
Korean: 
우리 함께
11/2π에서
6π까지
9sinx의 정적분의 값을
구해봅시다
먼저
sinx의 원시함수를
구해봅시다
우선 적분의 성질을 이용해서
주어진 식을 간단히 할 수 있습니다
이 식은
9배의
11π/2에서 6π까지 ∫sinxdx와 같습니다
sinx의 원시함수는 무엇인가요?
우리는 도함수들로부터
cosx의 도함수가
(-sinx)임을 알고 있습니다
(-sinx)요
그러면 우리가 어떻게 해야
적분 안의 식이 (-sinx)가 되도록
할 수 있을까요
적분 안에 상수를 곱하면요
적분 안에 (-1)을 곱하면요
그러나 한 곳에만
(-1)을 곱할 순 없으니 곱하려면

Bulgarian: 
Да видим дали можем да изчислим
определен интеграл от 11π/2 до 6π,
от 9 по синус от х, dx.
Нека първо да видим дали може да
намерим
примитивната функкция 
(антипроизводната) на 9 по синус от х.
Може да използваме някои от нашите
свойства
на интегрирането, за да опростим
интеграла.
Това ще бъде равно на следното.
Това е същото нещо като 9, умножено
по интеграл
от 11π/2 до 6π, от синус от х, dx.
А на какво е равна антипроизводната
от синус от х?
От производните знаем,
че производна спрямо х от
косинус от х,
е равно на минус синус от х.
Минус синус от х.
Можем ли да преработим този израз,
така че да е равен на минус синус от х?
Какво става, ако умножа под
интеграла по минус 1?
Не може да умножим просто така
само на едно място по –1.

Czech: 
Pojďme spočítat
určitý integrál od 11π/2 do 6π
9 sinus x dx.
Prvně se podívejme,
jestli umíme zintegrovat 9 sinus x,
a využijeme nějaké vlastnosti integrace
a trochu ten výraz zjednodušíme.
Takže toto bude rovno...
Je to stejné jako 9 krát integrál
od 11π/2 do 6π sinu x dx.
A jaký je integrál sinu x?
Už víme z derivací,
že derivace podle x kosinu x
je rovna -sinus x.
-sinus x.
Můžeme to tedy nějak přepsat tak,
abychom tady dostali -sinus x?
Co kdybych to vevnitř
vynásobil -1?

Thai: 
ลองดูว่าเราหาค่า
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก 11 พายส่วน 2
ถึง 6 พาย
ของ 9 ไซน์ของ x dx ได้ไหม
อย่างแรก ลองดูว่าเราหาค่า
ปฏิยานุพันธ์ของ 9 ไซน์ของ x ได้ไหม
เราใช้สมบัติการอินทิเกรต
เพื่อจัดรูปให้ง่ายลงหน่อยได้
อันนี้จะเท่ากับ
อันนี้เหมือนกับ 9 คูณอินทิกรัล
จาก 11 พายส่วน 2 ถึง 6 พาย
ของไซน์ของ x dx
แล้วปฏิยานุพันธ์ของไซน์ของ x เป็นเท่าใด?
เรารู้ จากอนุพันธ์ ว่า
อนุพันธ์เทียบกับ x ของโคไซน์ของ x
เท่ากับลบไซน์ของ x
ลบไซน์ของ x
เราสร้างอันนี้ในแบบ
ที่เป็นลบไซน์ของ x ได้ไหม?
ถ้าเกิดผมคูณ ข้างใน
ถ้าผมคูณมันด้วยลบ 1 ล่ะ?
ผมคูณลบ 1 แค่ที่เดียวไม่ได้
ผมต้องคูณด้วย

English: 
- [Voiceover] Let's see if we can evaluate
the definite integral from 11 pi over
two to six pi
of nine sine of x dx.
So the first thing,
let's see if we can take
the antiderivative of nine sine of x,
and we could use some of our integration
properties to simplify this a little bit.
So this is going to be equal to,
this is the same thing as
nine times the integral
from 11 pi over two to
six pi of sine of x dx.
And what's the
anitderivative of sine of x?
Well we know, from our
derivatives, that the
derivative with respect
to x of cosine of x
is equal to negative sine of x,
negative sine of x.
So can we construct this in some way
so this is a negative sine of x?
What if I multiplied, on the inside,
what if I multiplied it by negative one?
Well I can't just
multiply in only one place
by negative one, I need to multiply by

