
Czech: 
V tomto videu se pokusíme odhadnout, čemu
je rovna limita pro x blížící se ke 3 z
(x na třetí minus 3 krát x na druhou)
lomeno (5 krát x minus 15).
Když říkám odhadnout,
tak to uděláme tak,
že se koukneme na hodnoty
tohoto výrazu pro x blíže a blíže ke 3.
Mohlo by vás
napadnout zkusit,
čemu bude tento
výraz roven,
když za x
dosadíme 3?
Pak to bude 3 na třetí
minus 3 krát 3 na druhou,
a to celé vydělíme
5 krát 3 minus 15.
Tedy pokud je x rovno 3,
tak tento výraz bude
27 minus 27, tedy 0,
a to dělíme 15 minus
15, což je také 0.
Tento výraz tak pro
x rovno 3 není definovaný.
Dostaneme tento
neurčitý výraz, 0 lomeno 0.
Přestože tato funkce, respektive
tento výraz, není definována,

Bulgarian: 
В това видео ще се опитаме
да получим представа за границата
при х, клонящо към 3
на израза х^3 – 3х^2, цялото 
върху 5х – 15.
Когато казвам да получим представа,
всъщност ще видим какви стойности
приема този израз,
когато х се приближава
все по-близо до 3.
Може да опиташ да видиш
какво се случва с израза,
когато х е равно на 3.
Той ще стане 3 на трета
минус 3 по 3 на втора
върху 5 по 3
минус 15.
Значи при х=3
изразът става с числител
27 - 27, или нула.
Знаменателят е 15 - 15,
също нула.
Значи изразът всъщност
е неопределен
за х=3.
Получихме тази
неопределена форма,
0 делено на 0.
Не забравяй, че
макар изразът да не е определен,

Korean: 
이번 영상에서는
x가 3에 가까워질 때
x가 3에 가까워질 때
x³ - 3x²/5x - 15의
 값을 구해보겠습니다
x³ - 3x²/5x - 15의
 값을 구해보겠습니다
여기서 알아볼 것은
x가 3에 가까워질 때의
이 식의 값입니다
x가 3에 가까워질 때의
이 식의 값입니다
x가 3에 가까워질 때의
이 식의 값입니다
한 번 시도해 볼만한 것은
x가 3일 경우
이 함수의 값을 구하는 것입니다
x가 3일 경우
이 함수의 값을 구하는 것입니다
이는
3³ - 3ᐧ3²/5ᐧ3 - 15입니다
이는
3³ - 3ᐧ3²/5ᐧ3 - 15입니다
이는
3³ - 3ᐧ3²/5ᐧ3 - 15입니다
이는
3³ - 3ᐧ3²/5ᐧ3 - 15입니다
x가 3일 경우
이 식은
분모는 27 - 27이니
0이 됩니다
15 - 15는 0입니다
따라서 이 표현은
x가 3일 경우
정의되지 않습니다
이와 같이 부정형
형태가 나옵니다
0 / 0이죠
함수가 그렇더라도
식이 정의되지 않더라도

English: 
- This video we're going to try to get
a sense of what the limit
as x approaches three
of x to the third minus three x squared
over five x minus 15
is.
Now when I say get a sense,
we're gonna do that by seeing what
values for this expression
we get as x gets
closer and closer to three.
Now one thing that you
might wanna try out is,
well what happens to this expression
when x is equal to three?
Well then it's going to be
three to the third power
minus three times three squared,
over five times three
minus 15.
So at x equals three, this
expression's gonna be,
let's see in the numerator
you have 27 minus 27, zero.
Over 15 minus 15, over zero.
So this expression is actually not defined
at x equals three.
We get this indeterminate form,
we get zero over zero.
But let's see, even though the function,
or even though the
expression is not defined,

Czech: 
tak zkusíme zjistit,
jakou hodnotu má limita.
Abychom to udělali,
tak si vytvoříme tabulku.
Nakreslím si zde tabulku.
Vlastně si udělám dvě tabulky.
Tady bude x a zde bude x na třetí
minus 3 krát x na druhou
to celé děleno 5
krát x minus 15.
A teď to udělám znovu.
Za chvíli vám řeknu proč.
Tady bude x a zde bude x na třetí
minus 3 krát x na druhou
to celé děleno 5 krát x minus 15.
Důvod, proč jsem udělal dvě tabulky…
Nemusím mít dvě tabulky,
mohl jsem udělat jednu,
ale snad to takto bude intuitivnější 
a lépe pochopíte, o co se snažím.
V této tabulce vlevo udělám…
Sem budeme psát hodnoty x,
které se ke 3 blíží zleva.
Hodnoty, které
jsou menší než 3.
Můžeme vzít například bod 2,9 a vypočítat
hodnotu výrazu pro x rovno 2,9.

