
Estonian: 
Ma määran funktsiooni S(n)
ja ma defineerin selle kui
kõikide positiivsete täisarvude summana
kaasaarvatud N.
Selle funktsiooni all on tegelikult kõik
positiivsed täisarvud - N peab olema positiivne täisarv.
Nii me saame proovida seda mõne asjaga, me saame
võtta S(3), see on võrdne 1 pluss
2 pluss 3, mis võrdub 6. Me võiks võtta S(4)
S(4) mis on 1 pluss 2 pluss 3 pluss 4,
mis võrdub 10.
Nüüd ma tahan selles videos tõestada teile

Portuguese: 
Eu vou definir uma função S(n)
e eu irei definr essa função como
a soma de todos os número inteiros positivos
incluindo 'n'.
De tal forma, o conjunto universo desta função
abrange todos os número inteiros positivos sendo que 'n' deve ser um deles.
Assim, podemos experimentar com alguns valores de 'n'
como S(3) que será igual a 1 mais
2 mais 3, o que totaliza 6. Nós poderíamos pegar S(4)
que seria igual a 1 mais 2 mais 3 mais 4,
somando 10.
Agora, o que pretendo neste vídeo é provar para você

Thai: 
ผมจะนิยามฟังก์ชัน S ของ n
และผมจะนิยามมันว่าเป็น
ผลบวกของจำนวนเต็มบวกทุกตัว
ไปจนถึง N
และโดเมนของฟังก์ชันนี้ก็คือ
จำนวนเต็มบวกทุกตัว -- N ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก
และเราสามารถลองคิดดูสักสองสามค่า, เราสามารถ
หา S ของ 3 ได้, มันจะเท่ากับ 1 บวก
2 บวก 3, ซึ่งเท่ากับ 6. เราสามารถหา S ของ
4, ซึ่งเท่ากับ 1 บวก 2 บวก 3 บวก 4,
ซึ่งจะเท่ากับ 10
ทีนี้สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ พิสูจน์ให้คุณเห็นว่า

English: 
I'm going to define a function S of n
and I'm going to define it as
the sum of all positive integers
including N.
And so the domain of this function is really all
positive integers - N has to be a positive integer.
And so we can try this out with a few things, we can
take S of 3, this is going to be equal to 1 plus
2 plus 3, which is equal to 6. We could take S of
4, which is going to be 1 plus 2 plus 3 plus 4,
which is going to be equal to 10.
Now what I want to do in this video is prove to you that

Polish: 
Zdefiniujmy funkcję S(n)
jako
sumę wszystkich zmiennych dodatnich
włączając w to n
Także dziedziną tej funkcji są tak naprawdę wszystkie
zmienne większe od 0 -> n także.
I możemy teraz za n podstawić parę liczb
np. wyliczmy wartość funkcji S dla n = 3, S(3) równa się
1 + 2 + 3, czyli 6. Podstawmy teraz za n cyfrę 4
S(4) = 1 + 2 + 3 + 4
Dla argumentu 4 funkcja S wynosi 10
W tym filmie chcę udowodnić, że

Korean: 
S(n)이라는 함수를 만들어 보겠습니다
그리고 이 함수를 N까지의 양의 정수의 합으로 정의할 것입니다
그리고 이 함수를 N까지의 양의 정수의 합으로 정의할 것입니다
그리고 이 함수를 N까지의 양의 정수의 합으로 정의할 것입니다
즉 이 함수의 정의역은 모든 양의 정수가 되겠네요
N도 양의 정수여야겠군요
몇 가지 예를 들어 보겠습니다
S(3)은 1 더하기
2 더하기 3이므로 6이 됩니다
S(4)는 1 더하기 2 더하기 3 더하기 4이므로
결과는 10이 됩니다
여기까지는 명확하군요
이 영상에서 할 것은 증명하는 것인데요-
뭐 증명하는 방법에는 여러 가지가 있지만-

Chinese: 
定義一個函數S(n)
它是少於等於n的所有正整數之和
函數的定義域是所有正整數
n需要是正整數
舉幾個例子
比如S(3)=1+2+3=6
而S(4)=1+2+3+4=10 很簡單
而S(4)=1+2+3+4=10 很簡單
這一節我想給大家證明
本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com
網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open
oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org

Central Khmer: 
ខ្ញុំ​នឹង​កំណត់​អនុគមន៍ S នៃ n
ហើយ​ខ្ញុំ​ក៏​នឹង​កំណត់​វា​ជា
ផល​បូក​នៃ​លេខ​វិជ្ជមាន​ទាំង​អស់
ដោយ​រួម​បញ្ចូល N ។
បើ​អ៊ីចឹង ដែន​កំណត់​នៃ​អនុគមន៍​នេះ​គឺ​សុទ្ធ​តែ​ជា
លេខ​វិជ្ជមាន - N ត្រូវ​តែ​ជា​លេខ​វិជ្ជមាន។
ដូច្នេះ​យើង​អាច​សាក​ល្បង​គណនា​សិន។ យើង​អាច
យក S នៃ 3 ហើយ​នេះ​នឹង​ស្មើ 1 បូក
2 បូក 3 ហើយ​ស្មើ​នឹង 6 ។ យើង​ក៏​អាច​យក S នៃ
4 ដែល​វា​ត្រូវ​នឹង 1 បូក 2 បូក 3 បូក 4
ស្មើ​នឹង 10 ។
ឥឡូវ​អ្វី​ដែល​ខ្ញុំ​ចង់​ធ្វើ​នៅ​ក្នុង​វីដេអូ​នេះ​គឺ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា

Serbian: 
Дефинисаћу функцију Ѕ од n
и дефинисаћу је као
збир свих позитивних целих бројева
укључујући и n.
Стога домен ове функције заправо чине сви
позитивни цели бројеви - n мора бити позитиван цео број.
Тако да можемо да испробамо ово са неколико ствари, можемо
да узмемо Ѕ од 3, ово ће бити једнако 1 +
2 + 3, што је једнако 6. могли би да узмемо Ѕ од
4, што ће бити једнако 1 + 2 + 3 + 4,
што ће бити једнако 10.
Сада, оно што хоћу да урадим у овом снимку је да вам докажем да

Arabic: 
اود ان اعرف الدالة الرياضية (S(n
وسأعرفها
كمجموع الاعداد الصحيحة الموجبة
والتي تشمل الـ N
ولذلك يكون مجال الدالة الرياضية عبارة عن كل
الاعداد الصحيحة الموجبة --N يجب ان يكون عدد صحيح موجب
بالتالي يمكننا ان نجرب عدة اعداد، يمكننا
اخذ (S(3، وهذا يساوي 1 +
2 +3، اي يساوي 6. ويمكن ان نأخذ (S(4
ما يساوي 1 + 2 + 3 + 4
ويساوي 10
الآن ما اريد فعله في هذا العرض هو ان اثبت لكم انني

Lithuanian: 
Apibrėšiu kintamojo n funkciją S kaip sumą
Apibrėšiu kintamojo n funkciją S kaip sumą
sumą visų sveikų teigiamų skaičių, įskaitant ir n.
sumą visų sveikų teigiamų skaičių, įskaitant ir n.
Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visi teigiami sveiki skaičiai.
Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visi teigiami sveiki skaičiai.
Pavyzdžiui, imkime S trijų, o tai bus lygu 1 plius 2 plius 3, ir visa tai lygu 6.
Pavyzdžiui, imkime S trijų, o tai bus lygu 1 plius 2 plius 3, ir visa tai lygu 6.
Pavyzdžiui, imkime S trijų, o tai bus lygu 1 plius 2 plius 3, ir visa tai lygu 6.
Galime imti S keturių, t.y. 1 plius 2 plius 3 plius 4, o tai bus lygu 10, t.y. S(4)=10.
Galime imti S keturių, t.y. 1 plius 2 plius 3 plius 4, o tai bus lygu 10, t.y. S(4)=10. Ir taip toliau ir panašiai.
Ką toliau noriu padaryti, tai jums įrodyti, jog suma visų teigiamų sveikų skaičių, įskaitant ir n, yra lygi

Spanish: 
Voy a definir una función S de n
y la voy a definir como
la suma de todos los enteros positivos
incluyendo a n.
De esta forma, el dominio de esta función son todos
los enteros positivos - n tiene que ser un entero positivo.
Y entonces podemos probar algunas cosas, podemos
tomar S de 3, lo que va a ser igual a 1más
2 más 3, que es igual a 6. Podemos tomar S de
4, que va a ser igual a 1 más 2 más 3 más 4,
lo que va a ser igual a 10.
Ahora lo que quiero hacer en este video es probar que

Bulgarian: 
Ще дефинирам функцията S от n
и ще я дефинирам като
сумата от всички цели положителни числа,
включително N.
Следователно, дефиниционното множество на тази функция са
всички цели положителни числа. N следва да е цяло положително число.
Може да проверим тази формула с няколко опита.
Например S от 3 ще бъде равно
на 1 плюс 2, плюс 3, което е равно на 6. Може да намерим
S от 4, което ще бъде равно на 1, плюс 2, плюс 3, плюс 4,
т.е. ще бъде равно на 10.
Това, което искам да направя в настоящия урок, е да докажа,

Chinese: 
定义一个函数S(n)
它是小于等于n的所有正整数之和
函数的定义域是所有正整数
n需要是正整数
举几个例子
比如S(3)=1+2+3=6
而S(4)=1+2+3+4=10 很简单
而S(4)=1+2+3+4=10 很简单
这一节我想给大家证明
本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com
网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open
oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org

Turkish: 
Bir S(n) fonksiyonunu N dahil olmak üzere tüm pozitif tamsayıların toplamı olarak tanımlayacağım.
.
.
.
Böylelikle bu fonksiyonun tanım kümesi sadece pozitif tamsayılardır. - N bir pozitif tamsayı olmak zorundadır.
.
Böylece bunu birkaç şeyle deneyebiliriz.
S(3)'ü alıp, bu 2+1'den 3'e eşit olacaktır, ki bu da 6'ya eşittir.
S(4)'ü ele alabiliriz, bu da 1+2+3+4'ten 10'a eşit olacaktır.
.
.
Şimdi bu videoda yapmak istediğim bunu N dahil N'e kadar tüm pozitif tamsayıların toplamının nx(n+1)/2'e eşit olduğu N cinsinden bir fonksiyon olarak yazabileceğimi kanıtlamaktır.

Turkish: 
.
.
.
Bunu kanıtlarken kullanacağım şey ise tümevarımdır.
Tümevarımla kanıt.
Tümevarım kullanarak yaptığınız kanıtlarda öncelikle temel durumu kanıtlarsınız.
Kanıtlamamız gereken şey bu.
Öncelikle bunu 1 için kanıtlayacağız ve bu bizim temel durumumuz olacak.
Sonrasında ise tümevarım basamağını yapacağız ki bu aslında "Herhangi bir K pozitif tamsayısı için kanıtlandığını varsayarsak", böylece ardışık bir pozitif tamsayı için de, misal K+1, kanıtlanacağını varsaymaktır.
.
.
.

Lithuanian: 
Ką toliau noriu padaryti, tai jums įrodyti, jog suma visų teigiamų sveikų skaičių, įskaitant ir n, yra lygi
Ką toliau noriu padaryti, tai jums įrodyti, jog suma visų teigiamų sveikų skaičių, įskaitant ir n, yra lygi
n, padaugintam iš n plius vieneto, ir viskas padalinta iš dviejų.
Ir tai jums įrodysiu, naudodamas indukcijos metodą.
Taigi, įrodymas naudojant indukciją.
Pirmiausia, ką reikia parodyti, naudojant indukciją, tai patikrinti,
kad formulė teisinga baziniu atveju. Tai turime patikrinti.
Patikrinsime formulės galiojimą, kai n yra vienetas - tai ir bus mūsų pradžia - bazinis atvejis.
O tada atliksime vieną indukcijos žingsnį, tardami, kad jei mes darome prielaidą, jog formulė teisinga kuriam nors teigiamam sveikam K,
O tada atliksime vieną indukcijos žingsnį, tardami, kad jei mes darome prielaidą, jog formulė teisinga kuriam nors teigiamam sveikam K,
tai galime įrodyti, kad ji bus teisinga kitam teigiamam sveikam skaičiui K+1.
tai galime įrodyti, kad ji bus teisinga kitam teigiamam sveikam skaičiui K+1.

Thai: 
ผมสามารถเขียนเจ้านี่เป็นฟังก์ชันของ N, ว่าผลบวกของ
จำนวนเต็มบวกทุกตัวไปจนถึงและรวม N ด้วย เท่ากับ
n คูณ n บวก 1, ทั้งสองหารด้วย 2
และวิธีที่ผมจะพิสูจน์ให้คุณดูด้วยการอุปนัย
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัย
วิธีการพิสูจน์โดยการอุปนัย อย่างแรก, คุณต้องพิสูจน์
กรณีพื้นฐานก่อน นี่คือสิ่งที่เราต้องพิสูจน์
เราต้องพิสูจน์สำหรับ 1 ก่อน -- นั่นจะเป็นกรณีพื้นฐานของเรา
แล้วเราจะทำขั้นอุปนัย, ซึ่ง
หมายความว่า "ถ้าเราสมมุติว่ามันเป็นจริง สำหรับ
จำนวนเต็มบวก K ใดๆ, แล้วเราจะพิสูจน์ให้ได้ว่ามันเป็นจริง
สำหรับจำนวนเต็มบวกตัวต่อไป, ตัวอย่างเช่น K + 1

Estonian: 
et ma saan kirjutada selle kui f(N), mis on
kõikide positiivsete täisarvude summa kuni ja kaasa arvatud N mis on võrdne
n korda n pluss 1 ning kõik see jagatud 2.
Ja ma tõestan seda teile induktsiooniga.
Induktsiooniline tõestus.
Kuidas induktsioonilist tõestust teha, esmalt te tõestate
baasjuhtumi. Me peame seda tõestama.
Me esmalt tõestame selle 1 korral - see saab olema meie baasjuhtumiks.
Ja siis me teeme induktsiooni sammu, mis
on olemuselt ütlemine: " Kui me oletame et see töötab
positiivse täisarvu K korral", siis me saame tõestada et see töötab
ka järgmise positiivse täisarvu korral, näiteks K + 1.

Serbian: 
ово могу да напишем као функцију од n, да је збир свих
позитивних целих бројева све до n, укључујући и n, једнак
n пута n + 1, све то кроз 2.
И начин на који ћу вам то доказати је индукцијом.
Доказ индукцијом.
Начин на који радите доказ индукцијом је да прво, докажете
основни случај. Ово је оно што треба да докажемо.
Прво ћемо то доказати за 1 - то ће бити наш основни случај.
А затим идемо на корак индукције, који
заправо каже "Ако претпоставимо да важи за неки
позитиван цео број К", онда можемо да докажемо да важи и
за следећи позитиван цео број, на пример К + 1.

