
Spanish: 
PROFESOR: Bienvenido de nuevo.
Todavía vamos a
resolver ecuaciones cuadráticas
utilizando fórmula cuadrática.
Esta vez te voy a mostrar
que no todas tus soluciones son
Serán números racionales.
A veces tus soluciones son
Serán números irracionales.
Ahora tienes que saber
tu vocabulario
Irracional significa tu
el número no puede ser escrito
como una fracción.
Y los tipos de números que tenemos.
no se pueden cambiar a fracciones son
ejemplos de raíces cuadradas que
No podemos hacer en nuestras cabezas.
Por ejemplo, una raíz cuadrada.
de 2, no podemos realizar eso
operación.
Ese es un número irracional.
Una raíz cuadrada de 3, podemos
No realizar en nuestras cabezas.
Ese es un número irracional.
Si escribes la raíz cuadrada
de 2 o la raíz cuadrada de 3
en una calculadora, la
la calculadora escupiría
un decimal que es tan largo
No se repite.
No hay ningún patrón para ello.

English: 
PROFESSOR: Welcome back.
We're still going to
solve quadratic equations
using quadratic formula.
This time I'm going to show you
that not all your solutions are
going to be rational numbers.
Sometimes your solutions are
going to be irrational numbers.
Now you have to know
your vocabulary.
Irrational means your
number cannot be written
as a fraction.
And the kinds of numbers that we
cannot change to fractions are
examples of square roots that
we cannot do in our heads.
For example, a square root
of 2, we cannot perform that
operation.
That's an irrational number.
A square root of 3, we can
not perform in our heads.
That's an irrational number.
If you type the square root
of 2 or the square root of 3
in a calculator, the
calculator would spit out
a decimal that's this long.
It's non-repeating.
There's no pattern to it.

Spanish: 
Y no termina.
Tu mas famoso
numero irracional
que has aprendido en matemáticas
de la escuela primaria es pi.
Todos ustedes saben cuando
ver el símbolo pi,
lo que representa
aproximadamente 3,14.
Pero realmente pi es un decimal.
eso sigue para siempre
sin patrón
Así que ese es el tipo de número
que llamamos irracional.
DE ACUERDO.
Echemos un vistazo a nuestro
ecuación cuadrática.
Hemos visto esto antes.
x al cuadrado menos 8x
menos 11 es igual a 0.
Y ya hemos discutido eso
esta ecuación cuadrática no puede
ser factorizado
No puedes tener dos factores
que se multiplican a 11 y restan
a 8
También sabemos que no podemos usar el
método de raíz cuadrada para resolver
esta ecuación cuadrática
por eso a mediano plazo 8x.
Así que no tenemos opción.
Tenemos que resolver esta cuadrática.
ecuación utilizando la fórmula.
Una vez más, ya está escrito
en orden descendente.
Ya es igual a 0.
Así que solo necesito mis tres valores.
a está siempre en
frente de x al cuadrado.

English: 
And it doesn't end.
Your most famous
irrational number
that you've learned in math
from elementary school is pi.
You all know when you
see the pi symbol,
it stands for
approximately 3.14.
But really pi is a decimal
that goes on forever
with no pattern.
So that's the kind of number
that we call irrational.
OK.
Let's look at our
quadratic equation.
We've seen this one before.
x squared minus 8x
minus 11 equals 0.
And we've already discussed that
this quadratic equation cannot
be factored.
You cannot have two factors
that multiply to 11 and subtract
to 8.
We also know we cannot use the
square root method to solve
this quadratic equation
because of that middle term 8x.
So we have no option.
We have to solve this quadratic
equation using the formula.
Again, it's already written
in descending order.
It's already set equal to 0.
So I just need my three values.
a is always in
front of x squared.

