
Russian: 
Добро пожаловать в очередное видео от Mathologer'а.
Наша миссия на сегодня — заняться... ничем. Ну,
что-то в этом роде. Сегодня
мы раскроем секреты
загадочного эллипсографа Архимеда, также известного
как бесполезное точило. [nothing grinder = я не знаю...]
Вот эта штука — это его базовая модель,
но существует ещё много
более сложных вариаций. Впереди вас ждёт много
очень приятных визуальных "ага!" моментов,
а также множество красивой математики. Наслаждайтесь :)
Итак, давайте посмотрим, как же эта штука
работает. И да, на первый взгляд она действительно
не делает ничегошеньки полезного. Она просто вращается
и вращается, словно чрезвычайно бессмысленный
антистресс-спиннер. Отсюда и её
обиходное название - бесполезное
точило, или машина ничегонеделания.
Многие даже называют её точилом херни.
Я этого не выдумывал, честное слово. Однако первое
впечатление может быть обманчивым. Давайте приглядимся

English: 
Welcome to another Mathologer video.
Today's mission is to do nothing. Well
sort of. Today we'll reveal the secrets of the
mysterious trammel of Archimedes also
known as the nothing grinder. This gadget
here is the basic model but there are many
more complicated incarnations. Lots of
really satisfying visual aha moments and
beautiful maths coming your way.
Enjoy :) Ok, let's have a look at what this
thing does. And, yes, at first glance it really does
seem to do nothing. It just spins and
spins like a particularly pointless
fidget spinner.
Hence the colloquial name nothing
grinder or do nothing machine. A lot of
people even call it the bullshit grinder.
I did not make this up, promise. But first
impressions can be misleading. Let's zoom

English: 
in to have a closer look. I've
highlighted the point on the arm exactly
in the middle between the two screws.
What curve do you think it draws? Well of
course any time someone asked you that
it's a good bet that the answer is "a
circle". And it sure looks like a circle.
And looks are not deceiving, yep it's a
circle. Neat! Here I've marked a couple
more points along the arm. The blue
button traces a perfect ellipse and so
do all the other buttons. Now of course
ellipses are some of the most
fundamental curves in mathematics and
nature with planets zooming around the Sun on elliptical orbits and so on.
Turns out the do-nothing machine
produces ellipses of all possible shapes.
Super neat don't you think?
Mathematically probably the easiest way
to construct all ellipses is to simply
squish a circle in one direction. For
example, here are the ellipses that we
just saw produced by the nothing grinder.

Russian: 
к этой машине поближе. Я обозначил точку
на рычаге, расположенную точно
в середине между двумя болтами. Какую
кривую она описывает? Ну, разумеется,
всякий раз, когда кто-то задаёт подобный вопрос,
почти беспроигрышным вариантом является ответ
"круг". И действительно, в данной ситуации эта кривая
похожа на круг. И видимость не обманчива: да, это
круг. Изящно! Вот тут я отметил ещё
пару точек на рычаге. Синяя
точка описывает идеальный эллипс, и то же
верно для всех остальных точек. Естественно,
эллипсы являются одними из самых
фундаментальных кривых в математике и
в природе, где планеты, вращающиеся вокруг Солнца,
движутся по эллиптическим орбитам, и тому подобное.
Оказывается, что машина ничегонеделания может
описывать эллипсы всех возможных форм.
Восхитительно, не так ли? Математически,
самый, наверное, простой способ
соорудить все возможные эллипсы - это
просто сжать круг по одному направлению.
К примеру, вот эллипсы, которые мы уже видели
ранее, во фрагменте с бесполезным точилом.

Russian: 
Что ж, неплохо. А вот задачка для вас:
имея один эллипс произвольной формы (к примеру,
синий эллипс на картинке), сколько точек на рычаге
бесполезного точила описывают
эллипсы такой общей формы?
Я предполагаю, в типично математическом
духе отрицания реальности,
что рычаг на самом деле является бесконечно длинным
лучом, продолжающимся за пределами того места, где
реальный рычаг заканчивается. Поделитесь своими
мыслями по этому поводу в комментариях.
Продолжим. Поскольку эллипсы чрезвычайно важны в
математике и поскольку бесполезные точила чрезвычайно
эффективны в рисовании эллипсов, от бесполезного точила
ещё может быть какая-то практическая польза. Ну,
пожалуй, не в нынешнее время, но в старые добрые до-компьютерные
деньки существовала такая вещь, как эллипсограф,
являвшийся стандартным и важным
инструментом механического черчения. Вот
картинка одного очень красивого античного
эллипсографа. В нём можно настраивать
положения вот этих трёх частей и чертить
эллипсы многих форм и размеров.