Portuguese: 
que é possível estabelecer uma função f(n) tal que
a soma de todos os número inteiros positivos, incluindo 'n', é igual a
'n' vezes 'n' mais 1, tudo isso divido por 2.
E para isso o método que irei utilizar é o da indução.
Demonstração por indução.
Para demonstrar a validade de uma proposição pelo método da indução
primeiro se prova a proposição inicial. Isso é o que precisamos provar..
Nós iremos primeiro provar f(n) para 1 - esta será nossa proposição inicial.
E então nós iremos realizar o passo da indução,
o qual consiste essencialmente em assumir que a proposição é válida para
qualquer número inteiro positivo k, assim conseguiremos provar que a validade da função para
o próximo número inteiro positivo, por exemplo K+1.

Bulgarian: 
че за дефиницията на функцията N, то сумата от всички
цели положителни числа, включително N, е равна
на n пъти по n плюс 1, и всичко това върху 2.
Начина, по който ще го докажа, е чрез математическа индукция.
Доказателство чрез математическа индукция.
Методът на индукцията представлява следното. Първо се доказва
основния случай. Ето това е, което следва да докажем.
Първо ще го докажем за S от 1, т.е. това ще е нашият основен случай.
След това ще приложим следващата стъпка на индукция.
Все едно да кажем "Нека да предположим, че е изпълнено за някакво
цяло положително число k". Тогава може да докажем, че е изпълнено
за следващото цяло положително число k + 1.

Spanish: 
puedo escribir esto como una función de n, que la suma de todos
los enteros positivos hasta n (incluyéndo n) es igual a
n veces (n +1), todo eso sobre 2.
Y la forma en la que voy a hacer eso es por inducción.
Prueba por inducción
La forma en la que se hace una prueba por inducción es primero, se prueba
el caso base. Esto es lo que tenemos que probar.
Vamos a probarlo primero para 1 - ese va a ser nuestro caso base.
Y luego vamos a hacer el paso inductivo, el cual
es esencialmente decir "Si asumimos que funciona para algún
entero positivo k, entonces podemos probar que va a funcionar
para el próximo entero positivo, que sería k+1"

Arabic: 
استطيع كتابة هذا بصورة دالة رياضية لـ N، وهي عبارة عن مجموع كل
الاعداد الصحيحة الموجبة التي تصل الى N وتشملها وتساوي
n (n + 1) / 2
والطريقة التي سأثبت بها هي الاستقراء
الاثبات عن طريق الاستقراء
استخدام طريقة الاثبات بواسطة الاستقراء يكون اولاً من خلال اثبات
حالة الاساس. هذا ما نحتاج اثباته
سنثبتها اولاً لـ 1 --والذي سيكون الاساس
ومن ثم نصل الى خطوة الاستقراء، والتي
تقول "اذا افترضنا انها تنجح لعدة
اعداد صحيحة K"، بالتالي يمكننا ان نثبت انها تنجح
للعدد الصحيح التالي، على سبيل المثال K + 1

Polish: 
W tym filmie chcę udowodnić, że
suma wszystkich liczb dodatnich włączając w to n
jest równa n(n+1)/2
Udowodnię to poprzez zastosowanie indukcji matematycznej.
Co można też nazwać dowodem indukcyjnym
Procedura jest następująca. Najpierw udowadniamy
przypadek bazowy dla S(n) = n(n+1)/2
Naszym przypadkiem bazowym jest cyfra 1. (minimalna liczba, która ma spełniać założenie)
Potem zrobimy krok indukcyjny, co oznacza po prostu, że
"Jeśli zakładamy, że S(n) = n(n+1)/2 = 1 + 2 +... n jest poprawne dla niektórych
dodatnich liczb całkowitych K", można dowieść, że to będzie prawdziwe
dla następnej dodatniej liczby całkowitej, na przykład K + 1.

Korean: 
이 함수를 N에 대한 함수로 쓸 수 있으며
N까지의 양의 정수의 합이
N 곱하기 N+1을 2로 나눈 것과 같다는 것입니다
제가 사용할 첫 번째 방법은 귀납법입니다
귀납적으로 추리하는 것이지요
귀납법은 매우 흥미로운 철학적 증명 방법인데
그 이유는 귀납적으로 추론하려면 첫째,
첫 번째 경우가 성립함을 증명해야 합니다
이 함수에서는 1을 넣었을 때 성립함을 보이면 되겠군요-
이것이 첫 번째 경우입니다
그 다음부터는 귀납적 추론 과정을 거칠 것인데, 이는
"임의의 양의 정수 K가 이것을 만족한다고 가정했을 때,"
그 다음 양의 정수, 예를 들어 K+1도 이것을 만족함을 보이는 것입니다
그 다음 양의 정수, 예를 들어 K+1도 이것을 만족함을 보이는 것입니다

Chinese: 
n以下所有正整数之和的函数S(n)=
n以下所有正整数之和的函数S(n)=
n(n+1)/2
证明方法是数学归纳法
归纳法证明
归纳法首先需要证明基本情况
这是我们要证明的
最基本的情况是 n=1的情况
之后是归纳步骤
假设n=正整数k的情况下成立
需要证明的是
n=k+1的情况下也成立

Central Khmer: 
ខ្ញុំ​អាច​សរសេរ​វា​ជា​អនុគមន៍​នៃ N ដែល​ជា​ផល​បូក​នៃ
លេខ​វិជ្ជមាន​ទាំង​អស់​រហូត​ដល់ N ដែល​ស្មើ​ទៅ​នឹង
n ដង​គុណ​នឹង n បូក​មួយ ហើយ​ចែក​នឹង 2 ។
ហើយ​ខ្ញុំ​នឹង​ប្រើ​វិចារ​កំណើន ដើម្បី​ស្រាយ​បញ្ជាក់​វា។
ស្រាយ​បញ្ជាក់​តាម​វិចារ​កំណើន។
វិធី​ដែល​អ្នក​ស្រាយ​បញ្ជាក់​តាម​វិចារ​កំណើន​គឺ ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​ស្រាយ​បញ្ជាក់
ករណី​គោល​សិន។ នេះ​ជា​អ្វី​ដែល​យើង​ត្រូវ​ស្រាយ​បញ្ជាក់។
យើង​នឹង​ស្រាយ​បញ្ជាក់​វា​សម្រាប់​លេខ 1 ដែល​ជា​ករណី​គោល​របស់​យើង។
ហើយ​យើង​នឹង​ធ្វើ​ជំហាន​វិចារ​កំណើន ដែល
យើង​អាច​និយាយ​ថា "បើ​យើង​សន្មត​ឲ្យ​វា​ប្រើ​បាន​សម្រាប់"
លេខ​វិជ្ជមាន​ខ្លះ K", ហើយ​យើង​ក៏​អាច​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា វា​នឹង​ប្រើ​បាន
សម្រាប់​លេខ​វិជ្ជមាន​បន្ទាប់, ឧទាហរណ៍ K + 1 ។

Chinese: 
n以下所有正整數之和的函數S(n)=
n以下所有正整數之和的函數S(n)=
n(n+1)/2
證明方法是數學歸納法
歸納法證明
歸納法首先需要證明基本情況
這是我們要證明的
最基本的情況是 n=1的情況
之後是歸納步驟
假設n=正整數k的情況下成立
需要證明的是
n=k+1的情況下也成立

English: 
I can write this as a function of N, that the sum of all
positive integers up to and including N is equal to
n times n plus one, all of that over 2.
And the way I'm going to prove it to you is by induction.
Proof by induction.
The way you do a proof by induction is first, you prove
the base case. This is what we need to prove.
We're going to first prove it for 1 - that will be our base case.
And then we're going to do the induction step, which
is essentially saying "If we assume it works for some
positive integer K", then we can prove it's going to work
for the next positive integer, for example K + 1.

Chinese: 
這爲什麽能行呢 如果1)和2)都證明出來了
假設基本情況下 證明了k=1
當然 1只是本例的基本情況
要證明的也可能是大於55的情況
或者別的什麽底線
本例中 要證的是所有正整數的情況
所以基本情況是n=1
然後假設歸納步驟也證明出來了
即如果k以下正整數之和符合要求
那麽S(k+1)也符合要求
這兩步證明好了 整個證明就算完成
這是因爲
所有的正整數
1 2 3 4 5 6 直到無窮大的情況都證明了

Polish: 
Dlaczego to działa? - Załóżmy, że
udowadniamy obydwa te założenia. Naszym przypadkiem bazowym jest cyfra 1
Ale nie zawsze musi to być ta liczba.
Założenie może również być prawdziwe dla każdej liczby większej od 55,
albo wszystkiego powyżej danego progu
Ale w tym przypadku, mamy udowodnić, że to założenie jest prawdziwe dla każdej liczby dodatniej.
Naszą pierwszą liczbą niech będzie 1.
Następnie w naszym kroku indukcyjnym, chcemy udowodnić, że jeśli można zakładać, że S(n) jest prawdziwe
dla liczby k, to będzie też prawdziwe dla liczby k+1
dla liczby k, to będzie też prawdziwe dla liczby k+1
I to już wszystko, co musisz udowodnić, by wykazać, że dana teza jest prawdziwa.
Wyobraź to sobie:
Wszystkie te liczby
1,2,3,4,5,6..., możesz pisać w nieskończoność, a jeśli dla k, oraz k+1 ta teza jest prawdziwa, to jest także prawdziwa dla każdej liczby całkowitej dodatniej.

Thai: 
และสาเหตุที่มันใช้ได้คือว่า -- สมมุติว่า
เราพิสูจน์ทั้งสองอย่างได้แล้ว ในกรณีพื้นฐาน เราได้พิสูจน์สำหรับค่า 1 ไปแล้ว
แต่มันไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 1
ประโยคนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่ามากกว่า 55
หรือทุกอย่างที่เหนือขึ้นไป
แต่ในกรณีนี้, เราบอกว่ามันเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด
กรณีพื้นฐานของเราจะเป็น 1
แล้วในขั้นอุปนัย, เราจะพิสูจน์ว่าถ้าคุณถือว่าประโยคนี้เป็นจริง,
สำหรับผลบวกถึง k
ถ้าเราสมมุติว่ามันเป็นจริง แล้วมันจะเป็นจริงสำหรับผลบวกถึง k+1 ด้วย
และสาเหตุที่เราต้องทำแค่นี้เพื่อพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน
คือว่า ลองคิดดู
ลองคิดถึงจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตรงนี้
1, 2, 3, 4, 5, 6 คุณไล่ไปเรื่อยๆ ตลอดไปก็ได้

Bulgarian: 
Причината това да работи е следната. Нека да кажем,
че ще докажем и двете условия. Основният случай ще го докажем за числото 1.
Но не е нужно винаги да е точно числото 1.
Твърдението може да е вярно за всяко число, по-голямо от 55.
Или за всички числа, които надминават дадена граница.
В настоящия случай обаче, заявяваме че това е изпълнено за всички цели положителни числа.
Основният случай ще бъде за числото 1.
Тогава в стъпката с индукцията ще докажем, че ако предположим, че тази формула е вярна
за някаква сума от k,
то формулата ще бъде вярна и за сумата от k + 1.
Причината това да е всичко, което е необходимо, за да го докажем за всички цели положителни числа, е следната.
Нека да разгледаме
всички цели положителни числа ето тук.
1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.н. до безкрайност.

Arabic: 
وسبب نجاحها هو --لنفترض اننا
اثبتنا كل من هؤلاء. اذاً حالة الاساس التي سنثبتها لـ 1
لكن ليس بالضرورة ان يكون دائماً 1
فالحالة تكون صحيحة لأي عدد فوق الـ 55
او اي عدد فوق العتبة
لكن في هذه الحالة، نقول ان هذا صحيحاً لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
فالاساس يكون 1
ثم في خطوة الاستقراء، سنثبت انه اذا افترضنا ان هذا صحيحاً
لمجموع k
فاذا افترضنا هذا سيكون صحيحاً لمجموع k + 1
والسبب في ان هذا كل ما علينا فعله لاثباته لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
انه مجرد تخيل
دعونا نفكر في جميع الاعداد الصحيحة الموجبة الموجودة هنا
1, 2, 3, 4, 5, 6 ويمكنك الاستمرار

Chinese: 
这为什么能行呢 如果1)和2)都证明出来了
假设基本情况下 证明了k=1
当然 1只是本例的基本情况
要证明的也可能是大于55的情况
或者别的什么底线
本例中 要证的是所有正整数的情况
所以基本情况是n=1
然后假设归纳步骤也证明出来了
即如果k以下正整数之和符合要求
那么S(k+1)也符合要求
这两步证明好了 整个证明就算完成
这是因为
所有的正整数
1 2 3 4 5 6 直到无穷大的情况都证明了

Spanish: 
Y la razón por la que esto funciona es - Digamos que
probamos ambas cosas. El caso base que vamos a probar es 1
Pero no es necesario que siempre sea 1.
Tu afirmación puede ser cierta para todo lo que sea mayor que 55.
O lo que sea mayor a un umbral establecido.
Pero en este caso, vamos a decir que esto es cierto para todos los enteros positivos
Nuestro caso base va a ser 1.
Entonces en nuestro paso inductivo vamos a probar que si asumimos que esto es cierto
para la suma hasta k,
Entonces va a ser verdadero para la suma hasta k+1
Y la razón por la que esto es todo lo que hay que hacer para probarlo para todos los enteros positivos es,
solo imaginemos:
Pensemos en todos los enteros positivos por este lado.
1, 2, 3, 4, 5, 6, y podríamos seguir por siempre...

Korean: 
이러한 방법이 통하는 이유는-
우리가 두 가지 모두를 증명해 보였다고 합시다
첫 번째 경우가 1이니 1이 성립함을 보일 것입니다
하지만 첫 번째 경우가 꼭 1일 필요는 없겠지요
55 이상의 수만 주어진 명제를 참으로 만들 수도 있습니다
아니면 어떤 한계점을 넘은 모든 수일 수도 있겠지요
하지만 이 경우에는 모든 양의 정수가 성립하기 때문에
첫 번째 항이 1이 되겠네요
이제 귀납적 추론 과정에서는 s(K)가 성립한다고 가정했을 때
이제 귀납적 추론 과정에서는 s(K)가 성립한다고 가정했을 때
s(K+1)도 성립한다는 것을 증명할 것입니다
모든 양의 정수가 만족한다는 것을 보이기 위해 두 가지만 보이면 되는 이유는
생각해 보세요:
모든 양의 정수에 대해 한 번 생각해 봅시다
1,2,3,4,5,6...
무한대까지 갈 수 있겠네요

Estonian: 
Ja põhjus miks see töötab on - Ütleme et
me tõestame need mõlemad. Nii et baasjuhtum mis me tõestame on 1.
Aga see ei pea alati olema 1.
Teie väide võib olla õige kõige kohta üle 55.
Või kõige kohta üle mingi piiri.
Aga sellel juhul, me ütleme et see on tõene kõigi positiivsete täisarvude korral.
Meie baasjuhtum on 1.
Siis meie induktsiooni sammus, me tõestame et kui te oletate et see on tõsi,
summa k korral.
Kui me oletame seda siis see on ka tõsi summa k + 1 korral.
Ja põhjus miks ainult seda on vaja teha et seda tõestada kõigi positiivsete täisarvude korral
on.. lihtsalt visualiseerige:
Mõtleme kõigi positiivsete täisarvude peale siin.
1, 2, 3, 4, 5, 6 te võite igavesti edasi minna.

