
Czech: 
Funkce f je definovaná
na reálných číslech.
V následující tabulce jsou
vybrané hodnoty funkce f.
Tady je naše tabulka.
Pro tyto hodnoty x nám říká,
jaká je funkční hodnota.
Jaký je rozumný odhad pro hodnotu
limity f(x) pro x blížící se k 1 zleva?
Zastavte si video a zkuste
si to zjistit samostatně.
A teď se na to
podívejme společně.
První, co je důležité si
uvědomit, je to,
že když se x blíží k něčemu
a vidíme tento symbol minus,
tak to neznamená,
že jde o −1.
Nejde o −1.
Někdy váš mozek vidí
1 a znaménko minus
a řekne si: „To musí být jen
divný zápis pro −1."
Ani o tom nepřemýšlíte.
Ale není to tak.
Říká nám to,
že jde o limitu z funkce f(x)
pro x blížící se k 1 zleva.

English: 
- [Instructor] The function F is defined
over the real numbers.
This table gives select values of F.
We have our table here.
For these X values, it gives
the corresponding F of X.
What is a reasonable estimate
for the limit of F of X
as X approaches one from the left?
So pause this video
and see if you can figure
it out on your own.
Alright, now let's work
through this together.
So the first thing that is
really important to realize
is when you see this X approaches one
and you see this little
negative superscript here,
this does not mean
approaching negative one,
so this does not mean negative one.
Sometimes your brain just sees a one
and that little negative sign there,
and you're like oh,
this must be a weird way
of writing negative one,
or you don't even think about it,
but it's not saying that.
It's saying, this is saying,
let me put a little arrow here,
this is the limit of F of X
as X approaches one from the left,

Korean: 
함수 f는 실수에 대해
정의되어있습니다
표는 특정 f의 값을
표시합니다
표가 여기 있습니다
해당 x 값들에 대해
f(x)의 값을 줍니다
x가 1에 왼쪽에서
가까워질 때
f(x)의 값은 무엇인가요?
영상을 멈추고
혼자서 풀어보세요
좋습니다 이를
같이 풀어봅시다
제일 중요한 것은
x 가 1에 가까워지는
이 표시에
- 표시가
있다는 것입니다
이는 -1에 가까워진다는
의미가 아닙니다
-1이 아니죠
가끔 여러분의 뇌는 1과
-가 있으니
-1을 적는 또다른
방법이라고 생각을 합니다
혹은 생각도 안하죠
하지만 이는 아닙니다
이 의미는
화살표를 그릴게요
이는 x가 1에
왼쪽에서 가까워질 때
f(x)의 극한입니다

Bulgarian: 
Функцията f е определена
за реалните числа.
Тази таблица съдържа
избрани стойности за f.
Имаме тези стойности
на х в първия ред
и съответните им
стойности на f(x).
Кое е добро приближение
за границата
на f(x) при х,
клонящо към 1
отляво?
Остави видеото на пауза
и опитай самостоятелно.
Нека сега да решим
задачата заедно.
Най-важното, което трябва
да разберем най-напред,
e как да разбираме означенията:
х клони към 1
и този малък минус тук.
Това не означава, че х
клони към минус 1.
Това не е минус 1.
Макар и да е лесно
да се сбърка,
това не е друг начин
да се запише минус 1.
Не се бъркай.
Това всъщност означава,
ще сложа стрелка тук,
това е границата
на f(x)
за х, клонящо към 1

Bulgarian: 
от лявата посока.
Това е лява граница.
Как разбрахме, че е лява?
Това ни показва
този малък минус тук.
Той обозначава,
че се доближаваме до 1
откъм по-малките стойности.
Ако се приближавахме към 1
отдясно,
откъм по-големите стойности,
тук щеше да има
знак плюс.
Ето тук.
Нека помислим.
Търсим границата,
когато х клони към 1
отляво.
За наше щастие,
таблицата ни дава
стойности на х,
които приближават 1
отляво:
0,9 вече е доста близо до 1,
после имаме и по-близки
числа до лявата страна на 1.
Забележи, че всички тези
са по-малки от 1,
но се приближават
все повече до 1.
Това, която искаме да видим,
е стойността,
до която се доближава f(x),
когато х клони към 1,
когато се приближава
все по-близо до 1
отляво.
Тези са отляво на 1.
Най-важно е да разберем,
че когато говорим за граница
в обшия смисъл,

