Trong bài trước ta đã chỉ ra được trị riêng cho một ma trận 2 dòng 2 cột,
Bây giờ ta hãy thử tìm trị riêng cho một
ma trận vuông cấp 3 nhé
Và tôi nghĩ là với ma trận vuông cấp 3 thì sẽ khó hơn một tí
bởi vì ta sẽ phải thực hiện nhiều phép toán hơn đối với trường hợp cấp 2
So lambda is an eigenvalue of A.
Theo định nghĩa, nếu và chỉ nếu, tôi sẽ viết nó như thế này
Nếu và chỉ nếu A nhân với một vector v khác 0 nòa đó, bằng với
lambda nhân cho chính vector khác 0 đó, vector v đó
Để tôi viết ra, với một vector nào đó khác vector 0
Tôi có thể gọi nó là vector riêng v, nhưng tạm thời tôi sẽ chỉ gọi nó là
một vector nào đó khác vector 0, vector v khác vector 0
Bây giờ, ta có được điều này nếu và chỉ nếu, điều này dẫn đến, tôi sẽ viết
nó ra như thế này
Điều này đúng nếu và chỉ nếu, đây là tôi đang ôn tập lại một chút
tôi muốn nhắc lại chỗ này một chút bởi vì, giả sử như sau 10 năm nữa
các bạn gặp một bài toán tương tự thế này, có lẽ các bạn sẽ không nhớ được công thức
Nên tôi muốn là các bạn có thể nhớ được cách thức làm sao để ta suy ra được công thức này
Nên, xem nào, điều này đúng nếu và chỉ nếu, ta hãy trừ Av
vào cả hai vế này, vector 0 bằng với lambda - thay vì
viết là lambda nhân v, tôi sẽ viết ra là lambda nhân
cho ma trận đơn vị rồi nhân v
Nó cũng y như vậy thôi
Ma trận đơn vị nhân cho v cũng chính là v
Trừ đi Av
Tôi chỉ vừa trừ Av vào cả hai vế của biểu thức này, và viết lại v dưới dạng
ma trận đơn vị nhân cho v
Xem nào, điều này chỉ đúng nếu và chi nếu vector 0 bằng với
lambda nhân với ma trận đơn vị trừ đi A nhân v
Tôi chỉ đem vector v nhân ra ngoài khỏi biểu thức bên vế phải này
lấy v ra khỏi cả hai phần này, và tôi có được dạng
một ma trận nào đó nhân cho v
Xem nào, điều này chỉ đúng khi, để tôi viết nó lại ở đây
phương trình này, bây giờ đã ở một dạng quen thuộc mà có thể các bạn đã nhận ra
Lambda nhân cho ma trận đơn vị rồi trừ A
Đây chỉ là một ma trận nào đó
Ma trận này nhân cho vector v phải bằng với vector 0, với một
vector v nào đó khác vector 0
Điều đó có nghĩa là, không gian null của ma trận này sẽ phải
là một không gian không tầm thường
Hay nói cách khác, đó chính là các cột của ma trận này sẽ
không độc lập tuyến tính
Nói cách khác nữa, ta có thể xem rằng nó là một ma trận không khả nghịch
Hay chính là định thức của nó sẽ bằng 0
Nên lambda khi đó là một trị riêng của ma trận A, nếu và chỉ nếu,
mỗi điều trong các điều ta xét này đều đúng
Và, điều này đúng, nếu và chỉ nếu, với một vector nào đó
khác vector 0, nếu và chỉ nếu, định thức của ma trận lambda nhân cho
ma trận đơn vị trừ đi ma trận A bằng 0
Đó chính là điểm quan trọng mà ta cần lưu ý
Tôi nghĩ là ta đã biết cái này ở 2 hay 3 bài giảng trước rồi
