
Chinese: 
我們已經知道
自然對數ln x關於x的導數等於1/x
那麼
不是自然對數，而是以
另外的數為底的對數的導數又是什麼呢
以b為底x的對數
b為任意常數
那麼我們要怎樣求出答案呢？
這裡就要用到一個小技巧了
換底公式
用對數來表示就是
我們知道log--我在
回顧一下對數的換底公式
我想把這個底數b換成
換成e，就是自然對數了
所以換底公式就是--
在網站的其他地方已經給出了證明
你們可以自己在Khan Academy上搜索
換底公式告訴我們
以b為底x的對數等於自然對數--
如果要換成以e為底的話--

Portuguese: 
Nós já sabemos que a derivada em relação
a x do logaritmo natural de x é igual
a 1/x
Mas o que dizer quanto a derivada, não do
logaritmo natural de x, mas de um
logaritmo
com uma base diferente?
Digamos, que você escreva log na base b
de x onde b é uma base qualquer
de x onde b é uma base qualquer
Como calculamos isto aqui?
O truque aqui é re-escrever
usando a fórmula para mudar a base
ou seja, se nós escrevermos isto aqui 
em termos de logaritmo
Nós sabemos que log...
Eu só estou
repetindo a mudança da base
Eu vou mudar de log base b para log base e
que na realidade é o logaritmo natural
A fórmula para mudar de base
pode ser achado em outro vídeo deste site
Fique à vontade para pesquisar no site da 
Khan Academy
A fórmula da mudança de base nos diz
que o log de x na base b é igual ao
log natural
Se nós quisermos usar o log na base e

Chinese: 
我们已经知道
ln（x) 的导数是1／x
但是，除了自然函数以为，
其它有着不同底数的对数函数
的导数又是什么呢？
我们可以写个以b为底的对数函数，
b是个未知数。
我们该怎么求它的导数呢？
求它的的方法是
用换底公式。
我们可以把它改写成其它形式。
我们都知道log，我准备
再讲一遍换底公式。
我把以b为底的log改写成
以e为底的log函数
我们在其它的课中
证明了换底公式。
你可以在可汗学院中找到。
换底公式告诉我们
log(b)X 可以换成 lnX，
如果我们想换成以e为底。

Norwegian: 
Vi vet allerede at den deriverte med hensyn på
x av den naturlige logaritme av x er lik 1 / x.
Men hva om derivert, ikke fra
den naturlige logaritme av x, men en logaritme
med en annen base?
Så kanskje du kunne skrive log base b
av x, der b er en vilkårlig base.
Hvordan vurderer vi dette her?
Og trikset er å skrive dette ved hjelp
av endring av basisformel.
Slik at vi kunne skrive det i form av logaritmer.
Vi vet at log-- Jeg skal bare
omformulere endring av base formel.
Og jeg kommer til å endre fra log base b til log base
e, som i hovedsak er den naturlige logaritme.
Slik at forandring av base formelen, vi
beviser det andre steder.
Føl deg fri til å søke etter det på Khan Academy.
Den forandringen av base formelen forteller oss
at log base b av x er lik den naturlige logaritme,
hvis vi ønsker å gå til log base e.

Thai: 
 
เรารู้แล้วว่าอนุพันธ์เทียบกับ
x ของล็อกธรรมชาติของ x เท่ากับ 1/x
แต่อนุพันธ์ ไม่ใช่
ล็อกธรรมชาติของ x แต่เป็นลอการิทึม
ฐานอื่นล่ะ?
บางที คุณอาจเขียนเป็นล็อกฐาน b
ของ x เมื่อ b เป็นฐานใดๆ
เราจะหาค่านี้อย่างไร?
และเคล็ดลับคือเขียนพจน์นี้โดยใช้
สูตรการเปลี่ยนฐาน
เราเขียนมันในรูปของลอการิทึมได้
เรารู้ว่าล็อก -- ผมจะ
บอกสูตรการเปลี่ยนฐานอีกครั้ง
และผมจะเปลี่ยนจากล็อกฐาน b เป็นล็อกฐาน
e ซึ่งก็คือล็อกธรรมชาติ
สูตรการเปลี่ยนฐาน เรา
พิสูจน์ไว้ที่อื่นแล้ว
ค้นหาได้ตามสบายในคานอะคาเดมี่
สูตรการเปลี่ยนฐานบอกเรา
ว่าล็อกฐาน b ของ x เท่ากับล็อกธรรมชาติ
ถ้าเรายังไปยังฐาน e

