
Thai: 
 
สมมุติว่าผมมีลำดับ
มันเริ่มที่ 1 แล้วสมมุติว่ามันเป็นลบ 1/2
แล้วมันเป็นบวก 1/3
แล้วมันไปยังลบ 1/4
แล้วมันไปยังบวก 1/5
และมันยาวต่อไปเรื่อยๆ แบบนี้
เราวาดกราฟมันได้
ขอผมวาดแกนตั้ง
ผมจะวาดเส้นนี้เป็นแกน y
และผมจะวาด y เท่ากับ a ห้อย n
และเราให้แกนนอน ที่ผมกำลัง
พลอตเป็น n
ค่านี่ตรงนี้คือ n ของเรา
แล้วอันนี้ สมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือบวก 1
ค่านี่ตรงนี้จะเป็นลบ 1
มันจะเป็นลบ 1/2
อันนี้จะเป็นบวก 1/2
ผมไม่ได้วาดแกนตั้งและแกนนอน
ด้วยสัดส่วนเดียวกัน แค่ให้เรามองภาพมันได้
ถูกต้อง
แต่สมมุติว่านี่คือ 1, 2, 3, 4, 5,
และผมไปต่อเรื่อยๆ ได้

English: 
Let's say I've got a sequence.
It starts at 1, then let's
say it goes to negative 1/2.
Then it goes to positive 1/3.
Then it goes to negative 1/4.
Then it goes to positive 1/5.
And it just keeps going on
and on and on like this.
And we could graph it.
Let me draw our vertical axis.
So I'll graph this
as our y-axis.
And I'm going to graph
y is equal to a sub n.
And let's make this our
horizontal axis where I'm going
to plot our n's.
So this right over
here is our n's.
And this is, let's say this
right over here is positive 1.
This right over
here is negative 1.
This would be negative 1/2.
This would be positive 1/2.
And I'm not drawing the
vertical and horizontal axes
at the same scale, just so that
we can kind of visualize this
properly.
But let's say this
is 1, 2, 3, 4, 5,
and I could keep going
on and on and on.

Bulgarian: 
 
Имаме една редица.
Тя започва от 1 и след това отива до минус 1/2.
След това отива до плюс 1/3.
След това отива до минус 1/4.
След това до плюс 1/5.
Като продължава нататък по същия начин.
Като можем да я начертаем.
Ще начертая вертикалната ос.
Ще начертая оста у.
И ще начертая графиката на у е равно 
на а с индекс n.
Нека направим това да е оста х, където ще
нанеса всички n.
Това тук са n.
Това тук е плюс 1.
Това тук е минус 1.
Това ще бъде минус 1/2.
Това ще бъде плюс 1/2.
Няма да чертая вертикалната и хоризонталната ос
с една и съща скала, за да можем да го визуализираме
правилно.
Но нека кажем, че това е 1, 2, 3, 4, 5,
като мога да продължа нататък и нататък.

Korean: 
 
여기 수열 하나가 있습니다
이 수열은 1로 시작하고 다음은 -1/2
다음은 +1/3
다음은 -1/4
다음은 +1/5로 갑니다
이런식으로 계속 반복됩니다
이 수열을 그래프로 그릴 수 있습니다
수직축을 그리겠습니다
자 이것이 그래프의 
y축 입니다
이제 n에 대한 y의 
그래프를 그리겠습니다
다음으로 수평축을 그리겠습니다
이 수평축은 n을 나타냅니다
여기 n이 있고
+ 1이 여기 있고
여기에 -1이 있습니다
이것은 -1/2이고
이것은 +1/2 입니다
좀 더 알아보기 
쉽게 하기 위해서
수직축과 수평축을 동일한 
간격으로 그리지 않겠습니다
수직축과 수평축을 동일한 
간격으로 그리지 않겠습니다
여기에 1 2 3 4 5...
가 있습니다
여기에 1, 2, 3, 4, 5...
가 있습니다

