
Bulgarian: 
Нека да се опитаме да
апроксимираме площта
под кривата у е равно на квадратен
корен
от х минус 1, в интервала от х равно на 1
до х равно на 6.
Искаме да намерим цялата тази площ.
Или поне искаме да апроксимираме
цялата тази площ.
Ще го направя като я разделя на
пет трапеца с равна широчина.
Това ще бъде лявата граница
на първия трапец.
Това ще бъде дясната граница, която
също така
ще бъде лява граница на втория трапец.
Това ще бъде дясната граница на
втория трапец.
Това е дясната граница на третия
трапец.
Това ще бъде дясната граница на
четвъртия трапец.
Накрая ето това ще бъде дясната
граница
на петия трапец.
Намираме се в интервала от 1 до 6,
т.е. изминаваме разстояние 6 минус 1

English: 
For fun, let's try to
approximate the area
under the curve y is
equal to the square root,
the principal root, of x minus
1, between x is equal to 1
and x is equal to 6.
So I want to find
this entire area.
Or I want to at least
approximate this entire area.
And the way I'll do
it is by setting up
five trapezoids of equal width.
So this will be
the left boundary
of the first trapezoid.
This will be its right
boundary, which will also
be the left boundary of
the second trapezoid.
This will be the right boundary
of the second trapezoid.
This is the right boundary
of the third trapezoid.
This'll be the right boundary
of the fourth trapezoid.
And then finally, this
will be the right boundary
of the fifth trapezoid.
And since we're going from 1 to
6, so we're traveling 6 minus 1

Korean: 
 
오늘 해 볼 활동은
곡선 y=√(x-1)의 아랫부분 중
직선 x=1과 x=6 사이의 부분의
넓이를 근사해보는 것입니다
그러니까 이 부분의 넓이를
구해보겠다는 것이죠
불가능하다면 최소한 넓이를
어림이라도 해 볼 것입니다
넓이를 구하기 위해서
구하고자 하는 영역을
폭이 같은 다섯 개의
사다리꼴로 나누어 보겠습니다
따라서 이 점은 첫 사다리꼴의
왼쪽 끝이 되겠죠
이 선분은 오른쪽 변이 됩니다
동시에 두 번째 사다리꼴의
왼쪽 변이기도 하고요
이 선분이 두 번째 사다리꼴의
오른쪽 변입니다
세 번째 사다리꼴의
오른쪽 변은 이 선분이고요
네 번째 사다리꼴의
오른쪽 변은 이 선분입니다
마지막으로, 이 선분이
다섯 번째 사다리꼴의
오른쪽 변이 되겠죠
그래프에서 살펴볼 구간은
1부터 6까지입니다

Thai: 
 
เพื่อความสนุก ลองพยายามประมาณพื้นที่
ใต้เส้นโค้ง y เท่ากับรากที่สอง
รากที่เป็นบวกของ x ลบ 1 ระหว่าง x เท่ากับ 1
และ x เท่ากับ 6
ผมอยากหาพื้นที่ทั้งหมด
หรือผมอยากประมาณพื้นที่ทั้งหมดนี้
และวิธีที่ผมจะทำคือตั้ง
สี่เหลี่ยมคางหมู 5 รูป กว้างเท่าๆ กัน
อันนี้จะเป็นขอบซ้าย
ของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปแรก
อันนี้จะเป็นขอบขวา ซึ่งจะเป็น
ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่สอง
อันนี้จะเป็นขอบขวาของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่สอง
นี่คือขอบขวาของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่สาม
อันนี้จะเป็นขอบขวาของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่สี่
แล้วสุดท้าย นี่จะเป็นขอบขวา
ของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่ 5
และเนื่องจากเราจะไปจาก 1 ถึง 6
เราจึงเดินทางในทิศ x

Portuguese: 
Por diversão, vamos 
tentar aproximar a área
abaixo da curva y igual à raiz quadrada,
a raiz principal, de x menos 1, 
entre x igual a 1
e x igual à seis.
Eu quero encontrar toda esta área.
Ou, ao menos, uma aproximação dela.
E a maneira que farei é criando
cinco trapézios de mesma largura.
Então isso vai ser o limite à esquerda
do primeiro trapézio.
Este vai ser o limite da 
direita, o qual também
será o limite à esquerda 
do segundo trapézio.
Este vai ser o limite da 
direita do segundo trapézio.
Este é o limite da direita 
do terceiro trapézio.
Este será o limite da direita 
do quarto trapézio.
E, finalmente, este vai
ser o limite da direita
do quinto trapézio.
E, como vamos de um à seis,
estamos indo seis menos um

Portuguese: 
na direção x, e eu quero 
dividir isto em cinco partes,
logo, a largura de cada
trapézio vai ser igual a um.
Então se dissermos que a
largura do trapézio é delta x,
podemos dizer agora
que delta x é igual a um.
Então vamos fazer os trapézios.
O primeiro trapézio será assim.
Assim.
Bem, será um triângulo, não
exatamente um trapézio.
O segundo trapézio parecerá com isso.
Pode-se dizer que um trapézio
com um dos lados com 
largura zero vira um triângulo.
E o terceiro trapézio será assim.
E o quarto trapézio se parecerá com isso.
E, por fim, você tem o quinto trapézio.
Vamos calcular a área de cada um deles,
e então teremos uma aproximação da área
abaixo da curva.
Então vamos fazer um 
trapézio-- ou eu deveria dizer
triângulo, esta primeira forma, 
como você quiser chamá-la.
Qual será sua área?