Czech: 
Zleva.
Zleva, ale
jak to víme?
To nám říká
toto malé minus.
Říká nám to, že se blížíme k 1
po hodnotách menších než 1.
Kdybychom se
k 1 blížili zprava,
tedy po hodnotách
větších než 1,
bylo by zde
znaménko plus.
Tak se nad
tím zamysleme.
Chceme určit limitu pro
x blížící se k 1 zleva.
Naštěstí pro nás jsou v
tabulce nějaké hodnoty x,
které se
k 1 blíží zleva.
0,9, což už je
dosti blízko k 1,
a pak se dostáváme
ještě blíže k 1 zleva.
Všimněte si, že tato čísla jsou všechna
menší než 1 a jsou čím dál tím blíž k 1.
A co my chceme
vědět je to,
čemu se blíží
hodnoty f,
když se x čím dál
tím víc blíží k 1 zleva.
Zleva.
Klíčové je uvědomit si,
že když máme oboustranné limity,

Korean: 
왼쪽에서요
따라서 왼쪽에서인지
어떻게 알까요?
이게 -가 의미하는 것이죠
이는 1보다 작은 값에서
1에 가까워진다는 뜻이죠
1에 오른쪽에서
가까워질 경우
더 큰 값에서 1에 갈 경우
+ 부호가 붙을 것입니다
한 번 봅시다
x가 왼쪽에서 가까워질 때
극한을 구해야 합니다
운이 좋게도 표에는
왼쪽에서 1에 가까워지는
x의 값들이 있습니다
0.9는 1에 가깝죠
그리고 좀 더 가까워집니다
이 값들은 모두
1보다 작습니다
하지만 점점 1에 가까워지죠
여기서 구해야할 것은
f(x)의 값이
x가 1에 가까워질수록
어떤 값에 가까워지는지입니다
왼쪽에서요
여기서 중요한 점은
보통 극한을 생각하면

English: 
from the left.
So from the left, how do we know that?
Well that's what that
little negative tells us.
It tells us we're approaching one
from values less than one.
If we were approaching one from the right,
from values greater than one,
that would be a positive
sign right over there.
So let's think about it.
We want the limit as X
approaches one from the left,
and lucky for us on this table,
we have some values of X
approaching one from the left.
0.9, which is already pretty close to one,
then we get even closer
to one from the left.
Notice, these are all less than one,
but they're getting
closer and closer to one.
And so what we really wanna look at
is what does F of X approach
as X is getting closer and closer to one,
from the left, from the left.
And a key realization here is,
if we're thinking about general limits,

Bulgarian: 
тя е не само от едната посока,
трябва да видим
какво става
и отляво, и отдясно.
Сега се търси само
лява граница,
затова ще разгледаме
само тези числа,
които са по-малки от 1.
Дори не ни е нужно
да гледаме f(x)
за х=1,
за да не се бъркаме.
Често се случва
границата да приближава
съвсем различно число,
отколкото стойността
на самата функция
в тази точка.
Да погледнем тук.
За х=0,9
f(x) е 2,5.
Като се доближим
още повече от ляво,
то става 2,1.
Като се доближим
още повече до 1 отляво,
функцията става
все по-близка до 2.
Затова,
добро приближение
на границата на f(x)
при х, клонящо към 1 отляво,
изглежда, че е
някъде около 2.
Не можем да знаем
със сигурност,
затова казваме, че е
добро приближение.
Може и да се доближава
до 2,01
или например до 1,999.
В Кан Академия
такива задачи обикновено
са тестови,