Portuguese: 
Digamos que tenho uma sequência
que começa em um e vai até menos 1/2,
e depois vai até mais 1/3,
e depois vai até menos 1/4,
e depois vai até mais 1/5.
E continua dessa maneira.
Poderíamos desenhar o gráfico.
Deixe-me desenhar o eixo vertical;
este será nosso eixo y.
E farei y igual a a sub n.
Faremos deste o nosso eixo horizontal
aonde vou plotar os nossos n's.
Estes são nossos n's.
Digamos que isto aqui é mais um
e aqui é negativo um.
Isto seria menos 1/2
e isto seria mais 1/2.
Não estou desenhando
o eixo vertical e o eixo horizontal
na mesma escala, para podermos 
visualizar isto corretamente.
Mas digamos que isto é um,
dois, três, quatro e cinco.
E poderia continuar indefinidamente.

Thai: 
เราเห็นตรงนี้ว่าเมื่อ n เท่ากับ 1
a ห้อย n เท่ากับ 1
ค่านี่ตรงนี้
เมื่อ n เท่ากับ 1, a ห้อย n จะเท่ากับ 1
นี่คือ y เท่ากับ a ห้อย n
แล้วเมื่อ n เท่ากับ 2 เรามี
a ห้อย n เท่ากับลบ 1/2
 
เมื่อ n เท่ากับ 3, a ห้อย n เท่ากับ 1/3
ซึ่งอยู่แถวนี้
เมื่อ n เท่ากับ 4, a ห้อย n เท่ากับลบ 1/4
ซึ่งอยู่แถวนี้
แล้วเมื่อ n เท่ากับ 5, a ห้อย n
จะเท่ากับบวก 1/5 ซึ่งอยู่ตรงนี้
และเราไปต่อเรื่อยๆ ได้
คุณเห็นจุด พวกมันกระโดดไปมา
แต่ดูเหมือนว่าพวกมัน
จะเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ
 

Bulgarian: 
Тук виждаме, че когато n е равно на 1,
а с индекс n е равно на 1.
Ето това тук.
Когато n е равно на 1, а с индекс n е равно на 1.
Това е у е равно на а с индекс n.
Когато n е равно на 2, имаме
а с индекс n е равно на минус 1/2.
Когато n е равно на 2, а с индекс n 
е равно на минус 1/2.
Когато n е равно на 3, а с индекс n е равно на 1/3,
което е точно ето там.
Когато n е равно на 4, а с индекс n 
е равно на минус 1/4,
което е точно ето там.
Тогава, когато n е равно на 5, а с индекс n
е равно на плюс 1/5, което е може би ето там.
И продължаваме нататък и нататък.
Така че виждаш точките, които в известен смисъл подскачат наоколо,
но изглежда, че отиват все по-близо и по-близо, и по-близо
до 0.

English: 
So we see here that
when n is equal to 1,
a sub n is equal to 1.
So this is right over there.
So when n is equal to 1,
a sub n is equal to 1.
So this is y is
equal to a sub n.
Now, when n is
equal to 2, we have
a sub n is equal
to negative 1/2.
When n is equal to 3, a
sub n is equal to 1/3,
which is right about there.
When n is equal to 4, a sub
n is equal to negative 1/4,
which is right about there.
And then when n is
equal to 5, a sub n
is equal to positive 1/5, which
is maybe right over there.
And we keep going
on and on and on.
So you see the points,
they kind of jump around,
but they seem to be getting
closer and closer and closer
to 0.

