
English: 
Let’s draw a golden spiral given the square which can be seen here on the screen.
So the first step is to draw a golden rectangle from the square.
To do this, the first step we are going to calculate the midpoint of the base of the square “CD”.
To do this we are going to draw the perpendicular bisector of the line segment “CD”.
To draw this perpendicular bisector, firstly we must draw two arcs which are centered on both ends of our segment “CD”, as can be seen in the video.
These arcs are going to have the same radius.
These arcs intersect at two points which we will join to obtain our perpendicular bisector so that we obtain the midpoint “M” as can be seen in the video.

Spanish: 
Vamos a dibujar
una espiral áurea
a partir del cuadrado
que veis en pantalla.
El primer paso va a ser
dibujar un rectángulo áureo
a partir de este cuadrado.
Para ello, en primer lugar
vamos a calcular el punto medio
de uno de sus lados,
el lado inferior en este caso,
el lado "CD". Para ello,
dibujaremos la mediatriz.
Como veis para hacer una mediatriz
dibujamos dos arcos que tengan
un radio cualquiera,
siempre que sea el mismo,
con centros en los extremos
del segmento.
Estos dos arcos se cortan
en dos puntos que,
unidos, me dan la mediatriz
que busco.
Esta mediatriz, recordamos,

English: 
The next step is to join midpoint “M” to point “A” on the square.
With our compass set on “M” and radius “MA”, we are going to scribe an arc to the right which passes the base of our square....
....Therefore intersecting the prolongation of the base of our square as can be seen here in the video.
This point will be the third vertex of our golden rectangle.
To find the fouth vertex of our golden rectangle we must prolongate the top side of our square “BA”....

Spanish: 
que la buscaba para
obtener el punto medio,
que llamo con la letra "M".
A continuación unimos
ese punto medio con el
vértice "A", y con centro
en ese punto medio
y radio "MA" vamos a dibujar
un arco hacia abajo.
Este arco va a cortar con la
prolongación del lado "CD".
Prolongamos hacia la derecha
hasta que corte a este arco.
Va a cortar en un punto
que va a ser el tercer vértice
del rectángulo áureo que busco.
Ya tenía el vértice "B"
y el vértice "C",
vértices, a su vez, del primer
cuadrado.
Para hallar el cuarto
prolongamos el lado "BA",
y dibujamos una vertical
desde el punto hallado

Spanish: 
anteriormente.
Donde se corten estos dos
vamos a tener el cuarto vértice
del rectángulo que busco.
Los rectángulos áureos
tienen una propiedad
importante y es que,
como veis en pantalla,
si dibujamos un cuadrado
en uno de sus extremos,
el rectángulo restante
es también un rectángulo áureo.
Ya tenemos el rectángulo áureo "BCEF"
pero el rectángulo más pequeño
"AFED" también es áureo.
A continuación vamos a dibujar
otro cuadrado
en ese rectángulo
más pequeño que me queda.
Pinchamos en "E"
y ponemos la distancia
del lado "DE" en el lado vertical.
A partir de ahí
dibujo ese cuadrado.

English: 
....and draw a perpendicular vertical line from our third vertex. And where these lines intersect will be the fourth vertex of our golden rectangle.
So now that we have a golden rectangle I must remind you about a very important property of golden rectangles....
....If we draw a square on one side of our golden rectangle the remaining rectangle is also a golden rectangle, which can be seen here in our example.
The  golden rectangle “BCEF” and the smaller golden rectangle “AFED”.
So to continue drawing our golden spiral we must continue drawing squares in our previously calculated golden rectangle.
To do this, set your compass on point “E” and radius “ED” we will scribe an arc to the right to intersect the line “EF”.

English: 
From this new point we draw a horizontal line until it intersects with line “DA” thus forming our second square and the third golden rectangle.
Now I’m going to repeat this process, by setting my compass on point “F” to transport the lenght of the side as can be seen here....
....and now we have our third square and fourth golden rectangle.
In each of these squares is going to contain an individual piece of our final golden spiral.
So let’s continue the process, as can be seen each subsequent square and golden rectangle become smaller and smaller.

