
Thai: 
ให้ g กับ h เป็นฟังก์ชันอินเวอร์สกัน
ลองทบทวนกันว่าการเป็นฟังก์ชันอินเวอร์สกัน
หมายความว่าอะไร
มันหมายความว่า ถ้าเรามีเซตจำนวนสองเซต
สมมุติว่าหนึ่งเซตตรงนี้
นั่นคืออีกเซตตรงนั้น
และถ้าเรามองเซตแรกนั้นเป็นโดเมนของ g
ถ้าคุณเริ่มด้วย x บางตัวตรงนี้
g จะโยงจาก x นั้นไปยังอีกค่า
ซึ่งเราเรียกว่า g ของ x
นั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชัน g ทำ
ทีนี้ ถ้า h เป็นอินเวอร์สของ g 
จริงๆ แล้วในทางกลับกัน
h ไปจากจุด g ของ x กลับไปยัง x
h จะทำแบบนี้
h จะพาเรากลับไปยังค่าเดิม
นั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชัน h ทำ
แล้วเราก็มองจุดนี่ตรงนี้
เราเรียกมันว่า x นั่นก็คือ x

English: 
- [Voiceover] Let G and
H be inverse functions.
So let's just remind
ourselves what it means
for them to be inverse functions.
That means that if I
have two sets of numbers,
let's say one set right over there,
that's another set right over there,
and if we view that first
set as the domain of G,
so if you start with
some X right over here,
G is going to map from
that X to another value,
which we would call G of X.
That's what the function G does.
Now if H is the inverse of
G and frankly vice versa,
then H could go from that
point G of X back to X.
So H would do this.
H would get us back to our original value.
So that's what the function H would do
and so we could view this
point right over here,
we could view it as X, so that is X,

Bulgarian: 
Нека g и h да бъдат обратни 
една на друга функции.
И нека само да си припомним
какво означава,
че са обратни функции.
Това означава, че ако имаме 
две множества от стойности,
нека да кажем едното е ето тук,
а другото е ето там.
Разглеждаме първото множество 
като дефиниционно множество на функцията g.
Ако зададем някаква стойност x ето тук,
g преобразува тази стойност x 
в друга стойност,
която ще наричаме g(x).
Това е нещото, което прави функцията g.
Ако обаче h е обратната функция 
на g, то вярно е и обратното,
h може да преобразува тази стойност
 g(x) и да я върне обратно в x.
Следователно h ще прави ето това.
h ни връща в
първоначалната стойност.
Това е нещото, което 
прави функцията h.
Тогава може да разглеждаме 
ето тази точка тук
като x, т.е. това е х.

Czech: 
g a h jsou navzájem
inverzní funkce.
Připomeňme si, co to znamená,
když jsou funkce navzájem inverzní.
Znamená to, že když
mám dvě množiny čísel...
Jedna množina
bude tady,
druhá množina
bude zde.
První množina čísel bude
definiční obor funkce g,
takže tady budeme
mít nějaké x.
Funkce g tohle x zobrazí na
jinou hodnotu, kterou nazýváme g(x).
Tohle udělá
funkce g.
Pokud je h inverzní
funkcí ke g a naopak,
tak h zobrazí bod
g(x) zpět na x.
Funkce h to tedy zobrazí zpět
na naši původní hodnotu.
Tohle udělá
funkce h.
Na tento bod se tak
můžeme dívat jako na x,

Korean: 
g와 h는 역함수 관계입니다
역함수 관계가
무엇을 의미하는지 되짚어봅시다
역함수 관계가
무엇을 의미하는지 되짚어봅시다
숫자들의 집합 두 개를 생각합시다
하나는 이쪽에 놓고,
다른 하나는 이쪽에 놓읍시다
첫 번째 집합을
g의 정의역이라고 생각합시다
이 집합 내부의 x에 대해,
g는 이 값을 다른 값인
g(x)로 대응시킵니다
이것이 함수 g의 역할입니다
만약 h가 g의 역함수이고
그 반대도 성립한다면
h는 반대로 g(x)를 x로 보냅니다
h는 반대로 g(x)를 x로 보냅니다
h는 반대로 g(x)를 x로 보냅니다
이것이 함수 h가 하는 일입니다
이때 이 점에 주목하면
이 점은 x인 동시에,

