
Korean: 
이번 영상에서는
어떤 구간에 걸친 연속성에
대해 탐구해볼 겁니다
시작하려면 먼저
어떤 점에서의 연속성에 대해
기억을 되살려볼 거예요
함수 f는
x가 c일 때 연속됩니다
다음 전제 하에서만 말입니다
이 화살표는 명제가 다음
전제하에만 성립한다는 의미죠
x가 c에 한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값은
f(c)와 같습니다
우리가 이 개념을 처음 소개했을 때
기술적이고 복잡해 보였지만
사실 아주 직관적인 개념입니다
여기서 어떤 일이 일어나고
있는지 생각해 보세요
x가 c에 가까워질 때
f(x)의 극한값은 말입니다
x가 c에 가까워질 때 f(x)가
어떤 값에 가까워진다고
가정합시다
x가 왼쪽으로부터
가까워지고 있을 때
이 값을 향해 가까워집니다
오른쪽으로부터 가까워질 때는
이 값을 향해 가까워집니다
함수가 연속되려면

Bulgarian: 
В това видео
ще разучим непрекъснатостта
в даден интервал.
Но за да го направим,
нека първо си припомним
какво е непрекъснатост
в точка.
Казваме, че функцията
f(x)
е непрекъсната
за дадено х = с
тогава и само тогава,
когато, нека само начертая
тези стрелки,
когато границата
на f(x)
за х, клонящо към с,
е равна на f(с).
Когато въведохме
това определение
за първи път,
го нарекохме технично,
но то всъщност
е доста интуитивно.
Помисли какво се случва.
Границата на f(x)
за х, клонящо към с,
например тази граница,
е равна на някакво число.
Когато се приближаваме
от лявата страна,
стигаме до това число.
Отдясно отново
доближаваме същото число.
За да бъде непрекъсната
функцията в тази точка,

Czech: 
V tomto videu se podíváme
na spojitost na intervalu.
Ale abychom to mohli udělat,
musíme si připomenout spojitost v bodě.
Řekneme, že funkce f je spojitá v
bodě x rovno ‚c‘ právě tehdy, když…
Použiji zde tuhle oboustrannou šipku.
…limita f(x) pro x
blížící se k ‚c‘ je rovna f(c).
A když jsme si toto poprvé ukázali,
tak jsme si řekli,
že to je trochu technické,
ale vlastně docela intuitivní.
Zamysleme se nad tím, co se zde děje.
Limita f(x) pro x blížící se k ‚c‘…
Řekněme, že pro x blížící
se k ‚c‘ jde f(x) k nějaké hodnotě.
Když se blížíme zleva,
tak jdeme k této hodnotě.
Když se blížíme zprava,
tak jdeme k této hodnotě.
Aby funkce byla spojitá,

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is explore continuity over an interval.
But to do that, let's refresh our memory
about continuity at a point.
So we say that f
is continuous
when
x is equal to c,
if and only if,
so I'm gonna make these
two-way arrows right over here,
the limit
of f of x
as x approaches c
is equal to f of c.
And when we first introduced this,
we said, hey, this looks
a little bit technical,
but it's actually pretty intuitive.
Think about what's happening.
The limit as x approaches c of f of x,
so let's say that f of x as x approaches c
is approaching some value.
So if we approach,
if we approach from the left,
we're getting to this value.
If we approach from the right,
we're getting this value.
Well, in order for the
function to be continuous,

English: 
if I had to draw this function
without picking up my pen,
well, the value of the
function at that point
should be the same as the limit.
This is really just a more
rigorous way of describing
this notion of not having
to pick up your pencil,
this notion of connectedness,
that you don't have any jumps
or any discontinuities of any kind.
So with that out the way,
let's discuss continuity over intervals.
Let me delete this really fast,
so I have space to work with.
So we say, so I'm gonna first
talk about an open interval,
and then we're gonna talk
about a closed interval
because a closed interval gets
a little bit more involved.
So we say f
is continuous
over an open interval from a to b.
So the parentheses instead of brackets,
this shows that we're not
including the endpoint.
So this would be all of the
points between x equals a
and x equals b,
but not equaling x
equals a and x equals b.

