
Korean: 
이 시리즈에서 가장 처음에 했던 질문으로 되돌아가보자.
벡터란 무엇인가?
예를 들어 2차원 벡터란
근본은 평면에 있는 화살표인데
편의상 좌표계를 그린 것인가,
아니면 원래는 실수쌍인데
보기 쉽게 평면에 화살표로 표현한 것인가?
또는 둘 다 더 근본적인 무엇을 나타내는 도구일 뿐인가?
한편으로 벡터를 숫자의 배열로 정의하면 명백한거 같다.
즉 4차원 벡터나 100차원 벡터도
실제로 존재해서 다룰 수 있는 개념처럼 보인다.
다른 한편으로 4차원은 막연해서

Polish: 
Takie aksjomaty, razem z innymi bezcelowymi "definicjami, służą matematyce głównie przez utrudnianie niewtajemniczonym opanowania tematu, przez to podwyższając jego rangę"
Chciałbym jeszcze raz zadać zwodniczo proste pytanie które pojawiło się na początku tej serii.
 
Czym jest wektor?
Czy na przykład dwuwymiarowy wektor jest zasadniczo tylko strzałką na płaszczyźnie, którą możemy opisać współrzędnymi
dla wygody?
Albo, czy to para współrzędnych jest łatwo reprezentowana
przez strzałkę na płaszczyźnie?
A może oba te obiekty symbolizują coś głębszego?
Z jednej strony, definiowanie wektorów jako uporządkowanych list liczb wydaje się proste
i jednoznaczne.
Dzięki temu obiekty jak czterowymiarowe, lub nawet stuwymiarowe wektory
wydają się prostymi konceptami, z którymi można pracować.

Chinese: 
我想重新探讨这个系列第一期视频中的一个看似简单的问题
“向量是什么？”
比如说一个二维向量
从根本上说，它是平面内的一个箭头？而为了方便起见，我们用坐标来描述它
或者说，它是一个实数对？而我们只是将它形象理解为平面内的一个箭头
又或者，这两种观点只是更深层次的东西的体现？
一方面，将向量解释为一组数字给人感觉清晰明了
四维向量或者一百维向量看上去就像是可以操作的真实具体的概念

Arabic: 
أود إعادة زيارة سؤال بسيط مخادع
التي سألتها في الفيديو الأول لهذا
سلسلة،
ما هي ناقلات الأمراض؟
هو ناقل ثنائي الأبعاد على سبيل المثال ، في الأساس
سهم على طائرة مسطحة يمكننا وصفها
مع إحداثيات للراحة؟
أم أنها في الأساس زوج حقيقي
الأرقام ، وهو مجرد تصور جيد كما
سهم على متن طائرة مسطحة؟
أو كلاهما من هذه المظاهر
شيء أعمق؟
من ناحية ، تحديد المتجهات كما في المقام الأول
كونها قائمة من الأرقام يشعر واضحة و
خالية من الغموض.
إنه يجعل أشياء مثل ناقلات رباعية الأبعاد
أو ناقلات مائة الأبعاد
يبدو وكأنه أفكار حقيقية ، ملموسة يمكنك
فعلا العمل مع.

Japanese: 
そういった公理や動機のわからない定義が、初めて議題に触れる人にとっての理解を困難にしており、数学者の権威を高めることに役立っている 
                         --- ウラジーミル・アーノルド
このシリーズの一番最初の動画で問いかけた、とても簡単な質問に立ち返りたいと思います。
ベクトルとは何でしょうか？
平坦な空間上で矢印として表されるもので、たまたま座標の数値の組でも都合に応じて表せるものでしょうか？
それとも、本質的には実数の組であり、たまたまわかりやすい平面上の矢印としての可視化もできるものでしょうか？
それとも、これらはもっと深いものの表現方法に過ぎないのでしょうか？
まず、ベクトルを主に数値の列で表すことは明快で曖昧さのないやり方のように思えます。
この方法なら、4次元のベクトルも、100次元のベクトルも、実際に扱うことのできる具体的な物に見えます

French: 
Je voudrais revisiter une question plutôt simple que j'ai posé dans une des premières vidéos de cette série
Qu'est-ce qu'un vecteur?
Est-ce qu'un vecteur 2D, par exemple, est fondamentalement une flèche que l'on pourrait décrire
avec des coordonnées, pour simplifier ?
Ou est-ce fondamentalement ce couple de réels, qui peut juste être visualisé comme une flèche sur une surface?
Ou peut-être que les deux sont seulement des manifestations de quelque chose de plus profond?
Premièrement, définir un vecteur comme une liste de nombres semble clair et sans ambiguïtés.
ça permet que des choses comme des vecteurs en quatre ou cent dimensions
paraissent réels, des idées concrètes avec lesquels on peut travailler.

Spanish: 
Me gustaría recuperar una aparentemente simple pregunta que hice en el primer vídeo de esta serie [sobre Álgebra Lineal]
¿Qué es un vector?
¿Es un vector de dos dimensiones, por ejemplo, solamente una "flecha" en el plano que podemos
describir con coordenadas por comodidad?
¿O es más bien un par de números reales que se pueden representar fácilmente como una "flecha" en el plano?
¿Puede que sean ambas cosas manifestaciones de algo más profundo?
Por un lado, definir un vector simplemente como una lista de números parece directo y preciso.
De este modo, nociones como vectores de 4 dimensiones e incluso de 100
parecen reales y concretas, con las que se puede trabajar cómodamente,
mientras que la idea de 4 dimensiones en sí suena lejana, algo poco imaginable geométricamente y difícil de describir
sin irse por las ramas.

Portuguese: 
"Tais axiomas, juntamente com outras definições mal motivadas, servem aos matemáticos apenas para
dificultar o entendimento aos não-iniciados, e assim aumentar a autoridade dos primeiros."
-- Vladmir Arnold
Eu gostaria de revisitar uma pergunta aparentemente simples que eu fiz no primeiro
vídeo desta série,
O que são vetores?
Seria um vetor bidimensional por exemplo, fundamentalmente uma seta em
uma superfície plana que podemos descrever com coordenadas por conveniência?
Ou, é fundamentalmente aquele par de números reais, que é apenas bem visualizado como
uma seta sobre uma superfície plana?
Ou são ambos destes apenas manifestações de
algo mais profundo?
Por um lado, definir vetores como principalmente
sendo uma lista de números parece claro
inequívoco.
Isso torna as coisas como vetores de quatro dimensões
ou um vetores de cem dimensões
soar como ideias reais e concretas 
com que você pode realmente trabalhar.

Czech: 
Matematici přináší axiomy spolu s dalšími definicemi bez motivace, čímž činí látku náročnou pro nezasvěcené a podporují tak svou autoritu.
-- Vladimir Arnold
Rád bych se vrátil k ošidné otázce na kterou jsem se ptal v prvním videu
této série.
Co jsou to vektory?
Je například dvourozměrný vektor ve skutečnosti šipkou v rovině, kterou můžeme pro pohodlnost
popsat pomocí souřadnic?
Nebo je vektor sám dvojicí reálných čísel, kterou si jen můžeme pěkně znázornit jako
šipku v rovině?
Nebo jsme svědky něčeho hlubšího?
Na jednu stranu, když vektory zavedeme jako n-tici čísel, působí to přímočaře,
jednoznačně.
Najednou věci jako čtyřrozměrné vektory či dokonce sto-dimenzionální vektory
zní jako opravdové, konkrétní věci, se kterými se skutečně dá pracovat.

Italian: 
Vorrei ritornare su una domanda apparentemente semplice che ho formulato nel primo video di questa serie:
Che cos'è un vettore?
Per esempio, un vettore bidimensionale potrebbe forse essere, fondamentalmente, una freccia su un piano che descriviamo
con coordinate, per facilità?
Oppure sono proprio le coordinate stesse ad essere l'essenza del vettore, e le possiamo ben visualizzare come una freccia sul piano?
O forse entrambe le idee sono manifestazioni di qualcosa di più profondo?
Da una parte, definire un vettore come una lista di numeri ci sembra preciso e inequivocabile.
Fa in modo che oggetti come vettori a quattro dimensioni, o a 100 dimensioni,
ci paiano idee reali e concrete con cui possiamo lavorare.
Quando altrimenti la quarta dimensione è una nozione geometrica vaga, difficile da descrivere
senza gesticolare un po'.

English: 
I'd like to revisit a deceptively simple question
that I asked in the very first video of this
series,
What are vectors?
Is a two-dimensional vector for example, fundamentally
an arrow on a flat plane that we can describe
with co-ordinates for convenience?
Or, is it fundamentally that pair of real
numbers, which is just nicely visualised as
an arrow on a flat plane?
Or are both of these just manifestations of
something deeper?
On the one hand, defining vectors as primarily
being a list of numbers feels clear-cut and
unambiguous.
It makes things like four-dimensional vectors
or one hundred-dimensional vectors
sound like real, concrete ideas that you can
actually work with.

French: 
Quand d'un coté, l'idée de quatre dimensions est juste une notion de la géométrie vague et difficile à décrire
sans se salir un peu les mains.
D'un autre coté, une sensation commune pour ceux qui travaillent avec de l'algèbre linéaire,
surtout quand on deviens plus à l'aise avec le changement de base,
c'est qu'on vit dans un espace indépendant du système de coordonnées qu'on lui donne,
et que celles-ci sont arbitraires,
en fonction de ce qu'on choisit comme vecteurs de bases.
Des sujets au centre de l'algèbre linéaire comme, les déterminants et les vecteurs propres,
semble ne pas dépendre du système de coordonnées.
Le déterminants donne la transformation de la taille d'une zone,
et les vecteurs propres sont ceux qui gardent leur rotation pendant la transformation.
Mais chacune de ces propriétés 
sont intrinsèquement spatiales, et on peut  changer le système de coordonnées comme on veut
sans changer leurs valeurs.
Mais, si les vecteurs ne sont pas des listes de réels,
et si leur essence est quelque chose de plus spatial,

Italian: 
Ma d'altra parte, una sensazione comune a chi lavora nel contesto dell'algebra lineare,
specialmente quando ci si abitua al cambiamento di base,
è che abbiamo a che fare con uno spazio che esiste indipendentemente dalle coordinate che gli vengono attribuite,
e che le coordinate siano in verità qualcosa di arbitrario,
che dipende dai vettori base che ci capita di scegliere.
Argomenti al centro dell'algebra lineare, come il determinante o gli autovettori,
sembrano essere indifferenti alla nostra scelta di sistema di coordinate.
Il determinante mostra quanto la trasformazione ridimensioni le aree,
e gli autovettori sono vettori che rimangono sul proprio span durante la trasformazione.
Ma entrambe queste proprietà sono per natura inerenti allo spazio, e si può benissimo cambiare sistema di coordinate
senza cambiarne i valori sottintesi.
Ma se i vettori non sono, alla base, delle liste di numeri,
e se la loro essenza è qualcosa di più spaziale,
questo ci porta a chiederci che cosa intendano i matematici quanto usano parole come "spazio" o "spaziale".

English: 
When otherwise, an idea like four dimensions
is just a vague, geometric notion that's difficult
to describe
without waving your hands a bit.
But on the other hand, a common sensation
for those who actually work with linear algebra,
especially as you get more fluent with changing
your basis,
is that you're dealing with a space that exists
independently from the co-ordinates that you
give it,
and that co-ordinates are actually somewhat
arbitrary,
depending on what you happen to choose as
your basis vectors.
Core topics in linear algebra, like determinants
and eigenvectors,
seem indifferent to your choice of co-ordinate
systems.
The determinant tells you how much a transformation
scales areas,
and eigenvectors are the ones that stay on
their own span during a transformation.
But both of these properties are inherently
spacial, and you can freely change your co-ordinate
system
without changing the underlying values of
either one.
But, if vectors are fundamentally not lists
of real numbers,
and if their underlying essence is something
more spacial,

Spanish: 
Por el otro lado pero, una intuición común entre los que trabajan a menudo con álgebra lineal,
especialmente a medida que interiorizan el concepto de "cambio de base",
es que te encuentras en un espacio que existe independientemente de las coordenadas que le asocies,
y que, de hecho, estas coordenadas son algo arbitrarias,
ya que varían en función de como eliges los vectores de la base.
Temas básicos en álgebra lineal, como el de determinante o los vectores propios,
parecen indiferentes a la elección del sistema de coordenadas.
El determinante representa cuánto varían las áreas bajo la transformación,
y los vectores propios son los que permanecen en el subespacio que generaban bajo esa misma transformación.
Pero ambas propiedades son inherentemente espaciales, y aún así es posible cambiar el
sistema de coordenadas sin modificar ninguno de estos valores.
Pero, si un vector no es una lista de números reales,
y su esencia se entrevé como algo más espacial,
esto nos lleva a la cuestión de a qué se refieren los matemáticos cuando usan palabras como "espacio", o "espacial".

Korean: 
기하학적 개념은 손을 막 휘저으며 설명해야 된다.
반면 선형대수를 공부하는 사람들은 보통,
특히 기저벡터를 바꾸는데 능숙할수록,
주어진 좌표계랑 상관없이 공간을 다룬다.
게다가 좌표계는 기저벡터를 어떻게 정하냐에 따라 수시로 바뀐다.
determinant나 고유벡터처럼
선형대수에서 중요한 주제는
좌표계를 어떻게 정하는지랑 상관이 없다.
determinant는
변환이 면적을 얼마나 스케일링하는지를 나타내며
고유벡터는
변환이 일어나도 span을 벗어나지 않는 벡터이다.
하지만 이 둘은 공간의 성질이며
하나를 원래값으로 일정하게 유지한 채로
 좌표계를 자유롭게 바꿀 수 있다.
만약 벡터가 실수의 배열이 아니고
공간적인 본질을 가지고 있는 것이라면

Japanese: 
そうでもしないと、4次元のベクトルなどというもやっとした幾何学的概念を説明するには、
身振り手振りで直感に頼るしかありません
その一方で、線形代数を扱う人、特に基底を変換することに慣れた人にとっての常識的な感覚は、
与えられた基底の選び方によらず存在する空間を考えているということです
そして、座標というものは基底ベクトルの取り方によって任意に決めてしまえるものです
線形代数の中心的な議題である、行列式や固有ベクトルといったものは、
座標系の取り方によらず一定のようです
行列式は変換によって面積がどのように変化するかを示していますし、
固有ベクトルは変換によってスパンが変わらないようなものです
どちらの属性も本質的には空間的なもので、座標系をどんなに変えても値が変わってしまうことはありません
では、ベクトルの正体が実数の列でなく、空間に本質を持つものだとしたら、

Polish: 
Jeżeli byłoby inaczej, to pomysły takie jak czwarty wymiar to tylko śliski geometryczny pomysł, do tego trudny
do opisania
bez machania rękami.
Jednak z drugiej strony, powszechne jest dla ludzi którzy zajmują się algebrą liniową,
szczególnie gdy płynnie posługujesz się ze zmianą bazy,
że zajmujemy się przestrzenią liniową która istnieje niezależnie od układu współrzędnych którą
na niej zadamy,
oraz że współrzędne są dość arbitralne,
zależne od tego jaką bazę wybierzemy.
Główne obiekty w algebrze liniowej jak wyznaczniki i wektory własne
wydają się niezależne od wyboru układu współrzędnych.
Wyznacznik wskazuje, jak bardzo przekształcenie skaluje pola powierchni,
a wektory własne to te, które zostają na swojej podprzestrzeni podczas przekształcenia.
Ale obie te rzeczy są z natury związane z przestrzenią, i możemy dowolnie zmieniać układ
współrzędnych
bez istotnego zmienienia żadnego z nich.
Jednak jeżeli wektory nie są w istocie tylko listami liczb,
a ich sedno jest bardziej "przestrzenne"

Arabic: 
عندما خلاف ذلك ، فكرة مثل أربعة أبعاد
هو مجرد فكرة هندسية مبهمة
لوصف
دون التلويح بيديك قليلا.
لكن من ناحية أخرى ، إحساس شائع
لأولئك الذين يعملون بالفعل مع الجبر الخطي ،
خاصة وأنك تصبح أكثر بطلاقة مع التغيير
أساسك ،
هو أنك تتعامل مع مساحة موجودة
بشكل مستقل عن الإحداثيات التي أنت
اعطيها،
وأن الإحداثيات هي في الواقع نوعًا ما
اعتباطيا،
اعتمادًا على ما تختار اختياره
ناقلات أساسك.
الموضوعات الأساسية في الجبر الخطي ، مثل المحددات
و eigenvectors ،
يبدو غير مبالين باختيارك للتنسيق
الأنظمة.
يخبرك المحدد بمقدار التحول
مناطق المقاييس ،
و eigenvectors هي التي تبقى على
امتداد الخاصة بهم خلال التحول.
لكن كل من هذه الخصائص هي بطبيعتها
spacial ، ويمكنك تغيير بحرية التنسيق الخاص بك
النظام
دون تغيير القيم الأساسية لل
إما واحد.
ولكن ، إذا كانت المتجهات في الأساس ليست قوائم
من الأعداد الحقيقية
وإذا كان جوهرها الأساسي شيء
أكثر spacial ،

Chinese: 
与之相反，四维空间之类的东西只是一个模糊的几何概念
不用手比划一下是很难解释清楚的
但是另一方面，对于那些在实践中运用线性代数的人，尤其是熟悉基变换的人来说
他们通常感觉所处理的空间独立于坐标存在
而且坐标描述实际上有些随意
因为它依赖于你所选的基向量
线性代数中的核心话题，如行列式和特征向量等
它们似乎不受所选坐标系影响
行列式告诉你的是一个变换对面积的缩放比例
特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量
这二者都是暗含于空间中的性质
你可以自由选取坐标系，这并不会改变它们最根本的值
但是，如果向量根本上并不是由一组实数构成
它们的本质其实更具空间性

Portuguese: 
Ao contrário, uma ideia como quatro dimensões
é apenas uma vaga noção geométrica que é difícil
de se descrever
sem acenar suas mãos um pouco.
Mas, por outro lado, uma sensação comum para aqueles que realmente trabalham com Álgebra Linear,
especialmente à medida que você fica
 mais fluente com mudança de base,
é que você está lidando com um espaço que existe
independentemente das coordenadas que você
lhe dê,
e que as coordenadas são realmente 
um pouco arbitrárias,
dependendo do que você calha em escolher como
seus vetores de base.
Temas centrais em Álgebra Linear, 
como determinantes e autovetores,
parecem indiferentes à sua escolha de sistemas de coordenadas.
O determinante lhe diz quanto uma 
transformação escala áreas,
e autovetores são os que permanecem no
sua própria reta durante uma transformação.
Mas essas duas propriedades são inerentemente
espaciais, e você pode alterar livremente
seu sistema de coordenadas,
sem alterar os valores subjacentes de
qualquer um.
Mas, se vetores não são fundamentalmente listas
de números reais,
e se a sua essência fundamental é algo
mais espacial,

Czech: 
Zato geometrická představa čtyř rozměrů je prostě vágní, těžko uchopitelný pojem, který těžko
vysvětlíte
bez nějakého toho mávání rukama.
Ale na druhou stranu, když se více zaobíráte lineární algebrou,
a zejména plynule měníte bázi, ve které pracujete,
máte pocit, že pracujete s prostorem žijícím nezávisle na konkrétních souřadnicích, které zrovna
používáte.
Takže konkrétní souřadnice můžou být libovolné,
podle toho, co si zamanete, že zrovna budou bázové vektory.
V základních tématech lineární algebry jako je determinant nebo vlastní vektory
je jedno, jaké souřadnice si zvolíte.
Determinant říká, jak se mění obsah,
a vlastní vektory jsou ty, které během transformace nevypadnou ze svého lineárního obalu.
Ale obě vlastnosti jsou spjaty se samotným prostorem, zatímco můžeme volně přecházet mezi
souřadnicovými systémy,
aniž by se cokoli z toho změnilo.
Ale jestli vektory nejsou jenom n-ticí reálných čísel,
a jejich podstata leží v nějakém prostoru,

