
Turkish: 
Putnam'ı biliyor musunuz?
Üniversite öğrencileri için bir matematik yarışmasıdır kendisi.
On iki sorudan oluşur ve altı saat sürer.
Üçer saatlik iki kısma bölünmüştür.
Her bir soru ise 1 ile 10 arasında puanlanır.
Bu da demektir ki alabileceğiniz en yüksek puan 120'dir.
Ve her sene bu sınava girenlerin hepsi, matematikte iyi ve meraklı olan...
üniversite öğrencileri olmasına rağmen...
Alınan puan medyanı 1 ile 2 arasında dolanıyor.
Anlayacağınız, zor bir sınav.
Ve bu altı soruluk her kısımda,
sorular birden altıya doğru gidildikçe zorlaşıyor.
Her ne kadar, zorluk kişiden kişiye değişse de.
Fakat bu beşinci ve altıncı sorular...
zorluğuyla ün salmış bu sınavdaki en zor sorular olarak konulmuş olsalar da
sıklıkla, bu soruların cevapları en güzel ve şık olanlarıdır.
Bakış açınızdaki ufak bir değişiklik, onu imkansızdan gayet yapılabilire çevirebilir.
Bugün sizlerle, bu sınavda altıncı soru...

English: 
Do you guys know about the Putnam? It's a
math competition for undergraduate students.
It’s 6 hours long and consists of 12 questions,
broken up into two different 3-hour sessions.
With each question being scored on a 1-10
scale, the highest possible score is 120.
And yet, despite the fact that the only students
taking it each year are those who are clearly
already pretty into math, given that they
opt into such a test, the median score tends
to be around 1 or 2. So... it’s a hard test.
And on each section of 6 questions, the problems
tend to get harder as you go from 1 to 6,
although of course difficulty is in the eye
of the beholder.
But the thing about the 5’s and 6’s is
that even though they’re positioned as the
hardest problems on a famously hard test,
quite often these are the ones with the most
elegant solutions available. Some subtle shift
in perspective that transforms it from challenging
to simple.
Here I’ll share with you one problem which

French: 
Est-ce que vous connaissez le Putnam ?
C'est une compétition de mathématiques pour les étudiants de niveau licence.
Il s'agit d'un examen de 6 heures qui comporte seulement douze questions
divisé en deux sessions de deux heures.
Chacune de ces questions est notée sur 10.
Donc la note maximale serait 120/120.
Et pourtant, malgré le fait que les seuls étudiants qui passent ces épreuves chaque année
soient ceux qui sont déjà assez friands de maths,
la médiane tourne autour de 1 ou 2.
Donc... c'est plutôt difficile comme examen.
Et durant chaque sessions d'examen,
la difficulté des problèmes augmente en allant des questions 1 à 6,
même si, bien évidemment, la perception de la difficulté est relative à chacun.
Mais le truc à propos des questions 5 et 6, c'est que
même si elles sont sensées être les plus épineuses sur un examen connu comme déjà très difficile,
assez souvent, ce sont celles qui peuvent être résolues le plus élégamment,
un subtil changement de point de vue sur la question la fait passer d'un casse-tête à faisable.
Ici, je vais vous partager une des questions

Italian: 
Conoscete il Putnam?
Si tratta di una gara di matematica per gli studenti universitari.
è un test di 6 ore che ha appena dodici domande
suddiviso in due diverse sessioni da 3 ore.
E ognuna di queste domande è valutata da 1 a 10.
Così il punteggio più alto possibile sarebbe 120.
Eppure, nonostante il fatto che gli studenti che svolgono il test ogni anno
sono quelli che sono chiaramente già abbastanza interessati alla matematica,
il punteggio in media tende ad essere circa 1 o 2.
Quindi ... è una prova difficile.
E su ognuna di queste sezioni di sei domande,
i problemi tendono a diventare sempre piú difficili
anche se, naturalmente, la difficoltà è negli occhi di chi guarda.
Ma il quinto e il sesto,
anche se sono posizionati come i problemi più duri della famosa prova,
molto spesso, sono quelli che hanno la soluzione piú elegante a disposizione,
qualche sottile cambiamento di prospettiva e si trasformano da molto impegnativi a fattibili.
Qui, ho intenzione di condividere con voi un problema

Korean: 
Putnam test를 아시나요?
이건 대학 재학생에게 주어지는 '도전 문제' 이지요
6시간에 12문제를 푸시면 됩니다
한 섹션에 3시간, 총 두 섹션으로요
각 문제들은 10점 만점입니다
총점은 120점 입니다
하지만, 매년 이 문제들을 받는 학생들은
확실히 수학에 관심이 많은 학생들입니다
평균 점수는...1이나 2점입니다
음... 어려운 테스트죠
한 섹션의 각 문제들은,
풀면 풀수록 점점 더 어려워지는 경향이 있죠
물론, 어려움은 보는 사람들의 눈에 달려있지요
하지만 5번이나 6번 문제들은
비록 이것들이 가장 어려운 시험에서 가장 어려운 문제로 자리잡고 있을지라도,
거의 매번, 정말 우아한 풀이법을 갖고 있으며
발견하기에도 아주 힘든 
미묘한 변화를 줘야 풀리는 것들이 있죠
여기, 한 문제를 소개시켜드리며

Croatian: 
Znate li išta o Putnamu?
To je matematičko natjecanje za preddiplomske studente.
To je test koji traje 6 sati i ima samo 12 pitanja
rastavljena u dvije trosatne sesije.
Svako pitanje je bodovano od 1 do 10.
Stoga je najveći mogući broj bodova 120.
Ipak, iako su jedini studenti koji polažu 
ovo svake godine
oni koje očito već zanima matematika,
Prosječni broj bodova obično bude oko 1 ili 2.
Tako da... to je težak test.
I na oba ta dijela od po 6 pitanja,
problemi budu sve teži kako idete od 1 do 6,
iako je, naravno, težina u oku promatrača.
Ali stvar s tim 5. i 6. pitanjima je ta da
iako su stavljeni kao najteži problemi na
 poznatom teškom testu
vrlo često su ti problemi oni s najelegantnijim rješenjima
Neki suptilni pomak u perspektivi koji ga transformira od vrlo izazovnog do izvodljivog.
Ovdje ću s vama podjeliti jedan problem

Ukrainian: 
Друзі, чи знаєте ви про Putham?
Це математичний конкурс для студентів-бакалаврів.
Це шестигодинний тест з усього дванадцятьма завданнями
розбитими на дві окремі трьохгодинні сесії.
Кожне завдання оцінюється від 1 до 10.
Тож найвища можлива оцінка може бути рівна 120.
І наразі, не враховуючи той факт, що кожного року за це бралися студенти,
ті, хто явно зацікавлений у математиці,
середній бал схильний бути близько 1 або 2.
Тож...це важкий тест.
І у кожній з цих сесій з шести завдань,
проблеми мають тенденцію ускладнюватись в напрямку від 1 до 6,
хоча, звісно, складність знаходиться в очах спостерігача.
Проте є важлива річ про 5-ті та 6-ті завдання
навіть якщо вони позиціоновані як найважчі проблеми у власне важкому тесті,
доволі часто вони є тими, що допускають найбільш вишукані рішення,
певна зміна погляду на які перетворює їх з дуже складних у зрозумілі.
А зараз я поділюся з вами однією проблемою

Chinese: 
你們聽過普特南 (Putnam) 競賽嗎？
它是一個美加大學部學生的數學競賽
6 個小時的競賽時間中，選手要解 12 道題目
而這競賽的過程又分為兩個 3 小時段落
每一道題目將被評 0 到 10 分
全部試題滿分 120 分
然而，儘管每年會參加這一門競賽
都是對數學特別感興趣的學生
競賽總分的中位數通常只有 1 到 2 分
可見這些試題非常難
在一個段落中的 6 道試題中
往往是一題一題的增加難度
當然，題目難不難會因人而異的
但是說道最難的第五、第六題
它們雖然是這門超難競賽中的壓軸難題
這些題目卻也往往是有著最精妙的解法的試題
當稍微換個角度切入，這些難題不會是無從入手
現在，我們就來分享一道

Portuguese: 
Vocês conhecem a respeito da Putnam?
É uma competição de matemática para alunos de graduação.
É uma prova de 6 horas de duração que só tem doze perguntas
divididos em duas seções diferentes de 3 horas.
E cada uma dessas perguntas é pontuada de 1 a 10.
Então a maior pontuação possível seria 120.
E ainda assim, apesar de os únicos estudantes a fazer essa prova a cada ano
serem aqueles que já são claramente muito interessado em matemática,
a pontuação média tende a ser cerca de 1 ou 2.
Então... é uma prova difícil.
E em cada uma dessas seções de seis perguntas,
os problemas tendem a ficar mais difícil à medida que vão de 1 a 6,
embora, é claro, a dificuldade está no olho de quem vê.
Mas sobre as quintas e sextas questões, é que,
mesmo que eles estão posicionados como os problemas mais difíceis em uma prova notoriamente difícil,
muitas vezes, estes são os únicos com as soluções mais elegantes disponíveis:
algumas mudanças sutis de perspectiva que o transforma de muito desafiador para factível.
Aqui, eu irei compartilhar com você um problema

Russian: 
Ребята, знаете ли вы о Путнэме?
Это математическое соревнование для студентов.
Это 6-часовой тест, который имеет только двенадцать вопросов
разбиты на две разные 3-х часовые сессии.
И каждый из этих вопросов оценивается от 1 до 10 баллов.
Таким образом, максимально возможный балл составит 120.
И все же, несмотря на то, что только студенты принимают участие каждый год
те, кто явно уже очень интересуется математикой,
средний балл, как правило, составляет около 1 или 2.
Итак ... это тяжелый тест.
И по каждому из шести разделов,
Задания, как правило, становятся все сложнее, когда вы идете от 1 до 6,
хотя, конечно, трудность лежит в глазах смотрящего.
Но все, что связано с этими 5 и 6,
даже несмотря на то, что они позиционируются как самые трудные задачи в личном жестком испытании,
довольно часто это те задачи, у которых самые элегантные решения,
некоторый тонкий сдвиг в перспективе, который превращает его из очень сложного в выполнимый.
Здесь я собираюсь поделиться с вами одной проблемой

Vietnamese: 
Các bạn có biết đến kì thi Putnam không?
Nó là một cuộc thi toán dành cho học sinh phổ thông.
Bài thi làm trong 6 tiếng và chỉ có 12 câu hỏi,
chia làm 2 phần khác nhau và mỗi phần 3 tiếng.
Và mỗi câu hỏi được chấm điểm từ 1 tới 10.
Cho nên điểm cao nhất có thể sẽ là 120.
Tuy vậy, dù sự thật là những học sinh đủ khả năng để tham gia thi hằng năm
rõ ràng đều là những học sinh rất hứng thú với toán,
điểm trung bình thường chỉ khoảng 1 hay 2.
Vậy nên... kì thi này khó lắm.
Và từng câu của mỗi phần 6 câu đó,
các bài toán có xu hướng trở nên khó dần từ câu 1 đến câu 6,
nhưng tất nhiên, khó hay không tùy thuộc mắt người nhìn mà thôi.
Nhưng điểm đặc biệt ở những câu 5 và 6 của đề thi là
mặc dù được đặt tại vị trí khó nhất của một đề thi khó nổi tiếng,
rất thường xuyên, đây là những câu có cách giải quyết tao nhã nhất có thể.
Một số thay đổi trong cách nhìn nhận sẽ biến hóa chúng từ rất thách thức chuyển sang xử lí được.
Ở đây, tôi sẽ chia sẽ với bạn một bài toán

German: 
Kennt ihr das Putnam Problem?
Es ist ein Mathe-Wettbewerb für Studenten, die noch keinen Hochschulabschluss haben.
Es ist ein 6 Stunden langer Test, mit nur zwölf Fragen,
aufgeteilt in zwei verschiedene 3-Stunden-Sitzungen.
Und jede einzelne Frage wird mit 1 bis 10 Punkten bewertet.
Die höchstmögliche Punktzahl wäre also 120.
Und obwohl die einzigen Studenten, die diesen Test jedes Jahr machen,
diejenigen sind, die sowieso schon an Mathematik interessiert sind,
liegt die durchschnittlich erreichte Punktzahl bei 1 oder 2.
Also... es ist ein schwerer Test.
Und in jedem dieser Abschnitte von sechs Fragen
werden die Probleme von Frage 1 bis 6 immer schwieriger,
obwohl natürlich die Schwierigkeit im Auge des Betrachters liegt.
Aber das Interessante über diese 5. und 6. Fragen ist, dass sie,
obwohl sie als die schwierigsten Probleme auf einem für seine Schwierigkeit berühmten Test positioniert sind,
sehr oft diejenigen mit der elegantesten Lösung sind,
durch eine subtile Verschiebung der Perspektive werden sie von "sehr anspruchsvoll" in "machbar" verwandelt.
Hier zeige ich euch ein Problem,

Spanish: 
¿Conocen el Putnam?
Es una competición de matemáticas para estudiantes sin graduar.
Es un examen de 6 horas que tiene tan sólo doce preguntas,
divididas en dos sesiones diferentes de 3 horas.
Y cada una de esas preguntas se puntúa de 1 a 10.
Por tanto, la puntuación más alta posible es 120.
Y, a pesar de que los estudiantes que se presentan cada año
son tan sólo los que claramente están muy interesados en las matemáticas,
la puntuación mediana tiende a estar entre 1 y 2.
Así que ... es un examen difícil.
Y para cada una de esas secciones de seis preguntas,
los problemas tienden a volverse más difíciles a medida que se va del 1 al 6,
aunque, por supuesto, la dificultad está en el ojo del observador.
El asunto es que esos 5s y 6s,
aunque están considerados como los problemas más difíciles en un examen famoso por su dificultad,
a menudo, esos, son los que tienen soluciones más elegantes,
algún sutil cambio de perspectiva los transforma de muy difíciles en abordables.
Voy a compartir con ustedes un problema

Portuguese: 
Vocês conhecem a Putnam? É uma competição de matemática para
estudantes em graduação. É uma prova de 6 horas que
só tem 12 questões divididas em duas sessões
de 3 horas e cada uma dessas questões
valem de 1 a 10. Então a maior pontuação seria
120. E além disso, tirando o fato
de que os únicos estudantes que fazem essa prova
são aqueles que estão realmente interessados em matemática,
a pontuação média tende a ser de 1 ou 2. Então...
é uma prova difícil. E em cada uma daquelas sessões
de 6 questões os problemas tendem a ficar mais difíceis
na medida que você vai do 1 ao 6 (apesar de que as dificuldades podem variar
de pessoa pra pessoa). Mas o problema desses 5's e 6's (questão)
é que apesar de estarem posicionadas
como sendo "questão difícil" numa prova conhecida por ser difícil
geralmente elas são as que tem as soluções mais elegantes.
Uma mudança sútil na perspectiva que a transforma
de "muito desafiadora" para "possível".
Nesse vídeo eu vou mostrar um problema que veio a ser a sexta questão em

Polish: 
Wiecie czym jest konkurs Putnam?
Putnam jest konkursem matematycznym dla studentów studiów licencjackich.
Jest to 6-godzinny test, który ma tylko dwanaście pytań
podzielone na dwie różne trzygodzinne sesje.
I każde z tych pytań jest oceniane od 1 do 10.
Więc najwyższy możliwy wynik to 120.
A jednak, pomimo faktu, że studenci którzy biorą udział w konkursie
są wyraźnie zainteresowani matematyką.
mediana wynosi zwykle 1 lub 2.
Więc ... to trudny test.
I na każdej z tych sekcji sześciu pytań,
problemy stają się coraz trudniejsze, gdy przechodzisz od 1 do 6,
chociaż, oczywiście, pojęcie trudności jest subiektywne
Co ciekawe pytania 5-te i 6-te
mimo że są pozycjonowane jako najtrudniejsze problemy,
dość często są to te z najbardziej eleganckimi rozwiązaniami.
pewne subtelne przesunięcie perspektywy, które przekształca zadania z poziomu bardzo wymagających do wykonalnych
Podzielę się z Wami jednym z  problemów z testu Putnama.

Modern Greek (1453-): 
Μήπως ξέρετε για το Putnam;
Είναι ένας διαγωνισμός μαθηματικών 
για προπτυχιακόυς φοιτητές.
Είναι ένας εξάωρος διαγωνισμός 
που έχει 12 ερωτήσεις,
χωρισμένες σε δυο τρίωρες περιόδους.
Και κάθε μια από αυτές τις ερωτήσεις βαθμολογείται από το 1 έως το 10...
Οπότε το υψηλότερο δυνατό σκορ είναι 120.
Και πάλι, παρόλο το γεγονός πως οι μαθητές που εξετάζονται κάθε χρόνο
είναι αυτοί που καθαρά ενδιαφέρονται πολύ στα μαθηματικά,
Ο μέσος όρος των σκορ κυμαίνεται στο 1 η στο 2.
Οπότε...είναι ένα δύσκολο test.
Και σε σε κάθε μια από αυτές τις τρεις ερωτήσεις,
τα προβλήματα δυσκολεύουν όσο πηγαίνεις από το 1 έως το 6,
παρόλα αυτά, φυσικά, η δυσκολία δεν είναι παρά στο μάτι του παρατηρητή.
Το παράδοξο όμως για τα θέματα 5 και 6 είναι ότι
παρόλο που θεωρούνται τα δυσκολότερα προβλήματα στο δυσκολότερο test
συνήθως, αυτά είναι τα προβλήματα με τις πιο κομψές λύσεις διαθέσιμες.
Μια ανεπεσθητη μεταστροφη στην οπτική του προβλήματος το μετατρέπει από πολύ δύσκολο σε εφικτό.
Σήμερα, θα μοιραστώ μαζί σας ένα πρόβλημα

Chinese: 
你们听说过普特南数学竞赛吗？
这是一个面向美国本科生的数学竞赛
竞赛时长6小时  一共只有12道题目
而且分成上下两场  每场3小时
每道题的得分最低0分  最高10分
所以满分就是120分
然而  尽管每年来参加这个竞赛的
很明显都是那些对数学相当感兴趣的学生
但是分数的中位数也常常只有一两分
所以说  这个竞赛很难
而且对于每场的六个问题来说
从第一题到第六题  难度也在上升
当然了  难不难是因人而异的
但是说到第五题和第六题
虽然它们都是超难竞赛中的压轴难题
但通常来说  它们也有着最为精妙的解法
稍微转换一下视角  极具挑战性的问题就不再无从下手了
我想在这里和大家分享一道题

Chinese: 
在前幾屆 (1992) 競賽中出現的第六題
常光顧這個頻道的朋友們會知道
我不會直接開始講答案
而且這一題的解法出人意料的簡短
我會多花時間一步一步地討論
你如何自己探索出這個解法
以及一些關鍵的想法從何而來
也就是說我製作的影片中
重點會放在解決問題的過程
而問題本身只是一個的例子罷了
總之，問題如下：
「在球面上隨機選擇四個點，
「考慮該四點為頂點之四面體，
「球心在四面體內部的機率為何？」
花一點時間消化一下這個題目
你可能開始思考：
哪些四面題會包含到球心；哪些不會
要怎麼系統化的分辨這兩種四面體
甚至這道題目到底要怎麼切入？
這題目應該要從何起手？
遇到不會解的題目時
一個好方法事先從簡化的問題開始想
所以我們先把問題減少一個維度
考慮圓周上的找三個點

Vietnamese: 
được chọn làm câu 6 thuộc một trong các đề đã cho trong những năm gần đây.
Những bạn theo dõi đài
chắc đã biết là thay vì nhảy thẳng tới cách giải,
(và nói luôn, lời giải của bài toán này ngắn tới bất ngờ)
khi có thể, tôi thích giành thời gian để cho bạn xem qua
những cách mà bạn có thể tình cờ phát hiện ra hướng giải và những ý tưởng đó tới từ đâu.
Tức là làm một video thiêng về quá trình giải quyết bài toán
hơn là về bài toán được dùng để ví dụ cho một cách giải.
Sao cũng được, đây là câu hỏi:
Chọn bốn điểm bất kì trên một mặt cầu,
và xét tứ diện nhận bốn điểm này làm bốn đỉnh,
xác suất để tâm mặt cầu nằm trong tứ diện đó là bao nhiêu?
Nào, hãy giành một lúc để ngẫm thử câu hỏi này xem.
Bạn có thể sẽ bắt đầu nghĩ tới
những tứ diện nào sẽ chứa tâm mặt cầu, những cái nào không,
và cách mà bạn có thể phân biệt chúng một cách hệ thống.
Và làm thế nào để tiếp cận các bài toán kiểu này, đúng không?
Ta phải bắt đầu từ đâu?
Bình thường, suy nghĩ tới những trường hợp đơn giản là ý hay.
Vậy nên, hãy đơn giản vài thứ về không gian 2 chiều.
Tức là ta sẽ chọn 3 điểm bất kì trên một đường tròn.

French: 
qui est tombée comme question 6 d'une des sessions il y a quelques années.
Pour ceux de vous qui suivent régulièrement le contenu ma chaîne,
vous savez que plutôt de donner directement la solution,
ce qui, dans le cas présent, serait étonnamment courte;
quand c'est possible, j'aime prendre le temps de vous faire
réaliser comment vous auriez pu tomber sur la solution vous-même,
et d'où la réponse vient en somme.
Ceci rend une vidéo
plus sur le cheminement jusqu'à la solution
que sur le problème initial.
Peu importe, la question est :
if vous choisissez quatre points au hasard sur une sphère,
et considérez le tétraèdre qui a ces quatre points comme sommets,
quelle est la probabilité que le tétraèdre contienne le centre de la sphère ?
Posez-vous un moment et prenez le temps de bien comprendre cette question.
Vous pourriez commencer à vous demander
lesquels de ces tétraèdres contiennent le centre le la sphère,
et comment déterminer si un tétraèdre contient ou non le centre de la sphère.
Et aussi, comment on attaque un tel problème, non ?
Par où même commencer ?
En fait, c'est souvent une bonne idée de se ramener à des cas plus simples.
Donc réduisons l'énoncé à la dimension deux,
où vous choisissez trois points au hasard sur un cercle.

Russian: 
который появился как шестой вопрос на одном из этих тестов некоторое время назад.
Те из вас, кто следит за каналом,
вы знаете, что вместо того, чтобы просто прыгать прямо к решению,
которая в этом случае была бы удивительно короткой;
когда это возможно, мне нравится тратить время на прогулку
как вы могли бы наткнуться на решение самостоятельно,
откуда приходит понимание.
То есть, сделайте видео
подробнее о процессе решения проблем
чем о проблеме, используемой для ее иллюстрации.
Так или иначе, вот вопрос:
если вы выберете четыре случайные точки на сфере,
и рассмотрим тетраэдр с этими точками как его вершины,
какова вероятность того, что центр сферы находится внутри этого тетраэдра?
Давайте, подождите минутку и перепишите этот вопрос.
Вы можете начать думать о том,
какие из этих тетраэдров содержат центр сферы, какие нет,
как вы могли бы систематически различать эти два случая.
И как вы вообще подходите к такой проблеме?
С чего вы начнете?
Ну, обычно хорошей идеей является подумать о более простых случаях.
Итак, давайте постучать в два измерения,
где вы выберете три случайных точки на круге.

Ukrainian: 
що з'явилась як шосте завдання у одному з цих тестів певний час назад.
Ті з вас, хто слідкують за каналом,
знають, що замість миттєвого переходу до відповіді,
яка у цьому випадку буде неочікувано короткою,
якщо можливо, я радше не поспішаючи дав би вам можливість пройти крізь шлях,
на якому ви могли б дійти до рішення проблеми самостійно,
щоб зрозуміти хід розв'язку.
Тобто відео зроблене
більше про процес рішення проблеми
ніж про ілюстрацію власне проблеми.
Тож, ось запитання:
якщо ви виберете чотири випакові точки на сфері,
і розглянете тетраедр з цими точками на вершинах,
яка вірогідність що центр сфери буде всередині тетраедра?
Уперед,  візьміть хвильку та запишіть це питання.
Ви напевно почнете думати
який з цих тетраедрів містить центр сфери, а який ні,
як ви могли б систематично відрізнити ці два.
І як хоча б підійти до проблеми як ця, правильно?
Де ви хоча б почнете?
Що ж, зазвичай хорошою ідеєю є думати про легші випадки.
Тому давайте спростимо питання до двох вимірів,
де ви вибираєте три випадкові точки на колі.

Turkish: 
olarak çıkan bir problemi çözeceğiz.
Kanalı takip edenler bilir,
genelde direkt sonuca atlamaktansa...
-ki bu soruda şaşırtıcı derecede kısa olurdu-
soruyu anlayarak ve hazmederek ilerlemeyi yeğlediğimi bilirler.
Yani, sorunun çözümünü bir örnekle anlatmaktansa...
sorunun çözüm evrelerini göstermeyi.
Her neyse, sorumuz şu;
eğer bir kürede 4 rastgele nokta seçerseniz...
ve bu noktaların köşe olduğu bir dört yüzlü oluşturursanız...
kürenin merkezinin bu prizma içinde olma ihtimali nedir?
Pekala, şimdi soruyu sindirmeye çalışın.
Büyük ihtimalle merkezi içine alan ve almayan dört yüzlüleri ayırmanın bir formülünü aramaya başladınız.
Peki böyle bir soruya nasıl yaklaşılmalı?
Nereden başlayacağız?
Pekala, genellikle daha basit bir senaryo ile başlamak işe yarar.
O zaman, haydi işi iki boyuta indirgeyelim.
Bir çember üzerinde 3 nokta seçtiğimizi düşünelim örneğin.