Bulgarian: 
това означава да я начертая
без да всигам молива,
то стойността на функцията
в тази точка
трябва да е същата
като границата ѝ.
Това е просто по-формален начин
на записване на идеята
да не вдигаш молива,
на тази идея за свързаност,
че няма никакви скокове
или прекъсвания в тази точка.
Като разяснихме това,
нека да обсъдим
непрекъснатост в интервал.
Ще изтрия това,
за да освободя място.
Първо ще говорим
за отворен интервал,
а после и за затворен.
Затвореният се използва
малко по-често.
Казваме, че функцията
f(x) е непрекъсната
в отворения интервал (а;b).
Тук кръглите скоби,
за разлика от квадратните,
показват, че не включваме
крайните точки.
В този интервал
са всички точки между
х=а и х=b,
но без самите a и b.

Czech: 
tak ji musím dokázat nakreslit
bez zvednutí tužky.
Hodnota funkce v tomto bodě
by měla být stejná jako limita.
To je pouze formální popis toho, že
nemusím zvednout tužku, jakési spojenosti,
že nemáme žádné skoky nebo nespojitosti.
Když toto víme, můžeme
přejít ke spojitosti na intervalu.
Tohle rychle smažu,
abych měl kde dál pracovat.
Nejdřív budu mluvit o otevřeném intervalu.
Pak budu mluvit o uzavřeném intervalu,
jelikož uzavřený interval je záludnější.
Řekneme, že funkce f je spojitá na
otevřeném intervalu (a,b)...
Tedy kulaté závorky místo hranatých.
To značí, že interval
neobsahuje hraniční body.
Toto jsou všechny body x mezi bodem
x rovno ‚a‘ a bodem x rovno ‚b‘,
ale ne bod x rovno ‚a‘ ani x rovno ‚b‘.

Korean: 
혹은 이 함수를 연필을 들지
않고 계속 그리려면
그 점에서의 함수값이
극한값과 같아야 합니다
이것은 단지 연필을 들지 않고
함수를 그릴 수 있어야 한다는 것보다
엄격한 의미입니다
즉 처음부터 끝까지
연결되어 있어야 하고
중간에 어떠한 형태의 도약이나
불연속성도 있어서는 안 됩니다
이 점을 이해했다면
이제 구간에 걸친 연속성에
대해 이야기해 봅시다
공간을 좀 더 확보하기 위해
이 내용들은 지우도록 할게요
먼저 열린 구간에 대해 이야기하고
그 다음 닫힌 구간에 대해
이야기해 봅시다
왜냐하면 닫힌 구간이 좀더
자세한 내용에 해당하거든요
함수 f가
열린 구간 a에서 b에 걸쳐서
연속된다고 합시다
여기서 대괄호가 아닌
소괄호가 사용되었는데
이것은 끝점이 포함되지
않는다는 것을 의미합니다
즉 이 구간은 x가 a일 때와
x가 b일 때 사이의
모든 점을 포함하지만
x가 a일 때와 b일 때의
두 점은 포함하지 않습니다

English: 
So f is continuous over
this open interval,
if and only if,
if and only if,
f is continuous,
f is continuous
over
every point in,
over every point
in
the interval.
So let's do a couple of examples of that.
So let's say we're talking
about the open interval
from negative seven
to negative five.
Is f continuous over that interval?
Let's see, we're going from negative seven
to negative five,
and there's a couple of
ways you could do it.
There's the
not-so-mathematically-rigorous way,
where you could say, hey,
look, if I start here,
I can get all the way to negative five
without having to pick up my pencil.
If you wanted to do more rigorously
and you actually had the
definition of the function,
you might be able to do a proof,
that for any of these
points over the interval,

