podría esperarse para una mejor analogía con cómo visualizaremos los cuaterniones,
queremos orientar las cosas para que los ejes i y j se queden en las direcciones x e y
con la recta numérica real alineada a lo largo de la dirección z.
Así que cada punto en el espacio 3D se describe como un número real,

Polish: 
Teraz przedstawmy Feliksa Płaszczaka, który rozumie tylko dwuwymiarową geometrię.
Wyobraźcie sobie, że próbujecie wyjaśnić Feliksowi obrót sfery.
W duchu przechodzenia od liczb zespolonych do kwaternionów,
rozszerzmy liczby zespolone z ich poziomą osią liczb rzeczywistych i pionową osią liczb urojonych
o trzecią oś, zdefiniowaną przez jakąś nową stałą ,,j”,
odległą o jedną jednostkę od zera i prostopadłą do płaszczyzny zespolonej.
Zamiast umieszczenia tej nowej osi w kierunku ,,z”, jak może byście się spodziewali, dla lepszej analogii z tym, jak będziemy sobie wyobrażać kwaterniony,
chcemy przyjąć taką orientację, aby osie ,,i” oraz ,,j” były ustawione w kierunkach ,,x” oraz ,,y”,
a oś liczb rzeczywistych –w kierunku ,,z”.
Więc każdy punkt w przestrzeni trójwymiarowej jest opisany jako jakaś liczba rzeczywista

English: 
Next, let's introduce Felix the Flatlander, who only understands two-dimensional geometry.
Imagine trying to explain rotations of a sphere to Felix.
In the spirit of transitioning from complex numbers to quaternions,
let's extend the complex numbers with its horizontal axis of real numbers and its vertical axis of imaginary numbers
with a third axis, defined by some newly invented constant j
sitting one unit away from 0, perpendicular to the complex plane.
Instead of having this new axis in the z direction like you might expect, for a better analogy with how we'll visualize quaternions,
we'll want to orient things so that the i and the j axes sit in the x and the y directions
with the real number line aligned along the z direction.
So every point in 3d space is described as some real number,

Polish: 
plus jakaś liczba rzeczywista razy ,,i” plus jakaś liczba rzeczywista razy ,,j”.
Tak się składa, że dla trójwymiarowego systemu liczbowego takiego jak ten nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia mnożenia,
które spełniałoby zwykłe algebraiczne własności, dzięki którym mnożenie jest przydatną konstrukcją.
Być może przedstawię w zarysie, dlaczego tak jest w kontynuacji tego filmu. Ale skupiając się na naszym obecnym celu,
zastanówcie się nad opisaniem obrotów trójwymiarowych w tym układzie współrzędnych Feliksowi Płaszczakowi.
Sfera jednostkowa składa się ze wszystkich tych liczb, które znajdują się w odległości jeden od zera w początku układu.
To znaczy suma kwadratów ich współrzędnych wynosi jeden.
Nie możemy pokazać Feliksowi całej przestrzeni trójwymiarowej, ale możemy zrzutować dla niego tę dwuwymiarową powierzchnię
i pokazać mu, jak wygląda nowa orientacja sfery po zrzutowaniu.
Analogicznie do tego, co robiliśmy wcześniej, rzut stereograficzny powiąże prawie każdy punkt na sferze jednostkowej
z unikatowym punktem na poziomej płaszczyźnie zdefiniowanej przez osie ,,i” oraz ,,j”.

English: 
plus some real number times i, plus some real number times j.
As it happens, it's not possible to define a notion of multiplication for a 3d number system like this
that would satisfy the usual algebraic properties that make multiplication a useful construct.
Perhaps I'll outline why this is the case in a follow-on video, but staying focused on our current goal,
think about describing 3d rotations in this coordinate system to Felix the Flatlander.
The unit sphere consists of all those numbers which are a distance 1 from 0at the origin,
meaning the sum of the squares of their coordinates is 1.
We can't show all of 3d space to Felix, but what we can do is project this 2d surface to him
and give him a feel for what reorientations of the sphere look like under that projection.
Analogous to what we did before, stereographic projection will associate almost every point on the unit sphere
with a unique point on the horizontal plane defined by the i and the j axes.

Spanish: 
más algunos números reales multiplicados por i, más algunos números reales multiplicados por j.
Como sucede, ¿no es posible definir una noción de multiplicación para un sistema numérico 3D como este?.
Eso satisfaría las propiedades algebraicas habituales que hacen de la multiplicación un constructo útil.
Tal vez explique por qué este es el caso en un video próximo, pero manteniéndonos enfocados en nuestra meta actual,
piensa en describir las rotaciones en 3D de este sistema de coordenadas a Félix el Flatlander.
La esfera unitaria consta de todos esos números que están a una distancia de 1 del 0 en el origen,
es decir, la suma de los cuadrados de sus coordenadas es 1.
No podemos mostrar todo el espacio 3D a Félix, pero lo que podemos hacer es proyectarle esta superficie 2D
y ddarle una idea de cómo se ven las reorientaciones de la esfera bajo esa proyección.
De manera análoga a lo que hicimos antes, la proyección estereográfica asociará casi todos los puntos de la esfera unitaria
con un punto único en el plano horizontal definido por los ejes i y j.

Polish: 
Dla każdego punktu na sferze narysujcie prostą od minus jedynki na południowym biegunie przechodzącą przez ten punkt, i zobaczcie, gdzie ona przetnie płaszczyznę.
Czyli punkt 1 z bieguna północnego wyląduje na środku płaszczyzny.
Wszystkie punkty z półkuli północnej zostaną posłane gdzieś do wnętrza okręgu jednostkowego płaszczyzny ,,ij”.
A ten okrąg jednostkowy, który przechodzi przez ,,i”, ,,j”, ,,-i” oraz ,,-j” pozostanie na swoim miejscu.
I to jest ważna rzecz do odnotowania.
Większość punktów, prostych i mapowań, które widzi Feliks Płaszczak, będzie zniekształconymi rzutami prawdziwej sfery.
Ale ten okrąg jednostkowy będzie jedyną uczciwą częścią naszej sfery jednostkowej, którą on ma, niezmienioną przez rzutowanie.
Wszystkie punkty z półkuli południowej zostaną zrzutowane na zewnątrz tego okręgu jednostkowego,
każdy kolejny coraz dalej w miarę jak zbliżacie się do minus jedynki w biegunie południowym.

Spanish: 
Para cada punto de la esfera, dibuja una línea desde -1 en el polo sur a través de ese punto y ve dónde se interseca con el plano.
Así que el punto 1 en el polo norte termina en el centro del plano;
todos los puntos del hemisferio norte se asignan en algún lugar dentro del círculo unitario del plano ij;
y ese círculo unitario que pasa por i, j, -i, y -j en realidad permanece fijo en su lugar.
Y ese es un punto importante para tomar en cuenta:
A pesar de que la mayoría de los puntos, líneas y parches que Félix el Flatlander ve, serán proyecciones distorsionadas de la esfera real,
este círculo unitario es lo único que tiene, que es una parte de nuestra esfera unitaria, sin alteración por la proyección.
Todos los puntos en el hemisferio sur se proyectan fuera de ese círculo unitario,
cada vez más lejos a medida que uno se acerca a -1 en el polo sur.