Portuguese: 
que surgiu como a sexta questão em uma dessas provas um tempo atrás.
Aqueles de vocês que acompanham o canal,
vocês sabem que, ao invés de pular direto para a solução,
que, neste caso, seria surpreendentemente curto;
quando possível, eu gostaria de ter o tempo para orientá-los
como você poderia ter encontrado a solução sozinho,
de onde as compreensões vêm.
Ou seja, fazer um vídeo
mais sobre o processo de resolução de problemas
do que sobre o problema usado para exemplificá-lo.
De qualquer forma, aqui está a questão:
"Se você escolher quatro pontos aleatórios em uma esfera,
e considerar o tetraedro com esses pontos como seus vértices,
qual é a probabilidade de que o centro da esfera está dentro que tetraedro?"
Vá em frente, pare por um momento e tente digerir essa pergunta.
Você pode começar a pensar em
quais desses tetraedros contêm o centro da esfera, e quais não;
como você pode sistematicamente distinguir os dois.
E como você aborda um problema como esse, afinal?
Por onde você começa?
Bem, é geralmente uma boa ideia pensar em casos mais simples.
Então, vamos diminuir a duas dimensões,
onde você vai escolher três pontos aleatórios em um círculo.

Polish: 
Pytanie pojawiło się jako 6-te, potencjalnie najtrudniejsze, kilka lat temu.
Ci z was, którzy śledzą kanał,
wiedzą, że zamiast skakać prosto do rozwiązania,
które w tym przypadku byłoby zaskakująco krótkie;
kiedy to możliwe, lubię poświęcić czas, aby przeprowadzić Cię przez problem
tak abyś sam natknął się na rozwiązanie
i wiedział skąd ono pochodzi wgląd.
To wideo będzie
skoncentrowane bardziej na procesie rozwiązywania zadania
niż na samym rozwiązaniu
Tak czy inaczej, oto pytanie:
jeśli wybierzesz cztery losowe punkty na kuli,
i rozważysz czworościan z tymi punktami jako wierzchołkami,
jakie jest prawdopodobieństwo, że środek sfery znajduje się w tym czworościanie?
Śmiało, poświęć chwilę i przetraw pytanie
Możesz zacząć myśleć
które z tych czworościanów zawierają centrum kuli, a które nie,
I jak możesz systematycznie je rozróżniać.
Z której strony ugryźć to zadanie?
Gdzie powinieneś zacząć?
Cóż, zwykle dobrze jest myśleć o prostszych przypadkach.
Więc uprośćmy problem do dwóch wymiarów,
gdzie wybierzesz trzy losowe punkty na okręgu.

Portuguese: 
uma dessas provas à um tempo atrás. Vocês
que seguem o canal sabem que ao invés de pular direto para a solução,
que nesse caso seria surpreendentemente curta, na medida do possível
eu gostaria de gastar o tempo para explicar
como você talvez pudesse atropeçar na solução,
de onde viria a compreensão. Ou seja, fazer o vídeo
mais sobre o processo de solução da questão do que o problema exemplificado.
 
Então essa era a questão: Se você escolher quatro
pontos aleatórios numa esfera e considerar o tetraedro
formado pelos pontos, como sendo vértices,
qual é a probabilidade de que o centro dessa esfera está
dentro (contida) no tetraedro?
Tome um tempo para digerir essa pergunta.
Você talvez vai começar pensando quais desses tetraedros contém o
centro da esfera, quais não, como você iria sistematicamente
distinguir os dois.
E como você começa uma questão como essa?
Por onde começar?
Bom, geralmente é uma boa ideia começar com casos mais simples
então vamos nos reduzir ao caso de  2 dimensões,
onde escolheremos 3 pontos aleatórios num círculo...

German: 
das vor einiger Zeit als die sechste Frage auf einem dieser Tests auftauchte.
Diejenigen, die diesem Kanal folgen,
wissen, dass ich anstatt die Lösung direkt zu verraten,
die in diesem Fall überraschend kurz wäre;
mir lieber die Zeit nehme, euch zu zeigen,
wie ihr selber über die Lösung hättet stolpern können,
woher die Erkenntnis kommt.
Das heißt, ich mache ein Video
mehr über den Problemlösungsprozess
als über das eigentliche Problem der Aufgabe.
Wie auch immer, hier ist die Frage:
Wählt man vier beliebige Punkte auf einer Kugel,
und betrachtet diese Punkte als die Eckpunkte eines Tetraeders,
was ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Mitte der Kugel innerhalb dieses Tetraeders liegt?
Nehmen Sie sich ruhig etwas Zeit, um über diese Frage nachzudenken.
Vielleicht denkt ihr grade darüber nach,
welche dieser Tetraeder die Mitte der Kugel enthalten und welche nicht,
und wie man diese beiden systematisch unterscheiden könnte.
Und wie geht man überhaupt solch ein Problem an?
Wo fängt man überhaupt an?
Nun, es ist in der Regel eine gute Idee, über einfachere Fälle nachzudenken.
Also lass uns das Problem auf zwei Dimensionen herunterbrechen,
wo man drei beliebige Punkte auf einem Kreis wählt.

Spanish: 
que apareció como la sexta pregunta en uno de estos exámenes hace un tiempo.
Aquellos que siguen el canal
sabrán que en lugar de saltar directamente a la solución,
que, en este caso, sería sorprendentemente corta,
siempre que sea posible, me gusta dedicar el tiempo necesario para mostrar
como podrían haber encontrado la solución por ustedes mismos,
de dónde viene la inspiración.
Esto es, hacer un vídeo
más centrado en el proceso de resolver el problema
que en el propio problema.
En cualquier caso, aquí está la pregunta:
Si se escojen cuatro puntos al azar de una esfera
y se considera el tetraedro que tiene a esos puntos como vértices,
¿cuál es la probabilidad de que el centro de la esfera esté dentro del tetraedro?
Adelante, dediquen un momento a digerir la pregunta.
Podríamos empezar por meditar acerca de
cuales de esos tetraedros contienen el centro de la esfera, cuales no,
y cómo se puede distinguir sistemáticamente entre ellos.
Y, ¿cómo se aproxima un problema como éste?
¿Por dónde empezamos?
Bien, normalmente es buena idea pensar acerca de los casos más simples.
Así que simplifiquemos el problema hacia las dos dimensiones,
donde escogeremos tres puntos al azar sobre un círculo.

Modern Greek (1453-): 
που ήταν στην έκτη ερώτηση σε ένα από αυτά τα test πριν λίγο καιρό.
Αυτοί από εσάς  που ακολουθείτε αυτό το κανάλι,
ξέρετε πως αντί να πηγαίνουμε κατευθείαν στην λύση,
που σε αυτή την περίπτωση θα είναι εκπληκτικά μικρή,
όποτε δυνατό, θα ήθελα να πάρω τον χρόνο μου να σας ξεναγήσω
πως εσείς θα μπορούσατε να βρείτε την λύση μόνοι σας,
απο που προερχεται.
Δηλαδή, να φτιάξω ένα βίντεο
περισσότερο να απεικονίζει την διαδικασία λύσης του
από το πρόβλημα που χρησιμοποιήθηκε για την απλοποίηση του.
Τέλοσπαντων, να η ερώτηση:
άμα διαλέξεις 4 τυχαία σημεία πάνω σε μια σφαίρα,
και θεωρήσεις ένα τετράεδρο με αυτά τα σημεία σαν τις κορυφές του,
ποια είναι η πιθανότητα πως το κέντρο της σφαίρας είναι μέσα στο τετράεδρο;
Δοκίμασε, πάρε τον χρόνο σου και χώνεψε την ερώτηση.
Ίσως να άρχισες να σκέφτεσαι
πια από αυτά τα τετράεδρα εμπεριέχει το κέντρο της σφαίρας, και πια όχι,
πως μπορείς συστηματικά να αναγνωρίσεις τα δυο.
Και...πως ακόμα αντιμετωπίζεις ένα πρόβλημα σαν αυτό σωστά;
Από που ξεκινάς;
Συνήθως είναι μια καλή ιδέα να το σκεφτείς με απλούστερο τρόπο.
Οπότε ας απλοποιήσουμε τα πράγματα σε δυο διαστάσεις,
όπου θα επιλέξεις τρια τυχαία σημεία σε ένα κύκλο.

Italian: 
che era nella sesta posizione di uno di questi test un po' di tempo fa.
Quelli di voi che seguono il canale,
sanno che piuttosto che saltare direttamente alla soluzione,
che, in questo caso, sarebbe sorprendentemente breve;
quando possibile, mi piace prendere un po' di tempo per spiegare
come potreste inciampare sulla soluzione da soli,
grazie all'intuizione.
Questo è, un video
dedicato più al processo di problem solving
che al modo utilizzato per semplificarlo.
Comunque, ecco la domanda:
se si scelgono quattro punti casuali su una sfera,
e si considera il tetraedro con questi punti come vertici,
qual è la probabilità che il centro della sfera è dentro quel tetraedro?
Ok, prenditi un attimo per digerire questa domanda.
Potresti cominciare a pensare
quali di questi tetraedri contengono il centro della sfera e quali no,
come si potrebbe sistematicamente distinguere i due.
E come si fa anche ad affrontare un problema come questo, giusto?
Da dove si deve iniziare?
Beh, di solito è una buona idea pensare a casi più semplici.
Quindi portiamo il problema in due dimensioni,
dove sceglierai tre punti casuali su un cerchio.

Korean: 
이 문제는 6번째 문제입니다!
이 채널을 구독하신 몇몇 분들은,
그냥 정확히 해결책을 향해 뛰는 게 아니고
이 경우에선 풀이가 굉장히 짧을 것입니다
가능하다면, 여러분이 도전해 보시는것도 좋고
스스로 해결책을 발견할 수 있을지도 몰라요
통찰력이 생긴다면요
이 비디오는
풀이과정에 대한 문제에 더 관련이 있을겁니다
예시를 드는 것 보다도 말이죠
이쨌든, 문제입니다.
구(球) 위에 무작위로 4개의 점을 찍고
이 점들을 이어 사면체를 만들어 볼때
이 사면체가 구의 중심을 포함할 확률은 얼마일까요?
자자, 이 문제의 풀이법을 생각해 보시죠
당신은 아마 이렇게 생각할겁니다
어느 사면체가 포함하는가, 안하는가
이 둘을 체계적으로 구별할지 고민하고는
이런 난관에 봉착하죠, 아닌가요?
어디서부터 시작할까요?
음...먼저 문제를 단순화 시키는것이 좋겠죠
그러니 2차원적으로 만들어봅시다
하나의 원에다가 무작위로 3개의 점을 찍고

English: 
came up as the 6th question on one of these
tests a while back.
And those of you who follow the channel know
that rather than just jumping straight to
the solution, which in this case will be surprisingly
short, when possible I prefer to take the
time to walk through how you might stumble
upon the solution yourself.
That is, make the video more about the problem-solving
process than the particular problem used to
exemplify it.
So here’s the question: If you choose 4
random points on a sphere, and consider the
tetrahedron which has these points as its
vertices, what’s the probability that the
center of the sphere is inside the tetrahedron?
Take a moment to kind of digest the question.
You might start thinking about which of these
tetrahedra contain the sphere’s center,
which ones don’t, and how you might systematically
distinguish the two.
And...how do approach a problem like this,
where do you even start?
Well, it’s often a good idea to think about
simpler cases, so let’s bring things down
into 2 dimensions.

Croatian: 
koji se nalazio kao šesto pitanje jednog ovakvog testa.
Oni od vas koji prate ovaj kanal
znaju da umjesto da vam odmah kažem rješenje,
koje bi, u ovom slučaju, bilo iznenađujuće kratko;
Kada je to moguće, želim uzeti vrijeme i pokazati vam
na koji biste način vi sami mogli doći do rješenja,
otkuda uvid dolazi.
To znači, napraviti video
koji je više o procesu rješavanja problema
nego o problemu uzetom za primjer.
U svakom slučaju, evo pitanja:
ako odaberete 4 nasumične točke na sferi,
i razmotrite tetraedar čiji su vrhovi te točke,
kolika je vjerojatnost da centar te sfere bude
 unutar tetraedra?
Uzmite si trenutak da "probavite" ovo pitanje.
Mogli biste početi razmišljati o tome
koji od ovih tetraedara sadržavaju sferin centar,
 a koji ne
te kako biste mogli sistematski razlikovati to dvoje.
I kako uopće pristupiti ovakvom problemu?
Otkud uopće početi?
Obično je dobra ideja razmisliti o 
jednostavnijim slučajevima.
Stoga, idemo problem suziti na dvije dimenzije
gdje ćete birati tri nasumične točke na kružnici.

Chinese: 
好早以前某届普特南数学竞赛中的第六题
关注这个频道的朋友们都知道
我并不会直接公布答案
而且这道题的答案出人意料地简短
如果可能的话  我愿意花点时间让你明白
你如何能够独立探索出问题的答案
以及重要的想法是怎么来的
也就是说  视频重点关注的是解答问题的过程
而不是用到这个思路的问题本身
总之  问题是这样的：
在球面上随机选择四个点
然后考虑以它们为顶点的四面体
那么球心落在四面体内部的概率是多少？
花点时间  稍微琢磨一下这个问题
你可能会想
哪些四面体包含了球心  哪些四面体没有
如何系统地区分这两种情况
还有 你要怎样处理这种问题呢？
要从何下手呢？
通常来说  从问题的简单情形入手是一个好办法
所以我们把问题简化到二维来
此时 你要在圆上随机选择三个点

French: 
Et c'est toujours plus facile si on nomme les choses, donc on appellera ces bonhommes P1, P2 et P3.
La question est
quelle est la probabilité que le triangle formé par ces points contienne le centre du cercle.
Je pense que vous seriez d'accord que c'est beaucoup plus facile à visualiser maintenant,
mais ça reste une question difficile.
Donc encore une fois, on se demande
s'il y a une façon de simplifier le problème,
de prendre appui sur quelque chose qui nous permette d'avancer dans notre résolution.
Peut-être, si on imagine que P1 et P2 soient fixés,
et qu'on laisse uniquement le troisième point se balader.
Quand on fait ça, et qu'on s'y intéresse d'un peu plus près,
on peut remarquer qu'un y a une portion particulière du cercle, un certain arc
qui, quand P3 est dans cet arc, le triangle contient le centre, et sinon non.
Plus précisément, si on trace les diamètres passant par P1 et P2,
ces deux segments coupent le cercle en quatre différents arcs.
Et si P3 se trouve être dans celui du côté opposé à P1 et P2,
alors le triangle contient le centre.
Pas de chance s'il est dans l'un des autres arcs.

Portuguese: 
E é sempre útil nomear as coisas, então vamos chamar esses caras de P1, P2 e P3.
A questão é
qual é a probabilidade de o triângulo formado por estes pontos conter o centro do círculo?
Eu acho que você vai concordar que é bem mais fácil de visualizar agora,
mas ainda é uma pergunta difícil.
Então, de novo, você pergunta
há uma maneira de simplificar o que está acontecendo,
conceituar algum tipo de apoio, sob qual podemos nos basear?
Bem, talvez você pensou em fixar P1 e P2 no lugar,
e deixar apenas o terceiro ponto variar.
E quando você faz isso, e brincar com isso em sua mente,
você pode notar que há uma região especial, um certo arco,
onde, quando P3 cai nesse arco, o triângulo contém o centro, caso contrário, não.
Especificamente, se você desenhar linhas de P1 e P2 passando pelo centro,
estas linhas dividem o círculo em quatro arcos diferentes.
E se P3 estiver no lado oposto de P1 e P2,
o triângulo tem o centro.
Porém, se ele estiver em qualquer um dos outros arcos, uma pena.

Turkish: 
Ve bu noktalara P1, P2 ve P3 diyelim.
Sorumuz; bu rastgele noktaların birleşimi ile oluşan üçgenin, çember merkezini barındırma ihtimali.
Kabul edersiniz ki, bu şekilde kafada canlandırmak çok daha kolay,
ama soru yine de zor.
Yani yeniden işleri daha basite indirgemenin bir yolu var mı diye sorabilirsiniz.
Ya da hiç değilse nasıl düşünmeye başlamamız gerektiği konusunda bir ipucu.
Belki de P1 ve P2'yi sabitlemek ve sadece...
üçüncü noktayı oynatmayı deneyebiliriz.
Ve kafanızda canlandırdığınızda, istediğimizi sağlayan özel bir bölge olduğunu görebilirsiniz.
P3 bu bölgedeyken, üçgen, çember merkezini barındırıyor.
Hatta, P1 ve P2'den çemberin zıt yönüne çizgiler çizdiğimizde...
bu çizgiler tam bu alandan çemberi dörde bölüyor.
Ve eğer P3,  P1 ve P2 arasında kalan bölgenin zıttındaki alanda olursa...
üçgen, merkezi içine alıyor.
Eğer diğerlerinden birinde ise dışında kalıyor.

English: 
Suppose you choose three random points on
a circle. It’s always helpful to name things,
so let’s call these guys P1, P2, and P3.
What’s the probability that the triangle
formed by these points contains the center
of the circle?
It’s certainly easier to visualize now,
but it’s still a hard question.
So again, you ask yourself if there’s a
way to simplify what’s going on. We still
need a foothold, something to build up from.
Maybe you imagine fixing P1 and P2 in place,
only letting P3 vary.
In doing this, you might notice that there’s
special region, a certain arc, where when
P3 is in that arc, the triangle contains the
circle’s center.
Specifically, if you draw a lines from P1
and P2 through the center, these lines divide
the circle into 4 different arcs. If P3 happens
to be in the one opposite P1 and P2, the triangle
will contain the center. Otherwise, you’re
out of luck.

Spanish: 
Siempre es útil nombrar las cosas, así que los llamaremos P1, P2 y P3.
La cuestión es ahora
¿Cúal es la probabilidad de que el triángulo formado por estos  puntos contenga el centro del círculo?
Creo que estaremos de acuerdo que es más fácil visualizarlo ahora,
pero todavía es una pregunta difícil.
Así que, de nuevo, preguntémonos
si hay una manera de simplificar el problema,
que nos de algún indicio a partir del que podamos empezar a construir la solución.
Bien, imaginemos que se dejan fijos P1 y P2,
y sólo se permite que se mueva el tercer punto.
Cuando hace ésto, y al jugar con el diagrama en la mente,
podríamos notar que hay una region especial, un cierto arco,
donde, cuando P3 está en el arco, el triángulo contiene el centro, en otro caso, no.
Específicamente, si dibujamos líneas desde P1 y P2 a través del centro,
estas líneas dividen al círculo en cuatro arcos distintos.
Y si P3 está en el arco del lado opuesto a P1 y P2,
el triángulo contendrá el centro.
Si está en cualquiera de los otros arcos, no tendremos suerte.

Russian: 
И всегда полезно называть вещи, поэтому давайте назовем этих парней P1, P2 и P3.
Вопрос в том
какова вероятность того, что треугольник, образованный этими точками, содержит центр круга?
Я думаю, вы согласитесь, что теперь проще визуализировать,
но это все еще сложный вопрос.
Итак, вы спрашиваете
есть ли способ упростить то, что происходит,
получить себе какую-то точку опоры
Ну, может быть, вы думаете, что фиксируете P1 и P2 на месте,
и только позволяя этой третьей точке различаться.
И когда вы это делаете, и вы играете с ним в своем уме,
вы можете заметить, что есть специальная область, определенная дуга,
где, когда P3 находится в этой дуге, треугольник содержит центр, иначе нет.
В частности, если вы рисуете линии из P1 и P2 через центр,
эти линии делят круг на четыре разные дуги.
И если P3 находится в той, что находится на противоположной стороне от P1 и P2,
треугольник имеет центр.
Если это в любой другой дуге, не повезло.

Chinese: 
為了方便，我們叫這三個點 P1，P2 和 P3
我們考慮的問題變成：
「圓心位在以此隨機三點為頂點的三角形
內的機率為多少？」
你應該會覺得這道題目變得比較容易想像
但是還是一道困難的題目
所以你可以繼續追問
有沒有方法可以把這個問題繼續簡化
好找一個容易構思的立足點？
現在我們先固定 P1，P2
只讓第三個點可以任意移動
你這麼做的時候，在腦子裡筆劃筆劃
你會注意到有一個特別的區間：一段弧長
當 P3 落在這段弧長中，三角形會包含到圓心，反之則否
更精確的來說，當你從 P1 和 P2 各畫一條通過圓心的線
這兩條線會把圓周分成四段弧長
而當 P3 落在 P1、P2 對面的弧長上的時候
三角形就會包含到圓心
如果在其他三段弧長上的話，那就不會包含到圓心

Portuguese: 
e é sempre bom nomear as coisas, então chamaremos de
P1, P2 e P3. A pergunta agora é:
Qual é a probabilidade de que o triângulo formado por esses
pontos contenham o centro do círculo?
Eu acho que você concorda que é bem mais fácil de visualizar agora,
mas ainda é uma questão difícil. Então você se pergunta de novo:
Existe alguma maneira de simplificar o que está acontecendo?
Encontrar alguma base a partir da qual nos desenvolveremos?
Bom, você talvez imagine fixar os pontos P1 e P2 e
somente deixar aquele terceiro ponto variar.
E quando você faz isso, você começa a pensar
e percebe que existe uma certa região, um certo arco
tal que quando P3 está nesse arco, o triângulo contêm
o centro, caso contrário não.
Especificamente se você desenhar linhas a partir de P1 e P2
que atravessam o centro, essas linhas dividem o círculo
em 4 arcos diferentes e se P3
estiver no lado exatamente oposto,
como P1 e P2, o triângulo contêm o centro.
Se estiver em qualquer um dos outros arcos, então não.

Modern Greek (1453-): 
Και είναι πολύ βοηθητικό να ονομάζεις τα πράγματα, οπότε ας ονομάσουμε τα σημεία αυτά P1, P2 και P3.
Η ερώτηση είναι
ποια είναι η πιθανότητα πως το τρίγωνο αυτών των τριων σημείων εμπεριέχει το κέντρο του κύκλου;
Νομίζω πως όλοι συμφωνείται ότι είναι ευκολότερο να το φανταστούμε τώρα.
Μα παραμένει μια δύσκολη ερώτηση.
Οπότε ρωτάς και πάλι
υπάρχει κάποιος τρόπος περεταίρω απλοποίησης;
ας δώσουμε στους εαυτούς μας κάποιου είδους πάτημα που μπορούμε από εκεί να προχωρήσουμε.
Ίσως να σκεφτικές να σταθεροποιήσης τα P1 και P2,
και να αφήσεις το τρίτο σημείο να μεταβάλλεται
Όταν το κάνεις αυτό, και παίξεις με λίγο με το μυαλό σου,
ίσως να παρατηρήσεις ότι υπάρχει μια ιδιαίτερη περιοχή, ένα συγκεκριμένο τόξο,
όταν το P3 είναι σε αυτό το τόξο, το τρίγωνο εμπεριέχει το κέντρο, αλλιώς όχι.
Συγκεκριμένα, αν ζωγραφίσεις γραμμές από το P1 και P2 διερχομενες απο το κέντρο,
αυτές οι γραμμές θα χωρίσουν τον κύκλο σε 4 διαφορετικά τόξα.
Και αν το P3 τυχαίνει να είναι στην απέναντι πλευρά όπως το P1 και το P2,
το τρίγωνο έχει το κέντρο.
Αν είναι όμως σε οποιοδήποτε άλλο τόξο, τζίφος.

Vietnamese: 
Và gọi tên lúc nào cũng có ích cho nên hãy gọi ba điểm này là P1, P2 và P3.
Câu hỏi đặt ra:
Xác suất tam giác nhận ba điểm này làm đỉnh chứa tâm đường tròn là bao nhiêu?
Tôi nghĩ là bạn sẽ đồng ý là như vầy thì dễ hình dung hơn
nhưng câu hỏi thì vẫn khó.
Và một lần nữa, bạn hỏi
có cách nào để đơn giản hóa câu hỏi,
và đưa tới một nền tảng nào đó để đi lên từ đó.
À, có thể bạn mường tượng kiểu cho điểm P1 và P2 đứng yên một chỗ,
và để điểm thứ 3 (P3) đi đâu đó.
Và khi bạn làm vậy trong trí tưởng tượng của bạn
bạn có thể nhận thấy rằng có một vùng đặc biệt, một vòng cung,
nơi mà khi P3 ở trong vòng cung, cái tam giác sẽ chứa tâm điểm, còn khi không ở trong thì không chứa.
Cụ thể, bạn vẽ các đường thẳng từ P1 và P2 qua tâm điểm hình tròn.
mấy đường này chia vòng tròn thành bốn vòng cung.
Và nếu P3 xuất hiện ở trong vòng cung đối diện với P1 và P2,
tam giác sẽ chứa tâm điểm của vòng tròn.
Mấy vòng cung còn lại thì không được như vậy.

Polish: 
Nazywanie rzeczy zawsze pomaga , więc nazwijmy te punkty P1, P2 i P3.
Pytanie brzmi
jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt utworzony przez te punkty zawiera środek koła?
Łatwiej jest sobie teraz wyobrazić problem. Prawda?
ale wciąż jest to trudne pytanie.
Więc znowu, pytasz
czy istnieje sposób na uproszczenie tego, co się dzieje,
znalezienie jakiegoś punktu odniesienia z którego można budować rozwiązanie
Spróbuj sobie wyobrazić że  unieruchamiasz punkty P1 i P2.
i pozwalasz na ruch po okręgu tylko punktowi P3
A kiedy to robisz, i bawisz się nim w swoim umyśle,
możesz zauważyć, że istnieje specjalny region, pewien łuk,
gdzie, gdy P3 jest w tym łuku, trójkąt zawiera środek, w przeciwnym razie nie.
W szczególności, jeśli narysujesz linie od P1 i P2 przez środek,
te linie dzielą okrąg na cztery różne łuki.
A jeśli P3 znajduje się przeciwnej stronie niż P1 i P2,
trójkąt ma środek.
Jeśli jest w którymkolwiek z innych łuków, trójkąt nie zawiera środka okręgu.