Bây giờ thì ta hãy thử áp dụng nó vào một ma trận A có 3 dòng 3 cột  nào đó
Ta sẽ sử dụng một ma trận đơn vị cấp 3
Nên ta muốn tập trung vào chỗ, lambda nhân với
nhân với ma trận đơn vị sẽ là, lambda nhân với một ma trận
đơn vị cấp 3 sẽ bằng với, đây là
để tôi viết cái này ra
Đây là lambda nhân với ma trận đơn vị của R3
Nên nó sẽ chỉ bằng với lambda, lambda, lambda
Và mọi phần tử còn lại đều là bằng 0
Ma trận đơn vị có các vị trí bằng 1 dọc theo đường chéo đây, nên
đó sẽ là các vị trí khác 0 duy nhất khi ta nhân vào
ma trận đơn vị một hằng số lambda nào đó
Mọi vị trí còn lại đều bằng 0
Nên đó chính là ma trận đơn vị nhân với lambda
Nnên lambda nhân với ma trận đơn vị rồi trừ đi A sẽ bằng với
bằng với, như thế này, khá đẹp
và khá dễ tính nhỉ
Mọi phần tử của ma trận trên đường chéo sẽ bằng với lambda trừ đi
Ta hãy tính thử chỗ này
Lambda trừ đi trừ 1, tôi sẽ tính trên đường chéo ở đây trước
Lambda trừ trừ 1 bằng với lambda cộng 1
Và sau đó là 0 trừ 2, tôi sẽ viết nó bằng màu khác
0 trừ 2 bằng trừ 2
0 trừ 2 bằng trừ 2
0 trừ 2 bằng trừ 2
Ta hãy thử tính cái này
0 trừ 2 bằng trừ 2
0 cộng hay trừ trừ 1 bằng 0 cộng 1, chính là bằng 1
Và sau đó ta thử tính tới cái này
0 trừ trừ 1
Bằng 1
Để tôi tính cho xong phần trên đường chéo này
Và sau đó ta có lambda trừ 2
Và sau đó ta có lambda trừ 2
Nên lambda là một trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu
định thức của ma trận này, ngay đây, bằng với 0
giờ ta hãy tính định thức của ma trận này
Và cách dễ nhất để là, theo tôi nghĩ sẽ là, ta sẽ
tính định thức bằng quy tắc Sarrus
Nên ta hãy dùng quy tắc Sarrus để tính
định thức cho ma trận này
Nên, tôi chỉ viết lại các dòng này ngay đó
Nên tôi có thể chỉ cần phải copy và paste chúng ra thôi
Tôi chỉ lấy hai dòng này
Và sau đó để tôi paste chúng ta, đặt vào ngay đó
Có vẻ tôi đặt nó quá gần với cái này nhỉ, nhưng tôi biết là
các bạn hiểu được ta đang làm gì mà
Và bây giờ, theo quy tắc Sarrus, tôi chỉ lấy tích này cộng với
tích này và cộng với tích này, rồi sau đó tôi trừ đi cho
tích này, trừ tích này và trừ tích này tiếp
Tiếp theo tôi sẽ làm như thế đó
Tích các số này sẽ là lambda cộng 1 nhân lambda trừ 2 nhân
lambda trừ 2
Ở ngay đó đó
Và sau đó ta cộng, để xem nào, trừ 2 nhân trừ 2
Đó là bằng dương 4
Và sau đó ta có trừ 2 nhân với trừ 2 bằng dương 4 nhân 1
Nên đó là dương 4 một lần nữa
Và sau đó, ta trừ cho các cột này và cột này
Trừ đi cột này, rồi trừ đi cột này, và sau đó, hay
có lẽ tôi không nên gọi chúng là các cột, bởi vì nó là các đường chéo
Ta có trừ 2 nhân trừ 2
Để tôi viết cái này ra
Trừ 2 nhân trừ 2, bằng 4
Nhân cho lambda trừ 2
Đó chính là đường chéo này
Và sau đó ta có trừ, chỗ này sẽ bằng gì đây?
