Hola amigos, en este vídeo vamos a
estudiar qué es una progresión
geométrica y veremos cómo se suman los
primeros n términos de dichas
progresiones. También estudiaremos cómo
sumar los infinitos términos en algunos
casos. Al final del vídeo os dejo un
enlace para descargar los apuntes.
Empecemos por la definición: una
progresión geométrica es una sucesión de
números en la que cada término se
obtiene del anterior multiplicando por
un número fijo llamado RAZÓN. El primer
término lo denotaremos con una a y la razón
la denotaremos con una r.
De este modo el segundo término se
obtiene multiplicando a por la razón r
el tercer término se obtiene
multiplicando el segundo por r, etcétera.
El primer término lo denotaremos por a_1
al segundo por a_2, a_3, etc.
Observamos que en cada nuevo término la
razón aparece con una potencia una
unidad mayor que en el término anterior.
Esto nos permite deducir que el término
general a_n es precisamente el
primer término a multiplicado por la
razón r elevada a n menos 1
veamos algunos ejemplos. Consideremos una
progresión geométrica cuyo primer
término sea 1 y cuya razón sea 2. De este
modo la progresión comienza con un 1,
qué multiplicamos por la razón
obteniendo un 2 como segundo término
seguido de un 4, 8, 16, etcétera. Estos
son los términos de la progresión
geométrica y el término general se
obtiene sustituyendo en la fórmula que
acabamos de deducir los valores del
primer término y la razón
es precisamente 2 ^ n - 1.
Veamos otro ejemplo, en este caso también
tomamos como primer término el 1, pero
como razón tomamos un número negativo
el menos 3. Nuestra progresión comienza con
el 1, seguido del -3 y para obtener el
tercer término multiplicamos de nuevo
por menos 3 obteniendo 9, ya que 3 por 3
9 y menos por menos más. La progresión
continua con -27 que se obtiene al
multiplicar 9 por -3,  81, etc.
Fijaros que los términos de esta
progresión van alternando signo positivo
y negativo, esto se debe a que la razón
es negativa. Si escribimos el término
general obtenemos -3 entre
paréntesis elevado a n-1 que,
también podemos escribir como -1
elevado a n -1 x 3 elevado a n
menos 1. La potencia de base -1 es
responsable del cambio de signo ya que
menos por menos es más y más por menos
es menos mientras que la potencia de base 3
es responsable de que en valor absoluto
la progresión crezca.
Vamos a ver otro ejemplo: ¿qué ocurre si
empezamos con un término a cualquiera,
digamos igual a = 5 y las razon es 1?
Rápidamente vemos que la progresión
empieza con 5 y al calcular los
siguientes términos multiplicando por la
razón que es 1 obtenemos que todos los
términos son cinco, de este modo el
término general de esta progresión es
simplemente 5 es decir la sucesión
constante 5. Veamos un último ejemplo que
será el más interesante de todos.
Empecemos con el término a igual a un
cuarto y tomemos una razón menor que 1
hagamos r igual a un cuarto
de este modo la progresión comienza con
la fracción un cuarto y el segundo
término es un cuarto del anterior esto
es 1 partido por 16, en este caso el
segundo término es más pequeño que el
primero pues lo hemos multiplicado por
un número menor que la unidad el tercer
término es un cuarto del anterior lo que
da 1 partido por 64 y el cuarto es una
cuarta parte de este esto es 1 dividido
entre 256. Observamos que los términos de
esta sucesión son decrecientes.
El término general podemos escribirlo como
un cuarto multiplicado por un cuarto
elevado a n -1, esta expresión de
hecho podemos simplificarla
multiplicando y obteniendo la potencia
un cuarto elevado a n. Volvamos al caso
genérico de una progresión geométrica
cualquiera y escribamos sus n primeros
términos.
Nos podemos preguntar ¿cuánto vale la
suma de estos primeros n términos?
Denotaremos esta suma como S mayúscula
sub n.
Gracias a la forma particular que tiene
de definirse una progresión geométrica
veremos que podemos dar una fórmula
sencilla para esta suma.
