
English: 
- [Voiceover] Let's now
explain to ourselves,
I guess you could say, a more formal
communication of the Integral Test.
Integral Test.
So it tells us that if we
assume that we have sum f of x,
if we have sum f of x that is positive...
positive, continuous...
continuous...
continuous, and decreasing...
and decreasing...
and decreasing on some interval, on...
So starting at k, and including
k, all the way to infinity.
Then we can make one of two statements.
We could say either that
if the improper integral
from k to infinity of f
of x dx is convergent,

Korean: 
이제 자신에게 설명해봅시다
어쩌면 적분 판정법에 대해
더 엄밀한 정의를 내린다고 할 수 있겠네요
적분 판정법 말입니다
적분 판정법은
k를 포함하여
k부터 무한대까지
양의 값을 가지고
연속이고 감소하는
연속이고 감소하는
연속이고 감소하는
f(x)의 값을
알고 있다고 가정할 때
두 사실 중 하나를 알 수 있습니다
만약 이 이상적분이
수렴한다면

Bulgarian: 
Сега ще дам,
ако мога да се изразя така,
по-формално определение
на интегралния критерий на Коши.
То ни казва, че ако допуснем, че
имаме функцията f(x), която е положителна,
положителна, непрекъсната
и намаляваща
в някакъв интервал,
започващ от k, включително k,
и до безкрайност.
Тогава можем да твърдим
две неща.
Можем да кажем, че
ако несобственият интеграл

Thai: 
ลองอธิบาย
เรื่องการทดสอบอินทิกรัล
อย่างเป็นทางการขึ้นหน่อย
การทดสอบอินทิกรัล
มันบอกเราว่า ถ้าเราสมมุติว่า
เรามีผลบวก f ของ x
ถ้าเรามีผลบวก f ของ x ที่เป็นบวก --
บวก ต่อเนื่อง --
ต่อเนื่อง --
ต่อเนื่อง และที่ลดลง --
และลดลง --
ลดลงในช่วง --
เริ่มที่ k รวม k ด้วย ไปจนถึงอนันต์
แล้วเราสรุปได้หนึ่งในสองอย่าง
เราบอกบอกว่า ถ้าอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
จาก k ถึงอนันต์ของ f ของ x dx นั้นลู่เข้า

Portuguese: 
[Voz] Vamos agora explicar
para nós mesmo,
Posso dizer que uma maneira mais formal
de comunicação do Teste da Integral.
Teste da integral.
Isso nos diz que se assumimos que
temos alguma função f de x,
se temos uma função f de x que é positiva
contínua
e decrescente em algum intervalo.
Assim, começando em k, incluindo k,
até o infinito.
Então podemos fazer uma
entre duas afirmações.
Podemos dizer que se a integral imprópria

Portuguese: 
de k para infinito de f de x dx
é convergente,
então a soma, a série infinita,
de n é igual a k para infinito de f de n
também é convergente.
E esse é o caso que vimos
quando tinhamos um sobre n ao quadrado
mas vamos ver isso daqui a pouco.
Mas a segunda afirmação
que podemos fazer,
ou a segunda dedução que nós podemos
fazer usando o Teste da Integal
é se isso é o contrário.
Se a integral de k para infinito,
a integral imprópria de f de x dx
é divergente
portanto a mesma afirmação é verdadeira
para as séries infinitas correspondentes.
Então essas séries infinitas bem aqui

English: 
is convergent, then...
then the sum, the infinite
series from n is equal to k
to infinity of f of n, is also convergent.
Is also convergent...
Convergent.
And this is actually the
case that we saw when
we looked at one over n squared,
but I'll look at that in a second.
But the second claim that we could make,
or the second deduction that we might be
able to make using the Integral Test,
is if that's the other way around.
That if the integral from k to infinity,
the improper integral of
f of x dx, is divergent,
divergent, then the same thing is true for
the corresponding infinite series.
Then this infinite series right over here
is also going to be...

Korean: 
수렴한다면
n=k부터 무한대까지의
무한급수 또한 수렴한다는 것을
알 수 있습니다
수렴한다는 것을요
그리고 이것은 사실 1/n²을 배웠을 때
보았던 경우입니다
그러나 잠시 후에 보도록 하죠
하지만  적분 판정법을 통해 할 수 있는
두 번째 주장 또는 두 번째 추측은
두 번째 주장 또는 두 번째 추측은
반대의 경우일때 입니다
즉 만약 k부터 무한대까지의
이상적분이 발산한다면
대응하는 무한급수도 발산합니다
대응하는 무한급수도 발산합니다
그럼 여기 있는 무한급수 또한
그럼 여기 있는 무한급수 또한