Czech: 
...Tedy funkce f je spojitá na tomto
otevřeném intervalu právě tehdy,
když je f spojitá v každém bodě intervalu.
Udělejme si na to pár příkladů.
Mějme například otevřený
interval od -7 do -5.
Je f spojitá na tomto intervalu?
Jdeme od -7 do -5 a můžeme
to udělat několika způsoby.
Je tu méně matematicky přesná
možnost, kde si můžeme říci:
„Začínáme tady a můžeme
jít až do -5 bez zvednutí tužky.“
Kdybychom to chtěli udělat
formálně a měli předpis funkce,
tak bychom udělali důkaz toho,

Korean: 
열린 구간에 걸쳐서
함수 f는 연속됩니다
다음 전제 하에 말입니다
f가 구간 내의 모든 점에서
연속된다는 전제 하에 성립합니다
이것에 대해 두 가지 정도의
예제를 들어봅시다
-7부터 -5까지의
열린 구간을 예로 들어봅시다
함수 f가 이 구간에 걸쳐
연속되나요?
우리의 구간은 -7에서
-5까지 이어집니다
이 문제를 푸는 데는
두 가지 정도의 방법이 있죠
먼저 수학적으로 그다지
엄격하지 않은 방법이 있어요
만약 여기에서 시작한다면
연필을 들었다 놓지 않고도
-5에 다다를 수 있는지
확인하는 겁니다
좀 더 철저한 방법을 택한다면
함수의 정의를 가지고
증명을 할 수 있습니다
x가 구간에 걸쳐있는
어느 점에 가까워지더라도

Bulgarian: 
Функцията f(x) е непрекъсната
в този отворен интервал
тогава и само тогава,
когато f(x) е непрекъсната
за всяка точка
от интервала.
Да направим няколко примера.
Да кажем, че имаме
отворения интервал
от минус 7
до минус 5.
Непрекъсната ли е
функцията f(x) в този интервал?
Да видим на графиката.
От –7 до –5 е тук.
Има няколко начина
на действие.
Има и недотам
математически издържан начин,
това е да си представиш,
че започваш оттук
и видиш дали можеш да преминеш
целия път до –5
без да вдигаш молива
от графиката.
Ако искаш да го направиш
по-формално
и имаш уравнението на функцията,
можеш да изведеш
доказателство,
че за всички точки
от този интервал

Korean: 
그에 따른 극한값이
해당 점에서의 함수값과
같다는 것을 증명하면 됩니다
그래프만 가지고는
증명하기 어렵습니다
그래프만 가지고 하려면
단순히 그래프를 관찰하고
연필을 들었다 놓지 않고도
이 점에서 저 점까지 이동할 수
있다는 것만 확인하면
그것으로 충분합니다
이제 다른 구간을 가지고 해 봅시다
여기 체크 표시를 해 놓읍시다
이 함수는 연속됩니다
-2에서 +1까지의
열린 구간에 대해 생각해봅시다
이 예제가 흥미로운 이유는
-2에서의 함수값이 여기
위에 있기 때문입니다
따라서 -2에서 시작하고 싶다면
이 지점에서 시작했다가
바로 아래로 점프해야 합니다
값이 -2보다 조금이라도
커졌을 때 말이죠
그리고 나서 계속하면 됩니다
하지만 이것은 열린 구간이니
값이 정확히 -2일 때
어떤 일이 일어나는지는
신경쓰지 않아도 됩니다
우리가 신경써야 할 부분은
값이 -2보다 커졌을 때
일어나는 일들입니다
이 지점에서 시작해서

Czech: 
že pro každý bod v tomto intervalu je
limita rovna funkční hodnotě.
To se dělá hůře,
když máme jenom graf.
Když máme pouze graf,
tak to lze udělat odhadem.
Řekneme si: „Dobře, můžu jít z toho bodu
do tohoto bodu bez zvednutí tužky,
takže to vypadá celkem dobře.“
Teď zkusme jiný interval.
Řekněme… Sem dám
značku, že to je spojité.
Teď se koukněme na interval
od -2 do 1, otevřený interval.
To je zajímavé, protože funkce je
v bodě -2 tady nahoře.
A tedy pokud skutečně
chceme začít v -2,
tak musíme začít tady a pak skočit hned
dolů jakmile se dostaneme kousek za -2,
načež už můžeme pokračovat.
Ale toto je otevřený interval,
takže nás vlastně nezajímá,
co se děje přímo v bodě -2.
Nás zajímá, co se děje 
v bodech větších než -2.