Spanish: 
Para hacernos una idea de adónde estamos yendo, voy a invertir la mayor parte del vídeo hablando sobre
algo que no son ni "flechas", ni listas de números, pero que parece tener cualidades "vectoriales":
funciones.
De hecho, en el plano, las funciones podrían parecer un tipo especial de vector.
Del mismo modo que se pueden sumar dos vectores, parece razonable que se puedan sumar dos funciones,
f y g, para obtener una nueva función, (f+g).
En realidad, es algo fácil de imaginar, aunque un poco más complicado a la hora de expresarlo.
La imagen de esta nueva función para cualquier valor de entrada, por ejemplo -4, es la suma de las imágenes
de f y g cuando avalúas -4 en cada una de ellas por separado.
O, más generalmente, la imagen de la función suma para cualquier valor de x es la suma de de las imágenes de f(x) y g(x).
Esto es parecido a sumar vectores coordenada a coordenada,

Arabic: 
هذا فقط يطرح السؤال حول ما هو علماء الرياضيات
يعني عندما يستخدمون كلمة مثل الفضاء أو الفضاء.
لتصل إلى حيث يذهب هذا ، كنت في الواقع
ترغب في قضاء الجزء الأكبر من هذا الفيديو الحديث
عن شيء
ليس سهمًا ، ولا قائمة أرقام ،
ولكن لديها أيضًا صفات المتجه:
المهام.
ترى ، هناك شعور في الوظائف
هي في الواقع مجرد نوع آخر من ناقلات الأمراض.
بنفس الطريقة التي يمكنك بها إضافة متجهين
معا ، وهناك أيضا فكرة معقولة ل
إضافة وظيفتين ،
f و g ، للحصول على وظيفة جديدة ، (f + g).
انها واحدة من تلك الأشياء التي أنت فيها
تعرف بالفعل ماذا سيكون ، ولكن في الواقع
صياغة ذلك هو الفم.
إخراج هذه الوظيفة الجديدة في أي وقت
المدخلات ، مثل -4 ، هو مجموع المخرجات
من f و g ،
عندما تقيم كل منهم عند هذا الإدخال نفسه ،
-4.
أو ، بشكل أعم ، قيمة دالة المجموع
عند أي إدخال س هو مجموع القيم

Czech: 
naskýtá se otázka, co vlastně matematici mají na mysli, když řeknou slovo "prostor".
Abychom si to objasnili, nějaký čas videa teď strávíme
nad něčím,
co není ani šipka, ani seznam čísel, ale taky se to chová trochu vektorově:
Funkce.
V jistém smyslu jsou funkce jen další typ vektoru.
Stejně jako můžeme sčítat dva vektory, můžeme také zavést součet
dvou funkcí
'f' a 'g', coby novou funkci (f+g).
Je to zhruba to, co byste od součtu dvou funkcí čekali, ale popsat to dá
trochu práce.
Výstup z nové funkce v nějakém bodě, třeba -4, definujeme jako součet výstupů
'f' a 'g',
když je v tomto bodě (např. -4) vyhodnotíme.
Obecněji je hodnota součtu v bodě 'x' rovna součtu

Portuguese: 
que só levanta a questão de que os matemáticos
querem dizer quando usam palavras como "espaço" ou "espacial".
Para levar até onde isso vai, eu realmente
gostaria de passar a maior parte deste vídeo falando
sobre alguma coisa
que não é nem uma flecha, nem uma lista de números,
mas também tem qualidades de vetor:
funções.
Veja bem, há um sentido em que funções
são realmente apenas um outro tipo de vetor.
Da mesma forma que você pode adicionar dois vetores
juntos, há também uma noção sensata para
adicionar duas funções,
f e g, para obter uma nova função, (f + g).
É uma daquelas coisas que você
já sabe o que vai ser, mas, na verdade,
explicar dá trabalho.
A saída desta nova função em uma dada
entrada, como -4, é a soma das saídas
de f e g,
quando você as avalia cada uma na mesma entrada, -4.
Ou, mais geralmente, o valor da função de soma
em qualquer dado de entrada x é a soma dos valores

English: 
that just begs the question of what Mathematicians
mean when they use a word like space or spacial.
To build up to where this is going, I'd actually
like to spend the bulk of this video talking
about something
which is neither an arrow, nor a list of numbers,
but also has vector-ish qualities:
functions.
You see, there's a sense in which functions
are actually just another type of vector.
In the same way that you can add two vectors
together, there's also a sensible notion for
adding two functions,
f and g, to get a new function, (f+g).
It's one of those thing where you kind of
already know what it's gonna be, but actually
phrasing it is a mouthful.
The output of this new function at any given
input, like -4, is the sum of the outputs
of f and g,
when you evaluate them each at that same input,
-4.
Or, more generally, the value of the sum function
at any given input x is the sum of the values

Japanese: 
今度は「空間とは何か？」という質問を数学者にしなくてはなりません
ここからの話の展開のために、ベクトルを矢印や数字の列とはまた異なった、
それでいてベクトルっぽい性質を持つもの、「関数」を議論したいと思います
ちょっと考えてみると、関数はベクトルのような性質を持つことがわかります
2つのベクトルを足すのと同じように、2つの関数fとgを足して新しい関数f+gを作ることができます
ここからの話の展開が読める人も多いと思いますが、言葉にしてみるのも良いことです
新しく作った関数の、任意の入力、たとえば-4に対する出力は、
fとgそれぞれに同じ入力、たとえば-4を与えたときの出力の和に等しくなります
より一般的には、和の関数の任意の入力xに対応する値は、それぞれの関数の値の和、f(x)+g(x)になります

French: 
ça soulève la question de ce que veulent dire les mathématiciens quand ils parlent de spatial ou d'espace.
Pour montrer ou je vais, je vais passer la majorité de la vidéo a parler de quelque chose
qui n'est ni une flèche, ni une liste de nombres, mais plutôt qui a des propriétés vectorielles:
les fonctions.
Voyez-vous, il y a un sens dans lequel les fonctions sont juste un autre types de vecteur.
De la même façon qu'on peut additionner deux vecteurs, il y a une notion d'addition chez les fonctions,
on peut additionner f et g pour obtenir une nouvelle fonction (f+g)
C'est ce genre de chose qu'on sait mais qui est difficile a expliquer.
La valeur de cette nouvelle fonction a n'importe quelle valeur, comme -4, est la somme de f et g,
quand on les utilise avec le même paramètre, ici : -4.
Ou, plus généralement, la valeur de la somme pour une valeur x c'est la somme des valeurs de f(x)+g(x).

Korean: 
수학자들이 '공간'이라는 단어를 언제 쓰는지 궁금해할 것이다.
'공간'이 무엇인지 자세히 설명하기 위해
이 영상에서는 화살표나 수의 배열이 아니라
벡터같은(vectorish) 값, 즉 '함수'에
많은 시간을 할애할 것이다.
함수는 그냥 다른 종류의 벡터일 뿐이라는 말이다.
두 벡터를 더하는 것과 같은 방법으로,
두 함수 f와 g를 더해서 새로운 함수 f+g를 구하는
합리적인 방법이 있다.
이미 여러분이 알고 있는 방법이지만
실제로 설명하려면 좀 길다.
-4처럼 어떤 값이 주어지면
새로운 함수의 함수값은
동일하게 주어진 값(-4)에서 계산한
f와 g의 함수값의 합이다
더 일반적으로, 임의의 값 x에서 f+g의 함수값은
f(x)와 g(x)의 합이다.

Italian: 
Per iniziare a spiegare tutto ciò, vorrei trascorrere buona parte di questo video parlando di oggetti
che non sono né frecce, né liste di numeri, ma hanno qualità vettoriali:
le funzioni.
In un certo senso, le funzioni sono solamente un altro esempio di vettori.
Nello stesso modo in cui possiamo sommare due vettori, abbiamo anche un'idea sensata di addizione tra due funzioni,
f e g, che risulta (f+g).
È una di quelle cose che conosciamo già, ma facciamo fatica a descrivere a parole.
L'output della nuova funzione, dato un qualsiasi input, ad esempio -4, è la somma degli output di f e di g,
quando ne calcoliamo separatamente il valore dato lo stesso input, -4.
Più in generale, il valore della funzione somma, dato un qualunque input x, è la somma f(x) + g(x).
Tutto ciò assomiglia a sommare vettori coordinata per coordinata,

Polish: 
to nasuwa się pytanie, co matematycy mają na myśli, gdy używają słów przestrzeń lub przestrzenny.
Żeby dać trochę kontekstu i pokierować ten film w dobrą stroną, chciałbym poświęcić większość tego filmu
mówiąc o czymś,
co nie jest ani strzałką, ani listą liczb, ale też ma "wektorowe" własności:
o funkcjach.
Rzeczywiście, z odpowiedniej perspektywy funkcje to tylko kolejny typ wektorów.
Tak samo jak dodaje się wektory można zdefiniować dodawanie funkcji
f oraz g, aby dostać funkcję f+g
To jedna z tych rzeczy, które wiesz jak będą wyglądać, ale żeby je porządnie nazwać,
trzeba trochę powiedzieć.
Wartość tej nowej funkcji dla dowolnego argumentu, np -4, to suma wartości
funkcji f oraz g,
gdzie obie wartości bierzesz w punkcie -4.
A bardziej ogólnie, wartość sumy dla argumentu x to suma wartości f oraz g,

Chinese: 
这不禁让人产生疑问——那么数学家所说的“空间”或“空间性”是什么意思？
为了进一步说说这是怎么回事
这期视频的大部分时间里
我会讨论一种既不是一个箭头也不是一组数字，但是同样具有向量特性的东西
函数
从某种意义上说，函数实际上只是另一种向量
类比两个向量相加的方法
我们也可以将两个函数f和g相加，从而获得一个新函数(f+g)，这种做法是合理的
你可能已经知道它的结果了，但是真的把它叙述出来还是挺拗口的
这个新函数在任意一点处的值，比如说在-4处的值
就是f和g在这一点处（即-4）的值的和
更一般地说
这个和函数在任意一点x处的值(f+g)(x)等于f(x)加上g(x)

French: 
C'est comme ajouter des vecteurs coordonnée par coordonnée,
c'est juste que il y a, dans un sens, infiniment plus de coordonnées a gérer.
De la même manière, il y a une notion sensiblement identique quand on multiplie une fonction par un réel,
on multiplie juste les résultats par ce nombre.
Et la encore, c'est pareil que multiplier un vecteur coordonnée par coordonnée,
on sent juste qu'il y a infiniment plus de coordonnées.
Maintenant, étant donné que la seule chose que les vecteurs peuvent faire est d'être sommés ou multipliés,
on dirait qu'on peut utiliser les même constructions et techniques pour résoudre des problèmes
d'algèbre linéaire, qui ont été pensé pour des flèches dans l'espace,
sur des fonctions aussi.
Par exemple, il y a une notion de transformation linéaire pour les fonctions,
quelque chose qui prend une fonction, et la change en une autre.

Czech: 
f(x)+g(x)
Je to docela podobné sčítání vektorů po složkách,
jen tady teď máme v jistém smyslu nekonečně mnoho souřadnic.
Podobně snadno můžeme zavést násobení funkce skalárem,
prostě patřičně vyškálujeme každý výstup.
Opět je to analogické ke škálování vektoru po složkách,
jen jako bychom teď měli nekonečně mnoho souřadnic.
Protože je na vektorech nejdůležitější to, že se dají sčítat a násobit skalárem,
vypadá to, že bychom mohli vzít stejné užitečné principy a
metody lineární algebry,
které byly původně objeveny v souvislosti s šipkami v prostoru.
a použít je na funkce.
Například dává naprosto smysl, co by měla být transformace funkcí.

Japanese: 
これはベクトルを成分ごとに足し算するのによく似ています
ある意味で無限の個数の座標を扱っているようなものです
同様に、関数のスカラー倍という表現にも意味があります
全ての出力をその数値でスケールするのです
ふたたび、ベクトルの成分ごとのスカラー倍との類似性が見て取れます
ただ無限の数の座標があるように感じられるだけです
さて、ベクトルにできるのは2つを足すことと、スカラー倍だけだと考えると、
元々は空間上の矢印として線形代数で培った数々の問題解決手法が
関数に対しても適用できるべきではないでしょうか？
例えば、「関数の線形変換」というものがあってもよいでしょう
ある関数を与えると、ほかの関数に変えてしまうようなものです

Italian: 
tranne che, in un certo senso, abbiamo a che fare con infinite coordinate.
Analogamente, abbiamo un'idea sensata di moltiplicazione di una funzione per un numero reale,
basta scalare ogni output per quel numero.
E ancora, tutto ciò è analogo alla moltiplicazione di vettori coordinata per coordinata,
ma è come se ci fossero infinite coordinate.
Ora, dato che tutto ciò possiamo fare a dei vettori è sommarli o scalarli,
sembra proprio che dovremmo essere in grado di prendere i concetti e le tecniche utili che impariamo
in algebra lineare, e che pensavamo in origine solo nel contesto di frecce nello spazio,
e applicarli alle funzioni.
Per esempio, abbiamo la nozione perfettamente ragionevole di trasformazione lineare di funzioni,
cioè qualcosa che prende come input una funzione e la trasforma in un'altra funzione.
Un esempio a noi familiare ci viene dall'analisi: la derivata,

Arabic: 
من f (x) + g (x).
هذا يشبه إلى حد كبير إضافة متجهات تنسيق
من خلال التنسيق ،
انها مجرد ، إلى حد ما ، إلى ما لا نهاية
العديد من الإحداثيات للتعامل معها.
وبالمثل ، هناك فكرة معقولة للتوسع
وظيفة بواسطة رقم حقيقي ،
فقط قم بقياس كل المخرجات حسب هذا الرقم.
ومرة أخرى ، وهذا هو مماثل لتوسيع نطاق
متجه التنسيق من خلال التنسيق ،
يبدو وكأنه هناك الكثير بلا حدود
تنسق.
الآن ، وبالنظر إلى أن الشيء الوحيد الذي يمكن المتجهات
حقا هو الحصول على إضافة معا أو تحجيمها ،
يبدو وكأنه ينبغي أن نكون قادرين على اتخاذ
نفس البنى المفيدة وحل المشكلات
تقنيات
من الجبر الخطي ، التي كان يعتقد في الأصل
حول في سياق الأسهم في الفضاء ،
وتطبيقها على الوظائف كذلك.
على سبيل المثال ، هناك معقول تماما
فكرة التحول الخطي للوظائف ،

English: 
of f(x) + g(x).
This is pretty similar to adding vectors co-ordinate
by co-ordinate,
it's just that there are, in a sense, infinitely
many co-ordinates to deal with.
Similarly, there's a sensible notion for scaling
a function by a real number,
just scale all of the outputs by that number.
And again, this is analogous to scaling a
vector co-ordinate by co-ordinate,
it just feels like there's infinitely many
co-ordinates.
Now, given that the only thing vectors can
really do is get added together or scaled,
it feels like we should be able to take the
same useful constructs and problem solving
techniques
of linear algebra, that were originally thought
about in the context of arrows in space,
and apply them to functions as well.
For example, there's a perfectly reasonable
notion of a linear transformation for functions,

Spanish: 
lo único que hay, de algún modo, un número infinito de coordenadas con las que trabajar.
Similarmente, también parece razonable la idea de multiplicar una función por un número real,
simplemente multiplicando cada una de las imágenes por este número.
Y, otra vez, esto es análogo a multiplicar los componentes de un vector coordenada a coordenada,
aunque esta vez con un número infinito de ellas.
Ahora, dado que los vectores solo admiten ser sumados o multiplicados por un número real,
parece que deberíamos ser capaces de tomar las construcciones y trucos para resolver problemas
del álgebra lineal, que al principio solo concebíamos en el contexto de "flechas en el espacio",
y usarlas también en funciones.
De hecho, existe una noción de trasformación lineal para funciones,
algo que, dada una función, te devuelve otra.
Un ejemplo familiar proviene del Cálculo: la función derivada.

Portuguese: 
de f (x) + g (x).
Isso é muito semelhante à adição de vetores coordenada a coordenada,
é só que há, em certo sentido, infinitas
 coordenadas para se lidar.
Da mesma forma, há uma noção sensata para dimensionar uma função por um número real,
basta dimensionar todas as saídas por esse número.
E, novamente, este é análogo ao escalar um
vetor, coordenada a coordenada,
apenas parecem haver infinitas coordenadas.
Agora, dado que a única coisa que vetores podem
fazer é serem adicionados ou escalados,
parece que deveríamos ser capazes de assumir as
mesmas construções úteis e técnicas
de resolução de problemas
da Álgebra Linear, que foram originalmente pensadas
no contexto de setas no espaço,
e aplicá-los a funções também.
Por exemplo, há uma noção perfeitamente razoável de uma transformação linear para funções,

Chinese: 
这和向量对应坐标相加非常相似
只不过在某种程度上说，它有无穷多个坐标要相加
类似地，函数与一个实数相乘也有合理的解释
只是把输出的值与那个数相乘
这再次和向量对应坐标数乘类似
只是感觉上有无穷多个坐标要数乘
因为对向量所能进行的操作不过相加和数乘两种
所以，最初以空间中的箭头为背景考虑的线性代数的合理概念和解决问题的手段
应该能够原封不动地被我们取出来
然后应用于函数
举个例子，函数的线性变换有一个完全合理的解释
这个变换接收一个函数，并把它变成另一个函数

Polish: 
czyli f(x) + g(x).
To dość podobne do dodawania wektorów współrzędna po współrzędnej,
tylko tych współrzędnych jest, cóż, nieskończenie wiele.
Podobnie, istnieje dobry sposób skalowania funkcji przez skalar,
po prostu poprzez skalowanie wartości funkcji przez liczbę.
to znowu jest nalogiczne do skalowania wektora współrzędna po współrzędnej,
tylko wydaje się, że jest ich nieskończoność.
biorąc pod uwagę, że wektory można tylko dodawać i mnożyć,
wydaje się że powinniśmy móc wziąć wszystkie narzędzia
algebry liniowej które tworzyliśmy w kontekście strzałek w przestrzeni
i zastosować je do funkcji.
Na przykład, istnieje dobrze uzasadniony pomysł przekształcenia liniowego dla funkcji,

Korean: 
이건 벡터에서 같은 좌표계끼리 더하는것과 비슷한데,
함수에서는 무한히 많은 좌표계들을 더하는 셈이다.
비슷하게 함수를 실수배하는 합리적인 방법도 있다.
그냥 모든 함수값에 실수를 곱하는 것이다.
마찬가지로 
벡터에서 좌표계마다 실수배하는 것과 비슷한데
무한히 많은 좌표계에 실수배를 하는 셈이다.
벡터를 가지고 더하거나 실수배만 한다고 하면,
공간상의 화살표로부터 처음에 생각했던
선형대수의 구조와 문제풀이 방법을
함수에도 똑같이 적용할 수 있다.
예를 들면,
한 함수를 매우 합리적으로 다른 함수로 바꿔주는
함수에 대한 선형 변환이 있다.

French: 
Un exemple familier vient du calcul : la dérivée.
C'est quelque chose qui transforme une fonction en une autre.
Quelquefois dans le contexte, vous entendrez parler d'opérateurs a la place de transformations,
mais le sens est le même.
Une question naturel qui vous pourriez vous poser, est quel est le sens de transformation linéaire pour une fonction.
La définition formelle de la linéarité est relativement abstraite et symboliquement
comparable a ce dont j'ai parlé dans le chapitre 3 de cette série,
mais la récompense de l'abstraction c'est qu'il en ressort quelque chose d'assez général pour l'appliquer au fonction,
comme au flèches.
Une transformation linéaire doit satisfaire deux conditions, communément appelé : addition et multiplication.
L'addition veut dire que si vous ajoutez deux vecteurs, v et w, et que vous lui appliquez une transformation,

Italian: 
che infatti trasforma una funzione in un'altra funzione.
Ogni tanto, in questo contesto, potresti sentirli chiamare operatori invece di trasformazioni,
ma il significato è lo stesso.
Una domanda che sorge spontanea è allora, che cosa significa che una trasformazione di funzioni è lineare?
La definizione formale di linearità è relativamente astratta e simbolica
in confronto a come ne ho parlato nel capitolo 3 di questa serie,
ma in cambio dell'astrattezza avremo un risultato abbastanza generale che possiamo applicarlo alle funzioni,
oltre che alle frecce.
Una trasformazione è lineare se soddisfa due proprietà, comunemente chiamate additività e omogeneità.
Additività significa che quando si sommano due vettori, v e w, e poi si applica la trasformazione,
si ottiene lo stesso risultato che si otterrebbe sommando le trasformazioni di v e w.