Bulgarian: 
той може да има граница
и нека опитаме да си я представим.
За да го направя,
ще построя таблица.
Нека я запиша тук.
Всъщност ще са две таблици.
Тук ще е х,
а тук изразът
х^3 –3х^2
делено на
5х –15.
Ще го направя и втори път
и след малко ще ти кажа защо.
Тук имам х,
а тук имам х^3
минус 3х^2
върху 5х – 15.
Ще използвам две таблици,
макар да не е задължително,
можех да се вместя и в една,
но се надявам така да стане
по-ясно това, което ще направя.
В лявата таблица ще сложа
стойности на х,
които се приближават все повече до 3
откъм лявата страна.
Тези стойности са по-малки от 3.
Например започвам с 2,9
и ще намеря на колко е равен
изразът за х=2,9.

English: 
let's see if we can get a sense
of what the limit might be.
And to do that, I'm gonna set up a table.
So let me set up a table here.
And actually I wanna set up two tables.
So this is x and this is x to the third
minus three x squared
over
five x
minus
15.
And actually, I'm gonna do that again.
And I'll tell you why in a second.
So this is gonna be x and
this is x to the third
minus three x squared
over
five x minus 15.
The reason why I set up two tables,
I didn't have to do two tables,
I could have done it all in one table,
but hopefully this will make it
a little bit more intuitive
what I'm trying to do.
Is on this left table, I'm
gonna, let's try out x values
that get closer and closer
to three from the left.
From values that are less than three.
So for example, you can
go to two point nine
and figure out what the expression equals
when x is two point nine.

Korean: 
극한이 무엇일지
한 번 알아봅시다
이를 위해선
표를 그립니다
여기에 그립니다
두 개의 표를 그리고 싶네요
여기는 x고
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
다시 해 봅시다
이유를 말씀드릴게요
여기는 x고
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
여기는
x³ - 3x² / 5x -15입니다
두 개의 표를 그린 이유는
두 개를 그릴
필요는 없지만
한 개의 테이블에
그릴 수 있습니다
하지만 이렇게 하면
제가 하려는 것이
좀 더 명확해 보이죠
왼쪽의 표에는
왼쪽에서 3에
가까워지는 x의
값을 표기합니다
3보다 작은 값들이죠
예를 들어
2.9가 될 수 있죠
그리고 x가 2.9일 경우의
값을 적습니다

Czech: 
Ale pak se pokusíme
přiblížit ještě více,
a tak použijeme bod 2,99.
Poté můžeme
jít ještě blíže.
Můžeme vzít bod 2,999.
Na to, co tu děláme,
můžeme nahlížet tak,
že jak se snažíme vyčíslit tento výraz 
pro hodnoty, které jsou blíž a blíž ke 3,
tak vlastně odhadujeme
hodnotu limity zleva.
Tedy limita zleva.
Proč říkám zleva?
Když se na to
podíváme na číselné ose,
jsou to hodnoty, které
jsou na ose nalevo od 3,
blížíme se k ní
čím dál tím víc.
Posouváme se doprava,
ale toto jsou hodnoty x,
které jsou nalevo od 3,
které jsou menší než 3.
Aby však limita existovala,
tak se musíme z obou
stran blížit k tomu samému.
Zprava i zleva.
Takže se pokusíme odhadnout
také limitu zprava.
Jaké hodnoty použijeme
v tomto případě?