Bulgarian: 
границата на f(x) за х,
клонящо към всяка отделна точка
е равна на стойността на функцията
в тази точка.
По-трудно е да се докаже,
когато е дадена само графиката.
Когато имаш само графика,
можеш само да я разглеждаш
и да заключиш дали можеш
да стигнеш от едната ѝ точка до другата
без да вдигаш молива.
Тук ми изглежда,
че е непрекъсната.
Сега да опитаме
с друг интервал.
Ще отбележа за първия,
че там има непрекъснатост.
Сега да помислим за
отворения интервал
от –2 до +1.
Тук става интересно,
защото функцията
при –2 е ето тук горе.
Ако искахме да започнем
от самото –2,
би трябвало да започнем
от горе и веднага да скочим долу
за следващата точка,
която е малко по-голяма от –2,
и после да продължим.
Но тъй като интервалът
е отворен,
то не се интересуваме
какво се случва
точно в точката –2,
интересуваме се какво става
за числата, по-големи от –2.
Затова всъщност започваме
ето оттук долу

English: 
that the limit as x approaches
any one of these points
of f of x is equal to
the value of the function
at that point.
It's harder to do when
you only have a graph.
When you only have a graph,
you can only just do it by inspection,
and say, okay, I can go from
that point to that point
without picking up my pencil,
so I feel pretty good about it.
Now let's do another interval.
Let's say the, so let me
put a check mark here,
that is continuous.
Let's think about the
interval from negative two
to positive one, the open interval.
So this is interesting
because the function
at negative two is up here.
And so if you really wanted
to start at negative two,
you would have to start here
and then jump immediately down
as soon as you get slightly
larger than negative two
and then keep going.
But this is an open interval,
so we're not actually concerned
with what exactly happens at negative two,
we're concerned what happens when we are
all the numbers larger than negative two.
So we would actually
start right over here,

English: 
and then we would go to one.
And once again, based on the intuitive
I didn't have to pick up my pen idea,
this function would be continuous
over this,
over this interval.
So what's an example of an interval
where the function
would not be continuous?
Well, think about the interval from,
well, this is a pretty
straightforward one,
the open interval from three to five.
The function is here
when x is equal to three.
But if we wanted to get to five,
it looks like we're asymptoting,
it looks like we're
asymptoting up towards infinity
and we just keep on going
for a very long time.
And then we would have to pick
up our pencil and jump over,
and then we would come
back down right over here.
And so here we are not
continuous over that interval.
So now let's think about the more,
the slightly more involved interval.
The slightly more involved case
is when you have a closed interval.
F is continuous

Czech: 
Takže vlastně začneme
tady a pak jdeme do 1.
Podle našeho intuitivního kreslení tužkou
je funkce na tomto intervalu opět spojitá.
Jaký je tedy příklad intervalu,
na němž funkce není spojitá?
Zamysleme se nad intervalem od…
Tohle je vlastně docela zřejmé,
třeba otevřený interval od 3 do 5.
Funkce je zde, když x je rovno 3.
Ale když se chceme dostat do 5,
tak to vypadá, že se asymptoticky…
Vypadá to, že se asymptoticky blížíme
k nekonečnu a půjdeme hodně dlouho.
Poté bychom museli
vzít tužku a skočit sem,
a pak bychom došli zase sem dolů.
A proto na tomto intervalu
funkce není spojitá.
Nyní se zkusme zamyslet nad
trochu těžším intervalem.
Trochu těžší případ je, když
máme uzavřený interval.