Serbian: 
И разлог због којег ово важи је... Рецимо да
смо доказали оба од ових. Значи, основни случај ћемо доказати за 1.
Али, не мора увек да буде 1.
Ваше тврђење може да буде истинито за све изнад 55.
O
Или све изнад неког прага.
Али, у овом случају, кажемо да је ово тачно за све позитивне целе бројеве.
Наш основни случај ће бити 1.
Затим у нашем индукционом кораку, доказаћемо то, ако претпоставите да је ова ствар тачна,
за суму од к.
Ако то претпоставимо, онда ће то важити и за суму од к+1.
А разлог због којег је ово све што треба да урадите да би доказали ово за све позитивне целе бројеве
само замислите:
Хајде да размислимо о свим позитивним целим бројевима управо сада.
1, 2, 3, 4, 5, 6, могли би да наставите заувек.

Turkish: 
Ve bunun işe yaramasının nedeni, diyelim ki bunların ikisini de kanıtladık.
Temel durum olarak bunu 1 için kanıtlayacağız.
Ancak her zaman için 1 olmak zorunda değil.
İfadeniz 55 üzerindeki tüm sayılar için doğru olabilir.
Veya bir sınırın üstündeki her şey için.
Ancak bu durumda tüm pozitif tamsayılar için doğru olduğunu kabul ediyoruz.
Temel durumumuz 1 olacak.
Sonrasında tümevarım basamağında bu şeyin doğruluğunu k toplamı için kabul edeceğiz.
.
Eğer bunu kabul edersek böylece k+1 toplamı için de doğru olacaktır.
Ve bunu tüm pozitif tamsayılar için kanıtlamanızın nedeniyse, düşünün, şimdi buradaki tüm pozitif tamsayıları ele alalım.
.
.
1,2,3,4,5,6 sonsuza kadar devam edebilirsiniz.

English: 
And the reason why this works is - Let's say that
we prove both of these. So the base case we're going to prove it for 1.
But it doesn't always have to be 1.
Your statement might be true for everything above 55.
Or everything above some threshold.
But in this case, we are saying this is true for all positive integers.
Our base case is going to be 1.
Then in our induction step, we are going to prove that if you assume that this thing is true,
for sum of k.
If we assume that then it is going to be true for sum of k + 1.
And the reason why this is all you have to do to prove this for all positive integers
it's just imagine:
Let's think about all of the positive integers right over here.
1, 2, 3, 4, 5, 6 you could just keep going on forever.

Lithuanian: 
Tarkime, jog mes įrodėme abu atvejus. Tad iš pradžių
imsime šiuos abu atvejus. Iš pradžių įrodysime, kad formulė teisinga vienetui.
Bet ne visada bazinis atvejis turi būti vienetas.
Kitai funkcijai teiginys gali būti teisingas kitam pradiniam skaičiui, pavyzdžiui, didesniam už 55.
Arba skaičiui, didesniam už tam tikrą slenkstinį skaičių.
Tačiau šiuo taveju mes sakome, kad formulė teisinga bet kuriam teigiamam skaičiui,
o bazinis atvejis, t.y. pradžia bus vienetas.
Tada pagal indukciją įrodysim, kad su sąlyga, kad ši formulė yra teisinga k sumai,
Tada pagal indukciją įrodysim, kad su sąlyga, kad ši formulė yra teisinga k sumai,
tai ta pati formulė bus teisinga ir k+1 skaičių sumai.
Taip yra todėl, kad užtenka įrodyti visiems teigiamiems skaičiams.
Taip yra todėl, kad užtenka įrodyti visiems teigiamiems skaičiams.
Įsivaizduokime visus teigiamus skaičius
1, 2, 3, 4, 5, 6 ir taip toliau iki begalybės.

Portuguese: 
E a razão deste método funcionar é - Digamos
que provemos ambas afirmações. Então, para a proposição inicial nós temos que provar a validade de s(1),
mas não precisa ser sempre de 1,
Sua proposição pode precisar ser validada para qualquer número acima de 55,
ou qualquer coisa acima de um limite,
mas neste caso, nós estamos afirmando que s(n) é válida para qualquer número inteiro positivo.
Nossa proposição inicial será 1. *s(1)
Então, durante a indução, nós iremos provar que caso se assuma que isto é verdadeiro,
para a soma de k,
se assumirmos isto então o mesmo será verdadeiro para a soma de k+1
E a razão disto ser tudo que você precisa provar para que s(n) seja verdadeira para todos números inteiros positivos
é que, vejamos
Analisemos todos estes números positivos aqui
1,2,3,4,5,6, você pode continuar infinitamente,

Thai: 
แล้วเราจะพิสูจน์สำหรับ 1
เราจะพิสูน์ว่าสูตรนี่ตรงนี้,
พจน์นี่ตรงนี้เป็นจริงสำหรับกรณีของ 1, เมื่อ n เป็น 1
แล้วเราจะพิสูจน์ว่า ถ้าเรารู้ว่ามันเป็นจริงสำหรับ k ใดๆ แล้วมันเป็นจริงสำหรับค่าต่อไป
ถ้าเรารู้ว่ามันเป็นจริงสำหรับ 1 ในกรณีพื้นฐาน แล้วขั้นที่สอง,
ขั้นอุปนัย บอกว่ากรณีของ 2 ต้องเป็นจริงด้วย
เพราะเราพิสูจน์โดยทั่วไปแล้วว่า ถ้าสำหรับ k เป็นจริง มันต้องเป็นจริงสำหรับ k + 1
เมื่อมันเป็นจริงสำหรับ 2, แล้วมันต้องเป็นจริงสำหรับ 3 ด้วย,
เพราะเราได้พิสูจน์ไปแล้ว, เมื่อมันเป็นจริงสำหรับ k, มันก็เป็นจริงสำหรับ k+1 ด้วย
ดังนั้นถ้ามันเป็นจริงสำหรับ 2 มันต้องเป็นจริงสำหรับ 3 ด้วย
และถ้ามันเป็นจริงสำหรับ 3 มันจะเป็นจริงสำหรับ 4 ด้วย
คุณก็แค่ให้เหตุผลต่อไปเรื่อยๆ ตลอด, ซึ่งหมายความว่ามันเป็นจริงสำหรับทุกอย่าง
เมื่อพูดถึงแนวคิดทั่วไปแล้ว ลองมาพิสูจน์สูตรนี้ด้วยการอุปนัยกัน
ลองหาผลบวกของ, ลองหาค่าฟังก์ชันนี้ที่ 1 ก่อน
มันจะเท่ากับผลบวกของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด
รวม 1 ด้วย มันก็แค่ 1
เราก็บวกทั้งสองเข้า, มันก็คือ 1

Chinese: 
1在基本情況中證明
證明基礎情況n=1時 滿足這個式子
證明基礎情況n=1時 滿足這個式子
後面再證明
如果對任意n=k這個成立 n=k+1也成立
如果已經證明n=1的基本情況成立
根據歸納步驟 n=2也必然成立
因爲一般地 n=k成立 必然有n=k+1成立
n=2成立 那必然有n=3也成立
還是因爲 n=k成立 必然有n=k+1成立
n=2成立 n=3也必然成立
然後n=3成立 必然有n=4成立
一直下去 所有整數的情況就都證明了
也就是說 歸納法證明了一般情況
首先看基本情況 n=1
1及以下所有整數之和也就是1
1及以下所有整數之和也就是1
因爲只有1一個數

Polish: 
Więc udowodnijmy to dla 1.
Sprawdźmy, że to równanie z lewej strony
jest prawdziwe dla n = 1
Potem zakładając, że jeśli to wyrażenie jest prawdziwe dla danej k, to jest również spełnione dla k+1
Więc, wiedząc, że dla n =1 to wyrażenie jest prawdziwe, to
dla następnej cyfry, czyli 2, to równanie jest też spełnione.
Ponieważ udowodniliśmy, że jeśli jest to prawdą dla k, to będzie również prawdą dla k+1
A kiedy jest równanie spełnione dla 2, będzie też dla 3,
bo jeśli jest to twierdzenie prawdziwe dla k, jest prawdziwe też dla k+1
więc jeśli jest prawdziwe dla 2, jest prawdziwe też dla 3
a jeśli jest to prawdą dla 3, to to równanie będzie też spełnione dla 4
I tak dalej, co oznacza, że to założenie jest prawdziwe dla każdej liczby całkowitej większej od 0.
Teraz udowodnijmy właściwie to poprzez indukcję.
Wyliczmy sumę z 1,
czyli wszystkich liczb całkowitych dodatnich
z włączeniem 1,
S(1) wynosi po prostu 1,

Estonian: 
Nii et me tõestame selle 1 korral.
Me tõestame et see valem siin,
see väljendus siin töötab 1 korral, kui n on 1.
Ja siis me tõestame, et kui me teame et see on tõsi ükskõik millise k korral siis see on ka tõene iga järgmise korral.
Kui me teame et see on tõsi 1 korral mis on meie baasjuhtum siis teine samm,
siis see induktsioonisamm peab olema tõene ka 2 korral.
Kuna me tõestasime üldiselt et kui see on tõsi k korral siis see on tõsi k + 1 korral.
Kui see on tõsi 2 korral, siis see peab olema tõsi ka juhul 3,
kuna me oleme selle ära tõestanud, kuna see on tõene k juhul, on see ka tõene juhul k + 1.
Nii et kui see on tõsi 2 korral on see tõsi ka 3 korral.
Ja kui see on tõsi kolme korral on see ka tõsi 4 korral.
Te võite niimoodi lõputult edasi minna, mis tähendab, et see on tõene kõige korral.
Nüüd rääkides üldistustest, tõestame seda induktsiooni abil.
Võtame summa, võtame selle funktsioon kohal 1.
See saab olema kõikide positiivsete täisarvude summa
kaasaarvatud 1 mis on lihtsalt 1.
Me just liitsime kõik need ja see on 1.

Serbian: 
Дакле, доказаћемо за 1.
Доказаћемо да ова формула овде,
овај израз овде важи у случају 1, када је n једнако 1.
А затим ћемо доказати да ако важи за било које к, онда важи и за следећи.
Значи, ако знамо да важи за 1 у нашем основном случају, онда други корак,
овај индукциони корак мора бити тачан за 2.
Зато што смо уопштено доказали да ако је тачно за к, онда ће бити тачно и за к+1.
Када је тачно за 2, онда мора бити тачно и за 3,
зато што смо то доказали, када је тачно за к, онда је тачно за к+1.
Значи, ако је тачно за 2, онда је тачно за 3.
А ако је тачно за 3, онда ће бити тачно и за 4.
Можете да наставите тако у недоглед, што значи да је тачно за све.
Сада, говорећи уопштено, хајде заправо, да докажемо ово индукцијом.
Дакле, хајде да узмемо суму од...,хајде да применимо ову функцију на 1.
То ће само бити сума свих позитивних целих бројева
укључујући и 1, то ће буквално бити 1.
Управо смо сабрали све и то је само 1.

Chinese: 
1在基本情况中证明
证明基础情况n=1时 满足这个式子
证明基础情况n=1时 满足这个式子
后面再证明
如果对任意n=k这个成立 n=k+1也成立
如果已经证明n=1的基本情况成立
根据归纳步骤 n=2也必然成立
因为一般地 n=k成立 必然有n=k+1成立
n=2成立 那必然有n=3也成立
还是因为 n=k成立 必然有n=k+1成立
n=2成立 n=3也必然成立
然后n=3成立 必然有n=4成立
一直下去 所有整数的情况就都证明了
也就是说 归纳法证明了一般情况
首先看基本情况 n=1
1及以下所有整数之和也就是1
1及以下所有整数之和也就是1
因为只有1一个数

Lithuanian: 
Tad mes įrodysime vienetui.
Tad mes įrodysime, kad formulė teisinga šiuo atveju,
išraiška pritaikoma iškart atvejui, kai n yra vienetas.
O po to įrodysime, kad jei tik mes kažkaip žinome, kad formulė teisinga bet kuriam k, tai ji teisinga ir toliau einančiam skaičiui.
Taigi jei žinome, kad teisinga pradinei reikšmei, tai kitas žingsnis
kitas indukcijos žingsnis, kad turi būti teisinga ir dviems.
kadangi mes bendrai įrodėme, kad formulė teisinga visiems k, formulė bus teisinga ir visiems k+1.
Tada jei teisinga dviems, turi būti teisinga ir trims,
nes mes būsime jau parodę, kad jei teisinga visiems k, tai teisingai ir k+vienam.
Tad jei teisinga dviems, tai teisinga ir trims
ir jei teisinga trims, tai bus teisinga ir keturiems.
Taip galima tęsti ir tęsti, o tai reiškia, kad formulė teisinga visiems sveikiems teigiamiems skaičiams.
Toliau vietoj bendrų kalbų įrodykime tai indukcijos būdu.
Pradėkime nuo vieneto funkcijos, t.y. suma vieneto.
Tai paprasčiausiai bus suma visų teigiamų skaičių,
taip pat ir vieneto - atvirai sakant, tik vienetas ir tebus.
Mes paprasčiausiai sudėjome visus, t.y. vienetą:-)

Bulgarian: 
Ще докажем, че условието е изпълнено за числото 1.
Ще докажем, че ето тази формула тук,
т.е. този израз точно ето тук, е изпълнен за случая n равно на 1.
След това ще докажем, че ако е вярно за произволно число k, то е вярно и за следващото число.
Следователно, ако знаем, че това е изпълнено за числото 1, което е нашият основен случай, тогава във втората стъпка,
т.е. стъпката на индукцията, трябва да е изпълнено за числото 2.
Защото сме доказали, че ако е изпълнено за числото k, то ще бъде изпълнено и за k + 1.
Когато е вярно за 2, то следва да бъде вярно и за 3,
защото сме доказали, че ако е вярно за k, то е вярно и за k + 1.
Тогава, ако е изпълнено за 2, то е изпълнено и за 3.
А ако е изпълнено за 3, то ще бъде изпълнено и за 4.
Може да продължаваш така до безкрайност, което означава, че е изпълнено за всички числа.
Дотук говорихме много общо. Нека действително да го докажем, чрез индукция.
Нека вземем числото 1 и го заместим във формулата.
Това ще е равно на сумата от всички цели положителни числа,
включително 1, т.е. действително ще е равно на 1.
Току-що прибавихме всички тези числа, т.е. равно е просто на 1.