Bulgarian: 
Но също така може 
да я разглеждаме и като h(g(x)).
Следователно също може
 да я разглеждаме и като h(g(x)).
Направих всичко това, за да можем
наистина да разберем тази идея.
Ако някой ти каже, че g и h са 
обратни една на друга функции,
то това означава, че h(g(x)) = x.
h(g(x)) = x
h(g(x)) е равно на x
Можеше да го означиш и обратно.
Можеше да започнеш с...
Можеш да го направиш 
по много различни начини,
но и като g(h(x)).
Тогава просто бих разменил 
тези букви ето тук.
Буквените означения g и h са произволни.
Можеше да кажеш също, че g(h(x))
е равно на х.
И така, g(h(x)) = х
След това е дадена някаква информация.
В следната таблица са записани някои
стойности за функциите g, h и g'.

English: 
but we could also view it as H of G of X.
So we could also view this as H of G of X
and I did all of that so we can
really feel good about this idea.
If someone tells you that G
and H are inverse functions,
that means that H of G of X is X.
H of G of X.
H of G of X is equal to X.
Or you could have gone
the other way around.
You could have started with,
well you could have done
it multiple different ways,
but also G of H of X.
I could have just swapped
these letters here.
The letters H and G
are somewhat arbitrary.
So you could have also
said that G of H of X
is equal to X.
So G of H of X is equal to X.
And then they give us some information.
The following table lists a few
values of G, H, and G prime.

Czech: 
ale také se na to můžeme dívat
jako na hodnotu h v bodě g(x).
Tohle všechno jsem udělal proto,
aby nám to celé dávalo dobrý smysl.
Pokud vám někdo řekne, že g a h
jsou navzájem inverzní funkce,
tak to znamená, že h v
bodě g(x) se rovná x,
ale také na to
můžeme jít opačně.
Mohli jsme
tady začít s...
Lze to udělat
vícero způsoby.
Tohle se také
rovná g v bodě h(x).
Mohl jsem tady
prohodit písmena.
Pořadí písmen h a g
je v zásadě libovolné.
Můžeme tedy také říct,
že g v bodě h(x) se rovná x.
Dále máme dány
nějaké informace.
V následující tabulce jsou uvedeny
vybrané hodnoty funkcí g, h a g s čárkou.

Korean: 
h(g(x))이기도 합니다
h(g(x))이기도 합니다
이렇게 얻어진 이 식은
정말 유용한 아이디어입니다
따라서 만약
g와 h가 역함수 관계이면
이는 h(g(x)) = x 임을 의미합니다
이는 h(g(x)) = x 임을 의미합니다
 
아니면 아까와는
다른 길로 가게되면,
아니면 아까와는
다른 길로 가게되면,
x = g(h(x)) 를 얻습니다
x = g(h(x)) 를 얻습니다
이는 단지 두 문자를 바꾼 것입니다
h와 g는 임의로 정해진 것이니까요
따라서 우리는 g(h(x)) = x를 얻습니다
따라서 우리는 g(h(x)) = x를 얻습니다
따라서 우리는 g(h(x)) = x를 얻습니다
 
