
English: 
- [Instructor] All right, let's see if
we can find the indefinite integral of
one over five x squared
minus 30x plus 65 dx.
Pause this video and see
if you can figure it out.
All right, so this is going
to be an interesting one.
And it'll be a little bit hairy,
but we're gonna work through it together.
So, immediately you might try multiple
integration techniques
and be hitting some walls.
And what we're going to
do here is actually try
to complete the square in this
denominator right over here.
And then by completing the
square, we're gonna get it
in the form that it looks
like the derivative of arctan.
And if that's a big
hint to you, once again
pause the video and try to move forward.
All right, now let's do this together.
So I'm just gonna try to
simplify this denominator
so that my coefficient on
my x squared term is a one.
And so I could just factor a
five out of the denominator.
If I did that, then this
integral will become

Bulgarian: 
Нека проверим дали можем
да намерим
неопределен интеграл
от 1 върху 5 по х квадрат,
минус 30 по х плюс 65, dx.
Спри видеото и провери дали
можеш да го решиш.
Добре, това ще бъде
интересна задача.
Ще бъде малко трудна,
но ще се справим
с нея заедно.
Ако опиташ директно
няколко
метода за интегриране, може би ще
стигнеш до задънена улица.
Всъщност тук ще допълним
знаменателя до точен квадрат.
По този начин ще
получим израз,
който по вид изглежда като
производната на аркустангенс.
Ако това ти помага достатъчно,
спри видеото отново
и продължи самостоятелно.
Добре, нека сега
го направим заедно.
Ще опитам да опростя
знаменателя,
така че коефициентът пред
х квадрат да е единица.
Мога просто да изнеса
числото 5 от знаменателя.
Тогава ще се получи

Korean: 
좋습니다
∫1/(5x² - 30x + 65) dx 를
구해봅시다
∫1/(5x² - 30x + 65) dx 를
구해봅시다
강의를 멈추고
한번 풀어보세요
좋습니다
이것은 흥미로운 문제입니다
그리고 살짝 복잡합니다
하지만 같이 풀어볼 것입니다
여러분은 즉각적으로
여러 가지 적분 기술을 시도했겠지만
장벽을 느꼈을 것입니다
여기서 할 것은
분모에 있는 이차식을
완전제곱꼴로 만드는 것입니다
완전제곱꼴로 만들면
arctan의 도함수처럼
형태가 만들어집니다
큰 힌트를 드렸으니
다시 강의를 멈추고
풀어보세요
좋습니다
같이 풀어볼게요
분모를 간단히
만들고 싶습니다
x²의 계수가
1이 되도록 말이죠
분모에서 5를 빼내겠습니다
다음과 같이 되겠죠

English: 
1/5 times the integral of one over,
so I've factored a five
out of the denominator
so it is x squared minus six x plus 13 dx.
And then as I mentioned I'm gonna
complete the square down here.
So let me rewrite it,
so this is equal to 1/5
times the integral of one over,
and so x squared minus six x is clearly
not a perfect square the way it's written.
Let me write this plus 13 out here.
Now what could I add and then I'm gonna
to have to subtract if I don't want
to change the value of the denominator.
In order to make, In order to make
this part right over
here a perfect square.
Well we've done this before,
you take half of your coefficient here,
which is negative three
and you square that.
So you want to add a nine here.
But if you add a nine then you have
to subtract a nine as well.
And so this part is going to be

Bulgarian: 
1/5 по интеграл
от 1 върху следното.
Изнесох 5 от знаменателя,
така че се преобразува до х квадрат
минус 6х плюс 13, dx.
След това, както казах,
ще допълня до точен квадрат
знаменателя.
Нека го запиша отново.
Равно е на 1/5,
умножено по интеграл
от следното.
х квадрат минус 6 по х
определено
не е точен квадрат
в момента.
Плюс 13 ще го запиша
ето тук настрани.
Какво мога да прибавя,
което и да извадя след това,
за да не променя стойността
на знаменателя?
Целта е да приведа
ето тази част
от израза към точен квадрат.
Правили сме това и преди.
Взимаме половината от
коефициента пред х,
което е минус 3, и го повдигаме
на квадрат.
Следователно искаме
да прибавим 9 тук.
Ако прибавим 9,
то трябва и да извадим 9.
Тогава тази част
се получава