Thai: 
ลู่เข้า แล้ว --
ผลบวก อนุกรมอนันต์จาก n เท่ากับ k
ถึงอนันต์ของ f ของ n ก็ลู่เข้าเช่นกัน
ลู่เข้าเช่นกัน --
ลู่เข้า
และนี่คือกรณีที่เราเจอ
ตอนที่เราดู 1 ส่วน n กำลังสอง
แต่ผมจะดูสักครู่
แต่บทสรุปที่สองที่เราสรุปได้
หรือข้อสรุปอย่างที่สองที่เรา
ได้จากการทดสอบอินทิกรัล
คือกรณีกลับกัน
ถ้าอินทิกรัลจาก k ถึงอนันต์
อินทิกรัลไม่แท้ของ f ของ x dx นั้นลู่ออก
ลู่ออก แล้วมันก็เป็นจริงสำหรับ
อนุกรมอนันต์ที่คู่กัน
อนุกรมอนันต์นี่ตรงนี้
จะเท่ากับ --

Bulgarian: 
от k до безкрайност
от f(x)dx е сходящ, тогава
сумата, безкрайният ред от f(n)
за n от k до безкрайност,
безкрайният ред
също е сходящ.
Точно такъв случай видяхме,
когато разглеждахме 1/n^2,
но ще го видим след секунда.
Второто ни твърдение,
което можем да направим,
или вторият извод, който
можем да изведем
от интегралния критерий
на Коши, е
когато имаме обратния случай.
Ако интегралът от k до безкрайност,
ако несобственият интеграл
от f(x)dx е разходящ,
тогава това важи и за
съответния безкраен ред.

English: 
is also divergent.
And as I already mentioned,
in the last video
we already saw this in the case of
f of x is equal to one over x squared.
We saw that since the
integral from one to infinity
of one over x squared,
over one over x squared dx,
is convergent, in fact, it equals one.
It equals one.
Because of that, we were
able to say that the sum
from n equals the sum
from n is equal to one
to infinity of one over n
squared, is also convergent.
Also convergent.
And now we can see an example
where we go the other way.
For example, we know that this integral...

Korean: 
발산할 것입니다
그리고 저번 영상에서 언급했다시피
이미 이것을
f(x)=1/x²의 경우에서 보았습니다
1에서 무한대까지
f(x)=1/x²의 적분이 수렴할 때
그 값이 1이라는 것을 말입니다
그 값이 1이라는 것을 말입니다
따라서 n=1부터 무한대까지
1/n² 을 더한 값 역시
수렴한다는 것을 알 수 있었습니다
수렴한다는 것을 알 수 있었습니다
그리고 이제 반대의 경우의
예시를 볼 수 있죠
이 적분으로 시작해 봅시다

Portuguese: 
também serão divergentes.
E como eu já mencionei no último vídeo,
nós já vimos isso no caso de
f de x igual a um sobre x ao quadrado.
Vimos que desde que a integral
de um ao infinito
de um sobre x ao quadrado dx
é convergente, em verdade, é igual a um.
Por isso, podemos dizer que
a soma de n é igual a um até infinito
de um sobre n ao quadrado,
também é convergente.
E agora podemos ver um exemplo onde
seguimos o caminho contrário.
Por exemplo, sabemos que essa integral

Thai: 
ลู่ออกเช่นกัน
อย่างที่ผมพูดถึงไป ในวิดีโอที่แล้ว
เราเห็นอันนี้ไปในกรณีของ
f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x กำลังสอง
เราเห็นไปว่า เนื่องจากอินทิกรัล
จาก 1 ถึงอนันต์
ของ 1 ส่วน x กำลังสอง
1 ส่วน x กำลังสอง dx
นั้นลู่เข้า ที่จริงมันเท่ากับ 1
มันเท่ากับ 1
ด้วยเหตุนั้น เราบอกได้ว่าผลบวก
จาก n เท่ากับ, ผลบวกจาก n เท่ากับ 1
ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน n กำลังสองก็ลู่เข้าด้วย
ลู่เข้าด้วย
และตอนนี้เราจะได้เห็นตัวอย่างอีกกรณีหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าอินทิกรัลนี้ --

Bulgarian: 
Тогава този безкраен ред тук
също ще бъде разходящ.
И както споменах вече,
в последното видео
ние видяхме това в примера
с f(x) = 1/x^2.
Видяхме, че понеже
интеграл от 1 до безкрайност
от 1/x^2 dx е сходящ, всъщност
е равен на 1.
Поради това можем да кажем, 
че сумата
от n = 1 до безкрайност от
1/n^2, също е сходяща.
Сега ще видим 
обратния пример.
Знаем, че този интеграл...