Korean: 
n=1일 때
An = 1 입니다
An = 1 입니다
n=1일 때
An=1입니다
따라서 y=An입니다
n=2일때
An=-1/2 입니다
An=-1/2 입니다
n=3일때 An=1/3 입니다
여기쯤에 있습니다
n=4일때 An=-1/4입니다
여기쯤에 있습니다
n=5일때 An=1/5입니다
여기쯤에 있습니다
이것이 계속 반복됩니다
점들을 관찰해봅시다
점들은 띄엄띄엄 있지만
점점 0에 수렴하는 것을
관찰할 수 있습니다
점점 0에 수렴하는 것을
관찰할 수 있습니다

Portuguese: 
Vemos que quando n é igual a um,
a sub n é igual a um.
y é igual a a sub n.
Quando n é igual a dois,
temos que a sub n é igual a menos 1/2.
Quando n é igual a três,
a sub n é igual a 1/3,
que está por aqui.
Quando n é igual a quatro,
a sub n é igual a menos 1/4,
que está por aqui.
E quando n é igual a cinco,
a sub n é igual a mais 1/5,
que talvez esteja por aqui.
E continuamos assim.
Você vê que os pontos pulam,
mas também parece que se aproximam de zero

Portuguese: 
O que nos faz perguntar: 
o que acontece com a sub n
à medida que n tende a infinito?
Outro jeito de dizer isso é: 
qual é o limite
-deixe-me fazer isto em outra cor-
Qual é o limite
de a sub à medida que n tende a infinito?
Veremos se conseguimos definir 
a sub n explicitamente;
se conseguimos definir 
a sequência explicitamente.
Podemos definir esta sequência como
a sub n onde n começa em um
e vai para infinito,
sendo a sub n igual a-
Igual a que?
Se ignorarmos o sinal momentaneamente,
parece que é apenas um sobre n,
mas também parece que o sinal oscila.
Começamos com um positivo,
depois um negativo, positivo, negativo
Poderíamos multiplicar tudo
por negativo um elevado a -Vejamos:
se multiplicarmos tudo por negativo um
elevado a n, então este seria negativo

Bulgarian: 
Което ще ни накара да отговорим на един много естествен въпрос --
какво се случва с а с индекс n, когато n клони към безкрайност?
Или друг начин да го кажем, каква е границата --
ще го напиша с друг цвят -- на а с индекс n, когато n клони
към безкрайност?
Нека помислим, дали можем да определим чрез явно задаване, колко е а с индекс n.
Дали можем да зададем редицата явно.
Можем да определим тази редица като а с индекс n, където n започва от 1
и отива до безкрайност при а с индекс n равно --
на колко е равно?
Ако игнорираме знака за секунда,
изглежда, че то е 1 върху n.
Но изглежда, че имаме колебание в знаците.
Започваме с положително, след това имаме отрицателно, положително, отрицателно.
Така че можем да умножим това по минус 1 -- да видим.
Ако го умножим по минус 1 на степен n,
тогава това ще бъде минус, а това ще бъде плюс.

Korean: 
자연스럽게 이런 질문을
해 볼 수 있습니다
만약 n이 무한대로 가면
어떻게 되는가?
다른 식으로 얘기해 보면
n이 무한대로 갈때
An의 극한은 무엇일까요?
n이 무한대로 갈때
An의 극한은 무엇일까요?
An이 양수에서만
정의된다고 해봅시다
An이 양수에서만
정의된다고 해봅시다
An은 n=1에서
n이 무한대까지 정의되고
An은 n=1에서
n이 무한대까지 정의되고
이제 An을 구해봅시다
잠시 부호를 무시해봅시다
그럼 1/n꼴이 됩니다
그렇지만 부호가 진동하는
것을 관찰할 수 있습니다
수열은 양수로 시작해서 다음은
음수 양수 음수가 됩니다
이제 -1의 거듭제곱을 곱해봅시다
만약 (-1)ⁿ을 곱하면
첫항은 음수
두번째 항은 양수가 됩니다

Thai: 
ซึ่งทำให้เราถามคำถามโดยธรรมชาติว่า --
เกิดอะไรขึ้นกับ a ห้อย n เมื่อ n เข้าหาอนันต์?
วิธีพูดอีกอย่างคือว่า ลิมิต --
ขอผมใช้สีใหม่นะ -- a ห้อย n เมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์เป็นเท่าใด?
ลองคิดดูว่าเรานิยาม a ห้อย n โดยตรงได้ไหม
 