Spanish: 
Se entiende que es 1.
b está delante de x.
Es negativo 8.
c es tu constante
Es negativo 11.
Así que ahora voy a reescribir
Mi fórmula con estos valores.
Entonces x es igual, negativo b
es tu inverso aditivo,
tu opuesto de b, entonces
pondrías positivo 8,
más o menos raíz cuadrada.
Entonces vamos
hacer b al cuadrado.
Así que tenemos 8 cuadrados negativos,
menos 4 veces a, que
es 1, veces c,
eso es negativo 11,
todo más de 2 veces a, que es 1.
Ahora sabemos trabajar
dentro de la raiz
Así que lo primero que vamos
hacer dentro de la raíz cuadrada
es cuadrado negativo 8.
Negativo 8 veces negativo
8 es positivo 64.
Entonces vamos a
multiplicar negativo 4
veces 1, que es
negativo 4, y luego
multiplica eso por negativo 11.
Y un negativo por un negativo.
hace un positivo, y 4 veces

English: 
It's understood to be 1.
b is in front of x.
It's negative 8.
c is your constant.
It's negative 11.
So now I'm going to rewrite
my formula with these values.
So x equals, negative b
is your additive inverse,
your opposite of b, so
you would put positive 8,
plus or minus square root.
Then we're going
to do b squared.
So we have negative 8 squared,
minus 4 times a, which
is 1, times c,
that's negative 11,
all over 2 times a, which is 1.
Now we know to work
inside the root.
So the first thing we're going
to do inside the square root
is square negative 8.
Negative 8 times negative
8 is positive 64.
Then we're going to
multiply negative 4
times 1, which is
negative 4, and then
multiply that to negative 11.
And a negative times a negative
makes a positive, and 4 times

English: 
11 makes positive 44.
We still have two numbers
inside the square root,
so now we're going
to add them up.
And 64 plus 44 is 108.
So now our equation is x equals
8 plus or minus square root
108 divided by 2 times 1.
And now we've got to have
to do the square root.
Well, everybody look closely.
We all know 108 is
not a perfect square.
But you can't leave that answer
because you have to reduce it.
So now we're going back to
our modules 15 and 14, 13.
How do you reduce a square root?
You find the largest
perfect square
in 108, which happens to be 36.
So I can rewrite the square
root of 108 as 36 times 3.
And I know the
square to 36 is 6,
so the 6 comes out of
the square root symbol.
But I cannot do the square
of 3, so it stays inside.

Spanish: 
11 hace positivo 44.
Todavia tenemos dos numeros
dentro de la raíz cuadrada,
así que ahora vamos
para sumarlos.
Y 64 más 44 es 108.
Así que ahora nuestra ecuación es x es igual a
8 más o menos raíz cuadrada
108 dividido por 2 veces 1.
Y ahora tenemos que tener
Para hacer la raíz cuadrada.
Bueno, todos miren de cerca.
Todos sabemos que 108 es
No es un cuadrado perfecto.
Pero no puedes dejar esa respuesta.
Porque hay que reducirlo.
Así que ahora vamos a volver a
Nuestros módulos 15 y 14, 13.
¿Cómo se reduce una raíz cuadrada?
Encuentras el más grande.
cuadrado perfecto
en 108, que pasa a ser 36.
Así que puedo reescribir el cuadrado.
Raíz de 108 como 36 veces 3.
Y yo sé la
el cuadrado a 36 es 6,
entonces el 6 sale de
El símbolo de la raíz cuadrada.
Pero no puedo hacer la plaza.
de 3, por lo que se queda dentro.

English: 
So now we have x equals 8
plus or minus 6 square root 3
divided by 2 times 1.
Now we have to break it
up into two expressions.
You can't add and
subtract at the same time.
So really what we have
here are two solutions.
We have x equals 8 plus 6
square root of 3 over 2,
x equals 8 minus 6
square root of 3 over 2.
Once we break this quadratic
formula up into two parts,
now all we've got to
do is put together
what's in the numerator
and then divide.
But here's our new problem.
You can only add and subtract
terms that are alike.
Can we physically add an
8 to a 6 square root of 3?
Absolutely not.
That does not say 8 plus 6.
It says 6 plus 6
square root of 3.
And you cannot add a
whole number to a radical.
So we can't work the numerator.
We have to leave the numerators
8 plus 6 square root of 3,