화면의 표는 g, h, g'의
몇 가지 값을 나타냅니다

Thai: 
แต่เรามองมันเป็น h ของ g ของ x ได้
เรามองอันนี้เป็น h ของ g ของ x ได้
และผมทำมัน เราจะได้
รู้สึกพอใจกับแนวคิดนี้
ถ้ามีคนบอกคุณว่า g กับ h 
เป็นฟังก์ชันอินเวอร์สกัน
นั่นหมายความว่า h ของ g ของ x คือ x
h ของ g ของ x
h ของ g ของ x เท่ากับ x
หรือคุณทำกลับกันได้
คุณเริ่มด้วย
คุณทำได้หลายวิธี
g ของ h ของ x ด้วยได้
ผมสลับตัวอักษรตรงนี้
ตัวอักษร h กับ g เป็นตัวอักษรตามใจ
คุณจะบอกว่า g ของ h ของ x
เท่ากับ x ก็ได้
g ของ h ของ x เท่ากับ x
แล้วเขาให้ข้อมูลเรามา
ตารางต่อไปนี้บอกค่า g, h และ g ไพรม์มาให้

Czech: 
Naším úkolem je spočítat
h s čárkou v bodě 3.
V zadání h s čárkou v bodě 3
nemáme, takže jak to spočítáme?
Máme dány hodnoty
funkcí g s čárkou, h a g.
Jak to tedy
spočítáme?
Nyní si něco odvodíme pomocí
pravidla pro derivaci složené funkce.
Tento typ příkladu neuvidíte zrovna
často, ale i tak je to zajímavé,
takže si to
spolu projdeme.
Je možné, že se s tím potkáte i ve
při probírání diferenciálního počtu.
Začneme s libovolnou
z těchto dvou rovností nahoře.
Začněme tedy
s rovností...
Začněme s
touhle rovností.
Máme tedy, že g v
bodě h(x) se rovná x.
Tady musí
být h(x).
Tohle platí z definice, protože
h a g jsou navzájem inverzní.
Nyní zderivujme
obě strany rovnice.

Korean: 
그리고 우리는
h'(3)을 구해야 합니다
그리고 우리는
h'(3)을 구해야 합니다
어떻게 할 수 있을까요?
g', h, g가 주어졌을 때,
이를 어떻게 구할 수 있을까요?
이 문제에서 우리는
chain rule을 사용해서
미분을 해야합니다
이러한 문제는 흔하지는 않지만
흥미로운 문제입니다
우리는 이 문제를 풀어볼 것이고,
여러분은 자신의 미적분학 수업에서
이러한 문제를 볼 수 있을 겁니다
우선 앞에서 적은 식 중
하나에서 시작합시다
우선 앞에서 적은 식 중
하나에서 시작합시다
g(h(x)) = x에서 시작합시다
g(h(x)) = x에서 시작합시다
g(h(x)) = x
 g와 h가 역함수 관계라면
이 식은 정의에 의해 성립합니다
이 식의 양변을 미분합시다
양변의 x에 대한 미분을 취하면
양변의 x에 대한 미분을 취하면

Thai: 
เอาล่ะ เขาอยากให้เราหาค่า h ไพรม์ของ 3
เขาไม่ได้ให้ h ไพรม์ของ 3 เรามา
เราจะหามันได้อย่างไร?
เขาให้ g ไพรม์กับ h กับ g มา
เราจะหาอันนี้ได้อย่างไร?
ตรงนี้ เราจะหาค่า
จากกฎลูกโซ่ และนี่ไม่ใช่ปัญหาที่
คุณมักจะได้เจอ แต่มันน่าสนใจ
เราจะทำ และมันมีโอกาส
ที่คุณจะให้มันในวิชาแคลคูลัสของคุณ
ลองเริ่มด้วยพจน์พจน์หนึ่งบนนี้
ลองเริ่มด้วยพจน์นี้
ลองเริ่มด้วย ลองทำอันนี้ตรงนี้กัน
ถ้าเรามี g ของ h ของ x เท่ากับ x
เราใส่ h ของ x นั่นกลับไป
ซึ่งตามนิยามแล้วเป็นจริง ถ้า g กับ h
เป็นอินเวอร์สกัน
ทีนี้ ลองหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างนี้กัน
ลองหาอนุพันธ์
เทียบกับ x ของทั้งสองข้าง