English: 
in the x direction, and I want
to split it into five sections,
the width of each trapezoid is
just going to be equal to 1.
And so if we say that the width
of a trapezoid is delta x,
we just can now say the
delta x is equal to 1.
So let's set up our trapezoids.
So the first trapezoid is
going to look like that.
It's going to go like that.
Actually, it's going to
be a triangle, not really
a trapezoid.
Then the second trapezoid
is going to look like this.
I guess you could
say a trapezoid where
one of the sides has length
0 turns into a triangle.
And then the third trapezoid
is going to look like this.
And then the fourth trapezoid
is going to look like that.
And then finally, you
have the fifth trapezoid.
So let's calculate the
area of each of these,
and then we will have our
approximation for the area
under the curve.
So let's do trapezoid--
or I really should say
triangle-- this first shape,
whatever you want to call it.
What is the area of
that going to be?

Bulgarian: 
по оста х. Искам да го разделя на пет
равни участъка.
Следователно широчината на всеки
трапец ще бъде равна на 1.
Ако изберем широчината на един
трапец да е делта х,
то може да кажем, че делта х е равно
на 1.
Нека да построим трапеците.
Първият трапец ще изглежда ето така.
Ето по този начин.
Всъщност ще бъде триъгълник, а не
действително
трапец.
Вторият трапец ще изглежда ето така.
Предполагам, че може да кажем за
трапец, на който
едната основа има дължина 0, че се
превръща в триъгълник.
След това третият трапец ще изглежда
по следния начин.
Четвъртият трапец ще изглежда ето
така.
Накрая имаме петия трапец.
Нека да изчислим лицата на всяка
една фигура.
Така ще получим приближението на
площта
под кривата.
Нека изчислим за трапеца, или трябва
да кажа
за триъгълника. За първата фигура. Без
значение как ще я наречем.
На какво е равна площта на тази
фигура?

Thai: 
6 ลบ 1 หน่วย และผมแบ่งมันเป็น 5 ส่วน
ความกว้างของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 1
และถ้าเราบอกว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
คือเดลต้า x
เราจะบอกได้ว่า เดลต้า x เท่ากับ 1
ลองตั้งสี่เหลี่ยมคางหมูขึ้นมา
สี่เหลี่ยมคางหมูรูปแรกจะเป็นแบบนั้น
มันจะเป็นแบบนั้น
ที่จริง มันจะเป็นสามเหลี่ยม ไม่ใช่
สี่เหลี่ยมคางหมู
สี่เหลี่ยมคางหมูอันที่สอง จะเป็นแบบนี้
ผมว่า คุณคงบอกได้ว่าสี่เหลี่ยมคางหมู
ด้านหนึ่งยาว 0 เปลี่ยนเป็นสามเหลี่ยม
แล้วสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่สาม จะเป็นแบบนี้
แล้วสี่เหลี่ยมคางหมูที่สี่จะเป็นแบบนั้น
แล้วสุดท้าย คุณมีสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่ห้า
ลองคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูป
แล้วเราจะได้ค่าประมาณพื้นที่
ใต้เส้นโค้ง
ลองทำสี่เหลี่ยมคางหมูกัน -- หรือผมควรบอก
ว่าสามเหลี่ยม -- รูปแรกนี้ แล้วแต่ว่าคุณจะเรียกอะไร
พื้นที่ของรูปนั้นจะเป็นเท่าใด?

Korean: 
x축을 따라 6-1만큼을
다섯 개의 구간으로 나누었으므로
각각의 사다리꼴의 폭은
1이 됩니다
이 값을 Δx로 쓰겠습니다
그러면 Δx=1이 됩니다
이제 사다리꼴을 그려봅시다
첫 번째 사다리꼴은
이렇게 그려집니다
정확히는, 이 도형은
사다리꼴이 아니라
삼각형이지요
두 번째 사다리꼴은
이런 모양으로 그려집니다
첫 번째 삼각형의 경우
한 변의 길이가 0인
사다리꼴로 간주할 수 있겠죠?
세 번째 사다리꼴은
이렇게 그려지고
네 번째 사다리꼴은
이렇게 그려집니다
마지막 사다리꼴 역시
같은 방법으로 그려집니다
이제 각각의 사다리꼴의
넓이를 계산하여
구하고자 하는 넓이의 근삿값을
구할 수 있습니다
계산을 해 볼까요?
첫 번째 도형의 경우
삼각형이나 사다리꼴 중
무엇으로 불러도 상관없겠습니다
이 도형의 넓이는 얼마일까요?