English: 
For each point on the sphere, draw a line from -1 at the south pole through that point and see where it intersects the plane.
So the point 1 at the north pole ends up at the center of the plane;
all of the points of the northern hemisphere get mapped somewhere inside the unit circle of the ij plane;
and that unit circle which passes through i, j, -i, and -j actually stays fixed in place.
And that's an important point to make note of:
even though most points and lines and patches that Felix the Flatlander sees are going to be warped projections of the real sphere,
this unit circle is the one thing that he has which is an honest part of our unit sphere, unaltered by projection
All of the points in the southern hemisphere get projected outside that unit circle,
each getting farther and farther away as you approach -1 at the south pole.

Spanish: 
Y nuevamente, -1 no tiene proyección en este mapeo, pero lo que decimos es que termina en algún punto en el infinito.
Ese punto en el infinito es algo que, sin importar en qué dirección camine en el plano,
a medida que avanzamos infinitamente, nos acercaremos a ese punto.
Es análogo a cómo si caminas en cualquier dirección desde el polo norte, te acercas al polo sur.
Ahora permíteme ver lo que ve Félix en dos dimensiones.
Al rotar la esfera de varias maneras, las líneas de latitud y longitud dibujadas en esa esfera,
se proyectan en varios círculos y líneas en el espacio de Félix.
Y tal como he hecho aquí, el patrón de tablero de ajedrez en la superficie de la esfera se refleja con precisión en la vista proyectada que ves con Félix.
Y el punto rosa representa a donde fue a parar el punto que estaba en el polo norte después de la rotación,
y ese círculo amarillo representa donde terminó el ecuador después de la proyección
Cuanto más te pongas en los zapatos de Felix en este momento, más fáciles serán los cuaterniones en un momento.

English: 
And again, -1 has no projection under this mapping, but what we say is that it ends up at some point at infinity.
That point at infinity is something such that no matter which direction you walk on the plane,
as you go infinitely far out, you'll be approaching that point.
It's analogous to how if you walk any direction away from the north pole, you're approaching the south pole.
Now let me just pull up a view of what Felix sees in two dimensions.
As I rotate the sphere in various ways, the lines of latitude and longitude drawn on that sphere
get projected into various circles and lines in Felix's space.
And the way I've done things up here, the checkerboard pattern on the surface of the sphere is accurately reflected in the projected view that you see with Felix,
and the pink dot represents where the point that started at the north pole ends up after the rotation,
and that yellow circle represents where the Equator ended up after the projection
The more you put yourself in Felix's shoes right now, the easier quaterniums will be in a moment.

Polish: 
Tak jak wcześniej, -1 nie ma swojego rzutu przy tym odwzorowaniu, ale mówimy, że ląduje w jakimś punkcie w nieskończoności.
Ten punkt w nieskończoności to coś takiego, że jeśli będziecie iść po płaszczyźnie w jakimkolwiek kierunku,
i pójdziecie nieskończenie daleko, to będziecie się zbliżać do tego punktu.
Analogicznie do tego, że jeśli idziecie w jakimkolwiek kierunku oddalając się od bieguna północnego, to zbliżacie się do bieguna południowego.
Pozwólcie, że pokażę wam teraz, co widzi Feliks w dwóch wymiarach.
Kiedy obracam sferę na różne sposoby, to równoleżniki i południki narysowane na tej sferze
są rzutowane na różne okręgi i linie w przestrzeni Feliksa.
Zrobiłem to w taki sposób, żeby ta szachownica z powierzchni sfery była dokładnie odzwierciedlona na zrzutowanym obrazie, który widzicie razem z Feliksem.
Różowa kropka odpowiada miejscu, w którym po obrocie wyląduje punkt zaczynający z bieguna północnego.
A żółty okrąg pokazuje, gdzie wylądował równik po zrzutowaniu.
Im bardziej wczujecie się teraz w sytuację Feliksa, tym łatwiejsze będą dla was za chwilę kwaterniony.

Polish: 
Tak jak w przypadku Linusa, dobrze jest skupić się na kilku kluczowych obiektach odniesienia zamiast próbować zobaczyć całą sferę.
Ten okrąg, przechodzący przez 1, ,,i”, -1 oraz ,,–i” przejdzie na prostą, którą Feliks widzi jako poziomą oś.
Ważne jest to, aby przypominać Feliksowi, że to, co widzi, to nie to samo co oś ,,i”.
Pamiętajcie: rzutujemy tylko te liczby, które są w odległości 1 od początku.
Więc większość punktów na prawdziwej osi ,,i”, takich jak 0, ,,2i”, ,,3i” i tak dalej, jest zupełnie niewidoczna dla Feliksa.
Analogicznie, okrąg, który przechodzi przez 1, ,,j”, -1 oraz ,,-j” zostanie zrzutowany na to, co Feliks widzi jako pionową oś.
I ogólnie każda prosta, którą widzi Feliks, pochodzi od jakiegoś okręgu na sferze, który przechodzi przez -1.
W pewnym sensie prosta jest okręgiem, który przechodzi przez punkt w nieskończoności.
Zastanówcie się teraz, co widzi Feliks, gdy obracamy sferę.

English: 
And as with Linus, it helps to focus on a few key reference objects, rather than trying to see the whole sphere.
This circle, passing through 1, i, -1, and -i, gets mapped onto a line which Felix sees as the horizontal axis.
It's important to remind Felix that what he sees is not the same thing as the i axis.
Remember, we're only projecting the numbers that have a distance 1 from the origin,
so most points on the actual i axis, like 0 and 2i and 31 and et cetera, are completely invisible to Felix
Similarly the circle that passes through 1, j -1, and -j gets projected onto what he sees as a vertical line.
And in general, any line that Felix sees comes from some circle on the sphere that passes through -1.
In some sense, a line is just a circle that passes through the point at infinity.
Now think about what Felix sees as we rotate the sphere.

Spanish: 
Y al igual que con Linus, ayuda enfocarse en unos pocos objetos de referencia clave, en lugar de tratar de ver toda la esfera.
Este círculo, que pasa por 1, i, -1 y -i, se mapea en una línea que Félix ve como el eje horizontal.
Es importante recordarle a Félix que lo que ve no es lo mismo que el eje i.
Recuerda, solo estamos proyectando los números que tienen distancia 1 desde el origen,
así que la mayoría de los puntos en el eje i real, como 0 y 2i y 3i y etc, son completamente invisibles para Félix
De manera similar, el círculo que pasa por 1, j -1 y -j se proyecta sobre lo que ve como una línea vertical.
Y, en general, cualquier línea que vea Félix proviene de algún círculo en la esfera que pasa por -1.
En cierto sentido, una línea es solo un círculo que pasa por el punto en el infinito.
Ahora piensa en lo que ve Félix mientras giramos la esfera.