Spanish: 
Me queda un tercer rectángulo
que también va a ser áureo,
y en el que voy a volver
a hacer la misma operación.
Voy a dibujar un cuadrado.
Pincho en "F", dibujo
un arco con el compás
para llevarme la medida
del lado y donde me corte
dibujo una vertical.
Ahí tenemos un tercer
cuadrado.
En cada uno de estos
cuadrados se va a inscribir
un tramo de la espiral
que estamos buscando.
Vamos a dibujar
un cuarto cuadrado,
como veis,
los rectángulos áureos
restantes van siendo
cada vez más pequeños
y, por consiguiente,
los cuadrados que estoy dibujando
también, van disminuyendo su tamaño.
Ahí tenemos el cuarto cuadrado.

English: 
In theory this process can continue to get smaller and smaller to infinity, but given the instruments that we are using today we would eventually begin to lose accuracy.
But for the moment, we will continue as much as possible.
So continuing our process we will get out sixth square.
Finally, let’s draw one more as I can’t continue with accuracy beyond .

Spanish: 
Ya hemos dibujado todos
los cuadrados externos.
A partir de aquí,
el espacio que me
queda ya no tiene
contacto con el exterior.
Dibujamos el quinto
cuadrado, como veis
más pequeño que el anterior.
Esta operación se puede
continuar de forma infinita,
conceptualmente,
a nivel matemático pero,
con los instrumentos
que manejamos,
llegará un momento
en el que estaremos
perdiendo precisión.
Pero, de momento,
siguen cabiendo más.
Ahí va el sexto cuadrado,
ya estamos casi al límite
del tamaño en el que
podemos operar bien.
Y vamos a dibujar uno más,
que sí que va a ser

English: 
So now that I have seven squares, we are going to name all of their vertices.
And now we can draw our golden spiral by drawing individual arcs in each of our seven squares.
We will start with the first square, so setting our compass on point “A” and radius “AB” we can scribe an arc as far as point “D”.
This will be the first piece of our spiral.

Spanish: 
ya el último, ya que,
en el espacio que me queda
es imposible dibujar con precisión.
Ya tengo siete cuadrados,
los vértices que me han salido
les vamos a poner letras.
Y a partir de ahora vamos
a empezar a dibujar la espiral.
Centro en "A", radio hasta "B"
y dibujo el primer arco,
que va desde "B" hasta el punto "D".
El siguiente, en el segundo
cuadrado, centro en "H"
apertura del compás hasta "D",
arco que va desde "D" hasta "G".
El siguiente centro va a ser "J"
como veis, los dos centros y el punto
de tangencia siempre están alineados,
recordad que esa era una ley
de las tangencias.

Spanish: 
Cuarto arco, con centro en "L",
centro en "P", para dibujar el quinto arco.
"Q" va a ser el penúltimo centro
y "T" va a ser el centro del último
tramo de la espiral.
Ahí tenéis
la espiral áurea
inscrita en un rectángulo
aúreo.
Si queremos dibujar
el centro de la espiral
lo vamos a obtener
a partir de los dos
primeros rectángulos aúreos.
Si dibujo las diagonales
de los dos primeros
rectángulos áureos
"CF" por un lado
y "AE" por otro.
Donde se corten estas
dos diagonales
me va a dar un punto
que va a ser
el centro de la espiral.
Lo voy a llamar con la letra "O".

English: 
As can be seen in the video the tangential point of two consecutive arcs are always on the same line as their center points.
So finally we have our golden spiral inscribed in a golden rectangle.
The very last step is we are going to work out the center point of our golden spiral.
To do this we are going to draw two diagonal lines from our first two golden rectangles “CF” and “AE”.
Where these two lines intersect this will be the center of our spiral which we will call point “O”

English: 
I hope this video has helped you.
Thank you very much ..
See you in our next video