Spanish: 
Vamos a probarlo para 1,
vamos a probar que esta fórmula de acá,
esta expresión que está acá, funciona para es caso de 1, cuando n es 1.
Y luego vamos a probar que si sabemos que es verdadero para cualquier k dado, entonces es verdadero para el siguiente
Así, si sabemos que es verdadero para 1, en nuestro caso base, entonces
el segundo paso de la inducción los dice que entonces debe ser verdadero para 2.
Porque probamos de forma general, que si era verdadero para k, entonces va a ser verdadero para k+1
Pero si es verdadero para 2, entonces debe ser verdadero para 3,
porque probamos que si es verdadero para k, es verdadero para k+1.
Entonces si es verdadero para 2, es verdadero para 3,
y si es verdadero para 3, va a ser verdadero para 4.
Se puede seguir y seguir por siempre, lo que significa que es verdadero para todos.
Ahora hablando en general, probemos realmente esto por inducción.
Tomemos la suma, hagamos la función de 1.
esto va a ser la suma de todos los enteros positivos
incluyendo a 1, lo que literalmente va a ser igual a 1.
Sumamos todos, y es sólo 1.

Arabic: 
اذاً نريد ان نثبتها للـ 1
سنثبت ان هذه الصيغة الموجودة هنا
هذه العبارة الموجودة هنا يمكن تطبيقها في حالة الـ 1، اي عندما n = 1
ومن ثم سنثبت انه اذا كنا نعرف انها صحيحة لأي قيمة لـ k بالتالي تكون صحيحة للقيمة التالية
فاذا كنا نعلم انها صحيحة لـ 1 في حالة الاساس فتكون الخطوة التالية
ان خطوة الاستقراء يجب ان تكون صحيحة لـ 2 اذاً
لأنه اثبتنا بشكل عام اذا كان صحيحاً لـ k فسيكون صحيحاً لـ k + 1
وعندما يكون صحيحاً لـ 2، فسيكون صحيحاً لـ 3
لأنه عندما قمنا باثباته، عندما اوجدنا انه صحيح لـ k، فسيكون صحيح لـ k + 1
اذاً اذا كانت صحيحة لـ 2 تكون صحيحة لـ 3
واذا كانت صحيحة لـ 3 تكون صحيحة لـ 4
ويمكنك الاستمرار في هذا، ما يعني انه صحيح لكل شيئ
نتحدث الآن في العموميات دعونا نثبت هذا عن طريق الاستقراء
لنأخذ اذاً مجموع، دعونا نجري الدالة الرياضية على 1
حيث سيكون مجموع جميع الاعداد الصحيحة الموجبة
وتشمل الـ 1 حيث سيكون ناتجه 1
لقد قمنا بجمعهم، وكان الناتج 1

Portuguese: 
Então iremos provar s(n) para 1
Nós provaremos que esta equação bem aqui
esta expressão aqui é verdadeira para o s(1), quando 'n' for 1
E então nós iremos provar que, se sabemos que é verdadeiro para qualquer valor de 'k' então também o é para o próximo valor
Então se sabemos que é verdadeiro para 1, em nossa proposição inicial, o próximo passo
por indução, a proposição deve ser verdadeira para 2 também
já que provamos anteriormente que se for verdadeiro para 'k' então será verdadeiro para 'k+1'
Quando for verdadeiro para 2 então deverá ser verdadeiro para 3
Uma vez que, como provamos, quando é verdadeiro para 'k' também o é para 'k+1'
Então se for verdadeiro para 2 também o é para 3
e se for para 3 então também será para 4.
Então é possível continuar infinitamente o que implica que será verdadeiro para qualquer coisa.
Agora ultrapassado os aspectos gerais, vamos finalmente realizar a demonstração da validade pela indução.
Então peguemos a soma de, façamos está função com 'n'=1.
Que será a soma de todos os números inteiros positivos incluindo 1
que dará literalmente 1
Nós adicionamos todos eles, é somente 1.

English: 
So we are going to prove it for 1.
We are going to prove that this formula right over here,
this expression right over here applies for the case of 1, when n is 1.
And then we are going to prove that if we know it is true for any given k that is true for the next one
So if we know it is true for 1 in our base case then the second step,
this induction step must be true for 2 then.
Because we proved generally if it's true for k it's going to be true for k + 1.
When it's true for 2, then it must be true for 3,
because we have proved it, when it's true for k, it's true for k + 1.
So if it's true for 2 it's true for 3.
and if it's true for 3 it's going to be true for 4.
You can just keep going on and on forever, which means it's true for everything.
Now spoken in generalaties let's actually prove this by induction.
So let's take the sum of, let's do this function on 1.
that is just going to be the sum of all positive integers
including 1 is just literally going to be 1.
We've just added all of them, it is just 1.

Korean: 
이제 1에 대해 성립한다는 것을 보일 것입니다
여기에 있는 공식,
그러니까 여기에 있는 식이 n이 1일 경우에 성립한다는 것을 증명할 것입니다
그 후에 임의의 양의 정수 K에 대해 성립할 때 
그 다음 수에 대해서도 만족한다는 것을 보일 것입니다
첫 번째 항인 1에 대해 참이라면 두 번째 단계,
이 귀납적 추론 과정에 의해 2도 성립해야 합니다
왜냐하면 K에 대해 성립할 때 
K+1도 성립한다는 것을 일반화해서 증명했기 때문이지요
2에 대해 성립한다면 당연히 3에 대해서도 성립할 것입니다
역시 K에 대해 성립할 때 K+1에 대해서 성립한다는 것을 증명했기 때문이죠
2가 성립한다면 3도 이 식을 만족합니다
3에 대해서 성립한다면 4에 대해서도 성립할 것입니다
이런 식으로 계속 하면 모든 양의 정수에 대해 성립한다는 것을 의미합니다
일반화해서 설명했으니 이제는 귀납적 추론 방법을 이용해 실제로 증명해 봅시다
함수에 1을 넣고 구해 봅시다
이는 1까지의 모든 양의 정수의 합이므로
그냥 1이 될 것입니다
1까지의 모든 양의 정수를 더했으니 1이지요

Turkish: 
Bunu 1 için kanıtlayacağız.
Buradaki ifadenin n=1 olduğundaki durum için doğru olup olmadığını kanıtlayacağız.
.
Sonrasında da eğer herhangi bir k değeri için doğru olduğunu biliyorsak bir sonraki değer için de doğru olduğunu kanıtlayacağız.
Eğer 1 için doğru olduğunu biliyorsak ikinci adım 2 için de doğru olmak zorundadır.
.
Çünkü genel olarak kanıtladık ki k değeri için doğruysa k+1 değeri için de doğru olacaktır.
2 için doğru olduğunda, o zaman 3 için de doğru olmak zorundadır çünkü bunu kanıtladık, k için doğru olduğunda k+1 için de doğru olacaktır.
.
Yani 2 için doğruysa 3 için de doğrudur.
3 için doğruysa 4 için de doğru olacaktır.
Böylece sonsuza kadar gidebilirsiniz ki bu da her şey için doğru olduğu anlamına gelir.
Genellemeler hakkında konuşmuşken bunu tümevarımla kanıtlayalım.
Bu fonksiyonu 1 için yaparak toplamını alalım.
Bu sadece 1'i içeren tüm pozitif tamsayıların toplamı olacaktır ki bu da 1'e eşittir.
.
Bunları yalnızca birbirlerine ekledik, sadece 1.

Arabic: 
ولا يوجد اي عدد صحيح آخر يصل الى 1 ويشمله
والآن يمكننا ان نثبت ان هذا يعادل
1(1 + 1) / 2
1 + 1 = 2، 2 ÷ 2 = 1، 1 × 1 = 1
اذاً هذه الصيغة الموجودة هنا، هذه العبارة
تنجح لـ 1، اذاً علينا ان نثبت حالة الاساس
وقد قمنا باثباتها لـ 1
ما اربغب بفعله الآن هو انني اريد ان افترض انها تنجح لقيمة ما لـ k
اذاً سأفترض انها صحيحة لقيمة ما لـ k
اي سأفترض قيمة لـ k، بحيث ان الدالة الرياضية عند k ستساوي
2 / (k(k + 1
اذاً انا افترض انه صحيح لهذا

Thai: 
มันไม่มีจำนวนเต็มบวกอื่นใดนอกจาก 1
และเราก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า มันก็เท่ากับ
1 คูณ 1 บวก 1 ทั้งหมดส่วน 2
1 บวก 1 ได้ 2, 2 หารด้วย 2 ได้ 1, 1 คูณ 1 ได้ 1
ดังนั้นสูตรนี่ตรงนี้, พจน์นี้
มันใช้ได้สำหรับ 1, เราจึงพิสูจน์กรณีพื้นฐานได้แล้ว
เราได้พิสูจน์สูตรนี้สำหรับ 1 แล้ว
ทีนี้สิ่งที่ผมอยากทำคือว่า ผมอยากพิสูจน์ว่าถ้ามันเป็นจริงสำหรับจำนวน k ค่าหนึ่ง
ผมจะสมมุติว่ามันเป็นจริงสำหรับจำนวน k
ผมจะสมมุติว่าสำหรับจำนวน k, ฟังก์ชันนี้ที่ k จะเท่ากับ
k คูณ k บวก 1 ส่วน 2
แล้วผมสมมุติว่ามันเป็นจริง

Chinese: 
因为只有1一个数
要证明的式子结果是
1?(1+1)/2=1
所以n=1时 这个等式是成立的 基本情况得证
所以n=1时 这个等式是成立的 基本情况得证
下面 假设对于某n=k成立
即 假设对于某正整数k
S(k)=k(k+1)/2
假设这是正确的
然后考虑

Lithuanian: 
Nes prieš vienetą be paties vieneto nestovi joks teigiamas sveikas skaičius.
Ir dabar parodysime, kad tai yra tas pats, kas ir pagal formulę
vienas padauginta iš 1+1 ir viskas padalinta pusiau.
1+1 yra 2, padalijus iš 2 gausime vienetą, vienas kart vienas yra vienas.
Ši formulė galioja vienetui, todėl mes įrodėme (tiksliau - parodėme) mūsų baziniam atvejui.
Ši formulė galioja vienetui, todėl mes įrodėme (tiksliau - parodėme) mūsų baziniam atvejui.
Ši formulė galioja vienetui, todėl mes įrodėme (tiksliau - parodėme) mūsų baziniam atvejui.
Ką dabar noriu padaryti, tai padaryti prielaidą, kad formulė galioja bet kuriam k.
Tad darau prielaidą, kad formulė teisinga sveikam teigiamam skaičiui k.
Taigi aš darau prielaidą, jog tam tikram skaičiui k ši funkcija bus lygi k kart k plius vienetas, padalintas iš dviejų.
Taigi aš darau prielaidą, jog tam tikram skaičiui k ši funkcija bus lygi k kart k plius vienetas, padalintas iš dviejų.
Darau prielaida, jog tai teisinga.

English: 
There is no other positive integer up to and including 1.
And now we can prove that this is the same thing as
1 times 1 plus 1 all of that over 2.
1 plus 1 is 2, 2 divided by 2 is 1, 1 times 1 is 1.
So this formula right over here, this expression
it worked for 1, so we have proved our base case.
we have proven it for 1.
Now what I want to do is I want to assume that it works for some number k.
So I will assume true for some number k.
So i'm going to assume that for some number k, that this function at k is going to be equal to
k times k plus 1 over 2.
So I'm just assuming this is true for that.

Portuguese: 
não há nenhum outro número inteiro positivo até 1 incluindo próprio 1
Agora podemos assumir o mesmo para
1 vezez 1 mais 1 tudo isso dividido por 2.
1 mais 1 soma 2, 2 dividido por 2 é igual a 1, 1 vezes 1 é 1.
Então, essa fórmula bem aqui, essa expressão
é verdadeira para 1, assim provamos nossa proposição inicial
a provamos para 1. *'n'=1
Agora, o que eu quero fazer é assumir que também é verdadeiro para qualquer número 'k'.
Então eu irei assumir como verdadeiro para um número 'k'
Eu irei assumir para algum número 'k' que a função s(k) será igual a
'k' vezes 'k' mais 1, tudo isso dividido por 2
Então eu estou assumindo que isto é verdadeiro

Korean: 
1 이하의 양의 정수는 1밖에 없지요
그 다음에는 그 값이
1 곱하기 1 더하기 1을 2로 나눈 값과 같다는 것을 증명할 것입니다
1 더하기 1은 2이고 2로 나누면 1이고 1 곱하기 1은 1이네요
이 공식, 이 식이
1에 대해 성립했으니 첫 번째 항이 성립함을 증명했습니다
1에 대해 성립함을 증명한 것이지요
그 다음에 할 일은 임의의 양의 정수 K에 대해 성립한다고 가정하는 것입니다
임의의 양의 정수 K이 위의 식을 만족한다고 가정하겠습니다
임의의 양의 정수 K에 대해 함숫값은
K 곱하기 K+1 나누기 2일 것입니다
그냥 이것이 성립한다고 가정하는 것입니다

Estonian: 
Ei ole ühtegi teist positiivset täisarvu kuni ja kaasarvatud 1.
Nüüd me saame tõestada sama asja kui
1 korda 1 pluss 1 mis kõik on jagatud 2.
1 pluss 1 on 2, 2 jagatud 2 on 1, 1 korda 1 on 1.
Nii et see valem siin, see väljendusviis
töötas meie 1 korral, nii et me oleme tõestanud baasjuhtumi.
Me oleme tõestanud selle 1 korral.
Nüüd mida ma tahan oletada, et see töötab mingi numbri k korral.
Nii et ma oletan et see on tõene mingi numbri k korral.
Nii et ma oletan et mingi number k, et see funktsioon k korral on võrdne
k korda k pluss 1 jagatud 2.
Nii et ma oletan et see on tõene.

Serbian: 
Нема других позитивних бројева до 1 и укључујући 1.
И сада можемо да докажемо да је ово исто као
1 пута (1 + 1) и све то кроз 2.
1 + 1 је 2, 2 подељено са 2 је 1, 1 пута 1 је 1.
Значи, ова формула овде, овај израз
важи за 1, тако да смо доказали наш основни случај.
Доказали смо за 1.
Сада, оно што хоћу да урадим је да хоћу да претпоставим да важи за неки број к.
Дакле, претпоставићу да важи за неки број к.
Значи, претпоставићу ово за неко к, да ће ова функција за к бити једнака
к пута (к+1) кроз 2.
Дакле, само претпостављам да је то тачно за ово.