Korean: 
1/5 · ∫ 1/
분모에서 5를 빼냈으므로
1/5 · ∫ 1/(x² - 6x + 13) dx
가 됩니다
언급했다시피
이 이차식을
완전제곱꼴로 만들겠습니다
다시 나타내보면
1/5 · ∫ 1/(x² - 6x
1/5 · ∫ 1/(x² - 6x
기존 식은
완전제곱꼴이 아닙니다
좀 떨어져서
13을 적을게요
분모의 값이
바뀌지 않으면서
어떤 값을 더하고
어떤 값을 빼야 할까요?
이 부분이 완전제곱꼴이
되어야 합니다
이 부분이 완전제곱꼴이
되어야 합니다
이전에 했다시피
이 계수의 절반을 계산합니다
-3이 되겠죠
이것을 제곱합니다
따라서 9를 더합니다
9를 더했으니
9를 뺍니다
따라서 이 부분은

Bulgarian: 
х минус 3 на квадрат,
а ето тази тук
ще се получи
равно на плюс 4.
Нека не забравяме
dx ето тук.
Нека го запиша ето
в този вид.
Ще бъде равно
на 1/5 по интеграл от 1 –
осигурявам си повече място –
върху х минус 3 на квадрат,
плюс 4, което ще запиша
като 2 на квадрат.
Нека го запиша ето така –
плюс 2 квадрат, dx.
Може би вече виждаш,
че това прилича много
на аркустангенс,
но ще опростя израза дори
още повече,
за да стане още по-ясно,
че аркустангенс присъства тук.
Всъщност, ще използвам
u-полагане, за да го направя.
Нека първо да изнесем
числото 4 от знаменателя.
Така ще се получи
1/5 по 1/4, което е равно

English: 
x minus three squared and then this part
right over here is going to be
equal to a positive four and we of course
don't want to forget our dx out here.
And so let me write it in this form.
So this is going to be equal to
1/5 times the integral of one over,
get myself some space,
x minus three squared
plus four, which we could also
write as plus two squared.
Actually let me do it that
way, plus two squared dx.
Now many of y'all might already say
hey this looks a lot like arc tangent,
but I'm gonna to try to
simplify it even more
so it becomes very clear that
it looks like arc tangent
is going to be involved.
I'm actually gonna do some
u substitution in order to do it.
So the first thing I'm going to do is
let's factor a four out
of the denominator here.
So if we do that, then this is going
to become 1/5 times 1/4 which is going

Korean: 
(x - 3)²이고
이 부분은
4입니다
dx를 잊지 마세요
이렇게 나타냈습니다
정리하면
1/5 · ∫ 1/{(x - 3)² + 2²} dx
1/5 · ∫ 1/{(x - 3)² + 2²} dx
1/5 · ∫ 1/{(x - 3)² + 2²} dx
1/5 · ∫ 1/{(x - 3)² + 2²} dx
여러분은 이렇게 얘기하겠죠
arctan와 상당히 비슷합니다
하지만 arctan가 포함되도록
더 간단히 만들어볼 것입니다
더 간단히 만들어볼 것입니다
u를 이용한 치환으로
해보겠습니다
u를 이용한 치환으로
해보겠습니다
먼저 할 것은
분모에서 4를 빼내는 것입니다
그렇다면
1/5 × 1/4 = 1/20이므로

Bulgarian: 
на 1/20, умножено по интеграл
от 1/х минус 3 на квадрат,
върху 2 квадрат,
А тук ще остане само плюс 1.
И, разбира се, имаме и диференциал dx.
А сега може да го запишем
ето така.
Опитвам се да представя
всяка една стъпка.
Възможно е да можеш 
да ги направиш и наум.
Ще запиша всичко като
1 върху
х минус 3 върху 2,
на квадрат, плюс 1.
Плюс 1, dx.
Сега вече u-субституцията
се вижда по-добре.
Просто ще положа (заместя)
u да е равно на х минус 3
върху 2.
Може дори да представим
u като
1/2 по х минус 3/2,
което е същото
като х минус 3 върху 2.

English: 
to be 1/20 times the integral of
one over x minus three squared
over two squared.
And this is going to be a plus one,
and of course we have our dx.
And then we could write this as,
and I'm trying to just do every step here.
A lot of these you might have
been able to do in your head.
One over, and I'll just write this as,
x minus three over two squared plus one.
Plus one and then dx.
And now the u substitution
is pretty clear.
I'm just going to make the substitution
that u is equal to x minus three over two.
Or we could even say that's u is equal to
one half x minus three halves,
that's just x minus three over two.