Korean: 
이 적분으로 시작해봅시다
이 적분으로 시작해봅시다
f(x)=1/x²이 아닌
f(x)=1/x의 1부터 무한대까지의 적분으로 말입니다
f(x)=1/x의 1부터 무한대까지의 적분으로 말입니다
실제로 적어보겠습니다
그냥 f(x)=1/x로 시작해 봅시다
그것은 양의 값을 가진다는
조건을 틀림없이 만족합니다
그리고 1부터 무한대까지의 구간에서
그리고 1부터 무한대까지의 구간에서
생각해봅시다
생각해봅시다
이 구간에서 1/x는 양의 값을 가지고
연속이며 감소합니다
따라서 1/x이 정리의
첫 번째 가정을 만족시킵니다
x가 증가하면서 f(x)는 감소합니다
따라서 적분 판정법을 
적용할 수 있습니다
그래서 1에서 무한대까지 이 이상적분이
무엇이 되는지 봅시다
자 이렇게 해봅시다
만약 1부터 무한대까지
1/x를 적분한다면

Portuguese: 
Deixe-me escrever a integral.
Começando com a integral.
De um para infinito, não de
f de f x é igual a
um sobre x ao quadrado,
mas digamos
f de f x é igual a um sobre x.
Vou escrever aqui.
Começando com f de f x
é igual a um sobre x.
Isso sem dúvida é positivo,
e digamos que consideremos isso
num intervalo de
um para infinito.
Portanto, segue a primeira restrição.
Neste intervalo, um sobre x é positivo,
é contínuo, e é decrescente.
Cada vez que x aumenta, f de x diminui.
Assim o teste da integral é aplicável.
Vamos ver qual seria a integral imprópria
de um a infinito disto.
Se vamos de um ao infinito de um sobre x,

Thai: 
ขอผมเขียนอินทิกรัลลงไปนะ
ลองเริ่มด้วยอินทิกรัลนี้
จาก 1 ถึงอนันต์ ไม่ใช่ f ของ x เท่ากับ
1 ส่วน x กำลังสอง สมมุติว่า
f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x
ที่จริงขอผมเขียนมันลงไปนะ
ลองเริ่มด้วย f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x
มันตรงตามเงื่อนไขของเราชัดเจน
ว่ามันเป็นบวก
สมมุติว่าเราคิดถึงมัน
บนช่วง --
บนช่วงจาก 1 ถึงอนันต์
มันตรงตามเงื่อนไขแรกนี้
บนช่วงนี้ 1 ส่วน x เป็นบวก
มันต่อเนื่อง และมันลดลง
เมื่อ x เพิ่มขึ้น, f ของ x ลดลง
การทดสอบอินทิกรัลควรใช้ได้
ลองดูว่าอินทิกรัลไม่แท้
จาก 1 ถึงอนันต์ของพจน์นี้จะเป็นเท่าใด
ถ้าเราหา --
ถ้าเราไปจาก 1 ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน x
ของ 1 ส่วน x dx ตัวนี้เท่ากับ --

English: 
Let me write the integral down.
Let's start with this integral.
From one to infinity,
not of f of x is equal
to one over x squared, but let's say that
f of x is equal to one over x.
Actually let me just write that down.
Let's just start with f of
x is equal to one over x.
It definitely meets our
conditions that it is positive,
and let's say we were going to consider it
over the interval...
over the interval from one to infinity.
So it meets this first constraint.
Over this interval,
one over x is positive,
it is continuous, and it is decreasing.
As x increases, f of x decreases.
So the Integral Test should apply.
So let's see what the improper integral
from one to infinity of this would be.
So if we take...
If we go from one to
infinity of one over x,
of one over x dx, this is equal to...

Bulgarian: 
Ще напиша интеграла.
Да започнем с този интеграл.
От 1 до безкрайност 
но f(x) няма да е равно на
на 1/х^2, а нека да кажем,
че f(x) = 1/x.
Ще го напиша.
Започвам с f(x) = 1/х.
Определено отговаря
на изискването да е положителна,
и можем да кажем, че я разглеждаме
в интервала от 1 до безкрайност.
Така че отговаря на 
първото изискване.
В този интервал
1/х е положителна,
непрекъсната и намаляваща.
Когато х нараства, 
f(х) намалява.
Значи можем да използваме
изследване с интеграли.
Да видим какъв е
несобственият интеграл
от 1 до безкрайност
от това тук.

