
English: 
>> This is the Einstein Hilbert action.
The square bracket notation tells us that the
action is a functional of the spacetime metric.
The constants on the right hand
side include the speed of light, c,
and Newton's gravitational constant, G. The
integral extends over a region, M, of spacetime.
The spacetime volume element
is d4x square root of minus g,
where g is the determinant of the metric.
Finally, R denotes the scalar curvature.
In this video, I'll show that the variation
of the Einstein Hilbert action is given
by this result, where big G
mu nu is the Einstein tensor.
It's useful to define the functional
derivative as the coefficient
of delta G mu nu in the integrand.
So, the functional derivative of the
Einstein Hilbert action is defined
by the term in square brackets above.

Italian: 
 >> Questa è l'azione di Einstein Hilbert. 
 La notazione delle parentesi quadre ci dice che l'azione è un funzionale della metrica dello spaziotempo. 
 Le costanti sul lato destro includono la velocità della luce, c, 
 e la costante gravitazionale di Newton, G. L'integrale si estende su una regione, M, dello spaziotempo. 
 L'elemento del volume dello spaziotempo è d4x radice quadrata di meno g, 
 dove g è il determinante della metrica. 
 Infine, R indica la curvatura scalare. 
 In questo video, mostrerò che viene fornita la variazione dell'azione di Einstein Hilbert 
 da questo risultato, dove grande G mu nu è il tensore di Einstein. 
 È utile definire la derivata funzionale come coefficiente 
 di delta G mu nu nell'integrando. 
 Quindi, viene definita la derivata funzionale dell'azione di Einstein Hilbert 
 dal termine tra parentesi quadre sopra. 

Italian: 
 In generale, l'azione completa include un contributo dai campi della materia. 
 L'azione della materia dipende dai campi della materia, 
 che sono indicati con una lettera maiuscola Phi, e anche la metrica. 
 Il tensore della quantità di moto dell'energia di sollecitazione per i campi di materia è definito da 2c sulla radice quadrata 
 di meno g volte la derivata funzionale dell'azione della materia rispetto alla metrica. 
 Impostando la derivata funzionale dell'azione piena uguale a 0, abbiamo questo risultato. 
 Questo, ovviamente, produce le equazioni di Einstein, 
 G mu nu equivale a 8 pi g su c alla quarta volta T mu nu. 
 Prima di poter mostrare questo risultato principale, dobbiamo prima tracciare alcune relazioni utili. 
 Innanzitutto, abbiamo bisogno della variazione della metrica inversa. 
 Questo cade dall'identità g superiore mu alfa g inferiore alfa nuovo uguale a delta mu nu. 
 Variando questa identità, abbiamo il seguente risultato. 
 Possiamo ora moltiplicare per la metrica inversa, g nu sigma superiore. 

English: 
In general, the full action includes
a contribution from the matter fields.
The matter action depends on the matter fields,
which are denoted by a capital
letter Phi, and also the metric.
The stress energy momentum tensor for the matter
fields is defined by 2c over the square root
of minus g times the functional derivative of
the matter action with respect to the metric.
By setting the functional derivative of the
full action equal to 0, we have this result.
This, of course, yields the Einstein equations,
G mu nu equals 8 pi g over
c to the 4th times T mu nu.
Before we can show this main result, we'll
first need to draw up a few useful relations.
First, we need the variation
of the inverse metric.
This falls from the identity g upper mu
alpha g lower alpha new equals delta mu nu.
By varying this identity, we
have the following result.
We can now multiply through by the
inverse metric, g upper nu sigma.

English: 
The highlighted terms yield the
Kronecker delta, which, in turn,
turns the alpha index into a sigma.
After renaming some of the indices, this
is our result, expressing the variation
of the inverse metric in terms
of the variation of the metric.
Our next task is to find the
variation of the volume element,
the square root of minus g. This
can be found from Jacobi's Formula,
which says that for a square invertible
matrix M, the variation of the determinant
of M equals the determinant of M times
the trace of M inverse times delta M.
Jacobi's Formula is not too difficult to derive.
Start with the definition of the variation
of the determinant of M as the difference
between the determinant of the
varied matrix, M plus delta M,
and the determinant of the matrix itself.
Now, the determinant of M plus delta
M can be rewritten as the determinant

Italian: 
 I termini evidenziati producono il delta di Kronecker, che, a sua volta, 
 trasforma l'indice alfa in un sigma. 
 Dopo aver rinominato alcuni degli indici, questo è il nostro risultato, che esprime la variazione 
 della metrica inversa in termini di variazione della metrica. 
 Il nostro prossimo compito è trovare la variazione dell'elemento volume, 
 la radice quadrata di meno g. Questo può essere trovato dalla Formula di Jacobi, 
 che dice che per una matrice quadrata invertibile M, la variazione del determinante 
 di M è uguale al determinante di M volte la traccia di M tempi inversi delta M. 
 La formula di Jacobi non è troppo difficile da derivare. 
 Inizia con la definizione della variazione del determinante di M come differenza 
 tra il determinante della matrice varia, M più delta M, 
 e il determinante della matrice stessa. 
 Ora, il determinante di M più delta M può essere riscritto come determinante 