Korean: 
이 점들에게 이름을 붙여줍시다
P1,P2,P3
문제가
이 원 위의 점들이 만드는 삼각형이 원의 중심을 지날 확률은 얼마일까요?
일단 아시다시피 
이렇게 시각화 하는것이 더 쉬울거라 생각해요
하지만 여전히 어렵군요...
다시, 묻습니다
더 단순화시킬 방법이 있는가 말이죠
우리가 쌓아올릴 수 있는 발판을 마련해야죠
음, 아마 당신은 점P1과 점P2를 고정시켜서
점P3만 움직일 수 있도록 생각하실겁니다
그리고 이걸 상상했을때, 그리고 머릿속에 그려보았을때
당신은 특별한 '호'가 있다는 걸 알 수 있을 겁니다
점 P3가 특정 호 위에 있을때, 삼각형은 중심을 포함하고, 없다면 포함하지 않습니다.
특히, P1과 P2에서 중심선을 그리는 경우,
이 선들은 원을 서로 다른 네개의 호 로 나누지요
그리고 점P3가 점P1, P2와 반대편에 있는 
호 위에 있을 경우,
삼각형은 중심을 포함합니다
다른 호를 지날 때에는, 절대 그렇지 않군요

Croatian: 
Uvijek je korisno imenovati stvari, pa hajdemo ih nazvati P1, P2 i P3.
Pitanje je
kolika je vjerojatnost da će trokut definiran ovim točkama sadržavati centar kružnice.
Mislim da ćete se složiti da se problem puno lakše vizualizira sada,
no, ovo je još uvijek teško pitanje.
Pa biste se opet mogli zapitati:
postoji li način da pojednostavimo što se događa,
da si izgradimo nekakav oslonac od kojeg možemo 
dalje raditi.
Možda zamislite fiksiranje P1 i P2
i dopuštanje samo trećoj točki da se giba.
Kada ovo napravite i igrate se time u svojem umu
možete primjetiti da postoji posebno područje, određeni luk.
Ako taj luk sadrži P3, trokut sadrži centar, inače ne.
Posebno, ako povučete linije od P1 i od P2 kroz centar,
ove linije dijele kružnicu u 4 različita luka.
Ako se dogodi da je P3 u luku nasuprot P1 i P2,
trokut sadrži centar.
Ali ako je u bilo kojem drugom luku, nemate sreće.

Italian: 
Ed è sempre utile denominarli, quindi chiamiamo questi ragazzi P1, P2 e P3.
La domanda è
qual è la probabilità che il triangolo formato da questi punti contenga il centro del cerchio?
Credo sarete d'accordo che ora è più semplice da visualizzare,
ma rimane ancora una domanda difficile.
Così ancora una volta, ci si chiede
se c'è un modo per semplificare ancora di più quello che sta succedendo,
per ottenere una sorta di punto d'appoggio da cui poter partire
Beh, forse potresti immaginare di fissare P1 e P2,
e lasciare solo che il terzo si muova.
E quando fai ciò, e provi a muoverlo,
potresti notare che c'è una regione speciale, un certo arco,
dove quando P3 è in quell'arco, il triangolo contiene il centro, altrimenti no.
In particolare, se si disegnano delle linee da P1 e P2 che attraverso il centro,
queste linee dividono il cerchio in quattro diversi archi.
E se P3 si trova nell'arco sul lato opposto a quello dove stanno P1 e P2,
il triangolo contiene il centro.
Se è invece in uno degli altri archi, no.

Chinese: 
用符号标记更加方便
所以用P_1 P_2 P_3表示这三个点
问题就是
这三个点形成的三角形包含圆心的概率是多少？
我觉得你也会认为这样更容易想象了
但是问题依然很困难
所以你想知道
能不能简化一下问题
找到一个立足点  方便继续思考
或许你会想  先固定P_1和P_2的位置
只允许第三个点移动
你这么做的时候  在脑子里比划比划
你可能会注意到一个特殊区域 一段弧
P_3落在这条弧上时  三角形就包含圆心  否则就不包含
具体来说  如果分别过P_1和P_2以及圆心做直线
这两条直线会把圆分成四段弧
如果P_3恰好落在P_1和P_2对面的弧上
那么三角形就包含圆心
如果P_3落在其他弧上  那就不行

German: 
Und es ist immer hilfreich, Dinge zu benennen, also nennen wir die Punkte mal P1, P2 und P3.
Die Frage ist:
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Dreieck, das durch diese Punkte geformt wird, den Mittelpunkt des Kreises enthält?
Ich glaube, ihr werdet mir zustimmen, dass es jetzt viel einfacher ist, sich das bildlich vorzustellen,
aber es ist immer noch eine schwierige Frage.
Du fragst also noch einmal:
Gibt es eine Möglichkeit zu vereinfachen, was dort passiert,
um einen Halt zu finden, von dem aus wir uns hochhangeln können?
Nun, vielleicht stellen Sie sich vor, dass P1 und P2 fest gewählt sind
und nur der dritte Punkt sich ändern kann.
Wenn Sie das tun, und damit im Kopf herumspielen,
merken Sie vielleicht, dass es eine bestimmte Region gibt, einen Sektor des Kreises,
bei dem, wenn P3 sich in diesem Bogen befindet, das Dreieck den Mittelpunkt enthält, und sonst nicht.
Insbesondere, wenn Sie Linien von P1 und P2 aus durch den Mittelpunkt ziehen,
teilen diese Linien den Kreis in vier verschiedene Bögen auf.
Und wenn P3 zufälligerweise in dem Bogen auf der P1 und P2 gegenüberliegenden Seite liegt,
beinhaltet das Dreieck den Mittelpunkt.
Wenn er in einem anderen Sektor ist, haben wir kein Glück.

Ukrainian: 
Також завжди допоміжним буде називати речі, тож назвімо цих хлопців P1, P2 і P3.
Питання в тому
Яка імовірність того, що трикутник, утворений цими точками, містить центр кола?
Думаю ви погодитесь що тепер значно легше все візуалізувати,
проте це досі важке питання.
тож знову, ви спитаєте
чи є шлях спростити те, що відбувається,
знайти для себе якусь точку опори, з якої можна почати будувати рішення.
Що ж, можливо, варто уявити P1 і P2 зафіксованими,
і дозволити тільки одній точці варіюватись.
І коли ви це зробите, і граєтесь з цим у голові,
то можете помітити що тут є особлива ділянка, певна дуга,
перебування на якій P3 утворює трикутник із центром кола всередині, у інших випадках - ні.
Конкретно, якщо намалюєте лінії від P1 та P2 крізь центр,
ці лінії розділять коло на чотири різні дуги.
І якщо Р3 буде знаходитись на одному з протилежних до Р1 та Р2 сторін,
трикутник має центр.
Якщо ж це будь яка інша дуга, без шансів.

German: 
Wir gehen hier davon aus, dass alle Punkte des Kreises gleich wahrscheinlich sind.
Also, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass P3 in diesem Bogen landet?
Es ist die Länge des Bogens geteilt durch den vollen Umfang des Kreises,
der Anteil des Kreises, der diesen Sektor bildet.
Also, was ist dieser Anteil?
Offensichtlich  hängt das davon ab, wo man die ersten beiden Punkte plaziert.
Ich meine, wenn sie um 90 ° voneinander entfernt sind,
dann ist der entsprechende Bogen 1/4 des Kreises.
Aber wenn diese beiden Punkte weiter auseinander wären,
würde dieser Anteil etwas näher an 1/2 sein.
Und wenn sie wirklich dicht beieinander wären,
würde dieser Anteil eher die 0 anstreben.
Also denken Si für einen Moment darüber nach.
P1 und P2 sind zufällig gewählt, wobei jeder Punkt auf dem Kreis gleichermaßen wahrscheinlich ist.
Also, was ist die durchschnittliche Größe des entsprechenden Bogens?
Vielleicht stellen sie sich vor, dass P1 an seinem Platz fixiert wird, und dass sie nur auf die Stellen achten, an denen P2 sein kann.
Für alle möglichen Winkel zwischen diesen beiden Linien ist jeder Winkel von 0 ° bis 180 ° gleich wahrscheinlich.

Ukrainian: 
Ми передбачаємо, що всі точки на колі рівно імовірні.
Тож який шанс того, що Р3 ляже на цій дузі?
Це довжина цієї арки, поділена на довжину цілого кола,
частка кола, що створює цю дугу.
Так яка пропорція?
Очевидно це залежить від того, де ви розташуєте перші дві точки.
Я маю на увазі, якщо вони відокремелені один від одного на 90°,
тоді відповідна дуга буде 1/4 кола.
Проте якщо ці дві точки були б відокремлені далі,
то пропорція складала приблизно 1/2.
І якщо вони були б дуже близько один до одного,
то пропорція наближалась до 0.
Тож подумайте про це на хвильку.
Р1 і Р2 обрані випадково, при чому усі точки кола рівні між собою.
Тоді який середній розмір відповідної дуги?
Можливо уявите Р1 як зафіксовану точку, і розглянете всі можливі положення для Р2.
Всі можливі кути між цими двома лініями, від 0° до 180°, однаково можливі.

Portuguese: 
Estamos assumindo aqui que todos os pontos do círculo são igualmente prováveis.
Então, qual é a probabilidade de P3 cair naquele arco?
É o comprimento desse arco dividido pela circunferência do círculo,
a proporção no círculo que este arco compõe.
E qual é essa proporção?
Obviamente, isso depende de onde você coloca os dois primeiros pontos.
Ou seja, se eles estiverem a 90° um do outro,
então, o arco relevante seria 1/4 do círculo.
Mas se esses dois pontos estiverem mais distantes,
essa proporção seria algo mais próximo de 1/2.
E se eles estiverem bem juntos,
essa proporção se aproximaria de 0.
Pense sobre isso um pouco.
P1 e P2 são escolhidos aleatoriamente, tendo todos os pontos no círculo a mesma probabilidade.
Então, qual é o tamanho médio deste arco relevante?
Talvez você pensou em fixar P1 no lugar, e apenas considerando todos os lugares que P2 poderia cair.
Todas os possíveis ângulos entre estas duas linhas, cada ângulo de 0° até 180° é igualmente provável.

English: 
We’re assuming all points of the circle
are equally likely, so what’s the probability
that P3 lands in that arc?
It’s the length of that arc divided by the
full circumference of the circle; the proportion
of the circle that this arc makes up.
So what is that proportion? This depends on
the first two points.
If they are 90 degrees apart from each other,
for example, the relevant arc is ¼ of the
circle. But if those two points are farther
apart, the proportion might be closer to ½.
If they are really close, that proportion
might be closer to 0.
Alright, think about this for a moment. If
P1 and P2 are chosen randomly, with every
point on the circle being equally likely,
what’s the average size of the relevant
arc?
Maybe you imagine fixing P1 in place, and
considering all the places that P2 might be.
All of the possible angles between these two

Polish: 
Zakładamy, że położenie P3 na wszystkich punktach koła jest jednakowo prawdopodobne .
Jakie jest więc prawdopodobieństwo, że P3 znajdzie się w tym łuku?
Jest to długość tego łuku podzielona przez pełny obwód okręgu,
proporcja okręgu, stworzona przez ten łuk.
Więc jaka jest ta proporcja?
Oczywiście zależy to od tego, gdzie umieścisz pierwsze dwa punkty.
To znaczy, jeśli są od siebie 90 °,
to odpowiadający im łuk stanowi 1/4 okręgu.
Ale jeśli te dwa punkty były dalej oddalone,
ta proporcja byłaby bliższa 1/2.
A jeśli byli naprawdę blisko siebie,
ta proporcja zbliża się do 0.
Pomyśl o tym przez chwilę.
P1 i P2 są wybierane losowo, z równym prawdopodobieństwem pojawienia się w dowolnym punkcie na kole.
Jaka jest średnia wielkość tego odpowiedniego łuku?
Być może wyobrażasz sobie, że unieruchamiasz P1 w dowolnym miejscu i rozważasz wszystkie miejsca, w których może być P2.
Możliwe są wszystkie kąty między tymi dwoma liniami, z przedziału 0 ° do 180 °, a każdy z nich jest jednakowo prawdopodobny.

Portuguese: 
Assumiremos que todos os pontos do círculo tem a mesma probabilidade.
Então qual seria a probabilidade de que P3
esteja naquele arco?
É o comprimento daquele arco dividido pela
circunferência inteira daquele círculo. É a proporção daquele círculo
em relação ao arco.
Então qual seria essa proporção? Óbviamente depende
onde você coloca aqueles dois primeiros pontos. Se eles estiverem
90° distantes um do outro, então o arco relevante teria
um quarto do círculo.
Mas se esses dois pontos estivessem mais distantes um do outro,
essa proporção seria mais próximo de meio. E se
eles tivessem bem próximos, a proporção é próximo do zero.
Então pense por um momento.
P1 e P2 são escolhidos aleatoriamente, com todos os
pontos do círculo tendo a mesma probabilidade. Então
qual seria o tamanho médio desse arco?
Talvez você imagine fixar P1 e só
considerar todos os lugares em que P2 pode estar.
Todos os possíveis ângulos entre essas duas linhas,
todos os ângulos entre 0° e 180°

French: 
On suppose ici que chaque point du cercle a une chance égale d'être choisi.
Alors quelle est la probabilité que P3 soit dans cet arc précis ?
C'est la longueur de l'arc divisé par la circonférence du cercle,
la proportion du cercle que vaut l'arc.
Mais quelle est-elle ?
Bien sûr cela dépend de la position des deux autres points.
Par exemple, si les diamètres font un angle de 90° entre eux,
alors l'arc est un quart du cercle.
Mais si ces points étaient plus éloignés,
la proportion de l'arc serait plus proche de 1/2.
Et si ils étaient très proches,
alors la proportion de l'arc tend vers 0.
Alors pensez à ça une seconde.
P1 et P2 sont choisis au hasard, et tous les points du cercle ont autant de chance d'être choisis.
Alors quelle est la taille moyenne de l'arc dont on parle depuis tout à l'heure ?
Peut-être imaginez que P1 est fixe et considérez toutes les positions possibles de P2.
Tous les angles entre les deux diamètres, tous les angles de 0° à 180° sont également probables.

Chinese: 
我们假定取到圆上任一点的概率相同
那么P_3落在这条弧上的概率是多少？
答案就是这段弧的长度除以圆的周长
也就是这段弧占整个圆的比例
那这个比例是多少呢？
很明显  这和前两个点的位置有关
如果它们之间相差90°
那么对应的弧就是1/4个圆
如果这两个点离得很远
比例就会更接近1/2
如果这两个点靠得很近
比例就更接近0
花点时间思考一下
P_1和P_2都是随机选出的
而任一点被取到的概率相同
那这段弧的平均长度是多少呢？
你或许会固定P_1
只考虑P_2所有可能的位置
这两条直线形成的所有可能的夹角
也就是从0°到180°之间的所有角度
出现的概率都一样

Vietnamese: 
Ở đây ta cho rằng tất cả các điểm có thể ở mọi nơi trên vòng tròn.
Vậy xác suất của P3 nằm ở vòng cung đó là gì?
Đó là chiều dài vòng cung chia cho tổng chu vi của vòng tròn.
Đó là phần mà vòng cung chiếm trong toàn vòng tròn.
Vậy phần/tỷ lệ đó là gì?
Rõ ràng là nó phụ thuộc vô nơi bạn đặt 2 điểm (P1 và P2) đầu tiên.
Ý tôi là nếu chúng cách nhau 90°,
vòng cung liên quan là 1/4 vòng tròn.
Nhưng nếu 2 điểm này cách nhau xa hơn,
phần tỷ lệ đó sẽ gần như là 1/2.
Và nếu chúng thật sự gần nhau,
tỷ lệ đó sẽ tiến gần tới 0.
Rồi giờ bạn ngồi suy nghĩ một lúc.
P1 và P2 được đặt một cách ngẫu nhiên ở bất kỳ đâu trên vòng tròn.
Vậy thì kích cỡ trung bình của cái vòng cung được tạo ra là bao nhiêu?
Có lẽ bạn sẽ nghĩ rằng đặt P1 ở một điểm, và cho P2 ở một trong mấy điểm khác.
Hết thảy mấy góc khả thi giữa các cặp đường thẳng, mỗi góc từ 0° đến 180° sẽ khả thi như nhau.

Chinese: 
我們預設圓周上的每一個點都有相同的機率被選到
那 P3 落在那一段弧長的機率是多少？
機率會是弧長除以圓周長
弧長佔圓周長的比例
那這比例又會是多少？
這當然得看原始的兩個點位置在哪裡
假如他們中間角差距是 90°
那我們在意的那一段弧長就會是圓周長的 1/4
但是如果那兩點距離比較遠
這個比例會比較接近 1/2
而如果這兩點非常靠近
這個比例會接近 0
花一點時間思考一下
既然 P1 和 P2 都是隨機的被挑選，而圓上的每一個點被選到的機率都一樣
那我們在意的那一段弧長的平均長度會是多少？
先想像你把 P1 固定，只考慮 P2 可能落在的位置
這兩點之間角差距從 0° 到 180° 都有相同的機率出現

Korean: 
일단 원의 모든 점들이 동등한 확률을 갖는다고 
가정합시다
그럼, 점P3 가 저 특정한 호에 위치할 확률은 얼마일까요?
그건 원주에서 호를 나눈다면
확률이 그 값이 됩니다
그럼 그 확률은 무엇인가?
분명히 그것은 당신이 
처음 두 점을 어디에 두느냐에  따라 달려 있습니다
제 말은, 만약 선분의 교각이 90도라면
'특별한 호'는 원주의 1/4를 차지합니다
하지만 저 두 점들이 더 멀리 떨어져 있다면,
그 확률은 1/2에 가까워질겁니다
혹은 그것들이 가까워진다면,
확률은 0에 수렴할것입니다
잠시 생각해보세요
점 P1과 P2는 동일한 원위에서 임의로 선택됩니다
그렇다면, '특별한 호'의 평균적인 크기는 얼마일까요?
아마 당신은 점P1을 고정시킨 후, 
점P2 의 위치를 고려할것입니다
두 선분이 가질 수 있는 
각의 크기는 0도에서 180도 입니다

Modern Greek (1453-): 
Υποθέτουμε πως όλα τα σημεία του κύκλου είναι ίσα πιθανοτήτων.
Άρα πια είναι η πιθανότητα του P3 να προσγειωθεί σε αυτό το τόξο;
Είναι το μήκος αυτού του τόξου διαιρεμένο από την περίμετρο του κύκλου,
την αναλογία του κύκλου που αυτό το τόξο πιάνει.
Οπότε πιο το ποσοστό;
Φυσικά αυτό εξαρτάται από το που θα βάλεις τα δυο πρώτα σημεία.
Εννοώ, αν ήταν 90° μακριά ο ένας από τον άλλον,
τότε η αναλογία του τόξου ως προς τον κύκλο είναι το εν τέταρτο.
Άλλα αν αυτά τα δυο σημεία ήταν μακρύτερα,
αυτή η αναλογία θα ήταν κάτι πιο κοντά στο μισό.
Και αν θα πολύ πιο κοντά,
αυτή η αναλογία έρχεται πιο κοντά στο 0.
Οπότε..σκέψου το για λίγο.
Το P1 και το P2 έχουν επιλεχθεί τυχαία με κάθε σημείο του κύκλου να είναι ίσο πιθανοτήτων.
Άρα πιο είναι το μέσο μέγεθος αυτού του τόξου;
Ίσως να φαντάστικες να σταθεροποιήσεις το P1 και να θεωρήσεις τα σημεία που το P2 μπορεί να πάει.
Όλες οι δυνατές γωνίες ανάμεσα σε αυτές τις δυο γραμμές, κάθε γωνία από 0° μέχρι 180° είναι πιθανές

Turkish: 
Çember üzerindeki tüm noktaların eşit olasılığı olduğunu düşünürsek...
P3'ün istediğimiz alana düşme ihtimali nedir?
Bunu bulmak için, mavi arkın uzunluğunu bütün çemberin çevre uzunluğuna bölmeliyiz.
Peki bu arkın uzunluğu ne olmalı?
Elbette, bu ilk iki noktayı nereye koyduğunuza göre değişir.
Eğer birbirlerinden 90° uzaksalar,
bu uzunluk, çember çevresinin çeyreği olur.
Eğer daha uzaksalar,
bu oran bir yarıma yaklaşır.
Eğer daha yakınsalar,
bu oran sıfıra yaklaşır.
Bir düşünün.
P1 ve P2 rastgele seçilen iki nokta. Çember üzerindeki her yer eşit olasılıklı.
Peki arkın uzunluk ortalaması nedir?
Belki de P1'i sabitleyip P2'yi oynatmayı düşünebilirsiniz.
Ki bu da bize 0° ile 180° arasında değişen bir değer verir.

Russian: 
Мы предполагаем, что все точки круга одинаково вероятны.
Итак, какова вероятность того, что P3 приземляется в этой дуге?
Это длина этой дуги, деленная на всю окружность круга,
доля круга, который составляет эту дугу.
Итак, какова эта пропорция?
Очевидно, это зависит от того, где вы ставите первые две точки.
Я имею в виду, если они находятся на 90 ° друг от друга,
то соответствующая дуга равна 1/4 круга.
Но если эти две точки были дальше друг от друга,
эта пропорция была бы чем-то ближе к 1/2.
И если они были действительно близки,
эта пропорция приближается к 0.
Поэтому подумайте об этом на мгновение.
P1 и P2 выбираются случайным образом, причем каждая точка на круге одинаково вероятна.
Итак, каков средний размер этой соответствующей дуги?
Возможно, вы предполагаете, что фиксируете P1 на месте и просто рассматриваете все места, которые могут быть P2.
Все возможные углы между этими двумя линиями, каждый угол от 0 ° до 180 ° одинаково вероятен.

Italian: 
Stiamo assumendo qua che tutti i punti del cerchio siano ugualmente probabili.
Allora, qual è la probabilità che P3 sia in quell'arco?
È la lunghezza dell'arco diviso tutta la circonferenza del cerchio,
ossia la proporzione di questo arco sul cerchio.
Ma che cosa è questa proporzione?
Ovviamente questo dipende da dove si mettono i primi due punti.
Voglio dire, se sono a 90° l'uno dall'altro,
allora l'arco considerato è 1/4 del cerchio.
Ma se questi due punti fossero più lontani,
tale proporzione sarebbe qualcosa di più vicino a 1/2.
E se fossero invece veramente vicini,
tale percentuale si avvicinerebbe a 0.
Quindi pensa a questo per un momento.
P1 e P2 sono scelti casualmente tra tutti i punti del cerchio con un'uguale probabilitá
Allora, qual è la dimensione media dell'arco da considerare?
Forse potresti pensare di fissare P1 e di considerare tutti i luoghi in cui P2 potrebbe essere
Tutti i possibili angoli tra queste due linee, ogni angolo da 0 ° a 180 ° ha la stessa probabilità.

Croatian: 
Ovdje pretpostavljamo da su sve točke kružnice jednako vjerojatne.
Koja je onda vjerojatnost da se P3 nalazi u tom luku?
To je duljina tog luka podjeljena opsegom kružnice,
proporcija kružnice koju čini ovaj luk.
Kolika je onda ta proporcija?
Naravno ona ovisi o tome gdje staviti prve dvije točke.
Ako su 90 stupnjeva udaljene jedna do druge,
onda je relevantni luk 1/4 kružnice.
Ali ako su te dvije točke više udaljene,
Ta proporcija je bliža 1/2.
A ako su jako blizu jedna drugoj,
ta proporcija  je bliža nuli.
Razmislite na trenutak.
P1 i P2 su odabrane nasumično, svaka točka je jednako vjerojatna.
Što je prosječna veličina relevantnog luka?
Možda zamislite fiksiranje P1 i 
uzimanje u obzir gdje bi P2 mogla biti.
Svi mogući kutevi između ove dvije linije, svi kutevi 
od 0° do 180° su jednako vjerojatni.

Spanish: 
Asumimos aquí que es igualmente probable elegir cualquier punto del círculo.
Así que, ¿cuál es la probabilidad de que P3 esté en ese arco?
Es la longitud de ese arco, dividida por la circunferencia total del círculo
es decir, la proporición del círculo que comprende dicho arco.
¿Y cuél es esa proporción?
Obviamente, depende de donde pongamos los primeros dos puntos.
Es decir, si están separados 90º,
entonces el arco relevante es 1/4 del círculo.
Pero si esos puntos están más alejados,
dicha proporción sería algo más cercano a 1/2.
Y si estuvieran realmente cerca,
la proporción sería cercana a 0.
Pensemos acerca de ésto un momento.
P1 y P2 fueron elejidos al azar, con la misma probabilidid de elegir cualquier punto del círculo.
Así pues, ¿Cuál es el tamaño medio de este arco relevante?
Podriamos imaginar que dejamos fijo P1, y entonces considerar todas las posiciones en las que podría estar P2.
Todos los ángulso entre estas dos líneas, todos los ángulos entre 0º y 180º, son igualmente probables.