Thai: 
เราเขียนอันนี้เป็นลิมิต
เมื่อ t เข้าหาอนันต์ของอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก 1 ถึง t, ของ 1 ส่วน x dx
ซึ่งเท่ากับลิมิต เมื่อ t เข้าหาอนันต์ ของ
หาปฏิยานุพันธ์ จะเท่ากับ
ล็อกธรรมชาติของ x
ล็อกธรรมชาติของ x ไปจาก 1 ถึง t
1 ถึง t เราก็ --
จริงๆ แล้วมันคือค่าสัมบูรณ์ของ x
แต่เราคิดถึง x ที่เปป็นบวกตรงนี้
มันจะเท่ากับล็อกธรรมชาติของ x
ซึ่งจะเท่ากับลิมิตเมื่อ t เข้าหา
อนันต์ของล็อกธรรมชาติของ t
หรือเราบอกได้ว่า ล็อกธรรมชาติของ
ค่าสัมบูรณ์ของ t ซึ่งก็คือ
ล็อกธรรมชาติของ t เพราะ t เป็นบวก
ลบล็อกธรรมชาติของ 1
ลบล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ 1

English: 
We could write this as the limit
as t approaches infinity
of the definite integral
from one to t, of one over x dx,
which is equal to the limit,
as t approaches infinity, of,
take the antiderivative, is going to be of
the natural log of x,
the natural log of x going from one to t.
One to t, we could do the...
Well, it's really the absolute value of x,
but we're dealing with positive x's here
so it's just going to
be the natural log of x,
which is going to be the
limit as t approaches
infinity of the natural log of t,
or I could even say the natural log of the
absolute value of t, which is going to be
the natural log of t,
because it's positive t's,
minus the natural log of one.
Minus the natural log of
the absolute value of one.

Korean: 
이것은 t가 발산할때
1부터 t까지 1/x의 정적분값의
극한과 같다고 할 수 있습니다
또한 t가 발산할때 부정적분을 취해서
또한 t가 발산할때 부정적분을 취해서
1부터 t까지 lnx의 값이라고 할 수 있습니다
1부터 t까지 lnx의 값이라고 할 수 있습니다
1부터 t까지 lnx의 값이라고 할 수 있습니다
사실 x의 절댓값이지만
x가 양수이기 때문에
그냥 lnx가 될 것입니다
이것은 t가 무한대에 다가갈 때
lnt의 극한과 같습니다
또는 t가 양수이기 때문에
또는 t가 양수이기 때문에
lnltl는 lnt이고 위 식은
lnltl-ln1이라고도 할 수 있습니다
lnltl-lnl1l 말입니다

Portuguese: 
um sobre x dx é igual a
Podemos escrever isto como um limite
quanto mais t se aproxima do infinito
da integral definida
de um para t, de um sobre x dx,
o que é igual ao limite quando
t se aproxima do infinito
pegamos a antiderivada, será
o log natural de x de um a t.
Um até t, poderíamos fazer
Bem, em verdade é o valor absoluto de x,
mas estamos tratando de x positivos aqui
então será apenas o log natural de x,
que é igual ao limite de t para infinito
do log natural de t,
ou poderia dizer log natural
do módulo de t, que será
o log natural de t, porque t é positivo,
menos o log natural de um.
Menos o log natural do módulo de um.
O log de um é zero,

Bulgarian: 
Ако вземем от 1 до безкрайност
от (1/х) dx, това е равно на...
Можем да запишем това 
като границата,
когато t клони към безкрайност
от определен интеграл
от 1 до t, от (1/х)dx,
което е равно на границата,
когато t клони към безкрайност,
намираме примитивната 
функция, която е
натурален логаритъм от х
от 1 до t.
От 1 до t, това е...
Това е абсолютната
стойност на х,
но тук имаме положителни
стойности на х,
така че е просто натурален
логаритъм от х,
което е равно на границата, когато
t клони към безкрайност,
от натурален логаритъм от t,
или даже мога да кажа
натурален логаритъм от
абсолютната стойност на t,
което ще бъде равно на
натурален логаритъм от t,
защото имаме само положителни t,
минус натурален логаритъм от 1.
Минус натурален логаритъм
от абсолютната стойност от 1.

English: 
The natural log of one
is zero, so it's going
to be the natural log of t.
The limit of that approaches infinity.
But the limit as that approaches infinity
is just going to be unbounded,
this is going to go to infinity.
This right over here is divergent.
So this right over here is divergent.
So this is divergent.
And because this is
divergent, we can then say,
we can then say, by the Integral Test,
we can then say the Integral Test...
Once again, our function
over this interval,
positive, continuous, decreasing.
We saw that this improper
integral right over here
is divergent, and then by the second point
of the Integral Test we can say therefore,
and I haven't rigorously
proved it yet, but hopefully
I gave you a good intuitive justification
in the previous video,
that the integral...
that the infinite series
from n equals one to infinity
of one over n, which
is the harmonic series,
that this is also, this is also...