Czech: 
a ne jen ty z jedné strany,
tak nás budou zajímat
hodnoty zleva i zprava.
Ale v zadání je
jen limita zleva,
takže by nás měly
zajímat jen tyto hodnoty.
A neměli bychom se nechat
zmást hodnotou funkce f v bodě 1.
Někdy, a je to
poměrně často,
se limita rovná něčemu jinému
než funkční hodnotě v daném bodě.
Tak se na to podívejme.
f v bodě 0,9 je 2,5,
když jsme ještě blíže k 1 zleva,
dostaneme 2,1.
Když jsme ještě
blíže k 1 zleva,
hodnota funkce
je ještě blíž ke 2.
Takže rozumný odhad hodnoty limity pro
x blížící se k 1 zleva z funkce f(x)…
Vypadá to, že hodnoty
f(x) se blíží ke 2.
Nevíme to ale jistě, proto se
nás ptají na rozumný odhad.
Limita může být rovna 2,01
nebo také třeba 1,999.
Na webu Khan Academy toto
často budou uzavřené otázky,
ve kterých vybíráte 
z několika možností.

Korean: 
한 방향만
생각하면 안되고
왼쪽과
오른쪽 모두
생각해야 합니다
하지만 문제는 왼쪽의
경우를 물어보죠
따라서 이 값들만 보면 됩니다
여기 이 값들요
따라서 x가
1일 때의 값은
신경 쓰지 않아도 됩니다
때때로 극한이
함수의 한 점의 값과
다른 값에 가까워질
경우가 있습니다
이 경우를 보세요
0.9일 때 f(x)는
2.5입니다
더 가까워지면
2.1이 되죠
왼쪽에서 더 가까워지면
2에 더 가까워집니다
따라서 f(x)가 1의
왼쪽에서 가까워질 때
극한의 근삿값은
f(x)가 2에
가까워지는 것처럼 보이네요
f(x)가 2에
가까워지는 것처럼 보이네요
정확히는 잘 모릅니다
따라서 근삿값이라고 하죠
2.01일 수도 있습니다
1.999일 수도 있죠
칸아카데미에서
이 문제는 주로
객관식으로 나옵니다
따라서 가장 그럴듯한
답을 고르죠

English: 
not just from one direction,
then we might wanna look at
from the left and from the right,
but they're asking us only from the left,
so we should only be
looking at these values
right over here.
In fact, we shouldn't even
let the value of F of X
at X equal one confuse us.
Sometimes and oftentimes,
the limit is approaching a different value
than the value of the
function at that point.
So let's look at this.
At 0.9, F of X is 2.5.
When we get even closer
to one from the left,
we go to 2.1.
When we get even closer
to one from the left,
we're getting even closer to two.
So a reasonable estimate for
the limit as X approaches one
from the left of F of X,
it looks like F of X right over here
is approaching two.
We don't know for sure,
that's why they're saying,
what is a reasonable estimate.
It might be approaching 2.01
or it might be approaching 1.999.
On Khan Academy these will often be
multiple choice questions,
so you have to pick the
most reasonable one,

Czech: 
Nebylo by ale zrovna férové, kdyby
1,999 a 2,01 byly nabízené možnosti.
Ale kdybyste si řekli, že tohle
se bude asi rovnat celému číslu,
tak by 2 byl
rozumný odhad.
I když to 2 být nemusí,
může to být 2,01258,
tomu se může limita
ve skutečnosti rovnat.
Zkusme si udělat
další příklad.
V tomto případě se ukázalo, že existuje
rozumný odhad pro limitu zleva.
Nyní zde máme, že funkce f je
definovaná na reálných číslech
a v tabulce jsou
vybrané hodnoty funkce f,
podobně jako v předchozí úloze.
Jaký je rozumný odhad pro
limitu pro x blížící se k −2 zleva?
Tohle je trochu matoucí,
protože máme dvě znaménka minus.
První znaménko minus nám
říká, že se blížíme k −2.
Chceme vědět, co se děje,
když se blížíme k −2.
A budeme se
znovu blížit zleva.
Naštěstí pro nás jsou
v tabulce hodnoty x,
které se k −2 blíží zleva.