Korean: 
하지만 이보다 더 가까운
값인 2.99의 값도
적을 수 있습니다
이보다 더 가까운
값도 적습니다
2.999의 값이죠
이를 생각하는 방법은
3에 가까워질 경우
식의 값을 적습니다
왼쪽에서 가까워질
경우의 극한이죠
왼쪽에서 가까워질
경우의 극한이죠
왼쪽에서 가까워질
경우의 극한이죠
왼쪽에서 가까워질
경우의 극한이죠
왜 왼쪽이라고 하나요?
이를 좌표평면에서
생각하면
이 값들은 3보다
왼쪽에 있는 값들입니다
하지만 점점 더 가까워지죠
오른쪽으로 움직입니다
하지만 이 값들은 3의
왼쪽에 있는 값들이지만
3보다 작습니다
하지만 극한이
존재하기 위해선
양쪽에서 가까워져야 합니다
왼쪽 오른쪽 모두요
따라서 오른쪽에서의
극한도
구해봅시다
이 값들은 무엇일까요?
이 값들은 3보다 큰

Bulgarian: 
После ще се приближа
малко по-близо,
ще взема 2,99.
После още по-близо.
Можем да използваме 2,999.
Един начин на мислене
е да видим на колко
е равен този израз,
когато се доближаваме
все повече до 3
и така да определим приблизително
лявата граница.
Границата отляво.
Защо казвам,
че е от ляво?
Ако мислиш за това
на координатната система,
тези стойности на х
се намират отляво на 3,
а ние се приближаваме
все повече.
Всъщност се движим надясно,
но тези стойности на х
се намират от лявата страна на 3,
те са по-малки от 3.
Също така, за да съществува
тази граница,
трябва да се приближаваме
до същата стойност и от двете страни.
Както отляво, така и отдясно.
Затова трябва също да потърсим
приблизителната граница
и от дясната страна.
Какви ще са тези стойности?
Това ще са стойности на х,

English: 
But then we can try to get
even a little bit closer
than that, we could go
to two point nine nine.
And then we could go
even closer than that.
We could go to two point nine nine nine.
And so one way to think about it here
is as we try to figure out
what this expression equals
as we get closer and closer to three,
we're trying to approximate
the limit from the left.
So limit
from
the left.
Now why do I say the left?
Well if you think about
this on a coordinate plane,
these are the x values that
are to the left of three,
but we're getting closer
and closer and closer.
We're moving to the right,
but these are the x values that
are on the left side of three,
they're less than three.
But we also, in order
for the limit to exist,
we have to be approaching the
same thing from both sides.
From both the left and the right.
So we could also try to approximate
the limit from
the right.
And so what values would those be?
Well those would be,
those would be x values

Korean: 
x 값들입니다
여기에 3.1을 적습니다
조금 더 가까이 가서
3.01도 적습니다
3.01도 적습니다
3.01도 적습니다
3.01도 적습니다
3에 가까워질수록
조금 더 나은
조금 더 나은
근사값을 얻을 수 있습니다
계산기를 이용해
값을 구해봅시다
2.99999까지 구할 수 있어요
3.0001도요
여기서 중요한 점은
이 값을 계산하기 전에
양쪽에서의 극한값은
혹은 왼쪽 극한값 혹은
오른쪽 극한값은
왼쪽에서의 극한값은
음수이고 오른쪽에서의
극한값은 양수라고
상상합니다
하지만 여기서 보이듯이
왼쪽에서의 극한값은
찾으려는 x의 값의
왼쪽에 위치합니다
따라서 이는 음수가 아니죠
이 값들은 그저
3에 근사하는
3보다 작은 값입니다
이는 3보다 큰 값에서부터

Bulgarian: 
по-големи от 3.
Можем да започнем от 3,1
и да продължим с малко по-близка,
като стойността 3,01.
После ще се приближим
още повече до 3.
Ще вземем числото 3,001.
Със всяко приближаване до числото 3
получаваме по-добро приближение
или по-добра представа
за границата, към която отиваме.
Ще използвам калкулатора,
за да пресметна това.
Можем и да продължим тук
с числа като 2,99999
и 3,00001.
Една основна идея,
която искам да подчертая
преди изобщо да пресметна
тези изрази е,
че някои хора, като говорят за
границата от двете страни
или границата отляво
или границата отдясно,
си представят,
че границата отляво
е с отрицателни стойности,
а тази отдясно
е с положителни.
Но тук виждаш, че
границата отляво
взима стойности отляво
на нашето х,
за което търсим границата.
Тези стойности
не са отрицателни,
те просто се доближават до 3
откъм по-малките от него числа.
Тук пък се доближава тройката
откъм по-големите от 3 числа.