English: 
of M times the identity matrix plus M inverse
times delta M. Recall that the determinant
of a product of matrices equals
the product of determinants.
And now we can use the result, which isn't
too hard to show, that the determinant
of the identity plus a small
matrix equals 1 plus the trace
of the small matrix plus higher order terms.
In this case, the small matrix is M inverse
times delta M. Simplifying this result,
we find that Jacobi's Formula holds in the
limit as delta M becomes infinitesimally small.
Now we can apply Jacobi's Formula to the metric
to obtain delta g equals g times g
upper mu nu times delta g lower mu nu.
From here, it's straightforward to show
that the variation of the square root
of minus g equals 1/2 square root of minus g
times g upper mu nu times delta g lower mu nu.
Next, we'll need to find the
variation of the Christoffel symbols.
Start with the definition
of gamma mu alpha beta.
Then vary.

Italian: 
 di M volte la matrice identità più M inverse volte delta M. Ricordiamo che il determinante 
 di un prodotto di matrici è uguale al prodotto di determinanti. 
 E ora possiamo usare il risultato, che non è troppo difficile da mostrare, che è determinante 
 dell'identità più una piccola matrice è uguale a 1 più la traccia 
 della piccola matrice più termini di ordine superiore. 
 In questo caso, la matrice piccola è M inversa per delta M. Semplificando questo risultato, 
 troviamo che la Formula di Jacobi è nel limite quando il delta M diventa infinitamente piccolo. 
 Ora possiamo applicare la formula di Jacobi alla metrica 
 per ottenere delta g è uguale a g volte g mu nu superiore per delta g mu nu inferiore. 
 Da qui, è semplice mostrare che la variazione della radice quadrata 
 di meno g è uguale a 1/2 radice quadrata di meno g volte g mu nu superiore per delta g mu nu inferiore. 
 Successivamente, dovremo trovare la variazione dei simboli di Christoffel. 
 Inizia con la definizione di gamma mu alfa beta. 
 Quindi varia. 

Italian: 
 Si noti che la seconda riga di questo risultato si ottiene applicando la nostra espressione 
 per la variazione della metrica inversa. 
 Ora, la seconda riga può essere semplificata utilizzando la definizione dei simboli Christoffel. 
 Per il passaggio successivo, possiamo utilizzare la definizione 
 della derivata covariante che agisce su delta g mu nu. 
 Riorganizzare questa definizione per ottenere la derivata parziale in termini 
 della derivata covariante e dei termini simbolo di Christoffel. 
 Quindi usalo per sostituire le derivate parziali nella variazione dei simboli di Christoffel. 
 Tutti i termini del simbolo Christoffel sul lato destro verranno annullati, 
 lasciando il seguente risultato. 
 Si noti che delta gamma mu alpha beta è un tensore di tipo 1, 2. 
 Questo è prevedibile. 
 Se si annota la regola di trasformazione delle coordinate per i simboli di Christoffel, 
 vedrai che la differenza tra i simboli di Christoffel, 
 come il delta gamma mu alfa beta si trasforma come un tensore. 

English: 
Notice that the second line of this result
is obtained by applying our expression
for the variation of the inverse metric.
Now, the second line can be simplified using
the definition of the Christoffel symbols.
For the next step, we can use the definition
of the covariant derivative
acting on delta g mu nu.
Rearrange this definition to obtain
the partial derivative in terms
of the covariant derivative
and Christoffel symbol terms.
Then use this to replace the partial derivatives
in the variation of the Christoffel symbols.
All of the Christoffel symbol terms
on the right hand side will cancel,
leaving the following result.
Note that delta gamma mu alpha
beta is a type 1, 2 tensor.
This is to be expected.
If you write down the coordinate
transformation rule for the Christoffel symbols,
you'll see that the difference
between Christoffel symbols,
such as delta gamma mu alpha
beta transforms as a tensor.

English: 
Now let's compute the variation
of the Riemann tensor.
Start with the definition, then vary.
We can rearrange the definition of the covariant
derivative of delta gamma mu alpha beta
to rewrite the partial derivatives
of delta gamma mu alpha beta
in terms of covariant derivatives.
The calculation is a little bit tedious, but
what you'll find is that all of the terms
that contain an unvaried Christoffel symbol
cancel, leaving the following result.
From here, we can easily find
the variation of the Ricci tensor
by contracting on the indices mu and nu.
The variation of the scalar
curvature contains two terms.
The first term comes from the variation of
the inverse metric, and the second term comes
from the variation of the Ricci tensor.
We can now use our result for the variation of
the Christoffel symbols to write the variation
of the scalar curvature explicitly
in terms of variations of the metric.

