
Korean: 
다변수함수를
시각화하는 많은 방법을
오랜 시간 공부하였습니다
다변수 형식의 입력이나 출력을 가지는
함수이죠
3차원 그래프가 자주
사용되었고
등치선도, 벡터장, 매개화된 함수도 배웠죠
여기서는 함수를 생각하는
제가 가장 좋아하는 방법인
변환에 대해 얘기할까 합니다
어떤 함수가 있을 때
아주 추상적으로 생각하면
입력 공간이 있다고 생각할 수 있습니다
거품 모양으로 그리지만
실수 직선일 수도 있습니다
선일 수도
3차원 공간일 수도 있습니다
그리고 출력 공간이 있겠죠
이것도 막연하게 거품으로만 나타냅니다
하지만 이것도 실수직선이나
xy평면이나 공간일 수 있죠
함수는 어떤 규칙으로
입력을 출력으로 보냅니다
무언가를 시각화할 때는
그래프나 등치선도처럼요
입력과 출력 쌍을 엮어 나타내려는 겁니다
f에 입력 3을 넣어서
[1 2]벡터로 사영된다고 하면

English: 
- [Voiceover] So I have talked a lot
about different ways
that you can visualize
multivariable functions.
Functions that will have
some kind of multidimensional
input or output.
These include three-dimensional graphs,
which are very common.
Contour maps, vector fields,
parametric functions.
But here, I want to talk about
one of my all-time favorite ways
to think about functions,
which is as a transformation.
So any time you have
some sort of function,
if you're thinking very abstractly,
I like to think that there's
some sort of input space.
And I'll draw it as a blob, even though,
you know, that could be
the real number line.
So it should be a line,
or it could be three-dimensional space.
And then there's some
kind of output space.
And again, I just very vaguely
think about it as this blob.
But that could be, again,
the real number line,
the x-y plane, a three-dimensional space.
And the function is just some way
of taking inputs to outputs.
And every time that we're
trying to visualize something,
like with a graph or a contour map,
you're just trying to
associate input-ouput pairs.
You know, if f inputs, you know,
three gets mapped to the vector one-two.

English: 
It's a question of how do you associate
the number three with that vector one-two.
And the thought behind transformations
is that we're just gonna
watch the actual points
of the input space move
to the output space.
And I'll start with a simple example
that's just a one-dimensional function.
It will have a single variable input.
And it will have a single variable output.
So let's consider the function f of x
is equal to x squared minus three.
And, of course, the way
we're used to visualizing
something like this,
it will be as a graph.
You might kind of be thinking of something
roughly parabolic that's
squished down by three.
But here, I don't want to
think in terms of graphs.
I just want to say,
how do the inputs move to those outputs?
So as an example, if you go to zero,
when you plug in zero, you're
gonna get negative three.
You know, zero squared minus three
is equal to negative three.
So somehow we want to watch
zero move to negative three.
And then similarly, let's
say you plug in one,

Korean: 
그 숫자 3과 (1, 2)를 어떻게
연관시키는지가 문제겠죠
변환에서의 사고는
실제 입력공간의 점들이
출력공간으로 이동하는 걸 보는 겁니다
간단한 예로
1차원 함수를 들죠
단일 변수 입력과
단일 변수 출력을 가집니다
함수 f(x)를
x^2-3이라고 합시다
물론 이런 걸 시각화하는
익숙한 방법은 그래프겠죠
포물선 모양의 무언가를
아래쪽으로 3만큼 누른 것을 생각하겠죠
하지만 여기서는 그래프로 생각하지 않습니다
저는 단지
입력이 어떻게 출력으로 이동하는지 알고 싶습니다
예를 들어 0에서
0을 대입하면 -3이 나오죠
0^2-3은
-3이니까요
0이 -3으로 가는 것을 표현하고 싶습니다
비슷하게 1을 넣으면

English: 
and you get one squared
minus three is negative two.
So somehow we want to watch
one move to negative two.
Just another example here.
Let's say you are
plugging in three itself.
So three squared minus three
is nine minus three is six.
So somehow in this transformation,
we want to watch three
move to the number six.
And with a little animation,
we can watch this happen.
We can actually watch what it looks like
for all these numbers to move
to their corresponding outputs.
So here we go.
Each number will move over
and land on its output.
And I'll clear up the board here.
So I kept track of what the
original input numbers are
by just kind of writing them on top here.
And that was a way of just
watching how it moves.
And I'll play it again.
Here, let's just watch where
each number from the input space