Bulgarian: 
Вече знаем, че производната
спрямо х
на натурален логаритъм от х
е равна на 1/х.
А колко е производната, но не
на натурален логаритъм от х,
а на логаритъм
с основа, различна от "е"?
Може би можеш да запишеш log(х)
с основа b,
където b е
произволна основа.
Как можем да решим това?
Трикът тук е да напишем това,
като използваме
формулата за смяна на основата.
Можем да го представим
с логаритми.
Знаем, че логаритъм... само
ще напиша формулата за смяна на основата.
Искам да премина от основа b
към основа "е",
което е натурален логаритъм.
Формулата за промяна
на основата
сме я доказали вече
в друго видео.
Можеш да потърсиш
в Кан Академия.
Формулата за смяна
на основата на логаритъма
казва, че логаритъм с основа b
е равен на натурален логаритъм,
ако искаме да преминем
към логаритъм с основа е –

Tamil: 
X இன் இயல் பதிப்பில் x இன் மதிப்புக்கு
1 / x சமமாக இருக்கும் என்று நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம்.
ஆனா d ன் dx  ல் இயல் log x இல்லாம சில மடக்கை அதன் வெவேறு அடிமானதொட இருந்தா எப்படி இருக்கும் ??
logarithm அப்படிங்கறத தமிழ் ல மடக்கை னு சொல்வாங்க
நாம இங்க log அடிமானம் b ன் x  அப்படின்னு எழுதுனா
இங்க b ஆனது தன்னிச்சையான அடிமானம்
இங்க இருக்கறத நாம எப்படி மதிப்பீடு செய்வோம்???
இங்க நாம என்ன செய்ய போறோம் அப்படினா
மாற்றத்தின் அடிமான சூத்திரத்தை பயன்படுத்த போகிறோம்
இத நாம மடக்கை வடிவத்தில் எழுதலாம்
இங்க இருங்க இது வேண்டாம்
அடிமான மாற்ற சூத்திரத்துக்கு
நான் இங்க இருக்கற log அடிமானம் b க்கு பதிலா
log அடிமானம் eய பயன்படுத்தறேன்
இத பற்றி மேலும் விலாவாரியான கணக்குகள் எங்கள் இணையத்தளத்தில் உள்ளது
அடிமான மாற்ற சுதிரதிரம் என்ன சொல்லுது அப்படினா
log அடிமானம் b ன் x சமம்
இயல் log ன் அடிமானம் x அதன் கீழ் இயல்.....

Korean: 
 
우리는 이미
lnx를 x에 대해 미분하면
1/x라는 사실을 알고 있습니다
하지만 자연로그인
lnx가 아니라
밑이 다른 로그함수는
어떻게 미분해야 할까요?
예를 들어
밑이 임의의 수 b인
logbx를
x에 대해 미분하면
어떻게 될까요?
이 때
밑 변환 공식을
이용하면 됩니다
이것을 로그에 대해서
표현하면
밑 변환 공식을
이용해서
밑 변환 공식을
이용해서
밑이 b인 로그를
밑이 e인
자연로그로
바꿀 것입니다
밑 변환 공식은
다른 강의에서
증명했으므로
칸 아카데미 사이트를 
찾아보면 됩니다
밑 변환 공식에 의해서
logbx를
밑이 e인 로그로
표현하면

English: 
We already know that the
derivative with respect
to x of the natural log
of x is equal to 1/x.
But what about the
derivative, not of
the natural log of
x, but some logarithm
with a different base?
So maybe you could
write log base b
of x where b is
an arbitrary base.
How do we evaluate
this right over here?
And the trick is
to write this using
the change of base formula.
So we could write it
in terms of logarithms.
We know that log--
I'm just going
to restate the change
of base formula.
And I'm going to change
from log base b to log base
e, which is essentially
the natural log.
So the change of
base formula, we
prove it elsewhere on the site.
Feel free to search for
it on the Khan Academy.
The change of base
formula tells us
that log base b of x is
equal to the natural log,
if we want to go to log base e.