English: 
Alright, neat huh. Here's a puzzle for you:
Given one ellipse of a particular shape, say
the blue ellipse, how many points on the
arm of the nothing grinder trace an
ellipse of the same overall shape. Here
I'm assuming, in typical mathematical
denial of reality,
that the arm is in fact an infinitely
long ray that continues beyond where
the physical arm stops. Share your
thoughts in the comments.
Now since ellipses are super important
and since nothing grinders are super
good at drawing them is there maybe a
practical use for our nothing grinder. Well
not so much now but in the good old pre-computer days the ellipseograph was
indeed a standard and important
mechanical drawing tool. So there's a
picture of a really beautiful antique
ellipseograph. You can adjust the
positions of these bits over there to
draw ellipses of many shapes and sizes.

Russian: 
А вот ещё одно бесполезное точило, теперь
уже имеющее три ползунка вместо двух.
Завораживает, не так ли? А также весьма
изумляет, если вдуматься. То, что два линейных
ползунка дают две степени свободы и позволяют
рычагу вращаться зафиксированным образом,
ещё имеет смысл. Но как это возможно, что
добавление третьего линейного ползунка
в эту структуру не заклинивает её?
О, и кстати говоря, я напечатал
эту модель на 3D принтере своими руками, и я оставлю
ссылку на печатные STL файлы для этой модели
и других бесполезных точил в описании к видео.
Считайте это ранними рождественскими
подарками для всех вас :) Эти модели легко
печатаются без необходимости добавлять
новый материал на моём монстре-принтере
Zortrex, однако общий расход наверняка
будет варьироваться в зависимости от
используемого принтера. Дайте мне знать в
комментариях, удалось ли вам напечатать свою копию
этой модели. Окей, вернёмся к делу: какие же кривые

English: 
Here is a different nothing grinder
featuring three sliders instead of two.
Mesmerizing isn't it. Also pretty amazing
when you think about it. Two linear
sliders giving two degrees of freedom to
allow the arm to spin in a fixed way
makes sense. But how come it is possible
to insert a third linear slider into
this setup without the whole thing
seizing up? Oh, and by the way, I 3d
printed the model over there and I'll
link to 3d printable STL files of this
and other nothing grinders in the
description. Some early Christmas
presents for all of you. These models
print out perfectly without adding any
supports on my monster Zortrex 3d
printer but mileage will almost
certainly vary depending on what sort of
printer you have. Let me know in the
comments if you succeeded in printing a
copy. Okay so what sort of curves does

English: 
this more complicated do-nothing machine
trace, what do you think? Maybe it's a
little surprising but nothing new
happens. This thing also traces ellipses
and nothing else. So the three screws you
see here are the corners of an
equilateral triangle and the midpoint of
this triangle again traces a circle.
Unfortunately my aim was slightly off
when I pushed the pink pin in and so we
don't see a perfect circle here but a
slightly squished one. All very pretty
but where do these circles in the middle
come from? Why can you have
more than two linear sliders? And why all those
ellipses? I know you won't be able to
sleep tonight unless you know the
answers to these questions
so let me inflict some really beautiful
and surprising explanations on you. What
do you see? A little circle of points
rolling inside a large circle? Sure, but
do you also see a bunch of lines? No?
Let's make it clearer. Whoa, I bet you did