Spanish: 
Es algo que transforma una función en otra.
A veces, en este contexto, se usa el término "operador" en lugar de "transformación",
pero el significado es el mismo.
Una pregunta que surge de forma natural es qué significa que una transformación de funciones sea lineal.
La definición formal de linealidad es relativamente abstracta sin usar papel para escribirla,
y parece alejarse un poco del modo como la presenté en el capítulo 3 de esta serie [sobre Álgebra Lineal],
pero, como recompensa, esta abstracción nos permitirá poder aplicarla tanto en funciones
como en las "flechas" convencionales.
Se dice que una transformación es lineal si satisface estas dos propiedades, comúnmente descritas como "aditividad" y "escalamiento".
Aditividad significa que si sumas dos vectores, v y w, y aplicas la transformación a su suma,
obtienes el mismo resultado que si sumaras las dos transformaciones de v y w.

Portuguese: 
algo que toma uma função, e a transforma em outra.
Um exemplo familiar vem do cálculo: a derivada.
É algo que transforma uma função
em uma outra função.
Às vezes, neste contexto, você vai ouvir estes
chamados "operadores" em vez de "transformações",
mas o significado é o mesmo.
A pergunta natural que você pode querer perguntar,
é o que significa para uma transformação das funções
ser linear.
A definição formal de linearidade é relativamente
abstrata e simbolicamente impulsionada
em comparação com a maneira sobre 
a qual eu falei no capítulo 3 desta série,
mas a recompensa de abstração é que vamos
obter algo suficientemente geral para aplicar a funções,
bem como setas.
Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades, comumente chamada de aditividade
e escalonamento (homogeneidade).
Aditividade significa que se você adicionar dois vetores,
'v' e 'w', em seguida, aplicar uma transformação
para a sua soma,

Czech: 
Je to něco, co vezme funkci, přetvoří ji na jinou.
Jeden známý příklad si můžeme vypůjčit z kalkulu: derivaci.
Derivace je něco, co transformuje jednu funkci na jinou.
V tomhle kontextu se můžeme setkat s pojmem "operátor" místo "transformace",
ale znamená to totéž.
Přirozeně se můžeme ptát, co myslíme tím, že je transformace funkcí
lineární.
Formální definice linearity je docela abstraktní a symbolická,
když to srovnáme s tím, co jsme si ukázali v kapitole 3 téhle série,
ale jako odměnu dostaneme něco dost obecného na to, aby to dávalo stejný smysl pro funkce
jako pro šipky.
Transformace je lineární, když splňuje dvě podmínky, kterým se běžně říká "aditivita"
a "homogenita".
Aditivita znamená, že kdykoli sečteme dva vektory 'v' a 'w', a pak transformujeme
součet,

Japanese: 
なじみ深い例の一つが、解析学でいう微分です
関数を与えると、それを別の関数に変えてしまうような操作です
状況によって演算子などと呼ばれることもありますが、意味は同じです
ここで、変換が線形であるとはどういう意味かと聞きたくなるかもしれません
線形という言葉の正式な定義は、第3章で説明したのに比べると、何か抽象的で記号操作っぽいものです
しかし、抽象的であるということは、ベクトルだけでなく、関数のようなものにも適用できる一般性があるということです
変換は、次の2つの性質を満たすときに線形であるといいます
加法性と、斉次性です
加法性とは、2つのベクトルvとwの和をとり、それに対して変換を行うと、

Arabic: 
شيء ما يأخذ في وظيفة واحدة ، و
يحولها إلى أخرى.
أحد الأمثلة المألوفة يأتي من حساب التفاضل والتكامل:
مشتق.
إنه شيء يحول وظيفة واحدة
في وظيفة أخرى.
أحيانًا في هذا السياق ، ستسمع هذه
دعا المشغلين بدلا من التحولات ،
لكن المعنى هو نفسه.
سؤال طبيعي قد ترغب في طرحه ،
هو ما يعنيه لتحويل الوظائف
لتكون خطية.
التعريف الرسمي للخط هو نسبيا
مجردة ورمزيا مدفوعة
مقارنة بالطريقة التي تحدثت عنها لأول مرة
في الفصل 3 من هذه السلسلة ،
لكن مكافأة التجريد هي أننا سنقوم
الحصول على شيء عام بما فيه الكفاية للتقدم إلى الوظائف ،
وكذلك السهام.
التحول هو خطي إذا كان يرضي
اثنين من الخصائص ، وتسمى عادة الاضافات
والقياس.
تعني الإضافة أنه في حالة إضافة متجهين ،
ت و ث ، ثم تطبيق التحول إلى
مجموع،

Korean: 
미적분학에서 나오는 친숙한 예시가 바로
도함수이다.
이건 한 함수를 다른 함수로 바꾸는 변환이다.
가끔씩 변환(transform)대신
연산(operator)라고 부르는걸 볼 수 있는데
의미는 똑같다.
여러분은 자연스럽게 
함수의 변환이 '선형'인게 무슨 의미인지 궁금할 것이다.
선형성에 대한 수학적 정의는
이 시리즈의 3장에서 설명한 것에 비해
매우 추상적이고 상징적이지만
일반적이라서 벡터만이 아니라 함수에도 적용할 수 있다.
변환이 선형이라면
합과 실수배의 성질을 만족한다.
합의 성질(Additivity)이란
두 벡터 v와 w를 더하고 그 결과를 변환한 것과

Chinese: 
从微积分中可以找到一个常见的例子——导数
它将一个函数变换到另一个函数
关于这点，有时你听到的是“算子”而不是“变换”
不过它们的意思一样
你自然想问，“一个函数变换是线性的”是什么意思
相比于我在这个系列的第三章视频中讨论的定义方法
线性的严格定义是相对抽象而符号繁重的
但是，抽象性带来的好处是我们能得到一般性的结论
它不仅适用于箭头，也适用于函数
满足以下两条性质的变换是线性的
这两条性质通常被称为“可加性”和“成比例”
可加性意味着如果你把两个向量v和w相加，然后对它们的和应用变换

Polish: 
coś co bierze jedną funkcję i przekształca ją w inną.
Dobry przykład pochodzi z analizy matematycznej: jest nim pochodna.
To coś takiego, co przekształca funkcję w inną funkcję.
Czasami w tym kontekście usłyszycie nazwę 'operator' zamiast przekształcenie
ale znaczenie jest to samo.
Naturalnym pytaniem które chcielibyśmy zadać, jest takie: co oznacza, że przekształcenie jest liniowe?
Formalna definicja liniowości jest dość abstrakcyjna i opisana symbolami,
szczególnie w porównaniu do sposobu w jaki je opisywałem w Rozdziale 3,
jednak nagrodą za abstrakcyjność jest to, że dostaniemy coś bardziej ogólnego, co będziemy mogli stosować i do funkcji,
i do strzałek/
Przekształcenie jest liniowe jeżeli spełnia dwa warunki, powszechnie zwane addytywnością
i jednorodnością.
Addytywność znaczy, że jeżeli dodamy dwa wektory v oraz w,
i do sumy przyłożymy przekształcenie,

English: 
something that takes in one function, and
turns it into another.
One familiar example comes from calculus:
the derivative.
It's something which transforms one function
into another function.
Sometimes in this context, you'll hear these
called operators instead of transformations,
but the meaning is the same.
A natural question you might want to ask,
is what it means for a transformation of functions
to be linear.
The formal definition of linearity is relatively
abstract and symbolically driven
compared to the way that I first talked about
it in chapter 3 of this series,
but the reward of abstractness is that we'll
get something general enough to apply to functions,
as well as arrows.
A transformation is linear if it satisfies
two properties, commonly called additivity
and scaling.
Additivity means that if you add two vectors,
v and w, then apply a transformation to their
sum,

Arabic: 
تحصل على نفس النتيجة كما لو قمت بإضافة
إصدارات محولة من v و w.
خاصية التحجيم هي أنه عند القياس
متجه v بواسطة رقم ما ،
ثم تطبيق التحول ،
تحصل على نفس الناقل النهائي كما لو كنت
مقياس النسخة المحولة من الخامس من قبل ذلك
نفس المبلغ.
الطريقة التي ستسمعون بها هذه الموصوفة هي
هذه التحولات الخطية تحافظ على العمليات
من
إضافة ناقلات وضرب العددية.
فكرة خطوط الشبكة المتبقية متوازية و
متباعدة بالتساوي هي أنني تحدثت عنها
مقاطع الفيديو السابقة
هو حقا مجرد توضيح لما هذه
خصائص اثنين يعني في حالة محددة من
نقاط ثنائية الأبعاد في الفضاء.
واحدة من أهم النتائج
هذه الخصائص ،
مما يجعل مضاعفة متجهات المصفوفة ممكنة ،
هو أن التحول الخطي يكون بالكامل
وصف
من حيث يأخذ المتجهات الأساس.

French: 
vous avez le même résultat que si vous additionnez les versions modifiés de v et w.
La propriété de la multiplication et quand vous multipliez un vecteur par un scalaire,
puis vous lui faites subir une transformation,
vous obtenez le même vecteur finale que si vous multipliez le vecteur v transformé, par ce même scalaire.
Vous entendrez souvent dire que la transformation linéaire conserve
l'addition et la multiplication.
L'idée des grilles qui reste parallèles et séparées du même espace dont j'ai parlé dans une vidéo précédente
est juste une illustration de ces propriétés dans le cas spécifique de point dans un espace 2D
Une des conséquences importantes des ces propriétés,
qui rend les multiplication matrices-vecteurs possible, est que la transformation linéaire est complètement décrite
par où sont pris les vecteurs de base.

Chinese: 
得到的结果和将变换后的v与变换后的w相加一致
成比例是说，你将一个向量v与某个数相乘
然后应用变换
得到的结果和变换后的v与这个数相乘一致
你经常会听到的一种描述方法是“线性变换保持向量加法运算和数乘运算”
我在前几期视频中讨论过的网格线保持平行且等距分布的概念
只是这两条性质在二维空间这一特殊情况下的体现
这两条性质的一个最重要的推论是
一个线性变换可以通过它对基向量的作用来完全描述，这使得矩阵向量乘法成为可能

Polish: 
to otrzymamy ten sam wynik, jakbyśmy dodali do siebie wyniki przekształceń v oraz w.
Jednorodność znaczy, że gdy skalujemy wektor v przez jakąś liczbę,
oraz przyłożymy przekształcenie,
to otrzymamy ten sam wektor, jak byśmy przeskalowali już przekształcony wektor v.
 
Można często spotkać się z opisem, że przekształcenia liniowe zachowują operacje
dodawania wektorów, oraz mnożenia przez skalar.
Ten pomysł, że linie kratowe pozostają równoodległe i równoległe, o którym mówiłem
w poprzednich filmach
jest po prostu ilustracją, co te dwie własności znaczą w szczególnym przypadku
przestrzeni dwuwymiarowej.
Jedną z najważniejszych konsekwencji tych własności
która czyni mnożenie macierzy i wektora możliwym, jest to, że przekształcenie liniowe jest w pełni zadane
przez to, gdzie posyła wektory bazowe.

Czech: 
vyjde to stejně jako když sečteme transformované verze 'v' a 'w'.
Podmínka "homogenity" říká, že když vynásobíme vektor  'v' nějakým skalárem,
a pak jej transformujeme,
dopadne to úplně stejně jako když vektor napřed transformujeme, a až pak jej vynásobíme
tím samým skalárem.
Často se můžete setkat s formulací, že lineární transformace zachovávají operace
 
sčítání vektorů a násobení skalárem.
Představa linek v mřížce, které zůstanou rovnoběžné a rovnoměrně rozmístěné, jak jsem to
popisoval dřív,
není nic jiného než znázornění těchto dvou podmínek pro konkrétní případ
bodů v rovině.
Jeden z nejdůležitějších důsledků těchto podmínek, který
dává smysl násobení matice a vektoru, je ten, že je lineární transformace jednoznačně
popsána
tím, kam se přesunou bázové vektory.

English: 
you get the same result as if you added the
transformed versions of v and w.
The scaling property is that when you scale
a vector v by some number,
then apply the transformation,
you get the same ultimate vector as if you
scale the transformed version of v by that
same amount.
The way you'll often hear this described is
that linear transformations preserve the operations
of
vector addition and scalar multiplication.
The idea of gridlines remaining parallel and
evenly spaced is that I've talked about in
past videos
is really just an illustration of what these
two properties mean in the specific case of
2D points in space.
One of the most important consequences of
these properties,
which makes matrix-vector multiplication possible,
is that a linear transformation is completely
described
by where it takes the basis vectors.

Italian: 
Omogeneità significa che quando si scala un vettore v per un numero qualsiasi,
e poi si applica la trasformazione,
si ottiene lo stesso vettore che risulterebbe scalando per lo stesso numero la trasformazione di v.
Sentirai spesso dire, alternativamente, che le trasformazioni lineari conservano le operazioni
di somma tra vettori e moltiplicazione per scalare.
L'idea di meridiani e paralleli che rimangono uniformemente distribuiti di cui abbiamo parlato nei video precedenti
in realtà non è che un'illustrazione di queste due proprietà nel caso specifico di punti nel piano bidimensionale.
Una delle conseguenze più importanti di queste proprietà
che rende possibile moltiplicare matrici per vettori, è che una trasformazione lineare è completamente descritta
da come trasforma i vettori base.
Dato che qualsiasi vettore può essere espresso scalando e sommando i vettori base in qualche maniera,

Portuguese: 
você obtém o mesmo resultado como se você tivesse adicionado as versões transformadas de 'v' e 'w'.
A propriedade de escalonamento é que quando você dimensionar um vetor 'v' por algum número,
em seguida, aplicar a transformação,
você obtém o mesmo vetor final como se você dimensionasse a versão transformada de 'v', por essa
mesma quantidade.
A maneira como você vai ver isso explicado muitas vezes é que as transformações lineares preservam
as operações de
adição de vectores e multiplicação por escalar.
A idéia de linhas de grade permanecendo paralelas e
uniformemente espaçadas que eu falei nos
últimos vídeos
é realmente apenas uma ilustração do que estes
duas propriedades significam, no caso específico de
pontos 2D no espaço.
Uma das consequências mais 
importantes destas propriedades,
que torna a multiplicação matriz-vector possível,
é que uma transformação linear é completamente
descrita
por onde ela leva os vetores de base.

Japanese: 
vとwそれぞれを変換した結果の和に等しいというものです
斉次性とは、ベクトルをある数値でスケールしたものを変換したとき、
ベクトルを変換したものを同じだけスケールしたものと等しいということです
この性質を指して、線形変換は加法とスケール倍の保存性を持つということがあります
前の動画で、格子の間隔が一定で、平行な状態を維持した変換のことを線形変換といっていましたが、
これらの2つの性質を2次元空間の場合について表現したものに他なりません
これらの性質の中で、行列による変換の表現を可能にするために重要なことは、
線形変換のやり方を決めるのは、基底ベクトルの組がどう変換されるかを与えるのと同じであるということです

Korean: 
v와 w를 먼저 변환하고 더한 것이 같다는 것이다.
실수배 성질(scaling property)이란
벡터 v를 실수배(c)하고
변환한 것과
v를 먼저 변환하고 실수배(c)한 것이 같다는 것이다.
이런걸 "선형변환이 합과 실수배를 보존한다"고 한다.
지난 영상에서 얘기했듯이
변환 후에도 격자가 평행하고 균등하게 유지되는건
2차원 평면 위의 점들이
바로 이 두 성질을 만족하기 때문이다.
또 이 성질은 행렬과 벡터의 곱을 가능하게 만들어서
기저벡터에 따라
선형변환을 완벽히 표현할 수 있게 한다.
어떤 벡터든지

Spanish: 
La segunda propiedad nos dice que si multiplicas un vector por un número
y lo transformas,
obtienes lo mismo que si primero transformaras v y multiplicaras el resultado por este mismo número.
Normalmente esto se señala diciendo que las transformaciones lineales preservan las operaciones de
adición de vectores y multiplicación por escalares.
La idea de la cuadrícula permaneciendo paralela y distribuida uniformemente que tanto usé en los vídeos anteriores
es simplemente la representación gráfica de estas dos propiedades en el caso concreto del plano.
Una de las consecuencias más relevantes de estas dos propiedades,
que hace que la multiplicación matriz-vector sea posible, es que una transformación lineal queda totalmente
determinada por la imagen de los vectores de la base.
El hecho que todo vector pueda ser expresado como una suma de los vectores de la base multiplicados por algún número

Japanese: 
どんなベクトルでも基底のスカラー倍と足し算で表せるということは、
線形変換によってそのベクトルがどう変化するかを決めるには、基底ベクトルそれぞれがどう変化するかを
決めるので十分だということです
すぐにわかるように、矢印に対して言えるこれらのことは、関数についても同じように言えます
たとえば、解析学の生徒は、常に微分は加法性と斉次性を持つという性質を利用しています
そういう言い方を聞いたことがなかったとしてもです
2つの関数を足してから微分するのは、それぞれの微分をまず取ってから和を取るのと同じことです
同様に、関数をスケールしてから微分することは、微分をまず取ってからスケールするのと同じことです
感覚をつかむために、まず微分を行列で表現した変換にするとどうなるか考えてみましょう

Czech: 
Protože můžeme každý vektor vyjádřit pomocí nějakého škálování a sčítání bázových vektorů,
tak když nás pak zajímá transformovaná verze toho vektoru, stačí stejným způsobem
vyškálovat a
posčítat transformované bázové vektory.
Za chvíli si ukážeme, že to funguje pro funkce stejně jako pro šipky.
Například studenti kalkulu se vždycky učí, že derivace je aditivní
a
homogenní, i když to neformulují nutně takto.
Když sečteme dvě funkce, a pak je zderivujeme, je to stejné, jako když napřed zderivujeme
sčítance
zvlášť, a pak sečteme výsledky.
Podobně, když vynásobíme funkci konstantou, a pak ji zderivujeme, vyjde to stejně jako
napřed derivace
a potom násobení konstantou.
Ještě se porýpeme v analogiích, a podíváme se, jak popsat derivaci pomocí
matice.

Portuguese: 
Uma vez que qualquer vetor pode ser expresso através do escalonamento e adição dos vetores de base, de alguma forma,
encontrar a versão transformada de um vetor
se resume a escalar e adicionar as
versões transformadas dos
vetores de base naquela mesma maneira.
Como você verá em um momento, isso é tão verdadeiro
para funções como é para setas.
Por exemplo, estudantes de cálculo estão sempre
utilizando o fato de que a derivada é
aditiva e
tem a propriedade de escala, mesmo se eles não dizem desta maneira.
Se você adicionar duas funções e em seguida tomar a derivada, é o mesmo que tomar primeiro a derivada
de cada um
separadamente, em seguida, adicionar o resultado.
Da mesma forma, se você dimensionar uma função, em seguida, tomar
o derivado, que é o mesmo que o primeiro tomada
a derivada,
em seguida, escalar o resultado.
Para realmente compreender o paralelo, vamos ver
o que pode parecer para descrever a derivada
com uma matriz.

