
Thai: 
ในวิดีโอที่แล้ว เราได้แสดง หรือ
เราได้พิสูจน์ด้วยตัวเองว่า
อนุพันธ์ของอินเวอร์สไซน์ของ x
เท่ากับ 1 ส่วนรากที่สอง
ของ 1 ลบ x กำลังสอง
สิ่งที่ผมแนะนำให้คุณทำในวิดีโอนี้
คือหยุดวิดีโอแล้วลองทำการ
พิสูจน์สำหรับอนุพันธ์
ของอินเวอร์สโคไซน์ของ x
เป้าหมายของเราตรงนี้คือหา --
ผมต้องการอนุพันธ์เทียบกับ
x ของอินเวอร์สโคไซน์
อินเวอร์สโคไซน์ของ x
อันนี้จะเท่ากับอะไร?
ถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
ลองทำกันดีกว่า
เหมือนครั้งที่แล้ว เราเขียนได้ว่า
สมมุติว่า y เท่ากับตัวนี้
y เท่ากับอินเวอร์สโคไซน์ของ x
ซึ่งหมายความว่า เหมือนกับบอกว่า
x เท่ากับโคไซน์
โคไซน์ของ y
ผมอยากหาอนุพันธ์ของ
ทั้งสองข้างเทียบกับ x
ทางซ้ายมือ คุณจะได้ 1

Czech: 
V předchozím videu
jsme si ukázali,
nebo můžeme říci,
že jsme dokázali,
že derivace inverzního sinu v bodě x je 1
lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou).
Nyní vám doporučuji,
abyste si zastavili video
a zkusili udělat stejný typ důkazu pro
derivaci inverzního kosinu v bodě x.
Naším cílem je tedy spočítat derivaci
podle x z inverzního kosinu v bodě x.
Čemu se to
bude rovnat?
Předpokládám, že jste si to už zkusili,
teď to pojďme vyřešit spolu.
Tak jako minule položme
y rovno tomuto výrazu,
tedy y se rovná
inverzní kosinus v bodě x.
Tohle je totéž jako říct,
že x se rovná cos(y).
Nyní zderivujme
obě strany podle x.

English: 
Voiceover: In the last video, we showed or
we proved to ourselves that the
derivative of the inverse sine of x
is equal to 1 over the square root
of 1 minus x squared.
What I encourage you to do in this video
is to pause it and try to do the same
type of proof for the derivative
of the inverse cosine of x.
So, our goal here is to figure out ...
I want the derivative with respect
to x of the inverse cosine,
inverse cosine of x.
What is this going to be equal to?
So, assuming you've had a go at it,
let's work through it.
So, just like last time, we could write,
let's just set y being equal to this.
y is equal the inverse cosine of x,
which means the same thing is saying
that x is equal to the cosine,
cosine of y.
I'll just take the derivative of
both sides with respect to x.
On the left hand side, you're
just going to have a 1.

Bulgarian: 
В предния урок показахме,
или доказахме на себе си,
че производната на обратната
 функция на синус от х,
е равна на 1 върху квадратен корен
от 1 минус х на квадрат.
Това, което те насърчавам
 да направиш в настоящия урок,
е да спреш видеото 
и да се опиташ да направиш
същия вид доказателство
за обратната функция на косинус от х.
Тоест, нашата цел тук е да намерим...
Търся производната спрямо х
на обратната функция на косинус от х.
Обратна функция на косинус от х 
(косинус от х на степен минус 1).
На какво ще бъде равна производната?
Добре, предполагам, че вече опита
да решиш задачата.
Нека да видим заедно решението.
Точно както и предишния път, 
можем да запишем...
нека да изберем у да е равно 
на този израз,
т.е. у равно на косинус от х 
на степен минус 1.
Означава същото като да заявим,
че х е равно на
косинус от у.
Просто търся производната
на двете страни на уравнението 
спрямо х.
От лявата страна
просто ще се получи 1.