Thai: 
ล็อกธรรมชาติของ x ส่วนล็อกธรรมชาติ --
ที่จริง ขอผมเปลี่ยนมันเป็นลอการิทึมตรงๆ
เราจะได้เห็นชัดว่าผมทำอะไรอยู่
ล็อกฐาน e ของ x ส่วนล็อกฐาน e ของ b
ซึ่งเท่ากับล็อกธรรมชาติของ x
ส่วนล็อกธรรมชาติของ b
ที่เราต้องทำก็คือเขียนสิ่งนี้ใหม่
อันนี้เท่ากับอนุพันธ์เทียบกับ
x ของล็อกธรรมชาติของ x 
ส่วนล็อกธรรมชาติของ b
หรือเราเขียนได้ว่า 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ
ของ b คูณล็อกธรรมชาติของ x
 
และตอนนี้มันตรงไปตรงมาแล้ว
เพราะสิ่งที่เรามีตรงนี้ 1
ส่วนล็อกธรรมชาติของ b นี่ก็แค่ค่าคงที่
ที่คูณอยู่กับล็อกธรรมชาติของ x
เราเอามันออกมาจากอนุพันธ์ได้
นี่ก็เหมือนกับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ
ของ b คูณอนุพันธ์เทียบกับ

Korean: 
자연로그 lnx
더 명확하게 나타내서
더 명확하게 나타내서
logex/logeb 입니다
이것은 정확히
lnx/lnb와 동일합니다
따라서 이 식을
다시 써보면
lnx/lnb를 x에 대해
미분한 것과 같습니다
lnx/lnb를 x에 대해
미분한 것과 같습니다
더 나아가서
1/lnb 곱하기
lnx로 쓸 수 있습니다
lnx로 쓸 수 있습니다
이제 문제가
훨씬 간단해졌습니다
왜냐하면
1/lnb는
lnx에 곱해진
상수이기 때문에
미분 밖으로
빠져나올 수 있습니다
따라서 이것은
1/lnb 곱하기
lnx를 x에 대해
미분한 것과 같습니다

Chinese: 
ln x除以
好吧我把這個對數寫清楚一些
把這個數寫清楚
log(e) x/log(e) b
等於ln x了
除以ln b
我們要做的就是把這個再寫一遍
等於ln x
除以ln b 的商的導數
或者寫成1/(ln b)
再乘上ln x
這樣就十分明瞭了
因為這裡
1/ln b是個常數
再乘以ln x
所以就可以把它拿出來
等於1/ln b
再乘上ln x

Portuguese: 
O log natural de x, dividido pelo natural
ou melhor, deixe me escrever como
log na base e
por que assim fica mais claro o que eu
estou fazendo
Log de x na base e dividido por log de b
na base e
que é exatamente a mesma coisa que o
logaritmo natural de x
dividido pelo logaritmo natural de b.
Tudo o que temos que fazer é re-escrever 
esta parte aqui
Isto aqui é igual à derivada em relação
a x, do log natural de x dividido
pelo log natural de b
Ou talvez nós possamos até mesmo escrever 
como 1 dividido pelo log natural
de b multiplicado pelo log natural de x
Aqui agora tudo fica muito simples
Por que o que a gente tem aqui é,
1 dividido pelo log natural de b, que é
simplesmente uma constante
multiplicada pelo log natural de x
ou seja, nós podemos tirar isto
de dentro do colchete
vejamos, isto é o mesmo que 1 
dividido pelo log natural
de b multiplicado pela derivada

Chinese: 
lnX 除以另一个自然函数--
让我把这个函数写的明确些，
这样就更易懂了。
log(e)X/log(e)b,
这个式子等于
lnX/log(b)
我们现在需要再重写下这个式子。
log(b)X的导数就等于
lnX/lnb
我们也可以把它写成
1/lnb 乘以 lnX
这样就很清晰了。
因为我们得到的，
1/lnb，只是个常数
去乘以lnX.
我们可以把它移到外面去。
原来的等式就等于
1/logb 乘以