Para empezar multiplicamos los dos
miembros de nuestra igualdad por el
factor 1- r
tenemos entonces que para quitar
paréntesis en el miembro derecho por la
propiedad distributiva tendremos que
multiplicar uno por cada término de la
suma y menos r por cada término de la
suma. En primer lugar
multiplicamos por uno obteniendo la
misma suma con la que empezamos
en segundo lugar multiplicar por menos
r cambia el signo de esta suma y añade
un factor r a cada término lo que hace
es sumar 1 a cada una de las potencias
de base r. Si nos fijamos casi todos los
términos que hemos obtenido se cancelan,
excepto el primero y el último,
para terminar sacamos factor común a en
el miembro derecho y el factor 1 - r del
miembro izquierdo pasa dividiendo al
miembro derecho lo que da lugar a la
fórmula buscada la suma de los primeros
términos de una progresión geométrica es
a x el cociente de 1 - r ^ n entre 1 - r
esta fórmula es verdaderamente útil y
nos va a permitir calcular en algunos
casos el valor de la serie geométrica
esto es de la suma de los infinitos
términos de una progresión geométrica.
Pero os preguntaréis ¿se pueden sumar
infinitos números? La respuesta es que en
algunos casos sí, pues lo que realmente
estamos calculando es el límite cuando n
tiende a infinito de las sumas s sub n
para las que tenemos una fórmula. Vemos
que para calcular este límite sólo
tenemos que ver qué ocurre con ese
elevado a n
o cuando n tiende a infinito.
Como vimos en el ejemplo 4 si la razón
es menor que 1 en valor absoluto se
tiene que estas potencias se hacen cada
vez más pequeñas y tienden a cero cuando
n tiende a infinito. Así que el límite
buscado es a x 1 dividido entre 1 - r y
hemos obtenido nuestra fórmula para la
suma de una serie geométrica.
Vamos a ver cómo funciona en la práctica
esta fórmula en el caso concreto del
ejemplo 4 recordemos que en este caso
teníamos la progresión decreciente un
cuarto, 1 partido por 16, 1 partido por 64,
1 partido por 256 etc.
Lo que queremos calcular es la suma de
estos infinitos términos y según la
fórmula el resultado ha de ser el primer
término dividido entre 1 menos la razón
esto es un cuarto dividido entre 1 - un
cuarto
en el denominador efectuamos la resta
que es tres cuartos y tras simplificar
nos queda un resultado de la suma
infinita un tercio. Si alguien sigue
viendo este resultado con escepticismo
vamos a comprobar que esto es así
visualmente.
Comenzamos con el primer término un
cuarto que está representado por el
primer cuadrado rojo, si nos fijamos en
la parte de azul oscuro el primer
cuadrado rojo representa un tercio de
esta región
dado que tenemos que sumar todos los
cuadraditos rojos vamos a superponer el
segundo cuadrado rojo en la región que
ha quedado azul claro en el cuadrado
unida.
El segundo cuadrado rojo representa
también un tercio de la nueva región que
hemos coloreado de azul oscuro de este
modo la suma del primer cuadrado rojo y
el segundo hacen un tercio de la parte
de azul oscuro
prosigamos de este modo superponiendo el
tercer cuadrado rojo en la parte
restante de azul claro y nuevamente el
tercer cuadradito rojo representa un
tercio de la nueva parte de azul oscuro.
En total la suma de los tres cuadrados
rojos es por tanto un tercio de toda la
parte de azul oscuro. Queda claro que la
suma de todos los cuadrados rojos es un
tercio de la parte de azul oscuro que
cuando tendemos a infinito rellena el
cuadrado unidad completamente obteniendo
que la suma de todos los cuadrados rojos
es un tercio de la unidad como habíamos
deducido con la fórmula. Esto es todo lo
que tenía que contaros sobre
progresiones geométricas si os ha
gustado el vídeo dadle like y suscribíos.
Aquí os dejo más vídeos que podéis ver
del canal y si queréis descargaros los
apuntes sobre progresiones geométricas
os dejo un enlace aquí mismo y en la
descripción del vídeo también. ¡Hasta
luego!