Korean: 
1^2-3 = -2 겠죠
1이 -2로 이동하는 것도 표현해야 합니다
다른 예를 들면
3 자체를 넣으면
3^2-3은
9-3으로 6이죠
이 변환에서 어떻게든
3이 6으로 이동하는 것이 나타나야 합니다
애니메이션으로 보시죠
이 모든 숫자가
각자의 출력으로
이동하는 것을 볼 수 있습니다
작동시켜 보죠
각 숫자가 움직여서
출력에 겹칩니다
잠시 화면을 지우고
원래 입력이 어땠는지 표시해 두기 위해
여기 위에 써 놓습니다
사영되는 것을 보는 한 방법이죠
다시 재생할게요
여기서 입력공간의
각각의 숫자가 출력공간으로

English: 
moves over to the output.
And with single variable functions,
this is a little bit nice
because it gives the sense
of inputs moving to outputs.
But where it gets fun is
in the context of multivariable functions.
So now, let me consider
a function that has
a one-dimensional input and
a two-dimensional output.
And specifically, it will be f of x
is equal to cosine of x,
cosine of x.
And then the y component will be
x sine of y.
Sorry, x sine of x.
So just to think about a couple examples.
If you plug in something like zero,
and think about where zero ought to go,
you'd have f of zero
is equal to cosine of zero is one.
And then, zero times anything is zero.
So somehow we're gonna watch zero

Korean: 
이동합니다
단일 변수 함수일 때
입력이 출력으로 이동하는 느낌을
주어 좋습니다
하지만 더 재미있어지는
쪽은 다변수 함수이죠
입력이 1차원이고 출력이 2차원인
함수를 떠올려 봅시다
정해 보자면
f(x) = [cosx
첫째는 cosx이고
y성분은
x*siny
아, x*sinx 입니다
값 몇 개를 예로 들죠
0을 넣고
이게 어디로 가는지 생각하면
f(0)은
cos0=1이고
0sin0=0이네요
0을 (1, 0)으로

English: 
move over to the point one-zero.
And so this is where
we expect zero to land.
And let's think about, like, pi.
So f of pi.
Then cosine of pi is negative one.
This is gonna be pi multiplied by,
and sine of pi is zero.
So that will again be zero.
So, you know, this little
guy is where zero lands.
And we expect that this is gonna be where
the value pi lands.
And if we watch this take place,
and we actually watch each
element of the input space
move over to the output space,
we get something like this.
And again, this is just kind of a nice way
to think about what's actually going on.
You might ask questions about whether
the space ends up getting
stretched or squished.
And notice that this is
also what a parametric plot
of this function would look like.
If you interpret it as
a parametric function,
this is what you get in the end.

Korean: 
이동시켜야 합니다
0이 여기로 도달해야 하죠
pi에서도 생각해 봅시다
f(pi)는
cos(pi)=-1
둘째 항은 pi 곱하기
sin(pi)=0이네요.
다시 0이 됩니다
여기로 0이 가듯
여기가 pi가 옮겨질
장소겠죠
실제로 재생하면서
입력공간의 각각의 요소가
출력공간으로 이동하는 것을
보면 이렇게 됩니다
이것은 실제 일어나는 일을
생각해 보기에 좋은 방법입니다
이 공간이 결국
늘어나는지 짜부라지는지 탐구할 수 있겠죠
이것이 이 함수의 매개화된 그래프와 같다는
것도 알 수 있죠
매개화된 함수로 해석한다면
결국 얻는 것입니다

Korean: 
하지만 매개화된 함수의 그래프에서는
입력에 대한 정보를 잃지만
여기서는 이리저리 비교하면서
무엇이 어디로 가는지 볼 수 있습니다
다음 영상에서는
2차원 입력과 2차원 출력을
가진 함수를
변환으로 해석하는
방법을 알아보겠습니다

English: 
But whereas in parametrics plots,
you lose input information,
here you can kind of see where things move
as you go from one to the other.
And in the next video,
I'm gonna talk about how
you can interpret functions
with a two-dimensional input
and a two-dimensional output
as a transformation.