Korean: 
기저벡터의 실수배와 합으로 표현할 수 있기 때문에
벡터를 변환한 결과 역시
기저벡터를 변환한 것의
실수배와 합으로 표현할 수 있다.
곧 보겠지만, 함수에서도 이 방법이 성립한다.
예를 들어, 미적분학을 공부하는 학생들은
미분할 때 합과 실수배 성질을 자연스럽게 사용한다.
이런 설명은 들은적이 없어도 말이다.
두 함수를 더한 후, 미분한 것은
각각을 먼저 미분하고
그 다음에 더한것과 같다.
마찬가지로 함수를 실수배한 후, 미분한 것은
먼저 미분하고 실수배를 한 것과 같다.
행렬과 함수가 진짜 비슷한지 보기 위해
미분을 행렬과 같이 기술해보자.

Spanish: 
hace que su versión transformada se reduzca a sumar y multiplicar por estos mismos números
la versión transformada de los vectores de la base.
Como ahora veremos, esto es igualmente válido para las funciones.
Por ejemplo, los estudiantes de Cálculo usan continuamente que la derivada es aditiva y
tiene la propiedad del producto por un escalar, aunque quizás no lo hayan oído nunca de esta forma.
Si sumas dos funciones y haces su derivada, es lo mismo que hacer primero la derivada de cada una
por separado y luego sumarlas.
Similarmente, si multiplicas una función por un escalar y haces la derivada, es lo mismo que hacer primero su
derivada, y luego multiplicar por el escalar.
Para evidenciar aún más el paralelismo, intentemos describir la función derivada con una matriz.
Esto va a ser un poco intrincado, ya que los espacios de funciones suelen tener dimensión infinita,

French: 
Depuis que les vecteurs peuvent être exprimés comme des sommes et des multiplication des vecteurs de bases,
trouver la version transformés d'un vecteur revient a ajouter et multiplier les versions transformées
des vecteurs de base de la même manière.
Comme vous verrez dans un moment c'est aussi vrai pour les fonctions que ça l'est pour les flèches.
Par exemple, les étudiants en math utilisent le fait que la dérivée a les propriétés d'addition
et de multiplication, même f ne l'avait pas entendu de cette manière.
Si vous ajoutez deux fonctions, alors prendre la dérivée de la somme revient a faire la somme des dérivées
de chacune séparément.
De la même façon, si vous multipliez la fonction puis en faites la dérivée, c'est pareil que d'abord faire la dérivée
puis multiplier le résultat.
Pour continuer le parallèle, regardons a quoi ça ressemblerait de décrire la dérivée avec une matrice.

Chinese: 
因为任一向量都能表达为基向量以某种方式进行线性组合
所以求一个向量变换后的结果
实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果
稍后你就会明白，跟箭头一样，这一点对函数来说同样正确
比如说，学微积分的学生经常会用到一个事实
即求导具有可加性和成比例性
即便他们没有听过这种说法
如果你把两个函数相加，然后求导数
等同于先求两个函数的导数，然后把结果相加
类似地，如果你将函数与数相乘，然后求导数
等同于先求导数，然后把结果与数相乘
为了真正掌握这里的类比关系，我们来看看用矩阵描述求导是什么样子的

English: 
Since any vector can be expressed by scaling
and adding the basis vectors in some way,
finding the transformed version of a vector
comes down to scaling and adding the transformed
versions of
the basis vectors in that same way.
As you'll see in a moment, this is as true
for functions as it is for arrows.
For example, calculus students are always
using the fact that the derivative is additive
and
has the scaling property, even f they haven't
heard it phrased that way.
If you add two functions, then take the derivative,
it's the same as first taking the derivative
of each one
separately, then adding the result.
Similarly, if you scale a function, then take
the derivative, it's the same as first taking
the derivative,
then scaling the result.
To really drill in the parallel, let's see
what it might look like to describe the derivative
with a matrix.

Italian: 
trovare la trasformazione di un vettore si riduce a scalare e sommare le trasformazioni
dei vettori base allo stesso modo.
Come vedrai tra poco, tutto questo è vero tanto per le funzioni quanto per le frecce.
Per esempio, gli studenti di analisi sfruttano continuamente il fatto che la derivata è additiva
e omogenea, anche se non l'hanno sentita descrivere così.
Quando sommiamo due funzioni, e poi deriviamo, è la stessa cosa di derivarle
separatamente, e sommare i risultati.
Analogamente, se scaliamo una funzione, e poi deriviamo, è la stessa cosa di derivarla
e poi scalare il risultato.
Per completare l'analogia, vediamo come potremmo descrivere la derivata con una matrice.
Non sarà facile, dato che gli spazi funzionali tendono ad avere dimensione infinita,

Arabic: 
حيث يمكن التعبير عن أي ناقلات عن طريق القياس
وإضافة ناقلات الأساس بطريقة ما ،
العثور على نسخة محولة من ناقلات
ينزل إلى التحجيم وإضافة المحولة
إصدارات من
المتجهات الأساس بهذه الطريقة نفسها.
كما سترى في لحظة ، هذا صحيح
لوظائف كما هو للسهام.
على سبيل المثال ، طلاب التفاضل والتكامل دائما
باستخدام حقيقة أن المشتق هو مضاف
و
لديه خاصية التحجيم ، حتى لو لم تكن لديهم
سمع أنه صيغت بهذه الطريقة.
إذا قمت بإضافة وظيفتين ، فاختر المشتق ،
إنها نفس الطريقة التي تأخذ بها المشتق الأول
من كل واحد
بشكل منفصل ، ثم إضافة النتيجة.
وبالمثل ، إذا قمت بتغيير وظيفة ، ثم تأخذ
المشتقة ، هو نفس أخذ الأول
مشتق،
ثم قياس النتيجة.
لننظر حقاً في التوازي ، دعونا نرى
ما قد يبدو عليه وصف المشتق
مع المصفوفة.

Polish: 
skoro dowolny wektor można wyrazić przez skalowanie i dodawanie wektorów bazowych w pewien sposób,
to znajdowanie przekształcenia pewnego wektora sprowadza się do skalowania i dodawania
przekształconych wersji
wektorów bazowych, w ten sam sposób.
Jak zaraz zobaczycie, to pozostaje prawdziwe zarówno dla funkcji jak i strzałek.
Na przykład, studenci na analizie matematycznej zawsze używają faktu, że pochodna jest addytywna
oraz
oraz jednorodna, nawet jeśli nigdy nikt nie powiedział im tego w ten sposób.
Jeżeli dodamy dwie funkcje, to wzięcie pochodnej to to samo co wzięcie pochodnych
tych składników
oddzielnie, i dodanie wyników.
Podobnie, gdy skalujemy funkcje, to wzięcie pochodnej to to samo,
co wzięcie najpierw pochodnej,
a potem jej przeskalowanie.
Żeby naprawdę pokazać tę analogię, zobaczmy jak możnaby opisać pochodną
przez macierz.

Czech: 
Bude to trochu ošidné, protože prostory funkcí mají typicky nekonečnou dimenzi,
ale myslím, že je tenhle příklad celkem podstatný.
Omezíme se jenom na polynomy, funkce jako
x^2 + 3x + 5 nebo 4x^7 - 5x^2.
Každý polynom v našem prostoru smí mít jenom konečně mnoho členů,
ale celý prostor zahrnuje polynomy s libovolně vysokým stupněm.
Pro začátek potřebujeme zavést v našem prostoru souřadnice, k tomu si musíme zvolit bázi.
Polynomy už máme zapsané jako součet vyškálovaných mocnin proměnné x,
 
takže je docela přirozené si zvolit čisté mocniny proměnné x jako bázové funkce.
Jinými slovy se bude naše báze skládat z funkce b0(x) = 1,
druhá bázová funkce bude b1(x) = x, potom b2(x) = x^2, b3(x) = x^3, a tak dál.
Tyto bázové funkce budou hrát obdobnou roli jako bázové vektory 'i', 'j' a
'k'

Spanish: 
pero creo que el ejercicio merece la pena.
Vamos a limitarnos únicamente a la familia de los polinomios, como x^2 + 3x + 5, o 4x^7 -5x^2.
Cada uno de estos polinomios de nuestro espacio tendrá un número finito de componentes,
pero el espacio en su totalidad incluye polinomios de grado arbitrariamente elevado.
Lo primero que debemos hacer es tomar coordenadas en este espacio, que requiere escoger una base.
Al estar los polinomios ya escritos como una suma de potencias de la variable x multiplicadas por un escalar,
parece natural elegir simplemente  las potencias de x como las funciones de la base.
En otras palabras, la primera función de nuestra base será la función constante b_0(x) = 1.
La segunda será b_1(x) = x, después b_2(x) = x^2, después b_3(x) = x^3, y así sucesivamente.
El papel de estas funciones base será similar al papel de i, j y k
en el mundo de los vectores entendidos como "flechas".

Chinese: 
这可能有些棘手，因为函数空间倾向于有无穷维
不过我觉得这个练习实际上很符合要求
我们现在把目光限制在多项式空间上，比如说x^2+3x+5或者4x^7-5x^2等等
虽然这个空间中的每一个多项式都只有有限项
但是整个空间应该包含任意高次的多项式
首先我们要做的是给这个空间赋予坐标的含义，这需要选取一个基
因为多项式已经是数乘x的不同次幂再做加和的形式
所以我们很自然地就取x的不同次幂作为基函数
换句话说，第一个基函数就是一个常函数，即b0(x)=1
第二个基函数是b1(x)=x，然后是b2(x)=x^2，b3(x)=x^3，以此类推
基函数在这里起到的作用

Korean: 
함수를 무한차원으로 쳐야 돼서 좀 어렵겠지만
그래도 꽤 할만할 것이다.
다항식들에 대해서만 보자.
각각의 다항식들은 무한히 많은 항을 가질 순 없지만,
임의의 최고차항을 가질 수 있다.
먼저 이 공간에서 쓸 좌표계를 정해야 한다.
즉, 기저를 정해야 한다.
다항식은 이미 변수 x의 거듭제곱의 합으로 써있어서
x의 거듭제곱들로 기저함수를 정하는건 자연스럽다.
다시 말해 첫 번째 기저함수는 상수함수인 1이고,
두 번째 기저함수는 x,
그리고 x^2, x^3 등의 순서가 된다.
이 기저함수의 역할은

Arabic: 
سيكون هذا صعبًا بعض الشيء ، نظرًا لأن الوظيفة
الفراغات لها ميل لتكون غير محدودة الأبعاد ،
لكنني أعتقد أن هذا التمرين هو في الواقع
مرضيه.
دعونا نقتصر على كثيرات الحدود ، الأشياء
مثل x ^ 2 + 3x + 5 أو 4x ^ 7 - 5x ^ 2.
كل من كثيرات الحدود في مساحتنا سوف
لديهم فقط العديد من المصطلحات ،
لكن المساحة الكاملة ستشمل كثيرات الحدود
بدرجة كبيرة بشكل تعسفي.
أول شيء يتعين علينا القيام به هو إعطاء الإحداثيات
إلى هذا الفضاء ، الأمر الذي يتطلب اختيار أساس.
بما أن كثيرات الحدود مكتوبة بالفعل
كمجموع القوى المقاسة للمتغير
س،
من الطبيعي أن تختار فقط القوى المحضة
من x كدالة الأساس.
وبعبارة أخرى ، فإن وظيفتنا الأساسية الأولى هي
تكون الوظيفة الثابتة ، b_0 (x) = 1.
ستكون الوظيفة الأساسية الثانية b_1 (x) = x ،
ثم b_2 (x) = x ^ 2 ، ثم b_3 (x) = x ^ 3 ، وهكذا.
الدور الذي تقوم به هذه الوظائف الأساسية
سوف تكون مشابهة لأدوار I-hat ، j-hat
و k-hat

English: 
This will be a little tricky, since function
spaces have a tendency to be infinite-dimensional,
but I think this exercise is actually quite
satisfying.
Let's limit ourselves to polynomials, things
like x^2 + 3x + 5 or 4x^7 - 5x^2.
Each of the polynomials in our space will
only have finitely many terms,
but the full space is going to include polynomials
with arbitrarily large degree.
The first thing we need to do is give co-ordinates
to this space, which requires choosing a basis.
Since polynomials are already written down
as the sum of scaled powers of the variable
x,
it's pretty natural to just choose pure powers
of x as the basis function.
In other words, our first basis function will
be the constant function, b_0(x) = 1.
The second basis function will be b_1(x) = x,
then b_2(x)=x^2, then b_3(x)=x^3, and so on.
The role that these basis functions serve
will be similar to the roles of i-hat, j-hat
and k-hat

Portuguese: 
Isso vai ser um pouco complicado, pois espaços de funções têm uma tendência a ser infinito-dimensionais,
mas acho que este exercício é 
realmente muito gratificante.
Vamos nos limitar a polinômios, as coisas
como x^2 + 3x + 5 ou 4x^7 - 5x^2.
Cada um dos polinômios em nosso espaço vai 
ter apenas um número finito de termos,
mas todo o espaço vai incluir polinômios
com grau arbitrariamente grande.
A primeira coisa que precisamos fazer é dar coordenadas a este espaço, o que exige a escolha de uma base.
Uma vez que polinômios já são escritos 
como a soma de potências escaladas da variável
x,
é muito natural escolher apenas potências puras
de x como as funções de base.
Em outras palavras, a nossa primeira função da base será a função constante, b_0 (x) = 1.
A segunda função da base será b_1 (x) = x,
em seguida, b_2 (x) = x ^ 2, em seguida, b_3 (x) = x ^ 3, e assim por diante.
O papel que estas funções de base servem
serão semelhantes aos papéis de î, ĵ
e kˆ

Japanese: 
関数空間は無限の次元を持つというのがトリッキーですが
この演習は満足感のあるものだと思います
話を多項式に限定しましょう。x^2+3x+5とか4x^7-5x^2とかいったものです
どの多項式も、有限の個数の項しか持ちませんが
全空間に含まれる多項式は、いくらでも大きな次数を持ちえます
最初に必要なのは、基底を選ぶことで、この空間に座標系を与えることです
すでに多項式の項はxのべき乗の線形和で書かれていますので
xのべき乗の組を基底関数として選ぶのが自然です
言い換えると、最初の基底関数は定数関数、すなわちb_0(x)=1です
次の基底関数はb_1(x)=x、b_2(x)=x^2、b_3(x)=x^3、などと続きます
これらの基底関数が果たす役割は、矢印で表されたベクトル空間でいう、

French: 
ça sera un peu astucieux, dans le sens ou les fonctions ont tendance a être de dimension infini
mais je pense que cet exercice est assez satisfaisant.
Limitons nous au polynômes, comme x^2 + 3x + 5 ou 4x^7 - 5x^2
Chacun de ces polynômes dans notre espace ont un nombre fini de termes,
mais l'espace contient des polynômes avec des degrés très grands.
La première chose qu'on doit faire est de donner des coordonnées a cet espace, qui a besoin qu'on choisisse une base.
Comme les polynômes sont déjà écrit en tant que somme de puissance de x,
il est naturel de choisir des puissance de x comme fonction de base.
Dans d'autres mots, notre première fonction de base sera la constante, b0(x) = 1.
La seconde sera b2(x) = x^2, puis b3(x) = x^3, bn(x) = x^n, etc...
Le rôle de ces fonctions de base sera le même que les rôles de i,j,k

Italian: 
ma credo che questo esercizio sia piuttosto appagante.
Limitiamoci al caso dei polinomi, funzioni come
x^2 + 3x + 5, o 4x^7 - 5x^2.
Ciascuno dei polinomi nel nostro spazio avrà solo un numero finito di termini,
ma lo spazio al completo include polinomi di grado arbitrariamente grande.
La prima cosa da fare è assegnare coordinate a questo spazio, che richiede una scelta di base.
Dato che i polinomi sono già scritti come la somma di potenze scalate della variabile x,
è del tutto naturale scegliere potenze di x con coefficiente 1 come funzioni base.
In altre parole, la nostra prima funzione base sarà la funzione costante b_0(x) = 1.
La seconda funzione base sarà b_1(x) = x, poi b_2(x)=x^2, poi b_3(x)=x^3, eccetera.
Il ruolo di queste funzioni base sarà simile al ruolo di i, j e k
nel mondo in cui i vettori sono frecce.

Polish: 
To będzie ciekawe, bo przestrzenie funkcji mają tendencję do bycia nieskończenie wymiarowymi
ale myślę że to ćwiczenie jest całkiem satysfakcjonujące.
Ograniczmy się do wielomianów, funkcji typu x^2 + 3x + 5 or 4x^7 - 5x^2.
Każdy z tych wielomianów będzie miał tylko skończenie wiele wyrazów,
ale cała przestrzeń będzie zawierała wielomiany dowolnie dużego stopnia.
Najpierw musimy zadać współrzędne na tej przestrzeni, co wymaga wybrania bazy.
Skoro wielomiany już są zapisane jako  suma przeskalowanych potęg zmiennej x,
to dość naturalnym jest wybrać same potęgi x jako funkcje bazowe.
W innych słowach, nasza pierwsza funkcja bazowa będzie funkcją stałą, b_0(x) = 1.
Drugą funkcją bazową będzie  b_1(x) = x, następnie  then b_2(x)=x^2, i tak dalej.
Rola tych funkcji będzie podobna do ról i-z-daszkiem, j-z-daszkiem
oraz k-z-daszkiem

Polish: 
w przestrzeni wektorowej strzałek.
Skoro nasze wielomiany mogą mieć dowolnie duży stopień, to zbiór funkcji bazowych
jest nieskończony.
Ale to w porządku, to znaczy że gdy będziemy traktować wielomiany jako wektory,
to będą miały nieskończenie wiele wymiarów.
Wielomian x^2 + 3x + 5, na przykład, byłby opisany we współrzędnych
5, 3 i 1,
a następnie nieskończenie wiele zer.
Odczytuje się to tak, że jest to 5 razy pierwsza funkcja bazowa plus 3 razy druga,
plus 1 razy trzecia bazowa funkcja, a od tego żadna z pozostałych
nie ma być już dodawana.
Wielomian 4x^7 - 5x^2 miałby współrzędne 0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4,
a potem nieskończony ciąg zer.
W ogólności, skoro każdy wielomian ma tylko skończenie wiele współczynników, to jego współrzędne

French: 
dans un repère de vecteur (O, i, j, k).
Nos polynômes pouvant avoir n'importe quel degré, ce set de fonction est infini.
Mais c'est bon, ça veut juste dire que nous allons traiter nos polynômes comme des vecteurs,
ils vont avoir infiniment plus de coordonnées.
Un polynôme comme x^2 + 3x + 5, par exemple, aurait les coordonnées 5, 3, 1,
puis un nombre infini de 0.
On lirait ça en disant, c'est 5 fois la première fonction de base plus 3 fois la deuxième
plus 1 fois la troisième, et puis 0 fois les autres
devrait être ajouter a partir de là.
Le polynôme 4x^7-5x^2 aurait les coordonnées 0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4, et un nombre infini de 0.