Italian: 
 Calcoliamo ora la variazione del tensore di Riemann. 
 Inizia con la definizione, quindi varia. 
 Possiamo riorganizzare la definizione della derivata covariante di delta gamma mu alfa beta 
 per riscrivere le derivate parziali di delta gamma mu alfa beta 
 in termini di derivati ​​covarianti. 
 Il calcolo è un po 'noioso, ma quello che troverai è che tutti i termini 
 che contengono un simbolo di Christoffel invariato si annullano, lasciando il seguente risultato. 
 Da qui possiamo facilmente trovare la variazione del tensore di Ricci 
 contraendo sugli indici mu e nu. 
 La variazione della curvatura scalare contiene due termini. 
 Il primo termine deriva dalla variazione della metrica inversa e il secondo termine 
 dalla variazione del tensore di Ricci. 
 Ora possiamo usare il nostro risultato per la variazione dei simboli di Christoffel per scrivere la variazione 
 della curvatura scalare esplicitamente in termini di variazioni della metrica. 

English: 
Now we are ready to vary
the Einstein Hilbert action.
There are two terms.
One comes from varying the square
root of minus g. The other comes
from varying the scalar curvature.
Using the results below, we have the following
expression for the variation of the action.
The first two terms in the integrand
combine to form the Einstein tensor,
while the remaining terms form
a total covariant derivative.
The total covariant derivative has the
form del alpha acting on the square root
of minus g times V alpha, where V alpha
is the contravariant vector formed
from the highlighted terms.
Since the covariant derivative of the metric
vanishes, the covariant derivative acting
on the square root of minus g banishes as well.

Italian: 
 Ora siamo pronti per variare l'azione di Einstein Hilbert. 
 Ci sono due termini. 
 Uno deriva dalla variazione della radice quadrata di meno g. L'altro viene 
 dalla variazione della curvatura scalare. 
 Utilizzando i risultati seguenti, abbiamo la seguente espressione per la variazione dell'azione. 
 I primi due termini dell'integrando si combinano per formare il tensore di Einstein, 
 mentre i restanti termini formano una derivata covariante totale. 
 La derivata covariante totale ha la forma del alfa che agisce sulla radice quadrata 
 di meno g volte V alfa, dove V alfa è il vettore controvariante formato 
 dai termini evidenziati. 
 Poiché la derivata covariante della metrica svanisce, la derivata covariante agisce 
 sulla radice quadrata di meno g bandisce anche. 

Italian: 
 E possiamo scrivere l'ultimo termine come radice quadrata di meno g volte la derivata covariante di V. 
 Esprimendo la derivata covariante in termini di derivate parziali, abbiamo quanto segue. 
 Ora usa la definizione dei simboli di Christoffel; gamma mu superiore alfa beta inferiore. 
 Si noti che se impostiamo l'indice mu uguale ad alfa, il primo e il terzo termine si annullano. 
 Quindi, ora l'ultimo termine nella variazione dell'azione di Einstein Hilbert può essere scritto in questo modo. 
 Non è difficile vedere che questa è solo la recitazione parziale derivata 
 sulla radice quadrata di meno g per V alfa. 
 Per verificare questo risultato, dovrai utilizzare la nostra espressione per la variazione della radice quadrata 
 di meno g dove la variazione è sostituita con la derivata parziale. 
 Questo calcolo mostra che possiamo sostituire la derivata covariante 
 nell'ultimo periodo con la derivata parziale. 
 Quindi, l'ultimo termine nella variazione dell'azione si integra con un termine di confine. 

English: 
And we can write the last term as square root
of minus g times the covariant derivative of V.
By expressing the covariant derivative in terms
of partial derivatives, we have the following.
Now use the definition of the Christoffel
symbols; gamma upper mu lower alpha beta.
Notice that if we set the index mu equal to
alpha, then the first and third terms cancel.
So, now the last term in the variation of the
Einstein Hilbert action can be written this way.
It's not difficult to see that this
is just the partial derivative acting
on the square root of minus g times V alpha.
To verify this result, you'll need to use our
expression for the variation of square root
of minus g where the variation is
replaced with the partial derivative.
This calculation shows that we can
replace the covariant derivative
in the last term with the partial derivative.
So, the last term in the variation of
the action integrates to a boundary term.

Italian: 
 Ora assumiamo che le condizioni al contorno appropriate siano poste sulle variazioni 
 della metrica dello spaziotempo per garantire che i termini di confine svaniscano. 
 Questa è in realtà una parte non banale dell'analisi. 
 Non è immediatamente chiaro quali quantità debbano essere fissate sul confine, 
 ma risparmierò quella discussione per un'altra volta. 
 Quindi, la variazione dell'azione di Einstein Hilbert si riduce a questa espressione. 
 E la derivata funzionale dell'azione rispetto alla metrica è meno c cubo 
 oltre 16 pi volte la costante di Newton per la radice quadrata 
 di meno g volte il tensore di Einstein. 

English: 
Now we assume that appropriate boundary
conditions are placed on the variations
of the spacetime metric to ensure
that the boundary terms vanish.
This is actually a non trivial
part of the analysis.
It's not immediately clear what
quantities must be fixed on the boundary,
but I'll save that discussion for another time.
So, the variation of the Einstein Hilbert
action reduces to this expression.
And the functional derivative of the action
with respect to the metric is minus c cubed
over 16 pi times Newton's
constant times the square root
of minus g times the Einstein tensor.