Spanish: 
Una rotación de 90 ° sobre el eje j trae 1 a i, i a -1, -1 a -i, y -i a 1.
Entonces, lo que ve Félix el flatlander es una extensión de la rotación que Linus, el Linelander, estaba viendo.
Observa también que esta acción hace girar el círculo unidad ij a la posición donde solía estar el círculo unidad 1j
Entonces, lo que Félix ve es que su círculo unitario amarillo se transforma en una línea vertical,
mientras que esa línea roja vertical se transforma en el círculo unitario.
Por supuesto, desde nuestra perspectiva, sabemos que todo esto es solo un movimiento rígido.
No se está realizando ningún estiramiento real o más cosas; todo eso es sólo un artefacto de la proyección.
De manera similar, una rotación alrededor del eje i implica mover 1 a j, j a -1, -1 a -j, y -j a 1.
Esta rotación convierte el círculo unitario ij en el círculo unitario 1i,

English: 
A 90° rotation about the j axis brings 1 to i, i to -1, -1 to -i, and -i to 1.
So what Felix the Flatlander sees is an extension of the rotation that Linus the Linelander was seeing.
Notice also that this action rotates the ij unit circle to the position where the 1-j unit circle used to be
So what Felix sees is his yellow unit circle getting transformed into a vertical line,
while that red vertical line gets transformed into the unit circle.
Of course, from our perspective, we know this is all just rigid motion.
No actual stretching or more thing is taking place; all of that is just an artifact of the projection.
Similarly a rotation about the i axis involves moving 1 to j, j to -1, -1 to -j, and -j to 1.
This rotation turns the ij unit circle into the 1-i unit circle,

Polish: 
Obrót o 90 stopni wokół osi ,,j” pośle 1 do ,,i”, ,,i” do -1, -1 do ,,-i”, a ,,-i” do 1.
Więc to, co widzi Feliks Płaszczak jest rozszerzeniem obrotu, który widział Linus Linianin.
Zauważcie też, że to działanie obraca okrąg jednostkowy ,,ij” do pozycji, którą wcześniej przyjmował okrąg ,,1j”.
Więc Feliks widzi, że jego żółty okrąg jednostkowy przekształca się w pionową prostą,
podczas gdy czerwona pionowa prosta przekształca się w okrąg jednostkowy.
Oczywiście z naszej perspektywy wiemy, że to jest tylko ruch sztywny.
Żadne prawdziwe rozciąganie ani nic innego tu nie zachodzi. Wszystko to jest tylko artefakt rzutowania.
Analogicznie, obrót wokół osi ,,i” pociąga za sobą przemieszczenie 1 do ,,j”, ,,j” do -1, -1 do ,,-j” oraz ,,-j” do 1.
Ten obrót zmienia okrąg jednostkowy ,,ij” w okrąg jednostkowy ,,1i”,

English: 
which, to Felix, looks like the unit circle getting transformed into a horizontal line.
A rotation about the real axis is actually quite easy for Felix to understand
since the whole projection simply gets rotated about the origin,
where the only point staying fixed in place are 1 at the origin and -1 off at infinity.
In the same way that the complex numbers included the real numbers
with a single extra quote-unquote "imaginary dimension" represented by the unit i,
and that the not-actually-a-number-system thing we had in three dimensions included a second imaginary direction j,
the quaternions include the real numbers together with three separate imaginary dimensions,
represented by the units i, j, and k.
Each of these three imaginary dimensions is perpendicular to the real number line,

Polish: 
co dla Feliksa wygląda jak przekształcenie okręgu jednostkowego w poziomą prostą.
Obrót wokół osi rzeczywistej właściwie jest dla Feliksa dość łatwy do zrozumienia,
bo cały rzut po prostu obraca się wokół początku.
Jedynymi punktami, które pozostają na swoim miejscu są jedynka w początku i minus jedynka w nieskończoności.
Tak jak liczby zespolone zawierają liczby rzeczywiste
z jednym dodatkowym ,,urojonym wymiarem”, reprezentowanym przez jednostkę ,,i”,
i tak jak ten quasi-system liczbowy z trzech wymiarów zawiera drugi kierunek urojony ,,j”,
tak kwaterniony zawierają liczby rzeczywiste wraz z trzema oddzielnymi wymiarami urojonymi,
reprezentowanymi przez jednostki ,,i”, ,,j” oraz ,,k”.
Każdy z tych trzech urojonych wymiarów jest prostopadły do osi liczb rzeczywistych

Spanish: 
que, para Félix, parece que el círculo unitario se transforma en una línea horizontal.
Una rotación sobre el eje real es bastante fácil de entender para Felix
ya que toda la proyección simplemente gira sobre el origen,
donde el único punto que permanece fijo es 1 en el origen y -1 en el infinito.
De la misma manera que los números complejos incluían los números reales
con una única "dimensión imaginaria" entre comillas representada por la unidad i,
y que lo que no-es-realmente-un-sistema-numérico  en tres dimensiones incluía una segunda dirección imaginaria j,
Los cuaterniones incluyen los números reales junto con tres dimensiones imaginarias separadas,
representado por las unidades i, j, y k.
Cada una de estas tres dimensiones imaginarias es perpendicular a la recta numérica real,

English: 
and they're all perpendicular to each other somehow.
So in the same way that complex numbers are represented as a pair of real numbers,
each quaternion can be written using four real numbers, and it lives in four-dimensional space.
You often think of this as being broken up into a real or "scalar" part, and then a 3d imaginary part.
And Hamilton used a special word for quaternions that had no real part and just ijk components,
a word which was previously somewhat foreign in the lingo of math and physics: "vector".
On the one hand, you could just define quaternion multiplication by giving the rules for how i, j, and k multiply together
and saying that everything must distribute nicely.
This is analogous to defining complex multiplication by saying that i times i is -1,
and then distributing and simplifying products.
And indeed, this is how you would tell a computer to perform quaternion multiplication,
and the relative compactness of this operation compared to, say, matrix multiplication,
is what's made quaternions so useful for graphics programming and many other things.

Spanish: 
y todos son perpendiculares entre sí de alguna manera.
Entonces, de la misma manera que los números complejos se representan como un par de números reales,
Cada cuaternión puede escribirse usando cuatro números reales, y vive en un espacio de cuatro dimensiones.
A menudo piensas que esto se divide en una parte real o "escalar", y luego en una parte imaginaria 3D.
Y Hamilton usó una palabra especial para los cuaterniones que no tenían una parte real y solo componentes ijk,
una palabra que antes era un tanto extraña en la jerga de las matemáticas y la física: "vector".
Por un lado, puedes definir la multiplicación de cuaterniones dando las reglas de cómo i, j y k se multiplican.
Y diciendo que todo debe distribuirse muy bien.
Esto es análogo a la definición de la multiplicación compleja diciendo que i veces i es -1,
y luego distribuyendo y simplificando productos.
Y de hecho, así es como le dirías a una computadora que realice la multiplicación de cuaterniones,
y la relativa compacidad de esta operación en comparación con, digamos, la multiplicación de matrices,
es lo que hace que los cuaterniones sean tan útiles para la programación de gráficos y muchas otras cosas.

Polish: 
i w jakiś sposób wszystkie są prostopadłe do siebie nawzajem.
Więc tak samo jak liczby zespolone są przedstawiane jako pary liczby rzeczywistych,
tak każdy kwaternion może być zapisany przy użyciu czterech liczb rzeczywistych i żyje w przestrzeni czterowymiarowej.
Często myśli się o tym, rozbijając to na część rzeczywistą (albo skalarną) i trójwymiarową część urojoną.
Hamilton używał specjalnego słowa na kwaterniony, które nie mają części rzeczywistej, tylko składniki ,,i”, ,,j”, ,,k”.
To słowo było wcześniej nieco obce w żargonie matematyczno – fizycznym. Brzmiało ono ,,wektor’’.
Z jednej strony można by było po prostu zdefiniować mnożenie kwaternionów podając zasady mnożenia ,,i”, ,,j” oraz ,,k” przez siebie nawzajem
i mówiąc, że wszystko musi ładnie się rozpisać.
To jest analogiczne do zdefiniowania mnożenia zespolonego przez powiedzenie, że ,,i” razy ,,i” równa się -1,
a potem rozpisanie i uproszczenie iloczynów.
I faktycznie w taki sposób kazalibyśmy komputerowi wykonywać mnożenie kwaternionów.
A stosunkowa zwięzłość tych działań, w porównaniu na przykład do mnożenia macierzy,
sprawiła, że kwaterniony są tak użyteczne w programowaniu grafiki i wielu innych rzeczach.