Chinese: 
所以弧長對圓周長的比例從 0 到 0.5 都有相同的機率
也就是說該比例的平均值是 0.25
那既然我們在意的弧長平均是 1/4 圓周長
那第三點落在那一段弧長的機率就會是 1/4
也就是說，有 1/4 的機率我們的三角形會包含到圓心
不過，我們要怎麼把這個解擴充到三維空的問題？
如果我們先把四點中的三點固定
那第四點需要落在球面上的哪裡
四面體才會包含到球心？
和先前二維的問題一樣
我們畫通過前三點和球心的線
我們也可以考慮由任意兩線段所定義的平面
你可能會注意到
這些平面會把我們的球面分成 8 個區間

Portuguese: 
tem a mesma probabilidade. Então toda proporção entre
0 e 0,5 tem a mesma probabilidade. E isso significa
que a proporção média é de 0,25.
Então se o tamanho médio desse arco
é um quarto do círculo,
a probabilidade média que o terceiro ponto esteja nesse arco
é um quarto. E isso significa que a probabilidade resultante
de que o nosso triângulo contenha o centro é
um quarto.
Mas podemos analisar o caso 3D?
Se você imaginar três daqueles quatro pontos sendo fixados,
quais pontos da esfera o quarto
poderia estar tal que o tetraedro formado por eles
contenha o centro da esfera?
Que nem antes, vamos desenhar algumas linhas que
passam pelos pontos fixos e o centro da esfera.
E aqui também é bom desenharmos alguns planos que são determinados
por quaisquer par dessas linhas (retas).
O que esses planos fazem, você talvez já tenha percebido, é dividir a esfera
em 8 seções diferentes, cada uma na qual é um tipo

Portuguese: 
Assim, cada proporção entre 0 e 0,5 é igualmente provável.
E isso significa que a porcentagem média é de 0,25.
Então, se o tamanho médio deste arco é 1/4 do círculo completo,
a probabilidade média de que o terceiro ponto caia nele é de 1/4.
Então, a probabilidade geral de que nosso triângulo contenha o centro é de 1/4.
Mas podemos estender isso para o caso tridimensional?
Se imaginarmos três desses quatros pontos fixados no lugar,
quais os pontos da esfera o quarto pode cair
de modo que o tetraedro que eles formam contenha o centro da esfera?
Assim como antes, vamos tirar algumas linhas de cada um desses 3 pontos fixos passando pelo centro da esfera.
E aqui, também é útil traçar alguns planos que são determinados por qualquer par destas linhas.
Agora, o que esses planos fazem, você pode notar, é dividir a esfera em oito seções diferentes,

German: 
Also ist jedes Verhältnis zwischen 0 und 0,5 gleich wahrscheinlich.
Und das bedeutet, dass das durchschnittliche Verhältnis 0,25 ist.
Also, wenn die durchschnittliche Größe dieses Bogens 1/4 des ganzen Kreises ist,
dann ist die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Punkt darin landed 1/4.
Und das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass unser Dreieck den Mittelpunkt enthält 1/4 ist.
Aber können wir dies auf den dreidimensionalen Fall übertragen?
Wenn Sie sich vorstellen, dass drei von diese vier Punkten, an Ort und Stelle befestigt sind,
Auf welcher Position kann der vierte Punkt liegen,
sodass der Tetraeder, den sie bilden, die Mitte der Kugel enthält?
Genau wie zuvor, zeichnen wir ein paar Linien von jedem der 3 fixierten Punkte, durch das Zentrum der Kugel.
Und hier ist es auch hilfreich, wenn wir einige Ebenen zeichnen, die von jedem Paar dieser Linien bestimmt werden.
Nun, was diese Ebenen tun, wie sie vielleicht bemerken, ist die Kugel in acht verschiedene Sektoren einzuteilen,

Croatian: 
Svaka proporcija između 0 i 0.5 je jednako vjerojatna.
I to znači da je prosječna proporcija 0.25.
Ako je prosječna veličina ovog luka 1/4 punog kruga,
Prosječna vjerojatnost da će treća točka 
biti u njemu je 1/4.
A to znači da je cjelokupna vjerojatnost da naš trokut sadrži centar jednaka 1/4.
Ali što ako ovaj problem proširimo u tri dimenzije?
Ako zamislite da su 3 od tih 4 točaka fiksirane,
u kojim točkama sfere može biti četvrta
tako da tetraedar koje one formiraju sadrži centar sfere?
Kao i prije, idemo povući linije od svake od tih tri 
točaka kroz centar sfere.
Ovdje je također korisno ako nacrtamo ravnine koje su određene bilo kojim parom ovih linija.
Što sada ove ravnine rade, možete primjetiti, jest da podjele sferu u 8 različitih dijelova,

Korean: 
그러니 모든 확률은 0에서 0.5가 되지요
그리고 이는 평균 확률이 0.25임을 나타냅니다
그래서, '특별한 호'의 평균 크기는 원주의 1/4가 되고,
그 호에 점이 위치할 확률 역시 1/4가 됩니다
그리고 이는 삼각형이 원의 중심을 포함할 
전체적인 확률이 1/4임을 뜻합니다
허나...이것을 3차원적으로 확장시킬 수 있을까요?
만약 사면체의 점 3개를 고정시키고
 나머지 4번째 점을 생각해본다면,
구 위에 4번째 점은 어디에 위치할수 있을까요?
그러니까, 사면체는 구의 중심을 포함하나요?
아까처럼, 3개의 고정된 점과 
구의 중심을 잇는 선분을 그립시다
그리고 여기서, 우리가 이 선분들 중 어느 한 쌍에 의해 결정되는 몇개의 평면을 그리는 것도 도움이 됩니다.
이 평면들은 구를 서로 다른 8조각으로 나누고,

French: 
Alors chaque proportion d'arc entre 0 et 0.5 est également probable.
Ce qui signifie que la proportion d'arc moyenne est de 0.25.
Donc si la longueur moyenne de l'arc est 1/4 de celle du cercle complet,
la probabilité que P3 tombe dedans est de 1/4.
Ce qui veut dire que finalement, la probabilité que notre triangle contienne le centre est 1/4.
Mais pouvons nous étendre ce raisonnement à la dimension supérieure ?
Imaginez que trois des quatre points soient fixés,
quels points de la sphère peut le quatrième sommet être
tel que le tétraèdre qu'ils forment contienne le centre de la sphère ?
Juste comme précédemment, dessinons les diamètres associés aux trois points fixés.
Et c'est aussi utile de dessiner les sections du cercle associées aux paires de diamètres.
Ce que ces plans font, comme vous pouvez le remarquer, c'est qu'ils séparent la sphère en huit différentes régions,

Spanish: 
Por tanto, todas las proporciones entre 0 y 0.5 son igualmente probables.
Y esto significa que la proporción media es 0.25.
Así que, si el tamaño medio del arco es 1/4 del círculo completo,
la probabilidad de que el tercer punto esté dentro es de 1/4.
Y esto significa que la probabilidad de que nuestro triángulo contenga el centro es de 1/4.
¿Podemos extender ésto al caso tridimensional?
Si imaginamos que fijamos tres de esos cuatro puntos,
¿Qué puntos de la esfera son tales
que el tetraedro que forman contiene el centro de la esfera?
Como antes, dibujemos algunas líneas desde cada uno de esos 3 puntos fijos a través del centro de la esfera.
Aquí es util dibujar los planos determinados por cada par de estas líneas.
Ahora, podemos notar que lo que estos planos hacen es dividir la esfera en ocho secciones iguales,

Vietnamese: 
Vậy mỗi tỷ lệ giữa 0 và 0.5 sẽ khả thi như nhau?
Và điều đó có nghĩa là tỷ lệ trung bình là 0.25.
Vậy, nếu tỷ lệ trung bình của vòng cung là 1/4 vòng tròn,
tỷ lệ trung bình mà điểm thứ ba rơi vào vòng cung là 1/4.
Và điều đó có nghĩa là tỷ lệ chung mà tam giác chứa tâm điểm là 1/4.
Nhưng ta có thể mở rộng cái này ra theo kiểu không gian 3-chiều không?
Hãy tưởng tượng 3 trên 4 điểm được đặt ở một chỗ,
vậy nơi nào trên hình cầu sẽ là điểm thứ tư
để khi hình khối được tạo ra bởi 4 điểm chứa tâm điểm hình cầu?
Cũng giống trước đó, hãy vẽ vài đường thẳng từ mỗi điểm của 3 "điểm động" xuyên qua tâm điểm hình cầu.
Tại đây, ta thử vẽ vài mặt phẳng tạo ra từ mỗi cặp đường thẳng.
Giờ thì để ý thấy rằng mấy mặt phẳng này chia hình cầu ra 8 phần khác nhau;

Turkish: 
Yani 0 ile yarım arasındaki her noktanın eşit şansı var.
Bu da ortalamayı 'çeyrek', yani 0.25 yapar.
Özetle, arkın uzunluğu çember çevresinin çeyreği,
demektir ki, üçüncü noktanın bu bölgede olma şansı dörtte bir.
Bu da üçgenin merkezi barındırma şansı 1/4 demek.
Peki bu bulgumuzu üç boyuta uyarlayabilir miyiz?
Eğer üç noktayı sabitlediğimizi düşünürsek,
dördüncü nokta hangi alanlarda olursa
dört yüzlümüz merkezi içine alır?
Önceden yaptığımız gibi, gelin sabitlenmiş 3 noktadan, merkezden geçen birer çizgi çizelim.
Aynı zamanda bu çizgilere göre birer düzlem çizmemiz de yardımcı olacaktır.
Bu düzlemlerin küreyi sekiz eşit parçaya gördüğünü fark etmiş olabilirsiniz.

Italian: 
Così ogni proporzione fra 0 e 0,5 è altrettanto probabile.
E questo significa che la percentuale media è di 0,25.
Quindi, se la dimensione media di questo arco è 1/4 del cerchio completo,
la probabilità media che il terzo punto risieda nell'arco è 1/4.
E ciò significa che la probabilità complessiva che il nostro triangolo contenga il centro è di 1/4.
Ma possiamo estendere questo al caso tridimensionale?
Se si immagina di fissare tre dei quattro punti,
in quali punti della sfera può essere il quarto
in modo che il tetraedro formato contenga il centro della sfera?
Proprio come prima, andiamo avanti e disegniamo per ognuno dei tre punti fissati delle linee che attraversano il centro della sfera.
E qui, è anche utile disegnare alcuni piani formati da ogni coppia di queste linee.
Ora, ciò che questi piani fanno, si può notare, è dividere la sfera in otto sezioni diverse,

Modern Greek (1453-): 
Άρα κάθε αναλογία μεταξύ 0 και 0.5 είναι ίσες πιθανοτήτων.
Και αυτό σημαίνει πως η μέση αναλογία είναι 0,25.
Οπότε, αν το μέσο μέγεθος αυτού του τόξου είναι το εν τέταρτο ολόκληρου του κύκλου,
η μέση πιθανότητα ότι το τρίτο σημείο θα προσγειωθεί μέσα σε αυτό είναι στο εν τέταρτο.
Και αυτό σημαίνει πως η τελική πιθανότητα που το τρίγωνο περιέχει τον κύκλο είναι εν τέταρτο.
Μα μπορούμε αυτό να το επεκτείνουμε σε τρισδιάστατο σχήμα;
Αν φανταστείς τρία από αυτά τα τέσσερα σημεία ακινητοποιημένα,
σε πια σημεία της σφαίρας μπορεί το τέταρτο να βρεθεί
ώστε το τετράεδρο που σχηματίζουν να περιέχει το κέντρο της σφαίρας;
Ακριβως οπως πριν, ας ζωγραφίσουμε μερικές γραμμές από τα κάθε 3 σταθερά σημεία μέσα από το κέντρο της σφαίρας.
Και σε αυτή την περίπτωση, είναι βοηθητικό αν ζωγραφίσουμε μερικά επίπεδα που καθορίζονται από το οποιοδήποτε ζευγάρι αυτών των γραμμών.
Μα τι κάνουν αυτά τα επίπεδα, ίσως να πρόσεξες, ότι χωρίζουν την σφαίρα σε 8 διαφορετικά τμήματα,

Chinese: 
所以  从0到0.5之间的每个比例出现的概率也一样
这就意味着  平均比例就是0.25
所以 如果这段弧的平均长度是圆周长的1/4
第三个点落在这段弧上的平均概率就是1/4
也就是说  三角形包含圆心的概率是1/4
但是我们能把它推广到三维情况吗？
一共四个点  如果其中三个点固定不动
第四个点要落在球面的哪些位置
才能让形成的四面体包含球心？
和之前一样
我们分别过这三个点以及球心做直线
这些直线两两确定一个平面  画出这些平面也很有用
你可能注意到了  这些平面把球面分成了八个区域

Russian: 
Таким образом, каждая пропорция между 0 и 0,5 одинаково вероятна.
А это означает, что средняя доля составляет 0,25.
Итак, если средний размер этой дуги равен 1/4 от полного круга,
средняя вероятность того, что третья точка попадает в нее, равна 1/4.
А это означает, что общая вероятность того, что наш треугольник содержит центр, равна 1/4.
Но можем ли мы распространить это на трехмерный случай?
Если вы представляете себе, что три из этих четвертых пунктов фиксируются на месте,
какие точки сферы могут быть на четвертой
так что образующийся в них тетраэдр содержит центр сферы?
Как и раньше, давайте продолжим и рисуем некоторые линии из каждой из трех фиксированных точек через центр сферы.
И здесь также полезно, если мы нарисуем некоторые плоскости, которые определяются любой парой этих линий.
Теперь,эти плоскости делают, как вы можете заметить, разделяют сферу на восемь различных разделов,

Polish: 
Zatem każda proporcja między 0 a 0,5 jest równie prawdopodobna.
A to oznacza, że ​​średnia proporcja to 0,25.
Jeśli więc średnia wielkość tego łuku wynosi 1/4 pełnego okręgu,
średnie prawdopodobieństwo, że trzeci punkt znajdzie się w nim to 1/4.
Oznacza to, że całkowite prawdopodobieństwo, że nasz trójkąt zawiera środek, wynosi 1/4.
Ale czy możemy rozszerzyć to na trójwymiarowy przypadek?
Jeśli wyobrazisz sobie trzy z tych czterech punktów, które właśnie zostały utwierdzone,
na jakim obszarze sfery punkt P4,
tak aby czworościan utworzony ze wszystkich punktów, zawierał środek sfery.
Tak jak poprzednio, przejdźmy dalej i narysuj kilka linii z każdego z ustalonych 3 punktów przez środek kuli.
A tutaj pomocne jest również, jeśli narysujemy niektóre płaszczyzny określone przez dowolną parę tych linii.
Te płaszczyzny dzielą kulę na 8 różnych części

Ukrainian: 
Тоді кожна пропорція між 0 і 0.5 також однаково можлива
І це означає, що середнє значення це 0.25
Тоді, якщо середній розмір цієї дуги - 1/4 цілого кола,
ймовірність, що третя точка лежатиме на ній - 1/4.
І це означає, що загальна ймовірність того, що наш трикутник містиме центр кола дорівнює 1/4.
Проте чи можемо ми розширити це у тривимірному випадку?
Якщо ви уявите три з цих чотирьох точок зафіксованими,
на яких точках сфери може бути четверта
щоб тетраедр, утворений ними, містив центр сфери?
Так само як і раніше, давайте проведемо лінії з кожної із зафіксованої точки через центр сфери.
Тут також буде корисно побудувати декілька площин, що визначені будь якою парою цих ліній.
Тепер, коли площини побудовано, ви можете помітити, що сфера поділена на вісім різних секцій,

English: 
lines, every angle from 0 degrees up to 180
degrees is equally likely, so every proportion
between 0 and 0.5 is equally likely, making
the average proportion 0.25.
Since the average size of this arc is ¼ this
full circle, the average probability that
the third point lands in it is ¼, meaning
the overall probability of our triangle containing
the center is ¼.
Try to extend to 3D
Great! Can we extend this to the 3d case?
If you imagine 3 of your 4 points fixed in
place, which points of the sphere can that
4th point be on so that our tetrahedron contains
the sphere’s center?
As before, let’s draw some lines from each
of our first 3 points through the center of
the sphere. And it’s also helpful if we
draw the planes determined by any pair of
these lines.

English: 
These planes divide the sphere into 8 different
sections, each of which is a sort of spherical
triangle. Our tetrahedron will only contain
the center of the sphere if the fourth point
is in the section on the opposite side of
our three points.
Now, unlike the 2d case, it’s rather difficult
to think about the average size of this section
as we let our initial 3 points vary.
Those of you with some multivariable calculus
under your belt might think to try a surface
integral. And by all means, pull out some
paper and give it a try, but it’s not easy.
And of course it should be difficult, this
is the 6th problem on a Putnam!
But let’s back up to the 2d case, and contemplate
if there’s a different way of thinking about
it. This answer we got, ¼, is suspiciously
clean and raises the question of what that
4 represents.
One of the main reasons I wanted to make a

Polish: 
z których każda jest pewnym rodzajem trójkąta sferycznego.
Nasz czworościan będzie tylko zawierał środek kuli
jeśli czwarty punkt znajduje się w trójkącie sferycznym po przeciwnej stronie niż pierwsze trzy.
Teraz, w przeciwieństwie do przypadku 2D,
Trudno jest myśleć o średnim rozmiarze sekcji, ponieważ położenie początkowych trzech punktów jest różne.
Ci z was, którzy umieją rachunek całkowy mogą pomyśleć:
spróbujmy całki powierzchniowej.
Jeśli tak, wyciągnij papier i spróbuj.
Ale to nie jest łatwe.
I oczywiście powinno być trudne.
Mam na myśli, że jest to szósty problem na Putnam, czego się spodziewasz?
I ... co z tym zrobić?
Jedną rzeczą, którą możesz zrobić, jest powrót do dwuwymiarowego przypadku,
i zastanowić się, czy istnieje inny sposób myślenia o tej samej odpowiedzi, którą otrzymaliśmy.
Ta odpowiedź "1/4" wygląda podejrzanie czysto,
i rodzi pytanie, co to "4" reprezentuje.
Jednym z głównych powodów, dla których chciałem nagrać film o tym konkretnym problemie, jest to, że

Turkish: 
Her biri küresel bir üçgene benziyor.
Ve dört yüzlümüz, sadece dördüncü noktası, sabit üç noktanın oluşturduğu bölgenin...
karşısındaki alanda olduğunda küre merkezini içine alacaktır.
İki boyutlu durumun aksine,
bu alanı bulmak -ilk üç noktanın yer değiştirmesine izin vermemiz gerekeceğinden- çok daha zor.
Aranızdaki çok değişkenli kalkülüs uzmanları düşünebilirler:
"Haydi bir yüzey integrali deneyelim."
İsterseniz, bir kağıt çıkarın ve deneyin.
Ama kolay olmadığını şimdiden söyleyeyim, zaten öyle olmalı...
Burada Putnam'ın altıncı sorusundan bahsediyoruz, ne bekliyordunuz?
Ve... şimdi ne yapacağız peki?
Bir seçeneğimiz, iki boyutlu hale geri dönmek,
ve bulduğumuz sonuca ulaşmanın başka bir yolu var mı diye bakmak.
Fark ettiyseniz, 1/4 şüphe verici derecede temiz bir cevap.
Ve buradaki 4 neyi temsil ediyor diye kafa yormamız gerekiyor.
Özellikle bu soru ile ilgili bir video yapmamın temel sebebi,

Korean: 
각각의 도형들은 구면삼각형이 됩니다
그리고 우리의 사면체는 구의 중심만 포함하면 됩니다
만약 구면삼각형에 있는 4번째 점이
 점 1,2,3이 있는 쪽과 정반대에 있다면 말이죠
2차원과 다르게도,
이 세개의 점들이 만드는 
구면삼각형의 평균 넓이를 구하기는 매우 힘듭니다
여러분들 중 다변수 미적분학을 아시는 분들은 
아마 이렇게 생각할겁니다:
"그냥 표면적분을 해봐요"
그럼 가능한 모든 수를 사용해서 종이에 직접 풀어보세요
하지만... 쉽진 않습니다
아니, 꽤 어려울겁니다
그러니까, 이건 Putnam test의 6번 문제죠.
뭔가 기대할만한게 있나요?
...그리고,  뭘 하면 좋을까요?
오! 이걸 다시 2차원상에 표현할수 있겠네요
우리가 받은 똑같은 값에 대해 생각할 수 있는 
다른 방법이 있는지 고민해 봅시다
그 값은 "1/4"로 딱 나누어떨어집니다
그리고 이는 "4"가 나타내는것이 무엇인지 
의문을 제기할수 있겠군요
제가 이 특정한 문제에 관한 비디오를 만들고 싶었던 
주된 이유 중 하나는

Croatian: 
svaki od kojih je nekakav sferični trokut.
Naš tetraedar će samo sadržavati centar sfere
ako je 4. točka u sferičnom trokutu 
koji je nasuprot prvih tri točaka.
Za razliku od 2D slučaja,
vrlo je teško misliti o prosječnoj veličini ovog dijela ako pustimo tri točke da variraju.
Oni od vas sa znanjem kalkulusa s više 
varijabli bi mogli reći:
hajdemo pokušati s površinskim integralom.
I svakako, uzmite si nešto papira i pokušajte.
Ali to nije lako.
I naravno, trebalo bi biti teško.
Ipak je ovo šesti problem na Putnamu, što očekujete?
I... što uopće napravite s tim?
Jedna stvar koji možete napraviti jest vratiti se na 2D slučaj,
i promisliti postoji li drugačiji način dobivanja istog riješenja.
Odgovor "1/4" izgleda sumnjivo čisto
te postavlja pitanje o tome što ta četvorka predstavlja.
Jedan od glavnih razloga što sam htio napraviti video o ovome jest taj

Italian: 
ciascuna delle quali è una sorta di triangolo sferico.
E il nostro tetraedro andrà a contenere il centro della sfera
solo se il quarto punto è nel triangolo sferico sul lato opposto, come i primi tre.
Ora a differenza del caso 2D,
è piuttosto difficile pensare alla dimensione media della sezione lasciando variare i primi tre punti.
Alcuni di voi esperti con il calcolo multivariabile potrebbero pensare:
proviamo un integrale di superficie.
Certamente, prendete un po' di carta e fate un tentativo.
Ma non è facile.
E, naturalmente, dovrebbe essere difficile.
Voglio dire, questo è il sesto problema del Putnam, cosa vi aspettate?
E ... cosa potete farci?
Beh, una cosa che si può fare è riportarci di nuovo al caso bidimensionale,
e contemplare se c'è un modo diverso per pensare la stessa risposta che abbiamo ottenuto.
La risposta "1/4" sembra sospettosamente troppo perfetta,
e solleva la questione di ciò che quel "4" rappresenta.
Uno dei motivi principali per cui volevo fare un video su questo particolare problema è che

Vietnamese: 
mỗi phần là một thứ như "tam giác 3D trong hình cầu".
Và hình khối 3D sẽ chứa tâm điểm hình cầu
khi điểm thứ tư nằm trong "tam giác 3D trong hình cầu" nằm đối diện với 3 điểm đầu tiên.
Cái này khác với trường hợp 2D (không gian 2 chiều)
Cái này khá là khó để xác định kích cỡ trung bình của phần ta để 3 điểm chạy trên hình cầu (hoặc 3 điểm biến thiên).
Mấy người nào học Tích phân Đa biến (Multiple Calculus) có thể nghĩ rằng:
"Thử làm tích phân mặt phẳng cái coi".
Chấp luôn, lấy giấy ra và thử đi.
Không dễ lắm đâu.
Và dĩ nhiên là nó phải khó chớ!
Ý tôi là, đây là câu hỏi thứ 6 trong bài thi Putnam, bạn nghĩ sao?
Và... giờ thì làm gì đây?
Rồi, một thứ bạn có thể làm là quay lại cái bài không gian 2-chiều,
và nghĩ rằng liệu có cách nào khác để giải bài này không.
Đáp án "1/4" đó nhìn sao mà đẹp khó tin,
và nó lại khiến ta tự hỏi là số "4" đó đại diện cho cái gì.
Một trong những lý do chính tôi muốn làm viđêô về bài toán này là

Chinese: 
每個區間有點像是一個球面三角形
而我們的四面體要包含到球心的充要條件
是當我們的第四個點剛好落在其餘三點對面的那個區間
和我們二維的例子不一樣的是
由隨機三點定義的區間的平均面積沒有那麼好想像
一些熟知多變數微積分的觀眾可能會想：
何不試試面積分？
這當然無可厚非，你可以拿出紙筆來算算看
但是這方法很不容易
當然，這題目的解應該是難的
它畢竟是出在普氏競賽的第六題
有沒有更好計算的方式呢？
我們先回到二維的例子
想一想有們有更簡單的方式可以得到答案
這個 1/4 看起來有點過份的簡單
不禁讓人想這個 4 是不是有其他潛在的意含
我之所以會特別做一支影片在講解這一道題目

Chinese: 
每个区域都有点像球面三角形
要想让形成的四面体包含球心的话
第四个点就必须落在前三个点相对的球面三角形上
和二维情况不同
让最初的三个点变化  然后求这个区域的平均面积
这就很困难了
掌握多元微积分的朋友可能会想：
用曲面积分试试看
不妨拿出纸笔算一算吧
但是这并不简单
当然了  这道题本来就应该很难
这是普特南数学竞赛的第六题啊  你指望它能有多简单？
更何况  算出了三角面积又有什么用呢？
你可以回头看看二维的情况
仔细想想  是否可以通过别的方法解出问题
“1/4”这个答案看上去异常简洁
这也提出了一个问题：“4”代表着什么？
我之所以要特别为这个问题做一期视频  主要的原因之一是

Portuguese: 
cada um dos quais é uma espécie de... triângulo esférico.
E o nosso tetraedro só vai conter o centro da esfera,
se o quarto ponto estiver nesse triângulo esférico, no lado oposto, aos 3 primeiros pontos.
Diferentemente do caso bidimensional,
é muito difícil pensar no tamanho médio da seção, se deixarmos os primeiros três pontos variar.
Alguns de vocês com Cálculo Multivariável na manga poderiam pensar:
vamos tentar uma Integral de superfície.
E de qualquer forma, pegue um papel e tente.
Mas não é fácil.
E, claro, deve ser difícil.
Digo, este é o sexto problema em um Putnam, o que você espera?
E ... o que você faz com isso, afinal?
Bem, uma coisa que você pode fazer é voltar para o caso bidimensional,
e contemplar se há uma maneira diferente de pensar sobre a mesma resposta que chegamos.
Aquela resposta "1/4" parece suspeitosamente exata,
e levanta a questão do que esse "4" representa.
Uma das principais razões que eu queria fazer um vídeo sobre este problema específico é que