English: 
it would not be fair if they
gave a 1.999 as a choice
and 2.01,
but if you were saying,
hey, maybe this was
approaching a whole number,
then two could be a reasonable
estimate right over here.
Although it doesn't have to be two,
it could be 2.01258,
it might be what it is
actually approaching.
So let's try another example here.
Here it does look like
there's a reasonable estimate
for the limit as we approach
this value from the left.
So now, it says the function F
is defined over the real numbers.
This table gives select values of F,
similar to the last question.
What is a reasonable
estimate for the limit
as X approaches negative
two from the left?
So this is confusing.
You see these two negative signs.
This first negative sign tells us
we're approaching negative two.
We wanna say, what happens
we're approaching negative two,
and we're gonna approach
once again from the left.
So lucky for us, they have values of X

Korean: 
1.999와 2.01을
동시에 보기로 주면
정당하지 않죠
하지만
정수에 가까워진다고 하면
2가 가능한 답이겠죠
2일 필요는 없고
2.01258에 가까워지는
값일 수도 있습니다
다른 예제를 풀어봅시다
왼쪽에서 가까워질 경우에
극한의 값의 추정치가
괜찮은 것 같습니다
따라서 함수 f는
실수에 대해 정의가 됩니다
표는 정해진 f의 값을
이전 문제처럼 제공하죠
x가 -2에 왼쪽에서
가까워질 때
극한은 얼마인가요?
이는 매우 헷갈리네요
- 사인이 두 개나 있어요
첫 번째 - 사인은
-2에 가까워진다는
것을 말해줍니다
-2에 가까워질 때
어떻게 되는지 물어보는 것입니다
그리고 다시
왼쪽에서 가까워지고요
운이 좋게도
x의 값들이 -2에

Bulgarian: 
в които да избереш най-добрия
от няколко възможни отговора.
При тях нямаше да е честно
да има възможни отговори
1,999 и 2,01.
Но ако търсиш
с точност до цяло число,
тогава 2 е добро приближение
на тази граница,
но тя не е задължително да е 2.
Може би нещо като 2,01258
да се окаже точната стойност
на границата.
Сега да опитаме
с друг пример.
Тук изглежда, че има
добро приближение
за границата, когато приближаваме
това число отляво.
Сега е дадено, че
функцията f е определена
за реалните числа.
Чрез тази таблица са дадени
избрани стойности на f,
подобно на предишния пример.
Намери добро приближение
на границата,
когато х клони към –2 отляво.
Тук имаме два знака минус.
Първият ни казва,
че ни интересува какво става,
когато х клони към
отрицателното число минус 2.
Вторият минус показва,
че се приближаваме
отново отляво.
За наш късмет
тук са дадени стойности на х,

English: 
that are approaching
negative two from the left,
so this is X approaches
negative two from the left,
so that is happening right over here.
So that's these values.
So notice, this is negative 2.05,
then we get even closer, negative 2.01,
then we get even closer, negative 2.002,
and these are from the left
because these are values
less than negative two,
but they're getting closer
and closer to negative two.
And so let's see,
when we're a little bit
further, F of X is negative 20,
we get a little bit
closer, it's negative 100,
we get even a little bit
closer, it goes to negative 500.
So it would be reasonable,
and we don't know for sure,
this is just giving us a few sample points
for this function,
but if we follow this trend,
as we get closer and
closer to negative two,
without getting there,
it looks like this is getting unbounded.
It looks like it's becoming
infinitely negative.
And so technically, it looks like this is,
I would write this is unbounded,
and so if this was a
multiple choice question,