Korean: 
사다리꼴의 넓이는
이 경우 삼각형의 넓이로
계산할 수도 있겠지만, 넓이는
두 양 끝 변의 길이의
평균값을 구한 후에
더 명확하게 말하자면
두 평행인 변의 길이의
평균값을 구한 후에
이 경우에는 이쪽의 높이인
f(1)에 f(2)를 더해서
2로 나눈 후에
Δx를 곱해주면 됩니다
Δx를 곱해주면 됩니다
똑같이 빨간색으로 쓰겠습니다
그래야 이 전체 식이 첫 번째
넓이임이 더 명확하겠네요
Δx를 곱해줍니다
이제 이 식을 다시 보면
f(1)의 값은 0이 됨을
알 수 있습니다
따라서 주어진 식은
f(2)의 값에
높이를 곱해서 절반을
취하면 되겠죠
삼각형의 넓이를 구하는
방법과 같습니다
두 번째 사다리꼴을
살펴봅시다
이 사다리꼴을
2번 사다리꼴이라 할게요

Portuguese: 
Bem, a área de um trapézio-- e você verá
isso se transformar na
área de um triângulo--
é a média das alturas dos dois
lados do trapézio, do modo
como estamos olhando isso--
ou poderia dizer da média das alturas
dos lados paralelos, acho que soa melhor.
Então se f de um-- é a 
altura aqui-- mais f de dois
tudo isto sobre dois, e então
multiplicaremos pelo nosso delta x.
Deixe-me fazer isso com o mesmo vermelho
para mostrar que isto é 
a área do primeiro trapézio,
então vezes delta x.
E como você vê aqui, se analisar, 
f de um será zero.
Se você tem f de dois vezes--
então será esta altura 
vezes esta base vezes um meio,
que é a área de um triângulo.
Vamos para o segundo trapézio,
o trapézio dois aqui.

Bulgarian: 
Лицето на трапец, а сега ще видиш, че
това ще се превърне в лицето на
триъгълник,
е равно на средната стойност от двете 
основи
на трапеца. Така както го гледаме,
следва да кажем, че това е средната
стойност от двете
успоредни страни. Предполагам, че
това е най-добрия начина да се каже.
f от 1 - това е височината тук - плюс
f от 2,
и цялото върху 2, а след това
ще го умножим по делта х.
Умножаваме го по делта х.
Нека да го запиша в същия червен цвят,
за да ти покажа, че това е площта на
първия трапец.
Умножаваме по делта х.
Както виждаш ето тук, когато го
наблюдаваме, f от 1
ще бъде равно на 0.
Следователно ще се получи f от 2,
което е тази височина, умножено по
тази основа, умножено по 1/2.
И това ни дава точно лицето на
триъгълник.
Нека да разгледаме втория трапец.
Трапец номер две ето тук.

Thai: 
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู -- และคุณจะ
เห็นว่าอันนี้เปลี่ยนเป็นพื้นที่สามเหลี่ยม -- มัน
คือค่าเฉลี่ยของความสูงของ
สี่เหลี่ยมคางหมูสองด้าน วิธีที่เรามองมัน --
คุณบอกได้ว่าค่าเฉลี่ยความสูงของ
ด้านขนานสองด้าน ผมว่านั่นคือวิธีบอกที่ดีที่สุด
f ของ 1 -- นั่นคือความสูงตรงนี้ -- บวก f ของ 2
ทั้งหมดนั้นส่วน 2 แล้วเรา
จะคูณมันด้วยเดลต้า x ของเรา
 
ที่จริง ขอผมใช้สีแดงเดียวกัน
เพื่อแสดงว่านี่คือพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมคางหมูรูปแรกนั้น
คูณเดลต้า x
และอย่างที่คุณเห็นตรงนี้ ถ้าคุณดู f ของ 1
จะเท่ากับ 0
คุณจึงได้ f ของ 2 คูณ --
มันจะเท่ากับความสูงนี้คูณฐานนี้คูณ 1/2
ซึ่งก็แค่พื้นที่สามเหลี่ยม
ลองดูสี่เหลี่ยมคางหมูรูปที่สองบ้าง
สี่เหลี่ยมคางหมูหมายเลข 2 ตรงนี้

English: 
Well, the area of a
trapezoid-- and you'll
see this will just turn into
the area of a triangle-- it's
the average of the
heights of the two
sides of the trapezoid, the
way we've looked at it--
or you could say the average
of the heights of the two
parallel sides, I guess
is the best way to say it.
So f of 1-- that's the
height here-- plus f of 2,
all of that over
2, and then we're
going to multiply it
times our delta x.
Actually, let me do that
in that same red color
to show you that this is the
area of that first trapezoid,
so times delta x.
And as you see right over here,
if you look at it, the f of 1
is just going to be 0.
So you're going to
have f of 2 times--
so it's going to be this height
times this base times 1/2,
which is just the
area of a triangle.
Let's look at the
second trapezoid,
trapezoid two right over here.

English: 
What is its area going to be?
Well, it's going to
be f of 2 plus f of 3.
f of 2 is this height.
f of 3 is this height.
So we're taking the average
of those two heights-- divided
by 2; that's the
average of those two
heights-- times the
base, times delta x.
And then let's do
trapezoid three.
I think you're
getting the idea here.
Trapezoid three is
going to be f of 3
plus f of 4 divided
by 2 times delta x.
And then-- let's see.
I'm running out of colors.
This is trapezoid
four right over here.
So plus f of 4 plus f of 5, all
of that over 2, times delta x.
And then we have
our last trapezoid,
which I will do in yellow.
So this is trapezoid
number five.
I'll scroll down a little bit,
get some more real estate.
So it's going to be plus-- I'll
just write the plus over here--