Korean: 
저번 영상에서
우리는
sin의 역함수 x 의 도함수가
1/√(1－x²) 임을 증명했습니다
1/√(1－x²) 임을 증명했습니다
여러분 지금 이 영상을
잠깐 멈추고 cos 역함수 x
의 도함수를
구해보세요
우리의 목표는
cos 역함수 x의
x에 대한 도함수를 구하는 것입니다
x에 대한 도함수를 구하는 것입니다
무엇과 같을까요?
여러분들이 시도했다고 생각을 하고
시작하겠습니다
지난번 처럼 해보면
y를 이렇게 설정합시다
y는 cos 역함수 x입니다
따라서 이 말은
x＝cos y 라고 하는 것과 같습니다
x＝cos y 라고 하는 것과 같습니다
양변을 x에 대해서
미분해보겠습니다
좌변은 1이 됩니다

Portuguese: 
No último vídeo, nós mostrados,
ou nós provamos que a derivada
do inverso de sen(x) é igual a um sobre
raiz quadrada de um menos x ao quadrado.
O que eu recomendo é que
você pare o vídeo agora e tente
fazer o mesmo tipo de prova para
a derivada do inverso de cos(x).
Nosso objetivo aqui é
calcular a derivada
com relação a x do inverso de cos(x).
Isso vai ser igual ao quê?
Assumindo que você tentou resolver,
vamos trabalhar com isso.
Como da última vez, nós podemos
escrever, vamos definir y igual a isso.
y é igual ao inverso de cos(x).
Que significa a mesma coisa do que
dizer que x é igual ao cosseno, cos(y).
Agora vamos derivar os dois
lados com relação a x.
No lado esquerdo, você vai
simplesmente ter 1.

Korean: 
그냥 1입니다
우변을 보면
cos y 를 y 에 대해
미분한 결과
즉 －sin y와
dy/dx를 곱한 것이 됩니다
dy/dx를 곱한 것이 됩니다
양변을
－sin y 로 나눠보면 dy/dx 는
1/(－sin y) 입니다
이것은 꽤 만족스러운 결과이지만
도함수에 y가 있습니다
우리는 x로 나타내고 싶습니다
x＝cos y 임을 알고 있으므로
이 아래에 있는 식을
sin y 대신
cos y 로 나타낼 수 있는지 봐야 합니다
지난 영상에서 사용한
삼각함수 공식인
cos² y＋sin² y＝1 을
이용해야 합니다
cos² y＋sin² y＝1 을
이용해야 합니다
그러므로 sin y 는

English: 
We're just going to have a 1.
And on the right hand side,
you're going to have the derivative of
cosine y with respect to y, which
is negative sine of y times the
derivative of y with respect to x,
which is dy, dx, and so we get ...
Let's see if we divide both sides by
negative sine of y, we
get dy, dx is equal to
negative 1 over sine of y.
Now, like we've seen
before, this is kind of
satisfying, but we have our
derivative in terms of y.
We want it in terms of x.
And we know that x is cosine of y, so
let's see if we can rewrite this
bottom expression in terms of
cosine of y instead of sine y.
Well, we know when we saw in the
last video from the pythagorean identity
that cosine squared of y plus
sine squared of y is equal to 1.
We know that sine of y is equal to the

Thai: 
เราจะได้ 1
และทางขวามือ
คุณจะได้อนุพันธ์ของ
โคไซน์ y เทียบกับ y ซึ่ง
ก็คือลบไซน์ของ y คูณ
อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
ซึ่งก็คือ dy/dx แล้วเราได้ --
ลองดูว่าเราหารทั้งสองข้างด้วย
ลบไซน์ของ y ได้ไหม เราได้ dy/dx เท่ากับ
ลบ 1 ส่วนไซน์ของ y
ทีนี้ อย่างที่เราเห็นมาก่อน นี่ก็ดู
ใช้ได้ แต่เรามีอนุพันธ์ในรูปของ y
เราอยากได้ในรูปของ x
และเรารู้ว่า x เท่ากับโคไซน์ของ y
ลองดูว่าเราเขียนพจน์ข้างล่างนี้
ใหม่ในรูปของ
โคไซน์ของ y แทนที่จะเป็นไซน์ y ได้ไหม
เรารู้ว่า เวลาเราเห็น
ในวิดีโอก่อน จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ว่า โคไซน์กำลังสองของ y บวก
ไซน์กำลังสองของ y เท่ากับ 1
เรารู้ว่าไซน์ของ y เท่ากับ