Arabic: 
في عالم النواقل كسهام.
بما أن كثيرات الحدود لدينا يمكن أن يكون بشكل تعسفي
درجة كبيرة ، هذه المجموعة من وظائف الأساس
هو لانهائي.
لكن هذا مقبول ، هذا يعني أنه عندما نكون
التعامل مع كثيرات الحدود كناقلات ،
سيكون لديهم عدد لا نهائي من الإحداثيات.
كثير الحدود مثل x ^ 2 + 3x + 5 ، على سبيل المثال ،
سيتم وصفها مع المشترك 5 ordiantes ،
3 ، 1 ،
ثم بلا حدود العديد من الأصفار.
كنت قد قرأت هذا القول انه 5 أضعاف
أول وظيفة أساس ، بالإضافة إلى 3 مرات في ذلك الثاني
وظيفة الأساس ،
زائد 1 مرة وظيفة الأساس الثالثة ، و
ثم لا شيء من وظائف الأساس الأخرى
يجب أن تضاف من تلك النقطة.
متعدد الحدود 4x ^ 7 - 5x ^ 2 سيكون له
تنسق 0، 0، -5، 0، 0، 0، 0، 4، then
سلسلة لانهائية من الأصفار.
بشكل عام ، منذ كل متعدد الحدود الفردية
لديه العديد من المصطلحات فقط ، إنه إحداثيات

English: 
in the world of vectors as arrows.
Since our polynomials can have arbitrarily
large degree, this set of basis functions
is infinite.
But that's okay, it just means that when we
treat out polynomials as vectors,
they're going to have infinitely many co-ordinates.
A polynomial like x^2 + 3x + 5, for example,
would be described with the co-ordiantes 5,
3, 1,
then infinitely many zeros.
You'd read this as saying it's 5 times the
first basis function, plus 3 times that second
basis function,
plus 1 times the third basis function, and
then none of the other basis functions
should be added from that point on.
The polynomial 4x^7 - 5x^2 would have the
co-ordinates 0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4, then
an infinite string of zeros.
In general, since every individual polynomial
has only finitely many terms, it's co-ordinates

Spanish: 
Como los polinomios pueden tener grado arbitrariamente elevado, el conjunto de funciones base es infinito.
Pero esto no es ningún problema, simplemente significa que, cuando tratemos los polinomios como vectores,
tendrán un número infinito de coordenadas.
Un polinomio como x^2 + 3x + 5, por ejemplo, se describiría con coordenadas 5, 3, 1,
y después un número infinito de ceros.
Esto se leería como que es 5 veces la primera función de la base, más 3 veces la segunda función de la base,
más una vez la tercera función de la base, y que ninguna de las otras funciones de la base
intervienen en su construcción.
El polinomio 4x^7 - 5x^2 tendría coordenadas 0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4, y después un número infinito de ceros.
En general, al tener cada polinomio individualmente un numero finito de términos, sus coordenadas serán un
número finito de números, seguido de un número infinito de ceros.

Korean: 
벡터에서 i-hat, j-hat, k-hat과 같다.
다항식이 임의의 최고차항을 가지기 때문에
기저함수는 무한히 많다.
그래도 괜찮다.
그냥 다항식을
무한한 좌표를 가진 벡터로 생각하는 것일 뿐이다.
예를 들어, x^2+3x+5는
5, 3, 1과
무한히 많은 0을 좌표로 갖는다.
여러분은 이걸
첫 기저함수에 5를 곱하고
두 번째 기저함수에 3을 곱하고
세 번째 기저함수에 1을 곱하고
다른 기저함수는 더하지 않는 것으로 보면 된다.
4x^7-5x^2의 좌표는
0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4
그 뒤론 무한하게 0이다.
일반적으로, 각 다항식은 유한히 많은 항을 갖고 있어서

Portuguese: 
no mundo de vetores como setas.
Dado que os nossos polinômios podem ter grau arbitrariamente grande, este conjunto de funções
de base é infinito.
Mas tudo bem, isso apenas significa que quando nós
tratarmos polinômios como vetores,
eles vão ter um número infinito de coordenadas.
Um polinômio como x^2 + 3x + 5, por exemplo,
iria ser descrito com as coordenadas
5, 3, 1,
em seguida, um número infinito de zeros.
Você iria ler isso como dizendo que é 5 vezes a primeira
função da base, mais 3 vezes a segunda
função da base,
mais 1 vez a terceira função de base, e
em seguida, nenhuma das outras funções de base
devem ser adicionado a partir desse ponto.
O polinômio 4x^7 - 5x^2 teria coordenadas 
0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4, e então
uma sequência infinita de zeros.
Em geral, uma vez que cada polinômio individual
tem apenas um número finito de termos,

Japanese: 
i-hat、j-hat、k-hatといった基底ベクトルのものとよく似ています
多項式の次数はいくらでも増やせますので、基底関数の数も無限です
それでも大丈夫です。無限の個数の座標を持つベクトルとして扱えばいいだけです
例えば、x^2+3x+5のような多項式は、
5,3,1,に続く無限の数のゼロを座標として表現できます
この表現は、最初の基底関数の5倍と、2番目の3倍と、3番目の1倍と、残り全て無視して足したものと読めます
多項式4x^7-5x^2は、0,0,-5,0,0,0,0,4に続く無限のゼロの座標を持つとみなせます
一般的には、多項式は有限の数の項しか持たないので、

Chinese: 
和i帽、j帽和k帽在向量（箭头）的世界中起到的作用类似
因为多项式的次数可以任意高，所以这个基函数集也是无穷大的
不过没有关系，这只是说明我们把多项式当向量来处理时
它们会有无穷多个坐标
比如说多项式x^2+3x+5
用坐标来描述的话就是5、3、1，然后跟上无穷多个0
你可以这样理解它：5乘以第一个基函数
加上3乘以第二个基函数
加上1乘以第三个基函数
在此之后，其他基函数不再出现
多项式4x^7-5x^2的坐标就是0、0、-5、0、0、0、0、4，然后加上一串无限长的0
总的来说，因为每一个多项式都只有有限项

Czech: 
ve světě vektorů coby šipek.
Protože můžou mít polynomy libovolně vysoký stupeň, naše báze
bude nekonečná.
Ale to nevadí. Jenom to znamená, že když s polynomy zacházíme jako s vektory,
tak mají nekonečně mnoho souřadnic.
Například polynom x^2 + 3x + 5 má souřadnice 5, 3, 1,
 
a pak nekonečně mnoho nul.
To přečteme jako 5 krát první bázová funkce plus 3 krát druhá
bázová funkce
plus 1 krát třetí bázová funkce, a žádná další bázová funkce
už zastoupena není.
Nebo polynom 4x^7 - 5x^2 má souřadnice
0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4, a pak
nekonečná posloupnost nul.
Protože má každý jednotlivý polynom konečně mnoho sčítanců, tak se dá obecně říci, že se souřadnice

Italian: 
Dato che i nostri polinomi possono avere grado arbitrariamente grande, questo insieme di basi è infinito.
Ma è tutto a posto, significa solo che quando trattiamo i polinomi come vettori
dovremo specificare un numero infinito di coordinate.
Un polinomio come x^2 + 3x + 5, ad esempio, avrà coordinate 5, 3, 1,
e poi un numero infinito di zeri.
Questo si può leggere come 5 volte la prima funzione base, più 3 volte la seconda funzione base,
più 1 volta la terza funzione base, e poi nessuna delle altre funzioni base
va aggiunta dopo quest'ultima.
Il polinomio 4x^7 - 5x^2 avrebbe invece le coordinate 0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 4, seguite da una lista infinita di zeri.
In generale, siccome ogni singolo polinomio ha solo un numero finito di termini, le sue coordinate saranno
una lista finita di numeri, seguita da una coda infinita di zeri.

Polish: 
będą skończonym ciągiem liczb,
z nieskończonym ogonem zer.
W tym układzie współrzędnych, pochodna jest opisana macierzą, która jest
w większości zerami,
i która ma dodatnie liczby naturalne odliczające w górę, znajdujące się oczko powyżej przekątnej.
Powiem jak znaleźć tę macierz już za chwilę, ale najlepszym sposobem na znalezienie tego
jest po prostu zobaczyć, jak ona powstaje.
Weźmy współrzędne opisujące wielomian x^3 + 5x^2 + 4x + 5,
i wpisz te współrzędne po prawej od macierzy.
Jedyny współczynnik który wpływa na pierwszą współrzędną to iloczyn 1x4,
co znaczy że wyraz stały to 4.
to odpowiada faktowi, że pochodną 4x jest 4.

Korean: 
그 좌표 역시 유한한 수의 수와
무한히 많은 0으로 이루어진다.
이런 좌표 시스템에서
미분은 대부분이 0이고
옆 대각선은 양수인
무한행렬로 표시할 수 있다.
뒤에서 이 행렬을 구하는 방법을 알려줄 것이지만,
가장 좋은 방법은 직접 해보는 것이다.
x^3+5x^2+4x+5를 나타내는 좌표를
행렬 오른쪽에 쓴다.
첫 번째 좌표에 영향을 주는 항은 1x4밖에 없다.
즉 상수항은 4가 된다.
이는 4x를 미분해서 4가 나온것과 일치한다.

Portuguese: 
suas coordenadas serão alguma
sequência finita de números,
com uma cauda infinita de zeros.
Neste sistema de coordenadas, a derivada
é descrita com uma matriz infinita, que é
quase completamente cheia de zeros,
mas que tem os números inteiros positivos ao longo desta diagonal deslocada.
Vou falar sobre como você poderia encontrar esta matriz em apenas um momento, mas a melhor maneira
de obter uma sensação para ela,
é apenas vê-la em ação.
Tome as coordenadas que representam o polinômio
x ^ 3 + 5x ^ 2 + 4x + 5,
em seguida, coloque essas 
coordenadas à direita da matriz.
O único termo que contribui para a primeira
coordenada do resultado é 1x4,
o que significa que o termo constante 
no resultado será de 4.
Isto corresponde ao fato de que a derivada
de 4x é a constante 4.

Czech: 
budou sestávat z konečné
posloupnosti čísel následované nekonečnou posloupností nul.
V takovém souřadnicovém systému bude derivace popsána nekonečnou maticí, která
bude převážně plná nul,
ale bude mít napsanou posloupnost přirozených čísel na vychýlené úhlopříčce.
Za chvíli se dostaneme k tomu, jak tato matice vznikla, ale nejlépe pochopíme,
co se děje,
když to uvidíme v akci.
Vezmeme si souřadnice reprezentující polynom x^3 + 5x^2 + 4x + 5,
a dáme tyhle souřadnice napravo od matice.
Jediná složka, která přispívá k první souřadnici výsledku je 1*4,
což znamená, že konstantní člen výsledku bude roven čtyřem.
To odpovídá tomu, že derivace 4x vyjde jako konstanta 4.

Japanese: 
その座標は有限の数字の列と、それに続く無限の数のゼロで表されます
この座標系では、微分は無限の大きさを持つ、ほとんどゼロの行列で表されます
ただし、正の整数が1要素分ずれた対角要素に入っているようなものです
どうやってこの行列を求めるかはすぐ後で紹介しますが、
感覚をつかむために、具体例を見てみましょう
多項式x^3+5x^2+4x+5の係数を表す座標を持ってきて、行列の右に並べます
結果の最初の座標に寄与する項は、1掛ける4だけです
結果の定数項の係数は4になるということです
これは4xの微分が定数4となることに対応します

Spanish: 
En este sistema de coordenadas, la derivada viene descrita por una matriz infinita, casi totalmente
llena de ceros, pero con enteros positivos en una de sus diagonales.
En un momento describiré como se halla esta matriz, pero el mejor modo de apreciarla
es simplemente viéndola en acción.
Vamos a tomar las coordenadas del polinomio x^3 + 5x^2 + 4x +5
para ponerlas a la derecha de la matriz.
El único término que contribuye a la primera coordenada es 1x4,
que significa que el término constante del  polinomio imagen será 4.
Esto corresponde al hecho que la derivada de 4x es la constante 4.
El único término que contribuye a la segunda coordenada del producto matriz-vector es 2x5,

Arabic: 
سيكون بعض محدود
سلسلة من الأرقام ، مع ذيل لانهائي من
الأصفار.
في هذا النظام المنسق ، المشتق
يوصف مع مصفوفة لانهائية ، هذا
في الغالب مليئة بالطقس ،
ولكن الذي يحتوي على أعداد صحيحة موجبة العد
أسفل على هذا الإزاحة قطري.
سأتحدث عن كيف يمكنك العثور على هذه المصفوفة
في لحظة واحدة ، ولكن أفضل طريقة للحصول عليها
تشعر به ،
هو مجرد مشاهدته في العمل.
تأخذ الاحداثيات التي تمثل كثيرات الحدود
x ^ 3 + 5x ^ 2 + 4x + 5 ،
ثم وضع تلك الاحداثيات على يمين
المصفوفة.
المصطلح الوحيد الذي يساهم في الأول
تنسيق النتيجة هو 1X4 ،
مما يعني المدى الثابت في النتيجة
سيكون 4.
هذا يتوافق مع حقيقة أن المشتق
من 4x هو ثابت 4.

English: 
will be some finite
string of numbers, with an infinite tail of
zeros.
In this co-ordinate system, the derivative
is described with an infinite matrix, that's
mostly full of zeors,
but which has the positive integers counting
down on this offset diagonal.
I'll talk about how you could find this matrix
in just a moment, but the best way to get
a feel for it,
is to just watch it in action.
Take the co-ordinates representing the polynomial
x^3 + 5x^2 + 4x + 5,
then put those co-ordinates on the right of
the matrix.
The only term which contributes to the first
co-ordinate of the result is 1x4,
which means the constant term in the result
will be 4.
This corresponds to the fact that the derivative
of 4x is the constant 4.

Chinese: 
所以它的坐标就是有限长的一串数，再跟上无限长的一串零
在这个坐标系中，求导是用一个无限阶矩阵描述的
其中绝大部分是零，不过次对角线上按序排列着正整数
我稍后会讨论一下你如何才能求出这个矩阵
不过熟悉它的最好方法是看看它的作用过程
取出多项式x^3+5x^2+4x+5的坐标
然后把它放在矩阵的右侧
对结果的第一个坐标有贡献的只有1乘以4这一项
也就是说结果的常数项是4
这对应于4x的导数是常数4

French: 
En général, chaque polynôme ayant un nombre fini de termes, ces coordonnées serait un nombre fini
de nombre, avec une suite infinie de zéros dérrière.
Avec ce système de coordonnée, la dérivée serait décrite par une matrice infini, qui serait pratiquement rempli de zéros,
mais qui aurait des nombres positifs croissants dans la diagonale.
Je vais parler de comment trouver la matrice dans un moment, mais le meilleur moment est de sentir comment ça marche,
en le regardant en action.
Prenons les coordonnées représentant le polynômes x^3 + 5x^2 + 4x + 5,
puis mettons ces coordonnées a droite de la matrice.
Le seul terme qui contribue a la première coordonnée est le résultat 1x4,
ce qui veut dire que le terme constant sera 4.
ça correspond bien au fait que la dérivée de 4x est 4.

Italian: 
In questo sistema di coordinate, la derivata è descritta con una matrice infinita, costituita quasi completamente da zeri,
Ma che ha i numeri interi positivi distribuiti lungo questa linea diagonale sfasata.
Vi dirò come si può ricavare questa matrice tra poco: il modo migliore di capire come funziona
è guardarla in azione.
Prendiamo le coordinate che rappresentano il polinomio x^3 + 5x^2 + 4x + 5,
e disponiamole alla destra della matrice.
L'unico termine che contribuisce alla prima coordinata del risultato è 1x4,
Che significa che il termine costante sarà 4.
Questo corrisponde al fatto che la derivata di 4x è 4.
L'unico termine che contribuisce alla seconda coordinata del prodotto tra matrice e vettore è 2x5,

Czech: 
Jediný člen, který přispívá k druhé souřadnici je 2*5,
to znamená, že koeficient u 'x' v derivaci bude roven 10.
To odpovídá derivaci 5x^2.
Podobně na třetí souřadnici součinu vektoru a matice vyjde 3*1,
což odpovídá derivaci x^3, která vyjde 3x^2.
Pak už budou samé nuly.
Tohle funguje, protože derivace je lineární.
A jestli si rádi zastavíte video, můžete si zkusit postavit tuhle matici tak,
že spočtete derivaci
každé bázové funkce, a do sloupečků zapíšete souřadnice výsledků.

Chinese: 
对矩阵向量乘积的第二个坐标有贡献的只有2乘以5这一项
也就是说结果中x前的系数是10
这对应于5x^2的导数（是10x）
与之类似，矩阵向量乘积的第三个坐标就是3乘以1
这对应于x^3的导数是3x^2
在此之后的坐标都是零
求导满足线性性质使这一过程成为可能
而且对那些想要暂停思考一番的人来说
你可以用这种方法构建这个矩阵：求每一个基函数的导数，然后把结果放在对应列

Polish: 
Jedynym wyrazem przyczyniającym się do drugiej współrzędnej tego iloczynu jest 2x5,
co znaczy że współczynnik przy x w pochodnej jest równy 10.
Ta odpowiada pochodnej wyrażenia 5x^2.
Podobnie, trzecia współrzędna w tym iloczynie to po prostu 3x1.
To odpowiada pochodnej x^3 - czyli 3x^2.
A potem już tylko zera.
To wszystko ma sens, bo pochodna jest liniowa.
A dla tych z was którzy chcą zatrzymać i pomyśleć chwilę, możemy stworzyć tę macierz
przez wzięcie pochodnej
każdej funkcji bazowej i wstawienie współrzędnych tych pochodnych do kolejnych kolumn.

Japanese: 
2番目の座標に寄与するのは、2掛ける5だけです
つまりxの係数は10になるということです
これは5x^2の微分に対応します
同様に、3番目の項は3掛ける1になります
これはx^3の微分が3x^2になることに対応します
そこから先は、ゼロだけです
これが可能なのは、微分という操作が線形だからです
立ち止まって考えたい人のために述べますと、
基底のそれぞれの微分をとって、その座標を列に並べることで変換行列を作ることができます

Italian: 
che significa che il coefficiente davanti a x nella derivata è 10.
Questo termine corrisponde alla derivata di 5x^2.
Analogamente, la terza coordinata del prodotto si riduce a 3x1.
Questo corrisponde al fatto che la derivata di x^3 è 3x^2.
Dopo questo, non rimane che una lista di zeri.
Quello che rende tutto ciò possibile è che la derivata è lineare.
Per quelli tra voi a cui piace fermarsi a pensare un attimo, la matrice si può costruire derivando
ciascuna funzione base, e poi inserendo le coordinate dei risultati in ciascuna colonna.

Korean: 
행렬과 벡터의 곱에서 두 번째 좌표는 2x5이다.
이는 미분결과 x의 계수가 10이라는 것을 말한다.
역시 5x^2을 미분한 결과와 일치한다.
마찬가지로 행렬과 벡터의 곱에서 세 번째 항은 3x1이다.
x^3을 미분하면 3x^2이 되는 것과 일치한다.
나머지는 다 0이다.
이게 가능한 것은 미분이 선형이기 때문이다.
만약 행렬을 구하고 싶다면 잠깐 멈추고
각 기저함수를 미분한 뒤
각 열에 집어넣으면 구할 수 있다.

Spanish: 
que significa que el coeficiente de delante  de la x en la derivada es 10.
Esto corresponde a la derivada de 5x^2.
Similarmente, la tercera coordenada del producto matriz-vector se reduce a tomar 3x1.
Esto corresponde a que la derivada de x^3 es 3x^2.
Y, después de aquí, no habrá más que ceros.
Lo que hace que estos razonamientos sean correctos es que la derivada es lineal.
Y, para aquellos que les guste parar y reflexionar, esta matriz se puede construir tomando la derivada
de cada una de las funciones de la base, y poniendo los resultados obtenidos a las columnas correspondientes.

Arabic: 
المصطلح الوحيد الذي يساهم في التنسيق الثاني
من المنتج مصفوفة ناقلات هو 2X5 ،
مما يعني أن المعامل أمام x
في المشتق هو 10.
هذا واحد يتوافق مع مشتق من
5X ^ 2.
وبالمثل ، فإن التنسيق الثالث في المصفوفة المتجه
ينزل المنتج لأخذ 3x1.
هذا واحد يتوافق مع مشتق من
x ^ 3 being 3x ^ 2.
وبعد ذلك ، لن يكون شيئًا سوى الأصفار.
ما يجعل هذا ممكن هو أن المشتق
خطي.
وبالنسبة لأولئك منكم الذين يحبون وقفة و
تأمل ، يمكنك بناء هذه المصفوفة من قبل
أخذ المشتق
لكل وظيفة أساس ، ووضع الاحداثيات
النتائج في كل عمود.