เรานิยามลำดับนี้ได้วา a ห้อย n เมื่อ n เริ่มที่ 1
และไปถึงอนันต์ โดย a ห้อย n เท่ากับ --
มันเท่ากับอะไร?
ถ้าเราไม่คิดเครื่องหมายสักครู่
ดูเหมือนว่ามันคือ 1 ส่วน n
แต่เราเห็นว่าเรากำลังสลับเครื่องหมาย
เราเริ่มด้วยบวก แล้วลบ บวก ลบ
เราก็คูณอันนี้ด้วยลบ 1 กำลัง -- ลองดู
ถ้าเราคูณมันด้วยลบ 1 กำลัง n
แล้วอันนี้จะเป็นลบ และอันนี้จะเป็นบวก

English: 
Which would make us ask
a very natural question--
what happens to a sub n
as n approaches infinity?
Or another way of saying
that is, what is the limit--
let me do this in a new color--
of a sub n as n approaches
infinity?
Well, let's think about if we
can define a sub n explicitly.
So we can define this sequence
as a sub n where n starts at 1
and goes to infinity
with a sub n equaling--
what does it equal?
Well, if we ignore
sign for a second,
it looks like it's
just 1 over n.
But then we seem like
we oscillate in signs.
We start with a positive, then
a negative, positive, negative.
So we could multiply this times
negative 1 to the-- let's see.
If we multiply it times
negative 1 to the n,
then this one would be negative
and this would be positive.

Portuguese: 
e esse positivo. Mas não queremos isso.
Queremos que o primeiro termo
seja positivo, então dizemos
menos um elevado a n mais 1.
Pode verificar que isto funciona.
Quando n é igual a um, você tem
um vezes negativo um ao quadrado
que é apenas um, e funcionará
para todo o resto.
Podemos escrever isto como menos um
elevado a n mais um sobre n.
Perguntar qual o limite de a sub n
quando n tende a infinito
equivale a perguntar: qual é
o limite de menos um
elevado a n mais um sobre n
quando n tende ao infinito?
Lembre-se que a sub n é uma função de n.
É uma função na qual estamos limitados
a um domínio de inteiros positivos.
Mas isto ainda é um limite 
de alguma coisa tendendo a infinito.
Ainda não defini isso rigorosamente,
mas você pode conceitualizar
o que está acontecendo.
À medida que n tende ao infinito,
o numerador irá oscilar
entre positivo e negativo um,
mas o denominador apenas
ficará cada vez maior.

Thai: 
แต่เราไม่อยากได้อย่างนั้น
เราอยากได้เทอมแรกเป็นบวก
เราจึงบอกว่าลบ 1 กำลัง n บวก 1
คุณทดสอบได้ว่ามันเป็นจริง
เมื่อ n เท่ากับ 1 คุณจะได้ 
1 คูณลบ 1 กำลังสอง
ซึ่งก็คือ 1 และมันจะใช้ได้หมด
เราจึงเขียนตัวนี้ได้เท่ากับลบ 1
กำลัง n บวก 1 ส่วน n
แล้วลิมิตของ a ห้อย
n เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ก็เหมือนกับถามว่า
ลิมิตของลบ 1 กำลัง n
บวก 1 ส่วน n เมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์ มีค่าเท่าใด?
นึกดู a ห้อย n มันก็แค่ฟังก์ชันของ n
มันคือฟังก์ชันที่เราจำกัด
โดเมนให้เป็นจำนวนเต็ม
แต่อันนี้จะยังมีลิมิตเมื่อมันเข้าหา
อนันต์
และผมยังไม่ได้นิยามอย่างรัดกุมนัก
แต่คุณสามารถเข้าใจหลักการสิ่งที่เกิดขึ้นได้
เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ตัวเศษ
จะแกว่งระหว่างบวกกับลบ 1
แต่ตัวส่วนนี้จะ
โตขึ้น โตขึ้น และโตขึ้น