English: 
There's also a rather elegant form of this multiplication rule written in terms of the dot product and the cross product,
and in some sense, quaternion multiplication subsumes both of these notions—at least, as they appear in three dimensions.
But just as a deeper understanding for complex multiplication comes from understanding its geometry,
that multiplying by a complex number involves a combination of scaling and rotating,
you and I are here for the four-dimensional geometry of quaternion multiplication.
And just as the magnitude of a complex number—its distance from zero—
is the square root of the sum of the squares of its components,
that same operation gives you the magnitude of a quaternion.
And multiplying quaternion, q1, by another, q2, has the effect of scaling q2 by the magnitude of q1
followed by a very special type of rotation in four dimensions.
And those special 4d rotations, the heart of what we need to understand,
correspond to the hypersphere of quaternions a distance 1 from the origin,

Spanish: 
También hay una forma bastante elegante de esta regla de multiplicación escrita en términos del producto punto y el producto cruzado,
y, en cierto sentido, la multiplicación de cuaterniones resume ambas nociones, al menos, como aparecen en tres dimensiones.
Pero así como una comprensión más profunda de la multiplicación compleja proviene de la comprensión de su geometría,
que la multiplicación por un número complejo implica una combinación de escalado y rotación,
Tú y yo estamos aquí para ver la geometría de cuatro dimensiones de la multiplicación de cuaterniones.
Y así como la magnitud de un número complejo, su distancia desde cero,
es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes,
esa misma operación te da la magnitud de un cuaternión.
Y multiplicar el cuaternión, q1, por otro, q2, tiene el efecto de escalar q2 por la magnitud de q1
seguido de un tipo de rotación muy especial en cuatro dimensiones.
Y esas rotaciones 4D especiales, el corazón de lo que necesitamos entender,
corresponden a la hiperesfera de los cuaterniones a una distancia 1 del origen,

Polish: 
Istnieje też dość elegancka forma tej zasady mnożenia, zapisana przy użyciu iloczynów skalarnego i wektorowego.
W pewnym sensie mnożenie kwaternionów obejmuje oba te pojęcia. Przynajmniej, gdy występują w trzech wymiarach.
Ale tak jak głębsze zrozumienie mnożenia zespolonego pochodzi ze zrozumienia jego geometrii,
czyli tego, że pomnożenie przez liczbę zespoloną pociąga za sobą połączenie skalowania i obrotu,
tak ja i wy jesteśmy tutaj dla czterowymiarowej geometrii mnożenia kwaternionów.
I tak jak moduł liczby zespolonej, czyli jej odległość od zera,
jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów jej składników,
tak to samo działanie da wam moduł kwaternionu.
A pomnożenie jednego kwaternionu, ,,q1”, przez drugi, ,,q2”, skutkuje przeskalowaniem ,,q2” przez moduł ,,q1”
i bardzo szczególnym rodzajem obrotu w czterech wymiarach.
A te szczególne czterowymiarowe obroty, sedno tego, co musimy zrozumieć,
odpowiadają hipersferze kwaternionów odległych o 1 od początku.

English: 
both in the sense that the quaternions whose multiplying action is a pure rotation live on that hyper sphere,
and in the sense that we can understand this weird 4d action just by following points on the hypersphere,
rather than trying to look at all of the points in the inconceivable stretch as a four-dimensional space.
Analogous to what we did for Linus and Felix, we stereographically project this hypersphere into 3d space
This label in the upper right is going to show a given unit quaternion,
and this little pink dot will show where that particular quaternion gets projected in our 3d space.
Just as before, we're projecting from the number -1,
which sits on the real number line that is somehow perpendicular to all of our 3d space and beyond our perception.
Just as before, the number 1 ends up projected straight into the center of our space,
and in the same way that i and -i were fixed in place for Linus,

Polish: 
W dwóch różnych sensach. Po pierwsze, kwaterniony, dla których działanie mnożenia jest czystym obrotem żyją na tej hipersferze.
Po drugie, możemy zrozumieć to dziwne czterowymiarowe działanie śledząc tylko punkty z tej hipersfery,
zamiast próbować patrzeć na wszystkie punkty tego niewyobrażalnego rozciągania jako na przestrzeń czterowymiarową.
Analogicznie do tego, co robiliśmy dla Linusa i Feliksa, rzutujemy stereograficznie tę hipersferę na przestrzeń trójwymiarową.
Ten napis w prawym górnym rogu będzie pokazywał dany jednostkowy kwaternion,
a ta mała różowa kropka będzie pokazywała, gdzie ten konkretny kwaternion zostanie zrzutowany w naszej przestrzeni trójwymiarowej.
Tak jak wcześniej, rzutujemy z liczby -1,
która znajduje się na prostej liczb rzeczywistych, w jakiś sposób prostopadłej do całej naszej przestrzeni trójwymiarowej i znajdującej się poza naszą percepcją.
Tak jak wcześniej, liczba 1 wyląduje po rzucie w samym środku naszej przestrzeni.
Tak jak ,,i” oraz ,,-i” z punktu widzenia Linusa pozostawały na swoim miejscu,

Spanish: 
tanto en el sentido de que los cuaterniones cuya acción multiplicadora es una rotación pura viven en esa hiper esfera,
y en el sentido de que podemos entender esta extraña acción 4D simplemente siguiendo los puntos en la hiperesfera,
en lugar de tratar de ver todos los puntos en el tramo inconcebible como un espacio de cuatro dimensiones.
De manera análoga a lo que hicimos para Linus y Félix, proyectamos estereográficamente esta hiperesfera en el espacio 3D.
Esta etiqueta en la parte superior derecha mostrará un cuaternión unitario dado,
y este pequeño punto rosa mostrará dónde se proyecta ese cuaternión en particular en nuestro espacio 3d.
Al igual que antes, estamos proyectando desde el número -1,
que se ubica en la recta numérica real que de alguna manera es perpendicular a todo nuestro espacio 3D más allá de nuestra percepción.
Al igual que antes, el número 1 termina proyectado directamente hacia el centro de nuestro espacio,
y de la misma manera que i y -i se fijaron en su lugar para Linus,

English: 
and that the ij unit circle was fixed in place for Felix,
we get a whole sphere passing through i, j, and k on that unit hypersphere which stays in place under the projection.
So what we see as a unit sphere in our 3d space
represents the only unaltered part of the hypersphere of quaternions getting projected down on to us.
It's something analogous to the equator of a 3d sphere, and it represents all of the unit quaternions whose real part is 0.
What Hamilton would have described as unit vectors.
The unit quaternions with positive real parts between 0 and 1
end up somewhere inside this unit sphere closer to the number 1 in our 3d space,
which should feel analogous to how the northern hemisphere got mapped inside the unit circle for Felix.
On the other hand, all the unit quaternions with negative real part end up somewhere outside that unit sphere.

Polish: 
a koło jednostkowe ,,ij” pozostawało na swoim miejscu z punktu widzenia Feliksa,
tak my mamy całą sferę z tej jednostkowej hipersfery, przechodzącą przez ,,i”, ,,j” oraz ,,k”, która pozostaje na swoim miejscu przy rzutowaniu.
Więc to, co widzimy jako sferę jednostkową w naszej przestrzeni trójwymiarowej,
przedstawia jedyną niezmienioną część zrzutowanej do nas hipersfery kwaternionów.
Jest ona analogiczna do równika w przestrzeni trójwymiarowej i przedstawia wszystkie jednostkowe kwaterniony o części rzeczywistej równej 0.
Czyli to, co Hamilton opisałby jako wektory jednostkowe.
Kwaterniony jednostkowe o dodatnich częściach rzeczywistych pomiędzy 0 a 1
wylądują gdzieś wewnątrz tej sfery jednostkowej, bliżej liczby 1 w naszej przestrzeni trójwymiarowej.
To powinno przypominać wam  wcześniejszą sytuację, gdy północna półkula przeszła na wnętrze okręgu jednostkowego u Feliksa.
Z drugiej strony wszystkie jednostkowe kwaterniony z ujemną częścią rzeczywistą wylądują gdzieś poza sferą jednostkową.