English: 
Alright, so they want us to
evaluate H prime of three.
They don't even give us H prime of three.
How do we figure it out?
They gave us G prime and H and G.
How do we figure this out?
Well here we're going to
actually derive something
based on the chain rule and
this isn't the type of problem
that you'll see a lot
of, but it is interesting
so we're going to work through
it and there's a chance
that you might see it
in your calculus class.
So let's start with either one
of these expressions up here.
So let's start with the expression,
well let's start with,
let's do this one over here.
So if we have G of H of X is equal to X,
so we put that H of X back there,
which is by definition true
if G and H are inverses.
Well now let's take the
derivative of both sides of this.
So let's take the derivative
with respect to X of both sides,

Bulgarian: 
Добре, от нас се изисква 
да изчислим h'(3).
Дори не са ни дали 
на какво е равна производната h'(3).
Как да го намерим тогава?
Дали са ни стойности за функциите g, h и g'.
Как да намерим това?
Тук действително ще извлечем нещо,
което се основава на верижното 
правило. Това не е вид задача,
която се среща често, но е интересна,
така че ще преминем 
през нея и има шанс
да се сблъскаш с нея 
в своя курс по анализ.
Нека да започнем с кой да е 
от тези изрази тук горе.
Нека да започнем с този израз.
О, нека да започнем всъщност 
с този ето тук.
Ако знаем, че g(h(x)) е равно на х,
то ще поставим това h(x) 
обратно ето там,
което е вярно и следва от дефиницията, 
че g и h са обратни функции.
Нека сега да намерим производните
на двете страни на това уравнение.
Нека да намерим производната 
спрямо x на двете страни.

Thai: 
อนุพันธ์เทียบกับ x
และทางซ้ายมือ เราก็แค่ใช้กฎลูกโซ่
อันนี้จะเป็น g ไพรม์ของ h ของ x
g ไพรม์ของ h ของ x
คูณ h ไพรม์ของ x
นั่นก็แค่กฎลูกโซ่ตรงนั้น
แล้วมันจะเท่ากับ
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ x คืออะไร?
มันจะเท่ากับ 1
ทีนี้ มันน่าสนใจ
เราต้องหาว่า h ไพรม์ของ 3 คืออะไร
เราหาได้ว่า h ของ 3 คืออะไร
แล้วเราก็ใช้มันหา
ได้ว่า g ไพรม์ของอะไรก็ตาม
g ไพรม์ของ h ของ 3 ว่าคืออะไร
แล้วเราก็หา h ไพรม์ของ x ได้
หรือเราเขียนมันใหม่แบบนี้ได้
เราเขียนมันใหม่ได้ว่า h ไพรม์ของ x เท่ากับ
เท่ากับ 1 ส่วน g ไพรม์ของ h ของ x

Korean: 
양변의 x에 대한 미분을 취하면
좌변은 chain rule을 적용하면
g'(h(x)) × h'(x) 입니다
g'(h(x)) × h'(x) 입니다
g'(h(x)) × h'(x) 입니다
g'(h(x)) × h'(x) 입니다
이 식은 x를 x로 미분한 값인
이 식은 x를 x로 미분한 값인
1과 같습니다
이제 문제가 흥미로워집니다
우리가 구해야 할 것은 h'(3)입니다
우리는 h(3)이 무엇인지 알고,
이를 이용해서
g'(h(3))을 구할 수 있습니다
이를 이용해서
g'(h(3))을 구할 수 있습니다
이 식을 h'(x)에 대해 다시 쓰면
이 식을 h'(x)에 대해 다시 쓰면
h'(x) = 1/g'(h(x)) 로 나타납니다
h'(x) = 1/g'(h(x)) 로 나타납니다

Czech: 
Spočítejme derivaci
podle x obou stran.
Na levé straně použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce,
což nám dá g s čárkou v bodě h(x)
krát h s čárkou v bodě x.
Jen jsme zderivovali
složenou funkci.
Tohle se
bude rovnat...
Čemu se rovná
derivace podle x z x?
...se bude
rovnat 1.
Teď už je to
docela zajímavé.
Naším úkolem je spočítat,
kolik je h s čárkou v bodě 3.
Umíme zjistit, kolik je h(3) a následně
i kolik je g s čárkou v bodě h(3),
takže bychom měli být
schopni určit i h(x) s čárkou.
Nebo si to můžeme
takto přepsat.
Můžeme napsat, že h s čárkou v bodě x
se rovná 1 lomeno g s čárkou v bodě h(x).