English: 
The only term contributing to the second co-ordinate
of the matrix-vector product is 2x5,
which means the coefficient in front of x
in the derivative is 10.
That one corresponds to the derivative of
5x^2.
Similarly, the third co-ordinate in the matrix-vector
product comes down to taking 3x1.
This one corresponds to the derivative of
x^3 being 3x^2.
And after that, it'll be nothing but zeros.
What makes this possible is that the derivative
is linear.
And, for those of you who like to pause and
ponder, you could construct this matrix by
taking the derivative
of each basis function, and putting the co-ordinates
of the results in each column.

Portuguese: 
O único termo contribuindo para a segunda coordenada do produto matriz-vetor é de 2x5,
o que significa que o coeficiente de frente de x
na derivada é 10.
Que corresponde à derivada de 5x^2.
Da mesma forma, a terceira coordenada no produto matriz-vector se resume a tomar 3x1.
Isto corresponde à derivada de x^3 sendo 3x^2.
E depois disso, vai ser nada, além de zeros.
O que torna isso possível é que a derivada é linear.
E, para aqueles de vocês que gostam de pausar e pensar, vocês poderiam construir esta matriz
tomando a derivada
de cada função de base, e colocando as coordenadas
dos resultados em cada coluna.

French: 
Le seul terme qui contribue a la deuxième coordonnée du produit vecteur-matrice est le produit 2x5,
donc le coefficient de x sera 10.
Celui-la est bien la dérivée de 5x^2
De la même manière, la troisième coordonnée du produit matrice-vecteur donne 3x1.
La dérivée x^3 étant effectivement 3x^2.
Et après ça rien a part des zéros.
Ce qui rend ça possible c'est que la dérivée est linéaire.
Et, pour ceux qui voudrais mettre pause et réfléchir, vous pouvez construire cette matrice en prenant la dérivée
de chaque fonction de base, et en mettant les coordonnées du résultat dans chaque colonnes.

Korean: 
그래서, 신기하게도 행렬-벡터 곱과 미분은
겉보기엔 완전 달라 보였지만
알고보면 같은 종류이다.
사실, 이 시리즈에서 벡터를 화살표로 보고
내적, 고유벡터같은 대부분의 개념은
함수에서도 사용되는 개념이다.
대신 내적 또는 고유함수처럼
좀 다른 이름을 사용한다.
이제 다시 '벡터란 무엇인가'로 되돌아가보자.
수학에는 '벡터같은' 개념들이 매우 많다.
화살표의 집합이든, 숫자의 배열이든,
함수든, 아니면 정의한게 뭐든지간에
합리적인 방법으로 실수배와 덧셈을 하면
선형대수학에서 개발한
벡터, 선형변환 등의 개념을 사용할 수 있다.

Portuguese: 
Assim, surpreendentemente, multiplicação matriz-vector e derivação, que à primeira vista parecem
como coisas completamente diferentes,
são ambos apenas membros da mesma família.
Na verdade, a maioria dos conceitos que abordei nesta série com respeito a vetores
como setas no espaço,
coisas como o produto escalar ou autovetores,
tem análogos diretos no mundo de funções.
Embora às vezes eles vão por nomes diferentes,
coisas como 'produto interno' ou 'autofunção'.
Então, de volta à questão do que é um vetor.
O ponto que eu quero fazer aqui é que há
muitas coisas "vetorescas" em matemática,
desde que você esteja lidando com um conjunto de objetos onde há uma noção razoável de escalonamento
e adição,
seja um conjunto de flechas no espaço, listas
de números, funções ou qualquer outra
coisa louca que
você optar por definir, todas as ferramentas desenvolvidas em Álgebra Linear com respeito a vetores
transformações lineares, e todas essas coisas,
devem ser aplicáveis.

Spanish: 
Así pues, sorprendentemente, el producto matriz-vector y el cálculo de la función derivada, a priori cosas
muy distintas, son simplemente miembros de la misma familia.
En realidad, muchos de los conceptos introducidos en estos vídeos con respecto a los vectores entendidos como flechas en el espacio,
como son el producto escalar, o los vectores propios, tienen análogos directos en el espacio de las funciones,
aunque, a veces, sus nombres varían, como por ejemplo "producto interno", o "funciones propias".
Así pues, volviendo a la pregunta sobre qué és un vector.
El inciso que quiero hacer aquí es que hay un montón de cosas "vectoriales" en matemáticas.
La mayoría de veces que entre los objetos haya alguna noción de aditividad o escalamiento,
ya sea con flechas en el espacio, listas de números, funciones o cualquier cosa
que decidas definir, todas las herramientas del álgebra lineal involucrando vectores,
transformaciones lineales y lo demás, deberían ser aplicables.
Ahora imagínate, como matemático, con la tarea de asentar las bases del álgebra lineal.

Czech: 
Takže i když na první pohled vypadají derivace a násobení matice a vektoru,
jako úplně jiná zvířátka,
obě jsou členy stejné rodiny.
Vlastně většina konceptů, o kterých jsme mluvili v souvislosti s vektory
coby šipkami v prostoru,
jako je skalární součin nebo vlastní vektory, mají přímočaré analogie ve světě funkcí.
I když se jim někdy říká trochu jinak, jako "vlastní funkce".
Ale abych příliš neodbíhal, zajímalo nás, co je to vektor.
Chtěl jsem poukázat na to, že v matematice je řada věcí, co se chová jako vektory,
stačí se potýkat s nějakou množinou, kde je rozumně zavedené násobení konstantou
a sčítání,
ať už se jedná o šipky v prostoru, seznam čísel, funkce, nebo jakákoli jiná zběsilost,
 
kterou si vymyslíte, měly by jít použít nástroje nastolené lineární algebrou,
ať už jde o lineární transformace, či něco chytřejšího.

English: 
So, surprisingly, matrix-vector multiplication
and taking a derivative, which at first seem
like completely different
animals, are both just really members of the
same family.
In fact, most of the concepts I've talked
about in this series with respect to vectors
as arrows in space,
things like the dot product or eigenvectors,
have direct analogues in the world of functions.
Though sometimes they go by different names,
things like 'inner product' or 'eigenfunction'.
So, back to the question of what is a vector.
The point I want to make here is that there
are lots of vector-ish things in maths,
as long as you're dealing with a set of objects
where there's a reasonable notion of scaling
and adding,
whether that's a set of arrows in space, lists
of numbers, functions or whatever other crazy
thing
you choose to define, all of the tools developed
in linear algebra regarding vectors,
linear transformations, and all that stuff,
should be able to apply.

French: 
Surprenamment, la multiplication matrice-vecteur et la dérivée qui n'ont rien l'air d'avoir en commun
sont en fait membres de la même famille.
En fait, la plupart des concepts dont j'ai parlé dans cette série en considérant les vecteurs comme des flèches dans l'espace,
des choses comme le produit scalaire ou les vecteurs propres, ont des équivalent direct chez les fonctions.
Même si des fois ils des nomes differents comme vecteurs propres -> fonctions propres (dot products et inner products se disent produit scalaire)
Donc, retour a la question de ce qu'est un vecteur.
Le point que sur lequel je voulais appuyer c'est qui il a beaucoup de choses vectorielles en math,
du moment que vous travaillez avec un set d'objets où il y a des notions raisonnable de multiplication et d'addition,
que ce soit un set de flèches dans l'espace, des listes de nombres, des fonctions ou n'importe quelle autre chose que
vous choisissez de définir, tous les outils développés dans l'algèbre linéaire dont les vecteurs,
les transformations linéaires, et tous ces trucs devrait pouvoir s'appliquer.

Polish: 
Więc, zaskakująco, mnożenie macierzy przez wektor i branie pochodnej, które początkowo wydają się
kompletnie różne
zwierzaki, są oba członkami tej samej rodziny.
Tak naprawdę, większość pojęć o których mówiłem w tej serii o wektorach jako
strzałkach w przestrzeni,
rzeczy jak iloczyn skalarny lub wektory własne, mają odpowiedniki w świecie funkcji.
Chociaż czasami używane są inne nazwy, jak produkt wewnętrzny lub funkcja własna.
Zatem spowrotem do pytania, czym jest wektor.
Co chcę tu powiedzieć to to, że jest wiele "wektorowych" rzeczy w matematyce,
jeżeli tylko działasz w zbiorze obiektów z zadanym działaniem skalowania
i dodawania,
nieważne, czy to strzałki w przestrzeni, listy liczb, funkcje czy jakiekolwiek szalone
rzeczy
które chcesz zdefiniować, wszystkie narzędzia stworzone w algebrze liniowej w kontekście wektorów,
przekształcenia liniowe, wszystkie te rzeczy powinny zawsze znaleźć swoje analogie.

Chinese: 
出乎我们意料的是
乍一看，矩阵向量乘法和求导像是毫不相干的
但它们两个其实是一家人
实际上，这个系列中我讨论过的大部分关于向量（空间中的箭头）的概念
比如说点积或特征向量
在函数的世界中都有直接的类比
不过有时候它们的名称不同，比如说“内积”或“特征函数”
回到“向量是什么”这个问题上
我想在这里指出的是，数学中有很多类似向量的事物
只要你处理的对象集具有合理的数乘和相加概念
不管是空间中的箭头、一组数、函数的集合
还是你定义的其他奇怪东西的集合
线性代数中所有关于向量、线性变换和其他的概念都应该适用于它

Japanese: 
つまり、驚くべきことに、行列とベクトルの積は、微分と全然違う操作に思えるのに、同じような変換なのです
事実、ここまで述べてきた空間上の矢印に適用できる、内積や固有値といった概念のほとんどに、
関数にも直接対応する概念が存在します
時々、内積(訳注:英語ではdot productとinner productと分けて呼称する)とか固有関数とか
違う名前で呼ばれたりもしますが
では、ベクトルとは何かという最初の質問に戻りましょう
重要なのは、ベクトルのようなものは数学にはいろいろあるということです
スカラー倍と足し算という演算を持つものであれば何でもなりえます
空間上のベクトルだろうと、数字の列だろうと、関数だろうと、さらなる突飛なアイデアだろうと関係ありません
線形代数で培った、線形変換、空空間、固有ベクトルといった道具を応用できるはずということです

Arabic: 
لذلك ، من المدهش ، تضاعف ناقلات المصفوفة
وأخذ مشتقة ، والتي تبدو في البداية
مثل مختلف تماما
الحيوانات ، على حد سواء فقط حقا أعضاء في
عائلة واحدة.
في الواقع ، معظم المفاهيم التي تحدثت عنها
حول في هذه السلسلة فيما يتعلق ناقلات
كسهام في الفضاء ،
أشياء مثل المنتج نقطة أو eigenvectors ،
لديها نظائرها المباشرة في عالم الوظائف.
على الرغم من أنهم في بعض الأحيان يذهبون بأسماء مختلفة ،
أشياء مثل "المنتج الداخلي" أو "وظيفة العميل".
لذا ، عد إلى سؤال ما هو المتجه.
النقطة التي أريدها هنا هي أن هناك
هي الكثير من الأشياء المتجهية في الرياضيات ،
طالما كنت تتعامل مع مجموعة من الأشياء
حيث يوجد مفهوم معقول للتوسع
وإضافة ،
ما إذا كان هذا مجموعة من الأسهم في الفضاء ، والقوائم
من الأرقام أو الوظائف أو أي شيء آخر مجنون
شيء
اخترت تحديد جميع الأدوات المتقدمة
في الجبر الخطي المتعلق بالمتجهات ،
التحولات الخطية ، وكل تلك الأشياء ،
ينبغي أن تكون قادرة على تطبيق.

Italian: 
Quindi, sorprendentemente, il prodotto tra matrice e vettore e la derivata, che dapprima sembrano
animali completamente diversi, sono entrambi membri della stessa famiglia.
In verità, la maggior parte dei concetti di cui ho parlato in questa serie a proposito di vettori intesi come frecce,
come il prodotto scalare, o gli autovettori, hanno analoghi nel mondo delle funzioni.
Anche se talvolta si chiamano in modo diverso, ad esempio "prodotto interno" o "autofunzione".
Ora, torniamo alla domanda su che cosa sia un vettore.
Quello che ho voluto dimostrare qui è che ci sono molti oggetti che si comportano come vettori in matematica.
A patto che abbiamo a che fare con oggetti per i quali esiste un'idea sensata di addizione e moltiplicazione,
sia che essi siano frecce nello spazio, liste di numeri, funzioni o qualsiasi altra pazzia
che decidiamo di definire, tutti gli strumenti che abbiamo sviluppato in algebra lineare riguardo ai vettori,
trasformazioni lineari e tutto il resto, dovrebbero funzionare.
Prenditi un momento per immaginare di essere il matematico che ha sviluppato l'algebra lineare.

Japanese: 
ちょっと想像を膨らませて、線形代数を拡張する理論を作ろうとしている数学者になりきってみましょう
あなたの定義と成果をできるだけ多様なベクトルっぽいものに適用できる一般性の高いものにしたいです
矢印とか、数字の列とか、関数といったベクトルっぽいものはベクトル空間と呼ばれます
数学者としてのあなたは、みんなが思いつく限りのあらゆる奇抜なベクトル空間を
一つ一つ相手にはしていられません
そこであなたは、加法性と斉次性を満たすベクトル空間が満たすべき法則をリスト化します
こういう法則を公理といい、ここまで見てきたベクトルの法則が適用できる現代のベクトル空間の場合は、
そのような公理が8個あります
立ち止まって考えたい人のために、これらの公理を画面上に紹介します
基本的には、ベクトルの足し算とスカラー倍が期待するような性質を持つための
チェックリストだと考えておけばよいでしょう

Polish: 
Poświęć moment, żeby wyobrazić sobie siebie jako matematyka, rozwijającego teorię
algebry liniowej.
Chcemy, aby wszystkie definicje i odkrycia odnosiły się do każdego "wektorowego" obiektu
w pełnej ogólności, nie tylko szczególnych przypadkach.
Te zbiory "wektorowych" rzeczy, jak strzałek albo list liczb, lub funkcji, nazywane
są przestrzeniami liniowymi (lub wektorowymi)
i jako matematyk mógłbyś chcieć powiedzieć
"Hej wszystkim! Nie chce mi się myśleć o tych wszystkich różnych szalonych przestrzeniach wektorowych
które
ludzie mogą wymyślić", więc ustalasz zbiór zasad, które dodawanie
i skalowanie wektorów
muszą spełniać.
Te zasady nazywa się aksjomatami i we współczesnej algebrze liniowej jest
8 aksjomatów
które dowolna przestrzeń liniowa musi spełniać, żeby móc stosować wszystkie te narzędzia
które stworzyliśmy.
Zostawię je na ekranie dla tych, którzy chcą się z nimi zapoznać, ale w skrócie
jest to tylko lista wymagań, żeby dodawanie i skalowanie
wyglądały tak jak się tego spodziewamy.

Arabic: 
خذ لحظة لتخيل نفسك الآن ،
كرياضي تطوير نظرية
الجبر الخطي.
تريد كل التعاريف والاكتشافات
من عملك لتطبيقه على جميع المتجهات
أشياء
في العموم الكامل ، ليس فقط لواحد محدد
قضية.
هذه المجموعات من الأشياء المتجهه ، مثل السهام
أو قوائم أرقام أو وظائف ، تسمى
مسافات ناقلات ،
وما قد تريده أنت كما رياضيات
ما يجب فعله هو قول
"يا الجميع! لا أريد أن أفكر
جميع أنواع مختلفة من المساحات ناقلات مجنون
أن
قد تصادفك جميعًا ، لذا ما تفعله
هو إنشاء قائمة من القواعد التي يتم بها إضافة المتجهات
والقياس
يجب أن تلتزم بها.
تسمى هذه القواعد البديهيات ، وفي
النظرية الحديثة للجبر الخطي ، هناك
8 بديهيات
أن أي مساحة ناقل يجب أن تفي ، إذا كان كل شيء
النظرية والبنى التي اكتشفناها
سوف تنطبق.
سأتركهم على الشاشة هنا لأي شخص
الذي يريد التوقف والتأمل ، ولكن بشكل أساسي ،
انها مجرد قائمة مرجعية ، للتأكد من أن
مفاهيم من إضافة ناقلات وضرب العددية
تفعل الأشياء التي تتوقع منهم القيام بها.

Portuguese: 
Tome um momento para imaginar-se agora
como um matemático desenvolvendo a teoria da
Álgebra Linear.
Você quer que todas as definições e descobertas
do seu trabalho se apliquem a todas as
coisas "vetorescas",
em toda a sua generalidade, e não
 apenas em um caso específico.
Estes conjuntos de coisnas "vetorescas", como setas
ou listas de números ou funções, são chamados
espaços vetoriais,
e o que você como o matemático 
pode querer fazer é dizer:
"Ei pessoal! Eu não quero pensar sobre
todos os diferentes tipos de espaços vetoriais loucos
que todos vocês podem pensar!", então o que você faz
é estabelecer uma lista de regras que
a adição de vetores e escalação
têm que respeitar.
Estas regras são chamadas de axiomas, e na teoria
moderna da Álgebra Linear, existem
8 axiomas
que qualquer espaço vetorial deve satisfazer, se toda a teoria e as construções que nós descobrimos
vão ser aplicadas.
Vou deixá-los na tela aqui para qualquer um que queira fazer uma pausa e refletir, mas, basicamente,
é apenas uma lista de verificação, para se certificar de que as noções de adição de vectores e multiplicação por escalar
fazem as coisas que você esperaria que eles façam.

Korean: 
자신을 선형대수를 개발하는 수학자라고 생각해보자.
당신의 연구는
특별한 곳에만 성립하는게 아니라
벡터와 비슷한 모든 것에 적용할 수 있는
일반적인 것이길 바랄 것이다.
화살표, 숫자배열, 함수같이
벡터와 비슷한 것들의 집합을
벡터공간(vector spaces)이라고 한다.
당신이 수학자라면 이렇게 말하고 싶을 것이다.
"전 당신들이 다루는
벡터공간의 모든 종류에 대해 생각하고 싶지 않아요!"
그래서
벡터 합과 실수배에서 파생된 규칙을 정립해야 한다.
이 규칙을 공리라고 부른다.
그리고 현대 선형대수 이론에서는
어떤 벡터공간이든 발견한 이론을 사용할 때
항상 성립하는 8개의 공리가 있다.
잠깐 멈추고 볼 사람을 위해 스크린에 띄워놓겠다.
하지만 이건 그냥 벡터 합과 실수배의 개념에서 나온
체크리스트에 불과하다.

French: 
Prenez un moment pour vous imaginez maintenant comme un mathématiciens qui développe une théorie en algèbre linéaire.
Vous voulez que toutes les définitions et les découvertes de votre travail s'appliquent a toutes les choses vectorielles
dans le cas général, et pas dans quelque cas spécifique.
Ces sets de choses vectorielles, comme les flèches les listes de nombres ou les fonctions, sont appelées espace vectoriel,
et vous en tant que mathématicien voulez faire c'est de dire,
"Hey tout le monde! Je ne veux pas gérer tout les trucs différents sur les vecteurs que vous allez ramener
donc j'ai établi un liste de règle, que les additions et multiplications entre vecteurs
devront respecter."
Ces règles sont appelées Axiomes, et dans la théorie moderne de l'algèbre il y a en a 8
que chaque espace vectoriel doit satisfaire, pour que toutes les théories et constructions que nous avons découverte s'y applique.
Je les laisse a l'écran pour que ceux qui veulent puissent mettre pause pour y réfléchir, mais concrètement,
c'est juste une checklist, pour être sur que les notions d'addition de vecteur et de produits scalaire
fassent les choses qu'on attendent qu'elles fassent.