Nó sẽ bằng với trừ 1 nhân cho lambda cộng 1
Nên trừ lambda cộng 1
Và sau đó ta tính tới đường chéo này
Trừ 2 nhân cho trừ 2 bằng 4
Nên nó sẽ bằng với 4 nhân cho lambda trừ đi 2, và ta
sẽ trừ chúng
Nên trừ 4 nhân lambda trừ 2
Để xem là liệu tôi có thể rút gọn chỗ này được không
Nên, toàn bộ phần màu xanh dương ngay đây, xem nào, các phần này
ngay đây, sẽ bằng 8, và sau đó chỗ này bằng
cái này sẽ bằng lambda cộng 1
Nhân với, nếu như tôi nhân hai cái này vào, khai triển ra, lambda bình phương
trừ đi 4 lambda
Trừ 2 lambda và sau đó cũng là trừ 2lambda
Nên bằng trừ 4 lambda
Cộng 4
Và sau đó ta có cộng 8 vào đây
Và sau đó tôi có tiếp tục, xem nào
Ta có trừ 4 nhân với lambda
Để tôi nhân phân phối và khai triển toàn bộ ra
Nên tôi có trừ 4 lambda cộng 8 trừ đi lamba trừ 1 trừ 4
lambda cộng 8
Và sau đó để tôi rút gọn chỗ này lại một tí
Chỗ này, ngay đây, để xem nào
Phần các số thực này, tôi có 8, tôi có trừ 1, tôi có
8 và tôi có số 8
Nên đó chính là 24 trứ đi 1
Nên nó bằng 23
Và sau đó với các phần có lambda, tôi có trừ 4 lambda
tôi có trừ lambda và tôi cũng có trừ 4 lambda
Nên nó bằng trừ 8, trừ 1
Nên rút gọn lại tôi có trừ 9 lambda
Cộng 23
Và bây giờ, tôi sẽ phải rút gọn cái này tiếp
Nên trước tiên, tôi có thể lấy lambda và nhân nó vào toàn bộ
chỗ này, ngay đó
Nên nó sẽ bằng với lambda mũ 3 trừ cho 4 lambda bình phương
cộng 4 lambda
Và sau đó tôi có thể lấy cái này và nhân
với phần kia
Nên là cộng lambda bình phương
trừ 4 lambda cộng 4
Và bây giờ, dĩ nhiên là, với các phần ta có ngay đây
Ta cũng sẽ phải rút gọn nó lại một lần nữa
Bây giờ, các phần số thực ra có trong biểu thức này là gì?
Ta có 23 và ở đây ta có cộng 4
Vậy nó sẽ là bằng 27
Cộng 27.
Và sua đó, toàn bộ các phần có lambda còn lại bằng gì?
Ta có một số trừ 9 lambda, và sau đó ta có một, để xem nào
Ta có trừ 9 lambda, ta có cộng 4 lambda, và sau đó ta
ta có trừ 4 lambda
Nên hai cái này khử với nhau
Nên ta chỉ còn lại là trừ 9 lambda
Và khi đó, còn lại thành phần lambda bình phương bằng gì?
Tôi có cộng lambda bình phương và tôi cũng có
trừ 4 lambda bình phương
Nên khi ta cộng chúng lại ta sẽ có được là
trừ 3 lambda bình phương
Và cuối cùng lại, ta chỉ có một phần lambda mũ 3 duy nhất, đó
ngay đó
Nên đây chính là đa thức đặc trưng cho ma trận mà ta cần tìm
Nên đây chính là một đa thức đặc trưng và nó biểu diễn
cho định thức của ma trận trên với lambda bất kỳ
Định thức của ma trận này, với một giá trị lambda nào đó
Và ta đã nói rằng cái này sẽ phải bằng 0 nếu và chỉ nếu
lambda đúng thực là một trị riêng của ma trận
Và ta sẽ cho phương trình này bằng 0
Và chỗ này, may mắn hay không nhỉ, phuong trình này không tầm thường
nó không phải chỉ là một phương trình bậc hai
Và thực vậy, giải phương trình này cũng khá phức tạp đấy
Và thường sẽ mất rất nhiều thời gian
Nên ta sẽ là theo một cách, đại loại như là thu gọn các
biểu thức này về dạng nhân tử, về dạng có một đa thức bậc hai nào đó
Ta đã biết đến dạng bài này trong một bài nào đó, và tôi nghĩ rằng đa số
các bạn có thể đã biết đến dạng phương trình này
trong các môn học đại số tuyến tính, hay các lớp học về đại số thon7g thường nào đó
nó không phải là một vấn đề trong các bài toán có trị riêng
đó chỉ là việc giải một phương trình bậc ba nào đó với nghiệm nguyên
Và nếu như ta muốn giải để tìm nghiệm nguyên, thì khi đó
nghiệm của ta sẽ là một nhân tử của phần ngay đây
Đặc biệt, nếu như ta có hệ số ở đây bằng 1
Nên, một nghiệm của phương trình này có thể là, trong trường hợp này
các nhân tử của 27 sẽ bằng gì?