Portuguese: 
Vamos ter somente um 1.
E do lado direito, você vai ter
a derivada de cos(y)
com relação a y,
que é menos sen(y) vezes
a derivada de y com relação a x, que é dy/dx.
Então se nós, vamos ver, se nós
dividirmos os dois lados por
menos sin(y) nós temos dy/dx,
é igual a menos um sobre sen(y).
Agora, da mesma forma que vimos
antes isso é mais ou menos satisfatório.
Mas nós temos nossa derivada em termos de y.
Nós queremos em termos de x.
e sabemos que x é cos(y).
Então vamos ver se conseguimos
reescrever esta última expressão
em termos de cos(y) em vez de sen(y).
Bom, nós vimos no vídeo anterior,
pelo Teorema de Pitágoras,
que cosseno ao quadrado de y mais 
seno ao quadrado de y é igual a um,
nós sabemos que sen(y) é igual à
raiz quadrada de um menos
cosseno ao quadrado de y.

Czech: 
Na levé straně nám
vyjde pouze 1.
Na pravé straně to bude derivace
cos(y) podle y, což je minus sin(y),
krát derivace y podle x,
což je dy lomeno dx.
Dostaneme...
Když obě strany
vydělíme minus sin(y),
dostaneme, že dy lomeno dx
je rovno -1 lomeno sin(y).
Jak už jsme viděli dříve, tohle je
sice docela uspokojivý výsledek,
ale derivaci máme
vyjádřenou pomocí y,
přičemž my ji
chceme vyjádřit pomocí x.
Víme, že x je cos(y).
Zkusme tedy tento
výraz dole přepsat tak,
aby obsahoval cos(y)
namísto sin(y).
Už v minulém
videu jsme viděli,
že můžeme použít
goniometrickou jedničku,
tedy to, že kosinus na druhou v bodě y
plus sinus na druhou v bodě y se rovná 1.
Z toho získáme, že sin(y) je odmocnina z
(1 minus kosinus na druhou v bodě y).

Bulgarian: 
Просто ще се получи 1.
А от дясната страна
ще се получи производната
на косинус от у спрямо у. Записваме
минус синус от у умножено
по производната на у спрямо х,
която е равна на dy/dx, така че получаваме...
Нека да видя...дали може да разделим
 двете страни на уравнението
на минус синус от у. Ще се получи, 
че dy/dx е равно
на минус 1 върху синус от у.
Както видяхме и преди, това
донякъде е добър резултат, но 
производната е изразена чрез у.
Искаме да е е изразена чрез х.
Знаем, че х е равно 
на косинус от у,
така че нека да проверим
дали може да запишем
този израз най-долу чрез
косинус у вместо синус  от у.
Както видяхме в предния урок, 
от основното тригонометрично тъждеството,
косинус на квадрат от у плюс
синус на квадрат от у, равно на 1.
Знаем, че синус от у е равно

English: 
square root of 1 minus
cosine squared of y.
So, this is equal to negative 1.
This is just a manipulation of the
pythagorean trig identity.
This is equal to 1 minus cosine.
I can write like this,
cosine squared of y,
but I'll write it like this
because it'll make it
a little bit clearer.
And what is cosine of y?
Well, of course that is x, so this is
equal to negative 1 over
the square root of 1 minus.
Instead of writing cosine y ...
Instead of writing cosine y ...
I'm trying to switch colors.
Instead of writing cosine y,
we could write 1 minus x,
1 minus x squared, so there you have it.
The derivative with respect to x of the
inverse cosine of x is ...
I think I lost that color,
I'll do it in magenta ... is equal to

Czech: 
Toto se tedy
rovná −1...
Jen jsme upravili vzoreček
známý jako goniometrická jednička.
...tady bude
1 minus kosinus...
Mohl bych to zapsat jako
kosinus na druhou v bodě y,
ale zapíšu to takto, protože
to pak bude o něco jasnější.
A co je cos(y)?
To je samozřejmě x.
Toto se tedy rovná −1 lomeno
odmocnina z (1 minus...
Namísto cos(y)...
Snažím se
změnit barvy.
...namísto cos(y) můžeme
napsat 1 minus x na druhou.
A je to.
Derivace podle x z
inverzního kosinu v bodě x je...
Myslím, že jsem
tu barvu ztratil.
Udělám to
růžovou.