Bulgarian: 
Трябва да умножа още веднъж по –1, 
за да не се променя стойността.
Какво ще стане, ако го представим
като –9 по минус синус от х?
Отново ще се получи 9 по синус от х.
Тоест ако имаме минус 9 по минус
синус от х,
ще се получи 9 по синус от х.
Представих го така,
защото сега минус синус от х
отговаря на производната на
косинус от х.
Тогава целият израз ще бъде
равен на на следното. Имаме минус 9
отпред.
Минус 9 отпред,
умножено по...
Ще запиша останалото в скоби.
Минус 9 по примитивната
функция на минус синус от х.
Това ще бъде равно на косинус от х.
Ще изчислим този израз за границите
на интеграла.
Ще го изчислим за 6π.
Нека до го запиша с цвят, който не
съм използвал досега.
Ще изчислим това за 6π
и ще го изчислим също за 11π/2.

Czech: 
Nemůžu to ale násobit jen na jednom místě,
musím to vynásobit -1 dvakrát,
abych nezměnil hodnotu výrazu.
Takže co kdybych napsal
-9 krát -sinus x?
Stále to bude 9 sinus x.
Kdybychom vzali -9 krát -sinus x,
dostaneme 9 sinus x,
a udělal jsem to proto, že teď
-sinus x odpovídá derivaci kosinu x.
Takže můžeme říct,
že toto celé se bude rovnat...
Bude se to rovnat...
Vepředu máme -9,
-9 krát...
Dám to do závorek.
-9 krát integrál -sinu x,
to je kosinus x,
kosinus x,
a vyčíslíme to v zadaných mezích.
Vyčíslíme to v 6π...
Udělám to barvou,
kterou jsem ještě nepoužil.
Vyčíslíme to pro 6π
a pak to vyčíslíme i v 11π/2.

English: 
negative one twice so I'm
not changing its value.
So what if I said negative
nine times negative sine of x?
Well this is still
gonna be nine sine of x.
If you took negative nine
times negative sine of x,
it is nine sine of x,
and I did it this way
because now negative sine of x,
it matches the derivative of cosine of x.
So we could say that this
is all going to be equal to,
it's all going to be
equal to, you have your
negative nine out front,
negative nine times,
times, I'll put it in brackets,
negative nine times, the antiderivative
of negative sine of x, well that
is just going to be cosine of x,
cosine of x,
and we're going to
evaluate it at its bounds.
We're going to evaluate it at six pi,
let me do that in a
color I haven't used yet,
we're gonna do that at six pi, and we're
also going to do that at 11 pi over two,

Korean: 
식의 값이 바뀌지 않도록
(-1)을 두번 곱해야 해요
그럼 만일 (-9)곱하기
(-sinx)라면
전체 식의 값은 여전히 9sinx죠
(-9)곱하기 (-sinx)로 생각하면
원래 9sinx를 (-9)와 (-sinx)의
곱의 형태로 바꾸었어요
왜냐하면 이제 (-sinx)가
cosx의 도함수와
일치하기 때문이죠
그러니 우리는 이 모든값이
모든 값이
맨 앞에 (-9), (-9)배
대괄호안에 넣을게요
(-9)배, (-sinx)의
원시함수
그냥 cosx와 같죠
cosx
이와 같습니다
그리고 이 범위 내에서
식의 값을 구하게 될겁니다
6π에서 먼저 구합시다
아직 사용하지 않은 색깔로 하겠습니다
우리는 이것을 6π 에서 계산하고
11π/2에 대해서도 계산할 거에요

Thai: 
ลบ 1 สองครั้ง ผมจะได้ไม่เปลี่ยนค่า
ถ้าเกิดผมบอกว่าลบ 9 คูณลบไซน์ของ x ล่ะ?
อันนี้จะยังเป็น 9 ไซน์ของ x
ถ้าคุณนำลบ 9 มาคูณกับลบไซน์ของ x
มันคือ 9 ไซน์ของ x และผมทำแบบนี้
เพราะตอนนี้ ลบไซน์ของ x
มันตรงกับอนุพันธ์ของโคไซน์ของ x
เราบอกได้ว่า ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ
มันจะเท่ากับ คุณมี
ลบ 9 อยู่ข้างหน้า ลบ 9 คูณ
คูณ ผมจะใส่วงเล็บนะ
ลบ 9 คูณ, ปฏิยานุพันธ์
ของลบไซน์ของ x
มันจะเท่ากับโคไซน์ของ x
โคไซน์ของ x
และเราจะหาค่ามันที่ขอบ
เราจะหาค่ามันที่ 6 พาย
ขอผมใช้สีที่ผมยังไม่ได้ใช้นะ
เราจะหาค่าที่ 6 พาย และเรา
จะหาค่าที่ 11 พายส่วน 2