Spanish: 
No hay otro entero positivo hasta 1 e incluyéndolo.
Y ahora probemos que es la misma cosa que
1 vez (1 + 1), todo eso sobre 2.
1 más 1 es 2, 2 dividido 2 es 1, 1 vez 1 es 1.
Así que esta fórmula de acá, esta expresión
funcionó para 1, entonces hemos probado nuestro caso base.
Lo hemos probado para 1.
Ahora lo que quiero hacer es asumir que esto funciona para algún número k.
Entonces voy a asumir que es verdadero para algún número k.
Es decir, voy a asumir que para algún número k, esta función en k va a ser igual a
k veces (k +1) sobre 2.
Así que sólo estoy asumiendo que es verdadero para esto (para k)

Polish: 
gdyż nie ma innej dodatniej liczby całkowitej mniejszej od 1
I teraz przekonajmy się, że to jest to samo, co
działanie 1*(1+1)/2
co po skróceniu ułamka 2/2 wynosi 1.
Właśnie udowodniliśmy
nasz przypadek bazowy,
udowadniając to wyrażenie dla zmiennej n = 1.
Teraz przypuśćmy, że to samo równanie będzie spełnione dla pewnej liczby k.
Teraz przypuśćmy, że to samo równanie będzie spełnione dla pewnej liczby k.
Zakładamy, że
S(k) = k*(k+1)/2
jest prawdziwe dla każdej liczby k

Turkish: 
1'e kadar gelen ve 1'i içeren başka bir pozitif tamsayı yok.
Ve şimdi kanıtlayabiliriz ki bu [(1x1)+1]/2'ye eşittir.
.
1+1=2, 2/2=1, 1x1=1.
Buradaki formül, bu ifade 1 için doğrulandı böylelikle temel durumu kanıtlamış olduk.
.
Bunu 1 için kanıtlamış olduk.
Şimdi yapmak istediğim şeyse herhangi bir k değeri için doğru olduğunu varsaymak.
Herhangi bi k değeri için doğru olduğunu varsayacağım.
Yani herhangi bir k değeri için bu fonksiyonun [(kxk)+1]/2'ye eşit olduğunu varsayacağım.
.
Yalnızca bunun bu değer için doğru olduğunu varsayıyorum.

Chinese: 
因爲只有1一個數
要證明的式子結果是
1?(1+1)/2=1
所以n=1時 這個等式是成立的 基本情況得證
所以n=1時 這個等式是成立的 基本情況得證
下面 假設對於某n=k成立
即 假設對於某正整數k
S(k)=k(k+1)/2
假設這是正確的
然後考慮

Bulgarian: 
Няма друго положително цяло число, което да прибавим до и включително числото 1.
А сега може да докажем, че това е равно на същото нещо
като 1 плюс 1, и всичко това върху 2.
1 плюс 1 е равно на 2, а 2 разделено на 2 е равно на 1. Следва, че 1 по 1 е равно на 1.
Следователно дефинираната формула тук, т.е. този израз,
е верен за числото 1. Следователно сме доказали нашия основен случай.
Доказахме го за числото 1.
А сега това, което искам да направя, е да предположа, че е изпълнено за някакво число k.
Правя предположение, че е изпълнено за някакво число k.
Предполагам, че за някакво число k, дефинираната функция ще бъде равна
на k по k плюс 1, върху 2.
Предполагам, че това е изпълнено.

Polish: 
Teraz pomyślmy o tym, co się stanie, gdy za k podstawimy k+1
To jest to, co zakładam.
Zakładam, że wiem, jaki jest rezultat.
Teraz spróbujmy to udowodnić.
Jaka jest suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich z włączeniem k+1?
To będzie po prostu S(k+1) = 1+2+3+...+k
+ k+1
Prawda? 1+2+3+...+k+k+1 jest sumą wszystkich liczb z włączeniem k+1
Prawda? 1+2+3+...+k+k+1 jest sumą wszystkich liczb z włączeniem k+1
Zakładamy, że mamy już na to wzór,
i że to wszystko do ...k się uprości do postaci k*(k+1)/2
i że to wszystko do ...k się uprości do postaci k*(k+1)/2
Więc chcemy po prostu dodać tą część do k+1
więc dodajemy to do tego.
I po ustaleniu wspólnego dzielnika, którym jest cyfra 2,
I po ustaleniu wspólnego dzielnika, którym jest cyfra 2,

Estonian: 
Nüüd mis ma tahan mõelda on, et mis juhtub kui ma püüan leida seda funktsiooni kohal k + 1.
Seda ma oletan.
Ma eeldan et ma tean seda.
Nüüd proovime seda teha k + 1 korral.
Nii et mis on kõikide täisarvude summa kuni ja kaasaarvatud k + 1?
See on 1 pluss 2 pluss 3 pluss kõik numbrid kuni k.
Pluss k pluss 1.
Õigus? See on kõikide arvude summa kuni ja kaasaarvatud k pluss 1.
Me eeldame et me teame mis see on.
Me eeldame, et me juba teame selle valemit.
Me eeldame et see lihtsustub valemiks k korda k pluss 1 jagatud 2.
Me eeldame et me teame seda.
Nii et me lihtsalt võtame selle osa ja me lisame selle k + 1.
Nii et me lisame selle k pluss 1 siia.
Ja kui te leiate ühisnimetaja, ühisnimetaja on 2.
Nii et see võrdub...

Spanish: 
Ahora lo que quiero hacer es pensar qué pasa cuando trato de encontrar esta función para k+1
Entonces esto es lo que estoy asumiendo,
estoy asumiendo que conozco esto.
Ahora tratemos de hacerlo para k+1.
¿Cuál es la suma de todos los enteros hasta k+1, incluyendo k+1?
Bueno, esto va a ser igual a 1 más 2, más 3, más todos los enteros hasta k,
más (k+1)
¿Sí? Esta es la suma de todos los enteros hasta k+1, incluyéndolo.
Bueno, estamos asumiendo que ya sabemos lo que esto es,
Estamos asumiendo que ya tenemos una fórmula para esto.
Asumimos que esto se puede simplificar como k veces (k+1),sobre 2.
Estamos asumiendo que sabemos eso.
Entonces vamos a tomar esta parte, y se la vamos a sumar a k+1,
la vamos a sumar a k+1 por acá.
Y si encontramos un denominador común, el común denominador va a ser 2,
Entonces esto va a ser igual a...

Lithuanian: 
Dabar aš galvoju, kas atsitiks, kai bandysiu nustatyti funkcijos reikšmę skaičiui k+1.
Štai kokią prielaidą darau.
Aš darau prielaidą, jog tai žinau.
Pabandykim tai padaryti skaičiui k+1.
Kam lygi suma visų sveikų skaičių iki pat k+1, įskaitant k+1?
Tai bus 1 plius 2 plius 3 plius taip toliau iki pat k ir dar plius (k+1)
Tai bus 1 plius 2 plius 3 plius taip toliau iki pat k ir dar plius (k+1)
Teisingai? Tai yra suma iki k+1 įskaitant ir k+1.
Darome prielaidą, kad tai mes jau žinome.
Mes darome prielaidą, kad tam mes jau turime formulę.
Todėl galime šią dalį supaprastinti iki k(k+1)/2.
Mes darome prielaidą, kad tai jau žinome.
Todėl paimsime šią dalį ir prie jos pridėsime k+1.
Todėl paimsime šią dalį ir prie jos pridėsime k+1.
Nustatykime abiejų dėmenų bendrą daliklį, kuris yra 2,
tada tai bus lygu ...

Korean: 
그 후에는 K+1을 대입한 함숫값에 대해 생각해 보겠습니다
이것이 제가 가정한 것입니다
저는 이것을 알고 있다고 가정하고 있는 것입니다
이제는 K+1을 넣고 구해 봅시다
K+1까지의 양의 정수의 합은 무엇일까요?
이것은 1 더하기 2 더하기 3 더하기...K까지의 값입니다
거기에 K+1도 들어가야겠지요
맞습니까?
K+1까지의 자연수의 합이지요
우리는 이 값이 얼마인지 알고 있다고 가정하고 있습니다
이 값에 대한 식이 이미 있다고 가정하고 있는 것입니다
K 곱하기 K+1 나누기 2로 간단하게 된다고 가정하고 있습니다
이 사실을 알고 있다고 가정하는 것입니다
이 식으로 변환한 뒤에 K+1만 더해 줍시다
K+1에 이 식을 더하는 것이지요
공통분모는 2가 되겠군요
그러므로 이 식은-

Chinese: 
n=k+1的情況
這是假設 假設這是正確的
下面要證n=k+1的情況
k+1及以下所有正整數之和是多少呢
也就是1+2+3+…+k+k+1
這就是少於等於k+1的所有正整數之和
這個的和假設已知
假設是這個式子
假設它等於k(k+1)/2
假設這是知道的
下面需要用這部分 加上k+1
通分 公分母是2
於是 這等於…

Thai: 
ทีนี้ สิ่งที่ผมจะทำคือคิดว่าเกิดอะไรขึ้น เมื่อผมลองหาค่าฟังก์ชันนี้สำหรับ k+1
นี่คือสิ่งที่ผมสมมุติ
ผมสมมุติว่าผมรู้อันนี้มาก่อน
ทีนี้ลองใช้มันหาค่าสำหรับ k + 1 ดู
ผลบวกของจำนวนเต็มบวกทุกตัวไปจนถึงและรวม k+1 ด้วยเป็นเท่าไหร่?
มันจะเท่ากับ 1 บวก 2 บวก 3 บวกไปจนถึง k
บวก k บวก 1
จริงไหม? นี่คือผลบวกของทุกอย่างไปจนถึงและรวม k บวก 1 ด้วย
ทีนี้เราจะสมมุติว่าเรารู้ว่านี่คืออะไร
เราสมมุติว่าเรามีสูตรสำหรับเจ้านี่แล้ว
เราจะสมมุติว่านี่จะลดรูปเหลือ k คูณ k บวก 1 ส่วน 2
เราจะสมมุติว่าเรารู้อยู่แล้ว
เราก็แค่เอาส่วนนี้มา แล้วเราก็บวก k บวก 1 เข้าไป
เราก็บวกมันเข้ากับ k บวก 1 ตรงนี้
และถ้าคุณหาตัวส่วนร่วมได้, ตัวส่วนร่วมจะเป็น 2
นี่จะเท่ากับ...

English: 
Now what I want to do is think about what happens when I try to find this function for k + 1.
This is what I'm assuming.
I'm assuming I know this.
Now let's try to do it for k + 1.
So what is the sum of all of the integers up to and including k + 1?
Well this is going to be 1 plus 2 plus 3 plus all the way up to k.
Plus k plus 1.
Right? this is the sum of everything up to and including k plus 1.
Well we are assuming that we know what this already is.
We are assuming that we already have a formula for this.
We are assuming that this is going to simplify to k times k plus 1 over 2.
We are assuming that we know that.
So we will just take this part and we will add it to k plus 1.
so we'll add it to k plus 1 over here.
And if you find the common denominator, the common denominator is going to be 2.
So this is going to be equal to...

Arabic: 
والآن ما ارغب بفعله هو التفكير في ما سيحدث عندما احاول ايجاد هذه الدالة الرياضية لـ k + 1
هذا ما افترضه
واعلم انني افترض
الآن دعونا نحاول تطبيقها على k + 1
اذاً ما مجموع كل الاعداد الصحيحة التي تصل الى k + 1 وتشمله
حسناً هذا يساوي 1 + 2 + 3 + جميع الاعداد حتى نصل k
+ k + 1
صحيح؟ هذا هو مجموع كل الاعداد التي تصل الى k + 1 وتشمله
حسناً نحن نفترض اننا نعلم ما هذا بالضبط
نفترض ان لدينا صيغة لهذا
نفترض ان هذا يمكن تبسيطه الى 2 / (k(k + 1
نحن نفترض اننا نعرف هذا
اذاً سنأخذ هذا الجزء وسنضيفه الى k + 1
اذاً سنضيفه الى k + 1 هنا
واذا اوجدت المقام الموحد، والذي يكون 2
اذاً هذا يساوي

Chinese: 
n=k+1的情况
这是假设 假设这是正确的
下面要证n=k+1的情况
k+1及以下所有正整数之和是多少呢
也就是1+2+3+…+k+k+1
这就是小于等于k+1的所有正整数之和
这个的和假设已知
假设是这个式子
假设它等于k(k+1)/2
假设这是知道的
下面需要用这部分 加上k+1
通分 公分母是2
于是 这等于…

Portuguese: 
Agora o que eu quero saber é o que acontece quando eu tento achar a função para s(k+1)
Isto é o que eu estou assumindo
Estou assumindo que eu sei que isto é válido.
Agora, tentemos calcular a função para (k+1)
Então qual é a soma de todos os números inteiros positivos até e incluindo k+1
Bem, será a soma de 1 mais 2 mais 3 até 'k' mais
'k+1'
Certo? Isto representa a soma de tudo até 'k' incluindo 'k+1'
Bem, aqui nós estamos assumindo que já sabemos a validade disto.
Nós estamos assumindo que já temos uma fórmula para esta soma.
Estamos assumindo que isto irá simplificar 'k' vezes 'k+1' dividido por 2.
Nós estamos assumimos que sabemos isto.
Então iremos pegar esta parte e somá-la a 'k+1'
Então nós somaremos a 'k+1' bem aqui
e se você buscar o denominador comum este será 2
Então isto será igual a

Turkish: 
Şimdi yapmak istediğim şeyse bu fonksiyonu k+1 için denediğimde ne olduğunu görmek.
Varsaydığım şey bu.
Bunu bildiğimi varsayıyorum.
Şimdi bunu k+1 için yapmayı deneyelim.
K+1'e kadar olan ve k+1'i içeren tüm pozitif sayıların toplamı nedir?
Bu 1+2+3 ve buradan k'ya kadar böyle gidecek.
+(k+1).
Bu k+1'e kadar olan ve k+1'i içeren her şeyin toplamı.
Bunun ne olduğunu bildiğimizi varsayıyoruz.
Bunun için zaten bir formülümüz olduğunu varsayıyoruz.
Bunun [(kxk)+1]/2'ye sadeleşeceğini varsayıyoruz.
Bunun bildiğimizi varsayıyoruz.
Yani bu kısmı alacağız ve buna (k+1) ekleyeceğiz.
.
Ortak bölen ise bu durumda 2 olacaktır.
Yani bu şuna eşit olacaktır...

Bulgarian: 
Сега следва да разгледам какво се случва, когато искам да изчисля функцията за k + 1.
Това е моето предположение.
Предполагам, че това е вярно и го знам.
Нека сега опитаме да го направим за k + 1.
На какво е равна сумата от всички цели положителни числа до и включително k + 1.
Ще бъде равна на 1 плюс 2, плюс 3, плюс всички числа до k
и плюс k + 1.
Нали така? Това е равно на сумата от всички числа до и включително k + 1.
Предполагаме, че вече знаем на какво е равно ето това.
Предполагаме, че вече имаме формула за това.
Предполагаме, че това ще се опрости до k по k плюс 1, върху 2.
Предполагаме, че това е известно.
Тогава просто ще вземем този резултат и ще го прибавим към k + 1.
Тоест, ще го прибавим към k + 1 ето тук.
Общият знаменател ще бъде равен на 2.
Следователно този сбор ще бъде равен на...