Modern Greek (1453-): 
καθένα από αυτά είναι κάπως σαν ένα μικρο σφαιρωτό τρίγωνο.
Και το τετράεδρο μας θα περιέχει μόνο το κέντρο της σφαίρας
αν το τέταρτο σημείο στο σφαιρικό τρίγωνο είναι στην απέναντι πλευρά σαν τα άλλα τρία.
Τώρα σε αντίθεση με την δισδιάστατη περίπτωση,
ειναι πολυ δυσκολο να σκεφτεις για το μέσο μέγεθος του τμήματος αφού αφήσαμε τα αρχικά 3 κομμάτια να μεταβάλλονται.
Αυτοί από εσάς με ένα πολυποίκιλο λογισμικό στο μυαλό σας μπορεί να σκέφτεστε:
ας δοκιμάσουμε ένα ολοκλήρωμα επιφάνειας.
Σοβαρά, βγάλε ένα χαρτί και δοκίμασε το.
Αλλά δεν είναι εύκολο.
Μα φυσικά, πρέπει να είναι δύσκολο.
Εννοώ, είναι το έκτο πρόβλημα στο Putnam, τι περίμενες;
Και...τι στο καλό θα κάνεις με αυτό;
Λοιπόν, ένα πράγμα που μπορείς να κάνεις είναι να επιστρέψεις στο δισδιάστατο θεώρημα,
και να περιεργαστείς αν υπάρχει ένας διαφορετικός τρόπος να σκεφτείς για την ίδια απάντηση που πήραμε
Αυτή η απάντηση ''1/4'' φαίνεται ύποπτα εύκολη,
και γεννάει την ερώτηση το τι αντιπροσωπεύει αυτό το ''4''.
ένας από τους κύριους λόγους που ήθελα να φτιάξω ένα βίντεο για αυτό το πρόβλημα

Portuguese: 
de "triângulo esférico". Nosso tetraedro
somente vai conter o centro da esfera
se o quarto ponto estiver nesse "triângulo esférico",
no lado oposto dos outros três.
Mas ao contrário do caso 2D, é
bem mais difícil imaginar o tamanho médio dessa seção já que deixamos os três primeiros pontos variar.
Vocês que já entendem de cálculo com várias variáveis talvez pensem:
"Vamos tentar integrar essa superfície!" Vai lá,
pega um papel e tente (sem irônia XD). Mas não é fácil.
E é claro que isso deveria ser difícil. É a sexta questão da Putnam!
O que você esperava?
E...
O que você faz com isso?
Bom, uma coisa que você pode fazer é voltar no caso 2D
e pensar se existe alguma maneira diferente de pensar
a mesma resposta que obtivemos.
Aquela resposta (1/4) é estranhamente perfeita.
E levanta o questionamento de "O que aquele quarto representa?"
Uma das razões pela qual eu decidi fazer um vídeo sobre esse problema em particular
é que ela carrega uma lição importante

Russian: 
каждый из которых является своего рода сферическим треугольником.
И наш тетраэдр будет только содержать центр сферы
если четвертая точка находится в сферическом треугольнике на противоположной стороне в качестве первых трех.
Теперь, в отличие от 2D-случая,
довольно сложно подумать о среднем размере раздела, поскольку мы позволяем исходным трем точкам меняться.
Те из вас, кто имеет многовариантное исчисление под вашим поясом, могут подумать:
давайте просто попробуем поверхностный интеграл.
И непременно вытащите какую-нибудь бумагу и попробуйте.
Но это непросто.
И, конечно, это должно быть сложно.
Я имею в виду, это шестая проблема на Putnam, чего вы ожидаете?
И ... что ты вообще с этим делаешь?
Ну, одна вещь, которую вы можете сделать, это вернуться к двумерному случаю,
и подумайте, есть ли другой способ подумать о том же ответе, который у нас есть.
Этот ответ «1/4» выглядит подозрительно чистым,
и возникает вопрос о том, что представляет собой «4».
Одной из основных причин, по которой я хотел сделать видеоролик об этой конкретной проблеме, является то, что

French: 
chacun étant une sorte de triangle sphérique
Et notre tétraèdre va contenir le centre de la sphère si et seulement
si le quatrième point est dans le triangle sphérique du côté opposé aux trois premiers points.
Mais ici, contrairement au cas en 2D,
c'est assez difficile de trouver la taille moyenne du triangle quand on fait varier les trois points.
Ceux d'entre vous un peu familiers avec l'analyse des fonctions à plusieurs variables pensent peut-être :
tentons une intégrale surfacique.
Et allez-y, prenez une feuille et tentez ce raisonnement.
Mais ce n'est pas facile.
Et bien sûr, c'est sensé être difficile.
Enfin, c'est la question 6 d'une épreuve de Putnam, vous vous attendez à quoi ?
Et... qu'est-ce que vous feriez même avec ce résultat?
Une chose que vous pourriez faire serait de vous ramener au cas 2D,
et regarder s'il n'y aurait pas une autre façon que celle que nous avons utilisée pour aboutir au résultat.
Cette réponse "1/4" a l'air bizarrement précise,
et on pourrait se demander à quoi le "4" correspond.
Une des principales raisons pourquoi j'ai voulu faire une vidéo sur ce problème précis

German: 
von denen jede eine Art sphärisches Dreieck ist.
Und unser Tetraeder wird nur die Mitte der Kugel enthalten,
wenn der vierte Punkt in dem sphärischen Dreieck auf der den anderen 3 entgegengesetzten Seite liegt.
Jetzt, im Gegensatz zu dem 2D-Fall
ist es ziemlich schwierig, über die durchschnittliche Größe des Abschnitts zu denken, während wir die ersten drei Punkte variieren.
Diejenigen mit etwas Verständnis von 
Multivariabler Infinitesimalrechnung könnten sagen:
probieren wir einfach ein Oberflächenintegral.
Und warum nicht? Nimm dir ein Blatt Papier und versuch es.
Aber es ist nicht einfach.
Und natürlich sollte es schwierig sein.
Ich meine, das ist das sechste Problem auf einem Putnam, was habt ihr erwartet?
Und... Was können sie damit überhaupt anfangen?
Nun, eine Sache, die du tun könntest, ist wieder auf den zweidimensionalen Fall zurückzukommen,
und in darüber nachdenken, ob es einen anderen Weg gibt, die gleiche Antwort zu erreichen, die wir bereits bekommen haben.
Die Antwort "1/4" sieht verdächtig simpel aus,
und es stellt sich die Frage, was die „4“ darstellt.
Einer der Hauptgründe, warum ich ein Video über dieses besondere Problem machen wollte ist,

Spanish: 
cada una de las cuales es aproximadamente un triángulo esférico.
y nuestro tetraedro contendrá el centro de la esfera
tan sólo si el cuarto punto está en el triángulo esférico del lado opuesto a los primeros tres puntos.
A diferencia del caso en 2D,
es bastante difícil ver cual es el tamaño medio de esta sección a medida que variamos los tres puntos iniciales.
Aquellos que conozcan el cálculo multivariable podrían pensar que
se puede intentar hacer una integral de superficie.
Por favor, cojan papel e inténtenlo.
Pero no es sencillo.
Por supuesto, tiene que ser difícil.
Quiero decir, este es el sexto problema de un examen Putnam, ¿Qué esperaban?
y ... ¿qué hacemos entonces?
Bien, una cosa que podemos hacer es volver al problema en dos dimensiones,
y ver si hay alguna otra manera de obtener la misma respuesta que obtuvimos.
La respuesta "1/4" es sospechosamente sencilla,
y plantea la pregunta de qué representa el "4".
Una de las principales razones por las que quise hacer un video acerca de este problema particular es que

Ukrainian: 
кожна з яких є різновидом сферичного трикутника.
І наш тетраедр міститиме центр сфери
якщо четверта точка знаходиться на сферичному трикутнику на протилежному до трьох інших точок боці.
Тепер, на відміну від 2D випадку,
досить важко визначити середній розмір секції, коли ми дозволяємо першим трьом точкам варіювати.
Ті з вас, хто за плечима мав досвід з мультиваріабельним обчисленням, можуть подумати:
Давайте спробуємо поверхневий інтеграл.
Неодмінно витягніть папір та спробуйте це зробити.
Проте це це не є легко.
І, звісно, це повинно бути важко.
Маю на увазі, це ж шоста проблема у Putnam, чого ви очікуєте?
І...Що ви навіть з цим зробите?
Що ж, одна річ, яку ви можете зробити - це повернутись до двовимірної ситуації,
і поміркувати, чи є тут інші шляхи для роздуму над тією ж відповіддю, що ми отримали.
Відповідь "1/4" підозріло чиста,
і це піднімає питання що ж представляє собою "4".
Одна з головних причин, чому я захотів створити відео саме про цю конкретну проблему це

Russian: 
то, что должно произойти, несет в себе более широкий урок для решения математических задач.
Подумайте об этих двух строках, которые мы нарисовали для P1 и P2 через источник.
Они поставили проблему намного легче подумать.
И вообще, всякий раз, когда вы добавляли что-то к заданной проблеме
что делает концептуально проще,
посмотрите, можете ли вы перефразировать весь вопрос в терминах тех вещей, которые вы только что добавили.
В этом случае, вместо того, чтобы думать о том, чтобы выбрать три точки случайным образом,
начните, сказав:
выберите две случайные линии, проходящие через центр окружности;
для каждой линии есть две возможные точки, которые могут соответствовать,
поэтому просто переверните монету для каждого из них, чтобы выбрать, какая из конечных точек будет P1;
а также для другой, конечной точкой которой является P2.
Выбор случайной линии и переворачивание такой монеты
это то же самое, что выбрать случайную точку на круге.
Сначала это кажется немного запутанным.
Но причина думать о случайном процессе таким образом заключается в том, что
на самом деле все становится легче.
Мы по-прежнему будем думать об этой третьей точке P3 как о том, чтобы быть случайной точкой на круге.

Modern Greek (1453-): 
είναι διότι αυτό που πρόκειται να συμβεί κουβαλάει ένα μεγάλο μάθημα για την λύση μαθηματικών προβλημάτων.
Σκέψου για αυτές τις δυο γραμμές που σχεδιάσαμε για το P1 και το P2 που διέρχονται μέσα από την καταγωγή.
Κάνανε το πρόβλημα πολύ πιο εύκολο για να το σκεφτείς.
Και γενικά, οποτεδήποτε πρόσθεσες κάτι στο πρόβλημα βελτιστοποίησης
το κάνει αισθητά ευκολότερο,
δες αν μπορείς να αναθεωρήσεις όλη την ερώτηση στα πλαίσια των πραγμάτων που πρόσθεσες.
σε αυτή την περίπτωση, αντί να σκεφτείς να επιλέξεις 3 σημεία τυχαία,
ξεκίνα λέγοντας:
επέλεξε δυο τυχαίες γραμμές που περνάνε από το κέντρο του κύκλου;
για κάθε γραμμή, υπάρχουν δυο πιθανά σημεία που μπορούν να αντιστοιχίσουν,
οποτε στρίψε ένα κέρμα για να την κάθε μια ώστε να διαλέξεις πιο από τα τελικά σημεία θα είναι το P1;
και αντίστροφα για το P2.
Επιλέγοντας μια τυχαία γραμμή και στρίβοντας ένα κέρμα
είναι το ίδιο πράγμα σαν να επιλέγεις ένα τυχαίο σημείο στον κύκλο.
απλά φαίνεται λίγο πολύπλοκο την πρώτη φορά.
Ο λόγος όμως για να σκεφτείς αυτήν την τυχαία διαδικασία με αυτόν τον τρόπο είναι γιατί
τα πράγματα θα αρχίσουν να καλυτερεύουν.
Ακόμα έχουμε στο μυαλό μας για αυτό το τρίτο σημείο το P3 σαν άπλα να είναι τυχαίο στον κύκλο.

French: 
c'est que ce qui va suivre est instructif dans la résolution de problèmes mathématiques plus généraux.
Pensez à ces deux diamètres qu'on a tracé.
Ils rendaient le problème beaucoup plus facile à visualiser.
Et en général, à chaque fois que vous ajoutez quelque chose au problème posé
qui le rende plus simple à concevoir,
regardez si vous pouvez reformuler le problème en fonction de ces nouveaux éléments que vous avez ajouté.
Dans ce cas, plutôt que de penser à choisir trois points au hasard,
commencez en disant :
choisissons deux diamètres du cercle au hasard;
à chaque diamètre correspondent deux points,
alors faisons un pile-ou-face pour choisir quel point va être P1;
et de la même manière pour l'autre diamètre, lequel va être P2.
Choisir un diamètre au hasard et lancer une pièce comme ceci
revient au même que de choisir un point au hasard sur le cercle.
C'est un peu difficile à discerner au début.
Mais la raison pour penser au procédé aléatoire de cette façon
est que les choses vont se simplifier.
On va juste continuer à penser au troisième point P3 comme étant un point au hasard sur le cercle.

Korean: 
앞으로 일어날 일은 수학적 문제 해결을 위한
 더 폭넓은 교훈을 가지고 있기 때문입니다
처음에 그렸던 점P1,P2의 선분을 떠올려봅시다
이 보조선들은 훨씬 더 생각하기 쉽게 만들어줍니다
일반적으로, 문제가 생길 때 마다 추가할 수 있습니다
이건 개념상 쉽게 만들어주고,
만약 당신이 방금 추가한 것들에 관해 모든 질문에 답할 수 있다면 말이죠.
이 경우에는, 무작위로 3개의 점을 선택하는 것 보단,
이렇게 시작해봅시다:
원의 중심을 지나는 무작위의 선분을 2개 고르는것이죠
각 선분에는, 선분들 상에 위치할 수 있는
2가지 가능한 점이 있으며,
동전을 던져서 점P1이 어디에 위치할지만 정하면 됩니다
그처럼, 점P2도 똑같이 정할 수 있죠
무작위로 선분을 선택한 다음 동전 던지기를 하는것은
원위의 임의의 점을 선택하는 것과 같습니다
단지 처음엔 조금 복잡하게 느낄 수 있죠
하지만 이런 식의 과정에 대해 생각해 봐야 하는 이유는
문제들이 사실상 더욱 쉬워진다는것 입니다
우린 점P3가 원위의 임의의 점인 것에 대해 
계속 생각할 것입니다

Chinese: 
正是因為接下來要做的事
在解決數學難題有很廣泛的參考價值
想一想我們那兩條通過 P1、P2 和圓心的線段
那兩條線讓問題好想很多吧？
一般來說，當你在原問題中多加了一些東西
讓他變得更容易想像
試試看有沒有辦法用這些新東西重構原本的問題
以這到題目而言
我們試著不考慮隨機的三個點
而是把換成考慮：
隨機的選通過圓心的兩條線段
每一的線段會對應到兩個點
所以我們可以擲一枚硬幣
來決定第一個線段的哪一個端點是 P1
也用同樣的方法決定另一個線段的哪一個端點做為 P2
隨機的劃線再隨機的選端點
跟在圓周上面隨機選點在做的事情一樣
剛開始會感覺得這麼做有點拐彎抹角
但是當你開始考慮我們接下來要做的隨機選擇
這麼做反而會把題目變簡單
我們的 P3 還是隨機選擇圓周上的一點

Vietnamese: 
vì những gì sẽ xuất hiện vẽ lên một bài học lớn hơn về "giải toán".
Xem lại mấy đường thẳng chúng ta vẽ từ P1 và P2 qua tâm điểm.
Chúng làm bài toán dễ nhìn và nghĩ hơn.
Và nói chung, thì khi nào bạn thêm cái gì đó, bạn sẽ làm bài toán
trở nên dễ hơn trong ý niệm,
Coi thử, nếu bạn chuyển xuất cả bài toán theo hướng mà bạn vừa tạo nên (thêm vào).
Trong trường hợp này, thay vì nhìn nó theo kiểu chọn 3 điểm ngẫu nhiên,
hãy bắt đầu bằng việc nói rằng:
chọn 2 đường bất kỳ đi qua tâm điểm vòng tròn;
mỗi đường có 2 điểm khả thi,
tung đồng tiền lên cho mỗi điểm để chọn ra điểm P1 cho 1 đầu;
và đầu kia sẽ là điểm P2.
Việc chọn 1 đường ngẫu nhiên và tung đồng tiền như vậy
cũng giống như việc chọn 1 điểm ngẫu nhiên trên 1 vòng tròn.
Nhìn qua thì mới đầu tưởng phức tạp lắm.
Nhưng lý do cho việc nghĩ về công đoạn ngẫu nhiên này là
mọi việc dần trở nên dễ dàng hơn.
Ta vẫn nghĩ rằng điểm P3 vẫn là một điểm ngẫu nhiên trên vòng tròn.

Portuguese: 
o que está prestes a acontecer traz consigo uma lição mais ampla para a resolução de problemas matemáticos.
Pense sobre essas duas linhas que desenhamos para P1 e P2 passando pela origem.
Eles tornaram o problema muito mais fácil de se pensar.
E, em geral, sempre que você adiciona algo para o problema criado
que faz com que seja conceitualmente mais fácil,
veja se você consegue reformular a questão toda em função dessas coisas que você acabou de adicionar.
Neste caso, em vez de pensar em escolher três pontos aleatoriamente,
comece dizendo:
escolha duas linhas aleatórias que passam pelo do centro do círculo;
para cada linha, existem dois pontos possíveis,  às quais poderiam corresponder
então jogue uma moeda para escolher qual das pontas será P1
e do mesmo jeito para qual das pontas será P2
Escolhendo uma linha aleatória e jogando uma moeda,
é a mesma coisa que escolher um ponto aleatório no círculo.
Só parece um pouco complicado no começo.
Mas a razão para pensar sobre o processo aleatório desta maneira é que
as coisas estão prestes a se tornar mais fácil.
Nós ainda vamos considerar o terceiro ponto P3 como sendo apenas um ponto aleatório no círculo.

Italian: 
quello che sta per accadere porta con sé una lezione più ampia per la soluzione dei problemi matematici.
Pensate a quelle due linee che abbiamo disegnato per P1 e P2 passanti per l'origine.
Hanno reso il problema molto più facile da pensare.
E, in generale, ogni volta che abbiamo aggiunto qualcosa al problema abbiamo notato
che lo rende concettualmente più facile,
vediamo se è possibile riformulare l'intera questione in base ai concetti che abbiamo appena aggiunto.
In questo caso, piuttosto che pensare di scegliere tre punti in modo casuale,
iniziate dicendo:
scegliamo due linee casuali che passano attraverso il centro del cerchio;
per ogni linea, ci sono due possibili punti che potrebbero corrispondere,
quindi basta lanciare una moneta per ognuno per scegliere quale delle estremità sia P1;
e allo stesso modo, per l'altra estremità che sarà P2.
Scegliere una linea casuale e lanciare una moneta come abbiamo fatto
è uguale a scegliere un punto a caso sul cerchio.
Potrebbe solo essere un po' contorto in un primo momento.
Ma la ragione per cui pensiamo in questo modo ai processi casuali è che
le cose in realtà stanno per diventare più facili.
Dovremo ancora pensare al terzo punto P3 come un punto casuale nel cerchio.

Portuguese: 
na resolução de questões de matemática.
Pense naquelas duas linhas que desenhamos a partir de P1 e P2 e que passam pela origem.
Elas fizeram o problema ficar muito mais fácil de pensar e em geral,
sempre que você adiciona algo para a configuração inicial
que faz ficar conceitualmente mais fácil, veja se você consegue
reformular a questão inteira em termos daquilo que você adicionou.
 
Nesse caso, ao invés de pensar em escolher três pontos aleatórios,
 
comece dizendo: "Escolha duas linhas aleatórias
que passam pelo centro do círculo." Para cada
linha existem dois pontos possíveis de correspondência. Então escolha (aleatoriamente)
para qual dos pontos será P1
e o mesmo para qual será P2.
Escolhendo uma reta aleatória e os pontos que nem fizemos
é a mesma coisa que escolher um ponto aleatório no círculo,
só aparenta ser um pouco mais enrolado inicialmente.
Mas a razão de pensar no processo aleatório desse jeito é que as coisas
irão ficar mais fáceis.
Vamos continuar pensando que aquele terceiro ponto, o ponto P3, é só um
ponto aleatório no círculo. Mas imagine

English: 
video on this problem is that what’s about
to happen carries a broader lesson for mathematical
problem-solving.
These lines that we drew from P1 and P2 through
the origin made the problem easier to think
about.
In general, whenever you’ve added something
to your problem setup which makes things conceptually
easier, see if you can reframe the entire
question in terms of the thing you just added.
In this case, rather than thinking about choosing
3 points randomly, start by saying choose
two random lines that pass through the circle’s
center.
For each line, there are two possible points
they could correspond to, so flip a coin for
each to choose which of those will be P1 and
P2.
Choosing a random line then flipping a coin
like this is the same as choosing a random
point on the circle, with all points being
equally likely, and at first it might seem
needlessly convoluted. But by making those
lines the starting point of our random process
things actually become easier.
We’ll still think about P3 as just being

Croatian: 
da što će se upravo dogoditi nosi sa sobom širu lekciju za rješavanje matematičkih problema.
Promislite o tim dvijema linijama koje smo povukli 
za P1 ili P2 kroz centar.
Oni čine problem puno lakšim za razmatranje.
I generalno, kad god dodate nešto postavljenom problemu
koji ga čini konceptualno lakšim,
vidite možete li postaviti čitavi problem kroz te stvari 
koje ste dodali.
U ovom slučaju, umjesto da nastojimo izabrati 
tri točke nasumično,
počnimo ovako:
odaberite dvije nasumične linije koje prolaze kroz
 centar kružnice;
za svaku liniju postoje dvije moguće točke 
koje bi odgovarale,
stoga bacite novčić za svaku krajnju točku kako biste odabrali koja će biti P1;
Na isti način, za drugu liniju odaberiti koja će 
krajnja točka biti P2.
Izabiranje nasumične linije i bacanje 
novčića na ovaj način
je ista stvar kao i odabiranje nasumične
 točke na kružnici.
Samo se na prvu čini složeno.
Ali povod razmišljanju o nasumičnom procesu 
na ovaj način jest taj
da će stvari uskoro postati puno lakše.
Još uvijek ćemo zamisliti tu treću točku P3 kao nasumičnu točku na kružnici.

German: 
dass das was gleich geschehen wird eine umfassende Lektion für das Lösen mathematischer Probleme mit sich bringt.
Denken Sie an den beiden Linien, die wir von P1 und P2 durch den Ursprung gezogen haben.
Sie machten das Problem viel einfacher zu verstehen.
Und im Allgemeinen, wenn Sie etwas zu dem Problem hinzugefügt haben,
dann macht es das konzeptionell einfacher.
Schauen Sie mal, ob die gesamte Frage in Bezug auf diese neuen Dinge einfacher wird.
In diesem Fall, anstatt darüber nachzudenken, drei Punkte zufällig zu wählen,
wählen Sie zwei zufällige Linien, die den Kreismittelpunkt durchlaufen;
für jede Linie gibt es zwei mögliche Punkte, die dazu gehören
also werfen wir nun eine Münze, welcher der Endpunkte zu P1 wird;
und genauso für den anderen Endpunkt P2.
Zwei Linien zufällig zu wählen und dann eine Münze zu werfen,
ist das gleiche wie einen beliebigen Punkt auf dem Kreis zu wählen.
Es hört sich zuerst ein wenig komplizierter an,
aber der Grund für das Nachdenken über den Zufallsprozess auf diese Weise ist, dass
die Dinge viel leichter werden.
Wir werden P3 immenoch als zufälligen Punkt auf dem Kreis betrachten,

Polish: 
to, co się wydarzy, niesie ze sobą szerszą lekcję matematycznego rozwiązywania problemów.
Pomyśl o tych dwóch liniach, które narysowaliśmy dla P1 i P2 przez środek okręgu.
Sprawiły, że problem był o wiele łatwiejszy do wyobrażenia.
I na ogół, jeśli dodasz coś do problemu
co sprawia, że ​​jest to koncepcyjnie łatwiejsze,
zobacz, czy możesz zmienić charakter całego pytania pod względem rzeczy, którą właśnie dodałeś.
W tym przypadku zamiast myśleć o wybieraniu losowo trzech punktów,
zacznij od stwierdzenia:
wybierz dwie losowe linie, które przechodzą przez środek okręgu;
dla każdej linii istnieją dwa możliwe punkty, które mogą odpowiadać,
więc po prostu rzuć monetą dla każdego, aby wybrać, który z punktów końcowych będzie P1;
i podobnie, dla drugiego, którego punktem końcowym będzie P2.
Wybieranie losowej linii i rzut monetą w ten sposób
jest tym samym, co wybranie losowego punktu na kole.
Po prostu wydaje się nieco zawiłe.
Ale powód myślenia o procesie losowym w ten sposób jest taki
rzeczy w rzeczywistości staną się łatwiejsze.
Wciąż myślimy o tym trzecim punkcie P3, będącym po prostu przypadkowym punktem na kole.

Ukrainian: 
те, що має відбутись, несе більш широкий урок для рішення математичних завдань.
Подумайте про ті дві лінії, що ми провели для Р1 та Р2 на початку.
Вони роблять проблему значно легшою для осмислення.
І загалом, що б ви не додали до опису поставленої проблеми
це робить її концептуально легшою,
простежте, чи можете ви реформувати ціле питання з точки зору тих речей, що ви щойно додали.
У цьому випадку, замість роздумів про вибір трьох точок випадково,
почніть зі слів:
виберіть дві випадкові лінії, що проходять крізь центр кола;
для кожної лінії є лише дві можливі точки, що відповідають,
тож просто киньте монетку до кожної, щоб вибрати яка з кінцевих точок буде Р1;
і так само для іншої - яка кінцева точка буде Р2.
Вибір випадкової лінії та підкидання монетки
це те саме, що й вибір випадкової точки на колі.
Спочатку це здається трішки заплутано.
Проте причина роздумів про випадковий процес таким чином є те,
що все справді стає простішим.
Ми й далі думатимемо про третю точку Р3 як про випадкову точку на колі.