Portuguese: 
Qual será a sua área?
Bem, vai ser f de dois mais f de três.
f de dois é essa altura.
f de três é a outra altura.
Então pegamos a média 
destas duas alturas-- dividido
por dois, esta é a média destas duas
alturas-- vezes a base, vezes delta x.
E então vamos fazer o trapézio três.
Acho que está pegando a ideia aqui.
Trapézio três será f de 3
mais f de quatro dividido
por duas vezes delta x.
E então-- vamos ver.
Estou ficando sem cores.
Este aqui é o trapézio quatro .
Então f de quatro mais f de cinco,
tudo sobre dois, vezes delta x.
Então temos nosso último trapézio,
que farei em amarelo.
É o trapézio número cinco.
Eu vou descer um pouco
para ter mais espaço.
Então será mais-- eu vou
escrever o mais aqui--

Bulgarian: 
Каква е неговата площ?
Ще се получи f от 2 плюс f от 3.
f от 2 е ето тази височина.
f от 3 е ето тази височина.
Намираме сбора от двете височини.
Разделяме го на 2, което е средната
стойност,
и умножаваме по основата, т.е. по
делта х.
Нека след това да разгледаме и трапец номер 3.
Мисля, че разбираш основната идея тук.
Лицето на трапец номер 3 ще бъде f от 3
плюс f от 4, разделено на 2 и умножено
по делта х.
Нека да видим след това.
Свършват ми цветовете.
Това тук е трапец номер четири.
Тогава се получава f от 4 плюс f от 5
и всичко това върху 2, по делта х.
Накрая следва последният трапец.
Ще го направя в жълто.
Това е трапец номер 5.
Ще сляза малко по-надолу, за да си
осигуря малко повече място.
Получава се плюс, просто ще запиша
плюс ето тук,

Korean: 
이 영역의 넓이는 얼마일까요?
우선 f(2)에 f(3)을 더합니다
f(2)는 이 높이이고요
f(3)은 이 높이입니다
이 높이들의 평균을 구하면 됩니다
2로 나누면 되겠죠
이제 밑변의 길이인
Δx를 곱합니다
세 번째 사다리꼴을
살펴봅시다
이제 혼자서도 하실 수 있겠죠?
세 번째 사다리꼴의
넓이는 f(3)에
f(4)를 더해 2로 나눈 후
Δx를 곱하면 됩니다
다음 사다리꼴을 봅시다
색이 다 떨어졌네요
이 도형을 4번 사다리꼴이라 합시다
넓이는 f(4)+f(5)를 2로 나누어
Δx를 곱하면 됩니다
사다리꼴이 한 개 남았네요
노란색으로 표시하겠습니다
번호를 붙이면 5번이 되겠네요
공간이 없으니 화면을
약간만 내리겠습니다
이쪽에 식을 쓰겠습니다

Thai: 
พื้นที่ของมันจะเป็นเท่าใด?
มันจะเท่ากับ f ของ 2 บวก f ของ 3
f ของ 2 คือความสูงนี้
f ของ 3 คือความสูงนี้
เราจะหาค่าเฉลี่ยของความสูงสองตัวนั้น
-- หาร
ด้วย 2 นั่นคือค่าเฉลี่ยของความสูง
สองตัวนั้น -- คูณฐาน คูณเดลต้า x
แล้วลองทำสี่เหลี่ยมคางหมู 3 บ้าง
ผมว่าคุณคงเข้าใจแนวคิดตรงนี้
สี่เหลี่ยมคางหมู 3 จะเท่ากับ f ของ 3
บวก f ของ 4 หารด้วย 2 คูณเดลต้า x
แล้ว -- ลองดู
ผมใช้สีหมดแล้ว
นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมู 4 ตรงนี้
บวก f ของ 4 บวก f ของ 5 ทั้งหมดส่วน 2
คูณเดลต้า x
แล้วเรามีสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสุดท้าย
ซึ่งผมจะวาดด้วยสีเหลือง
นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูหมายเลข 5
ผมจะเลื่อนลงมาหน่อย หาที่เขียนเพิ่ม
มันจะเท่ากับบวก -- ผมจะเขียนบวกตรงนี้นะ --

English: 
plus f of 5 plus f of 6
over 2 times our delta x.
So let's see how we can
simplify this a little bit.
All of these terms,
we have a 1/2 delta x,
so let's actually
factor that out.
So remember, this is our
approximation of our area.
So area is
approximately-- remember,
this is just a
rough approximation.
It's very clear--
actually, you might say,
this is pretty good
using the trapezoids,
but it is pretty
clear that we are
letting go of some of the area.
We're letting go of that area.
We're letting go of some
of this right over here.
You can barely see it.
Some of this right over
here, you can barely see it.
But we are-- this is going
to be, it looks like,
an underestimate, but it
is a decent approximation.
But let's see if we can
simplify this expression.
So it's approximately
going to be equal to,
I'm going to factor
out a delta x over 2.
And then what I'm
left with-- and I
will switch to a neutral
color-- if I factor out

Portuguese: 
mais f de cinco mais f de seis
sobre dois vezes delta x.
Vamos ver como podemos
simplificar isso um pouco.
Em todos estes termos,
temos um meio delta x,
vamos pôr isto para fora.
Então lembre-se, esta é a
nossa aproximação da área.
A área é aproximadamente, lembre-se,
é uma aproximação grosseira.
Fica claro-- pode dizer,
até que é bom usando os trapézios,
mas fica claro que estamos
deixando um pouco de área fora.
Esta área deixamos fora.
Vamos esquecer um pouco disto aqui.
Mal se vê.
Um pouco disto, mal se vê.
Mas estamos-- isto parece
subestimado, mas é uma 
aproximação decente.
Vamos ver se podemos 
simplificar esta expressão.
Então será aproximadamente igual a--
Eu vou distribuir esse delta sobre dois.
E então me resta-- vou mudar pra uma
cor neutra-- se eu distribuir