English: 
derivative with respect to X,
and on the left-hand side well
we just apply the chain rule.
This would be G prime of H of X,
G prime of H of X,
times H prime of X.
That's just the chain
rule right over there
and then that would be equal to,
what's the derivative
with respect to X of X?
Well that's just going to be equal to one.
So now it's interesting.
We need to figure out
what H prime of three is.
We can figure out what H of three is
and then we can use that to figure out
what G prime of whatever
G prime of H of three is
and so we should be able
to figure out H prime of X
or we could just rewrite it this way.
We could rewrite that H
prime of X is equal to,
is equal to one over G prime of H of X.

Bulgarian: 
Производна спрямо x.
От лявата страна просто 
ще приложим верижното правило.
Това ще бъде g'(h(x)).
g'(h(x))
умножено по h'(x).
Това тук е просто верижното правило.
Тогава това ще бъде равно на...
А на какво ще е равна 
производната на х спрямо x?
Е, ще бъде равна просто на 1.
Сега става интересно.
Искаме да намерим на какво е равно h'(3).
Може да намерим на какво е равно h(3),
а след това да го използваме, 
за да намерим,
на какво е равно g'(h(3)).
По такъв начин следва 
да можем да намерим h'(x)
или просто може да го запишем 
по следния начин.
Може да запишем h'(x) е равно
на 1 върху g'(h(x)).

Korean: 
몇몇 서클에서는
여러분이 이 공식을 외우고
어쩌면 칸아카데미의 이 예제를
풀어보는 것을 권할지도 모릅니다
하지만 제가 미적분학을
거의 25년간 다루면서,
이 식을 외우지는 않았습니다
하지만 그 대신 여러분은
이 식을 역함수의 정의를 미분하여
유도할 수 있습니다
일단 여기에서는 이 식을
h'(3)이 무엇인지 구하는데 씁시다
h'(3)는 1/g'(h(3)) 과 같습니다
h'(3)는 1/g'(h(3)) 과 같습니다
그리고 이 값은 주어져 있습니다
h(3) = 4,
h(3) = 4,
h(3) = 4,
그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다
그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다
그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다
그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다

Bulgarian: 
На някои места
може да да те насърчат
да запаметиш това, а може би за целта
на упражненията в Кан Академия,
може да искаш да го запаметиш,
но ще ти кажа 20 години, т.е.
почти 25 години след като взех курса по анализ,
че това не е нещо, което съм запазил в дългосрочната си памет.
Това, което запомних обаче е, 
че може да се изведе
от дефиницията за това какво 
наистина са обратни функции.
Но сега може да използваме това,
ако искаме да намерим 
на какво е равно h'(3).
h'(3) ще бъде равно на
1 върху g'(h(3)),
което предполагам, че 
ни е дадено в задачата.
За h(3) е дадено, че х е равно на 3,
а h е равно на 4.
Ето това тук е h(3).
Тоест h(3) е равно на 4.
Сега просто следва да намерим g'(4).
За щастие, са ни дали информация,
че за x равно на 4, то g' е равно на 1/2.
Следователно g'(4) е равно на 1/2.

English: 
Now in some circles,
they might encourage you
to memorize this and maybe for the sake
of doing this exercise on Khan Academy
you might want to memorize it,
but I'll tell you 20 years after I took,
almost 25 years after I took calculus,
this is not something that I
retain in my long-term memory,
but I did retain that
you can derive this from
just what the definition of
inverse functions actually are.
But we can use this now
if we want to figure out
what H prime of three is.
H prime of three is going to be equal to
one over G prime of H of three,
which I'm guessing that
they have given us.
So H of three, when X is three, H is four.
So that is H of three there.
So H of three is four.
So now we just have to
figure out G prime of four.
Well lucky for us, they have given us
when X is equal to four,
G prime is equal to 1/2.
So G prime of four is equal to 1/2.