Spanish: 
lo que está a punto de ocurrir conlleva una lección más amplia acerca de cómo resolver problemas matemáticos.
Pensemos en esas dos líneas que trazamos desde P1 y P2 a través del origen.
Hicieron que fuera mucho más fácil pensar acerca del problema .
En general, al añadir algo a un problema
que lo hace conceptualmente más sencillo,
podemos ver si es posible refrasear toda la pregunta en términos de lo que hemos añadido.
En este caso, en lugar de pensar acerca de elegir tres puntos al azar,
comencemos por decir:
elegimos dos líneas al azar que pasan a través del centro del círculo;
para cada línea, hay dos posibles puntos que podrían corresponder,
así que lanzaremos una moneda para elegir cual de sus puntos finales será P1;
de igual modo haremos para elegir qué punto final será P2.
Elegir una línea al azar y lanzar una moneda de este modo
es lo mismo que elegir un punto al azar en el círculo.
Parece más complicado al principio.
Pero la razón para considerar este proceso aleatorio en este modo
es que las cosas se van a volver más sencillas.
Todavia pensamos en ese tercer punto P3 como un punto al azar sobre el círculo,

Turkish: 
birazdan göreceklerimizin, genel problem çözme konusunda da büyük bir ders niteliğinde olması.
P1 ve P2'den başlayıp merkezden geçen şu çizgileri düşünün.
Soru hakkında daha kolay düşünmemizi sağladılar.
Ve genelde de, herhangi bir soruya yeni şeyler eklediğinizde
onu sizin için kolaylaştırırlar.
Şimdi, bu eklediğimiz çizgileri düşünerek soruyu baştan düşünün.
İlk olarak, rastgele 3 nokta seçerek başlamaktansa,
merkezden geçen iki çap düşünün.
Çizgi başına, noktanın olabileceği iki uç var.
Hangisinde olacağına karar vermek için yazı-tura oynayabilirsiniz.
Bu şekilde rastgele bir çizgi seçip yazı-tura oynamak,
çember üzerinde rastgele bir nokta seçmekle aynı şey.
Sadece başta biraz karışık geliyor.
Fakat bu şekilde düşünmeye başladığımızda,
işler kolaylaşmaya başlıyor.
P3, çember üzerinde seçilmiş rastgele bir nokta olmaya devam ediyor.

Chinese: 
接下来的事情 对求解数学问题有广泛的参考价值
回想我们之前画出的以P_1与P_2为端点  通过圆心的两条线
这两条线让问题更容易思考了
一般而言  只要你往原问题中添加了新东西
使得问题的概念更简洁的话
那就看看  你能否将整个问题只用加进来的新东西来重新叙述
在这里  我们不再考虑随机选择三个点
而是考虑
随机选择两条过圆心的直线
每条直线都对应着圆上的两个点
所以就二选一  确定哪个端点是P_1
类似地  在另一条直线上确定哪个端点是P_2
随机选择一条直线  然后二选一确定端点
这种做法就等于随机在圆上选取一点
乍一看  这让人感觉有点绕弯子
但之所以用这种方式来考虑随机过程
是因为这能让事情变得简单许多
我们依然认为点P_3不过是圆上的任意一点

Italian: 
Ma immagina che sia stato scelto prima di fare i due lanci della moneta.
Perché si vede, una volta che le due linee e che il terzo punto sono fissati,
ci sono solo quattro possibilità su cui P1 e P2 possono finire basate sui lanci della moneta,
ognuno con uguale probabilità.
Ma uno e solo uno di questi quattro risultati
lascia P1 e P2 sul lato opposto del cerchio rispetto a P3
formando un triangolo contenente il centro.
Quindi, non importa dove quelle due righe sono e dove P3 è fissato,
è sempre un 1/4 la possibilità che i lanci della moneta formano un triangolo contenente il centro.
Ora questo passaggio è molto sottile.
Fatemi solo riformulare il modo in cui pensiamo al processo casuale per la scelta di punti,
la risposta 1/4 è spuntata fuori in un modo diverso da come fatto in precedenza.
E, soprattutto, questo stile di argomentazione generalizza a soluzione, senza soluzione di continuità, al caso in tre dimensioni.
Ancora una volta, invece di partire scegliendo quattro punti casuali,
immagina di scegliere tre linee casuali attraverso il centro della sfera,

Portuguese: 
se tivesse sido escolhido antes de você determinar os outros dois pontos (P1 e P2).
Como você pode vê, ambas as linhas e o terceiro ponto
estão fixos, só existem 4
possibilidades para onde P1 e P2 irão estar
(baseado naquela troca de posições de P1 e P2, cada uma tendo  a mesma probabilidade).
Mas uma e somente uma daquelas quatro possíveis posições
deixa P1 e P2 em lugares opostos do círculo
como P3, com o triângulo formado por eles
contendo o centro. Então não importa
onde aquelas duas linhas estejam e onde P3 esteja,
é sempre 1/4 de possibilidade de que a escolha termine
com um triângulo contendo o centro.
Mas isso é bem sútil. Só reformulando como pensamos
no processo de escolha aleatória de pontos,
a resposta 1/4 apareceu numa maneira bem diferente
da anterior. E mais importante que isso,
esse tipo de argumento generaliza perfeitamente
no caso 3D.
Novamente, ao invés de começar pegando quatro pontos,
imagine escolhendo três linhas aleatórias que passam pelo centro da

Vietnamese: 
Nhưng thử tưởng tượng rằng nó đã được định đoạt trước khi bạn tung đồng tiền.
Bởi vì, như bạn thấy, một khi 2 đường và điểm thứ ba được đặt,
Chỉ có bốn khả năng cho vị trí của P1 và P2, dựa trên việc tung đồng tiền,
mỗi khả năng đều như nhau.
Nhưng chỉ có một trong bốn khả năng
mà làm cho P1 và P2 đối diện với nhau trên vòng tròn, còn P3
và tam giác tạo bởi nó có chứa luôn tâm điểm.
Vậy nên không cần biết hai đường đó và P3 nằm ở đâu,
lúc nào cũng sẽ chỉ có 1/4 xác suất là đồng tiền sẽ tạo ra một tam giác chứa tâm điểm.
Ờ, nghe có vẻ mơ hồ.
Chỉ bằng việc "nhìn theo  một cách khác" về công đoạn ngẫu nhiên cho việc chọn điểm,
Câu trả lời 1/4 xuất hiện theo một cách khác với những gì chúng ta đã làm trước đó.
Và cũng khá quan trọng là cách diễn đạt này tựu chung khá là ổn ngay cả ở không gian 3 chiều.
Cũng vậy, thay vì chọn bốn điểm ngẫu nhiên,
hãy tưởng tưởng chọn ba đường ngẫu nhiên đi qua tâm điểm hình cầu,

Ukrainian: 
Проте уявіть що це було обрано до того, як ви підкинули дві монети.
Тому що ви бачите, як тільки дві лінії і ця третя точка стоять на своїх місцях
лишається лише чотири ймовірності, у яких Р1 і Р2 можуть закінчитись, базуючись на підкиданні монетки,
кожна з яких однаковго вірогідна.
Проте один і тільки один з цих чотирьох результатів
залишає Р1 та Р2 на протилежному боці кола від Р3
утворюючи трикутник із центром кола всередині.
Тож немає значення де ці дві лінії а точка Р3 закінчуються,
завжди шанс того, що підкидання монети спричинить утворення трикутника з центром кола в собі, рівний 1/4.
Тепер це дуже тонко.
Просто змінивши підхід у розгляді випадкового процесу для вибору точки,
відповідь 1/4 з'явилась за зовсім іншого підходу відносно того, що був вже використаний.
І, важливо, цей стиль аргументації без проблем узагальнюється на три виміри.
Знову, замість того, що почати з підбору чотирьох випадкових точок,
уявіть вибір трьох випадкових ліній, що проходять через центр сфери,

Korean: 
하지만 동전 던지기를 하기 전에 
선택했다고 상상해 보세요
왜냐하면, 보시다시피, 두 선과 세번째 지점을 고정시키고
동전 던지기로 결정할 점P1, P2의 모든 경우의 수는 
총 4가지가 되며
각각 다 동등할 것이기 때문이죠
그러나 4가지 경우 중 한번만 있다면
점P1,P2를 반대편에 놓고,
원의 중심을 포함하는 삼각형을 고르면 됩니다
그래서 두 선분이 어디에 있든,
 점P3가 어느 위치에 있든 상관이 없죠
동전 더지기를 하던 간에 
항상 삼각형이 원의 중심을 포함할 확률은 1/4입니다
거 복잡미묘하군요
무작위로 점을 정하는 과정에 대해 어떻게 생각하는지
 다시 한번 되새기는 것만으로도,
어떤 방식으로 풀더라도, 1/4이라는 답은 
똑같이 나옵니다
그리고 중요한 것은, 이런 방식의 논쟁은 
3차원상으로도 원활하게 확장할 수 있는겁니다
다시, 4개의 점을 임의로 정하고,
구의 중심을 지나는 무작위로 정해진 
3개의 선분을 생각한 후,

Russian: 
Но представьте себе, что он был выбран до того, как вы сделаете два флага.
Поскольку вы видите, как только две линии и эта третья точка установлены в камне,
есть только четыре возможности для того, где P1 и P2 могут закончиться на основе этих переводов монет,
каждый из которых в равной степени вероятен.
Но один и только один из этих четырех результатов
оставляет P1 и P2 на противоположной стороне круга как P3
с треугольником, который они образуют, содержащим центр.
Поэтому независимо от того, где находятся эти две линии и где этот P3 заканчивается,
это всегда шанс 1/4, что монеты переворачивают нас с треугольником, содержащим центр.
Теперь это очень тонко.
Просто перефразируя, как мы думаем о случайном процессе выбора точек,
ответ 1/4 выскочил совсем по-другому, чем раньше.
И что важно, этот стиль аргумента легко обобщается на три измерения.
Опять же, вместо того, чтобы начать с выбора четырех случайных точек,
представьте себе, выбирая три случайные линии через центр сферы,

Turkish: 
Fakat bu sefer, ilk iki noktayı seçmeden önce P3'ü seçtiğimizi düşünün.
Çünkü iki çizgimizi ve P3'ü seçtikten sonra,
P1 ve P2'nin olabileceği sadece dört yer kalmış oluyor.
Her biri eşit olasılıklı.
Fakat bir, ve sadece bir senaryoda...
P1 ve P2, oluşan üçgenin merkezi barındırabileceği...
bir pozisyonda olabiliyorlar.
Yani seçtiğimiz iki çizgi ve P3 nerede olursa olsun,
merkezi içine alan bir üçgen oluşturma olasılıkları 1/4.
Zekice değil mi?
Sadece noktaları seçme konusunda nasıl düşündüğümüzü değiştirerek...
1/4 cevabı öncekinden çok daha farklı bir şekilde çıkmış gibi göründü.
Ve daha önemlisi, bu yeni yöntemimiz 3 boyuta da uyuyor.
Yine, 4 rastgele nokta seçmektense,
merkezden geçen 3 rastgele çizgi seçiyoruz

Chinese: 
但是想像我們在丟那兩枚硬幣之前，先決定 P3 的位置
因為當你先畫好兩條線，再標出第三的點
P1、P2 會為在圓周上的哪裡就只剩下 4 個可能
而每個可能性都有相同的機率會被選到
但是這 4 個可能性中，只有 1 個結果
會使 P1 和 P2 位在 P3 的對面
讓三角形包含到圓心
所以無論我們的兩條線在哪、P3 標在哪
三角形有沒有包含到圓心
都由丟這兩枚硬幣 1/4 機率決定
這個結果很微妙
當我們重新定義隨機選點的方法
同樣的答案以非常不一樣的方式被我們算出來了
而更重要的
這個新的描述法可以被套用在任意維度上
回到三維的問題，與其想隨機在球面上選四個點
先想像我們隨機的選通過球心的三條線

English: 
a random point on the circle, but imagine
that it was chosen before you do the two coin
flips.
Because you see, once the two lines and a
random point have been chosen, there are four
possibilities for where P1 and P2 end up,
based on the coin flips, each one of which
is equally likely. But one and only one of
those outcomes leaves P1 and P2 on the opposite
side of the circle as P3, with the triangle
they form containing the center.
So no matter what those two lines and P3 turned
out to be, it’s always a ¼ chance that
the coin flips will leave us with a triangle
containing the center.
That’s very subtle. Just by reframing how
we think of the random process for choosing
these points, the answer ¼ popped in a different
way from before.
And importantly, this style of argument generalizes
seamlessly to 3 dimensions.
Again, instead of starting off by picking
4 random points, imagine choosing 3 random

Polish: 
Ale wyobraź sobie, że został wybrany przed wykonaniem dwóch rzutów monetą.
Ponieważ widzisz, kiedy dwie linie i ten trzeci punkt są ustawione w jednym punkcie
istnieją tylko cztery możliwości, w których P1 i P2 mogą się skończyć w oparciu o te rzuty monetą,
każde z nich jest jednakowo prawdopodobne.
Ale jeden i tylko jeden z tych czterech wyników
pozostawia P1 i P2 po przeciwnej stronie koła jako P3
z trójkątem, który tworzą, zawierającym środek.
Niezależnie od tego, gdzie kończą się te dwie półproste i gdzie leży P3,
zawsze jest 1/4 szansy, że rzut monetą pozostawia nam trójkąt zawierający środek.
To bardzo subtelne.
Po prostu zmieniając sposób, w jaki myślimy o losowym procesie wyboru punktów,
odpowiedź 1/4 wyskoczyła w zupełnie inny sposób niż wcześniej.
Co ważne, ten styl argumentacji może być prosto przeniesiony do trzech wymiarów.
Ponownie, zamiast zaczynać od wybrania czterech losowych punktów,
wyobraź sobie wybranie trzech losowych linii przechodzących przez środek sfery

Portuguese: 
Mas imagine que foi escolhido ANTES de fazer as duas jogadas de moeda.
Uma vez que as duas linhas e o terceiro ponto estão definidos,
há apenas quatro possibilidades para onde P1 e P2 pode acabar caindo, baseados naquelas jogadas de moeda.
cada uma sendo igualmente provável.
Mas um e apenas um desses quatro resultados,
deixa P1 e P2 no lado oposto do círculo e de P3
com o triângulo que eles formam contendo o centro.
Portanto, não importa onde essas duas linhas e P3 acabam caindo,
é sempre uma chance de 1/4 de que as jogadas de moeda nos deixam com um triângulo contendo o centro.
Isso é bem sutil.
Apenas reformulando a maneira como pensamos sobre o processo aleatório para a escolha de pontos,
a resposta 1/4 apareceu de uma forma muito diferente como antes.
E mais importante, este jeito de argumento generaliza perfeitamente em três dimensões.
Mais uma vez, em vez de começar escolhendo quatro pontos aleatórios,
imagine escolher três linhas aleatórias que passam pelo centro da esfera,

German: 
Aber uns vorstellen, dass er vor den beiden Münzwürfen ausgewählt wurde.
Denn ihr seht, sobald die beiden Lienien und der dritte Punkt festgelegt sind,
gibt es nur vier Möglichkeiten, wo P1 und P2, basierend auf dem Münzwurf, liegen können,
jeder gleich wahrscheinlich.
Aber eines, und wirklich nur eines dieser vier Ergebnisse,
beinhaltet P1 und P2 gegenüber von P3,
wobei das Dreieck das sie formen, die Mitte enthält.
Also egal, wo diese beiden Linien und P3 liegen,
ist es immer eine 1/4 Chance, dass der Münzwurf ein Dreieck generiert, das den Mittelpunkt enthält.
Nun, das ist sehr subtil.
Nur dadurch, dass wir anders über den zufälligen Auswahlprozess für die Punkte nachdenken,
ergibt sich die Antwort 1/4 auf eine sehr andere Weise als zuvor.
Und wichtig ist, dass man diese Art der Argumentation nahtlos auf drei Dimensionen übertragen kann.
Also auch hier. Anstatt damit zu beginnen vier zufällige Punkte auszuwählen,
stellen wir uns drei zufällige Linien durch den mittelpunkt der Kugel vor,

Croatian: 
Ali zamislite da je odabrana prije nego 
što ste bacili novčić.
Jer vidite, jednom kad su dvije linije i treća točka determinirane,
Postoje samo četiri mogućnosti za to gdje će se 
P1 i P2 nalaziti.
Svaka od mogućnosti je jednako vjerojatna.
Ali samo jedan od tih četiri ishoda
stavlja P1 i P2 na suprotnu stranu kružnice od P3
Trokut koji one definiraju sadržava centar.
Bez obzira gdje se te dvije linije nalaze i gdje se P3 nalazi,
uvijek je vjerojatnost da ćemo dobiti trokut koji sadrži centar 1/4.
To je vrlo suptilno.
Promjenom načina na koji razmišljamo o nasumičnom procesu biranja točaka,
odgovor 1/4 je proizašao na puno drugačiji način od onoga prije.
I što je najvažnije, ovaj se stil argumenta besprijekorno generalizira u tri dimenzije.
Ponovno, umjesto biranja četiri nasumične točke,
zamislite odabiranje tri nasumične linije
 kroz centar sfere,

Modern Greek (1453-): 
Αλλά φαντάσου ότι επιλέχθηκε πριν στρίψεις τα δυο κέρματα.
Γιατί βλέπεις, όταν αυτές οι δυο γραμμές και το τρίτο σημείο έχουν τεθεί σε πέτρα,
υπάρχουν 4 πιθανότητες για το που το P1 και το P2 μπορεί να είναι βασισμένη στο στρίψιμο εκείνων των κερμάτων,
κάθε μια ίση πιθανοτήτων.
Μα ένα και μόνο ένα από αυτά τα τέσσερα αποτελέσματα
αφήνει το P1 και το P2 στην απέναντι πλευρά του κύκλου σαν P3
με το τρίγωνο που σχηματίζουν να εμπεριέχει το κέντρο.
Άρα δεν έχει σημασία που καταλήγουν αυτές οι δυο γραμμές και που καταλήγει το P3,
πάντα η πιθανότητα που μας αφήνουν τα στριψίματα των κερμάτων για ένα τρίγωνο να εμπεριέχει το κέντρο του κύκλου είναι 1/4.
Αυτό είναι πολύ ευφυές.
Απλά και μόνο από την αναθεώρηση του πως σκεφτόμαστε αυτήν την τυχαία διαδικασία να επιλέγουμε σημεία,
η απάντηση 1/4 ήρθε απότομα με πολύ διαφορετικό τρόπο απ'οτι είχε έρθει πριν.
Και σημαντικότερα, αυτού του είδους το επιχείρημα γενικεύεται με ομαλότητα στις τρεις διαστάσεις.
Και πάλι, αντί να αρχίσουμε παίρνοντας 4 τυχαία σημεία,
φαντάσου πως επιλέγεις 3 τυχαίες γραμμές διερχόμενες από το κέντρο της σφαίρας,

French: 
Mais imaginez qu'il avait choisi avant que vous ne lanciez les deux pièces.
Parce que vous voyez que, une fois les deux diamètres et le troisième point choisis,
il y a quatre possibilités pour P1 et P2, basées sur les lancers,
chacun étant également probable.
Mais un et un seul de ces quatre paires
correspond à P1 et P2 du côté opposé du cercle à P3
avec le triangle qu'ils forment contenant le centre.
Alors indépendamment où les deux diamètres et P3 se trouvent,
on a toujours que les lancers de pièce vont nous donner un triangle qui contient le centre dans 1/4 des cas.
Et là c'est très fin.
Juste en reformulant la façon qu'on choisit au hasard nos points,
la réponse  1/4 apparait d'une façon très différente qu'avec la première méthode.
Et surtout, ce genre d'argument se généralise aisément en dimension 3.
Encore, au lieu de commencer en choisissant trois points au hasard,
imaginons choisir trois diamètres au hasard,

Chinese: 
但我们是在扔两次硬币前就确定好P_3了
因为你看嘛  一旦这两条线和第三个点定死了以后
P_1和P_2落在哪里 依扔硬币的结果而定就只有四种情况了
每种情况都是等可能的
但是  有且仅有一种情况
能使得P_1和P_2在圆上落在P_3的对面
因此三点围成的三角形能包含圆心
所以说  不管这两条线或者P_3点最后落在哪里
扔硬币总是会给我们1/4的机率使得 三角形包含圆心
这就很巧妙了
重新修改一下我们随机选点的顺序
1/4这个答案就以一种很不一样的方式蹦了出来
重要的是  这种推导过程可以毫无痕迹地被推广至三维
再来一次  这次我们从选四个随机点开始
想象一下  任选三条穿过球心的线

Spanish: 
pero imaginemos que ya lo habíamos elegido antes de lanzar las dos monedas.
Porque, una vez que las dos líneas y el tercer punto están fijados,
sólo hay cuatro posibilidades para dónde P1 y P2 pueden estar, basado en los lanzamientos de la moneda,
cada una con igual probabilidad.
Pero una, y sólo uno de estos cuatro resultados
deja P1 y P2 en lados contrarios al círculo respecto a P3
con el triángulo que forman conteniendo el centro.
Así pues, no importa qué dos lineas se elija, ni que punto P3 se elija,
siempre habrá una probabilidad de 1/4 de que los lanzamientos de la moneda nos dejen un triángulo que contenga el centro.
Esto es muy sutil.
Por el hecho de refrasear como pensamos acerca del proceso aleatorio de elección de los puntos,
la respuesta 1/4 aparece en una forma muy diferente a como lo hizo antes.
Y más importante, este estilo de argumento se generaliza de forma directa a tres dimensiones.
En vez de empezar por elegir cuatro puntos al azar,
elegiremos tres líneas al azar que pasen por el centro de la esfera,

Chinese: 
再随便来一个点P_4
第一条线与球面相交于两点
扔个硬币  决定一下哪个点是P_1
类似地  扔硬币决定P_2和P_3的落点
扔硬币就有8种等可能的结果
但有且仅有一种结果
能使P_1  P_2和P_3处于与P_4相对的位置上
所以这8个概率一样的结果中 有且仅有一个
能让我们得到包含球心的四面体
这个结果再一次以巧妙的方式出现在了我们的面前
但是 这的确很简洁啊
这就是此问题的一个确实的解了
但是必须承认 到目前为止我的讲解都是基于几何直观的
如果你有点好奇 应该如何不依靠几何直观来写出这个解的话
我在简介里留了个解答的链接
它用线性代数的语言解答了这个问题
这在数学中是挺常见的：

Spanish: 
y un punto al azar para P4.
La primera línea cruza la superficie de la esfera en dos puntos,
así que lanzaremos una moneda para decidir cual será P1.
De igual modo, para cada una de las otras líneas, lanzaremos una moneda para dedicir dónde estarán P2 y P3.
Ahora hay ocho resultados igualmente probables de los lanzamientos de la moneda,
pero uno, y sólo uno, colocará a P1, P2, y P3 en el lado opuesto al centro de P4.
Así pues uno y sólo uno de esos ocho resultados equiprobables nos da un tetraedro que contiene el centro.
Es muy sutil como esta solución aparece,
pero, ¿a que es elegante?
Esta es una solución válida para el problema,
pero lo admito, de la manera que la he presentado confía en la intuición visual.
Si tiene curiosidad en cómo se puede escribir de manera que no necesite de la intuición visual,
he dejado un enlace a un artículo escrito en el lenguaje del álgebra lineal.
Esto es muy comun en matemáticas,

English: 
lines through the center, and then a random
point for P4.
That first line passes through the sphere
at 2 points, so flip a coin to decide which
of those two points is P1. Likewise, for each
of the other lines flip a coin to decide where
P2 and P3 end up.
There are 8 equally likely outcomes of these
coin flips, but one and only one of these
outcomes will place P1, P2, and P3 on the
opposite side of the center from P4.
So only one of these 8 equally likely outcomes
gives a tetrahedron containing the center.
Isn’t that elegant?
This is a valid solution, but admittedly the
way I’ve stated it so far rests on some
visual intuition.
I’ve left a link in the description to a
slightly more formal write-up of this same
solution in the language of linear algebra
if you’re curious.
This is common in math, where having the key

Vietnamese: 
và điểm ngẫu nhiên nào đó cho P4.
Đường đầu tiên mà cắt tâm điểm ở 2 điểm,
Thảy đồng tiền lên và cho một trong 2 điểm là P1.
Tương tự, trong mỗi đường thẳng khác, thảy đồng tiền và tìm điểm cho P2 và P3.
Giờ thì có tám khả năng thảy đồng tiền,
Nhưng chỉ một trong số đó sẽ cho vị trí của P1, P2, và P3 trên bề mặt đối diện với tâm điểm là P4.
Vậy chỉ một trong tám khả năng sẽ tạo nên hình khối 4 ngọn chứa tâm điểm.
Tương tự, nhìn có vẻ mơ hồ;
nhưng, nhìn hay quá ha?
Đây là đáp án hợp lệ cho bài toán,
nhưng cũng phải công nhận là cách mà tôi tiếp cập là dựa trên thiên ý cá nhân.
Nhưng nếu bạn tò mò liệu có cách nào không dựa trên thiên ý cá nhân,
tôi đã để một đường dẫn (link) tới những bài viết được viết bằng ngôn ngữ Đại số Thẳng hàng Học (Linear Algebra)
Và cái này cũng khá phổ biến trong toán học,

Polish: 
a następnie jakiś losowy punkt dla P4.
Ta pierwsza linia przechodzi przez sferę w dwóch punktach,
więc rzuć monetą, aby zdecydować, który z tych dwóch punktów będzie P1.
Podobnie, dla każdej z pozostałych linii, rzuć monetą, aby zdecydować, gdzie będą P2 i P3.
Teraz jest osiem równie prawdopodobnych wyników rzutu monetą,
ale jeden i tylko jeden z nich umieszcza P1, P2 i P3 po przeciwnej stronie centrum jako P4.
Tak więc jeden i tylko jeden z tych ośmiu równie prawdopodobnych wyników daje nam czworościan zawierający centrum.
Ponownie, jest to subtelne, jak dochodzimy do rozwiązania
ale czy to nie jest eleganckie?
Jest to prawidłowe rozwiązanie problemu,
ale przyznaję, że sposób, w jaki o tym mówiłem, opiera się na pewnej intuicji wizualnej.
Jeśli jesteś ciekawy, jak możesz napisać to w sposób, który nie opiera się na intuicji wizualnej,
Pozostawiłem link w opisie do jednego z takich zapisów w języku algebry liniowej, jeśli jesteś ciekawy.
To dość powszechne w matematyce,

Croatian: 
i onda neku nasumičnu točku za P4.
Ta prva linija prolazi kroz sferu u dvije točke,
stoga bacite novčić da odaberete koja od 
tih dviju točaka će biti P1.
Na isti način, za sve ostale linije, bacite novčić da odlučite gdje će se P2 i P3 nalaziti.
Sada postoje osam jednako vjerojatnih ishoda 
ovih bacanja novčića,
ali samo jedan  od njih će staviti P1, P2 i P3 
na suprotnu stranu od P4.
Tako će samo jedan od ovih osam jednako vjerojatnih ishoda proizvesti tetraedar koji sadržava centar.
Opet, malo je suptilan način na koji nam se to ukaže;
ali nije li elegantno?
Ovo je važeće rješenje problema,
Doduše, način na koji sam ga izrekao se oslanja na vizualnu intuiciju.
Ako vas zanima kako biste to zapisali bez da se oslanjate na vizualnu intuiciju,
Ostavio sam link u opisu videa na jedno takvo rješenje u jeziku linearne algebre.
Ovo je vrlo često u matematici,

Chinese: 
以及一個隨機的第四點
我們畫的第一條線跟求面有兩個交點
所以我們就丟一枚硬幣來決定那一個是 P1
同樣的，我們需要用另外兩枚硬幣
來決定 P2 和 P3 的位置
現在總共有 8 種相同機率的可能性
不過只有一種是 P1、P2 和 P3 位在 P4 的對面
也就是說 8 種組合中
只有 1 種會讓這 4 點所定義的四面體包含球心
這個答案得到的方法很微妙
但是你不覺得很漂亮嗎？
上述的是一個有效的解
但是我得承認目前敘述的方式都太依靠某種
視覺上的直觀來論述
如果你好奇要怎麼不用這種直觀論述來表達這個解
影片敘述中有一個連結檔案
是以線性代數的語言完整的陳述這個解
這種思路模式在數學中很常出現

Turkish: 
ve P4 için yine rastgele bir nokta.
İlk çizginin hangi ucunda P1'in olacağını belirlemeliyiz,
bunun için önceki gibi rastgele birini seçiyoruz.
Aynı şekilde, P2 ve P3 sabit noktaları için de rastgele uçlar belirliyoruz.
Noktaların çizgilerin hangi uçlarında olacağıyla ilgili 8 senaryomuz var.
fakat bir ve sadece bir durumda, ilk üç nokta ile P4 merkezin zıt yönünde oluyorlar.
Yani 8 durumdan sadece birinde dört yüzlümüz merkezi barındırıyor.
Ne kadar ince ve şık bir yol, değil mi?
Sorunun geçerli cevabı buydu.
fakat ben bunu açıklamak için görsel destekçiler ve animasyonlar kullandım.
Eğer nasıl görsel olmadan çözüleceğini merak ediyorsanız,
açıklamaya, sorunun doğrusal cebir ile açıklanmış halinin internet adresini koydum.
Ve bu matematikte sıkça görülür.