Korean: 
√(1－cos²y) 와 같습니다
이처럼
삼각함수 제곱 공식을
응용하면 됩니다
－1/√(1－cos²y) 와 같다고 할 수 있습니다
－1/√(1－cos²y) 와 같다고 할 수 있습니다
헷갈리지 않게 하기 위해서
이렇게 적겠습니다
cos y가 뭐였죠?
x 이기 때문에 이 식은
－1/√(1－cos²y) 에서
cos y 대신에
cos y 대신에
색을 바꿔서 적겠습니다
cos y 대신에
－1/√(1－x²) 이라고 할 수 있습니다
이제 다 되었습니다
cos 역함수 x의 도함수는
cos 역함수 x의 도함수는
마젠타 색으로 적으면

Bulgarian: 
на квадратен корен от 1 
минус косинус на квадрат от у.
Следователно това е равно на минус 1...
Това е просто преобразуване
на основното тригонометрично тъждество.
Тук ще запишем 1 минус косинус...
Мога да го запиша по следния начин:
косинус на квадрат от у.
Но ще го запиша ето така, защото
ще стане малко по-ясно.
А на какво е равно косинус от у?
Това, разбира се, е равно на х. 
Следователно
това е равно на минус 1 върху
 квадратен корен от 1 минус...
Вместо да запишем косинус от у...
Вместо да запишем косинус от у...
Опитваме се да сменя цветовете.
Вместо да запишем косинус от у,
може да запишем 1 минус х.
Или 1 минус х на квадрат. 
Ето, че я решихме.
Производната спрямо х на
обратната функция на косинус от х 
е...О, мисля, че изгубих този цвят!
Ще го направя в пурпурен цвят...
Това е равно на

Portuguese: 
Então isso é igual a menos um, isso
é apenas uma manipulação da identidade 
trigonométrica de Pitágoras.
Isso é igual a um menos cosseno.
Eu posso escrever assim, cosseno
ao quadrado de y, mas eu
vou escrever assim porque vai
deixar tudo um pouco mais claro.
E o que é cos(y)?
É claro que é x.
Então isso é igual a menos um, sobre
raiz quadrada de um menos,
ao invés de escrever cos(y),
estou tentando mudar de cor,
ao invés de escrever
cos(y), nós podemos escrever um menos x,
um menos x ao quadrado.
Então, você tem isso.
A derivada com relação a
x do inverso de cos(x) é,
é, eu acho que eu perdi aquela cor.
Vou fazer em magenta.

Thai: 
รากที่สองของ 1 ลบโคไซน์กำลังสองของ y
อันนี้เท่ากับลบ 1
นี่ก็แค่การจัดการเอกลักษณ์
ตรีโกณฯ พีทาโกรัส
อันนี้เท่ากับ 1 ลบโคไซน์
ผมเขียนแบบนี้ได้ โคไซน์กำลังสองของ y
แต่ผมจะเขียนมันแแบบนี้
เพราะมันทำให้ชัดเจนขึ้นหน่อย
แล้วโคไซน์ของ y คืออะไร?
แน่นอน นั่นคือ x นี่ก็
เท่ากับลบ 1 ส่วนรากที่สองของ 1 ลบ
แทนที่จะเขียนโคไซน์ y --
แทนที่จะเขียนโคไซน์ y --
ผมพยายามเปลี่ยนสี
แทนที่จะเขียนโคไซน์ y
เราเขียน 1 ลบ x
1 ลบ x กำลังสองได้ เราก็ได้แล้ว
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ
อินเวอร์สโคไซน์ของ x เท่ากับ --
ผมว่าผมทำสีนั้นหายแล้ว
ผมจะใช้สีบานเย็น -- เท่ากับ

Czech: 
...se rovná −1 lomeno odmocnina z
(1 minus x na druhou).
Tohle se
hodí vědět.
Můžeme to porovnat
s derivací inverzního sinu.
Dám to
vedle sebe.
Vidíme, že jediný
rozdíl je ve znaménku.
Jen to zkopíruji
a vložím sem dolů.
Když už to máme vedle sebe,
pojďme to porovnat.
Vidíme, že když máme
derivaci podle x z inverzního kosinu,
tak to je −1 lomeno odmocnina z
(1 minus x na druhou),
zatímco když se podíváme
na derivaci podle x z inverzního sinu,
tento výraz je stejný,
jen je tentokrát kladný.