Russian: 
может чертить эта более сложная машина
ничегонеделания, как думаете? Возможно,
вы будете удивлены, но ничего нового тут нет.
Эта штука всё также чертит эллипсы
и ничего более. Три болта, видимые
на экране, являются углами
равностороннего треугольника, и точка в середине
этого треугольника (вновь) описывает окружность.
К сожалению, мой прицел был несколько неточен, когда
я нацеплял розовую булавку на рычаг, так что мы
наблюдаем не идеальный круг, а немного сплющенный.
Всё это выглядит довольно красиво,
однако откуда всё же берутся эти круги в середине
рычага? Почему мы можем использовать
более двух линейных ползунков? И откуда берутся
эллипсы? Знаю, вы не сможете заснуть сегодня
ночью, если только не узнаете
ответы на все эти вопросы,
так что позвольте мне обрушить на вас невероятно
красивые и удивительные объяснения этим фактам.
Что вы видите сейчас? Маленький круг из (красных) точек,
вращающийся внутри большого круга? Верно, однако
видите ли вы ещё и множество прямых линий? Нет?
Позвольте прояснить ситуацию. Воу... Полагаю, этого вы

English: 
not see that one coming.
Really amazing don't you think? I still
remember being very taken by this the
first time I saw it. So what's going on
here? This phenomenon is known as the Tusi 
couple named after its discoverer the
13th century mathematician and
astronomer Nasir al-Deen al-Tusi
Regular mathologerers will remember the
Tusi couple from our recent video on
epicycles and Fourier series: if a circle
rolls inside a circle of twice the size
then any point on the circumference of
the small circle traces out a diameter
of the larger circle. Super duper pretty :)
That's exactly what you see in this
animation: eight points on the
circumference of the small circle
tracing diameters of the large circle.
And when we focus on just these two
diameters here and the points moving on
them we're looking at an exact replica

Russian: 
никак не ожидали. Воистину изумительно,
не правда ли? Я всё ещё
помню, как меня пленило это зрелище, когда я
увидел его впервые. Что же здесь происходит?
Этот феномен известен как "пара Туси",
названная в честь её первооткрывателя,
математика 13-го века и астронома
по имени Насир ад-Дин Туси.
Регулярные зрители могут вспомнить, что пара Туси уже
возникала в одном из наших недавних видео, на тему
эпициклов и рядов Фурье: если круг вращается
внутри другого круга вдвое большего размера,
то любая точка на окружности меньшего
круга будет очерчивать диаметр
большего круга. Супер-пупер красиво :)
И это в точности то, что вы видите сейчас в этой
анимации: восемь точек на окружности меньшего круга,
обрисовывающие диаметры большего круга.
И если мы сосредоточимся на лишь двух из этих
диаметров и на соответствующих точках,
то мы увидим точную копию

English: 
of our original nothing grinder. The Tusi
couple also makes it clear at a glance
why nothing grinders can have as many
linear sliders as we wish. So another way
of looking at this animation is to
interpret it as a nothing grinder with
eight sliders and with pivot points evenly
placed around an invisible rolling
circle. Here is a six point grinder I
printed, complete with the stationary
large circle and the small rolling circle.
It's also now really easy to see that
the midpoint of the pivot points is
tracing a circle. Why, well this midpoint
is the center of the rolling circle,
which of course traces another circle. At
the end of this video I'll also explain
where all those
ellipses come from and why the Tusi
couple does what it does but before I do
this here is a quick show-and-tell of some
other pretty stuff. Here again is the basic
setup with the rolling circle

Russian: 
нашего первоначального бесполезного точила.
Пара Туси также даёт понять с первого взгляда,
почему бесполезные точила могут иметь столько линейных
ползунков, сколько нам угодно. Ведь ещё один способ
взглянуть на вот эту анимацию - это
интерпретировать её как бесполезное точило с
восемью ползунками и с осями, расположенными
равномерно по окружности невидимого вращающегося
круга. Вот как выглядит шести-ползунковое точило,
напечатанное мною и дополненное неподвижным
большим кругом и
вращающимся маленьким кругом.
Также сейчас легко разглядеть причину того, почему
серединная точка между осями вращения
описывает круг. Почему? Да потому, что эта серединная
точка является центром вращающегося круга,
который, разумеется, должен описывать свой собственный
круг. В конце этого видео я также объясню,
откуда здесь берутся все остальные
эллипсы и почему пара Туси
работает именно так, но прежде, чем я это сделаю, -
вот быстрый рассказ в духе "расскажи и покажи"
касательно других математических интересностей. Вот,
ещё раз, наша обыкновенная структура, с обозначенным