Korean: 
1로 이동합니다
직관적으로 생각해보면
연필을 들었다 놓지 않고도
이동할 수 있었으니
이 함수는 해당 구간에 걸쳐서
연속된다는 것을 알 수 있습니다
그러면 어떤 구간에 걸쳐서
연속되지 않는
함수의 예는 무엇이 있을까요?
단도직입적인 예를
하나 들어봅시다
3에서 5까지 걸쳐있는
열린 구간을 고려해봅시다
x가 3일 때 함수값은 여기입니다
하지만 5를 향해 이동하면
점근하는 것처럼 보입니다
무한대를 향해 위로
점근하는 것처럼 보입니다
아주 긴 시간 동안
계속해서 말이죠
그러다가 연필을 들어
도약한 이후
다시 여기 아래로 내려와야 합니다
따라서 이 함수는 해당 구간에
걸쳐 연속되지 않습니다
좀 더 자세한 특징을 가진
구간에 대해 생각해 봅시다
좀 더 자세한 내용이
필요한 경우는
닫힌 구간에 대해 다룰 때입니다
함수 f는 닫힌 구간
a에서 b에 걸쳐서

Bulgarian: 
и продължаваме до 1.
Отново следвайки интуитивния начин
да не вдигам молива си,
виждам, че тази функция
е непрекъсната
за този
отворен интервал.
Да видим и пример
за интервал,
в който функцията
е прекъсната.
Виж например
отворения интервал,
този е доста очевиден,
отворения интервал
от 3 до 5.
Функцията е тук за х=3.
Но за да стигнем до 5,
изглежда минаваме
през асимптота.
Тук имаме асимптота
към безкрайност
и функцията ще расте
безкрайно дълго.
В някакъв момент ще ни се наложи
да вдигнем молива
и да скочим от другата ѝ страна
до тук.
Следователно функцията
не е непрекъсната в този интервал.
Сега да помислим
за един малко по-сложен
интервал.
Малко по-сложният случай
е когато имаме
затворен интервал.
f(x) е непрекъсната

Bulgarian: 
в затворения интервал [a;b],
това включва не само точките
между а и b,
ами и самите крайни точки,
тогава и само тогава,
когато f(x) е непрекъсната
в отворения интервал
и едностранните граници,
нека запиша това,
и дясната граница
за х, клонящо към а
отдясно на f(x)
е равна на f(а),
а лявата граница
за х, клонящо към b отляво на f(x),
е равна на f(b).
Какво се случва тук?
Това просто казва, че
тази едностранна граница,
когато мислим вътре в интервала
трябва да приближава
същата стойност като функцията.
Например, ако имаме
затворения интервал

Czech: 
f je spojitá na uzavřeném
intervalu od ‚a‘ do ‚b‘…
Ten tedy obsahuje nejen body
mezi ‚a‘ a ‚b‘, ale i tyto koncové body.
…právě tehdy, když je f spojitá na
otevřeném intervalu a jednostranné limity…
Udělám to takto.
… a limita f(x) pro x blížící
se k ‚a‘ zprava je rovna f(a)
a limita f(x) pro x blížící
se k ‚b‘ zleva je rovna f(b).
Co se zde tedy děje?
Říká nám to, že jednostranná
limita, když jsme uvnitř intervalu,
musí mít stejnou hodnotu jako funkce.