English: 
Take a moment to imagine yourself right now,
as a mathematician developing the theory of
linear algebra.
You want all of the definitions and discoveries
of your work to apply to all of the vector-ish
things
in full generality, not just to one specific
case.
These sets of vector-ish things, like arrows
or lists of numbers or functions, are called
vector spaces,
and what you as the mathematician might want
to do is say,
"Hey everyone! I don't want to think about
all the different types of crazy vector spaces
that
you all might come up with, so what you do
is establish a list of rules that vector addition
and scaling
have to abide by.
These rules are called axioms, and in the
modern theory of linear algebra, there are
8 axioms
that any vector space must satisfy, if all
of the theory and constructs that we've discovered
are going to apply.
I'll leave them on the screen here for anyone
who wants to pause and ponder, but basically,
it's just a checklist, to make sure that the
notions of vector addition and scalar multiplication
do the things that you'd expect them to do.

Chinese: 
现在想象一下，你是一名发展线性代数理论的数学家
你想让你所做的所有定义和发现
不只对一个特殊情况适用，对其他类似向量的事物都有普适性
这些类似向量的事物，比如箭头、一组数、函数等，它们构成的集合被称为“向量空间”
你作为一个数学家，可能很想说
“大家伙听好了！我可不想考虑你们构思出来的乱七八糟的向量空间！”
所以你需要做的是建立一系列向量加法和数乘必须遵守的规则
这些规则被称为“公理”
在线性代数的现代理论中
如果要让所有已经建立好的理论和概念适用于一个向量空间，那么它必须满足八条公理
我把它们放在屏幕上，留给那些想要暂停思考的人
不过它实质上就是一个清单
以保证向量加法和数乘的概念确实是你所希望的那样

Czech: 
Teď si představte, že jste matematik vyvíjející teorii
lineární algebry.
Chcete, aby vaše definice a objevy pasovaly na všechny ty věci podobné vektorům
 
a to pokud možno obecně, ne na každý případ zvlášť.
Taková množina věcí podobných vektorům, jako šípky, n-tice čísel, funkce, se nazývá
vektorový prostor,
a vy jako matematik chcete říct
"Nechce se mi zaobírat tím, jaké všechny bláznivé druhy vektorových prostorů,
 
dokážete vymyslet." Takže místo toho sestavíte seznam pravidel, která sčítání vektorů
a násobení konstantou
musí splňovat.
Takovým pravidlům se říká axiomy, a v současné teorii lineární algebry máme
8 axiomů,
které musí každý vektorový prostor splňovat, aby na něj seděly definice a objevy,
které jsme vymysleli.
Nechám to chvíli na obrazovce pro ty, co si chtějí zastavit video a zamyslet se. Ale v podstatě
to je jen odškrtávací seznam., abyste se ujistili, že sčítání vektorů a násobení skalárem
dělá to, co byste od nich očekávali.

Spanish: 
Quieres que todas las definiciones y descubrimientos que has hecho sirvan para todo aquello que sea
un tanto "vectorial", con toda generalidad y no con casos concretos.
Este conjunto de "cosas vectoriales", como las flechas en el espacio, las listas de números o las funciones, se
llaman espacios vectoriales, y lo que quieres, como matemático, es poder decir:
"Buenas a todos! No quiero considerar cada uno de los posibles espacios vectoriales que
se os puedan ocurrir, así que mejor establecer una lista de reglas por lo que a la aditividad y al producto por
escalares se refiere!"
Esas reglas se llaman axiomas, y en la teoría moderna del Álgebra Lineal, hay 8 de ellas que todo
espacio vectorial debe satisfacer, si queremos que todas las herramientas descritas hasta ahora funcionen.
Las he puesto en la pantalla para quiénes quieran reflexionar sobre su significado, pero básicamente,
se trata de una lista de requisitos, para asegurarse que la suma de vectores y su producto por escalares
funcionen como esperamos que lo hagan.
Estos axiomas no pretenden tampoco ser unas leyes fundamentales, sino más bien como un modo de comunicación

Italian: 
Vorresti che tutte le tue definizioni e le tue scoperte si potessero applicare a tutto quanto ha natura vettoriale,
in generale, non solo in un caso specifico.
Questi insiemi di "oggetti vettoriali", come frecce, liste di numeri o funzioni, si chiamano spazi vettoriali,
e quello che tu, da matematico, vorresti poter dire è
"Ehi! Non voglio dover pensare a tutti i tipi diversi di spazio vettoriale
che potreste inventarvi!", e allora stabilisci una lista di regole che governano
l'addizione tra vettori e il prodotto per scalare.
Queste regole si chiamano assiomi, e nella teoria moderna dell'algebra lineare ci sono 8 assiomi
che vanno soddisfatti da qualsiasi spazio vettoriale, se vogliamo che tutti i costrutti che abbiamo scoperto possano funzionare.
Li lascerò qui sullo schermo per chi volesse fermarsi a pensare, ma nella pratica
non sono che una lista di controllo, per far sì che le nozioni di addizione vettoriale e moltiplicazione per scalare
si comportino come devono.
Questi assiomi non sono tanto leggi fondamentali della natura, quanto piuttosto un'interfaccia tra noi,

Polish: 
Te aksjomaty nie są podstawowymi prawami natury, są tylko interfejsem pomiędzy
tobą,
matematykiem znajdującym prawidłowości, oraz innymi którzy chcą
te prawidłowości stosować
w jakichś innych przestrzeniach wektorowych.
Jeśli na przykład ktoś zdefiniuje jakąś głupią przestrzeń wektorową, jak zbiór wszystkich
ludzików pi,
z jakąś definicją dodawania i skalowania, te aksjomaty są jak lista
rzeczy
które trzeba sprawdzić w definicji, zanim można będzie używać na tej przestrzeni
języka algebry liniowej.
A ty jako matematyk nigdy nie musisz myśleć o tej masie możliwych przestrzeni liniowych
które ludzie wymyślą
musisz tylko dowieść swoich wyników w języku tych aksjomatów, więc ktokolwiek kogo definicje
spełniają aksjomaty
może spokojnie używać tych wyników, nawet jeśli nigdy nie pomyślałeś o ich przestrzeni liniowej.
Jako konsekwencja tego, wszystkie rozważania prowadzić będziesz dość abstrakcyjnie,
to znaczy
tylko w języku tych aksjomatów,

English: 
These axioms are not so much fundamental rules
of nature, as they are an interface between
you,
the mathematician discovering results, and
other people who might want to apply those
results
to new sorts of vectors spaces.
If, for example, someone defines some crazy
type of vector space, like the set of all
pi creatures,
with some definition of adding and scaling
pi creatures, these axioms are like a checklist
of things
that they need to verify about their definitions,
before they can start applying the results
of linear algebra.
And you as the mathematician, never have to
think about all the possible crazy vector
spaces people might define,
you just have to prove your results in terms
of these axioms, so anyone who's definitions
satisfy those
axioms can happily apply you results, even
if you never thought about their situation.
As a consequence, you'd tend to phrase all
of your results pretty abstractly, which is
to say,
only in terms of these axioms,

Japanese: 
これら公理は自然の摂理というよりも、数学者としてのあなたの成果を、
他の人がさまざまなベクトル的な物に適用するための規格のようなものです
例えば、誰かが全てのπクリーチャーの集合のような奇抜なベクトル空間を思いついて、
足し算やスカラー倍という操作を定義したとします
すると、これら公理はこの空間において線形代数が成り立つ
ベクトル空間となるために必要な性質です
そして、数学者としてのあなたは、人がどんなにおかしなベクトル空間を使おうとしようとも、
気にしないで公理だけを使って理論を証明すればよいのです
それで、公理さえ満たせば、どんな空間に対してもあなたの成果が使えることが明らかになります
あなたが考えたこともないような状況に対しても、です
結果的に、あなたは成果を抽象的に表現することになります
公理のみを使って説明するのです
空間上の矢印や、関数といった特定の空間に注目するのではなく

Italian: 
il matematico che scopre nuovi risultati, e altre persone che vorrebbero applicare quei risultati
a nuovi tipi di spazio vettoriale.
Se, per esempio, qualcuno definisse un o spazio vettoriale pazzesco, come l'insieme di tutte le creature a forma di pi greco,
con qualche definizione di addizione e moltiplicazione per scalare, questi assiomi sono come una lista di controllo
di verità che vanno verificate riguardo a queste definizioni, prima che si possano applicare i risultati dell'algebra lineare.
E tu, come matematico, non dovrai più pensare a tutti i possibili spazi vettoriali,
dovrai solo dimostrare i tuoi risultati usando quegli assiomi, cosicché chiunque abbia proposto definizioni che li soddisfano
possano serenamente applicare i tuoi risultati, anche se tu personalmente non avresti mai pensato alla loro situazione.
Di conseguenza, dovresti esprimere i tuoi risultati in modo molto astratto, vale a dire
solo nei termini di questi assiomi,
invece che concentrarsi su un tipo specifico di vettore, come le frecce nello spazio, o le funzioni.

Czech: 
Tyhle axiomy nejsou nějakými základními pravidly přírody, spíše se jedná o rozhraní mezi
vámi,
matematikem, který vyvíjí teorii, a ostatními, kteří tuto teorii chtějí
použít
na různé typy vektorových prostorů.
Kdyby třeba někdo zavedl bláznivý druh vektorového prostoru, jako třeba množina všech
postaviček pí,
a zavedl na nich sčítání a násobení konstantou, slouží pro něj axiomy jako odškrtávací
seznam,
který musí pro svoje definice ověřit, než může začít používat výsledky
lineární algebry.
Vy jako matematik se ale nechcete obtěžovat všemi možnými bláznivými vektorovými
prostory, co si lidi vymyslí,
takže svoje výsledky stavíte jen na základě těchto axiomů. Aby kdokoli, jehož definice
budou s axiomy
v souladu, může z vesela aplikovat vaše výsledky, i když jste na jeho případ vůbec nepomysleli.
Proto se výsledky lineární algebry formulují tak abstraktně,
tedy
jenom v pojmech vyplývajících z axiomů,

Chinese: 
这些公理并非基础的自然法则，它们是一个媒介
一边连接着你，也就是发现这些结论的数学家
另一边连接着其他人，也就是想要把这些结论应用于新的向量空间的人
假如说有人定义了一个奇怪的向量空间
比如所有π生物的集合，并且定义了π生物的加法和数乘
这些公理就是一个清单
你在其中应用线性代数的结论之前，你需要验证他的这些定义是否满足要求
作为一个数学家
你也不必再考虑人们定义的所有可能的奇怪向量空间了
你只需要根据这些公理证明你的结论
只要这些人的定义满足这些公理，他们就能顺利地应用你的结论
即便你根本就没想过他们的这种情况
因此，你往往会把你的所有结论抽象地表述出来
也就是说仅仅根据这些公理表述
而不是集中于某一种特定的向量上，像是空间中的箭头或者函数等

Korean: 
이 공리들은 자연의 기본 법칙이라기보다
당신처럼 이론을 발견한 수학자와
새로운 벡터공간에 그 이론을 적용하고 싶은 사람을
연결해주는 다리이다.
만약 어떤 사람이
파이(pi)생물로 이루어진 괴상한 벡터 공간과
파이 생물의 합과 실수배를 정의하면
이 공리들은 선형대수의 결과를 사용하기 전에
그들의 정의를 검증해볼 때 사용하는
일종의 체크리스트이다.
그리고 수학자로서 당신은
사람들이 정의한 모든 괴상한 벡터공간에 대해
생각할 필요가 없고
대신 그 결과가 공리들을 만족하는지 비교하면 된다.
그래서 정의가 이 공리를 만족한다면
다른건 고려하지 않고도
선형대수의 결론을 적용할 수 있다.
결과적으로 모든 결론을
상당히 추상적으로 표현하는 것이다.
다시말해, 결론을 공리들의 관점에서만 보는 것이다.
공간에 있는 화살표나 함수처럼

Arabic: 
هذه البديهيات ليست قواعد أساسية كثيرة
من الطبيعة ، لأنها واجهة بين
أنت،
نتائج رياضيات الاكتشاف، و
الآخرين الذين قد يرغبون في تطبيق تلك
النتائج
إلى أنواع جديدة من المساحات المتجهة.
إذا ، على سبيل المثال ، شخص ما يعرف بعض الجنون
نوع من ناقلات الفضاء ، مثل مجموعة من جميع
مخلوقات بي ،
مع بعض تعريف إضافة والتحجيم
مخلوقات pi ، هذه البديهيات تشبه قائمة التحقق
من الأشياء
أنهم بحاجة إلى التحقق من تعريفاتهم ،
قبل أن يتمكنوا من البدء في تطبيق النتائج
الجبر الخطي.
وأنتِ كعالم رياضيات ، لا يجب عليك أبداً
التفكير في كل ناقل مجنون ممكن
مسافات قد يحددها الناس ،
عليك فقط أن تثبت نتائجك بمصطلحات
من هذه البديهيات ، لذلك أي شخص من التعريفات
إرضاء تلك
البديهيات يمكن أن تنطبق عليك النتائج ، حتى
إذا لم تفكر أبدًا في موقفهم.
ونتيجة لذلك ، تميل إلى استخدام العبارة كلها
من النتائج الخاصة بك جميلة تجريدية ، والتي هي
ليقول،
فقط من حيث هذه البديهيات ،

French: 
Ces axiomes ne sont pas plus un ensemble de règles fondamentales, qu'elles sont une interface entre vous,
les mathématiciens qui découvrent des résultats, et les autres personnes qui veulent appliquer ces résultats
a de nouvel sorte d'espace vectoriel.
Si, par exemple, quelqu'un défini le type d'espace vectoriel, comme le set de toutes les créatures pi,
avec des définitions d'additions et de multiplications de ces créatures, les axiomes seraient une checklist de choses
qu'elles doivent vérifier a propos de leurs définitions, avant qu'elles puissent être appliquer a des résultats de l'algèbre linéaire.
Et vous en tant que mathématiciens, vous n'aurez jamais a penser a tous les espaces vectoriels que les gens peuvent définir,
vous avez juste a prouver que vos résultats en fonctions de ces axiomes, de telle façons que n'importe qui puissent utiliser
vos résultats s'il a besoin que ces axiomes soient respectés, même si vous n'aviez jamais pensé a ce qu'ils font.
Comme conséquence, vous essayez de formuler vos résultat de manière abstraite, ce qui reviens a dire,
seulement pour ces axiomes,
plutôt que de centrer sur un type spécifique de vecteur comme les flèches ou les fonctions .

Spanish: 
entre tú, el matemático hallando resultados, y otras personas que quieran aplicar estos resultados
en nuevos tipos de espacios vectoriales.
Si, por ejemplo, alguien define el extraño espacio vectorial del conjunto de "criaturas Pi",
con algunas definiciones sobre su suma y producto por escalares, estos axiomas sirven para comprobar
qué tienen que cumplir para poder aplicar nuestros conocimientos sobre álgebra lineal.
Y tú, como matemático, nunca tendrás que preocuparte sobre la posible extrañeza de un espacio vectorial,
sino simplemente probar tus resultados en términos de estos axiomas, de modo que, independientemente de las definiciones,
tus resultados sean aplicables, incluso aunque no conozcas exactamente la situación.
Como consecuencia, tenderás a escribir tus resultados de un modo bastante abstracto, es decir,
únicamente en términos de estos axiomas,
más que centrándote en un tipo específico de vector, como flechas en el espacio, o funciones.

Portuguese: 
Estes axiomas não são bem regras fundamentais
da natureza, são mais uma interface entre
você,
o matemático descobrindo resultados, e
outras pessoas que possam querer aplicar os
resultados
a novos tipos de espaços vetoriais.
Se, por exemplo, alguém define algum
tipo maluco de espaço vetorial, como o conjunto de
todas as criaturas pi,
com alguma definição de adição e ampliação de
criaturas pi, esses axiomas são como uma lista de verificação
das coisas
que eles precisam para verificar sobre as suas definições, antes que eles possam começar a aplicar os
resultados da Álgebra Linear.
E você como o matemático, nunca tem que
pensar sobre todos os possíveis
espaços vetoriais malucos que as 
pessoas podem definir,
você apenas tem que provar seus resultados em termos
destes axiomas, assim qualquer um cujas definições
satisfaçam aqueles axiomas
pode alegremente aplicar seus resultados, mesmo
que você nunca tenha pensado sobre a sua situação.
Como conseqüência, você tenderia a frasear seus resultados de maneira bastante abstrata,
ou seja,
só em termos destes axiomas,

English: 
rather than centring on a specific type of
vector, like arrows in space, or functions.
For example, this is why just about every
textbook you'll find will define linear transformations
in terms of additivity and scaling, rather
than talking about gridlines remaining parallel
and evenly spaced,
even though the latter is more intuitive,
and at least in my view, more helpful for
first time learners,
even if it is specific to one situation.
So the mathematicians answer to "what are
vectors?" is to just ignore the question.
In the modern theory, the form that vectors
take doesn't really matter, arrows, lists
of numbers, functions,
pi creatures, really it can be anything so
long as there is some notion of adding and
scaling vectors
that follows these rules.
It's like asking what the number 'three' really
is.
Whenever it comes up concretely, it's in the
context of some triplet of things, but in
maths,
it's treated as an abstraction for all possible
triplets of things, and lets you reason about
all possible triplets,
using a single idea.

French: 
Par exemple, c'est pourquoi chaque livre que vous trouverez définira la transformation linéaire
en terme d'addition et de multiplication, plutôt que de parler de grilles qui restent parallèle et régulièrement espacés,
même si la dernière possibilité est plus intuitive et au moins de mon point de vue, plus facile pour les débutants,
tout en étant spécifique a une situtation.
Donc la réponse mathématique a "qu'est-ce qu'un vecteur ?" est juste d'ignorer la question.
Dans la théorie moderne, la forme d'un vecteur n'a pas d'importance, flèches, listes de nombres, fonctions,
créatures pi, ça peut vraiment être n'importe quoi du moment que ça suit les régles
d'addition et de multiplication.
C'est comme demander ce qu'est vraiment le chiffre 3.
Quand ça vient concrètement, dans le contexte c'est un triplet de choses, mais en maths,
c'est l'abstraction de tous les triplets de tous les objets possibles,
dans une seule idée.

Italian: 
Ad esempio, questa è la ragione per cui quasi ogni libro di testo definisce le trasformazioni lineari
nei termini di additività e omogeneità, invece che parlando di meridiani e paralleli che si mantengono uniformemente distribuiti,
anche se quest'ultima descrizione è più intuitiva e, almeno dal mio punto di vista, più d'aiuto per chi sta imparando queste cose,
seppure si applica solo a una situazione specifica.
Quindi, la risposta di un matematico alla domanda "Che cos'è un vettore?", è semplicemente ignorare la domanda.
Nella teoria moderna, la forma che adottano i vettori non ha importanza, che siano frecce, liste di numeri, funzioni,
o creature a forma di pi greco; possono essere qualsiasi cosa, a patto che si siano definiti i concetti di addizione e moltiplicazione per scalare
che segua quelle regole.
È come chiedere che cosa sia davvero il numero 3.
Quando appare concretamente siamo nel contesto di una tripletta di oggetti, ma in matematica
si considera l'astrazione di ogni possibile tripletta di oggetti, ed si può fare ragionamenti su ogni possibile tripletta,
usando un'idea sola.