Thai: 
บวก f ของ 5 บวก f ของ 6 ส่วน 2
คูณเดลต้า x
ลองดูว่าเราจัดรูปอันนี้หน่อยได้ไหม
เทอมเหล่านี้ทั้งหมด เรามี 1/2 เดลต้า x
ลองแยกตัวประกอบออกมากัน
นึกดู นี่คือค่าประมาณพื้นที่ของเรา
พื้นที่นั้นคือการประมาณ -- นึกดู
นี่ก็แค่การประมาณหยาบๆ
มันชัดเจนมาก -- คุณอาจบอกว่า
การใช้สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นดี
แต่เห็นได้ชัดว่าเรา
ปล่อยพื้นที่บางส่วนไป
เราปล่อยพื้นที่นั้นไป
เราปล่อยพื้นที่บางส่วนของอันนี้ไป
คุณเห็นได้นิดหน่อย
บางส่วนของอันนี้ตรงนี้ คุณแทบจะไม่เห็น
แต่เรา -- อันนี้จะเท่ากับ มันดูเหมือนว่า
มันประมาณค่าต่ำไป แต่มันประมาณได้ดีอยู่
ลองดูว่าเราจัดรูปพจน์นี้ได้ไหม
มันจะประมาณเท่ากับ
ผมจะแยกเดลต้า x ส่วน 2 ออกมา
 
แล้วสิ่งที่ผมเหลือ -- ผม
จะเปลี่ยนเป็นสีกลางๆ -- ถ้าผมแยก

Korean: 
f(5)+f(6)을 2로 나누어
Δx를 곱해줍니다
이 식을 어떻게
정리할 수 있을까요?
모든 항에 ½Δx가 포함되어 있으므로
묶어내 보도록 할게요
기억하셔야 할 것은
우리가 구하는 것이
넓이의 근삿값이라는 겁니다
정확한 값이 아니에요
사다리꼴을 이용해서
넓이를 구하는 방법은
쉽다는 장점이 있지만
약간의 넓이가 손실됩니다
이 부분의 넓이는 무시하지요
이 부분의 넓이는
계산하지 못합니다
보이시죠?
여기 있는 아주 작은 넓이는
고려하지 못합니다
따라서 근삿값은 원래 넓이보다
작아지겠지만
그래도 이 근사는 꽤 정확합니다
이제 이 식을 어떻게
정리할지 생각해봅시다
넓이의 근삿값은
½Δx를 밖으로 빼내도록 할게요
½Δx를 밖으로 빼내도록 할게요
이제 어떤 식이 남았습니까?
색을 바꾸도록 할게요

Bulgarian: 
плюс f от 5 плюс f от 6 върху 2,
по делта х.
Нека да видим, как може да опростим
този израз.
Във всеки от членовете присъства
1/2 по делта х,
така че нека да го изнесем пред скоби.
Припомни си, че това е приближението
на площта.
Записваме площта е приблизително
равна на това,
защото това е само приближение.
Ясно е, дори може би ще кажеш,
че е много подходящо да се използват
трапеци,
но е ясно също така, че
не може да покрием част от площта.
Изключваме тази площ.
Изключваме част от тези площи ето тук.
Едва се забелязват.
Част от площта ето тук, която едва се
забелязва.
Изглежда обаче, че това, което ще
получим,
е приближение с недостиг. Все пак
обаче е добро приближение.
Нека сега да видим, как може да
опростим този израз.
Ще бъде приблизително равен на
следното.
Ще изнеса отпред делта х върху 2.
Изнасям пред скоби делта х върху 2.
След това имам това, което е останало.
Ще използвам неутрален цвят. Изнасям

Korean: 
첫 번째 항에서는 f(1)이 나옵니다
f(2)는 두 개가 나오죠
따라서 f(2)의 두 배를 더해줍니다
이 과정을 다 설명하는 이유는
여러분의 미적분학 교과서에서
비슷한 식이 나올 수 있기 때문입니다
이 방법은 이상한 방법이 아니에요
사다리꼴의 넓이를 단지
더할 뿐입니다
f(3)도 두 개가 있으므로
f(3)의 두 배를 더해줍니다
마찬가지로 f(4)의 두 배를 더해주고
f(5)도 두 배를 더해줍니다
마지막으로, 한 개의
f(6)을 더해줍니다
이 결과를 일반화해봅시다
첫 번째 끝점의 함숫값과
마지막 점의 함숫값은
각각 한 번 더해지고
나머지 점의 함숫값은
두 번씩 더해집니다
하지만 이 값은 단지
사다리꼴의 넓이일 뿐이죠
저는 사실 이 방법을
그렇게 좋아하지는 않습니다
왜냐하면 이 식으로부터는
사다리꼴을
시각화하기 어렵기 때문입니다
하지만 이 위의 식을 보면
사다리꼴을 시각화하기 쉬워지지요
그래도 우리는 아래쪽 식을
계산해보도록 하겠습니다
다행히도 계산이 간단하네요