English: 
11 pi over two, so this
is going to be equal to,
this is equal to negative nine times,
I'm going to create some space here,
so actually that's probably
more space than I need,
it's going to be cosine of six pi,
cosine of six pi,
minus cosine of 11 pi over two,
cosine of 11 pi over two.
Well what is cosine of six pi going to be?
Well, cosine of any multiple of
two pi is going to be equal to one.
You could view six pi as, we're going
around the unit circle three times.
So this is the same thing
as cosine of two pi,
or the same thing as cosine of zero,
so that is going to be equal to one.
If that seems unfamiliar to you
I encourage you to review the
unit circle definition of cosine.

Bulgarian: 
Това ще бъде равно
на минус 9 по следното.
Ще си отделя едно пространство тук.
Това е повече, отколкото имам нужда.
Получава се косинус от 6π.
Косинус от 6π
минус косинус от 11π/2.
На какво е равно косинус от 6π?
Косинус от кое да е кратно число
на 2π ще бъде равно на 1.
Може да разглеждаме 6π като
три обиколки на единичната
окръжност.
Равно е на същото нещо като
косинус от 2π,
или същото нещо като косинус от 0.
Следователно този член е равен на 1.
Ако това ти се струва непознато,
те насърчавам да преговориш
дефиницията
на косинус за единичната окръжност.

Czech: 
11π/2,
takže to bude rovno...
Bude to rovno -9 krát...
Udělám si to trochu místa.
To je asi více místa,
než budu potřebovat.
Bude to kosinus 6π,
kosinus 6π,
minus kosinus 11π/2,
kosinus 11π/2.
Kolik bude kosinus 6π?
Kosinus jakéhokoli násobku 2π
bude roven 1.
Můžeme si 6π představit, jako bychom
obkroužili jednotkovou kružnici třikrát.
Toto bude tedy stejné jako
kosinus 2π,
nebo jako kosinus 0,
takže to bude rovno 1.
Pokud vám to nic neříká,
zopakujte si jednotkovou kružnici kosinu.

Thai: 
11 พายส่วน 2 อันนี้จะเท่ากับ
อันนี้เท่ากับลบ 9 คูณ
ผมจะสร้างที่ว่างตรงนี้
มันอาจจะมีที่มากกว่าผมต้องใช้
มันจะเท่ากับโคไซน์ของ 6 พาย
โคไซน์ของ 6 พาย
ลบโคไซน์ของ 11 พายส่วน 2
โคไซน์ของ 11 พายส่วน 2
โคไซน์ของ 6 พายจะเท่ากับอะไร?
โคไซน์ของพหุคูณ
ของ 2 พายจะเท่ากับ 1
คุณมอง 6 พายเป็น เราจะ
วนรอบวงกลมหน่วย 3 รอบ
อันนี้จึงเหมือนกับโคไซน์ของ 2 พาย
หรือเหมือนกับโคไซน์ของ 0
มันจึงเท่ากับ 1
ถ้าคุณรู้สึกไม่คุ้น
ผมแนะนำให้คุณทบทวน
นิยามวงกลมหน่วยของโคไซน์

Korean: 
11π/2, 이것은
이것은 (-9)배를 한 것과 같습니다
이쪽에 새로운 공간을 만들게요
제가 필요한것 보다 좀 공간이 크네요
cos(6π) 가 될겁니다
cos(6π)
-cos(11π/2)
cos(11π/2)
cos(6π)의 값은 어떻게 될까요
2π에 정수를 곱한
어떤 수의 cos의 값도 1이 됩니다
6π를 이렇게 볼 수 있어요
단위 원 상에서 세 바퀴를 도는 거에요
그 값은 그러면 cos(2π)와 같겠죠
또는 cos(0)과 같죠
그래서 그 값은 1이 될겁니다
이것이 안익숙하다면
코사인의 단위원을 복습하시는 것을
추천합니다