Korean: 
ln1은 0이므로
식은 lnt가 될 것입니다
그 극한은 무한대에 가까워집니다
t가 무한대까지 
커질 때의 극한은
발산할 것이고
그 극한은 무한대로 갈 것입니다
따라서 여기 있는 값은
발산합니다
이 값은 발산합니다
그리고 이 값이 발산하므로
적분 판정법을 적용해보면
적분 판정법을 적용해보면
주어진 함수가 이 구간에서
양수이고 연속이고 감소하므로
그리고 이 이상적분이 발산하므로
적분 판정법의 두 번째 정리에 의해
이렇게 말할 수 있을 것인데
엄밀히 증명하지는 않았지만
이전 영상에서 좋은 직관적 설명을 든 적이 있습니다
바로 n이 1부터 무한대까지 1/n의
바로 n이 1부터 무한대까지 1/n의
무한급수 즉 조화급수가
또한 발산한다는 것이죠

Portuguese: 
portanto é apenas log natural de t.
O limite disso vai para o infinito.
Mas este ao se aproximar
do infinito será ilimitado
isso também vai para o infinito.
Isso aqui é divergente.
Logo isso aqui é divergente.
E porque isso é divergente, podemos dizer
que, pelo teste da integral
podemos dizer que o teste da integral
Outra vez, nossa função neste intervalo,
positiva, contínua, decrescente.
Vimos que essa integral imprópria
aqui é divergente
e de acordo com a segunda afirmação
do teste da integral, dizemos então
e eu ainda não provei isso rigorosamente
mas espero ter dado uma boa
justificativa no vídeo anterior
que a série infinita de n igual
a um para infinito
de um sobre n, que é a série harmônica,

Bulgarian: 
Натурален логаритъм 
от 1 е нула, така че остава
натурален логаритъм от t.
Границата от това,
когато клони към безкрайност.
Но когато това клони към 
безкрайност,
просто няма граница,
тя е безкрайност.
Това тук е разходящо.
Значи и това тук е разходящо.
Това е разходящо.
Понеже това е разходящо,
можем да кажем, че
от прилагането на
интегралния критерий...
Повтарям пак, че функцията
ни в този интервал
е положителна, непрекъсната,
намаляваща.
Този несобствен интеграл
ето тук е разходящ,
а съгласно второто твърдение
от критерия на Коши можем да кажем, че –
не сме го доказали прецизно,
но се надявам, че
схвана логиката на доказателството
в предишното видео,
че интегралът...
че безкрайният ред, сумата от 1/n
за n = 1 до безкрайност
което представлява
хармоничен ред,
че това също,

Thai: 
ล็อกธรรมชาติของ 1 เป็น 0 มันจึง
เป็นล็อกธรรมชาติของ t
ลิมิตของมันเข้าหาอนันต์
ลิมิตเมื่อพจน์นั้นเข้าหาอนันต์
จะไม่มีขอบเขต
อันนี้จะเข้าหาอนันต์
ค่านี่ตรงนี้จะลู่ออก
ค่านี่ตรงนี้จึงลู่ออก
ตัวนี้ลู่ออก
และเนื่องจากตัวนี้ลู่ออก เราจึงบอกได้
เราจึงบอกได้ว่า ด้วยการทดสอบอินทิกรัล
เราบอกได้ว่าการทดสอบอินทิกรัล --
ย้ำอีกครั้ง ฟังก์ชันของเราบนช่วงนี้
เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลง
เราเห็นว่าอินทิกรัลไม่แท้ตรงนี้
ลู่ออก และด้วยการทดสอบอินทิกรัล
ข้อสอง เราจึงบอกได้ว่า
ผมไม่ได้พิสูจน์อย่างรัดกุม แต่หวังว่า
คุณคงเข้าใจโดยสัญชาตญาณ
ในวิดีโอที่แล้ว ว่าอินทิกรัล --
ว่าอนุกรมอนันต์จาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
ของ 1 ส่วน n ซึ่งก็คืออนุกรมฮาร์มอนิก
นี่ก็ นี่ก็ --

Bulgarian: 
това също е разходящ ред.
Вече показахме, че
хармоничните редове
са разходящи с това
елегантно доказателство
на Орезм, вероятно не произнасям правилно името,
(Никола Орезм, френски математик)
въпреки, че използвахме
критерий за сравнение,
а също така използвахме
и интегралния критерий на Коши,
за да покажем, че този ред
е разходящ.
Да припомним още веднъж
каква е същността
на интегралния критерий
на Коши.
Ще начертая f(x) = 1/х.
Графиката на f(х) = 1/х
ще изглежда като...
Влагам цялото си старание.
Нека това да е 1, 2, 3,
и това са 1, 2...
Да видим, когато х = 1,
f(х) е равна на 1,
когато х = 2, тогава f(х) е 1/2
или 1/3,
ако това е 1/2, тогава
две ще е тук.
Ще изглежда ето така.
Това е за f(х) = 1/х.
Отново виждаме, че в
този интервал, който
ни интересува, от 1 до безкрайност,