Bulgarian: 
делта х върху 2, а след това имам само
f от 1.
Следва два пъти f от 2, т.е. плюс 2 пъти по f от 2.
Правя това, защото може би виждаш
такива формули,
т.е. изглеждащи така, в учебника си по
анализ.
Не е нещо мистериозно.
Просто са сумирали лицата на
трапеците.
След това ще имаме 2 пъти по f от 3.
Плюс 2 пъти
по f от 3.
f от 4 също се повтаря. Плюс 2 пъти по f от 4.
След това имаме два пъти f от 5, така че
следва 2 по f от 5.
Накрая имаме един път f от 6,
т.е. плюс f от 6.
Нека да обобщим всичко.
Имаме един член за първата крайна
точка, функцията
изчислена в първата крайна точка,
и един член
за последната точка. Остават по два
пъти от всеки член за другите точки.
Това е просто лицето на трапеците.
Не ми харесва, когато в учебниците е
записано то този начин,
защото, когато го видиш е трудно да
си представиш
самите трапеци.
А когато наблюдаваш този израз,
е много по-ясно
как може да си го представиш.
Като изключим това, нека сега да
изчислим израза.
За щастие сметките тук са прости.

English: 
a delta x over 2, then
I have just an f of 1.
And then I have two f of
2's, so plus 2 times f of 2.
And I'm doing this because
you might see a formula that
looks something like this
in your calculus book,
and it's not some
mysterious thing.
They just really summed up
the areas of the trapezoids.
And then we're going to have
two f of 3's-- plus 2 times f
of 3's.
Plus we're going to have two f
of 4's-- plus 2 times f of 4.
And then we're going to have two
f of 5's-- plus 2 times f of 5.
And then finally, we're going to
have one f of 6-- plus f of 6.
If you were to
generalize it, you
have one of the first
endpoint, the function
evaluated at the first
endpoint, one of it at the very
last endpoint, and then two
of all of the rest of them.
But this is just the
area of trapezoids.
I'm not actually a big fan
of when textbooks write this.
Because when you see this,
it's hard to visualize
the trapezoids.
When you see this,
it's much clearer
how you might visualize that.
But with that out of the way,
let's actually evaluate this.
Lucky for us, the
math is simple.

Portuguese: 
o delta sobre dois, então eu tenho f de 1.
E as de f de dois, logo, 
duas vezes f de dois.
E faço isto porque você
pode ver uma fórmula que
parece com isso no seu livro de cálculo,
e não é nada misterioso.
Eles apenas somaram 
as áreas dos trapézios.
Então teremos dois f de três-- 
mais dois vezes f de três.
Mais dois f de quatro--
duas vezes f de quatro.
E mais dois f de cinco-- 
duas vezes f de cinco.
E, finalmente, um f de seis
-- mais f de seis.
Se generalizar isto, você
tem o primeiro ponto extremo, a função
calculada na extremidade, e um no
último extremo, e dois de todo o resto.
Mas isto é a área de trapézios.
Não aprecio muito quando 
os livros escrevem isto.
Porque lendo, é difícil 
visualizar os trapézios.
Quando você vê isto, é bem mais claro
como deve ser visualizado.
Mas esquecendo isto, vamos calcular.
Pra nossa sorte, isto é simples.

Thai: 
เดลต้า x ส่วน 2 ออกมา ผมจะได้แค่ f ของ 1
แล้วผมมี 2 f ของ 2 ได้บวก 2 คูณ f ของ 2
และผมจะทำอย่างนี้เพราะคุณอาจเห็นสูตรที่
เป็นแบบนี้ในหนังสือแคลคูลัสของคุณ
และมันไม่ใช่เรื่องลึกลับอะไร
เขาแค่บวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
แล้วเราจะได้ f ของ 3 สองตัว บวก 2 คูณ
f ของ 3
บวก เราจะได้ f ของ 4 สองตัว -- 
บวก 2 คูณ f ของ 4
แล้วเราจะได้ f ของ 5 สองตัว --
บวก 2 คูณ f ของ 5
แล้วสุดท้าย เราจะได้ f ของ 6 หนึ่งตัว
-- บวก f ของ 6
ถ้าคุณขยายผลทั่วไป คุณจะ
ได้ค่าจุดปลายจุดแรกหนึ่งตัว ฟังก์ชัน
หาค่าที่จุดปลายจุดแรก หนึ่งตัวที่
จุดปลายสุดท้าย แล้วก็ค่าที่เหลืออย่างละสองตัว
แต่นี่ก็แค่พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
ผมไม่่ใช่คนชอบให้หนังสือเรียนเขียนอย่างนี้
เพราะเวลาคุณเห็นอย่างนี้ 
มันเห็นภาพสี่เหลี่ยมคางหมูได้ยาก
 
เวลาคุณเห็นอันนี้ มันชัดกว่ามาก
ว่าคุณเห็นภาพเป็นอย่างไร
แต่พักเรื่องนั้นไว้ ลองหาค่าอันนี้กัน
โชคดีของเรา เลขมันง่าย