Bulgarian: 
Но ние не искаме да е по този начин.
Искаме първият член да бъде положителен.
Така че казваме минус 1 на степен n плюс 1.
Като можеш да провериш, че това върши работа.
Когато n е равно на 1, имаш 1 по минус 1 на квадрат,
което е просто 1 и ще върши работа при всички останали членове.
Можем да напишем това като равно на минус 1
на степен n плюс 1, върху n.
Ако питам, каква е границата на а с индекс
n, когато n клони към безкрайност, това е еквивалентно на въпроса,
на колко е равна границата на минус 1 на степен n
плюс 1, върху n, когато n клони
към безкрайност?
Не забравяй, че а с индекс n е просто функция от n.
Това е функция, при която сме ограничени ето тук
до положителните цели числа като дефиниционно множество.
Но това също е просто граница, когато нещо клони
към безкрайност.
Все още не съм я определил строго,
но можеш да обобщиш какво се случва тук.
Когато n клони към безкрайност, числителят
ще се колебае между плюс и минус 1,
но този знаменател просто ще
става все по-голямо и по-голям, и по-голям, и по-голям.

English: 
But we don't want it that way.
We want the first
term to be positive.
So we say negative 1
to the n plus 1 power.
And you can verify this works.
When n is equal to 1, you have
1 times negative 1 squared,
which is just 1, and it'll
work for all the rest.
So we could write this
as equaling negative 1
to the n plus 1 power over n.
And so asking what
the limit of a sub
n as n approaches infinity
is equivalent to asking what
is the limit of
negative 1 to the n
plus 1 power over
n as n approaches
infinity is going
to be equal to?
Remember, a sub n, this
is just a function of n.
It's a function where we're
limited right over here
to positive integers
as our domain.
But this is still just a
limit as something approaches
infinity.
And I haven't rigorously
defined it yet,
but you can conceptualize
what's going on here.
As n approaches
infinity, the numerator
is going to oscillate between
positive and negative 1,
but this denominator
is just going
to get bigger and bigger
and bigger and bigger.

Korean: 
이것은 우리가 원하는 
것이 아닙니다
첫항이 음수가 되어야 합니다
따라서 (-1)^(n+1)이
곱해져야 합니다
이것이 맞다는 것을
확인할 수 있습니다
n=1일때 1×(-1)²이고
이것은 1이고 이것은 나머지에게
모두 알맞게 적용됩니다
따라서 (-1)^(n+1)/n이라고
할 수 있습니다
따라서 (-1)^(n+1)/n이라고
할 수 있습니다
따라서 n이 무한대로 갈때
An의 극한은
따라서 n이 무한대로 갈때
An의 극한은
n이 무한대로 갈때
(-1)^(n+1)/n의 극한과 같습니다
n이 무한대로 갈때
(-1)^(n+1)/n의 극한과 같습니다
n이 무한대로 갈때
(-1)^(n+1)/n의 극한과 같습니다
An은 n에 관한 함수라는
것을 기억해보세요
이 것은 정의역이 양의 정수로
한정된 함수입니다
이 것은 정의역이 양의 정수로
한정된 함수입니다
이 것은 그저 무한대로
가는 극한입니다
이 것은 그저 무한대로
가는 극한입니다
아직 엄밀히 정의하지는 않았지만
이것을 구체화시킬 수 있을 것입니다
n이 무한대로 갈 때 분자는
1과 -1 사이에서 진동합니다
n이 무한대로 갈 때 분자는
1과 -1 사이에서 진동합니다
하지만 분모는 계속 커집니다
하지만 분모는 계속 커집니다

Bulgarian: 
Така че ще получаваме наистина, наистина, наистина, наистина
малки числа.
Така че това тук ще клони към 0.
Все още не съм го доказал.
Просто твърдя, че това е вярно.
Но ако това е вярно -- нека го запиша.
Ако е вярно, ако границата от а с индекс n, когато n клони към безкрайност, е 0,
тогава можем да кажем, че а с индекс n 
се сходява към 0.
Това е друг начин да кажем това тук.
Ако не е така, ако границата, когато n клони
към безкрайност, не отива към някоя стойност тук --
като не съм определил строго, как определяме една граница --
но ако това не беше вярно, ако не можем да установим някаква граница --
като няма нужда тя да е равна на 0.
Ако това не беше равно на някакво число, тогава
можем да кажем, че а с индекс n е разходяща.
 