English: 
this is also divergent.
So we've already shown
that the harmonic series
is divergent using that
very beautiful, elegant
proof by Oresme, I think
I'm probably mispronouncing
his name, though used the
comparison test, but just
like this we have used the Integral Test
to show that it is also divergent.
And once again, let's
remember what the whole
motivation of the Integral Test is.
Let me draw f of x is equal to one over x.
So f of x is equal to one
over x would look like...
Do my best attempt here.
So let's say that's one, two, three,
and that is one, two...
And so let's see, when
x is one f of x is one,
when x is two f of x is 1/2 or 1/3.
If it's 1/2 here, it
will be two over here.
So it looks like this.
So this is f of x is equal to one over n,
and once again we see that
then over the interval
we care about, from one to
infinity, it's definitely

Thai: 
นี่ก็ลู่ออกด้วย
เราได้แสดงไปแล้วว่าอนุกรมฮาร์มอนิก
ลู่ออกโดยใช้บทพิสูจน์ที่สวยงามและเรียบง่าย
โดยออแรม ผมว่าผมอาจจะออกเสียงผิดไป
ด้วยการทดสอบการเปรียบเทียบ
แต่อันนี้ เราใช้การทดสอบอินทิกรัล
เพื่อแสดงว่ามันลู่ออกด้วย
ลองดูกันอีกทีว่าที่มาของ
การทดสอบอินทิกรัลคืออะไร
ขอผมวาด f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x นะ
f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน x จะเป็นแบบ --
ผมจะวาดให้ดีที่สุดนะ
สมมุติว่านั่นคือ 1, 2, 3
แล้วนั่นคือ 1, 2, --
แล้วลองดู เมื่อ x คือ 1, f ของ x คือ 1,
เมื่อ x คือ 2, f ของ x คือ 1/2, หรือ 1/3
ถ้ามันคือ 1/2 ตรงนี้ มันจะเป็น 2 ตรงนี้
มันเป็นแบบนี้
นี่คือ f ของ x เท่ากับ 1 ส่วน n
เหมือนเดิม เราเห็นว่าตลอดช่วง
ที่เราสนใจ จาก 1 ถึงอนันต์ มัน

Portuguese: 
que isso também é divergente.
Já mostramos que a série harmônica
é divergente usando aquela bonita
e elegante prova de Oresme.
Devo estar falando seu nome errado.
Então usei o teste da comparação,
mas agora usamos o teste da integral
para mostrar que também é divergente.
Mais uma vez, vamos lembrar qual
é toda motivação do teste da integral.
Vou desenhar f de f x
é igual a um sobre x.
Então f de f x é igual a um sobre x
vai se parecer com
Estou fazendo o meu melhor aqui.
Digamos que isso é um, dois, três,
e aquilo é um, dois..
Vejamos quando x é um, f de f x é um,
quando x é dois, f de f x é 1/2 ou 1/3.
Se é 1/2 aqui, será sobre dois aqui.
Parece com isto.
Então isso é f de f x
é igual a um sobre n
mais uma vez no intervalo que interessa
de um a infinito, definitivamente é

Korean: 
또한 발산한다는 것이죠
Oresme의 증명을 이용해
조화급수는 발산한다는 것을 보였습니다
비교 판정법을 사용했어도
비교 판정법을 사용했어도
이것과 매우 비슷하게
그것이 또한 발산한다는 것을 보이기
위해 적분 판정법을 이용하였습니다
그리고 다시 한번
적분 판정법의 동기가 무엇인지 기억해 봅시다
f(x)=1/x의 그래프를 그려 보겠습니다
f(x)=1/x의 그래프를 그려 보겠습니다
최선을 다해보겠습니다
이것이 1,2,3이고
이것이 1,2라고 했을 때
x=1이면 f(x)=1이고
x=2이면 f(x)=1/2 또는 1/3입니다
만약 여기서 1/2이라면
여기 이것은 2가 될 것입니다
따라서 이렇게 그려집니다
따라서 이것이 f(x)=1/n의 그래프입니다
그리고 다시 한번 1부터 무한대까지의
구간을 살펴보면

Korean: 
분명히 양의 값을 가지고 연속이면서
감소하는 것을 볼 수 있습니다
그리고 이 총합을 보면
이 총합을
잠시 적을 시간을 주시기 바랍니다
따라서
n이 1부터 무한대까지 1/n의 총합은
1+1/2+1/3 그리고 쭉 계속됩니다
1+1/2+1/3 그리고 쭉 계속됩니다
그 총합이 발산한다는 것을
보여주고 싶기 때문에
총합은 여기 이 넓이의
여기 이 넓이의 큰 근삿값라고 할 수 있습니다
여기 이 넓이의 큰 근삿값라고 할 수 있습니다
여기 이상적분이 나타내는
초록색 영역이 있습니다
초록색 영역이 있습니다
그것은 1부터 무한대까지 1/x의 이상적분입니다
그것은 1부터 무한대까지 1/x의 이상적분입니다
이제 이것을