German: 
und dann einige zufällige Ort für P4.
Die erste Linie verläuft an zwei Punkten durch die Kugel,
also werfen wir eine Münze, um zu entscheiden, welche dieser beiden Punkte P1 sein wird.
Ebenso werfen wir für jede der anderen Linien, eine Münze, um P2 und P3 zu bestimmen.
Jetzt gibt es acht gleich wahrscheinlich Ergebnisse dieser Münzwürfe,
aber einer aber auch nur einer von ihnen wird P1, P2 und P3 gegenüber von P4 positionieren.
Also erzeugt nur ein einziges dieser acht gleich warscheinlichen Ergebnisse ein Tetraeder, dass die Mitte beinhaltet.
Auch hier ist es wieder subtil, wie sich uns das Ergebnis präsentiert;
aber das ist nicht elegant?
Dies ist eine gültige Lösung für das Problem,
aber freilich, so wie ich es bis jetzt erklärt habe beruht es auf ein Paar visuellen Intuitionen.
Falls ihr euch dafür interessiert, wie man das ausdrücken kann, ohne sich auf visuelle Intuitionen zu berufen,
habe ich in der Videobeschreibung eine solche Ausarbeitung verlinkt, falls ihr neugirig geworden seit.
Und das ist ziemlich häufig in der Mathematik,

Korean: 
역시 무작위로 점P4를 찍읍시다
저 첫번째 선분으로 구면에 2개의 점을 만들고,
어떤 점이 점P1이 될지 동전 던지기로 정해봅시다
이처럼, 다른 선분들로 각각 점P2,P3를 만들어보죠
이제 동전 던지기의 결과가 8개나 있을 겁니다
하지만 점P4는 
점P1,P2,P3의 정반대편에 위치시키도록 합시다
결국 8가지의 경우의 수 중 구의 중심을 포함하는
 사면체는 오직 하나만 탄생하는군요
다시 봅시다. 이 얼마나 복잡미묘한 결과인가요
하지만, 아름답지 않나요?
이는 이 문제에 대해 꽤나 유효한 해결책 입니다
하지만 제가 지금까지 언급한 것은,
 시각적 직관력에 의존합니다
만약 여러분이 시각적 직관에 의존하지 않고도
 이 문제를 어떻게 해결할지 궁금하다면,
선형대수학적 풀이과정을 영상 밑 설명란에
링크로 남겨뒀습니다.
그리고 이것은 수학에서 꽤 흔하며,

Portuguese: 
e algum ponto aleatório para P4.
Essa primeira linha passa pela esfera em dois pontos,
então jogue uma moeda para decidir qual destes dois pontos vai ser P1.
Da mesma forma, para cada uma das outras linhas, jogue uma moeda para decidir onde P2 e P3 cairão.
Agora há oito resultados igualmente prováveis ​​daquelas jogadas de moeda
mas um e apenas um deles vai colocar P1, P2 e P3 no lado oposto do centro e de P4.
Assim, um e somente um destes oito resultados igualmente prováveis ​​nos dá um tetraedro que contém o centro.
Mais uma vez, é bem sutil como que aparece para nós;
mas, isso não é elegante?
Esta é uma solução válida para o problema,
mas de certo, a maneira que eu disse até agora, depende de alguma intuição visual.
Se você está curioso sobre como você pode escrever de uma forma que não depende de intuição visual,
eu deixei um link na descrição para uma resposta escrita na linguagem da Álgebra Linear, se você estiver curioso.
E isso é muito comum em matemática,

Modern Greek (1453-): 
και ύστερα ένα τυχαίο σημείο για το P4.
Αυτή η πρώτη γραμμή διέρχεται την σφαίρα σε δυο σημεία,
άρα στρίψε ένα κέρμα για να αποφασίσεις πια από τα δυο σημεία θα είναι το P1.
Με τον ίδιο τρόπο,για κάθε άλλη γραμμή, στρίψε ένα κέρμα να αποφασίσεις που το P2 και το P3 θα καταλήξουν
Υπάρχουν 8 ίσα πιθανοτήτων αποτελέσματα από αυτά το στριψίματα του κέρματος,
μα ένα και μόνο ένα από αυτά θα τοποθετήσει το P1, P2 και P3 στην απέναντι πλευρά του κέντρου σαν το P4.
Άρα ένα και μόνο ένα από αυτά τα 8 ίσα πιθανοτήτων αποτελέσματα μας δίνει ένα τετράεδρο που περιέχει το κέντρο.
Πάλι, είναι λίγο περίεργο το πως αυτό μας φαίνεται
μα, δεν είναι αυτό κομψό;
Είναι μια αποδεκτή λύση στο πρόβλημα,
μα το παραδέχομαι, ο τρόπος που το έχω ξεκινήσει βασίζεται πάνω σε εικονικές σκέψεις.
Αν είσαι περίεργος για το πως μπορείς να το γράψεις με έναν τρόπο που δεν βασίζεται σε εικονική σκέψη,
Έχω αφήσει έναν σύνδεσμο κάτω στη περιγραφή για ένα τέτοιο γραπτό γραμμένο στη γλώσσα της γραμμικής άλγεβρας αν ενδιαφέρεσαι.
Και είναι πολύ συνηθισμένο στα μαθηματικά,

French: 
et ensuite un point au hasard pour P4.
Le premier diamètre coupe la sphère en deux points,
alors on jette une pièce pour savoir lequel de ces points sera P1.
Pareillement, pour les autres diamètres, on jette une pièce pour déterminer P2 et P3.
Il y a maintenant huit triplets possibles à l'issue de ces lancers,
mais un et un seul d'entre eux va positionner P1, P2 et P3 du côté opposé à P4 par rapport au rentre.
Donc un et un seul de ces triplets - qui sont également probables - nous donne un tétraèdre qui contient le centre.
Encore, arriver à la solution de cette manière est assez fin;
mais n'est-ce pas élégant ?
C'est une solution tout à fait valide à la question,
mais certes, la façon dont je l'ai expliquée repose sur une intuition visuelle.
Si vous êtes curieux de savoir comment l'écrire rigoureusement,
j'ai mis un lien dans la description qui mène à une preuve basée sur de l'algèbre linéaire si vous êtes intéressés.
Et comme c'est assez fréquent en maths,

Ukrainian: 
а потім деяку випадкову точку Р4.
Перша лінія проходить крізь сферу у двох точках,
тоді підкиданням монетки визначаємо яка з цих двох точок буде Р1.
Так само, для кожної наступної лінії підкидання монетки вирішить розташування Р2 та Р3.
Тепер тут вісім рівних між собою результати підкидання монети,
але тільки один і тільки один з них розташує Р1, Р2 і Р3 на протилежному боці від Р4.
Тому один і тільки один з цих восьми рівноцінних результатів утворить тетраедр, який містить центр сфери.
Знову ж, це випливає до нас доволі тонким чином;
та хіба це не вишукано?
це дійсне рішення проблеми,
проте, за загальним визнанням, так, як я це говорив, спирається на якусь візуальну інтуїцію.
Якщо ви зацікавлені в тому, як ви можете це розписати, не опираючись на візуальну інтуїцію,
я залишив посилання у описі на запис на мові лінійної алгебри, якщо ви зацікавлені.
І це досить звичайно у математиці,

Russian: 
а затем некоторую случайную точку для P4.
Эта первая строка проходит через сферу в двух точках,
поэтому переверните монету, чтобы решить, какой из этих двух пунктов будет P1.
Аналогично, для каждой из других линий, переворачивайте монету, чтобы решить, где находятся P2 и P3.
Теперь есть восемь одинаково вероятных результатов этих монетных флип,
но один и только один из них будет размещать P1, P2 и P3 на противоположной стороне центра как P4.
Таким образом, один и только один из этих восьми одинаково вероятных результатов дает нам тетраэдр, содержащий центр.
Опять же, это довольно тонко, как это всплывает к нам;
но, разве это не элегантно?
Это правильное решение проблемы,
но, по общему признанию, то, как я уже говорил, до сих пор опирается на некоторую визуальную интуицию.
Если вам интересно, как вы могли бы написать это так, чтобы не полагаться на визуальную интуицию,
Я оставил ссылку в описании на одну такую ​​запись на языке линейной алгебры, если вам интересно.
И это довольно часто встречается в математике,

Italian: 
e poi un certo punto casuale per P4.
Quella prima linea passa attraverso la sfera in due punti,
quindi lancia una moneta per decidere quale dei due punti è P1.
Allo stesso modo, per ciascuna delle altre linee, lancia una moneta per decidere dove P2 e P3 finiscono.
Ora abbiamo otto esiti ugualmente probabili di lanci della moneta,
ma uno e solo uno di loro, posiziona P1, P2 e P3 sul lato opposto del centro rispetto a P4.
Così uno e solo uno di questi otto esiti ugualmente probabili ci dà un tetraedro contenente il centro.
Anche in questo caso, è un po' delicato il procedimento per arrivare alla soluzione;
ma, è o non è raffinato?
Si tratta di una valida soluzione al problema,
ma certamente, il modo spiegato finora si appoggia su una certa intuizione visiva.
Se siete curiosi di sapere come si potrebbe scrivere in un modo che non si basa su l'intuizione visiva,
Ho lasciato un link in descrizione di come si possa scriverlo con le notazioni dell'algebra lineare, se siete curiosi.
E questo è abbastanza comune in matematica,

Portuguese: 
esfera e algum ponto aleatório para P4.
Essa primeira linha passa pela esfera em dois pontos então escolha
qual desses dois pontos será P1.
Igualmente para as outras linhas escolha o lado
onde P2 e P3 irão se situar.
Agora existem 8 possibilidades iguais dessas escolhas,
mas uma e somente uma delas vai colocar P1,
P2 e P3 no lado
oposto do centro como P4.
Então uma e somente uma dessas 8 possibilidades finais
nos dá um tetraedro que contêm o centro.
É bem sútil como isso se apresenta para nós, mas
não é elegante?
Essa é uma solução válida para o problema, mas o jeito
que eu a apresentei se baseia em intuição visual.
Se você está curioso de como escrever  de uma forma que
não depende de intuição visual, eu deixei um link na descrição
para um documento escrito em linguagem de Álgebra Linear se você estiver curioso.
E isso é bem comum em matemática, onde ter a visão

Polish: 
gdzie posiadanie kluczowego wglądu i zrozumienia to jedno,
ale mający odpowiednie tło do formułowania tego zrozumienia bardziej formalnie
jest prawie oddzielnym mięśniem,
taki, nad którym studenci matematyki spędzają większość swojego czasu
Ale głównym przekazem tutaj nie jest samo rozwiązanie,
ale jak rozwiązać postawiony przed tobą potencjalnie trudny problem
Mianowicie, po prostu zadawaj prostsze wersje pytania, dopóki nie uzyskasz pewnego rodzaju punktu odniesienia.
A kiedy to zrobisz, jeśli pojawią się nowe elementy, które okażą się przydatne
zobacz, czy możesz zmienić całe pytanie wokół tych elementów.
Na zakończenie, mam inną zagadkę,
który pochodzi od sponsora tego wideo - Brilliant.org.
Załóżmy, że masz ośmiu studentów siedzących w kręgu zdających Putnam.
To trudny test, więc każdy uczeń próbuje ściągnąć ze swojego sąsiada
wybierając losowo, z którego sąsiada ściągać.
Teraz zakreśl wszystkich uczniów, którzy nie mają nikogo, kto ściągałby z ich testu

Croatian: 
gdje imati ključni uvid i razumijevanje je jedna stvar,
ali imati relevantnu pozadinu za formalniju artikulaciju tog razumijevanja
je gotovo potpuno drugačiji mišić,
jedan koji preddiplomski studenti matematike provedu cijeli svoji život ojačavajući.
Ali glavna stvar ovdje nije samo rješenje,
već kako biste mogli naći taj ključni uvid ako je stavljen pred vas i morate ga riješiti.
Naime, samo nastavljajte postavljate jednostavnije verzije pitanja dok ne dobijete nekakav oslonac.
I onda kada ga dobijete, ako možete nešto konstruirati što ispadne korisno,
probajte postaviti cijeli problem kroz tu konstrukciju.
Da ovdje završim, imam drugu zagonetku s vjerojatnostima,
jednu koja dolazi od sponzora ovog videa- Brilliant.org
Pretpostavite da imate osam studenata koji sjede u krug i rješavaju Putnam.
To je težak test, pa svaki student nastoji prepisati od svojeg susjeda,
nasumično birajući od kojeg će susjeda prepisati.
Sada zaokružite sve studente od kojih nitko ne prepisuje.

Portuguese: 
chave e o entendimento é uma coisa, mas ter
o conhecimento relevante para articular esse entendimento mais formalmente
é quase como ter um músculo inteiro separado, onde
estudantes de graduação de matemática podem passar muito do seu tempo exercitando.
Mas o principal aqui não é a solução,
mas como você teria essa visão chave se
fosse colocado na sua frente e você tivesse que resolver.
Fique se perguntando sobre versões mais simples daquela questão até que
você consiga alguma base.
Se tiver qualquer tipo de raciocínio que se prove ser útil,
veja se você consegue reformulá-la a questão inteira
diante daquele raciocínio.
Para finalizar, eu tenho outra questão de probabilidade.
Uma que vem do patrocinador desse vídeo (Brilliant.org)
Suponha que tenham 8 estudantes sentados num círculo fazendo o Putnam.
É uma prova difícil, então cada estudante resolve colar do seu vizinho,
escolhendo aleatoriamente que vizinho colar.
Agora circule todos os estudantes que NÃO
tem alguém colando dele. Qual

Turkish: 
Soruyu ve cevabı anlamak bir mesele iken,
anladığını resmi bir şekilde ifade etmek için gerekli arka plana sahip olmak....
apayrı bir beceridir.
Üniversite öğrencilerinin, kurmak için yıllarını harcadığı bir beceri.
Fakat bu sorunun asıl olayı, çözümü değil;
önünüze bu soruyu konulduğunda çözmek için nasıl bir yol takip etmeniz gerektiğini bulmanız.
Bu durumda, üzerinden devam edebileceğiniz bir noktaya varana kadar soruyu baside indirgemek.
Ve sonunda, size yardımcı olabilecek veya soruya karşı bakış açınızı değiştirecek...
bir detay veya yapı ile karşılaşacaksınız.
Bitirmeden önce, sizin için bir sorum daha var.
Sponsorum brilliant.org'dan geliyor.
Putnam sınavına giren, yuvarlak masada oturan sekiz öğrencimiz var.
Sınav çok zor, bu yüzden herkes yanındaki birinden kopya çekiyor.
Ve kimden kopya çekeceğini rastgele seçiyor.
Eğer kendisinden kopya çekilmeyen öğrencileri yuvarlak içine alırsak,

Spanish: 
donde tener la visión clave y entender es una cosa,
pero tener el conocimiento apropiado para articular este entendimiento de manera más formal
es casi un músculo separado por completo,
uno al que los estudiantes de matemáticas dedican la mayoría de su tiempo a entrenar.
El principal botín aquí no es la solución en sí,
sino cómo se puede encontrar la visión clave si se muestra, y dejar la solución pendiente para el lector.
Esto es, buscar versiones más simples de la pregunta hasta que se encuentre un fundamento.
Y cuando se haga, si hay cualquier tipo de construcción añadidad que resulte útil,
ver si se puede reformular toda la pregunta alrededor de esa nueva construcción.
Para cerrar el tema, tengo aquí otro puzzle de probabilidades,
uno que viene de nuestro espónsor, brilliant.org.
Supongamos que hay ocho estudiantes sentandos en círculo y respondiendo al Putnam.
Es un examen difícil, así que cada estudiante intenta copiar de su vecino,
eligiendo al azar de cual copiar.
Ahora, rodeamos con un círculo a los estudiantes que no tienen a nadie copiándose de su test.

Portuguese: 
onde ter a compreensão fundamental e entender é uma coisa,
mas ter o conhecimento prévio para articular esse entendimento mais formalmente
é quase um músculo separado totalmente,
um que estudantes de graduação de matemática passam a maior parte do seu tempo criando.
Mas a principal evidência aqui não é a solução em si,
mas como você encontraria a compreensão-chave, se você ficasse responsável de resolvê-lo.
Ou seja, basta se perguntar versões mais simples da questão até você obter algum tipo de apoio.
Quando você fizer isso, se houver qualquer tipo de elemento adicional que provou ser útil,
veja se você consegue reformular toda a questão em torno desse novo elemento.
Concluindo, eu tenho outro enigma de probabilidade,
um que vem do patrocinador desse vídeo - Brilliant.org
"Suponha que você tem oito alunos sentados em um círculo fazendo a Putnam.
É uma prova difícil, então cada aluno tenta colar do seu vizinho
escolhendo aleatoriamente de qual vizinho colar.
Agora circule todos os alunos que não há ninguém colando de sua prova.

Italian: 
dove avere l'intuizione fondamentale e la comprensione è una cosa,
ma riuscire ad articolare questa comprensione formalmente
è quasi come un ''muscolo'' separato,
uno che gli studenti universitari di matematica trascorrono la maggior parte del loro tempo a irrobustire.
Ma la cosa principale qui non è la soluzione in sé,
ma il modo in cui potresti trovare l'intuizione fondamentale se questo problema si trovasse di fronte a te e dovessi risolverlo.
Vale a dire, basta continuare a chiedersi se esistono versioni più semplici del problema fino a quando non ottieni un qualche tipo di punto di partenza.
E poi quando lo fai, se c'è un qualche tipo di concetto che dimostra di esserti utile,
vedi se è possibile riformulare l'intera questione intorno a quel nuovo concetto.
Prima di chiudere, ho un altro problema di probabilità,
uno che viene da questo video sponsor - Brilliant.org.
Si suppone di avere otto studenti seduti in cerchio che svolgono il Putnam..
È una prova dura , così ogni studente cerca di copiare dal suo vicino
scegliendo in modo casuale il vicino da cui copiare.
Ora cerchia gli studenti che non hanno qualcuno da cui copiare.

Vietnamese: 
khi mà thiên ý cốt lõi và hiểu được là một,
nhưng việc có một nền tảng kiến thức để diễn giải sự hiểu biết đó có hệ thống hơn
là một chuyện mà
một sinh viên cử nhân toán học dành nhiều thời gian để rèn luyện nên nó.
Nhưng mấu chốt không phải là đáp án ở đây,
mà là cái cách bạn tìm được cái thiên ý cốt lõi của mình khi bạn phải giải bài toán nào đó.
Ví dụ, cố giản lược hóa bàn toán cho đến khi bạn có manh mối nào đó.
Và rồi khi bạn bắt đầu giải, sẽ có cái gì đó cấu thành nên những thứ hữu ích,
rồi bạn sẽ tự thấy liệu bạn có thể tái cơ cấu bài toán theo cấu trúc của bạn nghĩ ra không.
Để kết thúc, tui sẽ cho bạn một bài toán xác suất,
bài này đến từ nhà tài trợ Brilliant.org.
Gỉa sử bạn có tám học sinh ngồi trong vòng tròn làm bài Putnam.
Đây là một bài toán khó, cho nên mỗi học sinh sẽ cố nhìn bài của bạn kế bên
và chúng sẽ chọn ngẫu nhiên ai đó ngồi kế để nhìn.
Bây giờ, khoanh tròn tất cả học sinh mà không có ai ngồi kế để dòm bài.

Korean: 
중요한 실마리와 이해력이 있는 곳은,
이해를 좀 더 공식적으로 표현할 수 있도록
관련 배경지식을 갖추고 있어야 하지요
이는 완전 별개의 근육을 사용하는 것과 같습니다.
대학생 수학과 학생들은 
대부분의 시간을 문제풀이에만 집중합니다
하지만 이 문제의 목표는 해결책 자체가 아닙니다
중요한 통찰력을 얻을 수 있는 방법이 당신 앞에 있으면 그걸 갖고 풀어야지요
즉, 더욱 간단한 버전의 문제로 해석하고 
그걸 발판삼는것 입니다
그렇게 만들었다면, 도움이 되는 보조선들을 그리고,
그 새로운 보조선에 대해 다시 다른 의문점을 제시합니다
할 말은 다 한것 같으니, 
새로운 확률 문제를 갖고왔습니다
이 비디오 스폰서들 중 하나인 
Brilliant.org에서 말이죠
8명의 학생들이 원탁에 둘러앉아
 Putnam test를 풀고 있다고 가정해 봅시다.
엄청 어려운 시험이라, 각기 학생들은 
옆자리 친구들의 답을 컨닝하려 애쓰죠
컨닝의 희생양은 옆자리 친구, 둘 중 하나입니다
동그라미 친 쪽은 컨닝할 마음이 없는
 양심적인 학생입니다

Modern Greek (1453-): 
όπου η κατοχή της βασικής διορατικότητας και κατανόησης είναι ένα πράγμα,
αλλά το να έχεις το σχετικό υπόβαθρο για να διατυπώσεις αυτή την κατανόηση πιο επίσημα
είναι σχεδόν ένας ξεχωριστός μυς εξ ολοκλήρου
ένα που προπτυχιακοί σπουδαστές μαθηματικών ξοδεύουν το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου τους να βελτιώνονται.
Αλλά το κύριο καρυδάκι εδώ δεν είναι η ίδια η λύση,
αλλά το πως μπορείς να βρεις αυτή τη βασική διορατικότητα αν στο έβαζαν μπροστά σου και απλά σε άφηναν να το λύσεις.
Ονομαστα, απλα συννεχισε να ρωτας απλούστερες εκδοχές της ερώτησης μέχρι να πάρεις κάποιου είδους στήριγμα.
Και όταν το πάρεις, αν υπάρχει κάποιου είδους προστιθέμενο κατασκεύασμα που αποδεικνύει ότι είναι χρήσιμο,
δες αν μπορείς να αναθεωρήσεις όλη την ερώτηση πάνω σε ένα καινούριο κατασκεύασμα.
Κλείνοντας εδώ, έχω άλλο ένα παζλ πιθανοτήτων,
ένα που προέρχεται από τον σπόνσορα αυτού του βίντεο - Brilliant.org.
Υπέθεσε πως έχεις 8 μαθητές που κάθονται σε ένα κύκλο και λύνουν το Putnam.
Είναι ένα δύσκολο test, οποτε κάθε μαθητής δοκιμάζει να αντιγράψει τον διπλανό του.
επιλέγοντας τυχαία ποιον από αυτούς να αντιγράψουν.
Τώρα κύκλωσε όλους τους μαθητές που δεν έχουν κάποιον να τους αντιγράφει.