Spanish: 
y que el círculo de la unidad ij se fijó en su lugar para Felix,
obtenemos una esfera completa que pasa por i, j y k en esa hiperesfera unitaria que permanece en su lugar debajo de la proyección.
Entonces, lo que vemos como una esfera unitaria en nuestro espacio 3D
representa la única parte inalterada de la hiperesfera de los cuaterniones que se proyecta sobre nosotros.
Es algo análogo al ecuador de una esfera 3D, y representa a todos los quaterniones unitarios cuya parte real es 0.
Lo que Hamilton habría descrito como vectores unitarios.
La unidad de cuaterniones con partes reales positivas entre 0 y 1,
terminan en algún lugar dentro de esta esfera unitaria más cerca del número 1 en nuestro espacio 3D,
lo que debería parecer análogo a cómo se mapeó el hemisferio norte dentro del círculo unitario para Félix.
Por otro lado, todos los cuaterniones unitarios con partes reales negativas terminan en algún lugar fuera de esa esfera unitaria.

Polish: 
Liczba -1 znajdzie się w punkcie w nieskończoności, o czym łatwo możecie się przekonać idąc w jakimkolwiek kierunku.
Pamiętajcie: mimo, że widzimy rzuty niektórych kwaternionów bliżej lub dalej od początku naszej przestrzeni trójwymiarowej,
to wszystko, na co patrzycie, przedstawia kwaterniony jednostkowe.
Więc wszystko, na co patrzycie, tak naprawdę ma taki sam moduł, tę samą odległość od liczby 0.
A samej liczby 0 nie da się znaleźć na tym obrazku. Tak jak wszystkie inne kwaterniony niejednostkowe, jest dla nas niewidoczna.
Tak samo jak dla Feliksa okrąg przechodzący przez 1, ,,i”, -1 oraz ,,-i” został zrzutowany na prostą przechodzącą przez początek,
tak my, kiedy widzimy tę prostą przechodzącą przez początek, ,,i” oraz ,,-i”, powinniśmy rozumieć, że w istocie przedstawia ona okrąg.
Podobnie w niewidocznej dla nas hipersferze znajduje się sfera jednostkowa przechodząca przez 1, ,,i”, ,,j”, -1, ,,-i” oraz ,,-j”.

Spanish: 
El número -1 está ubicado en el punto en el infinito, que puedes encontrar fácilmente caminando en cualquier dirección.
Ten en cuenta, aunque veamos que la proyección de algunos de estos cuaterniones está más cerca o más lejos del origen de nuestro espacio 3D,
todo lo que estás viendo son cuaterniones unitarios,
así que todo lo que estás viendo realmente tiene la misma magnitud: la misma distancia desde el número 0.
Y ese número 0 en sí mismo no se encuentra en esta imagen. Como todos los otros cuaterniones no unitarios, es invisible para nosotros.
De la misma manera que, para Félix, el círculo que pasa por 1, i, -1 y -i se proyectó en una línea a través del origen,
cuando vemos esta línea a través del origen que pasa por i y -i, debemos entender que realmente representa un círculo.
Del mismo modo, en la hiperesfera invisible para nosotros, hay una esfera unitaria que pasa por 1, i, j, -1, -i y -j,

English: 
The number -1 is sitting off at the point at infinity, which you can easily find by walking in any direction.
Keep in mind, even though we see the projection of some of these quaternions as being closer or farther from the origin of our 3d space,
everything you're looking at represents a unit quaternion,
so everything you're looking at really has the same magnitude: the same distance from the number 0.
And that number 0 itself is nowhere to be found in this picture. Like all other non-unit quaternions, It's invisible to us.
In the same way that, for Felix, the circle passing through 1, i, -1, and -i got projected into a line through the origin,
when we see this line through the origin passing through i and -i, we should understand that it really represents a circle.
Likewise, up on the hypersphere invisible to us, there is a unit sphere passing through 1, i, j, -1, -i, and -j,

English: 
and that whole sphere gets projected into the plane that we see passing through 1, i, -i, j, -j, and -1 off at infinity:
what you and I might call the xy plane.
In general, any plane that you see here really represents the projection of a sphere
somewhere up on the hypersphere which passes through the number -1.
Now the action of taking a unit quaternion and multiplying it by any other quaternion from the left
can be thought of in terms of two separate 2d rotations happening perpendicular to
and in sync with each other in a way that could only ever be possible in four dimensions.
As a first example, let's look at multiplication by i.
We already know what this does to the circle that passes through 1 and i, which we see as a line.
1 goes to i,
i goes to -1 off at infinity,
-1 comes back around to -i, and -i goes to 1.

Spanish: 
y toda la esfera se proyecta en el plano que vemos pasar a través de 1, i, -i, j, -j y -1 en el infinito.
Lo que tú y yo podríamos llamar el plano xy.
En general, cualquier plano que veas aquí realmente representa la proyección de una esfera.
en algún lugar de la hiperesfera que pasa por el número -1.
Ahora la acción de tomar cuaternión unitario y multiplicarlo por cualquier otro cuaternión de izquierda.
se puede pensar en términos de dos rotaciones 2D separadas que suceden perpendiculares a
y en sintonía entre sí de una manera que solo podría ser posible en cuatro dimensiones.
Como primer ejemplo, veamos la multiplicación por i.
Ya sabemos lo que esto le hace al círculo que pasa por 1 e i, que vemos como una línea.
1 va a i,
voy a -1 hasta el infinito,
-1 regresa a -i, y -i va a 1.

Polish: 
I ta cała sfera zostanie zrzutowana na płaszczyznę, którą widzimy jako przechodzącą przez 1, ,,i”, ,,-i”, ,,j”, ,,-j” oraz -1 w nieskończoności.
Czyli to, co my moglibyśmy nazwać płaszczyzną ,,xy”.
Ogólnie, dowolna płaszczyzna, którą tu widzicie, tak naprawdę przedstawia rzut sfery,
która gdzieś wyżej, na hipersferze, przechodzi przez -1.
Działanie, które bierze kwaternion jednostkowy i mnoży go z lewej strony przez inny kwaternion
może być rozważane jako dwa oddzielne obroty dwuwymiarowe zachodzące prostopadle do siebie nawzajem
i synchronicznie, w sposób, który jest możliwy tylko w czterech wymiarach.
Jako pierwszy przykład spójrzmy na mnożenie przez ,,i”.
Wiemy już, jak ono działa na okrąg przechodzący przez 1 oraz ,,i”, który widzimy jako prostą.
1 idzie do ,,i”,
,,i” idzie do -1 w nieskończoności,
-1 powraca do ,,-i”, a ,,-i” idzie do 1.