Czech: 
A jaký je kosinus 11π/2?
Odečtěme nějaké násobky 2π,
abychom dostali hodnoty,
kterým budeme lépe rozumět.
Takže toto je...
Napíšu to tady.
Kosinus 11π/2 je to stejné jako...
Když odečteme...
Je to stejné jako kosinus 11π/2 minus...
Je to stejné jako 5 a půl π, že?
Takže toto si můžeme představit jako...
Mohli bychom odečíst 4 π,
což bude...
Mohli bychom to napsat jako 8π/2.
Ne, odečtěme 5.
Ne, odečtěme 4π,
což je 8π/2.

Thai: 
แล้วโคไซน์ของ 11 พายส่วน 2 เป็นเท่าใด?
ลองดู ลองลบ
ลองลบพหุคูณของ 2 พายตรงนี้
ใส่ค่าที่เราเข้าใจได้ง่ายกว่านี้
นี่คือ ขอผมเขียนมันตรงนี้นะ
โคไซน์ของ 11 พายส่วน 2 มันเท่ากับ
ลองดู ถ้าเราลบ
อันนี้เหมือนกับโคไซน์ของ
11 พายส่วน 2 ลบ อันนี้เท่ากับ
5 กับ 1/2 พาย จริงไหม?
ใช่ นี่ก็คือ เรามองอันนี้ได้เป็น
เราลบได้ ลองลบ 4 พาย
ซึ่งเท่ากับ เรา
เขียนได้เป็น 8 พายส่วน 2
ไม่ ลองลบ 5 ดีกว่า
ไม่ ลองลบ 4 พายนี่แหละ ได้ 8 พายส่วน 2
ย้ำอีกครั้ง ผมแค่ลบ
พหุคูณของ 2 พายซึ่งจะไม่เปลี่ยน

English: 
And what is cosine of 11 pi over two?
Let's see, let's subtract some,
let's subtract some
multiple of two pi here
to put it in values that
we can understand better.
So this is, so let me write it here,
cosine of 11 pi over 2,
that is the same thing as,
let's see, if we were to subtract,
this is the same thing as cosine of
11 pi over two minus,
this is the same thing
as five and one half pi, right?
Yeah, so this is, so
we could view this as,
we could subtract, let's subtract four pi,
which is going to be, we could
write that as eight pi over two.
In fact, no, let's subtract five,
no, let's subtract four pi,
which is eight pi over 2.
So once again, I'm just subtracting
a multiple of two pi,
which isn't gonna change

Korean: 
그럼 cos(11pi/2)의 값은 무엇일까요
자 몇 가지를 빼 봅시다
여기에 2π 만큼을 빼보겠습니다
우리가 계산하기 쉬운
값들로 만들기 위해서요
여기다가 적을게요
cos(11π/2) 이것은 다음과 같습니다
보자, 수를 빼버린다면
이것은 11π/2 와
이것은 5와 1/2π와 같습니다,
맞나요?
그렇죠, 우리는 그럼
4π를 한 번 빼 봅시다
그 결과는, 우리는
8π/2로 쓸 수 있어요
그냥 5π를 빼버립시다
아니다 그냥 4π를 뺍시다
8π/2와 같지요
다시한번 그냥
2π의 몇 배를 뺄겁니다
그건 cos 값을

Bulgarian: 
А на какво е равно косинус от 11π/2?
Нека да видим. Нека да извадим
някакво число, кратно на 2π тук,
за да го представим като подходяща
стойност.
Нека го запишем тук.
Косинус от 11π/2 е същото като
следното.
Нека да видим ако извадим нещо.
Това е същото нещо като
косинус от 11π/2, или същото
като 5 1/2 пъти π. Нали така?
Да, ето така може да го представим.
Може да извадим от него 4π,
като това може
да запишем като 8π/2.
Всъщност нека да извадим 5...
Не, нека да извадим 4π, което е 8π/2.
И отново, просто изваждам число,
което е кратно на 2π, което не променя

Czech: 
Takže opět odečítám násobek 2π,
což mi nezmění hodnotu kosinu,
a bude to rovno kosinu 3π/2.
A když si představíme
jednotkovou kružnici,
nakreslím ji tady.
Takže to je moje osa y, moje osa x,
a pak jednotková kružnice, ups.
Takže jednotková kružnice.
Takže když začneme v 0
a pak jdeme k π/2,
pak jdeme k π
a pak k 3π/2,
je to tento bod
na jednotkové kružnici.
Kosinus je souřadnice x,
takže to bude 0.
Toto je 0, takže toto je 0,
takže dostáváme 1 minus 0,
takže to celé v závorce
má hodnotu 1,
takže nám zůstává...
Pojďme na to.
Toto celé se rovná 1.
Takže máme -9 krát 1,
což je jednoduše -9,
to je hodnota
našeho určitého integrálu.