Đó chính là 1,3,9 và 27
Nên đây đều có thể là các nghiệm của phương trình này
Nên ta có thể thử chúng vào để xem có đúng không
1 mũ 3 bằng 1, trừ 3
Để tôi thử với 1
Nên nếu ta thử với 1, đ1o sẽ là 1 trừ 3 trừ 9 cộng 27
Nó sẽ không bằng 0
Nó là trừ 2 trừ 9 bằng trừ 11
Cộng 16
Nó sẽ không bằng 0
Nên 1 không là một nghiệm của phương trình này
Nếu ta thử với 3, 3 mũ 3 bằng 27
Trừ 3 nhân 3 bình phương bằng trừ 3 nhân 9
chính là bằng trừ 27
Trừ 9 nhân 3, bằng trừ 27
Cộng 27
Nó thực sự bằng 0
Nên thật may mắn cho chúng ta là, vì chỉ cần đến lần thử thứ hai ta đã tìm ra
được một nghiệm cho phương trình này
Nên nếu 3 là một nghiệm, điều đó có nghĩa là x trừ 3 là một trong những
nhân tử của đa thức này
Nên điều đó có nghĩa là, chỗ này sẽ bằng với x trừ 3 nhân với
một phần nào đó nữa ở đây
Hay tôi có thể nói là, lambda trừ 3
Ta hãy thử xem các nghiệm còn lại sẽ là gì đây
Nếu như tôi lấy lambda trừ 3, và tôi chia đa thức này, trên đây cho
nó, lấy lambda mũ 3 trừ 3 lambda bình phương trừ 9
lambda cộng 27, chia cho lambda trừ 3, tôi có được gì đây?
Lambda mũ 3 chia cho lambda còn lại lambda bình phương
Lambda bình phương nhân với phần đó
Lambda bình phương nhân với lambda bằng lambda mũ 3
Lambda bình phương nhân trừ 3 bằng trừ 3 lambda bình phương
Ta trừ hai cái này với nhau, còn lại bằng 0
Nên ta có 0
Và sau đó ta có thể đặt nó ở đây, xem nào, ta có thể
làm cách nào cũng được
Ta có thể đặt trừ 9 ra đó
Ta có thể đem mọi thứ ở đây xuống
Nên bây giờ ta có trừ 9lambda cộng 27
Các bạn có thể hình dung được là ta chỉ vừa trừ toàn bộ cái này
vào toàn bộ phần này trên đây
Và ta còn lại được các phần ở ngay đây
Nên ta có lambda trừ 3 sẽ được đem nhân vào đây
Xem nào, lambda trừ 3 đem vào 9 lambda
Nó sẽ thành 9 lambda trừ 9 nhân với
Xem nào, tôi sẽ chỉ viết trừ 9 ở đây
Trừ 9 nhân với lambda trừ 3 bằng trừ 9 lambda cộng 27
Nên mọi thứ bị triệt tiêu khá đơn giản
Ta có được bằng 0
Đa thức đặc trưng ta có ở trên bây giờ đã được đơn giản lại thành lambda trừ
trừ 3 nhân với lambda bình phương trừ 9
Và dĩ nhiên là, ta sẽ phải  cho vế phả của phương trình này bằng 0 nếu
lambda thực sự là một trị riêng của ma trận này
Và trường hợp này khá dễ để ta rút gọn đa thức này lại thành nhân tử nhỉ
Đa thức này trở thành lambda trừ 3 nhân với, lambda bình phương trừ 9
bằng với lambda cộng 3 nhân với lambda trừ 3
Và toàn bộ cái này bằng với 0
Và nghiệm của phương trình này, ta cũng đã biết được một nghiệm của nó
Ta biết rằng 3 là một nghiệm, và thực vậy, từ đây ta cũng biết
3 cũng là một nghiệm
Nên, một trị riêng của ma trận A, ma trận 3 dòng 3 cột
ma trận A ta có ở trên đây, ma trận A này
các trị riêng của nó có thể là, lambda bằng
bằng với 3 hay lambda bằng với trừ 3
Đó chính là hai giá trị làm cho đa thức đặc trưng
ta có ở đây, hay nói  cách khác định thức cho ma trận này bằng 0
đó cũng chính là một điều kiện mà ta cần để có được
lambda là một trị riêng tương ứng với một vector v nào đó khác vector 0
Trong bài giảng tiếp theo, ta sẽ giải ra cụ thể
các vector riêng, khi ta đã biết được các trị riêng tương ứng với chúng là gì rồi.