Thai: 
เดลต้า x ของเราก็แค่ 1
 
แล้วเราแค่ต้องหาค่าพวกนี้ทั้งหมด
f ของ 1 ลองทบทวนกัน
ว่าฟังก์ชันเดิมของเราคืออะไร
ฟังก์ชันเดินของเราคือรากที่สองของ x ลบ 1
 
f ของ 1 จึงเป็นรากที่สองของ 1 ลบ 1
นั่นจะเท่ากับ 0
พจน์นี่ตรงนี้
จะเป็น 2 คูณรากที่สองของ 2 ลบ 1
รากที่สองของ 2 ลบ 1 ก็แค่ 1
นี่ก็จะเท่ากับ 2
ที่จริง ขอผมทำแบบเดียวกัน --
ตอนนี้ผมจะใช้สีม่วงด้วยจุดประสงค์
ต่างจากสี่เหลี่ยมคางหมูรูปแรก
หวังว่าคุณคงเห็นนะ
ผมแค่ใช้สีปากกาเดิมต่อไป
แล้ว f ของ 3
3 ลบ 1 เป็น 2 -- รากที่สองของ 2
ฟังก์ชันหาค่าที่ 3 คือรากที่สองของ 2
อันนี้จะเท่ากับ 2 คูณรากที่สองของ 2
แล้วฟังก์ชันหาค่าที่ 4
เมื่อคุณหาค่ามันที่ 4 คุณจะได้รากที่สองของ 3
อันนี้จะเท่ากับ 2 คูณรากที่สองของ 3

Portuguese: 
O delta x é um.
E então temos que calcular tudo isto.
f de 1-- vamos nos recordar,
do que era a função original.
Nossa função original era
raiz quadrada de menos um.
Logo, f de um é raiz
quadrada de um menos um,
Logo, será zero.
Esta expressão aqui será
dois vezes a raiz quadrada
de dois menos um.
A raiz quadrada de dois menos um é um,
logo, será dois.
Na verdade, deixe-me
fazer isso como-- bem,
estou usando o roxo com outro propósito,
além do primeiro trapézio.
Espero que tenha entendido.
Eu estava sofrendo com essa cor.
Então f de três.
Três menos um é dois--
raiz quadrada de dois.
A função calculada em três é raiz de dois.
Logo, será dois raiz quadrada de dois.
A função calculada em quatro.
Quando você calcula ela em
quatro, fica com raiz de três.
Logo, será duas vezes raiz de três.

English: 
Our delta x is just 1.
And then we just have to
evaluate all of this business.
f of 1, let's just
remind ourselves
what our original function was.
Our original function was
the square root of x minus 1.
So f of 1 is the square
root of 1 minus 1,
so that is just going to be 0.
This expression
right over here is
going to be 2 times the
square root of 2 minus 1.
The square root of
2 minus 1 is just 1,
so this is just going to be 2.
Actually, let me do it
in that same-- well,
I'm now using the purple
for a different purpose
than just the first trapezoid.
Hopefully, you realized that.
I was just sticking
with that pen color.
Then f of 3.
3 minus 1 is 2--
square root of 2.
So the function evaluated at
3 is the square root of 2.
So this is going to be 2
times the square root of 2.
Then the function
evaluated at 4.
When you evaluate it at 4,
you get the square root of 3.
So this is going to be 2
times the square root of 3.

Korean: 
Δx의 값은 1입니다
Δx의 값은 1입니다
이제 이 값을 모두
계산하면 되겠죠
f(1)을 계산하기 위해
원래 함수가 무엇이었는지
생각해봅시다
원래 함수는
f(x)=√(x-1)이었네요
원래 함수는
f(x)=√(x-1)이었네요
따라서 f(1)=√(1-1)이기 때문에
0이 됩니다
여기 있는 f(2)의 값은
2-1의 제곱근의 두 배가 되겠습니다
√(2-1)=1이므로
2가 되겠네요
같은 보라색으로 표시했지만
이 항은 두 개의 사다리꼴에서
나온 것임을 알려드립니다
물론 이미 알고 계시겠지만요
그냥 색을 바꾸지 않고 쓴 겁니다
다시, f(3)을 계산해봅시다
3-1=2이므로 제곱근을 취하면
f(3)=√2입니다
따라서 이 값은 2√2가 됩니다
f(4)의 값은 얼마일까요?
f(4)=√3이므로
이 항의 값은 2√3입니다

Bulgarian: 
Делта х е равно на 1.
Делта х е равно на 1.
Тогава просто следва да изчислим
всички тези членове.
Нека си припомним,
на какво е равна първоначалната
функция.
Първоначалната функция е равна на
квадратен корен от х минус 1.
Квадратен корен от х минус 1.
Имаме f от 1, което е равно на
квадратен корен от 1 минус 1.
Следователно това е равно на 0.
Този израз ето тук ще бъде
2 по квадратен корен от 2 минус 1.
Квадратен корен от 2 минус 1, е равен
на 1.
Тогава този член е равен на 2.
Нека да го запиша със същия цвят.
В момента използвам лилаво
с различна цел.
Това е първият трапец.
Надявам се, че го разбираш.
Просто остана този цвят на писеца.
След това имаме f от 3.
3 минус 1 е равно на 2, т.е квадратен
корен от 2.
Тогава функцията, изчислена в точка 3
е равна на квадратен корен от 2.
Тук ще се получи 2 по квадратен корен
от 2.
След това имаме функцията, изчислена
в точка 4.
Когато я изчислим за точка 4,
получаваме квадратен корен от 3.
Това ще бъде равно на 2 по квадратен
корен от 3.