Korean: 
왼쪽에서 가까워집니다
따라서 x가 -2에
왼쪽에서 가까워지죠
여기 보입니다
이 값들이죠
이 값은 -2.05입니다
더 가까운 값은
-2.01이 되겠죠
더 가까이 가면
2.002입니다
이는 모두 왼쪽의 값이죠
이는 -2보다 작은
값들이기 때문입니다
하지만 이는 -2에
점점 더 가까워집니다
한 번 봅시다
조금 더 멀다면
f(x)가 -20이죠
가까이 가면 -100입니다
좀 더 가까이 가면
-500이 됩니다
따라서 근사치를 구하면
확실하진 않지만
이는 그저 몇 개의
함수의 샘플 값들일 뿐입니다
이는 그저 몇 개의
함수의 샘플 값들일 뿐입니다
이 추세를 따라가면
-2에 가까워질수록
정확히 가진 않아도
이는 무한대로 갑니다
음의 무한대인 것 같네요
따라서 이와 같은
형태를 띕니다
무한대로 적겠습니다
만약 이게 객관식이면

Bulgarian: 
които доближават
минус 2 отляво.
Отново, тук имаме
х, клонящо към –2
от лявата страна.
Ето какво се случва тук.
Имаме тези числа.
Забележи, че започваме
от –2,05
и през –2,01
и –2,002 се доближаваме
все повече до –2.
Това е приближаване отляво,
защото тези числа са
по-малки от –2,
но се доближават
все повече и повече до –2.
Да видим,
когато сме най-далеч,
f(х) е –20.
Малко по-близо
и то вече става –100.
Още по-близо
става –500.
Търсим добро приближение,
но не можем да сме сигурни
само от няколко точки
за тази функция.
Като наблюдаваме
развитието на стойностите,
когато х се приближава
все повече до –2,
без да го достига съвсем,
изглежда, че функцията
става неограничена.
Изглежда, че тя се стреми
към плюс безкрайност.
На практика изглежда,
функцията тук е неограничена
или ако въпросът е тестови,

Czech: 
Takže zde se
x blíží k −2 zleva.
To se děje tady.
Jde o tyto
hodnoty.
Všimněte si,
tohle je −2,05,
potom se dostáváme ještě blíž, a to
−2,01, poté jsme ještě blíž, a to −2,002.
A blížíme se zleva, protože jde
o hodnoty menší než −2,
které jsou čím
dál tím blíž k −2.
Když jsme trochu dál,
funkční hodnota je −20.
Když jsme trochu blíž, je to −100.
Když jsme ještě blíž, je to −500.
Takže by bylo rozumné říci,
i když to nevíme jistě,
protože máme jen vybrané
hodnoty naší funkce,
ale kdybychom takto pokračovali,
kdybychom šli čím dál tím blíž k −2,
aniž bychom došli do bodu samotného,
tak to vypadá, že hodnoty jsou neomezené,
že jsou nekonečně záporné.
Takže to vypadá
a já to sem napíšu,
že tyto hodnoty
jsou neomezené.

Czech: 
Kdyby tohle byla uzavřená otázka,
tak by se technicky vzato muselo říci,
že limita pro x blížící se
k −2 zleva neexistuje.
Kdyby se někdo zeptal
na jinou otázku,
třeba čemu se rovná limita f(x) pro
x blížící se k −2 zprava,
tak pak bychom si řekli:
„Dobře, tyto hodnoty se
k −2 blíží zprava.",
zde se x blíží k −2 zprava
a nezapomeňte, že
když vás zajímá limita,
může být někdy rozptylující dívat se
na funkční hodnotu v daném bodě.
Chceme vědět, čemu se
blíží funkční hodnoty,
když se x blíží
k danému bodu,
v našem případě to je,
když se blíží k −2 zprava.
Takže když se čím dál tím víc blížíme
k −2 po hodnotách větších než −2,
funkční hodnoty
se blíží k −4,
což se rovná
f v bodě −2.
A to vypadá jako
rozumný odhad.