Korean: 
1/20 · ∫ 1/{(x - 3)²/2² + 1} dx
1/20 · ∫ 1/{(x - 3)²/2² + 1} dx
1/20 · ∫ 1/{(x - 3)²/2² + 1} dx
1/20 · ∫ 1/{(x - 3)²/2² + 1} dx
1/20 · ∫ 1/{(x - 3)²/2² + 1} dx
이 부분을
이렇게 나타냅니다
모든 단계를
빠짐없이 하겠습니다
대부분 과정은
암산이 가능할 것입니다
1/20 · ∫ 1/[{(x - 3)/2}² + 1] dx
1/20 · ∫ 1/[{(x - 3)/2}² + 1] dx
1/20 · ∫ 1/[{(x - 3)/2}² + 1] dx
이제 u를 이용한 치환을
할 수 있겠죠?
u = x - 3 / 2 로 치환합니다
u = x - 3 / 2 로 치환합니다
혹은
u = x/2 - 3/2 로 치환합니다
혹은
u = x/2 - 3/2 로 치환합니다
이는 x - 3 / 2 과 같습니다

Bulgarian: 
Тогава du ще бъде равно
на 1/2, dx.
Сега ще направя следното.
Ще преобразувам израза
под интеграла,
така че да се получи
1/2 някъде.
Ако умножа по 1/2
числителя,
то следва да умножа
пред интеграла с 2.
Разделям на 2
и умножавам по 2.
Може и така
да го разглеждаш.
Тогава след заместване с u
се получава 1/10, умножено
по следния интеграл.
Имам 1/2, dx ето тук,
което е същото като du.
Следователно мога да
поставя du или в числителя,
или ето тук накрая.
Тогава имам 1 върху нещо.
Този израз тук е u на квадрат
и остава плюс 1.
А сега разпознаваш ли
коя е производната
на аркустангенс от u?
Това ще бъде 1 върху
u на квадрат плюс 1.
Тогава се получава
1/10, умножено
по аркустангенс от u.
Разбира се, не забравяме
и константата C,

English: 
And du is going to be
equal to one half dx.
And so what I can do here is, actually
let me start to re-engineer
this integral a little bit
so that we see a one half here.
So if I make this a one half
and then I multiply the outside by two.
So I divide by two multiply by two.
It's one way to think about it.
This becomes 1/10 and so
doing my u substitution
I get 1/10, that's the 1/10
there times the integral of.
Well I have one half dx right over here
which is the same thing as du.
So I can put the du
either in the numerator
or I could put it out here.
And then I have one over,
this is u squared, u squared plus one.
Now you might immediately recognize,
what's the derivative of arctan of u?
Well that would be one
over u squared plus one.
So this is going to be equal to 1/10
times the arc tangent of u, and of course
we can't forget our big constant C

Korean: 
du = dx/2 입니다
여기서 할 수 있는 것은
살짝 식을 조작하여
1/2이 되도록 만들어봅시다
1을 1/2로 만들면
바깥에 2를
곱해주어야 합니다
2를 나누고
2를 곱합니다
이런 방법이 있습니다
이는 1/10이 되고
u를 이용해 치환하면
1/10 · ∫
dx/2가 있습니다
이는 du와 같습니다
du를 분자에
혹은 떨어져서 적겠습니다
1 / (u² + 1) 입니다
1 / (u² + 1) 입니다
바로 깨달았을 것입니다
arctan(u)의
도함수는 무엇일까요?
1 / (u² + 1) 입니다
1/10 arctan(u) + C 입니다
1/10 arctan(u) + C 입니다
C를 빠뜨리면 안됩니다

Bulgarian: 
защото изчисляваме
неопределен интеграл.
Сега следва само да заместим
обратно положения израз.
Знаем, че u е равно
на ето този израз тук.
Тук вече заслужаваме
поздравление.
Това ще бъде равно
на 1/10 по аркустангенс от u,
a u е равно на х минус 3
върху 2,
което може да се запише
и ето така.
Тоест накрая имаме аркустангенс
от х минус 3 върху 2, плюс С.
И сме готови.

English: 
because we're taking
an indefinite integral.
And now we just want to do
the reverse substitution.
We know that u is equal to
this business right over here.
So we deserve a little bit of a drum roll.
This is going to be equal to 1/10
times the arc tangent of u.
Well u is just x minus three over two,
which could also be written like this.
So arctan of x minus three
over two and then plus C.
And we are done.

Korean: 
부정적분을
하고 있기 때문이죠
역치환을 해보죠
u는 이 식과 같으므로
대망의 정답입니다
1/10 arctan(u)
1/10 arctan(u)
u = x/2 - 3/2 이므로
u = x/2 - 3/2 이므로
1/10 arctan(x - 2 / 3) + C 입니다
다 끝났습니다