Spanish: 
Así que ahora tenemos x es igual a 8
más o menos 6 raíz cuadrada 3
dividido por 2 veces 1.
Ahora tenemos que romperlo
En dos expresiones.
No se puede agregar y
restar al mismo tiempo.
Así que realmente lo que tenemos
Aquí hay dos soluciones.
Tenemos x es igual a 8 mas 6
raíz cuadrada de 3 sobre 2,
x es igual a 8 menos 6
Raíz cuadrada de 3 sobre 2.
Una vez que rompamos esta cuadrática
formula hasta en dos partes,
ahora todo lo que tenemos que
hacer es armar
que hay en el numerador
y luego dividir.
Pero aquí está nuestro nuevo problema.
Solo puedes sumar y restar
términos que son iguales.
¿Podemos agregar físicamente un
¿8 a una raíz cuadrada de 3?
Absolutamente no.
Eso no dice 8 más 6.
Dice 6 más 6
raíz cuadrada de 3.
Y no puedes agregar un
Número entero a un radical.
Entonces no podemos trabajar el numerador.
Tenemos que dejar los numeradores.
8 más 6 raíz cuadrada de 3,

English: 
8 minus 6 square root of 3.
But we still have another
operation to do, division.
It says divide by 2.
Now here's where the
boo-boo's going to be.
Most of you are going to
say, I'll divide 8 by 2.
It doesn't say to
just divide 8 by 2.
It says to divide all the
terms in the numerator by 2.
So, ladies and gentlemen,
either they both divide by 2,
or you leave it alone.
Well, 8 does divide by 2.
That's 4.
6 square root of 3 does divide
by 2 because 6 divided by 2
is 3 square root of 3.
So because both terms in
the numerator divide by 2,
we will divide.
And that will give us 4
plus 3 square root of 3
and x equals 4 minus
3 square root of 3.
You have two solutions.
They are different solutions.
They're actually
conjugates of each other.
So here's our thing.
We're going to describe them.
You have two answers.
Believe it or not,
those are real numbers.
Now, I know what you're saying.

Spanish: 
8 menos 6 raíz cuadrada de 3.
Pero todavía tenemos otra
Operación a realizar, división.
Dice dividir por 2.
Ahora aquí es donde el
Boo-Boo va a ser.
La mayoría de ustedes van a
Di, voy a dividir 8 por 2.
No dice a
sólo divide 8 por 2.
Dice dividir todas las
términos en el numerador por 2.
Así que, damas y caballeros,
o bien ambos se dividen por 2,
o lo dejas solo.
Bueno, 8 se divide por 2.
Eso es 4
6 raíz cuadrada de 3 se divide
por 2 porque 6 dividido por 2
es 3 raíz cuadrada de 3.
Así que porque ambos términos en
el numerador se divide por 2,
vamos a dividir
Y eso nos dará 4.
más 3 raíz cuadrada de 3
y x es igual a 4 menos
3 raíz cuadrada de 3.
Tienes dos soluciones.
Son soluciones diferentes.
Son en realidad
Los conjugados de cada uno.
Así que aquí está lo nuestro.
Vamos a describirlos.
Tienes dos respuestas.
Por extraño que parezca,
esos son numeros reales
Ahora, sé lo que estás diciendo.

English: 
Miss Black, I've never seen
those on the number line.
Yes, I know that.
But if you go in your
calculator and figure out
what the square root of
3 is, it's a decimal.
It's roughly $1.70.
And if you take that
decimal, multiply it to 3,
and then add the 4, you're
going to get another decimal.
So irrational numbers
are decimal numbers.
They just don't terminate.
They go on forever.
And that's how we
have to describe this.
We have two real answers
that are irrational.
When you're solving
a quadratic equation,
and you get square
roots in your solution,
it means you have
irrational numbers.
That tells me and you we
could have never factored
that equation to solve it.
OK.
Let's go to the whiteboard.

Spanish: 
Miss Black, nunca la he visto.
los de la recta numérica.
Si lo sé.
Pero si vas en tu
calculadora y averiguar
cual es la raiz cuadrada de
3 es, es un decimal.
Es aproximadamente $ 1.70.
Y si tomas eso
decimal, multiplicarlo a 3,
y luego agrega el 4, eres
Voy a conseguir otro decimal.
Números tan irracionales
Son números decimales.
Simplemente no terminan.
Se van para siempre.
Y asi es como nosotros
Tengo que describir esto.
Tenemos dos respuestas reales.
que son irracionales
Cuando estas resolviendo
una ecuación cuadrática,
y te pones cuadrado
raíces en tu solución,
significa que tienes
Numeros irracionales.
Eso me dice y tu nos
nunca podría haber factorizado
Esa ecuación para resolverlo.
DE ACUERDO.
Vamos a la pizarra.