Czech: 
Někteří po vás možná budou chtít,
abyste se to naučili nazpaměť,
a pro tohle cvičení Khan Academy by se
znalost tohoto vzorce nazpaměť asi hodila.
Řeknu vám však, že 20 let po mých hodinách
diferenciálního počtu, už skoro 25 let,
si tohle neuchovávám
v dlouhodobé paměti.
Zapamatoval jsem si ale, že to jde
odvodit z definice inverzních funkcí.
Tento vzorec teď můžeme využít
k výpočtu h s čárkou v bodě 3.
h s čárkou v bodě 3 se rovná
1 lomeno g s čárkou v bodě h(3),
což hádám, že
známe ze zadání.
Takže h(3)...
Když je x rovno 3, hodnota h je 4,
takže tomu se rovná h(3).
h(3) se rovná 4, takže teď potřebujeme
zjistit g s čárkou v bodě 4.
Naštěstí ze zadání víme, že když je
x rovno 4, g s čárkou je 1 lomeno 2.
g s čárkou v bodě 4
je tedy 1 lomeno 2,

Thai: 
ทีนี้ ในบางแห่ง เขาอาจอยากให้คุณ
จำสูตรนี้ และเพื่อ
ทำแบบฝึกหัดนี้ในคานอะคาเดมี่
คุณอาจต้องท่องมัน
แต่ผมจะบอกคุณว่า 
หลังจากที่ผมเรียนไป 20 ปี
เกือบ 25 ปีหลังจากที่ผมเรียนวิชาแคลคูลัส
นี่ไม่ใช่สิ่งที่อยู่ในความจำระยะยาวของผมเลย
แต่ผมจำได้ว่า คุณพิสูจน์สูตรนี้ได้จาก
นิยามฟังก์ชันอินเวอร์สว่าจริงๆ แล้วมันคืออะไร
แต่เราใช้มันได้แล้วตอนนี้
ถ้าเราอยากหาว่า h ไพรม์ของ 3 คืออะไร
h ไพรม์ของ 3 จะเท่ากับ
1 ส่วน g ไพรม์ของ h ของ 3
ซึ่งผมเดาว่าเขาให้เรามา
h ของ 3 เมื่อ x เป็น 3, h เป็น 3
นั่นก็คือ h ของ 3 ตรงนั้น
แล้ว h ของ 3 เป็น 4
ทีนี้ เราแค่ต้องหา g ไพรม์ของ 4
โชคดีของเรา เขาให้เรามา
เมื่อ x เท่ากับ 4, g ไพรม์เท่ากับ 1/2
g ไพรม์ของ 4 เท่ากับ 1/2

Czech: 
takže h s čárkou v bodě 3 je
1 lomeno (1 lomeno 2).
1 lomeno
(1 lomeno 2)...
1 děleno (1 lomeno 2)
je totéž jako 1 krát 2,
takže to celé bude 2
a máme hotovo.

Korean: 
따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다
따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다
따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다
따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다

Bulgarian: 
Тогава h'(3) е равно на 1 върху 1/2.
1 върху 1/2.
или 1, разделено на 1/2 
е същото като 1 по 2.
Следователно всичко това 
е равно на 2 и сме готови.

Thai: 
h ไพรม์ของ 3 จึงเท่ากับ 1 ส่วน 1/2
1 ส่วน 1/2
1 หารด้วย 1/2 เท่ากับ 1 คูณ 2
นี่จึงเท่ากับ 2 แล้วเราก็เสร็จแล้ว

English: 
So H prime of three is
equal to one over 1/2.
So one over 1/2,
one divided by 1/2 is the
same thing as one times two.
So this is all equal
to two and we are done.