Korean: 
다음 전제 하에 연속됩니다
참고로 이 구간은 a와 b
사이의 점들 뿐만 아니라
끝점까지도 포함합니다
다음 전제 하에
함수는 연속됩니다
함수 f가 열린 구간 a에서 b
사이에서 연속되야 합니다
그리고 한쪽 극한
역시 중요합니다
또한 x가 a에 오른쪽으로부터
한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값이 f(a)이고
또한 x가 b에 왼쪽으로부터
한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값이 f(b)여야 합니다
여기 무슨 일이 일어나고 있나요?
이것은 단지 구간 내에 있을 때
한쪽 극한이
함수값과 같은 값을 향해
가까워져야 한다는 뜻입니다
예를 들어

English: 
over the closed interval from a to b.
So this includes not just
the points between a and b,
but the endpoints as well,
if and only if,
f is
continuous
over the open interval
and the one-sided limits.
Let me right this.
And
the limit
as x approaches a
from the right
of f of x
is equal to f of a,
and the limit
as x approaches b
from the left,
from the left of f of x
is equal to f of b.
Now what's going on here?
Well, it's just saying
that the one-sided limit,
when you're operating within the Interval,
has to approach the same
value as the function.
So for example, if we
said the closed interval

Korean: 
-7에서 -5까지의 닫힌 구간을
생각해 보면
합리적인 방법 하나는
연필 들었다 놓기 원리를
이용하는 겁니다
연필을 들었다 놓을
필요가 없습니다
구간의 끝점인
-7에서도
함수는 계속 연속됩니다
하지만 이 구간에서 함수가
정의되지 않았더라도
함수가 연속될 수는 있습니다
우극한은 여전히 존재할
수 있기 때문입니다
그리고 우극한이
함수값과 동일하며
이쪽 끝점에서
좌극한이 함수값과 같다면
이 구간에서 함수가
정의되지 않고
양쪽 극한이 정의되지
않더라도 상관없습니다
이러한 예제를 살펴봅시다
닫힌 구간을
예로 들어봅시다
참고로 구간 한쪽은 열려 있고
한쪽은 닫혀 있는 것도 가능하지만
지금으로써는 -3에서 -2까지의
닫힌 구간을 예로 들어봅시다
연필을 들었다 놓을 필요가
없었습니다
-3을 포함하였고
-2에 곧바로 다다를 수
있었습니다

English: 
from negative seven to negative five,
well, this one is still reasonable,
you know, just based on the
picking up your pencil thing.
You don't have to pick up your pencil.
And what you would do is at the endpoint,
and at negative seven,
this function is just
plain old continuous,
but if it wasn't defined over here,
it could still be continuous
because you would do
the right-handed limit towards it.
And you'd say, okay,
the right-handed limit
is equal to the value of the function.
And then at this endpoint,
at the second endpoint,
you'd say, okay, the left-handed limit
is equal to the function, even
if it wasn't defined here,
even if the two-sided
limit were not defined.
And so we could actually
look at an example of that.
If we were looking at
the interval from the closed,
and you could have one
side open, one side closed,
but let's just do the closed
interval from negative three
to negative two.
So notice I did not have
to pick up my pencil.
I'm including negative three,
and I'm getting all the
way to negative two.

Bulgarian: 
от –7 до –5,
е, тук също е в сила
методът с невдигането
на молива.
Не трябва да вдигаш молива.
уверяваш се, че и в крайните точки
–5 и –7
функцията също е непрекъсната.
Но ако тя не е определена
в някоя от тях,
тя все пак може да е
непрекъсната,
защото ще търсим
само едностранната граница.
И после ще видим
дали тази граница
е равна на стойността на функцията.
После за другата
крайна точка
ще видим дали лявата граница
е равна на функцията,
дори и тя да е неопределена там.
Дори и да не съществува
двустранна граница.
Можем да видим
такъв пример.
Ако погледнем
затворения интервал,
може и да е затворен
от едната страна и отворен от другата,
но сега ще направим само
затворения интервал
от –3 до –2.
Забележи, че не се наложи
да вдигам молива.
Включвам и крайната точка –3
и стигам до другата точка, –2.