Tamil: 
இல நான் இத இப்படி எழுதிகறேன்
log அடிமானம் e ன் x அதன் கீழ் log அடிமானம் e ன் b
இது அப்படியே இயல் log x ன் கீழ் இயல் log b க்கு சமம்
நாம செய்யவேண்டியது என்ன அப்படினா இத மாற்றி எழுதனும்
இது d ன் கீழ் dx ன் இயல் காக் x ன் கீழ் இயல் log b
இத நாம இப்படி கூட எழுதலாம் 1 ன் கீழ் இயல் log b
முறை இயல் log x
இப்போது இது மிகவும் நேர்த்தியாகிறது.
இங்க நம்ம கிட்ட என்ன இருக்கு அப்படினா 1 ன் கீழ் இயல் log b அது தொடர்ச்சியாக பெருக்கல் இயல் log b
அதனால நாம இத இந்த வழித்தோன்றல்ல இருந்து வெளியே  எடுத்துடலாம்
இது சமம் 1 ன் கீழ் இயல் log b பெருக்கல்  d ன் கீழ் dx இயல் log ன் x

Bulgarian: 
натурален логаритъм от х
върху натурален...
всъщност ще го напиша
подробно,
за да се вижда какво правя.
Логаритъм от х с основа е
върху логаритъм от b с основа е,
което е равно на 
натурален логаритъм от х,
върху натурален логаритъм от b.
Сега само трябва
да препишем това.
Това е равно на производната
спрямо х
от натурален логаритъм от х
върху натурален логаритъм от b.
Можем даже да го напишем като
1 върху натурален логаритъм от b
по натурален логаритъм от х.
И сега това е много очевидно.
Защото това, което имаме тук,
1 върху натурален логаритъм
от b, това е просто константа,
която умножаваме
по натурален логаритъм от х.
Значи можем да я изнесем
извън производната.
Това е равно на 1 върху
натурален логаритъм от b

English: 
The natural log of
x over the natural--
actually let me write it
as an explicit logarithm
so it makes it clear
what I'm doing.
Log base e of x over
log base e of b,
which is the exact same
thing as the natural log of x
over the natural log of b.
So all we have to do
is rewrite this thing.
This is equal to the
derivative with respect
to x of the natural log of
x over the natural log of b.
Or we could even write it
as 1 over the natural log
of b times the natural log of x.
And now this becomes
pretty straightforward.
Because what we
have right here, 1
over the natural log of
b, this is just a constant
that's multiplying
the natural log of x.
So we could take it
out of the derivative.
So this is the same thing
as 1 over the natural log
of b times the
derivative with respect

Norwegian: 
Den naturlige logaritmen for x over den naturlige--
la meg skrive det som en eksplisitt logaritme
så det er klart hva jeg gjør.
Log base e av x over log basen e av b,
som er akkurat det samme som den naturlige logaritmen for x
over den naturlige logaritmen for b.
Så alt vi trenger å gjøre er å skrive om denne.
Dette tilsvarer den deriverte med hensyn
x av den naturlige logaritme av x over den naturlige logaritme av b.
Eller vi kan skrive det som 1 over den naturlig log
av b ganger den naturlige logaritme av x.
Og nå blir dette ganske rett fram.
Fordi det vi har her, 1
over den naturlige logaritmen for b, dette er bare en konstant
som er å multiplisere den naturlige logaritmen for x.
Slik at vi kunne ta den ut av den deriverte.
Så dette er det samme som 1 over den naturlige logaritmen
av b ganger derivative med hensyn

Tamil: 
இப்போ நமக்கு இத வைத்து என்ன செய்யணும் அப்படின்னு தெரியுதா ???
இங்க இருக்கற இது 1 ன் கீழ் x ஆகிறது
கடைசியா நமக்கு 1 ன் கீழ் இயல் log b பெருக்கல் 1 ன் கீழ் x கிடைக்கும்
அத எழுதிகறேன்
1 ன் கீழ் இயல் log b பெருக்கல் 1 ன் கீழ் x
இல்லைனா இத 1 ன் கீழ் இயல் log b முறை x அப்படினு எழுதிக்கலாம்
அப்போ X க்கு உட்பட்டது log ன் அடிமானம் 5 ன் x ன் விடைய உங்களால கண்டுபிடிக்க முடியுமா
??
அது 1 ன் கீழ் இயல் log 5 முறை x
அவ்வளவு தான் இது உங்களுக்கு ஒரு தெளிவா கொடுத்து இருக்கும் அப்படினு நம்பறேன்

Norwegian: 
på x av den naturlige logaritme av x.
Og vi vet hva vi skal gjøre med dette.
Denne saken her bare kommer til å være lik 1 / x.
Slik at vi ender opp med 1 over den naturlige logaritmen av b ganger 1 / x.
Slik at vi ender opp med 1 over den naturlige logaritmen
of b ganger 1 / x, eller 1 over den naturlige logaritme
av b, som bare er et tall ganger x.
Så hvis noen spør deg hva er den deriverte med hensyn
til x av log basen 5 av x, vel, nå vet du.
Det kommer til å være 1 over naturlige log av 5 ganger
x, bare sånn.