Russian: 
где ключевое понимание и понимание - это одно,
но имея соответствующий фон, чтобы сформулировать это понимание более формально
это почти отдельная мышца целиком,
один из которых студенты-математики тратят большую часть своего времени на создание.
Но основным выводом здесь является не само решение,
но как вы могли бы найти это ключевое понимание, если бы оно было поставлено перед вами, и вы были оставлены для его решения.
А именно, просто продолжайте просить более простые версии вопроса, пока не сможете занять какой-то плацдарм.
И тогда, когда вы это сделаете, если есть какая-то добавленная конструкция, которая окажется полезной,
посмотрите, можете ли вы пересмотреть весь вопрос вокруг этой новой конструкции.
Чтобы закрыть вещи здесь, у меня есть еще одна головоломка вероятности,
один, который приходит от этого видео-спонсора - Brilliant.org.
Предположим, что у вас есть восемь учеников, которые сидят в кругу, беря Путнам.
Это тяжелый тест, поэтому каждый ученик пытается обмануть своего соседа
выбор случайным образом, из которого соседу обманывать.
Теперь обведите всех учеников, у которых нет никого, кто обманывает свой тест.

Chinese: 
理解问题并知道关键是一回事
但有相关背景知识 能更正式更清晰地阐述这个理解
基本就完全是另一码事了
这种能力也是数学系本科生要花大时间来培养的
你应该从本题中学到的并不是这个解本身
而是如果是你来做这道题的时候 应该怎么找到关键的想法
也就是说  不断去找这个问题的简化版本
直到你能找到个落脚点为止
在这么做的过程中
如果你发现有什么新添的结构能为自己所用
就试试看能不能根据这些新构造来重述整个问题
视频结束之前  我还有一个关于概率的问题
这个问题取自这期视频的赞助商Brilliant.org
假设八个参加普特南数学竞赛的学生环坐在一起
竞赛很难  所以每个学生都试图抄邻座的答案
而且是随机选择一个邻座来抄
现在圈出所有没被抄到的学生

Ukrainian: 
де правильний підхід і розуміння є однією справою,
а мати відповідний фон для формулювання цього розуміння більш формально
це вже зовсім інший м'яз,
на нарощування якого студенти-математики витрачають більшу частину свого часу.
Проте головний винос тут це не власне рішення,
а як би ви змогли знайти основну інформацію, якби це було поставлено перед вами, і вам залишалось тільки вирішити це.
А саме, просто продовжуйте шукати простіші варіанти запитання, аж поки ви не знайдете яку-небудь опору для роздумів.
І коли ви знайдете, якщо є будь яка додана конструкція, що виявляється корисною,
спробуйте реформувати усе завдання під новий конструкт.
Щоб закрити тему, я маю ще одну головоломку на вірогідність,
вона прийшла від спонсора цього відео - Brilliant.org.
Припустіть що ви маєте вісім студентів, що сидять у колі і здають Putham.
Це важкий тест, тому кожен студент намагається списати у свого сусіда
випадково обираючи сусіда, у якого буде списувати.
Тепер обведіть усіх студентів, у яких ніхто не списує.

French: 
où avoir l'intuition et comprendre le problème est une chose,
mais avoir le bagage nécessaire pour écrire proprement cette compréhension
est une faculté quasi-distincte,
une capacité que les élèves de licence passent le plus clair de leur temps à construire.
Mais l'intérêt principal ici n'est pas tant la solution
que la façon dont vous pourriez trouver la clé du puzzle si vous deviez répondre à cette question.
C'est-à-dire, simplifiez votre problème jusqu'à ce que vous ayez pied.
En alors, si certaines choses que vous avez ajouté se trouvent être utiles,
essayez de reformuler la question posée autour de ces nouveaux concepts.
Pour terminer, j'ai une autre énigme de probabilités,
une qui vient du sponsor de cette vidéo - Brilliant.org.
Supposez que huit étudiants assis en cercle passent le Putnam.
C'est un examen difficile, donc chacun essaie de tricher sur son voisin
en choisissant au hasard sur lequel de leurs voisins ils trichent.
Maintenant, comptez tous les étudiants qui n'ont personne trichant sur leur copie.

Chinese: 
理解一個問題關鍵想法是一回事
但是有足夠的背景知識
可以用正規的數學語言闡述這些觀念
需要的完全不一樣的能力
而這種敘述能力
正是數學系大學部的學生花大多數的時間在培養的
你從這題目中所學到的不應該只是這一個解本身
而是當你面對一個這樣的問題的時候
你自己如何找到這些關鍵想法來找出答案
具體來說，試著你問更簡化的問題
直到你有一個方便討論的立足點
當你找到之後，若你引入了一些有助於討論的構造
試著用這些新構造重構原本的問題
在結束之前，我再提供一個機率的問題
一個由贊助商 Brilliant.org 提供的問題
「今天有八個參加普氏競賽的學生座位排成一個圓形，
「因為試題太難了，所以每個學生都決定偷看他隔壁的答案卷
「而偷看左手邊或是右手邊的同學，都各自隨機決定
「現在把沒有被偷看的學生圈起來

English: 
insight and understanding is one thing, but
having the relevant background to articulate
this understanding more formally is almost
a separate muscle entirely, one which undergraduate
math students spend much of their time building
up.
Lesson
Now the main takeaway here is not the solution
itself, but how you might find the key insight
if you were left to solve it. Namely, keep
asking simpler versions of the question until
you can get some foothold, and if some added
construct proves to be useful, see if you
can reframe the whole question around that
new construct.

German: 
das es eine Sache ist, die Einsicht zu haben und die Lösung zu verstehen,
aber den entsprechenden Hintergrund zu haben um das Verständniss formeller zu vermitteln,
ist fast eine vollständig seperate Sache.
Etwas, womit Studenten irgendwie die meiste Zeit mit verbringen.
Aber die wichtigste Botschaft hier ist nicht die Lösung selbst,
sondern wie ihr selber vielleicht das Schlusselverständnis entwickeln könnt, wenn ihr solch einem Problem begegnet und es lösen müsst.
Das heißt, einfach immer einfacherere Versionen der Frage stellen, bis man eine art Anhaltspunkt gefunden hat.
Und dann, wenn ihr irgendeine hinzugefügte Konstruktion habt, die sich als sinnvoll erweist,
versucht die ganze Frage um dieses konstruckt herum neu zu stellen.
um die Sache abzurunden, habe ich hier noch ein weiteres Warscheinlichkeitsrätsel hier,
eines das vom Sponsor dieses videos kommt, Brilliant.org.
Nehmen wir an, wir haben acht Studenten die in einem kreis sitzen und das Putnam schreiben.
Es ist ein schweer Test, also versucht jeder Student bei seinem Nachbar abzuschreiben,
wobei sie zufällig entscheiden bei wem sie abschreiben.
Kreise alle Schüler ein, bei denen niemand abschreibt.

French: 
Quel est la moyenne de ce nombre ?
C'est une question intéressante non ?
Brilliant.org est un site où vous pouvez vous entrainer à résoudre des problèmes comme celui-ci et bien d'autres,
et c'est la meilleure façon d'apprendre.
Vous allez trouver une montagne de problèmes intéressants et très bien pensés
tels qu'ils vous aident vraiment à progresser à la résolution de problèmes.
Si vous voulez encore faire des probabilités, il y a un très bon cours à ce sujet.
Mais ils ont aussi plein d'autres cours de maths et de science,
donc c'est quasi-sûr que vous y trouverez votre bonheur.
Moi ? Ça fait un moment que je suis un fan.
Et si vous allez à  brilliant.org/3b1b,
ça leur permet de savoir que vous venez d'ici.
Et les 256 premiers d'entre vous qui cliquent sur ce lien auront 20% sur le Premium
qui est celui que j'utilise si vous voulez monter en gamme.
Par ailleurs, si vous voulez absolument avoir la solution à cette énigme,
dont, en l'occurrence, la résolution utilise une certaine méthode répandue en probabilités,
je vous ai mis un lien dans la description qui mène directement à la solution.

Turkish: 
kaç öğrencinin yuvarlak içine alınması beklenir.
İlginç bir soru, değil mi?
Brilliant.org'da bu tip sorularla problem çözme becerilerinizi geliştirebilirsiniz.
Bir sürü detaylıca hazırlanmış ilginç sorularla karşılaşacaksınız,
Eğer isterseniz, olasılık çalışabilirsiniz;
ya da belki matematik veya genel bilim konuları ilginizi çekiyordur, kısacası burada her zevke göre dersler var.
Ben mi? Bir süredir takipteyim.
Ve eğer brilliant.org/3b1b adresine giderseniz,
onlara bu kanaldan geldiğinizi bildirmiş olursunuz.
Ve bunu yapan ilk 256 kişi, premium üyeliği %20 indirimle alabilir.
Bu arada ben de bunu kullanıyorum.
Aynı zamanda, eğer bu sorunun cevabını öğrenmek istiyorsanız,
ki başka durumlarda da işinize yarayabilecek bir tür olasılık kullanılır,
açıklamaya sizi cevaba götürecek bir adres ekledim.

Croatian: 
Koji je očekivani broj takvih studentata?
Zanimljivo pitanje, zar ne?
Brilliant.org je stranica gdje možete vježbati vašu sposobnost rješavanja problema poput ovih i mnogih drugih,
a to je stvarno najbolji način učenja.
Naći ćete bezbroj zanimljivih pitanja selektiranih na vrlo obazriv način
tako da stvarno otiđete sa boljom sposobnošću rješavanja problema.
Ako želite još vjerojatnosti, oni imaju jako dobar 
kurs o vjerojatnosti.
Ali imaju i mnogo drugih grana matematike i znanosti,
tako da ćete zasigurno naći nešto što vas zanima.
Ja? Obožavatelj sam stranice već duže vrijeme.
Ako odete na brilliant.org/3b1b
oni znaju da ste došli odavde.
I prvih 256 vas koji posjete taj link dobiju 20% popusta na njihovo premium članstvo,
koje je ono koje ja koristim ako želite "upgrade".
Također, ako vas zanima rješenje ove zagonetke,
koje, usput, koristi određenu taktiku u vjerojatnosti koja je korisna u puno okolnosti,
također sam vam ostavio link u opisu koji vas odmah dovodi do rješenja.

Ukrainian: 
Яке очікуване число обведених студентів?
Цікаве запитання, чи не так?
Brilliant.org це сайт, де ви можете розвивати свої здібності у рішенні проблем, користуючись питаннями як це, та багато багато інших,
і це справді найкращий шлях навчання.
Ви знайдете незліченні кількості цікавих питань, що були складені у дуже обміркований шлях
тож ви дійсно підете кращим у рішенні проблем.
Якщо ви хочете більше імовірностей, вони мають справді хороший курс про імовірність.
Проте вони мають й інші види математики і наук зокрема,
так що ви майже напевне зможете знайти те, що вас цікавить.
Я? Я був шанувальником певний час.
І якщо ви перейдете на brilliant.com/3b1b,
це дасть їм зрозуміти, що ви прийшли звідси.
А також перші 256 з вас, що відвідають посилання, отримають 20% знижки на їх Premium Membership,
який я використаю, якщо ви захочете обновитись.
Також, якщо вам просто свербить побачити рішення до цієї головоломки,
яка, доречі, використовує певну тактику у ймовірності, що є корисною у рішенні багатьох інших обставинах,
я також лишив посилання у описі, що зразу перекидує вас до рішення.

Italian: 
Qual è il numero di studenti cerchiati che ci aspettiamo?
E' una domanda interessante, giusto?
Brilliant.org è un sito dove potete praticare le vostre capacità di problem solving con domande di questo tipo e molte altre,
e questo è davvero il migliore modo per imparare.
Troverai innumerevoli domande interessanti trattate in un modo piuttosto meticoloso
in modo da migliorare veramente nel risolvere i problemi.
Se ne vuoi altri sulla probabilità, hanno davvero un buon corso di probabilità.
Ma hanno anche ogni altra sorta di  matematica e scienza,
così sono abbastanza sicuro che troverai qualcosa che ti interessa.
Io? Sono un fan da un po'.
E se vai attraverso brilliant.org/3b1b,
permette loro di sapere che siete venuti da qui.
E i primi 256 di voi che visiteranno il link possono avere uno sconto del 20% per l'abbonamento Premium,
che è quello che io uso se si desidera migliorare.
Inoltre, se hai solo voglia di vedere una soluzione a questo enigma,
che, tra l'altro, utilizza una certa tattica di probabilità che è utile in molte altre circostanze,
Ho anche lasciato un link nella descrizione per passare direttamente alla soluzione.

Modern Greek (1453-): 
Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός από τέτοιους κυκλωμένους μαθητές;
Ενδιαφέρουσα ερώτηση σωστά;
Το Brilliant.org είναι ένα σαιτ όπου μπορείς να ασκήσεις τις ικανότητές σου για επίλυση προβλημάτων με ερωτήσεις όπως αυτό και πολλά άλλα,
και αυτός αλήθεια είναι ο καλύτερος τρόπος να μάθεις.
Θα βρεις άπειρες ενδιαφέρουσες ερωτήσεις με έναν πολύ σκεπτικό τρόπο.
με αποτέλεσμα να γίνεις πολύ καλύτερος στην επίλυση προβλημάτων.
Αν θες περισσότερη πιθανότητα, έχουν ένα πολύ καλό διδακτικό στη πιθανότητα.
Επίσης έχουν όλων των ειδών μαθηματικά και άλλες επιστήμες
οποτε σχεδόν σίγουρα θα βρεις κάτι που θα σε ενδιαφέρει.
Εγώ; Έχω γίνει φαν εδώ λίγο καιρό τώρα.
Και αν πας στο brilliant.org/3b1b,
τους αναγνωρίζει πως ήρθες από εδώ.
Και οι πρώτοι 256 από εσάς που θα επισκεφτούν τον σύνδεσμο θα πάρουν έκπτωση 20% από την εγγραφή τους,
που είναι αυτή που χρησιμοποιώ αν θες να αναβαθμίσεις.
Επίσης, αν άπλα τρώγεσαι να δεις την λύση σε αυτό το παζλ,
η οποία, παρεμπιπτόντως, χρησιμοποιεί μια συγκεκριμένη τακτική στην πιθανότητα που είναι χρήσιμη σε πολλές άλλες περιστάσεις,
Έχω επίσης αφήσει ένα σύνδεσμο στην περιγραφή που σε πηγαίνει κατευθείαν στη λύση.

German: 
Was ist die erwartete Anzahl solch eingekreister Studenten?
Es ist eine interessante Frage, nicht wahr?
Brilliant.org ist eine Website, wo Sie Ihre Problemlösungsfähigkeiten mit Fragen wie diese und viele viele mehr üben können,
und das ist wirklich der beste Weg zu lernen.
Ihr werdet unzählige interessante fragen finden, die in einer ziemlich durchdachten Weise erklärt werden
so dass ihr i problemlösung wirklich besser werdet.
Wenn ihr mehr Wahrscheinlichkeitsrechnungen wollen, haben sie einen wirklich guten Kurs darüber.
Aber sie haben auch alle möglichen anderen Mathematik und Wissenschaftsrätsel,
so dass ihr mit Sicherheit etwas findet, dass euch interessiert.
Ich? Ich bin schon seit einer Weile Fan.
Und wenn ihr auf brilliant.org/3b1b geht,
wissen sie, dass ihr von hier kommt.
Und die ersten 256, die diesen Link besuchen, bekommen 20% der Premium-Mitgliedschaft geschenkt,
die ich auch benutze, falls ich vor habt sie zu kaufen.
Alse, wenn ihr unbedingt die Lösung für dieses Rätsel sehen wollen,
die, nebenbei gesagt, eine bestimmte Taktik der Wahrscheinlichkeit benutzt, welche auch in vielen anderen Fällen nützlich ist,
habe ich einen Link in der Beschreibung, die euch direkt zur Lösung bringt.

Russian: 
Каково ожидаемое число таких крутых студентов?
Это интересный вопрос, верно?
Brilliant.org - это сайт, на котором вы можете практиковать свои способности решения проблем с такими вопросами и многими другими,
и это действительно лучший способ узнать.
Вы найдете множество интересных вопросов, куратированных вдумчиво
так что вы действительно лучше уходите на решение проблем.
Если вы хотите больше вероятности, у них действительно хороший курс по вероятности.
Но у них есть все виды другой математики и науки,
так что вы почти наверняка найдете то, что вас интересует.
Меня? Я был поклонником на некоторое время.
И если вы идете на brilliant.org/3b1b,
это позволяет им знать, что вы пришли сюда.
И первые 256 из вас, чтобы посетить эту ссылку, могут получить 20% от своего Премиум-членства,
который я использую, если вы хотите обновить.
Кроме того, если вы просто хотите увидеть решение этой головоломки,
который, кстати, использует определенную тактику вероятности, полезную во многих других обстоятельствах,
Я также оставил ссылку в описании, которая просто подскакивает вам прямо к решению.

Korean: 
얼마나 많은 학생들을 
동그라미 칠 수(양심적일 수) 있을까요?
흥미로운 문제죠, 안 그래요?
Brilliant.org는 이런 재미있는 질문들을 풀며
당신의 문제해결 능력을 강화시켜주는 사이트 입니다
그리고 이는 가장 좋은 학습법이죠
여러분들은 꽤나 사려 깊은 방법으로
흥미로운 질문들을 발견할 것입니다
그로 인해 여러분은 문제해결에 더욱 탁월해질 수 있죠
확률 문제를 더 풀어보고 싶다면, 
확률 문제에 대한 좋은 코스도 있습니다
하지만 다른 종류의 수학과 과학도 모두 있답니다
그러니 관심있는 분야를 하나 골라보세요
저 말인가요? 저도 한동안 팬이 되었죠
그리고 "brilliant.org/3b1b"에 가서
당신이 여기에서 왔다는 것을 알려주세요
처음 256명에게 
프리미엄 멤버쉽을 20%할인 해드립니다!
당신이 멤버쉽을 업그레이드 하고 싶다면
사용할수 있지요
또한, 만약 여러분이 이 퍼즐에 대한 해결책을 
보고 싶다면,
그리고 많은 다른 상황에서도 유용한 '전술'을 갖고 싶으시다면,
곧장 모범답안으로 뛰어넘을 수 있는 링크를 
아래 설명란에 걸어두었습니다

Polish: 
Jaka jest oczekiwana liczba takich studentów w kółku?
To interesujące pytanie, prawda?
Brilliant.org to strona, w której możesz ćwiczyć swoje umiejętności rozwiązywania problemów z pytaniami takimi jak to i wieloma innymi,
i to naprawdę jest najlepszy sposób na naukę.
Znajdziesz niezliczoną ilość interesujących pytań, które zostaną przedstawione w dość przemyślany sposób
aby naprawdę lepiej stać się lepszym w rozwiązywaniu problemów.
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o prawdopodobieństwie, to mają naprawdę dobry kurs prawdopodobieństwa.
Ale mają też inne dziedziny matematyki i nauk ścisłych,
więc prawie na pewno znajdziesz coś, co Cię interesuje.
Mnie? Jestem fanem od jakiegoś czasu.
A jeśli przejdziesz na stronę brilliant.org/3b1b,
daje im znać, że przybyłeś stąd.
A pierwsze 256 osób, które odwiedzą ten link, może otrzymać 20% zniżki na swoje członkostwo premium,
którego ja używam
Ponadto, jeśli po prostu chcesz zobaczyć rozwiązanie tej zagadki,
które używa pewnej taktyki która jest również przydatna w innych okolicznościach,
Zostawiłem także link w opisie, który  przekieruje Cię prosto do rozwiązania.

Spanish: 
¿Cuál es el número esperado de estudiantes con círculo?
Es una cuestión interesante, ¿verdad?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También, si quieres encontrar una solución a este puzzle,
la cual, por cierto, usa una cierta táctica en cálculo de probabilidades que es útil en muchas otras circunstancias,
he dejado también un enlace en la descripción que le llevará directo a la solución.

Vietnamese: 
Số học sinh được khoanh tròn sẽ là bao nhiêu?
Câu hỏi này nghe hay ha!?
Brilliant.org là một trang web mà bạn có thể học cách giải những bài toàn như vầy và nhiều hơn thế nữa,
và đó thật sự là cách tốt nhất để học.
Bạn sẽ tìm thấy hàng vạn những câu hỏi được đặt ra một cách rất sâu sắc
chúng sẽ giúp bạn rèn luyện "khả năng giải toán" tốt hơn nhiều.
Nếu bạn muốn thêm toán xác suất, họ có nhiều lớp khá là hay giảng dạy  toán xác suất.
Nhưng thiệt sự thì họ có đủ thứ các loại toán và khoa học,
vậy nên gần như là chắc chắn rằng bạn sẽ tìm được thứ gì đó hay ho.
Còn tui thì sao? Tui là "fan" từ lâu rồi.
Và nếu bạn tới brilliant.org/3b1b,
bạn sẽ cho họ biết là bạn đã đến đó.
Và 256 người đầu tiên tới đường dẫn sẽ nhận khuyến mãi 20% khi tạo tài khoản Premium Membership,
đó là tài khoản tui dùng nếu bạn muốn nâng cấp.
Còn nữa, nếu bạn cảm thấy "ngứa" và muốn biết đáp án,
thứ mà cần nhiều chiến thuật giải toán xác suất rất hữu ích cho rất nhiều vấn đề khác,
tui cũng đã để lại đường dẫn trong phần mô tả để bạn có thể bay cái vèo tới đáp án.

Portuguese: 
é número esperado de tais estudantes "circulados" (que ninguém colou dele)?
É uma questão interessante, né?
Brilliant.org é um site em que você pode praticar sua resolução em problemas
em questões como essa e muitas outras e esse é o melhor jeito de realmente aprender.
Você vai encontrar incontáveis questões interessantes,
organizados de uma maneira bem pensada para que você realmente
se torne melhor em resolução de questões. Se você quiser mais probabilidade,
eles tem um curso muito bom de probabilidade,
mas eles também tem outras coisas relacionadas a matemática e ciência.
Então você provavelmente vai encontrar algo interessante aqui.
Eu? Eu sou fã já faz um tempo e se você ir para
https://brilliant.org/3b1b/
vai alertá-los que você veio daqui. E os primeiras
256 pessoas que visitarem esse link vão receber 20%
de desconto no Premium MemberShip, que é o que eu uso
se você quer um Upgrade.
Se você quiser ver a solução para esse problema,
que aliás usa um certo tipo de técnica em probabilidade
que é bem útil em várias outras circunstâncias,
eu também deixei outro link na descrição que te leva direto a solução.

Chinese: 
被圈出的学生数目的期望值是多少？
这个问题很有趣  对吧~
Brilliant.org就是个能让你用许许多多类似的问题
来锻炼自己解题能力的地方
这也的确是最好的学习方式
你能找到数不胜数的有趣问题
而它们都被组织得很有深度
所以你一定会在解题方面有所提高的
如果你还想探索更多的可能性
他们也有相当棒的概率课程
当然  他们也有各种其他的数理课程
所以你怎么着都能找到点你感兴趣的东西的
我嘛  我是已经用这个好久了
如果你访问brilliant.org/3b1b
他们就知道你是从这个频道来的了
前256位通过此链接访问的同学可以得到他们高级会员的八折优惠
如果你考虑升级一下的话  我就是用的这个
还有  如果你心痒难耐想看这个问题的解答的话
插一句  这个解使用了概率论中的一个策略
该策略在其他情况下也很有用
我也在简介中留了链接  点一下你就能直接看到答案了

Portuguese: 
Qual é o número esperado de tais estudantes circulados?"
É uma pergunta interessante, certo?
Brilliant.org é um site onde você pode praticar suas habilidades de resolução de problemas com questões como esta e muitas mais,
e que realmente é a melhor maneira de aprender.
Você vai encontrar inúmeras questões interessantes embebidas de uma forma muito pensativa
de modo a te tornar melhor em resoluções de problemas.
Se você quiser mais probabilidade, eles têm um curso realmente bom de probabilidade.
Mas eles têm todos os tipos de outra matemática e ciência, bem como,
então é quase certo que você vai encontrar algo que lhe interessa.
Eu? Eu tenho sido um fã por um tempo.
E se você for para brilliant.org/3b1b,
o link permite dizer a eles que você veio daqui.
E os primeiros 256 de vocês a visitar esse link, podem obter 20% de desconto do seu Premium Membership,
que é o que eu uso, se você deseja atualizar.
Além disso, se você está apenas ansioso para ver uma solução para este enigma,
que, aliás, usa uma certa tática na probabilidade de que é útil em muitas outras circunstâncias,
Eu também deixei um link na descrição que te joga direto para a solução.

Chinese: 
「被圈起來的學生人數之期望值是幾人？」
這個問題有趣吧？
Brilliant.org 是一個讓你練習解題的網站
提供非常類似這樣的問題
而這種練習題正是學習的一個好方法
在網站上你可以找到更多有意思的問題
都是頗具巧思的題目
讓你可以好好的練習自己解題的能力
如果你想要多看一些機率
網站上有一個方常棒的機率課程
他們也有提供其他數學和科學的課程
你應該找得到你感興趣的題目
我自己已經跟當他們的粉絲一陣子了
如果你使用連結 brillirant.org/3b1b
他們會知道你是從這個頻道知道他們的
而使用連結的前 256 個人
申請高級會員可以享有 8 折優惠
我自己也是高級會員之一
如果你很想要知道這個題目的解答的話
（解它會用了一個解機率問題上常見的的技巧）
我也在下面留了一個連結讓你可以直接看解答

Turkish: 
------Sorunun Cevabı-------
Mümkün olan 4 senaryonun birinde iki kişi de sizden kopya çeker...
------Sorunun Cevabı-------
birinde kimse sizden kopya çekmez, ve iki durumda sadece bir kişi çeker,
------Sorunun Cevabı-------
Yani sizden kopya çekilme olasılığı 1/4'tür. Sınava giren sekiz kişi var, 1/4 = 2/8. Cevap 2'dir.