English: 
highlighted. Let's first play with the
position of the pivot points on the
rolling circle and move them inside the
circle.
Alright here we go. Then, as shown, instead
of line segments these pivots will now
trace ellipses this means that we could
have the sliders run in elliptical
grooves instead of straight grooves and
still have a smoothly working nothing
grinder. So let's have a look at this.
That's what it would look like. Next, if
we modify the size of the rolling circle
other interesting things start happening.
Here we go. Let's roll! 
Yep it's spirograph time. If we have
both sliders move along the red trefoil
groove, then other points on the arm
trace rounded triangles. And we can
get rounded squares... and pentagon's  and a
lot of other spriography curves that
I talked about in the epicycle video. The

Russian: 
вращающимся кругом. Давайте сначала
поиграем с позициями точек вращения на
вращающемся круге, немного
перемещая их по его окружности.
Итак, поехали. Как видите, вместо прямых
отрезков теперь эти осевые точки будут
очерчивать эллипсы, что означает, что мы
могли бы сделать ползунки с эллиптическими
путями вместо прямых путей, и всё равно
получили бы хорошо работающее бесполезное
точило. Давайте присмотримся к картинке:
вот как это выглядело бы в реальности. Далее,
если мы изменим размер вращающегося круга,
другие интересные вещи начнут происходить.
Так... Поехали! Ага, теперь эта штука
стала спирографом. Если бы мы
заставили оба слайдера двигаться по красному
трёхлистному жёлобу, то другие точки на рычаге
описывали бы округлённые треугольники. Мы также
могли бы получить округлённые квадраты... и пятиугольники,
и много других спирографных кривых, о которых
я рассказывал в видео об эпициклах.

English: 
3d printing part of all this is still
work in progress but you can see I'm
having a lot of fun again. Now to
mathematically round of things, let me
show you where all those ellipses come
from. We begin with the familiar unit
circle in the familiar xy-plane and head out
from the origin at an angle theta. Then
the point on the circle has x-coordinate
cos theta and y coordinate sine theta.
Now let's stomp on the circle squishing
it into an ellipse. This amounts to
multiplying the y-coordinate by some small scaling factor a. As theta varies the point sweeps out our
ellipse and so this gives the
parameterization of the ellipse. The
theta is the theta of the original
circle. We can still clearly see the
x-coordinate cos theta of the original
triangle in the ellipse. So there we go.
We can also visualize the y-coordinate
in a scaled down triangle,

Russian: 
Как всё это напечатать на 3D принтере - пока
что проект в разработке, но, как видите,
я вновь очень весело провожу время. Ну а теперь,
чтобы математически закруглить видео, позвольте
я покажу вам, откуда же берутся все те эллипсы.
Мы начнём с уже знакомого единичного
круга в знакомой xy-плоскости и посмотрим
на отрезок из начала координат под углом θ.
Тогда x-координата соответствующей точки на
круге равна cos(θ), а y-координата равна sin(θ).
Теперь давайте надавим на круг сверху, заставив
его принять форму эллипса. Это равносильно
умножению y-координаты нашей точки на маленькое число a.
По мере изменения θ, точка будет описывать наш
эллипс, и это даёт нам
параметризацию этого эллипса.
θ здесь - это та же θ, что и в первоначальном
круге. Мы по-прежнему можем ясно видеть
x-координату, cos(θ), изначального
круга в нашем эллипсе. Вот так.
Мы также можем визуализировать y-координату
в уменьшенной копии треугольника,

Russian: 
с гипотенузой a, вот так. Подумайте
над этим секунду. Всё под контролем?
Отлично! Теперь нам осталось только выровнять эти
два треугольника рядом друг с другом, и машина
ничегонеделания возникнет прямо у нас перед
глазами :) Теперь, по мере того, как мы меняем
угол θ, рычаг будет описывать наш эллипс. Супер изящно
и вполне естественно, не так ли? И кроме того,
это также показывает нам, что картинка, связанная
со стандартной параметризацией
эллипса, является естественным
обобщением картинки, которая
связана со стандартной параметризацией круга и с
которой большинство из вас уже наверняка были
утомлены до смерти в школе, верно? Давайте
переключимся между этими картинками пару раз...
очень изящно, не так ли? Вот так, без вашего ведома,
каждый раз, когда вы рисовали круговую диаграмму,
вы были всего в одном мини-шаге от понимания
великолепной машины ничегонеделания.