Czech: 
Třeba pro uzavřený interval od -7 do -5.
Ten je docela rozumný na
základě pravidla o zvedání tužky.
Nemusíme zvedat tužku.
A v koncových bodech, jako -7, je
funkce prostě spojitá, jak to známe,
ale pokud by tady nebyla definovaná,
tak stále může být spojitá,
protože bychom udělali
pouze limitu zprava
a viděli bychom, že limita
zprava je rovna funkční hodnotě.
A pak v tomto druhém
koncovém bodě si řekneme:
„Dobře, limita zleva je rovna funkční
hodnotě, i kdyby zde už nebyla definovaná,
i kdyby oboustranná
limita nebyla definovaná.“
Můžeme si takový
případ ukázat.
Zkusme si interval…
Lze mít otevřený z jedné
a uzavřený z druhé strany,
ale zkusme uzavřený
interval od -3 do -2.
Všimněte si, že jsem
nemusel zvednout tužku.
Nakreslím i bod -3 a dostanu se až do -2.

Korean: 
함수의 분석 정의를
알고 있다면
-3과 -2 사이 모든 점에서의
극한값이
함수값과 같다는 것을
증명할 수 있을 겁니다
함수는 확실히
-3에 있을 때
연속되는 것을 볼 수 있습니다
양쪽 극한은 함수값을
향해 가까워집니다
하지만 -2에서는 양쪽 극한이
존재하지 않습니다
왼쪽에서 가까워질 때
0에 가까워지는 것처럼 보입니다
f(x)는 0입니다
오른쪽에서 가까워질 때는
f(x)가 -3을 향해
가까워지는 것처럼 보입니다
따라서 양쪽 극한이
존재하지 않더라도
좌극한이 존재한다면
함수는 연속될 수 있습니다
그리고 좌극한은
함수값을 향해 가까워집니다
즉 이 구간에 걸쳐서
함수는 연속됩니다
하지만 만약
-2에서 1까지의
닫힌 구간이라면 어떨지
영상을 정지하고
방금 이야기했던 내용을
토대로 스스로 고민해 보세요

Czech: 
Kdybychom znali přesný předpis
této funkce, tak bychom dokázali,
že limita v jakémkoli bodě
mezi -3 a -2 je rovna funkční hodnotě.
V bodě -3 je funkce zjevně spojitá.
Oboustranná limita je
rovna funkční hodnotě.
Ale v bodě -2 oboustranná
limita neexistuje.
Když se blížíme zleva,
tak se zdá, že jdeme k 0.
f(x) je rovno 0.
Když se blížíme zprava, tak
to vypadá, že f(x) jde k -3.
Takže přestože oboustranná
limita neexistuje,
tak vše ještě může být v pořádku,
protože limita zleva existuje.
A limita zleva se rovná funkční hodnotě.
Na tomto intervalu
je tudíž funkce spojitá.
Ale kdybychom řešili tento interval…
Pokud bychom měli uzavřený
interval od -2 do 1…
Zastavte si video a zamyslete se, na
základě toho, co jsem právě udělali,

Bulgarian: 
Ако ни беше дадено
уравнението на тази функция,
можеше да докажем, че
границата за всяка от тези точки
отвътре, между –3 и –2,
е равна на стойността на функцията.
В точката –3 функцията очевидно
е непрекъсната.
Двустранната граница там
е равна на стойността на функцията.
Но при –2 двустранна граница
не съществува.
Все пак лявата граница
там изглежда е равна на 0.
Имаме и f(x) = 0.
Дясната граница
изглежда, че е –3.
И въпреки, че двустранната граница
не съществува,
все пак можем да сме спокойни,
защото лявата граница
съществува
и тя е равна
на стойността на функцията.
В този интервал
имаме непрекъснатост.
Но нека разгледаме
следващия интервал.
Имаме затворения интервал
от –2 до 1.
Остави видеото на пауза
и помисли
въз основа на това,
което вече говорехме,