Korean: 
lnx를 x에 대해
미분한 것과 같습니다
이제 어떻게
해야 할지 알 것입니다
이 부분은
1/x이므로
결과적으로
1/lnb 곱하기 1/x가 됩니다
결과적으로
1/lnb 곱하기 1/x가 됩니다
결과적으로
1/lnb 곱하기 1/x가 됩니다
또는 lnb는 상수이므로
1/(lnb)x로 쓸 수 있습니다
따라서 누군가가
log5x를 x에 대해
미분한 결과를 물어보면
여러분은 1/(ln5)x라고
답할 수 있을 겁니다
여러분은 1/(ln5)x라고
답할 수 있을 겁니다

Chinese: 
的導數
然後我們就會做了
這個東西就等於1/x
最後的結果就是(1/ln b)*(1/x)
1/ln b
乘以1/x，就是1/((ln b)*x)
1除以ln b這個數乘以x的積
現在如果有人問你
log(5) x的導數是什麼，那你應該知道
答案應該是1/((ln 5)*x)
就像這樣

Chinese: 
lnX 的导数。
我们都知道怎么求这个导数，
lnX 的导数等于 1/x
我们化简得到1/lnb 乘以 1/x
（重复）我们化简得到
1/lnb 乘以 1/x，或者1/(lnb)，
只是个常数，乘以x
如果有人问你
log(5)X 的导数是什么，你现在知道
它的答案是1/ln5(的分母)
乘以x.

Thai: 
x ของล็อกธรรมชาติของ x
และเรารู้ว่าจะทำยังไงกับอันนี้
อันนี้ตรงนี้ก็จะเท่ากับ 1/x
เราจึงได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ b คูณ 1/x
เราจึงได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ
ของ b คูณ 1/x, หรือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ
ของ b ซึ่งก็คือจำนวนหนี่งคูณ x
ถ้ามีคนถามคุณว่าอนุพันธ์เทียบ
กับ x ของล็อกฐาน 5 ของ x เป็นเท่าใด
คุณก็รู้
มันจะเท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 5 คูณ
x แบบนั้น

Bulgarian: 
по производната спрямо х
от натурален логаритъм от х.
Знаем какво да направим сега.
Това тук е равно на 1/х.
И получаваме 1 върху
натурален логаритъм от b по 1/х.
Накрая получаваме 1 върху
натурален логаритъм
от b по 1/х, или 1 върху
натурален логаритъм от b,
което е просто някакво число,
по х.
И ако някой те попита коя
е производната спрямо х
на логаритъм от х с основа 5,
сега вече знаеш.
Тя е 1 върху натурален
логаритъм от 5 по х, ето така.

English: 
to x of the natural log of x.
And we know what
to do with this.
This thing right over here is
just going to be equal to 1/x.
So we end up with 1 over the
natural log of b times 1/x.
So we end up with 1
over the natural log
of b times 1/x, or 1
over the natural log
of b, which is just
a number times x.
So if someone asks you what
is the derivative with respect
to x of log base 5 of
x, well, now you know.
It's going to be 1 over
the natural log of 5 times
x, just like that.

Portuguese: 
de x do log natural de x.
E nós sabemos o que fazer com isto
Este parte aqui é igual a 1/x
Nós terminamos com 1 dividido pelo log
natural de b, multiplicado por 1/x
Nós temos aqui 1 dividido pelo log natural
de b multiplicado por 1/x, ou 1 dividido
pelo log natural
de b, que é simplesmente um valor 
multiplicado por x
Agora, se alguém lhe perguntar o que é
a derivada com relação
a x do logaritmo de x na base 5,
você já sabe
Vai ser 1 dividido pelo log natural
de 5 vezes
x. Simples assim!
Legendado por [Celeste]