Czech: 
Musí jít o hodnoty
x větší než 3.
Tedy můžeme
použít např. 3,1,
ale chceme ještě blíž,
a tak zkusíme 3,01.
Následně se zkusíme
dostat ještě blíže,
třeba 3,001.
A pokaždé, když se
přiblížíme ke 3,
tak získáme
lepší odhad pro…
Nebo dostaneme lepší představu
o tom, k čemu se vlastně blížíme.
Vytáhněme kalkulačku
a spočítejme to.
A mohli bychom
pokračovat dál, 2,99999.
3,00001.
Důležité je zde také to,
ještě předtím, než
spočítám, kolik to bude,
že když lidé slyší
limita z obou stran,
nebo limita zprava,
limita zleva,
tak si představí, že limita
zleva má záporné hodnoty
a limita zprava má
kladné hodnoty.
Ale jak můžete vidět, tak limita
zleva znamená, že jsme nalevo od bodu x,
ve kterém počítáme limitu.
Toto nejsou záporné hodnoty,
jenom se blíží ke 3 po
hodnotách menších než 3.
Toto se blíží ke 3 po
hodnotách větších než 3.

English: 
larger than three.
So we could say three point one,
but then we might wanna
get a little bit closer,
we could go three point zero one.
But then we might wanna
get even closer to three.
Three point zero zero
one.
And every time we get
closer and closer to three,
we're gonna get a better
approximation for,
or we're gonna get a better sense
of what we are actually approaching.
So let's get a calculator out and do this.
And you could keep going,
two nine nine nine nine nine.
Three point zero zero zero zero one.
Now one key idea here to point out,
before I even calculate
what these are going to be,
sometimes when people say
the limit from both sides,
or the limit from the left
or the limit from the right,
they imagine that the limit from the left
is negative values and
the limit from the right
are positive values.
But as you can see here,
the limit from the left
are to the left of the x
value that you're trying
to find the limit at.
So these aren't negative values,
these are just approaching the three
right over here from
values less than three.
This is approaching the three
from values larger than three.

Czech: 
Teď tedy vyplňme tabulku.
Já trochu urychlím svoji práci,
abyste nemuseli jen koukat na to, 
jak všechno zadávám do kalkulačky.
Na základě toho, co tady
vidíme, můžeme usoudit,
že to vypadá, že se blížíme k 1,8.
Je to tedy skutečně rovno 1,8?
Jak jsem už řekl, později to budeme
schopni říct s jistotou.
Ale pokud si ještě nejste jisti,
tak zkuste ještě bližší
a bližší a bližší hodnoty.

Korean: 
3에 가까워지죠
이 표를 채워봅시다
여러분이 계산기를
두드리지 않도록 저는
빠르게 적겠습니다
여기서 보이듯이
저는 극한의 근사값이
1.8이라고 하겠습니다
따라서 이는 1.8인가요?
나중에 말하겠지만
정확한 값을 구할 수 있어요
하지만 이 방법을
신뢰할 수 없다면
더 가까운 값을 찾아보세요

Bulgarian: 
Нека сега да запълним таблицата.
Ще го направя по-бързо,
за да не ме чакаш
да набирам всичко
в калкулатора.
Въз основа на това,
което виждаме тук,
мога да обобщя,
че тази граница
се приближава
до около 1,8.
Дали тя е равна на 1,8?
Както казах, по-натам ще можем
и да я намираме с точност.
Но ако искаш по-голяма точност,
засега можеш да изчислиш израза
за все по-близки стойности.

English: 
So now let's fill out this table,
and I'm speeding up my
work so that you don't
have to sit through me typing everything
into a calculator.
So based on what we're seeing here,
I would make the estimate that this looks
like it's approaching one point eight.
So is this equal to one point eight?
As I said, in the future, we're gonna
be able to find this out exactly.
But if you're not sure about this
you could try an even closer
and closer and closer value.