English: 
Remember, just like what Linus saw, all of this is the stereographic projection of a 90° rotation.
Now look at the circle passing through j and k,
which is in a sense perpendicular to the circle passing through 1 and i.
Now, it might feel weird to talk about two circles being perpendicular to each other,
especially when they have the same center, the same radius, and they don't touch each other at all,
but nothing could be more natural in four dimensions.
You can think of the action of i on this perpendicular circle as obeying a certain right-hand rule.
If you'll excuse the intrusion of my ghostly green screen hand into our otherwise pristine platonic mathematical stage,
you let that thumb of your right hand point from the number 1 to i, and you curl your fingers.
The jk circle will rotate in the direction of that curl.
How much? Well, by the same amount as the 1-i circle rotates, which is 90° in this case.
This is what I meant by two rotations perpendicular to and in sync with each other.
So j goes to k,

Polish: 
Pamiętajcie, tak jak w przypadku Linusa, to wszystko jest rzutem stereograficznym obrotu o 90 stopni.
Teraz spójrzcie na okrąg przechodzący przez ,,j” oraz ,,k”,
który jest w pewnym sensie prostopadły do okręgu przechodzącego przez 1 oraz ,,i”.
Mówienie o dwóch okręgach prostopadłych do siebie nawzajem może wydawać wam się dziwne,
szczególnie, gdy mają one ten sam środek, ten sam promień i w ogóle się nie dotykają.
Ale w czterech wymiarach nie ma nic bardziej naturalnego.
Możecie myśleć w następujący sposób: działanie ,,i” na te prostopadłe okręgi jest zgodne z pewną regułą prawej dłoni.
Wybaczcie mi wtargnięcie mojej upiornej dłoni rodem z greenscreen na wcześniej nieskalaną, platoniczną matematyczną scenę.
Ustawcie kciuk swojej prawej dłoni tak, aby wskazywał od liczby 1 w stronę ,,i” i zegnijcie palce.
Okrąg ,,jk” będzie się obracał w kierunku tego zgięcia.
O ile? O tyle samo, o ile obróci się okrąg ,,1i”, czyli w tym przypadku o 90 stopni.
To właśnie miałem na myśli, gdy mówiłem o dwóch okręgach prostopadłych do siebie nawzajem i zsynchronizowanych ze sobą.
Czyli ,,j” idzie do ,,k”,

Spanish: 
Recuerda, justo como lo vio Linus, todo esto es la proyección estereográfica de una rotación de 90 °.
Ahora mira el círculo que pasa por j y k,
que en cierto sentido es perpendicular al círculo que pasa por 1 e i.
Ahora, puede parecer extraño hablar de dos círculos perpendiculares entre sí,
especialmente cuando tienen el mismo centro, el mismo radio y no se tocan en absoluto,
Pero nada podría ser más natural en cuatro dimensiones.
Puedes pensar que la acción de i en este círculo perpendicular obedece a cierta regla de la mano derecha.
Si disculpas la intrusión de mi mano fantasmal de pantalla verde en nuestra pantalla matemática platónica
dejas que el pulgar de tu mano derecha apunte desde el número 1 hasta el punto i, y doblas los dedos.
El círculo jk girará en la dirección de ese rizo.
¿Cuánto? Bueno, la misma cantidad que gira el círculo 1i, que es 90 ° en este caso.
Esto es lo que quiero decir con dos rotaciones perpendiculares y sincronizadas entre sí.
Así que j va a k,

Spanish: 
k va a -j,
-j va a -k,
y -k va a j.
Esto nos da una pequeña tabla de lo que el número i hace a los otros cuaterniones.
Pero quiero que esto no sea algo que memorices,
Sino algo que podrías cerrar los ojos y que realmente pudieras ver.
Computacionalmente, si sabes lo que hace un cuaternión a los números 1, i, j y k,
sabes lo que le hace a cualquier cuaternión arbitrario, ya que la multiplicación se distribuye muy bien.
En el lenguaje del álgebra lineal, 1, i, j y k forman la base de nuestro espacio de cuatro dimensiones,
así que saber qué les hace nuestra transformación nos da la información completa sobre lo que hace a todo el espacio.
Geométricamente, una criatura de cuatro dimensiones podría mirar esas dos rotaciones perpendiculares que acabo de describir
y comprender que está encerrado en un solo movimiento rígido para la hiperesfera.

English: 
k goes to -j,
-j goes to -k,
and -k goes to j.
This gives us a little table for what the number i does to the other quaternions.
But I want this not to be something that you memorize,
but something that you could close your eyes and you could really see.
Computationally, if you know what a quaternion does to the numbers 1, i, j, and k,
you know what it does to any arbitrary quaternion, since multiplication distributes nicely.
In the language of linear algebra, 1, i, j, and k form a basis of our four dimensional space,
so knowing what our transformation does to them gives us the full information about what it does to all of space.
Geometrically, a four-dimensional creature would be able to look at those two perpendicular rotations that I just described
and understand that they lock you into one and only one rigid motion for the hypersphere.

Polish: 
,,k” idzie do ,,-j”,
,,-j” idzie do ,,-k”,
a ,,-k” idzie do ,,j”.
To daje nam małą tabelkę opisującą, jak liczba ,,i” działa na inne kwaterniony.
Ale nie chcę, żebyście uczyli się jej na pamięć,
tylko żebyście byli w stanie zamknąć oczy i to naprawdę zobaczyć.
Z rachunkowego punktu widzenia, jeśli wiecie, jak kwaternion działa na liczby 1, ,,i”, ,,j” oraz ,,k”,
to już wiecie jak działa na każdy arbitralnie wybrany kwaternion, bo mnożenie ładnie się rozkłada.
Mówiąc w języku algebry liniowej, 1, ,,i”, ,,j” oraz ,,k” tworzą bazę naszej przestrzeni czterowymiarowej.
Więc wiedza o tym, jak nasze przekształcenie na nie działa, daje nam pełną informację, o tym, jak ono działa na całą przestrzeń.
Z geometrycznego punktu widzenia, czterowymiarowa istota byłaby w stanie patrzeć na te dwa prostopadłe obroty, które właśnie opisałem,
i rozumieć, że one wymuszają jeden jedyny możliwy ruch sztywny hipersfery.

Spanish: 
Puede que nos falten las intuiciones de una criatura tan hipotética, pero tal vez podamos intentar acercarnos.
Así es como se ve la acción de multiplicar repetidamente por i en nuestra proyección estereográfica de la esfera ijk.
Se gira en lo que vemos como un plano,
luego se rota más allá de donde solía estar (aunque ahora la orientación está totalmente invertida),
luego se vuelve a girar en lo que vemos como un plano y después de la cuarta iteración, termina justo donde comenzó.
Como otro ejemplo, pensemos en un cuaternión como 
q = - (√2) / 2 + (√2) / 2 i
que, si levantamos una imagen de un plano complejo, es una rotación de 135 ° alejandose de 1 en la dirección de i.
Bajo nuestra proyección, vemos esto a lo largo de la línea de 1 a i en algún lugar fuera de la esfera de la unidad.
Si eso suena raro, solo recuerda cómo Linus habría visto el mismo número.
La acción de multiplicar este q por todos los demás cuaterniones

Polish: 
Może nam brakować intuicji takiej czterowymiarowej istoty, ale możemy starać się do niej przybliżyć.
Tak wygląda działanie wielokrotnego mnożenia przez ,,i” na naszym rzucie stereograficznym sfery ,,ijk”.
Ona obraca się tworząc coś, co my widzimy jako płaszczyznę.
Potem obraca się dalej, z powrotem tam, gdzie była, jednak tym razem orientacja jest odwrotna.
Potem obraca się ponownie tworząc coś, co widzimy jako płaszczyznę, a po czwartej iteracji ląduje z powrotem dokładnie tam, skąd zaczęła.
Jako inny przykład  weźmy kwaternion q=-sqrt(2)/2+(sqrt(2)/2)*i,
który – co widać na obrazku płaszczyzny zespolonej –jest oddalony od jedynki o 135 stopni obrotu w kierunku ,,i’’.
Przy naszym rzutowaniu widzimy to wzdłuż prostej przechodzącej przez 1 oraz ,,i”, gdzieś poza sferę jednostkową.
Jeśli to brzmi dziwnie, to przypomnijcie sobie, jak Linus widziałby tę samą liczbę.
Działanie mnożenia tego ,,q” przez wszystkie inne kwaterniony