Thai: 
ค่าของโคไซน์ อันนี้จึงเท่ากับ
โคไซน์ของ 3 พายส่วน 2
และถ้าเรานึกภาพวงกลมหน่วย
ขอผมวาดวงกลมหน่วยตรงนี้นะ
มันก็คือแกน y, แกน x, แล้ว
ผมมีวงกลมหน่วย โอ๊ย
วงกลมหน่วยเป็นแบบนั้น
ถ้าเราเริ่มที่ นี่คือ 0
แล้วคุณไปพายส่วน 2 แล้วคุณ
ไปพาย แล้วคุณไป 3 พายส่วน 2
นั่นคือจุดนี้บนวงกลมหน่วย
โคไซน์คือพิกัด x
อันนี้จึงเท่ากับ 0
นี่คือ 0 นี่ก็คือ 0 แล้วเราจะได้
1 ลบ 0 ทุกอย่างในวงเล็บ
หาค่าที่ 1 แล้วเราจะเหลือ
ขอผมทำนะ ทั้งหมดนี้เท่ากับ 1
แล้วคุณจะได้ลบ 9 คูณ 1
ซึ่งแน่นอนว่าเท่ากับลบ 9
เป็นค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตนี้

Korean: 
변화시키지 않을거에요, 그러니 이 값은
cos(3π/2)와 같습니다
단위원을 상상해보면
단위원을 이곳에 그릴게요
y축, x축, 그리고
단위원이 있어요, 이런
단위원이 이렇게 있습니다
시작하게 되면, 이점이 0입니다
π/2로 가고
다음 π로 가고, 또 다음은 3π/2로 가고
그러니 단위원에서의
이 점이군요
코사인은 x좌표 값이니깐
이 값은 0이 될거에요
이 값이 0이 됩니다
그래서 우리는
1-0을 얻게 됩니다
대괄호 안의 모든 것들이
한 값으로 계산되었습니다
이 모든 것의 계산값이 1입니다
그럼 (-9)의 1배라는 값이 남게 되고요
당연히 그냥 (-9)가
주어진 정적분의 값이 될 겁니다

English: 
the value of cosine, and
so this is going to be
equal to cosine of 3 pi over 2.
And if we imagine the unit circle,
and let me draw the unit circle here.
So it's my y axis, my x axis, and then
I have the unit circle, so, whoops.
So the unit circle just like that.
So if we start at, this is zero,
then you go to pi over two, then you
go to pi, then you go
to three pi over two,
so that's this point on the unit circle,
so the cosine is the x coordinate,
so this is going to be zero.
This is zero so this
is zero, and so we get
one minus zero, so
everything in the brackets
evaluates out to one,
and so we are left with,
so let me do that, so all
of this is equal to one.
And so you have negative nine times one,
which of course is just negative nine,
is what this definite
integral evaluates to.

Bulgarian: 
стойността на функцията косинус.
Тогава това ще бъде
равно на косинус от 3π/2.
Нека си представим единичната
окръжност.
Нека начертая единична окръжност
ето тук.
Това е оста у, а това е оста х.
След това имам единичната
окръжност.
Това е единичната окръжност.
Започваме от тук, т.е. това е нулата.
Стигаме до π/2, а след това до π.
След това стигаме до 3π/2,
което е тази точка от единичната
окръжност.
Косинус има стойност, равна
на х координатата,
следователно този член е равен на 0.
Това е 0 и това е 0. Получаваме 1 минус 0,
т.е. целия израз в скобите,
е равен на 1. Това е, което остава.
Нека направя ето така. 
Всичко това е равно на 1.
Имаме минус 9, умножено по 1,
което разбира се, е просто минус 9.
На това е равна стойността на
определения интеграл.