Portuguese: 
Então obteremos números muito pequenos
e isto aqui tenderá a zero.
Não provei isso para você ainda.
Estou apenas dizendo que é verdade.
Mas se isto é verdade - deixe-me escrever-
Se o limite de a sub n 
quando n tende a infinito é zero,
podemos dizer que a sub n
converge em zero.
Isso é outra maneira de dizer isto aqui.
Se não fosse verdade, se o limite quando n
tende a infinito não tendesse
a algum valor, -não defini
rigorosamente como definimos um limite-
-mas se isso não fosse verdade, se não
pudéssemos calcular um limite-
não necessariamente zero,
desde que não tendesse a nenhum número,
diríamos que a sub n diverge.
[Legendado por: Pilar Dib]

Korean: 
따라서 매우 작은 수가 되겠죠
따라서 매우 작은 수가 되겠죠
따라서 이것은 0에
가까워질 것입니다
아직 이것을 증명하지는 않았지만
이것이 맞다고 합시다
만약 이것이 맞다면
즉 n이 무한대로 갈 때
An이 0에 도달한다면
An이 0으로 수렴한다고 합니다
이렇게 이 식을
표현할 수 있습니다
만약에 그렇지 않고
n이 무한대로 갈때 극한이
어떠한 값으로 수렴하지 않는다면
아직 어떻게 극한을 정의하는지
엄밀하게 설명하지 않았지만
만약 극한값이 존재 하지않는다면
그 값이 0이 아니더라도
극한이 어떠한 값으로
수렴하지 않는다면
An이 발산한다고 표현합니다
커넥트 번역 봉사단 | 곽준희

English: 
So we're going to get really,
really, really, really
small numbers.
And so this thing right over
here is going to approach 0.
Now, I have not proved
this to you yet.
I'm just claiming
that this is true.
But if this is true-- so
let me write this down.
If true, if the limit of a sub
n as n approaches infinity is 0,
then we can say that a
sub n converges to 0.
That's another way of
saying this right over here.
If it didn't, if the
limit as n approaches
infinity didn't go to
some value right here--
and I haven't rigorously
defined how we define a limit--
but if this was not true, if
we could not set some limit--
it doesn't have
to be equal to 0.
As long as it-- if this was
not equal to some number, then
we would say that
a sub n diverges.

Thai: 
เราจะได้ค่าเล็กมากๆๆๆๆๆๆ
 
แล้วค่านี่ตรงนี้จะเข้าใกล้ 0
ตอนนี้ ผมยังไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู
แต่ผมจะอ้างว่ามันเป็นจริง
แต่ถ้านี่เป็นจริง -- ขอผมเขียนลงไปนะ
ถ้าเป็นจริง ถ้าลิมิตของ a ห้อย n 
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ เท่ากับ 0
เราก็บอกได้ว่า a ห้อย n ลู่เข้าหา 0
มันคือวิธีบอกอันนี้อีกอย่าง
ถ้าผมไม่ได้ ถ้าลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์ไม่ได้ให้ค่าอะไรตรงนี้ --
ผมยังไม่ได้นิยามอย่างรัดกุมว่าลิมิตคืออะไร --
แต่ถ้ามันไม่จริง ถ้าเราไม่สามารถหาลิมิตได้ --
มันไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 0
ตราบใดที่มัน -- ถ้าค่านี้ไม่ใช่ตัวเลขหนึ่งตัว
แล้วเราจะบอกว่า a ห้อย n ลู่ออก
 