Korean: 
x가 -2에 왼쪽에서
가까워질 때
극한이 존재하지 않다고
않다고 고릅니다
다른 문제를 물어봐서
오른쪽에서 x가 -2에
가까워질 때
극한을 물어보면
여러분은
-2에 오른쪽에서
가까워지는 값들이 있네요
-2에 오른쪽에서
가까워지는 값들이 있네요
오른쪽에서 x가
-2에 가까워지는 
값들이 있습니다
극한을 구하는 것이지
함수의 해당 값의
값과 헷갈리면 안됩니다
함수의 해당 값의
값과 헷갈리면 안됩니다
따라서 x가 해당 값에
가까워질 때
함수의 값을
구하고 싶습니다
x가 오른쪽에서 -2에
가까워지는 경우죠
-2보다 큰 값에서
-2에 가까워질수록
f(x)의 값이 -4에 점점 더
가까워지는 것이 보입니다
f(-2)의 값과 같죠
이 값이 타당한
추정치라고 생각되네요

Bulgarian: 
на практика може да се каже,
че лявата граница при х,
клонящо към –2
не съществува.
(Или е + безкрайност)
Пиша: не съществува.
(+ безкрайност)
Ако се търси дясната граница,
ако се пита за границата,
когато х клони към –2
от дясната страна,
тогава може да видиш
тези стойности,
приближаващи –2
от дясната страна.
Ето тези числа
приближават към –2
отдясно.
Не забравяй,
когато търсиш граница
да не се разсейваш от стойността
на самата функция в тази точка.
Това, което търсим,
е стойността,
която функцията приближава,
когато х клони към
даденото число,
в случая към –2
от дясната страна.
Когато се приближаваме
все повече до –2
откъм по-големите числа,
изглежда, че функцията
става все по-близка до 4,
което в случая е и стойността
на самара функция за х = –2.
Но това число изглежда и
да е добро приближение.

English: 
technically you would say the limit
as X approaches negative two
from the left does not exist,
does not exist.
If someone asked the other question,
if they said, what is the limit
as X approaches negative two
from the right of F of X,
well then you would say,
alright, well here are values
approaching negative two
from the right,
so this is X approaching
negative two from the right,
right over here.
And remember, when you're
looking at a limit,
sometimes it might be distracting
to look at the actual value
of the function at that point,
so we wanna think about what is the value
of the function approaching,
as your X is approaching that value,
as X is approaching, in
this case, negative two,
from the right.
So as we're getting closer and closer
to negative two from values
larger than negative two,
it looks like F of X is
getting closer and closer
to negative four,
which is F of negative two,
but that actually seems
like a reasonable estimate.

Bulgarian: 
И тук не можем да знаем
нищо с абсолютна сигурност,
съдейки само по избрани точки,
но това е добро
приближение за границата.
В общия случай,
когато функцията се стреми
към различни стойности
отляво, а след това и от дясно,
тогава можеш да кажеш,
че в тази точка
границата не съществува.
Виждали сме това
и при други примери.

English: 
Once again, we don't
know absolutely for sure,
just by sampling some points,
but this would be a reasonable estimate.
And in general, if you are
approaching different values
from the left than from the right,
then you would say, a that point,
the limit of your function does not exist,
and we have seen that in other videos.

Korean: 
다시 말하지만
정확한 값을
샘플 값들을 통해서
구할 수 없지만
이는 타당한 추정치입니다
대체적으로 왼쪽과 오른쪽에서
여러 값들에 가까워지면
해당 점에 극한은
존재하지 않는다고 하며
이는 다른 영상에서 보았죠

Czech: 
Opět to nevíme jistě, protože
známe jen pár hodnot,
ale tohle by byl
rozumný odhad.
Obecně platí, že když se
blížíte k různým hodnotám,
když jdete zleva a zprava,
tak je rozumné říci, že v tom
bodě limita neexistuje.
To už jsme viděli
i v jiných videích.