Japanese: 
それこそ、どんな教科書にも線形変換を加法性と斉次性を満たすものとして抽象的に定義している理由です
座標系の格子が一定間隔で平行線になるような変換という定義はしません
たとえ、後者の説明のほうが直感的で、(私の感覚では)初心者にやさしいとしてもです
そのため、ベクトルって何？という質問への数学者の答えは、
現代の数学では、ベクトルの具体的な形は重要ではないということになります
矢印、数字の列、関数、πクリーチャー、何でもかまいません
加算とスカラー倍の操作が、公理のルールを守ってさえいればよいのです
数字の3とは何かという質問に似ているかもしれません
具体的に言えば、状況次第で変わる何らかの３つ組の物を表現する記号ですが、
数学的にはあらゆる3つの組を持つ概念の抽象化です
一つの概念を基に、すべての3という事象を考察の対象にすることができます

Polish: 
zanim skupiać się na specjalnych typach wektorów, jak strzałki w przestrzeni czy funkcję.
To dlatego praktycznie każdy podręcznik definiuje liniowe przekształcenie
w języku addytywności i jednorodności, zamiast mówić o liniach z kraty pozostających
równoodległymi i równoległymi,
mimo że to drugie jest bardziej intuicyjne, a także, przynajmniej według mnie, bardziej pomocne
dla ludzi, którzy uczą się o tym pierwszy raz,
nawet jeżeli to jest tylko jedna konkretna przestrzeń liniowa.
Zatem odpowiedzią matematyka na pytanie "czym są wektory?" jest po prostu je zignorować.
We współczesnej teorii, czym tak naprawdę są wektory nie ma znaczenia, strzałki,
listy, funkcje,
ludziki pi, to może być dosłownie wszystko, tak długo jak jest dobrze zdefiniowane
dodawanie i skalowanie
które spełnia te zasady.
To tak, jak pytać czym jest liczba trzy.
Kiedykolwiek się pojawia, jest w kontekście trójek jakiejś rzeczy, ale w
matematyce,
traktowana jest jako abstrakcja oznaczająca dowolną  trójkę rzeczy, i pozwala opisywać własności
wszystkich możliwych trójek
używając jednego konceptu.

Czech: 
spíš než aby se zaměřovaly na konkrétní druh vektorů jako jsou šipky v prostoru nebo funkce.
To je třeba důvod, proč snad každá učebnice, na kterou narazíte, zavádí lineární transformaci
v pojmech aditivity a homogenity namísto linek mřížky, které zůstávají rovnoběžné a
rovnoměrně rozmístěné,
i když je ta druhá definice dle mého názoru intuitivnější a praktičtější pro
studenty prvního ročníku,
i když se jedná jen o jeden konkrétní případ.
Takže matematik otázku "Co je to vektor?" prostě odignoruje.
Podle současné teorie na formě samotných vektorů nezáleží, ať jsou to šipky,
seznamy čísel, funkce,
postavičky pí, může to být cokoli, pokavaď na tom máme zavedené sčítání a
škálování vektorů,
která splňují tato pravidla.
Je to jako se ptát, co doopravdy znamená číslo 3.
V realitě se setkáme vždy s trojicí konkrétních věcí, ale matematika
 
s trojkou zachází abstraktně pro všechny možné trojice věcí, čímž nám umožní zacházet
se všemi možnými trojicemi
pomocí stejné myšlenky.

Spanish: 
Por ejemplo, este es el motivo por el cual la mayoría de libros de texto definen las transformaciones lineales
en términos de aditividad y producto por escalares, en lugar de hablando de cuadrículas paralelas y uniformes,
aunque lo segundo sea más intuitivo y, en mi opinión, más útil para gente que empieza a aprender,
si bien se trata de un caso particular.
Así pues, los matemáticos responden a la pregunta "¿qué es un vector?" simplemente ignorándola.
En la teoría moderna, la forma que tomen los vectores no importa, ya sea con listas de números, funciones,
"criaturas Pi", realmente no importa mientras cumplan las nociones de la suma y el producto por escalares
siguiendo estas normas.
Es como preguntar qué es realmente el número 3.
Cuando piensas en él de forma concreta, es en un contexto donde hay un "triplete" de cosas, pero, en matemáticas,
es tratado como una abstracción de todos los posibles tripletes de cosas, y te permite razonar sobre todos estos posible tripletes,
usando una única idea.

Chinese: 
简而言之，这就是为什么你阅读的每一本教科书都会根据可加性和成比例来定义线性变换
而不是用网格线保持平行且等距分布来定义
即便后者更加直观
至少在我看来，后者对初学者更有帮助，哪怕它只针对一种情况
所以对于“向量是什么”这个问题，数学家会直接忽略不作答
在现代理论中
向量的形式并不重要，箭头、一组数、函数、π生物等等都无所谓
它可以是任何东西
只要向量相加和数乘的概念遵守以上规则即可
这就像是在问“3”究竟是什么一样
遇到具体情况时，它就代表着三个东西的集合
但是在数学里，它被看作所有三个东西的集合的抽象概念
从而让你用一个概念就能推出所有三个东西的集合

Korean: 
구체적인 종류의 벡터로 표현하는 것이 아니란 것이다.
이것이 바로 모든 책에서 선형변환을
'격자가 평행하고 균등하게 변하는 것' 대신
합과 실수배로 정의하고 있는 이유이다.
심지어 특정 상황에서는 격자를 이용해서 정의하는 것이
초심자에게는 더 직관적으로 보일지라도 말이다.
그래서 "벡터란 무엇인가?"에 대한 수학자의 답은
그 질문을 무시하는 것이다.
현대에서는 벡터의 형태를 신경쓰지 않는다.
화살표, 숫자의 배열, 함수,
파이 생물체 등
합과 실수배가 공리를 만족하게 정의되어 있으면
무엇이든 벡터가 될 수 있다.
이건 마치 숫자 3이 무엇인지 물어보는 것과 같다.
3이 무엇인지 물어볼 때
그 맥락에서 대상의 3배를 말한다.
하지만 수학에서는
모든 '3배'들을 추상화시킨 개념이고
한 가지 개념으로 모든 '3배'들을 생각할 수 있게 만든다.

Arabic: 
بدلا من التركيز على نوع معين من
متجه ، مثل الأسهم في الفضاء ، أو وظائف.
على سبيل المثال ، هذا هو السبب في كل شيء تقريبا
الكتاب المدرسي الذي ستجده سيحدد التحولات الخطية
من حيث الإضافة والقياس ، بالأحرى
من الحديث عن خطوط الشبكة المتبقية متوازية
ومتباعد بشكل متساوٍ ،
على الرغم من أن هذا الأخير أكثر سهولة
وعلى الأقل من وجهة نظري ، أكثر فائدة ل
متعلمي المرة الأولى ،
حتى لو كانت محددة في موقف واحد.
لذا فإن علماء الرياضيات يجيبون على "ما هي
ناقلات؟ "هو مجرد تجاهل السؤال.
في النظرية الحديثة ، الشكل الذي ينتقل
لا يهم حقا ، السهام ، والقوائم
من الأرقام ، الوظائف ،
مخلوقات بي ، حقا يمكن أن يكون أي شيء حتى
طالما هناك بعض فكرة إضافة و
ناقلات القياس
يتبع هذه القواعد.
انها مثل السؤال عن رقم "ثلاثة" حقا
هو.
كلما جاء بشكل ملموس ، فإنه في
السياق لبعض ثلاثية من الأشياء ، ولكن في
رياضيات،
تعامل على أنها تجريد لكل ما هو ممكن
ثلاث مرات من الأشياء ، ويتيح لك التفكير
كل ثلاثة توائم محتملة
باستخدام فكرة واحدة.

Portuguese: 
ao invés de centrar-se em um tipo específico de
vetor, como as setas no espaço, ou funções.
Por exemplo, é por isso que quase todos os
livros-texto que você encontrará vai definir transformações lineares
em termos de aditividade e escala, em vez de falar sobre as linhas de grade permanecendo paralelas
e uniformemente espaçadas,
mesmo que o último seja mais intuitivo,
e, pelo menos na minha opinião, mais útil para
alunos aprendendo pela primeira vez,
mesmo que seja específico para uma situação.
Assim, a resposta dos matemáticos à pergunta "O que são vetores?" é simplesmente ignorar a pergunta.
Na teoria moderna, a forma que os vetores
tomam não importa realmente, setas, listas
de números, funções,
criaturas pi... sério, pode ser qualquer coisa, desde que haja noções de adição e
escalonamento de vetores
que sigam estas regras.
É como perguntar qual o número 'três' realmente é.
Sempre que se trata-se concretamente, é no
contexto de algum trio de coisas, mas em
matemática,
ele é tratado como uma abstração para todos os possíveis triplos de coisas, e permite raciocinar sobre
todos os triplos possíveis,
usando uma única idéia.

Spanish: 
Lo mismo ocurre con vectores, que pueden tomar múltiples formas, pero en matemáticas son abstraídos como una única e
immaterial noción de espacio vectorial.
Pero, como cualquiera que haya visto estos vídeos sabe, creo que es mejor empezar tratándolos de un modo
concreto y representable visualmente, como en el plano usando flechas desde el origen.
Pero a medida que aprendas más álgebra lineal, es conveniente tener en cuenta que estos conocimientos son aplicables a un nivel mucho más general,
y que este es el motivo por el cual en los libros de texto se estudia de un modo más abstracto.
Con esto, amigos, pongo fin a esta serie de vídeos sobre Álgebra Lineal.
Si los has mirado y entendido, creo que ahora dispones de una base sólida
de intuiciones por lo que a esta materia se refiere.
No es lo mismo que aprenderla en su entereza, por supuesto, pues eso necesariamente requiere
trabajar y resolver problemas, pero tu aprendizaje debería de ser más rápido y eficiente
con todas estas intuiciones bien asentadas.
Finalmente, pásalo bien aplicando estos conocimientos, y mucha suerte en tu proceso de formación!

Chinese: 
向量也是如此，它有很多种体现
但是数学把它抽象成“向量空间”这样一个无形的概念
看过这个系列的人都知道
我觉得从一个具体形象的背景出发来梳理向量更好
比如二维空间中以原点为起点的箭头
但是你学到了更多线性代数知识，知道了这些概念有更广泛的应用
这就是教科书中和课堂上更倾向于抽象表述的根本原因
以上就是“线性代数的本质”系列的最后一部分内容
如果你看过并且理解了这些视频
我相信你已经对线性代数的潜在直观有了深厚的理解
当然，这和你学习完整的课程不是一回事
因为学习过程真的只能来源于解决问题
但是如果你具备了正确的直观，你会在以后的学习中更加高效

Arabic: 
ينطبق نفس الأمر على المتجهات التي تحتوي على العديد من النماذج ،
لكن الرياضيات تجردهم جميعا في واحدة ،
مفهوم غير ملموس لمساحة ناقلات.
ولكن ، كما يعلم أي شخص يشاهد هذه السلسلة ،
أعتقد أنه من الأفضل أن نبدأ بالتفكير
ناقلات في الخرسانة ،
إعداد مرئي ، مثل مساحة ثنائية الأبعاد مع أسهم
متجذرة في الأصل.
ولكن كما تعلم المزيد الجبر الخطي ، ونعرف
أن هذه الأدوات تنطبق بشكل أكثر عمومية ،
وأن هذا هو السبب الكامن وراء ذلك
الكتب المدرسية والمحاضرات تميل إلى أن تصاغ ،
حسنا ، بشكل غير واضح.
لذلك ، مع الناس ، أعتقد أنني سأطلق عليه
نهاية لهذا الجوهر سلسلة الجبر الخطي.
إذا شاهدت مقاطع الفيديو وفهمتها ،
أنا حقا أعتقد أن لديك صلبة
المؤسسة
في الحدس الأساسي للجبر الخطي.
هذا ليس هو الشيء نفسه كما تعلم
موضوع كامل ، بالطبع ، هذا شيء
يمكن أن يأتي حقا من حقا
العمل من خلال المشاكل ، ولكن التعلم
يمكنك المضي قدمًا بشكل كبير
أكثر فعالية
إذا كان لديك جميع الحدس الصحيح في المكان.

Italian: 
Lo stesso accade per i vettori, che hanno molte incarnazioni, ma sono astratte in matematica in una sola,
intangibile nozione di spazio vettoriale.
Ma come sa chiunque stia guardando questa serie, io credo sia meglio iniziare a pensare ai vettori
in uno scenario concreto e visualizzabile, come lo spazio bidimensionale con delle frecce ancorate all'origine.
Andando avanti in algebra lineare, sappi che questi strumenti possono essere applicati molto più generalmente,
e questa è la ragione non detta per cui i libri di testo e i professori tendono a esprimersi, beh, in modo astratto.
E con questo, gente, credo di poter dire di aver finito questa serie sull'essenza dell'algebra lineare.
Se hai guardato questi video e li hai capiti, credo proprio che tu abbia una solida comprensione basilare
dell'intuizione sottesa all'algebra lineare.
Questo non è la stessa cosa di imparare l'intero argomento, ovviamente: quello lo si può fare davvero solamente
risolvendo problemi, anche se l'apprendimento può essere molto facilitato
se hai tutte le intuizioni al posto giusto.
Ora divertiti ad applicare quelle intuizioni, e buona fortuna per i tuoi studi futuri!

Japanese: 
ベクトルも同じです
表現方法はたくさんありますが、数学上はベクトル空間という抽象概念として扱うのです
それでも、このシリーズを見ている方ならわかると思いますが、具体的なイメージを持つほうがお勧めです
2次元空間上の矢印のような、可視化しやすい概念が良いです
でも、線形代数の学習を進めるにつれ、適用できる範囲はもっとずっと広いことがわかってくるでしょう
それこそ、教科書上での表現が抽象的である理由です
さて、ここで線形代数の本質のシリーズは終わりです
ここまで動画を見て理解していただければ、線形代数の根本的な本質を習得したといってよいと思います
もちろん、題材を完璧に網羅したわけではありません
それは多くの実問題を解いて得られるものです
でも、学習を前に進めるにあたって、直感的理解を持っておくのは非常に効果的なことです

Czech: 
Stejné je to s vektory. Můžou mít různá ztvárnění, ale matematika s nimi zachází jednotně pod
neurčitým pojmem vektorového prostoru.
Ale jak diváci této série mohli postřehnout, je lepší si si vektory napřed představovat
v konkrétním
vizuálním rozhraní, jako jsou šipky v rovině, které začínají v počátku souřadnic.
Ale až se naučíte více z lineární algebry, mějte na paměti, že se tyto nástroje dají aplikovat obecněji,
a to je důvod, proč učebnice a přednášky používají
abstraktní jazyk.
Tímhle milí diváci končí série Esence lineární algebry.
Jestli jste zhlédli a pochopili tato videa, jsem přesvědčen, že máte solidně
postavené
základy intuice lineární algebry.
Nenaučili jste se tu plnou látku, samozřejmě, toho můžete
docílit jen prostřednictvím
přemýšlení o úlohách, ale takové učení může být mnohem
efektivnější,
když budete mít dobrou intuici.

Portuguese: 
O mesmo acontece com vetores, que têm muitas modalidades, mas a matemática os abstrai todos
em uma única noção intangível de um espaço vetorial.
Mas, como qualquer pessoa assistir a esta série sabe,
Eu acho que é melhor começar a raciocinar sobre
vetores de forma concreta,
visualizável, como o espaço 2D com setas enraizadas na origem.
Mas como você aprende mais Álgebra Linear, saiba
que essas ferramentas se aplicam muito mais geralmente,
e que este é o motivo subjacente para livros-texto e palestras tenderem a ser formulados,
bem, de maneira abstrata.
[Abstração é o preço da generalidade]
Então, com isso, gente, eu acho que vou concluir esta série "Essência da Álgebra Linear".
Se você assistiu e compreendeu os vídeos,
eu realmente acredito que você tem uma
fundação sólida
nas intuições subjacentes da Álgebra Linear.
Esta não é a mesma coisa que a aprendizagem do
tópico completo, é claro, isso é algo que
só pode realmente vir do
trabalho através de problemas, mas o aprendizado 
pode ser substancialmente
mais eficiente
se você tem todas as intuições certas no lugar certo.

French: 
C'est la même chose avec les vecteurs, qui ont plusieurs formes, mais les maths les ont abstraites en une seule,
une notion intangible d'espace vectoriel.
Mais, comme chacun qui regarde cette série sais, je pense que c'est mieux de raisonner a propos de vecteur dans une forme concrète,
visualisable, comme un espace 2D avec des flèche qui partent de l'origine.
Mais en en apprenant plus sur l'algèbre linéaire, vous saurez que ces outils s'applique bien plus généralement,
et que c'est pour ça que les livres ont des formulation très abstraite.
C'est avec ça que ce conclue cette série sur l'essence de l'algèbre linéaire.
Si vous avez regardé et compris la vidéo, je pense vraiment que vous avez de solides bases
en algèbre linéaire.
Ce n'est pas la même chose qu'apprendre tout sur le sujet, bien sur, c'est quelque chose qui viendra seulement
en travaillant sur des problèmes,mais l'apprentissage sera plus facile
si vous avez toutes les bases en place.

English: 
Same goes with vectors, which have many embodiments,
but maths abstracts them all into a single,
intangible notion of a vector space.
But, as anyone watching this series knows,
I think it's better to begin reasoning about
vectors in a concrete,
visualisable setting, like 2D space with arrows
rooted at the origin.
But as you learn more linear algebra, know
that these tools apply much more generally,
and that this is the underlying reason why
textbooks and lectures tend to be phrased,
well, absractly.
So with that, folks, I think I'll call it
an end to this essence of linear algebra series.
If you've watched and understood the videos,
I really do believe that you have a solid
foundation
in the underlying intuitions of linear algebra.
This is not the same thing as learning the
full topic, of course, that's something that
can only really come from
working through problems, but the learning
you do moving forward can be substantially
more efficient
if you have all the right intuitions in place.

Polish: 
Tak samo jest z wektorami, które mają wiele postaci, ale matematyka wrzuca je wszystkie do jednego worka
abstrakcyjnych przestrzeni liniowych.
Jednak, jak każdy kto oglądał tę serie wie, myślę że lepiej jest myśleć o wektorach
w konkretnym,
"wizualizowalnym" środowisku, jak przestrzeń 2D ze strzałkami zaczepionymi w początku układu.
Jednak w miarę jak poznajecie algebrę liniową, musicie wiedzieć, że te narzędzia stosują się bardziej ogólnie
i to jest powód dlaczego podręczniki i wykłady przedstawiają ten temat
abstrakcyjnie.
Tym więc, przyjaciele, zakończę serię o istocie algebry liniowej.
Jeżeli widziałeś i zrozumiałeś te filmy, naprawdę myślę że masz solidną
podstawę
do zrozumienia intuicji algebry liniowej.
To oczywiście nie to samo co nauczenie się całego tematu, oczywiście, to może tylko
przyjść dzięki
rozwiązywaniu zadań, ale wnioski i intuicje które nabywasz
mogą być lepsze
jeżeli masz dobrze zbudowane intuicje.

Korean: 
벡터도 수많은 구체물들이 있지만
수학에서는 그 모든 것을 한 가지의 개념로
벡터 공간 속에 추상화시킨다.
이 시리즈를 본 사람이면 다 알겠지만
난 벡터를 처음 다룰 때는
평면 속 화살표처럼 구체적으로 시각적인 것이
좋다고 생각한다.
하지만 선형대수학을 더 배울수록
선형대수학은 더 광범위하게 적용할 수 있는 것이며
이것이 책과 강의에서
추상적인 글로 설명하는 이유임을 알게 된다.
이렇게 해서, 선형대수 시리즈의 핵심을 마치고자 한다.
여러분이 선형대수의 기초에
견고한 직관적 이해가 생겼길 바란다.
당연히 모든 주제를 다룬 것은 아니며,
수많은 문제를 풀어봐야 한다.
하지만 이 직관들을 활용하면
앞으로 더 효율적으로 학습할 것이다.
그럼 직관을 잘 활용하길 바라며

Chinese: 
愿你能在运用直观思维时找到乐趣，同时也祝你今后的学习顺利

Polish: 
Bawcie się dobrze stosując te intuicje i powodzenia z przyszłą nauką.

Arabic: 
لذا ، استمتعي بتطبيق تلك البديهيات ، و
حظا سعيدا مع التعلم في المستقبل.

Portuguese: 
Então, divirta-se aplicando essas intuições e
boa sorte com o seu aprendizado futuro!

French: 
Amusez-vous en appliquant ces principes, et bonne chance pour apprendre le reste.

Czech: 
Tak doufám, že si tuto intuici užijete, a přeji hodně štěstí v dalším vzdělávání.

Japanese: 
直感を問題に適用して、楽しく学習を進められることを祈っています

English: 
So, have fun applying those intuitions, and
best of luck with your future learning.

Korean: 
건투를 빈다.