Serbian: 
Сада је оно што хоћу да урадим, да размислим о томе шта се дешава када покушам да нађем ову функцију за к+1.
То је оно што претпостављам
Претпостављам да знам то.
Сада, хајде да покушамо да урадимо то за к+1.
Дакле, колико износи сума свих целих бројева све до, и укључујући к+1?
Па, то ће бити 1 + 2 + 3 + и све тако до к,
+ (к+1).
Јел тако? Ово је сума свега до и укључујући (к+1).
Па, претпоставимо да ми већ знамо колико је ово.
Претпоставимо да већ имамо формулу за ово.
Претпостављамо да ће се ово упростити на к пута (к+1) кроз 2.
Претпостављамо да то знамо.
Дакле, само ћемо узети овај део и додати на (к+1).
Значи, додаћемо ово на (к+1) овде.
И ако нађете заједнички именилац, заједнички именилац ће бити 2.
Дакле, ово ће бити једнако...

English: 
I'll write the part in magenta first.
so this is k times k plus 1 over 2 plus 2 times k plus 1 over 2.
This thing in blue is the same thing as that thing in blue.
The 2's would cancel out, I'd just wrote it this way so I have a common denominator.
So this is going to be equal to...
We have a common denominator of 2 and I'll write this in a different colour here.
So we are going to have k times k plus 1 plus 2 times k plus 1.
Now at this step right over here you can factor out a k plus 1.
Both of these terms are divisible by k + 1.
So let's factor this out.
So if you factor out a k + 1, you get k plus 1 times
refractoring out over here, if you factor out k + 1 you'd just have a k.
Over here if you factor out k + 1 you would just have a 2.
Let me colour code those.
So you would know what I'm doing.

Arabic: 
سأكتب هذا الجزء باللون الارجواني
اذاً يساوي 2 / (k(k + 1) / 2+ 2(k + 1
هذا الشيئ المكتوب باللون الازرق يعادل هذا المكتوب باللون الازرق ايضاً
الـ 2 تحذف مع بعضهما، سأكتب بهذه الطريقة حتى يكون لدي المقام الموحد
اذاً هذا يساوي
لدينا مقام موحد هو 2 وسأكتب هذا بلون مختلف هنا
اذاً سيكون لدينا (k(k + 1) + 2(k + 1
الآن في هذه الخطوة يمكن استخراج العامل المشترك k + 1
كلا العبارتين تقسمان على k + 1
لنخرج العامل اذاً
اذا اخرجنا k + 1 كعامل مشترك، سنحصل على (k + 1) ×
نعيد استخراج العامل هنا، اذا استخرجنا العامل k + 1 سنحصل على k
اذا استخرجنا العامل k + 1 من هنا سنحصل على 2
دعوني الون هذا
تعلمون ما الذي افعله

Polish: 
(zapiszę to innym kolorem)
to równanie można zapisać jako k(k+1)/2 + 2(k+1)/2
to co napisane na niebiesko to to samo wyrażenie.
Dwójki się skrócą, chciałem tylko zapisać to nad wspólnym mianownikiem.
Więc to wszystko będzie się równać
Więc to wszystko będzie się równać
k(k*1) +2(k+1)/2
Teraz wyciągniemy przed nawias k+1
gdyż oba te wyrażenia są podzielne przez k+1
I otrzymujemy teraz
(k+1) (k+2)/2
(k+1) (k+2)/2
(k+1) (k+2)/2
(k+1) (k+2)/2
(k+1) (k+2)/2

Thai: 
ผมจะเขียนมันด้วยสีบานเย็นก่อน
นี่ก็คือ k คูณ k บวก 1 ส่วน 2 บวก 2 คูณ k บวก 1 ส่วน 2
เจ้านี่สีฟ้า จะเหมือนกับเจ้านั่นสีฟ้า
2 ก็จะตัดกัน แล้วผมก็เขียนแบบนี้จะได้มีตัวส่วนเหมือนกัน
นี่จึงเท่ากับ...
เรามีตัวส่วนร่วมกันเป็น 2 และผมจะเขียนด้วยสีอีกสีตรงนี้นะ
เราจะได้ k คูณ k บวก 1 บวก 2 คูณ k บวก 1
ทีนี้ตรงขั้นนี้ตรงนี้ คุณสามารถดึง k บวก 1 ได้
เทอมพวกนี้ทั้งคู่หารด้วย k+1 ลงตัว
ลองดึงเจ้านี่ออกมาดู
ถ้าเราแยกตัวประกอบ k+1 ออกมา, คุณจะได้ k บวก 1 คูณ
จัดตัวประกอบตรงนี้, ถ้าคุณดึง k+1 ออกมา คุณจะได้ k
ตรงนี้ ถ้าคุณแยก k+1 คุณจะได้ 2
ขอผมใช้สีแทนความหมายพวกนี้นะ
คุณจะได้รู้ว่าผมทำอะไรอยู่

Bulgarian: 
Първо ще запиша тази част в пурпурно.
Равно е на k по k плюс 1, върху 2, плюс 2 по k + 1, върху 2.
Това нещо в синьо е равно на ето това нещо в синьо.
Тези двойки ще се съкратят, но просто го записах така, за да има общ знаменател.
Следователно, сборът ще бъде равен на следното.
Имаме общ знаменател равен на 2, а това ще го запиша с различен цвят тук.
Ще се получи k по k плюс 1, плюс 2 по k + 1.
На етапа на тази стъпка може да изнесем пред скоби k + 1.
Ето тези два члена се делят на k + 1.
Нека да го изнесем.
Ако изнесем k + 1, то получаваме k + 1
по това, което остава след като разделим на k + 1. Получаваме само k.
Ето тук, ако изнесем k + 1, то получаваме само 2.
Нека да ги запиша с различни цветове,
за да е по-ясно това, което правя.

Spanish: 
Voy a escribir primero la parte en magenta,
Esto es k veces k+1 sobre 2, más 2 veces k+1 sobre 2.
Esta cosa en azul es lo mismo que eso en azul
Los 2's se cancelarían, sólo lo escribí de esta forma para tener un común denominador.
Entonces esto va a ser igual a...
Tenemos un común denominador de 2, y vamos a escribir en un color diferente acá,
Vamos a tener k veces (k+1), más 2 veces (k+1)
Ahora en este paso de acá se puede sacar un factor común (k +1)
Estos dos términos son divisibles por k+1,
entonces sacamos factor común.
Así que si se saca factor común k+1, conseguimos (k+1) veces...
si vemos lo que nos quedó al factorizar de acá, si sacamos de factor común k+1, sólo nos queda k
y acá si sacamos factor común k+1, nos queda sólo un 2.
Dejenme colorear esos
así se dan cuenta de lo que estoy haciendo.

Lithuanian: 
Šią dalį parašysiu iš pradžių raudonai.
Tad tai yra k*(k+1)2 plius 2 kart (k+1) dalinta iš 2.
Ši mėlynoji dalis yra ta pati, kaip ir ana (dvejetus galime suprastinti).
Dvejetus galima suprastinti, taip užrašiau todėl, kad dabar turime bendrą daliklį.
Tai bus lygu ...
Turime bendrą daliklį 2, visa tai užrašysiu dar kita spalva čia.
Tad turėsime k(k+1) plius 2(k+1) ir viskas padalinta iš dviejų.
Bendrą daugiklį (k+1) galima iškelti į priekį.
Bendrą daugiklį (k+1) galima iškelti į priekį.
Bendrą daugiklį (k+1) galima iškelti į priekį.
Kai iškeliame k+1, gauname (k+1)
o čia lieka k
O čia lieka 2.
Nuspalvinsiu kitomis spalvomis.
Tad turėtumėte suprasti, ką darau.

Serbian: 
Написаћу овај први део розе.
Значи, ово је к пута (к+1) кроз 2 + 2 пута (к+1) кроз 2.
Ова ствар плавом је иста као и та ствар плавом.
Двојке ће се поништити, ово сам написао овако само да бих имао исти именилац.
Значи, ово ће бити једнако...
Имамо заједнички именилац 2 и написаћу ово другом бојом овде.
Значи, имаћемо к пута (к+1) + 2 пута (к+1).
Сада, у овом кораку овде, можете да извучете (к+1).
Оба ова члана су дељива са (к+1).
Па, хајде да то извучемо.
Дакле, ако извучете (к+1), добијате (к+1) пута...
извучено одавде...ако извучете (к+1), остаје вам само к.
Овде, ако извучете (к+1), имаћете само 2.
Дајте да кодирам бојама.
Тако да би знали шта радим.

Estonian: 
Ma kirjutan selle lilla värviga.
Nii on see k korda k pluss 1 jagatud 2 pluss 2 korda k pluss 1 jagatud 2.
See asi sinises on sama asi mis see asi siin sinises.
2'd tühistaksid üksteist, ma lihtsalt kirjutasin selle niimoodi et mul oleks ühine nimetaja.
Nii et see on võrdub...
Meie ühisnimetaja on 2 ja ma kirjutan selle teise värviga siin.
Nii et meil on k korda k pluss 1 pluss 2 korda k pluss 1.
Nüüd sellel etapil siin te näete et te saate k pluss 1 sulgude ette tuua.
Mõlemaid on võimalik jagada k + 1'ga.
Toome selle sulgude ette.
nii et kui te toote k + 1 sulgude ette, siis te saate k pluss 1 korda
tuues siit sulgude ette, kui te toote sulgude ette k + 1 siis teil on lihtsalt k.
Siin kui te toote k + 1 sulgude ette siis teil on 2.
Las ma teen need värviliselt.
Nii et te teate mis ma teen.

Chinese: 
前面這部分用洋紅色
k(k+1)/2+2(k+1)/2
藍色這個就是前面藍色這個
2可以約去 這樣寫是爲了通分
這等於…
分母都是2 換個顏色
分子是k(k+1)+2(k+1)
這一步 可以提出k+1
k+1是公因式
可以提出
提出得到(k+1)(k+2)
提出後 這一項只剩下k
而後一項提出k+1後 剩下2
用顏色標下
這個2也就是這個2

Turkish: 
Bu kısmı önce morla yazacağım.
Yani bu {(kxk)+1]/2} x[(k+1)/2]
Bu mavi şey bu mavi şeyle aynı.
2'ler birbirini götürür, bunu bu şekilde yazıyorum çünkü ortak bir bölenim var.
Böylece bu şuna eşit olacaktır...
Ortak bölenimiz 2 ve bunu farklı bir renkte yazacağım.
Böylece elimizde {(kxk)+1]/2} x[(k+1)/2]
Bu adımda ise (k+1)'i sadeleştirebilirsiniz.
Her iki terim de (k+1)'e bölünebilir.
Bunu sadeleştirelim.
Bir (k+1)'i sadeleştirirseniz, burada k+1 elde edersiniz, eğer k+1'i de sadeleştirirseniz elinizde yalnızca k kalır.
.
Burada k+1'i götürürseniz elinizde yalnızca 2 kalır.
Bunları renklendirelim.
Böylece ne yaptığımı bilebilirsiniz.

Chinese: 
前面这部分用洋红色
k(k+1)/2+2(k+1)/2
蓝色这个就是前面蓝色这个
2可以约去 这样写是为了通分
这等于…
分母都是2 换个颜色
分子是k(k+1)+2(k+1)
这一步 可以提出k+1
k+1是公因式
可以提出
提出得到(k+1)(k+2)
提出后 这一项只剩下k
而后一项提出k+1后 剩下2
用颜色标下
这个2也就是这个2

Korean: 
이 식을 자홍색으로 먼저 써 보겠습니다-
K 곱하기 K+1 분의 2 더하기 2 곱하기 K+1 분의 2가 됩니다
오른쪽의 파란 부분은 왼쪽의 파란 부분과 같죠
2가 약분되면 같은 값이 되지만 
공통분모를 만들기 위해 이런 식으로 써 봤습니다
이 값은
2라는 공통분모가 있고 분자 부분은 다른 색으로 써 보겠습니다
K 곱하기 K+1 더하기 2 곱하기 K+1이군요
여기에서 K+1이라는 공통 부분을 끄집어 낼 수 있습니다
두 항 모두 K+1으로 나누어지는군요
이 부분을 빼내 보겠습니다
K+1이라는 항을 끄집어 내면
인수분해를 시켜 주면 K+1을 끄집어 냈을 때 K만 남게 됩니다
이 항에서는 K+1을 끄집어 내면 2만 남게 되는군요
색깔을 다르게 해서
제가 지금 뭘 하고 있는지 명확히 보여 드리겠습니다

Portuguese: 
Escrevei esta parte em magenta primeiro
então isto é 'k' vezes 'k' mais 1' dividido pela soma de 2 mais 2 vezes 'k+1' dividido por 2
Isto aqui em azul é o mesmo que esta coisa em azul.
Os '2' se cancelam, eu só vou escrever desta forma para que tenha uma denominador comum.
Então isto será igual a...
Nós temos um denominador comum igual a 2 e eu escreverei em uma cor diferente aqui.
Então teremos 'k' vezes 'k' mais 1 mais 2 vezes 'k+1'
Agora, neste passo, é possível fatorar 'k+1'
Ambos termos aqui são divisíveis por 'k+1'
Então vamos fatorar isto aqui.
Então se 'k+1' for fatorado, você terá "k+1" vezes
realizando a operação novamente, se 'k+1' for fatorado se terá apenas 'k'.
Bem aqui, se 'k+1' for fatorado se terá apenas 2.
Deixe-me colorir estes resultados
para que você saiba bem o que estou fazendo.

Chinese: 
而这个k就是这个k
提出k+1
整个式子还要除以2
这个还可以整理一下
得到(k+1)… 也就是这个
…乘以((k+1)+1)
我把k+2重写了下
整个除以2
写成这样 证明就完成了
当初假设是 n=k时 S(k)=k(k+1)/2

Turkish: 
Buradaki 2 aslında buradaki 2 ve buradaki k değeri de aslında buradaki k değeri.
Sadeleştirdik.
Bu sadeleştirdiğimiz (k+1)'ler buradaki k+1.
Ve bunların hepsi bölü 2 olacak.
Şimdi bunu yeniden yazabiliriz. Bu aynı şey.
Bu da şuna eşit.
Bu k+1 ile aynı şey, buradaki bu kısım.
çarpı (k+1)+1
Bu açıkça görülüyor ki k+2 ile aynı şey.
Bunların hepsi bölü 2.
Neden bu bizim ilgimizi çekiyor?
Bunu henüz kanıtladık.
Eğer bunun doğru olduğunu varsayarsak ve bu varsayımı kullanırsak k+1'e kadar olan pozitif tamsayıların (k+1)x(k+1+1)/2'ye eşit olduğunu görürüz.