English: 
We might lack the intuitions of such a hypothetical creature, but we can maybe try to get close.
Here's what the action of repeatedly multiplying by i looks like on our stereographic projection of the ijk sphere.
It gets rotated into what we see as a plane,
then gets rotated further back to where it used to be (though the orientation is all reversed now),
then it gets rotated again into what we see as a plane, and after the fourth iteration it ends up right back where it started.
As another example, think of a quaternion like 
q = -(√2)/2 + (√2)/2 i
which, if we pull up a picture of a complex plane, is a 135° rotation away from 1 in the direction of i.
Under our projection, we see this along the line from 1 to i somewhere outside the unit sphere.
If that sounds weird, just remember how Linus would have seen the same number.
The action of multiplying this q by all other quaternions

Spanish: 
nos parecerá como arrastrar el punto en 1 hasta esta versión proyectada de q,
mientras que el círculo jk se gira 135 ° según nuestra regla de la mano derecha.
La multiplicación por cualquier otro cuaternión es completamente similar.
Por ejemplo, veamos cómo se ve para que j actúe sobre otros cuaterniones mediante la multiplicación de la izquierda.
El círculo a través de 1 y j, que vemos proyectado como una línea a través del origen, se gira 90 °, arrastrando 1 hasta j.
Entonces j veces 1 es 1, y j veces j es -1.
El círculo perpendicular a aquel, pasando por i y k,
se rota 90 ° de acuerdo con esta regla de la mano derecha, donde apunta tu pulgar de 1 a j.
Así que j veces es -k,
y j veces k es i.

English: 
will look to us like dragging the point at 1 all the way to this projected version of q,
while the jk circle gets rotated 135° according to our right-hand rule.
Multiplication by any other quaternion is completely similar.
For example, let's see what it looks like for j to act on other quaternions by multiplication from the left.
The circle through 1 and j, which we see projected as a line through the origin, gets rotated 90°, dragging 1 up to j.
So j times 1 is 1, and j times j is -1.
The circle perpendicular to that one, passing through i and k,
gets rotated 90° according to this right-hand rule, where you point your thumb from 1 to j.
So j times i is -k,
and j times k is i.

Polish: 
będzie dla nas wyglądać jak przeciąganie punktu od jedynki aż do zrzutowanej wersji ,,q”,
podczas gdy okrąg ,,jk” obraca się o 135 stopni zgodnie z naszą regułą prawej dłoni.
Mnożenie przez jakikolwiek inny kwaternion jest całkiem podobne.
Na przykład zobaczmy, jak wygląda działanie mnożenia innych kwaternionów przez ,,j” z lewej strony.
Okrąg przechodzący przez 1 oraz ,,j”, który po zrzutowaniu widzimy jako linię przechodzącą przez początek, obróci się o 90 stopni, przeciągając 1 do ,,j”.
Więc ,,j” razy 1 równa się 1, a ,,j” razy ,,j” równa się -1.
Okrąg prostopadły do tamtego, przechodzący przez ,,i” oraz ,,k”,
obróci się o 90 stopni zgodnie z regułą prawej dłoni: ustawiacie kciuk tak, aby wskazywał od 1 do ,,j”.
Więc ,,j” razy ,,i” równa się ,,-k'',
a ,,j” razy ,,k” równa się ,,i”.

Polish: 
Ogólnie, dla każdego innego kwaternionu jednostkowego, który widzicie gdzieś w przestrzeni,
zacznijcie od narysowania okręgu jednostkowego przechodzącego przez 1, q oraz -1.
My będziemy go widzieć po zrzutowaniu jako prostą przechodzącą przez początek.
Potem narysujcie okrąg prostopadły do tamtego na czymś, co my widzimy jako sferę jednostkową.
Potem obracacie pierwszy okrąg tak, aby jedynka wylądowała tam, gdzie było q,
a ten prostopadły okrąg obracacie o tyle samo, zgodnie z regułą prawej dłoni.
Jedną z rzeczy wartych zauważenia jest to, że kolejność mnożenia ma znaczenie. To mnożenie nie jest, jak powiedzieliby matematycy, przemienne.
Na przykład ,,i” razy ,,j” równa się ,,k”. Możecie myśleć o tym tak, że ,,i” działa na kwaternion ,,j” obracając go do ,,k”.

English: 
In general, for any other unit quaternion you see somewhere in space,
start by drawing the unit circle passing through 1, q, and -1,
which we see in our projection as a line through the origin,
then draw the circle perpendicular to that one on what we see as the unit sphere.
You rotate the first circle so that 1 ends up where q was,
and rotate the perpendicular circle by the same amount. according to the right hand rule.
One thing worth noticing here is that order of multiplication matters: it's not, as mathematicians would say, commutative.
For example, i times j is k, which you might think of in terms of i acting on the quaternion j, rotating it up to k.

Spanish: 
En general, cualquier otro cuaternión unitario se ve en algún lugar en el espacio,
Comienza dibujando el círculo unitario que pasa por 1, q, y -1,
que vemos en nuestra proyección como una línea a través del origen,
luego dibujas el círculo perpendicular a ese en lo que vemos como la esfera unitaria.
Gira el primer círculo para que 1 termine donde estaba q,
y gira el círculo perpendicular en la misma cantidad. De acuerdo con la regla de la mano derecha.
Una cosa que vale la pena notar aquí es que el orden de la multiplicación importa: no es, como dirían los matemáticos, conmutativo.
Por ejemplo, i veces j es k, lo que podría pensar en términos de i que actúa sobre el cuaternión j, girándolo hasta k.

Spanish: 
Pero si piensas que j actúa sobre i, j veces i, rota i a -k.
De hecho, la conmutatividad, esta capacidad de intercambiar el orden de multiplicación, es una forma más especial de lo que mucha gente cree.
y la mayoría de los grupos de acciones en algún espacio no lo tienen. Es como en la resolución de un cubo de Rubik, el orden importa mucho,
O cómo girar un cubo sobre el eje zy luego sobre el eje x
da un estado final diferente al girarlo sobre el eje x, luego sobre el eje z.
Y por último, como punto final pero bastante importante,
hasta ahora te he mostrado cómo pensar acerca de los cuaterniones que actúan mediante la multiplicación de la izquierda,
donde cuando lees una expresión como i veces j,
piensas en i como un tipo de función que transforma todo el espacio y j es solo uno de los puntos en los que está actuando.
Pero también puedes pensar en ellos como un tipo diferente de acción,
multiplicando desde la derecha, donde en esta expresión, j estaría actuando sobre i.

English: 
But if you think of j as acting on i, j times i, it rotates i to -k.
In fact, commutativity—this ability to swap the order of multiplication—is a way more special property than a lot of people realize,
and most groups of actions on some space don't have it. It's like how in solving a Rubik's cube, order matters a lot,
Or how rotating a cube about the z axis and then about the x axis
gives a different final state from rotating it about the x axis, then about the z axis.
And last, as one final but rather important point,
so far I've shown you how to think about quaternions as acting by left multiplication,
where when you read an expression like i times j,
you think of i as a kind of function morphing all of space and j is just one of the points that it's acting on.
But you can also think of them as a different sort of action:
by multiplying from the right, where in this expression, j would be acting on i.