English: 
with hypotenus  a, like this. Ponder
this for a moment. All under control?
Great! Now just bring these two triangles
into alignment and the do-nothing
machine materializes right there in
front of our eyes:) Now as we change the
theta the arm traces our ellipse. Super
neat and very natural, isn't it? And what
this also shows is that our picture that
goes with the standard parameterization
of an ellipse is a natural
generalization of the picture that goes
with the standard parameterization of
the circle that most of you will have
done to death in school, right? Let's go
back and forth a couple of times, really
pretty, isn't it? So unbeknownst to you,
every time you drew the circle diagram
you were just a mini step away from
understanding the fabulous do-nothing

English: 
machine. Recently 3blue1brown
did two nice videos in which he talked
ellipses. What I just showed you also
makes a nice addition to these videos, so
definitely also check out the 3blue1brown videos if you haven't seen them
yet. And that finishes the official part
for today. Hope you enjoyed this video.
BUT for those of you who like their maths
to be even more mathsy stick around a
little longer and I'll show you a pretty
visual proof that the Tusi couple
draws straight lines. Okay, here's the
starting position for the little rolling
circle. I want to convince you that the
red point will really run along the orange
diameter. Let's roll it a little bit. So
if al-Tusi is correct, where in this picture
should the red point now be? Well,
obviously, here on the orange diameter.

Russian: 
Недавно 3Blue1Brown выложил два хороших
видео, в которых он рассказывал об
эллипсах. То, что я только что вам показал, является
неплохим дополнением к этим двум видео, так что
обязательно посмотрите те видео
3Blue1Brown, если ещё не смотрели.
И это заканчивает основную часть нашего видео
на сегодня. Надеюсь, оно вам понравилось.
НО для тех из вас, кому более математичная
математика нравится ещё больше, - задержитесь
ещё ненадолго и я покажу вам красивое
визуальное доказательство того, что пара Туси
чертит прямые отрезки. Итак, вот стартовая
позиция нашего маленького вращающегося
круга. Я хочу убедить вас в том, что красная точка
действительно будет двигаться вдоль оранжевого
диаметра. Поехали, потихонечку. Если Туси
прав, где в этом новом положении круга
должна находиться красная точка?
Ну, очевидно, на оранжевом диаметре.

Russian: 
Как можно доказать, что она действительно
там? Нам нужно показать, что вот эти
две дуги, по которым два круга касались
во время того короткого вращения,
имеют одинаковую длину. Помните, что больший круг имеет
вдвое больший радиус, чем меньший круг,
и поэтому имеет вдвое более длинные дуги.
Поэтому чтобы доказать, что зелёная и красная дуги
имеют одинаковую длину, нам достаточно показать,
что вот этот зелёный угол вдвое меньше, чем вот этот
красный угол. Однако показать, что красный угол вдвое
больше зелёного, очень просто. Вот первый
зелёный угол внутри красного... так.
А вот равнобедренный треугольник, в котором две розовые
стороны равны друг другу, и это означает, что мы также
имеем зелёный угол вот здесь. Однако вот этот
зигзаг показывает, что это позволяет нам получить
ещё один зелёный угол вот тут, и получается, что
два зелёных угла в сумме дают красный. Тада!

English: 
How can we prove that it's really there?
Well what we have to show is that these
two arcs along which the two circles
have touched during the rolling action
have the same length.
Remember that the larger circle has
twice the radius of the smaller circle
with proportionally larger arcs. So to
prove that the green and red arcs are
the same length, we simply have to show
that this green angle here is half this
red angle. But showing that the red is
twice the green is easy. Here's the first
green angle inside the red one, there we
go. Now here is an isosceles triangle with
pink sides equal and that means we also
have a green angle over there. But then
this zigzag here shows that we've got
yet another green angle here and so two
green angles make a red. Tada

English: 
the magic of maths :) and that's really it
for today.

Russian: 
Магия математики :) И на этом
правда всё на сегодня.