Bulgarian: 
Тоест, ето тази двойка и тази двойка тук. И това k и това k ето тук.
Направихме разлагане.
Тези членове k + 1, които изнесохме са ето това k + 1 ето тук.
Всичко това ще бъде върху знаменател 2.
Сега може да го опростим. Равно е на следното.
Равно е на следното.
Ето това е същото като k + 1, т.е. ето тази част тук.
По k + 1 плюс 1.
Нали така? Това определено е равно на същото като k + 2.
Всичко това е върху 2.
Защо това е интересно за нас?
Е, ами ние току-що го доказахме.
Ако предположим, че това е изпълнено и използваме това предположение,

Chinese: 
而這個k就是這個k
提出k+1
整個式子還要除以2
這個還可以整理一下
得到(k+1)… 也就是這個
…乘以((k+1)+1)
我把k+2重寫了下
整個除以2
寫成這樣 證明就完成了
當初假設是 n=k時 S(k)=k(k+1)/2

Lithuanian: 
Šis dvejetas yra štai šis dvejetas, o šis k yra štai šis k.
Mes tai iškėlėme.
Šie k plius vienetai yra šis k+1.
Ir viską dalijame iš dviejų.
Dabar perrašykime tai, ką gavome. Tai bus tas pats reiškinys.
Tai lygu ...
Tai yra tas pats, kas ir (k+1), ši dalis yra štai čia.
kart k plius vienas plius vienas.
Teisingai? Tai aiškiai tas pats, kas ir k+2.
Ir viskas dalijama iš dviejų.
Kas čia įdomaus?
Mh, mes ką tik įrodėme tai, ką norėjome įrodyti.
Jei mes darome prielaidą, kad tai yra teisinga ir pasinaudojame šia prielaida, tai gauname,

Polish: 
(k+1) (k+2)/2
.Przedstawiliśmy to wyrażenie w postaci iloczynu dwóch czynników.
.To k+1 które mnoży drugi nawias to jest to k+1.
.I to wszystko trzeba jeszcze podzielić przez 2.
Teraz możemy to przepisać. To jest ta sama rzecz
.
Ta sama rzecz jak
(k+1)(k+1+1), co można zapisać jako
(k+1)(k+2)
i to wszystko podzielone przez 2
Czemu jest to interesujące z naszego punktu widzenia?
Ponieważ właśnie to udowodniliśmy
Jeśli założymy, że to jest prawda, to skorzystawszy z tego założenia otrzymamy, że

Estonian: 
Nii et see 2 siin on see 2 siin ja see k siin on see 2 siin.
Me tõime siin sulgude ette.
Need (k + 1)'d mis me tõime sulgude ette on see k+1 siin.
Ja see kõik on jagatud 2.
Nüüd me saame selle ümber kirjutada. See on sama asi.
See on võrdne.
See on sama asi kui k pluss 1, mis on see osa siin.
Korda k pluss 1 pluss 1.
Õigus? See on ilmselgelt sama asi mis k + 2.
Kõik see jagatud 2.
Miks see meid huvitab?
Me just tõestasime seda selle abil.
Kui me eeldame et see on tõene ja me kasutame seda eeldust siis me saame, et

English: 
So this 2 is this 2 right over there and this k is this k right over there.
We factored it out.
These k+1's we factored out is this k+1 over there.
And it's going to be all of this over 2.
Now, we can rewrite this. This is the same thing.
This is equal to.
This is the same thing as k plus 1, that's this part right over here.
Times k plus 1 plus 1.
Right? This is clearly the same thing as k + 2.
All of that over 2.
Why is this interesting to us?
Well we have just proven it.
If we assume that this is true and if we use that assumption we get

Arabic: 
اذاً هذه الـ 2 هي نفسها هذه الـ 2 الموجودة هنا وهذه الـ k هي نفسها تلك الـ k
قمنا باستخراج عاملها
هذه الـ k + 1 التي استخرجناها كعامل مشترك هي نفس هذه الـ k + 1
وكل هذا يكون مقسوماً على 2
الآن، يمكننا اعادة كتابتها. هذا يعادل
هذا يساوي
يعادل k + 1، انه هذا الجزء الموجود هنا
× k + 1 + 1
صحيح؟ وهو بكل وضوح يساوي k = 2
كل هذا مقسوماً على 2
لما يعتبر هذا مثيراً للاهتمام بالنسبة لنا؟
حسناً لقد قمنا باثباته
اذا افترضنا ان هذا صحيحاً واذا استخدمنا هذا الافتراض نحصل على

Korean: 
왼쪽에 있는 2가 오른쪽의 2이고 왼쪽의 K가 오른쪽의 K입니다
인수분해 해 준 것이지요
우리가 뽑아낸 K+1은 여기에 있는 K+1입니다
이 모든 것을 2로 나누어 주면 됩니다
다시 써 보면-
모두 같은 것이지요
이 식은
K+1-여기에 있는 부분이지요-
곱하기 K+1+1 과 같습니다
맞지요?
K+2와 같으니까요
이 모든 것을 2로 나누어 줍니다
이것이 흥미로운 이유는 무엇일까요?
방금 전에 증명해 냈군요
이것이 맞다고 가정하고 
이 가정을 이용해서

Thai: 
2 นี่ก็คือ 2 นี่ตรงนี้ และ k นี่คือ k นี่ตรงนี้
เราแยกตัวประกอบมันออกมา
k+1 พวกนี้ที่เราแยกออกมา คือ k+1 นี่ตรงนี้
และมันจะเป็นทั้งหมดนี่ ส่วน 2
ทีนี้, เราสามารถเขียนนี่ใหม่ได้ นี่ก็เหมือนกับ
นี่เท่ากับ
นี่ก็เหมือนกับ k บวก 1, นั่นคือส่วนนี่ตรงนี้
คูณ k บวก 1 บวก 1
จริงไหม? นี่แน่นอนว่าเหมือนกับ k+2
ทั้งหมดนี้ส่วน 2
ทำไมนี่ถึงน่าสนใจ?
ตรงนี้เราได้พิสูจน์แล้ว
ถ้าเราสมมุติว่านี่เป็นจริง และถ้าเราใช้ข้อมสมมุตินั้น เราได้

Spanish: 
Este 2, es este 2 de allí; y esta k ,es esta k de allí
Sacamos factor común
Estos (k++1)'s que sacamos como factor común es el (k+1) de allí
Y todo esto va a ser dividido 2.
Ahora, podemos reescribir esto. Esto es lo misma cosa,
esto es igual a,
es lo mismo que poner (k+1), es la parte de acá,
veces ((k+1) +1)
Sí? Eso es claramente lo mismo que (k+2)
Todo eso sobre 2.
¿Por qué nos interesa esto a nosotros?
Bueno, acabamos de probar lo que queríamos.
Si suponemos que esto es cierto, y usamos esa suposición, conseguimos

Serbian: 
Значи, ово 2 је ово 2 овде и ово к је ово к овде.
Извукли смо то.
Ови (к+1) који су извучени су овај (к+1) овде.
И биће све ово кроз 2.
Сада, можемо ово да препишемо.Ово је исто.
Ово је једнако.
Ово је исто што и (к+1), то је овај део овде.
Пута (к + 1) + 1
Јел тако? Ово је очигледно исто што и к+2.
Све то кроз 2.
Зашто нам је ово интересантно?
Па, управо смо то доказали.
Ако претпоставимо да је ово тачно и ако под том претпоставком добијемо

Portuguese: 
Então, este 2 é este 2 bem aqui e este 'k' é este 'k' bem aqui.
Nós fatoramos a equação.
Estes "k+1" que foram fatorados aqui estão aqui neste 'k+1'
E será tudo isto dividido por 2
Agora podemos reescrever isto, da mesma forma.
Isto é igual a
é a mesma coisa que 'k+1', o que corresponde a esta parte bem aqui
multiplicada por 'k+1' mais 1
Certo? Isto é obviamente o mesmo que 'k+2'
Tudo isto dividido por 2
Por que isto interessa para nós?
Bem, nós acabamos de provar
que se assumirmos que isto é verdadeiro podemos assumir que

Arabic: 
مجموع كل الاعداد الصحيحة الموجبة التي تصل الى k + 1 وتشمله حيث 
/ (k + 1 = k + 1(k + 1 + 1
2
وكما رأينا بالفعل بأن الصيغة الاصلية تطبق على k + 1 ايضاً
واذا اردت اخذ k + 1 وتضعها مكان n فستحصل على الناتج الذي حصلنا عليه هنا
كما رأينا، لقد اثبتنا حالة الاساس
هذه العبارة تنجح لمجموع كل الاعداد الصحيحة الموجبة التي تصل الى 1 وتشمله
وتنجح ايضاً اذا افترضنا انها تنجح لأي عدد حتى نصل الى k
او اذا افترضنا انها تنجح للعدد الصحيح k فستنجح ايضاً للعدد الصحيح k + 1
وهكذا انتهينا. هذا هو البرهان باستخدام الاستقراء
والذي يثبت لنا انه ينجح لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
لما هذا؟
لقد قمنا باثباته للـ 1 وقمنا باثبات انه اذا ينجح لبعض الاعداد الصحيحة
فسينجح للعدد الصحيح التالي
فاذا افترضنا انه ينجح للـ 1 بالتالي يمكنه ان ينجح للـ 2

Thai: 
พิสูจน์แล้วว่าผลรวมของจำนวนเต็มบวกทุกตัวไปจนถึง k+1 รวมตัวเองด้วย เท่ากับ k+1 คูณ k+1 +1 ส่วน
2
เราได้แสดงแล้วว่าสูตรเดิมใช้ได้กับ k+1 ด้วย
ถ้าคุณเอา k+1 มาแล้วแทนที่มันด้วย n คุณก็ได้ผลที่เราได้ตรงนี้
ดังนั้นเราได้แสดง, เราได้พิสูจน์กรณีพื้นฐาน
พจน์นี้ใช้ได้สำหรับผลบวกจำนวนเต็มบวกทุกตัวไปจนถึง 1 รวมตัวเองด้วย
และมันยังใช้ได้อีก ถ้าเราสมมุติว่ามันใช้ได้สำหรับทุกอย่างไปจนถึง k ก่อน
หรือ ถ้าเราสมมุติว่ามันใช้ได้สำหรับจำนวนเต็ม k มันจะใช้ได้สำหรับจำนวนเต็ม k บวก 1 ด้วย
แล้วเราก็เสร็จแล้ว นั่นคือการพิสูจน์โดยอุปนัย
นั่นพิสูจน์แล้วว่า มันใช้ได้สำหรับจำนวนเต็มบวกทุกตัว
ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?
เราะได้พิสูจน์ว่ามันเป็นจริงสำหรับ 1 และเราได้พิสูจน์ไปแล้วว่า ถ้ามันเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มค่าหนึ่ง
มันจะเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มตัวต่อไปด้วย
ดังนั้นถ้าคุณถือว่ามันใช้ได้สำหรับ 1 มันก็จะใช้ได้สำหรับ 2 ด้วย

English: 
that the sum of all positive integers up to and including k + 1 is equal to k + 1 times k + 1 + 1 over
2.
We are actually showing that the original formula applies to k+1 as well.
If you would take k + 1 and put it in for n you got exactly the result that we got over here.
So we showed , we proved our base case.
This expression worked for the sum for all of positive integers up to and including 1.
And it also works if we assume that it works for everything up to k.
Or if we assume it works for integer k it also works for the integer k plus 1.
And we are done. That is our proof by induction.
That proves to us that it works for all positive integers.
Why is that?
We have proven it for 1 and we have proven it that if it works for some integer
it will work for the next integer.
So if you assume it worked for 1 then it can work for 2.

Chinese: 
代入到小于等于n+1的求和式子 得
S(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2
这里证明了S(k+1)也满足这个公式
将k+1替换n
结果和这个完全一样
证毕 基本情况得证
要证的表达式 在n=1时成立
然后证明了 n=k假设成立时 n=k+1的情况也成立
然后证明了 n=k假设成立时 n=k+1的情况也成立
这样 数学归纳法就完成了
证明了所有正整数都满足这个式子
为什么呢
因为n=1的情况得证
而且我们证明了 若n=k成立 n=k+1也成立
所以n=1成立 必然有n=2也成立

Lithuanian: 
jog visų sveikų skaičių suma, įskaitant ir k+1, lygi k+1 kart k+1+1, viskas padalinta pusiau.
jog visų sveikų skaičių suma, įskaitant ir k+1, lygi k+1 kart k+1+1, viskas padalinta pusiau.
Išties parodėme, jog pradinė formulė tinka ir vienetu didesniam už k skaičiui k+1
Jei k+1 įrašysite vietoje n, gausite lygiai tokį pat rezultatą, kaip ką tik gavome.
taigi mes iš pradžių parodėme, kad formulė teisinga vienetui.
Ši išraiška buvo teisinga visų teigiamų skaičių, įskaitant ir vienetą, sumai.
Ir ji teisinga, jei darome prielaidą, kad ji teisinga visiems skaičiams iki k.
Arba, kitaip sakant, jei ji teisinga visiems k, jie teisinga visiems sveikiems skaičiams (k+1).
Darbas atliktas. Tai ir yra įrodimas naudojant indukciją.
Tai mums įrodo, jog formulė galioja visiems teigiamiems sveikiems skaičiams.
Kodėl?
Įrodėme vienetui ir įrodėme, kad jei tai teisinga tam tikram sveikam skaičiui, bus teisinga ir vienetu didesniam skaičiui.
Įrodėme vienetui ir įrodėme, kad jei tai teisinga tam tikram sveikam skaičiui, bus teisinga ir vienetu didesniam skaičiui.
Tad jei tinka 1, tai tiks ir dviem.

Chinese: 
代入到少於等於n+1的求和式子 得
S(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2
這裡證明了S(k+1)也滿足這個公式
將k+1替換n
結果和這個完全一樣
證畢 基本情況得證
要證的表達式 在n=1時成立
然後證明了 n=k假設成立時 n=k+1的情況也成立
然後證明了 n=k假設成立時 n=k+1的情況也成立
這樣 數學歸納法就完成了
證明了所有正整數都滿足這個式子
爲什麽呢
因爲n=1的情況得證
而且我們證明了 若n=k成立 n=k+1也成立
所以n=1成立 必然有n=2也成立

Korean: 
K+1까지의 모든 양의 정수의 합은 
K+1 곱하기 K+1+1 나누기 2임을
증명했습니다
원래의 식이 K+1에도 적용된다는 것을 보인 셈이지요
K+1을 n의 자리에 대입해 보면 
방금 전에 얻었던 것과 같은 결과를 얻게 됩니다
즉, 우리는 첫 번째 항을 증명했습니다
이 식은 1까지의 모든 양의 정수의 합을 만족했습니다
또 K까지의 모든 양의 정수의 합도 이 식을 만족한다고 가정했을 때
혹은 양의 정수 K에 대해 성립한다고 가정했을 때 
양의 정수 K+1에 대해서도 성립함을 증명했습니다
이것으로 끝입니다
이것이 귀납적 추론을 이용한 증명 방법입니다
위의 두 증명은 모든 양의 정수에 대해 성립함을 증명한 것입니다
왜 그럴까요?
1에 대해 성립함을 증명하였고 
임의의 양의 정수에 대해 성립한다고 가정했을 때
그 다음 양의 정수에 대해 성립한다는 것을 증명했기 때문입니다
즉 1에 대해서 성립한다고 가정했을 때 2도 성립할 수 있습니다

Turkish: 
.
.
Burada aslında orijinal formülümüzün k+1 için de geçerli olduğunu gösteriyoruz.
Eğer (k+1)'i alırsanız ve yerine n değerini koyarsanız burada aldığımız sonucun aynısını alırsınız.
Temel durumumuzu kanıtlamış olduk.
Bu ifade 1 de dahil olmak üzere tüm pozitif sayılar için işe yaradı.
K değerine kadar olan her şey için işe yaradığını varsaydığımızda da işe yarıyor.
Veya tamsayı k için işe yaradığını varsayarsak k+1 için de işe yarıyor.
Ve artık tamamız. Tümevarımla matematiksel kanıt buydu.
Bu bize bunun tüm pozitif tamsayılar için işe yarayacağını gösteriyor.
Peki neden?
Bunu 1 için kanıtladık ve herhangi bir tamsayı için işe yarıyorsa bir sonraki için de işe yarayacağını kanıtladık.
.
Yani 1 için işe yaradığını varsayarsanız 2 için de yarayacaktır.