English: 
positive, continuous, and decreasing.
And if we look at this
sum right over here,
we could view this sum as...
Let's do that, let me write it down.
So the sum...
The sum from n equals one
to infinity of one over n,
is equal to one plus 1/2
plus 1/3, and of course
we keep going on and on and on and on.
In this case, since we want
to show it's divergent,
we could say, "Hey, look,
this is an overestimate of,
"of this area here."
Let me be clear.
So we have this area.
We have this area in green,
which is what the improper
integral is denoting.
So that right over there
is the improper integral
from one to infinity of one over x dx.
Now you could view this as

Portuguese: 
positivo, contínuo e decrescente.
E se nós olhamos para esta soma aqui,
podemos ver esta soma como
Vamos fazer, vou escrever isso.
Portanto a soma de n igual a um
para infinito de um sobre n,
é igual a um mais 1/2 mais 1/3
e, é claro, nós seguimos
assim mais e mais.
Neste caso, como queremos
mostrar que é divergente
dizemos: 'Vejam só, isso é a sobrestimação
desta área aqui."
Vamos ser bem claros.
Nós temos esta área.
Temos esta área em verde,
que é o que a integral imprópria
está representando.
Aquela alí é a integral imprópria
de um para infinito de um sobre x dx.
Você pode ver isso como

Thai: 
เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลง
และถ้าเราดูผลบวกนี่ตรงนี้
เรามองผลบวกนี้เป็น --
ลองทำดู ขอผมเขียนมันลงไป
ผลบวก --
ผลบวกจาก n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน n
เท่ากับ 1 บวก 1/2 บวก 1/3 และแน่นอน
เราทำต่อไปเรื่อยๆๆ ได้
ในกรณีนี้ เนื่องจากเราอยากแสดงว่ามันลู่ออก
เราก็บอกว่า เฮ้ ดูสิ นี่คือการประมาณพื้นที่
แบบมากเกินไป
ขอผมบอกให้ชัดนะ
เรามีพื้นที่นี้
เรามีพื้นที่สีเขียวนี้
ซึ่งเป็นสิ่งที่อินทิกรัลไม่แท้บอกเรา
ค่านั่นตรงนั้นคืออินทิกรัลไม่แท้
จาก 1 ถึงอนันต์ของ 1 ส่วน x dx
คุณมองอันนี้เป็น

Bulgarian: 
определено функцията е положителна, 
непрекъсната и намаляваща.
Ако разгледаме тази сума тук,
можем да разглеждаме
тази сума като...
Ще го напиша.
Значи сумата...
Сумата от n = 1 до безкрайност
от 1/n
е равна на 1 + 1/2 + 1/3...
и, разбира се,
това продължава и продължава.
В този случай, понеже искаме 
да покажем, че е разходяща,
можем да кажем: "Това 
приближение е надценяване
на тази площ тук."
Искам да поясня.
Имаме тази площ.
Имаме тази площ в зелено,
която съответства на
несобствения интеграл.
Това тук е несобствен интеграл
от 1 до безкрайност от (1/x)dx.

Thai: 
การประมาณพื้นที่นั้นแบบเกิน
แล้ว --
อันนี้ตรงนี้ คุณบอกได้ว่า
อันนี้คือแท่งสูง 1 คูณกว้าง 1
นั่นคือแท่งตรงนั้น
นั่นคือพื้นที่ของแท่งนั้น --
จะเท่ากับ 1
แล้วค่านี่ตรงนี้ คุณมองมัน
เป็นพื้นที่ของแท่งต่อไป
ของแท่งต่อไป
คุณมองอันนี้เป็นผลบวกรีมานน์ซ้ายมือได้
นั่นคือวิธีคิดอย่างหนึ่ง
แล้วอันนี้จะเท่ากับ 1/2 --
ใช่ ผลบวกรีมานน์ซ้ายมื
อันนี้จะเท่ากับ 1/2
แล้ว 1/3 จะเป็นอันนี้
มันจะเป็นอันนี้
ผมสังเกตว่าพวกมัน --
พื้นที่ที่เราสนใจ อินทิกรัลไม่แท้
อยู่ในแท่งเหล่านี้หมด
แท่งเหล่านี้จะ
จะมากกว่าค่านี้ แต่เราเห็นไปแล้ว
ว่าค่านี้ไม่มีขอบเขตไปหาอนันต์
ค่านี้จึงลู่ออก
ถ้าค่านี้มากกว่าค่านี้
ค่านี้ลู่ออก ค่านี้ไปหาอนันต์