English: 
If you knew the analytic
definition of this function,
you could prove that, hey, the
limit at any of these points
inside, between negative
three and negative two,
is equal to the value of the function.
Negative three, the function
is clearly, at negative three,
the function is just plain old continuous.
The two-sided limit approaches
the value of the function.
But at negative two, the
two-sided limit does not exist.
When you approach from the left,
it looks like you're approaching zero.
F of x is equal to zero.
When you approach from the right,
it looks like f of x is
approaching negative three.
So even though the two-sided
limit does not exist,
we can still be good
because the left-handed limit does exist.
And the left-handed limit is approaching
the value of the function.
So we actually are continuous
over that interval.
But then if we did the interval,
if we did the closed
interval from negative two to
negative two to one,
pause the video and think about,
based on what we just talked about,

English: 
are we continuous over this interval?
Well, we're going from negative two
to one,
and negative two is the lower bound.
So is this right over here,
is this right over here true?
Is the limit as we approach
negative two from the right,
is that the same thing
as f of negative two?
Well, the limit as we
approach from the right
seems to be approaching negative three,
and f of negative two is zero.
So this limit does not, this, this,
these two things, the limit
as we approach from the right
and the value of the
function are not the same.
And so we do not have
that, I guess you could say
that one-sided (laughs)
continuity at negative two.
And that also makes sense.
If I start at negative two,
let me do this in a color you can see,
if I start at negative two
and I want to go the rest
of the interval to one,
I have to pick up my pencil.
Pick up my pencil, go here,
and then keep on going.
So this is, we are not
continuous over that interval.

Korean: 
이 구간에서도 함수가
연속되나요?
만약 -2에서 1까지의
닫힌 구간이라면
그리고 -2가 낮은 쪽의
끝점이라면
여기 이 명제는
참일까요?
-2에 오른쪽으로부터
가까워지는 극한값이
f(-2)와 같은 값인가요?
오른쪽에서 가까워지는 극한값은
-3에 가까워지는 것처럼 보입니다
하지만 f(-2)는 0입니다
따라서 이 두 값들
즉 우극한의 값과
함수값은 동일하지 않습니다
따라서 이 명제는 성립하지 않고
-2에서는 한쪽 방향으로만
함수가 연속됩니다
이것 또한 맞아떨어집니다
-2에서 시작한다고 가정합시다
잘 보이는 색깔로 바꿔 볼게요
-2에서 시작해서
구간의 나머지
부분으로 이동하려면
연필을 들었다 놔야 합니다
연필을 들어서 여기로 이동한 후
계속 이동할 수밖에 없죠
따라서 함수는 이 구간에 걸쳐
연속되지 않는 겁니다

Czech: 
zda je funkce spojitá na tomto intervalu.
Jdeme od -2 do 1 a
-2 je levý koncový bod.
Je tedy tohle pravda?
Je limita zprava v bodě -2 rovna f(-2)?
Když se blížíme zprava, tak se zdá,
že se blížíme k -3, a f(-2) je 0.
Tato limita ne…
Tyhle dvě věci, limita, když se blížíme
zprava, a funkční hodnota, se nerovnají.
A tedy nemáme… Mohli bychom říct,
že jednostrannou spojitost v -2.
A to také dává smysl.
Když začnu v -2…
Udělám to barevně.
...Když začnu v -2 a chci projít 
zbytek intervalu do 1,
tak musím zvednout tužku.
Zvednout tužku, posunout ji
sem a pak pokračovat.
Na tomto intervalu 
tedy funkce není spojitá.

Bulgarian: 
дали функцията е непрекъсната
в интервала [–2;1]?
Е, движим се от –2 до 1.
Началната точка е –2.
Ето тук.
Това тук вярно ли е?
Дали дясната граница
за х, клонящо към –2,
е равна на f(–2)?
Тази дясна граница
изглежда е равна на –3.
А f(–2) е равно на 0.
Следователно тази граница
няма същата стойност
като функцията в тази точка.
От това следва, че нямаме
едностранна непрекъснатост в –2.
Това има смисъл.
Ако започна от –2,
ще го направя с по-видим цвят,
като започна от –2
и искам да премина
през интервала до 1,
ще се наложи да вдигна молива.
Вдигам молива, стигам тук
и после продължавам.
Следователно нямаме
непрекъснатост в този интервал.