Bulgarian: 
минус 1 върху квадратен корен 
от 1 минус х на квадрат.
Това е прекрасен резултат.
Това е прекрасно нещо,
 което да научиш.
Разбира се, следва да го сравним 
с обратната функция,
т.е. с производната на обратната на синус.
Всъщност, нека да ги сравним 
едно до друго,
и ще видим, че единствената
 разлика тук е знакът,
така че нека да го копирам и поставя.
Ще го копирам и поставя.
Ще го поставя ето тук.
Нека сега да ги сравним 
едно до друго.
Търсим да намерим производната
спрямо x на обратната функция
на косинус. Ето тук имаме минус.
Минус 1 върху квадратен корен
от 1 – х^2.
Ако разглеждаме производната
спрямо х на обратната 
функция на синус,
то изразът е същият, като изключим, 
че сега е със знак плюс.

English: 
negative 1 over the square
root of 1 minus x squared,
so this is a neat thing.
This right over here is
a neat thing to know.
And of course, we should
compare it to the inverse,
the derivative of the inverse sine.
Actually, let me put them side by side,
and we see that the only difference here
is the sign, so let me
copy and paste that.
I'll copy and paste it,
I'm going to paste it down here,
and now let's look at them side by side.
So, we see for taking the derivative
with respect to x of the inverse cosine
function, we have a negative.
A negative 1 over the square root of
1 minus x squared.
If we're looking at the derivative with
respect to x of the inverse sine,
it's the same expression
except now it is positive.

Portuguese: 
É igual a menos um sobre a raiz
quadrada de um menos x ao quadrado.
Então isso é uma coisa legal.
Isso bem aqui é uma coisa
legal de se saber.
E é claro que devemos comparar isso ao
inverso, a derivada do inverso de sen(x).
Na verdade, deixe-me colocá-los
lado a lado, e nós
vemos que a única
diferença aqui é o sinal.
Deixe eu copiar e colar aquilo.
Copiar e colar.
Eu vou colar aqui embaixo.
E agora vamos observá-los lado a lado.
Então, nós vemos que se estamos tomando
a derivada com relação a x do inverso
da função cosseno, nós temos menos um sobre a
raiz quadrada de um menos x ao quadrado.
Se estamos olhando para a
derivada com relação a x do
inverso de seno, é a mesma expressão
com exceção que agora é positivo.

Thai: 
ลบ 1 ส่วนรากที่สองของ 1 ลบ x กำลังสอง
นี้มันสวยมาก
สูตรนี่ตรงนี้เป็นสิ่งที่น่ารู้
และแน่นอน เราควรเปรียบเทียบมัน
กับอินเวอร์ส
อนุพันธ์ของอินเวอร์สไซน์
ที่จริง ขอผมวางมันไว้ข้างๆ กัน
และเราเห็นว่า ความแตกต่างเดียวตรงนี้
คือว่าไซน์ ขอผมลอกและวางมันนะ
ผมจะลอกและวางมัน
ผมจะวางมันข้างล่างนี้
และตอนนี้ ลองดูมันเทียบกัน
เราเห็นว่าการหาอนุพันธ์
เทียบกับ x ของอินเวอร์สโคไซน์
ฟังก์ชัน เรามีลบ
ลบ 1 ส่วนรากที่สองของ
1 ลบ x กำลังสอง
ถ้าเราดูอนุพันธ์เทียบ
กับ x ของอินเวอร์สไซน์
มันจะเป็นพจน์เดียวกัน ยกเว้นตอนนี้มันเป็นบวก

Korean: 
－1/√(1－x²) 가 됩니다
깔끔하게 완성되었습니다
여기 있는 것은 꼭 알아야 합니다
당연히 우리는 sin의 역함수의
도함수와
비교해봐야 합니다
여기 옆에 놓으면
사인만 다르므로
복사에서 여기 붙여 넣겠습니다
복사에서 여기 붙여 넣겠습니다
복사에서 여기 붙여 넣겠습니다
비교해봅시다
cos의 역함수의
도함수를 보면
여기 마이너스가 있습니다
－1/√(1－x²)
－1/√(1－x²)
sin의 역함수의
도함수를 보면
마이너스가 없는 것을 제외하면
같은 식이 됩니다