Korean: 
마지막으로 얻게 되는 값은 5-1=4의 제곱근인
√4입니다
√4의 두 배는 4죠
마지막으로, f(6)의 값은
√5가 됩니다
이제 계산할 수 있겠네요
제 계산기인 TI-85를 사용합시다
계산해봅시다
제일 앞에 곱해지는 값은
0.5입니다. 괄호를 열고
첫 항의 값은 0이네요
이해를 돕기 위해
그냥 쓰도록 하겠습니다
0 더하기 2 더하기
이런, 계산기가 없어졌네요
2√2를 더하고
2√3과 4를 더하고
√5까지 더해줍니다

Portuguese: 
E então você tem duas vezes a raiz 
de quatro-- cinco menos um é quatro.
Duas vezes a raiz de quatro é quatro.
E finalmente, temos f de seis, 
que é raiz de seis menos um--
raiz quadrada de cinco.
E eu acho que estamos
prontos pra calcular.
Deixe-me pegar minha
prática TI-85 e calcular isso.
Isto será-- bem, vou apenas
calcular, apenas multiplicar.
Então um meio abre 
parênteses-- bem, é zero.
Vou escrever isso aqui, para 
que saiba o que faço.
Zero mais dois, ops.
Perdi minha calculadora.
Mais dois vezes raiz de
dois mais dois vezes raiz
de três mais quatro-- quase
terminando-- mais raiz de cinco--

English: 
And then you get 2 times the
square root of 4-- 5 minus 1
is 4.
2 times the square
root of 4 is just four.
And then finally, you get f of
6 is square root of 6 minus 1,
is the square root of 5.
And I think we're now
ready to evaluate.
So let me get my handy TI-85
out and calculate this.
So it's going to
be-- well I'm just
going to calculate--
well, I'll just multiply.
So 0.5 times open
parentheses-- well, it's a 0.
I'll just write it, just
so you know what I'm doing.
0 plus 2 plus-- whoops.
Lost my calculator.
Plus 2 times the square root of
2 plus 2 times the square root
of 3 plus 4-- I'm almost done--
plus the square root of 5--

Bulgarian: 
След това имаме 2 по квадратен корен
от 4, защото 5 минус 1
е равно на 4.
2 по квадратен корен от 4 е равно на 4.
И накрая имаме f от 6, т.е. квадратен
корен от 6 минус 1,
или квадратен корен от 5.
Мисля, че сега сме готови да го изчислим.
Нека да взема своя джобен TI-85, за да
го изчисля.
Ще се получи следното. Сега просто
ще пресмятам. Просто ще умножавам.
0,5 по това, което е в скобите. Първо е 0.
Ще го запиша, за да е ясно какво правя.
0 плюс 2...Опа!
Изгубих си калкулатора.
Плюс 2 по квадратен корен от 2, плюс 2
по квадратен корен
от 3, плюс 4, плюс квадратен корен от 5.

Thai: 
แล้วคุณได้ 2 คูณรากที่สองของ 4 -- 5 ลบ 1
เป็น 4
2 คูณรากที่สองของ 4 ก็แค่ 4
แล้วสุดท้าย คุณได้ f ของ 6 
คือรากที่สองของ 6 ลบ 1
เป็นรากที่สองของ 5
และผมว่า เราพร้อมจะหาค่าแล้ว
ขอผมเอาเครื่องคิดเลข TI-85 ออกมาคิดนะ
มันจะเท่ากับ -- ผม
จะคำนวณ -- ผมแค่คูณ
0.5 คูณเปิดวงเล็บ -- มันคือ 0
ผมเขียนมัน คุณจะได้รู้ว่าผมทำอะไรอยู่
0 บวก 2 บวก -- โอ๊ย
เครื่องคิดเลขหาย
บวก 2 คูณรากที่สองของ 2 บวก 2 คูณรากที่สอง
ของ 3 บวก 4 -- ผมใกล้เสร็จแล้ว --
บวกรากที่สองของ 5 --

Bulgarian: 
Нека го запиша. Квадратен корен от 5.
Почти сме готови за поздрав. Получава
се
стойност, която просто ще закръгля
на 7,26.
Следователно площта е приблизително
равна на 7,26
под кривата у е равно на квадратен
корен
от х минус 1, в интервала от х равно на 1
до х равно на 6.
Изчислихме я като използвахме
трапеци.

Thai: 
ขอผมเขียนนะ -- จะได้ --
ตอนนี้เราพร้อมตีกลองต้อนรับแล้ว -- มันจะให้ --
ผมจะปัดมันนะ -- 7.26
พื้นที่ประมาณเท่ากับ 7.26
ใต้เส้นโค้ง y เท่ากับรากที่สองของ x
ลบ 1 ระหว่าง x เท่ากับ 1 และ x เท่ากับ 6
และเราทำอันนี้โดยใช้สี่เหลี่ยมคางหมู
 

Korean: 
이제 다 적었으니
값을 구해보면
대략 7.26이 나오네요
따라서 넓이는 대략 7.26입니다
곡선 y=√(x-1)과
직선 x=1, x=6 사이의 넓이 말이죠
사다리꼴을 이용해 구했습니다
 

Portuguese: 
deixe-me escrever isto, dê-me--
agora estamos prontos pro
rufar de tambores! Isto dá
-- vou arrendodar-- 7,26
Então a área é aproximadamente 7,26
abaixo da curva y igual a raiz de x de x
menos um a x igual a um e x igual a seis.
E fizemos isto usando trapézios.
Legendado por: [rodrigo.sbender]
Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]

English: 
so let me write
that-- gives me--
now we are ready for our
drum roll-- it gives me--
and I'll just round it-- 7.26.
So the area is
approximately equal to 7.26
under the curve y is equal
to the square root of x
minus 1 between x
equals 1 and x equals 6.
And we did this
using trapezoids.