Polish: 
suma każdej dodatniej liczby całkowitej aż do k+1 jest równa (k+1)*(k+1+1)/2
(k+1)*(k+1+1)/2
To pokazuje, że oryginalny wzór S(n) ma zastosowanie dla k+1
Jeśli podstawiłbyś k+1 za n otrzymałbyś dokładnie ten sam rezultat jak powyżej.
Udowodniliśmy nasz przypadek bazowy
To wyrażenie działało dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich do 1 włączając tę cyfrę
ale także działa, jeśli założymy, że spełnia się ta zależność dla wszystkich liczb całkowitych do k razem z k.
A jeśli założymy, że to jest prawda dla całkowitej liczby k, jest to też prawda dla liczby o 1 większej
To właśnie jest nazywane dowodem indukcyjnym.
To ukazuje nam, że wyrażenie jest spełnione dla każdej dodatniej liczby całkowitej.
Dlaczego tak się dzieje?
Skoro udowodniliśmy dla 1, to wykazaliśmy także, że to jest prawda dla pewnej liczby całkowitej różnej od 1,
i, że będzie ten wzór spełniony dla następnej liczby.
Więc, jeśli założyliśmy, że to działa dla 1, to może to działać dla 2.

Spanish: 
que la suma de todos los enteros positivos hasta (k+1), incluyéndolo, es igual a (k+1) veces ((k+1)+1),
sobre 2.
De hecho estamos msotrando que la fórmula original funciona también para (k+1)
Si tomamos (k+1) y lo ponemos en el lugar de n, conseguimos exactamente el mismo resultado que logramos por acá.
Entonces: mostramos, probamos nuestro caso base,
esta expresión funcionó para la suma de todos los enteros positivos hasta 1, incluyéndolo.
Y también funciona si asumimos que funciona para todo número hasta k.
Y si asumimos que funciona para el entero k, entonces también funciona para el entero (k+1)
Y terminamos. Esa es nuestra prueba por inducción.
Eso nos prueba que funciona para todos los enteros positivos.
¿Por qué?
Lo hemos probado para 1, y hemos probado que si funciona para algún entero
entonces va a funcionar para el siguiente entero.
De esta forma, si asumimos que funciona para 1, entonces va a funcionar para 2

Estonian: 
kõikide positiivsete täisarvude summa kuni ja kaasaarvatud k + 1 on võrdne k + 1 korda k + 1 + 1 jagatud
2.
Me tegelikult näitame et originaalne valem kehtib ka k + 1 korral.
Kui te võtaks k + 1 ja paneksite selle n asemele, siis te saaksite täpselt sama tulemuse mis me saime siin.
Nii et me näitasime, me tõestasime oma baasjuhtumi.
See väljendusviis töötas kõikide positiivsete täisarvude korral kuni ja kaasaarvatud 1.
Ja see ka töötab kui me oletame et see töötab kõigega mis on kuni k.
Või kui me eeldame et see töötab täisarvu k korral siis se ka töötab täisarvu k + 1 korral.
Me saime valmis. see ongi meie tõestus induktsiooni abil.
See tõestab meile et see töötab kõigi positiivsete täisarvude korral.
Miks see nii on?
Me tõestasime selle 1 korral ja me tõestasime et kui see töötab mingi täisarvu korral
siis see ka töötab järgmise täisarvu korral.
Nii et kui me eeldame et see töötas 1 korral, siis see töötab ka 2 korral.

Serbian: 
да је сума свих позитивних целих бројева све до и укључујући (к+1) једнака к+1 пута к+1+1 кроз
2.
Ми заправо показујемо да је почетна формула применљива и на к+1.
Ако би уместо (к+1) ставили n, добијате потпуно исти резултат који смо добили овде.
Дакле, показали смо, доказали смо наш основни случај.
Овај израз је важио за суму свих позитивних целих бројева све до, и укључујући 1.
И такође важи, ако претпоставимо да важи за све до к.
Или, ако претпоставимо да важи за цео број 1, онда такође важи за цео број к+1.
И завршили смо. То је наш доказ индукцијом.
То нам је доказ да ово важи за све позитивне целе бројеве.
Зашто је тако?
Доказали смо за 1 и доказали смо да ако важи за неки цео број,
важиће и за следећи цео број.
Дакле, ако сте претпоставили да важи за 1, онда може да важи за 2.

Portuguese: 
a soma de todos os números inteiros positivos até e incluindo 'k+1' é igual a 'k+1' vezes 'k+1'+1
dividido por 2
Nós estamos definitivamente provando que a fórmula original também se aplica a 'k+1'
Se 'k+1' for colocado no lugar de 'n' será obtido exatamente o mesmo resultado.
Assim, demonstramos, provamos nossa proposição inicial.
Esta expressão funcionou para a soma de todos os números inteiros positivos até e incluindo 1
E também funciona se assumirmos qualquer valor até 'k'
ou se assumirmos que funciona para um número inteiro 'k' podemos afirmar que funciona para qualquer número inteiro 'k+1'
E, acabamos, Esta é nossa demonstração por indução.
Isto prova que a expressão funciona para qualquer número inteiro positivo.
Por que isto?
Porque provamos que a expressão funciona para 1 e que se funciona para qualquer número inteiro 'k'
então funcionará para qualquer número inteiro subsequente a 'k'.
Então, se assumir que funciona para 1 então funcionará para 2

Bulgarian: 
то получаваме, че сумата от всички цели положителни числа до и включително k + 1 е равна на k + 1 по k + 1 плюс 1,
върху 2.
Действително, показваме първоначалната формула, но приложена за числото k + 1.
Ако вземем k + 1 и го заместим на мястото на n, то ще получим точно резултата, който получихме ето тук.
И така, доказахме нашия основен случай.
Това равенство е изпълнено за всички цели положителни числа до и включително числото 1.
Също по предположение е изпълнено и за всички числа до и включително числото k.
Ако предположим, че е изпълнено за цялото число k, то също така е изпълнено и за цялото число k + 1.
И сме готови. Това представлява доказателство чрез математическа индукция.
Това доказва, че равенството е изпълнено за всички цели положителни числа.
Защо това е вярно?
Доказахме, че е изпълнено за числото 1 и доказахме, че ако е изпълнено за произволно цяло число,
то ще бъде изпълнено и за следващото цяло число.
Тоест, ако предположим, че е вярно за числото 1, то може да е вярно и за числото 2.

English: 
Well we have already proven that it works for 1 so we can assume it works for 1.
So it definitely will work for 2.
So we get 2 checked.
But since we can assume it works for 2 we can now assume it works for 3.
Well if it works for 3 well then we have proven it works for 4.
You see how this induction step is kinda like a domino,

Chinese: 
n=1已經證明了是成立的
顯然n=2也能證明是成立的
由於n=2成立 顯然n=3也成立
n=3成立 n=4也成立
數學歸納法就像多米諾骨牌一樣
環環相扣直到n=任意正整數都成立

Chinese: 
n=1已经证明了是成立的
显然n=2也能证明是成立的
由于n=2成立 显然n=3也成立
n=3成立 n=4也成立
数学归纳法就像多米诺骨牌一样
环环相扣直到n=任意正整数都成立

Thai: 
ทีนี้เราได้พิสูจน์แล้วว่ามันเป็นจริงสำหรับ 1 เราเลยบอกว่ามันใชได้สำหรับ 1
มันจึงใช้ได้สำหรับ 2 ด้วย
เราเลยบอกว่า 2 ผ่านแล้ว
แต่เนื่องจากเราบอกว่ามันเป็นจริงสำหรับ 2 เราก็บอกว่ามันใช้ได้สำหรับ 3
แล้วถ้ามันเป็นจริงสำหรับ 3 เราก็พิสูจน์ได้ว่ามันเป้นจริงสำหรับ 4
คุณจะเห็นได้ว่าขั้นอุปนัยนี่ก็เหมือนกับโดมิโน

Arabic: 
حسناً قد قمنا بالفعل باثبات نجاحه للـ 1 اذاً يمكننا ان نفترض انه ينجح للـ 1
اذاً بلا شك سينجح عند استخدام الـ 2
اذاً لقد تحققنا من الـ 2
لكن بما انه يمكننا افتراض انه ينجح للـ 2 فبالتالي يمكننا ان نفترض انه ينجح للـ 3
حسناً اذا كان ينجح للـ 4 فنكون قد اثبتنا انه ينجح للـ 4
وكما ترى فإن خطوة الاستقراء كأحجار الدومينو

Estonian: 
Me juba tõestasime et see töötab 1 korral nii et me saame seda eeldada, et see 1 korral töötab.
Nii et see kindlasti töötab 2 korral.
Nii et me saame 2 ära märkida.
Aga kuna me saame eeldada et see töötab 2 korral siis me nüüd saame eeldada et see töötab 3 korral.
Kui see töötab 3 korral siis me oleme tõestanud et see töötab 4 korral.
Te näete kuidas see induktsiooni samm on nagu doomino,

Spanish: 
Pero ya probamos que funciona para 1, entonces podemos asumir seguros que funciona para 1,
entonces definitivamente va a funcionar para 2.
Entonces logramos saber que funciona para 2,
Pero como podemos saber que funciona para 2, ahora podemos saber que funciona para 3.
Y bueno, si funciona para 3, entonces hemos probado que también funciona para 4.
Verás, el paso de inducción es como un dominó

Bulgarian: 
Вече доказахме, че е вярно за числото 1, т.е. може да предположим, че е вярно за числото 1.
Следователно, определено е вярно и за числото 2.
Отбелязваме и числото 2.
След като може обаче да предположим, че е изпълнено за 2, то сега може да предположим, че е изпълнено за 3.
Е, ако е изпълнено за 3, то сега сме доказали, че е изпълнено и за 4.
Сега вече виждаме, че тази стъпка с математическата индукция действа като домино,
т.е. предава се на всяко следващо число и може да продължаваме така до безкрайност. Следователно е изпълнено за всички цели положителни числа.

Portuguese: 
Bem, já provamos que a expressão funciona para 1 então podemos assumir a sua validade para 1,
e definitivamente funcionará para 2,
então temos provada a validade para 2.
Mas, desde que se assuma que a expressão funciona para 2 agora podemos assumir que funciona para 3
e se funcionar para 3 então, para 4
É possível que se perceba como esta indução se assemelha a um dominó

Korean: 
이미 1에 대해서 성립한다는 것을 증명했으니 
1에 대해 성립한다고 가정할 수 있습니다
그러므로 당연히 2에 대해서도 성립할 것입니다
2는 확인되었군요
2에 대해 성립한다고 가정할 수 있기 때문에 
3에 대해서도 성립한다고 가정할 수 있습니다
3에 대해서 성립한다면 4에 대해서도 성립함을 증명한 것입니다
이 귀납적 추론 과정이 도미노처럼 작용한다는 것을 볼 수 있습니다

Turkish: 
1 için işe yaradığını çoktan kanıtladık yani 1 için bunu varsyabiliriz.
Yani 2 için kesinlikle işe yarayacaktır.
Böylelikle 2'yi kontrol etmiş olduk.
2 için işe yaradığını varsaydığımızdan ötürü şimdi 3 için de yaradığını varsayabiliriz.
Eğer ki 3 için yarıyorsa 4 için de yaradığını kanıtlamışız demektir.
Bu tümevarım basamağının dominoya ne kadar benzediğini görebilirsiniz.

Polish: 
co udowodniliśmy
więc będzie to równanie definitywnie spełnione dla 2,
które sprawdziliśmy
i tak dalej, dla k =3
k+ 1 = 4 i dalej jest spełnione to wyrażenie.
Jak można zauważyć, dowodzenie poprzez indukcję przypomina nieco domino

Lithuanian: 
Mes ką tik parodėme, kad formulė galioja 1, tad galime laikyti, kad vienam ji teisinga.
Todėl ji garantuotai bus teisinga ir dviems.
Mes patikriname dviems.
Tačiau jei mes galime daryti prielaidą, jog formulė teisinga 2, galime taip pat daryti prielaidą, kad galioja ir 3.
Jei tai galioja 3, tai mes parodėme, kad ji galioja ir keturiems.
Matote, kad indukcijos žingsniai yra tarsi sustatytų domino griūtis

Serbian: 
Па, већ смо доказали да важи за 1, тако да можемо да претпоставимо да важи за 1.
Тако да ће дефинитивно важити за 2.
Па 2 означимо.
Али, пошто смо претпоставили да важи за 2, можемо сада да претпоставимо да важи за 3.
Па, ако важи за 3, па онда смо доказали да важи и за 4.
Видите како су ови индукциони кораци некако као домине,
они се надовезују и можемо да идемо тако у недоглед, значи то важи за све позитивне целе бројеве.

Korean: 
이 과정이 계속 무한대로 갈 수 있기 때문에 
모든 양의 정수에 대해 성립한다는 것입니다

Spanish: 
donde las fichas se tiran entre sí, y podemos seguir por siempre, de manera que funciona para todos los enteros positivos.

Turkish: 
Bu böylece sonsuza kadar devam ediyor ve tüm pozitif tamsayılar için geçerli olmuş oluyor.

Portuguese: 
em uma reação em cascata, e podemos continuar infinitamente para qualquer número inteiro positivo.

Estonian: 
see langeb järgmiste peale ja me saame igavesti edasi liikuda nii et see töötab kõikide positiivsete täisarvude korral.

Lithuanian: 
ir tai tęsiasi ir tęsiasi be galo visiems teigiamiems sveikiems skaičiams.

English: 
it cascades and we can go on and on forever so it works for all positive integers.

Thai: 
มันล้มต่อกันไป แล้วเราก็ไปเรื่อยๆ ตลอดไป มันจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน

Polish: 
Jak można zauważyć, dowodzenie poprzez indukcję przypomina nieco domino

Arabic: 
انها تتوالى ويمكننا الاستمرار بها لجميع الاعداد الصحيحة الموجبة