Polish: 
Ale jeśli zastanowicie się nad działaniem kwaternionem ,,j” na ,,i”, czyli ,,j” razy ,,i”, to ono obróci ,,i” do ,,-k”.
Tak naprawdę przemienność, czyli ta zdolność do zamiany kolejności mnożenia, jest o wiele bardziej wyjątkową własnością niż większość ludzi zdaje sobie sprawę.
I większość grup działań na jakiejś przestrzeni jej nie ma. To tak jak w układaniu kostki Rubika: kolejność ma duże znaczenie.
Albo tak jak obrócenie kostki wokół osi z, a potem wokół osi x
daje inny rezultat niż obrócenie jej wokół osi x, a potem wokół osi z.
I na koniec jeszcze ostatnia, ale dość ważna sprawa.
Jak dotąd pokazałem wam, jak myśleć o kwaternionach jako o działaniach mnożenia z lewej strony.
Czyli, gdy czytacie wyrażenie takie jak ,,i” razy ,,j”,
to myślicie o ,,i” jako o jakiejś funkcji przekształcającej całą przestrzeń. A ,,j” jest tylko jednym z punktów, na które ona działa.
Ale możecie też myśleć o nich jako o innego rodzaju działaniu:
mnożeniu z prawej strony. Czyli w tym wyrażeniu ,,j” działałoby na ,,i”.

Polish: 
W tym przypadku zasada mnożenia jest bardzo podobna. To jest cały czas ten przypadek, w którym 1 idzie do ,,j”, ,,j” idzie do -1 itd.
Ale zamiast stosowania reguły prawej dłoni do okręgu prostopadłego do okręgu ,,1j”, użylibyście waszej lewej dłoni.
Więc tak czy inaczej ,,i” razy ,,j” równa się ,,k”.
Ale możecie o tym myśleć albo tak, że prawa dłoń zgina się od liczby ,,j” do liczby ,,k”, gdy wasz kciuk wskazuje od 1 do ,,i”,
albo tak, że lewa dłoń zgina się od ,,i” do ,,k”, gdy kciuk wskazuje od 1 do ,,j”.
Zrozumienie tej reguły lewej dłoni dla mnożenia z drugiej strony będzie nadzwyczaj przydatne
dla zrozumienia tego, jak kwaterniony jednostkowe opisują obrót w trzech wymiarach.
Jak na razie pewnie nie jest jasne, jak dokładnie kwaterniony opisują trójwymiarowy obrót.
Jeśli rozważycie jedno z tych działań na sferze jednostkowej przechodzącej przez ,,i”, ,,j” oraz ,,k”,
to ono nie pozostawia tej sfery w miejscu – przekształcając ją, zmienia jej położenie.
Więc to działa w nieco bardziej skomplikowany sposób niż pojedynczy iloczyn kwaternionów.
To wiąże się z procedurą zwaną sprzęganiem

Spanish: 
En ese caso, la regla para la multiplicación es muy similar. Sigue siendo el caso de que 1 va a j y j va a -1, etc.
Pero en lugar de aplicar la regla de la mano derecha al círculo perpendicular al círculo 1j, utilizarías tu mano izquierda.
Entonces de cualquier manera, i veces j es igual a k,
pero puedes pensar en esto con tu mano derecha doblando desde el número j al número k mientras tu pulgar señala de 1 a i,
o como tu mano izquierda doblando desde i para k cuando tu pulgar apunta de 1 a j.
Comprender esta regla de la mano izquierda para la multiplicación del otro lado es extremadamente útil
para entender cómo los cuaterniones unitarios describen la rotación en tres dimensiones.
Y hasta ahora, es probable que no esté claro cómo exactamente los cuaterniones describen la rotación 3D.
Quiero decir, si consideras una de estas acciones en la esfera unitaria que pasa por i, j y k,
no deja esa esfera en su lugar, la transforma fuera de posición.
Así que la forma en que esto funciona es un poco más complicada que un solo producto de cuaternión.
Se trata de un proceso llamado conjugación,

English: 
In that case, the rule for multiplication is very similar. It's still the case that 1 goes to j and j goes to -1, etc.
But instead of applying the right-hand rule to the circle perpendicular to the 1-j circle, you would use your left hand.
So either way, i times j is equal to k,
but you can either think about this with your right hand curling the number j to the number k as your thumb points from 1 to i,
or as your left hand curling i to k as its thumb points from 1 to j.
Understanding this left hand rule for multiplication from the other side will be extremely useful
for understanding how unit quaternions describe rotation in three dimensions.
And so far, it's probably not clear how exactly quaternions do describe 3d rotation.
I mean, if you consider one of these actions on the unit sphere passing through i, j, and k,
it doesn't leave that sphere in place—it morphs it out of position.
So the way that this works is slightly more complicated than a single quaternion product.
It involves a process called conjugation,

Spanish: 
y haré un  próximo video completo sobre el tema para que tengamos tiempo de revisar algunos ejemplos.
Mientras tanto, para obtener más información sobre la historia de los cuaterniones y su relación con la orientación en el espacio 3D,
Quanta, una publicación matemática con la que muchos de ustedes están familiarizados.
acaba de hacer una publicación en una especie de conjunción con este video. (enlace en la descripción)
Si disfrutaste esto, considera compartirlo con algunos amigos,
y si sentiste que la estructura narrativa aquí era realmente útil para entender
tal vez asegure a esos amigos que han estado desconectados que la buena matemática realmente vale la pena.
Y muchas gracias a los patreons entre ustedes. En realidad pasé mucho más de lo que me gustaría admitir en este proyecto,
por lo que su paciencia y apoyo son especialmente apreciados en esta ocasión.

English: 
and I'll make a full follow-on video all about it so that we have the time to go through some examples
In the meantime, for more information on the story of quaternions and their relation to orientation in 3d space,
Quanta, a mathematical publication I'm sure a lot of you are familiar with,
just put out a post in a kind of loose conjunction with this video. (link in the description)
If you enjoyed this, consider sharing it with some friends,
and if you felt like the narrative structure here was actually helpful for understanding
maybe reassure those friends who would be turned off by a large timestamp that good math is actually worth the time.
And many thanks to the patrons among you. I actually spent way longer than I care to admit on this project,
so your patience and support is especially appreciated this time around.

Polish: 
i zrobię cały kolejny film na ten temat, żebyśmy mieli czas omówić kilka przykładów.
Tymczasem, jeśli chcecie zdobyć więcej informacji na temat historii kwaternionów i ich związku z orientacją w przestrzeni trójwymiarowej,
to Quanta, magazyn matematyczny, który na pewno wielu z was zna,
opublikował post luźno powiązany z tym filmem. Link w opisie.
Jeśli podobał się wam ten film, możecie udostępnić go znajomym.
A jeśli uważacie, że ten sposób prezentacji był rzeczywiście pomocny w zrozumieniu zagadnienia,
to może zapewnijcie tych znajomych, którzy mogą się zniechęcić długim czasem trwania filmu, że dobra matematyka jest naprawdę warta poświęcenia czasu.
I bardzo dziękuję patronom, którzy są pośród was. Spędziłem nad tym projektem dużo więcej czasu, niż chciałbym przyznać,
więc tym razem szczególnie doceniam waszą cierpliwość i wsparcie.