English: 
an overestimate of that area.
So this first...
This one right over here, you could say
that this is this one
height times one width,
so that's that block right over there,
that's the area of that...
is going to be equal to one.
Then this over here,
1/2, you could view that
as the area of the next block,
of the next block.
So you could kind of view this
as a left-sided Riemann sum,
I guess is one way to think about it.
And so this is going to be 1/2...
Yeah, left-sided Riemann sum.
So this is going to be 1/2,
and then the 1/3 is going to be this one,
it's going to be this one.
I noticed they're all...
The actual area we care
about, the improper integral,
it's all contained in these blocks.
So this is going to be an over...
is going to be larger than
this, but we've already
seen that this is
unbounded towards infinity.
This is divergent.
So if this is larger than this,
and this is divergent,
this goes to infinity,

Bulgarian: 
Можем да го разглеждаме
като надценяване на тази площ.
Значи този пръв...
Ето това тук, можеш да кажеш,
че това е височина 1 по
широчина 1,
така че този блок тук,
неговата площ е равна на 1.
После това тук, 1/2, можем
да го разглеждаме като
площта на следващия блок.
Можем да го разглеждаме
като лява Риманова сума,
това е един начин
да си го представим.
Това е равно на 1/2...
Значи изтеглена наляво
Риманова сума.
Това е равно на 1/2,
после 1/3 ще бъде ето това.
Забележи, че всички те...
Действителната площ, която ни 
интересува, несобственият интеграл,
е по-малка от 
всички тези блокове.
Това е надценяване,
това е по-голямо
от това, но ние вече
видяхме, че няма граница
към безкрайност.
Това е разходящо.
Ако това е по-голямо
от това,
а това е разходящо,
това клони към безкрайност,

Portuguese: 
uma sobrestimativa daquela área.
Então isso primeiro
Isso bem aqui, pode-se dizer
que esta é uma altura disto
vezes uma largura,
portanto é esse bloco bem aqui,
que essa é a área daquele
será igual a um.
Logo esta aqui, 1/2, podemos ver como
a área do próximo bloco,
deste próximo bloco.
Você pode ver isto como uma
soma de Riemann à esquerda,
acho que é uma forma de pensar sobre isso.
E então isto será igual a 1/2
Sim, soma de Riemann à esquerda.
Portanto isto será igual a 1/2,
e então o 1/3 será igual a este aqui,
será este outro aqui.
Eu notei que eles todos
A área com que nos importamos,
a integral imprópria,
está toda contida nestes blocos.
Então isto será uma super
será maior que isso, mas nós já vimos
que isto é indeterminado para o infinito.
Isto é divergente.
Então se isso é maior que isto,
e isto é divergente, isto vai ao infinito,

Korean: 
그 넓이의 큰 근삿값이라고 
볼 수 있을 겁니다
그래서 첫 번째의
바로 여기 있는 이것은
가로x세로 즉 이 막대를 말하는 것이죠
가로x세로 즉 이 막대를 말하는 것이죠
그 넓이는 1과 같을 것입니다
그 넓이는 1과 같을 것입니다
그럼 여기의 1/2은
그 다음 막대의
넓이라고 할 수 있을 것입니다
그래서 이것을 왼쪽 리만 합으로 생각해볼 수 있습니다
생각해볼 수 있는 
한 가지 방법인 것 같습니다
그리고 이것이 1/2이 될 것이고
네 왼쪽 리만 합이 됩니다
따라서 이것은 1/2이 될 것입니다
그럼 1/3은
이것이 될 것입니다
저는 막대들과 넓이 사이의 
관계를 발견했습니다
사실상 구하고자 하는 넓이는
즉 이상적분의 값은
모두 이 막대들 안에 포함되어 있습니다
따라서 이것은 이상적분 값보다 클 것이지만
따라서 이것은 이상적분 값보다 클 것이지만
이미 이것이 발산한다는 것을 알고 있습니다
이것은 발산합니다
따라서 이것이 이것보다 크다면
그리고 이것이 발산한다면 
이것 또한 무한대로 발산합니다

Thai: 
แล้วค่านี้ต้องไปหาอนันต์ด้วย
นั่นคือจุดที่การทดสอบอินทิกรัลเข้ามาพอดี

Portuguese: 
logo isso também deve ir ao infinito.
Logo, é exatamente daqui que
o teste da Integral está vindo.
Legendado por: [ Marcos Pereira ]

Korean: 
그럼 이 총합 또한
무한대로 발산할 것이겠죠
그럼 이것이 바로 적분 판정법의 유래입니다

Bulgarian: 
следователно и това
клони към безкрайност.
Ето от тук започва идеята
за интегралния критерий на Коши.

English: 
then this must also go to infinity.
So that's exactly where the
Integral Test is coming from.
